К-ШАРЛЬЕ

НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
К. ШАРЛЬЕ

НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА

Перевод с немецкого
В. Г. ДЁМИНА

Под редакцией
проф. Б. М. ЩИГОЛЕВА
52
Ш 26
УДК 521.1

DIE MECHANIK
DES HIMMELS

VORLESUNGEN
von
CARL LUDWIG CHARLIER
Mil zahlreichen Figuren
zweite, durchgesehene Auflage

BERLIN UND LEIPZIG
WALTER DE GRUYTBR & Co.

Vormala G. J. GOschen’sche verlagsbandlung —
J. Guttentag, verlagsbucbbandlung — Georg
Reimer — Karl J. Trflbner — velt & Comp.

1927
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора ........................................... в

Из предисловия автора............................................ 8

” л а в а I.	Вспомогательные теоремы из математики	и механики .	9

§	1.	Теоремы из теории определителей................................... 9

§	2.	Функциональные определители....................................... И

§	3.	Кратные решения системы уравнений................................ 16

§	4.	Линейные преобразования.......................................... 19

§ 5.	Линейные дифференциальные уравнения с периодическими
коэффициентами.......................................... 23

§	6.	Примеры к предыдущим параграфам . 33

§	7.	Уравнения движения Лагранжа . 38

§	8.	Канонические уравнения движения ................................. 51

§	9.	Дифференциальное уравнение Гамильтона	— Якоби . .	57

§	10.	Вариация постоянных в задачах механики........................... 64

лава II. О дифференциальных уравнениях механики. Условно-
периодические движения.................................  69

§ 1.	Интегрирование дифференциального уравнения Гамиль-

тона — Якоби разделением переменных. Теорема Штеккеля 69

§ 2.	Движения с одной степенью свободы. Либрация и предель-
ное движение............................................. 76

§ 3.	Условно-периодические движения...................... 85

'лава III. Задача двух неподвижных центров................... 100

§ 1.	Общие соображения................................. 100

§ 2.	Постоянная интеграла живых сил h отрицательна. Слу-
чаи либрации............................................ 104

§ 3.	Постоянная h	положительна......................... 110

§ 4.	Постоянная h	равна нулю.......................... 112

$ 5.	Кратные корни уравнения Я(Х) = 0 или S (р )= 0. Предель-
ные движения............................................. ИЗ

$ 6.	Периодические	движения........................... 122

§ 7.	Сопоставление различных типов орбит, встречающихся в
задаче двух неподвижных центров ........................ 127

$ 8.	Примеры............................................ 131

'лава IV. Задача двух тел.................................... 136

§ 1.	Общие соображения.................................. 136

§ 2.	Интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби для задачи
двух тел................................................ 138

§ 3.	Прямолинейное движение............................. 140
§	4.	Эллиптическое движение........................... 144

§	5.	Параболическое движение.......................... 150

§	6.	Гиперболическое движение......................... 153

$	7.	Отталкивательная сила. Кометные хвосты........... 157

§ 8.	Задача двух тел как пример условно-периодических движе-
ний ...................................................... 166

$	9.	Представление координат как функций времени ....	170

Гл а в а	V. Задача трех тел...................................  176

§	1.	Первые интегралы задачи трех тел ................... 176

§	2.	Уравнения движения в относительных координатах .	.	184

§	3.	Канонические относительные координаты............ 189

$	4.	Якобиевы канонические координаты ................... 191

§	5.	Вариация постоянных. Канонические элементы ....	195

§	6.	Вариация постоянных для относительных координат	.	207

§ 7.	Интеграл живых сил и интегралы площадей в различных
координатах........................................... 211

$	8.	Оскулирующие элементы............................ 215

§	9.	Исключение узла. Теорема Лапласа об устойчивости .	.	217

§ 10.	Приведение системы дифференциальных уравнений за-
дачи трех тел к четырем степеням свободы.................. 224

Глава VI. Теория возмущений..................................... 231

§ 1.	Введение новых канонических элементов................ 231

$ 2.	Форма разложения возмущающей функции................. 236

§ 3.	Разложение возмущающей функции ..................... 240

§ 4.	Основы теории возмущений............................ 252

§ 5.	Коэффициенты Лапласа ............................... 258

Глава VII. Теория вековых возмущений ........................... 266

§ 1.	Общие соображения................................... 266

§ 2.	Вековая часть возмущающей функции................... 270

§ 3.	Вековые возмущения в случае двух планет............. 273

§ 4.	Тригонометрические выражения для вековых возмущений
эксцентриситета и долготы перигелия.................... 277

§ 5.	Вековые возмущения наклонности и узла............... 281

§ 6.	Вековые возмущения эллиптических орбит при произволь-
ном числе планет....................................... 284

§ 7.	Вековые возмущения плоскостей орбит для произволь-
ного числа планет...................................... 293

§ 8.	Метод Якоби вычисления корней фундаментального урав-
нения ................................................. 297

$ 9.	Результаты Стокуелла о вековых возмущениях больших
планет................................................. 302

§ 10.	Случай кратных корней фундаментального уравнения 313

§ 11.	Вековые возмущения малых планет..................... 322

§ 12.	Вековые возмущения малых планет (продолжение) . .	333

Глава VIII. Периодические решения............................... 343

§ 1.	Точные решения задачи трех тел....................... 343

§ 2.	Периодические решения в окрестности	точек либрации .	353

§ 3.	Граничная кривая Хилла .............................. 359

§ 4.	Периодические решения в окрестности точек либрации (про-
должение) ............................................. 364

$ 5.	Периодические решения в окрестности	масс. 378
$ 6.	Теорема существования Коши. Теорема Пуанкаре . . .

§ 7.	Метод Пуанкаре построения периодических решений .

§ 8.	Метод Пуанкаре построения периодических решений (про-
должение) ..............................................

§ 9.	Форма разложения возмущающей функции..............

§ 10.	Периодические решения первого сорта................

§ 11.	Периодические решения второго сорта...............

§12.	Периодические решения третьего сорта..............

§ 13.	Периодические решения других сортов................

Глава IX. Сходимость рядов в небесной механике.................

§ 1.	Сходимость рядов в задаче двух тел................

§ 2.	Сходимость рядов в задаче двух тел (продолжение) . .

§ 3.	Граничная кривая Хилла.............................

§ 4.	Сходимость разложений по степеням возмущающих масс

§ 5.	Сходимость рядов в теории возмущений..............

§ 6.	Сходимость рядов в теории возмущений (продолжение).

Глава X. О форме интеграла в задаче трех тел...................

§ 1.	Канонические преобразования........................

§ 2.	Механическая задача с одной степенью свободы . . . .

§ 3.	Разложение возмущающей функции в ограниченной круго-
вой задаче трех тел ....................................

§ 4.	Проблема Делоне....................................

§ 5.	О соизмеримостях низших порядков...................

§ 6.	О соизмеримостях высших порядков ..................

§ 7.	О представлении интеграла задачи трех тел в чисто триго-
нометрической форме ....................................

§ 8.	О представлении интеграла задачи трех тел в тригоно-
метрической форме (продолжение).........................

§ 9.	О представлении интеграла задачи трех тел в тригонометри-
ческой форме (второе продолжение).......................

Литература...................................................

g§ § 8 ЖЕ SSS ssSsass
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА

Первый том «Небесной механики» К. Шарлье издан в 1902 г.,
второй — в 1907 г. Более полувека это издание являлось настоль-
ной книгой специалистов по небесной механике и смежным дис-
циплинам. Русский перевод публикуется впервые. В нем про-
изведены некоторые сокращения и два тома объединены в один.
Книга К. Шарлье содержит все основные сведения по небесной
механике, изложенные сжато и ясно, а также включает ряд задач
и проблем, которые мало или совсем не освещаются в других
изданиях такого рода. Это и послужило основанием для издания
перевода.

Общие особенности книги: систематическое использование ка-
нонических уравнений, выбор неизменяемой плоскости в каче-
стве основной плоскости координат, что наилучшим образом
соответствует задачам о движениях в солнечной системе. Автор
начинает изложение небесной механики с задачи двух непо-
движных центров, в отличие от других курсов, содержащих в пер-
вых главах задачу двух тел. Шарлье впервые дал систематиче-
ское подробное изложение задачи двух центров. Это весьма
существенно сейчас, когда из работ Е. П. Аксенова, Е. А. Гре-
беникова и В. Г. Дёмина выяснилось, что задача двух непо-
движных центров связана с решением проблемы движения ис-
кусственных спутников Земли. Изложение задачи двух тел
(глава IV) дополнено исследованием прямолинейного движения,
использованным в теоретических вопросах. Исследовано дви-
жение под влиянием отталкивательной силы. После обычных
сведений о задаче трех тел (в главах VI и VII) дается теория воз-
мущений. Главу VIII редакция исключила, поскольку очень
корошее изложение задач численного интегрирования можно найти
в русских пособиях (М. Ф. Субботин, Курс небесной меха-
ники, т. 2-й, И. С. Березин и Н. П. Жидков, Методы
вычислений). В главе VIII (по новому счету) содержится теория
периодических решений Пуанкаре.

Большой интерес представляет содержащийся в главе X метод
Делоне для построения теории движения астероидов, и, особенно
для случаев соизмеримости средних движений. Хорошо изложен
в той же главе вопрос о построении решений в чисто тригономе-
трическом виде.

Из русского перевода исключен список астероидов, как уста-
ревший и совершенно неполный; исключены также некоторые
таблицы и отдельные абзацы текста. В ряде случаев заменены
устаревшие обозначения, используемые автором. Кое-где уточ-
нены библиографические ссылки, в отдельных случаях заменен-
ные на русские издания.

При подготовке перевода к печати существенную помощь
оказали А. Л. Куницын и И. В. Серебрякова.

Б. М. Щиголев
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА

Цель моей работы — дать возможно более единообразное
представление о современных взглядах на исследования по не-
бесной механике, связанные с движением точечных масс. При
этом я стремился отметить астрономически важные результаты,
одновременно заботясь о математической строгости и красоте
решений.

Я вполне сознаю несовершенство моей работы. Единственное
извинение я могу искать только в том, что в переходный период,
который переживает астрономия, особенно трудно отличать
главное от второстепенного. Вероятно, в некоторых местах весьма
сильно акцентировалась математическая сторона проблемы
в ущерб астрономической, в других, по-видим ому, наоборот,
хотя я постоянно стремился выдержать разумное равновесие
между этими двумя основными подходами.

Чтобы при математических исследованиях соблюдать по-
стоянный контакт с астрономической практикой, я сопровождал
изложение важнейших проблем числовыми примерами, в основ-
ном относящимися к планетной системе, которые могли быть под-
ходящими для выяснения астрономического значения исследо-
ваний...
ГЛАВА I

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ИЗ МАТЕМАТИКИ
И МЕХАНИКИ

§ 1. Теоремы из теории определителей

Определитель А из п* элементов будет записываться в виде

Оц а12 • • • а1п
021 022 • • • ®2п

Оп1 ОП2 . . • Опп

или, сокращенно,

А = |ау| (i,/ = 1, 2, ...п).

Теорема умножения определителей гласит:

| Оц | X | Ьу | = | Су |,

где

Су = ОцЬц 4~ О{ф]2 + . . . + Oinbjn.

(1)

Так как любой определитель является линейной функцией
каждого из своих элементов, то дк/да^ всегда равняется коэффи-
циенту при ау в соответствующем разложении определителя.
Имеем также всегда

ааА oai2	0ajn 1.Д при 1=/,

(2)

дД

1__ ЗА ।	। „ ЗД [0 при

ЭаГ + * • • + ®ni да- = J
2J	n;

Д при

*¥=/.
» = /•

Таким же способом получаем, что д2 А/да^да^ является коэф-
фициентом при ацаы в разложении определителя. Выражения
для этих производных с точностью до знака получаются вычер-
киванием из определителя тех строк и столбцов, на пересечении
которых находятся элементы, стоящие в знаменателе произ-
водной.

Различные производные от определителя можно выразить
целыми функциями от его производных первого порядка.
Если элементы сопряженного определителя обозначить через
ау, так что

ЭД
«« = 357 

то, принимая во внимание (2), по теореме об умножении опреде-
лителей получим

l«d х |ву| = Д*

и, следовательно,
layHA”’1.

Далее отсюда согласно (1) находим
д Э*Д_________________I ccjj ctji I_ ЭД	ЭД	ЭД	ЭД

да1^ак1	|®kj“kl|	9aij	9akl	9ail	9akj	*

(3)

(4)

Для производных третьего порядка подобным же
находим

«У «« %
»w«w«ke •

“pj “pl “p«

да^ак1дар<1

образом

(5)

Из (4) следует:

A = — А а2Д

Эа0Эак/	^u^kj

или, так как последнее равенство является тождеством и его
можно разделить на А,
Э2Д _ Э2Д
ЭаъЭам “	daudakj '

Из (4) далее следует, что для А = 0

ЭД ЭД _ ЭД эд
9ау дак1 Sau dakj

Система линейных уравнений

4“ аи3-» 4“ • • • 4- «т®п — ^1,
®si®i 4*	4- • • • 4- вап®п = Ла,

«П1®1 4* ап2®2 4- • • • 4- Япп®п =

имеет решение

А.Ж1 = Л1^4-^4-...4-^,	(9)

(8)

если А =^= 0.
Если Д = 0, но не все производные первого порядка от опре-
делителя равны нулю, то решение системы (8) будет:

а-1.2,(Ю)

v**83	SI	“ V 88W ri

Г=1

где s может принимать произвольные значения 1, 2, . . . , п.
Если правые части уравнений (8) все равны нулю, то из (10)
получим известные формулы:

4 = -^	(11)

da.j &авв

Если Д = 0, то, следовательно, уравнения (8) не будут неза-
висимыми, и с помощью (10) или (11) можно выразить п — 1 из
величин Xj через х± линейно.

Пусть не только Д, но также и все миноры первого порядка
равны нулю, и, пусть, например,

двцЭлаа *

тогда имеем следующие выражения для х$

а2д э*д . а*д Л., а»д ,,2,
двцдвгг da-jdaa Xl дацда^: 1 ' XJ г дацда^дагА ' '

J	w г=1

§ 2. функциональные определители

Если ух, yt, . . . , уп обозначают п функций от п переменных
Хц хг, . . . , Хп, то функциональным определителем или якобиа-
ном называют следующее выражение:

Якобиан часто обозначают также следующим образом:

Т _ д (У1, у,.Уп)	/9,

д(*1, ®1,	' '

Если ух, yt, . . . , уп являются частными производными от неко-
торой функции /, т. е.
12 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ИЗ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ [ГЛ. I
то функциональный определитель называют гессианом, и его
выражение, таким образом, будет

НяУ 0./-4.2...............»)•	<3)

Любой якобиан можно представить в виде отношения двух опре-
делителей.

Именно, если djXv djxv . . . , d,Xn обозначает какую-либо
систему бесконечно малых приращений х2, . . . , Хп, то соот-
ветствующие приращения yv уг, . . . , уп даются следующими
формулами:

d№ = Й d& +	‘ + Й^п’

= "Й ^,a!l Й + ' • ’ + 'Й й’Хп'

d}Vn ~ ~3xTd}X' +	+ • • ’ + й diXn'

Но теперь по теореме умножения определителей имеем

|>|х |dtx,.| =|^|,

еде
ду.	ду.	ду,

СИ =	d& + • • • + d^dix” = diV*

и, следовательно,

J =

dy<
dxi

IVil
l^il

(i, j = 1, 2,..., n).

(4)

Из этой теоремы можно вывести различные важные свойства
якобианов, в частности, отсюда непосредственно следует, что

и

dXj

ди,

dus

(5)

ди»
dxi

(6)

dxt

= 1

В построенной Якоби теории содержится важнейшая теорема,
касающаяся функциональных определителей:

Якобиан для взаимно зависимых функций равен нулю и,
обратно, функции, якобиан которых уничтожается, не являются
независимыми.
Первая часть этой теоремы была доказана Якоби следующим
образом.

Нужно доказать, что якобиан взаимно зависимых функций
обращается в нуль. Пусть /0, ft, ... , fn не являются незави-
симыми; тогда они связаны между собой уравнением

П (/о, /х» • • /п) = 0»	(7)

которое обращается в тождество, если вместо /0, /х, • • • , fn
подставить их выражения через переменные х0, хх, . . . , хп.
Продифференцировав предыдущее уравнение по отдельным пере-
менным, получим следующую систему уравнений:

д/о дх0	ап	ал  Э/о	дха	ап  а/х + ’	, а/п  ’ ’ ‘ дх9	. *1 = о а/„ и’
dfo	ап	а/х  а/0	ахх	ап  ' ал + •	, а/п	, *1 = о а/п ’
dxi			dxi	
а/о	ап а/г	ап	, а/п	. *1 = 0 а/п
9хп	а/0 дхп '	ал 1 •	дхп	

Эти п + 1 уравнений можно рассматривать как систему линейных
однородных уравнений относительно неизвестных

ап ап ап
а/» ’ ад ’ • • •’ а/п •

Для такой системы согласно (9) § 1 определитель обращается в
нуль в том случае, если не все неизвестные одновременно равны
нулю. Но все величины дП/д/0 и т. д. не могут одновременно
равняться нулю, потому что это означало бы, что П не зависит
от всех /0, /х, . . . , fn. Всякий раз, как функции /0, /х, . . . , /п
оказываются взаимно зависимыми, должно быть

= 0	(г, J = 0, 1,..., п),

dxi

что и следовало доказать.

Несколько длиннее доказательство Якоби второй части
теоремы: функции, якобиан которых равен нулю, взаимно зави-
симы. Вместе с тем оно просто и наглядно, и мы приведем его
дос ловно.

Обозначим через Ло, Лх, . . . , Ап выражения, которые в опре-
делителе

d*i

(г, / = 0, 1,.... п)
являются алгебраическими дополнениями элементов

^/0 g/o а/»
dxq ’ dxi ’  " дхп

Тогда согласно (2) § 1 имеют место тождества

+	(8)

	 (9)
^Ап + ^ЬА<	-О

dxt	+ • • • + дхп Ап — V.

Предположим, что функции взаимно независимы. Тогда п из
переменных х0, zn . . . , хп, например, хи х2, ... , хп, можно
выразить через х0, и Д, Д, ... , /п. Подставим эти выражения
для «1, хг,. .., 1П в функцию /0; тогда Д будет функцией пе-
ременных х0, Д, . . . , Д. Заключим в скобки частные производ-
ные по этим переменным. Тогда будем иметь

а/о _ /JVo \ d/i  »  (dfo \ dfn . / а/» \

<*ж0	\ ад /' дхо "г	"г \ а/п) ’ дх^ • \ дхо / ’

и далее, если i будет обозначать какой-либо из индексов
1, 2, . . . , п,

dfo _ ( dfo х dfo	( dfo dfn

dxi \ dfo ) * dxi ’r • ’ * ‘	\ dfn ) ’ dxi ’

Если подставить эти выражения в (8), то обнаружим, что выра-
жения, которые умножаются на

[ dfo \ ( dfo ( dfo

V dfi /’ \ dfo) ’ ’ * •’ k dfn )’

в силу (9) тождественно равны нулю. Следовательно, получаем
замечательную формулу:

7=(^)л-

А =

СТ.

Если определитель в левой части равенства уничтожается, то
либо либо определитель

(i, / = 1, 2,.. .,п)	(11)

обратится в нуль.

Пусть утверждение справедливо для п функций, т. е. что
п функций взаимно зависимы, если их якобиан обращается
в нуль. Таким образом, если бы предыдущий якобиан А об"
ратился в нуль, то функции /х, /2, . . . , fn от хг, х2, . . . , хп не
были бы взаимно независимы, а это противоречит предполо-
жению, которое мы сделали. Следовательно, должен обращаться
в нуль другой сомножитель (df0/dx0), а отсюда следует, что /0
можно будет выразить только через /х,	fn. Поэтому

функции /0, /х, . . . , fn взаимно зависимы, что и требовалось до-
казать.

