Автор: Игнатьев Е.И.  

Теги: арифметика  

Год: 1915

Текст
                    1
1'ХТТТТГ
'fl *
Второе пересмотренное и дополненное издан1е.


Е. И. Игнлтьевъ. ВЪ ЦАРСТВЪ СМЕКАЛКИ или АРИ0МЕТИКА ЦЛЯ ВСЪХЪ '^ КНИГА ДЛЯ СЕМЬИ И ШКОЛЫ. СО МНОГИМИ РИСУНКАМИ II ЧЕРТЕ7КАМИ ВЪ ТЕКСТЕ. Книга третья I ПОСЛЕДНЯЯ). 2-е пересмотр-ьнное и дополненное издаше. ПКП'ОГРАДЬ 191 5
Tui. i-=
ПРЕДИСЛОВ1Е КО 2-mv ИЗДАШЕ). Помимо исправления замЪченныхъ опечатокъ и про- .маховъ. а также общей редакцюнной переработки, настоящее издаше по сравненда съ первымъ значи- значительно дополнено. Дополнения коснулись главиымъ образоыъ свЬдтэН1й по Теорш Вероятностей. Такъ, вве- введена знаменитая Tcopis Якова Бернулли въ его соб- ственнкшъ изложении, т. е. данъ переводъ 1\г и \ -ой главъ изъ четвертой части его классическаго сочине- шя «Ars Conjectandh; прибавлена глава о рулетк"Ь въ Монте- Карло и др. Точно также особенно внима- внимательно пересмотр Ьнъ и нсправленъ отдт^лъ о счетпыхъ машгшахъ. Добавлены jmorie портреты и рисунки. Сло- вомъ, приложены всб yci-uifl, чтобы и это новое из- даше книги нашло такой же благосклонный среди широкой публики, какъ и предыдущее. Петроградъ. 1915.
Нгькоторыя историческая задачи. Задача 1-я. Одно изъ древн-Ъйшихъ математическихъ развлечешй. Въ знаменитоыъ Британскомъ музе4 среди «коллекцш Ринда» находится египетсшй папирусъ, который считается теперь чуть ли не самымъ древнимъ изъ изв'Ьстныхъ нынгЬ руководствъ по математики. Папирусъ этотъ переведенъ Эйзенлоромъ на н-Ьмец- кш языкъ въ 1877 г. Онъ написанъ египтяниномъ Ахмесомъ между 1700 и 2000 годами до Рождества Христова. Подлинное заглав!е папируса таково: «Наставленье къ прюбрттетю знангя вегьхъ тайныхъ вещей». Ахмесъ, въ свою очередь, упоминаетъ о тоыъ, что его книга написана на основанш еще бол-Ье древнихъ сочиненШ. Такимъ образомъ мы иы'Ьемъ возможность судить о состоянш математи- математическихъ знанш у древнихъ египтянъ, быть можетъ, за время не jieHie 5 000 л'Ьтъ до нашихъ дней. Почтенная давность! «Египетская задача» и зам-Ьтка «Начатки математики на Нилй», данныя во второй кнш"Ь «Въ царств-Ь смекалки» (стр 20 и 22), основаны именно на египетскомъ папирусЬ Ахмеса БЪ ЦАРСТВ* ОМЕКАЛЕИ. КН. III. 1
2 изъ коллекцш Ринда. Но есть въ этомъ папирусЬ еще одно весьма любопытное м-Ьсто, надъ разгадкой котораго останавливалось не мало историковъ математики. Вотъ въ чемъ д4ло. Ахмесъ даетъ лестницу такихъ 5-ти чиселъ: 7, 49, 343, 2401, 16807. Рядомъ же съ этими числами стоять соответственно слова: картина, кошка, мышь, ячмень, мгьра. И все! Никакихъ дальнМтихъ поясненш, никакого ключа къ раскрьтю смысла этой задачи папирусъ не даетъ. Что же это за задача? Прежде всего замътимъ, что написанныя выше числа, со- составляющая лгьсттщу, суть посл'Ьдовательныя степени числа 7. Въ самомъ д-бл-б, помножая последовательно 7 само на себя одинъ, два, три, четыре и пять разъ я ставя рядомъ соответ- соответствующая слова, какъ въ рукописи Ахмеса, находимъ: 7 . . картина 7 X 7 = 72 = 49 . . кошка 7 X 7 X 7 = 73 = 343 . . мышь 7X7X7X7 = 7*= 2401 . . ячмень 7X7X7X7X7 = Т°= 16807 . . м*ра Основываясь на такомъ сопоставленш чиселъ и словъ, а также на н4которыхъ поздн'Ьйшихъ математическихъ сочине- шяхъ, ученый ор1енталистъ Родэ п известный историкъ мате- математики Канторъ съ весьма большой вероятностью р4таютъ, что данное место папируса Ахмеса представляетъ такую задачу: У н^которыхъ семи лицъ имеется по семи кошекъ. Каждая кошка съ-Ьдаетъ по семи мышей, каждая мышь ск?даетъ по семи колосьевъ ячменя, изъ каждаго ко- колоса можетъ вырости по семи м^ръ зерна. Сколько всего предметовъ? Складывая числа, составляющая лгьстпицу, получаемъ въ отвита на вопросъ задачи число 19607. Число м-Ьръ зерна A6807), спасаемыхъ всего 49-ю кошками, также весьма велико. Еоли догадки названныхъ выше ученыхъ в^рны, то не даромъ,
пожалуй, у египтянъ кошка, истребительница мышей, считалась священнымъ животнымъ. Задачи подобнаго рода могли предлагаться для забавы и для развитая сметки. Следовательно, можно думать, что исторгя математическихъ развлеченш также им-Ьетъ за собой почтенную давность по меньшей н^рй въ 50 в^кобъ. Только что приведенная древняя задача повторяется въ раз- личныхъ вар1антахъ въ разныя времена и у разныхъ наро- довъ. Некоторые изъ этихъ вар!антовъ, зам'Ьчательнъ'йиие въ историческомъ отношенш, приводятся сейчасъ ниже. Задача 2-я. Семь старухъ. Приблизительно черезъ 3 000 л-Ьтъ послй появлешя папи- папируса Ахмеса, а именно въ 1202 году послй Р. X., Леонардъ изъ Пизы (онъ же Фибоначчи, или Фибоиачи) издалъ на ла- тинскомъ языки сочинеше Liber abaci, содержащее въ себ? всю совокупность тогдашнихъ ариеметическихъ и алгеораическихъ знанш. Въ этой книг-Ь имеется, между прочимъ, такая задача: Семь старухъ отправляются въ Римъ. У каждой старухи по семи муловъ, каждый мулъ несетъ по семи мътшовъ. въ каждомъ мтэшкъ" по семи хлтзбовъ, въ кажцомъ хлтзбтз по семи ножей, каждый ножъ въ семи ножнахъ. Сколько всего предметовъ? PiineHie. Задача отличается отъ Ахмесовой только т'Ьмъ, что къ пяти числамъ лгьсттщы Ахмеса надо прибавить еще шестое число, равное семи, повторенному множителемъ 6 разъ, т. е. 76=117 649. Всего получится 7-|-72-|-73-j-74+75-f 76=137 256 пред- предметовъ, 1*
Задача 3-я. По ДОроГ-fe ВЪ St.-Ives. Въ 1801 году въ Соединенныхъ Штатахъ Америки вышло 1-е издате Школьной ариеметжи (Scholar's Arithmetic) Даншла Адамса, пользовавшейся таыъ большимъ распростра- нешемъ въ начали 19-го вика. BapiaHTO Ахмесовой задачи изложенъ въ этой ариеметпкъ1 уже въ такихъ англ!йскихъ сти- хахъ: As I was going to St.-Ives, I met seven wives; Every wife had seven sacks; Every sack had seven cats; Every cat had seven kits: Kits, cats, sacks and wives, How many were going to St.-Ives? Если попробовать это же передать «школьными стихами» по-русски, получимъ: Въ Сентъ-Айвзъ какъ-то я шагалъ; Я семь женщинъ повстр'Ьчалъ; И у каждой семь мътпковъ, А въ мЬшкахъ по семь котовъ; При котахъ по семь котятъ. Сколько всЬхъ придти хотятъ Въ Сентъ-Айвзъ: женщинъ и мЪшковъ, И котятокъ, и котовъ? Решить задачу предоставляемъ читателю. ПослгЬ двухъ преды- дущихъ задачъ pimeHie очевидно. Задача 4-я. Русская народная задача. Для нашего читателя, быть можетъ, интересно будетъ узнать, что изъ мрака отдаленн'Ьйшихъ временъ отголоски за-
дачи Ахмеса перешли также и въ русски народный эпосъ. Су- ществуетъ русская народная задача о нищихь (или старцахъ), о которой упоминаетъ П. А. Износковъ въ своемъ докладъ1 «о памятникахъ народной математики», прочитанномъ въ 1884 г. въ казанскомъ обществ^ естествоиспытателей. Задачу эту авторъ сообщешя слышалъ въ Казанской губ. И. Ю. Тимченко въ своихъ прим4чашяхъ къ русскому пе- переводу «HcTOpin элементарной математики» проф. Ф. Кэджори приводитъ эту задачу такъ, какъ она распространена среди населетя Орловской губ.: Шли семь старцевъ. У каждаго старца по семи костылей, На всякомъ костыле по семи сучковъ. На каждомъ сучк? по семи кошелей, Въ каждомъ кошель- по семи пироговъ, А въ каждомъ пирогъ- по семи воробьевъ. Сколько всего? P-biueHie. Задача требуетъ опред'Ьлешя числа всЬхъ предметовъ, т. е. старцевъ, костылей, сучковъ, кошелей, пироговъ и воробьевъ. Ръ-шеше, очевидно, дается числомъ 7 -f- 72 -\- 7д -\- 74 -f- 75 -(- 76, приведеннымъ нами уже въ задачи 2-й (стр. 3). Интересно отм-Ьтить, что во всЬхъ четырехъ предыдущихъ задачахъ главную роль играетъ число семь. Въ главъ1 «о число- выхъ cyeBipiflXb» мы увидимъ, что число это имъмю у раз- личныхъ народовъ особое символическое, священное значете. Быть можетъ, раньше, чъ-мъ сд^аться предметомъ простого развлечешя илч развипя народной смекалки, задачи подобнаго рода носили миеологическй, астрологически или религюзный характеръ.
Задача 5-я. Жизнеописание Дтфанта. Прохожш! Подъ этиыъ камнемъ покоится прахъ Дюфанта, умершаго въ нреклонныхъ годахъ. i/a часть своей продолжительной жизни онъ провелт^ въ дьтствъ, '/i2—въ юности. Следующую затъмъ V7 своей жизни онъ былъ холостымъ. Черезъ пять л-Ьтъ послъ его же- женитьбы у него родился сынъ, доживши цо возраста вдвое меныпаго, ч-Ьмъ лъта его отца. Черезъ четыре года послъ смерти сына уыеръ и Дюфантъ, оплаки- оплакиваемый родными.—Скажи, если умъ-ешь считать, въ ка- комъ возрасти онъ умеръ? Высчитать, что Дюфантъ дожилъ до 84-хъ-лгЬтняго возраста, не составляетъ особаго труда. Но задача эта пм^етъ спещаль- ный историческш лнтересъ. Существуютъ свидетельства, что она служила действительно надгробной эпитаф1ей надъ пра- хомъ одного изъ замъ-чательнМшпхъ математиковъ древности, о жизни котораго только почти и имгьется свгъдгьнт, что эта задача. Дюфантъ былъ совершенно исключительный математпкъ послъущяго перюда знаменитой александршской школы. О вре- времени и м-Ьст-Ь его рождешя, а также о его происхожденш мы ничего не знаемъ. Предполагаютъ съ н-Ькоторой долей веро- вероятности, что онъ умеръ около 330 года по Р. X. Друйе для времени его жизни даютъ дату 325—409 г. по Р. X. Дюфантъ считается родоначальникомъ современной алгебры и занимаетъ въ ряду великихъ греческихъ математиковъ совершенно исклю- исключительное м'Ьсто. Вотъ что говорить о немъ проф. Ф. Кэджори (Cajori) въ своей «Исторш элементарной математики»: «Если бы сочпнетя его не были написаны по-гречески, никто и не подозръ-валъ бы, что они произведетя греческаго ума. Ею главное, образцовое произведете, «Ариеметика» | написанное, какъ
гворятъ, въ 13-ти книгахъ, изъ коихъ только шесть дошли до насъ] проникнуто духомъ., настолько отличнымъ отъ духа великихъ классическихъ сочинешй, написанныхт> во времена Эвклида, насколько чистая геометр1я отличается отъ чистаго анализа. Между греками у Дшфанта не было ни одного выдаю- выдающагося предшественника, ни одного выдающагося последователя. Не будь его сочиненш, намъ пришлось бы сказать, что гре- честй умъ не создалъ въ области алгебры ничего зам'Ьчатель- наго. До открьшя папируса Ахмеса Аривметика Дюфанта была древнМшимъ изв'Ьстнымъ намъ трудомъ по АлгебрЬ». Задача 6-я (Архимеда). О числ-fe песчинокъ (Псаммитъ). Задача эта, предложенная и разрешенная Архимедомъ B87—212 до Р. X.), изложена имъ въ формй обращешя къ Гелону, сыну Перона, тирану го- города Сиракузъ. Главн'Ъйппй инте- ресъ ея состоитъ въ томъ, что знаменитый философъ древности I / ' показалъ, какъ расширить неси- | V| ч g вершенную греческую систему счи- i*V а.'.' слен1я, распространивъ ее на сколь угодно больш1я числа. Вотъ какъ излагаетъ свою задачу Архи- медъ: " Некоторые люди, о царь Гелонъ, воображаютъ, что число песчинокъ безконечно велико. Я говорю не о песк?, ^ Архимедъ. находящемся въ Сиракузахъ или во всей Сацилш, но о песк4 всей суши, какъ обитаемой, такъ и необитаемой. Друпе признаютъ это число, правда, не неограничен- нымъ, но все же думаютъ, что оно оольше всякаго
задуманнаго числа. Если бы эти люди представили себ'Ь кучу песку, величиною въ земной шаръ, при чемъ этимъ пескомъ были бы покрыты вей моря и всъ- углу- блешя до вершины высочайшихъ горъ, то, конечно, эти ЛЮДИ Т'БМЪ болЬе были бы СКЛОННЫ ПрИНЯТЬ, ЧТО Н'БТЪ числа, превосходящаго число песчинокъ въ этой кучъ\ Я, однако, приведу доказательства, съ которыми и ты согласишься, что я въ состоянш назвать нътсо- торыя числа, не только превосходящая число песчи- песчинокъ въ кучъ1, равной земному шару, но даже число песчинокъ въ кучЪ, равной всей вселенной. Piineirie. Ты знаешь, конечно, что подъ вселенной большинству астро- номовъ подразумеваем, гааръ, центръ котораго находится въ центрй 'Земли, а рад!усъ образуется разстоятемъ между цен- центрами Земли и Солнца. Въ своемъ сочинеши противъ астро- номовъ Аристархъ Самоссюй пытается опровергнуть это и до- доказать, что вселенная составляетъ кратное этой величины. Онъ приходитъ къ выводу, что звйзды и Солнце неподвижны, тогда какъ Земля вращается вокругъ Солнца по кругу, въ центра котораго стоитъ Солнце 1). Согласимся, чте д1аметръ сферы не- подвизкныхъ зв'Ьздъ относится къ Д1аметру вселенной, понимае- понимаемой въ томъ смысли, какъ это понимаетъ большинство астро- номовъ, (т. е. солнечной системы), какъ этотъ послътщШ къ д!аметру Земли. Я утверждаю, что если бы существовала пе- песочная куча даже величиною въ Аристархову звездную сферу, то и въ этонъ случай я могу привести число, даже превышающее число песчинокъ въ такой воображаемой сферй. г) Аристархъ, родившШся еъ СамосЬ около 270 г. до Р. X., уже ва 1^- тысячи л^тъ до Коперника, какъ это видно изъ только что приведенных! словъ Архимеда, совершенно ясно выразилъ основан1я гелюцентрической си- системы. Изъ его сочинешй сохранилось только одно: «U величинахъ и равстоя- н1яхъ Солнца и Луны».
Предполагаю следующее: 1) Окружность Земли метъе 3 миллюновъ сшадт (ста- лш приблизительно равна ныи'Ьшнимъ 185 метрамъ). Какъ теб'Ь известно, были попытки доказать, что окруж- окружность Земли составляетъ около 300.000 стадгй J); но я пре- превзойду предшественниковъ и приму для нея въ десятъ разъ большее число. 2) Солнце больше Земли, а Земля больше Жупы. Въ этомъ я согласуюсь съ болыпинствомъ астроноыовъ 2). 3) Поперечникъ Солнгщ не болгье, чтмъ въ 30 разъ, пре- превышаешь поперечиикъ Луны 3). 4) Дгаметръ Солнца больше, нежели сторона тысяче- уголъника, вписаннаго въ наибольшей кругъ небесной сферы. Это я принимаю по Аристарху, который считаетъ, что видимые размеры Солнца составляютъ ^о разм'Ьровъ зад!а- кальнаго круга. Я саыъ измъ-рялъ уголъ, подъ которымъ видно Солнце, но точное изм-вреше этого угла не легко произвести, ибо ни глазъ, ни рука, ни измерительные приборы не доста- достаточно надежны. Но зд^сь не мгЬсто объ этомъ распространяться. Достаточно только знать, что этотъ уголъ меньше, ч4мъ ^, и больше, чймъ збо прямого угла 4). На основанш допущенШ 2) и 3) д1аметръ Солнца меньше, ч-бмъ 30 земныхъ д!аметровъ. Поэтому, по допущенш 4, пе- риметръ тысячеугольника, вппсанпаго въ одинъ изъ наиболь- шихъ круговъ небесной сферы, меньше, ч-Ьмъ 30 000 земныхъ Д1аметровъ. Но если это такъ, то д1аметръ вселенной (т. е. со- согласно Аристарху солнечной системы) меньше 10 000 земныхъ 1) Эратосеенъ (отъ 276—194 до Р. X.), проивведппй первое градусное из- eHie, опред'Ьпилъ окружность Земли въ 260 000 стадШ, однако, неизвестно, о какихъ сгад!яхъ онъ писапъ—о греческихъ или египетскихъ. 2) Согласно вычислешю Аристарха, Солнце e-j. 7 000 разъ больше Земли, а Луна въ 27 разъ меньше. 3) Въ действительности д1аметръ Солнца почти въ 400 разъ больше дда- летра Луны. 4) Т.-е. заключается между 27' и 33'; ^Brz 33°;-^й = 27°; по из- Ы'1;рен1ямъ помощью нов-Ьйшихъ гелюлетровъ, среднШ видимый Д1аметръ Солнца составляетъ около 32', что ближе къ высшему пределу, указываемом у Архчмедомъ.
10 Д1аметровъ; ибо только для правильнаго шестиугольника, flia- метръ равенъ |- периметра, а для всякаго многоугольника flia- метръ меньше у периметра. По первому предположению, окружность Земли меньше 3 милл. стадш; стало быть, д!аметръ меньше 1 милл. стадШ, такъ какъ д1аметръ окружности меньше |- длины ея. Стало быть, также и Д1аметръ вселенной меньше, чгЬмъ 10 01H ышшоновъ стадШ. Допустинъ теперь, что песчинки до того малы, что 10 000 такихъ песчпнокъ составляютъ лишь величину одного мако- ваго зерна. Я приму д1аметръ маковаго зерна въ ^ дюйма. Въ одномъ изъ моихъ опытовъ, уже 25 маковыхъ зереиъ, по- ложенныхъ рядомъ по прямой, заняли дюймъ, но я желаю обезпечить свое доказательство протпвъ всякихъ возраженШ. У насъ (грековъ) существуютъ назвашя чиселъ лишь до мщлады т) A0 000 = Ю4). Считаемъ ыы, однако, и до 10 000 мир1адъ A04-104 = 108). Чтобы пойти еще дал4е, примемъ 10 000 мир!адъ A0я) за единицу второго порядка и возьлемъ ее снова 10 000 мир!адъ разъ, то получимъ 10^-108 = 108, или единицу третьяго порядка. Точно также можемъ взять 10 000 мир1адъ разъ полученную единицу третьяго порядка и получимъ единицу четвертаго порядка A08-3) и т. д. КM6^;1О8-'7 будетъ представлять единицу восьмого порядка, 1 же есть еди- единица перваго порядка. Теперь вычислимъ, сколько песчинокъ, мир!ада которыхъ занимаетъ объеыъ маковаго зерна, поместится въ mapi съ д1а- метромъ, равнымъ дюйму? По нашему предположешю, д1аметръ маковаго зерна равняется -— дюйма, но по известному геоме- геометрическому положенш объемы шаровъ относятся, какъ кубы пхъ д!аметровъ, стало быть, въ данномъ случа-Ь, какъ Is: 408= = 1: 64 000. Итакъ, шаръ одного дюйма въ fliauerpi содер- жить 64 000 ыаковыхъ зеренъ или 64 000 мир1ады песчинокъ, т. е. 64-Ю8, что меньше, чймъ 10-108 = 10я песчинокъ. Шаръ 100 дюймовъ въ Д1аметргЬ относится къ шару 1 дюйма J) Въ дальн'Ьйшемъ мы будемъ примЬнять систему изображешя чиселъ при помощи 10 въ известной степени, такь какъ Архимедовъ способъ выра- жешя не такъ удобопонятснъ.
11 въ fliajvieTpi (по объему), какъ 1003:13, или 10е :1. Итакъ, пе- песочный шаръ 100 д. въ fliaMeTpi, очевидно, содержитъ не бол'Ье 10е-10-Ю8 песчинокъ. Шаръ 10 000 дюймовъ въ д!аметрЬ содержитъ не болФе Ю21 =; 10 • 104 • 10тс, т. е. десяти мир!адъ единицъ нашего третьяго порядка. Но такъ какъ стад1'я меньше 10 000 дюймовъ, то ясно, что песочный шаръ. съ дхаметромъ въ стадш, содержвтъ мен^е 10 мир1адъ единицъ третьяго порядка. Точно такимъ же образомъ найдемъ, что гааръ съ дгаметромъ въ 102 стадш содержитъ меньше ч'Ьмъ 1000-108'3 песчинъ въ 10* 10-К)8'* » 10 6 10е-Ю-108-* » 10 8 10-104-108-5 » 1010 1000-108-6 Но Ю10 есть 10 000 миллюновъ стадШ. Такъ какъ д!аметръ вселенной меньше 10 000 миллюновъ стадШ; стало быть, все- вселенная содержите песчинокъ менъ-е, нежели 1000-10". Дал^е. Д1аметръ Аристарховой сферы неподвижныхъ зв4здъ заклю- чаетъ въ ce6i столько разъ д1аметръ вселенной A0 000 мил- люновъ стад!й), сколько разъ въ этомъ нослъ-днемъ содержится д1аметръ Земли A миллюнъ стад!й), и выходитъ, что сфера Аристарха (неподвижныхъ SBfeflb) относится къ сферй вселен- вселенной, какъ 1012: 1, а стало быть, содержитъ песчинокъ мен4е, чъ'мъ 1 000 мир1адъ единицъ восьмого порядю 1000-104 -108-7 = 1063. Это, царь Гелонъ, можетъ показаться невероятным!. толпФ и всъ'мъ несведущ и мъ въ математик^.; но тъ1, которые обла- даютъ математическими познашями и ун^ютъ размышлять о разстояшяхъ и величин^ Земли, Солнца, Луны и всего м!розда- шя, признаютъ это за доказанное. Поэтому я счелъ не неу- м^стнымъ предпринять это изсл^доваьйе.
]2 Въ ряду другихъ работъ великаго геометра Сиракузъ раз- суждеше о числи несчинокъ («Псаммитъ»—по-гречески) зани- маетъ сравнительно второстепенное м'Ьсто. Но и эта небольшая работа,—«несколько размышлешй», какъ говорить самъ Архп- медъ,—даетъ достаточное нонятае о мощи гешя этого человека. Предъ нами въ простой и наглядной формФ лежитъ въ сущности изложеше десятичной системы. Введи только Архимедъ систему помйстнаго значешя цифръ да... нуль, и дальше некуда идти!... Представляется удивительнымъ, что это открьте ускользнуло отъ его проницательности. Или же этотъ гешй величественно пренебрегалъ всъ-мъ тъчмъ, что такъ упрощаетъ и облегчаетъ работу намъ, обыкновеннымъ смертнымъ? Задача 7-я. Юридическш вопросъ. Древше римляне ничего или почти ничего не сделали для развипя математическихъ наукъ. Они известны болъ-е въ области законодательства. Дошедппя до насъ римсшя математическ1я сочинен1я носятъ преимущественнно чисто практический, утили- утилитарный характеръ. Такъ, нанрим^ръ, поводъ къ составлен!ю ариометическихъ задачъ давали римсме законы о наслпдстеп. Воть одна изъ такихъ дошедшихъ до насъ задачъ. Ьйкто, умирая, оставилъ жену въ ожиданш ребенка и сд'Ьлалъ такое завЪщаше: въ случай рожден1я сына отдать ему 2/з оставленнаго имущества, а V3 матери. Въ случай же рождешя дочери—она должна полу- получить V3, а мать 2/з имущества. Вдова завещателя ро- родила близнецовъ, мальчика и девочку. Какъ разде- разделить имущество, чтобы удовлетворить услов1ямъ за- Pimeiiie. Задачу эту, представляющую такъ называемый «юридиче- «юридическш казусъ>, р^шилъ, между прочимъ, знаменитый римсюй юристъ Сальв!анъ Юл!анъ. PimeHie его состоитъ въ томъ, что
13 имущество должно быть разделено на семь равныхъ частей. Четыре изъ этихъ частей должны перейти къ сыну, двй—къ жени и одна къ дочери. Предлагаемъ читателю решить эту задачу на основаши не юридическихъ, а математическихъ со- ображенш. Индуссмя задачи. Индусамъ, какъ утверждаютъ иные, мы обязаны нашей си- системой письменнаго счислешя и введешемъ нуля, т. е. откры- пями, имеющими величайшее значете въ исторш развитая математическихъ наукъ. Вообще, въ свое время индусы довели искусство вычислешй до такой степени совершенства, которой не достигалъ ни одинъ изъ ран^е ихъ жившихъ народовъ. Осо- Особенности нацкшальнаго склада этого народа отразились и на дошедгаихъ до насъ его математическихъ сочинешяхъ. Послйд- Н1я обыкновенно написаны стихами и часто полны темныхъ и мистическихъ выражешй. Съ другой стороны, задачи, со- ставленныя въ легкой и щлятной стихотворной формй и пред- лагаемыя въ качеств-Ь загадокъ, были любимымъ развлечешемъ индусовъ. «Эти задачи,—говорить индуссюй астрономъ Брах- магупта (конецъ 6-го и начало 7-го в^ка по Р. X.),—предла- X.),—предлагаются просто для забавы. Мудрый челов'Ькъ можетъ приду- придумать тысячу другихъ, или можетъ решать задачи, предложен- ныя ему другими по изложеннымъ зд'Ьсь правиламъ. Какъ Солнце затмеваетъ звезды своимъ блескомъ, такъ и ученый челов'Ькъ можетъ затмить славу другихъ въ народныхъ со- брашяхъ, предлагая алгебраическ!я задачи и, т^мъ бол^е, р^шая ихъ». Въ сочиненш Сиддхантасиромшш («В^нецъ астрономиче- астрономической системы»), написанномъ индусскимъ ученымъ Вхаскара Ачарья въ 1150 году, есть дв4 главы, посвященныя спец!ально математик^. Одна глава носитъ заглавие Лилаватщ т. е. «пре- «прекрасная» (въ смысл4 «благородная наука»), а другая—Видоюа- Ганита, т. е. «извлечете корней». Вотъ прим^ръ задачъ, взятыхъ изъ этихъ главъ.
14 Задача 8-я. Прекрасная Д'Ьва съ блестящими очами, ты, которая знаешь, какъ правильно применять методъ инверсш, скажи мн^ величину такого числа, которое, будучи умножено на з, зат?мъ увеличено на 3h этого произ- произвел етя, разделено на 7, уменьшено на '/з частнаго, умножено само на себя, уменьшено на 52, послЪ извле- чен1я квадратнаго корня, прибавлешя 8 и дЪлешя на ю даетъ число 2? PimeHie. Указаше на способъ ръчпешя заключается въ самомъ условш задачи. Предполагается, что д-Ьвушка ум-Ьетъ правильно при- причинять методъ инверст». Инвераей называется такой способъ рЗдпешя задачи, при которомъ начинаютъ съ посл'Ьдняго числа задачи, такъ сказать, «съ конца», и идутъ въ обратномъ по- порядки, производя дгЬйств1я также обратныя названнымъ въ задачи. Такъ, наприм^ръ, въ данной задача отправляемся отъ числа два и идежъ къ искомому числу слйдующимъ путемъ: 2 множимъ на 10, получаемъ 20; Отъ 20 отнимаемъ 8 » 12; 12 множимъ на 12 х) » 144; Къ 144 прибавляемъ 52 » 196; Изъ 196 извлекаемъ квадратный корень » 14; 3 , 21; » 147; 84; » 28. Т. е. возвышаемъ въ жвадратг A2 X 12 = 122). AificTEie, обратное из- кеадратиаго когтя. Отъ Отъ 14 21 147 84 беремъ множимъ на беремъ дъмимъ на 2 7 4 7 3
16 28 и есть искомое число. То же р'Ьшете при систем-Ь на- наши хъ обозначешй можно написать въ одной строки: B • 10 — 8J + 52=196; 1/196= 14; 14. ^ >7 " 7 :3 —28. ДревнМндй изъ изв'Ьстныхъ намъ индусскихъ матеыати- ковъ (V-й въ-къ по Р. X.) Аръябхатта объясняетъ снособъ инверсш съ такой характерной краткостью: «Умножеше становится д'Ьлешемъ, дъмеше становится умно- жешемъ. Прибыль обращается въ убытокъ, убытокъ въ при- прибыль; инверая». Тотъ же Арьябхатта предлагаетъ въ ряду прочихъ и ниже- нижеследующую «практическую» для индусовъ задачу: Задача 9-я. ДОна рабыни. Шестнадцатилетняя девушка-рабыня стоитъ з2 нишка (индусская монета). Что стоитъ рабыня 2о-ти лътъ? Pimeme. PimeHie этой любопытной для насъ по условш задачи не отличается само по ce6i нич^мъ особеннымъ. Но исторически оно доказываетъ, что индусы уже не позже V-ro вика были хорошо знакомы съ такъ называемымъ у наст, «тройнымъ пра- виломъ», равно какъ, кстати сказать, были знакомы и со мно- многими другими «правилами» р-Ьшешй задачъ, до сихъ поръ еще часто безъ нужды обременяющими наши учебные курсы. Въ частности при рйшенш задачи о ц^н'Ь рабыни Арьяб- Арьябхатта руководствуется началомъ «обратной пропорцш», потому что, говорить онъ, «стоимость живыхъ существъ (рабовъ и скота) устанавливается сообразно ихъ возрасту»,—ч^мъ старше, т4мъ дешевле. На такомъ основанш выходитъ, что если 16-летняя рабыня стоитъ 32 нишка (индусская монета), то однолетняя будетъ
16 стоить въ 16 разъ больше, т. е. 32 X 16 ншпка, а 20-лгЬтняя въ 20 х. , 32 Х 16 п. 3 разъ меньше последней суммы, т. е. —^— = 25 -^ нишка. Приведемъ еще двй индуссыя задачи, въ которыхъ гово- говорится о бол'Ье веселыхъ и безобидныхъ вещахъ, чймъ о про- продажи человека человйкомъ. 064 задачи взяты изъ сочинешй уже упомянутаго нами Бгаскары. Р-Ьшете ихъ, особенно для лицъ, знакомыхъ съ квадратными уравнешями, не представляетъ ни малййшаго затруднешя. Поэтому приводимъ только ответы. Задача 10-я. Пчелы. Пчелы въ числъ1, равномъ корню квадратному изъ половины роя, слетали на кустъ жасмина. 8/э всего роя осталось дома. Одна пчела-самка летаетъ вокругъ цветка лотоса. Тамъ жужжитъ неосторожный самецъ, привлеченный сладкимъ запахомъ цвъ-тка и теперь за- заключенный внутри его. Скажи мн'Ь число пчелъ? Ответь: 72. Задача 11-я. Обезьяны. Стая обезьянъ забавлялась. Одна восьмая часть въ квадрат^ ихъ бътала по л-fecy. Остальныя 12 кри- кричали на верхушка холма. Скажи мнъ- число обезьянъ? Отв^тъ: 16 или 18. Задачи Ньютона. Выше приведены некоторый задачи, по гЬмъ или пнымъ при- чинамъ изв^стныя въ ncTopin развит!я математическихъ знанШ. Было бы несколько страннымъ обойти при этомъ молчан1емъ н^>- которыя задачи великаго Ньютона, хотя они далеко не носятъ характера общедоступности.
17 Въ первые девять л-Ьтъ своей профессуры въ Кэмбрпдж- скомъ университет^ Ньютонъ чпталъ лекщи по алгебрй. Лекщ'п эти подъ заглав!емъ «Arithmetica Universalis» («Все- («Всеобщая Ариеметика») были опубликованы Уистономъ (Whiston) въ 1707 году. По многочисленности входящихъ въ нихъ задачъ можно судить, что велишй теоретикъ и пролагатель новыхъ путей въ математики прекрасно сознавалъ развивательное зна- чете тсто практическихъ задачъ. Объ этомъ онъ и самъ го- воритъ въ своей «Ариеметик-Ь»: «Я показалъ выше pirnenie н'Ьсколышхъ задачъ, такъ какъ при изученш наукъ примеры полезн-Ье правилъ» («In scientiis enim addiscendis prosunt exempla magis quam praecepta»). Сл'Бдующгя сейчасъ двъ1 задачи можно считать самыми из- известными пзъ Ньютоновскихъ задачъ. Для рт-шешя ихъ мало одной хотя бы и самой быстрой сообразительности, а необходима еще некоторая математическая подготовка, охватывающая, впро- чемъ, только знаше квадратныхъ уравненШ и первыя ступени неопред'Ьленнаго анализа. Предполагая, что только такой чита- читатель заинтересуется этими задачами серьезно, мы даемъ ихъ pimeme, не входя въ подробности. Задача 12-я. Быки на лугу. На лугу, площадь котораго равна 3-5 акрамъ, пасутся въ продолжеше 4 недель 12 быковъ и за это время съъ-даютъ какъ ту траву, что была раньше, такъ и ту, что подростала во все это время равномерно. На дру- гомъ лугу, площадь котораго равна ю акрамъ, пасутся въ продолжен1е 9 нед-вль 1\ быкъ и также съ^даютъ какъ ту траву, что была раньше, такъ и ту, что под- подростала во все это время равномерно. Сколько нужно пустить быковъ на трети лугъ, площадь котораго равна 24 акрамъ, чтобы они въ продолжеше i8 недЪль съ^ли ВЪ ЦАРСТВ* СМЕКАЛКИ. КН. III. 2
18 какъ ту траву, что на немъ есть, такъ и ту, которая будетъ подростать во все это время равномерно? Примгьчанге. Предполагается, что высота травы на всЬхъ трехъ лугахъ до выгона на нихъ быковъ одинакова, и что ростъ травы на всЪхъ трехъ лугахъ за одинъ день—одинаковъ. Pinieme. Рйшеше, наиболее быстро приводящее къ цъли, требуетъ введешя новыхъ вспомогателъпыхъ шизвпстныхъ. Поэтому обозначимъ искомое число быковъ черезъ х; пусть у есть перво- первоначальная высота травы на лугахъ а пусть на всъ-хъ трехъ лугахъ трава подростаетъ ежедневно на г. Тогда количества травы (по объему), съйденныя быками на трехъ лугахъ, выра- выразятся соответственно черезъ: З1,3(У+ 7-42-); 10B/4-7- 9s); 24 (у + 7-18г). Следовательно, одинъ быкъ съ^далъ за одинъ день на ка- ждомъ лугу соответственно травы (но объему): -44 10(y+7-9g)- 24{у + 7 -18?) 12-7-4 ' 21-7-9 ' ж-7-18 Отсюда им^емъ два уравнетя: 10(^+28g) _ 10 (у+ 63^) __ 24(^+126?) 3-12-7-4 ~~ 21-7-9 ~~ ж-7-18 или 16 ~ 21 ~~ 2х Изъ уравнения 16 21 : у = 84;?. Подставивъ это значен1е у въ уравнение 5(у+28»)_ 12(^4-12ft?) Тп~ ~ 2х ' находпмъ, что .т = 86. Лтакъ, на трети лугъ нужно пустить 36 быковъ.
19 Задача 13-я. Глубина колодца. Камень падаетъ въ колодецъ. Определить глубину колодца по звуку, происходящему отъ удара камня о дно. Pimeiiie. Если обозначить черезъ х глубину колодца и затъчиъ усло- условиться, что камень проходитъ пространство а во время Ъ, а звукъ то же пространство во время d, что время отъ начала надешя камня до получаемаго ухомъ звука отъ его удара о дно есть t, то рйшеше задачи цриводитъ къ квадратному уравненш , 2adt+ab2 a2t2 _ ЯГ— ;р Х+-ЗГ—1)- Для нахождения ответа для каждаго частнаго случая не- необходимо знать законы свободиаго падешя тгЬлъ и скорость рас- пространенгя звука. Къ приведениымъ задачамъ прибавимъ еще следующую, взятую лзъ англШскаго сборника за 1742 годъ («Miscellany of Mathematical Problems»). Задача остроумна по условш и решается сравнительно просто. Изъ вышеуказаннаго сборника она перешла во мнопе задачники и руководства. Задача 14-я. Кто на комъ женатъ? Трое крестьянъ, Иванъ, Петръ и АлексЬй, пришли на рынокъ со своими женами: Марьей, Екатериной и Анной. Кто на комъ женатъ, намъ неизвестно. Узнать это на основанш такихъ соображен1й: кал^дос из7. этихъ 6-ти лидъ заплатило за каждый купленный пред-
20 метъ столько копйекъ, сколько предметовъ оно купило. Каждый мужчина истратилъ на 63 копМки больше своей жены. Кром-fe того. Иванъ купилъ 23-мя предме- предметами больше Катерины, а Петръ п-ю предметами больше Марьи. Р-Ьшеше. Если одинъ изъ мужчинъ купилъ, скажемъ, х предметовъ, то по условш задачи онъ заплатилъ за нихъ х2 коп. Если его жена купила у предметовъ, то она заплатила ва нихъ у2 коп. Разница х2 — у2 = 63, но х2— у2 = (х-\-у) (х— у), т. е. (х + у) (х — у)=6Ь. Числа х-\~у и х — у наВдемъ, разложивъ 63 на два цъ1- лыхъ множителя; но 63 = 32-7, и разложеше возможно на три манеры: 63 X 1, 21 X 3, 9 X 7, откуда ур-шя Ихъ решетя: v —49 а —41- rr —19 ii —Q* т —>^ а —1 Отыскиваемъ т4 значетя ж и у, разность которыхъ = 23, и находимъ хх и у2\ следовательно, 32 предмета куплено Ива- номъ, а 9—Катериною, и т. д. Такимъ образомъ, имеемъ сле- комбинащи Иванъ 32 Г Петръ 12 j Алексей 8 Анна 311 Катерина 9( Марья 1 задачи. О состояши п развипи матеиатическихъ знанШ на Руси въ ея древнМппй перюдъ неизвестно почти ничего. Въ «Русской Правд-б» Ярослава есть, положимъ, статья съ такимъ расчисле- шемъ: «А отъ 20 овецъ и отъ двою приплода на 12 лить— 90 000 овецъ» и т. д. Вычислеше стоимости приплода, или при- прибытка, и получаемыхъ отъ скота продуктовъ вгЬрны и доказы-
21 «Русской Правды» были знакомы съ умножешемъ и дйлешемъ. Но въ общемъ есть основашя ду- думать, что о какихъ бы то ни было саыостоятельныхъ шагахъ ни въ одной области математики въ Россш говорить не прихо- приходится чуть ли не до 18-го или даже 19-го в4ка. Немного- численныя дошедппя до настоящихъ дней математическш руко- рукописи служатъ тому уб-Ьдительнымъ доказательствомъ. Такъ, въ своихъ изв-Ьстныхъ примйчашяхъ къ «Исторш Го- Государства РоссШскаго» Карамзинъ говорить, что въ его распо- распоряжении была рукопись геометрш XVII вика подъ заглав1емъ: «Книга именуемая геометрш или землемгьргя радиксомъ и цыркулемъ-». За геометр1ей слъугуетъ: «книга о сошномъ и вытномъ письий»; потомъ рукописная ариеметика, озаглавлен- озаглавленная: «книга рекома по-гречески Ариеметика, а по-немецки Алгоргшш, а по-русски цифирная счетная мудрость». Въ предисловш книги говорится: «Сиръ, сынъ Асиноровъ, мужъ мудръ бысть: cifi же написа численную ciro философш финическими письмены, яко же онъ мудрый глаголетъ, яко безплотна сущи начала, гЬлеса же пре- минующая.—Безъ сея книги не единъ философъ, ни дохтуръ не можетъ быти а хто cm мудрость знаетъ, можетъ быть у го- государя въ великой чести и въ жалованш; по сей мудрости гости (купцы) по государствамъ торгуютъ, и во всякихъ това- рйхъ и въ торг'Ьхъ силу знають, и во всякихъ в4съ\хъ и въ м4рахъ и въ земномъ верстанш и въ морскомъ теченш зело искусны, и счетъ изъ всякаго числа перечню знаютъ». Изъ памятниковъ русской старинной математической лите- литературы въ настоящее время имеются шесть математическихъ рукописей въ Императорской публичной библютекъ1, шесть въ РумяБцевскомъ музей, одна въ книгохранилищахъ Чудова мо- монастыря, одна въ библютек'Ь общества любителей древней пись- письменности. Вотъ, напр., содержаше рукописной ариеметики (ру- (рукопись № 681) Румянцевскаго музея: Рукопись иы4етъ следующее заглав!е: «Пятая мудрость въ семи великихъ мудростЬхъ нарицается Ариеметика». Изложеше ариеметики раздйлено на статьи, а статьи распадаются на ну- мерованныя OTfl^eHifl, называемыя строками, отвечающими на-
22 шпмъ д'Ьлешямъ на главы и параграфы. Вотъ содержаше: Пер- Первая статья отъ числа. Нюмерапдя или считай ic словесемъ и начерташе числомъ цыфирнымъ. Другая статья—адитае или считаше—наше сложеше; статья именуется сютраые—по на- нашему вычиташе; статья мюлтипликасге, или умножеше числу всякому; статья дивизге или дчъловая\ указъ како костьми считати; статья adumie или счетная костьми или тьнязи. Статья костьми мултипликасге или умножальная. Статья сюбстаксъе костьми или вынимаше. Статья дчъловая костьми, дивиз1е или росчиташе. Указъ о дощаномъ счетп. Указъ како класти костьми сошную кладь. Статья о в4с4хъ и о М'Ьрахъ московскаго государства руссте земли. Статья о в4сгбхъ и о М'Ьрахъ нймещпе земли. Статья французсше земли о денежномъ счетт. ливонскомъ, виницейскомъ и елоренсхомъ>. Потомъ идетъ сложеше, вычиташе, умноженге и д^леше въ вньсаосъ и въ мгьрахъ и въ деньгахъ, или по современному: сложеше, вычиташе, умножеше и д-Ьлеше именованныхъ чиселъ. «Статья численная о всякихъ доляхъ; у.менъгиенге долями: сложеше, вычиташе, умножеше и дЬлеше дробей; потомъ статья строй- стройная въ ii/Гълыхъ и въ доляхъ всякихъ. Статья тройная въ до- ляхъ. Статья дпловая; статья торговая; статья о прику- пахъ; о наклад'Ьхъ счетъ; статья спрашиваемая въ тройной строк'Ь; статья спрашиваемая во времени. Статья ростовая и до- добычная; статья о нечисти во всякихъ овощахъ и въ товарахъ; cmamia фальшивая или сбойлпвая cmamia мпновая въ торгу. Стат1а торговая складная; стапа торговая складная съ прика- щики и др., о деньгахъ въ кучи увъдати; о плотник'Ьхъ (за- (задача); о яйцахъ (задача); о хожденш юношей трехъ зерныци- ковъ. Способъ изложешя въ рукописи строго догматически. Пра- Правила предлагаются въ форм? предписашя или рецепта, не со- держащаго даже намека на указаше мотивовъ и оснований. Примеры идутъ: одни тотчасъ за изложешемъ правила, друие на- оборотъ. Вотъ образчикъ преподашя правила сокращешя дробей: «Уженьшеше долямъ». Когда оставляются въ деловой ве- лишя доли въ числахъ ибо иадобе ихъ сводить въ невеликгя числа Смотри возьму остатковъ въ доляхъ 40, а деловой пе-
23 ркчень (делитель) 60 и ты поставь еще 4%о и прежъ оными у обопхъ чпселъ 0 ино стаиетъ i с; да смотри льзялп оба числа верхшя и нижнш во единъ дъмъ разд'Ьлити и ты д'Ьли какъ на два придетъ 2/3 т. е. двт> трети». Относительно употребляемыхъ въ рукописи знаковъ должно заметить, что употреблеше арабскихъ цифръ не вытеснило цер- Еовно-славяискихъ знаковъ, такт, статья о «нюмерасш или счисленш числомъ цыфпрнымъ» начинается съ перевода пер- выхъ девяти церковно-славянскихъ знаковъ на употребляемыя нами цифры. Въ примт,рахъ съ отвлеченными числами исклю- исключительно употребляются цифры; въ именованныхъ — употре- употребляются смешанно церковно-славяпсгпе знаки и цифры. Въ Императорской публичной библютекй есть рукописная ариеметика, гд-Ь упомянуть годъ, когда писалась рукопись. Она озаглавлена такъ: «Книга, глаголемая аринметяка, пятая изъ седьми мудростей наука. Начата бысть ппсати отъ создашя Mipa въ л'Ьто 7199 года, индикта 14, круга солнечнаго 3, луннаго 17; отъ рождества по плоти единосущнаго отцу Слова 1691 года; справнаго луннаго слова 0, а ключевого пасхальнаго Ф, ме- месяца Iyma 28 дня». «Ув'Ьщеваше» и предиакше въ этой рукописи написаны стихами, часть которыхъ посвящена восхваленш счета и нуля, пазываемаго Да увьется о семъ, яко ариеметика Девяти чиселъ, девяти и статей наука, Десятое же мФ.сто опомъ исполняетъ, Своего числа м^Ьсто просто сохраняетъ. Кому либо въ счет-Ь необр^татися Ту есть станет!, Онъ ему же не считатися, Разумей, ид-Ь же Онъ мЬсто порозже есть: Тако въ статьяхъ десятья науки h'Ictl! Точ1ю вм-Ьсто того поставки различные. Въ строкахъ считаше славяномъ не обычны: ТЪхъ поставокъ подробно и счести, Кто ихъ навыкнетъ, можетъ вгя подъ солнцемъ счести. Итакъ, въ то время какъ въ Западной Европт> создава- создавались «Principia mathematica» и «Arithmetica uuiversalis» Нью-
24 тона, когда блестящая плеяда математиковъ раздвигала все шире и шире все области естествознашя, pocciflcirie «цыфир- ные грамотеи» все еще перебивались пережитками отдаленнаго средневековья. Математичесше курсы и сочинешя, столице на более высокоыъ уровне знанШ, начинаютъ появляться на Руси только после Петра Великаго. Одниыъ изъ первыхъ и замеча- тельнейшихъ учебниковъ ариеметики, по которому учились наши прапрадеды, былъ учебникъ Л. Магницкаго, изданный въ 1703 г. Приводимъ изь него две нижеследуюиця задачи. Задача 15-я. ОтвЪтъ учителя. Вопроси нъжто учителя никоего глаголя: повъ-ждь ми колико имаши учениковъ у себе во училищи, по- понеже имамъ сына отдати во училище: и хощу увъ-дати о числи учениковъ твоихъ? Учитель же отвъщавъ рече ему: аще придетъ ми учениковъ толико же, елико имамъ, и полтолика, и четвертая часть, еще же и твой сынъ, и тогда будетъ у мене учениковъ ioo. Вопросивый же удивлся отвъту его отиде, и начатъ изобр-Ьтати. Р4шеше. Задача представляетъ, очевидно, вар!антъ известной задачи о стаде гусей, данной нами въ 1 части нашей книги. Отв'Ьтомъ на задачу служить число 36. НЪкоторыя староруссюя mtpbi и выражешя. Въ условгяхъ следующихъ задачъ встречаются слова, врядъ ли понятныя многиыъ изъ совреыенныхъ читателей. Приводимъ ихъ здесь для удобства въ особой табличке: 1 алтынъ = 3 копейки = 6 денегъ 1 копейка = 2 деньги = 4 полушки —1, -> гроша 1 гривна =10 копеекъ.
26 пйнязь (польская монета) = копейка полтаражды значитъ 17/2 полтретья » 2х/-2 полчетвертажды » З1 „ иолпята » 4х/2 и т. д. Задача 16-я. Недогадливый купецъ. Нътай человъ"къ продаде коня за 156 рублевъ, рас- каявся же купецъ нача отдавати продавцу глаголя: яко н'Ьсть мнгЬ л4ть взяти сицеваго коня недостойнаго таковьщ высок1Я цъ-ны; продавецъ же предложи ему иную куплю глаголя: аще ти мнится велика цЬна сему коню быти, убо купи токмо гвозд1е ихже сей конь имать въ подковахъ своихъ ногъ, коня же возми за тою куплею въ даръ себЬ. А гвоздей во всякомъ под- ков'Ь по шести, и за единъ гвоздь даждь ми едину по- полушку, за друпй же двгк полушки, а за третш копейку, и тако всъ- гвозди купи. Купецъ же видя толь малу ц'ьну и коня хотя въ даръ себъ- взяти: объ-щася тако цвну ему платити, чая не больше ю рублевъ за гвозд1е дати. И въ-дателно есть: коликимъ купецъ онъ протор- проторговался? Piineme. Купецъ действительно «проторговался» очень сильно, такъ какъ за гвозди ему приходится заплатить 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + + 223 полушекъ, что составить 41 7Я7 руб. 33/4 коп.! Задача опять таки принадлежишь къ типу уже nsBicTHbixb намъ задачъ, решающихся nporpecciefl (см., напр., «Въ Царств-Ь смекалки», книга 1-я, стр. 120; книга 2-я, стр. 70 и сл4д.).
26 Вообще же говоря, всЬ почти задачи въ руководств^1 Магниц- каго носятъ характера простыхъ переводовъ оъ иностранных!, руководства Волыиую самостоятельность въ обработки матерьяла проявилъ артиллерш штыкъ-юнкеръ Ефимъ Войтяховстпй, издав- шШ курсъ математики въ 1820 году. Вотъ полный заголовокъ этой книги: «Полный курсъ чи- чистой математики, сочиненный артиллерш ттыкъ-юнкеромъ и математики партикулярнымъ учителемъ Ефиломъ Войтяховскимъ, въ пользу и уцотреблеше юношества и упражняющихся въ ма- тематикй». 4 тома, изд. 1820 г. Задачи курса Войтяховскаго бол^е переработаны п приспо- приспособлены къ русскому кругозору, а нъ-которыя изъ нихъ поло- положительно остроумны, иногда, впрочемъ, до игривости, сбива- сбивающейся на «раешникъ». Не обходится въ иныхъ изъ нихъ и безъ сатиры, предметомъ которой обыкновенно избираются въ силу условш времени французы. Вотъ нисколько задачъ изъ курса Войтяховскаго. Рйгаешя ихъ незамысловаты, такъ что даемъ только ответы. Задача 17-я. Богатство мадамы. Нововыъ'зжей въ Pocciro Французской Мадам-Ь взду- вздумалось ц-бнить свое богатство въ чемодант>: новой вы- выдумки нарядное фуро и праздничный чеиецъ а ла фи- гаро; оц"бнщикъ былъ Русакъ, сказалъ Мадам'Ь такъ: богатства твоего первая вещь фуро вполчетверта до- дороже чепца фигаро; вообщежъ стоютъ не съ полови- половиною четыре алтына, но настоящая имъ ц-Ьна только сего половина; спрашивается каждой вещи цт^на, съ чъ-мъ Француженка къ Россамъ привезена. Отв4тъ. Чепецъ «алафигаро» стоитъ 1х/2 коп., а нарядное фуро 5т/4 коп.
27 Задача 18-я. Богатство Гасконца. У пргвзжаго Гасконца оц'Ьнили богатство: модной жилетъ съ поношеннымъ фракомъ въ три алтына безъ полушки, но фракъ вполтретья дороже жилета; спра- спрашивается каждой вещи цъна? Ответь. Щна фрака 6т/4 коп., жилета 2!/2 коп. Задача 19-я. Веселый французъ. Веселый Французъ пришедъ въ трактиръ съ неиз- неизвестною суммою своего богатства, занялъ у содержа- содержателя столько денегъ, сколько у себя имъ-лъ; изъ сей суммы издержалъ т рубль. Съ остаткомъ пришелъ въ другой трактиръ, гд-Ь опять занявши столько сколько им'Ьлъ, издержалъ въ ономъ также i рубль; потомъ пришедъ въ третш и четвертый трактиръ учинилъ тоже, наконецъ по выхода изъ четвертаго трактира не им'Ьлъ ничего; спрашивается количество его денегъ. Отв^тъ. 933/4 [{оп. Задача 20-я. Куплено сукна полторажды полтретья аршина, за- заплачено полчетвертажды полпята рубли; спрашивается, сколько должно заплатить за полсемажды полдевята аршина того же сукна? Ответь. 232 руб. 5 коп. Задачу эту, говорятъ, любилъ предлагать на экзаженахъ покойный Императоръ Николай 1-й. Задача 21-я. ДЪпежъ. 4 путешественника: купецъ съ дочерью, да кре- стьянинъ съ женою нашли безъ полушки 9 алтынъ
28 да лапти, изъ коихъ крестьянка дали грошъ безъ по- полушки да лапти, а остальныя деньги разделили между собой такъ: купеческая дочь взяла вполтора больше крестьянина, а купецъ вполтретья больше крестьянина; спрашивается, сколько которому досталось? 0тв4тъ. Ерестьянинъ получилъ 5 коп., дочь купца 71/2 коп., купецъ 1'1112 коп. Задача .22-я. МЪна. Крестьянинъ мъ-нялъ зайцевъ иа домашнихъ курицъ, бралъ за всякихъ двухъ зайцовъ по три курицы; каждая курица снесла яицъ третью часть противъ числа всЬхъ курицъ. Крестьянинъ, продавая яйцы, бралъ за каждыя девять яицъ по столько коп-Ьекъ, сколько каждая курица яицъ снесла, за которыя вы- ручилъ онъ 24 алтына; спрашивается число куръ и зайцовъ? Ответь. 12 зайцевъ и 18 куръ. ПосдоЬдунище составители нашихъ ариеметическихъ учебни- ковъ и задачнпковъ не развивали идеи Войтяховскаго—пред- Войтяховскаго—предлагать задачи и примеры въ легкой, доступной и даже забавной форм-Ь. Объ этомъ надо пожалить.
¦г т f- t t '¦*«¦_ ИЛЛЮЗШ Зр1ЪШЯ. Большая часть такъ называемыхъ иллюзШ (обмановъ) зрт,- шя известны въ течете многихъ стшйтй,— и MHorie изъ нихъ остаются необъяснимыми еще по сей день. Новые типы зри- тельныхъ обмановъ такъ рйдки, что можно, пожалуй, считать эту любопытную область исчерпанной. Лишь изръ-дка случается наталкиваться на совершенно новый родъ зрительныхъ иллю- з1й, неизвестный нашимъ предкамъ. Еъ числу ихъ, между прочимъ, принадлежитъ та, которая описана во второмъ том-Ь (стран. 15 и ел.) настоящей хрестоматш—это кажущаяся не- непараллельность буквъ въ слов4 Life и мнимая спираль на клйтчатомь фонъ-. Объяснить, въ силу какихъ причинъ получаются подобные обманы зр^шя, мы не можемъ. Вотъ почему тъчиъ HHTepecHie будетъ подробно проследить за процессомъ, съ помощью кото- раго рисовальщикъ достигаетъ этихъ удивительныхъ иллюз1й зргЬн1я. Веремъ то же слово «Life». Фиг. 1 даетъ буквы, поставленный совершенно прямо; но очерташя ихъ выведены зубчатой лишей, при чемъ вершины зубцовъ лежатъ на лишяхъ, строго параллельныхъ горизон- горизонтальному и вертикальному краямъ бумаги.
30 На фиг. 2 часть промежуточныхъ звеньевъ зубчатыхъ ли- нШ удалена, остальные же штрихи оставлены на своихъ мй- стахъ. Уже здйсь замечается легки наклонъ буквъ. Фиг. 1. С-"-/" Li Фиг. 2. На фиг. 3 каждый штрихъ удлиненъ вдвое. На фиг. 4-й къ концамъ каждаго штриха дририсованъ чер- черный треугольникъ. Зд^сь иллюз1я выступаетъ уже съ полной отчетливостью. Фиг. 3. Фиг. 1. '¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦ *. ^ Ж. Ж. ^ Ж Ж. А А. А А А .А. .« » ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦И* ¦ ¦•) ф ¦ ф ¦ ¦ ¦¦¦¦¦¦ ¦ ¦ ¦«¦¦¦¦¦ А ¦ V ¦ ¦ 1 V ¦ ¦ ¦ ¦ * ¦ V ¦.¦/V ¦ ¦ HVitfcJs iiV ¦ ¦¦¦¦¦¦¦•¦¦¦¦ ¦ ¦¦¦¦¦¦¦•«¦¦¦¦ %¦¦¦¦«¦¦¦¦«¦¦¦« Фиг. 5. На фиг. б все свободное поле между литерами заполнено черными квадратиками, расположенными косыми рядами. На фиг. 6 промежутки между черными квадратиками за- заполнены сирыми квадратиками—и иллюз!Я достпгаетъ наиболь- наибольшей разительности.
31 Фиг. 7 наглядно показываетъ, насколько ослабляется иллю- ът съ удалешемъ клЬгчатаго черно-сгЬро-бгЬлаго фона. ¦ '1- # Фиг. 6. Иллкши съ концентри- ~/5 ческими кругами построены * f ¦¦-¦>?. '"; приблизительно по тому же ? * типу. Разница въ томъ, - * что косые прямолинейные , ^ штрихи зам'Ьняютъ зд4сь ';? эксцентричными дугами окружностей большаго ра- д!уса. Отъ направлешя '¦ ..y-'i Ж ^#^: ^ /f *^ i этихъ маленькихъ дугъ и зависитъ окончательный эффектъ?—то впечатлите, которое производятъ на насъ концентри честя окружно- сти. Катя необычайныя ме- метаморфозы могу тъ при этомъ происходить съ ними, лучше всего доказываютъ приложенные зд^сь рисунки. На фиг. 8 вы отчетливо видите серш вложенныхъ другъ ;¦¦;-, „:>¦*.: ¦¦? '¦It!- ' ¦¦¦# Фиг. 7. Фиг. 8, Фиг, 9,
32 Фиг. 10. въ друга сплющенныхъ окружностей, — какъ это изображено на фиг. 9. А между темъ при помощи циркуля легко убедиться, что аередъ вами рядъ строго - концентрическихъ окружностей, какъ это на- начерчено на фиг. 10. На фиг. 11 концентри- чесше круги кажутся спи- спиралью, съ концентриче- концентрическими завитками. На фиг. 12 эти завитки какъ будто ста- становятся съ каждымъ обо- ротомъ все шире и шире, - чего на самомъ деле, конечно, нетъ. Еще оригинальнее спираль фиг. 13,—она то разжимается, то суживается, и, глядя на нее, никакъ не можешь себе пред- представить, чтобы это были строго-коицентричесшя окружности. Самый поразительный эффектъ производитъ фиг. 14: передъ вами совершенно ясно вырисовывается рядъ квадратовъ съ за- закругленными углами! А между темъ это опять- таки совершенно пра- вильныя окружности. На фиг. 15 концен- тричесшя окружности принимаютъ обликъ ка- какой-то совершенно не- неправильной, запутанной кривой. Любопытно отметить две особенности описан- ныхъ здесь оптическихъ иллюзШ. Въ противопо- противоположность всемъ осталь- фиг' **' ¦V *'*'¦¦
33 нымъ типамъ иллкшй, эффектъ здйсь не только не ослабляется при продолжительномъ разсматриванш, но, напротивъ. еще усили- , *д< Or- , " л - ¦ " - ¦¦ * •¦¦¦* ' '-'"'. s- ' " Й -- ¦ Y- -s 4 О ;: ,Д:^ -i-,,, у :/-^\>Vvr'f:.' ^ J ¦ i Фиг. 12. Фиг. 13. вается. Вы можете смотреть на рисунки цЬяые часы?—и спи- спирали все же не превратятся для'васъ въ концентричесше круги. ¦'** Jtifi '.;¦: i<4 >- ¦ - ¦'¦¦"¦¦: Фиг. 14. Фиг. 15. Другая особенность—это усилете эффекта съ приближе- шемъ рисунка къ глазу. При удаленш отъ глаза отдельные ВЪ ЦАРОТВЪ СМЕКАЛКИ. КН. III.
34 косые штрихи начинаюсь расплываться, уклонъ ихъ стуше- стушевывается—и основная причина иллюзш отпадаетъ. Очень забавни производить сл'Ьдующш опытъ: показавъ кому-нибудь одинъ изъ этихъ рисунковъ, попросить обвести контуры фигуры на прозрачной бумагЬ. Разсматривая потомъ отдельно cboi"i собственный чертежъ, рисовавний положительно не в4ритъ своиыъ глазамъ.
Задача-шутка. Есть не мало задачъ-шутокъ, основанныхъ на такъ назы- ваемомъ «гипноз^» слокъ или обозначен 1Й, Bipnie же говоря,— на томъ или иномъ «отвод'Ь глазъ». Постановка вопроса, а затймъ «разрйглеше» его бываютъ иногда столь искусно разсчитани на отвлечете вниманья слушателя въ другую сторону, что по- последнему часто бываетъ трудно не поддаться, а хладнокровно сообразить, въ чемъ секретъ. Въ дополнеше къ разнымъ зада- чамъ-шуткамъ, приведеннымъ нами въ предыдушихъ томахъ настоящей книги, даемъ зд4сь для образца нът:ешлько «гипно- тическихъ» задачъ. Задача 23-я. Искусное разпгёщеше. Можно ли разместить и лошадей въ ю-ти стой- лахъ такъ, чтобы въ каждомъ стоила было всего по одной лошади? Всяк1й скажетъ, что невозможно: для одиннадцатой лошади недостанетъ стойла. Но не угодно ли убедиться, что при нъ1- КОТОроМЪ ИСКуССТВ'Ь ЭТО «ВПОЛН'Е ВОЗМОЖНО». Въ самомъ д4лгЬ, помъттимъ временно одиннадцатую лошадь въ первое стойло: 2 л. 3-я 4-я 5-я 6-я 7-я ;8-я 9-я 10-я 3*
36 и ват^мъ станемъ помещать остальныхъ лошадей по одной въ каждое стойло. Тогда въ первомъ стоили окажутся дв4 лошади, третью лошадь мы пом^стимъ во второе стойло, четвертую—въ третье и т. д Десятая лошадь заиметь девятое стойло, и оста- останется лишь перевести 11-ую лошадь пзъ перваго стойла въ свободное десятое. Решете. Весь прямо ошеломляющи иныхъ эффекта» этой задачи- шутки зиждется на гипиозп словъ, которому почти невозможно не поддаться. Мы такъ увлеклись поисками siicra для один- одиннадцатой лошади, что совершенно не замФчаемъ отсутств1я второй лошади. У насъ есть 1-я, 11-я, 3-я, 4-я, 5-я, 6-я, 7-я, 8-я, 9-я и 10-я лошадь, -но гдй же 2-я? Ея отсутств1е замаскиривано цифрой 2 въ первомъ стоили. Задача 24-я. Расплатился безъ денегъ. Въ ресторанъ заходитъ посетитель и требуетъ пива. Офищантъ приносить бутылку и готовъ уже раскупо- раскупорить, какъ вдругъ посЬтитель передумываетъ. — Дайте мн^з лучше лимонаду. — Извольте-съ. Намъ все единственно. И цйна та же,- -отв'Ьчаетъ оффищантъ и, унеся пиво, является съ лимонадомъ. Посетитель выпиваетъ лиыонадъ и собирается ухо- уходить. Его догоняетъ офищантъ. — Забыли заплатить-съ!.. — За что?—изумляется посетитель. — За бутылку лимонаду-съ. — Вы же взяли за нее пиво. — Тогда извольте заплатит^ за пиво. Вы и за пиво не заплатиди-съ...
37 ¦— Но в?дь я не пилъ пива. Вы унесли бутылку нераскупоренной,—невозмутимо отвЪчаетъ посетитель, оставляя офищанта въ полномъ недоумЪнш. Задача 25-я. Дешевая покупка. Въ часовой магазинъ заходитъ покупатель и про- ситъ показать ему доропе часы. Онъ долго выбираетъ и, наконецъ, останавливаетъ выборъ на солидныхъ дорогихъ часахъ. — Что стоятъ? — Двътти рублей. — Хорошо, я беру ихъ. Заверните. Покупатель собирается уже платить, но вдругъ взглядъ его падаетъ на изящные серебряные часы. — А эти сколько у васъ стоятъ? — Эти подешевле будутъ: сто рублей! — Право, они мнЪ больше нравятся. Заверните. Покупатель платить юо рублей, беретъ часы и направляется къ выходу. Но затъ-мъ снова возвра- возвращается. —¦ Нъ-тъ, я передумалъ: рътлилъ-таки купить тЪ золотые. — Какъ угодно. Прикажете завернуть. — Пожалуйста. Они стоятъ двъ'сти? — Да. — Сто рублей я уже далъ вамъ? — Да. Съ васъ причитается еще сто. — Возьмите вм'Ьсто нихъ эти серебряные часы: вЬдь я купилъ ихъ у васъ за сто рублей...
38 РЪшеше. 064 задачи, какъ уже сказано, основаны на гипнозт, словъ. Въ первомъ случа-fe слова «Я не пилъ пива»— кажутся доста- точнымъ основашемъ, чтобы не платить за напитокъ. На са- момъ же дтлгЬ продавцу совершенно безразлично, какое упо- треблеше вы делаете изъ вещи,—уничтожаете ее или даете ее въ уплату за другую вещь: вы ее такъ или иначе употребили, значить, должны за нее платить. Въ задачи съ часами одни и т4 же сто рублей идутъ въ уплату два раза: разъ —за серебряные часы, и вторично —за золотые. Задача 26-я. Загадочное исчезновеше. Начертите на прямоутольномъ куск-Ь картона 13 одинаковыхъ палочекъ, на равномъ разстоянш друп, отъ друга, такъ, какъ показано на фиг. 1б-ой. Теперь разрЪжьте прямоугольникъ по косой лиши MN, про- Фиг. 16. фиг. 17. ходящей черезъ верхнш конецъ первой палочки и че- резъ нижнш конецъ последней. Если загЬмъ вы сдви- сдвинете объ- половины такъ, какъ показано на фиг. 17, то зам-Ьтите любопытное явлеше: вм-Ьсто 13 палочекъ передъ вами окажется всего 12! Одна палочка исчезла безсл-Ьдно. Куда же она дъвалась? Идея зад;ачъ подобнаго рода для нашихъ читателей не нова. Съ пей мы уже встречались ви П-ой книг^ «Въ царств^ сме- смекалки» при разсмотр-Ьши геометрпческихъ софизмовъ.
39 Если вы внимательно разсмотрите оба чертежа и дадите себт. трудъ сопоставить длину старыхъ и новыхъ палочекъ, то заметите, что новыя чуть длиннее старыхъ. Тщательное изм4- реше уб"Ьдитъ васъ, а то можно показать и вычпслешемъ, что разница въ длинъ1—^ долт, старой палочки, и что, следова- следовательно, исчезнувшая 18-л палочка улетучилась не безслт,дно: она словно растворилась въ 12-ти остальныхъ, удлииивъ ка- каждую изъ нихъ на 12 своей длины. Понять геометрическую причину того, что прл этомъ про- произошло, очень не трудно. Прямая ЖЛ7 и та прямая, которая проходитъ черезъ верхше концы вс4хъ палочекъ, образуютъ стороны угла, перес4ченныя рядомъ параллельныхъ на рав- ныхъ разстояшяхъ другъ отъ друга. Вспомни въ соотвъ'тствую- щую геометрическую теорему, мы поймемъ, что линш MN от- сЬкаетъ oti. второй палочки ^ ея длины, отъ третьей ^, отъ четвертой j§ и т. д. Когда же мы сдвигаемъ ooi части картона, мы приставля- емъ отсЬченный отрт,зокъ каждой палочки (начиная со второй) къ нижней части предыдущей. А такъ какъ каждый отсечен- отсеченный отргЬзокъ больше предыдущаго на ^, то каждая палочка всл4дств1е этой операцш должна удлиниться на -& своей длины, и всЬхъ палочекъ должно получиться 12. На глазъ это удлинеше незаметно, такъ что исчезновеше 13-й палочки на первый взглядъ представляется довольно загадочнымъ. Чтобы усилить эффектъ, можно расположить палочки по кругу, какъ показано на фиг. 18-й. Если вырезать внутреи- шй кругъ и укр'Ьпить его въ центра такъ, чтобы опъ могъ вращаться, то поворотомъ кру- круга на небольшой уголъ мы опять достигаемъ исчезнове- шя одной палочки (фиг. 19). Фиг. 18. Фиг. 19.
40 Фиг. 20. Задача 27-я. Куда давался китаецъ? На только что разсмотр4нномъ принцип^ основана остро- остроумная игрушка-задача, изображенная на фиг. 20-й. Вы видите земной шаръ, по краямъ котораго художникъ разм^стилъ 13 ки- тайцевъ въ весьма воинственныхъ позахъ. Внутреншй дискъ выр4занъ и можетъ вращаться вокругь своего центра. И вотъ, слегка повернувъ этотъ кругъ, вы уничтожаете одного китайца (фиг. 21): вместо прежнихъ 13, передъ вами уже всего 12 сы- новъ Небесной Имперш! Тотъ китаецъ, который находился внутри круга и такъ воинственно наступалъ на своего компа- трюта, безсл^дно улетучился!..
ч * 41 >o. V \ r;v- '.--л Фиг. 21. Исчезновение китайца заставило бы васъ долго ломать го- голову, если бы вы не познакомились съ разсмотрйнными выше схематическими примерами. А теперь дйло ясно: онъ «раство- «растворился» въ дюжинй своихъ соотечественников^ какъ раньше «растворялась» у нтасъ простая палочка. Надо отдать справедливость рисовальщику: не мало потре- потребовалось остроумия и терп^шя, чтобы достичь такого эффекта! Задача 28-я. Разрубить подкову. Двумя ударами топора разрубить подкову на шесть частей, не перемещая частей nocjrfe перваго удара.
42 Pinieme. Если вы начертите подкову въ вид-Ь одиночной дугообраз- дугообразной лиши,—какъ это обы- обыкновенно и д'Ьлаютъ, то сколько бы вы ии ломали голову, вамъ не удастся разрезать ее двумя пря- прямыми больше, чт,мъ на о частей (фиг. 22). Другое д-Ьло, если вы начертите подкову въ вид!; i Фиг. 22. двухъ параллельныхъ кривыхъ,—т. е. дадите фигурй ширину, какъ оно и есть на самомъ Тогда, послй irb- сколькихъ пробъ, вы на- нападете на верное piuie- nie задачи — разрежете подкову двумя прямыми на 6 частей (фиг. 23). Фпг. 24. Задача 29-я. 7 розъ. На ковр-fe (фиг. 24) изобра- изображено 7 розъ. Требуется тремя прямыми лишями разрезать ко- веръ на семь частей, каждая изъ которыхъ содержала бы по одной
См. фиг. 2б-ю. 43 Pimeme. Фиг. 25. Задача 30-я. Разрезать шахматную доску. Даны дв'Ь шахматныхъ доски: обыкновенная въ 64 клъ-тки и другая—въ 36 клъ-токъ (фиг. 26). Требуется каждую изъ нихъ разрезать на двъ4 части такъ, чтобы изъ всЬхъ полученныхъ 4 ча- частей составить новую шах- , Фиг. 26. матную доску, содержащую на каждой сторонъ- по ю кл-Ьтокъ Щ...Щ а?" ш '¦А Фиг. йба. PiineHie. См. фиг. 26-юг/.
