Некоторые вопросы
газодинамики взрыва
Снежинск
1997

УДК 623.454.8
3-12 Забабахин Е.И. Некоторые вопросы газодинамики взрыва
В книге рассмотрены ударные и детонационные волны, одномерные неста-
нестационарные, двумерные стационарные, а также сферически симметричные течения
сплошной среды. В ней содержатся как результаты оригинальных теоретических раз-
разработок автора, так и классические представления о рассматриваемых явлениях.
Книга предназначена для научных и инженерно-технических работников,
а также аспирантов и студентов ВУЗов старших курсов, специализирующихся в об-
области газодинамики и физики взрыва.
ISBN 5-85165-327-2
© РФЯЦ-ВНИИТФ

FW UU1UU4
Академик Забабахин Евгений
Иванович A6.01.17—27.12.84) — один из
выдающихся физиков-теоретиков 20-го
столетия.
Сфера его научных интересов бы-
была необычайно широка: гидродинамиче-
гидродинамические и электромагнитные явления, теория
фазовых превращений, теоретические воп-
вопросы экстремальных состояний вещества
в динамических процессах и статических
условиях, физика деления ядра и термо-
термоядерного синтеза... Одним из главных
направлений в научных трудах Е.И. Заба-
бахина были исследования явления неог-
неограниченной кумуляции энергии. За цикл
работ в этой области он был награжден
Президиумом АН СССР золотой медалью
им. М.В. Келдыша.
Е.И. Забабахин был одним из соз-
создателей советского ядерного оружия. Им были разработаны научные основы
конструирования ядерных зарядов, методы их расчетов, предложены многие
конструктивные решения, которые воплощены в лучших образцах отечест-
отечественного ядерного оружия. Эта работа Е.И. Забабахина получила высокую
оценку, он — Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской и трех
Государственных премий, кавалер многих орденов.
Атмосфера секретности работ по ядерному оружию, а также большая
загрузка научно-организаторской работой (в течение последних 25 лет своей
жизни он был научным руководителем крупного научно-исследовательского
института, который в настоящее время называется РФЯЦ-ВНИИТФ* ) не по-
позволили Е.И. Забабахину в полном объеме опубликовать результаты своих
теоретических разработок. Первая его (совместно с И.Е. Забабахиным) моно-
монография "Явления неограниченной кумуляции", М.: Наука, была опубликована
уже после его смерти в 1988 году.
Настоящая книга имеет длинную предысторию. В основе книги лежат
лекции, прочитанные Забабахиным в начале 50-х годов группе научных ра-
работников, занимающихся исследованием взрывных процессов. В 1957 го-
году обработанные и дополненные лекции были изданы в виде секретной
* Российский Федеральный Ядерный Центр—Всероссийский НИИ технической физики

участии Н.И. Елисеева, Л.И. Огнева, Н.И. Самохвалова и Д.Г. Ломинадзе.
Повторная обработка и дополнения рассекреченного материала монографии
были сделаны по инициативе и при участии Б.Г. Лобойко в 1977 году, но до
издания книги в то время по разным причинам дело не дошло. Публикацией
этой книги мы делаем второй, хотя и довольно запоздалый, шаг в ознакомле-
ознакомлении общественности с научным наследием Е.И. Забабахина.
Академик Е.Н. Аврорин

Ударные и детонационные волны
1.1. Уравнения сохранения массы, импульса и энергии
На фронте ударной волны происходит быстрое сжатие материала,
повышение давления в нем и изменение его массовой скорости. Параметры
ударной волны: перепад давления, плотности, скорости — каждый порознь,
не могут принимать произвольных значений, а связаны между собой законами
сохранения массы, импульса и энергии. Очевидно, что, не нарушая общности,
связь между параметрами ударной волны можно найти, рассматривая удар-
ударную волну, перед фронтом которой вещество покоится.
Пусть ударная волна движется со скоростью D по покоящемуся веще-
веществу с плотностью ро и давлением Ро. За фронтом ее плотность р, давление
Р и скорость вещества ?/(рис. 1.1).
Фронт волны
Р
Р
U
t+dt \ p
-**	^ U
Фронт волны
D
Uo=0
Рис. 1.1. Ударная волна в покоящемся веществе.

Выделим перед фронтом ударной волны элемент массы
dm=podx-poDdt.
За время dt волна проходит путь dx до правого основания
выделенной призмы, а левое основание этой призмы проходит путь Udt, т. е.
высота призмы после сжатия будет Ddt - Udt, а т. к. масса ее при сжатии
сохранилась, то
poDdt=p(D-U)dt, откуда
?/ = р-р.=_АГ
D p	Vo
(V	удельный объем).
Р
Формула A.1) выражает закон сохранения массы в ударной волне.
Так как на фронте вещество сжимается, т. е. р>ро, то — > 0, т. е. вещество
за фронтом движется в ту же сторону, что и сам фронт.
Очевидно, что формула A.1) справедлива как для ударных, так и для
детонационных волн, являющихся ударными волнами, на фронте которых
выделяется энергия.
Во время прохождения ударной волны по элементу массы dm на
левое основание этого элемента действует давление Р, на правое — Ро, т. е.
элемент получает импульс
(P-Po)dt=(P-Po)^,
который равен приобретенному количеству движения
Udm=Upodx, т. е.
(P-Po)—=Upodx, откуда
AP=P-Po=poDU.	A.2)
Очевидно, что закон сохранения импульса A.2) также применим как
для ударных, так и для детонационных волн.

F.i:
Из A.1) и A.2) можно получить выражения для D и U через Р
Р
A.3)
A.4)
За время прохождения ударной волны по элементу массы dm над
этим элементом совершается работа Р Udt, которая расходуется на кинетиче-
скую энергию этого элемента 	am и изменение его внутренней энергии
(e-eo)dm (е —внутренняя энергия единицы массы).
Если на фронте волны нет выделения или поглощения энергии, то
птт, U2dm
PUdt-	+(e-so)dm, откуда
dm 2	PoDAt 2
At=--(PO + P)AV.	A.5)
Зная уравнение состояния вещества и зависимость внутренней
энергии s от параметров, определяющих состояние вещества, по закону
сохранения энергии A.5) можно установить зависимость между любой парой
из величин Р, Ти р (или V) в ударной волне. Соответствующая этой зависи-
зависимости кривая называется ударной адиабатой или адиабатой Гюгонио в отли-
отличие от адиабаты Пуассона для плавного изменения объема.
Приращения внутренней и кинетической энергии в ударной волне
имеют простую геометрическую интерпретацию. На рис. 1.2 показана ударная
адиабата в координатах (Р, V ). Приращение внутренней энергии на фронте
ударной волны с давлением Р1
Ае=~(

соответствует площади, заштрихованной вертикально; приращение кинетиче-
кинетической энергии
U2 __ APAV
2	2
соответствует площади треугольника, заштрихованной горизонтально.
О
Рис. 1.2. Приращение внутренней и кинетической энергии в ударной волне.
Вертикальная штриховка соответствует приращению внутренней энергии, горизонтальная —
кинетической.
Общее приращение энергии в ударной волне соответствует всему
заштрихованному прямоугольнику и равно (-PAV).
В случае, когда Ро = О (ударное сжатие конденсированных тел, до
того не сжатых) обе площади одинаковы, т. е. приращения внутренней и ки-
кинетической энергии одинаковы.
Покажем, что адиабаты ударного и плавного сжатий при слабых
изменениях объема расположены близко друг к другу, т. е. зависимость P(V)
[или Р(р) ] для обоих процессов практически одинакова.

Для слабого ударного сжатия
С другой стороны, для близких состояний вещества As может быть
записано на основании первого начала термодинамики
AQ = TAS =Ae + PAV , откуда
*-) =-Р; (?].=Т, т.е.
dVJs	\dSJy
2 (га
\ 2 \dV2), 6
Сравнивая два выражения для Ае, получаем:
6 \dV2)s
откуда
Таким образом, AS есть величина порядка (AFK, следовательно,
и различие в давлениях, отсчитанных для данного V по адиабатам Гюгонио
(Н) и Пуассона (^*), есть величина порядка (AFK, т. е. адиабата Гюгонио
и проведенная из ее начальной точки адиабата Пуассона имеют в этой точке
касание второго порядка (рис. 1.3).
При более сильных сжатиях, обе адиабаты могут существенно
различаться. В то время, как при плавном сжатии за счет большого давления
плотность может быть сделана сколь угодно большой, для ударного сжатия
обычно существует предельная степень сжатия, величина которой зависит от
вида уравнения состояния, т. е. от того, каким образом в данном веществе
давление зависит от плотности и температуры.

о
н
V
Рис. 1.3. Адиабаты Гюгонио (Я) и Пуассона (?), соответствующие одному и тому же
начальному состоянию "О".
В точке "О" кривые имеют общую касательную и одинаковую кривизну.
Из факта касания адиабат J* и //следует, что в точке ро, Ро
дР
дР
что позволяет получить выражение для скорости звука.
Очевидно, что слабая ударная волна распространяется со скоростью
звука, т. е. для нее D = С*\ Скорость ударной волны A.4):
*' Это не относится к случаям, когда давление анизотропно, например, к ударным
волнам в твердых телах, когда перепад давления в волне не очень велик по сравнению
с прочностью. Структура ударной волны в этом случае обладает рядом особенностей,
которые мы не рассматриваем; скорость звука зависит от того, распространяется ли он
в тонком стержне или в сплошной массе и вычисляется по формулам, приводимым
в курсах теории упругости.

Для слабой ударной волны
р , АР дР) дР)	„ дР)
—-И и	> — = — , т.е. С= —
Ро Ар [др)н {dp); y{d)
В частности, для идеального газа при S = const; Р = const- pY, т. е.
дР) Р „ Г Р
— = у — и С= у—.
Ф>5 Р	V Р
Отметим еще ряд свойств ударных волн.
Для огромного большинства случаев
&Р
>0, т. е. адиабата
Пуассона имеет вид кривой, обращенной выпуклостью вниз.
Как видно из выражения A.6) для AS, следствием этого является то,
что при ударном сжатии энтропия увеличивается (AS > 0). Можно показать
(см., например, [1]), что при
О ударная адиабата также будет
иметь вид кривой, обращенной выпуклостью вниз.
Имея это в виду, покажем, что ударная волна движется быстрее
звука перед ней и медленнее звука, движущегося за ней.
В соответствии с A.4) D=V0J	, но — = p0D = i есть поток
AV
АР
вещества через фронт волны, г =	, т. е. поток определяется наклоном
AV
хорды {О, 1), соединяющей точки начального и конечного состояний
(рис. 1.2). Из того условия, что адиабата Гюгонио обращена выпуклостью
вниз, следует, что
АР
AV
(дР)
Vdv)H
'о
о
га
\8
V)s
(ЭР)
\dVJs
).
,от
0
о
, т.е.
или
D>CO.
A.7)

Таким образом, ударная волна движется быстрее звука перед ней
и никак не влияет на движение вещества перед своим фронтом. Далее, для
точки A)
дР_
dV
АР
AV
Это следует из того, что адиабата Гюгонио, проведенная из точки A)
как из начальной точки, с одной стороны, касается проходящей через эту точ-
точку адиабаты Пуассона, с другой стороны, проходит через точку (О), что видно
из уравнения A.5), симметричного относительно величин, характеризующих
начальное и конечное состояния.
, но
АР
AV
<
(ар)
\av)s
i = (D-U)p =
D-U
(D-UJ<
dV
или
U+C>D.
A.8)
Таким образом, звук, распространяющийся в веществе, сжатом
ударной волной, может догонять фронт ударной волны и движение вещества
за фронтом волны может влиять на состояние на ее фронте.
Отметим еще, что при ударном сжатии от "О" до " промежуточные
состояния описываются не ударной адиабатой, а прямой @-1), что следует
АР „ .
. В большинстве случаев толщина слоя,
¦2
из постоянства величины i =
AV
в котором происходит переход из состояния "О" в ", мала по сравнению
с другими характерными размерами явления (толщина фронта мала по срав-
сравнению с толщиной преграды, на которую действует волна, по сравнению
с расстоянием от источника волны до преграды и т. п.), поэтому фронт волны
считается абсолютно тонким, и промежуточные состояния при ударном сжа-
сжатии не рассматриваются.

Рассмотрим в качестве примера уравнение ударной адиабаты
q
идеального газа, для которого Р = RrpT, e = CvT, Cp-Cv=Rt,—— = у,
C
Cv
р
т. е. 8 =	. Подставим это выражение в A.5), получаем:
р(У - О
Р (У-1) Po(Y-l) 2^
откуда после простых преобразований получаем
Р _ha-\
Ро " h-a '
A.9)
Р ,7+1
где а = — и h =	.
Ро	У
р
Из A.9) видно, что при а —> h	> °о, т. е. сколь угодно высоким
Ро
давлением при однократном ударном сжатии газ может быть сжат лишь
в конечное число раз.
5 7 4
Для одно-двух- и многоатомного газа соответственно у = —, — и —
и предельное'сжатие h = 4, 6 и 7.
Следует заметить, однако, что при очень сильных ударных волнах
в связи с процессами диссоциации и ионизации и возбуждением дополни-
дополнительных степеней свободы частиц газа сам показатель адиабаты у несколько
меняется, и фактически достигаемое сжатие в ударной волне больше того, что
соответствует значениям у при нормальных условиях, например, для воздуха
Л « 10 вместо 6.
1.2. Ударные волны в акустическом приближении
Ударная волна есть волна слабая, если вызванное ею изменение
массовой скорости есть величина малая по сравнению со скоростью звука.
В практике часто встречаются ударные волны с этой точки зрения слабые,
например, ударные волны, возникающие в продуктах взрыва при отражении
детонационных волн, т. к. массовая скорость в них не очень велика по сравне-
(U Л
нию со скоростью звука —¦ * — . В излагаемом приближении, называемом
иногда акустическим, скорость звука не предполагается постоянной,

и различаются скорость звука и скорость ударной волны. Поэтому оно остает-
остается применимым в области более широкой, чем обычная акустика.
Напишем основные формулы для ударных волн для случая, когда
вещество перед фронтом движется (эти формулы легко получаются обобще-
обобщением A.1) и A.2)):
U2-Ux р2-р,
-f	jh = —	L, откуда
Du - ?/, p2
P2 ~
P2-Pl=(U2-UlJ Plp2 или
PP
Ap
Если волна слабая, то АР « — Ар = С2 Ар, Pj и р2 к р.
V dp У s
С учетом этого из A.10) получаем С2(АрJ = р2(А?/J или
Далее,
Ар_ Ар С AC ^ d In p AC
d In С
или
din С	din С
"для волны, движущейся влево,
A.10)
AU = ±C —.	A.11)
Р
A.12)
A.13)

и dlnpc -и dlnpc
din С	din С
— для волны, движущейся вправо, т. е. инварианты Римана U ±С
A.14)
d In p
din С
почти сохраняются и на слабых ударных волнах.
В практике часто приходится иметь дело со степенным видом
уравнения состояния Р = А(рп-р"о) или Р — Ар". В этих случаях
С2 =— = пАр"~\ 	— =	 и у равнения A.13), A.14) принимают вид
до	d In С п -1
В частности, при п = 3
п-\
U2 ±С2 =С/, ±СХ.
и-1
С,.
A.15)
A.16)
Применим акустическое приближение для рассмотрения следующей
задачи. Пусть ударная волна выходит на параллельную ей свободную поверх-
поверхность конденсированного вещества (жидкости или твердого тела). Найдем
скорость этой поверхности после выхода ударной волны.
Схематически все явления в координатах (х, t) показаны на рис. 1.4.
Рис. 1.4. Выход слабой ударной волны на свободную поверхность конденсированного
вещества, параллельную ее фронту.

После выхода ударной волны (О-\) на свободную поверхность
внутрь вещества начинает распространяться волна разрежения A-2).
Так как ударная волна (СМ) предполагается слабой, то при переходе
через нее выполняется равенство
d In p _ d In p
1 dlnC '" ° dlnC °'
При переходе через волну разрежения A-2) выполняется равенство
1 din С	din С
(На свободной границе Р = О, т. е. С2 = Со)-
Складывая эти два равенства, получаем 2C/1=L/2, (Uo-0, т. к.
вещество перед фронтом @-1) покоилось).
Таким образом, выход ударной волны на поверхность, параллельную
ее фронту, сопровождается удвоением массовой скорости. Заметим, что этот
результат справедлив для слабых волн при любом виде уравнения состояния.
Исключение составляют лишь пористые тела, для которых	 обращается
d lnC
в бесконечность.
Скорость ударной волны в акустическом приближении оказывается
просто связанной со скоростью звука и массовой скоростью. Проделаем соот-
соответствующее вычисление. Пусть D = D' + Uo, здесь Uo— скорость вещества
перед фронтом, D'— скорость ударной волны относительно этого вещества.
Выпишем закон сохранения импульса, а также связь между АР и Лр на
ударной волне:
AP = PoD'AU,	A.17)
US P, ,А ,,. .	A 18)
о
Сравнивая A.17) и A.18), получаем:
\(д2Р
D' =
PoAU
Согласно закону сохранения массы
AU Ар
о
A.19)

Подставив это в A.19), получаем:
(?>')= —
Ро
С2+-\
Др +
2C2oUp2)o
1 1д2Р\
Ро
Ар
ро 2С0{др
Ар+ ...
или
2ро
1 \д2р\ л	I
+ —-I —-I Ар+ ... .
о	'
A.20)
Но
-С*+ ...= (С-СО)(С+СО)+ ...= 2С0ДС+ ... .
Подставив это выражение, а также — =	н ... в A.20), получаем:
Ро со
D'=CO 1
AU АС
2СО 2С0
...|=СО
¦+ ... .
Этому результату обычно придают следующую простую форму.
Скорость волны D в лабораторной системе координат (в которой вещество
перед волной имеет скорость Uo), есть
+U0, т.е.
A.21)
Таким образом, скорость волны в акустическом приближении есть
среднее арифметическое от скорости распространения возмущения (U + C)
перед фронтом и за фронтом. В частности, для вещества с п = 3, где
At/ = АС , скорость волны относительно вещества перед ее фронтом
?>'=С\.
2 зш. зове

1.3. Опытное определение ударной сжимаемости
Ударную сжимаемость конденсированных тел можно изучать
во взрывных процессах, давления в которых достаточно высоки для того,
чтобы вызвать заметное сжатие твердых и жидких тел, ведущих себя обычно
как несжимаемые. Прямое измерение плотности и давления, как правило,
практически затруднено, но эти параметры удается вычислить по результатам
измерения скоростей. Экспериментальные методы, применяемые для измере-
измерений в слабых и сильных волнах, различны; остановимся вкратце на каждом
из них.
1.3.1. Слабые ударные волны. Метод откола
Схема опыта показана на рис. 1.5.
Исследуемый материал
ПВ
ВВ
D
База измерения скорости
База измерения скорости
разлета (откола)
волны
Рис. 1.5. Схема опыта по определению ударной сжимаемости вещества методом откола
Ударная волна в исследуемом материале создается ударом по нему
детонационной волны в ВВ. При выходе ударной волны на свободную по-
поверхность массовая скорость удваивается. Измерив скорость ударной волны
D и массовую скорость разлета вещества U л = 2U , где U— массовая ско-
скорость на фронте ударной волны, легко вычислить давление и плотность на
фронте волны:
Р=ро1Ю; -^-=-7т •
D

Создавая в исследуемом веществе волны различной интенсивности,
из опыта можно получить различные пары {Р, р), по которым и построить
ударную адиабату для не очень сильного ударного сжатия.
Движение пластины под действием детонационной волны обычно
сопровождается ее дроблением (отколом), в связи с чем этот метод измерения
назван методом откола. (Подробнее о явлении откола смотри раздел 2.4).
1.3.2. Сильные ударные волны. Метод удара
1.3.2.1. Соударение одинаковых материалов'
Схема опыта показа на рис. 1.6.
Ударник
Приемник
Рис. 1.6. Схема опыта по определению ударной сжимаемости вещества методом удара.
Пластина (ударник) обычно разгоняется взрывом ВВ. Измеряются
величины скорости удара Uy и скорости ударной волны в приемнике D.
Из условия симметрии видно, что после удара на фронте волны, идущей
в приемник, U - — Uy, т. е. на фронте волны
Л»
Р = о —-D — =
1
1-
2D
2*

Этот метод измерения не содержит приближенных предположений,
поэтому в принципе применим для волн сколь угодно больших интенсивно-
стей, т. е. для любых давлений. Однако практически, при разгоне ударника до
большой скорости он может нагреваться или частично дробиться, после чего
его материал уже нельзя считать вполне одинаковым с материалом приемника.
1.3.2.2. Соударение различных материалов
В практике часто удобно делать ударник из одного материала,
приемник — из другого, например, ударник из стали, приемник — из меди.
В этом случае U *—Uy, однако, величину U можно весьма просто опреде-
определить из графического построения. По результатам предварительных опытов
со столкновением двух одинаковых материалов можно построить диаграмму
P(U) для одного материала. Затем, используя этот материал как ударник,
можно измерить в опыте скорость полета ударника Uy и скорость ударной
волны D во втором материале (приемнике).
Зная ро и Д согласно уравнению
мы можем утверждать, что точка, изображающая состояние второго
материала в плоскости (Р, U), лежит на известной нам прямой.
Но те же значения Р и U имеет и ударник после соударения, т. е. та
же точка лежит на кривой торможения ударника, которая получена ранее, но
теперь должна быть построена от точки Uy,P = 0 влево (рис. 1.7). Точка пе-
пересечения и дает значения Р и U во втором материале; плотность в этом мате-
материале по-прежнему вычисляется по формуле
Р 1
D
Описанными способами были построены ударные адиабаты
многочисленных материалов Л.В. Альтшулером, К.К. Крупниковым и СБ. Кор-
мером с сотрудниками, а также В.И. Жучихиным и Ю.Ф. Алексеевым [2], [3],
[4], [5].

Рис. 1.7. Определение состояния после соударения различных материалов.
1.4. Распад разрыва [метод (Р, ?/)-диаграмм]
В практике часто приходится решать задачи о соударении двух тел
или о переходе волны (ударной или разрежения) из одной среды в другую.
В обоих случаях от поверхности соприкосновения в обе стороны
распространяются волны — ударные волны или волны разрежения. Началь-
Начальное состояние системы (перед соударением или в момент выхода волны на
границу) содержит разрывы в давлении и скорости на поверхности соприкос-
соприкосновения. Образование волн, идущих в обе стороны от этой поверхности, при-
принято называть распадом разрыва (разрыв в начальных условиях в Р и U здесь
действительно исчезает, распадаясь на два других разрыва).
Для решения задачи о том, какие именно волны возникнут
в результате столкновения тел или падения волны на границу двух сред,
и служит метод (Р,Ц)-диа.гршм. Такого типа диаграммы весьма удобны, т. к.
состояние двух различных сред в них после распада разрыва обычно изобра-
изображается общей точкой (в граничащих средах скорости и давления одинаковы).
Пусть разрыв в начальных значениях Р и U существует на границе 1-2 тел
(рис. 1.8). В результате распада этого разрыва в каждое тело может пойти
ударная волна или волна разрежения. Рассмотрим кривые в (P,U), описываю-
описывающие эти волны. Сделаем это сначала для вещества 1.

P2U2
Рис. 1.8. Граница двух сред с разрывом значений давления и массовой скорости.
Если в него идет ударная волна, то массовая скорость при этом
убывает (т. к. сама волна идет влево). Изменение массовой скорости на фрон-
фронте этой волны определяется формулой
или
PP.
A.22)
Вместе с уравнением ударного сжатия Р(р) это и дает в параметри-
параметрической форме зависимость между Р и U в ударной волне. Плотность р при
этом играет роль параметра.
Формулы для ударного сжатия вещества 2 будут отличаться тем, что
перед корнем будет стоять "+", т. к. ударная волна в этом веществе может
пойти только направо, т. е. может увеличить скорость.
Если в вещество 1 пойдет волна разрежения, то зависимость Р от р
в этой волне дается уравнением адиабаты Пуассона. Изменение скорости
в этой волне нетрудно получить, представив эту волну как сумму элементар-
элементарных волн, в каждой из которых d U = \-dP ¦ d V (перед корнем стоит "+",
т. к. идущая влево волна разрежения увеличивает массовую скорость). Полное
изменение скорости в волне разрежения
Ш = jV-
Это удобно записать в другой форме:
dP dp С ,
T=Jr dp> T-e-
2 VdP P P
U-U, =Л?/= I—dp.
A.23)

Для вещества " перед интегралом будет знак минус, т. к. идущая
по нему вправо волна разрежения сообщает приращение скорости налево.
Формула A.23) вместе с Р(р) и С(р) дает в параметрической форме
зависимость Р от U в волне разрежения.
Для слабых ударных волн и слабых волн разрежения соответствую-
соответствующие диаграммы (Р, U) могут быть изображены в виде отрезков прямых.
Для ударного сжатия АР = p0DAU .
Для слабой волны D~CO, АР « poCoAU, т. е. (Р, U )-диаграмма, соответ-
соответствующая слабому ударному сжатию, может быть изображена отрезком пря-
прямой с угловым коэффициентом роСо. Чем больше роСо, тем круче идет
прямая, т. е. тем большее давление следует развивать, чтобы сообщить мате-
материалу данную скорость. Вещества с большим значением р0Со естественно
называть жесткими, а величину роСо — жесткостью.
Нетрудно показать, что и волны разрежения также можно аппрокси-
аппроксимировать отрезками прямых с тем же наклоном.
dP dP dp dP dp
В самом деле	=	— =	— = рС, т. е. и здесь
AU dp dU dp Cd
P
Рассмотрим возможные типы распада разрыва.
1.	Образование двух ударных волн (рис. 1.9).
Такого типа распад встречается при ударе двух тел одно о другое, а также при
выходе ударной волны из одного вещества ("мягкого") в другое (более
"жесткое"). На рис. 1.9 а, в, с показаны (Р, ?/)-Диаграмма, характер движения
и распределение давления после распада разрыва.
2.	Образование ударной волны и волны разрежения.
Такого типа распад разрыва может реализоваться при переходе ударной вол-
волны из вещества 1 в менее жесткое вещество 2 (например из стали в алюми-
алюминий). (Р, ?/)-диаграмма и характер движения показаны на рис. 1.10.
3.	Образование двух волн разрежения (рис. 1.11).
Этот случай реализуется, например, тогда, когда со стороны менее жесткого
вещества волна разрежения приходит на границу двух сред, до этого сжатых
и покоящихся. Заметим, что в данном случае, строго говоря, разрыва в на-
начальных условиях задачи нет, т. к. волна разрежения фактически является
волной плавного изменения состояния и не носит характера ударной волны,
т. е. фронт такой волны имеет конечную ширину. Однако, для слабых волн
ширина этого фронта невелика, и в приложениях ей часто пренебрегают, счи-
считая волны ударными.

а
U
Ударная волна
Ударная волна
PF
Рг
с
Рис. 1.9. Распад разрыва с образованием двух ударных волн:
а — (Р,(/)-диаграмма. 1, 2 — начальные состояния двух сред; кривые, исходящие из точек
1 и 2 — адиабаты ударного сжатия сред. F — состояние после распада разрыва; в — характер
движения после распада разрыва; с — распределение давления после распада разрыва.

	адиабата ударного
сжатия
	адиабата расширения
F
U
Волна разрежения
Р
Ударная волна
Рис. 1.10. Распад разрыва с образованием ударной волны и волны разрежения.
4. Образование двух волн разрежения и разрыва между веществами
(рис. 1.12).
Такое движение возможно, например, в случае, когда волна
разрежения приходит со стороны менее жесткого вещества на границу двух
сред, до того сжатых и покоившихся. (Как в случае 3, но при слабом началь-
начальном сжатии).
При интенсивной волне разрежения в этом случае общего состояния
веществ 1 и 2 после распада разрыва не образуется, а эти вещества удаляются
друг от друга, т. е. происходит откол. (Позже мы рассмотрим картину откола
подробнее, учитывая конечную ширину фронта волны разрежения).

\
V
U
Волна разрежения
Волна разрежения
Рис. 1.11. Распад разрыва с образованием двух волн разрежения.
Рассмотрим несколько примеров, в которых метод диаграмм
позволяет наглядно определить качественный характер явления.
1. Разгон плоской пластины детонационной волной (рис. 1.13).
При ударе детонационной волны по пластине в ней возникает
ударная волна с состоянием 1 на фронте. После выхода на свободную поверх-
поверхность скорость удваивается, давление падает до нуля (состояние 2). Затем
волна разрежения с состоянием 2 за фронтом выходит на границу ПВ-металл,

ПВ из состояния 1 разгружаются, а металл из состояния 2 нагружается до
общего состояния 3 и т. д. .
Р
\
\
\
ч
/
и
\	1— вещ. 2
Рис. 1.12. Распад разрыва при интенсивной волне разрежения с образованием
откола.
Как видно из схемы, пластина будет набирать скорость скачками,
причем величина скачков постепенно уменьшается так, что сумма их стре-
стремится к скорости, с которой ПВ разлетаются в пустоту. В данном примере

имеется в виду простейшая схема явления, когда за фронтом падающей дето-
детонационной волны давление постоянно, т. е. отсутствует разгрузка сзади
и сбоку. Разгрузку сзади можно учесть, для чего кроме диаграммы (Р, Щ надо
рассматривать также движение в плоскости (х, t). Боковая разгрузка еще бо-
более осложняет задачу, т. к. делает движение неодномерным.
\l
/\ч
/V
>
V
V
/
\3
/ \^
¦к
p=pomDU
Кривая торможения
или разгона ПВ
U
Пластина
Рис. 1.13. Разгон плоской пластины детонационной волной.
0—1, 2-3, 4-5 и т. д. — ударные волны в пластине; 1-2, 3-4 и т. д. — волны разрежения.
2. Удар двух тел через смягчающую прокладку (рис. 1.14).
А1, сжимаемый между двумя кусками Fe, последовательно проходит
состояния О, 1, 2, 3, 4. Левый кусок Fe проходит состояния О, 2, 4...,
правый— 1, 3,... .
Давление в системе нарастает все уменьшающимися скачками,
стремясь к давлению, которое получается просто при соударении двух кусков Fe.