После этого мы должны доказать это утверждение для п + 1
функции. Коль скоро оно доказано для двух функций, то оно
справедливо и для п функций, а значит, оно справедливо и вооб-
ще, Это делается следующим образом.

Пусть /0 и /х — функции от хй и жх, якобиан которых равен
нулю, т. е. тождественно выполняется

d/о dfi	dfo dfi	„

dx0 ' dxi	dxi ' дх0

Далее, /х либо постоянная, либо содержит по крайней мере одну
из переменных, например, хх, и тогда можно выразить хг через
х0 и /х. Если подставить это выражение в /0, то будет

д/о _ ( dfo \ . / Э/р \ d/i
дх0 \ dx0 /' \ dfi ) ' dx0 ’

d/о = / d/0 х
dxi \ dfi / ’ dxi ’

следовательно,

dfo . dfj _ df0 . dfi _	_ dfj _ $

дхй ' dxi dxi ‘ dx$ \ dx$ ) ' dxi

Второй множитель d/x/dx0 не обращается в нуль, так как мы пред-
положили, что fi должно содержать именно жх, стало быть,
(df0/dx0) — 0, или функция /0, выраженная через х0 и /х, не
будет содержать х0, а является только функцией от /х. Этим до-
казано: как только выполняется тождество

24.24 _24.24 = о

dx0 ' dxi dxi ' дха ’

то либо fi постоянно, либо /0 является функцией /х и, следова-
тельно, функции /о и fi не являются независимыми, что и нужно
было доказать. Таково доказательство Якоби этой важной теоре-
мы. Указанная выше теорема может быть выражена следующим
образом:

1.	Функции, якобиан которых не обращается в нуль, взаимно
независимы.

2.	Якобиан от взаимно независимых функций не равен нулю.
Если п уравнений, которые связывают друг с другом величины
Ун Уг> • • • , Уп И хх, х2, . . . , хп, имеют неявную форму, т. е.

Л(У1> Ул, • • • > Уп, «1. «2, . . • , »п) = о (i = 1, 2, . . . , п),

то можно составлять функциональный определитель

(г, / = 1, 2,...,п).

osj '	7

Имеем

\ I ЙУ1 '	! dfi дуп О

дх} дх- J "* дуг ' дх} “!“•••+ дуп • дх.

следовательно,

_/	\	Эух I ^/j I I dfi ду”

У dXj у дух dXj ' ду-2 дх- ‘ дуп ' дх; ’

и, таким образом,

или

дх^

= (-!)”

(12)

%

§ 3.	Кратные решения системы уравнений

Из исследования кратных решений следующей системы урав-
нений вытекает одно из важнейших приложений теории функцио-
нальных определителей.

Пусть

<Р1(У1» Ул, • • -,Уп, х) = 0,

«PaGh.ys, «) = 0,	(j)

<Pn(l/i, Ул, • •Уп, х) = О

— система п совместных уравнений, в которых, кроме величин
Ун Уг, • • • , Уп, содержится также параметр х.

Предположим теперь, что значению х = х0 соответствует
система значений yi, • • • , Уп и мы хотим теперь определить
те значения yt, yit . . . , уп, которые соответствуют значению х
в окрестности х = х0.
Для этой цели положим

х = х0 + g, yt = у° + Т](,
л уравнения (1) запишутся следующим образом:

Ф* (У1 + Л1» Уа + Ла» • • • » Уп + Цп, + £) = О»
где i = 1, 2, . . . , п.

Разложим теперь левые части этих уравнений по формуле
Тейлора и примем во внимание, что, по предположению,

Ф< (У1, Уа, • • • , Уп, х0) = 0;

тогда для определения т^, т)а, . . . , цп получаем уравнения:

+	П.+ ..- +	+ +	^+« = 0.  4£е+я.-о,	(2)
	аФп .  Эу^” ।	^£ + Яп = 0,	

где через Rlt Rv . . . , Rn обозначены члены второго и высших
порядков в разложениях.

Обозначим, далее, якобиан от ф через А:

А

Э(<Р1,фа......Фп) _

~ д (ух, Уа......уп) ~ Эу;.

(i, / = 1, 2,..., п),	(3)

и положим

дф.

а«=э£-’.	(4)

так что
А = | л«|;
тогда решение (2) будет зависеть от значения функционального
определителя.

Пусть, во-первых,

А 4=0;

тогда согласно (9) § 1 получаем

*„ г Г $Ф1 ЯА । Эф2 эд ,	, Лрп эд ] ।

- Дт1< = 5 [-5Г • э^ + -эГ • э^+ • • • + -эГ-э^ J +

+ ^ + Д«э^ + ---+^- (5)

2

К. Шарлье
Члены, которые умножаются на Л1, будут по крайней мере второго
порядка относительно £ и тр, и так как Д =^= О, то можно £ вы-
брать столь малым, что члены в последней строке станут сколь
угодно малыми по сравнению с первыми членами. Отсюда следует,
что в этом случае достаточно малым значениям £ будет соответ-
ствовать единственная система значений величин гр.

Если Д =$= 0, то решение будет единственным. Если же Д = О,
но миноры первого порядка определителя Д не все равны нулю,
то уравнение (5) запишется в виде
где

. _ а<рх эд	а<ра ад , аФп ад

дх ' dalt "Г дх da2i	дх ' dani

С другой стороны, согласно (10) § 1 имеем

ад	ад Л /t а<Рг , „ \ а*д

да ’Ь - да • 118	3 (Б дх + Лг ) дада^ ’

ОД	ОО • J

(7)

где j = 1, 2, . . . , п, as может принимать произвольные значе
ния (1,2,..., п).

С помощью этой формулы все т], можно выразить через одну
величину, например, Далее, в (6) удержим только члены наи-
меньшего порядка; тогда это уравнение примет вид

Ст)® + В^ + ^ = О,

(8)

где вторым членом можно пренебречь, если A =f= 0. Таким
образом, в этом случае имеем

^=±/-4 г.

и каждому значению £ соответствуют два различных значения т]г
Следовательно, здесь имеется двойной корень. Если бы обра-
щались в нуль также и все миноры первого порядка определи-
теля Д, то решение (2) можно было бы получить следующим обра-
зом. Из (7) находим

а2д
да»дап

= 0,

(9)

где s может принимать любые значения (1, 2, . . . , п).

Так как в этом случае согласно § 1 (п — 2) из величин т^,
Лг> • • • » Лп можно выразить через две произвольные из них,
например, т)х и т)2, то из (9) для s = 1 и s = 2 получаем два урав-
нения в форме

+ ®2Tli1l2 +	1 + -^вЛг) 5 + ЕЛ2 + Е-Л — О,

F iTii + F 2Л1Л2 + F Зт)2 + (F 4t]i + F ет|2) £ + F£a + F-Л — О,

и если коэффициенты Е и F не обращаются в нуль, то получаем,
следовательно, четырехкратный корень уравнения (2).

Итак, находим, что если якобиан при определенных значениях
х и yi обращается в нуль, то этим значениям всегда соответствуют
кратные решения рассматриваемой системы уравнений.

§ 4. Линейные преобразования

Если величины xv х2, . . . , хп заменить новыми величинами
У11 У г, • • • » Уп, которые связаны с первыми линейными соотно-
шениями, то имеет место линейное преобразование. Для таких
преобразований в общем случае имеем:

«1 = Т11У1 + Г12У2 + • • • + ТшУп,
Хг = Ы1 + Г22У2 + • • • + ЪпУп,

хп — Чп1У\ + Т»гУ2 + • • • + Тпп!/п«

Преобразование называется ортогональным, если

2^=3^-

i=l i=l

(2)

Подставим уравнения (1) в (2); тогда для ортогонального пре-
образования получим следующие соотношения между коэффи-

циентами:	Зт»г,. = (®	(3)  I1 для Iх = v>

которые могут быть записаны также в следующей форме:

п

2 Tp-iTvi =
г=1

О ДЛЯ |1=/=V,
1 для р = V.

Число этих соотношений между коэффициентами ортогонального
преобразования будет равно П^П^—, а так как общее количество
коэффициентов равно га2, то, следовательно, число независимых

2*
20 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ИЗ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ [ГЛ. I
коэффициентов будет

п (п — 1)

2

Таким образом, для п — 3 имеем три независимых коэффициента
(эйлеровы углы). Можно показать, что в общем случае п2 коэф-
v	п(п—1)

фициентов можно выразить рационально через —- неопре-
деленных величин.
При помощи соотношения (3) согласно теореме об умножении
определителей получаем

А2 = 1

Наиболее известным ортогональным преобразованием является
такое преобразование, в котором изменение координат получа-
ется при вращении прямоугольной системы координат.

Особый интерес представляют преобразования многочленов
второго и более высоких порядков при помощи ортогональных
подстановок.

Целые однородные функции называются формами. Эти формы
будут квадратичными, кубическими и т. д., в зависимости от
показателя степени. Они будут называться бинарными, тернар-
ными и т. д. формами, смотря по тому, будет ли число входящих
переменных равно двум, трем или больше.

Квадратичная форма

/ =	& / = 1» 2,..., п)

(4)

где a\j = djt, всегда может быть преобразована посредством
ортогональной подстановки к сумме только одних квадратов.
Сделаем ту же подстановку (1) в (4) и определим коэффициен-

ты Yjj, так, чтобы

3 «iJWi» = о для |Х =£ v;

(5)

тогда для определения од получим соотношений. Так как
г	“	„	»(»+Ц

w» л w л ггч « "Гт > ’ л ГТ «т. 1ГГ Л Г.ТТГГТ А /УП А ТТЛ ТТ Т Гт АТГ ят Л ТТ /Ч ТТ 47 V I ТЖХЯ ^111 А -	- *

подстановка должна быть ортогональной, то получим еще ——
соотношений, и вместе с ними для определения коэффициентов од
будем иметь достаточное число уравнений. Это определение про-
исходит следующим образом. Выражение (5) можно записать
в виде

Yip. [«llTlv + ®12Т2т + • • • + alnTnv] +

+ Тгр. ta21Tlv + ®22T2v + • • • + в«пТп»] + • • • +

+ Tnp. [«nlYlv + dniYtv + • • • + вппТпт] = 0»
С другой стороны, ИЗ (3)

Tip-Tiv + Тзи-Тз» + • • • + Ynp-Tnv = 0.

Полагая в обоих этих уравнениях р = 1, 2, . . . , п, за исключе-
нием р = v, и сравнивая полученные системы уравнений, нахо-
дим, что

eilTlv 4" a12Tav 4“ • • • 4" ainY„v _ a21Tlv 4“ ^22Tav + • • • + a2nYnv _

Tiv	Та,

aniT]v 'i anaTav ~ • • • 4- annTnv

Обозначим общее значение этих отношений через sv, тогда придем
к следующей системе уравнений:

(«и — ®v) Tiv 4* ^laTa» + • • • 4* вщТп» = О,

aaiYiv 4“ (ааа — ®») Ха* 4" • • • 4~ аапТ’п* = О»

tiniTiv 4“ flnaTav 4~ • • • 4’ (®»<n sv) Tnv — 0.

Если еще добавить уравнение

ЗП: = 1’
i=l

(«)

(fi-)

то коэффициенты у17, ya»» • • • > Tnv будут определены.
Далее, очевидно, что

/ = Sij/i 4- $аУг 4- • • • 4- 5пУп	(7 )

и, следовательно, соответствующее приведение получено.

Для определения sw согласно (6) имеет уравнение n-й сте-
пени:

Р(з) =

®и s dja • . • а1п

0^21	^22 ““ ® • • ♦	^2м

(8)

®nl ®n2 • • • ®nn s

Это уравнение имеет (при действительных ai}) только веществен-
ные корни. Утверждение доказывается следующим образом.

Пусть Sp, и 5» — два комплексных сопряженных корня.
Соответствующие коэффициенты и yiv также должны быть
сопряженными, так что можно положить
Tip. = <*i + Фо
Tiv = 04 — Ф<-

Отсюда следует

TiP-Tiv = а? + Pt

Но так как подстановка ортогональна, то по (3) имеем
2^X1» = 0	(Н=М)

и

однако при сделанных предположениях эти равенства, очевидно,
невозможны. Поэтому корни не могут быть комплексными.

Зато могут встретиться кратные корни (8). Пусть F (а) = О
имеет двойной корень; тогда должно также быть

F'(s) = О

и, следовательно, будет

Умножая это уравнение на dF/dau, получим

3F _ 3F dF__&F_ dF________________________ dF_ dF

дан ' daH da22 dau ' ' ’ dann' dau

Но так как F — 0, то согласно формуле (7) § 1 имеем
dF	dF _ dF	dF

daij	dakl	daU	dakj	*

Таким образом,
dF	dF	dF	dF	dF	dF

^aii	&all	&ail	&ali	&аЦ	&аИ ’

так как определитель F симметричен. Вследствие этого имеем

а из этого уравнения следует, что все миноры первого порядка
определителя F равны нулю.
Но в этом случае по формуле (12) § 1 решение (6) будет сле-
дующим:

дгР ~ дгР v , d2F
дапда22 Tiv ~ даида22 Tlv + дапдац

так что коэффициенты уь, выражаются через какие-либо два из
них. Добавим еще одно условие при помощи уравнения

ЗП = 1.

Можно также одному из коэффициентов, например, у17, дать
произвольное значение.

Следовательно, при наличии двойного корня s„ один из соот-
ветствующих коэффициентов уь можно выбрать произвольно.

При кратном корне можно нескольким коэффициентам придать
произвольные значения. При этом форма не нарушается. Крат-
ному корню соответствует несколько членов с одним и тем же
коэффициентом s.

§ 5. Линейные дифференциальные уравнения
с периодическими коэффициентами

Такие дифференциальные уравнения встречаются в небесной
механике часто. Их теория, начатая Эрмитом, в первое время
систематически публиковалась Флоке в «Annales de I'Ecole Nor-
male» (1883—1884).

Мы будем заниматься главным образом системами линейных
дифференциальных уравнений, но сначала кратко воспроизве-
дем основы исследований Флоке.

Возьмем линейное дифференциальное уравнение n-го порядка:

Р(У) = ^ + РЛ^)^ + -.. + Рп(х\у = О, (1)
dx	dxn 1

где pv рг, . . . , рп являются периодическими функциями от х
с одним и тем же периодом. В астрономических приложениях
этого уравнения достаточно предположить, что эти коэффициен-
ты — однозначные, непрерывные и аналитические функции х,
которые в каждой точке а могут быть разложены по положитель-
ным степеням х — а. Из исследований Фукса [1], которые
теперь вошли в учебники, известно, что для каждой точки можно
найти систему п степенных рядов, удовлетворяющих уравнению
(1), через которые можно линейно выразить любое другое реше-
ние. Эти степенные ряды в совокупности образуют фундамен-
тальную систему решений.
Пусть теперь Д (х), f2 (х), . . . , fn(x) представляют подобную
фундаментальную систему для (1). Тогда Д (х +со), Д (х +со),
. . . , fn (х +ш) также должны образовывать фундаментальную
систему. Всегда можно найти такую систему коэффициентов Ац,
чтобы

Д (х + о) = ЛцД (х) 4- Л12 Д (*) + • • • +	Alnfn (х),

/2 (х + со) = A2,/t (х) 4- Л22 /2 (ж) 4- ... 4-	A2nfn (х),	(2)

fn (х 4- и) = Anlf 1 (х) + Лп2Д (я) 4- ... 4-	Annfn (ж),

где определитель

|ЛМ|^О.	(3)

Позднее мы исследуем, как находится такая система коэффициен-
тов на практике.

Предположим, теперь, что для уравнения Р (у) = 0 можно
найти такое решение F (х), что

F (х 4-<в) = sF(x).

(4)

Функции, которые определены так, что они вновь принимают
то же самое значение, умноженное на постоянный множитель $,
когда аргумент увеличивается на один полный период, называ-
ются периодическими функциями второго рода. Это название
ввел Эрмит, впервые исследовавший такие функции при изу-
чении уравнения Ламе.

Это решение F (х) также должно линейно выражаться через
функции Д (х), Д (*),	(х)‘ Пусть при этом

F(x) = мхД (х) 4- UjA («) + ... + Unfn(x),	|(5)

где «х, и2, . . . , Un обозначают известные коэффициенты, из ко-
торых не все обращаются в нуль.

Из (4) и (5) следует

sF (х)= F (х +®) = и^ (х 4-со) 4* uj2 (х 4-со) 4-

4-. . . 4- Unfn (х 4- о) =

=	ИпД (*) + Л12д (х) 4- . . . + Ainfn (®)1 +

4- и2 [Л21Д (х) 4- Л22Д («) + ••• + A^nfn (ж)1 +

+............................................+

4* ип [ЛщД (х) 4* Anif3 (х) 4" • • • + Annfn (ж)] =

= 8 [ихД (х) 4- «2/2 (*) + ... + Unfn («)].

Таким образом, для определения u1( и2, . . . , ип получаются
уравнения

(Лц — s) Ui 4" Л21и2 4* • • • 4" Лщип — О,
Л-пИх 4* (Л22 — S) 1*2 4" • • • 4“ Лп21*п = О»

•41П**! 4- Лгп**г 4" • • • 4* (ЛПп — s) Un —

(6)

где по крайней мере один из коэффициентов при и остается не-
определенным. Отсюда получаем для а следующее уравнение:

Лц— а Л21 . Лщ

G(a) =

Л12 Л22 — а Лд2

(7)

Л щ	Лгп • • • Лпп — а

которое называется фундаментальным уравнением.

Если G (а) = 0 имеет п различных корней, то имеется п ре-
шений, которые будут периодическими функциями второго рода.
Эти п решений в совокупности образуют фундаментальную си-
стему решений, ибо, если бы между ними существовала линей-
ная зависимость

(х) +	(х) + . . . 4- СпРп (х) = О,

то, в то время как х заменялось бы на х + со, и эта операция
повторялась бы п — 1 раз, получились бы п уравнений, из кото-
рых следовало бы

1	1	...	1  51	5g	•	•	.	Sn  2	2	2  $1	5g	.	•	•	Sn  n-1 n-1	n-1  01	5g	•	•	•	Sn	— ($2 Sj) ($3 Si) • . . (Sn — ®n—1) — 0,

но это возможно только в том случае, если два из корней будут
равны друг другу.

Если имеются кратные корни, то все решения этим способом
получить нельзя. Флоке указывал, что корню кратности ц соот-
ветствует система р. решений Fv . . . , Fp., которую можно
выразить через периодические функции <р<}- второго рода следую-
щим образом:

Л (*) = Фи (*),

F а (*) = Фп (*) 4- х<р22 (х),

Fp. (х) = фр.! (х) -I- Хфр.2 (х) + . . . 4- Х^!фр.р. (х).
Мы не будем останавливаться на этом вопросе, так как он
должен быть рассмотрен при исследовании систем дифференци-
альных уравнений. Такая система будет исследована методом,
который подобен методу Флоке. Так как уравнение (1) всегда
можно свести к этому случаю, то перейдем к рассмотрению этого
общего случая. Определение формы интеграла для этого случая
дал Пуанкаре в своих «Methodes nouvelles» [2].

Предположим, что имеется система уравнений следующего
вида:

— фиЗл 4~ фп^г + ф1пхп,

—р- =	-}- ф22г2 4~ . .. + ФаА,

(8)

"37“ — ф/иА 4" фп2т2 4“ • • • 4" фппТп,

где фц, ф12,... и т. д. — однозначные, аналитические и перио-
дические функции t периода 2 л.

Согласно общей теории линейных уравнений можно получить

систему п решений уравнений (8):

Х1 = фи (О, Ж2 = Ф12 (0> •••’*«= Ф1п(0’

X, = ф21 (О,	= ф22 (t), . . . , хп = ф2п (О,

— фп1(<), Ж2 — фпг(0’ • • • > >Гп — Фпп(О*

Если эти решения составляют фундаментальную систему, то об-
щий интеграл (8) должен иметь следующую форму:

®i — С\фп (t) 4- С2ф21 (<)+•.. + Спфп1 (О»
х2 — С1Ф12 (О + С2ф22 (<) + ••• + Спфп2 (О’

ХП -- С1Ф1П (О 4“ С2ф2п (0 + . . . + Спфпп (О’

где Сх, С2, . . . , Сп обозначают постоянные интегрирования.