44 Задача 31-я. Изъ креста квадратъ. Намъ уже дважды случалось предлагать эту задачу въ раз- личныхъ BapiaHTax'L (см. «Въ царствъ1 смекалки» книга 1-я, стр. 110, и книга 11-я, стр. 15). Вотъ трети весьма остроум- остроумный ея вар1антъ: Разрезать бумажный гречесшй крестъ (прямой и равноконечный) однимъ взмахомъ ножницъ на четыре такихъ одинаковыхъ части, чтобы изъ нихъ можно было сложить квадратъ. Р-Ьшеше. Задача решается посредстяомъ маленькой, но вполн-Ь по- позволительной уловки: крестъ необходимо предварительно пере- перегнуть два раза и лишь зат'Ьмъ произвести разрйзъ. .Яиши пе- перегиба обозначены на прилагаемыхъ чертежахъ (фиг. 27) пунк- Фиг. 27. тиромъ: перегибаютъ сначала по ВВ, потомъ еще разъ по CD. Разрйзъ производятъ по EG, при чемъ получаютъ четыре оди- одинаковыхъ фигуры, изъ которыхъ складывается квадратъ. Подыскать доказательство правильности полученнаго pime- н1я—предоставляемъ читателю. Это не трудпо.
Задача 32-я. Устроить хозяйственный уровень. Изъ трехъ тонкихъ, прямыхъ, хорошо выструганныхъ и съ параллельными краями досокъ можно легко построить прпборъ, полезный при многихъ домапшихъ столярныхъ, плотничьихъ и сельско - хозяйетвенныхъ работахъ. Приборъ носитъ назваше уровня и служить для опред'Ьлешя горизонтальности поверхности въ случаяхъ, когда не требуется слишкомъ большой точности, наприм'Ьръ, при нивеллпровЕ'Ь почвы на поляхъ и огородахъ и т. д. Приборъ устраивается такт,: Полосы изъ тонкихъ доще- чекъ скрепляются вм'ЬсгЬ, какъ указано иа фигуре, образуя тре- угольникъ съ двумя равными сто- сторонами (равнобедренный). Сред- Средняя точка основашя отмечена перпендикулярной чертой, а съ противоположной верхушки спу- спускается итвгьсъ (нить съ гру- Фиг. 28. зомъ). Если приборъ пом^щенъ такъ, что нить отв'Ьса совпадаете со средней отметкой, то, следовательно, полоса основашя ле- житъ горизонтально, будучи перпендикулярной къ линш отвъга. Весь приборъ, следовательно, основанъ на томъ, что линья, выходягцая гш вершины и дплнщан пополамъ основате рав- победреннаго треугольника, перпендикулярна этому осно- ваит. Въ зависимости отъ длины сторонъ треугольника можно вы- вычислить (или прямо определить опытнымъ путемъ), какъ делешя вправо и влево отъ средняго можно провести на основами такъ, чтобы лин1я отвеса, совпадая съ ними, указывала уклоны отъ горизонтальности въ отношешяхъ 1 на 200, 1 на 100 и т. д.
Синусъ. Изучаклще тригонометрш задяють часто такой вонросъ: «изъ понятая о значеши линш, или, точнее,—геоыетрическаго пред- ставлешя тригонометрическихъ отношенШ легко понять, откуда произошли названья «тангенса» или «секанса», а также соог- в4тственныхъ иыъ функпдй дополнительнаго угла («котангенсъ» и «косекансъ»). Но откуда взялось слово синусъ? На этотъ во- просъ историки математики Канторъ, Финкъ и Кэджори отв'Ь- чаютъ такт, (хотя Каиторъ считаетъ такое ртяпеше вопроса всетакп сомнительным?,): Греки всегда брали полную хорду удвоенной дуги. Индусы, хотя и употребляли въ вычиелешяхъ половину хорды удвоенной дуги (то, что мы называем-!, теперь синусомъ), но сохранили для этой лиши назваше полной хорды, Ziva (джива), что въ буквальномъ перевод^ означаетъ тетива,—самое естественное назваше для хорды. Произведешя индусовъ дошли вначал'Ь до насъ черезъ ара- бовъ. Эти послт>дше изъ саискритскаго джива сделали джмба. слово ничего не значущее по-арабски. Но такъ какъ арабы пи- шутъ безъ гласныхъ буквъ, а только одни согласныя (гласныя у нихт. обозначаются особыми значками, которыя часто опу- опускаются), то съ течешемъ времени они слово джиба переде- переделали въ арабское джаибъ, писавшееся тт>ми же согласными и значившее по-арабски грудь. Въ такомъ видй это слово встре- встречается къ сочпнен]'и древнййшаго арабскаго астронома Аль-Ба- тани (IX стоящие по Р. X.), написавшаго книгу о движен]'и небесныхъ т^лъ. Въ дв'Ьнадцатомъ стол"Ьт1и этотт. трудъ былъ переведенъ на латинск1й языкъ Ллатономъ Тибуртинскимъ, передавгаимъ арабское слово dscliaii дословно латинскимъ синусъ (Sinus— грудь). Такъ это совершенно не соответствующее геометриче- геометрическому представлетю слово и удержалось въ математики до нашихъ дней.
47 Задача 33-я. Построить приборъ, наглядно поясняющж тригонометричесшя лиши. Жслающдй можетъ заняться на-досуг'Ь устройствошъ рода прибора, наглядно шшюстрирующаго тригонометричесшя лиши, представляющая тригонометричеыпя отношения. При устройств^ такого прибора можно руковод- руководствоваться нижеследующей об- общей схемой (см. фиг. 20). Въ центр1!-. О круга yicpi- пленъ TOHKifi стержень (прута) Ой, который можетъ вращаться. Прутъ, изображающей касатель- касательную, привинченъ къ диску въ точки А. Вдоль этого послйдняго легко скользитъ маленьшй блокъ, помеченный буквой Т. Этотъ бло- чокъ соединенъ со стержнемъ OR такъ, что Т обозначаете пересечете двухъ линш. Точно также еще маленьшй блокъ R можетъ скользить вдолъ другого каса- тельнаго тонкаго стержня BR. Въ MicTi Р на единиц^ разстоян1я отъ О (т. е. на раз- етоянш рад1уса круга) ввинченъ, или укр'Ьпленъ какъ либо иначе, другой тоненькш стержень РМ. Тяжесть на нижнемъ конц^ этого стержня держитъ его постоянно въ вертикальномъ положены. Въ свою очередь онъ свободно проходитъ черезъ блочокъ, свободно скользящШ вдоль ОА и который обозначенъ на фиг. 29 буквой М. Пусть, теперь, стержень OR вращается въ положительномъ направленш (обратномъ движенш часовой стрелки); тогда уголъ при О увеличивается, а вм^стт. съ т4мъ: МР представитъ соответственное увеличете синуса, ОМ » » уменыпете косинуса, AT » » увеличете тангенса, Фиг. 20.
48 ВВ представить соответственное уменьшен»1 котангенса, ОТ » » увеличеше секанса, О-В » » уменьшеше косеканса. Преодолевали неболышя сравнительно техничесшя трудности и внесшШ возможный усовершенствовашя въ предлагаемую схему можетъ, мы думаемъ, составить себе имя и даже заработать, введя въ школу полезное учебное nocooie. Задача 34-я. Устроить приборъ для обращения кругового движетя въ прямолинейное. Положимъ, что мы ведемъ карандатомъ, касаясь края какого либо кружка, и такимъ образомъ получаемъ окружность. Въ данномъ случае мы пользуемся, значить, однимъ кругомъ для получешя другого. Но для получешя окружности и круговъ у насъ есть и другой инструментъ, не круглый самъ по себе, а именно—циркуль. Если необходимо провести прямую линш, то известный геометрически иостулатъ допускаетъ употребление линейки, что требуетъ прямого края для проведешя прямой лиши, т. е. прямая лишя получается какъ кошя. Возможно ли устроить приборъ не прямой самъ по ce6i, который могъ бы вычерчивать прямую лишю? Такой приборъ впервые былъ изобр^зтенъ офицеромъ инженернаго корпуса французской арм1и Поселье (Peaucellier) въ 1864 году. Съ т^хъ поръ изобретались и друпе подобные приборы, даюшю прямо- прямолинейное движен1е, и притомъ приборы бол^е простого устрой- устройства, чймъ изобретенный Поселье. Но такъ какъ последшй изобретенъ раньше, его следуетъ считать за типъ. Зам^тимъ также, что независимо отъ Поселье тотъ же приборъ былъ пзобретенъ русскимъ математикомъ Липкинымъ въ 1868 году. Прежде чемъ разсмотреть устройство всего инструмента, разсмотримъ одно его звено (фиг, 30), вращающееся на шхиф-
49 Фиг. 3(J. Фнг. 31. тики съ одного конца и съ прикреплеинъшъ карандашомъ на другомъ. Караидашъ въ этоыъ случай оппсываетъ окружность. Если два такнхъ звена (фиг. 31) соединены въ точке Н, а въ точк'Ь F прикреплены къ плоскости, точка Р можетъ двигаться всячески, ея путь неопред'Ьлененъ. Число звеньевъ должно быть нечетное, чтобы дать опре- определенное движете. Если систему изъ трехъ звеньевъ при- прикрепить въ двухъ концахъ, конецъ средняго звена опншетъ определенную кри- кривую—скажемъ петлю. Система изъ пяти звеньевъ уже можетъ дать искомое прямолинейное движете. Но аппарата Поселье имеетъ семь звеньевъ. Такой приборъ, какой угодно величины, можетъ быть сде- ланъ каждымъ. Звенья можно вырезать изъ картона п скре- скрепить нхъ толстыми булавками (см. фиг. 32). Концы F и О (фнг. 32) можно при- прикрепить къ классной доске, а въ Р укре- укрепить кусокъ каранда- карандаша. Такимъ образомъ можно получить по- полезное и интересное прпспособлеше къ уроку геометрш. Фи- Фигура 33-я даетъ flia- грамму аппарата, изо- браженнаго на фиг. 32. Здесь FA = FB. Во всехъ положешяхъ АРВС есть, очевидно, ромбъ. F и О прикреплены въ точкахъ, разстояте между кото- которыми равно ОС. Въ такомъ случае С двигается по дуге круга, центръ котораго есть О. — А и Б двигаются по дуге, имеющей центромъ F. Остается показать, что Р двигается по прямой лпнш. Проведемъ прямую РР1 перпендикулярно къ FO. Уголъ FCC, вписанный въ нолукругъ, есть прямой. Значить треуголь- треугольники FPP я FC'C, питЬюцце обшдй уголь F, подобны. ВЪ ЦАРСТВ* СМЕКАЛКИ. КН. III. 4
60 Следовательно, FP: FP = FC: FC и FP-FC =FPFC. •A) Точки i'1, С и Р, каждая въ отдельности, находятся на равномъ ратстояши отъ А и В, а потому, значить, лежатъ на одной и той же прямой линш. Д1агонали ромба АРВС, какъ известно, взаилшо перпендикулярны и въ точке пересечетя делятся пополамъ. Отсюда FJP — РВ2 = F3P — Ш" = (FM + MP) (Ш—МГ) = FP FC B) Изъ A) и B) заключаемъ, что FP ¦ FC = FP' — FB1. Но при движеши прибора FC, FB и РВ все остаются постоянными; следовательно, FP тоже постоянно. Это значитъ, что Р, проэкщя точки Р на FO, есть всегда одна и та же точка. Или, другими словами, Р двигается по прямой лиши (перпендикулярной къ FO). Если разстояше между двумя означенными точками, F а О, сделать меньше длины звена ОС, Рбудетъ двидаться по дуге круга, вогнутой по направлешю къ О (фиг. 34). Такъ какъ ОС— OF прибли- приближается къ нулю, какъкъ пределу, рад1усъ дуги, вы- вычерчиваемой Р, / увеличивается ! беспредельно. \ Если OF сделать \ больше,чемъОС, то Рбудетъ опп- .._- сывать дугу, вы- выгнутую относи- относительно О (фиг. 35). Щмъ меньше OF— ОС, т4мъ более ра- д1усъ дуги, означенной черезъ Р. Фиг. 34. Фиг. 35.
Отсюда видно, что этотъ небольшой прибор7> можетъ быть употребленъ для описашя дуги круга съ огромнымъ ргдаусомъ и съ центромъ дуги на противоположной сторон1!; отъ инструмента. Прямая лишя—<•<простойшая кривая» математиковъ — ле- зкптъ, такъ сказать, между двумя такими, означенными выше, дугами, и есть предельная форма каждой изъ них7>. Приборы подобнаго рода пбладаютъ многими интересными особенностями. Дальнейшей разработкой идеи Поселье занимался известный математикъ Сильвестеръ. А. В. Кемпе (Кегаре) въ 1877 году издалъ неболыпую книгу, посвященную этому предмету, подъ заглав1емъ How to draw a straight line («Какъ провести прямую лишю»). Онъ же доказываетъ, что съ помощью подоб- ныхъ сочлененШ звеньевъ можно вообще вычертить любую такъ называемую алгебраическую кривую. Читатель наверное не посЪтуетъ на насъ, если самъ зай- займется устройствомъ описаннаго прибора, им'Ьющаго связь съ существеннейшими основами геометр1и. Задача 35-я. О паук-fc и myx-fe. На потолк"Ь въ углу С комнаты (фиг. Уб) паукъ, а на полу, въ противоположность углу К В с и Фиг. 36. муха. Какой путь долженъ избрать паукъ, чтобы до- добраться до мухи по кратчайшему разстояшю?
62 PiuieHie. Съ перваго взгляда кажется яснымъ, что паукъ долженъ пробежать потологя. по д1агонали СЕ и загЬмъ спуститься къ мух* по ребру -ЕЙГ-—A-й путь). Поразмысливши, мы найдемъ для паука и другой «крат- чайипй» путь: онъ можетъ пробежать боковую стълну по д1аго- нали CF и подобраться къ жертвт> вдоль FK—B-й путь). И, наконецъ,—паукъ могъ бы пойти по CG и по д1агонали GK— C-й путь). Какой же изъ этихъ трехъ путей является, действительно, кратчайшиыъ? Оказывается, что ни тотъ, ни другой, ни третШ. Есть еще болъ-е KopoTide пути, и мы займемся ихъ разыскашемъ. в боковая в С потолокъ задняя полъ передняя N боковая G. С, Фиг. 37. Для этого разверненъ параллелопипедъ, изображаюпцй нашу комнату, на плоскость. Получимъ чертежъ, изображенный фиг. 37-ой. Паукъ сидитъ въ точки С, а муха въ точки К. Теперь мы ясно видимъ. что путь СЕК, который въ не- развернутоыъ чертеж-Ь казался намъ кратчайшимъ, на саыом-i
63 деле не является таковым?.. Стоитъ соединить точки С и К прямой литей, чтобы получить заметно более коротшй путь. Этотъ новый путь будетъ также короче и пути CGK, какъ видно изъ чертежа. Далее, если предположить, что паукъ сндитъ въ точке С2 (также отвечающей углу С нашего параллелепипеда), то C2FK будетъ путь, обозначенный нами выше, какъ «2-й путь». Ясно, что онъ больше прямого пути С2К. Мы узнали, следовательно, уже два «кратчайшихъ» пути СК и С2К. Но .что еще не все: есть и третШ. Чтобы найти его, раз- вернемъ комнату, какъ показано на фиг. 38-й. Поместивъ к, о Е U( А ¦" / / / / / F D D, Фиг. 38. мысленно паука въ точку С3, мы увидимъ, что путь C3FK (отвечающей пути CFK на нашемъ параллелепипеде) длиннее прямого пути КС3. Остается теперь решить вопросъ: какой же изъ этпхъ трехъ новыхъ путей будетъ самьтмъ коротким?.: КС, КС2 или КС3? Оказывается, что это зависитъ отъ относительныхъ разме- размеров?, комнаты въ длину, ширину и высоту,—какъ легко видеть изъ следующаго.
64 Обояначимъ длину комнаты AJ) черезъ а, высоту АВ че- резъ Ъ и ширину АК черезъ с. Тогда изъ черт. 37 и 38 имйемъ. КС = КС, = Сравнивая между собой подрядикальныя количества, мы увидимъ по раскрытии скобокх, что они отличаются другъ отъ друга лишь членами 2bc, 2аЪ и 2ас; отъ соотноп1ен1я этихъ произведен!й и зависячъ сравнительныя длины линШ КС, КС2 и KCS. Д'Ьля вей три приизведетй на 2abc, получимъ 1 1 1 и Т а с о Отсюда видно, что если а > Ъ и о > с, то кратчайшимъ путемъ будетъ КС. Если b > а и а > с, кратчайшш путь КС2, и если с >Ь и с > а, кратчайшШ путь КС3. Мы видим!., что задача о nayici и мух4 оказалась гораздо сложн-Le, ч^мъ можно было думать съ перваго взгляда. Чита- Читатель, можетъ быть, полюбопытствуетъ узнать, какъ саыи науки Р'Ьшаютъ эту задачу. Къ сожал'Ьтю, намъ никогда не прихо- приходилось наблюдать пауковъ при такихъ обстоятельствахъ, да и бол'Ье чъмъ сомнительно, чтобы паукъ могъ заметить муху изъ одного угла комнаты въ другомъ. Объяснение симметрш посредствомъ сложешя бумаги. Простое прпспособлен1е даетъ возможность начинающимъ получить понят!е о симметрш съ верностью и правильностью, какихъ не даетъ никакое словесное объяснеше.
бб Предложите каждому взять листъ вощеной (такъ называе- называемая калька), пли проклеенной, бумаги, сложить ее одинъ разъ, затЪмъ снова выпрямить, быстро начертить чернилами на одной половин^ какую ипбудь фигуру и быстро, чтобы чернила не yen4ли просохнуть, сложить опять BM'bcTi. Рпсунокъ на одной стороп'Ь и отпечатокъ его па другой будутъ симметричны до мельчайшихъ подробностей, ирп чемъ сгибъ бумаги и есть такъ называемая ось симметрги. Еще: сложите бумагу въ двъл перпендикуляриыя складки (вчетверо—вдоль и иоперекъ). Бъ одной изъ полученпыхъ «чет- «четвертей» куска бумаги нарисуйте фигуру такъ, чтобы два конца ея упирались каждый въ одинъ сгибъ. Быстро вновь сложите бумагу такъ, чтобы получился отпечатокъ въ каждомъ изъ остальныхъ квадратовъ. Полученная замкнутая фигура будетъ симметрична по отоношенш къ перес-Ьчешю сгибовъ, какъ ея центру. Вместо простыхъ чернилъ еще лучше чертить такъ назы- называемыми «копировальными» чернилами или копировальнымъ карандашомъ и, перегнувъ бумагу, смочить се. Т. Сундара Роу, въ своемъ трудъ1 «Геометргтсскгя упраж- нетя съ кускомъ бумаги х), указалъ, какъ можно строить очень много фигуръ плоской геометрш съ помощью перегибашя бу- бумаги. Здйсь же находятся прекрасный изображенья н'Ькоторыхъ нравильныхъ многоугольниковъ, а также даются способы опре- д'Ьлешя точекъ нт.которыхъ кривыхъ высшаго порядка на пло- скостяхъ. ') Есть въ перевод* на руссшй яиыкъ ль нздан1п одесскаго книгоизда- книгоиздательства «Mathesis».
nSr--" ¦**¦» О пространства четыре#ь Редакцш научнаго амерпканскаго журнала «Scientific Ame- American» пришла къ голову счастливая мысль объявить всемирный конкурсъ на сопскаше премш въ 500 долларовъ (около 1000 руб. на наши деньги). Эта довольно значительная прения выдавалась за наилучшую представленную редакщи статью о четврртомъ измт.реши, при чеыъ такая статья, не теряя въ научности, должна была быть по возможности общедоступна по пзложенш и невелика по размтфамъ (не болйе обыкновеннаго печатнаго листа). Въ качеств'Ь судей представляемыхъ работъ были при- приглашены известные ученые и профессора. Въ результат^ конкурса — въ далъ1 1909 г. въ «Scientific American» были напечатаны о четвертомъ измъ"решп три зам4- чательныхъ, ув'Ьнчанныхь премхями и почетными отзывами, статьи, принадлежащая Грагаму Денби Фичу (Graham Demby Fitch), Ф. К. Ферри (Г. С. Ferry) и Карлу А. Ричмонду (Carl A. Richmond). Приводимъ ниже переводъ этихъ трехъ статей, нисколько не сомневаясь, что чтеше ихъ доставить живейшее удовольств!е каждому, кто «Въ царств!1 смекалки» ищетъ не одного только забавнаго «препровождетя времени». Статьи эти, взаимно дополняюшш и осв1Ьщающ}я одна дру- другую, точно также прекрасно развиваютъ и дополняютъ то, что
67 сказано уже нами о четвертомъ измйреши во второй на- нашей книги. Читатель легко убедится самъ, что для чтешя ихъ не требуется никакой особой математической подготовки, кромЪ понимашл самыхъ элементарныхъ основъ геометр!п. Можно сказать, пожалуй, что приступить къ чтению этнхъ статей и вполн'Ь овладеть ихъ содержашемъ будетъ легко, если уяснить себ'Ь что такое точка, прямая лпшя, квадратъ и кубъ, и запо- запомнить принятия въ геометрш назвашя элементовъ, входящпхъ въ эти фигуры. Разсуждеше К. А. Ричмонда требуетъ также понятхя объ уравнетяхъ. Вотъ и все, • что требуется для того, чтобы преодолеть нижесл'Ьдуюип'я страницы и вм-Ьст± съ т!шъ сразу поразительно раздвинуть и углубпть свое понимаше гео- метрическихъ основъ и взглядовъ на учете о пространстве вообще. Вт. самой доступной и, можно сказать, наглядной форме математика соприкасается здесь съ тончайшими отвле- шяни философш и съ Teopiefl познаватя въ частности. Вотъ почему кажется вполне ум4стнымъ въ конц-Ь этого отдела по- поместить иеболыте отрывки изь «Критики чистаго разума» Канта, въ которыхъ излагаются взгляды этого величайшаго мы- мыслителя всъхъ временъ на пространство, а также на время. Раз- суждеше объ этомъ последнемъ не входитъ прямо въ нашу за- задачу. Но разъ «царство смекалки» приводить насъ къ области философш познашя, то было бы упущен1емъ не упомянуть кстати, наряду съ пространствомъ, и о времени, какъ категорги на- нашего познашя. Для дополнешя и разъяснешя отрывковъ изъ Канта прпводвмъ также два параграфа изъ трактата Н. Н. Шил- Шиллера «Значечпе поняты о «сгшъ» и о «масаь». Это неболь- небольшое глубоко ученое сочинеше, появившееся первоначально въ «Шевскнхъ Хгниверситетскихъ Изв'Ьсияхъ» въ 1898 году, мы настойчиво рекомендовали бы для прочтешя всякому желающему расширить с.кой естественнонаучный кругозоръ. Почтеыъ себя удовлетворенными, если приведенные отрывки побудятъ кого- либо къ чтенш полныхъ сочпнешй. Въ заключен1е этого небольшого вступления въ настоящ1П отд'Ьлъ прибавимъ. что о «четвертомъ лзмгЬренш» п о «про- странств'Ь четвертаго измърешя» разсвяно въ нашемъ обществе дово 1ьно НН01Ю и довольно таки смутныхъ, а часто мистическихъ
68 и просто нелЗшыхъ толковъ и иредставленш. Появляющаяся на этотъ счетъ книги и брошюрки обыкновенно еще болгЬе сбиваютъ читателя съ толку... Задача истиннаго знашя состоитъ прежде всего въ томъ, чтобы въ область мрака и тумана внести лучи свъта п во все вникающей трезвой мысли. Быть можетъ, миопя вещи теряютъ при этомъ значительную часть своей мистической «прелести» и «таинственности», по несомненно, что они выпгры- ваютъ въ смысл'Ь остроуипя, ясности и простоты. О четвертомъ изм1>реши. (F. E. Ferry). Ученикъ обыкновенно знакомится съ линейными м-рами, зат'Ьмъ съ квадратными и, наконецъ, съ кубическими м-- м-рами, или мирами т4лъ. Онъ усваиваетъ ихъ себ'Ь соответ- соответственно, какъ «изм'Ьретя длины», затъмъ «м^ры площадей, или поверхностей, который зависятъ отъ длины и ширины, взятыхъ вм^стЬ», и, наконецъ, «миры объемовъ. или тФлъ, которыя за- зависятъ отъ длины, ширины и высоты, взятыхъ вмести». Пер- Первое заключаете въ себ'Ь одно изм4рен1е — длину, второе — два взаимно-перпендикулярныхъ измгЬре1ия -длину и ширину, пере- множенныхъ одно на другое, и третье—три измърешя, каждое перпендикулярное двумъ другимъ — длину, ширину и высоту. все взаимно перемноженныя. Пусть единицы этпхъ трехъ ро- довъ изм^вретя (наприм-Ьръ, футъ. квадратный футъ и кубиче- (иш футъ) будутъ изображены .irmiefl AB, квадратомъ АВС1) съ той же лишей, какъ стороной, и кубомъ ABCD- G съ той же ли- ш'ей (ребромъ) и т-Ьмъ же квадратомъ.какъоснован^емъ (фиг. 39).
G 69 Единица АВ можетъ бить разсматриваема, какъ составленная изъ безконечно большого числа М точекъ, непрерывно слйдую- щихъ одна за другой отъ А къ В. Квадратъ ABCD въ та- комъ случай содержитъ М X М=М2 точекъ, а кубъ ABCD-G соцержитъ MX.MXM = MS точекъ. Можио идти отъ одной точки на АВ ко всякой другой точке въ ней. придерживаясь только одного принятаго направлешя по АВ. Точно также, отъ одной какой-нибудь точки ко всякой другой въ ABCD можно достичь, придерживаясь двухъ направлешй, опредъ-ленныхъ ли- линиями, ограничивающими квадратъ. Точно также въ ABCJJ-G любая точка достигается изъ начальной движешемъ въ трехъ на- правлешяхъ, опред4ляемыхъ 3-мя ребрами куба, выходящими изъ одной точки (вершины куба). Отсюда, въ зависимости отъ движешя отъ одной точки до другой, первая единица будетъ одномерная, вторая—двухмерная, третья—трехмерная. Человъкъ не можетъ сделать двия:ен1я, которое не могло бы разложиться по тремъ взаимно-перпендикулярнымъ направле- Н1ямъ. Онъ не можетъ достигнуть никакого мйста иначе, какъ идя на сЬлеръ или югъ, западъ или востокъ, а также вверхъ или вннзъ. Онъ не можетъ найти ни одной точки въ комнате, которой не могъ бы достигнутьдвижешемъ въ направлешяхъдлины, ширины и высоты комнаты. Зреше различаетъ правильно два изиерешя, ширину и высоту видимаго предмета, между темъ как7> третье измереше, разстоян!е отъ предмета, определяется посредствомъ мускульнаго поворота глазъ для сосредоточешя ихъ на немъ. Нетъ, казалось бы, смысла требовать четвертого на- правлен1я, перпендикулярнаго кътремъ упомянутымъ. Фактически весь человъ'чесюй опытъ заставляетъ насъудовлетворяться тремя измерешями. Оставляя опытъ въ стороне и размышляя всецело по ана- логш, четвертое измереше вводится съ помощью такого разсу- жден;я: четырехмерное измерен!е зависитъ отъ длины, ширины, высоты и четвертаго измерешя, взаимно перемноженныхъ. Оно заключаешь въ себе четыре линейныхъ измерешя, каждое изъ которыхъ перпендикулярно къ тремъ остальнылъ. Следовательно, четвертое пзмереше состав.тяетъ прямой уголъ съ каждьшъ изъ трехъ измерешй трехмернаго простраиства. Его единица'должна
60 иметь АВ, какъ ребро, квадратъ ABCD, какъ грань, и кубъ ABCD-G, какъ основате. Онъ содержитъ Ж X Жх Ж>< М = — М* точекъ. Переходъ отъ одной точки ко всякой другой точк'Ь въ этомъ пространств!; 4-хъ изм$решй возможенъ при движети въ четырехъ направлешяхъ, определяемыхъ этими 4-мя лишями. Квадратъ ABCD (фиг. 39) можетъ быть образованъ лишей АВ,—передвижешемъ АВ съ ея Ж точками на разстояше въ одинъ футъ въ направлеши, перпендикулярном!, къ одному измъ-- решю АВ. Всякая точка АВ въ этомъ движенш описываетъ линш, и ABCD содержитъ, следовательно, Ж лиши, такъ же, какъ Ж2 точекъ. Кубъ ABCD-G образуется квадратомъ ABCD при движенш его на разстояти въ одинъ футъ въ направле- направлеши, перпендикулярномъ къ его двумъ измерешямъ. Ж лиши и Ж2 точекъ ква фата 'описываютъ соответственно Ж квадра- товъ и Ж2 лиши. Согласно этому ABCD-G содержитъ Ж ква- дратовъ, Ж2 лини и Ж3 точекъ. Подобнымъ же образомъ, че- четырехмерная единица получается изъ куба ABCD-G при дви- движети его на разстояше одного фута въ направлети, перпен- перпендикулярномъ къ каждому изъ его трехъ измерешй, т. е. «въ направленга четвертаго измерешя». Его Жквадратовъ, Ж2 ли- нш и Ж3 точекъ описываютъ при этомъ соответствен но М кубовъ, Ж2 квадратовъ и Ж3 лиши. Согласно съ такимъ определешемъ единица четвертаго измерешя содержитъ Ж кубовъ, Ж2 квадратовъ, Ж3 лиши и Ж4 точекъ. Разсматривая пределы единицъ, мы видимь, что АВ имеетъ пределами две точки. ABCD имеетъ такихъ пределыгыхъ то- точекъ (вершинъ квадрата) четыре; ABCD-G имеетъ такихъ точекъ (вершинъ куба) восемь — четыре отъ начальнаго и 4 отъ конечнаго положетй двигающагося квадрата. Наконецъ,. для четырехмерной единицы такпхъ предельныхъ точекъ должно получиться 16 (изъ нихъ 8 отъ начальнаго и 8 отъ конечнаго положешя переместившаяся куба). Для предельныхъ лгстп меръ получимъ: АВ имеетъ одну лишю (или -она сама по себе одна), ABCD огранпченъ че- четырьмя лишями (стороны квадрата), ABCD-G ограниченъ две- двенадцатью ребрами (по четыре отъ каждаго начальнаго п окон-
чательнаго ноложешй двигающагося квадрата и четыре, опи- санныя четырьмя вершинами перем'Ьстившагося квадрата). Наконецъ, для четырехмерной единицы число ограничиваю- щихъ ея лиши (реберъ) равно 32, а именно: но 12 реберъ даетъ каждое начальное и конечное положетя неремйстивша- гося куба, да еще 8 реберъ опишутъ 8 точекъ (вершить) не- рем^стившагося въ 4-е измйреше куба. Точно также для числа ограничивающихъ меры квадрот- ныхъ граней им'Ьемъ: ABCI) самъ по себе составляетъ одинъ квадратъ. Кубъ ABCD-0 им^ежъ 6 такихъ квадратовъ-граней B квадрата отъ начальнаго и конечнаго ноложенш нерем^стив- шагося квадрата и 4 квадрата описаны его сторонами при не- рем^щенш). Наконецъ, 4-мърная единица такихъ квадратныхъ граней им'Ьетъ 24 A2 квадратовъ отъ начальнаго и конечнаго положешй куба да его 12 реберъ опишутъ еще 12 квадратовъ). Въ конц'Ь концовъ, для числа ограничивающихъ миры ку- кубовъ им4емъ: ABCD-G самъ по себе одинъ кубъ, а четырех- четырехмерная единица им'Ьетъ восемь пред'Ьльныхъ кубовъ (по одному отъ начальнаго и конечнаго ноложешй движущегося куба да 6 кубовъ, онисанныхъ гранями движущегося по направленго 4-го изм4решя куба). Если лиши, ограничиваюпдя квадратъ ABCD, предположить сделанными изъ сплошной проволоки и разрезать эту прово- проволоку въ D, то эти лин1и можно, очевидно, тогда разогнуть всЬ вдоль по направлению АВ, образуя такимъ образомъ одном-Ьр- ную фигуру (фиг. 40), равную четыремъ линейнымъ единицамъ. D А В С D Фиг. 40. Получится по линейной единицт, по об'Ь стороны АВ да еще вне пхъ линейная единица CD съ какой либо стороны (у насъ справа). Если въ кубе ABCJJ-G предположить квадратный его грани сделанными изъ пластлнокъ олова, и эти пластинки обрезать вдоль лиши EF, GH, HE, AE, BF, CG и ПН, то ква- дратныя грани ихъ могутъ быть сложены такт., чтобы образовать одну двухмерную фигуру изъ шести квадратовъ. Квадратъ
A BCD пм-Ьетъ по кпадрату на каждой своой сторпи-Ь да кромъ- того одинъ, EFGH, шгЪ этихъ съ какой-либо стороны (фиг. 41). н Е D А С В 0 Р G F Фиг. 41. Точно также, если въ четырехмерной единиц* представить ея пред-Ьльные кубы сделанными изъ сплошного дерева, и это де- дерево обрезать затймъ въ соотвйтствующихъ плоскостяхъ, то кубы могутъ быть сложены такъ, чтобы образовать, по анало- лопи съ предыдущимъ, трехмерную фигуру изъ восьми кубовъ. Кубъ ABCD-G (центральный) им-Ьетъ но кубу на каждой своей сторон* и кроме того одинъ кубъ сбоку, вне его гторопъ Фиг. 42. (фиг. 42). Эти восеыъ кубовъ, образуя теперь трехмЪрпую фи- ГУРУ> составляли, какъ ыы предполагаемъ, какую-то поверх- поверхность, ограничивающую четырехмерную единицу.
63 Въ сл'Ъдующихъ табличках ь сделана сводка результатовъ, полученных!, выше для объема и граннцъ четырех ь разематри- ваемыхъ здесь единицъ: Объемы Одномерная единица Двухмерная единица . Трехмерная е цшица Четырехмерная единица . Точекъ. Ж Ж2 Ж3 ж4 1ИЦЫ Точекъ. . 2 4 8 1С Лиши. 1 Ж Ж2 жн Лиши. 1 4 12 32 товъ. 0 1 ж Квадра- товъ. 0 1 G 24 Кубовъ 0 0 1 Ж Кубовъ 0 0 1 8 Одномерная единица . . Двухмерная единица . . Трехмерная единица . . Четырехмерная единица Газсужщя совершенно подобно предыдущему, можно перейти отъ раземотрйнныхъ единицъ къ единицамъ пяти и более из- ы'ЬренШ. Если одномернную единицу продолжить безконечпо вправо oil В и влево отъ Л такъ, что ея длина сделается больше, ч"Ьмх можно обозначить какимъ угодно чпеломъ,—она будетъ предста- представлять одномерное пространство вообще. Такимъ же образоыъ. безконечно большое пр )должеше по всемъ измерен1ямъ дру- гихъ единицъ даетъ соответственное представлете о двухмер- иомъ, трехмерномъ и четырехмерномъ пространствахъ. Одномерная единица выделена изъ остального одномернаго пространства, въ которомъ она леяштъ, двумя точками. Двух- Двухмерная единица—отъ остального ея двухмернаго пространства отделена четырьмя лишями. Трехмерная единица выделяется нзъ остального ея трехмернаго пространства шестью площадями- квадратами; п, наконецъ, четырехмерная единица выделяется пзъ остального четырехм^рнаго пространства (сверхпростран- (сверхпространства), въ которомъ она лежитъ, восемью кубами.
64 Чтобы получить замкнутую фигуру какого-либо пзытфыпя въ пространств^, того же измйрениз, требуется: въ одномъ-рномъ пространств^ двъ1 точки, въ двухмъ-рномъ — по крайней Mipi три лиши, въ трехм'Ьрномъ—по крайней urbpi четыре плоскости, въ четырехмт.рномъ—по крайней Mipi пять трехлъфпыхъ про- странствъ. То, что говорилось о единицахъ различныхъ пзигЬрешй, относится и къ соотв-Ьтствующиыъ пространствами Отъ каждой точки можно перейти къ другой точки въ тоыъ же простран- пространстве движешемъ въ столькихъ определенныхъ направлешяхъ, перпендикулярныхъ каждое къ остальнымъ, сколько изм'Ьрешй имъ-етъ данное пространство. Время представляетъ одномерное пространство, какъ какъ оно продолжается только въ одномъ направленш отъ бесконечного отдалешя нрошедшаго къ безко- нечиому разстояшю будущаго (фиг. 43). Настоящее есть точка, Прошелшес Настоящее Будущее до Р. X, «-— > Рождестио Христово Фиг. 43. текущая по времени (или допускающая время скользить мимо себя) съ равномерной скоростью; и каждая точка во времени можетъ быть достигнута движешемъ черезъ определенное про- пространство (въ годахъ, мт,сяцахъ и т. д.), исходя отъ напередъ избранной известной точки (напр, отъ Р. X.). Каждая часть земной поверхности, разематриваемая какъ плоскость, представляетъ часть двухмернаго пространства, а два принятыхъ здесь нанравлешя суть широта и долгота. Иллю- страпдей трехмернаго пространства служитъ то пространство (по понят1ямъ человеческимъ), въ которомъ находится вселенная. Для четырехмерна™ пространства у человека никакихъ пллю- страцш и наглядныхъ представлешй нетъ. Если дв4 лиши, АВ и В1 А1, въ томъ же самомъ одномерномъ пространстве симметричны относительно точки О того же простран- пространства (фиг. 44), то АВ не можетъ передвинуться въ этомъ же пространстве такт., чтобы соотвгыпствующгя одновременно точки совпали (А съ А1, В съ В' а т. д.). Чтобы достигнуть такого
66 совпадешя, необходимо вращать АВ черезъ двухмерное про- пространство около О, какъ центра; или, говоря грубо, АВ должна о Фиг. 44. В' А' быть взята въ двухмерное пространство, перевернута и опущена внизъ на В'А1. Если два треугольника, въ двухмерномъ пространстве, сим- симметричны относительно некоторой линш (фиг. 45), то полное Фиг. 45. совпадете соотвп>тствепныхъ точекъ и лиши этихъ треуголь- никовъ можетъ быть достигнуто только при вращенш одного треугольника черезъ трехмерное пространство около лиши (оси) симметрш; или, говоря грубо, одинъ треугольникъ долженъ быть взятъ въ трехмерное пространство, перевернутъ и опущенъ внизъ на другой. Опять, если два многогранныхъ тйла въ одномъ и томъ же трехмерномъ пространстве симметричны Фиг. 46. относительно некоторой плоскости (фиг. 46), то совпадете со- отвгьтственныхъ точекъ, лиши и плоскостей можетъ быть ВЪ ЦАРСТВЕ ОМЕКДЛЕИ. ЕН. Ш. 5
66 достигнуто только при вращенш одной многогранной фигуры черезъ четырехмерное пространство около плоскости симметрщ; или, говоря грубо, одна изъ многогранныхъ фигуръ должна быть взята въ четырехмерное пространство, перевернута тамъ и по- положена на другую. Правая рука и ея отражеше (левая рука) въ зеркале сим- симметричны относительно плоскости зеркала, и только вращешемъ около этой плоскости будетъ достигнуто ихъ совпадете. По- Подобное же врагцете можетъ сделать правую перчатку левой; или, говоря грубо, правая перчатка, брошенная по направленно четвертаго измерешя и тамъ перевернутая, упадетъ къ намъ назадъ левой перчаткой. Неспособность человека уместить въ своемъ представленш четвертое измереше или обнаружить существование четырехмер- наго пространства можно сравнить съ подобной же неспособ- неспособностью «двухмернаго человека», живущаго въ двухм4рномъ про- пространстве, понять третье измереше или обнаружить трехмерное пространство, хотя его собственное пространство можетъ быть только частью того, какъ плоскость часть тела. Предположимъ двухмерное пространство, изображаемое этой страницей книги, обитаемымъ двухмерными существами. Онп имеютъ длину и ширину, могутъ двигаться въ этихъ двухъ измерешяхъ и, пред- предполагается, сознаютъ ихъ. Они не имеютъ объема, не могутъ подняться отъ бумаги или опуститься подъ нее и не сознаютъ измеренШ въ такомъ направленш, они не знаютъ «низа» и «верха». Пусть они интеллигентны въ пределахъ ихъ про- пространства, какъ человекъ интеллигентенъ въ пределахъ твоей вселенной; пусть у нихъ есть дома и житницы, вообще пусть ихъ жизнь богата, насколько можетъ быть. Ихъ дома и жит- житницы не будутъ иметь ни потолка ни пола, потому что трехъ линШ достаточно въ этомъ Mine, чтобы замкнуть каждый пред- метъ; и человекъ плоскости самъ по себе также расположенъ только въ своемъ многоугольномъ плоскомъ контуре. Внутрь этого лногоугоульника (его собственная внутренность), по шгЬнш существа плоскости, можно пройти только черезъ его коптуръ, такъ какъ нетъ верха я н^тъ низа въ его сознанш. Было бы безнадежной попыткой убедить его, что существуешь третье
67 измйрете «верха» п «низа», касающееся даже внутренности его ыногоугольиаго плоскаго «ттла»—его собственныхъ вну- треннихъ частей. Если бы даже онъ принялъ доказательства аналопи объ особенностяхъ такого измерешя, то возмутился бы противъ мысли заглянуть въ самого себя, чтобы найти таыъ такое изм4рен1е. Если кто нпбудь объяспитъ человеку пло- плоскости, что существо третьяго измерешя, приближаясь отъ на- правлешя этого неизв4стнаго ему третьяго изитфетя, можетъ проникнуть въ хорошо запертую житницу и взять ея содержи- содержимое, не отпирая замка и не ломая стены, человъ'къ плоскости все же не будетъ ближе къ понятш этого третьяго измерешя. Не поиметь онъ также его и въ томъ случат,, если кто ни- нибудь скажетъ ему, что трехмерное существо можетъ коснуться его собственнаго сердца, не проникая черезъ кожу. Совершенно такъ же невозможно для человека понять, изъ какого напра- направления четырехмерный грабитель долженъ придти, чтобы украсть сокровища изъ его кръч1чайшаго подвала, не открывая и ие ломая ничего; или, какимъ путемъ можетъ приблизиться четы- четырехмерный врачъ и коснуться сокровеннейшаго места челов'Ь- ческаго сердца, не нарушая целости кожи, тела и даже стт,- нокъ сердца. А путь какъ подобнаго грабителя, такъ и врача, лежитъ—вдоль четвертаго измЬрешя. Такимъ же путемъ четы- четырехмерное существо можетъ придти и удалить содержимое яйца безъ повреждешя скорлупы, или выпить ликеръ, не открывая бутылки. Такгя четырехмерныя существа, обитаюпдя въ про- пространстве, заключающемъ въ себе наше трехмерное пространство, могутъ представляться людямъ въ виде более совершенныхъ духовъ. Но oTcyTCTBie подобныхъ духовъ более всего говорить противъ существования четыремернаго пространства. Алгебра требуетъ, чтобы геометр1я изображала все ея задачи. Разъ алгебраическая задача можетъ содержать четыре, пять или более неизвестныхъ чиселъ, равно какъ и меньшее количество ихъ, алгебра требуетъ четырехмернаго, пятпмернаго или еще выс- таго пространства. Они ей нужны для использовашя такъ же, какъ и пространства низнгахъ нзмЬренШ. Быть можетъ, некоторый явлеи1я молекулярной физики или механическихъ принциповъ электрическаго тока могутъ быть
68 вполне объяснены только введешемъ четвертаго измерен 1Я. Можетъ быть, четвертое изм4реше ускользаетъ отъ человгЬче- скаго наблюдешя только потому, что изм^решя въ этомъ на- нравленш всегда слишкомъ незначительны въ сравненш съ мирами въ трехъ другихъ измЪрешяхъ. До сихъ поръ, какъ бы то ни было, пространство четырехъ или еще болыпаго числа изм^решй могло быть только «фик- тивнымъ геометрическимъ изображешемъ алгебраическаго то- тождества» . Опытъ разсуждешя о четвертомъ изнгЁреши. {Carl A. Richmond). Рой нчелъ, помещенный въ стеклянпомъ ульъ1 такъ, что можно наблюдать движете каждой пчелы, представляетъ весьма поучительное зрелище для исследователя природы. Такой же стеклянный улей можетъ служить хорошимъ пособгемъ для раз- смотрт>шя четвертаго измт,ретя. Вообразимъ улей съ ноломъ и потолкомъ изъ горизоиталь- ныхъ д параллельныхъ стеколъ, помг1;щенныхъ на такомъ близ- комъ разстоян1и, что пчелы могутъ двигаться только въ уз- комъ npocTpancTBt между ними. Вообразимъ также въ ц'Ьляхъ наглядности, что пчелы обладаютъ разумомъ людей. Живу- щимъ въ такихъ услов1яхъ пчеламъ могутъ быть знакомы только представлешя о движехпи взадъ и впередъ, вправо и влЬво. Ихъ М1ръ былъ бы только двухмгьрный. Лишенныя движешя вверхъ и внизъ тт,сно сложенными стеклами, oHt не могутъ понимать словъ «вверхъ» и «низъ», потому что у нихъ нить опыта, на котороиъ они могли бы основывать эти представлетя. Какъ ни мало достаточенъ, вообще говоря, взя- взятый нами прим'Ьръ, оиъ даетъ все же представлеше о Mipi только двухъ измт>решй—длины и ширины. Планиметр1я (геометр1я на плоскости) есть наука, имеющая д4ло съ такими фигурами, какъ треугольники, четыреугольники и круги. Интересно, что она зародилась въ ЕгиптЬ, гд^ раз- развивалась въ ц'Ьляхъ облегчешя измърешя страны. Отъ этого
69 происхождешя науки произошло и ея назваше—геометр!я, что значитъ измъ-реше земли. Со времени ея египетской эры на- наука подъ пменемемъ геометр! и т'Ьлъ (геометр1я въ пространств^) развилась до изучетя такихъ фигуръ, какъ сфера (шаръ), кубъ, конусъ и т. д. Пчелы во взятомъ стеклянномъ ульт, могутъ двигаться по квадрату, могутъ делать треугольники и круги, и для нихъ планиметр1я можетъ быть практической наукой, но при не- знапш направлешя вверхъ и внизъ кубъ и шаръ будутъ для нихъ непонятны. Третье изм4реше будетъ для нихъ такимъ же абсурдомъ, какимъ является для насъ четвертое. Предположимъ, что мы положили на столъ два пера такъ, чтобы они одно съ другимъ образовали прямой уголъ; заттшъ, приставимъ къ нимъ третье перо такъ, чтобы оно образовало съ двумя другими тоже прямой уголъ. Это ясно и возможно сделать для насъ, но это было бы невозможно для пчелъ съ ихъ незнашемъ 3-го измйрешя—высоты. Они, безъ сомн4шя, могутъ положить два тонкихъ пера въ своемъ ульт, такъ, что, пересекаясь, они образуютъ прямой уголъ, но третьяго пера для образовашя прямого угла съ двумя первыми они поставить не могутъ. Мы можемъ разсматривать эти два пера, какъ представляющая два измъ"решя Mipa пчелъ, а три взаимно-перпендикулярныхъ пера, какъ шображеше трехъ измйретй нашего Mipa. Пред- Предположимъ дальше, что кто нибудь предлагаетъ намъ къ этимъ перьямъ приставить четвертое такъ, чтобы составить прямой уголъ съ каждымъ изъ прежнихъ трехъ. Въ нашемъ пол!1 опыта мы не можемъ найти мйста для него такъ же, какъ пчелы въ ихъ полт. опыта не могутъ найти мътта для третьяго пера. Это четвертое перо представляетъ такъ называемое четвертое измйре^е. Но, хотя для насъ нъ-тъ возможности поставить четвертое перо требуемымъ образомъ, примъ'ръ отношешя къ третьему изм^ретю пчелъ указываешь намъ, что ограничеше опыта не даетъ еще права окончательно утверждать, сколько лзитфешй им^етъ пространство. Разсуждешя о томъ, что такое пространство четырехъ из- м^решй само по ce6i, какъ и относительно существъ, разумъ
70 которыхъ проявляется въ этихъ четырехъ нзмъ-решяхъ,—дъ'ло чисто умозрительное. Но ни въ какомъ случай не дгЬло матеыатп- ковъ упорно отклонять представляющуюся имъ задачу, а, на- оборотъ, они должны идти во глав!} и изучать съ возможной добросовестностью и съ необходимыми ограничешями всгЬ особен- особенности четырехмйрнаго пространства, если бы таковое существовало. Основное, руководящее начало пхъ разсуждетй состоитъ въ сл'Ьдующемъ: если существуютъ взаимоотношешя геометрш 2-хъ изм^ренй къ геометрш трехъ измйретй, значить можно пред- предполагать подобныя же (аналоги чныя) отношешя между геометр1ей трехъ измйрешй и некоторой reojieTpiefi четырехъ измйрешй. Какъ кругъ находится въ извъхтныхъ соотношешяхъ къ шару, такъ и шаръ, быть можетъ, ии4етъ связь съ нгЪкоторымъ извт,ст- нымъ гЬломъ, существующимъ въ пространств^ 4-хъ измйрешй. Какъ относится квадратъ къ кубу, такъ можетъ относиться кубъ къ какой лпбо фигуръ- четвертаго изайретя, которую мы можемъ назвать хотя «кубоидомъ» (или «сверхкубомъ»). Безъ сомнт,шя, четвертое изм^реше, такъ сказать, неосязаемо. Математики не просятъ насъ представлять себъ1 четвертое из- MipeHie, еще мен^е они просятъ верить въ него. Нельзя пред- предполагать, чтобы наиболее даже изучающий эту область могъ представить ce6i хотя умственно изображеше четырехм^рнаго пространства. Тъмъ не менъ-е особенности и отношен1я фигуръ, предполагаемыхъ въ четырехы^рномъ пространств'!), могутъ быть нзсл'Ьдованы и установлены. Алгебра есть наука о числахъ вообще. Она оказываетъ существенную помощь при изучеши геометрш. Алгебра широко оперируетъ съ такимп уравнешями, какъ ху= 12, которое озна- чаетъ, что хи у суть два такпхъ перем'Ьнцыхъ числа, которыя, будучи помножены другъ на друга, дадутъ 12; какъ, напрпм.. 12 3 и 4 или 5 и т Вс? прост!йш1я геометричестя фигуры, какъ прямая лишя и кругъ, ыогутъ быть изображены уравне- н1ями, другими словами, уравиешя—это сокращенный описан!я соотв'Ьтствующихъ геометрическихъ фигуръ. Математики пока- зываютъ, что особенности соотв-Ьтствующихъ геометрическихъ фигуръ могутъ быть изучаемы гораздо скорее посредствомъ
71 ихъ уравнений, ч4мъ посредствомъ прямого изучения самихъ фигуръ. Математик?., пошшаюгфй этотъ способъ изучешя, мо- можетъ, смотря на уравнеше кривой, определить все роды пнте- ресныхъ и полезньтхъ особенностей ея, не только не видя самой кривой, но не имея даже представления о ея изображеши. Не входя въ подробности, скажемъ, что одно уравнеше съ двумя переменными представляетъ плоскую фигуру: такъ х2-\-у2=1Ъ изображаетъ кругъ. Одно уравнеше съ тремя пе- переменными представляетъ фигуру въ пространстве; такъ урав- уравнеше х2 -f- у- — z2 = 0 изображаетъ конусъ. Что же пзобра- жаетъ одно уравнеше съ четырьмя переменными числами, ска- скажемъ, напримеръ, x2-\-y2^-z2J\-tv2 = 20? По аналогш мы должны бы сказать, что оно изображаетъ фигуру въ простран- пространстве четырехъ пзмерешй. Хотя мы и не можемъ, вообразить такой фигуры, мы можемъ, однако, продолжить аналопю и изу- изучить эту несуществующую фигуру посредствомъ ея уравнеш'я, и такимъ образомъ мы можемъ вывестп мнопя изъ ея особенностей. Разница въ данномъ случае просто такова: изучая уравне- уравнеше конуса, мы всегда можемъ иметь дело съ реальнымъ ко- нусомъ и толковать наши результаты на немъ самомъ. Изучая же уравнеше четырехмерной фигуры, мы должны обойтись безъ такого реальнаго толковашя. Другими словами, хотя наша геометр1я держится на трехъ измйрешяхъ, наша алгебра мо- жетъ иметь дело со всякимъ числомъ пзмерешй и можетъ по- побуждать наст> воображать геометрпо съ болыпимъ количествомъ, чемъ три измерешя. Набросаемъ кратко путь, которымъ алгебра можетъ помочь составить хотя слабое представлеше о фигуре, имеющей четыре измгьретя. Фигуру, имеющую три измерешя, изучаютъ обыкновенно посредствомъ ея равноотстоящихъ другъ отъ друга параллель- ныхъ сечешй. Напримеръ, если натуралисту нужно изследо- вать подъ микроскопомъ клеточку зародыша, онъ разрезываетъ ее тщательно на тончайипя пластинки и укладываетъ ихъ по- последовательно на гладкомъ стекле. Разсматривая затЬмъ по- последовательно эти сечешя, онъ можетъ представить себе все строеше клеточки зародыша.
72 Математики им4ютъ правила, но которымъ подобныя же сечешя всякой трехмерной фигуры могутъ быть представлены посредствомъ уравненш. Они начпнаютъ съ уравнешя, кото- которое представляетъ твердое тело, наприм'Ьръ, съ уравнешя %2-\-у2-\-я2 = У, представляющаго шаръ. Зат4мъ они выпол- няютъ рядъ н4которыхъ fliECTBifl, въ результате кото!)ыхъ ш- лучаютъ ряди уравненш, представляющихъ последовательныя сечешя этого трехмт.рнаго тела. Остается зат'Ьмъ только на- начертить изображешя сеченш, данныхъ этими уравнешями, и изъ совм4стнаго разсмотр-Ьшя вс^хъ этихъ изображенш можно составить себе ясное представлеше о форме взятаго начальнаго тела. Въ случае шара сечешя будутъ круги разныхъ величинъ. Какъ мы уже сказали раньше, уравнеше, имеющее четыре переменныхъ числа, можетъ по аналогш представлять фигуру въ пространстве четырехъ измеретй. Предположимъ, что имеемъ такое уравнеше: Мы можемъ применить здесь те же, упомянутыя выше, пра- правила и выполнить те же действ!я, чтобы подучить сечешя фи- фигуры, представленной этимъ уравнешемъ. Любопытно, но вполне логично, что эти сечешя представляютъ собой трехмерныя фигуры. По даннымъ, доставленнымъ результатами уравнешй, математики могутъ сделать себе модели полученныхъ телъ изъ глины и положить эти твердыя тела въ ряды на столе передъ собой. Какъ натуралистъ, разсматривая въ ъшкроскопъ после- последовательный рядъ плоскихъ сечешй клетки, получаетъ пред- представлеше о строети всей клетки зародыша, такъ и матема- тикъ можетъ разсматривать ряды глиняныхъ моделей передъ нимъ и но возможности «чувствовать», что онъ имеетъ хотя некоторое поняие о природе четырехмерной фигуры, предста- представленной уравнешеиъ, мзъ котораго онъ исходилъ. Такимъ образомъ, мы видимъ теперь, какъ четвертое изме- реше можетъ быть изучаемо посредствомъ уравнешй, доставляе- мыхъ алгеброй. Есть другой более смелый путь. Мы уже видели, что можно расположить въ пространстве три пера такъ, что каждое изъ
73 нихъ образуешь прямой уголъ съ каждымъ изъ остальныхъ. Вме- Вместо утверждешй, что безсмысленно, молъ, предполагать, что четвер- четвертое перо можетъ быть поставлено такъ, чтобы образовать прямые углы съ каждымъ изъ первыхъ трехъ, предположила, что это можешь быть сдгьлано. Вследъ затймъ уже безъ дальнейших'!, предположен^ можетъ быть построена на чистомъ разсужденш полная геометр1я четырехъ измерешй. Мнопя изъ заключешй такой геометрш будутъ не более очевидны для смысла, чемъ основное предположение, изъ котораго она исходить. Следуетъ помнить, однако, что это есть только допущеше, и что все остальное можетъ быть выведено изъ этого единственнаго допу- щешя и изъ принциповъ нашей хорошо известной планиметрш и геометрш телъ. Все сказанное выше о спещальномъ способе изучешя про- пространства четырехъ измерешй можетъ служить примеромъ того, какъ математики раз- 2? суждаютъ о некоторыхъ вещахъ, не имея возмож- возможности действительно во- вообразить ихъ. Мы начи- наемъ съ установлешя отношешй между двумя и тремя измеретями, а затемъ устанавливаемъ подобныя же отношешя уже по аналогш между тремя измерешями и че- четырьмя измерениями. Предположимъ, что пе- А реДЪ нами СТОИТЪ на Фиг. 47. Трехмерная фигура въ плоскомъ у -. изобразивши. Видъ стекляннаго куба, если столе стеклянный куоъ. смотр^ть на неГо однимъ глазомъ сверху. Закроемъ одинъ глазъ и устремимъ другой прямо въ низъ куба. Онъ представится намъ приблизительно такъ, какъ на прилагаемомъ рисунке (фиг. 47). Рисунокъ этотъ въ действительности есть плоская фигура (двухъ измеренШ) и можетъ быть начерчена следующимъ образомъ: вычерчивается одинъ квадратъ внутри другого и затеыъ прово-
74 дятся линш, соединяющая соответствующее углы. Все это мо- жетъ быть сд'Ьлано безъ всякой мысли о трехъ пзм'Ьрешяхъ. Пчелы въ стеклянномъ улье могутъ начертить такую же фигуру (фиг. 47), какая здесь передъ нами на бумаг'Ь, и на основанш этой фигуры могутъ быть изучены мнопя изъ осо- особенностей куба. Считая четырехстороншя фигуры {АВСВ, JEFGH, AEFB, BFGC, CGHB, В НЕ А), которыхъ шесть, мы узнаемъ, сколько граней имеетъ кубъ. Считая точки верх- нихъ угловъ, которыхъ восемь, ыы узнаемъ, сколько имеетъ кубъ вершинъ. Считая линш, которыхъ двенадцать, узнаемъ, сколько въ кубе реберъ. Итакъ, исходя изъ квадрата, мы въ состояши построить двухмерную фигуру, которую въ ц'Ьляхъ изелт>до]зашя можемъ разсматривать, какъ представляющую кубъ. Не можемъ ли мы точно также, исходя отъ куба, построить такую трехмерную фигуру, которая могла бы служить изображешемъ той четырех- четырехмерной фигуры, которую мы зовемъ кубоидомъ, или сверхкубомъ? И вотъ, точно такъ же, какъ мы рисовали менышй квадратъ внутри болынаго, такъ можемъ думать о меныпемъ кубе внутри болыпаго куба, и какъ чертили лиши, соединяющая соответ- соответствующее углы квадратовъ, такъ можемъ провести плоскости, соединяющая соответственныя ребра (края) кубовъ. Фигура, такъ образованная, несколько несовершенно изображена здесь фигурой 48-й, и для ясности предположимъ, что у насъ есть действительно такое твердое стеклянное ттло. Въ случае квадратовъ, выше, чтобы найти, сколько квадрат- ныхъ граней имеетъ кубъ, ыы считали большой наружный квадратъ, маленькш—внутреншй, четыре его окружающдя тс- тыреугольныя фигуры, и получили такимъ образомъ въ резуль- результате шесть. Точно такъ же въ случае кубовъ, чтобы найти здесь число кубическихъ граней въ кубоиде (сверхкубе), счи- таемъ большой наружный кубъ, маленьшй внутрешпй кубъ и шесть окружающихъ его твердыхъ телъ и такииъ образомъ по- лучаемъ въ результате восемь. Это показываетъ, что кубоидъ, или сверхкубъ, имеетъ восемь огранпчивающихъ его Рубическихъ граней. Дальнейшее изучен1е представленной здесь фигуры обна- руживаетъ, что кубоидъ имеетъ 24 плоскихъ квадратДыхъ грани,
76 32 ребра и 16 вершинъ. Такъ можемъ мы получить родъ изобра- жешя четырехмт,рнаго т4ла и по этому изображение изучать его нйкоторыя особенности. Есть много соображешй, подтвер- ждающихъ точность вышеизложенныхъ выводовъ, для которыхъ у насъ нт>тъ ы4ста. • Какая же польза отъ этихъ обобщены, отвлечетй и раз- суждешй? Приблизительно та же, что и отъ знашя того, вер- вертится ли Земля вокругъ Солнца, или, наоборотъ, Солнце вокругъ Земли. Пространство собственно такой же предметъ па- пауки, какъ планеты или геологичесшя наслоетя. Кромт. того, изучеше по- добныхъ основныхъ во- просовъ геометрш бро- саетъ свт>тъ на нашъ соб- собственный природный мы- мыслительный запасъ. Мы узнаемъ такимъ путемъ лучше природу мысли- тельнаго процесса, и какъ развивается наука пзъ простыхъ основныхъ элементовъ. Taicia размышлен1я ведутъ иногда къ очень полезнымъ результатамъ. Если вы держите пять шариковъ въ рукт, и говорите, что отняли пзъ нихъ восемь, то подобное увйрете покажется це- мыслимыыъ такъ же, какъ поняие о четвертомъ изм-Ьренш. Но, когда люди стали изображать черезъ —3 (отрицательное число) результата вычитатя 8 изъ 5 вместо того, чтобы говорить, что это невозможно, то было положено основате огромнейшей и плодотворной науки —алгебры. Допущете четвертаго изм^рен1я не привело еще ни къ ка- кимъ существеннымъ арактическимъ результатамъ. Но во вся- комъ случат, нельзя утверждать, что наука о четырехмерной геометрш не можетъ имт>ть полезныхъ прим4нен!й. Фиг. 48. Аналогичное изобразкеше «кубо- «кубоида» (или сверхкуба) 4-хъ пзмЪренш по- средствоыъ фигургл S-хъ feifi
76 Проф. Карлъ Пирсонъ какъ-то сказалъ, что, быть можетъ, атомъ и есть место, откуда эеиръ проникаетъ въ наше про- пространство изъ пространства 4-хъ измЗзрешй. Можно показать математически, что подобное донущете объясняло бы мноия явлешя матерш. При настоящемъ состоянш нашихъ знашй такое предположеше кажется фантастичныыъ даже самому вы- высказавшему его. Впрочемъ, оно гораздо менее фантастично, ч4мъ предположешя германскихъ спиритовъ, смотрящихъ на 4-е измйреше, какъ на местопребываше какихъ-то безплотныхъ духовъ. Четвертое измЪреше въ доступномъ изложеши. (Graham ВетЪу Fitch). Нарисовать, хотя бы умственно, картину пространства четы- рехъ измйрешй—невозможно. 'Между т4мъ четвертое измЬреше не есть нелепость, а полезное математическое поняпе, не сто- стоящее въ противореча съ правильнымъ развипемъ геометр1и. Чтобы выяснить его особое и символическое значеше, необхо- необходимо прибегнуть еъ сопоставлен!ямъ съ измтфешями низшаго порядка. О какой либо данной совокупности говорятъ, что она одного, двухъ или трехъ ивмъ-ренш, смотря по тому, — одно, два или три числа необходимы для опредтлешя какого либо изъ ея эле- ментовъ. Если разсматривать пространство, какъ совокупность точекъ, то лишя есть пространство одного изм'Ьренья, такъ какъ, чтобы определить на ней положете какой либо точки, достаточно одного чпсла, дающаго разстояше этой точки отъ другой напередъ назна- назначенной точки. Подобнымъ же образомъ, плоскость есть двух- двухмерное пространство; а окружающее насъ «обыкновенное» про- пространство трехмерно. Въ самомъ деле, точное положеше какого нибудь пункта на земле делается известнымъ, когда даны его географическая широта, долгота и высота надъ уровнемъ моря.
Значитъ, если мы имеемъ нйкоторыя четыре перем^нныхъ количества и связанныя такъ, что каждое способно независимо отъ друтихъ принимать всякую возможную числовую величину, то мы получаемъ некоторую четырехмгьрную совокупность. Если такую совокупность принять состоящей изъ точекъ, то она и составляете какое-то четырехм-Ьрное пространство (сверх- (сверхпространство), или пространство четырехъ изм'Ьрешй, какъ го- ворятъ. Если мы соединимъ веЪ точки нашего обыкновеннаго трех- м4рнаго пространства съ какой-то подразумеваемой точкой где-то вне его, то совокупность веЬхъ точекъ, соединяющихъ лиши и составить четырехмерное пространство (сверхпространство). Съ другой стороны, какъ движете точки образуетъ лишю, движете (не по собственному слт,ду, а въ новомъ измеренш) лити образуетъ плоскость, а движущаяся въ новомъ измерены плоскость образуетъ трехмерное тело, такъ и это тело, движе- темъ еще въ новомъ направлены уже вне нашего простран- пространства, образовало бы сверхтело или часть сверхпространства. Иначе говоря, сверхиространство (пространство четырехъ изыт>ре- нШ) можетъ произойти, какъ следств1е движешя всего нашего про- пространства пераллельно самому себе по какому-то направлешю ешь себя, совершенно такъ же, какъ наше пространство можетъ быть образовано движешемъ неограниченной плоскости, которая въ свою очередь сама образуется неограниченной прямой лишей. Всякое пространство есть то, что образуетъ границу (сечете) между двумя частями другого высшаго пространства. Какъ каждая неограниченная плоскость разделяете наше пространство на две равныхъ безконечныхъ части, точно такъ каждое трехмерное пространство должно разделять сверхпространство на две равныя безкопечныя области, между которыми это трехмерное простран- пространство образуетъ границу безконечно малой толщины въ четвер- томъ измеренш. Въ сверхпространстве мы должны иметь следуюпця возможныя пересЪчешя: сверхтело и трехмерное пространство въ пересе- чекш даютъ тело; два трехмерныхъ пространства пересекаются по плоскостп; три трехмерныхъ пространства пересекаются по прямой лиши, четыре трехмерныхъ пространства пересекаются
78 въ одной точки, трехмерное пространство п плоскость поресЬ- каются по прямой линш; трехмерное пространство въ nepeci- ченш съ прямой литей даетъ точку; две плоскости пересе- пересекаются въ одной точке. Если пересечения пмеютъ место на безконечномъ разстоянш, то пересекающееся элементы, какъ говорятъ, параллельны; и если два трехмерныхъ пространства параллельны, все фигуры, или тела въ одномъ трехмерномъ пространстве находятся на равныхъ разстояшяхъ отъ другого трехмернаго пространства. Что касается плоскостей, то въ сверхпространстве существуетъ два рода параллелизма. Параллельиыя плоскости вполне или не вполне параллельны, смотря по тому, находятся ли оне въ одномъ и томъ же или различпыхъ трехмерныхъ простран- ствахъ, или же представляется ли пересечете ихъ въ безко- нечности прямой лишен или точкой. Въ одной и той же плоскости къ данной прямой линш пзъ данной на ней точки можно возставить только одинъ перненди- куляръ; между темъ въ трехмерномъ пространстве можно про- провести бесконечное число перпендикуляровъ, образующихъ вместе одну перпендикулярную плоскость къ данной прямой. Значитъ, въ сверхпространстве можно провести безконечное количество перпендикулярыыхъ плоскостей, образующихъ вместе трехмер- трехмерное пространство, перпендикулярное къ данной прямой лпнш. Трехмерное пространство можетъ быть здесь, следовательно, перпендикулярно къ плоскости или другому трехмерному про- пространству. Плоскости могутъ быть перпендикулярны двояко, вполне или не вполне перпендикулярны, согласно тому, находятся ли оне въ одномъ и тоыъ же трехмерномъ простран- пространстве или нетъ. Въ последнемъ случае всякая прямая лшпя одного трехвгЬрнаго пространства перпендикулярна ко всякой прямой линш другого. Положете точки на плоскости можетъ быть определено ея разстоятемъ отъ каждой изъ двухъ взаимно-перпендикуляр- ныхъ прямыхъ лиши]). Въ нашемъ трехмерномъ простран- ]) Эти нряыыя посятъ иаввашс координашъ. Для выяснешя понятмя о коордниатахъ сы. «Въ царств!; смекалки», книга вторая: глава «Графики» (стр. 117—127), а также стр. 151, 155, 156 и др.
79 ств4 положеше точки можетъ быть определено ея разстоятемъ отъ каждой нзъ трехъ взаимно-перпендпкулярныхъ плоскостей (координатныя плоскости), а въ сверхпространстве это поло- положеше определится ея разстояшями отъ каждаго изъ четырехъ взаимно перпендпкулярныхъ трехмерныхъ пространствъ. Въ сверхпространстве эти разстояшя измеряются соответственно по четыремъ взаимно-пе2жендикулярнымг прямымъ, которыя, взятыя по две, опред-Ьляютъ шесть взаимно-перпендикулярныхъ плоскостей, а взятыя по три,—определяютъ вышеупомянутыя четыре взаимно-перпендпкулярныя трехмерныя пространства. Какъ въ нашеыъ пространстве требуются по меньшей мере три точки, чтобы определить плоскость, такъ въ сверхпростран- сверхпространстве требуются по меньшей м^ре четыре точки, чтобы опреде- определить трехмерное пространство. Трехмерное пространство, та- кимъ образомъ, можетъ быть определено двумя непересекаю- непересекающимися прЯМЫМИ ЛПН1ЯМИ, ИЛИ ОДНОЙ ПЛОСКОСТЬЮ И ТОЧКОЙ вне ея. Какъ части нашего пространства ограничены поверхностями, плоскими или кривыми, такъ части сверхпространства огра- ограничиваются сверхповерхностями (трехмерными), т. е. плоскими или изогнутыми трехмерными пространствами. Сверхпространство содержитъ не только безконечное число плоскихъ трехмерныхъ пространствъ, подобныхъ нашему, но также безконечное число кривыхъ трехмерныхъ пространствъ пли сверхповерхностей различнаго типа. Сверхсфера или сверх- шаръ, напримеръ, есть замкнутая сверхповерхность, все точки которой находятся на равномъ разстоянш отъ ихъ центра. Пять точекъ, не лежащихъ въ одномъ и томъ же трехмерномъ про- пространстве, определяютъ сверхсферу такъ же, какъ четыре точки, не лежашдя на одной и той же плоскости, определяютъ сферу, а три точки, не лежашдя на одной прямой, определяютъ окруж- окружность. Все ея (сверхсферы) плосшя сечетя—круги, и все ея пространственныя сечетя суть сферы. • Сверхсфера радхуеа JR, проходящая черезъ наше простран- пространство, казалась бы сферой съ радгусомъ, постепенно увеличи- увеличивающимся отъ нуля до 11 и зат'Ьмъ постепенно уменьшающимся отъ В до нуля.
