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L. PONTRIAGUINE, V. BOL TIANSKI, R. GAMKRÉLIDZÉ, E. MICHTCHENI(ü Théorie mathématique des processus optimaux EDITIONS MIR . MOSCOU
Traduit du russe par D jilali Embarek Ha çppaHlfyacnoM JlablJe @ Traduction française Editions j\1ir 1974
Introduction Les processus physiques qui trouvent leurs applications en techni- que sont en règle générale c 0 m man dés, i. e. peuvent être réalisés de multiples façons au gré de l'homme. Dès lors il s'agira donc de chercher la meilleure commande selon tel ou tel critère, en d'autres termes la commande optimale du processus. Ce peut être par exemple une commande en temps optimal, i.e. réaliser l'objectif du processus dans le temps le plus court, ou avec la moindre dépense d'énergie, etc. Mathématiquement formulés, les problèmes mention- nés relèvent du cal cul des var i a t ion s à qui d'ailleurs ils ont donné naissance. Les méthodes variationnelles traditionnelles s'avèrent néanmoins inaptes à résoudre d'innombrables problèmes importants pour les techniques actuelles. Les auteurs de cet ouvrage apportent à nombre de ces problèmes variationnels d'un type non classique des solutions qu'ils ont groupées sous un procédé mathé- matique commun appelé p r i n c i p e d u m a x i m u m. Il importe de souligner que toutes les conditions nécessaires et fonda- mentales du calcul variationnel classique à dérivées ordinaires découlent du principe du maximum (voir chapitre 5). Nous allons examiner ici des processus commandés sUEceptibles chacun d'être régis par un système d'équations différentielles dx i f i ( ln 1 r ) ---a;:-= X, e.., X, U, ..., U , i===1,2, .., n; (1) où Xl, . . ., x n sont des grandeurs caractérisant le processus,. i.e. les coordonnées de phase déterminant l'état de l'objet commandé à chaque instant t; u l , ..., ur - les paramètres de commande déterminant la marche du processus et t - le temps. Pour que la marche du processus commandé soit définie sur un certain intervalle de temps t o t t i il suffit que sur ce même intervalle soient don nés (en fonction du temps) les paramètres de commande Ul, ., ur: u j = u j (t), j = 1, . . ., r. (2)
6 INTRODUCTION Alors pour des conditions initiales données xi (t o ) == x, i 1, ..., n, (3) la solution du système (1) est univoque. Le problème variationnel, lié au processus commandé (1), que nous avons à résoudre est le sui- vant. Soit la fonctionnelle intégrale ft J = J 1° (xl, to n ..., X , u l , ..., ur) dt (4) où f'J (Xl, . . ., X n , U l , . . ., Ur) est une fonction donnée. Pour cha- que commande (2) donnée sur un certain intervalle t o t t i est définie d'une manière uni voque la marche du processus commandé, et l'intégrale (4) prend une valeur déterminée. Supposons qu'il existe des commandes (2) transférant l'objet commandé de l'état initial donné (3) à l'état final imposé Xi (t i ) == xL i ==: 1, ..., n. On demande de trouver la commande ai (t), j = 1, . . ., r (6) qui transfère l'objet commandé de l'état (3) à l'état (5) de manière à Ininimiser la fonctionnelle (4). Les instants t o et t i ne sont pas fixés, on demande seulement qu'à l'instant initial t o l'objet se tro.uve dans l'état (3) et à l'instant final t i dans l'état (5), et que la fonctionnelle (4) soit minimale. (Le cas où t o et t i sont fixes est également inté- ressant à voir; il se ramène sans peine aux problèmes mentionnés dans cette introduction, voir 9 8.) Dans le cas particulier où la fonc- t . f o ( 1 X n 111 U 'r ) . d ' t . 1 f t . Il Ion x , . . ., , w, . . ., qUI e ermine a one lonne e (4) est identiquement égale à l'unité, la fonctionnelle (4) est égale à t i - t o et notre problème variationnel se transforme en problème en temps optimal. Dans les problèmes techniques où ils définissent, par exemple, la position des gouvernails d'un engin, les paramètres de commande u 1 , . . .., ur ne peuvent prendre des valeurs arbitraires: ils sont assu- jettis à certaines contraintes. De par la construction même du méca- nIsme décrit par le systèrrte (1) le paramètre u l ne peut, disons, pren- dre que les valeurs satisfaisant à la condition (5) 1 u 1 1 1. (7) Si, par exemple, les paralnètres Ul, u 2 représentent, dans un plan, le3 COnp)3an.tes d'une grandeur vectorielle de module non supérieur à l'un.ité et de sens arbitraire, ils sont alors assujettis à la condition (U l )2 + (U 2 )2 1. (8)
INTRODUCTION 7 En règle générale, il faut considérer que le point (u l , . . ., ur) doit appartenir à un ensemble U d'un espace muni des coordonnées u l , ..., ur, le choix de l'ensemble U reflétant le caractère de l'objet (1). L'ensemble U (ou « domaine de commande ») théoriquement est considéré comme étant arbitraire, mais dans les problèmes techniques un cas particulièrement important et re- marquable est celui où U est fer m é (cf. inégalités (7), (8)). Cette condition signifie que le gouvernail peut occuper ses positions extrê- mes (les valeurs u l = + 1 dans l'inégalité (7) ou les points limites du cercle (8)), qui peuvent en particulier réaliser la commande opti- male. C'est précisément cette circonstance qui fait que le problème variationnel considéré n'est pas classique puisque dans le calcul variationnel classique les paramètres variables ne peuvent satisfaire aux expressions (7) et (8). Le caractère non classique de problème variationnel est le plus évident dans le problème en temps optimal pour le système (1), système dont les seconds membres sont des fonctions à coeffici'ents t 1 . , . 1 n 1 r l ' constan s,ln e aIr e s en x , . . ., x , u , . . ., u et ensem- ble U est un pol y è d r e con v e x e fer m é, un cube par exem- pie, défini par les inégalités: 1 u j / 1, j = 1, . . ., r. Il s'avère dans ce cas que la commande optimale (6) est réalisée par le point (u l (t), . . ., ur (t)) qui se trouve à tour de rôle dans les divers sommets du polyèdre U. Les règles qui régissent les sauts du point commandé d'un sommet à un autre définissent précisément la loi de commande optimale. Ce problème variationnellinéaire aux multiples applications techniques se résout par les méthodes généra- les exposées au chapitre 3. Les méthodes classiques sont totalement impropres à sa résolution. De ce qui précède sur les sauts du point commandé d'un sommet à un autre du polyèdre U, il résulte que la classe des commandes adnlissibles (2) ne peut être composée de fonctions continues. Nous supposerons en général qu'elle est composée de fonctions continues par morceaux. Les coordonnées de phase Xl, . . ., x n sont considérées comme étant des fonctions du temps continues et dérivables par mor- ceaux. Sous ces hypothèses, les conditions nécessaires d'optimalité se formulent par le principe du maximum (voir chapitre 1) qui est dénlontré dans le chapitre 2. Si l'objet considéré. est un système mécanique, la partie Xl, . . ., Xh des coordonnées de phase en décrit l'état géométrique, tandis que l'autre partie Xk+l, . . ., X2k (2k = n) - la vitesse. Dans certains problèlnes, le but du processus peut ne pas consister à faire arriver l'objet en un point déterminé (x, . . ., x7) de l'espace de p h a s e, mais à faire occuper au système mécanique une position spa t i ale définie (x, . . ., x) avec des vi tesses arbi traires en
8 INTRODUCTION fin de processus. Par conséquent ici est posé le problème variationnel du transfert optimal de l'objet d'un point initial donné x, . . ., x de l'espace de phase à un point arbitraire d'un plan de dimension k défini par les équations 1 1 k h X = Xi' ..., X = Xl . Nous constatons que le problème optimal formulé au début évite tou- te une série d'importantes questions. Aussi le 9 6 du chapitre 1 traite- t-il du transfert optimal de l'objet d'une variété initiale quelconque M 0 d l'espace de phase à une variété finale quelconque Mt, les di- mensions des variétés Mo et Mi étant arbitraires (si, en particulier, elles sont toutes deux nulles on est ramené au problème initial). Il est clair que les paramètres de commande de l'objet de même d'ailleurs que ses coordonnées de phase, de par la nature même du problème posé, sont assujettis à certaines conditions. Si, par exemple, on étudie le vol d'un avion dont Xl représente l'altitude au-dessus du sol, alors doit être vérifiée l'inégalité Xl h > 0 où h désigne l'al- titude minimale admissible de vol. L'inégalité Xl h ne découle ni des propriétés du système d'équations (1), ni des inégalités auxquelles sont soumis les paramètres de commande, elle est entièrement indé- pendante. Le chapitre 6 traite" de la commande optimale d'un objet dont le point représentatif de l'espace de phase est astreint à rester constamment dans un domaine fermé G de cet espace de phase. On suppose en outre que la frontière du domaine G est dérivable par mor- ceaux. Sous ces conditions, ùne partie d'u mouvement de l'objet se réalise à l'intérieur du domaine G conformément au principe ordi- naire du maximum, l'autre partie sur la frontière du domaine G, conformément au principe complexe du maximum. Le passage des morceaux de trajectoires contenus à l'intérieur de G aux morceaux de trajectoires portés par la frontière de G est régi par des règles origi- ,nales rappelant, et généralisant dans un certain sens, les lois de dif- fraction de la lumière. Jusqu'ici il n'a été question que de la commande optimale transférant un objet dans un point donné ou dans une sous-variété donnée de l'espace de phase. Le problème de commande optimale peut néanmoins se transformer en un problème d' optimali té de l' ar- rivée dans un point m 0 b i 1 e de l'espace de phase. Soit dans l'espace de phase "un point mobile Xi = Si (t), i = 1, . . ., n. (9) On demande de faire coïncider dans un temps optimal l'objet (1) avec le point mobile (9). Ce problème se ramène facilement au pro- blème étudié. Il suffit pour cela d'introduire les nouvelles variables _ Y i = X i - S i (t) , 7 - 1 n - ,..., .
INTRODUCTION 9 Le système commandé (1) se transforme en un nouveau système,. qui, cependant, n'est plus autonome; quant au but du processus commandé, il consiste désormais à faire arriver le nouvel objet (yI, . . ., yn) dans le point fixe (0, . . ., 0) de l'espace de phase. Les résultats fondamentaux se transférant aisément aux processu commandés non a u ton 0 mes (voir 9 7), le problème est résolu. Nous avons supposé que le mouvement du point poursuivi (9) était connu sur l'intervalle de temps considéré tout entier. Un problème nouveau et d'une grande importance pratique se pose lors- que le mouvement de l'objet poursuivi n'est pas connu d'avance,. mais sur lequel on reçoit des informations au fur et à mesure que le temps passe. Pour résoudre de tels problèmes, on doit posséder des- données sur le comportement de cet objet. Un cas particulièrement important est celui où l'objet poursuivi est commandé, i.e. son mou- vement est régi p al" le système d'équations dz i i ( ln 1 S ) . 1 = g z, ..., z , v, ..., v, == , ..., n. (10) Connaissant les perforlnances techniques de l'objet poursuivi, i.e. le système d'équations (10), et sa position à chaque instant donné,. il s'agit de déterminer au même instant une commande qui réalise la poursuite en un temps optimal. Tel qu'il est posé, ce problème est traité dans la théorie des jeux différentiels, théorie que nous n'aborderons pas ici. Dans le chapitre 7 est résolu un autre problème de poursuite. On y suppose qu'à l'instant initial, la position de l'ob- jet poursuivi est connue, et que son comportement futur est décrit probabilistiquement, à savoir son mouvement est considéré comme étant un processus markovien. Sous ces hypothèses on cherche une- commande, telle que la rencontre d'un petit voisinage de l'objet (1) avec l'objet poursuivi soit la plus probable. * * * Le principe du maximum s'est pleinement justifié et a trouvé. d'innombrables applications au cours des 7 années écoulées depuis la première édition russe de cet ouvrage. Aussi convient-il d'ouvrir dès maintenant une parenthèse sur sa nature, son origine et sa dé- monstration. Prenons, pour fixer les idées, le problème de commande. en temps optimal. Car c'est précisément pour ce problèn1e que- Lev Pontriaguine formula l'hypothèse du principe du maximum. Pour l'essentiel le problème est le suivant. Toute commande admissible u l (t), . . ., ur (t), définie sur l'intervalle t o t t 1 t, et tout vècteur constant 'i' de l'espace de phase sont associés d'une:- manière déterminée à la fonction H (t, U 1 , . . ., Ur)
10 INTRODUCTION de la variable t, t o t t 1 , et des. paramètres de comn1ande admis- :sibles. Il s'avère que si la commande étudiée est optimale, il existe alors une valeur du vecteur "p =1= 0 telle que pour chaque valeur fixe de t, t o t t i , la grandeur H qui est considérée comme une fonc- tion des valeurs admissibles des paramètres de commande, atteigne .son maximum pour u j == u j (t), j == 1, . . ., r. On constate donc que lorsqu' on'utilise le principe du maximum, on ne doit pas comparer seu- Jement des commandes proches l'une de l'autre. D'où sa distinction des théorèmes classiques du calcul variationnel, d'où sa force, mais aussi une certaine complexité de la démonstration. La première démonstration du principe du maximum appliqué aux systèmes commandés linéaires a été donnée par R. Gamkrélidzé -qui a par ailleurs entièrement élaboré la théorie de ces systèmes. L'idée est la suivante: supposons que ,la commande optimale étudiée transfère le point Xo en Xi. Si, au lieu de la commande optimale, on prend une commande admissible quelconque définie sur le précé- .dent intervalle, cette dernière transférera le point Xo en un point X (t l ). Compte tenu de la linéarité, l'ensemble de tous les points x (t f ) ainsi obtenus forme un corps convexe P. De l'optimalité de la com- mande initiale, il résulte que le point Xi est situé sur la frontière de ,ce corps. Par conséquent, le corps P admet un plan d'appui en Xi' le vecteur "p perpendiculaire à ce plan et dirigé vers l'extérieur du -corps P n'étant autre que le vecteur utilisé dans la construction de la fonction H. Lorsque le système commandé est non linéaire, l'ensemble des points X (t l ) obtenus à l'aide de toutes les commandes admissibles possibles est non convexe et infini. Il n'est pas dans la nature du principe du maximum d'utiliser, pour linéariser les problèmes, des commandes différant légèrement de la commande optimale. Dans le cas général non linéaire, le principe du maximum fut démontré par V. Boltianski qui ensuite élabora les fondements de la théorie non linéaire de la commande optimale. C'est précisément lui qui a judicieusement choisi une classe de commandes dans le but de les -comparer à la commande optimale en se servant des variations de McShane, i.e. en étudiant les commandes admissibles distinctes de l' op timale sur un nombre fini seulement de peti ts intervalles de temps, mais distinctes arbitrairement sur chaque intervalle. Le problème fut de la sorte linéarisé: l'ensemble des points X (t 1 ) correspondant aux commandes indiquées, quoique non convexe, est proche d'un .ensemble convexe de sorte qu'il fut possible de construire un plan id' appui et un vecteur "p perpendiculaire à ce plan. Leu Pontriaguine
CHAPITRE 1 Principe du . maXImum 9 1. Commandes admissibles Nous étudierons le comportement d'un objet dont l'état est à chaque instant caractérisé par n nombres réels Xl, x 2 , . . ., x n (par exeulple les coordonnées et les vitesses). L'espace vectoriel X de la variable vec torielle x == (xl, . . ., x n ) est l'espace de phase de l'objet -considéré. Le comportement (mouvement) de l'objet consiste (du point de vue mathématique) en une variation de Xl, . . ., x n en fonction du temps. On suppose que le mouvement de l'objet est sus- ceptible d'être c 0 m ID and é, i.e. l'objet est doté de «gouver- nails }) dont la position conditionne le mouvement. Les positions des -« gouvernails » sont données par les points u d'un domaine de comman- de U qui peut bien être un ensemble quelconque d'un espace eucli- ,dien Er de dimension r; la donnée du point u == (u l , u 2 , . . ., ut) E E U équivaut à la donnée du système de paramètres numériques Ul, u 2 , . . ., ur. Dans les applications un cas est important, celui où U est un domaine fer m é de l'espace Er. Le domaine de commande U peut, en particulier, être un cube de l'espace de dimension r 1 ' 1 . bl 1 2 r :engenc re par es varia es u , u , . . ., u : 1 u j 1 1, j == 1, 2, . . ., r, (1) ou un autre ensemble quelconque fermé et limité de cet espace de dinlension r. D'un point de vue physique, il est clair pourquoi étu- die-t-on (dans l'espace engendré par les variables Ul, u 2 , . . ., ur) un dOluaine de commande fermé et limité U: les paramètres de com- luande Ul, u 2 , . . ., ur peuvent représenter la quantité de combusti- ble fourni à un moteur, la température, l'intensité du courant, la tension, etc., qui ne peuvent prendre des valeurs arbitrairement grandes. Par ailleurs, de par la construction technique du gouver- nail de l'objet, les paramètres de commande u l , u 2 , . . ., u} peuvent être liés entre eux par une ou plusieurs liaisons de la forme <p (u l , u/', . . ., ur) == O. Dans ce cas, le domaine de commande U -peut ôtra d'une forme géométrique plus ou moins complexe. Si, par eXBJuple, les paramètres de comlllande Ul, u 2 sont par con'struction de la forlu3 u l == cos <p, u 2 == sin <p, où <p est un angle arbitrairement choisi, le domaine de commande sera ,la circonférence (U 1 )2 + (u 2 ) 2 == 1. (2)
12 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 Dans la suite nous considérerons simplement le domaine de commande U et ses points u E U et nous nous donnerons U sous la forme d'un ensemble de l' esp ace engendré par les v ari ables u 1 , u 2 , . . ., ur en prenant pour « point » u 'un système arbitraire de paramètres de commande u == (u 1 , u 2 , . . ., ur) (voir (1) ou (2) par exemple) conte- nu dans U. Nous désignerons par commande toute fonction u == u (t) définie sur un certain intervalle t o t t i et à valeurs dans le domaine de commande U. U étant un ensemble de l'espace engendré par les para- mètres de commande u 1 , u 2 , . . ., ur, chaque commande u (t) == (u 1 (t), u 2 (t), . . ., ur(t)) est un. v e c t e u r f 0 n c t ion (défini sur l'intervalle t o :::;; t t i ) à valeurs dans le domaine de commande U. Dans la suite, selon la nature du problème à résoudre, nous imposerons diverses conditions (continuité par morceaux, différentiabilité par morceaux, etc.) sur la commande u (t). Nous désignerons par co m man des a d ID i s- s i b 1 e s .les commandes satisfaisant à ces conditions. Dans ce cha- pitre, nous appellerons admissibles des c 0 m man des que l- con que s con t i nue spa r m 0 r c eau x (à valeurs dans U), i.e. des commandes u == u (t) telles que chacune d'elles soi t con- tinue pour toutes les valeurs de t considérées, à l'exception d'un nom- bre fini où la fonction u (t) peut subir des discontinuités de première espèce. Afin d'éviter toute confusion, observons que par définition des discontinuités de première espèce, on suppose qu'au point 'r de discontinuité existent les limites fin i e s u ('t - 0) === lim u (t), u Cr + 0) === lim u (t). t-+'T: t-+'T: t< 'T: t>'T: D'où il vient, en particulier, que toute commande u (t) est limitée (même si le domaine U n'est pas limité). La valeur de la commande continue par morceaux u (t) au point de discontinuité ne joue aucun rôle dans la suite. Pour fixer les idées il est néanmoins commode de supposer qu'en chaque point 't de dis- continuité la valeur de la commande u (t) est égale à la 1 i ID i t e à g a II che : u ('t) == U ('t - 0) (3) et que chaque commande étudiée u (t) est continue aux extrémités de l'intervalle t o t t i sur lequel elle est définie. Ainsi donc" dans ce chapitre, nous conviendrons de désigner par commande admissible toute fonction continue par morceaux u (t), t o t t i , à valeurs dans le domaine de commande U, satisfaisant à la condition (3) dans les points de discontinuité et continue aux extrémités de l'intervalle t o t t i sur lequel elle est définie. Les commandes continues par morceaux correspondent à l'hypothèse
2.] ÉNONCÉ DU PROBLÈME FONDAMENTAL 13 de gouvernails « sans inertie» puisque les valeurs de la' fonction u (t) peuvent (à l'instant de discontinuité) sauter instantanément d'un point à un autre du domaine de commande. Cette classe de com- mandes admissibles est apparemment la plus importante pour les applications techniques de la théorie développée ici. 9 2. Enoncé du problème fondamental Nous supposerons que la loi régissant le mouvement de l'objet (ou l'action des « gouvernails » sur ce mouvement) s'écrit sous la forme d'un système d'équations différentielles dx i f i ( 1 2 n 1 r ) f i ( ) ([t == x, x , · · ., x , u , ..., u == x, u , i == 1, 2, ..., n, (4) ou sous la forme vectorielle dx (ft==f(x, u), (5) où f (x, u) est un vecteur de composantes f1 (x, u), f2 (x, u), . . ., f n (x, u) . Les fonctions fi sont définies quelles que soient les valeurs de la varia- ble vectorielle x E X et les valeurs de u E U. Elles sont supposées continues en Xl, x 2 , . . ., X n , U et continûment dérivables en Xl, X 2 , . . ., x n . En d'autres termes les fonctions f i ( 1 2 n ) t âfi (xl, x 2 , ..., xn, u). X , X , ..., x , u e . , âx J i, j == 1, 2, ..., n sont définies et continues sur le produit direct X X U. Observons que le système (4) est autonome, i.e. ses seconds membres ne dépendent pas explicitement du temps t. Nous verrons plus loin (7) le cas où les seconds membres sont fonctions du temps. Si est donnée une loi de commande, i.e. est fait choix d'une com- mande admissible u = u (t), alors l'équation (5) s'écrit sous la forme dx lit == f (x, u (t», (6) d'où (quelles que soient les conditions initiales x (t o ) = xo) est défi- nie d'une manière univoque la loi du mouvement de l'objet x = x (t), i.e. une sol ution de l'équation (6) définie sur un certain intervalle de temps. Si, précisément, la commande u (t) est donnée sur un inter- valle t o t t 1 et 8 1 , 8 2 , . . ., 8h. sont ses points de discontinuité (de première espèce) tels que t o < 8 1 < 8 2 < . . . < 8h < t 1 , nous étudierons l'équation (6) d'abord sur l'intervalle t o t 8 1 où
14 PRINCIPE DU J\IAXIIVIUM [Ch. 1 son second membre est continu. Désignons par x (t) une solution de cette équation avec la condition initiale x (t o ) == Xo. Si cette solu- tion est définie sur l'intervalle t o t 8 i tout entier et prend en 8 1 la valeur x (8 i ), nous. pouvons alors étudier l'équation (6) sur l'in- tervalle 8 i t 8 2 , 'en prenant pour valeur initiale x (8 i ). Dési- gnons également cette solution par x (t). La solution x (t) ainsi cons- truite est donc continue partout sur son intervalle de définition et, en particulier, en le « point de conjugaison » 8 i . Si, maintenant, la solution x (t) est définie sur l'intervalle t o t 8 2 tout entier et prend en 8 2 la valeur x (8 2 ), nous pouvons alors étudier l'équation (6) sur l'intervalle 8 2 t 8 3 , en prenant pour condition initiale x (8 2 ), etc. La solution x (t) obtonue par cette procédure est par conséquent continue et dérivable par morceaux; plus précisément, la solution x (t) (là où elle est définie) est continûment dérivable en tous les points sauf en 8 i , 8 2 , . . ., 8k. Nous dirons que x (t) est la solution du système (4) (ou de l'équation (5)) associée à la conlnlande u (t) avec la condition initiale x (t o ) == Xo. Cette solution peut ne pas être définie sur l'intervalle t o t t i tout entier de définition de la commande u (t) (elle peut s'éloigner à l'infini). Nous dirons que la commande admissible. u (t), t o t ti't transfère le point représentatif de la position. Xo à la position Xi si la solution x (t) de l'équation (5) (ou ce qui revient au même (6)) lui correspondant et vérifiant la condition initiale x (t o ) == Xo est définie sur l'intervalle t o t t i tout entier et passe à l'instant t i par ]e point Xi' i.e. satisfait également à la condition finale x (t 1 ) == .Ti' Supposons maintenant qu'est donnée une autre fonction fO (Xl, x 2 , . . ., x n , u) == 1 0 (x, u) définie et continue avec ses déri- vées partiEÙles : , i = 1, 2, . . ., n, sur l'espace X X U tout entier. Alors le problème fondamental (i.e. la recheJ;che des COlnman- des optimales) peut se formuler de la manière suivante. Etant donnés dans l'espace de phase X deux points Xo et Xi ; parmi les commandes a!dmissibles, U == u (t) transférant le point représentatif de Xo en Xi (si elles existent) trouver celle qui minimise la fonctionnelle tl J = \ 1° (x (t), u (t)) dt ; -.- to (7) x (t) désigne ici la solution de l'équation (5) avec la, condition ini- tiale x (t o ) == Xo associée à la commande u (t) et t i l'instant où cette solution passe par le point Xi. Remarquons que (pour Xo et Xi fixés) les bornes t o et t 1 de l'ité- grale (7) ne sont pas des nombres fixes, elles dépendent du choix de la commande u (t) qui transfère le point représentatif de Xo en Xi (ces bornes sont tirées des relations x (t o ) == Xo et x (t 1 ) == Xi). Nous ver-
2.] ÉNONCÉ DU PROBLÈME FONDAMENTAL 15 rons plus loin ( 8) comment se résout ce problème lorsque les extré- mités de l'intervalle d'intégration sont fixées. La . commande u (t) qui donne la solution du problème énoncé ci-dessus est appelée commande optimale correspondant au transfert, de la position Xo à la position Xi' et la trajectoire correspondante X (t) - trajectoire optimale. Ainsi donc' le problème fondamental consiste à chercher les commandes optimales (et les trajectoires opti- males correspondantes). Un cas particulier important du problème optilIlal posé est celui où 1 0 (x, u) == 1. La fonctionnelle (7) s' écri t alors sous la forme: J == t 1 - t o (8} et l' optilIlali té de la cOInmande u (t) revient à minimiser le transfert de Xo en Xl. Dans ce cas le problème s'énonce pro b 1 è m e d e c 0 m man d e e n t e m p s 0 P t i mal. Pour la formulation et la démonstration de la condition néces- saire d'optimalité, il nous sera plus commode d'énoncer le problème posé sous une autre forme. Plus exactement, ajoutons aux coordon- nées de phase Xl, x 2 , . . ., x n régies par la loi (4) la coordonnée X Oj dont les variations obéissent à la loi dx O 1 0 ( 1 2 11, ) -cr;:-==- x, X, ..., x, u, où 1° est la fonction qui a servi à définir la fonctionnelle J (voir (7)). Autrement dit, nous considérerons le systèn1e d'équations diffé- ron tielles dx i _ f i ( 1.2 H 1 dt- X, x, ..., x, u, ..., ur) = I i (X, U), i == 0, 1, 2, . . ., n (9) dont les deuxièlIles menlbres ne dépendent pas de xo. En introduisant le vecteur X - (X O X l 2 11 ) - ( ° ) - , , x, . . ., X - x, X de l'espace vectoriel X de dimension n + 1, le système (9) s'écrit sous la forme vectorielle: dx ([t=f(x, u), (10) où j' (x, u) est un vecteur de l'espace X de coordonnées fO (x, u), . . . · · ., ln (X, u). Remarquons que le vecteur 1 (x, u) ne dépend pas de la coordonnée XO du vecteur x. Supposons maintenant que u (t) soit une commande admissible transférant Xo en Xi' et X == x Ct) - la solution correspondante de
'16 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 J'équation (5) avec la condition initiale x (t o ) = Xo. Désignons par Xo le point (0, xo), i. e. le point de l'espace X de coordonnées 0, x, . . ., xa où x, . . ., xa sont les coordonnées du point Xo dans l'espace X. Il est alors évident que la solution de l'équation (10) associée à la commande u (t) et vérifiant la condition initiale x (t o ) = = Xo est définie sur l'intervalle t o t t 1 tout entier et s'écrit sous la forme t X O = ) 1 0 (x (t), u (t» dt, to x=x(t). En particulier, lorsque t = t i , nous avons t1 X o = ) fO (x (t), u(t»)dt=J, X=Xh to i.e. la solution x (t) de l'équation (10) vérifiant la condition initiale x (t o ) = X o passe] à l'instant t = t i par le point x = (J, Xi). En d'autres termes, si l'on dé- signe par II la droite qui, dans le plan X, passe par le point x == (0, Xi) et est par allèle à l'axe Xo (cet te droite II est constituée de tous les points (, Xi) où est un nombre arbitraire; fige 1), nous pouvons dire que la solution x (t) passe à l'instant t = t 1 par le point de coordonnée xO==J situé sur la droite II. In- versement, si u (t) est une commande admissible telle que la solution x (t) de l'équation (10) avec la condition initiale x (t o ) == Xo = (0, xo) qui lui correspond passe à un certain instant t i par le point Xi E II de coordonnée X O == J, alors la commande u (t) transfère (dans l'espace X) le point représentatif de la position Xo à la position Xi' la fonctionnelle (7) prenant la valeur J. Nous pouvons par conséquent énoncer le problème optimal posé plus haut sous la forme équivalente suivante. Etant donnés dans un espace de phase X de dimension n + 1 le point xo = (0, xo) et une droite II parallèle à l'axe X O et passant par le point (0, Xi) ; parmi les commandes admissibles u == u (t) telles que la solution x (t) de l'équation (10) avec la condition initiale x (t o ) == = xo associée à chacune d'elles coupe la droite fI, trouver celle qui n J X{t) FIG.1
2,] ÉNONCÉ DU PROBLÈME FONDAMENTAL 17 nLllumise la coordonnée X O du point d'intersection avec la droite II. C'est ce problème que nous allons résoudre. Nous conserverons les mêmes termes de « commande optimale » et de « trajectoire opti- nlale ». Soulignons quelques propriétés simples des commandes et trajec- toires optimales qui découlent immédiatement de l'énoncé du pro- blème fondamental. Tout d'abord de l'autonomie du système (9) il vient qu'une translation le long de l'axe t (fig. 2) ne modifie r ----, ( ) -- u 1 t+I7".-- 1 ..--' 1 ," 1 ( l , 1 l , 1 :' 1 1 l " 1 1 l " 1 t -h o t o t FIG.2 pas los propriétés des commandes. Autrement dit, si la commande U (t), t o t t 1 , transfère le point représentatif de Xo en Xi et fait prendre à la fonctionnelle (7) la valeur J, alors pour tout h réel la conllnande u (t + h), t o - h t t i - h, transfère également le point représentatif de la position Xo à la position Xi et fait prendre à la fonctionnelle (7) la même valeur J. Ceci nous permet de déplacer l'origine t o de l'intervalle t o t t 1 sur lequel est définie la com- mande u (t) en un point quelconque de l'axe des temps. Si de plus xo, Xi' . . ., Xk est un système fini de points de l'espace de phase X et s'il existe une commande Ui (t) transférant le point représentatif de Xi-l en Xi et faisant prendre à la fonctionnelle (7) la valeur J, i = 1, . . ., k, il existe alors une commande u (t) trans- férant le point représentatif de Xo en Xk et faisant prendre à la fonc- tionnelle (7) la valour J 1 + J 2 + . . . + J k- En effet puisqu'il est possible de déplacer les commandes le long de l'axe des temps, nous pouvons considérer que les intervalles sur lesquels sont définies les commandes Ui (t) sont contigus (fig. 3), i.e. la commande Ui (t) est définie sur l'intervalle t i -i t t i où t o < t i < · .. < th. Désignons par U (t) la commande définie sur l'intervalle t o t th et coïncidant sur l'intervalle semi-ouvert t i -1 < t ti avec la com J rnancle Ui (t), i.e. 1'« union » de toutes les commandes Ui (t). On vé rifie imnlédiatement que la commande u (t) transfère le point repré- sentatif de Xo en Xi et fait prendre à la fonctionnelle (7) la valeur J 1 + + J 2 + . . . + J k. Remarquons que cette opération d'« union » de quelques commandes aurait été impossible dans la classe des com- 2--0133D
18 PRINCIPE DU MAXIMUl\I [Ch. 1 mandes con t i nue s (car en les points t i , t 2 , . . ., tk-t la com- mande u (t) construite peut subir des discontinuités de prenlière espèce même si les commandes Ui (t) sont continues (fig. 3)). lJ 1 1 ta .t FIG.3 De ce qui précède il découle aisément que toute portion de trajec- toire optimale est également une trajectoire optimale (idem pour les commandes optimales). Plus exactement, soit u (t), t o t tf, .fa .zj --...... - - ..-----/--- J 2 .z/) FIG.4 une commande optimale correspondant au transfert de la position Xo à la position Xi' et x (t) la trajectoire optimale correspondante. Si t o '"Co '"Ct t i , alors la commande u (t), '"Co t '"Ci' est la commande optimale correspondant au transfert de la position X ('"Co) à la position x ('"Ci), et x (t), '"Co t '"Ct, est la trajectoire optimale correspondante (fig. 4). Désignons, en effet, par J t , J 2' J 3 les valeurs de l'intégrale (7) prise respectivement sur les inter- valles t o t '"Co, '"Co t '"Ct, '"C1 t tt. La commande u(t), t o t t i , transférant le point représentatif de Xo en Xt fait prendre à la fonctionnelle (7) la valeur J === Ji + J 2 + J 3. Si la commande u (t), '"Co t '"Ct, n'était pas optimale, il existerait alors une com- mande v (t) transférant le point représentatif de la position x ('"Co) à la position x ('"Ct) et faisant prendre à la fonctionnelle (7) une valeur J; < J 2 . On obtiendrait alors une commande qui transférerait le
3.] LE IRINCJI-E DU MAXIMUl\1 19 point représentatif de la position Xo à la position X1 et ferait prendre à la fonctionnelle (7) la valeur J 1 + J; + J 3 < J, ce qui contredit l'optimalité de la commande u (t), t o t t 1 . 9 3. Le principe du maximum Voyons maintenant la formulation du théorème résolvant le problème posé plus haut. (La démonstration de ce théorème est don- née dans le deuxième chapitre.) Pour le formuler nous allons, outre le principal système d'équations (9): dx i i ([t==1 (x, u), i ==0, 1, 2, ..., n, (11) considérer un autre système d'équations par rapport aux variables auxiliaires 'Po, 1P1, · · ., 1Pn : n d'Pi == _ l afa (x u) ,,1-\ 0 1 dt L.J ax'L 't'a, i == , ,. · ., n. a=O (12) Si nous faisons choix d'une commande admissible u (t), t o <' t < th et si x (t) est la trajectoire de phase correspondante du systèn1e (11) avec la condition initiale x (t o ) = Xo, le système (12) s'écrit alors sous la forme ' n d'Pi == _ afa (x (t), u (t)) '11-\ 0 1 dt L.J ax i 't'a, i==, , .-., n. a=O (13) Etant linéaire et homogène ce système admet, quelles que soient les conditions initiales pour 'Pb une solution unique '\j; = ('Po, 'P1' 'P2' · · ., 'Pn) (définie sur l'intervalle t o <' t< t 1 tout entier sur lequel sont défi- nies la commande u (t) et la trajectoire x (t». Tout comme la solution x (t) du système (11), la solution du système (13) est composee des fonctions continues 'Pi (t) admettant des dérivées partout continues- en t sauf en un nombre fini de points (précisément, les points de dis- continuité de la commande u (t». Toute solution du systÈme (13) (quelles que soient les conditions initiales) sera appelée solution dll système (12) correspondant à la commande choisie u (t) et à la trajec- toire de phase x (t). Nous allons maintenant grouper les systèmes (11) et (12) sous une seule écriture. A cet effet considérons la fonction QJ{ des varia- bles Xl, . . ., x n , 'tJJo, 'Pi' . . ., 1Pn, U l , . . ., Ur: n Q7t? ('\, X, U) == ('\l', f (X, u» == 'Pal a (X, u). cx=O 2*
20 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 On vérifie immédiatement que les systèmes (11) et (12) peuvent, à l'aide de la fonction QJ£, prendre la forme du système hamiltonien suivant: dx i 8Q/O -:ru == 81jJi ' d)i ()Q/O dt - - ox i ' i==O, 1, ..., n. (14) (15) i==O, 1, ..., n, Ainsi, si l'on prend arbitrairement une commande admissible (i.e. continue par morceaux) u (t), t o t t 1 , et la condition initiale x (t o ) == xo, nous pouvons trouver la trajectoire x; (t) == = (X O (t), Xl (t), . .., x n (t)) correspondante (i.e. satisfaisant au système (14)). Nous pouvons ensuite trouver les solutions 'i' (t) == (11' 0 (t), 'Pi (t), · · ., lPn (t)) du système (15) correspondant aux fonctions u (t) et x (t). Soulignons une fois de plus que les vecteurs fonctions x (t) et 'i' (t) sont continus et admettent des dérivées continues en t partout sauf en un nombre fini de points. Pour des valeurs fixes (constantes) de 'i' et x, la fonction QJt est une fonction du paramètre u EU; soit C?Jft ('i', x) == sup QJ£ ('i', x, u). u6.U Si la fonction continue OJ8 a t t e i n t son supremum en un point du domaine U," alors C?J!t ('i', x) représente le maximum de la fonction QJ8 pour'i' et x fixes. Aussi appellerons-nous p r i n c i p e d u m a- x i m u m le théorème 1 qui va suivre (condition nécessaire d'opti- malité) et qui s'exprime essentiellement par l'égalité (16). Thé 0 r è fi e 1. Soit u (t), t o t t 1 , une commande admissi- ble telle que la trajectoire correspondante x (t) (voir (14)), issue du point Xo à l' intant t o pase à l' intant t 1 par un point de la droite II. Pour que la commande u (t) et la trajectoire x (t) soient optimales il est néces- saire qu'existe un vecteur fonction 'i' (t) == (tpo (t), 11'1 (t), · · ., 'Pn (t)) continu et non nul, correspondant aux fonctions u (t) et x (t), (voir (15)) tel que: 1° quel que soit t, t o t t 1 , la fonction Olt ('i' (t), x (t), u) de la variable u E U atteigne au point u = u (t) son maximum Q!t? ('i' (t), x (t), u (t)) === (}Ji ('i' (t), x (t)) ; ( 16) 2° à l'instant final t 1 soient vérifiées les relations 11'0 (t l ) 0, 0ft ('i' (t 1 ), x (t 1 )) == O. (17) Si par ailleurs les grandeurs 'i' (t), x (t) et u (t) satisfont aux systè- mes (14), (15) et à la condition 1°, les fonctions 'Po (t) et D/fl ('\ (t), x (t)) de la variable t sont constantes, de sorte qu'on peut vérifier la relation
3.] LE PRINCIPE DU MAXIMUM 21 (17) pas forcément à l'instant t i , mais à un instant quelconque t, t o t t i . (La démonstration du théorème 1 fait l'objet du chapitre 2.) Tirons maintenant du théorème 1 une condition nécessaire 8.nalogue pour la commande en temps optimal. A cet effet, posons fO (x, u) == 1 dans le théorème 1. La fonction OJl s'écrit alors sous la forme n cfÏ{? === 'lJo + L.: '\}'"f" (x, u). '\'=1 En introduisant le vecteur 'IJ == ('lJi, 1P2' . . ., '\}'n) de dimension n et la fonction n JI ('IJ, x, u) == h '\}'vi" (x, u), '\'=1 nous pouvons écrire les équations (4) et (12) (à l'exception de l'équa- tion (12) pour i == 0 qui, désormais, est inutile) sous la forme du système hamiltonien dx i aIl -cft - a'lf'i ' i === 1, 2, ..., n, d'Pi _ aIl 1 -cft - - âx i ' i == , 2, ..., n. (18) (19) Pour des valeurs fixes de "-p et x, la fonction H est une fonction du paramètre u; soit M ( 'IJ, x) === su p H ('\)', x, u) uEU le supremum de la fonction H. De la reltion II ('IJ, x, u) === == QJt (1J', x, u) - 1P0 il vient: M (1P, x) === dl ('t, x) - 'IJ 0 , et les conditions (16), (17) s'écrivent sous la forme If (1p (t), x (t), u (t)) == ]Ji (1p (t), x (t)) == - "-Po o. Nous obtenons par conséquent le théorème suivant. Thé 0 r è m e 2. Soient u (t), t o t t i , une commande admis- sible transférant le point représentatif de Xo à la position Xi et x (t) la trajectoire correspondante (voir (18)), telle que x (t o ) == Xo et x (t 1 ) == == Xi. Pour que la commande u (t) et la trajectoire x (t) soient optimales (au sens du temps optimal) il est nécessaire qu'existe un vecteur fonction 1P (t) == ('i (t), 1P2 (t), . . ., 1Pn (t)) continu et non nul correspondant aux fonctions u (t) et x (t) (voir (19)) et tel que: 1 0 pour tous les t, t o t t 1 , la fonction H (1IJ (t), x (t), u) de la variable u E U atteigne au point u == u (t) son maximum H (1P (t), x (t), u (t) == M ("-p (t), x (t)) ; (20)
22 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 2 0 à l'instant final t 1 soit satisfaite la relation M (11' (t 1 ), x (t 1 )) ? o. (21) Si par ailleurs les grandeurs 11' (t), x (t), u (t) satisfont au système (18), (19) et à la condition 1 0 , alors la fonction M (11' (t), x (t)) de la variable t est constante, de sorte qu'on peut vérifier la relation (21) pas forcément à l'instant t 1 mais à un instant quelconque t, t o t t 1 . S 4. Discussion du principe du maximum *) Le théorème 1 permet entre toutes les trajectoires issues du point Xo et aboutissant en un point quelconque de la droite 11 et entre les commandes qui leur correspondent de choisir des commandes et trajectoires, en général isolées, satisfaisant à toutes les conditions formulées. Nous avons en effet 2n + 3 relations (14), (15), (16) entre 2n + 3 variables**) x'X, lPa, u, i.e. « un système complet de rela- tions » pour déterminer toutes ces variables. Puisque la relation (16) est finie (non différentielle), et que les équations différentielles sont au nombre de 2n + 2 (en l'occurrence, les relations (14) et (15)), le système d'équations (14), (15), (16) admet des solutions dépendant en général de 2n + 2 paramètres (conditions initiales). Cependant, l'un de ces paramètres n'est pas essentiel, car les fonctions 'l'a (t) ne sont définies qu'à un facteur multiplicatif commun près (puisque *) Ce paragraphe a pour but de prouver la «suffisance» du système de relations, indiqué dans le théorème 1, pour résoudre le problème optimal posé. Les raisonnements de ce paragraphe ne prétendent à aucune rigueur et ne sont nulle part utilisés dans la suite. **) Rappelons qu'« une» variable u peut se décomposer en plusieurs variables, par exemple peut être un point d'un espace vectoriel de dimension r; dans ce cas, on peut considérer aussi que la condition de maximum (16) comporte r relations distinctes. Si, par exemple, le maximum est atteint en un point inté- rieur au domaine de commande U (situé dans l'espace de dimension r engendré par les variables ut, . . ., UT), pour que soit satisfaite la condition de maxi- mum (16) il est nécessaire que s'annulent les r dérivées partielles: i}<2l& (11' (t), x (t), u) 8uj ===0, j===1, ..., r; u=u( t) si le maximum est atteint sur une face de dimension r - 1 du domaine de com- mande U, alors doit être satisfaite la condition d'appartenance du point u (t) à cette face (ce qui nous donne une relation) et doivent s'annuler les dérivées partielles de la fonction Qfe ('tJ' (t), x (t), u) dans toutes les directions de cette face (ce qui nous donne encore r - 1 relations). Nous obtenons une situation analogue sur les faces de moindre dimension (ou sur les parties courbées de la frontière du domaine de commande U). Dans tous les cas, donc, si le domaine de commande U est de dimension r, on pourra considérer que la condition de maxi- mum (16) comporte r relations.
5.] EXEMPLES. PROBLÈME DE SYNTHÈSE 23 la fonction QJt est homogène en 11'). Par ailleurs, un autre paramètre annule la quantité maxQ78 (11' (t o ), x (t o ), u) uEU à 1 ' instant t o . Ainsi, l'ensemble des solutions du système (14), (15), (16) dépend de 2n paramètres qu'il faut répartir de manière à faire passer la trajec- toire x (t) par le point Xo pour une valeur don née. t == t o et par un point de la droite fI pour une valeur que 1 con que t 1 > io. Le nombre t 1 - t o est aussi un paramètre, de sorte que nous disposons en tout de 2n + 1 paramètres essentiels. La condition de passage de la trajectoire par le point Xo et un point de la droite fI nous donne 2n + 1 relations. Par conséquent, il faut s'attendre à l'existence de quelques trajectoires isolées joignant le point x 0 à la droite fI et vérifiant les conditions du théorème 1. Seules ces trajectoires isolées peuvent être optimales (car les conditions du théo- rème 1 sont n é ces s air e s à l'optimalité ). Si, en particulier, les conditions du théorème 1 sont satisfaites par une s e u 1 e trajectoire joignant le point Xo à un point de la droite II, et si pour les raisons techniques qui ont conduit à poser le problèlne optimal, il est «clair » que la trajectoire optimale doit exis- ter, on peut à priori espérer que la trajectoire trouvée est précisément optimale. Il ilnporte toutefois de souligner que mathématiquement le problème de l'existence de la trajectoire optimale est à la fois très important et très complexe. Dans le cas particulier de la commande en temps optimal pour les systèmes linéaires (4), il est résolu dans le chapitre 3. 9 5. Exemples. Problème de synthèse Dans ce paragraphe nous allons voir comment appliquer le prin- cipe du maximum à la résolution de quelques problèmes simples de comlnande en temps optimal. L'examen de ces exemples nous per- mettra d'aborder le problème de synthèse des commandes optimales qui est une nouvelle et importante manière de poser le problème des processus optimaux. E x e m pIe 1. S . t l " t . d 2 x" " d d , 1 01 equa Ion dt 2 = u, ou u est un parametre e comman e ree assujetti à la condition 1 u 1 1. En coordonnées de phase Xl = X, x 2 = : cette équation prend la forme du système suivant: dx 1 _ 2 dl-x, dx 2 dt = u. (22)
24 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 Considérons (pour le point représentatif dont le nlouvement est régi par la loi (22)) le problème consistant à le faire arriver le plus rapide- ment à l'origine des coordonnées (0, 0), le départ ayant lieu d'un poin t ini ti al x o. En d' autres termes, no us allons étudier le pro blèlTIe de commande en temps optimal lorsque la position finale est l' origi- ne des coordonnées: Xi = (0, 0). Dans notre cas la fonction H s'écrit H == 'l't X2 + 'l'2U. (23) Pour les variables auxiliaires 'i't, 11'2 nous obtenons le système d' équa- tions (voir (19), (23)) d1Pt _ 0 d'\P2 - _ '1101 dt -, ([t - 'Yb d'où il vient 'i't = Ct, 11'2 = C 2 - Ci t (Ct et c 2 étant des constantes). La relation (20) donne (compte tenu de (23) et de la condition -1 u 1) u (t) = sign 11'2 (t) = sign (c 2 - Ci t ). (24) De (24) il vient que chaque commande optimale u (t), t o t t i , est une fonction constante par morceaux, prenant les valeurs + 1 et admettant au plus deux intervalles de constance (car la fonction linéaire C 2 - Ctt change au plus une fois de signe sur l'intervalle t o t t i ). Inversement, une telle fonction u (t) peut être tirée de la relation (24) pour certaines valeurs de constantes Ci' c 2 . Pour l'intervalle de temps sur lequel u == 1 nous avons (en vertu du système (22)) t 2 1 ( (s2)2 ) x 2 = t + S2, Xl == 2 + s 2 t + SI == 2 (t + S2)2 + Sl_ 2 (SI, S2 étant les constantes d'intégration), d'où il vient 1 Xl =="2 (X2)2 + s, (25) où s = Sl - ;' (S2)2 est une constante. Par conséquent, la portion de trajectoire de phase pour laquelle u == 1 est un arc de parabole (25). La famille de paraboles (25) est représentée sur la fige 5, a. De la même manière, pour l'intervalle de temps sur lequel u == - 1, nous avons x 2 == - t + S'2, Xl = - t; + s'2t + S'l = - -} ( - t + s'2)2 + ( S'l + ; (S'2)2) , d'où 1 Xl == -2 (X2)2 + s'. (26 )
5.] EXEMPLES. PROBLÈME DE SYNTHÈSE 25 La fan1ille de paraboles (26) est représentée sur la fige 5, b. Les points représentatifs parcourent les paraboles (25) de bas en haut ( car d2 = = u = + 1) et les paraboles (26) de haut en bas (car dd2 = - 1 ) . FIG.5 .x' a) 1 " .x' b) Nous avons déjà indiqué que toute commande optimale u (t) est une fonction constante par morceaux égale à + 1 et admettant au plus deux intervalles de constance. Si la commande u (t) est égale à + 1, et ensui te à - 1, la trajectoire de phase est alors com- posée de deux portions de paraboles contiguës (fig. 6, a), la deuxième portion étant située sur la parabole (26) qui passe par l'origine des coordonnées (car la trajectoire cherchée doi t finir à l'origine des coor- données). Si, au contraire, u est d'abord égal à -1 et ensuite à + 1, la trajectoire de phase est remplacée par une trajectoire qui lui est symétrique par rapport au centre (fig. 6, b). Les valeurs correspon- dantes du paramètre de commande u sont portées sur les arcs de para- boles de la fige 6. Sur la fige 7 sont représentées toutes les familles de, trajectoires de phase ainsi obtenues (AO est l'arc de parabole Xl =
26 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 = ; (X 2 )2, situé dans le demi-plan inférieur; BO - l'arc de parabo- le Xl = - (X 2 )2 situé dans le demi-plan supérieur). Le point repré- sentatif se déplacera sur l'arc de parabole (26) qui passe par le point initial Xo si ce point est situé au-dessus de la ligne AOB, et sur l'arc .z2 XZ .k() :. :cI .x' ......... ............... ...., ....... ...... / / / '" '" a) b) FIG.6 de parabole (25) s'il est situé au-dessous de cette ligne. Autrement dit, si la position initiale Xo est située a u - des sus de la ligne AOB, le point représentatif doit se déplacer sous l'action de la commande .x 2 FI G. 7 u = -1 tant qu'il n'arrivera pas sur l'arc AO; dès qu'il arrivera sur cet arc la valeur de u changera et deviendra égale à + 1, et ce jusqu'à l'origine des coordonnées. Si la position initiale Xo est si tuée a u - des sou s de la ligne AOB, u devra être égal à + 1 jusqu'à l'ins-
5.] EXEMPLES. PROBLÈME DE SYNTHÈSE 27 tant où le point représentatif arrivera sur l'arc BO; u changera alors de valeur et deviendra égal à -1. .A..insi, en vertu du théorème 2, seules les trajectoires décrites plus haut peuvent être optimales, en outre, de la précédente étude il est clair que chaque point de l'espace est le point de départ d'une s e u- 1 e trajectoire menant à l'origine des coordonnées et susceptible d'être optimale (i.e.la donnée du point initial Xo définit d'une maniè- re uni voque la trajectoire correspondante). Si nous étions sûrs que la trajectoire optimale e x i s t ait toujours (i.e quel que soit le point initial xo), nous dirions que toutes les trajectoires trouvées sont optinlales. Dans le chapitre 3 nous formulerons le thé 0 r è m e d' e x i s t e n c e pour les systèmes linéaires de commande en temps optiulal, d'où il vient en particulier que dans l'exemple considéré, quel que soit le point initial Xo, il existe une trajectoire optimale (voir page 116). Par conséquent, les trajectoires trouvées (fig. 7) sont optirnales;et il n'existe pas d'autres trajectoires optimales menant à l'origine des coordonnées. La solution du problème optimal de l'exemple précédent peut être interprétée de la manière suivante. Désignons par v (Xl, x 2 ) = == V (x) la fonction définie comme suit dans le plan Xl, x 2 : ( { + 1 au-dessous de la ligne AOB et sur l'arc AO, v x) = - 1 au-dessus de la ligne AOB et sur l'arc BO. Alors, sur chaque trajectoire optimale, la valeur u (t) du paramètre de commande (à un instant arbitraire t) est égale à v (x (t)), i.e. à la valeur de la fonction v au point où à l'instant t se trouve le point représentatif parcourant la trajectoire optimale: u (t) == v (x (t)). Ce qui signifie qu'en remplaçant dans le système (22) la quantité u par la fonction v (x), nous obtenons le système dx 1 2 } --at == x , dx 2 1 2 at==v(x, x), (27) dont la solution (avec un état initial arbitraire xo) nous donne la tra- jectoire de phase optimale qui mène à l'origine des coordonnées. Autrelnent dit, le système (27) est un système d'équations différen- tielles (avec un deuxième membre discon tinu) dont la résolution donne les trajectoires optimales menant à l'origine des coordonnées.
28 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 E X e m p 1 e 2. Soit l'équation t + x = u, 1 u 1 :::;; 1. Cette équation est équivalente au système dl = x 2 , } dx 2 (28) - == - Xl - t- u dt ' pour lequel, comme dans le premier exemple, nous allons résoudre le problème consistant à arriver le plus vite à l'origine des coordonnées. La fonction H est de la forme H == 'l'1X 2 - 'l'2Xl + 'l'2U. (29) 1I 1 1 t L FIG. 8 Pour les variables auxiliaires '1'1' 'lP2 nous obtenons le système d' équa- tions (voir (19), (29) d: 1 = '\J2, } dtp2 ---a:t === - '1' 17 d'où '1'2 == A sin (t - elo), où A > 0 et elo des constantes. La relation (20) donne (compte tenu de (29) et de la condition lu 1 1) u == sign '1'2 == sign (A sin (t - elo)) == sign (sin (t - a o )). (30) D'où il vient que la fonction u (t) se déduit par une elü-translation (fig. 8) de la fonction sign (sin t) égale alternativement à + 1 et -1 sur des intervalles de longueur n. Pour étudier les portions de trajectoires correspondant aux inter- valles de temps sur lesquels u == 1 et u == -1, considérons le systè- me auxiliaire 1 =X2, } dx 2 - == - Xl dt (que l'on obtient du système (28) en posant u == 0). Ce système admet une solution de la forme (31) Xl == - R cos (t + y), x 2 == R sin (t + 1'), (32)
5.] EXEMPLES. PROBLÈME DE SYNTHÈSE 29 où R et y sont des constantes (R 0, 0 y < 2n). Les trajectoires de phase sont donc des circonférences centrées en l'origine des coordonnées: (X 1 )2 + (X2)2 == R2 (33) (fig. 9, a). De (32) on voit que le point représentatif se déplace sur la circonférence (33) dans le sens des aiguilles d'une montre, unifor- (£2 a) x 2 x' b) x' c) FI G. 9 mément, à une vitesse linéaire de 2nR (un tour de circonférence en un temps t == 2n). Observons, en particulier, qu'en un intervalle de temps égal à n, le point représentatif décrit exactement la moi- t i é de la circonférence (33) dans le sens des aiguilles d'une montre.
30 PRINCIPE DU MAXIIVIUM [Ch. l Pour u = lIe système (28) s'écrit dx l _ 2 } ([t-x, dx 2 -= -x l -L 1 dt 1 , (34) ou encore d(x l -1) _ 2 } dt - x , dx 2 (35) dt == - (xl-1). Compte tenu des relations (31) et (33), nous constatons que les trajec- toires de phase du système. (35) (ou, ce qui revient au même, du système (34)) sont des circonférences (Xl - 1)2 + (X2)2 = R2, (36) i.e. des circonférences centrées au point 0 1 de coordonnées (1, 0). En vertu de la loi (34) (i.e. de la loi (28) pour u = 1), le point repré- sentatif parcourt ces circonférences dans le sens des aiguilles d'une montre et décrit très exactement la moitié d'une circonférence (fig. 9, b) en une période de temps égale à n. D'une façon analogue, pour u = -1 le système (28) prend la forme d: t 1 = x 2 , } dx 2 -= -xl-1 dt et ses trajectoires de phase sont des circonférences (Xl + 1)2 + (X 2 )2 = R2 (37) centrées au point 0_ 1 de: coordonnées (-1, 0). Le point représen- tatif se déplace Sllr ces circonférences dans le sens des aiguilles d'une montre et parcourt très exactement la moitié de chacune d'elles en un tem ps n (fig. 9, c). Nous avons déjà mentionné que chaque commande optimale u (t) est une fonction constante par morceaux déduite par une exo- translation (fig. 8) de la fonction sign (sin t), qui est alternativen1ent égale à +1 et -1 sur des intervalles de longueur n. Si la commande optimale u (t) est de la forme représentée sur la fige 10, i.e. alternati- vement égale à + 1 et -1 sur les intervalles (t o , ex), (ex, n + ex), (n + ex, 2n + ex), . . . et finalement égale à + 1 sur un certain intervalle de longueur < n, la trajectoire optimale correspondante peut être construite de la manière suivante. Pendant le dernier intervalle de temps (de longueur ), le point représentatif se déplace sur une circonférence (36) (car u = 1 sur
5.] EXEMPLES. PROBLÈME DE SYNTHÈSE 31 cet intervalle de temps), plus précisément, sur la circonférence qui aasse par l'origine des coordonnées (car la trajectoire cherchée doit pboutir à l'origine des coordonnées). Cette circonférence n'est autre u a) FIG. 10 b) .z2 oZl x 2 : t ! t l Zn+c XZ x' .x' FIG. 11 que la circonférence de rayon 1 centrée au point 0 1 (fig. 11, a). En se déplaçant sur cette circonférence, le point représentatif arrive à l'origine des coordonnées après avoir parcouru un arc intérieur à une
32 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 demi-circonférence (car < n). Si donc nous désignons par MiO la demi-circonférence inférieure, nous constatons que la dernière por- tion de trajectoire de phase est un arc AO de la demi-circonférence M 1 0. Par ailleurs, le point représentatif est arrivé en A après s'être déplacé pendant un intervalle de temps n sous l'action de la comman- de u === -1 (voir fige 10), i.e. la portion précédente de trajectoire de pllase est la demi-circonférence BA centrée en 0 -1, et ayant pour extrémité le point A (fig. 11, b). Puisque l'arc BA est égal à une demi- circonférence, le point B est symétrique du point A par rapport au centre 0 -1, et, par conséquent, est si tué s ur la demi -circonférence NiN 2 symétrique de la demi-circonférence 0 illJ 1 par rapport au cen- tre 0_ 1 . D'une façon analogue, l'arc CB précédant l'arc BA et corres- pondant à l'intervalle de temps de longueur n sur lequel u === 1, est égal à une demi-circonférence centrée en 0 1 et par conséquent, le point C est situé sur la demi-circonférence j\12M 3 , symétrique de la demi-circonférence N 1 N 2 par rapport au centre 0 1 (fig. 11, c), etc. Ainsi donc la trajectoire de phase correspondante est de la forme représentée sur la fig. 11, c (la première portion de trajec toire de pha- se sera plus petite qu'une demi-circonférence, pourvu que 0 < a - - t o < n; voir fige 10). La trajectoire de phase correspondant à la commande optimale u (t) qui est égal à -1 (mais non à + 1) sur le dernier intervalle de longueur , se déduit de la trajectoire représentée sur la fige 11,c par une symétrie centrale (fig. 12). Pour une telle trajectoire' les points de « jonction » des arcs de cercles seront si tués sur les demi-circonfé- rences ON 1 , 1iM2' N 2 N 3 , · . ., symétriques (par rapport à l'origine des coordonnées) des demi-ciconférences OMi, N 1 N 2' J.1I21V[p' . · · En groupant ces deux cas (flg. 11, c et 12) nous obtenons un tableau général de l'allure des trajectoires de phase (fig. 13). Les valeurs cor- respondantes du paramètre de commande u sont portées sur les arcs des trajectoires de phase de la fige 13. Une inspection de la fige 13 nous montre que si le point initial Xo est situé a u - des sus de la ligne. . . 1\13M21vfl0N1N2N3 . .., qui est constituée d'une infi- nité de demi-circonférences de rayon 1, le point représentatif doit se déplacer sous l'action de la commande u === -1. tant qu'il n'arrive pas sur l'arc. . .jV[3M2MiO; à l'instant où il arrive sur cet arc u change de valeur et reste égale à + 1 (le point représentatif se dépla- çant alors sous la ligne . . .jV[3]J12J.Vf10N1N2N3 . . .) jusqu'au moment où il arri ve sur l'arc () N iN 2 N 3. . . ; puis il se déplace de nouveau au-dessus de la ligne... M3M2M10N1N2N3... sous l'ac- tion de la commande u === -1 et ainsi 'de suite. La dernière portion de trajectoire de phase (qui abouti t à l'origine des coordonnées) est un arc de la demi-circonférence Mi O ou de la demi-circonférence N i O . Le point représentatif se déplace exactement de la même manière lorsque le point initial Xo est situé a u - des sou s de la ligne
ll=+/ FIG. 12 FIG. 13 39 .If
34 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 . . . M 3M 2 M1 0N 1 N 2 N 3 · . · : au-dessus de cette ligne, le point repré- sentatif se déplace sous l'action de la commande u = -1, au-des- sous - sous l'action de la commande u = + 1. "En vertu donc du théorème 2, seules les trajectoires mentionnées peuvent être optimales, et de notre étude il ressort que chaque point du plan de phase est le départ d'une s e u 1 e trajectoire menant à l'origine des coordonnées et susceptible d'être optimale. Du théo- rème d'existence qui est démontré dans le chapitre 3, il s'ensuit que dans l'exemple considéré quel que soit le point initial Xo il existe une trajectoire optimale (voir page 116). Par conséquent, les trajectoi- res trouvées (fig. 13) sont optimales et il n'en existe pas d'autres aboutissant à l'origine des coordonnées. Comme dans le premier exemple, la solution du problème optimal peut être interprétée de la manière suivante. Désignons par v (Xl, x 2 ) = V (x) la fonGti<?n définie comme suit dans le plan Xl, x 2 : + 1 au-dessous de la ligne . . . M 3 M 2 M 1 0N 1 N 2 N 3. et sur l'arc. . .M 3 M 2M10; - 1 au-dessus de la ligne ...M 31112M10NtN2N3. et sur l'arc. · .ON 1 N 2 N 3. . . v (x) - Alors, le long de chaque trajectoire optimale x (t) la commande opti- male correspondante est de la forme u (t) = v (x (t)). Comme dans l'exemple précédent cela signifie qu'en remplaçant, dans le système (28), u par la fonction v (x) nous obtenons le système d:; =X2, } dx 2 (38) (ft= --xl+v (Xl, x 2 ), dont la solution (pour un état initial Xo quelconque) nous donne la trajectoire de phase optimale aboutissant à l'origine des coordonnées. Autrement dit, le système (38) est un système d'équations différen- tielles (avec des seconds membres discontinus) dont la résolution donne les trajectoires optimales aboutissant à l'origine des coordon- , nees. E x e m pIe 3. Considérons maintenant le système à deux paramètres de com- mande: dx 1 } _:=:: x 2 + u l , dt dx 2 _= _Xl + U 2 dt ' (39)
5.1 EXEMPLES. PROBLÈME DE SYNTH:mSE 35 les grandeurs U l , u 2 étant assujetties aux condi tions 1 u l 1 1, 1 u 2 1 1. Comme dans les deux exemples précédents, étudions pour ee système le problème consistant à arriver le plus vite à l'origine des coordonnées. Ecrivons la fonction H H == 'P1 (x 2 + Ul) + 'P2 ( - Xl + u 2 ) et le système auxiliaire (40) d"'1 } dt == 'P2, d"'2 ([t= -'P1. D'où il vient 'P1 == A sin (t + CG), 'P2 == A cos (t + CG), où A et CG sont des constantes; A > 0, 0 CG < 21(. La relation (20) nous donne maintenant (compte tenu de (40) et des conditions \ u l \ 1, 1 u 2 \ 1) u l = sign 'P1 = sign (A sin (t + CG)) == sign (sin (t + CG)), u 2 = sign 'P2 = sign (A cos (t + CG)) == sign (cos (t + CG)). Par conséquent, lorsque la commande est optimale chacun des paramètres de commande u l , u 2 est une fonction constante par mor- ceaux prenant les valeurs + 1 et -1. De l'étude du système (39) nous concluons sans peine que les portions de trajectoires de phase correspondant aux intervalles de temps sur lesquels u l == 1, u 2 == 1 sont des arcs de circonférences centrées au point 01.1 de coordonnées (1, -1). Pour les autres valeurs de u l et u 2 on obtient le tableau sui- vant: (41) Valeurs constantes des paramètres de commande sur un certain intervaIJe de temps Centre des circonférences qui sont Jes trajectoires de phase correspondantes du système (39) u 1 ==1, u 2 =1 u 1 = -1, u 2 =1 u 1 := -1, u 2 =-1 u 1 :=1, u 2 :=-1 Le point 01,1 de coordonnés (1, -1) Le point 0-1,1 de coordonnee (1, 1) Le point 0_1, -1 de coordonl!ees (-1, 1) Le point 01, -1 de coordonnees (-1, -1) Dans tous les cas, le mouvement a lieu sur les trajectoires de pha- se (circonférences) correspondantes dans le sens des aiguilles d'une Jnontre, uniformément, à la vitesse d'un tour en un. intervalle de " temps égal à 211:. En particulier, en un temps égal à ' le point repré- sentatif parcourt un qua 1:' t d e c i r con f é r e n c e. 3*
36 PRINCIPE DU MAXIl\'IU M [Ch. 1 De (41) il s'ensuit qu'à l'instant où l'argument t + a passe par les points k (k est un entier quelconqu), l'un des paramètres de commande u 1 , u 2 change de signe (car en chacun de ces points soit le sinus soit le cosinus s'annule). En d'autres termes, aux instants où t + a == k on assiste à un changement des valeurs des paramètres de commande u 1 , u 2 , i.e. à un changement du c e n t r e d e 1 a c i r con f é r e n c e sur laquelle se déplace le point représenta- tif. Ce changement s'opère toutes les unités de temps, de sorte que la trajectoire de phase est constituée de quarts de circonférences centrées en 01. 1 ; 0 -1. 1 ; 0-1.-1 ; 01. -1. Seules la première et la der- .z2 nière portions de trajectoire de pha- se font exception: elles peuvent en effet être pl us petites qu'un quart de circonférence. , Par ailleurs, il est aisé de com- prendre dans quel ordre s'opère ce changement de centres. Si, lorsque Z1 t croît, l'argument t + a prend la valeur t + a == 2kJt (k étant un nombre entier), les relations u 1 == == -1, u 2 == + 1 (voir (41)) sont satisfai tes imlnédiatement a van t cet instant, i.e. le mouvement a lieu sur un arc de cen tre 0 -1. 1, et les relations u 1 == === + 1, u 2 === -r-1 sont satisfaites a p r è s cet instant, i.e. le mouvement a lieu sur un arc de centre 01. 1- Autrement dit, le centre 0-1. 1 est remplacé par le centre 01. 1. De la même façon, le centre 01. 1 est remplacé par le centre 01,-1 (lorsque l'argument t + a prend la valeur 2kJt + .(voir (41)), le centre 01. -1 par le centre 0 -1. -1 et le centre 0 -1. -1 par le centre 0_1. 1. L'ordre de changement de ces centres est représenté à la fige 14. 1Vlain tenan t, il nous est aisé d'imaginer le cOlnportemen t des trajec toires de phase. A cet effet nous allons procéder à la construction auxiliaire sui vante. Considérons la circonférence centrée en 0 -1. 1 et passant par l'origine des coordonnées, et désignons par OM 1 l'arc de cette circonférence qui est si tué sous l'axe des abscisses (l'arc 0 f1 est de toute évidence égal à un quart de circonférence). Désignons ensuite par M lM 2 l'arc égal à 0 M 1 et déduit de ce dernier par un déplacement de longueur 0 Ml; construisons de la nlême nlanière l'arc JVI 2 A1 3 et ainsi de suite (fig. 15). Remarquons que les abscisses des points Ml' M 2' 1113. . . sont respectivement égales à 2,4,6, . . . fl! -1 , . 0_ 11 . ' o . -I 1 . Dl! 1 FIG. 14
5.] EXEMPLES. PROBL'ÈIVIE DE SYNTHÈSE 37 Jn faisant tourner maintenant la ligne OlJ;f 1 M 2M 3. . . (qui est cons- tituée de quarts de circonférence égaux) de ' n et 3; autour de l'origine des coordonnées, nous obtenons les lignes ON i N 2 N 3. . ., OP i P 2 P 3. . ., OQ1Q2Q3. . . représentées sur la fige 16. Construisons maintenant la trajectoire de phase. Prenons une cOilllnande optimale (de la forme (41) sur un intervalle fini de temps) xz Xl FIG. 15 z ,x 0_/1 . ) FIG. 16
38 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 .1;2 .x 2 0_1./ . o .xl .x' A . Ou 1 A 0, 0) b) A x 2 O-t-t . ;cf d) FIG. 17 et supposons pour fixer les idées que sur la der n i ère portion de constance, qui est d'une longueur < ' les paramètres de com- mande prennent les valeurs u l == + 1, u 2 == + 1. La portion corres- pondante de trajectoire de phase (fig. 17, a) est un arc AO du quart de circonférence Q10 (car cette portion est située sur la circonférence centrée en 0 1 . 1 et s'achève à l'origine des coordonnées, quant à sa longueur elle ne surpasse pas un quart de circonférence). En vertu de ce qui a été dit plus haut, le centre 01. 1 est précédé par le centre 0-1. 1 (fig. 14), et par conséquent la portion de trajectoire de phase précédant le point A est un quart de circonférence centrée en 0 -1. 1 (l'arc BA sur la fig. 17. b). Sur cette portion les paramètres de com-
5.] EXEMPLES. PROBLME DE SYNTHÈSE 39 mande prennent les valeurs u l =-1, u 2 =+1. Etant donné que le point A se trouvait sur l'arc Q10, le point B sera situé sur l'arc déduit de Q10 par une rotation de :; autour du point 0 -1. 1, i.e. sur l'arc fl;I lM 2. L'antécédant du centre 0- 1 ,1 est le centre 0_ 1 , -1, par conséquent. la portion de trajectoire de phase précédant le point B est un quart de circonférence centrée en 0_1, -1 (i.e. l'arc CB sur la fige 17, c). ]es paramètres de commande prennent les valeurs u 1 = -1, u 2 = ::= -1. Puisque le point B se trouvait sur l'arc M 1 M 2 , le point C sera situé sur l'arc déduit de M 1 M 2 par une rotation de :; autour du point 0-1. -1' i.e. sur l'arc N 2 N 3 . En continuant de la sorte, on peut entièrement tracer la trajectoire de phase. Sur la fige 17, d est repré- sentée une trajectoire de phase constituée de trois arcs, qui sont des quarts de circonférence et de deux arcs (le premier et le dernier) inférieurs chacun à un quart de circonférence. Si nous avions supposé que sur le dernier intervalle de constance, les paramètres de commande prenaient au lieu des valeurs u 1 = +1 et u 2 = +1 les valeurs u 1 == -1 et u 2 == +1, ou les valeurs u 1 = == -1, u 2 == - 1 ou, enfin, les valeurs u l === +1 et u 2 == -1, nous aurions construit des trajectoires de phase analogues déduites par . d Jt t 3Jt d 1 t .. , t ' 1 une rotation e"2' Jt e 2" e a raJectoire represen ee sur a fige 17, d. Les quatre trajectoires de phase ainsi obtenues sont repré- sentées sur la fige 18. Analysant les valeurs des paramètres de commande sur certaines portions des trajectoires de phase ainsi obtenues, nous arrivons à la conclusion suivante. Les lignes OM 1 M 2 M 3 . .., ON 1 N 2 N 3 ..., OP 1 P 2 P 3 . . ., OQ1Q2Q3. .. divisent le plan en quatre parties, quatre « quadrants curvilignes », que nous désignerons par les chif- fres romains l, II, III, IV (fig. 19). Sur les portions de trajectoires de phase situées dans le « quadrant » 1, les paramètres de commande prennent les valeurs u l == -1, u 2 == -1. Sous l'action de cette comman- de le point représentatif atteint la ligne OM 1M 2M 3. . ., et à cet ins- tant préci les valeurs des paramètres de commande changent pour devenir égales à u 1 == -1, u 2 = +1. Sous l'action de cette commande le point représentatif se déplace dans le « quadrant» IV, atteint la ligne OQtQ2Q3. . . A cet instant précis les paramètres de commande prennent les valeurs u 1 == + 1, u 2 == +1 et ainsi de suite. Résumons ces résultats dans le tableau suivant: dans le «quadrant» l et sur la ligne ON lN 2 dans le «quadrant» II et sur la ligne OP lP2 dans le «quadrant» III et sur la ligne OQ1Q2 dans le «quadrant» IV et sur la ligne OM 1 M 2 . u 1 = -1, u 2 =-1 u 1 =+1, u 2 =-1 u 1 == +1, u 2 = +1 u 1 = -1, u 2 = +1
.x 2 .2:' FIG. 18 x 2 JI 1 lI t =! , u 2 =-! (j 1 = _ l, (j2=-f :c' {ff=/, {j2 = / ,,'=-1 1 ,,2 = 1 JI[ 11 FIG. 19
5.] EXEMPLES. PROBLÈME DE SYNTHÈSE 41 En vertu donc du théorème 2, seules les trajectoires trouvées peuvent être optimales; en outre, de cette étude il est évident que chaque point de l'espace de phase est le départ d'une s e u 1 e trajec- toire 'aboutissant à l'origine des coordonnées et susceptible d'être optimale. Du théorème d'existence (qui est démontré dans le chapi- tre 3) il s'ensuit que dans l'exemple considéré tout point Xo est le départ d'une trajectoire optimale (voir page 116). Les trajectoires trouvées sont par conséquent optimales et il n'en existe pas d'autres aboutissant à l'origine des coordonnées. Comme dans les deux exemples précédents, nous pouvons inter- préter la solution du problème optimal de la manière suivante. Construisons dans le plan Xl, X2 deux fonc tions VI (Xl, x 2 ) et v 2 (Xl, x 2 ): f +1 à gauche de la ligne. · · Q3Q2Q1 0N 1 N 2 N 3 · · . et sur l'arc . . . Q3Q2Q10, 1 -1 à droite de la ligne. . . Q3Q2Q10N1N2N3 . . . l et sur l'arc . . · N 3 JV 2 N 1 0 ; -t-1 au-dessous de la ligne. . . P3P2P10M1M2M3. . . et sur l'arc . . .M 31V1 M 10, -1 au-dessus de la ligne · · .P 3 P 2P 10M1JVI 2.113. . . et sur l'arc · . · P 3 P 2 P 10. Alors, le long de chaque trajectoire optimale x (t) == (Xl (t), x 2 (t) la commande optimale correspondante u (t) == (u l (t), u 2 (t)) est de la forme: u l (t) == VI (Xl (t), x 2 (t)), u 2 (t) == v 2 (Xl (t), X2 (t)). Ce qui veut dire qu'en remplaçant dans le système (39) les grandeurs u 1 et u 2 par les fonctions VI (Xl, x 2 ) et v 2 (Xl, x 2 ) nous obtenons le système v L (Xl, x 2 ) v (Xl, x 2 )_ dx l == x 2 - VI ( Xl X2 ) } dt l , , dx 2 ( 42) _ === _ Xl _L v 2 ( Xl X2 ) dt l" dont la solution (pour un état initial quelconque xo) nous donne la trajectoire de phase optimale aboutissant à l'origine des coordonnées. A utrelnent dit, le système (42) est un système d'équations différen- tielles (à seconds membres discontinus) dont la résolution nous donne les trajectoires optilnales aboutissant à l'origine des coordonées. Problème de synthèse des commandes optimales Les exemples examinés plus haut montrent qu'il est naturel de chercher la solution du problème des commandes optimales sous la forme suivante. Nous résoudrons le problème optimal dans le cas
42 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 général (voir (9)), en considérant tous les états initiaux Xo possibles et en prenant à chaque fois pour état final l'origine des coordonnées o de l'espace X. Alors (autant qu'on puisse en juger d'après les exem- ples traités plus haut) il existe une fonction v (x) définie dans l'espace de phase X et à valeurs dans le domaine des commandes U, telle que l'équation dx dt == f (x, v (x» (43) (cf. (5» définit toutes les trajectoires optimales aboutissant à l'origine des coordonnées. Autrement dit, il est naturel de chercher la comman- de optimale non pas sous la forme u == u (t), mais sous la forme u = == v (x), i.e. la commande optimale cherchée ne dépend à chaque instant t que de la position occupée à ce même instant t par le point représentatif. Ce qui est évident: si en effet nous nous trouvons déjà au point x, le mouvement ultérieur (du point x en 0) doit être opti- mal (car toute portion de trajectoire optimale est elle-même une tra- jectoire optimale, voir page 18). La valeur de la commande optimale u (t) à l'instant où le point représentatif occupe la position x dépend donc uniquement de ce point x et non pas du point de départ du mou- vement ni du temps qu'il a mis avant d'arriver en x. Les formules (27), (38), (42) nous donnent précisément la solution des problèmes optimaux examinés sous la forme d'une équation différentielle (43) à second membre discontinu. (Si le domaine de commande U est un espace de dimension r engendré par les variables u l , u 2 , . . ., ur, la donnée de la seule fonction vectorielle v (x) équivaut à la donnée de r fonctions scalaires u l == VI (x), . . ., Ur == V r (X); cf. formules ( 42) . ) La fonction v (x) qui donne l'équation des trajectoires optimales sous la forme (43) sera désignée par fonction de synthèse et le problème qui consiste à déterminer cette fonction (si elle existe ne fût-ce que dans un voisinage suffisamment petit de l'origine des coordonnées) par problème de synthèse des commandes optimales. Dans les exem- ples traités plus haut les fonctions de synthèse étaient continues par morceaux. La connaissance de la fonction de synthèse permet de considérer que le problème de l'arrivée optimale à l'origine des coordonnées, est entièrement résolu mathématiquement. En effet, si l'objet techni- que considéré sera équipé d'un instrument mesurant les états de phase, et d'un mécanisme exécutif plaçant les gouvernails dans la position u == v (x) où v (x) est la fonction de synthèse (supposée con- nue), l'objet en question se déplacera optimalement. Si la fonction v (x) est d'une forme compliquée, de toute évidence il serait plus rationnel de faire appel à des calculateurs (universels ou spéciaux) pour déterminer la position convenable des gouvernails u == v (x). Le lecteur s'intéressant à ces problèmes pourra se référer à l'ample
6.] PROBLÈME AUX EXTRÉMITÉS LIBRES 43 monographie de A. Feldbaum « Les calculateurs dans les systèmes automatiques», Fizmatgiz, Moscou, 1959 (voir chapitre XIII) (en russe) . Dans le cas général, le problème de synthèse (i.e. l'existence de la fonction de synthèse et sa détermination) n'est pas résolu. Dans le cas particulier des systèmes linéaires et de la commande en temps optimal, ce problème sera traité plus bas dans le chapitre trois. 6. Problème aux extrémités libres et conditions de transversalité Certaines notions géométriques nous seront indispensables en vue de formuler et résoudre de futurs problèmes sur les commandes optimales. Rappelons ici ces notions pour la commodité du lecteur. Soi t f (x) == f (Xl, x 2 , . . ., x n ) une fonction scalaire réelle, définie sur un domaine quelconque G d'un espace euclidien *) X muni des coordonnées orthogonales Xl, x 2 , . . ., x n . Si la fonction f admet dans le domaine G des dérivées partielles premières par rap- port aux variables .x l , . . ., x n , alors en chaque point x du domaine G est défini le vecteur ( ::1 ' ::2 '...' an )' appelé gradient de la fonction f (x) et désigné par le symbole grad f (x). Nous désignerons par hypersurface de l'espace Xl' ensemble S des points x == (Xl, . . ., x n ) satisfaisant à la relation f (Xl, x 2 , . . ., X n ) == 0 ( 44) et par équation de cette hypersurface "- la relation (44) . Nous suppo- serons maintenant que le premier membre de l'équation (44) admet des dérivées partielles continues. en Xl, x 2 , . . ., x n . Le point x E S satisfaisant aux relations al (x) _ al (x) _ _ al (x) _ 0 1X 1 - ax 2 -... - ax n - (i.e. le point en lequel le vecteur grad f (x) est nul) est appelé point singulier de l'hypersurface S. Les points de 1 'hypersurface S en les- quels grad f (x) =1= 0 sont appelés points non singuliers. Une hyper- surface définie par l'équation (44) à premier membre continûment dérivable et ne renfermant pas de points sin gu- *) L'espace X peut ne pas être euclidien, auquel cas le vecteur grad 1 (:1:) introduit plus bas doit être considéré comme covariant.
44 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 1 i ers, est appelée hypersurface continûment différentiable. Dans la suite toutes les hypersurfaces seront supposées continûment diffé- ren tiables. Pour n = 2, l'équation (44) prend la forme f (Xl, x 2 ) = 0 et la notion d 'hypersurface continûment différentiable se ramène dans ce cas à la notion de ligne continûment différentiable (dans le plan engendré par les variables Xl, X2). Pour n == 3, l'équation (44) s'écrit sous la forme f (Xl, x 2 , x 3 ) == 0 et la notion d 'hypersurface continûment différentiable se ramène alors à la notion de surface continûment différentiable (dans l'espace engendré par les variables Xl, x 2 , x 3 ). Si l'équation (44) est 1 i n é air e, i.e. est de la fornle a1xl + a2x2+ . . . + anx n +b == 0, (45) l'absence de points singuliers sign ifie que l'un an nloins des coeffi- cients ai est non nul. Dans ce cas, l'hypersurface définie par l'équation (45) est appelée hyperplan. Pour n = 2, l'hyperplan est une droite (dans le plan) et pour n == 3, un plan (dans un espace tridimensionnel). Soit Xo un point quelconque d'une hypersurface différentiable S.. définie par l'équation (44). Le vecteur grad f (xo) (ou tout vecteur qui lui est colinéaire) est appelé vecteur normal (ou tout sinlplenlent normale) à l'hypersurface S en Xo. Dans le cas d'un Il y p e r p 1 a n (voir (45» les vecteurs normaux sont équivalents en tous les points.. i.e. il existe uns e u 1 vecteur normal (ai' a 2 , . . ., an) · Tout hyperplan est univoquement défini par la donnée du vecteur normal et par un point appartenant à cet hyperplan. Si S est une hypersurfaco continûment différentiable définie par l'équation (44) et Xo un de ses points, alors l'hyperplan passant par Xo et admettant pour norrnale le vecteur grad f (xo) est appelé hyperplan tangent, en Xo, à l'hypersurface S. Tout vecteur d'origine Xo contenu dans 1 'hyperplan tangent est appelé vecteur tangent à 1 'hypersurface S en Xo. Autrement dit, un vecteur d'origine Xo est tangent à l'hyper- surface S si, et seulement si, il est orthogonal au vecteur grad f (xo). Soient maintenant " i, S 2 , · · ., S k
6.] PROBLÈME AUX EXTRÉMITÉS LIBRES 45 des hypersurfaces X respectivement continûment différentiables définies dans l'espace par les équations 1 1 (Xl, X2, ..., X n) == 0, 12 (xl, X 2 , ..., X n) == 0, (46) ............. Ih (Xl, X 2 , ..., X n ) == o. L'intersection M de ces hypersurfaces (i.e. l'ensemble des points x E X satisfaisant simultanément à toutes les équations (46)) est appelée variété continûment différentiable de dimension n - k dans X, si est remplie la condition suivante: en chaque point X E M les vecteurs gr a d Il (x), gr a d 1 2 (x), . . ., gr ad 1 k (x) ( 4 7) sont linéairement indépendants. Ainsi, par définition, une variété de dinlension r dans X est donnée par un système de n - r équations. En particlliier, une variété de dimension n - 1 est donnée par une s e u 1 e équation. Par conséquent, les variétés de dimension n - 1 de l'espace X coïncident avec les hypersurfaces. Les variétés unidimensionnelles sont aussi appelées lignes. Remarquons encore que la condition d'indépendance des vecteurs (47) est équivalente à la condition de maximalité du rang (i.e. égal à k) de la matrice fonctionnelle âf 1 (x) af 1 (x) a/ 1 (x) ox I âx 2 âx n af2 (x) af 2 (x) âf2 (x) âx I ax 2 ax n (48) . . . . . . . . . . . . âl h (x) al h (x) Dlh (x) âx 1 ax 2 âx n Si les équations (46) définissant la variété M de dimension n - k sont linéaires, cette variété est alors appelée plan de dimension n - k de l'espace X. Ainsi, un plan de dimension n - k est l'inter- section de k hyperplans dont les vecteurs normaux sont linéairement indépendants. Les plans uni dimensionnels sont également appelés lignes droites. Soit lf une variété continûment différentiable de dimension n - k définie dans l'espace X par les équations (46), et x un quel- conque do ses points. Désignons par Li l'hyperplan tangent, en X (i == 1, 2, . . ., k), à l'hypersurface Ii (Xl, x 2 , ..., x n ) == o. L'intersection des hyperplans L1' L 2 , . . ., Ln est un plan de dimen- sion n - k appelé plan tangent, en x, à la variété M. Un vecteur ayant le point X pour origine est contenu dans le plan tangent (i.e.
