Автор: Попов Г.Н.  

Теги: очерки по истории   математическая мысль   издательство сеятель   древний перу   старый и новый свет  

Год: 1923

Похожие

Природа и древний человек

Культура Древнего Египта

По следам древних культур. Древняя Русь

Древний Рим

Текст 
                    

Книгоиздательство „СЕЯТЕЛЬ" Е. В. Высоцкого.
Петдаад Пр. Володарского (б. Литейный), 34 тел. 5-47-76.
Г. н. ПОПОВ.
Серия очерков по истории развития
математической мысли у древних
народов Старого и Нового Света.
Каждый очерк бу чет содержать 2—3 печатных листа. В целом
вся серия имеет своей задачей привить читателю вкус к истории
математики. В школ! ном преподавании математика кажется сухой,
именно, потому, что по установившейся традиции, от которой не
отказались в до сих пор, в школе не было н нет места „истори-
ческой перспективе*, а между тем зто единственный надежный путь
пробуждения интереса к математике для понимания ее целей и за-
дач, для сознательного пользования ее средствами и, наконец, длн
выявления математической инициативы.
ВЫШЛИ ИЗ ПЕЧАТИ:
Культура точного знания в древнем Перу в связи
с развитием узл во го счета и письма.
Псаммит Архимеда с комментариями и кратким очерком
научной деятельности Архимеда.
ГОТОВ. ITCH К ПЕЧАТИ:
Инструментальный счет Его происхождение и развитие.
Арифметические знания древнего Египта.
Арифметические знания древнего Вавилона.
.Знак в окружности"—древнейший китайский математи-
* трактат.
Т-	-ые задачи древности (квадратура круга.
чу5а, трисекция угяа>.
алмуд.
оахтат индусского математика Байскара-
евязи с состоянием арифметических зна-
х,
менте в алгебре у арабов.
л развития математической мысли

Серия очерков по „истории развития матема-
тической мысли и культуры точного знания у
древних народов Старого и Нового Света*1.
Г. 11. ПОПОВ.
КУЛЬТУРА ТОЧНОГО ЗНАНИЯ
В ДРЕВНЕМ ПЕРУ
(В СВЯЗИ С ПРОИСХОЖДЕНИЕМ И РАЗВИТИЕМ УЗЛО-
ВОГО СЧЕТА И ПИСЬМА).
КНИГОИЗДАТЕЛЬСТВО
„С Е Я Т Е Л Ь«
Е. В. ВЫСОЦКОГО.
ПЕТРОГРАД.
1922.

Типография Коминтерна.
Петроград, Екатерингофский пр., 87
Главлит № 4144.	3С00 экз.
ГОС БИБЛИОТЕК *
п С ЕЧРОД НУ
LPA 9 ОВ А НИ И'
'«----Mlosbolt-

Предисловие.
В сочинениях по истории математики вопросу возник-
новения и развития древней математической культуры
Нового Света не уделяется внимания, а если что и гово-
рится, то вскользь, как будто работа мысли в этом на-
правлении у майасов, ацтеков или инков заслуживает
меньшего внимания, чем то, что сделано в той же обла-
сти народами Древнего Востока.
Культура Нового Света дает не мало материала, при-
том совершенно своеобразного, для изучения генезиса
основных математических идей.
Правда, этот материал во многих частях еще недоста-
точно обследован, с одной стороны, в виду трудности
дешифровки первоисточников, с другой—вследствие сра-
внительной ркудости памятников и остатков письменно-
сти, в зна жтельной мере истребленной в свое время ев-
ропейскими культур-трегерами под давлением фанатически
настроенных служителей церкви, но нельзя пренебрегать
и тем немногим, что нам доступно и что может в ряде
интересных сопоставлений привести к более детальному
освещению путей, которым следовала человеческая мысль
в своих творческих завоеваниях, хотя бы и примитивных.
В предлагаемой монографии мы коснемся древней
южно-американской культуры в лице ее главных пред-

4
ставнтелей—обитателей Перу. Она имеет цепью впервые
с возможной полнотой на основе изучения сохранившихся
памятников обрисовать геометрические и арифметические
знания перуанцев, чему, как я уже указал, историки ма-
тематики почти не уделяли внимания не только в русской,
но и в западно-европейской литературе.
Источники:
Taylor	— „Researches into Early History of Mankind.
М. Lacroix	— „Рёгои", 1843. Книга ценна богатым собранием гравюр, воспроизводящих памятники древности.
Wuttke	— „Die Entstehung der Schrift der nicht alphabetisch schreibenden Volker" x).
Ch. Wiener Tschudy Markham D’Orbigny Andree	— „Рёгои et Bolivie", 1880. — „ Travels in Peru". — „The Inca Civilization in Peru". „L’Homme americain". — „Merkzeichen und Knotenschrift".
Kingsborough — „Antiquities of Mexico, ancient Mexican
hieroglyfics. London, 1831 г. Драго-
M. Uhle	ценное художественное издание. — „Kultur und Industrie sfidamerikani- scher Volker".
*) На русском языке есть статья проф. Бобынина „Проис-
хождение и первоначальное развитие письменного счисления ",
составленная, главным образом, по Вутке. Она помещена в
первом томе „Математического Листка", издававшегося Голь-
денбергом. Книга эта давно стала библиографической ред-
костью.

5
Цревнейшими и надежными источниками сведений о
древнем Перу являются две книги. Первая из них при-
надлежит перу испанца Педро Киеза де Леон (1519—
1560), прожившего семнадцать лет в Ю. Америке и по-
сетившего все исторические местности. 1-я часть его
книги „Cronica del Peru": „Разделение и описание про-
винций Перу“ издана в Севилье в 1553 г. Вторая часть
„Управление, великие дела, происхождение, политика,
постройки и дороги Инков" оставалась в рукописи до
1873 г. Обе части переведены на английский язык Марк-
гамом.
„The Travels of Ciez.a de Leoti; contained in the First
Part of his Chronicle of Peru" 1864 r., „The Second Part,
of the Chronicle of Peru", 1883 r.
Вторая книга принадлежит Гарцилласо де ла-Вега
(1540—1616), правнуку великого инки Тупак-Юпанкви.
Он великолепно знал язык Квичуа и изучил перуанские
древности. Результатом этого явился его замечательный
труд „Commentaries reales". Первая часть, касающаяся
древностей Перу и его истории до завоевания, напечатана
в Лиссабоне в 1609 г. Гарцилласо был, несомненно, обра-
зованнее Киеза, но ему не хватает об'ективности послед-
него и к некоторым его свидетельствам приходится от-
носиться с осторожностью.



1.	Образование государства инков.
Культура древних перуанцев.
По всему западному склону Андов, по напра-
влению к берегам Тихого 'океана, жили некогда
племена Квичуа-Аймара, или .перуанцы, вышед-
шие раньше других американских народностей
из состояния варварства и, ко времени открытия
обитаемого ими материка, достигшие во многих
отношениях более значительных культурных успе-
хов сравнительно с своими северными соседями
Чибхасами и даже народами, населявшими цен-
тральную часть Америки (ацтеки) и Юкатан
майасы).
Первое известие о Перу восходит к 1513 году,
когда Васко Нуньец Бальбоа узнал от кациков
Куевы Тумако (на Тихо-океанском побережьи Па-
намы) о существовании на юге большого и мо-
гущественного государства: на севере, в области
Квито обитало племя Квичуа, на побережьи Экуа-
дора племя Кара. Южное племя Квичуа рассели-
лось в области Титикака, слившись с местными
племенами Аймара, или Колла и здесь была их
л’олица — Куско, резиденция инков.

8
Инки не были носителями особой националь-
ности, или культуры, представляя „клан" племени
Аймара.
Что касается времени, предшествовавшего во-
царению инков, то, хотя о нем и не сохранилось
никаких сведений, но изучение памятников и
остатков древностей дает основание думать, что
перуанская культура гораздо древнее культуры
мексиканцев и майасов.
Отсутствие памятников письменности в виде
летописей и хронологических данных, относя-
щихся к эпохе воцарения инков, не позволяет
точно установить, когда появился первый инка
Манко-Капак, но с некоторой вероятностью время
его управления страной можно отнести к ХШ ве-
ку. Всех инков было 18 и в порядке хронологи-
ческой последовательности восьмой инка — Ви-
ракоша вступил в свои права около 1380 года
(первая строго историческая дата), а с последним
правителем Ту пак-Амару (1571 г.) царство инков
пало.
Титул инки, дававшийся всем правителям,
был старым племенным названием и его давали
всем потомкам первоначального племени, так что
существовала как бы особая каста „патрициев".
В разное время к имени какого-либо инки
прибавлялось прозвище: Локве—левша, Тупак—
блестящий, Юпанкви—знаменитый, Капак — бога-
тый; восьмой инка — Виракоша носил имя, ото-
жествлявшее его с божеством.

9
При нем государство значительно расшири-
лось, благодаря его воинственной политике, не
прекращавшейся и при позднейших преемниках.
Несмотря на мозаично-племенной состав, инки
об'едлнили все население подвластной ем обшир-
ной территории в области религии и языка, на-
сильственно введя „культ" солнца (Inti) и в ка-
честве государственного языка наречие Квичуа.
Своеобразная культурная жизнь Перу стоит
того, чтобы сказать о ней несколько слов.
Каждый инка считался сыном солнца (intip
churin) и, как таковой, он стремился прежде всего
уничтожить религиозную рознь. По преданию,
еще четвертый инка Майта-Капак приказал до-
ставить в Куско всех каменных идолов и при
огромном стечении народа, по его повелению, они
были разбиты на куски и заделаны в стены храма
солнца. Так совершился переход к монотеизму.
Эта мера имела целью наглядно доказать бесси-
лие богов, которым поклонялись различные пле-
мена.
При постепенном расширении границ, населе-
ние вновь завоеванных областей перемещалось
вглубь страны, а на их месте формировались
военные колонии (mitimaes) из поселенцев испы-
танной верности.
Но при всей воинственности, инки проявляли
гуманность по отношению к покоренным племе-
нам. Прежде чем начинать военные действия, они
старались обойти кровопролитие, отправляя по-

— 10 —
сольство, склонявшее туземцев к добровольному
подчинению власти инков, мотивируя свои пред-
ложения желанием освободить их от дурных обы-
чаев, приобщая к культурной жизни и почитанию
истинного бога.
Политический рост государства находился, не-
сомненно, в тесной связи с превосходными сред-
ствами сношения, обеспечивающими своевремен-
ность исполнения приказаний, исходящих от
центра. Как и древние римляне, перуанцы, при-
соединяя новую провинцию, прежде всего забо-
тились о сооружении дорог, чтобы дать возмож-
ность быстрого передвижения административному
персоналу, войскам и почте.
Две главных артерии, из которых одна, свя-
зывая обе столицы Квито и Куско, тянулась через
все плоскогорье, а другая, приморская, от Тум-
беца в Чинчу, были, в свою очередь, связаны це-
лой серией поперечных дорог, при чем вторая за-
щищалась со стороны океана стенами • против
заноса песком.
Мосты были каменные, весьма солидной по-
стройки, а в глубоких речных долинах висячие,
состоявшие из сложной системы толстых канатов.
Вообще, в отношении внутреннего благоустрой-
ства инки, пользуясь громадной рабочей силой,
не останавливались перед выполнением самых
грандиозных замыслов.
Инка Роки, много заботившийся о расширении
Куско, предпринял сооружение огромных водо-

11 —
проводов, доставлявших жителям столицы свежую
ключевую воду. Густота населения требовала ин-
тенсивного хозяйства и при своеобразных клима-
тических условиях это вызвало целую систему
гидротехнических сооружений для накопления
запасов воды и орошения почвы.
Образцом замечательных способностей перу-
анцев к строительному искусству является дво-
рец инков в Куско. Размер и модели каждой
части были заблаговременно рассчитаны. Огром-
ные глыбы камня так искусно прилажены одна
и другой, несмотря на отсутствие цемента, что
даже теперь еще нет возможности ввести лезвее
ножа в места спайки.
Саксагуаманская крепость была построена на-
столько солидно и прочно, что один испанский
священник искренне недоумевал, можно ли было
без помощи дьявола перетащить и положить на
места такие массивные глыбы. Об одном моно-
лите, носящем название „усталого камня”, уче-
ные жрецы того времени рассказывали, что он
„утомился и не мог дойти до своего места", не
смотря на то, что его тащили более 20.000 индей-
цев при помощи толстых канатов.
По этому поводу Джон Фиске, автор книги
„Открытие Америки", говорит, что относительно
распоряжения человеческим трудом коммунистиче-
ский деспотизм Перу мог совершать дела, весьма
сходные с древнейшими затеями египетских фа-
раонов — представителей абсолютного деспотизма.

