А. В. Бицадзе, Д. Ф. Калиниченко
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО УРАВНЕНИЯМ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов механико-математических и физических специальностей
высших учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА*
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1977

Б 66 О
УДК 617
Сборник задач по уравнениям математической
физики. Бицадзе А. В., КалиниченкоД. Ф.,
Главная редакция физико-математической литературы
издательства «Наука», М., 1977, 224 стр.
Сборник содержит свыше 600 задач по курсу
уравнений в частных производных, читаемому в высших
учебных заведениях студентам математического,
механического, физического и технического профилей (с
повышенной программой математического образования).
Материал в книге расположен по традиционным
разделам этого курса—уравнениям эллиптического,
гиперболического и параболического типов. Особое внимание
уделяется методам, наиболее- часто применяемым на
практике при построении решений указанных
уравнений (методу Фурье, методу интегральных
преобразований, методу конечных разностей, вариационным методам
и т. д).
20203— 125 © Главная редакция
4-77 ф»а»ко-лы№«мжгической литературы
053@2)-77 издательства Наука», 1977

Оглавление
Предисловие * 4
Глава I. Вводные понятия. Классификация уравнений и систем
уравнений с частными производными. Приведение к каноническому виду
уравнений с частными производными второго порядка с двумя
независимыми переменными. Вывод некоторых уравнений математической
физики 5
§ 1. Дифференциальное уравнение с частными производными и его
решения. Системы уравнений с частными производными .... 5
§ 2. Классификация уравнений и систем уравнений с частными
производными 7
§ 3. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с
частными производными второго порядка с двумя независимыми
переменными 11
§ 4. Математическое описание некоторых явлений, изучаемых
методами математической физики 14
Глава II. Уравнения эллиптического типа 27
§ 1. Основные свойства гармонических функций 27
§ 2. Краевые задачи Дирихле и Неймана для гармонических функций 31
§ 3. Потенциалы 37
§ 4. Некоторые другие классы эллиптических уравнений 41
Глава III. Уравнения гиперболического типа 46
§ 1. Волновое уравнение 46
§ 2. Задачи, корректно поставленные для уравнений гиперболического
типа 54
§ 3. Некоторые другие классы гиперболических уравнений. Задача
Коши для уравнения Лапласа 59
Глава IV. Уравнения параболического типа 66
§ 1. Уравнение теплопроводности 66
§ 2. Некоторые другие примеры параболических уравнений 70
Глава V. Методы, наиболее часто применяемые при решении задач для
уравнений с частными производными 73
§ 1. Метод разделения переменных (метод Фурье) 73
§ 2. Специальные функции. Асимптотические разложения 84
§ 3. Метод интегральных преобразований 96
§ 4. Метод конечных разностей 101
§ 5. Вариационные методы 104
Ответы, указания, решения 107
Приложения 212

Предисловие
Настоящая книга представляет собой сборник задач по курсу
уравнений математической физики, читаемому в высших учебных
заведениях нашей страны студентам математического,
физического и инженерно-физического профилей. Она состоит из двух
частей. В первой части, разделенной на пять глав,
сформулированы условия задач, сгруппированных в основном по типам
уравнений с частными производными. В ней большое место
уделено методам, наиболее часто применяемым на практике при
построении решений основных задач для эллиптических,
гиперболических и параболических уравнений. Поскольку по замыслу
книга должна способствовать глубокому освоению предмета
уравнений математической физики, в начале каждого параграфа
собраны сведения из соответствующих разделов программы
теоретического курса. Во второй части приведены ответы к
задачам, а в тех случаях, когда задачи не стандартны,—и
подробное объяснение хода получения решений.
Книга написана на основе опыта, накопленного в течение
ряда лет на практике ведения семинарских занятий по уравнениям
математической физики в Московском инженерно-физическом
институте.
При подготовке рукописи к печати большую работу
проделала Г* В. Калиниченко, за что авторы приносят ей свою
искреннюю благодарность. Мы благодарны Л. Д. Кудрявцеву, С. И. По-
хожаеву, X. X. Каримовой и М. Л. Краснову за ценные
замечания, способствующие улучшению изложения текста.
А. В. Бицадзе,
Д. Ф. Калиниченко
Москва, 1976 г»

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
Глава I
Вводные понятия. Классификация уравнений
и систем уравнений с частными производными.
Приведение к каноническому виду уравнений
с частными производными второго порядка
с двумя независимыми переменными.
Вывод некоторых уравнений математической физики
§ 1. Дифференциальное уравнение с частными производными
и его решения. Системы уравнений с частными производными
Обозначим через D область л-мерного евклидова пространства Еп точек
х = (хи *.., хп) с декартовыми ортогональными координатами хъ ..., хт п^2.
Пусть F^F/x, ..., P( i , ..Л —заданная действительная функция
точек x£D и действительных переменных pt л с неотрицательными цело-
п
численными индексами ilt ..., in, 2 ij = kf k — Q, ..., m, m^1, по крайней
мере одна из частных производных которой
dF " .
dPi , • 2,//==^
отлична от нуля.
Уравнение вида
р(х д*и , ..Л=0, x£D9 A)
называется дифференциальным уравнением с частными производными порядка т
относительно неизвестной функции и^и (х), а левая часть F этого равенства,
представляющая собой совокупность операций над функцией
и,—дифференциальным оператором с частными производными порядка т.
Каждая определенная в области D задания уравнения A) действительная
функция и (х), непрерывная вместе со своими частными производными,
входящими в это уравнение, и обращающая его в тождество, называется регулярным
решением уравнения A).
5

Наряду с регулярными решениями в теории уравнений с частными
производными важную роль играют также элементарные, или фундаментальные
решения.
Когда F представляет собой W-мерный вектор F — (Fly ..., F/f) с
компонентами F((x, ..., pi j , ., Л, / = 1, ..., N, зависящими от x£D и от
Af-мерных векторов pi л r=fpjt , . iM pf^. J} векторное равенство A)
называется системой дифференциальных уравнений с частными производными
относительно неизвестных функций иъ ..., Идо> или относительно
неизвестного вектора и~(иъ ..., им).
Уравнение A) называется линейным, если F линейно зависит от всех
dku
г-, (Xk<m.
дх[к..дх^
Линейное уравнение можно записать в виде
Lu = f(x), x£D,
где L — дифференциальный оператор первой степени относительно всех
dku
г-, O^k^m. Линейное уравнение называется однородным или неод-
дхь*...дх£
нородным в зависимости от того, будет ли /(*)== 0 или f(x)^=0.
Уравнение A) называется квазилинейным, если F линейно зависит лишь
дти ^ .
от —: г, 2j Ч=т'
дх[К..дхпп /=1
Выяснить, являются ли приведенные ниже равенства
дифференциальными уравнениями с частными производными:
t. cos (их + иу)—cos их cos иу + sin их sin иу = 0.
2. и2хх+и1У—{ихх—иууJ = 0.
3. sin* (uxx + uxy) + cos* (uxx + uxy) — u=l.
4. sin (uxy + ux) — sin uxy cos ux—cos uxy sin-t^. + 2u = 0.
5- л~1&и—tixsec2u—3^ + 2 = 0.
6. logjuxuy|—log\ux\ — \og\uy\ + 5a —6 = 0.
Определить порядок уравнений:
7. log \uxxuyy | — log | uxx | — log | uyy \ + ux + uy = 0.
8. uxu%+{u2xx — 2uly + uyy — 2xy = 0.
9. cos2 uxy + sin2 uxy — 2ul—3uy + u -=0.
10. 2(ux—2u)uxy—^(ux—2u)*—xy = Q.
"• ^(^-^)-2^^D,,,-^)-2^ +2 = 0.
12. 2uxxuxxy—Ty {uxx — uyf — 2uyuxxy + ux = 0.

Выяснить, какие из следующих уравнений являются
линейными (однородными или неоднородными) и какие нелинейными
(квазилинейными):
13. uxuly+2xuuyy—3xyuy — u = 0.
14. uyuxx—3x2uuxy + 2ux—f(x, у)и = 0.
15. 2 sin (х + у) ихх—х cos у иху + ху их—Зи + 1 =0.
16. х*уихху + 2е*у* иху—(х*у* +\)ихх—2и = 0.
17. Зиху—6ихх + 7иу— их + 8х = 0.
18. ихуихх — 3иуу — 6хиу + ху и = 0.
19. а(х, y)uxx + b(xt y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y)ux +
+ е(х, y)uy + h(x, y) = 0.
20. а{х, у, uxi uxy)uxyy + b(x,y,uyy)uyyy + 2uuxy—f{x,y)==0.
21. иху + иу + и*—ху = 0.
22. uxy + 2fc(u* + u)-6xsiny = 0.
23. 2xuxy—6§i(u*—xy) + uyy = 0.
§ 2. Классификация уравнений и систем уравнений
с частными производными
Форма порядка т
К (**, ..., %п)= V ^- %.. Л'», 2 V = m'
B)
относительно действительных параметров Xlt ,.., Хп называется
характеристической формой, соответствующей уравнению A).
В случае линейного уравнения второго порядка
1./=1 J *=1
характеристическая форма B) является квадратичной
п
Q(*i. -.Д«)= 2 Ац{*)Щ*
t, /=i
В каждой фиксированной точке *£D квадратичную форму Q при помощи
неособого аффинного преобразования переменных ^/ = ^/(^, *.., £„), i=lt ...
».., и, можно привести к каноническому виду
Q = 2Ja/£f, D)
i=i
7

где коэффициенты а/ принимают значения 1, —1, 0. Известно, что число
отрицательных и нулевых коэффициентов формы Q в D) не зависит от способа
приведения этой формы к каноническому виду. На этом факте основана
классификация линейных уравнений C).
Говорят, что линейное уравнение C) эллиптическое, гиперболическое или
параболическое в области D, если в каждой точке x£D, коэффициенты а/
формы D) соответственно: все отличны от нуля и одного знака, все отличны
от нуля и не все одного знака или хотя бы один из них равен нулю (но не все).
Эллиптическое в области D уравнение {3) называется равномерно
эллиптическим в этой области, если существуют действительные числа k0 Ф 0 и
ИхфО одного знака такие, что
п п
ko2 $<q(^i» • • •»u<*i2 $
i= 1 t= 1
для всех x£D.
Для линейного уравнения с частными производными порядка т
Yd %..л (*)л и U* i +Lxu=:f(x)y 2J iy = m, E)
j-* *i.. „ дх\1...дх1п f?A J
где Lx—линейный дифференциальный оператор порядка ниже m,
характеристическая форма B) имеет вид
К(К *.., К)= 2. %..лп(х)К1..Л{п, S lj=m. F)
н..лп п /=1
Если при фиксированном значении x£D можно найти такое аффинное
преобразование Я/=Я/(ц! \хп)> t = l, ..., п, в результате которого
полученная из F) форма содержит лишь / @ < / < п) переменных [i/, то
говорят, что уравнение E) параболически вырождается.
При отсутствии параболического вырождения, если уравнение
КОл Ь«) = 0 G)
не имеет действительных решений, кроме ^ = 0, . .*, ЯЛ = 0, уравнение E)
в точке x£D называется эллиптическим.
Говорят, что уравнение E) в точке x£D гиперболическое, если в
пространстве переменных Xl9 ..., Xn существует такая прямая, что если принять
ее за координатную ось в новых переменных jij. |1и, полученных
аффинным преобразованием Яь ..., Я„, то относительно координаты, меняющейся
вдоль этой оси, преобразованное уравнение G) имеет ровно т действительных
корней (простых или кратных) при любом выборе остальных переменных.
Аналогично по характеру формы B) классифицируются и нелинейные
уравнения порядка т. Однако поскольку коэффициенты формы B) в этом
случае зависят не только от точки x£D, но также от искомого решения и его
производных, в этом случае классификация по типам производится лишь для
данного решения.
Когда равенство A) представляет собой систему N уравнений относительно
N неизвестных функций, т. е. когда M = N и порядок каждого уравнения этой
8

системы равен mf с помощью квадратных матриц
п
составим форму порядка Nm
K(llt ...Дл)= det £
it...in
1 " i, /=1, ..., N, 2 <* = т>
fc=l
Ч.ч
^..^, 2^-mf (8)
^/ lib Л
fc=i
относительно действительных скалярных параметров X±t ..., %п. Деление по
типам системы A) происходит по характеру формы (8) точно так же, как это
было сделано выше при рассмотрении одного уравнения порядка т.
Определить тип следующих уравнений:
25. ихх + 4иху + иуу + их + иу + 2и—х2у = 0.
26. 2ихх + 2иХу + иуу + 2их + 2иу—и = 0.
27. uxx + 2uXy + uyy + ux + Uy + 3u—ху2 = 0.
28. 4ихх + 2иуу—Ыгг + Ыху + 10uxz + 4иу2 + 2и = 0.
29. 2^—2^ + 2^ + 3^ — ^ = 0.
30. ихх + 2иху + 2иуу + 4иу2 + Ъи22—хих + уи2 = 0.
31. ихх—4иху + 2ихг + 4иуу + игг—2хуих + 3хи==0.
32. wxy + иу2 + и^—Зх2^ + у sin* и + хе~? = 0.
33. 5uxx + uyy + 5u22 + 4uxy—8uX2—4uy2—u+yz2s'mx=^0.
34. ихх + 2иху + 2иуу—2иу2 + 3и2—и = 0.
35. Зихх + 4иуу + 5игг + 4иху—4иуг + 2их—иу + хуег = 0.
36. у2т+1ихх + иуу—их = 09 т—целое неотрицательное число.
37. хихх + уиуу—и = 0.
Вдоль соответствующих решений и (я, у) определить тип
следующих уравнений:
38. и2хх + (ихх—2)иХу—и2уу = 09 и = х2 + у*.
39. и% + иххиуу + и2уу = 89 и = х* + у\ и = 2Уху.
40. и|*—4uxy + uly = 0, и = (х+уJ9 и = х, и = х2+£+^ху.
41. uxx + uxyuyy + uly—4uyy = 09 « = 2#2, и^Ъху9 и = х.
42. 3^-6^ + ^-4 = 0, « = у(*2 + */2), a = 2^.
43. ulxuxy—5iiyy + ux—2(x+y)—8 = 0, и = х2 + 2л:у.
44. u*x + 2uly—3uyy + uy—2x = 0, u = 2xy—8y.
45. 2^, + 2^ + 3^-2^ + 2^ = 0, u = xy—^x\
46. 5^—7^ + 25^—1500 = 0, и = ^+0» + ^*у.
47.^ + 5^ + 6^=12, a = l(*+jOa, и = УЪх*.
9

48. ajk—4^ + 7^—4и*+иу + 3* + 4у + 3 = 0, u = ~x2 + xy.
49. ^-2^ + ^ + 2^-2(^ + 0) = 0, u = j(x + y)\
50. uly + uxxuyy + uly + 2uxx + 2uyv = 0, u = x*—y2, u = x.
51. Написать условия эллиптичности, параболичности и
гиперболичности уравнения
F{x9 у, и, их, иу9 ихх, иху9 иуу) = 0,
если известно, что функция F непрерывно дифференцируема
относительно последних трех переменных, причем по крайней мере
одна из производных по этим переменным отлична от нуля.
Определить тип следующих систем уравнений:
52. 2^ + 3^ — 3^ + ^ = 0,
— ux + uy + vx + xy = 0.
53. 2ux + 3vy + 3uy — bu = 0,
ux + uy + vx + x2u = 0.
54. 2ux + 3vy + 3uy — 2u = 09
ux + vx — u + xy* = 0.
55. 2ux — 4vx + 3uy + 8vy — u = 0,
3ux — 2vx + 6uy + 3vy + 2u = 0.
56. 2^ + ^+12^—2^ = 0,
^ + 4^ + ^ + ^ = 0.
57. 2ux + vx + 7uy — 2u = 09
3ux + 3vx + 3luy + vy—ey sin x = 0.
58. 5ux + 22f5vx + 2uy + vy~6u = 0>
5vx + 2uy + 3vy — 2xu = 0.
59. 0,+ 12^ + 1^ + 31^-32^ = 0,
— 5ux + -g- vx + и y + vy—exu = 0.
60. \5ux + 9vx+12uy+17vy — 3xcosy = 09
3ux + 2vx + vy — 6u = 0.
61. 3^ + 3^ + 3^ + 4^ = 0,
2ux + 3vx — vy—3u = 0.
62. ^—^ + 2^ — 3^—^ = 0,
uy + 2vx — 2uz + vy + 2u = 0.
63. и,—uy + 2vy—3vz + 2u = 09
ux + 2uz—vx + vz—u'=0.
64. ux + uy + vy + vz—xyu = 09
vx—uy—vy + u2 + 2u = 0.
10

Определить тип следующих систем уравнений в зависимости
от значения параметра к\
65.
66.
67.
ux—kvy = 0,
uu + vx = 0.
Uy—kvx + vy =
ux + kvy—u =
uy—kvx + kvy
ux + v +2v =
= 0,
= 0.
=o,
= 0.
§ 3. Приведение к каноническому виду линейных уравнений
с частными производными второго порядка с двумя
независимыми переменными
Общее линейное уравнение с частными производными второго порядка
с двумя независимыми переменными можно записать в виде
аихх + 2Ьиху + сиуу + dux+euy+fu-{-g = 0, (9)
где а, Ь, с, d, e, /, g—заданные функции независимых переменных х, у.
Обозначим через А дискриминант Ь2 — ас соответствующей (9)
квадратичной формы
Q(h, X2)=aXl + 2bX1X2 + c\l A0)
Кривые, определяемые уравнением Q (х, у) — const, где Q — решение
нелинейного уравнения с частными производными первого порядка
aQx + 2bQxQy + cQl=:0t
называются характеристиками уравнения (9). Компоненты касательного
вектора (dy, dx) характеристической кривой в каждой ее точке (х, у)
удовлетворяют равенству
a dy2 — 2b dy dx + cdx* = 0. A1)
По введенной выше классификации уравнение (9) является эллиптическим,
гиперболическим или параболическим в зависимости оттого, будет ли форма A0)
[или форма A1)] определена (дефинитна), знакопеременна или полуопределена
(вырождена), т. е. дискриминант Ь2 — ас = & этой формы будет меньше нуля,
больше нуля или равен нулю соответственно.
В эллиптическом случае уравнение (9) можно привести к
каноническому виду
vll+vr\r\ + divl +eivy] + f1v+g1 = 0 A2)
в результате замены независимых переменных
£ = ф(*. у), Ц = Ц>(х, у), A3)
где ф (х, у) и -ф (х, у) — решения системы линейных уравнений с частными
производными первого порядка
аух + Ьуу + У^К $у = 0, а^х + Ь$у— У^К уу = 0
д(ф> ¢)
с отличным от нуля якобианом
д (х, у)
11

Замена A3), когда ф (я, у) и ty(x, у) являются решениями
дифференциальных уравнений
яфлг + (£+/А)<Рг/=0, <nfc + (b- /1)^=0,
приводит уравнение (9) в гиперболическом случае к виду
ffcTi + diy| + е1ил + /i*+& = °- A4)
Новая замена £ = а + Р, ri = a—p позволяет привести уравнение A4) к
каноническому виду
шаа — ^ + 4^ + ^^+/2^+^2 = 0. A5)
Наконец, в случае, когда уравнение (9) параболично, в результате
замены A3), где ф (х, г/) —отличное от постоянной решение уравнения
а<рх + Ыру = 0,
а 'ФС*» У) — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая условию
получаем
vr\r\ + divt +ei% +/iu+ft = 0- A6)
В уравнениях A2), A4), A6) v(%, т\)=*и[х(Ъ,г\), у (g, т])], где * = *(g, tj),
r/ = £/ (g, т|) —решения системы A3). Разрешимость этой системы по крайней
мере «в малом» гарантирована выполнением условия
д(Ф, я|))
д(х, у)
■*0.
Как известно из теории линейных уравнений с частными производными
первого порядка, в качестве функций ф (ху у), ty(x, у) в преобразовании A3)
при А > 0 можно брать левые части общих интегралов ф (х, у) = const,
г[)(#, 1/) = const обыкновенных дифференциальных уравнений, соответственно
dx dy dx ' dy
~а~~Ь+УИ' ~а~~ b—УЪ '
а в качестве функции ф (х, у) при Л = 0—левую часть общего интеграла
<p(#f i/) = const уравнения
dx dj/
a b
Что касается случая А < 0, то, поскольку в записи
ф(*. y) + iy(x, У) = й(х,У)
функция Й является решением уравнения
cfax + (b + iY^lS)Qy = 0,
преобразование A3) аналогично находим и на этот раз.
По изложенной схеме приводится к каноническому виду и квазилинейное
уравнение вида
auxx + 2buxy+cuyy+F (х9 у, и, их, 0,,) = 0,
коэффициенты a, bf с которого являются заданными функциями лишь
независимых переменных х, у.
12

Поскольку функции <р(х, у) и ty(x, у) в преобразовании A3) являются
решениями линейных уравнений с частными производными первого порядка,
коэффициенты которых выражаются через а(х, у), b (х, y)t с(х, «/), то от
последних следует потребовать, чтобы они одновременно в нуль не обращались
и, кроме того, обладали определенными дифференциальными свойствами.
Заметим, что, когда коэффициенты уравнения (9) постоянны, после
приведения этого уравнения к одному из видов A2), A5), A6) можно произвести
дальнейшее упрощение. > Так, например, вводя новую неизвестную функцию
а/(£, ц) по формуле
*«,t|)=e*S+i*M£fTi)f
подходящим подбором постоянных X и \i можно добиться, чтобы коэффициенты
при первых производных w в эллиптическом и гиперболическом случаях
и один из коэффициентов при первых производных и коэффициент при самой w
в параболическом случае отсутствовали.
Следующие уравнения привести к каноническому виду в
каждой из областей, где сохраняется тип рассматриваемого уравнения:
68. ихх + 2иху + 5иуу—32и = 0.
69. ихх—2иху + иуу + 9их + 9иу—9и = 0.
70. 2ихх + ЗиХу + иуу + 7их + 4иу—2и==0.
71. ихх + иху—2иуу—Зих—1Ъиу + 27х = 0.
72. 9ихх—Ъиху + иуу + \0их—15иу—50и + х—2у = 0.
73. ихх + 4иху + 10иуу-24их + 42иу + 2(х + у)==0.
74. ихх + 4иху+13иуу + 3их + 24иу—9и + 9{х + у) = 0.
75. A+&)*ихх + иуу + 2хA+х*)их = 0.
76. У*ихх + 2хуиху + &иуу = 0.
77. uxx-{l+y*)*uyy—2y{l+tfi)uy = 0.
78. (l+x*)uxx + (l+y*)uyy + xux + yuy—2и = 0.
79. х*ихх + 2хуиху + у*иуу - 2уих + ye** = 0.
80. ху2ихх—2х*уиху + х3иуу—у2их = 0.
81. ихх—2 sin х иху—cos2 х иуу—cos х иу = 0.
82. е**ихх + 2е*+УиХу + е*Уиуу—хи = 0.
83. ихх—2хиху = 0.
84. хихх + 2хиху + (х—1)иуу = 0.
85. уихх + иуу = 0.
86. хихх + уиуу + 2их + 2иу = 0.
87. ихх + 2 sin х иху—(cos2 x—sin2 x) uyy + cos х иу = 0.
88. ихх + хуиуу = 0.
Привести к каноническому виду и проделать дальнейшие
упрощения уравнений:
89. ихх—4иху + 5иуу — 3их + иу + и = 0.
90. ихх—6иху + 9иуу—их + 2иу = 0.
13

91. 2uxy—4uyy + ux—2uy + u+x = 0.
92. uxy + 2uyy — ux + 4uv + u = 0.
93. 2axx + 2uxy + uyy + 4ux + 4uy + u = 0.
94. «^ + 2^ + ^ + 3^ — 5^ + 4^ = 0.
95. uxx—uyy + ux + uy — 4u = Q.
96. uxy + uxx—uy—10а + 4л; = 0.
97. 3uxx + uxy + 3ux + uy — u + y = 0.
98. uxx + 4uxy + 5uyy — 2ux—2uy + u = Q.
99. 5^+16^+16^ + 24^ + 32^ + 64^ = 0.
100. uxx — 2uxy + uyy—3ux+12uy + 27u = 0.
Привести к каноническому виду уравнения:
101. ихх + 2иху + 2иуу + 4иуж + Ьи„ = 0.
102. ихх—4иху + 2иХ2 + 4иуу + и22 + Зих==0.
ЮЗ. иху + иХ2 + иу2—их + иу = 0.
104. Зиху—2ихг—иуг—и = 0.
105. ихх + 3иуу + 3игг—2иху—2ихг—2иуг—8и = 0.
106. ихх + иуу + и22 + 6^+2^+2^+2^+2^+2^+4« = 0.
107. 2uxx + 5uyy + 2u22—6uxy—4uX2 + 6uy2—3u + y—2z = 0.
108. 3uyy—2uxy—2uyt + lu = 0.
109. и^ + 4иу1Г + и„ + 4иху + 2иХ2 + 4иу2 + 2и = 0.
110. uxx + 4uyy + 9u22 + 4uxy+6uxz+\2uyz—2ux—4uy—6u2=0.
§ 4. Математическое описание некоторых явлений, изучаемых
методами математической физики
Во многих случаях исследование тех или иных явлений природы можно
привести к нахождению решений дифференциальных уравнений с частными
производными, носящих название уравнений математической физики. Чтобы
пользоваться методами математической физики, в первую очередь следует
установить, какие величины являются определяющими для изучаемого
явления. Затем, пользуясь физическими законами (принципами), выражающими
связь между этими величинами, составить уравнение (систему уравнений)
с частными производными и дополнительные условия (граничные, начальные)
к уравнению (системе), из которых впоследствии определяются и притом
однозначно неизвестные величины, характеризующие явление. Важно иметь в виду,
что одна и та же задача математической физики может служить моделью
совершенно разных явлений.
Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Уравнения
(системы) гиперболического типа получаются при математическом
моделировании колебательных процессов. При выводе уравнений колебаний механических
систем с успехом можно пользоваться вариационным принципом
стационарного действия (известным также под названием принципа наименьшего
действия) Гамильтона. В качестве примера рассмотрим плоские поперечные коле-
14

бания струны и проследим, как происходит математическое описание этого
процесса, основанное на принципе Гамильтона.
Струной называется гибкая упругая нить (одномерный упругий континуум),
которая в состоянии покоя натянута (вдоль координатной оси х) и
потенциальная энергия элемента которой в процессе колебаний пропорциональна
приращению длины этого элемента. Коэффициент пропорциональности
называется натяжением струны. Основной величиной, характеризующей колебания
струны, является отклонение и = и (*, t) струны в плоскости (х, и) от
положения равновесия в точке х в момент времени t. Если обозначить через К
и U соответственно кинетическую и потенциальную энергии струны, которые
выражаются через и (х, t) и ее производные, то в силу принципа Гамильтона
интеграл (действие)
J (K-U)dt, A7)
распространенный на промежуток ti<^t<^t2 времени наблюдения, должен
быть стационарным, т. е. должна существовать определенная функция и (ху t),
вдоль которой вариация функционала A7) обращается в нуль. Уравнение
Эйлера этого функционала и является искомым дифференциальным уравнением
с частными производными, носящим название уравнения колебаний струны.
Получаемые при варьировании функционала A7) соотношения для функции
и (#, t) на концах струны представляют собой налагаемые на функцию и (xt t)
дополнительные (граничные или краевые) условия, характеризующие состояние
концов (в частности, способы их закрепления) в процессе колебаний.
Из физических соображений следует, что для однозначного описания
процесса колебаний, кроме дифференциального уравнения и граничных условий,
нужно знать также начальное положение (форму струны в начальный момент
времени) и начальную скорость движения струны. Уравнение колебаний струны
сильно упрощается, если считать колебания малыми, т. е. в выражении для
потенциальной энергии U пренебречь степенями их выше второй. Отметим,
что это уравнение представляет математическую модель также для описания
и других явлений, таких, например, как колебания газа в трубке,
электрические колебания в проводах и т. д. Пользуясь принципом Гамильтона (по
изложенной схеме), можно математически формулировать задачи о продольных
колебаниях стержня, поперечных колебаниях мембраны, пластинки и др.
111. Струна @ ^ х ^ /) с линейной плотностью р = р (х)
совершает поперечные колебания и = и(х, t) в плоскости (я, и). Найти
кинетическую энергию К для случаев, когда струна
а) не имеет сосредоточенных масс;
б) в точках xt имеет сосредоточенные массы mh i=l, ..., п.
112. Найти потенциальную энергию струны @ ^л; ^/),
совершающей поперечные колебания и(х, t) в плоскости (х, и) для
случаев, когда:
а) концы струны закреплены жестко;
б) концы струны закреплены жестко и степенями их выше
второй можно пренебречь;
15

в) в ортогональном оси х направлении к концам струны
приложены силы v1(t) и v2(t) соответственно;
г) концы струны закреплены упруго, т. е. они испытывают
действие силы, пропорциональной их отклонению и направленной
противоположно отклонению.
Мембраной называется гибкая упругая пленка (двумерный континуум),
которая в положении покоя занимает некоторую область плоскости и для
которой работа, затрачиваемая на деформацию элемента мембраны,
пропорциональна приращению площади этого элемента (коэффициент
пропорциональности называется натяжением мембраны).
113. Мембрана, которая в состоянии покоя совпадает с
областью D плоскости переменных х, у, совершает поперечные
колебания и = и(х, у, t) и имеет поверхностную плотность
p = p(#, у). Найти кинетическую энергию К мембраны для
случаев, когда мембрана
а) не имеет сосредоточенных масс;
б) в точках (xh yt) имеет сосредоточенные массы mh i= 1, ..., п.
114. Найти потенциальную энергию мембраны D,
совершающей поперечные колебания и = и(х, у, t)> когда:
а) край мембраны закреплен жестко;
б) край мембраны закреплен жестко, степенями их и иу выше
второй можно пренебречь;
в) край мембраны закреплен упруго, т. е. точки (х, у) края
мембраны испытывают сопротивление, пропорциональное
отклонению и (х, у, ty этих точек;
г) на мембрану с жестко закрепленным краем действует
поперечная сила F (х, уу /), степенями их и иу выше второй можно
пренебречь.
115..Струна @^х^/) с линейной плотностью р = p(jc) и
натяжением Т совершает малые поперечные колебания и(х, t).
Пусть ф(х) и ty(x)— начальные (при /=0) отклонения и
скорости точек струны соответственно. Пренебрегая степенями их выше
второй в выражении для потенциальной энергии струны, а также
действием силы тяжести, на основании принципа Гамильтона
сформулировать задачу об определении отклонений и(х, t), t > О,
точек струны от положения равновесия, когда:
а) концы струны закреплены жестко;
б) концы струны свободны;
в) к концам струны х = 0 и х = 1, начиная с момента / = 0,
приложены поперечные силы F (t) и Ф (t) соответственно;
г) концы струны закреплены упруго, т. е. каждый из
концов испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению
конца;
д) конец х — 0 закреплен жестко, а конец я = /— упруго, т. е.
испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению, и на
струну, начиная с момента t = 0% действует . поперечная
сила F (х, t);
16

е) в точке х0 @ < х0 < /) струны, начиная с момента / = О,
действует поперечная сила F (t), концы струны закреплены жестко;
' ж) концы струны закреплены упруго и в точках Х;@ < xt < /)
струны имеются сосредоточенные массы mh i=l, ..., n.
116. Однородная мембрана в состоянии покоя совпадает с
областью D плоскости (х, у) с границей L. Пусть
р—поверхностная плотность, Г—натяжение мембраны, <р(#, у) и ¢(#, у) —
начальные (при t = 0) отклонения и скорости точек (#, у) мембраны
соответственно. На основании принципа Гамильтона
сформулировать задачу об определении поперечных отклонений и(х9 у, t),
t > О, точек мембраны от положения равновесия, пренебрегая
действием силы тяжести и степенями их и иу выше второй, когда:
а) край мембраны закреплен жестко;
б) край мембраны свободен;
в) к краю мембраны приложена поперечная сила F(x, у, /),
(х, у) gL, начиная с момента t^=0;
г) край мембраны закреплен упруго, т. е. точки края
испытывают сопротивление, пропорциональное их отклонению;
д) начиная с момента t = 0, на мембрану действует
поперечная сила F (х, у, t), а край мембраны закреплен жестко;
е) мембрана колеблется в среде, оказывающей сопротивление
колебаниям, пропорциональное отклонению, а край мембраны
закреплен жестко;
ж) в точке (х0, у0) б D мембрана имеет сосредоточенную массу /я,
а край мембраны закреплен жестко.
Уравнение колебаний струны описывает также продольные колебания
упругого стержня. В самом деле, пусть координатная ось х совпадает с
направлением продольной оси упругого стержня длины /.
Предположим, что поперечные (ортогональные оси х) сечения стержня
могут смещаться (совершать продольные колебания) вдоль оси х. Будем
считать, что поперечные сечения 5 = 5 (х) стержня во время смещения остаются
плоскими и ортогональными оси х. Это допущение вполне оправдано, когда
толщина стержня по сравнению с его длиной достаточно мала.
Обозначим через и — и(х> t) отклонение в момент времени t того сечения
стержня, которое, находясь в покое, имело абсциссу х. Пусть р = р(д;) —
плотность стержня, F — F(x, t) — объемная плотность внешних сил, действующих
вдоль оси х, Е — Е (х) — модуль упругости Юнга, Т = Т(х> t) — натяжение.
Выделим произвольно внутри стержня достаточно малую его часть W,
которая в положении покоя заключена между поперечными сечениями с
координатами х и х + Л#, и составим уравнение движения этой части, пользуясь на
этот раз принципом Даламбера. В силу этого принципа сумма всех
сил, действующих на W в направлении возможного перемещения (вдоль оси х),
включая силы инерции, должна равняться нулю, т. е.
Т (х + Ьх, t) + T(x, t) +5 (х) F (х, t) Ax—S (х) р (х) ип (х, I) A* = 0,
х, х£(х, х-{-&х).
Отсюда, учитывая то обстоятельство, что, согласно закону Гука, натяжение
17

T (xt t) пропорционально относительному удлинению,
Т (х, t) = E(x) их (х, t)9 0<x<lt
находим
, iESux) (лг+Длг, t) — (ESux) (x, t) + (SF) (x, t) Ax = (Sputt) (х, t) Ax. A8)
Пользуясь теоремой Лагранжа о конечных приращениях, перепишем
равенство A8) в виде
■^(ESux)(x*, t) Ax + (Sfy (x, t) Ax = (pSuit) (x, t)Ax, A9)
x*£(x, x-{-Ax).
Сокращая равенство A9) на Ах и устремляя затем Ад; к нулю, получаем
дифференциальное уравнение продольных колебаний стержня
~ [S (х) Е (х) их {х, t)] + S(x)F (х, /) = р (х) S (x) ии (*,/), 0 < х < L B0)
В случае однородного стержня, т. е. когда S, р, Е постоянны, уравнение B0)
примет вид
utt (*» t) = a2uxx (х, t) + f (*, /), 0 < х < /, B0')
где а2 = £/р, / (*, f) = F(x9 t)/p.
Для однозначного определения искомой функции и (х, t) из уравнения B0)
или B0') следует задать начальные отклонения и (х, 0) и начальные скорости
Щ (Xt 0) точек стержня, а также граничные условия. Чтобы получить
граничные условия, следует выделить части стержня W0 и Wt достаточно малой
длины Ах, примыкающие к концам стержня, для каждой из которых написать
уравнение движения, а затем перейти к пределу при Ах—*0.
117. Сформулировать задачу о продольных колебаниях
однородного упругого стержня постоянного сечения S длины / при
произвольных начальных отклонении и скорости для случаев,
когда:
а) концы стержня свободны;
б) к концам стержня х = 0 и х = 19 начиная с момента £ = 0,
приложены силы F (t) и Ф (t) соответственно, действующие вдоль
оси х\
в) концы стержня закреплены упруго, т. е. испытывают
сопротивление, пропорциональное их отклонению;
г) конец стержня х = 0 испытывает сопротивление,
пропорциональное скорости, а коней х = 1 закреплен жестко;
д) начиная с момента t = 0, стержень испытывает действие
направленной вдоль оси х силы (вызванной, например,
магнитным полем) объемной плотности F (x, t), а концы стержня
закреплены жестко;
е) стержень (на единицу массы) испытывает действие
пропорциональной скорости силы сопротивления отклонению, а концы
стержня х = 0 и х = 1 колеблются по заданным законам \i(t) и
v(t) соответственно;
18

ж) конец стержня х = 0 закреплен, а конец х = 1 свободен и
к нему прикреплена сосредоточенная масса т.
118. Сформулировать задачу о продольных колебаниях
упругого однородного стержня переменного сечения S — S(x)
длины I при произвольных начальных условиях для случаев,
когда:
а) стержень имеет форму усеченного конуса с радиусами
оснований г и R (г < R), которые закреплены жестко;
б) конец стержня х = 0 закреплен упруго, а к концу х — 1,
начиная с момента £ = 0, приложена продольная сила F (t) на
единицу площади сечения.
119. Два полуограниченных упругих однородных стержня
с одинаковыми (постоянными) поперечными сечениями S
соединены торцами и составляют один неограниченный стержень. Пусть
pt и Ег—плотность и модуль угругости одного из них, а р2 и
Е2—другого. Поставить краевую задачу для определения
отклонений сечений неограниченного стержня (при t > 0) от их
положения покоя, если заданы начальное (при £ = 0) отклонение <p(x)
и начальная скорость ф (х). При этом рассмотреть случаи:
а) торцы составляющих стержней соединены непосредственно;
б) торцы составляющих стержней соединены так, что между
ними находится жесткая прокладка пренебрежимо малой
толщины с массой т.
К системе уравнений гиперболического типа приводится задача об
электрических колебаниях в проводах.
Расположим провод вдоль координатной оси х. Пусть i — i(x, t) — сила
тока, v = v(x, t) — напряжение проходящего по проводу тока, R— омическое
сопротивление, a L, С и G — самоиндукция, емкость и утечка тока
соответственно, рассчитанные на единицу длины провода. Пренебрегая
электромагнитными колебаниями окружающей провод среды и считая утечку тока (через
несовершенную изоляцию) пропорциональной напряжению, выведем
уравнения, описывающие течение тока и изменение напряжения в проводе. Для
определенности будем считать, что направление тока совпадает с
направлением оси х. В силу закона Ома для достаточно малого внутреннего участка
провода (ху х-\-Ах) имеем
v(x, t) — v(x + Ax, t) = i(x\ t)RAx + it(x", t) LAx,
x', x"£(x, x + Ax).
Отсюда, пользуясь теоремой Лагранжа о конечных приращениях, после
сокращения на Дат, в пределе при Ах—>*0, получаем
vx(x, t) + Ri(x, t) + Lit(xt 0 = 0. B1)
Далее, приравнивая количество электричества, притекающее на элемент
провода Ах за время At (от / до t + At),
[i{xt t) — i(x + Ax, t)]At = —ix(x, t)AxAt, x£(x> x + Ax),
19

количеству электричества
С [v (х, t + А/) - v (х, t)]Ax + Gv (х, Г) A* At = [Сщ (х, t') + Gv (х, I)] Ад: At,
х£(х, х+Ах), t, t'£(t, t + At),
которое расходуется на зарядку элемента Ал: и утечку через несовершенную
изоляцию этого элемента, как и при выводе равенства B1), находим
ix (х, t) + Cut (x, t) + Gv (x, t) = 0. B2)
Система уравнений B1) и B2) называется системой телеграфных у рае-
нений. Если из этой системы исключить v (x, t) или i (xt t), то получим
соответственно уравнения вида
ixx = aift + bit + ci, vxx = avtt + bvt + cv,
где a = CL, b = CR + GL, c = GR.
Для вывода граничных условий (в случае, например, конечного провода
0<:*^/) следует рассмотреть падение напряжения и приток электричества
для участков @, Ах) и (/ — Ах, I) провода, примыкающих к его концам. При
этом необходимо учесть, что если в цепи имеются последовательно
включенные сосредоточенные омическое сопротивление R0l самоиндукция L0 и емкость
С0, то падение напряжения на них дается формулой
Av= Roi + L0it+-g- \ idt.
120. Пусть ц(х) и ty(x)—соответственно начальный (при/=0)
ток и начальное напряжение тока в проводе @^ #<!/).
Пренебрегая омическим сопротивлением и утечкой, поставить краевую
задачу для определения тока и напряжения (электрических
колебаний) при (>0в этом проводе для случаев, когда:
а) к концу х = 0, начиная с момента t = 0, приложена
электродвижущая сила £"@» а конец х — 1 заземлен;
б) конец х = 0 заземлен через сосредоточенную емкость С0,
а к концу х = 19 начиная с момента £ = 0, приложена
электродвижущая сила Е (t) через сосредоточенное омическое
сопротивление /?0;
в) к концу х = 0, начиная с момента / = 0, приложена
электродвижущая сила E(t) через сосредоточенную самоиндукцию Le,
а конец х = 1 заземлен через сосредоточенную самоиндукцию Lt.
121. Пусть ф(х) и ty(x) — начальные (при / = 0) ток и
напряжение в проводе @<х^/). Поставить краевую задачу для
определения при t > 0 тока и напряжения (электрических
колебаний) в этом проводе для случаев, когда:
а) конец провода # = 0 заземлен через сосредоточенное
омическое сопротивление R0, а к концу х = 19 начиная с момента
t = о, приложена электродвижущая сила E(t) через
сосредоточенное омическое сопротивление Rt\
б) конец х = 0 заземлен через последовательно включенные
сосредоточенное омическое сопротивление R0 и самоиндукцию L0,
а к концу х = 1, начиная с момента £ = 0, приложена
электродвижущая сила E(t) через сосредоточенную самоиндукцию Lb.
20

Задачи, приводящие к уравнениям параболического типа. Начнем с задачи
об определении температуры в стержне. Направим ось стержня вдоль
координатной оси х. Будем предполагать, что в любом ортогональном оси стержня
сечении температура не зависит от положения точек этого сечения. Пусть
р = р (х) — плотность стержня, k = k(x) и x = x(v) —коэффициенты внутренней
и внешней (конвективной) теплопроводности соответственно, с = с (х) —
удельная теплоемкость, S = 5 (х) — площадь поперечного сечения, о = о(х)—
периметр поперечного сечения, q — q(x, /) —-объемная плотность источников тепла,
и — и(х, /) —температура в сечении х в момент времени /, и0 = и0 (/)-—
температура внешней среды. Для вывода дифференциального уравнения, которому
удовлетворяет функция и (ху /), выделим произвольно внутри стержня
достаточно малую его часть W, заключенную между ортогональными оси х
сечениями в точках х и х-\-Ах. В элемент W за время А/ втекает количество тепла
Q = Qi+Q2+Q3.
Qx~ приток тепла через сечения х и х + Д*, который, согласно закону Фурье,
дается формулой
Q1^[(kSux)(x + Ах, t')-(kSux)(x, t')]At==[~;(kSux)^(x\t')AxAt,
*'€(*, x+Ax)t /'£(/, /+до;
Q2—приток тепла через боковую поверхность, он пропорционален (по закону
Ньютона) разности температур:
Q2 = №(u0-u)](x, /)ДхД/, *€(*, x + Ax)t /£(/, / +Д/);
наконец, Q3 возникает вследствие действия источников тепла, причем
Q3 = (qS)(x, Г)Д*Д/, х£(х9 x + Ax)t /g(/, /+Д/).
Следовательно,
Q = {[|^ <*$«*)](**, t') + lm(u0-u)](x9 t) + (Sq)(x,'7)\&x&t.
B3)
Это количество тепла расходуется на нагревание элемента W от температуры
и (х, /) до и (х, / + А/), и поэтому его можно записать в виде
(cpS) (*") [и (**, /+At) - и (х"у /)] Ax = (cpSut) (*", Г) Ax Д/,
х"£(х, Jt + Дх), /"€(/, / + Д/). B4)
Приравнивая B3) к B4) и сокращая полученное равенство на ДхД/, в
пределе при Д*—>.0, Д/—>0 получаем дш})ференциальное уравнение для и(х, /):
(cpSut) (х, /)=gj [(kSux) (x, t)]-[HO (u-u0)] (x9 t) + (Sq) (x, /). B5)
В частности, когда ct p, k, x, o, 5 —постоянные, уравнение B5) принимает вид
ut = a2uxx — bu + f(x, /),
При решении задачи об определении температуры и (ху t) в стержне в момент
времени / > 0, наряду с дифференциальным уравнением, следует знать
начальную температуру при / = 0 стержня, а также краевые условия,
определяющие тепловой режим на концах стержня. Краевые условия можно
21

получить, если, как и при выводе дифференциального уравнения, подсчитать
баланс тепла для элементов W0 и Wt стержня, примыкающих к
соответствующим концам.
Аналогично, основываясь на законе Нернста о потоке вещества через
поверхность, ставятся задачи о диффузии (об определении концентрации
вещества) в трубке.
Предположим, что газ находится в некотором произвольном
пространственном объеме Q, заполненном пористым веществом. Пусть и=и(х, t) —
концентрация газа в точке х — (х±, х2, х3) в момент времени /, D = D (х) —
коэффициент диффузии, с = с (х) — коэффициент пористости среды, который равен
отношению объема пор к рассматриваемому объему, F — F(x, t) — объемная
плотность источников вещества, v —единичный вектор внешней нормали к
поверхности, ограничивающей Q. Для вывода уравнения диффузии выделим
произвольно внутри Q некоторый объем V с достаточно гладкой границей 5
и подсчитаем баланс вещества в этом объеме за произвольно взятый
достаточно малый промежуток времени (/, t-]-At). По закону Нернста количество
вещества, проходящего через элемент поверхности dS в направлении
нормали v к dS за единицу времени равно
dQ=-D(x)d£dS.
При выводе уравнения диффузии следует учесть, что:
1) количество вещества, поступающего в объем V через S за время At,
равно
t + At
Q'=MDa>'
t S
или, пользуясь формулой Гаусса —Остроградского
С Dd^dS^ С div (D grad u) dV,
s v
t + At
Q1= f dt ^ div (D grad u)dV;
2) от источников вещества (например, при наличии химической реакции
с выделением вещества) в объем V за время А/ поступает количество вещества
t + At
Q2= f dt \f(x, t)dVt
t V
3) вследствие приращения, получаемого функцией и(х, t) за время А/:
и (х, t + At) — и (х, t) « щ (х, t) At,
общий приток вещества в объеме V дается формулой
t + At
Q8= С dt ^cutdV>
22

Следовательно,
t + Ы
Qi+Q2+Q3-= I dt J [dw(Dgradu) + F-cut]dV=0.
t v
Отсюда, считая подынтегральное выражение непрерывной функцией и
пользуясь произвольностью объема V и промежутка времени (tt t-\- А/), следует, что
всюду в Q для любого t (t > 0) подынтегральное выражение равно нулю, т. е.
cut = div (D grad и) + F. B6)
Уравнение B6) является искомым уравнением диффузии. Если среда
однородная, то величины с и D постоянны и уравнение B6) принимает вид
ut = a*bu + f, а2=— , /= —.
i in С ' ' С
При исследовании явления диффузии, наряду с уравнением диффузии, следует
выписать начальное распределение концентрации вещества (например, при
/ = 0) и краевые условия, определяющие диффузионный режим на границе
рассматриваемого объема Q. Аналогично, основываясь на законе Фурье о
потоке тепла, выводится уравнение теплопроводности.
122. Боковая поверхность однородного стержня (Q^ix^il)
теплоизолирована, а его начальная (при / = 0) температура равна
ф(л;). Сформулировать задачу об определении температуры и
в стержне при t > 0 для случаев, когда:
а) концы стержня теплоизолированы;
б) на концах х—0 и х = 1 стержня, начиная с момента / = 0,
поддерживаются тепловые потоки q(t) и Q (t) соответственно;
в) на концах х = 0 и х = 1 стержня происходит конвективный
теплообмен по закону Ньютона со средами, примыкающими к
этим концам и имеющими температуру x(t) и Q(t)
соответственно;
г) на конце х = 1 стержня имеется сосредоточенная масса т
из того же материала, что и стержень, и этот конец
теплоизолирован, а на конце я = 0, начиная с момента £ = 0,
поддерживается температура \i(t)',
д) на обоих концах стержня имеются одинаковые
сосредоточенные массы т из того же материала, что и стержень, причем
конец х = 0 теплоизолирован, а на конце х = 1, начиная с
момента / = 0, поддерживается тепловой поток q(t).
123. В трубке длины / постоянного сечения S, однородно
заполненной пористым веществом, происходит диффузия газа
с начальной (при / = 0) концентрацией <р(л;). Поставить задачу
об определении концентрации и газа в трубке при t > 0, считая
боковую поверхность трубки газонепроницаемой, для случаев,
когда:
а) на конце х = 0, начиная с момента £ = 0, поддерживается
концентрация газа, равная \i(t), а конец х-=1 газонепроницаем;
б) на конце х = 0, начиная с момента £ = 0, поддерживается
поток газа q(t), а конец х = 1 перекрыт пористой перегородкой,
23

т. е. на этом конце происходит газообмен с внешней средой по
закону, аналогичному закону Ньютона для конвективного
теплообмена, причем концентрация газа во внешней среде
предполагается нулевой.
124. Однородный стержень @<л;</) постоянного сечения S
имеет начальную (при / = 0) температуру <р(х). На поверхности
стержня происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона
со средой, имеющей температуру v(t)f а его концы # = 0 и х = 1
зажаты в массивные клеммы с заданными теплоемкостями С и Q
соответственно и достаточно большой теплопроводностью.
Сформулировать задачу об определении температуры и при t > 0
в этом стержне для случаев, когда:
а) стержень нагревается текущим по нему постоянным
электрическим током силы /;
б) начиная с момента t = 0, в стержне действуют тепловые
источники объемной плотности F (x9 t)\
в) тепло в стержне поглощается пропорционально щ в каждой
его точке.
125. Трубка (О^.х^.1) постоянного сечения S наполнена
газом, начальная (при 2 = 0) концентрация которого <p(#).
Поверхность и торцы трубки пористые, так что через них
происходит обмен концентрацией (по закону, аналогичному закону
Ньютона для конвективного теплообмена) с внешней средой.
Концентрация газа во внешней среде равна v (t). Поставить
краевую задачу об определении концентрации газа и при / > 0
в трубке, когда:
а) частицы газа распадаются (например, неустойчивый газ),
причем скорость распада газа в каждой точке полости трубки
пропорциональна корню квадратному из его концентрации;
б) частицы газа размножаются со скоростью,
пропорциональной произведению ищ в каждой точке полости трубки.
126. Однородный шар радиуса R с центром в начале
координат нагрет до температуры Т. Поставить краевую задачу об
остывании шара для случаев, когда:
а) в каждой точке этого шара вследствие химической реакции
поглощается количество тепла, пропорциональное температуре и
в этой точке, а поверхность S шара теплоизолирована;
б) в шаре имеются тепловые источники постоянной
мощности Q, а на его поверхности S происходит конвективный
теплообмен с внешней средой нулевой температуры.
Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа. К уравнениям
эллиптического типа приводит изучение установившихся (стационарных)
процессов. Так, например, если в рассмотренных выше задачах считать, что
искомые величины не зависят от времени, то полученные для их определения
уравнения (когда число пространственных переменных больше единицы) все
являются эллиптическими.
24

127. Поставить краевую задачу об определении,
установившейся (стационарной) концентрации неустойчивого газа в
цилиндре радиуса г0 и высоты Л, если в цилиндре имеются
источники газа (вследствие химической реакции) постоянной
мощности Q, а скорость распада газа пропорциональна его
концентрации и, для случаев, когда:
а) на основаниях цилиндра г = 0 и z = h концентрация газа
поддерживается равной нулю, а боковая поверхность цилиндра
газонепроницаема;
б) основания z = 0 и z = h цилиндра пористы (через них
происходит диффузия по закону, аналогичному закону Ньютона для
конвективного теплообмена), а на боковой поверхности
поддерживается нулевая концентрация газа, при этом концентрация
рассматриваемого газа во внешней среде равна нулю.
128. Пусть и(х,у) и v(xfy)—компоненты скорости плоского
установившегося потока несжимаемой жидкости в точке (х, у)\
D—произвольная односвязная область плоскости потока,
ограниченная гладкой кривой S с нормалью v и касательной s.
Пользуясь выражениями
(и cos vx + v cos vy) dS и ^ (и cos sx + v cos sy) dS
s s
соответственно для потока жидкости через контур S и для
циркуляции жидкости вдоль S (в предположении отсутствия
источников и циркуляции), показать, что величины и и v
удовлетворяют системе уравнений
и* + 0у = О, uy—vx = 0,
а каждая из этих величин —уравнению Лапласа.
129. Показать, что потенциал скоростей cp(x, у) и функция
тока i|)(x, у), определяемые из равенств ц>х = и, q>y = v, ipx =—v,
% = и (и и v—те же, что и в задаче 128), являются решениями
системы Коши — Римана
Ф*—Ф„ = 0, % + % = 0,
а каждая из этих величин удовлетворяет уравнению Лапласа.
130. Определить физический смысл равенства if = const, где
Ф(*> У)—функция тока (см. задачи 128 и 129).
131« Пусть в состоянии изгиба мембрана находится в
равновесии, т. е. функция и, изображающая изгиб мембраны, не
зависит от времени, и поэтому в выражении A7) остается только
потенциальная энергия U. "Следовательно, если пренебречь
степенями иХУ иу выше второй, функция и(х,у) в силу принципа
Гамильтона должна минимизировать интеграл Дирихле
Dlu)^H(ul + ul)dxdy9
25

где G—область, занятая мембраной в состоянии покоя. При
сделанных предположениях:
а) показать, что прогиб и (х, у) мембраны является решением
уравнения Лапласа
иХх + иуу = °> (х> y)€G;
б) выяснить физический смысл условий задач Дирихле
u(x,y) = f(xty), {x,y)€S,
и Неймана
*%*Ч(х,У), (x,y)ZS,
где S—граница области G, v — нормаль к S, a
f{xty)—заданная на S функция.