46 PRINCIPE DU MAXIl\iUM [Ch. 1 est un vecteur tangent en x à la variété M) si, et seulement si, il est orthogonal à tous les vecteurs (47). Soulignons enfin une circonstance simple dont nous aurons à nous servir dans la sui te. Soit Xi === cr i (), i === 1, . . ., n, ( 4 g) l'équation paramétrique d'une ligne dans l'espace X ou, sous la for- me vectorielle, x === cr (). Le vecteur tangent à cette ligne au point === o est de la forme: ( dcp! (o) dcp2 (o) d(pn (o) ) === dcp (o) (50) d ' d ,. · · , d d. Si la ligne (49) est entièrement contenue dans la variété continûment différentiable M (d'une certaine dimension), le vecteur tangent (50) à cette courbe est également tangent à la variété M au point cr (o). Inversement, si est donné un vecteur tangent à la variété M au point Xo E M, il existe dans la variété M une ligne passant par le point Xo et admettant ce vecteur pour vecteur tangent. Autrement dit, un vecteur ayant pour origine un point quelconque Xo E M est tan- gent à la variété M si, et seulement si, il est tangent à une ligne con- tenue dans M. Formulons maintenant le problème de la commande optimale aux extrémités libres. Soient S 0 et S 1 des variétés continûment diffé- rentiables de dimensions ro et rl arbitraires (mais inférieures à n) So FIG. 20 de l'espace X. Soit à résoudre le problème: trouver la commande admis- sible u (t) qui transfère le point représentatif d'une position Xo E S 0 (non donnée à l'avance) à une position Xl E S 1 et qui minimise la fonc- tionnelle (7) (fig. 20). Nous appellerons ce problème le problème optimal aux extrémités libres. Si les variétés S 0 et S 1 dégénèrent en des points, le problème aux extrémités libres se transforme en le problème aux extrémités fixes que nous avons traité précédemment. Il est clair que si les points xo, Xi étaient connus, nous aurions à résoudre le problème aux extrémités fixes. La commande u (t),
6.] PROBLME AUX EXTRÉMITÉS LIBRES 47 optimale au sens du problème aux extrémités libres, est donc opti- Inale au sens précédent, i.e. le principe du maximum (théorèmes 1,2) reste en vigueur pour le problème aux extrémités libres. Dans ce cas toutefois, il faut encore des relations qui permettraient de déterminer la position des points Xo et Xi sur les variétés So et S1. Ces relations sont formulées dans ce paragraphe sous le nom de con- ditions de transversalité. Ces conditions nous donnent ro + ri rela- tions dans lesquelles figurent les coordonnées des points extrémaux Xo et Xi. Etant donné par ailleurs que le nombre des paramètres incon- nus (en comparaison avec le problème aux extrémités fixes) a égale- rnent augmenté de ro + ri (car la position du point Xo sur la variété 1..') 0 de dimension ro est caractérisée par ro paramètres, et la position du point Xi E Si par ri paramètres), les conditions de transversalité forment avec le principe du maximum un système «suffisant» de relations pour la résolution du problème optimal aux extrémités Ii bres . Formulons maintenant les conditions de transversalité. Soient Xo E 8 0 , Xi E 8 1 deux points quelconques, et To, T 1 des plans tan- gents aux variétés So et S1 en ces points. Les plans T 0 et T 1 de dimen- sions respectivement ro et r1 sont contenus dans l'espace X. Soit, ensuite, u (t), x (t), t o t t i , une solution du problème optimal aux extrémités fixes Xo et Xi. Soit, enfin"l' (t) le vecteur dont l' exis- tence est affirmée dans le théorème 1. Nous dirons que le vecteur 'i' (t) satisfait à la condition de transversalité à l'extrémité droite de la trajectoire x (t) (i.e. au point x (t i )), si le vecteur 1fJ (t i ) = == (lfJi (t i ), 1fJ2 (t i ), · · ., lfJn (t i )) est orthogonal au plan T 1 . Autre- filent dit, la condition de transversalité signifie que pour tout vecteur e === (8 1 , 8 2 , .. ., 8 n ) contenu dans le (ou parallèle au) plan Ti est vérifiée la relation (1fJ (t i ), 8) = O. On a la même condition de transversalité dans l'extrémité g a u che de la trajectoire x (t) (il suffit simplement d'y remplacer t i et Ti respectivement par t o et To). IL est clair que la condition de transversali té à 1 ' extrémité droite de la trajectoire x (t) contient ri relations indépendantes, puisque dans la relation (1fJ (t 1 ), 8) = 0 il suffit de porter les ri vecteurs linéaire- nIent indépendants 8 1 , 8 2 , . . ., 8r! contenus dans le plan T 1. La condition de transversalité à l'extrémité gauche contient ro rela- t ions indépendantes. Les conditions de transversalité nous permettent désormais de formuler la solution du problème aux extrémités libres. Thé 0 r è ID e 3. Soientu (t), tot<ti' une commande admissible transférant le point représentatif d'une certaine position Xo E S 0 dans la position Xi E S 1, et x (t) la trajectoire correspondante (issue du point Xo = (0, x o )). Pour que u (t) et x (t) soient solutions du problème optimal aux extrémités libres, il est nécessaire qu'existe un vecteur fonction", (t) continu et non nul, satisfaisant aux conditions du théorème 1 et, de
48 PRINCIPE DU MAXIMUM [Çh. 1 plus, à la condition de transversalité aux deux extrémités de la trajectoire x (t). Il est évident que si l'une des variétés S 0' SI dégénère en un point, la condition de transversali té dans l' extrémi té correspondan t( de la trajectoire x (t) est remplacée par la condition de passage de la trajectoire x (t) par ce point. Dans le cas de la commande en temps optimal, dans la formula- tion du théorème 3, la solution x (t) est remplacée par x (t) et la réfé- rence au théorème 1 par la référence au théorème 2. Voyons des exemples élémentaires de résolution de problèmes aux extrémités libres. E x e m pIe 1. Considérons pour le point dont le mouvement est régi par la loi (22) (avec la même contrainte 1 u 1 ::::;; 1), le problème de la plus rapide arrivée sur l'axe x 2 en partant d'un état donné Xo. Dans ce cas nous avons à resoudre un pro- blème dont est libre l' extrémi té droi- te : la variété S 0 dégénère en le poin 1 xo, quant au point Xl == 0 ce Il' est au- .xl tre que la variété S 1. Le vecteur 8 == == (8 1 , 8 2 ) tangent à la variété SI (en un quelconque de ses points) est de la forme 8 == (0, 8 2 ) où 8 2 * 0 et par conséquent la condition de transversa- Ii té dans l'extrémité droite s'écrit sous la forme 0.11'1 (t 1 ) + 8 2 .11'2 (t 1 ) == 0 d'où 11'2 (t 1 ) == O. La fonction '4'2 (t) étant encore linéaire (voir page 24), de la relation 11'2 (t 1 ) == 0 il résulte que 11'2 (t) garde son signe lorsque t o ::::;; t < tt. Dans ce cas donc (voir (24)) toute commande optimale u (t) est con s tan t e et égale à + 1 ou -1. Par conséquent, ne peuvent être optimaux que des mouvements s'opérant le long des paraboles (25) et (26) (sans commutations). Supposons d'abord que l'état de phase initial Xo se trouve à d roi t e de la droite Xl == O. D'après ce qui a été dit plus haut, par le point Xo ne passent que deux trajectoires de phase qui sont susceptibles d'être optimales: la trajec- toire (25) sur laquelle le mouvement a lieu de bas en haut et la trajec- toire (26) sur laquelle le mouvement a lieu de haut en bas (fig. 21). Si le point Xo est situé au-dessus de la ligne AO (voir fige 7), en se déplaçant sur la parabole (25) le point représentatif n'arrivera pas sur l'axe Xl == 0 (fig. 22, a) et seul peut être optimal le mouvement qui a lieu sur la parabole (26). Si le point Xo est situé sur ou sous la ligne AO, les deux mouvements (25) et (26) amènent le point repré- sentatif sur l'axe Xl == 0 (fig. 22, b). Dans ce cas donc il existe d eux trajectoires satisfaisant au principe du maxinlUln. Cepen- .xZ 1 1 .zo , " " " " "- ..... , " FIG. 21
6.] PROBLÈME AUX EXTRÉMITÉS LIBRES 49 dant, il est aisé de voir que le temps mis pour aller de Xo à 1 '.axe Xl = == 0 est différent selon la trajectoire. En effet, en construisant les tangentes aux paraboles (25) et (26) en Xo, on constate aisément (voir fige 23) que QOQ2> QOP2 == Q o P 1 > QoQl. FIG. 22, a .x 2 o \ \ , , , , " " " ....... .xl A --- FIG. 22, b Or, comme pour u = + 1, le mouvement a lieu 'sur l'arc de parabole en un temps égal à la différence des ordonnées (voir la deuxième équation (22)), le temps mis pour parcourir l'arc X O Q2 est plu s Ion g que celui mis pour parcourir l'arc xoQt. Par conséquent, dans ce cas aussi, ne peut être optimal que le mouvement s'opérant sur la trajectoire (26). Ainsi, dans le demi-plan droit ne peuvent être optimaux que des mouvements s'opérant sur les paraboles (26), i.e. les mouvements ayant lieu pour u == -1. De même, à gauche de l'axe Xl == 0, ne peuvent être optimaux que les mouvements s'opé- rant sur les paraboles (25), i.e. des mouvements ayant lieu pour 4 --0 1339
50 PRINCIPE DU MAXIMUl\'I (Ch. 1 u = +1. Ceci nous donne la synthèse des commandes optilnales; en posant V (Xl, x 2 ) == { +1 -1 pour Xl < 0, pour Xl > 0, (£2 _ _ Ou xl \ \ , "- "- " A FIG. 23 nous obtenons l'ensemble de toutes les trajectoires optimales à partir du système d: t 1 = x 2 , } dx 2 -Jt == V (Xl, x 2 ) (cf. (27)). Les trajectoires de phase sont représentées sur la figure 24. On pourrait d'ailleurs considérer que .les équations (51) sont évidentes (d'un point de vue mécanique, par exen1ple). E x e m p 1 e 2. Considérons pour le point dont le mouvement est régi par la loi (28) (avec la même contrainte 1 u 1 ::::;; 1) le problème de la plus rapi- de arri vée sur la circonférence (51) (X 1 )2 + (X 2 )2 == R2 (52) en partant d'un état initial Xo non situé sur cette circonférence. Dans ce cas également nous avons à résoudre un problème à extrémité droi te libre: la variété S 1 étant la circonférence (52) . Soit Xi === == (R cos ex, R sin ex) un point quelconque de la circonférence (52). Cherchons la trajectoire optimale aboutissant en Xi et donnant la
.] PROBLÈME AUX EXTRÉMITÉS LIBRES 51 solution du problème posé à extrémité droite libre. Pour 'i' (t f ), i.e. le vecteur perpendiculaire en Xi (compte tenu des conditions de transversali té) à la circonférence (52) nous devons prendre l'un des .:c Z X' FI G. 24 deux vecteurs (- cos ex, - sin ex), (cos ex, sin et), dont le premier est dirigé vers l'intérieur de la circonférence et le second, en sens inverse. Etant donné que la trajectoire cherchée doit arriver en Xi f(.x{t/),IJ{tJ) .x' FIG. 25 deI' e x t é rie u r de la circonférence (52), le vecteur vi tesse de phase f (x (t f ), U (t f )) appliqué au point x (t i ) == Xi sera orienté soit vers l'intérieur de la circonférence (52), soit dans le sens de la tangente à cette circonférence en Xi (fig. 25). Puisque le produit sca- laire ('1' (t l ), t (x (t f ), U (t f ))) == H (1p (t f ), X (t i ), U (t f )) (53) 4*
52 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 doit être non négatif (voir théorème 2 et notamment la relation (21)) il importe donc de prendre pour '\}J (t 1 ) le vecteur (-cos a, - sin ex) orienté radialement vers l'intérieur de la circonférence. (Si le vecteur vitesse de phase f (x (tt), U (t 1 )) se trouve orienté suivant une tangen- te à la circonférence, alors le produit scalaire (53) s'annulera et pour '\}J (t 1 ) on pourra prendre un vecteur orienté aussi bien vers l'intérieur que vers l'extérieur de la circonférence; convenons que dans ce cas aussi le vecteur- '\}J (t 1 ) est orienté vers l'intérieur de la circonférence.) Nous avons donc '\}J (tt) = (- cos a, - sin a). Si l'on revient maintenant au système d'équations (voir page 28) d1Pi d1P2 dt = '1'2' d:t -== - 'li'1 on obtient en définitive 'P1 (t) = - cos (t - t 1 - a), 'P2 (t) = sin (t - t 1 - a), t o t :;;;;/1. Compte tenu de (29) et de la condition 1 u 1 1, la relation (20) nous donne: u = sign 'P2 = sign (sin (t - t 1 - a)). (5q) Si l'angle a satisfait aux inégalités 0 a < n, alors sur l'inter- valle t 1 - (n - a) tt1 la commande u (t) sera, compte tenu de (54), égale à -1, et avant cela, alternativement égale à +1 et -1 u t FI G. 26 sur des intervalles de longueur n (fig. 26). Par conséquent, la derniè- re portion de trajectoire de phase (qui se termine en Xi) est un arc de circonférence centrée au point (-1, 0), cet arc étant intercepté par l'angle au centre n - ai et les portions précédentes de trajectoi- re sont des demi-circonférences alternativement centrées en (1, 0) et (-1, 0). La trajectoire est représentée sur la fig. 27. Si l'angle ex satisfait aux inégalités Je a < 2n, on obtient alors une trajectoire symétrique par rapport au centre de celle représentée sur la fig. 27. On voit aisément (voir fige 28) que pour 0 a < Je l'extrémité B du dernier arc" BA de la trajectoire optimale considérée est située sur la circonférence de rayon -1 centrée au point (-R, -1, 0). Lorsque a varie entre 0 et Je, le point B décrit la demi-circonférence N 2 N t , qui est située au-dessus de l'axe des abscisses., D'un autre
6.] PROBL:ÈME AUX EXTR:ÉMIT:ÉS LIBRES 53 côté, la portion précédente CB de trajectoire optimale étant une demi-circonférence centrée au point (1,0), son extrémité C est située sur la demi-circonférence M2M3 symétrique de NiN 2 par rapport au centre (1,0). En continuant de la sorte nous obtenons la trajectoire Xf FIG. 27 de phase toute entière (fig. 29). La trajectoire symétrique par rapport au centre se construit d'une manière analogue. La disposition géné- rale des trajectoires de phase est représentée sur la fige 30. { o.fLiR=OA, 80.., = 11., A , L8fl.,Q =L O-fAO Xf FIG. 28 La synthèse des commandes optimales est réalisée par la fonction v (Xl, X 2 ) qui, de ce qui précède, se construit de la manière suivante. A droite de la circonférence (52) on construit les demi-circonféren- ces égales MtM2' M.2M3, . . . de rayon 1 sous l'axe des abscisses. A gallche de la circonférence (52) on] construit également les demi- circonférences N i N 2 , N 2 N 3 , . . . de rayon 1 au-dessus de l'axe des
N J /1 2 M3 \ 1 Xl , / ....-- C FIG.29 FIG. 30
7,] LE PRINCIPE DU MAXIMUM POUR LES SYSTÈMES NON AUTONOMES 55 , abscisses. La fonction v (Xl, x 2 ) se définit maintenant en dehors de la circonférence (52): elle est égale à + 1 au-dessous de la ligne ... N 2 N 1 M i lVI 2 ... et à -1 au-dessus de la ligne .. .M 2 M i N 1 N 2 ... Ainsi donc nous avons la synthèse des commandes optimales: dx i 2 ---;Il == X , dx 2 -= -X 1 + V ( X l dt ' x 2 ). } 7. Le principe du maximum pour les systèmes non autonomes A. Considérons le même problème optimal que (l) et (7), mais dans le cas où les fonctions fa dépendent explicitement du temps (le domaine de commande U est supposé indépendant du temps). La loi régissant le n10uvement de l'objet et la fonctionnelle dont on cher- che le minimum s'écrivent alors dx i . dt==f(x, u, t), i== 1,2, ..., n; (55) tf J = \ /0 (x (t), u (t), t) dl, (56) '" to t o est supposé connu, t i est le temps de passage par Xi que nous nous proposons de trouver. Comme précédemment, introduisons la nouvel- t le coordonnée Xo = ) /0 (x (t), u (t), t) dt et énonçons le problème to sous la forme suivnte (cf. 2). Etant donnés dans l'espace de phase X de dimension n + 1 un point, Xo === (0, xo) et une droite II parallèle à l'axe X O et passant par le point (0, Xi), parmi les commandes admissibles u == u (t) telles que la solu- tion correspondante x (t) du système dx i . (ft==f1(X, u, t), i==O, 1, ..., n (57) avec la condition initiale x (t o ) == Xo coupe la droite II, trouver celle qui rninimise la coordonnée XO du point d'intersection avec la droite II. En vue de résoudre ce problème nous allons introduire une incon- Il ue auxili aire x n + l tlle que dxn+1 dt == 1, xn+1 (t o ) == t o . ] l est évident que x n +1 == t. Désignons par X* l'espace engendré par les variables Xl, X2, . . ., x n , x n + 1 . Le système (57) peut alors
56 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 être écrit sous la forme autonome (i.e. ne te ment du temps) suivante: dx i . - - I (x U xn+1 ) dt - " , dxn+l dt === 1. dépendant pas explici- i = 0, 1, ..., n, } Le problème est Inaintenant de chercher une trajectoire optimale · . d 1 , X * 1 . ( 1 2 n ) " . JOIgnant ans espace e pOInt xO' xO' . . ., xO' t o a un pOInt de la droite Si qui passe par le point (x, xî, . . ., x, 0) et est paral- lèle à l'axe x n +1 (puisque la valeur finale de la v ari able x n +1, i.e l'instant où le point en mouvement arrive en Xi n'est pas préalable- ment donnée). Nous sommes par conséquent amenés à résoudre un problème optimal ordinaire à extrémité gauche fixe et extrémité droite libre. Ecrivons le principe du maximum et la condition de transversali- té. Le système auxiliaire d'équations (12) est de la forme n d'l{?i _ _ a/a dt - L.J ôxi 'Pa, a=O ; -- 0 1 f/- , , . . ., n, (58) n d'Pn+t _ _ ô/a 1101 dt - L.J ôt 'fa. a=O (59) En vertu des théorèmes 1 et 3, il faut former la fonction 'Polo (X, u, Xn+1) + 'P1f 1 (X, u, Xn+1) + . . . + 'Pnl n (x, u, Xn+1) + 'P11+1 .1. Désignons cette fonction par QJi* (et non par QJ£ comme dans le théo- rème 1) et conservons la notation QJt pour la fonction &e ('\l', X, t, u) == 'Polo (x, u, t) + 'P1f 1 (x, U, t) + .. . + 'Pnf n (x, u, t), à l'aide de laquelle les équations (57), (58) s'écrivent sous la forme du système hamiltonien dx i ôQJ& d'Pi ôQJ& dt == Ô'l{?i ' ---at===- ôx i ' i==O,1, ...,n. De la même façon désignons !par Q/ft* ('\l', x, xn+1) (et non par dIt comme dans le théorème 1) le maximum par rapport à u de la fonction QJt* pour Xi et 'Pi fixes, et conservons la notation Glft ('\l', x, t) pour le maximum (en u) de la fonction QJt ('\l', x, t, u) pour '\l', x, t fixes. En vertu de la relation x n + 1 == t nous pouvons écrire que Q1f* === QJ£ + + 'Pn+i, dlt* == dt + 'Pn+i, et par conséquent la relation JJt* == == rYft* == 0 qui est satisfaite le long de la trajectoire optimale (voir théorème 1) prend la forme QJ8 (11' (t), x (t), t, u (t» == dIt ('i' (t), x (t), t) == - 'Pn+1 (t). (60)
7.] LE PRINCIPE DU MAXIMUM POUR LES SYSTÈMES NON AUTONOMES 57 ]a condition de transversalité à l'extrémité droite de la trajectoire indi que, enfin, que 1 a droite S 1 (qui est parallèle à l'axe x n +1) est orthogonale au vecteur (1P1 (t 1 ), 1P2 (t 1 ), · · ., 'l'n+1 (t 1 )). Autrement dit, 1Pn+1 (t i ) == o. En tenant compte des relations (60) et (59), nous avons t n clt( '\jJ (t), x (t), t) = apx (x (t't u (t), t) 1PCG (t) dt. t1 a=O Nous obtenons donc le théorème suivant (principe du maximum pour les systèmes non autonomes). Thé 0 r è m e 4. Soit u (t), t o t t 1 , une commande admissible telle que la trajectoire x (t) du système (57) qui lui correspond, en partant du point Xo à l'instant t o , passe à l'instant t 1 par un point de la droite II. Pour que la commande u (t) et la trajectoire x (t) soient optimales il est nécessaire qu'existe un vecteur fonction"" (t) == (1Po (t), 1P1 (t), . . . . . ., "'n (t)) continu et non nul, correspondant aux fonctions u (t) et x (t) (voir (58)) et tel que: 1 0 quel que soit t, t o t t 1 , la fonction QJt ('i' (t), x (t), t, u) de la variable u E U atteigne en le point u == u (t) son maximum QJt ("1' (t), x (t), t, u (t)) == cY/t ('i' (t), x (t), t); 2° soient vérifiées les relations "'0 (t) == const 0, t n cIt ('\jJ (t), x (t), t) =. a/CG (x (tt u (t), t) 1PCG (t) dt. t1 a=O (61) (62) Si, par ailleurs, les grandeurs "1' (t), x (t) et u (t) vérifient le système (57), (58) et la condition 1 0 , alors la fonction "'0 (t) de la variable test constante, et la fonction &ft ('i' (t), x (t), t) ne peut différer que d'une constante de l'intégrale mentionnée dans la relation (62) si bien qu'il suffit de vérifier la relation (62) à un instant quelconque t, t o t ii ; au lieu de (62), par exemple, il suffit de vérifier les relations '" 0 (t 1) 0, olt ("i' (t 1), X (t 1), t 1) == 0 . ( 6 3) B. Si nous supposons ll1aintenant que le point Xi en lequel le point Xo est transféré par la commande u (t) est en mouvement, i.e. X1 == Xi (t), le théorème 4 se modifie légèrement. Plus exactement, soit u (t), t o t i 1 , une commande admissible transférant le point 1 . ( ) " l ,. t t . dX1 1 ( 1 2 n ) .1;0 en e pOInt X1 t 1 a Instan t i e SOIt -;- == q , q, . . ., q dt t=t1 l.ln vecteur tangent à la courbe Xi (t) à l'instant t i . Après l'introduction de la variable auxiliaire x n + 1 == t il résulte que la variété S 1 ne sera plus une droite parallèle àl'axe x n + 1 ,mais une courbe (x (8), x; (8),. . . . . ., x (8), 8) où 8 est un paramètre. La tangente à cette courbe en
58 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 le point 8 === t 1 est définie par le vecteur (ql, q2, . . ., qn, 1) et, par conséquent, la condition de transversalité s'écrit sous la forme n 1JJv (t 1 ) qV + 'Pn+1 (t 1 ).1 == o. \'=1 D'où il vient en vertu de la relation (60) n al! ('1' (t 1 ) , X (t 1) , t 1) === - 'i' n + 1 (t 1) == 1p v (t 1) q \' . \'=1 Enfin, la fonction dl! ('i' (t), x (t), t) étant, en vertu de (60) et (59), une primitive pour n rJ/ a (X (t; U (t), t) '\Ja (t), <x=o nous avons: n t n ,di! ('Ij1 (t), x (t), t) = '\Jv (tl) qV + \ L; iJ/ a (x (t u (t), t) '\Ja (t) dt. (64) v=1 ii <x=o Ceci n'est autre que la relation qui doit remplacer la deuxième égalité (62) dans le théorème 4; les relations (63) prennent: donc la forine n 1p 0 (t 1) 0, &fI ('i' (t 1) , X (t 1) , t 1) === 'i' v (t 1) qV . ( 65 ) \'=1 Le reste du théorèlne 4 demeure en vigueur. C. Considérons, enfin, le problèn1e optin1al non autonome aux extrémités libres. Limitons-nous au cas d'une extrémité droite libre. Soit S1 (t) une variété de dimension r, mobile et dépendant différentiablement de t. Le problème consiste à chercher une comman- de admissible u (t), t o t t 17 telle que le point dont le Inouvement est régi par la loi (55) avec la condition initiale x (t o ) == Xo arrive à un instant t 1 sur la variété S 1 (t 1 ) et telle que la fonctionnelle (56) prenne sa valeur minimale. . Précisons tout d'abord la notion de « variété mobile ». Soit dans un espace de dimension n + 1 engendré par les variables Xl, x 2 , . . . . . ., x n , t, une variété .S de dimension r + 1 définie par le systèIne d'équations f d Xl, x 2 , ..., x:' t) = 0, } f 2 (Xl, x 2 , ..., X , t) == 0, .... ....... fn-r (Xl, x 2 , ..., Xn, t) == O. On suppose plus loin que les premiers membres de ces équations admettent des dérivées premières continues en Xl, X 2 ,. . ., X n , t (66)
ii 7.] LE PHINCIPE DU MAXIMUM POUR LES SYSTÈMES NON AUTONOMES 59 et que le rang de la matrice fonctionnelle ( ; ) soit égal à n - r en chaque point de la variété S:. Considérons maintenant dans l'es- pace X engendré par les variables Xl, x 2 , . . ., x n le système d' équa- tions f 1 (Xl, x 2 , ..., x n , t *) == 0, f 2 (,Tl, x 2 , ..., X n, t *) === 0, (67) f n - r (Xl, X 2 , ..., X n, t *) == 0, obtenu à partir du système (66) en particularisant t == t*. En vertu des hypothèses faites, le système (67) définit dans l'espace X une variété continûnlent différentiable de dimension r que nous désigne- rons par S1 (t*). En modifiant t* nous obtenons toute une famille de yariétés SI (t) dont la position et la forme varient (d'une manière générale) en fonction de t. D'où la notion de « variété mobile S 1 (t) ». Supposons que u (t) et x (t) sont les solutions cherchées, et dési- gnons par T 1 le plan tangent, en x (t 1 ), à la variété S1 (t 1 ). L'ensemble des vecteurs (ql, q2, . . ., qn, 0) tangents en le point (x (t 1 ), t 1 ) à la variété S étant de dimension r, et la variété S:: de dimension supérieure à r, il existe des nOlnbres ql, . . ., qn tels que le vecteur (ql, . . ., qn, 1) soit tangent à la variété S (en le point (x (t 1 ), t 1 )). ]es nombres ql, q2, . . ., qn nous permettront justement d'écrire ]es relations (64) et (65) auxquelles doit satisfaire le vecteur'i' (t). ]nfin, comme au 6, nous dirons que le vecteur 'i' (t) == :== (tpo (t), "'1 (t), . . ., "'n (t)) vérifie la condition de transvesalité il l'extrémité droite t f , si le vecteur", (t 1 ) == ('iJ1 (t 1 ), 1.P2 (t 1 ), . . . . . ., 1.Pn (t f )) est orthogonal au plan T 1 (i.e. au plan tangent en x (t 1 ) il la variété S 1 (t 1 )). Sous ces conditions formulons 1 'hypothèse sui- vante (qui est une généralisation du' théorème 3 au cas non auto- nome). Thé 0 r è m e 3*. Pour que u (t) et x (t) soient solutions du pro- blème optimal non autonome à extrémité droite libre, il est nécessaire qu'existe un vecteur fonction 'i' (t) continu et non nul, satisfaisant aux conditions du théorème 4 où les relations (62), (63) sont remplacées par les relations (64), (65), et de plus à la condition de transversalité au [>oint t 1 . Cette assertion découle aisément du théorème 3 après introduc- tion de la nouvelle variable xn+l == t (cf. démonstration du théorè- rne 4). 0 bservons que si la variété S 1 est immobile, les relations (64), (65) coïncident avec les relations (62), (63) car dans ce cas le vecteur (0, 0, . . ., 0, 1) est tangent à la variété Si. D. Déduisons lnaintenant du théorème 4 une condition nécessaire analogue pour le problème en temps optimal. Autrement dit, consi-
60 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. t dérons pour un point dont le mouvement est régi par la loi (55) le problème consistant à le faire passer en un temps optimal d'un état initial donné xo à un état donné Xi. En vue de résoudre ce problème posons dans le théorème 4 fO (x, u, t) == 1. La fonction QJ£ s'écrit. alors sous la forme n c27t ('i', x, t, u) = 'lIJ0 + 'lIJvf" (x, u, t). )'=1 Introduisant le vecteur 'lIJ == ('lIJ1, 'lIJ2' . . ., 'lIJn) et la fonction n H ('lIJ, x, t, u) = 'lIJv!" (x, u, t), '\'=1 nous pouvons écrire les équations (55) et (58) (à l'exception de l' équa- tion (58) pour i == 0 qui est désormais inutile) sous la forme du systè- me hamiltonien dx i a}] ([t - a1.i ' d'Pi aIl dt == - ax i ' i == 1, 2, ..., n. (68) (59) i == 1, 2, ..., n, Pour des valeurs fixes de 'lIJ, x, t la fonction JI est une fonction du paramètre u; soit lW ('lIJ, x, t) == sup H ('lIJ, x, u, t). uEU En vertu de la relation H ('lIJ, x, t, u) == Q/{ ('i', x, t, u) - 'lIJo il vient M (11', x, t) == dIt ('i', x, t) - 'lIJ0, et les conditions (61), (62) prennent maintenant la forme H ('lIJ (t), x (t), t, u (t)) == M ('lIJ (t), x (t), t) == G//t ('i' (t), x (t), t) - '" 0 == t n = J iW (x (t1 u (t), t) '\Jv (t) dt - '\Jo > ti ,,= 1 f n :;;> ) a/v (x (t; u (t), t) '\Jv (t) dt. ti ,,=1 Nous avons par conséquent le théorème suivant. Thé 0 r è m e 5. Soit u (t), t o t t i , une commande admis- sible transférant le point représentatif de la position Xo à la position X1, et x (t) la trajectoire correspondante (voir (55) ou (68)), telle que x (t o ) == Xo, X (i 1 ) == X1. Pour que la commande' u (t) et la trajectoire x (t) soient optimales (au sens du temps optimal) il est nécessaire qu'exis-
8.] PROBLÈMES À TEMPS FIXE 61 te un vecteur fonction'" (t) == ("'i (t), "'2 (t), . . ., "'n (t» non nul et continu, correspondant aux fonctions u (t) et x (t) (voir (69) tel que: 1 0 quel que soit t, t o t t i la fonction H (", (t), x (t), t, u) de la variable u E U atteigne au point u == u (t) son maximum H ('1' (t), x (t), t, u (t» == M (", (t), x (t), t); (70) 2 0 soit vérifiée la relation t n M (1\1 (t), x (t), t) > J a/v (x (t't u (t), t) 1\1v (t) dt. (71) t 1 \'= 1 Si par ailleurs les grandeurs", (t), x (t) et u (t) vérifient le système (68) (69) et la condition 1 0 , la différence entre le premier et le second membres de la relation (71) est constante, si bien qu'il suffit de vérifier la relation (71) seulement à un" instant qùelconque' t, t o t t f ; au lieu de (71) il suffit par exemple de vérifier la relation M ('1' (t f ), x (t f ), t i ) > O. (72) E. Si le point Xf en lequel le point Xo est transféré par la comman- de u (t) au lieu d'être immobile est libre, i.e. si Xi == Xf (t), le théorè- me 5 se modifie légèrement. Plus exactement soit u (t), t o t t i , une commande admissible transférant le point représentatif de la position Xo à la position Xi (t f ) à l'instant t f . Posons dXi 1 ( 1 2 n ) - dt == q , q , ..., q · t=t1 Alors (cf. (64), (65» les relations (71), (72) s'écrivent n t n M (1\1 (t), x (t), t) > 1\1v (ti) qV + J a/v (x (t u (t), t) 1\1v (t) dt, (73) \'=1 Li \'=1 n M ('" (t 1 ), X (t f ), t i ) > 'l'v (t f ) qv. (74) \'=1 Le reste du théorème 5 demeure en vigueur. Le problème à extrémité droite libre se traite d'une manière ana- logue (cf. pages 58-59). 9 8. Problèmes à temps fixe A. Supposons nlaintenant que nous avons à résoudre le même problème optimal que dans le 2 (ou dans le 7, i .e. les fonctions fa dépendent du temps), sauf que le temps de départ (de la position xo) t 0 et le temps d' arri vée t f en Xi son t pré a 1 a b 1 e men t don nés, i.e. le temps t i - t o est fixe. La solution de ce problème se déd ui t aisélnen t des précédentes.
62 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 Comme dans le paragraphe précédent ajoutons au système d'équa- tions dx i i dt==f (x,u,t), i==1, ...,n (7,5) l'équation dxn+l == 1 dt avec la condition initiale xn+l (t o ) == t o . Alors xn+l == t et nous som- mes amenés à résoudre le problème optimal suivant. Etant donnés deux points (xo, t o ) et (X1, t 1 ) dans l'espace de phase de dimension n + 1 engendré par les variables Xl, . . ., x n , Xn+l et le système d'équations dx i _ f i ( n+1 ) 1 - x,u,X , i==, ...,n, dxn+1 == 1 dt régissant le mouvement du point représentatif; on demande de trouver une commande u (t) transférant ce point de la position (xo, t o ) à l'instant t o à la position (X1, t 1 ) et minimisant la fonctionnelle if J = J fO (x, u, x n +1) dt. (76) to Dans ce cas, l'instant t 1 d'arrivée en le point (x 1 , t 1 ) peut ne pas être considéré comme fixe (car en vertu de la relation xn+l == t le point représentatif ne peut arriver en (X1, t 1 ) qu'à l'instant t 1 ) de sorte qu'on peut appliquer le théorème 1. En vertu du théorème 1, pour résoudre ce problème nous deyons introduire la variable x O , former la fonction n Q7t* ==' Q7C + 'Pn+1 === 'Pa/a (x, u, xn+1) + lPn+1 a=O et étudier le système d'équations suivantes par rapport aux variables auxiliaires: d'Pi dt d1Pn+1 dt f)Qf(} . 0 1 } - f)x i ' l == , ,..., n, 8Qf(} -fit · ) (77) Les relations (16), (17) du théorème (1) s'écrivent ll1aintenant QJt (11' (t), x (t), t, u (t)) + 'Pn+1 (t) == &1t ('i' (t), x (t), t) + 'Vn+1 (t), 'Po (t o ) 0, 0ft ('i' (t), x (t), t) + 'P n +1 (t) = 0,
8.1 PROBLÈMES À TEMPS FIXE 63 ou encore QJt ('i' (t), x (t), t, u (t)) == QI!! ('i' (t), x (t), t), 'Po (t O ) 0, (78) dit ('i' (t), x (t), t) + 'lPn+1 (t) == O. (79) Si toutes les grandeurs 'Po (t), 'Pi (t), . . ., 'Pn (t) s'annulaient à un instant t, on aurait QJ{; ('i' (t), x (t), t, u (t)) == 0, d'où 'Pn+1 (t) == 0 (voir (78), (79)), ce qui est impossible. Par conséquent "-P 0 (t), . . . . . ., 1pn (t) est une solution non n u Il e dll système (77). Ce qui permet de négliger la fonction 'Pn+i (t) et la relation (79). Nous obte- nons de ce fait le théorème suivant. Thé 0 r è m e 6. Soient u (t), t o t t 17 une commande admis- sible transférant le point représentatif de la position Xo à la position Xi et x (t) la trajectoire correspondante (voir (75)) telle que x (t o ) == Xo,. X (t i ) == Xi (les instants t o et ti-sont fixes). Pour que u (t) soit solution du problème optimal à temps fixe posé, il est nécessaire qu'existe un vecteur fonction 'i' (t) == ('Po (t), 'Pi (t), . . ., 1Pn (t)) non nul et continu correspondant aux fonctions u (t) et x (t) (voir (77)) tel que: 1° quel que soit t, t o t t i la fonction QJB ('i' (t), x (t), t, u) de la variable u E U atteigne au point u == u (t) son ma.ximum &t ('i' (t), x (t), t, u (t)) == Q;/t ('i' (t), x (t), t); 2° la fonction "-p 0 (t) soit non positive (ce qu'il suffit de vérifier à un instant quelconque t de l'intervalle t o t t i puisque, d'après (77),. "-Po == const). Soulignons que ce théorème résout le problème à temps fixe dans la même mesure què le théorème 1 résout le problème à temps non fixe. La réduction du nombre de conditions (plus exactement, l'ab- sence par rapport au théorème 1 de la condition &If ('i' (t i ), x (t i )) == === 0) est compensée ici par le fait que le nombre de paramètres incon- nus diminue d'un, car le temps t i de passage de la trajectoire par le point Xi est désormais don n é. B. Considérons maintenant le problème à temps fixe et à extré- Irrités Xo et Xi libres. Désignons par S 0 et Si les variétés (dans l' espa- ee engendré par Xl, . . ., x n ) dans lesquelles doivent être choisis. les points extrêmes Xo et Xi. Nous sommes alors amenés à résoudre le problème aux extrémités libres dans l'espace engendré par les va- riables Xl, x 2 , . . ., X n , x n + l . Les extrémités (xo, t o ) et (Xi' t i ) de la trajectoire cherchée doivent précisément se trouver respectivement sur les variétés S 0 et S1, où Si est constituée des points de la forme (x, ti), x E Sb i == 0, 1. Considérant les conditions de transver- salité (théorème 3) pour les variétés S 0 ' Si et négligeant comme précédemment la coordonnée xn+l, nous constatons que le théorème 3 reste valable (dans la même formulation) et donne la solution du problème à extrémités libres lorsque le temps est fixé. Les théorènles
64 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 1 et 3 s'appliquent par conséquent au problème à temps fixe, si dans le théorèm9 1 on néglige la deuxième des relations (17). Voyons en particulier le cas où (dans le problème à temps fixe) l'extrémité droite est entièrement libre. Autrement dit, considérons le problème: trouver une commande admissible u (t), t o t t 1 , telle que la trajec toire correspondante (voir (75)) partant de la position initiale Xo à l'instant t o minimise la fonctionnelle (76); l'instant t 1 e'St fixé, le point x (t 1 ) peut être quelconque. C'est un problème à extrémité droite libre où la variété S t coïncide avec l'espace X tout entier, engendré par les variables Xl, x 2 , . . ., x n . Par conséquent t 0 u t vecteur de cet espace est tangent à la variété Sl et la condition de transversalité nous donne "'1 (t 1 ) = '4'2 (t 1 ) = · · · = '-Pn (t 1 ) = O. D'où il résulte que '4'0 =1= 0, et nous pouvons donc poser '4'0 == -1. Ainsi '4' (t 1 ) == (-1, . . ., 0) et nous obtenons le théorème suivant. Thé 0 r è fi e 7. Pour qu'une commande admissible u (t), t o t t 1 , et la trajectoire correspondante x (t) (voir (75)) soient solutions du problème optimal (75), (76) à extrémité gauche fixe Xo et extrémité droite libre (t o et t 1 étant donnés), il est nécessaire qu'existe un vecteur fonction", (t) == (11'0 (t), 11'1 (t), . . ., '4'n (t)) non nul et continu, cor- respondant aux fonctions u (t) et x (t) (voir (77)) tel que: 1 0 quel que soit t, t o t t 1 , la fonction aJ8 ('" (t), x (t), t, u) de la variable u E U atteigne au point u == u (t) son maximum 0Jt (", (t), x (t), t, u (t)) == &It (", (t), x (t), t); 2° '1' (t 1 ) = (-1,0, . . ., 0). 9 9. Lien entre le principe du maximum et la méthode de programmation dynamique . '. Dans ce paragraphe nous allons brièvement nous pencher sur le lien existant entre le principe du maximum et la méthode de pro- grammation dynamique de R. Bellman. La méthode de programmation dynamique fut élaborée pour les besoins de la commande optimale de processus d'un caractère plus général que les processus décrits par les systèmes d'équations différentielles. Aussi la méthode de programmation dynamique revêt-elle un caractère plus universel que le principe du maximum. Néanmoins, à la différence de ce dernier, cette méthode n'a pas été démontrée avec la rigueur voulue dans les cas où l'on pourrait en user comme un précieux instrument euristique. Il est naturellement intéressant de savoir si la méthode de pro- gralnmation dynamique s'applique au problème optimal formulé dans le 2. La démonstration de la méthode de programmation dyna- mique donnée par Bellman suppose qu'aux candi tions naturelles du problème (voir notre théorème 1) s'ajoute une condition fonda-
9.] MÉTHODE DE PROGRAMMATION DYNAMIQUE 65 rnentale: la dérivabilité de la fonction û) (x) définie plus loin. Cette supposition ne découle pas de la position du problème, elle revêt plutôt un caractère de restriction, restriction qui comme nous le verrons plus bas n'est pas remplie même dans les cas les plus simples. Cette supposition faite, la méthode de programmation dynamique ramène à une équation aux dérivées partielles que nous appellerons équation de Hellman. Cette équation (sous certaines conditions sup- plémentaires) est. équivalente au système hamiltonien (14), (15) et à la condition du maximum (16), (17). Nous allons exposer ici la méthode de programmation dynamique et montrer son lien avec le principe du maximum. Pour simplifier les choses, considérons uniquement le problème en temps optimal. Fixons un point Xi de l'espace X et soient u (t), t o t t 17 une commande optimale transférant (d'après la loi (5)) le point repré- sentatif d'une position Xo E X à la position Xi' et X (t) la trajectoire optimale correspondante. Désignons par T (xo) le temps de passage optimal t i - t o du point Xo au point Xi. (Le point Xi étant fixe, il ne figure pas dans la désignation du temps de passage.) Par consé- quent, la fonction T (xo) est définie sur l'ensemble Q de tous les points de l'espace X d'où est possible un passage optimal en Xi. La condition auxiliaire utilisée habituellement pour démontrer le prin- cipe de programmation dynamique (condition que nous allons aussi adopter) est que l'ensemble Q soit ouvert dans l'espace X et que la fonc- tion T (x) admette des dérivées partielles continues par rapport aux coor- données du point x. Au lieu de la fonction T (x) on introduit généralement la fonction ù) (x) = - T (x). Puisque x (t), t o t th est une trajectoire optimale et toute portion de trajectoire est elle-même une trajectoire optimale quel que soit t, t o t t i , on a ù) (x (t» = - T (xo) + t - t o . Donc, n n "" 8ro(x(t)) ta (x (t), u (t)) = "" 8ro (x (t)) dxa (t) _ dro (x (t)) -1 (80) L.J ôx a L.J axa dt - dt -. a=1 a=t Soit maintenant un point quelconque v. du domaine de commande U. Considérons un point représentatif' se déplaçant de la position x (t) sous l'action d'une commande constante égale à v. Au bout d'un intervalle de temps infiniment petit dt > 0, ce point occupera la position x (t) + dx où le vecteur' dx = (dx 1 , . . ., dx n ) est tiré des relations dx i = fi (x (t), v) dt; i = 1, . . ., n. (81) 5-01339
66 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 Si maintenant du point x (t) + dx nous nous rendons d'une façon optimale en Xi' il nous faudra un temps égal à T (x (t) + dx). Donc t le temps global mis pour' aller optimalement du point x (t) au point Xi est égal à T (x (t) + dx) + dt. Ce temps ne peut être infé- rieur au temps de passage optimal T (x (t)), i.e. a lieu la relation T (x (t) + dx) + dt T (x (t)), ou ce qui est équivalent û) (x (t) + dx) - ù) (x (t)) dt. En vertu de (81) on peut encore écrire n ôm (x (t)) f a ( X ( t ) V ) dt dt .L.J ôxa ,. , a=l ou bien n oro (x dt)) j'J' (x (t), v) 1, v EU. (}x a=l Les relations (80) et (82) montrent que (82) n sup ôm(x(t)) ja(x(t), v)==1, vEU axa a=1 de plus, la borne supérieure est atteinte pour v == u (t). Puisque par chaque point x E Q passe une trajectoire optimale aboutissant au point Xi' nous arrivons à la conclusion que la fonction ù) (x) vérifie dans le domaine Q l'équation suivante, non classique, aux dérivées par- tielles que nous appellerons équation de Bellman: n sup oro (x) fa (x, u) = 1; (83) uEU dx a a=l de plus la borne supérieure est atteinte pour un certain u E U (précisé- ment pour la valeur de la commande optimale au point x) et la fonction û) (x) est non positive et ne s'annule qu'au point Xi. Ceci n'est autre que le principe de la programmation dynamique appliqué au problème considéré. Nous allons maintenant montrer comment du principe de la programmation dynamique se déduit le principe du maximum; nous supposerons à cet effet que la fonction û) (x) est deux fois con- tinûment dérivable. Par suite, la fonction n g (x, u) = o:x) fa (x, u) cx=l (84) (voir (83)) admet des dérivées premières continues par rapport à Xl, . . ., x n . Du principe de programmation dynamique il vient
9.] MÉTHODE DE PROGRAMMATION DYNAMIQUE 67 aussitôt (voir (80) et (83)) que si u (t) est une commande optimale transférant le point représentatif de Xo en Xi' et que X (t) soit la trajec- toire correspondante, alors pour t, t o t t 1 , fixe, la fonction g (x, u (t» de la variable X E X atteint son maximum (qui est égal à 1) au point x = x (t): Il s'ensuit que âg (x u (t» = 0, i = 1, ..., n, to k;;;,tl' En dérivant (84), il vient n )l a 2 m (x ()) fa (x (t), u (t)) + LJ ôxaôx1. a=l n + â(fJâJt)) . â/a (x ; u (t)) = 0, i = 1, ..., n; (85) a=1 ces relationrs sont vérifiées le long de toute trajectoire optimale. Nous avons plus loin n a 2 m (x ()) fa (x (t), u (t)) == LJ ôx a ax 1 (.(=1 n == ( am (x .(t)) ) dxa (t) == ( am (x .(t») ) LJ axa ax 1 dt dt ax 1 a=1 et les relations (85) prennent la forme n ( am (x (t)) ) = _ aja (x (t), u (t») . am (x (t)) dt axi LJ axi axa ' i == 1, ..., n. a=1 Ainsi, le long de chaque trajectoire optimale les grandeurs 1101. ( t ) = am (x5 t » . 1 'fl ax 1 ' l == , ..., n (6) vérifient le système linéaire d'équations différentielles n d'i'i (t) == _ aja (x (t)., u (t» 1101 (t) 1 dt L.J ax 1 'fa, i = , ..., n. a=1 (87) Par ailleurs, l'équation de Bellman (83) s'écrit, en vertu de (80), sous la forme n n Li 1pa(t)ja(x(t), u(t))=sup Li 1Pa(t)ja(x(t), u)==1. (88) a=1 U(U a=1 5*
68 PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 Les relations (87) et (88) coïncident avec le principe du maximum, quant à la relation (86), elle lie explicitement les grandeurs '\Pi (t) à la fonction ro(x). Soulignons encore, ainsi qu'il résulte de (88), que les mouvements optimaux peuvent toujours être réalisés de telle sorte que le long des trajectoires optimales ait lieu l'égalité H ('1' (t), x (t), u (t)) = 1. (89) Rappelons que toutes ces conclusions n'ont de valeur que si la fonc- tion ffi (x) est deux fois continûment dérivable. Sans cette condition supplémentaire, la démonstration de la relation (89) n'a pas de sens. Remarquons que dans tous les exemples traités dans le 5, la fonction (ù (x) n'a d met pas d e d é r i v é e s pre m i ère s aux points situés sur les lignes de commutation (ce que l'on établit directement par des calculs). Etant donné que c h a que trajectoire optimale passe pendant un certain intervalle de temps le long de la ligne de commutation, la condition de dérivabilité de la fonction (ù (x) n'est remplie sur aucune trajectoire. Et par conséquent même dans les cas les plus simples, les conditions nécessaires à l'établis- .sement de l'équation de Bellman ne sont pas remplies.
CHAPITRE 2 Démonstration du principe du maximum S 10. Commandes admissibles Nous allons donner ici une définition exacte de la classe des com- lnandes admissibles (cf. 9 1) et décrire les plus importantes de ces classes. Le domaine de commande U sera représenté par un ensemble arbitraire d'un espace vectoriel Er *) de dimension r. Nous allons étudier ici non seulement des commandes continues par morceaux, mais des commandes bien plus générales. Une com- ]nande u (t), t o t t 1 (i.e. une fonction u (t) à valeurs dans le domaine de commande U) est mesurable si pour tout ensemble ou- vert 0 c Er' l'ensemble des valeurs de t telles que u (t) E 0 est mesurable (au sens de la mesure de Lebesgue) sur l'intervalle t o t t 1 . La borne est comprise dans le sens habituel, i.e. une com- mande u (t), t o t t b est bornée si l'ensemble des points u (t), t o t t b admet dans l'espace Er une a d h é r e n c e c 0 m - p a c t e. Dans la suite nous supposerons qu'a été fait choix d'une classe de commandes D; on appellera admissibles les commandes apparte- nant à cette classe. Tout ce qu'on demande à la classe D, c'est qu' el- le satisfasse aux trois conditions suivantes: 1) Les commandes u (t), t o t t 1 , de la classe D (i.e. les com- mandes admissibles) sont mesurables et bornées. 2) Si u (t), t o < t t 1 , est une commande admissible, v up. point arbitraire de l'ensemble U et. t'et t" deux nombres tels que t t' t" t 1 , alors la commande U1 (t), t o t t 1 , définie par la formule ( ) _ { V pour t' < t t", Ut t - , " u (t) pour t o t t et t < t t 1 , \ est aussi admissible. 3) Si l'intervalle t o t t 1 est partagé en un nombre fini d'eintervalles partiels sur lesquels la commande u (t) est admissible, *) Les raisonnements cités plus bas valent intégralement pour le cas où U est un sous-ensemble quelconque d'un certain espace topologique de Hausdorff à base dénombrable. Une légère modification de la démonstration permet de lever la condition d'existence d'une base dénombrable. Dans le texte nous nous limiterons toutefois au cas, le plus simpe et suffisant parfaitement aux applica- tions, d'un sous-ensemble d'un espace vectoriel de dimension r.
70. DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM (Ch. 2 alors cette commande est admissible sur l'intervalle t o t t 1 tout entier. Une commande adqIissible sur un intervalle partiel est,admis- sible aussi. Une commande déduite d'une commande adm.issible U (t), t o t t 1 , par une translation du temps (i.e. la commande Ut (t) = u (t - ex), t o + ex t t 1 + ex) est aussi admissible. Comme classe de commandes admissibles 0 n peu t par exemple prendre l'ensemble de toutes les commandes mes u rab 1 e s et b 0 r née s. Cette classe de commandes admissibles contient, de toute évidence, une autre classe quelconque de conlmandes admis- sibles, aussi la désignerons-nous par le symbole Dmax. On pourrait encore prendre l'ensemble de toutes les commandes con t i nue spa r m 0 r c eau x dont il a été question dans le chapitre 1. ' Enfin comme classe de commandes admissibles nous avons l'en- semble des commandes con s tan tes par m 0 r c eau x (i.e. des cQmmandes u (t), t o t t 1 , telles que l'intervalle to', t t 1 puisse être divisé en un nombre fini d'intervalles partiels sur chacun desquels)a commande u (t) est constante). Cette classe de commandes admissibles étant contenue dans une classe quelconque de commandes admiss'ibles par suite des conditions 2) et 3), nous la désignerons par le symbole D min . Dans toute la suite de ce chapitre nous supposerons, sans le spécifier, qu'a été fixée une fois pour toute une classe de commandes admissibles que nous désignerons par le symbole D. L'étude des commandes mesurables (et pas seulement des com- mandes continues par morceaux) n'est pas dictée par le souci d'une plus grande généralisation mathématique. En fait, dans le ,chapi- tre 3, pour démontrer le très important thé 0 r è nl e d'e x i s- t e n c e, nous serons forcés de faire appel aux commandes nlesu- rables (bien que dans l'énoncé définitif du théorème ne figurent que des commandes constantes par morceaux). Soulignons quelques propriétés, importantes pour la suite, des fonctions mesurables. Soit u (t) une fonction mesurable quelconque définie sur l'intervalle a < t < b et à valeurs dans le domaine de commande U: Nous dirons que le point e de l'intervalle a < t < b est un point régulier pour la fonction u (t), si, quel que soit le voi- sinage 0 c U du point u (8), est vérifiée la relation 1 - mes (u- 1 (0) nI) 1 lm = , mes 1..0 mes 1 OÙ u- 1 (0) désigne l'ensemble des points t de l'intervalle a < t < b tels que u (t) E 0, l un intervalle quelconque contenant le point 8, et mes la mesure lebesguienne d'un ensemble. Il est, éyident que tou t P 0 i n t d e con t i nui t é de la fonction' il (t) est un point .régulier de cette fonction (car si 1 'inter,alle l renfermant le point e est suffisamment petit, alors le u- 1 (0)). Si donc la fonc-
10.] COMMANDES ADMISSIBLES 71 t ion u (t) est continue par morceaux, alors tous les points de l'inter- valle a < t < b, sauf un nombre fini d'entre eux, sont des points réguliers pour la fonction u (t). Il s'avère *) que si u (t) est une fonc- tion lnesurable quelconque, l'ensemble de tous les points réguliers admet une mesure complète sur l'intervalle a < t < b, Ï.e. tous les points presque de l'intervalle a < t < b sont des points réguliers pour la fonction u (t). Soit ensuite g (t, u) une fonction réelle continue du couple de variables t E (a, b), u E U et u (t), a < t < b, une fonction mesu- rable b 0 r née à valeurs dans U. Si 8 est un point régulier pour la fonction u (t), on a alors 8+q8 I g ( t, u ( t)) dt = f, (q - p) g (e, u (e» + 0 (f,), ( 1 ) 9+p£ où p et q sont des nombres réels arbitraires, B un infiniment petit positif et 0 (8) un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à 8, Ï.e. lim 0 (ë) ==.0; l'intégrale est prise au sens de Lebesgue. £-0 ë La relation (1) se déduit aisément de la définition du point régu- lier. Soulignons que si la fonction g est de plus continue en le para- mètre v appartenant à un ensemble c 0 m p a c t N (par exemple à un ensemble borné fermé d'un espace vectoriel de dimension finie), alors la formule (1) reste valable: 9+q8 J g (t, u (t), 'V) dt = f, (q - p) g (e, u (e), v) + 0 (f" v), v EN, (2) 8+p£ la quantité 0 (8, v) étant uni for m é m e'n't en v d'un ordre de petitesse supérieur par rapport à B, Le. 0 (ë, v) tend uniformément en ë 'V E lV vers 0 lorsque B -+ o. . Faisons encore quelques remarques sùr les équations différen- tielles à seconds membres mesurables **). Soit le système dz i _ h i ( lm ) 1 2 dt - Z , ..., z , t, u, i == , ,..., m. (3) Les seconds membres des équations (3) sont continus en l' ensem- ble des variables Zl, Z2, . . ., zm, t, u 'et- continûment dérivables par *) Cette assertion découle aisément de ce que-presque tous les points d'un ensemble mesurable arbitraire sont des points de densité (voir, par exemple, F. Ris s et B. S e k e 1 f a 1 v i d i - Nad « Conférences sur l'analyse fonc- tionnelle» (en russe), Moscou 1954, p. 21; 1. Nat ans 0 n « La théorie des fonctions d'une variable réelle )} (en russe), Moscou 1957, p. 285. **) Voir C. Car a the 0 d 0 l' Y « Vorlesungen über reelle Funktionen », Leipzig 1927, p. 665'; D. S'a n son e t «Equatiç>:Q. différentielles ordinaires )} (en russe), Moscou 1954, p. 120.
72 DÉIV[ONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 2 rapport à Zl, Z2, . . ., zm. Soit u (t) une fonction mesurable bornée quelconque, définie sur l'intervalle t o :::;; t :::;; t 1 et à valeurs dans U. Nous allons considérer des fonctions a b sol ume n t con - t i nue s Zl (t), . . ., zm (t) vérifiant presque partout sur une cer- taine partie de l'intervalle t o t t 1 les relations dz;/t) = hi (Zl (t), ..., zm (t), t, u (t)), i = 1, 2, ..., m. Nous appellerons sol u t ion du système (3), cor r e s p 0 n - dan t à la commande u (t), chacun des systèmes de fonctions Zl (t), . . ., zm (t). Cette définition des solutions du système (3) ne modifie pas (pour une commande u (t) donnée arbitrairement) les princi paux théorèmes de la théorie des équations différentielles et notamment le théorème d'existence et d'unicité des solutions. D'une façon générale, la solution du système (3) n' est pas d é f i - nie sur l'i n ter v a Il e t 0 u t e n t i e r t o t t 1 sur lequel est donnée la commande u (t) (et, par conséquent, où sont donnés les seconds membres du système (3)). Cependant, si le système (3) est 1 i n é air e en Zl, . . ., zm, toute solution de ce système est définie sur l'intervalle t o :::;; t t 1 t 0 u t e n t i e r de définition de la commande u (t). Lorsque les seconds membres du système (3) dépendent de plus continûment d'un certain paramètre 11, alors ont lieu les théorèmes ordinaires de dépendance continue des solutions par rapport aux paramètres. En particulier, les solutions du système (3) sont continues par rapport aux yaleurs initiales. Par ailleurs, les « accroissements» des fonctions z pour une petite variation des valeurs initiales satisfont à un s y s t è m e ordinaire d'é qua - t ion s a u x var i a t ion s (cf. 12). S 11. Formulation du principe du maximum pour une classe quelconque de commandes admissibles Comme dans ,le chapitre précédent nous allons considérer le système d' équa tions différentielles dx i f i ( l 2 n l r ) - f i ( ) 1 2 (4) dt = x , x , ..., x , u , ..., u = x, u, i = , ,..., n, ou, sous une forme vectorielle, d:e dt =1 (x, u). (5) Les fonctions fi (Xl, x 2 , ..., x n , u) et ôfi (xl, :e 2 , . . ., :en, u) ôx;
11.] FORMULATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM 73 (i, j == 1, 2, ., n) sont supposées données et continues sur le pro- duit direct X X U où U est l'adhérence de l'ensemble U dans l'es- pace Er. Comme dans le chapitre précédent introduisons la fonctionnelle- in tégrale i1 J = 1 JO (x (t), u (t» dt to (6) où /0 satisfait aux mêmes conditions que les fonctions fi, i == 1, 2, . . ., n. Posons le problème suivant: parmi toutes les com- -ntandes admissibles u == u (t) transférant le point représentatif de la. position Xo à la position Xi trouver celle qui minimise la fonctionnelle (6) (t o et t i ne sont pas donnés à l'avance). Nous conserverons dans ce. chapitre aussi les termes de « commande optimale» et de « trajec- toire optimale ». Textuellement, comme dans le chapitre 1, le problème optimal à résoudre se formule de la manière équivalente suivante. Etant donnés dans l'espace de phase de dimension n + 1, engendré par les variables x O , Xl, . . ., x n , un point xo === (0, xo) et une droite n parallèle à l'axe XO et passant par le point (0, xo). Parmi toutes les' commandes admissibles u == u (t) telles que la solution correspondante x (t) du systeme dx i f i ( ln ) dt == x , ..., x , u , i === 0, 1, ..., n (7} avec la condition initiale x (t o ) === xo coupe la droite Il, trouver celle- qui minimise la coordonnée X O du point d'intersection avec la droite n. En vue de fprmuler le principe du maximum, introduisons comme- dans le chapitre 1le système d'équations n d'Pi == _ a/a (x, u) I)hl'Y , i == 0 , l ' ... , n dt Lj axi a=O (8) pour les inconnues auxiliaires 'Po, 'Pi' . . ., 'Pn et la fonction n o7t ('1', x, u) == ('1', f (x, u)) = 'Pa fa (x, U), a=O qui permet d'écrire les équations (7) et (8) sous la forme du système- hamiltonien dx i aQfe dt - a'Pi ' d'Pi aQfe dt - - ax i ' i=O, 1, ..., n, i = 0, 1, ..., n. (9} (10}
74 DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 2 En se donnant une commande arbitraire u (t), t o t t 17 de la classe D (Le. admissible) et une condition initiale x (t o ) == Xo, on peut trouver la trajectoire x (t) == (X O (t), Xl (t), . . ., x n (t)) cor- respondante (i. e . satisfaisant au système (9)). Supposons qu'elle soit définie sur l'intervalle t o t t 1 tout entier. En portant alors les fonctions u (t) et x (t) dans les seconds membres du système (10), nous obtenons un système linéaire en 1po, 1p1, . · ., 1pn dont les -coefficients sont définis et continus sur l'intervalle t o t t i tout entier . Nous dirons que toute solution \)' (t) == (1po (t), 1pi (t), ... ., 1Pn (t)) de ce système (celle-ci est aussi définie sur l'intervalle t o t t1 tout entier) est une solution du système (10) correspondant aux fonc- tions u (t) et x (t). Soulignons que les vecteurs fonctions x (t) et 11' (t) sont absolument continus (comme étant les solutions des systè- mes d' équa ti ons différentielles). Pour des valeurs fixes (constantes) de 'i' et x, la fonction QJt de- vient une fonction du paramètre u EU; posons ait (\)', x) = sup o7t (\)', x, u). uEU Une égalité vraie pre s que par t 0 u t sera représentée par le signe (==). Autrement dit, si CPi (t) et CP2 (t) sont deux fonctions de la variable t définies sur l'intervalle t o -< t -< t 1 , l'écriture CPl (t) (==) CP2 (t) signifiera que les fonctions coïncident presque partout. Le but du présent chapitre est la démonstration du principe du maximum (théorème 8) et des conditions de transversalité. Thé 0 r è m e 8. Soit u (t), t o < t t 1 , une commande admis- sible telle que la trajectoire correspondante x (t) (voir (9)) issue à l'ins- tant t o du point xo, soit définie sur l'intervalle t o t t 1 tout en- tier et passe à l'instant t 1 par un point de la droite II. Pour que soient optimales la commande u (t) et la trajectoire x (t) il est nécessaire qu'e- xiste un vecteur fonction non nul et absolument continu \)' (t) == == (11'0 (t), 11'1 (t), . · ., 1Pn (t)) correspondant aux fonctions u (t) et x (t) (voir (10)) tel que 1 0 la fonction QJ8 (\)' (t), x (t), u) de la variable u E U atteigne son maximum QJ8 (\)' (t), x (t), u (t)) (==) oJIt (\)' (t), x (t)) (11) au point u == u (t) presque partout sur l'intervalle t o t t 1 ; 2 0 à l'instant final t 1 aient lieu les relations , , 1po (t 1 ) -< 0, olt (\)' (t 1 ), x (tl)) == o. (12)
11.] FORMULATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM 75 k')i par ailleurs les grandeurs'i' (t), x (t) et u (t) satisfont au système (9), (10) et à la condition 1°, alors les fonctions'lp.o (t) et cYlt ('i' (t), x (t)) de la variable t sont constantes de sorte qu'on peut vérifier les relations .(12) pas forcément à l'instant t 1 , mais à un instant quelconque t de l'intervalle t o t t 1 . Le théorème 8 reprend presque textuellement le théorème 1 for- Inulé au chapitre 1. La seule différence c'est que le théorème 8 est valable pour t 0 u t e classe D de commandes admissibles tandis que le théorème 1 n'est valable que pour la classe des commandes con- tinues par morceaux. Par ailleurs, la condition de maxinium (11) Il'est satisfaite que pre s que par t 0 u t, alors que dans le théorème 1 elle est partout remplie (voir égalité (16), chapitre 1). Il est aisé de comprendre que le théorème 1 découle du théorème 8. i\.ppliquons en effet le théorème 8 au cas où la classe D coïncide avec la classe des commandes continues par morceaux. Désignons par N l'ensemble des points de l'intervalle t o t t 1 en lesquels est -satisfaite la condition de maximum (11). Autrement dit, si t E N, on a 6Je ('i' (t), x (t), u (t)) QJe ('1' (t), x (t), v) (13) quel que soit v E U. L'ensemble N admettant sur l'intervalle t o t t 1 une mesure complète, et la commande u (t) appartenant à D, i.e. est continue aux extrémités de l'intervalle t o t t 1 et à g a u che de tout point de discontinuité (voir en page 12 la con- vention sur les valeurs aux points de discontinuité), il existe pour "tout point 't' de l'intervalle t o t t1 une suite de points Ti, T2, .. · ., 't'Tu · .. appartenant à N, convergeant vers T, telle que lim u (Th) = u (T). En vertu de (13) nous avons h-+ 00 QJt ('i' (Th), x (Th), u (Th)) QJ8 ('i' (Th), x (Th)' v), V E U. .QJe étant une fonction continue en ses arguments 'i', x et u et les fonc- iions 'i' (t) et x (t) étant continues, on a lim cl7e ('1' ('th), x (Th), v) = QJ8 ('i' ('t), x ('t), v). hoo ])'une façon analogue, on a lim $t ('i' ('th), x ('th), u ('th)) = 6Je ('1' ('t), x (T), U (T) hoo (puisque lim u (Th) = u (T)). Comparant les trois dernières rela- h-.. 00 tions, on a QJ8 ('i' (T), x (T), U (1')) QI8 ('i' (1'), x ('t), v) (quel que soit v EU), i.e4 QJ8 ('i' (1'), X (1'), U (T)) = al/t ('1' ('t), X (1')).
76 DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 2' Donc, la condition de maximum est remplie en t 0 u t point 't de l'intervalle t o t t 1 . Ce qui démontre le théorème 1 (à condition que soit vrai le théorème 8). Le théorème 8 sera démontré dans les quatre paragraphes suivants. 9 12. Système d'équations aux variations et son système adjoint Dans les démonstrations qui vont suivre nous rencontrerons sou- vent un paramètre positif 8, que nous considérerons comme étant un infiniment petit du premier ordre. Les grandeurs aussi bien vec- torielles que scalaires, d'un ordre de petitesse su périeur (en 8) se- ront désignées par le symbole 0 (8) (Le. lim 0(8) = 0). Pour dési- BO 8 gner les grandeurs d'un ordre de petitesse supérieur par rapport à 8, nous utiliserons 1 e m ê m e symbole 0 (8) (de sorte que par exem- ple 0 (8) + 0 (8) = 0 (8)). Soit u (t) une commande admissible quelconque définie sur l'in- tervalle t o t t 1 et x (t) = (XO (t), Xl (t), . . ., x n (t)) = (X O (t)? X (t)) - la solution correspondante du système (7) avec la condition initiale x (t o ) = xo. Désignons par y (t) la solution correspondant à la même commande u (t) et issue (au même instant t o ) d'un point. voisin de Xo Yo = xo + 80 + 0 (8) (14) où o est un vecteur constant (Le. ne dépendant pas du paramètre 8) de l'espace X. La solution y (t) est de la forme y (t) = x (t) + 8ÔX (t) + 0 (8), (15) où ôx (t) = (ÔX O (t), Ôx 1 (t), . . ., ôx n (t)) est un vecteur ne dépen- dant pas de 8, défini par le système suivant d'é qua t ion s a u x variations: n d (1 Xi ) = aji (x (t), u (t» ôxa., i = 0, 1, ..., n, (16) t axa a=O a vec la condition initiale ôx (t o ) = o. (Dans le deuxième membre de la relation (16) la sommation pourrait s'opérer de 1 à n, car les fonctions fi (x, u) ne dépendent pas de xo.) Rem a r que 1. Dans la formule (15) la grandeur 0 (8) dépend certes aussi de t, i.e. est de la forme 0 (8, t). Elle possède cependant uni for m é men t en t un ordre de petitesse supérieur par rap-
12.] SYSTÈME D"ÉQUATIONS AUX VARIATIONS 77 port à 8, i.e. le rapport 0 (8, t) tend vers 0 uniformément en t E [t o , t 1 ] 8 lorsque 8 -+ O. Rem a r que 2. Supposons que dans la formule (14) les gran- .deurs So et 0 (8) dépen'dent continûment d'un paramètre v variant dans un ensemble c 0 m p a c t N (i.e. sont de la forme So (v), .() (e, v)) et, de plus, que la grandeur 0 (8, v) soit, uni for ID é - nl e n t en v E N, d'un ordre de petitesse supérieur par rapport à 8 (Le. que le rapport 0 <:' 'V) tend uniformément en 'V ENvers 0 lorsque -+ 0). La formule (15) reste alors vraie et de plus ôx (t) dépend dé- sormais de v E N, quant à 0 (e) qui dépend aussi de v, i.e. est de la forme 0 (8, t, v), elle possède uni for ID é men t en v E N et t E [t o , t l ] un ordre de petitesse supérieur par rapport à 8 (Le. () (e, t, 'V), -+ 0 uniformément en t et v lorsque 8 -+ 0). 8 Les équations (16) permettent d'associer à chaque vecteur So = == ôx (t o ) une famille de vecteurs St = ôx (t) (pour t > t o ). Nous conviendrons de dire que St = ÔX (t) est un vecteur 1 i é issu du point x (t). Donc, chaque vecteur So, donné au point Xo définit un champ de vecteurs {St} le long de la trajectoire x (t). Nous dirons que les vecteurs de ce champ se déduisent du vecteur initial So par une translation le long de la trajectoire x (t). Désignons par X t l'espace vectoriel déduit de X par une transla- tion de l'origine des coordonnées en le point x (t), Le. l'espace des vecteurs liés issus du point x (t). Le vecteur St = ôx (t) est un élé- nlent de l'espace Xt. Désignons ensuite par At, to la transformation de l'espace X to dans l'espace Xt transportant tout vecteur So de l'espace X t 0 en le vecteur St de l'espace X t, déd ui t de So par une translation le long de la trajectoire x (t). Le système (16) étant li- néaire et homogène, la transformation At. to est linéaire et non dé- générée. Par ailleurs, il est évident qu'elle est homogène, i.e. qu'elle envoie l'origine des coordonnées de l'espace X to dans l'origine des coordonnées de l'espace X t. Si au lieu de t o et t on considère des instants quelconques t'et t" (pris dans l'intervalle sur lequel sont définies la commande u (t) et la solution x (t)), nous définissons d'une façon analogue une trans- formation non dégénérée, linéaire et homogène, A tIf, t' de l'espace X t' dans l'espace X tIf. II est évident que ces transformations linéaires jouissent de la propriété suivante (E étant la transformation iden- tique) : At" t' = E; Atm, t".A t ", t' = At,", t'. (17) Par définition des transformations At, to' les vecteurs At. to (So) constituent une famille de vecteurs déduits de So par une translation
78 DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUl\'I [Ch. 2- le long de la trajectoire x (t), et vérifient donc le système (16) : n ..:£ [ A ( )] i = " afi ex (t), u (t)) [ A ( )] a dt t, to '00 L.J axa t, to '00 , a=O i=O, 1, ..., n. (18) Il est évident que la solution (15) peut s'écrire sous la forme: y (t) - x (t) = gAt, to (60) + 0 (8) = At, to [y (t o ) - x (t o )] + 0 (g). (19) Comparons maintenant les systèmes (16) et (8). Ces systèmes sont linéaires et homogènes et les matrices qui leur sont associées sont respectivement de la forme: ( afi (x (t), u (t)) ) axa ' ' ( _ a/a (x (t) u (t)) ) . ax'L Autrement dit, ces matrices se déduisent l'une de l'autre par une transposition négative, Le. les systèmes (16) et (8) sont adj 0 i n t s. Remarquons que nous pouvons étudier les systèmes (8) et (16) seulement dans le cas où a été fait choix d'une commande u (t)" t o t t 1 , et de la trajectoire correspondante x (t) (Le. la solution du système (7)), car les fonctions u (t) et x (t) figurent dans les seconds membres des systèmes (8) et (16). Par suite de la linéarité. des systèmes (8) et (16) les solutions de ces systèmes peuvent être étudiées sur l'intervalle t o t t 1 tout entier, si la solution x (t) est définie sur cet intervalle. Les systèmes (8) et (16) étant adjoints, il en résulte que si'" (t) === == (11'0 (t), 11'1 (t), . · ., 'Pn (t)) est une solution quelconque du système- (8) et ôx (t) == (ÔX O (t), ôx 1 (t), . . ., ôx n (t)) une solution quelcon- que du système (16), alors le produit scalaire n ('i'(t), ôx(t))= 'l'a(t)ôxa(t) a=O est constant sur l'intervalle t o t t 1 tout entier. En effet, nous avons (presque partout sur l'intervalle t o t t 1 ) n n 'l'cd t ) ôx IX (t) = dW:e (t) ôx IX (t) + a=O a=O n n + 'l'a (t) dÔ: (t) = _ iJl (x ; u (t» '1'(3 (t) ô,xa; (t)-+ a=O a, (3=0 n + " '\l'a (t) a/a ex et), u (t» ôx (t) = O. L.J ax a, 6=0
12.] SYSTÈME Dl ÉQUATIONS AUX VARIATIONS 79 Soit, en particulier, un vecteur quelconque 60. Par définition, le vecteur fonction 6t == At. to (60) est alors solution du systèn1e (16) (voir (18)). Donc est vrai le lemme suivant. Lem m e 1. Si 'i' (t) est solution du système (8) et 60 un vecteur quelconque, donné au point x (t o ), alors sur l'intervalle t O -<.t.::(.t 1 tout entier est vraie la relation ('i' (t), At. to (60)) = const. Le lemme 1 permet de donner l'interprétation géométrique sui-- vante au système (8). Soit Lo un hyperplan quelconque de l'espace X passant par le point xo (i.e. par l'origine des coordonnées de l'es- pace ...cY to). La transformation linéaire At. to transporte 1 'hyperplan Lo dans un certain hypplan Lt (passant par le P9int x (t)). De cette façon donc est engendrée une famille d 'hyperplans {Lt}, dont nous dirons qu'ils ont été obtenus par translation de l'hyperplan Lo le long de la trajectoire x (t). L'équation de 1 'hyperplan Lt peut s' écri- rü sous la forme: . n 'Pa (t) x a = 0 a=O (20) OÙ x a , a = 0, 1, . . ., n sont des coordonnées courantes de l' es- pace X t et '\{Ja (t) les coefficients de l'équation de cet hyperplan (le terme libre a disparu car 1 'hyperplan Lt passe par l'origine des coor- données de l'espace Xt). Nous voulons savoir quelles doivent être les fonctions 'Pa (t) pour que l'équation (20) définisse pour diffé- rentes valeurs du paramètre t une famille d 'hyperplans translatés le long de la trajectoire x (t). Il s'avère que les fonctions 1Pa (t) peu ven t être tirées du système (8), i. e. si 'i' (t) == ($0 (t), 'Pl (t), . . . . . ., 'i'n (t)) est une solution quelconque du système (8), alors les hyper-- plans (20) se déduisent l'un de l'autre par une translation le long de la, trajectoire X (t). En effet, si les fonctions 'l'a (t), a == 0, 1, . . ., n, vérifient le. système (8) et si le vecteur 60 est contenu dans 1 'hyperplan n ,pa (t o ) x a == 0 (Le. le produit scalaire ('i' (t o ), 60) s'annule), alors. a=O quel que soit t, le produit scalaire ('1' (t), At, to (60)) s'annule, i.e. tout vecteur 6t == At, to (60) déduit,de 60 par _une translatin le long de la trajectoire x (t) est contenu darrs l'hyperplan correspondant (20). Ceci étant vrai pour tout vecteur 60 contenu dans 1 'hyperplan Tt 2j 'Pa (t o ) x a 0" on en conclut que les hyperplans (20) se dédui- a=O sent l'un, de l'autre par une translation l long de la trajectoire x (t)..
80 DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUl\I [Ch. 2 9 13. Variations des commandes et des trajectoires Soit u (t) une commande admissible définie sur l'intervalle t o < t ti- Faisons choix d'instants Lt, L2, . . ., LS' L tels qu'ils satisfassent aux inégalités t o < Li L2 . . . LS 't < t 1 et qu'ils soient des points réguliers pour la commande u (t). Faisons choix ensuite de nombres non négatifs arbitraires ôt i , _ . ., ôt s ' d'un nombre réel arbitraire (pas forcément non négatif) ôt et de points Vi, V2, . . ., V s arbitraires (pas forcément distincts) du domai- ne de commande U. Définissons maintenant comme suit les inter- valles I l , 1 2 , . . ., Is dépendant de 8. Posons { ôt-(ôti +... +ôt s ), si 'ti= L; Li = - (ôti + . . . + ôt s ), s Ti = Ts < T; - (ôt i + . . . + ôt}), SI Li = 'ti+1 = . . . = 'tj < 't'j+1 (j < s) et désignons par Ii l'intervalle Li + 8li < t 'fi + 8 (li + ôti). Si donc 'ti = Li+i = · · · = Lj, les intervalles Ii' I i + i , . . ., Ij sont contigus et se succèdent de gauche à droite; si par contre l'intervalle Ih n'est pas contigu à droite à l'intervalle suivant (i.e. si 'th <'fh+i ou k = s), l'intervalle l h admet alors pour extrémité droite le point Lh lorsque Lh <'f et le point L + 8ôt lorsque 'fh = L. La longueur de Ii est égale à 8ôt i . Si ôt i = 0, l'intervalle Ii correspondant est «vide», i.e. n'existe pas. Pour 8 suffisamment petit, les intervalles It, . . ., 1 s sont disjoints deux à deux et se situent tous sur l'intervalle principal t o t < t i , à gauche du point 'f + 8ôt. En supposant que 8 remplit ces conditions, nous définissons une commande u* (t) sur l'intervalle t o t < 'f + 8Ôt comme suit: { u (t), si t n'appartient à aucun des ensembles u* (t) = I t ,1 2 , ..., Is, Vi' si t E Ii. Nous dirons que la comnde u* (t) se (léduit par perturbation de la commande u (t). Par suite de la convention sur les classes de com- mandes admissibles ( 10), la commande u* (t) est admissible (pour 8 suffisamment petit). Soit x = S (8), 0 8 80 l'équation paramétrique d'une ligne continûment différentiable passant par le point Xo pour 8 = 0 et admettant en ce point un vecteur tangent So ( = dO» ) . Désignons par x (t), t o < t -<. tit la trajectoire correspondant (voir. (7)) à la commande il (t) et issue du point xo; 'et par x* (t) la
13.] VARIATIONS DES COMMANDES ET DES TRAJECTOIRES 81 trajectoire correspondant à la commande perturbée u* (t) et issue du point S (e). (Le paramètre e est le même dans la commande perturbée u* (t) et dans l'équation paramétrique de la ligne S (e).) Puisque la commande u* (t) est bornée et diffère de u (t) seule- Dlont d'un ensemble de mesure e (ôt 1 +. . . + ôt s ), il découle aisément du théorème de la dépendance continue des solutions des équations différentielles par rapport aux valeurs initiales que pour c suffisamment petit la solution x* (t) est définie sur l'intervalle to<t-<.'t + eôt tout entier sur lequel est considérée la commande u * (t). Notre objectif immédiat est de déterminer la position du point x* ('t + eôt). Nous allons notamment prouver qu'est vraie la formule x* ('t + e8t) == x ('t) + eA,;, to (So) + ex + 0 (E), (21) oÙ x est un vecteur ne dépendant pas de E, défini par l'égalité x == f(x ('t), U ('t)) ôt + s + 2j A,;,,;. (f(x ('ti), Vi) -f(x ('ti), U ('ti))] ôt i . (22) i=1 z Prouvons les formules (21) et (22) par récurrence sur s. En appli- quant, pour commencer, la relation (1) à la fonction vectorielle g (t,u) == f (x (t), u) (qui de toute évidence est continue en ses arguments) et en posant e == 't, P = 0, q = ôt, il vient: 1:+ëÔt J f (x (t), u (t» dt = f,ôt.f (x (1:), u (1:» + 0 (f,), 1: ou, puisque x (t) est une solution (absolument continue!) du systè- nle (7), x ('t + ëôt) = x ('t) + e[ (x ('t), u ('t)) ôt + 0 (ë). (23) Si, ensuite, 'ts < 't, alors pour e suffisamment petit, l'intervalle (t, 't + e8t) est situé à d roi t e du point 'ts, de sorte que sur cet intervalle la commande u* (t) coïncide avec u (t) et donc ,;+ëÔ t ;x:* ('r + f,ôt) - x* ('r) = J f(x* (t), u* (t» dt = 1: 1:+ëÔt = , f(x*(t), u(t»dt. (24} ... 1: I)ar. ailleurs, on voit aisément (n vertu du théorème de la dépen- d an ce continue par rapport aux valeurs initiales), que la solution x* (t) tend uniformément (sÜr l'intervalle t o t 't + eôt tout 6-01339
82 DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 2 entier) vers x (t) lorsque 8 O. Donc f (x* (t), u (t)) == j- (x (t), u (t)) + Si (t) où Si (t) tend uniformémen t (en t) vers 0 lorsque 80. D'où il vient: -r+eôl ,;+eôt i f(x* (t), u (t)) dt = i f(x (t), u (t)) dt + 0 (e) = ,; ,; === X ('t + eôt) - x ('t) + 0 (e) === ef(x ('t), u ('t)) ôt + 0 (ë) (voir (23)). D'où, en comparant cette relation avec (24), (pour 'ts < < 't) x* (1' + e8t) === x* ('t) + ëf (x (1'), U ('t)) 8t + 0 (8). (25) Trouvons enfin l'accroissement de la fonction x* (t) sur Ii. Puisque sur cet intervalle f(x* (t), u* (t)) ===f(x(t), Vi) + S2(t), où S2 (t) tend uniformément vers 0 lorsque 8 O, alors sur Ii' l'accroissement x* ('t i + 8 ( l i + 8t i)) - x * ('t i + 8l i) === x* II. l de la fonction x* (t) prend la valeur suiva,nte X*II.= \f(x*(t), u(t))dt=== l .J I. l = J f(x (t), Vi) dt + 0 (e) = ef(x (1:i), Vi) ôti + 0 (e) (26) I. l (rappelons que la longueur de 1 i est égale à ëôt i et que cet intervalle se réduit au point 'ti lorsque e -+ 0). Vérifions maintenant par récurrence les relations (21) et (22). Pour s === 0 nous avons u* (t) === u (t). D'où (voir (14), (15), (19)): x* (t) == x (t) + 8At, t o (so) + 0 (8). En particulier, x* ('t) - X ('t) === 8A,;, to (So) + 0 (8). En vertu de (23) et (25) il vient: x* ('t + 8ôt) - x ('t + 8ôt) === x* ('t) - X ('t) + 0 (ë) === 8A,;, to (£0) + 0 (8), d'où (voir (23)) x* ('t + e8t) === x ('t + 8ôt) + eA,;, to (So) + 0 (e) === === x ('t) + ef(x ('t), u ('t)) ôt + ëA,;, to (SO) + 0 (8), et les formules (21) et (22) sont établies pour s == O.
