Текст
МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ИНЖЕНЕРНО ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ -
А. С. Леонов Н. П. Волков
Сборник задач
по вариационном!| исчислению
и уравнениям
математической физики
(для факультетов «А» и «К»)
МОСКВА 1991
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ
МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
А-С.Леонов Н.П.Волков
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ВАРИАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
И УРАВНЕНИЯМ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
(для факультетов "А" и "К”)
Утверждено
ред''светом инсти, /та
в качестве учебного
пособия
Москва 1991
УДК 517
Леонов А.С., Волков Н.П. Сборник задач по вариационному исчис-
лению и уравнениям математической физики (для факультетов ”А” и ”К”).
М.: МИФИ, 1991,— 60 с.
Настоящий задачник состоит из двух глав, соответствующих разде-
лам ’’Вариационное исчисление” и ’’Уравнения математической физики” и
содержит набор задач по темам, изучаемым в курсе высшей математики иа
факультетах ”А” и ”К”. В начале каждого параграфа даны теоретические
сведения, необходимые для решения задач этого раздела, а также разбира-
ются типовые примеры.
Сборник задач предназначен для студентов второго курса факульте-
тов ”А” и ”К”, а также для всех заинтересованных в ием лиц.
Глава 1 составлена А.С. Леоновым, глава 2 — Н.П. Волковым.
(С) Московский
инженерно-физический
институт, 1991
ПРЕДИСЛОВИЕ
Этот сборник задач предназначен для студентов 2-го курса факуль-
тетов "А" и "К". Хотя в нем основной упор делается на простейшие зада-
чи вариационного исчисления и уравнений математической физики, содер-
жание его несколько шире, чем в программе курса. Это сделано с целью
дать возможность студентам самостоятельно ознакомиться с некоторыми
главами вариационного исчисления и уравнений математической физики
путем решения характерных задач. К разделагл, которые можно изучать
самостоятельно, относятся, например, п. 6 j 2, ) 6’и некоторые другие.
На наш взгляд, приводимые в сборнике задачи могут бьпь использованы
также и на факультетах "Т" и "Ф". Как правило, наиболее сложные за -
чи (в том числе и с физическим содержанием) помещены в конце раз
лов. Каждый раздел содержит краткий теоретический материал и прим ль
решения задач.
Глава I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1.1. Функционал
Линейным нормированным пространством называется линейное
пространство У , в котором каждому элементу уеУ поставлено в
соответствие действительное число, обозначаемое символом II у II и называ-
емое нормой элемента у ; при этом норма удовлетворяет следующим
условиям:
Т|| УII 2 0 и ||уЦ= 0 тогда и только тогда, когда у- 0; 2. |/Лу ||= [71|-[|ylB
3. ||y+Zfl< IIу || + ЦхЦ для любых у , ZeY и всякого дейст-
вительного числа J.
Примеры линейных нормированных пространств
1. С [О. ,Ь J — пространство функций, непрерывных на отрезке
[ И,Ь ] . Операции сложения функций и умножения их на число опреде-
ляются обычным образом. Норма вводится согласно равенству:
IIУ II = IIУ Но = шр [Iyw| •• хе [М J ]
для всякой y(&)G-C J .
2. CUa,b] — пространство функций, имеющих на отрезке
непрерывную производную первого порядка. Линейные опера-
ции с функциями из этого пространства вводятся как обычно. Норма оп-
ределяется равенством:
IIУ11 = ПуII7 = [IIу l/ff, lly'llff j = max [sap [Iy(x)/ :
sap [ly'(x)/; хе [ a,6 ] j ] .
Функционалом в линейном нормированном пространстве У на-
зывается функция, определенная па всем У и принимающая действитель-
ные значения.
В дальнейшем функционалы на Y будут обозначаться символа-
ми вида Jfyj, Т[у], и т.Д.
Функционал L[y] называется линейным, если он обладает свой-
ствами:
2 Шу] = Шу], Vyey, Vj\eR\
4
Задачи
7 1.1. Доказать, что нормы введенных выше пространств и
£ действительно удовлетворяют аксиомам нор^иы, приведенным в
определении линейного нормированного пространства.
1.2. Найти явный вид функционала, определенного на пространст-
ве С [&,&] и представляющего собой длину дуги Uy] кривой, кото-
рая задается функцией у СЧО-.Ь].
1.3. Найти явное выражение для функционала, определенного на
С [&,Ь] и представляющего собой площадь поверхности, образованной
вращением дуги кривой у(Х) , , уОХ^СЧтЬ] вокруг'
а) оси ОХ; б) оси ОУ.
1.4. Найти вид функционала S[LL(X,y)] , определяющего площадь
гладкой поверхности IX-и.(Х,у) , (.Х,у)^Х ; S) — квадрируемая об-
ласть.
1.5. Найти вид функционала i[y(X)] , представляющего собой
время, затрачиваемое на перемещение (без трения) материальной точки
из точки в точку кривой y~y(X)(Xg<Xj ,у0< ) ,
если скорость перемещения ее вдоль дуги есть функция (л= tr(X,y, у'):
V-(X,y(X)ty'CX>).
1.6. В предыдущей задаче рассмотреть случай, когда точка перемеща-
ется из А в В под действием силы тяжести: = усу-у^) ,
1.7. Доказать, что функционал, определяемый в пространстве
С[й,Ь] равенством $Ту] = р(Хр) , где Хо — фиксированная точка
X.q£ Ь"), является линейным.
1.8. Доказать, что функционал
F[y]= jb[p(x)y(x) + y(x)yl(x)J dx, p(xt, у(х)еС[а,6],
определенный на пространстве , линеен.
1.2. Экстремум функционала
Окрестностью точки уеУ (радиуса г ) называется множество
вида
Цу-уЦ<г}.
Если в качестве пространства У используются С [ 0., Ь] или С
то соответствующие окрестности носят специальные названия и имеют спе-
циальные обозначения:
5
окрестность нулевого порядка (сильная окрестность) —
= [у(Х)€С[а,5]: Цу(£)-у(Х)10< Г р
окрестность первого порядка (слабая окрестность) —
^(у,Г)= [y(x)€CJ[a,&]: lly(X)-ycx^l^r].
Очевидно вложение S; (у, Г)С Sq ( у, Г).
Если функция лежит в слабой Г -окрестности функции
, то из определения норм в С[Ч,Ь] и С^[И,Ь] , «счс, чтс. оча
лежит и в сильной Г-окрестности. Обратное же в обще*.’ел--ае не-
верно: сильная окрестность гладкой функции у(Х) шире слабой.
Пусть — некоторое непустое подмножество пространства У,
Будем говорить, что функционал имеет в точке уб£> относитель-
ный мин тмум (или максимум) на множестве с?) , если существует такая
окрестность S(y, Г)сУ этой точки, что для всех J , уе$(у,Г')Г1Яй,
выполнено неравенство иТу]$ &[у] (или V[y]^U'[y]).
Функционал имеет в точке у€§& абсолютный минимум
(или максимум), если V [у ] f lf[y ] (или ) для лю-
бого уе§Ь,
В этих определениях допустим случай, когда S>= Y . Если
cc'[Q.,b] и Y=C[a,b] , то относительный (абсолютный) экстре-
мум, т.е. минимум или максимум, функционала называется относительным
(абсолютным) сильным экстремумом; если же Y = C^[й,Ь ] , го —
относительным (абсолютным) слабым экстремумом.
Если на кривой у (Х)6 С1[&,Ь] достигается сильный экстремум
функционала V на 0 , g)C [d,b ] , то подавно достигается и сла-
бый, т.к. из принадлежности (j(X)S- S](y. Г) вытекает принадлежность
У(Х)€ SgCtj, Г) . Обратное, вообще говоря, неверно.
3 случае, когда Y= С[Q.,6] или у--СЦа.,Ь] , в качестве £)
часто используется "множество функций с закрепленными концами":
y(6)sBjrp,e Л, В — фиксированные числа.
Понятие сильного и слабого экстремума можно ввести также для
функционала, зависящего от вектор-функции у~ (у^(Х),--> , У^(Х-)').
Задачи
1.9. Доказать, что функционал
СТ
J[yl = J y2(l-yl2)dx
„ о
О
при условиях y(O) = y(.Of)-0 имеет относительный слабый минимум ц
Почке у(Х) = 0 . Доказать также, что сильный минимум отсутствует. Ука-
зание. Рассмотреть последовательность
1.10. Доказать, что функционал
y2(x)dx, у(О) = 0, y(i) = i
не имеет сильного и слабого абсолютного минимума, но имеет абсолютный
минимум на множестве интегрируемых (по Риману) функций в некоторой
точке у(Х) , представляющей собой разрывную функцию.
1.11. Пример Вейерштрасса. Доказать, что функционал
= Д x2(y')2dx
при условиях , у(1)-1 не имеет абсолютного минимума на
классе С1 [~1,1 ] , но достигает его на классе кусочно-гладких функций.
Указани е. Рассмотреть последовательность у^ (X) = Q.rci^(JlX')lQTCtyJl,
1.12. Доказать, что функционал
при условии у(Ц2)=0 не имеет слабого максимального элемента.
1.13. Доказать, что функционал
при условии у(0) = у(1) - 0 имеет абсолютный слабый минимум. Имеет
ли он абсолютный сильный минимум?
1.14. Доказать, что функционал
W= flt[y'(x)]2dx
при условиях у(О)-Л, у(1) = В (Л, В- const > имеет абсолютный сла-
бый минимум. Имеет ли он абсолютный сильный минимум?
1.15. Доказать, что функционал
с Sr/2 г ,2 От ,
^)=J0 UV-yJte
при условиях у(0)'= 0 , у(0С/2) = 1 имеет относительный слабый мини-
мум на функции у(Х)=$1ПХ.
1.3. Вариация функционала. Общее необходимое условие
экстремума функционала
Пусть функционал Vty] рассматривается на множестве
линейного нормированного пространства У.
7
Вариацией Sy аргумента функционала v[y] в точке у,
(или приращением этого аргумента) называется любая разность
вида Sy-y-y где у€$Ъ.
Вариация аргумента для класса функций с закрепленными концами
обладает свойством: Sy (О.)- Sy .
Предположим, что элемент вида у + с<8у принадлежит множеству
£) при любой вариации Sy и для всякого числа сх , Бу-
дем считать также, что функция ip(a) = v[ Ц+vSy]. определенная при
Oi СХ < 1 , дифференцируема при сх = 0 для любой вариации 5^, Тог-
да производная
и,
называется вариацией функционала V в точке и обозначается
символом Sir: SlT= Sir (у,Sy) = if'(O).
При фиксированном у вариация функционала 1Г есть функ-
ционал, зависящий от Sy.
Теорема 1 (общее необходимое условие экстремума функционала) .
Пусть точка yeg) является точкой относительного экстремума функ-
ционала У[у] на S) и в этой точке существует вариация SlT-tf'cC).
Тогда
Su'(y,6y')-= 0
для любой вариации аргумента Sy "достаточно малой ’по норме.
Если Sir (у, Sy")-0 для любой Sy , то точка уе'зЬ
называется с тационарной точкой функционала V [ у ] на 2) .Точки
относительного экстремума, если они имеются, содержатся среди стацио-
нарных точек. Но не всякая стационарная точка в общем случае является
точкой экстремума.
Задачи
1.16. Найти вариацию функционала
на классе функций С[и,Ь] с закрепленными концами (Syca-)'-Sy(b)--O).
1.17. Решить ту же задачу для функционала
v[y]^ ]Ь(у2^у,2Ых
на классе С1[11,Ь] , S у\й) - $у (Ь)-= 0.
8
1.18, Найти вариацию функционала
p(z),^e сЧ&.Ь]
на классе функций [ й,Ь ] с закрепленными концами.
1.19. Имеет ли функционал
<от =J7
вариацию на классе С[0,1 ] ?
1.20. Имеет ли функционал
v[y] = fjy'(^]2dx
вариацию на классе С [0,1 ] ?
1.21. Найти вариацию функционала
содержащего дважды непрерывно дифференцируемую функцию 3 )}
на классе функций С^[й.,Ь] с закрепленными концами.
1.4. Вторая вариация функционала. Необходимые условия
минимума и максимума
Пусть функция ф(а) = У [ Ц + Р(8у ] , введенная в п. 1.3,
дважды дифференцируема при ох = 0 для данного у и любой вари-
ации . Тогда вторая производная
называется второй вариацией функционала [Г в точке y€.S] и обо-
значается символом ff2ir= 821Г[у , 8у]~ If "(0).