— 12 —
Переходя к обозрению духовной культуры,
нельзя обойти молчанием религиозные верова-
ния в воду того, что у перуанцев, как и у боль-
шинства древних народов Старого Света, вопросы
религиозного культа тесно переплетались с их
астрономическими познаниями.
Господствующая религия, по существу моно-
теистическая, сосредоточивалась на почитании
„Солнца", как животворящего начала. По словам,
которые приписывают инке Тупаку Юпанкви:
„Солнце, проходящее по своему неизменному пу-
ти, как вьючное животное, должно повиноваться
велениям невидимой силы".
Для инков этой силой был Пачахамак—творец
мира, которому посвящен особый храм к югу от
Лимы.
Но перуанцы поклонялись, вообще, небесным
светилам: луне (quillaj, созвездию Плеяд и Венере,
хотя это поклонение было только аксессуаром
почитания дневного светила и за ним признава-
лась главенствующая роль. Венеру называли
„Chasca" (волосатая), вероятно, вследствие ка-
жущейся лучистости этой планеты. Наблюдая ее
блеск утром и вечером, инки говорили, что солн-
це — король ывезд, приказал Венере, как наипре-
краснейшей из них. быть всегда около него.
Закат солнца объясняли погружением светила
в океан. Появление солнца на востоке всегда привет-
ствовалось, как конец пути под землей, так как, по
представлениям перуанцев, земля плавала в океане.

13 —
В Куско был великолепный храм солнца (Ко-
риканха—золотая оправа), состоявший из целого
ряда зданий, обнесенных стенами. При нем имелся
своего рода женский монастырь „achlla huasi“.
Девушки, поступавшие туда, как и римские ве-
сталки, давали обет девственности и нарушившая
целомудрие вместе со своим обольстителем нака-
зывались смертью. Только инка, как „сын Солн-
ца" имел право выбирать себе ту, или иную в
заложницы и дети от этого брака считались за-
конными, но не могли наследовать престола.
Во время осеннего равноденствия зажигали
огонь, собирая солнечные лучи посредством зер-
кала, и этот огонь в течение года поддерживался
весталками (achlla сипа). Если огонь угасал—это
считалось дурным предзнаменованием.
В храме солнца самой главной постройкой
считался „солнечный зал“, где был поставлен
огромный золотой диск, окаймленный сиянием и
расположенный так, что первые утренние лучи
восходящего солнца прежде всего падали на этот
священный символ божества.
Позади находился второй зал с изображением
„пуны“ и мумиями королевских супруг (соуа), по-
даривших инке наследника. Еще дальше шли вто-
ростепенные святилища, посвященные планетам—
небесным спутникам Инти—и помещения жрецов
(amautas), во главе которых хотя и стоял верхов-
ный жрец бога Солнца, но истинным религиозным
главой все же был сам инка, как сын Солнца.

— 14 —
На обязанности жрецов, кроме священнослу-
жения, лежала забота сохранения астрономиче-
ских знаний и производства наблюдений.
Календарная система была развита гораздо
слабее, чем древне-мексиканская, тем более она
не могла соперничать с календарем майасов.
Проф. Геблер полагает, что гордость инков не
позволяла им заимствовать знания у других на-
родов, а собственная культура для этого еще не-
достаточно созрела. Второе предположение ве-
роятней, так как инки не вели' общения с наро-
дами Центральной Америки.
Период солнечного обращения в Зб5г/« суток
назывался huata и был введен за три столетия
до открытия Америки, то есть в до-инкский пе-
рйод. Население считало время по жатвам и поль-
зовалось первоначально лунным годом из 12 ме-
сяцев. Перуанцы были хорошо знакомы с фазами
луны, хотя запись лунных наблюдений и не велась.
Деление года на 12 месяцев введено • инкой Па-
чакутек Юпанкви около 1400 г. Были установле-
ны лунный год и солнечный и в конце лунного
прибавлялось несколько дней, чтобы сравнять его
с солнечным. Этот промежуток времени назывался
„оконченным месяцем".
Главный праздник Inti Raimi, по которому ве-
лось счисление времени, соответствовал дню лет-
него солнцестояния. Остальные три праздника,
общих для всей страны. Куски-Раими,—Ситуа-Гаи-

— 15 —
ми и Уиракуи—совпадали с днями зимнего солн-
цестояния и равноденствий.
Задолго до прибытия европейцев в Перу воз-
двигались специальные обсерватории для наблю-
дений. В Куско, напр., было выстроено 16 башен,
расположенных поровну на востоке и западе. В
каждой группе башни ставились по 4, одна про-
тив другой в расстоянии от 10 до 20 шагов, при-
чем две средних были меньших размеров.
Инка помещался на специально выбранном
пункте, наблюдая, когда моменты восхода и за-
хода солнца совершались как раз в просвете
между соответствующей парой маленьких башен.
Как и в древнем Египте, предпочтение отда-
валось северному солнцестоянию.
Что касается равноденствий, то хотя истинная
причина этого явления была перуанцам неизвест-
на, тем не менее, самый факт наступления равно-
денствий отмечался с большой точностью.
С этой целью жрецы заблаговременно присту-
пали к наблюдениям, чтобы не пропустить мо-
мент, и посреди двора при храме солнца воздви-
гали богато украшенные колонны.
Место наблюдений имело вид круга, внутри
которого отмечался диаметр, соединяющий точки
востока и запада. Долголетний опыт научил жре-
цов находить место, откуда удобней всего на-
блюдать за проложением тени, падающей от ко-
лонны на отмеченную линию

— 16 —
Если за весь промежуток времени от восхода
до заката тень двигалась постепенно кругом ко-
лонны и при этом в полдень" исчезал а — торже-
ственно об'являлось наступление равноденствия.
Мы уже сказали, что искусство наблюдения
лежало на обязанности амаутов, представлявших,
в сущности, подразделение касты пиков. Но это-
му ученому сословию вверялся и надзор за обра-
зованием.
При инке Рока были основаны первые школы,
но правители мало склонялись к тому, чтобы
сделать обучение достоянием масс, находя, что
слишком большое знание и уменье ведут к не-
довольству и самовозвеличению. Поэтому жрече-
ское звание было доступно только тем, в чьих
жилах текла кровь инков. Исключение допуска-
лось только для детей вассалов.
Населению предоставлялось занятие земледе-
лием, скотоводством и различными ремеслами.
Будучи необычайными мастерами гончарного
и ткацкого искусства, перуанцы давали здесь
простор своей фантазии и украшали поверхность
сосудов и ткани затейливыми цветными узорами,
поражающими красотой стиля, строгим соблюде-
нием симметрии, правильностью и оригинально-
стью форм.
В обработке металлов они ушли дальше всех
американских народов. Медь подвергалась холод-
ной ковке, или выплавлялась из руды в особых
конусообразных печах. На оружие шла исключи-

— 17 —
тельно бронза (885 частей меди на 115 частей
олова).
Высшие знания, необходимые для расчетов
при сооружении храмов, дворцов и крепостей, а
также для государственного управления и учета
налогов были достоянием жрецов и тех, кто до-
пускался в школы.
К сожалению, до нас не дошло памятников
письменности, свидетельствующих о геометриче-
'ских познаниях перуанцев, подобно тому, как мы
"это имеем в египетских папирусах, но, очевидно,
‘что вопросы разделения земли на участки (наде-
лы—tupu), грандиозные постройки, богатство и
разнообразие геометрической орнаментации до-
шедших до нас памятников архитектуры, кера-
мики и ткацкого" искусства—требовали опреде-
ленного комплекса геометрических представлений,
глубокого понимания симметрии, наконец, уменья
составить план и расчет. Все эти знания были
частью инстинктивные, частью, конечно, эмпириче-
ские и с нашей точки зрения примитивные, но
тем более приходится удивляться, что при нали-
чии относительно скудных рессурсов в этой обла-
сти, все же решались весьма сложные задачи.
Единственными источниками, способными про-
лить свет на знания перуанцев, являются выше-
упомянутые остатки их культуры, и к ним ми
должны обратиться за решением интересующего
нас вопроса: немой памятник иногда может рас-
сказать очень многое,
2
f ИБлистг*.
v

— 18
2.	Памятники перуанской культуры.
Начнем с их строительного искусства.
Прежде всего наблюдения М. Chalon’a показы-
вают, что главнейшие подразделения зданий
всегда представляют точные кратные единицы
меры (приблизительно равной двум футам, точ-
нее 0,6 mtr.).
В период расцвета при постройках дворцов и
храмов употреблялись каменные плиты прямо-
угольного сечения, тщательно обтесанные. При
этом старались придать им одинаковый размер и
так плотно пригоняли друг к другу, что издали
стена казалась монолитной.
Типичными памятниками религиозной архи-
тектуры являются массивные ступенчатые пира- |
миды (напр. Викушааман) с квадратным основа-
нием, как раз то, что дает нам и древнейшая
египетская архитектура. Однако, попадается и ва-
риант, которому в Египте мы не встречаем ана-
лога: иногда в тлане эти сооружения дают окруж-
ность и даже овал. В то время как пирамиды
фараонов были их личными усыпальницами, пи-
рамиды перуанцев являлись коллективным местом
погребения, кладбищем, по периферии которого в
то же время возводились постройки для живых.
Таков, напр., грандиозный мавзолей Incatambo (на
языке КЬпгуа Соуиг) близ Наморы. Винер, де-
тально исследовавший его развалины, говорит,