13.] VARIATIONS DES COMMANDES ET DES TRAJECTOIRES 83 Supposons maintenant que les formules (21), (22) sont démon- trées pour le cas où le nombre des intervalles If, 1 2 , . . . est i n f é rie u r à s et prouvons que ces formules sont vraies lorsque les intervalles I l , 1 2 , . . ., l s sont au nombre de s. Désignons par le un entier tel que 'tk+1 === 'tk+2 == · · · == 'tg et 't i < 'tg pour i k (le cas k == 0 n'est pas exclu). Remplaçant le point 't par le point 1's, le nombre ôt par le nombre lk+1 et, enfin, le nombre s par le nombre i n f é rie u r k, il vient de (21) et (22), en vertu de notre hypothèse récurrente, x* ('tg + ëlk+1) == x ('t s ) + ëf(x ('t s ), U ('t s )) lk+1 + k .tEA't t (Sa)+B Li A't 'te [f(X('ti)' vi)-f(x('ti)' U('ti))] ôt i + 0(8). (27) s' 0 i=1 s' l Ce qui n'est autre que la valeur prise par la fonction x* (t) à l' ex- trémité gauche de l'intervalle 1 k+1. Etant donné ensuite que les intervalles I h + 1 , . . ., l s sont contigus, en sommant la relation (26) po1ir i == k + 1, . . ., s, nous obtenons l'accroissement de la fonction x* (t) de l'extrémité gauche de Ik+1 à l'extrémité droite de Is, Le. jusqu'au point 'ts + B (ls + ôt s ) : s x* ('t s + B (ls + ôt s )) - x* ('t s + Elk+1) == B Li f(x ('ti), Vi) ôt i -t- 0 (B). i=k+1 En additionnant cette relation à la relation (27) il vient: x* ('t s + B (ls + ôt s )) == x ('t s ) + BJ"(X ('t s ), U ('t s )) lk+1 + s + BA,; , t o (Sa) + B f (x (1'i), Vi) ôt i + s i=k+1 k + B Li A't , 't. [J"(x ('ti)' Vi) - f(x ('ti), U (1'i))] ôt i + 0 (B) == i=1 s l == X ('t s ) -t- Ef (x (1's), U (1's)) (lk+1 + Ôt k + 1 + . . . + ôt s ) + s + BA't , t (Sa) + B Li [J" (x ( 't i)' Vi) - f (x ('t s), U ('t s) )] ôt i + s a i=k+l k + B lj A,; , 't. [J" (x ( 't i ), Vi) - f (x ( 't i ), U ( 't i) )] ôt i + 0 (ë). i= 1 s z Puisque A';s.';t == E pour i == k + 1, . . ., s (voir (17)) la der- nière expression peut s'écrire sous la forme: x* ('t s + B (ls + ôt s )) == 6*
:S4 DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 3 ==X(LS) +8f(x (LS)' U(LS)) (lk+1+Ôt k + 1 + ... + ot s ) + 8.4"S' tO(O)+ S + 8 A" , ". [f (x (L i), Vi) - f (.'e (L i ), U (L i ) )] 8t i + 0 (8). ( 28) i= 1 S l ' Si Lk+1 == LS == L, en vertu de la définition des nombres li nous avons ls + ôt s == 8t, lk+1 + 8t h + 1 + .,., + 8t s == 8t, et dans ce cas donc la relation (28) coïncide avec (21) et (22). Si LS < 't, alors ls + ôt s == 0, lk+1 + 8t k + 1 + . . . + 8t s == 0, et la relation (28) prend la forme: x* ('t s ) == X (LS) + 8A,;s', t o (So) + s + ë A" , ". [f(x (Li), Vi) -f"(x (Li), U ('ti))] 8t i + 0 (8). (29) i= 1 s l Puisque dans ce cas sur la portion d'intervalle LS < t L la com- mande u* (t) se confond avec u (t), alors avec une précision d'une grandeur, d'un ordre de petitesse supérieur par rapport à 8 (voir 12), les vecteurs x* (t) - x (t) pour 't s -< t 't se déduisent l'un de l'autre par une translation le long de la trajectoire x ( t) (voir (19)) : . x* (t) -. x (t) == .A t, "s (x * (L s) - x (L s)) + 0 (8) ( t 't s ) . En appliquant donc à la formule (29) la transformation A", "s' nous obtenons (voir la deuxieme relation (17)): x* ('t) - X Cr) == 8A", to (So) + s + ë A",.,;. lf(x (Li), Vi) - f(x (Li), U (Li))] 8t t + 0 (8). i=l w l En additionnant enfin la dernière expression et la relation (25) nous obtenons dans ce cas aussi (i.e. pour LS < 't) les relations (21) et (22), ce qui achève notre démonstration. Rem a r que. En analysant la démonstratioÎ1 faite, nous cons- tatons qu'elle repose sur la formule (1) et les équations aux varia- tions (formules (14),. (15) et (l6)). Ausi, en tenant compte de la formule (2) et de la remarque 2 de la page 77, nous aboutissons à la conclusion suivante., Si toutes les grandeurs 8t 17 8t 2 , . . ., 8t s , 8t dépendent continûment d'un èertain paramètre v variant dans l'en- semble compact N, les formules (21) et (22) restent vraies, et, de plus, la grandeur 0 (8) 'de la formule (21) (qui dépend évidemment de v) est uni for m é men t e n v d'un ordre de petitesse supé- rieur par rappo,rt à 8. , 9 14. Lemmes fondamentaux Si l'un quelconque des nombres 8t i est nul, on peut le négliger avec les points correspondants Li et Vi dans la définition de la com- mande perturbée u* (t) sans que cette dernière soit Inodifiée. Inverse-
14.] LEMMES FONDAMENTAUX 85 Jnent, l'adjonction de nouveaux points 'ti' Vi pour lesquels 8t i == 0 ne modifie pas la commande u* (t). S'il est question d'un nom- bre fin i de commandes ur (t), . . ., u (t) obtenues par perturbation d 'nne seule et même commande. u (t) pour le même 't, de ce qui pré- cède nous pouvons considérer que dans la définition des commandes a (t), . . ., u (t), tous les points 't i1 Vi son t ide n t i que s et sont pris en quantité ide n t i que, mais que la seule distinc- tion existant entre ces commandes est qu'elles ne possèdent pas les mêmes 8t i et 8t. Dans la suite nous nous servirons, mais sans le spécifier cbaque fois, de cette possibilité de 'considérer que tous les points 'ti et Vi sont identiques (lorsqu'il sera question d'un nombre fin i de différentes perturbations d'une même cOlnmande). Le vecteur x (voir (22)) ne dépend pas de 8, mais dépend. essen- tiellement du choix des points Li' Vi' L et des nombres 8t et 8t i (i == 1, 2, . . ., s). Désignons l'ensemble des grandeurs Li' Vi' 't, 8t i, 8t par a : a == {Tb Vi' T, 8t i1 8t}, et le vecteur (22) par Xa pour en indiquer la dépendance par rap..l port à ces grandeurs. Nous supposerons dans ce paragraphe que le point régulier 'L de la commande u (t) est fi x é et que toutes les perturbations de cette commande satisfont à la condition t o < 't1 't 2 'Ls 't < t 1 . Soit le nombre fin i de grandeurs a' == {'ti, Vi' 't, 8ti, 8t'}, a" == { 't i, Vi' 't, ôti, 8t"}, . . . . . . . . . . . . . Nous pouvons considérer (voir plus haut) que tous les points 'Li et Vi sont ide n t i que s pour toutes les grandeurs a', a", . . . (ce qui est prévu par les notations). Définissons la combinaison linéai- "1' , + "1" " f- d d ,,, " ff .. t re l'v a l'v a - ... es gran eurs a, a , . .. a coe lClen s non négatifs Â', Â", . . . au moyen de la formule *) - 'A 1 a 1 + Â" a" + . . . == {'Li' Vi' 't, Â/8ti + 'A" 8ti + . . ., Iv' 8t' + Â" 8t" + . . . }. (La non-négati vi té des coefficients Â', Â", . . . est essentielle, sinon les grandeurs ')../8ti + Îv "8t'[ + . . . pourraient être négatives, ce qui est inadmissible.) *) Notons que, d'une façon générale, l'adjonction de nouveaux points 't'i et Vi pour lesquels ôti == 0 (grâce à quoi tous les points 't'i, Vi de la suite finie des grandeurs a', a" ... deviennent les mêmes) peut se réaliser de plusieurs maniè- res. Par suite, la combinaison linéaire Â' a' + Â"a" + . . . aussi est déter- n1inée d'une manière non univoque. Cependant, on voit aisément que cette non- unicité n'influe nullement sur les calculs ultérieurs.
86 DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 1 A près a voir fai t choix d'une certaine commande u (t), t o t tt, et de la trajectoire x (t) correspondante, nous allons maintenant considérer les vecteurs x == xa pour les divers symboles a ('t étant fixé). Le lemme suivant est évident. L e ID ID e 2. Si a == Îv' a' + };' a" + . . . (0 ù Îv' ? 0, Îv" ? 0, ...) , les vecteurs correspondants x sont liés par la même combinaison li- néaire Xa == Â' xa' -t Îv" xa" +. . . . Ceci découle immédiatement de la 1 i n é a rit é des nombres 8t 1 , . . ., 8t s , 8t dans la formule (22). Nous considérerons que x est un vecteur lié issu du point x('t), i.e. est un élément de l'espace X'"C (voir 12). Si nous prenons tous les symboles a ('t étant fixé), les vecteurs x == xa rempliront un ensemble [(T: dans l'espace X '"C. Prouvons maintenant que l'ensemble KT: est un cône convexe *) de l'espace vectoriel X '"Ce *) Un ensemble M d'un espace vectoriel X est appelé cône convexe de som- met au point 0 si 1) il est un cône, Ï.e. avec tout point a distinct de 0, il con- --+ tient le rayon oa tout entier, 2) il est convexe, Le. il contient le segment qui joint deux quelconques de ses points. Remarquons que si le cône convexe M ne reffi- plit pas l'espace vectoriel X tout entier qui le contient, il existe alors dans l'espace X un hyperplan passant par le somffiet du cône 0 et tel que le cône M est entière- ment contenu dans l'un des demi-espaces (fermé) défini par cet hyperplan. Un point x E X est un point intérieur du cône convexe Mc X si l'un de ses voisina- ges est entièrement contenu dans le cône M. L'ensemble de tous les points intérieurs constitue l'intérieur du cône M eX. Soient ensuite Mi et M 2 deux cônes convexes de l'espace X de sommet com- mun o. Nous dirons que les cônes Mi et M 2 sont séparables dans X s'il existe un hyperplan qui les sépare, i .e. un hyperplan tel que le cône Mt soit entièrement situé dans l'un des demi-espaces (fermé) défini par cet hyperplan et le cône M 2 dans l'autre demi-espace. Pour que les cônes Mt et M 2 soient séparables, il est nécessaire et suffisant que soit reffiplie l'une des deux conditions suivantes: 1) qu'il existe un hyperplan contenant les deux cônes Mt et M 2 ; 2) qu'il n'existe pas de-point intérieur à la fois à Mt et à M 2 relativeffient à leurs plans portants. Si donc les cônes Mt et M 2 (de sommet commun 0) ne sont pas séparables dans X, l'enveloppe linéaire de leurs plans portants se confond avec l'espace X tout entier et de plus, il existe un point a intérieur à chaque cône Mi et M 2 relati- vement à leurs plans portants. Dans ce cas, on peut faire passer par le point a un plan C orthogonal à la droite oa, coupant en a seuleffient le plan portant du cône M 2 et tel que tous ses points suffisamment proches de a appartiennent également au cône M17 et de plus l'enveloppe linéaire du plan C et du plan portant du cône M 2 est confondue avec X. Autreffient dit, une boule de rayon petit centrée en a coupe le plan C suivant une « aire complémentaire » au plan portant le cône M 2 . Cette « aire complémentaire » est orthogonale à la droite oa, est entièrement contenue dans le cône Mt et sa dimension est égale à la diffien- sion de l'espace X diminuée de celle du cône M 2 .
14.] LEMMES FONDAMENTAUX 87 En effet, si a' et a" sont deux points de l'espace X 'C' appartenant à l'ensemble K 'C' i.e. s'il existe des symboles a', a" tels que , A "A a == LlX a " a == LlX a " alors quels que soient Â' , Â" non négatifs nous avons, en vertu du lemn1e 2: 'l' ' + 'l"" 'l'A -L'l"A A IV a IV a ==IV LlX a ' 1 IV LlXa"==LlXO,,'a'+Â."a"), i.e. le point Â' a' +. Â "a" appartient également à l'ensemble K 'C. Ce qui signifie que Il. 'C est un cône convexe de l'espace X'C (ou, ce qui est équivalent, un cône convexe de l'espace X admettant le point x Ct) pour sommet). Nous appellerons l'ensemble l{ 'C cône d'atteignabilité. DéITIontrons maintenant deux lemmes qui nous permettront d'appliquer les constructions exposées précédemment à l'étude des processus optimaux. I.J e m m e 3. Soient T (t o < T < tt) un point régulier de la com- mande u (t), x (t) la trajectoire associée à la commande u (t) et issue du })oint Xo, et A - une ligne issue du point x (T) et admettant en ce point un rayon tangent L. Si le rayon L appartient à l'intérieur du cône [('C (i.e. si tous les points du rayon L, à l'exception de son extré- mité, sont des points intérieurs à l'ensemble K 'C)' il existe alors une commande u* (t) telle que la trajectoire correspondante x* (t) issue du mênLe point Xo passe par un point (distinct de x (L)) de la ligne A. D é mon s t rat ion. Choisissons sur le rayon L un point quelconque A distinct de x (L). Traçons à partir de A n vecteurs et, e 2 , · · ., en de même longueur r, orthogonaux au rayon L et or- thogonaux deux à deux. Posons ensuite fi == -eh i == 1,2, . . ., n; nous supposerons que les vecteurs fi sont également issus du point A. Nous considérons que la longueur commune r des vecteurs et, . . . . . ., en, fi, . . ., j.n est tellement petite que les extrémités de tous ces vecteurs appartiennent au cône K'C (ce qui est possible puisque A est un point i n t é rie u r à ce cône). Désignons enfin par c le vecteur admettant pour origine le point x (L) et pour extrémité le point A. Comme les vecteurs c, c + et, C + e 2 , . · ., c + en, C + ft, C + 1 2 , . . ., C + fn (issus du poin t x (T)) a pp artiennen tau cône [( 'C' il existe des symbo- les ao, at, ..., an, a;, ..., a tels que i1x ao == c, i1x ai == c + eh ..., i1xan == C + en, i1xa==C+fb ..., xa==c+fn.
88 DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 2 Définissons maintenant deux fonctions (de toute évidence continues et non négatives) h + (p) et h- (p) de la variable réelle comme suit: { p pour p? 0, { 0 pour p ? 0, h+ (p) === h- (p) === o pour p < 0; -p pour p < O. Pour (pl)2 + (p2)2 + + (pn)21, la formule a ::.:::: a (pl, ..., pn) === n n n = ( 1 - 1 pi 1) ao + h+ (pi) ai + h- (pi) ai i=l i=l i=l défini t le symbole a (pl, . . ., pn) dépendant de n nOlnbres réels pl, . . ., pn. (En effet, nous avons un nombre fin i de sym- boles ao, ai,ai et de plus tous les coefficients h+ (pi), h- (pi) et n 1 - .!. 1 pi 1 sont non négatifs, comme il 'est aisé de le voir.) n i=l Le vecteur x correspondant au symbole a === Œ (pl, . . ., pn) est, en vertu du lemme 2 et des relations fi === - eb h+ (p) + h- (p) === === 1 p 1, h+ (p) - h- (p) === p, de la forme suivante: n AXa = ( 1- ] 1 pi 1 ) c + i=1 n n + h+(pi)(c+ei)+ h-(pi)(C+fi) = i=1 i=1 n =[1+ (-lpil+h+(pi)+h-(pi))JC+ i=l TI n +.! 'Y, [h+ (pi) - h- (pi)] ei === C +.!. I piei. n... nk..J i=1 i=1 Si donc le point (pl, . . ., pn) parcourt la boule unitaire (pl)2 + . . . + (pn)2 1 (30) dans l'espace numérique de dimension n, alors le vecteur xa (plus exactement, son extrémité) parcourra une boule de din1ension n dans l'es p ace X't, en l'occurrence la boule de ra y on ..!.- r centrée en A 11 et orthogonale au rayon L. Sous les mêmes conditions, l'extrémité du vecteur BXa (tous les vecteurs sont issus du point x ('t), i.e. de l'origine des coordonnées de l'espace X 't) parcourt une boule E£ de
S 14.] LEMMES FONDAMENTAUX 89 dimension n, de rayon 8..!- , orthogonale au rayon L ; la boule Ee est n centrée au point Ae du rayon L, distant de 8d du point x ('t'), où d est le module du vecteur c (fig. 31). Puisque notre raisonnement ne porte que sur des symboles a qui sont des combinaisons linéaires (à coefficients non négatifs) d'un nombre fin i de symoles a o , ah .ai, i== .x(Z} ==1, 2, . . ., n, les pOInts 't'j, Vj, ] == 1, 2, . . ., s figurant dans la défini tion du symbole a == a (pl, . . ., pn) sont identi- ques pour tous ces symboles, i.e. ne dépendent pas de pl, . . ., pn; le point 't est également fixé. Les nombres 8t h . . ., 8t s et 8t (qui ont servi à définir la commande perturbée u* (t)) dépendent continûment de pl, . . ., pn. Aussi écri- rons-nous u (t) et 8t a pour souligner que les grandeurs u* (t) et 8t dépendent de pl,. . ., pn. Désignons par x (t) la tra- jectoire ,x;* (t) issue du point Xo et asso- ci ée à la commande u* (t), de sorte que la relation (21) (dans laquelle So == 0, car le point initial se confond avec Xo FIG.31 pour tous les 8) nous donne: xci ('t -t- 88t a ) == X ('t) + 8Xa + 0 (8). (31) Notons quo la trajectoire x (t) dépend con t i n û men t des paramètres pl,..., pn; d'une façon analogue, le non1bre 8t a dépend con t i n û men t de pl, . . ., pn. Donc, le point x ('t' + 88t a ) dépend con t i n û men t de pl, . . ., pn, et la grandeur 0 (8) est uniformément en pl, . . ., pn d'un ordre de peti- tesse supérieur par rapport à B (voir la remarque de la page 84). Par conséq uen t, lorsque le point (pl, . . ., pn) décri t la boule (30), le point (31) décrit (pour tout 8 fixe) un « disque » Fe (i.e. une ilnage continue de la boule (30) ; le disque peut posséder des points cruno- daux, etc.). Le disque Fe «coïncide » avec la boule Ee (voir (31) avec une précision d'une grandeur d'un ordre supérieur de petitesse par rapport à 8; plus exactement, les points du disque Fe sont dis- tants des points correspondants de la boule Ee d'une longueur d'un ordre supérieur de petitesse par rapport à 8 (uniformément pour tous les points de la boule Ee). Le point d'intersection de cette boule avec la ligne A (point qui existe pour des 8 suffisamment petits) est séparé du point x ('t) et de la frontière de la boule Ee d'une grandeur de l'ordre de 8. Donc, pour 8 suffisamment petit, le disque Fe cou-
90 DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 2 pela ligne A en un point *). (fig. 32). Choisissons un tel B. Comme le disque FE tout entier est composé de points de la forme (31), éta- blir l'intersection de F e avec la ligne A revient à dire qu'il existe des pt, . . ., pn (contenus dans la boule (30)) tels que x (T + ë8t a ) E E A. Autrement dit, en désignant par u* (t) et x* (t) les grandeurs u (t) et x (t) correspondant aux valeurs choisies de pl, . . ., pn et .:etc:) en supposant 't -t- e8t a == 't f , on a x*( t o ) == 1 f == Xo, x* ('t ) E A, et le lemme 3 est dé- montré. \ \ Fe \ \ \ \ \ \ \L FIG. 32 Lem m e 4. Si la commande u (t) et la trajectoire correspondante x (t), t o < t < t 1 , sont optimales, alors pour tout point régulier 't (t o < 't < t 1 ) le rayon L'C, issu du point x ('t) et orienté dans le sens du demi-axe négatif x O , n' appar- tient pas à l'intérieur du cône K'C (i.e. pas- se soit à l'extérieur du cône soit par sa frontière) . D é mon s t rat ion. Supposons que pour un certain 't le rayon L" appartient à l'intérieur du cône 11.'C. Appliquons le lemme 3 en prenant pour ligne A (et pour rayon L) le rayon L'C. Il existe alors une commande u*(t) telle que la trajectoire correspondante x* (t) (issue du même point xo) passe à un instant 't f > t o par un point situé sur le rayon L'(. Autrement dit, X('tf)==Xi('t), i==1,2, ..., n; x ('t f ) < X O ('t). Définissons sur l'intervalle t o t t 1 + ('t f - 't) la commande u** (t) en posant { u* (t) u** (t) == u (t - ('t f - 't)) pour 't f < t t 1 + ('t f - 't). La trajectoire x** (t) associée à la commande u** (t) et issue du point xo coïncide de toute évidence sur l'intervalle t o t 't f avec la trajectoire x* (t) de sorte que, en particulier, x* ('t f ) -== xi ('t), i == 1, 2, ..., n; x ('t f ) < X O ('t). *) L'existence d'un tel point d'intersection paraît « évidente »; la délnons- tration rigoureuse se fait facilement par les méthodes élémentaires de la top 0 - log i e (au moyen de la notion d'indice d'intersection; voir par exenlple V. Bol t i ans k i «La théorie homotopique des applications continues et des champs de vecteurs », Travaux de l'Institut Steklov, t. XLVII, 1955. pour t o t 't f , (32)
9 15.] DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM 91 D'autre part sur l'intervalle L' t t 1 + (L' - T) la trajectoire x** (t) prend la forme: x** (t) == x (t - (T' - T)) + p, (33) où p est un vecteur constant p == (x * (T') - XO (L), 0, 0, ..., 0). (e qu'on obtient immédiatement en portant la solution (33) dans l'équation (7) et en tenant compte du fait que les seconds membres du système (7) ne dépendent pas de t et de XO ; le vecteur p est défini à partir de la con di tion en vertu de laquelle la trajectoire x** (t) doi t être continue au point de « jonction » T' de ses deux portions.) Pour t == t 1 + (L' - L) nous obtenons: x** (t 1 + (T' - T)) == X (t 1 ) + p. Autrement dit, le point x** (t 1 + (-t' - T)) est situé sur la droite II, définie dans le 11 (car le vecteur p est parallèle à l'axe XO) et, de plus, x* (t 1 + (T' - T)) == XO (t 1 ) + x* (L') - XO (T) < XO (t 1 ) (voir (32)). Or cela contredit l' optimalité de la trajectoire x (t) et de la commande u (t). Donc l'hypothèse faite en début de démonstra- tion conduit à une contradiction et le lemme 4 est entièrement dé- D10ntré. 9 15. Démonstration du principe du maximum Dans ce paragraphe nous supposerons que x (t), t o t t 1 , est une trajectoire optimale (joignant le point Xo à un point de la droite II, voir 11) et u (t) la commande optimale correspondante. Soit T un point régulier quelconque de la commande u (t). D'après le lem- n1e 4, le rayon L" n'appartient pas à l'intérieur du cône 1(" de sorte que celui-ci ne remplit pas entièrement l'espace X. Aussi existe-t-il un hyperplan d'appui au cône [(" en son sommet, i.e. un hyperplan l' tel que le cône [(" tout entier est situé sur l'un des deux demi- espaces fermés définis par l'hyperplan r. (L'hyperplan r jouissant de cette propriété peut ne pas être unique; les raisonnements ulté- rieurs sont valables pour un tel hyperplan quelconque.) L'équation de l'hyperplan r (dans l'espace X ,,) peut s'écrire sous la forme n a(Xx a == 0 où xo, Xl, . . ., x n sont des coordonnées courantes. a=ü (olnn1e le produit de tous les coefficients aa par un même nombre non nul ne n10difie pas l 'hyperplan r, nous pouvons considérer (en ehangeant au besoin les signes de tous les nombres aa) que le cône n J( 'C est situé dans le demi-espace n é g a tif ( L aaxa ::(; 0 ). Autre- a=O
92 DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 2 ment dit, pour tout vecteur L\x, défini par la formule (22), on a (a, x) 0 (x E l( -c), (34) où a désigne le vecteur (a o , ai, . . ., an) (car l'ensemble des vec- teurs (22) n'est autre que le cône ]{-c). En posant dans la fornlule (22) 8t i == 8t 2 == . . . == t$ == 0, on a x == j" (x (L), u (rr))8t, et d'après (34), ( a, j" (x (L), U (L)) 8 t) o. Comme cette inégalité est valable quel que soit 8t (négatif ou posi- tif), il vient (a, f (x (L), U (L))) == 0, i.e. QJt (a, x (L), u (L)) == 0 (35) (cette relation a lieu si le vecteur a satisfait à la condition (34)). Désignons par "" (t, a) == (1Po (t, a), 1P1 (t, a), . . ., 1Pn (t, a)) la solution du système d'équations (8) (correspondant à la commande u (t) et à la trajectoire x (t) optilnales étudiées) vérifiant la condi- tion ini tiale "1' ('t, Ct) == a. (36) La solution"" (t, a) est définie sur l'intervalle t o t t i tout entier puisque le système (8) est linéaire. Lem m e 5. Si le vecteur a satisfait à la condition (34) alors en tout point régulier de la commande u (t), contenu dans l'inter- valle t o < t 't est vérifiée la relation QJ8 ("" (t, a), x (t), u (t)) == &ft ("1' (t, a), x (t)). Soit 'ti un point régulier de la commande u (t) contenu dans le SOl1S- intervalle t o < t 't et Vi un point quelconque de l'espace U. Soit le symbole a (voir 14) avec un seul point Li (i.e. s == 1) et où 8t h 8t sont respectivement égaux à 1 et 0 : a == {Li' Vb 't, 1, O}" Le vecteur x (voir (22)) correspondant à ce symbole a sera alors égal à x == A 't, L 1 [," (x ('t 1), V 1) - j" (x (L 1)' U (L 1) ) ] . D'où il résulte en vertu des relations (34) et (36) ("1' ('t, a), AL, L 1 [j" (x ('t 1)' V 1) - f (x (L 1), u ( L 1 ) ) ] 0
15.] DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM 93 et, par conséquent, d'après le lemme 1 et la relation At'l,tl == E (voir (17)) ('i' ('"Ci' a), j" (x ('"Ci), Vi) - j" (x ('"Ci), U ('"Ci))) o. (ette expression (de par la défini tion de la fonction QJC) peut s'écrire sous la forme: QJt ('i' ('"Ci' a), x ('"Ci), Vi) - QJg ('i' ('"Ci' a), x ('"Ci), U ('"Ci)) 0, et cOll1me cette inégalité est valable pour tout point Vi EU, il vient: cf)[ ( ('th a), x ('Li), u ('"Ci)) == == max QJt ('i' ('"Ci' a), x ('ti), Vi) == ait ('i' ('"Ch a), x ('"Ci)), VtEU et le lemme 5 est démontré. La relation indiquée dans le lemme 5 est également valable pour t === L (car '"C est un point régulier) : QJ8 ('i' ('t, a), x ('t), U ('"C)) == aIIt ('i' ('"C, a), x ('"C)). En vertu donc de (35) et (36) il vient l'assertion suivante. Lem m e 6. Si le vecteur a satisfait à la condition (34), alors dit ('i' ('"C, a) , x ('t)) === o. Lem m e 7. Si une fonction absolument continue 'i' (t) vérifie presque partout sur un intervalle 1 l'équation (8) et la relation QJ8 ('i' (t), x (t), u (t)) == C?J!t ('i' (t), x (t)), (37) alors la fonction alt ('i' (t), x (t)) est constante sur l'intervalle 1 tout entier. Ren1arquons tout d'abord que la fonction ait ('i' (t), x (t)) est 'semi-continue inférieurement sur l'intervalle J. Soit en effet t'un point quelconque de cet intervalle et 8 un nombre positif. Par défi- nition de la borne supérieure, il existe un point u' E U tel que QJ8 ('i' (t'), x (t'), u ') c>./It ('i' (t'), x (t')) - . Par ailleurs, la fonction QJ8 ('i' (t), x (t), u) étant continue en t pour n === u' fixe, il existe un Ô > 0 tel que pour 1 t - t' 1 < Ô on ait 1 $t ('i' (t), x (t), u') - cW ('i' (t'), x (t / ), u ' ) 1 < . -Donc, pour 1 t - t' 1 < ô, est vraie l'inégalité -?lIt ('1' (t), x (t)) == su p cW ('i' (t), x (t), u) uEU , > QJ8 ('i' (t), x (t), u') > dit ('i' (t'), x (t')) - ë, qui lllontre que la fonction a/lt ('i' (), x (t)) est semi-continue infé- rieurement.
94 DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 2 Par ailleurs, la commande u (t) étant admissible, l'image de l'in- tervalle 1 par l'application u admet dans l'espace Er une adhérence compacte (voir 10), i.e. il existe dans Er un ensemble compact P tel que u (t) E P lorsque tEl. Posons m ( 'l', x) == max Q7{ ("', x, u). uEP Il est alors évident que oJ!t ("" x) > m ("" x), (38) quels que soient x et 'i'. L'expression (37) signifie que presque par- tout sur l'intervalle 1 a lieu l'égalité m (", (t), x (t)) == Q/jt (", (t), x (t)) (car u (t) E P). Ainsi donc &Il ('" (t), x (t)) est une fonction semi-continue infé- rieurement, coïncidant presque partout sur l'intervalle 1 avec la fonction m (", (t), x (t)) et liée avec elle par la relation (38). Il en résulte que si la fonction m ('i' (t), x (t)) est continue, alors la fonction C?l!t ('" (t), x (t)) cOl'ncide avec elle par t 0 u t sur l'intervalle 1 (et pour cette raison est continue). Nous allons maintenant prouver que la fonction m ('" (t), x (t)) et, par conséquent, la fonction Q/!{ ('" (t), x (t)) es t a b sol ume n t con t i il U e sur l' in ter v aIle 1. L'intervalle 1 étant compact, il existe dans l'espace engendré par les variables 1Po, 1P1, . . ., 1Pn, X O , Xl, . . ., x n un ensemble borné et convexe Q tel que le point ('" (t), x (t)) appartienne à l'ensemble Q lorsque tEl. Par conséquent, le triplet ('" (t), x (t), u (t)) appartient à l'ensemble Q X P lorsque t E J. D'autre part, les dérivées partielles de la fonction QJ8 (",. x.. u) par rapport à 1Pa, x a étant continues en les variables "', x, u (voir les conditions imposées aux fonctions fi dans le 11), elles sont bornées sur l'ensemble compact Q X P. Il s'en- suit qu'il existe une constante K > 0 (ne dépendant pas de u) telle que quels que soient ("', x) E Q, (",', x') E Q et u E P est vérifiée la relation 1 QJt ("" x, u) - QJt (",', x', u) 1 Kd, (39) où d est le plus grand des nombres l1Pi -1Pi 1, 1 Xi - X'i 1, i == == 0, 1, . . ., n. Soient ("" x) et (",', x') deux points de l'ensemble Q et u et ut des points de l'ensemble P tels que m ("" x) == QJB ("', x, u), m ('i", x') == QJ£ (",', x', u ' ). Les inégalités sont immédiates 0Jt ('i', x, u') 0Jt ("', x, u), JJl (",', x', u) QJt (",', x', u ' ), et en vertu de (39) -Kd OJ8 ("" x, u ' ) - OJ£ (",', x', u')
15.] DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMU1\I 95 0Je ('i', x, u) - Q}[ ('i", X', U') Kd. .A.utrement dit, 1 m ('i', x) - m ('i", x') 1 Kd, où d est le plus grand des nombres l'lI'i -'lI'i 1, 1 Xi - x'i 1, i = == 0, 1, . . ., n. Il s'ensuit notamment: 1 m ('i' (t), x (t)) - m ('i' (t'), x (t')) 1 Kd, t, t' E l, où d est le plus grand des nonlbres l'lI'i (t) -'lI'i (t') 1, 1 xi(t) - Xi (t') 1. De cette inégalité, en vertu de la continuité absolue des fonctions '\ (t) et x (t), nous concluons aisément que la fonction m ('i' (t), x (t)) est absolument continue. Prouvons enfin que la fonction m ('i' (t), x (t)) admet presque partout une dérivée nulle. Par suite de la continuité absolue de la fonction m ('i' (t), x (t)) et par définition des fonctions x (t) et 'i' (t) nous avons presque partout sur l'intervalle 1 : la fonction m ('i' (t), x (t)) est dérivable et les fonctions x (t) et 'i' (t) vérifient les relations (7) et (8), ou, ce qui revient au même, (9) et (10), et de plus m ('i' (t), x (t)) === Q)[ ('i' (t), x (t), u (t)). Soit t == 't un point quelconque où a lieu ce qui vient d'être dit sur ]es fonctions m ('i'. (t), x (t)), x (t) et'i' (t), et soit t'un point quelcon- que de l'intervalle 1 distinct du point 't. Alors m ('i' (t'), x (t')) QJt ('i' (t'), x (t'), U ('t)), et donc ln ('l' (t'), x (t ' )) - m ('i' ('t), X ('t)) QJ£ ('i' (t'), x (t'), u ('t)) - - QJt ('i' ('t), x ('t), U ('t)). Nous allons maintenant supposer que t' tend vers 't à droite, i .e. t' - 't et positif. On ne change donc pas le signe de la dernière expression en la divisant par t' - 't: m ('i' (t'), x (t')) -m ('i' Cr), x (1")) Q16' ('i' (t ' ), x (t ' ), U (1")) - Q16' ('i' (1"), x (1"), U (1")) t' -'t -::? t' - 1" . En passant aux limites pour t' - 't (t' > 't), il vient d d lIt m ('\1' (t), x (t)) It=-r>dT $8 ('i' (t), x (t), u ('t)) It=-r == n n = aQ/& . dlpa (t) 1 + aQJe . alpa at t=-r axa a=O a=O axat al j -0 t=T:
96 DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 2 (les dérivées sont calculées au point ,;,où ,; et, par conséquent u (,;), sont fixes). D'une façon analogue, lorsque t' -+,;, t' <,;, nous obtenons l'inégalité inverse d dt m ('i' (t), x (t» It=-r o. Donc la fonction m ('i' (t), x (t)), tout comme la fonction (lIt ('i' (t), x (t)) qui co ïnci de avec elle, est une fonction absol umen t continue admettant presque partout une dérivée nulle. Il s'ensuit donc que cette fonction est constante sur l'intervalle 1. Démontrons la propriété suivante importante des cônes K'C- Lem m e 8. Si ,; et ,;' sont des points réguliers de la commande u (t) tels que t o < ,;' < ,; < t i , alors A'C'L' (l{L') C K'C où AL, 'C' est une application de l'espace X L' sur X 1: définie au g 12. En effet, le cône K 'C' est constitué par des vecteurs dont chacun peut être représenté, en vertu de (22), sous forme d'une somme de deux vecteurs: 1X = f(x (,;'), u (,;')) ôt, s 2X= A'C',-r. [f{X(';i), vi)-f(x{';i), U(';i»)]ôt i . i=1 z Il suffit donc de montrer qu'ont lieu les inclusions A-r, -r' (iX) E K1:, A-r, -r' (2X) E K". D'après (17) nous avons: (40) s AL, 'C' (2X) == A-r, Li [f-(X{';i), Vi)-j'(X{';i), U (';i)] ôth i=1 et donc a lieu la deuxième des inclusions (40) (puisque ';1 . . . ,; s ,;' < ,;). Prouvons la première de ces inclusions. Supposons que (pour un certain ôt) le vecteur A L,L' (1X) n' appar- tienne pas au cône K 'C. Il existe alors un hyperplari les séparant, i.e. il existe des nombres ao, ai, . . ., an tels que le cône K 1: soi t n situé dans le demi-espace négatif G:axa ,0, et le vecteur a=O A'C'1:' (1X) dans le demi-espace positif 0 u ver t, i.e. (a, A'C,"')(1X))>0, (41) où a est le vecteur de composantes (a o , ab . . ., an). Désignons par 'i' (t, a) la solution du système (8) vérifiant la condition initiale 'i' (';, a) = a. Etudions cette solution sur l'intervalle t o t ,;. Puisque le cône K'C est situé dans le dei-espace négatif, i.e. est remplie 'la condition (34), il résu}te alors des lemmes 5,7, et 6 que &ft (", (t, a), x (t» = 0 pour t o t ,;. Puisque par ailleurs ,;'
15,] DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM 97 est un point régulier (qui est situé dans l'intervalle t o < t T), il vient alors d'après le lemme 5 QJ£ ('i' (Tf, a), x (Tf), U (Tf)) == GIIt ('i' (Tf, a), x (-r f )) == 0, l.e. ('i' (Tf, a), j" (x (T f ), u (-r f ) )) == O. ])' où il s'ensuit d'après le lemme 1 : ('i' (T, a), A-r, -r', ({(x (Tf), u (-r f ))) == 0, or cette relation contredit l'inégalité (41); le lemme 8 est donc dé- rnontré. Soit maintenant T un point régulier quelconque de la commande u (t), situé dans l'intervalle t o < t < t 1 . Posons K:) == ==: A ii ,,; (1('L). L'application A t1 .'L étant linéaire, I(:) est un cône convexe contenu dans l'espace X ii. Les cônes K) forment une sui tee roi s san te: si -r f < T sont des points réguliers, alors d'après le lemme 8 il vient (voir (17)) 1( ') == Att, ,;' (K,;') == Att, -r (A-r, 'L' (I{ -r')) c Ail, -r (l( ,,) == K) · (:'est pourquoi l'union (par tous les points réguliers T de l'intervalle t o < t < t 1 ) de tous les cônes I{) est de nouveau un cône convexe (pas forcément fermé) contenu dans l'espace X tt (admettant l'ori- gine des coordonnées pour sommet). Nous désignerons ce cône par ]( il et l'appellerons cône limite. Lem m e 9. Si la commande u (t) et la trajectoire associée x (t), t o t t 1 , sont optimales, alors le rayon Ltt issu du point x (t 1 ) et orienté dans le sens du demi-axe négatif X O n'appartient pas à l'in- térieur du cône K ti. Supposons, en effet, que le rayon L ti appartienne à l'intérieur du cône l{ ii. Choisissons un polyèdre convexe M, contenu entièrement dans l( il et renfermant un point quelconque l E L tl à son intérieur. 1out sommet du po]yèdre M appartient au cône Ktp i.e. appartient à un cône I(}), or comme les cônes K) forment une suite croissan- te, il existe un point régulier -r tel que t 0 u s les sommets du poly- èdre M appartiennent au cône l{). Le cône K:) contient donc le polyèdre M tout entier et le point l est un point intérieur au cône 1(), ou, ce qui est équivalent, le rayon Ltt appartient à l'intérieur du cône K). Le rayon A,1 ,; (L tt ) appartient alors à l'intérieur du c.ône A, (K») = K" (car At";,\ est une application linéaire et non dégénérée, donc, une application homéomorphe). Le rayon .fl,1 " (Lit) se confond avec le rayon L" issu du point x (T) et orienté dans le même sens que le demi-axe négatif x o . Ceci découle de ce que les seconds membres du système d'équations aux variations (16) 7-01339
98 DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 2: ne dépendent pas de xo, et, par conséquent, les vecteurs (-1, 0, . . .. . . ., 0) issus des points de la courbe x (t) et égaux entre eux se dé':' duisent l'un de l'autre par une translation le long de la trajectoi- re x (t). Ainsi le rayon L" appartient à l'intérieur du cône K", ce qui contredit l'optimalité de la commande u (t) (voir le lemme 4). Achevons maintenant la démonstration du théorème 8. Soient II (t), t o t t b une commande optimale et x (t) la trajectoire optimale associée. Le rayon Lt1 n'appartient pas alors à l'intérieur- du cône limite If ti (lemme 9), et, par conséquent, il existe un hyper- plan les séparant, i.e. des nombres Co, Ci' . . ., C n tels que le cône. n Kt! soit contenu entièrement dans le demi-espace L: crxXX Ot (1=0 ?1 et le rayon L ti dans le demi-espace L; cax a O. Autrement dit, le a=O vecteur (-1, 0, 0, . . ., 0) qui est orienté dans le même sens que n le rayon L ti est contenu dans le demi-espace fermé L; cax a O a,=o i.e. Co O. Désignons par'i' (t) = (11'0 (t), 'lJJ1 (t), · . ., lPn (t» la solution dlt système (8) vérifiant la condition initiale 'i' (t f ) = C où C est le. vecteur de composantes (co, Ci, . . ., c n ). Le système (8) étant li- néaire, la solution 'i' (t) est définie sur l'intervalle t o t if tout entier. Montrons que le vecteur'i' (t) n'est autre que le vecteur dont l'existence est affirmée par le théorème 8. Remarquons tout d'abord que x (t) et'i' (t) vérifient les équations. (7) et (8) ou, ce qui revient au même, (9) et (10). Montrons que la relation (11) a lieu en tout point régulier de l'intervalle t o < t < t i . Soit '( un point régulier de cet intervalle. Puisque le cône Il. in et par conséquent le cône A tn: (If.;), est situé tout entier dans le demi- n espace négatif 'lJJa (t f ) x a 0, il vient (par une translation du rx=O point x (t l ) au point x Cr) le long ne la trajectoire x (t» que le cône Ait1,-.;(Att," (11.-.;») = K" tout entier est situé dans le demi-espace n 'l'a (,;) x a 0 (voir 12). Autrement dit, le vecteur a = 'i' (,;) a=O ' satisfait à la condition (34). Il s'ensuit que l'assertion du lemme 5, est valable pour la solution 'i' (t, a) de l'équation (8) vérifiant la condi tion initiale", ('t, a) = a, or cette solution coïncide manifeste- ment avec 'i' (t). En particulier (puisque '( est un point régulier), QJt (", ('(), x ('(), u (-r) = &ft (l!' (1"), X ('t» = 0 (voir le lemme 6). Ainsi donc est remplie la condition 1° du théorème 8. Il existe en outre des points en lesquels 1a fonction cIIt ('i' (t), x (t» s'annule (i.e.
16.1 CONDITIONS DE TRANSVERSALITÉ 9S1 en chaque point régulier ,;) et par ailleurs 'Po (t 1 ) = Co O. Pour vérifier donc la condition 2° du théorème 8 il suffit de démontrer la dernière assertion de ce théorème sur la constance des fonctions aIIt ("i' (t), x (t)) et 'Po (t) lorsque "i' (t), x (t), u (t) vérifient le systè- me (9), (10) et lorsque est remplie la condition 1°. Ceci découle immé- diatement du lemme 7 et du fait que les fonctions fa ne dépendent pas de x O , de sorte que la première des équations (8) est de la forme o = O. Le théorème 8 est donc entièrement démontré. Par la même occasion, nous avons démontré le théorème 1 du chapitre 1. S 16. Conditions de transversalité Nous allons prouver ici le théorème 3 (valable pour une classe quelconque D de commandes admissibles) que nous avons formulé au chapitre 1. Soient u (t), t o t tf, une commande admissible et x (t) la trajectoire associée issue du point Xo = (0, xo). Soit par ailleurs S 0 une variété continûment différentiable (dans l'espace X) de dimen- sion ro < n, passant par le point Xo, et T 0 le plan tangent en ce point à la variété S o. Désignons par .!!7 0 le plan de dimension ro contenu dans l'espace X et constitué de tous les points (0, x) où x E E T o. Il est évident que le plan !T 0 passe par le point Xo. En faisant subir au plan 3' 0 une translation le long de la trajectoire x (t) pour l'amener au point x (,;), t o < ,; < t 1 , nous obtenons le plan A 'C. to (Y 0) passant par le point x (,;). Si ,; est un point régulier de la commande u (t), alors est également défini un cône 1{'C de sommet au point x (,;). Désignons par QJC 'C l'enveloppe convexe de l'ensemble A'C. to (Y 0) U K'C. Il est évident que l'ensemble 'C est un cône convexe ayant son sommet au point x (,;). Ceci posé, démontrons un lemme généralisant le lemme 3. Lem ID e 10. Soient ,; (t o < ,; < t 1 ) un point régulier de la commande u (t), t o t t b et x (t) la trajectoire associée issue du point xo. Soit par ailleurs A une variété à bord de dimension n9n supé- rieure à n et contenue dans X de telle sorte que le point x (,;) soit situé sur ce bord. Désignons par M le demi-plan tangent en x (,;) à la variété A. Si les cônes 6'JC 'C et M de sommet commun x (,;) ne sont pas séparables., il existe une commande u* (t) et un point x E S 0 tels que la trajectoire x* (t) associée à u* (t) et issue du .point x = (0, x) passe par un poin de la variété A non situé sur son bord. . D é mon s t rat ion. Désignons par n la projection orthogo nale de la variété Bo'sur le plan To. L'application n considérée non pas sur la variété So tout entière" mais dans un certain voisinage du point Xo est un homéomorphisme; donc est définie une application réciproque n- 1 d'un certain voisinage du point Xo du plan To sur 7*
1.00 DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 2 un certain voisinage du point Xo de la variété S o. Si donc S est un vecteur quelconque situé dans le plan T 0 et issu du point Xo, alors pour un E > 0 suffisamment petit, est défini le point n- 1 (ES) E E 8 0 , i.e. le vecteur S définit une 1 i g n e x == n- 1 (e), Oe < eo, située sur la variété S 0 et issue du point Xo. Le vecteur est tangent à cette ligne en Xo, i.e. n- l (e) == Xo + e + 0 (e). D'où il s'ensuit que la ligne (0, n- 1 (e)) E X est issue du point Xo == (0, xo) et admet en ce point un vecteur tangent S == (0, ): (0, 1[-1 (eS)) == Xo + eS + 0 (e). (42) Soit a === {'ti1 Vi' 't, ôt i , ôt} l'ensemble des grandeurs définis- sant la perturbation de la commande u (t) (voir page 85). Désignons par x, a (t) la trajectoire issue du point (0, 1[-1 (g)) (à l'instant t o ) associée à la commande perturbée u* (t) (le paramètre e est le même dans (42) et dans la définition de la commande u* (t)). De (42) et (21) il vient x, a ('t + eôt) == X ('t) + e [A-r, to (S) + xa] + 0 (e), (43) üù le vecteur Xa est défini par la formule (22). Désignons par s + 1 la dimension de la variété A (et du demi- plan M). Puisque les cônes 6Jî -r et M ne sont pas séparables, il existe (voir la note de la page 86) un point a appartenant au demi-plan M, mais non à son bord, et un plan C de dimension n - s > 0 passant par le point a, tels qu'une boule de rayon petit centrée en a engendre, en coupant le plan C, une « aire complémentaire » au demi-plan M. Cette « aire » est orthogonale à la droite passant par les points x et) et a, et est entièrement contenue dans le cône % '(. Nous désignerons par E cette « aire complémentaire » qui n'est autre qu'une boule de dimension n - s. Soient e17 . . ., en -s des rayons mutuellement orthogonaux de la boule E; posons I.i == -eh i == == 1, . . ., n - s. Nous supposerons que les vecteurs et, . . . . . ., en-s' fl, . · ., fn-s ont pour origine le point a. Les extrémités de ces vecteurs sont situées sur le cône 6% '( (car E c: r/C '(). Désignons enfin par c le vecteur d'origine x ('t) et d'extrémité a. Puisque les vecteurs c, c + ei, c + fi (i == 1, . . ., n - s) d'origine x ('t) appar- tiennent au cône 6JC 1: et que celui-ci est formé de tous les vecteurs A '(. t o (S) + a possibles où E T 0' L\x l1 E I{ 1:' il existe dans le plan To des vecteurs o' i' · · ., n-s' , · · ., -s d'origine Xo et des symboles ao, ai' · .., an-s,a, · · ., a-s tels qu'on ait A-r, to (So) + xao = C, A't, to (i) + xai == c + ei, A -r, to ( si) + x a == c + rh i == 1, ..., n - s. 1.
16.] CONDITIONS DE TRANSVERSALITÉ 101 Sous la condition que (pl)2 + (p2)2 + . . . + (pn-S)2< 1, (44) définissons le symbole a(pl, . . ., pn-s) de la même façon qu'à la page 88, mais en sommant en i non pas de 1 à n, mais de 1 à n - s; posons par ailleurs n-s n-s S (pt, ..., pn-.) = (1- 1 pi 1 ) So + h+ (pin; + i=1 i=1 n-s + h-(pi)sj. i=1 II vient alors (voir les calculs de la page 88): n-s A 1:, to (6 (pl, ..., pn-.» + LlXa(pl, . . ., pn-s) = c + pie;. (45) i=1 Si donc le point (pl, . . ., pn-s) décrit la boule (44) dans l' esp ace numérique de dimension n - s, alors l'extrémité du vecteur (45) décrit dans l'espace X" une boule Et, déduite de la boule E par une homothétie de centre a et de rapport 1 ln. Sous les mêmes condi tions, l'extrémité du vecteur ë [A", to (6 (pl, .. ., pn)) + Xa (pl, . . ., pn-s)] décrit une boule E e de dimension n - s déduite de la boule Et par une homothétie de centre x (,;) et de rapport ë. Pour S == S (pl, . . ., pn-s) et a == a (pl, . . ., pn-s) la trajec- toire xt, a (t) dépend continûment des paramètres pl, . . ., pn-s de même d'ailleurs que ôta. C'est pourquoi le point x;, a (,; + ëôt a ) dépend continûment de pl, . . ., pn.-s. Donc, lorsque le point (pl, . . ., pn--s) décrit la boule (44), le point x!, a (,; + ëôt a ) décrit, lui, (pour ë quelconque fixe) un certain « disque » F e (image conti- nue de la boule (44)), « coïncidant » avec la boule E e avec une pré- cision d'un ordre de petitesse supérieur par rapport à ë. La boule E e et le demi-plan M (ou, plus exactement, la dernière portion voi- sine du point x (,;)) sont des chaînes (voir la note de la page 90) respectivement de dimensions n - s et s + 1, l'indice d'intersec- tion de ces chaînes étant égal à + 1 et la distance de toute chaîne à l'extrémité de la suivante étant de l'ordre de ë. C'est pourquoi le « disque» Fe (distant de Ee d'une grandeur d'un ordre de petitesse supérieur par rapport à ë) et la variété A (tangente au demi-plan M) possèdent pour ë suffisamment petit un indice d'intersection égal à + 1, i.e. pour ë suffisamment petit le disque Fe coupe la variété A en un point non situé sur le bord de cette variété. Autrement dit,
102 DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 2 il existe un B > 0 et des pl, . . ., pn-s tels que le point xt a ('t + eôt a ) appartienne à la variété A, mais n'est pas situé sur son bord. En dé- signant donc par u* (t) et x* (t) les grandeurs u (t) et xt a (t) cor- respondant aux valeurs choisies de ê, pl, . . ., pn-s, on constate que la trajectoire x* (t) commence au point x* (t o ) = (0, rc- l (8£») = = (0, x:) où x: === n- l (B;) E 8 ° et passe (à l'instant 'L" 'L + + eôt a ) par un point de la variété A, non situé Sllr le bord de celle-ci. Le lemme 10 est donc démontré. Soient maintenant 'u (t), t o t t 1 , une commande optimale et x (t) la trajectoire optimale, donnant la solution du problème aux extrémités libres posé dans le 6. Posons x (t o ) === xo, x (t i ) = X1 ; définissons les points Xo et Xi de l'espace X en « rejetant », comme précédemment, la coordonnée « nulle » des points xo, Xi' i.e. Xo = = (0, XO), Xi === (X O (t 1 ), Xl). Désignons par Ti le plan tangent en Xi à la variété 8 1 et par Ylle plan (de dimension ri) contenu dans l'es- pace X constitué de tous les points de la forme (XO (t i ), x) où x E Tl. Traçons en chaque point du plan !7 1 un rayon parallèle au demi-axe pégatif xo, et désignons par Q l'ensemble des points de ces rayons. 'ensemble Q est un demi-plan de dimension ri + 1, dont les points 'frontières appartiennent au plan Y 1. Introduisons d'une façon ana- logue les notations T ° et Y 0' et désignons par t1 1 ' enveloppe con- vexe de l'ensemble A t1. to (.7"' 0) U If. t1. Donc, le cône 6% t de sommet .x (t) est défini pour tout point régulier t === 't de la commande u (t) ainsi que pour t === t 1 . Si t" > t', alors At" ,t' (6% t') C 67î tIf (voir lemme 8). Lem m e 11. Les cônes 6% ti et Q de sommet commun au point x (t 1 ) sont séparables. En effet, supposons que les cônes QJî tt et Q ne sont pas séparables. Puisque 6%t1 est l'union des cônes Att. '( (&f''(), il existe un point régulier 't de la commande u (t) tel que les cônes A t10 '( (6% ,,) et Q ne soient pas séparables. Considérons ce point 'ta Désignons par A ti la variété dont le bord est constitué de tous les points (XO, x) EX, pour lesquels Xo Xo (t 1 ), x E 8 1 . Alors le demi-plan tangent en X (t 1 ) à la variété Att. se confond avec Q. Etant donné un point quelconque 11 E Att. désignons par y (t, 1]) la solu- tion du système (7) vérifiant la condition initiale 1/ (t 1 , 11) === 11. Nous allons considérer cette solution sur l'intervalle 'L t tt, où 'L est le point régulier choisi plus haut de la commande u (t). Lorsque le point 11 décrit la variété Ait, le point 11 ('t,11) décrit lui aussi une variété A'( avec bord. On voit aisément que le demi-plan tangent en X ('t) à la variété A" se confond avec A tt '( (Q). Les cônes Ah." (6% ,,) et Q n'étant pas séparables, les cônes At1 'C (A t1, " (,,» === 6%" et A 't (Q) ne le sont pas non plus. Or puisque A -r (Q) est un demi-plan tangent à la variété A'(, il existe
16.1 CONDITIONS DE TRANSVERSALIT 103 donc, en vertu du lemme 10, une commande u* (t) telle que la tra- jectoire x* (t) issue du point x: = (0, x), où xci E S 0 qui lui est associée passe par un point !le la variété A,; non situé sur son bord. Autrement dit, il existe un t' > t o et un point 1] E A ti non situé sur le bord de la variété A ti tels que x* (t ' ) = 1/ ('r, 1]). (46) Définissons maintenant la commande u** (t) sur l'intervalle iD t t 1 + (t ' - T) comme suit: { u* (t) pour t o t t ' , u** (t) = u (t _ (t' _ 't)) pour t' < t t 1 + (t' - 1:), La trajectoire x** (t) associée à la commande u** (t) et issue du point x; est de la forme (cf. (46)) : ( ) { x* (t) pour t o t t ' x** t = , 1/ (t - (t ' - T), 1]) pour t ' t t f + (t ' - T). En particulier, x** (t f + (t ' - T)) = 1/ (t f , 1]) = 1'). Or le point 1) appartient à la variété A ti , i.e. est de la forme 1] = (11 0 , 11) où 11 E 8 1 . Puisque, par ailleurs, le point 1] n'est pas situé sur le bord de la variété Atp il s'ensuit que 11° < X O (t 1 ). La commande u** (t) transfère donc le point représentatif de la position x à la position 11 E 8 1 , et en outre la fonctionnelle (6) prend une valeur 110 plu s pet i t e que pour la commande u (t). Ce qui contredit l'optimalité de la commande et de la trajectoire x (t). Le lemme 11 est donc dé- montré. ' ' Il est maintenant aisé d'achever la démonstration du théorème 3. Les cônes c?7C ti et Q étant séparables, il existe des nombres Co, Cf, . . . · · ., C n tels que le cône.c?7C ti (et par conséquent K t1 c t1) soit situé n dans le demi-espace C(1.x a 0 (où xo, Xl, . . ., x n sont des coor- a=O données dans l'espace X ti)' et le cône Q dans le demi-espace n c(1.x a o. 'a=O En particulier, le rayon Lt! (contenu dans le demi-plan Q) est n situé dans le demi-espace c(1.x a O. Les nombres Co, Cf' . . ., C n a=O jouissent donc de toutes les propriétés mentionnées dans le 9 15 et, par conséquent, la solution"" (t) du système (8) vérifiant la condi- tion initiale"" (t 1 ) = C (où c est le vecteur de composantes (co, Ci1 . . . . . ., cn)) satisfait aux conditions du théorème 8 (ou du théorème 1). lVIontrons que le vecteur"" (t) satisfait à la condition de transver- salité aux deux extrémités de la trajectoire x (t). Le plan S 1 (con-
104 DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUM [Ch. 2 n tenu dans Q) est entièrement situé dans le demi-espace 2j cax a 0 a=O .n et, par conséquent, dans 1 'hyperplan cax a = 0, ou ce qui est a=O n équivalent, dans l'hyperplan lPa (t l ) x a = O. Si maintenant a=1 11 = (11 1 , · · ., l1 n ) est un vecteur quelconque tangent en x (t l ) à la variété St, i.e. un vecteur situé dans le plan Tt, alors le vecteur 1] = (0, 11) E X est situé dans le plan .!Y t, et par conséquent, dans n 1 'hyperplan h lPa (tt) x a = O. En d'autres termes, ('\1' (tt), 1]) = o. a=O Or comme la coordonnée « nulle » du vecteur 1] est égale à zéro, la n dernière relation prend la forme 1P\' (tt) 'Y}" = O. Le vecteur fonc- ,,=1 tion'\l' (t) satisfait donc à la condition de transversalité à l' extré- mité droite de la trajectoire x (t). Par ailleurs, le plan Ah ,to (r 0) c 6%t1 est entièrement contenu n dans le demi-espace caXX 0 et, par conséquent, dans l'hyperplan a=O n cax a = 0, ou, ce qui est équivalent, dans l'hyperplan a=O n lPa (tt) x a = O. En d'autres termes, quel que soit le vecteur a=O sE 3 0 , le vecteur Atuto (s) est contenu dns l'hyperplan n lPa (tt) x a = 0, l.e. a=O ('\1' (tt), At, to (£)) =0. Il s'ensuit, en vertu du lemme 1, que ('\1' (t o ), S) = O. Or tout vecteur S E y 0 est de la forme S = (0, £), où £ = (£1, . . ., £n) est un vecteur contenu dans le plan T o. Donc la relation ('\1' (t o ), s) = 0 n prend la forme 1P\' (t o ) £" = O. Le vecteur fonction '\1' (t) satisfait '\'=0 donc à la condition de transversalité à l'extrémité gauche de la trajectoire x (t). Le théorème 3 est entièrement démontré et par la même occasion tous les autres théorèmes du chapitre 1.
CHAPITRE 3 Problèmes linéaires en temps optimal 9 17. Théorème du nombre de commutations Les problèmes linéaires en temps optimal (i.e. des problèmes où sont linéaires les équations régissant le mouvement de l'objet étu- dié) sont importants pour les applications et illustrent bien les ré- sultats généraux. Le présent chapitre est consacré à l'étude de telS' problèmes. Nous ne nous contenterons pas seulement d'exposer des faits découlant immédiatement des théorèmes démontrés plus haut, nous déduirons de nouveaux résultats et nous démontrerons notam- ment le théorème d'existence pour les problèmes linéaires en temps optimal. Précisons tout d'abord la p 0 s i t ion d u pro b 1 è me. N OTIS allons étudier un objet dont le mouvement est gouverné par un système linéaire d'équations différentielles n r d.Ii "" i ,, + b i ([t = LJ a"x LJ p uP , ,,=1 p=1 Nous supposerons que le domaine de commande U est un polyèdre *) borné, fermé et convexe, situé dans un espace vectoriel Er de di- mension r, muni des coordonnées u l , . . ., ur. Le paramètre de com- mande u == (u l , . . ., ur) est donc un point du polyèdre U. Nous étudierons enfin uniquement le problème en temps opti- mal, i.e. le problème consistant à minimiser le temps de transfert ti t l - t o = j' dt. Nous appellerons le problème optimal ainsi for- to mulé problème linéaire en temps optimal. Le système (1) peut se représenter sous la forme vectorielle sui- vante: i == 1, 2, ..., n. (1) dx ([t== Ax+Bu, (2) *) Un polyèdre fermé convexe dans Er est l'intersection d'un nombre fini de- semi-espaces fermés, Le. un ensemble de points dans Er vérifiant un système- n fini d'inégalités linéaires auh<i, i == 1,2, . . ., s. S'il est borné (et donc- h=1 COffipact), ce polyèdre est une enveloppe convexe de ses sommets; il est évident que le nombre de sommets est fini.
106 PROBLÈl\ŒES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 où A : X -+ X et B: Er -+ X sont' des opérateurs linéaires représen- tés (en coordonnées Xl, . . ., x n , et u l , . . ., ur) respecti vement par les matrices (a}) et (bk). Dans tous les théorèmes démontrés dans ce chapitre, nous sup- poserons (sans le spécifier chaque fois) qu'est remplie la condition de position commune suivante imposée aux coefficients de l'équa- tion (2) et à la disposition du polyèdre U: si west un vecteur orienté dans le sens de l'une des arêtes du polyè- dre U, le vecteur Bw n'appartient à aucun véritable sous-espace de l'espace X, invariant re,lativement à l'opérateur A, i.e. les vecteurs Bw, ABw, ..., An-1Bw (3) sont linéairement indépendants dans l'espace X. Dans notre cas la fonction H (11', X, u) (voir théorème 2) est de la forme H = (1P, Ax) + (1P, Bu) == 2J 'lJ1axv + 2J '\J1buP (1.) J.t, v J.t, P et le système auxiliaire (voir formule (19) du chapitre 1): n d1l' . v d/ == - L.I aj 'i'v, v=1 j = 1, ..., n, ()u, sous la forme vectorielle, = -A*1jJ, (5) où A * est l'opérateur adjoint de A, i.e. un opérateur représenté (dans le même système de coordonnées) par la transposée de la matrice (a}) du système (1). Il est évident que la fonction H qui est considérée comme une fonction de la variable u E U atteint son maximum en même temps que la fonction (11', Bu). Désignons par P (11') le maximum de la fonc- tion ('\f', Bu) qui est considérée comme une fonction de la variable u E U. Du théorème 2 il vient (voir la formule (20) du chapitre 1) que si u (t) est une commande optimale transférant le point repré- sentatif de la position Xo à la position Xi' il existe une solution '\p(t) ,de l'équation (5) telle que (11' (t), Bu (t» = P (11' (t»). (6) Or, comme l'équation (5) ne contient pas les fonctions inconnues x (t) et u (t), toutes les solutions de cette équation peuvent être facilement déterminées, après quoi il est aisé de trouver toutes les commandes u (t), solutions de l'équation (6) ; parmi ces commandes figurent de toute évidence toutes les commandes optimales de l' équa- tion (2). Voyons comment la condition (6) définit univoquement la bommande u (t) en fonction de 11' (t).
. 17] THÉORME DU NOMBRE DE COMMUTATIONS 107 Thé 0 r è m e 9. Pour toute solution non triviale'i' (t) de l'équa- tion (5), la relation (6) définit d'une manière univoque *) une com- nande u (t) constante par morceaux et dont les valeurs ne sont autres que les sommets du polyèdre U. D é mon s t rat ion. Puisque la fonction ('1' (t), Bu), (7) q:ui est considérée comme une fonction du vecteur u est linéaire, elle est soit constante, soit atteint son maximum uniquement sur la frontière du polyèdre U. Ceci est également valable pour toute face du polyèdre U. Don"c, la fonétion (7) atteint son maximum soit .en un sommet seulement du polyèdre U, soit sur toute une face de ce polyèdre **). Montrons qu'en vertu de la condition de position commune, la dernière éventualité n'est possible que pour un nombre fini de valeurs de t. En effet, supposons qu'il existe sur l'intervalle t o t t f une infinité de valeurs t en lesquelles la fonction (7) de la variable u E E U atteint son maximum sur une face (de dimension positive) du polyèdre U. Puisque U posséde un nombre fini de faces, nous pouvons choisir un ensemble infini M de t pour lesquels la fonction (7) atteint son maximum sur une face r (la même pour tous les t E ]VI) du polyè- dre U. Par conséquent, quel que soit t E M, la fonction (7) de la variable U est constante sur la face r. Soient Uo et Ui des vecteurs ayant pour origine l'origine des coordonnées (de l'espace Er) et pour extrémité une arête de la face r, de sorte que le vecteur w = = Ut - Uo est orienté dans le même sens que cette arête. Pour t E M nous avons (puisque la fonction (7) est constante sur la face r) (, (t), Bw) = ('lf' (t), B (Ut - uo)) = = ('i' (t), BUt) - ('1' (t), Bu 2 ) = O. (8) Soient maintenant b l , b 2 , . . ., b n les coordonnées du vecteur Bw (b l , b 2 , . . ., b n sont constantes puisque west une arête e n - t i ère men t d é fin i e du polyèdre U). Alors, ( 1p (t), Bw) = b l 1Pt (t) + b 2 1P2 (t) + . . . + bn1Pn (t). (9) Pllisque les fonctions 'tPi (t), 'i'2 (t), . . ., 'lf'n (t) constituent une solu- tion'lJ' (t) de l'équation (5) à coefficients constants, elles sont a n a - .1 Y t i que s, et par conséquent la fonction (9) est aussi analytique. *) Comme dans le chapitre 1, nous supposons que les commandes considérées sont semi-continues à gauche et continues aux extrémités de l'intervalle t o t t1 (voir page 12). Sans cette condition le théorème 9 serait faux, Le. les valeurs de la fonction U ,(t) "ne seraient pas univoquement définies aux points .de discontinuité. Il est d:ailleurs clair que les valeurs de la fonction u (t) aux points de discontinuité 1)e jouent aucun' rôle dans les problèmes étudiés. **) Nous considérons' que le polyèdre est une face (impropre) de lui-même.
108 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 Pour tout t E M (i.e. pour un ensemble infini de t) la fonction ana- lytique ('1' (t), Bw) de la variable t s'annule (voir (8» et on a donc sur l'intervalle t o t tt ('1' (t), Bw) = O. (10) Une dérivation successive de cette relation par rapport à t donne (puisque '1' (t) est solution de l'équation (5» (A *'1' (t), Bw) == 0, (A *2lJJ (t), Bw) == 0, (A *n- 1 1lJ (t), Bw) == 0, ou (puisque (x, Ay) == (A *x, y) est valable quels que soient les vecteurs x, y) ('1' (t), ABw) == 0, (1IJ (t), A 2 Bw) === 0, (11 ) . . . . . . . . . . (1IJ (t), An-lBw) == O. Les vecteurs (3) constituant une base dans l'espace X en vertu de la condition de position commune, les relations (10) et (11) signifient que quel que soit t, t o t t l , le vecteur 1IJ (t) est orthogonal à tous les vecteurs d'une certaine base et par conséquent est nul, ce qui, toutefois, contredit la non-trivialité de la solution '1' (t). Donc, pour tous les t à l'exception d'un nombre fini de valeurs, t o t tt, la fonction (7) atteint (sur U) son maximum seulement en un point, sommet du polyèdre U. Il s'ensuit en vertu de (6) que. la fonction u (t) est définie d'une manière univoque (voir la note: de la page 107). En écartant les points où l'équation ('i' (t), Bu) == P ('i' (t» (12) n'admet pas de solution univoque, nous divisons l'intervalle t o t t l en un nombre fini de portions. Il est aisé de voir que la fonction u (t) est constante sur chacune de ces portions. Soit en effet. J une de ces portions (celle-ci peut être un intervalle ouvert, un intervalle semi-ouvert ou un intervalle fermé). Soient et, e 2 , . . ., e q les sommets du polyèdre U. Désignons par M i1 i == 1, 2, . . ., q, l'ensemble de tous les points t E J tels que le point ei soit solution de l'équation (12). Les ensembles Mt, M 2 , . . ., Mq sont donc dis- joints deux à deux et leur somme est égale à J (certains de ces ensem- bles peuvent être vides). Nous allons maintenant prouver que cha- que ensemble Mi est ouvert sur J, d'où (compte tenu de la connexité de J) il résultera que tous les ensembles Mi' à l'exceptiond'unseul
17.] THÉORÈME DU NOMBRE DE COMMUTATIONS 109 :sont vides et la solution de l'équation (12) sera constante sur J. (e qui achèvera la démonstration du théorème 9. Soit donc t E J un point quelconque de l'ensemble ]VIi. On a {1}J (t), Bei) = P ('1' (t)) et ('1' (t), Bej) < P ('1' (t)) pour i =1= j. Chaque fonction ('1' (t), Bej), j = 1, 2, . . ., q, étant continue sur J, on a en tout point de l'ensemble J suffisamment proche de t l'inégalité {1}J (t), Bei) > ('1' (t), Bej) pour j =1= i. Autrement dit, tous les points .de l'ensemble J suffisamment proches de t appartiennent à l' ensem- ])le J!;1 b i.e. l'ensemble Mi est ouvert sur J. Le théorème 9 est démontré. En vertu donc du théorème 9 toute commande optimale est une -fonction constante par morceaux à valeurs en les sommets du polyè- ire u. Nous appellerons également p 0 i n t d e c 0 m mut a - t ion tout point de discontinuité d'une commande optimale. D'une façon complète, si t'est un point de discontinuité d'une commande üptimale u (t) et si u (t' - 0) = ei et u (t' + 0) = ej (où ei et ej sont des sommets distincts du polyèdre U), nous dirons que pour t = t' a lieu une c 0 m mut a t ion de la commande optimale :a(t) du sommet ei au sommet ej. Nous pouvons maintenant caractériser le théorème 9 de théo- rème de la finitude du nombre de commutations. Il est bien entendu que dans chaque cas concret le nombre de commutations dépend de la valeur des coefficients du système (1), de la forme du polyèdre U Bt du choix des points Xo, Xi. De ce point de vue, il est intéressant .de comparer les e x e m pIe s 1 et 2 du 5. Dans l'exemple 1, 'quelle que soit la position initiale Xo, la commande optimale u (t) possédait a u plu sun e commutation (i.e. admettait au plus .deux intervalles de constante), tandis que dans l'exemple 2 le nom- bre de commutations augmente infiniment lorsque le point xo s'éloi- gne de l'origine des coordonnées (bien que le nombre de commuta- tions soit fini pour chaque valeur f i x e de xo). A quoi tient cette ,différence entre les commandes optimales dans les deux exemples 'cités'? Le théorème 10 énoncé plus bas, dû dans sa forme initiale à A. Feldbaum, montre que cette différence provient de ce que dans l'exemple 1 la matrice du système possède des valeurs propres ré e Il e s, tandis que dans l'exemple 2 ces valeurs sont co m ple- x e s. Dans le théorème 10 nous n'étudierons pas le cas général d'un polyèdre convexe quelconque U, nous nous limiterons au cas suivant très important dans les applications. Plus exactement, nous considé- rerons que le polyèdre U est un parallélépipède défini dans l'espace Er' engendré par les variables u l , u 2 , . . ., ur, par les inégalités apuPBp, p= 1, 2, ..., r. (13) Autrement dit, nous allons étudier le cas où chaque grandeur u P figurant dans les équations (1) est un paramètre de commande dont
110 PROBLMES LINAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3' le domaine de variation ne dépend pas de la valeur des autres para- mètres de commande, et est défini par l'inégalité (13). Nous suppo- serons que la condition de position commune (page 106) est satis- faite comme précédemment. Thé 0 r è m e 10. Supposons que le domaine de commande U est le parallélépipède (13) et que sont réelles les valeurs propres de la matrice (aJ) constituée des coefficients de l'équation (1). Alors, pour- toute solution non triviale '4' (t) de l'équation (5), la relation (6) définit univoquement une commande u (t) = (u 1 (t), u 2 (t), . . ., ur (t»; il s'avère de plus que chaque fonction u P (t), P = 1, . . ., r est constante par morceaux, ne prend que les valeurs cx'p et p (voir (13» et admet au plus n - 1 commutations (i.e. au plus n intervalles de constance) où n est l'ordre du système (1). D é mon s t rat ion. En coordonnées, la fonction (7) s'écrit. sous la forme suivante (cf. (4» : r n ('4' (t), Bu) = ( 2J '4'11 (t) bgu p ). p=1 fJ,=1 Pour que cette fonction prenne sa valeur maximale, il est nécessaire que chaque fonction n '4'11 (t) buP, P == 1, 2, ..., T, (t4) J.L=1 prenne sa valeur maximale (car le domaine de variation de chaque- grandeur Ul, . . ., ur ne dépend pas de la valeur des autres). D'où, comme nous allons le montrer, il découle que u P ne prend que les valeurs cx'p et p et admet au plus n - 1 commutations. Il est évident que les relations u 1 = ai pour i * p, cx,p u P p définissent une arête du parallélépipède U. Le sens de cette arête est défini par le vecteur w = (0, 0, . . ., 1, . . ., 0), où l'unité est en p-ème place. Le vecteur Bl/) s'écrit donc Bw = (b, b, ..., b), d'où n ((t), Bw)= "'11.(t)b. - J.L=1 (15) Si cette fonction était identiquement nulle, alors, comme dans la démonstration du théorème 9 (cf. (10), (11», '" (t) = 0, ce qui con-
17.] THÉORBME DU NOMBRE DE COMMUTATIONS 11t tredi t les conditions du théorème. Donc quel que soit p = 1, 2, . . . . . ., r la fonction (15) n'est pas identiquement nulle et par consé- quent comme toute fonction analytique ne s'annule qu'en un nombre fini de points; quant à la fonction (14), elle est égale au produit d& la fonction (15) par u p . Or, comme la fonction (14) doit atteindre- son maximum, u P doit prendre la, valeur cx'p si la fonction (15) est négative et la valeur p si la fonction (15) est positive. Autrement dit, les points de commutation du paramètre de commande u P ne' peuvent être que les zéros de la fonction (15). Le théorème 10 sera donc entièrement démontré si nous prouvons que la fonction (15), i.e. la combinaison linéaire non identiquement nulle des fonctions- 'Pl (t), '1'2 (t), . . ., 1Pn (t), admet au plus n - 1 racines réelles. En vertu des théorèmes sur les équations linéaires à coefficients constants, les fonctions 1Pl (t), 1P2 (t), . . ., 1Pn (t) qui constituent la solution de l'équation (5) sont chacune de la forme: f 1 (t) eÂ.l t + f 2 (t) e Â2t + . . . + lm (t) e'A.m t , ( 16} où  1 ,  2 , . . ., Âm sont des valeurs propres distinctes deux à deux de la matrice A*, et fl (t), f2 (t), . . ., fm (t), des polynômes de degré inférieur à la multiplicité de la valeur propre  i . La combi- naison linéaire (15) des fonctions '1'1 (t), 'P2 (t), . . ., 1Pn (t) est donc de la même forme (16). Tous les  1 ,  2 , . . ., Âm sont réels (car par hypothèse toutes les valeurs propres de la matrice A et par consé- quent de la matrice A * sont réelles). Si nous désignons par ri la multiplicité de la valeur propre  i (de sorte que rl + r 2 + . . . + -+ r m == n), alors le degré du polynôme fi (t) n'est pas supérieur- à ri - 1 et d'après le lemme qui sera démontré plus bas le nombre- de racines réelles de la fonction (16) n'est pas supérieur au nombre- (ri - 1) + (r 2 - 1) + . . . + (rm - 1) + m - 1 == == ri + r 2 + . . . + r m - 1 = n - 1. Ce qui achève la démonstration du théorème 10. Lem m e. Soient  1 ,  2 , . . ., Âm des nombres réels non égaux deux à deux, et Il (t), 12 (t), . . ., fm (t) des polynômes à coefficients: réels de degrés respectivement k 1 , k 2 , . . ., km. A lors la fonction fl (t) eÂ.l t + 12 (t) e'A.2 t + . . . + lm (t) e'A.mt (17} admet au plus k 1 + k 2 + . . . + km + m - 1 racines réelles. D é mon s t rat ion. Pour m = 1 le lemme est évident PUIS- que la fonction f 1 (t) eÂ.l t admet les mêmes raçines que la fonction fl (t) et possède donc au plus k 1 racins réelles. Supposons que le lemme a été démontré pour le cas où la formu- le (17) renferme un nombre de termes inférieur à m et démontrons-le- pour le cas où la formule (17) renferme m termes. Supposons que le-
1.12 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 lemme soit faux et que la fonction (17) admette au moins k 1 + k 2 + . . . . . . + km + m racines réelles. En multipliant la fonction (17) par e-  ,n t (ce qui ne modifie pas ses racines), nous obtenons la fonction Il (t) e(Ât-Âm)t + . . . + Im-1 (t) e( m -1- m )t + lm (t), (18) qui admet également au moins k 1 + k 2 + . . . + km + m racines réelles. Or l'intervalle compris entre deux racines réelles d'une fonc- tion contient au moins une racine de la dérivée de cette fonction, donc la (km + 1)-ème dérivée de la fonction (18) admet au moins (k1 + · · . + k Tn + m) - (km + 1) == k1-/- . . . + k m - 1 + (m -1) racines réelles. Il est par ailleurs aisé de voir que la (km + 1)-ème dérivée de la fonction (18) est de la forme: g 1 (t) e(Â1- m )t + g2 (t) e(Â2- m )t + . . . + gm-1 (t) e(Âm-1-Âm)t, (19) les nombres  1 - Âm,  2 - .Âm, . . ., Âm -1 - Âm étant non égaux deux à deux et le degré du polynôme gi (t) égal à k i comme précédeln- ment. Par hypothèse la fonction (19) admet au plus kt + k 2 + . . . . . . + k m - 1 + (m - 1) -1 racines réelles contrairement à ce qui a été dit antérieurement. Cette contradiction achève le raisonnement par récurrence. Le lemme est donc démontré. 9 18. Théorèmes d'unicité Résolvons l'équation (2) comme une équation non homogène par la méthode de variation des constantes. A cet effet désignons par CP1 (t), CP2 (t), · . ., CPn (t) (20) le système fondamental de solutions de l'équation homogène dx dt == Ax, satisfaisant aux conditions initiales cpj (t o ) == ô;, et par '1'1 (t), '1'2 (t), . . ., 1P n (t) le système fondamental de solutions .de l'équaion homogène (5) satisfaisant aux conditions initiales 1P (t o ) == ô. Il est clair que quel que soit t ('Pi (t), cr i (t)) == ô{, i, j == 1, 2, . . ., n. (21) En effet, cette relation est vérifiée, pour t = t o de par le choix même des conditions initiales; par ailleurs d ,. . . dt ('lf' (t), CPi (t)) == ( - A *'lf'3 (t), CPi (t)) + ('lf'3 (t), ACPi (t)) == O.
18.] THÉORÈMES D'UNICITE 113 Cherchons la solution générale de l'équation (2) sous la forme n x(t)== 2j <Pv(t)CV(t). \'=1 En portant cette solution dans l'équation (2) nous obtenons n ( t ) dev (t) == B ( t ) . LJ <Pv dt U, \'=1 en multipliant scalairement la dernière expression par 'l'j (t) et compte tenu de (21), il vient dCt(t) = (tl/ (t). Bu (t)). Donc, pour une commande arbitraire u (t) et la condition initiale x (t o ) === Xo === (x, x, . .., x), l'équation (2) admet une solution de la forme: n t X (t) = fl!" (i) (x;i + J ('1''' ('t), Bu (1:)) d1:). (22) \'= 1 to Thé 0 r è m e 11. Soient Ui (t) et u 2 (t) deux commandes opti- Inales définies respectivement sur les intervalles t o t t i et t o t t 2 et transférant le point Xo en le même point Xi. A lors ces deux commandes sont confondues (voir la note de la page 107), i.e. t i === t 2 et Ui (t) == U 2 (t) sur l'intervalle t o t t i . Défi 0 n s t rat ion. Tout d'abord il est clair que t i === t 2 sinon, pour par exemple t i < t 2 , la commande u === U 2 (t) ne serait pas optimale. Puisque les deux trajectoires issues du point Xo et associées aux commandes Ui (t) et U 2 (t) passent par le même point Xi à l'instant t === t i , il vien t (en vertu de (22» n tl Xt = fl!" (tt) ( x;i + J ('l''' (t), Bud t )) dt ) = v= 1 to n ti = fl!" (t) ( X;i + J ('l''' (t), BU2 (t)) dt ) 1 v= 1 to d'où n ti t1 fl!" (it) [J ('l''' (t), BUt (t)) dt- J ('l''' (t), BU2 (t)) dtJ = O. v=1 to to 8-01339
114 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 Les vecteurs CPi (t i ), . . ., CPn (t i ) étant linéairement indépendants, il résulte de la dernière égalité tl tl 5 (1jJi (t), BUt (t» dt = 5 (1jJi (t), BU2 (t» dt, i = 1, ..., n. (23) to to . La commande optimale U1 (t) est associée à un vecteur fonction '1' (t) vérifiant la condition (6) et l'équation (5). Désignons par '4'0 == ('4'10' · · ., '\j)no) la valeur initiale de cette fonction (à l'instant t == t o ); la solution '4' (t) peut alors s'écrire sous la forme n 'll' (t) == '4'vo'll'v (t). '\7=1 En multipliant l'expression (23) par '4'iO et en sommant en i, il vient tl tl 5 (1jJ (t), BUt (t» dt = 5 (1jJ (t), BL0, (t» dt. to to (24) Or, en vertu de la relation (6) et par définition de la grandeur P ('ll'), nous avons (sur l'intervalle t o t t i ) ('i' (t), BUt (t)) = P ('i' (t)) ('4' (t), BU 2 (t)), donc de (24) il résulte ('ll' (t), BU1 (t)) == ('1' (t), BU 2 (t)). Les comman- des U1 (t) et U 2 (t) vérifient la relation (6) avec la même fonction '4' (t), donc (en vertu du théorème 9) Ui (t) == U 2 (t). . Ce qui achève la démonstration du théorème 11. Nous dirons qu'une commande U (t), t o t t 1 , est extrémale si elle yérifie la condtion (6) où '1' (t) est ne solution non triviale de l' équaion (5). Pour trouver la commande 0 p t i mal e qui transfère le point représentatif de Xo en Xi on peut d'abord chercher toutes les conlnlan- des e x t r é mal e s transférant le point représentatif de Xo en ,1:>i et ensuite choisir parmi elles celle (unique, en vertu du théorème 11) qui réalise ce transfert en temps optimal. Une question se pose: peut-il exister plusieurs commandes extrémales transférant le point représentatif de Xo en Xi? En général, elles sont plusieurs à réaliser ce transfert. Le théorème suivant mentionne un cas important d'uni- cité des commandes extrémales. Thé 0 r è m e 12. Supposons que l'origine des coordonnées de l'espace Er est un point intérieur au polyèdre U, et soient Ui (t) et u 2 (t) deux commandes extrémales définies respectivment sur les inter- valles t o t t i et t o t t 2 et recalant le point Xo à l'origine
18.1 TI-IÉORÈMES D'UNICITE , , 115 des coordonnées' Xi = 0 de l'espace X. A lors ces commandes coïnci dent, i.e. t i === t 2 et Ut (t) == U 2 (t) sur l'intervalle t o t t i . D é mon s t rat ion. Désignons par Xi (t) et X 2 (t) les tra- jectoires associées aux commandes Ui (t) t U 2 (t) et issues du point a;o à l'instant t. En vertu des hypothèses du théorème nons avons Xi (t i ) === X 2 (t 2 ) === 0 ou (en vertu de (22» n tl qJv (tt) ( X -+- ). (1jJv (t), BUt (t)) dt) = 0, '\7=1 to n t2 qJv (t 2 ) ( X + J (1jJv (t), BU2 (t)) dt) = O. '\7= 1 to D'où (en vertu de l'indépendance linéaire des vecteurs (20) quel qu soit t) il résulte (i === 1, 2, . . ., n): tl t2 - x = J (1jJi (t), Bud t )) dt = 1 (1jJi (t), BU2 (t)) dt. (25) to to Supposons pour fixer les idées que t i > t 2 et soit '1' (t) la solution de l'équation (5) qui vérifie" sur l'intervalle t o t t i , la relation ('1' (t), BU1 (t» === P ('1' (t», , déterminant la fonction Ut (t). Comme dans la démonstration du théorème 11 mettons la fonction '4' (t) sous la forme 'i' (t) = n :== 'l'vo'l''' (t). En multiplint l'epressio (25) par '4'io et en som- ,\,=1 ' ' Inant en i, il vient: tl t2 J (1jJ (t), BUt (t)) dt = J (1jJ (t), B (t)) dt. to to (26) Remarquons que toute solution '1' (t) de l'équation (5) vérifie ] , inégali té 'p ('1' (t» o. (27) ]n effet, l'origine des coordonnées de l'espace Er étant un point intérieur au corps convexe U, la fonction ('1' (t), Bu) en tant que fonction de U est soit identiquement nulle soit peut prendre de valeurs tant négatives que positives. . En vertu de (27) et (26) nous avons les inégalités t2 12 J (1jJ (t), BUt (t)) dt J (1jJ (t), BU2 (t)) dt. to to 8*
116 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 D'où, comme dans la démonstration du théorème 11, il vient: Ui (t) == u 2 (t) sur l'intervalle t o t t 2 . Et, compte tenu de (26), t2 ) ('IjJ (l), BUi (l)) dl = O. fi (28) Par ailleurs, l'égalité P ('i' (t)) == 0 n'ayant lieu que si la fonction ('i' (t), Bu) est nulle sur le polyèdre U tout entier, i.e. ne pouvant avoir lieu que pour un nombre fini de valeurs de t, il résulte néces- sairement des expressions (27) et (28) que t f == t 2 . Le théorème 12 est donc démontré. Rem a r que. Jusqu'à maintenant nous n'avons utilisé que la condition 1° du théorème:2 (i.e. la formule (20) du chapitre 1), mais jamais la condition 2° (i.e. la relation (21) du chapitre 1). Il est toutefois aisé de voir que lorsque les conditions du théorème 12 sont remplies, l'égalité (21) du chapitre 1 est immédiatement véri- fiée. En effet, en vertu des relations (4), (6), (27) et de la relation (20) du chapitre 1, nous avons M ('i' (t f ), x (t i )) == H ('1' (t f ), x (t f ), u (tt)) = == ('1' (t f ), Ax (t f )) + ('1' (t f ), Bu (t i )) = = ('i' (t i ), AXt) + P ('i' (t f )) = P, ('1' (t f )) 0 (car Xi = 0). 9 19. Théorèmes d'existence Thé 0 r è m e 13. Si pour le processus décrit par l'équation (2) il existe au moins une commande transférant le point représentatif de Xo en Xi' il existe alors une commande optimale transférant le point représentatif de Xo en Xi. (Nous supposons comme toujours qu'est remplie la condition de position commune.) D é ID 0 n s t rat ion. Nous devons supposer qu'est donnée une certaine classe D de com.mandes admissibles et que dans cette classe il existe des commandes transférant le point représentatif de Xo en Xi. Désignons par Dmax la plus grande classe de commandes, i.e. l'ensemble de toutes les commandes mesurables (à valeurs dans U), et par D min la plus petite classe de commandes, i.e. l'ensemble de toutes les commandes constantes par morceaux (à valeurs dans U). Nous avons donc Dmax-::::J D -::::J D m1n . Prouvons tout d'abord que dans la classe Dmax il existe une commande optimale transférant le point représentatif de Xo en Xi. Désignons par l'ensemble des commandes de la classe Dmax
19.] THÉORÈMES D'EXISTENCE 117 transférant le point représentatif de Xo en Xi. L'ensemble n'est pas vide, car par hypothèse la classe D (et par conséquent Dmax) con- tient des commandes transférant le point représentatif de Xo en Xi. Chaque commande u (t) E est associée à un temps de transfert (de Xo en Xi). Désignons par t* le minorant de tous les temps de trans- fert et montrons qu'il existe une commande u* (t) transférant le point Xo en Xi pendant le temps t*. Puisqu'il est possible de procéder à une translation dans le temps (voir la condition 3 dans le 9 10), nous pouvons nous limiter aux seules commandes définies sur les intervalles de la forme 0 t t i . Extrayons de l'ensemble' d une suite infinie de commandes {Uh (t)} définies respectivement sur les intervalles 0 t tk (k == 1, 2, . . .) telle que soit vérifiée l'égalité lim th == t* . hoo Désignons par Xh (t) la trajectoire associée à la commande Uh (t) et partant à l'instant t == 0 du point Xo; alors xh (th) == Xi- Nous avons n th lim (q\, (t*) - cp" (th» (x + J (1jJ" (t), Budt» dt) = 0 hoo \'=1 0 (car le deuxième facteur figurant sous le signe de la somme est bor- né, tandis que le premier tend vers 0); de la même façon n th cp" (t*) ( J (1jJ" (t), BUh (t» dt) = O. \'=1 t* D'où il résulte que n t* lim cp" (t*) ( xX + J (1jJ" (t), BUh (t» dt ) = hoo \'=1 0 n th = ! cp" (th) ( x + .\ (1jJ" (t), BUh (t» dt) = Xh (th) = Xi (29) \'=-=1 0 (voir (22». Considérons maintenant l'espace hilbertien L 2 de toutes les fonctions mesurables de carré intégrable, définies sur l'intervalle o t t*. La commande Uh (t) est un vecteur fonction, dont nous désignerons la i-ème composante par ul (t). La fonction Uih (t) dé- finie sur l'intervalle 0 t t* appartient à l'espace £2 (elle est mesurable et bornée). L'ensemble de toutes les fonctions u1 (t), k == 1, 2, . _ ., pour chaque i (== 1, 2, . _ ., r) fixe appartient de
118 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL LCh. 3 toute évidence à une boule de l'espace £2; nous pouvons donc en extraire une suite *) faiblement convergente. Nous considérerons tout simplement que la suite .. i u (t), u (t), ..., Uh (t), ... (30) converge elle-même faiblement vers une fonction u i (t), i = 1, 2, . . . ., r. Prouvons maintenant que le vecteur fonction u* (t) = (u l (t), u 2 (t), . . ., ur (t)) vérifie la condition u* (t) E U pour presque toutes les valeurs de t. Prenons une face quelconque r de dimension r - 1 du polyèdre U r et soit £ (u) == LbfJu P une forme linéaire des variables u l , u 2 , . . . p=o . . ., ur telle que l'équation du plan contenant la face r soit de la forme £ (u) == b, et que le polyèdre U soit situé dans le demi-espa- ce L (u) b. Soit par ailleurs m l'ensemble de tous les points t de l'intervalle [0, t*] pour lesquels £ (u* (t)) > b et v (t) la fonction caractéristique de l'ensemble m. Cette fonction est mesurable et bornée (i.e. appartient à l'ensemble £2) et nous avons donc en vertu de la faible convergence de la suite (30) t* lim r v (t) [£ (u* (t)) - L (Uh (t))] dt == o. h 00 Par ailleurs mes m == 0 puisque L (u* (t)) - L (Uh (t)) > 0 sur l'ensemble m (car L (Uh (t) b). Donc, pour presque tous les t de l'intervalle 0 t t*, le point u* (t) est situé dans le même demi- espace L (u) b que le polyèdre U. Ce raisonnement étant valable pour tout point de la face r du polyèdre U, on a u* (t) E U pour presque tous les t. Une variation de la fonction u* (t) sur un ensemble de mesure zéro n'ayant pas d'effet sur la faible convergence de la suite (30) vers les fonctions u i (t), i == 1, 2, . . ., r, nous pouvons, sans perdre en généralité, considérer que u* (t) E U pour t 0 u s les t, 0 t t*. De la faible convergence de la suite (30) et en vertu de (29) il vient: n t* qJv (t*) ( x + J ("'v (t), Bu* (t)) dt ) = Xi' \'=1 0 *) Voir par exemple L. Lusternik et V. Sobolev «Eléments d'analyse fonctionnelle )} (en russe), Moscou 1951, pp. 194-196.