Теорема 2 (необходимое условие минимума и максимума). Если
точка убоЬ является точкой относительного минимума (максимума)
функционала О’[у] на У) и в этой точке существует вторая вариация
6гг[у, ffy] , то выполнены соотношения:
fa[y,£y]=0, 62ir[y,fy]^Q (62ir[y,6y]4(D
для любых ’’достаточно малых”по норме величин^.
Задачи
1.22. Найти вторую вариацию функционала из задачи 1.16. Выяснить,
может ли этот функционал достигать относительного максимума на указа^-
нрм в -задаче 1.16 классе.
9
1.23. Выполнить то же самое для функционала из задачи 1.17.
1.24. Найти вторую вариацию функционала
tr[y]- ^[(y'^+nxyjdx
на классе , $у (0) = $д (1) = 0. Может ли этот функционал
иметь на таком классе относительный максимум?
1.25. Решить аналогичную задачу для функционала
v[y]=f\y2+x2y') dx.
1.26. Найти вторую вариацию функционала
ir[y]= F(x,y,y')dx
на классе C4a,b], fy[a] = dy(b) = 0 , считая функцию 3^
дважды непрерывно дифференцируемой.
Замечание. Подробности теории, рассматриваемой в данном
параграфе, можно найти в книгах [1-4].
2. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
2.1. Простейшая задача
Простейшая задача вариационного исчисления заключается в нахож-
дении функции {/= d 4- X Ь, у(Х)€ С?, на которой до-
стигается экстремум на множестве £0 = (относительный, абсолют-
ный, слабый, сильный) функционала вида
'ь
ir[y]-]3'(x,y(r),y,(x))dx О)
а
при условии закрепления концов: у(И)-Л , у(Ь)-8 , Геометрически
это трактуется как нахождение гладкой кривой, соединяющей точки
и , на которой функционал (3) достигает соответствующего экстре-
мума. Обычно предполагается, что функция (F из (3) непрерывна по со-
вокупности аргументов и имеет непрерывные частные производные до треть-
его порядка включительно по всем аргументам.
2.2. Примеры простейших задач вариационного исчисления
а) Задача о брахистохроне (кривой наименьшего вре-
Бернулли, 1696).
16
В вертикальной гласности даны две точки
0(0\0) и В(I?, у7 ) (рис. 1). Определить та-
кую плоскую гладкую кривую у - у(Х) , соеди-
няющую 0 и В , ~ри движении по которой
под действием силы тяжести материальная точка
"скатится" из 0 в В за кратчайшее время.
Начальная скорость равна нулю. Трением и со-
I,у противлением среды можно пренебречь.
Задача сводится к отысканию минимума функ-
ционала
Рис. 1
Цу]=^[/ну^>/l/^y(x)]dx1 const,
при условиях y(O)zO, уСХ^-Уу закрепления концов кривой (см.
задачу 1.16 ).
б) Задача о поверхности наименьшей площади.
Найти такую гладкую кривую у = у(.Х), закрепленную в точках X - И ,
Х-Ь} при вращении которой вокруг оси ОХ образуется поверхность Hav -
именыией возможной площади.
В этой задаче необходимо найти мини-
Рис. 2
мум функционала
$[ У ] = 1 or jb у /йу1^ dx
при условиях у(О-)-Л, у(Ь)-В (см.
задачу 1.13).
в) Задача о распростране-
нии световых лучей в пре-
ломляющей среде (задача реф-
ракции, П. Ферма, 1660).
Найти траекторию у = у(Х) светового
луча, распространяю" ося из точк».
ЛСХу,у^)в точку В(Х?,у„) среде с переменным показателем преломле-
ния п-п(.х,у).
Согласно так называемому принципу Ферма задача сводится к нахож-
дению экстремума функционала
vlyl-^ n(X,y)]/l-!-[y,CX)]^dX
Ху
при условиях y(Xj') - у^ , у(Ху')-у2.
11
2.3. Необходимые условия экстремума
Для простейшей задачи вариационного исчисления необходимые ус-
ловия относительного (сильного или слабого) экстремума в силу специаль-
ного вида (3) рассматриваемого функционала имеют вид дифференциаль-
ного уравнения относительно
Необходимые условия можно сформулировать в следующем виде.
Теорема 3. Если гладкая функция у(Х) , И^Х^Ь (т.е.
уЕ.С^[И,Ь]) доставляет функционалу (3) хотя бы слабый относитель-
ный экстремум, то она удовлетворяет уравнению Эйлера — Лагранжа
(1844, 1859 гг.)
& ($,у{х), у'(х))-£- $, у'(х))=О, \fxeca,b) (4)
с дополнительными (граничными} условиями у(Х)=Л , у(.Ь) = 8.
Таким образом, для нахождения стационарных точек простейшей
задачи вариационного исчисления необходимо: а) найти общее решение
уравнения (4), зависящее в общем случае от двух произвольных констант;
б) определить эти константы из условий у(а.}= Л, ytbl-B.
Пример. На каких кривых может достигать экстремума функционал
tr(U)- [ [Чу?- y'^JdX , у(0)-0, у(Эг/Ч)-1 ?
Решение. Уравнение Эйлера—Лагранжа имеет здесь вид:
или у" + Чу- 0. Его общее решение: у(Х) = С-/ SLR, 2х + С2 COS 2х. Из
граничных условий получаем уравнения для и С2 :
у(0)~ 0 - C-jSlr О-f С2сйцО-С2 > y(0f/4) = C1sllL((ir'/2')=Ci = 1 .
Итак, y(X)-Si,(l 2Х.
Решение уравнения (4), имеющее непрерывную производную, на-
зывается экстремалью функционала (3). Существование экстремалей га-
рантирует теорема 4.
Теорема 4 (достаточное условие существования экстремалей). Пу<. щ
заданы числа у0 , у1 И Хое[б,Ь]. Если 3-yiyi (Xa,yg, у^тЗ:
fO , то существует единственная функция у-у(X) , определенная
в окрестности точки Ху и удовлетворяющая уравнению Эйлера—Лаг-
ренжа(4},а также условиям: у(Ху) = , у'(Х0) - У]
1?
Оказывается, что при достаточно простои; условии экстремали функ-
ционала, если они существуют, обладают повышенной гладкостью. На этот
счет имеется
Теорема 5 (теорема Гильберта). Если ЦСХ) — экстремаль функ-
ционала (3) и если &yryi (Х>Ц(Х), у'(Х))ф Q при всех ХЕ [Е,6] ,
то функция у(.Х) имеет непрерывную вторую производную.
При выполнении условия теоремы 4 уравнение Эйлера—Лагранжа (4)
принимает вид:
Задачи
На каких кривых может достигаться экстремум функционала ?
2.1. J1 [(у')2+12 Ху ] dX , у(0)-0 , у(1)-1.
2.2. ^[у2+х2ц'] dx , у(0)=0, у(1) = в (з-const).
2.3. у2 + 2хуу1) dx , у(0)~Л, ц(1) = В (Л,В-const').
2.4. \\ху+у2-2у2у') dx, , у(1)--2.
о
2.5. (х2у'2+ ny2)ix , у(+7)=±7.
2.6. jg(y/2' x4y'l doc, у(0)-О,
2.7. ^(y2ty,2~ 2ystnx} dx.
(В случае, если в задаче не указано граничное условие, считается, что оно
имеет общий виц: у(Х)-Л,
2.8. ^(y2-y'2-2y$inx)Xd.
2.9. (дА yl2+ dx.
2.10. j° [x2(u'A 2y2i 2xy ]dx.
2.11. [y2+ (u')2+ 2y/c.^ix] dx.
‘'CL
2.12.
2.13.
fz2+y2 /uy,2'd.x.
Указание. Перей-
ти к полярной системе координат.
2.14. &'2 * У2 * 2ху )Lx.
2.15. (у,2 + у2 г X2)dX , у(0^=0 у (0.1=0,
2.i6. j2cx/4-2^/J?^, у^*о, yw=i.
2.17. (Х2у'2 + 12y2)LX, y(!) = f , y(2) = &.
2.18. f(y2ty,2-2xy) (Lx, y(0)=0 , y(2) = 5.
fOY/Ч 1 ,4
2.19. J (yl-y ч 6ysln2y) dx, y(O)=Q, y(#/4) = 1,
2-20. ^[y^y‘z2+(y'-y)5/ (5x3)] ix .
2.4. Случаи понижения порядка уравнения Эйлера—Лагранжа
В ряде специальных случаев уравнение (4) может быть сведено к
дифференциальному уравнению первого порядка.
а) Функция & , не зависит от у , т.е. У=7(Х,у)
п = 0. Тогда из (4) &у = 0 и поэтому y')=Ci = COKSt.
Пример. Найти экстремали функционала
= х2у'2 dx , у(П) = ±1.
Решение. В данном случае ^=Х2(у' )2 , откуда получим:
&yi =2х2ц' = С] , т.е. у!= Ci/(2x,2) . Поэтому у(Х)=С/Х + &
(С- *С;/2 ,Я= Const). Отсюда ясно, что данный функционал не имеет на отрез-
ке [—1,1] экстремалей, т.е. гладких решений уравнения Эйлера—Лагранжа.
б)Функция7не ~
Используем форму (5) уравнения
После замены у1 = z(y), у11 = хх]
или d.[^(y,z)-z/z (y,z)] -0 v
нению:
зависит от х , т.е. f = (г (у, у
(4).Тогда ?у - Jyy У'-^„!У” = О. ’
получим: V- ?zzZZy=O
Итак, уравнение (4)хводится к урав-
(б>
14
Пример. Найти экстремали функционала
^7 = Jo ’ у(1)=2-
Решен и е. Уравнение (6) для этого п,./<мера имеет вид:
^V’zi''2'’ws2,=c’;_
Оно записывается в виде : 2иу'-С (C=2}-Cj = COJlst ) и легко
решается, т.к. 2уу'= бу^У • у*-СХ+£), у = itfCX * §6 .Находим С ий из
граничных условий с учетом того, что у(0), у(1)>0:
у(0) - 7 - 1/С’ 0 + S), у(1)~2= , т.е. &) = 7 ,С-5 .Поэтому
У (ОС)- l/SXtl,
в) Функция Л линейно зависит от у , т.е. ?~
=J(X,y)+ti(.X,g)yi. Уравнение Эйлера—Лагранжа принимает вид:
О и
ду дх
(7)
Это уравнение не является дифференциальным относительно у(Х) , а
представляет собой обычное (конечное) уравнение для определения у
через X . Если (7) выполняется тождественно для всех X и у , то вы-
ражение ?dx под знаком интеграла (3) есть полный дифференциал и
поэтому функционал (3) имеет одно и то же значение на любой гладкой кри-
вой.
Пример. Найти экстремали функционала
ц-[у]=р (.у^-х^у’) dz, y(Q) = O, Ц(1}-а = const.
Решение. В этой задаче J(X,y ) = у? , iS(X,y)=-X^ .По-
этому (7) имеет вид: , т.е. У'~Х . Эта функция удовлет-
воряет краевым условиям лишь в случае ОС = —1. В остальных случаях
экстремали отсутствуют.
Пример. То же для функционала
= (ху2+ x2yy')dx} y(O) = Q, =
J0 ) я 2
Решение. Л(х,у) = Ху , В(Х,у) = Ху и (7) выполнено тождест-
венно для всех X и у . Данный функционал имеет постоянное значение
С^/2 для любой гладкой кривой у(Х) , удовлетворяющей краевым ус-
ловиям.
Задачи
Найти экстремали. В случае задания граничных условий общего ви-
да выяснить, при каких А и В экстремали существуют:
121. ^y2dx, yiv-j,
2.22. J7 (y2 + X2y')dX , y(0)=0, (/(0 = 5,
2.23. J*7 y2(X-y)dx, y(0)*0> y(1) = B.
2.24. j\g2+2zyy')dx, y(0)-J, y(1)~B.
2.25. Jj(xy-y2- 2y2 y')dx, y(0) = 0 , y(1) = B,
2.26. J7 e^Cy12-1) dx.
2-27- y'arct^ y'-bifTy^dz.
2.28. J7 ( yU /? + У12') dx .
2.29. yl2(1+y')2dx , y(X)=1, у(b)= 2.
2.30. Задача о геодезических линиях на плоскости (т.е. о кривых
наименьшей длины, соединяющих точки (Хд,уд) и (Xj , у} ) )
/by'2'dx , l/(^)--y0, y(Xj)--yv
2.31. \^(yl2+ 2уу'~ 16y2)dx. 2.32. [С1+ у2 )//2J
2.33. (у'-1)2(y'-t-l^dx , y(Q)-Q, д(Ч)=2.