Глава II
Уравнения эллиптического типа
§ 1. Основные свойства гармонических функций
Простейшим примером уравнений эллиптического типа является
уравнение Лапласа
Д« = 0,
п
гдеД = \,—-—оператор Лапласа.
Регулярные решения уравнения Лапласа называются гармоническими
функциями.
132. Найти выражение оператора Лапласа:
а) в криволинейных координатах
* = фE» Ч), У = ^A9 Ч)>
б) в полярных координатах
x = rcos<p9 у = r sin cp,
в) в цилиндрических координатах
x = rcosy> y = rsincp, гщг\
г) в сферических координатах
x = r sindcoscp, y = r sinftsincp, z = r cos ft,
д) в сплюснутых сфероидальных координатах
x = £T)sin(p, у = УA* —1)A— гJ), z-grjcoscp.
133. Пусть функция u = u(xlf . ..,*„) гармоническая.
Выяснить, какие из выписанных ниже функций являются
гармоническими и какие нет:
а) u(x + h)f h = (hiy ..., hn) — постоянный вектор;
б) и(Хх), %—скалярная постоянная;
в) и(Сх), С—постоянная ортогональная матрица;
ч да да 0
27

д)
ди ди
dxi дх2
ди
е> xilx7
ж)
з)
тЛ
ди
Xi~dx^'
ди
*2д*Г
, п
+ *2
~*2
-ч
ди
дх±
>2;
ди ,
дх2^
ди
дхг 9
ди
дхг '
-*,
п
п
ди
~о%
= 2;
-2;
п —
/ ди у / ди у
[dxj +\дх,)
134. Найти значение постоянной k> для которой выписанные
ниже функции являются гармоническими:
&) X±-j~ ИХ^Х^^
в) e2x*chkx2\
г) sin Зл^ ch &х2;
Д) j±p, Ns = E*t?. \х\Ф0.
В теории гармонических функций важную роль играет следующий
принцип экстремума: гармоническая в области D функция и (х), отличная от
постоянной, ни в одной точке х этой области не может достигать своего
экстремума.
135. Показать, что наряду с и(х) гармонической является
и функция v(x) =, ы-2и{ттуг) ВС1°ДУ> гДе она определена.
136. Пользуясь принципом экстремума, ответить, могут ли
пересекаться линии уровня гармонической функции в области
ее гармоничности.
137. Построить график монотонно возрастающей линии уровня
функции и{х,у) = х2—у2, проходящей через точку @,0).
138. Начертить линию уровня гармонической функции
u^sinxchy, проходящую через точку (—я/2,0) и обладающую
тем свойством, что при удалении точки (х, у) вдоль этой линии
в бесконечность функция cosxshi/ стремится к отрицательной
бесконечности.
Найти точки экстремума гармонической функции и в
замкнутой области D, если:
139. и=^ху, D — круг х2 + у2^\.
28

140. и = х* — y*t D—множество —■ + ~ <1.
141. Пусть функция w(x) непрерывна в области D вместе со
своими производными до второго порядка и удовлетворяет
условию Ддо<0 (Ддо>0). Показать, что w(x) не может иметь
отрицательный относительный минимум (положительный
относительный максимум) в D.
142. Вычислить производную ~ по внешней нормали v к
границе S области D в точках экстремума функции и,
определенной в задачах 139 и 140.
143. Пусть функция и гармонична в области D с достаточно
гладкой границей S и непрерывна вплоть до S вместе со своими
частными производными первого порядка. Показать, что в точке
x0£S9 в которой и достигает своего экстремума в D\jSt
нормальная производная ^=^0, причем, если v—внешняя нормаль,
то ~ < 0 в точке минимума и ~ > 0 в точке максимума
(принцип Заремба).
Действительная и мнимая части аналитической функции f(z) — u (x, у) -f-
-\-iv(x,y) комплексного переменного z—x + iy являются гармоническими
функциями (сопряженными гармоническими функциями). На этом факте
основывается глубокая связь между теорией гармонических функций двух
независимых переменных и теорией аналитических функций одного комплексного
переменного.
144. Показать аналитичность функции ф(з) = ^—*сГв пРеД"
положении, что функция и (х, у) гармонична.
С помощью криволинейного интегрирования восстановить
аналитическую в односвязной области D функцию / (г) по
заданной ее действительной части и(х, y)=*Ref (z), если:
145. и^х*—3ху2.
146. и = е* sin у.
147* u — sinxchy.
Найти гармоническую функцию ц, если:
148. g = 3x^-r/«.
149. ^ = ex(xcosy—ysmx) + 2z.
150. Показать справедливость формулы Гурса
f(z) = 2u(j,lr)-u@,0) + iCt z=x+iy, @, 0)€D, A)
позволяющей восстановить аналитическую в односвязной
области D функцию / (z) по заданной ее действительной части и {х, у)
29

с точностью до произвольного мнимого постоянного 1С без
интегрирования.
151. Решить задачи 145—147, пользуясь формулой ГурсаA),
и выводы сравнить с ранее полученными результатами.
152. Показать гармоничность функции
и(х) =
= E(-l)*|j|jAMxf, .... W + i^T^M*»"-»*»-^ B)
в предположениях, что т и v — произвольные бесконечно
дифференцируемые функции и ряд в правой части формулы B)
можно почленно дифференцировать нужное число раз.
153. Показать, что все регулярные решения уравнения
эллиптического типа "
п
с действительными постоянными коэффициентами aki k= 1, ..., п,
одинакового знака могут быть представлены в виде
u{Xi Kn)=v{vW\ уш)'
где v(xit ...,xn)—произвольная гармоническая функция.
154. Показать, что формула
и(ху y) = eKx+[kyv(xi у),
где v(x9 у)—произвольная гармоническая функция, дает общее
решение уравнения эллиптического типа
"хх + Uyy — Ы"х — 2|Шу + {№ + |Aa) U = О
с постоянными коэффициентами X, jx.
155. Непосредственной проверкой убедиться в том, что
функция двух точек Е(х,у), х=^(х19 ♦.., хп), y = (yi9 ..., уп)9 вида
п 2 C)
— \og\x-y\, п = 2,
где \х—у\ — расстояние между точками х, уу удовлетворяет
уравнению Лапласа как по х, так и по у при хфу.
Определенная формулой C) функция Е (х, у) называется элементарным
или фундаментальным решением уравнения Лапласа.
156. Показать, что все отличные от постоянной решения
уравнения Лапласа, зависящие только от расстояния \х—у\,
имеют вид СЕ(х>у), где С—произвольная постоянная, а
Е(х9у)—элементарное решение этого уравнения.
30

Элементарное решение
Е(М' Мо)= У(х-х^ + (у-у^ + (г-г^
уравнения Лапласа имеет простой физический смысл. А именно,
сосредоточенный в точке М0 (*0, у0, z0) электрический заряд |д, создает поле,-
потенциал которого и(х, у, z) — u(M) в каждой, отличной от М0 точке М (х, у, г)
определяется формулой
u(M) = iiE(M, М0).
157. Пусть в точках М' (х', у', z'), М" {х\у\ z"),
расположенных на прямой с направляющим вектором v симметрично
относительно третьей точки М0(х0У у0> z0) на этой прямой,
сосредоточены заряды—\i0 и ц,0 соответственно, такие, что при
\М' — М"\-+0
liQ\M'-M"\ = ti(M0).
Потенциал поля, созданного этими зарядами в точке М(х, у, z),
отличной от М0, М\ М", имеет вид
Ио Ио
\М'—М\ \М* — М\ •
Предельное расположение зарядов — |х0, ц0 при \М'—М"\—►О
называется диполем, а величины \i и v—его моментом и осью
соответственно. Вычислить потенциал диполя в точке М(х, у, z).
158. В точке М(х, у, z)} отличной от Mk(xk, yk, zk), & = 1, ...
..., m, выписать потенциал зарядов цл, сосредоточенных в
точках Mk(xk,ykyzk).
159. Плотность зарядов, расположенных на сфере
(l-x)* + D-yy + (Z-zy = R\
постоянна и равна С. Вычислить потенциал поля, созданного
этими зарядами в центре М (х, уу z) сферы.
160. Написать формулу для потенциала зарядов,
расположенных на пространственной кривой L с непрерывной
плотностью ц(£, т), £), где
6 = 6@. 4 = 4@. 5 = S@. U<t<h.
— параметрические уравнения кривой L.
§ 2. Краевые задачи Дирихле и Неймана
для гармонических функций
Под функцией класса Cm(D[)S), где D —область пространства Еп с
границей S, понимается однозначная функция, непрерывная в D\JS вместе с ее
частными производными порядка т. При т — 0 получается класс
непрерывных в D\JS функций.
В теории гармонических функций центральное место занимают краевые
задачи Дирихле и Неймана или, как еще принято говорить, первая и вторая
краевые задачи соответственно.
31

Задача Дирихле: найти гармоническую в области D функцию и(х)
класса С0 (D\JS), удовлетворяющую краевому условию
и(*) = «р(*), x£S, D)
где у(х)—заданная на S непрерывная функция.
В предположении гладкости границы 5 области D ставится
Задача Неймана: определить гармоническую в области D функцию
класса Cx(D[jS) no краевому условию
^=<Р<*), x£S, E)
где V — внешняя нормаль к 5, а у (х) —заданная на S непрерывная функция.
Наряду с задачами Дирихле и Неймана в приложениях важное значение
имеют смешанные краевые задачи, в которых на одной части границы 5
задаются значения искомой в области D гармонической функции, а на другой —
значения ее нормальной производной.
В теории краевых задач важную роль играет функция Грина. Функцией
Грина задачи Дирихле для гармонических функций называется функция G (х, у)
двух точек х, у, обладающая свойствами:
1) она имеет вид
G(x, y)=E(x, y)+g(x, у),
где Е(х, ^ — определенное по формуле C) элементарное решение уравнения
Лапласа, a g(x, у) — гармоническая функция как по x£D, так и по y£D;
2) G(xt г/) = 0, когда по крайней мере одна из точек х, у лежит на S.
Будем предполагать вначале, что D —ограниченная область с гладкой
границей S.
161. Для гармонических в области D функций и(х) и v (х)
класса С1 (D и S) вывести тождество
!H^f-«to>^fH-o. F)
где vy—внешняя к S нормаль в точке t/(£S, a dSy—элемент
площади S по переменной у.
162. Для гармонической в области D функции и (х) класса
C^DuS) показать справедливость, интегрального представления
•w-£J[*c»>t£-«w^H G)
где ып—площадь единичной сферы в Еп$
2 —
а Г—гамма-функция Эйлера.
32

163. Доказать симметричность функции Грина G(x, у), т. е.
что
G(x, y) = G(y, х).
164. Доказать, что для любой гармонической в области D
функции и(х) класса Cx(D[jS) имеет место равенство
JfcrfS-ft
s
где V—нормаль к S.
165. Пусть шар \у—x\^R лежит в области гармоничности
функции и(х). Покагзать справедливость формул, выражающих
теорему о среднем:
а) Ц(*)= <*„&-% J. u(y)dsy Для сферы \y—x\^R;
б) и М = 1^ I и М dxv для шара - Iу—х I < *'
166. Из формулы, выражающей теорему-о среднем, вывести
принцип экстремума для гармонических функций.
167. Пользуясь принципом экстремума, установить свойство
единственности решения задачи Дирихле для гармонических
функций с краевым условием D).
168. Показать, что при наличии функции Грина G (х9 у)
решение и (х) задачи Дирихле с краевым условием D) в классе
C^DuS) можно выписать в квадратурах:
«М"±И^*'«>^- • (8)
169. Проверить, что выражение
G(x,y) = E(x,y)-E(\x\y,j^
представляет собой функцию Грина задачи Дирихле в шаре
М<1.
170. Пользуясь функцией Грина, вывести формулу Пуассона
!ф)=гЛi f ;~и1 q>(y)dsyt
' [®п] J \У — Х\п т Vi;/ У*
\у\ = 1
дающую решение задачи Дирихле с краевым условием D) для
гармонических функций в шаре \х\ < L
171. Построить решение задачи Дирихле с краевым
условием D) для шара \х—x0\<R.
172. Вывести из формулы Пуассона формулу, выражающую
теорему о среднем для сферы.
2 А. В. Бицадзе, Д. Ф. Калиниченко 33

173, Показать справедливость тождества
2л
*»*-'•
2я J \у—х\
О •
где x=(^lfxa)—точка круга |я|<1, a t/ = (cosг^>, sin'ф)—точка
на окружности |«/|=1.
174. Непосредственной проверкой убедиться в гармоничности
представленной в шаре | х | < 1 формулой Пуассона функции
и(х) и показать, что
lim u(x) = q> {х0).
х-+х0
U0I=1
175. Показать, что для неотрицательной гармонической в
шаре | х | < R функции и (х) верны оценки
176. Может ли сохранять знак гармоническая в Еп функция,
отличная от постоянной?
177. Может ли ограниченная сверху^ гармоническая в Еп
функция отличаться от постоянной?
178. Показать, что если для непрерывной в области D
функции в окрестности каждой точки области D имеет место теоре-.
ма о среднем, то эта функция гармоническая в D.
179. Показать, что если для функции и(х) класса С^ф)
интеграл от нормальной производной -^-, взятый по любой
сфере, лежащей в D, равен нулю, то эта функция является
гармонической в D.
180. В круге х2+у2< 1 найти решение и (х, у) задачи
Дирихле для гармонических функций, если на окружности х2 + у2 = 1
u~s'm2<p, 0^ср^2я.
181. В круге D: х2 + у2 + 2х<0 решить задачу Дирихле:
Ли (х9 у) = 0, (х, у) € D,
и (х, у) = 4х3 + 6х— 1, (л:, у) g dD.
Задача Дирихле ставится не только в ограниченной области. При
постановке этой задачи для бесконечной области от искомой гармонической
функции требуется, чтобы она при \х\—► оо была ограниченной, когда л = 2, и
1
стремилась к нулю не медленнее чем -—^rj"» когда п > 2.
Ix I
182. Показать справедливость формулы G) (см. задачу 162)
для гармонической функции и (х) в полупространстве хп > 0.
183. Проверить, что выражение
G(x, y) = E(x, у) — E{xt у'),
34

где х = (xif ..., хп), y = (ylt ..., уп), а у'— точка Еп$
симметричная точке у относительно плоскости уп = 0, удовлетворяет всем
требованиям из определения функции Грина, и вывести из
формулы (8) формулу Пуассона
и(х)
Г (у)*"'*. [ гп-\(У1 y"in/2 dyi ... dyn_t,
4 ' J VI /.. ..4¾ . ..2
*/J+*л
дающую решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа с
краевым условием D) в полупространстве хп > 0.
184. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа с
краевым условием D) в полупространстве хп < 0.
185. Найти гармоническую в полуплоскости у > 0 функцию
и(х, у), если известно, что
X
186. В полупространстве г < 0 найти гармоническую
функцию и (х, у у г) по краевому условию
и (х, у у 0) = -тгто- .
v u ' A+*2 + #2K/
Пусть D+-—ограниченная область с границей S, a D- — дополнение
£>+US Д° всего пространства Еп.
Задачи Дирихле в областях D+ и D" принято называть соответственно
внутренней и внешней задачами.
187. Показать, что при помощи инверсии
х
1 =
1*1
внешнюю задачу Дирихле можно редуцировать к внутренней
задаче.
188. Построить решение задачи Дирихле для внешности
круга #2 + у2<11 по краевому условию
и(х,у) = ц{х, У)> х2 + у2=\.
189. Найти условие, необходимое для существования
решения задачи Неймана с краевым условием E).
190. Доказать единственность решения внутренней задачи
Неймана с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
191. Показать, что функция
и{х,у)=-^ \ogV\l-xy + {v\-yYg{l, v\)dS + C
s
является решением задачи Неймана в круге x2 + y2<R2 с
2* 35

краевым условием
^%£ = g(x.y). #+P = R\
если функция g удовлетворяет условию
S
192* Пользуясь формулой Гурса A), вывести из формулы
Пуассона
О
£ = coscp, r] = sin(p,
формулу Шварца
1*1=1
193. Найти гармоническую в полукруге |г|< 1, lmz>0
функцию u(x,y)t непрерывную в замкнутом л олу круге с
непрерывными вплоть до диаметра —1^*^11, у = 0 первыми
производными по краевым условиям
и(х,У) = Ч(х,У)> *2 + */2=1, У>0,
*i&jL\ =0, -1<х<1.
194. Найти гармоническую в полукруге |z|<l, 1тг>0
функцию и(х,у), удовлетворяющую краевым условиям:
и(х9у) = 0, |z|=l, 1тг>0,
и(х, о) = ф (х), —1 <;#<;i.
195* Показать, что формула
и(х,у) =
ы
~Jt J ( l--2rcos@—ф) + г2 J — 2r cos (fl + q>) + r2 J A — f^ ^ ^ d*'
0
r2 = x2 + */a, x=rcosq), */ = rsin(p, . £ = cos$, rj = sin$,
дает гармоническую в полукруге | г | < 1, Im г > 0 функцию,
удовлетворяющую краевым условиям
u(x9y) = f(b); 0<£<я,
ц(л:,0) = 0, — 1<х<1,
где /—заданная непрерывная функция, причем
/@) = иA;0) = /(я)==а@, -1)-0.
36

§ 3. Потенциалы
Объемным потенциалом масс, распределенных по области D
пространства Еп с плотностью \х, называется функция
м(*)=^£(х, y)\i(y)dxyf (9)
D
где Е (х, #)—элементарное решение уравнения Лапласа, a dxy—элемент
объема по переменному у. Он является гармонической функцией вне замкнутой
области D U 5, где S — dD. В случае непрерывности и ограниченности функции \i
в D потенциал объемных масс непрерывен вместе со своими производными
первого порядка во всем пространстве Еп. Если же \i имеет частные
производные первого порядка, непрерывные и ограниченные в D, то потенциал
объемных масс имеет также вторые производные в D, причем
Аи = —(йп\х(х), x£D, A0)
где (оп—площадь единичной сферы в Еп.
196. Выяснить поведение потенциала объемных масс при
\х\ —>оо.
197. Считая область D ограниченной, указать условие,
достаточное для того, чтобы при п — 2 потенциал объемных масс
стремился к нулю, когда |#|—>оо.
198. Показать, что выражение
П D
где G(x, у)—функция Грина задачи Дирихле в области D,
является решением уравнения Пуассона
Да = /(*), x£D, A1)
и удовлетворяет краевому условию
lim и (х) = 0, х0 € S.
х-+х0
199. Предполагая, что задача Дирихле с краевым условием
\imv{x) = q>{x0)y x0£S,
х-*х0
для гармонических функций имеет решение, на основании ре-'
зультата задачи 198 доказать существование решения и (х)
уравнения Пуассона A1), удовлетворяющего неоднородному краевому
условию
lim и(х) = Ц) (х0), x0£S. A2)
х-+х0
200. Обладает ли свойством единственности решение задачи
A1), A2)?
37

201. Показать справедливость равенств
a
— cd„/2, y€<r,
0, y£C(d()o)t
где E(x,y)—элементарное решение уравнения Лапласа,
d—произвольная ограниченная область пространства Еп с гладкой
границей а, а С (d U о)—дополнение d[]o до всего пространства £„.
202. Для потенциала и(х) объемных масс, распределенных
по области DaEn с плотностью [л(х)9 доказать справедливость
формулы Гаусса
где d—любая ограниченная область пространства Еп с гладкой
границей а.
203. Может ли гармоническая в области D функция быть
потенциалом объемных масс, распределенных по области D с
ненулевой плотностью?
204. Найти плотность \i масс, распределенных по области D,
если известно, что объемный потенциал этих масс в D
U = (X2 + y2 + Z2J—l.
205. В условиях задачи 204 найти массу М, заполняющую
объем шара x2 + y2 + z2 < г2, лежащего в области D.
206. Найти частное решение уравнения Пуассона Да =
= П 2 akxk ) у гДе ak> ft = 1» • • •» л,—действительные постоян-
п
ные, 2 4 = ^=^0.
207. Потенциал объемных масс, распределенных по области D,
определяется функцией
и{х,у) = х2у2.
Найти массу М, заполняющую квадрат — 1^д:^1, —l^y^l,
лежащий внутри D.
208. Показать, что потенциал и(х,у) масс, распределенных
по кругу х2 + у2< 1 с плотностью [л=1, дается формулой
( — Jtlogr, г>1,
"(^) = { f(l-r*), г<1.
где г2 = л;2 + //2.
209. Показать, что функция
4я/3г, г>1,
tt(*,0,*)=i 0^t l
38
2яA—~г2), г<1,

где r2 = x2 + y2 + z2y является потенциалом объемных масс,
распределенных по шару г2 < 1 с плотностью |ы=1.
210. Потенциал и(х,у) масс, распределенных по кругу г2 =
= х2 + #2< 1, внутри этого круга дается формулой
и(х>У) = ^C-г*).
Найти плотность масс р, и значение потенциала и (х, у) вне
замкнутого круга г2^ 1.
211. Потенциал и(х,у) масс, распределенных по кругу /*2=
=#2+#2< 1, внутри круга дается формулой
и(х,у) = %{\-г*).
Найти массу М в круговом кольце
С ди (х)
212. Вычислить интеграл /== \ -r-^dsx, где и{х)—по-
тенциал масс, распределенных по квадрату — 1 ^х^ 1, — 1 ^у^ 1,
с плотностью \i=^xy.
Пусть S —гладкая или кусочно гладкая поверхность (п — 1-мерное гладкое
многообразие) в пространстве ЕПУ a fx—заданная на ней непрерывная функция.
Выражения
S
и
u(x) = -±-[ii(y)E(xyy)dSy, A4)
где £ (х, у) — элементарное решение уравнения Лапласа, vy—внешняя
нормаль к S в точке у, a o)„ — площадь единичной сферы в Еп, называются
соответственно потенциалом двойного слоя и потенциалом простого слоя масс,
распределенных на S с плотностью \х.
В каждой точке х пространства Ет не лежащей на S, потенциалы
двойного и простого слоя представляют собой гармонические функции.
Выражения A3) и A4) имеют смысл, когда точка х лежит на поверхности S, и
представляют собой непрерывные функции.
Пусть S — замкнутая достаточно гладкая п — 1-мерная поверхность
(кривая с непрерывной кривизной при я — 2), aD+ и D~ — соответственно конечная
и бесконечная области, ограниченные ею.
Потенциал двойного слоя A3) обладает следующими двумя-важными
свойствами: 1) при переходе точки х из области D+ в область D" он претерпевает
39

разрыв так, что в обозначениях
S
и+(х0)= lim и(х), и~ (х0)= lim u(x), x0£S,
X —► Xq X —>■ Xq
xeD+ xeD-
имеют место равенства
«" (*о) = -тг I* (*о) + « (*о)". A6)
2) при х—*x0£.S существуют пределы
lim д4^1 и lim a"W
*-**о vvx х-+х0
xeD+ xeD-
обозначаемые соответственно
(ди{
dvXo
}хъ ) V ^Хо ;
причем
(ди(х0)у^(ди(х0)\-
\ dvXo J V dvXo J
в каждой точке x0£S.
Что же касается потенциала простого слоя A4), то: 1) он остается
непрерывным при переходе точки х из области D+ в область D" и 2) существуют
пределы -
(ди(х0)\ + ^ Пт ди(х) /дц(х0)\-^ Ит ди(х)
\ dvXo J x-+xQ dvx ' \ dvXo J x-+x0 dvx
xeD+ xeD~
так, что
fdu(x0)\ + _ 1 . ди (х0) ,
/da(*0)\-_ 1 дц(*о)
Здесь через я ° обозначена нормальная производная потенциала простого
слоя A4) при х = х0£S. Это выражение имеет вполне определенный смысл.
213. Выяснить поведение потенциалов двойного и простого
слоя при |л;| —*оо.
214. Указать достаточное условие для того, чтобы при я=2
потенциал простого слоя стремился к нулю, когда \х\—>-со.
215. Составить интегральные уравнения Фредгольма второго
рода, к которым сводятся задачи Дирихле и Неймана (как
внутренние, так и внешние) для гармонических функций.
40

216. Для гармонических в полуплоскости у>0 функций
и {х, у) найти решение задачи Неймана с краевым условием
л" =ФD — оо<а:<оо,
редуцируя ее к задаче Дирихле в этой же полуплоскости для
сопряженных к и(х,у) гармонических функций.
217. Вычислить потенциал простого слоя и(х, у) масс,
распределенных по окружности x2 + y2 = R2 с плотностью |л = 1.
218. Найти потенциал простого слоя и(х,у, г) масс,
распределенных по сфере х2 + у2 + z2 = 1 с плотностью jjl = 1. '
219. Найти потенциал двойного слоя и(х,у) масс,
распределенных по окружности х2 + у2=\ с плотностью №=х.
220. Найти гармоническую вне замкнутого круга х2 + у2^1
функцию и (х, у) по краевому условию
и(х9 у) = cos2 ф — sin2 ф — 1, 0<<р < 2я.
221. Найти решение задачи Дирихле для гармонических
функций вне шара x2 + y2 + z2^Ll по краевому условию
и(х,у9 z) = x2—y2—l, x2 + y2 + z2=l.
222. Найти решение задачи Дирихле для гармонических
функций в области х2 + у2 + z2 > 1 по краевому условию
и(х, У, г) = г, x2 + y2 + z2=L
223. Функция
и(х,у) = — £9 г2 = х2 + у2,
является внешним потенциалом простого слоя масс,
распределенных по окружности г2=1. Найти значение этого потенциала
в круге г2 < 1.
224. Найти потенциал двойного слоя масс, распределенных по
окружности х2 + у2=1 с плотностью |л— 1.
225. Потенциал простого слоя масс, распределенных по
окружности х2 + у2=1, вне замкнутого круга х2 + у2^.1 дается
формулой
и(*.0 = £A+-7г), г2 = х2 + у2.
Найти плотность масс (х.
§ 4. Некоторые другие классы эллиптических уравнений
Среди классов эллиптических уравнений в приложениях важное значение
имеет уравнение Гельмгольца
Аи + Хи = 0, A7)
где А —оператор Лапласа, а Я—-действительная постоянная, и бигармоническое
уравнение
ДДы = 0, A8)
41

226. Непосредственной проверкой убедиться, что относительно
переменных х, у выражение
и (х9 у) = J0 (\i V (г—t)z),
00
где J0{r) = 2^ (П\J (") —функция Бесселя нулевого порядка,
|л2 = Я,, z = x + iy, t = % + ii\9 удовлетворяет уравнению A7).
227. Пользуясь результатом задачи 226, показать, что
формула
2
u(x,y) = ReljQ(\iV(z-t)z)f(t)dt,
о
где f—произвольная аналитическая функция комплексного
переменного t, а |Л2 = А,, дает регулярные решения уравнения A7).
228. Для уравнения A7) доказать справедливость принципа
экстремума: при К < О регулярное в области D решение
уравнения A7) ни в одной внутренней точке области D не может
достигать ни положительного максимума, ни отрицательного
минимума.
229. Обладает ли свойством единственности решение задачи
Дирихле A7), D) в ограниченной области при X < О?
230. Показать, что функция
— QO
где [i2 = —h, r2 = (x—lJ + (y—г)J, является решением
уравнения A7) при п = 2, гфО.
231. Пользуясь записью оператора Лапласа в сферических
координатах, доказать, что при п = 3 одно из зависящих только
от расстояния г = \х—у\ решений уравнения A7), когда Я, = — \i29
имеет вид
*(')="• A9)
232. Полагая в уравнении A7) % = — [i2, для регулярны?
в области DcE3 решений u^C1(D[}S) этого уравнения
доказать справедливость тождества
s
где Е (х9 у) = Е (г) дается формулой A9).
233. Записывая уравнение A8) при п==2 в виде
дгЧг*
показать, что все решения этого уравнения в односвязной области
42

могут быть представлены в виде
u = Re\z<p(z)+y(*)]>
где ф и г|)—произвольные аналитические функции комплексного
переменного z = x1 + ix2.
234. Показать, что функция
£(r) = r2logr, r = \x—y\,
при г Ф 0 удовлетворяет уравнению A8) при п = 2.
235. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функция
u{x) = v0{x) + \x\2v1 {х)9
п
где iv и vi — гармонические функции, а |х|2 = 2 ХЬ удовлетво-
ряет уравнению A8).
236. Непосредственной проверкой убедиться в том, что
функции вида
т
и(х)=^ ик{х),
к— I
где ик{х\ — решения уравнения Auk—%kuk=^0f k=\9 ...,/я, а
т
%k—нули полинома ^о>^т~к> являются решениями эллиптиче-
ского уравнения порядка 2т с постоянными коэффициентами
т
% akAm~ku = 0.
k = 0
237. Показать, что функции вида
и (х, у) = Re [ф (г±) + -ф (z2)],
где ф и я|)—аналитические функции комплексных переменных
гг = х—V-(l+0#> z2 = xJr^r~(\ + 0У> являются решениями
эллиптического уравнения
238. Показать, что при Ь2—ас < 0 все регулярные решения
уравнения эллиптического типа с постоянными коэффициентами
аихх + 2Ьиху + сиуу = 0
могут быть получены из формулы
u(x9y) = Ref[x~(b + iVac=F*)y\,
где f(t)—произвольная аналитическая функция комплексного
переменного t = х—~ (b + i V сю— Ь2) у.
43

239. Пользуясь формулой Пуассона для круга, написать
решение и(х,у) задачи Дирихле внутри эллипса ^т + Т2-< 1 Для
уравнения эллиптического типа
а2ихх + №иуу = О, a = const, b = const,
с краевым условием D).
240. Показать, что при постоянном а общее решение системы
aux—vy = 0, avx + uy = 0
имеет вид
u(x,y) + iv(xty) = f(z),
где f(z)—произвольная аналитическая функция комплексного
переменного z = x + aiy.
241. Доказать, что задача Коши для системы из 240 с данными
на любой дуге S не может иметь более одного решения.
242. Может ли задача Коши
а*ихх + Ь*иуу = 09 и (xf 0)-0, и- (x, 0) = 0,
0<а:<8, 8 = const,
иметь отличное от нуля решение?
243. Показать, что все регулярные решения эллиптической
системы
Uxx — Uyy — ZVxy = 0. Vxx — Vyy + 2uxy = 0
в односвязной области могут быть получены из формулы
и (х, у) + iv (х, у) = 5ф (г) + ф (г), * B0)
где ф и \|э—произвольные аналитические функции комплексного
переменного z = x+iy.
244. Пользуясь общим представлением B0) решений
рассмотренной в задаче 243 эллиптической системы, показать, что для
этой системы в круге \г\ < 1 однородная задача Дирихле с
краевыми условиями
и @ = 0, v(t) = 0, |*|:=1,
имеет бесконечное множество решений
и {х, у) + iv (х, у) = A — zz) -ф (г),
где г|)(г)—произвольная аналитическая в круге \z\ < 1 функция,
а неоднородная задача Дирихле с краевыми условиями
u(x) = f1(t)9 0@ = /,@, |*| = U
вообще не разрешима.
44

245. Проверить эллиптичность системы
Uxx—uyy + V2vxy=09 vxx—vyy—V2uxy = 0
и показать, что для нее однородная задача Дирихле с краевыми
условиями
и(х,у)=--0, v(xfy) = 0, x2 + */2=l,
в круге х2 + у2< 1 имеет нетривиальные решения
и
ш
(*, y) + iv<k)(x, y)^[(liZ + zJ—4ii2]k—(iiz—zJk,
z = x + iy9 \i
k=l, 2,
246. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функция
л = 0
+E(-i)"
п=0
1 z2n+x
c^+iBn+l)!
а дх^° ду2) V\\a\ ' \Ъ\}*
1^де т и v—произвольные полиномы, удовлетворяет уравнению
эллиптического типа с постоянными коэффициентами
. a2uxx + b2uyy + c2u2z = 0.
247. Проверить эллиптичность системы
д д д
д_
дх
д_
ду
д_
dz
дх
0
д
dz
д
ду
. ду
д
dz
0
д
dx
dz
d
ду
d
dx
0
(и, vt w, ф) = 0
и показать, что каждая компонента ее решения (и, v, w, cp)
является гармонической функцией переменных х9 у, z.
Напомним, что если А =|| А /у || — квадратная матрица порядка л, а # =
= (*i, .. .,½)-—вектор, то под Ах —у понимается вектор у (линейное
преобразование) с -компонентами
л
*//= 2 Aik*k* ' = 1» •••»«*
45

Глава III
Уравнения гиперболического типа
§ 1. Волновое уравнение
Ниже будем предполагать, что в пространстве Еп+1 точек (х, t) символ
X обозначает совокупность пространственных переменных хъ ..., xn, a t —
время.
Как уже было отмечено в § 4 гл. I, колебательные процессы в
определенных предположениях описываются уравнением
п
Sv/~^=0' (I)
*=i 11
Поэтому решение этого уравнения принято называть волной, а само
уравнение A)—волновым.
Поскольку соответствующая уравнению A) характеристическая форма Q (Я)
имеет вид
п
i= 1
оно является уравнением гиперболического типа.
Характеристической поверхностью уравнения A) называется n-мерное
многообразие в Еп+1
ф(*, 0 = 0,
на котором квадратичная форма
п
Q(grad(p)=2 <p».-q>5 = 0.
* = 1 '
Одной из самых важных задач в теории распространения волн является
задача Кош и. В настоящем параграфе эта задача будет рассмотрена в
следующей постановке: требуется найти решение u(xt t) уравнения A),
удовлетворяющее начальным условиям
и (*, 0) = ф (*), щ (х, 0) = ф (*), B)
где ф и ty—заданные функции переменных хх хп.
248. Выписать все характеристические кривые уравнения
колебаний струны
и**—и« = 0. C)
46

249. Определить характеристические поверхности второго
порядка для уравнения колебаний мембраны
и*Л + и*Л—и« = 0. D)
250. Найти все характеристические плоскости уравнения
распространения звука
и*Л + и*Л + иХгХ—ип = 0. E)
251. Показать, что выражение
и(х19 х29 х39 t) = tM(ii)f
где
Af (|г)= J 11(^1 + /^1, xa + ^i, x3 + ty3)dSyf
a (i(xt, #2> хз)—заданная в пространстве £3 переменных х19 х29 х3
функция с непрерывными частными производными второго
порядка, является решением уравнения E).
252. Показать, что формула Кирхгофа
и(х19 х29 х39 04Ш^+¥¥[Ш№ F)
где ф и г|)—заданные в пространстве Е3 действительные функции,
имеющие непрерывные частные производные третьего и второго
порядка соответственно, а М(\х) определена в задаче 251, дает
решение задачи Коши с начальными условиями B).
253. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функция
х^ Г t2k t2k+1 I
«W= Ъ \ЩТ А*Т(Xi> •'•» Xn)+Bk + l)\ A*v(*i» -чХп)]* G)
где Л — оператор Лапласа по переменным xl9 ..., xn, а т и v —
бесконечно дифференцируемые функции, является решением
уравнения A), удовлетворяющим начальным условиям
и(х9 0) = т(я), щ(х9 Q) = v(x),
предполагая, что ряд в правой части формулы G), а также ряды,
полученные из него почленным дифференцированием дважды по
х19 ..., хю t9 равномерно сходятся.
254. Вывести из формулы F) принцип Гюйгенса:
соответствующая задаче Коши E), B) волна в точке (х19 х29 х39 t)
пространства £4 вполне определяется значениями ф, -^- и я|) на сфере
(Zi~*iJ + (z2-*2J + (z3—x3f - *2
радиуса \t\ с центром в точке (xJy х29 х3).
255. В предположении, что ф и г|э зависят только от двух
пространственных переменных хг, х29 вывести из формулы Кирхгофа F)
47

формулу Пуассона
u(xlf xt9 t)
d
~ 2n dt
VT2
-1-
d
У(У1
-(Ух
i
yw^-
.. y2)dyxdy2 .
-*l)a-(ft-*lJ
у{Уъ V*>dytdy%
(У1-ХгГ-(у2-х2Г
(8)
где rf—круг (&—^ +(&—*,)■< f1.
256. Показать, что формула Пуассона (8) дает решение задачи
Коши D), B).
257. Имеет ли место принцип Гюйгенса для решений задачи
Кбши D), B)?
258. Предполагая, что ф и i|) зависят только от одного
пространственного переменного х = х19 вывести из формулы Пуассона
(8) формулу Даламбера
x+t
u(x,t)=±[<p(x+t)+<p(x-t)+^(T)dx], (9)
X—t
дающую решение задачи Коши с условиями B) для уравнения C).
259. Записывая уравнение колебаний^ струны C) в
характеристических переменных £ = x + t, г] = л;—tt показать, что общее
решение этого уравнения имеет вид
и(х, t) = f{x+t) + <f{x—t), A0)
где f и ф—произвольные дважды непрерывно дифференцируемые
функции.
Найти общее решение для каждого из следующих уравнений:
260. 2uxx—5uxy + 3uyy = 0.
261. 2uxx + 6uxy + 4uyy + ux + uy = 0.
262. Зихх—10иху + 3иуу—2их + 4иу+-—и = 0.
263. 3^+10^ + 3^ + ^ + ^ + -^-16^ ** = 0.
264. иуу—2иху + 2их—иу = 4ех.
,265. ихх—Ьиху + &иуу + их—2иу+ Ае х+* У = 0.
266. ихх—2cos#иху~-C+sin2x) uyy+ux+(s'mx—cos x—2)иу~ 0.
267. е-*хихх—е-*Уиуу—е-*хих + е-'Уиу + 8еУ = 0.
268. иху + уиу—u = 0.
269. uxy + xux—u + cosy=0.
270. chxuxy + (shx + ychx)uy—chx« = 0.
271. ^(ux + u) + 2*y(ux+u) = 0.
272. ~(ux + u)+x(ux + u)+x*y = 0.
4*

Решить следующие задачи Коши:
273. 4y^uxx + 2(l-y^)uxy-uyy-1^Bux-uy)^0t
и (х9 У) |^=о = ф {х)9 иу (х, у) \у=0 = 'Ф (х). :
274. ихх—2иху + 4еУ = 0,
* и(х, J/)|*=o =ф(#), их(х, у)|*=0 =^(у).
275. ихх + 2cos л: иху—sin2 л: Иуу—sin х и„ = О,
w(x, y)\y=*mx = x + Q.osx, иу(х9 y)\y=sinx = s'mx.
276. За**—4иху + иуу—3их + иу = 0,
и (*, У) |у«о = Ф (х), иу (х, у) |„в0 = *ф (*).
277. eyUty—tiyy + Uy^O,
и(х, у)\у=о =— *2/2, uy(*f у)|ухв0 =—sinx.
278. и**—2sin л: н^у—C + cos2 л:) uyy—cosx иу = О,
и(*> 0)l*=cos* = sin*, иу(я, y)|y=cos^ = ^/2.
279. ихл—2sinxwxl/—C+cos2x)a^+a^+B—sinx—cosa:)^=0,.
W(*, */)[j/=cos*=0, My(X, ^/)||/=cosa:=^~^2COSA:.
280. и** + 2sin л: u^—cos2 x uyy + ux + (sin jc + cos x +1) uy = 0,
u (*> У) l</=-cosx = 1 + 2sinx, uy (x, y) l^-cos x = sinx.
281. Найти область зависимости задачи A), B) при л=1,
/г = 2, д = 3.
282. Доказать, что для каждого решения и (х, t) уравнения C)
имеет место формула среднего значения
и(*1, tx) + u(x39 t3)=-u(x2> t2) + u(xi9 tA),
где (xi9 tt)9 (x29 t2), (x39 t3), (x4, tt) — последовательные вершины
характеристического прямоугольника, т. е. прямоугольника,
ограниченного характеристическими прямыми уравнения C).
283. Построить решение v(x19 х29 х39 t9 т) уравнения E) по
начальным условиям
V (Х19 Х2У Х39 Т, Т) = U, -дт- ==z S \Х1* ^2» -^3 Д)«
284. Пусть y(jclt х2, л:3, /, т) —решение задачи 283. Показать,
t
что функция и(х19 x2, x3~t) = )v(x19 х29 х39 t, x)dx является ре-
o
шением неоднородного уравнения
uxlxl + их2х2 + их3х3— uttz==z—8(xi> х2> хз> 0»
удовлетворяющим однородным начальным условиям
и(*и *2> ха, 0) = 0, щ(х19 х29 x39 0) = 0.
285. Функцию и (х19 х2У x3, t) из задачи 284 представить в виде
u(xi9x29x39t)=± J •*ЬьУ*'У»*-')(ьу9 г = \у-х\9
и объяснить, почему она называется запаздывающим потенциалом.
49

286. Найти решение уравнения D), удовлетворяющее
начальным условиям
И \Х^9 Л2, Uj = X^X^y Z ;== ХуЛ2 ОХ±,
287. Построить решение неоднородного уравнения
и**—"« = £(*. О
с неоднородными условиями вида B).
288. Показать, что если и (х, £) —решение уравнения C), то
решением этого уравнения является и функция
v(x, 0="(-^г7т, ^тг)
всюду, где она определена.
289. Пользуясь формулой Даламбера для решения и (л;, t)
задачи Коши
utt = a2uXXJ —oo<x< + oo, t>0,
и(х, 0) = ц(х)у ut(x, 0) = ф(л:), —оо<л:<оо,
проверить, что в случае нечетности обеих функций ф(х) и ty(x)
и(х, 0U-0 = 0, а в случае их четности их(х, 01х=о = 0.
290. Убедиться в том, что если в задаче Коши
utt = a2uxx + f(x,t), — оо<х<оо, *>0,
и (х> 0) = щ (х, 0) = 0, —оо < х < оо,
функция f (ху t) относительно х нечетная, то и (х, t) |х=0 = 0, а
если она четная, то их(х> 0|*=о = 0.
Пользуясь утверждениями задач 289 и 290, подходящим
образом продолжить данные на всю прямую —оо < х < оо и
решить следующие задачи на полупрямой:
291. utt = а2иХХ) x>0, t>0,
и @,0 = 0, *>0, и(х, 0) = ф(л;), щ(х,0)-=$(х),
х>0.
292. ип = а2ихх, х > 0, t > 0,
их @, 0 = 0, t > 0, а (*, 0) = ф (х), щ (х, 0) = ф (*),
х>0.
, 293. utt = a2uxx + f(x, 0, *>0, />0,
w @,0 = 0, t>0, u{xy 0)- wt (л:, 0) = 0, л: > 0.
294. и„ = а2ихх + f(x,t), x>0y t> 0,
ux @,0 = 0, *>0, и (х, 0) = щ (х, 0) = 0, л:>0.
295. uit = a2uxx + f(x, О, * > 0, f > 0,
и @,0 = 0, *>0, а (х, 0) = ф (я), ut(x,0)=ty(x),
*>0.
50

2S6. utt = a2uxx + f (x, t)y x > 0, t > 0,
MO, 0 = 0, *>0, и{х, 0) = ф(х), ^ (x, 0) = i|> (x),
x>0.
Всякая функция f(x—at) аргумента x—at называется прямой волной.
Распространяя возмущение края с помощью прямой волны,
решить задачи:
297. ип = а2ихх, х>09 t>0,
1/@,0 = ^@. *>0, u(x9 0) = ut{x, 0) = 0, х>0.
298. utt = a2uxx, х>0, t > 0,
^@, 0 = v@, *>0, и (х, 0) = «,(*, 0) = 0, х>0.
299. utt = a2uXX9 ' а: > 0, * > О,
МО, 0—Ли @, 0 = *(Oi *>°> Л>°>
а (л:, 0) = щ (х, 0) = 0, х > 0.
Решить задачи:
300. и„ = a2w^ + f (*, 0, * > О, О О,
и @, 0 = 1* (О» t > 0, и (а:, 0) = ф(л:), ut (л:, 0) = 1^ (л:),
х>0.
301. ип = a*uxx + f(x,t), х > 0, * > О,
MM) = v@, *>0, и.(л:, 0) = ср(л;), ut(x, 0)==^(х),
х>0.
302. Найти решение и (х, г/, 0 уравнения
uxX + uyy—un = xyt
по начальным условиям
и {х, у, 0) = 0, щ (*, у, 0) = ху.
303. Доказать, что функция и (ху у, 0, определенная по формуле
U(x U t)=y (-])»р»» + »р»ф
fc>ot2-4 ...B* + ?)]{Bn-1)B/1-3)... [2«—B*—1)]}»
-So ло ло
где р2 = *2+у2 —*2, 0 = ^2+-^2--^г> Ф—однородный
полином, переменных я, у, £ степени п—2, является, решением
неоднородного уравнения
ихх + иуу—ип = Ф{х,у, t).
304. Непосредственной проверкой убедиться в том, что наряду
с решением u(x,t), х = (х1У ..., хп), уравнения A), решением
этого уравнения является и функция
V(X>t)= „ZjU (^|2__,2 t J л; |2 — ^3 J I
(\х|2-/2) 2
1*]2 = 2*?, |*|2^/2.
1=1
51

305. Найти все линейно независимые однородные полиномы
степени 3, по переменным х19 x2> t, удовлетворяющие
уравнению D).
306. Чему равно число линейно независимых однородных
полиномов степени к по переменным xlf ..., xn> t> являющихся
решениями уравнения A)?
307. Функция и (Ху t) с непрерывными частными
производными третьего порядка является решением уравнения C).
Показать, что этому же уравнению удовлетворяет и функция
, .ч ди ди
308. Показать, что наряду с функцией и (х, t) решением
уравнения C) являются и функции
а) xux + tuu
б) ul + u\,
в) ,"* 2 , и\фи\.
309. Определить значение показателя k = const, для которого
уравнение A) имеет решение вида _
U(Xt I) /1^12 £&\k » 1*1 2Ld^i*
310. Показать, что если и(х9 t)—решение уравнения A), то
функция
v(xft) = u( Д— , ..., г^— , г i
V ^ V V\*A V\an\ V\an+1\J
будет решением уравнения гиперболического типа
п
^^иХх—ап+1ип = 0
i = i l l
с постоянными коэффициентами ah f = l, ..., n + \9
одинакового знака.
311. Найти условие, связывающее постоянные mh i=\, ...
...9п'+19 при котором уравнение A) имеет решение вида
плоской волны
и(х, 0 = Ф(/я1л;1+... +tnnxn + mn+1t).
312. Показать, что наиболее общее решение уравнения E),
зависящее только от г и t> имеет вид
где r2 = xf+xl + xl и ft и /2 — произвольные дважды непрерывно
дифференцируемые функции. Эти решения называются
сферическими волнами.
52

313. Непосредственной проверкой убедиться в том, что
наряду с функцией u(x9t)9 обладающей частными производными
третьего порядка, решением уравнения A) является и функция
п
v(X9 t)= ^XiUx +ttlt.
i = l
314. Показать что выражение
и (х19 х29 хВ9 t) = □ [ф (г + t) + ^(r — t)]9
где П = ^ + ^-+^-^-, г* = х\+х\ + х\, а ф и ф-произ-
дх{ дх\ дх% dt2
вольные трижды непрерывно дифференцируемые функции,
удовлетворяет уравнению E).
315. Для уравнения E) найти решение задачи Коши
и(*,0) = <р(г), М*,0)=ф(г), г* = х*+х1 + х1
где ф и ajr—заданные дважды непрерывно дифференцируемые
функции.
Найти решения уравнения E) по начальным условиям:
316. и (х, 0) = хгх2хВ9 щ (х, 0) = х\х\х\.
.-317. и(х, 0) = г2, щ(х9 0) = ххх2.
318. и (х, 0) = ex* cos х29 щ (х, 0) = х\—х\.
319. и(х9 Q) = x\ + xl, ut(x9 0)=1.
320. и (х9 0) = e*s щ (х9 0) = е~х*.
321. u(x90)=l/xi9 щ(х90) = 09 хгф09 х*фР.
322. Доказать единственность решения задачи Коши с
начальными условиями B) для уравнения
2
323. Найти скорость распространения плоской волны
и (х19 х29 х3, t) = y (m^ +m2x2 + m3x3 + mt).
324. Может ли описывать функция
И \Х^9 Х29 ХВ9 I j — Xj ~~у~ Х2 " j ™ Хв X-tC
процесс распространения волны?
325. Показать, что функция
U \Х±9 Х29 Х3, I) — Xi + Х2 + Хв-\-й t
описывает процесс распространения волны, и найти скорость
волны.
Найти область определения (распространения) волны, если:
326. Скорость волны а = 5, п = 1, носителем начальных данных
и(х90)9 щ(х90) является отрезок /^х^^ прямой / = 0.
53

327. Скорость волны a ==1, /г = 2, носителем данных и(х, 0),
щ(х, 0) является кольцо 1 г^ я?+ ^^4.
328. Скорость волны а=2, /г = 3, носителем начальных
данных и(х, 0), Mf(#, 0) является шар хЛ-лЦ-*!^ 1«
329. Скорость волны а= 1, п= 1, носителями данных и (я, 0),
ut(xt 0) являются отрезки —2<xx^ — 1, 1^^^2 прямой
t = 0. Определить множество точек плоскости Е2 переменных
xi9 t, являющееся общей «областью» влияния обоих этих отрезков.
§ 2. Задачи, корректно поставленные для уравнений
гиперболического типа
В предыдущем параграфе речь шла о задаче Коши для волнового
уравнения в предположении, что носителем начальных данных и (х, 0), щ (х, 0)
является вся плоскость t=tQ или определенная ее часть. В приложениях
большое значение имеет изучение таких задач для гиперболических
уравнений, в которых носителями данных служат многообразия, отличные от
плоскости t — t0 или от ее части. Однако далеко не каждое многообразие (пусть
даже сколь угодно гладкое) годится в качестве носителя данных.
Задача называется корректно поставленной для гиперболического
уравнения, если ее решение существует, единственно и устойчиво. Понятие
устойчивости означает, что малому изменению данных задачи соответствует малое
изменение ее решения.
В§ 1 характеристической была названа такая поверхность ф (я, t) = Q,
в каждой точке которой
Q (grad Ф)=2ф*.-ф?=0.
i = l l
Заданную уравнением ty(x, t) = 0 поверхность в пространстве Еп+1 будем
называть поверхностью пространственного типа, если в каждой ее точке
п
Q(grad*)= 2 *;.-+? <0.
i = 1 1
Обозначим через S кусок достаточно гладкой поверхности пространственного
типа. Задача Коши в общей постановке формулируется так: найти решение
уравнения A), удовлетворяющее на S условиям
. u(x9t) = F(M)9 §£(xtt) = Oh(M), A1)
где F (М) и Ф (М) — заданные достаточно гладкие функции точки М
поверхности 5, а N—направление, нигде не касающееся S. Доказывается, что в
такой формулировке задача поставлена корректно.
Заметим, что в случае одного пространственного переменного *i = # для
носителя S важным является не требование i|?J—-i|?* < 0 (на кривой ty(x, t) = 0,
где заданы условия A1)), а требование i|?|— i|>? Ф 0.
Все сказанное выше не означает, что при постановке задач для
гиперболических уравнений характеристические поверхности не годятся в качестве
носителя данных. Так, например, когда характеристическая поверхность
54

■ф (лг, ^) = 0 представляет собой конус
п
2 (*/-*?)*-('--'о)я = 0. A2)
i=l
ставится так называемая характеристическая задача Коши:
найти регулярное внутри конуса A2) решение и(х, t) уравнения A),
принимающее на конусе A2) наперед заданные значения.
В случае одного пространственного переменного хх = х конус A2)
представляет собой пару прямых х—x0 = t —10, x — x0 = tQ— t, проходящих через
точку'(^0, /<))• Эти прямые плоскость Е2 переменных х, t разбивают на четыре
угла. Пусть область D — представляет собой один из этих углов. В этом
случае характеристическую задачу принято называть задачей Гурса:
определить регулярное в области D решение и(х, t) уравнения C),
удовлетворяющее условиям:
ц = ф при x—x0 — t—t0>
u = ty при x—x0 = t0—tt A3)
Ф(*о, 'о) = ^(*о> 'о)-
330. Показать, что задача определения регулярного решения
u(x,t) уравнения C) по заданным на характеристике х—£ = 0
значениям функции и (х, t) и ее нормальной производной -£- =
= —jr=- ( — -f— j поставлена некорректно (она вообще не имеет
решения, а в тех случаях когда имеет, оно не единственно).
331. Выяснить, для каких значений постоянного k прямая
х = Ы может служить в качестве носителя данных в задаче Коши
с условиями A1) для уравнения C) и:
а) найти решение этой задачи, если направление N имеет
компоненты A/1^2, 1/^2), а носителем данных является
отрезок Л @,0), 5A, \/k) указанной прямой;
б) определить область зависимости, область влияния и область
распространения;
в) доказать устойчивость решения.
332. Указать, для каких значений положительных
постоянных ф0, фх дуга Фо^Ф^Фх окружности я^соэф, ^этф,
0^ф^2я, может служить носителем данных задачи Коши A1)
для уравнения C), и найти решение этой Задачи, когда N
совпадает с нормалью к окружности.
333. Пусть дуга S: A(x0, t0)B(x19 tx) кривой x = f(t) с
непрерывной кривизной ни в одной своей точке не касается
характеристик уравнения C), а N — нормаль к дуге АВ. Построить
решение u{x,t) задачи C), A1).
334. Определить область распространения волны, найденной
в задаче 333, и доказать ее единственность.
335. Указать, какому услозию должны удовлетворять
постоянные а, Ь, с, чтобы плоскость П: ахг -f bx2 + ct = 0 служила
носителем данных задачи Коши с условиями A1) для уравне-
55