19.1 THÉORÈMES D'EXISTENCE 119 Donc, u,* (t) est une commande optimale mesurable transférant le point représentatif de Xo en Xi' i.e. la classe Dmax contient une commande optimale. En vertu du théorème 2 (voir également le théo- rème 8) l'équation (5) admet une solution non triviale (voir (6)) telle que presque partout sur l'intervalle 0 t ::::;; t* on ait (11' (t), Bu* (t)) == P (11' (t)). I)'après le théorème 9 on peut considérer (en la faisant varier sur un ensemble de mesure zéro, ce qui ne nuit pas à son optimalité) que la commande u* (t) est constante par morceaux. Elle appartient donc à la classe D min et par conséquent à la classe D. La commande u* (t) transfère le point représentatif de Xo en Xi plus rapidement que toute autre commande de la classe Dmax et par conséquent de la classe D. La classe D renferme donc la commande optimale et le tlléorème est démontré. Rem a r que. Si la classe D des commandes admissibles coÏn- eide avec la classe Dm ax de toutes les commandes mesurables, d'après ]a démonstration on peut formuler le théorème 13 sans la condi- tion de position commune (cette condition n'est en effet exigée qu'en raison de la référence au théorème 9). Thé 0 r è m e 14. Supposons que l'opérateur A de l'équation (2) est stable, i.e. les parties réelles de ses valeurs propres sont négatives, et que l'origine des coordonnées de l'espace Er est un point intérieur au polyèdre U. (La condition de position commune est supposée remplie comme précédemment.) A lors pour tout point Xo E X il existe une com- mande optimale recalant Xo à l'origine des coordonnées 0 EX. D é mon s t rat ion. Montrons tout d'abord que l'origine des coordonnées 0 E X admet un voisinage V tel que chaque point Xo E E V peut être recalé en 0 par une commande. (Pour démontrer cette assertion nous n'utiliserons pas la stabilité de l'opérateur A.) Désignons par cD (t) la matrice ayant pour colonnes les compo- santes des vecteurs CPi (t), . . ., CPn (t) (voir (20)), i.e. cD (t) == == (cp} (t)). Les vecteurs (20) formant un système fondamental de sol utions de l' équa tion dx -==Ax dt et satisfaisant aux conditions cpj (0) == ôj (nous faisons t o == 0), on a dcD (t) rtt == AcD (t), cD (0) == E, d'où (D'(t) == e tA .
120 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 Désignons par ailleurs par 'l'(t) la matrice dont les lignes sont les composantes des vecteurs 'Pl (t), . . ., 'l'n (t), i.e. 1f (t) = ('l') (t»). La relation (21) s'écrit maintenant 1f (t) <D (t) = E d'où 'l' (t) = e- tA . En portant les expressions des matrices cD (t) et 1f (t) dans (22), nous avons t x (t) = e tA ( Xo + ) e--rABu (,;) d,;) , o où x (t) est la trajectoire associée à la commande u (t) et partant du point Xo à l'instant t = O. Choisissons maintenant dans U un vecteur v tel que le vecteur -- v appartienne aussi à U et que le vecteur b = Bv (31) n'appartienne à aucun sous-espace propre de l'espace X invariant par rapport à l'opérateur A. Le vecteur v existe puisque l'origine des coordonnées de l'espace Er est un point intérieur au polyèdre Tf et puisque est remplie la condition de position comnlune. Pour B positif suffisamment petit les opérateurs A et e-eA possèdent des sous-es paces invariants qui se confondent *) et les vecteurs *) En calcul matriciel cette assertion se démontre de la manière suivante. Soit la matrice M == e -eA - E; celle-ci peut être représentée sous la forme d'une série matricielle convergente E E2 2 E3 M=-IT A +2T A -3T A3 +... (*) D'où il résulte que toute matrice C représentée sous la forme d'unesériematri- cielle entière convergente C == aoE + atM + a2M 2 + a3M3 + . . ., . (**) est transposable avec la matrice A. Les valeurs propres de la matrice M sont de la forme e -et... - 1 où Â est une valeur propre de la matrice A. Il existe donc un Eo > 0 tel que pour 0 < E < Eo les valeurs propres de la matrice AI sont contenues dans le cercle unitaire. Il existe donc (voir L. P 0 n tri a gui n e « Equations différentielles ordinaires », Editions Mir, Moscou, 1969 p. 338) une Inatrice C représentée par une série entière (* *) telle que e C == M + E, Le. e C == e -eA, les valeurs propres de la matrice C étant supposées arbitrairement proches de 0 (pour Eo suffisamment petit). Les matrices A et C étant transposables, de la relation e C == e -eA il résulte eC+eA == E et toute" les valeurs propres de la matrice C + EA sont donc de la forme 2kni. Puisque par ailleurs elles sont proches de 0 (pour Eo petit), elles sont toutes nulles. Soit 8 une matrice telle que la matrice G == 8 (C + EA) 8- 1 soit de la forffie de Jor- dan. En multipliant l'expression eC+eA == Epar 8 à gauche et par S-l à droite, . 1 . t G E . 1 VIen e == , I.e. E = E + G + G2 + G3 + . . . (***)
19.1 THÉORÈMES D'EXISTENCE 121 e-eAb, e- 2eA b, ..., e-neAb (32) sont donc linéairement indépendants. Soit par ailleurs la fonction cr (t, 't, s) de la variable t où 't et sont des paramètres réels, égale par définition à sign S sur l'inter- valle ('t, 't + s) et nulle en dehors de cet intervalle. Définissons enfin la commande u == u (t, SI, . . ., Sn) des n paramètres réels £1, . . ., n en posant n Sn) === v. cr (t, kë, Sk); h=1 nous allons étudier cette commande pour des valeurs suffisamment petites de ë > 0 et SI, . . ., Sn sur l'intervalle 0 t t 1 où i 1 est un nombre positif fixé. La trajectoire associée à la commande u (t, SI, . . ., çn) et partant du point Xo à l'instant t == 0 aboutit (à l'instant t == [1) au point ti n Xi = Xi (Xo, \ ..., n) = e t1A (xo + I e-tAb cr (t, k8, 1;k) dt ) (33) o h=1 (voir (31)). La somme fignrant dans l'intégrale (33) étant nulle pour SI - == Sn == 0, il vient: u (t, 1, . . . , Xl (Xo, SI, ..., Sn) Ix=o; £l=...=£n=O ===0. (34) Puisque, par ailleurs, (pour des valeurs suffisamment petites de k et ë) le terlne de (33) qui dépend de £h est de la forme he+ h eltA ( Xo + J e - tAb dt ) , he Les valeurs propres de la matrice G étant nulles, tous ses éléments diagonaux et les éléments qui sont situés au-dessus de la diagonale principale sont nuls. Donc tous les éléments situés directenlent sous la diagonale principale des matrices G2, G3, G4, . . . sont également nuls. Il s'ensuit alors de (***) que les éléments situés sous la diagonale principale de la matrice G sont nuls, i .e. G est nulle (rappelons que G est de la forme de Jordan). C + EA étant aussi une matrice nulle, on en déduit que C == - EA. De (* *) il découle que la matrice A est représentée par une série convergente A === -_..!. (aoE + atM + a2M2 + a 3 M3 + . . .). (****) E Tout sous-espace invariant de la matrice A est, en vertu de (*), un sous- espace invariant de la matrice M. Inversement, tout sous-espace invariant de la matrice M est, en vertu de (* * * *), un sous-espace invariant de la filatrice A. Les matrices A et M (et par conséquent les matrices A et e -eA == M + E) admettent donc les mêmes sous-espaces invariants (à condition que E soit suffi- samment petit pour que la démonstration proposée soit valable).
122 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 une dérivation de l'expression (33) nous donne: : 1 == e t1A (e-heAb), k == 1, 2, ..., n. u':, k=O D'où il résulte que le j acobien iJ (xl, xi, ..., xf) 1 (35) d (G 1 , 2, ..., n) Sl=2=.. .=n=o est égal à 1 e t1A 1 · où est le déterminant de la matrice composée des coordonnées des vecteurs (32). Le déterminant de la matricE' e t1A étant non nul de même d'ailleurs que pour des valeurs suffi- samment petites de ë (car les vecteurs (32) sont linéairement indé-- pendants), le jacobien (35) est non nul. Nous pouvons donc dans les schémas précédents choisir le para- mètre E arbitrairement petit de n1anière que le jacobien (35) soit non nul. Par ailleurs nous avons la relation (34) cl? où en. vertu dl! théorème de la fonction in1plicite il résulte que l'équation x 1 (x 0, 1, 2, ..., n) == 0 est résoluble en 1, 2, . . ., n pour toutes les valeurs de Xo appar- tenant à un certain voisinage V de l'origine des coordonnées 0 E X. En d'autres termes, pour tout point Xo E V il existe une commande u constante par morceaux (en l'occurrence, la commando u (t, 1, . . ., n), 0 t t 1 , les paramètres 1, . . ., n étant dûment choisis) recalant le point Xo à l'origine des coordonnées (dans le temps t1). Soit à présent Xo un point quelconque de l'espace X. Faisons déplacer le point représentatif d'abord de la position Xo sous l'effet de la commande u (t) == O. Les parties réelles des valeurs propres de l'opérateur A étant 'négatives, au bout d'un certain temps le point représentatif arrivera au voisinage V, d'où, d'après ce que nous .avons démontré, il pourra être recalé à l'origine des coordonnées. En vertu donc du théorème 13 nous concluons à l'existence d'une commande 0 p t i m 'a 1 e recalant le point Xo à l'origine des coordon- nées. Ie théorème est dOllC démontré. e 0 roll air e. Supposons que l'origine des coordonnées de l'es- pace Er est un point intérieur du polyèdre U. Désignons par T l'en- semble de tous les points Xo E X susceptibles (sous l'effet d'une comman- de dûment choisie) d'être recalés à l'origine des coordonnées 0 E X en un temps n'excédant pas T (T étant un nombre positif quelconque). A lors T est un ensemble convexe fermé possédant des points intérieurs (i.e. est un corps convexe). D é mon s t rat ion. Voyons la démonstration du théorème 14 où l'on posera t 1 == T. Nous obtenons alors un voisinage V de l'ori-
20.] s YN'rHÈSE DE LA COMMANDE OPTIMALE 123 gine des coordonnées 0 E X tel que pour tout point Xo E V il existe nne cOilllnande constante par morceaux recalant le point Xo à l'ori- gine des coordonnées (pendant le temps T). Autrement dit, V c T i.e. l'origine des coordonnées est un point i n t é rie u r à l'en- semble T. Cet ensemble est fermé en vertu du théorème d'existence. Il ne nous reste plus qu'à démontrer que l'ensemble T est con- r S . t ( 1 2 71, ) t f 1 2 71 ) d vexe. olen Xi == Xl' Xi' · · ., Xi e X2 == ,X 2 ' X 2 ' . . ., X 2 eux points de l'ensemble T et Ut (t), U2 (t) des commandes recalant les points .Ti et X2 à l'origine des coordonnées en un temps n'excédant pas T. Nous supposerons que les deux commandes Ut (t) et U2 (t) sont défin ies sur l'intervalle 0 t T tout entier et égales à zéro (le l'instant où le point représentatif arrive à l'origine des coordon- nées jusqu'à l'instant T. Les commandes Ut (t) et U2 (t) sont donc des con1mandes définies sur l'intervalle 0 t T et recalant dans ]e ten1 ps T les points Xi et X2 à l'origine cles coordonnées, i. e. en vertn de (22) n T \Pv (T) ( xr + ) ('\Jv (t), BUt (t)) dt ) = 0, v=1 0 n T \Pv(T) (Xi + J ('\JV(t), BU2 (t)) dt) = O. v=1 0 Soient maintenant ai et a2 deux nombres posi tifs arbitraires tels que ai + a2 == 1; posons Xo == aixi + a2x2, Uo (t) = aiui (t) + + a2112 (t). Le point Xo est alors situé sur le segment reliant Xt et X2 et le point Uo (t) sur le segment reliant Ui (t) et U2 (t) (quel que soit t, o t T) de sorte que Uo (t) E U quel que soit t (puisque U est un polyèdre con v e x e); la commande Uo (t) est donc une com- Jnande admissible définie sur l'intervalle 0 t T. En multi- pliant les expressions (36) et (37) respectivement par ai et a2 et en <l.dditionnant nous obtenons: (36) (37) n T \Pv (T) (x + J ('\Jv (t), Buo (t) ) dt = O. v= 1 0 La commande Uo (t) recale donc le point Xo à l'origine des coor- données en un temps T, Le. Xo E T. Tout point du segment reliant les points Xi et X2 appartient à l' ensemble T' cet ensemble est donc convexe. 9 20. Synthèse de la commande optimale Dans le chapitre 1 nous avons étudié sur des exemples concrets le problème de synthèse des commandes optimales. Ce problème peut être posé pour un processus commandé quelconque (voir formule (4),
124 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. : 2). Cependant, nous n'examinerons ici que les systèmes linéaires de la forme (1) satisfaisant aux conditions du théorème 14 (quant à la condition de stabilité de l'opérateur A, voir la remarque faito en fin de ce paragraphe). Les théorèmes d'existence et d'unicitê (théorèmes 14 et 12) étant valables pour ces systèmes, le problème dH synthèse est en principe résolu. Nous allons exposer une méthodE constructive de résolution de ce problème, une méthode nécessitant toutefois de nombreux schémas dans chaque cas concret. La synthèse d'une commande optimale du système linéaire (1) a été réalisée antérieurement (par des méthodes foncièrement diffé- rentes, i.e. sans l'utilisation du principe du maximum), mais dans le cas d'un seul paramètre de commande (Le. pour r===1) par A. Feld- baum pour des valeurs propres réelles de l'opérateur A et pa]. D. Buschaw dans le cas où n === 2 et où les valeurs propres de l' opéra- teur A sont complexes. Le principe du maximum permet d'accéder aux mêmes résultats avec de plus grandes facilités (voir les exemples du 5). Plus loin nous montrerons comment à l'aide du principe du maximum il est possible pour n === 2 de construire la synthèse des systèmes linéaires à commande optimale dotée de d eux paramètres de commande. Dans ce paragraphe nous nous livrerons à des réflexions générales sur le problème de synthèse des commandes optimales. Nous sup- poserons remp]ies les conditions du théorème 14. Alors, pour tont. point Xo E X il existe une et une seule comn1ande optimale u xo (t) (constante par morceaux) recalant le point Xo à l'origine des coor- données 0 E X. L'unicité est réalisée à une translation du temps près et aux valeurs de la commande u xo (t) près en ses points de dis- continuité. Comme à chaque instant nous somnles naturellement intéressés par le comportement p 0 sté rie u r de la commande optimale, il serait plus rationnel (contrairement aux conventions admises dans la page 12 et la note de la page 107) de considérer qu'en chacun de ses points t' de discontinuité la commande U xo (t) est égale à U X () (t' + 0). Ceci étant, à tous les instants (sauf pour un nombre fini où la valeur de la commande ne joue aucun rôle) est. vérifiée la relation u xo (t) === u xo (t + 0), ce qui permet de lever la non-unicité de la commande u xo (t) à l'ins- tant initial et aux points de discontinuité. La grandeur U xo (t o ) n'est fonction donc que ou point Xo et non de l'origine arbitraire des tem ps t o , et par conséquent: v (xo) = u xo (t o ). Soit x (t) la solution de l'équation (2) aSSOClee à la comm andp U xo (t) et t o t t 1 l'intervalle de temps pendant lequel le point représentatif est recalé de Xo à l'origine des cooroonnées. Or, quel
20.1 SYNTHÈSE DE LA COMMANDE OPTIMALE 12;) que soit le point l' pris dans cet intervalle de temps, la commande u xo (t) définie sur l'intervalle l' t t 1 recale 0 p t i mal e - fi e n t le point représentatif de x (1') à l'origine des coordonnées (sinon la commande ne serait pas optimale), donc u Xo ('t) == v (x ('t)). Par conséquent, d dt x (t) == Ax (t) + Bv (x (t)), let nous voyons que la solution de l'équation dx dt==Ax+Bv(x) vérifiant la condition initiale arbitraire x (t o ) == Xo est précisément la loi qui régit le recalage optimal du point Xo à l'origine des coordonnées. On dit que la fonction v (x) s y n thé t i s e la commande optimale recalant le point Xo à l'origine des coordonnées (cf. 5). Le problè- me de synthèse de la commande optimale (pour le système linéaire (2)) consiste précisément à chercher la fonction v (x). Donnons une méthode de construction de la fonction v (i). Soit 1p (t) la solution (non triviale) de l'équation (5) qui en vertu du théorème 2 est associée à la commande U xo (t). On a d;t) = _ A *1\1 (t), (38) et la fonction u xo (t) est tirée de l'équation ('P ( t ), B u xo (t)) === P ('1' (t)). (39) Soit par ailleurs x (t) la solution de l'équatio:o (2) associée à la com- mande u == U xo (t), vérifiant la condition initiale x (t o ) == Xo (40) et la condition finale x (t 1 ) == 0, (41) de sorte que dx (t) dt = Ax (t) + Bu xo (t). La fonction v (x) satisfait alors à la condition ('1' (t o ), Bv (x (t o ))) == P (11' (t o )). (42) (43) En vertu du théorème d'existence et d'unicité, il existe un et un seul (à une translation du temps près) couple de fo'nctions u xo (t) et x (t) définies snr l'intervalle t o t t i et vérifiant les conditions (38) à (42). Ces conditions ne définissent pas d'une manière univoque les nombres t o et t 1 en raison de la translation du temps, par contre elles définissent leur différence t 1 t o . .
126 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 On ne sait absolument pas comment chercher les fonctions u xo (t) et x (t) vérifiant toutes les conditions (38) à (42), mais en revanche, il est aisé de déterminer toutes les fonctions U xo (t) et x (t) vérifiant seulement les conditions (38), (39), (41) et (42). Pour cela nous allons procéder comme suit. Puisqu'une translation arbitraire du temps est possible, fixons le nombre t 1 en posant t 1 == O. Soit à présent X == (Xi, X2, . . ., "ln) vecteur quelconqu e non nul, et 'lJ? (t, X) la solution de l'équation (38) vérifiant la condition initiale 1P (0, X) == X et définie pour t O. Définissons par ailleurs la fonction u (t, X) à partir des conditions (1P (t, X), Bu (t, X)) == p (1P (t, X) ), t 0, et la fonction x (t, X) vérifiant la condition initiale x (0, X) === 0 à partir de l'équation dx t' x) = Ax (t, X) + Bu (t, X). De ce qui précède, la fonction v (x) sera définie de la relation (1P (t, X), B v (x (t, X) )) == p (11' (t, X) ) . ( 44) En vertu du théorème d'existence (théorème 14), le point x (t, X) parcourt l'espace X t 0 u t e n t i e r lorsque t est négatif, le vecteur X variant arbitrairement. La relation (44) définit donc la fonction v (x) en un point arbitraire x de l'espace X. Remarquons que la condition de stabilité de l'opérateur A n'a été utilisée dans les raisonnements précédents qu'une seule fois, précisément à la fin du paragraphe préc'édent, lorsqu'on a prouvé qu'à partir d'un point quelconque de l'espace X il était possible de s'approcher aussi près que l'on veut de l'origine des coordonnées. Toutes les conclusions donc du présent paragraphe restent en vigueur dans le cas où l'opérateur A n'est pas stable; cependant en choisis- sant dûment la commande u (t), on peut à partir d'un point quelcon- que Xo E X s'approcher aussi près que l'on veut de l'origine des coor- données (voir exemple 1, 5). Si cette condition n'est pas relnpliü non plus, la synthèse est encore possible, non pas pour l'espace X tout entier, mais pour ùn' de ses domaines. Plus exactement dési- gnons par YI' ensemble des points de l'espace X d'où on peut (sous l'effet d'une commande dûment choisie) s'approcher aussi près que l'on veut de l'origine des coordonnées. Il est alors possible de cons- truire la fonction v (x) sur l'ensemble Y (en supposant que l'ori- gine des coordonnées de " l'espace Er est un point i n t é rie Ù r au polyèdre" U et qn' est rem plie la condition de position comm une), i.e. la solution du problème de synthèse. Il n'est guère indispen- sable de vérifier par avance si l'on peut aboutir à l'origine 'des coor-
21.] EXEMPLES 127 données en partant d'un point arbitraire ou non: si on résout le problème de synthèse comme indiqué plus haut (Le. en nous dépla- çant de l'origine des coordonnées par des « mouvements à reculons »), alors l'ensemble des points de 'espace X en lesquels nous pouvons a bOll tir (en vertu des formules (38), (39), (41) et (42)) en partant de l'origine des coordonnées ne sera autre que le domaine Y pour lequel le problème de synthèse admet une solution. L'ensemble ¥ est 0 u ver t, i.e. il contient tout point avec l'un quelconque de ses voisinages. Soient en effet Xo E y et u (t), t o t t 1 une commande optimale recalant le point Xo à l'origine (les coordonnées. Soit par ailleurs un voisinage V de l'origine des coordonnées tel qu'en partant d'un quelconque de ses points on puis- se (sous l'effet d'une commande dûment choisie) aboutir à l'origine des coordonnées. En vertu du théorème de la dépendance continue des solutions des équations différentielles par rapport aux condi- tions initiales il existe dans X un voisinage W du point Xo tel que la trajectoire de phase associée à la commande u (t), t o t t 1 , en partant à l'instant t o d'un point quelconque Yo E W aboutisse à l'instant t 1 à un point quelconque de l'ensemble V. Tout point Uo E W peut donc par une commande dûment choisie être recalé à l'origine des coordonnées, i.e. W E Y. L'ensemble Yest donc ouvert. 'Puisque par ailleurs en partant d'un point quelconque Xo E y on peut au bout d'un temps fin i aboutir à l'origine des coordonnées, alors (voi;r le corollaire du théorème 14) : 00 y = U LT, T=1 i.e. }T est égal à l'union d'une suite croissante d'ensembles convexes et donc est lui-même un ensemble con v e x e. Ainsi, l'ensemble Y de tous les points de l'espace X d'où l'on peut aboutir à l'origine des coordonnées est un ensemble convexe ouvert con- tenu dans l'espace X. Le problème de la synthèse des commandes opti- males admet une solution à l'intérieur de cet ensemble ¥. S 21. Exemples E x e m pie 1. (Système du deuxième ordre avec deux paramètres de commande et des valeurs propres complexes.) Soit le système d'équations dx 1 } - == a 1 x 1 + alx2 + blUl -f- b 1 u 2 dt 1 2 1 2' dx 2 - == a 2 x 1 -t- a 2 x 2 + b2Ul + b 2 u 2 dt 1 2 1 2 (45)
128 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 où l'on suppose que les valeurs i.e. (a - a;)2 + 4aa < 0, et est définie par les inégalités lu 1 1<':1, de la matrice (a)) sont complexes. que le domaine de commande U 1 u 2 1 1. (46) Si le rang de la matrice (b]) est inférieur à 2, alors les colonnes de cette matrice sont proportionnelles, i.e. b === kb (i === 1, 2) et le système (45) prend la forme dx 1 1 Cil === ax1 + ax2 + b (U1-i- ku 2 ), dx 2 J _ - a 2 x 1 + a2x2 + b2 ( u 1 + kU2 ) dt - 1 2 1 · u l + ku 2 est une grandeur pouvant prendre des valeurs quelconques assujetties à la condition 1 u 1 + ku 2 1 1 + 1 k 1. Le système (45) est donc dans ce cas un système à uns e u l paramètre de commande u === u 1 + ku 2 . Nous allons exclurre ce cas, Î.e. nous supposerons que le déterminant de la atrice (bj) est non nul. Désignons par  + if-t où f-t =1= 0 les valeurs propres de la matri- ces (aJ); on peut prendre f-t > O. Les raisonnements qui vont suivre sont indépendants du signe de Â, toutefois pour fixer les idées nous examinerons le cas où  < O. Par le changement linéaire des variables y1 === SX1 + SX2 , } y2 === SX1 + s; x 2 (47) le système (45) se ramène à la forme dy1 } dt == Ây1-l--ty2 + CU1 + CU2, dy2 dt === y1 +  y 2 + c u 1 + c;u 2 , où les coefficients cj s'expriment de toute évidence en fonction des éléments des matr;ices (b)) et (s)). La variable indépendante t (le temps) n'étant pas affectée par le changement linéaire opéré et les formules (47) étant homogènes, les trajectoires optimales du systè- me (45) aboutissant à l'origine des coordonnées se transforment sous l'effet de (47) en trajec toires optimales du systè,me ( 48) aboutissant à l'origine des coordonnées. Par suite nous pou vons étudier uniquement la synthèse des trajectoires optimales du système (48) en portant les variables y1 et y2 sur les axes des coordonnées. Cette synthèse une (48)
21.] EXEMPLES 129 fois obtenue, nous pouvons au moyen de la transformation affine (47) trouver la synthèse des commandes optimales du système (45). Désignons par rt le plan engendré par les variables yI et y2. Posons CUI + CU2 == VI, } c;u l + c;u 2 == v 2 . Le système (48) s'écrit alors: dyl } dT == Âyl - fly2 + VI, dt = lA-yl + 'A y 2 +v 2 . (49) (50) De (49) il s'ensuit que pour toutes les valeurs u l et u 2 satisfaisant aux inégalités (46) le point (VI, v 2 ) décrit dans le plan rt un p a - r a Il é log r a m ID e, que nous désignerons par V (fig. 33), ayant pour son1mets les points ( 1 + 1 2 + 2 ) Ci c 2 ' Ci c 2 ' ( - c + c, -- c; + c; ), ( 1 1 2 2 ) C i -C 2 , C i -C 2 , ( 1 1 2 2 ) -c! -c 2 , -C i -C 2 · Nous somn1es ainsi amenés à étudier le problème de synthèse des comn1andes optimales du système (50) à condition que le point v == === (VI, v 2 ) décrive dans le plan rt engendré par les variables yI, y2 un parallélogramme V centré en l'origine des coordonnées. Voyons CH problème. Le système (5) s' écri t d ans le cas du processus d1 } dT == - Â'\jJ1 - fl'\jJ2, d2 Il dT == fl '\jJ 1 - I\i '\jJ2, commandé (50) d'où l'on tire immédiatement la solution générale '\jJ1 == ce-'J..t cos (flt + ex), '\jJ2 == ce-'J..t sin (flt + ex), où c > 0 et ex sont les constantes d'intégration. Puisque nous n'étu- d ions los coordonnées du vecteur 11' == (\Pb 'P2) qu'à un facteur positif de proportionnalité près (car la fonction H est homogène en 'Pi), nous pouvons négliger le facteur positif de proportionnalité ce- Àt et considérer que le vecteur '\jJ est défini par les relations 'lPi == cos (flt + ex), 11'2 == sin (flt + ex). In d'autres termes, le vecteur 'lp == (11'1' 11'2) est animé d'un mouve- Inent de rotation uniforme (autour de l'origine des coordonnées) en £1- 0 i 3 3 9
130 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 sens inverse des aiguilles d'une montre à une vitesse angulaire Il (rappelons que Il > 0). Désignons maintenant les sommets du parallélogramme V par et, e 2 , e3, e 4 ; la numération va en sens inverse des aiguilles d'une !J2 !J' Ca FI G. 33 FI G. 34 montre. Traçons ensuite à partir de l'origine des coordonnées des droites perpendiculaires aux côtés du parallélogramme V et dési- gnons par ai, CX2, a3, CX4 les angles forInés par ces droites (fig. 34). D ans le cas présen t la fonc- tion If étant de la forn1e H === . . . + 'PtVI + 'lP2V2 === == ... + (1}J, v) (les points £le suspensjon dé- signen t les term es ne renfer- mant ni VI ni v 2 ), il s'ensllit donc de la fige 3,) que si le vecteur 'lp est sitl1é dans]' an- gle ai (i === 1,2,3,4), la fOllC- t ion JI a t t e i nt son Tn ax i nl n fil au sommet v === el' v E V. Or, le vecteur 'lp etant animé el 'un mouvement de rotation uni- forme de vjtesse angulaire l, nous sommes donc conduit à la conclusion suivante sur les commandes optimales. Pen- dant un temps égal à ai le paramètre de comm ande v est égal à e i' Il ensuite v « saute» dans le sommet ei+i où il restera pendan l 111l tem ps ai+1 (si i == 4, alors i + 1 == 1), de là il « saute » el ans le f.t sommet ei+2 et ainsi de suite. Le premier et le dernier intervallr . t'/I . 1 f FI G. 35
21.] EXEMPLES 131 de temps peuvent fort bien être inférieurs aux grandeurs respectives ai , car le mouvement peut ne pas avoir commencé à un instant de t « cOlnmutation » et peut finir (Le. le point représentatif aboutit à l'origine des coordonnées) avant que ne se produise une autre com- ml1tation. Désignons par ei le point (at, aÏ) E :Tt dont les coordonnées véri- fient les relations 'i 1 2 1 } I\ a i -Ilai == - Vi , 1 +Â 2 2 flai ai == - Vi 1/2 (51 ) e' 3 !J' où vt et vÏ sont les coordonnées du sommet ei du parallélogram- me V. Nous obtenons ainsi qua- tre points e;, e, e, e, sommets d'un parallélogramme V' (car les relations (51) sont linéaires). Les formnles (51) montrent que le parallélogramme V' se déduit de V par nne similitude (centrée à l'origine des coordonnées) et d'angle quelconque (fig. 36). D'après les formules (50) et (51) on voit que lorsque le paramètre de commande V prend la valeur ei, les variations des coordonnées yI et y2 sont régies par les équations , el FIG. 36 d 1 1t == Â (yI - al ) - Il (y2 - at ), dy2 ( 1 1 ) ' 'i ( 2 ) dl == Il Y -- ai -}- 1\, y 2 - ai En comparant le système (52) au système d 1 1t == Âyl-lly2, } d 2 1t == Ilyl + Ây 2 , nous constatons qne, graphiquement, ils se déduisent l'un de l'autre par nne translation; pIns exactement, la position d'équilibre du système (52)i n'est pas à l'origine des coordonnées (comme pour le système (53), fige 37), mais au point ei. Nous sommes donc amenés à l'affirmation suivante sur la struc- ture des commandes optimales. Le point représentatif décrit pen- dant un temps ai un arc de la trajectoire de phase du système (52) i, Il puis, pendant un temps ai+1 , une portion de trajectoire de phase Il du système (52)i+17 ensuite, intervient le système (52)i+2 et ainsi pourv=ei. } ( 52)i (53) 9*
132 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 de suite (le premier et le dernier intervalles de temps pouvant être inférieurs aux grandeurs correspondantes i ). 11 2 !II FIG. 37 !l 2 e' 3 Cf............ A., \ ...... jJ \ !Jf AI FIG. 38 A présent, il est aisé de construire dans le plan Jt les « lignes de commutation » qui définissent la synthèse des commandes optimales. Désignons par A iO (i == 1, 2, 3, 4) l'arc de la trajectoire de phase du système (52)i aboutissant au point 0 et correspondant à l'inter- valle de temps ai (fig. 38). Il est clair que le point représentatif }.t
21.] EXEMPLES 133 a c h è v e son mouvement optimal sur l'un des arcs AiO qu'il peut ne pas parcourir entièrement mais seulement une portion X iO (puisque le dernier intervalle de temps peqt être inférieur à :i ) . (omme, par ailleurs, le point X i est un point, e « commutation » {t qu'après cette commutation le mouvement du point représentatif obéit au système (52)i, on en déduit qu'a van t l'instant de com- ]nutation le mouvement du point représentatif est gouverné par AJ z !J !JI AI FIG. 39 la loi (51)i-1. La portion précédente YiX i de trajectoire optimale est un arc de la trajectoire du système (52)i-i qui aboutit au point X i et correspond à l'intervalle de temps CX i - 1 . Lorsque le point Xi 11 décrit entièrement l'arc AiO, les arcs YiX i de la forme indiquée remplissent le «quadrilatère curviligne» (fige 39) dont l'un des « côtés» coïncide avec l'arc Ai-iO (car lorsque Xi === 0, l'arc YiX i coïncide avec A i-10). Trois des sommets du quadrilatère curviligne mentionné se trouvent donc en Ai, 0, A i - i ; désignons le quatrième sommet par B i - l . L'arc Bi-iA i - i est alors le lieu géométrique des points Yi' Le. des points de commutation {du système (52)i-2 au système (52)i-l) situés sur les trajectoires optimales. On conçoit aisément que l'arc Bi-iA i - i se déduit de l'arc AiO Âa. 1 l- par une similitude de centre ei -b de rapport e J.A. et d'angle CXi-1 (dans le sens des aiguilles d'une montre). En effet, en coordonnées polaires (yI === P cos Cf), y2 === P sin Cf)) les solutions du système (53) s'écrivent sous la forme: p = ce"At, cp =!lt + cx, où c > 0 et cx sont les constantes d'intégration. Si le mouvement du point représentatif est régi par cette loi, alors au bout d'un
134 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 temps 't, le rayon vecteur du point représentatif subira une simili- tude de rapport eÎv't et d'angle Il't. Pour 't == ai-1 nous démontrons I-t notre assertion, à savÛ'ir: le vecteur ei-1X i se déduit du vecteur ei-1Yi (fig. 40) par une similitu- Â.a. 1 l- de de rapport e J.t et d'angle CXi-1 (la rotation ayant lieu en sens inverse des aiguilles d'une Inontre). Donc la similitude de centre 'Aa- 1 l- ei-l, de rapport e - et d'angle !II CXi-1 (la rotation ayant lieu en sens inverse des aiguilles d'une montre) transforme l'arc OA i en l'arc A i-1B i-1 sur lequel se produit la «commutation» du système (52)i-2 au système (52)i-1 (fig. 41). Avant la comw.utation au point Yi' le mouvement du point représentatif était' régi par le système (52)i-2 pendant un temps 8z /iP /7 /1 / 1 / 1 / \ 1 1 \ r 1 3 AJ " \ ........ !J2 e; FI G. 40 /12 !JI BI, FIG. 41 Cti-2 (l'arc ZiYi sur la fige 42). Lorsque le point Yi décrit entièrement I-t l'arc A i - 1 B i - l , les arcs ZiYi de la forme mentionnée remplissent le « quadrilatère curviligne » dont deux des côtés sont les arcs A i-1 B i-l et A i-1B i-2. Désignons le quatrième sommet par C i-2. Comme précédenlment, il s'avère que l'arc B i - 2 C i - 2 (i.e. le lieu géolnétrique des points de commutation) se déduit de l'arc A i - 1 B i - l par une simi-
21.] EXEIVIPLES 135 Âai-2 litude de centre ei-2, ùe rapport e - Il et d'angle Cli--2 (la rotation ayant lien dans le sens des aigulles d'une montre). ]n poursuivant cette procédure, nous arrivons à construire quatre lignes OAiBiCiD i . . . (i == 1,2,3,4) issues de l'origine des coor- données et représentant le lien géométrique des points de commuta- Îvai-1 tion (fig. 43). Une similitude de centre ei-b de rapport e-J! et el' angle Cli-i (la rotation ayant lieu dans le sens des aiguilles y2 !J' C, FI G w 42 d'une montre) transforme la ligne OAiBiC i . .. en la ligne Ai-1Bi-1Ci-1Di-1 . .. (fig. 44). Ceci permet de tracer progressive- nlent les lignes OA iB iC i . . ., si l'on connaît les premières portions OAt, OA 2 , OA 3 , OA 4 (on a indiqué plus haut comlnent déterminer ces prelnières portions). Il nous reste à souligner que le paramètre de con11nanrle u prend la valeur ei à l'intérieur de 1'« angle » formé par les lignes OAi+1Bi+iCi+1 . . . et OAiBiC i . . . et sur l'arc AiO. C:e qui nous donne la synthèse des commandes optimales (fig. 45). 1/ allure des trajectoires optimales est représentée sur la fige 46. Rappelons que les figures 37 à 46 traitent du cas où  < 0, Le. lorsque les parties réelles des valeurs propres de la matrice (a;) sont négatives. Dans ce cas les arcs OA i, A i B i, B i C i, . . . se sont allongés, quant à la synthèse des commandes optimales, elle est réalisée sur le plan n tout entier. Lorsque  == 0, les dimensions d es arcs ne sont pas modifiées (Le. OA i == B i C i == . . ., A i B i == == CiD i, . . .); la synthèse des commandes optimales est réalisée con101e précérlernn1ent sur le plan n tout entier (voir l'exemple 3
FI G. 43 , .e z 1/1 FIG. 44 !J'
!/2 v=e 2 v= el !II v=e a v= et y' FIG. 46
138 PROBLÈMES LINÉA IRES EN TEMPS OPTIl\IAL [Ch. 3 .Y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ " " " " -- ,.,--- ,., /' ./ ,/ ,/ / / / / / / / / ......------- -- - "'"- "'................ ......... ....... ....... "- '" , '- " \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ , tg l 1 1 1 1 1 1 1 '" "'- " ............... .......'-- '-... ---..- / / / / / / / / ./ ./ ./ ..; .,... ...-"""" ---...-"'- FIG. 47 du 5). Enfin, lorsque À == 0, les dimensions des arcs OA b B i C i, . . ., et A iB i, CiD b . . . diminuent en raison géométrique; la synthèse des commandes optimales n'est réalisée que dans une portion limitée du plan Jt (fig. 47). Nous venons de trai ter la synthèse des commandes optimales dans le plan Jt engendré par les variables yI et y2. On passe au plan X engendré par les variables de départ Xl et x 2 au moyen dos formu- les (47). On constate dans ce cas que le tableau de la synthèse des cOlnlnandes optimales se déforme affinen1ent.
f-21.] EXEIVIPLES 139 E x e m pIe 2. (Système du deuxième ordre à deux paramètres de commande et des valeurs propres négatives.) Soit le système (45) où l'on suppose que les valeurs propres de la matrice (aj) sont réelles, négatives et distinctes. Nous admettrons (omme précédemment que le domaine de commande U est défini par les inégalités (46) et que le déterminant de la matrice (bj) est non nul. Désignons les valeurs propres de la matrice (a;) par  i et Î\,2, À 2 < À i < O. Un changement linéaire des variables (voir (47)) ramène le système (45) à la forme: dlt i = Â,jyl + CUI + c u 2 , } dy2 - ==  Y 2 + C2Ul + C"U2 dt 2 1 2' ou dlt I = Â,jyl + VI, } dy2 _ À 2 + 2 di-- 2Y v (voir (49)). Comme dans le premier exemple, le point v == (VI, v 2 ) décrit le parallélogramme V (voir fige 33) dans le plan Jt engendré par les variables yI, y2. Dans le cas d'un processus commandé (54), le système (5) prend la forme: (54) d'Pt '1 } di == - f\.,t1Pt, d 'p 2 '1 Cft == - f\.,2'tP2, et sa solution générale est: 'tPi == Ct e - Îv1t , 'tP2 == C2 e - J - 2t . ()n voit d'après l'allure des formules que si l'une des constantes d'intégration Ci ou C2 est nulle, le vecteur 1P == (1Pl, 1P2) conserve une orientation constante (qui est parallèle à l'un des axes de coordonnées). Si les deux nombres Ci et C2 sont non nuls, alors le vecteur 'tp est animé d'un n10uvement de rotation uniforme (lorsque t croît ) entre l'axe des abscisses et cel ni des ordonnées, tout en res- tant dans le même quadrant (car I : I = 1 : 1 e(Â!-Â2)t -+ 00, lorsque t croît). Supposons que la condition de position commune est. satisfaite pour le syst.ème (45); elle esl donc satisfaite aussi pour le système (54) qui se déduit du système (45) par une lransforn1ation linéaire.
140 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 En d'autres termes, aucun des côtés du parallélogralnme n'est parallèle à aucun des axes de coordonnées. Abaissons de l'origine des coordonnées des droites l1 et l2 perpendiculaires aux côtés du parallélogramme V (voir fige 34; ces droites ne sont pas confondues. avec les axes de coordonnées en vertu de ce qui précède). Nous constatons comme précédemment que si le vecteur 1P est contenu dans l'angle ai (i == 1, 2, 3, 4), la fonction JI atteint son maximum au point v == ei, v E V (voir fige 35). Désignons maintenant par ei le point (al, a) E JI: de coordonnées: 1 1 1 2 1 2 55) ai == -  1 Vi, ai == -  2 Vi, ( où vl et V sont les coordonnées du sommet ei du parallélogramlne V. Nous obtenons alors quatre points e, e;, e;, e, qui sont les SOInlnets d'un certain parallélogramme V'. Des formules (54) et (55) il résultp que lorsque le paramètre de commande v prend la valeur eb les variations des coordonnées yl et y2 obéissent aux équations dyl  ( l 1 ) (ft== 1 Y -ai, dy2 2 2 (ft ==  2 (y - ai ) (pour v = ej). } (56) i Le graphique du système (56)i se déduit de celui du systèn1c d:!t 1 = Â,tyl, } (57) dy2  2 (ft == 2Y par une translation; la position d'équilibre du système (5G)i n'étant plus à l'origine des coordonnées (comme pour le systènle (57), fig. 48), mais au point ej. En poursuivant notre étude, nous aboutissons à des résultats totalement différents selon la disposition des droites l1 et l2 perpen- diculaires aux côtés du parallélogramme V. Considérons les deux cas suivants. Premier cas. Les droites l1 et l2 sont situées dans des quadrants différents (Le. l'une dans le premier et le troisième, l'autre dans le second et le quatrième, fige 49). Numérotons les angles ai (défi- nis par les droites l1 et l2) comme l'indique la fige 50, Le. e2 et el, désignent respectivement les sommets supérieur et inférieur du parallélogramme V, et e1 et e 3 les sommets droit et gauche (fig. 49). Le caractère de variation des grandeurs 1P1 et 1P2 nous amène à faire la conclusion suivante sur les commandes optimales. Toute comn1an- de optimale soit ne renferme pas de points de commutation (Le. tout au long du déplacement le paramètre v conserve sa valeur constante qui coïncide avec l'un des sommets du parallélogramme V), soit
21.] EXEMPLES 141 y2 !l' FI G. 48 ne renferme qu'un seul point de commutation et alors avant la com- mutation le paramètre v se confond avec l'un des sommets et ou e 3 et, après la commutation, avec l'un des sommets e2 ou e4. 1 l est désormais facile de construire dans le plan Jt les «lignes de conlmutation» qui déterminent la synthèse des commandes opti- !f3 Ct /1\ / \ / JI \ cJ \ \ o !Il z, JI' z, Y, Z2 Z2 FIG. 49 FI G. 50
142 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. : males. Désignons respectivement par AO et BO les trajectoires des systèmes (56) 2 et (56)4 qui aboutissent à l'origine des coor- données (fig. 51). Les lignes AO et BO sont symétriques par rapport à O. Si le mouvement optirnaL renferme une commutation (et une seulo d'après ce qui précède), sa fin est gou"' vernée par le système (56)2 ou (56)4' Le. le point représentatif se déplacera sur la ligne AO ou la ligne BO. Aupa- ravant (Le. avant el' arriver sur la ligne BOA), le point représentatif se sera dé- !JI placé soit sous l'action du système (56) 1 soit sous l'action du sysLème (56)3. La ligne BOA est donc une ligne de corn- mutation, quant aux deux don1aines qu'elle délimite sur le plan, ils sont rem- plis par les trajectoires des systèmes (56)1 et (56)3: le domaine de droite par les trajectoires du système (56) 3' le do- maine de gauche par les trajectoires du système (56)1. Ceci nous donne la synthè- se des commandes optimales (fig. 52). Le passage des variables yI et y2 aux variables initiales Xl, x 2 a pour effet de dformer affinement le graphique des trajectoires optimales. Deuxième cas. Les droites l1 et l2 sont situées dans les mêmes quadrants, par exemple dans le premier et le troisième. Numérotons les angles ai (définis par les droites l1 et l2) comme l'indique la fige 53; les sommets du parallélogramme V sont numérotés sur la fige 54. Le caractère de variation des grandeurs 1Pl et 1P2 nous amène à faire la conclusion suivante sur les commandes optimales. Si la valeur initiale 1Po du vecteur 1P == (1P1, 1P2) est située à l'intérieur du quatrième quadrant (ou sur ses côtés), le vecteur cr variera sans quitter ce quadrant, i.e. il restera constammen,t dans l'angle a1. Nous aurons don v == el (sans commut8.tion). Cette commande esL associée à la trajèctoire du système (56)1 qui aboutit à l'origine des coordonnées (fig. 55). D'une manière analogue, si la valeur initiale 1Po du vecteur 11' est située à l'intérieur ou sur les côtés du deuxième quadrant, nous aurons v == e 3 tout au long du déplace- ment, Le. nous obtenons la trajectoire du système (56)3 qui aboutit à l'origine des coordonnées (fig. 56). Toutes les autres trajectoires optimales correspondent aux cas où le vecteur 11'0 est situé à l'inté- rieur du premier ou du troisième quadrant. Discutons le cas où 'Po est situé dans le premier quadrant (le cas du troisième quadrant se déduit par une symétrie par rapport à l'origine des coordonnées). Soit donc le vecteur 1Po situé à l'intérieur du premier quadrant, B g2 ., (}j -e' 1 -e' A FI G. 51
21.] EXEIV[PLES 143 !l 2 !l' FIG. 52 mais dans l'angle (Xl. Le vecteur", est animé d'un mouvement de rotation uniforme en sens inverse des aiguilles d'une montre qui le rapproche de l'axe des ordonnées. La commande optimale admet donc deux commutations: d'abord v == el, ensuite v == e2 après la première commutation et, enfin, iJ == e 3 après la seconde commuta- l, FI G. f)
144 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 tion. Nous allons montrer que dans le cas des deux commutations mentionnées, l'intervalle, de tmps pendant lequel le paramètre de commande v prend la valeur e2 est d'une dur é e b i end é - fin i e (indépendamment du choix des conditions initiales). e3 ....... \ V.......- \ l, !l' FIG. 54 En effet, désignons respectivement par k 1 et k 2 (k 1 < k 2 ) (voir fige 53) les coefficients angulaires des droites II et l2. Le vecteur 1P variant suivant la loi '\Pi == cie-lt; '\P2 == C2 e - Â2t (où C1 > 0 et C2 > 0 puisque 1P est situé dans le premier quadrant), y2 y2 e' e' .3 .2 0 !JI C' . , .'2 e 1 0 !If . , ., e" CI FIG. 55 FIG. 56 l'instant de commutation Ti du sommet el au sommet e2 (i.e. l'instant. où le vecteur 'lp coupe la droite l1) se déduit de la relation c2e-2'tl =1£1. C1e-1't1
S 21.] EXEMPLES 145 D'une manière analogue, l'instant de commutation T2 du sommet e2 au sommet e 3 (Le. l'instant où le vecteur", coupe la droite l2) se déduit de la relation C 2 e - Â.2't2 == k 2 . C1 e -Â. 1 't 2 Donc, 1 1 k1C1 1 1 k2C1 ti == '1 '1 n-, T2 == '1 1 -'1 2 n - C2 ' ""1 -""2 C2 "" "" et l'intervalle de temps [T1,T2] durant lequel le paramètre de com- lllande v prend la valeur e2 est d'une longueur: 1 ( l k2c 1 1 ki Ci ) 1 l k2 '(2-'(1== 'A 'A n-- ll- == 'A 'A n - k · 1 - 2 C2 C2 i - 2 1 Le nombre figurant dans le deuxième membre de l'expression (58.) ne dépend ni de Ci ni de C2 (i.e. de la valeur initiale 1PO du vec- teur '\p), désignons-le par T. Ainsi lorsque le vecteur 1P varie dans le premier quadrant, les trajectoires optimales sont de la forme suivante. Le paramètre de comnlande v prend la valeur v == e1 durant un certain temps, puis la valeur v == e2 durant le temps T et, enfin, la valeur v == e 3 jus- qu'à la fin du mouvement. Il est bien entendu que le nombre de commutations peut être inférieur à deux. Si, par exemple, nous avions commencé à étudier le mouvement du point représentatif à un moment où le paramètre de commande v était égal à e2, alors pendant un intervalle de temps non s u p é rie u r à T le paramètre v se serait trouvé au sommet e2 et après commutation, au sommet e 3 . Le mouvement aurait pu aboutir aussi à l'origine des coordonnées avant l'instant de commuta- tion du sommet e2 au sommet e 3 . Autrement dit, si le paramètre de commande v réalise moins de deux commutations, le temps qu'il passera dans le sommet e2 n'est pas s u p é rie u r à T (la commuta- t.ion peut s'opérer soit de e1 en e2 soit de e2 en e3). A présent il est aisé de construire sur le plan nIes «lignes de commutations» qui définissent la synthèse des commandes opti- nlales. Traçons d'abord les trajectoires correspondant à d eux commutations. Sur ces trajectoires, la phase finale du mouvement correspond à la valeur du paramètre v == e 3 , i.e. le mouvement a lieu sur l'arc AO de la trajectoire définie par le système (56)3 qui abou Li t à l'origine des coordonnées (fig. 56). A van t d' arri ver sur la ligne AO le point représentatif s'est déplacé sous l'action du système (56)2. La ligne AO est donc une ligne de commutation du sommet e2 au sommet e 3 . Soit X un point quelconque de la ligne AO. IJa portion de trajectoire optimale Y X antérieure au point X est un arc de la trajectoire du système (56)2 qui correspond au temps T (fig. 57). Les solutions du système (57) étant de la forme yI == C1eÎv1t. (58) 10-01339
146 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 y2 == C2eÂ2t, lorsque le point représentatif se déplacera sur la trajec- toire de ce système durant le temps T, son abscisse sera multipliée par e'A1T et son ordonnée par e'A2T. Le système (56)2 se déduisant du système (57) par un déplacement de la position d'équilibre, les points X se déduisent des points correspondants Y (fig. 57) par une transformation affine L consistant à multiplier les abscisses par 2 Il yZ 1 e' e J e' e' . .3 .3 .2 !l' 0 !JI ., e 8 A A FIG. 57 e'A1T et les ordonnées e'A2T dans un système de coordonnées admet.tant pour origine le point e (voir 55)) et pour axes des droites parallèles aux yI et y2. D'où l'on déduit que le lieu géométrique des points Y est une ligne CB transformée affine de AO par L (fig. 58). En traçant par ailleurs la ligne BO qui est un arc de la trajectoire du système (56)2 aboutissant à l'origine des coordonnées et corres- pondant à l'intervalle de temps T, nous constatons que la «bande» AOBC est entièrement remplie par des portions de trajectoires du système (56)2 partant de la ligne CB, aboutissant à la ligne AO et correspondant à l'intervalle de temps T. Le lieu géométrique des points Y en lesquels s'opère la comn1uta- tion du sommet et au sommet e2 est donc la ligne CB . Avant d' arri- ver en Y, le point représenta tif s'est déplacé sur la trajectoire el u système (56)1. En définitive, nous obtenons des trajectoires corres- pondant à d eux commutations (fig. 59). La trajectoire « extrê- me » DEO de la figure 59 correspond à une commutation: le
21.] EXEMPLES 147 point représentatif arrive à l'origine des coordonnées juste à l'instant oÙ devrait avoir lieu la deuxième commutation (du sommet e2 au sommet e 3 ). !l 2 e' ..3 , e z . o !JI lJ FIG. 59 Voyons à présent les trajectoires correspondant à une commuta- tion de el en e2. La phase finale du mouvement se déroule alors durant un intervalle de temps n'excédant pas T sur la trajectoire !J2 , 1:3 e' . .2 0 !Jf . 1 el FIG.60 el u système (56) 2 qui aboutit à l'origine des coord onnées, i. e. sur une certaine portion ZO de la ligne BO (fig. 60). .LL\vant d'arriver en Z, le mouvement du point représentatif est régi par le système (56)1. 10*
148 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. ;) Lorsque le point Z parcourt l'arc BO tout entier, les trajectoires de la forme mentionnée remplissent la « bande » DBOA / (fig. 61) où A'O est la trajectoire du système (56)1 qui aboutit à l'origine des coordonnées. !l 2 !J !J' v= e 3 v- e - 1 o !l' FI G. 61 FIG. 62 En groupant toutes les trajectoires optimales obtenues nous constatons qu'elles remplissent le domaine situé à gauche de la ligne AOA / (fig. 59, 61). Il est évident que la ligne A'O et la ligne AO sont symétriques par rapport à l'origine des coordonnées. A droite de la ligne AOA' les trajectoires se comportent d'une manière symétrique et les commutations ont lieu de e 3 en e4, ensuite de e4 en et. En définitive, la synthèse des commandes optimales se réalise sur le plan tout entier (fig. 62). Les trajectoires optimales sont représentées sur la fige 63.
21.] EXEMPLES 149 Le passage des variables yI et y2 aux variables initiales Xl et x 2 a pour effet de déformer affinement les trajectoires optimales. !J2 !JI FIG. 63 E x e ID pIe 3. (Cas où le polyèdre U est unidimensionnel et les valeurs propres de la matrice (aj) sont réelles.) Su pposons que r == 1 dans le système (1), i. e. le paramètre de cornmande u est un nombre réel; supposons en outre que ce nombre est assujetti à varier dans l'intervalle -1 u 1. Le polyèdre U est donc l'intervalle [-1, 1] de l'axe numérique et le système (1) s' écri t sous la forme n dx i . · (ft == LJ axv+ b'u, 1 u 11, ,,=1 i == 1, 2, ..., n. (59) Supposons, enfin, que les valeurs propres de la matrice (aj) sont réelles. Alors, en vertu du théorème (10), la trajectoire optimale
150 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEl\IPS OPTIMAL [Ch. 3 contient au plus n intervalles de constance sur lesquels on a alter- nativement u == +1, u == -1. En d'autres termes, sur chaque intervalle de constance le mouve- ment du point représentatif est régi par l'un des deux systèmes suivants: n dx i . i - == a'Lx V -L b dt Vi' v=1 i == 1, 2, ..., n, (60)+ n dx i 2} . . -== a'LxV-b dt v ' v=1 i == 1, 2, ..., n. (60)_ Désignons respectivement par lVI et M;, les trajectoires des systèmes (60)+ et (60) _ qui aboutissent à l'origine des coordonnées. /1+ n - /1- n FI G. 64 Ces trajectoires forment une ligne passant par l'origine des coordon- nées et que nous désignerons par Mn (fig. 64). D'après le caractère des commandes optimales il est clair que la phase finale du mouve- 11; /1- n FIG. 65 ment optimal (qui s' àchève à l'origine des coordonnées) aura lien sur la ligne lVI; ou sur j1f. Considérons maintenant toutes les trajectoires du système (60)+ aboutissant sur la ligne lVI;. (fig. 65). Ces trajectoires remplissent une certaine surface M-1 admettant pour bord la ligne 111n. D'une façon analogue, les trajectoires du système (60) _ aboutissant sur la ligne A1 remplissent une certaine surface lVI;;'_1 admettant pour bord la ligne Mn. En groupant les surfaces AI-1 et M;;'-1 nous obte- nons une surface que nous désignerons par AIn -1 (fig. 66). Il est clair
21.] EXEMPLES 151 que les deux dernières phases de tout mouvement optimal se dérou- leron t sur la surface Mn -1, car seules les trajectoires de cette surface permettent d'aboutir à la ligne Mn sur laquelle a lieu la phase fina- le du mouvement. Par ailleurs, les trajectoires du système (60)+ qui aboutissent sur la surface M-;;'-1 forment une variété tridimensionnelle M-2 admettant pour bord la surface M n-1. Les trajectoires du système (60) _ qui aboutissent sur la surface M-1 engendrent une variété FI G. 66 tridimensionnelle M-;;'-2 de bord M n-1. Les variétés M-2 et M-;;'-2 forment une variété tridimensionnelle M n - 2 où s'achèvent les trois dernières phases de tout mouvement optimal. En poursuivant cette procédure nous construisons les variétés 111n, J11 n-17 . . ., M 1 où Mi est de dimension n - i + 1. La variété Mi+l est entièrement contenue dans la variété Mi qu'elle divise en deux domaines Mt et Mi, le premier étant constitué de toutes les trajectoires du système (60)+ aboutissant sur Mi+1 et le second de toutes les trajectoires du système (60) _ aboutissant sur Mt+1. La dernière variété 1\1 1 soit est confondue avec l'espace de phase X tout entier, soit est un domaine de cet espace renfermant l'origine des coordonnées. C'est à l'intérieur du domaine M 1 que se réalise la synthèse des commandes optimales. Cet te synthèse se réalise de la façon suivante: le paramètre de COll1ll1ande u est égal à +1 dans tous les domaines Mi et à -1 dans tous les domaines 111i. Le point représentatif est en mouvement dans le domaine Mi: U == +1 s'il se trouve en Mt et u == -1 s'il se trouve en 1\1 1 . Lorsqu'il arrive sur la variété M 2, il se produit une comn1utation ot le reste du mouvement se déroule sur la variété M 2 . La commutation suivante se produit lorsque le point représentatif en se déplaçant sur M 2 arrive sur M3. Il continue de se déplace!" sur J1I1 3 et ainsi de suite. La phase finale du mouvement qui s'achève à l'origine des coordonnées se déroule sur la ligne Mn. Il se produit
152 PROBLÈl\iES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 donc n - 1 commutations en tout. Il est bien entendu que pour certaines positions de départ du point représentatif le nombre de commutations peut être inférieur à n - 1 (il peut arriver par exemple que le point Xo soit situé sur la variété M 2, ou sur AI 3 , etc. ). L' exem pIe 1 du 5 est un cas particulier de la construction géné- rale exposée ci-dessus. E x e m pIe 4. Soit à résoudre le problème suivant. Dans un espace euclidien de dimension n est en mouvement un point commandé sous l'action d'un « moteur» susceptible de lui communiquer une accélération n'excédant pas l'unité en module et orientée arbitrairen1ent. Com- ment faut-il commander le mouvement de ce point si l'on veut qu'en partant d'une position initiale donnée avec une vitesse initiale donnée il mette le moins de temps pour arriver à l'origine des coor- données (avec une vitesse finale arbitraire)? Pour résoudre ce problème désignons les coordonnées du point en mouvement par Xl, x 2 , . . ., x n , les composantes de sa vitesse par xn+l, . . ., x 2n et les composantes de son accélération par u 1 , . . ., un. Prenons l'unité pour masse de ce point. Les équations du mouvement du point s'écrivent alors sous la forme: dx 1 - xn+l ) dt - , dx 2 - xn+2 dt - , . . . . dx n -x 2n dt , l (61) dxn+1 -u l dt - , dxn+2 -u 2 dt - , . . . . . . dx2n n dt == u . J L'accélération u == (u l , . . ., un) n'excédant pas l'unité en module, le domaine de commande U est défini par l'inégalité (U 1 )2 + (U 2 )2 +. . . + (U n )2 1. (62) Puisque la position initiale et la vitesse initiale du point en mouve- ment sont données, la position initiale Xo === (x, ..., xn) se trouve ainsi définie dans l'espace de phase X engendré par les variables
21.] EXEMPLES 153 l 2 n 2n L d . t . d ' ., l ,.. d X , X , . . ., X , _ . ., x. a con lIon arrl vee en orIgIne es coordonnées (avec une vitesse finale arbitraire) signifie qu'en fin de mouvement doivent être vérifiées les relations X l - X 2 - - X n - 0 - -...- -, (63) les grandeurs Xn+l, . . ., x 2n pouvant être arbitraires. Autrement dit, le problème consiste à transférer en temps optimal un objet commandé par les équations (61) et (62) du point initial Xo E X en un point quelconque de la variété S 1 définie dans X par les équa- tions (63). La variété S 1 est de toute évidence un plan de dimension n. Dans ce cas, la fonction H s'écrit: H == 1p1Xn+I-t- '\f2Xn+2 -1- . . . + 1pn x2n + 1pn+1 ul + . . . + 1p211. Un . (64) Le système d'équations pour les variables auxiliaires 'tf'i s'écrit: d'P1 dt == 0, d'l'2 dt == 0, d'l'11. == 0 dt ' dWn+1 _ _ 1h dt - 't'b d'l'n+2 == -1 h dt Y2, d'l'2n _ _ 1h dt - 't'n- Il s'ensuit que pendant toute la durée du mouvement optimal les grandeurs 11'1' 11'2' · · ., 11'n restent constantes et donc les grandeurs 'lp11.+ 17 11'11.+ 2, . · ., 11'2n sont des fonctions linéaires en t. Ecrivons maintenant la condition de transversalité à l'extrémité droite de la trajectoire optimale. Pour que le vecteur 1P == == (11'1, · . ., 11'11.' 11'11.+1' · . ., 11'2n) soit orthogonal à la variété S 1 qui est définie par les équations (63), il est nécessaire et suffisant que soient vérifiées les conditions 11'n+1 = 11'n+2 = · · · == 1J'211. == O. ]a condition de transversalité à l'extrémité droite de la trajectoire s'écrit donc: 11 J n+1 (t 1 ) == 'Pn+2 (t 1 ) == · - · == 1P211. (t 1 ) == 0, (65) OÙ t 1 est l'instant où le point représentatif arrive sur la variété S 1- (om pte tenu de la linéarité des fonctions 11'n+ 1, 1Pn + 2, · . ., 11' 2n'
154 PROBLÈMES LINÉAIRES EN rrEMPS OPTIMAL [Ch. 3 il vient de (65): lPn+1 === a1 (t 1 - t), lPn+2 == a2 (t 1 - t), ..., 1JJ2 n == an (t t - t), ( (6) où ab a2, . . ., an sont des constantes. Les grandeurs lPi étant défi- nies à un facteur positif commun de proportionnalité près, nous pou- vons supposer que le vecteur a == (ab a2, . . ., an) est égal au vec- teur unitaire, Le. (a1)2 + (a2)2 + . . . + (a n )2 == 1. En portant (66) dans (64) il vient: H ==... +(tt-t) (atul+a2u2+ ... + an un), où les points de suspension désignent les termes ne dépendant pas de u 1 , . . ., un. Puisque t 1 - t > 0 (car t 1 représente l'instant fin a 1 du mouvement), la condition de maximUln de la fonction H signifie que pendant toute la durée du mouvement la grandeur alul + a2u2 + . . . -+ an un === (a, u) doit être maximale, ce qui signifie, en vertu de (62), que u (t) == a, i.e. les grandeurs u l , u 2 , . . ., un gardent des valeurs constantes u i == ai, i == 1, . . ., n, pendant toute la durée du mouvement. Ainsi, dans le cas considéré, l' optimalité du mouvement signifie que l'accélération u est con s tan t e et égale à l'unité en module. Ceci nous permet de définir d'une manière univoque l'accé- lération cherchée (Le. de trouver le sens du vecteur accélération u). En effet, dans l'espace euclidien considéré la trajectoire du mou ve- ment du point représentatif est la parabole .. . . t 2 X == X 'l. + X n+l t + U - l 1 n o 0 2'. === , ..., , où u == (u l , ., un) est le vecteur constant de l'accélération de module égal à l'unité, i.e. vérifiant la condition (U 1 )2 + (U 2 )2 +. . . + (U n )2 == 1. (67) Pour que cette trajectoire passe par l'origine des coordonnées, il faut que soient vérifiées les conditions . . . t 2 x+x+1.t+ut 2 ==0, i== 1, ..., n. (68) Les relations (67) et (68) forment un système de n + 1 équations en u 1 , u 2 , . . ., un, t où t ne prend que des valeurs positives. S'il existe plusieurs solutions, nous devons prendre celle où t a 1 a plu s pet i t e valeur positive (puisqu'il s'agit d'arriver en temps optinlal à l'origine des coordonnées). De (68) il vient: . 2 (xi + xn+it) 11 === _ 0 0 1 1 7 '1 Ut t 2 ' : == , · · ., " · (69)
22.] SIMULATION 155 En portant cette valeur dans la relation (67), nous obtenons l' équa- tion n 4 (x + xl+it)2 - t 4 == 0 i=1 (70) n en t. Lorsque t == 0, on a 4 2j (X)2 > 0 (il est bien entendu que le i=1 poin t (x, x, . . ., xB) n'est pas confondu avec l'origine des coor- données, sinon la solution du problème optimal aurait été évidente: f == 0). Lorsque t cx>, le premier membre de l'équation (70) est négatif. Cette équation (70) admet donc au moins une racine positive. Désignons par 't (xo) == 't (x, x, . . ., xa, xa+ 1 , . . ., xÔ n ) 1 a plu s pet i t e racine positive de cette équation. Alors nous tirons de (69) les valeurs cherchées des corn posan tes de 1 ' accélération . 2 (xi -+ xn+i't (xo)) U === _ 0 0 . ('t (xO))2 Nous obtenons ainsi la synthèse des commandes optimales du problè- lue posé. (La fonction 't (xo) et par conséquent les fonctions u i sont eontinues par morceaux.) 22. Simulation des commandes linéaires en temps optimal par des circuits à relais Revenons au problème des commandes linéaires en temps opti- Inal étudié au 17. En vertu du théorème (9), toute trajectoire extré- Inale (voir page 114) qui part du point xo à l'instant t o est définie par les valeurs initiales '\}J (t o ) de la solution '\}J (t) de l'équation (5). Si précisément est donné un vecteur '\}Jo arbitraire et non nul, la solu- tion 'p (t) de l'équation (5) vérifiant la condition initiale '\}J (t o ) == 11'0 est univoque. Par ailleurs, en vertu du théorème (9), la relation (6) définit d'une manière univoque la commande extrémale u (t). Une fois connue la commande extrémale u (t), nous déduisons de l' équa- tion (2) la trajectoire x (t) qui lui est associée et qui part du point xo. In définitive, la trajectoire extrémale x (t) est définie donc d'une rnanière univoque par le choix de la valeur initiale 'Po. Si l'on arrive à trouver une valeur initiale '\}Jo telle que la trajectoire x (t) pas s e par l' 0 r i gin e des c 0 0 l'do n née s 0, alors la commande u (t) et la trajectoire x (t) obtenues par la procédure indiquée pré- cédeUlment seront optimales. En effet, la trajectoire x (t) ainsi obtenue partira dans ce cas du point xo au point 0 imposé, d'où l'on conclut à l'existence d'une commande optimale (théorème 13). Cette commande optimale est unique (théorème 11) et obéit au principe du n1aximum, Le. est extrémale (page 114). Or il n'existe qu'une
156 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 commande extrémale recalant le point Xo à l'origine des coordonnées (théorème 12). Donc, cette commande extrémale est précisément la commande optimale. Il importe de souligner que la d é ter min a t ion de la trajectoire x (t) correspondant à la valeur initiale 'Po donne lieu à des calculs assez laborieux. Il faut en effet résoudre l'équation (5), trouver la fonction u (t) à l'aide de la formule (6), et, enfin, résoudre l'équation (2), ce qui revient donc à résoudre plu sie u r s systèmes d'équations différentielles en prenant chaque fois le résul- tat obtenu pour conditions initiales (car la fonction u (t) en général n'est pas constante, mais seulement constante par morceaux). fo .xo ! Il' X' - u 2 :£2 - - Ax+ Bu . . . . . . ur x n - -A*r FI G. 67 FIG. 68 Si l'on suppose que la recherche de la trajectoire x (t) d'a près la valeur initiale 'Po peut être effectuée par un a p par e i Il quel- conque, il reste le pro b l è m e deI are che r che de la valeur initiale 'Po pour laquelle la trajectoire x (t) passe par l' ori- gine o. Sans nous soucier du deuxième problème (le problème de la recherche des conditions ini tiales 'Po) nous allons indiquer dans ce paragraphe comment construire un simulateur permettant par la connaissance de la valeur initiale 11'0 de déterminer la trajectoire extrémale correspondante x (t). Ce simulateur est composé de deux systèmes linéaires à équations (2) et (5) et d'un certain nombre d'é 1 é men t spa r t 0 u t 0 uri e n don t le schéma et le nombre de connexions sont déterminés par le polyèdre U et l' opéra- teur B. Voyons maintenant la description mathématique de ce simula- teur. Soit un système linéaire dont les états de phase sont décrits par les variables 'PI, . . ., lPn en vertu de la loi (5). Représentons conventionnellement ce système comme l'indique la figure 67. La donnée des valeurs initiales des grandeurs 11'1' . . ., 'Pn (i.e. la donnée du vecteur '\}Jo) définit univoquement les variations ultérieu- res des grandeurs 11'1' . . ., 'Pn dans le temps . Représentons le système initial (qui est régi par l'équation (2)) comme l'indique la figure 68. Pour que la variation (dans le temps) des grandeurs de sortie (i.e. des
22.] SIMULATION 157 coordonnées de phase) Xl, . . ., x n , soit définie uni voquelnent il faut que soient donnés l'état de phase initial Xo du système et la variation (dans le temps) des grandeurs d'entrée u l , . . ., ur (i.e. des paralnètres de cOlnmande). Le simulateur cherché est de la forme représentée sur la fige 69; la «caisse» médiane située entre les systètnes représentés sur les fige 67 et 68 contient un certain nombre d'éléments par tout ou rien. Le reste du paragraphe est consacré précisément à la description de la «caisse» médiane. 1'0 .zo '--_________-.J J ut. x, J x 2 J u 2 1 Ax + Bu - 1 - 1 . . . . J . . 1 ur x n 1 - - A *'1 I r-.--------, 1 2 1 J 1 1 n 1 FIG. 69 Distinguons tout d'abord les cas particuliers où le dispositif de la « caisse » médiane est d'une conception très simple . Voyons, pour COlnmencer, le cas où dans l'équation (2) ne figure qu'un seul paramètre de commande u, variant dans les limites -1 u 1 (i.e. le cas où le polyèdre U est l'intervalle [-1, 1]). La matrice (bj) se transforme en la colon n e (b l , b 2 , . . ., b n ) et la fonction (7) s'écrit sous la forme n 'Pa (t) bau. a=l :L'équation (6) admet donc la solution suivante: n U == sign ( ba\j)a (t)). a=l (71) ...i\.utrement dit, SI nous introduisons la grandeur auxiliaire n == i.' ba\fa, (72) a=l la solution de l'équation (6) sera définie par la formule u == sign . (73) Le passage des grandeurs 11'1' . . ., lPn à la grandeur définie par la formule (72) est réalisé par un som mat e u r représenté eonventionnellement sur la fige 70. La fige 71 représente un é 1 é -
158 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 men t par t 0 U t 0 uri e n, i.e. un système dont la grandeur de sortie et la grandeur d'entrée sont liées par la relation 11 == sign . Groupons les systèmes représentés sur les fige 67, 68, 70 et 71 dans un schéma uni que (fig. 72). Il est clair que quel que soit le vecteur initial '\}Jo, à la sortie du premier circuit (du schéma représenté 1 1 2 . . . 6: -lsl1J . rn FI G. 70 FIG. 71 sur la fig. 72) nous obtiendrons les grandeurs 'Pi (t), . . ., 1Pn (t) qui sont solution de l'équation (5). Dans le circuit suivant (repré- senté en pointillé) ces grandeurs se transforn1ent d'après les forn1u- ro .Io -A* 1 r----------l 1 1 é; S : u 1 1 n 1 1 1 L_________.J X' x 2 Ax + Bu x n FI G. 72 les (72) et (73) de sorte qu'à la sortie nous obtenons la grandeur (71) qui n'est autre que la solutic:l de l'équation (6). En d'autres termes, à la sortie du deuxième circuit, nous obtenons la c 0 m man d e e x t r é mal e u (t), et par conséquent les grandeurs de sortie Xl (t), . . ., x n (t) du dernier circuit donneront la trajectoire opti- male correspondante. Autrement dit, le schéma de la fige 72 réalise le mouvement du système (2) de coordonnées de phase Xl, . . ., xrl sur la trajectoire extrémale correspondante quelles que soient les valeurs initiales 'Po et Xo. Si le schéma de la fig. 72 est adopté pour principe d'un appareil (un simulateur, par exemple), il ne restera plus pour l'utiliser qu'à déterminer la valeur initiale 'Po pour laquelle (la valeur initiale Xo étant donnée) la trajectoire obtenue aboutit à l'ori- gine des coordonnées. Les raisonnements précédents se généralisent sans difficulté au cas où le domaine de commande U est un cube r-dimensionnel, i.e.
S 22.] SIMULATION 159 il est défini par les inégali tés 1 u i 1 1, i == 1, . . ., r. Dans ce cas la fonction (7) s'écrit (74) r n 2.; L 1Pa(t)bBut3. (75) (3=1 a= 1 Puisque, en vertu de (74), le domaine de variation de chaque para- mètre de commande u 1 , . . ., ur ne dépend pas des valeurs prises ro r f , Xf rf2 2 U 2 x 2 -A *1' Ax + Bu . n r . ur . ,zn 1 I - cfz t. 2 - - . . . . . t,.r n - FI G. 73 FIG. 74 par les autres paramètres de commande, pour que la fonction (75) prenne sa valeur maximale, il est nécessaire que c h a c u n des termes n 'Pa (t) b u(3 a=l . ( == 1, . . ., r) qui la composent prenne sa valeur maximale. D'où n u(3 == sign ( 1}Ja (t) b B ). a=1 ' Si nous introduisons les grandeurs auxiliaires n = bBtPa, == 1, ..., r, a=1 (76) la solution de l'équation (6) sera définie par les formules: u B == sign B, == 1, . . ., . r. Le passage des grandeurs 'Pi' · · ., 'Pn aux grandeurs £1, · · ., r s'effectue au moyen du sommateur représenté conventionnellement sur la fige 73. Il est clair de ce qui précède que dans le schén1a de la fige 74 on obtiendra à la sortie des éléments par tout ou rien la c 0 ID man d e e x t r é mal e u l (t), . . ., ur (t) et à la sortie du dernier circuit la trajectoire extrémale correspondante x (t).
160 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 Soulignons que dans ce schéma le nombre des éléments par tout ou rien est égal au nombre des paramètres de commande. Examinons enfin le cas général où le polyèdre U est arbitraire. Soient 1, 2' · · ., v (77) des vecteurs non colinéaires, deux à deux, orientés dans le sens des arêtes du polyèdre U (i.e. chacun des vecteurs (77) est parallèle à au moins une arête du polyèdre U et chaque arête possède dans m- l" ..I I I 1J! (It t.: :. : "I I I '12 .... . . . . . . !. : . . 1J r. n rI j- 1 FIG. 75 FIG. 76 le système (77) un vecteur qui lui est parallèle). Désignons par w}, j, . . ., j les coordonnées du vecteur j. Posons n r j === ('\p, Bw j) === L: 1Pabawf?, j == 1, ..., y. (78) a=lp=l p J Les variables 1' . . ., £1' sont donc des formes linéaires (en général, linéairement dépendantes) en 11'1' . . ., 1Pn. Le passage des variables 1Pi aux variables j est représenté sur la fige 75. Les variables j sont déterminées par lPi sur lesquelles toutefois elles n'exercent pas d'action en retour (ce qui est représenté sur la fige 75 par le séns des flèches) . Appliquons chaque grandeur j à son élément par tout ou rien, et désignons par 111, . . ., l1v (fig. 76) les sorties de ces éléments: 11 j == si gn j, j == 1, . . ., y. (79) Soient maintenant e1, . . ., e q les sommets du polyèdre U. Considérons un sommet quelconque ei et soit j l'un des nombrei 1, 2, . . ., y. Si un vecteur admettant pour origine le sommet eS est porté par une arête du polyèdre U partant de ce sommet, nouS posons 8ij == +1 si ce vecteur est ég!ll à j et 8ij == -1 s'il est égal à -j. Le symbole 8ij n'est pas déterminé si aucun des deux cas ne se présen te. Figeons un indice i (i == 1, 2, . . ., q) et examinons seulement les indices j pour lesquels le symbole 8ij est déterminé. Les vecteurs 8ijj sont alors orientés dans le sens des arêtes de U partant du sommet ei. Soit d'autre part 11' == ('tPi' 11'2' · . ., lPn) un vecteur ar.bitraire non nul. Désignons par B*1P le vecteur de l'espace Er
{, 22.] SIMULATION 161 n dont la i-ème coordonnée est égale à b11'a' i = 1, . . ., r. Alors, a=1 pour tout vecteur u de l'espace Er est vérifiée la relation (B*11', u) = ('\}', Bu). . (80) rrraçons dans l'espace Er l'hyperplan A passant par le point ei et orthogonal au vecteur B*'\}J, que nous supposerons issu du sommet ei. Pour que la grandeur ('\}J, Bu), prise comme fonction du point u E U, atteigne son supremum seulement en un sommet ei il est nécessaire (t suffisant (en vertu de (80) que le polyèdre U soit entièrement eontenu dans le demi-espace défini par l'hyperplan A qui ne contient pas le vecteur B*'\}J ; or pour ,cela il est nécessaire et suffisant que tout vecteur issu du point ei et orienté dans le sens d'une arête du polyèdre U forme un angle obtus avec le vecteùr B*11'. Autrement dit, pour que l'équation ('l', Bu) = P (11') (81) adnlette une solution unique u = ei, il est nécessaire et suffisant que tous les prod ui ts scalaires (B*11', 8ijWj) (correspondant aux indices j pour lesquels le symbole 8ij est défini) soient négatifs ou, ce qui est équivalent, que soient vérifiées les inégali tes Bij ('lP, BWj) < O. En vertu de (78), la dernière inégalité prend la forme Bi/Ç,j < o. (82) Donc pour que l'équation (81) admette une solution unique a = eh il est nécessaire et suffisant que pour tous les j (pour lesquels est défini le symbole Bij) soit vérifiée l'inégalité (82), ou, ce qui revient au même, l'égalité Bij1]j = -1 (83) (voir (79). Posons maintenant i = li -1 + Bi/'lj, i = 1, 2, ..., q, j (84) OÙ li désigne le nombre d'arêtes du polyèdre U partant du sommet ei, la sommation s'opérant par rapport à toutes les valeurs de j pour lesquels le symbole Bij est défini (de sorte que cette somme renferme li termes). Le passage des grandeurs 'Y}j aux grandeurs i est repré- senté sur la fige 77. La grandeur i prend la valeur -1 si tous les j vérifient l'égalité (83), et une valeur p 0 s i t ive si pour l'un au moins des indices j est vérifiée l' égali té Bij"1j = + 1. [L' égali té 11-01339
162 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OP'rIMAL [Ch. 3: Ei/Y)j === 0, OU, ce qui est équivalent, (11', BWj) === 0 (voir (78)) ne peut être vérifiée en vertu du théorème 9 que pour un nombre fin i de valeurs de t que nous négligerons.] Donc l'équation (81) adn1et une solution unique u === ei si, et seulement si, Si < O. En appli- quant les grandeurs 1' . · ., Sq aux éléments par tout ou rien et en désignant les grandeurs de sortie par Xi' . . ., Xq (fig. 78), nous constatons que l'équation (81) admet une solution unique u === ei si, et seulement si, est vérifiée l'égalité Xi === -1. De ce qui précède il est clair qu'à tout instant t (à l'exception d'un nOlnbre fini d'ins- tants où l'une au moins des grandeurs j est nulle) l'une des gran- deurs Xi prend la valeur -1, et les autres la valeur +1. c tt_lsl X t _ 2 III 2. . . . 'q IS' X r X f A. 2 u l - 1], f 7j2 '2_ ... . . . . . . 1Jr C q u 2 FIG. 77 FIG. 78 .. . q.1 ;: FIG. 79 Soient main tenant et, . . ., eI les coordonnées du somn1et e i du polyèdre U. Posons q uP= (1-Xa.)e, p=1, ...,1' cx=1 (85) (fig. 79). De (85) il est clair que le point (u l , . . ., ur) est confondu avec le sommet ei si Xi === -1 et les grandeurs restantes Xa sont égales à +1. Autrement dit, si l'équation (81) admet une solution unique, cette solution n'est autre que le point (u l , . . ., ur) obtenu au moyen des formules (85). Groupons maintenant les systèlnes représentés sur les fige 67, 68, 75-79. Nous obtenons ainsi le schéma de la fige 80. De ce qui précède il est clair que quel que soit le vecteur initial 11'0' les fonctions u l (t), . . ., ur (t) obtenues en sortie de l'avant-dernier circuit forment la c 0 m man d e e x t l' é fi ale (puisqu'elles satisfont à l'équation (6); à la sortie du circuit nous obtenons les grandeurs Xl (t), . . ., x n (t) qui décrivent la trajectoire extrémale correspon- dante. Le schéma de la fige 80 réalise donc le mouvement du système (2) sur la trajectoire extrémale (quelles que soient les valeurs initiales 11'0' x o ). Il reste comme nous l'avons indiqué plus haut à trouver une valeur initiale de 11' pour laquelle (la valeur initiale Xo étant donnée) la trajectoire obtenue passe par l'origine des coordonnées. Cette
23.] ÉQUATIONS À COEFFICIENTS VARIABLES 163 recherche peut être effectuée par l'une des deux méthodes suivantes: soit l'on fixe une valeur initiale X o et à l'aide de quelques tests on cherche la valeur initiale requise "'0' soit, après avoir inversé le telnps, on trace un réseau suffisamment dense de trajectoires à partir de l'origine des coordonnées (toutes ces trajectoires seront optimales) et, en « retenant » ensuite tous les points de commutation de l'espace de phase X, on construit la « surface de commutation >) (i.e. on réalise la synthèse des commandes optimales). 10 Xo cfl C, 'JI " x, u l Xl 2 c'z 1Jz C z Xz u 2 x 2 -A*f Ax + Bu . . . . . . . . . . . . . . . . . r . . cfn . 7jJ' C q . ur . . X q .zn FI G. 80 Soulignons qu'il est possible de faire écouler le temps plus vite- dans un simulateur que dans le système réel (par le choix des para- :mètres dans le premier et le dernier circuits du schéma). Ceci permet de tester avec le simulateur quelques trajectoires extrémales pendant un court intervalle de temps et d'obtenir la commande optimal(} cherchée pour le système de départ. 9 23. E(luations linéaires à coefficients variables Les principaux résultats établis dans les paragraphes précédents pour les équations linéaires homogènes à coefficients constants (voir (1)) se transfèrent aux équations linéaires non homogènes à coefficients variables. Dans ce paragraphe nous formulerons les- théorèmes ainsi obtenus et _ indiquerons les modifications qu'il eonviendra d'apporter dans les précédentes démonstrations. Précisons tout d'abord la position du problème. Nous allons étudier un objet dont le mouvement est décrit par le; système linéaire d'équations différentielles: n r di = a(t)xv+ b(t)uP+fi (t), i=1,..., n. (86) v=1 #)=1 ]e domaine de commande U est comme précédemment un polyèdre r-dimensionnel convexe et fermé de l'espace Er engendré par les variables Ul, . . ., ur. Nous nous limiterons toujours au problème 11*
164 PROBLÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OprrIMAL [Ch. 3 €n temps optimal. Les fonctions a} (t), b (t) et fi(t) qui figurent dans le système (86) seront supposées définies sur un certain inter- valle a < t < b (pouvant être confondu avec la droite numérique) et admettant sur cet intervalle un nombre suffisant de dérivées continues. Nous supposerons, plus exactement, que les fonctions a} (t) admettent n - 2 dérivées continues (mais pas moins d'une), les fonctions bl (t) - n - 1 dérivées continues et les fonctions fi (t) - une dérivée continue. (La remarque de la fin du présent paragraphe montre que ces contraintes peuvent être moins strictes.) Toutes les valeurs de la variable t seront supposées appartenant à l'intervalle a < t < b ; en particulier, toute commande admissible sera supposée donnée sur un intervalle con t e n u dans l'inter- valle a < t < b. Le système (86) p'ellt s'écrire sous la forme vectorielle suivante: dx CU=A(t)x+B(t)u+f(t); (87) où A (t): X -+- X et B (t): Er-+- X sont des opérateurs linéaires associés dans" les coordonnées Xl, . . ., x n et U l , . . ., Ur respective- ment aux matrices (a}(t)) et (bl (t)), et f(t) un vecteur de composan- tes fi (t). Introduisons les opérateurs Bi (t), B 2 (t), . . ., Bn (t) en posant Bdt) = B (t), B j (t) = - A (t) Bj-dt) + dBjitdt) , (88) j = 2, ..., n. Pour la détermination de ces opérateurs il est nécessaire que les fonctions b (t) admettent n - 1 dérivées et les fonctions a} (t) n - 2 dérivées.) Nous dirons qu'à l'instant t est remplie la condi- lion de position commune si pour toute arête w du polyèdre U les vecteurs Bi (t) w, B 2 (t) w, . . ., Bn (t) w (89) sont linéairement indépendants dans l'espace X. Dans ce paragraphe nous supposerons partout, qu'à tout instant t, a < t < b, est remplie .la condition de position commune. Observons que si les matrices (a}(t)) et (bl (t)) sont constantes, i.e. si a) et b ne sont pas fonctions du temps, alors de (88) il résulte que Bj = (_1)j-lA:1-1B et donc les vecteurs (89) coïncident, au signe près, avec les vecteurs (3). La condition de position commune formulée dans ce cas se confond donc avec celle introduite dans le 17.