Так как функциифу (t) обладают периодом 2л, тофу (t) также
остаются решениями, если t заменить на t + 2л. Следовательно,

Фи (^ 4" 2л) — ^4цфи (t) 4- Л12ф21 (0 4- • • • 4" -^шфп! (О,
Ф12 (t 4“ 2л) = А цф12 (0 4* -^пфгг (0 4- • • • 4- -^шфпг (О»

Фш (t 4- 2л) = Апф1п (0 4- АгФгп (о 4- • • • 4- Л1пфпп (О,
и также

Ф21 (I + 2л) = А214’11 (0 + -^ггфз! (О + • • • + Л2пфП1 (О»
Ф22 (I + 2л) = Л21ф12 (t) 4~ Л22ф22 (£) 4" • • • + ЛгпФп2 ю,

Фгп(£ + 2л) = Л21ф1П (t) + Л22ф2п (£) + ... + Л2п1рпп(О

и т. д.

Пусть 6vi(O» (О» • • • , (О — периодические функции
второго рода, так что

©vi (t + 2л) = sv0vi (f),

где через sv обозначены постоянные. Если эти функции также
являются решениями, то имеем

evi (<) =	(t) + В2ф2< (/) + ••• + Brtfni (Г) (г = 1, 2,..., п),

и тогда

&vi{t + 2л) = Вг [Лцфц(/) + Л12ф2,(<) + . . . + Л1пфп{(<)] +
+ -®2 Мз1Фн(0 + ^22Фг<(0 + • • • 4~ Л2пфп{ (/)] +
+............................................................+

+ Вп [ЛП1фц(^) + Лп2ф2{(«) -f-... -(- Лппфп{(^)] =

= sv [В1фн(^) 4* Bityaft) 4- • • • 4~ 5ni|>ni(Q]

Величины Bi будут находиться из следующих уравнений:

(Лц — sv) Bi 4- Л21В2 4- • • • 4* AniBn = О,
Л12В14- (Л22 — sv) Bz 4" • • • 4~ Лп2Вп = О,

Л1ПВ! 4* Л2пв2 4- ... 4- (Апп — sv) Вп = О,

(Ю)

a sv определится из уравнения (7):
G (sv) = 0.

Если положить

= е ”,

то найдем, что e-a',,0vi(0 будет периодической функцией (перво-
го рода). Запишем тогда

evi = e“’%f(«),
где Хи (/) обозначает периодическую функцию времени.
(Н)

Пусть все корни sv фундаментального уравнения различны;
тогда имеем следующую форму общего интеграла:

Xi =	(/)	+ С2еаа< Х21 (<) + ..•+ Cne<n< кщ (f),

z2 = Xia (f) + Сзв*а, къ2 (t) 4- •..	Спб”»1* %n2 (О»

хп = Cje”1* Xin (t) 4~ C^e1'11 X2n (t) 4* • • • 4- Cne Xnn (i).

Величины cti названы Пуанкаре характеристическими показате-
лями. Они играют важную роль при исследовании устойчивости
в механике.

Если фундаментальное уравнение G (а) = 0 обладает крат-
ными корнями, то при известных условиях форма решения будет
другой.

Из уравнений (10) можно определить отношения коэффициен-
тов. Следовательно, один из них всегда будет произвольным и
будет играть роль постоянной интегрирования. Если бы уравне-
ние G (а) = 0 обладало двойным корнем, а все миноры первого
порядка обращались бы в нуль, то можно было бы, как доказано
в § 1,два из соответствующих коэффициентов В взять произволь-
ными. Тогда для этого корня имеются два решения, которые
являются периодическими функциями второго рода с одними и
теми же множителями.

Если не все миноры первого порядка обращаются в нуль, то
природа решения может быть выяснена следующим путем.

Пусть ах — двойной корень. Пусть этому корню соответствует
система значений Bv В2, . . . , Вп (среди которых имеются про-
извольные) и система 0 — функций 0П, 012, . . . , 0щ с множи-
телем ах. Далее,

0ц = В1ф11 4- В2ф21 4* • • • 4" ^пфш,

©12 = Bi'J’u 4" ^г'Ргг 4~ • • • 4* 5пфп2,

©In = Bityin 4“	4“ • • • 4” •Вп'Рпп»

где по крайней мере один из коэффициентов Bi, например Ви
отличен от нуля. Поэтому фундаментальную систему можно заме-
нить следующей:

©и , ^21, • • •, 'I’m,

612 , Ч>22 , • • •, 'I’m,

©in, 'Ргп	птг
При помощи этой фундаментальной системы построим уравнение
для $. Вместо уравнений (9) теперь имеем следующие:

0Ц + 2л) = ®10ц(О»

^2i (t + 2л) = Вг1&ц (t) + B22t|)2j (£) + ••• +	(t),

4*ni {t 4" 2л) = ВП1О1} (0 + Впзфг! (0 + • • • + Bnntyni (t),
из которых получается новое уравнение для $:

	«х — s 0	...	0
Gx(O =	В2х В22 — s . . • В2П
	вп1 Вп2 . . . Bnn s

= 0.

(12)-

Корни этого уравнения должны совпадать с корнями (8) (Флоке)
и, следовательно,

В22 		В2з .	• В2п
В„2	В„3.	• ^пп

= 0.

(13)

Это уравнение также должно иметь корень, равный st.

Из (13) вытекает, что имеется система величин х2, х3, . . ., хп,
которые не равны одновременно нулю и удовлетворяют следую-
щей системе уравнений:

(В22 — $1) Х-2 4" В32Х3 + . •. + В„2хп = 0,

(14)

BjnXj 4- B3nx3 + ... 4- (Впп — si) кп = 0.

Из нашей фундаментальной системы можно теперь построить
следующие интегралы:

021 (t) = Х10Н (t) 4- М21 (о 4- • • • 4- M>nx (i),

022 (t) = Х1©12 (t) 4- х2ф22 (0 4- • •

4- лпфп2 (t),

02П (t) = ххе1п (t) 4- хаф2п (t) 4- ... 4- Хпфпп (t),
где через хх обозначена неопределенная постоянная.

Отсюда получаем уравнение

02i (£ 4" 2л) = Xi^Oxi (0 + х2 [#210Ц (<) 4“ Вп$ц (£) 4" • • • "Ь

4" ®2п'Фп1 (01 + • • • 4“ лп [В„х01{ (о Вп2ф2{ (0 4* • • • 4“ Вппфп{ (01 =
= [Лх$1 4" Л2В2х 4- ... 4- XnBnl] ©Xi (0 4“

+ [л^Ваз 4- • • • 4- лпВп2] ф21 4-... 4- [х2В2п 4- • • • 4~ лпВпп] фп» (0»
30 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ИЗ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ [ГЛ. I
которое с учетом (14) примет следующую форму:

©21 + 2л) = [х1$1 + *2^21 4" • • • 4* ХПВП1] 0ц (Г) 4"

4- 51Х2ф2{ 4- • • • 4-	(0 =

= [Х1®1 4~ XjBji 4~ • • • 4- xnBnil ©п (0 4* $i [©21 (t) — хг0н (01 *
Положим

А = Х2В21 + • • • 4~ xnBnl,

тогда 62i(0 будет удовлетворять следующему функциональному
уравнению:

021(^4- 2л) = Л0Н(О4-«1®2|(О-	(15)

Поделим его на

0ц(/4-2л) = «10ц(О;

тогда получим уравнение

021(« + 2л)	62i(t) t А

6Н(И-2Л) ен(0

которое удовлетворяется, если положить

где через & (/) обозначена периодическая функция от t с перио-
дом 2л.

Отсюда следует, что то решение, которое соответствует двой-
ному корню sx, имеет следующую форму:

в«(0 =--®«(0 + 2^ви (О.	(16)

где 02i(0 и 0ii(i) обозначают периодические функции второго
рода и с одним и тем же множителем sr

Коэффициент А не обязательно отличен от нуля. Если А — 0,
то как 021(О। так и ©п(0 СУТЬ периодические функции второго
рода.

Если — тройной корень, то появляются члены, умноженные
на I2 и т. д. Этот вопрос рассмотрен в трактате Флоке [для урав-
нения (1)].

При практическом применении этой теории важную роль
играет построение уравнения для s: G(s) = 0. Поэтому мы оста-
новимся более подробно на этом вопросе. Задача распадается
на две: 1) нахождение фундаментальной системы решений, 2) опре-
деление коэффициентов Aij для этой фундаментальной системы.
Рассмотрим сначала последнюю задачу. Согласно уравнениям
(9) имеем

'I’ii (t + 2л) = Яцфц (t) + A(<) + ... -J- Л{пфп1 (t),

Ф«2 (t + 2л) = Л{1ф12 (t) + Л{2ф22 (0 + • • • + Л{Пфя2 (t),

ipin (t + 2л) = Лпф1п (*) + 'Мгп (*)+••• + Лпф™ (t),
причем определитель

Им (01
не равен тождественно нулю.

Предположим теперь, что при t = 0 этот определитель отличев
от нуля. Пусть, таким образом,

д = |^.(0)|^0.

При t — 0 имеем

Ф11 (2я) =	(0) + -^йФг! (0) + • • • + Д'пФп! (0),

Ф;г (2л) — Л{1'ф12 (0) + Л{2ф>2 (0) 4~ • • • 4" ^in'l’na (0),

фш (2л) = Лиф1п (0) 4- Aittyzn (0) 4- • • • 4- ^inM’nn (0).

Решение этих уравнений согласно формуле (9) § 1 будет
дл„ = ^fc(2n)	(2я) + ... +

♦» (2я) +	♦« (2я) + ... + °*.	(2я),

АЛ‘" “ ♦“ <2п) + (2я) +  • • +

или, вообще,

АЛ3-= ^Фа(2л) + ^ф42(2л)4-...4-^-п^п(2я). (17>

Из этой формулы на основании теоремы об умножении определи-
телей вытекает, что

Дп|Лъ4 = |^-|х|фи(2л)|.

Но по формуле (3) § 1

I__ А«-1

«♦«г ’
так что

I I = 4-14^(2") I.

(18)

При помощи (17) коэффициенты 4ij будут определены, если только
заданы величины -фо' (0) и Ф*7 (2л). Остается еще найти эти вели-
чины.

Функции ф;, образуют фундаментальную систему решений
уравнений (8). Но такую фундаментальную систему всегда можно
найти в форме степенных рядов по t. Этот метод даже на практике
не всегда наиболее удобен, но он всегда приводит к цели. На одном
частном примере мы укажем другой путь, который в астрономии
обычно более быстро приводит к цели.

Итак, можно положить

Ф« (0 = аИ + М + ci^2 + • • •

и определить коэффициенты при помощи подстановки в урав-
нения (8). Из этих коэффициентов п (п — 1) могут быть выбраны
произвольно. Если теперь в соответствии с этим положить

|0 для »=//,
3	(1 для 1 = 7,

(19)

то будем иметь

и

ад _ |0 для i=f=j,
— Ц для i = /

и, таким образом, для Atj из (17) получим простые формулы
4у = фъ-(2л).	(20)

Итак, для составления фундаментального уравнения нужно
вычислить функции ipij (2л) и тогда для $ находим уравнение:

Фи (2л) — $ фХ2 (2л)	•.. фш (2л)

Фа1(2л)	ф22 (2л) — а ... ф2п (2л)

Фш (2л)	фп2 (2л)	... фпп (2л) — а

Вычисление значений функций ф<; (t) при t = 2л можно выполнить
различным образом, нужно только придерживаться предполо-
жения, которое было сделано относительно этих функций:

фъ-(0) =

0 для i =/= /,
.1 для i = j.
§ 6. Примеры к предыдущим параграфам

Предположим, что имеются только две функции, так что пре-
дыдущие уравнения будут иметь следующий вид:

— Фи (0 + Ф12 (t) ^2,
= ф21 (t) X] -|- ф22 (0 Х2.

Относительно функций ф, которые являются периодическими
по t с периодом 2л, будем, кроме того, предполагать, что фи
и ф22 являются нечетными, а ф12 и ф21 — четными функциями t.
Таким образом, имеем

Ф11 (—0 = — Ф11 (0»	Ф12 (—0 = Ф12 (0>	1

Ф21 (—О = ф21 (0,	ф2г(—0 = —фгг(0- J	'

Это позволяет потом найти фундаментальную систему решений:
я1 = фи(0, х2 = ф12(0,

Х1 = ф21(0,	^2 = ф22(0.

при помощи свойства, согласно которому

Фи(—0 = фи(0,	Ф1г(— 0 = — Ф1г(0, |

Ф21 (—0 = —Фг1(0, Фгг (—0=Фг2(0- 1

Эти решения можно выбрать так, чтобы

Фи(0) = 1,
Фгг(О) = О,

ф12(0) = 0, |
ф22(0) = 1. J

Таким образом, коэффициенты Ац будут равны (2л). Со-
отношения (9) § 5 примут вид

Фи	2л)	=	^цфп (0	+ -^хгФгх (0>

Фхг (t	+	2л)	=	Лпф12 (0	+ Л12ф22 (0,

Фгх	4~	2л)	=	Л21ф11 (0	+ ^ггФгх (0>

Ф22	Н-	2л)	=	^21Ф12 (0	Н- ^ггФгг (0‘

Положим в этих уравнениях t — — 2л; тогда из рассмотрения
уравнений (3) и (4) получим

^иФи (2л) — -^хгФг! (2л) = 1,

— Лифи (2л) + Л12ф22 (2л) = О,

3 К. Шарлье
и отсюда, так как Ay = ф^ (2л),

фи (2л)	(2л) — фи (2л) фи (2л) = 1, |

фи (2л) = фм (2л). J	< '

Из (5) для этого случая можно вывести важное свойство харак-
теристических показателей. Уравнение для s будет

фи (2л) — $ ф12 (2л)

Фз1(2л) Фаз (2л) — s ~ ’

ИЛИ

S2 — (Фн + фаз)® + ФиФзз — Ф12Ф21 = 0,	(6)

или, из рассмотрения уравнения (5),

s2 — 2фп (2л)з +1=0.	(6*)

Положим теперь

3 = е2аМ.	(7)

тогда а будет определяться следующим уравнением:

cos 2ал = фи (2л).	(8)

Эта изящная форма вычисления а впервые была предложена
Калландро для уравнения

d2x

+ («о + «1 cos t + а2 cos 2t + ...) х = 0,

которое играет большую роль в астрономических исследованиях
и, очевидно, является специальным случаем уравнения (1).

Всякий раз, как фи (2л) по абсолютной величине меньше еди-
ницы, для а из (8) получаем действительное значение. Тогда
движение, определенное уравнением (1), не будет устойчивым.

Дифференциальное уравнение

= l + bcosf)z

(9)

представляет собой специальный случай уравнения (1). Положим

dx dxi

Xi = z, z2 = —= —;

тогда вместо (9) получим

^ = (—1 +bcosf)*i,
поэтому в данном случае

Ф11 = 0,	Ф12 = 1

ф21 = — 1 + b cos t, ф22 = 0.

Таким образом, условие (2) для функций ф выполняется, и для
определения а можно использовать формулу (8). Теперь нужно
вычислить функцию фп (2л). При помощи функций

*1 = Ф11 (0, *2 = Ф12 (0

можно получить интеграл системы (9*); при этом предполагается,
что фц представляет собой четную, а ф12 — нечетную функцию
от t и, кроме того,

Ф11 (0) = 1, Ф12 (0) = 0.

Так как в этом случае

х* ~ dt ’

то эти условия выполняются автоматически, если только фп(0
является четной функцией и ф11 (0) = 1.

Стало быть, достаточно отыскать интеграл уравнения (9),
который удовлетворяет этим условиям. Решим задачу при помо-
щи степенных рядов по t. Для этой цели подставим в (9)

х = 1 + ах/2 + a2Z4 + а3£6 + . . .

Для коэффициентов будут справедливы следующие рекуррентные
формулы:

2(п + 2) (2и -f-1) an+i = — Лп + b[<Xn-—Zf~— • • • + 2raV

С точностью до четвертой степени будем иметь

х = фи(П = 1 + 4(-1+&)^ + ^'(1-ЗЬ + Ь2)^ + --- (10)

Так как этот ряд непременно сходится, то, конечно, при по-
мощи него всегда можно вычислить фи (2л). Но вычисления будут
очень трудоемкими, поэтому эти методы следует рекомендовать
только при достаточно больших значениях Ь. Этот путь не поз-
воляет также установить, не задавая для Ь определенного чис-
ленного значения, будет ли вычисленное из (8) значение для а
действительным или комплексным? Поэтому на практике не-
обходимо предусмотреть другие методы.

В астрономических приложениях этого уравнения Ъ является
вообще малым числом, и этим обстоятельством можно восполь-
зоваться для вычисления значения а. Этот путь также представ-
ляет интерес, так как он показывает, как можно использо-
вать «разложения по степеням масс» для получения общих инте-
гралов.

Итак, предположим, что интеграл (9) можно разложить по
степеням Ъ, и положим

х = Хо + bXt + Ь2Х2 + . . .

При подстановке этого выражения в (9) исследуемое уравнение
распадается на следующие:

_ у

^ = -Xi + Xocosf,

^ = _Xs + X1CoSf

и т. д., и мы должны отыскать решение этого уравнения, которое
является четным и при t = 0 равно единице.

Теперь, если предварительно повсюду отбросим произволь-
ный множитель, последовательно получаем

Хй = cos t,

Х2 = t sin t + cos 3f,

VO

Хз =	* sin 2t - cos 2t ~ io coa 4* *

= i&2 C0S f	f Si“* + 2Ж f Sin 3t + WO COS 3t +

+ i®COs5<

Таким образом,

x =	(t) = A {cos t + b ---cos 2t j +

+ 62	+ ^-cos3t) + ...J.

Далее отсюда следует:

Фи (0) = А {1 + -у b + -gg Ь2 — 864оЬ’ + 138240 64	~
Принимая во внимание первое уравнение, получим

Фи (2л) = 1 + А (2л)264 + • • •.

Так как

Л = 1_±6 + ...,
О

то имеем

cos25xrt = 1 +	(2л)2 ft4 Н-	(11)

Итак, в этом случае cos 2ал будет больше единицы, и следова-
тельно, а — комплексное.

В астрономических приложениях этого уравнения Ъ умно-
жается на массу возмущающей планеты, и примечательно, что
в этом случае нужно идти до четвертой степени массы, чтобы
найти приращение функции фп (2л) на единицу.

Если вместо (9) рассматривать уравнение

— — (п2 — bcost)x,	(12)

где п не является каким-либо целым числом, то столь далеко
проводить разложения не нужно. Решение, которое соответствует
интегралу фц (£), разложенное по степеням Ъ, будет

х = Хо + ЬХг + Ь*Х2 + . . .,
где

Хо= cos nt,

v	cos (1 — n) t	। cos (1 + n) t

~2[n2 —(1 —n)2]	2 [n2 — (1 + n)2] ’

= 2? [ifn2—(1 —n)2] + 4[n2—(1 +n)2]] S1Q nt +
।	cos (2 — n) t	।	cos (2 + n) t

4 [n2 — (2 — n)2] [n2 — (1 — n)2] “r 4 [n2 — (2-|-и)2) [n2 —(1 + и)2] *

Учитывая теперь уравнение

Фн(0) = 1,
получим, что величина

cos 2ла =	(2л) = cos 2ил +	,уЬ.—sin 2пп 4- • • •

меньше единицы. Положим далее,

а = л (1 — о);
тогда будет

° ~ W (W — 1) ’

что соответствует результату Линдштедта, полученному в его
известных исследованиях этого дифференциального уравнения [3].

Общий интеграл (12) примет теперь вид [см. (11), § 5]

х =	%! (<) + C2e-™-W U (0,	(14)

где Xj и Х2 обозначают периодические функции времени. По Линд-
штедту, этот интеграл можно написать в следующей форме:

х = S Hi cos (w + 10»	(14*)

i=—co

где

w = n (1 — a) t + n,

а л обозначает постоянную интегрирования.