ния D), и построить решение задачи Коши с данными на этой
плоскости:
Uz=z_±x А ди = с
с 1 cxv dN Уа?+Ь*-\-с* '
где N—нормаль к П.
336. Найти решение задачи Гурса для уравнения C) с
данными на характеристиках х—t = 0t x + t = 0:
и (х, х) = ф (а:), 0 <х < а,
и(х, — #) = \j5(#), 0<л:<Ь,
Ф @)-11)@).
337. Определить область распространения найденной в
задаче 336 волны и-доказать ее единственность.
338. Доказать единственность решения и (х, t)
характеристической задачи Коши для уравнения D), когда носителем данных
является нижняя часть характеристического конуса
x\+x\-(t-1J = 0.
339. Обозначим через S нижнюю часть характеристического
конуса х2 + у2 —12 = 0 до плоскости t = — h (А>0). Найти
решение и (х, у, t) характеристической задачи Коши
340. Определить область распространения ролны из задачи 339
и доказать ее единственность.
341. Будет ли корректно поставлена задача Дирихле для
уравнения C) в характеристическом прямоугольнике, когда
носителями данных и (х, t) являются все стороны этого
прямоугольника?
Задача отыскания решения уравнения A) по данным значениям u(x,t)
корректно поставлена не только тогда, когда носителями данных являются
характеристики этого уравнения. Для иллюстрации этого факта ограничимся
рассмотрением уравнения C).
Пусть D —область, лежащая в характеристическом угле между прямыми
х—x0 = t-—t0, x—x0 = t0—t, x^xQy ограниченная кривыми
St: t = sx (*), 52: t *= s2 (*), x ^ x0, sx (*0) = s2 (*0),
которые имеют непрерывную кривизну и удовлетворяют условиям
dx dx
Доказывается, что корректно поставлена следующая
Задача Дарбу: требуется определить регулярное в области D
решение и (х, t) уравнения C), удовлетворяющее условиям
где ф и ty—заданные дважды непрерывно дифференцируемые функции,
56

удовлетворяющие условию
342. Корректно ли поставлена задача об отыскании
регулярного в первом координатном угле плоскости х, t решения и (х, t)
уравнения C), если
и(х, 0) = ф(л;), О^х < со,
м@, t) = \p(t), 0<^<oo,
• Ф @) = ^@), Ф"@) = я|/'@)?
343. Область D представляет собой угол между прямыми
х = 0, t = x/2, £>0, х>0. Корректно ли поставлена задача об
определении в области D решения уравнения C) с данными
и @, 0 = ф @, и (х, х/2) = я|)(*), * >0, *> 0,
Ф@) = *.@), Ф*@) = Ф"Ч0)?
Задачи 344, 345, 347, 350, 353, 354, 355, 374 редуцируются к
функциональному уравнению вида
Р(*) + |аР [*(*)] =/(*), A4)
решение которого при соблюдении, например, условия
\p»f[bm(x)]\<M"9
может быть построено методом итерации
со
*(*)= 2 (-1)^-/[**(*)]. A5)
Здесь М — постоянная, 0 < М < 1, под цт понимается обычная степень ji
с показателем m, a
344. Область D представляет собой угол между прямыми
t^kxx, t = k2x, х>0, где —1<й1<й£<1. Найти регулярное
в области D решение уравнения C), удовлетворяющее условиям
и(х, k1x) = ^(x), u(x, k2x) = \p(x), &1 = 0, k2 = k>0,
где ф и -ф—заданные дважды непрерывно дифференцируемые
функции, причем ф@) = 1|)@).
345. В задаче 344 принять ^ = -1/4, &2=1/4, 0<#<а,
Ф (a:) = xf г|э (х) = х и доказать существование и единственность
решения и (х, t).
346. Определить область распространения волны,
соответствующей решению и (х, t) из задачи 345.
347. Область D представляет собой угол между прямыми
t = х/4, t = 0,x^0. Найти регулярное в D решение и (х, t)
уравнения C), если задано
и (х, х/4) = х, и (х, 0) = sin х.
57

348. Определить область распространения волны в задаче 347,
считая 0 < х < 1.
Найти решения уравнения C) и области их распространения
по указанным ниже данным:
349. и(х, 0) = ср (я-), и(ху x) = ty(x), 0<х<а,
Т @) = ^@).
350. и (х, 0) = ф (х), и (х, х/2) = я|> (х), 0 <х < 2/3,
Ф@)=Ф@).
351. u@,t) = t\ u(t,t) = t*f 0</<2.
352. и@, t) = smtt 0<*<1, а(*,0 = 0, 0<*<2.
353. tt(x, 0) = ф(а:), и [л;, т(л;)] = ip(*), 0<л;<1,
Ф@)=я|)@),
где т—заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция,
удовлетворяющая условиям
•<£<'•
354. Носителями данных для искомого решения и (ху t)
уравнения C) являются дуги кривых:
t = sin xt О^я^зг/4,
t = — sin л:, 0^#^я/4,
причем
и(х, sin*)—*, и(х, —sinx)=#.
Определить волну и(х, t) и область ее распространения.
355. Носителем данных решения и(х9 t) уравнения C)
являются дуга параболы t = x*/4, O^x^l, и отрезок 0<1л;<12
прямой / = 0. Определить решение u{xyt) уравнения C) и
область его распространения, если
и(х, x2/4) = xs, u{x, 0)-0.
356. Найти решение и(х, t) уравнения C) по данным
и(х9 х) = ф(*), (%—jr)\i=_x = ^{x)> 0<х<оо,
и доказать его единственность.
357. Определить решение и(х, t) уравнения C), если
и(х, x)=ty(x)> O^x^b,
и найти область его распространения. •
358. Корректно ли поставлена задача для уравнения C)
с данными
и(х, х) = Ц)(х), 0^х<оо,
(ж+ж)Ц=*«. о<*<-'
58

§ 3. Некоторые другие классы гиперболических уравнений*
Задача Коши для уравнения Лапласа
Рассмотренные в предыдущем параграфе задачи ставятся также для общего
уравнения гиперболического типа
п - п
X* v л д2и д2и х* да . п „ /1СЧ
.4- А'*дЪЩ--дё-+2*в'-щ+Си=р- A6)
Многообразие ф (xt t) = 0, удовлетворяющее условию
п
может служить носителем данных Коши A1) для уравнения A6).
Как и в предыдущем параграфе, в характеристической задаче Коши для
уравнения A6) носителем данных является характеристическая поверхность
ф(#, 0 = 0, на которой по определению
п
2 л//ф*,ф*у—<р|=о.
В случае одного пространственного переменного х = хг удобнее всего записать
уравнение A6) в виде
" £«=^+fl«.n)|r+*«.n)Jj+e(E. Ч)« = *в,Ч). 07)
В теории уравнения A7) важную роль играет функция Римана /?(£, tj;£i, r\i)
двух точек (£, ц), EХ, %), обладающая следующими свойствами:
а) относительно переменных £, ц она является решением уравнения
сопряженного с A7), а относительно £1} т^х—уравнения LR — 0, в котором
вместо 5, т| подразумеваются переменные |ь Лъ
б) №«b^i,4i),flgit n)|?Fii ч; 6ltf|l) = 0t
ад&^1.л1)-6F> ^ud, Л1; 6ь ^=0,
в) ^^g^^+aff, 110/?«, ti; 5, тц)=о.
^g, А,л)+^ьЛ)^д;л;б1>1|)=аа0
/г F, тД л)=1.
Этими условиями функция #(£, т]; £ь t]i) определяется однозначно, если
коэффициенты а, Ь являются функциями класса С1, а коэффициент с—класса С0.
Наличие функции Римана позволяет выписать в квадратурах решение
как задачи Коши, так и задачи Гурса для уравнения A7).
Решение задачи Гурса
и (|, По) = Ф &)> и (So. П) = * (П). Ф (Ы = Ч> Ы»
59

где ф и ф—заданные непрерывно дифференцируемые функции, для
уравнения A7) дается формулой
«F. ч)=*(Б. ло; I, ч)фF)+Ж6о. л; I лЖл)-ЖЕо. л0; £> л)ф(Бо)+
+J [м*. т|о)Я(/, ло; £> ч)-^ж*, ло; 5, л)] ф(9* +
1о
П
+J [*Йо. *)*Fо, т; g, 4)-^/j(g0> т; £, л)] *(т)</т+
' +5^5 Я(*. т; 6, i\)F(t, т)Л. A8)
Пусть а—разомкнутая дуга Жордана, которая имеет непрерывную
кривизну и ни в одной своей точке не касается характеристик уравнения A7).
Решение задачи Коши для уравнения A7) по заданным значениям и и
ди д% ди . дц ди t
^гт- = -^-^—г^Ж » где v~~внешняя нормаль к а в точке (£, г]), имеет вид
и(Р) = 1 «(Q) R (Q, Р) +1 и (Q') R (Q\ P) + J F <Р') Л (РЛ, Р) <& A|t -
QQ'
~ Иа (/V) Ш+ь (п ж] R {Р"> Р) и {п ^р'9' A9)
здесь Q" и Q—точки пересечения с дугой а характеристик £i = £, ifh = Tb
выходящих из точки Р(|, т]), a G —конечная область плоскости переменных
|, т], ограниченная участком QQ" дуги а и отрезками характеристик PQuPQ'.
Выражение
$Р(Р')Я(Р\Р)^1<%
G
представляет собой частное решение неоднородного уравнения .A7).
^ 359. Показать, что функция Римана R (g, tj; llt %) для
уравнения C), записанного в характеристических переменных,
тождественно равна единице.
360. Пользуясь функцией Римана из задачи 359, выписать
решения задачи Коши и Гурса для уравнения C).
361. Непосредственной проверкой убедиться в том, что
функция Римана для уравнения
* Ъхх—ин + Ьи = 0 B0)
в переменных % = x + t, v\ = x—t имеет вид
я F. л; 6Х, 4i) = ^о (i* КF—6i)(ч—4J),
где ц2 = — X.
60

Пользуясь функцией Римана из задачи 361, выписать в
квадратурах решения уравнения B0), удовлетворяющие приведенным
ниже условиям:
362. и (xt 0) = ф (х), щ {х, 0) = ф (x).
363. и \х, х) = ф (л:), и (ху —х) = г|э (я), 0 < х < оо,
Ф@) = г|)@).
364. Построить решение уравнения
удовлетворяющее условиям и(х, х) = и(х, —х) = 0.
Найти решения задачи Коши
и@, 0 = Ф@. МО, 0=.Ф@ *
и задачи Гурса
w(x, л:) = ф(х), и(х, — x)=ty(x)> *>0, ф@)=^@)
для приведенных ниже уравнений:
а2
365. uxx—un + aux + -ju = 0t a = const.
Ь2
366. ихх—ии + Ьщ—j-a = 0, b = const.
a2 62
367. uxx—un-\-aux + but+-^u——u = 09
a = const, b = const.
368. Для уравнений из задач 365—367 найти решения,
удовлетворяющие условиям
и(х, 0) = ф(х), и(xt x) = ^(x)t ф @)=1()@).
369. Показать, что общее решение системы
дх ду~~"' ду~дх~~{)
имеет вид
и(*. </) = /(* + </) + fi (*—</)> у(*> y) = f(x + y)—fd*—y)>
где / и /j—произвольные непрерывно дифференцируемые
функции.
Для системы из задачи 369 построить решения,
удовлетворяющие соответственно условиям:
370. и(х9 0) = ф(х), v(x, 0) = ф(х).
371. и(х, x) = q>(x), v{xt —x) = ty(x)t x>0.
372. u(x, 0) = ф(л:), v(x, —x) = ty(x), *>0.
373. u(x, 0) = ф(х), v(x, x) = *(*)» a:>0.
374. u(x, 0) = ф(х), i>(*, — £/2) = ^ (x), x>0,
Ф @) = 0, ¢@) = 0,
где ф и ф—заданные непрерывно дифференцируемые функции.
61

375. Показать, что система
ди . dv А ди , dv л
будет гиперболической тогда и только тогда, когда а > О и при
a = const > 0 ее общее решение имеет вид
и(х, y) = r±=f(x + Vay) + ^f1{x-Vay),
' f (*t У) = — /A* + Voy) + /1 (а:—К^),
где f nfx—произвольные непрерывно дифференцируемые функции.
376. Определить решение системы из задачи 375,
удовлетворяющее условиям
и(х, у=х\ = ч(х)9 v(x9 — ~х\=^(х)9 х>®>
где ф и г|э—заданные дeйcfвитeльныe непрерывно
дифференцируемые функции.
377. Найти условие, связывающее действительные постоянные
а9 Ь9 с9 при котором уравнение гиперболического типа
а*ихх + ЬгиУу— c2uzz = 0
имеет решение вида
и(ху у9 z) = f (ax + $y + yz)9
где а, р, у—действительные постоянные, а /—произвольная
дважды непрерывно дифференцируемая функция.
378. Показать, что уравнение из задачи 377 имеет решение
/ Ч V* Г 1 Z2" ( 9 & , U9 & \{П) ( * У\ I
и(х9у9 z) = l1--(^ + ^) TU'i) +
£* с^^1Bп+1I \ дх2^и ду2 ) \а 9 Ь ) *
где т и v—полиномы.
379. Для уравнения из задачи 377 найти решение задачи
Коши с данными
и(х9 у9 0) = х2—у\ uz(x9 у9 0) = ху.
380. Непосредственной проверкой убедиться в том, что
функция
и(х9 У)--21^^ f т [а: + -| (-1/)^B/-1)] ^A_0""^^4-
ЗГЗ U) о
У*Т*(т)г4\Т Г Г 2 i 1 --*- -i
62

является решением задачи Коши с данными
и(х, 0) = т(х>, *L£^ = v(x), 0<х<1,
для уравнения Трикоми
при у < 0.
381. Показать, что функция
и(х, t) = f(t+ax) + (f(t + bx) + ^)(t + cx)t '
где f9 ф, of)—произвольные трижды непрерывно
дифференцируемые функции, является решением уравнения гиперболического
типа
w-(a + b + cKsm + (ab + ac + bc)w^-abC'W^0.
382. Для уравнения, рассмотренного в 381, решить задачу
Коши с данными
и(хг0) = чг(х)9 щ(х9 0) = ф,(х), ии(х, 0) = ф8(х).
383. Определить тип системы
vxx + vyy—2uxy==0
и показать, что ее решением являются функции
и (х, у) = (х—у) ф (х + у) + (х + у) фх (х— у) + ф (х + у) + фх (л: — у)у
v(x, y) = (x—y)(f(x + y)~(x + y)(p1(x—y) + ^{x + y)~^1(x — y)t
где ф, фх, ф, ^—произвольные дважды непрерывно
дифференцируемые функции.
384. В угле, ограниченном прямыми у = х/29 у = — х/29 х> 0,
найти решение рассмотренной в задаче 383 системы, если
известно, что
и(х9 х/2) = х(х), и(х, —x/2) = v(x),
v(xt х12) — хг(х)9 v(x, —x/2) = vl(x)9 л;>0,
t@) = v@), T1@) = vl@)f
гдет, x19 v, vt — заданные дважды непрерывно дифференцируемые
функции.
385. Для системы из 383 построить решение задачи Коши
с данными
и(х9 0) = ^(^), v(x9 0) = т2(х)9
иу(х, Q) = vt(x)f vy(x, 0) = v,(*).
63

386. Определить, для каких значений действительных
постоянных а, Ь, с, k система
аих + buy + kcvx = 0,
avx + bvy + jiix = 0
является гиперболической, и построить ее общее решение.
387. Выяснить, для каких значений постоянных а, Ь, с, k,
обеспечивающих гиперболичность рассмотренной в задаче 386
системы, прямая у = 0 может служить носителем данных Коши
для этой системы.
388. Построить решение задачи Коши
и(х. 0) = Р»(*). М*> °) = Ят{*)
для уравнения Лапласа ихх-\-иуу = 0 в предположении, что рп(х)
и qm(x)—полиномы степеней пит соответственно.
389. Для уравнения Лапласа uxx + uyy = 0 построить решение
и (х, у) задачи Коши
a(xf 0) = 0, «,(*, 0)=2^
и показать неустойчивость полученного решения.
390. Пусть D—область плоскости х, t, ограниченная
отрезком Л @, 0) В A,0) прямой / = 0 и характеристиками x + t = 09
х—t — 1 =0 уравнения C). Показать, что регулярное в области D
решение u(x, t) уравнения C), непрерывное в D и равное нулю
NHa характеристике x + t = 0, достигает своего экстремума в D
на отрезке АВ.
391. Показать что задача Коши
u{xt 0) = <р(х), иу (*, 0) = <ф(л;), 0<#<1,
для уравнения
y2uxx + yuyy + juy = 0
при у<0 поставлена некорректно.
392. При у < 0 для уравнения из задачи 391 найти решение
u(xf У)> удовлетворяющее условиям
и(х9 0) = т(*), Hm (-1/)-^¾^ = v(x)f 0<*<1.
393. Показать, что общее решение уравнения
"xx—yUyy—j "г/^0' У > °»
имеет вид
«(*. y) = f1(x+2yv*)+fi(x-2yv*)t
где ft и ^—произвольные дважды непрерывно дифференцируемые
функции.
64

394. Найти решение и(х, у) рассмотренного в задаче 393
уравнения по условиям
и(х9 0) = т(х), 0<#<1, |limu|<oo.
у-> + 0
395. При у > 0 найти решение рассмотренного в задаче 393
уравнения по условиям
и(х, 0) = т(х)9 lim yi/»g = v(x).
У-+ + 0 иУ
396. Показать, что общее решение уравнения
гиперболического типа
д*4 *дх*ду*^ду* и ^1;
имеет вид
н(х, у) = (^+у)ф(х—y) + (x—y)^(x + y) + 9j(^--^)+¾^+ y)f
где ф, <plf oj), ^—произвольные четырежды непрерывно
дифференцируемые функции.
397. Для уравнения B1) найти решение задачи Коши по
условиям
и(х, 0) = t(x), иу(х9 0) = 0,
uvv{x* °) = 0> иууу(х* 0) = 0.
398. Определить решение и(х9у) уравнения B1) по условиям
и(х, х)==тг(х)9 и(х9 —х) = т2(х)9
Тх@) = т2@), ¢@) = ^.@),
тИ0) = т8@) = т4@),- xi@) = xi@).
399. Показать, что общее решение уравнения
г-йр-0 <22»
имеет вид
w(*> y) = fi(x + y) + ft(x—y) + f9(y)9 .
ГДв /1Э /2, /8— произвольные достаточно гладкие функции.
400. Корректно ли поставлена задача для уравнения B2)
С данными
и(х9 0) = фх(л:), иу(х, 0) = ф2(х), wyy(x, 0)=*ф,(*)?
401. Определить решение w(x, у) уравнения B2) по данным
и @, у) = фх (у)9 их @, у) = ф2 (у), ихх @, у) = ф8 (у).
3 А. В. Бицадзе, Д. Ф. Калиниченко
65

Глава IV
Уравнения параболического типа
§ 1. Уравнение теплопроводности
Как уже было отмечено в § 4 гл. 1, изучение явлений переноса
(передача тепла, диффузия и др.) при определенных допущениях приводит к
уравнению теплопроводности
п
S "*w-"t = 0, A)
являющемуся типичным примером параболических уравнений.
Пусть область D пространства (х, t) обладает тем свойством, что она
в пересечении с плоскостями t = Tt T0^T^Tlt дает односвязную я-мерную
область в пространстве переменных хъ ,%.,хп.. Обозначим через S боковую
поверхность области D и нижнее ее основание / = Т0.
Под первой краевой задачей, или задачей Дирихле, для
уравнения A) понимается следующая задача: найти регулярное в области D вплоть
до ее верхнего основания t =7\ решение и(х, t) уравнения A), когда наперед
заданы его значения на S:
«|5 = ф. B)
Наряду с первой краевой задачей B) для уравнения (I) ставится также
вторая краевая задача, или задача Коши—Дирихле: требуется
определить регулярное в полупространстве t > О решение и (х, t) уравнения A),
удовлетворяющее условию
и(х, 0) = ф(а;), C)
где ф (atj;, ,»,, хп)—заданная функция.
402. Определить уравнение, которому удовлетворяет функция
и(£, т|) = и(т|, £—аг\), где а—постоянная, а и(х, t)—решение
уравнения A).
403. Показать, что функция и(х, t), определенная как сумма
ряда
fe=0
66
и(*. 0 = ХтП"Л*т(*1» •••»*„), D)

допускающего почленное дифференцирование нужное число раз,
является решением уравнения A).
404. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функция
2 с*/-*/I
Е(х, t)= Цт^ехр — —
где yi9 ..., уп—действительные параметры, при t > t0 является
решением уравнения A). (Эта функция называется
фундаментальным решением уравнения A).)
405. Показать, что наряду с и (х9 t) и функция и (кх, %Н)
является решением уравнения A) при Я = const всюду, где она
определена.
406. Доказать, что для уравнения A) в области D имеет
место принцип экстремума: регулярное в области D
решение уравнения A), непрерывное в D[)S, своего экстремума
достигает на S.
407. Установить свойство единственности решения задачи
A), B).
408. Показать, что в призматической области D: 0 < t < Tt
0 < х± < li9 0<x2< 12, функция
u(vi9x%, 0 = ехр Г— Wy + iJA Л sin-^ sin-^р.,
где i и / — натуральные числа, является решением уравнения A)
при п = 2 и удовлетворяет условиям
u(xi9 х29 0) = sin-^-sin ^^ , и\а = 09
где а—боковая поверхность области D.
409. Построить регулярное в прямоугольнике 0 < t < Tot
0 < х < п решение и (х9 t) уравнения
ихх—Щ = 0 (V)
по краевым условиям
и @, t) = и (я, t) = 0, 0 < t < Г0,
и(х9 0) = ф(х), 0<д:<я,
где ф—заданная достаточно гладкая функция.
410. Показать, что функция
и(х9 t) = ~= ] у(у)е «' dy9 t>0,
— 00
где ф (у)9 — оо < у < оо,— заданная непрерывная ограниченная
функция, является решением уравнения (Г), удовлетворяющим

условию
и(х, p) = (p(x), — оо<д:<оо. C')
411. Показать, что для регулярного в полупространстве f>0
решения u(x,t) уравнения (Г) имеют место оценки
m^u(xf t)^M,
где
m= inf и(х, 0), М — sup и(х, 0), —оо<#<оо.
412. Доказать единственность решения и(х, t) задачи Коши —
Дирихле A'), C').
413. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функция
t
и(х, 0= j v{x> U t)dx,
о
где
2 у я \t — т) J
a g {х; т), — оо < л: < оо, — оо < т < оо,— заданная
непрерывная ограниченная функция, удовлетворяет уравнению
ихх—и« = — g(*> t).
414. Редуцировать первую краевую задачу для уравнения
»хх—Щ = !(*> О E)
в прямоугольнике 0 < / < Г0, 0 < х < 1, с неоднородными
условиями на боковых сторонах
а@,*)=а@, аA,0 = Р@. 0<*<70,
к первой краевой задаче, но уже с однородными краевыми
условиями на боковых сторонах.
415. Построить частное решение уравнения E), если
f{xft) = sinnxfn(t),
где fn(t)—заданная непрерывная функция.
416. Для t>T построить решение задачи Коши—Дирихле
для уравнения A) с условием
и(х, T) = ex*chx2.
Подходящим образом продолжая данные задач на всю ось х,
решить следующие задачи:
417. щ = а2иХХУ 0<л:<оо, t > О,
и @, 0 = 0, t> 0, и (х9 0) = <р (х), 0 < х < оо.
418. щ = а2ихх> 0<*<оо, / > О,
и*@, 0 = 0, t>0f u(%, 0) = ф(л;), 0<x<oo#
68

419. щ~а2ихх—hu, 0<я<оо, />0,
и @, 0 = 0, />0, и{х, 0) = (р(л:), 0<я<оо.
420. щ=^а2ихх—hu, 0 < х < оо, / > 0,
ы* @,0 = 0, />0, w(x, 0) = ф(х), 0<х<оо.
421. ut^a2axx + f(x,t), 0<*<оо, />0,
ы @,/) = 0, />0, t/ (x, 0) = 0, 0<л:<оо.
422. ut = a2uxx + f{x, t), 0<лг<оо, / > 0,
^@,/) = 0, />0, и (х, 0)==0, 0<*<оо.
423. ut = a2uxx—hu + f(x, /)> 0<#<оо, / > 0,
и @,0 = 0, />0, и {х9 0) = 0, 0<х<оо.
424. ut = a2uxx—hu + f(x,t), 0<х<оо, />0,
0.^@,0==0, />0, и (лг, 0) = 0, 0<#<оо.
425. ut = a2uxx—hu + f (х, t), 0 < х < оо, / > О,
и @, 0 = 0, / > 0, и {х, 0) = ф (я), " 0 < х < оо.
426. Ht = a2uxx—hu + f(x,t), 0 < х < оо, / > О,
МО, 0 = 0, />0, а(*,0) = <р(х), 0<х<оо.
Пусть D—область Пространства переменных я, */, /,
ограниченная плоскостями / — О, / = Г > О и круговым цилиндром
S: #2 + */2=1. Определить, регулярное в D решение u(x,yft)
уравнения
по условиям:
427. м|5 = ~4/, и(х,*/, 0)=1 -х2-у2.
428. u|5 = —32/2—16/, и(х, (/,0)=1-(х2 + */2J.
429. u| 5=1+4/, и(*, 1/,0)= х2 +у2. '
430. и|5 = еа'+С08<Р+в,1|ч>, 0<ф<2я, и (я, у, 0) = е*+^.
431. и|5 = е'/0A), "(x,(/,0) = /0(r), г2 = х2 + *Д
где I0(r)~J0(ir)—функция Бесселя нулевого порядка.
*• Построить решения задач Кошн.—Дирихле для уравнения A),
удовлетворяющие соответственно условиям:
432. и (х, 0) = sin/#x.
433. и(х, 0y=coslxit
434. и(х, 0) = ch/jcle
435. и(х, 0) = 811¾.
436. и (х, 0) = sin 1хх± sin t2x2.
437. и (х, 0) = sin 1гхх cos l2x2.
438. ,u (л:, 0) = cos 1±х± cos lnxn.
439. и (л:, 0) = cos ltXi sin l2x2.
440. a (x, 0) = sin ltxt sin /2#2... sin lnxn.
441. «(x, 0) = sin/ixi + cos//Jxrt.
69

§ 2. Некоторые другие примеры параболических уравнений
442. Найти общее решение уравнения *
а2ихх + 2аиху + иуу = 09 a = const.
.443. Проверить, что функция
и (х, y,t) = 2W^i д*т (*» У)> D')
д2 д2
где А = у-2- + уз , a т(х, ^ — произвольный полином
переменных х9 у9 удовлетворяет уравнению
ихх + uvv—put = О, р = const.
444. Для времени f > 1 решить задачу Коши—Дирихле
U(X9y, 1)=1-(^ + ^J.
445. Выписать в квадратурах в полуплоскости t > 0 решение
u(x9t) задачи Коши—Дирихле
ихх—рщ = 0, р = const > 0,
и (х, 0) = ф (л:), — оо < х < оо.
446. В полуплоскости х <Ьу найти решение задачи Коши —
Дирихле
Ь*ихх + 2buxy + uyy + bux = 0,
и (х9 -у) = ф {х), — оо < л: < оо,
где ф—заданная непрерывная, ограниченная функция.
447. Для уравнения из задачи 446 в параллелограмме,
ограниченном прямыми У = -£-х, у = у #+1, # = 0, у= 1, найти решение
и {х9 у) по краевым условиям
6
и(*. 0) = 0, — Ь^х<09 а (х, 1) = 0, 0<х<6,
где ф—заданная достаточно гладкая функция.
448. В прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 0, # = я,
t/ = 0, y = T>0f найти решение и(х9у) уравнения
и** + Ри*—иу + \ и = 0, р = const,
70

по условиям
и @,у) = и (я, */) = 0, 0<*/<7,
а (л:, 0)== sin х- е 2 , 0^л:^я.
449. Для уравнения из задачи 448 выписать в квадратурах
решение задачи Коши—Дирихле
, и(х9 0) = ф(а:), —оо<л:<оо,
и указать требования на ф (х)9 гарантирующие существование
интеграла в выражении формально полученного решения.
450. Показать, что уравнению
ихх + uyy — кщ = 09 к = const,
удовлетворяют функции
e"%tJk (кг) cos ky,
е~иJk(кг)sin&ф,- fe = 0, 1, ...,
где х = гсозф, y = rsin<{>, a Jk—функция Бесселя целого
порядка к.
451. В области D пространства переменных х9 yf t9
ограниченной плоскостями t = 0, / = 7" > 0 и круговым цилиндром
*2 + У2 = (?чАJ> найти решение и (х, у, t) уравнения из задачи 450
по условиям
и(х9 у,-0) = /в(Хг),
где JQ (г)—функция Бесселя нулевого порядка, a kt —ее корень.
452. Определить тип уравнения
ДЛи—g- = 0 F)
и показать, что функция
СГ)
и(^0 = ЕтгЛ2М*)>
fe=0
где t(x)—любая бесконечно* дифференцируемая функция, в
предположении, что ряд можно почленно дифференцировать нужное
число раз, дает решение уравнения F).
J Построить решения уравнения F) по краевым условиям:
453. и (х9 0) = Рп (х),
где Рп(х) — полином степени п по переменным х19 ...9хп.
454. и (х9 0) = sin l1x1 cos 1пх„.
455. Определить тип уравнения
ДДи-|£ = 0 G)
71

и показать, что его решением является функция
СО 00
ft — U к—-U
если т и v—произвольные бесконечно дифференцируемые
функции, а ряды в правой части этой формулы можно почленно
дифференцировать нужное число раз.
Найти решения уравнения G) по приведенным ниже условиям:
456. и (х, 0) = Рп (*), щ (хг 0) = О,
где Рп(х)—полином степени п.
457. и (х, 0) = sin xlt щ (х, 0) = cos xt.

Глава V
Методы, наиболее часто применяемые при решении
задач для уравнений с частными производными
§ 1. Метод разделения переменных (Метод Фурье)
Этим методом пользуются при построении решений так называемых
смешанных задач для широкого класса уравнений с частными производными.
Обозначим через D область пространства переменных хи ••*, *п> t>
ограниченную плоскостью ^=0и цилиндрической поверхностью «S с образующими,
параллельными оси /, и лежащую в области задания уравнения -
п п
X Аи W а*л+2 Bi{х) и*с+с{х) и~~а{i) "«-Р W "*~ Y @ "=<>• A)
*,/:=! 1=1
п
Предположим, что квадратичная форма У] Л/у(#)ХДу положительно
определена, коэффициент a(t) либо больше нуля, либо тождественно равен
нулю, причем в последнем случае р (/) > 0. В таком случае уравнение A)
либо гиперболическое, либо параболическое.
Общая смешанная задача для уравнения A) состоит в определе-
нии регулярного в области D решения и (х, t) этого уравнения,
удовлетворяющего, краевому условию
п
2 Щ (х) их. + Ь (х) и = 0, х £ S? t ^0, B)
и начальным условиям:
и (х, 0) = ф (*), щ (*, 0) = -ф (х) (?)
в гиперболическом случае,
и(х,0) = у*(х) D)
в параболическом случае.
Для обеспечения непрерывности искомого решения вплоть до границы
области D нужна определенная согласованность между данными в условиях
B), C) и D).
73

Сущность метода разделения переменных заключается в следующем.
Нетривиальное решение и (х, t) уравнения A), удовлетворяющее краевому
условию B), ищется в виде произведения двух функций Т (/) и X (х) =
= X(х1% **., хп):
и(х, t) = T(t)X(x). E)
Подставляя выражение E) для и (х> t) в уравнение A) и в краевое условие B),
получаем
та 2 AiJ(x)XXiXA-YdBi{x)XXi+C(x)xU
=5^ [а (О Г+ р (О Г+ v @ П = --^ = const, (*, t)£D, F)
J 2 а/WX^ + Ь (^)^1^@ = 0, л: ¢5, *^0.
G)
Ввиду того, что X (х) и Г (/) тождественно в нуль не обращаются, из
равенств F) и G) имеем
*(t)r+t(t)r + [y(t) + k]T = 0, t>0, (8)
5 Aij(x)XXiXj+ 2 */<*) ^ + ICW + i]X
= 0, a; g d, (9)
2 a/(*)**,. + & (*)X = 0, *£s, A0)
где d и s—проекции области D и поверхности S на плоскость f = 0
соответственно.
Значение X, для которого краевая задача (9), A0) имеет нетривиальное
решение и (х), называется собственным значением (собственным числом),
а сама функция н (*) —соответствующей собственной функцией.
Множество всех собственных значений задачи (9), A0) называется
спектром, а задача об отыскании спектра и соответствующей ему системы
собственных функций — спектральной задачей.
В целом ряде случаев спектр задачи (9), A0) является счетным:
hi < К < ••• <^k< •••» limA*s=cot
k-+co
а система линейно независимых собственных функций
*i(*>. *«(*)..-. (П)
•* полной. Ниже речь будет идти именно о таких случаях*
Обозначим через Ть (t) соответствующее % — Xk общее решение
обыкновенного дифференциального уравнения (8) при а (t) > 0:
Tb{t) = *hTkl(t) + №h%(t)% A2)
где аь, р£ — произвольные действительные постоянные, a Tk\(t) и 7^(/)-
решения уравнения (8), удовлетворяющие условиям
•Г* @) = 1, 7^@) = 0, 7\, @) = 0. г;а@)=Ь A3)
74

При a (t) sO, P (t) > 0 общее решение Tk (x) уравнения (8) берется в виде
Tk(t) = *kThl(t), A2')
где
Г*1<0)=Ь A3')
Очевидно, что функция и (я, t) вида
«(*,«= 2 r*w^*w 04)
в случае равномерной сходимости ряда в правой части этого равенства и
рядов, полученных из него почленным дифференцированием нужное число
раз, является решением уравнения A), удовлетворяющим краевому условию B).
Потребовав, чтобы представленная формулой A4) функция и (xf t)
удовлетворяла и начальным условиям C) или D), получаем
2 адХ*(*)=Ф(*), 2 М* (*> = *(*> <15>
Л = 1 fc=l
или соответственно
2 alXh(x) = q?[x). A5")
* = l
Когда система собственных функций A1) является полной и ортонорми-
рованной для определения коэффициентов аДэ Р^, ajj, из A5) и A5*) имеем
ак = J Ф (х) X* (*) dr*, fo = J г|>ЛХ* (х) dr* A6)
а*=$фЧ*)Хд(*)Л,. A6')
d
Подставляя найденные значения аЛ, рд, а£ из A6) и A6') в A2) и A2')
соответственно, находим Гд (t). Следовательно, формула A4) дает решение
сформулированной выше смешанной задачи.
При п—\ уравнение (9) представляет собой линейное обыкновенное
дифференциальное уравнение
А (х) Х''^В (х) Х'+[С (х) + Ц Х = 0,
А(х)=:А11(х1I *! = *,
область D совпадает с полуполосой 0 < я < /, / > О и краевое условие A0)
записывается в виде
aiX'@) + M" @) = 0, a2X'(/) + 62X@ = 0, A8)
где а&, bk, £=1, 2,— постоянные, ибо в этом случае краевое условие B)
имеет вид
Wx (О, О + М (¾ 0 = 0» Wx (I, t)+b2u (/, t) f= 0. A9)
Спектральная задача A7), A8) носит название задачи Штурма—Лиувилля
(или, короче, задачи Ш—Л). Исследование задачи Ш—Л A7), A8) в общем
случае затруднительно. Оно сильно осложняется, когда в отдельных точках
75

интервала изменения переменного х коэффициент А (х) равен нулю. В этом
случае становится необходимым ввести в рассмотрение специальные функции.
Когда л=1 и коэффициенты уравнения A) постоянные, решение задачи
Ш—Л A7), A8) строится явно. Так, например, в случае уравнения
колебаний струны
"**— -^2 "« = 0, а = const,
уравнения (8) и* A7) имеют вид
T''(t) + a2XT = 0f (8')
X"(x) + KX(x) = Q, 0<x<t. A7')
Ради простоты рассуждения будем считать, что в краевых условиях A8)
a1 — a2=^0t b1 = b2^\i / = я, т. е.
X @) = 0, Х(л) = 0. A8')
Спектр задачи A7'), A8*) совпадает с последовательностью натуральных
чисел, а система линейно независимых собственных функций Хъ (х) = sin kxf
k—l> 2, ..., является полной в интервале @, зх). Решение же Т^ (/)
уравнения (8'), соответствующее %~к2, дается формулой
Tk(t) — a* cos akt + Рд s i n akt.
В этих же предположениях в случае уравнения теплопроводности
a2UxX—ut = 0
собственными функциями являются опять Xft(x) = sin kx, k—\t 2, ..., a
Tk(t) = ake~k*a2i, k=\, 2, ....
поскольку в рассматриваемом случае уравнение (8) имеет вид' Т' -\-a2k2T=0.
Метод разделения переменных позволяет строить решения смешанных
задач и в тех случаях, когда уравнение и краевые условия являются
неоднородными.
Ограничимся рассмотрением смешанной задачи
uxx--tfUtt^f(x,t), B0)
%М0, t) +М@, /) = Ц@.
WxV. *)+Ь&A, t) = v(t)t B1)
al + bl^O, fc=l, 2,
и (*, 0) = ф (*), щ (х, 0) =*= ф (*). B2)
Прежде всего заметим, что при некоторых дополнительных
предположениях относительно аъ Ьъ аъ Ь2 постоянные уъ y2i у3г ди б2, б3 можно
подобрать так, чтобы в результате замены искомой функции
u(xt t) = v(x, t) + w(xt t),
где
w(xtt) = (y1x* + y2x + y3)ii(t) + (d1x2 + 62x+6z)v(t)i
задача B0), B1), B2) будет редуцирована к смешанной задаче для уравнения
Vxx—j2-vtt = F(x, t) B0')
76

с однородными краевыми условиями
' № (О, 0+М@, 0 = 0, одЛ/, t) + b2v(l, 0 = 0 BГ)
и начальными условиями
v (*, 0) - ф! (х), и* (л:, 0) = ЧЫ W. B2')
где
F(x, /) = /(*, 0-^ + -^^,
Ф1(*) = Ф<*) —И*. 0), Ы*M^ (*)—«;*(*, 0).
Предположим, что существует полная ортонормированная система
линейно независимых собственных функций Х*(х), k=\t 2, ..., задачи Ш — Л:
Х" + ХХ = 0, B3)
азД'(О) + М @) = 0, а%Х' (/) + ЬгХ (/) = 0. B4)
Представляя функции /1, (*,^)> ф1 (*) и ¢1 М B виДе сумм рядов
F(xtt)=j?ck(t)Xk(x), B5)
QD CO
Ф1 (х) = 2 ***** <*>• * м = 2 е*х* м. B6)
будем искать решение задачи B0'), BV), B2') в виде
со
»(*. 0==2 7* @ **(*)• B7)
k=\
Подставляя выражения F(x,'t), щ(х), ^(х) и v(x,t) из B5), B6) и B7)
в уравнение B0') и условия B2х), получаем
00 ' , СО
£ \Tk(t)Xl(x)—L Tl (t)Xk (х)] -21 ck(t)Xk(x)t B8)
2 тк @) ** w = |j dhxk (x), 2 THo) ** (*) = 2 **** (*>• B9)
На основании B3) перепишем равенство B8) в виде
2 \T'k(t) + a*XkTk(t)]Xk(x)^- a* fj ch(t)Xk(x). B8й)
fc=i fe=l
В силу линейной независимости системы Хк (я), k=lt 2, ..., из B8')
и B9) для определения функций Тк (t) получаем задачу
Tl(t) + a4kTk(t) = -a*ck(t),
Г* @) = 4, T'k@) = ekt
решение которой строится в квадратурах.
Подставляя найденные значения 7^ (я) в правую часть B7), при
соблюдении условий, налагаемых на функции F, ^>г и %, обеспечивающих равномер-
со
ную сходимость ряда 2 ?k @ Xk W и рядов, полученных из него почленным
/е=1
77

дифференцированием достаточное число раз, получаем решение задачи B0'),
B1'), B2').
Когда правая часть уравнения B0) является функцией лишь
переменной ху т. е.
/(*, /)-/(*),
и в краевых условиях B1) правые части ^=^0,^ = ^0 постоянны, причем
аф2—афъ — ЬМФ 0, C0)
в результате замены искомой функции
и(х, t) = v(x, t)+w(x),
где
axw' @)+bxw @) = fi0, a2w' (l) + b2w (/) =v0, C1)
задача B0), B1), B2) редуцируется к смешанной задаче для однородного
уравнения
с однородными краевыми условиями
<V*(°. t)+biv@, 0 = 0, a#x(l, t) + b2v(l, 0 = 0
и с начальными условиями
v(x, 0) = <p(#) — w (x), vt(xt 0) = ty(x).
Задача же C1) при соблюдении условия C0) всегда имеет решение.
Методом разделения переменных пользуются также и при построении
решений определенных классов уравнений эллиптического типа.
Г. Задачи для волнового уравнения
458. Построить набор решений и(х$ t) уравнения колебаний
струны uxx = uit в виде и\х> t) = v(x)w(t).
459. В полуполосе а<х <bt t > 0 построить решение
краевой задачи
ихх = щи и (a, t) = u(b, 0 = 0.
Единственно ли ее решение?
460. В пол у полосе 0 < х < я, * > 0 решить задачу
"** = и**. и@, t) = u(n, 0 = 0,
и{х, 0) = <р(*). Щ{х, 0) = *(*)■
где <р(х), ф@) = ф(я) = 0, ф" @) = ф"(я)=0 и ф(*), ¢@) =
= я|з (я) = 0,--- достаточно гладкие функции (основная смешанная
задача).
461. Обладает ли свойством единственности решение задачи 460?
462. В полосе 0 < л; < я, —оо < £ < оо найти собственные
колебания (гармоники), соответствующие краевой задаче
и** = utu и @, 0 = ux (я, t) = 0.
78

В полуп^осе 0 < # < /, / > Одля уравнения ии = а2ихх
решить смешанные задачи со следующими условиями:
463. а @, t) = u(l, 0 = 0,
u(x, 0) = 0, ut(xf 0) = sin-у-а:.
464. а @, t) = u(lt 0 = 0,
и(х, 0) = ф(а:), щ(х, 0) =\J?(x).
465. а@, t) = ux(l9 0 = 0,
а(х, 0) = sin-27-я, ut(x, 0) = cos-^j-a;.
466. а @, t) = ux(ly 0 = 0,
л7 Зя
а (ху 0) = #, и* (Ху 0) = sin г^т- х + sin -gy- x
467. ux@9 t) == и {lу 0 = 0,
*/(#, 0) = cos-~-#, ut(Xy 0) = cos-~~a:+cos-^-a;.
468. ^@, t) = u(l, /) = 0, и(х, 0) = ф(х), ut(x, 0) = \|?(x)..
469. ^@, t) = ux(l, 0 = 0, u(Xy 0) = x9 ut(Xy 0)=1.
470. ^,@, t) = ux(l, 0 = 0, w(x, 0) = ф(х), at(x, 0) = iJ)(a:).
471. и@, t) = ux(l9 t) + hu(lf 0 = 0,
a(x, 0) = ф(д:), Ht(*» 0) = il?(x), h > O.
472. MO, 0 = M'. 0+ *«('. 0 = 0,
и (xf 0) = 0, % (a:, 0) = 1, ft>0.
473. ^@, t)~hu{Oy t) = ux(l, 0 = 0,
* а(х, 0) = ф(#), wf(*> 0)=i|)(a;), A > O.
474. MO, t)—hu (Oy t) = ux(l, t) + hu{ly 0 = 0,
m(#, 0)=>ф(л;), tit(Xy 0)==^(x)y /*>0.
В полуполосе 0 < x < /, / > О решить смешанные задачи:
475. utt = a*uxx + f(x)9 u(Oy t) = a, и{1, 0 = Р,
и(Ху 0) = щ(Ху 0) = 0.-
476. uti = a2uxx + f(x)y ux{Ot t) = at их{19 0 = Р,
и(Ху 0) = ф(х), щ(Ху 0) = ^(х).
477. utt = a*uxx + f(x)9
МО, t) — hll(Ot 0=ai
и(/, 0 = Р» и (я, 0) = ф(х), ut{Xy 0)=\j)(x), /i>0.
478. utt = a*uxx + f(x)9
МО, t) = ay ux(ly t) + hu(l9t) = $9
u(Xy 0)=.ut{Xy 0) = 0, ft>0.
479. utt = uXXy
M°> t) — hu{Oy 0=a> M^> t) + hu(ltt) = —a9
и (Ху 0) = 0, щ (Xy 0) = 0.
79

Пользуясь заменой и(х, t) = v(x, t) + w(x9 t)t подобрать
функцию w (x, t) так, чтобы приведенные ниже задачи редуцировались
к задачам для неоднородного уравнения vxx—vtt = F (xt t) с
однородными краевыми условиями и соответствующим образом
измененными начальными условиями:
480. ихх = щи
и @, 0 = И0, и{1, 0 = v@,
и{х, 0) = ф(л:), щ(х, 0) = t|>(x).
481. ихх = иш их @, /) = р, (О, и (/, t) = v (О,
и(х, 0) = ф(л:), щ(х, 0) = 0.
482. ихх = ип + !(х9 t)9
и@, 0 = И0, tix(lf t) + hu{l, t) = v(t), ft>0,
w(#, 0) = 0, щ (х, 0) = ty(#).
483. uxx = utt + f{x, t),
ux{0, t)—hu@, t) = ii{t), h>0, ux(l, t) = v(t),
u(x, 0) = ф(л:), щ{х, 0) = г|)(л;).
484. uxx = uiU
МО, *)-/ш@, 0 = И0> M*. t) + gu(t, 0 = v@,
ft>0, g>0,
Ц(л:, 0) = 0, wt(x, 0) = 0.
В полуполосе 0<х</, £ > 0 решить смешанные задачи для
уравнения uit = a?uxx + f (x, t) с начальными условиями и (ху 0)=0,
ut(xt 0) = 0 и следующими граничными условиями:
485. и @, t) = и (Z, 0 = 0, / (х, 0 = Л<г' sin у *.
486. и@, t) = u{l, ^) = 0, /(л:, *) = Л*в-*.
487. н@, 0 = М'> 0 = 0, f(x, 0 = ^ sin**
488. и@, t) = ux{lf 0 = 0.
489. ux@, 0 = «(A 0=0, /(X, 0==^-'cos-~-*.
490. M0, 0 = M'> 0 = 0.
Решить следующие смешанные задачи:
491. ихх = щь и@, t) = t\ u(nt t) = t3,
и (я, 0) = sin х, щ (х, 0) = 0, 0 < х < я, £ > 0.
492. ихх = щи и@у 0=£-', и (я, 0 = *»
и(х, 0) = sin л; cos я,
ut(x9 0)=1, 0<x< я, t>0.
493. ихх = щи а@, 0 = ^» и* (я, 0=1,
а (х, 0) = sin у *, M*i 0)==1» 0<л;<я, t > 0.
80

494. utt = a?uXX9 ux@, 0 = 0» U*{1> /) = Л^т,
Aa ch — Aa ch —
u(xt 0) = Д, и,(*> 0)== ~,
sh-i sh-i-
a a
0<д:</, *>0.
495. utt = a2uxx +sin 2tf
ux @, 0 == 0, ux (/, 0=4 sin~ sin 2/,
и(х, 0)=0, at(jc, 0) = - 2cos^, 0<*</, t > 0.
496. Указать задачи, к которым при разделении переменных
и(х, у у t) = v(x, y)w(t) редуцируется смешанная краевая задача
Ux* + uyv—utt = 0* C2)
u(xf у, 0 = 0, />0, (*,*/)€ С,
и (а:, г/, 0) = ф (*, г/), щ {х, у} 0) = t|) (*, у), {х, y)£G, { '
где G —область плоскости переменных х, у с границей С, а ф (я, у)
и i|>(#, у)—заданные непрерывные функции.
497. Доказать единственность решения смешанной • краевой
задачи C2), C3), см. 496.
Для задачи
vxx + vyy + Xv = 0t (x9y)£G, C4)
v{x, (/) = 0, (х, у) € С, C5)
где G—плоская область с границей С,жа Я—параметр,
показать, что:
498. Собственные числа положительны.
499. Собственные функции vk{x> у) и vm(x, у),
соответствующие собственным числам %к и Хт, ЯЛ9=Ят, ортогональны, т. е.
$М*> y)vm{x, y)dxdy = 0.
500. Пренебрегая реакцией окружающей среды, определить
поперечные колебания прямоугольной мембраны 0^ x^s, O^y^p
с жестко закрепленным краем для случаев, когда:
а) начальное отклонение мембраны равно sin — л; sin — у, а
начальная скорость равна' нулю;
б) в начальный момент / = 0 мембрана получает поперечный
сосредоточенный импульс / в точке (х0, у0), 0 < х0 < s, 0 < yQ < р¥
а начальное положение—покой;
в) колебания вызваны непрерывно распределенной по
мембране поперечной силой с плотностью
/(#, у, 0 = £""** sin-у у.
81

501. В прямоугольной мембране 0<*<!s, 0<1#<р часть
границы x = s9 0<^<p и f/ = p,0<x<s свободна, а остальная
часть закреплена жестко. Пренебрегая реакцией окружающей
среды, найти поперечные Колебания мембраны, вызванные:
а) начальным отклонением Аху\
б) поперечным сосредоточенным импульсом /, сообщенным
мембране в начальный момент / = 0 в точке (л:0, у0), 0<xQ<st
0 < у0 < р.
2°. Задачи для уравнений параболического типа
В полуполосе 0<х</, £ > 0 для уравнения щ = а2ихх
решить смешанные задачи со следующими условиями:
502. и@9 t) = u(l9 0 = 0, и(х9 0) = Ах.
503. и{0, t) = ux(l, 0 = 0, и(х, 0) = ф(л:).
504. их{09 t) = u(l9 0 = 0, и(х9 0) = АA—х).
505. их@9 t) = ux(l9 0=0, и{х, 0) = U.
506. их@9 t) = ux{l9 t) + hu(l, 0 = 0, и{х9 0) = ф(х), А>0.
507. их{09 t) — hu@t t) = u(l9 0 = 0, и(х9 0) = U, А > 0.
508. их@9 t)—hu{0, t) = ux(l9 t) + hu{l, 0 = 0,
u(x, 0) = (/, A>0.
В полуполосе 0<х < I, / > 0 решить следующие смешанные
задачи:
509. ut = a2uxx—$u9
ы@, t) = u{l9 0 = 0, и(х9 0) = ф(*).
510. щ =а2ихх—$и9
"@, 0=MU)=0, t*(x,0) = sin^.
511. щ = а2ихх—р*г,
их @, 0 = их (/, 0 = 0, и (х9 0) = <р (х).
512. щ = а2ихх—$и9
их @, *)—Аи @, 0 = их (/, 0 =0, и (х9 0) = (/, Л > 0.
513. ut = a2uXX9
u@9t) = T9 u(l9t) = U9 и(х90)=0.
■514. wt == a2w^+ /(*),
и @,0 = 0, ux(l9t) = q9 и(*,0) = ф(х).
515. щ==а2иХХ9
их @, 0 = и* (/, 0 = 9, и (х9 0) = Л*.
516. щ=а2иХХ9
и@, 0 = 7\ М/, t) + hu{l9 t)**U9 и(х9 0)=0, /i>0.