— 19 —
что, если египетская пирамида есть архитектур-
ный символ абсолютной монархии, Incatambo
является в той же мере архитектурным символом
первобытного коммунистического государствен-
ного строя.
Отдельные гробницы возводились в форме ба-
шен с квадратным или круглым основанием и в
последнем случае увенчивались полусферой.
Характерно, что в Перу (также и
в Мексике) встречаются постройки,
где ясно выражено стремление при-
давать стенам наклон в направле-
нии, обратном тому, который пред-
писывается законами устойчивости,
напр., ь надгробных башнях Силус-
тани.
На рисунке 1 мы видим разрез
и план в высшей степени любопыт-
ного сооружения „chulpa" (мавзо-
лей) в трех льё к северо-западу от
Пуно. Это кек бы усеченный конус 1 <у
с овальным основанием, переверну-
тый книзу своей постепенно су-
жающейся частью. На плане виден Рис- 1-
вход в центральный покой, где
помещалась мумия. В развалинах таких chulpa най-
дено не мало остатков домашней утвари и тканей.
Мумификация трупов в Перу является как бы
отражением обычаев древнего Египта. Из гроб-
ниц, так называемого, мертвого поля Анкон близ
2*

— 20 —
Лимы извлечено не мало культурных ценностей
которые составляют неизменный антураж мумий,
представляющих труп, заключенный в нишу в
сидячем положении и обернутый тканями. Песок
прибрежной низменности, богатый селитрой, спо-
собствовал тому, что многие ткани прекрасно со-
хранились, не утратив ни яркости окраски, ни
тонкости рисунка. Ткани эти выделаны из шерсти
ламы, хлопчатой бумаги, или древесных волокон.
Для обычных жилых помещений пользовались
глиняными кирпичами. Их сушили на солнце и
клали на глиняном же растворе. На одном сосуде,
найденном в Santiago
de Cao (около Trujillo),
изображены рабочие
(рис. 2), занятые клад-
кой кирпичной стены.
J' одного из них в руках
тростник (сапа brava),
[может быть, с отмет-
Рис. 2.
ками единицы меры], служащий ему для поверки
правильности кладки, при-
меняемый и в качестве от-
веса. Этот тростник, необы-
чайно прямой и крепкий,
служил еще и для другой
цели: в толще стен неодно-
кратно находили утопленные
в них тростниковые формы,
или каркасы (рис. 3), назначение которых—придать

— 21
глине определенш й вид при глинобитных работах.
Вероятно, такие формы заготовлялись с соблюде-
нием заданных размеров и заполнялись на местах
глинистой массой, которая утрамбовывалась и вы-
сушивалась, составляя, в конце концов, одно целое
с каркасом. Части его, как показали измерения
длины тростин, точно подогнаны для придания
Рис. 4.
правильной геометрической формы, при чем угил
наклона на скошенной грани колеблется в пре-
делах от 12° до 16°.
В некоторых постройках тростник шел и в
качеств*1 вспомогательного строительного мате-
риала.
Рис. 4 дает нам образчик глиняной (кирпич-
ной) кладки в гробницах с прямоугольным и

— 22 —
овальным основанием. Такие постройки найдены
в Анконе. Первая из них — подземная. Настил
держится на переводинах, которые в свою оче-
редь имеют опору в системе трсстниковых стропил.
Рис. 5 воспроизводит ри-
сунок да сосуде из обож-
женной глины, хранящемся
в музее в Куско.
Это изображение древней
двух - этажной постройки —
обычный тип жилого перуан-
ского дома. Нижний этаж, как
видно, отведен под стойла для
лам. Перуанцы приручили этих
полезных животных, и в их хозяйстве они играли
такую же роль, как у нас бараны и овцы J).
Система клинчатых сводов была неизвестна
не только перуанской, но и всей древне-амери-
канской архитектуре, вследствие чего при исклю-
чительном пристрастии к циклопическим построй-
кам получались здания непропорционально длин-
ные, которые производят давящее впечатление.
Поневоле приходилось заменять их монолитами,
что заставляло уменьшать пролеты, к верху по-
степенно суживающиеся. Случай каменной клад-
ки представлен на рис. 6: разрез и план входа
во двор дворца инки в Каксамарке. В других
Ч Обработка пп-рсти ламы носила у инков характер поч-
ти фабричного производства.

— 23 —
случаях, чтобы обеспечить устой-
чивость нависающих камней, за-
ложенных в стену, концы их сре-
заны под острым углом, благо-
даря чему устойчивости каждого
камня помогает тяжесть примы-
кающих камней.
Этим же об'ясняется харак-
терная для архитектуры инков
трапецеидальная форма всех от-
верстий; окна г), входы, а внутри
Рис. 6.
зданий ниши, заменявшие, по всей вероятности,
шкафы, неизменно трапецевидных очертаний. Та-
ковы, напр., все входы, еще сохранившиеся в раз
валинах храма инков на озере Титикака.
Рис. 7.	Рис. 8.
Рис. 7 пред-
ставляет гранит-
ный вход Huanu-
co-Viejo найден-
ный в Banos’e, а
на черт. 8 мы ви-
дим фасад и план
ниши в Ollantai-
tamoo.
Что касается планов грандиозных перуанских
построек, то невольно поражаешься той геоме-
трической правильности, которая лежала всегда
’) Встречаются о .енъ редко. Внутренность домов освеща-
лась преимущественно через входные отверстия.

— 24 —
в основе самого замысла. Чтобы охватить его в
целом и провести в жизнь, необходимо было не
только наличие чисто-эмпирических навыков,
нужен был сложный предварительный расчет.
Самая разбивка плана предполагала знание гео-
метрических соотношений.
Достаточно взглянуть на план дворца инков
в Виракоча-Пампа, от которого остались одни
руины, чтобы убедиться в этом.
Огромный квадратный участок земли обнесен
тройными стенами, причем внутренние наиболее
высокие.
Постройки разбиты на 8 групп и высятся в
три этажа, расположением напоминая разбивку
Черт. 9.

— 25 —
земельных участков в Китае по, так называемой,
колодезной системе: квадратное поле делится на
девять равных квадратов: восемь отдается восьми
земледельцам, а девятый—центральный обраба-
тывается ими сообща в пользу государства. Здесь
средний квадрат представляет площадь, окай-
мленную оградой с четыремя входами, открываю-
щими доступ к центральной постройке (galpones),
предназначавшейся, вероятно, для религиозных
церемоний. Все сооружение ориентировано по
странам света и единственный выход из него
обращен к востоку. Четыре угловых группы по-
строек меньших размеров, чем средние. Издали
все сооружение должно было иметь вид колос-
сальной ступенчатой пирамиды.
Близ Trujillo имеются развалины другого за-
мечательного дворца Чиму, где в числе прочих
сооружений сохра-
нились остатки лю-
бопытнейшего „ла-
биринта”, план ко-
торого дает черт. 10.
По истине это ги-
гантская геометри-
ческая головоломка!
Он занимает пло-
щадь в 425 X 230 =
= 97750 кв. метров.
Единственная цель
такой постройки —

26 —
защит i в случае нападения на двореп. Можно
полагать, что спасающиеся имели в руках шан
лабиринта, чтобы ориентироваться в нем. Такое
предположение имеет под собой почву: Гарцил-
ласо дела-Вега, которому, вообще, можно дове-
риться, утверждает, что он видел рельефный план
города Куско, сделанный перуанцами вскоре
после завоевания Что касается лабиринта, то
надо признать, что перуанские строители про
явили в нем изумительное искусство.
В то время как керамика поражает со стово-
ны форм богатством и разнообразием криволи-
нейных сочетаний, архитектура и ткацкое искус-
ство отдает предпочтение прямолинейным фигу-
рам. На монолитном портике храма Аймара в Ти-
гуанако все пространство на высоте -входа до
уровня верхней площадки украшено высечен-
ными на камне орнаментами. Над самым входом
изображение солнца, а по бокам прямоугольная
поверхность, разбита на 24 квадратных клетки (по
восьми в трех горизонтальных рядах). Каждая
клетка служит как бы рамкой для помещенного
внутри рисунка, так что издали эта часть стены
кажется разграфленной. Дело в том, что религия
инков отвергала скульптурные изображения, по-
этому на стенах храмов допускалась только гео-
метрическая орнаментика. Найденная в Чиму
глиняная фигура перуанца и сосуд из раскопок
в Чачахамаке (рис. 11) знакомит^ нас с обычным
представлением о разбивке квадратной, или прямо-

— 27 —
угольной площади на
квадратные клетки на
подобие шахматной до-
ски. Повидимому, та-
ким именно приемом с
помощью установлен-
ной единицы линейной
меры производился об-
мер этих площадей.
Рис. II.
В нижеприведенном ряде образцов’тканей пе-
ред нами проходят почти все фигуры, хорошо зна-
комые вам из планиметрии.
На рис. 12 изображен кусок ткани, найден-
ный при раскопках кургана „Нотса". Однообраз-
ные и симметричные узоры заключены в прямо-
угольные рамки, отделенные друг от друга оди-
наковыми промежутками.
Рис. 12.	Рис. 13.
На рис. 13 мы видим, что вся поверхность
уже сплошь заполняется прямоугольниками (са-
ван, найденный на мумии в „Kasina").

— 28 —
рис. 14. '
В Анконе, особенно богатой этого рода памят-
никами, найдена ткань с изображением равно-
бедренного треугольника (рис. 14), внутри кото-
рого вытканы сти-
лизованные птицы,
при чем самое рас-
положение их по ря-
дам (1, 3. 5) есть
как бы графическое
представление идеи
арифметической
прогрессии.
Ткань, найденная в Чимботэ (рис. 15), в верх-
ней части украшена ромбами, тогда как в ниж-
ней полосе представляет сложный комплекс рав-
носторонних треугольников, равнобоких трапеций
и шестиугольников.
Рис. 15.	Рис. 16.
Ткань из Моллендо (рис. 16) состоит из па-
раллельных полос, причем гладкие чередуются с

— 29 —
Рис. 17.
разрисованными. На этих последних каждая по-
лоса разбита на квадраты, состоящие как бы из
кусков ступенчатой формы.
Этот мотив встречается и в архитектурной отдел-
ке., напр., фриз из серого
гранита в развалинах Чу-
кана (рис. 17).
Что касается окружно-
сти, то достаточно взгля-
нуть на барельефное изо-
бражение солнца в Pas-
hash (рис. 18). В центре искусно высечено круговое
кольцо, окаймленное че-
тырьмя стилизованными
фигурами каких - то ми-
фических чудовищ. На-
конец, в Каксамарке на
одной из мумий найден
золотой чеканенный диск
с фиксированным цент-
ром и с вписанной внутрь
шестиугольной звездой
(рис. 19), ясно свиде-
тельствующей об уменье
перуанцев, в случае надобности, делить, хотя бы
и приближенно, окружность на шесть равных
частей •)• Геометрический характер живописи и
Рис. 18.
1) На одном сосуде, аайденном в Куско (частная соб-
ственность)/ рисунок касается солнечного культа и солнце

— 30 —
ткацкого искусства перуанцев бросается в глаза.
Даяъе в изображении человеческих фигур все
детали из криволинейных превра-
щаются в геометрически правильные
прямолинейные. Все образчики тка-
ней— как бы отдельные страницы
наглядной перуанской планиметрии.
Если отрешиться от привычных нам
приемов трактования этих вопросов, рис. 19.
то нельзя не признать, что ткань
являлась писчим материалом, на котором перуанцы
закрепили сильно развитую в них геометрическую
мысль. Больше того, Винер, разбирая рисунки дру-
гого характера, предполагает, что перуанская твор-
ческая фантазия нашла исход в своеобразном жи-
вописном письме, образчики котор'ого дошли до
Рис. 20.
пас во множестве на их тка-
нях. Несмотря на примитив-
ность этого письма, оно труд-
но поддается расшифрова-
нию, хотя в этом направле-
нии уже делались попытки.
Любопытно, что и после завое-
вания Перу, туземцы пользо-
вались этой формой письма,
примером чему служит най-
денная в одной из могил в Анконе ткань (рис. 20)
изображено в виде кружка, от которого расходятся лучи
одинаковой длины, целящие периферию окружности, на ко-
торой лежат концы лучей, на 10 равных частей.