80 Въ то время какъ въ нашемъ пространстве только пять правильныхъ многогранниковъ (ттла, ограниченныя равными правильными многоугольниками), и именно четырехгранникъ (тетраэдръ), шестигранникъ (кубъ), осьмигранникъ (октаэдръ), двт,надцатигранникъ (додекаэдръ) и двадцатигранникъ (ико- саэдръ), въ сверхпространстве шесть правильныхъ сверхтЪлъ, ограниченныхъ равными аравильными многогранниками. Это С5 (ограниченъ пятью четырехгранниками), С8 (восемью кубами), С16 (шестнадцатью четырехгранниками), С34 B4 восьмигранни- восьмигранниками), С120 A20 двенадцатигранниками), С600 F00 четырехгран- четырехгранниками). Bci эти т4ла основательно изучены математиками, и модели ихъ изображетй въ нагаемъ пространстве были построены. Изъ нихъ С9 (или сверхкубъ) простЬйшш, потому что, хотя онъ ограниченъ и болышшъ числомъ многоугольниковъ, чтшъ С5, за то онъ прямоугольный со всЬхъ сторонъ и, следовательно, можетъ служить готовой м4рой для изм4рен1я сверхпространства. Сверхкубъ получается движешемъ куба по какому-то направле- направленно, перпендикулярному къ нашему пространству, на разстоя- Hie, равное одной изъ его сторонъ. На фиг. 50-й, где все лиши, обозначенныя точками, пред- предполагаются находящимся въ сверхпространстве, первоначальный н- \ А у У Ч \/\ у ; '•F' '• / \ В У Фиг. 49. о 6 Фиг. 5U. кубъ обозначенъ буквами ABGDEFCH, а конечный кубъ буквами A'B'G'D'E'F'C'H', направлеше ЛА' предполагается иерпендикулярнышъ къ нашему пространству. Проэктируя ребра сверхкуба на наше пространство, мы получаемъ сетчатую модель, плоская проэкщя KOTopofit изображена на фиг. 49-ой. Восемь
81 ограничивающихъ кубовъ изображены на модели следующими знаками: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), E, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12), (9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 16), A3, 14, 15, 16, 1, 2, 3, 4), A, 5, 9, 13, 2, 6, 10, 14), B, 6, 10, 14, 3, 7, 11, 15), C, 7, И, 15, 4, 8, 12, 16), D, 8, 12, 16, 5, 9, 13, 1). Форма сверхкуба находится въ зависимости отъ взаимнаго отношетя этихъ кубовъ. Они только ограничиваюсь его. Самъ же сверхкубъ содержитъ безконечное количество кубовъ, подобно тому какъ кубъ содержитъ безконечное количество квадратовъ. При образоваши сверхкуба движешемъ куба, вершины по- слйдняго образуютъ ребра сверхкуба, ребра куба производясь квадратныя грани сверхкуба, а грани куба образуютъ кубы. Число элементовъ сверхкуба, следовательно, таково (для ясности даемъ табличку его образовашя): Начальный Образуется Конечный „ кубъ. двизкешемъ. кубъ. в " ^ ъ' Вершины 8 — 8 16 Ребра 12 8 12 32 Грани (квадраты) . . 6 12 6 24 Кубы 1 6 1 8 Каждая вершина сверхкуба есть общая четыремъ взаимно- перпендикулярньшъ ребрамъ, шести гранямъ и четыремъ кубамъ; каждое ребро принадлежитъ тремъ гранямъ и тремъ кубамъ, и каждая грань принадлежитъ двумъ кубамъ. Всяюй кубъ, сле- следовательно, им4етъ одну грань, общую съ 6 изъ 7 другихъ. Мы должны, следовательно, воображать сверхкубъ, какъ составленный изъ кубовъ, начинающихся отъ параллельныхъ граней куба, и изъ этихъ кубовъ вс4 существуюппе въ нашемъ пространств^ параллельны квадратамъ, изъ которыхъ они начи- начинаются. Единственный возможный родъ вращешя въ плоскости, это— вращеше вокругъ точки; въ трехмфрномъ пространств^ враще- nie можетъ совершаться вокругъ осевой лиши, а въ сверхпро- странств^ и вокругъ осевой плоскости. Двй симметричесшя плосюя фигуры, какъ треугольники А и В (фиг. 51), не могутъ быть приведены къ совпадешю при BL ЦАРСТВЕ СЫЕКЛЛ1Ш. КН. III. 6
какомъ угодно движенш въ одной ихъ собственной плоскости; но прп поворот'Ь на L80 градусовъ одной изъ нихъ въ третьемъ измъ'ренш одна совпадем, съ другой. Подобнымъ образомъ два симметрическпхъ гЬла (съ гранями равными, но въ обратномъ порядки), такихъ, какъ, напр., пирампды С и I) (фиг. 52), не Фиг. 51. Фиг. 52. могутъ совпадать при движенш въ нашеыъ пространств^, но при поворот'Ь одной изъ нихъ на 180 градусовъ въ сверхпро- странствъ1 об"В пирамиды совпадутъ. Вращающаяся пирамида при этомъ должна исчезнуть изъ нашего пространства и по ея возвращены, посл'Ь вращешя на 180 градусовъ, она уже можетъ совпасть съ другой. Въ нашемъ пространств^ два движешя вращешя слагаются въ одно оконча- окончательное вращеше, подобное составляющпмъ его вращешямъ, исключая случай, когда направлеше оси различно. Въ сверх- npocTpaHCTBi наоборотъ: зд'Ьсь вообще nira движешя слагающегося изъ двухъ вращетй. Отсюда два различные типа движешя въ сверхпространств4, и тъмго, подчиненное двумъ вращешямъ, находится тамъ въ совершенно различномъ услов1и отъ того, когда оно подчинено только одному. При подчиненш одному вращенш вся плоскость т4ла неподвижна. При подчинен1и двойному вращенш ни одна часть т-Ьла не остается неподвиж- неподвижной, исключая точки, содержащей дв4 плоскости движешя. Если же оба вращешя равны, всякая точка въ rbii, за исключешемъ одной, описываетъ ?фугъ. Свободъ движешя въ сверхпространствъ1 бол4е, ч4мъ въ нагаемъ. Степеней свободы твердаго т4ла въ пространствгЬ 6, а именно: 3 перем4ще1пя вдоль и 3 вращешя около 3 осей. Въ то же время прикрйплеше трехъ изъ точекъ т^ла можетъ предупредить всякое его движеше. Въ сверхпространствъ, однако, т4ло съ закрепленными тремя точками можетъ все еще вращаться около плоскости, проходящей черезъ эти точки. Въ сверхпро-
83 странствй твердое Т'Ьло имг1;етъ десять возможныхъ различных!, движетй (Lu степеней свободы), а именно: 4 перем4щешя вдоль 4 осей п 6 вращенш около тести плоскостей; и его меньшей м4ргЬ четыре изъ его точекъ должны быть закрЗшлены, чтобы предупредить всякое движете. Матер1альная точка въ нашемъ пространств^ будетъ непо- неподвижной, если связать ее съ тремя неподвижными точками BHi ея. Въ сверхпростраиств'в такая точка должна быть твердо связана по крайней srfspi съ шестью точками вн4. Въ сверхпространств4 упругая сфера можетъ быть безъ вытягиванья или разрыва вывернута на другую сторопу. Два кольца ц'Ьпн могутъ быть разделены бе;$т> разрыва. Наши узлы тамъ бесполезны. Такъ, узелъ, показанный на фиг. 53, можетъ Фиг. 53. быть развязанъ безъ передвижешя CKpinfleHHHXb концовъ. Какъ въ нашемъ пространств1!; точка можетъ войти въ кругъ и выйти изъ него (черезъ 3-е изм4реше), не прикасаясь къ окружности, такъ въ cBepxnpocTpaHCTBi гвло можетъ пройти въ сферу и изъ нея (или другое замкнутое пространство), не проходя черезъ поверхность, окружающую ее. Словомъ, все ограниченное и закрытое въ нашемъ пространств^, всякая внутренность шготнаго т^ла открыты для наблюдешя или fliflcTBifl изъ четвертаго ияыъ-решя, которое распространяется по совершенно невйдомому намъ направлешю отъ всякой точки пространства. Имйетъ ли сверхпространство реальное, физическое суще- ствовахйе? Если да, то наша вселенная должна им4ть чрезвы- чрезвычайно малую толщину въ четвертомъ измйренш, иначе говоря, она подобна въ немъ геометрической плоскости, которую мы при- ниыаемъ совсЬмъ не шгЬющей толщины. Нашъ м!ръ въ такомъ случай представляется только абст^эакщей (какъ и думали н4кото-
84 pue идеалисты-философы), т. е. ничъчиъ иньшъ, какъ «только тйнью, бросаемой бол4е реальныыъ четырехмйрнымъ м1ромъ». Реальное существоваше тончайшаго протяженш въ четвертомъ измйреши можетъ упростить некоторый научныя теорш. На- прим^ръ, въ нашеыъ пространств^ 4 есть наибольшее число точекъ, взаимный разстояшя которыхъ (числомъ 6) все неза- независимы другъ отъ друга. Но въ сверхпространств4 10 раз- стоянгй между каждыми 2 изъ 5 тотекъ геометрически незави- независимы. Если эту большую свободу положешя признать допустимой для атомовъ, то это помогло бы объяснить такое химическое явлеше, какъ изомеризмъ, гд4 молекулы одинаковаго состава имъчотъ различныя свойства. Съ другой стороны, вращеше въ сверхпространствъ' могло бы объяснить перемену въ т4л4, происхо- происходящую справа въ то время, какъ сл^ва происходить поляризащя св^та. Далъ'е, проф. Макэндрикъ въ засЬдаши Британскаго науч- наго общества сказалъ: «Можно думать, что жизнь есть не что иное, какъ переходъ къ мертвой матерш... въ формй движешя своего рода (sui generis)-». Мысль о CBepxn.pocTpaHCTBi была нисколько опошлена спи- спиритуалистами, которые населили его измышлешями собственной фантазш. Т4мъ не мен^е, возможность его существоватя ни- никогда еще не была несовм4стима съ научными фактами. Сле- Следовательно, ограничен1е пространства тремя измЪреншми, хотя, быть можетъ, и правильное, есть чисто опытное (эмпирическое). Къ чему же нужно поняйе сверхпространства? Хотя бы для одного: оно даетъ болйе глубоки взглядъ на геометрш. Такъ, кругъ, разсматриваемый только въ одномъ изм^ренхи, какъ со- совокупность ряда точекъ, им4етъ очень мало особенностей. Между тЗшъ, разсматриваемый въ плоскости,—онъ уже им^етъ центръ, рад1усъ, касательныя и т. д., а въ трехм4рномъ пространств!1 онъ им4етъ еще дальнййппя числовыя и геометрическ1я соот- ношен!я съ сферой, конусомъ и т. д. Подобнымъ же образомъ свойства какой нибудь данной лиши, или поверхности, увеличиваются въ числ'Ь, когда изсл4- дуются въ сверхпространствъ1. Итакъ, стоитъ только намъ включить въ трехмерное про- пространство катя нибудь одном'Ьрныя совокупности (спираль, на-
86 примерь), какъ до сихъ поръ неизв^стныл линш и поверх- поверхности Д'Ьлаются математически возможными и въ сверхнро- странствъ\ Низшш пространства содержатся въ высшихъ, и какъ наши поняия о геометрш плоскости расширяются разсмотр4- шемъ плоскихъ фигуръ въ трехьйрномъ пространств^, такъ и геоыетр1я т^лъ еще болйе освещается геометр1ей сверхпро- сверхпространства. Математичестя области, до сихъ поръ иедоступныя геометрш, освещаются теперь геометрическими представлешями. Наконецъ, поняие о сверхпространствъ1 вноситъ полное различ1е между геометрическимъ пространствомъ и д4йствительнымъ(реаль- нымъ) окружающимъ насъ пространствомъ. Оба эти пространства не считаются болйе необходимо одинаковыми, и такимъ обра- зомъ опять-таки расширяются наши умственные горизонты. И. Кантъ о пространств^. При помощи внушили) чувства (свойства нашей дупш) мы представляемъ себт. предметы, какъ находящееся вне насъ и прптомъ всегда въ простран- ствъ1. Бъ немъ определяются, или ыогутъ быть определяемы пхъ форма, величина и взаиыныя отношешя. Внутреннее чувство, посредстомъ кото- котораго наша душа созерцаетъ самое себя или свое внутреннее состояше, не даетъ, правда, представлешя о самой душт., какъ объекте, однако суще- ствуетъ определенная форма, въ которой только и возможно созерцаше внутренняго состояния души, а именно, все, что сюда относится, предста- представляется въ отношешяхъ времени. Вне насъ мы не ыожемъ созерцать вре- времени, равно какъ не можемъ представить себе пространство находящимся внутри насъ. Что же такое, пространство и время? Представляютъ ли они собою дт,йствительвыя сущности? Быть можетъ. это лишь определешя или отношетя вещей, но таюя, который присущи вещамъ въ себе, т. е. если бы мы даже не созерцали пхъ? Пли же они присущи только форме нашего созерцан1я п, следовательно, зависятъ отъ субъективнаго свойства нашей души, безъ котораго они отнюдь не прилагались бы къ предметамъг Чтобы уяснить себе это, разсмотримъ сначала пространство. 1. Пространство не есть эмпирическое поняйе, отвлеченное пзъвнега- няго опыта. Для того, чтобы (въ опыте) известныя ощущешя относить къ чему-нибудь, вне меня находящемуся (т. е. къ чему-нибудь, находящемуся въ другомъ пункте пространства, а не въ томъ, гдт. я нахожусь),—равнымъ образомъ, чтобы представлять ихъ одно вне другого или одно рядомъ съ
86 другимъ, т. е. не только различными, но и находящимися въ различиыхъ м*стахъ,—для этого я уже долженъ hm*ti> представлеше о пространств*. Поэтому не предсташеше пространства заимствуется путемъ опыта пзъ отношешй вн*шнихъ явлешй, а наоборотъ, самый опытъ возможенъ лишь при существованш представлешя пространства. 2. Пространство есть необходимое представлеше a priori и лежитъ въ основ* всякаго вн*ганяго созерцашя. Нельзя иредставигь отсутеттяя про- пространства, хотя очень легко себ* вообразить, что пространство не наполнено никакими предметами. Стало быть, въ пространств* должно вид*ть ушше возможности явленШ, а не зависящее отъ нихъ отношеше; оно есть пред- представлете a priori, которое составляете необходимую основу вн*шнпхъ явлешй. 3. Пространство не есть отвлеченное пли, какъ говорятъ, общее понято объ отношетяхъ вещей, а чистое созерцаше. Это видно, прежде всего, пзъ того, что мы иожемъ себ* представить лишь одно пространство, и когда мы говорпмъ о пемъ во шожествевномъ числъ1, то разум*емъ части одного п того же едпнаго пространства. Эти части не могутъ предшествовать этому единому, всеобъемлющему пространству, какъ его составным части, пзъ которыхъ его можно было бы сложить, но мыслятся только въ немъ. Uuo вполн* едино, п разнообразие въ вемъ, равно какъ и общее понятаз о про- странствахъ вообще основываются исключительно на ограничешяхъ. Отсюда сл*дуетъ, что въ основ* вс*хъ ионятш о немъ лежптъ созерпаше a priori (не извлекаемое изъ опыта). Такъ и вс* геометричешя положешя, напр., что .сумма двухъ сторонъ въ треугольник*, больше третьей, никогда не могутъ быть выведены пзъ общихъ поняпй о лишп п треугольник*, а вы- выводятся изъ созерцашя, и прптомъ a priori, съ аподиктической достовер- достоверностью. 4. Пространство наглядно представляется, какъ безконечная данная ве- величина. Общее, отвлеченное поште о пространств* (одинаковое какъ для фута, такъ и для локтя) не можетъ ничего опред*лить въ смысл* величины пространства. Если бы въ самомъ процесс* созерцашя пространства не создавалась безграничность, то никакое поняпе объ отношешяхъ въ не\гъ не привело бы за собою принцпиа его безконечностп. И. Кантъ о времени. 1. Бремя не есть поюше эмпирическое, отвлеченное изъ какого-либо опыта. Сосуществоваше пли последовательность сами но себ* не могли бы быть предметомъ воспр1ят1я, если бы уже a priori не существовало иред- ставлеше времени. Только при этоыъ условш можно мыслить, что н*что
87 существуете въ одни п то же крепя (вместе) или въ различное время (по- (последовательно). 2. Время есть необходимое представлипе, лежащее въ основе всякаго созерцашя. Пзъ явлешй время вообще невозможно устранить, хотя мыслим» время безъ явленШ. Время, следовательно, дано a priori. Только въ немъ возможна вся действительность явлешй. Последн1я могутъ совершенно отпасть, но оно само (какъ общее услов1е ихъ возможности) не можетъ быть уничтожено. 3. На этой необходимости a priori покоится возможность аподиктиче- скихъ ноложешй объ отношешяхъ времени, пли аксюмъ о времени вообще. Время нмеетъ лишь одно измт,реше: различный времена не могутъ суще- существовать одновременно, а лишь одно поел* другого (между гЬмъ какъ раз- лпчныя пространства не могутъ существовать одно после другого, а всегда одновременно). Эти принципы не могутъ быть выведены пзъ опыта, такъ какъ ноелтэдшй не далъ бы имъ ни строгой всеобщности, ни аподиктической достоверности. Мы могли бы тогда только сказать: такъ свидетельствуете обычное BocupiflTie,—но не могли бы говорить: иначе не можетъ быть. Эти принципы пмеютъ значете иравилъ, въ которыхъ только и возможенъ оцытъ; опи иоучаютъ насъ до опыта, а не носредствомъ него. 4. Время не есть отвлеченное или, какъ выражаются, общее понята, а лишь чистая форма чувственнаго созерцашя. Разлпчныя времена суть лишь части одного и того же времени. Но нредставлеше, которое можетъ быть сообщено только однимъ единственнымъ предметомъ, и есть созерцаше. Ноложеме, что разлпчныя времена не могуть существовать одновременно, также не можетъ быть выведено изъ общаго понят. Какъ положеше син- синтетическое, оно не ыожетъ возникнуть изъ »днпхъ только понятШ. Сле- Следовательно, оно непосредственно заключается въ созерцанш п представлс- ти времени. 5. Безконечность времени обозначаете, что все определенныя величины времени возможвы лишь благодаря ограничешямъ едннаго основного вре- времени. Следовательно, первоначальное представлен1е времени должно быть неограниченными Но если отдельныя части и всякая определенная вели- величина предмета могутъ быть представлены лишь благодаря огранпчешямъ, то целое представлеше не можетъ быть дано черезъ понятая (такъ какъ въ понятш частичныя представлешя предшествую™), а должно иметь въ своей основе непосредственное созерцате.
88 Зам*Ьчашя. Кантъ въ другомъ месте :Критики чистаго разума» говорптъ, что «вещи, которыя мы созерцаемъ, равно какъ и ихъ отношешя, сами по себе не таковы, какъ они ваыъ представляются, и если бы устранили нашъ субъектъ или хотя бы только субъектпвныя свойства нашихъ чувствъ, то все свойства и все отношешя объектовъ въ пространств* и времени, а также само пространство и время исчезли бы, ибо, какъ явлешя, они мо- гутъ существовать не сами въ себе, а только въ насъ. Какъ обстоитъ съ предметами, взятыми сами въ себе, независимо отъ этой воспрщмчивости нашпхъ чувствъ, намъ остается совершенно неизвестными. На субъективность познаваелыхъ чувствами качествъ указывали раз- различные философы до Кавта (напр. Декартъ и Локкъ) и для Канта эта субъек- субъективность была, разумеется, такъ же несомненна, какъ и для нихъ. Онъ заходитъ дальше Локка въ толъ отношенш, что время и пространство счи- таетъ тоже субъективными—какъ формы созерцашя,—но онъ тщательно отличаетъ идеальность времени и пространства отъ субъективности чув- ственныхъ качествъ. Тогда какъ разлгтая въ цвъ'товыхъ внечатлев^яхъ, вкусовыхъ ощущешяхъ (у отд'Ьльнаго лица) и т. д. являются чисто инди- индивидуальными и, следовательно, вызываютъ сомнете въ действительности, время и пространство Кантъ выделяетъ изъ всгьхъ формъ созерцашя, какъ нечто всеобщее и постоянное, почему Локкъ и отнесъ ихъ къ числу пер- вичныхъ качествъ. Иръ есть лишь явлеше, не только вследств1е субъективности чувствен- ныхъ качествъ, которыя индивидуальны и случайны, но и потому, что мы нознаемъ его посредствомъ формъ созерцашя—времени и пространства,- - которыя служатъ необходимыми и всеобщими услов!яли явлешй. Про- тивъ Кантовскаго доказательства идеальности времени и пространства вы- выдвигаются некоторая весюя возражешя, которыя, въ главномъ, сводятся къ возстановлешю правъ опыта и къ доказательству его участия въ про- исхожденщ понят1й пространства и времени. Въ дополнеше къ вышеприведеннымъ отрывкамъ изъ Канта п замеча- шямъ къ нимъ прпведемъ еще следующая страницы изъ замечательной книги проф. Н. Н. Шиллера Значенге понятт о «силгъ» и о ъмасегь-». § 2. Формы познангя сущаго. Огрозшымъ шаголъ впередъ, который можно сравнить съ прыжкомъ черезъ пропасть, и значеме котораго, можетъ быть, даже^о сихъ поръ не вполне оценено, было дойти до сознашя, что самыя первоначальныя наши нредставленм, вплетающ1яся въ каждый эле-
89 ментъ нашего мышлешя, каковы суть представлетя о времени и простран- ств^ не могутъ быть признаны точными кошями, воспроизводящими н^что объективно существующее, не могутъ быть также принимаемы за свойства объектовь, а суть только формы, въ коихъ мы ум-Ьемъ представлять себЪ существующее, и кои вполне обусловлены свойствами нашихъ мыслитель- ныхъ способностей. Если мы на время отвлечемся отъ мыслящаго человека, то внешни м1ръ все-таки останется, но не останется ни времени, ни про- пространства. Если на мЪсто человека поставимъ другое мыслящее существо, но съ другими мыслительными спо- способностями, то для ума такого су- существа тотъ же самый несомненно существующей м1ръ можетъ предста- представиться въ какихъ-либо иныхъ фор- махъ, совершенно независящихъ отъ представлений времени и пространства. Это отрицательное по форм* по- ложеше о несущественности элемен- тарныхъ представлешй т1шъ не мен^е положительнымъ образомъ расши- ряетъ несказанно наше MipoBOSspu- Hie. Вселенная не является уже намъ безконечною только по своему протя- протяженно или вечною во времени. Про- Пространство и время, съ помощш коихъ мы представляемъ себй вселенную и ея процессы и кои по величие^ мы- мыслятся нами необъятными, являются намъ только двумя формами цред- ставлешя среди возможнаго безчи- сленнаго множества другихъ фирмъ, въ которыхъ способна быть познаваема та же вселенная для болЪе усо- усовершенствованная разумнаго существа, ^оразвиться же до любой сте- степени умственнаго совершенства не лежитъ вн'Ь предгЬловъ возможности и для человека. Такимъ образомъ вселенная становится для насъ необъятною не только по отношенш къ пространству и времени, но вообще по отношешю къ возможному безконечно большому числу формъ ея позна- вашя. Для человека, лишен наго зрЪшя и знакомящагося съ окружающими его предметами посредствомъ чувства осязашя, представлеше о ъщЪ все- таки значительно обобщается, коль скоро этотъ человЪкъ придетъ къ уб*- ждешю, что кром^ чувства осязан1я можетъ быть еще и иное средство обще- & -. Проф. Николай Николаевичъ Шиллеръ. Известный русск1й физикъ-философъ A848—1910).
90 шя съ дпромъ, средство (полояшмъ, зреше), которьшъ человЬкъ нашего ирнмера даже сейчасъ и располагать не вюжетъ, но сознаше о возможности существовашя котораго ыожетъ побудить того же человека къ стремленпо развить и усовершенствовать недостающее ему чувство. Точно такимъ же образомъ сознаше возможнаго расшпрешя форыъ мышлешя, иодобныхъ по- нятшмъ о пространстве и времени, ставить васъ на новую точку зрешя относительно познаватя iiipa и открываетъ наяъ новыя возможный напра- направлены умственной деятельности человека. Для того, чтобы, хотя до некоторой степени, представить себе возмож- возможность изменешя м1росозерцан1я съ шагЬнешемъ форлъ ыышлешя, прпбег- немъ къ иллюстрацш, подобной тон, которою неоднократно пользовался Гельлгольцъ. Вообразииъ себе некоторое существо, которое живетъ п мыс- мыслить въ некоторой плоскости и которое не имт,етъ способности предста- представить себ'Ь что-либо существующее вне упомянутой плоскости. Пусть, однако, это существо можетъ координировать во времени явлешя, происходящая въ его шюскомъ Mipe. Бообразимъ себе, затЬмъ, некоторую группу конусовъ, которые наша плоскость пересекаетъ, перемещаясь постепенно по перпенди- перпендикулярному къ себе направлешю. Группа конусовъ будетъ оставлять на дви- движущейся плоскости следы въ виде круговъ пли иныхъ коническихъ сеченш, то расширяющихся, то суживающихся, то приближающихся другъ къ другу, то другъ отъ друга удаляющихся, сообразно съ распределешемъ и взаим- нымъ положешемъ упомянутыхъ конусовъ п движущейся плоскости. Мы, цмекще способность мыслить въ трехъ пространственныхъ измт.решяхъ, скажемъ, что существуешь определенная группа конусовъ, неизменная со временемъ, при чемъ, конечно, мы ыожемъ мысленно перенестись въ то пли другое сечете этихъ конусовъ нлоскостш, не теряя изъ виду всей группы. Не такъ представится то же обстоятельство для нашего фиктивного суще- существа, живущаго и мыслящаго только въ плоскости. Группа конусовъ ска- скажется ему двпжешемъ сходящихся и расходящихся круговъ, плп пныхъ ко- ническпхъ сечешй, которыя, можетъ быть, ему покажутся притягивающими или отталкивающими другъ друга, при челъ, можетъ быть, онъ усмотритъ также, съ своей точкп зрешя, силы, дЪйствуюпдя между частями одного и того же конпческаго сечешя, п откроетъ законы, унравляюпде будто т^мъ, что онъ шзываетъ по своему шроыъ. Конечно, для насъ, обладающихъ более разнообразными формами мышлешя, нежели воображаемое плоскостное су- существо, его шровые законы представятся совсемъ въ иномъ виде. Поль- Пользуясь подобною же иллюстращею, мы могли бы до некоторой стечеви пред- представить себе возможность разницы лежду нашимъ человеческпмъ щровоз- зрешемъ и м1ровоззрен1емъ существа, одареннаго, можетъ быть, способ- способностью мыслить более челъ въ трехъ иространственныхъ пззгЬрешяхъ.
91 § 3. Понятге объ апргорности идеи не исключаетъ возмож- возможности понятгя объ ея эволюцт. Ходячее возражсше противъ положения объ aiipiopiiocTii элементовъ мышлешя состоитъ въ томъ, что этой теорш навязывается отрицаше опыта, отрицаше эволюцш человеческаго разума и связи функцШ этого иослт.дняго съ физшогпческшш процессами нашего организма. Не трудно усмотреть слабыя стороны подобныхъ возражешй. Прежде всего обратпиъ вшшаше на то обстоятельство, что человъта пм'ёстъ замечательную способность наблюдать и обсуждать своп собствен- собственные умственные процессы, т. с. объективировать свою субъективную жизнь. Но такое ооъектпвщювате возможно для нашего анализпрующаго ума не иначе, какъ съ помошто техъ же прпсущихъ ему формъ мышлешя, въ числт, коихъ на первомъ месте стоятъ временныя и пространственныя отно- шешя. Поэтому очевидно, что теория аирюрныхъ идей не только не можетъ отрицать распредтлешя ыыслительныхъ процессовъ во времени и исклю- исключать связанное съ такиыъ раснред1;лешемъпредставлен1еобъэволющп,но что подобныя поняли являются непосредственнымъслтдашемъэтойтеорш, основанной на единстве разума и на непрерывности перехода отъ субъекта къ объекту. Эта же непрерывная связь между субъектомъ и объектомъ и обусловливает^ между прочпыъ, то обстоятельство, что каждый шагъ вце- редъ въ развили нашего самонознашя сейчасъ же отражается шагомъ впе- редъ въ позванш объектпвнаго Mipa, а также и наоборотъ. Подобнымъ же ооразомъ нисколько не пдетъ въ разр-взъ съ теор!ею апр1орныхъ представле- шй то обстоятельство, что разумъ, обсуждающш объективируемые имъ про- процессы мышлешя, локализируете ихъ въ той иди другой части организма, ставя въ причинную связь (опять апрюрная KaTeropifl) съ наблюдаемыми фцзюлогическими процессами. Для теорш важно то, что во всъхь случаяхъ такого самопознан1я нредставлешя и выводы нашего разума ограничены гЬмъ же самымъ определеннымъ конечнылъ чнсломъ свойственныхъ разуму формъ нознашя сущаго, какое ихъ число шйетъ место приумозаключен!яхъ объ объектпвномъ Mipe. Абсолютное познан1е сущаго мыслимо только подъ услов1емъ псчерпашя всехъ возможныхъ формъ этого познан1я, которыя могутъ намъ представляться не иначе, какъ въ безконечномъ множестве. Обратимся, наконецъ, ииять къ легче усваиваемому примеру цветовыхъ представлении. Заиетпмъ только въ начале же, что цветовыя представлешя нельзя принимать за полную аналопю съ пространственными или времен- временными нредставлешями, ибо эти последшя входятъ непременными элемен- элементами во все наши мысли о Mipe, тогда какъ первыя не являются неизбеж- неизбежными спутниками поняли о вещахъ, распределенныхъ въ пространстве и времени. Сходство цветовыхъ представлены! и аирюрныхъ форыъ иознашя заключается въ ихъ условности, зависящей отъ творящаго ихъ человече-
92 скаго разума. Итакъ, мы до очевидности сознаемъ, что цвъту, какъ впечат- впечатляю, нельзя приписать абсолютно объективная) существовашя, незави- симаго отъ свойствъ глаза наблюдателя. Однако такое сознаше никакъ не влечетъ за собою солнт.н1я въ возможности иосл'Ёдовательнаго приспосо- блешя глаза къ воспр1ят1Ю свЪтовыхъ ощущенш и въ участш многовековой практики ири вырабатыванш способностей зрительнаго органа. Почему же отрицание объективна™ существовашя времени и пространства, въ видЬ субстанш'й, независнмыхъ отъ свойствъ иознающаго разума, должно вести къ заключенш объ отсутствш опыта, послтдовательнаго приспособлешя и прогрессивнаго разви-пя въ Bbipa6aTbiBaHin представлешй о вреиенныхъ и пространственныхъ отношешяхъ? Можетъ быть, иоводъ къ подобному не- доразувгвшюбылъ данътт,мъва1лантомътолковашя Teopin апрюрвыхъкате- ropifi, по которому эти послт,дшя существуютъ данными въ нашемъ пред- ставленш независимо отъ объекта, щлурочиваемаго къ нимъ уже потоыъ. Действительная Teopia апрюрныхъ форыъ познашя не имт,етъ ничего общаго съ учешемъ о врожденныхъ пдеяхъ. Апрюрность времени и пространства сказывается только тбмъ, что эти понят являются уже включенными а priori во всякое наше суждете объ объект*., но вовсе не тбмъ. что они воз- возникли и сложились въ нашемъ умт. независимо отъ объекта и прежде его. Если наше знаше только формально и вполнт. обусловлено свойствами нашего разума, то все же, какойбы видъ и какое бы наиравлеше это знаше ни получило, они немыслимо вит. всякой зависимости отъ объекта, хотя сущность этой зависимости и оставалась бы для насъвсегда неоиределенною. Съ другой стороны, вопросъ объ эволюцш пространственныхъ пред- ставлешй, или, выражаясь мен-Ье точно, вопросъ о восщлятш пространства собственно не относится къ чистой теорш познашя, будучи предметомъ прак- практической или экспериментальной исихологш. Для теорш познашя важна классификация и взаимное отношеше готовыхъ уже поняли, откудаи выте- каетъ заключен}е о cuocoot и наиравленш мышлен1я при построенш Mipo- воззрт,шя. Конечно, трудно сразу представить себе, какъ изъ скромной, иовидплому, задачи классификац1и ионяпй могутъ вытекать вопросы о Л11росозерцан1п; но нужно обратить внпмаше на то, что мы можемъ, правда, говорить, не зная грамматики, мыслить, не зная логики, строить мелодш, не зная акустики, видеть безъ оптики, верить безъ знашя; но мы не можемъ познавать безъ теорш познашя, ибо вт.нецъ п крайнШ предъхь всякаго знан1я и нредставляетъ именно сама теор1я познан1я.
О числовые суевгьр1я#ь. Число зв-Ьря. «Зд-Ьсь мудрость. Кто им-Ьетъ умъ, тотъ сочти число , ибо это число человеческое. Число его шесть- сотъ шестьдесятъ шесть» (Откровеше св. 1оанна XIII, 18). Приведенный текстъ изъ Апокалипсиса всегда производилъ сильное впечатление на древнихъ и средневековыхъ толкова- толкователей, занимавшихся апокалиптической литературой. Особенно занимало оно последователей Пиеагорейской школы, всегда при- придававшей числамъ особый скрытый и ынстическш смыслъ. Надъ выяснетемъ этой загадки трудились мнопе въ продолжеше вековъ. Толкователи поздн4йшихъ временъ A835 г.) Бенари, Фритче, Хитцигъ и Реуссъ связывали число 666 со словами «импера- торъ (Цезарь) Неронъ», написанными по-еврейски: По древнееврейской системе обозначен^ чиселъ находящаяся въ этихъ словахъ буквы означаютъ: pnzicp р=100, С = 60. 1=200, : = 50, " = 200, '-=6, 1 = 50. Складывая эти числа A00+60+200+50+200+6+50), получаемъ, действительно, 666. Такое скрытое обозначен1е имени Нерона писатели объяс- няютъ естественной боязнью современниковъ этого полусума-
94 шедшаго человйка-зв'Ьря. Когда же съ его смертью ыало-по малу страхъ, возбуждаемый его именемъ, прошелъ,- то забылось и значен!е числа, принятаго для обозначешя этого имени, и только спустя много времени опять вспомнили о неыъ. Во всякомъ случат, представляется страниымъ, что одному изъ первыхъ отцовъ церкви - Иринею, жившему, по предположешю, всего около 100 л'Ьтъ поел1!! того, какъ былъ написанъ Апокали- псисъ, была, очевидно, неизвестна связь числа 666 съ пменемъ Нерона, такъ какъ для объяснешя этого числа онъ самъ пред- лагалъ различныя комбинацш словъ. Въ средше вика и позднее католики начали считать это число еретическимъ и означающими, еретиковъ, въ частности протестантовъ. Протестанты, наоборотъ, находили несомненную связь между этимъ числомъ и именемъ, или символомъ папы. Такъ, напр., принимая во внимаше, что въ латинскомъ языкгЬ буквы Ж, 7), С, L, X, V, I употребляются въ виде числовыхъ знаковъ (Ж—1000, Z> = 500, C=100, L=60, Х=10, V=5, J=l), протестанты изъ титула папы «нам!стникъ сына Бога», написаннаго по-латыни (vicarius filii dei) выводили также зве- звериное число, какъ видно изъ нижесл'Ьдующаго. VI CAB1V8FILII I) E 1 5 + 1 + 100 + 1 + 5 + 1 + 50 + 1 + 1 + 500 + 1=666 Католики, въ свою очередь, производили подобныя же вы- выкладки съ именемъ Мартина Лютера и т. д.— Количество подоб- ныхъ иояснешй звйринаго числа очень велико, и часто эти по- яснешя настолько противоречивы, что взаимно исключаютъ другъ друга. Словомъ, изъ факта, что некоторый ключъ подходитъ къ замку, нельзя ничего вывести, если замокъ такого рода, что въ немъ можно повернуть почти каждый ключъ. Всяшя каббалистичестя изыскашя подобнаго рода, пожалуй, могутъ представлять известный интересъ, какъ предметъ шутки или съ точки зр^шя изоб2)'Ьтательности и пр1емовъ счета, упо- требляемыхъ толкователями. Но когда подобныя числовыя вы- выдумки употребляются какъ средства религшзной борьбы и воз- бужден!я одной церкви противъ другой, то конечно, мы долж- должны видеть зд^сь лишь «цокушеше съ негодными средствами».
96 Числовая мистика. Пршбр'Ьвшее всеобщую известность и разсмотренное въ предыдущей заметки «звериное число» принадлежитъ къ одному изъ весьма многочисленныхъ остатковъ той числовой мистики или просто числовыхъ суев-ЬрШ, которыя ведутъ свое начало съ древнейшихъ временъ. Изучеше древн'Ьйпшхъ дошедшихъ до насъ памятниковъ халдейской, египетской, индусской и китай- китайской культуры доказываетъ, что древняя наука всегда была связана съ суев1Ьр1емъ даже въ области «точныхъ» математи- ческихъ знашй. Cyebipie заключается обыкновенно въ томъ, что числамъ или геометрическимъ фигурамъ приписывались известный таинственныя свойства, устанавливались некоторыя снмволичесия соотношения между числами, съ одной стороны, и божествами, личностями или собьшями, съ другой. На осно- ванш зтихъ соотношенш делались обыкновенно различные вы- выводы, гадашя и предсказашя. Числовая мистика подобнаго рода проходитъ черезъ всю исторш человеческой культуры вплоть до нашпхъ дней. Въ самомъ деле, разве и въ настоящее время вы не встречаетесь съ разговорами о «чортовой дюжине», о не- нежелании сидеть за столомъ въ числе 13-ти человекъ, о счастли- выхъ и несчастливыхъ числахъ и дняхъ въ месяце и неделе, о той или иной роли, которую какое-либо число играетъ въ яшзнп какого-либо (обыкновенно «знаменитаго») человека и т. д.? Человеческому духу свойственно стремлеше къ чему-то более общему и таинственному, чемъ то, что дается однимъ опытомъ (эмпиризмомъ) и нагляднымъ представлешемъ. Отвле- Отвлекаясь въ область обобщешя и «чистаго разума», этотъ б'Ьдный человечесшй разумъ на первыхъ порахъ часто впадаетъ въ слишкомъ пшрошя обобщен1я, подсказываемыя только однимъ «маленькимъ допущен!емъ» въ область... «сверхзнашя». Въ отделе о пространстве 4-хъ нзмеретй намъ уже при- приходилось упоминать, какъ даже въ наше время чисто алгебраи- алгебраическое и аналитическое допущеше «спириты» поспешили обра- обратить въ какой-то «действительный м1ръ, населенный какими то «духами» и т. д. Что же удивительнаго въ томъ, что из-
96 начала человеческой культуры въ науку просто чиселъ вошелъ было элемента таинственности и мистицизма, кажупцйся теперь, пожалуй, смешнымъ, но въ свое время способствовавшш раз- разработки шзнашя чиселъ. Такъ, въ свое время мистичесгая бредни алхимш и астрологш способствовали появлешю наукъ химш и астрономш. Такъ, въ настоящее время запутанные толки разныхъ «сппритовъ» и «теософовъ» объ области духовъ 4-хъ изм^решй вызываютъ людей трезвой науки дать своп заключешя и продолжить свои изслъ-довашя хотя бы въ той же области геометрш 4-хъ измчърент. Математика не должна бояться вопросовъ, а идти впереди ихъ. Вотъ почему хотя бы бътлый обзоръ мистики чиселъ въ нсторш развитая математическихъ знашй полонъ глубокой по- поучительности. Съ одной стороны, мы видимъ, какъ изъ общей массы всякихъ мистическихъ бредней и суеверш, словно зерно отъ шелухи, отделяется, въ конце концовъ, истинное знаню. Съ другой,—интересно проследить, какъ черезъ вика и тысяче- л^пя доходятъ до нашихъ временъ изв-Ьстнын cyeBipifl и пред- разсудки. История обыкновенно такова: вымираютъ ученыя касты, разрушаются и гибнутъ культуры. Но т^мъ или инымъ путемъ какое-либо мистическое учен1е проникаетъ въ широк!я народ- ныя массы и передается отъ народа къ народу, Богъ весть, какими неуловимыми путями, и перерабатывается каждой на- народностью въ своеобразныя и причудливыя формы. Такъ, напр., въ задаче 4-ой настоящей книги можно съ большой долей вероятности видеть отголоски древнейшихъ суеверШ, связан- ныхъ съ числомъ 7. Помимо египетскаго папируса Ахмеса, къ самымъ древней- шимъ памятниками, математики прпнадлежатъ дошедппя до иасъ таблички клинообразныхг письменъ халдейской или вавилоно-ассир1Йской культуры. По взгляду большинства ученыхъ, халдейская культура есть наслоеше двухъ культуръ: древней- древнейшей—сумерШской и другой более поздней—семитической. СунерШской культуре принадлежитъ единственная въ своемъ роде система клинообразнаго письма. Каждая буква въ этомъ письме составлена изъ собрашя чертъ, имеющихъ видъ клина
97 гвоздя. Матер1аломъ для писашя служили квадратныя плитки изъ обожженной глины. ДревиМнйя поселешя Сумеровъ были на ннжнемъ Евфрат4: тамъ находились ихъ города Уръ и Сенкере. Въ Сенкере при раскопки ц-влой громадной библю- теки найдены были въ 1854 г. дв-Ь глиняным таблички, имтло- щдя не бол'Ье 15 миллиметровъ въ длину и ширину. Ученый Раулинсонъ указалъ, что одна изъ этихъ глиняныхъ табличекъ есть таблица квадратовъ ц'Ьлыхъ чиселъ. Впоследствии Ленор- ыанъ показалъ, что вторая табличка есть табличка кубовъ. Эти двй таблички, по мнтшш Сэйса, изв^стнаго ассиршлога, составлены между 2300 г. и 1600 г. до Р. X. По мн^нпо же другихъ, ихъ слъ'дуетъ отнести къ еще бол'Ье раннему времени, а именно за 4500 л'Ьтъ до Р. X. Если послгЬдн1я предположен! \ в4рны, то иайденнымъ табличкамъ не мент>е 6000 лт>тъ. Можно думать, что таблички им'Ьютъ связь съ халдейской мистикой чиселъ. Вотъ что говорить по этому поводу проф. А. В. Ва- сильевъ въ своей интересной публичной лекцш, прочитанной въ пользу высшихъ женскихъ курсовъ въ Казани въ 1886 году. Приводимъ изъ этой лекцш обширную выдержку: Въ одной изъ табличекъ НиневШской библштеки царя Ас- сурбанипала сохранились имена главныхъ боговъ и противъ каждаго имени бога стоитъ известное мистическое число, ему соответствующее. Напротивъ, злымъ демонамъ cooTBiTCTByeTb рядъ дробныхъ чиселъ. Встречаются и заклинан!я, основанныя на силт> чиселъ. Тайна, которую божество Сумеровъ Эа пов'вряетъ своему сыну, называется числомъ. Въ собранш риемованныхъ пословицъ и старыхъ народныхъ суыерШскихъ п^сень мы встр'Ьчаемъ два куплета, которые, по- видимому, должно было пить на сельскомъ праздник'Ь: «Злакъ, поднимающейся прямо, достигнетъ благополучнаго конца роста; число для этого мы знаемъ. «Злакъ изобил1я достигнетъ благополучнаго конца роста; число для этого мы знаемъ». Къ сожгл-виш, хотя въ сохранившихся памятникахъ магш ВЪ ЦАРСТВ* СМККАЛКИ. КН. Ш. 7
98 часто упоминаются заговоры числами, хотя мы и знаемъ, что число 7 играло при этомъ особенно таинственную роль, но ни одинъ изъ заговоровъ не достигъ до насъ. Такова роль чиселъ въ халдейской цивилнзащи. Мы им^емь, поэтому, право предполагать, что наши (сенке- рейсыя) таблички столько же могли служить для ц'Ьлей практи- практической жизни, сколько и для составлешя комбинащй, основан- ныхъ на свойствахъ чиселъ и HMiromnxb мистическое значеше, употреблявшихся, можетъ быть, при гадашяхъ. Нельзя не поставить, напр., табличку кубовъ въ связь съ числомъ 36, равнымъ сумий кубовъ первыхъ трехъ чиселъ 1, 2, 3 и BM^CTi съ тъчиъ равнымъ суммй первыхъ четырехъ чет- ныхъ и первыхъ четырехъ нечетныхъ чиселъ. Это число тридцать шесть им-вло весьма важное значеше на двухъ почти противоположныхъ концахъ стараго континента: въ Грецш, у шшагорейцевъ, и въ Китай. У пиеагорейцевъ высшая, самая страшная клятва была клятва числомъ тридцать шесть. Весь м1ръ, по ихъ мнт>шю, былъ составленъ изъ четы- четырехъ первыхъ четныхъ и четырехъ первыхъ нечетныхъ чиселъ. У китайцевъ четыре первый четныя числа представляютъ чи- чистые и небесные элементы м1роздашя, четыре первыя нечетныя числа—нечистые и земные, и сумма ихъ, т.-е. число тридцать шесть, символиризуегь м1ръ. Такая поразительная аналопя всего легче можетъ быть объ- объяснена допущешемъ, что идея о таинственномъ значении числа тридцать шесть возродилась еще на халдейской почвт>, и вл!я- н!емъ халдейскихъ идей, съ одной стороны, на крайшй Востокъ, съ другой стороны—на Грещю. Такое BJiiiiHie халдейской куль- культуры нисколько неудивительно, если мы припомнимъ ту сте- степень развиия, которой она достигла, наприм'Ьръ, во времена Ассурбанипала G21— 606 г. до Р. X.), когда въ его дворцЬ находилась громадная библштека, открытая для всеобщаго пользовашя, содержавшая трактаты по грамматик^, исто- piH, законовгЬдгБ1[1ю, мпеолопи, естествознанш, астрономш, астролоии (содержан!е всей этой библштеки заняло бы, по сло- вамъ Смита, бол^е 500 тоыовъ in 4U по 60U стр. въ кашдомъ), когда существовали уже археологи, по нрлказант царя пере-
99 водишше сумергёсшя надписи на языкъ, оывпйй въ то время въ употреблении. Есть еще друия основания думать, что именно халдейсюя идеи о таинственномъ соотношеши между числами и явлешями, приводившая халдеевъ только къ заговорамъ в заклинашямъ, обратились у даровиташ и одареннаго философскимъ духомъ греческаго народа въ важное философское учете Пиеагора, положившее въ основате объяснения природы числа. Учете было создано Пиеагоромъ, который, какъ говорятъ его жизне- описатели, жилъ долгое время на ВостокгЬ и между прочимъ посвятилъ продолжительное время изученш халдейской магш. Мы имйемъ, кроме того, свидетельство Ямблиха, который прямо указываешь па халдейское происхождеше ыногихъ мате- матическихъ теоремъ. Сущность Пиеагорейскаго учетя заклю- заключается въ сл'Ьдующпхъ словахъ ихъ учетя: «Вещи суть коти чиселъ, числа—начала вещей». Они почитали числа не только какъ основате всякаго по- знатя, не только какъ причину всякаго порядка и всякой определенности, не только какъ управляющую MipoMb боже- божественную силу, но и прямо объявили, что Mipb состоитъ изъ чиселъ. Если одинъ толчокъ къ этому философскому учешю былъ данъ халдейскимъ взглядомъ на числа, то другой несомненно былъ данъ подмеченною великимъ умомъ Пиеагора математи- математическою определенностью многихъ явлетй. Современная наука п положительная философия ставятъ целью познан1я—раскры- познан1я—раскрывать во всехъ явлен 1яхъ эту математическую определенность. Припомнимъ, напримеръ, слова Канта: «въ каждомъ знан1и есть столько науки, сколько математики». Но мы не отоже- ствляемъ теперь эту математическую определенность явлешй съ самими явлетямп, какъ это сделала Пиеагорейская школа. Съ ея точки зретя, объявившей все вещи числами, естественно было затймъ заняться решешемъ вопросовъ, катя числа соогг- ветствуютъ какимъ вещамъ; и здесь открылся широкШ просторъ ихъ фантазш. Прежде всего они объявили различие между четными и не- нечетными числами соответствующпмъ различго между ограничен-
100 ньтмъ и неограниченнъшъ, между мужскпмъ и женскимъ. Яа- тт>мъ они пошли дал'Ье. Справедливость, напримъ'ръ, которая отдаетъ равнымъ равное, отожествлялась съ квадратными чи- числами, въ которыхъ оба множителя равны, наириы'Ьръ, съ чи- сломъ 4 или съ числомъ 9. Число 5, какъ сумма перваго муж- мужского числа C) и женскаго B) (единица у пиеагорейцевъ не считалась сама числомъ, а только началомъ всЬхъ чиселъ), называлось бракомъ. Особенно важное таинственное значеше придавалось двумъ числамъ: числу 7, которое играло такую важную роль въ хал- халдейской миеологш, и числу 36, которое известно было подъ назвашемъ Tetractys. Я уже гокорилъ о значении этого числа и о томъ, что это число, вероятно, также вавилонскаго проис- хождетя. Его особенности носятъ чисто математическш харак- теръ, и вообще ииеагорейцы, устаиовляя аналопи между числами и вещами, должны были вдумываться въ математичемия свой- свойства ц'Ьлыхъ чиселъ, rfs свойства, которыми теперь занимается Teopifl чиселъ. Вотъ почему Пиеагоръ и его школа могутъ счи- считаться основателями этой науки. Школа Пиеагора первая раз- сматривала рядъ чиселъ треугольныхъ. Такъ называются числа, которыя получаются, складывая подъ-рядъ, начиная съ перваго, нисколько цъллыхъ чиселъ; таковы числа: 3, 6, 10,... Они же разсматривали числа «совершенныя», въ которыхъ сумма дели- делителей равна самому числу, и числа «дружественныя», т. е. пары чи- чиселъ, изъ которыхъ первое равно сувитЬ делителей второго, и второе равно суммъ1 делителей перваго. Таковы, напр., 220 и 284. Ямблихъ, жизнеописатель Пиеагора, разсказываетъ, что Пиеагора спросили однажды, что такое другъ. Отв4тъ былъ: «Тотъ, кто есть другой я, вотъ какъ числа 220 и 284». Всв эти вопросы о треугольныхъ, совершенныхъ, друже- ственныхъ числахъ занимали затъ"мъ наиболее изв^стныхъ ма- тематиковъ, напр., Эйлера. Основная идея Пиеагорейской школы им4ла большое вл1я- Hie и на философ!ю Платона, великаго почитателя математики, ¦а стФнахъ Академш начертавшго: «Пусть никто не входитъ % кто не занимается геометр^ею». Платонъ и некоторые л учениковъ не были свободны отъ числовой мистики.
101 Но съ особенною силою возродилась эта числовая мистика въ учешяхъ неоплатениковъ и неопиеагорейцевъ, философскихъ школъ, образовавшихся въ то время, когда вл1яше Востока, и въ тоыъ числъ1 халдейской религш, халдейской магш сделалось особенно сильньшъ. У неопиеагорейцевъ, напр., число естьпрото- типъ Mipa, первоначальная мысль божества, властитель надъ формами и идеями, посредствующей членъ между богомъ и мь- ромъ. Понятно, что при такомъ взгляд^ на первый планъ должно было выступить теологическое, метафизическое и натур- натурфилософское значеше чиселъ. Понятнымъ делается появлеше сочинешй, им'Ьющихъ заглав1емъ: «Ариеметичесшя изсл'Ьдова- шя о Вогт, и Божественныхъ вещахъ, или Ариеметичесшя тео- лопи». Въ этой «Ариеметической теологш», авторъ которой есть неопиеагореецъ язычникъ Никомахъ, сл'Ьдующимъ образомъ разсматриваются числа отъ 1 до 10: Единица есть божество, разумъ, добро, гармошя, счастье; она называется Аполлонъ, Гелюсъ; но она можетъ разсматри- ваться и какъ матер1я, тьма, хаосъ. Два есть принципъ неравенства, предположешя; оно есть ма- тер1я, природа, вещество, основаше всякой множественности; оно должно носить имя матери боговъ Изиды; оно есть источ- никъ всякой гармон1и, храбрость, потому что изъ него разви- развиваются смт.ло всЬ остальныя числа... и т. д. въ томъ же родт., Послушаемъ еще еврея Филона. Вотъ какъ онъ объясняешь, почему люди послъ1 потопа жили 120 лт.тъ. Число 120 есть сумма 15 первыхъ чиселъ, 15 есть число свт/га, ибо послт, но- волушя въ 15 дней является полная луна; притомъ 120 есть 15-е треугольное число, инъ-етъ пятнадцать различныхъ дели- делителей и вс4 частныя суть весьма важныя числа, при томъ сумма ихъ равняется 240, т. е. вдвое больше 120, что им^етъ несо- несомненное отношеше къ двойной жизни, духовной и телесной, и т. д. и т. д. въ томъ же род4. Подобныя же числовыя мистичесшя соотношешя ниходимъ мы у другихъ философовъ того же времени — Плотина, Ямблиха и другихъ. Если татя соотношешя занимали выдающихся философовъ, то можно себт, вообразить, какъ вообще были развиты число-
102 выя бредни, предсказашя посредством!, чиселъ п т. п. п т. п. среди массы общества. Къ этому-то времени относится извест- известный эдиктъ Юстишана, изгонявши дзъ столицъ, вм'ЬсгЬ съ астрологами, ыагами, и математиковъ; тогда-то математики и были объявлены злодеями — nmtheraatici-malefici. Но наряду съ числовыми бреднями шло изучеше ыатема- тическихъ свойствъ п/Ьлыхъ чиселъ. Тотъ же Никомахъ напи- салъ «Введете въ ариеиетику»—сочинеше чисто научное, въ которонъ въ первый разъ дано полное учете о фигурныхъ чис- лахъ, пзложеио арпометическп учете о пропорщяхъ и т. п. Каббала. Изъ древности перешло въ средше в^Ька и зд^сь пышнымъ цвъ"гомъ развилось ц'Ьлое полурелийозное, полуфплософское уче- учете, носящее назваше каббалы. Это мпстическое учете разви- развивалось преимущественно евреями. Въ немъ наряду съ мисти- мистикой пиеагорейцевъ, приписывавшей особенно таинственное зпа- чеше самому числу, придавалось еще значеше составленш чиселъ изъ буквъ слова. Буквамъ азбуки приписываются по порядку числа 1, 2, 3,... 10, 20, 30,... Въ такомъ случай каждому слову будетъ соответствовать известное число. Соотношен1я же, существуюпця между такими числами, указываютъ, молъ, на соотношентя между лицами или собьшями. Такое cyeBispie носило имя «каббалистики», и оно играло важную роль въ ученш каббалы. Въ исторш философш учен1е это сыграло довольно важную роль. Сущность его—пантеизыъ. Вотъ почему въ учеши велпкаго фплософа-еврея Спинозы мнопе не безъ основан1я видятъ вл1я- uie каббалы. Подъ ея же вл1яшемъ сложилась та числовая тара- тарабарщина, которая играла известную роль въ заклинашяхъ алхимиковъ и магиковъ среднихъ в'Ьковъ, между которыми встр-Ь- чаеыъ время отъ времени ташя почтенныя въ наук'Ь имена, какъ Реймонда Лулл1уса, гуманиста Рейхлина, Рожера Бэкона, врача Парацельса и мн. др.
103 Не разъ въ одной и той же личности совмещалось страст- страстное увлечете каббалистикою съ не мен'Ье страстною любовью къ науки. Однимъ изъ такихъ людей былъ известный мате- матикъ XYI столпил Михаилъ Стифель. Ему, напримтфъ, обязана алгебра введешемъ знаковъ -|- и —, знака для корня и пр. И въ то же время складъ его ума постоянно увлекалъ его къ числовой мистики. Изъ текста Videbtmt in quern trans fixertmt (воззрятъ на того, кого пронзили), придавая буквамъ числовыя значешя, онъ вывелъ предсказаше о погибели Mipa въ 1533 году, и крестьяне его прихода (Стифель былъ протестанте гай пасторъ), расточивипе въ ожиданш близкой кончины Mipa все свое имуще- имущество, когда кончины Mipa не последовало, подъ ударами про- прогнали его въ Виттенбергъ, гдъ- онъ былъ спасенъ только благо- благодаря личному заступничеству Лютера. Другой разъ, сидя въ ваннъ1, онъ составилъ сумму чиселъ, приходящихся па фразу Vae tibi, Papa, vae tibi (Горе тебт,, папа, горе тебе!) и вос- торгъ его, когда получилось число 1260, мистическое число, былъ такъ великъ, что, подобно Архимеду, онъ выскочилъ изъ ванны, провозглашая «великое открьте». Но вскорЬ послъ' Стифеля наука теорй чиселъ делается уже независимой отъ числовой мистики, и последняя становится достояшемъ только массы или мпстиковъ, иы1ж)щихъ весьма мало общаго съ наукою. Изъ Запада числовая мистика всякаго рода перешла и въ Pocciro, гдъ' держалась весьма долго. Существуетъ «Ариемолопя» 17-го вгЬка, переведенная молдаваниноыъ Спафар1емъ съ грече- скаго языка. Вопросы въ ней основаны на таииственномъ зна- ченш чпеелъ. Вотъ эти значешя чиселъ до 12-ти, изложенныя стихами: Дванадесять апостоловъ; Единъ десять праотецъ; Десять Божьихъ заповедей; Девять въ году радостей; Восемь круговъ солнечныхъ; Семь чиновъ ангельскихъ;
104 Шесть крылъ Херувимскихъ; Пять ранъ безъ вины Господь терптлъ; Четыре мт,ста Евангельски; Три патр1арха на земли; Два главля Моисеовыхъ; Единъ сынъ Маршнъ Царствуетъ и ликуетъ Господь Богъ надъ нами. Тайнопись. Настоящая глава можетъ служить какъ дополнешемъ преды- дущаго, такъ и полезньшъ введешемъ въ излагаемую дальше «Теорш соединешй». Съ одной стороны, мы увидимъ, что комби- нащями чиселъ и буквъ можно пользоваться не для мистиче- скихъ, а чисто практическихъ цЬлей секретнаго письма. Съ другой, искусство тайнописи, какъ увидимъ ниже, многими сторонами примыкаетъ и связывается съ такъ называемыми перестановками, размгъщетями и сочетатями. Потребность въ такомъ способа письма, который скрывалъ бы смыслъ написаннаго отъ посторонняго глаза и дт,лалъ бы его доступнымъ лишь для немногихъ посвященныхъ, существуетъ у людей съ древнихъ поръ. Отсюда и возникло искусство секретнаго письма, разросшееся въ наши дни чуть не до раз- мт.ровъ ц?лой науки—криптографги. О тайнописи упоминаетъ еще Геродотъ и даже приводить образцы такихъ писемъ, кото- рыя понятны лишь адресату. По свидетельству Плутарха, у спартанцевъ были въ употребленщ спещальньте механичешпе приборы для записывашя и нрочтешя тайныхъ послан!й. Для записывашя релипозныхъ тайнъ жрецы пользовались особыми письменами, непонятными для непосвященныхъ. У КЫя Цезаря была своя система тайнописи, при помощи которой онъ записы валъ свои тайны; она была основана на за- мтьнть однихъ буквъ другими,—npieMb употребительный и въ наше время.
106 Въ средше вт.ка надъ изобрт/гешемъ и усовершенстьова- шемъ кршггографическихъ системъ работали мнопе выдающееся умы—какъ, напр., философъ Вэконъ Веруламсшй, математикъ Вгета, историкъ Гуго Грощй и др. Но высшаго своего развит)'я криптограф1я достигла лишь въ новое время, съ развимемъ дипломатическихъ спотстй и сложныхъ торговыхъ оборотовъ, требующихъ соблюдешя стро- строжайшей тайны. Въ наши дни ежедневно по всему Mipy цирку- лируютъ сотни и тысячи такъ называемыхъ шифрованныхъ, т. е. тайнописныхъ телеграммъ. Важн^йпия администратввныя м4ры во всвхъ почти странахъ передаются шифрованными телеграм- телеграммами. Точно также шифруется и большая часть военныхъ де- пешъ. Въ Гермаши каждый офицеръ долженъ знать крипто- графго. Мы не говоримъ уже о дипломатахъ, которымъ «языкъ данъ для того, чтобы скрывать свои мысли»: они не остана- останавливаются ни передъ какими затратами денегъ и времени, чтобы, полно и точно передавая депешу по назначенго, сохра- сохранить въ то же время и строжайшую тайну. Тайнопись на- ходитъ себт, обширное примкнете и въ торговомъ Mipii, при разнаго рода биржевыхъ и т. п. спекулящяхъ. Корреспонденты болыпихъ заграничныхъ газе!ъ, желая, чтобы ни одна газета не предупредила ихъ органъ въ опубликованш какого-нибудь сенсацюннаго изв'Ьст1я, также гаифруютъ свои телеграммы. Въ flaflbHifiineMb мы знакомимъ съ некоторыми пр1емами тайнописи. Читатель самъ сможетъ разсудить, насколько много въ криптографш «математики». Но если математик^, собственно говоря, принадлежитъ зд^сь довольно скромная роль, то во всякомъ случай легко убедиться, что свободное пользоваше тайнописью требуетъ, все же, запаса сообразительности и остро- ум1я,—словомъ, въ обширномъ царств^ смекалки и этому от- отделу должно быть удалено известное внимаше. Простая зам-Ьна. Казалось бы, самой простой системой тайнописи была бы простая замена общепринятыхъ буквъ какими-нибудь условными знаками или числами. Бо это, какъ оказывается, далеко не
106 падежная тайнопись, п при пзвйстномъ навыки очень легко доискаться до потиннаго смысла подобной криптограммы. Пусть, напримгЬръ, въ наши руки попала следующая крипто- криптограмма, написанная по способу простой замены буквъ какими- нибудь числами (такъ что одинаковыя буквы заменялись оди- одинаковыми же числами). Отд'Ьльныя слова разграничены тире, а буквы —запятыми. 1, 2, 3—2, 4-5, 0, 7, 8, 5, 9—2, 3. 8, 10—11, 12, 2, 9, 13,5,14,15,16—1,17,18,19,10—7—5,11, 2,10—15,11,19,16, 20, 2,21, 22. 23, И, 15,10- -20, IS, 5,11, 13,10- 24, 7, 25,26—11, 15, 2,11, 27,13,16,20, 2, 21, 22. 17, 18, 27, 15, 18, 4, 8, 5, 9—28, 24, 7, 27, 10—1, 4, 2, 9. Съ самаго начала видно, что передъ нами стихи,—тождество концовъ строкъ обличаете риемы. Вотъ одинъ изъ многихъ возможныхъ путей дешифрировашя заданной криптограммы. Обращаемъ внимаше на второе слово первой строки—2.4. Цифра 4 не можетъ быть ъ, такъ какъ она встречается въ се- середине другихъ словъ той же криптограммы. Такнмъ образомъ, 2,4 можетъ быть бы, ли, не, на. . . Сопоставляя первыя два слова криптограммы: 1, 2, 3-2, 4 и принимая во внимаше, что въ послгЬднемъ слове четвертой строки A, 4, 2, 9) цифры п 1 и 1 стоятъ рядомъ (сл'Ьд.. если 4 гласная, то 1 скорее всего согласная),— убеждаемся рядомъ пробъ, что слова 1, 2, 3—2,4 суть:—мнгь не. Подставивъ во вгЬхъ словахъ вместе 1, 2, 3 и 4, буквы м, н, 9ь, е, обращаемъ внимаше на четвертое слово пррвой строки—2,3,8,10 = и» 8,10. Очевидно, передъ нами слово нптгъ: это подтверждается и частой повторяемостью числа 10 на конце словъ, заставляющей подозревать въ пей букву ъ.
107 Точно такъ же выясняется, что последнее слово четвертой строки 1, 4, 2, 9 = мен 9— меня. Сд'Ьлавъ подстановку, обращаеыъ вниыаше на первое слово четвертой строки: 17, 18, 27, 15, 18, е, т, 5, я Подозрйваемъ глагольную форму тся. Испытывая 5 = с, убеждаемся, что третье слово первой строки: с, б, 7, тся п четвертое второй строки: с, 11, иг,—суть спится и сстг. (Слово шиг отвергаемъ, ибо число 11, какъ стоящее въ иачал'Ь послФдняго слова первой строки, не можетъ быть ы). Подставивъ найденныя буквы въ остальныя слова крипто- криптограммы, поступаютъ дал'Ье по тому же методу, т. е. обращаютъ прежде всего виимаше на гЬ слова, въ которыхъ либо больше всего нзв'Ьстиыхъ буквъ, либо получается характерное ихъ раз- irbn^enie. При этоыъ. уловивъ разы4ръ стиха, можно пользо- пользоваться правилами стнхосложешя, угадывая число слоговъ въ слов!; (а следовательно, и гласныхъ буквъ). Не сл4дуетъ пре- пренебрегать и указашями, которыя даетъ риема. Въ результат^ всгЬхъ поисковъ, пробъ, подстановокъ и т. п. получаемъ следующее четверостиийе (А. С. Пушкина): не спится, нъ'тъ огня, Всюду мракъ и сонъ докучный; Ходъ часовъ лишь однозвучный Раздается близъ меня. Въ общеиъ весь ходъ дешифрмровашя сходенъ до изв'Ьстной степени съ методомъ ръ'шен1я иеопред'Ьленнаго уравнен!я ря- домъ испыташй. Между прочимъ, какъ известно, древне-египетсгпе 1ероглифы были «дешифрированы» именно такимъ путемъ. Что такое „тарабарская грамота"? Мы часто употребляемъ это выражеше, но мало кто зна- етъ его точный смыслъ. А между гЬмъ это просто определен- определенный впдъ тайнописи, бывпий въ употреблен1и въ древней Руси.
108 Согласныя буквы располагались въ два ряда, какъ показано ниже: бвгджзклм и щ ш ч ц х ф т с р п и при писанш употребляли вместо верхнихъ согласныхъ нижшя, и наоборотъ. Гласныя же оставались безъ замены. Такъ слово человгъкъ по «тарабарской грамотЬ» получало начерташе: гесотгьтъ. Само собой разумеется, что такая тайнопись легко деши- дешифрируется и не гарантируетъ тайны. Другое вазваше для «тарабарской грамозы»—«простая ли- литорея», въ отлич!е отъ «мудрой литореи», представлявшей бол4е сложную систему древне-русской тайнописи. Системы перестановокъ. Мы вид4ли, что простая замена обычнаго алфавита дру- другими условными знаками нисколько ни гарантируетъ тайны написаннаго: при изв4стномъ навыки и остроумш не трудно возстановить полностью весь шифрованный текстъ, не зная условнаго алфавита. Поэтому простой заменой для серьезныхъ цт,лей никогда я не пользуются. Гораздо надежнее шифровать по методу такъ наз. транспозицт (перестановки). Вотъ одинъ изъ простМшихъ способовъ. Положимъ, требуется передать такую фразу: Скупайте ащш Нобеля. Располагаютъ буквы этой фразы въ кл'Ьтк'Ь прямоугольника въ какомъ-нибуць опредЬиенномъ порядкЬ, наприм4ръ снизу вверхъ: п У к с е т и а г Ц к а б 0 н и 8 Я Л ' е
109 (Буква z поставлена лишь для занолнешя пустого квадра- квадратика и не должна приниматься во внимаше при дешифриро- ваши). Теперь пишутъ буквы нашей таблички слева направо въ одну строку: пегбутцоякйкнлсааие и эту «тарабарщину» посылаютъ адресату. Последнему остается лишь разместить буквы въ решетке и читать написанное ко- колоннами снизу вверхъ. Само собою разумеется, что форма pi- шетки FX4) и порядокъ чтешя (снизу вверхъ) составляютъ секретъ, известный лишь отправителю и адресату. А такъ какъ решетка можетъ быть самой разнообразной формы, точно такъ же какъ и порядокъ чтешя (сверху внизъ, по д^агоналямъ и т. п.), то непосвященному довольно трудно дешифрировать такое по- слаше. Одно время въ военныхъ ведомствахъ всехъ странъ была весьма употребительна система тайнописи, близкая къ только что описанной. Объяснимъ эту систему на примере. Подлежитъ передаче фраза: Главнокомапдуюгцгй прибудешь въ семь вечера. Принять определенный числовой «ключъ» шифра, составляю- составляющей, конечно, тайну для непосвященныхъ. Пусть такимъ клю- чомъ» служить 23154. Располагаешь буквы депеши следующимъ образомъ: 1. 2. 3. 4, 5. г 0 н 1 б в в а j к д и У с' е z а 0 .У п д е ч z в м ю р е м е z н а щ п т ь Р z
110 Зат'Ьмъ переставляем?! колонны буквъ въ порядки нашего ключа: 2. 3. 1. 5. 4. л к д й У с е s а 0 У п д е ч s г 0 и г б в в а и а щ и VI ь р в м ю р е м е ? Остается написать теперь вс-Ъ буквы въ обыкновешюмъ порядка сл'Ьва направо: лагнвкооамдунш/юйпгирудбте севъмечврея?а20 Знаюпцй «ключъ» легко прочтетъ такую телеграмму,—но попробуйте прочесть ее безъ «ключа»! Разумеется, если пере- перебрать всЬ возможныя перестановки изъ 40 элементовъ, то усп-ЕХъ обезпеченъ, но для такой работы, какъ мы убедимся дал4е, нужны цельте годы. Къ тому же, мы применили эту систему пока лишь въ са- ыомъ простомъ ея вид-Ь. 1йтъ ничего легче еще бол'Ье затруд- затруднить дешифрироваше, почти нисколько ни затрудняя адресата. Такъ въ предыдущемъ примйрт. можно было условиться теле- телеграфировать строки не въ ихъ естественномъ порядкт. сверху внизъ, а въ любомъ иномъ:—^сначала Bci нечетныя строки, затЪмъ четныя; или въ алфавптномъ порядка буквъ крайней колонны и т. п. Наконецъ, для вящшаго сохранен!я тайны можно каждую букву заменить другой, отстоящей отъ нея въ алфавит^ на определенное число буквъ. Квадратный шифръ. Самая остроумная система этой категорщ тайнописи—употре- блен!е такъ наз. квадратна?» шифра. Суть его въ сл^дующемъ.
Ill Буквы алфавита располагаютъ въ вертикальные и горизонталь- горизонтальные рядп, какъ показано въ прилагаемой схемъ1: абвгдежз.. . . э ю я в абвгдежзи.... ю я в а б в г д е ж з и г . я в а б в г д е ж з и г к . ¦ . . . в а б в и т. д. до конца алфавита. Условный ключъ—слово «пушка». Чтобы зашифровать по этому способу ту же фразу «главнокомандуюпцй прибудетъ въ семь вечера», производить сл^дугопия манппуляцш: пишемъ буквы нашего ключа надъ буквами депеши: п ушк an ушк а пушк а пу шк а п у гика пугцка пу главнокомапд у югцгй прибудетъ в ъ се мь гика п уги. вечера. Каждая буква нашей депеши вмйстт, съ соответствующей буквой ключа послужатъ намъ теперь координатами для избра- шя буквъ вышеприведенной таблицы. Въ вертикальной колонн^ г и горизонтальномъ ряду п найдемъ букву у. Это и будетъ первая буква шифрованнаго текста. Далйе на пересйченш колонны л и ряда у находпмъ я—это вторая буква и т. д. Слово «главноколандующШ» изобразится при этомъ такъ: у я щ н о ю ю ж ш б э ш к i ъ щ э Легко усмотреть на этомъ прим^рЪ одно серьезное преиму- преимущество 'квадратнаго шифра: въ немъ одни и тгв же буквы (ю, ю; щ, щ; э, э) обозначаютъ на самомъ д^лъ' совершенно различные звуки; и, наоборотъ,—одинаковые звуки (а, о) полу- чаютъ~ различное начерташе (а = гц = б; о = ю = ж). Это со- здаетъ неимовФрныя трудности для всякаго, кто пожелалъ бы разгадать смыслъ депеши, не зная «ключа». А между т-Ьмъ адресатъ, им-Ьющп! ключъ («пушка»), безъ болыппхъ хлопотъ
ирочтетъ эту тарабарщину. Стоить ему лишь написать ключъ надъ текстомъ: пушкам ушка п у ш к а п у уящноююжшб э ш к г ъ щ э и зат4ыъ при разысканш истинныхъ буквъ задаваться каждый разъ вопросом?,: какая буква помещена въ первою, ряду та- таблицы надъ такой-то буквой такого-то ряда? Напр., для розы- скашя первой буквы спрашиваемъ: что стоитъ надъ у въ го- ризонтальыомъ ряд4 п? Оказывается: г и т. д., пока не полу-, чимъ въ результат^ все слово «главнокомандующий». Словари для шифроваши. Какъ ни остроумна система квадратнаго шифра, какъ ни ватрудняетъ она чтеше криптограммы непосвященнымъ,—все же дипломаты не считаютъ ее достаточно надежной. Въ самомъ дъигЬ, допустимъ, что любопытствукнщй членъ дипломатическаго корпуса соседней державы раздобылся текстомъ шифрованнаго послашя и какпмъ-либо путемъ раскрылъ смыслъ одного лишь слова,—напр, въ вышеприведенной телеграмм^ ему посчастли- посчастливилось заподозрить въ первой длинной rpynni буквъ слово «главнокомандующие,—уже этого ему достаточно, чтобы рядомъ пробъ и испыташй добраться до «ключа» и, следовательно, де- дешифрировать все послаше. Вотъ почему въ дипломатпческихъ сферахъ употребляются совершенно иные способы тайнописи—именно такъ называемая система словарей. Словари для шифровашя бываютъ двухъ родовъ: числен- численные и буквенные. Въ первомъ случай каждая группа цифръ, во второмъ—группа буквъ обозначаютъ какое нибудь слово. Пользуясь такимъ словаремъ, отправитель пишетъ послаше на этомъ условномъ язык^, а получатель, при помощи словаря же, переводитъ его снова на общеупотребительный языкъ. Само собою разумеется, что въ дипломатическомъ корпусЬ каждой страны есть свой словарь, который держится въ строжай- строжайшей тайнт, и экземпляры котораго выдаются немногимъ, виолнй
113 надежнымъ и непосредственно заинтересованнымъ лндамъ. Слу- Случайная утрата словаря въ такихъ случаяхъ можетъ иногда по- повлечь за соПой серьезны я послгЬдств1я, такъ какъ послаше остается непрочитанными Разсказываютъ о подобномъ случай нзъ iicTopin последней русско-турецкой войны: помощника, глав- главнокомандующего Мегметъ-Али, отлучившись, захватилъ съ со- собой по небрежности шифровальный словарь, въ его отсутств!е пришло на имя главнокомандующего множество шифрованныхъ телеграмлъ, которыя остались непрочитанными,—и въ резуль- татй турки понесли изъ-за этого большой уронъ. ВЪ ЦАРСТВ* СМЕКАЛКИ. КП. III.