517. щ = а?ихх—pw + sin-y-,
u{09t) = u(l9 t)=09 и(*,0) = 0.
518. ut = a2uXX9
и (О, 0 = 0, ux (/, 0 = Лв-*, и (х9 0) = 7\
519. щ = а2иХХ9
их@, 0 = At9 их(/, <)«Г, и(х, 0)-0.
« 520. Начальная температура однородного шара 0 < г < R
радиуса R с центром в начале координат равна Т. Найти
температуру шара для случаев, когда:
а) поверхность шара поддерживается при температуре,
равной нулю;
б) внутрь шара через его поверхность подается постоянный
тепловой поток плотности q.
521. Начальная температура бесконечного прямоугольного
стержня 0^х^.р9 O^y^s, — oo<2<oo является
произвольной функцией f(x9y). Определить температуру в стержне,
когда:
а) часть поверхности стержня л; = 0, 0 < # < s
теплоизолирована, а остальная часть его поверхности поддерживается при
нулевой температуре;
б) на части поверхности х = р9 0<#<s происходит
конвективный теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру,
часть у —0, 0<#</?—теплоизолирована, а остальная
поверхность стержня поддерживается при нулевой температуре.
522. В кубе О^л:, у, z</ происходит диффузия вещества,
частицы которого распадаются со скоростью, пропорциональной
его концентрации. Определить концентрацию вещества в этом
кубе, если начальная концентрация вещества в нем постоянна
и равна U. Концентрация вещества на границе куба
поддерживается равной нулю.
3°. Задачи для эллиптических уравнений
523. Найти решения и (х, у) уравнения Лапласа в
прямоугольнике 0 < л; < /?, 0 < # < s, удовлетворяющие соответственно
краевым условиям:
а) и@,у)=:их(р,у) = 0, и(х9 0)=0, u(x9s)=f(x);
б) их @, у) = их (р9 у) = 0, и {х9 0) = А, и {xf s) = Вх\
в) u@9y) = U9 их(р9у) = 09 uy(x90) = Tsin£L9u{x9s) = 0.
524. Найти решения уравнения Лапласа в полуполосе
0<#<oo, 0<*/</ соответственно по краевым условиям:
а) и(х9 0) = «у(*,/) = 0, u@9y) = f(y)9 u(oo9y) = 0;.
б) иу (х9 0) = uy (x9 I) + hu {х9 0 = 0, и @, у) = / (у)9
u(oo,r/) = 0, h>0.
83

525. Найти гармонические функции и(гуц>) внутри кольца
a<r < b, удовлетворяющие соответственно краевым условиям:
а) и (а, ф) = 0, u(bt cp) = cos(p;
б) и (а, ф) = А, и (Ь, ф) = В sin 2ф;
в) иг(а9 ф) = ^соэф, u(bt <p) = Q + T sm2q>.
526. Найти гармонические функции в круговом секторе
О < г < /?, 0<ф<а, удовлетворяющие соответственно
краевым условиям:
а) и (г, 0) == и (г, а) = 0, и (R, ф) = Лф;
б) иФ(г,0) = и(г,а) = 0, и(Ц, <p) = f(<p).
§ 2. Специальные функции. Асимптотические разложения
1°. Задачи с использованием специальных функций
Как уже было отмечено выше, при решении ряда смешанных задач
с одним пространственным переменным часто приходится иметь дело с
обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями второго порядка,
коэффициенты которых при старших производных в отдельных точках
рассматриваемого интервала обращаются в нуль. Решения этих уравнений
принято называть специальными функциями.
К такому классу обыкновенных дифференциальных уравнений относятся,
например:
1. Уравнение Бесселя
*V+;w* + (*2 — \i2)v = 0, [i = const,
решения которого называются бесселевыми или цилиндрическими функциями
порядка \i.
2. Уравнение Чебышёва
A—jc*)o*—jw* + n4i = 0, rt==const,
решения которого называются функциями Чебышёва.
3., Уравнение Лагерра
xb" + (l—x)v' + Xv = 0t Я == const,
решения которого называются функциями Лагерра.
'^4. Уравнение Лежандра
A— x*)vw— 2*y" + m(m+1H = 0, m = const,
решения которого называются функциями Лежандра.
5. Уравнение для присоединенных функций Лежандр.а
A —*2) v"— 2xv» + \щ(т + 1)—-2L1 v = 0,
m = const, л = const.
84

527. Показать, что для бесселевых функций
I—'*Г 23ГГ
имеют место тождества
Jn(*) - 2L (— '*)* 2n+*t*k\ (n+k)\ ' n~~1' 2'
Jn~i(*)+ J»+iW =*Ц-J'nit)'
J.-i(x)-J« + tix) = M'n{x)9
xJ'n(x) = — xJn+1(x) + nJn(x).
528. Проверить справедливость интегрального представления
для бесселезой функции
1
1 / \ 2 Г cos tx л.
J0(x)=— I . at.
о
529. Показать, что
Jo(x) = — J1(x)9
J№)=?[J*{x)-J.(x)]. ,
530. Проверить справедливость тождеств
(a*-&*)xJn(ax)Jn®x) =
= 4х~\х]» (ах) "S" J» № ~xJ» (N "Sп (ах)] »
2а^/»(ах) = -^{(oc2*2-n2) JJ(а*) + [*■£■ /я (ос*)]*} ,
где а и р—постоянные, a n> — 1.
531. При я > — 1 показать, что:
если /л(а)= J„(P) = 0, то
^ xJn (ал:) ./„ фл:) d# = 0, а =^ Р,
о
1
^л;/2(ах)^л;== -J-«^+i(a);
о
а если »/w+i(a) = 0, то
1
J xJ* (owe) dJC = -g- ^¾ (a).
85

532. Пользуясь результатом задачи 531, показать, что корни
уравнения «/n(#) = 0, м = 0, 1, . . ., могут быть только
действительными и, кроме того, уравнения Jn(x) = 0 и Jm(x) = 0,
и, m ==0, 1, ..., пфт, не могут иметь общих корней, отличных
от нуля (при п > О, т > 0).
533. Показать, что функции
ип (г, ft) = In (\ir) cos ftft,
vn(r,$) = In(ixr)s'mn$9 n±=0, 1, ...,
где /„ {х) — бесселева функция с чисто мнимым аргументом,
т.е. In(x) = im-nJn(ix)f удовлетворяют уравнению
Аи—(л2и = 0, х2 + у* = г2, х = г cos ft, у = r sin ft.
534. Определяя, бесселеву функцию «/„(*) для любого
индекса я'как сумму ряда
вывести формулы
^ W = ]/~г sin х, J_^ (х) = Y-L. cos *.
535. Показать, что заменой я = cos ft уравнение Чебышёва
A— x2)v"—xv' + n2v = 0
приводится к виду
+ п2и = 0,
dft2
где и (ft) = tf (cosft).
536. Пользуясь формулой
cosnft = coswft — ( g) cos"-aftsin2ft+...,
проверить, что функция Чебышёва
Тп (х) =~ [(х +1 |/Т=* )я + (x-iVT=7*)n]
представляет собой полином степени п.
537. Построить полиномы Чебышёва
Т.(х), Т±{х)у Тш(х), Ть(х).
538. Доказать ортогональность полиномов Чебышёва с
весом -~ в интервале (— 1, 1), т. е. что
Y * X
1
Тп(х)Тя(х) dx==Q ^,
\
86

539. Вычислить норму
\\Т
п , / f T%(x)dx
полинома Чебышёва Тп(х).
540. Показать, что функции
Ln{x) = ±e*-^(&e-*)9 л = 0, 1,...,
являются решениями уравнения Лагерра
xif+(l—x)v' + nv = 0.
541. Вычислить коэффициенты полиномов Лагерра
L0(x)9 Lt{x)f L2{x), L3{x).
542. Показать, что
]e"xLn(x)Lm{x)dx = Ot пфт.
о
543. Показать, что
00
IILJI2- $e-*LUx)dx=l.
о
544. Пользуясь формулами,
«S (х, У, г) = 2- (- 1)" "(SoT А" (*а#т-а)> « = 0 "*,
*C#+i(x,y,*)= £ (-l)nBn+1)! A»(^jT-g"')> Р=0,...,т-1,
найти все линейно независимые шаровые функции степени 3,
зависящие от переменных х, у> z.
545. Исходя из формулы
^(Ф,*) = г*ар(-^-,^, £-), fc = 0, ...,2m,
и из результатов задачи 544, найти сферические функции
Лапласа Кз(ф, Ь)9 k = 0, ..., 6.
546. Показать (выборочно), что сферические функции Лапласа
^а(ф»Ф) (например, Kjj) удовлетворяют уравнению
1 dw , 1 _э_ / . ч ar \ , 10V__n
sin2о ач>«+ИпТдО ^sint>-^|-|-1^г-и.
547. Проверить, что выражения
PtV) = t9 Qi@ = ^logj±f-1
87

являются функциями Лежандра первого и второго рода
соответственно, т. е. решениями уравнения Лежандра
(l — t*)v"—2tv' + m(m+l)v = 0 C6)
при т = 1.
648. Непосредственной проверкой убедиться в том, что вы-,
ражения
Pl(t) = VT=F, Qi(o = lvrT=7i"'-iQgi±i+-p1L=r,
-Kt<\,
являются присоединенными функциями Лежандра, т. е.
решениями уравнения
A-^H--2/04-^(^+1)--^] о = 0. C7)
при ж=1, п= 1.
549. Показать, что функции
^@ = -2^-3^-О*. т==]'2
представляют собой полиномы Лежандра, т. е. решения
уравнения C6).
550. Для полиномов Лежандра показать справедливость
рекуррентных соотношений
(n + l)Pn+i(t)-Bn+l)tPn(t) + nPn^(t)=0^
551. Доказать, что при т = 0, 1, ... функции
т
^(o=£o(^fyO2y+a(i-^+(-ir(i+/)fe] C8)
представляют собой полиномы Лежандра.
552. Пользуясь выражением для Рт (t) из задачи 549,
проверить ортогональность полиномов Лежандра, т, е.
справедливость равенства
1
I Pm(t)Pn(t)dt = 0, тфп.
-1
553. Проверить, что для нормы Pm{t) имеет место равенство
554. Показать, что в. выражении сферической функции
К| (ф, §) из задачи 545, зависящий от й множитель, умножен-
88

ный на 15, представляет собой присоединенную функцию
Лежандра первого рода Pj|(cos$) = P§(/), T- е- решение уравнения
C7) при т = 3, п = 2.
555. Проверить, что если v(t)—-решение уравнения
Лежандра C6), то функция У — ~ш будет решением уравнения
(l~t*)tr.-2{n + l)ty' + (m-n)(m + n+l)y = Q.
556. Непосредственной проверкой убедиться в том, что для
функции Лежандра второго рода имеет место представление
557. Непосредственным вычислением убедиться в том, что
функция Pl(t) = 3tV\— t2, —1</<1, является
присоединенной функцией Лежандра первого рода.
558. Пользуясь результатом задачи 555, показать, что функции
Pnm(t) = (l-tr/2£zPm(t), -K*<1,
где т—целое неотрицательное число, представляют собой
присоединенные функции Лежандра, т. е. решения уравнения C7).
559. Проверить, что для присоединенных функций Лежандра
второго рода Qm(t) имеют место представления
Q&@ = (l-<')e/a-|*Q«(*b -К'<1.
560. Непосредственной проверкой убедиться в том, что
я
Pm(cos$) = ~l{cos$ + ism$co$t)mdt. C9)
о
561. Пользуясь представлением C9), показать, что для
любого целого т^О
|Р«(/)|<1, -1<*<1.
562. Показать, что на промежутке (—1, 1) полином Лежандра
Рт{х) ортогонален любому полиному степени, меньшей т.
563. Показать, что P.A)=1, Pm(-1) = (-1)^, т = 0, 1, ...
564. Пользуясь результатом задачи 560, вычислить Рт{0).
565. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функции
и{х, г/, г)= J f(z+ixcost + iy$int, t)dtf
-я
где /(т, ^—произвольная функция, аналитическая по т и
непрерывная по t> являются гармоническими.
89

566. Показать, что имеет место равенство
л
^ \ (z + ix cos t + iy sin t)m dt = rmPm (cos ft),
-л
где * = rcoscpsinft, */ = rsin(psinu, z = /-cos{h
Решение y(z) обыкновенного дифференциального уравнения
Ш=Р(*)!Г + Я(г)у' + г1г)у = 0
иногда удобно искать в виде интеграла
y(z)^K(zt t)v(t)dt, D0)
с
где С—кусочно гладкий контур, К (г, 0 —аналитическая функция
переменных г, t, удовлетворяющая уравнению с частными производными
P(*)Kzz+q(*)Kz + r(z)K = a(t)Ktt + b(t)Kt+c(t)K,
a v(t)—решение уравнения
(av)tt-(bv)t + cv = 0. D1)
567. Показать, что уравнение Бесселя
z2y" + zy' + (г2—n2) t/ = 0 D2)
имеет решение, выражающееся по формуле D0), в которой
К (г, 0 = =F^e-toita',
и для этого случая выписать уравнение D1) и его решения.
568. Предполагая, что в формуле D0) контур С на
комплексной плоскости переменного t = l + iv) имеет вид
g = 0f -оо<г]<0; —я<6<0, ч = 0; 6 = -я, 0<Г]<оо,
или
5 = 0, ~oo<ri<0; 0<5<я, Ч = 0; 6 = я, 0<г]<оо,
а /С (г, 0= e-fcsta* или /С (г, f) = —e^teeta' соответственно,
Зь «ГС
найти решения уравнения D2) в виде интегралов. Эти решения
называются функциями Ханкеля и обозначаются Н^(г) и Н%}(г).
569. Пользуясь тем, что функция Бесселя ./„(г) выражается
через функции Ханкеля в виде
Jn(z)=\[H^(z) + H^(z)]9
на основании результатов задачи 568 показать справедливость
интегрального представления бесселевой функции Jn(z) с
целочисленным индексом п
Jn(z)=^i\jcos{zsml—n%)dt
о
90

570* Показать, что для целых индексов п
/_„(*) = (-1)^B).
571. Пользуясь представлением
зт
Jn^) = ^^os(zsml—nl)dlf
о
показать равномерную ограниченность бесселевых функций с
целочисленными индексами для действительных значений г.
572. Показать гармоничность функции
и (х, у, z) = ^- С e% {z+ix sin t+iycos *>еш dt
-зт
и справедливость равенства
где %—действительная постоянная, т—целое число, # = pcoscp,
j/ = psin<p.
Методом разделения переменных (с применением специальных
функций) решить следующие задачи:
573. Однородная круглая мембрана радиуса R с центром в
начале координат и закрепленным краем совершает поперечные
колебания в среде без сопротивления. Определить колебания
мембраны, вызванные
а) начальным отклонением f(r) = A(R2— г2) мембраны;
б) постоянной начальной скоростью 0 точек мембраны/
574. Найти распределение температуры в бесконечном
однородном круглом цилиндре радиуса R, если начальная
температура цилиндра равна Or2 для случаев:
а) поверхность цилиндра теплоизолирована;
б) на поверхности цилиндра происходит конвективный
теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру;
в) температура поверхности цилиндра поддерживается
равной Т.
575. Начальная температура в однородном конечном
цилиндре 0<г<#, 0<ф<2я, 0<z</ равна A(R2 — r2)z.
Определить распределение температуры в этом'цилиндре в любой
момент времени t > 0, если:
а) боковая поверхность и нижнее основание цилиндра
поддерживаются при нулевой температуре, а верхнее основание
теплоизолировано;
б) верхнее основание поддерживается при нулевой
температуре, нижнее теплоизолировано, а на боковой поверхности
происходит теплообмен с внешней средой, имеющей нулевую
температуру.
91

576* Определить распределение - температуры в однородном
шаре радиуса R с центром в начале координат, если
температура поверхности шара поддерживается равной нулю, а
начальная температура шара равна / (г, 0).
577. Найти стационарное распределение температуры в
однородном цилиндре @<г^/?, 0^ф^2я, 0<г<1/) для случаев,.,
когда:
а) нижнее основание цилиндра имеет температуру 7\ а
остальная поверхность—температуру, равную нулю;
б) нижнее основание цилиндра имеет нулевую температуру,
верхнее теплоизолировано, а температура боковой поверхности
равна f(z);
в) в цилиндре имеются источники тепла объемной
плотности Q, и температура поверхности цилиндра равна нулю.
578. В неограниченной однородной пластине 0<> < со,
0<ф<2я, 0<z</ просверлен цилиндрический канал
радиуса R, ось которого совпадает с координатной осью z.
Определить стационарное распределение температуры в пластине, если
температура стенки цилиндрического канала равна 7\ а грани
пластины имеют нулевую температуру.
579. Концентрация некоторого газа на границе сферического
сосуда радиуса R с центром в начале координат равна f (9).
Определить стационарное распределение концентрации данного
газа:
а) внутри этого сосуда;
б) вне сосуда.
2°. Асимптотические разложения
В приложениях весьма важно иметь точное, в определенном смысле,
представление о поведении, функции вблизи интересующих исследователя
точек (например, о поведении специальных функций вблизи их особых точек).
С этой целью используются так называемые асимптотические разложения
функций.
Обозначим через Е множество точек плоскости комплексного
переменного z, для которого бесконечно удаленная точка является [предельной
точкой. Пусть на Е задана функция /(г). Рассмотрим конечную сумму
*Гог*
где aft—заданные числа.
Если для любого фиксированного я имеет место равенство
lim.2»[/(z)-S„(z)] = 0, 2£Е> D3)
то говорят, что ряд
«o+^ + ..-+J+... D4)
»2

независимо от того, сходится он или нет, является асимптотическим разло»
жением функции f(z) на £, и пишут
fc=0 г
Имея точное представление о функции Sn(z), с помощью D3) получаем
важные сведения о поведении функции f(z) на множестве Е вблизи
бесконечно удаленной точки. Из . равенства D3) для определения коэффициентов
асимптотического разложения D4) получаются формулы
an^ZUmznlf(z)-Sni1(z))t п=1, 2, ...
580. На множестве £ = {0 < z < со} найти асимптотическое
разложение функции e~z.
581. Показать на примерах, что один и тот же ряд может
служить асимптотическим разложением для различных функций.
Пользуясь интегрированием по частям, показать
справедливость асимптотических разложений:
582. $•-<■*-£ + £ ,_l>.Ii-fc!>, ,<,<,.
г k=. 1
£ = {0<г<оо}, г. ■—►со.
583
г
£ = {0<z<oo}, г—*-оо.
0 Л= 1
z —►со, jarg^l^Ji — б < п.
585; $,--,.-^-^5¾¾¾.
0<z < со, z —>•+ со, а—действительное число.
586. ?rv^^^V^±^,
0<z<co, z—* + со, а>0.
587. Основываясь на результате задачи 582, получить
асимптотическое разложение функции ошибок
, 0<2< 00, 2—*- + °°«
93

588* Отделяя действительную и мнимую части в результате
задачи 586, найти асимптотические разложения при ,*& —> + оо
для интегралов Френеля:
ОТ 00
a) Jcos$2dft; б) f sin$2dd.
С помощью интегрирования по частям получить
асимптотические разложения для следующих функций:
2 i
589. Ei(z)= \ -т-dl—интегральная показательная функция,
— 00
—оо<г<0, г—*—оо.
2
С cos £
590. Ci (г) = \ -j-*d%—интегральный косинус,
со
0<2< 00, Z—*00.
2
591. Si (z) = \ 2~ldg—интегральный синус,
00
— оо < z < оо, | г| —> оо.
С целью получения асимптотических разложений для отдельных классов
функций чаще всего пользуются методом перевала и методом Ватсона.
Ниже приводится основное содержание метода Ватсона.
Пусть на сегменте O^t^N, 0< Л/^оо, [задана непрерывная функция
<p(f). Функция F(z), представленная интегралом,
N
F(z)=\ t^(t)e-ztadtt сс>0, m> —1,
о
является аналитической.
Если на некотором сегменте O^t^^^N функция ф (t) является
суммой степенного ряда, т. е.
00
и для фиксированного значения г = г0 > О имеет место оценка
N
5 *тI Ф.@ I e~z°f(* dt <M= const,
о
то на множестве £ = {0<г< оо} при г—► <» асимптотическое разложение
функции F (г) дается формулой
5(,)«2ДгB+|±1)/—ST", D5)
где Г—гамма-функция Эйлера.
94

Для получения асимптотического разложения функции
F(z)=[ y{t)e 2 dt9 4 = const>0,
-Л
при условии, что
00
Лг=0
достаточно представить F Bг) в виде
Р Bг) = J ф @ е-**2 * + J <р (— f) е-*'г<tt
о о
и пользоваться формулой Ватсона
со 2fe+l со 2&+1
рBг)~£ «*г (ВД Г~= Г5X Csft ь8...<»-1)Г—. DУ)
fe=0 Ч т ' fe=0 2
Пользуясь методом Ватсона, показать справедливость
следующих асимптотических разложений:
™-$°-"&*~±(-»'Ш-
О k=0
О < t <сх>, 0<г<со, z—► оо, я > О (целое число)*
Г(р)
593. f tP-4-2idt~
zp
о
0<*<1, 0<z<oo, г—*оо,р>0.
594. J sin fe-**1 dt~ О, Л > 0, tf > О,
-А
0<z<oo, z—*оо.
595. jcos^" Л~/2Н£ (_l)*i±^gz±J-T^f
-1 fc=0
—1<*<2, 0<z<oo, г—► «>.
596. При z —*оо, 0<z<eo, найти асимптотическое
разложение функции
00
F(z) = le"vdt.
о
597. Показать, что
2
е' j^2d| =~[1+0A)] ПрИ Z—>00.
О
95

§ 3. Метод интегральных преобразовании
По определению функция
ь
/?(*)=$ *B, t)f(t)dt
а
называется интегральным преобразованием (образом) функции f(t)% причем
/(О называется оригиналом своего образа F (г), а функция К (z, t)~-ядром
интегрального преобразования. Интегральное преобразование над некоторым
классом функций / (О определяется выбором ядра К (z; t) и промежутка
интегрирования (а, Ь).
Пусть заданная действительная или комплексная функция f (t)
действительного переменного /, 0^/ < оо, удовлетворяет условиям:
1) /@—непрерывная всюду, кроме, быть может, конечного числа точек
разрыва первого рода;
2) существуют постоянные М > 0 и £0 > 0 такие, что
J/@1 < Me*** для всех t.
В этих предположениях интеграл
00
О
существует для всех £ с действительной частью Re £ > 5 о и представляет
собой аналитическую функцию комплексного переменного £=£ + иг] в
полуплоскости Re £ > £о«
Функция F(Q называется преобразованием Лапласа функции /@, а сама
/ @—функцией-оригиналом.
При определенных условиях оригинал /@ по известному образу F.(t)
определяется с прмощью обратного преобразования Лапласа:
оо
П()=-Ш J eia+mtr(« + Wd4, D6)
— GO
где постоянная а > 10.
Когда функция / (t) определена для всех действительных значений /,
вводится преобразование Фурье
00
F(ri)=-±=r jV'l </(<)<«. D7)
-ОО
Для существования преобразования Фурье в случае выполнения условия 1)
достаточна абсолютная сходимость интеграла
00
— 00 .
96

Обращение преобразования Фурье D7) дается формулой
оо
«0=-р=" Г в^'Пл)*!- D8)
— 00
Заметим, что если /(/)--четная функция, то преобразования Фурье D7) и D8)
переходят во взаимно обратные так называемые косинус-преобразования Фурье
09
о
а если /(f) нечетна, то соответственно — в синус-преобразования Фурье
00
F^^Vi f8in 4*7@*.
о
оо
0
Среди других интегральных преобразований отметим преобразования Хан-
келя (или Фурье—Бесселя):
со
прямое: Gn ft) = J //„ (r\t) g (t) dt,
0
oo
обратное: g(t)=*^r\Jn(r\t)GniT})dr\
о
и преобразование Меллина:
прямое: G(z)=\tz-1g(t)dti Rez = 6,
о
Ь + 19>
обратное: g(t)^~ f t~zG(z)dz, t > 0.
Интегральные преобразования позволяют получить решения ряда задач
математической физики, В качестве примера, пользуясь интегральным
преобразованием Лапласа, определим в полуполосе * > О, 0 < х < I решение и (я, t)
смешанной задачи:
а (х) ихх + Ь(х) ии+с (х) ux+d (х) щ + е(х)и = Ож
и (*, 0) =<р (*), щ (х, 0) = Ц (х), D9)
"(О, 0 = Ы0, «Р.О-МО-'
4 А. В. Бнцадзе, Д. Ф. Калиниченко 97

Пусть параметр £ и класс функций, в котором ищется решение и (х91)
этой задачи, таковы, что существуют интегралы
00
° » E0)
/^@=5^^@, t)dt, F2@= \e~Vu(l, t)dt
0 0
и законны операции
»х (*. С) = $ е'^их (х, t) dt, vxx (xf I) = J <Г&ихх (х, t) dtf
о о
00 00 /
\ e-Vut (x, t) dt =rltu (x, t) Г + £ С e-&'« (a:, 0 dt = fr (*, £)-и (x, 0), E1)
8 lo о
00
^e-Vutt(x, t)dt = ?v(x, £)-£«(*, 0)-ut(x, 0).
о
Умножая обе части уравнения и два последних условия задачи D9) на е~»'
и интегрируя по промежутку @, о») изменения t, в силу D9), E0) и E1)
получаем задачу
a(x)vXx+c(x)vx+le(x) + Zd(x) + ?b(x))v=
= £6(*)Ф(*) + &(*Ж*)+<*(*)Ф(*), E2)
v@,Q=F1(Q, v(t, £)=f2(S). E3)
Таким образом, решение смешанной задачи D9) редуцировано к
отысканию решения v(x, £) (зависящего от параметра £) краевой задачи E2), E3)
для обыкновенного дифференциального уравнения E2). Построив решение
v(x, £) задачи E2), E3), искомое решение задачи D9) можно получить при
помощи обратного преобразования Лапласа
00
«(*, 0=4г I "<*• a + i4)e(a+in)td4, a > |0.
— 00
В приложениях при решении конкретных задач для уравнений с частными
производными предпочитают пользоваться преобразованием Фурье, ибо
выполнение условий, гарантирующих существование ^обратного преобразования
Фурье, во многих случаях является естественным. При этом весьма полезную
роль играет понятие свертки.
Сверткой /*ф функций f(x) и ф (х), заданных в интервале — оо < х < оо,
00
называется интеграл \ f(t)q>(x—t)dt,T.e.
— 00
00
/*ф= J f(t)y(x-~t)dt. E4)
— оо
98

Когда существуют преобразования Фурье
F(Q = -±=- \ e~(t)dt.
/si*-'*"
Ф@=-j7=- jV"cq>M<»
и обратные преобразования
— со
00
— оо
свертке E4) можно придать вид
00
/*Ф= J РA)Ф(§е*хйЪ. E5)
— 00
Громоздкие вычисления, встречающиеся при пользовании преобразованием
Фурье, значительно упрощаются, если воспользоваться ^-функцией Дирака*
Она определяется ^как преобразование Фурье от постоянной 1/}^2я
00
b(x)==-k Ieixl<*' E6)
— 00
Преобразование, обратное E6), дается формулой
11
1^2;
2я К 2я J
Поскольку преобразование E6) в обычном понимании смысла не имеет,
приведенное выше определение 6-функции является формальным. В
современном математическом анализе дается строгое определение 6-функции как
обобщенной функции.
598. Пусть f(x), —оо < х < оо, удовлетворяет условиям
применимости прямого и обратного преобразований Фурье. Доказать
основное свойство б-функции Дирака
/*8 = /(*).
00
599. Показать справедливость равенства j 6(t)dt=l.
— 00
Заметим, что в физике 6-функцию Дирака иногда определяют как
функцию, равную нулю для всех действительных значений х, отличных от нуля,
4* 99

обращающуюся в бесконечность при # = 0 и удовлетворяющую условию
[ b(t)dt = l.
— 00
Пользуясь интегральными преобразованиями Фурье, решить
следующие задачи:
В полуплоскости —оо<л;<со, t > 0:
600. utt — а?иХХ9 и (х9 0) = ф (л:), ut (х, 0) = i|) (x).
601. utt = a2uxx + f(x9t)9 и(х90) = щ(х90) = 0.
602. ut = a2uxxt и.(х9 0) = ф (л:).
603. wt = а2ихх + f(x,t), и (х, 0) =* 0.
В четвертьпл оскости 0<л;<оо, t > 0:
604. ut = a2uXX9 u@tt) = ii(t), и (х9 0) = 0.
605. wf = a2^^, /^ @, /) = v (/), и (x9 0) = 0.
боб,- щ = a2uxx + f(x, t), и @, t) = u (x9 0) = 0.
В полупространстве — со < xt y< со, / > 0:
607. at = aa"(uxx + ttw), u(x, #, 0) = q>(x, у).
608. at = a2 (uxx + uyy) + f(x9y+ t)9 u(x9 у,0) = 0.
В части пространства —оо<л;<оо, 0<t/<co, t>0:
609. ut = a*(uxx + uyy)9 u(x,09t) = 0% и(х9 y90) = f (х9 у).
610. ut = a*(uxx + uyy)9 u(x909t) = f(x9t)9 и(х9у90) = 0.
611. Щ = а*(ихх + иуу)9 uy(x909t) = 09 u(x9y90) = f{x9y).
Пользуясь интегральным преобразованием Лапласа, решить
следующие задачи:
612. uy = uxx + a*u + f(x)9 и@9у) = их{09у) = 09
0<*<оо, 0<у<оо.
613. иу = ихх + и +В cos х9 и@9 у) = Ае-*у, их{09у) = 0.
0<д:.<со, 0<у<оо.
614. Начальная температура (при t = 0) тонкого однородного
стержня равна нулю. Определить температуру и (х9 t) в стержне
при t > 0, когда:
а) стержень имеет конечную длину @ < х < I) и
и (+о, 0 = 8 @, и (*—0. 0 = 0;
б) стержень пол у бесконечен @ < х < оо) и
и@, 0 = 6@, и(«>. 0 = 0;
в) стержень полубесконечен @ < х < оо) и
"@,0 = МО, w (со, 0 = 0;
6@ — 6-функция Дирака, а fx@ —заданная функция,
юо

615. Начиная с момента £ = 0, к концу (я = 0)
полубесконечной изолированной электрической линии подключена э.д.с. E{t)>
Найти напряжение и(х, t) для (>0 в линии, если начальное
напряжение и начальный ток в ней равны нулю, для случаев,
когда:
а) линия без потерь: /?*=G = 0;
б) линия без «искажения»: RC = LG.
616. ии—а2ихх = 0, 0<x<oo, 0<*<oo,
М0> t)—hu@, 0 = Ф@> w(oo, 0 = 0, 0<t<oo,
и (х, 0) == щ (х, 0) = 0, 0<х<оо.
Пользуясь интегральным преобразованием Ханкеля, решить
задачи:
617. Найти стационарное распределение температуры в
полупространстве 0^г<оо, 0 ^ ср <; 2я, 2 > 0 для случаев,
когда:
а) температура границы (z = 0) равна f(r)\
б) температура границы B = 0) при г < R равна Г, а при
г > R равна 0;
в) полупространство нагревается тепловым потоком
постоянной плотности q, падающим на часть границы /*<:/?, г = 0,
0<!(р<2л;. При этом на всей границе происходит теплообмен
по закону Ньютона со средой, имеющей нулевую температуру.
§ 4. Метод конечных разностей
Считая переменные х, у декартовыми ортогональными координатами точки.
на плоскости, покроем эту плоскость сетью x = mh, y = nht m, n=0, ±1, .,.,
где h—заданное положительное число. Вершины каждого квадрата
полученной сети называются узлами, а число h —шагом.
В каждом узле (х, у) при условии, что все шесть точек (я, у), (x—h, у),
(x + h, у), (х, у—Щ, (х, y + h), (x+ht y+h) принадлежат области D задания
функции и (х, у) класса СB) (D), можно считать, что
и ~ "(*» y) — u(x — hy у) _ и(х, y) — u(x,y—h)
_ u(x + h,y) + u(x—hiy) — 2u(x,y)
ихх р -,
_u(x + h, y+h) — u(x + h, y) — u(x, y+h)-\-u(xt у)
иху „ ~ %
и(х, y + h) + u(x, y—h) — 2u(x, у)
Uyy ~ ^2 .
Исходя из формул E7), заданное в области D уравнение, с частными про- I
изводными
« (*> У) ихх + 2Ь(х, у) иху + с (х, у) иуу+d (x, y)ux +
+е (х9 y)uy + f (х, y)u=g (x, у)
101

в каждом узле (я, у) приближенно можно заменить равенством
а (х, у) [и (x+h, y) + u (x—h, у) — 2и (х, у)] +
+ 2b(x,y)[u(x + h,y + h)-u(x + hfy)-u(x,y + h) + u(x,y)] +
+с(х)У)[и(х,у+к) + и(х*у-к)-2и(х,у)] +
+hd(x,y)[u(x, y)—u(x~h, y)] + he(x„y)[u(x, y) — u(x, y — h)] +
+h*Hx, y)u(x, y)=h*g(x, y). E8)
Когда точка (х, у) пробегает узлы, принадлежащие области D, в качестве
E8) мы будем иметь систему линейных алгебраических уравнений относительно
значений функции и (х, у) в указанных узлах. Некоторые из этих значений
либо прямо определяются независимо от системы E8), исходя из начальных
и краевых условий, либо эти последние порождают дополнительные к E8)
линейные алгебраические уравнения, составляющие вместе с системой E8)
приближенную сеточную замену всей исходной задачи.
Решение таким образом полученной системы линейных алгебраических
уравнений принимается за приближенное решение рассматриваемой задачи.
Например, при конечноразностной замене задачи Дирихле для гармонических
функций краевые условия учитываются следующим образом.
Обозначим через Q6 совокупность всех лежащих в области D квадратов
сети, по крайней мере одна из вершин которых удалена от границы S
области D на расстояние не большее, чем наперед заданное число б > /г, где
h—шаг сети. В каждом узле (х, у), являющемся вершиной квадрата из Q6>
за и (х, у) примем заданное на S значение <р (х, у) искомой гармонической
функции в ближайшей от (х, у) точке границы S. Когда таких точек на S
несколько, то произвольно выбираем одно какое-либо из заданных значений
функции ф в этих точках и к нему приравниваем и (х, у).
618. Найти конечноразностную замену уравнения Лапласа
ихх + иуу = 0 в области D с границей S.
619. В круге х2 + у2 < 16 найти приближенное решение задачи
Дирихле
и** + и<,у = 0. (х,У)£{х2 + у2<Щ,
и (*. у) = у {х, у), (х, у) € {х2 + у2-= 16},
считая А=1, 8 = /i+l/8 отдельно для каждого из случаев:
а) <р(*. у) = 0;
б) Ф(*, У)=1;
в) <p(*f У) = х.
Сравнить полученные приближенные решения задач с
их точными решениями, которые легко находятся
непосредственно.
620. В прямоугольнике Q с вершинами в точках А (—3, 4),
£C,4), СC, —4), D(—3, -—4) и границей S найти
приближенное решение задачи Дирихле
Uxx + Uyy^O* {x,y)€Q,
и{х> У) = ч{х, у), (х, y)£S,
102

считая h = 1, б = h +1/8. Отдельно рассмотреть случаи,
когда:
а) q>(x, y)=U
б) <р(х, #) = у;
в) <р(х, У) = х + у.
Сравнить найденные приближенные решения с точными
решениями этих задач.
Пусть D—-область плоскости х, t, ограниченная отрезками О А и MN
прямых t—0, t = H, #> 0 и гладкими кривыми ОМ и AN, каждая из
которых пересекается с прямыми t — const не более чем в одной точке.
Обозначим через 5 часть границы области D, состоящую из OMf OA и AN.
Предположим, требуется решить приближенно первую краевую задачу для
уравнения теплопроводности
"**-"*=0, (х, t)£D, E9)
и(х, *) = Ф(*. 0. (*. 0€$- F0)
Чтобы учесть краевое условие F0), обозначим через Q# совокупность всех
квадратов сети, не выходящих из замкнутой области D, а через dQ^ —
границу Qh.
Пусть <7Л—совокупность квадратов из Qh, по крайней мере одна вершина
которых лежит на dQ^, кроме внутренних квадратов самого верхнего ряда,
примыкающего к верхнему основанию области D. В узлах (я, t), являющихся
вершинами квадратов из q^, за и(х, t) примем значение <р (х, t) в ближайшей
к этому узлу точке границы S. Неизвестные значения и(х, t) в остальных
узлах, лежащих в D, находим, решая линейную алгебраическую систему,
полученную в результате конечноразностной замены уравнения E9).
621. Найти конечноразностную замену уравнения
теплопроводности ихх—ut = 0 в области, где ищется решение первой
краевой задачи E9), F0)..
622. Считая Л= 1, в прямоугольнике Q с вершинами в
точках Л@, 0), В@, 5), С D, 5), DD, 0) и границей S найти
приближенное решение первой краевой задачи
uxx—ut = 0f (х, 0€Q,
и(х, t) = y(x, t), (x, t)€Sf
если
Ф(х, 0) = х, Ф@, 0 = 0, фD, 0 = 4.
623. В прямоугольнике Q с вершинами в точках А @, 0),
5@, 3), С E, 3), DE, 0) найти приближенное решение задачи
ихх—Щ = 0> м@, 0 = 'э "E, 0 = ^ + 25/2, и(ху 0) = ^/2,
считая h= 1.
Сравнить найденное приближенное решение этой задачи с ее
точным решением и(х, t) = t + x2/2.
103

624. Считая h = 1, найти конечноразностным методом
приближенное решение и(х, у) задачи Гурса
иху = 0, 0<х<оо, 0<у<оо,
и (О, у) = Ф(»), 0<у<оо, и(х, 0) = *(х), 0<х<оо,
в узлах B, 2), B, 3), B, 4).
Отдельно рассмотреть случаи, когда:
а) ¢A/) = 0, *(*) = *;
б) Ф <</) = */, ♦(*) = (>;
в)- ф (У) = У, ♦ (*) = *.
§ 5. Вариационные методы
Встречающиеся в приложениях уравнения с частными производными часто
представляют собой уравнение Эйлера для соответствующей вариационной
задачи.
Как известно, уравнение Лапласа Аи = 0 может служить уравнением
Эйлера задачи на минимум интеграла Дирихле
D(u)=^(ul + ul)dxdy9 F1)
. D
распространенного по области D с границей S.
Непрерывные в D\JS функции с кусочно непрерывными в D
производными первого порядка и конечным интегралом Дирихле F1), совпадающие
с наперед заданной на 5 непрерывной функцией <р(х, у)у называются
допустимыми функциями. Задача об отыскании среди допустимых функций той
функции, для которой интеграл Дирихле F1) минимален, называется первой
вариационной задачей.
Если d —минимум интеграла Дирихле или вообще некоторого функционала
Ф(ы), то последовательность {un\t n = l, 2, ..., допустимых функций,
обладающая свойством
Ит Ф(ип)=сГ,
называется минимизирующей.
Центральное место в вариационных методах занимает'построение
минимизирующей последовательности. Один из методов ее построения принадлежит
Ритцу. Сущность этого метода заключается в следующем.
Пусть {ф„}, п=1, 2, ..., —полная система из класса допустимых-
функций йля функционала Ф(и). Последовательность {ф„} носит название системы
координатных функций. Составим новую последовательность
п
"я- S W*» А;=1, 2, ii4 ,
где с* —пока произвольные постоянные, и определим коэффициенты с^ так,
чтобы выражение ф„ = Ф(ил) как функция cv ».., cn было минимальным!
104

Для некоторых классов функционалов удается показать, что
последовательность {ип} является минимизирующей и ее предел дает решение
рассматриваемой вариационной задачи.
625. Показать, что если заданная на границе S области D
функция ф(д:, у) такова, что класс допустимых функций,
принимающих на S значения ф(#, у), является не пустым, то
задача Дирихле
Аи(*. 1/) = 0, (*> y)€D,
"(*, 0) = ф(*, У), (х, y)GS,
и первая вариационная задача эквивалентны.
626. Показать, что в классе допустимых функций у(х),
0^^^1, удовлетворяющих условиям у@) = 0, #A) = а,
функция у(х) = ахп минимизирует функционал
'.w-ШЮ'-^Ф*
где п—положительное целое число. Вычислить min/„(#)♦
627. Пользуясь тем фактом, что в квадрате Q: 0<х<я,
О^у^п среди допустимых функций и(х, у)> обращающихся
в нуль на границе этого квадрата, функция и(х9 */) = —sinxsiny
минимизирует функционал
1 W Н(и)' \ '
где D (и) = J (и\ + и*) dxdy, Я (и) = $ u* <кф, показать спра*
я Q
ведливость оценки
Я(а)<{0(а)
для всех допустимых функций. 0.гммте
628. Среди непрерывно дифференцируемых на сегмеш*
0<#<я функций у(х), удовлетворяющих условиям
я
у@) = */(я) = 0, ЯО0=$ if (*)<**= *•
о
найти ту, которая минимизирует функционал
п
D(y) = ly'\x)dx.

629. Показать, что для допустимых функций у(х) из
задачи 628 имеет место оценка
H(y)^D(y).
630. Найти первое приближение задачи на минимум
функционала
i
DiM)=\W* + lf + 2xy)dx, 0@) = 0A) = 0,
о
когда координатные функции берутся в виде {уп(х) = хп(х— 1)}.
631. Сводя задачу Дирихле
&и(х, */) = — 1, (х, y)£D, u(x9 у) = 0, (х9 y)£St
к задаче йа Минимум функционала
D(u)=Uul+ul—2u)dxdy9 «1=0,
D S
где D: — 1<я<1, —1<(/<1, найти первое приближение
Wi(*, у), если координатные функции имеют вид
М*. ^/) = (^-1)(^-1), *,(*. У) = (х*-\)(у*-\)(х* + у*), ...,
и, следовательно, иг(х9 y) = cv1(x9 у).
632. Задачу Дирихле
Аи{х, y) = xyf (х9 y)&Dt u(x9 y) = 09 (x9 y)€S9
свести к вариационной задаче и найти приближенное решение
их(х9 у) = сху(х—!)({/—1), если область D представляет собой
квадрат 0<*<1, 0<#<1.
633. Пусть допустимые функции для функционала F2)
определены в круге Q: х* + у2< 1 и обращаются в нуль на границе
этого круга. Пользуясь методом Ритца, найти функцию,
минимизирующую, функционал F2).
634. Пользуясь задачей 633, вывести неравенство
H(u)^CD(u)
и указать точное значение константы С в случае, когда область
Q есть круг х2+у2 < 1.

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
ГЛАВА I
1. Нет. 2. Да. 3. Нет. 4. Нет. 5. Нет. 6. Нет. 7. Первый, 8. Второй.
9. Первый. 10. Первый. П. Второй. 12. Второй. 13. Нелинейное. 14.
Квазилинейное. 15. Линейное, неоднородное. 16. Линейное, однородное. 17.
Линейное, неоднородное. 18. Нелинейное. 19. Линейное, неоднородное при h (x, у)^=0.
20. Квазилинейное. 21. Квазилинейное. 22. Квазилинейное. 23. Квазилинейное
(линейное относительно старших производных). 24. Линейное, однородное.
25. Гиперболический. 26. Эллиптический. 27. Параболический.
28. Параболический. Действительно, соответствующая этому уравнению
форма
Q (Яь Я2, Я3) = 4Я? + 2Я| - Ski+6ЯГЯ2 + ЮЯ^з + 4Я2Я8 =
=1D^+3^+5^J-
1
(Яа + 7Х8)*
в результате неособой замены переменных
1 3
^1 = -7)-51- ^2 + 4£з> ^2 = 252-7^3, Яя=5з
приводится к каноническому виду /C(li, £2, ^3)=61—51» откуда и следует
справедливость утверждения. 29. Гиперболический. 30. Эллиптический, так
как соответствующая характеристическая форма
Q (Яь Я2, h) = Я* + 2ЯЛ + 2X1 + 4Я2Я8+5Я|
положительно определена. В этом случае и в задачах 33, 35 можно
пользоваться критерием Сильвестра положительной определенности симметричной
квадратичной формы
Q = #11^1 + 2fl12XiA2 + 2Й13Л1Л3 + «22Я2 ~Ь 2«2зЯ2Я8 + #зз^3»
что заключается в положительности всех главных диагональных миноров
Лп = ап, Л2
щ
«и «12 «is |
#21 #22 Л2з ||
а*
aii ai2
«21 ^22
^33 =
аг1 а12 «1з
«21 «22 «23
«31 flS2 #33
матрицы
II а31 «23 "83II
31. Гиперболический. Соответствующая характеристическая форма
<3(*i, Я2, Яз)=Я?-4Я1Я2+2Я1Я3 + 4Я! + Я| =
= (Я1-2Я2 + ЯзJ + (Я2+Я8J-(Яа-.ЯзJ
107

в результате неособой замены
13 1 1
*1= Pl+J ^ + " Из» ^2 = у 0*2 +Из)» ^3==-2- (^2 —Из)
приводится к каноническому виду К (\iv )½ Из)=И1 + Иг—Из- 32.
Гиперболический, так как характеристическая форма
Q (Ait Л2, Л3) = Ai^ + AjAs+ ^2^3=1 "Г" (^1 + ^2+2^зJ ЗГ (^1 — ^) —^3
в результате замены
^l = Hl + H2 —Из» ^2 = ^1 — ^2 — ^3» ^3 = Из
приводится к каноническому виду К(Ци [А2»Из) = И1—Иг—Из- 33.
Эллиптический. 34. Гиперболический. Неособой заменой ^ = ^-|а2 —^з> ^2 = ^2 + Из»
Я8 = ц3 соответствующая характеристическая форма
Q (h> h> h) = bl + 2XxKt + 2X1 - 2Х2Х3 = (К + КJ + (^2 - *<зJ - *1
приводится к каноническому виду К(\*>и Иг» Из) = Hi + Иг—Из*
35. Эллиптический. 36. Параболический при у = 0\ гиперболический
при у < 0; эллиптический при у > 0. 37. Параболический при
jt = 0, уфО, и при «/ = 0, х%ф 0; гиперболический при sign х Ф sign у;
эллиптический при sign x = sign у. 38. Гиперболический. 39. Эллиптический
вдоль и = *2 + §/2; гиперболический вдоль w = 2 ]^2jo/. 40. Эллиптический
вдоль и — (х-\-уJ\ гиперболический вдоль и — х\ параболический вдоль
1 17
и^х2-\--j#2+"ТахУ- 41- Параболический вдоль и — 2у2\ эллиптический
вдоль и — 5ху; гиперболический вдоль и = х. 42. Параболический
вдоль «=-р- (*2 + */2)'» гиперболический вдоль и = 2у2. 43. Гиперболический.
44. .Гиперболический. 45. Гиперболический. 46. Эллиптический. 47.
Гиперболический вдоль ы=-—(я-j-j/J; параболический вдоль и— У~3х2. 48.
Эллиптический. 49. Параболический. 50. Вдоль решения и — х2—у2 уравнение не
принадлежит ни к одному из названных трех типов, так как /С(АЪ Я2) = 0;
ддоль и — х уравнение эллиптического типа.
51. Гиперболическое эллиптическое или параболическое, если выражение
dF dF If dF у
-— соответственно меньше, больше или равно нулю.
диххдиуу 4 \диху)
52. Эллиптический. 53. Гиперболический. 54. Параболический. 55.
Гиперболический. 56. Гиперболический. 57. Эллиптический. 58. Параболический.
59. Эллиптический. 60. Параболический. 61. Гиперболический. 62.
Гиперболический. 63. Гиперболический. 64. Параболический.
65. Гиперболический при k < 0; параболический при fc = 0; эллиптический
при k > 0. 66. Гиперболический jipn — 0,5 < k < 0,5; параболический при
k=± 0,5; эллиптический при \k | > 0,5. 67. Параболический при k — 0 и при
k = 4; эллиптический при 0 < k < 4; гиперболический при k < 0 и при k > 4.
68. Эллиптическое всюду,
о« + %~"8и==г0» 6=0—*. *П = 2*.
108

69. Параболическое всюду,
%+18^+%~9с'==0» £ = *+^ 4=*-
70. Гиперболическое всюду,
^+3^-^ + 20 = 0, £=у—*, Ti = 2«/-x.
71. Гиперболическое всюду,
^л+^^2%+5+п==0' 6 = 2*—У» Ч = *+У.
72. Параболическое всюду,
27^-105^+30^-1500-25+5^ = 0, Ъ = х + 3у, ц = х.
73. Эллиптическое всюду,
^+%+15y&-4>^v+yl+7Tn==()' 5==^~2*' чв Кб/.
74. Эллиптическое всюду,
^1 + ^-2^ + ^-0+11-5 = 0, £ = 2*~у, 4 = 3*.
75. Эллиптическое всюду,
^1 + %л=0, Е = у, ri = arctgx
76. Параболическое всюду, кроме начала координат (в начале координат
уравнение вырождается),
77. Гиперболическое всюду,
У|Л=0, |=* + arctg#, r\=x—&rcXgy.
78. Эллиптическое всюду,
^+^-2^ = 0, l = ln(x+VT+*), г1-1п(у+^Г+?).
79. Параболическое всюду, кроме начала координат (в начале координат
уравнение вырождается)*
^ + 2^ + 1^==0, geJL.ti^y.
80. Параболическое всюду, кроме координатной оси х — 0 (на оси *==0
уравнение вырождается),
2ti2 1
^ + |Г^о6"^ = 0' £=^ + ^ 4=*-
81. Гиперболическое всюду,
^n = 0, £ = *+#—cosx, т) = — х+у—cos*.
82. Параболическое всюду,
^~Ьт\еч ^-^-^ = ^ £ = *-*-—*-*, г)=*«
109

83. Параболическое при x=0, ихх = 0\ гиперболическое при х Ф О,
84. Параболическое при х = 0, иуу—0\ гиперболическое при х > О,
эллиптическое при * < О,
f^+^лл—^-^ = °» Ъ^У—х* 11 = 2/^.
85. Параболическое при t/ = 0, муу = 0; гиперболическое при у < О,
^+61^7^+^==^ 6 = у(-У)»/»+х, ri=|(-y)«/i-x;
эллиптическое при у > О,
1 2
^ *&+^т) + з| ^=°» 5="з-У3/2, *!=*.
2
86. Параболическое при л: = 0, у Ф 0, н^Н—(^+^) = 0 и при х Ф О, «/ = 0,
2
"*аН—(и* + «у) = 0 (В начале координат уравнение вырождается); гипербо-
3
лическое при х > 0, «/< 0 и при х < 0, # > 0, ^— р^Г"! D^-^) = °
(замена переменных: 5= 1^--t/ + V^*7 11= У—«/—- уТ при # > О, # < 0 и
£.= ]/"(/+ ]/"—х, х\= Y\)~- Y—-яприл: < 0, у > 0); эллиптическое при х > О,
# > 0 и при л; < 0, у < 0, ^t + Улл + З (y^H—04)=0(заменапеременных:
£ = VT, Л= ^лГпри х > 0, у > 0 и Е== j/^, 1^= V^^ при * < 0, «/ < 0).
jr
87. Параболическое на прямых x = Bk+ 1)-^-» & = 0, ±1, *..; гиперболичес-
jr
кое вне прямых я = B& +1) -^-, £ = 0, ±1, *..,
"бл +2[4—"(g-n)8! (г,г-^=0'
£ = # + cos:*;+sinx;, i\ = y-\-cosx—sin*.
88. Параболическое на осях координат я = 0 и «/ = 0, «^ = 0; гиперболическое
при я > 0, у < 0 и при х < 0, у > О,
«Ъп ~з(Е«-ц«)[B5_т,) "к-^п-б) оп] =0
2 2
(замена переменных: £=— 2 (—t/)i/* + -^- *з/2э г] = —-2(—I/I/2 —;г #3/2 при#>0,
2 2
у< 0 и| = 2(/1/24---(-^K/2, п=2^1/2—^.(—л;)з/2 прил; < 0, у > 0);
эллиптическое при х > 0, у > 0 и при * < О, t/ < 0, 0^+1^ — у 1¾ +-о~ »т|= О
ПО

(замена переменных: 6 = 2(/1/2, г\=-^хд/2 при * > О, у > О и 6 = 2 (—у)*>1*.
т]=;-|(--*K/2 при х < О, у < О).
15
89. w^+wm—jw = 09
BJ+3T)
6 = 2*+j/, ц = х, »d,ij) = tt(if|, g—2t|)=e 2 o>F,t|).
90. Ww)—u>g=0,
6 = 3*+#, ti=a;, t>(£, ti) = w(ti, 6 — 3ri)=e 4 o;(g, ц).
1 t, I ■ «
01. w^+jw+ie»^,
6=2*+#, t|=*, t>(g, nV==u(T|91 — 2i]) = e-6/e»(g, ?]).
92. Ш£Ц — 7т = 0,
6 = 2«—у, r|=x, i>F, T|) = a(f|, 2т)-5) = е-^в^(|, ij).
3
93. го^+ичт—ув>=0,
6 = 2(/-*, r\ = xf ifF, т|) = и ^ijtLt!L^=e-S-titt,(|, n).
94. Щад —2wg = 0,
/ __£ _i_t\ 151+8ч
£ = (/-*, *] = (/+*, *6,Ti) = a(!!_i, ^)==^ 32 w&ifl.
95. W£n-~w=Of
6=*-*, *] = * + (/, o(|f tD = i* C^5, 3zi)=^~^F,ri).
96. 0^ + 9^ + 4F-^) e*+n=0,
6 = У—*. 4 = 0, tr (g, v]) = fi (fi—5. Л) =e-6-*l w (g9 T|).
97. а^л — ^+6^ = 0,
6 = 0. т) = *-3(/, wF, П) = «(Г|+-36, 6)=^-4^F, t|).
98. 0^+0^-01 = 0,
6 = 2x—(/, r\=xt v\l, г]) = а(т],2т)—6) = ^+T»^F, 4)-
99. о;^ + а;т1Т1 + 2а; = 0,
6 = i/, r] = 4*-2(/, 0F,11) = 1/B+^,6)=^-4 1^F.11).
100. w^ + Wri — O,
6 = 2x-(/, *] = *+(/, иA,ч) = и(Ц2, 2П^1) «еб-^ю&ч).
101. ^+олл + ^ = 0,
6=*, 4 = —* + «/» £ = 2* —2(/ + 2.
Исходному уравнению соответствует характеристическая квадратичная
форма Q=Я?+ 2^2+2^2 + 4^3 + 5^1, которую, пользуясь, например,
методом Лагранжа, можно привести к виду Q = (Хх + Я2J +- (Я2 + 2Я8J + Х|. Обоз*
начая ^ = ^ + ^, [i2 = ^2+2X3, Цз = ^з» получим форму Q в каноническом
111