2.34. Jj ( у'4- бу'2)dx, у(0)-0 , у(1) = В.
2.35. y,5dx, у(0)=0, у(Ь)=В>0.
2,зб. ^^у'2+ у'4 + yy')dx, у(0)-0, у(Ь)=д.
2.37. Jf\y[y,2)dx, у(0)=1, у(Ь)^В (b>0, O<B<1Y
2.38. ]^4(4y2-yl2 + &y)dx, у(0)=-1, у(,хг/ч) = о.
2.39. , у(0)=0, у(1>В>0.
2.40. (y,2-yy,d)dx, у(0) = У(1)^0.
Jo
16
2.41. J y^tyrfdz. 2W2. J e'y'2d.z.
2.43. y'(7^2Z/')z£r. 2.R (Xy'+ y'^dz.
2A5. ^^Hyl2'/x.)dx. 2.46. Jt dx.
2.47. j2^^, y(7)=7,y(2)=V. 2.Щ. J^CZ-y7;2/2^ №fl,Z/(2)=7.
2.49. Решить задачу о брахистохроне (см. п. 2.2).
2.50. Решить задачу о наименьшей поверхности вращения (см.
п. 2.2) при условиях £/(-?)= 7, у О = 7 . С физической точки зрения —
это задана о форме, которую принимает тонкая упругая пленка, натянутая
на два одинаковых обруча (см. рис. 2) .
2.51. Решить одну из вариационных задач баллистика: найти экстре-
мали функционала:
vfУ' •> (L>-h.
2.52. Найти кратчайший путь из точки Л(.-2,3) в точку SC2.3),
_ _ ’О
расположенный в области у^Х .
2.5. Второе необходимое условие (условие Лежандра) — необходимое
условие слабого минимума (максимума) функционала
Если точка у ~ у(Х)€ [о.,Ь ] представляет собой точку от-
носительного слабого минимума (ипи максимума) функционала (3), то
для нее одновременно выполняются условия:
j
3-,.—— 3", -0 (уравнение Эйлера—Лагранжа, см. п. 2.1),
У dx У
3.'Ах,у,'7а.)
V V»
(условие Лежандра, 1786 г.)
Если у (X) — точка относительного сильного минимума (или
максимума) функционала (3), то, как отмечено в п. 1.3, она будет и точ-
кой слабого экстремума и потому для нее также будет выполнено условие
Лежандра.
17
Если условие Лежандра Зу/у^Х, у, у1 ) } Q не выполнено в
какой-либо точке отрезка [Ц,,Ь J , то экстремаль у(Х) не может быт»
точкой слабого (а значит, и сильного) минимума функционала (3). Ана-
логично обстоит дело с максимумом. В частности, если величина
(X, у ,ij') меняетзнакна , то функционал (3) неимеетэкст-
ремума.
Пример. Может ли функционал
W[yj = f [чЦ2-у'21 dz, у(0)=0, Ц(Л/Ч) = ]
иметь абсолютный или относительный минимум?
Решение. Так как 7^/^,=_2 < $ , то необходимое условие
минимума (7а)не выполнено. Функционал не может иметь даже слабого
относительного минимума.
2.53. Могут ли функционалы из задач 2.1. — 2.50 иметь слабый ми-
нимум? слабый максимум?
2.6. Третье необходимое условие (условие Вейерштрасса) —
необходимое условие сильного минимума (максимума)
Если на экстремали достигается сильный минимум (макси-
мум) функционала (3), то функция Вейераштрасса (1879).
^^^у'^^ЗСх^^^ЗСх.у.у^-Ср-у^ЗуЛх^,^) (8)
неотрицательна (неположительна) для всех Х£ [&,Ь] и при произволь-
ных р,
Пример. Имеет ли функционал
v7yJ= y,3dz, у(0) = 0, у(?) = 1
сильный экстремум?
Решение. Уравнение Эйлера—Лагранжа имеет здесь вид: (.Зу1?) ~Q}
ыкутхъ у'=С , т.е. уъСх + §§ . Из граничных условий тогда следу-
ет, что у(Х) = Х (те. §3 = 0 , С=1). Функция Вейерштрасса (8) прини-
мает в данном примере вид:
Е(х,у ,у', р) = р5- у'3 - (p-у') Зу'2 = (р- у'? (2у') =
= (р-1 )2 (р+2х).
Ясно, что она не сохраняет свой знак при любых р и Х€ [ О,1 ],
Значит, функционал не может иметь сильных экстремумов.
2.54. Выяснить, может ли функционал из задач 2.1, 2.5, 2.6—2.11,
2.14—2.19, 2.26, 2.31, 2.43, 2.44 иметь сильный минимум? максимум?
Замечание. Теория необходимых условий экстремума функ-
ционала (3) частично изложена в [1 — 3] . Подробности о теоремах 3—5,
а также о втором и третьем необходимых условиях можно найти в [4,6,7]
3. ПРОСТЕЙШИЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
3.1. Постановка задачи
Предположим, что функционал
Ж7 = \ ЭХ х,у,у') dot
X
задан на множестве всех гладких кривых X с уравнениями вида у =
= ЦСЕ)) концы которых лежат на двух заданных гладких линиях и
(рис. 3). Требуется найти среди этих кривых X такую линию X: у =
= у(Х), что она доставляет экстремум функционалу (9).
Возможен случай, когда один конец кривой
X закреплен, а другой может перемещаться
(например, по кривой ) •
В дальнейшем будем считать, что кривые
и имеют уравнения y=ty(X) со-
ответственно.
У
Рис. 3
3.2. Примеры задач
а) Задача
среди гладких кривых
(9)
о нахождении крат-
чайшего расстояни >т лини».
= ip(X) до линии у~ Ц)(Х) . Она сводится к
нахождению минимума функционала
Лу]= J /7+у'2 д£х
У
сС , координаты одного конца которых подчи-
(10)
няются уравнению , а другого— lj- 1р(Х).
б) Задача о распространении светового луча
вслоистой прозрачной среде. Полупространство X Ъ О
19
заполнено прозрачным веществом с показателем пре-
ломления . Найти кратчайшую траекто-
рию светового луча, выходящего из начала коорди-
нат и приходящего на поверхность у = ф(Х) , лежа-
щую в полупространстве (рис. 4).
Согласно принципу Ферма (см. п. 2.2) в этой за-
даче необходимо найти экстремум функционала.
Л </J = j тих,у) dr
X
при условиях закрепления одного конца кривой X
и движения другого конца по линии у = 1р(Х).
(11)
3.3. Необходимое условие экстремума и условие трансверсальности
Если л : у - у(Х ) ~ решение поставленной в п. 3.1 задачи с
подвижными концами, то для функции у(Х) справедливо то же необ-
ходимое условие, что и в случае функционала (3) :
^!=0- (12)
Решая это дифференциальное уравнение второго порядка, находим семей-
ство экстремалей у - у(Х, С] ,Ci ) функционала (9). Для нахожде-
ния констант С-) и ^2 , а также неизвестных "концов" кривой X
(обозначим их как ( Ху, ) 6 Zy , (Х2 Л2 ) е ) используются так на
зываемые условия трансверсальности:
[ У(х, у, у>) + ( у(х, у, у')]
[ЯХ’У’У'Шу'-у')^, <Х'У,У')]
а также условия
y1 = y(rvCJ,"?^ у?-
Решая систему (13), (14), находим из
%2 ’ У] > У2 '
20
X = Х-], у = y(X-j, С*, ^2 )
y’z y'CXj )
(13)
= s,
yzУCj, Cj)
У = У (^2 > ^7 ’ ^2
^(X2), y2=y(XvC;,C2l (14)
нее искомые величины C^)C2,Xij
Пример. На какой гладкой кривой X
мум функционала
может достигаться экстре^
J[yj = $ y,5dx
X
при условии, что один конец кривой закреплен:
у(0) - 0, а другой может перемещаться по
линии у-ty(X) = X2/? + 7 (рис. 5) (Х>0) ?
Решение. Находим экстремали из урав
нения Эйлера: (Зу1?1)1- 0 и условия у(0)~0 :
у= СХ Неизвестные С, Х2 и у? найдем
из условия трансверсальности:
j & - ^21 ^^24 и
= [у'3^ (х-ц')3у,2]\ г ,
13 3 3 i\x=x2,y=Cx2,y -С u 2 J
которое после преобразования примет вид ;
С2(3х2 - 2С )=0, (15)
а также из условия принадлежности правого конца (Х2 , у2 ) экстремали
заданной линии ф:
у2= £Хп- Х2! 2 + 7, (16)
Из (16) ясно, что С >0 . Поэтому уравнение (15) дает Х2~ 2С/3 ,
а из (16) следует: С = 3/2 , Х2 - 7, у2 = . Итак, искомая кривая имеет
уравнение t/= Зх/2 (0^Х^7).
3.4. Задача со свободными концами
Если экстремум функционала (9) ищется на множестве всех глад-
ких кривых - у(Х) , концы которых могут находится в любых точках
{X], у, ), (Х2 , у2 ), Х2 £ Х2 , то вместо условий трансверсальности выпол-
няются следующие условия: на левом конце — в точке Х-]
Х(Х,у,у‘)
x--xby=ycxj,cf>c2) ’
21
на правом конце — в точке ;
^2,^y^2,Cz/2)
X=X2, у-)
=(|l(^2,^^ ’^2 )
Пример. На какой гладкой кривой eZ° может достигаться экстре-
мум функционала
= y'5dx,
если левый конец (Х^у^) кривой X может двигаться по кривой
у=Х2/2 + 1 , а правый конец ее (Х2,у2) свободен, т.е. может занимать
любое положение С № Ху Х2 ) ?
Решение. Как и в предыдущем примере, находим решения урав-
нения Эйлера: y=Cxt$Q , а также условие трансверсальности для лево-
го конца:
СЗх1-2С)(Сх1±^Г = 0. (17)
л
Из условия движения левого конца по кривой у- Ху 2 f 7 получим:
у7 = Х2/2 + 7 = СХГ+Й, (18)
а из условий на свободном правом конце:
,у-Сх2^,у‘-С = ^|у'=£ "С*=0 >
^Х^^,)\х=х2,г-С1г^,у1=с =5Иу'=£ ~~5с2''°-
Таким образом, С - 0, а из (17) и (18) следует: X =0 Й)=7.
Искомая экстремаль поэтому имеет вид: у = 1, 0^ X < + ©о.
Задачи
На какой гладкой кривой ©С может достигаться экстремум функ-
ционала J[yJ , если левый конец кривой закреплен: у(0) - 0, а пра-
вый может перемещаться по кривой у г Ц>(Х) 2
3.1. J’[y]=j’(y'2~y2)^> ф(Х)=54/12Х
£
22
3.2. J[yJ= j (y'2+y2)<ix, tp(x)-chx (X>0).
X U 9
3.3. J[y] = J (.y'ydx , (x>0).
3.4. J[y] =ZJ (y'^dx, 0(X) = X3/3 + 7 (X>0),
X
На какой гладкой кривой может достигаться экстремум функци-
онала J[ у] , если левый конец кривой X закреплен: у(ОУ = 0, а
правый свободен?
3-5- Tfy] = J(3y,2y-y,J^0!x.
3.6. JtyJ-J (y'2-y2-2y)dx,
X
3.5. Условия ортогональности
Если функционал ( 9) имеет специальный вид
J[y] = Ji/1 + у'2 dx,
а концы кривой у ~ могут перемещаться по линиям Щ
У2 = ty(X2 ) ' то Условия трансверсальности упрощаются и становятся ус-
ловиями ортогональности:
y'(Xj 1^2) у) CXj)="7, у (Х^ ) £; > ^2 - 7, pg)
Пример. Найти расстояние от точки (0,0) до кривой у = 2/X (Х>0).
Решение. Задача сводится к нахождению минимума функциона-
ла l[y]=^f^dx
при условии, что левый конец кривой X закреплен: у(0) - 0, а правый
может двигаться по заданной линии: = 2/^2 Экстоемалями функци-
онала 1[у] являются прямые у = Сх , так что условие ортогональности
(19) на правом конце примет вид:
-Л-С + 7 ~-0 f
X] ’
а условие движения правого конца по линии у=2/х записывается так:
у2 = Сх2 = 2/х2 .
Решая два последних уравнения, получаем: = /2 ,у2 = ^2 ,С~1. Искомое
расстояние равно 1-2.
Задачи
Найти расстояние от точки (0,0) до кривой у= tp(x) :
зл.у=1/хЧ. 3.8 y-2/xs. 3.9.у=1/х*'
На какой гладкой кривой может достигаться экстремум функцио-
нала J"[y] при условиях у(0) = 0 , ^2 = ^(^2) ?