§ 7. Уравнения движения Лагранжа

Движение системы п свободных материальных точек с массами
тп1( тг, . . . , win, отнесенное к абсолютной системе координат, бу-
дет определяться Зи уравнениями:

d2xi

,П1 ~dfi ~

mi dfi ~

d*z.

= (l = 1, 2, . . . , n).

(1)

Непосредственно эти уравнения для исследований употреб-
ляются очень редко. В общем случае необходимо заменить абсо-
лютные координаты xit yit z{ другими переменными, например,
91, ?2, • • • » 9зп, ПРИ помощи соотношений, в которые может вхо-
дить и время. Прямой вывод дифференциальных уравнений для
новых переменных сложен, но эта вычислительная работа
значительно упрощается благодаря найденной Лагранжей общей
форме уравнений движения.

Итак, предположим, что

^ = ^(7г72>---.7зп’О (г = 1, 2,..., п).	(2)

Теперь три уравнения (1) умножим па

dxi

и все


уравнения сложим; тогда будет

v /Ч №-4 «Ч.Ч dUi\
’ dfi Ч ' dti + Ч ' dti/

где / последовательно принимает значения 1, 2, . . . , Зп.

Эти уравнения можно записать в форме

dP.

gi —	(3)

где



ч , ч 4 .

dt "г дд. ’ dt +

Ч dzi \
dq'.'dr) »

Введем теперь живую силу Т:

тогда можно показать, что



дТ

0q} ’

Qi-

дТ

где

Ч

Ъ = -df

Имеем

• dx, дх- .	дх, . дх,

Xi~~dt= dq[^l + * ’ ’ + dq^^sn + ~Qt >
откуда

ч ч

Ч Ч ’

(5)

(6)
Подставим теперь в Т выражения (2) и (5); тогда Т будет функ-
цией qlt q2, . . . , q3n, qit q2, . . . , q3n и t, и согласно (6) будем
иметь:

Далее,

Но из (5)
dxi <fixi . (	( дгх^ .	, д2ж{

— dq^dq.^l + ’ " + dq^dq^ ?3n + dq-dt '
а, с другой стороны, по (2)

d	d-xi .	d'2xt . dtxi dxi

~<К	dq^dq.in 43n + dg. dt ~~ dj\

it, следовательно,

Таким образом, согласно (3) имеем уравнения

Ч	J

которые соответствуют найденной Лагранжей форме дифферен-
циальных уравнений движения п свободных материальных точек.

Если существует «силовая функция» U, так что

V ди v ди 7 ди

Ai~dxf> У1~дуг’

то уравнения Лагранжа принимают вид

d
dt

d(T + U)
д(Ц

(7=1,2..3n).

(8)

Формальное преимущество уравнений движения Лагранжа со-
стоит в том, что необходимо выразить только живую силу Т через
новые координаты, которые вводятся вместо абсолютных, чтобы
затем простым (частным) дифференцированием получить диффе-
ренциальные уравнения в новых переменных.
Дифференциальные уравнения (7) [или (8)1 можно разрешить
относительно qj всякий раз, когда Зга уравнений преобразования
(2) независимы друг от друга, т. е. когда якобиан от старых
координат относительно новых отличен от нуля. Для доказатель-
ства положим

Т = Т2 +	+ То,

где три члена с правой стороны суть однородные функции от
q2, ... , q3n соответственно второй, первой и нулевой степени.
Если

Гг = 2а..?^.,

где ау зависят только от qit q3, . . . , q^ и t, то

Зп

и, следовательно,

где через А; обозначен член, который не зависит от вторых про-
изводных

Отсюда видно, что уравнения (7) можно разрешить относи-
тельно qt, если

I %-| =/=0	(i, / = 1, 2...... Зга).	(9)

Но величину этого определителя можно легко найти. Для упро-
щения записи положим

У\ = ®п+1, У 2 = ®п+2 , • • •» Уп = 3-2П»

Z| = X2n+1, Z2 = ^2n+2, • • •> Zn = #3n,

где xlt x2, . . . , x3n обозначают абсолютные координаты; тогда
будем иметь

Зп

2^2 =

где

. дхк . дхк .	дхк .

Ъ + • • • +

Отсюда получаем
Стало быть,
J2? дхк дхк	,

2<Xij = 25	• ~э^ ’

где для симметрии введены обозначения

Wln+l — Nfyn+l —	^п+2 — ГЯзп+2 — ^*2

И Т. Д.

Составим теперь определитель

I «<j|

и подставим вместо ац их выражения из (10); тогда при помощи
теоремы об умножении определителей найдем, что

2ЗП | atj | = 7И17п2 ... т3п

дх{ 2

(i, f= 1, 2,..., 3n). (11)

Если соотношения между абсолютными координатами Xt и новыми
переменными независимы, то

dxt



а отсюда следует, что выполняется уравнение (9). Что и требова-
лось доказать.

Применение лагранжевых уравнений рассмотрим на несколь-
ких примерах, которые позже встретятся в приложениях.

Пример 1. Переходим от прямоугольных координат к сфери-
ческим.

Полагая

х = г cos ф cos 6,

у — г cos ф sin 0,
z = г sin ф,
так что

х — г cos ф cos 0 — г sin ф соэ0-ф — гсовф sin0-5,
у = г cos ф sin 0 — г sin ф sin 0-ф-|- гсозфсоз0-0,
z: = г sin ф + г cos ф ф,
получим

2Т = т (г8 + гафа + га cos8 ф-0а),	(12)

и в соответствии с формулами Лагранжа уравнения движения
в сферических координатах будут
т (г — гф2 — r02cos2 ф) =

т "It cos2 = ^2’

т (г2<Р) 4* г2 3*п Ф cos Ф’®2] — Kt’

(13)

Пример 2. Поворот системы координат на постоянный угол. Пусть

ж = аЛ + Oat] + а3£,
У = Pit 4* РгЛ + РзС,
z = Tit + ТзП + Тз£,

где

2а2= S₽2 = 3r2 = i. 1
2Рт = 2т<* = 2аР = О- f

(14)

(15)

Так как а, р, у суть величины, не зависящие от времени, то
i = а,| + а2т] + азТ

и т. д., и поэтому

S (? + у2 + z2) = s (t2 + п2 + С2).

Форма дифференциальных уравнений в этих переменных остается
неизменной.

Пример 3. «Идеальные» координаты Ганзена.

Если коэффициенты а, р, у в (14) зависят от времени, то имеем

ж =	+	азЛ	Н- аз£	4* £а14~	т|аг 4* £аз>

У =	Pit 4-	РгЛ	4" РзС	+ tPi 4"	Лрг 4" £Рз»

2 =	Tit 4-	ТгП	4- УзС	4- tf i 4-	7|Тг 4- £Уз-

(16)

Величины а, р, у связаны шестью соотношениями (15); по-
средством дифференцирования найдем еще шесть соотношений
между производными от коэффициентов, а именно:

3 аа = 3 рр = 3 ГТ = 0,	1

2Рт4-5Рт = 2та4-Зта = Sap4-3ap = 0. J

Ганзен подчиняет угол поворота условиям

£<Х1 4- я<х2 4- ?«з = о,
SP1 + ПРз 4-	= О,

fri 4- ПТз 4- & = 0.

(18)
Определенные таким образом координаты он называет идеальными.
Теперь будем иметь

X = Ot, I + aaT| + а3£,
У = Pit + РзЛ + Зз£,
z = Tit + ГзП + ТзС •

Следовательно, выражения для скоростей в идеальных кооорди-
натах такие же, как и в координатах, отнесенных к неподвижной
координатной системе.

Будем иметь

?+у2 + ? = (2 + п2 + ё2.

Следовательно, дифференциальные уравнения в идеальных коор-
динатах имеют ту же самую форму, что и в абсолютных коорди-
натах.

Для каждого момента времени производные а и т. д. имеют
определенные значения. Уравнения (18) в каждый момент опре-
деляют прямую линию, которая сохраняет неизменное положение
при бесконечно малом повороте. Эта прямая линия совпадает
с радиусом-вектором. Фактически она должна проходить через
движущееся тело, так как его координаты удовлетворяют урав-
нениям (18). Эта линия проходит также через начало координат.
Следовательно, для идеальных ганзеновских координат движе-
ние координатной системы характеризуется вращением последней
вокруг радиуса-вектора.

Уравнения (18) могут быть записаны в следующей форме:

Ст, —ВС = О,
А1-С1 = 0,
В1-Лт1 = 0,
где

А = а2а8 + р2р8 + ТзТз»

В = a3at -f- Рз^! + ТзТн

С = а1(х2 + piP2 +

Пример 4. Поворот координатной системы в плоскости на угол,
зависящий от времени.

Если поворот происходит в плоскости ху и угол поворота,
зависящий от времени, обозначить через v, то будем иметь

х = £ cos v — т| sin v,
у = £ sin v + г] cos v
и

2Т = m [|2 + ц2 + 2v (gV| - ft]) + »2 (I2 + П2)]-

Дифференциальные уравнения в новых координатах

(19)
будут

d^	п dv

dt»	Z г"

dv •	/ dv \2 d2v 1

*~-dt^ = ^R

йЧ) . „ dv z (dv\* .
^-+2 dB-W

d2v t in

(20)

Чаще используется координатная система, которая вращается
в пространстве с постоянной угловой скоростью. Для такой
системы

dv	.

-ТТ- = п = const,
at

dt» u

и приведенные выше дифференциальные уравнения имеют вид

g—2n$ —n2g= — Rt,
dt* dt ® m

-^3-+ 2n-^ —n2r) = -J?2.

dt1 1 dt 1 m '

(21)

Если в этой подвижной системе координат введем полярные коор-
динаты, так что

то будем иметь

£ = р cos 0,
т) = р sin 0,

£2 + ri2 = Р2 + р202,

In — tn = Р20,

и, следовательно,

ж2 + у2 + ? = р2 + р202 + 2пр20 + п2р2,

и далее имеем

дТ

ар
аг
аР

Р.

= р02 + 2ир0 + п2р = р (0 + и)2,

^=p20 + np2,
OU

^ = 0,
ae ’
а следовательно, по формулам Лагранжа

5.-р(в + »)"_±Л„

4 ip* (»+»)i -£*•

(22)

Теорема Лиувилля. Как показал Лиувилль, имеется общий
случай, в котором дифференциальные уравнения Лагранжа мож-
но проинтегрировать (точнее говоря, можно привести к квад-
ратурам).

Пусть имеется к координат qlt q2, . . . , qk, и живая сила Т
имеет следующую форму:

2Т = <р (?1)й + . . . +	(q*)#],	(23)

где

Ф = Фх (ft) + • • • + Ф* (ft)-	(24)

Тогда задачу можно свести к квадратурам, если силовая функ-
ция U такова, что

77 _ Ф _ **(<?1) + • • •'I' Фк fas)

Ф -<Р1 (<?!) + • ••+<Pk('7k) •	( }

Интегралы будут иметь вид

77 ^ft Р*= • • •= § j/rf dq* + Pfc» (26)

+	+$|/'^ФЛ^= V2«+C,	(27)

где

= Ф{ (ft) + Wft) + a..	(28)

Здесь между величинами сц имеется соотношение

2 <*i = 0,	(29)

и, таким образом, 2к постоянных интегрирования суть
аь «s-i, к,
Ри • • •> Pfc-b С-

Чтобы доказать это, положим

k%(ft)dft = dui (i =1,2,..., к).	(30)

Если эти уравнения проинтегрированы, а q выражены через и
и их значения подставлены в <р и г|>, то можно положить
<Pi(?) = /<(“).

(?) = &(«)»

и тогда будем иметь

гт g Л (ui)+ •..+£» (“к)

U “ /	+ •..+/«(»к) ’

Уравнения Лагранжа для величин щ будут

(31)

Если эти уравнения умножить на щ и сложить, то получим
интеграл живых сил

Т = 4/(й« + --- + »Р = ^ + А- (32)

Если, далее, (31) умножить на 2/щ и принять во внимание (32),
то будем иметь

*(/Ч)
dt



или

=2й £Н£±Л)
dt	*

или, так

как
tu = g,
d^'u^.-2u d(g + hH
dt	* duj

• dtei + hf.}
“i —ь—-

или

<Ч/Ч)	+

dt —£ dt

Следовательно, получаем

= 2 (?i+ */, + «,).	(33)

Отсюда в результате суммирования имеем

2	= ЦТ = 2 2 (g{ + hfi + ар = 2g + 2hf + 2 2 а. =

= 2fU + 2hf + 22«i = 2f(U + h) + 22аь
т. е. согласно (32)

2 = о.

Теперь, в соответствии с (33),

<4________

ygi + h)i + ai	f

Наконец, если эти уравнения умножить на ft и сложить получен-
ные уравнения, полагая i = 1, 2, . . . , к, то будем иметь

f;du.

_____1 г г_____ __

Vgi + hfi +

у 2 dt.

Возвратимся в этих уравнениях от щ к qi, и тогда теорема Лиу-
вилля будет доказана.

Известным примером применения этой теоремы является клас-
сическая задача о движении точки, притягиваемой двумя не-

подвижными центрами. Так как

в одной из следующих глав
этой проблеме будет уделено
особое внимание, то здесь мы
сделаем о ней лишь некото-
рые вводные замечания. Мы
ограничимся при этом рас-
смотрением движения в пло-
скости.

Итак, речь идет о движе-
нии тела М, которое притя-
гивается по закону Ньютона
двумя неподвижными мас-
сами К к К'. Эта задача

существует с давних пор и
впервые была проинтегрирована Эйлером [4]. Наиболее полно
она была рассмотрена Лежандром [5].

Начало координат поместим в середине отрезка КК' = 2с,
а ось X направим к точке К. Силовая функция запишется в виде

К . К‘

(34)

и уравнения движения будут

_ ди_ агу _ dU_
dt2 ~ дх ’ dt2 ~ ду •

(35)

Отсюда получаем интеграл живых сил

Т = 1(;? + уа) = ^ + Л= *+ £ + -£’	(36)

где D обозначает постоянную интегрирования.
Чтобы свести задачу к квадратурам, Эйлер ввел две перемен-
ные р п q, таким образом, что

tg Т = Р7,

tgT = ±,
° 2 р ’

(37)

где ф и м обозначают углы, которые гиг' образуют с положи-
тельным направлением оси X.

Оказывается более выгодным ввести другие переменные,
которые, насколько нам известно, впервые были использованы
Якоби. Это — так называемые эллиптические координаты*). Обоз-
начим эти координаты через X и (1, так что
4
х = у(г+ И,
Р- = |(г—г').

При постоянном значении % первому уравнению соответствует
эллипс, большая полуось которого равна А, а последнему урав-
нению при постоянном р соответствует гипербола с действитель-
ной полуосью, равной р. Фокусы этих кривых лежат в К и К’.
Каждому значению А соответствует определенный эллипс, каж-
дому значению р соответствует определенная гипербола.

Наименьшее значение г + г' равно 2с. Поэтому всегда А > с.
Наибольшее значение г — г' равно 2с, так что

| р | с А.	(38)

Известно, что касательная к гиперболе делит угол между ради-
усами-векторами г, г' на две равные части; то же самое имеет
место для нормали к эллипсу. Отсюда следует, что определенные
при помощи (37) эллипсы и гиперболы пересекаются под пря-
мыми углами. Поэтому эллиптические координаты Аир называют
ортогональными.

Так как А является большой полуосью эллипса, то для малой
полуоси имеем выражение ]^А2— с2, а для мнимой полуоси ги-
перболы будет /с2— р2, так что уравнения кривых будут сле-
дующими:
д2 I У2
А2 "Г А2 —с2
ж2___________________________У2

р2	с2 — р2

= 1,

(39)

= 1.

*) Эйлеровы переменные р и q также представляют собой эллитичсс-
кие координаты. (Прим, перев.)

4 к. Шарлье
Отсюда получаем

с2ж2 = Х2р2,

с’у2 = (X2 — с2) (с2 — ц2)
и путем логарифмического дифференцирования находим

dx   dK . dp
х	X ”т~ р ’

dy __ Kdi,______р dp

у X2 — с2 с2 — р2

ИЛИ

cdx = р dX + X dp,

сЛУ =
Следовательно,

d®2 + dp2 = ^E^-dx2 +	ф2,

и, значит,

т -1 (i> + i>) = I (V - !*•) [	•

(41)

Силовая функция выражается через эллиптические координаты
в виде

U =	W +К') К-(К- К')р].	(42)

Из (41) и (42) непосредственно видно, что Т и U имеют форму,
которая необходима для применения теоремы Лиувилля. Сле-
довательно, интегралы могут быть записаны непосредственно.

В формулах (23) теперь нужно написать

ф = X2 Р2, Аг = ^2_ с2 , Аг = сг_^г ,

Ф1 = х2,	фа = — р2,

фх = (К + К')Х, фа =-(£-£') Р-

Тогда будет

= (К + К') X + ЛХ2 + а,

Fa = — (К — К*) р — Лр2 — а,
и, наконец, получаем искомые уравнения

_____________dX_______________

/(X2-c2)[U2 + (K + K')X + a]

- .	d|X	= О,

V(n2-c2)[*P2 + (K-K')H + al
___________%2dX_______________
У(X2 — c2) [W + (K + *') b + al

(43)

_________EM*_____________

V(p2-e2) [Лр2 + (К-К')|И a]

= /2d/.

В следующей главе мы выполним интегрирование этих уравне-
ний. При этом покажем, что X и р могут быть представлены как
четырехпериодические функции двух аргументов.

Другой пример теоремы Лиувилля доставляет задача двух
тел на плоскости. В этом случае [формула (12)]:

+ U = ^ = ±-Kr.

В формуле (23) и т. д. нужно положить

<р = г2,	<р, = г2,	<р2 = О,

ф = Кг, = Кг, ф2 = О,

= Л2 = 1.

Формулы (26) и (27) дают в этом случае
dr	_ df)	г dr

г Y hr^ + Кг + a Y—a ’	У hr2 + Кг + a

§ 8. Канонические уравнения движения

В лагранжевых уравнениях

d ( дТ	\	дТ „	..	. о	...

л (.	)	d9i	~Ri	<г —1 ♦ 2>	• • •’А) С1)

вместо qi введем новые переменные р<, такие, что

А = V" (i = 1,2,..., к).	(2)

Новые зависимые переменные qu q2, . . . , qk, pt, р2, . . . , рк
называются каноническими переменными. Они в формальном
отношении определяются очень простой системой дифференциаль-
ных уравнений, которую можно найти следующим образом.

4*
Вместо (1) имеем

ИГ

дТ
d4i

d4i
dt

<7i-

(3)

+

Если из (2) q найдены как функции qx, q2, ..., pit p2, . . . , pk,
а также, возможно, и t, что всегда выполнимо, ибо определитель
коэффициентов при в правых частях (2) отличен от нуля, то
правые части (3) переходят в функции от р и q и, возможно, t.

Это исключение, кажущееся сложным, упрощается введе-
нием функции

К = Р191 + ?2?2 + • • • + РкЯк — Т.	(4)

При этом мы предполагаем, что в правой части этого выражения
51, q2, . . . , qk исключены при помощи уравнений (2) и выражены
через рх, ра, . . . , Рк, так что К будет функцией рь р2, ... , рк,
?i, Яг, .... Як (и О-

Из выражения для К теперь следует:

дК - а _1_ п	Д. -L n	дТ	дТ

dPi - i- Pi др.	1-	• • • -Г РК	др. dii	• др. • • • д-к	др.

и

дК _	д91	,	йТ	дГ	дТ

~	+ Pli	dgt Q-qi	dqi • • • Og*	dq. dqt	’

таким образом, согласно (2)

• _ ЭК дТ _ _ дК_
qi~ dpi ’ dqi ~	dq{ ’

и, следовательно, вместо (3) получаем
dPi_____________________________Ж , р '

л “ d4i

_ дК

dt dpi

(i = l, 2,..., к).