Fe
Al
Uv
Fe
Рис. 1.14. Удар двух тел через смягчающую прокладку (алюминий между двумя кус-
кусками железа), 0, 1, 2, 3 — последовательные состояния прокладки.
Фактически явление столкновения будет несколько сложнее, чем
описано: ударные волны, идущие по Fe, догоняют друг друга, и от мест
догона назад к А1 будут идти дополнительные волны (сжатия или разреже-
разрежения в зависимости от вида уравнения состояния Fe) я изменять в нем давле-
давление. Однако эти дополнительные волны, обычно, очень слабы и на процесс
сжатия А1 практически не влияют. (Для рассмотрения этих волн необходимо
было бы построение (х, /)-диаграммы).
3. Удар двух тел через прокладку промежуточной жесткости
(рис. 1.15).

р
о
Fe
О
и
Парафин
А1
Fe
Рис. 1.15. Соударение тел через прокладку промежуточной жесткости.
Fe жестче, чем Al; AI жестче, чем парафин.
Прокладка из А1 последовательно проходит состояния О, 1, 2, 3...;
при этом давление в ней то повышается, то понижается, стремясь к давлению,
которое возникает при прямом ударе парафина по Fe (при более точном реше-
решении этой задачи здесь также надо будет учитывать дополнительные волны —
результаты догонов волн в Fe и парафине).

1.5. Об уравнении состояния
В настоящем разделе изложены некоторые вопросы, связанные
с уравнением состояния конденсированных тел. Вопрос об уравнении состоя-
состояния ПВ рассмотрен отдельно в разделе 1.9.
Уравнение состояния, позволяющее описать процессы изменения
объема произвольного характера (ударное сжатие, плавное изменение объема,
многократное ударное сжатие и комбинации этих процессов) необходимо для
решения большинства задач газовой динамики, как простейших, типа распада
разрыва, так и более сложных.
Некоторые сведения об уравнениях состояния могут быть получены
чисто теоретически. Например, для очень высоких давлений (для железа —
порядка 104 ГПа) уравнения состояния, в принципе, могут быть получены
методом Томаса-Ферми, в котором рассматривается упругость электронных
оболочек атомов сжимаемого материала; для особенно легких элементов типа
водорода уравнение может быть получено путем решения соответствующей
квантово-механической задачи и для значительно более низких давлений.
Для малых сжатий (порядка нескольких %) уравнения состояния
могут быть получены на основании сравнительно простых измерений модуля
Юнга, скорости звука и коэффициента Пуассона. Однако, для решения прак-
практических задач о сжатии металлов взрывом иногда нужна промежуточная
область, в которой плотности не настолько велики, чтобы можно было при-
применять метод Томаса-Ферми, но намного больше того, что можно описать,
зная только начальную сжимаемость.
Уравнение состояния до давления порядка 103 ГПа оказывается
возможным получить из опытов с обычными ВВ. Более высокие давления
можно описать, интерполируя между областью опытных данных и областью,
описываемой методом Томаса-Ферми.
Опытные данные по ударной сжимаемости могут быть получены
способами, описанными в разделе 1.3, благодаря хорошо развитой технике
измерения быстрых процессов и простым теоретическим соображениям.
Кроме того, возможны измерения скорости звука непосредственно за фрон-
фронтом ударной волны, характеризующей изэнтропическую сжимаемость мате-
материала после ударного сжатия
а также измерения плотности и давления, достигаемых в результате
последовательного сжатия материала двумя ударными волнами (об этих ме-
методах, дающих богатый экспериментальный материал для построения урав-
уравнения состояния, подробнее рассказано в разделах 1.7 и 3.4).

Для ведения расчетов уравнение состояния желательно иметь в виде
аналитической формулы, полученной из каких-либо простых физических
соображений и содержащей достаточное число констант, величины которых
можно было бы выбрать так, чтобы приблизительно описать имеющиеся экс-
экспериментальные и расчетные данные. Ниже подробно описана одна из фор-
формул такого вида.
Давление можно рассматривать как сумму упругого давления,
которое может существовать даже в холодном материале и происходит от
упругости атомов и молекул, и теплового давления, происходящего от тепло-
теплового движения частиц. Очевидно, что упругое давление зависит только от
плотности, т. е. Руп (р). Напомним, что в газах при обычных условиях единст-
единственной причиной давления является тепловое движение. Следуя Грюнайзену,
делаем предположение, что зависимость теплового давления от температуры
в конденсированных телах качественно такая же, как и в газах, т. е. будем
считать
Здесь s — внутренняя энергия вещества; еуп — энергия упругого сжатия
холодного вещества (упругая энергия).
Г называется коэффициентом Грюнайзена.
Постоянная Г (известная для газов) не предполагается заранее
известной. О виде зависимости Руп (р) также заранее никаких предположений
не делаем. Таким образом:
8уп).	A.24)
В дальнейшем мы имеем в виду случай, когда единственной
причиной нагревания являются ударные волны. Преобразуем поэтому урав-
уравнение A.24) к такой форме, в которую энергия явно не входит, а давление
выражается только через плотность и интенсивность ударных волн.
Сделаем это сначала для случая, когда холодное вещество сжимается
ударной волной, после чего плавно (изэнтропически) меняет свой объем.
Плотность несжатого холодного вещества — ро, считаем для
общности, что перед фронтом ударной волны вещество было пористым
с плотностью
где к — коэффициент пористости.
Введем обозначение 7г(8): Р' =роС„п{5\, где 5=—, а Со —
Ро
скорость звука в несжатом сплошном холодном веществе.

Упругая составляющая внутренней энергии
V	8
Ьуп ~
5
Обозначим | —-у^- d5 = /E).
5
1
Тогда упругая энергия Еуп(д)=С^(8).
Уравнение состояния примет вид
Р=роС>E)+Гр(е-еуп).
На ударной волне достигается давление Рх, плотность р,
и внутренняя энергия 8,. Внутренняя энергия
?i 2Pi(Vot
откуда
2Р
Знаменатель этого
Откуда получаем
,-го
>-
°{-
VPO
2
CS«o>
+ г,
ynl
выражения обращается в
Pnpl
Роо
Фпр1
Ро
Г
=h, т. е
2
1
s,-t
нуль при
г
2
ynb
(*"
f(
a/
А:ст-Г
ад'
]
Л-1
Выражение A.28) принимает вид
Таким образом, нам удалось выразить тепловую энергию на фронте
интенсивность ударной волны.
3 Зы. 3066

Найдем далее связь между энергией и плотностью для дальнейшего
изэнтропического изменения объема. При таком процессе AQ = de+ PdV = О
или de = -PdV . С другой стороны, deyn = -PyndV .
?syn), откуда
р п— i о
2 d5
8-8уп	h-\ 5
или
2
A.31)
Воспользовавшись A.31), выразим Ртеп через плотность 8 и интенсивность
ударной волны су :
2
уп)	Po^
n — 1 Va/
jri n(G)(ka- 1)-2/(a)a
Подставив это в уравнение A.26), получаем
\\	A.32)
Л-Г V	aY(A
Прежде чем перейти к важным частным случаям, рассмотрим еще
в общем виде ударное сжатие вещества, до того нагретого рядом ударных волн.
Мы получили, что тепловое давление имеет вид
где ф — функция от энтропии.
Очевидно, что и при многократном ударном сжатии вид Ртеп
остается тем же, и задача состоит в том, чтобы ф выразить через интенсив-
интенсивность всех ударных волн, прошедших по материалу и нагревших его
(увеличивших его энтропию). Рассмотрим прохождение по материалу /и-ой
ударной волны (рис. 1.16).

т -я ударная волна
11
8'
8" 8'
Рис. 1.16. Прохождение по материалу /и-ой ударной волны
До прохождения этой волны в тепловое давление входила величина
Фт_,, после — (рт; найдем эту величину, действуя тем же способом, что
и раньше.
Далее е"-е'= (б"-е") +(б;;-e')-(e'-s' ); таким образом
h-am Cl
)	=
уп h-\ 2
\	1_
5' 5'
A.33)
2pf
С другой стороны, Ртеп = роСо5тф, откуда б - zw = С„	5Y 'ф , т. е
Фт-1
3*

Далее б^, -г'уп =Со[/(8")-/(8')], что после подстановки в A.33) дает:
г„ г„ Si [И50+яE")](аи-1)-25"[/E")-/E')] te.-l (т_0
А-1
После /и-ой волны и дополнительного изэнтропического изменения
объема
Ртеп=роф\т=Гр"(г" -г'у'п) = ^д"(г" -е'у'л);
1	f"-F"
т (h-\)C2o 5"«A)
Подставляя сюда найденное выражение для е"-е'уп, получаем
Фт~5"(у-1)(А-а _)	о7^	+ о
У-1),
E')
+(/гат-1)фт., к
Таким образом, для произвольно чередующихся процессов ударного сжатия
и плавного изменения объема уравнение состояния имеет вид:
l[7c(8')+7t(8")](qw-l)-28"[i(8")-i(8')]
_
Т 1
' Y л-Г
A.34)

В частности, на фронте первой волны, где 5 = 8,
р=РоСз(А-1Ма)-2ш(а)
h-ka
Если вид 7г(8) для упругого давления заранее известен, то остаются
два параметра Со и h, которые можно выбрать так, чтобы удовлетворительно
описать опытные и расчетные данные. Так как величина Со используется как
параметр для описания высоких давлений, то, естественно, что она не вполне
совпадает с истинной скоростью звука в несжатом веществе.
Если Руп (р) также заранее неизвестно, то о форме этой зависимости
также необходимо сделать какое-то предположение. Обычно считают Руп
степенной функцией от р:
При этом, в уравнении состояния появляется еще один параметр и.
Выпишем подробнее уравнение состояния для степенной формы
упругого давления. В этом случае
J «82	n\n-Y<	i U" 67]

В итоге имеем
О
и-1
2и
и-1
-* k-i
A.35)
В частности, на фронте первой ударной волны, идущей по
несжатому веществу,
Р =
A.35')
Вид уравнения состояния и все расчеты по нему значительно упро-
упрощаются в случае, когда и = у (случай согласованных значений и и h =	).
у-1
В этом случае после упрощений получаем
Ло.-1
ho2 -1
l-AQq, -1
A36)
Здесь Тт —^эквивалентно фт из A.35): ^ =ифот +1.
В частности, на фронте первой ударной волны, идущей по несжатому
веществу,
P=poC2o(h-l)
g-1
h-ku
Как видно из этих формул, в случае согласованных и и и давление
зависит только от плотности 5 и интенсивностей волн als a2, ..., стт и не
зависит от того, какая плотность была перед фронтом каждой из волн. Имея
в виду эти упрощения, при подборе параметров й, и и Со всегда надо пы-
пытаться получить согласованные значения h и и, т. е. при аппроксимации

формулой экспериментальных данных использовать не все три константы
h, п и Со, а только две из них (п, Со).
Заметим, что полученные уравнения не годятся для описания
процессов испарения, так как для газообразного (испаренного) вещества
Р —> 0 при р -> 0, в то время как в уравнениях рассматриваемой формы
Р —> 0 при конечном значении р. Это положение, в принципе, можно испра-
исправить, выбрав такой вид зависимости Руп (р), при котором Руп = 0 при р = О
(например, Руа = А(83 - 8)), что соответствует прекращению взаимодействия
между частицами вещества на больших расстояниях.
1.6. Нагревание ударной волной
При адиабатическом сжатии холодного материала он остается
холодным, Ртеп = 0. При ударном сжатии материал нагревается, Ртеп > 0,
общее давление при данной плотности возрастает, что обычно приводит
к тому, что существует предельная плотность ударного сжатия. При ударном
сжатии особенно сильно нагреваются пористые тела, так как сжатие их
сопровождается сильным изменением объема и внутренней энергии,
As = --PAV.
2
Если пористость велика, то роль тепла может оказаться настолько большой,
что чем больше давление в ударной волне, тем меньше достигаемая плотность.
На этот факт впервые обратили внимание Я.Б. Зельдович и А.С. Компанеец.
Рассмотрим слабое ударное сжатие пористого вещества с произволь-
произвольным уравнением состояния Р=Р(ро,Т). Будучи сжатым слабой ударной вол-
волной, такое вещество обладает внутренней энергией
ds = CydT+PdV,
где dV=Vo-V —отличие объема от объема сплошного вещества.
Для слабой ударной волны Р » 0, т. е.
^ = СУ .	A.37)
dT v
Приращение давления
\Т.	A.38)

Почти всегда, за исключением отдельных аномалий,
^) >0„Н >0
(сжатие при постоянной температуре и нагревание при постоянном объеме
сопровождаются увеличением давления).
При ударном сжатии de=—dP(Voo -V). Так как сжатие слабое, то
V»VO и
ds = --— (к-Х).	A.39)
2 Ро
Для получения зависимости между &Р и dp при слабом ударном
сжатии пористого тела исключим de и &Т из A.37), A.38), A.39):
лп (дрЛ\ л (ЭР) ,гг (дР\ . (дРЛ de
dP= — dp +— dT = \— dp+ — 	=
\др)т \dTJp Удр)т Н \дт)рСу
(дР) , (дР*) к-\ АР
= — dp + —
dp
№	^'r
Из A.40) видно, что при достаточно больших значениях к знаменатель
обращается в " и даже становится отрицательным, т. е. для тела с доста-
достаточно большой пористостью при ударном сжатии действительно — < 0.
др
Такую парадоксальную зависимость давления от плотности для
сильных волн наблюдал на опыте К.К. Крупников, измерявший ударное сжа-
сжатие ваты (к « 10 и больше).
Рассмотренное в разделе 1.5 уравнение состояния качественно
описывает этот эффект, что видно, например, из формулы A.34') для первой
i i	h
ударной волны: при к > И знаменатель отрицателен при а > —, числитель
к

отрицателен при а < 1, таким образом, Р положительно только при
h	1 D	k
— < а < 1; Р —><х> при а —> — .
Вид адиабат Гюгонио для одного и того же вещества с разной
пористостью показан на рис. 1.17. Там же тонкими линиями показаны адиаба-
адиабаты Пуассона (изэнтропы), в расположении которых никаких аномалий нет.
Рис. 1.17. Адиабаты Гюгонио и Пуассона для одного и того же вещества с различной
пористостью (тонкими линиями показаны адиабаты Пауссона).
Вещество, подвергнутое ударному сжатию и вновь разгруженное
до начального давления, оказывается более горячим, чем до сжатия (это явля-
является одной из причин нагревания осколков снарядов и бомб). Вследствие тер-
термического расширения плотность разгруженного вещества оказывается
меньше, чем ро.
Рассмотрим такое нагревание тела ударной волной на примере
уравнения состояния с согласованными Лии.

Увеличение внутренней энергии на фронте ударной волны есть
Леуд =—Р] (Vqq -V) (для общности вещество перед фронтом считается порис-
пористым). При разгрузке часть этой энергии расходуется на расширение
Ле
рас
/•=о
Эти величины имеют наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 1.18).
н .
1
ft
V
ч
Чч
\
S.
\
\
ч \
ч \
ч TV \ .
V
Рис. 1.18. К определению нагревания ударной волной.
Величине Аеуд — соответствует площадь с горизонтальной штриховкой;
Ае рас — с вертикальной штриховой;
Т— адиабата Пуассона, проходящая через точку ударной адиабаты.
Энергия, оставшаяся в веществе после ударного сжатия и последующей
разгрузки
<7 = Лвуд-Д8рас	A.41)

Вычислим первое и второе слагаемые в отдельности.
2	2 \ро р,.
2U h-ka	poa n-\ a(h-kv)
ЛЕрас =
(pdV = -[p^ = fPo^/5«vP_
J	J P2 J " l
pi
| 1
я й-1 а /7-1 Sj-f
Относительная плотность после разгрузки Ък определяется из
условия Р=0, т. е. из уравнения 5^-1 = 0, откуда ? = —. Подставим
это в Aspac:
рас
( 1	1	1 1\ С2О
п [а(и-1)(А-?су) а {п-\)Ък Ък\ п-\[ a(h-ka) 8k
Энергия, оставшаяся в веществе после разгрузки,
После упрощений:
q = ?°- —-1 ¦	' A.42)
п-\\Ък )
Для слабых ударных волн, в которых давление мало (точнее
	— «1), формулы для плотности и оставшегося после разгрузки тепла
?осо
имеют вид:
для сжатия пористого тела
_(?-1)(и-1) Р	_к-\ Р
2	Ро^о	2 Рд

для сплошного вещества
.	п2-\( Р
l8
12
A-44)
Для того, чтобы по этому количеству тепла вычислить повышение
температуры, надо знать теплоемкость. Если материал оказывается расплав-
расплавленным или испаренным, то следует учесть расход энергии на плавление или
испарение.
Как видно из A.43) и A.44), количество тепла, необратимо
затраченного на нагревание, существенно различно при сжатии сплошных
и пористых тел: для сплошного вещества q и 1-5^ есть малые величины
порядка Р3, для пористого — порядка Р, т. е. нагревание пористых тел значи-
значительно сильнее, чем сплошных.
Расчет 8t и q можно провести аналогичным образом и для любого
уравнения состояния, однако, для случая несогласованных А и и получающие-
получающиеся формулы весьма громоздки.
Напомним, что во всех расчетах прочность не учитывалась, и мате-
материал считался жидким, в частности, не учитывалась затрата энергии на тепло
при деформации. Реально, при не очень высоких давлениях это существенно,
и нагревание ударной волной связано не только с ударным характером сжа-
сжатия, но и с пластической деформацией при сжатии.
В ударных волнах могут происходить фазовые переходы, например,
плавление. Эксперимент и теория этих явлений получили развитие после
пионерской работы Д. Банкрофта, И. Петерсона и С. Миншелла [6] о поли-
полиморфном переходе на ударной волне в железе.
Замечательно, что он идет на фронте почти мгновенно, что,
по-видимому, связано с одномерностью деформации и сдвигом, содействую-
содействующим полиморфному переходу. (Если последующая разгрузка также одномер-
одномерна, то она может содействовать обратному переходу). Отметим, что при
частичном фазовом переходе сразу за фронтом еще нельзя различать две
фазы, они формируются со временем, например, при частичном плавлении из
гомогенного вещества образуется смесь жидкости и кристаллов. Этот процесс
сопровождается выделением тепла и для точного решения задач надо знать
его кинетику.
1.7. Боковая разгрузка ударной волны
На фронте ударной волны U + C >D, т. е. возмущение, происходя-
происходящее за фронтом ударной волны, может догонять фронт. В дальнейшем
это возмущение охватывает целую область фронта, и эта область с течением
времени растет. Рассмотрим способ вычисления величины этой области.

Излагаемый вопрос был разобран Я.Б. Зельдовичем и А.С. Компанейцем
в связи с вычислением ими величин зоны разгрузки сходящихся детонацион-
детонационных волн.
Пусть фронт волны в момент / находится в положении I, и в этот
момент на нем в точке А произошло возмущение (рис. 1.19). Найдем, какую
область займет это возмущение в момент t + At, когда фронт приходит
в положение II.
t+At
Рис. 1.19. Схема боковой разгрузки плоской ударной волны.
< I и II — положения фронта волны, а — угол разгрузки.
Возмущение, идущее из точки А, распространяется по материалу во
все стороны со скоростью звука С, сам материал движется за волной со ско-
скоростью U. Следовательно, область, охваченная возмущением, будет кругом,
радиус которого растет со скоростью С, а центр сносится со скоростью U
(аналогично круговым волнам, расходящимся на поверхности реки, круги
растут и сносятся течением). Таким образом, к моменту t + At центр круга
передвинется на UAt и окажется в А', а радиус его будет С At. Найдем угол
а, характеризующий величину MN возмущенной области:
tga =
Ш yjiCAtJ -[(D-U)Atf
AN
DAt
или
A.45)

Эта формула позволяет определить скорость звука в веществе, сжатом
ударной волной, по измерению угла распространения возмущения а. Величи-
Величину С важно знать для определения уравнения состояния, так как С2 = — ,
\dp)s
т. е. С определяет наклон изэнтропы в плоскости (Р, р).
Разность наклонов ударной адиабаты и адиабаты Пуассона, прохо-
проходящих через общую точку, характеризует роль теплового слагаемого в урав-
уравнении состояния. Однако, это относится лишь к случаю, когда сжатое веще-
вещество есть жидкость или газ, т. к. иначе фронт разрежения идет как звук
в твердом теле, т. е. быстрее, чем это соответствует интересующей нас объем-
объемной сжимаемости. Как показали С.А. Новиков и Л.М. Синицына [7], сама
прочность при сжатии сильно растет и определяет разгрузку даже в очень
сильных волнах (в алюминии до 60 /77а).
Опыты по измерению угла а и вычисление С для ряда случаев были
проделаны СБ. Кормером следующим образом.
Пусть волна идет по куску материала, форма которого показана на
рис. 1.20. От угла F по фронту волны распространяется возмущение (боковая
разгрузка), и к моменту выхода фронта на уровень АВ участок KB фронта
окажется несколько разгруженным.
J-
Фронт откола
J
Рис. 1.20. Схема опыта по определению угла боковой разгрузки и скорости звука
в веществе, сжатом ударной волной.

Следовательно, фронт на этом участке несколько отстанет и примет
форму КМ. Отставание фронта обычно невелико, поэтому обнаружить и из-
измерить величину разгруженного участка КМ на опыте удобнее всего фото-
фотохронографом, наблюдая приход фронта откола на индикатор J-J.Ha участке
А К скорость откола всюду одинакова. Начиная от К, она уменьшается, следо-
следовательно, фронт откола примет форму, показанную на рисунке, и на фотохро-
фотохронограмме против К будет виден излом. Для увеличения четкости этого излома
индикатор надо ставить подальше от поверхности АВ, так как это увеличивает
разновременность в приходе на индикатор точек К и В:
1 1
[B UK
т. е. разновременность пропорциональна в.
Для вычисления С по измеренному значению а надо знать еще вели-
величины U и D, как это видно из A.45). Эти величины могут быть измерены
обычными способами.
Рассмотрим зависимость угла разгрузки от интенсивности ударной
волны на примере уравнения состояния с согласованными h и п (к =1):
2
Cz=\—\ = —
дР
ЛсТ-1
№i^	т.е.
Po	h	(l)
D2=Cl(h-\)
h-a
uY l
Подставив эти выражения, а также A	= —- в A.45), получаем
DJ (т
, ha-l h-a I
ts a =	 или
п'а(/г-а) (А-1)а а2

Из этой формулы видно, что а имеет максимальное значение
при а = 2.
tgar
1
2\h-l
При а -> h достигается предельное значение оспр.
ч
Различным h соответствуют различные amax и а (таблица 1.1).
Таблица 1.1
h
2
4
6
00
«max
35°16'
30°
28°44'
26°34'
апР
35°16'
26°34'
22°13'
0
Аналогичную формулу можно получить и для волны, идущей по
пористому веществу. Приводим ее без вывода для случая уравнения состоя-
состояния с согласованными h и п:
1
tgoc = —,
ак
1.
A.47)
Характер зависимости а от ст в ударных волнах показан на рис. 1.21.
При а = 1 кривые имеют вертикальные касательные. Для пористых
веществ (к > 1) а = 90° при а = 1, так как С на фронте конечно, а скорость
волны может быть сколь угодно малой.
Рассмотрим распространение разгрузки в сходящейся сферической
ударной волне.
Величину разгруженной области фронта удобнее всего охарактери-
охарактеризовать углом ф, под которым этот участок виден из центра. Найдем выраже-
выражение для этого угла.

Рис. 1.21. Зависимость угла боковой разгрузки от степени сжатия вещества ударной
волной.
Пусть в точке А в момент t произошло возмущение (рис. 1.22).
К моменту t + dt фронт из положения I переместится в положение II, и воз-
возмущение (например, разгрузка) распространится на часть его дуги dS = rdcp .
dS = <J(CdtJ -[(?> -U)dtf = d/^/C2 -(D -UJ или
rdcp =
- (?> - UI , откуда
—
Отсюда полный угол разгрузки
A.48)
4 Зах. 3066

Udt
t+dt
II
Рис. 1.22. Схема боковой разгрузки в сходящейся сферической ударной волне.
Для случаев, когда движение фронта определено, U, С и D известны как
функции от г, и по A.48) может быть вычислен ф. Для очень сильной волны,
угол разгрузки которой близок к предельному,
'
т..
ф = .
In
A.48')
Волна, несущая разгрузку, есть волна, разрежения и давление за ее
фронтом не может убывать скачком. Соответственно этому, фронт волны
в той точке, куда дошла разгрузка, не терпит излома, а лишь изгиб. (Так же,
как на рис. 1.20).

1.8. Детонационная волна
Детонационная волна представляет собой ударную волну, на фронте
которой происходит химическая реакция с выделением тепла. Причиной, воз-
возбуждающей химическую реакцию на фронте, обычно является нагревание
взрывчатого вещества (ВВ), сопровождающее его ударное сжатие.
Для детонационной волны справедливы те же формулы, следующие
из законов сохранения массы и импульса, что и для ударной волны, т. е.
UPZ9JLAV
D p	AV0
В формуле, описывающей закон сохранения энергии на фронте
волны, дополнительно должно быть учтено выделение энергии за счет хими-
химической реакции:
te = q'--(Po+P)AV,	A.49)
здесь q' — калорийность ВВ (количество энергии на единицу массы).
Если известно уравнение состояния продуктов взрыва (ПВ), т. е.
известен вид e(P,V), то уравнение A.49) позволяет построить в плоскости
(P,V) кривую возможных состояний на фронте детонационной волны. Одна-
Однако, и не обращаясь к какому-либо конкретному виду уравнения состояния,
можно отметить ряд важных свойств детонационных волн.
Ясно, что интенсивность детонационной волны можно сделать сколь
угодно большой, например, за счет удара по ВВ достаточно быстро движу-
движущимся поршнем. При уменьшении скорости поршня ослабевает и создаваемая
им детонационная волна; однако, даже при полном отсутствии подпора со
стороны поршня, детонационная волна в ВВ распространяется стационарно и
сохраняет конечную интенсивность. Такие детонационные волны называются
нормальными.
Если на фронте волны при отсутствии подпора сзади U + С > D , то
эту волну будет догонять идущее сзади разрежение, и давление на фронте
волны будет убывать до тех пор, пока это разрежение перестанет догонять
фронт, т. е. будет U + С = D .
Жуге полагал, что на фронте нормальной детонационной волны
строго выполняется соотношение
U + C=D.	A.50)
4*

Ознакомимся сначала со свойствами детонационной волны, удов-
удовлетворяющей условию Жуге, а затем покажем, что это условие действительно
выполняется.
Условие Жуге позволяет указать ту точку на кривой возможных
состояний A49), которая соответствует нормальной детонационной волне.
Рассмотрим это подробнее.
ы /1 cm	U С	' U р-ро , V	С V
Из A.50) получим —н	= 1, но — =	= 1	, т. е. — -^-.
D D
D
D Vn
Далее С2 =1^1 =
dp)s \dVJs
дР
V2 и D2 =-Vr
АР
AV
, т.е.
dVJs
AV
откуда
дР_
3V
АР
A.51)
т. е. в плоскости (P,V) луч, соединяющий начальное состояние с точкой Жуге,
имеет тот же наклон, что и касательная к адиабате Пуассона, проходящей
через эту точку (рис. 1.23).
Рассмотрим далее точку, где аналогичный луч касается кривой HD,
соответствующей возможным состояниям на фронте детонационной волны.
Наклон этой кривой найдем, дифференцируя A.49) по V.
dVJ,
dV
Ho
dVJ
H[}
,т.е.
dP^j	P | IT fdS

p I,
о
Рис. 1.23. Взаимное расположение адиабат Гюгонио (Н) и Пуассона (?), проведенных
из точки Жуге, и кривой (НD ) возможных состояний на фронте детонационной волны.
В точке касания луча и кривой HD :
dV) H
¦, т. е.
= 0,
A.52)
а это означает, что кривая HD в этой точке касается адиабаты Пуассона.
В самом деле, на адиабате Пуассона S = const, т. е.
=0.
A.53)
Уравнения A.52) и A.53) можно записать так:
(*.] J«L) (IE.) =o
\dV)P \dP)v\dV)H
— + — — = °>

откуда и получаем
I—I =1—)
V)
j,
Таким образом, в той точке, где луч касается кривой HD, эта кривая
касается адиабаты Пуассона Т. Выше мы показали: из условия Жуге следует,
что луч касается адиабаты Пуассона A.51). Таким образом, в точке Жуге име-
имеет место касание луча, адиабаты Пуассона и линии HD возможных сос-
состояний на фронте детонационной волны.
Очевидно, что и ударная адиабата Н, описывающая ударное сжатие
ПВ из состояния, соответствующего фронту нормальной детонационной
волны, также имеет ту же касательную, так как она касается адиабаты Пуас-
Пуассона (раздел 1.1).
Факт касания в точке Жуге кривых, соответствующих различным
процессам сжатия, сильно упрощает вопрос о выборе уравнения состояния
ПВ: для изэнтропического изменения объема и слабого ударного сжатия ПВ
нормальной и слабо пересжатой детонационных волн связь между Р и V прак-
практически одинакова, поэтому для описания этих процессов вместо полного
уравнения состояния P{V, T) можно пользоваться уравнением вида Р(р), на-
называемым иногда политропой.
Обычно политропу аппроксимируют степенной функцией
Р=Ар",
где А - постоянная для данного ВВ величина (подробнее раздел 1.9.2).
Точки, лежащие на HD выше точки Жуге, соответствуют пересжа-
пересжатым детонационным волнам. Для таких волн U + C > D, и при сильных пере-
пересжатиях (когда калорийность ВВ мала по сравнению с внутренней энергией
на фронте) эти волны являются просто ударными.
Пересжатые волны могут быть получены за счет удара чем-либо по
ВВ с достаточной скоростью, например, при переходе детонационной волны
из одного ВВ (более мощного) в другое. Другим важным случаем образования
пересжатых волн является случай сходящихся детонационных волн
(сферических, цилиндрических), где пересжатие возникает само собой без
внешнего воздействия, аналогичного действию поршня на ВВ.
Отметим факт слабой зависимости скорости волны от давления
I Д/^ АР
в точке Жуге. Напомним, что D = VnJ	,	 есть наклон луча. Из
•	V AV AV
рис. 1.23 ясно, что для точки Жуге этот наклон минимален, т. е. нормальный
режим детонации соответствует минимальной возможной скорости распро-
распространения волны.