¦;'¦¦ :^>>';;i-i3%/ ¦'¦¦";'¦¦¦¦:. :.¦;¦¦'¦'. -';¦'/. •.¦.¦'¦:¦¦<¦¦.:¦''¦¦¦¦|'г-.г'..'.л ..>> м ••.¦¦¦¦•¦ ¦¦' ¦ • [ . . . *;¦:¦.¦.-:¦¦ :¦¦.¦-.-^- ¦^¦-^ . .'.-.¦ ¦¦ ¦¦¦•'. '""¦'.¦''V,'"-'; ¦:,:•'-sFijr#, 4 '.VJ*;i ¦¦;-- ¦±V ".".-.' .V\'¦¦¦¦.? •.-.^^¦; Счетныя ташины. Въ настоящемъ отдйлъ1 мы предполагаем! ознакомить чи- читателя съ одной изъ наиболее интересныхъ областей ариеме- тики, а именно—съ истор1ей и отчасти практикой счетныхъ машинъ. Думаемъ. что эта глава будетъ интересна для всйхъ. Быть можетъ, для иныхъ она не останется даже безъ практической пользы. Счетныя машины совершенствуются съ каждымъ днемъ и все болйе входятъ въ практику. Недалеко, пожалуй, то время, когда счетная машина завоюетъ въ культурномъ обиходъ1 та- такое же м4сто, какое уже завоевала пишущая машина. Бол4е подробныя свйдйтя по исторш вопроса желаюшдй найдетъ въ классическомъ трудй Кантора «Истор1я матема- математики» и отчасти въ «Исторш элементарной математики» Кэд- жори. Последняя естьвъ русскомъперевод^(издаше «Mathesis»). Обстоятельный очеркъ тому же вопросу посвящаетъ Э. Люка (Lucas) въ Ш-мъ томи свопхъ знаменитыхъ «Recreations Mathe- matiques». См. также брошюру Л. А. Золотарева: «Какъ люди научились считать». Изд. 1910 года. Москва.— «Публичная лекщя о Цифраргь д1аграммометр'Ь В. С. Козлова», читанная Эдуардомъ Люка въ 1890 году. (Переводъ съ франц. под. ре- дакщей проф. А. В. Васильева. Казань. 1895.). Наконецъ. обра- щаемъ особенное внпмаше читателя на ученыя изслйдоватя по исторш математики (въ древности и въ средте въ'ка) про- профессора Н. М. Бубнова. Изучая произведешя знаменитаго уче-
115 паго и деятеля средних'!. в-Ьковъ (X—XI вв. но Р. X.) Гер- Герберта, впослъ'дствш папы Сильвестра II (f 1003 г.), проф. Буб- новъ обратилъ особенное внимаше на математичесшя сочине- шя этого зам'Ьчательнаго человека. Жупелъ математики не пспугалъ филолога, а, паоборотъ, подвинулъ его къ энергичному труду овладеть предметомъ. Результатомъ неустанной работы талантлпваго ученаго, помимо полнаго и обстоятельно коммен- тированнаго издашя математическихъ произведешй Герберта (на латинскомъ язык!, издаше Фридлендера и сына въ Бер- лин'Ь Gerberti Opera Mathematica, Berolini 1899, Rob. Fried- liiiider und Sohu, pp. XIX 4-620), явились руссшя книги «Арио- метическая самостоятельность европейской культуры» (Шевъ, 1908, стр. X-j-408), «Происхождеше и истор1я нашихъ цифръ» (Шевъ, 1908, стр. 190), «Абакъ и Боэщй» (Журн. Мин. Нар. Проев. 1907—1910 и отдельно Спб. 1912, стр. 311), «Подлин- «Подлинное сочинеше Герберта объ абак'Ь» (Шевъ, 1911), «Древнш абакъ — колыбель современной ариеметики» (Шевъ, вып. I, 1912) и др. Н?тъ сомнънш, что эти труды сыграютъ важную роль въ исторш пашей науки — и прежде всего потому, что въ нихъ наглядно указано, какъ исторпкъ математики долженъ отнестись къ историческому документу или сочинент, попавшему ему въ руки, прежде чъ-мъ д'Ьлать пзъ него как!я-либо заключешя. Всл'Ьдъ затъчиъ выводы, къ которымъ приходить проф. Бубновъ въ результат!; своихъ огромиыхъ и часто кропотливыхъ изслФ- дованш, проливаютъ новый свътъ на чрезвычайно важные и интересные вопросы, какъ-то: о такъ называемыхъ абацистахъ и абакт древняго Mipa, о происхожденш и выработка нашихъ цифръ, о состояши элементарной ариеметнкп въ среднее в^ка и, наконецъ, едва ли не самой важной и смелой (но обстоя- обстоятельной) въ научномъ отношенш является попытка проф. Буб- Бубнова возеоздать систему элементарной математики классической древности изъ отысканныхъ имъ же ея обломковъ среди средне- в&коваго хлама1). х) Отрывки изъ изсл^ЬдованШ проф. Бубнова читатель найдетъ въ нашей «Математической Хрестоматш». Книга 1-я.
116 Счетъ и число. Понят1я о счет4 и числи представляются на первый взглядъ столь элементарными, что едва ли кто затруднится ответить утвердительно на вопросъ, знаетъ ли онъ, что такое число? Однако дать точное опред-Ьлеше понятй о счет^ и числ4 вовсе не такъ просто; ибо если число возникло въ результат^ счета, то и сознательный, приведенный въ систему счетъ ке- мыслимъ безъ яснаго представлешя о безконечной изменяемости чиселъ, и о числи, какъ о выраженш конкретнаго множества. (См. по этому поводу «Въ Царствъ1 Смекалки», книга 2-я, стр. 116, 148—155 и др.). Разсуждешя о томъ, когда именно возникли у людей пред- представлешя о числи, какъ о выраженш множества, совершенно праздны. Есть наблюдешя, показываюпдя, что и животныя не лишены некоторой способности къ подсчету, а между тъмъ не могутъ выразить результатъ его ни звукомъ, ни движешемъ, ни начерташемъ. Исключительные случаи, достигнутые дресси- дрессировкой, не ыогутъ считаться доказательными. А разъ челов4къ еще раньше полнаго обособлешя отъ жи- вотнаго таилъ въ ce6i зачатки понятай о числи, онъ не можетъ, конечно, помнить о процессЬ ихъ возникновешя, какъ не по- помнить о своей утробной жизни. Безусловно важны въ исторш числа и счета лишь процессы, съ помощью которыхъ люди научились схватывать и удержи- удерживать въ памяти, выражать, передавать другимъ и развивать врожденныя имъ несложныя числовыя представлешя. Изслйдовашя въ области языкознашя, наблюдешя надъ чис- числовыми представлешями дикарей, пережитки въ языкахъ куль- турныхъ представителей человечества показываютъ, что «реа- лизапДя числа», т. е. отвлечен1е отъ частныхъ случаевъ мно- множества къ общвмъ, обособлен!е опред'Ьленнаго множества отъ неопредъменнаго, началось съ сопоставлен1я самаго элементар- наго свойства: множественность выражалась описательно, рече- шями и оборотами: «столько, сколько я да ты»; «столько, сколько у меня глазъ»; «столько, сколько у животнаго ногъ»; «столько, сколько у меня пальцевъ».
117 Действительно, даже у наиболее культурныхъ народовъ, числительныя: «два. deux, duo, two, zwei», въ несомн'Ьнноыъ родстве съ «ты, tu, du, toi, thou»; «vier»—съ «Vieh» (скотина); «пять, сентъ, fifth, fiinf, five» — съ «пясть, пята, пента, fist, Faust»: «zehn»—съ «Zelien» (пальцы на ноге); английское «di- «digits» (единицы счета) - съ digiti» (пальцы). Рамки примйроБЪ можно бы значительно расширить исполь- зовашемъ всЬхъ языковъ, живыхъ и мертвыхъ. Все они под- тверждаютъ возникновеше представлений о числе и самыхъ на- звашй чиселъ именно такиыъ конкретнымъ, а не умозритель- нымъ сутемъ. Оруд1я счета. - Босоногая машина. Части тъ-ла человека и животныхъ, явясь, такимъ образомъ, первоначальными критер1ями множественности, косвенно легли впоследствш въ основаше системъ счислешя. Съ усложнешемъ быта и взаимоотношений между представителями человечества, съ развийемъ культуры и расширешемъ торговыхъ сношешй, выражеше «множества» при посредствй глазъ, ушей, конечностей и т. п., становилось все мен4е и мен^е удобнымъ, и, мало-по- мало-помалу, первенствующая роль въ ряду простейшихъ орудШ счета перешла къ пальцамъ. Пальцы же послужили образцомъ для нътоторыхъ приыитивныхъ числовыхъ знаковъ, а счетъ на нихъ легъ въ основаше всЬхъ, получившихъ сколько-нибудь широкую известность и распространеше, системъ счислен!я. Естественно, что рука, въ качестве элементарнейшаго счетнаго прибора, должна была повести къ счету пятками: пя- токъ яблокъ, пятокъ куръ, пятокъ яицъ существуютъ до сихъ поръ какъ ходяч1я выражешя предметнаго счислен{я. Такой «пятокъ», отсчитанный на пальцахъ одной руки, положимъ, правой, и отложенный на другой загибашемъ одного пальца, являлся первой единицей высшаго порядка. По мере нароста- шя нятковъ получались отсчеты: «одинъ пятокъ и два» (т. е. 7); «два пятка и три» (т. е. 13)-, «три пятка и четыре» (т. е. 19); «четыре пятка и палецъ» (т. е. 21), п т. д. Пять пятковъ на левой руке давали вторую единицу высшаго порядка (т. е. 26),
118 которая отмечалась, положпмъ, нагибашеы'ь мизшща левой ноги. Все пять пальцевъ лг]шой ноги составляли одну единицу третьяго порядка (т. е. 125), которая отличалась однимъ пзъ пальцевъ правой ноги, и т. д. Такимъ образомъ ныражеше «че- «четыре пальца правой ноги, да два пальца левой ноги, да три пальца левой руки, да одинъ палецъ правой руки», значило бы на нашъ счетъ: 4-125 + 2-25+ 3-5+1 = 566. Судя по сохранившимся остаткамъ, такой счетъ нигде не сложился въ прочную и законченную систему. Родиной его слъдуетъ считать Америку, гд'Ь обрывки его въ ходу отъ крайняго севера до крайняго юга. Изолировано онъ встречается также у н-Ькоторыхъ африканскихъ племенъ и у сибирскихъ инородцевъ. Однако oTcyTCTBie отдтльныхъ названий для 25, 125, 625 и т. д. лишаютъ счетъ последовательности. Для выражешя большихъ чиселъ приходится прибегать къ степенямъ чиселъ 10-ти и 20-ти. Въ глубокой древности пятеричный счетъ принадлежалъ, вероятно, къ наиболее распространеннымъ: следы его находятся въ Гоыеровскомъ диалекте Ил1"ады и Одиссеи. Римсшя цифры также ыосятъ явный отпечатокъ пятеричности. Такъ, отд-вльныя обозначешя существуютъ для единицы, для пяти, пятидесяти, пятисотъ, пяти и пятидесяти тысячъ. Самая цифра X пред- ставляетъ две пятерки, сложенныя основашями. Очертатя первьтхъ пяти цифръ, несомненно, получились изъ очертанш пальцевъ руки (фиг. 54). Пятеричныя цифры пережили пяте- пятеричный счетъ и наложили своеобразный оттенокъ на римскую нумеращю. Конечно, счетъ пятками былъ счетомъ босоногаго челове- человечества, съ подвижными пальцами ступни; потому онъ ранее другихъ частью забылся, частью усовершенствовался, давъ на- начало счету двадцатеричному. Съ другой же стороны, наиболее культурноспособныя человечесшя расы раньше другихъ стали обуваться и терять подвижность пожныхъ пальцевъ. Пока же все ходили боспкомъ, было совершенно естественно не оста-
119 навливаться на пятеричномъ счетй1, а продолжать счислеше на пальцахъ ногъ, вплоть до двадцати. Новая единица счета, т. е. «двадцатка» называлась, вероятно, либо «челивйкъ», либо Фиг. 54. палыхъ животныхъ. На позднейшее происхождеше двадцатеричнаго счета ука- зываетъ малое распространеше его среди теперешнихъ дикарей, параллельно съ многочисленными пережитками въ языкахъ наи- наиболее цивилизованныхъ народовъ. Такъ до сихъ поръ во французскомъ языке въ ходу числи- тельныя quatre-vingts, quatre-vingts dix, six-vingts, quinze- vingts; англичане сплошь и рядомъ считаютъ на «scores of pounds» (двадцатки фунтовъ стерлинговъ); они же говорятъ «three score» F0), «three score and ten» G0), «four score» (80) вме- вместо sixty, seventy и eighty; въ живой датской речи не только сохранились числительныя «tresindstyve» C-20 = 60), «fires- indstyve D • 20 = 80), но и болйе сложныя выражешя, соот- соответствующая древнерусскимъ «полтретьядвадцата», «полчетвер- тадвадцата», «шолпятадвадцата», вместо 50, 70 и 90. Какъ отсчитывались на нальцахъ рукъ и ногъ высгшя еди- единицы двадцатеричнои системы —т. е. «двадцатью-двадцать», «двадцатью-четыреста», «двадцатью-восемь тысячъ»—сказать до-
120 вольно трудно. В'Ьрн^е всего, что въ счет* участвовало ни- нисколько челов'Ькъ, изъ которыхъ первый отсчитывалъ единицы, второй двадцатки, третШ четырехсотки, четвертый восьмерки тысячъ и т. д., подобно тому, какъ постуиаютъ современные полудише американсше кочевники при десятичномъ счет1!;. Отд4льныя назвашя для высшихъ единицъ двадцатеричнаго счета сохранились въ памятникахъ доисторическихъ народовъ Центральной Америки. Такъ напримъръ, у майевъ (Юкатанъ) существовали непроизводныя названия для 20, для 400 B0а), для 8 000 B03) и для 160 000 B04); у ацтековъ—для 20, для 400 и для 8 000. Такимъ образомъ майи съ помощью пальцевъ рукъ и ногъ могли отсчитывать до двадцати разъ по 160 000, т. е. до 3 200 000. Этимъ, вероятно, и ограничивалась у нихъ потребность въ счете, такъ какъ нить указашй, чтобы они считали дальше. На языки майевъ наши, наприм'ьръ, 7 095 выразились бы какъ семнадцать четырехсотокъ, четырнадцать двадцатокъ и пятнадцать единицъ. Тамъ же, на предполагаемой родине двадцатеричнаго счета, т. е. въ Америки, где онъ достигъ наивысшаго развиия, есте- естественная двуногая и двурукая босая человеческая счетная ма- машина была впервые дополнена механическими приспособленгями. Есть достовъ'рныя историчесшя свидетельства, что перуанцами употреблялись для этой цели разноцветные шкуры съ завя- завязанными на нихъ узлами (квиппосы). Такими же механическими дополнешямп къ человеческому телу надо считать общеевропейыая «бирки» и на нихъ «резы». Въ классической стране несообразностей, консервативно- прогрессивной Англш, счетъ бирками и резами, на «scores of pounds», просуществовалъ до конца семнадцатаго столЬия при взиманш государственныхъ налоговъ и повинностей. Одпнъ «score» вмещалъ въ себе двадцать фунтовъ (;терлинговъ, одлпъ фунтъ стерлинговъ—двадцать шиллинговъ. Сопоставлен1е словъ «skin»—кожа, древне-аитлШскаго vco- ге» — тело, и «score» — двадцать, невольно ассоцшруется со «шкурой», въ смысле двадцатипалой единицы. Бирки, на ко-
12] торыхъ разами наносились «score of pounds» были оструганныя палки (tally, tallies). По заключенш расчета, ихъ раскалывали пополамъ, и одна половина вручалась нЛательщику, другая со- сохранялась въ казначейств^. Такимъ образомъ, пережитки двадцатеричнаго счета, ст. его примитивнейшими механическими приспособлешямн, бирками и разами, еще въ семнадцатом?. столгЬтш напоминали челов4к), что было время, когда онъ самъ, своей особой, игралъ роль босоногой счетной машины. Оруд1я счета. Обутая машина. Когда культурные представители человечества обулись и одФлись въ долгополыя одежды, ноги перестали служить имъ оруд{ями счета. Остались только руки съ десятью пальцами и тремя суставами на каждомъ, за исклю- чешемъ большихъ. Очень вероятно, что, только достиг- нувъ извйстнаго кулътурнаго уровня, че- ловъчсъ замъ'тилъ, какое удобное счетное приспособлеше представляютъ суставы пальцевъ. Иначе дв-Ьнадцатеричная система опередила бы десятичную, и, какъ бол4е удобная, не уступила бы ей первенства. Отсчетъ ногтемъ большого пальца пра- правой руки суставовъ остальныхъ четырехъ иальцевъ, давалъ основаше двенадцать, или дюжину (фиг. бб). Аналогичное отсчитываше дюжинъ на суставахъ пальцевъ лъ'вой руки дало дю- дюжину дюжинъ, или «гроссъ». Дальнъ'йшаго развит1я система, повидимому, не полу- получила. Интересна она своей живучестью, а также тъмъ, что легла въ основаше шестидесятичной системы, употреблявшейся въ Вавилонъ1. Ключъ къ последней бьтлъ найденъ на двухъ плиткахъ изъ Фиг. 55.
122 обожженной глины, открытыхъ во время раскопокъ въ древпемъ Вавилоне. Первая содержала равенства вида: 1.4 = 82, 1.21 = 9а; 1.40 = 10-; 2.1 = II2 и др. На второй находились числовыя коэффищенты освещенной части луннаго диска, въ 240-хъ доляхъ луннаго д1аметра, въ перюдъ отъ новолушя до полнолушя, выраженная въ такой форме: б, 10, 20, 40, 1.20, 1.36, 1.52, 2.8 и т. д., при чемъ всъ'мъ числамъ меныпимъ шестидесяти соответство- соответствовали самостоятельные знаки. Формулы эти понятны и возможны лишь при условш, что каждая единица влево, отделенная отъ предыдущей точкой, равна шестидесяти. Тогда действительно: 1.4 = 60 + 4 =82; 1.21 = 60 + 21 = 81 = 92 1.40 = 60 + 40 = 102; 2.1 = 120 + 1 = II2 1.20 — 60 + 20 = 80; 1.62 = 60 + 62 = 112 2.8 = 2 • 60 + 8 = 120 + 8 = 128. Шестьдесятъ называлось на языке вавилонянъ «соссъ»; а шестьдесятъ соссовъ, или 3 600, называлось «саръ». Такиыъ образомъ число 192 924 читалось и писалось у нихъ какъ «63 саръ 36 соссъ 24 единицы». По мнешю Кантора и Кэджори, вавилонски способъ счис- лешя «не могъ находиться въ связи съ устройствомъ челове- ческаго тела». Ошибка обоихъ кроется въ томъ, что ни одинъ изъ нихъ, повидимому, не наблюдалъ, какъ действуете счетная машина человеческаго тела въ т4хъ местностяхъ земного шара, въ ко- торыхъ по сю пору уцелели остатки шестидесятичнаго счета: мы говоримъ о широкой полосе на границе германскаго и сла- вянскаго М1ровъ, захватывающей часть нашихъ северо-западныхъ, западныхъ и юго-западныхъ ry6epHifl, отъ Kieea на юге и на севере до Риги, и простирающейся на западъ черезъ Галищю, Саксошю, Бранденбургъ и Померашю до Данцига. Въ этой полосе, вдалеке отъ главныхъ центровъ, счетъ продолжается на копы F0 штукъ), «полукопы» (80 штукъ) и «мандели»
123 A5 тптукъ). А л'Ьтъ 30—40 тому назадъ даже въ такомъ тор- гово-культурномъ центргЬ, какъ Рига, яйца и раки продавались па рынкахъ не иначе, какъ на мандели и копы CSchock). Механизиъ счета былъ чрезвычайно иростъ; загибая пальцы л'Ьвой руки, п продавцы и покупатели отсчитывали пятки; каждый пятокъ отмечался погтемъ большого пальца правой руки на суставахъ остальныхъ четырехъ пальцевъ, начиная съ ми- мизинца. Мизинецъ давалъ первый мандель копы: безымянный—второй; средней—третш и указательный—четвертый. Самое немецкое слово «Schock» звучитъ нисколько похоже на «зоссъ» и могло быть занесено съ Востока во время великаго переселения народовъ. Эти- моло1чя и происхождеше слова «Mandel» неизвестны. Русская «копа» одного корня съ «совокупность», «накоплеше», «копить». Живая счетная мишина человека дала начало и еще одной систем! счислешя, весьма редкой, отъ которой остались лишь жалше обрывки. «Сорокъ еороковъ церквей» въ Белокаменной, да уплата ясака «сороками соболей» инородческимъ населешемъ Сибири, сорокъ фу нтовъ въ пуде суть единственные пережит- пережитки некогда весьма распространеннаго счета. Начатки его опять-таки въ пальцахъ п рукъ\ Грубая, заскорузлая, короткопалая рука сибирскаго зверолова и кочевника не го- годилась для счета дюжинами, потому что укороченный большой палецъ, и то съ тру- доыъ, нащупывалъ на остальныхъ по два сустава вместо трехъ. Ц4лая рука давала такимъ образомъ восемъ единицъ (фиг. 56), а пять пальцевъ другой руки позволяли отсчитать пять восьмерокъ, или сорокъ. Для «сорока еороковъ» требовалось, конечно, двое счет- чиковъ. Наивысшаго расцвета счетъ на пальцахъ достигъ въ Китай уже въ перюдъ полнаго торжества десятичной системы счислешя. Фиг. 56.
124 Холеная, гибкая рука, съ длинными пальцами и ногтями, культурнаго китайца позволяла нащупывать на каждомъ сустав!' но три мышечныя утолщешя: два боковыхъ и среднее, итого на пДцомъ пальц'Ь девять. Девять утолщенш, соответственно девяти цифрамъ, восемь разрядовъ, соответственно восьми трехсуставныыъ пальцамъ, позволяли отмечать прикоснове- темъ ногтя большого пальца все числа отъ 1 и до 99 999 999 (фиг. 57). Путешественники удостоверяют^ будто китайцы съ боль- шимъ уменьемъ сообщаютъ другъ другу съ помощью пальцевъ Фиг. 57. Фиг. 58. биржевыя ц"Ьны и коммерчестя тайны. Они торгуются и со- вершаютъ сделки молча на глазахъ многочисленныхъ свиде- свидетелей, спрятавъ руки подъ полами длинныхъ одйянш. Въ прежн!я времена pyccKie купцы также при сделкахъ ударяли рука объ руку подъ полой кафтановъ. Обычай этотъ былъ перенятъ, вероятно, у китайцевъ, но съ утратой его вну- трення1'о, практическая) смысла. На фиг. 68-й соответствующими цифрами обозначено, ка- кимъ порядкомъ прикосновен1й могло бы бить отмечено и про- прочитано на одной руке число 3 U74.
126 HaniecTBie обутыхъ варваровъ и торжество десятич- десятичной системы счета. РасцвФтъ дв4надцатеричной и шестидесятеричной системъ счислешя предполагается около 2000 л. до Р. X. въ халдей- скомъ Ур4. Пред^лъ дальнейшему его развитш и распростра- распространенно былъ положенъ разрушещемъ Урской и Ассиро-Вавилон- ской цивилизащй. Потокъ народовъ, стершШ съ лица земли древнМнпя куль- турныя царства, стоялъ на перепутьи отъ варварства къ куль- культуре. Покорители Халдейскаго Востока сравнительно недавно обулись и перешли отъ пятеричнаго или двадцатеричнаго счета къ десятичному. Кто они были—въ точности неизвестно. Но ихъ было много, п они были победителями. После временнаго понижешя уровня культуры наступилъ снова подъемъ умственной жизни и явились новые запросы духа. Тогда известная живая счетная машина человеческаго т'Ьла вскоре оказалась недостаточной. Невозможность произво- производить на пальцахъ сложныя выкладки заставила искать вспомо- гательныхъ средствъ — сначала только для облегтешя памяти, а иотомъ и для выполнешя операщй съ числами. Счетныя пособ1я—графичесмя и предметныя. Выше мы уже говорили о биркахъ и узлахъ, какъ о сред- ствахъ облегчить память, а также закрепить и сообщить дру- гиыъ результаты счета. Но panie, чемъ бирки и узлы сдела- сделались общимъ достоян1емъ и счетными пособиями, искусство счета прошло черезъ более элементариыя фазы. Такъ, несомненно, что замена ограниченнаго числа пальцевъ камешками, ракови- раковинами, зернаш! предшествовала узлаиъ и биркамъ. Кучки одно- роднымъ подвижныхъ предметовъ облегчали счетъ и позволяли ощупью производить четыре основныхъ действ1я надъ числами не исключительно въ уме. Результаты стали изображать условными знаками, число которыхъ первоначально было очень велико. Потребовалось
12в много в!жовъ, пока люди убедились, что при десятичной си- системе счислешя достаточно десяти знаковъ для выраясешя лю- быхъ чиселъ. Условные знаки писались на песке, на глине, пли иной пластичной массе, отмечались узлами, бирками, нестираемыми надписями. Камешковъ, раковинъ, зеренъ бралось первоначально столько, сколько было объектовъ счета и лишь впосл'Ьдствш стали приписывать имъ поместное значеше, въ зависимости отъ взаимнаго ихъ положешя. Ни исто[пя, ни предание не сохранили именъ т^хъ, которые стали считать камешекъ или раковину, положенные лт.вт,е или правде, въ несколько разъ больше или меньше своихъ блпжай- шихъ сосЬда или соседки. Вероятнее всего, что такимъ нзо- бр'Ьтателемъ явилось все человечество, додумавшееся сообща до счета: по пальцамъ, на пятки, десятки, дюжины, двадцатки, сорока и копы, приглашавшее отд'Ьльныхъ счетчиковъ для еди- пицъ, отдельпыхъ для десятковъ, отд'Ьльныхъ для сотенъ; при- приписывавшее пальцамъ на ногахъ числовое значеше въ 25 и въ 125 разъ больше, чгЬмъ пальцамъ па рукахъ. Отсюда уже одинъ шагъ къ графическому изображешю по- полосками, клетками плп кружками полей, для помт-щетя въ пихъ предметовъ, или знаковъ, им^ющихъ поместно-возростающее или убывающее значеше. Но человечески умъ затратилъ много времени прежде, чъ-мъ додумался до этого шага. Первый намекъ на такое счетное приспособлеше находимъ у Геродота. Онъ пишетъ: «Египтяне считаютъ камешками, водя рукой справа налево, между т'Ьмъ какъ эллины водятъ рукой сл'Ьва направо». Въ чемъ состоялъ египетск1й «счеть камешками», достоверно неизвестно. Одно несомненно, что столбцы, графы, клетки или поля, на которые клались камешки, были расположены въ го- горизонтальной последовательности, иначе приходилось бы водпть рукой снизу вверхъ, или сверху внизъ, а не справа налево (или наоборотъ). Значитъ столбцы, или графы, по отношенш къ считавшему, были вертикальные. Изъ последующихъ формъ, который принялъ счетъ въ Гре- цш, въ Риме и далее на западъ, можно лишь догадаться, что
127 у современных?, Геродоту грековъ значеше камешковъ возра- возрастало справа налево, у египтянъ же наоборотъ. Такъ, на при- прилагаемой фиг. 59-ой сочеташе камешковъ въ графикахъ озна- означало бы въ греческомъ чтеши 1035 207, а въ египетскомъ 7 026 301. G О О О G О °О О G G п° "О OG С) О Фиг. 59. Правильность такой догадки подтверждается всей дальней- дальнейшей HCTopiefl раявиэтя искусства счета въ древте и среди ie вика. Ибо только изъ такихъ, какъ выше, графиковъ, могла возникнуть основная идея счетной машины древности, такъ называемого «абака» *). Абакъ и римсюе счеты. Назваше «абакъ», по мнйнш некоторых?., стоитъ въ связи съ семитическимъ корнемъ «бакъ», что значитъ «прахъ», въ смыслъ1 «пыль» или «песокъ». Друие же видятъ въ немъ ко- коренное греческое слово «abax»—столъ. Словопроизводство отъ «бакъ—прахъ» неправдоподобно, хотя иные и доказываютъ, что въ первичной формъ1 абакъ предста- влялъ собою доску, покрытую тонкимъ слоемъ пыли или песка, на которомъ чертили числовые знаки, буквы или геометричесия фигуры, и что въ такомъ видъ1 абакъ сохранился до послъ'днихъ г) Абакъ, греческое «абаксъ»; въ латинской транскрипши «abacus?,.
128 В 1 А V Л е VIII 6 1 2 Г VII 2 Фиг. 60. временъ древней культуры, въ качестве nocooia при изучешл геометрш. Песокъ употреблялся сити, крашеный или есте- естественный; вернее—мелкорастертая голубая глина, ложащаяся до- довольно плотиымъ, не легко сдуваемымъ слоемъ. Въ школахъ абакъ исполнялъ роль грифельной доски, на которой писались, и вновь стирались, числовые знаки и геоме- тричесшя фигуры. На фиг. 60 представлены написанныя на абакгЬ числа; греческимъ шриф- томъ 2 014 903; латинсшшъ — 60 817 и арабскимъ —100 622. Вернее всего то, что для практическихъ целей счетовод- счетоводства, абакъ очень рано принялъ видъ разграфленной доски, на которой считали камешками, а впослъ\дствш марками или жетонами. Графы вначале не имъ'ли наименованШ, такъ что одинъ и тотъ же абакъ могъ служить и для денежныхъ расчетовъ, и для мгЬръ длины, емкости и в4са. Поместный значетя камешковъ или жетоновъ менялись въ зависимости отъ существовавшихъ отношений между последовательными единицами в-Ьса, ценности и меры. Извест- Известному греческому мудрецу Солону приписывается изречете, что «человъ'къ, который дружить съ тиранами, подобенъ камешку при вычислены, значете котораго бываетъ иногда большое, а иногда малое». А у историка Полиб1я находимъ упоминаше о маркахъ на абаке, которыя «обозначаютъ, по желашю счи- тающаго, то таланты, то халкосы». Встречались и таше абаки, которые были приспособлены исключительно для денежныхъ расчетовъ. Такъ, въ 1846 году, при раскопкахъ на Саламинъ-, былъ иайденъ мраморный абакъ огромныхъ размъровъ—до 2 арш. 2 верш, въ длину, при аршине въ ширину — одинаково при- приспособленный для счета и на вавилонсше и на аттические та- таланты. Онъ имелъ пять главныхъ столбцовъ и четыре допол- нптельныхъ. Главные столицы предназначались, при счет! на вавилонсше таланты, для талантовъ, тысячъ, сотенъ, десятковъ
129 и единицъ драхмъ 7); при счетъ1 на аттическге таланты—для талантовъ, десятковъ минъ, единицъ ыинъ, десятковъ драхмъ и единицъ драхмъ 2). На дополнительныхъ столбцахъ отклады- откладывались половины, трети и шестыя доли драхмы, или оболы 3); на послтщнемъ—халкосы 4). Ближе къ верхнему краю, черезъ веЬ столбцы, проходила поперечная черта, о значенш которой поговоримъ ниже. BipHie всего, что найденный абакъ употреблялся для рас- четовъ въ большой м'Ьняльной лавки, или служилъ въ нри- тон4 для азартныхъ игръ. Въ послъднемъ случай на столбцы могли ставиться и не жетоны, а звонкая монета, или же ме- метаться кости, по листу падешя которыхъ на т4 или иные столбцы определялись разм'Ьры выигрыша или проигрыша. Жетоны или марки назывались у грековъ «псефы» (псо- фой), т. е. «камешки»; римляне, заиыствовавъ абакъ, стали называть ихъ «calculi», т. е. «счетчики». Марки эти вначал'Ь были безписьменные, гладме. Вслъ'дъ затъчиъ появляются жетоны мтченые, т. е. съ обо- значешями первыхъ десяти знаковъ или чиселъ, греческимъ или римскимъ письмомъ. Изобретете ихъ приписывается ново- пиеагорейцамъ, почему и самый абакъ съ числовыми жетонами сталъ называться у римлянъ «mensa pythagoreana», т. е. «ии- еагоровъ столъ». Эти «пиеагоровы столы» не пользовались вна- чал'Ь особеннымъ распространетпемъ, вслъ'дств1е мъшкотности процесса при переход^ отъ числа, написаннаго римскими цифрами, къ изображешю его на абакъ1 и обратно. Такъ, напр., число 2 973 римскими цифрами писалось такъ: MMDCCCCLXXIII Для перевода на языкъ столбцовъ его требовалось пред- предварительно расчленить, что, применительно къ теперешнему знакоположешю, могло бы быть изображено какъ ММ + DCCCC + LXX + П1 1) Вавцлонск1й талантъ равнялся 10 ООО драхиъ. -) ЛттическШ талантъ составлялъ 60 ышгь; мпна—100 драхмъ. 3) Драхма ^: 6 оболаиъ. 4) Оболъ ^8 халкосамъ. ВЪ ЦАРСТВВ СМЕКАЛКИ. КН. III. 9
130 Послй того, написанное жетонами на столбцахъ абака, или шеагорова стола, оно представилось бы какъ на фиг. 61-ой (внизу). На томъ же рисунки, сверху, отделенное отъ нижняго пунк- тиромъ, изображено жетонами число 40 = XLDLXXXVII ы fit, VII VII Фиг. 61. Интересною разновидностью пиеагорова стола былъ абакъ съ отверстиями и колышками (или втулками). Въ каждомъ столбце имелось по десяти отверстай, съ нумерапшю слева; въ отверстая вставлялись втулки. Образца подобнаго абака не со- сохранилось и рисунокъ 62-й возстановленъ по описашю. Число, от- отложенное на немъ колышками или втулками, очевидно 86 704, или, по римскому написашю, LXXXVT DCCIV. Несомненно, что десятыя отверстая въ каждомъ изъ столб- цовъ, при изображеши чиселъ, являлись лишними; но они могли сослужить хорошую службу при сложеши и вычитанш, выполнявшихся на абакахъ съ жетонами и колышками такъ же, какъ на нашихъ счетахъ. Что касается умножешя и дйлешя, то о пр!еиахъ ихъ вы- полнешя у древнихъ ничего достовърнаго неизвестно, такъ какъ у математиковъ даются одни лишь результаты безъ указашя способовъ ихъ получешя. Что древн1е не только множили и делили, но и извлекали корни на своихъ абакахъ, не отступая передъ дробями, яв-
131 ствуетъ изъ сохранившихся сборниковъ задачъ и ихъ рйшешй. IIpieMbi были, по ашФшю иныхъ, чрезвычайно длительные, требовавпйе большого напряжешя памяти. Едва ли обходились безъ одновременнаго пользовашя двумя абаками, однимъ съ жетонами или колышками, для закрт,плешя результатовъ, дру- гимъ песочнымъ, для выкладокъ по ходу дМстшя. Дроби X IX VIII VII VI V IV III II 1 Сот. тыс. с • • • • • • • • • • Две. т. • • G • • • • • • • Тыс. м • • • • о • • • • • Сот. С • • • о • • • • • • Две. X • • • • • • • • • • Ед. 1 • • • • • • О • • • Фиг. 62. употреблялись дв'Ьнадцатеричныя и шестидесятеричныя *), вполнъ1 отвт>чавппя конкретнымъ случаямъ подразделения денежныхъ, вйсовыхъ п прочих* единицъ у древнихъ. Посл'Ьднимъ словомъ римской техники по устройству счет- ныхъ приборовъ былъ, повидимому, абакъ, хранящШся въ музей древностей въ Неаполъ\ Т. е. со знаменателями, '.ратными 12 или 60.
132 Онъ представляетъ металлическую доску съ прорезами, или пазами, вдоль которыхъ ходятъ пуговки. Прор-ЬзоБЪ восемь длинныхъ и одиннадцать короткихъ, изъ которыхъ восемь со- ставляютъ какъ бы продолжеше длинныхъ, а три расположены дополнительно, по одной линш (фиг. 63). ii с х i с х i Фиг. 63. Во вс4хъ короткихъ npopfeaxb по одной пуговк^, за исклю- чешемъ самаго нижняго, въ которомъ ихъ двъ1. Длинные про- прорезы им-бютъ по четыре пуговки, а крайни правый пять; надъ нимъ точка; а надъ прочими, въ послйдовательнонъ порядки, справа вл-Ьво, римсюя цифры для обозначешя единицъ, десят- ковъ, сотенъ и т. д. Боковые прорйзы снабжены условными знаками для половины (L), четверти @) и шестой (сз ). Значете каждой верхней пуговки въ пять разъ болйе по- м-Ьстнаго значешя соответствующей нижней—за исключен!емъ последней пары столбцовъ, обозначенныхъ точкой, для кото- которыхъ верхняя пуговка им^етъ значеше въ шесть разъ больше каждой изъ нижнихъ. Прор'Ьзъ съ точкой давалъ возможность отсчитывать двенадцатая доли единицы, а коротк1е прорезы сбоку—половины, четверти и шестыя дв^надцатыхъ долей. Устройство неаполитанскаго абака уясняетъ, между про- чимъ, назначен!е поперечной черты абака, найденнаго при рас- копкахъ въ Саламинй: надъ нею ставились на поля столбцовъ жетоны, имйвппе 3Ha4enie тождественное, по смыслу, съ верх-
133 ними пуговками неаполитанскаго абака. Этимъ достигалось сокращеше числа жетоновъ, облегчалась память, но за то страдала наглядность и ясность хода вычислешй. При игр4 же въ кости поперечная черта давала одинъ лишшё шансъ азарта. Итакъ, фактически римсшй абакъ съ прор-Ьзами и пугов- пуговками былъ нич^мъ инымъ какъ счетами. Онъ могъ служить для впсовыхъ единицъ: фунтовъ, уицдй (x/i2 фунта), семун- щй A//24 ф.), сшгащевъ С/гь ф.) и секстулъ (^72 ф.); детж- ныхъ: ассовъ и унщй, и птвлеченныхъ—съ подразд-влетями на дв^надцатыя, двадцать четвертыя, сорокъ восьмыя и семь- десятъ вторыя доли. Приспособленность этихъ римскихъ г.четовъ къ потребно- стямъ повседневнаго жизненнаго обихода въ древнемъ Рим4 заслуживаетъ полнаго вниман1я. Простою переменою услов- наго значен!я пуговокъ на короткихъ дополнительныхъ столб- цахъ приборъ въ одинаковой M'bpi могъ быть пригоденъ и для единицъ площади, и для жидкихъ, и для сыпучихъ т4лъ. Фиг. 04. На фиг. 63 онъ ияображенъ съ пуговками въ шложенш покоя, т. е. до начала счетныхъ операцШ. На фиг. 64 отло- отложено число б + 74601
134 Сложеше и вычиташе производились на приборъ1 легко быстро; имъ обучали въ римскихъ школахъ, какъ у насъ преподается счислеше на счетахъ. Умножеше представлялось уже гораздо болйе затруднитель- затруднительными, и едва ли было удобовыполнимо безъ вспомогательной доски, главнымъ обраяомъ вслйдствге неуклюжаго изображешя чиселъ помощью громоздкихъ римскихъ цифръ. Простой, на нашъ взглядъ, случай умножешя 1051 2 на 245/i2 требовалъ ряда очень сложныхъ выкладокъ, изобразимыхъ такою после- последовательностью формулъ: -1- 241 =A00+6 + 1) B0 = 100.20+6-20+ 10+ 100-4+6-4+ 2 1) 100-1 100-20 + 5-20 + 10 + 100-4 + 6-4 + 2=2 532; 1 100-— 12 4 — 12 4 12^24 + 11 12 24 Какъ промежуточные, такъ и окончательный результатъ укладываются въ рамки удобопредставляемыхъ на рим- римскихъ счетахъ чиселъ.
136 Какъ поступали въ случай дробей, неудобоприводимыхъ къ дв'Ьнадцатичнымъ или шестидесятичнымъ, сказать довольно трудно. BipHie всего, что прибегали къ упрощешямъ не всегда безупречнаго, съ нашей точки зрйшя, характера. Китайскш суанъ-панъ и руссше счеты. Весьма интересной, съ точки зрйшя историческихъ «совпа- дешй», является почти полная тождественность абака выше- описаннаго типа (т. е. римскихъ счетовъ) съ китайскимъ суанъ- паномъ, однимъ изъ древн'Ьйшихъ счетныхъ приспособленШ, происхождеше котораго неизвестно. Римстй абакъ почти до мелочей повторилъ китайское изо- изобретете, въ условшхъ, повидимому, исключающихъ заимство- BaHie или переносъ. Суанъ-панъ представляетъ рамку, какъ у нашихъ счетовъ, разделенную продольной перекладиной на двй неравный части. Фиг. 65. Сквозь перекладину и продольныя рейки рамы продеты отъ 9 до 15 жесткихъ прутьевъ или проволокъ съ шариками или костяшками, какъ на русскихъ счетахъ. Въ верхнемъ отсЬкъ1 шариковъ по два, въ нижнемъ по пяти на каждой проволоки. Такимъ образомъ, костяшки даютъ воз- возможность отсчитывать единицы и пятки посл^довательныхъ раз- рядовъ. На каждую единицу высшего разряда приходится по
136 два пятка, или по десятп единпцъ низшаго разряда. До начала счета костяшки отодвигаются къ шгёшнимъ краямъ рамы, какъ на. фиг. 65. Для првдашя костяшкамъ числовыхъ значешй, ихъ сдви- гаютъ, въ томъ или иномъ порядке, къ средней поперечине. На фиг. 06-й отложено на суанъ-панй число 1 088 097. 8 § § 8 8 8 8 V 8 8 ?) Фиг. 6C. Главное отлич1е суанъ-пана не въ прутьяхъ, вместо па- зовъ, и не въ отсутствш укороченныхъ разрядовъ для изображен1я дробей, а въ лишнихъ шариках?.: римляне надели бы на ко- ротк1я проволоки по одному, на длинный по четыре шарика. Конечно, соответственно четырехъ и одного шарика было бы достаточно для изображешя на суанъ-панъ1 всевозможныхъ чи- селъ, но при выполнеши д1Ьйств1й не хватало бы по одному шарику на длинныхъ прутьяхъ для полнаго раздроблен!я еди- единпцъ высшихъ разрядовъ въ низпвя. Въ н^которыхъ математическихъ сборникахъ встречается анекдотъ о суанъ-пан4, касающ!йся лишнихъ шариковъ, irafoo- m,ifi, однако, несомненно европейское, а не китайское проис- хождеше. Миеическ!й изобретатель суанъ-пана послалъ, будто, другу своему модель прибора съ золотыми шариками на серебряныхъ проволокахъ, предлагая угадать, въ чемъ дело. Другъ, въ дока- доказательство своей понятливости, снялъ съ каждой проволоки по
137 шарику, а серебряные прутья зам^нилъ стальными, обративъ такпмъ образомъ суанъ-панъ въ noflo6ie римскихъ счетовъ. Апекдотъ имт,етъ фактическую подкладку въ проектахъ усо- вершенствовашя русскихъ счетовъ, возникавшихъ въ умахъ нйкоторыхъ западныхъ ученыхъ, омйшивавгаихъ pyccKi'e счеты съ суанъ-паномъ. Въ действительности же руссше счеты по- построены по образцу древнМшихъ абаковъ съ камешками или гладкими жетонами. Такъ, если на столбцахъ того прпмитивнаго абака, который изображенъ на фиг. 59, въ верхней или нижней части ихъ по- постоянно держать на-готовъ' по десятку камешковъ, шариковъ или костяшекъ, вместо того, чтобы, по м-вр-в надобности, брать изъ общей кучи; затЬмъ, чтобы костяшки не терялись, нани- нанизать ихъ на шнурокъ или на проволоку, то получатся типич- нМпле pyccKie счеты. Всв поползновешя къ усовершенствован^) русскихъ сче- счетовъ сводились къ удаленш по одной лишней костяшк'Ь съ каждой проволоки. Усовершенствовашя не привились по той простой причини, что счеты предназначены вовсе не для изо- щрешя сообразительности, а для облегчешя механизма вычис- лен!й, наглядность которыхъ значительно теряла при непол- номъ числ'Ь шариковъ. Изъ вс4хъ простои шихъ числительныхъ приборовъ pyccKie счеты единственный, удержавппйся до нашихъ дней, благодаря чрезвычайной незатейливости своего устройства, приспособлен- приспособленности къ десятичной систем^ счислешя, а также осязательности и наглядности счетныхъ операщй. Апексы Боэщя. Захудаше абака. РимскШ абакъ съ пуговками (римсюе счеты) имЬиъ одну особенность, свидетельствовавшую о постепенномъ УЕр4плен1И въ сознанш грамотныхъ людей важности пом^стнаго значен1я числовыхъ символовъ. Такъ, въ обозначешяхъ I, X, С, I, X, С, И, XX и т. д., совершенно недвусмысленно выражены классы единвцъ, тысячъ и миллюновъ1). Хотя аналогичный (но не тожде- ) Слово «милл1онъ» или «большая тысяча» впервые вошло въ упо- въ XIV в*к*. Итальяпскаго происхождения.
138 ственный) принципа раздйлешя былъ угтановленъ еще Apxiiiie- домъ, въ его задаче о «псаммите» (См. стр. 7-ю настоящей книги). Потребовалось несколько столйтШ работы на абаке, пока наконецъ, на заре среднихъ вековъ, последшй римсюи мате- матикъ изъ школы древнихъ геометровъ, Боэщй (умеръ въ 524 г. по Р. X.), а по более обоснованному мнЗшю проф. Бубнова некто, выдавшш себя за Боэщя (Лжебоэцш), въ своемъ сочиненш «De institutione Arithmetica», не предложить поль- пользоваться, для вычисленш на абаке, только девятью знаками, которые онъ назвалъ apices (apex, icis), по-русски «апексы». Самые апексы были шашечки или боченочки, въ роде упо- употребляющихся при игре въ лото, а начерташя на нихъ, заим- ствованныя изъ Индш, долгимъ путемъ перекочевокъ и случай- ныхъ переделокъ явились родоначальниками нашихъ цифръ. Что касается назвашя этихъ цифръ «арабскими», то вопросъ о ихъ происхождеши довольно-таки запутанъ массой матер!ала легендарнаго характера. Во всякомъ случае, современ- ныя ихъ формы выработались продолжительнымъ взаимодей- стшемъ культуръ греко-римской и восточной, чему имеются весьма вестя свидетельства. Укрепилось же за цифрами назваше «араб- скихъ» потому, что въ апексахъ Боэщя нетъ знака, соответствую- соответствующая) нулю; нуль же действительно заимствованъ у арабовъ, вместе съ назвашемъ его «сифръ», что по-арабски значитъ «пустой». Отсюда и латинское «zephirum» и французское «zero» и анинйское «cipher» въ смысле пуль; а равно и общеевропей- общеевропейское «цифра» въ различныхъ произношешяхъ и изменешяхъ, въ смысле любого изъ десяти числовыхъ знаковъ. HcTopifl превращешя апексовъ Боэпя въ современныя «цифры» представлена на прилагаемыхъ (фиг. 67 и 68) таблич- кахъ и важна намъ лишь постольку, поскольку повл!яла на изменешя формы счетныхъ приборовъ. Первымъ и главнымъ д^ломъ, употреблен1е апексовъ уничтожило разницу между чис- ломъ отложеннымъ на абаке и написаннымъ, а эта разница, какъ мы выше видели, была очень велика. Послт, Боэщя, даже ранее изобретешя нуля и введешя его во всеобщее употреблеше достаточно было нарисовать клетки и заполнить ихъ соответ-
Оанскритск1я буквы 11 въка по Р. X.. Apices Боэия и среднихъ в4ковъ . Чииловые знаки Губаръ западныхъ арабовъ . . ... . . Числовые инаки восточныхъ яра- бовъ . .... Числовые знаки Максима Плануда. Числовые знаки Дованагарц . . . Ига сочиненш Mirrour of the Word, напечатанного Кастоноит. въ 1480 г. . Паъ Бомбергской ариеметики Ваг- Вагнера (?), 1448 Изъ I)e Arte Snpputandi Тонеталля, 1521 1 1 I ! 1 1 1 I 1 77 Г Н Р 2 Z ¦2_ IX/ 3 3,3 5 Фиг. у?> > 0 л 4 67. Т_Г 9 0 ' /3 с/ 'Ч ^ 5 Id ь с/ Ч Ч 4 6 •л ; V V л, 7 8 9 л л тг & 8 г э 3 Э - © 0 • 0 о 0 0 JO со со
140 ствующими апексами, чтобы прочесть число, и въ такомъ же видй перенести его для вычислены на абакъ. Смыслъ начерташй: 3 8 или 4 7 былъ понятенъ встшъ обучавшимся счислешю на абакъ1. Несмотря, однако, на явныя преимущества новыхъ знаковъ, imorie предпочитали употреблять ихъ въ перемежку со старыми, во всЬхъ случаяхъ, когда получались пустыя клъткв. Такъ, вместо 2 3 7 5 9 8 писали 2ХХХ7ЪУ8. Встречались и друпе способы начерташя 38 и 47 вместо 308 и 4007 (смотрите выше). / / / 1 / / / // 1 1 г Z 1 /// г ? ф 7 3 X У к г* г t А е L У я S 6 ? В 6 6 7 7 V 7 Л Л г 6 ъ л X 8 г 3 в 3 0 9 Фиг. 68. Путаница въ начерташи сохранила на некоторое время жизнь абаку, но онъ захудалъ, и изъ роли действительной машины, т. е. предмета матер1альнаго прибора обратился въ машину нарисован- нарисованную—разграфку, съ обозначенными на ней разрядами и классами. Процессъ перерождешя абака длился долго — не мен4е 500 л*тъ, и только въ конц* X столпил по Р. X. французски математикъГербертъ, известный въ истор1и католичества подъ име- немъ папы Спльвестра II (умеръ въ 1002 по Р. X.), написалъ два посвященныя абаку сочинешя: «Правила вычислен1я съ помощью абака» и «Небольшую книгу о д'Ьлеши чиселъ», которыми упразд- нплъ абакъ-машпну и ввелъ въ употреблеше абакъ-разграфку.
141 3 = Л- .V ь г 8 8= 9- 0= с 111 Ml HI -!- Ч Ь II ч* D X Mi Mi z 4 ь л ч ъ 9 dCWUL Mi Ml Ml Ml ъ & 4 л 8 t Ml Ml Ml с s p л -ь 8 Q do- D -^ Я Ml Ml Ml 2 h 7 8 h r; i Ml Ml Ml V CP S с Ml Ml Ml )( Ml Ml Ml 1 J r Ml Ml Ml mlctb С Ml Ml Ml III 3 p 1 Ml III V 1 M; Ml X Ml Ml 4 ^| Ml С Ml Si Ml DC Ox no \ Ml L.t" UuEa | Ml vc c5| с Ml D.C If I x' l№ X cnu X Ml L.C me rrxv X и '1 Ml v.C CCL lXX\ Ituliu Tt. с L XXV 9 MID dun T D X V iiD 8 ICLL с 5 1 D CCL CXXV (лдл I L XXV F XI1S и п. л V US IS л No.1 1 4 8 у ч 27-колонный абакъ Герберта, возстановленный проф. Бубновыыъ по различнымъ рукоппсямъ. Т1ояснете къ рисунку абака.—Абакъ представляетъ доску Споверхность стола, таблицу, вообще плоскость), обыкновенно разделенную на нисколько впртикальныхъ колоннъ (въ данномъ случай на 27). Счислеше на абак* отличается отъ нашего только тёыъ, что необходимый намъ нуль заменяется зд^сь пустой колонной абака, а значатся цифры не пишутся, а расклады- раскладываются, будучи разъ навсегда изображены на жетон*. Вначитъ, нашп деся- десятичные разряди изображаются колоннами абака въ восходящеиъ порядкЬ справа налево, а жетоны со значками—цифрами первыхъ десяти ц^лыхъ чиселъ (S и S) играютъ роль хоэффищептовъ числа, ивображеннаго по нашей десятичной систем*. Больш]я дуги соединяютъ колонны—разряды въ группы по 3 (классы), какъ у иасъ. Въ каждомъ класс* различаются единицы (S singnlaiis), десятки (D=decenus) и сотни (Cz^centenus). Начиная съ 1.000 при знак* S наверху ставится еще М, т.-е. дал^е идутъ тысячи еди- ннцъ, загвмъ тысячи тысячъ единицъ и т. д. Подъ самыми дужками поме- помещены довить тогдашнихъ ццфръ, а рядомъ ихъ таинственныя, изв^встнын только абацистамъ, назван]я: igin, audras, ormis, arbas, quimas, zenis, teme- nias, calctis, celentis. На самомъ верху приведенъ стихъ: Gerbertus Latio numeros abacique fignras, т.-а Гврбертъ даетъ Jlaiiim (латинской Европе) фигуры и числа абака. На данпомъ рисунке проведены п горизонтальныя лиши. Въ первой сверху горизонтальной колонне (направо) изображено (нужно подразуиенать, положенными жетонами) число 405, во второй—30408, въ третьей—980600 и 33, въ четвертой—75. На крайнихъ колоннахъ сл4ва показано, какъ, по ынешю проф. Бубнова, образовались цифры абацистовъ, а пат, нихъ наши. На самомъ низу стоятъ знаки дробей у абацистовъ.
142 Гербертовъ абакъ. Введете нуля и торжество письменнаго счислетя. Итакъ, Гербертовъ абакъ представлялъ разграфку, которая въ полномъ видь1 имйла 27 столбцовъ для девяти классовъ единицъ и три столбца для дв-Ьнадцатичныхъ дробей. Счислеше производилось пись- письменно; все ненужное или использо- использованное зачеркивалось. Сложеше, вы- читаше и умножеше производились весьма близко къ современному, хотя выкладки при умножеши по Герберту представляютъ, на нашъ глазъ, Hi- я сколько хаотическую картину. Разо- , браться въ нихъ, все-таки, возможно, не прибътая къ тексту его «Правилъ с вычислешя». Такъ на прилагаемой таблиц^ (фиг. 69) изображено умножеше 7300 е (вверху) на 86 (внизу). У насъ под- подчеркнутыми напечатаны цифры, по ходу дМств1я зачеркиваемыя. Для ясности, столбцы и строчки пронумерованы у насъ буквами ла- тинскаго и греческаго алфавитовъ, о чемъ, конечно, въ Гербертовыхъ правилахъ ничего не говорится. По- рядокъ выкладокъ былъ сл-Ьдующш: 1) произведете 300 X 6; вписывалось въ кл-Ьтки аЬ и ау, 2) 700 X 6; въ 6? и а[3; 3) 300 X 8; въ ф и Ь$ 4) 700 X 8; въ ф и <ш. 6) Получалась фигурная запись такого вида: 5 3 16 2 б 6 4 С 5 1 6 X 3 2 6 I 2 г 1 7 1 5 i С 3 5 X 8 i 5 Фиг. 69.
143 6) Суммировались и зачеркивались цифры столбца 1 + 5 -\- -[-4=10; единица высшаго порядка вписывалась въ сф; 7) суммироваме столбца C давало: 3—|—2—|—6—J—1^= 12; единица высшаго порядка вписывалось въ ba, a 2 въ е{4; 8) суммировался столбецъ 5+1=6 и результата вписывалсявъса. Полученное произведен]'е оказывалось разбросаннымъ по кл-Ьткамъ са, ер и «6, читалось такъ же, какъ читаемъ его мы, а зат4мъ выписывалась, куда слйдуетъ, въ одной изъ слт.дукяцихъ трехъ транскрипщй: либо либо 626, либо 6ХХТ). Процессъ дйлешя значительно разнится отъ современнаго. На фиг. 70-йизображенъ ходъ дййствй на простомъ примйрт. 4087: 6. 6 2 5 Фиг. 70. I 4 1 1 С 6 4 4 1 1 1 4 1 1 6 X 8 6 i 8 4 2 4 6 2 1 1 4 1 1 1 8 I 4 6 7 4 8 9 4 3 4 7 1 6 2 1 1 1 1
144 Обыкновенным!, шрифтомъ напечатаны всФ> зачеркивавшаяся, по ходу вычислешй, цифры. Надъ единицами дЪлимаго стоитъ делитель G; выше его дополнеше до 10, т. е. 4. Подъ чертою рядъ посл'Ьдовательныхъ наращешй частнаго. Единица круп- нымъ шрифтомъ въ середине крайняго праваго столбца есть остатокъ отъ д^лешя. Разобраться въ нарисованной подъ номеромъ 70 таблице, безъ объяснений, невозможно. Применявшееся Гербертомъ дйлеше было такъ называемое «дополнительное». Зачатки его встречаются еще у римскихъ математиковъ, но индусы и арабы имъ не пользовались. Существовало двоякаго рода дополнительное д"Ьлеше: «съ из- быткомъ», когда делитель дополнялся до ближайшаго полнаго числа единицъ высшаго порядка (напр. 6 до 10, 18 до 20 и т. п.) или же «съ недостаткомъ», когда делитель округлялся отбрасы- вашемъ н-Ькотораго избытка (напр. 43 округлялось въ 40, 105 въ 100 и т. п.). Разнообраз1е въ пр1емахъ было безконечное: существовали отдЪльныя правила для делителей двузначныхъ, трехзначныхъ, четырехзначныхъ. Общаго въ нихъ было только следующее: при деленш «съ избыткомъ» къ каждому последова- последовательному остатку прибавлялось произведете найденной цифры частнаго на дополнеше делителя. При деленш «съ недостаткомъ» делимое уменьшалось на одну единицу наивысшаго разряда, и изъ этой единицы вычитались произведешя найденныхъ после- довательныхъ частныхъ на отброшенное, для округлешя, число. Приведенному, на фиг. 70, ходу выкладокъ соответство- валъ бы, применительно къ теперешнему знакоположенш, такой рядъ формулъ: 1) 4087 = F + 4) -400 + 87 = 6.^00+1000 + 87 2) 1600 = F+ 4)-100+ 600 = 6-100 + 400+600 = 6-^00+1000 3) 1000 = F + 4)-1(H = 6-7ОО + 400 4) 400 = F + 4)- 10 = 6-40+160 5) 160 = @ + 4)-10 + 6() = 6-10 + 40 + 60 = 6-^0+100
145 6) 100 = 7) 40 + 87=127 8) Г27 = F + 4)-10 + 27 = 6 ¦ 10 + 4 ¦ 10 +27 9) 67 Ю) 24 = 6-2+12 11) 12 12) 6 = 6-1 13) 7 Вст. последовательный наращешя частнаго набраны курси- вомъ какъ въ вышеданныхъ формулахъ. такъ и въ выклад- кахъ на фиг. 70 подъ нижнею горизонтальною чертой. Сумми- ровате курсивовъ даетъ частное 681, набранное на фиг. 70-й жирнымъ шрифтомъ. Окончательный ударъ абаку былъ нанесенъ, однако, не профессшнальнымъ ученьшъ или математзкомъ, а челов^комъ практической сметки—итальянскимъ купцомъ и дйльцомъ Лео- нардомъ Пизанскимъ, по прозвашю «Фибоначчи», жившимъ въ конц4 XII—начале XIII вика. Въ 1202 году онъ издалъ книжку, подъ назвашемъ «Liber abaci», «книжка объ абакт.», начинающуюся такъ: «Девять индусскихъ знаковъ суть следующее: 9, 8, 7, 6, б, 4, 3, 2, 1. Съ помощью этихъ знаковъ и знака 0, кото- который называется по-арабски сифрг, можно написать какое угодно число». Въ 1228 г. книжка вышла вторымъ издашемъ. Авторъ, составляя «Liber abaci», наверное не думалъ, что убьетъ абакъ. Случилось это, конечно, не сразу, а постепенно. Еще три столт.т1я Гербертова разграфка влачила жалкое суще- ствоваше, мт.няя по временамъ внешнее обличье. Введете нуля сделало абакъ излишнимъ для наиболее труднаго изъ дт>йствШ—д^лешя, такъ какъ давало возможность использовать ин- дусскШ и арабсшй npieMbi, весьма близме съ теперешнимъ. АрабскШ способъ сталъ даже вскоре называться «divisio aurea» (золотое делен1е), въ отлич!е отъ Гербертовскаго «divisio ferrea» (железное делен1е). ВЪ ЦАРСТВФ CJHUEAJIKH. КН. III. 10
146 Можно только удивляться, какъ народы Запада, болъ-е двухъ тысячъ лт,тъ работавпне на абаки, не пришли давно къ за- ключенш о полезности особаго знака для пустыосъ м-Ьстъ, пу- стыхъ столбцовъ *). Можетъ быть, случилось это именно бла- благодаря абаку, облегчавшему наглядное чтете числа. О неудоб- ствахъ начерташя числа тогда не думали, такъ какъ письменное счислеше играло очень незначительную роль въ жизни древнихъ и первой половины среднев-Ьковья. Нуль — ничто — далъ, временно, полную победу письмен- письменному счету надъ механическимъ и устнымъ. Рецидивъ безписьменности.—Счетная скамья (Rechen- bank) около-реформащоннаго першда. Въ то время какъ абакъ медленно умиралъ, а представи- представители ученыхъ—свйтскихъ и духовныхъ—корпораций увлекались письменнымъ счислешемъ и математическими откровешями, шедшими съ Востока, грамот- грамотный и полуграмотный деловой м1ръ незаметно выработалъ для своихъ узкихъ ц^лей счетную машину новаго типа, образцомъ которой послужилъ тотъ же абакъ, но видоизме- видоизмененный и, въ главной сути, возвращенный къ своей перво- первообразной простотт,: исчезли не только апексы и надписи, но даже римсшя цифры, и водво- водворились вновь безписьменныя марки. Притомъ верхняя сто- сторона абака повернулась влт,во, ФИГ. 71. столбцы легли горизонтально, и каждый разделился попо- ламъ на двФ продольныя графы или полоски. Справа же полу- получилось поле для запасныхъ марокъ (фиг. 71). *) Сравни древнерусское «безчнолъ» въ смысдЬ «нуля».
147 Встречались разный BapiaH-гы онисаннаго устройства; изъ нихъ главные—англйопе и нйыещпе. Вт. англгйскомъ жетоны ставились на поля кл'Ьтокъ, въ нт>мецкомъ- передвигались вдоль линШ, почему самый счетъ назывался «линейныыъ» (Linien- rochnung; nach Linien rechnen). Въ аншйскихъ доскахъ широкая клЪтка слива каждой го- горизонтальной волосы предназначалась для десятковъ; нижняя узкая—для единицъ; верхняя узкая—для пятковъ. Отношеше единицъ любого изъ столбцовъ къ единпцамъ близлежащихъ верхняго и нижняго было совершенно произвольно и зависало исключительно отъ системы ценностей и м-Ьръ, съ которыми приходилось имйть дъмо. Фунты . Унцш Драхмы ... Скрупулы . . Граны О о о G G О G G О О О О ° о О о G О Фиг. 72. Такъ на фиг. 72 и 73—на первой отложены 29 фунтовъ 11 унщй 7 драхмъ 1 скрупулъ 18 граиовъ нюрнбергскаго пли аптекарскаго в-Ьса; на второй —674 фунта 17 шиллинговъ 8 пенсовъ въ английской валютЬ. Въ качествт. общепринятаго въ д4ловыхъ кругахъ числи- тельнаго прибора, счетная с-камья вошла во всеобщее употре- блен1е въ первой половин* XV вт,ка: следовательно, къ этому времени окончилось офищалыюс существоваше абака. ю*
14Р Несмотря на примитивность, а можетъ быть благодаря ей. новое счетное приспособлеше проявило большую жизненность, продержавшись въ романскихъ государствахъ около полутораста лт/гъ, въ Германш свыше двухсотъ, а въ Англш безъ малаго триста. Послт-дше расчеты помощью счетной скамьи и бирокъ встречаются въ анппйскомъ государственномъ казначейств^ въ документахъ, относящихся къ 1676 году. Scores of pounds (Двад- (Двадцатки фунтовъ) . . . Фунты стерлинговъ . Шиллинги Пенсы G О О G О О С О G О о G G 5 О О О О G • О Фиг. 73. Такая живучесть именно въ Гермаши и Англш объясняется чрезвычайной запутанностью мъ'ров^снаго обихода обоихъ госу- дарствъ на рубежт. среднихъ и новыхъ вт.ковъ: раздробленность Германш и консервативность Апглш представляли удобную почву для нарождетя и сохранешя самыхъ фантастичныхъ системъ м4ръ, вйса и денегъ, а счетная скамья чрезвычайно легко приспособлялась къ каждой. Такъ, напр., въ Анши срав- сравнительно еще недавно шерсть въ работ-Ь учитывалась «мишками», «тодами» и «фунтами». Одинъ м^шокъ составлялъ 13 тодовъ (tods), одинъ тодъ—28 фунтовъ. Любой безграмотный прядилыцикъ на ткацкой фабрики могъ сообразить по выданному ярлычку, что за нимъ числи- числилось 7 м^шковъ 11 тодовъ 23 фунта отпущенной для обра-
149 ботки шерсти, или же, что ему причиталось именно столько-то зад'Ьльной платы. И въ Германш и въ Англш счетная скамья оставила на- надолго неизгладимые сл^ды. Въ первой это была действительно «скамья» (Bank, Ke- chenbank)—непременная принадлежность всякой конторы, тор- говаго дома и меняльной лавки. Отсюда—завоевавшее себе всем1рное распространеше слово «банкъ», въ значенш учреждешя, торгующаго деньгами и про- изводящаго расчетныя операцш съ валютой. О О G О О О О G О О Тоды . . . Фунты Фиг. 74. Въ бол^е практичной Англш доску или скамью заменили клеенчатый и кожаныя салфетки или скатертки: ихъ можно было свернуть, убрать и снова разложить; спрятать въ портфель или карманъ. Соответствующимъ образомъ разрисованныя въ кл4тку (che- (chequered) скатертки напоминали шашешницу. По ихъ же образцу графили небольшихъ размеровъ бланки, для расчетовъ съ пла- плательщиками и шпентами. А такъ какъ въ XV] и XVII сто- лейяхъ почти весь денежный обменъ страны сосредоточивался въ казне, то естественно, что отъ «chequered» самое Государ- Государственное Казначейство стало называться «Exchequer» (Эксчекеръ), а расчетный бланкъ для платежей наличными—«чекомъ» (cheque). Однако, несмотря на отсталость Германш и консерватизмъ Англш, всеобщая грамотность и письменность не только до-
160 били къ концу XVII столгЬия счетную скамью, но и породили своеобразное презрите къ механическимъ пр1еиамъ вычпслешя. Такъ что, когда Западная Европа познакомилась въ начали XIX столпил съ русскими счетами и китайскимъ суапъ-па- номъ, большинство было склонно в'ид'Ьть въ нихъ остатки вар- варварства. Это и неудивительно, такъ какъ никто не придавалъ тогда серьезнаго значешя даже т4мъ, сравнительно очень совершен- нымъ, прототипамъ современныхъ счетныхъ машинъ, которыя были созданы еще въ XVII стол'Ьтш Паскалемъ и Лейбницемъ. Люди не могли себе представить, чтобы человйкъ со своею сметкою, -сообразительностью и умомъ когда-либо являлся въ роли только силы, все же счетяыя операцш производились бы самостоятельно машиной. Главными двигателями прогресса и единственными законными пособниками математическаго мыш- лешя считались бумага и перо, отъ вгЬры въ исключительную непогрешимость и всемогущество которыхъ не такъ-то легко было отрешиться. Заря и расцв'Ьтъ механическаго счета. Когда въ Англш еще процветали счетная скамья и бирки, во Фрапцш уже занималась заря механическаго счета. Въ середине тридцатыхъ годовъ XVII века известный французски философъ и математикъ Власъ Паскаль (Blaise Pascal), будучи пятнадцатилетнимъ юношей, задался целью облегчить счетныя операцш механическимъ откладывашемъ и подведешемъ итоговъ. Если принять въ соображеше, что римсшй абакъ съ пере- передвижными пуговками (римсте счеты) былъ уже заброшенъ, что апексами Боэцш никто не пользовался, а употреблялись гладшя безписьменныя марки, что съ русскими счетами Западная Европа не была знакома, то следуетъ признать, что Паскаль задался действительно смелой и гетальной идеей. Онъ проработалъ надъ ней не менее десяти летъ, построилъ свыше пятидесяти пробныхъ моделей, прежде чемъ остановился на определенномъ типе.
161 Въ числгЬ моделей были съ рейками и съ зубчатками, пря- прямыми и криволинейными, съ передаточными цепями и безко- нечными ремнями, съ движешемъ прямолинейнымъ и круго- вымъ, съ коническими и цилиндрическими валами, съ дисками, лентами и шестернями. Однимъ словомъ, Паскалемъ былъ ис- пробованъ весь арсеналъ приспособлен^, изъ котораго черпали позднейпие изобретатели машинъ. Наконецъ, въ 1646 году Паскаль придалъ своей машинй окончательный видъ, приспособивъ ее къ спещальной ц^ли под- подсчета денежныхъ сборовъ и налоговъ по городу Руану и окрестно- стямъ, где отецъ его занималъ место «интенданта», т. е. агента государственнаго обложешя и фиска. Счетъ велся тогда во Францш на «динарш» (deniers), «су» (sols) и «ливры» (livres); на одинъ су приходилось двенадцать динар!евъ и на одинъ ливръ двадцать су *). Въ соответствш съ денежной системой, на крышке ящика, въ которомъ поме- помещался механизмъ, было восемь вращающихся дисковъ съ руко- рукоятками и циферблатами. На первомъ, считая справа, было /•-, l' ! ч Я\ .Л»!' •-'• '. ^д,-^-. Л^ЛЛЛ*'4 гЛУ-Л-"".-!-^-.-* Л^-л V* n?»t V- Г-'^ЦЛ^-^- Фиг. 75. 12 подразделенш для отсчета динар1евъ, или «денье» (deniers); на второмъ двадцать—для су (sols), а на остальныхъ по десяти, для ливровъ и десятковъ, сотенъ, тысячъ, десятковъ тысячъ и т. д. ливровъ (фиг. 76). Вращете дисковъ, помощью системы зубчатыхъ колесъ, пе- редовалось валикамъ. съ нанесенными на нихъ цифрами (фиг. 76). г) Сравни англШское 12 пенс, на 1 шидд. и 20 шидд. на 1 ф. ст.
152 Полному обороту каждаго изъ дисковъ соответствовало авто- автоматическое перем4щен1е ближайшаго слива валика на одно дйлеше. Такимъ образомъ двенадцать денье сами собой от- отмечали на соответствующемъ валике приращеше на одинъ су; 20 су немедленно переводились въ ливры; каждые К) лив- ровъ—въ десятки ливровъ и т. д. 1!V . J ¦ *• Фиг. 76. Механизмъ приводился въ движен!е вращешемъ рукоятокъ по направленш часовой стрелки; обратное служило для при- ведешя всехъ показанШ къ нулю. Въ верхней половине крышки было 8 окошечекъ, по числу дисковъ. Первое изъ нихъ, считая справа влево, показывало денье, второе — су, третье — ливры, четвертое — десятки лив- ливровъ и т. д. Высппй возможный итогъ, даваемый машиной, былъ, следо- следовательно, 999 999 ливровъ 19 су и 11 денье. Для уяснешя процесса работы на машине Паскаля, пока- жемъ, какъ сложить на ней 19 ливровъ 16 су 7 денье и 27 лив- ливровъ 14 су 16 денье. По приведены всехъ рукоятокъ и показашй окошечекъ къ нулю, четвертая рукоятка справа ставится на 1, третья на 9, вторая на 16 и первая на 7. Въ окошечкахъ немедленно вы- скакиваютъ соответствующая цифры и числа, после чего все рукоятки опять приводятся къ нулю.