23.] ÉQUATIONS À CORFFICIENTS VARIABLES 165 La fonction H ('\p, X, t, u) (voir page 60 et théorème 5) est ici de la forme: H = (" A (t) x) -t- ('\p, B (t) u) + ('lJ, f (t)) == 'a(t)xV + f.l,V + '\pb (t) u P + L: '\pff.l (t), (90) f.l , P I-L et le système auxiliaire (voir formule (69) du chapitre 1) s'écrit sous la forme: d'i'.i == _ '" a y ( t ) 1101 . 1 2 dt L.J J 't'v, ] == , ,..., n, v ou sous la forme vectorielle (cf. 5): =-A*(t)1p. (91) Il est évident que la fonction H, qui est considérée comme une fonction de la variable u E U, atteint son maximum en même ten1ps que la fonction (1\', B (t) u). Désignons par P (1\', t) le maximuln de la fonction (1\', B (t) u) que nous considérons comme une fonction de la variable u E U. Du théorème (5) il résulte (voir la formule (70) du chapitre 1) que si u (t), t o t tf, est une commande optimale transférant le point représentatif de Xo en Xi' alors l'équation (91) admet une solution 1\' (t) non triviale telle que ('\jJ (t), B (t) u (t)) = P (1\' (t), t) (92) quel que soit t pris dans l'intervalle t o t t 1 . Nous dirons qu'une fonction donnée sur l'intervalle a < t < b ou sur une partie de cet intervalle est constante par morceaux si l'ensemble de tous les points de discontinuité de cette fonction ne possède pas de points limites à l'intérieur de l'intervalle a < t < b et si la fonction considérée est constante sur chacun des intervalles déterminés par les points de discontinuité sur l'intervalle a < t < b. (Observons que les points de discontinuité peuvent s'accumuler à proximité des extrémités de l'intervalle a < t < b.) r h é 0 r è m e 15. A toute solution non triviale", (t) de l'équation (91) la relation (92) associe d'une façon univoque *) une fonction de commande u (t); la fonction u (t) est constante par morceaux et n'admet pour valeurs que les sommets du polyèdre U. Ce théorème est celui de la « finitude du nombre de commuta- tions» pour les équations linéaires à coefficients variables (car toute commande u (t) est définie sur un certain i n ter y a Il e t o t t 1 contenu tout entier dans l'intervalle a < t < b, et il résulte du théorème 15 que le nombre de points de discontinuité de la fonction u (t) est fini). Si les coefficients sont constants, le théorème 15 est remplacé par le théorème 9. *) Voir note de la page 107.
166 PROBLÈMES LINÉAIRES EN rrEl\iPS OP1.'IMAL [Ch. :3 D é ID 0 n s t rat ion. Elle est analogue à celle du théorème 9. Indiquons seulenlent les modifications insignifiantes qu'il con- vient d'apporter à la démonstration du théorème 9. Supposons que l'ensemble des points où la commande u (t) n'est pas univoquement définie par la relation (92) admette au moins un point lilnite à l'i n t é rie u r de l'intervalle a < t < b. Alors (voir formule (8) et le texte s'y rapportant) nous pouvons trouver une arête w du polyèdre U et un ensenlble M, admettant à l'intérieur de l'intervalle a<t<b un point linlite T, tels que (11' (t), B (t) w) == 0 (93) quel que soit t E M. La formule (9) peut être remplacée par l'expression ((t), B (t) lU) == 1pv (t) b (t) u;p. (94) 'V, P Les fonctions a} (t) admettant n - 2 dérivées continues, les fonctions 'P1 (t), . . ., 'Pn (t) qui sont solution de l'équation (91) en admettent n - 1 ; par ailleurs, les fonctions b (t) admettent également n - 1 dérivées continues par hypothèse. Donc, la fonction (94) est n - 1 fois continûment dérivable. Puisque T est un point limite de l'ensemble il!, nloyennant la continuité de la fonction (94), il résulte de la relation (93) que (11' (T), B ('t) w) == O. Par ailleurs, étant donné que l'intervalle compris entre deux racines d'une fonction dérivable renferme au moins une racine de sa dérivée, il s'ensuit que la dérivée de la fonction (94) s'annule en une infinité de points admettant 't pour point limite. Or, cette dérivée est de la fornle : d dl ('p (t), B (t) w) == ( - A * (t) 11' (t), B (t) w) -1- + ( 1\1 (t), dit) w) = (1\1 (t), - A (t) B (t) w) + --1- ( ) (t), dY) w) = (1p (t), B 2 (t) w) (voir (88)). Sur l'ensemble infini de points admettant 't pour point limi te on a donc (11' (t), B 2 (t) w) == 0, et, en vertu de la continuité, (11' ('t), B 2 ('t) w) == O. D'une façon analogue, l'intervalle compris entre deux racines quel- conques de la fonction (, (t), B 2 (t) w) renferme au moins une racine
, 23.] ÉQUATIONS À COEFFICIENTS VARIABLES 167 de sa dérivée; en reprenant les mêmes raisonnements on a (1\J (-r). B3 (-r) lV) == 0 et ainsi de suite. Finalement, nous obtenons les re lations (1lJ ('t), Bi ('t) w) == 0, i == 1, 2, . . ., n (95) (cf. (10), (11)). 1\Ioyennant l'indépendance linéaire des vecteurs (89), il s'ensuit de la relation (95) que 1lJ ('t) === 0 et donc la solution 11' (t) de l'équation (91) est triviale. Cette contradiction montre que l'en- semble des points en lesquels la commande u (t) n'est pas définie d'une façon univoque par la relation (92), ne possède pas de points limites à l'intérieur de l'intervalle a < t < b. La suite de la démonstration ne diffère pas de celle du théorème 9. 1.18 théorème 15 est donc démontré. \ovons nlaintenant les thé 0 r è mes d'e x i s t e n cee t d'u nie i t é pour le système (86). Comme précédelllment (voir (20)), considérons le système fondamental de solutions CPt (t), · · ., CPn (t) de l'équation homogène = A (t) x satisfaisant aux conditions initiales cp) (t o ) == ôj, et le système fondamental de solutions '\ 1 (t), . . ., '" n (t) de l'équation (91) satisfaisant aux conditions initiales 1lJ{ (t o ) = ô{, la relation (21) restant valable. Par ailleurs, la solution de l'équa- tion (87) associée à une commande u (t), t o t t i , arbitrairement choisie peut être cherchée sous la forme n x(t)=== 2' CPv(.t)c"(t) 'V=1 (voir page 113). En définitive, nous obtenons la forlnule suivante (voir (22)) : 11 t x (t) = 2: cp" (t) ( x + J ('p" (t), [B (t) u (t) + t (t)) dt) . (96) \'= 1 to Dorénavant, les théorèmes 11 et 12 se transposent textuellement au cas étudié. Restent également valables les démonstrations de ces théorèmes où les relations (22) sont remplacées par les relations (96) HyeC toutes les modifications évidentes qui en découlent. Reste enfin valable le théorème d'existence (voir théorème 13). 1" h é 0 r è nl e 16. Si, pour un processus gouverné par l'équa- tion (87), il existe pour un t o donné au moins une commande u (t), t o t t 1 , transférant le point représentatif de Xo en Xi' il existe alor
168 PROBL:ÈMES LINÉAIRES EN TEMPS OPTIMAL [Ch. 3 une commande optimale (avec le même instant initial t o ) transférant le point représentatif de Xo en Xi. D é mon s t rat ion. Elle reprend textuellement celle du théorème 13 (la référence à la formule (22) étant remplacée par celle à la formule (96)). Soulignons néanmoins que la translation dans le temps mentionnée à la page 117, ne peut plus être introduite ici car l'équation (87) n'est pas autonome; de toute façon, cette transla- tion dans le temps est inutile maintenant puisque ne sont considérées que des commandes avec un instant initial to. Rem a r que. Dans le présent paragraphe nous avons adnlis que les fonctions a) (t), b1 (t) et fi (t) figurant dans le systèn18 (86) étaient définies sur un certain intervalle a < t < b (peut-être lnêlne sur la droite numérique toute entière) et admettaient respectiYelnent (n - 2), (n - 1) et les premières dérivées continues. (De plus. nous avons admis comme toujours qu'était satisfaite la condition de posi- tion commune.) Il est aisé de comprendre alors que tous les résultats obtenus restent valables si les fonctions aj (t), b1 (t) et fi (t) sont continues et leurs dérivées (respectivement n - 2, n - 1 et les premières) ne sont que con t i nue spa r ID 0 r c eau x. En effet, repérons sur l'intervalle a < t < b tous les points en lesquels l'une au moins des dérivées Inentionnées subit une disconti- nuité. Ces points divisent l'intervalle a < t < b en parties sur lesquelles les fonctions a} (t), bl (t), fi (t) admettent le nombre requis de dérivées continues. Le théorème 15 s'appliquant à chacune de ces parties prises séparément, il s'applique donc à l'intervalle a < t < b tout entier. La formule (96) restant valable (ce qui est évident), les théorèmes d'existence et d'unicité le restent égalolnent.
CHAPITRE 4 Problèmes divers 24. Cas d'une fonctionnelle définie par une intégrale impropre Considérons le problème optimal suivant qui se ramène à l'étude d'un intervalle infini d'intégration de la fonctionnelle J. Etant donné un point Xo de l'espace de phase X, parmi les comman- des admissibles u (t), t o t < + 00, pour lesquelles la trajectoire x (t) correspondante du système dx i f i ( ln ) 1 E U dt === x,. · ., x , u, i == , ..., n, U (1) issue du point Xo est définie pour tous les t> t o et satisfait, lorsque t -+ 00, aux conditions aux limites (données à l'avance), trouver celle qui minimise et fasse converger l'intégrale 00 if = ) fO (x (t), u (t)) dt. to (2) Les fonctions fi (x, u) sont assujetties à des conditions analogues à celles indiquées dans les chapitres 1 et 2, i. e. elles sont supposées continues en x et en u et continûment dérivables par rapport à Xl, . . ., x n sur le produit direct X X U. Précisons n1aintenant ce que nous entendrons par commandes « admissibles ». Nous dirons qu'une fonction u (t), t o t < 00, à valeurs dans le domaine de comrnande U est b 0 r née, si l'ensemble de tous les points u (t) où t parcourt un intervalle fermé et fin i quelconque contenu dans l'intervalle t o t < 00, admet une adhérence compacte dans l'espace Er (qui contient le domaine de commande U). En adoptant cette définition d'une comlnande bornée (et en n'étudiant que les con1man- des définies sur des intervalles de la forme t o t < 00), nous con- serverons la défini tion de la classe de commandes admissibles donnée dans le S 10. En particulier, pour classes de commandes admissibles on peut prendre la classe de toutes les commandes mesurables bor- nées (au sens indiqué) définies sur des intervalles de la forn1e t o t < 00, ou encore la classe de toutes les commandes bornées continues par morceaux (une con1mande u (t) est continue par mor- ceaux si elle admet un nombre fini de discontinuités de première espèce sur tout intervalle fermé et fin i contenu dans l'intervalle
170 PROBLÈMES DIVERS [Ch. 4 t o t < 00.) Une dernière remarque, enfin, au sujet des «condi- tions limites à l'infini » mentionnées dans l'énoncé du problèlne. Nous supposerons que ces conditions sont de la forine lin1 xi (t) == x, (3) t-oo OÙ Xi === (x, x ., x 7 i) est un point donné de l'espace de phase X. Si la trajectoire de phase x (t) associée à la con1mande admissible u (t) et partant du point Xo vérifie les conditions (3), nous écrirons .x (00) == Xi et nous dirons que la commande u (t), t o t < 00, transfère le point représentatif de Xo en Xi. La solution du problème optimal posé est fournie par le théorème 1 (ou le théorème 8) où l'on prendra évidemment soin de remplacer l'intervalle t o tti par l'intervalle infini t o t < 00 et la 'condition de passage de la trajectoire par un point de la droite II par les conditions limites à l'infini. En effet, tous les raisonnements des 13 et 14 étaient tributaires du choix d'un point régulier T tel que T < t i ; ces raisonnelnents se transposent intégralement au -cas où t i == 00. Il en est de même pour la formulation et la démonstra- tion des lemmes 5-8 du S 15. Toutefois, il n'est plus possible de cons- truire le cône lilnite puisque le point t i (i.e. l' extrén1ité droite de l'intervalle de temps) n'existe plus. On peut néann10ins modifier légèrelnent la construction du cône limite de manière à pouvoir l'appliquer dans le cas étudié. Désignons en effet par I() le cône con vexe A :C,lto (I( 1;) . Ces cônes forment une sui te croiss an te : 1(') c K) pour T' < T (pour le prouver il suffit d'appliquer à l'inclusion du lemme 8 la transformation A:c,\o et d'utiliser les formules (17) du chapitre 2). C'est pourquoi l'union (par rapport à tous les points réguliers T) de tous les cônes l(") est de nouveau un cône convexe (il se peut, non fermé) de l'espace X t. Appelons-le -cône ini ti al et désignons-le par l( to. Il est aisé de voir qu'on a 1 a relation (pour le problème optimal des SS 2, 11) A tj, to (l( 10) == Il: fi- Le cône initial est donc absolument équivalent au cône lin1ite et l'on peut achever la délnonstration du principe du maximun1 (S 15, après le lemme 8) avec le côn e i nit i a 1 [{to, le len1n1e 9 et 'Sa démonstration restant en vigueur (on prendra certes soin de rem- placer le rayon Ltt, les cônes Ktu l(i), et les transformations Att 1 ,'t respectivement par Lto, [(t, K) et A't,to). Ensuite, on applique sans peine les raisonnements du S 15, ce qui achève la démonstration du théorème 8 (et du théorème 1) dans laquelle on a remplacé le 'cône limite par le cône i nit i a 1. Or, cette dénlonstration se transpose intégralen1ent (sauf qu'il faut rOTIlplacer l'intervalle
25.] PROCESSUS OPTIMAUX À PARAMÈTRES 171 t 0 t t i par l'intervalle t o t < 00) au problème optimal consi- déré ('1) et (2). Notre assertion est donc démontrée. Renlarquons que l'on aurait pu «transporter » les cônes 1(1: non seulement au point x (t i ) ou au point x (t o ), lnais en un point quelconque x (t) de la trajectoire considérée. La démonstration exposée est de ce fait valable au cas également où l'intervalle d'inté- gration est fornlé par toute la droite -00 < t < 00. 25. Processus optimaux à paramètres Nous allons étudier dans ce paragraphe le problènle optimal suivant. Etant donnés les fonctions /0, /1, . . ., /n des trois variables x E X. u E U, w E W où X et U gardent leur sens précédent et W est un espace vectoriel de dinlension m. Les fonctions 1 0 , /1, . . ., ln et leurs dérivées partielles par rapport aux variables Xl, X 2 , . . ., x n sont supposées définies et continues sur l'espace X X U X W tout entier. Le mouvement d'un objet est gouverné par les équations dx i . dl == / (x, u, w), i = 1, 2, ..., n . ( 4 ) Deux points Xo et Xi sont donnés dans l'espace X. On demande de choisir un point con s tan t W o E W (i.e. choisir avant le début du lllouvement une valeur du paramètre w qui reste constante pen- dant toute la durée de ce mouvement) et une conlmande admissible u (t) tels que la trajectoire associée x (t) qui part à l'instant t o du point Xo passe à l'instant t i par le point Xi et que l'intégrale fi J = J /0 (x (t), u (t), wo) dt to soit nlinimale. Si les fonctions u (t), x (t) et le point W o sont solution du problème posé, nous dirons que les grandeurs u (t), x (t) et Wo sont optimales (pour les points Xo et Xi donnés). Nons supposerons que toutes les fonctions admissibles sont e 0 n t i fi U e spa r ID 0 r c eau x, i.e. la classe D de commandes adtnissibles soit est confondue avec l'ensemble de toutes les fonctions continues par morceaux (à valeurs dans U), soit en est un sous-ensem- ble vérifiant les conditions du 10. Le problème que nous avons à étudier est un peu spécifique en ce sens que nous nous limitons seulement aux commandes continues par morceaux (et non pas à des commandes mesurables arbitraires). Jn effet, alors que dans le problèlne optimal formulé au 11 toute portion de trajectoire optimale était de nouveau une trajectoire optirnale (car en « améliorant » une portion de trajectoire c'est tout.e la trajectoire qu'on « améliore », cf. g 2), ici, dans le pro- blèrne à paranlètres, la situation est tout autre. En effet, les valeurs
172 PROBLÈMES DIVERS [Ch. 4: optimales du paramètre w peuvent fort bien ne pas se confondre sur la trajectoire toute entière et sur une portion de cette trajectoire, i.e. si u (t) et Wo sont solution du problème optimal posé dans ce- paragraphe, la commande u (t) étant en outre définie sur l'intervalle" t o t t i , il se peut qu'il soit possible d' « améliorer » cette corn-- mande sur un intervalle moindre ID 0 yen n a n t une var i a -- t ion d u par a m è t r e Wo. De ce qui précède il résulte que les raisonnements de la démonstration du lemme 4 sont i Il a p -. pli cab 1 e s au problème optimal considéré. La démonstration du théorème 8 (ou du théorème 1) peut cependant être appliquée ici, à condition de considérer dans le lemme 9 que le point T coïncide avec le point fin alti (ce qui rend superflu le lemme 4). Or, pour ce faire, il faudra considérer que le point t 1 est un point r é g 11 1 i e r de la commande u (t), i.e. en guise de commandes adnlissibles il nous faudra prendre des commandes qui soient régulières à l'ex- trémité droite de l'intervalle. Sous ces conditions la classe de com- mandes admissibles qui s'impose le plus naturellement est la classe- de commandes continues par morceaux (ou l'une quelconque de S€E, sous-classes) . On obtient la solution du problènle optimal posé en appliquant le théorème suivant, analogue au théorème 1 (la fonction est définie- n comme précédemment QJl == 1Paf a ). a=O Thé 0 r è ID e 17. Etant données une commande adlnissi ble u (t), t o t t 1 , et une valeur ZVo ,== (w 1 , . . ., w m ) du paramètre lO telles que la trajectoire associée x (t) == (X O (t), Xl (t), . . ., x n (t)) == (XO (t), x (t)) (i.e. la trajectoire du système (4) complémenté par l'équation correspon.. dant à i == 0) vérifie les conditions x (t o ) == Xo, XO (t o ) == 0, x (t 1 ) === Xi- Pour que lès grandeurs u (t), x (t) et Wo soient solution du ]Jroblèlne optimal posé, il est nécessaire qu'existe un vecteur fonction 'l' (t) ==: == ('$0 (t), '$1 (t), . . ., 1\'71, (t)) continu et non nul tel que: 1 ° l(Js fonctions x (t), 'i' (t), u (t) et la valeur Wo vérifient le système hamiltonien dx i _ âQfO ('1' (t), x (t), u (t), wc) } dt- â'Pi ' . d'Pi _ aoc ('\1' (t), x (t), u (t), wo) l === 0, 1, ..., n ; dt - âx i ' 2° la fonction QJ£ ('i' (t), x (t), u, wo) de la variable u E U atteigne au point u == u (t) son maximum QI[ ('i' (t), x (t), u (t), w 0 ) === (}J!! ('i' (t), x (t), lV 0) *); *) Voir page 20.
25.] PROCESSUS OPTIMAUX À PARAMÈTRES 173 3° au point initial t o soient vérifiées les relations 'l' 0 (t 0 ) 0, Qlt ('1' (t 0), x (t 0), w 0 ) === 0; 4° aient lieu les égalités n ti J 'I\1a (t) a/a (x (:(t), wo) dt = 0, p = 1, ..., m. (5) a=O to Si par ailleurs les grandeurs"P (t), x (t), lVo et u (t) satisfont aux condi- lions 1 ° et 2°, alors les fonctions "Po (t) et oit ("P (t), x (t), wo) de la .variable t sont constantes, de sorte qu'on peut vérifier la condition 3° pas forcément à l'instant t o , mais à un instant quelconque t, t o t t 1 . Ce théorème diffère du théorème 1 (ou du théorème 8) par la condition 4° qui donne m relations complémentaires et permet de résoudre le problème puisque ont été introduites m inconnues supplé- mentaires lV I , w 2 , .. . ., w m (les coordonnées du point Wo dans l'espa- ,ce W) . Indiquons maintenant les modifications qu'il convient d'apporter à la démonstration du théorème 8 pour obtenir celle du théorème 17. lvlodifions légèrement les constructions du 12. Plus exactement, soit u (t) une commande admissible quelconque ,définie pour t o t, t 1 ; w une valeur arbitraire du paramètre et x (t) === (XO (t), Xl (t), . . ., x n (t)) === (XO (t), x (t)) la solution du sys- tème (4) correspondant à la commande u (t) et au paramètre w et vérifiant la condition initiale x (t o ) === Xo. Désignons par y (t) la .solution correspondant à la même commande u (t) et à la valeur .IV + ëÔW du paramtre et partant (au même instant t o ) du point llo === Xo + ëSo + 0 (ë)' où So E X est un vecteur constant (i.e. ne dépen- .dant pas de ë) proche du point Xo. La solution y (t) est de la forme: y (t) == x (t) + ëÔX (t) + 0 (ë), .où ôx (t) == (ÔXO (t), ôx I (t), . . ., ôx n (t)) est un vecteur ne dé pen- .dant pas de ë, déterminé à partir du système suivant d'équations .aux variations: n m Ô i == ôfi (x (t), u (t), w) ex + ôfi (x (t), u (t), w) (3 d t x L..J ex uX LJ (3 u w , 8x 8w ex=O (3=1 i == 0, 1, . . ., n, .avec la condition initiale ôx (t o ) == So. Contrairement au système (16) du 12, ce système d' équ ations aux variations n' est pas h 0 m 0- :g è ne. Affectons maintenanL la transformation At to de l'indice supé- lrieur ôw. Plus exactement, nous supposerons qe A?to (So) == ÔX (t), (6)
174 PROBLÈMES DIYERS [Ch. 4 où ÔX (t) est une solution du systèn1e (6) satisfaisant à la condition initiale ôx (t o ) === So. Comme dans le 12, nous supposerons que le vecteur est contenu dans l'espace X t (dont l'origine de coordollnées est le point x (t»). Comme le système d'équations aux variations est désormais non homogène, la transformation linéaire A,o (o) est également non homogène. Enfin le lemme 1 qui clôture le 12 prend la forn1e suivante: si '\1' (t) est une solution du système (8) du 11 et So un vecteur arbi- traire défini au point x (t o ), alors sur l'intervalle t o t t 1 tout entier on a: ('\1' (t), A1to (So)) == ('\1' (t o ), ;0) + t n 1n + ) 'l\Ji (t) afi (x (t; (t), w) ôwt3 dt. (7) 10 i=O (3=1 Référons-nous ensuite an 9 13. Tous les points de continuité de la commande u (t), Le. tous les points de l'intervalle t o t t 17 à l'exception d'un nombre fini de points de discontinuité, sont des points réguliers pour cette commande. Prolongeons la cOlnmande u (t) à droite de l'intervalle t o t t 1 en posant u (t) === U (t 1 - 0) pour t > t 1 . La commande u (t) ainsi prolongée est continue all point t 17 donc ce point est régulier. Ensuite, nous supposerons que le point 'L qui figure dans la définition de la commande perturbée (page 80) est confondu avec le point tf, Le. nous poserons t o < 'L1 'L2 <. . . ::( 'Ls ::( 'L === t 1 " Faisons, enfin, choix d'un vecteur ôw E W et désignons par x* (t) (pour 8 suffisamment petit) la solution du système dx i . ([t == 1 1 (x, u* (t), Wo + 8ÔW), i == 0, 1, ... n, i.e. la trajectoire associée à la commande perturbée u* (t) et à la valeur- W == Wo + 8ÔW du paramètre w. Nous supposerons enfin que la ligne S (8) dégénère en xo, i.e. la solution x* (t) satisfait à la même condi tion initiale x* (t o ) === Xo, que la solution x (t). Les formules (21) et (22) du chapitre 2 peuvent maintenan t s'écrire x* (t 1 + 8Ôt) === x (t 1 ) + 8dx + 0 (8), où d x == j" (x (t 1), u (t 1 ), ZOo) ôt + A to (0) + + A '(. [f (x ('Li), Vi, wo) - t" (x ('Li), II ('Li), iDo)] Ôti (8) i=1 l (car 60 == 0).
25.] PROCESSUS OPTIMAUX À PARAMÈTRES 175 Voyons maintenant le 14. Introduisons le vecteur ôw dans le synlbole a, i.e. supposons a == {'tb Vi, ôt i , ôt, ôw} (nous avons omis de désigner le point 't puisque le point 't == t 1 est à présent un point fixe). La combinaison linéaire des symboles a se définit COlnme précédemment, sauf qu'il faut tenir compte du dernier argument: Â' {. . ., Ô lV'} + Â" {. . ., <S lV "} + . . . == == {. . ., Â' ô w' + Î\/' Ô w" + .. .} . Ceci posé, les dénl0nstrations des lemmes 2 et 3 (pour 't == t 1 ) passent sans modification, tandis que le lemme 4 est tout simplen1ent inutile (puisque 't == t 1 ). Nous obtenons ainsi le cône d' atteignabilité ((t1 pour lequel est valable le lemme 3. Les raisonnements du 15 restent également en vigueur (on prendra soin do rem placer 't par t 1 ), quant au cône limite il est inu- tile puisque nous n'avons plus qu'un seul cône K tf construit précisé- ment à l'extrémité x (t 1 ) de la trajectoire x (t) (par suite le lemme g, n'est plus nécessaire car il se ramène tout simplement au lemme 3).. Enfin, les raisonnements de la fin du 15 prouvent (pour ôw == 0) les conditions 1 0, 2°, 3° et la fin du théorème 17. Il nous reste à prouver qne le vecteur"i' (t) ainsi choisi vérifie la condition 4°. Posons dans la formule (8) <St == ôt 1 == ôt 2 == . . .. == ôt s == O. Il vient alors x == A to (0). De ce qui précède (voir formules (34), (36) du chap. 2) il résulte ('i' (t 1 ), x) O pour tout vecteur x de la forme (8) et donc (voir (7) t1 n m (1jJ (ti), A to (0)) = J 1Pi (t) dfi (x (t) u (t), wo)) ôw f3 dtO. (7*) to i=O {3=1 w Ces relations étant vraies quelles que soient les valeurs réelles des paramètres ôw 13 , il vient n t1 r '1h (t) a/a (x (t), u (t), wo) dt R 1 2 LJ J a awf) , p ==, . . ., m, a=O to et le théorème (17) est entièrement démontré. Soulignons en conclusion que si le paramètre w peut varier non pas sur l'espace W tout entier, mais seulement sur un domaine fermé W 1 c W dont le bord est différentiable par morceaux, alors les conditions (5) du théorème 17 sont remplacées par les relations n l1 '" r 'Ih ( t ) a/a (x (t), u (t), wo) dtO J a aw , a=O to
176 PROBLÈMES DIVERS [Ch. 4. où la dérivée figurant sous le signe somme est prise dans une direc- tion quelconque du vecteur w d'origine Wo et contenu dans W t - Autrement dit, toute courbe dérivable w (8) issue du point Wo pour 8 == 0 et contenue dans le domaine W 1 vérifie la relation n t{ ) 1Pa (t) a/a (x (t).ô (t), w (8» L=o dtO. a=O ta Cette assertion découle imlnédiatement de la relation (7*). 9 26. Application de la théorie des processus optimaux à l'approximation des fonctions Soit F (x, y) une fonction définie. et continue pour toutes les valeurs réelles de ses arguments. Alors, quelles que soient les fonc- tions x (t) et y (t) définies sur l'intervalle a t b, la grandeur b J = ) F (x (t), y (t)) dt (9) a peut servir de critère de comparaison des fonctions x (t) et y (t). Si, par exemple, F (x, y) == (x - y)2 l'intégrale (9) prend la forme: b J=) (x(t)-y(t))2dt (9*) a let n'est autre que le carré de la distance de deux éléments x (t) et y (t) de l'espace L 2 . (Ici et dans la suite de ce paragraphe toutes les fonctions de la variable t seront définies sur un seul et même intervalle a t b.) Le présent paragraphe aura pour objet la résolution du problème suivant. Etant donnés les fonctions F (x, y) et y (t), un nombre entier n 0 et un nombre réel ex O. Parmi les fonctions x (t) n fois .continûment dérivables, définies sur l'intervalle a t b, telles que .les fonctions x(n) (t) soient lipchitziennes (dans le rapport ex), trouver .celle qui minimise l'intégrale (9). C'est ce problème que nous appel- lerons dans la suite pro b 1 è m e f 0 n dam e n t a 1. Dans le cas particulier où F (x, y) == (x - y)2 (Le. la fonction- nelle (9) est remplacée par (9*)) et ex est nul, le problème consiste alors à chercher un polynôme x (t) de degré n défini sur l'intervalle a t b et dont est minimale l'erreur quadratique par rapport à une fonction donnée y (t), Ï.e. nous sommes raJnenés au problème classique de la détermination des coefficients de Fourier lorsque la fonction y (t) est développée en polynômes de Legendre. Le problème fondamental généralise donc le problème classique. Tout el' abord nous allons montrer que moyennant quelques conditions naturelles imposées à la fonction F (x, y), le problème
S 26.] APPLICATION À L'APPROXIMATION DES FONCTIONS 177 fondamental admet toujours (Le. quelle que soit la fonction y (t)) une solution et une seule si l'on considère la fonctionnelle (9*) (quelle que soit y (t)). On cherchera ensuite la fonction x (t), qui est solution du pro- blèlne fondamental, en appliquant le principe du maximum. A titre d'exemple sera résolu le «problème du profil d'une route ». L'e x i s t e n cede la solution du problème fondamental (et l'unicité de cette solution dans le cas particulier (9*)) fait l'objet du théorème suivant. Thé 0 r è m e 18. Supposons que la fonction F (x, y) est définie et continue pour toutes les valeurs réelles des arguments x et y et que lorsque y varie sur un intervalle fini quelconque, elle tend vers + 00 uniformément (en y) pour x + 00. Sous ces hypothèses, le problème fondamental possède au moins une solution pour toute fonction con- tinue y (t). Si, en particulier F (x, y) == (x - y)2, le problème fonda- mental admet une solution et une seule pour toute fonction y (t). Désignons par Q) l'ensemble de toutes les fonctions x (t) défi- nies sur l'intervalle a t b, n fois continûment dérivables et telles que la n-ième dérivée x<n) (t) satisfasse à la condition de Lipchitz dans le rapport a. L'inclusion x E Q signifie alors que la fonction x (t) est définie sur l'intervalle [a, b], possède sur cet intervalle n dérivées continues et vérifie l'inégalité 1 x<n> (t f ) - x<n> (t") 1 a 1 t f - t" 1 quels que soient les points t f et tilde l'inte valle [a, bl. L'ensemble Q) est de toute évidence contenu dan=, l'espace de Banach C[a,b] de toutes les fonctions continues définies sur l'intervalle [a, b]. Lem m e f 0 n dam e n t a 1. L' ensemble Q) est un sous- ensemble fermé, convexe, localement compact de l'espace C[a,b]. Tout ensemble borné, fermé, contenu dans Q) est compact. Ce lemme est connu *). En effet, désignons par R l'ensemble de toutes les fonctions x E Qn) vérifiant la condition "x lie R, et par ) l'ensemble de toutes les fonctions de la forme xCi) (t) où x E R. En vertu du théorème cité précédemment, les ensembles R, H->' · · ., W) sont «compacts dans l'espace C[a,b]», i.e. les adhérences de ces ensembles sont compactes. Si x est un point limite arbitraire de l'ensemble R' il existe alors une suite Xi, X2, . . . d'éléments de l'ensemble R convergeant en x. En passant, au besoin, à une soussuite, nous pouvons considérer (en vertu de la compacité de l'adhérence de l'ensemble ») que la sui te Xi), Xi) , . . . est *) Voir théorème 3.5.1, page 127, de l'ouvrage de A. T i man n «La théorie d'approximation des fonctions de la variable réelle » (en russe) Moscou, Physmathguiz, 1960. ' 12-01339
178 PROBLÈMES DIVERS [Ch . convergente (i == 1, 2, . . ., n). D'où il résulte, en vertu du théorème sur l'intégration d'une suite uniformément convergente, que la fonction x (t) admet des dérivées continues d'ordre i === 1, 2, . . ., n et que x(i) est la limite de la suite xi), Xi), . . . En particulier, x(n) (t) étant la limite de la suite xi n >, xn>, . . ., vérifie la condition de Lipchitz dans le rapport a, et donc x E Qn). L'ensemble R est donc fermé et par conséquent compact. La convexité de l'ensemble: Qn) est évidente. Ce qui prouve le lemme fondamental. D é mon s t rat ion dut h é 0 r è m e 18. Désignons par l l'intervalle des valeurs de la fonction y (t) lorsque t E [a, bL La fonction F (x, y) est bornée inférieurement quels que soient y E l et x puisqu'elle tend uniformément en y vers +00 lorsque x + 00. Il existe donc un nombre N non négatif tel que F (x, y) - N quels que soient y E 1 et x. (10) Choisissons dans [a, b] des points quelconques ao, ab . . ., an distincts deux à deux et désignons par CPi (t) un polynôme de degré n. égal à l'unité au point ai et nul en aj. Désignons ensuite par p un nombre positif arbitrairement petit tel que le polynôme CPi (t) prenne sur un intervalle Ii de longueur p et de centre ai (i == 0, 1, . . ., n) des valeurs supérieures à 2/3 et les autres polynômes CPi (t), des valeurs inférieures en module à 1/3n. Désignons, enfin, par A un nombre positif tel que 1 CPi (t) 1 A pour t E [a, b], i == 0, 1, . . ., n. Soit à présent x (t) une fonction quelconque appartenant à l'en- semble Q) et Il x Il == max 1 x (t) 1 sa norme sur l'espace C[a,b]o atb Désignons par cP (t) le polynôme de degré n satisfaisant aux condi- tions x(i) (a) == cp(i) (a), i == 0,1, . . ., n. Alors, la fonction Xi (t) === == x (t) - cP (t) satisfait aux conditions xii) (a) == 0, i === 0, 1, . . . . . ., n. Nous avons par ailleurs xi n > (t) == xn> (t) - xn) (a) == = [x(n> (t) - x<n> (a)] - [(pen> (t) - cp<n> (a)] = x<n> (t) - x<n> (a) (car cp<n> (t) est une constante). La fonction x<n> (t) vérifiant, sur l'intervalle [a, b], la condition de Lipchitz dans le rapport a, quel que soit t E [a, b], on a: 1 xn) (t) 1 == 1 x<n) (t) - x<n> (a) Ia (t- a) a (b - a). Développant la fonction Xi (t) en séries de Taylor, on a: t-a , ( ) (t-a)2" ( ) + Xi(t)==Xt(a)+ 1! Xi a + 21 Xi a... + (t-a)n-l <n-l) ( ) + (t-a)n x 1 <n> (8), · · · ( _ 1) ' Xi a , n. n.
26.] APPLICATION À L'APPROXIMATION DES FONCTIONS 179 où e est compris entre a et t. Puisque Xi (a) == x (a) == . . . . . . == Xl(n-l) (a) == 0, on a, quel que soit t E [a, b], l x ( l )I == 1 (t-a)n x(n) ( e )l (t-a)n a ( b-a ) a (b-a)n+l . ( 11 ) 1 n! 1 n! n! (b - a)n+l D'où, Il Xi Il a , et, donc n. Il (p Il = II X- xiII >- /1 x II-II Xi/l >- /1 x 11- a (b-,;r+1 (12) Faisons choix maintenant d'un indice i == 0, 1, . . ., n tel que le nombro 1 <P (ai) 1 soit le plus grand des nombres 1 <P (ao) 1, 1 <P (al) 1, . . ., 1 cp (an) 1. En interpolant d'après la formule de Lagrange, nous obtenons: <P (t ) == <P (a 0 ) cp 0 (t ) + <P (a i) cp i ( t) + · · . + cp (an) cp n ( t) , el ' 0 ù 1 (P (t) 1 (n + 1) 1 <P (a i) 1 A pou r t E [a, b], i . e. Il <P Il (n + 1) 1 <P (ai) 1 A. (13) En composant les inégalités (12) et (13), nous avons: Il cp I! 1 [ 1 Il (b-a)n+l J 1<p(ai)l> (n+1)A > (n+1)A _' x -a nI . Sur l'intervalle Ii sont vérifiées les inégalités 2 1 (P i (t) > 3; (-P j (t) < 3n ' j =i= i, donc sur cet intervalle nous avons 1 cp (t) 1 == 1 cp (ao) <Po (t) + <P (ai) <Pi (t) + · . . + c:p (an) <pn (t) 1 > >- 1 cp (ai) <Pi (t) 1-1 (P (ao) (Po (t) + · . · + <P (ai-l) <Pi-1 (t) + + <P (ai+i) <Pi+1 (t) + · · · + (P (an) <Pn (t) 1> 1 <P (ai) 1 { 1 <Pi (t) 1- - [ 1 (Po (t) 1 + · · · + 1 <Pi-1 (t) 1 + 1 (Pi+1 (t) 1 + · . · + 1 (Pn (t) 1 ]} > > (n+\) A [II x II-a (b- n a(+1 J ( - n. 3 ) = = 3(n1)A [II xII-a (b- n a t+1 J. D'où il résulte que sur l' in terv alle Ii 1 X (t) 1 == 1 <P (t) + Xi (t) , >- 1 <P (t) )-1 Xi (t) 1 >- 1 [II 11 - (b-a)n+l ] _ (b-a)n+l > 3(n+1)A . x a n! a n! (14) (voir (11)). Donc, quelle que soit la fonction x E Q), il existe un indice i == 0, 1, . . ., n tel que sur l'intervalle Ii soient vérifiées. les inégalités (14). 12*
180 PROBLÈMES DIVERS [Ch. 4 Soit à présent Jo la valeur prise par la fonctionnelle (9) lorsque x (t) == O. Soit par ailleurs P un nombre positif tel que pour 1 xl> > P, y E 1 l'on ait F ( ) Jo+N (b-a) x, y > p (ce nombre P existe en vertu des propriétés de la fonction F (x, y) indiquées dans la formulation du théorème). Soit, enfin, R un nombre positif tel que pour Il x Il > R le deuxième membre de la relation (14) soit plus grand que P. Alors, quelle que soit la fonction x E Qn) satisfaisant à la condition Il x Il > R, il existe un indice i == 0, 1, . . ., n tel que sur l'intervalle Ii soit vérifiée l'inégalité (14) et, par conséquent, soit satisfaite l'inégalité 1 x (t) 1 > P. D'où il résulte que F (x (t), y (t)) > J o+N (b-a) , tE Ii. (15) p Par ailleurs, en vertu de (10) F (x (t), y (t)) - N pour t E [a, b]. (16) L'intervalle Ii étant de longueur p, il vient des inégalités (15) et (16) b 5 JO+1V (b-a) F(x(t),y(t))dt> p p+(-N)[(b-a)-p]>J o . a (17) Donc, l'inégalité (17) est vérifiée quelle que soit la fonction x E Qn) .satisfaisant à la condition Il x Il > R. Désignons par R l'ensemble de toutes les fonctions x E Q) vérifiant la condition /1 x Il R et soit J* le minorant de la fonc- tionnelle (9) pour les fonctions x E R. Il est évident que J 0 J* b et par conséquent ) F (x (t), y (t» dt J* quelle que soit la fonc- a tion x E Qn): pour Il x Il > R cela découle de l'inégalité (17) et pour Il x Il R de la définition du minorant. Pour achever la démonstration de la première partie du théorème il ne nous reste plus qu'à établir qu'il existe une fonction x E Ql) telle que la fonc- tionnelle (9) prenne la valeur J*. Ceci découle aisément de la compa- .cité de l'ensemble R (voir le lemme fondamental) et de la conti- nuité de l'intégrale (9) considérée comme une fonction de x E Q). La première partie du théorème (i.e. l'existence d'une solution) est donc démontrée. Puisqu'en particulier la fonction F (x, y) == == (x - y)2 satisfait aux conditions énoncées dans le théorème (18), le problème posé admet toujours une solution pour la fonctionnelle (9*). Montrons que dans ce cas cette solution est unique. La fonction-
26.] APPLICATION À L'APPROXIMATION DES FONCTIONS 181 nelle (9*) étant égale à d 2 où d = d (x, y) représente la distance entre les fonctions x et y au sens de la métrique de l'espace L 2 , et puisque les grandeurs d et d 2 atteignent leur minimum simultané- ment, le problème se ramène à la recherche d'un élément x E Q) tel que d (x, y) = min, i.e. du point x E Q) 1 e plu s pro che de y. L'espace C[a,b] est de toute évidence contenu dans L 2 et en outre les droites de l'espace C[a,b] sont également droites dans L 2 . Donc, l'ensemble Q) qui est convexe (voir le lemme fondamental) dans C[a,b] est un sous-ensemble convexe de l'espace L 2 . Or, dans l'espace £2 (en raison de la stricte convexité de la boule unitaire) un ensemble convexe ne peut contenir plus d'un point proche de y. C'est pourquoi le problème fondamental n'admet qu'une seule solu- tion. Le théorème (18) est démontré. Voyons maintenant comlnent che r che r la solution à l'aide du principe du maximum. Soit x (t) une fonction arbitraire de la classe Q). La fonction x(n) (t) existe alors sur l'intervalle [a, b] et satisfait à la condition de Lipchitz dans le rapport ex et, par conséquent est une fonction absolument continue. Il existe donc presque partout une fonction mesurable u = x(n+l) (t) telle que 1 u (t) J ex en tous les points où la fonction u (t) est définie. En désignant les fonctions x (t), x' (t), . . ., x(n) (t) respectivement par 1 2 n+l X , X , . . ., x , nous avons dx 1 ) dt == x 2 , 1 dx 2 -x 3 dt - , (18) dx n _ 11,+1 dt - x , j dxn+l dt = u (t), où 1 u (t) 1 ex. Ces relations sont vérifiées presque partout sur l'intervalle [a, b] (les n premières relations sont même partout véri- fiées). Il est aisé de voir qu'inversement, si les fonctions Xl, x 2 , . . . . . ., xn+l vérifient presque partout sur l'intervalle [a, b] les rela- tions (18), où u (t) est une fonction mesurable satisfaisant à la condi- tion 1 u (t) 1 ex, alors la fonction x (t) = Xl (t) appartient à la classe Qn). En effet, puisque la fonction xi+l (i = 1, 2, . . ., n) est absolument continue et, par conséquent, continue, il résulte de la relation d;; = Xi +1 , qui est vérifiée presque partout sur l'inter- valle [a, b], que la fonction absolument continue xi est une intégrale de la fonction con t i nue xi+l. La fonction xi admet donc par t 0 u t sur l'intervalle [a, b] une dérivée continue égale à
182 PROBLÈMES DIVERS [Ch. . Xi+l (i == 1, 2, . . ., n). La fonction Xl (t) admet donc partout sur l'intervalle [a, b] une n-ème dérivée absolument continue, égalB à xi+l (t) et cette dérivée, en vertu des relations dXd+1 = u (t), 1 u (t) 1 <ex qui ont lieu presque partout, satisfait à la condition .de Lipchitz dans le rapport ex, i.e. Xl E Qn). Nous pouvons donc remplacer les fonctions de la classe Ql) par les solutions (absolument continues) du système (18) à condition .que 1 u (t) 1 ex. Le problème fondamental est donc équivalent .au problème 0 p t i mal suivant: dans la classe des commandes mesurables u (t) satisfaisant à la contrainte 1 u (t) 1 ex trouver celle pour laquelle la solution du système (18) minimise l'intégrale b J = J F(xt, y(t))dt; a les valeurs extrémales xi (a) et xi (b), i == 1, 2, . . ., n + 1 sont arbitraires. , L'intégrande étant une fonction dépendant explicitement de t (en raison de la fonction don Il é e y (t)), introduisons la variable auxiliaire xn+2 == t qui est une solution évidente de l'équation différen tielle dxn+2 == 1, dt avec la condition initiale xn+2 (a) == a. Le problème optimal posé se formule alors comme suit. Soient dans l'espace X engendré par les variables Xl, x 2 , . . . . . ., Xn+l, Xn+2 une variété initiale S 0 d'équation xn+2 == a et une variété finale S1 d'équation xn+2 == b (ces deux variétés étant cha- cune de dimension n + 1). Dans la classe des commandes mesurables u (t) vérifiant la contrainte 1 u (t) 1 ex trouver celle pour laquelle la solution du système dx 1 _ 2 '\ -x , 1 dx 2 - == x 3 , dt dx n _ n+l dt -X , (19) dxn+l dt == u, dxn+2 dt == 1 , J
26.J APPLICATION A. L'APPROXIMATION DES FONCTIONS 183 issue à l'instant t o == a d'un point de la variété 8 0 et aboutissant (en vertu de la dernière équation (19) à l'instant t 1 == b) sur la variété 8 1 minimise l'intégrale tf \ F (.1:1, Y (x n + 2 )) dl. t C'est ce problème (qui est équivalent à notre problème fonda- mental) que nous allons résoudre, en lui appliquant les théorèmes 8 et 3. Les fonctions F (x, y) et y (t) seront supposées continûment déri vables. La fonction QJt est ici de la forme: QJe == 'l'oF (Xl, Y (x n + 2 )) + 1P1X2 + '\P2 X3 + . . . . . · + 'lfnXn+1 + lPn+1U + lPn+2. (20) Formons avec la fonction QJC un système d'équations différentielles pour les variables auxiliaires lPi: d'Po == 0 '\ dt ' 1 d'Pt == _ 8Qfe == _1101 8F (Xi, y (xn+2)) dt 8xl 'fO 8xl ' d'lp2 8Qfe Cft == - 8x2 == -11'1' } (21) d'P 3 8Qfe ([t== - 8x3 -== -11'2' d'lf'n+l 8Qfe - - ,\101 dt - - 8xn+1 - - rn J (l'ex pression a''P;t 2 n ' étant d ' aucune u tili té, nous ne l'écrirons pas). Soit x (t) la solution du problème fondamental. En vertu de ce qui précède, les fonctions Xl (t) == x (t), x 2 (t) == x' (t), . . ., Xn+l (t) === X(n) (t), Xn+2 == t sont solution du problème optimal énoncé plus haut (voir (19)). Le système (21) (auquel on a ajouté une équation pour lPn+2) admet donc une solution non nulle 11'0' 11'1, ..., lPn+1, lPn+2 satisfaisant aux conditions des théorèmes 8 et 3. La condition de maximum de la fonction QJ[ donne (presque partout sur l'intervalle [a, b]): max '\IJ n +1 t(u) == lPn+1 (t) u (t), -aua i.e. u (t) { == a sign lPn+1 (t), si non définie, si lPn+t (t) =1= 0, lPn+1 (t) ==- O. (22)
184 PROBLÈMES DIVERS [Ch. 4 Ecrivons maintenant les conditions de transversalité (théorèn1e 3). Les vecteurs orientés dans le sens des axes Xl, x 2 , . . ., xn+l étant parallèles aux hyperplans S 0 et Si' les conditions de transversalité s' écri vent: '\p i ( a) == 0, lPi (b) == 0, i == 1, 2, i == 1, 2, . . ., n + 1, n + 1. (23) (24) . . ., De la première des équations (21) il résulte que 11'0 == const, et de plus, 11'0 0 en vertu du théorème 8. Il est aisé de constater que l'hypothèse 11'0 == 0 aboutit à une contradiction. En effet, si 11'0 == 0, alors d1: = 0 (voir (21)) et, en vertu de (23), 1P1 = O. D'où il vient que d1: = 0 (voir (21)) et, en vertu de (23), 1P2 = 0 et ainsi de suite. Nous obtenons en définitive 11'0 == 11'1 == 11'2 == · · · == lPn+1 == o. Comme la fonction QI{! est identiquement nulle sur une trajectoire optimale (théorème 8), il s'ensuit en vertu de (20) que lPn+2 == o. Or, ceci est en'contradiction avec le fait que la solution 11'0' 1P1, . . . . . ., lPn+2 est une solution non n u Il e. Donc 11'0 < 0, et nous pouvons considérer que 11'0 == -1 (puisque toutes les grandeurs lPt sont définies à un facteur de proportionnalité positif et constant près). Le système (21) prend à présent la forme (après la substitu- tion xn+2 == t) : d'Pi _ aF ,xl, y (t)) dt - a xl , d'lf'2 dt== -11'1' d'lf'3 -cit == -11'2' d1Pn+1 == _ '1h dt 't'n, d'où il vient, compte tenu de la condition de transversalité (23): t 'Ih ( t ) == r aF (xl (t), y (t)) dt 't'1 J ax l ' a t t 1P2 (t) = - J (J aF (Xla' y (t)) dt) dt, a a t t t 1P3 (t) = J [1 (J aF (Xla;' y (t)) dt) dtJ dt, a a a
26.] APPLICATION À L'APPROXIMATION DES FONCTIONS 185 et en général t t 'l\Jk (t) = ( - WH J ... J aF (xl a' y (t» dt . . . dt (k quadratures), a a k = 1, 2, . . ., n + 1. Du cours d'analyse on sait que t t t J ... J j(t)dt... dt= (k1)! J (t-S)k-Ij(£)d£, a a a '-y--' k donc 'Pk (t) peut s'écrire sous la forme: t 'l\Jdt)= (k1)1 J (£_t)k-I aF(xl; Y(£» d£, (25) a k = 1, 2, . . ., n + 1. Les conditions de transversalité (24) prennent maintenant la forn1e : b 'P k ( b)= 1 r (_b)h-1 8F(xl(), Y()) d=O (k-1)! J 8x 1 ' a k = 1, 2, . . ., n + 1. En multipliant cette expression par (k -1)! Ck-i et en sommant. en k = 1, 2, . . ., n + 1, nous obtenons: b J [co + ct(£-b) + C2 (£ - b)2 + . .. + C n (£- b)n] aF (xl ; y (£» d£ = 0 a quelles que soient les valeurs des constantes Co, Ci' . . ., C n . Le polynôme Co + Ci ( - b) + . . . + C n ( - b)n étant un polynôme- que 1 con que de degré non supérieur à n, nous pouvons grouper les conditions de transversalité (24) sous une seule condition: b J p () aF (xl y <£» d£ = 0 a pour tout polynôme P () de degré non supérieur à n.
186 PROBLÈMES DIVERS [Ch. 4 Par ailleurs, en vertu de (25), la formule (22) peut encore s'écrire ( · ( r ( t t) n ôF (xl (), y ()) d t ) . 1 === ex slgn J - ôx l SI U (t) a 1 l'expression figurant sous le symbole sign est non nulle; l non définie, si cette expression est nulle. Autrement dit, presque partout sur l'intervalle [a, b] est vérifiée l'une des relations t J (£ - tt 8F (xl ; Il (£)) d£ = 0, a t u (t) = ex sign ( J (£ - tt 8F (xl ; Il (£)) d£ ) . o Enfin, des relations (19) il vient d n + l u (t) === dt n + l Xl (t) (presque partout sur l'intervalle [a, b]). En conclusion donc si l'on désigne de nouveau Xl (t) par X (t) on obtient la proposition suivante. Thé 0 r è m e 19. Supposons que les fonctions F (x, y) et y (t) possèdent des dérivées premières continues. Pour que la fonction x (t) .soit solution du problème fondamental, il est nécessaire que presque partout sur l'intervalle [a, b] soit vérifiée l'une des relations t J (£ _t)n 8F (x ( Il (£)) d£= 0, a t x ntl (t) = ex sign ( J (£ - tt 8F (x ( Il (£)) d£) a Bt que de plus pour tout polynôme P (t) de degré non supérieur à n, .soit vérifiée la condition b r P (t) ô F (x (t), y (t)) dt == O. J âx a E X e m pIe (problème du profil d'une route). En considérant la fonctionnelle (9*), pour n == 0, nous sommes conduits au problèn1e :suivant. Etant donnés une fonction y (t) dérivable sur l'intervalle [a, b] et un nombre ex ? 0, trouver une fonction x (t) vérifiant la con- .dition de Lipchitz dans le rapport ex et minimisant l'intégrale (9*).
-s 20.] APPLICATION À L'APPROXIMATION DES FONCTIONS 187 Ce problème peut être interprété de la manière suivante. On se pro- pose de relier deux localités A et B par une route, le relief du terrain étant donné (par la fonction y (t)), et d'après les conditions d'ex- ploitation la pente ne doit pas être supérieure à a, i.e la coupe longi- tudinale (ou profil) de la route est décrite par une fonction satisfaisant à la condition de Lipchitz dans le rapport a. On pourra soit faire épouser à la route le relief du terrain, soit exécuter des remblais, soit, enfin, creuser une tranchée. Le profil de la route étant x (t), supposons que l'intégrale (9*) désigne le coût des travaux de terras- sement (exécution des remblais si x (t) > y (t) et creusement des tranchées si x (t) < Y (t)). On demande de trouver ]e profil le plus économique. Ce problème admet une solution qui est unique (théorème 18). Pour que la fonction x (t) soit la solution cherchée, il est nécessaire (en vertu du théorème 19) que presque partout sur l'intervalle [a, b] soit vérifiée l'une des relations t ," j [x (G) - y (G)] dG == 0, a (26) t x' (t) =--' ex sign ( i [x (s) - y (s)] ds) , a (27) et de plus que soit remplie la condition b J [x (t) - Y (t)] dt = O. a (28) Si sur un intervalle quelconque contenu à l'intérieur de [a, b] est vérifiée la relation (26), alors x (t) == Y (t) sur cet intervalle, i.e. la route doit suivre le relief du terrain. Si sur un in terv aIle quelconque est vérifiée la relation (27), alors en tous les points de cet intervalle x' (t) === + a, de sorte que la route est constituée d'un ou de plusieurs tronçons de pente égale à a ou -a. Ainsi, la route est constituée de tronçons épousant le relief du terrain et de tronçons de pente lnaximale admise empruntant des remblais ou des tranchées. Supposons, par exemple, que les localités A et B sont situées sur un terrain plat traversé entre A et B par un ravin (que la route doit enjanlber). Le profil du terrain suivant la ligne AB est représenté sur la fige 81. Assimilons ce profil au graphique de la fonction y (t), l'axe des abscisses à la droite AB et les abscisses des points A et B respectivement à a et b. Nous supposerons que les parois du ravin sont abruptes (de pente supérieur à a). Désignons, comme plus haut, par x (t) la fonction dont le graphique représente le profil de la route. Il est aisé de voir que x (t) 0 quel que soit t. En effet, si x (t ' ) > 0
188 PROBLÈMES DIVERS [Ch. 4 alors, par suite de la continuité de la fonction x (t), on aura x (t) > 0 dans un certain voisinage du point t ' . Aussi, en déplaçant au besoin t' le point t f nous pouvons faire en sorte que x (t f ) > 0, J (x (t) - a A B FIG. 81 t' - y (t)) dt =1= O. Si J (x (t) - Y (t)) dt > 0, alors, en vertu de (27), a x' (t) = +ex pour t t ' (fig. 82) et donc b t' b J (x(t) - y(t))dt= J (x(t)-y(t)) dt+ J (x(t)-y(t))dt>O, a a t' a b t I/(t) FIG. 82 t' ce qui contredit la relation (28). Si au contraire J (x (t) - Y (t)) dt < a < 0, alors, en vertu de (27), x' (t) = -ex pour t t ' (fig. 83), or cela signifie que x (t) > Y (t) pour a t t ' contrairenlent t f à l'inégalité ) (x (t) - y (t)) dt < O. Cette contradiction montre a que x (t) 0 quel que soit t. Supposons maintenant qu'en un point t ' on a x (t ' ) < Y (t ' ). i' Si, en outre, J (x (t) - Y (t)) dt < 0, alors pour t > t f la route a accuse une pente de ex (i.e. x' (t) = -ex) tant qu'est satisfaite l'iné-
26.] APPLICATION À L'APPROXIMATION DES FONCTIONS 189 t galité J (x (t) - Y (t)) dt < O. Les graphiques des fonctions x (t) a et y (t) doivent nécessairement se couper pour t > t f , sinon x (t) < < y (t) pour tous les t > t f (fig. 84), et donc b t' b J (x(t)-y(t))dt= J (x(t)-y(t))dt+ J (x(t)-y(t))dt<O, a a t' lJ t a FIG. 83 tl .lJ: t a 1 1 1 1 1 J 1 1 1 1 1 1 1 1 r [ 1 5 1 FI G. 84 contrairement à la relation (28). D'une façon analogue, si x (t f ) < t' < Y (t') et (x (t) - y (t)) dt > 0, alors pour t < t' la route a monte vers le point t f avec un angle a (i.e. Xf (t) = +a) et de plus, les graphiques des fonctions x (t) et y (t) se coupent nécessairement pour t < t f . Cet exposé nous permet donc de chercher la fonction x (t) pour les différents graphiques y (t). Des exemples sont traités sur les fige 85 et 86. Le point t l et les valeurs x (t l ) de la fige 85 sont déter- minés à partir des relations ti b J (x (t) - y (t)) dt = 0, J (x (t) - Y (t)) dt = 0, a ti
190 PROBLÊl\iES DIVERS [Ch. 4 tandis que les points t 1 et t 2 de la fig. 86 sont tirés des relations tf b J (x (t) - y (t)) dt = 0, J (x (t) - y ( t)) dt = O. a t2 Il est bien en tend u que les exemples trai tés sont très sinl pIes. Leur étude détaillée ne poursuivait qu'un seul objectif, celui de a o t/ !J(t) b .:.- FI G. 85 o r t l j !f(t ) FIG. 86 t 2 I lJ 'J montrer que les relations (26), (27) et (28) (et, dans le cas général, les relations mentionnées dans le théorème (19)) étaient en général « suffisantes » pour déterminer la fonction x (t). 27. Processus optimaux à retard *) Le problème de commande en temps optimal se trouve conlpliqué dans de nombreux cas par l'effet de retardement. Celui-ci peut incom- ber à une perte de temps dans la transmission des signaux, ou ce qui est plus fréquent, à des simplifications faites sur le déroulelnent du processus lorsqu'on considère que le rôle des éléments intermédiaires et amplificateurs du système commandé consiste à transmettre des signaux avec retard. Le mouvement de l'objet est décrit dans l'espace de phase X engendré par les variables Xl, x 2 , . . ., x n , par le système d'équations dx i (t) 1 dt == fi (Xl (t), . . ., x n (t), x (t - 8), . . . . . . , X n (t --- e), u (t)), i == 1, . . . , n, 8 == co ns t > 0, ( 29) ou, sous la fornle vectorielle, d?) = f(x (t), x (t - S), u (t)). (30) *) Les résultats de ce paragraphe sont dus à G. Kharatichvili.
27.] PROCESSUS OPTIMAUX. À RETARD 191 L'argUJ11ont retardé ne figure donc que dans les coordonnées de phase et manque dans les comman des. Les fonctions fi (Xl, . . ., x n , yI, . . ., yn, u) sont supposées continues en l'ensemble de leurs argulnents et continûment dérivables par rapport à Xl, . . ., x n , 1 n A d . 1 f . f i a fi a fi d ' f . Y , · . ., y. utren1ent It, es onctIons , fJ J . , sont e 1- X' dyJ nies et continues sur le produit direct X X X X U . Pour la classe D de commandes admissibles nous prendrons la classe de toutes les commandes con t i nue spa r m 0 r c eau x à valeurs dans U (ou l'une de ses sous-classes) ; voir g 10. Comme précédemment, pour fixer les idées, nous supposerons que les équations étudiées sont continues à gauche dans les points de discontinuité u (t) == u (t - 0). Pour que la trajectoire x (t) de l'équation (30) soit définie d'une manière univoque sur l'intervalle t o t t 1 , il est nécessaire de donner non seulement la commande admissible u (t), t o t t 1 , mais aussi une fonction initiale cr (t) à valeurs dans X définie sur l'intervalle t o - e <- t <- t o . La fonction initiale cp(t) sera supposée continue sur l'intervalle t o - 8 t t o tout entier. Nous dirons que la fonction x (t) définie et c 0 Il t i nue sur l' i n ter val 1 e t o - 8 t t i t 0 u t e n t i e r est la tra- jectoire de l'équation (30) associée à la commande admissible u (t) t t o t th et à la fonction initiale cr (t), t o - 8 t t o , si cette fonction x (t) est solution de l'équation (30) sur l'intervalle t o ::;; t t 1 , et se confond avec la fonction cr (t) sur l'intervalle t o - - 8 t t o . For m u l 0 n s lnaintenant le problème optimal que nous nouS' proposons de résoudre dans ce paragraphe. Ce faisant, nous énonce- rons le problème à extrémité droite mobile (qui englobe, comme cas. particulier, le problème à extrémité droite fixe). S . t f . f o ( ln l n ) ' . f . 1 01 une onctIon x , . . ., x , y , . . ., y , u verl Iant es: mêmes conditions que les fonctions fi, i == 1, . . ., n. Soient en outre. une variété de dimension k continûment différentiable 8 1 EX, o k n -1, et une fonction initiale cr (t). On demande de choisir dans la classe des commandes admissibles une commande u (t), t o t t 1 telle que la trajectoire x (t), t o - 8 t t i du systè- me (29) associée à la commande choisie u (t) et à la fonction initiale cr (t) satisfasse à la condition aux limites x (t 1 ) E 8 1 et minimise l'intégrale t1 \ jO(x(t), x(t-8), u(t))dt. '" to Remarquons que les limites d'intégration ne sont pas fixes; ne sont fixes que les conditions « aux }imites » cr (t) et 8 1 . (31)
192 PROBLÈMES DIVERS [Ch. i Si 1° == 1, nous obtenons un problème en temps optimal pour les .systèmes à retard. Si la variété 8 1 est de dimension nulle, elle dégénère en un point .et nous obtenons un problème optimal à extrémité droite fixe. En vue de mieux formuler" et démontrer le résultat fondamental, .énonçons notre problème optimal sous une autre forme équivalente. Introduisons l'espace de phase X de dimension n + 1 engendré par la variable x = (XO, . . ., x n ) = (XO, x) et désignons par 1 l'ensemble des points (XO, x) pour lesquels x E 8 1 (i.e. L est une variété de dimension k + 1, produit direct de la variété S1 par l'axe XO). Notre problème optimal est alors équivalent au problème suivant (cf. page 16). Le système d'équations gouvernant le mouvement du point représentatif x (t) = (XO (t), . . ., x n (t)) est de la forme: dx i (t) . dt == / (x (t), x (t - e), u (t)), i === 0, 1, . _ ., n, (32) ou, sous la forme vectorielle, dœ (t) dt === f (x (t), x (t - e), u (t)). (33) On demande de choisir une commande admissible u (t), t o t t 1 telle que la trajectoire x (t) = (XO (t), x (t)), t o t t 1 du systè- me (32), associée à cette commande et à la fonction initiale <Ç (t) = = (0, cr (t)), t o - 8 t t o satisfasse à la condition aux limites x (t 1 ) E L et minilnise la coordonnée XO (t 1 ). Toute commande admissible u (t) et la trajectoire associée x (t), remplissant les conditions formulées, seront dites optimales. En vue de resoudre le problème posé introduisons, comme précé- .demment, le vecteur auxiliaire 'i' = ('1'0' . . ., 'l'n) et formons la n fonction scalaire QJÇ = Li 'l'a/a = ('i', Jj des variables '1'0' · · ., 'l'n, (1,=0 1 n 1 n D ' . . JI ( ) 1 · .x , . . ., X , Y , . . ., y , u. eSlgnons par (}JJ{; 'i', x, y e maJorant de QJt pour 'i', x, y fixés et pour u variant sur l'ensemble U. Introduisons ensuite deux systèmes d'équations pour les variables auxiliaires '1'0' '1'1' · · ., 'l'n: dtPi (t) dt 8Qff ('1' (t), x (t), x (t- 8), u (t)) 8xi a ('i' (t + 8), x (t + 8), x (t), u (t + 8)) agi aWi (t) dt i === 0, 1, . . . , n ; ( 34 ) 8Qfe ('1' (t), x (t), x (t-8), u (t» ox i i=O, 1, ...,n. (35)
7.] PROCESSUS OPTIMAUX A RETARD 193 Nous dirons que le système de fonctions 11'0 (t), lPi (t), · . ., lPn (t) continues et dérivables par morceaux sur l'intervalle t o t t 1 correspond aux fonctions u (t), t o t 1 t, et x (t), t o - 8 t t 1 , s'il vérifie (34) sur l'intervalle t o t t i - 8 et (35) sur l'inter- valle t i - 8 t t i . Nous pouvons désormais formuler la condition Il é ces s air e d'optimalité pour le problème posé (sous forme de principe du maxi- mum). Thé 0 r è m e 20. Soit u (t), t o t t i , une commande admis- sible telle que la trajectoire correspondante x (t), t o - 8 t t i du système (32) avec la fonction initiale <p (t), t o - 8 t t o , passe à un instant t i > t o par un point de la variété L. Pour que la commande u (t) et la trajectoire correspondante x (t) soient optimales, il est néces- saire qu'existe un vecteur fonction'i' (t) == (11'0 (t), lPi (t), · · ., lPn (t» non nul correspondant aux fonctions u (t) et x (t) et tel que: 1° pour tous les t, t o t t i , soit remplie la condition de maximum éJ[ ('i' (t), x (t), x (t - 8), u (t» == Q/ft ('i' (t), x (t), x (t - 8»; (36) 2° à l'instant final t 1 soient satisfaites les relations 11'0 (t i ) 0, Q/lt ('i' (t i ), x (t i ), X (t i - 8» == 0 (37) (observons qu'en vertu des équations (34) et (35) nous avons 11'0 == == const) ; 3° le vecteur (lPi (t i ), . . ., lPn (t i » soit orthogonal au plan tangent au point x (t i ) === (Xl (t 1 ), . . ., x n (t i » à la variété S1. Remarquons que l'application de ce théorème soulève des diffi- cultés dues au fait que les fonctions inconnues Xl (t), . . ., x n (t), 'tp1 (t), . . ., 'tpn (t) interviennent dans le système (32) et (34) avec un argument aussi bien retardé qu'avancé. Il est évident que pour les systèmes linéaires cette difficulté n'existe pas. Dans le cas d'un problème en temps optimal (fO == 1) au lieu de la n fonction cfJt on considère la fonction H == 2j lPa/ a des variables a=l 'tpi' . . ., lPn, Xl, . . ., x n , yi, . . ., yn, u; désignons par M (11', x, y) le majorant de cette fonction par rapport à u E U (11', x, y étant fi- xés). En substituant la fonction H à la fonction OJ{; dans les équations (34), (35) nous pouvons dans ce cas expliciter les fonctions lPi (t), . . . . . ., 'tpn (t), t o t t 1 , correspondant aux fonctions u (t), t o t t 1 , et à x (t), t o - 8 t t i . Ensuite, dans le cas de commandes en temps op timal, on conserve la formulation du théorèn1e 20 sauf que les fonctions QJt et ail sont remplacées par les fonctions JI et AI et la condition 2° par la condition Cl.,ft ('tp (t 1 ), x (t 1 ), x (t 1 - 8» > O. 1 3 -- 0 l 3 3 9
194 PROBLÈMES DIVERS [Ch. 4- Autrelnent dit, la condition d'optimalité découle du théorèn10 20, tout comme le théorème 2 se déduit du théorème 1. Lad é mon s t rat ion du théorème 20 se fait dans ses traits généraux suivant le même schéma que celle du théorèn1e 1 (ou du théorème 8). Nous la ferons en prenant soin de noter en détail les passages qu'il est nécessaire de modifier et en omettant los cons- tructions qui ne diffèrent en rien de celles exposées dans le chapitre 2. Soit x (t) la solution de l'équation (33) correspondant à la COln- mande admissible u (t), t o t t 1 , et à la fonction initiale <p (t), t o - 8 t t o . Appelons système d'équations aux variations pour le système (32) le système linéaire suivant: d (ôx i (t» dt n ( Ofi (x (t), x (t - 8), u (t)) ôx CL (t) + L.J â x a a=O + ofi (x (t), - 8), u (t» ÔxCL (t _ 8) ), i = 0, 1, ..., n. (38) Nous allons considérer sur l'intervalle t o - 8 t t 1 ou sur une partie de cet intervalle les solutions du système (38) qui correspon-. dent à des fonctions initiales con t i nue spa r m 0 r c eau x ; comme nous n'excluons pas l'éventualité d'une discontinuité de la solution à l'instant initial t o , pour que le système (38) adn1ette une solution univoque, il est nécessaire que soit donnée (outre la fonction initiale) la valeur initiale de cette solution. Si donc 'f} (t) est une fonction arbitraire continue par morceaux, définie sur l'intervalle 't - 8 t 't, où 't E [to, t 1 ] et S un vecteur quelconque de l'espace X, nous appellerons solution du système (38) avec la fonction initiale 'f} (t) et la valeur initiale S une fonction ôx (t) == (ÔX O (t), . . . . . ., ôx n (t)), 't - 8 t t 1 telle qu'elle coïncide avec 11 (t) sur l' in terv aIle 't - 8 t 't, qu'elle soit con tin ue et vérifie le systè- me (38) sur l'intervalle 't t t 1 et, en outre qu'elle vérifie la relation ôx ('t) == s. Nous désignerons cette solution par le sYlnbole At. 'L ('f), s), 't - 8 t t 1 . Nous conviendrons (pour 't - 8 t t i ) de considérer que At. 'L (1), s) est un vecteur 1 i é admettant pour origine le point x (t). Ainsi, pour les éléments initiaux donnés S et 'f} (t), 't - 8 t 't, est défini le champ de vecteurs At. 't (11, S), 't - 8 t t 1 ; nous dirons que les vecteurs At. 't ('f), s) de ce champ se déduisent l'un de l'autre par une translation le long de la trajectoire x (t). Indiquons les propriétés facilement démontrables de la transla- tion dont nous aurons à nous servir dans la suite (cf. formules (17).. chapitre 2). 1. Ato, to ('f), ) == s.
27.J PROCESSUS OPTIMAUX À RETARD 195 II. Posons 1]1(t)==A t .'t(f), 6), 't1-8t'tb où to't't1t1; alors A t ,'t1(1]1, A't 1 ,'t(1], S))===A t ,'t(1], S), 171tt1. III. At. 't (1'11]1 + 1'1"12, 1'1S1 + 1'262) == = 1'1 A t, 't (1]17 S1) + 1'2 A t, 't (1]2' S2)' 17- 8tt1' où '\'1 et 1'2 sont des nombres réels arbitraires. IV. Soit 1]1 (t) une fonction continue par morceaux définie sur l'intervalle 't - 8 t 't (où 17 E [to, t 1 ]), M une constante et 6 un vec teur al' bi tr aire . Supposons ensui te que les in terv aIle s 1 i sont définis comme dans le 13 et soit 11 (t) une fonction définie sur l'in- tervalle 17 - 8 t 17 comme suit: { 'f}(t)==e1)1 (t)+o(e) en tous les points de l'intervalle 17- 8t17 n'appartenant pas aux intervalles Ii; l 'f} (t) 1 êlI sur les intervalles Ii. Alors, At.'t(f), eS+o(e))==A t ,'t(e'f}1' e6)+0(8), 'ttt1. Les propriétés 1 et II découlent directement de la définition du symbole At. 't (1], S). La validité de la propriété III sur l'intervalle t o t t o + 8 résulte du fait que sur cet intervalle le système (38) est un système linéaire (non homogène) d'équations différentielles o l'di n air e s. Sur les intervalles consécutifs de longueur 9 (jusqu'à t 1 ) la propriété III se démontre d'une façon analogue en uti- lisant la propriété II. De la même manière s'établit la validité de la propriété IV. . Etudions maintenant les peI' tu r bat ion s des co ID man des et des t l'a j e c toi l'es. Soit u (t), tot t 17 une commande admissible et x (t) la trajectoire correspondante de l'équation (33) avec la fonction initiale cr (t), t o - 8 t t o . Les points réguliers de la commande u (t) seront tous les points où elle est con tin ue, i.e 0- tous les points sauf un nombre fini d'entre eux appartenant à l'inter- valle t o t t 1 . Nous conviendrons de prolonger toute commande u (t), t o t < t 17 au-delà du point t 1 , en supposant u (t) = u (t f ) pour t > t 1 . Il est important de souligner que le point t 1 sera un' point régulier de la commande u (t). Si 17 est un point arbitraire de continuité de la commande u (t), quels que soient les nombres réels p et q, on a: 't'+që l [(x (t), x (t - 8), n (t)) dt = T+pë == e (q- p)f(x (1;), X (17- 8), U (T)) + 0 (8) (39) (cf. formule (1), chap. 2). 13*
196 PROBLÈMES DIVERS [Ch. 4 Soit maintenant u (t), t o t t b une commande adrnissible, x (t) la trajectoire correspondante de l'équation (33) avec la fonction initiale cr (t), t o - 8 t t o , et a le symbole définissant la pertur- bation de la commande. Désignons par u* (t) la comlnande perturbée et par x* (t) la trajectoire correspondante a v e c 1 a m ê m e fonc- tioninitiale cr (t). (Notons que quel que soit BO, la trajectoire x* (t) est une fonction con t i nue de t par définition des solu- tions de l'équation (33).) Pour B suffisamment petit, la trajectoire x* (t) est définie sur l'intervalle t o t t i tout entier (théorème de la dépendance continue d'une solution par rapport aux paramè- tres). Montrons que pour tout point 't de continuité de la commande u (t) on a la formule suivante (cf. formules (21) et (22) du chap. 2) : x* ('t + BÔt) == x ('t) + BX + 0 (B), (40) où x est un vecteur ne dépendant pas de B, défini par la forillule : x == 1 (x ('t), X ('t - 8), U (17)) ôt-t-- s 1 + LI A'C, 'C. (0, f (x ('ti), X (Ti - 8), Vi)- i=l l - j. (x (17 i ) , X (17 i - 8), U (17 i ) )) ôt i . ( 41 ) On démontre les formules (40) et (41) de la même façon que les formules (21) et (22) du chap. 2. Remarquons tout d'abord qlH x ('t + BÔt) == x (17) + Bi (x ('t), x (17 -- 8), U ('t)) ôt -t- 0 (e), (42) x* ('t + BÔt) == x* ('t) + BI (x ('t), x ('t - 8), U (17)) ôt + 0 (B) (43) (pour 't 8 < 17). Ces formules s'établissent comme les formules (23) et (25) du chap. 2 (à la seule différence qu'il faudra se référer non plus à la formule t du chapitre 2, mais à la formule (39)). Ensuite, la rnême démarche qu'au chapitre 2 nous donne l'accroissement de la fonction x* (t) sur l'intervalle [i: x * 1 l i = ej. (x (17 i ) , X (17 i - 8), Vi) ôt i -t 0 (B) ( 44 ) (cf. formule (26), chapitre 2). Vérifions par récurrence les relations (40) et (41). Ces formules sont vraies (voir (42)) pour s == O. Supposons qu'elles sont démontrées pour le cas où le nombre d'intervalles Ii' [2' . . . est inférieur à s et montrons qu'elles sont vraies pour un nombre s d'intervalles Ii, 1 2 , . . ., [8. Désignons par k un entier tel que Tk+i == 'tk+2 == . . . == 17 8 et 'ti < 't s pour i k (le cas k == 0 n'est pas exclu). En remplaçant le point 't par le point L's, le nombre ôt par le nOlnbre lk+i et, enfin, le nombre s par le nombre inférieur k, il vient de (40) et (41): x* (178 + Blk+i) = x (17 8 ) + ej.(x (Ts), X (178 - 8), U (17 8 )) l/{+l -1-
27.J PROCESSUS OPTIMAUX À RETARD 197 k + 8 A -r , -r. (0, f' (x (T i ) , x (1' i - 8), Vi)- i= 1 s l - f (X (Li), X (17 i - 8), U (Li))) ôt i -f-- 0 (8). ( 45) Ceci n'est autre que la valeur de la fonction x*(t) à l'extrémité gauche de l'intervalle I k + 1 . Les intervalles I k + 1 , . . ., Is étant contigus, en sommant (44) pour i == k + 1, . . ., s et en ajoutant l'expression obtenue à l'expression (45), il vient: x* (Ls + 8 (ls + ôt s )) == x (1's) + 8j'(X (Ls), X (LS- 8), U (Ls)) X s X (lh+1+ôt k + 1 +... -f-ôt s ) +8 AL ,L.(O, f'(x(Li), x(1'i-8), Vi))- i= 1 s l -f.(X(Li), X(1'i-8), U(1'i)))ôt i +o(e) (46) (cf. la démonstration de la formule (28) au chap. 2, en prenant soin de se référer non plus à la formule (17) du chap. 2, mais à la proprié- té 1 de la translation, voir page 194). Si 1'k+l === 1's === 1', la relation_ (46) se confond avec (40), (41). Si, par contre, LS < L, alors 19 + ôt g == 0, Ih+1 + Ôtk+l + . . . + ôt s == 0, et l'expression (46) prend la forme s x* (Ls) == X (Ls) -t-- 8 AL , L. (0, jO(x (Li), X (Li - 8), Vi)- i=l S l -fO ( X (Li), X (1' i - 8), u (Li))) Ô t i + 0 (8) ( l' S < 1'). ( 47)- Désignons par 1) (t) la fonction x* (t) - x (t) étudiée sur l'intervalle Ls - 8 t LS. Alors (puisque sur l'intervalle 1's t l' la commande u* (t) se confond avec u (t)), la fonction x* (t) - x (t), avec une précision de 0 (8), est sur l'intervalle LS - 8 t l' solu- tion du système el' équations aux variations (38) avec la fonction initiale 1] (t) et la condition initiale x* (1's)-x (1')s (rappelons que les fonctions x (t) et x* (t) sont toutes deux continues). Autrement dit, les vecteurs x* (t) - x (t) se déduisent l'un de l'autre avec une précision de 0 (8) (sur l'intervalle LS - 8 t L) par la translation: x* (t) - x (t) == At, LS (1], x* (1's) - X (Ts)) + 0 (e), Ls-8tL. (48) Partout, sauf sur un nombre fini d'intervalles Ii' la fonction 1] (t), 17 8 - 8 t Ls, est de la forme (en vertu de la récurrence) : Il, 1] (t):=:; x* (t) - x (t) == 8 . At, Li (0, f(x (Li), X (1'i - 8), Vi) - 1=1 - f (x (17 i ) , x (1' i - 8), u ('t i ) )) Ôl i + 0 (ë).
198 PROBLÈMES DIVERS [Ch. 4: Aussi, en vertu de la propriété IV (page 195) pouvons-nous remplacer la formule (48) par la formule: x*(t)-x(t)==A t ,L s (1]b 1)+O(8), LstL, (49) où k "If (t) == 8 At, L. (0, J' (x (L i), X (L i - 8), Vi)- i=l l -- j' (x (L i ) , X (rr 1 - 8), u ( rr i ) )) ôt i , s S 1 == 8. AL, 't'. (0, J (x ( Li), X (Li - 8), Vi)- i=l S l -j' ( X (Li), X (Ti - 8), U (L d )) ôt i (voir (47)). Compte tenu de la propriété III de la translation (voir page 195), la formule (49) peut s'écrire: k x* (t) - x (t) == B LAt, L (1] l i), li») ôti + i=1 S s +8 At, l' (0, Sii»)ôt i +O(8), Tstrr, (50) i=k-I-l s où lli) (t) == At, 1'i (0, f(x (Ti), X (Li - 8), Vi)- - j' (x (Ti)' X (Li - e), u ( Li) ) ), T s - 8 < t Ts, i==1,...,k, s i) == A t s' 1'i (0, j (x (L i ) , X ( Li - 8), Vi).- -f'(x (Ti), X (Ti - 8), u (rri)))' i == 1, .. ., s. Enfin, en vertu de la propriété II de la translation (page 195) il vient: At, 'ts (llii)Si») == At, 1'i (0, J'(x (Ti), X (Li - 8), Vi)-- - j' (x ( Li), X ( Li - 8), U (L i ) ) ) , i == 1, . . . , k, et, cOlnpte tenu de la propriété l, ii) == J' (x (Li)' X (Li - 8), Vi)- -J'(x (Li)' X (Ti - 8), U (Ti)), i == k + 1, . . ., s. La formule (50) s'écrit donc sous la forme:
27.] PROCESSUS OPTIMAUX À RETARD 199 s X*(t)-X(t)=-=ë L At,Ti(O, t.(X(Li),(X(Li- 8 ), Vi)- i= 1 -j. (X (Li), X (Li - 8), U (Ti))) 6ti + 0 (B), Ts t 't. En particulier, pour t == 't, s X * (1') -- X (1') = B A T, Ti (0, j. (x ( l' i ) , X ( 17 i - 8), Vi)- i=1 - j' (x (Li), X ( Li - 8), U (L i))) ôt i + 0 (B). En ajoutant cette expression à l'expression (43), nous obtenons dans ce cas aussi (i.e. pour LS < 't) les relations (40) et (41), ce qui achève notre raisonnement par récurrence. Les formules (40) et (41) sont donc entièrement prouvées. Puisque t 1 est 'un point régulier de la commande u (t), les formu- les (40) et (41) sont valables, en particulier, pour 17 == t i : x* (fi + tôt) ==- x (t 1 ) + Bi1X + 0 (B), (51) OÙ x=J.(X(tl)' x(t 1 -8), u(t 1 ))ôt+ s + Att, 'te (0, j'(X (Li), X (Li - 8), Vi)-' l=1 l -j. ( X (Li), X (Li - 8), u (L i) )) ôt i . ( 52) Désignons maintenant par I( l'ensemble de tous les vecteurs (52) adnlettant pOlIr origine le point x (t 1 ). Comme au chapitre 2 (pages 8G à 90) on établit textuellement que fi. est un côn e con v e x e 'contenu dans l'espace X et que le lemme 3 est valable (pour 17 == t 1 ). Est également valable le lemme 4 pour 't == t i , ce qui résulte directe- nlen t el u lemme 3. Si donc la trajectoire x (t) est optimale, alors le rayon Lt! n'est pas contenu à l'intérieur du cône l{. C'est pourquoi, par le son1met x (t i ) du cône I( on peut faire passer un hyperplan r tel que le cône I( soit situé dans l'un des deux demi-espaces fermés, définis par r, et le rayon Ltt dans l'autre. (Le cône 1( remplace ici le cône limite de la page 97.) Ceci permet comme au chapitre 2 de détern1iner une solution non triviale "" (t) == ('i'o (t), lPi (t), . . . . . ., '4 J n (t)) pour le système d'équations (34) et (35) telle que 1po == const 0, (53) ("" (t i ), i1x) 0 pour i1x E [{. (54) Prouvons que 'i' (t) est la fonction cherchée (son existence est el' ailleurs affirmée par le théorème 20). Soit 'ti un point régulier quelconque, i.e. lIn point de continuité de la commande u (t), t o < < Tl < t i . Exalninons le symbole a (voir 14) avec le seul point Li
200 PROBLÈMES DIVERS [Ch. fi (i.e. s == 1) et les nombres ôt 1 , ôt respectivement égaux à l'unité et à zéro. Alors, le vecteur x (voir (52)) correspondant à ce SYll1bo- 1 ". t e a, s ecrl : x === A tl , 'rl (0, f (x (L 1), x (L1 - 8), Vt)- - ja (X ( L t), X ( L t - 8), U ( L t) ) ) . ( 55 ) Posons g (t) === At, 'r 1 (0, f (x ( L 1), X ('t 1 - e), v 1) - f (x ( L 1), X ('t 1 - e), U (T 1) ) ) , 't1-ett1. Alors, par définition, g (t) === (gO (t), gl (t), . . ., gn (t)) est la solu- tion du système (38) correspondant à la fonction initiale identique- ment nulle (sur l'intervalle 't1 - e t Ll) et à la valeur initiale g (L 1) == f (x ('t 1), X (L 1 - e), V 1) - j" (x ('t 1), X (L 1 - 8), U (L 1) ) · (56) De plus, en vertu de (55) et (54), il vient: (1P (t 1 ), g (t 1 )) o. (57) Nous allons ll1aintenant prouver qu'est vraie l'égalité ('l' (Li), {J (Li)) === ('l' (t 1 ), {J (t 1 )). En effet, il vient (compte tenu de (34), (35) et (38)): (58) 11 (,\, (t l ), U(t l » - ('\' (TI), U (TI» = ) :e ('\' (t), U (t)) dt = 'rl tl = ) [( d?) , g (t) ) + ('\' (t), d?). )] dt = 'rI n 11-8 = _ ) ( aQ16' ('" (t), x (t: (t - 8), u (t» ga (t) + a=O 'rl + aç;e ('" (t+O), x (t+O), x (t), u (t+O)) ga (t) ) dt- aya n 11 _ r a Qte ('" (t), x (t), x (t - 0), u (t)) ga (t) dt -'ï LJ J axa a=O 11-8 n 11 n + ) ('l'a (t) a/a (x (t), :;;-8), u (t» gi (t) + (X=O 'rI j=O
27.] PROCESSUS OPTIMAUX A RETARD 201 n + '\jJa (t) a/a (x (t), x (t:--a), u (t» gi (t _ e) ) dt ==- âyJ j=O n tl- e = _ \ aQ16'(,\, (t+a), X(ta), x (t), u(t+a» ga(t)dt+ " ây cx=O 'tl n tl -t- r OQfe ('1' (t), x (t), x (t-8), u (t)) gCX (t _ 8) dt == .LJ J âya a=O 'tl n tl- e = _ \ aQ16' ('\' (t +a), x (; :a), x (t), u (t + a» ga (t) dt + y a=O 't1 n 11- e +:S J aQ16'(,\,(t+a), X(;a), x (t), u(t+a» ga(t)dt=O a=O 't't- e (dans les calculs nous avons utilisé la définition de la fonction QJt et le fait que fJ (t) == 0 sur l'intervalle LI - 8 < t < LI). L'égalité. (58) est donc démontrée. De (57) et (58) il vient: ('1' (L1)' g (L1)) 0, d'où, compte tenu de (56) et de la définition de la fonction QJ{, ,{j8 ('" ('t 1), x (L 1 ), x ( 't 1 - 8), V 1) QJt ('" ('t 1) , x ('t 1), x ('t i - 8), U (L 1) ) · Cette inégalité étant vérifiée pour tous les points Vi E U, l'égalité (36) (st valable pour t ==- L. Ainsi l'égalité (36) est démontrée pour tous. les points de continuité de la commande u (t). Comme la fonction u (t) est continue à gauche en ses points de discontinuité et que les fonc- tions QJt et 011 sont continues par rapport à leurs arguments, la rela- tion (36) est vérifiée en les points de discontinuité de la commande II (t). La relation (36) est donc entièrement prouvée. Par ailleurs, nous avons déjà démontré la première des relations (37) (voir (53)). En faisant ôt 1 == e . . === ôt s == 0 dans la formule (52), il vient: x === je (x (t 1), X (t 1 - 8), u (t 1)) Ô t, et donc, en vertu de (54), QJt ('1' (t 1 ), x (t 1 ), X (t 1 - 8), U (t 1 )) ôt o. (ette inégalité etant vérifiée quel que soit ôt (positif ou négatif),. il vient: 0Jt ('1' (t 1 ), x (t 1 ), X (t 1 - 8), u (t 1 )) === 0, et la deuxième relation (37) est établie (voir (36)).