(5)

Для функции К можно вывести простое выражение. Именно,
если мы, как и в предыдущем параграфе, отделим друг от друга
члены в Т соответственно второго, первого и нулевого порядков
и положим

Т = Т2 + Л + То,
то будет

к = Т2- То.	(6)

Действительно, в соответствии с (4) имеем

К = ^Р^-Т = %(d^+a^\- Ti_Ti__To,

\	dq. )

где Т2 и Т\ — однородные функции qlt дг, . . . , js второго и
первого порядка соответственно. Тогда по теореме Эйлера имеем

что и доказывает справедливость уравнения (6).

Если существует силовая функция, то канонические диффе-
ренциальные уравнения принимают особенно простой вид. Поло-
жим

	Н = Т2 - т0 - и,		(7)
так что	<!Pi	дП  dt	dqi ’		
	rf<7j _ дН_ dt	др}  (г = 1,2,.. ., k).		(8)

При этом нужно помнить, что в Т2 нужно qlt q2, . . . , заменить
при помощи уравнений (2) через рх, р2, . . . , рц.

Выбор канонических координат можно выполнять бесконеч-
но многими способами. Действительно, можно заменять абсо-
лютные координаты совершенно произвольными независимыми
системами координат gj. Всегда можно при помощи уравнений
(2) найти соответствующие pi.

Пример 1. Определение прямоугольных абсолютных коор-
динат каноническими дифференциальными уравнениями.

Теперь в формулы (1) § 7 нужно подставить

=	Чп = хп,

(1п+1 ~ У1' • • • ’ ?2п = Уп'
Угп+i гг • ' ’ ’ 7зп Zn’
54 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ИЗ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ [ГЛ. I
и, следовательно,

2Т = 2Т\ = 3»Ч5?.

если положить тПп+i = тхит. д., m2n+1 = mx и т. д. Стало быть,
согласно (2)

дТ

и поэтому
2

/п.

dPi _ дН

dt dqi ’	(9)

d4j дН
dt dpi ’

где

н = т - и,

и где, по нашему предположению, существует силовая функция.
Пример 2. Движение тела отнесено к осям, которые вращаются
с постоянной скоростью вокруг начала координат.

Согласно (19) § 7 живая сила имеет следующий вид:

2Т = £ + п2 + 2п (Й - nt) + л« & + п2).

где масса положена равной единице.

Таким образом,

2Ta = t2 + n2, 2Т0 = «2(£2 + Па).

Теперь положим

51 = £> 5а =

тогда согласно (2) получаем уравнения

дТ i

Pi = -т- = 5 — гет) = 5i — nq2,
dqt

Ра = -г- = П + raS = 5а + «51.

которые, будучи разрешенными относительно 51 и 5а> дают

5ir= Pt + nqz,
({i = Рг — n4i'
Отсюда получаем

2Та = (Pi + п?3)а + (р2 — nqtf,

2Т\ = 2п (qtPt - qiP1) - 2п* (g« + ?|),

2Т0 = п2(?* + ф,

и, следовательно, если существует силовая функция U,
Н = т2-т0-и

или

Я = | [(А + »?з)2 + (Ра - п?1)а - »2 (9Х2 + ?2)] - U,	(10)

д ая '
dt = djt>j ’

_ дН
dt

(/ = 1,2). .

Если умножить уравнения (8) соответственно на — j, и pi
и все уравнения для i = 1, 2, . . . , к сложить, то получим урав-
нение
дН • .	. дН • . дН • ,	. дН • Л

^Г?1 + ‘ 	+ ал Р1 +’ * ’+ э^р*= °’

которое можно записать проще:

^---^ = 0	(11)

dt dt и’

дН	„

если под понимать производную от Н по t, явно входящему
в Н. Если Н не зависит явно от времени t, то

Я = С,	(12)

где С обозначает постоянную. Этот интеграл не обязательно
совпадает с интегралом живых сил. Последний записывается так:

Т = U + Clt
т. е.

тг + л + Та = и + С1г	(13)

в то время как из (12)

Г2 — То = U + С.

Если существуют оба эти интеграла, то из этих уравнений сле-
дует, что

Тх + 2Т0 =	- С.

(14)
Во втором из рассмотренных примеров при определенных усло-
виях существует интеграл живых сил, а также интеграл Н = С.
Следовательно, согласно (14)

91Рг — <hPi = const

также должен быть интегралом дифференциальных уравнений.

Этот интеграл совпадает с интегралом площадей.

Если Т содержит только члены второй степени относительно
9i> • • • > ik, то имеем

н = т - и.

В этом случае можно легко найти выражения для коэффициентов
при pipj в Т.

Пусть

2Г = За1Дд};

тогда согласно (2) получим уравнения

Pi = <*и<71 + • • • + ^шЧк,

Рп ~	Ч— ' + аккЦк,

которые, будучи разрешенными относительно q, дают

К

Д'/, = з
3=1

к
4=3^-/,
3=1	№

(15)

где

А = 1<*м1-

Но теперь, так как Т является однородной функцией второй
степени относительно qi,

dgi

и, значит, по (15)

К

* = .5

». 3=1	'>
§ 9. Дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби*)
Каноническая форма дифференциальных уравнений движения
дн

dt ~ dpf ’

dpi dt	ЙН	(1)

(i = 1, 2, . . . , к),
где

Н = Г2 - То - и,	(2)

непосредственно не приближает нас к решению проблемы. Рас-
смотрение этих уравнений привело к важному шагу вперед бла-
годаря теореме, установленной Раулем Гамильтоном и Якоби.

Пусть Н является в общем случае функцией от t, qlt q2, . . . ,
Як, Pi, Pz, ... , Pfc. Заменим в этой функции все величины pi
частными производными некоторой функции V, так что

дУ

(3)

и рассмотрим уравнение в частных производных первого порядка
второй степени:

дУ I и	Ж дУ

+	Я„Я2,...,Чк‘,

(4)

Предположим, что найден интегралу (t, qi, ... , q^, alt . . . , a*),
который содержит к независимых постоянных а1; а2, ...» а^.
Тогда общий интеграл системы (1) задается следующими форму-
лами:

№ О		дУ
йен — Р”	Pl =	Э<71 ’
дУ о		дУ
К	Рк =	д9к’

(5)

где 0.,, . . . , 0S обозначают новые произвольные постоянные.
Уравнения для pt иногда называют промежуточными интег-
ралами.

Замечание. Постоянные cq, а2, . . . , а* в V будут назы-
ваться независимыми постоянными, если гессиан от V относительно

*) Это уравнение называют также уравнением Гамильтона — Остроград-
ского. (Прим, перев.)
91> 9г..............9fc> О1. а2>

ан отличен от нуля:

d*V	d2V
dq^dcti	• ' dq^a*
d*y	d2V
^9k^i	

(6)

Если выполняется (6), то интеграл V обладает таким свойством,
что координаты plt р2, ... , рк, qlt g2, . . . , g* могут принимать
произвольные начальные значения. Действительно, если р[, р2,
• • . . Рь д°. д’. • • • > 9? — значения координат для t=t0, то по (5)
% = А («о, 9$.....................9?. «1....«»)],



,до, оч,...,а*)].

Якобианом этих уравнений относительно ах, а2, . . . , а& именно
и является определитель Е, и так как мы предположили, что он
отличен от нуля, то указанные выше уравнения можно разре-
шить относительно а1( а2, . . . , ак. Затем из уравнений (5) опре-
деляются соответствующие значения для 02, . . . , При
некоторых значениях р°, р2, . . . , рк, g®, g2, . . . , g? определи-
тель Е может обращаться в нуль, причем уравнения (5) представ-
ляют общий интеграл. Эти специальные значения являются осо-
быми точками соответствующих дифференциальных уравнений.

Если определенные при помощи (5) значения gL, g2, . . ., gk,
Pj, p2, . . . , ри формально удовлетворяют уравнениям (1), то
мы знаем, что они образуют общий интеграл. Из (5) посредством
дифференцирования получаем
dql ____________________________. d*V foii = о '

da-jdt daidqi dt '	"г" da.1dqK dt *

&V	dqx ,________, dW

da^dt "г" dakdqi dt ' ’ ’ ’ dakdqk dt ’

dpi d2V d2V dqi ._____________. d2V dqK

dt ~~ dqidt Эд* dt ' ' dqkdql dt ’

dpk d2V . d2V dqi .____________, dJ-V^ht

dt ~ dqkdt + dqkdqv dt "*	+ dt '

„	,	dq. dp.

Вместо того, чтобы решать эти уравнения относительно и
и проверять решение по (1), проще подставить уравнения (1) в
(7) и (8) и показать, что эти равенства выполняются тождественно.
dq.

Подставим теперь выражения (1) для в (7), тогда получим
al

dW dW дН .	dW дН _ 0

daidt	dctidgi dpi	daidqk dpk

(9)

dW , dW дН.__________ &w ая _ п

da^dt + йака91 dpi	dafc dqk дрк ~

Но эти равенства являются тождествами. Так как именно
F (t, qlt q2, ... , qit, ax, a2, . . . , а*) тождественно удовлетворяет
уравнению в частных производных (4), то результат, который
получится, если продифференцировать (4) только по одной из
величин д2, .. . , q* или аь а2, . . . , а^, также должен быть
тождественно равным нулю. Но если продифференцировать (4)
по at, то получим уравнение

aw ан aw	dH aw _n

dtdai + dV_ dqidai	dV_ 8qkda1 ~ U’

d9qi	9dqK

которое будет, очевидно, тождественно с (9), если принять во
внимание (5).

Если одновременно с этим продифференцировать (4) по qi,
получим

aw ан ан aw , ан aw п
ataqi + aqi + av_ dq* + • * • + ay_aqkaqi ~ u
daqk

и т. д., в то время как из (8) и (1)
aw ан ,_______________________________. aw ан

dt “ dqidt "Г	dqtdqkapk

ит. д., и эти уравнения эквивалентны, так как

dPi	dH

dt	dqi '

Таким образом, мы доказали, что (1), (7) и (8) совместимы друг
с другом, поэтому они должны быть также тождественными, так
как уравнения (7) можно разрешить относительно qx, . . . , qk,
ибо Е =£= 0 и, следовательно, (7) и (8) дают вполне определенные
значения для р{ и qt, а так как никакие другие функции не могут
удовлетворять этим уравнениям, то они должны совпадать с (1),
что и следовало доказать.
Если Н не зависит явно от времени, то уравнение в частных
производных (4) можно упростить. Подставим в уравнение (4)

	-^- + я = °

функцию

V = — ht + W (qu g2,..., qit, a2, ..., a*);	(10)

тогда будет	3V	1  -ir = -h'

и вместо (4) получим уравнение Гамильтона — Якоби в форме
„!	dW dW \	.	....

н(ч* ч*......ч*’	=	<и)

в которой оно обычно записывается.

Так как	*	W  dh	1 dh	r’
то согласно	(5) решение (11) записывается в следующем виде:  -Т=*+р’ aw . р ^2	Р2’	(12)  %-*’  dw dgi dW _  ^2 “ Pi'	(13)  dW dqK ~ P*-

Пример 1. Притяжение тела двумя неподвижными центрами.

Возьмем в качестве лагранжевых координат абсолютные ко-
ординаты х, у, z так, что

	91 = x, q2 = y, q3 = z;

тогда будет

2Г = <% + <% +4$
и поэтому

Р1 — 91» Рг — Рз —’ 9з-

Силовая функция имеет вид

U —	К' =

У(с-9х)2+9?	+	+

и, следовательно,

Я=|(Р2 + Р2 + Р2)-^.

Так как время явно в II не входит, то уравнение Гамиль-

тона—Якоби будет

2I.UJ + U) +UJ.I	+ Г(с+^+^+Л’

Нужно отыскать интеграл W этого уравнения, который, кроме h,
содержит две независимые произвольные постоянные.

Интегрирование этого уравнения, очевидно, вряд ли бы уда-
лось, если бы в качестве лагранжевых координат были сохранены
абсолютные координаты. Введем вместо них эллиптические
координаты (37) § 7, так что

= ь, Яг = н;

тогда

27’= х2 + у2 = (</2 — (jl) -Д- + ~^

Следовательно, по (2) § 8

Рг =

и отсюда

дТ _ ?1~ ?2
dqi 92 — с2

9ь

дТ _92 —92 •
а9а с2 —?2?г

271 = тЦ 1(9? - с2) Р2 + (с2 - 92) Р21 •

91 — 9а

(13*)

Силовая функция будет

и =	[(X + К') <7, - (Л' - К') ?2],

91“ 9г

(14)
и, таким образом,

Н = Т - U,
dqi_	ЗЯ	dpi_____ЭЯ

dt	dpi	’	dt	dqi ’

dq2 _dH	dp2__ dH

dt	&Рг	’	dt	dq2 ’

Уравнение Гамильтона — Якоби

- (к + К') fh + (К - A") <h\ = h

будет таким, что его можно непосредственно свести к квадратуре.

Пример 2. Проблема двух тел.

Дифференциальные уравнения движения в относительных
координатах имеют вид

<Рх_ЭЦ_ <Ру_ди_ d*z___dU_	,.

dt* ~ дх > dt* ~ dy ’ dt* ~ dz ’
где

U =	.	(16)

Vx* + y* + z*

Хотя здесь речь идет об относительных координатах, все же
приведенные выше рассуждения можно использовать непосред-
ственно, так как эти уравнения имеют именно ту самую форму,
которая необходима для применения лагранжевых и гамильто-
новых уравнений.

Таким образом, можно положить

T = |(x’ + ? + z’).	(17)

Выберем х, у, z в качестве лагранжевых координат; тогда сог-
ласно (2) § 8 х, у, z будут соответствующими импульсами,
и уравнение Гамильтона — Якоби запишется в виде

1 Г/Ж\а . /dW\* . /dWyq ц

2[Ы +Ы +WJ .+'*

Здесь прямоугольные координаты также непригодны для инте-
грирования. Наоборот, полярные координаты здесь лучше. Тогда
согласно (12) § 7 имеем выражение для Т:

2Т = г2 4- г2ф2 + r2^2 cos2 ф.

Итак, положим

= г, д2 = ф, д3 = 0;
тогда получим
дТ

Pi = ~^~ = r,
аг	’

ат	_•

р2=—= г2ф,
Оф

дТ

Рз = -Т7- = COS2 ф.

Дифференциальные уравнения для этих координат в канониче-
ской форме будут

(/ = 4.2,3).
dt dpi dt	dqi '	» > />

ГД©
/	г 2	2	\

Я = — ( p2 + — -I—— )____t

2 r2 ~ r2 cos2 ф /	r

Уравнение Гамильтона — Якоби для задачи двух тел примет вид

1 [/dW\2 , 1 (dW\3	1	zaVFyq	р.

2 [Д dr ) + г2 \ Зф ) + г2соз2ф \ 50 / J	r “

(18)

Интегрирование этого уравнения мы выполним в одной из сле-
дующих глав.

Пример 3. Пусть движение тела отнесено к подвижным осям,
и пусть U — функция координат тела относительно этих по-
движных осей. Тогда имеем

и = и (|, Т|)

и по (19) § 7

2Т = & + П2 + 2г5 (In - ft)) -f- v2 (|2 + г)2).

Если | и т] принять в качестве лагранжевых координат, то соответ-
ствующими pt будут

Pi = £ — Й. Рз = '•i +
и

Н = Тг-Т0-и = ±& + ^)-Уч1* + ^)-и(1, ц) =

= I [(А + й)2 + (Рз - »В)21 -1»2(S2 + п2) - и (|, п);

теперь согласно (4) искомое дифференциальное уравнение примет
ВИД

dV , 1 i dV . • \2 . 1 / dV -t\2	1	rr/Е \ n

Если V (£, f], dp aj является функцией двух независимых величин,
ax и <х2, которая удовлетворяет этому уравнению, тогда | и т,
определяются при помощи (5) и (6).

§10. Вариация постоянных в задачах механики

Пусть необходимо решить каноническую систему дифферен-
циальных уравнений

dqt дН dPi дН ..	. о .	.

dt dpi’ dt dq, '	’ ’	’ >	' '

Разобьем характеристическую функцию Н произвольным обра-
зом на две части, Но и Hlt так что

Н = Но + Н

(2)

и предположим, что
нений

dqi дно

dt ~~ dpi ’

найдено решение дифференциальных урав-

dPj	dff0

dt	dqi

{i — 1,2,..., га)

(3)

либо благодаря применению уравнения Гамильтона — Якоби

< + Яо = О,

(4)

либо каким-нибудь другим методом, так что решение (3) будет
следующим:

Qi — Qi (t, ax, (X2, . . . , an, Pi, Pi,
Pi = Pi (t, «1, a2, . . . , an, Pl, Pi, .

(5)

причем a1( a2, . . . , an, plt p2, . . . , pn являются независимыми
постоянными интегрирования. Затем можно поставить задачу
проинтегрировать уравнения (1), используя в качестве перемен-
ных ах, а2, . . . , ап, Рх, р2, . . . , Рп вместо qu qit ... , qn, pt,
p2, . . . , pn- Эта задача именуется проблемой вариации произ-
вольных постоянных.

Будучи сначала поставлена Эйлером, эта проблема в наиболее
общей постановке была развита Лагранжем. Один из наиболее
значительных результатов в небесной механике этого великого
ученого заключен в его исследованиях по теории возмущений.

Таким образом, задача заключается в составлении дифферен-
циальных уравнений для щ и pt. Теперь следует заметить, что
если через а, и 0г обозначены постоянные, возникшие при ин-
тегрировании дифференциального уравнения Гамильтона —
Якоби (4) по формулам (5) предыдущего параграфа, то получаем

_ dffl

dt Эац ’ dt #3i

(1 = 1,2,

«)•	(6)

На этом основании а, и называются каноническими постоян-
ными интегрирования.

Доказательство. Из (5) получаем

ЭЯ	• __ a<?i , у /	'Ч-	<4 £3г\

д1\ dt "г"	\ даг dt "I” <>3r di ) ’

dll

d4i

 _ °Pi , у ( aPi,lal- , аР, ll?A

1 dt + dt +	111 I ’

Если теперь при
в форме (5), то

= ЭЯо
ot dpi ’

интегрировании (3) получили бы qt и

dt

дНа

<l<li

(Z = l,2...п).

так что приведенные выше

уравнения запишутся в таком виде:

(1^ ,	<><ii d*n , d4i эр, ,	&Vi <i?n _ d/ft

dai dt '	' dan (It Г dpi dl	' <^n dt dPi'

______________“an d£id3i_______________ <>Pi 'z3„	Э//1
dat dl ' "i Эяп dl Эф] dl ' dp, dt dql

Положим здесь i — 1, 2, . . . , n; тогда получим 2n уравнений,
которые можно разрешить относительно а{ и р{, так как опреде-
литель из коэффициентов отличен от нуля, ибо мы предполага-
ли, что ар а2, . . . , ап суть независимые постоянные. Эти вы-
числения выполняются следующим образом.

Умножим первое из приведенных выше уравнений па
5<Zi

а последнее на — и сложим все полученные таким оора-
зом уравнения последовательно, полагая i = 1, 2, . . . , п. При
этом воспользуемся следующим обозначением:

м _ V (d<li dPi

(a, b) - 2j да db db да I '
1=1

что можно также записать в следующей форме:

5 К. Шарлье
ИЛИ

/	* I dqi\ д I ^i\l

(a, b) —	да ) да [Pi дЬ )]

Итак, мы получим

i=l	i=l	r

Ём)$+2ЖыН-
i=l	i=l	г

(9**)

(10)

(И)

Уравнение (11) получается, если (7) и (8) умножаются соответ-
^Pi	d9i

ственно на и — и результаты для всевозможных i скла-
дрг	%

дываются.

Выражения (а, Ь) впервые были введены Лагранжем и часто
называются скобками Лагранжа. Они обладают различными ин-
тересными свойствами, из которых здесь приведем только два,
а именно:

(Ь, а) = — (а, Ь),
(а, а) = 0,

(12)

которые непосредственно следуют из определения.