з.ю. =
3.11. Лу7= /(/7 + у'2/Уу )dx, х2--1.
£
3.12.
Л У? = J (fi + y'2/y) dx, у2< (х2- 9)2 - д
х .
3.13. Пластинка из прозрачного вещества в форме клина Л'=/(Х>у):
04 X 4 7 , 04 у имеет показатель преломления п - Ух+1,
Найти кратчайшую траекторию <Х светового луча, исходящего из точки
(0,0) и приходящего на сторону у = 7-X клина. Указание.
Решить задачу об экстремуме функционала
ЛуУ= \riC£,y^Uy'\xUx, у(0)-0, у2~-1-х2.
Замечание. Подробно теория вариационных задач с подвижными
кон цами изложен а в [ 1,4 — 7 J.
4. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛА,
ЗАВИСЯЩЕГО ОТ НЕСКОЛЬКИХ ФУНКЦИЙ
Рассматривается функционал вида:
1Г[у]=^ Ях,у1,...,уа,у^...уу^)(1х, (20)
определенный на множестве гладких вектор-функций у(Х) - ( У^Сх"),...
... t у^(Х)). Требуется найти условия, которым удовлетворяет гладкая
вектор-функция ... ,У^Х})»а которой функционал (20)
достигает своего экстремума при условиях закрепления концов:
уг(6)=37, у2(Ь) = В2,..., ук(Ь)^ .
Функция $ считается непрерывн' '•л.непрерывные
частные производные до третьего порядке но по всем аргумен-
там.
Если экстремум функционала (20) достигается на гладкой вектор-
функции . ^(хУ) ,то функции у?ФГ),..., у„(X)
удовлетворяют системе дифференциальна л уравнений Эйлера- Лагранжа’.
Z-О,.., , -4^-
У7 ФхУ-i ’ Ур dx 5
(21)
(первое необходимое условие). Гладкое решение системы (21) называ-
ется экстремалью функционала (20).
Второе необходимое условие - условия минимума (или максиму-
ма) функционала (20) заключается в неотрицательности (или неположи-
тельности) при каждом ^€[£,6] и для любых 4«icjie
квадратичной формы:
и v
П. п
-'1~' с 1 (22)
где у-(IfrCX),.., ) -- экстремаль функционала (см. Г1,4 ] ).
Пример. Найти экстремали функционала V и определить какой
тип экстремума (минимум или максимум) может достигаться, если
с п о
у[уСх),х(Х)]= \ (у"- + х'^ - 2yz) dx,
у(0) = 0, у(М2) = ~7 , ZCO)-O, хО/2) = 7.
Решение. Система уравнений Эйлера—Лагранжа имеет вид:
-2у-2х"-О, -2х-2у!'=О,
откуда у!~ - у = 0 и Z~-y,f .Поэтому
y-^skxiC2dix^C^inx+Ct/CDSX, z=-Clskx~C2cdx-t-Cisin.xCvcosx.
Используя граничные условия, получаем:
y(O)=Q- С2 + Су , Z(C)--C2 + Cy - 0,
y(^/2) = ~i=C1 М2 C2 c.h. М2 i-C5,z(M2)=^-C1 sd Or/2 - C^kMZiC^
откуда С^-Сц-О-, C$=0, Cj ~-7/sh, СМ2').
25
Квадратичная форма (22) для этой задачи имеет вид:
=2&2* Ч,’Ъ-
Таким образом, найденная экстремаль может реализовывать лишь мини-
мум рассматриваемого функционала.
Задачи
Найти экстремали функционала V и определить, максимум
или минимум может достигаться на этих экстремалях:
4.1. Х^-ЧХХ1- ЧХ^Жх ; у(0)=Х(0)=0, у(7 )= Х(К = 7.
4.2. J^/2(y,2+Z,2i2yz)dx ) y(0) = z(0)-0, y(^j= 7,
4.3. JJ( туУ'2 * Z,21- 2yz + yX+ZX)dX; ycD)=ziO)-O, успехам.
4.4. ^2(lyz-2y2+ y'2-Z,2)dx j y(J7)=7,z<.0)=0, y($)=0,
4.5. jJ({//V-Z/V)^ ) y(0)=Z(0)=7, y(1) = 1, X(7)--1.
4.6. i7+y,2iZ,2itX) y(0)- z(.O) = 0, y<!) = 2, z(1) = 7.
4.7. Решить задачу о брахистохроне в пространстве: на какой глад-
кой линии у~у(.Х}, Х=Х(Х) С 0$ Х{ Ь ) в пространстве может до-
стигаться минимум функционала:
, 1 / 1/7+у,2(Х)+ Zl2(X)' п
i[yw, Z(X)] = -р=г I -----------------dx; у(0)=Х(О)=27, у(7)=7,
уЦ 4; VX х(1) = 0.
5. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛА,
СОДЕРЖАЩЕГО ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
5.1. Постановка задачи
Рассматривается функционал вида
- L ?Сх,у,у',...» у(ю ) dx
Ju*
(23)
ж
Определенный на линейном нормированном пространстве С^[CL, Ъ]
функций у(Х) , имеющих на непрерывную производную /т-по
порядка,причем
II9 lcn = IIУ k - тхх llyh , f Л, н"|».....J9W,J« ] •
Требуется найти функцию е , на которой функци-
онал (23) достигает своего экстремума при заданных краевых условиях:
у(и)^0, у'(а)-Ль ..., ,
у(Ь)^В0, у'(Ь)=Щ,... . (24!
При этом считается, что функция обладает непрерывными по сово-
купности аргументов производными до (П+1) -го порядка включи
тельно.
5.2. Необходимые условия экстремума
Если поставленная задача имеет решение у ~ у(Х) таксе, что суще-
ствует производная О.^Х^Ь , то искомая функция удовлетворя-
ет дифференциальному уравнению порядка 2tl —уравнению Эйлера—Пуас-
сона: ,2 jj п
fyvzl}’ С25)
а также краевым условиям (24).
Пример. Найти экстремаль функционала
усо)=о, y'aui.
Решение. Уравнение Эйлера—Пуассона имеет вид (2у!1 )1Г- 0f
т.е. у1- = 0 .Поэтому у - Cj+ СуХ + + СцХ-'>. Из краевых усло-
вий получаем: y(.Q)~Q ?£/, у'(0)~ Сч = 1, ЦШ ~ 1+ Сц-Т, уЧ!)-
= 7+2CjtJ^=/^откуда С]-0, С.2 ~ ijiX'l-X.
Задачи
Найти экстремали функционалов:
Г1 7
5.1. \QU+y")ldx, у(0)-у’(0)-0, у(1)=у/(!) = 7.
5-2- Ч2+ X2] у'(0)--0, у(г/2)--0,
О
5.3. j^C16y2^z2-(y")2)dz. 5.4. J^(2^y + (yw)2)dx.
5.5. 2</A y2- 2ysirix]dx.
5-6-/й*[<У''А Уг~ 2yxJ]dx.
5.7. Найти форму Ц-ЦСХ) осевой линии упругой однородной ци-
линдрической балки длины 2 Ц , заделанной на концах,которую она при-
нимает под действием силы тяжести.
Указание. Рассмотреть задачу о минимуме функционала по-
тенциальной энергии балки (см. [8] , с.97):
при условиях y(itt) = 0, у (tQ-) = О (. Е,I,у,Q — постоянные).
Рис. 6
5.8. Решить ту же задачу для однород-
ной конической балки длины I (рис. 6).
Указание:
иМЧ WrJ
+ д§у}лхг у(О)--у'(О)=о, уа^у’ам.
Замеч ание. Подробности теории
можно найти в [ 1,4,6 ] •
6. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
ДЛЯ ПРОСТЕЙШЕГО ФУНКЦИОНАЛА (3)
6.1. Центральное поле экстремалей функционала
Ограничимся лишь простейшими достаточными условиями экстре-
мума для (3). Более подробно см.£1,2,4,6J.
Рассмотрим функционал (3) и найдем все его экстремали, проходя-
щие через точку (й.}Л) . Для этого решим уравнение Эйлера—Лагранжа
€ одним краевым условием:
28
В результате получим семейство экстремалей у = у(X, С) зави-
сящее от одного параметра С.
Будем говорить, что семейство экстремалей у(Х,С ) образует в об-
ласти плоскости (Х,у) центральное поле экстремалей (с центром
в точке ), если через любую точку (X, 1/)£ ©, (X, у)Ф
проходит единственная экстремаль из этого семейства.
С геометрической точки зрения центральное поле экстремалей со-
стоит из таких кривых y=y(X,t) , которые пересекаются в точке (О,Л),
но других точек попарного пересечения в области не имеют.
С алгоритмической точки зрения это означает, что параметр С од-
нозначно определяется из уравнения у(Ь,С)-В для любой точки (Ь,
Пример.При каких значениях числа b экстремали функционала
образуют центральное поле (с центром в точке (0,0) в области S) -
= [(х,уу. ИШ Ь , Уд] .
Решение. Как и в примере из п. 2.3, можно найти экстремали
функционала Х[у]: у = Cj Sin. 2Х + COS 2Х. Из условия у(0) = 0,
определяющего центр поля, находим: y=Ci$ix2x . Очевидно, это ра-
венство однозначно определяет параметр С/ по заданным X и у .
лишь если 0 $ Х4 Ь < СГ/2 ' Cj = у / З/йЛг.Еслиже b Ъ (У/2 , то для
точки ( £7 } , например, такое число С] определяется не однозначно.
Следовательно, семейство у = Cj SLX. 2х образует центральное поле
экстремалей функционала U[y] при , а при Ъ оно
центральным полем не является.
Кроме семейства функций у=у(Х,С) , определяющего централь-
ное поле экстремалей функционала (3), будем использовать также семей-
ство у\х,С) , определяющее наклон центрального поля экстрема-
лей.
В дальнейшем при проверке достаточных условии экстремума нам
потребуется устанавливать, входит ли данная экстремаль в какое-либо
центральное поле экстремалей рассматриваемого функционала. Это мож-
но делать, непосредственно находя центральное поле экстремалей
и проверяя, будет ли экстремаль у(Х) принадлежать семейству у (X,С ),
Однако часто удобнее использовать для такой проверки специальное усло-
вие.
?9
6.2. Условие Якоби
Используя экстремаль функционала ЦСЕ) , вычисляем функ-
ции ,
' Их З'щ1) ’У^} У ^*0
и поставим задачу нахождения новой неизвестной функции и. - ILQX),
(L4Z4 Ь из условий:
T (26)
Линейное дифференциальное уравнение (26) называется уравнением Якоби.
Теорема 6 (условие Якоби). Если уравнение (26) имеет такое
решение и. - ифес.) , которое не обращается в нуль на отрезке Са,Ъ] ни
в одной точке, кроме точки х-а , то экстремаль у=у(л) функциона-
ла (3) можно включить в некоторое центральное поле экстремалей с цент-
ром в точке (а, А).
Использование условия Якоби позволяет проверять принадлежность
экстремали у(Х) центральному полю экстремалей, не находя это попе.
Пример.Можно ли включить экстремаль функционала
ir[y] = + 4x2)ix, у<0)=0, =
JQ
в центральное поле экстремалей этого функционала?
Решение. Уравнение Эйлера—Лагранжа имеет здесь вид:
у(0)-0,
Решая его, находим Ц(Х) = Sfl 2х/$h>2 . В данной задаче можно не-
посредственно найти центральное поле экстремалей функционала, вклю-
чающее у(.ху,
специального нахождения этого поля. Действительно, уравнение Якоби
имеет в этом примере вид:
или ц."-Чи. = О , =
Решая эту задачу, получаем U = Csh 2х . Поэтому существует решение
at= $k, 2Х уравнения Якоби, которое не обращается в нуль на полуинтер»
вале (JJ,b] , \/b>Q.
30
tj-Csh. 2х Используя условие Якоби, можно избежать
6.3. Достаточные условия сильного экстремума
Экстремаль у = у(л) функционала (3) , удовлетворяющая краевым
условиям у(а) = Л, у (В)--В , доставляет сильный минимум (или макси-
мум этому функционалу, если
1) она включена в некоторое центральное поле экстремалей у=у (£,€)
рассматриваемого функционала (что можно проверить, используя
условие Якоби);
2) выполнено неравенство
^,СХ,у,р)>0 (или Эу1у1(х,у,р}<0) {27)
для любых точек (л, у) из некоторой открытой области , содержа-
щей экстремаль у =у (гс) , а также для произвольных чисел у>.
Пример. Доказать, что экстремаль у= $h. 2x/sk 2 из предыдуще-
го примера доставляет сильный минимум указанному там функционалу.