202 PROBLÈMES DIVERS [Ch. q Nous avons donc établi le théorème 20 dans le cas où l'extrémité droi te est f i xe. La condition de transversali té (condi tion 3° du théorème 20) pour le problème à extrémité droite mobile s'établit comme au chapitre 2 (avec les modifications qui s'imposent). Ceci achève la démonstration du théorème 20. 28. DIl problème de poursuite *) , Supposons que dans un espace de phase X de dimension n sont en mouvement deux points commandés, l'un étant appelé « point poursuivant », l'autre « point poursuivi ». Le mouvement de chacun de ces points est régi par son propre systè'me d'équations différentiel- les avec son propre paramètre de commande. Le paramètre de com- mande, le domaine de commande et la trajectoire du point poursui- vant seront désignés respectivement par.; u, U et x (t), et ceux du point poursuivi par v, V et y (t). Soient u (t) et v (t) des commandes admissibles et x (t) et y (t) les trajectoires correspondantes satisfaisant aux conditions initiales x (0) == xo, y (0) == yo. (59) Si pour t 1 > 0 on a x (t 1 ) == y (t 1 ), nous dirons que le nombre t 1 représente l'instant de rencontre et l'égalité x (t 1 ) == Y (t 1 ) réalise la rencontre. D'une manière générale, si les comlnandes u (t) et v (i) sont arbitrairement choisies, la rencontre peut ne pas se produire quel que soit t > O. Si toutefois la rencontre est réalisée, nous dirons que u (t) est la commande poursuivante (pour la comman- de v (t) donnée et les conditions initiales données Xo et Yo). Ceci étant, pour xo, Yo et v (t) donnés et pour une commande u (t) choisie il peut y avoir plusieurs rencontres. Le plus petit instant de rencontre t 1 sera appelé temps de poursuite correspondant aux commandes u (t) et v (t). Nous désignerons le temps de poursuite par T u,v. Dans la suite, les conditions initiales (59) seront supposées fixées (de sorte qu'elles n'interviennent pas dans la désignation du temps de pour- suite). NOLls supposerons encore que le point poursuivant jouit de la propriété suivante: pour toute commande v (t) il existe (pour les conditions initiales (59)) une comlnande poursuivante u (t). Si est choisie la cOlnmande v (t) du point poursuivi, on peut poser le problème de la recherche d'une commande poursuivante u (t) telle que le temps de poursuite correspondant T u,v soit lninimal. Nous supposerons que pour toute commande admissible v (t) i 1 e x i s t e une commande admissible u (t) réalisant le fi i n i fi U ln *) Les résultats obtenus dans ce paragraphe sont dus à D. Kelendgéridzé.
28.] UN PROBLÈME DE POURSUITE 203 du temps de poursuite. Désignons ce lllinimum par Tv: Tv === min Tu, v. u Nons supposerons par ailleurs qu'il existe une comnlande admissible v (t) réalisant le m a x i m II III de la grandeur T v, maximum que nous désignerons par T: T == max Tv === max (nlin Tu, v). (60) v v u Le problèllle consiste à trouver un couple de conlmandes adlllissi- hIes Il (t) et v (t) tel que pour le temps de poursuite correspondant soit vérifié3 l'égalité Tu, v == T. Ce coupl de commandes u (t) et v (t) sera désigné par couple optilfLal de commandes et le couple correspon- dant de trajectoires x (t) et y (t) (avec les conditions initiales (59)) par couple optimal de trajectoires. Ainsi donc, la commande u (quel que soit la commande v (t)) ,est choisie de manière à r a p pro che r au possible la rencontre du point poursuivant avec le point poursuivi; quant à la commande v, elle est choisie de manière à éloigner au maximum (dans le temps) l'instant de rencontre. Ajoutons encore qu'en choisissant la comman- de u (t) qui gouverne le mouvement du point poursuivant, nous sup- poserons chaque fois que la commande v (t) du point poursuivi est con nue à l'avance; en conséquence, pour définir la grandeur T on prend d'a b 0 r d le minimum de toutes les commandes u (t) pour uno commande fixe v (t), et e n sui t e le maximum de toutes les conlmandes v (t). Nous supposerons encore que le lllouvement du point poursuivant est régi dans l'espace X par l'équation linéaire (sous forme vectoriel- le) . ; =j(x, u) = Ax+Bu+c, (61) pour laquelle est satisfaite la condition de position commune et dont le domaine de commande U est un polyèdre convexe borné et fermé, contenu dans l'espace Er' engendré par la variable u === === (Ul . . ., ur). Supposons que le mouvement du point poursuivi est décrit par l'équation *) (sous forme vectorielle) dy di == g (y, v, t) (62) *) On aurait pu sc lhniter, certes, au cas où le second membre de l'équation (62) est autonome, i. e. il ne dépend pas explicitement du temps. Toutefois les transfornlations opérées plus bas conduisent (même dans le cas autonome) à intro- duire explicitement la variable t dans le deuxième membre de l'équation régis- sant le 1110UVement du point poursuivi. Aussi le problème n'est pas plus simple Jans le cas d'une équation (62) autonome.
204 PROBLÈMES DIVERS [Ch. et que son domaine de commande V est un ensemble contenu dans l'espace de dimension s engendré par la variable v == (VI, . . ., VS). Comme classe de commandes admissibles (tant pour u que pour v) nous allons prendre l'ensemble de toutes les commandes continues par morceaux. Les coordonnées de la fonction vectorielle g (y, v, t) sont assujetties aux conditions habituelles (i.e. elles doivent être continues en y, v et t et continûment dérivables par rapport aux coordonnées yI, . . ., yn du point y). En vue de résoudre le problème posé, introduisons deux vecteurs a uxili aires 'P === ('Pt, . · ., 'Pn), X == (Xt, · . ., Xn) et deux fonctions hamiltoniennes: n H 1 ('I', x, u)== 2 'Pafa(x, u)=== ('P, j(x, u), a=1 n H 2 (X, y, v) == Xa g a (y, v, t) == (X, g (y, v, t) ) , a=l correspondant à l'objet poursuivant et à l'objet poursuivi. Utilisons 1es fonctions Hi et H 2 pour composer les deux systèmes suivants d'équations différentielles en les variables auxiliaires 'Pi et Xi: d'Pi DHt 2 ---rIt == - Dxi ' i == 1, ,..., n, dXi _ D JI 2 . 1 " d ., l == , , ..., n. t- - (.Iy (63) (G4) Si les fonctions u (t), x (t), v (t) et y (t) sont données, en les portant dans les deuxièmes membres du système (63), (64) nous obtenons des systèlnes linéaires en 'Pi et Xi. Nous dirons que toute solution 1P (t) et X (t) de ces systèmes correspond aux fonctions u (t), x (t), v (t) et y (t) choisies. Le théorème qui va suivre donne une condition n é ces s air e d' optimali té el u problème étudié. Thé 0 r è ID e 21. Soient u (t) et v (t) un couple optinlal de commandes, x (t) et y (t) le couple optimal correspondant de trajectoires (voir les équations (61) et (62» et T le temps de poursuite. Les systèmes (63) et (64) admettent alors des solutions non triviales '\p (t) et X (t) correspondant aux fonctions u (t), x (t), v (t) et y (t) telles que: 1 0 pour tous les t, 0 t T, soient satisfaites les conditions de maximum max Hi (11' (t), x (t), u) = Hi ('P (t), x (t), u (t», (G5) uu maxH 2 (x(t), y(t), v)==H 2 (X(t), y(t), v(t)); (of») vEV
28.] UN PROBLÈME DE POURSUITE 205 2° à l'instant t == T soient satisfaites les conditions Hi ('1' (T), x (T), u (T») H 2 (X (T), Y (T), v (T)), (67) '1' (T) == X (T). (68) D é ID 0 n s t rat ion. Soit Uo un point intérieur quelconque du polyèdre U. Posons fi == u - uo. L'équation (61) s'écrit alors sous la forme dx - "dt == Ax + Bu + (Buo + c). ln transportant donc l'origine des coordonnées de l'espace Er en uO, nous ne faisons que modifier le terme libre c de l'équation (61); toutefois, l'origine des coordonnées de l'espace Er sera maintenant un point intérieur au polyèdre U. Nous supposerons que ce déplace- ment (s'il était nécessaire) a été déjà fait dans l'équation (61) et donc l'origine des coordonnées est un point intérieur au polyèdre U. Désignons ensuite par XO (t) la solution de l'équation (61) corres- pondant à la commande u == 0 (cette commande est admissible puisque l'origine des coordonnées appartient au polyèdre U) et à la condition initiale XO (0) == Xo (voir (59»). La solution XO (t) obéit à l'équation d.1:0(t) == Axo (t) -1- c, dt (69) elle est donc une fonction analytique en t. Soient Ui (t), Vi (t), 0 t t 17 un couple quelconque de comman- des et Xi (t), Yi (t) les trajectoires correspondantes des équations (61) et (62) satisfaisant aux condi tions ini tiales (59), i.e. dXlt(t) = AXl (t) + Bu! (t) + c, (70) dY1 (t) dt == g (Yt (t), Vi (t), t), (71) Xt(O)==xo, Yt(ü)==yo. (72) Posons - - x (t) == X t (t) - X O (t), y (t) == Yi (t) - XO ( t) . Alors, en vertu de (69), (70) et (71) il vient: dY) = A x (t) + Budt), dy (t) . - - dt =-==g(y(t)+.rO(t), Vt(t), t)-AxO(t)-c== gi(y(t), Vt(t), t), (73)
206 PROBLÈJ\IES DIYERS [Ch. 4 OÙ g1 désigne la fonction gi (y, V, t) == g (y + XO (t), v, t) - Axo (t) - c (cf. note de la page 203). Les fonctions x (t), y (t) obéissent donc aux équations différentielles dx at===Ax-1-Bu, (74) dy dt === g1 (y, V, t) (75) (pour U === Uj (t), v == Vi (t)) et aux conditions initiales (voir (72)) x (0) === 0, y (0) === Yo - xo. (76) Si, inversement, les fonctions x (t) et y (t) obéissent aux équations. (74) et (75) et satisfont aux conditions initiales (76), les fonctions Xi (t) et Yi (t) tirées des formules (73) vérifieront les équations (61) et (62) et les conditions initiales (59). De (73) il est clair que chaque instant de rencontre des trajectoires Xi et Yi est également un instant de rencontre des trajectoires x et il et inversement (i.e. si Xi (t ' ) == == Yi (t f ), alors X (t ' ) == Y (t') et inversement). Dans le problèlne initial de poursuite on peut donc remplacer les équations (61) et (62) et les conditions initiales (59) par les équations (74) eL (75) et les conditions initiales (76). Enfin, il est clair que si nous prouyons. le théorème 21 pour le problème (74), (75) et (76) et si ensuite nous. faisons le changement (73), nous obtenons ce mênle théorènle 21 pour le problème (61), (62) et (59). Nous pouvons donc procéder à la démonstration du théorème 21 sur le problème (74), (75), (76)" Autrement dit, il nous suffira de prouver le théorèn1e 21 (dans sa première formulation, voir (61), (62), (59)) pour le cas où c == 0, xo === 0 (77) et, de plus, où l'origine des coordonnées de l'espace Er engendré par les variables u 1 , . . ., ur est un point intérieur au polyèdre U" Ceci posé, voyons maintenant la démonstration du théorènle 21. Quel que soit t 1 > 0, désignons par tl l'ensemble de tous les points de l'espace de phase X qu'on peut atteindre en un temps t1 en se déplaçant à partir de l'origine des coordonnées en vertu du système (74) (sous l'effet d'une commande convenablement choisie)" L'ensemble t1 est un ensemble convexe borné contenu dans l'espace X et admettant des points intérieurs (voir page 122). Quel que soit le point de l'ensemble t1 considéré on peut y accéder en un ten1pS e x a c t e men t é gaI à t 1 (car avant le début du mouvement on peut rester pendant un temps quelconque à l'origine des coordon- nées, en faisant u == 0). Désignons pr Stl le bord du corps conve- xe tl.
8.] UN PROBLÈME DE POURSUITE 207 /Iontrons qu'on peut accéder en tout point i n t é rie u r à l'ensemble tl (en partant de l'origine des coordonnées en vertu du système (74)) en un temps i n f é rie u r à t 1 ; et inversement si on accède à un point en un temps inférieur à t 1 , ce point est i n - t é rie u r au corps tl. Soit, en effet, a un point quelconque inté- rieur à l'ensemble ti. Soit par ailleurs '\fJ* (t) une solution de l'équa- tion (5), chap. 3, telle que la commande u* (t) définie par l'équation (6), chap. 3, transfère le point représentatif de l'origine des coor- données en a. Désignons par t f l'instant où le point représentatif arrive au point a sous l'effet de cette commande. Considérons la Et! FIG. 87 fonction '\fJ* (t), la commande u* (t) définie par cette fonction et la trajectoire de phase correspondante x* (t) sur l'intervalle 0 t C t", où t" > t f . Puisque x* (t f ) === a, le point x* (t") est contenu à 1 ' intérieur du corps ti pour t " suffisamment proche de t'. Or la trajectoire x* (t), 0 t t", est une trajectoire 0 p t i mal e du système (74) (unique en vertu du théorème 12) menant de l'origine des coordonnées au point x* (t") et comme x* (t") E ti donc t" t 1 et t f < ti. Supposons inversement qu'on peut accéder au point a en un temps t f < t 1 sous l'effet d'une commande u* (t). Considérons l'ensemble tt-t' des points auxquels on peut accéder (sous l'effet d'une commande quelconque) en un temps inférieur ou égal à t 1 - - t f ; l'origine des coordonnées se trouve à l' i n t é rie u r de cet ensemble. Quel que soit le point de l' ensemble ti-t' d'où l'on part, en se déplaçant sous l'effet de la commande u* (t) pendant un temps t'on obtient un ensemble W contenant le point a (fig. 87) Partant de l'origine des coordonnées, on peut accéder en tout point de l'ensemble W en un temps t1 (en se déplaçant d'abord à l'inté- rieur de l'ensemble tl-t' pendant un temps t 1 - t'et ensuite en parcourant en t' la distance séparant l'ensemble tl-t' de l'ensem- ble W), i.e. Wc tl. Le point a est donc un point i n t é rie u r à l' ensemble ii.
208 PROBLÈMES DIVERS [Ch. '* Revenons rnaintenant aux commandes optimales u (t) et v (t) et aux trajectoires optimales x (t) et y (t) mentionnées dans le théorème 21. (on tiendra compte des simplifications (77) introduites) et prouvons que le point x (T) est situé sur 1 e b 0 r d du corps T. Suppo- sons en effet, que le point x (T) est un point intérieur à ce corps. On peut donc accéder à ce point (en partant de l'origine des coor- données sous l'effet du système (74)) en un tenlps t f < T. En pre- nant donc un point t 1 tel que t f < t 1 < T, il vient que l'ensemble tl (constitué des points auxquels on accède en un temps t 1 ) contient le point x (T) et, par conséquent, une boule de rayon r centrée sur le point x (T). l)our t 1 < t < T l'ensemble t contient égaleJnent une boule de rayon r centrée sur le point x (T). Faisons choix mainte- nant d'un nombre t (pris dans l'intervalle t 1 < t < T) arbitraire- ment proche de T de manière que la distance qui sépare le point y (T) === x (T) du point y (t) soi t inférieure à r. Alors, l' ensemble t contient le point y (t) et de plus t < T. Ce qui veut dire que le point poursui van t peu t accéder en y (t) à 1 ' instant t < T, i. e. (pour une commande convenablelnent choisie v (t)) la rencontre peut se réaliser il l'instant t < T. Or, cela contredi t la définition d LI non1bre T. Donc, le point x (T) est situé sur le bord S T de l'ensemble T. De ce qu'il précède il s'ensuit que u (t), 0 t T, est une COln- mande en temps optimal transférant le point représentatif de l'ori- gine des coordonnées en x (T) (en vertu du système (74)). En effet. si cette commande n'était pas optimale, le point représentatif serait transféré en x (T) en un temps inférieur à T et alors x (T) serait situé à l' i n t é l' i e u r de l'ensenlble T' ce qui est faux. De ce qui précède il résulte que la comn1ande u (t), 0 t t 1 (où t 1 < T) est aussi une commande en temps optimal transférant le point repré- sentatif (en vertu du système (74)) de l'origine des coordonnées eIl x (t 1 ). Autrement dit, il est in1possible d'aboutir au point x (td (0 < t 1 T) en un temps inférieur à t 1 , et donc le point x (t 1 ) est situé sur le bord de l'ensemble tl. Soit l'union de tous les ensembles t, t > O. Il est clair que est un ouvert de l'espace X, contenant l'enseu1ble T et par suite le point x (T) === Y (T). Il existe donc nn nOJnbre t* < T tel que y (t) E pour t* < t T. Désignons par L (t) un nombre tel que y (t) E S'tu> quel que soit t, t* t T. Il est aisé do voir que T(t) est une fonction continue de t, définie sur l'intervalle t* t T. u (t) et v (t) étant un couple 0 p t i mal de commandes et T le temps de poursuite, il vient: L (T) == T, L (t) > t pour t < T. (78) (79) Si en effet, l'inégalité L (t) t était vérifiée pour un certain t < T, le point poursuivant accéderait au point y (t) ESt (t) C t en nn
28.] UN PROBLÈME DE POURSU ITE 209 temps t, i.e. (sous l'effet de la commande v (t) choisie) la rencontre aurait pu se réaliser en un temps t < T, ce qui contredit la défini- tion du nombre T. Le point y (t) étant situé sur le bord S 'tet) du corps convexe 'tet), il est possible de faire passer par ce point un hyperplan d'appui au corps 'tco. Cet hyperplan (ou l'un quelconque d'entre eux s'ils sont plusieurs) sera désigné par d't(t). Soit e't<t) le vecteur unitaire d'origine y (t), orthogonal à l'hyperplan d't<t) et orienté vers le den1i-espace ne contenant pas l'ensemble 't<t). Le vecteur x - y (t) admettant pour origine un point quelconque x E 't(t) étant orienté vers le demi-espace contenant l' ensen1ble 't(t), le produit scalaire (x - y (t), e'{;(t») O. En particulier de (79) il résulte que t c: ,= '{;(o et . (x - y (t), e-r(t») 0, x E t. (80) Faisons choix maintenant d'un procédé de perturbation de la com- mande v (t) (voir page 80). La trajectoire perturbée corrspondante (avec la précédente condition initiale, voir (59)) est de la forme: y* (t) == y (t) + 8Ôy (t) + 0 (€), a t T; (81) le vecteur dy == ôy (T) se tirant de la formule (22), chapitre 2 où il convient de poser L == T, ôt == a et de négliger la coordonnée XO (puisque c'est l'espace de phase X qui est considéré et non pas X). Soit maintenant 81, 8 2 , . . ., 8i, . .. une suite quelconque de nombres positifs convergeant vers zéro. Désignons par yi (t) la trajectoire (81) associée à 8 == 8i, et par vT (t) la commande corres- pondante. Le temps d'e poursuite correspondant à la commande vi (t) sera noté t i == T v. On a: yt= (ti) E t., i = 1, 2, · · . l (82) De l'optimalité du couple de commandes u (t), v (t) il vient: i T, i == 1, 2, . Par ailleurs, il est aisé de constater que li ti = T. i-+oo (83) (84) Supposons en effet que la relation (84) n'est pas sa tisfai te. En passant, au besoin, à une sous-suite nous pouvons supposer que lim t i existe i-+oo et est inférieure à T. Posons lim t i == t. Puisque lim 8i == 0, de (81) i-+oo i-+oo il s'ensuit: lim yr (t i ) == Y (t). i-+oo 14-01339
210 PROBLÈl\IES DIVERS [Ch. Par ailleurs, en passant à la limite dans (82) il vient: lim yi (ti) E t. i-oo Donc, y (t) E t' où t < T, ce qui contredit la définition de T. La relation (84) est donc satisfaite. De (83) et (84) il résulte que les nombres L (t i ) sont définis pour i suffisamment grand; nous supposerons (en négligeant au besoin les premiers termes de la suite) que les nombres L (t i ) sont définis pour tous les i == 1, 2, . .. De (78) et (84) on a, en vertu de la conti- nuité de la fonction L (t), lim't (ti) == T. i-+ 00 (85) Considérons maintenant les vecteurs e't(t i ), i = 1, 2, ... (86) La sphère unitaire de l'espace X de dimension n étant compacte, nous pouvons considérer (en passant au besoin à une sous-suite) que les vecteurs (86) convergent pour i -+ ex:> vers un vecteur unitaire de l'espace X. Soit maintenant x un point arbitraire i n t é rie u r au corps T. Alors, x E t. pour i suffisamment grand et donc l (X-y(ti)' e't(t.»)O l (voir (80)). En passant à la limite pour i -+ ex:> (et compte tenu de la relation y (T) == x (T) et de la relation (85)), on a (x - x (T), e) O. (87) Puisque la relation (87) est vérifiée pour tous les points x intérieurs au corps T' elle l'est par conséquent pour tous les points x de ce corps. De (82) et en vertu de (80), il découle: (yt (ti) - Y (ti), e't(t.»)O, i == 1, 2, . . · l ou , compte tenu de (81), (Eiôy(ti)+o(e)le=e., e't(t.»)O, i==1, 2, ... z. z. En divisant cette expression par Ei et en passant à la limite pour i -+ ex:>, il vient ( en vertu de la relation lim o() == 0 ) e-+ 00 e (ôy (T), e) 0, ou encore, (l1y, e) O. (88)
9 28.J UN PROBLÈME DE POURSUITE 211 Considérons enfin la fonction cr i (t) == (X (t) - y (t), e 't( t i») . Puisque x (t) E t, quel que soit t, de (80) il s'ensuit cri (t i ) O. Par ailleurs, cri (T) == 0 puisque x (T) == Y (T). De plus, la fonction cri (t) admet pour i suffisamment grand une dérivée continue sur l'intervalle ti t T (les commandes u (t) et v (t) étant continues par lnorceaux et la relation (84) étant vérifiée). Il existe donc un i' t i < £i < T tel que cri (£i) 0, i.e. (f(X(£i)' U(£i)-g(Y(£i), V(£i), £i), e't(t.))O. z En passant à la limite pour i -+ ex> il vient: (w, e) 0, (89) où w == g (y (T), v (T), T) - f (x (T), u (T». (90) Désignons maintenant par d l'hyperplan de l'espace X passant par le point x (T) et orthogonal au vecteur e. Nous considérerons en outre que les vecteurs l1y et w sont issus du point x (T). Les rela- tions (87), (88) et (89) montrent alors que le corps T tout entier et les vecteurs l1y et w sont situés d'un même coté de l'hyperplan 11. Autre- ment dit, si nous désignons par * l'enveloppe convexe du corps T et du vecteur w, nous constatons que le corps * et le vecteur l1y sont situés d'un même côté de l'hyperplan 11. Le corps * et le vecteur - l1y sont donc situés dans deux demi-espaces fermés dis t i net s définis par l'hyperplan 11. D'où nous concluons enfin que le vecteur -l1y issu du point x (T) ne__passe pas par des points intérieurs au corps * . Considérons maintenant toutes les méthodes possibles de perturba- tion de la commande v (t) en portant les vecteurs obtenus dy == ôy (T) (voir (81) à partir du point x (T). Les extrémités de ces vecteurs remplissent un certain ensemble K dans l'espace X, qui, on le cons- tate aisément (voir pages 86-87), n'est autre qu'un cône convexe de sommet au point x (T). Les extrémités des vecteurs -l1y remplis- sent un cône convexe symétrique du cône K par rapport au point .r (T), que nous désignerons par -K. De ce qui précède, il résulte que le cône -K ne rencontre pas l'intérieur du corps convexe *. Puisque en outre le corps * contient des points intérieurs (car le corps T en renferme aussi), les corps * et -K sont séparables. Autrement dit, il existe dans X un hyperplan 11 * tel que le corps La* soit contenu dans l'un des demi-espaces fermés définis par l'hy- perplan 11* et le cône -I( dans l'autre. Les ensembles convexes * et K sont donc situés dans un même demi-espace fermé défini par l'hyperplan d *. Désignons par e* le vecteur unitaire issu du point .x (T), orthogonal à 1 'hyperplan * et orienté vers le demi-espace 14*
212 PROBLÈMES DIVERS [Ch. '* ne contenant pas les corps * et K. Le vecteur e* satisfait donc aux relations (cf. (87), (88), (89)): (x - x (T), e*) 0 pour x E T' (91) (y, e*) 0 pour y E K, (92) (w, e*) O. (93) Désignons par 1P (t) la solution du système (63) vérifiant la condi- tion initiale 1P (T) == e* et par X (t) la solution du système (64) vérifiant la condition initiale X (T) == e*. Nous allons prouver maintenant-que les fonctions 1P (t) et X (t) sont les fonctions cherchées (i.e. elles vérifient les conditions du théorème 21). Remarquons tout d'abord que la relation (68) est satisfaite en vertu du choix des con- ditions initiales pour les fonctions 1P (t) et X (t). Quant à la relation (67), elle découle immédiatement des expressions (90) et (93). Enfin les relations (65) et (66) se démontrent, en utilisant les inégalités (91) et (92)tout comme, dans le chapitre 2, la relation (11) a été délnontrée à l'aide de l'inégalité (34) (bien entendu on prendra soin de procéder aux modifications évidentes imposées par le fait que c'est l'espace X et non plus l'espace X qui est considéré). Ce qui achève la démonstration du théorème 21.
Le principe du calcul des CHAPITRE 5 maximum et le variations Dans ce chapitre, nous allons voir le lien qui existe entre la théo- rie des processus optimaux et le calcul variationnel classique. Nous démontrerons que le problème optimal résolu dans les chapitres 1 et 2 est une généralisation du problème de Lagrange dans le calcul variationnel et qu'il lui est équivalent lorsque le domaine de com- n1ande U est lln ensemble ouvert de l'espace vectoriel Er. Nous montrerons ensuite que lorsque U est 0 u ver t, toutes les conditions nécessaires dll calcul des variations (notamment le critère de Weierstrass) découlent du principe du maximum. Cepen- dant lorsque U est un ensemble fer m é de l'espace Er (qu'il ne couvre pas entièrement), la condition de Weierstrass cesse d'être valable, i.e. est f a u x le théorème selon lequel pour qu'une fonc- tionnelle atteigne son minimum, il est nécessaire que soit remplie la condition de Weierstrass. L'avantage du principe du maximum sur les théorèmes classiques du calcul variationnel réside donc dans le fait qu'il s'applique à un ensemble quelconque (qui peut être fermé) U c Er- L'élargissement de la classe de domaines de commande possibles U par rapport au cas classique des ensembles ouverts est très important pour les applications techniques de la théorie. C'est précisément le cas où l'ensemble U c: Er est fer m é qui présente le plus d'intérêt dans les problèmes de commandes optimales et notamment dans les problèmes d'applications. Ainsi, mêmes les problèmes simples cités dans le 5 n'auraient pu être traités avec les méthodes du calcul variationnel classique, étant donné que le domaine de commande U est un ensemble fermé et les valeurs des commandes optimales sont situées dans tous ces exemples sur 1 e b 0 r d de U. Si, dans l'un quelconque de ces exemples, nous nous limitons à l'étude d'un ensemble ouvert, en négligeant les points frontières du domaine de commande U, alors les théorèmes classiques nous donnent la réponse suivante: les commandes optimales n'exis- tent pas. Ceci implique notamment que le paramètre de commande doit prendre des valeurs situées sur 1 e b 0 r d de l'ensemble U, mais cette condition ne suffit absolument pas pour résoudre le pro- blèn1e puisqu'il faut savoir c 0 m men t doit varier ce paramètre de commande sur le bord de U. Par exemple, dans le cas des problè- mes linéaires, il importe de connaître le nombre de commutations,
214 CALCUL DES VARIATIONS [Ch. 5 de quels sommets à quels somlnets du polyèdre U se réalisent ces commutations, etc. La théorie classique est impuissante face à toutes ces questions; par contre, nous avons vu sur des exemples que le principe du maximum contenait suffisamment d'informations pour résoudre les problèmes mentionnés. Dans le g 29, nous déduirons du principe du maximum des con- ditions nécessaires pour le problème fondamental du calcul des variations. Dans le 30, nous prouverons l'équivalence du problème de Lagrange et du problème optimal du chapitre 2, et déduirons aussi du principe du maximum le critère de Weierstrass lorsque le donlaine de commande U est un ensemble ouvert de l'espace Er de dimension r. Par souci de simplification, nous nous limiterons à l'étude des extre- mums forts des problèmes variationnels. 9 29. Problème fondamental du calcul variationnel Quoique le problème fondamental du calcul variationnel ne soit qu'un cas particulier du problème de Lagrange étudié dans le para- graphe suivant, il n'empêche qu'il fera l'objet d'un paragraphe isolé puisque le lien existant entre le principe du maximum et les conditions nécessaires dll calcul variationnel ressort le plus nette- ment dans cet exemple simple. Définitions Soit dans l'espace Rn+l de dimension n -t- 1 engendré par les variables réelles (t, Xl, . . ., x n ) === (t, x) une courbe x (t) définie par les équations xi == xi (t), i == 1, ..., n, t o <. t t 1. ( 1 ) Si les fonctions Xi (t), i === 1, . . ., n, sont absolument continues et admettent des dérivées bornées, i.e. en tout point où la dérivée est définie on a 1 dX;t(t) IM =const, i = 1, ..., n, nous dirons que la courbe (1) est absolument continue. Désignons, par ailleurs les points x (t o ) et x (t 1 ) respectivement par xo et X1; nous dirons que la courbe (1) relie les points (t o , xo) et (t 1 , X1) ou encore qu'elle satisfait aux conditions aux limites x (t o ) === XOt x (t 1 ) === Xi. (2) Appelons ô-voisinage de la courbe absolument continue (1) l'ensemble de toutes les courbes absolument continues X' (t) == ('t (t), ..., ;n (t)), t o t t i
29.] PROBLÈME FONDAMENTAL 215 telles que Ixi(t)_'.;;i(t)l<ô pour tott1' i===1, 2, ..., n. Soit maintenant G un ensemble ouvert de l'espace R n +l et soit la fonc tion réelle f (t, Xl, . . ., n 1 X , U , . . ., un) == f (t, X, U) définie, quel que soit le point (t, x) E G et quelles que soient les valeurs réelles u l , . . ., Un. Nous supposerons en outre, que la fonc- tion f est continue et continûment dérivable par rapport à tous ses arguments. Supposons que la courbe (1) est entièrenlent située dans le do- maine G. Alors est définie l'intégrale ti J = J (x) = J f (t, x (t), dXdt) ) dt, to (3) que nous considérerons COllIne une fonctionnelle du vecteur fonction ,-.J x (t), t o t t i . Il est évident, que pour toute courbe x (t), t o t t i appartenant au ô-voisinage de la courbe (1), est également définie la fonctionnelle J (.Î) pourvu que Ô > 0 soit suffisamment peti t. Nous dirons que la courbe absolument continue (1) est une extré- male (forte) de la fonctionnelle (3) s'il existe un ô > 0 tel que la fonctionnelle (3) prenne son minimum (ou son maximum) pour x == x sur l'ensemble de toutes les courbes x (t), t o t t i , si tuées dans le ô-voisinage de la courbe (1) et satisfaisant aux mêmes conditions aux limites (2). Nous n'étudierons dans la suite que le cas du m i - n i m u m. On dira donc de la courbe (1) qu'elle est une extrémale de la fonctionnelle (3) s'il existe un ô > 0 tel que J (x) J (x) pour toute courbe absolument continue x (t), t o t t f , apparte- nant au ô-voisinage de la courbe (1) et vérifiant les conditions aux lilnites X (t o ) == Xo, x (t i ) == Xi. Le problème fondamental du calcul des variations consiste à trouver toutes les extrémales de la fonctionnelle donnée (3) pour les condi- tions aux limites (fixes) données (2). E qua t ion s d'E u 1 e r etc 0 n dit ion d e L e g end r e Nous allons montrer que toute extrémale est une trajectoire optimale pour un certain problème optimal. Soit le système dx i i (ft==u, i=-== 1, ..., n, (4)
216 CALCUL DES VARIATIONS [Ch. !) et la fonctionnelle intégrale f1 J=J(x, u)= J f(t, to 1 X, ..., 11 1 X, u, ..., Uli) dt == ti = J f (t, x, u) dt, ( 5) tu où u == (u 1 , . . ., un) représente le paramètre de commande qui est choisi dans la classe des vecteurs fonctions mesurables bornés. Lü domaine de commande U se confond donc dans le cas considéré avee l'espace En de dimension n engendré par les variables u 1 , . . ., un. Vu qu'elles seront appliquées au calcul des variations, nous allons définir les trajectoires optimales des problèmes (4) et (5) d'unü façon différente que dans les chapitres 1 et 2. Plus exactement, supposons que les limites d'intégration sont fixes dans (5). UnE commande mesurable bornée u (t), t o t t 1 , et la trajectoire x (t) absolument continue correspondante du système (4) avec les conditions aux limites (2) seront dites optimales s'il existe un Ô > 0 tel que J (:;, T;) J (x, u), quelle que soit la commande ç; (t) pour laquelle la trajectoire correspondante x (t) du système (4) satisfait aux conditions aux limites (2) et se trouve dans le ô-voisinage de la: courbe x (t). Autrement dit, dans la définition des commandes et des trajectoires optimales nous allons comparer la trajectoire x (t) non pas à t 0 u tes les autres trajectoires ;; (t), mais seulement aux trajectoires qui sont situées dans le ô-voisinage de la courbe x (t). Toute trajectoire, optimale au sens des chapitres 1 et 2, est optilllale au sens adopté ici, mais d'une manière générale, la réciproque n'est pas vraie. Par conséquent, les commandes et les trajectoires optinlales son t plu s nom b r eus e s au sens défini ici qu'au sens défini dans les chapitres 1 et 2. Il est aisé de comprendre que le principe du maximum, en tant que condition n é ces s air e d'optimalité, reste valable dans la même forme pour les commandes et les trajectoires optimales au sens défini ici. En effet, pour démontrer le principe du maximUlll nous avons, au chapitre 2, comparé la trajectoire x (t) seulement aux tra- jectoires de la forme x* (t) = x (t) + 8ÔX (t) + 0 (8), où 8 est un infiniment petit. Pour 8 suffisamment petit, la trajectoi- re x* (t) est contenue dans le ô-voisinage de la courbe x (t) (quel que soit ô) et tous les raisonnements du chapitre 2 passent donc san s c han g e m e fi t pour les commandes et les trajectoires optinlales au sens défini ici. -:
29.] PROBLÈME FONDAMENTAL 217 Le problème optimal (4), (5) est un problème à extrémités et à temps fixes (voir g 8). Il est évident que toute trajectoire optimale du problème (4), (5) est une extrémale de l'intégrale (3) et inverse- ment (il suffit, en vertu de (4), de remplacer dans (5) les grandeurs u i (t) par les dérivées dX:?) ). Aussi, le principe du maximum qui est une condition nécessaire d' optimalité est-il également une condi- tion nécessaire pour que la courbe x (t) soit une extrémale de l'inté- grale (3). Cette simple constatation nous permet d'appliquer le principe du maximum à la résolution du problème variationnel (3). Pour résoudre le problème optimal posé, nous devons, en vertu du théorème 6, composer les équations pour les variables auxiliaires inconnues '4'0' '4'1' · · ., '4'n et la fonction 0Jt qui, el' après (4), pren- nent ici la forme suivante 0Je == 1Vof (t, x, d'Po == 0 dt ' d;i = -1\Jo u) + 1VfU l + . . . -!-1V n u n , i = 1, ..., n. } (6) af (t, x, u) ax i (7) La condition de maximum du théorème 6 donne n c2It (1J' (t), x (t), t, u (t)) == lna ('Pof (t, x (t), u) -1- 1V ex (t) ua) ( 8 ) uEEn a=l (presque partout sur l'intervalle t o t t f , cf. théorènle 8). Le dOlnaine de cOlnmande U se confondant avec l'espace En tout entier (pour la suite il est suffisant d'exiger que U soit un ensemble 0 u ver t dans En), le point u == u (t) où la fonction QJt ('i' (t), x (t), t, u) qui est considérée comme une fonction de la variable u E U atteint son maximum, est un point s t a t ion n air e de cette fonction. Il s'ensuit donc de (8) (pour presque tous les t, t o t t f ) : a au i Q1e (1J' (t), x (t), t, u (t)) == == 'Ih o af (t, x (t . ), u (t)) + 'Ih l . (t) == 0, 1 2 au?, i == , ,..., n. D'où l'on déduit que 1Vo =1= 0, puisque dans le cas contraire '\}Ji (t) == == 0, i == 0, 1, . . ., n. Nous pouvons donc poser 11'0 == -1 puisque '4'0 == const 0 (voir théorème 6) et que les grandeurs '4'0' 1V1, . . . . . ., '4'n sont définies à un facteur commun positif de proportionna- lité près. En faisant 'Po == -1 dans les égalités précédentes, nous obtenons (presque partout sur l'intervalle t o t t f ) 'Ih. (t) == al (t, x (t, u (t)) . 1 l au'/,' l == , ..., n. (9)
218 CALCUL DES VARIATIONS [Ch. 5 Par ailleurs, en faisant 'Po == -1 dans l'équation (7), et en intégrant, nous obtenons t 'l\Ji (t) = 'l\Ji (to) + J Of ('r, à' u ('r)) d'T: io i === 1, ..., n, t o t t 1. ( 10) De (9) et (10) nous déduisons les équations d'Euler sous forme intégrale (en remplaçant u i (t) par les dérivées d:it(t) , voir (4)): ( dx (t) ) t ( dx ('t) ) 81 t,x(t), dt al 't, x ('t), dt . àui (=) J àxi d'T:+Ji (to), L= 1, ..", n, to où le symbole (===) signifie, comme dans le chapitre 2, que les égalités sont vérifiées pour presque tous les t, t o t t i . En dérivant par rapport à t (à condition que la fonction f et l' extrénlale x (t) soient deux fois continûment dérivables), nous obtenons les équations d'Euler sous forme ordinaire ( dx (t) ) ( ( dx (t) ) ) al t, x(t), dt _ al t, x(t), dt _ dx i dt alti (-)0, (10a) i:==:1,..., n. Supposons maintenant que la fonction f (t, x, u) admet des dérivées secondes partielles continues en u 1 , . . ., un. Alors 1 si la fonction n age ('i' (t), x (t), t, u) === f (t, x (t), u) + 'Pa (t) ua, a=l prise comme une fonction de la variable u atteint son maximum au point u == uo, la forme quadratique n a 2 B LJ '); B QI{ ('" (t), x (t), t, uo) £a£ === au a au <x, f)=1 n 82 ta f (t, x (t), Uo) au a au f3 a, 13=1 est non positive (quels que soient £1, . . ., n). De la condition de maximum (8) il vient, pour presque tous les t, t o t t 1 , 2 ( dx (t) ) a f t, x (t), dt 2j a{3 O. aua auf) a, /3=1
29.] PROBLÈME FONDAMENTAL 2'19 Cette condition, nécessaire pour que la courbe x (t) soit une extrémale de l' in tégrale (3), est appelée condition de Legendre. Variables canoniques Soient, comine précédemment, u (t), x (t), t o t t i , une com- lnande optilnale et la trajectoire optimale correspondante du problè- nle (4), (5), et soit par ailleurs", (t) == (-1, '\}Ji (t), . . ., 'Pn (t)) == == (-1, 'lIJ (t)) la solution absolument continue non HuIle du systè- lne (7) qui correspond à u (t) et x (t). Posons (? /1 (J, X , t) =--= su p QJ£ ("" x, t, u) == su p ( - j (t, uEEn uEEn n :1', u) + 'Paua), a=l '" == (-1, 'lIJ), x et t étant fixés. Supposons que l'équation Q)[ ('i', x, t, u) == dit (tp, x, t) (11) adnlet une solution unique u == u (" x, t), (12) définie, continue et continûment dérivable par rapport à ses argu- 1110nts pour to<t<tt, \Xi_Xi(t)\<<5, \1Pi--'lIJi(t) 1<<5, i==1, ..., n, (13) où <5 un nombre positif suffisamment petit. Sous ces conditions, nous dirons que les variables (Xl, . . ., x l1 ) == X, ('lIJt, . · ., 'Pn) == 'lIJ sont les variables canoniques du problème optimal considéré et la fonction n If (" x, t) == - j (t, x, u ('P, x, t)) + 'Pa ua ('P, x, t), a=1 jonction de Hamilton. Puisque la commande optilnale u (t) satisfait presque partout sur l'intervalle t o t tt à la condition de maximum (8) (rappe- lons que 'Po == -1) et que u ('lIJ, x, t) est l'u n i que solution de l'équation (11) (pour les conditions (13)), alors (presque partout sur l'intervalle t o t tt) on a dx (t) u(t)=u('I'(t), x(t), t)= dt . (14) On peut même affirmer que l'égalité (14) est vérifiée par t 0 u t .sur l'intervalle t o t t i . En effet, puisque l'égalité (14) est presque partout vérifiée, on a t x (t) =x (t o ) + J u (1\1 Cr), x ('r), 't) d't. to
220 CALCUL DES VARIATIONS [Ch. 5 Or l'intégrande est une fonction con t i nue en L (car la solu- tion (12) est continue en ses arguments), la dérivée de cette intégrale est donc par t 0 u t sur l'intervalle t o t t 1 égale à l'inté- grande. Il résulte de l'égalité (11) que les dérivées partielles de la fonction QJt ('i', x, t, u) par rapport à u i , i = 1, . . ., n s'annulent pour u === u ('l', x, t) (pourvu que soient satisfaites les conditions (13)): _ af (t, x, u (11', x, t)) -+- '1101. == A . 1 (15) oui 1 l , l === , ..., n. Par sui te aH (11', x, t) _. a'Pi n .-!!.L. oua (\jJ, x, t) + u i (1\', x, t) + au a ihp l a=1 n + '11-1 alla ('P, x, t) == ai ( "101 x , t ) + _ 1 LJ a a'IJi , a= 1 n ( ai ) aua i + 1\'a- oua OIPi =u (\)1, X, t); a=1 n a Il (11', x, t) ax i al - ---- - ax i . au a (11". x, t) + LJ au a ax a=1 n + '1101 au<X(tp,.x, t) == _+ LJ a ()x ax <x=1 n -!_ ( ,101 _ 3!..L ) au == _ ai {t, x, u 1P, x, t)) . I.L.J ya iJua ax ax1, a=1 Et, en vertu des (14) et (7), nous obtenons les équations canoniques d'Euler-Hamilton: dx i a Il --rit - a\f-'i ' d'Pi _ aIl dt - - ax i ' i == 1, ..., n, i === 1, ..., n, qui sur l'intervalle t o t t i sont vérifiées par les composantes des vecteurs foI1ctions x (t) == (Xl (t), . . ., x n (t)) et '\}J (t) == = ('Pi (t), · · ., 'Pn (t)). Supposons, enfin, que la fonction f (t, x, u) est d eux foi s continûment dérivable par rapport aux variables u l , . . ., un et que le déterminant a 2 . . f (t, x (t), u ('p (t), x (t), t) ) au au J (16)
30.] PROBLÈME DE LAGRANGE 221 est non nul sur l'intervalle ta t tf- Ceci étant, le système d'équations rah _ af (t, x, u) - 0 . 1 '-Yi au i -, L === , ..., n, (17) Bst ullivoquement résoluble en u l , . . ., un, si xi et 1Pi diffèrent peu do Xi (t) et 1Pi (t) et, en vertu de (15), cette solution se confond avec la fonction (12). Donc, la définition que nous avons donnée des coordonnées canoniques concorde avec la définition ordinaire de ces coordonnées à l'aide du système (17) à condition que le détermi- nant (16) soit non nul. Rem a r q u c. Si l'on suppose que la fonction f (t, x, u) est définie non pas pour toutes. les valeurs réelles des variables u l , . . . . . ., un, lnais seulement pour u EUe En' où U est un ouvert de En' alors (après des modificati9J!s évidentes dans la définition des extré- males de l'intégrale (3)), tout ce que nous venons de dire reste vrai. Il conviendra seulement dans le problème optimal (4), (5) de prendre pour domaine de comnlande non plus l'espace En tout entier mais son sous-ensemble ouvert U. Cette remarque vaut aussi pour le paragraphe suivant. 9 30. Problème de Lagrange Enoncé du problème Soient k fonctions jl(t, Xl, ..., xn, vI, ..., V l1 - h )===fi(t, x, v), i===1,..., k, continues et continûment dérivables par rapport à tous leurs argu- lnents pour (t, x) E G et pour des valeurs quelconques du vecteur v === (VI, . . ., v r ), où r === n - k. Considérons le système sui vant de k équations différentielles avec les fonctions inconnues Xl (t), . . ., x n (t) : dx i _ f i ( t . dt ' = cpi (t, xl, l 1\ . 0 dxk+l dx n ) == x , ..., X, dt ,. · ., dt - 11, dx l dx n ) 0 . 1 ..., x, di' ..., di === , l== , . . ., k < n. (18) Une courbe absolument continue x (t), ta t t l , contenue entière nlen t dans le domaine G sera appelée admissib le si elle vérifie les conditions aux limites (2) et si ses coordonnées vérifient le systè- me (18). Par ailleurs, une courbe absolument continue x (t), ta t t l , sera appelée extrémale de la fonctionnelle (3) pour les conditions aux limites données (2) et le système donné (18) si x (t) est une courbe admissible et s'il existe un B > 0 tel que J (x)
222 CALCUL DES VARIATIONS [Ch. 5 J (X) pour toute courbe a d mis s i b 1 e x (t), t o t t f contenue dans le ë-voisinage de la courbe x (t). Le problème de Lagrange (à extrémités fixes) pour les conditions aux limites (2) et le système (18) donnés consiste à chercher toutes les extrémales d'une fonctionnelle de la forme (3). 1\'Iontrons que ce problème se ramène à un problème optimal. Pour des besoins de symétrie posons 1° (t, x, v) == 1 (t, x, fI (t, x, v), . . ., fh (t, x, v), VI, . . ., vr), (19) où la fonction 1 (t, x, u l , . . ., un) est celle définie dans le précédent paragraphe. Considérons le système d'ordre n d;: =/i(t, x, v), i=1, ..., dxh+j _ j dt - v , j = 1, k, } n-k=r, (20) . . ., où v == (VI, . . ., vr) désigne un vecteur de commande. Toute com- mande mesurable bornée sera considérée comme admissible, i.e. le domaine de commande sera l'espace Er de dimension r engendré par les variables VI, . . ., v r . On demande de trouver une commande admissible v (t) corres- pondant à la trajectoire x (t) du système (20), satisfaisant aux condi- tions aux limites (2) et minimisant l'intégrale t1 J (x) = 1° (t, x (t), v (t)) dt. to Il est évident, que toute solution de ce problème optimal (à extré- mités fixes) est une extrémale pour le problème de Lagrange considéré et, inversement, une extrémale quelconque x (t) == (Xl (t), . . . . . ., x n (t)), t o t t b du problème de Lagrange est une trajectoire optimale correspondant à la commande optimale 1 r ( dxh+l (t) dx n (t) ) (V (t), ..., v (t)) == dt ,. · ., dt . (21) Il est aisé de voir qu'inversement tout problème optimal à temps fixe est un problème de Lagrange (à extrémités fixes) si la classe de commandes admissibles est composée de commandes mesurables bornées arbitraires et si le domaine de commande se confond avec l'espace Er tout entier. Règle des multiplicateurs de Lagrange Soient v (t), t o t t f , une commande optimale et x (t) la trajectoire correspondante du système (20) satisfaisant aux condi- tions aux limites (2). Soit par ailleurs, 'i' (t) = ('Po (t), . . ., 'Pn (t))
30.1 PROBLÈME DE LAGRANGE 223 un vecteur fonction absolument continu et non nul correspondant aux fonctions x (t) et v (t). La fonction Q7E ("l', x, t, v) est de la forme k n-k Q1C ('\l', x, t, v) == 'P% (t, x, v) + L 'Pai a + 'Pk -t- a va . a=1 a=1 Par ailleurs nous avons en vertu de (19) k ajO al al afa ax i == ax i + L.J au a ax i ' a=1 k afo _ al + -.!L at " avj - au h + j dua av j , a=1 i=1, ..., n, (22) j==1, ..., n-k. (23) "Le système d'équations pour les inconnues auxiliaires est donc de la forme (voir théorème 6) : d'i'o - 0 dt - , k k (24) d: i = - ( :i + :a : ) o - : a. a=1 a=1 De la condition de maximum (théorème 6) on a presque partout sur l'intervalle t o t t f (voir (23)): k . QJt ('\1' (t), x (t), t, v (t))( == ) ( a f . + !.L af ) 'Po + âvJ 8u h +3 L.J au a av a=1 h aja + ----:- 'Pa + 'Pk+ j == 0, j == 1, ..., n - k. ( 25 ) avJ a=1 Introduisons les notations dx i e. . 1 dt == x , l == , ..., n, ( "' dx · ) c.-a-d. dt ==x , aj af af af au i == a;i ' au h + j == ah+j , aji i == 1, ..., k, ôji av j (26) ah+j j==1, ..., n-k. ])e plus, pour i == 1, . . ., k, on a (voir (18)) acpi _ 1 k . -UJ' j , fJx j Ô(pi a.;.h+j afi a;k+j 1jn-k. 1 ( t' .: k' /' (27)
224 CALCUL DES VARIATIONS [Ch. 5 Mettons maintenant l'expression (24) sous la forme: t k 'i'd t ) = 'i'dto) - f [ ::i 'i'o + :: ( : '\Jo + 'i'a ) ] d'L, i = 1, ..., n. to cx=l ax (28) Les égalités (25) donnent (voir (26)) : h ( al "al cx ( al ) ) . '" k + j (t) ( == ) - . . "'0 + LJ . . 1Po -1- )a , ] ==: 1, . · ., n - k · ax k t J cx= 1 ax R + J axcx Comparant les égalités obtenues aux dernières n - k égalités (28), nous obtenons: h , f . 'i'o + fa. (4- 'Po + 'i'a ) ( = ) ax h + J cx=l axR+J axCX t h ( ==) r [ a f . 'i'o + a fa . ( 'Po + 1Pcx ) ] dL- J âxh+J axR+J axcx to cx=l -1Ph+j(t O )' j==1, ..., n-k. (29) Introduisons enfin k fonctions  i (t), i == 1, . . ., k, mesurables, bornées sur l'intervalle t o t t f : .  i (t) == al (t, x (!), x (t)) 1Po + '" i (t), i == 1, ..., k, ( 30) ax i et mettons les expressions (28) et (29) sous la forIne: t R 'i'd l ) = - J ( ::i 'Po + Âa : ) d'L+'i'i (to), i= 1, .. " n, (31) to cx= 1 k t R al 1" a/ cx J ( al "ala ) · . 1POT LJ Âa, · . (==) a k+. 1Po+ LJ Âcx a k+j X axk+J axR+J x J x cx=l to a=l X dL-"'k+j(t o ), j== 1, ..., n-k. (32) , Nous allons rnaintenant formuler et démontrer la règle des multi- plicateurs de Lagrange. Supposons que la courbe absolument continue (1) est une extrémale de l'intégrale (3) pour les conditions aux limites (2) et le système (18). Il existe alors k fonctions  i (t), t o t t f , mesurables bornées, appe- lées multiplicateurs de Lagrange et une constante '\po 0 telles que la fonction h F (t, x (t), (t)) == -1Pof (t, x (t), (t)) + Âa, (t) <pa (t, x (t), (t)) cx=l
30.J PROBLÈME DE LAGRANGE 225 satisfasse presque partout sur l'intervalle t o t t 1 . t . aF (t, x (t), x (t)) _ J aF (L, x (L), X (L)) d + . . - . L C l , i == 1, ax i 8x 1 to aux égalités: . . ., n, oÙ Ci sont des constantes. D é mon s t rat ion. Définissons les multiplicateurs  i (t), i == 1, ..., k, à l'aide des égalités (30), et prenons pour constante '\}Jo 1a coordonnée d'indice zéro du vecteur fonction 'i' (t). Alors pour 1. i k, les égalités (27), (30) et (31) donnent h u = -1/'0 f. + Âa a = -'Po a!. +Âi = f)x ax cx=1 ax ax 1 t k = 1/'i (t) = - ( :;i 'Po + Âa ;x ) dl: + 1/'i (to) = to cx=1 t h t == r ( - 'Po + Âa arp ) dL + 'Pi (t o ) == r a d,; + 'Pi (t o ). J ax 1 ax J ax ta cx=1 ta ])e (32), il vient pour j == 1, . . ., n - k h .uF = -'Po .a f _ Âa rpa (=) âxh+j axh+j ax k + j cx=1 t k r ( ai )' acpCX ) ( == ) - J ax k + j '\po + LJ Âa axh+j d,; + 1Pk+j (t o ) == ta a=1 t h = ) ( - û:';+j 1/'0 + Âa a::j ) dl: + 1/'k+j (t o ) = ta a= 1 t ) aF == . d,; + 1Pk+j (t o ). axh+J ta La règle des multiplicateurs de Lagrange est donc démontrée. Inégalité de Weierstrass Soit l == (lo, l1, . . ., lh) un vecteur quelconque de dimension . k + 1. Donnons-nous une fonction de Weierstrass notée (t, x, x, , l) dépendant des arguments t, x === (Xl, . . ., x n ), ; == (l, . . ., ;n), 15-01339
226 CALCUL DES VARIATIONS [Ch. ). = (1, . . ., n) et l = (lo, ll, . . ., lh) par la fornlule . . é(t, x, x, £, l)==F(l, x,, l)-F(t, x, x, l)- n · _ (£a _ ;a) al? (t, :'C, x, l) , a=1 axa où k F (t, x, ;, l) == -10/ (t, x, ) -1- lacpa (t, x, ;), a=1 les fonctions f (t, x, ;), Cpi == i - fi (t, X, h+l, ..., n), i == = 1, . . ., k é tant les lnêmes que précédemnlen t. Désignons, pour plus de commodité, les dernières n - k coordon- nées du vecteur par yI, . . ., yn-k, les k premières coordonnées étant toujours désignées par I, . . ., k: == (l, ..., k, YI, ..., yn-k), V == (VI, ..., v n - k ). Calculons lnaintenant la fonction de Weierstrass dans le cas où x == x (t) est une extrémale du problème de Lagrange pour les équa- tions (18), ;; = d?) , l = Â (t) = (1\10' Â 1 (t), " . ", Âh (t» (voir (30) et les k premières coordonnées du vecteur == (l, . . ., ', yl, . . ., yn-k) obéissent aux équations i-fi(t, x(t), VI, ..., yn-k) = i-fi(t, x(t), V)===o, i===1, ...,If. (33) Des conventions précédentes il résulte que le yecteur fonction de dimension n - k . . v (t) === (VI (t), ..., V n- k (t)) === (X Il + l (t), ..., X n (t) ) est une comnlande optimale correspondant à une trajectoire x (t) du système (20). On a (voir (18), (19), (33)): F (t, x (t), ; (t), Â (t)) == - "'of (t, x (t), ; (t)) == -'Polo (t, x (t), v (t)), F (t, x (t), , Â (t)) === -'Pof (t, x (t), ) + k + Âa(t)(a-fa(t,x(t), Y)) === -'tpot(t,x(t),)== -'PofO(t,x(t), V). a=1 Si i == 1, . . ., k, alors (voir (30)) a. ai -;- F (t, x (t), x (t), Â (t)) === - 'Po --;- + Â i === '-Pi (t) ; Dxi ox i
30.] PROBLME DE LAGRANGE 227 si i == k -t- j, j = 1, . . ., n - k, alors (cf. (19), (23), (25)): â · -;- F (t, x (t), x (t), Î (t)) = âx i h = - '\jJo .a f . - ( '\jJa (t) + '\jJo) fa. = âxk+J axa axh+J 0:.=1 h = - '\Jo af - '\Ja af = - d% ("Ii' (t), x (t), t, v (t)) + '\jJk+j (t). auJ auJ auJ cx=l Par suite: . o (t, x (t), x (t), £,  (t)) == -- 'i'olo (t, x (t), V) + 'Polo (t, x (t), v (t))- k - (fa (t, X (t), V) - fo:. (t, x (t), v (t))) 'lPa- cx=l n-k - (Va - va (t)) ( '\jJk+a (t) - a:a d% ("Ii' (t), X (t), t, V (t)) ) = a=l == @6 ('i' (t), x (t), t, V (t)) - &6' ('\)' (t), x (t), t, V) + n-k + (Va - va (t)) aa &£ ("Ii' (t), X (t), t, V (t)). (34) cx=l Puisque x (t) est une extrémale, l'égalité (25) est satisfaito presque partout sur l'intervalle t o t t 1 et il s'ensuit de la condition de ]naximum pour presque tous les t . G (t, x (t), x (t), ,  (t)) ? 0, (35) ee qui exprinlo la con dit ion n é ces s air e d e Wei e r- s t ras s: si x (t) est une extrémale dans le problème de Lagrange con- sidéré, il existe des fonctions  i (t), i = 1, . . ., k, mesurables bornées' et une constante positive 'l}Jo telles que soit vérifiée l'inégalité (35) pour presque tous les t quel que soit le vecteur £ satisfaisant aux conditions (33) . Si donc 10 domaine U de variations des variables Vi, . . ., v r couvre l.espace Er tout entier (ou en est un sous-ensemble ollvert), ] a règle des multiplicateurs de Lagrange et le critère de Weierstrass découlent du principe du maximum. Nous avons examiné ici en détail le problème variationnel à extrémités fixes. Pour le problème à extrémités ID 0 b i les toutes les conclusions qui sont connues en calcul des variations se (léduisent facilement en utilisant les conditions de transversalité- 15*
228 CALCUL DES VARIATIONS [Ch. 5 (voir 6). Discutons maintenant le lien existant entre le principE du maximum et le critère de Weierstrass lorsque l'ensemble [J n ' est pas 0 u ver t. P os an t V v (t) + v et considérant que v est un infiniment petit, nous pouvons, en appliquant la formule de Taylor, mettre l'expression (34) (en négli- geant les infiniment petits d'ordre supérieur) sous la forme: n == _ â 2 QJ6> ("" (t), x (t), t, v (t)) vel v13. (3G) 2 âvelâvB el, 13= 1 Ce qui rend tout à fait naturelle la condition de \i\Teierstrass Ù 0 dans les points intérieurs du domaine de valeurs possibles U (car la fonction QJt doit, en vertu du théorème 8, atteindre son maximuITL en v v (t) et, par suite, v (t) est un point stationnaire pour cette fonction). Toutefois, dans les points frontières, où d'une façon géné- rale les dérivées cessent d'être nulles (i.e. au voisinage de ces uV points le développement de la fonction &[('i' (t), x (t), t, v (t) + v) renferme des membres de pre mie r ordre de petitesse par rap- port à v), la non-négativité de la fonction ù (qui est du d eux i à-- m e ordre de petitesse) cesse d'être une condition nécessaire de maxi- malité de la fonction QJ8. En d'autres termes, d'une façon générale, la condition de Weierstrass ù 0 n'est plus valable dans les points lrontières de l'ensemble U.
CI-IAPITRE 6 Processus optimaux avec contraintes sur les coordonnées de phase Dans le problèlne optimal traité dans les chapitres 1-3, seul le domaine U de variation du paralnètre de commande u était limité, tandis que le point représentatif x n'était assujetti à aucune contrain- te et, par conséquent, son domaine de variation coïncidait avee l'espace de phase X tout entier. Aussi n'est-il pas exclu que lorsque le point représentatif est transféré optimalement (au sens du chapitre 1) du point initial Xo à un point final Xi voisin, la trajectoire x (t) s'écarte d'abord forte- ment des points Xo et Xi et aboutisse ensuite au point Xi. Or, souvent en pratique, non seulement ce comportement du systèlne est indé- sirable, mais il est intolérable. En effet, dans nombre de cas la puissance des signaux permis de commande est amplement suffisante pour transférer le système à un état inadmissible du point de vue de la sécurité ou de la fiabilité du fonctionnement (par exemple, échauffement excessif du moteur, surcharge, etc.). Force est donc de limiter, dans certains cas, aussi bien le donlaine U de variation du paramètre de commande que le domaine de varia- tion du point représentatif. En d'autres termes, il est pernlis de choisir nniqnelnent des cOlnmandes optimales pour lesquelles les trajectoires de phase correspondantes sont situées dans un don1aine B donné et fixé par avance dans l'espace de phase X de dimension n. Dans ce cas, le problème optimal consiste à choisir une conl1nande optimale telle que la trajectoire correspondante soit entièrenlent contenue dans le domaine B et satisfasse aux conditions aux limites données tout en minimisant une fonctionnelle donnée. Le systènle complet de conditions nécessaires que doivent vérifier les commandes optimales et les trajectoires correspondantes de ce problème optimal généralisé est donné par le théorème 25 (voir page 275) qui est le résultat essentiel du présent chapitre. Si le domaine B est un 0 u ver t de l'espace de phase X, alors le problème optimal ici formulé est équivalent au problème optimal des chapitres 1 et 2 et sa solution est donnée par le principe du maxi- 111um (puisque dans la démonstration du principe du maximum nous n'avons utilisé qu'un voisinage arbitrairement petit de la trajectoire optimale).
230 PROCESSUS AVEC CONTRAINTES SUR LES COORDONNÉES [Ch. 6 De nouvelles difficultés se présentent dans le cas, intéressant pour les applications, o le domaine B est un fer m é (i.e. l'adhérence d'un ouvert dans X) et où la trajectoire optimale étudiée est partielle- ment ou entièrenlent située sur le bord du domaine B. Dans la suite nous supposerons que B est un fermé de X et que son bord est une hypersurface continûment différentiable ou conti- nûment différentiable par morceaux dans X. Nous n'allons étudier ,que les trajectoires optimales susceptibles d'être di visées en un nonl- bre fini de portions, dont chacune soit est entièrement située sur une portion continûment différentiable du bord du domaine B, soit appartient (à l'exception peut-être de ses extrémités) à un noyau ouvert du domaine B. Les portions de trajectoire optimale situées entièrement sur une portion continûment différentiable du bord de B satisfont aux con- ditions nécessaires luentionnées dans le théorème 22 qui est équiva- lent au principe du maximum. L'énoncé et la délllonstration de ce théorème, ainsi que certaines de ses généralisations font l'objet des g 32-35 du présent chapitre. Les portions de trajectoire optimale qui appartiennent (à l'excep- tion peut-être de leurs extrémités) à un noyau ouvert de B, satisfont au principe du lnaximum dans sa forme ordinaire (chapitre 1, 2). Enfin, toute paire de portions contiguës d'une trajectoire opti- male, si l'une est située dans un noyau ouvert de B et l'autre sur son bord, ou si elles sont situées toutes les deux sur des portions conti- nûment différontiables et distinctes du bord de B, satisfait à une certaine condition de conjugaison que nous appellerons condition de saut (théorème 24). La démonstration de cette condition et cer- taines de ses applications font l'objet du g 36. 31. Position du problème Définitions fondanlentales COlnm9 cornmandes optimales il aurait été naturel de prendre des vecteurs fonctions u (t) continus par morceaux et définis sur un intervalle de temps t o ::s;;; t ::s;;; t i . Cependant, les délnonstrations des théorèlnes énoncés dans ce chapitre sont valables si l'on admet de plus que les c 0 fi man des u (t) son t con t i n Û ln e n t d i f f é r e n t i a b les par fi 0 r c eau x. D'autre part, le domaine U de variation de la cOlumande adlnis- sible ne sera plus un sous-espace arbitraire de l'espace Er' mais un ensenlble qui admettra la structure « régulière » définie plus bas au voisinage de chacun de ses points frontières. Aussi dans le présent chapitre allons-nous adopter la définition sui vante de la classe de commandes adnlissibles (ce qui est large-
.: 3 1. ] POSITION DU PROBLÈME 231 L11ent snffisant pour toutes les applications techniques des résultats obtenu). C01l11ne dOJnaiue de commandes U nous prendrons un ensemble arbitraire de l'espace Er engendré par la variable U === (u l , . . ., u/) pt ln uni au voisinage de chaclln de ses points frontières d'une structu- re « régulière» au sens suivant. Si Ut E U est un point frontière arbitraire de l'ensemble U, il existe des fonctions scalaires continûment dérivables qi (u), i = 1, . . ., s (s 1) (1) telles que l'enselnble U soit donné au voisinage Uj par le système d 'inéga]i tés qt (u) 0, '. · ., qs (u) 0, et au point Ut par les égalités q 1 (Ut) === · · · === q s (Ut) === 0, les vecteurs aqt (u 1) := O' r (} d q ( u ) au b et t t,... , aqs (Ut) === grad qs (Ut) Du (2) étant linéairelnent indépendants. Ainsi donc, les faces de dimension (r - 1) du donlaine U, con- tiguës au point Ut, sont définies par les équations: qt (u) === 0, . . ., qs (u) === 0 (3) et sont des hypersurfaces continûment différentiables de l'espace Er' situées, en vertu de l'indépendance des vecteurs (2), au point Ut dans le cas général. Le point Ut, lui, est situé sur 1'« arête » de dimen- sion (r s) continûment différentiable du bord, définie comme l'ensenlble des solutions du système (3) proches du point Ut. Bien que les fonctions (1) ne soient pas définies univoquement par les conditions énumérées, il est aisé de voir que les faces de l'ensemble TJ quelle que soit leur dimension sont univoquement définies au voisinage du point Ut (en particulier, l' « arête » de dimension (r - s) (3) et par conséquent le nombre s). Les principaux théorèmes de ce chapitre restent naturellement invariants par rapport au choix des fonctions (1) pour le point frontière Ut considéré. Cependant, ce choix influe considérablement snI' certaines constructions dans la démonstration des théorèmes, d'où une grande complication de l'exposé. Aussi, pour éviter cet arbi- traire, allons-nous fixer pour chaque point frontière Ut E U un des systènles possibles de fonctions (1) et dans la suite nous parlerons des fonctions (1) pour le point Ut étant entendu que ces fonctions repré- sentent le système en question. On appellera classe de commandes admissibles l'ensemble de tous les vecteurs fonctions u (t) === (u l (t), . . ., 11/ (t)) continus par
232 PROCESSUS AVEC CONTRAINTES SUR LES COORDONNÉES [Ch. 6 morceaux et continûment différentiables par morceaux (à discontinuité du premier ordre) et définis sur un intervalle arbitraire t o t t f (un pour chaque fonction) et à valeurs dans le domaine U. Si à l'instant t' la commande subit une discontinuité alors l'enscJnble U doit contenir les deux points u (t' - 0) et u (t' + 0). Comme dans le chapitre 1, à l'instant de discontinuité, nous prendrons la limite à g a u che pour la commande optinlale et sa dérivée. Soit dans l'espace de phase X de dinlension n engendré par la variable x == (Xl, . . ., x n ) un fermé B de bord continûment diffé- rentiable, défini au voisinage de son bord par l'inégalité g (x) == g (Xl, . . ., x n ) 0, où g (x) est une fonction scalaire définie et admettant des dérivées partielles du deuxième ordre continues au voisinage de la froutière g (x) == 0, le vecteur Qg (x) ( âg âg ) QX === grad g (x) == âxl '...' QX n étant non nul en tout point du bord. Donc le bord du domaine B est une hypersurface de l'espace X de courbure continue. Le cas, important pour les applications, où le domaine B admet un bord continûment différentiable par lllorceaux't est examiné plus bas (voir page 275). Enoncé du problème Soient les fonctions scalaires réelles fO (x, u), fi (x, u), i == 1, ., n, continues et continûment différentiables par rapport à l'ensemble des coordonnées des vecteurs x et u, sur le produit direct B* X U*::) B X U, où B* et U* sont des ouverts de X et Er' contenant respectivement B et U. Comme au chapitre 1, l'équation du lnouvement du point repré- sentatif est de la forme dx dl == f (x, u), (4) où f (x, u) == (f1 (x, u), . . ., fn (x, u)). Soit le problème suivant. Etant donnés dans l'espace X deux points Xo et Xi appartenant au fermé B, parmi toutes les cOlnmandes admissibles transférant le point représentatif de Xo en Xi de telle sorte que la trajectoire de phase correspondante x (t) soit entière- ment contenue dans le fermé B, on demande de trouver celle notée u (t), t o t t i , qui minilnise la fonctionnelle il ) fO (x (t), u (t)) dt. to
31.] POSITION DU PROBLÈME 233 En vue d'énoncer notre problème optimal (cf. page 16) sous une- autre forme (équivalente), introduisons l'espace X de dinlension n + 1 engendré par la variable X - ( ° 1 n ) _ ( ° ) - x, x , . . ., x - x, x , où x == (Xl, . . ., X n ) EX. 'route fonction F (x) vectorielle Oll scalaire de la variable x E X peut, de toute évidence, être considérée comme une fonction de l'ar- gument x == (XO, x) EX, si l'on pose F (x) == F (XO, x) == F (x) ; nous utiliserons constamment cette circonstance dans la suite. Comme dans le chapitre 1, introduisons le vecteur j" (x, u) == f (x, u) == (1° (x, u), Il (x, u), . . ., III (x, u)) = == (1° (x, u), f (x, u)) Reillarquons que la fonction j (x, u) ne dépend pas de la coordon- née xo. Désignons par G le produit direct du fermé B par l'axe xo. Le- dOlllaine G tout comille le domaine B est défini au voisinage de son bord par l'inégalité g (x) == g (XO, x) == g (x) o. Elle adillet un bord de dimension n continûment différentiable' g (x) == 0 à courbure continue, le vecteur âg (x) ( 8g âg âg ) âx == grad g (x) == iJxO ' âxl '...' âx n == = (0, :;1 ' ..., an ) = (0, grad g (x)) ne s'annulant en aucun point du bord du domaine G. Soit dans l'espace X l'équation dx dt=!(x, u), (5) qUI résulte de l'équation (4) et la relation dxO 0 ([t==1 (x, u). Ces notations introduites, énonçons notre problènle optinlal sous. une forme équivalente. On demande de choisir une commande ad- missible u (t), t o t t 1 , de telle sorte que l'extrémité x (t 1 ) de la trajectoire correspondante x (t) de l'équation (5) qui satisfait à la
234 PROCESSUS AYEC CONTRAINTES SUR LES COORDONNÉES lCh. () condition initiale x (t O ) == (0, xo) soit située sur une droite IIe X passant par le point (0, Xi) et parallè- le à l'axe xo, et aussi que la trajectoire x (t), t o t t 1 , soit entière- lnent contenue dans le ferlné G, la coordonnée XO (t 1 ) prenant sa valeur nlinimale. Dans la suite nous utiliserons de préférence la seconde fornlula- tion du problènle. Les cOlnmandes et les trajectoires satisfaisant à toutes ces condi- tions seront appelées optimales. Reillarques Dans le chapitre 1, nous avons qualifié les cOllllllandes continues par morceaux de « commandes sans inertie » puisque en cas de besoin lIne telle commande peut instantanément sauter d'une valeur à une autre. Cependant, dans de nombreux cas les « gouvernails » possè- dent une certaine inertie et par conséquent parmi les fonctions u l (t), . . ., ur (t) il Y en aura (peut-être même toutes) qui seront continues avec leurs dérivées jusqu'à un certain ordre. Les problèmes optimaux à commandes inertielles se ramènent aisénlent au problème optimal énoncé plus haut. Soient, par exemple, des cOllllnandes admissibles continues et continûment dérivables dont les dérivées sont limitées en module par lIne même constante, disons l'unité, et supposons que le domaine de comlnande U est un fermé de bord continûment différentiable. Pour plus de simplicité, suppo- sons que le domaine de variation du point représentatif x coïncide avec l'espace X tout entier. Prenons le paramètre u pour variable de phase et la dérivée de u pour paramètre de comillande. L'équation du mouvelllent (4) est alors remplacée dans l'espace de phase X de dimension Il par le système: dx ([t==t(x, u) du ([t== v ,dans l'espace de phase X X Er de dimension n -1- r, où v == (VI, . . ., ur) est une commande continue par morceaux (sans inertie) dont le domaine de définition est un cube unitaire r-dimensionnel 1 Vi 1 1, i == 1, . . ., r, le point représentatif (x, u) parcourant le produit direct X X U. Soulignons encore que le principe du nlaximum est valable pour les trajectoires optÎ111ales qui sont situées à l'i TI t é rie 11 r
. 32.J TRAJECTOIRES OPTIMALES SITUÉES SUR LE BORD 235 d'u n n 0 y a u 0 u ver t de G à l'exception des extrémités qui son t si tuées sur le bord de ce dOlllaine. Supposons que les extrémités x (t o ) et x (t 1 ) de la trajectoire opti- Inale (t), t o t t 1 , sont situées sur le bord g (x) == O. Alors, la portion de trajectoire définie pour t o + 't t t 1 - 't, 'L > O est entièrement contenue dans un noyau ouvert du domaine G et par suite il existe une fonction 'PL (t), t o + 't t t 1 - 'ta satisfaisant aux conditions du principe du maxilllum (théorème 1) sur la portion ; (t) correspondant à t o + 'L t t 1 - 'L. On peut considérer que le vecteur 'PL (t o + 't) admet l'unité pour longueur. Une boule unitaire de tout espace vectoriel de dilnension fini étant co 111 pacte, on peut choisir une suite de nombres positifs 'Ll, T 2' . . ., 'tb . . ., convergeant vers 0 telle que la suite des vecteurs '1''(. (t o + 'Li), i == 1, 2, . . ., admette 'Po pour limite. Il est évident l que la fonction 'P (t), t o t t 1 , correspondant à la trajectoire x (t) et satisfaisant à la condition initiale 'P (t o ) == 'Po entre t o et t 1 , est la liulite des fonctions,!,,,. (t), i==1, 2, ...; c'est donc la fonc- l tion cherchée. 32. Trajectoires optimales situées sur le bord du domaine Le théorèllle 22 qui est formulé dans ce paragraphe fournit un systènle complet de conditions nécessaires que doit satisfaire toute trajectoire optimale régulière située entièrement sur le bord continÜ- lllent différentiable g (x) == 0 du domaine G. La nécessité de se limiter aux trajectoires régulières qui seront définies plus bas résulte non pas de l'insuffisance de la méthode de démonstration du théorème 22, mais du fond du problèllle. En effet, lorsqu'on déduit les conditions nécessaires auxquelles doit satisfaire une trajectoire optimale, il faut comparer cette dernière aux autres trajectoires optimales satisfaisant aux mêmes conditions aux limites, i.e. inclure (au llloyen d'une méthode de variations dÜment choisie) cotte trajectoire optimale dans une famille « suffisamment riche » de trajectoires voisines contenues dans G. Il n'est guère difficile de citer un exemple de trajectoire optimale située sur le bord de G dont t 0 u t e variation déborde le domaine G et pour laquelle le théorènle 22 ne soit pas vrai. Ce t te circonstance exceptionnelle n'a pas lieu si la trajec toire étudiée est régulière. Plus exacte;ment, on démontrera ici que par des variations adéquates de la commande, toute trajectoire optimale peut être incluse dans une famille suffisamment riche de trajectoires si tuées clans le ferlué G.
236 PROCESSUS AVEC CONTRAINTES SUR LES COORDONNÉES [Ch. 6 Définitions fondamentales Posons n 1 p(x, u)== ag(x) ja(x, u)= L.J axa a=O n == ag (x) fa ( X, U ) === ( ag (x) ,j"(x, u) ) , L.J axa ax } ( G ) a=l a p u) = ( ::0 ' : ' ..., ::n ) = ( 0, : ' ..., ::'1 ) , ap (x, u) _ ( .!L ) au -- au I '...' au r · Pour que la trajectoire x (t), t o t t 17 de l'équation (5) corres- pondant à la commande u (t) soit entièrement située sur le bord g (x) = 0, il est de toute évidence nécessaire et suffisant que soient vérifiées les égali tés g (x (t o )) = 0, P (x (t), u (t)) == 0, t o t t 1 , dont la première affirme que le point de départ de la trajeetoire appartient au bord du domaine G, la seconde, que la vitesse de phase du point représentatif qui se déplace sur la trajectoire est à tout instant tangente au bord. Un point x E X sera appelé régulier relativement au point Ut E [J SI sont renlplies les conditions suivantes: 1) p (x, Ut) === 0; 2 ) ap (x, u1) =f= O. au ' 3) si Ut est un point frontière de l'ensemble U et qi (u), i == = 1, . . ., s, sont les fonctions (1) pour le poin t Ut, alors les vec t enrs ap (x, Ut) aq! (Ut) aqs (Ut) au au' . · ., Du, (7) sont linéairement indépendants. Examinons le sens géométrique de la condition 3). Tout d'abord, il est clair que la con di tion 2) peut être considérée comme un cas particulier de la condition 3) en faisant dans cettE dernière s === 0, lorsque U1 est un point intérieur à l'ensen1ble u. Ce que d'ailleurs nous admettrons dans la sui te. Les vecteurs (7) étant indépendants, il s'ensuit que 1'« arête » (3) continûmeHt différentiable de dilnension r--s du bord de U est situéü dans le cas général au point U1 avec une hypersurface de dilnension r-1 définie au voisinage de ce point par l'équation p (x, u):=-= O. Doue
32.] TRAJECTOIRES OPTIMALES SITUÉES SUR LE BORD 237 s r - 1; en d'autres termes, Ut ne peut être un sommet du bord de U en lequel concourent r faces distinctes de dimension r - 1. Soulignons encore le fait évident que la notion de régularité du point x relativement à Ut ne dépend pas du choix des fonctions (1) définies pour le point Ut. Désignons par û) (x) l'ensemble des points U E U relativement auxquels le point x est régulier. L'ensemble û) (x) c U peut bien entendu être vide. Nous dirons que la trajectoire x (t), to ttb de l'équation (5) correspondant à la cOlnmande U (t) et entièrement située sur le bord de G est régulière si U (t) E û) (x (t)) en chaque point t de continuité de la cornmande u (t) et si u (t - O).E û) (x (t)), U (t + 0) E û) (x (t)), lorsque t est un point de discontinuité de la commande u (t). Définissons pour les points x situés sur le bord de G et tels que û) (x) =1= <p, la grandeur m ('l', x) au moyen de l'égalité m ('l', x) == sup Jïli( 'l', x, u), ltE(ù (x) " ou, COJllme auparavant, n OJC ('l', x, u) == 2i 'l'a fa (x, u) == ('1', f(x, u)). a=O Si le point x est lIn point régulier du bord g (x) == 0 relativement .au point u E U, et si pour un certain vecteur", on a QJ8 ('1', x, u) == m ("i', x), alors, d'après la règle des multiplicateurs de Lagrange, il existe des nombres réels À, "t, . . ., v s tels que s 8QfO ('\l', x, u) == Â 8p (x, u) + v 8qa (u) 8u au..w ex ôu ' ex=1 (8) où qi (u), i == 1, . . ., s, sont les fonctions (1) définies pour le point u, et le vecteur a;: est défini par la formule 8Q1t ( 8Qfe 80J0 ) -au == 8u I '... , 8u T · Introduisons les notations suivantes: 8QJe ('\l', x, u) _ ( 8Q1t 80J0 8QJe ) _ ( 0 aQJO 8x - 8x O ' 8xI'...' ax n - , 8x I ' ..., aQJe ('\(?, x, u) _ ( 80J0 8QJO 8QJO ) - f( ) 8'\(? - a,po' a,p 1 ' ..., iJtpn - x, u · 8QJO ) 8x n ,
238 PROCESSUS A VEC CO'TRAINTES SUR LES COORDONNÉES [Ch. (). âQff ( 'th X U ) iJ I ') ( X U ) , Observons q ue les vecteurs - 't" , , ne de p endent âu ' iJu pas du choix des fonctions qi (u), i == 1, . . ., s. D'autre part, le s "1 âqa (u) 1 .. d ()Qff l vecteur L.J Va âu est a prOjectIon u vecteur iJu sur un p an a=l tangen t à l'arête (3) de dimension r - s, sens qui est égalelnen t invariant par rapport au choix des fonctions qi (u). Le facteur Î de la formule (8) ne dépend donc pas du choix des fonctions qi (u). Si u est un point intérieur à l'ensemble U, i.e. s == 0, alors il résulte de (8) que les vecteurs o, , op x, u) sont colinéaires. (jU u Thé 0 r è fi e 22. Soit x (t), t o t t 1 , une trajectoire o]Jtima- le régulière de l'équation (5) entièrement située sur le bord de G et cor- respondant à une commande optimale u (t). Il existe alors un vecteur jonction", (t) == ('Po (t), . . ., 'Pn (t)), to t t 1 , continu et une- jonction scalaire À (t), t 0 t t 1 , continue par morceaux et conti- nûment dérivable par morceaux tels que sur l'intervalle t o t i 1 soient vérifiées les égalités (9), (10), (11) et les conditions a), b), c) suivantes: dx == â QlfJ ('i', x, u) == J . ( ) dt â'i' - x, u , d1J' = _ f)&e ('\l', x, u) +  ( t) âp (x, u) dt 8x 8x ' 8[('i'(t), x(t), u(t))==m('i' (t), x(t))==O, (8) (10) (1 t) où À (t) est définie à partir de la condition de nlaximum (11) comlne un multiplicateur de Lagrange du vecteur op :' u) dans la formule (8) ; a) la coordonnée 'Po (t) == const 0 ; b) le vecteur '1' (t o ) est non nul et tangent en x (t o ) au bord g (;) == == 0; c) en tous les points de dérivabilité de la jonction  (t) le vecteur d ( t ) dt grad g (x (t)) soit est orienté vers l' intérieur du domaine G, soit est nul ( Le. d?) 0 ) . Faisons quelques remarques importantes pour expliquer le sens des conditions a), b)' et c). Rem a r que 1. L'égalité 'Po (t) == const résulte de ce que le second membre de l'équation (10) n'est pas fonction de la coor- donnée x O . Les équations (9), (10), (11) et la condition a) sont analogues au principe du maximum. Les conditions b) et c), propres au cas étudié, feront l'objet des remarques 4 et 5.