Формулы (10) и (И) имеют место для любой системы постоян-
ных интегрирования. Эти уравнения становятся особенно про-
стыми в том случае, если а, и 0, являются каноническими по-
стоянными. Если аь а2, . . . , ап, 0р 02, . . . , 0П появляются в ре-
зультате интегрирования уравнения (4), и, следовательно,
V (£, ctp ... , ап, 01, .... 0п) будет функцией от п независимых
постоянных <хх, а2, . . . , ап, которая удовлетворяет уравнению
(4), то

dV о	№	.....

даг ~	dqi ~ pi’

Но согласно (9**)
л	п л	п а

(аг, р«) -	2j Pi	2j Pi ap;»

1=1	1=1

тогда no (13)

, и i d v dV &9i д V dV d9i

{ r' W Й ддг дЛг dar .fJ 03, *
Между тем имеем

dV / dV \ , v dV dqi q , V w dqi

ter ~ \ 4 ) + ter ~	+ ter ’

oV	у dV 9qj

a3s	i=t	a3s ’

и, значит,

(«„w = _*{ 0

93s I— 1 ДЛЯ r = S.

Тем же самым путем получим

(14)

(Ur, Us) — (0r, ₽s) — 0.

(14*)

Из (14) и (14*) теперь следует:

dpr ^дН*
dt даг ’
dar______dHi

dt	d|Jr

(r = 1,2,..., n).

Тогда имеет место следующая важная теорема:
Пусть уравнения

£9£_дЯ0 dp*_______

dt др* ’ dt dq*

(г = 1, 2, . . . , п)

(15)

интегрируются при
мильтона — Якоби

помощи дифференциального уравнения Га-

-^ + Яо = °

<7{ (^> «11 • • • > «П, Р1, • • • 1 Рп),
p*(t, аь ...,ап, ₽х, ...,рп)

обозначают полученные таким образом решения, где <ц и 0t яв-
ляются каноническими постоянными интегрирования. Если
и 0; рассматривать как переменные величины, то в урав-
нениях

d<?i дН	dPi	дН	.. . 0	.

-j7-=-5-, ST- =   я—	(l = 1, 2, . . . . П)

dt др* ’ dt	"Я*	'

и
можно заменить qv q2, ... , qn, plt p2,.... Pn через a15 a2, . . . ,
Pj, • • • » Pn при помощи подстановки

<= qt (t, ab •.., On, pi...pn),

/>< = />,(*, ai..... Pi,.. •, pn);

тогда для новых переменных at и р{ получаются дифференци-
альные уравнения

rfPi д(Н-Н0)
dt	’

д (Н — Яр)

~dT = ~ dPi

(г = 1, 2,. .., п).

(16)

Канонические постоянные определяются уравнениями (13).
Из этой интересной теоремы видно бесспорное преимущество
канонической формы уравнений в механике перед другими фор-
мами уравнений.
ГЛАВА II

О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ МЕХАНИКИ.
УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ

§ 1. Интегрирование дифференциального уравнения
Гамильтона — Якоби разделением переменных.

Теорема Штеккеля

Если время не входит явно в характеристическую функцию
Н, то дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби согласно
формуле (11) § 9 гл. I принимает вид

и!	MV dw\ i

Здесь Н — функция второй степени относительно частных про-
изводных от W.

Теперь можно поставить задачу: когда возможно проинте-
грировать это уравнение путем разделения переменных, т. е.
когда можно проинтегрировать уравнение (1) таким образом,
чтобы W приняло следующую форму:

W = ^W<v>(9i),	(2)

i=i

где каждый член правой части (qi) зависит только от одной
из переменных.

Решение этой задачи в общем случае представляется связан-
ным с немалыми трудностями, по крайней мере, когда речь идет
о том, чтобы отыскать как необходимые, так и достаточные усло-
вия для решения. Тем не менее, П. Штеккелю удалось решить
эту проблему для достаточно общего случая. Это случай, когда
в (1), кроме переменных qv q2, ... , qn, входят только квадраты
dW dW	dW гр

--— , —— , . . ., -а— • Тогда можно наити для решения не только
agi	oq*	oqn

упомянутые условия, но также и полностью рассмотреть дви-
жение.

Итак, предположим, что (1) имеет следующую форму:

<"=4- s+«>=°-	<3>

Х=1	х
где U обозначает силовую функцию, а - постоянную. Рас-
смотрим задачу: как должны зависеть Лр Л2, . . . , Ап и U от
ffn . . . , ?п, чтобы полный интеграл (3) имел форму (2)?

Положим

и'х = -^;

<*9х

(3*)

тогда

ЕлЖ = 2(с/+ «,).

(3**)

Если W (<h, ф2, . . . , qn, dp а2, . . . , On) является полным инте-
гралом этого уравнения, то при подстановке этой функции в (3**)
это уравнение должно обращаться в тождество, которое будет
удовлетворяться при произвольных значениях постоянных инте-
грирования <Хр <х2, . . . , ап.

Это уравнение можно последовательно продифференцировать
по каждой из величин ап а2, . . . , а„ и таким образом получатся
п уравнений:

А

Ж?	dW2	. д™п	
а?	+  <70tj	</0(i		--- 2,
Ж2	dW2	Ж2	
Аг~д^+ '	' • •+л»	= 0,
dW2	dW2	Ж2	
+ ^2’&T + ‘ n	' ‘ + Ап~&Г п	= 0.

Так как, по сделанному несколько выше предположению, функция
РИ (?и	• • • » 9п» а1> «2» • • • » <»п) является полным интегралом

(1), то согласно § 9 предыдущей главы гессиан должен быть
отличен от нуля, т. е. имеем

Е =	дЦУ dqidbn	aw d?ndai  d^W  д<1пд<*п	Ч=о-	(5)
Если рассмотреть теперь определитель dW2	dW^  dcti ’ ‘ dai				
д	dW2	aw2 дап		(й)
то найдем, что

A = 2nirjK2...HnE	(7)

и так как Е не равно тождественно пулю, то это имеет место
также и для А.

Но если это так, то (4) можно разрешить относительно вели-
чин Аг, А2, . . . , Ап, и тогда согласно (9) § 1 гл. I получим

. _ 2	ЭА

1 ~ A	dw* ’

,7“ЭЙГ

A dWl

' ‘ J _2_’ ‘ ЭД
“ А

aai

В силу (3**) имеем также

(8)

<1 п-2 J£А

Д эру® ’
Э-т-2-
Эсц

(9)

Так как согласно (2) § 1 гл. I
" dW*

А= У,
dai

эд

ЭРГ® ’

э

Эах

то вместо (9) можно записать
п /

ЭРГ®
а,~ЭоЙ"

1 ЭД

А ЭРГ® '

(9*)

Формулы (8). и (9*) справедливы всегда. Мы не делали здесь
никаких других предположений относительно функции W, кроме
того, что это полный интеграл (1). Подчиним теперь W условию,
что переменные в W разделяются, так что W имеет форму (2).
Ниже мы установим следствие из формул (8) и (9*).

Во-первых, из (3*) следует, что Wx является функцией только
qK. Далее, так как мы нашли, что А не равно тождественно
нулю, то всегда имеются значения постоянных интегрирова-
ния ах, а2, . . . , ап, для которых А отлично от нуля. Пусть
aj, а2, . . . , а« являются такой системой значений. Для этих
, w2

значении а,, а,, ... , ап функции —перепдут в определенные
да

функции от qx. Положив

0П'2

фх* (<7Х) =	(х, v = 1, 2,.. .,п),

имеем

Ф>1(?1)-	• фш (</„)
Ф1п ('/>)•	• Фпп (qn)

(Ю)

Для указанных значений ап а2, . . . , ап выражения

ЭТУ2

llzx «! (х = 1, 2,..., и)

также перейдут в определенные функции от qx. Положим

2	alFX

тогда приходим к теореме Штеккеля:
Если уравнение Гамильтона — Якоби

11 = 2л‘(-5В’-2<(/ + а') = °
х—1

(11)

допускает разделение переменных, то необходимо имеется система
п~ функций

ФХ,(<7Х)	(х, v = l,2, ...,п),

и система п функций

'l’i('Zi), Фз(^з), • • -.Ф»^,.),

обладающих свойством, что коэффициенты Л], Л2, . . . , Ап,

и силовая уравнений	функция U могут быть представлены при помощи  <х=1’2	">• <12>  и4!. •	<13)  х=1

Здесь А определяется формулой (10).
[В выражениях (8) дляЛх содержится коэффициент 2. Его-
часто отбрасывают, при этом только нужно изменить соответ-
ствующим образом произвольные функции фх. ]

Эти условия необходимы. Хотя выбор функций <рх„ и фх
может быть произвольным, это непосредственно не очевидно.
Но па самом деле это так. По-видимому, наиболее прямой путь
состоял бы в доказательстве того, что уравнение (11), коэффи-
циенты которого заданы при помощи (12) и (13), всегда может
быть решено разделением переменных. Это как раз и показал
Штеккель.

Решение указанного уравнения имеет следующий вид:

= S I 2% (U + S 2«лФхл (<7х) *<1х-	(14)

Х=1 J !	Х=1

Отсюда следует:

, dW, 2	"

fe) =2M’z(<7x)+ 3 2а,.фх>.(<7х).

Подставим в (11) вместо А и U выражения (12) и (13) и примем
во внимание соотношение

1 дК

Д <?<РХ|

фх!

тогда получим

1 у М
д Zj а<рх,

Х=1

[(-^)2-2фх-2«1фх,] = 0.

(16)

Но (15) удовлетворяет этому уравнению. Подставим это выра-
сту
жение для ; тогда вместо (1b) получим

4-S {<ri2a^4 = 4-2 {2axf ФхХ^-1.

Х=1 I X1 >.--2	>	Л=2 I х=1	I

Но теперь согласно (2) § 1 гл. I

п

2 ФхХ

х=1

ад

*рх1

!Д для X = 1

,0 для X =/= Г

так что коэффициенты при ал тождественно равны нулю.

Следовательно, дифференциальное уравнение в частных
производных (11) будет удовлетворяться функцией (14). Это
уравнение содержит также необходимое число постоянных
. , ап, и они

ЧХ|, ^2’ •

из (15) следует, что

не зависят друг от друга. Действительно,

дП'х «

и, следовательно,

<*ао

= 2n|<Pxv| (х, v = 1, 2,. •., и).

Но, с другой стороны,

= 2WfZ2-..IV„

дИ7х

= 2пИ’,П'а...1Гп

дг№

Так как предполагалось, что ]<pXv | не равен тождественно

ЭНК I

тоне должен быть равным нулю также

и, таким

нулю,
обра-

зом, постоянные интегрирования взаимно независимы.

Дифференциальное уравнение в частных производных

соответствует системе канонических дифференциальных
нений

dqf   дН

dt	dpi *

dp, дН

~dt

(г = 1,2,..., п),

в которых, если имеет место разделение переменных,

х=1

урав-

(17)

(18)

а Ах и U задаются соотношениями (12) и (13). Согласно (12)
§ 9 гл. I решение (17) запишется следующим образом:

9W — f J_ R - V С____________Я>х1(?х)^х________ ,	(19)

daj — f “ 2j J /--------------------п----------

X=1 I/ 2Фх (?х) -Н 2 S алФхх <?х)

>	Х=1

dW п ”

— Рн — 2j J <	n

И	х=1 у 2Фх fax) T 2 2 ax«Pxx tax)

(p = 2, 3,..., n).

(19*)

Н = О

dgx3a,
Итак, уравнения (19) и (19*) дают общее решение канонических
дифференциальных уравнений (17) при сделанных нами предпо-
ложениях.

Если резюмировать результаты, то они выразятся следующим

образом:

Если даны п (п + 1)

Txv (?х)

функций каждой из переменных
(х, v = 1, 2, . . . , п)

И

Фх (?х)
обладающих свойством,
Д = |<рх„ |

(х = 1, 2, . . . , п),

что

(х, v = 1, 2, . . . , п)

не равен тождественно нулю, но в остальном выбранных произ-
вольно, если, далее, предположим, чтоп + 1 функций Л!, . . ., А „
и U определяются так, что

.	1 ЗД

Х“ Д *Рх1 ’

п хп । 1 ЭД
и “ S Т а<рх1

то решение канонических дифференциальных уравнений

^- = -1",	^- = —(г = 1,2..............п),

dt dpi * dt	dqi '	7

где

я=4-3^-'-'.

выражается уравнениями (19) и (19*).

Замечание. Если бы минорыбыли тождественно
равны нулю, то соответствующий коэффициент А обращался бы
в нуль. Но тогда из дифференциальных уравнений следует, что
соответствующее выражение для qx постоянно, так что порядок
системы дифференциальных уравнений можно будет понизить
на единицу. Мы предполагали, что это понижение порядка уже
выполнено, так что ни один из коэффициентов Лх не обращается
в нуль.

Движение, определенное уравнениями (19) и (19*), можно
изучить полностью с помощью этих уравнений. Но прежде чем
переходить к обсуждению случая с произвольным числом пере-
менных, рассмотрим простейший пример, а именно случай, когда
имеется единственная переменная q.
§ 2. Движения с одной степенью свободы. Либрация
и предельное движение

О движении, которое определяется каноническими диффе-
ренциальными уравнениями

rf?i _ дН
dt др^ ’
dPi дН
~dt~ = — дЯг

(г = 1, 2,

говорят, свободы	что оно обладает п степенями свободы. Если степень только одна, то имеем  dq _ дН  dt	др ’  dp _ 3ZZ  dt	dq’
где	H = ±A(q)p*-U(q).	(1*)

Соответствующее уравнение Гамильтона — Якоби выражается
здесь просто:

Л(?)(^)2=2(СА + а),
и, таким образом, имеем

= <2>

Затем отсюда получим

dg------= t + р.	(3)

дл J V'2.A(g)(Uя)	Н	V ’

Теперь мы хотим исследовать движение, определяемое этим урав-
нением.

Для некоторого сокращения выражении введем понятие «ме-
ханическая величина». Под механической величиной будем пони-
мать переменную, которая вместе со своей первой производной
действительна, непрерывна и конечна для каждого конечного
значения времени.

Примером такого рода являются прямоугольные координаты
в задаче трех тел в случае, когда в конечный момент времени
не происходит столкновения. В качестве механических величин
можно рассматривать также оскулирующие эллиптические эле-
менты и т. д.

При этом вместо времени можно ввести любую другую не-
зависимую переменную с такими свойствами, что она: 1) не-
прерывно растет вместе со временем и 2) становится бесконечной
вместе со временем.

Пусть теперь механическая величина q определяется диффе-
ренциальным уравнением в форме (3). Положим

F (д) = 2 (U + а)Л (?);

тогда это уравнение выразится так:

Ш<4>

Далее нужно показать, что q никогда не может переходить
через такое значение q = а, для которого функция F (q) обра-
щается в нуль.

Пусть F (а) — 0, и пусть кратность этого корня равна w,
где т обозначает целое положительное число. Тогда можно на-
писать

F (Q) = (9 — «)тФ (9),	(4*)

где (а) отлично от нуля. Предположим теперь, что <p (q) можно
разложить в сходящийся степенной ряд в окрестности х = а,
где, следовательно, по предположению, постоянный член отличен
от нуля. Из (4) затем получим

(q — а)~ 2 [с0 + с, (q — а) + с2 (q — а)2 + • • • ] dq = ± dt. (5)

При интегрировании мы должны здесь различать два случая,
смотря по тому, будет ли т четным или нечетным числом.

Для нечетного т интеграл (5) выразится следующим образом:

_т_, <-

i+{sb + j^(7—> +

+	- «)*+ • • •} =	+ т)> (6)

а для четного т

- Cm _х In (q — а) +

+ 2(7-я)-^+1 {-^=1 +	а) + ^б('?~а)2 + "-} =

= Т (' + *), (7)
где т обозначает постоянную интегрирования и из скобок вынесен
член с коэффициентом ст

Т-1

Допустим теперь, что в этом уравнении q приближается к зна-
чению q = а именно таким образом, что левые части (6) и (7)
остаются действительными; тогда одновременно абсолютные ве-
личины левых частей вместе с t неограниченно возрастают всякий
раз, как т > 2. Обратно, мы можем утверждать, что если т >2,
то не найдется ни одного конечного значения t', для которого q
принимает значение а. Далее, так как q действительно и непре-
рывно, то q от действительных значений, больших а, может
переходить к действительным значениям, меньшим а, только
само принимая значение q = а, тогда, стало быть, q при m > а
не может никогда пройти через корень q = а.

Если, наконец, т = 1, то согласно (6) в окрестности q = а
между q и t имеем следующее соотношение:

2 (9 - а)'/а{со + -J-(? - а) +	(7 - а)2 + ... } = ±	Т). (8>

Далее отсюда получим

q _ а = A, (t + т)2 + Д2 (t + т)4 + . . .	(8*)

Для t = —т имеем q = а; это значение q достигается здесь при
конечном значении t. Но здесь через точку q = а также нельзя
перейти. Действительно, из (8*) следует, что для положитель-
ного должно быть q^> а, для отрицательного Аг всегда а.
В обоих случаях точку q = а переходить нельзя. Таким образом,
мы приходим к результату:

Если q является механической величиной, которая опреде-
ляется дифференциальным уравнением

Ш=*<’).	<>

то q ни при каком конечном значении t не может принять зна-
чение q — а, для которого

Р (?) = 0.	(б)

Если q = а — простой корень (б), то это значение достигается
при конечном значении t, и производная от q при q = а меняет
знак. Если кратность корня больше единицы, то значение q = а
не достигается ни при каком конечном значении t.

Пусть теперь а и Ь (Ь > а) — два соседних корня уравнения (б)
кратности тип, так что

(^ = (9-a)m(b-q)n^(q)>	(9)
где т|з (д) ни для каких значений q, лежащих между а и Ь, не
обращается в нуль. Если в начале движения q находится между
а и Ь, то, значит, по приведенной выше теореме q должно всегда
находиться между границами а и Ъ.

Для исследования движения, определяемого при помощи (9),
мы введем вспомогательную величину w, которую определим
так, чтобы

Ш2 =y(<l-a)m(b-q)n,	(10)

и, далее,

dw \2 ___	(д)

~dt~)

(Н)

Так как уравнение (9) заменяется двумя другими, каждому
из которых соответствуют свои особые постоянные интегриро-
вания, то одну из этих постоянных можно выбирать по произ-
волу. Мы установим, что для уравнения (И) постоянная инте-
грирования будет определяться так, чтобы w получало нулевое
значение, когда t равно нулю. Далее из этого же уравнения сле-
дует, что w должно всегда иметь действительные значения. Но
можно распорядиться не только значением w в начале движения,
но также допустимо в начале движения дать w произвольный
знак, так как необходимо только, чтобы имело место уравнение
для квадратов производных:

( <<я \2 (	\2 _ I (,ч V

\ dw ) \ dt /	\ dt / '

Дадим далее dw в начале движения тот же знак, как и dt',
тогда знаки обеих этих величин всегда будут согласованы, так
как w никогда не может стать нулем (или бесконечностью). Зна-
чит, для всех значений t имеем

где Р обозначает еще одну неопределенную положительную
постоянную.

Из этого уравнения между w и t мы можем вывести одно важ-
ное свойство. Когда q в своем изменении определено так, что
всегда b q а, и сообразно сделанным предположениям (q)
в этой области непрерывно и никогда не становится нулем или
бесконечностью, то ip (q) необходимо должно иметь для указан-
ных значений q конечную верхнюю границу и отличную от нуля
положительную нижнюю границу. То же самое относится также к


так что всегда можно найти два положительных числа
и Ьг, такие, что для всех рассматриваемых значений q

и отсюда следует, что

Lj<Zw<^Lj.	(12)

После того как мы выбрали две определенные границы, внутри
которых должны быть заключены значения е, мы можем перейти
к исследованию уравнения (10), дающего зависимость между q и
w. Здесь мы обнаруживаем большую пользу, которую достав-
ляет нам введение вспомогательной величины w. Действительно,
теперь все рассмотрение движения сводится к уравнению (10),
для чего можно обойтись элементарными методами. Предполо-
жив, что решением этого уравнения будет

9 = /

для представления всего движения мы здесь только потребуем,
чтобы w могло пробегать все значения от —оо до 4-ос. Более
того, еслп мы отождествляем w с точностью до постоянного мно-
жителя с t. то мы можем получить приближенное представление
движения. Это приближение такого же рода, как и то, которое
получается в обыкновенной задаче о маятнике, если ветре leio-
щийся там эллиптический синус заменить обычным синусом.