В точке Жуге
АР
A.55)
Это обстоятельство делает практически невозможным измерение
давления в слабо пересжатых волнах по их скорости, так как она практически
не зависит от давления. С другой стороны, это оказывается иногда полезным
для получения гладкой формы фронта волны: даже неоднородная по дадле-
нию волна не имеет заметной тенденции к искривлению своего фронта, так
как скорость отдельных его участков остается примерно одинаковой незави-
независимо от давления.
Остановимся несколько подробнее на так называемом химическом,
пике давления. Химическая реакция при взрыве происходит не мгновенно,
а требует некоторого времени, соответственно этому и фронт детонационной
волны не является бесконечно узким, а представляет собой слой конечной
толщины, в котором эта реакция протекает. На рис. 1.24 показана кривая HD ,
соответствующая ПВ, там же показана кривая Но, описывающая ударное
сжатие самого ВВ, которая проходит через начальную точку Р=0, Vo и вообще
лежит ниже, чем HD .
Р ,
%
о	v0 v
Рис. 1.24. Ударная адиабата Шо\ для ВВ и кривая возможных состояний на фронте
детонационной волны (HD\ , J — точка Жуге.

Детонационная волна представляет собой ударную волну, на фронте
которой сжимается ВВ и начинается реакция взрыва, т. е. превращение ВВ в ПВ.
Эта ударная волна движется со скоростью детонации D, т. е. состо-
состояние на ее фронте лежит на том же луче, который проходит через точку Жуге,
откуда видно, что давление в сжатом ВВ больше, чем давление в ПВ.
Промежуточные состояния, соответствующие стадии, когда
прореагировала только часть ВВ, изображаются точками на прямой KJ. По
мере протекания реакции давление падает. Таким образом, на фронте детона-
детонационной волны существует зона химической реакции, давление в которой
повышено (отсюда и происходит термин химический пик).
Схема распределения давления за фронтом волны показана на
рис. 1.25. Резкой границы, где ВВ полностью превратилось в ПВ, может и не
быть, т. е. выгорание ВВ может стремиться к полному (или конечному) лишь
асимптотически. Отметим, что давление в химическом пике, так же как и ско-
скорость детонации, слабо зависит от степени пересжатия в точке Жуге:
—— = 0, что легко видно из рис. 1.24.
Р ,
ПВ
пв+вв
ВВ
Рис. 1.25. Распределение давления за фронтом детонационной волны.
Давление в химическом пике было обнаружено экспериментально
Я.Б. Зельдовичем и СМ. Когарко при детонации газовых смесей в трубе.
В опытах давление измерялось крешером. При обеднении детонирующей
смеси давление убывает, но крешер зарегистрировал его увеличение, что про-
произошло по причине расширения зоны химической реакции: в более бедной
смеси, где реакция идет медленнее, ширина этой зоны увеличивается,

и крешер успевает зарегистрировать давление в этой зоне, в то время, как
в более богатой смеси эта зона настолько узка, что крешер, ввиду своей инер-
инерционности, давления в ней зарегистрировать не может.
Вернемся к доказательству соотношения Жуге A.50). Оно было дано
Я.Б. Зельдовичем и его можно найти, например, в книге Я.Б. Зельдовича
и А.С. Компанейца [8].
Допустим, что на волне не выполнено условие A.50), т. е. она идет
не с минимальной возможной скоростью, а с некоторой другой скоростью,
которой соответствует луч А, 3, 2, 1 на рис. 1.24.
По мере протекания реакции точка, изображающая состояние ве-
вещества, смещается из 1 в 2 по лучу, в точке 2 заканчивается выделение энер-
энергии. Состояние за волной может соответствовать только точкам 2 или 3.
Покажем, что ни одно из этих состояний для стационарной свободно распро-
распространяющейся волны невозможно.
Точка 2
Покажем, что в этой точке U + C > D, т. е. волна подвержена раз-
разгрузке сзади и поэтому без подпора сзади не может быть стационарной. Для
этого рассмотрим ударную адиабату, выходящую из 3, и покажем предвари-
предварительно, что она проходит через точку 2. Уравнение этой адиабаты
(показанной на рис. 1.24 пунктиром) есть
что кратко запишем в виде F( P,V) = 0 .
Покажем, что F(P2 ,V2 )=0.
F(P2,V2) = s2 -e3 +I(P2 +JP3)(F2 -F3), но
Ръ	P2
Выражение, стоящее в фигурных скобках, равно нулю, т. к. точки 2
и 3 лежат на луче, выходящем из А. Таким образом, действительно,

F(P2,V2) = О, т. е. ПВ из состояния 3 можно перевести в состояние 2 ударной
волной. Скорость этой волны относительно вещества перед ней
Абсолютная скорость этой волны есть
Dl +U3 =^D, +f l-^-l D3 = A =D2 ,
т. е. она равна скорости всего процесса.
Таким образом, может быть стационарный процесс, в котором
состояние 2 получается ударным сжатием из 3, т. е. состояние 2 совпадает
с состоянием на фронте ударной волны, а на этом фронте U + C>D, что
и требовалось доказать.
Точка 3
Движение по лучу из 2 вниз соответствует увеличению энергии,
выделившейся при реакции, а по определению кривая 2 J 3 соответствует уже
полнолйу выделению энергии.
Таким образом, постепенный переход в точку 3 невозможен.
Скачкообразный переход из 2 в 3 без промежуточных состояний соответство-
соответствовал бы стационарно существующей волне разрежения, что также невозможно,
т. е. самопроизвольно распространяющаяся детонационная волна, соответст-
соответствующая точке 3 ("недосжатая" волна), также невозможна.
Итак, единственному возможному состоянию на фронте нормальной
детонационной волны соответствует точка J, где луч касается кривой воз-
возможных состояний и выполнено условие Жуге.
Тем самым факт выполнения условия Жуге U + С = D для нормаль-
нормальных детонационных волн доказан.
ОтМетим, что при принудительной скорости распространения фронта
химической реакции детонационная волна не является нормальной и условие
Жуге на ней не выполняется.
Рассмотрим в качестве примера вычисление параметров нормальной
детонационной волны в газовой смеси, ПВ которой являются идеальным
газом, т. е. получим известные формулы газовой детонации.

PV
В этом случае е-	; подставляя это в A.49) и считая Рп=0,
у-1
PV	Р
получаем 	-ч' +—(Уо~У)> откУДа следует в явном виде уравнение
у-1	2
кривой HD возможных состояний на фронте:
1
У-1
V V
О
Точку на этой кривой, соответствующую нормальной волне, найдем,
djP	P п	<л с/:ч
используя условие —=	. Подставляя сюда из A.56)
йР
получим величину сжатия на фронте:
? = JL = I±1.	A.57)
У Ро У
Подставляя это в A.56), находим выражение для давления на фронте
нормальной волны.
P = 2(y-\)poq'.	A.58)
Наконец, из формулы D=VOJ	с помощью A.57) и A.58) получаем
V AV
Массовая скорость за фронтом волны
U = — .
у + 1
A.60)
Обычно D»C0 (Со— скорость звука в газовой смеси до детонации). Этим
можно воспользоваться для оценки давления в химическом пике. Сжатие

с	7 Yo+1 ,
смеси в ударной волне близко к предельному яо=—^— (уо— для газовой
Уо-1
смеси до детонации).
Далее
_2
Рдет 2(у-1)ро9'	2(у-1)р0?'	уо+1
При у 0 - у —-^ = 2, т. е. давление в химическом пике вдвое превосходит
¦* дет
давление в точке Жуге.
1.9. Уравнение состояния продуктов взрыва
Уравнение состояния ПВ может быть приближенно получено из
опытных данных. Это уравнение необходимо для решения большинства задач
по газодинамике взрыва, причем, в зависимости от типа задачи, предъявляют-
предъявляются разные требования к точности формулы, аппроксимирующей уравнение
состояния ПВ.
Отметим некоторые из типичных задач.
Действие детонационной волны на преграду (удар по сплошному
металлу, разгон пластины) при условии, что разлет ПВ в сторону, противопо-
противоположную преграде, ничем не ограничен.
В этом случае наиболее существенна первая стадия, когда давление
на преграду велико (это давление формирует ударную волну в преграде
и сообщает ей большую часть энергии). Для решения таких задач, обычно,
достаточно правильно описать уравнение состояния ПВ при высоких давле-
давлениях (вблизи точки Жуге).
Неточности в уравнении при малых давлениях (в том числе
несоответствие полной работы расширения и калорийности) обычно несуще-
несущественны, в связи с чем при решении таких задач вместо полного уравнения
состояния можно использовать просто политропу.
Если пластина очень тонка и летит после взрыва со скоростью,
близкой к скорости свободного разлета ПВ, то уравнение должно быть точ-
точным и при низких давлениях (например, политропа, дающая правильное соот-
соответствие между калорийностью и полной работой расширения).
Взрыв ВВ в воздухе
Для изучения фугасного действия такого взрыва существенно,
главным образом, общее количество энергии, выделяющееся при взрыве,
поэтому для описания этого явления нет необходимости иметь уравнение

состояния, точное во всей области, а достаточно иметь уравнение, правильное
при низких давлениях и дающее правильное значение общей работы расширения.
Взрыв ВВ в полузамкнутом объеме, например, ускорение пластины
взрывом заряда, разлет которого в стороны и назад ограничен тяжелы-
тяжелыми стенками.
В этом случае может быть существенна как начальная стадия
(образование ударной волны в пластине и в стенках), так и последующая ста-
стадия, т. к. набор энергии пластиной будет происходить при значительном
расширении ПВ.
Количество ударных волн, проходящих по ПВ, в этом случае велико,
в связи с чем надо учитывать производимый ими нагрев ПВ, т. е. использова-
использование политропы вместо полного уравнения состояния здесь может оказаться
недостаточным.
Остановимся подробнее на некоторых из способов описания
уравнения состояния ПВ.
1.9.1. Степенное уравнение состояния ПВ
Как было показано выше, для многих процессов в ПВ связь между
давлением и плотностью практически одинакова. Эту связь удобно аппрокси-
аппроксимировать степенной функцией
Р=Ар",	A.61)
часто называемой степенным уравнением состояния ПВ.
Величины А и п можно подобрать так, чтобы для данного ВВ
(т. е. ВВ данного химического состава и начальной плотности) это уравнение
давало бы правильные значения параметров нормальной детонационной вол-
волны. При изменении начальной плотности ВВ, величины А и п, вообще говоря,
также изменяются.
Найдем связь между параметрами нормальной детонационной волны
для ПВ, подчиняющихся степенному уравнению состояния. На фронте такой
волны выполняется условие Жуге U + C = D, откуда
A.62)
Р	Р
Здесь: р — плотность на фронте нормальной детонационной волны,
роо — плотность ВВ, вообще говоря, меньшая, чем кристаллическая
плотность ВВ, обозначаемая в дальнейшем через pf;.

С другой стороны
С'=\—\ =
Р	Р	Р V р
Сравнивая С2 из A.62) и A.63), получаем ?>2|^-| =п^Ц 1-^-1 D2,
\ р ) р V р J
откуда
р _п +
Роо "
Далее
и
D
С
1
и + 1
и
D и + 1
A.64)
A.65)
A.66)
р=гио		A6?)
И + 1
Таким образом, для определения показателя п по опытным данным,
кроме величины D, надо знать одну из величин на фронте нормальной
волны — р, U или С.
Зная и, нетрудно определить постоянную А. В самом деле
р.2	/	лл
P=—QQ	, но с другой стороны Р - Ар" = А рпп	 , т. е.
и+1	V	и )
п+\
= Ap"oo\	 , откуда
V п )
-r-^r.	A-68)

При выбранных А и п уравнение A.61) дает правильные значения Р
и — = С2 в точке Жуге.
dp
При отражении детонационной волны от преграды давление в ПВ
изменяется в соответствии с тем, насколько они затормозятся или ускорятся
при ударе о преграду.
Найдем кривую, описывающую зависимость между давлением
и скоростью при отражении, называемую обычно кривой торможения.
На рис. 1.26 схематически показано отражение волны от преграды.
Преграда
Рис. 1.26. Отражение детонационной волны от преграды.
7 дР	п-\
При степенном уравнении состояния С = — = пАр , т. е.
др
2л
Р2 _ 92
С,
2	2
В акустическом приближении U2 +	С2 -Ul+	С,, откуда
«-1	и-1

Таким образом,
2п
! - 1 U, -U,
1 +
И-1
С/,
2п_
и-1
А так как Рх -
п1-
2и
PooD2
If
\
'Ъп
то
-1
_ J
d
л-1
И + 1
A.69)
Это и есть уравнение кривой торможения в акустическом приближении.
В случае п = 3
Г2 _
При отражении от жесткой стенки (или при столкновении одинако-
вых волн) U2 = 0 и — = 1—1 = 2,37, т. е. давление увеличивается в 2,37 раза.
При разлете в пустоту Р2 = 0, т. е. U2 - D .
Отметим, что наклон кривой торможения в точке, соответствующей
нормальной детонационной волне, есть
АР	в+1
Т77=~РС=
dU
D
7
и+1
т. е. в начале эта кривая является зеркальным отображением луча P=pooUD
возможных состояний на фронте волны с данным роо и D в плоскости (P,U)
(ниже рис. 1.30). Этот результат является общим и от вида уравнения
состояния не зависит.
Оценим ошибку, связанную с применением акустического прибли-
приближения вместо точных уравнений сохранения на отраженной волне при расче-
расчете кривых торможения, проведя точный расчет.

При отражении от жесткой стенки (U2 =0) уравнения сохранения
на отраженной волне имеют вид:
, „ U^ _P2-Pi
Алр P2
где D0Tp — скорость отраженной волны относительно ПВ перед ее фронтом.
Отсюда следует:
d d_~ тт2 Pi _п и + 1 Р2	Рг _PooDl 1 *
¦ - РОО —— • . ;2
Рг -Pi	« (и + lj Рг - Pi n + l » x-l
Pi
С другой стороны,
Р2-РЛ=РЛ\ А_1| =
Р, У и + 1
Pi
и + 1
Таким образом,
И + 1	И + 1 И JC — 1
откуда
Р	з
При и - 3 это дает ^ = 1,329, т. е. —- = 1,329 = 2,35, что лишь на ~1%
Р\
отличается от величины 2,37, вычисленной в акустическом приближении.
При отражении от податливой преграды отраженная волна еще
слабее и точность акустического приближения выше.
Для уравнения состояния ПВ Р = А р", считая его справедливым
до нулевого давления, можнр вычислить полный запас энергии ВВ, т. е. его
калорийность. Очевидно, что в этом случае, как и для идеального газа,
мы получим
ZJ
A.70)
Вычисленная так калорийность не совпадает с истинной, т. к. урав-
уравнение Р - Ар" при малых давлениях безусловно неточно (при р —> О ПВ
превращаются в обычный газ с у «1,3 в то время, как при больших давлениях
и « 3 ). Однако количественная разница оказывается небольшой.

Пример.
Взрывчатый материал ТГ 50/50 имеет D=7,55103 м/сек, ?/=2,07-103 м/сек
(опытные данные).
Вычисления по A.70) дают G'=4730 кдж/кг, что практически
совпадает с непосредственно определенной калорийностью ТГ 50/50.
Из этого примера видно, что степенное уравнение может дать
довольно точные результаты и в тех задачах, где важна общая калорийность
ВВ, например, в расчете фугасного действия ВВ при взрыве в воздухе.
1.9.2. Кубическое уравнение состояния ПВ
Решение большинства задач по газодинамике взрыва резко упро-
упрощается, когда п = 3 , т. е. когда уравнение состояния ПВ имеет вид:
Р=Ар3.	A.71)
Хорошее соответствие этого уравнения опыту и простоту решения задач
с ним впервые отметили Л.Д. Ландау и К.П. Станюкович.
Это упрощение связано с тем, что в этом случае инварианты Римана
2
имеют вид U±	С -U ±С , т. е. они совпадают с наклоном U±С линий
л-1
в (x,t), вдоль которых они сохраняются, и линии эти (характеристики) ока-
оказываются прямыми.
В следующей главе мы рассмотрим несколько задач, простое реше-
решение которых становится возможным только благодаря этому обстоятельству.
В связи с этим, естественно, встает вопрос о том, чтобы для тех
случаев, когда п незначительно отличается от 3, округлять его до 3 и одновре-
одновременно так изменять другие параметры ВВ, чтобы вносить наименьшую ошиб-
ошибку в решаемые задачи.
Наиболее характерной задачей является расчет действия волны на
преграду при высоких давлениях (отражение от металла, разгон пластины).
В этом случае желательно, чтобы упрощенное уравнение давало бы правиль-
правильное значение давления отражения волны от жесткой стенки, т. е. правильно
описывало бы действие волны на преграду.
Положив U2 = 0 в A.69), получим выражение для этого давления
1п
= РооР2
и + А 2л

Сохранить расчетное значение Ротр при замене п на 3 можно за счет
введения эффективного значения p00D2 вместо истинного:
A.72)
2«
Обычно бывает удобно вводить эффективную скорость детонации,
считая плотность ВВ равной истинной. В этом случае для вычисления эффек-
эффективной скорости детонации получаем формулу
D.
'эф 3
D
A.73)
Характер {Р, С/)-диаграмм для истинного и эффективного ВВ показан
на рис. 1.27.
Рис. 1.27. Кривые торможения продуктов взрыва для истинного и эффективного ВВ.
Совпадая при U=0, кривые торможения ПВ дальше несколько
расходятся. Точки J и J3^, соответствующие нормальной волне, также
не совпадают.

Мерой расхождения кривых торможения служит несовпадение
скоростей разлета ПВ ирая{Р = 0), рассчитанных для обоих ВВ:
К»)
эф _
D.
'эф
D.
'эф
U,
разл
п-\
¦ + -
П
-1 п + \
D Зи-1
A.74)
Значения
D
С/,
разл
и A.74), приведены в таблице 1.2.
для разных п, рассчитанные по A.73)
Таблица 1.2
и
2,0
2,5
3,0
3,5
Яэф
D
1,175
1,074
1,000
0,940
f/разл
0,703
0,868
1,000
1,130
Из таблицы 1.2 видно, что для п « 3 ± 0,3 величина
К-)*
С/,
еще
разл
мало отличается от единицы, т. е. кривые торможения истинного и эффектив-
эффективного ВВ не только совпадают в верхней точке, но и близки на всем протяже-
протяжении.
1.9.3. Экспериментальные методы определения параметров
детонационных волн
1.9.3.1. Рентгенографический метод
Рентгенографический метод, развитый В.А. Цукерманом с сотруд-
сотрудниками в 1948 г., заключается в мгновенном рентгенографировании детони-
детонирующего заряда.
В заряд ВВ вкладывались тонкие металлические фольги, видимые
на рентгеновских снимках (рис. 1.28). По смещению фольг на взрывном
снимке от их начального положения можно вычислить увеличение плотности
Р
ПВ по сравнению с плотностью ВВ, т. е.
или отношение массовой
Роо

и
скорости к волновой — и далее вычислить давление на фронте P=p(X)UD
и показатель п.
Заряд ВВ
Детонирующий
заряд ВВ
Рис. 1.28. Схема рентгенографического метода измерения параметров детонационной
волны.
Рентгеновский метод является наиболее прямым экспериментальным
методом, позволяющим наблюдать уплотнение ПВ на фронте, однако по ряду
причин он уступает в точности другим методам (влияние разлета ПВ в сторо-
сторону на движение фолы в направлении детонации, нечеткость снимков).
1.9.3.2. Метод торможения ПВ
Определение параметров детонационной волны на основании экспе-
экспериментальных данных по кривым торможения ПВ было развито Л.В. Альт-
шулером с сотрудниками в 1948 году.
В инертной пластине, лежащей на торце детонирующего заряда,
измеряется скорость ударной волны Д и скорость откола Ux (рис. 1.29).
ПВ, прилегающие после отражения к пластине, имеют ту же скорость
U = ~U, и то же давление, что и в пластине.
2
Р вычисляется по результатам измерений: />=р1 —- Д, где Ux
и Д — измеренные в опыте величины, р,— плотность металла.

Металлическая пластина
ПВ
ВВ
D
База измерения Dy
База измерения Ux
Рис. 1.29. Схема определения скорости ударной волны в металлической пластине
и скорости откола.
Таким образом, по результатам опыта в координатах (P,U) может
быть нанесена точка, соответствующая состоянию ПВ за фронтом отражен-
отраженной волны (рис. 1.30).
Нанеся на этом же рисунке кривые торможения для различных п,
можно определить, какой из них соответствует опытная точка, т. е. опреде-
определить п, а следовательно, и остальные параметры детонационной волны (U, р, Р).
Если давление при отражении меняется слабо, то неточности
в определении параметров детонации уменьшаются. Это использовал
Ю.Ф. Алексеев, ставя опыты с отражением волны от магния.
U
Рис. 1.30. Кривые торможения ПВ для различных п.

Практические трудности, связанные с этим методом, заключаются
во влиянии химического пика на ударную волну в пластине. Затруднения,
связанные с влиянием прочности материала на скорость откола в условиях
затухающей волны, практически удалось устранить, применяя пластину
с готовым отколом в виде тонкого слоя, приложенного к пластине справа и
отлетающего от нее без преодоления прочности.
/. 9. 3.3. Электромагнитный метод
Электромагнитный метод, разработанный Е.К. Завойским в 1948-49 гг.,
состоит в следующем. В заряд вкладывается П-образная металлическая лента
и весь заряд помещается в магнитное поле, нормальное к плоскости П (рис. 1.31).
ПВ
К осциллографу
Рис. 1.31. Схема электромагнитного метода определения параметров детонационной
волны.
По величине ЭДС, наводимой на участке АВ при его движении
вместе с ПВ и записанной на осциллографе, можно определить скорость ПВ,
а следовательно, и другие параметры детонационной волны.
Точность этого метода ограничена влиянием химического пика,
обтеканием ленты продуктами взрыва, их разлетом в стороны, а также нали-
наличием некоторой проводимости ПВ.
Электромагнитный метод так же, как и рентгеновский, в принципе,
позволяет измерить не только состояние на фронте волны, но и получить не-
непрерывную запись изменения скорости данной частицы ПВ со временем.
1.10. Детонация пористых ВВ
Приблизительно верные результаты для зависимостей параметров
детонации от плотности ВВ можно получить, если считать, что политропа
Р = Ар" является уравнением состояния ПВ.
Подчеркнем, что это предположение является дополнительным к тем
предположениям, на основании которых уравнение состояния ПВ для ВВ дан-
данной плотности заменялось политропой. Новое предположение заключается

в том, что для всех процессов в ПВ давление считается однозначной функцией от
плотности, что может быть лишь в случае, если тепловое давление отсутствует.
Фактически, для конденсированных ВВ основную долю давления
составляет упругое давление, т. е. действительно Р является почти однознач-
однозначной функцией от р.
Сделав предположение, что Р = Ар" есть полное уравнение сос-
состояния, относящееся к ВВ различных плотностей, найдем зависимость пара-
параметров детонационной волны от плотности ВВ.
На фронте нормальной детонационной волны*^
DJ	P.
С другой стороны,
-яг	15 т. е.
Рн	Рн	Рн	V Р„
2
^ Рн У	Рн
Отсюда,
-^- = —,	A.75)
Роо и
т. е. степень сжатия на фронте детонационной волны от плотности ВВ
не зависит.
Таким образом,
— = т»	AЛ6)
Рн	*
где рНо — плотность на фронте в сплошном ВВ (роо =р0 или А: = 1), и
у1-^-	(L77)
Далее,т. к. Р = 2оМ ,т0 (аУ = Л_._Е^ = ^,т. е.
» + 1	KDnJ Pno Роо к"'1'
$) Следуя автору, принадлежность параметров фронту нормальной детонационной
волны систематически отмечаем индексом "н" только в этом разделе. В остальных
местах во избежание загромождения формул факт этой "принадлежности" оговарива-
оговаривается в тексте; индексация производится только в случае особой необходимости.
(Прим. ред.).

D, 1 dln?H л-1	,, _„
—?- =	 или 	**- =	,	A.78)
DHo rf	dlnp00 2
а также
Un 2=1
"° к 2
dlnD
Численная разница между опытным значением 	 и вычис-
d In poo
ленным по A.78), (т. е. в предположении об отсутствии теплового давления)
обычно не очень велика, что подтверждает предположение о преобладании
упругого давления над тепловым в сильно сжатых ВВ (например, для взрыв-
взрывчатого состава ТГ опытное значение 	 и вычисленное по A.78) прак-
dlp
тически совпадают).
1.11. Детонация смесей ВВ
1.11.1. ВВ с инертной примесью
Рассмотрим детонацию смеси ВВ с инертным несжимаемым веществом.
Обозначим плотность собственно ВВ —р01
примеси	— рО2,
смеси ВВ с примесью	— ро,
собственно ПВ	— р,,
ПВ с примесью	— р,
массовую долю ВВ в смеси	— а .
Объем смеси есть сумма объемов компонентов, т. е. у = 1/х +1/ или
1 ~ 1 ™
A.79)
Р Pi PO2
Давление в ПВ Р = Ар".
Квадрат скорости звука смеси
2 dP dP dpi nP dp,
(_- = — = ¦
dp dp, dp p, dp
Из A.79) получаем	= —-,т. е. С2 =	^г- и Р =
Р dp, p,	р, ар

С другой стороны, в точке Жуге С = D-U = ?>—, т. е.
Р
ар2
а I р
что после подстановки A.79) и некоторых упрощений дает
Pi =я + 1
Таким образом, плотность ПВ на фронте волны в смеси та
и в чистом ВВ, следовательно, и давления на фронте в обоих
одинаковы.
Найдем далее выражение для скорости детонации смеси
Р = РоШ = PoZJ-| =
-^-j , откуда
D2 =
и отношение скорости детонации смеси и чистого ВВ
D
Аэв '
Poi
Po
n
1-
1
+
f
1
p
Вычислим входящие сюда выражения:
РО
РО2 )
а 1-а
	1
а -
_PO2 _
Pi
а
Poi
a ' 1-a
	I
a 1-a
— л
а 1-а
PO2
PO2
РО2

Подставив это в выражение для скорости детонации, получаем
D
зв
a
„ 1-a рО1 -Уда ,
Ho	^-^- = —^, здесь
a pO2 %,
взрыва и
a =
/и,
вв
— объемы ВВ и инертной примеси до
1
Poi
таким образом,
D
Д
1 + -
'о\
A.81)
вв
1 + -
Р02
%\ Poi
Характер зависимости
'вв
от параметров смеси показан на
рис. 1.32. Скорость детонации смеси ВВ с несжимаемым инертом может быть
как меньше, так и больше скорости детонации чистого ВВ.
D
Рис. 1.32. Зависимость скорости детонации смеси ВВ с инертом от состава смеси.
Poi' ^01 — параметры ВВ; р02, /&ог — параметры инерта.