— 31 —
с изображением трех совершенно тожественных
человеческих фигур, вытканных черным, коричне-
вым и белым цветом. Это символическое изобра-
жение того, что после завоевания в Перу жили
представители трех рас: негры, индейцы и белые.
3.	Узловое письмо и счет.
Мы не знаем, было ли изучение геометрии
обязательным в школе, так как древние бытопи-
сатели Перу упоминают только, что особое вни-
мание обращалось на изучение языков и пони-
мание „узлового" письма и счета.
Предание приписывает полное развитие по-
следнего искусства Юлыо, любимому поэту чет-
вертого пика Майта-Капак.
По мнению Вутке, это важное событие про-
изошло примерно в середине XIV столетия.
Мы считаем это событие важным потому, что
инки признали его оффициально и, покровитель-
ствуя введению и распространению этого письма,
запретили повсеместно пользование живописными
формами письма.
Как будет видно из дальнейшего, это письмо
имело общегосударственное значение, а самый
факт существования его является одним из важ-
нейших в истории развития инструментального
счета.
Поэтому, прежде чем говорить подробно о
сущности перуанского способа, необходимо обра-
титься к более древним эпохам культуры Старого

— 32 —
Света, где мы встречаемся с аналогичным явле-
нием, хотя далеко не в столь совершенной форме,
какую оно приняло в Перу.
Наиболее примитивной формой инструменталь-
ного счета является, как известно, счет по кам-
ням, раковинам, позднее зарубкам на дереве, счет
знакомый глубокой древности и дававший воз-
можность выполнить простейшие арифметические
комбинации.
Но в целях сохранения результатов счета та-
кой способ удобен лишь как статическая си-
стема, приуроченная к определенному месту.
Человек на походе, или в путешествии ли-
шается этого удобства, и, по всей вероятности,
это обстоятельство послужило толчком к отыска-
нию динамическо.й, пли портативной си-
стемы.
Так возникло искусственное орудие—веревки,
или шнурки с узлами, разгружавшие память,
экономивши0 время и умственные силы, необхо-
димые для повторения операции. Сборщик пода-
тей, торговец, хранитель запасов—имели это ору-
дие под рукой с фиксированными итогами и в
любой момент могли им воспользоваться для но-
вых расчетов.
Греческий историк Геродот сохранил нам лю-
бопытный рассказ (IV, 98) о том, что когда пер-
сидский царь Дарий отправился в поход на ски-
фов, он приказал ионийцам остатюя для охраны
плавучего моста через реку Истер, и, затянув на

— 33 —
ремне 60 узлов, вручил им его со словами: „Лю-
ди Ионии, возьмите этот ремень и поступите так,
как я скажу вам: как только вы усидите, что я
выступил против скифов, с того дня вы начнете
ежедневно развязывать по одному узлу и когда
найдете, что дни, обозначенные этими узлами,
уже миновали, то можете отправиться обратно
к себе домой".
Но употребление узлов и веревок, как для
счисления, так и для письма, восходит, поводи-
мому, к эпохам глубокой древности.
Алфавитное письмо имеет свою историю и яв-
ляется последней стадией в развитии письменно-
сти вообще. Эту стадию можно назвать фонети-
ческой, так как в ней мы имеем дело с „фоно-
граммами", или знаками, представляющими звук,
причем фонограммы могут быть двух типов: сло-
весные, где каждый знак изображает целое слово,
и силлабические, или слоговые, где каждой букве
соответствует свой знак с определенным фонети-
ческим оттенком.
В порядке нисходящей последовате пьности
второй стадией является идеографическая, где
пользуются знаками, как символами, приписывая
им отвлеченное значение.
Первая стадия, вызывая представление звука,
служит слуховой памяти, вторая зрительной, так
как вызывает представление имени.
Но если знак служит опять таки зрительной
памяти, вызывая представление вещи, то мы по-
з

— 34 —
лучаеи третью стадию—пиктографическую, в ко-
торой рисунок веши дается так, что при первом
взгляде на него мы знакомимся с сущностью са-
мой вещи.
Наконец, четвертая стадия—мнемоническая,
когда памяти дается помощь извне в виде кон-
кретной вещи, которая служит грубым символом
и чаще всего употребляется в качестве известия,
или напоминания при сношении людей на рас-
стоянии, служа доказательством полномочий ве-
стника.
В рассказе Геродота мы имеем дело именно с
мнемонической стадией, где символом грубым и
осязательным является узел ')•
С точки зрения письменного счета этот узел
опять таки будет символом единицы, или ком-
плекса единиц, и веревка с узлами есть орудие—
„инструмент" счета, но этот счет мы должны на-
звать „искусственным инструментальным" в от-
личие от естественного инструментального счета
„по пальцам".
Таким образом, становится вполне понятным,
что все зависит от содержания, которое человек
вкладывает в тот или другой символ, и эта ус-
ловность является причиной того, что комбина-
*) Ди сих пор встречающийся обычай завязывать узелок
на память есть не более, как рудпмепт, сохранившийся до
наших дней от седой древности.	i

— 85 —
дни узлов могут служить, как показывает исто-
рическое исследование, то орудием письма, то
орудием счета.
В дальне-восточном культурном центре—Китае,
мы встречаемся с первобытными племенами Гу-
фан и Си-фан, у которых сочетания узлов слу-
жили как орудием счета, так и условными зна-
ками для передачи каких-либо сведений из од-
ного места в другое, наконец, им пользовались
как мнемоническим средством, фиксируя какие-
либо события.
У коренного племени Миао, оттесненного ки-
тайцами в юго-западную горную область, и теперь
еще в ходу обычай при заключении договоров
привязывать к куску дерева веревку с числом
узлов, соответствующих условленной сумме.
Выходцы из Средней Азии—предки современ-
ных китайцев переняли от племен, среди которых
они осели, приемы узлового письма для заклю-
чения торговых сделок и хранили их, как залог.
Но позднее они воспользовались им для админи-
стративных целей, изображения законов и даже
правил морали.
Это узловое письмо называлось Ки-ей-шенг, а
изображение его приписывалось легендарному
правителю Китая Sui-gm-Schi.
Предание рассказывает о том, что завязывание
узлов практиковалось за 2962 г. до Р. Хр., когда
Фу-си (Фо-хи) полижил основание китайской
письменности изобретением восьми символов
з*

— 36 —
„гу-а“, и тем не менее пиктографы веревок с за-
вязанными на них узлами не вышли из употре-
бления. В дальнейшем развитии легендарных
сказаний упоминается, что при Хуан-ди (2697 л.)
некто Цан-цзи изобрел особую форму письма
кэ-доу-цзы (головастиковые письмена)„состоявшую
из 540 начертаний, где изображения частей ве-
ревки с узлами комбинировались с восемью сим-
волами в форме птичьих лапок, взятых в различ-
ных состояниях напряжения, и на все эти 540 на-
чертаний изобретатель будто-Сы натолкнулся, на-
блюдая следы, оставленные птичьими лапками на
песке.
Наконец, если верить китайским летописям, то
около 2200 лет до Р. Хр. в Ханане была найдена
таблица—древнейший памятник китайского пись-
ма, представляющего из себя стилизованное
узловое.
На ней изображены девять первых чисел в
виде девяти отдельных комбинаций кружков
(символ узла), соединенных нитями, причем фи-
гуры расположены так, как это имеет место в
простейшем магическом квадрате:
4 9	2
3 5	7
8	16
так что сумма любой тройки чисел горизонталь-
ного, или вертикального ряда и по диагоналям
составляет пятнадцать. Автором этой таблицы счи-

37 —
тается опять таки просветитель китайского па-
рода, мудрый правитель Фу-си х).
Оставляя на совести летописцев подобные ле-
генды о происхождении узлового письма, мы
знаем, что обитатели Се-Чуэн’а прибегали к по-
мощи шнурков, напоминающих нитки с бусами.
Эти своего рода мягкие счеты, являющиеся про-
тотипом арифметических счетов, весьма возможно,
были шагом вперед, заключавшимся в замене
громоздкой операции завязывания узлов для от-
счета простым сдвигом соответствующего числа
бус в сторону.
Мы вернемся еще к этому вопросу, а пока по-
смотрим, нет ли чего подобного в других частях
света.
В Западной Африке племя Ардра, не имеет
никакой письменности, но тем не менее поль-
зуется короткими веревками с рядом узлов, имею-
щих каждый определенное значение.
На Невольничьем берегу узловое письмо распро-
странено, главным образом, как средство общения
на расстоянии, что предполагает широкое знаком-
ство с условным значением узловых комбинаций.
3) Astley в своей „CollectiQn of Voyages" (IV, 194) гово-
рит, что еще до учреждения монархии, китайцы в деловых
сношениях пользовались системой передвижных узелков на
шнурках, при чем каждый имел свое значение. Они изобра-
жены на двух таблицах Го-ту и Ло-шу.
Буряты также употребляют }злы, как род грубого
шрифта.

38 —
В Анголе плетут жгуты из соломы и связы-
вают различными способами. Туземцы прибегают
исключительно к этим узлам при торговых сдел-
ках с европейцами.
Известный историк культуры Шурц указывает,
что среди африканских племен принято посылать
приглашение соседям на предстоящее празднество
при помощи шнурков: каждый званый гость по-
лучает шнурок с определенным числом узлов по
числу дней, остающихся до праздника. Получив-
ший распускает ежедневно по одному узлу.
Островитяне Южного океана также владеют
узловым письмом и искусство понимания его пе-
редается из рода в род, составляя тайну для не-
посвященных.
На Гавайских островах сборщики податей дол-
гое время вели учет при помощи довольно слож
ного веревочного вязанья, состоявшего из не-
скольких сот нитей, причем играли роль: вели-
чина, форма и цвет узлов и петель. Каждому
плателыцпку подати отводилась определенная
нить, подобно тому, как в европейских банках
открывается каждому клиенту счет. И у нас в
России на астраханских ярмарках для выражения
чисел еще теперь среди торговцев рыбой упо-
требляются связанные сети.
Обращаясь к Америке, мы паблюдаем анало-
гичные явления.
Доктор Гофман сообщает, что у индейского
племени Налови в Калифорнии ежегодно изби-