Решение. Выше установлено, что эта экстремаль включается в
центральное поле, так что первая часть достаточных условий выполнена.
Легко видеть, что в рассматриваемом примере •J'yyi -2 У 0 для лю-
бых Х,у ,р .Таким образом, выполнена и вторая часть достаточных ус-
ловий.
6.4. Достаточные условия слабого эксремума
Функционал (3) достигает своего слабого минимума (максимума)
на экстремали у = у(х) (у(а)-Л, у(Ь)-В\если:
1) она включена в центральное поле экстремалей (выполнено усло-
вие Якоби):
2) выполнено неравенство
3yiyi (х, у(х), у'(х)У>0 ( или Эу , (х,усх), у 'W)< 0 ) Ухе[а,Ь]
(условие Лежандра).
Пример. Исследовать не слабый экстремум функционала
= У у(0)-0, уц^о.
Решение. Уравнение Эйлера—Лагранжа для этого функционала
имеет вид 2у/$~(.2“0 . Ему и краевым условиям удовлетво-
ряет функция у ~ 0 Далее,
31
Поэтому уравнение Якоби имеет вид:
f0’S
или И.!! - 0. Ясно, что оно имеет решение Д.(Х) = Х , которое обращает-
ся в нуль на отрезке [0,1 ] только в точке х = 0. Тем самым выпол-
нено условие Якоби. Условие Лежандра для данной задачи также выпол-
нено:
= = 2 >0.
Тогда по достаточному условию, приведенному выше, на функции у = 0
достигается слабый минимум функционала.
Задача
6.1. Исследовать на сильный и слабый экстремумы функционалы
из § 2 (задачи № 2.1, 2.5—2.11, 2.14-2.19, 2.26-2.30-2.32, 2.36,2.42-2.47
7. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛОВ,
ЗАВИСЯЩИХ ОТ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
7.1. Постановка задачи
Рассматривается интеграл
= Д ^(х,у,исх,у), ахсх,у), u.y(x,y))d.xdy, (2S)
где , U., — заданная дважды непрерывно дифференциру-
емая по совокупности аргументов функция. Функционал (28) рассмат-
ривается на классе функций Ц,= О, ) непрерывных вместе со своими
частными производными первого порядка в области и имеющих на
ее границе ?£) заданные значения у(х,Ц):
Ц) I = <Р(Х,У
Требуется найти функцию й,(Х,у) из указанного класса, на которой
достигается экстремум функционала (28).
7.2. Первое необходимое условие
Если поставленная задача имеет решение u = и эта
функция обладает непрерывными частными производными второго по-
32
рядка, то функция й(сс,у) удовлетворяет внутри области J) урав-
нению Эйлера- Остроградского (1834 г.):
'b'fa <29)
о. j у
Пример.Написать необходимое условие экстремума функционала
Решение. Искомое условие, имеющее вид уравнения (29), в
данном примере выглядит так:
(уравнение Пуассона).
7.3. Второе необходимое условие (аналог условия Лежандра)
Для того чтобы функция U = й-(х,у) доставляла функционалу (28)
хотя бы слабый экстремум, необходимо выполнение неравенства
и.=й(х,у),р=йха,у),(1=йу(х>у) У'°
для каждой внутренней точки (Я, у) области >д. При этом для миниму-
ма (максимума) необходимо еще и выполнение неравенства :
Пример.Доказать, что функционал из предыдущего примера может
достигать лишь минимума.
Решение. Очевидны неравенства
= 2’?‘(7=2У>^ > ^PPS2>°
для любого (Х,и)£ $£) , что и доказывает утверждение.
33
Задачи
Выписать необходимые условия экстремума функционала и выяс-
нить,максимум или минимум может иметь этот функционал:
7.1. JJ(cc2u^ + у2 и2 )dxdy.
7.2. Jf (- XyiLxLLy + X2LL7y ) dtdy.
7.3. JJ (4xyu.xu.y -^lfx - y2tl2y ) dzdy.
7.4. JJ U?y CLXdy.
7.5. ’[] ( + ut-U2. U2 )dxdy.
7.б. Д(4--2а^)4хиУ
7.7. - 2usinz) dxdy.
7.8.J f (ax +<SiA -2ucj?sx) dxdu.
&) y
Замечание. Соответствующую теорию можно найти в [l—б].
Глава II. ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
8. КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Рассмотрим линейное уравнение с частными производными второго
порядка относительно неизвестной функции U. с двумя независимыми
переменными Х,у:
^'У^хх^ 2У2ихуиуу*4(х>У7Чf
+ b2(l,y')Uy+ C(Z,y)U.+f(X,y)-0 , (z,y)€(S, (1)
где Cjj 7^^»/ C i, j - 7,2 ) — известные функции; Q — область оп-
ределения уравнения (1).
Исследуем дискриминант Д = ^77 ^22 • Еспивнекото-
рай-фиксированной точке дискриминант .то
34
будем называть уравнение (1) гиперболическим (гиперболического типа);
если $ — О, то - параболическим (параболического типа); если J7< oj
то - эллиптическим (эллиптического типа).
В каждом из этих случаев уравнение (1) может быть приведено к
каноническому виду:
1) (гиперболический тип):
(2)
заменой переменных £ = (pf (Х,у) , £ = , где ipj(X,y)=Ci ,
1^2 (X, у) = Cg есть пеРвь,е интегралы характеристического уравнения
a„(.dy)z- 2aJ2dydx +a22(dx)2 = 0. (3)
В гиперболическом случае есть другой канонический вид:
2^-“ц* bi2^V^ b22^>V^ + <2’>
он может быть получен после замены переменных
£ = , £= ^W,z/)-<p2(x,z/>5
2) (параболический тип):
уравнение (1) имеет канонический вид:
^b!3^>V^b2$^>V^ + C5^>V^^5^^s0 (4)
после замены £ = ф (х, у), ^(Х,у), где ф(Х,у)~ С — первый ин-
теграл характеристического уравнения (3), a — произвольная функ-
ция такая, что якобиан в окрестности точки (ло ,уо))
3) (эллиптический тип) ;
уравнение (1) приводится к каноническому виду
Ь1^^^ (5)
послезамены £ г <Х(Х,у), Ц* = ft (Х,1/) , гае <*(Х,у)-нр(Х,у)~ С'
первый интеграл характеристического уравнения (3).
В уравнениях (2), (2?), (4), (5) неизвестной является функция
£<М> = UCX>,уа,^Функции ,/А , СА (4’=7,2 ^ = 7^)
получены в результате соответствующих преобразований уравнения (1).
В случае, когда коэффициенты Zfyp Уравнения (1)
постоянны, возможно дальнейшее упрощение канонических уравнений
(2), (2*), (4), (5). Вводя новую неизвестную функцию и про-
водя в уравнениях (2), (2 ), (4), (5) замену
35
(6)
в преобразованных уравнениях можно занулить коэффициенты перед р* ,
или V соответствующим выбором неизвестных чисел Q. и
(подробности теории этого параграфа можно найти в [l0,11,17а)] ).
Пример, Провести квалификацию и привести к каноническому ви-
ду уравнение:
= (7)
Решение. Поскольку коэффициенты постоянны, то дискрими-
нант D = 7-5 - - Ч < 0 в каждой точке плоскости .Следователь-
но, данное уравнение всюду эллиптическое. £го характеристическое урав-
нение 2d.xd.ij^ 5(d.X^ = 0 или + 2
имеет первые интегралы у+Х t I 2х = 11 У + X ~ с2х - С.о .
Сделаем замену = х т у , л = 2Х , после которой а(.£,Ц) -
= й<&х,у), ^х,у)) ах = и* t2u7’, Ну = ц , iLx~ ='и.^ +
+ Ча^ чй^, и.Ху -- + 2и& , Иуу - и.^ .
Подставляя соответствующие выражения в (7) и производя преоб-
разования, получаем уравнение
2g£ + Ч-1£п * 2й = 0 ,
являющееся каноническим видом уравнения (7). ,
Производя замену (6), т.е. £'6 ,
а.ги}^Ьт1 , а7^=(^^+2бу'„ + 62гг)е^* ,
после подстановки в последнее уравнение и простейших упрощений полу-
ЧаеМ ^2 + + '^-*0 (a?472+ 2+ ь~ 2 Ч--
Взяв > Уравнение сводится к виду
V“гг 181
Итак, канонический вид (8) получен из уравнения (7) с помощью
замены -ИЗХ+У)
u.(x,w) = 2х;е 2
Задачи
Провести классификацию следующих уравнений и привести их к со-
ответствующему каноническому виду:
8.1, ЗЧХХ ~ * ^уу '
8,2. ILXX ~ УU-xy Ч’^цц ~Чу-0.
8.4. 24*+3u„7=0. УУ
8.5. 5чх~ - 6tLxu + 24ц„ * Чц-О.
8.6. УЧхх + 12чХу + 9 t£gg * 5их ~ 2?Ч~
8.7. 3 Чхх 4 5 ЧХи ~ 52 4% "52 Чу “ 9•
8.8. У Чхх ~ Чхи + 25Чду + Ч^/q ~ 12 Чу У 20 X - 0.
8.9. ихх у 2/2 1/7 у УЧуу + ЗПих + 2Чд + 8ч -0.
8.Ю. пхх + 2 иХу f ачх t buy + tu-O, a,be r_
Используя замену (6), привести следующие уравнения к наиболее
простому каноническому виду:
8.11. ихх4 2чХу+ 2Чуц-Чи.х-2чу+ Зи.^0.
8.12. 5чххуЧчХц + Чуу+ 2чх + 2чу ~12ц. = 0.
8.13. Ччхх - Ч и.Хц у Чу у У Чх - 2 Чу - $Ч = 0.
8.14. 2 ЧХу ~ 9-уд •/ бILX ~ ЧЧу У 5ч - 0,
8.15. _ чхх У 5 ЧХу ~ 13 Чу у У Ч их У &Чу~ Чч-О.
Определить множества, на которых каждое из следующих уравнений
сохраняет тип, и найти его соответствующий канонический вид:
8.16. УХ чхх У Чу у У чх+Чу ^0.
8.17. Ч-гХ~ £ Чцу~ЧЧх+ 2Чу-е ч~о.
8-18- Г^ХХ 4 Чцд + ЧХ - Ч11у - Ц2Ч~- о.
8.19. 9х2ахх- бхучхуУ у2Чуу-ЧуУ у и = 0
8.20. ЧтХ - Sin X Чхц - COS ХЧуУ Sill 2ХЧУ iO2X -0, g
8.21. Щ2иххУУхдиху + 5иууУХу2чх_Ц2цу1лХ -О,
8.22. 2уи.Хц У Uyy -Чху3у4у - Уу2ч = 0.
8.23. 2чхх - 2ХЦ.ХцУ Х^ЦццУ Чхпх-Чу-16Х IL = O.
8.24. УЧХХ ~ХЧуу^ Зуч£-ЗХЧу У9Ч =О.
8-25- е^^^^Ьу^Чху-З^ИууУе чх-^ЧуУ32ч=9.
9. ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО
И ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПОВ
Задача Коши для гиперболического уравнения состоит в определении
функции U. = iL(X,b) (решения), удовлетворяющей уравнению
37
rfu.xxif(.X,i), xe!R,t>0, 0.G.1R ,a.$0
O)
и начальным условиям
и(х,0)~ ц,0(х) , xelR , (10)
u.£(x,0)= llj(x), xelR . (ID
Если СЧ IR* UoeC41R), ILjCCXK^io решение поставлен-
ной задачи Коши существует и представимо по формуле:
u(x,i)= ue(X/ai)] +
x+nt i xad-t')
fj-j
x-ai o x-a(t-z)
Задача Коши для параболического уравнения состоит в определении
функции Ц.~и.(Х,^) (решения), удовлетворяющей уравнению
iif = a?uxx+f(x,i), xeR,t^0, aeR , а.^0
и начальному условию
U.(X,0)-Uo(X), xeff?.
(13)
где
(16)
(14)
Если C(JR* [Q , <х>)), UO£C(IR) , то решение задачи Коши (13), (14) су-
ществует и выражается формулой:
X(X,t) = j &(X,y;t,S)LL0(l/)(ty+H
"°0 5 -оо (.15)
(X-Ц)2
7____ е
2(LVJrcFEj
Более подробные теоретические исследования задач Коши в разных
функциональных классах можно найти в работах[9—16, 176)] .
Пример. Решить задачу Коши:
и.^-о?u.xz-t и.~е^ , xe(R ,i>0, а>0,
' iL(x,O)= 2 , xelR.