1БЗ Зат^мъ ставимъ четвертую рукоятку на 2 въ соотв^тствен- номъ оконц'Ь появляется цифра 3 A + 2 = 3). Третью руко- рукоятку ставимъ на 7—въ третьемъ оконц'Ь мелькаетъ рядъ цифръ и устанавливается цифра 6, и въ то же время цифра 3 чет- вертаго оконца меняется на 4. Переводимъ рукоятку на 14—во второмъ оконц'Ь выскаки- ваетъ 10, а цифра третьяго меняется съ 6 на 7. Въ самомъ дйл'Ь, 16 + 14 = 30; 30 = 20+10; 20 су даютъ полный обо- ротъ, отм'ЬчающШся единицей на валики ливровъ F +1 = 7), а 10 су остаются во второмъ оконц'Ь. Наконецъ ставимъ первую рукоятку на 5—въ первомъ оконц'Ь цифра 7 меняется на 0, а во второмъ 10 на 11. Окончательныя показатя дадутъ: 47 ливровъ 11 су 00 денье. Сл-Ьдуетъ отм'Ьтить чрезвычайно остроумное приспособлеше, придуманное Паскалемъ для дгЬйств1я вычиташя: на валиках?, на двухъ параллельныхъ лентахъ, имелся двойной рядъ цифръ и чиседъ—одинъ восходящи, другой нисходяпцй. Самыя оконца были снабжены общимъ для всЬхъ скользящвмъ затворомъ, от- крывавшимъ, по желанш, то восходящую, то нисходящую ленту валиковъ. Достаточно было открыть нижнюю половину всЬхъ оконцевъ и закрыть верхнюю, чтобы вращеше рукоятокъ пе- перемещало данныя въ уиывающемъ порядки. Работа на машин^ Паскаля шла, относительно, крайне медленно. Процессы умножешя и д^летя протекали едва ли не еще медленнее, ч'Ьмъ на русскихъ счетахъ, такъ какъ каждо- кратное приведете къ нулю передъ повторнымъ сложешемъ и вычиташемъ, которыми заменялись умножен1е и д4леше, отнимало много времени. Нын'Ь машина Паскаля— антикварная редкость, имеющаяся только въ музеяхъ; известны всего четыре сохранивнпеся эк- экземпляра. ЛучшШ изъ нихъ—съ котораго сделаны прилагаемые ри- рисунки—собственность частнаго коллекцюнера, г-на М. Богуэна (Baugouin) въ Бордо. Предполагается, что бордоскШ экземпляръ—собствеиноруч- ной работы Паскаля. Изготовлеыъ въ 1647 гиду для ве.шкаго
154 канцлера Францш Сегюе (le grand chaucelier Sehuier) no случаю испрошешя привилегш и патента на изобретете. На внутренней сторон'Ь крышки ящика надпись: «Illustrissimo et integerrimo Pranciae cancellario 1). 1). Petro Seguier Blasius Pascal patricius arrenms inventor L. D. D.Pascal». T. e.: «Достославн'Ьйшему и безупречнМгаему канцлеру Францш Д. Д. Петру Сегюе—овернскШ дворянинъ Д. Д. Паскаль, изо- бр'Ьтатель». Паскалева машина—прототипъ всЬхъ существующихъ, даже наиболее усовершенствованныхъ, ыашинъ. Кто хорошо понялъ механизмъ прототипа, легко усвоитъ особенности всякой другой конструкцш. Другъ Паскаля, богосговъ Арно (Arnaud), говорить въ своихъ воспомииашяхъ, что Паскаль предполагалъ приспосо- приспособить свою машину также къ извлеченш корней и четыремъ д^йствхямъ надъ дробями; ио смерть помешала ему осуществить свои планы.
Последователи Паскаля. Нов^йпля машины. Усил1я всЬхъ последователей Паскаля были направлены къ двумъ главнымъ 1гблямъ: во-первыхъ, къ устранение медли- тельнаго процесса поочереднаго вращения ряда отдЪльныхъ ру- рукоятокъ; и во-вторыхъ, къ ускорешю Д'Мствй умпожешя и Д'Ьлешя. Побочными усовершенствоватями явились уже впосл1Ьдств1и: отпечатываше результатовъ на карточкахъ, бумажныхъ лентахъ листахъ или книгахъ, приспособлен!е особыхъ механизмовъ для возведетя въ степень, извлечешя корня, логариемировангя; устройство звонковъ, предупреждающихъ о неправильномъ ма- нипулирован!и; электрическихъ двигателей взамйнъ работы въ- ручную, клавишей вместо рукоятокъ и пр. Некоторые изъ типовъ нов4йшихъ сложныхъ машинъ представлены на фиг. 77, 78, 79. Заменить рядъ отд'Ъльныхъ рукоятокъ одною общею удалось еще при жизни Паскаля немецкому ученому Лейбницу, создав- создавшему въ 1671 — 73 гг. типъ машины, усовершенствованный впосл'Ъдствш Томасомъ. Задача—однимъ оборотомъ рукоятки не только поворачивать цифровые валики каждый на различныя доли оборота, но и вовсе выключать некоторые изъ общаго всЬмъ прочиыъ вращательнаго движешя была разрешена Лейбницемъ
166 путемъ введешя въ систему такъ называемыхъ «дифференщаль- ныхъ зубчатыхъ колесъ», или цилиндровъ, съ наискось срезан- срезанными зубцами. Такимъ образамъ каждое «дифферешцальное ко- колесо» являлось, но отношении къ нриводимымъ имъ въ движете шестернямъ, какъ бы имеющимъ переменное число зубцовъ (отъ О и до 10) въ зависимости отъ того, какою частью своей зуб- зубчатой поверхности оно входило въ соирикосновеше съ шестер- Фиг. 77. нями. Внесенное Томасомъ усовершенствоваше состояло глав- нымъ образомъ въ томъ, что дифференщальныя колеса Лейб- Лейбница онъ замйнилъ такими же валами. Разница между т^ми и другими наглядно усматривается на фиг. 80 и 81. На фигуре 81-ой ясно видно, какъ съ помощью кнопокъ, скользящихъ вдоль прорезовъ въ крышке аппарата, переме- перемещаются скользяпця вдоль осей подъ крышкой шестерни, кото- рыя, въ зависимости отъ установки, либо вовсе не входятъ въ соприкосновеше съ зубчиками вала, либо, по желанно работаю-
167 ./ К V, В,- rt ¦ "".. '.( * t » V, \л .*»¦ * * * * * t » Фиг. 78. щаго,—съ олнимъ, двумя, тремя, пятью и пр.; вс-Ь же валы при- приводятся въ движете одной общей рукоятью Ь. На фиг. 82 изображена типичная для всйхъ построенныхъ по систем* Томаса маптинъ рабочая доска ариемометра Бурк- харда. Подъ буквой О обозначены на ней щели съ цифрами, Фиг. 79.
168 вдоль которыхъ движутся салазки еъ указателемъ, помощью котораго шестерни устанавливаются на соприкосновеше съ лю- бымъ числомъ зубчиковъ дифференщальнаго вала. Понятно, что каждой щели соотвйтствуетъ отдельный валъ; а К — общая вс4мъ имъ рукоятка. Чрезвычайно остроумную разновидность машины Томаса встрйчаемъ въ круглой машинки «Гауссъ», представленной на фиг. 83 (общи видъ), 84 (разрЗззъ вдоль оси) и 86 (разрйзъ перпендикулярно оси). Bci Томасовсше валы заменены въ ¦иг -Л г i ч Фиг. 80. «Гаусс4» однимъ дискомъ съ рельефно выдающимися зубцами. Оси шестерней расположены лучеобразно; самыя шестерни, свободно скользягщя вдоль осей по желобкамъ, устанавливаются на соответствующее заданш число зубцовъ помощью кнопокъ S (фиг. 84 и 85). Тогда одинъ полный оборотъ рукоятки К приводитъ зубцы диска по очереди въ соприкосновеше со вс^ми шестернями, которыя, въ свою очередь, перемФщаютъ на соот- соответствующее число д4ленш цифрованные валики. Результаты выскакиваютъ въ оконцахъ вдоль внйгпняго горизонтальнаго обода цилиндрической коробки, въ которую за- ключенъ механизмъ. Машинка «Гауссъ» весьма интересна по мысли и по выпол- ненш, но не имйетъ серьознаго значен!я, всл4дств!е неудобнаго разм^ицетя частей, такъ какъ круговое и лучеобразное распо-
169 ложеше задашй и отв4товъ не соответствуете общеприня- общепринятому способу нашего письма, а потому даетъ поводъ къ опис- камъ и ошибкамъ. Къ тому же регистръ дгЬйств1я машинки очень ограниченъ, какъ слЗэдстше ея незначительныхъ разм?- mil MinllilllliililkllinillllMMIUIIM.IMIMIIIIIliiiilWlllllMllllllllnil'llllllllllllllHllllllllllllllllllllllllllllllilllllllMllllft Фиг. 81. ровъ. Увеличеше же размйровъ сделало бы машинку громозд- громоздкой, а результаты неудобоохватываемыми однимъ взглядомъ. Достойными соперницами Томасовскихъ машинъ и, без- спорно, лучшими изъ всЬхъ ечетныхъ аппаратовъ, доступныхъ 11;;|;И||Н|;.,г.:;...1^Пф?Пн1н1;г';;1;^[П?!11 Щ. Щ ":Й^^^^Щ^^^^^гЩШЩЩ^^У':':' К И НI* } J J Фиг. 82. по ц^н4 и безупречныхъ по выполненш, являются нын4 ма- машины Однеровскаго типа по имени петроградскаго механика Однера. Изъ нихъ наиболее совершенной конструкщей обла- даютъ такъ называемый «Брунсвиги» (Гриммъ, Наталисъ и Брауншвейгъ).
160 Главную особенность однеровскаго типа составляетъ устрой- устройство зубчатыхъ колесъ и весьма остроумное приспособлете для быстраго умножешя и д'Ьлешя, действующее помощью сколь- зящаго механизма нижней части машины, благодаря которому вращеше рукоятки и зубчатыхъ колесъ переводится, по вол4 работающаго, изъ нижнихъ регистровъ въ верхше. Фиг. 83. Зубцы колесъ въ машинахъ однерокскаго типа и, въ част- частности, въ «Брунсвигахъ» какъ бы временные, и, пока машина не работаетъ, скрыты въ толщ4 колеса. По вол'Ь работающаго на машин4, изъ числа зубцовъ выдвигаются установкой осо- баго рода рычаговъ или «спицъ» лишь столько, сколько соот- в-Ьтствуетъ заданной цифр4. Благодаря такому остроумному устройству, весь промежуточный механизмъ машинъ Томасов- скаго типа—дифферешцальные колеса и валы, диски съ зуб- зубчатками—отпадаетъ, и колеса, соединенныя съ общей рукоятью, непосредственно дМствуютъ на цифрованные валики (фиг. 86). На фиг. 87-й мы видимъ нормальнаго типа «Брунсвигу», съ рычагами или спицами, обозначенными пунктиромъ h. Зна- Значительно лучше рукоятки спицъ видны на «ариемотип^» Тринка (фиг. 78), построенномъ по типу «Брунсвиги».
161 вг 3- Фиг. 84. Скользящая часть нижняго затвора съ оконцами для ре- зультатовъ дМствШ обозначена у «Брунсвиги» буквами «ff»] Фиг. 85. у «ариомотипа» буквами «FF». КромФ скользящаго затвора или салазокъ, новМппя «Брунсвиги» снабжены отдельной ру- ВЪ ЦАРОТВФ СМЕКАЛКИ. КН. III. 11
162 коятью» (рис. 88 и 89) для моментальной установки вс^хъ спицъ и показатй на ноль. Обратимся теперь къ подробностямъ работы съ помощью «Брунсвиги». Положимъ надо найти гумму чиселъ 48 176 и 29 801. Приводимъ вс4 показашя аппарата къ нулю и устанавли- ваемъ б-Ьлыя рукоятки спицъ (рис. 88) на цифры 5, 7, 1, 8, 4, '' l[, Фиг. 86 считая справа вл4во. Одинъ оборотъ главной рукояти и въ нижнемъ ряду отверстш появляется число 48 176. Зат4мъ уста- навливаемъ спицы на другое слагаемое 29 801, и, пошгЬ новаго оборота главной рукояти, въ нижнемъ рядй отверти выска- киваетъ сумма 77 976. Фиг. 87.
163 При вычитанш вращаемъ главную рукоятку въ обратную сторону. Но есть машины, въ которыхъ рукоятка всегда вра- вращается въ одну и ту же сторону; дМств!я же вычиташя и дйлешя производятся надавливашемъ на кнопку для обратнаго вращешя колесъ—подобно тому, какъ это делается въ паровыхъ Фиг. машинахъ помощью приспособлешя, называемаго «кулиссой» Умножеше на однозначные множители производится «Брунс- вигой» такъ же, какъ и машиною Паскаля: повторешемъ ело- жешя 2, 3, 4 и т. д. до Я разъ. Для множителей многознач- ныхъ имеется скользящее приспособлен!е въ нижней части ма- машины, о которомъ уже упоминалось выше. Фиг. 89. Такъ, положимъ, что мы задались умножить на «Брунс- вигй» 12 763 на 8 049. Еакъ известно, процессъ умножешя раз- разлагается, математически, на рядъ послФдовательныхъ умно- жешй, по формул^: A2 7бЗХ8 X 40) 763 X 9). 11 *
164 То же д^лаетъ и «Брунсвига»: Устанавливают спицами число 12 753; перем'Ьщаютъ скользящее приспособлеше (салазки^ съ нижнимъ рядоыъ оконцевъ сл^ва вправо такъ, чтобы цифра 3 множимаго пришлась противъ тысячнаго (четвертаго) оконца (считая справа влгЬво) названнаго ряда и д-Ьлаютъ во- восемь оборотовъ главной рукоятью. Такимъ образомъ зубчатыя колеса, соединенныя съ главной осью, работаютъ въ тысячахъ и выше, а полученное произведете 102 024 имйетъ справа три не введенныхъ въ оборотъ оконца, т. е. три нуля. Затъчиъ передвигаютъ салазки справа вл-Ьво такъ, чтобы цифра 3 множимаго пришлась противъ второго (десятковаго) оконца скользящей части машины, и поворачиваютъ рукоятку четыре раза. Полученное въ десяткахъ произведете 12 753X4 = = 51012 автоматически суммируется съ предыдущимъ и даетъ: 10 202 4 + 51012 10253412 съ нулемъ справа. Наконецъ, устанавливаюсь салазки въ нормальное поло- жете, т. е. такъ, чтобы цифра 3 множимаго пришлась про- противъ перваго (единичнаго) оконца салазокъ, и поворачиваютъ рукоятку 9 разъ. Последнее частное произведете немедленно, по Mipi воз- пикноветя, суммируется съ приведеннымъ выше и даетъ окон- окончательный результатъ какъ бы въ такой форм-Ь: 102 53412 + П4 777 102 648 897 «Брунсвига» не даетъ, конечно, промежуточныхъ произве- дешй 510 120 и 114 777, а лишь первое, сумму перваго и второго и окончательное, въ такой последовательности: 1) 102 024 000; 2) 102 534 120 и 3) 102 648 897. Процессъ дъмешя сводится на «Брунсвигъ» къ процессу вычитатя, повторенному столько разъ, сколько единицъ ока- оказывается въ частномъ. Для сокращетя медлительнаго процесса пользуются опять салазками, заставляя зубчатыя колеса оси
166 работать последовательно, отъ высшихъ разрядовъ къ низ- шимъ. Но установка салазокъ на высшую цифру частнаго не можетъ быть произведена самой машиною, автоматически, а тре- буетъ знакомства работающаго съ математическимъ процессомъ. Такъ онъ самъ долженъ, наприм'Ьръ, сообразить, что при дъ1- леши 8 ] 47 255 на 6 375 можно заставить машину работать, начиная съ тысячъ; но при дъменш 4 875 111 на 5 037 сл-Ь- дуетъ начать съ сотенъ. Т. е., иначе говоря, въ первомъ слу- случай, прежде ч4мъ вращать рукоятку, надо установить непо- неподвижную часть машины въ такое взаимное положеше: 6 375 8 147 255 а во второмъ въ такое: 503 7 4 875 111 Ибо машина сама по себе отнюдь не мыслитъ и не со- ображаеть, а лишь безупречно, съ недоступной для человека точностью, складываетъ, вычитаетъ и передаетъ влево нароста- ющхя единицы высшихъ порядковъ (при сложенш и умноженш). Работа дъ^летя на «Брунсвигъ1» идетъ въ такой последова- последовательности: посл'Ь установки, какъ выше, вращаютъ рукоятку до т4хъ поръ, пока часть дФлимаго, стоящая непосредственно подъ дФлителемъ, не станетъ меньше делителя. Въ оконц-Ь, показывающемъ число оборотовъ рукоятки, получаемъ первую цифру частнаго, посл'Ь чего передвигаемъ салазки вл^во такъ, чтобы подъ дЗиштелемъ стояла опять часть дъ^шмаго, большая делителя, но не свыше одной лишней цифры. Такъ въ первомъ примйр-к 6 375 8 147 255 послф перваго же оборота получается: 6 375 1 772 255 и въ контрольномъ оконце числа оборотовъ цифра 1-
ICG Перем'Ьщаемъ салазки въ положеше: 637 6 1 772 255 Послй двухъ новыхъ оборотовъ устанавливаются числа: 637 5 497 255 а въ контрольномъ оконц-Ь цифра 2. Illlll'l III i I i IIIIU I 4111 Hi I! I III II!" I i к ll Ih'hihlli Ф hli1 I' I ;/ ill 111 I I 4 Illl II I" '" ""I ПИ I IIWIiI'I'II.'i/111/й Фиг. 90. Перем^щаемъ салазки въ положеше: 63 75 497 255 дЬлаемъ семь оборотовъ рукоятью; читаемъ на машинй: 63 75 51 005 Перемйщаемъ салазки влФво такъ: 6 375 51 005
167 и, посл-Ь восьми обо- ротовъ рукоятки, по- полу чамеъ: 6 376 б Контрольныя окон- оконца даютъ готовое част- частное 1 278, а салазки остатокъ б. Быстрота самыхъ сложныхъ вычислетй на «Брунсвиг^» изу- изумительна; въ маши- нахъ, не имйющихъ контрольныхъ окон- цевъ для числа оборо- товъ, надо вести имъ счетъ отдельно, запи- записями на бумажк4 или матовомъ стешгё. Впрочемъ, челове- человеческая изобретатель- изобретательность пошла еще дальше. Существ у ютъ машины, обезпечива- юпця впередъ необхо- необходимое для производи- маго дМств1я число оборотовъ механизма, при одномъ лишь обо- оборой рукояти. Такъ въ машингЬ «Миллю- неръ »,—построенной по типу Томасовскихъ машинъ (фиг. 90 и 91). имеется для этой ц^ли nBi'rfilil'li'iiiiMMiriii'iiiiJi! iiiiii!i!"iiini!!"!:i!ii alii! F1 - "ii!!!"}1^! i •?** i;1 • ..i It. I " . n
168 особый рычагъ (фиг. 91, въ верхнемъ углу слива), установкой которого на ту или на другую цифру обезпечивается соответ- соответствующее число оборотовъ механизма при каждомъ обороти рукояти. Очевидно, что для сложешя и вычиташя рычагъ дол- женъ устанавливаться на 1. Изъ машинъ съ клавишами вместо спицъ лучпия—машины Пайка («Pike», фиг. 92), въ основй которыхъ, какъ и «Врун- свиги», лежитъ Однеровскш принципъ. I I I i : I i i :* *, Фиг. 92. Он-Ь чрезвычайно напоминаютъ общераспространенныя пи- машины и, подобно имъ, отпечатывают на бумаги еа- игранныя на клавишахъ и переданныя рукоятью печатающему механизму цифры и итоги дМствШ. Но безъ одухотворенной разумной мыслью работы человека Bci подобныя машины, всетаки, не болйе, какъ мертвый наборъ колесъ и рычаговъ: они не въ состоянш сами решать хотя бы наиболее простыя ариеметическ1я задачи. Назначеше ихъ— облегчать и выполнять механическую долю труда.
169 Охватить сразу, хотя бы бйглымъ взглядомъ, все творче- творчество, проявленное человФчествомъ съ целью ускорешя и облег- чешя механизма однихъ только точныхъ вычислешй, не легко; и на предыдущихъ страницахъ мы пока остановили внимаше читателя преимущественно на т4хъ счетныхъ аппаратахъ, ко- которые пользовались или пользуются теперь наиболыпимъ рас- пространешемъ для практическихъ приложешй. Но, съ одной стороны, вст, эти машины еще далеко не составляютъ посл'Ьд- няго слова въ области достижимаго, а съ другой, читатель справедливо могъ бы посЬтовать на то, что въ исторш (хотя бы беглой) изобрт,тен!я счетныхъ машинъ нами опущены имена и попытки, заслуживающая самаго серьезнаго внимашя. Поэтому къ изложенному сд'Ьлаемъ еще кое-кашя дополнешя. Зам^тимъ прежде всего, что основная задача точныхъ вы- числешй разрешается по преимуществу четырьмя главными способами: графическимъ (геометрическимъ), динамическим^ кинематическимъ и электрическими Графическш методъ,- Палочки Непера. Изъ счетныхъ аппаратовъ, основанныхъ на графическомъ MeTOfli, прежде всего необходимо вспомнить о Неперовскихъ палочкахъ. Джонъ Неперъ, баронъ Маркистонъ, знаменитый изобретатель логариемовъ, носящихъ его имя, предложилъ остроумный способъ механическаго умножешя и дтлетя. Спо- собъ этотъ описанъ въ его сочиненш «Рабдолопя», изданноыъ въ 1617 году,—годъ смерти самого Непера. Цифровая таблица, изображенная на фиг. 93-й, представляетъ таблицу Пиеагора, помещенную на десяти палочкахъ или до- щечкахъ. Лт,вая пластинка неподвижна, вст, же остальныя мо- гутъ передвигаться и перемещаться всячески. Каждый изъ ква- дратиковъ таблицы раздтленъ д!агональю на два треугольника. Въ нижнеыъ треугольнике находится цифра единицъ произве- дешй таблицы умножен1я, а въ верхнемъ, налево, цифра десят- ковъ. Предположим?, теперь, что рядомъ съ неподвижной левой линеечкой помещены последовательно линеечки, ш'Ьюпця сверху цифры 7, 5 и 8. Въ такомъ случае нетрудно почти моментально получить произведете изъ 758 на всякое число отъ 1 до 9.
170 Такъ, наприм'Ьръ, желая умножить это число 758 иа б, мы смотримъ на неподвижную линейку и въ данномъ случай про- тивъ числа 6 по горизонтальному направлешю находимъ: Сложимъ числа параллельно дхагоналямъ треугольничковъ, находимъ: 4, 2 + 3, 0 + 4, 8 т. е. число 4 548, которое п есть произведете числа 758 на 6. 6 8 Фиг. 93. Такимъ образомъ Неперовы палочки шзволяютъ очень бы- быстро находить частныя произведешя любого числа на любую изъ первыхъ девяти цифръ, при чемъ не требуется знашя таблицы умножешя. ДМств!е умножешя сводится къ сложе- Н1ю, a fli.!ieHie къ вычитанш, при чемъ не требуется дтлать
m_ никакихъ пробъ. Очевидно, что ч'Ьмъ более числа, т'Ьмъ более ускоряется работа при помощи Неперовыхъ палочекъ или ли- неекъ, хотя сл4дуетъ признать, что описаный счетный аппа- ратъ Непера самъ по себе далеко уступаетъ другому его ве- великому открытш—логариемамъ. Изъ последователей и усовершенствователей системы Не- Непера слйдуетъ упомянуть о счетчике Тронсета, о счетчике Прюво Ле Гюэ (Pruvost Le Guay) и о Неперовскихъ кругахъ Кинемана (Quinemant). Графически способъ счисленк въ последнее время въ особенности усовершенствованъ Женайлемъ (Genaille), который, по авторитетному свидетельству Люка, вполн4 разрешилъ задачу устройства прибора для точныхъ вычисления посредствомъ геометрическаго метода. Динамическш методъ. Начало приложешя къ счисленш динамическаго метода было положено Паскалемъ. Еакъ видно изъ предыдущего, этотъ способъ неханическаго точнаго счета им^етъ пока наи- наибольшее число последователей и изобретателей. Наибольшей известностью въ деле устройства машинъ этого типа поль- пользуются имена Рота, Томаса, Одпера, Барбура, Мореля, Жайе, Гранта и ми. другихъ, упомянутыхъ уже нами въ своемъ месте. Имена же англичанина Баббеджа и шведа Шейца зна- знатоками вопроса произносятся съ особымъ уважешенъ. Чарльзъ Баббэджъ всю свою жизнь и все свое состояше посвятилъ на устройство универсальнаго счетчика, дающаго последователь- последовательные члены ариометическихъ nporpeccifl какихъ угодно поряд- ковъ. Устройствомъ своей машины онъ успелъ заинтересовать анппйское правительство, которое выдало Баббэджу денежную помощь, но изобретатель умеръ, не закончивъ устройства своей машины. Георгъ Шейцъ, издатель техническаго журнала въ Сток- Стокгольме въ середине прошлаго столетя, и сынъ его Эдуардъ Шейцъ осуществили замыселъ Баббэджа. Благодаря денежной поддержке стокгольмской академш наукъ и шведскаго короля, они устроили счетную машину, служившую предметоыъ уди-
172 влешя самого Баббэджа на парижской выставки 1855 года. Машина эта была пр1обръ"гена американцемъ Ратбононъ (Ilath- bone) и принесена имъ въ даръ обсерваторш Дюдлея въ Альбани. Другой экземпляръ былъ сд'Ьланъ для анппйскаго правительства и облегчаетъ вычислешя анппйскаго «Морского календаря» (Nautical Almanac). Машина им4етъ видъ небольшого шанино и операщи съ ней не бол^е сложны, ч4мъ на шарманки. Простымъ поворо- томъ рукоятки получаются последовательные члены ариемети- ческихъ nporpeccifl перваго, второго, третьяго и даже четвер- таго порядка. Кром4 того полученные результаты стереотипи- стереотипируются и могутъ быть отданы въ печать. Съ помощью этой машины чрезвычайно удобно издавать таблицы логариемовъ, синусовъ и синусъ-логариемовъ, не содержащая въ себ? ника- кихъ ариеметическихъ или типографскихъ ошибокъ. Машина высчитываетъ и стереотипируетъ въ часъ 120 строкъ, готовыхъ къ печати. Сравнительные опыты доказали, что машина даетъ двъ1 съ половиной страницы въ то время, которое потребно опытному составителю, чтобы заполнить цифрами одну только страницу. КинематическШ методъ. Кинематическое ръчпеше задачи предложено нашимъ знаме- нитымъ соотечественникомъ, нынъ1 покойнымъ, академикомъ Че- бышевымъ. Во всЬхъ вышеописанныхъ машинахъ динамическаго типа движешя неровны и прерывчаты. Во время поворота ру- рукоятки каждая шестерня движется по своему: одни остана- останавливаются въ то время, какъ друпя еще продолжаютъ дви- движете, и т. д. Нашъ знаменитый ученый устроилъ машину съ непрерывными и однообразными движешями. Въ его арпе- метической машинй дгМств1е, заключающееся въ прибавленш 1 къ 999 999 не сложнее дМств!я прибавлешя 1 къ 000 000. Кромъ1 того въ ней нъттъ никакихъ пружинъ, а потому исклю- исключается возможность ошибокъ при вычислеши. Въ настоящее время существуетъ всего одинъ экземпляръ этой машины. Между т'Ьмъ при нътоторыхъ поправкахъ она можетъ быть наилучшей изъ всЬхъ существующихъ нынъ1 счетныхъ машинъ.
173 ЭлектрическШ методъ. Мысль объ устройстве электрической счетной машины принадлежитъ уже упомянутому нами Женайлю (Genaille). Но труды этого несомненно гешальнаго изобретателя, къ сожале- ню, не нашли достойной оценки и поддержки въ свое время какъ со стороны ученыхъ и общественныхъ учреждешй, такъ и со стороны частныхъ лицъ. Цифрарь-д1аграммометръ В. С. Козлова. Въ числе новМшихъ изобретателей счетныхъ машинъ не- необходимо указать и на аыпаратъ нашего соотечественника В. С. Козлова, о которомъ безвременно скончавнййся Э. Люка про- челъ публичную лекщю въ 1890 году въ парижскомъ нацш- нальномъ музее искусствъ и реыеслъ. Изображешя цифраря- дгаграммометра г. Козлова даны у насъ на фиг. 94 и 95. Известные до сего времени счетные аппараты и такъ на- называемые интеграторы обыкновенно служатъ для одного ка- какого-либо определенна™ дейетя или для однихъ какихъ-либо вычислешй. Основная же идея изобретешя г. Козлова состоитъ въ томъ, что позволяетъ удобно одновременно получать разре- шеше различныхъ проблемъ, относящихся къ измерешю раз- личныхъ элементовъ кривой пли д!аграммы. Изобретете это состоитъ изъ двухъ частей: д1аграммографа и д1аграммометра. Д1аграммографъ представляетъ собою расположенную на вер- вертикальной плоскости таблицу, на которой начерчены горизон- тальныя равноотстоящш другъ отъ друга лин1и. Передъ табли- таблицей находятся свободно двигающаяся вертикально шнуры съ кольцами, въ которыхъ ходятъ цветные шнуры (Можно упо- употреблять вместо шнуровъ металличесше кулисы или скользяпця застежки). Подымал и опуская кольца, можно изобразить на таблице любую кривую,—соответственно системе координатъ аналитической геометрш Декарта. Нити, занумерованныя слева направо, представляютъ абсциссы 1, 2, 3... п, а различныя высоты колецъ, по отно- шенпо ихъ къ любой горизонтальной лиши на таблице, пред-
174 ставллютъ ординаты, которыя мы обозначимъ yv у^ у3 ... уи. Шнурокъ, предварительно проведенный во вгЬ кольца, позво- и v **'¦¦'¦ - 7 ¦л . : * I ¦ ¦:¦ 5 : ¦; '¦¦: |4 ¦'¦!. ¦ ¦ ! ¦ < .I-:;.-.--i V %& ^ ^ | y . ; ¦!¦¦<¦ ¦• .'.*..' . - }¦¦ ,; :/¦¦ ji,,"i.A-i •.:..?.' ¦>**¦::. v- ^ ^ Фиг. 94. — Видъ цифраря-д1аграммометра В. С. Козлова спереди. ляетъ изображать мгновенно д!аграмму, соответствующую дан- нымъ наблюдешямъ. Такимъ образомъ, можно по желашю воспроизводить чертежи
176 и д1аграммы вгякаго рода. Если мы примемъ за абсциссы время, измеряемое минутами и секундами, то ординаты могутъ изо- изобразить траекторш метательнаго. снаряда, движешя св^тилъ, ч -* if i. ¦¦&¦.-, >1., ! :; *. i 4- I -i ¦ f Ш-- ¦:¦¦ ¦0 . & ж; Bl" ^ ^S^ , ,.|,:.., '.':,¦ ¦¦: <:: 4:. ' . ¦ ... ** : , .... ... : .!¦ . . •.•: : . ¦ ¦ 4 Фиг. 95. — Видъ механизма цифраря-д1аграммометра. расширен1я и температуры т4лъ и вообще вс4 явлешя, зави- сящ!я отъ времени. Принимая же для выражешя абсциссами часы дня, мы можемъ изобразить ординатами — температуру, барометрическое давлеше, гигрометрическое состояше, быстроту
176 вйтра и его направлеше, иульсъ и температуру болышхъ и пр. Если же принять за абсциссы дни месяца, месяцы года, годы столъ-пя, то мы можемъ ординатами изобразить курсы биржи и финансовыхъ ценностей, приходы и расходы негощантовъ, еже- дневныя температуры и средшя давлешя, урожай, цены на хлйбъ и различныя статистичесшя сведещя о рождаемости, смертности и т. д. Словомъ, д!аграммографъ даетъ возможность быстро изображать графически различныя цифровыя наблюдешя, относящаяся къ изучению явленш въ области физическихъ наукъ или въ статистики. Это собственно феноменографъ, т. е. настоящей наглядный выразитель явлешй. Д1аграммометръ есть измерительный аппаратъ, даюпцй воз- возможность при помощи взвгьшиватя быстро вычислять различ- различные элементы д1аграммы или кривой, отвечающей какимъ-либо цифровымъ наблюдешямъ. Описываемый аппаратъ представляетъ собою лишь попытку совместить разнообразныя пособгя, которыя могутъ быть выде- выделены и приспособлены къ спептльнымъ требовашямъ. Темъ не менее, этотъ аипаратъ, при его весьма остроумномъ основ- номъ принципе, даетъ возможность исчислить быстро и одно- одновременно очень значительное количество интеграловъ. Аипаратъ этотъ является всеобгцимъ счетнымъ инструментомъ для инже- инженера, физика, химика, статистика, банкира и промышленника 1). Общее заключеше, которое Э. Люка высказалъ объ аппа- аппарате г. Козлова, таково: «Теперешняя модель д1агравшометра, или точнее феноме- нографа, не вошла еще въ область обыденной практики, но мы думаемъ, что этотъ аппаратъ можетъ быть утилизированъ и имъ будутъ пользоваться въ разныхъ формахъ, приспособлен- ныхъ къ темъ или другимъ требовашяиъ экспериментаторовъ. й) До сихъ поръ известны были только два счетныхъ аппарата, дЬй- ствуюпце при помощи взв^Ьшиватя. Одпнъ ивъ нихъ: арпеметичосте в4сы Balance Aritlimetiqne; Кассини (Cassini), описанные въ «Собранщ машинъ академш (парижской) наукъ» (до 1699), и другой—подъемный мостъ, построен- построенный по систем* генерала Цонселе, который можно видЪтъ въ укр^пдонш Mont Valerian, близь Парижа-.
177 Стоимость изготовлешя д1аграммометра, съ его цепями и ве- весами, можетъ быть доступна всЬмъ. Настоящая модель д1а- граммометра есть только временная оболочка (enveloppe tem- poraire) гешальной идеи г. Козлова. Я полагаю также, что удоб- удобнее было бы заменить рычажные в^сы пружинными (des dy- namometres). Наконецъ, следовало бы изменить способы рас- шложешя циферблатовъ-изм'Ьрителей такъ, чтобы получать одно- одновременно изм-вретя разныхъ кривыхъ для одной и той же дщграммы. Необходимо, чтобы стрелки циферблатовъ могли по- показывать въ каждый моментъ не только различныя средшя, со- ответствуюпця всей cepin ординатъ, но также и различныя средтя, или ихъ суммы, для любого числа начальныхъ орди- натъ. При этомъ способе можно было бы изображать на ниж- немъ Д1аграммографгЬ результаты но м^рЬ ихъ получешя (или записывать ихъ на бумаги), образуя потомъ пзъ нихъ новыя fliarpaiiMbi, получать новыя определешя и посл'Ьдовательные интегралы,—двойные, тройные и кратные. «Мы не можемъ определить заранее степени приближешя вычислили, которыя даетъ д1аграмиометръ; но при прим?ненш его можно достигнуть посл^довательныхъ нриближешй. «На этомъ аппарат^ можно получать формулы Симпсона (Simpson), Понселе (Poncelet) и генерала Пармантье (Parmentier) и вообще всв формулы квадратуры. О значенш аппарата можно легко судить изъ того, что даетъ намъ каждый изъ пяти изме- измерителей относительно точности вычислешя. Чтобы проверить вычислешя, достаточно повторить тотъ же прим^ръ въ проти- воположномъ направленш, т. е. поставивъ ряды ординатъ справа налево после того, какъ они были поставлены сл^ва направо. Тогда, при точноыъ действ1и аппарата, первые четыре измерителя должны будутъ показать те же результаты, что и ранее, а пятый—результаты дополнительные. «По совету г. Марея (Магеу), г. Козловъ полагаетъ применить свой аппаратъ еще для измерили кривыхъ въ пространстве». Пожелаемъ нашимъ соотечественникамъ-изобр4тателямъ пол- наго ycuixa въ деле, начатомъ столь блистательно. ВЪ ЦАРСТВВ ОИЕКАЛГОЬ КН. III. 12
178 Приближенныя вычислешя. Пособ1ями для приближенныхъ вычисленШ служатъ, съ одной стороны, логариеыичестя таблицы, а съ другой, графичесгае методы. Линейка для вычислешй, изобретенная Гюнтеромъ въ 1624 году, была съ течешемъ времени значительно усовер- усовершенствована. Въ настоящее время она употребляется при заня- Т1яхъ почти постоянно. Наиболыпаго внимашя изъ такихъ ли- неекъ заслуживаютъ линейки Лаланна (Lalanne) и Маннгейма (Mannheim), изготовляемыя Тавернье-Граве (Tavernie-Gravet). Пользуются также для вычислешй кругами, подобными кругамъ Буше (Bouche), Рено-Таше (Renaud-Tachet) и Кинемана (Qui- nemant) и др. Существуютъ также абаки, треугольники, прямоугольники и лекалы для вычислен1й. Изъ русскихъ изданШ подобнаго рода назовемъ хотя бы Д. Левитуса: «Счетный масштабъ»— графическая таблица для умножешя, д^летя, возведен1я въ степень, извлечещя корней и для тригонометрическихъ вычи-
Комбинаторика. Ниже приведено нисколько простыхъ задачъ, на решеше которыхъ мы советовали бы читателю обратить особое внима- Hie. Несмотря на свою простоту, эти задачи могутъ служить полевнымъ введетемъ въ новыя весьма обширныя и чрезвы- чрезвычайно интересныя области необъятнаго «Царства Смекалки». Мы говоримъ о такъ называемой Teopiu Соединенш, или Ана- лизгь Соедипетй (Analyse Combinatoir). Более коротко и, по- пожалуй, удачно эту область математики называютъ однимъ сло- вомъ: Комбинаторика. Надъ разработкой вопросовъ, связанных* съ этими областями математическихъ знашй, трудились еще древше индусы. Но только после безсмертныхъ изследовашй европейцевъ Галилея, Паскаля, Ферма и ихъ продолжателей выяснилось, какое тонкое, остроумное и вместе могущественное opyfflie для ума даетъ Комбинаторика. Прежде всего очевидно, что всякаго рода комбинации— соединешя и сочетания— по- постоянно встречаются въ различныхъ играхъ. И действительно, о Teopin Соединешй, какъ и о Teopiu Вероятностей, не безъ основангя говорятъ, что они родились и выросли за игорнымъ столомъ. Мы убедимся потомъ, однако, что. удовлетворивъ мало- малоценное любопытство игроковъ, теорш эти обогатили человече- человечество уже не «игрецкими», а совсемъ серьезными и полезными для всехъ знашями и методами. 12*
180 Задача 36-я. РазнгЁщеше пассажировъ. Четверо пассажировъ входятъ въ вагонъ, въ кото- ромъ 6 свободныхъ мт^стъ. Сколькими способами они ыогутъ разместиться. PinieHie. Первый пассажиръ можетъ занять любое изъ 6-ти м4стъ. Значитъ, второй — любое изъ 5-ти м4егь; трети — любое изъ 4-хъ ы^стъ и четвертый—любое изъ трехъ. Каждое изъ такихъ размйщешй ложно сочетать съ каждымъ изъ остальныхъ, и искомое число, сл4доватачьно, будеть: Задача 37-я. Разнообраз1е костютовъ. Господинъ им'Ьетъ 5 брюкъ, 8 жилетовъ и 7 сюрту- ковъ. Въ сколькихъ различныхъ костюмахъ можетъ онъ появляться? Р-Ьшеше. Каждая изъ частей костюма можетъ всеми способами сочетаться съ каждыми изъ остальпыхъ. Всего же получится б ¦ 8 • 7 = 280 различныхъ комбинаций. Задача 38-я. Выборъ предметовъ. Сколькими способами можно сделать выборъ, если брать по несколько или всЬ изъ п данныхъ предметовъ?
181 Р-Ьшеше. Съ каждымъ предметомъ можно поступить двояко: или брать его, или не брать. Каждый подобный способъ обращешя съ однвмъ предметомъ можно сочетать съ каждымъ способомъ обращешя съ каждыыъ изъ остальныхъ предметовъ. Значитъ, искомое число было бы 2 • 2 • 2... 2 (п множителей) = 2п. Но отсюда надо исключить случай, когда не. берутъ ни одного предмета. Итакъ, искомое число есть 2й—1. Задача 39-я. Имт,я 6 щадтелей, сколькими способами можно пригласить ихъ на объугъ, приглашая или всЪхъ, или н^которыхъ? Задача, очевидно, есть частный случай предыдущей, искомое число есть 26 — 1 — 63. Задача 40-я. Сколькими способами п предметовъ могутъ быть розданы р лицам?., если относительно числа вещей которое можетъ получить каждый, нЬтъ никаких?, ограниченш. Piineme. Каждая вещь им4етъ р назиаченШ. Следовательно, искомое число есть рп. Задача 41-я. Сколькими способами 5 вещей могутъ быть распре- распределены между 2-мя лицами? Piuieme. Первая вещь можетъ быть дана либо одному, либо другому лицу, вторая также и т. д. Значить, получается 25 способовъ. Но изъ этого числа надо исключить 2 случая, когда только то
182 или другое лицо получаетъ вс4 б вещей. Исключая эти 2 слу- случая, находимъ, что число способовъ есть 25 — 2 = 30. Задача 42-я. Имеется з opfeca, 4 яблока и 2 апельсина. Сколько будетъ комбинащй для выбора, если предлагаютъ взять, по меньшей мъ-ръ1, по одной штук'Б каждаго лакомства? Р-Ъшеше. Предлагается взять одинъ или бол4е орйховъ, одно или бол4е яблокъ, одинъ или бол^е апельсиновъ. Изъ предыдущихъ задачъ мы уже знаемъ, что выборъ каждаго рода соответственно будетъ 23 — 1 — 7, 24— 1 = 16, 22— 1 = 3. Каждый выборъ одного рода комби пиру ется съ каждымъ выборомъ другихъ ро- довъ. Искомое число, значитъ, равно 7-15-3 = 315. Задача 43-я. Сколько словъ о четырехъ буквахъ можно соста- составить изъ 17-ти согласныхъ и 5~ти гласныхъ, если въ середин-fe должны находиться двъ- различныя гласныя, а по краямъ по одной согласной, которыя могутъ быть или одинаковы, или различны? Р-Ьшеше. Ясно, что первое м4сто въ требуеыыхъ словахъ замещается 17-ю различными способами. Столькими же способами замещается и последнее м4сто, ибо согласныя, по условш задачи, могутъ повторяться. Съ другой стороны, можно разсчитать, что изъ 5-ти гласныхъ, беря ихъ по дв4 различныхъ, можно получить 5 ¦ 4=20 равличныхъ комбинац1й. Такимъ образоыъ, искомое число тре- требуемыхъ словъ = 17-17-20 = б 780. Задача 44-я. На улицахъ города. Улицы города расположены на подоб1е линш шах- шахматной доски, при этомъ т улицъ идет7. съ севера
183 на югъ, а п съ востока на западъ. Сколькими путями можно пройти отъ сЬверо-западнаго угла на юго-вос- юго-восточный, идя возможно кратчайшимъ путемъ. PinieHie. Нужно пройти т-\-п—2 участка,—именно: т—1 участокъ съ запада на востокъ и п — 1 участокъ съ севера на югъ. Различныхъ путей получится столько, сколькими способами можно т - 1 предметъ выбрать изъ числа т -\- п — 2 предметовъ. Зна- читъ искомое число равно 1-2-3... (т-\-п — 2) 1-2-3... (ш — 1)-1-2-3... (и— I)
Teopifl соедсшешсЬ Перестановки, разнгЁщешя и сочетангя." Анаграммы. Напишемъ какое-нибудь слово и станемъ всячески переста- переставлять составляются его буквы. Если при такихъ перестанов- кахъ получится новое слово (состоящее, конечно, изъ т-Ьхъ же буквъ, что и первоначальное, только въ другомъ порядки), то, значитъ, мы получимъ анаьрамму. Такъ, напр., возьмемъ слово жар, состоящее изъ трехъ буквъ, если не считать твердаго знака. Переставляя всЬми возможными способами составляющая это слово буквы, мы получимъ 6 сл4дующпхъ комбинацш: жар раж ржа оюра арок ажр Разсматривая 6 полученныхъ перестановокъ изъ 3-хъ буквъ, мы видимъ, что изъ слова жар получается анаграмма ржа. Можно, пожалуй, прибавить сюда и раж, такъ какъ это слово въ выражеши «вошелъ въ ражъ» получило большое распро- странеше въ нашемъ обиходномъ язык4. Остальныя же три пере- перестановки (ажр, жра, арж) буквъ надо отбросить, какъ ничего на говоряпця нашему слуху и сдананш.
18Б Точно также, напр., изъ слова лиса путемъ перестановки буквъ можно получить слово сила. Изъ слова кипа составляются анаграммы пика и паки; язъ слова Москва получается смоква. Весьма употребительныя въ математики слова логариемь и ал- гориамъ тоже анаграмматичны, т. е. состоятъ изъ тгЬхъ же буквъ, только переставленныхъ въ иномъ порядка, и т. д. ПршгЬровъ можно подобрать сколько угодно. Развлечешя съ анаграммами принадлежатъ къ самыыъ общеизв4стнымъ и рас- пространеннымъ, и врядъ ли любой пзъ нашихъ читателей такъ или иначе не встречался съ ними, хотя, быть можетъ, не каждый давалъ себе отчета въ томъ, что въ этомъ случае онъ приходилъ въ соприкосновение съ обширной математически областью, имеющей огромное теоретическое и практическое зна- чеше. Само собой разумеется, что вместо отдельныхъ словъ можно брать цъ-лыя фразы и получать изъ нихъ анаграммы, т. е. но- выя слова и выражетя, состояпця изъ тъ-хъ же буквъ, только переставленныхъ въ другомъ порядке. Величайппе математи- честе умы, особенно въ прежнее время, охотно составляли раз- личнаго рода анаграммы. Таковы, напр., Паскаль, Ферма, Гюйгенсъ, Баллист., Бер- нулли и мнопе друпе. Съ одной стороны эти анаграммы слу- служили интересными примерами развиваемаго этими учеными анализа соединешй и сочеташй, а съ другой, чтобы сохранить за собой первенство открьтя, не сообщая его раньше во все- всеобщее свйдй-ше, ученые часто выражали свое открьше въ вид4 анаграммы, т. е. въ вид4 фразы или просто собратя буквъ, которыя при иной надлежащей перестановке буквъ открывали секретъ изобретателя. Такимъ образомъ анаграммы обращались въ родъ скрытаго письма, въ тайнопись или криптограммы, о которыхъ въ настоящей книге читатель имеетъ отдельную главу. Точно также мнопя анаграммы обязаны своимъ происхо- ждешемъ темъ последователямъ мистики и каббалы, которые въ иыенахъ иныхъ людей или назвашяхъ событ1й искали особаго скрытаго значен1я. Есть анаграммы, которыя прюбрели даже историческую известность.
186 Н^которыя изв-Ьстныя анаграммы. Велики математикъ и философъ Паскаль A623—1662) за- далъ было своимъ читателямъ и истолкователямъ довольно тя- тяжелую работу. Въ его знаменитыхъ «Penses» («Мысли») на- находится, между прочимъ, такое вйсто: «La maniere d'ecrire d'Epictete de Montaigne et de Salo- Salomon de Tultie est la plus d'usage» etc... т. е.: слогъ Эпик- тета, Монтеня и Салолона де-Тюльти наиболее употребите- ленъ и т. д. Имена Эпиктета и Монтеня известны всЬмъ, но кто такой Саломонъ де-Тюльти? Это, очевидно, какой-то псевдонимъ, изобретенный Паскалемъ,—догадывается коментаторъ. Но кто же скрывается подъ этимъ псевдонимомъ? Отв4тъ на этотъ вопросъ даетъ анаграмма. Если въ имени Salomon de Tultie (Саломонъ де-Тюльти) сделать переста- перестановку буквъ, то получится Louis de Montalte (Луи де-Мон- тальтъ), т. е. тотъ псевдонимъ, которымъ Паскаль подписывалъ свои знаменитыя Lettres Provindales («Письма Провинщала»). Хританъ Гюйгенсъ A629—1695) былъ первымъ, кото- который открылъ, что планета Сатурнъ окружена плоскимъ коль- цомъ, свободно висящимъ на уровн4 экватора планеты. От- крьше это имъ сделано въ 1666 году, а сочинеше о «Систем^ Сатурна» онъ издалъ только въ 1659 году. Но. чтобы удер- удержать за собой первенство открьшя, Гюйгенсъ тотчасъ же ва- писалъ его анаграммой изъ слйдующихъ буквъ: ааааааа, ссссс, d, eeeee, g, h, iiiiiii, III, mm, nnnnnnmin, oooo, pp, q, rr, s, ttttt, uuuuu. Если изъ этихъ буквъ сделать соотв4тственныя переста- перестановки, то получится такая латинская фраза: Aniiulo cingitur tenui, piano, nusquam cohaeremte, ad edip- ticam inclinato, т. е. онъ окруженъ кольцомъ тонкимъ, пло- плоскимъ, нигд^ не подв4шеннымъ, наклоненнымъ къ эклиптик'Ь.
187 Въ томъ же 1656 году Гюйгенсъ открылъ перваго спутника Сатурна (Титана) и нашелъ время его обращешя около планеты равнымъ 15-ти днямъ. Открьте это онъ тоже облекъ въ форму анаграммы, кош'ю которой послалъ, между прочимъ, знаменитому своему современнику, англШскому математику Валлису (Wallis). Но зд4сь получилась довольно забавная шутка. Валлисъ былъ мастеръ въ д4л4 истолковашя (дешифрировашя) анаграммъ. Получивъ анаграмму Гюйгенса, онъ быстро истолковалъ ее и составилъ по этому поводу свою анаграмму, нисколько длиннее Гюйгенсовой. Но въ своемъ отвйтй последнему Валлисъ ни- ничего Eie говорить о своей дешифровки, а просто благодарить Гюйгенса за внимаше и пишетъ, что им4етъ тоже н'Ьчто пе- передать ему въ своей прилагаемой анаграмм-Ь. Гюйгенсъ послалъ Валлису истолковаше своей анаграммы. Каково ясе было его изумлеше, когда въ отв4тъ онъ получилъ р4шеше анаграммы Валлиса, изъ котораго вытекало, что послйдшй чуть не раньше будто бы сд4лалъ то же самое открьше, что и Гюйгенсъ! Скоро выяснилось, что Валлисъ хот4лъ пошутить и кстати показать безполезность анаграммы въ д4л4 скрытаго письма. Гюйгенсъ, однако, не оц4нилъ этой шутки и разсердился... Ве- лише люди также им4ютъ свои маленьшя слабости. Изъ другихъ анаграммъ отм4тимъ еще сл4дуюпця: Въ словахъ Revolution francaise (французская революпш) можно переставить буквы такъ, что получится: Un veto corse la finira, т. е. «ее закончить вето (запрещеше) корсиканца» (Указаше на Наполеона Бонапарте). Ивъ имени монаха, убШцы короля Генриха III,—frere Ja- Jacques Clement (братъ Жакъ Елеманъ) можно перестановкой буквъ получить: Cest I'enfer qui т'а сгёё, т. е. «меня создалъ адъ». Изъ иыенъ короля Генриха III Валуа—Henri de Valois (Анри де Валуа) современники сделали Vllain Herodes, т. е. «Иродова Мерзость».
188 Польски писатель ЯблонскШ взялъ латинское навваше дома вельможъ Лещинскихъ—Domus Lescinia и составилъ изъ этихъ словъ так!я анаграммы: Ades incolumis, т. е. гряди невредимый. Omnis es lucida. » » весь светозарный. Mane sidus loci, » » пребывай св^тиломъ края. Sis columna dei » » да будешь опорой Бога. I, scande. solium » » шествуй, гряди на престолъ. Последняя анаграмма оказалась даже «пророческой»: Ле- щинскШ Станиславъ сделался действительно польскимъ коро- лемъ. Надо признать во всякомъ случай, что сочеташе буквъ въ словахъ JDomus Lescinia даетъ, действительно, богатый ыа- терьялъ для составлешя льстивыхъ и угодливыхъ анаграммъ. О томъ, сколько т4 же слова при перестановки буквъ могутъ дать матер1ала для шутки и сатиры, ЯблонскШ, видимо, затра- затративши большой запасъ времени для перестановки 13 буквъ, совершенно умалчиваетъ. И въ самомъ д4л4, предположимъ, что все вышеприведен- ныя анаграммы ЯблонскШ нашелъ, благодаря не счастливой случайности или особымъ какимъ-либо пр1емамъ, а путемъ д4й- ствительныхъ перестановокъ,—т. е., написавъ 13 буквъ, соста- вляющихъ слова DOMUS LESCINIA, онъ методически переставлялъ вс4ми возможными способами эти 13 буквъ и прочитывалъ каждую перестановку, чтобы убедиться, получилась ли фраза, имеющая смыслъ, или н4тъ. Сколько всего въ такомъ случай ЯблонскШ получилъ бы пере- перестановокъ и сколько приблизительно времени онъ затратилъ бы на эту работу? Поставимъ вопросъ нисколько шире и спросимъ такъ: сколь- сколькими способами можно переставить 13 буквъ, стоящихъ въ рядъ? При чемт. для простоты допустиыъ сначала, что веЬ буквы различны. Само собой разумеется, что вместо буквъ можно взять вся- icie иные предметы. Можно, напримйръ, задать себ-Ь вопросъ,
189 сколькими способами можно разложить въ рядъ известное число различныхъ карта, равноцв'Ьтныхъ камешковъ, картинокъ или книгъ, и вообще какихъ угодно предметовъ, или, какъ гово- рятъ въ данноыъ случай, элемептовъ. Вопросъ сводится, следовательно, къ опред^ленш числа ли- нейныхъ перестанпвокъ (или перемещены) изъ даинаго коли- количества элемептовъ. Дал4е мы дадииъ общее ръ-шеше этого интереснаго вопроса а пока разсмотриыъ слъ'дуюшдя двъ1 задачи. Задача 45-я. Церемонный об-Ьдъ семи. lio Бторомъ издаши Recreations mathematiques et physiques par M. Ozanam («Математичесгая и физичесшя развлечешя» М. Озанама). вышедшемъ въ Парижъ1 въ 1788 году, находится следующая интересная задача: Семь лицъ должны были обЬдать, но между ними зашелъ церемонный споръ относительно лгЬстъ, гд-fe кому сЬсть (это было, безъ сомн'?н1я, въ какомъ-либо отда- ленномъ отъ столицы провинщальномъ город-fe — за- мтлаетъ зд^сь Озанамъ). Наконецъ, кто-то, чтобы прекратить пререкашя, предложилъ всЬмъ съхть за столъ какъ попало, но съ тбмъ, чтобы опять со- собраться завтра и въ сл?дующ1е дни об-Ьдать вм-Ьст^ и каждый разъ садиться по иному, до тъхъ поръ, пока не будутъ исчерпаны век возможныя перемг^щен1я. Спрашивается, сколько разъ для этого придется имъ вмтхтъ" обедать? PiineHie. PinieHie задачи сводится, очевидно, къ отысканш числа перестановопъ изъ семи элемептовъ. Въ главй «о числ^ пере- становокъ» несколько дальше мы покажемъ, какъ это делается, а пока скажемъ просто, и попросимъ читателя на минуту по- поварить, что число такихъ перестановокъ изъ 7 элементовъ
190 равно б 040. Такимъ образомъ выходить, что уиомянутымъ въ задачи семи лицамъ придется обедать б 040 разъ, или б 040 дней, вм4ст4. Переводя на годы, получимъ изрядный проме- жутокъ времени въ 14 fliral Принять на себя обязательство четырнадцать л'Ьтъ изо дня въ день объдать въ одной и той же компанш... Вотъ къ чему иногда могутъ привести цере- ыонныя препирательства. Если вместо семи лицъ церемоннымъ споромъ займется большее общество, то дйло грозитъ еще большими осложне- шями. Въ своихъ «Initiations mathematiques» ГП. Лэзанъ раз- бираетъ задачу, совершенно подобную предыдущей, но на об4дъ собралось не 7, а 12 особъ. Задача 46-я. Церемонный обЪдъ 12-ти. Въ одинъ прекрасный вечеръ сошлось двенадцать челов^къ, чтобы пообедать вместе. Но такъ какъ места за столомъ не были назначены заранее, между ними возникъ церемонный споръ въ то время, когда нужно было садиться за столъ,—споръ, не приведши, впро- чемъ, ни къ какому результату. Кто-то, чтобы выйти изъ затруднешя, предложилъ испробовать последова- последовательно Bcfc возможные способы размъщешя. Чтобы раз- разрешить вопросъ, оставалось только выбрать перемТэ- uj;eHie, кажущееся наибол-Ье удачнымъ. Попробовали было пересаживаться въ течете нЬсколькихъ минутъ, но смешались, и дъую, казалось, никакъ не могло бла- благополучно разрешиться само собою. Къ счастью, между приглашенными находился учитель городского колледжа, им"бвшш кой-кашя познашя въ математике. — Друзья мои,—сказалъ онъ,—супъ простынетъ. Давайте тянуть жребШ, скорее дело будетъ.
191 Последовали благоразумному со вЪту, об"вдъ закон- закончился самымъ радушнымъ образомъ. Является вопросъ, почему учитель не нашелъ воз- можнымъ испробовать всЬ возможныя перем"Бщешя на самомъ д'бл'Ь? Р-Ьшеше. Разъяснеше и pinieuie задачи последовало уже за дессер- томъ, когда, получивъ слово, учитель сказалъ: — Знаете ли вы, сколько времени понадобилось бы намъ, чтобы испробовать все возможныя переы4щен1я, которыя мы могли сделать за этпмъ столомъ, полагая только по секундп для перехода отъ одного перемпгценгя къ другому? И такъ какъ вс4 молчали, онъ добавилъ: — Продолжая такую маленькую игру день и ночь, мы должны были бы употребить на это более 15 л&гъ и 2-хъ м4- сяцевъ, не считая при этомъ, сколько бы намъ встретилось високосныхъ годовъ. Вы видите, если жаркому угрожало вы- высохнуть, то мы могли бы быть уверены, что погибнемъ все отъ голода и лишешя сна. Будемте церемонны, если сердце намъ подсказываетъ, но не слишкомъ... И это правда. Точное число различпыхъ способовъ перемъ1- щешй, которое 12 человъ'къ могли бы занять за столомъ, на- крытымъ па 12 приборовъ, равняется, какъ ниже увиднмъ, 479 001 600: бол4е 479 миллшновъ, а 15 л^тъ и 2 месяца содержатъ приблизительно такое число секундъ. Можно было бы еще заметить, что каждое перем^щете 12-ти человгЬкъ требуетъ гораздо бол4е времени, чъ^мъ одна секунда, и что, следовательно, на отыскате удачнаго для вс^хъ положешя за столомъ понадобилось бы гораздо болйе 15-ти л^тъ. Это, впрочемъ, не мъ"няетъ существа вопроса. Но что было бы, если бы собравппеся обедать господа поступили по примеру обедавшихъ въ предыдущей D5-й) задаче? Чтобы испробовать все возможныя перемещешя, имъ пришлось бы обедать вместе более, чемъ 479 миллнжовъ дней1 Переведя на годы, полу- чимъ милл1оны
192 О числ"Ь перестановокъ. Изъ двухъ предыдущпхъ задачъ мы узнали и приняли пока на fiipy, что если произвести вс4 перестановки изъ 7-ми эле- элементовъ, то такихъ перестановокъ получается о 040, а изъ 12-ти элементовъ такихъ перестанокъ получается уже 479 001 600. Число элелентовъ возросло всего на 5, а въ какой огромной нропорцш возросло число перестановокъ! Впрочеыъ, вышеуказанный числа были приняты нами пока на Bipy. Здйсь мы нопробуемъ получить ихъ на самомъ двлъ- и показать, какъ вообще найти число иерестановокъ изъ любого числа элементовъ. Возьмемъ сначала два различныхъ элемента а и Ь. Ясно, что здйсь единственно возможны только деть перестановки. ab и Ьа Значитъ число перестановокъ изъ 2-хъ элементовъ равно 1X2 = 2. Возьмелъ три элемента: а, Ъ и с. Чтобы получить изъ нихъ, всЬ вовможныя перестановки безъ повторешй и пропусковъ, поступаемъ такъ: Беремъ сначала перестановки изъ двухъ элементовъ, т. е. ab и Ьа, и нриставляемъ къ каждой изъ нихъ третШ элемента: въ конц'Ь, въ середингЬ и въ начали. Значить, ивъ каждой двухъ-элементной перестановки получимъ по три перестановки,— именно: аЪс Ьас асЬ Ьси cab cba Всего 6 перестановокъ. Итакъ, число всЬхъ перестано- перестановокъ пзъ 3-хъ элементовъ получится отъ перемножешя чиселъ 1 X 2 X 3 == 6, или, принимая за внакъ умножешя точку, на-
193 пишемъ, что число всЬхъ перестановокъ изъ трехъ элешентовъ будетъ 1-2-3 = 6. Береыъ ват'Ьмъ 4 элемента «, Ь, с и d. Сколько всЪхъ воз- ыожныхъ перестановокъ дадутъ эти буквы? Чтобы получпть вс4 этл перестановки безъ пропусковъ и повторешй, самъ собой напрашивается слйдующгй способъ. Береыъ сначала вей 6 най- денныхъ выше перестановокъ ивъ 3-хъ буквъ: a be, acb, cab, Ъас, be a, cba. Въ каждую изъ этихъ перестановокъ вводиыъ четвертый эле- ыентъ d, приставляя его последовательно: къ концу, между 2-й и 3-й буквой, между 1-й и 2-й буквой и въ началъ1. Такъ что каждая ивъ этихъ 6 перестановокъ изъ 3-хъ эле- ыентовъ даетъ 4 перестановки изъ четырехъ элементовъ. А именно: Перестановка abc даетъ abed abdc adbc dabc » acb » acbd aedb adeb dacb » cab » cabd cadb cdab dcab » bac » bacd bade bdac dbac » bca » bead beda bdea dbca » cba » chad cbda cdha dcha Всего пег б-хъ равличныхъ элеыентовъ получаемъ 4 • 6=24 перестановки, или 1-2-3-4 = 24. Итакъ, чтобы получить число всъ-хъ линейныхъ перестано- перестановокъ ивъ 4-хъ равличныхъ элементовъ, надо перемножить между собой четыре первыхъ посл'Ьдовательныхъ числа. Прибавимъ еще пятый элементъ е и посмотримъ, сколько всего получится перестановокъ ивъ пяти элементовъ а, Ъ, с, d, e. Получить все эти перестановки безъ пропусковъ и повторешй можно, опять таки поступая совершенно подобно предыдущему. Т. е., вовьмемъ каждую ивъ 24-хъ вышенаписанныхъ пере- перестановокъ изъ 4-хъ буквъ и будемъ приставлять къ нимъ ВЪ ЦАРСТВИ СМЕКАЛКИ. КН III. 13
194 пятую букву е въ концт,, между буквами и въ начал!, тогда первая, напр., перестановка abed даетъ пять перестановокъ: abode, abced, abecd, aebed, eabed. Точно также получимъ по пять перестановокъ въ 5 буквъ изъ каждой изъ остальныхъ 23-хъ перестановокъ 4-хъ буквъ. Следовательно, всего перестановокъ изъ 5 элементовъ можно сд'Ьлать 24 • б = 120, или 1-2-3-4-б = 120. Значитъ, число всЬхъ перестановокъ изъ пяти элементовъ равно произведению первыхъ пяти посл4довательныхъ чиселъ. Введемъ шестой элементъ /. Разсуждая по предыдущему, мы найдемъ, что каждая изъ 120 перестановокъ въ 5-ть буквъ даетъ шесть перестановокъ изъ 6-ти буквъ. Всего, значитъ, та- кихъ перестановокъ изъ 6-ти элементовъ будетъ 120-6 = 720, или 1-2-3-4-5-6 = 720, т. е. число всЬхъ перестановокъ изъ 6 элеыентовъ равно произ- ведешю шести первыхъ послйдователышхъ чиселъ. Разсуждая точно такъ же, какъ выше, найдемъ, что число перестановокъ изъ семи элементовъ будетъ 720-7 = 5 040, или 1-2-3-4-б-б-7 = б040. Это число и есть какъ разъ то, которое мы привели въ за- дач'Ь о церемонноыъ объ^гЬ семи особъ. Читатель теперь, ду- маемъ, убедился, что оно нисколько не преувеличено. Идя указаннымъ выше путемъ еще дальше, мы найдеыъ, что число перестановокъ изъ восьми различныхъ элементовъ будетъ равно произведенш восьми послйздовательныхъ чиселъ 1-2-3-4-5-6-7-8 = 40 320. Число перестановокъ изъ 9 эле- элементовъ будетъ равно произведенщ 9-ти чиселъ: 1.2-3-4-6-6-7-R-9 = 362 880 и т. д. Попробуемъ указаннымъ путемъ составить таблицу числа перестановокъ отъ 1 до 25 элементовъ. Получается
196 Число перестановок'!,. 2 > 51 1 124 25 852 620 448 15 511210 6 121 432 090 000 016 401 043 1 20 365 402 645 902 942 727 738 733 330 6 87 307 922 6Я7 378 100 008 171 777 884 239 985 3 39 479 227 178 674 789 428 705 408 176 709 607 976 439 984 5 40 362 628 916 001 020 291 368 888 096 728 832 640 440 680 640 360 000 1 2 6 24 120 720 040 320 880 800 800 600 800 200 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Число элемен- ТОВЪ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 -24 25 Вт, этой таблиц1!; мы находимъ, между прочиыъ, число пере- становокъ изъ 12-ти элементовъ, равное 479 001 600, о кото- ромъ намъ приходилось говорить въ задача о церемонноыъ обйдй 12-ти особъ. Беглый ввглядъ на эту таблицу покавываетъ намъ, съ какой
196 огромной быстротой возрастаешь число перестановокъ при послт,- довательномъ возростанш перелйщаеыыхъ предметовъ. Уже при 26 элементахъ получается число изъ 26 цифръ,—головокру- цифръ,—головокружительное число, о которомъ мы не можемъ составить себе никакого реальнаго представлешя, если не прибътнемъ къ какому либо описательному сравнение. Возвратимся къ главе объ историческихъ анаграммахъ и пересчитаем^ сколько перестановокъ изъ 13-ти буквъ пришлось бы сделать Яблонскому въ словахъ domus lescinia для полу- чешя своихъ анаграммъ, если бы онъ действительно делалъ воь перестановки. Таблица показываетъ, что число перестано- перестановокъ изъ 13 элементовъ равно 6 227 020 800. Если бы допустить даже такую невероятную скорость, что для получешя каждой перестановки и ея прочтешя ЯблонскШ употреблялъ всего одну секунду, то и тогда, безостановочно работая по 12 часовъ въ сутки, понадобилось бы на выполне- ше всЬхъ этихъ перестановокъ около 396 лита! Ясно, что, отыскивая свои анаграммы, Яблонсшй. проживши обыкновен- обыкновенную человеческую жизнь, шелъ не этимъ путемъ. Обозначения и выводъ общей формулы. Условимся въ обозначешяхъ. Обыкновенно число переста- перестановокъ ивъ п элементовъ обозначаютъ символомъ Рп, т. е. ставятъ латинскую букву Р (по-французски перестановка: Per- Permutation) и внизу справа отъ нея маленькое п. Следовательно символъ Р2 означаетъ число перестановокъ изъ 2-хъ элемен- элементовъ, Р3—число перестановокъ изъ трехъ элементовъ, Р4—число перестановокъ изъ 4 хъ элементовъ и т. д. И мы нашли уже, что Р3 = ] -2-3 Р^ = 1-2-3-4 Р,= 1-2-3-4-5 Вообще Р =1 -2 «3-4-б . . -п.
197 Эту последнюю общую формулу мы сейчасъ выведемъ со всей строгостью, а не просто путемъ того послъ'довательнаго наведешя, котораго держались до сихъ поръ. Итакъ, докажемъ теорему: Число перестановокъ изъ п элементовъ равно произ- ведешю посл'Ьдовательныхъ натуральныхъ чиселъ отъ i до п, т. е. Въ саыомъ д^л^, пусть составлены перестановки изъ п—1 буквъ а, Ь, с, d,..., h, i, к, и пусть число перестановокъ будетъ Рп_1. Чтобы составить перестановки изъ п буквъ, беремъ ка- каждую перестановку изъ п—1 буквъ и вводимъ въ нее да-ую букву Z, помещая последовательно слива и справа этой пере- перестановки и во всЬ промежутки между ея буквами. Такимъ образомъ мы составилъ веб перестановки изъ п буквъ, безъ повторенгй и безъ пропусковъ. Везъ повторенгй — потому, что одна перестановка будетъ отличаться отъ другой или порядкомъ п—1 первоначально взятыхъ буквъ, или мйстомъ, которое за- нимаетъ новая буква I. Безъ пропусковъ, ибо, взявъ переста- перестановку аЫс.к, напр., зам4таемъ, что она произошла изъ пере- перестановки abc...k, составленной пзъ п—1 первоначальныхъ эле- элементовъ, въ которую буква I введена на 3-е мйсто; сл4д., такая перестановка была получена. Итакъ: указаннымъ способомъ получимъ всЬ перестановки изъ п буквъ. Опред^лимъ ихъ число. Каждая перестановка изъ п—1 буквъ даетъ п перестановокъ изъ и буквъ, ибо буква / можетъ занять въ первой п различныхъ мйстъ; сл4д., Р =пР .. п п—1 Такова связь между Рп_1 и Рп. Формула эта справедлива для всякаго да, будучи совершенно общею: давая въ ней п после- последовательно Bci зна.чен1я отъ 2 до п, находимъ: Р =Р -2- Р =Р -3- Р —Р -4- • Р —Р -п Перемноживъ эти равенства, унпчтожпвъ общ1е множители въ об4ихъ частяхъ и замечая, что Рх = 1, находимъ: Рп=1 -2 -3 -4 . . . (да—1) -и.
-. 198 Произведете п пошгёдовательныхъ чиселъ, т. е. 1 • 2 • 3 ... п, встречается въ многочпсленныхъ формулахъ математическаго анализа и носитъ специальное пазваше факторгала п. Весьма часто для фактор1ала п употребляютъ бол^е короткое и, пожа- пожалуй, даже болйе изящное обозначеше, а именно: вместо длин- наго иногда ряда цифръ послЬдователышхъ натуральныхъ чи- чиселъ ставятъ последнее число и посл4 него восклицательный знакъ, такъ что 1-2= 21 1-2-3=3! 1-2-3-4 = 41 1-2-3-4 . . . (п — \)-п = п\ Следовательно, общая формула числа перестановокъ пзъ п элеыентовъ можетъ быть написана п въ такомъ краткомъ и изящномъ видй: Р=п\ п Задача 47-я. Споръ кучера съ пассажиромъ. На станцш дилижансовъ нетерпеливый про^зж1й, увидя кучера, спросилъ: — Не пора ли запрягать? ^ — Что вы!—отвЪтилъ кучеръ,—еще полчаса до от- отхода дилижанса. За это время я усп^ю двадцать разъ и запречь, и отпречь, и опять запречь. Намъ не впервой... — А сколько въ дилижансъ впрягается лошадей? — Пять. — Сколько времени полагается на запряжку ло- лошадей? — Да при аккуратности минуты дв'Б—не больше! — Ой-ли?- -усумнился пассажиръ.—Пять лошадей запречь въ 2 минуты!.. Что-то очень скоро...