— 39 —
рается несколько человек, которые отправляются
в поселок С. Габриэль для продажи одеял.
Каждый индеец, отправляющий товар, снаб-
жает торговца двумя веревками, сделанными из
витых волос, или шерсти. На одной из этих ве-
ревок отмечается узлом каждый полученный реал,
а на другом каждое проданное одеяло. Когда
сумма достигает десяти реалов, или одного дол-
лара, делается двойной узел. По возвращении тор-
говца сводятся окончательные расчеты, и каж-
дый может легко проверить, какую сумму он дол-
жен получить и, след., за какое число одеял перед
ним является ответственным торговец.
В Гвиане и области Ориноко индеец глава
семьи, уходя на охоту, или в путешествие, оста-
вляет жене веревку с числом узлов, соответствую-
щих числу дней его предполагаемого отсутствия.
И в древней Японии у айносов, и на острове
Гайнане, и на Формозе были в ходу узловые
письмена.
Четки буддистов и христиан, китайский суан-
пан, японский соробан, наконец, сибирские счеты,
тавшие позднее распространенными у нас в Рос-
сии—все это усовершенствованные пережп гки
пользования узловым письмом. Принцип остается
во множестве вариантов, отвечающих потребно-
стям, духу и характеру народности, проявляясь в
формах от самой прим итивной—счета дней, или
вообще, однородных предметов, до запутанной и
сложной системы массовых расчетов и даже

— 40 —
условного выражения мыслей, хотя в этом случае
понимание без „ключа" не представляется воз-
можным.
Интересно отметить, что с течением времени
в узловой счет вносится первое усовершенство-
вание в виде подвижных узлов, затем на шнур
нанизывают бусы, бобы, просверленные камешки,
шарики. Мертвая застывшая запись делается жи-
вой.
Динамический элемент переходит на самое
орудие счета.
Дальнейшее усовершенствование касается уже
удобства и прочности конструкции.
Нитки и шнуры заменяются системой прово-
лок, натянутых на рамы. В таком виде он приго-
ден к долговременной службе. Со стороны вну-
треннего удобства он удовлетворяет требованию
многократного повторения операций. Со стороны
внешней к нему нередко пред’является требова-
ние быть портативным и, напр., китайцы при вы-
делке своих суан-пан’ов допускают всевозможные
размеры до карманных включительно. Как при-
бор, счеты есть высшее проявление инструмен-
тального (узлового) счета, позволяющее быстро
производить самые сложные вычисления на все
арифметические действия ’).
!) Еще в древнем Египте счет велся камешками на доске,
разграфленной на столбцы. В левом крайнем камешек оз-
начал простую единицу, в следующем (правее) значение
его повышалось до десятка, в следующем до сотни и т. д.

— 41 —
В конечном итоге идея узлового счета в тес-
ном смысле этого слова проявилась во времени и
пространстве (то есть у разных народностей и в
разные эпохи) в самых широких пределах, но в
общем не пошла дальше первой стадии своего
развития. Распространенность такого счета дает
основание думать, что он был естественным след-
ствием стремления фиксировать результат счета
и не шел из одного общего центра.
Хотя и не исключаются случаи заимствования,
носившего местный характер, все же возникнове-
ние этого типа счета есть явление того же по-
рядка, как и возникновение счета зарубками на
дереве, или штрихами на песке и камне, словом,—
это не более как бессознательное пользование идеей
однозначного соответствия.
Обратимся теперь к вопросу о развитии узло-
вого счета в древнем Л еру. В своей чистой форме,
то есть только как средство счета, этот прием до-
стиг там исключительной степени совершенства,
но инки пошли несколько дальше, пользуясь
кроме того „узловым письмом”.
Отсюда ведет свое падало греческая счетная доска £Ябак“
(греч. сфрЕ—стол), видоизмененный в Риме и особенно по-
лучивший право гражданства в Западной Европе в сред-
ние века. В сущности это был прототип счетов, где вместо
прополок имелись столбцы, а косточки, связанные со сче-
тами, заменялись свободными шашечками (апексы).
Сначала эти шашечки были пустые, а позднее „мече-
ные" т. е. с изображением цифры.

— 42
Весьма возможно, они прекрасно видели всю
трудность понимания такого письма населением,
раз „ключ" был исключительно в руках правя-
щего класса, и это шло как нельзя более на-
встречу стремлениям каждого инки сделать сущ-
ность государственной работы недоступной мас-
сам.
Чисто числовая сторона при этом еще ничего
не говорила непосвященным, надо было знать,
чего именно касается данный числовой материал.
Тем более, если этим путем передавались рас-
поряжения, то в ре тких случаях можно было
обойтись без устных комментарий.
Только этим и можно об’яснить приказ об
из'ятии из обращения всех форм живописного
письма, очевидно, имевшего известную давность
и потому хорошо всем понятного.
Надо сознаться, что инки весьма успели в до-
стижении своей цели, так как в южной части
Перу до сих пор найдено только два образца жи-
вописного письма, между тем как в северо-за-
падной, горной части Перу, где власть инков не
имела такого значения, найдено довольно много
памятников древней письменности.
Узел на языке квичуа называется Quipu—
квипу, а веревка, или шнур—квилос (в словарях
обычно пишут quibus), отсюда и самая форма как
письма, так и счета по узлам получила название
квппос’а.

— 43 —
Общая схема любого квипоса такова’ (рис. 21).
из коры агавы, а
чаще из шерсти
ламы приготовля-
ли нити, которые
окручивались по
три, или по четы-
ре, образуя шнур,
напоминающий
бечевку среднего
колибра.
Шнуры эти до-
стигали 60 санти-
Рис. 21. Перуанский квипос
(музей этнографии в Берлине).
метров длины и подвешивались в известном порядке
к основной бечеве длиной около метра, а иногда и
более, образуя подобие бахромы. Размеры кв’шос'а
всецело зависели от количества содержащихся в
нем сведений, напр., экземпляр, найденный в Ли-
рине, весил более 30 фунтов.
II. Чуди говорит, что их можно добывать пу-
нами из мест погребения древних перуанцев.
Большая часть их подверглась такому разру-
шению от соли покрывающего их морского песка,
что тщательно сложенный квипос распадается
в прах при малейшем прикосновении, но не малая
часть найдена под таким толстым слоем сухой
земли, непроницаемым для дождя, что пестрые
краски, играющие такую важную роль в понима-
нии древних письмен, остались неприкосновен-
ными, несмотря на протекшие столетия.

— 44 —
Квипосы неокрашенные носили чисто число-
вой характер, между тем как способ крученья и
окраска нитей придавала каждому шнуру услов-
ное значение, причем одни шнуры—одноцветные
соответствовали какому - нибудь простому поня-
тию, а другие были смешанного плетения, ве-
роятно, синтезируя два и более понятий.
Желтый цвет означал маис, зеленый—злаки
вообще, красный—оружие. В других случаях, что
неизменно требовало особых комментарий, жел-
тый цвет отмечал золото, белый—серебро, крас-
ный—принадлежность к военному сословию; на-
конец, цвета служили и к обозначению отвлечен-
ных понятий: белый был символом мира, или
союза, черный—священным символом, красный
обозначал об'явление войны.
Если речь шла об однородных предметах, т. е.
не различавшихся цветом, шнуры располагались
по степени значения, или ценности предметов.
Напр., в отчетах о сборе злаков, или овощей
все шнуры были зеленые, на первом отмечалось
узлами количество маиса, на втором квинуа (вид
chenopodium), на третьем—горох, на четвертом -
бобы, на пятом—просо.
Если квипос касался военно-хозяйственной от-
четности, напр., если это был список наличного
запаса оружия, или необходимого его количества
для снабжения войск, то шнуры были красные:
первое место отводилось копьям, второе—дроти-
кам, третье—пращам, четвертое—булавам со звезд-

— 45
чатымн наконечниками, пятое—булавам с камен-
ными наконечниками и т. д.
В настоящее время в американских и евро-
пейских музеях хранится довольно много различ-
ных квипосов, но все попытки „прочесть" их, оче-
видно, ни к чему не ведут, так как утрачено
эольшинство посредствующих представлений, и
каждый требует
своего „ключа", а
таковые передава-
лись в свое время
исключительно в
устной форме !).
Особого вни-
мания заслуши-
вает квипос, опи-
санный и изобра-
женный в компе-
тентном издании
Рис. 22. Общий вид квипаса типа,
описанного Кингсборо.
зеленого пвета представляет
лорда Кингсборо
(рис. 22).
Главный шнур
почти эллиптическое кольцо, к разным точкам
которого подвешено множество тонких нитей того
же цвета, причем некоторые спутаны одна с дру-
гой. На верхней части замысловатая система боль-
ших петель, как отдельных, так и связанных друг
*) Общее опнсанпе квипосов имеется у Гарцилласо де ла-
Вега, о котором мы уже упоминали

с другом. Па довольно большом расстоянии от
кольца прикреплен шнур желтого цвета и две- |
надцать красных
Рис. 23. (Л.у зей этно-
графии в Берлине).
с петлями меньшего размера.
В нижней части опять ком-
плекс зеленых нитей, но под-
вешенных раздельно.
Квипос этот не расшифро-
ван, но наличие зеленого цвета
(хлеб и вообще злаки), желтого
(маис) ’) и красного (эмблема
воина) дает основание предпо-
лагать, что это военно-хозяй-
ственный отчет о снабжении
какого-нибудь отряда, или гар-
низона дов >льствгем.
Род предметов, о которых
шла речь, определялся или
местом хранения квипоса, пли
особыми пометками на глав-
ном шнуре во избежание пу-
таницы.
Ниже мы приводим точные
копии трех квипосов. Первый
хранится в Берлинском этно-
графическом музее, второй и третий найдены
*) Что касается желтого цвета, то в давном случае он но
мог означать золото (в смысле жалованья войску), так как ,
у инков денег не было (торговля была меновая), а золото,!
хотя и ценили за красоту, но употребляли его исключитель-
но для украшений храмов и посуды.

— 47 —
в ,Парамонга„ на 200 километров к северу пт
Димы у побережья Великого океана.
В то время как берлинский образец (рис. 23) от-
личается, невидимому, сложностью содержания в
риду обилия нитей, квипосы из Парамонга сравни-
тельно просты. Первый из них (рис. 24) указы-
вает на различие в способах завязывания узлов,
Рис. 24.	Рис. 25.
Квипосы из Пар-а^онга.
и чтение его нуждается в комментариях. Что ка-
сается второго (рис. 25), то ключ к чтению на-
ходится на самом квипосе в виде пучков, пли
связок продуктов, подлежащих счету (злаки,
шерсть), помещенных частью внутри самых уз-
лов. 14то—типичный хозяйственный отчет.
При переписи мужского населения какого-ни-
будь округа на первом месте велся учет стари-
кам от 60 лет и выше, на втором от 50 лет, на
третьем от 40 и т. д. через каждые 10 лет до

— 48 —
грудных младенцев включительно. Аналогичные
списки имелись и для учета женского населения.
Иногда наряду с шнурами встречались короткие
и тонкие нити того же цвета, прикрепленные к
шнурам в виде ответвлений,—они означали исклю-
чение из общего случая. Напр., такие нити, впле-
тенные в шнур, отведенный женатым, или замуж-
ним, означали число овдовевших за истекший
год. Также велись списки лиц обоего пола, до-
стигающих брачного возраста.
Все перечисленные нами виды квипосов заме-
няли, в сущности, статистические таблицы.
Соображения административного характера
требовали их составления, как годичных от-
четов о состоянии различных государственных
элементов. В этой статистике, кроме определенной
последовательности шнуров и узлов на них, имело
значение и расстояние узлов от главного шнура
и даже самый способ их завязывания ь).
В Боливии п на высотах Нуно (в горах Перу) подоб-
ные приемы счета сохраняются до наших дней среди мест-
ных пастухов, Чуди рассказывает, что он легко понимал
с их слов любой их квинос. На первом шнуре отмечались
быки, на втором—дойные коровы, на третьем яловые, даль-
ше шли телята по возрасту и полу, овцы, число убиты”,
лисиц, количество израсходованной соли, наконец, число го-
лов убывшего скота, с указанием по форме узлов, сколько
пало н сколько зарезано хищными животными.
Аналогичные квнпосы посвящались учету молочных про-
дуктов и сыра, шерсти и т. д.