Необходимо отметить, что даже в случае строгого соблюдения
уравнения состояния ПВ Р = Ар" при детонации смеси ВВ с инертом вблизи
фронта может существовать зона повышенного давления, в которой дополни-
дополнительное давление создается колебанием твердых частиц инерта (их тепловым
движением) в окружающей их упругой среде — ПВ. После затухания колеба-
колебаний энергия этого колебательного движения перейдет в ПВ в виде тепла.
Установившееся при этом состояние смеси ПВ и инерта, в котором давление
однозначно связано с плотностью, соответствует точке Жуге.
Полученные результаты, конечно, неприменимы к смесям, содер-
содержащим большой процент примеси, т. к. в этом случае существенна сжимае-
сжимаемость примеси, неучтенная в выводе.
1.11.2. Смеси различных ВВ
Рассмотрим детонацию смеси двух ВВ, каждое из которых
подчиняется степенному уравнению состояния:
уп\	у 
Составим уравнение состояния ПВ смеси, считая, что компоненты ее
образуют механическую смесь, т. е. не взаимодействуют химически и не дают
эффекта упаковки, аналогично тому, что происходит при смешивании спирта
с водой (объем смеси меньше суммы объемов компонент). В этих
предположениях
где а — массовая доля 1-го ВВ или
1	1
A.82)
Отсюда видно, что, если пхфп2, то уравнение состояния смеси
не является обычным степенным уравнением, т. е. не имеет вида Р = Ар" .
Для 1-го ВВ AlP* =Рн,,т.е.
a,yJ =o
1
АЛ*	Рщ "¦ а ГО* а щ РЯЛ*

и аналогично для 2-го ВВ, т. е.
у_ а п\ ГРн-У' | 1~а "г ГРнЛ
РО1 Л,+К Р)	РО2 »1+А Р )
Для нормальной детонации смеси выполняется условие Жуге
^ р ™P*L = v-vn.
dV V-Vn
dV
dP
Подставив сюда V и ——, найденное из A.83), получаем
A.83)
РО! «1
a «j
Poi "И
1-а 1
РО2 «2 +
РО2 «2
Р01 РО2
-, откуда
а
Poi
-1
-A-а)
Р02
-1
ИЛИ
-1
Л,Ь
а К
01
-1
A.84)
где Fo [ и FO2 — начальные удельные объемы компонент смеси.
В этом уравнении одно неизвестное — Р. Решив его (методом
попыток), можно найти давление нормальной детонационной волны в смеси,
после чего нетрудно вычислить плотность смеси за волной р = — (по 1.83)
и далее определить скорость детонации
Pol 1~

Так же, как и в случае детонации смеси ВВ с инертом, вблизи фронта
может устанавливаться зона повышенного давления, в которой существуют
мелкие волны сжатия и разрежения, возникшие вследствие расширения при
детонации кристалликов одного ВВ за счет другого.
После превращения энергии этих волн в тепло устанавливается
состояние, соответствующее точке Жуге в смеси.
В случае, если щ = п2, уравнение состояния смеси также степенное
¦ = aF,+(l-a)K2 =¦
п
V"
i	i
1
рп
1
аЛ" + {\-а)А"
¦, откуда
Р",т.е.
А =
аА"
Но А =
D2 n"
Ро (и-
и аналогично для Ах и А2, т. е.
D2 nn
PV
л+1
а
n-\
Pox (
2
D"
n-\
Po"
«+1
И + 1)"
2
A"
Poi
D"	n
Poi
2_
D"
Ро
, откуда
Изложенный вывод этой формулы принадлежит М.Н. Нечаеву. Аналогичный
вид имеет формула для смеси большего числа компонент.

1.12. Ударная волна в теплопроводном газе
Если газ нетеплопроводен, то на ударной волне в нем граничат
области с разной температурой; если же теплопроводность есть, то скачок
температур размывается, и волна приобретает более сложную структуру. Как
увидим, другие величины (плотность, давление, скорость) размываются не
всегда и не полностью.
Рассмотрим ударную волну в теплопроводном газе в координатах,
где фронт ее покоится, т. е. где явление стационарно. Уравнения сохранения
массы, импульса и энергии имеют вид
= poUo;
P + pU2=Po+poU2o;
^j + Q* = P0U0
A.85)
Индексом нуль отмечены величины в невозмущенном потоке перед волной.
Поток тепла Q = -ж —.
Ах
Будем далее рассматривать идеальный газ, для которого
и внутренняя энергия
р(у -
Введя безразмерные величины
U
ио
и выражая х и q* через С, из A.85), получим:
М

Poco
A.86)
A.87)

Тепловой поток обращается в нуль в невозмущенном потоке газа (при С,=1),
а также за волной, где 	= 0. При этом в A.87) обращается в нуль выраже-
dx
ние во второй скобке, откуда получаем конечное значение скорости
Кривая t(Q имеет максимум при
1+уМ2
2уМ2
A.88)
A.89)
Величина С,т может быть как меньше, так и больше, чем С,к . Схемати-
Схематически зависимость т и q* от С, для этих двух случаев показана на рис. 1.33.
а
Рис. 1.33. К вычислению профиля волны с теплопроводностью.
а — случай частичного размытия скачка.
в — случай полного размытия скачка.
В первом случае С,т >С,к ив конечное состояние можно попасть
только скачком от С,х до С,к. В самом деле, подход к К по кривой x(Q справа
сопровождался бы понижением температуры, т. е. было бы —<0
cLAT

(для потока вправо) и q* > О, что противоречит рисунку, где q* < О . Таким
образом, плавный подход к К справа невозможен; то же для движения слева.
Остается возможность попасть туда только скачком при неизменной темпера-
температуре, т. е. из В в К. (Эти рассуждения принадлежат Н.А. Дмитриеву).
Во втором случае, когда С,т < С,к, конечное состояние достигается
без скачков.
Условия размытия скачка С,т <С,к или
1 1,2	1 + ^-М
откуда
2уЛ/<	У±1М2
2
М2C-у)<3--.	A.90)
Y
При у > 3 это выполняется при любом М, т. е. любая волна размывается
полностью. При у < 3 размываются только слабые волны, а в сильных сохра-
сохраняются скачки. Критической силе волны, разграничивающей в этом случае
оба режима, соответствует отношение давлений
^- = 111.	A.91)
Ро 3-У
Ясно, что величина скачка от теплопроводности SE не зависит, что заранее
очевидно не было, но с ростом ае увеличивается ширина зоны возмущения
перед скачком (см. ниже).
Найдем состояние перед скачком.
Кривая t(Q симметрична относительно своей вершины, т. е.
———=Cm > откуда С,х =2^т -С1к .
В частности, для сильной волны (М -> оо), когда
получаем ^,	 или плотность перед скачком
у + 1
6,=-1=
1 С, 2
б Заг.

и за ним
8* =
у +1
Характер распределения плотности по х показан на рис. 1.34.
X
Рис. 1.34. Распределение плотности в сильной ударной волне с теплопроводностью.
Распределение С, по х можно построить с помощью A.88), подставив туда
dx
— из A.86). Опуская некоторые выкладки, приводим их результат
d
х--
PoC'o
Если ае постоянна, то при С,—>1 х—»<х>, т. е. возмущение выбегает вперед
неограниченно далеко, эффективная ширина его пропорциональна ае. В этом
возмущении, называемом иногда тепловой волной, идут не только тепловые
процессы, но достигается конечное сжатие и изменение скорости.
Аналогичное рассмотрение показывает, что если ае вместе с тем-
температурой сильно убывает, как например для лучистой теплопроводности
с пробегом l=U-Q-, то ширина тепловой волны В оказывается конечной.
Р
В частности, для сильной волны в газе с у = 1,4 получается
где о"' — постоянная Стефана-Больцмана, D — скорость волны.

ГЛАВА 2
Одномерное нестационарное движение
2.1. Уравнения движения
Движение называется одномерным, если все скорости параллельны
и при данном х все величины одинаковы. Иногда одномерным называют вся-
всякое движение, где все зависит только от одной координаты, например, радиу-
радиуса г, что, очевидно, не соответствует общепринятой терминологии. Следуя
К.П. Станюковичу, такое движение правильнее называть одноразмерным.
Рис. 2.1. К выводу уравнения сохранения массы.
Уравнения движения есть дифференциальные уравнения, выражаю-
выражающие законы сохранения массы и импульса.
Изменение количества вещества в элементе объема, закрепленном
относительно оси координат, есть
ANAx — At = (plU1-p2U2 )ANAt, откуда
dt
dt
Ax
dx
или
dp TTdp dU n
—+ [/ —+ p — = 0.
dt dx dx
B.1)

Рис. 2.2. К выводу уравнения сохранения импульса.
Изменение количества движения массы Am, движущейся в потоке
при разности давления с двух сторон Рх - Р2, есть
—
dt
дх
Но Am = ANAxp,T.e. р	+ — = 0.
dt дх
dU dU TTdU
С учетом	=	1- и	 получаем
dt dt дх
dt
+
дх р дх
B.2)
Если течение изэнтропическое, т. е. энтропия всех частиц одинакова
и со временем не меняется, то давление зависит только от плотности и
5P_dP <Эр 25р
дх dp дх дх
В этом случае B.2) имеет вид
dt
дх р дх
B.2')
Если энтропия в каждой частице со временем не изменяется, но
в разных частицах она имеет разные значения, то к двум уравнениям должно
быть добавлено уравнение сохранения энтропии в частице
dS п	dS TTdS п
— = 0 или — + U— = 0.
dt	dt dx
B.3)

(При наличии теплопроводности энтропия в каждой частице не сохраняется
и — выражается через теплопроводность. То же для случая энерговыделения).
dt
В случае степенного уравнения состояния
Р = А{рп-рпо), С2 =— = пАрп~х или
др
Qn-\
Подставив это в уравнения сохранения массы и импульса, получаем
n-l\dt дх) дх
dt дх и-1 дх
B.4)
B.5)
Вместо U и С оказывается удобно ввести другие переменные.
Сложим и вычтем уравнения B.4) и B.5), получим:
dt
n-\
дх
Обозначив
получим
дА п-\
и-1
da
dt
dp
dt
=0;
=0,
U-C
дхУ и-1
B.6)
B.7)

da I	'	,ч
где — — производная от а по t, взятая вдоль линии в плоскости (x,t),
d' \
\u+c
тт „	dp
наклон которой есть U + С, и аналогично ——
и-с
Величина a = U+
2С
п-\
сохраняет постоянное значение вдоль линии
в плоскости (*,/) с наклоном — = U + C. Эта линия называется
At
а -характеристикой.
Р = ?/	С — сохраняется вдоль линии с наклоном — = U-С,
п-\	dt
называемой р-характеристикой.
Величины а и Р называются инвариантами Римана.
Величины U + C и U-C есть скорости распространения звука
в среде, движущейся со скоростью U, т. е. а и Р сохраняются на плоскостях,
движущихся вдоль оси л: со скоростями звука (эти плоскости могут быть
фронтами звуковых волн).
Отметим отдельно важный для применения случай кубического
уравнения состояния, т. е. п = 3 .
В этом случае
п-\
= 1, a = U+C, $ = U-С и инварианты Римана
совпадают со скоростями распространения характеристик, т. е. линий, на ко-
которых они сохраняются, и уравнения движения имеют простой вид:
9а 9а _
—+а—=0;
dt дх
dt дх
B.8)
или
da
dt
= 0, *
dt
= 0.
В этом частном случае вдоль а-характеристики сохраняется
величина U + C, т. е. наклон этой характеристики, поэтому а -харак-
-характеристики — прямые линии. То же для р-характеристик. (В общем случае
при п ф 3 a - и р-характеристики кривые).

Зная заранее, что при и = 3 семейства а- и р-характеристик есть
семейства прямых линий, удается сравнительно просто решить ряд важных
задач для одномерного течения.
2.2. Плоская детонационная волна
Рассмотрим движение за плоской детонационной волной, движу-
движущейся направо и инициированной у левого открытого конца заряда (рис. 2.3).
Уравнение состояния ПВ считаем кубическим.
фронт
разлета ПВ
р=const
ВВ
Направление
детонации
Рис. 2.3. (x,t) -диаграмма плоской детонационной волны, инициированной у откры-
открытого конца заряда.
Вблизи точки 0 величина a = U + C имеет всевозможные значения
от а = ?/н+СН =?>до а = ?/раш+0<0, где С/разг1 — скорость разлета ПВ
назад (в пустоту) от плоскости инициирования. Следовательно, а-характе-
а-характеристики выходят веером из точки 0, и вдоль каждой из них а сохраняет
постоянное значение
a = U + C = — = —¦> таким образом,
At t
U + C=-.
B.9)
Определим величину Р = U - С .

На фронте детонационной волны
Р-характеристики уходят от фронта под конечным углом назад, на каждой из
них в начале Р =	, а т. к. вдоль р-характеристики р постоянно, то и во
всей плоскости (х, t) р = const =	или
B.10)
Из B.9) и B.10) получаем
2t 4
It 4
B.11)
Если волна прошла путь L, то / = — и
2\L 2.
ЩЛ
2U 2
B.12)
С = 0 (Р = 0) при х =	, на этой границе U = С/разл =	.
В интервале между фронтом волны и фронтом разлета Un С зависят
от х линейно (рис. 2.4). Из этого примера видно, что уменьшение давления за
фронтом детонационной волны тем быстрее, чем меньший путь прошла эта
волна. В пределе, когда волна пройдет очень большой путь, наклон кривых
U(x) и С(х) уменьшится до нуля и мы получим то, что в практике часто на-
называют волной-ступенькой.
Полученное решение близко к истинному в области больших
давлений, где п « 3 (исключая химический пик), и менее точно вблизи фрон-
фронта разлета, где ПВ разрежены и уравнение состояния их должно быть близким
к уравнению состояния идеального газа с у «1,3 .

с/, с ,
Рис. 2.4. Распределения U и С за фронтом детонационной волны, инициированной
у открытого конца заряда (п = 3).
В применениях, как правило, нужно точнее знать то, что делается
в области высоких давлений; приведенное решение описывает это сравни-
сравнительно точно.
Рассмотрим теперь движение за детонационной волной, иницииро-
инициированной не у открытого конца заряда, а у жесткой стенки.
Легко видеть, что найденное ранее решение B.12) для этого случая
не годится. В самом деле, при х = 0 оно дает U	, в то время как
4
на стенке должно выполняться условие U = 0. Для этого случая нужно соста-
составить новое решение.
Видно, что основные уравнения B.8), кроме найденного решения,
имеют и тривиальное решение а = const, C=const, или U = const, С = const.
Эти решения описывают движение массы как целого с постоянной скоростью
или покой.
Однако это решение также не описывает поставленной задачи,
тт D
т. к. в ней мы имеем разные скорости в разных местах: на фронте и = —,
у стенки U - 0.
Из найденных двух решений основных уравнений можно составить
полное решение задачи о распространении волны от жесткой стенки.

Построение такого решения показано на рис. 2.5, на котором видно, что пол-
L
ное решение получается путем сочленения двух решении при х = —:
при х < — U = О, С = —;
при х >
Ъ 4
2/
D
2
0
1
1
L j
4D
D
4
L x
Рис. 2.5. Распределение ?/ и С за фронтом детонационной волны, инициированной
у неподвижной жесткой стенки (п - 3 ).
U и С, изображенные на графике, действительно, являются решениями;
в самом деле, каждая пара формул удовлетворяет уравнениям газовой дина-
,тт D
мики, а решение в целом удовлетворяет граничным условиям задачи (U = —
4
на фронте и U = 0 на стенке).
Для ВВ с л*3 также может быть решена задача о движении ПВ
за детонационной волной. Решение это следует искать, сделав предположе-
ние, что U и С зависят только от — (сам факт нахождения решения подтвер-
подтверждает правильность сделанного предположения). Для случая инициирования
заряда от свободного конца решение имеет вид
2D fx 1
и + llz, 2
B.13)
и +1 V L n-h
т. е. так же, как и при л = 3, ?/ и С зависят от jc линейно.

23. Затухание плоской ударной волны
Если за фронтом ударной волны давление меньше, чем на ее фронте,
то это разрежение, движущееся со скоростью U + C > D, догоняет фронт
и ведет к уменьшению давления на фронте, к затуханию ударной волны. Если
уменьшения давления за фронтом нет, то нет и затухания волны. Практически
важный случай затухания ударной волны представляет ударная волна
в инертном веществе, вызванная ударом плоской детонационной волны. Так
как по измерениям такой волны в инертном веществе судят об уравнении
состояния ПВ, то в результаты измерения надо вносить поправку на затухание
волны. Рассмотрим вычисление этой поправки в простейшем случае, когда
уравнения состояния ПВ и металла кубические.
Задачу будем решать в акустическом приближении. Рассмотрим
затухание ударной волны в металле, вызванной ударом плоской детонацион-
детонационной волны, прошедшей по заряду путь L (рис. 2.6). Найдем по какому закону
уменьшается массовая скорость на фронте ударной волны 3—4 в металле, т. е.
dt/|
вычислим величину
ПВ
\
\
о
Металл
1 1
'А
Направление
детонации ВВ
Металл
Рис. 2.6. Удар о металлическую преграду плоской детонационной волны в заряде ко-
конечной длины.
Ударная волна в металле затухает.

Вблизи точки О в области 1 ?/и С могут быть записаны в виде
v-u
Обозначим частные производные
dt ' etc
дС
+ dx
dU
dx
Ax + —
dt
¦Ax-f
короче:
dt
dU
' dt
¦At,
At.
dU
dx
Тогда вблизи точки О получаем:
в области 1
С = СХ + axAt + вх&х,
U = Ux + kxAt + тпхАх
и, аналогично, в областях 2 и 3.
Так как движение ПВ за детонационной волной определено, то в обла-
области 1 известны Uи С, а также их производные al,el,kl,ml. Остается 8 неизвест-
неизвестных величин с^, Oj, в2, e3, k2, к3, щ, тъ.
Покажем сначала откуда можно получить 8 уравнений, необходимых
для определения этих величин, а затем найдем эти уравнения.
Первые четыре уравнения дают уравнения движения — два для
области 2 и два для области 3.
Пятое и шестое уравнения дают условия равенства давления
и скорости на границе 2-3 (ПВ-металл).
Седьмое уравнение дает условие сохранения а при переходе через
фронт 1—2 ударной волны в ПВ, восьмое — сохранение Р при переходе через
фронт 3—4 ударной волны в металле (задачу решаем в акустическом
приближении).
Найдем все эти уравнения.
Уравнения движения имеют вид
dt дх дх
+u+c
dt дх дх

Подставив сюда U, С и их производные для областей 2 и 3, получаем перв
четыре уравнения:
1)	а2 +U2e2 +С2т2 = О ;
2)	к2 +U2m2 +С2в2 =0;
3)	аг +иъвъ +Сътг =0;
4)	къ + и
На линии 2-3 U2=Ui, следовательно—— =—— или
+ Съвъ = 0 .
dU2
dt
dU,
2,3
dt
dt
дх dt
дх
2,3
или
5) к2 + U2m2 = къ
На линии 2-3 также Р2 = Ръ или АХС\ = А2 (С33 -Съо).
Дифференцируя последнее выражение по t вдоль 2-3, получаем
АгЪС
dC,
,2dC3
2,3
dt
или
2,3
6) А?22(а2
На линии 1-2 а,з а2 или ?/, + С, = U2 + С2, откуда
dUx _ dUx dCx _ dCx dU2 n dU2 dC2 n dC2
1 ' T>i2^rL+^r+l>n—±=—2-+Dl2--±+—Z-+Dl2—Z- или
дх dt " a^ ar
dx dt
7) ?, + DX2ml +ax + Dnex -k2+ DX2m2 +a2 + DX2e2.
Напомним, что в акустическом приближении
DX2=±(UX-CX+U2-C2).
Наконец, на линии 3-4 C3 = Р4, что дает С/3 - С3 = Со (поскольку f/4

Отсюда имеем
8) k3+D3Arn3-a3-D34e3=0.
В акустическом приближении
и3 +с3) =
Таким образом, получена полная система уравнений.
Величины кх,тх,ах и в,, характеризующие распределение Uи С за
фронтом падающей детонационной волны, находятся просто.
Для такой волны известно точное решение
ТТ х D „ х D
U =	; С-	1- —, откуда
It 4	2f 4
= 5С =	х	L _ D2 .
°Х~ dt~ 2t2~ (ТЛ2~ 2L'
Jl
_ дС _ J_ _ ?>
1 дх It 2L
D2	D
а также к, =	, /и, = — .
1 2L l 2L
Решив найденные 8 уравнений, можно найти к3, щ и искомую величину
13,4
dU3 dU3 d<_
9дс 9? dx
к
з
3,4
Проделав все решение, получаем окончательно
9
dx
D 16VCOJ bj
3,4 ^ 1._Po_.Q
Ровв
где ровв — плотность ВВ,

ро — начальная плотность металла,
Ро '
5 Р2
Ровв
Потеря скорости на фронте волны в инертном веществе Д С/=-const
Ах
где Ах — путь волны в инертном веществе,
L — длина заряда ВВ.
Экспериментаторы обычно пользуются пропорциональностью AU
Ах	Ах
и —, проводя опыты с разными значениями — (т. е. изменяя толщину пла-
Lf	Li
стины Ах или длину заряда Ь) и строя линейную зависимость измеренной
величины U от — .
L
Экстраполируя U по прямой к — = 0, можно найти истинную
Li
скорость инертного вещества, соответствующую незатухшей волне (рис. 2.7).
U
С/и,
Экспериментальные точки
АХ
L
Рис. 2.7. Экспериментальное определение параметров ударной волны в металле,
вызванной ударом детонационной волны.
Ах
Экстраполяцией в =¦ = 0 определяется начальное значение ?/и
L

Аналогичное решение для затухания волны в металле, вызванной
ударом расходящейся сферической детонационной волны, приводит к сле-
следующему результату:
Л?/ = -const J— .
То есть на первых участках пути ударная волна ослабевает очень
быстро. Это является следствием того, что в расходящейся детонационной
волне давление за фронтом волны также очень быстро убывает (как показал
Я.Б. Зельдович, &Р~.\— ).
V *-*
2.4. Дробление вещества ударной волной (откол)
При выходе ударной волны на свободную поверхность массовая
скорость металла приблизительно удваивается, и в нем начинает распростра-
распространяться волна разрежения. В некоторых случаях движение этой волны разре-
разрежения сопровождается образованием разрывов в материале или даже его
дроблением.
Рассмотрим подробнее это явление, причем для простоты проделаем
это на примере кубического уравнения состояния, для которого а - и р—характе-
р—характеристики — прямые.
Рассмотрение проводится в акустическом приближении.
2.4.1. Поршень, движущийся с постоянной скоростью
Рассмотрим движение бруса, левый конец которого внезапно приво-
приводится в движение поршнем, движущимся в дальнейшем с постоянной скоро-
скоростью Un. Боковые разгрузки не рассматриваем (считаем брусок достаточно
широким). По бруску направо пойдет ударная волна, за фронтом которой дав-
давление и скорость постоянны. На рис. 2.8 сверху показана картина движения
в координатах (х, t).
В области 1 р, =ро =UO -Со =-Со, т. е. Pj =-Co =const. В точке А
выхода волны на поверхность давление внезапно уменьшается до нуля, т. е.
плотность становится равной начальной, а С =С0. При этом Р скачком
приобретает новое значение
Рг = ^разл ~ Сразл = 2?/фр - Со ,
где С/разл и Сразл — скорость вещества и скорость звука в разгруженной
("разлетающейся") части бруса.

tli
Ударная
""" волна
h'.
BP
BP— волна разрежения
2Un
2Ц, __
Рис. 2.8. Явление откола вследствие прохождения по бруску волны, вызванной рав-
равномерным движением поршня.
Из точки А выходит веер C -характеристик со значениями C от
р,=-со
На участке (Ш скорость и давление вещества на поршне остаются
постоянными, следовательно, а-характеристики, выходящие с этой линии,
изображаются семейством параллельных прямых с наклоном
Но ?/фр -Сфр =UO —Со =—Со, что после подстановки в а, дает
а,=2С/фр+С0.
7 Зи. 3066

На линии AF, т. е. на задней границе волны разрежения
U = 2Un и С=СО.
Правее брусок полностью разгружен и движется вперед как целое со
скоростью
С/ = 2С/фр=2С/п.
Рассмотрим теперь, как будет двигаться левая часть бруска, по
которой проходит волна разрежения, отразившаяся от поршня. В этой области
а + Р = 2*Уп и р = —у,т. е.
При t = tF получаем С-Со, а дальше С<СО, т. е. давление отрицательно.
Если материал непрочен, то он теряет сплошность и дробится,
причем одновременно в конечной области. При этом разрыв материала в лю-
любом месте не успевает разгрузить соседние участки, т. е. откол должен быть
повсеместным и пылевидным. Размеры пылинок могут определяться величи-
величинами кристаллических зерен исходного материала и, возможно, их после-
последующим слипанием.
Частицы раздробленного материала уже разобщены между собой,
следовательно, каждая из них движется по инерции с постоянной скоростью,
сохраняя то значение скорости, которое она имела в момент отделения от
соседних частиц, т. е. в момент откола. Нетрудно установить, что в области
откола скорость убывает.
В точке F U = 2Un. На поршне U = Un.
Раздробившаяся часть бруска в дальнейшем все больше расширяется —
передние частицы, имеющие большую скорость, все больше уходят от задних.
На рис. 2.8 под диаграммой (x,t) показаны последовательные
положения бруска, фронтов ударной волны, волны разрежения, а также дви-
движение сплошного и раздробленного вещества.
2.4.2. Поршень, движущийся замедленно. Критерий откола
На рис. 2.9 показана картина движения бруска для случая, когда
поршень, вызвавший ударную волну, движется замедленно.
Последняя р-характеристика веера волны разрежения Р2 с самого
начала идет по полю переменных значений a .
а = С/„+С.

Траектории частиц
Фронт откола
Ударная
волна
Волна
разрежения
¦^ Фронт,
.откола-
Рис. 2.9. Явление откола вследствие прохождения по бруску волны, вызванной замед-
замедленным движением поршня.
Но Ua уменьшается, давление на поршне также уменьшается, т. е. Сп,
а следовательно, и а уменьшается.
На характеристике Р2 С2= —(ос-р2), а т. к. а уменьшается, то и С2
уменьшается, но уже в точке А С=СО, следовательно, дробление вещества
начинается прямо в точке А, т. е. на свободной поверхности бруска.
В точке A: U = Upsm=2U^p
В точке Т: U = Un< 2U,
фр
7*

Таким образом, скорость отколовшихся частиц от А к Т убывает, следова-
следовательно, дробится материал всего бруска. Форма кривой AT (фронта откола)
зависит от характера замедления поршня (она может иметь излом).
Случай замедленного движения поршня (до момента прихода к нему
волны разрежения) аналогичен действию детонационной волны, за фронтом
которой давление убывает.
Из рассмотренных примеров видно, что вблизи свободной границы
откол возникает в тех случаях, когда давление за фронтом падающей волны
уменьшается и не возникает, если давление за фронтом постоянно. Если же
давление за фронтом увеличивается, то откол также не возникает, и после
увеличения скорости скачком поверхность металла движется не равномерно,
а ускоренно. Условием откола для одномерного движения (плоский случай)
является
— >0 или	>0, или —>0.
дх	дх	дх
2.4.3. Смыкание откола (качественная картина)
Действие жесткого поршня не вполне аналогично действию про-
продуктов взрыва, т. к. в случае поршня брусок может вообще отскочить от
поршня, в то время, как в случае ПВ последние, вследствие их способности
расширяться, будут двигаться вслед за поверхностью бруска и давить на нее.
Рассмотрим случай бруска, не обладающего прочностью.
Схематически картина движения показана на рис. 2.10. В точке D
выхода волны разрежения на границу с ПВ давление начинает падать, и ПВ
получают возможность дополнительно расширяться вправо, т. е. ускорить
заднюю границу бруска. В бруске образуется волна сжатия, которая может
остановить распространение фронта откола АЕ и начать смыкать ранее раз-
раздробленный материал. Из точки Е вправо может начать двигаться фронт смы-
смыкания, являющийся фронтом ударной волны в пористом (раздробленном)
веществе. При выходе его на наружную поверхность в точке К она увеличи-
увеличивает свою скорость скачком, а в брусок вновь может пойти фронт откола и т. д.
Таким образом, свободная поверхность бруска движется с пос-
постоянной скоростью U только на участке АК, после которого скорость скачком
увеличивается и т. д.

о
Рис. 2.10. Движение бруска, не обладающего прочностью, под действием ПВ.
2.4.4. Влияние прочности материала на откол
До сих пор мы рассматривали материал, не обладающий прочностью,
т. е. считали, что дробление начинается сразу, как только достигается р<ро .
Фактически наличие прочности приводит к тому, что разрыв происходит
лишь тогда, когда плотность станет меньше некоторой величины р, <ро .
Значение рг достигается на Р2-характеристике не в точке А (рис. 2.11),
а левее ее, в точке К, и только в этом месте в материале появится разрыв.
От места разрыва вправо пойдет ударная волна KB, на которой
плотность увеличивается от р, до ро, а давление от Р1 <0 до нуля. Влево
может пойти ударная волна или фронт дробления KD, которое тоже может
быть пылевидным. Первый откалывающийся слой, прежде чем отколоться,
успевает несколько уменьшить свою скорость, так что в дальнейшем он дви-
движется со скоростью несколько меньшей, чем 2?/ф .