199 — И очень просто, господинъ,—отвЬчалъ кучеръ.— Выведутъ лошадей въ сбрув, постромкахъ съ валь- вальками, въ возжахъ, какъ есть. Остается только наки- накинуть кольца вальковъ на крюки, приструнить «въ се- кундъ» двухъ среднихъ лошадей къ дышлу, взялъ возжи въ руки, сЬлъ на козлы и готово... Поезжай! Дъ\по знакомое... — Ну, хорошо!—замвтилъ пассажиръ.- -Допустимъ, что такимъ образомъ ты можешь запречь и отпречь лошадей хотя двадцать разъ въ часъ, какъ говоришь. Но если ихъ придется перепрягать одну на мъхто дру- другой да еще всЬхъ, то ужъ этого ты никогда не сде- сделаешь не только въ часъ, но и въ два. — Тоже пустячное дъ7ю, господинъ!—расхвастался кучеръ. — Развъ" намъ не приходится перепрягать! Да какими угодно вамъ манерами я ихъ всЬхъ вамъ пе- перепрягу въ часъ, а то и меньше. Одну лошадь поста- вилъ на мъ-cto другой, и готово! Минутное дъ\го! — НЪтъ, ты перепряги ихъ не тъ-ми «манерами», которыя мн'Б угодны,—сказалъ господинъ, — а всЬми способами, какими только можно перепрягать 5 лоша- лошадей, считая на перепряжку уже одну минуту, какъ ты хвастаешь. Самолюб1е кучера было несколько задъ-то. — Конечно, всЬхъ лошадей и всЬми способами перепрягу не больше, какъ въ часъ. — Я далъ бы сто рублей, чтобы посмотреть, какъ ты сделаешь это въ часъ!—сказалъ пассажиръ. — А я при своей бедности заплатилъ бы за вашъ проъ-здъ въ дилижансЬ, если бы этого не сд-Ьлалъ,— отвъ"чалъ кучеръ. Такъ и условились: Кучеръ обязался въ часъ пере- перепрячь 5 лошадей дилижанса всЬми способами, каше только возможны. Если онъ это сдъ~лаетъ. то полу-
200 чаетъ съ пассажира юо руб., если же н"Ьтъ, то пас- сажиръ ъ-детъ дальше на счетъ кучера. Каковъ былъ результатъ спора? Р'Ьшеше. Пострадалъ кучеръ. который, очевидно, не отличался силь- сильной сообразительностью. Число запряжекъ, которыя онъ долженъ былъ по условш сделать, равно числу всЬхъ перестановокъ изъ 5-ти элешентовъ. Но изъ предыдущаго мы уже знаемъ, что Рг = б! = 120. Следовательно, кучеру пришлось сделать 120 перепряжекъ. Считая на такую перепряжку только минуту времени, выхо- дитъ, что на вс4 надо затратить 2 часа. Остановившись на 60-й перепряжки, кучеръ долженъ былъ уже 4хать, заплативъ за пройздъ пассажира. Задача 48-я. Сколькими способами могутъ разместиться въ классЬ ЗО учениковъ? Приходится вычислять число перестановокъ изъ 30 элеыен- товъ, т. е. Рзо. Его н^тъ въ нашей таблиц^ на стр. 195, до- доведенной только до и = 25. Советовать кому-либо тратить время на бездельный рядъ умноженШ не решаемся, а потому просто приводпмъ это огромное число. Рзо = 1-2-3 . . . 30 = 30! = = 265 252 859 812 191 058 636 308 480 000 000. ЖелаюшДй поупражняться въ умноженш можетъ, впрочемъ, наст» n|)OBipHTb. Но сумеете ли вы сказать словами это напи- число? Задача 49-я. Ск()ЛЬК0 различныхъ чиселъ можно составить изъ г; 2, 3' 4> 5, б, 7, 8, 9, о, такъ, чтобы каждая
201 цифра находилась въ каждомъ числъ" только по одному разу, а числа, начинающаяся нулсмъ, не считать? PinieHie. Искомыя числа, очевидно, будутъ Bci десятизначныя. Веремъ сначала 9 значащихъ цифръ. Число перестановокъ изъ нихъ будетъ Рд = 9\ (оно есть въ таблиц^ на стр. 195). Если теперь въ каждую полученную перестановку будемъ приставлять нуль къ концу и во вс4 промежутки между цифрами, но къ началу не будемъ его приставлять, то каждая перестановка изъ 9 цифръ дастъ еще 9 перестановокъ изъ 10-ти цифръ. Итакъ, искомое число есть 9Р9 = 9-9! = 3 265 920. Задача 50-я. Сколько чиселъ большихъ 23 ооо получится, если всЬми возможными способами переставлять цифру 1,2, 3, 4, 5? Р'Ьшеше. Bcix'L перестановокъ изъ данныхъ пяти цифръ можно сделать Р5 = 120. Но изъ шлученныхъ такимъ образомъ чиселъ надо отбросить, очевидно, Bci начинающаяся единицей, а такихъ чиселъ 24 (ибо Р4 = 24); кромй того необходимо еще отбросить Bci числа, начинаюпдя цифрами 21, а такихъ чиселъ 6. Итакъ, требуемыхъ чиселъ получается 120—30 = 90. Задача 51-я. Сколько группъ можно составить изъ буквъ слова «склеить» такъ, чтобы гласныя не были разъединены? Решете. Гласныя не разъединяются, поэтому считаемъ ихъ за одну букву и находимъ число перестановокъ изъ шести буквъ. Число ихъ Р6. Но гласныя можно переставить одну на м^сто другой Значитъ для числа пскомыхъ группъ им'Ьемъ 2Р(. = 1 440.
202 Фигурный или наглядный перестановки. Перестановки нЪсколькихъ предметовъ можно представить рисункомъ (графически). Эта остроумная идея, сделавшаяся достояшемъ послйдняго времени, благодаря французскому мате- математику Эдуарду Люка A842—1891), нужно думать, поведетъ еще къ весьма многимъ интереснымъ и важнымъ открьтямъ, или усовершенствовашямъ математическихъ методовъ. Покажемъ здесь, какъ графически изобразить Р4, т. е. все перестановки изъ 4-хъ элементовъ. Такихъ перестановокъ можно сделать, какъ знаемъ, 24. Такъ напр., выпишемъ все переста- перестановки изъ 4-хъ цифръ 1, 2, 3, 4. 1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3142 8214 3241 3412 3421 4123 4132 4213 4231 4312 4321 Чтобы графически изобразить, напр., первую перестановку A 2 3 4), беремъ квадрата, состояний изъ 16 равныхъ клъ"гокъ DX4 = 16) и условимся, что каждый вертикальный столбецъ клйтокъ, считая слива направо и сверху внизъ, будетъ соответ- соответствовать мпсту элемента въ перестановке; а каждая горизон- горизонтальная строка числу, означающему элементъ. Въ такомъ слу- случай, беря перестановку 12 3 4, находимъ. что числу 1 со- соответствуете первая клеточка (сверху) первой строки и перваго столбца: зачернимъ ее; числу 2 соответствуешь вторая клеточка второго столбца и второй строки: зачернимъ ее; числу 3 соот- ветствуетъ третья клеточка 3-го столбца и третьей строки: за- зачернимъ ее, и, наконецъ, числу 4 соответствуете 4-я клеточка четвертаго столбца и четвертой строки: зачернимъ ее. Въ такомъ случае перестановка 12 3 4 графически изобразится фиг. 96-й. Подобно же следующая перестановка 12 4 3 изобразится фигурой 97-ой. Перестановка, напр.. 4 3 2 1 изобразится фиг. 98-ой. На фиг. 99-ой въ последовательномъ порядке представлены графически все 24 перестановки изъ четырехъ элеыентовъ.
12 3 4 203 12 3 4 4 3 2 1 I!- Фиг. 96. Фиг. 97. Фиг. 98. Если бы вместо цифръ элементами перестановки служили, напр., буквы, жетоны, шашки и вообще любые предметы, то, обозна- чивъ каждый предметъ соотв'Ьтствующимъ числомъ, мы опять таки графически изобразимъ Bci перестановки изъ этихъ пред- метовъ, какъ указано выше. Чтобы получить фигурныя перестановки изъ 5 элементовъ, надо взять квадратъ, состоящей изъ 5 X 5 = 25 югЬтокъ. Спо- собомъ, совершенно подобнымъ предыдущему, на этой 25-ти- клйточной квадратной доскгЬ мы можемъ графически представить Bf/b 120 (Р5 = б! = 120) перестановокъ изъ 5 элементовъ. 1 ш щ 1 i 1 ш if ц 1 1 1 12-34 1243 1324 1342 1423 1432 С Н I J К L 1 ш щ щ щ щ щ i М 3 1- 2 I И- 3 2 3 I 11- 2341 2413 243 N ОРО R 1 ш i i 1 s 312» 3142 3214 3241 3412 342 S T U V X Y i ш ш т ш щ ш ш щ ш щ с ш 4123 4132 4213 4231 4312 4321 Фиг. 99.
204 Для получешя фигурныхъ перестановокъ изъ 6 элемеытовъ (Р6=б! = 720) надо взять квадрата въ 6 <6 = 36 клйтокъ и т. д. Вообще, для получешя всЬхъ фигурныхъ переста- перестановокъ нуженъ квадрата, состоящей изъ п-п = п2 клътокъ. Наша общераспространенная шахматная (или шашечная) доска можетъ, следовательно, служить для практическая) полу- получешя фигурныхъ перестановокъ изъ 8-ми элементовъ, т. е. для Р8 = 8! = 40 320. И само собой разумеется, что, прикрывая полосками бумаги ненужныя намъ клетки, мы на этой же шахматной доски можемъ получить квадраты въ 7-7 = 49, въ 6-6 = 36, въ 5-5 = 25, въ 4-4 = 16 и въ 3-3 = 9 клйтокъ, на которыхъ можемъ практически осуществлять фигурныя перестановки Р7, Pfi, Р.я, Р4 и Р3. Задача 52-я. Шахматный вопросъ. Шахматная фигура тура (или ладья), какъ известно, можетъ «брать» всякую фигуру, стоящую съ ней на одномъ столбца клйтокъ или на одной горизонтальной полосъч Всмотритесь въ квадраты на фиг. 99: каждый изъ нихъ представляетъ тоже шахматную доску, но только изъ 16-ти клътокъ. И каждая фигурная перестановка на этой доски представляетъ такое положеше 4-хъ туръ, при которомъ ни одна не можетъ взять другой. Значитъ, на доск^з въ 16 шгЬтокъ 4 туры можно разставить 24-мя способами такъ, что ни одна не можетъ взять другой. На доски изъ 52=25 клйтокъ можно, какъ уже указано, получить 120 фигурныхъ перестановокъ, другими словами это значитъ, что на такой доскъ1 можно раз- разставить 120-ю способами 5 туръ такъ, что ни одна не будетъ брать другой, и т. д. Итакъ, мы приходиыъ къ заключешю, что каждая фигурная перестановка изъ любого числа эле- элементовъ на соответствующей доски даетъ такое расположеше шахматныхъ туръ, при которомъ они не могутъ брать одна другой. Теперь будетъ нетрудно решить вопросъ относящейся къ кашей обыкновенной шахматной доскъ1:
206 Сколькими способами на шахматной доскЬ можно разставить 8 туръ такъ, чтобы ни одна изъ нихъ не могла брать другой? Р'Ьшеше ясно изъ предыдущего: число такихъ способовъ равно числу перестановокъ изъ 8 элеыентовъ. Р8 = 8! = 40 320. Врядъ ли у кого хватитъ терп^шя и времени 40 320 разъ переставлять 8 туръ на шахматной доск^, чтобы разрешить поставленный вопросъ практическимъ путемъ. Между тъчиъ съ помощью теорш графическаго изображешя перестановокъ, данной Э. Люка, вопросъ решается чуть не «въ двухъ словахъ». Во- Вообще, Teopifl соединешй им^етъ большое приложете къ разнаго рода играмъ. Она, какъ и теоргя вероятностей, по остроумному выраженш иныхъ, родилась и выросла за игорнымъ столомъ. Перестановки съ повторешями. Мы ум4емъ пока определять число перестановокъ въ томъ случай, когда все взятые для перестановки элементы различны. Но весьма обыкновении случаи, когда предлагается поставить въ рядъ всеми возможными способами п элементовъ, при чемъ не все элементы разлины между собою. Такъ, напр., возьмемъ слова Сила и Анна. То и другое слово состоитъ изъ 4-хъ буквъ, и относительно перваго мы уже знаемъ, что, переставляя въ немъ буквы всеми возможными способами, мы получимъ 24 различпыхг перестановки (Р4 = 4! = 24). Не то будетъ въ слове Анна. Здесь буква а повторяется два раза, буква н тоже повторяется 2 раза, и если ъъ этомъ слове вы попробуете перемещать буквы всеми возможными способами, то различныхъ перестановокъ вы получите только 6, а именно: айна, анан, аанн. нана, ннаа, нааи. Въ самомъ деле, припишите одинаковымъ буквамъ въ слове анш различные значки; тогда получите 4 различныхъ элемента. Выпишите все 24 перестановки изъ этихъ элементовъ и
206 уничтожьте значки. Вы убедитесь, что въ сущности получается только 6 написанныхъ выше различныхъ перестановокъ. Следовательно, необходимо различать лииеиныя перестановки безъ повторенгй, и перестановки съ повторетями. Число пере- перестановокъ изъ и различныхъ элементовъ мы уагЬемъ найти, но какъ определить число перестановокъ изъ п элементовъ съ повторетями ? Задача эта не представляетъ исобыхъ трудностей, и ыы раврътпимъ ее сразу для общаго случая. Пусть дано п элементовъ, или предметовъ а, Ъ, с, d, . . т. изъ которыхъ не вей различны, но некоторые повторяются, и пусть а повторяется р разъ Ь • q » С » ГУ т » s » Само собой разумеется, что некоторые пъъ элементовъ могутъ не повторяться, т. е. они входятъ только по одному разу. Въ такомъ случай въ ряду чиселъ p. g, г, . . s н^которня будутъ равны 1. ВсЬ же эти числа связаны, очевидно, у&мдаенъ p-\-q-\-r-\- .... -\-s = n. Мы не знаемъ пока числа перестановокъ изъ п элементовъ съ повторен1ями, поэтому просто означимъ его буквой х. Если, теперь, мы найдемъ, въ какомъ отношенш находится это число х къ известному нами числу перестановокъ изъ п эле- элементовъ безъ повторетй, Рп, то и ръчннмъ вопросъ. Итакъ представимъ, что перестановки съ повторетями изъ п элементовъ у насъ всЬ выписаны, и что ихъ х. Возьмемъ теперь первый повторяющейся р разъ элементъ а и приставимъ къ нимъ внизу значки 1. 2, 3, 4 ... р. Такимъ пргемомъ ыы р одинаковы'хъ элементовъ какъ бы обратимъ въ различные и
207 зайдаъ переставимъ эти р элементовъ всеми возможными спо- способами. Такъ какъ изъ р элементовъ получается Рр переста- перестановокъ, и мы д-Ьлаелъ эти перестановки во вс4хъ х переста- новкахъ, то теперь мы получимъ, очевидно, вместо % перестановокъ съ повторешями большее число ихъ, а именно: всего х Рр раз- личныхъ (что не трудно доказать) перестановокъ, где теперь буква Ъ повторяется q разъ, буква с повторяется г разъ, . . . буква т повторяется s разъ. Подобно предыдущему, приставили, значки 1, 2, 3, .... q къ одинаковьшъ элементамъ Ь, сд^лаемъ ихъ такимъ образомъ различными и, переставивъ вс^ми способами, найдемъ, что изъ каждой перестановки (число которыхъ теперь х-Рр) получимъ PQ новыхъ различныхъ перестановокъ; и число всЬхъ такимъ об- образомъ полученныхъ перестановокъ будетъ, очевидно, х-Р Р. г ч Поступая совершенно подобно предыдущему съ элементомъ с, мы увеличимъ еще число различныхъ перестановокъ, которыхъ теперь станетъ уже x-Pp-Pf-Pr и т. д. Когда, наконецъ, мы придемъ къ последнему элементу т, повторяющемуся s разъ. и поступимъ съ нимъ точно такъ же, какъ съ предыдущими, то получимъ, x-Pv-Pq-Pr . . . . Ps перестановокъ. Но какихъ и сколько именно? Ясное д4ло, что путемъ введешя значковъ мы п элементовъ съ повторешями обратили въ п различныхъ элементовъ и описаннымъ выше процессомъ получили, следовательно, всгъ возможныя перем4щен1я изъ п элементовъ безъ повторешй, т. е. Рп. Другими словами, мы нашли, что xPf-Pq.Pr . . . Ps = Pn. Чтобы определить х, надо обгЬ части этого равенства разде- разделить на Рр-Ря-Р, Ps. Следовательно, Р. х~р .р .р р
208 Такова общая формула для нахождешя числа перестановокъ съ повторешями изъ п элементовъ, если различные элементы по- повторяются р, q, г, . . . s разъ. Такъ какъ Р„=1-2 .... р=р\\ 1\ = 1-2 . . . q = q\ и т. д., то формулу эту можно написать такъ: 1-2-3-4 . . . . п 1-2 Р-1-2 g-1-2 г 1-2-3 .... s или въ еще болйе изящномъ и краткомъ вид4 п\ P\-q\-r\ .... si Такимъ образомъ. мы видимъ, что на практики опредйлеше числа перестановокъ съ повторешями не представляетъ шшакихъ затруднешй. Возьмемъ, наприм^ръ, назваше известной горы Араратъ. Сколько различныхъ перестановокъ можно получить изъ соста- вляющихъ это слово буквъ, если отбросить твердый знакъ? Рйшеше сводится къ опредътгенш числа перестановокъ съ по- повторешями. Если отбросить г, остается 6 буквъ, изъ которыхъ а повторяется 3 раза, р повторяется 2 раза. Следовательно, всего различныхъ перестановокъ съ повторешями получается Р6 1-2-3-4-6-6 = 60. 1-2-3-1-2 Задача 53-я. Залъ украшается 14-ю флагами, изъ которыхъ 2 синихъ, з красныхъ, 2 б'Ьлыхъ, з зеленыхъ, 2 желтыхъ и 2 ф1олетовыхъ. Сколькими способами можно ихъ расположить?
209 PiineHie. Отвита находиыъ прямо по выведенной выше формулгЬ для перестановокъ съ повторешями. Онъ есть За круглымъ столомъ. Возвратимся къ задач^ 45-й о церемонномъ о6ътгб 7 лицъ. Задача эта, какъ упомянуто, решена еще въ 17 в^къ1 Озана- ыомъ, и онъ нашелъ, что церемонные гости должны были бы сделать 5 040 пересадокъ, чтобы найти одну, наиболее удовле- удовлетворяющую всъхъ. При болйе внимательномъ разсмотрйнш оказывается однако, что задача эта нуждается въ существен- ныхъ замйчашяхъ. Если вс4 мйста за столомъ принять, какъ совершенно раз- личныя, то ръшеше Озанама въ-рно. Но если принимать въ расчетъ не соседство того или иного стула съ окномъ, печкой, дверью и т. д., а только взаимное расположеше собееЬдниковъ, то д'Ьло меняется. Положимъ, что 7 лицъ обйдаютъ за круглымъ столомъ. Ясно, что относительное положеше вс4хъ объдающихъ не изме- изменится, если по данному знаку вс4 они встанутъ, и затймъ каждый сядетъ на мътто своего сосуда справа, и такъ повторять 7 разъ, пока каждый не возвратится на свое первоначальное м^сто. При такомъ положенш д4ла выходитъ, что Озанамъ принимаетъ за различныя так1я семь прямолинейныхъ переста- перестановокъ, которыя въ сущности равны одной такъ называемой круговой перестановки. Следовательно, найденное Озанамомъ число совм4стныхъ обйдовъ семи лицъ 5 040 надо въ данномъ случа/в уменьшить въ 7 разъ. Получится 720. Съ другой стороны, надо обратить внимаше п на то, что взаимное расположеше гостей не изменится, если они сядутъ такъ, что каждый соеЪдъ справа окажется сосйдомъ слъ\ва. Значитъ, найденное число 720 нужно еще уменьшить въ 2 раза, ВЪ ЦАРСТВ* СМЕКАЛКИ. КН. III. 14
210 т. е. получается всего 360 обедовъ, которыми собесЬдникп могутъ расчесться другъ съ другомъ въ течеше одного лишь года. Къ тому же результату мы пришли бы, если бы одинъ пзъ обЬдающихъ сидтлъ на одномъ и томъ же месте, а остальные шесть перемещались всеми возможными способами. Сдйланныл здесь замечашя относятся и къ задач! 46-й. Такимъ образомъ, къ поняиямъ о простыхъ или линейныхъ перестановкахъ и о перестановкахъ съ повторешями мы должны присоединить еще поняэте о круговыхъ перестановкахъ. Пред- лагаемъ читателю ознакомиться съ ними по другимъ руко- водствамъ. Задача 54-я. Письма и адреса. Имеется п писемъ, и для нихъ заготовлено п кон- вертовъ съ адресами. Сколькими способами можно раз- разместить письма такъ, чтобы ни одно изъ нихъ не на- находилось въ назначенномъ для него конверт^? Решете. Задача сводится къ определешю числа такихъ перестано- вокъ изъ п буквъ съ различными значками, какъ а1} Ъ2, с3,... )/v, въ которыхъ ни одна буква не находилась бы на томъ мйстъ1, которое указано ея значкомъ-номеромъ. Известно не- несколько piinemfi этой задачи. Вотъ одно изъ простМшихъ: Обозначимъ письма буквами а. Ь, с, . . ; конверты бу- буквами а', Ь', с', . . Пусть требуемое число будетъ F(n). а можно положить въ любой изъ п—1 конвертовъ 6', с'.... Пусть а положено въ к'; к можно положить въ а', и тогда всЬ остальныя письма можно разместить не въ надлежапие кон- конверты F(n—2) способами. Также, если а положить въ к', то остальныя письма можно разместить такъ, чтобы к не попало въ «', Ь не попало въ Ъ', и т. д. Щп—I) способами.
211 Итакъ, если а положено въ к\ то можно удовлетворить за- задач!; ?(п — 1) -f- F(n — 2) способами. То же самое будетъ, если а будетъ помещено въ какой угодно изъ пакетовъ Ь', с', ¦. Следовательно, Ъ\п) = (и - 1)[ Цп - I) + Цп - 2)}, или Р(да) — даГ(да — 1) = — Щп — 1) - (» — l)F(n — 2)J. Подобнымъ образомъ ?{п— 1) — (да — 1)F(» — 2)= — Щп — 2) — (да — 2)F(n — 3)], FC) — 3FB) = — [FB) —2FA)J. Но, очевидно, FB)=l и F(l) = 0; поэтому F(») — »F(» — 1) = (— 1)". Откуда Цп) F(n — 2) =(l 1 \-2....n 1-2....(да—1) * ' 1-2....(да—1) Подобно этому 1-2....(да—1) 1-2....(да—2) 1-2 ... .(да —1) 1-2 l.] Отсюда, складывая, находимъ: 3 J l '"l 1-2-3-да;
212 Разм^щеюя. Задача 55-я. Зададимъ ce6i такой простой вопросъ: Сколько различныхъ двухзначныхъ чиселъ можно составить изъ трехъ цифръ I, з, 5? PinieHie. Вопросъ можно выразить другими словами такъ: изъ трехъ различныхъ цифръ составить всЬ возможный группы по дв4 цифры такъ, чтобы всЬ эти группы отличались или самими цифрами или только порядкомъ ихъ. Чтобы получить Bci нужпыя намъ группы безъ пропусковъ и повторешй, поступаемъ такъ: беремъ поочередно каждую изъ данныхъ цифръ 1, 3, б и приставляем ъ къ нимъ справа каждую изъ остальныхъ двухъ цифръ. Получаемъ 13 31 61 15 3 5 5 3 т. е. всего 3-2 = 6 группъ. Мы условились выше приставлять къ каждой цифрй осталь- ныя цифры справа. Само собой разумеется, что дйло не изме- изменилось бы, если бы мы приставляли къ каждой цифрй остальныя не справа, а слгЬва. Слйдуетъ только, во избйжаше путаницы, помнить разъ поставленное услов1е и приставлять элементы или только справа, или только слива. Зам^тимь также, что если бы въ данной задач^ мы зада- задались вопросомъ получить изъ 3-хъ цифръ вс4 возможныя группы по 3, то пришли бы къ изв4стнымъ уже намъ линейнымъ пе- рестановкамъ изъ трехъ элементовъ.
213 Прибавиыъ еще одинъ элементъ, т. е. возьмемъ четыре нечетныхъ цифры 1, 3, 5, 7 и спросимъ себя, сколько можно получить пзъ этихъ четырехъ различныхъ группъ по двъ1 цифры, отличающихся или самими цифрами, или порядкомъ ихъ. Дру- Другими словами: изъ четырехъ различныхъ цифръ сколько можно составить различныхъ двухзначныхъ чпселъ? Чтобы получить все искомыя нами группы по двй цифры безъ пропусковъ и повторешй, опять, подобно предыдущему, бе- ремъ каждую цифру по очереди и приставляемъ къ ней справа все остальныя цифры. Получаемъ 13 31 51 71 15 3 6 53 73 17 37 57 75 Всего 4X3 = 12 различных^, двухзначныхъ чпселъ. Сколько изъ тйхъ же элементовъ 1, 3, 5, 7 можно соста- составить различныхъ группъ по 3 цифры въ каждой группй? Чтобы получить ихъ все безъ пропусковъ и повторешй, мы, очевидно, должны взять все вышенаписанныя двухзначныя группы и къ каждой изъ нихъ приписать недостающее элементы справа. Такимъ образомъ получаемъ: 135 315 513 713 137 317 517 715 153 35 1 531 73 1 157 357 537 735 173 371 5 71 751 175 375 573 753 Всего 4 X 3 X 2 = 24 группы. Если задаться цйлью найти все подобныя группы изъ всйхъ четырехъ данныхъ элементовъ, то придемъ опять къ изв^стнымь намъ линейнымъ перестановкамъ.
214 Соедииетя, о которыхъ мы сейчасъ говорили, носятъ на- назван ie простыхъ разм*щенш. Следовательно, выше мы находили: 1) число простыхъ раз- размещены изъ 3-хъ элементовъ по 2; 2) пзъ 4-хъ элементовъ по 2 и 3) изъ 4-хъ элементовъ по 3. Обозначаютъ число раз- мйщешй обыкновенно буквой А (по-французски размчъщете— Arrangement) съ двумя указателями справа—внизу и вверху. Нижшй указатель показываетъ число всгьхъ элеиентовъ, взятыхъ для разм'Ьщешй, а верхшй, по сколько такихъ элемен- элементовъ берется для каждой группы. Значить, выше мы нашли, что Вообще: Если взята и длементовъ а, 6, с, d, е, . . . . т, и изъ этихъ элементовъ составлены всевозмооюныя группы по I" элементовъ, отличающаяся или самими элементами пли только порядкомъ им, то татя соединения называются разм1ъщен1ям11. Число размйщешй изъ п элементовъ по к обозначается, со- к таено предыдущему, символомъ А . Каждое же подобное раз- лъчцсте носитъ также назваше размгьщенгя к-го порядка. Размъчцетя во многихъ вопросахъ математики им4ютъ важное значеше. Покажемъ общш пр1емъ, какъ найти число размйщо- Hifl изъ п элементовъ по к; другими словами,—чему равно А . Число разм4щен1й. Пусть дано п элементовъ: и, Ь, с, d, e, т. Сколько можно изъ этихъ элементовъ составить раз- мЪщенш Jc-to порядка (или разм-Ьщен1й изъ п элемен- элементовъ по kj? Прежде всего зам'Ьтииъ, что число размйщешй изъ п эле- элементовъ а, Ь, с, cl, т по одному (или 1-го порядка) равно, очевидно, самому числу элементовъ, т. е.
216 Составимъ, теперь, веЬ разит^щетя 2-го порядка. Для этого, по предыдущему, чтобы получить ихъ всЬ безъ пропусковъ п повторенш, беремъ каждый элементъ поочередно я прпставляемъ къ нему последовательно по одному справа веЬ остальные и — 1 элементовъ. Получпмъ таблицу а Ь Ь а с а та ас be с Ь т Ь ad Ь (I с d... . т с а е be се т d al Ы cl mi . am b m cm ml Разсматривая эту таблицу, легко показать, что въ ней на- находятся, действительно, вечь раз!Йщен1я 2-го порядка, ни одно не опущено и не повторено. Въ самомъ д-елЬ, для получешя столбцовъ таблицы брались поочередно всю п элементовъ а. Ь, с,....т и къ каждому прибавлялись справа по одному остальные п—1 элементовъ. Значитъ, ни одно размйщеше не могло быть опущено. Но ни одно и не повторено, потому что сравнивая любыя два размйщешя таблицы, мы находимъ, по за- закону ея составлетя, что если эти размйщешя находятся въ одномъ и томъ же столбцъ1, то они должны различаться последними буквами, а если въ разныхъ столбцахъ, то они различаются первыми буквами. Итакъ, въ таблнц'Ь н^тъ ни пропусковъ, ни повторешй. Для подсчета же содержащихся въ ней разыйщенШ 2-го порядка достаточно заметить, что въ таблиц'Ь п столбцовъ, а каждый столбецъ содержитъ и — 1 членовъ (т. е. въ та- блицъ' и — 1 строкъ). Следовательно, К =«(«— 1)-
216 Составимъ, дал'Ье, таблицу всЬхъ возможныхъ разм^щешй пзъ п элемептовъ по 3, или размЬщешя 3-го порядка. Для этого беремъ нашу таблицу разм&щешй 2-го порядка и къ ка- каждому изт, разм'Ьщетй этой таблицы прпставляемъ справа пооче- поочередно по одному всЬ остальные п — 2 элемента. Получается новая таблица: аЬ с асЬ Ъса ml a ah d а с d..... Л) с d ml Ь ahe асе Ьсе ml с аЫ a cl b cl а Ьт a cm Ьст mli Разсуждегпяыи, подобными приведеннымъ относительно та- таблицы размфщешй второго порядка, можно показать, что въ этой таблиц^ дМствительно содержатся всЬ размйщетя изъ п элемептовъ 3-го порядка безъ пропусковъ и повторетй. А такъ какъ изъ п (п — 1) двойныхъ разм4щен1Й каждое дало п — 2 разм^щетя третьяго порядка, то число всЬхъ разм^щенШ 3-го порядка изъ п элементовъ будетъ: к\=п (п — 1) (п~2). Для числа разм^щетй изъ п элементовъ по 4 разсужде- н1ями. подобными предыдущимъ, получимъ А* =п(п—1) (п — 2) (п — 3). Точно также А* =п(п — 1) (п — 2) (я — 3) (п — 4).
217 И т. д. Какъ видимъ, числа, выражающдя число разм-Ь- щешй изъ и элементовъ по 1. по 2, по 3, по 4 и т. д., со- составляются Bci но одному закону: Каждое такое число состоитъ изъ множителей, первый изъ которыхъ есть п, а каждый сл4- дуюшдй на единицу меньше. Число множителей равно числу порядка размйщетй, т. е. для размъчценш изъ п элементовъ 2-го порядка имйемъ, какъ вид'Ьли, два множителя п (п—1); для размъчцешй 3-го порядка—3 множителя: п (п— 1) (п—2) и т. д. Можно сказать и такъ, что первый множитель бу- детъ п, а послъдтй Сдля разм^щетя порядка к) будетъ п — А + 1. Остальные множители составятъ рядъ промежуточныхъ по- сл^довательныхъ натуральныхъ чиселъ между п и п — к-\- 1. Такимъ образомъ, для числа размйщешй изъ п элементовъ по к будемъ им'Ьть общую формулу А* = »(» —1)(ю —2) (п — к+1), т. е. числоразм7ыцент изъ п элетентовъ покроено произ- ведстю к множителей, изъ которыхъ первыйравенъ пу а осталь- остальные уменьшаются последовательно на 1. Общность приведенной формулы необходимо, впрочемъ, дока- доказать бол'Ье строго, что желающей можетъ сдЬяать самъ, руко- руководствуясь предыдущимъ или обратясь къ любому хорошему учебнику. Полныя разм^щешя или разм^щетя съ повторениями. Возьмемъ п элементовъ а, Ь, с, d г, I, т. Читатель помнить, что при составлеши простыхъ pasnii- щетпй 2-го, 3-го, 4-го и т. д. порядка мы руководились слъ'- дующимъ правшгомъ: для получен1я таблицы размйщешй 2-го порядка брали каждую изъ буквъ и приставляли къ ней справа всгЬ остальным. Для получешя таблицы разм'Ьщетй 3-го порядка
218 мы брали таблицу размъчцешй пзъ п элемеитовъ по 2, и къ каждому такому разм'Ьщенш приставляли справа по одной остальныя п — 2 буквы (элемента) и т. д. Такимъ образомъ мы получали группы изъ п буквъ по 2, по 3 я т. д., которыя разнились пли порядкомъ расположешя, или выборомъ элелен- товъ, по повторены одного и того элемента въ такпхъ груп- пахъ не было. Бозьмемъ, теперь, тъ1 же п буквъ а, Ъ, с, I, m и бу- демъ составлять изъ нихъ таблицы разм-Ьщешй 2-го, 3-го, 4-го и т. д. порядка по болЪе общему закону, а именно: къ каждой буквй для получешя по 2 будемъ приписывать не остальныя п — 1 буквъ, а есть буквы безъ исключенья. Такимъ образомъ мы получимъ таблицу двойныхъ полныхъ размгьщенш, или раямгыценш съ повторешями, ибо буквы въ размъщешяхъ могутъ повторяться. а Ъ с а и а а Ъ с Ь b Ь ас. . . be. . . се. . а г .Ы с я а Ь е г г i а т Ь т с т тa inb тс. . . т i ml m m Число этихъ полныхъ размйщешй изъ п элементовъ по 2 найти легко. Ясно, что каждая изъ п буквъ даетъ также п п размйщенШ, а потому вевхъ размъчцешй съ повторен1ями изъ 11 элементовъ по два будетъ п • п = п2. Или, обозначая число размъ-щетй съ повторен!ями изъ -// элелентовъ по 2 синволомъ В . еаиишемъ, что Составдяемъ, далгЬе, таблицу размъ'щенШ съ повторешями изъ п злементовъ по 3. Для этого беремъ предыдущую та- таблицу полныхъ размйщешй по 2 и къ каждому размйщенш этой таблицы прпписываемъ по одному справа вегь бозъ исключения элементы. Такъ что двойное размт>щете а а дастъ п тройныхъ а аа а аЬ аа с aai a al a am
219 Двойное размйщеше аЪ дастъ опять п тройныхъ: аЬa abb abc а 1> г ahl abш и т. д. Путемъ разсуждешй, знакомыхъ наыъ изъ предыдущей главы, легко доказать, что въ полученныхъ нами таблицахъ сочеташй н'Ътъ ни пропусковъ, ни повторешй однихъ и т'Ьхъ же разм'Ьщенгй. Каждое двойное размйщеше даетъ, какъ видимъ, п трой- иыхъ, но всЬхъ двойныхъ разайщенШ п2, следовательно, полу- получается всего п1 An = s тройныхъ полныхъ разм'ЬщенШ, или: Точно также легко вывести, что В* = ?^4, В =#, В =«-с и т. д. Вообще В" = п\ п Задача 56-я. Бросаютъ три игральныхъ кости. Сколькими спо- способами он-fe могутъ вскрыться? Игральная кость представляетъ собой костяной кубикъ, на каждой сторон^ (грани) котораго обозначено известное число «очковъ» (цифрой или точками). Такъ какъ въ кубикЪ шесть граней, то и числа очковъ будутъ на граняхъ кубика 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Иная это, легко решить вопросъ. Каждая кость мо- жетъ, упавъ, показать любую изъ 6-ти граней. Берется три такихъ кости. Число соединешй каждой съ каждой находятъ, очевидно, какъ число размйщенш съ повторен1ями изъ 6-ти элементовъ по 3. Т. е., подбросивъ 4 кости, мы можемъ полу- получить одну пзъ б3 = 216 комбинаций.
220 Задача Сколько можно написать трехзначныхъ чиселъ изъ десяти цифръ I, 2, з, • • • • >9? Р-Ьшеше. Очевидно, столько, сколько можно сделать полныхъ (ст. повторешями) размйщешй изъ 9 элементовъ по три, то есть Сочеташя. Разсмотримъ еще виды соединешй, имйющихъ постоянное приложеше въ различныхъ отд'Ьлахъ математики: Изъ п элементовъ а, Ь, с, d, m требуется соста- составить, сколько возможно, такихъ группъ по Тс элементовъ, чтобы каждая отличалась отъ остальныхъ по крайней мпргь однимъ элементомъ. Соединешя подобнаго рода носятъ въ математики назваше простыхъ сочетант. Какъ видимъ, здгЬсь группы отличаются одна отъ другой не порядкомъ, а выборомъ элементовъ. Число сочеташй изъ п элементовъ по к обозначается обы- обыкновенно буквой С со значками справа п и Jc (вверху и внизу) сл'Ьдующимъ образомъ С . Рапыпе ч?мъ идти дал4е и показывать, какъ составлять таблицы сочеташй и находить число ихъ, сдйлаемъ краткое замйчаше о всЬхъ видахъ соединешй, съ которыми мы позна- познакомились. Итакъ, мы знаемъ перестановки, размгъщетя и сочетатя и должны всегда помнить, что перестановки Ри отличаются только порядкомъ элементовъ, сочетатя С » » выборомъ » размпщетя А отличны или порядкомъ или выборомъ »
221 Составлеше сочеташй. Берется п элементовъ: а, I, с, d, i, I, т. Это и будутъ, очевидно, сочеташя изъ п элементовъ по одному. Чтобы получить таблицу парныхъ сочеташй изъ т4хъ же элементовъ, мы должны помнить, что каждое сочеташе должно отличаться отъ другого хоть одной буквой. Для лолучешя подобныхъ группъ беремъ каждую данную намъ букву по порядку, кромгь по- слгъдньй, и къ каждой такой взятой букв1}; приписываемъ только по одной вс4 сл1ьдующ%я за ней. Получается таблица пЪ а h с с a d Id cd а b с е . . . . е . . . е . . . . ..at . . .hi . . . с i а h с i / / I I am b m с т i m I m Легко разобраться, что эту же таблицу мы получили бы, еслибъ взяли таблицу парныхъ размъчцешй изъ п элементовъ и выбросили бы изъ нея виз размйщешя, отличаюшдяся только порядкомъ буквъ. Для получешя тройныхъ сочеташй изъ п элементовъ бе- беремъ каждое изъ вышенаписанныхъ двойныхъ сочеташй, кромгЬ послйдняго столбца, содержащаго последнюю букву {а т, Ъ т, cm Im), и приписываемъ къ каждому такому соче- танда последовательно по одной каждую изъ слмдующихъ буквъ. Получается таблица а Ь с abd a b с а Ъ I abm ас d асе acl а с т и т. д. Словомъ, способъ последовательна^) получешя таблицъ со- сочеташй изъ п элементовъ 2-го. 3-го, 4-го и т. д. порядковъ уяснить и усвоить не трудно. Но какъ подсчитать число полу- ченныхъ при этомъ группъ?
222 Число сочетанш. Еслп взять п элементовъ, то между числомъ сочеташй изъ этихъ п элешентовъ по к, (С*), числомъ размйщешй изъ т-Ьхъ же п элешентовъ по к, (А*п)} и числомъ простыхъ перестановокъ изъ к элементовъ, (FJ, можно установить следующее соотношеше: А" г<" г>" = L> .г , и п ' т. е.: Число размъ-щенШ изъ п элементовъ по к равно числу сочеташй изъ п элементовъ по к, умноженному на число перестановокъ изъ к элементовъ. Чтобы установить это весьма важное соотношеше, разсу- ждаемъ такъ: Представишъ, что способомъ, описаннымъ только что выше, у насъ составлена таблица всЬхъ сочетанШ изъ п элементовъ по к. Число ихъ означаешь символомъ С*. Вспомнимъ зат^мъ, что вс4 эти сочеташя отличаются другъ oti. друга не поряд- комъ разстановки элементовъ, но самими элеменами (хоть од- ыимъ изъ нихъ). Между т^мъ разм4щешя изъ п элементовъ по 1с могутъ отличаться одно отъ другого и порядкомъ pa3M"b- щен1я и самими элементами. Зная это, мы изъ таблицы вс^хъ сочетание изъ п элементовъ по к можемъ получить таблицу всФхъ размчыценгй изъ п элементовъ по к. Для этого изъ нашей воображаемой таблицы сочетатй бе- релъ каждое сочетате (содержащее по к буквъ) и дъмаемъ въ немъ всевозможныя перестановки. Число такихъ перестано- перестановокъ, полученныхъ изъ каждаго сочеташя, будетъ, какъ знаемъ, Р, а такъ какъ всЪхъ сочетан!й С", то, значитъ, мы получимъ всего С*.Рв группъ соединенШ. Покажемъ теперь, что такимъ путемъ мы получили именно таблицу вейхъ разм4ще)Пй изъ п элементовъ по к безъ про- пусковъ и повторен1й (Число такихъ разм'Ьшешй, какъ знаемъ, обозначается А^).
2-22, Въ саыомъ д'Ьл'Ь, если взять изъ составленной таблицы два члена, то: или они происходятъ отъ двухъ разныхъ сочетаний, и въ такоыъ случай различаются буь-ваып; или же происходят, изъ одного и того же сочеташя,—и въ такъ случай разнятся порядкомъ буквъ. Следовательно, и таблица не содержитъ иовторешй. Въ ней нгЬтъ и иропусковъ. Въ самомъ д-влй. вообразишъ некоторой члепъ группы А , не обращая внимашя на порядокъ буквъ въ немъ. Этотъ членъ представляетъ неко- некоторое сочеташе изъ т буквъ по /с, и, сл^девательно, если не обращать внимашя на порядокъ его буквъ, онъ находится въ rpynni С . Такъ какъ буквы этого сочеташя были перемещены всеми возможными способами, то любой разсматриваемый членъ необходимо содержится въ числе полученныхъ размещения. Изъ всего вышесказаншич) ясно, что мы въ праве написать соотношеше которое для числа сочеташй изъ п элементовъ по к даетъ вы- ражеше , А* или * _ и {п 1) (« — 2) (п — к-\-1) - 1.2-зтг: "-к ' что словами можно выразить такъ: число сочетангй изъ п эле- ментовъ по к равно произведенью к цплыхъ чиселъ, после- последовательно убывающихъ па 1 и первое изъ которыхъ есть и, деленному на произведете натуральныхъ чиселъ отъ 1 до к, Задача 57-я. Выборы въ комиссию. Изъ 7 русскихъ и [-хъ н'Ьмцсвъ нужно составить комисспо въ 6 лицъ. Сколькими способами можно это
224 сделать, если въ составъ комиссш должно войти не бол-fee и не мен-fee, какъ 2 нъ-мца? Р'Ьшеше. 4 Выборъ русскихъ можетъ быть сд'Ьланъ С способами, а 2 выборъ нъ'мцевъ С способами. Каждую группу первыхъ можно сочетать съ каждой группой вторыхъ. Для искомаго числа, значить, имъ'емъ: Задача 58-я. Изъ 4-хъ духовныхъ и S-ми св-Ьтскихъ лицъ должна быть составлена комиссия въ 6 челов-Ькъ. Сколькими способами можетъ быть сд-Ьланъ выборъ, если: т) въ составъ комиссш должно вхоидть только одно духов- духовное лицо; 2) если въ нее должно войти по меньшей м-fep-fe одно духовное лицо? Решение. Отвита на первый вопросъ есть, очевидно (см. предыдущую задачу), 5 Во второмъ случай дъж» нисколько сложнее: необходимо при- принять во внимайте вей возыожныя комбинацш, такъ какъ компс- с1я можетъ состоять: изъ 1-го духовнаго и 5 свътскихъ, или изъ двухъ духовныхъ и 4-хъ свътекихъ, или изъ 3-хъ духов- духовныхъ и 3-хъ свъ'тскихъ, либо, наконецъ, изъ 4-хъ духовныхъ и 2-хъ св^тскихъ. Совокупность вейхъ возможныхъ при этомъ сочета- Hifl даетъ
226 Задача 59-я. Сколькими способами 7 русскихъ и 7 французовъ могутъ разместиться за столомъ такъ, чтобы не ока- оказывалось двухъ французовъ рядомъ? Ptnieirie. Если одпнъ изъ русскихъ, напр., будетъ постоянно сидгЬть на одноыъ и тошъ же м'Ьст4, то остальные pyccKie могутъ переме- перемещаться столькими способами, сколько можно сделать переста- новокъ изъ 6-ти элементовъ, т. е. Рс способами. Каждой такой ихъ разсадкй будетъ соответствовать 7 М'Ьстъ, которыя могутъ быть заняты французами Р7 способами. Значитъ, искомое нами число будетъ Р„.РЧ=3 628 800. Задача 60-я. Замокъ съ секретомъ состоитъ изъ трехъ колецъ съ 15-ю различными буквами каждое. Сколько безу- спътиныхъ попытокъ возможно сдЪлать раньше, чъ^мъ отпереть замокъ? Р-Ьшеше. Первому кольцу можно дать 15 различныхъ положешй, столько же второму и столько же третьему. Bci эти положешя соединяются каждое съ каждым-ь. Следовательно, число раз- различныхъ возможныхъ попытокъ открыть заиокъ есть 1 б • 15 • 15 = = 3 375. Но изъ нпхъ удачной ыожеть быть только одна. Значитъ, число неудачныхъ равно 3 374. ВЪ ЦАРСГГВТ. СМЕКАЛКИ. КН. III. 1п
Способъ ша^татной доски. Съ шахматной доской на протяженш трехъ книгъ «Въ ЦарствЪ Смекалки» мы встречались уже не разъ. Очень мнопе, съ виду сложные, вопросы ариометики и алгебры решаются весьма просто употреблешеыъ шахматной доски. Сл^дуетъ только помнить, что подъ шахматной доской мы понимаемъ не одну обыкновенную шашечницу изъ 64-хъ клйтокъ, но каждую квадратную или прямолинейную фигуру, разделенную на ква- дратныя шгЬтки. Пользуясь такой доской, можно, напр., быстро решить слйдуюшдя интересный задачи. Задача 61-я, Найти сумму п первыхъ цЪ- лыхъ натуральныхъ чиселъ по способу шахматной доски. Р-Ьшеше. Для рйшешя вопроса беремъ доску въ вид4 прямоугольника: высоту его дйлимъ на п равныхъ частей, а основаше на п -\-1 ча- частей, т. е. наша фигура состоитъ изъ п горизонталей (лиши) и п-\-1 вертикалей (колоннъ). На нашей фиг. 100-й им'Ьемъ 9 клйтокъ по линш и 8 въ колоний (Всего 8-9 = 72 клетки). ?/&'/¦ .;/ '" Фиг. 1OU.
227 Загптрихуемъ первую слива кл-Ьтку 1-ой лишп, 2 иервыхг второй, В первыхъ третьей и т. д. Тогда все число заштрихо- ванныхъ кл'Ьтокъ выразится суммой 1 + 2 + 3 + 4+ + ,». Но и число бЬшхъ кл-Ьтокъ, если его считать снизу вверхъ, тоже будетъ 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + п. Все же число кл'Ьтокъ нашей доски равно п(п-\~1). Следовательно, 2 A + 2 + 3 + 4 . + ») = я(и + 1). Отсюда для суммы п первыхъ натуральныхъ чиселъ им'Ьемъ 1+2 + 3 + 4+ » = 1>^+1>. Задача 62-я. Способомъ шахматной доски показать, что 8A+2+3 + 4+- . +и)+1=B»+])8. PinieHie. Беремъ квадратную доску, на которой каждая лпшя и каждая колонна состояла бы изъ 2?г + 1 клътокъ. Оставпвъ централь- центральную клетку бйлой, затемнимъ нътоторыя изъ остальныхъ такъ. какъ показано на фигуръ1 101. Каждая затемненная часть содер- житъ, очевидно, 1 + 2 +. . + п клътокъ. Внъ1 центральной кл^Ьт- ки им4енъ 4 одинаковыхъ 64- лыхъ части. Ольх, все число кл^- токъ фигуры, равное С2«+1J, слагается изъ четырехъ заштри- хованныхъ частей, четырехъ та- кихъ же б'Ьлыхъ и изъ цен- центральной клетки, т.-е. 8A + 2 + 3+. . +я)+ 1=B»+1J. 1 V ; i1 ¦¦'¦, ; 1 '¦I , "IT 1 J- '"¦ 1 lrt 1 : ,'i г' i>. , '" j' .¦ M ' '! il> ;1! , 1'; 1 Фиг. 101. 16*
Отрывки изъ Teopiu вероятностей. ...«Teopia вероятностей есть въ сущности не что иное, какъ здравый смыслъ, сведенный къ исчисленш: она заставляете оценивать съ точностью то, что здраво развитые умы чув- ствуютъ какъ бы инстинктомъ, часто не умЗзя дать себе въ этшъ отчета. Если принять во внимаше аналитичесие методы, кото- которые возникли изъ этой теорш, истинность принциповъ, олужа- щихъ ей основашемъ, утонченную и изящную логику, которой требуетъ примкнете ихъ къ решенш задачъ, учреждешя обще- общественной пользы, опирающаяся на нее, и распространеше, кото- которое она получила и можетъ еще получить при прим'Ънеши ея къ важнМшимъ вопросамъ натуральной философш и нравствен- ныхъ наукъ; если, зат^мъ, заметить, что даже въ такихъ обла- стяхъ, которыя не ыогутъ быть подчинены исчислен1ю, она даетъ самые вирные взгляды, которые могутъ нами руково- руководить въ нашихъ суждешяхъ, и что она насъ учитъ предохра- предохранять себя отъ иллюзШ, которыя насъ часто сбиваютъ съ в-вр- наго пути,—мы увидиыъ, что н^тъ науки, болйе достойной на- нашихъ размышленш, и что было бы очень полезно ввести ее въ систему народнаго просвйщешя». Такими словами велики Лапласъ заканчиваете свою знаме- знаменитую книгу «Опытъ философш теорш вероятностей», которую
229 рекомендуемъ внимашю каждаго (есть въ русскомъ переводе). Никто, за исключетемъ разве Якова Бернулли, для теорш вероятностей не сд'Ьлалъ до сихъ поръ столько, сколько Ла- пласъ, и никто съ болыпимъ правомъ, ч^мъ онъ, не можетъ настаивать на необходимости самаго пшрокаго распространена этой области математическихъ знанш. Впрочемъ, все более и более развивающаяся культурная жизнь народовъ лучше всего доказываете справедливость заключешй и требовашй Лапласа. Развипе всякаго рода систематической статистики, вычислешя, связанныя съ самыми тщательными измерешями, бюметр!я, различнаго рода страховашя, сделавппяся важнымъ факторомъ экономической и сощальной жизни широкихъ народныхъ массъ,—• все это основано на математической теорш вероятностей и лучше всего свидетельствуете о томъ значеши, которое можетъ иметь эта наука даже въ повседневномъ обиходе каждаго обра- зованнаго человека. Мы не сомневаемся, что не такъ далеко время, когда Teopifl вероятностей изъ стенъ некоторыхъ выс- шихъ и спещальныхъ школъ перейдетъ во все наши средтя школы. Сделать это темъ болье легко, что изложеше элемен- товъ учешя о теорш вероятностей не требуетъ введешя такъ называемой «высшей» математики. Подтверждешемъ этого слу- житъ попытка (къ сожалетю, не вполне законченная4 проф. В. П. Ермакова. Въ 1884—85 году въ издававшемся имъ тогда «Журнале элементарной математики» уважаемый профес- соръ поместилъ две статьи изъ теорш вероятностей въ эле- ментарномъ изложенш. Ниже мы даемъ вторую изъ нихъ, не сомневаясь, что подобное чтете доставите любителямъ матема- математики помимо пользы и живейшее удовольств!е. Русскимъ популяризаторомъ математическихъ знашй давно уже пора бы пойти по пути, указанному въ этомъ отношенш нашимъ талантливымъ ученымъ, а педагогамъ заняться соста- влешемъ элементарнаго курса теорш вероятностей, приноро- вленнаго къ школьнымъ требовашямъ. Сделать это следовало бы темъ более, что русская наука въ праве гордиться если не количествомъ, то качествомъ своихъ трудовъ въ области исчи- слешя вероятностей. Имена нашихъ академиковъ Вуняковскаго, Чебышева и Маркова известны всему ученому Mipy не одной
230 только Россш. А поньш'Ь во славу науки здравствующей А. А. Марковъ создалъ, между прочпмъ, курсъ «Исчпслеше Вероятностей», равнаго которому не найдется теперь во всей математической литератур^ (мы исключаемъ, конечно, изъ срав- нешя так1е классичесше труды по теорш вероятностей, какъ Лапласа). Сжатый и м$ткШ, но слишкомъ специальный, языкъ хотя бы того же А. А. Маркова остается только во многихъ случаяхъ опростить (не въ ущербъ, конечно, смыслу), а таин- таинственные (съ виду) символы и формулы переложить на обык- обыкновенный ариеметическШ языкъ. чтобы получить требуемое. Въ нашемъ дальнМшемъ изложеши мы не пресл^дуемъ, впрочемъ, систематически ни одной пзъ изложенныхъ выше задачъ. Сущность и ц^ль настоящей книги—не въ этомъ. Если рядомъ легкихъ и интересньт^ъ задачъ, историческими справками и отрывками изъ ценныхъ сочинешй по предмету мы дадимъ читателю истинное поняйе о предмет^ и подвиг- иемъ его къ чтенш и изученш предмета по оригинальнымъ сочинешямъ, то наша ц^ль будетъ вполн'Ь и совершенно до- достигнута. Хорошо будетъ даже то, если мнопе изъ читателей дадутъ ce6i ясный отчетъ въ томъ, что же это за столь упо- употребительное слово... «Вероятность»... Задача 63-я (Кавалера де-Мере)- Недоконченная игра. Два игрока, поставивши поровну, начали игру, усло- условившись, что тотъ, кто раньше выиграетъ извЬстное число партш, получить всю ставку. По нЬкоторьшъ обстоятельствамъ игра не могла быть окончена и прекра- прекратилась въ тотъ моментъ, когда первому игроку не хватало до конца одной, а второму двухъ napTift. Спрашивается, какъ игроки должны поделить ставку между собою? Знаменитый Паскаль, о которомъ мы не разъ уже упоми- упоминали, р'Ьшилъ эту задачу следующим!, разеужденюмъ:
231 Первый игрокъ говоритъ второму: «Половина ставки прй- надлежитт, мнй безспорно, такъ какт. даже въ томъ случай, если бы ты выигралъ следующую партш, наши шансы на получете ц/Ьлой ставки были бы одинаковы. Что касается вто- второй половины, то шансы наши на ея получеше одинаковы, а потому разд$лимъ ее пополамъ». Значить, первый игрокъ получаетъ три четверти, а вто- второй одну четверть всей ставки. Само собой разумеется, что оба игрока считаются совер- совершенно равносильными другъ другу, что въ костяхъ или кар- тахъ, или въ чемъ бы и чъ'мъ бы они пи играли, н4тъ ника- никакой фальши,—словомъ,—окончательный результатъ игры зави- ситъ отъ случая, равновозможнаго для того и другого игрока,— и на итомъ-то зиждется все ръчпеше задачи. Что же такое случай и какъ понимать это слово?.. Впро- чсмъ объ этомъ придется говорить особо. Игра въ кости и зачатки математической TeopiH Вероятностей. / Только что решенная 63-я задача весьма знаменита въ л-втописяхъ науки. Задачу эту въ 1654 году кавалеръ де-Мере предложилъ для разрйшешя своему другу, знаменитому Па- Паскалю. ПоштЬдшй р-Ьшилъ ее и для бол4е общаго случая, когда до конца первому игроку не хватаетъ, вообще говоря, т, а второму п партш. Р4шивъ задачу самъ, Паскаль предложилъ ръ-шить ее п своему не ленЪе знаменитому современнику Ферма. Этотъ также не замедлилъ найти ръчпеше задачи, но способомъ, отличнымъ отъ способа Паскаля (при помощи теорш сочеташй) и притомъ уже не для двухъ только, я для любого числа игро- ковъ. По поводу каждаго изъ рйшешй между великими мате- математиками завязалась переписка и... Такимг образо.мъ были положены основания математи- математической теорги търоятностеп, которая съ этого времени дъ1- лаетъ весьма быстрые успехи.
232 •) Страстный пгрокъ въ кости, кавалеръ де-Мере, какъ ви- димъ, поэтому также долженъ быть отнесенъ къ числу «осно- «основателей» теорш вероятностей. Заслуга его состоптъ въ томъ, что онъ настойчиво заставлялъ математиковъ решать различ- ныя задачи, на которыя наталкивался самъ во время своей практики игры. Ниже мы приведемъ еще одну изъ задачъ де- Мере, предложенную толу же Паскалю и относящуюся тоже къ игрЪ въ кости, а потому необходимо нисколько ознакомиться съ понятемъ объ этой игр4. «Кость» въ данномъ случат, есть не что иное, какъ костя- костяной кубикъ, на граняхъ котораго отмечены кружочки-очки: на одной грани—одно очко, на другой—два. на третьей—три и т. д. до шести (въ кубт, 6 граней). Игра обыкновенно состоитъ въ выбрасываши одной или н'Ьсколькихъ костей и зат'Ьмъ въ подсчет^ суммы выиавшаго числа очковъ. Самый простой способъ игры тотъ, что выбросивипй наибольшее число очковъ полу- чаетъ всю ставку, но ясно, что игру можно всячески разно- разнообразить. При каждомъ новомъ условш, вводимомъ въ игру, является воиросъ: для кого теперь изъ игроковъ существуешь наиболее шансовъ выиграть. Такимъ образомъ возникали и создавались задачи, д4лавпляся достояшелъ математиковъ, при чемъ обыкновенно практика игроковъ сплошь и рядомъ обго- обгоняла теоретичесме выводы математпковъ. Страстному игроку, но плохому математику, кавалеру де- Мере посчастливилось шгЬть такого друга, какъ Паскаль. Интересно отметить зд'Ьсь же, что за 50 л4тъ до описаннаго ничто подобное им/вло мгЬсто съ Галилеемъ: одинъ изъ его ир1ятелей также задаваль ему задачи изъ практики игры въ кости, и гетальный ученый разрътлалъ пхъ совершенно в^рно. Вообще сл4дуетъ заметить, что всеобщее увлечегпе игрой въ кости въ Западной ЕвропгЬ въ 16-мъ и 17-ыъ стол^мяхъ привело задолго до Паскаля и Ферма къ р'Ьшенш н4которыхъ задачъ, имйющихъ связь съ Teopiefi игръ, но только reniro этихъ учепыхъ удалось установить общ1е методы и принципы для цодчинешя отого предмета исчислетю.
233 О законности и случайности. Обратимся еще разъ къ задачи кавалера де-Мере (зад. 63) и припомшшъ, что уже тамъ намъ пришлось остановиться на слов'Ь «случай». Слово это вообще играетъ большую роль какъ въ практик^, такъ и въ теорш всякой игры, а потому надъ его выяснешемъ основатели математической теорш вероятно- вероятностей остановились прежде всего. Чтобы показать, къ чему при- привели изслЬдоватя въ этомъ направленна, лучше всего привести сл4дуюпця страницы изъ «Опыта фююсофш Teopin вероятно- вероятностей» Лапласа: «Все явлешя, даже тъ1, которыя по своей незначительности какъ будто не зависятъ отъ великихъ законовъ природы, суть сл'Ьдств1я столь же Hen36fcRHbifl этихъ законовъ, какъ обраще- nie солнца. Не зная узъ, соединяющихъ ихъ съ системой Mipa въ ея цтломъ, ихъ приписываютъ конечнымъ причинамъ или случаю, въ зависимости отъ того, происходили ли и следовали ли они одно за другимъ съ известною правильностью, или же безъ видимаго порядка; но эти мнимыя причины отбрасыва- отбрасывались, по Mipi того какъ расширялись границы нашего знашя, и совершенно исчезли передъ здравой филососрей, которая ви- дитъ въ нихъ лишь проявлеше нев^йтя, истинная причина котораго—мы сами. «Всякое имеющее М'Ьсто явлеше связано съ предшеству- ющимъ на основаши того очевиднаго принципа, что какое-либо явлеше не ыожетъ возникнуть безъ производящей его причины. Эта аксюма, известная подъ именемъ «принципа достаточ- наю основанья», распространяется даже на д^йстия, считаемыя безразличными. Воля, самая свободная, не можетъ породить эти д'Мствгя безъ побуждающей причины, потому что, если бы она действовала въ одномъ случай и воздерживалась отъ дМ- ств1я въ другомъ, при полномъ подобш всЬхъ обстоятельствъ обоихъ иоложешй, то выпоръ ея былъ бы дМств1емъ безъ причины: она была бы, какъ сказалъ Лейбницъ, слътшъ слу- чаеыъ эпикурейцевъ. Противоположное мните есть иллюз!я ума. который, теряя изъ виду мелшя причины того или дру-
234 того выбора воли въ безразличныхъ, поступкахъ, убеждается, что она определяется самою собою и безпричиина. «Такпмъ образомъ мы должны разсыатривать настоящее состояше вселенной какъ следств!е ея предыдущего состояшя и какъ причину последующего. «Умъ, которому были бы известны для какого-либо даннаго момента все силы, одушевляюпця природу, и относительное положеше всЬхъ ея составныхъ частей, если бы вдобавокъ онъ оказался достаточно обшпрнымъ, чтобы подчинить эти данныя анализу, обнялъ бы въ одной формуле движешя величайшихъ т^лъ вселенной наравне съ движешемъ легчайшпхъ атомовъ: не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверно, и будущее, такъ же какъ и прошедшее, предстало бы передъ его взоромъ. Умъ человечески въ совершенстве, которое онъ сумелъ придать астрономш, даетъ намъ представлеше о сла- бомъ наброске подобнаго разума. Его открьтя въ механике и геометрш въ соединенш съ открьтемъ всем!рнаго тяготешя сделали его способнымъ понимать подъ одними и теми же аналитическими выражешями прошедипя и будущ1я состоян!я м1ровой системы. Применяя тотъ же методъ къ некоторымъ другимъ объектамъ знашя, нашему разуму удалось подвести наблюдаемыя явлетя подъ общ1е законы и предвидеть явлешя, которыя будутъ вызваны данными услов!яыи. Все усил!я духа въ поискахъ истины постоянно стремятся приблизить его къ Разуму, о которомъ мы только что упоминали, но отъ котораго онъ останется всегда безконечно далекимъ. Это стремлеше, свойственное роду человеческому, возвышаетъ его надъ живот- животными; и успехи его въ этомъ направленна различаютъ нацш и века и составляютъ ихъ истинную славу. «Припомнилъ, что въ былое время, въ эпоху не очень отъ насъ отдаленную, на дождь или на чрезвычайную засуху, на комету съ сильно растянутымъ хвостомъ, на солнечное затме- nie, на северное аяше и вообще на необычайныя явлешя смотрели какъ на знакъ небеснаго гнева. Взывали къ небу, чтобы отвратить ихъ пагубное вл!яше. Небо не молили остано- остановить движете иланетъ или солнца: наблюдеше скоро дало бы почувствовать всю безполезность такихъ моленШ. Но, такъ какъ
236 те явлешя, наступаюпдя и исчезающая черезъ длинные проме- промежутки времени, казалось, противоречили порядку, установивше- установившемуся въ природе, то люди предположили, что небо порождало и изменяло ихъ по своему усмотр4нш въ цаказаше земныхъ гр'Ьховъ. Такъ длинный хвостъ кометы 1456-го года ироизвелъ панику въ Европе, уже приведенной въ ужасъ быстрыми по- б'Ьдаыи турокъ, отъ которыхъ только что пала Визанийская imnepifl. После того какъ это небесное светило совершило че- четыре своихъ обращешя, оно возбудило среди насъ очень раз- различный интересъ. Знакомство съ законами системы Mipa, upio6- р4тенное за этотъ промежутокъ времени, разоряло страхъ, по- порожденный незнашемъ пстинныхъ отношешй человека ко все- вселенной; и Галей (Halley), признавъ тождество этой кометы съ кометою 1531-го, l6U7-ro и 1682-го годовъ, предсказалъ сле- следующее ея возвращение въ конце 1758-го или въ начале 1759-го года. Ученый м1ръ ждалъ съ нетерп'Ътемъ этого воз- вращешя, долженствовавшаго подтвердить одно изъ самыхъ великихъ открытШ, сд4ланныхъ въ науке, и исполнить иред- оказан!е Сенеки, сказавшего объ обращен1и небесныхъ св^тиль, которыя спускаются изъ громадныхъ разстоян1й: «Наступить день, когда, благодаря длившемуся нисколько столъ-тШ изуче- н1ю, вещи, нын-в скрытыя, явятся со всею своею очевидностью; и потолки наши изумятся, что столь очевидныя истины усколь- ускользали отъ насъ». Тогда Клэро (Clairaut) взялся подвергнуть анализу тй возмущешя, которыя комета испытала нодъ вл1я- н!емъ двухъ самыхъ болыпихъ планетъ—Юпитера и Сатурна: иослй громадныхъ вычислен1й онъ назначилъ ея ближайшее прохожден1е черезъ перигелии на начало апреля 1759-го года, и наблюдете не замедлило подтвердить это. Правильность, ко- которую обнаруживаетъ намъ астрошшя, безъ всякаго сомненья шгЪетъ Micro во всЬхъ явлешяхъ. Кривая, описанная простою молекулою воздуха или пара, определена такъ же точпо, какъ и орбиты планетъ: разницу межъ ними делаетъ только наше незнаше». Итакъ «случая» и случайныхъ явлешй, въ сущности го- говоря, нить. Все зависнтъ только отъ Mtpbi п степешг нашего
236 знашя. И некоторый совершающаяся на нашихъ глазахъ явле- шя мы называемъ случайными только потому, что нсЬхъ нри- ¦шнъ и законовъ, вызывающихъ непременное появлеше пменно этого, а не другого, собьтя, мы не въ состоянш изучить и учесть. Другими словами: Явлетя, которыхъ мы съ точностью предусмотреть или предсказать не можемъ,—потому ли, что еще не знаемъ ихъ кричит, или потому, что эти причины слиткомъ сложны и разнообразны,—мы называемъ явленьями случайными. Положимъ, напримйръ, что мы бросаемъ монету. Можетъ выпасть орелъ, можетъ выпасть и решетка. То и другое изъ этихъ двухъ явленш произойдете на основанш общихъ физи- ческихъ законовъ, и будетъ зависать отъ толчка, который мы дадимъ монегЬ при бросанш, в4са и формы монеты, сопроти- влешя воздуха и прочихъ условШ. Bci эти условгя, однако, столь разнообразны, многочисленны и сложны, что нгЬтъ воз- возможности обращаться къ ихъ изслЬдовашю для того, чтобы предсказать, чъчмъ закончится процессъ 6pocanifl ионетъ: орломъ или решеткой. Мы и говоримъ, что вскрыт1е орла или вскры- Tie решетки суть явлешя случайныя. Опредълеше математической вероятности собьтя. Мы не въ состоянш ничего точно предсказать напередъ о появленш того или иного случайнаго собьшя. Однако появле- Hie многихъ изъ такихъ событ!й (напр.: рожден1е, смерть, болезни, увечья, преступлен1я, пожары, градъ, засуха, дождь и т. д., и т. д.) часто сопровождается для насъ такими ма- терьяльными или моральными выгодами или ущербомъ, что знать о томъ, случится ли некоторое собьше или нгЬтъ, для насъ весьма важно. Не имгЬя возможности судить о появленш ожидаемаго со- бытгя достоверно, мы стараемся, все же, найти каюя-либо (въ большинства случаевъ—опытныя) данныя, которыя позво- позволили бы намъ съ некоторыми безспориьтыи основа1пями утвер-
237 ждать, что одни пзъ этихъ собьтй болгЬе, а друйя менее вероятны. Изъ области гадашй, выражающихся въ насьгЬш- ливой, всЬмъ известной, поговорке «либо дождпкъ, либо сн4гъ,— либо будетъ, либо нЬтъ»,—мы переходимъ въ область вероят- вероятности, составляющей нечто среднее между абсолютнымъ слу- чаемъ и полной достоверностью. Знать степень вероятности случайнаго собьтя уже много значитъ. Известно, напр., что для предотвращешя случайныхъ матер1альныхъ убытковъ устраи- устраиваются разнаго рода страховыя общества, какъ-то: общества страховашя отъ пожара, отъ кораблекрушешя, отъ градобимя, страховатя пожизненныхъ капиталовъ и доходовъ. Эти обще- общества за незначительную ежегодную плату обязуются возмещать убытки, происшедшие отъ несчастныхъ случаевъ. Все страхо- страховыя общества основываютъ свои расчеты также на вероятности техъ или другихъ собьтй и сообразно съ вероятностью ихъ берутъ страховую премш. Данныя, на основанш которыхъ опре- определяются вероятности случайныхъ собьтй, берутся изъ наблю- дешй надъ появлешемъ этихъ собьтй въ действительной жизни, для чего обыкновенно собираются статиста чесгая сведешя за более или менее продолжительное время. Теперь самъ собою напрашивается вопросъ: какъ же мате- математически учесть вероятность, какъ условиться въ томъ. ка- кпми числами мы будемъ выражать вероятности событШ или явлешй? Условимся прежде всего въ словахъ и терминахъ. Два слова въ первоначальной теорш вероятности встре- встречаются наиболее часто, а именно: собьте и случай. Всякое отдельное явлеше при какомъ либо опыте или наблюденш мы будемъ называть случаеш, но заметимъ при этомъ, что во многихъ сочинешяхъ по теорш вероятностей вместо этого слова употребляютъ также термины статочность или шансъ. Въ представляющемся налъ целомъ ряде случаевъ (статоч- ностей, шансовъ) могутъ быть случаи однородные и разнород- разнородные,—это надо всегда иметь въ виду. Появлеше каждаго изъ однородныхъ случаевъ будемъ назы- называть собьтемъ.
238 Напр., нозьаемъ урну, въ которой заключаются десять oj;- лыхъ, пять черныхъ и три красныхъ шара. Вынимаемъ на удачу одинъ таръ изъ этой урны. При этомъ мы ожидаемъ 18 случаевъ (статочностей)—это появлете каждаго шара въ отдельности—и только одного изъ трехъ событш: появления б4лаго, чернаго или краснаго шара. Для большей простоты дъмаемъ ограни четя: во-первыхъ, мы будемъ разсматривать только равновозможные случаи. Мы называемъ случаи равновозможными, когда н-етъ никакой при- причины отдать предпочтете появлетю одного случая передъ дру- гимъ. Во-вторыхъ, будемъ полагать, что въ каждомъ отдЗшь- номъ случай не можетъ появиться болйе одного собьтя. Кроме того предполагаемъ, что случаи (статочности) несовместимы, т. е.—если им^етъ м'Ьсто одинъ случай, то одновременно не можетъ быть другого. Теперь не трудно придти къ заключетю, что вероятность собьтя зависитъ какъ отъ числа случаевъ, благопр1ятныхъ появленш ожидаемаго собьтя, такъ и отъ числа случаевъ, не- благопр!ятныхъ этому событш; съ возрастатемъ перваго числа вероятность собьтя увеличивается, съ возрасташемъ второго она уменшается. Определен!е вероятности сводится, значитъ, къ точному подсчету всехъ случаевъ, при которыхъ собыпе можетъ наступить. Пусть т означаете полное число равновозможныхъ случаевъ при данномъ наблюден1И, а п—число техъ изъ нихъ, которые благопр1ятны появлетю ожидаемаго собьтя. Легко видеть, что вероятность собьшя увеличивается и уменьшается при т4хъ же самыхъ обстоятельствахъ, какъ и дробь —. Отсюда выте- каетъ следующее наиболее простое определете математической вероятности: В'Ьроятность собьтя измеряется дробью, числитель которой равенъ числу случаевъ, благопр1ятныхъ появле- появлению собьтя, а знаменатель—числу всЬхъ случаевъ, мо- гущихъ появиться при данномъ наблюденш.
239 Некоторый с,п-ёдств1я, вытекаюипя изъ опре- д-Ьлешя математической вероятности.- B-fe- роятность и достоверность. Изъ даннаго только что выше определетя математической вероятности появлешя какого-либо собьтя сл^дуетъ, что вероят- вероятность эта увеличивается и уменьшается одновременно съ уве- личенюмъ и уменыпешемъ дроои —, гдъ т означаетъ число ваъхъ равновозможныхъ случаевъ, а п—число случаевъ, благо- нр1ятныхъ ноявлешю ожидаемаго собьтя. Но при этомъ необ- необходимо всегда помнить, что, если две величины одновременно увеличиваются и уменьшаются, то отсюда еще не слгъдуетъ, чтобы эти величины были равны или даже пропорщональны. Итакъ, данное выше опредгЬлете вероятности есть совершенно произвольное. Можно было бы дать много другихъ опредФ- ленш: напр., вероятность можно определить тсакъ отношеше числа благопр1ятныхъ къ числу неблагопр1ятныхъ случаевъ. Нужно однако же заметить, что данное опредгьлете есть про- стчьйшее изъ вспхъ возможных^. Само собою разумеется, что при другонъ определены вероятности все формулы Teopin вероятности были бы иныя. j Дробь - , которую мы приняли, какъ меру математической lit вероятности, можетъ принимать все значешя между нулемъ и единицей. Вероятность равна единице, когда п = т, т. е. когда все случаи благопр!ятны появленш ожидаемаго собьшя, и тогда собьше достоверно, т. е. оно должно непременно случиться. Отсюда сл4дуетъ, что за единицу м?ьры вероятностей мы принимаешь вероятность достовщтаго события. Вероятность обращается въ нуль, когда п = 0, т. е. когда совсемъ нетъ случаевъ, благопр1ятныхъ для появлешя собьшя. Въ такомъ случае собьте не появится вовсе. Следовательно, если вероятность равна пулю, то событге вовсе не появится. Пусть п означаетъ число благопр1ятныхъ появлешю ожидае-
240 маго событГя, а т число всехъ возможныхъ случаевъ. Вероят- Вероятность появлешя ожидаемаго собьтя выразится, какъ ыы знаеыъ, дробью —. Вероятность появлешя того же собьтя выра- выразиться дробью . Означимъ первую вероятность черезъ р, 171 тогда вторая будетъ 1—р. Отсюда заключаемъ следующее: Если вероятность шявлетя событгя есть р, то вгьро- ятность непоявлетя того же событгя есть 1—р. Для надлежащаго усвоешя теорш вероятностей необходимо прежде всего уменье вычислять вероятность различныхъ собы- тШ. При этомъ учетъ шансовъ (случаевъ, статочностей) дол- женъ делаться со всей возможной осторожностью и вниматель- внимательностью: 1) Следуетъ сосчитать все возможные случаи, ни одинъ случай не долженъ быть пропущенъ; 2) случаи должны быть равновозможиы; 3) они должны быть песовмгьстимы. Надо заметить, однако, что вычислеше вероятности различ- различныхъ собьгай не такъ легко и просто, какъ можетъ показаться иному на первый взглядъ. Teopifl соединешй и сочегашй часто оказываетъ здесь могущественную помощь. Но сложность усло- вШ, при которыхъ можетъ появиться ожидаемое собьше, а иногда просто невозможность определить число благопр1ятныхъ или даже всехъ случаевъ часто создаютъ для точнаго решешя задачи неодолимыя трудности. Но самыя эти трудности, слож- сложность и тонкость вопросовъ всегда привлекали къ теорш вероят- вероятностей все выдаюпцеся умы. И, быть можетъ, ни одна область въ математике не вызывала такихъ оживленныхъ споровъ и глубоко интересныхъ разсуждетй среди ученыхъ всехъ наро- довъ, начиная съ Галилея, Паскаля и Ферма, какъ именно эта Teopifl Вероятностей. Теперь мы можемъ приступить къ решешю некоторыхъ простыхъ задачъ, относящихся къ исчислешю случаевъ и опре- делен1ю вероятности некоторыхъ собыпй. Остановимся также на некоторыхъ такихъ вонросахъ, где скрытая малейшая не- неточность въ заданш влечетъ за собой двусиысленныя решешя,—¦ получается родъ софизмовъ изъ теорш вероятностей.