— 49 —
В квипосах чисто арифметического характера
первое место отводилось единицам высшего раз-
ряда, причем в основу был положен десятичный
счет, что свидетельствует прежде всего о том,
что инки остановились на промежуточной стадии
пальцевого счета, тогда как народы Центральной
Америки отдавали предпочтение вигезимальной
(двадцатиричной) системе.
Простой узел означал единицу второго разря-
да—десяток, два простых узла давали двадцать,
три—тридцать и т. д.
Двойной узел соответствовал—сотне, следова-
тельно, два двойных давали две сотни.
Тройной обозначал тысячу, четверной десять
тысяч и пятикратный—сто тысяч.
По такому принципу, очевидно, можно было
продолжить эту кратность как угодно далеко, но
для практических целей обозначение выше 100.000
вряд ли требовалось. Таким образом, число 4.350
фиксировалось четырьмя тройными, тремя двой-
ными п пятью простыми узлами, что можно пред-
ставить в нижеследующей схеме:
(10* + 103+ 103-|--103) + (10sH-102+102)4-
—j— (10 —|— 10 -ф-10 -4— 10 —|— 10).
Для выражения чисел применялся следова-
тельно „аддитивный", или „слагательный" метод.
Можно было бы сблизить квипос со следую-
щим этапом инструментального счета, сказав, что
это был „веревочный абак". Шнур заменял доску,
4

— 50 —
последовательность у злов — столбцы, а самые
узлы—жетоны, или „апексы*.
Неизвестно, как отмечались простые единицы.
Весьма вероятно, в обыденных сношениях прибе-
гали к пальцевому счету, но, что касается кви-
посов, то, принимая во внимание, что они носили
характер массовых статистических таблиц, надоб-
ность в особых знаках для простых единиц, как
увидим ниже, не ощущалась.
Мысль отметить узлом не простую единицу,
а комплекс, является фактом весьма знаменатель-
ным.
Так как у различных народностей Старого
Света узловой счет носил нередко местный
и даже случайный характер и приурочивался к
потреб )стям отдельного лица в его домашнем
обиходе, где сотнями, или тысячами, считать не
приходилось,—там была естественна мысль отме-
чать узлом каждую единицу, и число узлов при-
водилось к однозначному соответствию с об'ек-
тами счета.
Но при массовых расчетах этот прием, оче-
видно, неприменим п перуанцы начинали узло-
вой счет с десятков, крайне упрощая выражение
многозначных чисел по принципу поместного пня-
чения.
Нуль был лишним (также, как и на абаке),
напр., в изображении числа 2040 просто отсут-
ствовали двойные узлы, в числе 6300 не было
совсем простых узлов п т д.

— 51 —
Самая идея обозначить именно десяток выте-
кала из необходимости фиксировать результат
получения единипы высшего разряда, как это
обычно делалось при пальцевом счете, путем от-
кладывания в сторону соломинок, стеблей и кам-
ней, или нанесением зарубок и штрихов на де-
реве, или камне по числу отсчитанных десятков,
чтобы освободить руки для повторения операции.
Мы пойдем дальше и назовем узел „телесной
цифрой", как римляне писали
X, XX, XXX
или греки (по геродиановой системе)
А , А А, А А А,
так перуанцы брали один, два, или три узла. Для
них узел был символом совершенно эквивалент-
ным с греческим А и римским X.
Хотя Тэйлор и говорит, что такое изображе-
ние столь просто, что оно могло быть всегда сде-
лано, но самые простые вещи, именно благодаря
своей простоте, реже всего приходят в голову, а,
между тем, сплошь и рядом простая причина
влечет за собой сложные последствия.
Так произошло и в данном случае.
Инки оценили простоту принципа и намерен-
но воспользовались им для организации сложной
государственной статистики.
Подумать только, что эта задача выполнялась
с числовой стороны при помощи единственного
щгмвола!
4*

— 52 —
Простой, двойной, тройной н, вообще, п—
кратный узел означал  степени (разряды), а раз-
дельное повторение однородных узлов — число
единиц соответствующего разряда.
Заканчивая анализ узлового счета, мы должны
заметить, что ученые испанцы были очень уди-
влены, видя, как инки при посредстве своих квп-
посов гогли отмечать целую массу явлений.
Маркгам в своей „Rites and Laws of the In-
cas" приводит рассказ Поло де Ондегардо, оче-
видца оффициально организованной охоты за ди-
кими викунами и гуанако.
„Охотники окружали диких животных и заго-
няли в определенное место; некоторых отпускали
сразу, других стригли и тоже отпускали, осталь-
ных били на мясо: все это очень точно регистро-
валось финансовым чиновником на специальном
квипосе, чему мне было бы очень трудно пове-
рить, если бы я сам не видал этого".
Вначале квипос носил исключительно число-
вой характер, так как развился из бывших и ра-
нее в ходу простых узлов и цветных камней, и
только с течением бремени этот прием был обоб-
щен и преобразован в особый род письменности.
Д'Орбиньи ссылается на слова Акосты. автора
„Historia nat de las Indias", вышедшей в 1591 г.,
где последний утверждает, что квипос приме-
нялся для ведения летописи.
отрывок этот стоит того, чтобы перевести его
дословно:

— 53 —
„Для различных нужд военного дела, упра-
вления, сбора податей, отчетов о празднествах,
переписи пахотной земли для наделов—перуанцы
имели различные квипосы и в каждом из них
множество нитей и узлов: красных, зеленых, го-
лубых, белых и с таким количеством различий,
какое мы находим в двадцати четырех буквах
нашего алфавита, перемещая их различными спо-
собами для образования слов. Точно также и ин-
дейцы посредством сочетания цвета и узлов по-
лучают огромное число обозначений для всевоз-
можных предметов
Из приведенного отрывка, конечно, еще не
следует возможность в действительности создать
подобие языка для выражения в связном тексте
каких-либо сложных понятий, или описания исто-
рических событий.
Квипосы того типа, о которых говорит Акоста,
являются не более, как архивными регистрацион-
ными списками, в которых нельзя искать хро-
ники событий, содержания королевских эдиктов,
или раз'яснения целей посольских экспедиций.
Скорее дело касалось точной фиксации их
хронологического порядка и указаний, своди-
вшихся в конечном результате опять таки к чи-
сто арифметическим данным о числе сражений,
правительственных приказов и т. д.
Поэтому трудно относиться с особенным дове-
рием и к словам Чуди, что на языке квичуа су-
ществует богатая, но недоступная нам литература.

— 54 —
„Хроники перуанский истории связаны из
шнуров, свитых из разноцветной шерсти ламы,
или волокон агавы в так называемые квипосы"
говорит Чуди.
„Ключ к этим письменам существует до на-
стоящего времени только у весьма незначитель-
ного количества индейцев, ревниво охраняющих
его от непосвященных, как чисто индейскую на-
циональную собственность".
Чуди упускает из виду, что хранители квипо-
сов, о которых речь будет ниже, цаже если в их
распоряжении были только статистические отче-
ты, должны были помнить целый ряд условных
признаков и по традиции передавать своим пре-
емникам искусство их распознавания, знать место,
где хранится тот, или иной кзипос, чтобы понять
о чем он повествует, в в дополнение все это в
каждом отдельном случае нуждалось в простран-
ных устных комментариях.
Последними настоящими знатоками квипоса
были: упоминавшийся нами Гарпилассо де ла-
Вега, сын внучки великого инки Тупак Юпанк-
ви, потом Педро Киеза де Леон, автор наиболее
цепного сочинения по истории древнего Перу
(см. источники), наконец, старый кацик Катари
из Кочабамбы, считавший себя потомком изобре-
тателя квипоса поэта Юлья.
Что же касается искусства понимания квипоса
индейцами, то оно ограничивается чисто число-
вой стороной, она одна только и была доступна

— 55 —
массам, преимущественно в форме ведения отчет-
ности о содержании стад, как было указано выше.
Впрочем, некоторые простейшие формы кви-
поса действительно сохраняются среди индейцев
Перу, Чили, Парагвая и Гватемалы. Понимание
квипоса было не чуждо даже Мексике.
Южно-чилийские индейцы (арауканы) пользу-
ются красными шнурами для обозначения рода и
числа вещей, требуемых за прекращение родовой
мести: это разновидность квипоса, известная под
названием „Прона". Цвет, очевидно, служит до-
вольно недвусмысленным напоминанием, что в
случае невыполнения предложенных условий по-
следует кровавая месть.
Индейцы-христиане пользуются квипосом для
запоминания и перечисления своих грехов не
исповеди — это те же четки буддийских и хри-
стианских монахов.
4. Применение узлового счета в государ-
ственных целях.
Посмотрим теперь, как использовали инки
узловой счет в общегосударственных целях.
Через весь общественный строй проводилась
система военного управления с подразделением
всего населения, опять таки по десятичной си-
стеме (в соответствии с характером счетного ин-
струмента), в целях использования рабочей силы
для хозяйственно экономических нужд страны.

— 56 —
Общественной единицей была моногамная
семья в среднем из пяти человек. Десять таких
семей состав тя л и „chunca" (десять), потому что
сбор податей и несение повинностей определя-
лось, начиная с каждого „chunca*. Далее десять
chunca образовывали „ау11и“, или ,,hatta“ (род),
который обязан был выставлять сотню воинов и
потому иногда назывался ,,pachaca“ (сто), десять
ауПн составляли фратрию, доставлявшую в войско
инки тысячу человек (huaranca), наконец, десять
фратрий давали племя (hunu, или десять тысяч,
потому что от них требовали такое количество
воинов). Следовательно, ,,hunu“ в административ-
ном смысле означало округ в среднем с населе-
нием 50.000 человек. Там, где по каким-либо при-
чинам не было подобных объединений, инки искус-
ственно создавали их из чисто административных
соображений. Во главе каждого подразделения
стояли старшие: десятники, сотники и т. д.
Целая армия чиновников следила за выполне-
нием трудовой повинности. Они назывались „са-
mayoch" и подчинялись главному начальнику
„tucuy ricucli" (надзирающий за веем), на обя-
занности которого лежал об'езд четырех государ-
ственных округов „suyu“, чтобы всегда быть в
курсе всего административного механизма для
личного доклада инке.
Особые хранители квипосов (quipucamays) вы-
бирались из числа людей испытанной честности.
На каждый населенный пункт полагалось от 4 до

— 57
30 чиновников. Такое обилие производящих учет
обясняется тем, что они ведали однородными
квипосами, и могли быть злоупотребления с от-
четностями при малом числе хранителей этих
документов, но раз их было много, они, волей
неволей, честно исполняли свои обязанности, так
как общее соглашение в целях преступления по
службе предполагало маловероятный при таких
условиях комплот.
Для своевременной передачи правитель-
ственных распоряжений, при великолепно обо-
рудованных дорогах, практиковалась система
курьеров (chasqui) опять таки при посредстве
квипосов.
«Земля делилась на участки (tupu) и для про-
кормления мужа и жены отводилось одно tupu.
На каждого рождавшегося мальчика прибавля-
лась половина, а на девочку четверть tupu. Са-
мая земля была собствепносп ю государства и
переходила к нему со смертью, или переселением
владельца. Продукты земли делились на три ча-
сти: одна отдавалась инке, другая — храмам, тре-
тья — народу.
Всякий участник посева имел свою долю в
третьей части продукта; если он служил в вой-
сках — эта доля получалась им из части инки,
если он работал под наблюдением жрецов — из
части храмов. Для наблюдения за обработкой по-
лей и их орошением существовали особые деку-
ри»ны (десятники).