38
Решение. Заменой U.(X,t)= , где УбХ;6)-новаЯ
•неизвестная функция, данная задача сводится к задаче Коши вида ;
Г = а.2ахх-е^ , xelR ,t>0, а>0,
I vCX.,0)- 2, xeIR,
решение которой задается формулами (15), (16), т.е.
foo foo
ircz,t)=2 f &(x,y;t,O)dy-jezJ
00 Q -oo
- 2-e^+ 7 = 3-e^,
oo
поскольку f
J VxeHji,t>0 :
-QO +
Окончательно: U.(.X,t) - Q
Задачи
9.1. Доказать, что общее решение гиперболического уравнения
iLit^a2u.xx , xelR, м, аЛО. (9p»
задается формулой )= +Q.t) +где — про-
извольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.
Найти общее решение следующих уравнений:
9.2. ЧИщ- 3u.it-0.
9-3-
9.4. 2 LLXX + 3(£Xt * ^tt ~
9.5. 3 Ц-хх i' 5+ 2 -0.
9.6. 3 и.ц / Чи.х. + Ц.ХХ + 2Ц+ Qux --Q.
9.7. Доказать, что функция (Х“У)2
, 7 <? Чо.Ч-Ь-Ъ')
при t>Z(Q — любые фиксированные числа из 1R ) является реше-
нием параболического уравнения
и.^ - а2 и,хх , xe!R, i >/0 , цф О, (13Л)
39
Решить следующие задачи Коши для гиперболических уравнений:
9.8. xe!R,i>,0,
u.U,ff)=2x2, и^(х,0)-Ьдх , xelR.
9.9. u.^-9nXx, xeRyibO
iax,O) = a.x+b, ц^х,О)^ех, xelR, a.,b^IR.
9.Ю. = Чи-хх* (x-2)t, zeR, tzO,
u.<.x,0) = Siz(x+1), u^(x,9) = b, xeR.
9.11. ~a?uxx + , xelRa.>0,be1R,
ix<.X,0) = $kx, u.^x,Q')-cbx, xelR.
9.12. -!TlLxx+ e~^co$ x, xelR, i>/OyQX>0,
u.(.x,0)-cos2x, U^(x,G)~ SLn2x , Х&Ж.
9.13. Доказать, что если в задаче Коши
, ЬъО, Q.&IK , Q.10, (9)
u.(x,0) = u.0Cxi, xelR, (ю)
Ц.^(Г,О) = Щ(Х), xelR (11)
функции f(x,£) f Hq(X) , Uj (X) ЯВЛЯЮТСЯ
а) четными по X , то U.x(0,b)-0 \/t>0 j
б) нечетными по X , то Ц. (.0уЬ ) = 0 Vi>0.
9.14. Доказать, что для всех XelR, , Ь>^
J &(x,y;b ,z)dy = 7,
-оо (X-Ц)2
S(x,U’,t,?)=——- & 4g2(j-T')
2afir(i-Z')
Найти решение следующих задач Коши для параболических уравнений
9.15. и^, = Чххх + 7 , X&7R , Ь>/0,
Ц.(.Х,0) = 3 , Х€. 7R.
4в
9.16. 16 5 u.~2e5i: , X.&1R, t>0,
u.(x,O) = O, xeR.
9.17. = ^,XX-«64+^5 , XeR , t>0 , ,
uXx,O) = f, xeR, pe R.
9.18. 9uxz + e't, xeR,t>,09
u.(x,0) = 5, xeR.
9.19. u^ = u.xx + cost, xe R ,t >09
u(.x,0) = cos x, xeR.
9.20. = $u.xx - e^cos x , xe R , t>, 0 , a>0,
u.(x,0)=C, xeR, CeR.
9.21. = °?uxx* ^-t + e^sinx, xeR,t>,0, a^O,
u.Cx,0)-slrix, xeR.
9.22. Доказать, что, если в задаче Коши
t^ = <^u.xx+f(.x,t)9 xeR,t>/0,aeR9o.^O9 (i3)
XCX,0) = LL0(X), X& R (14)
функции и0(Х) являются
а) четными по X , то Ux(0,t)= 0 \/t У 0 >
б) нечетными по X , To U.COft,')-® Vt J Q,
10. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ НА ЧЕТВЕРТИ ПЛОСКОСТИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО И ПАРАБОЛИЧЕСКОГО
ТИПОВ
Рассмотрим смешанные задачи для уравнений гиперболического и
параболического типов, состоящие в определении функции ц z ц (.X,t),
удовлетворяющей соответственно гиперболическому уравнению
o.ii-o?axx-tf(x,t), х>0,i>'0, ,х±0, (17)
начальным условиям
и.СХ,П)~ и.0(Х) , Х>0 (18)
IL^.CX,O)Z а.?(Х) , Х>0 (19)
41
и одному из краевых условий
lL(O,t)= 0 , i>,0 (20^)
i>f0 (21^)
или параболическому уравнению
=й2ихх +f(x,t), х>0, t>,0, a.eR,ato, (22)
начальному условию
IUX,O) = Цр(Х) , Х>0 (23)
и одному из краевых условий (200), (210).
Решение рассмотренных задач осуществляется методом четного про-
должения по X функций f(X,t) , U-q(X) , ILj(X) , когда дано кра-
евое условие (210), и методом нечетного продолжения по X этих функ-
ций, когда дано краевое условие (20^ ) • После чего редуцированные зада-
чи становятся задачами Коши с данными
х>0
/(~x,t), х<0
Ц}(.Х) =
(х), х>0
и0(-Х), х<0
“г ' [tiji-a.xio , в первом случае и
„ fU0(X), Х>0, ’ 1 Х<0,
Г Х>0 ,
U;(X)= j ~ во втором, решение которых
выражается формулами (12) и (15) соответственно.
Более подробную информацию о теоретических аспектах этого па-
раграфа можно найти в[Ю, 15, 176)].
Пример. Решить смешанную задачу
ц^ = а2ахх +2х£ , z>0 ,t?О , Q.> 0. <24)
и.(Х,0)=ёл, и^(х,0) = sin л, л и^(0^)-0, 1>О.
Решение. Поскольку краевое условие этой задачи однородное и
Второго рода, дпя ее решения применим метод четного продолжения (см.
Вадачу 9.13), т.е. положим
«2
_ f ё % при X >/Q fsi/l X при X >zZ? ,
Iex при X<Q ' 7 i-Sl/ZX при X<Q.
Тогда решение продолженной задачи — задачи Коши— задается формулой
(12) и совпадает при X > 0 с решением данной смешанной задачи, т.е.
при Х>0 , 0<t< 2
tL(x,i)=ir(x,i)= 1 [е J sLjl^^
t X+X(d~x)
f2a 2yiydz-exch(XLi')+ ^[coscx-ai)-cos(x*a,t)]+
i
f 2a а2а-г)2-хЬ =
о
-exch(.iii) + 2L$inx sin
(jL 0
а при X>0 ,
t
LL(x,-i) = U(x>i)zl[ex'ai-f-e'(^ai:>]t-l [ j ^sini/dy -
о t-j Xia(t-t) 0 о i x-mct-T)
-f stnycLy]+-L\ 2^[J ydy-J ydi/]d^^-j ehydycfc
x-ai о о x-xd-t) x-ad-t)
=eaich.x+^[i-cosx usfif)] + ~ (x ч- нихЧ+6а2лЧ 2+a4i‘i).
72^
Итак,
UXX,t) =
exch.Cxt)^slnxstx<.x-i)^ -у- при 0<t<^
. e-at ch.xil[l-cosxcos(xt)] + ~
- HoxCd + 6a2z2t2 + при t>^ ,
x>0.
43
Задачи
1б,1. Доказать, что, если функция j(X,£) является гармонической
и нечетной по X и непрерывной по t при XgJR и 0, то функ-
ция U.(X,t) = / есть решение задачи:
и., = а?Д и. t f(x,t) , х>0,t>0,
tftx,0)~0, х>,0 ,
u(0,t)-Q, t>,0.
10.2. Доказать, что, если функция является гармонической
и четной по X и непрерывной по t при xelR и i » 0, то функция
jczpyd't есть решение задачи:
J0
lCf-a?4u,+f(X,t), X>0,t>0,
u.x(.o,t) = o,
Решить следующие смешанные задачи:
10.3.
X >,0,
i >, Q.
10.4.
10.5.
= u.xx + 5, x><7, t>0 ,
u.(.x,0)*x , u.Ax,0) = z2, x>0 ,
и,х(.0,1)=.0 , t>0.
= a2aXJC / £ex , x >0 , t>0, a>0,
lL(X,0) - SblX , и./СХ,0) = CQSX , X>0 ,
ib(O,t)-O, t>0,
Utt - a?u.XCCi - 12x11, x>0, £>0, n>0,
u.Cx,0) = chx , ил(х,0)=е~х , x>0,
iL(O,t) -0 , t >o,
Ю.6. LLit = a-2u.xx 1 sinxcosCd-i), x>0,t>0, a.?0,
ll(X,0) = X/1, U.4.(.X,0) - -tn X , X>0 ,
nx(0,t)~a, t?Q.
Ю.7. iLit , x>0 , t>0, a?0,
LL(X,O) = it0(.x), = x>Q,
lL(.O,t) = O , t>o.
где u0eC2([0,^)\u]eC\[0,o°5).
4П
10.8. a?LLxx+f(X.,t) , Х>0 , t>0, CL-rO,
U(.X,0) - UqCX.) , IL^Z,O’)=U.1(X'!>, x>0,
u.x(0,f) = 0 , i>0,
где f€c\[0^')^[0,^')')) noeC‘2U0,°°'}'), цеСЫ00))-
10.9. 14^ - (4^^ f X , X.>0 , t>0,
U(z,Q)-Q, x>0,
U.(03t)-0, b>Q.
Ю.10. u, - a2u. + 2e x>0, t>0, a>0,
илх,0) = 5', z>0,
u,x(0,t)-Q, t>0,
10.11. = u.xx * u. + sin x , x>0 , t>0 ,
x(.x.,0) = -3sinx , z>,0,
u.(0,t) = 0 , tiO.
10.12. a^-a2u.xx +f(x,t), z>0 ,t->0, a>0,
U-(Z,Q) = UpCX) , x>0 ,
u.x(.0,t) = 0, t>0,
w 0,оо)^[0,^У) f и0еСС[0,ооУ).
10.13. - ^u.xx +x> 0 ,t> 0, a>0,
ILCZ,O) - U.o(x.'), z>0,
U.(0,t)=0, t>0,
где f eC([0, <*>)*[0,во)) , и,оеС([О,°°У).
10.14. и.£ = а?и.хх + biLifcx,i), x>o,t>o,ayo ,be!R
ll(X,0)= uc(x>, x>0 ,
u.x<i0,t)-0, t>0,
где f бССЕ^,0*0)) x [ 0,°^)) , HqG C (.[ 0
Решить следующие смешанные задачи с неоднородными краевыми
условиями:
10.15. u^-(l2u.xx , Z>0 , t>0 , ИУО,
IL(X,0)-0 , l£^(X,0)= 0 , Х>0,
n(0,i) = sini , b>0.
Указание. Решение искать в виде И(Х,Ь) - §(Х~ lit).
45
10.16. = хуО , tyQ, ну 0,
u.(x,0) = x+2 , UtCx,0)=x, хуО,
= , ЬуО .
юл 7. u.^o}iLxx + xt , хуО ft у 0, а, у 0 ,
а(х,0)=2сАх, u.+ (x,0) = ez, хуО ,
u.C0,t) = 2-t2, i у 0.
юла и^-а2а.хх, х>0, t>0, а.>0,
и(х,0)~0 , щ(.х,0) ~ 0, хуО,
CLx(.0,t)~ ku.(0,t)~cllt , t>Q-
Ю.19. = a2u.xxi /(.x,i)i x>0 , i>0, ayO,
u(X,0)~ u.0(x), UtCXiO^U-jCX), хуО,
u.(0,-t') = ju(t), tyQ.
где feC7([0,oo) , u0eC2(fQ,oo)),
и^СЧЕ0,°°)), и.е.С2([С^У).
10.20. u.it - o?uxx +f(x,t), x>0,t>0, n.yQ,
LUX,!)) z a0(X), и,! (.x,0) = щ(х) i хуО,
Ux^0,t)= tyQ,
где , u.og.C2([O,<^)'),
щьС.Ч10,*>У) , 1еСЧС0,°оХ).
10.21. и^=ц2аХЛ , хуО, t>0, иуО,
U,(.X,0) = D , ХУуО,
LL(.0,t)~t2 , t >/0.