Рис. 2.11. Откол в веществе, обладающем прочностью.
Если давление за фронтом убывает быстро, то р вдоль Р2 убывает
быстро, и толщина слоя откола оказывается малой. Это наблюдается на опы-
опыте: при ударе по металлу расходящейся детонационной волны с быстро убы-
убывающим давлением за фронтом слои откола получаются тонкими, при ударе
плоской волной — значительно толще. Эти наблюдения сделаны при помощи
импульсной рентгенографии В.А. Цукерманом и Д.М. Тарасовым.
Оценим изменение скорости откола вследствие влияния прочности.
После выхода ударной волны на свободную поверхность налево идет волна
дР
разрежения, и градиент давления — в ней тормозит движение переднего
дх
слоя до его отрыва от основной массы. Свободная поверхность металла дви-
движется с замедлением
dU	\_дР_
At po дх
и к моменту откола скорость свободной поверхности будет
ро дх
B.15)

где U0 — скорость свободной поверхности в первый момент (т. е. скорость
откола при отсутствии прочности);
At — время от выхода ударной волны на поверхность до момента образо-
образования откола.
^	а А*	а	др стр
Очевидно, что Д/=—, где Ах — толщина слоя откола, и — = —,
Со	дх Ах
где ар — растягивающее напряжение, при котором происходит откол.
Таким образом,
U-Uo-L-b-p-.Uo--^.	B.16)
р0 Ах Со	роСо
Далее, уравнение неразрывности можно написать в виде
dp dU .
—+р	=0 .
dt дх
и	* dP л	ди л
На свободной поверхности р = const, — = 0, т. е. 	= 0, следо-
dt	дх
вательно, в момент откола скорость по всей толщине слоя можно считать по-
постоянной и равной U.
Необходимо заметить, что отколовшийся слой не полетит как целое,
а по нему продолжают двигаться волны — результаты отражения волны КБ,
образовавшейся при отрыве. Поэтому скорость передней границы отколовше-
отколовшегося слоя не постоянна, а колеблется на величину порядка —-—, и лишь
Росо
средняя ее скорость на большом пути совпадает с U, вычисленной по B.16).
Таким образом, благодаря прочности скорость откола уменьшается
на величину ——.
?осо
Сравнивая скорости движения откола от сплошной пластины и от
пластины с тонким готовым отколом, можно найти прочность материала
в условиях опыта
ap=PoC?,(I/o-J7).
Ю.Ф. Алексеев в начале 50х годов получил результаты, свидетельст-
свидетельствовавшие о том, что в условиях взрывного опыта стр превосходит предел
прочности при статической нагрузке. Эта разница может зависеть от типа

нагрузки (при статическом растяжении одноосно напряжение, при отколе —
одноосна деформация), от упрочнения материала из-за его "опрессовки"
(наклепа) и от скорости разгрузки. Скорость во взрывных опытах можно
варьировать, изменяя градиент давления в падающей волне (а с ней и толщи-
толщину откола).
Изучение прочности в условиях откола может быть полезным для
развития представлений теории прочности.
2.4.5. Откол при соударении плоских пластин
2.4.5.1. Соударение с малой скоростью
Рассмотрим столкновение двух плоских пластин различной тол-
толщины, состоящих из одинакового материала, не обладающего прочностью.
Если удар происходит с малой скоростью, то вееры характеристик, соответст-
соответствующих волнам разрежения, узки и их шириной можно пренебречь, т. е.
рассматривать волны разрежения как ударные волны.
Скорости всех волн относительно материала в этом приближении
также одинаковы и равны скорости звука.
Картина движения при таком соударении показана на рис. 2.12.
I
Рис. 2.12. Соударение с малой скоростью двух пластин различной толщины из одина-
одинакового материала, не обладающего прочностью.
Правая пластина претерпевает откол.

В результате столкновения пластины как бы проходят друг сквозь друга,
толщина слоя откола равна толщине подлетающего слоя. Если пластины
одинаковы, то первая останавливается, а вторая уносит всю энергию, т. е.
происходит абсолютно упругий удар. Заметим, что распространенное поня-
понятие об упругом соударении шаров, строго говоря, не корректно, т. к. в этом
случае в момент прекращения контакта между шарами упругие волны в них
полностью не исчезают и в дальнейшем переходят в тепло, т. е. теряется ко-
конечная доля энергии. Априори не очевидно, что она будет столь малой, что
удар шаров все же окажется почти упругим.
2.4.5.2. Соударение со скоростью, соизмеримой со скоростью звука
В этом случае волны разрежения имеют конечную ширину и изоб-
изображаются веерами характеристик. Картина движения показана на рис. 2.13.
После соударения и здесь образуются две пластины, но в месте их разделения
образуется некоторое количество раздробленного вещества.
Рис. 2.13. Соударение таких же пластин, что на рис. 2.12, но со скоростью, соизмери-
соизмеримой со скоростью звука.
Откол происходит с дроблением.

2.5. Ускорение несжимаемых пластин плоской детонационной волной
Рассматривая ускорение тонких пластин детонационной волной,
естественно пренебречь их сжимаемостью, т. к. на процесс разгона она ока-
оказывает лишь малое влияние. Для более толстых пластин вся картина движе-
движения существенно зависит от сжимаемости (волновые процессы в пластине),
поэтому предлагаемое ниже решение для несжимаемых пластин удовлетвори-
удовлетворительно описывает движение только сравнительно тонких пластин.
Рассмотрим ускорение пластины падающей на нее детонационной
волной, инициированной у открытого конца заряда. Схема опыта и диаграмма
(х, t) показаны на рис. 2.14. Уравнение состояния ПВ считаем кубическим.
t ,
ВВ
\
Пластина
Рис. 2.14. Ускорение несжимаемой пластины плоской детонационной волны.
Решим задачу в акустическом приближении, т. е. будем считать, что
а не изменяется при переходе через фронт ударной волны 1-2 в ПВ. Если
т — масса, приходящаяся на единицу площади поверхности пластины, то
уравнение ее движения
т-
пп _
где
, — скорость пластины.

а-характеристики в нашем случае есть пучок прямых, выходящих из
п.	Х
точки 0, т. е. а = —.
X
t
— U и
d2x
dt2
-(
dt
'X
\ t
¦ — о
dx
"dr.
'(
K
j
X
t
N 3
ИЛИ
B.17)
ar m\t аи
С учетом х = a t,
dx	da d2x d2a „da
—=a+/— и —- = /—r-+2—.
dt	dt dt2 dt2 dt
Уравнение B.17) преобразуем к виду:
d2a „da a (	daN
t—r + 2— = — a-a-/ — | или
dt dt m\	dt.
, , \ з
^ + 2^. + -/3 ^ =0.	B.17)
^ + 2 + ^
dt2 dt m Kdt
Обозначая — - Y , получаем
dt
,?1 + 2Г+^3У3=0или /2H+2/y+?/*y'=0,
dr	m	dr	m
что можно записать в виде
±<yi*) + ±fr> = 0.	B.18)
Подстановка в B.18) Yt2 -Z дает
—+ -~ = 0.	B.18')
dt m t
Интегрируя B.18'), получаем
1 а 1 _ _2 1
¦ =	С. или Z =
2Z2 т t	., „ .
L | С] ¦ —
т

Ho Z2=YY =
d/
\ т.е.
da
m t
Перед корнем выбираем знак минус, так как a = — с течением времени на
поверхности пластины уменьшается, что ясно из рисунка.
Преобразуем полученное выражение
d/
77
т t
т
~2а
от /
mi
	dJ2
a \

т t
/~v	m
Отсюда - a = —
а
/и
и далее
т
= -t —
а
2 | с -iL.il +г
от
B.19)
„	djc	da
Скорость пластины — = a +1 — или
d/	d/
dx _ /и
d/ a
/и
B.20)
Постоянные интегрирования Сх и С2 определяются из условий: при
t = — (момент удара волны по пластине) х = I и — = 0, т. е.
D	At
, _ I m
~~Ъ"а
и

а
т I
D
откуда,
2 /2 ml
С2=
aD
т
aD_l
т ~Т
(Ниже будет видно, что именно этот знак перед корнем дает правильное
решение). Таким образом, задача о движении решена.
Исследуем более подробно вопрос об энергии, запасаемой пластиной
при движении, для чего определим сначала скорость, которую приобретает
пластина в результате взрыва, т. е. через достаточно большое время после
начала движения.
Из формулы B.20) видно, что при t -> оо скорость пластины
стремится к своему предельному значению (f/^ ) :
16 Р nnn
Заметим, что а =	ув°.} где ровв
в B.21) это дает
(Um) = —
ml
— плотность ВВ. Подстановка этого
пр 16 Ровв/ 1 27 m V 27 m J
Обозначив отношение массы заряда ВВ к массе пластины
B.2 Г)
Ровв' _..
/и
окончательно получаем
27
D 16ц
(. 16 L 32 1
1 + — Ц-, 1 + —Ц •
^ 27 V IV )
B.22)
Из формулы видно, что при ц —> 0 (маленький заряд, тяжелая
пластина) (?/„„)„, ->0; при ц->оо (U^) ->Z), т. е. тонкая пластина при-
пр
обретает ту же скорость, что и ПВ, свободно разлетающиеся в пустоту.

Вычислим далее, какую долю энергии ВВ получает пластина
в результате взрыва. Энергия взрыва ВВ
г - /Я2
^вв ~Ровв'~Г7"
10
D2
(энергией единицы массы ВВ мы считаем —).
16
Энергия пластины
Отсюда доля энергии ВВ, получаемая пластиной,
)l 8 ((*/„.
D
или
16
27
81
ф(|а.) имеет максимум при \х = — = 2,53, при этом
=0,351 и
)пр _ 1
B.23)
D З
Наибольшее количество энергии получает пластина, масса которой
всего в 2,53 раза меньше массы ВВ. Доля получаемой при этом энергии весь-
весьма значительна и составляет 35,1%
При изменении массы пластины (изменении ц) коэффициент ис-
использования энергии уменьшается, однако, в широких пределах остается
весьма значительным, что видно из таблицы 2.1, где приведены значения ф ,
вычисленные по B.23).
Таблица 2.1
ф
1,0
0,296
1,5
0,332
2,0
0,347
2,5
0,351
3,0
0,349
3,5
0,345
4,0
0,338
4,5
0,330
10
0,225
20
0,176
30
0,137

2.6. Действие плоской детонационной волны на толстую
сжимаемую пластину
Если ускоряемая при помощи ВВ пластина достаточно толста, то
основную долю энергии от ВВ она получает за счет своей сжимаемости,
и наличие свободной поверхности у пластины на величине энергии сказы-
сказывается слабо. Поэтому, при вычислении этой энергии толщину, пластины
можно считать неограниченной.
Рассмотрим в связи с этим действие плоской детонационной волны,
инициированной у открытого конца заряда, на сплошную массу упругого ве-
вещества. Схема опыта и диаграмма (x,t) показаны на рис. 2.15.
о
Рис. 2.15. Движение толстой сжимаемой пластины под действием плоской детона-
детонационной волны.
Решим задачу в акустическом приближении для кубического
уравнения состояния ПВ. Уравнение состояния преграды может иметь произ-
произвольную степень п.
Давление ПВ на поверхность преграды
=а(ос-[/K.
B.24)

Так как в преграду идет волна одного направления, то Р и U в ней находятся
в однозначной связи, той же, что на фронте ударной волны P = poUD, что
в акустическом приближении может быть записано в виде
,	B.25)
т.к. D=I(J/o+C
Сравнивая выражения для давления B.24) и B.25), получаем
а(а-?/K=р01 Со+-—U \U, откуда ос=?/+з
а
Со+	U\U .
Подставив сюда а =	— и разделив все на D, получаем
27 Л
B.26)
D D \\6 pB\D 4 DJ D
Уравнение B.26) определяет зависимость между
U \ 6х	ах
— =	и — = —, т. е.
D D At	D Dt
- = /(-)¦	B-26')
Вид / — можно установить, построив по B.26) график зави-
а U
симости — от —.
D D
Уравнение B.26') позволяет довести решение до конца.
Вычислим смещение границы преграды.
и =
it \D

„	x	di da
С учетом — -a, x=at, —-t	кх имеем
/	dt dt
da	nJоЛ
/ — + a = Z)/ —- , откуда
at	\DJ
a I а
и
t = to exp
D
ы
B.27)
, a
где ^=-
Смещение границы за все время движения, измеренное в единицах
длины заряда,
У
dz или
1
/(z)-exp
-f(z)
dz'
B.28)
Вычислим коэффициент передачи энергии преграде взрывчатым веществом
за все время движения.
ф =
I'
16 [PUdt= 16 . |а(а-^/KШ? =
РоввЮ2 27Я
оо
a ,.f a
CL] , t
ЛЪ)\,
8 3u. зоб*

Подставив сюда dl — I =
-exp
D
и
J:
4-/D)
, получаем
I
Az.
B.29)
Таким образом, основные результаты решения B.28) и B.29) имеют
вид квадратур, которые надо находить численно.
Ниже, в таблице 2.2, приведены результаты расчета по изложенному
методу некоторых примеров по передаче энергии и деформации толстых пла-
пластин. Уравнение состояния преграды принято кубическим. (Примеры
рассмотрены В.П. Феодоритовым. Аналогичным методом им рассмотрен
также случай инициирования ВВ со стороны пластины).
Таблица 2.2
D
0,72
0,61
0,73
0,36
Ро
Ровв
1,60
4,63
0,44
11,2
Ах
1
18,5% B5%)
9,4% A0,5%)
54,5% (92%)
6% G,3%)
Ф
33,7%
22, 8%
50,6%
17% B8%)
В случае, если преграда мало податлива, и давление на нее практи-
практически равно давлению на жесткую стенку, вид изложенных решений сущест-
з а/3 тт Р al3
венно упрощается. В этом случае Р=аа =—г-, и=	—=	:—- и смеще-
Росо ?ocof
ние границы преграды к концу движения
росо

16 P firm	/
что после подстановки а =	i2?- и tn = — дает
27 D	D
Ах ^ 8 ротР
I 27 " РоСо "
Энергия, получаемая преградой за все время движения,
Е	16
9 =
J
,2
'о
Q0
,2;6
16а2/6 ГA/	16^/ь
ИЛИ
1125
3645 PoCo	PoCo
B.29-}
Некоторые цифры, полученные по формулам B.28') и B.29'), приведены
в таблице 2.2 в скобках.
Формулы B.29) и B.29'), выведенные для пластин неограниченной
толщины, фактически пригодны для пластин и небольшой толщины. В самом
деле, конечность толщины пластины скажется лишь после прохождения
2в
ее волной в обоих направлениях, т. е. через время А/=— (в — толщина
Со
пластины).
Обращаясь к выводу B.29'), видим, что к этому моменту пластина
уже получит энергию
т. е. доля недополученной энергии (за счет различия в которой и отличается
Ф бесконечной пластины и пластины ограниченной толщины) составит
Ф _	o	f
I +
lco

Например, для — = 0,1 и —=	 D-я строка таблицы 2.2) —— «0,11, т. е.
/	Со 0,36	Ф
даже для сравнительно тонкой пластины ошибка в ф все еще невелика.
2.7. Задача о наилучшем отборе энергии от заряда ВВ
Пусть детонационная волна, инициированная у свободного конца заряда и проше-
прошедшая по ВВ путь /, падает на некоторую податливую стенку (поршень). Рас-
Рассмотрим, по какому закону должен двигаться поршень, чтобы работа, произ-
производимая давлением ПВ на него, была максимальной (в разделе 2.5 мы нашли
dU™ p
оптимальную несжимаемую пластину, движущуюся по закону т	= Р.
dt
Здесь мы расширяем класс возможных движений).
Работа, которую совершают ПВ над поршнем,
Но Р = аС3, С = ос -?/ и в акустическом приближении
С
-U, т. е.
E=a \\--x) Mt.	B.30)
Здесь to =	момент падения волны на поршень. Определим, по какому
закону х (t) должен двигаться поршень, чтобы энергия была максимальной.
Решение это для случая, когда путь поршня неограничен, нашел Е.А. Негин.
Нам предстоит решить вариационную задачу. Напомним формулу,
необходимую для ее решения (формулу Эйлера).
Величина J= I G(x, x, t)dt называется функционалом.
to
Пусть требуется найти такую x(t), которая при условии x(to)=xo
обеспечивает экстремум функционала. Допустим, что x(t) и есть такая

функция, тогда близкая к ней функция x(t) + r\(t) должна давать изменение
AJ высшего порядка малости
00
lG(i:,jc,Odf + JGir)dr+ I
J + AJ= \G(x + r\,x + r[,t)dt= \G(x,x,t)dt + \Gkr\dt + \Gxr]dt.
to
Второй интеграл берем по частям
' X
'о	'о	'о
Но r\(to) = 0, т. к. x(to)=xo. Кроме того, в нашем случае должно быть
Gi —> 0 при / —> оо, т. е. подстановка обоих пределов дает нули.
00
Так как х(?) — экстремальная функция, то AJ = 0, а так как г|G) — произ-
произвольная функция, то
G*-^ = 0.	B.31)
Это и есть уравнение Эйлера.
Вернемся к решению нашей задачи. В нашем случае
d/ \t ) У t1 t ) \t )	\t A t2 t

Составляем уравнение Эйлера для нашего случая
Первое возможное решение его —х = 0, откуда x = Bt. А так как при
/ = — х = /, то должно быть х = Dt. Это соответствует движению поршня
со скоростью D от заряда, т. е. со скоростью разлета ПВ. В этом случае давле-
давление ПВ на поршень равно нулю, и совершаемая работа также равна нулю, т. е.
это решение соответствует минимуму функционала, а не максимуму, который
мы искали.
X
Ищем другое решение. При —х^О из B.32) получаем
II X
2х+-\ —х
= 0.
г>	х . . .	dx х
Второе возможное решение есть —2дс = 0 т. е. — = —, откуда
t	At Ъ
x = Bx4~t.	B.33)
Третье возможное решение, получаемое из
2х+-\--х\=0,
t\t J
совпадает со вторым B.33) при учете поведения при t —> оо, поэтому на нем
не останавливаемся.
Вх находим из условия х =1 при / = —, т. е. / = Вх J— , откуда
В{ = \ID . Подставляя это выражение в B.33), получаем
B.33')
Вычислим энергию, получаемую поршнем, движущимся по
найденному оптимальному закону.
00
J
з
--x) x&t, x = B,yft, x =
)
2л/7

al2D2
i4t i6 )t2 шо 16/
o
Подставив сюда а =	^^-, для коэффициента отбора энергии получаем
D ! т е
1. с.
*вв 27 Z) 16 / I юг
ф= —= 0,592.
т max л™	'
Как видим, максимальное значение ср весьма велико и значительно
27
(в — = 1,69) превосходит максимальное значение для несжимаемой пластины.
16
Начальная скорость поршня (скорость сразу после удара) есть
d
2
что больше чем массовая скорость за фронтом детонационной волны.
Следовательно, в ПВ пойдет не ударная волна, а волна разрежения и предпо-
предположение о том, что а сохраняется при переходе через фронт этой волны,
сделанное как приближенное, фактически оказалось точным. Схема движения
поршня, отбирающего наибольшее количество энергии, показана на рис. 2.16.
Скорость его в каждый момент составляет	, т. е. тангенс угла наклона
его "траектории" в каждой точке в два раза меньше наклона
а-характеристики. Все р-характеристики, отраженные от этого поршня,
оказываются вертикальными, т. е. на них Р = 0. В самом деле,
P = t/-C = ?/	(а-Р), т. е. Р =	. В нашем случае U = х =	,
х
а = —, т. е. 2U - а = 0 или Р = 0.
Вполне аналогичным методом может быть решена задача об опти-
оптимальном законе движения поршня при условии, что проходимый им путь
ограничен.
Не излагая соответствующего решения подробно, приводим лишь
его результаты.

Рис. 2.16. Движение поршня, отбирающего наибольшее количество энергии от
заряда ВВ.
Волна инициирована от свободного конца заряда.
Оптимальный закон движения поршня имеет вид
1-
¦_ V
1-
1-
та,.
1-
где т = —; ш = —; шк =1 + —^; Ln — полный путь, проходимый поршнем.
t0	I	I
Поршень, движущийся по оптимальному закону, проходит путь
за конечное время, и скорость его в конце пути обращается в нуль без скачка.
Все Р~характеристики, идущие от поршня, параллельны между
собой, для них
"Г2

г. е. если путь поршня Zn > -, то от поршня в ПВ идет волна разрежения, при
8
Zn <	ударная волна.
8
Коэффициент отбора энергии от ВВ в конце пути
/	i	\4
Е 16
ф =	= —
Ет 27
т. е. ф сохраняет большое значение и при ограниченном пути поршня, что
видно из таблицы 2.3, построенной по последней формуле.
Таблица 2.3
1
ф
0
0
0,02
0,121
0,04
0,177
0,06
0,225
0,08
0,264
0,10
0,301
0,20
0,402
1
ф
0,30
0,455
0,40
0,487
0,50
0,512
0,60
0,527
1,0
0,558
1,5
0,569
оо
0,592

Двумерное стационарное течение
В настоящей главе мы остановимся лишь на общих уравнениях дви-
движения и рассмотрим несколько конкретных задач. Вопросам стационарного
двумерного течения уделяется большое внимание во всей литературе по газо-
газовой динамике в связи с подробным изучением вопросов обтекания и истече-
истечения из сопла.
3.1. Уравнения движения. Интеграл Бернулли
Уравнение сохранения массы для произвольного движения имеет
вид
^ + div(p*F) = 0,	C.1)
at
где W— скорость, div (pW) — скорость изменения количества массы в еди-
единице объема.
Мы будем рассматривать лишь стационарные движения, т. е. такие,
в которых течение в каждой точке потока со временем не меняется. Это озна-
означает, что частные производные по времени от плотности, давления и скорости
равны нулю. Так как — = 0, то уравнение C.1) принимает вид
dt
Если U и U' — составляющие скорости вдоль осей х и у, то
ox	ду
т. е. уравнение сохранения массы принимает вид
u?U+l,?
х ду ) ох ду
Уравнение Эйлера в общей форме имеет вид
dt p
C.2)

Далее
dW dW dW dx dW dv dW TT8W T7* dW
dt dt dx dt dy dt dt
dx
dy
dW
Для стационарного течения, где	= 0, уравнение Эйлера имеет вид
dt
TTew TT.
U	+ U
дх
i , _
= -—gradP.
ду р
Это векторное уравнение равносильно двум скалярным
TTdU TT.dU 1 8Р .
U	+ U 	+	= 0;
дх	ду р дх
дх
ду р ду
C.2')
C.2")
Если течение неизэнтропическое, т. е. энтропия не всех частиц одинакова,
то для адиабатического случая уравнения движения (З.Г) и C.2") надо до-
dS Л
полнить уравнением сохранения энтропии в каждой частице — = 0 или
dt дх
ду
что в случае стационарного течения — = 0 дает
V dt )
дх
ду
C.3')
Уравнения двумерного стационарного движения имеют интеграл, называе-
называемый уравнением Бернулли.
Пусть / — расстояние, отсчитываемое вдоль линии тока (линия тока —
линия всюду касательная к направлению скорости). Уравнение Эйлера
	= — gradP.
dt p
Но для стационарного течения
dW dW dl „,dW
	— W-
dt d/ dt
dl
т.е. W	= — eradP.
d/ p

Умножив это скалярно на единичный вектор к — —, получим
W
1 . _ W
	—gradP	или
d/ p	W
2
1 АР
= — ¦ — , откуда
d/ p d/
W2
¦ +
= const.
C.4)
Этот первый интеграл уравнений движения и называется уравне-
уравнением Бернулли.
Рассмотрим пример на применение его для решения задачи.
Пусть детонационная волна распространяется по бруску ВВ (или шнуру)
большой длины, причем ПВ имеют возможность разлетаться в стороны.
Требуется найти скорость ПВ на оси бруска на большом расстоянии
от фронта волны.
Выберем систему координат так, чтобы она была связана с фронтом
волны. В такой системе координат явление будет стационарно (ВВ набегает
на фронт со скоростью D), и к нему применимо уравнение Бернулли. Движе-
Движение в этой системе координат схематически показано на рис. 3.1, скорость
в этой системе обозначим через W.
Рис. 3.1. Стационарная детонация бруска ВВ.
Движение в системе координат, связанной с фронтом волны.

Скорость в лабораторной системе (связанной с ВВ) при этом будет
U = W -D.
Уравнение Бернулли
2 К "
w1
—г=- = - I
f
Нас интересует скорость вдали от фронта, где Р - О,
W2=wi+2%№
фр J р
О
Для ПВ, подчиняющихся уравнению состояния Р = А р3,
р 2 фр 2 фр 2U
о	о
Но W, = D- — = -D,т.е. Wl = -Dl или Wx =—;=?>.
4 4	8
В лабораторной системе координат
3
Таким образом, вдали от фронта ПВ движутся от фронта, т. е. они переменили
направление движения (на фронте они имели скорость	, т. е. двигались
4
в ту же сторону, что и фронт).
Если учесть, что при малых давлениях для ПВ п < 3, то получим
большие значения скорости для ПВ на оси, направленной от фронта
детонации.

3.2. Элементарная теория кумулятивных струй
Ясную качественную картину возникновения и пробивного действия
кумулятивной струи дает элементарная теория кумуляции М.А. Лаврентьева
и Г.И. Покровского, в которой материал считается несжимаемым.
Рассмотрим симметричное столкновение двух плоских пластин из
несжимаемого материала, как показано на рис. 3.2,а.
Рис. 3.2. Симметричное косое столкновение двух плоских пластин из несжимаемого
материала:
а — движение в неподвижной системе координат;
в — движение в системе координат, связанной с точкой 0.
В результате такого столкновения материал будет растекаться от
места соударения, вообще говоря, в обе стороны.
Выберем систему координат, в которой точка 0 покоится. Очевидно,
что в такой системе координат каждая пластина до соударения движется
.„ Uo
вдоль своей плоскости со скоростью ио = ——, и все течение стационарно.
tga
Скорости в новой системе координат показаны на рис. 3.2,в (где симметрич-
симметричное столкновение двух пластин заменено эквивалентным ударом одной пла-
пластины о жесткую стенку).

Давления в удаленных частях набегающей и уходящих струй равны
нулю. Применяя для линий тока уравнения Бернулли, получаем
2	2 '
откуда U'o =?/,', а также U'O=U2, т. е. скорости набегающей и расходящих-
расходящихся струй одинаковы.
Найдем эти скорости в лабораторной системе координат, в которой
пластинка движется со скоростью Uo в направлении собственной нормали.
В этой системе координат точка 0 движется со скоростью ° , следовательно
sin a
ио
	— = —— + —— = —b^-fl + cosaljT. е.
sin a tg a sin a sin a
TJ TT l + cosa	a
Ui =UO . =UO ctg -;
sin a	2
т т I - cos a r T a
U2=UO—.	= Uotg-.
sin a	2
C.5)
Из C.5) видно, что при а -> 0 скорость струи l/j -> ю, а скорость
второй струи (ее называют молотом, пестом) значительно меньше скорости
первой струи и направлена всегда вперед.
При a
¦ о иг=ио-
1-1-
a
,, a n
= Uo	> 0, т. е. скорость моло-
молоj S2 или
та стремится к нулю.
Найдем сечения струй.
Условие сохранения массы дает qUq So=pU{
S0=Sl+S2.	C.6)
Условие сохранения импульса (составляющей импульса вдоль оси х)
U'o SoPiU'o cos a) + p U'OS,WO + p Щ S2 (-Uo ) = 0
или So cos a + S, - S2 - 0, что вместе с уравнением C.6) дает
Sl=—So(l-cosa) = So sin2—;
S2 =—So(l + cos a) = S0 cos2 —.
C.7)

Из формул видно, что с уменьшением а сечение кумулятивной
струи уменьшается и при а -> 0 Sj —> О; естественно, что при этом S2 -» So .
Найдем теперь какая доля энергии набегающей струи уносится куму-
кумулятивной струей.
Ех
1Гп
U\
_(l-cosa) A + cos aJ _ 1 + cos a	C 8)
2	sin2a	2
При a->0
I, т. е. при малых углах столкновения всю энергию забирает
тонкая, но очень быстрая кумулятивная струя.
Здесь следует оговориться, что наличие сжимаемости у реальных
материалов может приводить к тому, что при малых углах и больших скоро-
скоростях столкновения кумулятивная струя не возникает вообще (раздел 3.3).
Найденные соотношения для сечений и энергий струй относятся
лишь к кумулятивным выемкам в виде плоской щели и неприменимы к по-
полусферическим и другим выемкам.
В такой же элементарной теории (т. е. в предположении о несжи-
несжимаемости материалов) может быть рассмотрено и пробивное действие струи.
Картина внедрения струи в броню показана на рис. 3.3. Точка 0 внедряется
в броню со скоростью W. Выберем систему координат, в которой точка О
покоится. В этой системе на точку 0 с одной стороны набегает струя со ско-
скоростью ?/, - W , с другой — броня со скоростью W.
Рис. 3.3. Внедрение кумулятивной струи в броню.