32.1 TRAJECTOIRES OPTIMALES SITUÉES SUR LE BORD 239 Rem a r que 2. De la condition de maximum il découle immédiatement que l'intervalle t o t t 1 peut être subdivisé par les points t o == 'to < 'tl < · . . < 'th < 'tk+l == t 1 de telle sorte que sur l'intervalle Li t 'ti+l, i == 0, 1, .. ., k, soit vérifiée l' éga- lité ".. S (i) acïC ('\1' (t), x (t), u (t)) = À ( t ) ap (œ (t), u (t)) l "" v(i) ( t ) aqa (u (t) au au -r-.LJ a au' a=l où q1i) , . . ., qi), S 0, sont les fonctions (1) définies pour le point. U (Li + 0) et vi) (t), . . ., vi) (t) des fonctions arbitraires. Cette égalité est équivalente sur l'intervalle considéré à un systè- me de r équations linéaires en À, vii), . . ., v1 i ) (8 + 1 r) à coeffi- cients continus par 1110rCeaux, continûment dérivables par morceaux et à termes libres, dont la nlatrice est de rang 8 + 1. La fonction À (t) peut donc sur l'intervalle t o t t 1 tout entier être mise sous la forme n  (t) == ); )a (/) a CG (t) == ('i' (t), ft (t)). (12) CG=o où a (t) == (aO (t), . . ., an (t)) est un vecteur fonclion continu par 1110rceaux et continûment dérivable par morceaux. Rem a r que 3. Jes équations (9), (10), (11) se transforment en identité si 'i' (t) == 0, À == 0, t o t t 1 . Nlontrons que si '" (t o ) =1= 0, alors", (t) =1= 0, t o t t 1 , et in- versement, de 'i' (t o ) == 0, il résulte que '" (t) == 0, t o t t 1 . En effet, en portant l'expression (12) dans l'équation (10), nous obtenons une équation différentielle ordinaire, linéaire et homogène en '\ (t) qui vérifie le théorème d'unicité, d'où notre assertion. Rem a r que 4. Pour expliquer le sens de la condition b), remarquons que le système (9), (10), (11) admet toujours, outre les solutions u (t), x (t), 'i' (t) == 0 et À (t) == 0, encore une solution tri viale qui est u (t), x (t), '\ (t) == v gr ad g (x (t)), À (t) == v, où v est un nombre arbi traire. Ce qu'on constate aussitôt après substi tution. Il est également aisé de vérifier que si u (t), x (t), '" (t), À (t) (13) est solution du système (9), (10), (11), alors u (t), x (t), 'i' (t) + v grad g (x (t)), À (t) + v, est solution où v est un nombre arbitraire. En ajoutant donc aux fonctions", (t), À (t) figurant dans la solu- tion (13) des menlbres de la forme v grad g (x (t)), v, nous pouvons
240 PROCESSUS AVEC CONTRAINTES sun LES COORDONNÉES [ Ch . 6 toujours faire en sorte que la valeur initiale 'i' (t o ) + v grad g (x (t o )) soit contenue par un plan tangent en x (t o ) au bord g (x) === o. Si cette valeur initiale est nulle, alors la solution initiale est triviale, puisqu'en vertu de la renlarque (3) on peut affirmer que 'i' (t) === -v grad g (x (t)),  (t) == -v. La non-trivialité des solutions du systènle (9), (10), (11) découle donc de la condition b). De ce qui précède, il s'ensuit que la condition b) est équivalente à la condition de non-colinéarité des vecteurs '1' (t o ) et grad g (x (t o )). Rem a r que 5. La condition c) résulte du fait que lorsqu'elle varie, la trajectoire x (t) est comparée non seulenlenl aux trajectoires voisines qui sont situées avec elle sur le bord g (;) === 0, mais aussi à toutes les trajectoires proches contenues dans le donlaine fer- mé G. La démonstration du théorème 22 est donnée dans les deux para- graphes qui suivent. 33. Démonstration du théorème 22 (constructions fondamentales) Notations Introduisons la notation al _ ( aj'i ) au - auj , i === 0, 1, ..., n, j === 1, ..., r, et considérons cette nlatrice comme un opérateur de l'espace .E r engendré par les vecteurs Il === (u l , . . ., ur) dans l'espace .LY engendré par les vecteurs x === (X O , Xl, . . ., x n ) et simultanément comme un opérateur de l'espace engendré par les vecteurs '1' === (rtpo, · · ., 'Pn) dans l'espace Er: r r ar al ( afo u === --ex ua === ---a ua, ..., vU au au a=l a=1 r 'Ç1 a ) L.J aU' au a=l n n al (x, u) ,,1"1 === ( 'Ç1 a fa '1 h 'Ç1 a ta '1 h ) _ a éfO ('1', x, u) au 't' L.J au l 'fa, .. ., L.J aur 'fa - au · a=O a=O Soit A === (Âo, . . .,  n ) un vecteur de X. Les matrices A a p ':' u) = ( p} a p (œ., u) ) , i, j === 0, 1, ..., n, x ax J A a p x, u) = ( ÎI} a p (œ: U» ) , i === 0, 1, ..., n, j =-= 1, ..., r, u au J
33.] DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 22 241 seront également considérées comme des opérateurs agissant sur les vecteurs 'tJ', X, u comme suit: n A a p 1'11'1 = ap ( A 111'1 ) ===!!.l!... Â,a'lh ax 'Y ôx ' 'Y ôx LJ 't'a, a=O ) n A a p x === A ( a p X ) === A a P xa l ax ax ' LJ axa ' f <x=o (14) r A ap u==A ( fJp U ) ===A .!Lua. âu au ' L..l au<x J a=l Dans ce paragraphe x (t), t o t t 1 , est une trajectoire régulière quelconque de l'équation (5), correspondant à la commande u (t) et située sur le bord g (x) === 0 du domaine G. Dans le 34 nous supposerons en outre que u (t) et x (t) sont optimales. Con s t r u c t ion deI a f 0 net ion R (x, u, f-t) Construisons maintenant la fonction scalaire R (x, u, p.) qui jouera un rôle fondamental dans la démonstration du théorème 22. Fixons 8 points Î1 i === 1, . . ., 8 (8)0), sur la trajectoire x (t) tels qu'aucun d'entre eux ne soit confondu avec l'extrémité x (t 1 ) de la trajectoire x (t); les égalités i = x (t o ) et i = j étant possibles pour i =1= j. Désignons par Ni un vecteur non tangent en i au bord g (x) = 0 et orienté vers l'extérieur du domaine G; pour le reste le vecteur Ni est arbitraire. Le domaine G étant défini au voisinage de son bord par l'inégalité g (x) 0, on a (grad g (i)' Ni) > O. Soit O. un voisinage suffisamment petit du point i dans X, z tel que son adhérence ne contienne aucun point x (t 1 ); l'unique condition supplémentaire à laquelle doit satisfaire le voisinage O. z est que pour i =1= x (t o ) son adhérence ne renferme pas non plus le point x (t o ). La «petitesse » de ce voisinage implique que le produit scalaire ( ag (x) ) ax ' Ni> C > 0 (15) pour x E O., i === 1, . . ., s. l Désignons par ai (x) une fonction scalaire continue et dérivable, satisfaisant aux conditions ai (x) === 1 dans un certain voisinage du point i contenu dans O. ,ai (x) > 0 pour x E O., et ai (x) === 0 l l si x E O.. l 16-01339
242 PROCESSUS AVEC COTRAINTES SUR LES COORDONNÉES [Ch. t> Soit la fonction scalaire s h (x, t) == g (x + f-t aa (x) 1a), a=1 (16) où f-t est un paramètre scalaire. La fonction h (x, f-t) dépend, de toute évidence, du choix des éléments ai (x) et Ni qui ont participé à sa construction. Si f-t 0 est suffisamment petit et si le point x qui est situé à proximité du bord du domaine G, vérifie l'équation h (x, f-t) == 0, alors x E G; si, en outre, x n'appartient pas à la réunion des voisina- ges Oi ou si f-t = 0, alors x est situé sur le bord g (x) == O. Si x n'appartient pas à la réunion des voisinages O., i == 1, . . ., S, l ou si f-t = 0, alors h (x, f-t) == g (x) == 0 et l'assertion est vraie. Supposons que x E O.. Alors l s h (x, /--t) = g ( x + /--t aa (x) Na) = a=1 s = g (x) + Il. ( ag ax (x) , (X) ",l ) + ( ) 0 r .L.J aa ..J... T a 0 t = . a=1 Or pour f-t suffisamment petit, on a, en vertu de (15), s ( 8g (x) I-t ax' aa (x) Na ) + 0 (/--t) > 0, a=1 et, par conséquent, g (x) < o. Dans la suite le paramètre f-t prendra des valeurs proches de zéro de la forme ëÔf1, où ë a le même sens que dans le chapitre 2 et ô!-1 est un nombre non négatif. Dans la définition de la fonction h (x, eÔf-t) figurent les points i' . . ., s, les fonctions a1 (x), . . . . . ., as (x), les vecteurs 1'7 1 , . . ., Ts et le nOlnbre ôf1. Désignons l'ensemble de ces grandeurs par le symbole o = {i' ai (x), Ni' Ôf-t}. (17) Pour indiquer que la fonction h (x, ëÔf-t) dépend de ces grandeurs, nous la désignerons dorénavant par hfJ (x, ëÔf-t). Soient Di et v 2 deux symboles de la forme (17); écrivons-les sous la forme: 01 = {b ai (x), Ni, Ôf1}, i = 1, . . ., S1, b 2 = {h ai (x), Ni' Ôf-t}, i = S1 + 1, · · ., S1 + S2.
33.J DÉMONSTRATION DU THÉORÈl\IE 22 243 Le symbole v === {h ai (x), T h ô}, i == 1, . . .. Si -t- S2' sera appelé somme des symboles Vi et V z et noté v == Vi + v z . Le produit du symbole V ={h ai (x), Th ô} par un nombre arbitraire non n é g a tif  sera défini à l'aide de la formule Ào =={h ai (x), N h ÀÔ}, i.e. les points h les fonctions ai (x) et les vecteurs -ri ne changent pas tandis que le nombre ô est multiplié par Â. Si donc v' et '6" sont deux symboles de la forme (17) et Â' et Â" deux nombres arbitraires non négatifs, alors est défini le syn1bole )}v' + À"v". Définissons la fonction R (x, u, êÔ), qui dépend du choix du symbole (17) , au moyen de l' égali té n R ( 5::. ) _ ah (x, ëÔp,) f a ( ) _ ( ah (x, ëÔl) f( )) (18) x, Li, êu L - x, u - a ' x, u axa x CG=o (Le. R (x, u, /OÔ!!) est la dérivée dh (x à /l)f1) en vertu de l'équation (5». De (16) il vient, pour ô = 0, ( 8g (x). ) R (x, u, 0) == 8x ' J (x, u) == p (x, u). (19) Pour souligner que la fonction R (x, u, êÔ) dépend du choix du symbole (17), nous la désignerons aussi par Rb: 8h b (x, êÔl) " RfJ (x, u, /OÔ!!) = ( 8x ' f (x, u) ) · (20) Supposons que les fonctions v (t) et 1/ (t), t o t t 1 , où v (t) est une commande admissible et 1/ (t) une fonction continue (pas. forcément contenue dans le domaine G), satisfassent pour certains B üt ô au système dU j " ( ) dt = !l, v , } R (y, v, êÔ) === o. (21) Dans la suite, lorsqu'il sera question des solutions v (t) et 1/ (t) de ce système, nous supposerons toujours que v (t) est une commande admissible et '// (t) une fonction continue. 1 Si '1/ (t) est suffisamment proche de x (t) et si h (1/ (t o ), êÔ) == 0,. alors 1/ (t) E G quel que soi t t puisque , d di h (y (t), êÔ) = R (y (t), v (t), êÔL) == 0 16*-
244 PROCESSUS AVEC CON'rRAIN'rES SUR LES COORDONNÉES [Ch. 6 -et par conséquent h (1/ (t), ëÔ) == h (!I (t o ), ëÔ) === o. La commande u (t) et la trajectoire x (t) vérifient le système (21) pour ô = o. Plus bas nous décrirons une méthode qui nous permet, par la donnée d'un point initial de la forme y (8) == c (8) + ëÔXa + 0 (ë), t o 8 t i , (22) Ide construire une solution v (t), y (t), 8 t t i , du système (21) de la forme v (t) == u (t) + ëÔU (t) + 0 (ë), Y (t) == x (t) + ëÔX (t) + 0 (ë), (23) (24) où ôu (t) est une fonction continue par morceaux et continÎlment dérivable par morceaux et ôx (t) une fonction continue. . Comme no'us l'avons vu plus haut, si la valeur initiale (22) est solution de l'équation h (y (8), ëÔl1) === 0, alors la trajectoire 1/ (t), 8 t t 1 , est contenue toute entière dans le fermé G. Les portions de trajectoire qui n'appartiennent pas à la réunion des voisinages Oi qui ont participé à la définition de la fonction h (11, ëÔl1) sont situées sur le bord g (x) === 0; si, au contraire, 1/ (t) E O., alors 11 (t) l .appartient à un noyau ouvert du domaine G. Il importe, en conclusion, de souligner que la formule (21) définit non pas un, mais toute une famille de systèmes en fonction du choix ,des symboles b (voir (17)). Rés 0 1 u t ion dus y s t è ID e (21) par 1 a d 0 Il née d'u n e val e uri nit i ale dei a for n1 e (22) Subdivisons l'intervalle t o t t i en intervalles partiels Li t 'T i+ 1, i === 0, 1, . . ., k, de longueur suffisamment petite où t o === LO < Li < · · · < Lh < Lk+l === tl- Choisissons les points Li de telle sorte qu'ils con tiennen t tous les points de discontinuité de la commande et de sa dérivée. La (< peti- tesse )} des intervalles partiels est caractérisée par la condition de validité de toutes les constructions décrites plus bas. Il découlera immédiatement de la régularité de la trajectoire x (t) que le choix des points de subdivision (qui bien sûr n'est pas unique) est possible. Supposons que la solution v (t), 1/ (t) du système (21) qui peut se représenter sous les formes (23), (24) et qui satisfait à la condition initiale (22), a déjà été construite sur l'intervalle 8 t Li. Pro- longeons cette solution jusqu'au point Li+1 incl us en conservant la
33. DÉMONSTRATION DU THÉOREl\IE 22 245 eontinuité de la trajectoire '11 (t) et les propriétés exprimées par les égali tés (23), (24). Soient qi (u), i == 1, . . ., s (s 0), les fonctions (1) définies pour le point u ("Ci + 0). De (19) et de la régularité de la trajectoire x (t), il résulte que les vecteurs aR (œ (Li)' u (Li +0), EÔl) au ôq1(U(Li+0)) ôu . . . , aqs (u (Ti + 0)) au sont linéairement indépendants. Les intervalles Ti t Ti+l étant petits, les vecteurs aR (œ (t), u (t), EÔJ.!) au aq! (u(t» au . . . , aqs(u(t)) ôu sont aussi linéairement indépendants sur l'intervalle Li < t 'Li+l. Supposons, par exemple, ôR ôQl ôQs au l âu l au l ::F O. (25) ôR aQ1 ôqs ôu s + l ôu s + l au s + l Au VOIsInage des valeurs 'fi' u (Ti + 0), x ('Li), ëÔ = 0, le- système d'équations R (y, V, EÔ) == 0'1 (v, t) = . . . = O's (v, t) = 0, (26) où O'i (v, t) == qi (v) - qi (u (t», i == 1, . . ., s, admet donc une solution univoque par rapport aux s+ 1 variables Vi, . . ., v S + 1 : . . ( S+2 r ,fi.:. ) · 1 1 27 ) v7. === 117. y, v ,..., v , Eull, t, "t === , ..., s +, ( où l1 i , i == 1, . . ., s + 1, sont des fonctions continûment dérivables par rapport à leurs arguments. En remplaçant dans (27) V S + 2 , . . ., v r respectivement par U S + 2 (t), . . ., ur (t), nous obtenons s + 1 fonctions t}i (y, ëÔt, t), i = 1, . . ., s + 1. Définissons maintenant le vecteur fonction v (1/, BÔ, t) au moyen de l'égalité v (y, ëÔ, t}=== (t}1 (!/, ëôll, t), ..., t}S+l (y, ëa, t), u S + 2 (t), ..., ur (t»). (28) Portons, enfin, l'expression (28) de v dans l'équation dy j " ( ) ([t== y,v. Si désormais on résout cette équation différentielle sur l'intervalle Li t Li+l, mais avec les conditions initiales 1/ (Li), on obtient le prolongement de la solution. y (t).
246 PROCESSUS AVEC CONTRAINTES SUR LES COORDONNÉES [Ch. 6 Le prolongement de la comnlande v (t) sur l'intervalle 'Ti < t 'Ti+l est la fonction v (t) == v (y (t), ëÔ Il, t), 'T i < t 'T i +b (29) .qui s'obtient en relnplaçant dans (28) 'u par le prolongelnent I!/ (t), Li < t 'Ti+l. Les propriétés exprimées par les égalités (23) et (24) sont immé- diates pour les prolongements obtenus. L'admissibilité de la com- mande (29) découle des égalités (26). En effet, quel que soit i == 1, . . . . . ., s, on a cr i (v (t), t) == q i (v (t)) - q i (u (t)) == 0, 1.e. qi (v (t)) == qi (u (t)) 0, 'Ti < t <- 'Ti+1. Rem a r que. La construction décrite plus haut définit la solution du système (21) par la donnée de la condition initiale (22) d'une manière non univoque puisque le choix des points de subdivi- sion Li, i == 1, . . ., k de même d'ailleurs que celui des s + 1 variables Vi par rapport auxquelles est résolu le système (26) n'est pas llnivoque. Toutefois, il est aisé de voir qu'il est possible de lever cette non- univocité en fixant pour une commande donnée u (t) et une trajectoire régulière x (t), t o t t 1 aussi bien les points de subdivision Li que les s + 1 variables (pour chaque intervalle 'Ti t Li+1) par rapport auxquelles est résolu le système (26). Ensuite, la solution v (t), y (t) du système (21) peut être construite par la méthode stan- dard en se donnant la valeur initiale (22). Cette standardisation sera supposée réalisée dans toutes les constructions de ce paragraphe qui feront appel à la méthode exposée. Equations aux variations pour 1 e s y s t è m e (21) Supposons que v (t), y (t), e t t 1 , est une solutioll du systè- me (21) construite d'après la méthode précédemment exposée et satisfaisant à la condition initiale (22) . Nous allons prouver que ln terlne principal de l'accroissement 1/ (t) - x (t) ou, ce qui est équiva- lent, que le vecteur fonction ôx (t), e t t 17 est univoquement défini par le terme principal du déplacement initial (i.e. par le vec- teur ôXo) et vérifie une équation différentielle linéaire (voir équa- tion (35)) avec la condition initiale ôXo. Pour cela, démontrons tout d'abord qu'il existe un vecteur fonction A (t) == (ÂP (t), . . ., Îvn (t))
33.] DÉMONSTRATION DU THÉORÈ:IYIE 22 247 continu par morceaux et continûment dérivable par morceaux, défini sur l'intervalle t o t t 1 tout entier et dépendant unique- ment de u (t) et x (t) (et ne dépendant pas, par conséquent, de la forme de la fonction R) tel que le terme (en B) ôu (t) de la différence v (t) - u (t) satisfasse sur l'intervalle e t t 1 à l'équation [ ÔI (x u (t)) + A (t) ôp (x u (t» ] ôu (t) = O. (30) Le fai t que j\ (t), t o t t f , ne dépend ni de v (t) ni de R sera im- portant dans la suite. En vue de démontrer l'existence de cette fonction, supposons qu'elle a déjà été construite sur l'intervalle t o t 'th i? 0, et définissons-la sur les intervalles 'Li < t 'Ti+1, les points 'Lh i = == 1, . . ., k, étant choisis comme précédemment. Supposons que le système (26) a été résolu sur l'intervalle Li < < t Li+l par rapport, par exemple, aux s + 1 premières variables 1 s +1 Al h . 0 1 d ' f . · v, . . ., v . ors, pour caque ] == , ,..., n e Inlssons sur ct intervalle s + 1 fonctions continues et continÎlment dérivables J../ (t), l (t), == 1, . . ., s, comme solution du système linéaire non h01110gène: ôl j (x (t), u (t» _1_ J,./ (t) ôp (x (t), u (t») + Ou/Y.. 1 8u a 1 s -1- L l (t) Ôq/3ôa(t» = O. lX = 1, 2, ..., s + 1, (31) 13=1 OÙ q1 (u), . . ., qs (u) sont les fonctions (1) pour le point u (Li + 0). (L'indice fX affectant les équations (31) parcourt s + 1 valeurs correspondant aux numéros des variables va par rapport auxquelles est résolu le système (26) sur l'intervalle 'Li < t 'Ti+1; ici a == == 1, . . ., s + 1.) Le système (31) est résoluble puisque son déterminant coïncide avec le déterminant (25) pour BÔ == o. Le yecteur fonction (ÂP (t), . . ., 1-v n (t)), 'Ti < t 'Li+1, n'est autre que le prolongement cherché. L'indépendance de la fonction A (t) par rapport à la fonction R résulte de l'indépendance par rapport à R de la matrice constituée avec les coefficients et les ternles libres du système (31), j == 0, '1, . . ., n. Prouvons maintenant la formule (30) pour l'intervalle 'Li < t 'Ti+1, e 'Ti. Sur cet intervalle la fonction (23) est de la forme v (t) == u (t) + ëÔU (t) + 0 (ë), où ôu (t) === (ôu 1 (t), ..., ÔU S + 1 (t), 0, ..., 0), (32)
248 PROCESSUS AVEC CONTRAINTES SUR LES COORDONNÉES [ Ch. 6 puisque V S + 2 (t) === U S + 2 (t), ..., V r (t) = u/ (t). En multipliant donc l'égalité (31) par ôu a et en sommant les expressions obtenues en a = 1, 2, . . ., s + 1, il vient s+ 1. S ( +Âj.!.L+ Z ôql3 ) ôua= Lj au a Oua Lj au a a=1 (3=1 $ = ( afj -Lj ap + Z j ôQI3 ) ôu === O 0 1 (33) ôu 1 au L.J (3 au ' i === , , ..., n. (3=1 Définissons le vecteur fonction LB (t) au moyen des égalités LB (t) === ( Z (t), ..., Z (t)), = 1, ..., s et Inettons l' égali té (33) sous la forme S ( ; +A (t) : + Lr3{t) aa q : ) ôu(t)=O. (34) (3=1 En vertu de (26), la fonction v (t) = u (t) + eôu (t) + 0 (e) vérifie les égalités (a = 1, . . ., s): Ua (v (t), t) === Ua (u (t) + eôu (t) + 0 (8), t) === = Ga (U (t), t) + 8 ( aO' a , (v(t), t) , ÔU (t) ) + 0 (8) = O. Or Œ a (U (t), t) === qa (U (t)) -qa, (U (t)) = 0, ô(Ja (u (t), t) _ aqa (u (t» av - au par sui te ( a q a (u (t» ) au ,ôu(t) = 0, a='l, ..., s, ,et l'expression (34) se ramène à l' égali té ( : +A (t) :: ) ôu(t)=O, 'ti<t'ti+1' ce qui démontre l' égali té (30). En portant les expressions (23) et (24) dans le système (21) et en comparant les termes en B, il vient: .!:- ( Ô ) = ôl (œ (t), u (t» ô + al (œ (t), u (t» ô dt x aœ x au u, ap (œ (t), u (t» Ô + ap (œ (t), u (t» Ô + ôR (œ (t), u (t), 0) Ô === ° aœ x au u aJ.t .
33.] DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 22 249 En multipliant ensuite la deuxième équation par A (t) et en l'ajou- tant à la 'première, il vient, compte tenu de (30): ( ) == ( 8f(X(t), u(t)) 1 A , t) 8 P (X(t),U(t» )ô -L dt uX ax T { 8x x j + A (t) aR (x (t u (t), 0) ôt-t. (35 ) Nous appellerons équation aux variations pour le système (21) l'équation en ôx (t) linéaire et non homogène obtenue. Elle ne dépend que du système (21) et par conséquent le terme principal de l'accrois- sement Ô;K{ (t) de la trajectoire y (t) est univoquement défini par la valeur initiale ôXe et par la valeur du paramètre ôl-1. Par analogie avec le chapitre 2 (page 77), nous dirons que les vecteurs ôx (t) se déduisent du vecteur ôx (8) == ôXe, donné au point x (8), par une translation le long de la trajectoire x (t). Cette transla- tion qui est dépendante du paramètre ôl1, nous la désignerons par le synlbole ôx (t) == Pt, e (ôl-1) ôxo. Les, forn;lules suivantes sont immédiates: Pt, e (61-1) ôx == Pt,,; (ôl-1) P,;, e (ôl-1) ôx, tLe, } P f, e (yôp,) yôx == yP t, e (ôl-1) ôx, (36) Pt, e (Ôp,i + Ôt2) ( ÔX 1 + ÔX2) === Pt, e (Ô111) ÔXi + Pt, e (Ô112) ÔX2- Désignons par T (x (t)) le plan tangent en x (t) au bord fJ (x) == o. Si x (t) n'appartient pas à la réunion des voisinages Oi qui ont servi à définir le symbole (17), alors comme nous l'avons déjà men- tionné. g (x (t) + eôx (t) + 0 ( 8)) == 0, d'où ( ag x(t)) , ôx (t) ) = 0, l.e. ôx (t) E T (x (t)). Et, en particulier, on a toujours ôx (t i ) E T (x (t i )). (37) Pour ô == 0, l'équation (35) se transforn1e en l'équation homo- gène (ôx) = ( ai (x ; u (t)) + A (t) ap (x ' U (t)) ) ôx. (38) (onsidérons de plus son équation adjointe . aa = _ ( ai (x ; u (t») + A (t) ap (x ' u (t)) ) 'i'- (39)
250 PROCESSUS AVEC CONTRAINTES SUR LES COORDONNÉES [Ch. 6 Afin d'éviter toute confusion, écrivons les équations (38) et (39) sous la forme de deux systèmes d'ordre (n + 1) par rapport aux coordonnées n n . (ôxi) == ( afi + j} ) ôxa == ( ôfi + Âi ) ôxa dt L..J che a ôxa L..J axa axa a=O a=1 n d\Pi '" ( Ôfa r  a ôp ) ([t == - LI axi 1 ôx i 'Pa, cx=o i = 0, 1, ..., n. Si ôx (t) et 'i' (t), t o t tj, sont des solutions continues arbi- traires respecti veInent des équations (38) et (39), alors ('i' (t), ôx (t)) = const (40) (cf. page 78). Désignons par iP 0 (t), . . ., <Pn (t), t o t th .un système fondamental de solutions de l'équation (38) et par ,po (t), . . ., n (t), t o t t 1 , lIn système fondalnental adjoint de solutions de l'équation (39). On a (i(t), <p j(t))=ô}. La solution ôx (t), 8 1 t 8 2 , t o 8 1 < 8 2 t f , de l'équation non homogène (35) satisfaisant à la condition initiale n ôx (8 1 ) == CG (8 1 ) ôx cx (8 1 ) a=O .se met alors sous la forme ôx (t) == Pt, 81 (ô) ôx (8 1 ) == n t = <ra(t)[ Ôx a (8 j ) + J (1i'a (1:), A (1:) : ) Ô ) d1: ] · a=O 81 (41) Cal cul deI a d é r i y é e ôR (œ (t), II (t), 0) at Cette dérivée nous étant nécessaire sous sa fornle explicite nous :allons la calculer imnlédiatenlent.
33.] DÉMONSTRATION DU THÉORJ"tME 22 251 On a s h (x, p) == g (x -T- l aa (x) lf et) == a=1 s s == g (XO + aa (x) N&, ..., X n -i- L CG a (x) N), a=1 CG=l DÙ Ni == (N, .... Nf). Posons s 11i==Xi-t-t aa(x).L\T, i==O,..., n; 1]---=(11°, ..., 'YIn). a=1 Il yien t n fJ ( ) â a R (x, ll, f.t) = :'l a: B tf" (x, u) = a, 13=0 n n s = a: () fa (x, u) + f.t a: () aa;x(:) NffB (x, u) = a=O a, 6=Oi=1 s _ ( fJl( (11) f( ) ) + ( fJg (11) .... ) ( âa i (x) j . ( ) ) - 811' X, U t L.J fJ11' 1.1 l fJ X ' X, U · i=l Par suite n s iJR (x, u, 0) == ( 8 2 g (11) ta (x, u) ai (x) Nf ) 1 + ÔJl LJ fJa â(3 LJ =O CG, (3=0 i=1 s + ( aga) ,Ni) ( aa) , f(x, u)) = i=l s n ( ) â2g (x) t a ( ) J\ T8 1 == L.J ai x âx a âx t3 X, U i-r i=1 a, (3=0 s r ( fJg(X) "?". ) ( fJai(X) j . ( X U )) == T L.J (Îx' l fJx' , i=1 s = :t [ad x (t)) ( ag :(t)) , Ni) ] . i=l Donc s DR (x (t), II (t), 0) == [ a. ( X ( t )) ( âg (x (t)) :\-r ) ] ( 42 ) f) l L L.J dt l âx' .... i · 1 i=1
252 PROCESSUS AVEC CO:NTRAINTES SUR LES COORDONNEES [Chio 6 Il vient immédiatement de la définition de la somme des synlbo- les ( 1 7) fJ ôR b (œ, u,O) ôB b (œ, u, 0) ( R ( X u 0 )) - 1 + 2 fJL b1+b " - ôl-L at (43) Var i a t ion s deI a sol u t ion u (t), x (t) Au chapitre 2, nous avons d'abord défini la classe de cOlllIllandes perturbées, i.e. les variations de la commande initiale II (t), et ensuite nous avons construit la trajectoire perturbée (voir 9 13) à partir de la cOlll111ande donnée, de l' écart initial et du nombre réel ôt. Désormais nous ne pouvons plus définir, indépendan11nent des trajectoires perturbées, la classe de commandes perturbées puis à l'aide de ces dernières construire les trajectoires perturbées, car en général elles déborderont le fermé G (puisque la trajectoire x (t) est située sur le bord de G). Dans ce cas, les commandes perturbées et les, trajectoires perturbées correspondantes devront être construites simul- tanément, pas à pas, pour qu'à chaque instant on ait la possibilité d'éviter à la trajectoire perturbée de déborder le fermé G. CecI est. possible en raison de la régularité de la trajectoire. Nous parlerons donc dans les formlllations rigoureuses non plus des variations des commandes ni même des variations des trajectoires séparément, mais des variations de la solution u (t), x (t), t o t t 1 , du système (21). Nous allons ainsi construire une classe <1> de solutions perturbées- u* (t), x* (t) du système (21), i.e. les variations de la solution u (t), x (t), t o t t b du système (21) pour ô = O. Stricten1ent parlant, tout élément (u* (t), x* (t)) de l'ensemble cD ne constituera pas une seule solution du système (21), mais toute une fa1nille de solutions, fonctions de l'infiniment petit ë. Néanmoins, pour plus de- commodité, nous parlerons souvent de la solution perturbée (u* (t)t x* (t)) E cD ainsi que des variations u* (t) de la commande Zl (J) 011 des variations x*(i) de la trajectoire x (t) qui constituent la solution u* (t), x* (t) du système (21). Observons ici que l'ensemble <1> sera constitué non pas des solu- tions perturbées d'un système concret quelconque (21), mais des solu- tions perturbées de tous les systèmes de la forme (21) dépendant dll choix de la fonction R (i.e. du symbole (17)). Cependant, tout élé- ment donné (u* (t), x* (t)) E cD constituera une famille de solutions d'un mêm'e système de la forme (21). Au chapitre 2 nous avons construit une commande perturbée par la donnée de ses paramètres (voir définition du symhole a en page 85). De la même façon nous allons construire chaque solutioI1_ perturbée u* (t), x* (t) du système (21) (plus exactement, une falnille de solutions perturbées) en nous donnant les paramètres de cette solu- tion. Aussi allons-nous en premier lieu définir les par a 111 è t r e s.
S 33.1 DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 22 253 d'une solution perturbée et ensuite décrire une méthode de construc- tion de cette solution. Il est naturel de répartir ces paramètres en deux groupes: ceux de la cOlnmande u* (t) et ceux de la trajectoire x* (t). Les notations 'ti, . . ., 'tk; ôt i , · . ., ôt k ; Ii, · · ., l k; Vi, . . . . . ., Uk; 't, ôt garderont le même sens que dans le 13. La commande u (t) étant continue par morceaux, les points 'ti, . . ., 'tk sont ses points de continuité. Dans toute la suite nous admettrons que le point 't. coïncide avec l'extrémité t i de l'intervalle t o t t f (ce qui est possible puisque la commande u (t) est continue au point ti). D'autre part, pour Vi' . . ., Vk nous ne pourrons prendre que des points du domaine de cOlllnlande U tels que pour un i = 1, . . ., k quelconque, le point x de la trajectoire x (t) soit régulier relative- Jl1ent au point Vi. L'ensemble des paramètres 'ti1 ôt i , Vi' ôt, qui a servi à définir la commande perturbée u* (t) sera désigné par a, comme dans le chapitre 2. Cependant, la commande perturbée u* (t) correspondant au symbole a ne sera pas définie comme au chapitre 2 (voir page 80), nlais d'une façon légèrement différente, plus exactement, nous la construirons en même temps que la trajectoire perturbée correspon- dante x* (t). Ceci s'explique par le fait que dans la définition de la commande perturbée telle qu'elle a été faite dans le chapitre 2, la trajectoire perturbée correspondante est susceptible de déborder le domaine G sur les intervalles Ii. Pour paramètres de la trajectoire perturbée x* (t) qu'il nous faudra construire, nous prendrons les grandeurs figurant dans le symbole v (17). Passons maintenant à la construction de la solution u* (t), x* (t) du système (21) définie par les symboles a, o. Cette solution sera définie sur l'intervalle t o t t i + ëôt. Pour souligner qu'elle dépend du choix des symboles a, v, nous désignerons au besoin les Îonctions u* et x* respectivement par u*-u* c. ( t ) - a, u , x* = x:, b (t). (44) (45) Définissons la valeur initiale x* (t o ) de la trajectoire x* (t) au moyen de la formule x* (t o ) = X (t o ) + ëÔX o , (46) où s ôXo= -ô"., aa; (x (t o )) Na cx=l (47) De (46) il vient pour B suffisamment petit: ai (x (t o » == ai (x* (t o », i = 1, . . ., s, (48)
254 PROC ESSUS AVEC CONTHAITES SUR LES COORDONNÉES [ Ch . () en outre (pour 8 suffisamment petit) ai (x* (t o » == ai (x (t o » == 0 pour i =1= x (io), ai (x* (t o » == ai (x (io» == 1 pour i == X (t o ). De (47) et (48) il vient: h (x* (t o ), 8Ô) == g (x (t o ) + 8ÔXo + s + 8ôll a cx (x* (t o » 3"" cx) == g (x (t o » == O. (49) cx=1 La méthode de construction de la trajectoire (45) montre aussitôt que lorsque 8 -+ 0, la trajectoire x* (t) tend uniformément en t vers x (t) sur l'intervalle t o t t 1 . On déduit donc de (49) que x* (t) est entièrenlent contenue dans le fermé G (voir page 243). Comme au chapitre 2 (cf. page 80), on se donne les interyalles Ii' par les inégalités 'ti + 8li < t 'ti + 8 (li + Ôii). En partant de la valeur initiale donnée (46), construisons 11laintenant une solution de la forme (23), (24) du système (21) sur l'intervalle t o t 171 + 811 (i.e. en partant du point initial t o pour aboutir à l'extrémité gauche de l'intervalle Ii) à l'aide de la méthode décrite dans les pages 244-246 et égalons les fonctions (44), (45) à cette solu- tion sur l'intervalle t o t 'ti + 8l1. On a: u * (t) == u (t) + 8Ô u (t) + 0 (8), x* (t) == x (t) + 8ÔX (t) + 0 (8), t o t 171 + 8l1. Pour t o t 171 + 811 la fonction ôx (t) est donc solution de l'équation aux variations (35): ôx (t) == Pt. t o (ô) ôx (t o ). Nous allons maintenant prolonger la solution u* (t), x* (t) en conservant la continuité de la fonction x* (t) sur l'interyalle 1 1 (en supposant qu'il n'est pas vide, i.e. ôt 1 =1= 0) de la manière sui- vante. Par hypothèse le point x (171) est régulier relativement à Vi. Désignons par qi (v), . . ., qs (v), s 0, les fonctions (1) pour le point Vi. On a alors (en désignant par Rb la fonction R, où I> est le symbole qui a servi à définir la solution perturbée): R (x ('L1)' Vi, 0) == q (Vi) == · · . == qs (Vi) == 0, et le systènle R (y, v, 8Ôf,t) == qt. (v) == . . . == qs (v) == 0 (50)
33.J DÉMONSTRATION DU THÉORÈl\lE 22 255 est résoluble par rapport à certaines 8 + 1 coordonnées du vecteur v- au voisinage des valeurs x ('r1)' Vi' ëÔ!l== 0, par rapport, par exemple, aux (8 + 1) premières coordonnées: vi == (}i (11, V S + 2 , ..., v r , ëÔt), i == 1, ..., 8 + 1, 1 s + 1 -<: r, où les fonctions {fi, i == 1, . . ., 8 + 1, sont con tinûmen t dérivables par rapport à leurs arguments. Il est évident que l'argument y des fonctions {fi peut prendre la valeur x* ('r1) puisque pour ë -+ 0/ l'intervalle Ii dégénère au point 'r1 et x * ('r 1 + ë ll) == x ('r 1 -j- ë l1) + ëÔ x ('r 1 + ë l1) + 0 (ë) -+ X ('r 1) · En portant les fonctions 8 i , i == 1, . . ., 8 + 1 dans la première des équations du sysLèn1e (21), nous obtenons =f(y, \'}1 (!l, z;s+2, ..., ur, e,Ôf.t), ..., ur) = · ( ,,+ 2 }' Ô ) ( 51 ) ==/1 y,v , ...,V,ëll. Renlplaçons lllainLenalll dans le second menlbre les paramètres. -;+2 l' 1 l , t . s+2 r d . t V ,..., v par es coor( onnees respec Ives VI , . . ., V l II pOln Vl et résolvons l'équation différentielle obtenue avec la condition ini- tiale x* ('rl + ël1) sur l'intervalle Ii. La solution x* (t) n'est autre que le prolongenlent de x* (t), t o t 'ri + ël1, sur l'intervalle I l . Donnons-nous le prolongen1ent de la commande u* (t), t o t 'r1 -t- ël1, sur l'intervalle 1 1 par la formule: u* (t) == ({fI (x* (t), V+2, ..., v, ëÔll), ... . . ., t}S+l (x* (t), V+2, ..., vr, ëÔl-t), V+2, ..., vr), tE Ii" L'admissibilité de la cOlnmande u* (t), t E I l et l'égalité R (x* (t), u* (t), ëÔl-t) == 0, t E I l , sont évidentes. Par construction, u* (t) est une fonction continue sur l'intervalle Ii el tend uniformément vers V1 pour ë -+ 0 sur / 1 - Si 'ri == 'r 2 == . . . == 'rj < 'rj+1, nous faisons la même construction sur les intervalles 1 2 , . . ., Ij (en remplaçant Vi respectivement par V 2 , . . ., Vj) et nous obtenons ainsi la solution u* (t), x* (t) sur- l'intervalle t o t 'rj. Ensuite, nous prolongeons les fonctions u* (t), x* (t) sur l'inter- valle 'rj t 'rj+l + ëlj+l (i.e. jusqu'à l'extrémité gauche de l'in- tervalle I j + 1 ) en utilisant la construction exposée dans les pages 244- 246 (avec la valeur initiale x* ('rj» et ainsi de suite jusqu'au point t 1 . Si donc ôt 0, la famille de solutions variées u* (t), x* (t),. t o t t 1 + ëÔt, du système (21) est définie. Supposons ôt > o. La solution u* (t), x* (t) a déjà été construite sur l'intervalle t o t t 1 . Il est aisé de voir que le point x* (t 1 )
256 PROCESSUS AVEC COl'\TRAINTES SUR LES COORDONNÉES [ Gh. H est régulier relativement au point u* (t f ) = u* (t f - 0). En effet, la première condition de régularité vient de ce que pour des valeurs de t proches de t f on a: R (x* (t), u* (t), 8Ôl1) = p (x* (t), u* (t)) = 0, car pour ces valeurs de t le point x* (t) est Sitllé sur le bord g (x* (t)) = 0 de G. La deuxième et la troisième conditions de régularité découlent do la régularité du point x (t l ) relativenlent à u (t f ) = u (t f - 0) et des relations x* (t l ) -+ x (t l ), u* (t l ) -+ u (t f ) pour 8 -+ O. La construction au moyen de laquelle nous avons défini la solu- tion u* (t), x* (t) sur les intervalles Ii nous permet donc de prolonger les fonctions u* (t), x* (t) continûment audelà de t l jusqu'au point t l + EÔt. Par la donnée des paramètres a, 0 nous avons donc construit un€, famille de solutions perturbées du système (21). L'égalité (51) vaut évidemment pour t l t t f + EÔt. Soulignons que la trajectoire (45) n'est pas définie univoquement par les paramètres a, o. Elle dépend en effet du choix des variables Vi, par rapport auxquelles est résolu le système d'équations (50) dans la construction de la solution perturbée sur les intervalles Ii. Le mênlO arbitraire a lieu lorsque la solution est prolongée sur l'intervalln t l t t l + EÔt pour ôt > O. On tourne aisélnent cet arbitraire en fixant pour chaque point u (t) les variables Vi par rapport auxquel- les est résolu le système (50) au voisinage des valeurs x (t), u (t), 8Ôl1 =0, où Ql, ..., Qs, sO, sont les fonctions (1) définies pour le point u (t). (Si t est un point de discontinuité de la comnlando u (t), les variables Vi par rapport auxquelles est résolu le systèm( (50) peuvent être distinctes pour les points u (t - 0) et u (t + 0).) Une fois ces conventions adoptées, la donnée des symboles a et v définit univoquement la famille de trajectoires (48) puisque les tra- jectoires de cette famille sont construites d'une manière univoque sur les intervalles fermés contenus entre les intervalles Ii (voir note page 246). Con s t rue t ion des côn e s 1(* e t k* Comme dans le chapitre 2, nous allons nous intéresser maintenant à l'écart par rapport au point x (t f ) de l'extrémité de la trajectoire perturbée (45). Exactement comme au chapitre 2 (pages 81-84) on démontre la formule x* (t f + EÔt) == x (t f ) + EX* + 0 (8), (52)
33] DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 22 257 où le vecteur x* ne dépend pas de E et est défini par la formule x* == Pti' to (ôl-t) ôXo+f(x (t f ), u (t f )) ôt+ k + P ti , 't'a (ôl-t) [f(x(';a), va)-f(x('t a ), u('t a ))] ôta. (53) a=1 Nous désignerons (au besoin) le vecteur x* par xa V pour montrer qu'il dépend des symboles a et v. De l' égali té (37), qui est valable pour des valeurs de t proches de t f , il vient x* E T (x (t f )). (54) Soient a', 0' et a", 0" deux paires dei symboles définissant la variation des commandes et des trajectoires et Îv', Îv" deux nombres non négatifs. Posons a = Îv' a' + Îv"a", 0 = Îv'o' + Îv "b ". Des propriétés de la translation (voir formule (36)), de la linéarité de la fornlule (17) par rapport à ô et de la linéarité de la formule (53) par rapport à ôXo, ôt, ôta il s'ensuit immédiatement: A * Il'A * + '\flA * uX a , f> = IV uX a " f>' l'v uX a ", v". (55) Cette formule montre que tous les vecteurs de la forme x, b portés dans l'espace X à partir du point x (t l ) engendrent un côn e con v e x e de sommet x (t l ) que nous désignerons par K*. De (54) il résulte, en outre, que le cône K* est contenu dans le plan T (x (t f )) tangent au bord g (x) = 0 en x (t f ). Nous allons utiliser le cône K* pour démontrer la condition de saut ( 36). Pour prouver le théorème 22 nous prendrons un autre cône convexe k* contenu dans K*. Plus précisément, nous allons considérer seulement les symboles 0 pour lesquels aucun point bi ne coïncide avec le point initial x (t o ) de la trajectoire x (t). Il ré- sulte alors de la formule (47) que ôXo = 0, i.e. la trajectoire perturbée x* (t) débute au point x (t o ). Si 0' et 0" sont des symboles de la forme mentionnée (i.e. ne contiennent pas le point x (t o ) parmi les points i) et Îv', Îv" deux nombres non négatifs, alors Îv'o' + Îv "b " est un symbole de la même forme. Aussi, en portant à partir de x (t l ) des vecteurs de la forme x, f> où v est un symbole ne ren- fermant pas le point x (t o ) parmi les points h obtenons-nous un cône convexe noté k* de sommet au point x (t f ). Puisque 1(;* c K* c T (x (t f )), les cônes k*, K* sont de dimen.. sion non supérieure à n. Aussi par intérieur de ces cônes nous dési- gnerons l'ensemble des points intérieurs relativement au plan T (x (t l )), et par rayons intérieurs, les rayons de sommet x (t l ) appartenant à ces cônes et renfermant leurs points intérieurs. 17-01339
258 PROCESSUS AVEC CONTRAINTES SUR LES COORDONNÉES [CH. 6 9 34. Démonstration du théorème 22 (suite et fin) Pour que toutes les constructions du précédent paragraphe soient possibles, il suffit que la trajectoire x (t), t o t i 1 , qui est située sur le bord du domaine G soit r é guI i ère. Supposons Inaintenant que u (t) et x (t) sont de surcroît 0 p t i - mal e s. Désignons par L le rayon issu d'un point x (t 1 ) et orienlé dans le sens du demi-axe négatif xo. Il est évident que LeT (x (t 1 )). Lem m el. Le rayon Ln' est pas intérieur au cône l,*. D é mon s t rat ion. Désignons par Jt la projection (ortho- gonale, par exemple) de l'espace X sur le plan T (x (t 1 )). Supposons que la trajectoire variée x* (t) correspond aux sYlnboles a et 6, où b est un syn1bole ne contenant pas le point x (t o ) parmi les points i (de sorte que la trajectoire x* (t) débute au point x (t o )). Puisque x* (t 1 + 8ot) == x (t 1 ) + 8X* + 0 (E), où x (t 1 ) E T (x (t 1 )), x* E T (x (t 1 )), il vient: Jt (x* (t 1 + Bot)) == x (t 1 ) + BX* + 0 (8). Donc, les termes principaux (linéaires en 8) des vecteurs Jt (x* (t 1 + EOt)) - x (t 1 ) et x* (t 1 + Bot) - x (t 1 ) coïncident et remplissent ainsi dans T (x (t 1 )) le n1ên1e cône 1.*. Supposons maintenant que le rayon L est intérieur au cône l\*. Alors en vertu du lemme 3, chap. 2, il existe un 8 > 0 (que l'on peut supposer arbitrairement petit) et des symboles a et fi tels qu'il leur corresponde une trajectoire perturbée x* (t) débutant au point x (t o ) et aboutissant en un point x* (tt + Eot) tel que Jt (x* (t 1 - Bot) soit un point du rayon L distinct de x (t 1 ). L'application Jt considérée sur le bord g (x) == 0 esl bijecti ve au voisinage du point x (t 1 ). Si donc, 1J est un point du bord g (x)=== 0 suffisamment proche de x (t 1 ), alors il résulte de Jt (11)) E L que Jt (!I) == 11. Puisque pour B suffisamment petit, le point x* (t 1 -t- Bot) (qui appartient au bord g (x) == 0) est arbitrairement proche du point x (t 1 ), il vient de la relation :Tt (x* (t 1 + Bot)) E L que x* (t 1 + Bot) == :Jt (x* (t 1 + Bot)) et donc x* (t 1 + Bot) est un point du rayon L non confondu avec x (t 1 ). Co qui contredit l'optin1alité de la solution u (t), x (t). Le lemme 1 est donc démontré. Lem m e II. L'équation d", = _ ( â f (x (t), u (t)) +- A ( t ) â p (x (t), u (t)) ) ,,1"1 ( 56 ) dt âx 1 âx '1'"
34.1 DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 22 (SUITE ET FIN) 259 admet une solution continue 'i' (t) == (\Po (t), \}Ji (t), · · ., 'i'n (t)), t o t t i , (57) telle qu'en chaque point de continuité de la commande optimale u (t) soit remplie la condition de maximum de plus QJt ('1' (t), x (t), u (t)) == m ('1' (t), x (t)), m ('i' (t i ), x (t i ») == 0 (58) (59) et soient satisfaites les conditions suivantes: a) 1Po (t) == const 0 ; b) le vecteur '\1' (t o ) n'est pas colinéaire au vecteur grad g (x (t o ) ; c) la fonction scalaire continûment dérivable par morceaux À (t) == - ('\1' (t), A (t») est telle qu'en chacun de ses points de déri- vabilité le vecteur d dt grad g (x (t)) soit est dirigé vers l'intérieur du domaine G, soit s'annule. D é mon s t rat ion. D'après le lemme 1, par le sommet x (t 1 ) du cône 1(;* c T (x (t i ) il est possible de faire passer un plan r de diInension n - 1 contenu dans T (x (t 1 )) et séparant le cône 1* du rayon L. Soit X == (Xo, Xi' . . ., Xn) un vecteur situé sur le plan T (x (t 1 )), orthogonal au plan r et orienté de telle sorte que le rayon L est situé sur le demi-espace fermé défini par le plan r vers lequel cst orienté le vecteur X et le cône k* dans l'autre demi-espace fermé. .lAlors, Xo 0 et, pour tout vecteur x* E k*, on a: (X, x*) o. (60) Le vecteur X étant en outre situé sur le plan T (x (t 1 )), les vecteurs X et grad g (x (t 1 )) (61) sont linéairement indépendants. Définissons la fonction inconnue'i' (t) comme solution de l' équa- tion (56) avec la valeur finale 'i' (t 1 ) == X. (62) On voit aisément que l'égalité (58) est satisfaite. En effet, sup- posons qu'en un point de continuité 'r1 de la commande u (t) est vérifiée l'inégalité QJ£ ('i' (';1)' x ('r1)' u ('r1») < m ('i' ('r1)' x ('rt), 17*
260 PROCESSUS AUEC CONTRAINTES SUR LES COORDONN:Éb:S CH. 6 i.e. il existe un point Vi E U relativement auquel le point x (Li) est régulier tel que QJt ("1' (L 1), x (17 1), V 1) > cfJt ("1' ( 17 1), x (L 1), U (L 1) ) . ( 63 ) Construisons une solution u* (t), x* (t), t o t t i , du systè- me (21) en prenant pour symbole a le symbole {L1, V1, 8t 1 == 1, 8t==0} et pour symbole b un symbole dans lequel s == 0 (i.e. où ne figurent pas h ai (x) et Ni) et 8l-t == O. De (53) il vient alors x * == Pt 1, 't 1 (0) (f (x (L 1), V 1) - f (x ( T 1) , u ( T 1) ) ) . Et les formules (40), (63) donnent: (X, x*) = ('\)' (t 1 ), Pti, 't1 (0) (j.(x (T1)' Vt) -{ (x (Tt), U (T1))) = == ('\)' (L1)' t (x ( 17 1), Vt) -f(x (L1)' U ('"C1))) > 0, ce qui contredit l'inégalité (60). On délnontre l'égalité (59) et la condition a) de la mêlne manière que les formules correspondantes (12) du chap. 2. La condition b) découle de l'indépendance des vecteurs (61) et de l'égalité (62) (cf. remarque 4 du théorème 22). Prouvons enfin la condition c). Supposons que u* (t), x* (t), t o t t 1 , est une solution du système (21) correspondant à un symbole a vide (i.e. un synlbole pour lequel k == 0 et 8t == 0) et à un symbole b ne contenant pas le point x (t o ) parmi les points i. Il vient alors des formules (53) et (41) n ti r a 8R 8x* = Pt!. to (ô) 0 = ô L qJa (t1) J ('I\J (t), A (t)) aï-ï dl. a=O to Les formules (62) et (60) donnent n ii (X, 8X*) = ô ('I\J (t1), <Pa (t 1 ) J (a (t), A (t)) : dt) = a=O to t1 t1 =ô J ('I\J(t), A (t)) : dtc= -ô J Â(t) : dt<O. to to En vertu de la relation Îv (t) == - ('i' (t), A (t)) et de la dualité £ln système de fonctions ((P1, . . ., (Pn), (1, . . ., n) on a: n ('i' (t 1 ), a (t 1 )) a (t) == 'i' (t). a=O
34.] DÉMONSTRATION DU THÉORME 22 (SUITE ET FIN) 261 En portant dans la dernière inégalité l'expression (42) de :: et puisque ôl-t 0, il vient: 11 s r d [ ( âg(X(t» )] J  (t) di LI a et (x (t)) âx ' Net dtO. to et= 1 Une intégration par parties donne, compte tenu de ai (x 4(t O )) == == ai (x (t i )) === 0, i === 1, . . ., s: ti S 5 aa(x(t» ( ag:tt» ,Na) dtO. to et= 1 (64) Puisque les points i peuvent être choisis arbitrairement sur la trajectoire x (t) (pourvu qu'ils ne coïncident pas avec ses extrémités) et puisque, par ailleurs, les voisinages Ob. sont arbitrairement z. petits, les fonctions ai (x (t)) sont non négatives et Ni des vecteurs extérieurs (relativement au domaine G), il résulte de (64): d dtO. Cette inégalité exprime justement la condition c) car le domaine G est défini au voisinage du bord par l'inégalité g (x) O. Donc, grad g (x (t)) est une normale extérieure au bord g (x) == O. En vue d'achever la d é mon s t rat ion dut h é 0 r è - m e 22 il faut montrer premièrement que la fonction scalaire À (t) == - ('i' (t), A (t)) vérifie l'expression S âQfe ('1' (t), œ (t), u (t)) ==  ( t ) âp (x (t), u (t)) + v ( t ) âqet (u (t)) ( 65) GU âu LJ et au et=1 et, deuxièmement, que QJt ('i' (t), x (t), u (t - 0)) === m ('i' (t), x (t)) en les points de discontinuité de la commande u (t) et la constance de la fonction QJfj (t) == QJf ('i' (t), x (t), u (t)) sur l'intervalle t o t t i . Aux points de discontinuité de la commande nous pose- rons par hypothèse QJ£ (t) === QJt ('i' (t), x (t), u (t - 0)). Remarquons pour les besoins de la démonstration de (65) que les coordonnées du vecteur A (t) == (ÂP (t), . . ., Ân (t)) obéissent aux
262 PROCESSUS AVEC CONTRAINTES SUR LES COORDONNÉES [CH. 6 , . equatlons s al] (x (t), u (t)) _+ Â/ (t) ap (x (t), u (t)) , zj (t) aql3 tu (t)) = 0 âu a oua T L.J f3 âua ' (3=1 j == 0, 1, ..., n, a == 1, ..., s --t- 1. En multipliant cette expression par '\jJj (t) et en sornmant les expressions obtenues pour tous les j == 0, 1, . . ., n, nous obtenons s + 1 égalités (a === 1, . . ., s + 1) s âQfe ('i' (t), x (t), u (t)) ==  ( t ) âp (x (t), u (t)) + v ( t ) âq(3 (u (t» âu a âua LJ [3 âu a ' 13=1 à partir desquelles la fonction  (t) est univoquement définie. D'un autre côté, QJ8 ('li' (t), x (t), u (t)) == m ('li' (t), x (t)) et d'après la règle des multiplicateurs de Lagrange s âQ/& ('i' (t), x (t), u (t)) ==  * ( t ) âp (x (t), u (t)) + " v* ( t ) âqa (u (t)) . âu âu a âu' a=1 par conséquent, 'A (t) == 'A* (t). Démontrons maintenant l'égalité suivante QJ8 ('i' (t), x (t), u (t)) == m ('i' (t), x (t)) (66) aux points de discontinuité de la commande u (t). Supposons qu'au point de discontinuité 17 de la commande u (t) est vérifiée la relation Q)[ (17) === QJt ('i' (17), x (17), U (17 - 0)) =1= m ('i' (17), x ('t)). Il existe alors un point U1 E (ù (x (17)) tel que QJ[ ('i' (17), x (17), U (17 - 0)) <QJ8 ('i' ('t), x (17), U1). (67) De la condition U1 E (ù (x (17)) il résulte immédiatement (voir page 236-237) qu'il existe une fonction continue u* (t) définie pour les valeurs de t proches de 17 telle que u* (t) E (ù (x (t)), u* (17) == U1. Etant donné que la fonction QJ8 ('i' (t), x (t), u* (t)) est continue en t et que la commande u (t) est continue à gauche en 't, nous obtenons de l'inégalité (67) pour tout point t.< 't suffisamment proche de T QJi ('i' (t), x (t), u (t)) < QJ8 ('i' (t), x (t), u* (t)).
34.] DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 22 (SUITE ET FIN) 263 Pour les points t considérés nous obtenons donc l'inégalité Olt ('1' (t), x (t), u (t)) <QJ£ ('1' (t), x (t), u* (t)) m ('i' (t), x (t)), qui contredit l'égalité (58). L'égalité (66) est démontrée. D'une façon analogue on démontre que QJt; ('i' (t), x (t), u (t + 0)) === m ('1' (t), x (t»). (68) La continuité de la fonction QJt (t) === m ('i' (t), x (t» résulte des égalItés (66) et (68). Pour démontrer donc que la fonction QJt (t) est constante sur l'intervalle t o t t 1 il nous reste à démontrer qu'elle est constante sur tout intervalle où les fonctions'i' (t), x (t) et u (t) sont simultanément dérivables. On a (voir formules (9), (10»): :t cf/C (t) = ( i , aa: ) + ( aa: ' dd ) + ( aa:C ' ) = s === (( _!L ' ) -L ( !L ) (( ap "" a q a ) ) _ ax 'i'+Â 8x "f 1 ax 'i',f + Â au + L.J Va au ' dt - a=1 s = ( Â j t )+( Â ap )+( v aqa ) = ax ' au' dt .L.J a au ' dt a=1 s d d === Â (t) dI P (x (t), u (t» + L.J Va (t) dI qa (u (t» === a=1 s d === LJ Va (t) dI qa (u (t». a=1 dqa(u (t)) l\1ontrons que dans les points t considérés on a === 0, dt a == 1, . . ., s, et, par conséquent, s dc2fe (t) === ( t ) dqa (u (t)) === 0 dt .L.J Va dt · a=1 Raisonnons par l'absurde; supposons par exemple qu'au point 't: dq1 (u ('t)) -1- 0 dt -r-. (69) Nous avons q1 (u ('t)) === . . . === qs (u ('t») === 0, où ql (u), . . ., qs (u) sont les fonctions (1) définies pour le point U ('t). La fonction q1 (u (t» change donc de signe au point 't, ce qui
264 PROCESSUS AVEC CONTRAINTES SUR LES COORDONNÉES [CH. 6 contredit l'admissibilité de la commande u (t) puisque au voisinage du point u Ct) l'ensemble U est défini par les inégalités q1 (u) 0, . . ., q s (u) 0 ; il résulte de l'admissibilité de la commande u (t) que pour toutes les valeurs de t suffisanlment proches de 't q1 (u (t)) o. Le théorème 22 est donc entièrement démontré. 35. Quelques généralisations Dans ce paragraphe nous donnerons quelques généralisations évidentes du théorème 22. Nous nous bornerons à la seule formula- tion des résultats, leur démonstration ne différant que légèrement de celle du théorème 22. Dans la démonstration du théorème 22, la dépendance entre les vecteurs x et u, dépendance exprimée par l'équation P (x, u) == 0 a été essentielle. La forme de la fonction p (x, u) = ( iJ) ,1 (x, u) ) n'a été utilisée que pour démontrer les conditions b) et c) du théorè- me 22. Le théorème 23 suivant découle immédiatement d'une brève analyse de la démonstration. Soient m fonctions Pi (x, u), i == 1, . . ., m, continûment déri- vables, ne dépendant pas de la coordonnée xo. Le point x régulier relativement au point Uo E U et satisfaisant au système Pi (x, uo) == · · · == Pm (X, uo) == 0, est défini comme précédemment sauf que dans ce cas, au lieu de l'indépendance des vecteurs (7), il faut exiger l'indépendance des vecteurs ap1 (x, uo) au , ... , aPm (, uo) au agi (uo) au , ..., ag.q (uo) au Thé 0 r è m e 23. Soient u (t), t o t t 1 , une commande optimale et x (t) une trajectoire optimale régulière correspondante de l'équation (5), vérifiant sur l'intervalle t o t t 1 le système d'équa- tions: Pi (x (t), U (t)) == · . · == Pm (X (t), u (t)) == O. (70) Il existe alors un vecteur fonction 'i' (t) == ('\jJo (t), . · ., '\jJn (t)), t o ::::;; t t 1, continu et non nul tel que sur l'intervalle t o t t 1
35.] QUELQUES GÉNÉRALISATIONS 265 les fonctions u (t), x (t) et '1' (t) satisfassent au système d'équations dx _ f ( ) === aQfC ('\l', x, u) dt - x, u - ô '\1' ' m d"" === _ aQfC ('\l', x, u) +  aPa (x, u) dt ÔX LJ a ôx ' a=1 que soit remplie la condition de maximum QJ£ ('1' (t), x (t), u (t)) === m ('1' (t), x (t)), en outre m ('1' (t), x (t)) == 0; les fonctions  i (t), i == 1, . . ., m, t o t t i , continûment déri- vables par morceaux sont définies à partir de la condition de maximum com"e les multiplicateurs de Lagrange dans la formule m s aQfC ("", x, u) ==  ôPa (x, u) + v aqa(u) . au LJ a au LJ a au ' a=1 a=1 et de plus, 11'0 == const o. La solution du problème optimal dans laquelle les égalités (70) sont remplacées par les inégalités Pi (x, u) 0, . . ., Pm (X, u) 0 (71) se ramène aisément au théorème formulé. En effet, en introduisant m paramètres scalaires auxiliaires de commande Vi' i == 1, . . ., m, tels que Vi 0 et en considérant au lieu des inégalités (71) les égalités Pi (x, u) + Vi == · . . == Pm (X, U) + V m == 0, nous retrouvons les conditions du théorème 23. So:ulignons enfin que le théorème 22 se généralise immédiatement lorsque le domaine G est défini au voisinage de son bord par plusieurs, par exemple par deux inégalités gi (x) 0, g2 (x) 0, la trajectoire op timale régulière étant si tuée sur une « arête» de dimension n - 2 définie par les équations gt (x) === g2 (x) == o. Il est en outre naturel d'admettre que les hypersurfaces g1 (x) == 0, g2 (x) === 0
266 PROCESSUS AVEC CONTRAINTES SUR LES COORDONNÉES [CH. 6 . 8g j (X) sont en général situées sur la trajectoire, l.e. les vecteurs 'j , (X 8g 2 P (x) sont linéairement indépendants. 8x 9 36. Condition de saut Une trajectoire optimale contenue dans un fermé G, peut être située partiellement sur un noyau ouvert de G, et partiellement SUl' le bord de G. Le principe du maximum et le théorème 22 s'avèrent insuffisants pour suivre une telle trajectoire d'une manière univoque. En effet, le principe du maximum donne un systèn1e complet de conditions nécessaires que vérifie toute portion de trajectoire opti- male entièrement contenue dans un noyau ouvert de G et le théorèn1e 22 donne des conditions nécessaires que vérifient les portions entière- ment contenues sur le bord de G. Il ne manque que la con d i - t ion .d e con j u gai son que vérifie toute paire de portions de trajectoire optimale contiguës, dont l'une est contenue dans un noyau ouvert de G et l'autre sur le bord de G. Nous appellerons cette condition, con dit ion des a u t pour le vecteur fonction 1J' (t), qui est susceptible de subir une discon tinui té lors du passage d'une portion à l'autre (voir énoncé du théorème 24). Démontrons tout d'abord un lemme simple dont nous aurons à nous servir plus loin. Lem m e. Soient x (t), t o t t 17 une trajectoire de l'équation (5) située dans un fermé G et correspondant à une certaine comlnande admissible, et x (t o ) l'unique point de cette trajectoire contenu sur le bord g (x) == 0 de G. Si le vecteur ôx (t o ) n'est pas tangent à g (x) == 0 au point x (t o ) et s'il est dirigé vers l'intérieur du domaine G, alors la trajectoire perturbée x* (t), t o t t 17 satisfaisant à la condition initiale x* (t o ) == X (t o ) + ëÔX (t o ) est entièrement contenue dans un noyau ouvert de G. D é mon s t rat ion. Nous avons x* (t) = x(t) + 8ÔX (t) + 0 (8), ( al! (:to» , ôx (t o ) ) = a,<O. Pour des ë > 0 suffisamment petits, la grandeur g (x* (t)) = g(x (t)) + 8 ( ag <:x(t)) , ôx (t) ) + 0 (8), to t <:. t 1 est donc négative. En effet, pour des valeurs de t > t o voisines de t o cela résulte des inégalités g (x (t)) <0, a <0.
.16.] CONDITION DE SAUT 267 Pour des valeurs de t éloignées de t o , la grandeur 1 g (x (t)) 1 est plus grande que 1 8 ( ô g : (t) ) , ôx (t) ) + 0 (8) 1 ' et de plus g (x (t)) < O. Soient u (t), t o t t 17 une commande admissible et x (t) une trajectoire correspondante (pas forcément optimale) de l'équation (5) entièrement contenue dans le fermé G. Certaines portions de trajectoire peuvent se situer sur le bord du donlaine G, d'autres peuvent être contenues à l'intérieur du domaine, i.e. dans un noyau ouvert du domaine G. Nous appellerons point de jonction, le point x Ct) de la trajectoire portée par le bord du domaine G si t o < T < t i et s'il existe un (J > 0 LeI qu'au moins une portion de trajectoire x (t) soit contenue dans un noyau ouvert de G pour T - cr < t < T ou pour T < t < < T + (J. Pour fixer les idées, nous supposerons dans la suite que la portion de trajectoire qui est contenue à l'intérieur du domaine G correspond à T - (J < t < T. Nous appellerons T l'instant de jonc- tion. Nous allons considérer, sans le spécifier, des trajectoires admet- tant un nombre fin i de points de jonction. Nous dirons qu'une trajectoire x (t), t o t t 17 entièrement contenue dans le fermé G, est régulière si l'une quelconque de ses portions située sur le bord g (x) == 0 du domaine G est régulière. Supposons que u (t), t o t t i , est une commande optimale et x (t )une trajectoire optimale régulière correspondante de l' équa- tion (5), entièrement contenue dans le domaine G. Soit x (T) un point de jonction de la trajectoire x (t), t o t t i . Désignons par Ti < < t < T2 le plus grand intervalle de temps t o t t i contenant l'unique instant de jonction T. La portion de trajectoire correspon- dant donc à l'intervalle Ti < t < T est contenue dans un noyau ouvert de G; quant à la portion correspondant à T < t < T2, soit elle est entièrement située sur le bord g (x) == 0, soit elle appartient aussi à un noyau ouvert du domaine G et alors le point x (T) est l'unique point de la portion x (t), Ti < t < T2, situé sur le bord du domaine G. La portion x (t), Ti t T, satisfait donc au principe du maxi- mum (voir page 234). La fonction non nulle 'i'-(t)==(1Po(t), 1Pi(t), ..., 'Pn(t)), T1t<'t, (72) correspondant à cette portion est continue et satisfait au système (15) du chapitre 1. La portion de x (t), T t T2, satisfait soit aux conditions du théorème 22 (si elle est située sur le bord g (x) == 0), soit au principe du maximum (si elle est contenue à l'intérieur du domaine G). La fonction non nulle correspondante 1J'+ (t) == ('Pt) (t), 'l't (t), ..., 1P (t)), T <: t T2, (73)
268 PROCESSUS AVEC CONTRAINTES SUR LES COORDONNÉES [CH. 6 est continue et satisfait soit au système (10) et (11) et aux condi- tions du théorème 22, soit au système (15) du chapitre 1. Nous dirons que la condition de saut est satisfaite au point de jonction x (-t) de la trajectoire optimale régulière x (t), t o t th entièrement contenue dans le fermé G s'il existe une portion de tra- jectoire x (t), 'tl t 't2, telle que 'tl < t < 't2 soit le plus grand intervalle ouvert de t o t t 1 renfermant l'unique instant de jonction 't, et si les fonctions (72) et (73) définies ci-dessus pour les portions x (t), 'tl t 't, et x (t), 't t 't2, peuvent être choisies de manière à satisfaire à l'une des deux conditions suivantes (qui, comme il est aisé de le voir sont incompatibles): 'i'+ ('t) == 'i'- ('t) + l1 grad g (x ('t)), (74) 'i'- ('t) + l1 grad g (x ('t)) == 0, l1 =1= 0, (75) où l1 est un nombre réel. Si la portion x (t), 't t 't2, est située sur le bord g (x) == 0, alors la condition (74) est équivalente à la condi tion 'i'+ ('t) == 'i'- ('t), puisque la valeur initiale 'i' + ('t) de la fonction 'i' + (t), 't t 't 2, peut varier d'un vecteur arbitraire de la forme grad g (x ('t)) (voir remarque 4 du théorème 22). Thé 0 r è m e 24 (condition de saut). Si une trajectoire optimale régulière de l'équation (5) contenue dans le fermé G admet un nombre fini de points de jonction, alors en chacun de ces points est vérifiée la condition de saut. D é mon s t rat ion. Soient u (t), t o t t 1 , une commande optimale, x (t) une trajectoire optimale correspondante, x ('t) un point de jonction et 'tl < t < 't2 l'intervalle maximal renfermant l'unique instant de jonction L. Pour fixer les idées nous supposerons que la portion x (t), 'tt < t < 't appartient à un noyau ouvert de G et la portion x (t), 't t 't2 est située sur le bord g (x) == o. Le point.x ('tl) peut se trouver aussi bien à l'intérieur du domaine G que sur son bord. Nous supposerons pour commencer que ('t 1) est situé à l'intérieur du domaine G. Dans ce cas il est évident que 'tl == t o - Introduisons l'équation ds (ft== -f(s, v) (7G) que nous résoudrons sur l'intervalle 0 t 't - 'tl + 868, où 68 est un nombre réel arbitraire. Il est évident que l'équation (76) admet pour solution les fonctions v (t) == u ('t - t), S (t) == X ('t - t), 0 t 't - 'tl + 868. (77)
36.] CONDITION DE SAUT 269 Désignons par A-r-'tb 0 un opérateur de translation le long de la trajectoire (77) de l'équation (76) (voir page 78). Supposons par ailleurs que L\; désigne le vecteur de déplacement (voir formule (22), chap. 2) pour une trajectoire perturbée quelconque de l'équation (76). Soi t, enfin, 8;0 un vecteur quelconque issu de x (L) qui, soit est dirigé vers l'intérieur du domaine G (Le. Îl'est pas tangent au bord de G), soit est nul. Sous ces conditions est défini un vecteur ô = A,;_-r1, 0 (8;0) + L\;, (78) que nous supposerons issu du point x (Li). L'ensemble des vecteurs (78) engendre un cône convexe J( de sommet au point x (Li) == == ; (L - Li) (voir page 86). Désignons par K* le cône défini au 33 et étudions-le pour la trajectoire x (t), L t L2. Le point x (L2) est le sommet du cône K*. Ce dernier est situé sur le plan T (x (L2)) tangent au bord g (x) == 0 en x (L2) et est engendré par les vecteurs de la forme ô* = P-r2, -r (aIl) (8x ('t)) + L\x, b (79) (voir formule (53») issus du point x (L2). Il est important de souligner que la trajectoire perturbée ;* (t) est entièrement contenue dans le fermé G pour ê suffisamment petit. En effet, si 6;0 == 0 la portion initiale de trajectoire ;* (t) est confondue avec la trajectoire; (t) et alors les points de la trajectoire ;* (t), pour t > 0, sont intérieurs au domaine G. Si, au contraire, 6So =1= 0, alors en vertu du choix du vecteur 6;0' notre assertion découle du lemme (voir page 266). La trajectoire x* (t) est aussi contenue dans le fermé G (voir 33). Soit maintenant le produit direct I( X K* c X X T (x (L2») (80) des cônes Ii. et Il. *. Ce produit est aussi un cône convexe. I?ésignons par QJC le cône convexe contenu dans K X K* et en- gend'ré par toutes les paires possibles de vecteurs (78), (79) telles que 8;0 == 8x (L). (81) Soit, par ailleurs, k le cône convexe défini au 14 et étudié pour la trajectoire ; (t), 0 t L - Li et k*, celui défini au 33 pour la trajectoire x (t), L t L2. Il est évident que k c K, k* c 1(*, d'où QJC -:::::>k X x (L2)' QJC::Jx (Li) X k*. (82) Désignons par L le rayon issu de x (L2) et orienté dans le sens du demi-axe négatif xo. Montrons que le rayon x (Li) X L qui est con- tenu dans le produit direct K X T (x (L2»' n'est pas un rayon intérieur au cône QJC.
270 PROCESSUS AVEC CONTRAINTES SUR LES COORDONNÉES [CH. () Supposons l'inverse. Alors, tout comme au 34, pour un B > 0 suffisamment petit, quelconque, on peut démontrer qu'il existe des trajectoires perturbées ;* (t), 0 t 't - 'tl + eôf), x* (t), 't t 't2 -t- eôt, (83) dont les déplacements initiaux satisfont à la condition (81) et telles que le point ;* ('t - 'tl + eôf)), x* ('t2 + eôt) (84) est situé sur le rayon x ('ti) X L et n'est pas confondu avec son origine x ('ti) X x ('t2). Autrement dit, ;* ('t - 'tl + eôf)) == x ('ti), x* ('t2 + eôt) == (x ('t2) + Â (-1, 0, . . ., 0), (85) où Â > O. Définissons une commande optimale ii (t), 'ti - eôf) t 't2 + eôt et une trajectoire correspondante x (t), 'ti - eôf) t 't2 + eôt de l'équation (5) au moyen des formules: ,- u (t) == v* ('t - t), x (t) == ;* ('t - t) pour 'tl - eôf) t 't, u (t) == u* (t), x (t) == x* (t) pour 't t 't2 + BÔt où ; * (t) et x * (t) sont les trajectoires pert ur bées (83), v* (t) et u * (t) des commandes correspondantes. Il est évident que les fonctions u (t), x (t), 'tl - BÔf) t 't2 + eôt, obéissent à l'équation (5). La trajectoire x (t), 'ti - eô8 t 't2 + eôt, étant continue au point 't en vertu de la condition (81), elle l'est sur l'intervalle 'tl - eôf) t < 't2 + eôt tout entier. De plus, d'après (85) il vien t : X ('ti - 8ô8) == x ('ti), X ('t 2 -1- Bôt) == (X O ('t 2) - Â, Xl ('t 2), . . ., x n (-t 2», Â > O. Or ces inégalités contredisent le fait que la portion x (t), 'ti t 't2, de trajectoire optimale x (t), t o t t 17 est également optin1ale. Ainsi donc le rayon x (t i ) X L n'est pas un rayon intérieur an cône 6'JC. De l'inclusion (80) il résulte que la dimension du cône f!JC vérifie l'inégalité dim 6'JC 2n + 1. Il existe donc un plan d'appui de dimension 2n au cône 6'Jî dans son somn1et x ('ti) X x ('t2) qui est situé sur le produit direct X X T (x ('t2» et qui sépare le cône 6'JC du rayon x ('ti) X L. J)ési- gnons par (X, X*) un vecteur issu du point x ('ti) X x (-t2)' orthogonal à ce plan, contenu dans X X T (x ('t2») et orienté de telle sorte que le rayon x ('ti) X L soit contenu dans le demi-espace fermé portant le vecteur (X, X*) et le cône 6JC dans l'autre.
36.] CONDITION DE SAUT 271 Nous avons: X* == (xô, X!, ..., X) E T (x (L2))' (86) ((X, X*), (ô, ô*))==(x, ô)+(X*, ô*)<O, X<O, (87) où les vecteurs ô, ô* sont définis par les formules (78) et (79) (avec la condition (81)). D'un autre côté, (X, x*) =1= 0 (88) et les vecteurs "Iv, X* ne s'annulent donc pas simultanément. Désignons par (t), 0 t L - Lt, (89) la sol u Lion de 1 ' équation __ al (s (t), v (t)) b dt -- as ' satisfaisant à la condition aux limites b (L - Lt) == "Iv, où la fonction S (t) est définie par la formule (83) et v (t) est une commande correspondante. Désignons par 'i'+ (t), L t L2, (90) la solution de l'équation d'l' == _ a f (œ ( t), u (t)) ta 1, dt ax 't avec la condition aux limites 'i' (L 2) == X * . En vertu des inclusions (82), il vient, tout comme au chap. 2 et a u 34: ( - (t), t" (s (t), v (t))) == Q1[ ( - (t), S (t), v (t)) == ) == dt(-b (t), s (t)) == 0, 0 t L - Lt, 1 QJe (1\J+ (t), x (t), u (t)) = m (1\J+ (t), x (t)) = 0, 1 (91) L t L2. ) Outre la deuxième égalité (91), la fonction 'i'+ (t), L t L2, satisfait à toutes les conditions du théorème 22 à l'exclusion, peut-être, de la condition b) puisque l'égalité x* == 0 et, par conséquent, l' égali té 'i' + (t) == 0 sont possibles. Su pposons que 'i'- (t) == - (L - t), Lt t T. (92)
272 PROCESSUS A VES CONTRAINTES SUR LES COORDONNÉES [CH. 6 Il est alors évident que d",- (t) _ _ â f (x (t), u (t)) ,,1'1_ dt - ✠'Y' "i'-('tt)=-X, 'tlt't, Qï8 ('i' -, ( t) , x (t), u (t)) == ait (11' - (t), x (t)) == O. De l'inégalité (88) il résulte qu'au moins une des deux fonctions 11'- (t), "i'+ (t) est non nulle. Dans la suite nous démontrerons que précisément "i'- (t) =1= 0 et par conséquent, la fonction "i'- (t) satisfait à toutes les conditions du principe du maximum. Prouvons maintenant que soit "i' + ('t) == "i' - (T) + !-t gr a d g (x (T)), "i' - (t) =1= 0, soit "i' - (T) + gr a d g (x (T)) == 0, =1= o. Les conditions de saut seront démontrées par là même puisque la fonction "i' - (t), T 1 t T, peut être prise pour fonction (72), et la fonction "i'+ (t), T t T2, pour fonction (73) pourvu que 11'+ (t) =1= o. Choisissons les trajectoires perturbées s* (t) et x* (t) de la ma- nière suivante. Posons ôe == ôt == 0, v* (t) == v (t), ÔSo == -N, où N est un vecteur arbitraire non tangent en x (T) au bord g (x) == 0 et dirigé vers l'extérieur du domaine G. Ces données définissent d'une manière univoque la trajectoire perturbée s* (t). Pour définir la trajectoire perturbée x* (t) nous admettrons que le symbole a est vide et que le symbole b est réduit au seul point l == x (Ti) : v== {t == X (Ti), al (x), N, ô == 1}. D'où, en vertu de (47), ÔX (T) == -N == 6so, i.e. la condition (81) est satisfaite. Pour les vecteurs définis par les formules (78) et (79) nous obte- nons les expressions (voir (53) et la formule (22), chap. 2): n Ô == - AL-Li, 0 (N) == - CPCG ('t - Li) Na, (93) a=O n L2 ô* = a ('r2) ( - N + J (1I'a (t), A (t)) :: dt, (94) CG=O L où n n CG'-' CG L1 CPCG (0) N == LJ CPCG (T) N * == T. CG=O a=O
S 36.J CONDITION DE SAUT 273 Ici <Po (t), . . ., <Pn (t), 0 t l' - 1'1, représente un système fondan1ental de solutions de l'équation aux variations associée à l'équation (76). Désignons par "'0 (t), . . ., ",n (t) un système de fonctions conju- guées de (j)o (t), . . ., <Pn (t). Nous avons n -(X, ô)== h (X, <pa (L-L1)N a )== rJ.=o n n == (XB'i'/3 (1' - 1'1), <pa (1' - Li) Na) === L XaNa ((O), .i\T), a, B=O a=O a où (0) == X a'" a (0) est la valeur ini tiale de la fonction (89). n=O De (92) il vient: ( X, ô) == ('" - (), 1\"T). L' égali té (94) donne de même: (95) "C2 (x*, ô*)= -(1jJ+('r), iY)+ ) (1jJ+(t), A(t)) dt= "C '(2 = - (1jJ+ (-c), .LV) - ) Â, (t) : dt, "C où Â (t) == - (",+ (t), A (t». Compte tenu de (42), une intégration par parties donne: (x*, ô*) = -- (1jJ+ (-c), N) - [ Â, (t) ai (x (t)) ( f)g: (t)) , N) J 1: 2 + 12 + ) ; adx (t)) ( f)g: (t)) , N) dt = - (1jJ+ (-c), N) + "C "C2 + Â, (-c) ( f)g <:X(T)) , N) + ) ; ai (x (t)) ( f)g: (t)) , N) dt. 't' En ajoutant cette expression à (95) et en tenant compte de (87), nous obtenons (x' ô) + (x*, ô*) = (1jJ- (-c) -1jJ+ (-c) + Â, (-c) ( f)g X(T)) , X) + "C2 + r a ( X ( t )) ( Dg (x (t)) :\r ) dt 0 J dt 1 f)x' ...L . "C (96) 18-013:3U
274 PROCESSUS AVEC CONTRAINTES SUR LES COORDONNÉES [CH. 6 La quantité 1:'2 ) ; ai (x (t)) ( Qg :(t)) , N) dt 1:' peut être rendue arbitrairement petite pour T donné par le choix du voisinage O1 qui a contribué à définir la fonction ai (x), tandis que le premier terme de l'expression (96) ne dépend pas de ce voisi- nage. Donc, tout vecteur T non tangent en x Ct) au bord g () et dirigé vers l'extérieur de G obéit à l'inégalité (",- (17) - "'+ (17) + Â (17) grad g (x (17)), l\T) 0, (97) ce qui, puisque le vecteur T est arbitraire, est équivalent à l'égalité "'+ (17) === 'i'- (17) + grad g (x (17). (98) Le vecteur", - (17) =1= 0, puisque l' égali té '" - (17) === 0 et l' inéga- lité (88) entraînent l'inégalité "'+ (17) =1= 0; d'autre part, nous obte- nons de (98) l'expression '" + (17) === gr a d g (x (17) =1= 0, qui contredit, en vertu de la relation", ( 17 2) === x*, l'inclusion (86). Lorsque "'+ (17) === 0, il vient 'i'- (17) + grad g (x (17») === 0, =1= o. Le théorème (24) est donc démontré dans le cas où x (171) est un point intérieur au domaine G. Supposons maintenant que le point x (Li) est situé sur le bord g (x) === O. Ce cas se ramène aisément à celui que nous venons de considérer: il suffit pour cela de définir la fonction "'8 (t) sur l'inter- valle e t L, où Li < e, et ensuite faire tendre le point e vers Li; nous obtenons une famille de fonctions "'ë (t), e t L, pour lesquelles existe la fonction limite cherchée "'- (t), Li t L. Rem a r que 1. Si la portion de x (t), 17 < t < 17 2 , appartient aussi à un noyau ouvert du domaine G, l'inégalité (97) est relnplacée par l' inégali té (",- (17) - ",+ (17), 1\1) 0, d'oÙ. découle l'égalité 'i' + (17) === '" - (17) -1- gr a d g (x (17», O. Rem a r que 2. Si la portion de x (t), 17 t 17 2 , est située sur le bord g (x) == 0, le vecteur grad g (x (17» et le vecteur je (x (17), U (17 + 0» sont orthogonaux et la condition de saut donne: ("'- (17), f (x (17), U (17 - 0») == === (",- (17) + grad g (x (17», j. (x (17), U (17 -t- 0)) == === ('i' - (17), f (x (17), U (17 + 0») == (?1ft (", - (17), X (17») == o.