— 58 —
Подобная организация требовала весьма точ-
ной статистики, и на основании доставляемых
квппосамп сведений совершалось деление земли
на участки. Если община потерпела от войны,
пожара, или землетрясения, то помощь ей рас-
кладывалась на соседние общины.
Фиске говорит, что „этот строй был совершен
пейшпм примером государственного социализма,
какой только может быть найден историками в
давно минувшие времена", но, в сушностп, все
перуанцы были крепостными пиков.
В руках производителей оставалась третья
часть, а две трети в форме налогов переходили
в руки правительства.
Каста инков и сословие amaut'oB не платили
налогов и содержались из остатков за покрытием
расходов на содержание войска и огромного ад-
министративного аппарата.
Налоги платились продуктами земледелия,
тканями, оружием, травой „сосса" и канатами для
передвижения тяжестей.
Здесь открывалось широкое поле для самой
напряженной работы хранителей квппосов.
По истечении каждого года из всех провин-
ций Перу доставлялись в Куско отчеты о сборе
податей, списки родившихся и умерших, вдов и
сирот, людей, способных носить оружие, и т. д.
Diego d’Aralos рассказывает, что он нашел у
одного старого перуанца, бывшего начальника
провинции, квипос, составленный последним для

59 —
доклада инке, в виде годичного отчета о дея-
тельности подчиненных ему сборщиков подати.
Этот квипос был у него отобран corregidor’oM
(судьей) и сожжен.
Доминирующую роль играли квипосы, касаю-
щиеся учета налогов. Определенный цвет соот-
ветствовал ее виду. Каждый декурион по числу
вверенных его попечению плательщиков налога
отмечал на общем квппосе узлами собранную им
подать. Узел на желтом шнуре означал 10 мер
маиса, по одной мере с семьи, узел на коричне-
вом — 10 мер картофеля и т. д. Центурион (сот-
ник), получая десять таких квипосов, резюмиро-
вал их в одном. В свою очередь, отчеты центу-
рионов сводились в один общий у начальника
провинции.
Таким образом, вся масса получаемых сведе-
ний давала ясную картину экономического со-
стояния страны, или наличия рабочей силы.
Неизбежная обработка статистического мате-
риала для соответствующих выводов о распреде-
лении земли и продуктов среди населения, со-
гласно установленным нормам, предполагает до-
статочные арифметические познания перуанцев,
и весьма жаль, что до нас не дошло никаких
сведений о тех приемах, которыми пользовались
инки, разбираясь в числовом материале кви-
посов.
Впрочем, при десятичной нумерации эти вы-
числения сводились к ряду сложений, имевших

60 —
целью замену простейших по кратности узлов
более сложными. Так как у населения оставалась
треть всех продуктов, то две трети поступали в
распределение: половина шла на храмы, другая
оставалась у инков. Но из их части содержались
войска. По числу воинов и размеру пайка уста-
навливалось общее количество продуктов, им
предназначавшихся. Так как вся страна делилась
на 4 округа, то заготовлялись 4 квипоса, кото-
рые и вручались начальникам округов для даль-
нейшего распределения. Операция деления на 4
сводилась к следующему: допустим маиса было
5000 мер (пять тройных узлов). На каждом окруж-
ном квипосе завязывали по одному тройному
узлу. Пятый узел как бы раздробляют в 10 узлов
низшей кратности. Опять завязывают на окружных
квиппсах по два двойных узла. Остаток опять дро-
били в 20 простых узлов. На окружных завязывали
по 5 простых. В результате на каждом из них будет
1 тройной, 2 двойных и 5 простых у шов, то есть
1.10,4- 2.10- 4- 5.10 = 1250.
Операция кропотливая, но обладающая нагляд-
ностью и не требующая производства сложных
действий в уме.
Что касается счета простых единиц, на кви-
посах не отмечавшихся, то, вероятно, пользова-
лись, как и у других американских народностей,
пальцевым счетом. До нас дошли наименования
числительных на языке квичуа и аймара.

— 61
Квичуа.	Аймара.
ucnivoc	mayan
iscal	Paya
quiusa	quimsa
tacua	pusi
Maqui	ampara
Socta	Sojta
Canchis	Pacallu
Iscai cuti tacua	
lescon	Zlatunca
Chunca	tunca
pachaca	patacu
huarancca	huaranca
hunu	hunu
Испания.	Россия
1 no	один
Dos	два
Tres	три
Cuatro	четыре
Cinco	пять
Seis	шесть
Sieie	семь
Ocho	восемь
Nueve	девять
Doce	десять
Ciento	сто
Mil	тысяча
Doce mil	десять тысяч
Одиннадцать читается „chunca ucnivoc", то есть
десять один, двенадцать „chunca isca]“ (десять
два) и т. д. Интересно, что числительное пять
(maqui) тожественно со словом „рука", что ясно
указывает на следы счета по „пяткам пальцев",
то есть по квпнарной системе, столь распростра-
ненной в Америке.
Повидпмому, от древнейших времен осталось
слово „Iscaiguan", буквально „больше двух", когда
числовые представления обрывались на „единице"
и „двух", а также слово „Asguan" — большие
число, неопределенное множество.
.Затем мы встречаемся с весьма интересньм
счетным прибором, представляющим „ступенча-
тый абак"

— 62 —
Рис. 26.
•Эти „числительные камни" распространены,
главным образом, в северной части Перу в Хуа-
донвале, недалеко от возвышенности Чукана, в
Урконе, Кабане (рпс. 26). Сквайр нашел анало-
гичный прибор, украшенный резьбою, в Экуадоре
(в области древних каньари).
Приборы эти высе-
чены из камня и приме-
нение их к счету осно-
вано на принципе свое-
образного поместного
значения, притом не по
десятичной, а по дуо-
децимальной системе
(счет дюжинами).
Этот замечательный
факт трудно поддается истолкованию: лежал ли в
основе этого принципа счет по суставам (четырех
трех-суставных пальцев), или по числу месяцев в
году, мы не знаем, но любопытно, что г Старом
Свете—родине абаков,мы аналога не имеем.Именно,
в Новом Свете абак не плоский, а „пространствен-
ный", где значение „счетной единицы" (камешек,
или боб) у величивается не только при сдвиге в пло-
скости, но и с перемещением на некоторую высоту.
Как видно из рисунка, „числительный камень"
представляет прямоугольный ящик с основной ниж-
ней площадкой и двумя двух-ярусными башнями,
в углах той или другой диагонали. Центральное
большое поле на основной площадке окаймлено

— 63 —
рядом полей двух размеров: два средних п 19
малых. Эти последние с одной стороны частью
расположены в два ряда, напр., на рис. 26 справа
их больше на три, чем слева. Каждая из баше-
нок обоих ярусов имеет также окаймленные поля.
Счет ведется с помощью цветных бобов, причем
в малом поле он означает единицу, в среднем
два, в центральном три. В поле большой башни
шесть и в поле малой двенадцать. Различие в
цвете бобов отвечало различию об'ектов счета.
Такой прибор, конечно, имел преимущество перед
квппосом. так как переложить или снять боб
легче, чем завязать узел, да и счет можно вести
гораздо скорее и чтение результата не представ-
ляет труда, так как весь комплекс бобов перед
глазами счетчика. Наконец, удобство счета по
этой системе в малом количестве потребных бо-
бов. Действительно, при счете однородных пред-
метов для чисел первой дюжины максимально
достаточно трех бобов, для второй четырех и
вообще для п—ой необходимо п-|-2 боба.
Числа первой дюжины требуют для своего
изображения последовательно бобов:
1,	1,	1,	2,	2,	1,	2,	2,	2,	3,	3,	I
Числа	второй	2,	2,	2,	3,	3,	2,	3,	3,	3,	4,	4,	2
Числа	третьей	3,	3,	3,	4,	4,	3,	4,	4,	4,	5,	5,	3
Числа	п—ой	п,	п,	п,	n-f-l, n-J-1, п,	п-|-1,
П-4-1, n-f-l, n-}-2, n-f-2, п *).
*) Для интересующихся мы даем в прибавлении краткую
теорию ступенчатого абака.

— 64 —
Чтобы покончить с перуанской арифметикой
заметим, что разделение страны сообразовалось с
верой инков в особое значение числа четыре,
как на земле, так и на небе, ,,Tacuatin-Suyu“ —
четыре страны света—было единственным назва-
нием, охватывавшим все составные части царства
инков, центром которого была столица — Куско.
Оно делилось по 4 ветрам (т. е. направлениям)
на 4 округа: Colla-suyu (южный округ), Chincha-
suyu (северный), Cunti-suyu (западный) и Anti-
suyu (восточный). В каждой четверти проходила
одна из главных государственных дорог. II так
как, согласно системе управления, столица дол-
жна была отражать в себе в малом виде все
царство, то и Куско распадался на четыре квар-
тала.
Впрочем, исключительное предпочтение числу
четыре, как священному, проходит красной пи-
тью через верования и космогонические пред-
ставления почти всех американских народностей...
В 1533 году династия инков прекратилась,
великая Перуанская монархия распалась и при
этом погибла значительная часть драгоценных
памятников своеобразной культуры, оставив в на
следие лишь то немногое, что сохранили для
знакомства с историей древняго Перу оставав-
шиеся в живых знатоки квипоса. Теперь рекон-
струкция культуры инков возможна лишь в част-
ностях, без всякой надежды восполнить те про-
белы, которые образовались, благодаря необуз-

— 65 —
данному проявлению разрушительных инстинктов
европейских варваров.
Несомненно, при иной исторической обстанов-
ке, если бы царство инков продолжало свое су-
ществование, их культура видоизменила бы свой
облик, и, в частности, квипос, как письмо, был
бы запенен письменностью в подлинном смысле
этого слова, что повлекло бы за собой и отказ
от пользования квипосом даже как счетным ин-
струментом. Это могло произойти хотя бы под
влиянием общения с европейцами при иных по-
литических и социальных условиях, чем те, ко-
торыми управляет колесо истории.
Но считаясь с совершившимся фактом и со-
поставляя все сказанное о приемах узлового счета
в Старом и Новом Свете в различные эпохи, мы
приходим к знаменательному для истории мате-
матики выводу, что перуанский квипос является
чистой формой nil елового применения узлов, ко-
торая только в руках инков, благодаря удачному
сочетанию с принципом поместного значения по
десятичной системе, достш ла возможного вообще
1ля этой формы счета совершенства.
С падением власти инков погиб и квипос, но
эта смерть была не насильственной, а естествен-
ным концом, который мояспо было предсказать в
силу закона эволюции.
Развившись до высших пределов и применен-
ный с исчерпывающей полнотой в статистиче
5

— 66 —
ских целях, он достиг кульминационного пункта,
оказавшегося его „мертвой точкой4*.
Застывши в этом положении, он неизбежно
был обречен, спустя некоторое время, на замен}
новой формой счета, более совершенной. То, что
осталось от него в практике современных пасту-
хов в нагорье Андов — это рудимент, пережиток
квипоса, обязанный своим существованием лишь
некультурности своих владельцев. Таковы заклю-
чения, к которы\ приводит вас изучение истории
науки.
29Л’Ш 22 г. Математический Отдел
Центр Физико-Педаг. Института.