Скоростные напоры, развиваемые в этой точке броней и струей,
одинаковы, т. е. должно быть
pCT(U, -Wf =p6pW2, откуда
C.9)
Прирст=р6р ^=y-
Если длина струи есть /ст, глубина пробивания — L, то время пробивания
/ст L
t = тт^Чт: = — > откуда
Ux-W W
C.10)
прирст=рбр Z = /CT.
Таким образом, глубина пробивания не зависит от скорости струи
и зависит от ее длины и плотности.
Фактически, если струя очень быстрая, то может быть некоторое
увеличение пробиваемой толщины брони, так как оставшаяся непробитой
часть может отколоться вследствие скорости, приобретенной под давлением
струи во время пробивания.
Как видно из самого вывода, формулы для глубины пробивания
относятся к струе любого сечения — плоской, круглой и т. п.
3.3. О косом столкновении толстых пластин
из сжимаемого материала
Рассмотрим симметричное столкновение двух неограниченно толстых
пластин из сжимаемого материала, показанное на рис. 3.4,а. От точки 0 в ма-
материале пойдут ударные волны, сама точка 0 будет двигаться со скоростью
——. В системе координат, связанной с точкой 0, явления столкновения
sin a
стационарно, в ней несжатый материал пластин натекает на точку 0 со скоро-
скорого
стью Ux = —— (это течение показано на рис. 3.4,в).
tga
9 Яят 1ПАЛ

а
Рис. 3.4. Симметричное косое столкновение двух толстых плоских пластин из сжи-
сжимаемого материала.
В области 2 скорость течения должна стать параллельной
плоскости симметрии.
Решение поставленной задачи означает нахождение угла Р, обра-
образуемого ударной волной, а также вычисление Р2, U2 и р2 за этой волной.
Для этого можно написать достаточное количество уравнений.
Уравнение сохранения массы на фронте 1-2
pjf/j sin(a + P) = p2f/2 sin p.	C.11)
Уравнение сохранения импульса
, sin(a + C)-C/2 sin p].	C.12)
Условие сохранения тангенциальной составляющей скорости на фронте 1-2
Е/, cos(a + p) = C/2 cos p.	C.13)

Связь между Р и р дается уравнением ударного сжатия материала
пластин. Проведем дальнейшее решение для случая, когда ударная адиабата
имеет вид
P = P°C^f^' '	(ЗЛ4)
т. е. рассмотрим случай h = 2.
Исключив Р и U2 из C.11), C.12) и C.13), получаем
tgp
CT — 1 „-> .
2-a
где ?, =—- . После исключения из них а получаем
К2	tg(C
[2tgP-tg(a + P)] sin2(a +
что после введения обозначений
tga=a, tgP=e
принимает вид
C 15)
Знаменатель этого выражения обращается в нуль при
в - 2ав2 — а = 0, т. е. при
Отсюда видно, что зависимость ?2 от в при постоянном аг имеет вид,
показанный на рис. 3.5. Вне интервала ( в^) 4? < 0, т. е. ? — мнимое число.
При заданном а и при ^ < ^lmin, т. е. при скорости пластины меньше
некоторой, ни при каком значении в уравнение C.15') не удовлетворяется.
Это означает, что фактически реализуется не тот режим столкновения, кото-
который мы предположили с самого начала, а какой-то другой. По-видимому,
в этом случае в месте столкновения пластин образуется выброс материала
вперед от точки 0, что в случае пластин конечной толщины приводит
9*

к установлению стационарного режима образования струи конечной толщи-
толщины. Для несжимаемого материала такой режим описывается элементарной
теорией кумуляции.
С2 I
о
т. в
и _
4а	4а
Рис. 3.5. К задаче о косом столкновении сжимаемых пластин.
3.4. О косом столкновении ударных волн
Пусть две ударные волны одинаковой интенсивности сталкиваются под
некоторым углом 2а, как показано на рис. 3.6. От точки 0, движущейся
D
относительно несжатого вещества со скоростью 	, пойдут две отражен-
sin a
ные ударные волны. В координатах, связанных с точкой 0, течение
стационарно.
Рис. 3.6. Регулярное косое столкновение ударных волн одинаковой интенсивности.

Задача о нахождении состояния вещества за отраженной волной
в области 2 вполне аналогична задаче о косом столкновении двух пластин.
Зная интенсивность падающей волны и угол падения а, можно
решить уравнения относительно величин С/2, р2, .Р2 и C, т. е. описать со-
состояние за отраженной волной. Однако, оказывается, что при больших значе-
значениях а и не слишком большой интенсивности падающей волны эти уравне-
уравнения вещественного решения не имеют, как и в случае косого столкновения
пластин. Это означает, что режим указанного на рис. 3.6 типа (регулярный
режим) реализоваться не может, а возникает маховский режим или отражение
волн с образованием тройной точки. Конфигурация, соответствующая этому
режиму, показана на рис. 3.7 (столкновение двух волн здесь заменено эквива-
эквивалентным отражением от жесткой стенки).
Рис. 3.7. Столкновение ударных волн с образованием тройной точки (столкновение
двух волн заменено отражением от жесткой стенки).
Часть вещества за ударной волной сжата волной 0-3, другая часть
сжата последовательно двумя волнами 0—1 и 1-2. Так как эти две части веще-
вещества граничат между собой (граница 2-3 или линия 05), то давления в них
одинаковы Р2 = Рг. Плотности в областях 2 и 3 различны, т. к. материалы
в этих областях претерпели различные процессы сжатия и по разному нагре-
нагрелись: более сильно нагрелось вещество, находящееся в области 3, т. к. оно
было сжато одной ударной волной, а не двумя, как вещество в области 2.
Следовательно, на границе 2-3 неодинаковы и скорости, одна часть вещества
скользит относительно другой, и линия 2-3 является тангенциальным разрывом.
Высота волны 0-3 со временем увеличивается, т. е. точка 0 движется
по линии АО (очевидно, линия АО всегда расположена выше, чем 0В, как
показано на рисунке, т. к. в области 3 вещество движется налево, а с ним
движется и тангенциальный разрыв 05).

В случае отражения волны с образованием тройной точки течение
стационарно в системе координат, связанной с тройной точкой 0. Движение
в такой системе координат показано на рис. 3.8 .
Рис. 3.8. Стационарное течение в системе координат, связанной с тройной точкой 0,
при маховском отражении.
В невозмущенной области скорость набегающего потока параллель-
параллельна линии движения тройной точки О А. После прохождения волны обе части
потока параллельны линии тангенциального разрыва 0В. Вопрос о косом
столкновении весьма сложен. Так, например, оказывается, что при некоторых
значениях амплитуды падающей волны и угла падения имеют решения урав-
уравнения, написанные для регулярного отражения, и уравнения для маховского
отражения, т. е. математически возможны оба режима отражения. В некото-
некоторых случаях можно показать, что один из этих возможных режимов абсо-
абсолютно неустойчив и поэтому фактически не реализуется.
Рассмотрим качественно несколько подробнее вопрос о переходе от
одного режима к другому.
Построим график, где по вертикали отложено давление за отраженной
волной, по горизонтали угол а (рис. 3.9). При а < а, уравнения для регуляр-
регулярного режима имеют решения, при а > оц, такой режим невозможен. Соответ-
Соответствующая кривая схематически показана на рисунке (кривая 1). При а = 0
давление конечно и равно давлению, возникающему при прямом столкнове-
столкновении двух ударных волн. Скорость точки пересечения волн, равная 	, при
sin a
а —> 0 неограниченно растет (как —), а при увеличении а быстро убывает,
а

и при некотором значении а = а2 давление за отраженной волной может
оказаться достаточным для того, чтобы "вытолкнуть" вперед от точки О
третью ударную волну (называемую волной Маха).
В интервале (а15а2) оказываются возможными два решения — для
регулярного и маховского отражения. По-видимому, регулярный режим
в этих условиях неустойчив. В самом деле, если при ос2 <а <оц осуществ-
осуществляется регулярный режим, то случайно возникший фронт третьей волны
(имеющей за собой давление, достаточное для того, чтобы обогнать точку
пересечения волн) будет уходить от этой точки вперед с конечной скоростью,
т. е. установится маховский режим отражения, а регулярный режим не вос-
восстановится.
Давление, необходимое для "выталкивания" третьей волны, показано
на рис. 3.9 кривой 2, зависимость фактического давления отражения от угла
падения показана сплошной частью кривой 1 и кривой 3.
О
а2
а.
90°
а
Рис. 3.9. Зависимость давления за отраженной волной от угла падающей волны при
косом столкновении ударных волн равной интенсивности:
1 - регулярный режим отражения; 2 — давление, необходимое для "выталкивания" маховской
волны; 3 — давление при маховском отражении.
В принципе можно ожидать, что при каком-то конкретном уравнении
состояния уравнения, определяющие течение, не будут иметь решения ни для
регулярного режима, ни для тришока, что будет означать, что реализуется
какой-то третий, более сложный режим. Возможно также существование

решений не для двух, а для большего числа режимов, из которых несколько
будут неустойчивыми.
Как видим, вопрос о косом столкновении волн весьма сложен.
Природа этой сложности связана с тем, что конфигурация волн, для которой
мы ищем решение, ни из какого математического расчета не следует, а долж-
должна быть угадана интуитивно. Для угаданной таким образом конфигурации мы
находим решение или убеждаемся, что оно невозможно. Если решение невоз-
невозможно или неустойчиво, то надо искать какую-то другую конфигурацию и т. д.
Говоря о различных конфигурациях, следует заметить, что маховская
волна совсем не обязательно должна быть прямой, а возможны и другие ее
формы, показанные на рис. 3.10. Можно утверждать, что фронт этой волны
нормален к стенке, от которой волна отражается.
Рис. 3.10. Различные возможные формы маховской волны.
Однако, оказывается, что неопределенность в решении задач о косом
отражении волн не мешает в ряде случаев использовать это явление для точ-
точных количественных измерений, например, для определения сжимаемости
при двухступенчатом ударном сжатии, осуществляемом при маховском отра-
отражении волн. Этот метод был разработан и применен Л.В. Альтшулером
и СБ. Кормером с сотрудниками.
Схема соответствующего опыта показана на рис. 3.11.
Рис. 3.11. Схема опыта для определения сжимаемости вещества при двухступенчатом
ударном сжатии.
J-J— индикаторная поверхность.

В призме от симметричного удара двух пластинок, ускоренных
взрывом, возникают две плоские ударные волны, сталкивающиеся под углом.
Выход волны на индикаторную поверхность J-J регистрируется фотохроно-
фотохронографом, по результатам записи которого можно определить скорости падаю-
падающих волн, размеры маховской волны, ее скорость, а также наклон ее к плос-
плоскости индикатора в тройных точках 0.
Имея эти данные, можно найти давление и плотность в материале,
подвержденном двухступенчатому ударному сжатию — в падающей волне
и в отраженной волне.
Нарисуем картину движения в системе координат, связанной с тройной
точкой 0, и диаграмму скоростей (рис. 3.12). При построении этой диаграммы
-»
пользуемся тем, что вектор Л U на фронте волны нормален к фронту.
О
Рис. 3.12. Картина движения и диаграмма скоростей вблизи тройной точки.
Направление	2-3, полученное путем построения С/з =Uo + АС/оз
->	-»	->
(векторы Uо и А Vоъ известны), есть направление скорости Ui, следова-
->	—>
тельно, вектор AUu	таков, что, будучи прибавленным к U\, он должен
-* -*
дать U2WU3.

Направление AUn непосредственно из фотохронограммы неизвест-
неизвестно, его можно определить, пользуясь условием Р2 = Рг.
Но
sin 0
2 = С/, cos (8 - е), т. е.
ап	h тт	тт2 sine-cos (9-е) тт2 . fcose . ^
АР21 = р, —zUx cos (G-е) = pjЩ	^	'- = р,f/j2 sin e —- + sm e ,
sin 0	sin 6	\tgQ	J
откуда
cos e	.- , ..
^	•	C16)
sin e
PjtTf sine
Вычислив Э, можно найти AUU •
и далее
Здесь
сжатие на
АС/,2
фронте второй
2
Ul sin e
12
ВОЛНЫ
Р2
Pi
1
sin 0
1
1 Af/12
L
sine
—	, т. е.
C.17)
C.18)
—	—
2 sin 0 Ui cos (9 - е) sin 0 • cos @ - e)
ст2=	\	•	C-18')
sin e
sin e
sin 9- cos (9-e)
Результаты этого расчета можно перенести на диаграмму Р\ — ,
\PoJ
схематически показанную на рис. 3.13.

1	CJ,	CT,-O2	?
Рис. 3.13. Ударные адиабаты обычного и двухступенчатого сжатия.
В описанном методе маховская волна служит как бы манометром,
по которому удается узнать давление в материале, сжатом отраженной удар-
ударной волной. Таким образом, в принципе, измерения этим методом можно вес-
вести только до тех давлений, до которых ударная адиабата первичного сжатия
уже известна.
Результаты измерений, проделанных этим методом, показывают, что
двухступенчатое сжатие до данного давления позволяет получить значи-
значительно большую плотность, чем однократное сжатие до этого же давления.
Качественно это можно было предвидеть заранее: адиабата вторичного удар-
ударного сжатия A)-^B) касается адиабаты Пуассона, идущей заведомо более
полого, чем первичная адиабата A)-ЦЗ).
3.5. Выход слабой ударной волны на свободную поверхность под углом
Пусть слабая ударная волна выходит на свободную поверхность.
Из точки 0 пересечения этой волны с поверхностью идет волна разрежения, за
фронтом которой материал разгружается (рис. 3.14). Если падающая волна
слабая, то шириной ее можно пренебречь и считать ее также ударной волной.
Скорость слабой ударной волны и волны разрежения есть скорость
звука, т. е. ударная волна и волна разрежения в этом случае движутся с оди-
одинаковыми скоростями и угол падения равен углу отражения. Приращение
скорости АС/ на фронтах обеих волн одинаковы по абсолютной величине
и направлены по нормалям к соответствующим фронтам.

12\
ut
разл
Рис. 3.14. Косой выход слабой ударной волны на свободную поверхность.
Из диаграммы скоростей для частицы, через которую прошла
ударная волна и волна разрежения, видно, что скорость разлета свободной
поверхности
?/разл = 2AC/cos а = 2?/фр cos а .
Скорость эта направлена по нормали к первоначальному положению
свободной поверхности.
Рассмотрим несколько примеров выхода ударной волны на выпуклый
двугранный угол (клин).
1.	Угол клина а < 90°.
В этом случае клин раскалывается, причем образующаяся щель идет вслед за
волной к вершине клина (рис. 3.15,а).
2.	Угол клина а > 90°.
В этом случае раскалывание клина начинается после выхода волны на его
вершину, причем щель распространяется от вершины клина вглубь (рис. 3.15,в).
3.	Угол клина а = 90°.
В этом случае клин раскалывается одновременно по всей длине в момент
выхода волны на его вершину, т. е. в момент встречи волн разрежения в плос-
плоскости симметрии (рис. 3.15,с).
Качественно такой же будет картина движения и в случае сильных
ударных волн, за которыми идут волны разрежения конечной ширины, од-
однако, в местах откола часть вещества будет дробиться, т. е. образующиеся
щели будут частично заполнены раздробленным веществом.

\
/
разл
Рис. 3.15. Прохождение слабой плоскости ударной волны по клину:
о	о	о
а — угол клина а<90 ;в — а>90 ; с — а = 90 .
3.6. Метод диаграмм (Р,а )
Типичной задачей на двухмерное течение является задача о косом
выходе ударной волны на границу раздела двух сред. В результате такого
выхода граница раздела поворачивается на некоторый угол по отношению
к прежнему положению, и в граничащих средах устанавливаются равные дав-
давления (рис. 3.16). Ясно, что такой режим отражения может осуществляться
лишь при условии, если скорость в областях I и II — сверхзвуковая относи-
относительно точки 0. В системе координат, связанной с точкой 0, течение стацио-
стационарно.

II
Рис. 3.16. Косой выход ударных волны на границу двух сред.
Для решения задач о косом отражении естественно пользоваться
диаграммами (Р, а), дающими зависимость между давлением и углом пово-
поворота потока. Состояние обоих веществ после отражения характеризуется
в координатах (Р, а) общей точкой, которая может быть найдена как пересе-
пересечение кривых Р(<х), построенных для потоков I и II, набегающих на точку 0.
Очевидно, что (Р, а )-диаграммы в этом случае играют ту же роль, что
и (Р,?/)-диаграммы для случая прямого отражения волн.
Поток II поворачивается ударной волной также, как сверхзвуковой
поток, набегающий на плоский клин. Поток I может поворачиваться как
ударной волной, так и волной разрежения. В первом случае возникает задача
о сверхзвуковом обтекании клина, во втором — задача о сверхзвуковом обте-
обтекании выпуклого угла. Зависимости между Р и а для обоих случаев мы най-
найдем в следующих параграфах.
Построение (Р,а )-диаграмм даст параметры того регулярного
режима, который при данном отражении возможен или, в случае непересече-
непересечения кривых Р(а), укажет на невозможность регулярного режима. Вопрос
о нахождении режима в этом случае и о точном критерии перехода к этому
режиму мы не рассматриваем.
Заметим, что от точки выхода ударной волны (или слабой волны
разрежения, шириной которой можно пренебречь) так же, как и при прямом
отражении волн, могут пойти две ударные волны, ударная волна и волна раз-
разрежения, две волны разрежения, а также может произойти отрыв двух ве-
веществ друг от друга.
Однако, полной аналогии с прямым отражением нет: в то время как
(Р,{/)-диаграммы всегда дают решение, в этом случае может оказаться, что
простого решения задачи нет (если кривые Р(а) не пересекаются или если
один из потоков, набегающих на точку 0, оказывается дозвуковым).

3.7. Сверхзвуковое обтекание клина
Пусть поток, движущийся со сверхзвуковой скоростью Uо, набегает
на плоский клин, как показано на рис. 3.17, и вынужден поворачивать
на угол а . От вершины клина пойдут ударные волны, на которых происходит
сжатие и поворот набегающего потока.
Рис. 3.17. Обтекание клина сверхзвуковым потоком.
Найдем зависимость между углом поворота а и приращением
давления в потоке, т. е. рассмотрим способ построения (Да), диаграммы для
косой ударной волны.
Выпишем уравнения сохранения массы и импульса на ударной волне.
Условие сохранения массы
pof/osinC = Plf/1sin(C-a).	C.19)
Условие сохранения импульса
AP = po?/osinp[?/o sinp-C/, sin(p-a)].	C.20)
Очевидно, что на фронте ударной волны касательная к фронту
составляющая скорости скачка не терпит, т. е.
t/ocosp = C/1cos(p-a).	C.21)
Для вещества с заданным уравнением состояния эти три уравнения
дают возможность построить зависимость между а и Д7* .

Подставив С/, из C.21) в C.19), получаем
, тт „:_гз_- тг COSP
cos р - с
sin (р-а), откуда
а =
tgp
tg(p-a)'
где —- = a .
Ро
Обозначив tg a = a, tg P = в, получаем
в \ + ав
a =	=	, откуда
в-а	а
1 + ЙГв	в
а-1
а =
Исключаем далее Ux из C.20)
a 1
1 =PoU2o a-1
в2 АР ст
Подставив C.20') в C.19'), получаем
-1.
(а-1),
a — -
POUO a-
-1
-, т. e.
AP
tga =
J AP
а-1
-1
AP
^--1

При известной зависимости АР от а эта формула и дает возмож-
возможность построить ( Р, а )-диаграмму для косой ударной волны.
Если вещество — идеальный газ, то для него
Р, Аа-1
—- =	, откуда
Ро А-а
_ Ро
Подставив это в формулу C.22), получаем
tga=
АР
Л+1
-1
-1
1
У	h+l Рп
-1
PgUp
роАРС'о
—1
h АР
А + 1 Рп
+i
h АР
+i
^"'
или
М2
-1
-^¦^v
C.23)
где М=^°-.
Если в набегающем потоке газ холодный, то в ударной волне a = h.
10 Зш. 3066

В этом случае из C.22) получаем
tga =
А-1
— 1
Port
Port
или
1 —
P h-l P
tga = -
Д h PoU2o
C.24)
1 —
В другом предельном случае, когда сжатие в ударной волне мало,
т. е. a «1, для любого вещества АР- р0Сд(а -1) и из C.22) получаем:
-(a-l)-l
M2-1
Port
АР
-1
или,
т. к.
АР
РоС2оМ2
«1 и для малых углов tg a = a, то
a = -
АР
C.25)
В частности, для слабой волны в идеальном газе, в котором
а = -
АР у!м2-\
C.26)
АР
Из формулы C.23) видно, что tg a = 0 при — = 0, а также при
М2
- -1 = 0, т. е. при
h + \ P,
о
АР
(«•-1).

Следовательно, а как функция от АР имеет максимум (при положительном
подкоренном выражении знаменатель в нуль не обращается), т. е. диаграмма
(Р,а ) имеет характер, показанный на рис. 3.18.
Р ,
О
ап
а
Рис. 3.18. Зависимость давления за фронтом ударной волны при сверхзвуковом обте-
обтекании клина от угла клина.
Если угол клина а >атах, то решения указанного типа нет, то есть
регулярный режим обтекания клина не осуществляется. Из двух возможных
режимов при данном угле осуществляется режим с большим или меньшим
давлением в зависимости от других условий задачи.
Если длина клина ограничена, то от его заднего конца, вообще
говоря, распространяется разрежение. Как показывает вычисление, почти вся
нижняя ветвь кривой соответствует сверхзвуковому течению, а на такое тече-
течение волна разрежения влиять не может. Течение же, соответствующее верх-
верхней ветви — дозвуковое, проникающая в него волна разрежения достигает
фронта ударной волны, уменьшает давление в нем и в результате устанавли-
устанавливается режим обтекания с меньшим давлением.
Не анализируя подробно вопроса о том, когда какая ветвь реали-
реализуется, укажем лишь пример реализации верхней ветви.
Пусть сверхзвуковой поток набегает на тупоносое препятствие
(или на клин с достаточно большим углом), как показано на рис. 3.19.
Очевидно, что ударная волна в этом случае не может идти от вершины пре-
препятствия и расположится, как показано на рисунке. От точки 0 к А вдоль
фронта давление за волной постепенно убывает, а угол поворота увеличивается,
10*

т. е. реализуется верхняя ветвь кривой (Р,а). Для далеких точек с ослабле-
ослаблением волны а также убывает, т. е. реализуется нижняя часть кривой (Р, ос).
Рис. 3.19. Сверхзвуковое обтекание тупого тела.
АОВ - ударная волна.
3.8. Сверхзвуковое обтекание выпуклого угла (течение Прандтля-Майера)
Рассмотрим задачу о сверхзвуковом обтекании выпуклого угла.
Общее решение этой задачи было получено Прандтлем и Майером в 1908 г.
Пусть сверхзвуковой поток огибает выпуклый угол, как показано
на рис. 3.20.
I
А
'///0.
Рис. 3.20. Сверхзвуковое обтекание выпуклого угла (течение Прандтля—Майера).

От точки 0 в поток распространяется фронт волны разрежения,
который располагается под углом к набегающему потоку, определяемым от-
отношением —- в набегающем потоке.
С,
В точке выхода на этот фронт линия тока АВ начинает поворачивать
вниз и поворачивает до тех пор, пока не станет параллельной второй стороне
выпуклого угла. По мере поворота потока давление в нем уменьшается.
Решение задачи будем искать в предположении, что вдоль каждого
из лучей, выходящих из 0, все величины в потоке постоянны, т.е. они зависят
только от угла ф .
Решим задачу сначала для потока, набегающего со скоростью, точно
равной скорости звука, т. е. для М= 1. (Скорость звука, равная местной ско-
скорости потока, называется критической; обозначим ее через Ск). Как увидим
дальше, решения для М > 1 будут получены как части решения для М = 1.
Течение для случая М= 1 изображено на рис. 3.21.
Рис. 3.21. Сверхзвуковое обтекание выпуклого угла при М=1.
Для решения задачи удобно выбрать полярную систему координат
с центром в точке 0. Радиальную и тангенциальную составляющие скорости
обозначим через U и U*.
Выпишем уравнения движения для принятой системы координат.
Уравнение сохранения массы div pW =0.

В полярной системе координат
.. -Г дАг Аг 1 дА
div А = —- + —- +	-,
дг г г 9ф
—>
где Аг и Ау — радиальная и тангенциальная составляющие вектора А .
дА d(pU)
В нашем случае —- = —	 = 0 (т. к. по условию величины ри U от г
дг дг
не зависят) и уравнение неразрывности принимает вид
р?/ 1 д(ри*) п
-—+	^	'-=0 или
г г 9ф
p?/+(pt/*)'=O,	C.27)
где штрихом обозначено дифференцирование по ср .
Уравнение Эйлера
dt p
Здесь
dW dW dW dWfdy
dt dt dr dy\dtJr
dW n dW . _	Эф U*
В нашем случае 	=0 и 	=0 . Подставив это, а также —- = —
dt dr	dt r
в уравнение Эйлера, получаем
	+-grad/>=().	C.28)
г Эф р
-* -* -* t	-» —>
Но W = / г U + i <р U , где ir и / ф — единичные векторы, направленные
вдоль радиуса вектора и по нормали к нему, т. е.
\ f -± \
dw э -? гт ? „.] „. -* ,„... ? ,т а/г
i rU + i <p U \=U i r + (U V г ф+ f/|	 + ?/ '
Эф Эф I	J	I Эф
,. а /.
Эф
C.29)

. _ -? дР -? 1 дР	дР п
Далее grad P-ir — + i Ф	или, т. к. — = 0 и
дг	г Эср	дг
дР^_дР_ 5р_ 2 9р
5ф 5р аср Эф'
gradP=iv-C2-^.
г аф
Подставив C.29) и C.30) в C.28), получаем
= 0.
Это векторное уравнение равносильно двум скалярным
U'-U*=0,
C.30)
C.31)
C.32)
C.33)
Подставив U* из C.32) в C.27) и C.33), получаем pU + (pU')' = 0 или
pU + p'U' + pU"=0, откуда
U'
а также
Из C.34) и C.35) получаем
" + U)\(U'J-C2} = 0,
C.35)
C.36)
откуда U' = ±С и, с учетом C.32), U* =±С.
Из рис. 3.21 ясно, что следует выбрать знак "+", т. е. U* -+С .
Второе решение U"+U = 0 или (U*)' + U = 0 согласно C.33) дает
р' =0, т. е. соответствует тривиальному решению, описывающему однород-
однородный поток.

Далее определяем U, пользуясь интегралом Бернулли
W1 CdP
Очевидно, что
-+ I — = const.
2 J р
р
W1 CdP W2 Cl
	+ I — = —— = ——, т. е.
2 J p 2 2
Но W2 =
--U2+C2,T.e.
с.
C
C.37)
(Выбор знака "+" также ясен из рис. 3.21).
Связь между U, U*, <р найдем, пользуясь уравнением неразрывно-
неразрывности C.27), откуда
(') d(PC)
Рс
ф = -
pU	pU
d(pC)
, т.е.
р.
РкСк
C.38)
1- Ш +2
К
1
С_ dp
QJ р
Угол поворота потока
a = arctg	— ф =
U
^J-^, т.е.

рС
а = -
d(pC)
р с.
Рк
1
'-'*Н1Ш*-
р
рс.
+ arctg
7
C.39)
Текущее значение числа Маха в потоке
Г*2}
а т. к. W, = С„, то
С) dp
Р
C.40)
Рассмотрим далее важный частный случай, когда адиабата Пуассона
описывается уравнением
Р = А(р"-р).
В этом случае С2 = пА р", т. е. — =	и
р п-\ С
Рк	2
f Г-^-1 ^Р-= f _?_ ^- ^?-	:
JUJ р "J n-\cl с~ п
-1
-1

do и + 1
^ =—dC.
p	p и-1
Подставив эти выражения в C.38), получаем:
-arccos
С и + 1
С
arccos —, т. е.
'и-1	С
С	и-1
— = cos J	 • (р
С„	V и + 1
C.38')
С
а = arctg
п
и-1
+ ф	= arctg
и-1
cos 	 • ф
1
sin ,	 • ф
V + 1
п
+ ф--,т.е.
а = ф + arctg
•Ф
1
C.39')
=^- I1 + -
С1 и-1
и-1
cos2
и + 1
и-1
\п-
\п +
1
1
•ф
2
и-1
откуда
и-1
COS J	 • ф :
И+1
|(и-1)М2+2 '
C.40')
В случае уравнения адиабаты Пуассона типа Р = Ар" (идеальный газ, ПВ)
и-1
С ( Р ] 2"

и формула C.38') принимает вид
Р
C.38")
Максимальное значение ф в этом случае достигается при Р - 0.
л
I
Фгпах =
На линии, где Р = 0, газ граничит с вакуумом, т. е. там течение направлено
вдоль границы или вдоль луча, выходящего из точки 0.
На этой границе а = ф	, т. е. максимальный угол поворота потока
Величины ашах для некоторых значений п приведены в таблице 3.1.
Таблица 3.1
п
max
5/4
180
4/3
148,2
7/5
130,4
5/3
90
2,0
65,8
2,5
47,4
3,0
37,3
Формулы C.38') и C.39') дают в параметрической форме
(параметр — ф ) связь между С и а или между Р и а, т. е. дают возмож-
возможность построить (Р, а) -диаграмму для случая потока, набегающего со ско-
скоростью, точно равной звуковой.
Если набегающий поток сверхзвуковой, то начальное состояние его
(луч I на рис. 3.20) точно соответствует состоянию (на луче) с тем же М
в течении со звуковым набегающим потоком, (например, на луче II на
рис. 3.21). Следовательно, все следующие состояния в этом потоке будут теми
же, что в звуковом потоке правее луча II: течение в случае сверхзвукового
набегающего потока точно совпадает с течением в области П-Ш в случае
потока, набегающего со звуковой скоростью.
Отсюда вытекает следующий способ построения (Р, а)-диаграммы
для сверхзвукового потока.