виде ^=^1+1^2+^3- Таким образом, невырожденное аффинное преобразова
II 1 -1 2
ние ^==^1-^2 + 2^3, Я2 = ц.2 —2ц3, Я3 = [х3 с матрицей Л1= 0 1 —2
1 О О 1
приводит форму Q к каноническому виду 'Q = l*f + H|+n|.
Матрица невырожденного аффинного преобразования, приводящего
исходное дифференциальное уравнение к каноническому виду, является сопряжен-
II l ° °!
ной к матрице М, т. е. М* = —-1 1 0 , а само это преобразование имеет
|| 2 -2 l||
вид
£=*, ^ = ^+^ £ = 2х—2# + г*
Пользуясь этим преобразованием и обозначая и(х> у, z) = a(£,r), ?)> находим:
^=-^^-4^+^-2^ + 4^, ^=-2^ + 1^
Подставляя найденные выражения для производных в исходное уравнение,
получим Vq + 14I) + ¾ ==0.
3 9
102. 1>и+1>т,т) — ^ +3^ + -7^-у 0£=О>~
. 6 = *. Л=-(Л: + ^ + ;г)' 5 = --^(^ + ^-2)-
103. 1^—0114-^55+2^=0,
£ = * + «/, *1=— *+«/> S=—jc—I/+-Z,
104. VQ—vm + VQ + v = 0,
£ = </ + *, и—у + «. £=-,---1,+ -^-2.
105. p-rm + t^ —8a = 0,
1 = *+у#+4г' 1 = -у(</ + 2)> te£7r|to~2>-
106. ^-^^ + ^5 + 2^-^2^+ /2^+4^ = 0,
107. ^+044-30+-^-F+4)-^ = 0.
108. ^—1^ + 40 = 0,
£ = (, + 2, T) = -t/-22, S = X-Z.
109. -0£+2у=О,
Ь = лр, Ti=—2«+у, С=ь-х + *.
110. о^— 2^=0,
£=*, tj^-ac+y, с«-з«+*.
112

111. a) K=±§p(x)u}(x9f)dr,
о
l n
6) tf= у J p (*) a? (x, t) dx+1 J) miut (*i> *>•
о i=i
I
112. a) U = T^(y\+ul(xtt)-\)dx; .
о
/
б) U=~-§ul(X>t)dx;
о
в) ¢/=-1- J и» (*, 0 Л-v! @ if @,0-v, (t) и (/, 0; *
0
' I
r) tf—J- J ^(*. 0^+f *2 @,0+ f (/, 0;
0
F—натяжение, ах и a2—коэффициенты жесткости упругого крепления.
ИЗ. a) K=-j§p(xty)u*(xty,t)dxdy;
d 1 ых
114. a) U = T^[y\ + ul(x,y,t) + ul(x,y9t)--l]dxdy;
D
б) ^=т J № (*>у' *>+ttS (*>у' °]dx dyl
D
в) £/ = Г ^[y\ + ul(xiytt) + ul(xtytt)^\]dxdy+^a(s)^(stt)ds;
D L .
г) U^^lulix.y.O + u^x.y.mdxdy+^F^y.Ouix.y.ndxdy;
D О
Г—натяжение мембраны, L—граница области D, s—точка кривой L, ds—*
элемент длины I, a (s)—коэффициент упругого крепления.
115. a) putt = Tuxxy 0<*</, *>0,
и @, *) = «(*. 0 = 0. <>0,
и(х, 0) = cp(x), «*(д:, 0) = ^(а;), 0 < * < /;
б) №t = TuXXt 0<x<lt t>0,
их@, *) = М*. p = 0, f>0,
ы(*, 0) = ср(*), Hf(*, 0) = t|)(*), 0 < х < /;
в) ptitt = Tuxx, 0<x<lt />0,
74^@.0 = -^@. 7их(/,0 = Ф@. *>0.
и(х, 0) = <р(*), ы*(*. 0) = $(*), . 0 < х < 1\
ИЗ

г) ptitt = Tuxx, 0 < л: < /, t >0,
7^@,/)-.0^@,0=0, 7^(/,/) + 0^,0 = 0, />0,
u(xf 0) = ф(*), щ(х, 0) = -ф(л:), 0 < х < /,
где 0i и 02—коэффициенты жесткости упругого крепления концов струны;
д) рип = Tuxx+F(x,t), 0<x<lt / > 0,
u@, 0 = 0, Tux(lt t) + au(l9 0 = 0, t >0,
ы(х, 0) = ф(*), и*(*. 0) = +(*). 0<*</,
0—коэффициент жесткости упругого крепления;
е) р«и = 7«^+^@$(*-*о), 0 < х < U t > 0, .
и@, /) = «(', 0 = 0, />0,
и(х, 0) = ф (х), «t (х, 0) = <ф(х), 0 < х < /.
Здесь и ниже 6 (я—?)—-6-функция Дирака (см. гл. V, § 3);
Р (*)+ S т'6 (*—*/) utt=T»xX> 0 < х < /, / > О,
t=l J
Ги*@, 0--°iH@, 0 = 0, Tux(ltJ) + o2u(l, 0 = 0, />0,
и(х, 0) = ф(х), м*(х, 0) = о|)(х), 0 < х < /,
0! и 02 — коэффициенты жесткости упругого крепления концов струны.
116. а) м«=а2А«, (х, */)£Z>, />0, а2=~,
"(*, 0,0 = 0, (x,y)£L9 />0,
и (х, у, 0) = ф (х, у), щ (х, у, 0) = -ф (х, */), (л:, t/) 6D;
б) ии = а2Аи, (х, y)£D, / > 0, я2 = ~>
— d -=0, (х, y)£Lt t > 0, v —внешняя нормаль к L,
"(*> У, 0)=ф(х, «/), и* (х, t/, 0) = i|;(x, у), (х, y)£D;
Т
в) utt = a*Au, (х, y)£Dt t > 0, a2 = -- ,
и{х*У> J _,^р(х, у, 0, (*> y)£L, t > 0, v —внешняя нормаль к L,
(/V I
и(х, у, 0) = ф(х, «/), щ(х, у, 0) = i|;(x, у), (х, y)£D,
г) uft = a2Au, (х, t/)€D, / > О, а2 = £
и(х, у, 0) = ф(х, у), и*(*> у, 0) = i|?(x, */), (л:, */)££,
v—внешняя нормаль к L, 0—коэффициент жесткости упругого крепления
края мембраны; •
1 7
д) utt=a*bu + --F(x,y,t)t (x,y)£D, t > 0, а2 = —,
«(*,#, 0 = 0, (*, #)€£, />0,
и (х, у, 0) = ф (х, ^), «((х, ^, 0) =i|5 (х, #), (х, у) £D;
Т* ft
е) utt = a?Au—aut (x, y)£Dt t >0, a2 = — , а=р»
ы(*, ^/,0 = 0, (х, 0NL, />0,
" (ж, 0, 0) = Ф(х, У), w* (*, 0. 0) = ф (х, 0), (х, #)££>,
114

где Р—коэффициент пропорциональности в выражении силы сопротивления
среды: — Р«;
ж) [р + тб(лг—х0, у—Уо)]ии = Т&и, (*, y)£D, t > 0,
«(*, У у 0 = 0, (*, y)£L,
и (х, у> 0) = <р (л:, у), щ (х, у, 0) = ^ (*, y)y (*, y)£D<
117. а) ип = а2ихх, 0 < х < /, t > 0, а2 = —,
МО, 0 = М'»0 = 0, />0,
и(*> 0) = ф(л:), М*, 0> = я1р <jc), 0 < х < I;
б) utt = a2uXXt 0<*</, />оГа2 = ~,
МО, 0 = -^/40, . tt*<U) = g^<I>@. *>°»
и(х, 0) = ф(*), М*, 0)==i|5(д:), 0 < х < I;
£
в) utt = a2uxx, 0<х<1, t > 0, а2= —■,
SEux@, 0 — <*1«@, 0 = 0, SEux(l, t) + o2u(l, 0 = 0, * > О,
и(х, 0) = ф(х), М*, 0) = л|5 (дг), 0<*</,
где ах и а2 — коэффициенты жесткости упругого крепления концов;
р
г) ип = а2ихх, 0<х<1, t>0, а2 = —,
аМ°, 0 + &ЕМО, 0 = 0, «(/, 0 = °, * > О,
ы(*, 0) = ф(*), wf (дг, 0) = гр(^), 0<х</,
где а—-коэффициент пропорциональности в выражении силы сопротивления
— ащ@, 0, действующей на конец # = 0;
д) utt = a*uxx+jF{x, 0, 0<х</, *>0, а2 = ~>
и @, t) = u(l, /)==0, * > О,
u(xt0) = (p(x), ut(xt0) = ty(x), 0<х<1\
£
е) uti = a2uxx — autt 0 < х < I, t > 0, а2 = —-,
и (О, 0 = МО, и С 0 = v@, *>0,
и(х, 0) = ф(#), м*(*, 0) = i|?(#), 0 < л: </,
где а—коэффициент пропорциональности в выражении силы сопротивления
отклонению —ащ, действующей на единицу массы;
£
ж) utt = a2uxx, 0 < # </, t > 0, а2 = —,
и @, 0 = 0, -SEux(l,t) = mutt(l, t), t>0,
и (х9 0) = ф (*), М*, 0) = ф (*), 0 <х < L
"'■»['+^>]'»»-Н{1'^*}'"}-
О < х < /, * > О,
«(О, t) = u(l, 0 = 0, * > О,
«(*, 0) = ф(*), М*, 0) = гИ*), 0<*</j

6) pSuu = E^(Sux), 0<x<l, t > О,
S@)Eux(Qf /)—ou@, /) = 0, Eux(l,t)^F(t), t > 0,
m (*, 0) =ф (л:), wt (д:, 0) = oJ? (x), 0 < x < I,
а—коэффициент жесткости упругого крепления.
119. Обозначив
at* ««-J "l(*> '>' -°°<*<0»
1 } \ М*.')> 0<*<оо,
получим задачи:
а) РЛ« = ЯЛ**, —оо < х < 0, / > О,
р2^2П==Е2и2ХХ* 0 < * < 00, / > О,
 (о, о = и2 @, о. ял* (о. t)=^2* (о, 0, t > о, "
и (л;, 0) = ф(#), «*(#, 0) = i|?(#), — оо < х < оо;
б) РЛ« = £,Л**, ~« < * < О, / > О,
р2«2« = £,2**» 0 < * < оо, / > О,
МО, 0 = МО, О, />0,
S£2tf2*@ + 0, /)-5^^@-0, /) = яшш@, /) = ти2« @, /), / > О
и(я, 0) = ф(#), м* (#, 0) = i|5(*)> 0 < я </.
120. а) vx + Lit=0, ix+Cvt = 0, 0 < x < l, / > О,
у @,/) = £(/), v (/,/) = 0, />0,
у(лг, 0) = ф(*)> *(*, 0) = ф(*), 0 < л: < /;
или:
или:
или:
116
vxx = CLvtt, 0 < х < /, / > О,
у @,/) = £(/), ^(/,/) = 0, />0,
у (ж, 0) = ф (х), Су* (х, 0) = — ф' (*), 0 < * < /;
ixx = CLitt, 0<х<1, / > О,
'* (О, 0=-С£* (/), /* (/, 0 = 0, / > О,
i (*, 0) = ф (*), Lit (х, 0) = —1|/ (*), 0 < л: < /;
б) v* + Ltt=0, i*+Cy* = 0, 0<х</, *>0,
Co»t@, /Ж @, 0 = 0, у(/, t)-R0i(lt /) = £(/), t > О,
у (х, 0) = ч|? (*), » (л;, 0) = ф (*)', 0 < х < /;
vxx = CLvtt, 0<*</, />0,
Щ,у« (О, 0-¾@, 0 = 0, Lo*(/, t) + R0vx(lt /) = £' (/), / > О,
v(x, 0) = я|? (л:), У*(*,0) = -1ф'(л:), 0<*</;
ixx=CLitit Q <х<1, / > О,
С0*х @, /) -С/ @, /) = 0, ix(l, /) +CR0it(tt /) = £'(/), />0,
i (л:, 0) = ф (*), i, (*, 0) = —-~г|/ (*), 0 < х < /;
в) у*+ /,/* = О, /*+Су* = 0, 0 < х < U / > О,
L0{t(o,t)+v(o,/)=£(o, iA(/, 0-^(/,0=6, />о,
/ (*, 0) = ф (*), у (*, 0) = -ф (*), 0 < х < I;
vxx = CLvtti 0<х<1, />0,
L0Vx @, 0 - Lv @, /) = — LE (t\, Ltvx (U /) + Ly (/,/) = 0, / > О,
у (х, 0) = ф (*), у* (*, 0) = - •£ ф' (*), 0 < х < I;

ixx=CLitu 0<*</, *>0,
LoCin{Q,t)-ix(QJ)=CE*(t)t CLfrtV, 0 + M*. 0 = 0, i > 0,
/(*, 0) = ф(*). /*(*, 0) = - ~г|/(*), 0<*</.
121. a) vx + Lit + Ri=*Q9 ix + Cvt + Gv = 0t 0 < x < U t > 0,
у @, 0 + Roi @, 0 = 0, i> (/, 0 - R,i (/, 0 = £ @> / > 0,
i (x, 0) = <p (л;), i> (л;, 0) =i|) (a:), 0 < * < /;
или:
vxx=CLvtt + (CR + GL)vt+GRv, 0 < x </, i > 0,
#0f * @,0- ^¾ @, t) - ft @, 0 = 0,
%(/, *) + &*(/, t) + Rv(t> t) = LE' (t) + RE(t), t > 0,
i с
v(x,Q) = q>(x), vt(x,0) = — -£q>*(x)—£q>(x),0<x<l;
ixx=CLin + (C/? + GL) it + GRi, 0 < x < /, t > 0,
/* @, t)-CR0it @, t)-GRQi @, 0 = 0,
' *х(/, 0+СЯЛ(/, t) + GRli(l> 0 = -C£' (t)-GE(t), t > 0,
*(*,0) = q>(*), i'*(*. 0) = - j*'W-Х"Ф (*). 0<x</;
6) i>x + Lif + #/ = 0, ix+ 0¾+ 60 = 0, 0 < x < /, * > 0,
o@, 0+boMO, 0+^@, 0=o, *(/,f)-LA(U)~£<0. *>o,
i(x, 0) = ф(х), и (*, 0) = ^ (х), 0<x</.
Для определения тока i (x, t) можно поставить задачу:
ixx = CLitt + (CR + GL) it + GRi, 0 < x < I, t > 0,
CLo't* @, 0 + (C/?0 + ^o) *t @, t)-ix @, О + ОЛо' @, 0 = 0, i > 0,
CL^t(/, t) + GL\it(U t) + ix(U t)+CE' (t) + GE(t) = 0, / > 0,
»(*> 0) = ф (x), it (x, 0) = — ±- W (x) + R<f> (*)], 0<x<l.
122. 3M^=^^E¾). 0<*</, *>0. a* = A,
и* @,/) = «*(/, 0 = 0, *>0,
u(x, 0) = ф(х), 0 < x < /;
и(х, 0) = ф(х), 0 < x < /;
"x @, 0-Ai 1«ЯГ,0-*@] = 0,
. «* (/. 0+fti [«(i, о - e @1=о. о о,
/1/=¾., / = 1,2,
u(x, 0) = <p(x), 0<*<Z,
где х, —коэффициенты внешней теплопроводности при теплообмене на концах;
k
■».'#-*![«
да
0< х< /, * >0, а2 = - ,
«(О, 0 = М0, kS(l)ux(lt t)+cmut(l, 0 = 0, Г>0,
"(*, 0) = ф(х), 0<х< /;~
117

£S @) их @, t)—cmut @, 0 = 0, / > 0,
kS(l)ux(l, t)+cmut(l, t) = q(t), t > 0,
w(*, 0) = <p(*), 0<x</.
123. а) щ = а*иХХ9 0 < x < I, t > 0, a2 = —,
e@f 0 = f*@, «*('. 0 = 0, *>0,
u(x, 0) = ф(лг), 0<*< /,
a—коэффициент пористости сечения, равный отношению площади пор в
данном сечении к площади этого сечения;
б) щ = а*ихх; 0<x<lt t > 0, a2=—,
«(л:, 0) = ф(*), 0 < * < /,
где а—коэффициент пористости сечения, равный отношению площади пор
в данном сечении к площади этого сечения, а d — коэффициент (внешней)
диффузии через пористую перегородку.
124^)^ = -^^-^+^-,@+^-, 0<*</, *>0,
*Smx@, 0 = «*t@, 0. bSux (/, t) = Qut(t, t), t > 0,
u(x, 0) = ф(*), 0< x < /,
p — коэффициент пропорциональности в формуле q=$I2RAx, выражающей
количество тепла, выделяемое током в единицу времени в элементе провода
(*, х + Д*);
It ко ко 1
б) »t = -uxx~^u + -^v(t)+7^F(x, t), 0<*</, />0,
kSux@, t)=cut@t t), kSux(l% t) = Qut(l, t), t>0,
u(x, 0) = ф(*), 0< x< /;
v k a ко , ко . ,v Л ,
в) ^ = -^~^5«t-^W+^,@, 0<*</, *>0,
/^@,0 = ^@.0. kSux(lt t) = Qut(tt f)t t>0,
u(xt 0) = ф(д:), 0 <x < /,
a —коэффициент пропорциональности в формуле q = aUfSAxt выражающей
количество тепла, поглощенного объемом 5 Д# элемента стержня (я, х-\-кх).
125. а) ^ = 0^-^^-^^-,@1, 0 < х < /, * > 0,
МО, 0—~[И0, /)-,@1=0, их(/, 0+75-Iй С 0-о@]=о, *>о,
и(х, 0) = ф(л:), 0 < х < /,
7—коэффициент пропорциональности при распаде, d—коэффициент внешней
диффузии (через пористую перегородку);
118

rrsf
6) ut = Duxx+yuut—g.[u—u(t)], 0<x<l, t>0,
MO, t)~[u(о,о-»@]=о, ^0+4^(^)-^@1=0, *>o,
w(*, 0) = ф(*), 0<л:< /,
Y—коэффициент пропорциональности при размножении (коэффициент
размножения), fif—коэффициент внешней диффузии (через пористую перегородку).
126. а) щ = а*Аги-ри, 0<г < R, t > 0, а2 = ~, 0 = -,
ср ср
дг ' > '
u(rt 0) = 7\ 0<r <#,
где A/-" = -gpr+—^-=72"g7 vr TJ ~~ Радиальная часть оператора Лапласа
в сферической системе координат, а—-коэффициент поглощения тепла;
б) ut = a*Arii + lL9 0<г<Д, «2 = ~,'
*^+oe(R@ = 0, *>0,'
м(г, 0) = 7\ 0<r < #,
где A ru =--^-^- f r2-^-J—радиальная часть оператора Лапласа в сферической
системе координат, а—коэффициент внешней теплопроводности (теплообмена).
127. a) kAu — yw + Q = 0, 0<r < r0, 0 < z < ft, t > 0,
tt(r, 0) = ii (r, ft) = 0, 0<r<r0, *"<** г) = 0> 0<z<ht
у — коэффициент распада газа;
6) kAu — ym + Q = 0, 0<r<r0, 0<2<ft, * >0,
D—^-*-da(r, 0) = 0, D—l^+dtt(r, ft) = 0,
* . 0<r<ro, и (/"о, 2) = 0, 0 < 2 < ft,
где d—коэффициент внешней диффузии (обмена), у—коэффициент распада газа.
130. ty(x, y) = const есть семейство линий тока.
131. б) f(x, у) пропорциональна силе, действующей в точках (х> y)£S
в направлении, ортогональном к плоскости покоя мембраны.
ГЛАВА II
132. Как известно из курса анализа, при переходе от декартовых
ортогональных координат хъ *.., хп к произвольным криволинейным кбординатам
Уи *••» Уп выражение
a«=l
" дЧ
,-. **
преобразуется по формуле
п
119

«*<*.-.^-2¾¾.
где g=det||g//fe||, eJk — — » Gt**=*G*J—алгебраическое- дополнение элемента
£/* (или ft/) в detj^l, a
причем, когда координаты ух, *«*,#« ортогональны, g/* = 0, J фк*
где ««(ViT-VlI' ^-7^+^^^^^^1^4^^ *■'"
-7A+1¾M
1 д2«
I д f ди\ t I д2и , д*и
*^ dz2 *
I . d2w
1 д f шди\ . 1 д f . -ди\ . 1
г) Л^7^/-^^
д) ^ V(Sa-D(l-Ha) i£ Г ^Ц^ • *l] ,
^±ri/±z!llETl^l-LArilzil! ! *tll
/F^-1)A-111) ftpj/'
133. а) Гармоническая; б) гармоническая; в) гармоническая; г)
гармоническая; д) нет; е) гармоническая; ж) нет; з) гармоническая; и) гармоническая,
Непосредственные вычисления громоздкие. Следует учесть, что по
гармонической функции u = u(xv #2), приняв ее за Re/(z), z — x1-\-ix2, можно построить
функцию v(xlt x2)~\mf(z) некоторой аналитической функции f(z) = u-\-iv.
Условия Коши—Римана для нее имеют вид -^-=^- » -3-=--5—• Очевидно,
ОХх ОХ2 ОХ2 ОХг
функция w(z) = -z—f- i -^- «налитична и в силу условий Коши—Римана при-
OXi ОХх
вид w(z) = ^ *Т~' Аналитична также и функция
ди . . ди
1 1 дхх+ дхъ
нимает
w(z)
ди^_. ди_-~ (ату* i^lY '
дхх 1 дх2 \дхх) +\дхш)
ди
действительная часть которой \%Ч f ди V гаРмонична; к* гаРмониче"
\ik) +fe)
екая; л) нет*
120

134. a) k = — 3; 6) k = —2; в) k= ±2it при этом chkx2 = cos2x2\ r) fe=±3;
д) /г = 0, k = n—2 при л > 2.
135. Так как А |*|2-" = 0~при * ?* О, то
/=1
где А = ^_, £ = --£-_, |*| =-ju» ^^J^r- Учитывая гармоничность
функции ы(!) и равенства
= |1|4-4|||2|? + 4|?2^ = 1114.
i=l
2-^ cto/ dxi dxt dxt^dXf dxf"^ 2* dx/ dxt
/= l , y ' i=l
**/ " /¥° /,/
= -2 (I £ |*-2S?) £^,-2 (| \ |2-2£2) Eyb + 46,6, 2 Й-
t=i
i Ф IA
1=8 I
получаем
/= i /,/,/=1 y
h^\Г ,>¾1фa¾ЧИ,^~
=Y^ -*L Г дг ( "MiV » / */ VI -
£, as, [d*5 \M8 /¾ a*? Vl*l* /J~
-8B--I61-2¾¾.
1=1 '
Следовательно, Ду (*) = 0.
121

136. Могут.
137. у = х.
138. Функция u = cosxshy стремится к — оо при удалении точки (х, у)
в бесконечность вдоль той части ее линии уровня einxch|/=—1,
касательная к которой в точке (—я/2, 0) имеет угол наклона к оси х, равный Зя/4.
На этой части линии уровня sin x ch у = —-1 координата у убывает^ от + оо
до — оо при убывании координаты х от —я до »0.
139. <W=l/2 в точках (l/j/l.J/l/l), (--1/^2, —1/1Л2); amin = -l/2
в точках (-1/1/1, 1/1/1), A/1^2, -1//2).
НО. wmax = 4 в точках (—2, 0), B, 0); amin=— 9 в точках @, —3),
(О, 3).
141. Пусть в точке x£D функция w(x) имеет относительный отрицатель-
п
ный минимум. Тогда в этой точке wXt — 0, i = 1, ..., /г, 2 wx.x M*^0«
' t, /г=1 ' *
л
Так как квадратичную форму 2 wx.x-^fik B точке д: можно представить в
I, /г = 1 ' *
п п л
виде 2 wx*№b= 2j (^'АJ» то ^.= S 2/ig/b и» стало быть»
t\ k=l l к i, s=l * ' / = 1
л л
Дш= 2 wx.x*~ 2 Sjt^^» чт0 противоречит условию До; < 0. Аналогично
t = l ' * t, /=1
доказывается и вторая часть утверждения.
142. В задаче 139: -^-==1 в точках максимума (l/l/l, 1/yl"),
(—1/VT, —1/УТ); 1^=-1 в точках минимума (—1/УТ, 1/уТ),
Л*/
A/1^2, — 1 / У^2"). В задаче 140: -^-=4#b точках максимума B, 0), (—2, 0);
— = — 6 в точках минимума @, 3), @, —3).
143. На внутренней нормали к S в точке у0 минимума гармонической в
области D функции и(х) выберем точку x*£D так, чтобы замкнутый шар йг:
\ х — х* \ < | **—- у01 имел единственную общую точку у0 с S. Пусть замкнутый
шар d2: | х—у0 |^р < | х*—у0 | не содержит точку х*. Пересечение замкнутых
шаров &х и d2 обозначим через d и введем в рассмотрение функцию
v W^e-v Iх*'У* 12-е-^ I х~х* I2,
где у —пока произвольная положительная постоянная. В силу принципа
экстремума и (х) — и (у0) > 0 всюду в D. Выберем постоянную Я > 0 так, чтобы
на границе области d имело место неравенство —-h) (х) ^ и (х) — и (t/0).
Ввиду того, что
А [и (х) — и Ы + Ь (х)] = 2Яу {п--2у\ х-х* |2} в"? I *-** \\
за счет подбора у всегда можно считать, что Д [и (х) — u(y0)-\-Xv(x)] < 0.
Поэтому (см. задачу 141) неравенство и (х) — и (у0) ^ — Xv (x) справедливо в
замкнутой области d. Отсюда следует, что для производной^ и (х) по внешней
122

нормали V к S в точке yo£S имеет место неравенство
-¾ <-2XY | х*-у01 е-У' ** "Л"' < 0.
Аналогично доказывается вторая часть утверждения.
144. <p(z) аналитична, поскольку ее действительная U (х, у) = их и
мнимая V(ху у)=—иу части непрерывны вместе с их первыми производными и
удовлетворяют условиям Коши-—Римана
Ux — Vy=uxx + Uyy = 0, Uy+Vx=;Uxy—uxy = 0.
145. Действительная и (х, у) и мнимая v(xt у) части аналитической
функции f(z) = u(x, y) + iv(x, у) связаны между собой уравнениями Коши—-Римана
ux—vy=09 iiy^Vx — O. Поэтому выражение dv — vxdx + vydy~ — uydx + uxdy
является полным дифференциалом, так как (их)х + (иу)у — &и = 0.
Следовательно, криволинейный интеграл \dv=K — uydx-\-uxdy от произвольной
фиксированной точки (#о>#о) Д° переменной точки (х, у) в односвязной области
D не зависит от пути. В качестве пути интегрирования можно брать,
например, прямолинейные отрезки, соединяющие точки (*0, */0), (x, у0) и (х, у0),
(дс, у) и лежащие в области D, или ступенчатую ломаную с конечным числом
звеньев, соединяющую точки (х0, у0), (ху у). В рассматриваемом случае
/(z) = *»-_ 3xy* + i
^6xy0dx+^3(x*-y*)dy \+1С =
х0 у9 J
= xS-3xy* + iCx*y-y*) + i(~-3x20y0+yl + C)t
где —ЗхоУо + Уо + С—произвольная действительная постоянная.
146. / (z) = ех sin у — iex cos у + i (ехо cos y0 + С).
147. / (z) = sin * ch у + / cos x sh г/ +* (—cos x0 sh */0 + С).
148. и(*, y) = xzy —xys + Cy + C0, где С и С0 — произвольные
действительные постоянные.
149. и(х, у, z) = xzexcosy — zyexsiny-\-z2 — x2 + <p(x, у),
где ф (х, у)—-произвольная действительная гармоническая функция.
150. Гармоническая в области D функция и(х, у) аналитична в этой
области, т.е. в некоторой окрестности каждой точки (#0, y0)^D она
разлагается в ряд по степеням х — х0 и у—у0. Поэтому можно считать, что функция
и(ху у) аналитически продолжается для комплексных значений х и у. Для
действительных х, у имеем f(z) = u(x, y) + iv(x, у), J(z) = u(x, y) — iv(xt у),
т. е.
f(z) = 2u(x, y)-J(z).
Если в этом равенстве считать х и у комплексными, величины z = x-\- iy,
- • * z-\-z z—~z
z = x—iy уже не будут сопряженными и, так как х = —^— , у = ——-я то
/(*)
= 2"( 2 ' —)-Пг)'
откуда при г = г0 получаем формулу Гурса
/<*) = 2«(-£±3L, ±-?±.)-и(х0,у0) + 1С.
123

где C=Im/(*<)) — произвольная действительная постоянная. Требуемое
равенство получается, когда z0 = 0.
151. A45): f(z) = z*+iC; A46): /<z)=-fe*+/(l+C); A47): /(z)=
=sinz + *C»
152. Так как
Л~1 ю Г «2fe «,2*41
JLL1 " Г v2* у2*41 1
• Г у2*~2 у2*-1 1
то Ан=0.
153. В результате замены yk=zXblV\<*k\» Л=Ь **•» «» получаем
Л Я
5 a*w*fc*«.= ± 2 ^*=°» откуда следует» что w (*ь •«.. **) =
=оМШ. ....*»//кГГ).
154. Справедливость утверждения следует из того, что в результате замены
искомой функции u = e^x+[iy v (я, у) рассматриваемое уравнение переходит в
уравнение Ди=0.
155. При х Фу имеем
BXp=-\x-^X-n-n\x-y\-*-*{xi--iit)\ i = l, iiit п.
Следовательно,
АЯ=—п|аг— г/|-»-л|л:-1,|-»-2 2 (^-^J=~«l^i/I-n-nU-~t/|-»=0.
156. Поскольку Е (х, у) является функцией только расстояния \х—у\=г9
то, пользуясь записью уравнения Лапласа в сферических координатах с
началом в точке х — у, находим, что при г ФО Е(г) является решением
обыкновенного дифференциального уравнения -j- (г*-1 —-1==0, т.е. Е = С/гп~г +
-fCi при п > 2 и £ = С log r+Ct при п = 2, где С и Ci—произвольные
постоянные.
157. ц(Af0) j- | м_ w | • По определению диполя для его потенциала в•
точке М ф М\ М", М0 имеем
Iim ( KS Й \ =
\м>-М"\-*о\\М"-М\ \М'-М\)
~МЩ1мА\+о \М'-М"\ [\М"-М\-\М'-М\ ) =
124

158. н(Л1) = ^ Та/Г^Ьш* где 1 Л^л—-Л^ | — расстояние между точками
k ss 1
Mk и М. 159. RC.
160. «(г. <л .)-» \*т.М.ШУУ«>Г+М№+У№а.
4я J /[бЮ-хР-т-МО-ЯЧ-КЮ-*]'
161. Применить формулу Гаусса—Остроградского
к тождеству
л
V -г— (v-% u-z— )=иДи — «At>=0.
^ дх, V дХ( dxi J
162. Пусть точка x£D. Часть области D вне замкнутого шара |у—*|<;е
достаточно малого радиуса е с центром в точке х обозначим через £>е. Так
как Е (xi у) гармонична в De, то, применяя формулу F) к границе области De
и полагая при этом v = E(xt у), получаем
|»-*|=eL у v J
Отсюда, учитывая, что на сфере \у—х\ = г
;(*,,,)={(«-2) е»-*' П>2'
\— loge, n = 2.
а?(*. у)_( "ё^^' п>2,
** {-1. »-2,
|#-x|=8 у |#-*|=8
в пределе при е —► 0 получаем формулу G).
163. Пусть точки я, у ¢/), # ?£ У- Часть области D вне замкнутых шаров
|z—л:|*^8, |z —#|.<е достаточно малого радиуса 8.с центрами в точках х,
у обозначим через De. Применяя формулу F) из задачи 161 в области D8, когда
aB) = G(z, x)t v(z) = G(z, у) (на этот раз переменным интегрирования
является г), получаем
12-^1 = 8
125

Отсюда, учитывая, что G(zf x) = E(z, x)+g(zy x), G(z,y) = E(z, y)+g(z, у),
где g(z, x) и g(z, у) — гармонические функции, и рассуждая, как при решении
Предыдущей задачи, в пределе при 8—>*0 получим—G (x, y) = —G(yt x).
164. Проинтегрировать по области D тождество
п п
ы\dXi \дх" ~~ы\ дХ( dXi'
справедливое для гармонической функции и, применив при этом к его левой
части формулу Гаусса—Остроградского и положив в полученного результате
as=l. Требуемое равенство следует также из формулы F) задачи 161, когда
0—1.
165. Формула, выражающая теорему о среднем, а) для сферы следует из
формулы G) задачи 162, если в ней считать S сферой \y — x\ = R с центром
в точке х: б) для шара \у — х\ < R получается, если написать формулу,
выражающую теорему о среднем по сфере \у—х| = р, в виде
Рям(*)~ J u(y)dSy
l#-'*l=P
и проинтегрировать обе ее части по р, 0 < р < R.
166. Допущение, что отличная от постоянной гармоническая в области D
функция и (х) в точке x0£D достигает своего максимума, приводит к
противоречию. В самом деле, пользуясь формулой, выражающей теорему о среднем,
имеем
И^) = -^тг J u(y)dTy,
\y-x0\=R
откуда следует, что функция и (х) всюду в шаре | г/ — х0\ < /?, лежащем в
области D, равна и (х0). Действительно, если в некоторой точке yQt | y0—xQ \ < R,
имеет место неравенство и (у0) < и (х0) (неравенство противоположного знака
исключено), то это неравенство сохранится в некоторой окрестности^ у— Уо\ < &
точки (/0, и, стало быть, и (х0) < и (х0). Из полученного противоречия следует,
что и(х) = и(х0) всюду в шаре \у — х0\ < R. Пусть теперь х — произвольная
точка области D. Соединим точки х и х0 непрерывной кривой L, расстояние
которой до границы области D равно 6 > 0. Передвигая центр у* шара
\у — У*\ < S от точки х0 к точке х вдоль L и учитывая, что каждый раз
и (у*) = и(х0), [убеждаемся в справедливости равенства и (х) = и (х0), а это
исключено. Аналогично рассматривается случай минимума.
167. Применить принцип экстремума к разности йх и и2 двух
произвольных решений задачи Дирихле Да (#) = 0, x£D, u(x) — f(x), x£S.
168. Пусть G (x, y) — E(x, y) + g(x, #)—функция Грина, а и (х) — решение
задачи Дирихле. Требуемую формулу (8) можно получить, если из формулы G)
задачи 162, записанной для решения и (х), вычесть почленно формулу F) из
задачи 161, примененную к функциям и (у) и g (x} у) и умноженную на (о^1.
169. Непосредственно убедиться в справедливости равенств
■|*|М'
126

из которых следует, что функция g (х, у)= Е (| х | у, х/ \ х \) гармонична в
единичном шаре как по х, так и по у, причем g(x, у) = Е(х, у), когда |я| = 1
или \у | = 1, Здесь (х, у) — скалярное произведение векторов х = (#1,...,½)
и y = (yif ...,*//*)• Таким образом, функция G (х, у) удовлетворяет всем
требованиям, предъявляемым к функции Грина.
170. Ввиду того, что (см. задачу 169)
dG(x,y) ^п \У((У1--*/)
■ "("|уН7|I
,1-1*1*
У—х\
из формулы (8) задачи 168 получаем требуемую формулу Пуассона.
«*1 / ч 1 Г R2-\x-x0\2 , . .
171. и (*) =—Б \ —г-^ 1~^ ф (у) dsv.
\y-x0\ = R
В результате замены переменных по формуле х = Rz-\-x0 рассматриваемая
задача сведется к задаче Дирихле для гармонической функции v (zj = u (Rz + x0)
в шаре \z\ < 1:
Ao(z) = 0, |z|<l, v(z) = <p(Rz+x0), |z| = l,
решение которой (см. задачу 170) имеет вид
•(,)e£ I }0$<p(Ry+xo)dsv.
11/1=1
С помощью обратной замены переменных z = (x—xQ)/R из последней формулы
получим ответ.
172. В формуле Пуассона {см. ответ к задаче 171) принять х = х0.
173. Для гармонической в круге \х\ < 1 функции и(#)=з=1 из формулы
Пуассона (см. задачу 170) имеем
2Я
1 С \-\x\* ,
о
174. Поскольку ядро формулы Пуассона совпадает с нормальной
производной функции Грина —i > то оно гармонично при \х\ < 1. В силу
равномерной сходимости интеграла в достаточно малой окрестности точки х
в шаре |аг| < 1 оператор -Лапласа можно внести под знак интеграла. Тем самым
убеждаемся в гармоничности и (х).
При доказательстве второй части задачи ограничимся рассмотрением
случая п = 2. Имеем
2я
"^«Htf^P9^-
о
Отсюда, пользуясь тождеством из задачи 173, получим
2Я
и (*)-ф (*o) = -^ J \у-х\2 [ф (^~~ф (*о)]***' 1*|<!' 1^1=1-
о
127

Так как q>(x) равномерно непрерывна на окружности |*| = 1, то для любого
е > 0 существует такое число 6 = 6 (е) > 0, что для всех я|) и i|H> yt = cos -ф,
ya=^=sin4|), A:10 = cpsi|?0, Ar2o = sin oj?0, удовлетворяющих условию |ty—tyol <6,
будем иметь | ф («/)—Ф (*0) I < е. Представляя выражение и (*)—ф (дг0) в виде
« W — Ф (*о) = h + ^2» где
(■фо-б 2Я
О фо+бУ
заключаем, что 11г \ < 8, а после выбора 6 (е), устремляя х к х0» получаем
Фо-б 2я
( +1 )&
\0 фо + б /
m d^<^9 уИ= max |ф(*/)|, |j,| = l,
М 0<-ф<2я
Фо + б
т. е. |/2|<8. Следовательно, | и (#) — ф (х0) | < 28, т. е. lim к (х) = ф (дг0),
|х|<1, |xol-l.
175. Справедливость оценок получается из формулы Пуассона (см. задачу 171)
|у|=Д
если учесть неравенства /? — |*| <-|у—я | < R + \x\ при |*| < R, \y\ = R, и
воспользоваться формулой, выражающей теорему о среднем (см. задачу 165).
176. Нет. Это следует из неравенств задачи 175. Действительно, считая
без ограничения общности, что и (х) > 0, из указанных неравенств в пределе
при R —► оо получаем и (х) = и @) = const.
177. Нет. Если M=supu(x), то гармоническая функция М — и(х) была
бы знакопостоянной и, следовательно, было бы М-*-и (х0)=М—и(х), т. е.
и(х) = и(х0) всюду в Еп.
178. Действительно, пусть ^ — произвольная точка области D и шар
\у—х0\^е лежит в D. Пусть и(х) — непрерывная в D функция, для которой
имеет место формула, выражающая теорему о среднем в окрестности каждой
точки области Ь. Обозначим через v(x) гармоническую в шаре \у—х0\<г
функцию, принимающую на сфере |t/—#0| = e то же значение, что и и(х).
Для разности и(х) — v(x)^w(x) имеет место формула, выражающая теорему
о среднем. Отсюда следует справедливость принципа экстремума для w(x) (см.
задачу 166). Так как о/(лг)=^0 на сфере \у —*0| = 8, то w (#)ssO в шаре
\у — #0|^е, что и доказывает гармоничность и (х) в окрестности каждой
точки x0£D.
179. Для любого шара |# — #0|^8, лежащего в области D, в соответствии
с формулой Гаусса—Остроградского и условием задачи имеем
\ Aud%= \ g^ds = 0.
\х-х0\<е 1*-х01=е
Отсюда, в силу произвольности точки х0 и положительного числа 8, следует
128

180. u(x,y)=2xy. 181. «(*, y)=x*—3x2 — 3xy* + 3y* + \2x— h
182. Выписать формулу G) для полусферы \y\-R, yn^0t и устремить R
к бесконечности.
184. Решение задачи выражается формулой из задачи 183, если в ней
заменить хп на —хп.
X Z— 1
185. и (х. у) = 9 , ,—Г-ТТ9- 186. u(xty)z) = -тг*
187. Пусть D+ —ограниченная область евклидова пространства Еп точек
£ = (Si £n) c достаточно гладкой границей S, точки которой будем
обозначать t| = (?!!, . ..,ть), a D~— дополнение О+и^до £„. Не умаляя общности,
считаем, что единичный шар \Ъ,\ < 1 принадлежит £>+. Чтобы найти решение
иA) внешней задачи Дирихле
Ди F) = 0, НтиE)=:ф(т|), l£D-, ^eS, (*)
1->*ч
произведем преобразование инверсии i = x/\x\2 пространства Еп (£)
(относительно единичной сферы |£| = 1). В результате инверсии неограниченная
область D" с границей S отображается на некоторую область d точек х =
= (*i, ...,½) с границей о, точки которой обозначим через у = (у±, . ..,#и).
Строим функцию
Непосредственно (см. задачу 135) проверяется гармоничность функции v(x)
при условии гармоничности функции и (£). Кроме того, полагая Ц—->—f^zj •
lim v (х) = lim -.—г—s и ( ,—rs)=i—г^—* Ф ( гт* ) » *€<*, #€a-
*-** w *_^|*|"-2 Vl*l2/ \У\п'2 \\y\2J
Таким образом, для функции v (x) получаем (внутреннюю) задачу Дирихле
Д»(*)=0, \imv(x) = ^^_2y (r|pj > *€<*> #€<*>
решая которую находим функцию у (я). Зная у (я), по формуле (**), пользуясь
обратной инверсией £ = :—^ , получаем решение и (|)= ггпг=2 у (пЫ)
внешней задачи Дирихле (*). Нетрудно проверить, что найденная функция и (£)
удовлетворяет граничному условию задачи (*).
188. U (х. у) = JL J (x_X*+£-±yiJ Ф (дц, Ж1) ft.
о
189. С q>ds = 0. См. задачу 164.
S
190. Пусть иг и и2 —любые два решения задачи Неймана E) для
гармонических функций. Тогда их разность v = u1 — u2 удовлетворяет условию
-- ==^0. Отсюда, учитывая очевидное тождество
ov s
$Ш*-№--
Di=l S
заключаем, что y=C = const, т. е. «i = a2+C.
5 А. В. Бицадзе, Д. Ф. Калиниченко 129

191. Обозначим через v (х, у) функцию, гармонически сопряженную с и (х, у).
Тогда
dv dv dx .dv dy ди dy. ди dx du
ls~dx ds*dy!s~~~dydv ' ~dxdv~~4v~~^^
s
и поэтому v (s) = \ g (t) dt +C, 0 ^ s «^ 2nR, где С—произвольная цосто-
о
янная. Соблюдение необходимого условия разрешимости задачи Неймана
2nR
\ g(t)dt~Q гарантирует непрерывность функции v(s) в точке s = 0,
о
s = 2nR.
Гармоническая в круге х2-\-у2 < R2 функция v(x, ^определяется по
формуле Пуассона (см. задачу 171)
где z=*x+iy, t = l + ix\.
Аналитическая функция (p(z) = p(#, */) + ш (x, у) определяется по формуле
9B) = 2^,^)-^0,0) + ^ =
R Г ds Г
S 0
/ = /?e/<p, 7=#<Tf(p. Так как #/Г=е*'ф, ds = dt/iei(p, то
S
№
или, после интегрирования по частям,
Ф(г) = -~ j [log\t-z| + «arg(t-z)]g(s)ds-v@, 0) + 2C + /^.
Я1
Выделяя мнимую часть, получаем
«(*,<,)=4j,
192, Запишем формулу Пуассона (см. задачу 191) в виде
и(х* У) = тг" 1 ~~- - u(t)dq>
2яиУ=1 (/-«)(/- ^)
и воспользуемся формулой Гурса A). Получцм
130

Отсюда, так как t = ei(f> , ^ = е~£ф, dy = —itdt, w@, 0)=^j~ Г ^-dtt на-
1*1=1
ходим
1 w 2яе J t — z t
\t\ = \
193. Для аналитической в полукруге | г | < 1, Imz > 0 функции f(z) =*
= у. (*, y) + w (х, у) в силу условия ^-
ди
у=о~"~ду
= 0, т. е. v (х, 0) ==
</=о -
дх
= const, имеем lm[f (z) —const] \у=0 = 0. Это означает, что функция и(х,у)
гармонически продолжается из верхнего полукруга \z\ < 1, Imz > 0 в
нижний полукруг | z | < 1, Imz < 1, причем и (*, #) = и (#, —*/) при у < 0.
Следовательно, функция «(#, */) гармонична в круге | z | < 1 и удовлетворяет
краевым условиям и (х, y)f\0 =ф (#, у), и (#, у) \а^ — у{х, —у), где в1 и
а2—полуокружности: хг-\-у2—\% у > 0 и #2-f-#2 = l, #<0 соответственно. Пользуясь
формулой Пуассона, находим
и (х, у) =
Ч(|-^-^[F-«)'+(л--»У+F~«)'+(л+у)-]фF'1|)'ь-
1
194. и (*, у) =|- J [(,_,j1 + y,-A_tej> + ,v] Ф @ Л- Функция и (х,у)
гармонически продолжается из полукруга | z \ < 1, Imz > 0 в область | z | > 1,
Im z > 0, причем при | 2 | > 1, Im z > 0
Таким образом, функция ы(х, #) гармонична в верхней полуплоскости у > 0,
и удовлетворяет краевому условию
f —Ф A/х), — оо<х< — 1,
и(х, 0) = | ф(х), — 1<*<1,
V —фA/х), Кл; < оо.
Поэтому в силу формулы Пуассона (см. задачу 183) имеем
u{x'y)^{-\^^^)dtJr
1 00 \
+ UJ)>+y>^t)dt-l(t-Xr + y>*{T)dt\-
1
= д J \\t-x)* + y*~~(\--txy + t*y*\4>(i)dti
5*
131

195. Для получения формулы достаточно убедиться в том, что функция
и(ху у) гармонически продолжается из верхнего полукруга \z\ < 1, Imz > 0
в нижний полукруг |г \ < I, Imz < 0, причем и (х, у) = —и (х, —у) при у < 0.
Дальше следует обычная процедура применения формулы Пуассона (см.
задачу 194).
196. В случае ограниченной области D из формулы (9) видно, что, когда
п>2, потенциал объемных масс стремится к нулю при х—^оо. Когда же
п = 2, то, представляя функцию log | х—у | в виде log | х—у | = log Г"" У' +
Ix I
+ l°g | х |, убеждаемся, что в этом случае при | х | —> ор потенциал объемных
масс ведет себя как функция log |л: | \ \i (у) d%y.
D
197. [ \л (у) dxy=0. См. задачу 196.
D
198. Пусть f (х) непрерывна и ограничена в D вместе с частными
производными первого порядка. Представляя функцию и (х) в виде
и (^)=-- J Б (х, у) f {у) dxy— — ]g(x>y)f (У) db
и пользуясь" тем фактом," что
Д ^E(x,yyf(y)dxy = -(Dnf(x),
A J g(x,y)f(y)dxy=0,
убеждаемая в справедливости равенства A1). Убедиться в справедливости
условия lim и (х) = 0, х—ух0у xq£S, непосредственно с помощью перехода
к пределу под знаком интеграла в выражении
4(x)=-^G(K,y)f(y)dxy
нельзя, поскольку стремление к нулю функции Грина G(x,y) при х—>-дг0
не является равномерным относительно y£D. Поэтому представим функцию
и(х) в виде
"М=-™ j G(x,y)f(y)dty-±- J G{x,y)f(y)dty,
где d§ ==Df|{| y—~#o I < $}» a £*6~ часть области D вне шара \y — #0|<s^8.
Очевидно, что
lim С» G (х, у) f (у) dxy^ [ lim G (xt y) f (у) dxy=0. (*)
6
Пусть ф#-"~шаР \x — y\ < R с центром в точке y£D такой, что при любом
y£D будет D UScQ#. Тогда, если точка г лежит на сфере |z — jf\ = R, для
функции Q (х, у) = Е (х, у) — Е (г, у) имеем Q (х, у)^0, причем на границе 5
132

области D имеем G (х, #) —Q (х, у)<,0. В силу гармоничности функции
G (xt У) — ®(х, У) в D по теореме о максимуме и минимуме всюду в D имеем
G(*, «/) —^(л:, #)<0. Тогда, считая x£d6 и обозначив M = sup \f(y)\, y£D,
будем иметь
| \0(x,y)f(y)dxy\*Z J Д(*,У)|/(УIЛу<А1 J G(Ar,t/)dTy<
d6 d6 d6
<M J Q(x, y)d<vy=M J [£(*, у)-£B, y)]dxy<
d6 d6
<M J £ (at, y)d'xy<s M ^ E(x,y)d%y==
Л*
л —2
f 1 ^. Af f 1
I #-*<> I < б
U-*|<2d
26
/г—2 J r»-! ft — 2-J л—2
U-*| <2б
где da—элемент площади единичной сферы.
Из полученных оценок находим
lim С G(xty)f{y)dty=0.
б-* О У
(**)
Фиксируем, далее, произвольное число 8 > 0. Из (#) и (**) следует, что
существуют числа 61 = 61(е) > 0 и 62 = 62(е) > 0 такие, что для любого 6\< 6*
^^0(xty)f(y)dxy
d„
б
и для всех х таких; что \х—х0\ < 62, <
\^r[0(x>y)f{y)dxy
<\.
<т
Тогда для 6 = minF\, б2)
u6
<i
при J a:—аг0 1 < 6.
Из последних двух неравенств следует, что | и (х) | < 8, т. е. 11т и (#)=0,
х—>х0, x£D, x0£S, что и требовалось установить.
199. Для разности и (х) — v (x) = w (x) имеем задачу
Дю (*)=/(*), x£D, w ((/) = 0, y£S<
133

Следовательно (см. задачу 198),
и (x) = v (*) + — J О (х, у) f (у) dxy.
D
200. Да (см. решение задачи 167).
201. Если y£C(d\Jo)t справедливость третьего из доказываемых равенств
очевидна (см. задачу 164). Когда y£d, часть области d вне достаточно малого
замкнутого шара | #—#|<;е обозначим через dQ. Пользуясь результатом
задачи 164, для области de можем написать
№*- 1¾^
Iх-у\=г
дЕ (х, у)
равенства * .
|1 х-у\=е
дЕ (х, у) I
откуда в пределе при 8—>0 с учетом равенства —а I
1 С дЕ (х, у) - Л * I'
= —т получаем \ -^—z^dsx = — ып. Остается рассмотреть случаи у£а*
О
Часть области d вне достаточно малого шара \х — у\^г обозначим опять
через dQ. Пусть ог — чисть а, лежащая вне этого шара, а а2 — часть %сферы
\х— f/| = 8, лежащая в d. Также в силу результата задачи 164 имеем
^ л Г д£ (л, и) , (оп ^-
Отсюда в пределе при 8—*0 получаем \ —,v y/ dsx = ^, у£о.
X
а
202. Формула является непосредственным следствием равенств (см.
задачу 201)
) dvxE{X>y)ds*-\ 0, y£C(d[}o)t
о
где d-- ограниченная область с границей а. Действительно, имеем
Dry* <т dt a
di—-часть D, лежащая вне d[)a.
203. Нет. 204. fi=—— (х2 + У2 + г*). 205. М = —4Л 206. и(х) =
^^ldtlf(T)dXt ^2 *****207, ^=--|я.
оо fe=l
208. Решить задачу
Г —2я, 0<г < 1,
W I 0, г>1,
мA + 0) = мA-*0), wr(l+0) = ar(l-0).
134

209. Решить задачу
U I 0, r > 1.,
и A-0) =«A+0), ur(l-0) = ur(l+0), |w(r)|<oo,
limw(r) = 0, r—^oo.
210. \i = x, u=^(x+-^\ . 211. M = j£t. 212. / = 0. Для получения
решения задачи достаточно воспользоваться формулой Гаусса (см. задачу 202).
213. В предположении, что слой лежит в ограниченной области
пространства Еп потенциал двойного слоя стремится к нулю при | х | —* оо.
Аналогичным свойством обладает и потенциал простого слоя, если п > 2.
214. Это условие имеет вид \ \i (у) dsy = 0.
s
215. Рассмотрим случай п — 2. Будем искать решение задачи Дирихле
(внутренней или внешней) с краевым условием u\$=g в виде потенциала
двойного слоя с плотностью ц. Тогда, пользуясь формулами A5) и A6) для
определения ц, получаем интегральные уравнения, к которым сводятся
соответственно внутренняя и внешняя задачи Дирихле, в виде
\i(s)+^K(sft)\i(t)dt = -2g(s),
[i(s)-^K(stt)^(t)dt = 2g(s)t
\с
5
1 л)
где K(s, 0==~^г ]оё\У — х\> x = *(s), y = y(t).
Решение задачи Неймана (внутренней или снешней) с краевым условием
ди\ л
-- =g будем искать в виде потенциала простого слоя с плотностью ц.
Тогда, пользуясь формулами A5') и A6'), внутреннюю и внешнюю задачи
Неймана можно свести соответственно к интегральным уравнениям
Здесь
|i(s)+$*•(*, t) ii (t)dt = 2g(s),
s
Ms)-$K*(s,0M0fl=-2£(s).
K»(s,,)= log I ^-^==---arotg2W -■-*-
n dvx Sl* ' n ds tji(t)—Xi(s)'
00
216. u(x, У)=4~ С log[(t —xJ + y2]q> (t)dt + C. Обозначив через v(x, у)
сопряженную с и (х, у) гармоническую функцию, получим для v (x, у) задачу
Дирихле
х
Av(x,y) = 01 y>0, v(xtO)=^q>(t)dt+C = $(*)- (*)
о
Предполагая, что для достаточно больших значений | х | имеет место оценка
|i|)(#)| < Л |л:|~б, б > 0, с помощью формулы Пуассона (см. задачу 183)
135