241 Задача 64-я. Орлянка. Подбрасывается монета одинъ разъ. Какова вероят- вероятность, что выпадаетъ орелъ? Решете. Въ этой задачи, какъ и во всвхъ дальнейших?., предпола- предполагается, что монета совершенно однородна, стороны ея совершенно подобны, и что вообще въ ней самой н4тъ нпкакихъ физиче- скихъ причинъ, заставляющихъ ее падать на одну сторону предпочтительнее, ч^гь на другую. Тогда мы имФемъ здесь всего два равновозможныхъ случая: либо орелъ, либо решетка; а за выпадете орла имеется, значитъ одинъ благопр!ятный шансъ. Итакъ, по определешю математической вероятности, вероятность появлешя орла есть - = 0,5. Напомнимъ еще разъ, что математическую вероятность на- ступлешя ожидаемаго собьгия мы определили, какъ дробь, въ знаменателе которой стоитъ число всЬхъ равновозможныхъ слу- чаевъ, а въ числителе—число случаевъ благопр1ятиыхъ появле- шю событья. Задача 65-я. Двукратное бросан!е монеты. Монета подбрасывается вверхъ 2 раза. Какова ве- вероятность, что при этомъ двукратномъ подбрасыван1и хотя одинъ разъ появится орелъ? PiineHie. Подсчитываемъ все возможные случаи. Можетъ случиться, что: 1) орелъ появится при 1-мъ и 2-мъ бросати; 2) орелъ при первомъ и решетка при второмъ opocairin; 3) решетка при первомъ и орелъ при второмъ бросан1и; 4) решетка при 1-мъ и 2-мъ бросанш. Всего 4 случая и случая равновозможныхъ. ВЪ ЦАРСТВВ СМЕКАЛКИ. КН. Ш. 16
242 Бъ трехъ изъ нихъ можетъ появляться орелъ. Значить благо- пр1ятныхъ появлешю орла случаевъ 3, а потому, по опредйле- шю для искомой вероятности, им4емъ —. Отыскать число всФхъ случаевъ можно было бы, исходя а изъ такого соображешя. При первомъ бросаши монеты имФемъ 2 равновозможныхъ случая, при второмъ также 2. И каждый изъ этихъ двухъ случаевъ всячески сочетается съ 2-мя другими. Значить число всФхъ случаевъ есть 2X2 = 4. Находимъ, за- т4мъ, число случаевъ, благопр1ятныхъ появлешю орла, и при- ходимъ опять къ найденному уже рътпенш задачи. Задача 66-я. N-кратное бросаше монеты. Монету подбрасываютъ посл-Ьдовательно п разъ. Какова в-Ьроятность. что орелъ и решетка будутъ появляться въ изв-встномъ, напередъ заданномъ, по- порядки? PiineHie. Появление орла или решетки равновозможно при каждомъ бросанш, т. е. при каждомъ бросаши имФеиъ 2 равновозмож- равновозможныхъ случая. Но встзхъ 6pocaHifi n, — значитъ, при каждомъ новомъ бросанш каждые новые два случая будутъ сочетаться со всФми предыдущими. Такъ: при 1-мъ бросан1и имФемъ 2 случая. » 2-мъ » » 2 • 2 = 22 » 3-мъ » » 23-2=23 » п-жъ » » 2" 1 ¦ 2 = 2" Итакъ, всФхъ случаевъ 2". Сколько же случаевъ, благощнятствующихъ наступлен!ю спрашиваемаго событгя? Одпнъ. Итакъ, искомая вероятность есть —-.
243 Приложеше къ рулетк'Ь. Совершенно такая же, какъ въ предыдущей задачи, вероят- вероятность получается для появлешя въ изв-Ьстномъ порядке крас- наго и чернаго на рулетке (rouge-ef.-noire). Наприлг'Ьръ: какова вероятность, что, показавъ въ 1-й разъ красные, рулетка вслгьдъ затгьмъ слгьдующге 29 ударовъ бу- детъ каждый разъ последовательно мгьпятъ цвгьтъ? По предыдущему, для такой вероятности, находимъ: — — 0,00000000093133. 2 Если принять, что последовательный рядъ появлешя крас- наго и чернаго можетъ начаться все равио съ какого, краснаго или чернаго, цвета, то данное число для вероятности надо помножить на 2. Задача 67-я. Бросаше одной кости. Бросается игральная кость. Определить величину вероятности, что выпадетъ \ очка. Въ игральной кости (кубике) шесть граней, и на пихъ отмечены очки отъ 1 до 6. Подброшенная кость можетъ лечь вверхъ любой изъ этихъ шести граней и показать любое число очковъ отъ 1 до 6. Итакъ имеемъ всего 6 равновозможныхъ случаевъ. Появленш же 4-хъ очковъ благопр1ятствуетъ только 1. Следовательно, вероят- вероятность того, что выпадетъ именно 4 очка, равна „ . Въ случае меташя одной кости та же вероятность, —, будетъ и для выпадешя всехъ остальныхъ очковъ кости. Если же мы станемъ одновременно подбрасывать 2 кости, то вопросъ, какъ сейчасъ увпдимъ, получаетъ несколько более сложный характеръ. to*
244 Задача 68-я. 2 кости. Какъ велика вероятность получить 8 очковъ, бро- сивъ двт> кости одинъ разъ? Р^шеше. Подсчитать число всЬхъ равновозможныхъ случаевъ, могу- щихъ получиться при бросанш 2-хъ костей не трудно, исходя изъ такихъ соображений: каждая изъ костей при бросанш даетъ одинъ изъ 6 равновозможныхъ для нея случаевъ. Шесть такихъ слу- случаевъ для одной кости сочетаются всеми способами съ 6-ю же случаями для другой кости, и такимъ образомъ получается всего для 2-хъ костей 6Х6 = 62 = 36 равновозможныхъ слу- случаевъ. Остается подсчитать число всЬхъ равновозможныхъ слу- случаевъ, благопргятствуюпщхъ появлешю суммы 8. Здесь д4ло уже нисколько осложняется. Мы должны сообразить, что при 2 костяхъ сумма 8 можетъ выброситься только следующими способами: 1) первая кость 4 очк., вторая кость 4 очка. 2) » » 6 » » » 2 » 3) » » 2 » » 6 » 4) » » 5 » » » 3 » 5) » 3 » » 5 » Итого случаевъ, благопр1ятныхъ ожидаемому событ1ю,им4емъ 5. Следовательно, искомая вероятность, что кости выбросятъ въ сумм-Ь 8 очковъ, равна ==. Замйчаше. — Для полнаго уяснешя дела полезно составить табличку всехъ 36 комбинащй, которыя могутъ получиться при бросанш 2-хъ костей, и разобраться въ ней. Для ясности изо- бразимъ очки первой кости римскими цифрами, а очки второй— арабскими. Иогда все 36 случаввъ, которые могутъ предста- представиться при бросанш двухъ костей, могутъ быть представлены следующей квадратной табличкой (фиг. 102).
246 I. II, ш, IV, v, VI, 1 1 1 1 1 1 I, 11. Ill, iv, v, VI, 2 2 2 2 2 2 I, II, Ш, IV, V, VI, 3 3 3 3 3 3 I, II, III, IV. V, VI, 4 4 4 4 4 4 I. H, III, IV, v, vi, 5 5 5 5 5 5 I, 11, Ш, IV, V, VI, 4 6 с 6 6 <; Фиг. 102. Сумма чиселъ каждой клетки этой фигуры даетъ сумму очковъ двухъ костей при каждомъ изъ 36 равновозможныхъ случаевъ, какъ они могутъ выпасть. Разсматривая эти суммы по веЬмъ д!агоналямъ справа на- налево и сверху внизъ, мы тотчасъ убеждаемся, насколько раз- разнятся числа случаевъ благопр1ятныхъ для выпадешя той или другой суммы очковъ. Главная д1агональ справа налево тот- тотчасъ показываетъ намъ, что наиболее шансовъ для выпада при двухъ костяхъ имеетъ число 7, а именно число это можетъ составиться 6-ю различными комбинациями двухъ костей: Т + 6, П-1-6, Ш + 4, IV + 3, V + 2, VI+ 1. Следовательно, вероятность выпада этого числа очковъ при бросанш 2-хъ костей равна ^ = -д ¦ о О О Изъ таблицы тотчасъ видно, что для выпада 2, 3, 4, 5, К, 7, 8, 9, 10, 11 и 12 очковъ соответственныя вероятности будутъ: 1 j_ I IJLIAIJ_JL_L Зб'Те'Т^'^'зб'б'зб'^'Тг' 18 й зб'
246 По главной д1агонали слива направо въ таблпчкгЬ идутъ дублеты, т. р. случаи, когда обгЬ кости одновременно иоказы- ваютъ одно и то же число очковъ. Ясно, что верность полу- чешя любого изъ дублетовъ равна -^. Задача 69-я. Какова вероятность, что, бросая п разъ одну шестигранную кость, мы получимъ п разъ подрядъ очко з? Решете. 6 случаевъ равновозможныхъ при каждомъ бросанш. Сле- Следовательно, при 1-мъ бросанш имъ-ежъ 6 случаевъ 2-мъ » » 6 • 6 = б2 случаевъ 3-мъ » » б2 • 6 = б3 » п-мъ » » б'-1 -6 = 6" » Итакъ, всего при п посл'Ьдовательныхъ бросан1яхъ полу- получается 6" случаевъ. Спрашивается же наступлеше такого событ]'я, noflBfleHiro котораго каждый разъ благопр!ятствуетъ только одинъ случай. Искомая вероятность есть —. Задача 70-я. Бросаютъ 2 кости три раза. Какова вероятность, что хотя одинъ разъ выпадетъ дублетъ (т. е. на об'Ьихъ костяхъ будетъ одинаковое количество очковъ). Pimeme. ВсЪхъ равновозмозЕныхъ случаевъ будетъ 363 —46 65С. Ду- Дублетовъ при 2 костяхъ шесть: 1 и 1,2и2,ЗиЗ,4и4, 5и 5, С и 6, и при каждоыъ удар* возможно появлен!е какого либо
247 изъ нихъ. Итакъ, изъ 36 случаевъ при каждомъ ударе 30 ни въ коемъ случай не даютъ дублета. При трехъ же бросашяхъ получается 303 = 27 000 недублетныхъ случая. Случаевъ же, благощлятствующихъ появленш дублета, будетъ, значитъ, 363 —303 = 19 650. Искомая вероятность есть Задача 71-я. Бросаютъ п разъ 2 кости. Какова вероятность, что получится п разъ сумма по 7 очковъ? PiineHie. При п бросан!яхъ равновозможны 36" случаевъ. При ка- каждомъ бросанш появлетю требуемаго собьтя благопр!ятствуетъ 6 случаевъ. Всего при п бросан1яхъ благопр1ятствующихъ слу- случаевъ будетъ, следовательно, 6". Вероятность искоыаго собыпя: 6й 1 36я 6"' ЗамЬчате. Полученная вероятность одинакова съ вероят- вероятностью выбрасывавья одной и той же грани при п бросан1яхъ одной кости. Задача 72-я. Карты. Изъ колоды картъ вынимается одна карта. Опре- Определить в-Ьроятность появлешя: 1) пиковой дамы, 2) какого либо туза, з) карты червонной масти, 4) какой-либо фигуры.
248 Pfememe. ЗамФтпвъ, что въ колоде 52 карты, и что среди этихъ картъ находится: 1 пиковая дама. 4 туза, 13 карта червонной масти и 12 фигуръ, находимъ для искомыхъ вероятностей соответственно: и L ' 52' Задача 73-я. Еще одна задача кавалера де-Мере. Определить вероятность, при которой, бросивъ п разъ подъ-рядъ 2 кости, получимъ хотя разъ 12 очков!> («Sonnez»). PiineHie. При каждолъ бросаши двухъ костей возможно 30 располо- жетй ихъ, но 35 изъ нихъ дадутъ непременно иное число ичковъ, ч'Ьмъ 12. Число всЬхъ возможныхъ сочетатй при п бросан1яхъ кост(;й есть 36", число же такихъ, дзъ которыхъ сумму очковъ 12 не- необходимо исключить, будетъ, очевидно, 35". Следовательно, число такихъ сочетан1й, въ которыхъ 12 (Sonnez) может заключаться одинъ или несколько разъ, равно 36" -35". Поэтому для искомой вероятности находимъ: 36П— 35" /35 1 36n Если пожелать, чтобы эта вероятность была равна - , то не- необходимо определить п изъ уравнешя:
249 Это есть такъ называемое показательное уравнение и pime- Hie его съ помощью логариемовъ даетъ п= * - -=24,605. Ig36 — Ig35 ' Отсюда видимъ, что если кто берется выбросить 12 очковъ въ 24 удара, то онъ им^етъ более шансовъ проиграть, ч^мъ выиграть. При 25 ударахъ получается обратное. Изъ переписки Паскаля съ Ферма. Вышеприведенная задача, какъ и задача 68-я этой книги, была предложена Паскалю также кавалеромъ де-Мере и также послужила толчкоыъ для разработки первыхъ основъ теорш вероятностей. «У меня н^тъ времени,- писалъ по этому поводу Паскаль къ Ферма,—чтобы переслать вамъ разъяснеше одного затрудне- шя, которое очень удивляло г. де-Мере, потому что хотя онъ обла- даетъ очень здравьшъ умомъ, но онъ не геометръ. А это, какъ знаете, большой недостатокъ. Такъ, онъ сообщилъ ын4, что нашелъ противоргЬч1е въ числахъ по следующему поводу: Если браться выбросить 6 очковъ одной костью, то опъ имФетъ шансы сделать это въ 4 удара, но если взяться выкинуть 12 («Sonnez») съ помощью 2-хъ костей, то онъ не им^етъ пол- ныхъ шансовъ сд'Ьлать это въ 24 удара, а между гЬмъ отно- шеше 24 къ 36, которое есть число всъхъ граней, получаемыхъ изъ двухъ костей, равно отношен1Ю 4 къ 6, числу граней одной кости. «Такова приключившаяся съ ниыъ большая непр1ятность, которая заставляетъ его презрительно утверждать, что мате- матическш теоремы неустойчивы, и что ариеметика противо- противоречить сама ce6i»... Ответъ на сомнен1я де-Мере не могъ затруднить ни Паскаля, нл Ферма. Пока дело идетъ объ одной кости.—въ области неболыппхъ чиселъ, разсуждешя де-Мере правильны: при 4-хъ ударахъ онъ действительно имеетъ шансы выкинуть одной костью на-
260 передъ заданное число очковъ F). Но, какъ мы уже знаемъ, если увеличивается число костей и число ихъ выбрасывашй, то число всевозможныхъ случаевъ, равно какъ и случаевъ, благо- пр1ятныхъ появлешю собьтя, увеличивается, вообще, совсъчиъ не пропорцюнально ни числу получаеыыхъ сочеташй изъ гра- граней костей, ни числу ихъ выбрасывашй. Убедиться въ этомъ можно либо путемъ непосредственна™ опыта надъ просгЬй- шими случаями, либо путемъ вывода общей формулы. Кавалеръ де-Мере постигъ только первый путь. Паскаль хотъ'лъ вывести его на второй, но тотчасъ увид&гь большой недостатокъ своего пр1ятеля: онъ не былъ, при всеыъ своемъ ум4, математикоыъ... Задача 74-я. Въ чемъ д-Ёло? Имеются три шкатулки, совершенно одинаковыхъ по внешнему виду, въ каждой изъ нихъ по два ящичка, а въ каждомъ ящичкъ1 по монетк Въ одной шкатулкъ1 только золотыя монеты, вт> другой только серебряныя, а въ третьей—въ одномъ ящичк'Ь золотая, а въ дру- гомъ серебряная монета. Берутъ одну изъ шкатулокъ (все равно какую). Какова вероятность найти въ ней въ одномъ изъ ящиковъ золотую, а въ другомъ сере- серебряную монету? Можно подходить къ ръ-шенш задачи двояко: 1. -Шкатулки тождественны. Значитъ равиовозможны 3 слу- случая. Благопр1ятствуетъ появлешю собьтя одпнъ. Следовательно, искомая вероятность равна ^. 2.— Взята наугадъ какая либо изъ шкатулокъ, и въ ней выдвинули одпнъ ящикъ. Какова бы ни была найденная тамъ монета, но теперь оказываются возможными только два шанса (случая): во второмъ закрытомъ ящичкъ' шкатулки находится монета такого же металла, что и въ открытомъ, или другого. Изъ этихъ двухъ случаевъ одинъ благопр1ятный ожидаемому
261 нами событш, т. е., что у насъ въ рукахъ шкатулка съ раз- разными монетами. Такимъ образомъ вероятность взять сразу въ руки требуемую шкатулку оказывается равной -. Какъ же это такъ? Выходитъ, что достаточно въ одной изъ шкатулокъ только открыть ящикъ, чтобы вероятность лзъ — О обратилась въ—. Въ нашихъ разсуждешяхъ, очевидно, должна быть ошибка; и она действительно въ нпхъ есть. Когда мы открываемъ первый ящикъ въ шкатулке, то остаются возможными два случая, и одинъ только благопр1ят- ствуетъ появленш ожидаемаго собьтя,- -это верно; но дело въ томъ, что два получающихся случая неравновозыожны. Допустимъ, что, открывъ первый ящикъ, мы нашли тамъ золотую монету; въ другомъ, конечно, можетъ быть серебря- серебряная, но есть больше основашй утверждать, что въ этомъ закры- томъ ящике находится тоже золотая монета. Чтобы сд'Ьлать наше разсуждеше более яснымъ, предпо- ложимъ, что у насъ не три, а триста совершенно одинаковыхъ съ двумя ящичками шкатулокъ. Сто пзъ нихъ въ обоихъ ящич- кахъ содержатъ по золотой монете, сто—по серебряной, а въ третьей сотне шкатулокъ—въ одномъ ящички находится одна золотая, а въ другомъ одна серебряная монета. Откроемъ по одному ящичку въ каждой изъ шкатулокъ, и мы увидимъ 300 медалей. Сто изъ нихъ должно быть золотыхъ и сто сере- бряныхъ, - это мы можемъ утверждать виередъ наверняка. Но относительно ста остальныхъ ничего напередъ сказать нельзя: оне находятся въ шкатулкахъ съ разными монетами, а как1я и въ какомъ числе при выдвигашп ящичковъ откроются монеты, зависитъ только отъ случая. Открывъ триста ящичковъ, следуетъ ожидать во всякомъ случай, что увидпмъ менее двухсотъ золотыхъ монетъ. Следо- Следовательно, вероятность, что въ первой взятой наудачу шкатулке другая монета (въ закрытомъ ящички), золотая, перевьтшаетъ -.
2Б2 Настоящая задача можетъ служить примеромъ того, какую осторожность и точность въ суждешяхъ нужно соблюдать при опред'Ьлеш'и равновозможиостц случаевъ. Необходимое зам^Ьчаше. Во избежаше неточностей и ошибокъ слЪдуетъ постоянно помнить, что белюиечиоетъ не есть число. Поэтому нельзя вводить это поняте въ разсуждешя безъ соответствующих^) пояснешй. Кажущаяся только точность иныхъ словъ можетъ также вести къ противор4ч1ямъ. Выражеше: «выбрать наудачу изъ безконечнаго числа возыожныхъ случаевъ —не ыожетъ, напр., считаться достаточнымъ указашемъ. Вотъ еще привйръ наудачнаго задашя, ведущаго къ про- тиворечш: Требуется определить вероятность того, что некоторое число, целое или дробное, соизмеримое или несоизмеримое, взятое на- наудачу между О и 100, будетъ более 50-ти. Ответъ, повидимому, ясенъ: число случаевъ (статочностей), благопр1ятствующихъ появленш собыэтя, равно половине числа всЬхъ возможныхъ случаевъ. Искомая вероятность равна, сле- 1 довательно, —. Но вместо самаго числа, нисколько не меняя условШ во- вопроса, можно взять его квадратъ. Если число заключается между 50 и 100, то его квадратъ заключается между 2 500 и 10 000. Вероятность, чтобы взятое наудачу между 0 и 10 000 число превышало 2 500, тоже представляется очевидной: число слу- случаевъ, благопр1ятствующихъ появленш собьтя. равно тремъ четвертямъ всехъ равновозможныхъ случаевъ. Искомая вероят- 3 ность, значитъ, равна . Обе задачи тождественны. Почему же получается такая разница въ ответахъ? Потому, что въ самомъ задаши нетъ надлежащей точности. Противореча подобнаго рода можно подобрать сколько угодно и получать такимъ образомъ новые виды математическихъ софизмовъ.
263 Еще cfl-feflCTBie изъ определения математи- математической вероятности. Припомникъ опять принятое нами определеше математи- математической вероятности и выведемъ изъ этого опредЬяешя одно важное следств1е. Положимъ, что при какомъ-нибудь опыте могутъ появиться несколько собьтй. Пусть п, п', п", . . . будутъ числа случаевъ, благопр!ятныхъ соответственно каждому изъ иихъ, а т -число всЬхъ возможныхъ случаевъ. Такъ какъ, по сделанному нами ограиичешю, въ каждомъ случай не могутъ появиться два пли более собьшя, то т = п-\-п'-\-п" -\- . .. Вероятности каждаго событ1я выразятся дробями: П II1 П" т ' т. ' т Но легко вид'Ьть. что сумма этихъ дробей равна единице. От- Отсюда следуетъ, что сумма вероятностей вс^хъ событ1й, могу- щихъ появиться при данномъ опыт*, равна единиц*. Задача 75-я. Въ урн-в заключается т б"Ьлыхъ и п черныхъ ша- ровъ. Изъ этой урны вынимаемъ наудачу два шара. При этомъ опыт-Ь могутъ появиться три собьтя: [) два б'влыхъ, 2) бЬлый и черный, з) Два черныхъ шара. Какъ велика вероятность каждаго изъ этихъ событш? Число возможныхъ случаевъ прп нашемъ опыте равно числу сочетанш пзъ т -\- и шаровъ по два: ——— . Число случаевъ, благопр1ятныхъ появлен1Ю перваго собыэтя, равно числу сочетанш пзъ т белыхъ шаровъ по два: — . Случаи, благопр!ятные появлен1ю второго событ!я, получаются комбинировашемъ каждаго белаго съ каждымъ чернымъ ша-
264 ромъ; число этихъ случаевъ равно тп. Число случаевъ, благо- пр!ятныхъ появление третьяго собьгая, равно числу сочетанш п (п — 1) изъ п черныхъ шаровъ но два: ——-—^ . газдълпвъ числа, благопр1ятныя появленш каждаго собьшя, на число всЬхъ воз- ыожныхъ случаевъ. получимъ искомыя вероятности: т (т — 1) 2 тп п (п — 1) (т-\-п) (т-\-п—1) ' (т-\-п) (т-\-п—1) ' (т-\-п) (т-\-п—I) Сумма этихъ вероятностей, какъ и должно быть по нашей теорш, равна единиц^ х). ]) Мы могли бы при нашемъ опытгЬ разсматривать только два собымя: появлен1е б'Ьлаго или чернаго шара. При втоыъ только некоторые случаи благо- пр1ятны появленш обоихъ собыий. Легко найти, что вероятности ныхода б4лаго и чернаго шара выражаются дробями: т (т — 1) -f- 2 тп п (и — 1) -\- 2 тп (т -\-п) (т-\-п — 1)' (т + п) (?п-\-п — 1)' Сумма этихъ вероятностей уже не раина единиц/!».
Вероятности сложны#ь событш. Статья проф. В. П. Ермакова. «.Журнала элементарной математики» за 1884— 85 г. Появление н'Ьсколышхъ событш будеыъ называть сложпыж событгемъ. Каждое изъ составныхъ собыий въ свою очередь можетъ быть сложными, т. е. можетъ состоять изъ н^сколькихъ про- стыхъ собьшй. Несколько событш будеыъ называть независимыми, если вероятность каждаго пзъ нихъ не зависитъ отъ того, случились ли друпя собыйя или н4тъ. Собыпя будемъ называть зависимыми, если появлеше или непоявлен1е н'Ькоторыхъ изъ нихъ оказываетъ вл1ян1е на вероят- вероятности .появлен1я другихъ собьтй. Покашемъ, прежде всего, какъ вычисляется вероятность сложнаго событ1я, оотоящаго изъ н&колькихъ независииыхъ собьшй. Положимъ, мы производилъ несколько опытовъ, изъ кото- рыхъ при нерволъ ложетъ появиться собьте А, при второмъ А', при третьемъ А" и т. д. Означпмъ чрезъ т число всйхъ равиовозможныхъ случаев ь, могущих* появил.ся при первомъ
256 опыте, и чрезъ п число техъ изъ этихъ случаевъ, которые благопр!ятны появлешю собьтя А\ соответственные числа при второмъ, третьемъ и т. д. опытахъ означимъ чрезъ т1 и п\ т1! и п1! и т. д. Какъ велика вероятность, что появятся собы- пя: А, А\ А11 и т. д.? Если мы производимъ опыты одновременно или одинъ за другимъ, то каждый случай при первомъ опыте можетъ комби- комбинироваться съ каждымъ случаемъ при второмъ опыте, съ ка- каждымъ случаемъ при третьемъ опыте и т. д. Отсюда следуетъ, что число всехъ возможныхъ .& ii?v\ ";-. случаевъ при несколькихъ onu- onus's тахъ равно произведешю не- J _ vi i ь сколькихъ множителей, изъ ко- I ъГ)Ы л -* ; I торыхъ каждый выражаетъ число t'¦¦* , V;: Д всехъ равновозможныхъ слу- чаевъ при каждомъ опыте въ отдельности. Итакъ, число всехъ случаевъ (какъ легко видеть, равновозможныхъ) при нашихъ опытахъ равно mm'm'f... Такъ какъ каждый случай, благопр!ятный появленш собы- т'ш Ау можетъ комбинироваться съ каждымъ случаемъ, благо- Профессоръ Васшпй Петровичъ . ^ . л. Ермаковъ. прштнымъ событш А\ съ ка- каждымъ случаемъ, благопр!ят- нымъ А1, и т. д., то число всехъ случаевъ, благопр1ятныхъ сложному событш АА!А1!..., равно произведешю ш'п", несколь- несколькихъ множителей, изъ которыхъ каждый выражаетъ число случаевъ, благопр1ятныхъ каждому событш въ отдельности. Согласно определешю вероятности (см. стр. 238 настоящей книги), вероятность сложнаго собьшя А А1 А11... выразится дробью: ¦¦¦г at inm'ni"
267 Но эта дробь можетъ быть разложена на произведете несколь- кихъ дробей: пп'п" ... п п' п' тт'т". . . т '" т' т" ' Легко видеть, что дробные множители во второй части выра- жаютъ вероятности появлен1я каждаго изъ собьшй А, А',А",... въ отдельности. Отсюда вытекаетъ следующее правило: Вероятность появлешя несколькихъ независимыхъ собы- т1й равна произведешю вероятностей этихъ событш. Задача 76-я. Имеется несколько урнъ съ шарами: въ первой т белыхъ и п черныхъ шаровъ, во второй т' б'Ьлыхъ и п' черныхъ, въ третьей т" и п" и т. д. Какъ велика вероятность, что, если вынуть по одному шару изъ каждо урны, все появившееся шары будутъ белые? Для р-Ьшешя этой задачи, согласно приведенному выше правилу, иужно вычислить вероятность выхода белаго шара изъ каждой урны и полученныя вероятности перемножить. Та- кимъ образомъ, искомая вероятность получится равною произ- веден1ю: т т т" т-\-п т'-\-п' т" -\-пп Покажемъ теперь, какъ вычисляется вероятность появлешя несколькихъ зависимыхъ собыий. Начнемъ съ решешя частной задачи. Задача 77-я. Изъ урны, содержащей т б'Ьлыхъ и п черныхъ шаровъ, вынимаемъ по одному шару и каждый разъ вынутый шаръ откладываемъ въ сторону. Какъ велика вероятность выхода подъ-рядъ двухъ б^лыхъ шаровъ? ВЪ ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. КН. III. 17
268 Р'Ьшеше. Задача эта, какъ и вообще мнопя задачи на вычислеьпе вероятностей, можетъ быть решена непосредственнымъ вычи- слешемъ какъ числа всЬхъ возиожныхъ случаевъ, такъ и числа случаевъ, благопр1ятныхъ ожидаемому собьтю. Но такое непо- непосредственное опред^лете для многихъ задачъ быкаетъ въ выс- высшей степени затруднительно. Число всЬхъ возможныхъ случаевъ при вынимаши двухъ шаровъ изъ урны равно числу размй- щенш (если обращаемъ внимаше на порядокъ, въ которомъ появляются шары) изъ всЬхъ т-\-п шаровъ по два, т. е. равно (т~\-п) (т~\-п— 1). Число случаевъ, благопр1ятныхъ выходу два раза подъ-рядъ двухъ белыхъ шаровъ, равно числу разигЬщешй изъ т белыхъ шаровъ по два, т. е. равно (т—1). Следовательно, вероятность выхода два раза подъ-рядъ двухъ 6i- лыхъ шаровъ равна т (т— 1) (т-\-п) (т-\-п—1)' Эта задача решается также другимъ щлемомъ, который можетъ быть примененъ къ решенш многихъ более сложныхъ задачъ. Просимг читателей сосредоточить все вни.мате на эпгомъ способы ргьшетя. Когда мы вынемъ одинъ шарь (белый или черный) изъ урны, то второй шаръ придется вынимать изъ урны, содержа- содержащей т — 1 белыхъ и п черныхъ шаровъ, или изъ урны, содер- содержащей т белыхъ и п — 1 черныхъ шаровъ. Въ первомъ слу- случае вероятность выхода белаго шара за вторымъ разомъ равна т— 1 » у ,- ¦ ¦—i ; во второмъ случае вероятность того же собьшя т-}-п — 1 равна —: . Такиыъ образомъ, услов1я, при которыхъ т-\-п — 1 совершается второй опытъ (выходъ второго шара), изменяются въ зависимости отъ появлешя белаго или чернаго шара при первомъ опыте-, поэтому изменяется также и вероятность вто- второго собьшя (выходъ белаго шара за вторымъ разомъ). Изъ приведенныхъ разсуждешй легко заключить, что наша задача тождественна следующей.
269 Задача. Даны три урны съ шарами; въ первой т бъ-лыхъ и п черныхъ шаровъ, во второй т — I б'Ьлыхъ и // черныхъ, въ третьей т бъ^лыхъ и п — I черныхъ шаровъ. Вынимаемъ одинъ шаръ изъ первой урны и одинъ шаръ или изъ второй, или изъ третьей урны. При этоыъ второй шаръ вынимаемъ изъ второй урны только въ томъ случай, если изъ первой урны по- появится б"Ьлый шаръ; въ случай же выхода чернаго шара изъ первой урны, второй шаръ вынимаемъ изъ третьей урны. Какъ велика вероятность, что при со- блюденш сказанныхъ условш появятся два бъ-лыхъ шара? Если мы желаемъ вычислить появлеше деухъ б-Ьлыхъ ша- шаровъ, то на третью урну мы ыожемъ не обращать вниманья (ее отбросить), такъ какъ, сообразно условгямъ задачи, съ этой урной мы имъ'емъ дъ\по только тогда, когда изъ первой урны появляется черный шаръ. Отсюда заключаемъ, что последняя задача равносильна следующей. Задача 78-я. Изъ двухъ урнъ, содержащихъ первая ш бъчлыхъ и п черныхъ, вторая т — I бЪлыхъ и п черныхъ ша- шаровъ, вынимаемъ по одному шару. Какъ велика вероят- вероятность появлешя двухъ б^лыхъ шаровъ? При рФшенш этой последней задачи мы им4еыъ д4ло съ независимыми событшми; поэтому искомая вероятность слож- наго событя равна произведенш вероятностей простыхъ собъшй: т т — 1 X т-\-п т-\-п—1 Разсмотр-Ьнная нами задача можетъ быть обобщена сл^дую- щимъ образомъ. 17*
260 Задача 79-я- Предстоитъ произвесть одинъ за другимъ два опыта,—назовемъ ихъ чрезъ Р и Q; при первомъ опыт'Ь можетъ появиться собьте А, при второмъ В. При первомъ опыт'Ь число всЬхъ равновозможныхъ случаевъ т, изъ которыхъ п благопр1ятны появлешю собьтя А. Усло- тя второго опыта меняются въ зависимости отъ по- явлешя или непоявлешя собьтя А: если собьте А появилось, то при второмъ опыт'Ь число всЬхъ воз- можныхъ случаевъ равно т', а число случаевъ, благо- пр1ятныхъ событио В, равно п'\ если же собьте А не появилось, то при второмъ опыт'Ь всЬхъ возможныхъ случаевъ будетъ т", изъ которыхъ п" благог^ятны событю В. Какъ велика вероятность появлешя двухъ co6biTifi А и В? Р-Ьшеше. Вероятность перваго событ1я А равна — - Что касается вгЬ- роятности второго сооыия ij, то она равна —¦, если первое " п" собьте появилось, или —, если собьте А не появилось. т" Подобно тому какъ и въ прежней задачи, ыы ьгожемъ опытъ Q заменить двумя самостоятельными опытами Л и S, при ка- ждомъ изъ которыхъ можетъ появиться собыие В. При опытЬ В число всЬхъ равновозможныхъ случаевъ равно т', а число слу- случаевъ, благопр1ятныхъ собыию Ву равно п'; при опыт'Ь S соответственный числа равны т" и п". Опытъ Р мы производишь обязательно. Что касается осталь- ныхъ двухъ опытовъ В и S, то изъ нихъ мы производимъ только одинъ, а именно—опытъ В, если собьше А появилось, въ противномъ случай—опытъ S. Но если мы желаеыъ определить вероятность появлешя двухъ событй, 14) на опытъ S мы можемъ не обращать вни-
261 машя, какъ бы его и вовсе не было, такъ какъ, по условш задачи, съ этиыъ опытомъ мы только тогда им^емъ дело, когда собьше А не появляется. Итакъ, задача наша приводится къ опред-Ьденш вероят- вероятности появлешя двухъ событай А и В при двухъ независимыхъ опытахъ Р и В. Но въ такомъ случай мы им-Ьемъ д-Ьло съ двумя несависимыми событаями, и вероятность появлешя та- кихъ событШ, согласно данному раньше правилу, равна произ- веденш: т т1' Это и будетъ отв5)тъ на нашу 79-ю задачу. Разсматривая получен- полученный результатъ, мы замъ'тимъ, что первый множитель — есть til вероятность перваго собьшя; второй множитель — есть в4ро- lib ятность второго собъгая, выдисленнаго въ тоыъ предположенш, что первое собыие А уже случилось. Такимъ образомъ, мы при- ходимъ къ следующему правилу: Впроятность пояелетя деухъ заеисимыхъ событШ равна произведент вгьроятности перваго событгя на впроятность второго событгя, вычисленную въ томъ предположение что первое событге уже случилось. Пояснимъ это правило примеромъ Задача 80-я. Даны дв"Ь урны съ шарами; въ одной п бЪлыхъ и т — п черныхъ, въ другой п' бЪлыхъ и т' — п' чер- ныхъ шаровъ. Вынимаемъ одинъ шаръ изъ первой урны, остальные же шары пересыпаемъ во вторую урну; посл-Ь этого, перемешавши шары, вынимаемъ одинъ шаръ изъ второй урны. Какъ велика вероятность по- явлешя два раза гюлъ-рядъ двухъ б-Ьлыхъ шаровъ? Вероятность nepBai1© собыия, выхода белаго шара изъ пер- перг вой урны, равна -г . Предполагая, что первое событ1е случилось т
262 и, какъ сказано въ задачи, остальные шары всыпаны во вторую урну, въ этой последней будемъ иметь всЬхъ т -\ т' — 1 шаровъ, въ томъ числ'Ь п-\-п' — 1 б'Ьлыхъ; вероятность выхода б'Ьлаго п -\- п' — 1 тт у шара изъ такой урны равна — . Искомая въроят- т-\-т' — 1 ность сложнаго собьшя равна произведенш: п п-\- п' — I т т-\-т'— 1 ' Наше последнее правило можетъ быть обобщено на ни- нисколько собьшй. Положимъ, намъ нужно вычислить вероятность появлешя трехъ зависимыхъ собьшй: Л, В и С. Если мы появлеше двухъ первыхъ собьтй А и В примемъ за одно (сложное) собьте и назовемъ его чрезъ D, то вопросъ приво- приводится къ определенно вероятности появлетя двухъ зависимыхъ собьтй D и С. Эта вероятность равна произведенш двухъ множителей: s X г, изъ которыхъ первый есть вероятность пер- ваго собыйя I), а второй — вероятность второго собьшя С, вычисленная въ томъ предположенш, что собьте D уже слу- случилось. Въ свою очередь вероятность собьшя D, какъ вероят- вероятность сложнаго собьшя, состоящаго изъ двухъ зависимыхъ со- бытш Л а В, разлагается на произведете двухъ множителей, s=pXq; первый изъ этихъ множителей есть вероятность со- собьшя Л, второй—вероятность собьшя В, вычисленная въ томъ предположенш, что собьше Л уже появилось. Итакъ, вероят- вероятность появлетя трехъ завпсимыхъ собьтй равна s X г =р XqXr. Отсюда вытекаетъ следующее общее правило: Вщюятность появления нтсколькихъ зависимыхъ событт равна произведетю нгъсколъкихъ множителей, изъ которыхъ первый есть вгьроятность перваго событгя, а каждый слп,- дующт множитель выражаешь вероятность слгьдующаго событгя, вычисленную въ томъ предположении, что предъ- идущгя событгя уже появились. Приложимъ это правило къ решешю некоторыхъ задачъ.
203 Задача 81-я. Изъ полной колоды картъ выниыаеыъ три карты. Какъ велика вероятность, что всЬ вынутыя карты будутъ фигуры? Въ полной колоде 40 простыхъ картъ и 12 фигуръ. Резуль- Результата будетъ одинъ и тотъ же, вынимаемъ ли мы три карты разомъ, или одну за другою. Предположимъ, что мы вынимаемъ одну карту за другою и каждый разъ вынутую карту откла- дываемъ въ сторону; въ такомъ случай ыы шгЬемъ дгЬло съ тремя зависимыми собътями. Вероятность выхода фигуры за первымъ разомъ равна 12/s2. Предположимъ, что одна фигура уже вынута: вероятность выхода второй фигуры равна n, si. Если ыы предположимъ, что вынуты дв'Ь фигуры, то вероят- вероятность выхода третьей фигуры равна lu/so. Искомая вероятность появлешя трехъ фигуръ получится перемножешемъ найденныхъ вероятностей: 12 11 10 _ 11 52Х 51 Х 50 ~~ 1105" Задача 82-я. Нзъ урны, содержащей а бъ-лыхъ и b черныхъ ша- ровъ, вынимаемъ по одному шару (каждый разъ выну- вынутый шаръ откладываемъ въ сторону) до т'ьхъ поръ, пока появится бъ\лый шаръ. Какъ велика вероятность, что бЪлый шаръ появится за и-ымъ разомъ? P-biueHie. Мы ищемъ вероятность выхода п — 1 черныхъ шаровъ и одиого белаго шара. Здесь мы югёемъ д^ло съ п зависимыми событшмп. Вероятность выхода чернаго шара за первымъ ра- разомъ равна —-j—f- Предположимъ, что черный шаръ появился за первымъ разоыъ: вероятность выхода чернаго шара за вто-
264 рымъ разомъ равна —-г—= . Точно также вероятность вы- (X "*]— и JL й —2 хода чернаго шара за третьимъ разомъ равна и т. д. а ~у~ о — ^ Вероятность выхода чернаго шара за п—1 разомъ, предполагая, Ъ — п-\-2 что прежде появивниеся шары—черные, равна ; г—- . а-\-Ь — п-\-2 Если предположить, что вынуты п—1 черныхъ шаровъ, вероят- вероятность выхода белаго шара за п-жъ разомъ равна —г^ т—г . а~\-Ъ — п-\-1 Искомая вероятность сложнаго событш получится перемноже- шемъ найденныхъ вероятностей: й (ft—-1) (& —2) . . ¦ (й — п + 2) а (а~\-Ъ) (о + й — 1) (а + Ь 2). . . (а + й — п + \) ' Подъ эту общую формулу не подходить только вероятность выхода белаго шара за первымъ разомъ (такъ какъ здесь идетъ речь о простомъ событш), которая равна —г-т ¦ Въ частномъ случае вероятности выхода белаго шара за вторымъ, за третьимъ и т. д. разомъ выражаются дробями: Ьа Ь (Ь — 1) а (а + &)(а + 6 —1)' (о + й) (в + й—1)(я-Н —2)' • ' Изъ последней задачи можно вывести одно интересное следств1е. При нашемъ опыте б'Ьлый шаръ можетъ появиться или за первымъ. или за вторымъ, или за третьимъ разомъ и т- д.; другихъ событай не можетъ быть, такъ какъ белый шаръ долженъ непременно появиться. На странице 253 настоящей книги было показано, что сумма вероятностей всехъ собьшй, могущихъ появиться при какомъ-нибудь опыте, равна еди- единице. Примениыъ это правило къ нашему опыту. Сложивъ вероятности выхода б'Ьлаго шара за первымъ, вторымъ, тре- третьимъ я т. д. разомъ, мы должны получить въ сумме единицу: 1 g -| Ьа. a-\-h (а + й) (о + й —1) "^ ЦЬ — \)а «-I Ь — \) (я + й —2)""
266 РаздЗигавъ o6i части на я, получимъ следующее тождество: _— | I 1) + +•¦ 2) + Легко пов'Ьрить это тождество на частныхъ npHiiipaxb; можно дать также независимое доказательство (и обобщить на тотъ случай, когда а и Ь не суть цйлыя числа), что мы предоста- вляеыъ самимъ читателямъ. Прим-Ьчате. Легко вид-вть, что последнее общее пра- правило одинаково приложило къ вычислен1ю вероятности пояьлешя какъ зависимыхъ, такъ и независимыхъ собы- Tifl; поэтому имъ можно пользоваться во всЬхъ т-Ьхъ слу- чаяхъ, когда иы^елъ д'Ьло съ вьпислешемъ вероятности сложнаго событ1я.
Математическое ожидаше. Воцросъ объ участи, ожидающей игроковъ при т^хъ или иныхъ услов1яхъ игры, п связанные съ этимъ вопросы о такъ называемой безобидности игры были первыми, которыми зани- занимались творцы теорш вероятностей. При разработки этихъ во- просовъ пришлось тотчасъ внести новое понятае, определяемое словами математическое ожиданге. Математическое ожиданге того, кто ям4етъ вероятность р получить сумму s, измеряется произведешемъ р • s. Если эта ожидаемая сумма заранее известна, то опреде- леше математическаго ожидашя сводится, въ сущности, къ оты- сканш вероятности. Не то бываетъ, когда услов1я игры, или предпр1ят1я, допускаютъ возможность какъ выигрыша, такъ п проигрыша иесколышхъ различныхъ суммъ, смотря по темъ или инымъ случайнымъ обстоятельствомъ. Если же сооьтя, вероят- вероятности которыхъ соответственно суть pvp2,p3, ¦ • • , Р„ , даютъ право на осуществлеше разлпчпыхъ суммъ соответгтвенныхъ прибылей или убытковъ sv s2, s3, ... sn, то математическое ожидаше определяется, какъ сумма произведений P1s1 -f Pa?-, sn .
267 _ Отсюда видно, что математическое ожпдаше д-влается извт>ст- нымъ, если вычислить все различные возможные случаи. Но иногда удобн-Ье искать его непосредственно, не вычисляя всЬхъ составляющихъ его члеиовъ. Для прим-вра рйшимъ задачу о математическомъ ожиданш выигрыша для владельца одного билета благотворительной (въ пользу голодающихъ; правительственной лотереи, устроенной въ 1891 году. Задача 83-я. Математическое ожидаше выигрыша въ лотерею. Выпущено i 2ооооо билетовъ съ 2 928 выигры- выигрышами, размеры которыхъ определены следующимъ образомъ: I выигрышъ въ юоооо руб.; i » » 5ООО° в i » » 25 ооо » ю выигрышей в юооо » 15 » » 5 ооо » IOO » » I ООО » 2ОО » в 5ОО » 2б00 » в 25O в Определить математическое ожидаьпе выигрыша для владельца одного билета. Величина выигрыша владельца одного билета разсматрп- ваемой лотереи могла имйть значешя 100 000 р., 50 000 р., 25 000 р., 10 000 р., 5 000 р., 1 UUU р., 500 р., 250 р. и 0, а вероятность событш, при коихъ величина выигрыша полу- получала указанныя значешя, на основанш приведеннаго выше распред-влетя выигрышныхъ суммъ, определится следующими дробями: 1 1 1 10 _ 1 200 000 ' 1 200 000 ' 1 200 000 ' 1 200 OUtT '
268 15 100 200 2 600 1 200 000 ' I 200 000 ' 1 200 000 ' 1 200 000 ' 1 200 000 — 2 928 _ 1 197 072 1200 000 ~~ 1 200 000 ' Умножая каждую вероятность на сотвФтствующую сумму и складывая все, найдемъ, что математическое ожидаше выиг- выигрыша было, следовательно, равно 100 000 , 60 000 , 25 000 , 10-10 000 1 200 000 "¦" 1 200 000 "^ 1 200 000 ~*~ 1 200 000 ~"~ 15-6000 100-1000 200-500 250-2600 "+" +1 200 000 + 1 200 000 "+" 1 200 000 + 1 200 000 1197 072 111111 '1200 000 12~r24~r48'r 12^16 ~ 12 + + 1 Услов1е безобидности игръ. Возьмемъ какую-либо игру, состоящую изъ ряда парий, изъ которыхъ каждая кончается вынгрышемъ или проигрышемъ одного изъ двухъ игроковъ. Предположимъ, для общности разсуждешя, что математиче- математическое ожидаше выигрыша или проигрыша для игрока изменяется отъ одной парии къ другой. Допустимъ также при этомъ, что математическое ожидаше выигрыша (или проигрыша) не можетъ быть величиной безконечно малой, т.-е. оно остается все время не меньше некоторой конечной величины, отличной отъ нуля. Съ другой стороны, допустимъ, что математическое ожидате квадрата выигрыша не можетъ быть безконечно болыпимъ. При этихъ услов1яхъ можно доказать, что Если математическое ожидате выигрыша для одного изъ игроковъ есть величина положительная, то съ вгъроят- ностыо, сколько угодно близкой къ достовгърности, можно разсчищывать. что при достаточно большомъ числгь партт выгмръпиъ его превзойдешь всякую иапередъ заданную вели- величину-
269 На этой теореме, доказательство которой читатель можетъ найти въ соотвФтствующихъ курсахъ (см., напр., С. К. Савичъ «Элементарная теор1я страховашя» и др.), основывается юнятае о безобидности игръ. Пусть два лица А и В предприняли некоторую игру, состоящую изъ ряда отдФльныхъ парий, изъ которыхъ каждая кончается выигрышемъ или проигрышемъ одного изъ нихъ. Составимъ математическое ожидаше выигрыша игрока Л. Если эта величина окажется положительной, то на основаши предшествующей теоремы можно съ вероятностью, какъ угодно близкой къ достоверности (къ единице), разсчитывать, что при достаточно болыпомъ числе парий выигрышъ Л пре- взойдетъ всякую величину, напередъ заданную. Если, наоборотъ, математическое ожидаше выигрыша для игрока Л окажется отрицательнымъ, то математическое ожидаше выигрыша для игрока В будетъ положительно, и при доста- достаточно болыномъ числе партШ можно съ достоверностью раз- разсчитывать, что выигрышъ В будетъ столь великъ, сколь угодно. На этомъ основаши безобидными играми называются татя игры, въ которыхъ математическое ожидате выигрыша для каждаго игрока есть нуль. Поняйе о безобидности применяется не только къ собственно азартнымъ играмъ, но и вообще ко всякаго рода операщямъ, гд4 уплата различныхъ суммъ или получете ихъ обусловлены наступлетемъ н-Ькоторыхъ собыий случайнаго характера; такъ, напр., поняие о безобидности игръ применяется къ страховымъ операщямъ, где уплаты обеихъ сторонъ—страховщика и страхо- страхователя—обусловлены наступлешемъ различныхъ собьтй, связан- ныхъ съ жизнью человека. Задача 84-я. Въ MiniKi находится ю б-Ьлыхъ и 15 черныхъ шаровъ. Определить вероятность, что, взявъ заразъ оттуда 5 шаровъ, мы вытащимъ 2 б'Ьлыхъ и з черныхъ.
270 PinieHie. Всего въ мйшкй 25 шаровъ. Если берется сразу 5 шаровъ, то число всгьхъ равновозможныхъ и HecoMHiHHHXb случаевъ равно, очевидно, числу сочеташй изъ 25 элементовъ по 5, т. е. сз 25. 24. 23 .22. 21 25 1.2.8.4.5 Число всЬхъ равновозможныхъ п несовмгЬстимыхъ случаевъ, благопр1ятствующихъ появлешю 2-хъ б'Ьлыхъ шаровъ, есть с% _ 10 . 9 «>~ 1.2 ' а число такихъ же случаевъ, олагопр!ятныхъ появлешю 3-хъ черныхъ, есть сз 16.14.13 15 ~~ 1.2.3 " Эти послъ-дше могутъ комбинироваться каждое съ каждымъ, т. е. числителемъ дроби, выражающей искомую вероятность ожидаемаго собьтя, надо взять произведете С*о-С^5. Знаме- нателемъ же искомой дроби будетъ Ct. Итакъ, для искомой вероятности имеемъ 10.9.15.14.13 Cf0 -С3 1.2.1.2.3 25.24.23.22.21 Г. 2.3.4.5 10.9.15.14.13.1.2.3.4.5 195 1.2.1.2.3.25.24.23.22.21 506 Обпцй случай. Вообще, если въ мгыакть находится р бгь- лыхъ и q черныхъ шаровъ, то вероятность вытянуть за одинъ разъ а бчълыхъ и Ъ черныхъ шаровъ равна дроби С С" г ч
271 Задача 85-я. Генуэзская лотерея. Эта лотерея, до сихъ поръ процветающая въ Италш, въ прежнее время яы4ла также обширное распространеше во Франщи и во ыногихъ областях?. Германш. Она состоять изъ 90 нумеровъ, и при каждолъ ея розыгрыш^ выходитъ по 5 ну- меровъ. По условго лотереи, можно ставить ту или иную сумму на любой изъ 90 нумеровъ, или на любую совокупность двухъ, трехъ, четырехъ и наконецъ 5-ти нумеровъ, что соответственно называется: простая одиночка, амбо, тернъ, кватернъ и квинъ. Если въ числ4 вышедшихъ нумеровъ находится совокуп- совокупность т4хъ, на которые игрокъ ставилъ сумму, то администра- администрация лотереи выдавала этому игроку условленную сумму, нахо- находящуюся въ опред4ленномъ отношеши къ величин^ ставки. Это отношеше равно: для простой одиночки 15 » амбо 270 » терна 5 500 » кватерна 75 000 » квина 1000 000 Послй этихъ предварительныхъ пояснешй задачу о Генуэз- Генуэзской лотерей мы можемъ формулировать такъ: Въ сосуде содержится 9° билетовъ съ нумерами I, 2, 3> 4? ) 89, 9°- Вынимаютъ сразу или после- последовательно 5 билетовъ, при чемъ, въ случай послЪдо- вательнаго изъягпя, ни одинъ изъ вынутыхъ билетовъ не возвращаютъ обратно въ сосудъ и новыхъ туда также не подкладываютъ. Определить вероятность выигрыша на заранее выбранныя: простую одиночку, на амбо, тернъ, кватернъ и, наконецъ, на квинъ.
272 Р4шеше. Читатель, рйшпвппп общи случай предыдущей задачи, тот- часъ сообразитъ, что настоящая задача есть частный случай ея. Число всехъ равновозможныхъ случаевъ въ задачи равно, очевидно, числу сочеташй изъ 90 элементовъ по пяти, т. е. 5 __ 90 • 89 - 88 • 87 • 86 90~ 1 • 2 • 3 • 4 • б ' Теперь остается только определить число случаевъ, благо- пр!ятныхъ соответственно появлешю напередъ указанныхъ про- стыхъ одиночекъ или амбо, или терна, или квартерна, или киина. 1) Для случая простой напередъ взятой одиночки задача сводится къ такой: въ сосуде находится 1 б'Ьлый и 89 черныхъ шаровъ. Вытаскивается сразу 5 шаровъ. Какова вероятность, что при этомъ окажется одинъ 6гблый и 4 черныхъ шара? Число всехъ равновозможныхъ случаевъ, какъ зиаемъ, равно С™. Число такихъ же случаевъ, благогплятныхъ появлешю 1 белаго и 4 черныхъ шаровъ, будетъ, по предыдущей задаче, С*9. С\, или просто С*д, такъ какъ С* = 1. 2) Для амбо наша задача обращается въ такую: въ сосуде 2 белыхъ и 88 черныхъ шаровъ; определить вероятность, что, взявъ сразу 5 шаровъ, мы вытянемъ эти 2 белыхъ шара и 3 черныхъ. Число всехъ равновозможныхъ случаевъ есть С90. Число же благопр1ятныхъ появлешю собымя равновозможныхъ случаевъ 4 9 Ч есть, по предыдущему, С88 • С% , или просто С88, такъ какъ Сg=l. Итакъ, вероятность получешя напередъ взятаго амбо выражается дробью Г3 5 • °90 Подобнымъ же образомъ для математической вероятности тернъ, кватернъ и квинъ найдемъ соответственно дроби: и
273 Вычисляя на самомъ д4лЪ, получаемъ, что вероятность появлешя напередъ взятой простой одиночки ровна: С89 89-88-87-86-1-2-3-4-5 1 г5 гмбо: G88 Сп 87 кватернъ: г5 квинъ: 1 1- _ ( 1 1 1 2-3-4-90-89-88-87-86 18' 38-87-86-1-2-3-4-6 ¦2-3-90-89-88-87-86 87-86-1-2-3-4-6 •2-90-89-88-87-86 86-1-2-3-4-5 ¦90-89-88-87-86 1-2-3-4-5 90-89-88-87-86 2 801 ' 1 ~~ 11748 ' 1 511 038 ' 1 43 949 268 ' ЙО Допустимъ дал^е, что ставка игрока въ эту лотерею равна М; тогда математическое ожидагпе его прибыли отъ учаспя въ лотерей соответственно выражается числами (см. выше: услов1я лотереи и выдача администрации): въ случай простой одиночки . . . .(-тт; 1) М = ^ М амоо ^ 801 5 500 \ _, 1562 — 1 ) М = — — 11748 ~V 2937 и т. д. Математическое ожидан!е выражается отрицательнымъ чи- сломъ. Значитъ, эта лотерея представляетъ не безобидную для публики игру. Она приноситъ пользу только ея устроителями ВЪ ЦАРСТВА СЧЕКАЛКИ. КН. 1Ц. 18
274 Рулетка въ Монте-Карло*). Хороши приыт>ръ. поясняюпцй изложенныя выше сообра- жен1я о математической безобидности игръ, даетъ аналпзъ азартной игры, называемой рулеткой. Запрещенная для производства въ общественныхъ мйстахъ почти во вс4хъ государствахъ, эта азартная игра пр!ютилась въ маленькошъ государств^, княжествЬ Монако, расположен- номъ въ красивой местности на югЬ Францш, на берегу Сре- диземнаго моря. На высокой ropi Monte Carlo (Монтекарло), спускающейся обрывомъ къ морю, среди садовъ субтропической раститель- растительности находится дворецъ, такь называемое «казино», въ кото- ромъ происходить азартная игра. Этотъ роскошный игорный притонъ принадлежитъ акцюнер- пой компанш, платящей громадную миллюнную аренду князю Монако. Въ громадныхъ, богатоукрашенныхъ залахъ казино на боль- шихъ столахъ, расположенныхъ на значителыюмъ разстояши другъ отъ друга, производятся съ утра до ночи, и/Ълый годъ безъ перерыва, двй азартныя игры: рулетка и trenfe-et-qua- rante (тридцать и сорокъ). БолгЬе 20 столовъ предназначено для рулетки и столько же для trente-et-quaraute. Около каждаго стола толпится большое число играющихъ. Рулетка игра болгЬе дешевая, такъ какъ наименьшую ставку составляетъ большая серебряная пятифранковая монета. Позво- Позволяется ставить только суммы, кратныя пяти франкамъ. Наи- Наименьшей ставкой игры trente-et-quarante является уже золо- золотая монета въ 20 франковъ. Мы ограничимся лишь анализомъ игры рулетки. На сре- дин^ стола (фиг. 103) находится такъ называемая рулетка (С). Эта рулетка представляетъ собою большую круглую не- неглубокую деревянную чашку, на дн4 которой вращается гори- горизонтальный кругъ С, разделенный рад1усами на 37 секто- Изъ книги проф. Д. Граве «Энциклопсд'ш Математики*. Шевъ. 1912 г.
275 ровъ; секторы окрашены попеременно въ черный и красный (на нашемъ чертежи заштриховано) цвгЬта. По краямъ круга размещены въ нйкоторомъ, весьма тонко обдуманному безпо- рядкгЬ вей числа отъ 0 до 36, такъ что каждому сектору соответствуешь одно число. Около каждаго стола находится восемь служащихъ при ру- летк^, такъ называемыхъ croupier] мйста, которыя они зани- маютъ около стола, обозначены буквой D на чертеж^ По обйимъ сторонамъ стола открываются ящики i и В, представляющее кассу банка. Каждый день утромъ въ каждый столъ вкладывается 200 000 франковъ. © D D D о D Фиг. 103. Для ставокъ играющихъ на зеленомъ сукнй, покрывающемъ столъ, нарисованы желтой краской фигуры Е вида, указаннаго на чертеж^. Въ начали каждой игры одинъ изъ крупье, выкрикнувъ: «Messieus, faites vosjeux» (господа, делайте ваши ставки) при- водитъ горизонтальный кругъ съ секторами во вращеше и въ тотъ же моментъ въ противоположномъ направлен1и бросаетъ въ чашку маленькШ шарикъ слоновой кости. Скоро кругъ и шарикъ останавливаются въ своемъ движенш, при чемъ шарикъ оказывается иопавшимъ на одно изъ чиселъ, расположенныхъ но краю круга. Это число считается выигравшимъ, т. е. тотъ, 18*
276 кто поставплъ свою монету на это число, вынгрываетъ. Ставки, поставленный на остальныя числа, банкъ беретъ себе, какъ проигранный. Если не считать нуля (zero), то половина всЬхъ 36 нуме- нумеровъ соответствуете «чернымъ» (noir) секторамъ, половина же «красиымъ» (rouge); половина нумеровъ состоитъ изъ «чет- ныхъ» (pair) чиселъ, половина изъ «нечетныхъ» (impair); по- половина изъ «нижпихъъ (manque) нумеровъ, т. е. отъ 1 до 18, половина изъ «верхнихъ» (passe), т. е. отъ 19 до 36. Поэтому, если выигрываетъ, наприм^ръ, нумеръ 34, то крупье викрпкиваетъ такъ: «34, rouge, paire et passe». Можно ставить монету на одпнъ только нумеръ; можно ста- ставить на несколько сосъднихъ нумеровъ: на два, три, четыре и шесть. Ставка на rpyuuy нумеровъ обозначаеть, что ставящШ по- лучаетъ выигрышъ при наденш шарика на odiio изъ чиселъ этой группы. Очевидно, что чгЬмъ на большее число нумеровъ монета поставлена, гЬмъ вероятность выигрыша больше. Такъ, иапрпыЗфъ, па краю фигуры существують клетки, обозначенныя ¦^121 12' 12' Р12 обозначаетъ premiere dousalne» (первая дюжина), т. е. числа отъ 1 до 12; Ж12 обозначаетъ «douze milieu» (средняя дюжина), отъ 13 до 24; D12 обозначаетъ «derniere douzaine» (последняя дюжина), отъ 25 до 36. Подъ каждой изъ вертпкальныхъ колоннъ нумеровъ нахо- находятся пустыя клетки, соответствующая числамъ этой колонны. Самая большая вероятность выигрыша соответствуете такъ называемымъ «chances simples» (простымъ шансамъ), когда мо- монета ставится на 18 нумеровъ. Тутъ возможны шесть комби- нащй: 1) черный, 2) красный, 3) четъ, 4) нечетъ, 5) passe, 6) manque. Для этихъ комбинаций имеются по бокамъ болышя клетки, ибо публика более охотно ставитъ на эти комбинащп наибольшей вероятности выигрыша.
277 Правила игры таковы, что въ случай выигрыша кроме ставки, поставленной игрокомъ на известную комбинацию, банкъ приплачиваетъ этому игроку отъ себя, какъ выигрышъ, неко- некоторую кратность ставки по следующей таблице. Число нумеровъ, на кото- _, Выигрышъ: рые поставлена ставка а: 1 2 3 4 6 12 35 а 17 а На 8а 5 а 2а 18 Легко убедиться, что такой расчетъ выигрышей д4лаетъ рулетку игрой обидной въ пользу банка и противъ всшхъ осталъныхъ жроковъ. Если бы не было нумера «нуль», то игра при вышепри- веденномъ расчете выигрышей была бы безобидна. Примемъ ставку за единицу и вычислимъ математическое ожидаше выгоды банка на каждой ставки игрока. Пусть ставка поставлена на одинъ нумеръ, напримйръ 31; очевидно, что банкъ выигрываетъ 1, когда выходитъ одинъ изъ 36 иумеровъ, О, 1, 2,... 30, 32,... 36, вероятность чего будетъ ^=. Значитъ, математическое ожидаше выигрыша банка оудетъ 1-^==~. Банкъ проигрываетъ 35 при выходи нумера 31, вероятность 1 чего есть -^=; значитъ математическое ожиданш проигрыша 35 _ е 36 35 1 будетъ —. Получится въ общемъ ^=— — =—, т. е. поло- положительное математическое ожидаи1е. Ясно, что математическое ожидаше игрока, поставившаго на одинъ нумеръ, будетъ отрицателънымъ числомъ—я=, такъ какъ выигрышъ банка есть проигрышъ игрока и обратно.
278 При ставки на два нумера математическое ожидаше выиг- 35 ,, 2 рыша оангсаоудетътг^, а проигрыша 17-—, и математическое ожи- о / о / _«. 35 ,„ 2 1 дате оанка опятъ выразится твмъ же числомъ ^= — 17 • -= = _ о / о / о / Вообще, получается математическое ожидаете — при веЬхъ кoмбинaцiяxъ, за исключешемъ простыхъ шансовъ, такъ какъ при простыхъ шансахъ существуетъ одно добавочное правило игры, уменьшающее на половину математическое ожидаше банка. Указанное добавочное правило состоитъ въ сл4дующемъ. Пусть ставка а поставлена на красный цв4тъ. Если выходитъ €нуль», то ставка остается подъ арестомъ (en prison) до слй- дующаго удара, при чемъ при выходи краснаго цвета ставка возвращается игроку и забирается банкомъ при выходи чернаго цвгЬта. При вторичномъ выход4 пуля ставка остается подъ аре- арестомъ до олйдующаго удара и т. д. Итакъ, пусть ставка 1 поставлена на красный цвгЬтъ, тогда банкъ проигрываетъ 1 при выходи краснаго цвтла, что даетъ 18 математическое ожиданш — — . О i Банкъ выигрываетъ или на первомъ ударЬ, если выйдетъ черный цв'Ьтъ, вероятность чею равна —, или на второмъ О i v , / 1 18\ _ ударъ, въроятность чего I—. — I равна произведенш в^роят- Vo/ оi J 1 . _ 18 ности — выхода нуля на первомъ удар^ на в-Ьроятность — о / о/ выхода чернаго цв^та на второмъ ударгЬ. Если банкъ выигрываетъ на третьемъ удар! послт. друкрат- наго появлен1я нуля, то вероятность этого выигрыша будетъ J_ J_ Г8 37 " 37 " 37 ' Вообще говоря, вероятность банку выиграть ставку на irb- которомъ ударе выразится рядомъ 18 ^8 18 ,18, 18 1 1 37
279 ,- Итакъ, общее математическое ожидаше выгоды банка на простомъ шансЬ будетъ i 1 18 1 2 37 2-37 На этомъ обстоятельств^ основано новое правило игры, по- позволяющее игроку, поставившему на простой шансъ, взять прп выход'Ь нуля назадъ половину ставки, не дожидаясь слйдующаго удара. Существуетъ еще одно весьма важное правило игры, состоя- состоящее въ установленш предала для ставокъ (mise maximum). Это правило характеризуется тЬмъ, что банкъ не выдаетъ бол'Ье 6000 франковъ отдельному игроку на его ставку. Отсюда вытекаетъ, что нельзя ставить болт>е 6000 на простой шансъ, нельзя ставить болйе 3000 = на дюжину, бол'Ье 1200 = 6000 = —-— на шесть нумеровъ и т. д. Этимъ правилоыъ банкъ обезпечиваетъ себя оть такъ назы- называемой системной игры. Представимъ себъ1 очень богатаго человека, который будетъ играть такъ: поставитъ монету 5 франковъ на простой шансъ, если проиграетъ, то иоставитъ удвоенную ставку 10 фр. на этотъ же шансъ, если проиграетъ, то поставитъ учетверенную ставку 20 фр. на тотъ же шансъ и дал'Ье будетъ удваивать ставку на тотъ же шансъ; тогда, какъ легко заметить, при пер- вомъ выигрыши онъ возвращаетъ назадъ вс4 раньше проиг- ранныя ставки и кромт, того остается въ вышрышгъ одной мо- неты 5 фр. Откладываетъ выигранную монету въ карманъ, и начинаетъ снова пгру съ удвоетемъ ставокъ. Такъ какъ оче- очевидно, что простой шансъ, напрщйръ красный цв-втъ, долженъ когда нибудь появиться, то такпмъ образомъ получается какъ бы верный способъ остаться въ выигрынгв. Существоваше предала для ставокъ дъ'лаетъ такую систем- системную игру очень рискованной.
280 Въ самомъ деле, игрокъ не можетъ поставить заразъ более 1 200 ыонетъ, следовательно, если онъ начинаетъ удваи- удваивать ставки, то его ставки будутъ A) К, 2Л„ 4„ 8„ 16,, 32„ 64,, 128,, 256л>, 612,, 1024,, и больше удваивать онъ не ингЬетъ права, такъ что если ксгЬ 11 его ставокъ биты, то въ погоне за выигрышемъ одной мо- монеты онъ проигрываетъ 2047 монетъ [сумма чиселъ A)]. Наблюдете показываетъ (ведутся подробные журналы выхо- дящихъ нумеровъ, охотно покупаемые игроками), что очень часто случается, что какой нибудь простой шансъ не выходить подъ-рядъ 15—20 разъ, а потому вероятность неудачи систем- системной игры значительна. Несмотря на рискъ подобной системной игры, часто отдель- отдельные игроки съ усп4хомъ ее применяюсь. По словамъ одного изъ крупье, пришлось бы закрыть рулетку, если бы вся пу- публика играла по указанной системе. Указанная нами игра съ удвоешемъ ставокъ на одияъ и тотъ же шансъ носитъ назваше poursuivre la chance (пресл'Ь- доваше шанса). Подъ назвашемъ poursuivre le gagnant (пресл^довате выиг- равшаго шанса) разумеется та же игра съ удвоешемъ ста- ставокъ, когда игрокъ ставитъ на цветъ, только что передъ т^мъ выигравппй. Тутъ игрокъ ожидаетъ повторен!я одного цвета два раза подъ-рядъ. Весь вышеприведенный анализъ показываетъ, что рулетка есть игра обидная въ пользу банка. Мшшоны, выручаемые рулеткой, являются фактическимъ подтверждешемъ нашей тео- piH, что игрокъ съ положительнымъ математическимъ ожида- niewb можетъ выиграть при болыпомъ числе игръ сколь угодно много. Итакъ, колоссальные доходы отъ рулетки основаны на мате- математической организации самой игры. Во всемъ остальномъ дело поставлено вполне корректно, и все служащде рулетки про- ящгяютъ полную предупредительность къ публике.
281 При организацш игры, очевидно, участвовали серьезные математики, которые обезпечили банку всЬ выгоды и въ полной мере обезопасили его отъ риска, а потому представляются воз- мутительнымъ шарлатанствомъ все советы относительно спосо- бовъ в^рнаго выигрыша. Изъ всего вышеизложеннаго вытекаетъ сов'втъ каждому отдельному лицу не трать въ рулетку. Если челов'Ькъ желаетъ все-таки играть, то не слгьдуетъ играть долго, такъ какъ, ч^мъ дольше челов'Ькъ играетъ, тт.мъ больше проявляется выгода банка. Безнравственная сторона дела состоитъ во вл1янш рулетки на неуравновешенную психическую сторону игрока. Груды золота и блестящая обстановка, въ которой совер- совершается игра, пробуждаютъ корыстолкше, и очень часто люди, желая выиграть очень много, не могутъ во-время остановиться и проигрываютъ последшя деньги. Въ заключеше заметимъ, что журналы, печатающее выхо- дяшде въ рулетке на разныхъ столахъ нумера, конечно, не приносятъ никакой пользы охотно изучающимъ ихъ игрокамъ, но для лица, знакомаго съ Teopiefl вероятностей, эти журналы интересны съ чисто теоретической стороны. Такъ, напримеръ, подтверждается законъ болынихъ чиселъ (См. далЬе). Красный и черный цвета появляются при болыпомъ числе наблюдешй приблизительно въ одинаковомъ количестве. Но за все время существовашя рулетки былъ одинъ случай, когда на одномъ столе въ продолжеше двухъ месяцевъ одинъ цветъ выходилъ въ количестве вдвое болыпемъ, ч'Ьмъ другой. Такое явлеше ни- ничего невозможнаго не представляетъ. Его малая вероятность имела сл-Ьдстыемъ то, что оно случилось только одинъ разъ за всю практику рулетки. Было бы ошибочнымъ думать, что дальнейшее продолжете игры должно сопровождаться компен- сирующимъ более частымъ появлен!емъ другого цвета. Такое предположеше противоречило бы случайности и независимости выхода того или другого нумера.
JACOBI BERNOULLI, Profef? BafiL & utriufque Societ. Reg. Scientiar* Gall. & Pruir SodaL Mathematici Celeberrimi, ARS CONJECTANDI, OPUS POSTHUMUM. Acceiit TRACTATUS DE SERIEBUS INFINITIS, Et E p i s т о l a Gallic^ fcripta DE LUDO PILiE RETICULARIS. FE&TINA LtNTl BASILEI, Impenfis THURNISIORUM, Fratrum. do Idcc xiii.
Теоредоа Якова Бернулли. Въ 1713 году въ Базелй появилось посмертное сочинеше знаменитаго математика Якова Бернулли подъ заглавхемъ «Ars Conjcctawdi» («Искусство предположены»), снимокъ съ заглав- наго листа котораго данъ на предыдущей страниц1!;. Сочпнеше это можно считать краеугольнымъ камнемъ, на которомъ мало- по-малу было воздвигнуто все современное здаше Теорщ Ве- Вероятностей. Въ четвертой части этой книги формулирована и доказана знаменитая теорема Я. Бернулли, положившая на- начало такъ называемому закону болъишхъ чиселъ. играющему въ современномъ естествознанш огромную роль. Теорема изла- излагается (элементарно) въ IV и V главахъ 4-ой части книги Я. Бернулли. Мы нриводимъ эти главы къ перевод^ приватъ- доцента Я. В. Успенскаго, сдъ-ланномъ подъ редакщей акаде- академика А. А. Маркова и изданномъ нашей Академ!ей Наукъ въ ознаменоваше 200-л^т1я (въ 1913 г.) со времени появлешя «Ars Conjectandi» въ св'Ьтъ. Я. В. Успенскимъ переведена вся четвертая часть книги, и она имеется въ отдельной про- даж4 подъ заглав1емъ «Часть четвертая сочинеп1я Якова Бер- Бернулли «Ars Conjectandi» (ivbua 45 коп.).