Предположим сначала, что

т — п ~ 1;

такой случай был впервые рассмотрен Вейерштра'*сом в его
ценном сочинении [6].

Имеем теперь

^ = р/(д-а) (6-г/К	(13)

Решение этого уравнения выражается так:

q = a cos2 4- Ъ sin2 .	(14)

л»	с-

Значит, в этом случае q является периодической функцией w
о, периодом 2л/р. Покажем, что q является также периодической
и по t. Постоянной Р мы можем распорядиться, например, так,
чтобы величина периода относительное совпадала с периодом по t.
Согласно (11) имеем

W

V Р _____I

J /f^)
Если w увеличить на 2л/р, то q останется неизменным. Обозначим
через 2Т соответствующее приращение t', тогда имеем

. ад

w+t

2у> _ С _____________ftrfw__________

J Г !	3й2	„ 310

w у Ф (acos2-^- -г bsnr^Tj-J

Но это выражение не зависит от w, так как ф периодично по w

с периодом , следовательно, 2Т будет постоянным,
образом, q является периодической по t с периодом

и, таким

или

2л

2Т	(15)

0 у ф !« cos2 -у- + b sin2 —)

(16)

Это уравнение согласно (14) можно также записать
образом:

следующим

(16*)

>1ч

V(q — a) (b~q)^(q)

Если величины периодов по w и по t должны быть равными, то
имеем

или

Р = Т-.	(17)

Если корни а и Ъ уравнения

F (д) = О

простые, тогда q будет периодической функцией времени. Эта
функция является также четной функцией от t. Аналитическое
представление этой функции может быть легко найдено. По тео-
реме Фурье имеем

7 = 4-Bo + B1cos-^- + Bacos^+....	(18)

л	1

6 к. Шарлье
где

т

TBn = 2^ qcos ^-dt.

О

(18*)

Отсюда интегрированием по частям получаем
ъ

ппВп — —2^ sin ’^-dq,	(18**)

а

где t должно быть выражено через q.

Вычисление (18**) упрощается, если t и q выразить через
вспомогательную величину w. Согласно (И) и (17) имеем
dt = №

-| / . / . nw . , . . nw \
у i|> (acos2ть sin2 -^г1

Г 1	, nw . 2nw . I ,	.. п.

= 1-2" со + Cl cos -jr + с2 cos -Тр- 4- ... I dw;	(19)

здесь

т

О

nnw

3 cos -yr- dw

(19*)

Согласно (16), в частности,
4^0= 1-	(19**)

Затем интегрированием (19) получаем
.	Т . nw , Т . 2яю .	/Qn.

* = «> + —CiSin у-+-^-Casm-y-+ . ..	(z0)

При помощи этого уравнения t выражается через ш, и коэффи-
циенты в этом ряде можно всегда вычислить из (19*), например,
при помощи так называемых механических квадратур.

С другой стороны, из (13) и (14)

— sin^-tfw.

(21)

Подставим теперь в (18*) выражения (20) и (21); тогда получим

т

пТВп = — (6 — а) $ sin sin dw,
о

(22)
ЛИ
т	т

2пТН ед	я

cos -у (nt + м>) dir — cos -у- (nt — w) die, (22*)
о	0

где теперь вместо t подставляется выражение (20). Численное
определение Вп по этой формуле можно проводить различным
образом: при помощи механических квадратур, разложением
по степеням сх, с2, . . . , при помощи бесселевых функций и т. д.

Если кратность корней уравнения

Р (q) = о

больше единицы, то изучение движения легко может быть вы-
полнено при помощи уравнения

Й-р(7-«г2(/>-9)'‘/2-

Пусть, во-первых, кратность одного из корней, например,
п = 1, а другого —	Если, далее, dq положительно при

t = 0, то q возрастает и достигает верхней границы q = b.
Здесь dq : dw меняет знак, q начинает убывать и неограниченно
приближается к значению q = а вместе с ростом w (а также
и t), не достигая этого значения за конечный промежуток
времени.

Если, во-вторых, как тп, так и п больше или равны 2, тогда
во все время движения dq : dw никогда не может изменить знак,
и q постепенно приближается к одной из границ а или Ь (к по-
следней границе, если при t = 0, dq : dw положительно, к пер-
вой, если dq : dw отрицательно), не достигая ее в конечное время.

Чтобы характеризовать движения, встречающиеся при реше-
нии дифференциального уравнения (4), мы будем использовать
следующие названия:

1.	Будем говорить, что механическая величина обладает ли-
брацией, если она периодически колеблется между двумя по-
стоянными границами. Эти границы будем называть границами
либрации.

2.	Будем говорить, что механическая величина обладает
предельным движением, если она постепенно приближается к
определенному граничному значению, не достигая его в конеч-
ный момент времени. Это несобственное граничное значение будем
называть предельной границей.

Из предыдущих исследований непосредственно следует, что
в данном случае могут быть только два этих типа. Либрация
имеет место, если оба корня, а и Ь, простые, в противном случае
всегда будет предельное движение.
В случае либрации общее аналитическое выражение для q
дается формулами (18) и (22*). Соответствующее выражение для
случая предельного движения, насколько нам известно, до сих
нор не давалось. Движения, названные здесь предельными, такого
же рода, как и исследованные Пуанкаре асимптотические дви-
жения. Но аналитический способ построения последних не сов-
падает с рассмотренным здесь способом, справедливым для пре-
дельных движений, и поэтому мы сохраним название «предель-
ное движение».

В истории математики исследования уравнения

® = <»

(где F (q) — полином относительно q степени s) имели своеоб-
разное развитие. В начале прошлого столетия было доказа-
но, что если з -= 4, то q является эллиптической функцией t,
имеющей два периода, из которых по крайней мере один
должен быть мнимым. Если з 4, тогда q, рассматриваемая
как функция комплексной переменной t, должна иметь больше
двух периодов. Но Якоби в своем знаменитом сочинении [7]
доказал, что если функция имеет три (или больше) периодов,
то либо эти периоды могут быть представлены в виде комбинации
двух периодов, либо функция должна обладать таким свойством,
что она остается неизменной при бесконечно малом изменении
аргумента. Отсюда Якоби сделал вывод, что F (q) не может быть
аналитической функцией q, если степень з больше четырех. Оши-
бочный вывод, если его позволительно так назвать, основывается
на том, что Якоби предполагал, что q изменяется неограниченно
на всей комплексной плоскости. Но если ограничиться только
действительными значениями, как это сделал Вейерштрасс в ци-
тированном выше сочинении, то, как мы видели, q можно
рассматривать как вполне определенную функцию действитель-
ной переменной t. Этим путем можно идти даже дальше, выделяя
вместо двух корней уравнения

F (<?) = О

четыре (пусть ими являются ах, а2, а3, а4) и вводя вспомогатель-
ную величину w, определяемую следующим уравнением:

(й)’= Р2 “ а^‘ ~ а^' <4 ~	~ а^’

что может быть полезным, когда в механической задаче в начале
движения q при известных условиях может находиться между
различными парами корней и aj.
Пример. Математический маятник.

Если вертикальную координату маятника, отсчитываемую
вниз от начала координат, обозначить через z, длину маятника
через I, а ускорение силы тяжести через g, то будем иметь

----------------= dt,
/2g(Z*-z«)(z-z0)

где z0 обозначает постоянную интегрирования.

Из приведенных выше рассуждений непосредственно следует,
что если

1)	—I < z0 <С Ц то имеет место либрация в границах между
z0 и 1‘, если

2)	z0 <С — I, то имеет место либрация в границах — I и + Z,
т. е. маятник движется всегда в одном и том же направлении;
если

3)	z0 — —I, то происходит предельное движение, и маятник
при возрастании времени приближается сколь угодно близко
к самой верхней точке, не достигая ее за конечный промежуток
времени; если

4)	z0 = +1, то маятник остается неподвижным в наиболее
низкой точке.

Для периода движения 2Т согласно (16*) в случаях 1) и 2)
получаются значения

i

271_2 С

“ J /2g(Za-z2)(z-z0)

zo
и

I

__ 2 С

J /2g(Z«—z8)(z —г.) •

§ 3. Условно-периодические движения

Теперь переходим к общему случаю, когда движение обла-
дает п степенями свободы. Итак, пусть имеется каноническая
система дифференциальных уравнений

dqi дН
dt dpi ’
dpi
dt “ dqi

(/ = 1,2,..., «),

(1)

и предположим, что соответствующее уравнение в частных
производных Гамильтона — Якоби допускает интегрирование
разделением переменных, так что согласно (19) и (19*) § 1
qv q2, . . qn даются следующими уравнениями:

У *Фи (91) d<h

(gt) 4- 2a1q>il (g{) + 2апф{п (gt)

- t + Ри

(2)

У г		_______= р} (/=2,...t и)

г 21|><(7<) + 2а1Фп(?i) + ...+ 2antpjn(9i) ’

(2*)

Изменения переменных qx, q2, . . qn должны исследоваться
в предположении, что они, в соответствии с определениями, дан-
ными в предыдущем параграфе, представляют собой механиче-
ские величины.

При п = 2 эти уравнения были впервые исследованы Штауде
[8], который ввел также чрезвычайно полезное понятие «условно-
периодические движения», речь о которых пойдет ниже. Для
случая п > 2 исследования Штауде продолжил Штеккель [9],
который установил весьма важные свойства этих движений.

Положим

Ф{ (?.) = 2ф. (<?.) + 2а,фи (7.) + ... +2ап<р.п(7{),	(3*)

тогда уравнения (2) и (2*) после их дифференцирования дают:

Ф11 (gi) drjt	I	1 '
V ®1 (gi)		
Фи (gi) rfgi	+ •.	Фп2(?п)^п _ n
K®i(gi)		/Фп (gn)
Ф1п^1) rfgi		। ^nn		Q

(3)

В начале движения переменные qlt q2, . . ., qn принимают
значения q^, q2, . . ., 7°. Теперь рассмотрим систему уравнений:

(<?,)=-О (г —1,2.........и).

(4)

Пусть щ и bi — два значения qit для которых выполняется
(4), и при этом <ц < 7i° <С bi- Эти корни должны быть такими,
что между ними нет других корней уравнения Ф, = 0. Пусть
кратность корней т, и nt. Положим теперь

_2»

(q. — di) 2(bi—qi) 2dg. — ^idwi (i = 1,2, . ... n).	(5)
Кроме того, введем обозначения

Ф< (?|) = (?4 —	— qf^i (qj (i = 1, 2,. . ., n) (6)

и

(7)

тогда будем иметь вместо (3) уравнения

Л1 (gi) М!<>1 + • • • + Рщ (qn) $ndwn = dt,

Р12 (?1) Pl^l + • • • 4- Ртл (qn) Pn^n = 0,	(g

Рт (?1) Pl^l + • • • + ^пп(?n)M“,n = 0. J

Из § 1 известно, что определитель

д = |фу1 (г,/= 1,2,. ...п)

отличен от нуля. То же самое имеет место и для определителя

E=|Fi;|	(г, / = 1, 2,..., п).	(9)

Согласно (7) эти два определителя связаны соотношением:

Е = ..А... .	(10)

Если продифференцируем это уравнение по <р{}- и будем рассмат-
ривать при этом ф1, ф2......ф,( как постоянные, то получим

1 ag = 1 ад

е а<р|,- д Дф1 j •

Но согласно (7)
ag _	1 эе

3<Pij Y(Qi) дРц *
и, следовательно,

1 дЕ 1 аД . г~.—z—г	/л 1

g а7^ — да^	С11)

В частности, для / = 1
1 дЕ 1 аД	—г

g ag?!— д афП	t11)

Но в § 1 мы доказалп, что

— =/=0,
и, следовательно, определители

дЕ

(г = 1,2,..., п)

тоже не могут быть тождественно равными нулю.

Предположим, что этот определитель ни для одного значения
qi между а, и (i = 1, 2, . . ., п) не становится равным нулю или
бесконечности.

Считая, что сказанное выше имеет место и для определителя
Е и его миноров первого порядка, разрешим систему (8) относи-
тельно dwx, dw2, . . ., dwn, что возможно, так как определитель
Е отличен от нуля.

Из (9) § 1 гл. I имеем
dt _ Pi dwi________________	__Pn	/4 n,

Ё дЕ	дЕ '

0Fu	dFnl

Если выбрать соответствующим образом знаки коэффициен-
тов р2, . . ., рп, то из (12) следует, что если t растет от — ос
до + оо, принимая вещественные значения, то u?1( .......wn

также всегда должны возрастать. Но отсюда согласно (5) и ис-
следованиям предыдущего параграфа следует, что qi должно
всегда оставаться в границах между а< и

Функции

1 дЕ

Е дЕц

должны теперь всегда иметь верхнюю и нижнюю границы, а из
(12) следует, наконец, что Wi вместе с t должны неограниченно
возрастать.

Движения, определяемые уравнениями (2) и (2*), аналогичны,
таким образом, движениям, исследованным в предыдущем пара-
графе, когда qlt q2, . . ., qn должны совершать либо либрацион-
ные, либо предельные движения. Не исключено, что одни из
величин qi имеют предельные движения, тогда как другие — либ-
рационные.

Если

mt = Tii = 1 (г = 1,2,..., n),
то для всех переменных движение будет либрационным; этот
случай представляет особенный интерес, так что на нем мы оста-
новимся подробнее.

Уравнение (5) перепишется в впде

—(Z-l,2,...,n),	(13)

—	—?i)


и дает

_	9	। 1	*9

q, = сц cos8 -V- + bt sin2 Чг2

1	Lt	Lt

(14)

Подставим эти значения qi в (8). Если мы используем обоз-
начение

$ Рц Ю	(15)

то после интегрирования (8) получим систему

Gj • (wj) + ... -f- Gnl (wn) = t -|- A
G-g(w,) 4- ... 4- Gng (wn) = Ag,

(16)

Gln (^i) + • • • + Gnn (wn) = An,

где At, Ag, . . ., An — постоянные интегрирования.

Если увеличить в этих уравнениях на 2л и для простоты
предположить, что все

в = ± 1 (t « 1,2,.. ri),	(17)

то получим

Gn 4~ 2л) 4" G^i (wz) 4- • • • 4- Gnl (wn) = t 4- -4, 4“ 2w i,

Gig(wt 4~ 2л)4- Gggfwg) 4- ... 4- Gni (wn) = Ag 4- 2<П|»,

(18)

Gm (wi 4" 2л) 4" Ggn (wg) 4- ••• 4" Gnn (wn) = 4n 4~ 2to,B,
где

ич+гя

= G1}(wt 4- 2л) — Си (wt) — Рц (<n) dwt.

W1

Здесь q, есть периодическая функция от wlt так что постоян-
ное, и мы имеем

Ь>
®ii == \ г---------

01

<PP'(gl) dqi

или, иначе,

2л	л

20ц- = P\i (?i) dwj. = 2 § Рц (<?,)dwi.
о	о

Подобные формулы получаются также, если Wg, w3 и т. д. уве-
личиваются па 2л.

Итак, мы пришли к результату, что если wi (i = 1, 2, . . ., n)
увеличатся на 2л, то постоянные интегрирования Аи й8, . . ., Ап
увеличиваются на постоянные величины соц, Wi2, • • -.онп- Можно
также утверждать обратное: если рассматривать wJt w2, . . .,wn
как I функции постоянных интегрирования Alt Л2,   Ап,
то эти функции обладают следующим свойством: при увели-
чении А у А 2, . . Ап соответственно на ©ц, ®i2, • • -.(oin, wL,
wit . . it’i-n ичц> . . .,wn остаются неизменными, a w\ увеличит-
ся на 2л.

Величины wlt w2, • • -,wn на самом деле являются однознач-
ными функциями постоянных интегрирования 4Х, 42, . . ., Ап.
Для того чтобы доказать это, продифференцируем уравнения
(16), рассматривая 4lt А2, . . ., Ап как переменные. Имея в виду
(15), получим

dAt — FnPiC?W| -f-.. . + Fn$ndwn,
dA2 = Fi2Pitfu’i 4-... 4- Fn2Pnrfwn,

(18*)

dAn — FinPidwj 4" • • • 4~ РппРпйи’п

откуда, разрешив относительно dw lt dw.2,..., dwn, будем иметь

7’7 дЯ , .	.	dE , .

57b	+ •' • h dAn>

(18**)

Edwn = A^-dAl + ... + dAn

Так как якобиан E ни для одного значения внутри допусти-
мой области значений не обращается в нуль, то, очевидно, про-
извольной системе значений dAt, dА 2, . . ., dAn соответствует
единственная определенная система значений дифференциалов
dWi, dw2, • • •> dwn- Итак, если постоянные интегрирования А1г
А2, . . ., Ап пробегают произвольный непрерывный ряд конечных
значений, то wlt w2, • • -,wn принимают также вполне опреде-
ленный, непрерывный ряд значений.

Пусть qlt q2, . . qn являются однозначными функциями
от wlt u>2, . . ., wn, так же как и от [4Х, А2, .... Ап. Положим
тепе рь

тогда, учитывая сказанное выше, функции / обладают следующими
§ 3]

свойствами:

fi(t + /11 + 2о)ц, А,2(012, ..-4» 4 2(0!,,)--
- - /} Г -11» Л2, • • •» Л „),

/j + Ai + 2(021» Лг + 2(о2г, .А» + 2(о2п) =

—/4 (£ 4“ Лх, Аг,.. Лп),

/.(Z +-А + 2(0,ц, -4г 4~ 2(оп2, • • •» -1ц + 2(опп) =

+ Л3........... Л„)

(г = 1,2,..., га).

(19)

Значит, эти функции являются (по Вейерштрассу) га-периоди-
ческими функциями п переменных t + Лп Л2, . . ., Лп- Периоды
(Oij даются следующими формулами:

(Оу

"	^1

= ^•(<71)^1 = ^
О	а.

________фу (?i)^i

V(Яг — <Ч)	- 9i) Ti (gi)

(20)

Вместо t -j- Ль Лj, . . ., Лп введем новые переменные ut, и2, ...
. . ип, определяемые следующим образом:

<°11W1 4- <1)21^2 + • fJiaWi -f- (O22U2 Я- •	• • 4~ Ищи,, — л (t 4- Л1), • • 4- ®zl2Un = лЛг,
WtnUl 4" ®2nM2 4"	• • 4“ ^nn^n — RAnt

(21)

где мы предполагаем, что определитель

й = | (оу |	(j, / = 1, 2,..., п)	(22)

отличен от нуля.

Из (21) непосредственно следует, что если u, (i = 1, 2, . . ., га)
увеличиваются на 2л, то t + Лг, Лг, . . ., Ап возрастают соот-
ветственно на 2(о 11, 2(о 12» * * *» 2(о in*

Можно утверждать обратное: если система уравнений (21)
линейна и определитель й отличен от нуля, то когда t + Лх, Л2>...
. . ., Лп возрастают соответственно на 2оin 2соi2, • • •» 2(oin, одно-
временно увеличивается на 2л, в то время как ut,..., ui_1( ui+1>...
. . ., un остаются неизменными.

Следовательно, из (19) вытекает, что (i = 1, 2.....п) суть

периодические функции от ui(j = 1, 2, . . ., га) с периодом 2л.