находим решение задачи (*) в виде
vlx v)-y г to*
— 00
Зная о (ж, у), обычным путем восстанавливаем и (х, у).
„7 / ./-«log/?. *»+»*< Я.
217. «(*.*)-^_Л1^/jq^i, х.+^>Л.
При решении задачи учесть угловую симметрию распределения плотности ц#
о«* / I-/1' *2 + </2 + 22<1,
218. uV'V'z>-\{xi + yt + ztyilt9 x2 + y* + z*^U
(-х/2, х*+у*< 1,
219. ы(*, #;
220. и(х, у]
221. и(*, у
222. и(х, у
224. и(*, у]
х* + у2>\, г = V*2+y2-
_ х*—у*
~~(х2+у2)*
г) =
1.
(*2 + #2 + 22)б/2 (*2 + */2 + г2I/2 '
г) =
(*2 + 1/2+22K/2 '
-1, х*+у*< 1,
О,
х2+'у2> 1.
223. и(х, i/) =— -
225. |д = 2х + &ф-
226. В переменных z = x-\-iy, z^x—iy уравнение A7) записывается в виде
A7')
dz& ' 4
Представляя функцию /о((*г (г—0* ) в виДе суммы ряда, получаем
\2п (Z-t)nln
V~1; IT]
Я\" (г— О"г"
% 00
(ШI
л = 0
(п!J
д2ц (дс, у) у< / АЛ*(г---0»-1гя-д A, yi /АЛ* (г— /у» Г"
dzdz
■2.(-т)
п = 0
[(n-l)I]«
■2(т)'
л=0
(я!J
Подставляя выражения для —* ^-- и и (#, */) в левую часть A7'), убеж-
дгдг
даемся в том, что и (х, у) является решением уравнения A7').
227. Так как
и (*. *)=4 ! С Л> (\iV(z-tfz) f (t) dt + \jQ (|iK(«-7)z) /(f) dF
d2a
J/o(l*l
■}•
-tU aVo(tfro?) "*>*+l а2/о(^г7)г) ^)d?
*
136

и наряду с J0\\i у (z — t) г) функция J0 \\i V(z — t) z) также является
решением уравнения A7), то справедливость утверждения очевидна.
228. Допуская, что и(х, у) во внутренней точке (х, y)£D принимает
положительный максимум, приходим к противоречию. Действительно, в точке
(х, у) максимума u(xf у) имеем uxx + uyy < 0. Так как максимум
положителен, а Я < 0, равенство uxx + uyy-f-Ян = 0 исключено. Аналогично
доказывается и вторая часть утверждения.
229. Да. Это следует из принципа экстремума, сформулированного в
задаче 228.
230. Поскольку в полярных координатах х—£ = rcosq), у—r^rsincp
уравнение A7) имеет вид
аа£
^ф2
1 а / du\ . 1 d2u 2 . viz .
то мы должны иметь
I д ( дЕ\ ._ „
Справедливость же этого равенства следует из Ччэго, что
-1
г аг - J утггт '
— ОС
LL( дЕ \= 1 "Г Н^'*** "Г l^t2er[ltdt _
г дг\Г дг )~~ г ) yjbZTi + J /pTZj ~~
— со — оо
-1 -1 -1 r t
231. Для определения функции Е (г) имеем обыкновенное
дифференциальное уравнение
2
При Е (r) = e~lir/r, как легко видеть,
г* аг V дг ) г*, дг ^Ге +е ; г
и, стало быть, Д£ — |л,2£ = 0.
232. Лусть точка #£D. Обозначим через De часть области D вне
лежащего в D шара |#—#|^е достаточно малого радиуса е. Так как Дм = [л2и,
&Е — \\,2Е, то из формулы Гаусса—Остроградского получаем
IУ-х\=е
137

Отсюда, так к-ак
lim82£(e) = 0, lime2
Е-*0 Е-»-0
дг в
в пределе при г—>0 получаем
-taW=J[«W^-B(„„)^]*,.
О
233. Интегрируя уравнение —=0, получаем
dz2 dz2
д3и — - д2и - - — —
-—=^~=ф2(г), --=г-=2ф2(г) + г|>2B),
dzdz* dz2
где ф2B) и if>2 B) — произвольные аналитические функции комплексного
переменного z = xt—ix2. Далее,
-7=-=291 B) + % (г) + кг (г);
2 2
где фх (z) = \ фа @ Л, % (z) = \ г|?2 G) di. Следовательно, и = гф% (z) + яр„ (z) +
о .о
2 2
+zx B) + 0) (z), где Ф,(£)==£ф1G)Л, ф« B)==^¾ G) d7, а х(г) и со (г) —
о о
произвольные аналитические функции комплексного переменного z = Xi-\-ix2.
Так как и (х, ^ — действительная функция, то % (г) = ц>% B), 0)B) = 1^B),
и поэтому гг = 2ф# (г; + г|?%B) + 2ф# B) + i|?#B). В обозначениях ф% (г)=-уф (г),
^B)=-2-^B), получаем и(хи х%) = Re [2ф B) + ^B)].
234. Функция £ (г) = r2 log/* получается из формулы
и = 1*е[гф(г) + гИг)], 2 = ^-^ + 1(^-^)
(см. задачу 233), когда t|) B) = 0, ф (z) = z log z = z (log z + i arg z). Поэтому
E(r) при r^0 удовлетворяет уравнению A8).
m
236. Если klf ..., Я|х — нули полинома У] а^кт'к кратности соответст-
fc=0
венно vi, •••»v^, то- рассматриваемый дифференциальный оператор можем
записать в виде
т р,
fc=0 /г=1
Отсюда следует справедливость утверждения.
237. Записывая дифференциальный оператор в виде
дх*~т~ду* ~~\дх2 +l ду2 J [дх2 1 ду\) ' *
138

убеждаемся, что как <p(zx), так и г|)(г2) являются решениями
рассматриваемого уравнения. В самом деле, имеем
2
-jl + i
A+0J }Re(p"(Zl)=0,
(l+ol }Rei|>"(z2) = 0.
"■ ■■o]>
238. Для корней Я и X квадратного уравнения сК2-\-2Ы-\-а = 0 имеем
с с с ' с г
В переменных г — х + Ху, z = x + Xy рассматриваемое уравнение запишется
в виде и - = 0. Следовательно,
22
1 Г V а2 ' б2 /
239. и(х, У)=-2^ J /*--*\2—(i-уУ ф(/> Т)^' B РезУльтате
а2 Ь2'
замены переменных л; = а£, у = 6т], и (я, у) —и (а£, br\) = v(%, r\) эллипс
х2 у2
—-|~|- = 1 переходите круг £2+ri2=l, а заданное уравнение —в уравнение
Лапласа Уц + у =0. Если у(£, т])—решение задачи Дирихле для уравнения
Лапласа в круге ^24~'П2=1, то искомое решение дается формулой
и (х, у):
■■(ft)-
240. В переменных z = x-\-iay, z = x — iay, w = u-\-iv система записывается
в виде до- = 0, откуда и следует, что
"(*> #) + '<>(*» y) = f(x + iay).
241. Для соответствующей однородной задачи Коши
М*> */) = 0, 1>0(*> 0) = 0, (*,#)€$>
аналитическая функция (см. задачу 240) f(z) — u0-{-iv0 комплексного
переменного z — x-\-iay во всех точках S обращается в нуль. Отсюда в силу теоремы
единственности аналитической функции заключаем, что f (z) тождественно
равна нулю, и тем самым единственность решения задачи Коши доказана.
242. Нет. В обозначениях g=—дс, г| = -т--г/, а > 0, Ь > 0, Ut = v, и =w
CL О 6 »1
рассматриваемое уравнение приводится к системе Коши —Римана до*-—у =0,
до 4-Уь = 0, причем v(£, 0) = 0, до(£, 0) = 0 при ц — 0 и O^gs^ae. Поэтому
(см. ответ к задаче 241) заключаем, что v (£, т]) = до(£, г)) = 0 тождественно.
243. В переменных z = x + iy, z = x — iy, w = u-^iv рассматриваемая
система принимает вид до-- = 0, откуда и следует справедливость
представления B0).
139

244. На основании формулы B0) заключаем, что на окружности 1*|=1
Ф(о+^(о=аы>жмо].
Отсюда следует: а) задача Дирихле может иметь решение лишь при
условии, что функция t[fi(t) + if2(t)]> является,предельным значением на
окружности |*| = 1 аналитической в круге |г| < 1 функции; б) когда /1@ = /2 @=0»
то ф@=—t Ф @» 1*1 = 1" Поэтому в силу теоремы единственности
аналитической функции ср (г) —— zty (z) всюду в круге | z | ^ 1. Следовательно,
однородная задача имеет бесконечное множество линейно независимых решений
и (х, У) + to (лг, у) = A —гг) я|? (г).
247. Поскольку в силу формулы (8) гл. I характеристический
детерминант рассматриваемой системы имеет вид
U (Ait А2, Лз) =
и Ai A2 ' A3
Aj U — A3 Л»2
Л-2 A3 0 —Ai
A3 — А2 Ai О
= — (А,1 + А,2 + Я3) ,
эта система эллиптична.
Предполагая, что u^v, до, ф—дважды непрерывно дифференцируемые
функции, в результате воздействия на эту систему матричным дифференциальным
оператором
получаем
0
д
дх
д
ду
д
дг
А 0
(Г Д
0 0
0 0
д
дх
0
д
^"аГ
д
ду
0 0]
0 0
А о:
0 Ai
("
д J_
ду дг
_£_ д_
дг ду
Л д
0 -г-
дх
д
дх
»
, v, до, ф) = 0,
откуда и следует гармоничность функций ы, у, до, ф.
ГЛАВА III
248. х—/ = const, #+/ = const.
249. (x1^x°1J + (x2-x02J-(t-^t0J = 0t где (*}, xl /^-произвольная
фиксированная точка пространства Е3 переменных хи х2, t.
250. a1x1 + a2x2-\-a3x3 + af= const, где alt.a2t a3t а—произвольные
действительные постоянные, связанные между собой равенством а\-\-а\-\-а\ — а2.
140

251. В принятых обозначениях имеем5
з ^з
Щг
<=1 11,1=1'=!
зт< J V(*i + tyi, x2 + ty2l x3 + ty3)dsy+t J 2 VziVifcy ? —
Ul U у 1 = 1 1*1=1 /=l J
где |i(**».z2» z8) = f* (*i + ^i. -^2 + ^2, *з + ^з)>. /= J 2J V>ZiVidsz> a
v = (vlf v2, v3) —внешняя нормаль к сфере |2 —#]2 = /2 в точке 2. Так как
в силу формулы Гаусса —Остроградского
Г 3 Г 3
Dt'=l dDi=l
выражение для / можно записать в виде
з t п 2я
/ = \ 2 Vzpi dr=\ p2 dp \ sin ft dfl- \ Aji Жр,
| 2-*|2< ***=1 0 0 0
zx—#1 = psin,d,cos(p, 22 —#2 = p sin Ф-sin ф, z3—*3 = p cos ^,
a2 . d2 , a2
A~ dzl^l^T dzl •
TO
Я 2я 3
/* = *2 J sin 0 dfl J A ^ <fcp = *2 J 2 V*m dsv>
о о 101=1'=1
r ?
l*/l=w=l
3
Следовательно, 2 %•#• — w# = 0.
t=l
252. Так как функция гр непрерывна вместе со своими вторыми
производными, первое слагаемое в правой части формулы F) удовлетворяет
уравнению E). Непрерывность же производных третьего порядка функции ф
д3
достаточна для существования производных третьего порядка ^ 2^ [Ш (ф)],
д* '
-^з"[Ш(ф)] так, что
i-1 i
Следовательно, функция F) удовлетворяет уравнению E). Кроме того, из F)
141

находим
и(хъ Х2, Х3> 0) = -^ \ ф(*Ь *2> Xa)dSy=*y(Xlf *2> *з)>
= ф (*ь x2t ^) + ^-4^(Дф)Ь=о = *(^ь *i, *з).
254. Переписав формулу F) (см. задачу 252) в виде
| 2-* 1*:=**
|2-*12 = /2 | Z-X\*=i*
убеждаемся в том, что значение определенной по формуле F) функции в точке
(хъ х2, х3, 0 зависит от значений ф, —■ и ty на сфере (zx — *iJ + (z2—*гJ +
+ (г3-*зJ = '2.
255. Когда ф = ф(*1, #2), t = ^(*b *г)> формула F) дает функцию двух
переменных, которую можно записать в виде
и(хъ *2, 0 =
__ 1
j Ф (xi+zu x2+z2) dsz+ --^-1- J .Ф (*i + *b *t + г2) ds, I *
При вычислении интегралов в правой ч^сти этой формулы следует
спроектировать на круг d: zl + zt^t2, z3 = 0 верхнюю и нижнюю половины сферы
г\ + 22 + 23 = /2. ^РИ этом ПЛ01ДаДь dzxdz2 элемента dsz сферы |z|2 = /2 на
круг d выражается через dsz в виде
-^^- 23
dzx dz2=dsz cos (t3, v) = r == dsZt
- Vzi+zi+z!
где i3~орт оси #3, v — нормаль к сфере \z\2 — t2 в точке (гь г2, г3), а
г3 = ±yt2—z2 — z2. В результате получим
«(*ъ *2, 0 =
2Я J yt2„22 Z2 2П2я dt J ^2_22_г2 1 2, I /
откуда, производя замену ^1 + г1==£/1, #2 + г2 = */2, приходим к формуле (8).
256. Проводя рассуждения в ответе к задаче 255 в обратном порядке,
формуле (8') можно придать вид F), откуда следует, что функция u(xlt x2l t)
является решением задачи D), B).
257. Нет, так как (см. формулу (8)) значение функции и (хъ х2, t)
в точке (*х, х2у t) определяется значениями начальных данных ф и г|?
не только на окружности (yi—x1J-\-(y2 — x2J = t2, но и во "всем круге
(Ух-хд* + (у%-х4*<Р.
142

258. Когда ф и гр зависят только от одного переменного Xi—х, из
формулы (8) (см. ответ к задаче 255) получаем
у<«-
ч?
-г2
t
x+t
I f> l д С
; =yjt(Hrii)^i+-2-^J ФЖ1)^1 =
-t -t
= уФ(* + ')+уф(*-~0+у J +(T)rft.
x-t
259. В уравнении C) сделать замену переменных £=*+*, r\=x—t,
v(l> r\) = ti f "Г , —o~M — и(*> У) и проинтегрировать полученное
уравнение.
260. В характеристических переменных \—х-\-у, х\ — Зх-\-2у уравнение
записывается в виде VtJfc, 11) = О» интегрируя которое находим и =/(#+#) +
+ фC* + 2*/), где / и ф—произвольные дважды непрерывно
дифференцируемые функции.
х-у
261. и = ф(у — х)+е 2 г|5 (г/—2лг).
7х+у
262. и = [<р(х + Зу) + Ц(Зх+у)]е 16 .
Г 1 1 --^^
263. «== ф(^/ —3at) + iJ: C£/—д;) —— х (у — Зх)Cу—х)\е 16 . В
характеристических переменных 1=у — 3х, ц = 3у — х, v(l,i)) = u ( ^~Г , "Г" )
исходное уравнение примет вид
1 ^
32^, + ^-^--^-C6-^ 32 =0,
которое после замены у F, г0 = е 32 о> F, л) переходит в уравнение
320^ — 36+^=0. Интегрируя последнее уравнение и возвращаясь к
переменным х, у, получим ответ.
•\-{х+2у)
264. и = 2е*+е2 [ф(х) + тр(х + 2у)].
265. а = е*+^/2 [B* +у) е4*+У + Ф B*+ */) + ij)Dx+ */)].
--j-(t/ + 2* + sjn *)
266. u = y(y + 2x + sinx)+e 4 ф (г/—2* + sin x)>
143

267. и=еУ (е2У—е2*)+ф (еУ+ех) + г|? (еУ—ех).
у
268. a=#q>(*)-f<p' (*)+ V (у — r\) e~Xr]f (ц) dx\. Пользуясь обозначением v=uy,
о
преобразовать л сходное уравнение к виду vxy-\-yvy = 0.
X
269. u = cosy-\-xq>(y) + ф' (у)+ \ (х-5)в"^7EL Решение искать в
о
виде и = v + cos у. Далее см. указание к задаче 268.
( с \
{УфМ+ф''(*)+ \ (У—Л)е-*4 ^ (Л)'''П г • Пользуяс
270. к = -тЦ-Ь Ф М + Ф*' (х) + \ (у—у) е~щ гЬ (л) с?т> }■ . Пользуясь
обозначением y.=ch* Uy, преобразовать исходное уравнение к виду vxyJryvy = 0.
271. u = e-*U(y) + \ ^-W фE)#"Ь
272. « = A+у)A —в—*) —jcy + e-* -1ф(у) + '5,в6 ^"^ *F)^б[ • Пользуясь
обозначением гих-\-и = е~хУи, преобразуем исходное уравнение к виду
vy= —х2уехУ, откуда находим v. Далее, подставляя найденное выражение для
v в равенство их-\-и = е~*Уу% придем к уравнению их-\-и= 1—*y + e-*J4|?(*),
интегрируя которое найдем ответ.
х+2у
273. и (х, #) = ф( #—-гГУъ )"\~~<? \ i|>(a)da./ В характеристических
2 .
2
переменных 5 = #—5" г/3,т] = л:+ 2г/исходное уравнение принимает вид о* =0,
интегрируя которое и используя начальные данные приходим к ответу.
2х + у
274. u(xf #) = A -\-2x-е2х)еУ-\-у (у)-\- -<г \ г|? (г) dz. Воспользоваться
У
заменой переменных £ = «/, г\ — у-\-2х в уравнении.
275. и (х, у)=х-\- cos (*—*/ + sin а:). Воспользоваться заменой переменных
£=#—#-—sinA:,T)=y + A:—sin x в уравнении.
276. и(х, Й=-|в-Уф(др + у)-уф(* + ду) +
1 *+3j/ ,
+Те ) е [Зф(г) + 2*(г)]Лг.
Сначала с помощью замены переменных £ = #4-3i/, x\ — x-\-y привести исход-
1
ное уравнение к каноническому виду ^ = -—-D, интегрируя которое
можно получить его общий интеграл.*
144

Xй
277. и (х, у) = — + cos (х— 1 +еУ)—cos x. Для облегчения нахождения
общего интеграла исходного уравнения его следует привести к каноническому
виду, пользуясь заменой переменных £ = *, г\ = х+еУ.
(ц COS X \ ( V COS X \
-—^ J + sin х cos f -—^ J . Для приведения
уравнения задачи к каноническому виду воспользоваться заменой переменных
£ = 2*—*/+cos#, ч\ = 2х-\-у — cos х.
—~ Bx-y+cosx) i
279. и (х, y) — 2eq cos x sin — (у— cos x). С помощью замены
переменных £ = 2лг—y-\-cosx, rj = 2д: +1/ — cos л: исходное уравнение задачи
приводится к каноническому виду
где t>(£, х\) — и ( Т" ■» 9 +CQS—~-М==ы(*, у), общий интеграл
которого имеет вид v (g, г)) = / (Е) + е~^/4 F (ц). Здесь / и F—произвольные
дважды непрерывно дифференцируемые функции. Возвращаясь к переменным х, у,
получим общий интеграл исходного уравнения
--j- Bx-y+cos x)
u = fBx—у + cos х) + e. F Bх-\-у — cos x).
Далее, пользуясь начальными условиями, следует определить вид функций /
и F.
280. и (х, у) — \ — sin (у — *+cos#) + ey+cosxs\n (* + */+cos *). Сначала,
пользуясь заменой переменных £ = — x + y + cosx, т) = # + # + cos x, привести
уравнение задачи к каноническому виду. Далее следовать процедуре,
изложенной в указании к решению задачи 279. .
281. Для точки (у, f)£En+1 областью зависимости на многообразии £ = 0
являются: сфера'| х—у |2 = т2 при п = 3, круг | х — у |2<;т2 при я = 2, отрезок
\х—#|2<;т2 при л=1.
282. Поскольку сторонами характеристического прямоугольника с
вершинами в точках (хъ tt)t (x2, t2Y> (х3, t3), (x4, ^4) являются прямые х — хг —
= t—*~*1, X — X2'=:st2'*—tf X — Х3 = Г — ?з» %—-^4 == ^4—^> ТО ^2 — "^1 == ^2~~~ ^1»
^3 — ^2 = ^2 — ^3» ^4 — ^3 = ^4—^3» *i —#4== *4~" *1« ПОЭТОМУ В СИЛу формулы A0)
имеем
"(*i, ti) + u(x3i t3) = f(x1+t1) + y(x1—i1) + f(x3 + t3) + (p(x3—t3).
U(x2f t2) + u(xlt tA) = f(x2 + t2) + <p(x2 — t2) + f(Xt + t4) + q>(xA — t4) =
= f(X3 + ts) + y(Xi — t1) + f(x1 + t1) + <p(x3--t3),
откуда следует справедливость утверждения.
f х С
283. v(xv x2t x3, t, т) = -4^- ] gdab
111=1
где g = g[xl + (t — тMь *2 + С —т)£а+*8 + (*--т)£8. х].
286. «(*!, *а> *3, 0 = ^2 + C^1 + ^)^ + ^ +
+ (*?*J_3*?) /. + 1 D-9^ + 6*?*1) Я + 1 B*; + *1) /5 + ^ '7*
145

x+t
x-t
287. «(*, 0=±ф(дН-0 + уф(*-0 + 1 J *(*)<**-
* x+t-x
289. Непосредственно из формулы Даламбера
о x-t+x
и(х, t) =
ц>(х — at)-\-<p(x + at) . 1
x+at
hE I *«
<fc
*-a*
\ ty(z)dz=0;
получаем:
а) когда обе функции <р (х) и ф (#) нечетные,
„/п а_ФНдО + Ф(аО 1 1
-at
б) когда обе функции <р (л:) и\|) (#) четные,
290. Решение рассматриваемой задачи Коши выражается формулой
t x+a (t-i)
0 x-a(t-x)
откуда непосредственно находим:
а) если функция /(#, t) нечетная относительно точки я = 0, то
t a{t-x)
0 -д(*-т)
б) если /{*, t) четная относительно точки я = 0, то
t
ф(л + а/) + ф(* — a0 I 1
2 +2a
x-at
291. w(*, 0= <
)dz
при a; > 0, t < —,
2 +2a
#+a/
\ ^(z) C?Z,
at-x
x
при я > 0, t > — ,
Рассматриваемую задачу редуцируем к задаче Коши на бесконечной прямой.
Для этого продолжим начальные данные ф (х) и -ф (а:) на всю ось х нечетно,
146

т. е. построим функций
( ф(*), *>0, { <ф(*), *>0,
Ф(*) = { *<*) = <
{ —Ф (—«)» х < О, ( —ф (-*), х < О,
<*)
-rut
d*.
и поставим задачу Коши:
Utt = a2Uxx, — <»<*< со, / > О,
U(x, 0) = O(jc), t/t(*. 0) = Y (л:), --oo < д: < po.
Решение задачи (*), как известно, дается формулой Даламбера
„_Ф(х + дО + Ф(*-аО , 1 *+*'
В силу нечетности функций Ф (л:) и У (х) имеем [/@, 0 = 0 (см. задачу 289),
причем для х > О
{/(*, 0) = Ф(*) = ф(*),' *М*, 0) = ip (*) = *(*)•
Таким образом, найденная функция (/(л;, 0 при я^О, *^0 удовлетворяет
всем условиям задачи 291 и, следовательно, является ее решением, т. е.
и(ху t) — V(xy t). Выражая функцию U (x, t) при #^0, t^O через данные
Ф (х) и г|э (а:) исходной задачи, получим вид решения и (х, t)9 приведенный
в ответе.
/ x+at
Ф(х +at) + q>(x — at) . 1
2 +2а
x-at
292. и (х, t) =
j +B)
dz
при jc > 0, * < -—,
Ф(х + а0 + ф(а/ — л:) . 1
2 ~*a
| j + (z)dz + f + (z)dzi
^ о о '
при д: > 0, t>—k
a
Рассмотрим вспомогательную задачу Коши:
Utt = a2Uxx, —оо<д;<.оо, t > 0,
[/(*, 0) = Ф(*), £/*(*, 0) = ?W, -оо <*<«>,
где
I Ф (—*), а: < О, ' \ + (-*), х < 0.
Ее решение дается формулой Даламбера
</(,. о=Ф(у+а<)+Ф(х-а°+^7^(г)^.
JC-fl^
В силу четности функций Ф (*) и ¥ (л:) имеем Ux@, 0 = 0 (см. задачу 289),
причем для х > О
[/(*, о) = Ф(*) = <р(*), £/*(*, 0) = Y (*) = !>(*).
147

Следовательно, функция U (х, t) при х^=0, /^0 является искомым
решением, т.е. и(х, t) — U(xt t). Выражая функцию .U (х, t) при х^О, /^0
через данные ср (х) и о|?(л:) исходной задачи, получим, вид решения u(x, t),
приведенный в ответе.
t х+а (t-x)
Та \ I fjz,x)dzdxf x>0f t<^9
293. и(х, t) =
0 x-a{t-t)
х
"а" х+а (t-%)
0 a(t-x)-x
t JC + fl(/-T)
•«-{-;;
F(x,t) =
x x-a(t-x)
Чтобы получить этот вид решения, продолжим функцию /(х, t) относительно
точки х = 0 по переменной х нечетно на ,всю ось х, т. е. построим функцию
/ (х, /), х > 0,
: (— х, /), лг < 0,
и рассмотрим задачу Кош и:
Utt = a2Uxx + F(x, t), — оо<х<оо, t>0,
U (x, 0) = Ut (xf 0) = 0, — oo<x<co.
Решением этой задачи является функция
t x+a(t-T)
U(x, f) = l Г f F(zt%)dzdx.
(*)
0 *-a (?-т)
В силу нечетности функции Т7 (х, t) по х имеем [/@, 0 = 0 (см.
задачу 290), причем при х > 0 £/ (х, 0) = £/*(х, 0) = 0. Следовательно, функция
U (х, 0 при х^0, t^0 является искомым решением, т. е. и (х, t) — U (х, *).
Чтобы преобразовать полученное решение к виду, приведенному в ответе,*
рассмотрим случаи:
1)х>0, х — at > 0 (t<x/a).
Тогда
Поэтому
х—а(£—т) = х—oi + ax > 0.
t х+а {t-%)
и(х, t) = U (х, t)=Ya\ \ f B' T) dz dVt
0 х-а (t-x)
2) х >0, х—а/ < 0 (t > х/а).
Тогда
,, ч , , Г < 0, 0 < т < /-х/а,
х—а (t — %) = x — at + aT <
\ >0, т> /—х/а.
148

Поэтому
u(xt *) =
а x+a (t-x)
t x+a (t-x)
= U(X,t) = ± J J FB,T)d2dT + ^ j J f(Z,T)dzdT =
a
0 *-a</-t)
x_^ x-a (t-x)
" a
t-—
a x+a (t-x)
■5 1 1 "-/(-*.*)**+£ j ~j IM4A+
0 *-а(/-т) О О
t x+a (t-x)
44- f f /B. t)(fZdT=f3aMeHaBnepB0M U
1 2a J J \ интеграле—z на zj
x x-a (t-x)
t-
a x+a (t-x).
t x+a (t-x)
294. и (x, t) = J
вБ J J /B> T)dzdx+Ta J J i(ztT)dzdx.
1J j f(z, %)dzdT, x>0, t<-~.
0 *-a(*-T)
t-—
a r-a(t-x)-x x+a(t-x)-*
Та И I + J . /(«.^* +
о L о о J
t x+a (t-x)
, *_ *-a (*-т).
Чтобы получить этот вид решения, продолжим функцию / (х, t) относительно
точки х = 0 по переменной х четно на всю ось х, т. е. построим функцию
( * ' I /(-*.<). *<0,
и рассмотрим задачу Коши:
Uit = a2Uxx + F(xt /), — оо<*<оо, *>0,
I/ (*, 0) = {/*(*, 0) = 0, — со < х < оэ.
Далее использовать процедуру, изложенную в ответе к задаче 293, учитывая,
однако, четность функции F(x, t) по переменному х.
295. Решение искать в виде и (х, t) = v(x, t)+w(xt t), где v(x9 t) и
w(x, t)-~решения задач 291 и 293 соответственно.
296. Решение искать в виде и (xt t) = v(x, t)-{-w(x, t), где v(x, t) и
w(x} t) — решения задач 292 и 294 соответственно.
297. Так как режим на границе вызывает волну, распространяющуюся от
края (л: = 0) в направлении оси л:, то решение задачи ищем в виде прямой
149

волны u(xt t) — f(x—at). Из начального условия получим и (х, 0) = /(*) = О,
х > 0, откуда непосредственно следует справедливость условия щ (я, 0) =»
= — af' (х) = 0 при х > 0. Из краевого условия находим и @, t) = f(—at) —
=Н-@> / > 0. Таким образом, /B) = 0 при г^Ои /(г) = ^(—2/а) при г^0,
и, следовательно,
298. м(л:, t).
, лх f 0, 0< /<*/я,
I ц(/—х/а)9 t^zx/a*
0, 0 < t < др/а,
—а \ v(s)ds, t^zx/a.
о
Решение,• как и в предыдущей задаче, следует искать в виде прямой
волны и(х, t)=f(x—at).
0, 0</<*/а,
299. и(х, 0= * *~*/а
-aeb(x- at) С eahsx (S) dSf t ^. ^
Так как источником колебаний служит возмущенный край (x=fl), то решение
задачи ищем в виде прямой волны и(х, t) — f(x^at). Из начального условия
находим а (ху 0) = /(#) = 0, х > 0,. откуда непосредственно следует, "что
щ(ху 0) = 0, так как щ(х, 0)=—а/'(*) = 0, х > 0. Из краевого условия
находим их @, /) —Ли @, /) = Г (— at) — hf (— а/) = х @, * ^ 0, или /' (г)—А/ B) =
•% ( ], г^0. Интегрируя последнее уравнение, получим
-2/fl
/B) = — aehz С eefcsx(s)ds, 2<0.
Таким образом,
!0, z > 0,
1 -z/a
— aehz \ e*bsx(s)dst г<0.
Полагая здесь z — x—at% получим приведенный выше ответ.
300. Решение искать в виде и (х, t) = v(x, t)-\-w(x> /) + 2 (#, t)> где
v(x, /), w(x, t), z(x, t) — решения задач 291, 293 и 297 соответственно.
301. Решение искать в виде и (х, t) = v(x, t)-\-w(xt /) + 2 (#, 0» где
v(x, t)t w(xt /), z(x, /) —решения задач 292, 294 и 298 соответственно.
302. и(х, t) = xyt-;^xyt*.
303. Действительно, если w(xf у, /) —однородный полином степени
п — 2т^ 0, то, ввиду того, что по свойству однородных функций xwx-\-ywy-\-
+ /а^ = (л—2т) w, имеем
□ а>р** = 2тBл — 2m+\)wp2m-2 + p2m{Jw. (*)
00
Рассмотрим функцию их (х, у, /) = р+- ^ Ak92kOkv9 где А^ — постоянные,
150

a i/—однородный полином степени п. Пользуясь соотношением (*), можем
написать
□ «1=По+ 2 Ак№&n-2k+i)p«*-«пАу+р2АD*+*о].
В предположении, что 2kBn — 2k+l) A^ — — Ak~Xi k^2t 2Bn— 1) Лх=— 1,
получаем [^^ = 0. Если теперь принять Qp = <D, w==«i+u, то получим
Р« = Ф, что и требовалось.
304. См. задачу 135.
305. Их всего семь: x* + 3xt2, x2y+yt2t xy2 + xt2t y* + 3yt2, x*t+~-t\
о
ft + jP, xyt.
306. При n= 1 их число равно двум. Когда же n Ss2, искомые многочлены
могут быть получены из формулы G) в виде
"(*i *»• '>=JL Bm + 1I^' -V *»"•
где я®1 ... xnn, x\x ... ^" — линейно независимые одночлены степеней k и
Л—1. Поскольку их числа равны соответственно ( I и ( ),
то число / искомых полиномов определяется формулой
-Cir'HGir')'
П — 2 „<< \? _2__2
П + 1'
i = 1
309. * = -^5-=-. ♦ 311. 2m? = m
312. Если искать-решение и уравнения E) как функцию г, /, то в этом
случае (см. задачу 132, г) уравнение E) можно записать в виде
1 Гд». (щ) d2(raI_A
г |_ д2г dt2 J '
откуда находим (см. задачу 259)
ru(rt t) = h(r + t) + f2(r-t).
п
Ед2
— в сферической системе
<=1 д*1
координат, получаем выражение
и(хъ х2, xs, t) = ni4(r + t) + ty(r — t)] =
=т{^[гф(г+/)+г*(г^')]"^1гф(г+/)+г*(г"/)]}в
= 2г~Чф'(' + ') + ♦'('г-'И.
являющееся решением уравнения E) (см. задачу 312.)
151

315. Пользуясь представлением решений вида w(r, f) уравнения E)
(см. задачу 312), получаем
/ ,v {r-\-tL>(r+t) + {r-t)v{r — t) . 1 ГП- ,,. .
и (г, О- Y 2r ■ +2? J T*<T)dt-
r-t
При решении задач 316 — 321 лучше пользоваться формулой G), в
которой положить i(x) = u(Xj 0), v(x) = Uf(x, 0).
316. и = *1#2*з + xlxixit + — (д;1л:1+*i*|j + x\x\) t3+
о
317. иг=*1+*1 + *8 + 3/а+*1*а*.
318. a^^cosxa + ^W —jcI). 319. u = xt + x\ + t+2t\
320. u=eXl ch/+e-*ish/. 321. «=-r^—*
xi-t2
322. Достаточно показать, что решение и (xt t) однородной задачи
и*!*1 + и*.*я—«tt = 0> и(*, 0) = и*(*, 0) = 0
тождественно равно нулю.
Пусть (л:?, л:?, /°), /° > 0,—произвольная точка, а К—конус
V (лгх — xiJ-\-(x2— xlJ, = t0 — *• Обозначим через Z) область пространства
переменных хъ х2> /, ограниченную конусом К и плоскостью /=0.
Интегрируя по области D очевидное тождество
("У* + («5»)* + W)* - 2 ("*"*!>*, — 2 (№х*)х* = 0,
пользуясь при этом формулой Гаусса—Остроградского и равенствами и (л^, x2f 0)==
= м^ (#!, я2, 0) = 0, получаем
J—К^Л8—Mtvi)a + (a^v8 —ttt"va)alds = 0f
где v3= l/}/, vi+vi = V3. Следовательно, на /С равны нулю внутренние
производные ихуъ — utvi и MJcav8~~Mtv2» а это означает, что « = const на /С, т. е.
и = 0 на К. В силу произвольности точки (*?, #2, /) заключаем, что и (хъ x2t t) = Q
всюду в области определения (распространения) волны.
323. т (mf + mi + m!)-1/2.
324. Нет, ибо рассматриваемая функция не удовлетворяет волновым
уравнениям.
325. Скорость волны равна а/У~И.
326. Параллелограмм, ограниченный прямыми:
x — 5t = lu #+5/ = /2, # + 5tf = /i, х—Ы — 1^
327. Область, ограниченная конусами:
К*1 + *2=1--/, 0<*<1, Vxt+xt = 4-t1 0</<4,
^1+4=1+/, — К*<0, К^!+4==4 + ^ — 4<*<0.
152

328. Область, ограниченная конусами:
329. Общая «область» [влияния состоит из двух областей, ограниченных
прямыми
х— i = — 1, x + t'=l, *> 1;
*_* = l, * + * = —!, *< — 1.
330. Так как прямая я — £ = 0 является носителем данных
то в силу A0) /B*)-г-Ф@) = Ы*). Vf'Bx)*=q>i(x) или /(*) =
= /i (тг)—ф@). f (^) = -73=-41 f-y) • Следовательно, задача будет иметь
решение, лишь когда
fi(x)~V~2<Vi(x).
При соблюдении этого условия, решение задачи дается формулой
и<*. 0=/i(^p)-ф@)+ф(*-о.
где ф —произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция, и, стало
быть, оно не единственно.
331. Носителем данных Коши могут служить прямые /==-~jc лишь при
а) Предполагая, что k > 0, k ф 1, v = (l/>/"-2, 1/У~2) и носителем данных
является отрезок АВ прямой t — -r-x, где А —А @, 0), £ = £A, 1/&), и
из формулы A0) получаем
'№*)+• (¥«)='.«.
Следовательно,
о
о
153

и искомое решение записывается в виде
k
*+1«*+'>
«(*. ')-'*[s=T<*-')]+ipf J ftWfc
б) Областью зависимости для точки (х, t) является пересечение отрезков
АВ и CD, где С = С [-5-(,-/), JL (,_0J , D = D [-1-(, + 0.
г-р-г(л;+Ы , прямонГ x = kt. Области влияния ограничены прямыми
соответственно , + / = 0, x = kt, x—\=t—г- и ,— / = 0, х — Ы, x—\=-r~—t.
к к
Областью определения является прямоугольник, ограниченный прямыми
,—/ = 0,,— 1=4- — Л x + t = 0, *—1=*—\.
к ' А;
в) Устойчивость решения следует из формулы, дающей это решение.
332. Носителем данных годится любая дуга S рассматриваемой
окружности, расположенная внутри ее дуг с концами в точках
A(\/Vt 1//¾ и В(~ V/2, 1/^2),
Д(-1//2,1//2) и С (-1//2,-1//2),
С (-1//2, -1//2) и D A//2,-1//2),
/)A//2,-1//2) и 4A//2,1/-/2).
Пусть Q и Q' — точки пересечения^ дугой S выходящих из точки Р (х, у)
характеристик Lx: £ —, = f —т и L2: g— я = т — t уравнения C). Интегрируя
тождество (W|)^—(ит)т=.0 по области, ограниченной отрезками PQf Q'P
характеристик Lv L2 и частью QQ' дуги S, и применяя формулу Гаусса —
Остроградского, находим
Q'
"(^)=y/7(Q) + Y^(Q,)+4J[cos2e0a,T])--sin2eF0(|, то] л,
Q
где g = cos 0, r\ = sin 0.
ззз. W(P)=1f(Q)+1/4Q') +
+т*К-
9' .
tJ - E» Ф ¢, t) - (т,т* - ЕД*) Fl] ■ flS
Q
где Q, Q'—точки пересечения выходящих из Р (х, t) характеристик £—,=
= t — t, £ —я='т — £ с дугой 5 кривой £ =/(т) (см. задачу 332).
334. Областью распространения волны является прямоугольник,
ограниченный характеристиками я—,0 = f — £0, , — ,0 = f0 — *, , — ,1==f — /х, ,—,х=
= ti—t. Единственность получается обычным рассуждением, если
интегрировать тождество («|)т + (и?)т — 2 (ытИ|)| =0 по области, ограниченной пря-
. мыми £ —, = т—£, g —.*; = *—-т и дугой S.
335. а2 + 62 — с2 < 0; u(xit x2, t) = t.
154

336. u(x, 0 = ф(^) + 1>(^-')-ф@).
337. Область распространения волны ограничена прямыми х— tf = 0, je-f-/=0,
x—a — a—t, x—b = t-{-b.
338. Интегрируя тождество
(ul)t +\4)t + {ufjt - 2 (uXlut)Xi - 2 (иХйщ)Хл = 0
по области, ограниченной конусом V x\-\-xl—\ — t и плоскостью t— hf h < 1,
где h—произвольная постоянная, получаем u = ut = 0 при t = h. Отсюда в силу
единственности решения задачи Коши (см. задачу 322) убеждаемся в
справедливости утверждения.
339. В силу формулы из задачи 303 имеем
«Ф. У. t)=r-±(x*+y*-t*)xyt.
340. Область распространения волны ограничена конусами
/ = —2/i+ Vx* + y*, —2h^t<—h.
Доказательство единственности решения получается повторением рассуждений,
использованных при решении задачи 322 с заменой начальных условий
условием рассматриваемой задачи.
. 341. Нет, так как решение задачи Гурса с данными на смежных сторонах
характеристического прямоугольника определяется однозначно (см. задачу 336
или 337).
342. Нет, поскольку соответствующая однородная задача имеет
нетривиальные решения
и(х, t)--
00 (^Т*"";00 ("Ту при *~*<0»
где о—произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция,
удовлетворяющая условиям 0/@) = 0/@) = 0.
343. Нет, ибо соответствующая однородная задача имеет нетривиальные
решения
„„,, г№)-»[т*-'>]> т<'<*
где (о—произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция,
удовлетворяющая условиям 0/@) = 0/@) = 0.
344. Общее решение уравнения C) (см. A0)) имеет вид
и(х, *) = Ы*+0 + М*-*).
Отсюда, пользуясь данными задачи на границе области D, находим
и (х, kx) = fx(x + kx) + fa(x — kx) = г|> (д:). w
155

Исключая Д из последних двух уравнений, получаем функциональное
уравнение вида A4)
Пользуясь формулой A5), запишем решение этого уравнения в виде
/1(*)=2{ф<«-*)-+(г?г*)}.
т = 0
1-Й
где а = ,. Подставляя найденное выражение для /2 в равенства (*), по-
1 ~"г~ /2
лучим
fi (*) =«Р (*)- £'{ф («в*)-* (¾*) } •
т=0
«(*, о=.ф(*+о~2 {ф [«*(*+о j-+ [^ <*+')]}+
т=0
+2 {¢^-(^-01-+(¾^-о]}.
т=0
345. Из общего решения A0) уравнения C), записанного в виде
*{x9t)=hix+t)+f%{x-t)9
т=0
Следовательно,
имеем
л (!■*)+& (!■*)=*. лD*)+/«(т*)=*'
Отсюда находим, что M*).=7j-*> ft(x)—-^x. Следовательно,
и(х, t)=±(x + t)+j(x-t) = x.
Единственность решения следует из той же формулы.
346. Область распространения волны ограничена прямыми х = —ja,
15 5
x = -£d, x—t = -jat * + / = ~а.
347. u(x,t) =
GO CO
i (*+o- 2sin (i)m(*+0+ Ssin (т)т(х"/)+4/-
: Sin (
m=0 . m=0
348. Область распространения волны ограничена прямыми tf = 0, /= — #,
x-t = l9 x+t = ^..
-349. и (я, 0 — Ф (я — О + 'Ф ( Т'") ~~ ^ (—9~ ) ' класть распространения
волны ограничена прямыми / = 0, х—1 = 0, я—jf = a, x-\-t — 2a.
156

350. H(*,/y=9-(jf+o-2{[i.(*+')]-*[3sni(*+o]}+
m=0
+£ {я> [^ <*-*>]-+[*^ <*-<)]}.
m=0
1 2
Область распространения волны ограничена прямыми t — 0> / = —-#, х-—/ = ---,
*+* = 1.
351. и(дс, 0 = "о"(* + 08 + (*-~02 + ~о"(#—-О3- Область распространения
о о .
волны ограничена прямыми #==0, x —1 — 0, t—x = 2, # + / = 4.
352. и(ху t) = sin(t — x). Область распространения волны ограничена
прямыми x = Q, x = tt t — x=\, * + / = 4.
00
353. и (х, 0 = Ф<* + 0-2{ф № (* + ')]-
fe = 0
-Ф [в* (*-01-Ф [® (в* (*+0)]+Ф [© F* (*-0)]}.
где х=ы F) — решение уравнения # + t(*) = 6, 6 F) = 0)F) — т [со (£.)], а
0fc (#) = 0&-i (д;) 0(х), 0° F) = 6- Область распространения волны ограничена
прямыми/ = 0, t = T(x), я + *=1+тA), #-/ = 1.
354. u(x,t) = x. Область распространения волны ограничена линиями
.... , я . 1 . , я , 1
/ = siiia;, / = -—sin*, jc — / = —--]——, # + /
.. 355. м (х, 0 = 8 2 {[1 —"Kl + в* (ДР+-0 ]8— [1 —Kl +-в* (ДР —/) ]8},
k = 0
где 6A) = 4A+6)-6-4, 60F)=6, .6^ = 6^6. Область
распространения волны ограничена параболой t = -r- х? и прямыми tf = 0, #+/ = 2,
х—/==3/4.
356. Из общего-решения A0) уравнения C), записанного в виде и (х, t) =
= /i(* + 0+-M* —0. имеем Ы2*) = ф(х) —/а@), 2/з B*) = <ф (#). Отсюда
находим
7i(*)=q>(-f-)-M0). /.W=Yj*(j)*+/.(d).
0
Следовательно, и (^, 0 = ф ( —J— ) +■«• \ *Ф ( -к) dr. Единственность решения
следует из этой же формулы.
x-t
357. и (#,/) = ty ( ~~ )+^( —тг- j — г|? СО) — " \ <р (т) dr. Область распро-
о
странения волны ограничена прямыми t=x, / = 0, x—t — a, # + / = 26.
157

358. Нет. Задача имеет решение лишь при условии ф'(л:) = г|?(л:). Если
это условие соблюдено, то решение задачи имеет вид
и(*.о=ф (нт)-/(*-'),
где /—произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция,
удовлетворяющая условию / @) = ф @).
359. В характеристических переменных \-x-\-t, ч\=х—t уравнение C)
принимает вид Vp=0, где i>(£, г])==и (^--^ , 9 ) • Функция Римана
/? (g, tj; |ь rix) для этого уравнения единственным образом определяется из
условий
R(li, 4i, 5i. t|i)-l. ^ щ gp^--0.
Всем этим условиям, очевидно, удовлетворяет функция ./?(£, г\; |ь т]х) ^^ I.
360. Условия задачи Кош и по данным на дуге а можно записать в виде
ов,Л)|вВ=Ф(Р',. *,
и, стало быть, в силу формулы A9) получаем -
и(£,т1)^1ф(<2) + 1ф(<2')--1 Ji|>(P')<*sp„
QQ'
где Q и Q' —точки пересечения прямых 6i = £i ^1 = 11 с дугой о: £i=£i(s),
■ni = T1i(s)-
Условия же задачи Гурса, например,
и(х, *) = ф (я), w(x, -^)==^(^), Ф@) = ф@)"
для функции у имеют вид
«*.<»-« A.1)-,(¾. ,(o.,)=«(|.--1)-+(¾.
Поэтому из формулы A8) получаем
и(ж, 0=о<Е,ч) = ф(-|-)+^(т)~ф@)==ф(£:2^)+* (^)-4^1
361. Запишем рассматриваемое уравнение в характеристических
координатах £=* + /, т] = л: — t:
^+ту=°> где "«.^«(^а.Ц3).
Представляя бесселеву функцию /0 (и- V~(% — %i) (Л —"Hi)) B виДе суммы
степенного ряда
k = 0
находим
dV0 _ ХА/П* (i-ii)*(T)-T)i)* fc
— T2-.VT/ (Sip —j''0'
ft=0
158

откуда и следует, что ^r^*+"r Л) = 0. Кроме того, HSi» л»—ь 41; ..q^
a/>F>m;6b^i) = 0> /o(gb ^. ?ь ^)==1. Следовательно, функция
/0 (м-1^E — 6i) (л — "Hi)) удовлетворяет всем требованиям, которые однозначно
ее определяют.
362. Ввиду того, что условия задачи Коши для функции и дают
соответствующие условия для v,
в«,в-фF). яг=т=*©.
я, кроме, того, dsp,= V2 d|b Р=Р(£, ч), Q = Q(i, 6), Q' = Q'Ol. n).
о = F. 6) = ф(*+0. »(Л.П) = Ф(*-0. «(Q. P) = 1, i?(Q', Р) = 1. из A8)
получаем
+1 J /0 (ц /(* + t-U)(x-t- 1г)) ф F,)dgi-
-И (^+^)^^^-60D-110)
„ , <p(b)«i.
363, Условия задачи Гурса для и (х, t) порождают условия для v (g, ц):
.а«>-.(*. |)-ф, .D)-.D. -*)-*(!)■
Крометого, ЯE,0;£,т|) = 1, /?@,т|;6,л) = 1. Я @, 0;£, т|) = /0 (м< У *2-/2).
Поэтому искомое решение в силу формулы A8) имеет вид
«(*, 0=ч> (^р ) + ф (^-) - '„ (|i V?=F) ф @)-
~ I й/о ({г /<*-*-<№-*))<Р (|) Л-
О
x-t
~Hih^ V(x + t)(x-t-TJ) « (-J) Л.
о
364. Искомое' решение в силу A8) дается формулой
О 0 /г = 0
4L1 ' V 4 У [(fe+1)']2 4 2-Л U W/ [(A+1)!]2 '
£=0 fc=0
159

365. Решение задачи Кош и. В результате замены искомой функ-
а
ции u(x9t) — e 2 v(x, t) для v(x, t) получаем задачу Коши:
»**-*« = О, v@,t) = <p(t), vx@t 0 = уФ(/) + аКО.
Пользуясь общим решением уравнения колебаний струны v (x, t)~fi(x-\-t)-\-
+ /2 (л: —0» заключаем, что
или
Ы0 = уф@ + у f [|фМ+*й] <*т+с,
/>(-0«-g-9@-.yJ[-f Ф(т)+ф(т)]л-С,
где С—произвольная постоянная. Следовательно,
*=Г а ** (*,/)= у'"' *(я>(*+'>+ф('-*) + j [т ф№+*(*)]«*4.
а
—- х
Решение задачи Гурса. Сделав замену и(х, t) — e 2 v(х, /),
получим задачу Гурса для функции v (х, t)
а а
-—х —х
' vxx—vn = 0, v(x,x) = e* <p(*)f v(x9 — х)=е2 <ф (*).
Следовательно,
«(*, /) =
366. Решение задачи Коши:
Г _Ъ_х Ь_х 1 t + x ь
*(х, 0 = у и~я*Ф(*+') + *» "W-*)J+y J в8 (T)dx. •
U-x
Решение задачи Гурса:
и(х, „-Д' [.+ (*+% (£+1) + Д" "Л(^) -ф @)] •
ен ие з а;
а ь Л
— х + —t I
2 2 <!
367. Решение задачи Коши:
и(*. 0 = у* 2 а i* Ф(* + 0 +
. T{x-f)
t + x b \
Ф (*-*)+ ^в"тХ[уф(т) + ф(т)]л|.
160

Решение задачи Гурса:
368 C65). «(*, 0 = е 4 *(^1г) + е 2 ф(* —О —
№).u(x,t)=e-* ,(£+1}+в« Ф<*_*)-« * *(V)-
CJ7). «<*.*)=« * а [е * ♦ (Чг)*
о (*-*) (а-Ь) (*-<) Л
+е 2 <p(x-t)—e * ф(х—01.
369. В переменных %—х-\-у, т\=х—у система записывается в виде
^+^-^8+^=0, ul~ur\~vl~\z=0> или (и-^)| = 0. («+fL=0.
Поэтому и—v = 2fl(i\), u-\-v=2f(%). Отсюда
■u(x,y)=f(x+y)+h(x~-y1, v(x, y)=f(x+y)-fi(x—y),
370. u(x, y)~^{ff(x+y)+q(x+y) + <p(x-y)-y(x-y)],
V (X, y) =y [ф (* + y) + ^ (X + у) — ф (X—y) + 1|> {X—y)}.
371. и (x, y)=<p (£±£) -+ (^) +Ц, @),
372. «(*, у) = ф(*+^+г|>(^)-1|>(^),
о (*,у) = Ф (*+») +1 (£+^L-ф(^)-ф@)-*@).
373. «(«. j,) = a|, (£+гй)+Ф <*-*)-+ (¾^) ,
» (*. ») = * (^) ~Ф (*-*) + * (¾^) +Ф (Р)-* @).
374. u(x, t) = h(x+y)+ft(x-y),
»(*. y) = h(x+y)—h(x—y),
00
где /i««2 (-J)* [^(^)+^(-^¾)] • /iW-VW-'iW-
375. Характеристический детерминант дл* рассматриваемой системы
имеет вид
1й%1 %2 I лл2 а2
6 А. В. Бицадзе, Д. Ф. Калиниченко 161