284 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. О двоякомъ способЪ опредЪлешя числа случаевъ. Что слЪдуетъ думать о томъ способ^, который опирается на опытъ. Особенная задача, представляющаяся по этому поводу. И проч. ... По числу случаевъ, въ которыхъ доводы для какпхъ-либо вещей ыогутъ существовать или не существовать, доказывать или не доказывать или даже доказывать противное, могутъ быть подвергнуты вычисление и измерены доказательныя силы ихъ и соотвт,тствующдя вероятности. Все дело сводится къ тому, чтобы для правильнаго составлешя предположетй о какой-либо вещи были точно исчислены какъ числа гЬхъ случаенъ, такъ равно было бы определено, насколько одни могутъ легче встретиться, чемъ друпе. Но здесь мы, иовидимому, встречаеиъ нрепятеттае, такъ какъ только крайне редко это возможно сделать и почти нигде не удается, кроме игръ, зависящихъ отъ случая, которыя первые изобретатели, постаравшись сделать безобидными, устро- устроили такъ, чтобы были совершенно известны числа случаевъ, влекущихъ выигрышъ или проигрышъ, а сами случаи могли бы встретиться одинаково легко. Въ большинстве же другихъ явленШ, зависящихъ или отъ действш силъ естественныхъ, пли отъ свободной воли людей, не имеетъ места ни то, ни другое. Такъ, напр., известно число случаевъ при игре въ костп. Для каждой кости ихъ, очевидно, столько, сколько граней, и все они равно- возможны, такъ какъ вследеттае подоб1я граней и равномерной плотности кости нетъ никакого основашя, почему одна грань могла бы легче открыться, чемъ другая. Такъ было бы, если бы грани были различной формы или кость въ одной части состояла изъ более тяжелаго матер1ала, чемъ въ дру- другой. Такъ, равнымъ образомъ, известно число случаевъ при извлеченш изъ урны билетика белаго или чернаго, и известно, что вст> они одинаково возможны; именно потому, что определено и известно число билетовъ обе- ихъ категорШ и не видно никакого основашя выйти одному изъ нихъ легче, чемъ всякому другому. Но, спрашивается, кто изъ смертныхъ когда- либо определить, какъ такое же число случаевъ, число, напр., болезней, которыя во всякомъ возрасте поражаютъ безчисленное множество частей человеческаго т4ла и могутъ намъ причинить смерть; и насколько одна болезнь легче погубить человека, чемъ другая: нанр., чума, чемъ водо- водобоязнь, водобоязнь, чемъ лихорадка, чтобы отсюда можно было составить предположен1е о жизни или смерти въ будущемъ? Кто также сочтегь без- численные случаи переменъ, которымъ ежедневно подвергается воздухъ,
286 чтобы отсюда можно было сделать предположеше, каково будетъ его со- стояше черезъ м-Ьсяцъ или, гЬмъ паче, черезъ годъ? Опять, кто доста- достаточно знаетъ природу челов^ческаго ума или удивительное устройство на- нашего т$ла, чтобы въ играхъ, зависящихъ вполне или отчасти отъ остроты ума или ловкости гЬла, дерзнуть определить случаи, когда тотъ или дру- другой изъ участниковъ игры можетъ одержать победу или потерпеть пора- жеше? Такъ какъ это и подобное зависитъ отъ причинъ совершенно скры- тыхъ и, сверхъ того, всл!)Дств1е безконечнаго разнообраз1я ихъ сочетанш, Kh ¦ у ¦*>,; •i. i NOU Яковъ Бернулли A654—1705). всегда ускользающихъ отъ нашего познан!я, то было бы совершенно без- безумно желать что-либо узнать такимъ иутемъ. Но зд^сь намъ открывается другая дорога для достижешя искомаго. И что не дано вывести a priori, то, по крайней жЩ% можно получить a posteriori, т. е. изъ многократнаго наблюдешя результатовъ въ подобныхъ пршгЬрахъ. Потому что должно предполагать, что некоторое явлеше впосл'Ьт.ствш въ столькихъ же случаяхъ можетъ случиться или не случиться, въ сколь- кихъ при подобномъ же положенш вещей раньше оно было отмечено слу- случившимся или не случившимся. Ибо, если, напр., при наблюдешяхъ, сд$- ланныхъ надъ тремя стами людей того же возраста и сложешя, какъ теперь
286 Тптъ, было замечено, что пзъ нпхъ двести до нстечсшя десяти л1>тъ уперли, а остальные остались въ живыхъ и дольше, то можно заключить съ доста- точнымъ основамемъ, что вдвое больше случаевъ и Титу умереть въ течете ближайшаго десятшгЁтся, чемъ остаться въ жпвыхъ по истеченш этого срока. Также, если кто-либо будетъ разсыатрпвать состояше погоды за очень боль- большое число истекшихъ годовъ и будетъ отмечать, сколько разъ она была ясной или дождливой, пли кто-либо очень часто будетъ присутствовать при игре двоихъ и наблюдать, сколько разъ тотъ пли другой оказывается въ игре победителемъ, то тЬыъ самымъ откроетъ отнотеше, въ которолъ, вероятно, находятся числа случаевъ, когда то же собьше при обстоятель- ствахъ, подобныхъ прежнимъ, и въ будущемъ можеть случиться или не случиться. Этотъ опытный способъ определены числа случаевъ по наблю- дешямъ не новъ п не необыченъ. Ибо и знаменитый авторъ «L'art de penser», мужъ большого ума и проницательности, въ гл. 12 и след. последней части предписываете подобное же, и то же все постоянно соблюдаютъ въ повседневной практике. Далее, всякому ясно и то, что для такого разсуждейя о какомъ-лобо явленш не достаточно взять одно или другое наблюдете, но требуется большой запасъ наблюдетп. Потому-то даже самый ограниченный человекъ по какому-то природному инстинкту самъ собой и безъ всякаго предварительнаго обучешя (что очень удиви- удивительно) знаетъ, что чемъ больше принято во внпмашс такихъ наблюденш, темъ менее опасность не достичь цели. Хотя это естественнылъ образомъ всемъ известно, однако доказательство, извлекаемое изъ научныхъ осно- вашй, вовсе не такъ обычно, и потому намъ предстоптъ его здесь изложить. При чемъ я счелъ бы для себя малой заслугой, если бы остановился на доказательстве только того, что все знаютъ. Здесь для разсмотрешя остается нечто, о чемъ до спхъ поръ, можетъ быть, никто и не подумалъ. Именно, остается изследовать, будетъ ли при такомъ увелпченш числа наблюдений вероятность достичь действительнаго отношешя между числами случаевъ, при которыхъ какое-либо собьте можетъ случиться или не слу- случиться, постоянно возрастать такъ, чтобы, наконецъ, превзойти всякую степень достоверности, пли же задача, такъ сказать, шгЬетъ свою асимп- асимптоту, т. е. имеется такая степень достоверности, которую никогда нельзя превзойти, какъ бы ни умножались наблюдешя; такъ что, напр., никогда 2 3 нельзя иметь уверенность более половины или -^, или -т достоверности въ томъ, что мы нашли пстинное отношеше случаевъ. Чтобы на примере было ясно, чего я хочу, я предполагаю, что въ некоторой урне, безъ твоего ве- ведома, скрыты трп тысячи белыхъ и две тысячи черныхъ камешкопъ и что ты, для определешя числа пхъ олытомъ, извлекаешь одинъ камешекъ за
287 друпшъ (однако, каждый разъ кладя обратно извлеченный до вынутся сл!>- дующаго, дабы не уменьшалось число камешковъ въ урн*) и замечаешь, сколько разъ выходить б11лый и сколько разъ—черный. Требуется узнать, можешь ли ты это проделать столько разъ, чтобы въ десять, въ сто, въ тысячу разъ и т. д. было вероятнее (т. е. оказалось бы, наконецъ, нрав- нравственно достовърнымъ), что числа поавлешй белыхъ и черныхъ будутъ находиться въ толъ же отношенш 3 къ 2, въ какомъ находятся самыя числа камешковъ, чеыъ въ каколъ-лпбо другомъ отношенш, отъ этого отлячномъ? Если бы этого не случилось, то, признаюсь, следовало бы усо- усомниться въ нашей попытки определять числа случаевъ изъ онытовъ. Но если это достигается п такпмъ путемъ, наконецъ, получается нравствен- нравственная достоверность (а что это на самомъ деле такъ, — я покажу въ сле- следующей главе), то находнмъ числа случаевъ a posteriori иочти съ тою же точностью, какъ если бы они были намъ известны a priori; что въ обще- общественной жизни, где нравственно достоверное принимается за вполне досто- достоверное, безъ сомнения, вполне достаточно, дабы направить наши предпо- предположения въ какомъ угодно предмет* случайномъ не менее научно, чемъ въ играхъ. Ибо если мы урну заменить гоздухоиъ, напр., или человече- скимъ теломъ, которые содержать въ себе источники разныхъ иеременъ или болезней, подобно тому какъ урна—камешки, то мыбудемъвъеостоя- нш совершенно также наблюдешями определить, насколько легче въ этпхъ вещахъ можетъ получиться то пли другое явленье. Чтобы не понимать этого превратно, следуетъ заметить, что отношеше между числами слу- случаевъ, которые мы желаемъ определить оиытомъ, понимается не въ смысле точнаго отношения (ибо прп такомъ воззр*нш случилось бы какъ разъ обратное, п вероятность найти истинное отношеше была бы темъ меньше, чемъ более было взято наблюдешй), но до известной степени приближен- наго, т. е. заключенная) въ двухъ границахъ, который можно взять сколь угодно тесными. Именно, если въ только что приведенномъ примере ка- . 301 299 3001 2999 мешковьвозьмемъ два отношенш <щ и ;™ или тщ^ и ^ккг. и т. д., изъ которыхъ одно весьма близко, но больше, а другое весьма близко, но меньше 3 отношенш -н, то будетъ показано, что, задавъ какую угодно вероятность, можно сделать более вероятнымъ, что найденное изъ лногпхъ наблюдешй отношеше будетъ заключено въ этихъ пределахъ полуторнаго отношешя, а не вне ихъ. Вотъ, следовательно, какова задача, которую я здесь решилъ обнаро- обнародовать после того, какъ уже въ течете двадцати летъ владелъ ея реше- щечъ. Новизна этой задачи ц величайшая польза, сопряженная съ такою
2Ь8 же трудностью, можетъ придать весъ и цену всемъ другиыъ главамъ этого учешя. Но прежде пзложешя ея решетя я въ краткпхъ словахъ защп- щусь отъ возражешй, которыя выставили некоторые ученые мужи протпвъ этихъ положешй. 1) Во-первыхъ, возражаютъ, что одно—отношеше камешковъ, а дру- другое—отношеше болезней или нерем*нъ воздуха. Именно, число иервыхъ определенное, а вторыхъ—неопределенное. На это я возражаю, что и то, и другое въ отношенш къ нашему познанш одинаково можетъ считаться неопредт>леннымъ и неяснымъ. Но все, что само uo себЪ и по своей при- природ* таково, мы можемъ представить себе не лучше, чечъ вещь, одно- одновременно созданную Творцомъ прпроды и не созданную; ибо все сотворен- сотворенное Богомъ определяется уже при самомъ творенш. 2) Во-вторыхъ, возражаютъ, что число камешковъ конечно, а болезней п проч. безконечно. Отв. Скорее невообразимо большое, чемъ безконечиое. Но допустимъ, что на самомъ деле—безконечно большое. Известно, что да7ке между двумя безконечностями можетъ существовать определенное отношен1е, выразимое конечными числами пли точно, или, по крайней мере, съ кашшъ угодно прпближетемъ. Такъ, отношеше каждой окружности къ диметру определенное, которое, правда, точно не выражается иначе, какъ круговымъ числомъ Лудольфа, безконечно продолженнымъ ь); однако, Архиыедоыъ, Мещемъ и сампмъ Лудольфомъ заключено въ пределы, весьма удовлетворительно близте для практики. Поэтому, ничто не пренят- ствуетъ, чтобы отношеше двухъ безконечностей, ариближенно выраженное конечными числами, также могло быть определено конечнымъ числоыъ опытовъ. 3) Говорятъ, въ-третьихъ, что число болезней не остается иостоян- нымъ, но каждый день возникаютъ новыя. Отв. Что съ течешемъ времени болезни могутъ умножаться,—этого мы не ложеыъ отвергать и несо- несомненно, что тотъ, кто пожелаетъ изъ теперешнихъ наблюденШ сделать заключешя о временахъ до-дилюв1анскихъ иредковъ, весьма сильно откло- отклонится отъ истины. Но отсюда ничего не следуетъ, кроле того, что иногда нужно возобновлять наблюдения, подобно тому, какъ следовало бы возоб- возобновлять наблюдешя и съ камешками, если бы предполагать число ихъ въ урне изменяющимся. 1) Число г..
289 ГЛАВА ПЯТАЯ. PtmeHie предыдущей задачи. Чтобы изложить длинное доказательство съ возможною краткостью н ясностью, я попытаюсь свести все къ чистой математик*, извлекая изъ нея следующая леммы, поел* доказательства которыхъ все остальное сведется только къ ихъ иримтлешю. Лемма 1. Пусть данъ рядъ сколькихъ угодно чиселъ 0, 1, 2, 3, 4 п т. д., слт>дующихъ, начиная отъ нуля, къ естественномъ порядкЁ, изъ которыхъ крайнее и наибольшее пусть будетъ r-\-s, какое либо среднее г и два ближайшпхъ къ нему числа съ объшъ сторонъ г-\-1 и г — 1. Пусть, далъ-e, этотъ рядъ будетъ продолженъ до тт.хъ иоръ, нока крайнШ членъ не сдтлается равнылъ какому-нибудь кратному числа r-\-s, т. е. пока не сделается равны иъ nr-\-ns. Въ томъ же отношснш увеличатся среднее число г и рядомъ съ нплъ стоятцш г -\-1 иг— 1, такъ что вместо нпх7> получается иг, пг-\-п, т-\-п. п первоначальный рядъ О, 1, 2, 3, 4,. г— I, г, г (-1,.... r + s обратится въ такой: О, 1, 2, 3, 4,. пг—и,. ... пг,. .. nr-\-n,.... nr-\-iis. Съ возрасташемъ п такимъ образолъ будетъ увеличиваться какъ число членовъ, которые лежать между среднимъ пг и одниыъ изъ пред'Ьльныхъ пг -\- п или пг - - п, такъ и число гЬхъ, которые идутъ отъ этпхъ цредЪ- ловъ до крайнихъ членовъ nr-\-ns пли 0. Но, однако, никогда (какъ бы велико ни было взято п) число членовъ за болышшъ пред*ломъ т-\-п не будетъ бшгЬе, ч1>мъ въ s — 1 разъ, и число членовъ передъ меньшимъ нредтянонъ пг — п не будетъ бол^е, ч1>мъ въ г — 1 разъ, превышать число заключенныхъ между среднимъ пг и одниыъ изъ иред'Ёловъ пг-\-п или пг — п. Ибо поел* вычиташя ясно, что между болышшъ цред'Ёломъ и крайнимъ членомъ пг -(-- ns имеются ns — п цромежуточныхъ членовъ, ц между меньшпмъ нредгВломъ и крайнпмъ 0 имеется пг — п цромежуточ- цромежуточныхъ членовъ, между среднпмъ и каждымъ изъ пред'Ь.'ювъ п цромежуточ- цромежуточныхъ членовъ. Но всегда (ns—п): n=s—1 :1 и (пг — п):п = г— i : 1. Откуда сл1>дуетъ и т. д. Лемма 2. Всякая ц1>лая степень какого-либо двучлена г-f-s выра- выражается числоыъ членовъ, на единицу оольшпмъ числа единицъ въ показа- показателе степени. Ибо квадратъ содержитъ 3 члена, кубъ 4, биквадратъ 5 и т. д., какъ известно. БЪ ДАРСТБВ СМЕКАЛКИ. КН. III. 19
290 Лемма 3. Въ любой степени этого двучлена (но крайней м*рЬ, такой, которой показатель ракенъ двучлену r-{-s = t или его кратному,—напр., nr-{-ns=nt—некоторый членъ Ж будетъ напболышшъ, если числа пред- шествующахъ ему и слЪдующпхъ за нимъ членовъ находятся въ отношенш s къ г или, что то же, если въ этоыъ членЁ показатели буквъ г и s нахо- находятся въ отношешп саыихъ количествъ rns; болЪе близшй къ нему членъ съ той и съ другой стороны больше бол1>е удаленнаго съ той же стороны; но тотъ же членъ М пм^етъ къ болт* близкому меньшее отношеше, чт>мъ болт* близгай къ болъ-е удаленному при равноыъ числи промежуточныхъ членовъ. Док. 1. Геометрамъ хорошо известно, что стеиевь nt двучлена r-\-s, т. о. (r-\-s)'", выражается такимъ рядомъ , . nl , nt(nl—l) , ., , mini- l)(nl 2) , ... r»(_j_ r«—s_| y__—'гш—,82^ v——^v >_ j.,,,-,sd _!_____ Въ этоыъ ряду степени г постепенно уменьшаются, а степени s увсли- ваются, при чезаъ коэффпц1енты второго и предиослт,дняго члена у -, 3-т „ nt ш — 1) . . съ начала и 3-го съ конца —^—^—-, 4-го съ начала и 4-го съ конца nt(nt—l)(nt — 2) „ _ „ ,, — ~~ и т. д. Такъ какъ число всёхъ членовъ кромт, Л/, 1 . /L . о по лемм* 2, есть nt~nr-\-ns, а по предпожешю,числа членовъ, нредше- ствующпхъ этому и за нимъ слъдующихъ, относятся какъ s къ г, то число т1;хъ членовъ, которые предшествуютъ М, будетъ ns, а т1>хъ, которые за впмъ слт,дуютъ,—пг. Откуда, по закону образован1я ряда, члевъ Ж будетъ nt(nl— ]) (то- 4-1) ш- „* In г S .2 ns или ntjnt—1) (rts-j-1) »' «» 1.2..-..пг Г S ¦ и подобным же образомъ ближайшй къ нему членъ сл1>ва nt(nt 1) (nr-\-2) 1.2....fne — 1) ' справа nl (nt—1) (ns-\-2) „,_i 1.2....(nr — 1) r s и равнымъ образомъ ыгЬдуюнцй справа t(nt — 1)... .(ns-\-3) nr_i nt(nt — l) (ИГ4-3) „r 1.2....(ne —2) r 1.2....(nr—2) r s
291 Откуда, после предварцтельнаго сокращая общпхъ множителей, ста- нетъ яснымъ, что членъ М относптся къ ближайшему слева, какъ (т-\-\) s къ ns-r, этотъ къ следующему, какъ (да 4^- 2) s къ (ns — 1) г а проч. п также, что членъ М относится къ ближайтеыу справа, какъ (ns-{-1) r къ nr-s, а этотъ къ следующему, какъ (ns 4-2)г къ (пг— 1) s и цроч. Но (да-f-l) s j> nrs 11 (nr -(- 2) s > »isr — ru цроч. Также (ns -\-1) г ^> nsr u (ns -|- 2) г > nrs и цроч. — s Следовательно, членъ М больше ближапшаго съ об^ихъ сторонъ, а этотъ—больше более удаленнаго съ тон же стороны п проч. Ч. т. д. „ „ . пг 4-1 . пг4-2 2) Отношеню ¦—меньше отношены !—г, что ясно: поэтому, ' ns ns— I ' ^ - S , после умножепш на одно п то же отношеше оудетъ (nr -\-l) s (пг 4- 2) s nsr (ns — 1) г „ . . ns 4-1 ns4-2 Подооно этому отношенш —-— ^ ~-г; следовательно, но уыно- . г жевш на отношете - также s (ns 4^ 1 г (ns 4- 2) г nrs (пг — 1) s Но отношеше (т 4-1) s nsr равно отношенго члена М къ ближайшему слева, п отношеше (пг4-2)s (ns — 1) г равно отношешю этого члена къ следующему. Также отношеше nrs равно отношешю члена М къ ближайшему сирава, ц (ns-\-2)r (пг — 1) s 19*
202 равно отношенш этого члена къ следующему. То, что только что показано, можно равнымъ образомъ применить и ко гсеемъ нрочпмъ членамъ. Вслтде-гае этого наиболышй членъ Ж имеетъ меньшее отношение къ более блнзгашъ членамъ съ обеихъ сторопъ, чемъ (при равномъ числе иро- межуточныхъ членовъ) более близкШ къ более удаленному съ той же сто- стороны. Ч. т. д. Лемма 4. Въ степени двучлена съ показателеиъ nt чпело п можетъ быть взято столь болышыъ, чтобы отношенш напбольшаго члена М къ двумъ другимъ L и Л, отстоящимъ отъ него налево п направо на п чле- членовъ, превзошло всякое данное отношеше. Док. Такъ какъ въ предыдущей лемме наибольшей членъ М билъ найденъ равнымъ nt(nt — 1) (пг-\-1) „г ns •2....ns или nt(nt— 1) ... (ns-\~l) ,„¦ „., 1-2 то- то по закону образовашя ряда члены L и А будутъ L слева nl(nt - 1)^..tnr-{-n _J.) яг+я „.,-,» 1-2... (ns — п) Г S А справа nl(nt—l)... 1-2...(иг~и) откуда получается после ирилачныхъ сокращешй на обшде множители М (пг -)- п) (пг -\-п — 1).... (пг -\-1) • s" -^ (ns — n-\-l)(ns — п-\-2)... .ns-r" М (ns -f- n) (ns -{-n — 1.).... (ns -\-\)-rn A (nr — n-\-l)(nr — n-f-2) nr-s" или M (nrs -\- ns) (nrs -\-ns — s). . .. (nrs -\- s) L (nrs — nr -\~ r) (nrs — nr -\- 2r). .. . nrs M (nrs -J- nr) (nrs -\-nr— r). ... (nrs -f- r) A (nrs — ns ~\- s) (nrs — ns -\- 2s).... nrs ' Но этп отношешя будутъ безконечно большими, когда п полагается безконечнымъ: ибо тогда исчезаютъ числа 1, 2, 3 и проч. по сравнешю съ и, и сами числа «rrtnqrl, пг±пц 2, nrztnzj=3 и проч., и ns:+: пqr I, nsdz и ц= 2, ns d= n rL 3 и проч. будутъ плеть то же значе- Hie, какъ пг±п и nsrtzn, такъ что по разделении на п получится М (rs-|-s)(rs-f-s). .. .rs M (rs-\- r)rs-\~r) rs ~L (rs — r)(rs — r) rs ' A (rs — s)(rs — s) rs'
293 Эти отношешя составляются, какъ ясно, изъ столькихъ отношешй rs-\~ s rs-1-r „ . —-— или —!— , сколько есть множителей: а ихъ число п. т. е. безко- rs — г rs — s нечное, такъ какъ между первыми множителямп nr In или ns -)- п и по- последними пг -f-1 и ns-\-l разность есть п — 1. Вследеттае чего эти от- . r . rs-\-s rsA-r . ношенш будутъ безконечнызш степенями —¦— и • ' и потому безко- J rs — г rs — с нечно большими. Если ты сомневаешься въ этомъ заключения, то представь себе бсзконечное число чиселъ въ непрерывной проиорцш съ отношешемъ rs -|- s къ rs — г или rs -(- г къ rs — s. Отношеше перваго числа къ третьему будетъ квадратомъ, перваго къ 4-му—кубомъ, нерваго къ 5-му— четвертой степенью, и т. д.; наконецъ, перваго къ последнему—безконеч- . rs-f-s rs-fr ной степенью отношешя —— или —¦— ; но известно, что отношеше rs — г rs — s перваго члена къ последнему безконечно большое, такъ какъ послйдиШ членъ = 0. Поэтому, ясно, что безконечныя степени отношешя—— или rs — г ¦ безконечнТ) велики. Ташшъ образомъ, показано, что въ безконечно rs — S г > > высокой степени двучлена отношеше напбольшаго члена къ двумъ другимъ L и А превосходитъ всякое заданное отношеше. Ч. т. д. Лемма 5. Предположпвъ то же, что выше, можно представить такое большое число п, чтобы сумма всехъ членовъ отъ средняго и наиболыпаго М до обоихъ членовъ L и А включительно имела къ сумме всехъ другихъ вне пределовъ Lh А, взятыхъ въ какоиъ-угодно числе, отношеше, боль- большее всякаго заданнаго. Док. Члены между наиболышшъ Ж и нредельнымъ слева L пусть обозначаются: второй отъ наиболынаго — F, трети — G, четвертый — Н и т. д., и за нределомъ L: второй отъ него Р, трет1й—Q, четвер- четвертый— R и т. д. Такъ какъ по второй части леммы 3 отношешя то также будетъ М L F P G_ О F F' G<Q' Я<Й конечно, то т*мъ более будутъ безконечнымп отиошен!я -р, т^. тт, , и потому отношеше F-J-G + H + .... ;
294 также безконечно, т. е. сумма членовъ между наиболышмъ М и предт,- ломъ L бсзконечво больше суммы такого же числа членовъ за предтломъ L и наиболее къ нему близкпхъ. II такъ какъ число всёхъ членовъ за пре- дЪломъ L иревышаетъ, по леммь1 1, не бшгЬе ч'Ьмъ въ s — 1 разъ Ст. е. ко- конечное число разъ) число членовъ между этимъ пред'Ьломъ и напбольшпмъ членоыъ М, а сами члены делаются тЬмь меньше, ч'Ьмъ дальше они от- стоятъ отъ предана, по 1-ой части 3-ей леммы, то сумма всёхъ членовъ между М и L (даже не считая М) будетъ безконечно больше суммы всЬхъ членовъ за пред'Ьломъ L. Съ другой стороны, нодобнымъ же образомъ до- доказывается, что сумма всъхь членовъ между М и Л безконечно больше суммы всёхъ членовъ за пред'Ьломъ Л (число которыхъ превышаетъ число первыхъ не бшгЬе, ч'Ьмъ въ г — 1 разъ по лемм* 1). Поэтому, наконецъ, сумма всЬхъ членовъ, заключенныхъ между пределами L и А (за исключе- шемъ напбольшаго), будетъ безконечно больше суммы всёхъ членовъ, расиоложенныхъ за этими пределами; п тЬмъ паче, слтдоватацьно, ветЬсгЬ съ наибольшимъ. Ч. т. д. Пояснеше. ТЬми, кто не иривыкъ къ разсуждешямъ съ безконечнымъ, можетъ быть сделано иротивъ 4-ой и 5-ой леммъ возражеше, что хотя въ случай безконечнаго п множители колпчествъ. выражающпхъ отношен1я ММ _,_ , _х. о _*_ у и —,г-, т. е. nrzhnqzl, nrdrKzpi,.... и KS=i=K=pl, ns±nz^:2, пм'ёютъ то же значеше, какъ nr±nn ns±n, такъ какъ числа 1, 2, 3 исчезаютъ но сравненш съ казкдымъ изъ множи- множителей; однако, возможно, что, собранныя вмъттё и перемноженныя между собою (вслт,дств1е безконечнаго числа ихъ), эти числа безконечно умень- уменьшать, т. е. сдЬиаготъ конечными, безконечныя степени отношешй —^t- rs— г Yg 1— у пли —¦—. Этому comfehuo я не могу лучше удовлетворить, какъ пока- TS S завъ теперь способъ на самомъ дт^гЬ найти конечное число п или конечную степень двучлена, въ которой сумма члоновъ между пределами L и А пм^етъ къ сумм!; членовъ вн1; пхъ отношешо, большее какого угодно боль- большого даннаго отношешя, которое обозначу буквою с. Когда это будетъ ио- казано, возражеше необходимо падетъ. Для этого я беру какое-либо отношеше, большее единицы, но однако . rs-l-s . ^ . . rs4-s меньшее отногаенш —!— (для членовъ «iliBa), напр., отношеню —!— rs — г ' L rs r-\-l пли —¦—, п умножаю его на самого себя столько разъ (т разъ), пока
296 произведете не будетъ равно или не превзойдетъ отношешя c(s — 1) къ 1; т. е. нока во будетъ 4 1 Когда это должно случиться, можно быстро высчитать но логарпемамъ; ибо, виявъ логариеыы, получпыъ т Log (г -\~ 1) — т Log г ^Г Log [с (s — 1 )J и по раздтленш сразу найдемъ = Log [с (*-!)] Log (r-\-1) — Log г Найдя это, я продолжаю такъ. Относительно ряда дробей пли мно- множителей nrs -(- ns nrs -\- ns — s nrs -\-ns — 2s nrs -\- s nrs — nr-\-r' nrs — nr-\-2r'1 nrs — nr -(- 3r''''' nrs ' черезъ уыножеше которыхъ, по лемм* 4, получается отношеше -^-, слгЬ- дуетъ заметить, что отдтльныя дроби меньше дроби —^^, однако, ТТ)МЪ бол1>е къ ней приближаются, чЫъ большее берется п. Поэтому, ка- какая-либо изъ нпхъ когда-нибудь станетъ равной самому отножешю —- = г 4-1 == -. Въ виду этого сл1)Дуетъ посмотреть, какое надлежитъ взять и, чтобыГдРобь,норядокъ которой есть ш, стала равной^- Но (что яв- ствуетъ изъ закона составлешя ряда) дробь порядка т такая nrs -\-ns—ms-\-s_ nrs — ns -(- mr ' r-fl приравнивая ее —— получаемъ, , ms — s + и отсюда . mst — st nt = mt -\ ;—г—. r-\-l Я утверждею, что upn такомъ показателт, степени двучлена r-\-s нанбольш1Й членъ будетъ болт,е, чШъ въ с (s — 1) разъ превосходить
296 предтлъ L. Ибо такъ какъ дробх. порядка т нри такоыъ значенш п будетъ г + 1 , г+1 , (г-г L)" равна —!—, а дробь —¦—, умноженная на себя т разъ, т. е. —¦—— , г г г равна или больше с (s — 1) (по положенно), то эта дробь (порядка т), умноженная на всё иредыдулуя, тЪпъ бол'Ёе превзойдетъ с (s — 1), въ силу того, что вст> предыдущая дроби больше . Следовательно, про- произведете поел* умножетя на всё последующая еще более нревзойдетъ с (s—1), ибо всё последующи дроби ио крайней шере больше единицы. Но произведете всЬхъ дробей выражаетъ отношеше члена М къ L; по- поэтому совершенно достоверно, что членъ М иревосходитъ L бол*е, чт>мъ нъ с (s — 1) разъ. Но М^F G ^Н какъ показано; отсюда сл'Ёдуетъ, что второй членъ за М нревзойдетъ второй членъ за L бол'Ёе, чт>мъ въ с (s — 1) разъ, и т. д.—Поэтому, на- конецъ,сумма всёхъ членовъ между наиболыпимъ М и предЬио-чъ L нре- нревзойдетъ бол'Ёе, чт,мъ въ с (s — 1) разъ, сумму такого же числа наиболь- шпхъ членовъ за этиыъ цредЬиомъ, и болт>е, ч*ыъ въ с разъ, эту сумму, взятую s — 1 разъ. Следовательно, тёмъ очевиднее она нревзойдетъ бол*е, чт,мъ въ с разъ сумму всёхъ членовъ за цредтломъ L, число коихъ пре- восходитъ не бол'Ёе, чЫъ въ s — 1 разъ число членовъ между М и L.— Относительно чденовъ справа поступаю подобнымъ же образомъ. Беру отношевю —|— < —¦—, полагаю -—!—— > с (г— 1) и нахожу s rs — s s"' -^ ' ' m~ Log [с (г— 1)] Log (s +1) —Logs" Зат^ыъ въ ряду дробей nrs -\- nr nrs -J- да — г nrs -\-nr — 2r nrs -(- т nrs — ns-\-s'> nrs — ns -\- 2s' nrs — ns -j- 3s''"'' nrs ' ¦ M входящпхъ въ отношена -у, полагаю дробь порядка ш, именно nrs -\-nr — mr -\- r nrs — ns -\- ms ' равной
297 отсюда извлекаю , тг— г „ = „ + __ и потому . mrl — rt nt = mt-\ т—г- ¦ Поел* чего подобвымъ же образомъ, какъ раньше, будетъ доказано, что въ двучлене г -\- s, возвышенномъ въ эту степень, наибольшей членъ М цревзойдетъ пред-Ьлъ Л более, чЪмъ въ с (> — 1) разъ; и, следовательно, также, что сумма членовъ между наибольший! М и пределомъ L пре- взойдетъ сумму всбхъ членовъ вне этого предала (число которыхъ превос- ходитъ число членовъ между Ж и А не более чемъ въ г — 1 разъ) бол-Ье, чемъ въ с разъ. Итакъ, наконецъ, заключаемъ, что по возведеши дву- двучлена г -\- s въ стенень, показатель которой равенъ большему изъ двухъ чпеелъ mst — si , mrt — rt сумма членовъ, заключенныхъ между пределами LeA более, ч1;мъ въ с разъ, иревзоидетъ сумму всЬхъ остальныхъ, расположенныхъ по об"Ь сто- стороны отъ этихъ пред^ловъ. Найдена, следовательно, конечная' степень, ии^ющая желаемое свойство. Ч. т. д. Главное предложеше. Наконецъ следуете само предложеше, ради котораго сказано все предыдущее и котораго доказательство вытекаетъ пзъ одного лишь прпменен1я иредварительныхъ леммъ къ настоящей цели. Чтобы избежать утомительнаго многослов!я, я назову случаи, когда ка- какое-либо собьгпе появляется плодовитыми (благопр1ятньши); а безплод- ными (неблагопр1ятными) те, когда то же собьше не появляется. Рав- нымъ оиразомъ назову те опыты благопр1ятными, когда обнаруживается одинъ изъ благопр1ятныхъ случаевъ, и неблагопр1ятными - те, когда наблюдается одинъ изъ неблагоир1ятныхъ случаевъ. Пусть число бла- гопр1ятныхъ случаевъ относится къ числу неблагогрятныхъ точно или приближенно, какъ г къ вили къ числу всЬхъ случаевъ— какъ г къ r-\-s или г къ t, каковое отношете заключается въ r-4-l г—1 _ _ пред^ахъ —1— и —-—. Требуется доказать, что можно взять V t столько опытовъ, чтобы въ какое угодно данное число разъ (с разъ) было BtpoflTHte, что число благопр1ятныхъ наблюденш попадетъ въ эти пред%лы, а не вн~Ь ихъ, т. е. что отношеше числа благопр1ятныхъ наблюдешй къ числу всЬхъ будетъ не болЪе, ч"Ьмъ 7-~~, и не мен"Ье, ч"Ьмъ ——. t t
298 Доказат. Положимъ число необходимыхъ наблюдешй равнымъ nl\ тре- требуется определить, каково будетъ ожидаше или вероятность, что все они будутъ благопр1ятнызш, безъ исключешя, зателъ за исключешемъ 1, 2, 3, 4 и т. д. неблагонр1ятныхъ. Такъ какъ при каждомъ наблюденш имеется, по положению, t случаевъ, изъ нихъ г блапяплятныхъ, и отдель- отдельные случаи одного наблюдешя могутъ сочетаться съ отдельными случаями другого, после чего опять сочетаться съ отдельными случаями 3-го, 4-го и т. д., то легко видеть, что для этого годится правило, присоединенное къ цримечашямъ иредлож. ХШ первой частиJ) п его второе «iiflCTBie, со- содержащее общую формулу, съ помощью коей находится вероятность отсут- ств1я неблагопр1ятныхъ наблюдешй nt .nt г Л , вероятность одного неблагощяятнаго наблюдешя fit П(_1 „( -гг s:t , двухъ nt (nt — 1) „,_й , „, 1-2 Г S ' трехъ nt(nt-l)(nt~2) „,_3 . . « -1 о о ¦ '—и т- д- Поэтому (по отбрасыван1и общаго делителя f) ясно, что степени ве- вероятностей или числа случаевъ, при которыхъ можетъ статься, что все опыты благоир!ятны или все, за исключешемъ одного, двухъ, трехъ, че- тырехъ и т. д. неблагопр1ятныхъ, по порядку, выражаются черезъ nti nt(nt — 1) n ' V S' V S' U 2 ntjnt — l)(nt-2) ««-з3 ' TO * ит.д., т. е. какъ разъ теми самыми членами степени nt двучлена, которые только что изследованы въ нашихъ леммахъ; откуда уже все остальное ясно. Именно, язъ природы ряда явствуетъ, что число случаевъ, которые съ ns неблагонр1ятными наблюдетями даютъ пг благопр1ятныхъ, есть самъ нап- больш1й членъ М, такъ какъ ему предшествуете ns членовъ, а за нимъ следуетъ пг, но лемме 3. Равнымъ образомъ, ясно, что числа случаевъ, при которыхъ оказалось или пг-\-п или пг — п благо пр1ятныхъ наблю- х) Ссылка на первую часть «Ars Conjectandi», содержащую мемуаръ Гюйгенса о&ь авартныхъ, нграхт. съ дополнешями и пр!ш4чан1яыи Я. Бернулли.
299 дешй, при чеыъ остальныя неблагопр1ятны, выражаются членами L и Л, отстоящими на п членовъ по обе стороны отъ ыаиболыпаго. Следовательно, также ясно, что общее число случаевъ, при которыхъ оказывается не более пг~\-п и не менее пг — п благоцлятныхъ наблюдешй, ныра- жается сумыою членовъ, заключенныхъ между пределами L и Л; общее число остальныхъ случаевъ, при которыхъ оказывается ила больше или меньше благопр1ятныхъ наблюденШ, выражается сумной остальныхъ чле- членовъ внт> пределовъ L и Л. Такъ какъ степень двучлена можетъ быть взята столь большою, чгобы сумма членовъ, заключенныхъ между обоими пределами L и Л, превосходила более, чтдгь въ с разъ, сумму всбхъ осталь- остальныхъ, изъ этихъ пределовъ выходящихъ, по леммамъ 4-й и 5-й, то, следовательно, можно взять столь большое число наблюдешй, чтобы число случаевъ, при которыхъ отношеше числа благопр1ятныхъ наблюденш къ пг -4- п пг — п числу всбхъ оказывается не выходящимъ изъ иредт>ловъ — и — г + 1 г —1 , А А или —-— и , превышало болт,е, чт,ыъ въ с разъ, число остальныхъ t t случаевъ; т. е. сделалось более, чт,мъ въ с разъ, вероятнее, что отноше- Hio числа благопр!ятныхъ наблюдешй къ числу всехъ заключается въ ире- д^лахъ -1— и —-—, а не вне этихъ пределовъ. Что нужно было до- t t казать. Въ примененш этого къ отдельнымъ численнымъ примерамъ достаточно ясно само собою, что чеиъ больш!я берутся въ одномъ и томъ же отношенш гЛ-\ г — 1 числа г, s и t, темъ уже могутъ быть сделаны границы —[— и —— .Г II отношенш — 7 На этомъ основанш, если отношете числа случаевъ -, которое должно определить изъ наблюдешй, есть, напр., полуторное, т. е. „ , то за г и s я не беру 3 и 2, но 30 и 20 пли 300 и 200 и проч. Достаточно поло- г-\-\ 31 жить г = 30, s = 20 п t = 50, чтобы пределы оказались ~[ = р-п и г 1 29 —-— =. =-. Пусть, сверхъ того, положено с= 1000. Тогда, по предпи- предписанному въ разъяснент будетъ для членовъ слева Log 1с («-!)] _ 42787536 3 ^Logfr + 1) —Logr~ 142405 ^ l rd = mt-[-mst~st < 24728
300 справа Log [C(r - l)] _ 44623980 ^Lo(sfl) — Log(s)~ 211893 nt = mt J_ s-f-1 Откуда,но доказанному тамъ, вынодится заключев1е, что при 25550 оны- тахъ будетъ бшгЬе^гЬмъ въ тысячу разъв'Ьроятнъ'е, что отношеше числа бла- 31 гопр1ятныхъ наблюдешй къ числу всЬхъ будетъ заключено въ иред'Ьлахъ -^ 29 и ftt, а не вы* ихъ. Я такпиъ же образомъ, положивъ с = 10000 илп с = 100000 и т. д., найдемъ, что то же будетъ бол^е, чгЬмъ въ 10000 разъ, в^роятн^е, если будетъ сделано 31258 опытовъ; и бол-Ье, ч*мъ въ 100000 разъ вЪроятнъе, если будетъ взято 36966 опытовъ; и такъ далт.е до безконечности, прибавляя именно постоянно къ 25550 опытамъ 5708 другихъ. Откуда, наконецъ, вытекаетъ то удивительное, швидимому, сл|Ьдств1е, что, если бы наблюден1я надъ BCfoni событии продолжать всю вечность (при чемъ вероятность, наконецъ, перешла бы въ полную досто- достоверность), то было бы замечено, что все въ iiipi управляется точными отно- шешяии и постояннымъ закономъ изм^ненШ, такъ что даже въ всщахъ, въ высшей степени случайныхъ, мы принуждены были бы признать какъ бы некоторую необходимость и, скажу я, рокъ. Не знаю, не это ли югЬлъ въ виду уже самъ Платонъ въ своемъ учен1и о возстановленш вс^хъ вещей, согласно которому все по истеченш несм^тнаго числа вйкоиъ возвратится въ щзежнее состоян1е.
Законы случайнаго и Математическая статистика Подъ такпмъ заголовкоыъ въ журнал* «Вестникъ Европы» С 181J годъ, Октябрь^ иансчаталъ статью профессоръ Казанскаго университета А. В. Васильевъ, ныне, но выборамъ, членъ Государствен наго Совета. Въ обще- общедоступной и живой форме высокоученый профессоръ настолько наглядно рцсуетъ всю важность изучешя математической вероятности и перспективы ея будущаго въ ирпложешяхъ къ различнымъ областямъ обществснно- нолитпческихъ наукъ, что считаеыъ необходимым, и сообразнымъ съ це- целями нашихъ отрывковъ изъ теорш вероятностей привести въ заключеше обширное извлечете изъ этой статьи. Ыожетъ показаться, что иодобныя вычислешя (т. е. вычпслешя нате- ыатическихъ вероятностей) имеютъ очень мало значешя. Какая польза знать, что вероятность падешя кости на грань, обозначенную цифрою 1, равна 1/е, если мы знаемъ, что непременно случится одно изъ двухъ со- бьшй: пли она падетъ на эту грань, или нетъ. Какое отношеше имеютъ все эти вычислешя—иногда съ большою затратою времени—вероятности къ действительности? Не замешана ли тутъ только дурная привычка ма- тематиковъ—всюду требовать чиселъ и всюду вводить ихъ? Я постараюсь показать теперь, что вычислешя математической вероят- вероятности пм-вютъ очень большое значеше, я что математическая в-вроятностч
302 _ ыожетъ и должна проявиться въ действительности. Въ самомъ дел*, при вычисленш математической вероятности, напр., падешя кости, мы нрини- маемъ во внимаше главную и постоянную причину, действующую при каждоиъ иадевш кости—ея форму, но не принимаемъ во внимаше все остальныя причины, действуюиля при иаденш, причины, изменяющаяся отъ одного иадршя до другого. Ыы должны, поэтому, a priori предвидеть, что математическая вероятность должна проявиться при весьма большоиъ числе пшытатп, какъ выражеше причины неизменной среди множества перелт>нныхъ, действующпхъ то въ ту, то въ другую сторону и потому взаимно уравновешивающихся. Но какъ именно проявится математическая вероятность при болыпсмъ числе испытанш—вотъ задача, которая въ те- чеше двадцати летъ нодъ-рядъ была иредметомъ неустанной работы мысли знаменитаго Якова Бернулли. Настойчивость великаго ума привела къ до- доказательству знаменитой теоремы, составляющей важнейший результатъ теорш вероятностей п носящей назнаше теоремы Якова Б&риулли или закона большихъ чжелъ. На основанш этой теоремы мы можемъ указать съ вероятностью, ко- которую можемъ сделать сколь угодно близкою къ единице, те пределы, между которыми должно заключаться число повторешй известнаго слу- чайнаго собьшя при большемъ числе испыташй. Теорема говоритъ, что число иовторенш собьгия не можетъ значительно отклониться отъ произ- ведешя числа всехъ пспытанШ на вероятность собьшя, и указываетъ пре- пределы отклонешя. Для выяснешя теоремы Бернулли необходимо привести по крайней ыерт> одпнъ численный иримеръ. Ыы возьмемъ самый простой примеръ случайнаго событш: паденте монеты на орелъ или на плату. Бросаемъ нонету 1UU разъ; по теореме Бернулли весьма вероятно, что число паденш на орелъ, напр., будетъ заключаться между числами 33 и 67; отклонеше действительна™ числа падешй отъ половины 100 не превышаетъ 17. Ве- Вероятность такого предсказашя такъ же велика, какъ вероятность цред- сказан1я, что лицо, имеющее одинъ билетъ выигрышнаго займа, не вы- играетъ ничего въ предстоящи тиражъ. Преде казан1е можетъ не осуще- осуществиться: лицо можетъ выиграть, число надешй монеты на орелъ можетъ быть больше 67 и меньше 33. Но какъ ни одинъ здравомыслящей человекъ не станетъ изменять своей жизни или делать кашя-нибудь распоряжетя ц лишшя траты нъ предвпденш выигрыша, такъ и мы можемъ считать почти несомненнымъ и основынать наши расчеты на убежденш, что число падешй монеты на орелъ будетъ заключаться въ пределахъ 67 и 33. Если мы увеличпмъ число 6pocaHifl монеты въ 100 разъ, т. е. будемъ бросать ее 10 000 разъ, то опять съ тою же самою вероятностью—не вы-
303 играть, им*я одинъ билетъ, мы можемъ утверждать, что число падешй на орелъ будетъ заключаться между пределами 5 175 и 4 825, т. е. откло- отклоняться отъ половины 10 000 на 175. Увеличимъ число бросанШ еще въ 100 разъ, т. е. сд4лаемъ миллюнъ бросанш, и теорема говоритъ намъ, что при той же вероятности число бу- будетъ заключаться между пределами 501 750 и 498 250, т. е. будетъ откло- отклоняться отъ половины 10 000 не более ч!шъ на 1 750. Наконецъ, при ста миллюнахъ бросашй отклонеше отъ половины будетъ не больше 17 500. *:$;:"^/::**':у-'' Z '^у'Ъ.; Ы'щ 'й Проф. Александръ Васильевичъ Васильевъ Сопоставимъ теперь два ряда полученныхъ нами чиселъ. Числа бро- бросашй монеты у насъ были: 100, 10 000, 1 000 000, 100 000 000, т. е. уве- увеличивались последовательно въ 100 разъ. Наиболышя же отклонешя, до- пустимыя съ вероятностью не выиграть въ тиражъ, были 17, 175,1 750, 17 500, т. е. хотя и возростали, но возростали гораздо медленнее, увели- увеличиваясь последовательно въ 10 разъ. Это обстоятельство им^етъ громадное значеше. Ясно, что если мы будемъ разсматривать не абсолютныя цифры отклоненШ, а отношешя къ общему числу испыташй, то мы будемъ полу- получать все менышя и менышя дроби Наибольшее отклонеше при 100 испы- тан^хъ н0 превышаетъ 17% общаго числа испыташй; при 10000 оно
304 уже не иривышетъ 1,7°/"i иРп 1000 000 — 0,17"/«, п, наконецъ, при 100 000 000 -0,017°/о. По irbpb увеличешя числа бросашй монеты отноптеше числа падешп монеты на орелъ къ общему числу паденш стремится къ дроби V2i T- в- къ вероятности падсшя на орелъ, а отношешя отклонения числа наденШ на орелъ отъ точной половины числа паденш къ общему числу падевШ де- делается все меньше и меньше и можетъ быть сделано менее сколь угодно малой дроби. Отсюда вытекаетъ такое замечательное следеттае. Если мы будемъ производить последовательно два ряда бросашй монеты, заключающихъ каждый весьма большое число такихъ бросанш, то мы мо- жемъ ожидать поразительной правильности. Отношенш числа падешй на орелъ къ общему числу иадешй будутъ почти равны, и чъигъ больше будутъ чпсла исиыташй, т*мъ ближе къ равенству будутъ эти отнотешя. Во всЬхъ случапныхъ янлешяхъ, пропсходящахъ отъ совокупности мно- гихъ нричпн7>, какъ иостоянныхъ, такъ и переменныхъ, мы заиЪчаемъ именно эту правильность, которая и составляетъ законъ случайиыхъ явлетй, a priori посредствомъ математическаго анализа доказываемый въ математической Teopiu вероятностей. Нолышя числа поправляютъ слуаай и наблюдешя надъ болыппмъ чи- сломъ явлен1й; массовыя наблюден1я^ какъ часто говорятъ, открывают?, намъ правильность тамъ, где съ перваго взгляда ея быть не можстъ. Законъ болыпихъ чиселъ иногда иллюстрируютъ следующимъ ире- краснымъ сравнен4емъ. Дождь, падая на горизонтальную полированную поверхность, смочить все плиты равномерно. Каждая капля падаетъ само- самостоятельно отъ другпхъ и случайно. Могло бы, казалось, случиться, что на ту или на другую изъ плитъ не попадаетъ ни одной капли, или очень мало; однако, этого никогда не случится. Такова сила болыпихъ чиселъ. Экспериментальная проверка закона болышхъ чиселъ занимала, между прочимъ, знаменитаго натуралиста Бюффона. Взявшп нонету, онъ бросалъ ее 4 040 разъ, и получилъ 2 048 разъ орелъ и 1992—плату. Бюффону же принадлежите осуществлеше квадратурнаго круга посредствомъ бросашя иголки на рядъ параллельныхъ линш. Въ выражеше математической ве- вероятности пересечешя при падешй иглою одной изъ параллельныхъ лпшй входитъ Архимедово число тг (отнотеше окружности къ д{аметру). При большомъ числе испыташй отношеше числа повторешй случайнаго собыпя къ общему числу исиытанШ стремится къ вероятности. Следовательно, стоитъ съ терпешемъ бросать большое чпсло разъ иголку, отмечая сколько разъ она пересечется съ одною изъ параллельныхъ лиши, и можно будетъ найти приближенное значете числа л.
306 Уначеше теоремы Бервуллп ве ограничивается тбмъ, что ова доказы- ваетъ a priori необходимость правильности въ повторенш случайвыхъ собы- тш. Она даетъ, кроме того, возможность проверять верность нашихъ пред- иоложешй относительно вероятности случайнаго события. Понятче о ма- математической вероятности всякаго случайнаго собьгпя заключаетъ въ себе субъективный элементъ. Говоря, напр., объ определены математиче- математической вероятности падешя кости на ту или другую грань, мы выразились: «мы веримъ, что при работе надъ костью были употреблены все усилш, чтобы сделать ее симметричною и однородною». Но какъ бы иибылъ иску- сенъ мастеръ, никогда нельзя утверждать, что кость сделана действи- действительно изъ абсолютно-однороднаго матер!ала, и что ея центръ тяжести со- ипадаетъ съ геометричесгашъ центромъ. Поэтому, считая вероятность падешя кости на ту или другую грань равною 1/е, мы несомненно делаемъ ошибку и вычисляемъ только первое приближеше. На деле кость всегда несколько не-симметрична и не-однородна, и вследеттае этого имеетъ боль- большую наклонность падать на одну грань, чемъ на другую, что и проявляется на опыте, такъ какъ действительныя паден1я кости, конечво, не могутъ зависеть отъ нашей веры въ ея симметричность и однородность. Поэтому, если при 60 000 бросашяхъ кости отклонеше отъ одной шестой для извест- известной гранп будетъ больше, чемъ то, которое допускается теоремою Бернулли, то мы шгЬеыъ право съ извествою вероятностью заключить, что наша ма- математическая вероятность неточна, и заменить ее другою—объективною вероятностью или возможностью. Въ случае падешя кубической кости можно a priori вычислить хотя бы приближенную величину математической вероятвости. Въ гораздо большемъ числе случаевъ такая вероятвость не можетъ быть вычислена; но, производя опыты пли наблюдешя, мы по числу повторений случайнаго собьгпя можемъ вычислить его объективную вероятность. Вероятность для 18-ти-летней девушки выйти замужъ въ течеше двухъ летъ за 25-ти-летняго не можетъ быть, конечно, вычислена a priori. Но если мы припоинимъ, что по теореме Бернулли: «при весьма болыпомъ числе испыташй отношеше числа повто- повторенш къ числу испыташй стремится къ вероятности собьшя», — то для определешя искомой вероятности должны получить списокъ весьма боль- большого числа 18-ти-летнихъ девушекъ и число тЬхъ изъ нихъ, которыя въ течеше двухъ летъ вышли замужъ за 25-ти-летнихъ. Частное отъ разде- лешя этого последняго чпсла на число всйхъ 18-ти-летнихъ девушекъ и будетъ искомая вероятность. Данвыя хорошо разработанной итальянской статистики отвечаютъ вамъ ва этотъ вопросъ, какъ и на ынопе друие. Оне говорятъ, что искомая вероятность равна 0,0099. Какую бы комбинацию возраста жениха и невесты ни взяли, но даннылъ статистики можно опре- ВЪ ЦАРСТВ» СМЕКАЛКИ. КН. III. 20
306 дтлять соответствующую вероятность. Цодобньшъ же пбразоыъ могутъ быть определяемы объективныя вероятности и другахъ событш. Возыиемъ, нанриы'Ьръ, несколько странпцъ какого-нибудь писателя, сосчитаемъ число всехъ буквъ и число встретившихся а. Отношеше между чпелоыъ встретившихся буквъ а и общимъ числомъ нсехъ будетъ объектив- объективная вероятность того, что первая попавшаяся случайно на странице буква будетъ именно а. Возьмемъ друпя страницы того же или другого русскаго писателя, и на основанш закона болышгхъ чиселъ мы найдемъ почти те же дроби для объективной вероятности иоявлеыя тон же буквы. И литератур- литературное произведете, и газетная статья, и научный трактатъ, если они напи- написаны на одвомъ и томъ же языке, дадутъ при болыпоыъ отрывке одинъ и тотъ же результатъ. Фонетичесше законы языка остаются одинаковыми для различныхъ авторовъ, и потому объектпвныя вероятности звуковъ въ одномъ и томъ же языке будутъ пиеть одинаковыя значешя, изъ какого от- отрывка оне бы ни выводились. Но для другого языка объективныя вероят- вероятности техъ же звуковъ получать иное значеше. Разработанная на этихъ началахъ фонетическая статистика, примененная строго-научно, можетъ, охарактеризовавъ каждый данный языкъ системою чиселъ, дать прекрас- прекрасный мстодъ для сравнешя его съ другими языками. Первыя попытки въ этомъ направленш были произведены въ сороковыхъ годахъ Ферстиманномъ надъ языками гречеекпмъ, латпнскимъ, готекпмъ и санскритскимъ, но съ техъ иоръ на этотъ иредметъ филологи мало обращали внимашя. Teopifl вероятностей родилась у игорнаго стола, и въ течеше довольно значительнаго времени ея предметомъ продолжала быть азартныя игры: орлянка, игра въ кости, различные виды игры въ карты. Но велише уче- ученые XVII и XVIII вековъ, разрабатывавпле эти приложешя Teopin ве- вероятностей, видели въ комбинащяхъ, представляемыхъ азартными играми, лишь предлоги для усовершенствовашя мстодовъ науки. Еще Паскаль по- нпиалъ, что ветвь знан1я, которой онъ и Ферма полагали начало, имеетъ многоразличныя ирименешя къ всевозможнымт^ случайнымъ явлешямъ, п въ Teopin вероятностей—геометрго случая. Скоро, действительно, ие- редъ Teopiero вероятностей открылось обширное поле самыхъ важныхъ ириложешй какъ въ общественныхъ, такъ и въ научныхъ воиросахъ. Однимъ изъ первыхъ прнложен1п явилось ириложен1е теорш вероят- вероятностей къ решен!ю вопроса, который въ XVIII веке, столь богатомъ вой- войнами, могъ интересовать не одну жену офицера или солдата, не отличав- отличавшуюся верностью классической Пенелопы. Это вопросъ объ определены срока, после котораго безъ вести иропавнлй мужъ ашгъ считаться мерт-
307 вымъ, а следовательно его жена могла, не подвергая себя известному Гамлетовскому упреку, наложить на себя новыя брачныя узы. За этшиъ иервымъ иршюжешеыъ последовали мвога другш ирило- жешя: къ страхование жизни, отъ огня и т. ц. Явились, какъ всегда, п увлечетя: теор1я вероятностей прилагалась, напр., къ определенно ве- вероятностей судейскихъ прпговоровъ, решешй законодательныхъ собра- НШ II Т. Ц. Въ настоящее время все более и более вывсняется то громадное зна- чеше, которое въ области научныхъ вопросовъ принадлежите основанному на теорш вероятностей статистическому методу — а въ практической жизни—основанному на теорш вероятностен страховант отъ бедствш, ироисходящпхъ отъ случайных?, собьгай. На теорш вероятностей основывается статистически шетодъ. Его тех- техника, руководимая Teopiefi вероятностью, выработывается постепенно въ особую ветвь знашя, въ особую науку—математическую статистику. Науку эту можно разсматривать какъ ветвь логики, изучающей все методы, кото- которыми человечески умъ пользуется для нрюбр*тешя новыхъ истинъ. Такъ какъ все выводы теорш вероятностей основываются на законе большихъ чпселъ и не ивгЬютъ никакого значешя, если будутъ относимы къ небольшому числу испытанш, то и статпстичесшй шетодъ нуждается въ массивыхъ наблюденшхъ для правильности своихъ выводовъ. Только больипя числа устанавливаютъ известную правильность въ повторили слу- чайныхъ собьтй; только инея въ статистическпхъ таблнцахъ данныя от- относительно большого числа однородныхъ случайныхъ собьтй, мы можемъ выводить объективныя вероятности ихъ и, пользуясь формулами теорш вероятностей, при изменены отношешя между чпслошъ повторенШ со- бьгш и общамъ числомъ пспыташй,—судить о тоыъ, изленились ли глан- ныя причины, проявляюцуяся въ событш, или же замеченное изменеше уиомянутаго отношен1я не выходить изъ нределовъ изменешя, допусти- лаго самимъ характеромъ случайнаго собыш, какъ зависящаго не только отъ главныхъ постоянныхъ прпчинъ, но и отъ постоянно меняющихся, случайныхъ. Можетъ ли, другими словами, разсматриваемое случайное собыпе быть уподоблено топическому случайному собьтаю—выходу, напр., шаровъ белаго цвета изъ урны, заключающей въ себе неизменяющееся въ течеше всехъ иснытанш число шаровъ разнаго цвета? Сравнеше статистическихъ рядовъ въ томъ виде, въ какомъ они даются наблюдешяни, съ такимъ типическимъ случайнымъ собыиемъ, съ постоян- постоянною объективною вероятностью, приводить къ интересной классификации статистическпхъ рядовъ, идея которой пришла почти одновременно, въ сеыидесятыхъ годахъ, двумъ ученымъ — германскому политикоэконому 20*
308 _ Лексису и французскому математику Дормуа. Применяя ыатснатичесюй критерШ, вытекающей изъ формулъ теорш вероятностей, къ различныыъ статистическимъ рядамъ, они нашли, что все статистическ]"е ряды могутъ быть отнесены къ тремъ различнымъ категор1ямъ. Въ первую категорию входятъ все те ряды, въ которыхъ отклонешя следують тому же закону, которому они следуютъ въ тшшческихъ слу- чайныхъ явлешяхъ съ постоянною объективною вероятностью. Taicie ста- тистичесгае ряды Лекспсъ называлъ обладающими нормальною диспер- иею (разсеяшемъ). По Дормуа, для нпхъ известное отношен1е, которое онъ называетъ коэффищентомъ расходимости, равно 1. Въ рядахъ второй категорш, напротивъ, отклонены значительно больше, какъ будто бы въ этихъ явлешяхъ действовала какая-то возмущающая сила, постоянно изменяющая объективную вероятность явлешя-,татя числа получались бы при выходе шаровъ изъ урны, если бы въ урну время отъ времени подсыпались то белые, то черные шары. Таше ряды называются рядами съ сверхнормальною диспермею: коэффпщ'ентъ расходимости для нихъ больше единицы, и тЬмъ онъ больше, т*мъ сильнее втяше пертурби- рующихъ причинъ, т. е. пзменяющихъ объективную вероятность явлешя. Наконецъ, въ массояыхъ явлешяхъ третьей категорш действуетъ регу- регулирующая сила, направляющая пхъ къ большему постоянству, сглажи- сглаживающая и уменьшающая ихъ отклонешя. Таше ряды называются рядами съ диспермею ниже нориальной, и коэффищентъ расходимости для нихъ меньше единицы. Особенно интересный примеръ рядовъ съ нормальною дисиермею пред- ставляетъ рядъ, составленный пзъ отношен1й между числомъ рождешп младенцевъ мужского пола и числоиърождевлймладенцевъженскагоиола. Отношеше это отличается замечательнымъ постоянствомъ по годамъ, по временамъ года, по странамъ, и мозкетъ быть приблизительно выражено отношешемъ между числами 1063 : 1000. Поразительное постоянство этого отношешя опровергаетъ разлпчныя теорш, объяснявпля полъ рождающагося младенца то тою или другою разностью въ годахъ отца и матери (теор1я Hofacker— Sadler'a), то разли- ч1емъ ппташя организма матери во время беременности. Действительно, разность между годами брачущихся варшруетъ по странамъ довольно резко и представляетъ рядъ съ сверхнорыальною дпсперс1ею; uiiTaHie жен- щинъ варшруетъ въ одной и той же стране по годамъ. Отношеше же между числами рожденШ младенцевъ мужского пола и женскаго остается пора- поразительно постояннымъ. Интересно, что такое же постоянство обнаруживается, какъ показали нзеледовашя ботаника Гейера надъ коноплею и надъ Mercurialis annna,
309 также и у двудомныхъ растеши. Гейеръ, независимо отъ Лексиса, пришелъ къ выводу, что это постоянство всего лучше объясняется гЬмъ, что уже сбмянныя клЪтки различаются по ихъ поламъ; замечательно, что у Мег- curialis auuua тЬ клътки пзъ которыхъ произойдутъ мужсюе организмы, находятся почти въ томъ же отношенш къ клъткамъ, изъ которыхъ ирои- зойдутъ женсгае, какъ и у людей, въ отношенш 105У : 1000. У конопли это OTHoniceie обратное: число сЬмянныхъ женскихъ клътокъ превышаешь число мужскихъ въ отношенш 1150 : 1000. Рядами съ нормальною диснермею является также большинство ря- рядовъ криминальной статистики. Отношеше числа осужденныхъ француз- французскими Cours d'assises къ населенш отличается весьма болышшъ ностояи- ствомъ: кшффпщентъ расходимости равенъ только 6. Такъ же малы коэф- коэффициенты расходимости для отношешя числа ириговоренныхъ женщинъ къ общему числу ириговоренныхъ B,3), для отношешя холостыхъ пре- преступниковъ къ общему числу преступниконъ C), для отношешя преступ- преступниковъ въ возраст* отъ 21 до 30 лътъ къ общему числу престунниковъ A,75), для отношешя числа безграмотныхъ преступниковъ къ общему числу ихъ E). Несколько больше уже коэффищентъ расходимости для отношешя числа самоубшствъ къ населенш, такъ какъ и абсолютное, и относительное число самоуб1йствъ уг5елпчивается. Большое число прим'Ьровъ рядовъ съ сверхнормальною диспермею иред- ставляетъ намъ демограф1я, или статистика народонаселешя. Для отно- шешя числа рождешй къ населешю коэффищентъ расходимости равенъ 32; для отношешя числа браковъ къ населенш 25; для отнопюшя числа смертей къ народонаселешю 86. Большая величина иослт>дняго коэффи- коэффициента объясняется эгшдеы1ямн, войнами, неурожаями. Снерхнормальную дисперйю представляетъ также отношеше числа вы- здорагиивающпхъ отъ эпидемШ къ общему числу забол'Ьвшпхъ. Обстоя- Обстоятельство это находится, очевидно, въ связи съ большею или меньшею силою эпидемш. Напротивъ, въ случат» тт>хъ болезней, гдт> ныздоровленхе завп- ситъ преимущественно отъ ухода, мы должны получить ряды съ нормальною дпспераею, п Физмеръ действительно получплъ для процента выздора- вливающихъ отъ пненмон1и рядъ съ нормальною диспераею. Если эиидемш, рюйны. неурожаи—играютъ роль причины, возмущаю- возмущающей правильное дМсттае закона болыппхъ чиселъ, какъ бы подбрасываю- подбрасывающей черные шары въ урну, то законодательство, напротивъ, играетъ часто роль причины регулирующей, и потому нрпн-бры рядовъ съ ниже-нормальною диспераею мы встрт>чаемъ преимущественно въ тт>хъ статистическихъ ря- дахъ, на которые оказываетъ FaiflBie законодательство.
310 Статистически методъ, какъ видно изъ предыдущпхъ пршгЬровъ, можетъ быть прилагаешь къ различвымъ отраслямъ знашя. Но какъ ни разнообразны могутъ быть приложешя статистическаго метода, есть одна область явлевШ, гдъ- статистичесгай методъ является незамътамымъ, един- ственнымъ ыетодоыъ, дающпмъ точныя числоныя данныя. Это—область общественныхъ явлений. Метеоролопя можетъ еще мечтать объ апрюрноыъ математичоскомъ рЪшешп задачи о направленш нътровъ и океаничеекпхъ течешй на зем- номъ inapt, сплошь покрытомъ водяною оболочкою и окруженномъ атмо- атмосферою. Но область зацутанныхъ явлешй общественной жизни настолько сложна, что здъть приложеше математики представляется намъ трудно осуществимымъ. Увлечеше математическимъ методомъ составляло харак- характерную черту XVIII въ-ка, пораженнаго создашемъ небесной меха- механики, и Кондорсе мечталъ «освътить политичесюя и нравственныя науки светоче.™ алгебры». Но еще тогда это увлечеше было осмеяно аббатомъ Гал1ани въ одномъ изъ остроумнМшихъ сочинешй XVIII вЪка: «Беседы о торговле зерномъ». Теперь это увлечеше прошло. Только въ политиче- политической экономш мы видимъ попытки приложить математичесюй методъ къ т'ёмъ спец!альнымъ частяиъ ея, которыя трактуютъ объ обм^нь- и о де- нежномъ обращевш. Громадная сложность явлений общественной жизни дъмаетъ трудно iipiiMtHiuiHsib въ изученш этихъ яшгсшй дедуктивный ма- тематическй методъ; зато невозможность опыта дътшетъ особенно драго- ц^ннымь статистичестй ыегодъ, а вм^стЬ съ статистическиыъ методомъ делается необходимою и отрасль математики—математическая статистика, какъ стропи стражъ точности полученныхъ результатовъ. (Совокупность результатовъ, полученныхъ для науки объ обществъ1 съ помощью статистическаго метода или метода массоныхъ наблюдетй, со- ставляетъ особую нъ-твь знан!я, которую обыкновенно называютъ стати- статистикою, но было бы правильнее назвать ее сощальною статистигюю, по- подобно тому, какъ уже существуешь статистика медицинская и можетъ существовать статистика фонетическая. Изъ сказаннаго выше о цъаи массовыхъ наблюден1й всякаго рода видно, что конечная ц'Ьль сощальной статистики должна заключаться въ томъ, чтобы изъ наблюденШ надъ массами однородныхъ общественныхъ явлен!й, во-первыхъ, вывести числовыя данныя, характе}5изующ1я частоту появлешя пзв^стнаго соц1альнаго явлен!я (брака въ томъ или другомъ возраст*, самоуб1йства, кражи со взломомъ); во-вторыхъ—изучить изме- изменяемость этихъ числовыхъ данныхъ. Последняя и самая важная Ц'Ьль ста- статистики состоитъ въ томъ, чтобы проникнуть насколько возможно въ при- причинную связь между различными явлетямп общественной жизни. Ста-
311 тистика можетъ сделать это. группируя пзвЪстнымъ образомъ своп дан- ныя, изолируя, благодаря такой группировке, одну пзъ нричинъ и вы- етанляя ея значеше для разсматрпваемаго сощальнаго явлен1я. Такъ, для того, чтобы выяснить зависимость самоуб1йствъ отъ возраста, она должна распределить данныя относительно самоуб1йствъ по возрастамъ. Говоря языкоыъ математической Teopin вероятностей, мы должны ска- сказать, что цель социальной статистики должна состоять въ тоыъ, чтобы охарактеризовать общественный организмъ возможно болышшъ числомъ объектпвныхъ вероятностей, и путемъ сравнешя различныхъ сощальныхъ органнзмовъ вывести числовыя связи. существующая между объективными вероятностями разлпчныхъ явлешй. Такъ, въ физике каждое простое или сложное тело характеризуется системою физическихъ ностоянныхъ (атом- (атомный и удельный весъ, показатель преломлешя и т. д.). Чеыъ больше мы знаемъ такихъ физическихъ постоянныхъ для физическаго тела, темъ ближе мы знаемъ самое тело; чеыъ больше числовыхъ связей (функцюналь- иыхъ зависимостей) нами найдено, темъ больше мы знаемъ физическпхъ законовъ. Не съ одними постоянными отношешяыи встречается сощальная ста- статистика. На всякомъ шагу въ ней замечаются и тагае ряды, которые Ле- ксисъ называетъ эволюторнымп; ириыеръ такихъ рядовъ представитъ, напр., во всякой прогрессирующей стране рядъ, составленный изъ годо- выхъ цифръ лицъ, получающихъ образоваше, и т. п. Во всехъ этихъ ря- дахъ замечается уже не постоянство, а тенденция изменяться въ томъ или другомъ направлен! и. Но и тЬ ряды, которые представляютъ поразительное постоянство, заставившее Кетле говорптъ объ определенное бюджете преступниковъ, который платить всякое общество.—на деле также подвергаются «веко- выыъ неравенствамъ». Фаталистическое воззрЬше Кетле и прочихъ после- последователей «математической школы» въ статистике уступаетъ место дру- другому воззренш, которое разематриваетъ всякую вычисляемую статисти- статистикою объективную вероятность, какъ продуктъ всего общественнаго строя, пзменяющшея вместе съ изменешемъ саяаго строя. Место сощальнон статистики въ ряду другихъ общественныхъ наукъ легко определится, если мы будемъ исходить изъ предложен наго 0. Кон- томъ разделен1я сощ'ологш—науки объ обществ!;—на абстрактную и кон- конкретную. Абстрактная наука объ обществе, изучающая законы объ обществен- общественности вообще, законы, которые были бы получены путемъ отвлечршя отъ конкретныхъ общественныхъ организмовъ — еще не существуете. Все существующая теперь общественныя науки (наука о хозяйственных!, отно-
312 шешяхъ или политическая экономя, истор1я прагматическая, история куль- культуры, исторй права) суть части конкретной соцюлогш потому, что все пзучаютъ существукищя или существовавпйя общества и государства. Со- щальная статистика составляетъ часть той же конкретной соцюлогш; но лежду тЬмъ какъ друпя науки отличаются между собою ио предыетамъ изследовашя (право, хозяйство, литература), социальная статистика отли- отличается отъ нихъ по методу. По предмету изследовашй она такъ же обща, какъ сама наука въ обществе, такъ какъ въ кругъ ея изсяедовашй оди- одинаково входятъ н важнтлшш явлешя физюлогической жизни отделыгаго человека, и явлешя хозяйственной жизни, и, наконецъ, те явлешя, кото- рыя обусловливаются разумно-нравственною стороною человеческой при- природы. Этимъ разлпчнымъ сторонаыъ человеческой деятельности соответ- ствуетъ разделеше статистики на три главные отдела: 1) демограф1я, или статистика народонаселешя (наиболее разработанная п наиболее поль- пользующаяся помощью математическаго анализа часть статистики); 2) эконо- экономическая статистика, п 3) статистика моральная или культурная, изу- изучающая повторяемость преступлений, самоубшствъ, деятельность школы, благотворительности, иосколько она проявляется въ числовыхъ данныхъ. Совпадая по своему предмету съ другими частями общественной науки, социальная статистика отличается отъ нпхъ по методу. Мы видели, что этотъ методъ заключается въ томъ, чтобы изъ наблюдешй надъ мас- массами явлешй вывести известныя числовыя постоянныя, характернзуюии'я данный социальный организмъ, и, пользуясь вспомогательными формулами теорш вероятностей, отличить при измененщ этпхъ числовыхъ постоян- ныхъ те, которыя