Указание. Применить синус-преобразование Фурье.
10.22. = х>0, tyQ, цуО ,
u.CXfO'j-O, хг0,
a^COji^-t, t >^0.
У Казани е. Применить косинус-преобразование Фурье,
10.23. , xy0,t>0, иуО ,
u.Cx.O'iz а0(Х), Ху0 ,
и.СОЛ') -
гае J£C([0,oo')a[0,<x>)’), ti0€LС([0,
10.24. Ilf = 0?LLXy: + X.>Q, t >0 , H>0 ,
U.(X,0) - ua(x), x>0,
i>0,
где ^еС(Г0,оо)х[0,^>)), иоеСао,^>У),^С([О,^.
Ю.25. = atu-xx + bu- + /(x,t), x>0, t>0, &?0,be!R,
u.(.x,0) = u.a(x), x>0,
~p(t'), t>0,
где /е£(С0,~)*Г0,<*>)), /46C(L0,<*>)).
11. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
11.1. Метод Фурье решения смешанных задач на полуполосе
для уравнений гиперболического и параболического типов
В этом пункте представлены смешанные задачи для уравнений ги-
перболического и параболического типов, которые состоят в определении
функции 44 = 44 (Л, t) , являющейся решением уравнения
ц^. = , xeCJ, С), t>0 (25)
ц^ = хе(ОЛ'), i>0 (26)
и удовлетворяющей начальным условиям
ц(х,0) - срех), <х,0)-(27)
U(Z,0) ~ С?(Х), (28)
а также краевым условиям:
^^СОЛ)-f t>0, (29о)
с<2 Ux ( 0 ’
CXJ >z о , PjZ 0 , фО , j- 7,2 .
Поставленные задачи (25), (27), (293), (30^) или (26), (28), (290),
(300) предлагается решить методом разделения переменных (методом Фурье),
который состоит в разложении всех функций LL(,X,b) <
рассмотренных задач по базису в из собственных функций за-
дачи Штурма—Лиувилля
47
(Ш-Л)
Х\х)+ ЛХ(х)=О, 0<x<L,
' ^Х'(О) -prX(Q) = O,
, <*2X'(t) + p Xtt)'-0.
Решить задачу Штурма-Лиувилля означает найти значения парамет-
ра J , при которых существуют нетривиальные функции Х(Х) , удов-
летворяющие условиям (Ш-Л) ; при этом J называется собственным
числом, а соответствующая ему функция Х(Х) — собственной функцией.
Пусть ]^7 — система собственных чисел, a {,X^CX)J^ —
соответствующая ей система собственных функций задачи (Ш-Л) . Тогда
получим разложения в ряды Фурье:
Л=7 п п
fXx,t) = £ Ш)ХкСх),
Л = 7 П
ОЮ
Л=7 . , ,
причем коэффициенты Фурье определяются по формулам:
I f(X,t)XfAX)Ol.X , Л=7,оо
J0
Л __
I <j(x)Xh(x)dx, А= ,
о
fz —
^(Х)Хл(Х)^я, А = 7,^ .
Коэффициенты же определяются как решения соответствую-
щих задач Коши:
для задачи (25), (27), (29^1, (30^); или
I, t>s,
1^(0)= 4>h , A =
4R
для задачи (26), (28), (29р), (ЗО0).
Пример. Решить смешанную задачу
= а.гаХз: + xt , xe(0,L) > t^Q , й>0 , (31)
и.сх.01 - ех, хе , (32)
t>0, (330)
Ux(l,t) = Q, i>Q. (340)
Решение. Рассмотрим задачу Штурма— Лиувилля
Х^Х) + J Х(Х)= 0 , Х€((?, £),
которая может быть получена подстановкой <Х в виде -XtXlTCi')
в однородное уравнение (31с)и однородные краевые условия (33^),
(34q) . После чего получаем из (31^)
Хсх)Т/(О = а2Х//(х)7(2!-)
ИЛИ / ГЬ1Х
Хт --4^. -.-и®,
Х(х> d2T(t)
а из (ЗЗо), (340) - X(Q')T(t'l ~0 Vi? о,
X'(L)T(t)=O Vi>0.
Решая задачу (Ш-Л), рассмотрим случаи:
1) Л < 0. Тогда общее решение уравнения X +AX.-0
имеет вид ХСХ) = C-]qV~AX + CqQ , где C-j , С 2 ~ произволь-
ные постоянные. Из краевых условий задачи (Ш-Л) получаем систему
' с1 + = о,
'.(С7е^- V7! = 0,
определитель которой отличен от нуля. Следовательно, С7 - £2 = 0.
Итак, среди отрицательных Л собственных чисел нет;
2) рассмотрим Л - 0. Тогда общее решение имеет вид Х(Х) - C-ji
С2 X • Из краевых условий имеем C-j - 0, С2“ 0. И вновь Л = 0 не
является собственным числом;
3) пусть теперь Л > 0. В этом случае общее решение уравнения
из задачи (Ш-Л) имеет вид:
ХСХ) = С7 cos г7х * С2 sin. /Тх.
49
Удовлетворяя краевым условиям, получаем:
из первого — С] - О,
из второго — /Л* COS = 0 , т.е. СДзУЛС-О,
так как = 0 приводит к тривиальному решению. Следовательно,
= (""j" + ( А = 7,00) являются собственными числами, а
JfC2A*7)
Xj.(X.) = Sin-—---- х — собственными функциями задачи (Ш-Л), об-
« 24
разующими базис в пространстве О, L )),
Разложим теперь функции xt и S3" по этому базису
^ = 2 ех=2 ^ла(х)’
глр ; - 2t f*_, (2A-7)jr ~ .
где L Jxsin. 24 ха!х-^2(2А_?)2 ,А-7, ,
' I J/ 5tZL XCLX 4Lh }
/ jr(2f(-7)J, h-1,^.
Разложение же и. С X, t) имеет вид:
, где 7^(^) определяются из задач
К = ?
Th(0)^h, к-~1,со
О,е»М Ts(ft-V-^ + ^-(4-^ '
Л '*
Итак, решение данной задачи имеет вид:
U.Cx,t}-2_ Тка)Хн(.х).
Пусть в рассмотренных задачах краевые условия неоднородны, т.е.
а1и.х(.0Л')-t>Q} (29)
<х2 i >0- (30)
'JO
Возникает вопрос. Как решать такие задачи?
Рассмотрим два случая:
1. Пусть неоднородности уравнения и краевых условий стационар-
ны, т.е. = p(.i)=p, при этом 0(7^2 ~ с<2 '
- Pj J)? L £ 0 , Тогда решение задачи (25), (27), (29), (30) или задачи
(26), (28)— (30) ищется в виде
= V(«,£)f UT(X),
где — решение задачи:
oqur'cO)- PjW'CO'lzp,
. <x2ur'(4H p2 wU)-({ ,
a (r(X решение редуцированной задачи:
' Ш1И
ir(x,0) = q»(x)-arcx), ir(.x,0)~ qKxj-ftfcx),
1^,0)= ф(Х), Sot, crx(O,t)-PjV(O,t)=O>
соответственно, которое может быть получено методом Фурье.
2. Рассмотрим теперь общий случай. Решение будем искать в виде
U. (.X,t) - WC.xj') f 1ГСХ, t) , где UTCX.ty- функция вида
ur(x,t) = ( q,7x2 + gl2x + a^ptt)* ^хМ2гЦ^(О,
B котором CLj и hj , j - 1,3 являются неопределенными коэф-
фициентами. Эти коэффициенты подбираются так, чтобы
I ^^(0,1)-р7 р(г) , tvQ ?
[ (Х2 urxd,t>t ^2 qd) , t>0 .
Функция является решением редуцированной задачи
lKX,0)-(f(x)-UJ’CX,0),
= i^(x)-аг£(х,0),
cr(<7,i) = Z?,
«2
tr(x,O)=. q>(X)-ur(x,0'),
vxd,t>,
. a2uxU,t)+p2u'(d’i'>sO>
где Wtt + ^^XX > +
соответственно, которое находится методом Фурье.
Более подробно об этом методе можно прочитать вГ9-16, 17в].
Задачи
Решить следующие смешанные задачи с однородными краевыми
условиями:
пл. = 0<Х<1, €>0 ,
U(X,(?)=si7l (^х), Ц^Х,0')-0 , 0*хл1,
U(0,t) = 0, lLtt,i) = 0 , ЬъО.
11.2. Q?U^XX > 0 X < L , t 7 0 ,
a(x,0) = cos(-y^x), u^(.x,0)= cosG^x), Otxti,
ccx(O,t) = O, u.(L,V)-0, f*0.
11-3, il^-il2u.xx, Q<x<L, t>0,
U(X,<9) = COS (^x), = 04X4L,
U.x(Q,t) = O , t>,0.
11.4. Ц.^~°?ихХ , 0<X<l, t>0 ,
u.(x,O) = sin.(_-^x) , 0&X4L,
u(0,t)=0, ar(i,t)^O, t>,0.
' *4
11.5. - aPu-zx + bu., 0<x<l,t>0,
u.(x,O)=- sin (x ) > 0(X ,
a(.0,t)-0, u(L,t) = O, i>,Q.
11.6, tt^ = a2uXiZ , Q<x<l,tfO,
u(x,0)=10> Q<x<L,
h,iLCO,t) = U, u.x(l,i)-0, t>0ykelR
11.7. =a2u.xx-b e^sin^x) , 0<x<l, t>0 ,
u.(.x,0)-0, ul^x,Q') = sin^^x'), 04X4l,
u.(0, t) = 0, ax(l,t) = 0 , tf,O.
11.8. a# = а2ахж +sizzif , 0<x<l, t>0,
u(x,0)=cos(-^x), Ui(X,0) = CO3(-^X) ,
52 Ux(0,t) = 0, C(Lxa,ih-O, t>,Q. 1
11.9. -0?и.хх - cki , 0<х<1 , t>0,
u,Cx,O) = x-l, 0< xtl,
ur(O,t) = O, u.(L,t) = 0, t >, 0
11.10. ц^ = а uxx-2u+x( Q< x < I , t >0,
u.(x,0) = x2, 0$x< I ,
u.C0,t) = 0, ur(l,t)=0, t>'0.
vC
н.п. = a2u.xx-/-xi2, 0<x<L, t>0,
u.(.x,O) - e'x, 0<x<l,
iL(0,t)-C , tix\L,t) + Hu.(L>t)=-0, t >0, He IR,H>O.
Решить следующие смешанные задачи с неоднородными краевыми
условиями:
11.12. U.it - ^Uxx ~ , 0<Х<1, t>0 ,
U(.X,0)=x2, и,(х,0) = 2х, 0<x<L,
LL(0,t)=1 , Ux(.l,t)=3 , i>0.
n.13. = a2ux:c cosx , 0<x<l, {>0,
U.CX,0) = 5-X , IL+ CX,0) = 7 , 0<X<L,
ux(o,t)- = uxa,t)+Hij.(L,V)^, t>o,
11.14. ULj. = OXU.XX -Sh X, 0<X<t, t>0,
u.(x,Q)-ch.x , 0< x< L ,
2 , tL(l,i) = -2 , t>0.
11.15. = X2 uxx - x + x2e~^, 0<x< I, i>0,
U(x,0) = x-1 , Q^x<L,
u.(0,t) = -e‘^, u(C,i)=5e, i>,0.
9
11.16. s a axx+/(x), Q<x<l,t?O,
иЛХ,0) = tpcx), a^x,0) = ф(Х) , 0<x< L,
ax(O,t)=p, u.a,i) = tl , t>0, p, qe!R,
11.17. ш = a2xxx+ $(.£'), 0<x<L,t>0,
u.Cx,0) = q>(x), 0<x<l,
tL(.O,t)=p, u.(l,i) = q , i>0,p^e^.
11.18. ll£ = а?ц.хх + fx , 0<x<l, t>0,
ul(x,0) = cos x, 0^x<l,
j i^Q. ss
11.19. o?-u.xz+ext, Q<x<l, i>0,
IL(X,O)= X-1, U4.(z,0) = 2z, 0<x<l,
ux(Oti)-ku,(O,i)^i, 0,(1,f)-t2, t>Q,/ie%,
11.20. = a?u.xx-si.ri(x,t), 0<x<l, t>Q,
LL(X,0 ) = , IL^(X,O)-X2, 0<X<l,
ox(0,i) = ski , u.(l,i^z c/ii , i >0.
11.21. a$ = a.2u.xx + (z-t)2, 0<x<L, i>0,
o(x,0)-e2z , 0<x<L,
o(0,i) = t2-t, u.x(L,i) =i5} t>o.