Для известного Мх, в набегающем потоке по C.40') определить
начальное значение ф,, (т. е. установить начало отсчета углов ср ) и по C.39')
найти соответствующее а,. По формуле C.38'), вычислить критическую
скорость звука Ск в рассматриваемом потоке и соответствующее ей давление
Рк. Далее, пользуясь уже выведенными формулами, можно заполнить сле-
следующую таблицу.
ф
(по
С
3.38')
Р
(по уравнению
состояния)
а
(по 3.39'
)
а
-а,
Р
Последние два столбца и дают возможность построить (Р, а)-диаг-
а)-диаграмму для случая сверхзвукового набегающего потока.
3.9. Боковой разлет ПВ нормальной детонационной волны
Рассмотрим боковой разлет ПВ нормальной детонационной волны,
фронт которой перпендикулярен к боковой поверхности заряда ВВ.
В системе координат, связанной с фронтом, скорость ПВ на фронте
равна местной скорости звука, т. е. в данном случае мы имеем дело со
звуковым потоком, для которого непосредственно применимы формулы
C.39') и C.38").
Схема течения при боковом разлете показана на рис. 3.22.
Wq=Cq
Рис. 3.22. Боковой разлет ПВ.
На рис. 3.23 показана (Р,а)-диаграмма для бокового разлета ПВ
с и =
= 8-103 м/с и Рфр =27 ГЯа(рвв =
кг/м3).

а°
Рис. 3.23. Определение давления детонирующего ВВ на стальную стенку при сколь-
скользящем движении нормальной волны.
Очевидно, что в нашем случае Р^р = Рк. Обратим внимание на то,
что диаграмма при а = 0 имеет вертикальную касательную. В этом можно
убедиться, получив в явном виде связь между Р и а при малых а .
Разложив C.39') в ряд по степеням ср , при малых ф можно получить
(выкладки опускаем):
а = ¦
C.41)
Преобразуя C.38") для малых углов ф, получаем:
In
p [ i/i-i V» .
• = |COSJ	 -ф	и|1
2я
1 Я-l 2I"-1
Ф
что после подстановки ф из C.41) дает
Р
2 и + 1
1 " 2
И + 1
3 2
а3.
C.42)
Отсюда видно, что при а = 0 — = оо.
da

2и
п-1
Аналогичным образом можно получить, что при а -> а„
Р
Так как п > 1, из C.43) видно, что при а = аг
C.43)
-о.
da
Вычислим давление, оказываемое продуктами взрыва на поверх-
поверхность стали при скользящем движении нормальной детонационной волны.
Приняв для стали ро = 7820 кг1мъ и Со=4,9-103 м/с, строим
(Р, а)-диаграмму с учетом
м=А=А = 1,63.
Со 4,9
Эта диаграмма также показана на рис. 3.23.
Давление на стальную поверхность и угол поворота ее дает точка А
пересечения (Р, а) -диаграмм: a = 2,5° Р = 18,7 ГПа. Даже незначительный
угол поворота привел к сильному уменьшению давления в ПВ.
ЗЛО. О возможности сжатия ВВ за счет энергии, выделяющейся
при его взрыве
Пусть по бруску ВВ, окруженному инертным веществом, идет
детонационная волна. Разлет ПВ в стороны вызовет появления косых ударных
волн в окружающем инертном веществе.
Если угол разлета ПВ мал (сильное сопротивление со стороны
инертного вещества), то может установиться регулярный режим, показанный
на рис. 3.24.
Если сопротивление со стороны инертного вещества мало
(например, вследствие его малой плотности), то угол разлета ПВ а может ока-
оказаться столь большим, что ударная волна в веществе будет вынуждена
обогнать детонационную волну аналогично тому, что происходит при набега-
набегании потока на клин с большим углом. При этом давление в веществе будет
действовать и на ВВ впереди фронта детонационной волны. Если это давле-
давление достаточно для инициирования, то это вызовет появление косого фронта
детонационной волны и распространение детонации вдоль бруска ВВ со ско-
скоростью, большей, чем D. Если инициирования не происходит, то это давление
ведет к сжатию ВВ перед фронтом детонационной волны.

Сжатое ынерт.
вещество —
Рис. 3.24. Разлет ПВ и сжатие окружающего инертного вещества.
Регулярный режим.
Если давление, возникающее в ВВ, велико по сравнению с упругим
давлением в ВВ (например, если ВВ можно рассматривать как холодный газ),
то это сжатие может быть значительным.
Возможная картина движения в этом случае показана на рис. 3.25.
Сжатое инерт.
вещество
Рис. 3.25. Разлет ПВ и сжатие окружающего инертного вещество и самого ВВ.
Нерегулярный режим.

Рассмотрим далее пример, когда ПВ и инертное вещество являются
5
идеальным газом с у = — и вещество является холодным.
р
На рис. 3.26 построены диаграммы разлета ПВ 	(а) по C.39')
и C.38") и сжатия инертного вещества той же плотности, что и ВВ, по C.24),
о
где подставлено poUq = (у + 1)Рфр = — Р^р. При меньшей плотности инерта
кривая пропорционально ей опускается и при р^ » 0,1ровв с кривой для ПВ
она более не пересекается (пунктир). Регулярный режим перестает быть воз-
возможным, и обязательно наступает режим со сжатием ВВ перед фронтом дето-
детонации или детонация со скоростью большей, чем нормальная.
30
90
Рис. 3.26. Определение состояния на границе ВВ с инертом при скользящей детанации
вдоль этой границы для газов с у — 5 / 3.
При р <0,1р регулярного режима нет.
В 1975 г. Л.А. Мержиевский и Ю.И. Фадеенко [9] наблюдали этот
эффект экспериментально (и объяснили его) по увеличению скорости детона-
детонации, идущей вдоль полого цилиндра ВВ, полость которого заполнена легким
веществом.

Сферически симметричное движение
4.1. Уравнения движения
Движение называется сферически симметричным, если величины
P,U,p зависят только от расстояния от некоторой точки (центра), и скорости
направлены вдоль радиусов, исходящих из этого центра. Найдем уравнения
движения для этого случая.
Уравнение сохранения масс (уравнение неразрывности)
Рассмотрим изменение плотности в объеме, представляющем собой
тонкий сферический слой с радиусом г и толщиной dr.
Поток массы через сферическую поверхность
F = 4nr2Up.
За время dt масса, заключенная в сферическом слое, изменится
на величину
dm = \F(r) - F(r + dr)]dt = -—drdt,
1	J	dr
что вызовет изменение плотности на величину
, dm	Qr
dp =	— = —4I——, откуда
4nr dr 4nr dr
dt 4nr2 dr
Подставив сюда выражение для F, получим
, „ 	 J = U или
dt r2 dr
др ттдр dU 2Up n
—+ ?/ —+ р	+ —- = 0.	D.1)
dt dr dr r
11 Зах. 3066

Уравнение Эйлера
Уравнение Эйлера имеет тот же вид, что и для одномерного
движения, что нетрудно показать. В самом деле, пусть Am = ANdrp — эле-
элемент массы, вырезанный из сферического слоя толщиной dr. Для этого эле-
элемента массы
Am— = AN\P(r) - P(r + dr)] = ~AN — dr, т. е.
dt	l	J	dr
dU dP
p	= - — или
dt dr
+ UL + L*=o.	D.2)
dt dr p dr
Уравнение сохранения энтропии
Если все движение в целом не изэнтропично, т. е. энтропия различных
частиц различна, то к полученным уравнениям надо добавить уравнение сохра-
dS
нения энтропии в каждой частице — = 0 или
dt
. - = 0.	D.3)
dt dr
Найдем, какой вид имеют уравнения движения в важном частном
случае, когда уравнение состояния — кубическое, т. е. имеет вид
Р=Ар3 или Р =
В этих случаях С2 = ЗАр2, т. е. р = f	, что после подстановки
\ЗА
в уравнение сохранения массы D.1) дает
— + U — + С	+	= 0.	D.Г)
dt dr dr r
В уравнении Эйлера
1 dP _ Зр2 A dp _ С2 Эр _ С2 дС _ дС
р dr p dr p dr С dr dr
т. е. оно принимает вид
	+ U	+ С	= 0.	D.2')
dt dr dr

Как и в случае одномерного движения, здесь удобно ввести
переменные
ОС — С +С,	р — U — С .
Складывая и вычитая D. Г) и D.2'), вместо этих уравнений получаем
5а аа Р2 -а2
— + а— = ¦
д< дг 2г
ар ар^а2-р2
dt дг 1г
В ряде случаев для численного интегрирования уравнения D.4)
удобнее, чем D. Г) и D.2').
4.2. Сферическая расходящаяся детонационная волна
Рассмотрим случай кубического уравнения состояния ПВ.
Если волна инициирована в точке в момент t = О, то радиус ее
фронта растет с постоянной скоростью D:
R=Dt.
Плотность, скорость, давление и скорость звука на фронте сохра-
сохраняют все время постоянные значения:
р = рЛро; U = UH =\D; P = Pn = ^ C = Cn=\D.
3	4	4	4
Будем искать автомодельное решение данной задачи, т. е. предположим,
что распределения U и С в разные моменты подобны самим себе. Это озна-
„ г \ г
чает, что для одинаковых значении— =	и имеет одинаковое значение
R D t
(также и С). Величину - = ? удобно принять за новую переменную,
т. е. в нашем случае
Подставим эти выражения в D. Г) и D.2'), имея в виду, что
Ё—*0к A-_Z_ А.
dt~dt'di,~ t2^'
11

Получим:
.1 „„Л
t t
1	1
- + CC--0 или
t t
D.5)
C'C + U'(U -?) = 0.
Таким образом, мы получили систему из двух обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений для двух функций U и С от одной переменной ?,.
Численное решение их затруднений не представляет. Не проделывая
этого решения полностью, отметим некоторые его особенности.
D	3
При ?, - D (фронт волны) U = UH = —¦ и С = СН = — D. Интегрируя
по ^ в сторону уменьшения ?, при некотором ?, получим U = 0 и С = С,.
В этой точке найденное решение надо сочленить с тривиальным решением
U = О, С = С,, описывающим состояние покоя в некоторой сфере, заключен-
заключенной внутри расходящейся детонационной волны.
Не проделывая численного расчета всей задачи, можно установить
одну важную особенность расходящейся детонационной волны — быстрое
убывание давления и скорости за ее фронтом.
Из D.5) находим
—[(С/-4) -С \ = ——(U-%), откуда
dC 2?/C(?/ - С)
Нетрудно видеть, что на фронте волны, где E, = D, в силу условия
Жуге числитель правой части равен нулю, т. е. ^2- = 0 или 	= оо, что
означает — = со, т. е. С (а следовательно, и Р, и р) с удалением от
фронта убывает очень быстро — кривая распределения С (г) на фронте имеет

вертикальную касательную. Аналогично ведут себя кривые распределения
р(г), Р(г), Щг).
Полученный результат является общим и оказывается справедли-
справедливым для любого уравнения состояния ПВ (читателю рекомендуется доказать
это самому).
Указанную особенность расходящейся детонационной волны впер-
впервые отметил Я.Б. Зельдович.
Продолжая решение нашей задачи, найдем распределение U и С
вблизи фронта волны. Дифференцируя D.6) по С и подставляя после этого
значения U, С , ?, для фронта, получаем (вычисления опускаем):
32
Таким образом, вблизи фронта волны
Здесь
j k _l r _1 r _R~r ^Аг
D Dt R R R
где Ar — расстояние от фронта волны, т. е.
Аналогично получаем U = UU	J3— .
н 4V R
Характер распределения U(r) и С (г) показан на рис. 4.1.
Наличие вертикальной касательной у кривых специально связано
с тем обстоятельством, что волна соответствует условию Жуге, т. е. в ней
U + C =D. Поэтому быстрое затухание в металле волны, вызванной ударом
расходящейся детонационной волны, связанное с очень быстрым убыванием
давления за фронтом, можно рассматривать как экспериментальное подтвер-
подтверждение того, что нормальная детонационная волна действительно соответст-
соответствует точке Жуге.

и,с
о
R
Рис. 4.1. Распределение U и С за фронтом сферической расходящейся детонационой
волны.
4.3. Сферическая сходящаяся детонационная волна
Пусть детонационная волна инициирована одновременно на всей
поверхности открытого сферического заряда. От поверхности заряда к центру
пойдет сходящаяся сферическая детонационная волна и через некоторое вре-
время она сфокусируется в точку в центре заряда.
Для случая кубического уравнения состояния движение ПВ опи-
описывается уравнениями D.4). Решение этих уравнений для сходящейся волны
может быть найдено только численным методом, однако, ряд основных
свойств такой волны может быть получен и без численного решения.
Важнейшей особенностью сходящейся волны является то, что
давление на ее фронте с течением времени возрастает, т. е. волна сама собой
становится пересжатой. Покажем это, вычислив начальное значение произ-
производной от давления на фронте волны по радиусу фронта —— или
dr
>J_dfcy_dfa-py_3(a-pJfda dp
dr
dr I 1С
dr dr
D.7)
da
Покажем, что — = 0 при р = рн.
dr

Проделаем следующие преобразования:
da _ da dp
dr dp dr
dp dp
0)M
dpj dpi
I-VI— --IW3V
Po P.
dp
P-
Отсюда видно, что при р = рн = — ро
dp
Следовательно, на поверхности заряда ВВ, где волна является
нормальной,
d7~
Далее, для этого же момента
что после подстановки в D.7) дает
Р
dr
2_ dp
A, dr'
D.8)
Производную — по координате фронта найдем, пользуясь вторым
dr
уравнением движения D.4).

dr dr dt dr dAd/ dr dt) &
dt dr Id/ ) dr
dt
dt
dr
d7
P^-a2 ,fdr Лэр
2r Л it J dr
dp
dr
или
dt
-i
эр
dr
При г = R (начальный момент) первое слагаемое имеет значение
D.9)
о dr 2R(-DH) 8 R
d/
Во втором слагаемом надо раскрыть неопределенность при
D.10)
— = -DH+const(r-ЯJ
dt
(т. к. прир = рн — = 0).
dp
Величину — найдем, имея в виду, что после прохождения волной
dr
малого пути Дг распределение аи Рза ее фронтом близко к распределению
за плоской волной — от фронта, прошедшего внутрь путь (R - г) до границы
разлета, прошедшей наружу путь — (R - г), р изменяется линейно от
Un-CH=-Dn до
II
I
разл
С - "
^разл ~ ^ •

Таким образом,
эр
дг
Д.
Второе слагаемое D.9) принимает вид
	F_ ^K_ 1 _.
x
V
P
dr
fa)
5P_
dr
-Д.
A,
dp
dr
D.11)
Подстановка D.10) и D.11) в D.9) дает
dp 3 DH dp
—- =	-	, откуда
dr 8 R dr '
^ = —¦^5..	D.9')
dr 16 R
Подставив это значение в D.8), для начального значения производ-
производной от давления на фронте по радиусу окончательно получаем
dP__3 P^
dr~ 8 R '
D.12)
Отсюда видно, что с уменьшением радиуса волны давление на ее
фронте растет, т. е. она сразу становится волной пересжатой.
На фронте пересжатой волны \U\ +C>\D\; таким образом, р-харак-
р-характеристики догоняют фронт такой волны.
Общая картина движения для случая сходящейся сферической де-
детонации с расположением а- и Р-характеристик показана на рис. 4.2.
В точке R Р-характеристики образуют расходящийся веер так же,
как для плоской волны. Часть этих характеристик догоняет фронт.
В качестве начального состояния для численного решения можно
принять состояние в момент At, когда а и р на участке MN распределены
примерно так же, как за плоской волной. Продолжать решение дальше мож-
можно, пользуясь уравнениями D.4), которые удобно переписать в виде
da
df
dp
d/
p2-a2
2r '
P2~a2
2r

t,
0
R
Рис. 4.2. Сходящаяся сферическая детонационная волна.
На рисунке указаны а- и C—характеристики.
Интегрируя эти уравнения от точки к точке, можно построить всю
сетку а- и р-характеристик, т. е. найти С/ и С (а также р и Р) в каждой
точке плоскости (x,t). При этом построении находится также и движение
фронта и его параметры.
Полный расчет всего схождения детонационной волны до весьма
малых радиусов проделан числено в расчетном бюро МИАН под руковод-
руководством К.А. Семендяева, результаты расчета используются для вычисления
действия сходящейся волны на сплошные шары из металла и т. п.
Для практики часто важно бывает знать не все движение ПВ, а толь-
только параметры фронта, т.е. давление и массовую скорость на нем.
Приближенно параметры фронта могут быть вычислены без полного
численного расчета. Это дает возможность сделать приближенная теория схо-
сходящейся детонационной волны, разработанная Я.Б. Зельдовичем в 1948 году.
Изложим эту теорию.
Выше было показано, что в начале движения на фронте волны
— = 0 и — = 0 . Отсюда следует, что на фронте слабо пересжатой волны а
dp	dr
мало отличается от ан , т. е.
а « const = U» + С„ =	 + —- = —-.

Решим уравнения газовой динамики D.4), считая
А,
а = const = —— .
2
Первое уравнение отпадает (оно заменено предположением а = const).
Второе уравнение из D.4)
эр Rep р2-а2
—+ Р—= --	 или
dt дг	2г
Но
dt
dp
dr
dp
dt
dr
dt
P2~a2
2r
1 dp2
2 dr
, т. e.
Отсюда
dp2
Р2-ос2
или
dp2	dr
p2-a2
ln(P -av = -l
const или
При r = R P = po, т. e. const = R(fi2o - a2). В итоге имеем
D.13)
Это уравнение дает зависимость р от г вдоль той р-характеристи-
р-характеристики, на которой начальное значение Р есть ро .

Зная зависимость Р(г), можно найти форму р-характеристики
в плоскости (r,t):
r=R
Эта формула и является уравнением р -характеристики в коорди-
координатах (г, t).
В приближенной теории скорость фронта волны считается постоян-
постоянной, т. е. момент фокусировки находится как
t,.*-.
А.
Решив уравнение Ч^О, Ро) = — относительно Ро, мы найдем ро
на той характеристике, которая приходит в центр одновременно с фронтом,
т. е. является последней р-характеристикой из числа догоняющих фронт.
Решение дает ро = —D
4
Отсюда видно, что характеристики, догоняющие фронт, идут весьма
близко от фронта (ро от - D до — D ). Это дает возможность подобрать
4
довольно точную эмпирическую формулу для р на фронте волны, взяв вид
зависимости Р(г) тот же, что на характеристике, т. е. считая
При малых — основную роль играет первое слагаемое, т. е. А надо
R
подбирать из того условия, что Р на фронте должно совпадать с Ро на пос-
последней р-характеристике ( ро = — Dn ), т. е. надо считать
4

Величину В находим из условия, что при г = R
Р = 1/и-С„ =-/)„, т.е.
D»=7ZD«+B> откУДа
1
16 "
Таким образом, на фронте волны Р описывается приближенной
формулой
16 V г
- + 11.	D.14)
4 У г
<Ф 5 Д,
Заметим, что по этой формуле начальное значение —- =	—, что
*	dr 32 Л
меньше истинного значения в 1,2 раза. В таком же соотношении оказывается
истинное и приближенное начальные значения —.
Выражения D.14) для р на фронте сходящейся детонационной
волны достаточно для того, чтобы найти закон изменения основных парамет-
параметров фронта сходящейся детонационной волны в зависимости от ее радиуса.
( + Р) 1^^у5- + 111, откуда
D15)
Далее
~ 1
(P) |^ fj7	57|, откуда

D.17)
Эти формулы по своей природе приближенные, однако практически,
точность их весьма велика. При г = R формулы точны, при уменьшении г
появляются неточности, но они невелики: при — = 0,1 вычисленное по D.17)
R
давление отличается от найденного численным методом всего на ~ 2%.
Таким образом, для описания давления на фронте волны и сравнения расчет-
расчетных данных с опытными эта формула безусловно применима.
Зная давление на фронте детонационной волны, можно вычислить ее
скорость (напомним, что в первом приближении скорость предполагалась
постоянной, т. е. вычисление скорости волны по найденному давлению в ре-
решении данной задачи является следующим приближением).
В таблице 4.1 приведены цифры, характеризующие сходящуюся
сферическую детонационную волну, рассчитанные по формулам приближен-
приближенной теории.
Таблица 4.1
г
и
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
о,з
0,2
0,1
Р
Р,
1
1,031
1,077
1,137
1,210
1,321
1,486
1,771
2,370
4,360
и
ии
1
1,031
1,075
1,131
1,198
1,291
1,423
1,630
2,000
2,902
D
1
1,000
1,002
1,005
1,010
1,023
1,044
1,086
1,185
1,502
Из этих цифр видно, что давление на фронте сходящейся детонационной
волны по мере ее приближения к центру увеличивается.

Физической причиной этого является тот факт, что ПВ на фронте
волны движутся в ту же сторону, куда волна, т. е. в случае сходящейся волны
они движутся к центру. Это замечательное свойство сходящейся детонацион-
детонационной волны оказалось очень важным для решения таких технических проблем,
которые еще недавно казались фантастическими — проблемы сжатия сплош-
сплошных металлов по объему в несколько раз.
Изложенное решение по многим причинам не описывает области
центра, где вблизи момента фокусировки развивается весьма высокое давле-
давление. Для решения задачи в этой области нельзя считать а = const, нельзя так-
также пользоваться для ПВ уравнением политропы, т. к. нагревание при ударном
сжатии и тепловое давление становятся существенными.
Очевидно, что в очень сильных ударных волнах, когда калорийность
ВВ мала по сравнению с приращением энергии в волне, ВВ ведет себя так же,
как инертное вещество, т. е. задача о схождении волны к центру с неограни-
неограниченным ростом давления для ВВ ничем не отличается от задачи о такой волне
в инертном материале.
Задачу о схождении ударной волны к центру впервые решил
К.П. Станюкович в 1947 году. Из решения видно, что по мере приближения
к центру амплитуда волны неограниченно растет, и вблизи t f и г = 0 движе-
движение является автомодельным. В случае п-3 и h = 2 давление растет по закону
1
Продолжение этого решения для t>tf и параметры отраженной от
центра волны нашел Г.М. Гандельман в 1949 году.
4.4. Движение сферических оболочек из несжимаемого материала
Изучение сферически симметричного движения оболочек предс-
представляет большой практический интерес, т. к. центростремительное движение
оболочки сопровождается сильнейшей кумуляцией энергии в ее центральных
частях. Это позволяет достигнуть столь высоких скоростей и давлений, при
которых наблюдается ряд таких замечательных явлений, как сжатие конден-
конденсированных тел по объему в несколько раз, возбуждение термоядерных реак-
реакций и т. д.
Полная картина движения оболочки, состоящей из сжимаемого
материала, весьма сложна, однако, ряд качественных особенностей этого
движения можно обнаружить, рассматривая гораздо более простой случай
движения оболочки, состоящей из несжимаемой жидкости (т. е. из несжимае-
несжимаемого материала, не обладающего прочностью).
Проделаем это.

4.4.1. Уравнение движения
Рассмотрим движение оболочки, состоящей из несжимаемого материала
с плотностью р, под действием давлений Рн и Ръ, приложенных к ее наруж-
наружной и внутренней поверхностям (рис. 4.3).
Рис. 4.3. К выводу уравнения движения сферической оболочки из несжимаемой жидкости.
Так как материал оболочки несжимаем, то в каждый момент Ur2 - const.
Пользуясь этим, найдем кинетическую энергию движущейся оболочки.
U2	Г"г
)	dr = 2np\r2U2dr, но
U2
Ur2=UBr2 т.е.
= 2пр \u2X % =
J	r2
T T — T
Здесь 1 —— = —	 = v есть относительная толщина оболочки.
Таким образом,
Е = 2ярС/в2гв3 1 - ^ I = 2npf/BVB3v.
D.18)

Введя сюда UH вместо UB по формуле UB - UH ~, получим
Ч
выражение для энергии через скорость наружной границы
D.19)
1-v
Уравнение движения оболочки получим, приравнивая изменение
кинетической энергии работе внешних сил:
йЕ = 4ягв2drB Рв - 4тггн2drH РИ или
At
D.20)
Используя D.19) и D.20) и выражая UH через UB, найдем уравнения
движения внутренней границы:
или
ГЛ.\ _1
12 Заж. ЗОбб
откуда
d?/B
—S
At
BPH f/B ,, . 2ч
s	S- - —5- vF - 4v + v ).
prBv 2rB
D.21)

Это уравнение и есть уравнение движения оболочки из несжимаемо-
несжимаемого материала. Первое слагаемое правой части есть ускорение, происходящее
от сил давления на оболочку, второе — часть ускорения, происходящая от
сферичности движения. Эта часть есть всегда независимо от того, действуют
ли на оболочку силы давления или она совершает инерционное движение.
Таким же образом можно найти уравнение движения оболочки, в котором
фигурируют не U ъ и rB, a UH и гн. Выкладки, аналогичные только что проде-
проделанным, дают
<Шя__Ръ-Рн_\-у | Ul vF-8v + 3v2)
dt prH v 2ги A-vK
Из этого уравнения видно, что относительно толстая оболочка ста-
становится мало податливой, при v -> 1 часть ускорения, зависящая от давления,
стремится к нулю.
4.4.2. Инерционное движение несжимаемой оболочки
Рассмотрим, как изменяются скорости внутренней и наружной
границ оболочек из несжимаемого материала, движущихся по инерции, т. е.
при Ръ = Рн .
Из формул D.18) и D.19) получаем
* Е
U2=
Непосредственно перед фокусировкой, когда — « 1, получаем
2яргв3
тт Const т_	in	,. „_ч
UB = —зТг— ' ^н = const rB1/2 .	D.23)

Из этих формул видно, что перед фокусировкой UB —> оо, a UH —> О,
т. е. вся энергия концентрируется во внутренних частях оболочки.
Характер картины инерционного движения несжимаемой оболочки
в координатах (г,t) показан на рис. 4.4.
Рис. 4.4. Общая картина инерционного движения несжимаемой оболочки в (г, t).
Качественно так же выглядит и движение оболочки из сжимаемого
материала. Скорость внутренней границы оболочки перед фокусировкой
стремится к бесконечности, однако порядок ее ниже и зависит от конкретного
вида уравнения состояния материала оболочки.
Из того факта, что скорость обеих границ оболочки, движущихся
по инерции, с течением времени изменяется, следует, что внутри оболочки
существует давление даже в том случае, когда давление на обеих ее поверх-
поверхностях равно нулю.
Распределение давления внутри оболочки найдем, интегрируя по г
уравнение Эйлера
dU 1 дР
—— =	—, откуда
dt p дг
'--Pl^*.
12*

Ho U = ?/в -у, тогда
At
J(
At
Подставив сюда
UU.
dt
получаем
Y - в
Найдем положение и высоту максимума Р .
Условие максимума Р — = 0 или	= 0 дает
3	дг	8Y
откуда и получаем положение максимума давления
Y — —2- —
1т

Подставляя это выражение в D.24), после несложных преобразова-
преобразований получаем высоту максимума давления
р -
pt/°
ft у \2Ы
V 1т) \J m
D.26)
При гв ->¦ 0 (фокусировка)
= 0,63 .
Таким образом, положение максимума гт = — = 4 гв неограничен-
но приближается к центру, при этом максимальное давление неограниченно
растет по закону
= 0,236pt/B2.
,4/3
Следует отметить, что не только в максимуме, но и во всех других
точках оболочки перед фокусировкой давление также неограниченно растет,
что видно из формулы D.24), где UB -> °о.
4.4.3. Упругое соударение несжимаемых оболочек
Рассмотрим удар одной оболочки из несжимаемого материала по
другой, считая удар упругим. Такое соударение можно рассматривать как
удар одной оболочки о другую через очень тонкую упругую прокладку.
Схема соударения показана на рис. 4.5. Внутренняя оболочка до
удара считается неподвижной.
Рис. 4.5. Схема соударения двух однослойных оболочек.