откуда следует, что для гиперболичности этой системы необходимо и
достаточно условие а > 0. В результате неособой замены независимых переменных
£ = #4- У ау> ч\ = х—У а у система принимает вид
УЪи^+УЪи^ + v^v^O, УЪи^УЪи^ + v^+v^O.
или
(Y"au + v)z = 0, (|/"аи — и)т1 = 0.
Следовательно, V"^ti-\-v = 2f1(x\)t У а н —v ==2/(¾. Тогда
и(х, у) = -±^{}(х+УЪу) + П{х-УЪу)\,
v(x,y) = -f(x+Vmay) + f1{x-yay).
376.^) = ^1^
,1х.у)--УЪ*(!±£^
377. а2а2 + Р262—у2с2 = 0.
378. Замена переменных ! = --*, tj = -t-i/, £ = — г^ и(х, у, z) =
cs u (а£, 6т], с£) = 0 E, Л» £) приводит рассматриваемое уравнение к уравнению
0^+1^^-^ = 0, решением которого является (см. задачу 253) функция
* [ Г2п Пп + l \
л=0
откуда находим
я=о
»".->-Е>«5г(-^а'"'(т.|)+
J-V* 1 г2»*1 (^& , и2 & Yn\Jx У\
^2Li c2« + * Bn+l)! \^a dx2" dyV VU ' b)'
+ xyz.
/1=0
379. u(x, у, г) = ха —ya + l- --'—
c2
382. «(a:, /) =
a2
*+JL
а т
(a_6)(a_c)|4>1(X+'5')~F+C) I T«W*+fc J <hjft(^
I 0 .0 0
f t t
6«
{6_a)F-c)
+
0 0
t
^(g^a)(c^6) |ф1(Х+с")',"(Д+6) J ф2(т)^т + а6 I dx^z(xx)dxi
162

383. Система гиперболична, так как корни характеристического детер-
минанта
|А2+1 2А, I,.,,,,
| 2% Х8+1|~<Л ''
все действительные. В результате неособой замены переменных |=x+y, т) =
= х—у она приводится к виду
^1+^-^11+^, = 0, ^1-^-^11-^ = 0,
или
(u + v)m = 0 (u-v)%l = 0.
Отсюда следует, что
ы + о = 2*1фA) + 21|)(&), u-v = 2l<f1D)+2^l(r\).
Поэтому
и(х, y) = (x—y)<((x+y) + (x+y)((l(x-y) + ty(x+y) + qi(x-y),
v(x, yj=(x—y)(f(x+y)-(x+y)<fi(x—y)+^(x+y)—^1(x-y).
384. «(*, у)= щ^_У)у) {v [2 (*+{/)] + Vi [2 (х+у)]-
-т [|(*+У)] -ti[-|(* + *)]} +
+ 16¾¾ {^[2(*-У)]-^[2(*-У)]-У [l(*_y)]+vi [2(*-„)] J +
+ ^ {эт [| (« + »)] + 9xt [| (* + »)] -v 12 (x +«/)j-Vi [2 (*+?)]}+
+b{9v [!■(*-»)]-^i [-§"(*—»)] —т[2 (ДС —f/)J+Ti [2(л:—i/)]|,
v(x, У)=щ^У)у) ^[2(х+у)]+^[2(х+у))-
-т [l(jf+y)j_Tl [|-<х+»)]}-
-l36^-y)){T[2(x-yI-Tl[2(x~yI~V [4(*~y)]+Vi [т(х~у)]}+
+в{9т [4(*+Л]+9Т1 [-|(*+*>]-v[2<x+«>i-vii2<*+*>i}~
~b{9v [4^-^]-9vi [4 <*-*>]-* i2 <*-»>]+¾ i2 <*-»>]}•
385. ы(х, y) =
=^1^ Ь'1(х + У)+ъ(х+У)-П(х+у)-ч2 (х+у)] +
+ {j^bi(x-y)—cUx-y)+Vi(x-y)-v2(x-y)] +
+-^[ri(x+y)+x2(x+y)+T1(x—y)-T2(x-y))-
-il^-Wx(x+y)+xUx+y)-y1(x+y)-V2(x+y)]-
- 4 bi (Jc—У)—та (*—у) + Vi (x-y)-va (x-y)],
6* 163

v(х, У) = Щ^-Ы (х+у)+Ъ (x+y)-Vi (x+y)-vt (х+у)]^
-{j^bUx-y)-^(x-y)+Vi(x^y)^v2(x--y)] +
+-J1Ч (*+У) + Ъ (х+У) — Ъ (х-у)+Ъ (х-у))~
_(*+L> [TJ (х+у)+%1 (х +1/)-vx (*+*)-v, (x+y)]+
+ ^^bl(x^y)-^Ux-y) + n(x-y)-v2(x-^y)l
386. Система гиперболическая при- любых действительных а, Ь, с, k> когда
а2—с2 и Ь не обращаются в нуль одновременно, поскольку корни
характеристического детерминанта
\аК—Ь kcX I
i-JL a%_b\ = W-c*)W-ZabX+V>
k I
действительны, причем
% =dy — b % _ Ф __ ^
В характеристических переменных
l = (a—c)y—bx, r\ = (a+c)y--bx
рассматриваемая система имеет вид *
или
(и+Ь)£=0, (и-^ = 0.
Следовательно, u-fkv = 2fi(r\)t u—kv=*2ffe). Поэтому общее решение системы
дается формулами
«(*> У)-!Ца—с)у—Ьх] + М(а+с)у—Ьх],
v(x, У) =— -jf[(a-c)y—bx] + -£h[(a+c)у—Ьх].
387. Прямая у = 0 может служить носителем данных Коши и (#, 0) = т(х),
v(xt 0) == Ti (дс:) при всех действительных значениях а, 6, с, /г при условии, что
k£0, кф оо.
388. Решение можно построить по формуле B) гл. II. Оно имеет вид
«с й- Е <- <>*[|^ w+i0^ w].
Ряды обрываются,, начиная со значений kt удовлетворяющих условиям 2k > п
и 2k > m соответственно.
«»г> « л. ' . / sh/w«s!n/tx-
389. Решение дается формулой и(х,у)— ^-¾ , которая получается
из формулы B) гл. II в предположении, что
/ лч ^ ч д" (*» */) I / ч sin ля
ду \у=о v ' л
164

Неустойчивость полученного решения следует из того, что для достаточно боль*
шого л функцию v (х) можно сделать как угодно малой, тогда как и (х, у)
не ограничена при п—► оо.
390. Любое решение и (xt t) уравнения C), обращающееся в нуль на
характеристике *+* = 0, в силу формулы A0) имеет вид и(х, 0 = /(*+*)—/(О)-
Отсюда видно, что значение **(#*, *i)«/(*i+fi)--/@), принимаемое функцией
u(xt t) в точке (Xft ti) области D (в том числе экстремальное), принимается
ею и в точке (#1+/ь 0) отрезка АВ.
2
391. В результате преобразования (неособого при у < 0) g=je +--5-(-0)^2»
* о
2
Л ==д: —-g- (— ^K/2 уравнение приводится к виду w^=0, откуда следует, что
его общим решением является функция
«(*. if)«/i [*+| (~y)m] +h [*-j(-у)*'2] .
где /i@ rf /a @—произвольные дважды непрерывно дифференцируемые
функции. Чтобы функция и(х, у) удбвлетворяла начальным условиям Коши,
необходимо и достаточно выполнение равенств @ < х < 1)
/i(*)+M*)=f(*),
Kn^yf'^-n [*+|(--J/)8/a-] +fl [*- |<-0»/« }«*<,).
Последнее равенство невозможно, если г|э (*) ^ 0, Когда же ф (*) as 0, 0 < х < 1,
решение супхёст&ует, но оно не единственно, поскольку в этом'случае
»(*. »)-ф[*+ ■§•(—*)§/"]-Л [*+-|<—^*/в]+Л [*-1"^***'1] •
где f2@—произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция,
392. и(*,у)=1т[м-4(-^
*+4 (-у)8/а
J vF)dfc
393. В результате замены переменных %=x+2y1/2, r)=#— 2yl!l
уравнение приводится к виду w^ = 0, интегрируя которое находим
«(*. y)=/i(*+201/2)+M*-V/2)-
394. «(«, y)^ ^x{x+2y^) + ^x(x^2y^)t
х+ 2yV*
395. и(х, |f) = 4T(*+2yl/1)+TT(JC~2|fl/1)+" J VM'
396. Заменой переменных £=*+#, т|=*—у уравнение B1) приводится
к эквивалентному уравнению
165

интегрируя которое находим общее решение
и(х, у)=Ъч>(ч)+ш(ч\) +Ц*A)+Ь(£) = (*+«/)<P(*-</)+<Pi(*-У) +
+ (х-у)Ъ(х+у)+Ц1(х+у).
397. Пользуясь общим решением уравнения B1) (см. задачу 396), получаем
*Ф (*)+ф1 (*)+*♦ М + +1 (*)=т W.
ф(дс)-*ф*Чд5)-ф1 (*)-+(*)+«♦• W+*;W«op
-2<р' W-2V (*)+*Ф* <*) + **" W + ф; (х) + % (*) = 0,
Зф" ДО-З^ (*)-V (х) +*ф"Л (х) -ф^" (*) +*;" (*) = 0,
Определяя из этой системы равенств функции ф(я), г|?(дс), Фх (дс), %(*), находим
398. »№ й= |(х+ЙЪ ^)+|(^йт4(^)+т, (i^) +
399. Записывая уравнение B2) в виде -^— ( -^—-—- j=0, заключаем,
что
"х*-Иуу=—/;@). (*)
где /3 (у)—произвольная Дважды непрерывно дифференцируемая функция*
Поскольку одним из частных решений уравнения (*) является /3(*/), а общим
решением соответствующего (*) однородного уравнения в силу формулы A0)
является выражение fi(x+y) + f2(x—y), где /х и /2—произвольные трижды
непрерывно дифференцируемые функции, то
«(*• 0) = M*+0) + /i(*—y) + /a(y).
400. Нет. Пользуясь формулой, дающей общее решение уравнения B2)
(см. задачу 399), получаем
/1<*)+М*)+М0)=Ф1М.
/1м-/;м+/;<о)=Ф1м,
/;w+/; м+/2*@)=ф.(х).
Из написанных равенств следует, что рассматриваемая задача не может иметь
решения, если ф£(х) ф ф8(л;)—/J@). Когда же 9jW"%W-^@), то
л:
О
/■ (*)=4 Ф1W—j J Ф* @^+4 К @)*—§-/t@)-c,
о
где С—произвольная постоянная. Следовательно, искомое решение
х+у
и(х, У)=^П(х+У)+ j<Pi(*-y)+ j J Ф1@Л + /|(^-/;(%-/,@)
не единственно*
166

y+x
401. a(*.0 = q>i@+1 J фЁ(/)Л +
У-х
x+y т #-* 4 т
+-j J л J%@*+4 J л$Фв@*-
0 0 0 0
(см. задачу 399).
ГЛАВА IV
402. ^^+20^+^-^ = 0. Полагая в уравнении A) п = 1, х=х&
сделать преобразования
х=х\, f = £ —mi, оF, f|) = M(t|,g—аг|).
403. При соблюдении условий, гарантирующих равномерную сходимость
ряда D) и рядов, полученных из него почленным дифференцированием один
раз по t и дважды по xt для суммы и (х, t) этого ряда имеем
*=1 *=0 *шГ '
-£ &*»+*-£ &а»+ч-о.
fe=0 fe=0
404. При t > t0 имеем
406. Ограничимся рассмотрением максимума. Пусть М=тахм(я, t)t
(х, t) £ D(J dD, т = тах w (*, /), (я, /)£'S, регулярного в D и непрерывного
в DUdD решения м(#, /) уравнения A). Предположим, что т < М. Тогда
значения М функция м (#,/) достигает в некоторой точке (x0i t0)£Dt где
О < t0<Tlt Л* = и(*0> /0). Построим функцию
п
v(x, *) = «(*» 0+-2^rX, («/-*о/J.
п
где d—-диаметр области !>. Так как V!(*/—*0;)8<я*а и т< М, то, оче-
видно,
.1) *(*. 0<m+^2«(l-l-)m+^<il« при (*, 0€S.
2) v(*o> t0)^M.
167

Из 1) и 2) следует, что функция v(x, t) принимает свое максимальное
значение, как и и (дг, t), не на S, а в некоторой точке (#*, t*) £ £>, где
О < ^<Г1. В этой точке vx х <0, vt^0 (г>*=0, если t* < Тг и i^O, если
п
^=7^), откуда следует, что в точке (**, t*) должно быть
(•)
i-
С другой стороны, учитывая выражение для v (xt t)t находим
п п.
М—т М—т
EV4* , М—т М—т Л
в точке (х*9 **), что противоречит (*). Из полученного противоречия вытекает
равенство т — М, что и требовалось доказать. Аналогично рассматривается
случай минимума.
407. Пусть их(х, t) и щ(х, 0—регулярные" в D и непрерывные в 0 U 0D
решения задачи A), B). Функция и(*, 0 —wj(*, 0— "*(*> Оявляетсяшже
регулярным в D и непрерывным в Z? |J д# решением уравнения A),
удовлетворяющим условию tt|s=0, В силу принципа экстремума и (x, #)==0 всюду
bDU^, т. е.
ut(xt t) = u9(x,t).
/jr /jt
408. Приняв в формуле D) из задачи 403 x(*i, x2) = sin 7- хг sin 7- #2 и
учитывая, что
Д*т<*, „) = (-!)* [(g)a*+(gJ*] ein^sin'**,,
получаем функцию
и(xitx2t 0=sin~xlsin^x2exp|~n2^~.+irJ Л §
удовлетворяющую всем требованиям рассматриваемой задачи.
о»
409. и (xj) ***У\$\п kx е~ кч. Предполагая, что функция ц>(х) непрерывно
дифференцируема на сегменте 0<*^я, ее можно представить как сумму
абсолютно и равномерна сходящегося ряда Фурье
CD
ф (*) = 2a*8in^» 0<х<я,
где
п
аь=~ V ф (х) sin kx dx.
Ц*'
Учитывая, что функция «*(#, t) = s\nkxe~m является решением уравнения
(Г) в прямоугольнике 0 < X < зт, 0 < t < T0t TQ> 0 (см. задачу 408),
удовлетворяющим условиям u(xt 0)== sin kx, и @, *) = и(я, 0^0, заключаем, что
16»

решением рассматриваемой задачи является функция
Поскольку в окрестности каждой точки (х, t) прямоугольника 0 < х < п,
0<t<T«>
lim *« «-*■'=<),
ряд, суммой которого является и (*, t)t можно почленно дифференцировать
сколько угодно раз.
410. Интеграл
• _(*-£)«
-00
сходится. Действительно, обозначая Af = max Iq>(y)f, имеем
— 00 — 00
Также нетрудно проверить сходимость интегралов, полученных из (*)
дифференцированием под знаком интеграла по х и по tt повторенным сколько угодно
раз. При этом все интегралы равномерно сходятся в окрестности любой точки
(х, t), если / > 0. Отсюда следует, что при t > О функция и (х, t) имеет
производные всех порядков, которые вычисляются по формулам
Чтобы убедиться в справедливости условия
lim u(xt t)*=u(xt 0)=*ф(*), —оо < х < со,
достаточно заметить, что интеграл в правой части (*) равномерно сходится
вблизи каждой точки (х, 0) при / > 0. В результате замены переменного но
формуле у=х+2п V^> получим
у n о
A|.
Отсюда, на основании равномерной сходимости интеграла и непрерывности
функции ф, следует
-со
411. Пусть u(xt t)—непрерывное и ограниченное при t^O решение
уравнения (Г). Докажем, что u(xt t) < М'(доказательство неравенства и (xt t)^m
сводится к этому переменой знака у функции ы). Фиксируем произвольное
число е > 0. Покажем, что и(хй, *в)<:Л1 + в в любой точке (х0, tQ)
полупространства *;£*(). Построим функцию v(xt t)~x2-\-2t$ которая удовлетворяет
169

уравнению (Г). Пусть N = sup | u(xt t) |, /^sO. Функция / f .\+ M —
«— и (x, /), удовлетворяющая при t > 0 уравнению (Г), неотрицательна при
/ = 0 и при '| * | = I — (N—M) v (x0i /0)+ | х0 м . Согласно принципу
экстремума для ограниченной области (см. ответ к- задаче 406) эта функция должна
быть неотрицательной всюду в прямоугольнике < (X / < Г, |*|<
< —(W—M)v(xQ, /0) > , в котором лежит точка (я0, /0). Следовательно,
В/V (х t}
в этом прямоугольнике и (х, /) ^ Ai-f- \ , откуда следует, что и (x0f /0) <
<М + &. Так как (х0> /0) и число 8 произвольны, то и (xf t)^M при /^0.
412. Применить полученные в задаче 411 неравенства к разности и (х, /) =
= Mi(*, 0 — Щ(х> 0-ДвУх решений задачи (Г), C').
414. В результате замены искомой функции и(х, t) = v (x, /) + а(/) +
+ #[Р@*— а@1 получаем задачу
»**-** = /(*, 0 + «'@ + *№'@-а'@]. 0@,/) = 0, иA, 0 = 0/
415. w(*, 0 = sin nx ^ e'niit'x)fn(T)dx.
о
416. u(xt t)==eXl chx^e2t (не принадлежит классу единственности).
417. и (*,/) = -т=\ \е *аН -е *а*' ФШ^. Чтобы получить
2а у nt J L J
эту формулу, продолжим ф (л:) нечетно на отрицательную полуось — оо < х < 0,
т. е. построим функцию *
1-ф(-*)> *<о,
и рассмотрим задачу Коши—Дирихле
Ut—a2Uxx = 0, — оо<*<оо, / >0, U (xt 0) = Ф(*), — во < ж < оо*
Решение этой задачи, как известно, определяется по формуле
— 00
Очевидно, что У (*, 0)=ф (дс), 0<х < оо. Далее, из (**) и (*) получаем
2а у nt J 2аУ nt о
Отсюда находим, что U (О, /) = 0, и стало быть, U (я, t) — u(xt t) при я ^0.
Чтобы получить приведенный здесь ответ, следует решить вспомогательную
170

задачу:
Ut~a?Uxx = Q, — оо<л:<оо, t > О, £/ (*, 0) = Ф (л:), — с© < л: < со,
где Ф(*)=<
I ф(— *)> х<0.
0-ht 5 г -£^ (*+^1
419. w(jc, 0= — \ е *аН -е 4fl*' q>(£)d£. В результате за-
2а у я/ J L J
мены искомой функции по формуле u(xt t)=e"htv(xt t) для v(xt t) приходим
к задаче 417.
Чтобы получить эту формулу, рассмотрим вспомогательную задачу:
^t = eV** + /7(*•/)• */(*, 0) = 0, -oo<*<oo, *>0, (*)
где
/(*, 0, *>0,
* <0,
'<*'-{-Г.-0.
(**)
решение которой дается формулой
0 -<»
В силу (*) и (**) эта формула записывается в виде
,• Д , (л - (JC-£)> 5 _J£±S>!_ 1
^iK*' • id о
Следовательно, Ut = a2Uxx+f(x, t), x > 0, # * > 0, £/ @, 0=0, t^*0t
U (x, 0) = 0, х^гО и, с.тало быть, (/(^, t) = u(x, t) при я^О, f^aO.
422, u(xt 0 =
О О
423. и(х, /) =
2aУ я J J V7--T L J
С помощью замены м(*, *)=в-л*и(*, *) приходим к задаче для функции
v(xt t), рассмотренной в 421.
171

424. u(xt /) =
2a у я J J УТ—т L J
о о
425' tt(*' 0=27FsrI[e"k4on ~e" 4e" ]9a)d|+
0
. ■ l~c e-h(t-x). _j£zl)L _Js±S>L1
0 0
о
2a Yn) J }^-т L % J
о о
Чтобы получить решения задач 427—441, удобно пользоваться
формулой D) (см. задачу 403), в' которой следует положить т = и (х9 0), х=хъ ...,½.
427. u=l—x*—y2 — 4t.
428. и = 1 — (х2+у2J — Щ (х2 +1/3) * — 32*2.
429. и = х*+#а + 4Л 430. и = е*+У+2*\. 431. a = /0 (r) ef. 432. u-e-lH sin /х1#
433. u = e~lt*coslxi. 434. w = e^ch/^.
/ /2 + /2\f
435. w = ewsh/A:1. 436. > = е v x 2' sin/^ sin/2x2,
437. «=5в v г z/ sin /^ cos l2x2.
438. w = e * 4+n/ cos iiXi cos /дХд<
-( /2+/2\ t
439. w = e v x 2/ cos/^ sin/2#2.
- .2<?<
440. u=e l~l sinlix1sinla^%...s\nlt^cnb
-i2t ~i2t
441. w==e x sin /^ + e n cos lnxn.
442. w(*, y) = yfi(ay~ x) + f2(ay—x), где /х и /2—произвольные дважды
непрерывно дифференцируемы© функции.
Чтобы проинтегрировать уравнение, следует сделать замену переменных
% = ау—х, r\ = yt в результате чего уравнение принимает вид 1^ = 0.
443. В переменных х> у, t—t\py v(x, yt z)~u[(xt у, pz) рассматриваемое
уравнение принимает вид vxx + vyy — vz~0. Поэтому формула D') является
непосредственным следствием формулы D) из задачи 403.
444. u(xf yt t) = 1 —(л;2+^2J—16 (х2+у2) (/-1)-32 (/-1J. В
переменных х, у, г—/—1, v(x, у, *) = «(*, yt г+1) исходная задача имеет вид
Vxx+Vyy—1>* = 0, r>0, v(x, у, 0) = м(*, у, 1) = 1 —(лта+У2J- Согласно
формуле D) (см, задачу 403), в которой положено т = м(*, у, 1),
получаем v (х, y$z)*=l — (*2+02)а—16 (х2+у2) г—32z2, откуда находим искомое
решение. '
172

— * p (*-j/)»
445. u(x,t)=±y i Je 4i ФДОФ
— 00
446. u (*.«/)=— ' Г е~46 <*»"*> 9B) «to, х< fry. В резуль-
2 Уя&(^-*) J
— CO
тате замены переменных l=y, t = y—x/bt u(xt y) = u(bl — bt, 5) = »(g, t)
исходная задача приводится к задаче
°й -^ = 0. — оо < g < 00., * > О,
*Й, 0) ==«(«, 9=ф(«), -co<g<a>, *>>о.
447. и (*, «/) = 2 а*е Ь sin ^,
l
ak = 2 C <pFg)sinta£d£, £=1,2, ...
о
С помощью замены переменных \—у, t — y—x/b, u(x, y) = u(b%~bt, £) =
= tf(§, /) исходная задача приводится к задаче
Щ&-Щ = 09 0<£< 1, 0<f < 1,
. *(Е, 0) = 1*(«,£) = ф(«), 0<g<lf
о@, t) = u(-btt 0) = 0, i>(l, t) = u(b-bt% 1)==0, 0</<lt
решение которой (см. задачу 409) имеет вид
»F» 0= 2 fl*'sin kn&
-k*n*t
1
a* = 2 J <p (¾) sin tag d£, 6=1,2, ...
В. и (x, y) = e ч /
448. u(x, y)~e ч 'sin*. Сделать замену искомой функции по
формуле и(х, у) = е 2 о (л:, «/), в результате чего постановка задачи
упрощается.
* Г (*-!>')^^-1L
449. ц(х, у)=* * Ге L 4^ 2 J ф(£)dg, <p(*) непрерывна,
— QO
Р
ГХ
а е* ф(л:) ограничена при — оо < х < оо.
450. Если искать функцию и (xt t) в виде и(х, t) — erMv(x, /), то для
v(xy t) получим уравнение Гельмгольца 1^ + 1^+^ = 0, которому
удовлетворяют функции Jk (Яг) cos fop и Jk (кг) sin fop (см. задачу 227).
451. и(х, у, t) = e-MJ0(kr).
452. Параболический. Соответствующая уравнению F) характеристическая
/ п \2
форма К(къ ..., Я„, K+i) = [ 2^ ) не с°ДеРжит параметра Ял+1*
173

[я/2] k
468. и (ж, o=2ii.A1*p«w-
fc=0
/ /2 + /2\2 f
454. w (л:, t) = e v * л/ sin lxxx cos /,,#„*
455. Параболический (см. ответ к задаче 452).
[«/4]
456. а(*.0 = £4п"А1*Р»^-
fc=o
457. и(х% t) = sinx1cht-\-cosx1shti
ГЛАВА V
458. Требуемый набор имеет вид и% (х, 0 = ¾ (*) w% @> гДе ^а, (*)» ^¾ (*)—
решения обыкновенных дифференциальных уравнений v" (x)-\-Xv(x) = 0,
w" @ + Яш @ = 0, соответственно*
459. Задача имеет бесконечное множество решений вида
М*» 0=U«cos^—-^„sin^—-^П sin£3a(* *' л==1' 2> •••»
где aw, ^—произвольные действительные постоянные.
00
460. и (х, 0=2 (ая cos nt + ^л sin n^ sin n*'
71=1
где
я я
а„=— \ ср (л:) sin /w dx, bn—— \ г|> (x) sin шг d*.
о о
461. Да. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что при ф(*)= "
= \|)(a;) = 0, О^лг^я, задача имеет только тривиальное решение. Известно,
что задача Коши ихх — ицу и(х, 0) = щ(х, 0) = 0, О^х^я, в
треугольнике с вершинами в точках А @, 0), В (я, 0), С (я/2, я/2) имеет только
тривиальное решение и (х, t) sa 0. Решение и (х, t) рассматриваемой задачи равно
нулю и в треугольнике с вершинами в точках А @, 0), С (я/2, я/2), D@, я/2).
Действительно, интегрируя очевидное тождество — 2(uxUf)x-{-(ux)t-\-(ut)t=Q
по треугольной области с вершинами в точках А @, 0), Ст(т, т), 1>т@, т)
при любом фиксированном т, 0 < т < я/2, ввиду того, что и (х, 0 = 0 на
отрезках АС% и AD% получаем
J (l£+l*J)d* = 0.
Следовательно, их = щ=0 вдоль DxC% и, стало быть, и(х, 0 = 0 в
треугольнике ACD, Аналогично доказывается, что и(х, 0=0 и в треугольнике BCD1$
где Di = D1(Kt я/2). Таким образом, имеем
u(xt п/2) = щ(х, я/2) = 0, 0<х^я.
Повторяя приведенное выше рассуждение, заключаем, что и(х, 0 = 0 всюду
в полуполосе 0<х<п, t^O.
174

462. un (xt t) = [an cos (n+l/2) t + bn sin (n +1/2) t] sin\n-\-1/2) xt
где ал, 6rt—произвольные действительные постоянные, л = 0, 1, ...
-Ла . .. I 2па . . 2л
463. «(*, 0=2^ sm "I" 'sin ~Г ^*
СО
w ^ / ttflTt Clkll \ kit
464. и(х, 0=2^ \akZ°s-7-t + bn §in -j-1) sin — xt
l l
ал==Т ) Ф(*NШ7Х^' к=="Ш \ ^(x){Sm — xdXi
лов , .ч 2/ . ая , . я , 5ая . . 5я
4в5- "<*• '>=«sin ir 'sinшx+cos —lsinifs;
л** /^ч 2/ ал , . я . 2/ . Зая . . ' Зя ,
466- "<*• '>=^sin ir 'sin2T*+3HSsin 1Гит -2ГХ+
И у (-1)* Bfe+l)an Bfe+l)n
+Н» iL B*+!)» C°S Ш *8Ш 21 *'
.-_.... an , я . 2/ . Зая . Зя .
467. а (х, 0 =.сов-д- * cos g. х+ Ш8.п -g- < cos -g- *+
, 2/ . 5ая^ 5я
4--= Sin -jrr- * COS -тгт- ЛГ*
1 бая 21 21
468. и(х, *) =
V Г -B^+1)^,,. . B*+1)аяЛ B6+1)я
= 2-1 [g*cos 21 t+bft 5Ш 2/ * j C0S 2/ *'
2 (* , ч B*+1)я . . 4 р1/ч B6 + 1)я .
■e*»7 j ФМ cos* 2/ *<**' **=B*+1) an) *WC0S —5Г~*^
о о
со
/ * ^ , I M V4 1 B£+1)ая,
469. и(*> 0 = Ч-у—ф BFFT)-2cos —V—tco*
fc=Ox~" ' "'
со
470. и(х, t)=a0 + b0t + 2* \ak cos-y-/ + &fc6in-y-f J cos-у л;,
i i
c0=у \ ф (x) dx, &o=-y \ * W <**,
4 о о
а/г=у \ q>(#)cos -j-xdx, h — j^H ) ^M cos -j-x dXi
о о
CO
471. и (x, t) = 2 (ak cos a^ + ¾ sin e^fcO sin Я^я,
fe=i
175

О
,.*,-J-и **-£$*£».
Яд—положительные корни уравнения /t tg Я/=—Я^
472. «<*, 0-42 ^+$+hfnaKktcosKkX,
Яд—положительные корни уравнения ^tgA,/=A*
473. и (х, 0=2 (ak cos а^к* + Ьк sin аЯдО (½ c°s Яд*+Д sin Яд*),
g*CTiifr*(*)'iia 1(А*rcos ^+Л sin ЯлДС) ф (А;) ^
*>*— ^|ф^(дг')Ц21(X* C0S ***+Л sin %k*> *W <**>
о
/ 2
ЦФ*М112 = J(^cosM + /isinMJ^=^-^H±t
о
Я#—положительные корни уравнения hcXg%l***h.
474. и (х, 0=2 (аЬ cos a^kt + bk sin аЯдО (^fc c°s Яд*+Л sin Яд*),
/
а*Н1Ф*(*I1а1(Я* cos %k*+h sin **** ф (х) **-
X
Ьк = аХк д ф (jg) Ц2 J (** cos ***+* sin %кх) q (x) dx,
№к (х) \?=Uh cos %kx+h sin %kx)*dxJ{h2+f+2h ,
Яд—неотрицательные корни уравнения ctg%l = -g ("Г~т) '
475. ff(x,/) = 0 (*,/)+ю(*)> где
00 I
v(xtt)=y\akcos^tsm^Ext ак = - 1. С ш (х) sin *5- л: Же,
* г 0 -1 1Гу 1 q
176

476. и(х, 0-=Цр**+еи + Ф,+^+^/» +
[/(*)-"- ,°0°8] cos^,«to,
I
(P-a)*'
cos —- dx$
/
Решение искать в виде u(xt t) — to(x)+v(x, t), где w(x) — (a1x%+fax)a +
+ (&tx2 + fax)$t причем постоянные щ, fa, щ/fa подобрать так, чтобы w(x)
удовлетворяла краевым условиям исходной з**ачи, т; е. чТобы wx @) = a,
во
477, и (*, /) = ш (*) + V (a* cos аЯ^ + ^Л sin аА,*/) (Я* сое Я^я+Л sin Я**),
л=1
*r 0 n / /pil 1 \
I
a*=—~£—1« J [<p (x)-w (X)] (X* со» Ji**+fcsin %kx)dx,
+hx
hi
-ax,
** =
«&*[*+*(*»+**)]
I*K
:) (Xfc cos Я*# + й sin Я*#) dx.
где Xfc—положительные корни уравнения htgXl = — Я*
478. w(*, 0 =
• Г л2+я1 л 1
=» W—22Li I 6+/(^+¾2) J ^ ®CGSX*S* cosaK*t c°s***'
fe=iL о J
о Lo J
-H
где Яд—положительные корни уравнения A,tg А./=г=Л.
177

■479. и(*, 0 = -x+
°° 1
+ 4a V г ( 2—yj(X2n+icosX2rt+i^+^'SinX2w+i^)cosX2n+i/>
где л2п+1—положительные корни уравнения ctgA/=-x- I т~т) *
480. до(#, t) = (l—г) |a@+"Tv@* <И*»0 искать в виде до (#, *) 5=
= (oci#-|- Pi) р, (t) + (а2дс+Р2) v @- Потребовав, чтобы до (#, t) удовлетворяла
(неоднородным) краевым условиям задачи, определить коэффициенты ах, Pi,
а2, р2.
481. до (л;, /) = (х — 0 [а @ + v@- См. указание к решению задачи 480.
483. »(х, 0 = _±ц@+(*+у) v@.
484. »(*, ^tgO-O-'l^HO+MytO, См. указание к решению
задачи 480.
485.
и(х> 0= 7 Г5 е~т— cos-7-Н sin-г-/ бш-г-л:*
14- fаЛ V * д '
Решение ищем в виде ряда
00
«(*. О ■*= 2 г* <')«>*<*). (a)
где Фи (х) = sin — х — собственные функции спектральной задачи (Штурма —
Лиувилля) Ф" + Я2Ф = 0, 0 < х < U Ф@) = Ф (/) = 0, соответствующие
собственным значениям Kk = kn/l, k =1,2, ... Для определения коэффициентов
Tk (t) ряда (а) потребуем, чтобы функция и (х, t)> определяемая рядом (а),
удовлетворяла исходному уравнению; получаем
£ [n@+(^L)V*@]ein^x-^-«dnf х. (б)
Из (б) следует
7-1@+(-7^@ = ^, (в)
7^@+(-^-L@=0, £ = 2,3,... (г)
Из (а) и начальных условий задачи находим
7^@) = 7^@)=0, *=1, 2, ... (д)
Решая уравнения (в) и (г) с использованием условий (д), получим
т /л A ( i an , , I . cm Л
Т1®=^7Щ*[в ™Т'+™*тТ')'
Г*(<)аО, А = 2,3, ...
178

4Л *i I
486. u(x, 0 =
.. м> (_\)k+i ( кал,, t . кал Л . кл
Xrsin^ 2/ =1пДЯ(а+1) ](» + !)«
X[ a:xBk+\)Sin 21 'J sin2? *'
488. Решение задачи ищем в виде ряда
«(*. 0=2*А<0ФЛ(*) (а)
/г
по собственным функциям Фд (я) соответствующей спектральной задачи
Штурма— Лиувилля (Ш — Л). Чтобы определить собственные функции Ф^ (х), ищем
(методом разделения переменных) нетривиальные решения вспомогательной
задачи .
vn = a2vxx, 0< * < /, t > О, i/@, /) = w*(/, 0 = 0, t > О (б)
в виде
о(*»0=Я@Ф(х)?Ь0. (в)
Подставляя (в) в (б) и разделяя переменные, получаем для отыскания Ф(#)
следующую задачу Ш—Л:
Ф*(х) + Х*Ф(х), 0<х<1» ф@) = Ф* (/) = 0,
решая которую находим собственные значения Я^=-—^ ; и соответствую-
щие им собственные функции
,<I>n*) = sinBfe+1)n*, Ь0,1....
Далее разложим функцию f (x, t) также в ряд по найденным собственным
функциям <bk(x):
где 4(t) = T§f(xJ)smBk+ll)nxdx, * = 0, 1, ...
Теперь приступим к определению коэффициентов Ть (t) ряда (а). Подставляя (а)
и (г) в уравнение исходной задачи, получаем
откуда
Tl@ + [Bfe +2/}a"]V»@=т*@, ' *=0, 1. ... (д)
Аналогично, подставляя (а) в начальные условия исходной задачи, находим
^@) = ^@) = 0, fc = 0, 1, ... (е)
179

Решая задачи (д), (е), получаем
Т*М=ЩШЯb<*)sin <2И_П-(,_ЕL( *=0, ,,
Подставляя найденные выражения для Ф* (*) и Тк (() в (а), находим решение
исходной задачи:
. Bй+1)я
fe»o Lo J
489. . ix, O-q-T^r, (-'—8 f *+|-6in « <) со, *,.
1
490. «(*, 0 =
/o«)=7$/(*.S>*. fk(l) = j[f(xtl)cos^xdxt *=1,2, ...
49!. я(лг, "o = (l™)fJ + £'e+sin*cosf +
+"я 21 *F I (~)Л 3/~~* + cos Ы-^~~Х1 3 6in И sin **'
Решение искать в виде и(х, t) — w(xt t)-\-v(x, t)t где w(xt t) подобрать так
(см. ответ к задаче 480), чтобы она удовлетворяла краевым условиям задачи.
492. и(х, t) = (l-±\ e-t + £+-jcos2t&1п2х-~
"IS ЦьЫ [•"' + *«о.«-(»+|) *«] .ink,
См. указание к решению задачи 491.
493. u(x,t)=x+t + cos-jsin.j--
iv-fcjjLeo.fii+a^nfis+L^
*=о<2*+'>а 2 2
См. указание к решению задачи 491,
An у
494. и (*, /) = —j- e~f ch — . Решение искать в виде и (xt t) =
sh- a
а
~*(х,0+ *-*/<*)•
495. #(*, /)=5у—f-J+COS —х J sin 2/. Решение искать в виде и(*, /)=
**v(xtt)+f(x)sin2t.
180

496. <^ункция v (xt у) является решением задачи
»**+ew+to>eO, <*> y)$G> v(x,y)=*0, (х,у)£С,
а функция ш@— решением уравнения w"@+^@ = 0. Наличие набора
решений
"»(х. У> О = («« cos pnt+6Я sin (i^) t>„ (*, у),
где vn(xt у)—нетривиальные решения задачи C4), C5) приЯ = щ, ааЛ и &Л —
произвольные действительные постоянные, позволяет построить решение «(#, у, О
исходной задачи, удовлетворяющее и начальным условиям.
497. В силу единственности решения задачи Коши
«хх+иУу— Щ\ = 0, и (х, у% 0) = щ (х, у, 0) «= 0
заключаем, что и(х, у, 0 = 0 в области, ограниченной конусом y^-f^—l—/
и плоскостью tf = 0. Интегрируя тождество
0д (диди\ 0д[диди\,дГГдиу.[ди\П,д fda\*
^г^\ШЖ)~г^\ТуЖ)^Ж\\дХ) +[ду) \^Ж\1Г) ~и
по области Dx* ограниченной цилиндром х*+у*=\, конусом ]/**+*/* =
= 1 — / и плоскостью * = т, т > 0, в силу условий и(х, y,$**Q при х2+у* = 1,
t^0t u(x,yt 0 = 0 при /=1— |^^+|/4 находим
$ [(й)'+E)"+(г)-1,_**-^.
т. е. «(*, ^ т) = —' ' ■ =0. Повторяя это рассуждение при / > 1,
о* 11—%
заключаем, что и(х, у, 0 = 0 в полуцилиндре 0<х*-\-у*<\, *^а0.
498. Пусть v (х, у)—решение задачи C4), C5). Интегрируя тождество
A),+(|)"-к (■£)+« (в|)-вАв
по области G, получаем
\ (и*+*$) dxdy = \ Vfads— \ vbvdxdy^kX v*dxdy,
G О G G
откуда получаем требуемое утверждение*
499. Если Vk (х, у) и vm (х, у)—соответствующие Яд и Хт (А,* ф \т)
собственные функции задачи C4), C5), то в результате интегрирования тождества
д ( dvm dvb \ , д ( dvm dvu \ A
получаем
J (Vk torn - Vm tok) dx dy =*(X*-~ Kk) $ vkvmdx dy=0,
G G
500. а) Решением задачи
"tt=a2(«xx + *W, 0<*<s, 0<y<pt t>0,
«@, (/, 0 = "(s, I/, 0 = И*, 0, 0 = и(** P, 0 = 0, / > 0,
и(*. У, 0) = sin -i* sin -2.^» «*(*•#» 0) = 0, 0 < x < s, 0 < у < p,
1S1

является функция
/ Л V s2+p2 ant . • лх . йу
и (х, у, 0 = cos - — sin — sin -2-.
4 ' sp s p
б) Решением задачи
иц=а*(ихх + иуу)9 0 <x<st 0<y<pt t>0,
"@, y, t)=tu(styft) = u(x, 0, t) = u(x, p, 0 = 0, / > 0,
u(x, У, 0)=0, ut(x, у,0) = ~-д(х—х0)д(у—у0), 0<x<st 0 < у < p,
является функция
ж . /гях0 . ппу0
4/ V Sm"T"SinT^e;„ /l/^a , Л2 Л .*Я . ПЛ
= > — ч— sin ( 1/ —-4—-cwtflsin—*sin—у,
aJtp fe^ll /Л2р2+«252 \ V S2^p2 ) S p
где p—поверхностная плотность массы мембраны.
в) Решением задачи
1 2я
и#=а2(ихх+иуу)+-~ е-** sin — у, 0 < х < sf 0 < у < pt * > О,
«(О, У, t) — u(s, У» 0 = и(*, 0» t) = u(xt р, 0 = 0, * > О,
«(*>У, 0) = и,(*, у, 0) = 0, 0<x<st 0<y<p,
является функция
и (х, у, 0 = sin —• у ]£ a* ^-*—cos аяю*/ + ^^ sin anmkt J sin -i *,
/_i)*+i2s -/*« , 4
где аЛ=—; , ©*= I/ -^+-^ > p—поверхностная плотность
пркA+а2п2щ) т s* p
массы мембраны.
501. а) Решением задачи
ин-=а2 (ихх + иуу), 0 <х <sf 0 < j/ < р, / > О,
"(О, у, t) = ux(s, у, t) = u(x, 0, t) = uy(x, p, 0 = 0, * >0>
" (х, у, 0) = Аху, щ (х, yt 0) = 0, 0<х < st 0 < у < р,
является функция
u{x,y,t) =
V Л pacLi/BH1J , B/1+1J Л с:пBЛ+1)я . Bл+1)я
(_j)*+tt64sp4
W «*«-^ Bfe+1J B/г+1J-
б) Решением задачи
uit=a2 (uxx + uyy), 0<x <st 0 < j/ < р, / > О,
и @, у, 0 = «* (s, </> 0 =* (х, 0, 0 = "у (*> Р, 0 = 0, * > О,
и(х, у, 0) = 0, «t(*, у, 0) = —6(*—х0)Ь(у—Уо), 0 < х < s, 0 < у < р,
является функция
«(*, У, 0 =
182

Bk+l)nx0 Bn+l)ny0
SI Sin Ts S1 §p
где a*« = „ i = , p —поверхностная плот-
arcpsp -,/Bfe + lJ , Bft+1J
У ? » ^2—
ность массы мембраны.
*п« / а 2/л V (-1)*+1 1"Т") ' . *яс
502. a(*, 0=-2., jE— sin—*,
СЛО / .4 V* L 21 J * . Bfc+l)jl
503. u(x, t)~y,ake sin -—L x*
k=o *
где ал=у V ф (л:) sin m 2l x dx*
о
оо ГB/Я-1)АДТ2 ^
504. W(^0 = ^SBFF1P6 " cos^ii^^
505. u(x,t) = U.
508. it (*, 0 = 2£ {ц£+М+Н J Ф(S) cosX*£<*£| Гв*# cosX* *,
Я* — положительные корни уравнения Xtgkl=h.
где Q>k (x) = A,* cos Kkx + Л sin Kkx9 Ял—положительные корни уравнения
/ttgM = — A,.
°° — a23i2 /
508. a (at, 0= 2 аье " * (** cos hhx + k sin А,л*),
fe=l
2(/ (h h* + K% . , Д ,
ГДе fl* =>, (/,2 + 4)+ 2Л V^+£T Sm Kkl) ' ^-положит^ьные корни
уравнения ctgX/ = -^- (т"~"Т У *
509. «(*, O^f.^dJsin^id^'LW +PJ'sin^Lx.
510. «(*, 0=e sin -qT*.
, w(^,/)= \ a^e L4 ' J cos —a:,
r /
flo=jUWfc <**==— \ Ф (*) cos-r-* d*, 6=1,2, ,«•
183

6.2., (,, д-2ш ± дагжг]^м+й)'**м.
где Ф* (*)=A* cos А**+Л sin Я**, А* — положительные корни уравнения
fcctgM=A.
513. и(х, qJIL^x+t+1% ^[(-l)»l/-Tl,"V ' J sinip.*.
• (aft+11'о'л; ,
514. «(«. O-^W+S «* ^^ 8lnH±iif *,
£гз0
где ю(*)*-^П J/F)« U+^J/F)«+^f
i
515. «(a;, /) = <?* +
, И—jg>* 4/(Л-0у 1 " ГТ—{<2к+1)П
+ Г нз—2* Bfe+i)*e cos i *•
516. u(x, 0=-^^-ДГ+Г +
1 — e L ч ' J sin y*«
517. w (*,*) =
'•+(*)
518. u(x, t) = g / e-*shw+
cos —
fc=0, 1, •** Решение задачи искать в виде и(*, 0^=/(*)£-*+о (*, /), требуя
при этом, чтобы у(*, t) удовлетворяла однородным уравнению и краевым
условиям.
519. «(дг./)»—-.^-^^-^,+-^ r)i+2l*
k=\
Решение задачи искать в виде и(х, t)=±w(x, t) + v(x, /), где w(xt t) взять
в виде w(х, t) = (aiX2 + fax)At + (<*u** + fax)T9 подобрав постоянные аъ plf
а2, Р2 так» чтобы до (*, /) удовлетворяла краевым условиям задачи.
184

520. а) Решением задачи
зги. а; решением задачи
ut**a2bu, 0<г<«, где bu^-^jp ( г3 -~Л ,
u(Rt 0=0, |u@, 0|<°°» *>0, и(г, 0)=*7\ 0<г </?,
является функция
Чтобы получить это решение, перейдем к новой неизвестной функции v (г, /) =
•в ги (г, 0» в результате чего исходная задача редуцируется к задаче
vt*=a2Vm 0<r<R, t>0,
0@, t)-0(ft. 0==0, *>0, *(r, 0)=*7Y, 0<r<#<
б) Решением задачи
к^а*Ди, 0<г<#, />0, где Aa = -Li- (г» -|~V
kur(Rtt) = q, t>Qt и(г, 0) = 7\ 0<r<#,
является функция
является функция
u(x,y,t)*= 2^ akrt *n sm — у cos*—3LJ_.
W <**«= — \ ] f(*> У) sin —yco$l J^; xdxdy, *>L = -jy—J.
, (an+JI.»'
+ 3p5—
б) Решением задачи
щ = а2(uxx+uyy)t 0<x<p, 0<y<$, t>0,
«(О, У, 0=0r ^(p, yt t)+hu(p, y% 0 = 0, 0<y<s, *>0f
«jf(^ 0,/)««(*•*» 0*0t 0<*<p, *>0,
«(*, y9 0)=/(*, #), 0<*<p, 0<(/<s,

является функция
«(*,#. О = 2-1 а*п* kn 6infi^cosv З: у.
ГДе g^=s[p(^+lxI)+^J j \ Н*' У)«т№С°$ —2Г~У> 4.-1*2 +
. Bл+1Jя2
-j-^—l-_£ f ^—положительные корни уравнения Л tg p[x= —jx.
во
Ла,Ла
522. Решением задачи
щ = а2(ихх+иуу+иег) — Ри, Q < х, у, г < I, t > О,
и @, у, г, 0 = и('> «/. г» 0=0, 0 < у, г < /, / > О,
ы(*, 0, г, t) = u(x9 lt г, 0 = 0, 0 < х, г < /, t > О,
и(*. у, 0, 0 = "(*, У, /, 0 = 0, 0 < х, у < I, t > О,
и(х, у, г, 0) = £/, 0<xt yt г<1,
является функция
и(*. у, г, 0 =
-Т5? £ ^w"*to**t«nfiS^grin№"+<l),,y.ln Bя+1)Яг ,
Акт„ = [<2fc +1) Bm +1) Bл + !)]-»,
«а*»» ~ Р + ^jr К2* +1 J + Bт +1J+Bл +1 )8J, P - коэффициент распада.
523. а)«(,. ^.^„fi^ii», *Щр*у.
о
б) и(х, у) =i£—2s /у + ^ -
__4рВ_у 1 B*+1)я Bfe+l)K
»• ^oBfe+i)8Sh^+;>"s ' * у-
в) и(*> #) = £/ +
, 2р Г- , я / . , its \ BV . _ . its \ . я I . я
+ ТГ LTsh Wy-\ch 2р) (—+ rsh 2FJch^Js,n 2F*~
Bfe+i)ns
4У^сЬ-> 2p .Bfe + l)n ^- («+!)»
я 2- 2Й+1 СП 2p ySm 2? *'
ft=l
°° B*+1)Я
524.^a) *(*, у)= £ a*e П *sin t/ 9.
Л = 0
«*=— J / (У) sm ^ у dy.
о
186

6) и(**у)== § A(»'+ц)+» J/(S)cos^ j'-4**»**
где Яд—положительные корни уравнения Л, tg Я/=Л.
525. а) и (г, ф) = —i_^r---~~J cosq>,
In-'
б) а (г, Ф)=Л Г + 53^Г ~)sin2<p'
b
в) u(r, <p)= Q + -^-^--] созф+^q^ (r*+7rj sm2<p.
526. а) «<r. <р)=~- L i-f_ (^) sin -J.
BЛ+1)Я
б) И (Г, ф) = 2^ в*Г COS 1 ^ ф,
Bfe+lKt 2
«а4«. 2a pWcos B^«)Я(Рс*Ф.
О
527. Действительно,
1 V / п* *"~*+2fe ( * 1_U
2«-i(n_l)! ^ -£П ч 2n-i+*b(k-[)\(n-\+k)\ \ k n + k J
—£L ["-ii-4- У (- n* хп+2к 1 --*L / ю
"~ * L2^1 ^ £\y } 2n+Mk\(n+k)\\-~ x JnK*h
Аналогично проверяются остальные два тождества.
528. Поскольку
Г *»» 1 /2Л\ я
то
t ~ 1
2 f cos tx ., 2^ , nJfe x2* f <** ,, «, 14. x** ,,.
Q Л =0 Q К = 0
529. Первое тождество проверяется так же, как и тождества из задачи 527.
Далее имеем
Последнее равенство следует из второго тождества из задачи 527.
187

530. Справедливость обоих тождеств проверяется непосредственно на
основании тождеств из задачи 527. Действительно, учитывая что
J'n (ax) = Jn-i (ccx)—~ Jn (ax),
ах
J'n (ax) =-£x-Jn-\ (<ix)—Jn(ax),
имеем
щ {х [Р/„ (ax) J'n фх)-а!п фх) J'n (ax)]} =
*=4 |рх/„(ах) [£/„фх) -/„+, (рх)] -
—0W/„(pX) J^-Mox)—/e+1(OX)] i=s
=а/„ (рх) /я+1 (ах)-Р/„ (ах) /п+1 (Рх)+
+* [а^;+1 (ах) J„ фх) -|-apj; (И /B+i (a*) -
-pV„+i <рх)/„(ах)-ар/„ (ах) Jn+i (рх)] =
=а7„ (рх) /„+! (ах)-р/„ (ow) /B+i (px) +
+ а*х/„ (рх) [/„ (ах) —2±1 /п+ , (ах)] +
+aPx/„+i(ax)
~аРх/я+1(рх)
L-p'«(M-^+i(M
~У„(ах)—/n+I(ax)
-р8х/„(ах)
['„(М-
+ 1
рх
/»+l(P*)
= (а«-р»)х/„ (ах) /„(рх).
Точно так же
A{(a*x*-nV»(«*)+ [^„(ох)]'^
=2a*x72 (ax) + 2a»xV„ (ax) J'n (ax)-f-
+2а*хУ„_1 (ax)+2a»xV„_i (ax) j'„-i (ax)—
—2naJ„-i (ax) Jn (ах)—2па3хУп-1 (ах) /„ (ax)—
—2naax/„_ i (ax) j'n (ax) —2a*xJn (ax).
531. Поскольку в силу задачи 530
(a»-p*) xJ„(ax) /„ Фх)=^х [axJa фх) Jn+t (ax)-px/„ (ax) /n+1 (Px)],
2a8xyn(ax)=^{(a2x8-n*L(ax)+In/„(ax)-ax/n+i(ax)]*},
те в результате интегрирования получаем
i
(а»-р*) J x/„(ax) Jn(px)dx= 0,-
2a2(xJ„(ax)dx=(aVa"+l1
(a) при Jn(a) = 0,
) при /n+1(a) = 0.
188

532. Действительно, если а — комплексный нуль функции Jn (х), то а
также будет ее нулем. Поэтому (см. задачу 531) получаем
1 1
{ xJn(ax) Jn(ax)dx=\x\Jn(ax)|adx~0,
,. ■ о о
т. е* Jn(ax}=0 тождественно при 0<*<1. Отсюда в силу аналитичности
Jn(ax) следует, что Jn(ax)=0 для всех значений х (как действительных, так
и комплексных), что невозможно. Точно так же, допуская, что /Л(а)=г
= y„+i(a)=:0 при а?£0, пришли бы к противоречию
1
Jx| Jn(ax)\2dx=0.
о
Следовательно, Jn (a) и Jn+i (a) не могут иметь общих нулей (корней). Отсюда,
на основании первого тождества из зад&ш 527, следует, что при любых целых
неотрицательных индексах тип функции Jm (x) и -/„ (х) не мдгут иметь
общих нулей (корней).
д2 д2
533. Записывая оператор Лапласа -^-7+^-2 B полярных координатах
r^V^+y\ ft = arctg£:
д2 . 1 д . 1 д2
дг2 + г дг^г2дЪ2>
например, для un(rt ft) получаем
поскольку In(x)~i~nJn(ix) является решением уравнения
л+т<-(i+£)/««.
534. Так как Г (*+1 +±) - У* Й5±Ш , »
Х/* (*)Seffi("}* ^+!»*1Г(Н1 + 1/2)= "
Аналогично получается и второе тождество.
535. Справедливость утверждения следует из того, что при замене х =
= cos ft, — 1 < х < 1, имеем
д 1 д д2 cos ft д , 1 а1
a* sin ft ad ' дх2 sin» ft aft ^sina ft aft* #
536. Поскольку при ^=cos ft
Tn(x) = Tn(cos Ъ) = -к [(cos ft + isin ft)w + (cos ft~/sin ft)n] =
-=.*. ]У + ¢-'«*] = cos nft= cos» *- ( J ) cosn~2 ^in* *+....
189