11.22. tQ = Q.2Uxx-COS(X+i) , O<x < L , t>Q,
!t ( т П) - s£77 T 0 < T t /
ox(0,t)^Q-t, 'ox(L,t)iHiL(lft)-1-i, bO,He!Rjw.
11.23. ц^~ a?u.xx-Ьо-е~2(,х^^) 0<x<L ,t>0,
o(x,0) = (x,+i)2, 0<z<l,
ux= sini , o(l,t) = cosi , t>Q.
11.24. = o2uxx +f(x,i), 0<x<l, t>0,
U(X,0)=4(X) , и.£(Х,0)= <p(X) , 0<x<l,
u.x(0,t)-p(i) , ox(l,iy-^th t>0.
11.25. iit = o2oxx+$(x,i), 0<x<l> t>o,
u(X,0) = qi(X), 0<x<L,
o(0,t)-ptt) > u.x(l,i) = q(t), t >0.
11.26. Найти закон, по которому происходят малые продольные ко-
лебания однородного стержня длины I со свободным правым концом
fX = О и жестко закрепленным левым ( X = 0). Начальное отклонение
равно , начальная скорость — нулевая.
11.27. Найти распределение температурного режима в однородном
стержне с теплоизолированной боковой поверхностью, если
температура его концов поддерживается равной нулю, а начальная темпе-
ратура стержня равна Х(1~Х).
11.28. Найти малые продольные колебания однородного стержня
( 0^ X 4 I ), если оба его конца свободны, начальное отклонение
равно О}$(-Щ^Х) , а начальная скорость равна C-C-OTtsi.
Я
11.29. ‘.чайти температуру однородного стержня ( I, ес-
ли на его правом конце ( X-L ) происходит конвективный теплообмен
сс средой, температура которой равна нулю, а левый конец ( X = 0) и бо-
ковая поверхность теплоизолированы. Начальная температура стержня рав-
на
11.30. 3 пористом цилиндрическом сосуде ( 04X4L ) проис-
ходит процесс диффузии некоторого вещества под воздействием стационар-
ных источников с линейной плотностью F(X) (сечения Х~Хо,О<Х<.1
являются поверхностями равной концентрации). Найти концентрацию это-
го вещества в момент времени t > 0, если на левом конце ( X = 0)
сосуда происходит массообмен с окружающей средой, концентрация веще-
ства в которой равна Л = const , по закону, аналогичному закону
Ньютона для конвективного теплообмена; на правом конце ( Z = I ) под-
держивается постоянная концентрация, равная ; боковая поверхность
сосуда непроницаема; начальная концентрация равна lf(X),
11.2. Применение метода Фурье к решению краевых задач
для уравнений эллиптического типа
Задачи
Решить следующие краевые задачи для эллиптического уравнения
в прямоугольнике ( 04 X 4 L , 04 у4(f) ;
11.31. =3, 0<Х<1, 040411,
Ц.(.Х,0У= X2 , X~L , 04X41 ,
ШО,у) - Ц.а,у) -0 , 04у^1.
11.32. (lzx+ Ц.уу = 0 , 0 <Х<1, 04 у <1,
Ну (х,0) =е~х, , 04Х<1'
0,у)~ иха,у^0 , 04y<d.
п-33. ux>x + uyy = 0, 0<x<L, 04y<d,
lLy(X,0)-3, U,(.X,(t)=X, 04X4l,
mo,y)-i , aU,y)--?, 0<y<d.
11.34. UJ-.J.+u.yy = a., 0<x<l, 04y4ii , nefR,
u.y(.x,0)-Kll(.x,0)~^ , u.(.x,d.)-js , 0<x<L, k,<x ,pelR
imo,y) = 1-y, ay(L,y^f, 0<y<d,^lR.
11.35. LLyy =/(X), 0<r< I , 04y<d,
UAX,0) = НуСХ,1)=ф(Х), 0<z<L,
ux<0.y)--p, u.xa,y)=q, 0<y<d ,p,ye!R.
Решить следующие краевые задачи для эллиптического уравнения
в круге ( 04 $ 4 Го )
11.36. 4и=0, 04ф<2<Г,
и,(г0,Ц) = J ая у, /иС0,ф)/< <х> , 04 ф < 2#
11.37. 4u=0 , 04^<r0, 0&щ24г,
!tt<0,y)l = 0, 04 q>< 2т.
11.38. 4a=0, 0^^<rQ, 04$<2зг,
U.g(r0 ,4) + HuAr0,y)- ZsinLf, /а(0,ф)/<~, 04ф< 2Jr,HelR.
Решить следующие краевые задачи для эллиптического уравнения
вне круга ( 04 J4 :
11.39. 4и=0 , Q > rQ , 0^W<2jt,
UL(r0,^)zр sin3pJtL(^, -ф)|<со,2т, peR.
11.40. 4 а = 0, ^>rs, 0 4q<2jr,
Ид<.Г0,Ц>У^р(Ц>)1 I lL(co, if )i-0, 0'4 If < 23Г.
11.41. Ju = 3, g > Cj , 04 ф< 2T,
Uy < r0 ’ < Ъ > ? > = 91 > I CL (.oc, tp 11< ,04 q>< 2^,kelp.
Решить следующие краевые задачи для эллиптического уравнения
в кольце ( rQ 4 $? 4
11.42. du=0,rfl<^<r;, 0 4 ф <2ОГ ,
lL<rQ, ф) = JJ sin ц> , и(Г/,ф) = В, 04ф<2<?г, Л, Вв^.
11.43. Ли. =0 , г0<^<г7, о ^<23?,
'^(.г0,^)= со^ B’lp, u(r;, ф)= ф, 04ф<2я-,
П.44. 4а = 0, г0< у < р , 04 и>< 2^,
ар(г5, ф) = 0, ц^сг,, ф) = 54пЗф,04 ip< 2<JT.
Решить следующие краевые задачи для эллиптического уравнения
в круговом секторе ( 0 4 4 , 0 4 ф 4 «О •
11.45. All -0, О< д<г0 , 0 < ф < <х ,
LL(rQ , ф)= ф, I LL(O,p>)l <со > 0<Ц><*,
CL(^,0)-lL(^,^')-0 , 0<р <Г0.
11.46.
All =0, О<о <г0 , О<
^(^,0)= LL(?,«) = O, Го .
56
11.47. All-0 , 0<^<rQ , <9 < ip < ex ,
= <?c<p, /а(0,ср)/<о<э, 0<<p<x ,
U^(^,ot)=C, 0<g<rQ.
11.48. All-O-, 0<g<ro , <7<^<cX,
U^r0}lf)-p(lf), /U.(0,Cf)l<OQ f 0<Ц<О(,
U(y,0) = J7, илу,a) = 8 , 0<$> < rQ , J ,
Решить следующие краевые задачи для эллиптического уравнения
в полуполосе ( 0 $ X L , 0 у < со :
11.49. Дц. = О , 0<Х< L , Q<y<°o,
!£(.X,0)-X(X.-l,), J од <-X,00 7 / < <=о ,
и,(О,у) = и(1,у) = 0 , 0«у<ос.
11.50. 4ll = 0, 0<X<L, 0<у<оо}
iiy(x,0)-e~x, lu. (%,<=*>) i< ос , 0<x<L,
ti(O,y)-uz(l,y)=0, 0<у<.°<>.
11.51. Ди = 0, 0<х<1, 0<у<°о,
Uy(.x,0)-cosx , u.(.x.,°°)= 0, 0<x<L,
uz(0,y) = иха,у) = 0, 0<у<^>.
11.52. Ди=0, 0<Х<1 , 0<у<оъ,
11(Х,0) - У>(Х), U(X,oo)=0, 0<х<1,
1^(0,у} - tLz(l,y) + Hn(L,y) = O, 0<у<^о, ReR,
11.53. Найти электростатическое поле внутри неограниченной области
(0<СС<4, 0 < у < °о ) между пластинами у= 0, vt= 0, •£ = /,
первая из которых заряжена до потенциала у , а пластины X- Ои
X = I заземлены. Заряды внутри этой области отсутствуют.
ЛИТЕРАТУРА
Основная литература к главе I
1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
М.: Наука, 1969.
2. Карташов А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные
уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1986.
57
3. Волков Е.А., Лизоркин П.И. Дифференциальные урае. ^ения и элементы
вариационного исчисления. М.: МИФИ. 1978.
Дополнительная литература к главе !
4. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гостехиздат,
1955.
5. Блисс Г.А. Лекции ло вариационному исчислению. М.: ИЛ. 1950.
6. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.. Физматгиз.
1961.
7. Коша А. Вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 19ВЗ.
8 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987.
Основная литература к главе <!
9. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.:
Госиздат технике теоретической литературы, 1950.
10. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.:
Наука, 1972.
11. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики М.: Наука. 1982.
12. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.
13. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.
Дополнительная литература к главе П
14. Михайлов В.Л. Дифференциальные уравнения в частных производных
М_* Наука, 1976.
15. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции.
М; Наука. 1984.
16. Годунов С.К, Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.
17. Методические рекомендации к практическим занятиям по уравнениям
математической физики.
а) "Постановка задач, классификация и приведение к каноническому виду
уравнений математической физики*'. М.: МИФИ, 1988;
б) "Основные задачи для уравнений гиперболического и параболического
типов". М.: МИФИ, 19В8;
в) "Метод разделения переменных (метод Фурье) ". М.; МИФИ, 1989.
58
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.................................................... 3
Г пава 1, Вариационное исчисление ............................. 4
1. Некоторые основные понятия вариационного исчисления... 4
1.1. Функционал ............................................ 4
1.2. Экстремум функционала................................ 5
1.3. Вариация функционала. Общее необходимое условие
Экстремума функционала...................................... 7
1.4. Вторая вариация функционала. Необходимые условия
минимума и максимума................................... 9
2. Простейшая задача вариационного исчисления. Необходимые
условия экстремума........................................... 10
2.1. Простейшая задача.................................... Ю
2.2. Примеры простейших задач вариационного исчисления .... 10
2.3. Необходимые условия экстремума........................ 12
2.4. Случаи понижения порядка уравнения Эйлера—Лагранжа ... 14
2.5. Второе необходимое условие (условие Лежандра) —
необходимое условие слабого минимума (максимума)
функционала................................................ 17
2.6. Третье необходимое условие (условие Вейерштрасса) —
необходимое условие сильного минимума (максимума) ... 18
3. Простейшие вариационные задачи с подвижными концами .... . 19
19
3.1. Постановка задачи ................................
3.2. Примеры задач......................................... 19
3.3. Необходимое условие экстремума и условие трансверсаль -
ности...................................................... 5$
3.4. Задача со свободными концами........................ 71
3.5. Условия ортогональности............................... 23
4. Необходимые условия экстремума функционала, зависящего
от нескольких функций........................................ 24
5. Необходимые условия экстремума функционала, содержащего
производные высших порядков................................ 26
5.1. Постановка задачи..................................... 26
5.2. Необходимые условия экстремума........................ 27
6. Достаточные условия экстремума для простейшего функци-
онала (3).................................................... 28
6.1. Центральное поле экстремалей функционала.............. 28
6.2. Условие Якоби......................................... 30
6.3. Достаточные условия сильного экстремума............. 31
6.4. Достаточные условия слабого экстремума..............
7. Вариационные задачи для функционалов, зависящих от функции
нескольких переменных.......................................... 32
7.1. Постановка задачи...................................... 32
7.2. Первое необходимое условие............................ 32
7.3. Второе необходимое условие (аналог условия Лежандра) ... 33
Глава (I. Задачи математической физики........................... 34
8. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений
с частными производными второго порядка с двумя переменными 34
9. Задачи Коши для уравнений гиперболического и параболического
типов.......................................................... 37
10. Смешанные задачи на четверти плоскости для уравнений гипер-
болического и параболического типов.............................. 41
11. Метод разделения переменных................................. 47
11.1. Метод Фурье решения смешанных задач на полу полосе
для уравнений гиперболического и параболического типов ... 47
11.2. Применение метода Фурье к решению краевых задач для
уравнений эллиптического типа............................ 5~5
Литература.................................................... 57
Редактор О.А. Сафронова
Техн, редактор Е.Н. Кочубей
Корректор Г.А.Станкевич
Тем. план 1991 г., поз. 68
Подписано в печать 11 .U9. 9 f. Формат 60x84 1/16 Печ.л.Д/^ Уч.-изд.л. 3,5
Тираж 820 экз. Изд. №020-1 Заказ 207 Цена 25 коп.
Московский инженерно-физический институт. Типография МИФИ.
115409, Москва, Каширское шоссе, 31