Во время контакта оболочки действует друг на друга давлением
Р — на наружную оболочку изнутри, на внутреннюю — снаружи. Следова-
Следовательно, уравнения движения для них имеют вид
dU2
dt
dU{
dt
P U{
p,rv, Ъ
P l~v2 {
p2r v2
Интегрируя оба уравнения по t по промежутку времени А/, рав-
равному времени контакта между оболочками, и переходя к пределу при Л/ -»• 0,
получаем
{Pdt j
АС/, =-^	= —1—.
p,rv,
\Pdt j_
p2r v2	p2rv2
/=
Вторые слагаемые уравнений при этом пропадают, т. к. величина
их конечна, а интегрирование ведется в интервале А/ -> 0 .
Из этих формул получаем
Д?/ =_t/?L. ^L.—L-.	D.27)
Pi vi l-v2
Далее для нахождения скорости внутренней оболочки после удара
используем закон сохранения энергии
?, +Е2 =?10 +-?2о-
В нашем случае Е20 - 0 (вторая оболочка до удара покоится).
Подставляя сюда значения Еь Е2, и Е]0, пользуясь формулами D.18)
и D.19), получаем
2r3
2яР1(Е/10 + AC/,Jr3v,

Подставляя сюда АС/, из D.27), имеем
р,
р, v, l-v2
= ?/,20,откуда
Pi v,(l-v2)
Найдем далее, какую долю энергии ударяющей оболочки получает
внутренняя оболочка, покоившаяся до удара. Коэффициент передачи энергии
1-v,
'10
Pi
i - v.
что после использования D.28) дает
Pi
4a
ИЛИ
Pi vi(l-v2)
D.29)
где а- — -
Pi
iO-v2)'
Легко видеть, что при а = 1 получаем г\ = 1, т. е. энергия передается
полностью и ударяющая оболочка после удара покоится. Условие полной
передачи энергии
Р2	V2 _!
Pi vi(!-v2)
Аналогичным образом можно найти энергию внутренней оболочки
и для случая, когда тонкая прокладка состоит из ВВ, т. е. в процессе удара
выделяет энергию. Для этого в правой части баланса энергии надо прибавить
энергию ВВ.
Таким же образом можно рассмотреть упругое соударение мно-
многослойных оболочек. В частности, для удара однослойной оболочки (p(v,)

по двухслойной (p2v2; p3v3) при условии, что слои эти не могут отделиться
друг от друга, можно получить
^ttV-	D30)
( )
Pi7
1-V3
где а-
Plv,(l-v2)
F + F
(Здесь г) = —	, т. е. она характеризует энергию обоих слоев внутренней
двухслойной оболочки). Схема соударения для этого случая показана на рис. 4.6.
Рис. 4.6. Схема соударения однослойной оболочки с двухслойной.
Результаты вычислений по этим формулам тем точнее, чем ближе
к истине основное предположение о несжимаемости оболочек. Это допуще-
допущение тем точнее, чем меньше относительные толщины всех оболочек, т. к. для
тонких оболочек процесс передачи энергии заканчивается к тому моменту,
когда оболочки еще тонки, т. е. где сжимаемость их играет малую роль. Ре-
Результат расчета будет также правильным, если соударение происходит с ма-
малой скоростью и фактически достигаемые сжатия оболочек малы. Удар мож-
можно считать слабым, если величина — мала.
По-видимому, величина ошибки тем меньше, чем меньше — v для
всех участвующих в движении оболочек.

Заметим, что при отсутствии упругой прокладки соударение
оболочек даже с малой скоростью приводит к образованию откола (если обо-
оболочка не обладает прочностью) или волн сжатия и разрежения, движущихся
по оболочкам после их соударения (для оболочек прочных на разрыв). Таким
образом, этот случай формулами упругого соударения не описывается, в час-
частности, коэффициент передачи энергии для этого случая отличается от най-
найденного в этом параграфе.
4.5. Сферический пузырек в сжимаемой жидкости
и сходящаяся ударная волна
Учитывая сжимаемость при схлопывании пузырька, интересно было
узнать, как выглядит кумуляция в задаче без такой сильной идеализации, как
предположение о несжимаемости, остается ли она бесконечной и каков
порядок этой бесконечности. Если факт кумуляции можно было предугадать
(и решение подтвердило его), то другой факт был неожиданным — предель-
предельных решений оказалось много и возник вопрос о выборе главного из них.
Среди исследований в этой области выделяется работа К.П. Станюковича,
в которой им был открыт новый тип автомодельных решений, характерный
для явлений кумуляции и определяемый из анализа особых точек уравнений
задачи. Решение этого же типа имеет и задача о пузырьке в сжимаемой жид-
жидкости. Эту задачу рассмотрим подробнее, хотя исторически она первой
не была (задача об ударной волне несколько сложнее).
В постановке задачи о пузырьке большую роль сыграли работы
Я.Б. Зельдовича и К.А. Семендяева, решения ее сделали Г.М. Гандельман
и И.М. Гельфанд с сотрудниками A952 г.). Систематизированное изложение
дано позже Я.М. Кажданом и К.В. Брушлинским. Независимо эту задачу ре-
решил К. Хантер.
Изложим решение для кубического уравнения состояния Р = Ар3,
при котором выкладки несколько упрощаются.
Предельное решение вблизи фокусировки ищем в автомодельной
форме
где ? = —j- и f — время, отсчитанное от фокусировки (до схлопывания / < 0),
X — постоянное число, заранее неизвестное.
1
На поверхности пузырька \ = const и / = const • гх, откуда U
т. е., если X > 1, то перед фокусировкой ?/-><», и кумуляция неограниченна.

Подставив выражения для а и р в уравнения движения D.4),
получаем
da _ Ъа2-2Ха-в2
de _
d^~
ХA - а) '
3s2 -2Хв-а2
2Ц1-в) '
D.31)
что после деления одного уравнения на другое сводится к одному уравнению
de _ 1-д Зв2 -Ткв-а1
do 1-е За2-2Ха-в2 '
Линии ? = const образуют семейство, показанное на рис. 4.7, вдоль
каждой из них айв постоянны.
О
Рис. 4.7. Автомодельное схлопывание пузырька в сжимаемой жидкости.
О — фокус; кривые изображают линии \=const; ОЛ соответствует свободной поверхности.
Выясним граничные условия, т. е. найдем а и в на. свободной гра-
границе и для момента фокусировки. Имеем
Xt
с_ г а-в
X' 2

На свободной границе С = О и U = —, т. е. а = в = 1; в момент фокусировки
Kt
t = О, но U и С ограничены при г * 0, т. е. а = в = 0.
Таким образом, в плоскости (а, в) надо найти интегральную кривую,
соединяющую точки А(\, 1) и F@, 0).
На рис. 4.8 показаны плоскость (а,в ) и изоклины нулей и бесконеч-
бесконечностей (прямые и гиперболы), пересечения которых указывают положения
особых точек.
Рис. 4.8. Плоскость автомодельных функций для пузырька в сжимаемой жидкости.
Жирные линии — изоклины 0 и оо, А соответствует свободной границе, F — фокусировке.
Искомая кривая соединяет эти точки.
А и F — особые точки. А — седло, из которого можно выйти либо
по биссектрисе а = в (тривиальное решение С = 0), либо по нормали к ней.
Нас интересует ветвь, идущая вверх (С >0). F — дикритический узел. Ясно,
что между А и D интересующая нас интегральная кривая пересечь линию

в = 1 не может, это может произойти лишь в особой точке D на пересечении
горизонтали в = 1 с гиперболой, существующей лишь при X < 1,5. С другой
стороны, ясно, что Л. > 1 (свободная граница движется не замедленно); таким
образом, можно утверждать, что А, заключено между 1 и 1,5.
Исследуем характер особой точки D. Разложив числитель и знаменатель
D.32) вблизи Dno х =a — aD и у = в -eD , после упрощений получаем
Ау х^}Ъ-2Х + у(Х - 3) тх + пу
dx 4 - ЗА, - W3 - 2Х By
Если производная — имеет в особой точке определенное значение z, то
eta
m + nz
z =	.
Bz
Это уравнение относительно z имеет действительные корни (т. е. особая точка D
является узлом) при п1 + АтВ > 0 или
1-V3-2A.
что дает X > 1,407.
При X < 1,407 точка D — фокус (z — комплексное), кривая накручи-
накручивается на него и в сторону F пройти не может (рис. А.9,а). При А, > 1,407 точка
D есть обычный узел, имеющий два направления, общее и особое, по которому
проходит только одна кривая. Нетрудно видеть, что наклон ее больше, чем для
входящего в узел пучка. При X и 1,407 интегральная кривая, идущая из А в D ,
принадлежит к нижней части основного пучка, т. е. до входа в D пересекает
линию в = 1 (рис. 4.9,в). Служить решением она не может, т. к. нарушается од-
однозначность зависимости в от ?, что видно из второго уравнения D.31).
При дальнейшем увеличении X узел D скользит влево, особая кривая
(пунктир на рис. 4.9) перемещается все ближе кЛи, наконец, проходит через
эту точку (рис. 4.9,с).
Это происходит при X = 1,411 (определено методом попыток с помощью
численного интегрирования D.32)). Интегральная кривая плавно проходит через
D сверху вниз и при этом она всюду аналитична. Дальше она попадает
в дикритический узел F@,0), т. е. кривая является решением и при том
аналитическим. Зная ее, можно числено интегрировать D.31) и найти зависи-
р
мость а и в от Ь, и далее аир или U и С от — и t,.

Рис. 4.9. Выбор показателя автомодельности Я, из условий прохождения особой точки
(пунктиром указана особая линия узла D).
При любом большем X (но меньшем, чем 1,5) в узле D найдется кривая,
приходящая из А (она принадлежит к верхней части основного пучка узла D).
Продолжение ее вниз попадает в F, т. е. кривая также является решением.
Однако, оказывается, что, вообще говоря, в окрестности D она
неразложима в степенной ряд, т. е. решение не является аналитическим. Та-
Таких решений континуум (при любом X в интервале от 1,411 до 1,5), больше
того, при каждом X решение не одно, а их множество: при фиксированном X
вниз от D можно идти не по одной кривой, а по любой из числа тех, что при-
приходят в F (рис. 4.9,J).
Я.М. Каждая показал, что условие аналитичности выполнено и для
некоторых избранных значений X в этом интервале, ближайшее из них
X = 1,437. Решение с X = 1,411 остается выделенным как обладающее наимень-
наименьшим X, т. е. наименьшим показателем кумуляции.
Таким образом, обнаружено множество предельных решений, удов-
удовлетворяющих уравнениям, т. е. описывающих некоторые случаи движения, по
крайней мере с искусственно подобранными начальными условиями (а имен-
именно, соответствующими самому решению). На какую из асимптотик выходят
движения с произвольными начальными условиями — ясно не вполне.
По-видимому, выделенными будут аналитические решения (гипотеза Гель-
фанда); численные расчеты указывают, что реализуется асимптотика с наи-
наименьшим показателем кумуляции.

Описанное решение подтвердило наличие неограниченной куму-
кумуляции и в сжимаемой жидкости, т. е. это есть действительное свойство явле-
явления, а не случайное следствие идеализации при постановке задачи.
Вид кумуляции, естественно, отличается от того, что был в несжимае-
1	1
мои жидкости, расходятся скорость и плотность: и	^-^- и р	^7 ; поведе-
Г'	Г
ние же температуры может быть различным. Если вещество — газ, имевший
начальную температуру, то в фокусе расходится и температура (адиабатическое
сжатие), если же температура была нулевой (давление обусловлено только уп-
упругостью), то она и остается нулевой вплоть до фокусировки.
Степень кумуляции X для разных показателей у различна, но факт
кумуляции сохраняется всюду, что видно из результатов решений, заимство-
заимствованных из статьи К.В. Брушлинского и Я.М. Каждана [10] (таблица 4.2).
Таблица 4.2
У
3
2
5/3
Схлопывание
пузырька
X
1,411
1,176
1,064
Сходящаяся ударная волна
X
1,571
1,499
1,453
Ь,
2,73
5,60
9,33
5т
3,35
9,80
24,3
Аналогично с анализом особых точек решается задача об автомо-
автомодельном движении сходящейся ударной волны. Не описывая его подробно,
приведем некоторые результаты этих решений, выполненных К.А. Семендяе-
вым с сотрудниками, для идеальных газов с различными у (таблица 4.2).
Здесь X — показатель кумуляции (t ~ г х );
Ъ f — плотность в момент фокусировки (она не зависит от радиуса);
5т — средняя плотность за отраженной от центра волной.
4.6. Об устойчивости контактных границ
В рамках задач об одноразмерных движениях неустойчивости формы
места нет (плоскость остается плоскостью, сфера — сферой и т. д.), но в ре-
реальных движениях эта неустойчивость возможна и практически встречается
очень часто, плоские слои могут искривляться из—за развития малых возму-
возмущений и т. п.

Граница двух жидкостей может быть неустойчивой не только при
скольжении одной из них по другой из-за вязкости, но и без скольжения, если
ускорение направлено от легкой жидкости к тяжелой. В этом случае тяжелая
жидкость как бы налита на поверхность легкой и, как принято говорить, ведет
себя как ртуть на воде. Возникающее перемешивание называется конвектив-
конвективным или гравитационным.
При другом направлении ускорения наоборот, граница устойчива,
возмущения на ней не растут, а имеют вид волн, как на поверхности воды
в поле тяжести, поэтому их иногда называют гравитационными.
Неустойчива, например, граница между ПВ и воздухом при взрыве
в атмосфере (легкий воздух тормозит более тяжелые ПВ) или при ускорении
свинцовой пластины взрывом (легкие ПВ ускоряют более тяжелый свинец).
Вопрос о конвективном перемешивании возникает почти в каждой задаче
о взрыве. Рассмотрим поведение возмущений на границе двух жидкостей при
обоих знаках ускорения, считая их несжимаемыми.
4.6.1. Волны на поверхности жидкости
Пусть тяжелая жидкость в большом сосуде граничит с пустотой.
Выберем систему координат так, чтобы плоскость (x,g) совпадала с невозму-
невозмущенной поверхностью жидкости и ось z была направлена вверх, как на рис. 4.10.
0
х
g
Рис. 4.10. Волны на поверхности жидкости.
Составляющие скорости W по осям х и z обозначим через U и U .
Если возмущения малы, точнее поверхность наклонена слабо, то в левой
8W / -Л	->
части уравнения Эйлера	+ W\VW\+VP = g второй член отпадает, т. к.
W\VW\
dt V )
wfvw)
WW
где / — длина волны, а

dW
WD
где D — скорость волны, т. е.
w\vw\
8W
dt
W a ,
	«1,
D I
где а — амплитуда волны.
Тогда уравнения движения имеют вид
dt
8U*
ot
ou
1
p
1
p
dL
дх
dP
D-33)
cbc 9г
Продифференцировав первое уравнение по х, второе по z и сложив
их, получаем
82Р д2Р
дх2 dz2
= 0
D.34)
Считая начальное возмущение гармоническим, ищем решение для
Р в виде
) • cos (at • cos kx \ к = — .
Подстановка этого в D.34) дает
^ 0,
dz
откуда A{z} = Ао exp (Az) (второе решение с ехр (-кг) отбрасываем, как
неограниченно растущее с глубиной). Неизвестную пока частоту ю найдем
с помощью краевого условия — нулевого давления на поверхности следую-
следующим образом.

Введем потенциал cp(jc, z, t), такой, что
дх
Из второго уравнения D.33) получаем
д (д<?
dt р
dz
~J7 + ~ =-Я. откУДа
dt р)
и далее
5ф (Р Л А ...	.
—- = - — + gz\= — - exp (kz) ¦ cos Ш ¦ cos kx .
dt \p ) p
На поверхности, ординату которой обозначим q , Р = 0, т. е.
9ф =0.
D.35)
D.36)
D.37)
Вертикальная скорость поверхности U = —, т. е.
dt
dq d<p
"э7""э7
Подставив сюда q из D.37), получаем
1 Э2ю Эш
	J- = —-, а также
g 3f2 dz'
1 Э3ф __Э_ Эф
g dt3 ~ dz dt"
Наконец, подставив сюда — из D.36), получаем — = к , т. е. ш =
dt	g
Окончательное решение для Р имеет вид
Р = -gpz + Ao exp (kz)- cos yjkgt- cos be.
13 3ai. 3066

Оно соответствует стоячей волне, которую можно представить как
сумму встречных бегущих волн, преобразуя произведение косинусов к их
сумме
Р = -gpz + — exp (fe)|cos (yfkg • t + kx) + cos Ukg ¦ t -kx\\.
Каждая из волн движется с абсолютной скоростью D- — = —— = J— .
t к \2п
Эта скорость фазовая.
Из формулы видно, что скорость тем больше, чем больше длина
волны, т. е. эти волны существенно отличаются от звуковых, скорость кото-
которых постоянна. Множитель ехр (kz) = ехр 2я — в решении описывает убы-
убывание амплитуды с глубиной, которое оказывается очень сильным: на глуби-
глубине, равной одной длине волны, т.е. при z = -/, амплитуда волны меньше, чем
на поверхности в ехр Bл) = 530 раз. Таким образом, возмущения устойчивой
поверхности не только не развиваются, но и локализуются вблизи нее. В ча-
частности, волнение моря почти не проникает в глубину, и там нет качки ни
в какую погоду.
4.6.2. Конвективная неустойчивость
Задачу о конвективной неустойчивости, рассмотренную Тейлором,
решим сначала для частного случая, когда одна из жидкостей (нижняя) неве-
невесома. Такая система получится, если в предыдущей задаче изменить знак
ускорения на обратный. В этом случае будет a-yj-gk =i-Jgk и вместо
cos <[gk-t войдет
cos ijgk t = ch Jgk-t = -(exp (Jgk-t) +
т. е. амплитуда возмущения со временем начнет экспоненциально как
ехр L /2я — • t\ . Особенно быстро растут короткие волны. Не прибегая к выклад-
выкладкам, можно получить это выражение и для более общего случая, когда обе
жидкости имеют конечную плотность и тяжелая жидкость с рт находится над
легкой с рл . В этом случае в поле тяжести g характерное ускорение найдем

как частное от ускоряющей силы g(pT - рл) и массы рт + рл , т. е. получим
g—-	—. В этом более общем,случае возмущение будет расти как
Рт +Рл
ехр
Эта теория относится только к малым возмущениям, когда углы
наклона поверхности еще малы. Когда возмущения сильно разовьются,
то установится другой предельный режим их роста, который для случая
сложного начального спектра их рассмотрен Фрадкиным и Беленьким. Ими
получено (приводим это без вывода), что толщина слоя перемешивания растет
как const — ¦ В, где В = ——, a const — определяемая опытом величина.
Р	2
Как показывает исследование, неустойчивость границы сильно
уменьшается, если граница между жидкостями не четкая, а размытая, т. е.
если они разделены слоем с плавно сменяющейся плотностью. Так для слоя
с толщиной, равной длине волны, начальное ускорение роста возмущений
уменьшается более, чем втрое.
4.6.3. Колебательная неустойчивость
Поверхность с благоприятным направлением ускорения, оказывается,
тоже может быть неустойчивой, если сама она сокращается, как например,
поверхность схлопывающегося пузырька. Это показал А.Д. Сахаров.
Характер неустойчивости здесь иной, она имеет вид усиливающихся
колебаний, а не монотонно растущих возмущений.
Пусть в схлопывающемся пузырьке в несжимаемой жидкости на его
поверхности возникли волны. Если изменение ускорения поверхности обо-
оболочки медленны по сравнению с их колебаниями (т. е. если волны достаточно
коротки), то имеет место сохранение отношения их энергии к частоте, назы-
называемого адиабатическим инвариантом.
Энергия волн Е ~ a2UN ~ a2Ur2,
где N — величина поверхности,
U — ее ускорение,
а — амплитуда волн.
Частота ю ~ J	J— , где /~ г — длина волны (число волн на
поверхности сохраняется).
13*

Тоесть l
«> и
j2
Перед фокусировкой U1 —^
тт dUTT dUl 1
U =	U	-,то
йг	dr r4
а 5/2
—г-г - const или
г
1
а ~—гт.
т. е. амплитуда волн перед фокусировкой неограниченно растет.
Такого же типа неустойчивость может быть и на границе двух сред,
если их поверхность раздела сокращается, а также на сходящейся ударной волне.
Неустойчивость, как правило, сопровождает явления кумуляции
и служит главной причиной ее практического ограничения.

Условные обозначения
ВВ — взрывчатое вещество
ПВ — продукты взрыва
х, у, z — координаты
г — радиус
t — время
т — масса
*V — объем
V— удельный объем (объем единицы массы)
р — плотность
Р — давление
s — внутренняя энергия единицы массы
Т— температура
S — энтропия
Q — теплота
Руп — "упругая" составляющая давления
Р1еп -— тепловая составляющая давления
еуп — энергия упругого сжатия
етеп — тепловая энергия
Г — коэффициент Грюнайзена
СР — удельная теплоемкость при постоянном давлении
Cv — удельная теплоемкость при постоянном	объеме
С — скорость звука
D — скорость ударной (детонационной) волны
W, U, U* — скорость вещества
3* — адиабата Пуассона
Н— адиабата Гюгонио
ро, Vo, Ро ... — начальные значения соответствующих параметров
р00 — начальная плотность пористого вещества
к — коэффициент пористости
5 — относительная плотность
а — сжатие вещества на фронте ударной волны
h — предельное сжатие на фронте ударной волны
у — показатель политропы

п — показатель степенной зависимости давления от плотности
q — тепловая энергия, оставшаяся в веществе после ударного сжатия и после-
последующей разгрузки
Q* — поток тепла
as — коэффициент теплопроводности
ар — растягивающее напряжение, при котором происходит откол
q' — калорийность ВВ (энергия единицы массы)
НD —линия возможных состояний на фронте детонационной волны
J— точка (плоскость) Жуге
Ровв — начальная плотность ВВ (применяется в случае необходимости отли-
отличить от начальной плотности другого материала ро)
Рх п —давление в химическом пике
Сн, UH, Ри —значения соответствующих параметров фронта нормальной
детонационной волны
Ротр — давление в ПВ при отражении детонации от преграды
R — радиус заряда ВВ
а, Р — характеристики (и соответствующие им инварианты Римана) уравне-
уравнений изэнтропического движения среды
Un — скорость поршня
Сп — скорость звука в веществе при движении его со скоростью Un
Ск — критическая скорость звука
Рк, рк — параметры вещества, при которых реализуется критическая ско-
скорость звука
U — скорость разлета вещества (ПВ) с поверхности в вакуум
гв — радиус внутренней поверхности оболочки
ги — радиус наружной оболочки
v — относительная толщина оболочки
UB (Ua) — скорость внутренней (наружной) поверхности оболочки
Рв (Рн) — давление на внутреннюю (наружную) поверхность оболочки
Е — кинетическая энергия оболочки (пластины)
ц — коэффициент передачи энергии от одной оболочки к другой
(д. — отношение массы заряда ВВ к массе пластины
Uan — скорость пластины

(С/^,) — предельная скорость пластины
Ф — доля энергии ВВ, получаемой пластиной, порши
X — степень кумуляции
рст — плотность струи
рбр — плотность брони
L, I — длина, путь
N—площадь поверхности, сечения
F— поток массы вещества
/ —- импульс
М— число Маха
со — частота
9, е, а, ф, Р — углы
Rr — универсальная газовая постоянная
а' — постоянная Стефана-Больцмана
g — ускорение силы тяжести

1.	Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. -— М: Изд. технико-теоре-
технико-теоретической лит., 1953 — 788 с.
2.	Альтшулер Л.В. и др. Динамическая сжимаемость и уравнение состояния
железа при высоких давлениях // ЖЭТФ. — 1958 — Т. 34, вып. 4. —
С. 874-885.
3.	Альтшулер Л.В. и др. Ударные адиабаты и нулевые изотермы семи металлов
при высоких давлениях // ЖЭТФ. —1962. — Т. 42, вып. 1.— С. 91-104.
4.	Кормер СБ. и др. Динамическое сжатие пористых металлов и уравнение
состояния с переменной теплоемкостью при высоких температурах // ЖЭТФ. ¦—
1962. —Т. 42, вып. 3.— С. 686-702.
5.	Алыптулер Л.В. Применение ударных волн в физике высоких давлений // —
УФН. — 1965. — Т. 85, вып. 2.— С. 197-258.
6.	Bancroft D., Peterson E.L., Minshall S. Polymorphism of iron at high pressure //
g. Appl. Phys.— 1956. — V. 27, № 3.
7.	Новиков С.А., Синицына Л.М. О влиянии давления ударного сжатия на
величину критических напряжений сдвига в металлах // ПМТФ. — 1970. —
№ 6.— С. 233-240.
8.	Зельдович Я.Б., Компанеец А.С. Теория детонации: М.: Гостехиздат. — 1955. —
268 с.
9.	Мержиевский Л.А. и др. Ускоренное распространение детонации в зарядах
с полостью, заполненной литием // ФГВ. — 1976. № 2. — С. 233-240.
Ю.Брушлинский К.В. и Каждан Я.М. // Об автомодельных решениях некоторых
задач газодинамики.

Об авторе и книге	3
ГЛАВА 1	5
Ударные и детонационные волны	5
1.1.	Уравнения сохранения массы, импульса и энергии	5
1.2.	Ударные волны в акустическом приближении	13
1.3.	Опытное определение ударной сжимаемости	18
1.3.1.	Слабые ударные волны. Метод откола	18
1.3.2.	Сильные ударные волны. Метод удара	19
1.3.2.1.	Соударение одинаковых материалов	19
1.3.2.2.	Соударение различных материалов	20
1.4.	Распад разрыва [метод (Р, U) -диаграмм]	21
1.5.	Об уравнении состояния	31
1.6.	Нагревание ударной волной	39
1.7.	Боковая разгрузка ударной волны	44
1.8.	Детонационная волна	51
1.9.	Уравнение состояния продуктов взрыва	60
1.9.1.	Степенное уравнение состояния ПВ	61
1.9.2.	Кубическое уравнение состояния ПВ	66
1.9.3.	Экспериментальные методы определения параметров
детонационных волн	68
1.9.3.1.	Ренгенографический метод	68
1.9.3.2.	Метод торможения ПВ	69
1.9.3.3.	Электромагнитный метод	71
1.10.	Детонация пористых ПВ	71
1.11.	Детонация смесей ВВ	73
1.11.1 ВВ с инертной примесью	73
1.11.2. Смеси различных ВВ	76
1.12.	Ударные волны в теплопроводном газе	79

Одномерное нестационарное движение	83
2.1.	Уравнения движения	83
2.2.	Плоская детонационная волна	87
2.3.	Затухание плоской ударной волны	91
2.4.	Дробление вещества ударной волной (откол)	96
2.4.1.	Поршень, движущийся с постоянной скоростью	96
2.4.2.	Поршень, движущийся замедленно. Критерий откола	98
2.4.3.	Смыкание откола (качественная картина)	100
2.4.4.	Влияние прочности материала на откол	101
2.4.5.	Откол при соударении плоских пластин
2.4.5.1.	Соударение с малой скоростью	104
2.4.5.2.	Соударение со скоростью,
соизмеримой со скоростью звука	105
2.5.	Ускорение несжимаемых пластин плоской детонационной волной 106
2.6.	Действие плоской детонационной волны на толстую
сжимаемую пластинку	111
2.7.	Задача о наилучшем отборе энергии от заряда ВВ	116
ГЛАВА 3	122
Двумерное стационарное течение	122
3.1.	Уравнения движения. Интеграл Бернулли	122
3.2.	Элементарная теория кумулятивных струй	126
3.3.	О косом столкновении толстых пластин из сжимаемого материала 129
3.4.	О косом столкновении ударных волн	13 2
3.5.	Выход слабой ударной волны на свободную поверхность под углом 139
3.6.	Метод диаграмм (Р, U)	141
3.7.	Сверхзвуковое обтекание клина	143
3.8.	Сверхзвуковое обтекание выпуклого угла
(течение Прандтля-Майера)	148
3.9.	Боковой разлет ПВ нормальной детонационной волны	156
3.10.	О возможности сжатия ВВ за счет энергии,
выделяющейся при его взрыве	158

Сферически симметричное движение	161
4.1.	Уравнения движения	161
4.2.	Сферическая расходящаяся детонационная волна	163
4.3.	Сферическая сходящаяся детонационная волна	166
4.4.	Движение сферических оболочек из несжимаемого материала	175
4.4.1.	Уравнение движения	176
4.4.2.	Инерционное движение несжимаемой оболочки	178
4.4.3.	Упругое соударение несжимаемых оболочек	181
4.5.	Сферический пузырек в сжимаемой жидкости
и сходящейся ударная волна	185
4.6.	Об устойчивости контрактных границ	190
4.6.1.	Волны на поверхности жидкости	191
4.6.2.	Конвективная неустойчивость	194
4.6.3.	Колебательная неустойчивость	195
Обозначения	197
Литература	200

сборник научных статей
Е.И. Забабахина
Заглянуть за горизонт
монография
В.М. Правдина, А.П. Шанина
Баллистика неуправляемых
летательных аппаратов
сборник статей
В.И. Таржанова, Б.В. Литвинова,
А.А. Волковой и др.
Быстрое инициирование ВВ.
Особые режимы детонации
книга Е.Н. Петрова
Стопорение резьбовых
соединений

РФЯЦ-ВНИИТФ
Е.И. Забабахин. Некоторые вопросы газодинамики взрыва
Научный редактор	д.т.н. Б.Г. Лобойко
Редактор	Т.Н. Горбатова
Корректор	Н.И. Потеряхина
Компьютерный набор и верстка	О.В. Завьялова
Художник	Е.В. Козловская
Ответственный за выпуск	В.Н. Ананийчук
Лицензия ЛР № 021043
Оригинал-макет подготовлен
редакционно-издательской группой ОНТИ РФЯЦ—ВНИИТФ.
Подписано в печать 09.06.97. Формат 70x100/16. Гарнитура Тайме.
Печать офсетная. Усл.пл. 16,1. Тираж 1000. Заказ № 3066.
Отпечатано в издательстве «Челябинский Дом печати»
454080, г. Челябинск, Свердловский пр., 60.

ОПЕЧАТКИ И ИСПРАВЛЕНИЯ
Стр.
Строка
Напечатано
Должно быть
96
ПО
112
112
138
142
182
194
28
13
10
1
23
Ет
?вв
2РЛ
10
16. рв
27 D
D~ D
pBV?> 4 D) D
6 -p2-
?"P"
также
действует
начнет
D
1о
а_
16 ровв
27 D
р0
Р,
также
действуют
растет
Е.И. Забабахин "Некоторые вопросы газодинамики взрыва"