то
^1.(^=^-E)^-^1-^+...
537. Пользуясь формулой для Тп (х) (см. решение задачи 536), получаем
ГвМ = 1, Тх(х) = х9 Г,(х) = 2х»-1, Т3(х) = 4х*-3х.
538. Пользуясь формулой Тп (х) = cos nd (см. решение задачи 536),
получаем
1 я
Г Тп MJj^X dx=[ cos nb cos mb d§ = 0, n^m.
-i о
539. jr0||= V* 11^11= ]/f , "=*> 2, ...
540. Пользуясь формулой Лейбница, находим
1 / /и-iiV (n\dbe-*dn-kxn« , n w_i)*
откуда и следует, что
*1л(*) + A—*)£л(*) + *М*)«
^2^ ^1^ [U—Ч Т\ \n — k) (/fe— 1)! V/г — A-f-iy (k-l)\~~
'[n-k-i)Tr\xfc==:
=S(-')^[U)<»-')-U+1)<6+i>]-°-
541. L0=l, Li=l-*, L2=l—2x + |l, L3 = l — 3^ + ^~-^.
542. Пусть n < m. В результате интегрирования по частям п-\-\ раз
получаем
00 00
J e-*I„ (ж) Ln (*) dx =-^- J Ln (x) U (*»e-*)d* =
00
0
543. Интегрирование по частям п раз дает
CD 00 00
^e-*L\(x)dx = ^Ln(x)^
-Г(д+1),_
rt-l
л!
поскольку, как известно, Г (n)= f #w-Jg-*d#.
о
190

544. wo == I/8—Зуг2, «f=*#2—xz*, ul=yx2—yz*9
u|=x3— 3xz2, U4=z«/2 — ~-23, u\=xyz, i4=A—-g-2«.
545. Ks = sin ф sin d (sin2 ф sin2 d—3 cos2 #),
Кз = ctfs ф sin fl (sin2 ф sin2 О—cos2 Ф),
Кз = sin ф sind (cos2 ф sin2 d— cos2 Ф)>
Yl = cos ф sin # (cos2 ф sin2 # — 3 cos2 #),
Уt== cos # f sin2 ф sin2 #---3- cos2# J ,
У\ = sin ф cos ф sin2 # cos #,
F|==COS# [С082фб№# — -g-COS2# J .
546. Поскольку функция
1 3 f X у Z \ 1 v5 . од
7"*(jr>7r> 72-)=71^3(9, #)
является гармонической, ее множители
являются решениями уравнений
в чем легко убедиться,' если пользоваться записью оператора Лапласа
в сферических координатах.
549. Справедливость утверждения следует из тождества
ит+2 (Ш+х т dm -
(<3-1)^ЖТ-2^-Г+2<|гТ1^-1)и-т(т+1)^-1)'а = 0,
полученного дифференцированием т +1 раз очевидного тождества
(**-1)^(/*~1)л==2т/(*я--1)я\
550. Справедливость этих соотношений проверяется легко, если
пользоваться представлением Рп (t) из задачи 549. Так, например, в силу
указанного представления имеем
^+i@-^-i@ =
=2^^гттI ^12 (п+1} (^2_ x>w+4ri <rt+ x> ^2 а2- 1)л-ч—
1 dn
2»-*(л--1)! Я»1 '
1 dn
-g..-i(n-iIgg(<1-1)""t=p«i(<)+g«P»@=(i+2«)PB@.
191

551. В справедливости утверждения легче всего убедиться
непосредственной проверкой, т. е. подстановкой выражения C8) для Рт (t) в левую часть
уравнения C6).
552. Пусть т > /t. В этом случае, интегрируя п раз по частям, находим
1 1
-l
2»+»mlnl J #«»-»<' '' ai °-
-l
553. При п = т (см. ответ к задаче 552) имеем
554. Поскольку (см. ответ к задаче 545)
У! (ф, ф) = sin ф cos ф sm2 d cos О,
то для Р| (cos #)=Р| @ имеем выражение
' Pf(cos 0) = 15 sin2 ft cos ft=J5 (l —cos2^) cosd= 15/ A — /2),
которое, очевидно, удовлетворяет уравнению C7) при m**3, n==2.
555. Результат получится сразу, если продифференцировать п раз
уравнение C6), а затем принять
558* В справедливости утверждения убеждаемся, если в уравнение из
задачи 555 подставить
559. В уравнении из задачи 555 положить
561. Справедливость утверждения следует из формулы C9), если учесть
оценку
| cos d+i sin ф cos 11 = >^"cos2'd + sinadcosa/ < !.
562. Пусть rn (t)z=antn+... +a0—произвольный полином етепени
меньше т. В результате интегрирования л раз по частям находим
1 1
_(-Ч)"д„п1 Г <**-*
192
■Пид«п! С dm~n

563. Справедливость утверждения следует из формулы C9), если положить
в ней д = 0 и 0 = :1 соответственно.
564. Р2т+1 @) = 0, Р»«@) = (-0»2>(^Д,.
565. Поскольку оператор Лапласа можно внести под знак интеграла,
справедливость утверждения следует из соотношения
д2/
Д/ (z + ix cos t + iy sin t> t) = A — cos2 / — sin2 /) -^ = 0,
| = z + r'jc cos t + /г/ sin /.
566. В соответствии с утверждением задачи 560 имеем
я я
£— \ (z-f'#cos t-\-iy iS'm t)m dt =-^- \ [cos Ф + i sin Ocos(^ — q>)]CTcfr =
-я -я
я
=-0- \ [cos 0 + 1 sin О cos x]m dx — rmPm (cos ft).
567. Если искать решение уравнения D2) по формуле D0), в которой
/С (г, 0==F — e-te8in'f
то уравнение D1) примет вид
решением которого является функция y(/) = e±W.
568
#{^B) = -7- \ exp(zshY) — /iT|)dTj +
— 00
О 09
+~ lexp(— iz sing + f/i6)d£+-^ V exp(— гsht| — mj — щ)^,
-я о
о
Я?(г) = -т!г f exp(zshT|-«n)^ +
— 00
Я со
-|— \ exp(— iz sin I+ inQd£—— \ exp (— zshri — пц + itm) dx\.
о о
я я
569. /„B) = тр \ exp(—te6in£ + mSd£ = "—\ cos (zsin £ — nQ d£.-
-я о
570. Пользуясь выражением для /„ (z) (см. задачу 569), имеем
я
J-n (*) = — Г cos (z sin £ + я£) d£ =
о
я
=— \ cos [z sin (n—t) + n(n — t)]dt=B
о
я
= (—1)"-£- Г cos (z sin* —nt)dt = (— l)nJn(z).
о
7 А. В. Бицадзе, Д. Ф. Калиниченко 193

571. Утверждение следует из оценки |cos/|*^l, справедливой для всех
действительных значений /.
572. Пользуясь выражением для Jn(z) из задачи 571, имеем
я я
и (х, У, г) = ^- е*г Г е1^ 5in <'-ч>У«* dt = — eXz f е'** sin * eim <*>+*> <*ф =
-я -я
я
—Lete(fm f cos(Xpsin^ + ^)^ = ^'m4>/-*(^p).
о
573. а) Решением задачи
utt = a2Aut 0^r<R, t > 0, где Ди=— — Гд/'
И(/г, /)=ot |и(о, /)|<оо, *>о,
и (г, 0) = Л(Я2-г*), щ[г9 0) = 0, 0<r<tf,
является функция
щ—положительные корни уравнения /o(ji)ss0.
б) Решением задачи
uti = a2\u, 0<r<#, />0, где Дн = — j (г;г) »
«№,0 = 0, |и@,01<». *>0, и (г, 0) = 0, а* (г, 0) = 1/, 0<r<i?,
является функция
574. а) Решением задачи
«, = а2Ди, 0<г</?, />0, где Д« = 1£(г|£),
wr (/?. 0 = 0, | и @, /) | < оо, / > 0, и(г, 0) = i/r2, 0<г<#,
является функция
fA/fe — положительные корни уравнения ./© (fx) =0.
б) Решением задачи
ut = a*Au, 0<г<#, *>0, где Aw = I|-(r^V
"г (Л, t) + hu(R, 0 = 0, |и@, 01 <». * > О,
и (г, 0) = £/г2, 0<г<#,
является функция
„(г, 0-2ОТ/Т B+^)^-4^ .Ч^У^Л
щ— положительные корни уравнения цУЦ (ti)-\-hRJ9(n) = 0;
194

в) Решением задачи
и*=а2Д«, 0<г<Я, * >0, где Att=ai-^^^V
u(R,t) = Tt |и@, OK*. *>0, u(r,0) = Ur\ 0<r<#,
является функция
fr-, MiO*a) V * У
р,£ —положительные корни уравнения /0(ц) = 0.
575. а) Решением задачи
u(R9z, t) = u(r, 0, t) = uz(r, U 0 = 0.
u(r, г, 0) = Л(#2-г2)г, 0<г<#, О < 2 </, / > 0,
является функция
и (г, г, 0 = 2- а*** ^ f фш1 ^; г,
где gfa=(-l)B %1™ » Я* = -Т' ^ = I/ ' ^-положи-
тельные корни уравнения J0(\i) = 0;
б) Решением задачи
ut=a*Au, где Д„=--(^+-,
и* С. 0, t) = u(rjy t) = ur(Rf z, 0+ *"(#, 2, 0 = 0,
и (г, 2, 0) = Л (Я2 — г), 0^г<Я, 0<z<i, *>0,
является функция
„м „ - lfiitifi« К-')" Bп + 1) я-2] /2 Ы . _ ц* „Bя + 1)я
Гдей*"- №,+ i)»»«(rf+W)^(M ' *_Х' ^" ^7-*
\1ь.—положительные корни уравнения \iJ'o(\*>)-\-hRJ0(ii) = 0.
576. Решением задачи
1ц=а'Да, где Аи-^^ (^r2 ^J +7*^3 W (em ^ J,
|а(г, &, 01 <оо, «(/?, Ф, 0 = 0, и (г, О, 0) = /(г, О),
0<г<#, 0<ф<я, *>0,
7* 196

является функция
So. /'
/n=l
^ [^/1 + 1/2 (MWJ # fl \ A /
1*/ш —положительные корни уравнения Jn+1/2 (u)=0.
577. а) Решением задачи
а л а I д f ди\ . д2и
Да = 0, где А«=Т57(г д^+^г.
|и(г, z)|<oo, a(/?f z) = u(rf 1) = 0, и (г, 0) = 7\
0<r<#, 0<z</,
является функция
^-—положительные корни уравнения /0(|л) = 0.
б) Решением задачи
а п а I д [ ди\ . д2и
Д* = 0, где A^T5-^-J+_,
|tt(r, z)| <оо, ы(г, 0) = иг(г, /) = 0, u(Rt z) = /(z),
0<г < Rf 0 <z< I,
является функция
/
Г*лч • B^+1) я t *
, ч 2^i о ГB£+1):гс I . Bfe+l)ft„.
"(r,z) = T^ ГB^+Ря/?1 74~2Г—rJSin 2/ '*'
в) Решением задачи
Д«=-т, где Aa^-g-^g-j+^r,
|и(г, z)|<oo, и(г,0) = и(г, l)=u(R, г) = 0,
<)</■<#, 0<г</,
является функция
e(r, z)=g(*«-r«)+
где щ—положительные корни уравнения /0(р,) = 0. Решение искать в виде
и (rt z) = w(r)-\-v(r, г) так, чтобы Доу = —Q/&.
196

578. Решением задачи
Д« = 0, где Att=7-^_j+_,
\и(г, 2I <оо, и(г, 0) = и(г, /) = 0, u(R,z) = T,
R < г <оо, 0 < 2 </,
является функция
• К ГBп+1)я 1 B«+1)я
п=о B/t+l) KoF^j
#0(£) —цилиндрическая функция (Макдональда) мнимого аргумента*
579. Решением задачи
Да = 0, где Atf=^l(r«^)+7S^lp(sin*|j)t
!«(/■, 0)| <оо, «(/?, ^)=/@),
является
а) при 0<г < Я, 0<д<я
Bл+1)
и ('> *) =]£ Щ21 j 1 Ш Рп (C0S E) Sin l dl (т)" Рп (C°S *}'
/2=0 U )
б) при i?<r <оо, 0<д<я
u(rt Ъ) = ^Щ11 Ш (£)/>„ (cos |)sin^(£)*+4(cos<>).
w = 0 V0 )
580. е-*~0+^ + . ..+^+. ..=0.
581. Указанный в ответе к задаче 580 ряд служит асимптотическим рядом
для всех функций вида / (г) = е~ш, где со — произвольное положительное число.
582. Ввиду того, что 0 < г < f <оо, в результате последовательного
повторения процесса интегрирования по частям имеем
СО 00 СО
У * 2 J t " 2г 2 J е *■
_1 1 , 1-3 1-3.5 , , , 14tb3-5...Bfe-l) ,
2г 2¾3^¾5 г^7"^-'--^ ' 2*+1г2*+*
+(_1)>+11-з.Б...(а+1) Г^&
Интегрируя по частям интеграл, получаем для остатка оценку
b3.5...Bfe+l) Р ez2-*2 df 1.3-5...B6+1)
+ 1 J fH.k + 2
г
2^ + 1 J /2fc + 2 2Л + 222Л + ?
откуда и следует требуемое асимптотическое разложение.
583
Ч-'т--"*!;-41--=T+i-
197

584. Условие | arg2 |^ я—б < я гарантирует возможность
последовательного повторения интегрирования по частям. Имеем
00
О 0 0
1 } е-* Л e-t
(t + zf
+Л
o-t
(t + zy
dt =
= 1_J_4, (-i)i-i (n-i)!
00
+(-1)П"!1GТ^Л-
585
00
. С «-*/«-!#=—е-***-1! + (я— 1) Г e-4a~*dt =
г z z
=e-zza-i__(a__\)e-tta-z\ + (a_i)(a_2) \ e-4a-*dt =
z z
= e-*[ze + (a—l)ze-a + (fl—l)(fl—2)ze-8+...
... + (a —1)(a —2) ... (a —&+lJfi-*] +
+ (a—1)(д —2) ... (a-k+l)(a—k) [ e~4a-*-1dt.
z
Учитывая тождество Г (a+£) = (a + fe— 1) Г (a-\-k— 1) и оценку
00 OD
Г (a)
Ir^H*-*-*
Г (a— k)
l
j-a-A-i \ e-tdt =
| r(a —ft)T
справедливую для fe>a—1, получаем искомое асимптотическое разложение.
586. Условие а > О гарантирует законность последовательного повторения
процесса интегрирования по частям. Имеем
OO QD
£ t-"eitdt = -^--ia C/-«-V
2
[м е:
or l~
ttt.
Интегрируя по частям еще «раз, получаем
а(а+\) . , a (a-И) ... (a + fc — l)"
+
(«)*
а(а-\-\) ... (а + Л) С eif
a(a+\)...(a + k) С ё* ^
ik + l J fa + k + l
z
Учитывая тождество Г (a-\-k) = (a + k— 1) Г (a-\-k— 1) и оценку
Г (fl+fe + 1) I С в**
Г (a)
I f e dt I < r<a + fe + 1) f ^ =r(a + fe)
|j^+fe + i 1^- г (a) J ta + ft + i Г(а)га+к'
получаем искомое асимптотическое разложение,
198

587. Пользуясь результатом задачи 582, имеем
z
-.--E
2l-2*
*=> г D-*)
588. Полагая в задаче 586 а=1/2, /=fl2, а = У1г, получаем
dd<
*V«8
2 }^ям
<-i)***r (л+1
fe=0
W2ft
(-1)*Г B^+4^
2 Уяи 2-4 tt4* L И2 J
2 У"яи £* и4*
или
cos ft2 dft -
J'
и
С sin d2 db <
2 l/"n
г?
(_l)*rBfc+-i
fc = 0
W4ft+1
2/
^
-l)*rBft+i-
£ = 0
U<
4& + 1
.+4)
1
cos
ы2 — sin и2 ,
2*+2,
-^ 5—'- sin «2+ cos w2
589. EiB)~£iV*i.
/г = (Г
690. ci(Z)~Ybi>L»sin:
2k+\
cos 2 .
. 0
591. Si B)- > - ^ - COS 2-^ —Sin 2)
k = 0
592. В рассматриваемом случае Л/=оо, m = 0, а = 1, Ф@= 2 ("~^2л*
*=о
и при г0 > 0 интеграл
Ir
-z0*
+ г2*
dt абсолютно сходится. Поэтому в силу
формулы Ватсона D5) искомое асимптотическое разложение имеет вид
^i (—1)*ГBя6+1)
Уг = 0
Z2nk + 1
199

593. Так как т = р— 1 > —1, а = 1, ф(/)== 1, то из формулы Ватсона D5)
получаем требуемое утверждение.
594. Справедливость утверждения следует из того, что sin / + sin (— *)=з О,
и формулы Ватсона D5').
595. Учесть, что в этом случае Л = —1, N = 2, ф @ + Ф (— t) = 2 cos/, и
воспользоваться формулой Ватсона D5').
00
в96./?(г)=\в-«1Л-1г (l)z^=J~t
597. Обозначим F (z) — е-* V е^г dl,. Тогда, применяя дважды правило Ло-
о
питаля, находим l\m2zF(z) = l, или 2zF (z)= 1 +o A), или /7 (z) =— [1+0A)]
при z—>-+оо, что и требовалось.
600. Пользуясь интегральным преобразованием Фурье по переменной х
по
1
^(?Л)=у= J *-**«(*,*)<**.
преобразуем уравнение исходной задачи к виду
откуда находим U (|, 0 = ^ (£) e~ilat + B Ц) &at, где Л (£) и В (£) — произволь-
ные функции параметра |. С помощью обратного преобразования Фурье
получаем
00
— 00
00
= -^=- f [i»(E)^,*"afl+e(E)«'lt'+*0M=)i(r-eO+fl(x+4
V 2at J
— oo
Пользуясь начальными условиями задачи, получим ее решение в виде
x+at
1 1 \ С
И*. 0 = "Ф(*—яО+2-ф(*+аО+|й J *(*)&.
л-а/
601. Пользуясь интегральным преобразованием Фурье по переменной л;
00
U (I, 0 = -^==- J в" **и (*,*)-*,
редуцируем исходную задачу к задаче
Utt + aW^d, /), U ^ 0) = ^F, 0) = 0,
где
200
00
— 00

Решая ее, получаем
t
U F, t) = IJ F (Е, т) sin а? (* -т) dr. (*)
о
С помощью обратного преобразования Фурье находим
CD
У 2п J
2*
Учитывая, что sin а£ (t— т) = —|Уа*('~т) — в-'в&<'-*> ],из (*) и (**) получим
* 00
2c V 2л J J £ь
f 0 -co
Так как
* {^[*+aa-T>]_g*g[*-e«-t)]}== Г е-^т],
*-д(г-т)
то
0 x-a(t-x) \ r -Qo )
ИЛИ
0 *-a(£-t)
602. Пользуясь преобразованием Фурье по переменной х\
со
— со
редуцируем исходную задачу к задаче
со
где Ф F) = —т==" \ е~" ^*Ф (х) d*- Ее решение записывается в виде
у 2л J
— GO
(;(£,0=Ф(!)е-аг^.
Применяя обратное преобразование Фурье, имеем
CO CO
«1 С Ф(Л)^Л fe-a8^cos6(ri-^d5.
-co 0
201

Отсюда учитывая, что
je-<^cosS(r,-*L=i)/f
о
получаем
<*)
u{xtt) = —±— Г Ф(т,)Г 4fl*< dt,.
2а ]/ nt J
<JC-T|>»
603. «(*, 0=--7=- Ux / (л, т) £-==-^.
2а У я J J У f — т
О -оо
См. решение задачи 602.
604. Для решения задачи воспользуемся синус-преобразованием Фурье
00
U (Б, 0 = т/А Г « (*, /) Sin Едеdx.
о
Используя граничное условие и @, *) = jx(f) и предполагая, что функция и и
ее производная по х стремятся достаточно быстро к нулю при х—► <», имеем
со
Ut&, t) = a2y — J uxxsmlKdx = a2y — w^sin gx I —
о
CO CO
— a%Y —I \ uxcoslxdx = —a? j/ — g \ uxcoslxdx =
о о
= —а2 у —I jacosgx + g 1 w(x, t) sin £* d* }■ =
I ° о _ J
=fl«yr2sii@-a4WE.0-
Таким образом, исходная задача редуцируется к задаче
Ut + a*b*U=a* ]/|"Ы0. ^/F.0) = 0,
из которой находим
*
i/F.o=* ^¾ ^-^-^ мл.
о
202

Пользуясь обратным синус-преобразованием Фурье, имеем
00 t СО
и(х, t)=y|- fl/(L t)s\nlxdl = ^\\i№dT\le-a^V-*)s\r]lxdl =
о б о
J я(* —т) ъ 6=0 J
о L о J
n J (/ —x) J
о о
Отсюда, с учетом равенства (*) из решения задачи 602, получаем решение
задачи
t X*
, ,ч * Г ^1(т) с *aHt~z)d%
u^t)ss2aVli) (t-т)^
о
t х*
605. и(х, 0 = %= I г е 4а2('~т) dr. Воспользоваться косинус-
о
преобразованием Фурье; см. также решение задачи 604.
бое. и(х, о=-Ц= f-r=Wf ГГ*в*^'>-Г1<-'»1 /а,т)«.
2а у я J У/ —т J L J
о о
оо со (У-|J + (^-ЛJ
-со —оо
Воспользоваться кратным (двумерным) преобразованием Фурье, которое
определяется формулами
оо со
— со — со
00 СО
/ (ж, 2/) = -ту=^ J J e£ <6«+4»>F (i, Ч) <tg dr,.
— CO - CO
608. «(а:, г/, /) =
t со со (*-|)a + (r/-T)J
0 — со — со
См. указание к решению задачи 607.
609. и (х, у, t) =
00 * (х-ЪJ^(у-г\)* (Х-Ъ)*+-(у+г\)*
-otHF "" -" "" ]'«•**
— to О
203

Воспользоваться преобразованием Фурье с ядром
у 2л f я
при — оо < я < оо, 0 < (/ < оо.
О -оо
См. указание к решению задачи 609.
611. и(х, у, t) =
-00 О
Воспользоваться преобразованием Фурье с ядром
*<*•** ^--¾½/4в~*
ш, ~ cos уц
при — оо < я < оо, 0<*/<оо.
612. Пусть U (£, г/) и ^(£)- образы по Лапласу функций г/ (*, у) и / (#)
соответственно относительно переменной х. Тогда исходная задача
преобразуется к уравнению
Uy-(p + a*)U = F.
Отсюда
Так как у > 0, то в силу того, что U (£, у) —►(), £ —► оо, должно быть С — О,
F (£)
т. е. U (£, #) = г2_1. а ■ Следовательно,
U (r, y)=—i-j/(*-E)eine6«.
613. и (х, у) — Ае~зу cos 2х—— х sin x. См. решение задачи 612.
614. а) Математическая постановка задачи
ut — a2uxx, 0 < х < /, / > О,
и(+0,/) — б@, «(/ — 0,0 = 0, * > 0, и (л:,+0) = 0, 0<*</.
Пользуясь преобразованием Лапласа по переменной /:
U(xfQ = ^e-t*u(xtt)dtt
редуцируем эту задачу к задаче
tf**-Jrtf = 0, 0<x<lt (/(+0,^)=1, С/(/-0, 0=0,
204

решая которую находим
"<*.» = \ — .
sh — Vl
а ъ
Для получения искомого решения и (xt t) (оригинала функции U (xf Q)
преобразуем U (х, £). Имеем
—£-УТ i2l~x) VI
е а — е а
00 BП1 + Х) у-т СО BП1-Х) ,/•—
Так как при £>0 изображением (по Лапласу) функции я|; (£, t)~
г— ,я/ъе~^^** является функция е~% ^ (см. таблицы оригиналов и изо-
бражений), то из (*) находим оригинал и (xt t) образа U (х, £) в виде
Отсюда, учитывая нечетность функции я|? (х, t) по переменной х, получаем
BП/ + А'J
""•'»=.?.^^'')=^ы,2<-«
е «вЧ
б) Решением задачи
щ = а2ихх> 0 < х < оо, * > О,
и (+0,0 = 8@» и (оо—0,0=0, / > 0, и (xt +0) = 0, 0<*<оо,
является функция (см. также случай а))
х*
2aVnt37^"
и{х.ъ=^ jl,.,. г*'*,
в) Решением задачи
щ = а2ихх, 0 < х < со, / > О,
«(+0,0 —ИО." "@0—0,0=0, / > 0, u(xt +0)=0, 0<*<со,
является функция (см. также случай а))
X*
2a V л J (/—тK/2
о
Сравните с решением задачи 604.
205

615. а) Математическая постановка задачи
utt = a2uxx, 0<*<оо, / > О, а= ,
к@, t) = E(t), t > О, ы(*, О — ограничена при *—>*оо,
и (х, 0) = ut (x, 0) = 0, 0 < х < оо.
Пользуясь преобразованием Лапласа по переменной t> получаем решение этой
задачи в виде
( 0, t < —=* VUC,
и(х, 0 = 1 _ а _
( £(/-*]/"LC), / > * VLC.
б) Решением задачи
ихх = а2иц-\-2Ьщ-{-с2и, 0 < л: < оо, / > О,
и @, t) = E(t)t t > 0, и (а:, /) —ограничена при *—*-оо,
и (я, 0) = ut (*, 0) = 0, 0 < х < оо,
является функция
a2 = LC, b=^(CR + LG)t c2 = #G,
f 0, t <axt
U (X, t) — < 0-amxP И — п*\ t ^ nv гтт* m^A/n2
e-«"*£ (/-^), * > ax, где m = bja2
f 0, д: > at,
616. и (a:, /) = <
_ aeh u - **> r £?aftT ф (x) dt, л: < at.
\ о
617. а) Математическая постановка задачи для определения температуры
u=zu(r, г):
Л" = 7Гг(гж)+^=0' °<'<«>> *>0'
м(г, 0) = /(г), и (г, оо) = 0, 0<г<оо,
и(оо, г) = ыг(оо, г) = 0, г > 0.
Умножим обе части уравнения
дг*~~ г дг \дг)
на rJ0(r\r) и проинтегрируем по г от 0 до оо. Интегрируя по частям и
пользуясь граничными условиями и(оо, z) = wr(oo, z) = 0, мы получим
оо оо
рв(Пг)^* = -рв(т,г)£(г^)*=-
О О
оо оо
= - гJ0 far) £ \r"l~+Л J гУо (т|г) ~ dr = 11J гУо (ПО ~ dr =
=л 1
/•"«МпО
00 \ 00
оо оо
= ^-T] \ uJo(r\r)dr—г]2 \ гиУо(г]г)<*г.
206

Выражая далее Ji>(r\r) из уравнения
372 JoDr)+—^pJ0(г\г)+т\Ч0(цг) = О,
получаем
) rJo ft') d?dr = v?l rJo (ПО и dr
или
«о
где U (\\, г)= V г/0(iqr) и (г, z) dr — изображение Ханкеля функции и (г, г).
о
Таким образом, с помощью преобразования Ханкеля рассматриваемая
задача редуцируется к задаче
U2Z-42U=0, 0<г<оо, */(ть 0) = -F(T]), (/D,00) = 0,
где F (rj) = \ гУ0 (т]г) / (г) dr, решая которую находим
о
U(r\,z) = F(r])e-^.
Отсюда, пользуясь обратным преобразованием Ханкеля, получаем решение
исходной задачи
ао со Г с© "I
и (г, z)^^J0(r\r)F(x])e'^dr]=^J0(r]r)e-^\ $ p/0 ftp) / (p) dp dr].
о о Lo J
со
б) и (г, z) = TR\ J0(r\r)J1(Ri[])e'nzdr\. См. решение задачи для слу-
о
чая а).
в) Решением задачи
1 д ( ди\ . дЧ л л
^ = 737^+33^ 0<г<оо, г>0,
Мг,0)={ -Т+*"<Г'°>' °<'<*'
^Лм(г,0), #<г<оо,
ы(г, оо) = 0, 0<г < оо, и(оо, 2) = ыг(оо, 2)=0, г > О,
является функция
"(Л «) = ^J^^o(Tir)/iD/?)Al-
О
См. решение задачи для случая а).
618. u(x-\-h, y) + u(x — h, у) + и(х, y-\-h)^-u(x> y—h) — 4u(x, #) = 0.
619. Конечноразностная замена уравнения Лапласа в рассматриваемом
случае имеет вид
и(х+\, у) + и(х—\, уL-и(х, у+\) + и(х, у—1) —4«(дс, у) = 0.
В вершины квадратов Q6 по указанной выше схеме переносятся краевые
значения и (*, у), а в узлах @, 0), A, 0), (—1, 0), @, 1), @, —1) значения
207

и (xt у) определяются из линейной системы
"(Ь0) + «(-1,0) + «@, 1) + м@,—1)-4и@,0) = 0,
4иA,0) - м@,0) = иB,0) + иA,1) + иA,—1),
4и@, 1) - и@,0) = иA,1) + а(—1,1) + а@,2),
4м (—1,0) — и@,0) = а(—2,0) + и(— 1, 1) +
+ и (-1,--1),
4и @,-1)- ы@,0) = иA,-1) + и(-1,-1) +
+ "@,-2),
детерминант которой отличен от нуля. Решая эту систему для каждого из
рассматриваемых случаев, получаем:
а) иA, 0) = и(—1, 0) = и@, 1) = и@, —1) = и@, 0) = 0; точное
решение — и (ху у) = 0.
б) иA, 0) = и(—1,0) = а@, 1) = и@, — 1) = и@, 0) = 1; точное
решение— и (х, 1/)=1.
в) иA, 0) = —и(—1, 0)=1+1/, и@, 1) = и.@, — 1) = и@, 0) = 0;
точное решение— и (х, у) = х.
620. Значения и (х, у) в вершинах квадратов Q6 определяются по
указанной выше схеме, а и @, 0), и @, 1), и @, —1) определяются из линейной системы
4и @,0)— и@, 1)- ы@, —1) = иA,0) + а(—1, 0),
и@, 0) —4и@, 1) =—«A, 1) — w(— 1, 1) —и@, 2),
а@, 0) —4а@, —1) = — и A, —1) — w (—1, —1) — а @, 2).
а) и@у 0) = ы@, 1) = и@, —1) = 1; точное решение — и(ху у) = 1.
3 3
б) ы@, 0) = 0, н@, 1) = у, м @, —1) = —— ; точное решение —
и(х,у) = у.
3 3
в) и @, 0) = 0, и @, 1) = -—, и@,-1)=—— ; точное решение — и (х, у)=
= х + у.
621. u(x + h, t) + u(x—h, t) — 2u(x, t) — hu(x> t) + hu(x, t — h) = Q.
622. В узлах A,5), A,4), A, 3), A, 2), A, 1), B, I), C, 1), C, 2), C, 3),
C, 4), C, 5) значения и (xt t) выражаются через краевые значения по
указанной выше схеме, а для определения и B, 2), и B, 3), и B, 4) имеем линейную
систему
и B, 2) — ЗиB, 3) г = —иA, 3) —ыC,3),
и B, 3) — ЗиB, 4) = —иA, 4) —иC, 4),
ЗиB, 2) = иA,2) + иB, 1~) + иC,2)
с отличным от нуля детерминантом.
В рассматриваемом случае и B, 2) = и B, 3) = и B, 4) = 2; точное решение —
и (xt у) = х.
623. и B, 2) = 31/8, и C,2) = 61/8.
624. Конечноразностной заменой уравнения является
u(x + h, y + h) — u(x + h, y) — u(x, y + h) + u(x, y) = 0.
В качестве значения и (xt у) в каждом узле, являющемся вершиной
квадрата, примыкающего к координатной оси, примем заданное значение
и (х, у) в ближайшей к этому узлу точке оси. Для определения и B, 2), и B, 3),
208

и B, 4) имеем систему линейных уравнений
иB, 2)-мB, 3) = иA, 2) — n(lt 3),
и B, 3)-«B, 4) = иA, 3)-мA, 4),
иB. 2) =иB. 1) + иA, 2)-в(!, I),
решениями которой в каждом из рассматриваемых случаев являются:
а) аB, 2) = иB, 3) = аB, 4) = 2 или иB, 2)=аB, 3) = иB, 4)=1.
б) а B, 2) = 2, а B, 3) = 3, а B, 4) = 4 или мB,2)=1, а B, 3) = 2,
и B, 4) = 3.
в) и B, 2) = 3, иB,3) = 4, а B, 4) = 5.
Два решения в случаях а) и б) обусловлены двумя значениями иA, 1)
в узле A, 1), равноотстоящем от осей координат о различными данными на них.
625. Предположим дополнительно, что граница S области D и
рассматриваемые ниже функции и (*, y)f h (x> у) таковы, что справедливы тождества
D(u,h)=\ (hxux + hyUy) dx dy=\ h ~ds--\ hbudxdy. (*)
d so
В этом случае, если и(х, у) — решение задачи Дирихле
Да (*, у) = 0, (х, у)£D, и (*, у) = ф (х, у)9 (х, g)£S,
то класс допустимых функций можно представить в виде и (х, y)-\-eh(x% у),
где е-произвольная постоянная, a h(x, ^ — произвольная функция из класса
допустимых функций, удовлетворяющая краевому условию h (х, #) = 0, (x, y)£S.
Тогда из тождества
D (и + eh) = D (и) + 2&D (и, h) + еЮ (Л) (**)
заключаем, что D(u)^D (u-\-eh), т.е. и (х, у) — минимизирующая функция.
Пусть теперь обратно: и (х, «/) —минимизирующая функция. Из тождества (**)
следует, что D (u> h) = 0. В противном случае, подобрав постоянную 8 так,
чтобы выражение eD (и, Н) было отрицательным, из тождества (**) получим
противоречие D (и) > D (и + eh). На основании равенств D (и, Л) = 0, Л (*, у) = 0,
(лс, y)£S9 из {*) заключаем, что
\h&udxdy = 0,
откуда в силу произвольности h следует, что Ды = 0, т. е. и (лг, #) — решение
задачи Дирихле.
626. В классе непрерывно дифференцируемых функций у(х), 0<х<1,
выполнение условия у @) = 0 гарантирует существование функционала 1п.
Так как £/@) = 0, #A) = а, то можем написать
0 0 0
Отсюда следует, что минимизирующая функция должна быть решением
обыкновенного дифференциального уравнения
dx x *
209

т. е.
y = axnt min In = па2.
627. Так как
D f — sin x sin у J =2, H ( — sin x sin у J = 1,
то для любой допустимой функции и (х, у) имеем
ж-./ \ D I —sin x sin у)
№*„)',. . -«■ " «<«>«Ф<«>-
v #(— sinxsint/ J
628. В качестве координатных возьмем систему функций {sin kx)> k = 1,2, (
/г
По схеме Ритца имеем #n—2 Ck sin kx. Минимум выражений
k=i
п
D(«/„) = fH^2. «=1.2
2*=>
при условии, что п(уп) = ^2^ сь—'» реализуется при ^ = -, с* = 0,
/г = 2, 3, ... Следовательно,
*/* = У —sin*, lim D(y„) = D(y)=l.
629. Так как в силу задачи 628, min-7j4~ = l, то для любой непрерывно
дифференцируемой на сегменте 0*^#<:rt функции. у (х), удовлетворяющей
условиям у @) = у (я) = 0, имеем оценку Н (y)^,D(y).
630. y1(x) = -jx(x-l). 631. «i (х, У) = ^ (л1— 1) ftfa—1)-
632. Рассматриваемое уравнение является уравнением Эйлера для
функционала
D (и) = \ (ul + u2y — 2xyu) dx t
Определяя минимум выражения D(w1) = c2/45 —с/72, находим с = 5/16. Следо-
5
вательно, иг (х, у)=-^ху (х-- 1) (у— 1).
633. Систему координатных функций возьмем в виде
vkl = Jk(Pkir) cosMt vmkl = Jkt(pklr)sinMt k, /=0, 1, ... ,
где x = rcos$t t/ = rsind, a pki — положительные нули бесселевой функции
Jk (z), занумерованные по / в порядке их возрастаниям, vm и vkl являются
собственными функциями уравнения Гельмгольца Ди+р^у^Ов круге Q. Пусть
т п
«««= 2 2 (ahiVki + hiVkih m,« = 0, 1
210

где а/и, P*j—произвольные действительные постоянные. В силу очевидных
равенств
D (и, v) = Я2Я (и, v) = jx2tf (и, у),
справедливых для любой пары собственных функций и и и, соответствующих
собственным числам Я и jx,
т п
dmn=d (М/яя) =2 2 р*' \ W^^+р« °й ) ^ ^-
*=0/=0 §
Очевидно, что при любых m, я минимум этого функционала реализуется тогда,
когда кроме а00 все а^, $ы равны нулю и
1
2яаоо \ Jo(Po0r)rdr=lt
о
причем
1
о
и минимизирующей функцией является
,. _ -МРооО
УясМроо)
634. Поскольку
. D(u) 2
то для любой допустимой функции из задачи 633 имеем
pl0H(u)<D(u)9
т. р. С= l/pQ0, где р00—наименьший положительный нуль функции Бесселя/0(г).

Приложения
I. Квадратные матрицы и квадратичные формы
Совокупность скалярных величин а^, i, k=\, ..., л, из некоторого
коммутативного поля Р, расположенных в виде таблицы
а =
ап ... а1п
a2i ... ain
ап\ • •• апп
(и
называется квадратной матрицей порядка п или лхя-матрицей, а сами
величины aik — элементами матрицы а.
Множество элементов ац, /=1, ..., п, называется главной диагональю
матрицы а. Говорят, что матрица а является треугольной, если ее элементы а/*
при i > k все равны нулю. Треугольная матрица а называется диагональной,
если все «/* = () при i Ф k. Диагональная матрица называется единичной, если
ац~ 1, 1 = 1, ..., п. Единичную матрицу принято обозначать буквами Е или J,
Выражение
\аг1 ... а1п
\a2i ... л2л
det a~
ап\ • •• а/ш
B)
называется детерминантом матрицы а. Матрица а называется невырожденной
или неособенной, если det а^О. Для невырожденной матрицы а, определенной
по формуле A), вводится обратная матрица а, элементами которой являются
величины
Ли
det a *
*.*=!,
., и,
C)
где Л£/--алгебраические дополнения элементов а^ в детерминанте B) матри*
цы а.
Матрица а'1 с элементами afik = akiy i, k—\, ..., п, называется
транспонированной по отношению к матрице а. Матрица а над полем действительных
чисел называется симметричной, если од—а*;, i, £==1, ..., л. Суммой двух
яхя-матриц а = |1а/И. ^ = 11½ II называется яХя-матрица с, элементами
которой служат величины
212

а произведением этих матриц называется матрица с с элементами
п
Cik= Jjatjbjk, i, k = 1, ..., п. D)
В силу D) очевидно, что для яхя-матриц а, Е справедливы равенства
аЕ = Еа = а*
Произведением скалярной величины К из поля Р на пхп-матрицу а
называется пхя-матрица с с элементами
cik = Xaikt i, k=\, ..., п.
На основании равенств D) в силу определения произведения
детерминантов заключаем, что если матрицы а и Ь одинакового порядка, то
detab=deta.detb. . E)
Из равенства E) в свою очередь в силу C) следует, что если матрица а
невырождена, то
det аа~1=\.
Матрица а называется ортогональной, если
п
2 ajiajk=bik, и fc=i, ..., n9
/=1
где
Для я-мерного вектора р с компонентами ръ ..., рп из поля Р примем
обозначение р = (рд, ..., рп).
Под произведением скаляра К из поля Р на n-мерный вектор р понимается
я-мерный вектор
r = hp = (kpl9 ..., Xpn),
под суммой двух n-мерных векторов p = (Pi, ..., pn)t q = (qx, ..., qn)
понимается n-мерный вектор
r = p + q = (Pi + qu •••» Pn + qn),
а под скалярным (внутренним) произведением двух я-мерных векторов р =
= (Рь ...» Р«), <7 = (<7ъ .... qn) — скаляр
«
t=i
Произведение /гX«-матрицы а на я-мерный вектор р = (ри ..., ря), по
определению, есть вектор q = ар с компонентами
/г
47= 2 fli*P*» i==l п- F)
*=1
Говоря, что матрица а или вектор р действительны, непрерывны,
дифференцируемы, принадлежат к классу гладкости С(/Я,Л), имеют особенности данного
213

порядка и т. д., мы будем подразумевать, что каждый элемент матрицы а или
каждая компонента вектора р обладает указанными свойствами.
Точка x — (Xi, ..., хп) евклидова «-мерного пространства Еп с
декартовыми ортогональными координатами xlt ..., xm представляет собой «-мерный
вектор, носящий название радиус-вектора.
По данному выше определению произведения «X«-матрицы а на «-мерный
вектор, выраженного формулами F), линейное преобразование в пространстве Еп
п
можно записать в виде
у = ах. (8)
Каждая из функций #/, определенная по формуле G), представляет собой
линейную форму « переменных Хц ..., хп.
Преобразование G) называется невырожденным, если матрица а
невырождена. Невырожденность линейного преобразования гарантирует его
однозначную обратимость.
Когда матрица а линейного преобразования (8) симметрична или
ортогональна, преобразование G) или, что то же самое, (8) называется соответственно
симметричным или ортогональным.
Форма второй степени переменных хъ ..., хп, уъ ..., уп
п
А(х,у)= 2 aik*№ (9)
называется билинейной. Пользуясь понятиями произведения «X«-матрицы а на
«-мерный вектор х и внутренним произведением двух «-мерных векторов,
билинейной форме (9) можно придать вид
А(х9 у) = (ау)-х.
Билинейная форма (9) называется квадратичной, если радиус-векторы
х = (х{, ..., хп) и у = (У1, ..., Уп) совпадают. Для квадратичной формы А (х, х)
принято обозначение Q (х):
п
Q (*) = Л (х, х)= 2 fl/**i** = (ах)' *• (Ю)
Матрица a = ||a/^|| называется матрицей квадратичной формы Q(x).
Существует такое невырожденное линейное преобразование
х = Ьу A1)
.J
с «х «-матрицей 6, в результате которого квадратичная форма A0) приводится
к каноническому виду
Q(x) = Q(by) = Q*(y)= 2a'tf' <12>
где а/ принимают значения 1, — 1, 0. При этом имеет место следующий весьма
важный
214

Закон инерции квадратичных форм. Число отрицательных
(положительных) коэффициентов (индекс инерции) и число нулевых
коэффициентов (дефект формы) в правой части формулы (в канонической форме) A2)
являются инвариантными относительно всех линейных невырожденных
преобразований A1).
II. Принцип Гамильтона
При выводе дифференциальных уравнений математической физики чаще
всего пользуются вариационным принципом Гамильтона.
Пусть имеется материальная система, положение которой определяется
конечным числом пространственных параметров qlt ..., qn. Закон движения
системы нам будет известен, если известны значения этих параметров как функции
времени t из промежутка t0<^t^ tv
Кинетическую и потенциальную энергии этой системы обозначим
соответственно через
T = T(t,ql9 ...,qn,qu ...9qn)
U = U(ttqlt ...,?*),
где <7/—-производная первого порядка от qi no t. Как известно, кинетическая
энергия Т представляет собой положительно определенную квадратичную форму
переменных qlt ..., qn с коэффициентами, зависящими от t, qu ..., qn:
п
т= 2 Tik(t,qi, ...,?») w*. (i)
Допустимыми будем называть движения, описываемые системой функций
tf@ = ft@ + 8?/@t i=l n> B)
где 6G;@* *=1» •••» я, —произвольные достаточно малые величины,
удовлетворяющие условиям
в?/(*о) = в?/01) = О, /=1, .... л. C)
Принцип Гамильтона. Движение системы происходит так, что
описывающие его функции qlt ..., qn, дают стационарное значение интегралу
U
J=^(T-U)dtt D)
to
по сравнению со всеми допустимыми движениями B). Следовательно, для
действительного движения qi = qi (/), / = 1, ..., п> необходимо и достаточно, чтобы
вариация интеграла D) равнялась нулю:
tt
б С (Г —l/)dt=0. E)
'о
Пользуясь формулой конечного приращения, в силу B) из E) получаем
'о
215

На основании C) в результате интегрирования по частям равенство F)
запишется в виде
'о
ибо
6^,== зг6<7/> t==1, ••••*•
В силу произвольности величин 6?/ из G) получаем
d дТ дТ . dU Л
Равенства (8) представляют собой систему дифференциальных уравнений
движения нашей материальной системы.
Когда функции Т и U явно не зависят от времени ^ и система находится
в положении равновесия, в силу A) из (8) получаем
-|5-=0, /=1, ...... (9)
Как известно, выполнение равенств (9) является условием, необходимым для
экстремума функции U. Состояние равновесия, определенное значениями
Яъ • • • 1 Яп* удовлетворяющими системе конечных уравнений (9), будет
устойчивым, если функция U для этих значений ее аргументов имеет минимум.
Будем опять предполагать, что Т и U явно не зависят от времени.
Умножая каждое из равенств (8) на величину qidt — dqi и складывая, будем иметь
2 ж:""Ш Hi+d 2j и-?— S v~ dft=0- A0)
£?! V <*7i <tyi У £- fy. £-, ^.
Учитывая то обстоятельство, что выражение A) для Т является однородной
функцией второй степени относительно переменных q^ в силу известной
теоремы Эйлера
равенство A0) можно записать в виде
.S^-^")^'- %^-dqi+2dT==d(U--T) + 2dT = d(U + T) = 0t
т. е.
£/+T = Const. A1)
Поскольку выражение V -\-Т представляет собой полную энергию
рассматриваемой механической системы, равенство A1) не что иное, как закон
сохранения энергии.
216

При принятых предположениях, определяя U из равенства (II) и
подставляя ее значение в E), получаем
U
b^Tdt^O. A2)
U
Принцип Гамильтона, записанный в виде равенства A2), называется
принципом наименьшего действия Лагранжа.
III. Записи оператора Лапласа
а) в декартовых ортогональных координатах #, у, г:
д2 д2 . д2
дх* + &/2 + dz2 ;
б) в цилиндрических координатах г, ф, z:
\-±JL( д \ . \ д* . д*
r dr [rdr)+r* dy* + dz*;
x = rcosq>, y — rsinq, z — z\
в) в сферических координатах г, ф, Ф:
г2 дг \/ dr J+/-2 sin О d# VSin ad J" г2sin2 О &р2 '
* = гсозф8тд, # = r sin ф sin ^, z = r cos d.
IV. Некоторые специальные функции
1. Гамма-функция Эйлера Г (г) и некоторые ее свойства:
а) представляется в виде интеграла
Г(г) = [ е-^-Мг, Re 2 > 0;
б) аналитична в полуплоскости Re z > 0;
в) Г(г+1) = гГB), ГA) = 1, r(l/2) = Vli;
г) аналитически продолжается через ось Rez = 0 на всю плоскость
переменного z с полюсами первого порядка в точках 2 = 0, — 1, ..., —л, ..., в
которых
resr(~n)=-i_LL, n^0;
д) не имеет нулей.
2. Цилиндрические функции. Уравнение цилиндрических функций y — yfe)
имеет вид
1 / о v2 \
У" + Т У' + [ k — тг ) # = 0' ^ = const, v = const.
217

С помощью замены переменного x = kl оно переходит в уравнение Бесселя
г'+7г'+('-5-)г=0, г=г(*)=*(т)-
Общие решения этих уравнений имеют соответственно вид
yv(g) = Ci/v(tt)+CtiVv(tt),
где Cf и Са—произвольные постоянные,
*г0 rt*+i)r(*+v+i) U;
#\2fc+V
— функция Бесселя порядка v, a
/ Уv (л) cos nv — /-у (х)
#vM=<
при нецелом v,
sin jiv r
I 1 [ dJv(x) , 14„ aJ-vWI
I irL"^v _(-1)v—aS^Jпри целом v
— функция Неймана порядка v.
Некоторые свойства функций Бесселя:
а) J-n(x) = (—\)n Jn(x), n—целое число,
yi/iW= V^31"*' y-i/2w= У^cos*
б) ортогональность: если а и Р —вещественные корни уравнения
\iJv{y) + r\yJ'v(y)=Q> И-^0, tj^O, |jl+ti > 0,
то при v > — 1
[xJyl — х j /v ("Т *) dx = 0f если a ?£ P;
о
B)j,4(y^)^=|-{[^(a)]2+(i-JL(«)};
0 *
г) рекуррентные соотношения:
~[x4v(x)]=x^Jv^(x)t
^[*-v/v(*)]=-ArVv+1(*)f
2v
^v+i (*) — «Vi (*) = — 2У v (*),
218

M0-,~nr(fe+l)r(* + v+l)B)
3. Цилиндрические функции мнимого аргумента. В результате замены x~it
уравнение Бесселя переходит в уравнение
*+Tv'-[l + ir)v = 0' "=»(') = * («).
общее решение которого имеет вид
o@=Ci/v@+C,/Cv@.
где Ci, C2—произвольные постоянные,
/ \2* + V
ft=or(ft+l)r(fe + v+l) \,
— функция Бесселя мнимого аргумента порядка v,
I 2sinjtv ^-v@ —/v@1 ПРИ нецелом v,
1 "V- l~ЛГ1—W~\ при целом v
— функция Макдональда порядка v.
4. Асимптотические формулы:
JvW= 1^^см(*--г*-т)+0(*~,/,)' *—+*•
N*(x)==Yi^sin (*—гv~t) +°(*"s/2>- *—+«.
/vW= )/-2^ ex[l+0(l/*)], *_++»,
i<f»W=|/-g-e-*[l+0(l/x)J, *_*+oo.
5. Многочлены Лежандра />„(*), п — 0, 1
а) являются решениями уравнения Лежандра
■S-[d-^g-]+»(«+i)y=0;
б) представляются в виде

в) удовлетворяют рекуррентным соотношениям
(я +1) Pn+i (*)- Bп+ 1) *РЛ (*) + «P„-j (*) = 0,
г) ортогональны в промежутке (—1, 1):
1
-1
1
^Pn(x)Pm(x)dx=0t тфп,
-1
г
V qm (x) Pn (x)dx = 0, qm (х) — многочлен степени т < п;
-1
д) JrfW*--^;
-1
е) Р„ A)=1, P«(—!) = (—1>«, л = 0, 1, ...
6. Присоединенные функции Лежандра Р^т) (х):
а) удовлетворяют уравнению.
б) представляются в виде
-1
V. Преобразования Лапласа
Интегральное преобразование
с
00
О
называется преобразованием Лапласа и записывается в виде /(t)-r-F(£), где
/—оригинал, а У7—его образ.
Пусть f(t) и g(f), | / @ | < Ж**, |g@ | <&>&', — оригиналы, afg)H
G(S) —их образы соответственно. Тогда
а) Iim F (£) = 0 при £—► оо так, что Re £—► +»;
б) a/(/) + pg@-*-a^(C) + P6(£)t a» P—(вообще комплексные) постоянные;
B)f{atH±.F(±.ya>0i
220

г) /<">(t)+&p{t)-tn-lf (о)-;«-т @)- • • • -/°*~u (°>;
д) *"»>«)-?■<-1 WW-
00
»)-ф-+\^@«;
3)/(<-TL-e-ttF(S);
H)eW/(o+F(t-t,);
к) ^ @• О tt)+J/W« ('-T)rfr,
C-f£c©
л) /(О-в@+-^- J F(ji)Q(t-|i)(f|i, О a, Re£>6+c;
C-too
м) если
*=i
то
'^w-LifV*-'
* = i
н) если
р&)=^гЩ-, m<i>
<М0
где <7/@ —-многочлен степени *, то
С*—полюсы F(Q.
VI. Таблица некоторых оригиналов и их изображений
п/п
1
2
Оригинал
1
eat
Изображение
[ 1/С
1
с-«

Продолжение
п/п
з
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Оригинал
sin со/
cos со/
shco/
ch со/
/а, а> — 1
е-Р'/а I
6@
ebt—eat
t
е-а*
l/яГ
1 с-а«/4*
/я/
1 ,-&2/4*
2/я/3/2
~7L=r sin 2 V^ocT
Уяа
Изображение
СО
Са + со2
£2 + <02
со
£а-а>2
£а-<о»
"Г(о+1)
Г(о+1)
K+P)a+l
1
In£-a
1
VTT^
е-*УТ
VI
«r^f
1 c-a/c
£VT"
222

Продолжение
№
п/п
15
16
17
Оригинал
,_.,., гп^ 9 1/ rti
У па.
Jn{t), ">-1
tn'2JttBVT), n>-\
Изображение
1 с~а11
VI
£-(n + l)g-l/2t

Андрей Васильевич Бицадзе,
Дмитрий Федорович Калиниченко
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО УРАВНЕНИЯМ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
М., 1977 г., 224 стр.
Редактор И. Е. Морозова
Технический редактор В. Н. Кондакова
•Корректоры О. А. Сигал, Е. Я- Строева
Сдано в набор 28/IV 1977 г. Подписано
к печати 22/VII1977 г. Бумага 60х90/1в.
Физ. печ. л. 14. Условн. печ. л. 14.
Уч.-изд. л. 12,38. Тираж 30 000 экз.
Цена книги 65 коп. Заказ № 1506.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
11707 1, Москва, В-7 1, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции
и ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография
имени А. А. Жданова
Союзполиграфпрома
при Государственном комитете
Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли.
Москва, М-54, Валовая, 28.