ПРИБАВЛЕНИЕ.
КРАТКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ „СТУПЕН
ЧАТОГО АБАКА".
Теоретически, всякое число может быть пред-
ставлено по этой своеобразной системе нумера-
ция гак:
I. А | 2. В ]-3.G+6.D4-12. Е
где А, С и D могут быть только нулем, пли едп
иицеп, В может принимать значения нуль, один,
два, а Е— неопределенно.
Напр., число 43 представится в виде:
3. 12-I-G4-1=5J. 12-4-1.64 0.3-|-0.2 I 1. 1,
а число 79 изобразится
«. 12-( 34 4=6. 1'2-рО. 6-4-1.3 [-2.2-4-1. о.
Если дальше применить дуодецимальную си-
стему (для чисел>143) то Е^11 и схема числа
из 'разится:
1 А-{-2. В-рз. (J-4-6.0-4-12- Ег4-12-‘2 E-J-! 1 -•* Ез+-
ирн чем Ер 2, у... $ 11.
5*

— 68 —
Чтобы обратить десятичное число ь число, на-
писанное по этой системе, надо разделить его на 12.
Целое частное даст число дюжин. Первый
остаток делим на 6. Частное даст число шесте-
рок. Второй остаток делим на з. Частное даст
число троек. Третий остаток делим на 2. Частное
даст число двоек. Последний остаток будет нуль
пли единица.
Обратная задача крайне проста. Напр.,
(31021)12=3. 124 1.6-| 0.34-2.2-] 1.1=47
ясно, что по этой системе можно производить все
арифметические действия.
Напр., сложить (40Ю1)г_,	(52),.,
+ (31020)г,	(46) ,о
(7112.1),#	(98),„
но эту форму можно упростить, так как
1.б41.3-|-2. 2+1.1=1.1240.6+0. 3+1-2 ]-1. о
поэтому сумма будет:
8. 12+0.6+0. 3+1. 2+1. 0=!»8.
Ио на практике обращения с абаком действия
выполняются при небольшом навыке очень бы-
стро, хотя об'яснение этих операций кажется
сложным. Вся суть в том, что надо научиться
пользованию минимальным числом бобов.
Решим сначала такую задачу: сколько бобов
необходимо, чтобы выразить число 179. Так как
оно в пятнадцатой дюжине, то п=15.

— 69 —
Остаток от деления на 12 дает 11, а ято число,
занимая в n-ой дюжине лдиннадцатор место трр-
бует п-р2. т. е. 17 бобов.
В самом деле:
179=14.12+1.6-}-1.3 4 1.24 -0. 1.
Жирные числа означают число бобов.
Обратная задача, вообще говоря, неопределея
пая и допускает несколько решений. Напр., сколько
чисел и какое именно требуют для изображения
минимально 23 боба. Легко видеть, что таких чи
сел будет 12, а именно:
250, 251,256,2*7,259, 260,261,265,266, 267, 270 И 276,
То есть, в пределах 21-й, 22-й и 2з-й дюжин.
Предлагаем читателям выяснить почему и ка
кая здесь наблюдается закономерность.
Обратимся теперь к действиям.
Дано сложить 11 и 8 (практически).
Структура первого слагаемого б+з+2 требует
3 бобов. Структура второго б+2—двух. Но сумма
|6+3-|-2)+|1>+2)_-фЦ4>)+'3+(2+2'1—1. 12-|-О.6-|-1.3+2 2 } 0.1 —
(l’-|-|’)+J|+(3+l)=l‘--|-(3+3)+1 =1.12+1.;б-|-0.3-ро. 2+1 = 19.
Получилось две комбинации: первая требует 4
боба, а вторая только три. След., на практике до-
статочно только тех трех бобов, которыми выра-
жается первое слагаемое. Вот схема операций:

— 70 —
число 11; поле первой башни—один боб (6)
центральное поле —один „ (8)
среднее иоле —один „ (2)
Надо прибавить 8, то есть сумму б и 2.
Прибавить боб в поле первой башни (с>) равно-
сильно переносу уже имеющегося там боба в поле
второй башни (6-|-6=12). Теперь два можно при
оавить в два приема по единице: один боб из
средпего поля (2) перенести в центр, где уже
есть один боб. Тогда имеем (34-3=6), но, перенеся
отсюда один боб в поле первой башни (6), мы пол,>
чпм в центр'- лишних три единицы. Так как нам
осталось прибавить только одну единицу, то доста-
точно этот центральный боб переместить в одно
из малых полей, где он теряет две единицы ').
Вычитание (и деление, как многократное вы-
читание) не представляет затруднений.
Что касается умножения, то и оно па прак-
тике выполняется довольно быстро.
Самый процесс легче всего уясняется на схеме.
Пусть дано умножить 4 на 5.
*) Пользуемся случаем указать преподавать »ям па лег-
юю осуществимость этого интересного прибора in глины,
дерева, или картона. Теория его проста, а практика вы-
числении внимательна и поучительна. Особенно раЛн
вается сообразительность при решении вопроса, путем
скольких п каких именно перемещений пелучить желаемый
рчйулнгат. В задачах, аналогичных указанной, требовать е>
решения при минимальном числе бобов, или минимальном
числе перемещений.

71
II о л я
Малое. Средн**.' Центр. | 1-я башня. 2-я башня.
3
3
3
3
1
i II
:-----------
I
’ 1
I
I 111
>
I
I
Чтобы упятерить значение каждой единицы,
надо поместить их в среднем поле (удвоить) и
прибавить 4 боба в центре (утроить). Теперь три
боба в среднем составляют 6. Два снимаем, тре-
тий переносим, как указано стрелкой I в поле
первой башни. Из четырех бобов центра каждая
пара также составит 6. поэтому два снимаем, а
два переносим в поле первой башни (стрелки II
и III). По два боба из трех, имеющихся теперь в
поле первой башни составляют 12. Один боб сни-
маем, другой переносим в поле 2-й башни (стрел-
ка IV). В результате остается три боба (на схеме
они заключены в круглые скобки).
(12)+(G)+(2) = 20.
В некоторых случаях операция еще проше,
напр., умножить 5 на 7. Все ясно из схемы:

— 72 —
Малое.	Среднее.	Центр.	1-я оашви.	2-я башня.
1	6
>(2)	>	>(12)
1 |	б]
1	I	6
I	— >(12)
1}	>(3)
11	(6)
Итог:
5. 7=2. (12)-j-l. (6)4-1. (3)4 1. (2)

Книгоиздательство „СЕЯТЕЛЬ" Е. В. Высоцкого.
Петроград, Пр. Володарского (0. ЛнтайвыЮ, 34 Тел. 5-47-76.
ПЕЧАТАЮТСЯ и СКОРО ВЫЙДУТ:
А. М. АСТРЯВ.—Опытная геометрия. Куре подготовит, и
системат. Учебн. для единой тр, дов. ыкилы.
И. Н. КАВУН.—Начальный курс геометрии. Учебник для
еин. тр^д.'школы. Часть 1-я—Зй и 4-й годы обучения.
Часть 11-я—5-й год обучения.
И. А. СИГСВ. — Начальная математика. Элементы гео-
метрии и арифметики для рабочих.
Я. И. ГЕРЕЛЬМЛН,—Фиспческая хрестоматия. Часть II.
Я. И. ФРЕНКЕЛЬ.—Строение материи. Часть II.—Сочле-
нение материи.
Гарри ШМИДТ.—Мировой эфир, электричество, материя,
пер. с нем. (Готовится к печати).
М. А. БУБЛИКОВ. Биологические беседы. Научно-популяр-
ное систематические изложение всех отделов биологии.
Ю. А. ФИЛИПЧЕНКО, проф.—Общедоступная биоло.'ия.
Е Е СОЛОВЬЕВА и Е. И. и Л И. ТЙХЕЕВЫ.— Русская
гр’аглота. Первая после букваря книга для чтения.
Изд. 4-е.
Н. К. ЭРДЕ ЛЬ. — Новый учебник немецкого языка.
Часть И.
ЕГО ЖЕ. — Новый учебник французского языка.
ИЗБРАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
НЕМЕЦКИХ, АНГЛИЙСКИХ и ФРАНЦУЗСКИХ ПИСАТЕЛЕЙ.
Под р<‘Д. С. А. Манштейна.
НОВЫЕ НЕМЕЦКИЕ ПИСАТЕЛИ. 5-й томик. Изд. 6-е.
УАЙЛЬД, О.-Избранные сказки. Изд. 3-е.
НОВЫЕ ФРАНЦУЗСКИЕ ПИСАТЕлИ. Изд 14-е.
ДОДЭ, А—Малыш. Изд. 13-е.

f
Книгоиздгтэльзтво „СЕВТЕ51Ь“ E. 1 Высоцкого.
Петцогцзд, не. Венедского (о. ЛтМ), 34. Тел. 5-47-76.
НОВЫЕ КНИГИ:
Я. УСПЕНСКИЙ. академ.—Введение в неевклидову гео-
“" метрик) Лобачевского-Болиаи.
Д. ТИЛЬБЕР-" —Основания геометрии. Перевод с немецк.
' под.' ред! засл. проф. А. В. Васильева.
Н. М. ГЮНТЕР нроф.—Крнткий курс тригонометрии.
Г. Н. ПОПОВ. — Культура точного знания в дпевнем
Перу (в связи с развитием узлового счета и письма).
ЕГО ЖЕ.—Псаммит Архимеда. Перевод с комментариями
" ТГочерком научных работ Архимеда.
Я. И. ПЕРЕЛЬМАН.—Физическая хрестоматия. Пособие
и книга для чтения ио физике. Часть I.
Я. И. ФРЕНКЕЛЬ. — Строение материи. Часть I — Рас-
членение материи.
Г. И. ИВАНОВ Начальный курс географии, ч. I-хИзд 12-е.
„	„	»	„	. Ь и.Изд. 6-е.
„	„	„	,	„Ш-я.Лзд. 7-е.
Б. Е. РАЙКОВ, проф - Организация ^фактических заня-
тий по неживой природе. Пособие для преподавателей
единой труд, школы. Изд. 3-е.
ЕГО ЖЕ. — Книжка для практических занятий по при-
родоведению. Пособие для учащихся единой тру-
довой школы. Изд. 4-е.
А. Ф. ВИНТЕРГАЛЬТЕР. — Как наблюдать животных.
Под ред. проф. Б. Е. Райкова.
М. И. ВОЛЬПЕР.— Справочник по этимологии русского
языка в таблицах.
ЕГО ЖЕ.—Новый орфографический словарь с при лоще-
нием прсксьчееких правил правописания.
ЕГО ЖЕ.—Правила правописания. Праю аческое пособие.
Н. К- ЭРДЕЛЬ. — Нокдй учебни; энецкого языка.
Чдс1а £
/п