37.] FOR:rvIULATION DU RÉSULTAT FONDAMENTAL. EXEMPLES 275 D'où il résulte que si le système d'équations par rapport à u ( '" - ('t), j. (x ('t), u)) == &ft == 0 admet la solution unIque u ('t - 0) == u ('t + 0), alors le vecteur j. (x ('t), U ('t - 0)) == J. (x ('t), U ('t + 0)) est tangent en x ('t) au bord g (x) == 0; en d'autres termes, la tra- jectoire optimale reste continûment dérivable au point de jonction x ('t). R e TI1 a r que 3. Pour une trajectoire optimale située sur un bord con t i n û men t d i f f é r e n t i a b 1 e par morceaux du domaine G (jusqu'ici nous avons considéré un domaine G de bord continûment différentiable), les équations de chacune de ses portions, entièrement située sur une portion continûment différentiable du bord, ont été établies au 32. Lorsque cette trajectoire passe d'une portion continûlnent différentiable du bord à une autre, alors sont satisfaites des conditions de saut tout à fait identiques aux condi- tions (74) et (75). 9 37. Formulation du résultat fondamental. Exemples En composant les théorèmes 22, 24 et le principe du maximum, nous obtenons le théorème suivant qui fournit un système complet de conditions nécessaires que doit satisfaire toute trajectoire opti- Inale régulière qui est solution du problème optimal du 9 31. rr h é 0 r è ln e 25. Supposons qu'une trajectoire optimale de l'équation (5) soit entièrement contenue dans un fermé G, qu'elle adlnette un nombre fini de points de jonction et que chacune de ses portions située sur le bord de G soit régulière. Sous ces conditions, toute portion de trajectoire contenue dans un noyau ouvert de G (à l'exception peut-être des extrémités de la trajectoire) satisfait au principe du maximum; toute portion de cette trajectoire située sur le bord de G vérifie le théorème 22; en tout point de jonction est remplie la condition de saut (théorè- me 24). Ixelnple 1. Les conditions de saut sont valables aussi pour le problème optimal suivant. Supposons que l'espace de phase X est divisé en deux parties, notées X 1 et X 2' par 1 'hypersurface g (x) == O. Supposons que dans la partie X 1 l'équation du mouvement du point représentatif est = j (x, u), 18*
276 PROCESSUS A VEC CONTRAINTES SUR LES COORDONNÉES [CH. 6 et dans la partie .LY 2 =12 (x, u). On demande de choisir une cOlnmande admissible telle que le point représentatif, en partant de Xi E X i aboutisse sur une droite TI c X parallèle à l'axe XO et que soit minimale la coordonnée XO de l' extré. mi té de la trajec toire. Dans chaque partie .K i et X 2' les trajectoires du mouven1ent satisferont au principe du maximlun et lors de la traversée de la frontière g (x) == 0 sera remplie la condition de santo En déduisant la condition de saut dans le cas considéré, le dépla- cement initial de la trajectoire variée doit se trouver rigourenseInent sur la frontière g (x) == O. C'est pourquoi il est impossible d'utiliser le lemme de la page 266, et la démonstration du 36 ne passe que si aucun des vecteurs f.i (x (1'), U (1' - 0)), /.2 (x (1'), U (1' -+- 0)) n'est tangent à l'hypersurface g (x) == 0 au point de jonction x (1'). E x e ID pIe 2. Si l'on étudie un problème variationnel ordinaire, les conditions connues de réfraction des extrémales découlent immédiatement des conditions de saut. Ce que nous allons voir sur un problème varia- tionnel simple. Supposons que le plan engendré par les variables x ot y est partagé en deux parties, notées Xi et X 2' par la ligne g (x, y) == 0 et soient deux points (Xi' Yi) E Xi' (x 2 , Y2) E X 2 . On demande de relier ces points par une ligne Y == Y (x) continue et contini'unent différen- X2 tiable par morceaux qui minimise la fonctionnelle J F (x, y, y') dx, Xi OÙ (fi et f 2 sont des fonctions continûment dérivables) F ( ') == { fi (x, y, y') pour (x, y) E Xi x, y, y f 2 (x, y, y') pour (x, y) E X 2. Posons X2 XO = J F (x, y, yr) dx, Xl = x, x 2 = y, Xi , u==y. Le domaine de commande U est un ouvert de la droite nurnérique. Le principe du maximum s'écrit (on dérnontre aisén1ent que 1Po =1= 0, et donc on peut prendre 1Po == -1): dx O dx 1 dx 2 dt == F (x, y, y'), dl == 1, dt == II == y' ; d,po _ d1Pi oF d1!'2 aF. dt - 0, dl == iJx ' dt Dy' QJB == - F (x, y, y') + 'Pi -1-'P2Y' == max == O.
37.] FORMULATION DU RÉSULTAT FONDAMENTAL. EXEMPLES 277 Les conditions Q)£ === max et QJ[ === 0 donnent respectivement: aF F ap , ...."" 2 - , ....""1 === - 8y ' Y · 'Y - d!J' 'Y De la condi tion de saut 11'+ === 11'- + f.1 grad g (x, y) il résulte: t - iJf2 ( + ) ' === f _ aft (y - ) ' + IINI 8f2 === 8ft + 11N2 2 8!J' Y 1 8y' r' iJy' 8y' r , où (NI, N2) est le vecteur de la normale à la ligne g (x, y) === 0 au point de réfraction de la trajectoire. Soit Y' l'inclinaison de la tangente à g === 0 au point de réfraction. Nous avons: 8f2 8ft --- iJy' 8y' 1 / -f + aft ( - ) '_ 8f2 ( y+ ) ' === -¥', 2 1 8y' Y 8y' d'où nous déduisons une formule connu (voir Gunter « Cours de calcul variationnel ». 1'l.-L., 1941) fi + :; (Y' - (y-)') = f2 + ; (Y' - (y+)'). E x e m p 1 e 3. A titre d'illustration considérons le problème géométrique sui- vant. Dans un espace euclidien X de dimension n, engendré par la variable x === (Xl, . . ., Xn), on définit un fermé B par g (x) 0, le bord g (x) === 0 (99) du fermé B étant une surface régulière continûment différentiable à courbure continue, i.e. la fonction g (x) est deux fois continûment différentiable et le vecteur grad g (x) ne s'annule en aucun point de g (x) === O. On donne par ailleurs deux points Xo et Xi dans B et on demande de trouver dans B une courbe C de longueur minimale reliant les points Xo et Xi. Nous allons montrer que du théorème 25 découle le résultat géométrique évident suivant. Supposons que la courbe C de longueur minimale est constituée de plusieurs portions tantôt contenues dans un noyau ouvert de B (à l'exception peut-être des extrémités de toute portion) tantôt sur le bord (99). Les portions contenues dans un noyau ouvert de B sont alors des segments de droite et celles situées sur le bord (99) sont des géodésiques sur la surface (99), le vecteur de la principale normale à la courbe C étant dirigé vers l'extérieur de B; enfin, la portion droite contenue dans un noyau ouvert du domaine B est tangente à la surface (99) aux points de jonction de deux portions contiguës. La courbe C ne possède donc pas de points anguleux.
278 PROCESSUS AVEC CONTRAINTES SUR LES COORDONNÉES [CH. 6 Pour les besoins de la démonstration considérons le problème optimal suivant. Etant donné un système d'équations dx i i dt == u, i == 1, ..., n, où le vecteur de commande u == (u l , . . ., un) est assujetti à la condi tion n (u, u)== (Ui)21, i=1. i.e. le domaine de commande U est une boule unitaire, on demande de trouver dans B une trajectoire qui relie en tenlps minimal le point Xo au point Xi. Soit x (t), t o t t b une telle trajectoire optilnale possédant un nombre fini de portions tantôt contenues dans un noyau ouvert de G, tantôt situées sur son bord. Désignons par u (t) la commande optimale correspondante. Des conditions de maximum (théorènles 2 et 22), il vient immédiatement 1 u (t) 1 == 1 et le paramètre test donc la Ion g u e u r d e l'a r c sur la ligne X (t). Il s'ensuit que la ligne x (t) est solution du problème géolnétrique posé. Prouvons maintenant les propriétés de la courbe C énoncées ci-dessus. Le fait que les portions de courbe contenues dans un noyau ouvert de B sont des segments de droite découle ilTImédiatement du théorème 2. Considérons maintenant la portion située entièrenl0nt sur le bord du domaine B. Le domaine de comlnande U est défini par une seule relation q (u) == (u, u) - 1 O. (100) D'autre part, la fonction p (x, u) (voir (6)) est de la forme p (x, u) == (gr a d g (x), u). ( 101 ) Sur la portion de courbe x (t) considérée on a p (x, u) == (grad g (x), u) == O. (102) Le système d'équations par rapport aux variables (voir (10)) s'écrit n d'Pi == Â !.L == Â ô 2 g (x (t)) ua == Â ag (x (t)) , dt ôxi 8xi axa dt ôxi a=l i == 1, ..., n, ou d'f' d di: == Â dt grad g (x (t)). ( 103) On a QJ8 == 'Po + ('P, u), (104)
37.] FORMULA'rION DU RÉSULTAT FONDAMENTAL. EXEMPLES 279 et donc 'lpo =1= 0 (dans le cas contraire 'lIJ =1= 0 et le maximum de la quantité ('lIJ, u) serait non nul, ce qui contredit la relation (11)). Par suite, nous pouvons poser 'lIJo == -1 et la condition de maxi- mlun (11) s'écrit: ('lIJ, u) == max == 1. (105) (106) En vertu de (100), grad q (u) == 2u, et donc (voir (104), (8), (101), (106)) iJQJC f) p iJq - ==-= '1h === Â - _L V - == Â g rad g ( x ) -'- 2vu. iJu iJu iJu T ( 107) En multipliant scalairement par u l'expression 1P == Â grad g (x) + + 2vu, nous obtenons, compte tenu de (105) et (102): 1 == ('lp, u) == À (u, grad g (x)) + 2v == 2v. La formule (107) s' écri t donc 'lIJ == À grad g (x) + u, d'où (voir (103)) ; grad g (x (t)) + = O. C .. . f . 1 d 2 .x(t) du(t) dÎv d ( ( )) e qUI sIgnl le que e vecteur dt 2 === dt == - dt gra g x t est colinéaire avec la normale à la surface (99), et la courbe x (t) est donc une..géodésique sur la portion considérée, le vecteur de sa nor- male principale d;t) étant dirigé vers l'extérieur du domaine B (voir condition c) du théorème 22). Enfin, de la condition de saut on déduit sans peine que la courbe x (t) ne possède pas de points anguleux.
CHAPITI-,E 7 Un problème statistique de commande optimale Dans les chapitres précédents on a vu comment résoudre le problè- me optimal consistant à transférer un objet con1mandé d'une posi- tion donnée à une autre (ou sur une variété donnée). Ce problème peut être interprété comme un problème consistant à faire atteindre à un objet commandé un objet immobile en temps optimal. En technique, cependant, on est conduit dans de non1breux cas à poser un autre problème, celui de la poursuite d'un objet mobile par un objet commandé. On peut faire les suppositions les plus diver- ses quant au mouvement de l'objet poursuivi. On peut par exen1ple supposer qu'il est con1mandé (cf. 28). Soit un objet x dont le mouve- ment est régi par le système d'équations différentielles ordinaires . . . x == t (Xl, x 2 , n 1 2 r ) ., X , U , U, . . ., U , i == 1, . . ., n, et un objet y dont le mouvement est régi par le système . . . _ ( 1 2 n 1 2 S ) y - g y, y , . . ., y , v , V, . . ., v , i == 1, . . ., n, où u i sont les paramètres de commande de x et Vi ceux de y, et x, y des vecteurs d'un même espace de phase X. On peut alors poser le problème suivant. Connaissant les perfor- mances techniques de l'objet y (i.e. son système d'équations diffé- rentielles) et sa position à chaque instant t, choisir la commande u de l'objet x à chaque instant t telle que l'objet x atteigne l'objet y en un temps optimal (ou, selon un autre critère d'optin1alité), la commande de y - et ceci est très important - n'étant pas supposée connue pendant les instants à droite de t. Tel qu'il a été énoncé le problème de poursui te n'a encore pas été résolu à notre connaissance. Dans le présent chapitre nous nous proposons de résoudre un problème de poursuite légèrement différent. Plus précisément, nous supposons connue la loi pro b ab i 1 i s t i que du comportement de l'objet poursuivi y, cette loi étant m a r k 0 vie n n e et décrite par une équation du type Focker-Planck-Kolmogorov. Pour résoudre ce problème nous ferons appel à quelques notions et résultats de la théorie des probabilités. Dans les 38 et 40 nous citerons ces résultats sans toutefois les démontrer entièrement, nous bornant simplement à quelques éclaircissements.
38.] NOTION DE PROCESSUS MARKOVIEN 281 38. Notion de processus markovien. L'équation différentielle de Kolmogorov Supposons qu'un point se déplace aléatoirement dans un espace de phase R de dilnension n. La connaissance de sa position x à l'ins- tant cr définit univoquement la pro b ab i 1 i t é, notée P (cr, x, 't, E) qu'il soit contenu dans un sous-ensemble mesurable E de l'espace R à un instant arbitraire 't > cr. Dans ce cas, le mouvement de ce point aléatoire est appelé processus sans effet ultérieur ou processus markovien. Le mouvement de ce point est entièrement caractérisé par la fonction p (cr, x, 't, y), (1) égale à la densité de probabilité P (cr, X, 't, E) au point y. La fonc- tion p (cr, x, 't, y) vérifie de toute évidence la relation suivante \ p (cr, x, 1:, y) dy = 1 (2) &i (ici et dans la suite l'intégration s'opère sur l'espace R tout entier, si le domaine d'intégration n'est pas spécifié à priori). L'autre exprps- sion dont le sens est clair porte le nom d'identité de A1arkov p (cr, x, 1:, y) = p (cr, x, s, z) p (s, z, 1:, y) dz. (3) Un processus aléatoire est continu si pour de petits intervalles de temps, les coordonnées du point aléatoire ne subissent des varia- tions sensibles qu'à une faible probabilité. Nous exigerons d'un processus markovien une continuité plus forte à savoir: quel que soit ô > 0, on doit avoir 1 i m Ai \ p ( cr - !1 cr, X, cr, y) dy == O. o-o Llcr J 1 y-x 1;>.6 (4) Nous allons maintenant déduire une équation différentielle qui (sous certaines conditions supplémentaires) est satisfaite par la fonction p (cr, x, 't, y). Cette équation obtenue pour la prelnière fois par I(olmogorov porte le nom d'équation de f(olmogorov. Supposons que: a) les dérivées partielles 8 p (cr, x, 't, y) 8 2 P (cr, x, 't, y) 8xi 8x i 8x j i, j==1, ..., Il. existent et sont continues quels que soient cr, X, 't > 0, y; b) quel' que soit ô > 0, existent les limites lim Ai r (yi-xi)p(cr-l1cr, x, cr, y)dy== a-O Llcr J ly-x/<6 ==bi(a, x), i===1, 2, ..., n; (5)
282 UN PROBLÈME STATISTIQUE [Ch. 7 lim 8. 1 (J \ (yi - xi)(yj - x j ) P (a - a, x, a, g) dg = (J- 0 · /lJ- x /<6 =2a ij (cr, x), i, j=1, 2 ..., n, (6) la convergence étant uniforme en x dans les expressions (5) et (6). Prouvons que dans ces conditions la fonction p (cr, x, 't, y) de cr et x obéit à l'équation différentielle du deuxième ordre de type paraboli- que (équation de [(olmogorov) n n iJp + )l a ij (cr, x) + b i (cr, x) iJ p . == O. (7) iJO' LJ iJx1, iJx J L.J iJx1, i, j=l i=1 D é D1 0 n s t rat ion. En vertu de l'identité de Iarkov (3), il vient: p (a - a, x, T, y) = ) p (a - a, x, a, z) p (a, z, T, y) dz. (8) Compte tenu de (8) et de ) p (a - a, x, a, z) dz = 1, (9) nous obtenons: p (cr - cr, x, 't, y) - P (cr, x, 't, y) = = J p (a - a, x, a, z) p (a, z, T, y) dz - - p (a, x, T, y) J p (a - a, x, a, z) dz = = J [p (a, z, T, y) - p (a, x, T, y)] P (a - a, x, a, z) dz. En décolnposant l'intégrale sur R en deux intégrales respectivement sur les domaines 1 z - x 1 < ô et 1 z - x 1 ô, et en développant la différence p (cr, z, 't, y) - P (cr, x, 't, y) suivant les puissances de Zi _ Xi, nous obtenons p (cr-8O', x, 't, y)- P (cr, x, 't, y) 80' =--= 8. 1 (J ) [p (a, z, T, g) - p ( a, x, T, y)] p ( a - a, x, a, z) dz + 1 Z-x 1>6 n + âp ((J x: 1", y) A1(J \ (Zi_Xi) P (a-a, x, a, z) dz+ x1. ü ... i=l 1 z-x 1<6 n + 1 f)2 p (cr, x, 't, y) 1 ) ( i i ) ( j j ) - - z -x z -x X 2 iJxiiJxj 8cr i,j=1 IZ-x/<ô
38.] NOTION DE PROCESSUS MARKOVIEN 283 n x p (cr - !1cr, x, cr, z) dz + 1 ô 2 P (cr, X, T, y) L.J _ 2 .. X ÔX ôx J i, j=1 x lcr J 0 [/Z_XI2] p(cr-cr, x, cr, z)dz, (10) 1 z-x 1<6 Dans l'expression (10) passons maintenant à la limite pour cr O. En vertu de (4) le premier terme du second membre admet une lilnite nulle; la limite du deuxième terme est égale (voir (5)) à: n bi(cr, x) ap(cr, x: 1:, y) ; ôx 1 i=1 le troisième terme, con1pte tenu de (6), est égal à la limite n a ij (cr, x) a 2 p (cr,. x, , y) . ÔX1 ôxJ i, j=l Le dernier tern1e, enfin, tend vers 0 pour ô O. Comme le premier melnbre de l'égalité (10) ne dépend pas de ô, la limite du second 1nelnbre est n n a ij ( cr, x) a 2 p (cr,. x, , y) + b i (cr, x) a p. . . . ôx 1 ôxJ. ôx'L 1, J=1 1=1 D'où nous déduisons que le premier melnbre de l'égalité (10) admet pour ô 0 une lin1ite égale à âp (cr, x, 't, y) ôcr La fonction p (cr, X, 't, y) est donc solution de l'équation (7). Il s'avère même que p (cr, X, 't, y) est une solution fondamentale de l'équation (7). Ce qui veut dire que la solution u == u (cr, x) de l'équation (7) satisfaisant à la condition initiale donnée à l'avance u (cr, x) - F (x), ( 11 ) O'-'t où F (x) est une fonction donnée de n variables Xl, x 2 , . . ., .1: n , s'exprilne par la formule u (cr, x) = J P (cr, x, "t, y) F (y) dy. (12) En effet en dérivant l'intégrale du second membre de (12) par rapport à cr et x et en utilisant l'équation (7) nous obtenons n n au x) + aH (cr, x) a 2 u (cr, x) + bi (cr, x) au (cr,. x) = 0, L! ôxi ôxj L! ôx'L i, j=l i=l
284 UN PROBLÈME STATISTIQUE [Ch. 7 expression qui montre que la fonction u (cr, x) est bien solution de l'équation (7). La formule (11) se démontre de la manière suivante. Déconlpo- sons l'intégrale sur R figurant dans le second membre de l'égalité (12) en deux intégrales que nous prendrons respectivement sur les régions. 1 y - x 1 < ô et 1 y - x 1 ô. Puisque pour 1 y - x 1 ô nous avons évidemment p(cr, x, 'r, Y)---70, O''t en vertu de la continuité du processus, il vient lim r p(cr, x, L", y)F(y)dy==lim r p(cr, x, L", y)F(y)dy. O'-'t J O'-'t J 1 x-y 1<6 En utilisant la relation (2) et le fait que la limite à gauche ne dépend pas de ô, nous déduisons lim r p (cr, x, L", y) F (y) dy == F (x), 0'- 't J ce qu'il fallait démontrer. Soulignons encore une im portan te propriété de la fonction p (cr, x, L", y) qui nous sera utile pour la suite. Soit à résoudre l' équa- tion parabolique non hon10gène n n B u . . 8 2 u . iJ u , 3 - + LJ a J (cr, x) . . -t-- LJ b ( cr, x) ---:- == p (cr, x), 1 ( '1 ) Ba .. {)x âxJ. {)x , J=1 =1 la fonction cherchée devant satisfaire à une condition initiale nulle. 1 l s' avère que si p (cr, x, L", y) est une so lution fondamen tale de l' équa- tion homogène correspondante, alors la solution cherchée est donnée par la formule 't u (cr, x, 1:) = - ) ds J p ( cr, x, s, y) p (s, y) d Y . ( 14 ) 0' Ce qu'on démontre immédiatement par une dérivation. 9 39. Formulation exacte du problème statistique Dans ce chapi tre nous désignerons par Zl, . . ., zr les coordonnées de phase du point commandé. Ainsi, dans l'espace R le mouvement du point z est décrit par le système d'équations différentielles ordi- naIres . i _ f i ( 1 2 n 1 r ) . 1 2 ( 15) z - z , z, . . . , z , u , . . ., u , l == , ,..., n, où Ul, u 2 , . . ., ur sont les paramètres de commande. Comn1e précé- demment nous supposerons que les fonctions fl (z, u) sont continues
:HL] FORMULA'rION EXACTE DU PROBLÈME STATISTIQUE 285 en toutes leurs variables et continûment dérivables par rapport '" 1 2 n a z , z , . . ., z . Supposons que dans l'espace R le point représentatif Q se déplace aléatoirelnent, rnais de telle sorte que son mouvement soit un proces- sus lnarkovien satisfaisant aux condi tions de continuité forte. Nous avons vu dans le paragraphe précédent que le processus était caracté- risé probabilistiquement par la fonction p (cr, X, 't, y) que nous appellerons densité de transfert du point aléatoire Q. La densité de transfert est donc solution fondamentale de l'équation (7). Nous snpposerons dans la suite que le mouvement du point aléatoire est donné par la fonction p (cr, x, 't, y). Quant aux coefficients de l'équation (7) nous supposerons que: 1) aU (cr, x) et b i (cr, x), i, j == 1, 2, . . ., n, sont définis, conti- nns et bornés pour cr > 0 quel que soit x ER; .. 2) toutes les valeurs propres de la matrice Il a 1J (cr, x) Il pour ces valeurs des argulnents sont bornées supérieurement et inférieure- ruont par des constantes positives. Supposons que dans l'espace R le point commandé z se déplace avec l'un de sos voisinages z, par exelnple une boule ou un domaine, linlité par une surface quelconque continûment dérivable et bornée, variant continûment avec z. Si l'on donne la loi de commande du point z, i.e. le paramètre de cornmande u comme une fonction u == == II (t) continue par lnorceaux, le système d'équations différentiel- los (15) définit d'une manière univoque ]e mouvement continu du point z dans l'espace R. Si donc sont données les positions initiales du point commandé zet du point aléatoire Q, alors est univoquement définie la probabilité de rencontre du point Q avec le voisinage z sur un intervalle fini de temps cr t 't ou sur un intervalle infi- ni cr t < 00, etc. Cette probabilité est donc une fonctionnelle de u (t). Et il est tout naturel de poser le problème qui consiste à choisir la commande u (t) de z qui maximise cette fonctionnelle. En vue de formuler rigoureusement le problème, introduisons la fonction h (t) non négative et non supérieure à l'unité, définie pour 0 t < 00. Soit d'autre part 'i'u (cr, x, t) la probabilité que le point aléatoire Q qui se trouve en x à l'instant cr rencontre pendant l'inlervalle de ternps cr t 't le voisinage z du point commandé z (on suppose évidelnment que la position initiale du point z, i.e. z (cr), est donnée). On demande de choisir la commande u (t) du point z qui lnaximise la fonctionnelle 00 J = , h ( s) :s ['Pu (cr, x, s)] ds. ( 16) b Ia fonction h (t) définit le problèllle optimal, SI par exemple h (t) = { 1, cr t 't, 0, t > T,
286 UN PROBLÈME S':rATISTIQUE [Ch. 7 alors J = 'i'u (cr, X, 't), i.e. la fonctionnelle (16) est tout simplement la probabilité de la rencontre du voisinage z avec le point Q sur l'intervalle cr t 'r. La comn1ande u (t) et la trajectoire correspondante z (t) du systè- me (15) qui réalisent l'extrémum de la fonctionnelle (if)) seront di tes optimales. La résolution du problème se ramène donc au calcul de la fonctionnelle (16), puis à l'application du principe du nlaxÏ1nzan. La fonctionnelle (16) dépend évidemment des dimensions et de la forme du voisinage z du point commandé z. Nous verrons dans le paragraphe suivant que pour la calculer il faut résoudre le problè- me aux limites pour l'équation parabolique aux dérivées partiel- les (7). En outre, nous ne nous intéresserons pas tant à l'existence de la solution qu'à une formule efficace qui nous donnera, ne fût-ce qu'approxin1ativement, cette solution. On verra que cette formule peut être établie si seulement le voisinage z est pris pet i t. Mais le problème qui se pose est justement celui qui consiste à « recouvrir » le point aléatoire Q par lIn petit voisinage cOll1n1andé. Ainsi donc, dans la suite, à partir du 41, nous considérerons que le voisinage z est petit. Pour simplifier, nous supposerons que z est une boule de dimension n de rayon E et de centre au point z. Cependant, le lecteur attentif remarquera que nos raisonneJnents et le résultat obtenu ne changent pratiquement pas si pour z on prend un domaine arbitraire de « rayon» petit, délimité par une surface continûment différentiable et variant contin1Îment avec z. 9 40. Calcul de la fonctionnelle J par résolution du problème aux limites pour l'équation de I(olmogorov Avant d'indiquer une approche de calcul de la fonctionnelle (1 G), faisons encore lIne remarque sur les processus lllarkoviens. Choisissons dans l'espace R un domaine r fixe délimité par une surfaee S continûment différentiable de dimension n - 1. Désignons par q (cr, X, 't, y) la densité de probabilité pour que le point aléatoire de x à l'instant cr soit transféré en y à l'instant 't sans ponr cela pénétrer dans le domaine r pendant l'intervalle de telnps cr t 't tout entier. Il s'avère que partout à l'extérieur du domaine r la fonction q (cr, x, 't, y) obéit à la même équation (7) que la fonction p (cr, x, 't, y) et aux conditions aux limites suivantes: lim \ q(cr, X, 't, y)dy=lim \ p(Œ, x, 't, y)dy==l, (17) 11-1' J 0'-1' .J R-r R-r , q(a, x, 1:, y)dyO pour xxoES. (18) R':"'r
40.] CALCUL DE LA FONCTIONNELLE J 287 On trouvera la démonstration rigoureuse de ce que nous venons d'avancer dans les ouvrages consacrés à la théorie des probabilités. Nous ferons simplement quelques suggestions qui permettront au lecteur de s'assurer de la validité des propositions énoncées. La relation (17) est relativement évidente. La relation (18) devient évidente si l'on considère que le mouve- ment du point aléatoire Q est un mouvement brownien (ce modèle généralise tout processus markovien). Si la particule Q se trouve sur le bord d'un domaine imaginaire r d'un vase, la probabilité pour qu'elle pénètre dans ce domaine pendant le temps cr t 't' est égale à l'uni té. C'est ce qu'exprime la relation (18). Il nous reste à vérifier que la fonction q (cr, X, 't, y) obéit partout en dehors du domaine f à l'équation (7). Pour cela il suffit de réexa- miner attentivement con1ment a été déduite l'équation (7) dans le 38. Cette déduction reposait entièrement sur l'identité de Nlarkov (3) qui évidemment est valable pour la fonction q (cr, x 't, y). Outre l'identité (3) nous avons utilisé la relation (9). Ici ) q(cr-!1cr, x, cr, y)dy:f=.1. (19) R-r Or la condition de continuité forte (4) entraîne ) q (cr - !1cr, x, cr, y) dy = 1 + 0 (!1cr), (20) R-r ce qu'il fallai t montrer. Jusqu'ici le domaine f était considéré fixe. Supposons à présent que f n'est pas fixe, mais qu'il se déplace, i.e. nous avons un groupe à un paramètre de domaines ft. Désignons par q (cr, x, 't, y) la densité de probabilité que le point aléatoire Q, de x à l'instant cr soit transféré en y à l'instant 't, sans rencontrer aucun domaine mobile ft durant l'intervalle cr t 'ta Il est alors évident que la fonction ) q (cr, x, .., y) dy (21) est solution de l'équation (7) el satisfait à la condition aux limites: ) q (cr, x, .., y) dy -+ 0 pour X -+ Xo E Sa. (22) Jaintenant nous sommes en n1esure d'indiquer une n1éthode de calcul de la fonctionnelle (16). Supposons que le domaine mobile rt soit un voisinage du point commandé z (t). Désignons ce voisinage par z<t) conformément au 9 39. Posons 'p (cr, x, ..) = 1 - ) q (cr, x, .., y) dy. (23) L'équation (7) étant linéaire, la fonction 'lJJ (cr, x, 't) des variab]es cr et x obéit à l'équation (7). D'autre part, de (17) et (22), il résulte
288 UN PROBLÈME STATISTIQUE [Ch. 7 que la valeur initiale de cette fonction est nulle (pour cr == 't) et sa valeur frontière est égale à l'unité sur le bord du voisinage z (0"), soi t : 'lIJ ('t, X, 't) == 0, } 'i' (cr, X, 't) IsO" == 1. De la définition il résulte immédiatement que la fonction 'l' (cr, X, 't) est la probabilité pour que le point aléatoire Q, qui à l'instant cr se trouve en x, soit « recouvert » par le voisinage Z(t> du point cOffilnandé z durant l'intervalle de temps cr t 'ta Donc la fonction 'i' (cr, X, 't) définie par la formule (23) est confondue avec la fonction "-Pu qui figure dans la fonctionnelle (16), si bien que pour calculer la fonctionnelle (16) nous devons résoudre l'équation (24) n n a) t- ij ( ) 82'1) + 2: b i ( ) thl) -- 0 -- y a cr, x cr, x -- 8a . 8xi 8x j . 8xi 1, J=1 1=1 (25) avec les conditions aux limites suivantes: 'lIJ (cr, X, 't) ---?- 0, o-+'t 'tp(cr, x, 't)1 pour xxoESo. (26) (27) Comme nous l'avons déjà mentionné, nous allons résoudre ce problème pour le cas où le voisinage l du point commandé z est une boule de rayon E. Nous verrons que dans ce cas la solution du problème (25), (26), (27) est de la forme 1P (cr, X, 't) == 8 11 - 2 '¥ (cr, X, 't) + 0 (8 n - 2 ), (28) et nous calculerons la fonctionnelle 8 n - 2 1[f (cr, X, 't) qui est le terlne principal de la probabilité 'i' (cr, X, 't). Soulignons immédiatement que la formule (28) n'est valable que pour n > 2. Jusqu'à la fin du présent chapitre nous supposerons donc que l'espace de phase R est de dimension n > 2. 41. Calcul de la fonctionnelle I dans le cas où l'équation de Kolmogorov est à coefficients constants Dans ce paragraphe nous allons calculer approxin1ativement la probabilité 'i' (cr, X, 't) et par conséquent la fonctionnelle (16) dans le cas particulier important où l'équation (25) est à coefficients constants. Dans les calculs nous allons utiliser des éléments de théorie des équations intégrales ainsi que la notion do potentiel de double couche. Le lecteur pourra se référer à la théorie des équations diffé- rentielles à dérivées partielles et notamment à l'ouvrage S. Sobolev « Equations de la physique mathématique » (en russe). Les défini-
41.] CALCUL DE LA FONCTIONNELLE J DANS UN CAS PARTICULIER 289 tions et les théorèmes utilisés seront formulés au moment opportun. Soit donc à résoudre l'équation n n + aij a'I". + b i ô 'l'. == 0 (29) ôa . ax ax3 .LJ ax , 3=1 =1 (où a ij et b i sont des coefficients constants) pour les conditions aux limites (26), (27) que nous écrirons dans la suite sous la forme '1' (T, X, T) = 0, (30) ,p(a, x, T)ls(J==1; (31) par St nous désignerons la boule de rayon B et de centre au point z (t). Passons tout d'abord de ce problème à celui avec une condition frontière donnée sur une sphère de rayon B et de centre à l'origine des coordonnées. A ces fins, introduisons dans l'espace (z, t) les nouvelles coordonnées: z = + z (t), a t s, (32) de sorte que x = + z (a), } y = f) + z (s). (33) Ce changement de coordonnées transforme la sphère Sa en la sphère S 8 définie par l'équation (1)2 + (2)2 + . . . + (n)2 == B2. Cf) (0', , 't) == '1' (0', + z (cr), 't). (34) (35) Posons Nous obtenons immédiatement l'équation différentielle relative- ment à Cf) (0', , 1:) n ôcp .. aa + L.J a 13 i, j=1 n 2ep . + [bi-z i ' (a)] Bep. ==0 ô1. ô3 .LJ ô1. 1=1 (36) et les conditions cp(T, , 't)=O, cp (cr, , T) fs = 1. e (37) (38) Certaines constructions complémentaires sont nécessaires afin de résoudre l'équation (36) avec les conditions (37) et (38). Nous allons commencer par celle d'une solution spéciale de l'équa- tion n 8cpo + a ij 8 2 cpo = 0 acr .. ai aj 1, 3=1 (39) 19-01339
290 UN PROBL:E:ME STATISTIQUE [Ch. 7 avec la condition initiale ({Jo ('t, , 't) = O. (40) Des coordonnées 1, . . ., n passons moyennant une transfor- mation linéaire aux coordonnées 1 , . . ., n tl tn tl "tn ':, , · · ., ':, '0 , · ..., '0 , (41) en lesquelles l'équation (39) prend la forme: Bq:>o - aa + ({Jo == 0, (42) où est le laplacien. Sous l'effet de cette transformation la sphère Se devient évidemment un ellipsoïde S e d'équation } ( £1 )2 + . . . + Â,n ( n )2 = 82, Î'}' . . ., Â,n (43) (44) " ou sont les valeurs propres de la matrice (a ij ). Démontrons tout d'abord la proposition suivante. Lem m e 1. La solution s'éloignant à l'infini du problème extérieur de Dirichlet pour l'équation -; 8 2 ; v = - 2 + ... + - 2 :=: 0 ( 45) al an avec la condition aux limites v () 18 == 1 B (46) est sur l'ellipsoïde (43) de la forme v(£) ==8 n - 2 CG _ +n(s, 8), r n - 2 () a étant une constante positive univoquement définie par les dimensions de l'ellipsoïde (43) ; r ( ) la distance du point 1 à l'origine des coordon- !Zées; la fonction Jt ( , 8) satisfaisant aux inégalités suivantes pour 111 < 1 : 1 n (£, 8) 1 < NI 8n- , 1 â. n (, 8) < M 8n- , ( 48) r n - 1 () 8 r n (6) i==1, ..., n (M==const). (47) Pour démontrer ce lemme, il nous faut utiliser la notion de potentiel de double couche. Rappelons sa définition et quelques unes de ses propriétés.
41.] CALCUL DE LA FONCTIONNELLE J DANS UN CAS PARTICULIER 291 Soit S une surface fermée continûment différentiable contenue dans un espace de dimension n et x = (Xl, . . ., x n ) un point non situé sur S. Les coordonnées des points situés sur la surface S seront toujours désignées par yI, . . ., yn. Posons p (x, y) = V(x 1 - yl)2 + . . . + (X n _ yn)2. (49) La fonction - Î a ( p;'z ) n(x)= J l-t (y) dS, s ôn (50) où : représente la dérivée suivant une normale extérieure à la an surface S, est appelée potentiel de double couche, engendré par la surface S au point x, et la fonction l-t (y) sa densité. Les propriétés suivantes du potentiel de double COllche se démontrent aisément: 1. Partout à l'extérieur de S la fonction n (x) est harmonique: n (x) = o. (51) 2. Le potentiel de double couche a un sens si on remplace x par un point quelconque y de S. La valeur prise par la fonction Je (x) sur la surface S sera désignée par n o (y). 3. La fonction n (x) admet une ,limite lorsque le point x tend de l'extérieur vers un point quelconque de S. Si cette limite est dési- gnée par ne (y), on a alors ne (y) = -v (n) l-t (y) + no (y), V (n) = const > O. (52) -+ 4. Désignons par cr (n, p) l'angle formé par la normale extérieure' à S en un point quelconque y et le rayon vecteur p reliant le point y. au point x. Le potentiel de double couche peut alors être mis sous. la forme - r cos cr Jt (x) = (n - 2) J l-t (y) pn-l dS. s Toutes ces propriétés se déduisent immédiatement de la défini- tion du potentiel de double èouche., Le lecteur pourra lui-même, les démontrer ou se référer alors à un quelconque ouvrage sur la' théorie des équations différentielles à dérivées partielles, par exemule\ l'ouvrage déjà mentionné de S. Sobolev. D é ID 0 n s t rat ion d u' 1 e m ID e 1. Nous allons chercher- la solution de l'équation (45) avec la condition aux limites (46) sous la forme suivante - 'CG -- v (s) = E n - 2 _ +n () r n - 2 () , (53) ; 19 *
292 UN PROBLÈME STATISTIQUE [Ch. 7 où a est une constante à déterminer, et n ( ) le potentiel de double couche engendré par l'ellipsoïde (43) au point à densité à déterminer 1-1 (r}) (par tl_nous désigne rons les coordonnées des points situés sur l'ellipsoïde S r;J. Puisque n () est, en vertu de la propriété 1, solu- tion de l'équation (45) et que la fonction 1 r n - 2 () obéit également à l'équation (45) (ce qu'on vérifie aisément par dérivation), la fonction v ( ), définie par la formule (53), obéit à l'équation (45). La condition aux limites (46) donne - - B n - 2 ne('t'])==1-ex _ (54) r n - 2 (11) quel que soit fi E Se- Or, en vertu de la propriété 3 et en utilisant la formule (52), il vient: - - - B n - 2 - l' (n) 1-1 (11) + no ('t']) == 1 - ex - . ( 55 ) r n - 2 (11) En introduisant les notations: - - 1 (n-2)coscp - K ('f), 'f)t) = l' (n) pn-l (11, ti1) , 'f), - 1 [ Bn-2 J <D('t'])== ex -1 l' (n) - r n - 2 (11) , ) 't']1 E Se, (56) J nous obtenons une équation intégrale non homogène relativement à la densité (fi ) : ( 'f) ) = \ K ( 'f) , 'f) t) ( 'f)t ) a s e + <I> ( 'f)) . .. Se (57) L'équation (57) est l'équation intégrale de Fredholm du deuxième genre. Pour de telles équations a lieu le Thé 0 r è m e d e F r e d h 0 1 m. Pour que l'équation (57) soit résoluble il est nécessaire et suffisant que son terme libre soit ortho- gonal à toutes les fonctions propres de l'équation intégrale homogène conjuguée " ( 'f)) = K ( 'f) t> 'f)) ('f) t) a s e . Se (58) Le lecteur trouvera également la démonstration de ce théorème dans l'ouvrage déjà cité. On y démontre aussi que si le noyau
9 41.] CALCUL DE LA FONCTIONNELLE J DANS UN CAS PARTICULIER 293 K (''1 , 11 1) est défini par la formule (56), l'équation (58) possède une seule fonction propre. Désignons-la par "0 (11 ) et supposons-la connue. La condition d' orthogonalité dont il est question dans l'énoncé du théorème de Fredholm permet de calculer la constante a pour laquelle l'équation (57) est résoluble relativement à fl (11 ). En effet, écrivons la condition d' orthogonali té 1 J r gn-2 J -- () L a - - 1 "0 (11) dS e = o. l' n _ r n - 2 (11) se D'où J 'Vo (rJ) dS e a== S e (59) gn-2 r "0 ( d S e ) r n - 2 (11) Se Dans cette formule la quantité a semble dépendre de E. Ce n'est pourtant qu'une apparence, car si l'on désigne par S l'ellipsoïde Âl ( 111 )2 + Â2 ( 112 )2 + . . . + À n (l1 n )2 == 1 (60) déduit de l'ellipsoïde Se par une homothétie de rapport 1/E, nous constatons sans peine que ). 'Vo ( 1')) d S s a== r Vo (11) dS J r n - 2 (11) s (61) Le nombre a ne dépend donc pas de E, il est entièrement défini par les valeurs propres de la matrice (a ii ). Dans la formule (61), "0 (11) représente la fon cti on propre de l'équation intégrale (58) composée pour la surface S. La fonction v (s ) définie par la formule (53) (voir (47» pour la valeur de a définie de (61) est donc solution du problème (45) et (46). Les inégalités (48) peuvent être démontrées en étudiant plus en détail les propriétés du potentiel de double couche n (s ) défini par la formule (50) . Nous utiliserons plus loin le lemme démontré. Pour l'instant nous allons nous servir de .la constante a déterminée pendant la démonstration du lemme. La constante a sera appelée dimension
294 UN PROBLÈME STATISTIQUE [Ch. 7 de l'ellipsoïde (60); cette dimension. 9.épendra donc continûment des valeurs propres de la matrice (a:J). Voyons maintenant comment construire une solution spéciale de l'équation (39) satisfaisant à la condition initiale (40). Soit g (0-, , 't, 11 ) une solution fondamentale de l'équation de la chaleur d'ordre n a; a 2 v a 2 ü acr + - 2 + ... + - 2 == O. (62) as 1 as n On sait que cette solution fondamentale est de la forme explicite suivante: 1 { lïï-12 } g ( 0-, s, 't, 1') == !!:- exp - 4 ('t _ cr) · [4n ('t - cr)] 2 (63) Posons maintenant <pci ( 0-, , 't) == ë n - 2 CG _ + r n - 2 (s) + n (, ë) - j . g (0-, I, T, 1] ) [ ë n - 2 CG _ + n ( 1] , ë) ] d'YI , r n - 2 (1'}) , (64) ou encore cpci (cr, , T) == CPo (cr, , T) + ô CP: ( 0-, , -r), (65) où CPo (cr, s, 't) == ë n - 2 CG _ - r g (cr, , -r, 11 ) ë n - 2 CG _ d1]. (66) r n - 2 () J r n - 2 (11) Il est évident que la fonction CP: (cr, ., 't) est solution de l'équation (62) et qu'elle vérifie la condition initiale cP (cr, s, T) = 0 pour cr == 'te (67) Passons maintenant des coordonnées "[1, . . .t S n aux coordon- , tl tn nees '0 , · · ., '0 . Supposons, ceci étant, que les fonctions cp ci (cr, s, T), CP o (cr, s, T), ô cp (0-, s, -r), g (cr, s, T, 1') se transforment respectivement en les fonctions l cpci (cr, , T), CPo (cr, s, T), ôCP: (cr, s, 't), g (0-, s, 't', 'YI). Dans la suite nous aurons besoin de la fonction {j)o (0-, , 't) sous sa forme explicite. Pour cela nous devons savoir comment exprimer en les coordonnées 1, . . ., n les fonctions r ( ) et g (0-,1, 't, 1') . Ce qui est simple. En effet.. si l'on désigne par aij
41.] CALCUL DE LA FONCTIONNELLE J DANS UN CAS PARTICULIER 295 les éléments de la matrice inverse de (a ij ), de sorte que n aijajk == ô1. j=1 On s'assure immédiatement que (68) n 1 r ( s) == ( L aijsisj) 2 , i, j=1 n ..!.. l 'Y) -1, == [ aij ('Y)i - Si) (l1 j - sj)] 2 . i, j=1 Compte tenu de (69) d1] = V 1v 1 1v 2 . . . 1v nd1], (70) la fonction q>o (cr, S, 't) s'écrit sous la forme explicite suivante: <Po ( cr, S, 't) == ê n-2 a n n-2 ( aijij) 2 i, j=l - J g (cr, S, 't, '1']) B»-2 aVÂl...Ân n n-2 ( aijll i ll j ) 2 i, j=1 d'rl , (71) où g (cr, s, 't, 1]) == 1 { C aU (T]i- 1;i) (T]i-1;i)] } 1, .1=1 n exp -- 4 Ct-a) · [4n Ct-a)] 2 (72) Nous venons ainsi de démontrer le L e ID m e 2. La fonction cp = CPo (cr, s, 't) + ôcp: définie par les jorlnules (65), (71), (72) est so lution de l'équation n a<:p + ôa L.J i. j=1 ô 2 * a ij <:Po = 0 ai aj (73) et satisfait à la condition initiale nulle cP ('t, S, 't) = o. (74) Il ilnporte de souligner que la fonction cp: (cr, s, 't) n'est pas égale à l'unité sur la sphère S e. Cependant, nous ,verrons dans la suite que dans un certain sens sa valeur frontière est très proche de 1'unité.
296 UN PROBLÈME STATISTIQUE [Ch. 7 Nous avons maintenant réuni tous les éléments nécessaires pour résoudre l'équation (36). Tout d'abord nous allons chercher une solution spéciale satisfaisant à la condition initiale nulle. Nous verrons que la valeur frontière de cette solution diffère très légère- ment de l'unité. De là nous déduirons que cette solution spéciale ne diffère que légèrement, d'une quantité d'un ordre supérieur de petitesse par rapport à ê, de la solution exacte du problènle (36), (37), (38). Ensuite, nous simplifierons la solution spéciale en élimi- nant certains termes, ce faisant nous obtiendrons une solution appro- chée du problème (36), (37), (38). Mettons en œuvre le programme conç.u. Nous allons chercher la solution spéciale de l'équation (36) qui satisfait à la condition initiale nulle sous la forme (1)* (a, s, 't)==cp(a, s, 't)+q>f(a, s, 't), (75) où cp est la solution de l'équation (73) satisfaisant à la condition (74) que nous venons' de construire, et q>: une fonction à déteruliner. On vérifie immédiatement que la fonction q>i doit obéir à l'équation parabolique non homogène suivante: n âcpf + aU â cr L.J i, j=l n ôcpf. + [bi _ Zi' (cr)] ôcp = a âJ . âs 2 1=1 n c= _ [bi _ Zi' (cr)] ôcpt (cr'.' T) a2 (76) i=l et satisfaire à la condition initiale cpi('t, s, 't)==0. (77) Il apparaît inlpossible de résoudre le problème (76), (77) sur l'espace R .tout entier en utilisant une formule identique à la formu- le (14) du 9 38, car le second membre de l'équation (76) possède pour S = 0 un pôle d'ordre n qui apparaît lors de la dérivation de la fonction Je (, 8). Cependant, on peut tourner cette difficulté puisque, ce qui nous intéresse, c'est l solution cpi (cr, s, 't) en dehors de la boule limitée par la sphère S e. Pour cela nous allons faire appel à la fonction q (a, x, s, y) définie dans le 9 40 et égale à la densité de probabilité que le point àléatoire Q qui à l'instant cr est en x, soit à l'instant s en y sans rencontrer pendant l'espace de temps cr t s la boule Z(t> de rayon E et de centre au point commandé z (t). Il est évident que la fonction q* (cr, s, s, 'l1) == q (cr, s + z (cr), s, "1 + z (s)) = q (a, x, s, y) (78) (voir formules (32), (33) est en dehors de la sphère S e une solution fonda- mentale dé l'équation (36) et qu'elle satisfait à la condition aux linites J q* (cr, , s,11) d11 !sES e = 0, (79)
41.] CALCUL DE LA FONCTIONNELLE J DANS UN CAS PARTICULIER 297 la solution du problème (76), (77) est donnée en dehors de la sphère S e par la fonction L n cp!(cr, G, -r) = ) ds ) [q* (cr, G, s, YJ) (bi-. a Re i=1 - Zi' (s)) a<pt i1'J' 't) J d'Il, (80) où Re désigne le complémentaire relativement à R de la boule limitée par la sphère S e. Il est évident que cpt (cr, s, 1') IsES e === o. Nous obtenons donc le Lem ID e 3. La fonction CD*(cr,, 't)===cpô(cr,, 't)+cpi(cr, £,1'), (81) où cp;j (cr, s, 1') est définie par la formule (65) et cp (cr, s, 1') par la formule (80), est une solution de l'équation (36) satisfaisant à la condi- tion initiale nulle $ ('t, s, 1') = 0 et prenant les mêmes valeurs fron- tières sur la sphère S e que la fonction cp (cr, , 1'). Nous allons maintenant prouver que la fonction $* (cr, s, 1') approxime la solution du problème (36), (37), (38) en dehors d'une boule de rayon ro (ro étant un nombre quelconque fini indépendant de 8) . Cette démonstration repose sur le lemme important concernant la majoration des solutions de l'équation parabolique. Formulons. ce lemme. L e ln n1 e 4 (sur la majoration des solutions de l'équation parabo- lique). Soit u (cr, s, 1') une solution de l'équation parabolique n n au ïj a 2 u au 7Jéi= - 2} a (cr, G) aGi aG j -.2} b i (cr, G) aGi - L (u), (82) i, j=l 1=1 satisfaisant aux conditions u ('t, s, 1') === 0, } u (cr, G, -r) 1 ESe = W (cr, -r), (83) où ( { const pour l' - cr 8, W cr, 't) Ô (8) pour l' - cr > 8 (8 (8) -+ 0 pour 8 -+ 0). On a alors 1 u (cr, S, 1') 1 < L\ (s, 8) + ô (8) X (cr, S, 1'), (84) (85)
298 UN PROBLÈME STATISTIQUE [Ch. 7 où;j. (, 8) est une fonction positive d'ordre 0 (8 n - 2 ) pour tout 1 1 > ro, et X (cr, , 't) une solution de l'équation (82), de valeur initiale nulle pour cr = 't et égale à l'unité sur la sphère S e. La démonstration du lemme est difficile et nécessite de laborieux calculs. Elle fait appel à de nombreuses majorations des solutions de l'équation de la chaleur ôu [ ô2u ô 2 u ] ôa = - ô1;i2 +... + ôn' = -l1u. Commençons par ces majorations. Soit (86) g (cr, s, 't, "1) == 1 111- sl2 e - 4('(- 0) n (87) [4rc ('r-a)] 2 une solution fondam entale de l'équati on (86). Posons comme précé- demment r (s) = J f S12 + . . . + sn2 et introduisons les notations suivantes: 0>1< (a, S, 1:)= r g(a, S, 1:, 1'])+-d1'], J r (f)) (88) 't Q Il (cr, S, 't) == r ds r g ( cr, , S,11) d f] . J J rR(f)) (J Pour que les intégrales des seconds membres des formules (88) et (89) aient un sens nous devons bien sûr considérer que k < n. Nous aurons besoin des trois inégalités Sllivantes faisant inter- venir Wh (cr, S, 't) et Qh (cr, S, 't) sous réserve que le point S appar- tienne à la sphère Se: Ô (B) Wh (cr, , 't) IES < R. pour T- cr> ë, e B C Wk(cr,S,'t)\sES <- pour T-(jë, . e BR. C }ln B 1 Qh (cr, S, 't) I ES < R · u e B -2 Ici C désigne une constante ne dépendant pas de ë et Ô (8) -+ 0 pour 8 -+ O. D é duc t ion des i n é gai i tés (90), (91). On voit sans peine que (Ok (cr, SI, ..., n, (89) (90) (91) (92) 't) == Wk (cr, r (S), 0, ..., 0, T)-== ('rIl-1.(»2+(112)2+.. .+(ll n )2 1 1 r e - 4('t-0) - dtl. n J rk(fJ) [4n('t-a)] 2 (93)
41.] CALCUL DE LA FONCTIONNELLE J DANS UN CAS PARTICULIER 299 Posons ll i = r () Xi, 't - cr = r 2 () t. De (93) on déduit alors 1 Wh (cr, £, 't) ==: h V (t), r (s) ()Ù (94) (95) (x 1 - 1 )2+{x 2 )2+. . . +x(n2) 1 V (t) = 1 n (' e - 4t - dx. (96) J rh(X) (4nt) 2 Il est évident que V (t) -+ 1 lorsque t -+ O. Soulignons pour la suite que lorsque t est grand, la fonction admet l'asymptote suivante V (t) = 0 ( t ) · En effet, SI nous opérons la transformation 2 VT yi = xi dans (96), nous obtenons l( ) - [ ( yl_ V- ) 2 +{y2)2+. . .+(yn)2 ] 1 V (t) = - e - 2 t . rh (y) t dy, (97) V (t) (98) (99) où K est une constante, et par conséquent la relation (98). Ainsi nous avons 1 ( 't'-cr ) Cùh (a, , T) < rh () V r 2 (6) · Mais par ailleurs il est aisé de voir que V( 't;a )<6(8) pour T-a> 8, } V( 't;a ) <const pour T-a8, ( 1 00) (101) d'où résultent les inégalités (90) et (91). D'autre part, nous avons toujours ( T) < const . Wh cr, S, rIt (;) ( 102)
300 UN PROBLÈME STATISTIQUE [Ch. 7 D é duc t ion d e l'i n é gaI i t é (92). On voit aisénlent que Qh (cr, SI, ..., k, 't) = Qh (cr, r (), 0, ..., 0, 't) == == J ' ds J 1 e -(1]1-r(W2;);:--. .+(1]n)2 1 n d. rh (Y)) a [411: (s - cr)] 2 En posant "1; === r (S) x;, s - cr === r 2 (S) t, nous obtenons 1 Qk (cr, {;, -r) = r k - 2 (£) 't-a r 2 ( s) J V (t) dt, o (103) où V est la fonction définie par (96). En particulier, 1 Q (cr, S, 't) IES == £ f,k-2 't-a E2 J V (t) dt. o . ( '104 ) En tenant compte de l'asymptote de la fonction V (t) pour t grand (voir formule (98», il vient immédiatement 't' -- a E2 J V(t)dt<Clluel pour k=2. o ( '105 ) 't'-a E2 J V(t)dt<C pour k>2, o (10G) ce qui entraîne l'inégalité (92). Nous avons pu constater que cons t Qh(cr, £, 't)< J . (107) r -2 () ReIn a r que à pro p 0 s des i il é gai i tés (90), (91), (92). Soit p* (0-, S, 't,11) une solution fondamentale de l'équation (82). Définissons à partir de cette solution les fonctions Wh (cr, S, 't) et QR. (cr, , 't) d'après les formules (88), (89) (en y remplaçant g par la fonction p*). On constate que les inégalités (90), (91), (92) sont également valables pour les fonctions Wh (0-, S, 't) et Qh (cr, S, 't) définies ci-dessus. En effet, dans la théorie des équations paraboli- ques on démontre que pour des contraintes sur les coefficients de l'équation (82), limi tations que nous avons supposées renl plies au 39, toute solution fondamentale de l'équation (82) est n1ajorée par une solution fondamentale d'une certaine équation de la chaleur,
41.] CALCUL DE LA FONCTIONNELLE'] DANS UN CAS PARTICULIER 301 l.e. a lieu 1 'inégalité C -1' 11\-12 p* (cr, , 't, rt) < n e 't-cr Ct - cr) 2 OÙ Y est une constante. Cette majoration permet de reprendre point par point les calculs opérés dans la déduction des inégalités (90), (91), (92). Maintenant nous pouvons passer à la D é mon s t rat ion d u 1 e m m e 4. Posons W (cr, 't) = Wl (cr, 't) + W 2 (cr, 't), (108) où les fonctions Wl (cr, 't) et W 2 (cr, 't) sont définies ainsi - ( { C pour 't - cr 8, Wt cr, 't) == o pour 't - cr > 8 ; - ( ) { o pour 't - cr 8, W 2 cr, 't = Ô (8) pour,; - cr > 8. Désignons respectivement par ü (cr, , 't), al (cr, S, ,;), a 2 (cr, S, ,;), les solutions de l'équation (82) satisfaisant aux conditions initiales nulles et aux conditions limites W (cr, ,;), Wl (cr, 't), W 2 (cr, 't). Il est évident que (109) (110) ü (cr, , ,;) == Ut (cr, , 't) + u 2 (cr, , 't). (111) D'alltre part, en vertu du théorème du maximum des solutions des équations paraboliques, la solution u (cr, S, 't) du problème (82), (83) est majorée comme suit: u (cr, , 't) a (cr, S, 't). (112) Evaluons séparément les fonctions Ü 1 (cr, s,,;) et ü 2 (cr, s, 't). On obtient immédiatement une majoration pour zï 2 à partir du théorème du maximum des solutions de l'équation parabolique: ü 2 (cr, s, 't) Ô (8) X (cr, S, 't). (113) Pour majorer la fonction Ut il nous faut des raisonnements plus fins. Majorons tout d'abord Üt pour 't - cr 8. Posons gn-l 1'()=-=K rn-l() , (114) ()ù K == const > C. Nous allons chercher maintenant la solution de l'équation (82) satisfaisant à des condi tions ini tiales égales à (s) et à des conditions frontières sur la sphère S e' égales à K, sous la forme v (cr, , 't) == Y () + Do (cr, , 't). (115)
302 UN PROBLÈME STATISTIQUE [Ch. 7 Nous obtenons alors immédiatement l'équation non homogène n n +. aij (cr, ) ô::j +. b i (cr, ) : =L [1'()J, (116) 1. 3=1 1.=1 que nous devons résoudre pour des conditions aux limites nulles. Cette solution, nous le savons, est donnée en dehors de la sphère S e par la formule 't vo(cr, , ,;)= - J ds J q(cr, , s, 1')L[1'(1')Jd1'). (117) a Re Donc, 't v(cr, s, ';)=1'()- J ds J q(cr,, s, 1') L [1'(1')J d1'). (118) a Re Il est évident que Ü 1 (cr, , 1') V (cr, , T). (119) Il ne nous reste donc qu'à ID ajorer la fonction v (cr, , 't) lorsque 1 1 > ro. Remarquons tout d'abord que 1 L [1' (£)] 1 < 8'1-1 [ rn1Œ) + r:!('Ç) J ' (120) où A 1 et A 2 sont des constantes suffisamment grandes. Par ailleurs ayant à l' espri t l'inégalité q (cr, , 't, 11) p (cr, , 't, fi), (121) la formule (118) entraîne 1:' V (cr, , ,;):S; l' () + J ds J P (cr, , s, 1') 8"-1 r,,+1(f]) d1') + a Re 't + .\ ds J P (cr, , S, 1') 8"-1 r nA (;) d1'). (122) a Re Désignons respectivement par Ii et 1 2 les intégrales du seco.nd mem- bre de l'inégalité (122). Nous avons "C Ii < A 1 8 n - 2 - v Î ds \ P (cr, , s, 1') n- d1') < J J r (t")) Cf Re "C <A 1 8 n - 2 - v J û)n-v(cr, , s)ds. (123) a
9 Id.] CALCUL DE LA FONCTIONNELLE J DANS UN CAS PARTICULIER 303 En utilisant l'inégalité (102), il vient immédiatement 't l <AC 1 e n - 2 - v r ds 1 1 r n - v (£) J' (J ( 124 ) où 0 < 'V < 1. Donc, pour -r - cr e on a n-1-v I<IVI E 1 r n - v (£) , ( 125 ) i.e. /1 = 0 (Sn-2) pour J J > ro. D'une façon analogue /2 == 0 (e n - 2 ) (126) (127) pour \ 1 > ro. La fonction v (cr, , 't) qui majore sur la sphère Se la solution zl1 (cr, , 't) pour 1 1 > ro et pour 't - cr e est de l'ordre de 0 (sn-2). Il s'ensuit que la solution U1 elle-même est de l'ordre de 0 (e n - 2 ) pour 't - cr e et pour 1 1 > ro. En faisant. légèrement varier la construction précédente, on vérifie facilement que la même lnajoration a lieu pour U 1 (cr, £, -r) lorsque -r - cr > s. Le lemme est dém,ontré. Désormais nous pouvons démontrer que la fonction (1)* (cr, , 't) qui fj.gure dans l'énoncé du lemme 3 approximise la solution du problème (36), (37), (38) en dehors d'une sphère de rayon"quelconque fini avec tlne précision de l'ordre de 0 (sn-2). En d'autres termes a lieu le Lem fi e 5. Soit cr (cr, , 't) une solution de l'équation (36) satisfaisant aux conditions aux limites (37), (38), et (1)* (cr, , 't) la solution de l'équation (36) définie dans le lemme 3. A lors pour tout r 0 indépendant de s, pour 1 G 1 ro, la solution (1)* (cr, , 't) appro- ximise avec une précision de l'ordre de 0 (sn-2) la solution cr (cr, , 't): cr (cr, , 't) - cD* (cr, G, 't) == 0 (sn-2). (128) D é mon s t rat ion. Soit u (cr, G, 't) == cr (cr, G, 't) - cD* (cr, £, 't). (129) La fonction u (cr, , -r) est solution de l'équation (36) et satisfait à une condition initiale nulle. D'autre part on voit, d'après (80) que les valeurs frontières de la fonction u (cr, G, 't) sur S e sont con- fondues avec les valeurs frontières de la fonction cr (cr, , 't) - - crci (cr, , 17). Majorons ces dernières. Pour cela, mettons la dif-
304 UN PROBLÈME STATISTIQUE [Ch. 7 férence cP - cP SOUS la forme suivante (P (a, , T) - CPÔ (a, G, T) == :=.:: { cp (a, , T) - [ 8 n - 2 CG _ + n (, 8) J } - _ rn-2() - r g (a, , T, 11) [ 8»-2 CG __ +;1 (1'] , 8) J d 1'] (130) J r n - 2 (1')) {voir formule (64». Le terme se trouvant entre accolades dans le second membre de la formule (130) prend des valeurs frontières nulles. Il reste donc à majorer les valeurs frontières du deuxième terme sur la sphère S e (en coordonnées S I, . . ., 1 n sur l' elli psoïde S e). Puisque le potentiel de double couche n ( , 8) vérifie (48), nous avons de toute évidence: r g (a, , T, 1'] ) r 8 n - 2 CG _ + n ( 1'] , 8) J d1'] l J L r n - 2 (1') A 1 8 n - 2 W n _2 (a, , T) + A 2 8 n - 1 W n _1 (a, , T), (131) où A 1 et A 2 sont des constantes et W n - 2 et W n -1 des fonctions définies par la formule (88) respectivement pour k == n - 2, k = n - 1. En utilisant les inégalités (90) et (91) nous déduisons immédiatement que les valeurs frontières du second terme de la formule (130) et, par conséquent, les valeurs frontières w (a, -r) de la fonction u (a, , -r) satisfont aux conditions du lemme 4. Ce qui nous permet de conclure, en vertu du lemme (4) sur la majoration des solutions de l'équation parabolique, que la relation (128) est vraie. Le lemme 5 est donc démontré. Il ne nous reste plus qu'à simplifier la solution approchée <1>* (a, S, 't) en y éliminant les termes en 1 si> ro d'ordre 0 (8 n - 2 ). Pour cela mettons la solution Q>* (a, , 't) sous une forme explicite. En utilisant les formules (63), (64), (65), (75), (80), nous pouvons écrire: <D* (a, G, T) == CPo (a, , T) + ôcpû (a, , -r) + L n + J ds J q* (a, , s, '1']) [bi-Z i ' (s)] X (J RB i=l X (CPo (s, 1'], T) + ÔcpÔ] d1']. (132) af) Il est clair que pour 1 1 > ro ôcpù(a, G, T)=O(8)>-2). (133) L'intégrale figurant dans le second membre de la formule (132) est un peu plus difficile à simplifier. On peut d'abord éliminer le
41.] CALCUL DE LA FONCTIONNELLE J DANS UN CAS PARTICULIER 305 terme n /i = r ds r q* (cr, , s, 1) (bi-Zi' (s)] aÔ<p (5, '1], '1") d1). (134) J J ôll i a Re i=l En effet, n I/d J ds J p*(cr, , s, 1) 1 bi-Z i ' (s) 1 a Re i=1 ô8<p (s, T), 't) ôT)i 1 d1). (135) Puisque, d'autre part, a 1 < sn-IR (1) (136) (voir (65), (66)), où R (11) en zéro possède un pôle d' ordre n, il vient n 1 /il < sn-i-v J ds J p* (cr, , s, 1) 1 bi-Z i ' (s) 1\ Ri (1) 1 d1), a Re i=1 où Ri (11) possède en zéro un pôle d'ordre n - 'V (0 < 'V < 1). Donc Ii = 0 (8 n - 2 ). (137) Il ne nous reste plus qu'à simplifier le membre TI /2== \ ds \ q*(a,, s, 1'])>'. [bi-zi'(s)]cpo(s, 1'], T)d'Y). (138) J J Ôll a Re i=l lVlontrons que pour 1 1 > ro n /2 = J ds J p* (cr, , s, 1) [b i - zi' (s)] / i <Po (s, 1), ,;) d1) + 0 (sn-2). C1 i-l 11 (139) Nous avons: n /2 = J ds J p* (cr, , s, 1) [b i - zi' (s)] / i <Po (s, 1), ,;) d1) + a i= 1 11 n + r ds \ [p*-q*] [bi-z i ' (S)]<Po(S, 1), ,;)d1)+ J .' ôll C1 Re i=1 n + r ds r p*(cr,, s,1) [bi-zi'(s)]<Po(s, 1), ,;)d1). (140) J J ôl1 aR-Re i=1 20-01339
306 UN PROBLÈME STATISTIQUE [Ch. 7 Le dernier terme de la formule (140) est de toute évidence d'ordre o (8 n - 2 ). Désignons le second terme par u (a, , 't). La fonction u (a, , '1') admet pour a = '1' des valeurs initiales nulles et obéit à l'équation (36) dans le domaine R e. Puisque 8(p < 8 n - 2 R (11), ('141) 811J où R ('Y}) admet un pôle d'ordre n - 1, les valeurs frontières de la fonction u (a, , 't) sont majorées comme suit: 1 u (a, £, '1') IESe < M 8 n - 2Q n_1 (a, £, 't) IESe. (142) Compte tenu de (142) et (92) nous concluons que 1 u (a, £, 't) IlEse < Ô (8) où Ô (8) -+ 0 pour 8 -+ O. Partout donc dans le domaine Re on a 1 u (a, , 't) 1 < Ô (8) cp (a, £, 't). (143) Le lemme 5 et les inégalités (133), (137), (143) démontrent le lemme suivant. Lem m e 6. La fonction <D (a, £ , 't) == (Po ( cr, £ , 't) + n + r ds r p* (a, , s, 1]) [bi.-z i ' (8)] 8cpo (s, ' 't) d1], (144) J J 81P cr i=1 où CPo (a, £, '1') est définie par la formule (71), pour 1 £ 1 > ro (ro étant un nombre positif arbitraire indépendant de 8) avec une précision de l'ordre de 0 (8 n - 2 ) approximise la solution cp (a, , 't) de l'équation (36) satisfaisant aux conditions aux limites (37) et (38). Pour clôturer le présent paragraphe il ne nous reste plus qu'à revenir aux anciennes coordonnées x et y d'après les forlnules (32) et (33). Après avoir procédé aux changements nécessaires, nous pouvons, en utilisant le lemme 6, formuler la proposition suivante. Thé 0 r è ln e 26. Supposons que le mouvement du point com- mandé z qui, à l'instant a se trouve en z (a), est décrit par le système d'équations différentielles (15). S up posons par ailleurs que dans l'espace R se déplace également un point aléatoire Q dont la densité de proba- bilité de transfert, notée p (a, x, s, y) obéit à l'équation parabolique à coefficients constants (29). Désignons par z la boule de rayon 8, de centre z, se déplaçant en même temps que z. Désignons enfin par 11' (a, x, '1') la probabilité que le point aléatoire Q qui se trouve en x à l'instant a soit « recouvert» par la boule z pendant l'intervalle de temps a t 'te Sous ces conditions, la probabilité 'lJJ (a, x, '1') qui
42.] CALCUL DE LA FONCTIONNELLE J DANS LE CAS GÉNÉRAL 307 est une fonctionnelle sur u (t) s'écrit pour 1 x - z (a) 1 > r 0 où r 0 est un nombre positif arbitraire sous la forme 1p(a, x, T)=ë n - 2 [1Po(a, x, T)+-1Pt(a, x, 't)]+o(gn-2) ( 145) En vue d'écrire les fonctions 1PO (a, x, 't) et 'P1 (a, x, 't) sous une forme explicite, introduisons les notations suivantes: a) Î'.}' Î'}, . . ., Îv n sont les valeurs propres de Ja matrice (aU); b) (aij) est la matrice inverse de la matrice (a 1J ); c) G (a, x, 't, 11)== g(a, x-z(a), T, 11)= { . au (1']i_xi+zi (cr)) (1']j-xj+z; (cr)) } 1=1 exp - 4 (,;-a) - ; [4n ('t-a)] 2 t d) (J., est une constante indépendante du système d'équations (15) et définie par la formule (61). A lors 1Po ( cr, x, T) == ex n n-2 ( :L aij(xi-zi(a))(xi-zi(a))] 2 i, j=1 - ) G (cr, X, .., 'Y) ex -V ÂIÂ2 ... Ân n d'Y], [ :L au 11ir]j] 2 i, j=1 T 1P i (cr, X, 1") = ) ds ) p ( cr, X, S, cr n y) (bi - Zi' (s)] 8"'0 (s, ' "t) dy. ay'L i=1 Le théorèmo 26 nous donne donc sous une forme explicite le terme principal de la probabilité 1P (a, x, 't), et par conséquent le terme principal de la fonctionnelle (16). S 42. Calcul de la fonctionnelle J dans le cas général Dans ce paragraphe la probabilité 1P (a, x, 't) et par conséquent la fonctionnelle (16) seront évaluées pour le cas où les coefficients de l'équation de Kolmogorov sont fonctions de a et de x. Nous supposons que ces coefficients satisfont aux conditions formulées dans le g 39. La marche est sensiblement la même que dans le para- graphe précédent, aussi y renverrons-nous souvent le lecteur, nous bornant simplement à expliquer en détail les nouvelles construc- tions. 20*-
308 UN PROBLÈME STATISTIQUE [Ch. 7 Soit donc à resoudre l'équation n n â11'1 .. ) â2'1h ,..,. alh -L+ L.J aU (cr, x . . + L.I b 1 (cr, x)=O âcr ax 1 ax3 âx1 i, j=1 i=i avec les conditions ( 146) 11' (T, X, T) = 0, (147) 1P (cr, X, T) IXES(j == 1. (148) Comme dans le 9 41, moyennant les changements (32), (33), (35), ramenons cette équation à l'équation fa â acp + aï; (s + z (cr), a) acp. + cr .. â1 âJ 1, .1=1 n + [bi (s+z (a), a) -zi' (a)] a = 0 (149) i=l â1. avec les conditions cP (T, , T) = 0, cP (cr, , T) 1 E S 8 == 1. Mettons l'équation (149) sous la forme (150) (151) n 'a a + " aH (a, z (a)) a 2 ep + v L.J âi aj i, j=1 n + [aii(cr, s+z(a))-aii(a, z(a))] a: i2 :si + i, j=1 n + h (hi (a, s+ z (cr)) - Zi' (a)] aep. = O. i=1 â1 Notre premier pas sera de construire une solution spéciale notée <p (cr, , T) de l'équation n âcpo + aH (8, z (8») acpo. == 0 âcr LJ a1 âJ i, j=1 ( 152) avec la condition initiale cp (T, , T) == O. (153) Pour obtenir cette solution spéciale, nous allons comme au 9 41 passer, moyennant une transformation linéaire, des coordonnées
42.] CALCUL DE LA FONCTIONNELLE J DANS LE CAS GÉNÉRAL 309 1, S2, . . ., n aux coordonnées l , S 2, . . ., sn en lesquelles l' équa.:.. tion (152) s'écrit â<po - aa + <Po == o. Cette transformation linéaire est désormais fonction du paramètre 8. La sphère S e se transforme alors en l'ellipsoïde Se Âl (8) ( S1) 2 + . . . - Ân (8) ( sn )2 == e 2 , (154) ').} (8), . . ., ')..} (8) étant les valeurs propres de la matrice (a ij (8, z (8))). En reprenant point par point les raisonnements du paragraphe précédent on démontre le lemme suivant. Lem m e 1'. La solution s'éloignant à l'infini du problème extérieur de Dirichlet pour l'équation {)2(; {J2v === 0 -2 +...+ -2 â1 ân avec la condition aux limites v () IESe = 1, où Se est l'ellipsoïde (154) est de la forme v (s) == e n - 2 [a (82- + Jt (, ë). r n - 2 () Cf., (8) désigne ici une constante positive dépendant continûment du paramètre 8 et définie, univoquement par les dimensions de l'éllipsoïde S e; r ( ) = V (1)2 + . . . + ( n )2, la fonction :Tt ( , B) et ses déri vées satisfaisant aux inégalités (48). La démonstration de ce lemme se passe de tout commentaire. La constante Cf., (8) se calcule au moyen de la formule (61) si S désigne l'ellipsoïde: ').} (8) ('r]1)2+ ... +Ân(8) (1']n)2 == 1. Introduisons la fonction gS (cr, 1, 't, 11 ) d'après la formule (63) et posons <p e (cr,' 't) == e n - 2 a (8) + :Tt (S, ë)- r n - 2 () - r gS (cr, s , T, 11 ) [ e n - 2 a (8)_ + Jt (1'] , e) ] d J . r n - 2 (Y)) ou encore ro *S - ( p S. 1 ôro*e 't'o 0 T "ro
310 UN PROBLÈME S1."A r rISTIQUE [Ch. 7 '" OU cp (cr,, 't)= e n - 2 a (6) _ r g (cr, S , 't, 'Y) e'H! a(6) d'Y). r n - 2 () J r n - 2 (11) Il est évident que la fonction cp :e (cr,1, '1') est solution de l'équation (152) et qu'elle satisfait à la condition initiale nulle <p e ('t, , '1') = o. Passons maintenant des coordonnées 1 , 1: 2 , . . ., n aux coor- données 1, 2, . . ., n. Les fonctions cp :e (cr, , '1'), cp , ô <p e et ge se transforment respectivement en cp:e (cr, , 't), cp, ôcp et ge. Nous pouvons représenter la fonction <p (cr, , '1') sous une forme explicite. Désignons comme précédemment par aij (8, z (8)) les éléments de la matrice inverse de la matrice (aH (8, z (8))) : n aH (8, z (8)) ajh (8, z (8)) = Ô;t. j=1 Alors <p (cr, t '1' ) == 811.-2 a (8) _ ' [ J n-2 . aU (6, z (6)) ij """"2"" ,J = 1 r e ( t ) 11.-2 CG (8) -V Âl (8) ... Ân (8) d -- J g cr , , 't, 1) 8 n - 2 11 , [ . aU (6, Z (6)) 1 1i 1']i ] "2 , J =1. (1,5:1) ge (cr, , T, 1 11) = n X [4n (,;-a)] 2 { i, 1 aij (6, Z (6)) (1']i - i) (11] - j) } X exp - 4 ('t-a) · ( 156) Considérons maintenant la fonction cp:a (cr, , '1'), i.e. la fonction construite, en posant 8 = cr. La fonction <p:a (cr, , '1') n'obéit plus à l'équation (152) puisque 8 = cr. Toutefois est évident le Lem ID e 2'. La fonction cpcr (cr, , '1') = (P (cr, , 't) + ô<p:cr où cp est définie par les formules (155), (156) est solution de l'équation différentielle 8cp(J n 8 2 cp*cr 8 8a + aiJ(cr z(a)) 0 --[<p*81Ie=cr===O LJ ' ai 8j 8e 0 i, j=1 et satisfait à la condition initiale nulle (p:cr ('t, , '1') = O.
42.] CALCUL DE LA FONCTIONNELLE J DANS LE CAS GÉNÉRAL 311 Conlme dans le paragraphe précédent, nous pouvons chercher luaintenant la solution spéciale de l'équation (149) de valeur initiale nulle sous la forme suivante: cD*(cr,, T)==cP<J(cr,, T)+CP!(cr,, 't), où (Pcr (cr, , 't) est la fonction que nous venons de construire, et CP: lln8 fonc tion à dé terminer. En portant cI>* (cr, , 't) dans l' équa- tion (149) et en tenant compte du lemme 2', nous obtenons l'équation parabolique non homogène n a iJ CP (J : -!- a ij (cr, + z (cr)) a 2 cpr + LJ ai 8j i, j=1 n + [b i (a, + z (a» -- Zi' (a)] aq> = i=1 ô£ { n .. acp<J(cr,, 't) = - [aij (cr, E+z (cr))-a 1J (cr, z (cr))] . + " âi â3 i, j = 1 n âcp*cr (cr 't) + [b i (z (a), G+z(O'»-zi' (a)] 0 a: ' + i=l + a [cpe (a, G, 't)J!e=u (157) et la condition initiale cp!(,;, G, ,;)==:0. Le second membre de l'équation (157) admettant pour = 0 un pôle d'ordre n (et non pas n + 1), nous pouvons reprendre presque point par point tous les raisonnements du paragraphe précédent et dénl0ntrer des lemmes identiques aux lemnles 3, 5 et 6. Le lemme correspondant au lemme 6 se formule désormais: L e fi fi e 6'. La fonction T <D(O', G, 't)=cp(O', s. 't)+ .\ ds ) p(O', G+z(O'), s, YJ+ cr n { ' . . . . â 2 m cr ( 8 'Y1 't ) + z (S)) 2.J [ a 1) (S, 11 -f- z (S)) - a 1) (S, Z (S))] 'Y 0 .' .1 : + ârJ â11' i, j=l n +- [bi (s, YJ +- z (S» - Zi' (S)] a!jJ i'll' 1") + i=l + a [cp (s, YJ, 't)] le=u } dYJ,
312 UN PROBLÈME STATISTIQUE [Ch.7 où cpg (cr, S, T) est définie par la formule (155) pour 1 si> r 0 (r 0 étant un nombre positif arbitraire indépendant de 8) avec une précision de l'ordre 0 (e n - 2 ) approximise la solution cp (cr, s, T) de l'équation (149) satisfaisant aux conditions aux limites (150) et (151). En vue de formuler le résultat définitif nous devons de nouveau passer aux coordonnées x et y au moyen des formules (32) et (33). Alors le lemme 6' entraîne un théorème analogue au théorème 26 du paragraphe précédent. Nous laissons au lecteur le soin d'établir au besoin les formules finales.
Bibliographie Chapitre 1 1. R. BELLlVIAN: Dynamis Programming. Princeton lTniv. Press. N. J., 1957. 2. R. BELLMAN, 1. GLICKSBERG, O. GROSS: Some Aspects of the i\Iathématical Theory of Control Processes. Santa l\10nica, 1958. 3. V. BOLTI1\NSKI, R. GAMKRÉLIDZ£, L. PONTRIAGUINE: Con- tribution à la théorie des processus optimaux (en russe). J ourn. « Doklady Akad. nauk S.S.S.R. », 110, N 1 (1956), pp. 7-10. 4. V. BOLTIANSKI: Le principe du maxÎInum dans la théorie des proces- sus optimaux (en russe). J ourn. « Doklady Akad. nauk S.S.S.R. », 119, cM 6 (1958), pp. 1070-1073. 5. V. BOLTIANSKI, R. GAl\1KRÉLIDZÊ, L. PONT RIA GUI NE: Théorie des processus optimaux. Principe du maximum (en russe). J ourn. (< Izvestia Akad. nauk S.S.S.R. » série mathém., 24, cM 1 (1960), pp. 3-42. 6. V. BOLTIANSKI, R. GAMKRELIDZÉ, E. lVIICHTCHENKO, L.PON- TRIAGUINE: Le principe du maximum dans la théorie des processus optimaux (en russe). Premier congrès de l'IFAC. 1960. 7. R. GAMKRÉLIDZE: Contribution à la théorie générale des processus optinlaux (en russe). Journ. « Doklady Akad. nauk S.S.S.R. », 123, M 2 (1958), pp. 223-226. 8. N. KRASSOVSKI: Contribution à la régulation optimale (en russe). Journ. « Automatica i téléméchanica », 18, cM 11 (1957), pp. 960-970. 9. L. PONT RIA GUI NE: Processus optimaux de régulation (en russe). J ourn. « Uspekhi mathématitchesldkh nauk », 14, 1 (1959), pp. 3-20. 10. L. ROSONOBRE: Le principe du maximum de Pontriaguine dans la théorie des systèmes optimaux (en russe). J ourn. « Automatica i téléméchanica », 20, MM 10-12 ,(1959), pp. 1320-1334, 1441-1458, 1561-1578. Chapitre 2 \Toir [4], [5], [7], [9]. Chapitre 3 Voir [2], [6], [9]. 11. V. BOLTIANSKI: Simulation des systèmes linéaires à temps optimal par des schémas par tout ou rien (en russe). J ourn. « Doklady Akad. nauk S.S.S.R. », 139, M 2 (1961), pp. 19-22.
314 BIBLIOGRAPHIE 12. BUSHA W D. vV.: Ph. D. Thesis, Department of l\fath., Princeton Univ., 1952. 13. R. GAMKR ÉLID zE : Contribution à la théorie des processus optimaux, .appliquée aux systèmes linéaires (en russe). J ourn. « Doklady Akad. nank S . S . S . R. », 116, cM 1 (1957), P p. 9-11. 14. R. GAMKRÉLIDZE: La théorie des processus optiffiaux, appliquée aux systèmes linéaires (en russe). J ourn. « Izvéstia Akad. nauk S.S.S.U. » série mathém., 22, .N' 4 (1958), pp. 449-474. 15. LA SALLE J. P. : The Time Optimal Control Problem Contributions to the Theory of N onlinear Oseilations, Princeton, 1959. 16. A. FELDBAUlVI: Sur la synthèse des systèmes optimaux au moyen de l'espace de phase (en russe). Journ. « Automatica i téléméchanica », 16, cM 2 (1955), pp. 129-149. Chapitre 4 Voir [5]. 17. V. BOLTIANSKI: Processus optimaux à paramètres (en russe). J ourn. {< Doklady Akad. nauk Ouzb. S.S.R. », cM 10 (1959), pp. 9-13. 18. V. BOLTIANSKI: Application de la théorie des processus optimaux .à l'approximation des fonctions (en russe). Travaux de l'Institut Stéklov, 60, pp. 82-95. 19. G. KHARA TICI-IVILI: Le principe du maximum dans la théorie des processus à retard (en russe). Journ. « Doldady Akad. nauk S.S.S.R. », 136, M 1 (1961), pp. 39-42. Chapitre 5 20. G. BLIS: Lectures on the Calculus of Variations, Chicago, 1946. 21. Mc SHANE, On Multipliers for Lagrange Pl'oblenl, Anler. Journal Math., 61 (1936), pp. 809-819. Cha pitre 6 22. R. G AlVI K R EL ID Z E: Processus optimaux en coordonnées de phase bornées (en russe). Journ. « Doklady Akad. nauk S.S.S.R. », 125, N 3 (1959), pp. 475-478. 23. R. GAl\IKRELIDZE: Processus optimaux en coordonnées de phase bornées (en russe). J ourn. « Izvestia Akad. nauk S.S.S.R. », série mathémati- que, 24, M 3 (1960), pp. 315-356. 24. A. LERNER: Sur la rapidité limite de fonctionnement des systèmes de commande automatique (en russe). J ourn. « Automatica i téléméchanica », 15, M 6 (1954), pp. 461-477. 25. E. ROZENl\IAN: Sur la rapidité limite de fonctionnement des systè- mes d'asservissement à élément exécutif limité en puissance, en couple et en vitesse (en russe). Journ. « Automatica i téléméchanica », 19, cM 7 (1958), pp. 633-653.
BIBLIOGRAPHIE 315 Chapitre 7 26. A. KOLMOGOROV: Uber die analitischen l\fethoden in der Wahrsche- inlichkeitsrechnung, Math. Ann., 104, (1931), pp. 415-458. 27. E. MICHTCHENKO, L. PONTRIAGUINE: Un problème statistique de COffilnande optimale (en russe). J ourn. « Doklady Akad. nauk S.S.S.R. », 128, M 5 (1959), pp. 890-892. 28. E. l\IICHTCHENKO, L. PONTRIAGUINE: Sur un problème statisti- que de commande optimale (en russe). Journ. « Izvestia Akad. nauk S.S.S.R », série mathématique, 25 (1961), pp. 477-498. 29. A. I(OLMOGOROV, E. MICHTCHENKO, L. PONTRIAGUINE: Sur un problènle probabilistique de commande optimale (en russe). J ourn. « Dokla- dy Akad. nauk S.S.S.H. », 145, cM 5 (1962), pp. 993-995.
Table des matières Introduction . ..V.... .......... CHAPITRE 1. PHINCIPE DU 1\1AXIMUl\I 1. Commandes admissibles ..... 2. Enoncé du problème fondamental . . . . . . . . . . . . 3. Le principe du maximum . . . 4. Discussion du principe du nlaximum ... . 5. Exemples. Problème de synthèse . . . . . . . . . . . . 6. Problème aux extrénlités libres et conditions de transversa- Ii té ......................... 7. Le principe du maxinlum pour les systèmes non autonomes 8. Problèmes à temps fixe ................ 9. Lien entre le principe du maximum et la méthode de program- mation dynamique . . . . .. ...... CHAPITRE 2. D£l\/IONSTRATION DU PRINCIPE DU MAXIMUl\1 10. Commandes admissibles ............... 11. Formulation du principe du maxinlum pour une classe quel- conque de commandes admissibles ........... 12. Systènle d'équations aux variations et son système adjoint 13. Variations des commandes et des trajectoires 14. Lemmes fondamentaux .......... 15. Démonstration du principe du maximum 16. Conditions de tl'ansversalité CHAPITRE 3. PROBL:ÈMES LIN£AIRES EN TEl\/IPS OPTIMAL 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. Théorème du nombre de commutations Théorèmes d'unicité ...... Théorèmes d'existence . . . . . . . . . . . . Synthèse de la commande optimale . . . . . . . . . Exemples ...................... Simulation des commandes linéaires en temps optimal par des circui ts à relais ................... Equations linéaires à coefficients variables . . . . . . . . CHAPITRE 4. PROBLÈMES DIVERS . . . . . . . . . . . 24. Cas d'une fonctionnelle définie par une intégrale impropre 25. Processus optimaux à paramètres ........... 26. Application de la théorie des processus optimaux à l'appro- ximation des fonctions . . . . . . . . . . 27. Processus optimaux à retard . . . . . . . . . 28. Un problème de poursuite . . . . . . . . 5 1 '1 11 13 19 22 23 43 55 61 G4 69 69 72 76 80 84 91 99 105 105 112 116 123 127 155 163 169 169 171 176 190 202
TABLE DES MATIÈRES 317 CHAPITRE 5. LE PRINCIPE DU l\;IAXIlVIUlVI ET LE CALCUL DES VARIATIONS ............. 213 9 29. Problème fondanlental du calcul variationnel ...... 214 9 30. Problème de Lagrange ................ 221 CH1\PITRE 6. PROCESSUS OPTIl\lAUX AVEC CONTRAINTES LSUR LES COORDONNÉES DE PHASE ..... 229 g 31. Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . .. 230 32. Trajectoires optimales situées sur le bord du domaine . .. 235 33. Démonstration du théorème 22 (constructions fondamentales) 240 34. Démonstration du théorème 22 (suite et fin) . . . . . .. 258 35. Quelques généralisations ............. 264 36. Condition de saut . . . . . . . . . . . . 266 9 37. Formulation du résultat fondamental. Exemples 275 CHAPITRE 7. UN PROBL:8ME STATISTIQUE DE COMMANDE OP TI MAL E ................... 280 9 38. Notion de processus markovien. L'équation différentielle de Kolmogorov .................... 281 39. Formulation exacte du problème statistique . . . . . .. 284 9 40. Calcul de la fonctionnelle J par résolution du problème aux limites pour l'équation de I(olmogorov . . . . . .. 286 9 41. Calcul de la fonctionnelle J dans le cas où l'équation de Kolmogorov est à coefficients constants ........ 288 9 42. Calcul de la fonctionnelle J dans le cas général 307 Bibliogra phie ..... .............. ... ... 313