Обозначим через gi те функции, в которые переходят Д, если
в них вместо переменных Л2,..., Лп подставить Ui, ип;
тогда будем иметь:

g.fUi + 2л, иг,..ип) = ?.(«!, Ut..иа),

gi (Wl, «2 + 2л,..., lln) = g. (Ui, Ui,.... ип),

g.(UL, иг,..., Un + 2л) = g.(ub U2, . . Un)

(i = 1, 2,..., n),

или, вообще,

g{(ut + 2/И1Л, Uz + 2и2л, ..., un + 2тпл) = g.(ux, u2, • • •, «»)

(i = 1,2,. ..,n), (23)

где mlt m2, . . ., mn обозначают произвольные положительные или
отрицательные целые числа.

Функции этого вида можно представить обобщенным рядом
Фурье с п переменными

gt - S .......пг,и‘",и2+-""ипИ (*ь V2,.. ., vn = - оо.+ ОС),

(24)

где коэффициенты даются формулой

....в=$. • g{(ui, иг, ..., «n)e4v',‘*+''‘u’+”+,'’’u’’),dHldM2... dun.
о о

(24*)

Значение этого интеграла всегда можно вычислить и для него
действительны, mutatis mutandis, те же самые замечания, которые
сделаны выше (§ 2) для одной переменной. Итак, в этом случае
(mi = щ — 1) координаты q, (i = 1, 2, . . ., ri) являются п-перио-
дическими функциями п переменных ult u2, . . ., un. Может также
случиться, что они станут периодическими функциями времени.
Но в общем случае это не так.

Согласно (21) ut, u2, . . ., ип являются линейными функция-
ми времени. Решая эти уравнения, придем к системе

+ ... + -£^nAn,

Qua = л (< + + S яЛ2 + • • •+ лЛп'

(25)
Если теперь t возрастает на 2Т, то одновременно увеличиваются

1 а<> 9
tit на —2л7 ,
fi ctan

1 да 9 т
и2 па —2л/,
1 ft d<u21

1 dft 9
u„ на —2л/.
ft dwnl

Если движение должно быть периодическим по времени с
периодом 2Т, то упомянутые выше добавки к ux, и2, ип должны
быть кратны 2л, а также должны иметь место следующие соот-
ношения:

1 д<1   mi
ft <?(0ц	7’ ’

1 dft __ m2

ft Лоя 7' ’

_L_£r_= "k1

£2 дшп1 T ’

в которых mlt m2, . . mn обозначают целые числа.

Теперь умножим эти уравнения соответственно на <о хх, и 2Х, . . .
. • ., со ш, затем точно также на <о Х2, © 22, . . ., о )12 и т. д., и скла-
дывая полученные таким образом уравнения, придем к следую-
щей системе:

Wi©n"|-	1 ,

тих<вХ2 -|- m2(022 -j- ...-i-mn(0n2 — О,

(26)

w?x(oxn -|- »«2®2n 4-. • •4"й,п(йпп -- 0.

Чтобы движение стало периодическим ио времени, должны
иметь место приведенные выше соотношения между периодами
<Oij. Период (по t) задается первой из этих формул.

В связи с тем, что координаты могут в отдельных случаях
становиться периодическими функциями, для этих движений
Штауде ввел термин «условно-периодические движения».

Так как определитель Q не обращается в нуль, то каждому
значению 2Т согласно (26) соответствует единственная система
значений величин mlt тг, . . ., тп. Если определенные таким
образом величины тх, т2, . . ., Шп окажутся целыми числами, то
движение будет периодическим с периодом 2Т.
Относительно условно-периодических движений Штеккель
доказал интересную и важную теорему, которую мы теперь рас-
смотрим.

Заметим сначала, что бесконечно малому приращению чисел
А2, . . ., Ап, согласно (18), соответствуют бесконечно малые
приращения wx, w2, . . .,wn, а поэтому и бесконечно малые при-
ращения qu q2, . . ., qn.

Имеем теперь

4i = fi(t + Alt A2,..., A„) (i = 1,2,.. .,n),
и эти функции, согласно (19), обладают такими свойствами, что
/. [ t + Ai + S 2mati),.i, А2 + S 2ma<0a2, • • •, Ап + 2 2mawan) =
4	«=1	a=l	a=l	'

^/i(H Л,Л2,...,Л„).	(27)

Теперь можно доказать [10], что всегда можно найти беско-
нечное множество систем целых чисел т2, . . ., тп, для кото-
рых каждое из п — 1 выражений

S 2тяй>а,- (/ = 2, 3,..., п)
a=L

будет меньше любой произвольной величины е, как бы мала она
ни была. Итак, число ма выбирается таким образом, что

п

S 2та<оа,- = 8j (j = 2, 3,..., и),
а=1

где | е3- К е. Тогда согласно (27) имеем

1 [t -^1 + S 2/Ив©а1,	+ е2, • • •, -1» + е<») —• /(^ + 4Х, А%,..., Л„).

Положим

t = h — 3 2та(0а1 = 11 — Р,
a=l

где через обозначено произвольное значение времени; тогда
отсюда будем иметь

/ (*1 + 41, А2 + е2, . . ., Ап + е„) = /(«!— Р + Ai, А2, . ... 4„),
но мы показали, что вследствие непрерывности функций / при
бесконечно малых изменениях постоянных интегрирования
Ai, А2, . . ., Ап претерпевают также бесконечно малые изменения.
Следовательно,

/ (^i + -4 ц Л2 е2, . . Ап + еп)

отличается от / (t0 + Д2, . . 4„) на бесконечно малую ве-
личину и поэтому пз последнего уравнения следует также, что
функции

/ Gi + -41> А2, . . ., Дп)
и

j(tx-P + AltA2, . . .,Ап)

сколь угодно мало отличаются одна от другой.

С другой стороны, это означает, что координаты qlt q2, . . ., qn
для времени tx и для времени — Р как угодно мало отличаются
одна от другой.

Следовательно, если для временикоординаты принимают зна-
чения gil)» • • •> (1п\ то всегда имеются другие значения t
и даже бесконечно много других значений t, для которых траек-
тория как угодно близко подходит к точке q^, q2\ . . . q^,
так как числа могут выбираться бесконечно многими спо-
собами.

Можно продолжить мысль Штеккеля и доказать, что всегда
найдутся такие значения времени, для которых траектория под-
ходит как угодно близко к любой точке, которая лежит, вообще
говоря, внутри области допустимых значений для координат
qlt q2, . . ., qn. Эта область В в соответствии со сказанным выше
определяется так, что

(с = 1, 2.п).

Пусть теперь ql, q2, . . ., g’ есть какая-либо точка области В,
относящаяся, как следует из уравнения (16), к определенной
системе значений t + Дп А2, . . ., Лп, которые мы обозначим
через Вх, Bi,- - , Вп-

Функция

Qi = k (вп В2, . . ., Bn)

отнюдь не обязательно представляет значение qi. Но мы хотим
доказать, что в выражении для qi

(Ji = fi (t + Alt A2, . . ., 4n)

всегда можно найти такое значение t, для которого Qi (i =
= 1,2......и) как угодно мало отличаются от qt.

В самом деле, справедливо соотношение (27). Теперь из
теоремы Якоби — Кронекера, о которой говорилось выше, следу-
ет, что всегда, пока периоды со^ независимы друг от друга, можно
определять числа п<х, т.,....тп так, что

п

Л + 2	(г = 2, 3, ..., п)

а=1

как угодно мало отличаются от Bi- Положим затем

п

I —	— -11	2 2wx(oaX,

а=1

и таким образом теорема доказана.

Эта теорема в теоретико-множественном смысле выражает то,
что траектории повсюду плотно заполняют всю область В.

Предыдущие рассуждения имеют исключения, если между
периодами о);,- имеется зависимость вида (26). Движение в этом
случае, как уже доказано, является периодическим.

Важным вопросом является распределение периодических
и непериодических траекторий. Устойчивость этих движений
зависит в известной мере от вида этого распределения. В следую-
щем параграфе мы будем иметь случай вернуться к этому вопросу.

В изложенных выше рассуждениях предполагалось, что функ-
ции Ф1 (qi) в формуле (4) имеют два действительных корня, сц
и Ьг, между которыми заключена переменная qt в начале движе-
ния и должна также оставаться в дальнейшем. Может случиться,
что это не совсем так, и что одна или несколько из этих функций
ни для одного из действительных значений q-t не обращаются в
нуль. Однако рассмотрение этого случая аналогично предыду-
щему. Прежде всего тогда следует, что соответствующее q моно-
тонно увеличивается (или монотонно уменьшается) с ростом вре-
мени. Переменная q тогда обладает такими же свойствами, как
раньше соответствующая вспомогательная величина w. Особый
интерес представляет случай, когда коэффициент при dq явля-
ется периодическим, т. е., если указанная система имеет вид

Г <Pn(?i)rfgi ,______, |*

J /Ф1(91) "Г	J И®п(?п)

q>ln(gl)rfgi	С Tan (?n) d1n _ A

(28)

и коэффициенты, например, при dqlt ни для одного значения дх
не равны 0 или оо и, кроме того, являются периодическими
с периодом 2л, то следует, что как только дх возрастет
на 2л, 4Х, Аг, . . ., Ап возрастут на постоянные величины
®н> ш12>  • -.win- В этом случае qt обладает такими же свойствами,
как и в уравнениях (16).

Если

Фн (?1)

(г = 1, 2,..., п)

постоянная величина, то период — произвольный.

В механике часто бывает, что взаимное положение движущихся
тел остается неизменным, если одна или несколько координат д{
(так называемые угловые координаты) увеличиваются на вели-
чину, кратную 2л. Тогда вместо этих qi вводят вспомогательные
величины

Xi — sin qi
и полностью повторяют предыдущие рассуждения.

Пример. Конический маятник.

Выберем ось Z вертикальной и обозначим: 0 — угол, ко-
торый составляет проекция маятника на плоскость XY с про-
извольной неподвижной линией; z — координату по оси Z; I —
длину маятника; g — ускорение силы тяжести и, наконец, через
с, с' — постоянные интегрирования. Тогда переменные z и 0
даются следующими формулами:

Idz

(Р — z2) /(2gz + с') (Р — z2) — с2

и по виду этих дифференциальных уравнений мы можем непос-
редственно заключить, что налицо случай условно-периодического
движения.

В случае с = 0 имеем обычную плоскую задачу о движении
маятника. Исключив этот случай, легко найдем, что уравнение

(2gz + с') (Z2 — z2) — с2 = О

имеет три действительных корня, один из которых отрицателен
и численно больше I, а два других численно меньше I.

Итак, координата z должна всегда оставаться между двумя
последними корнями. Из этого следует, что I2 — z2 никогда не
может обращаться в нуль. Так как корни простые, то можно
непосредственно применять формулы (13) и т. д.

Как только z принимает вновь то же самое значение и одно-
временно 0 возрастает на величину, кратную 2л, маятник возвра-
щается в прежнее положение.

Итак, если положим

у = cos 0,	(30)

1 К. Шарлье
то движение будет периодическим, если координаты у и z восста-
навливают свои первоначальные значения. Дифференциальные
уравнения в этих координатах после интегрирования дают

С_________=t +А

J V(2gz + с') (Р - z2) - *	*’

(____________cldz_____________[_ £ dy _

J (/а — z2) V(2gz + с') (Z2 - z2) - с2	“ 2‘

Положим

h (z) = (2gz + с') (Z2 — z2) — с2

(31)

и обозначим через а и 0 (а > 0) корни уравнения h (z) = О,
которые численно меньше I, и через у — третий корень; тогда
можно принять в уравнениях (6) п следующих, что

= О,

F21 = .____	. ,

/2g (z + 7)

F12 = 1,	F22	------с/ .	.

p-z2) /2g(z + -r)

Периоды a ij будут
3
®ii = о, to2l t ,
3
I* cl dz
(012 — — Л, (O22 = \----------------Г *

J(Z2-z2)/A(z)’

и определитель Q принимает значение

— ЛСОэд,

отличное от нуля.

Переменные ut и и2 в уравнениях (21) определятся из следую-
щих соотношений:

л (Z -f- А 2) = © 2iU2,

так что

Л.А2 JtUj (0 22и2,

“х = ^(^ + Л)-Л,

“2 = ^^ + л,)’
Координаты у и z при помощи уравнений (24) и (24*) могут
быть представлены как двоякоперподпческие функции обеих
переменных Uj и и2; следует заметить, что это представле-
ние обладает значительными преимуществами перед обычным
решением этой задачи с применением эллиптических функций.
Движение становится, в соответствии с (26), чисто периоди-
ческим, если тгп — ?/?2о)22 — 0, п период становится равным
27’ = 2/п2(о Ji-

В этих формулах содержится полная теория сферического маят-
ника.
ГЛАВА III

ЗАДАЧА ДВУХ НЕПОДВИЖНЫХ ЦЕНТРОВ

§ 1. Общие соображения

Мы ограничимся случаем, когда движение происходит в плос-
кости. Общин (пространственный) случай может быть рассмотрен
совершенно аналогичным образом *).

Если использовать эллиптические координаты к ир, (§ 7 гл. I),
то получим

."-г jf, Г(К I Л') >. - (Л - К') и|.	(2)

Если мы хотим записать дифференциальные уравнения it
канонической форме, то можно положить

91 = К 9г -= И.

и тогда согласно § 8 гл. I получим

так что

2Т = ——2 l(9i - с2) Р[ + (с2 - 71) Р21.

и = -у-Ц + *') 91 - {К - К') 7d .

91- 9а

Канонические уравнения примут вид

dqi _	dH	dpi 			
dt	dpi ’	dt	dqi ’	
dq±		dH	dpi _	dH	v3)
				
'dt	dpt ’	dt	dq-t ’	

•) Интегрирование регуляризированных дифференциальных уравнений
для сфероидальных координат в пространственном случае приводится в статье
переводчика [11]. В обобщенной постановке задача двух неподвижных центров
рассмотрена Е. И. Аксеновым, Е. А. Гребсниковым и
В. Г. Деминым (см. Астрон. журя. 40, 2, 1963). (Прим, перев.)
где

и -т - и.

(4)

Дифференциальные уравнения имеют форму, которая необходима
для применения теоремы Штеккеля. Действительно, если поло-
жить 1(10) § 1 гл. II]

фи =	о  91	ф21 =	
	<7® — с2 ’		?2 —С2’
	1		1
Ф12 —	<1[ — с2 ’ К А"	Т22  *фз =	>< <5 to to * to to I I I o.  to
Ф1 — так что	3	2  vj — с2		

<Я ~ ч1

то получим приводившуюся выше форму.

Введем снова обозначения X и ц вместо н </2; тогда согласно
(19) и (19*) § 1 гл. II мы придем к следующим уравнениям:

____________X8rfX___________।

/2(Х^<^[(Х~КТХ~~ЛХЧГ?] -I

 С___________и8Ф____________= t _

“Г J И 2 (Р3 - с3) [(К - И’) и -!- Лр3 т а]
____________</х	,
|<2 (V — с2) [(К - К')	Та] ”

+ \’_____ ___________________

1 .) /2 (р3 - с3) [(К - К') р + Лр3 + а]

соответствующим (43) § 7 гл. I, а промеясуточные интегралы выра-
зятся следующим образом:

(X2 _ |Х2) = /2 (X2 - с2) [(Х+7О х + MS + а],

_________________________(5*)

(X2 - ц2)= - /2 (ц2 - с2) К А’ - А") р + /щ2 + а] .

Характеристическая функция Н не зависит от t, и поэтому здесь
имеется интеграл

Н = h

или

4 "•* - f)kT + гТ]= Тр[<к + А'>А—(*—A- JHJ + л.
(6)
Из этого интеграла находим, что величины X и и, в общем случае			
будут двоякопериодическими		функциями от £4-01 и 02. Для	
периодов со ij согласно  Ь,  ®и =  «1 bi  (012 = \  <Х1	(20) § 3 гл. II получим следу!  Ь,	1  X2dX	_ Г  V«7xj ’ а “ J vW) ’  ь, </Х	(* rfu  ГЯ(Х)	J /5(р)  Й2		ощие значения:  (7)

где для сокращения записи положили

R (К) = 2 (%2 — с2) [(/< + К') X + АХ2 + а], |
5(н) =2(ц2-с2)[(Х-Л")[х + Лнг + а], J

(8)

a а}, и а2, Ь2 обозначают соответственно корпи уравнении
R (X) = 0 и S (р) = 0.

Находим, что определители Д и Q (§ 3 гл. II) отличны от нуля,
кроме случая X = ц, в котором имеет место столкновение.

Введем согласно (21) § 3 гл. II вспомогательные величины
Uy и и2; тогда будем иметь

л (t 4~ Pi) = (О nUj 4~ G) 21^2»

Лр2 = О) i2W-j 4“ (О 22и2,
или

Qui = л<о22 (t 4~ Pi) — л<о21Р2,

Qu2 = — л<012 (t 4- Pi) 4“ ло)цР2,

(9)

и X и (1 будут двоякопериодическими функциями иг и и2 с перио-
дом 2л, которые можно разложить в ряд Фурье по кратным иу,
и «2 *).

Движение будет периодическим во времени, если co2i и w22
соизмеримы, так что

WllWi2 4" W-8®22 = О,	(10)

где ту и т2 обозначай т целые числа, и для периода 2Т получим
значение

2Т — 2ту(йуу + 2/п2со21.	(10*)

Если корни уравнений R (X) = 0 или S (р) — 0 не будут про-
стыми, то имеет место предельное движение.

•) Выполненное Шарлье исследованпе условно-периодического характера
движения в задаче двух неподвижных центров оказывается весьма важным
для исследования устойчивости в смысле Арнольда [12]. (Прим, перев.)
Кроме этих случаев, при различных значениях Лиа могут
встретиться только два случая, а именно: 1) X или р получают
постоянные значения или 2) движение невозможно.

Из определения величин X и р:

2Х = г + г', 2р = г — г',
следует, что всегда должны выполняться следующие неравенства:
Х>с>р>— с.	(11)

X представляет собой также большую полуось эллипса, фокусы кото-
рого находятся в двух неподвижных центрах и который проходит
через движущуюся точку; р обозначает аналогичную величину
для гиперболы; 2с представляет собой расстояние между фокусами.
Если X = с, то это означает, что фокусы совпадают с концами
большой осп эллипса, т. е. при X = с эллипс вырождается в отре-
зок прямой К'К. Следовательно, при X = с движущаяся точка,
которую мы для краткости будем называть планетой, всегда на-
ходится на линии К'К.

Если, наоборот, р = с, то гипербола вырождается в ту часть
оси X, которая лежит левее массы К'. Для р = —с получим со-
ответствующую часть оси абсцисс правее массы К. При р = + с
планета находится на одной пз этих частей оси абсцисс.

Если р = 0, то гипербола совпадает с осью Y.

Если в начальный момент координаты планеты Хо п р0, то сог-
ласно (5*) должно быть

Л(Хо) = (К + К')Хо + ЛХ; + а>О, |

Л/(рй) = (К-К')Ро + Лр? + а<О, J	(12)

откуда следует, что Хо и р0 должны удовлетворять также неравен-
ствам (И). Соотношения (11) и (12) должны выполняться не толь-
ко в начальный момент, но и всегда для всех соответствующих
задаче пар значений (X, р).

Теперь перейдем к более детальному рассмотрению различных
состояний движения. Представляется целесообразным различать
следующие случаи *):

1)	h отрицательно,

2)	h положительно,

3)	h = 0,

4)	предельные движения;

5)	чисто периодические движения.

В первом и во втором случаях мы предполагаем, что корни
уравнений R (X) = 0 и S (X) = 0 являются простыми.

*) При анализе качественных форм движения Шарлье допустил ряд не-
точностей, которые были позднее устранены в работах Тальквиста [13] и
Бадаляна [14] — [15]. (Прим, перев.)
§ 2.	Постоянная интеграла живых сил h
отрицательна. Случаи либрации

Уравнение R (X) = 0 всегда имеет два корня X = + с. Так
как мы предполагаем здесь, что постоянная h отрицательна, то
положим

h = - hlt	(1)

где ht обозначает положительную постоянную. Положим теперь
ЦК) = (К + К')к — АД2 + а;	(2)

тогда согласно (12) § 1 всегда должно быть

L (X) > 0.	(3)

Если бы X неограниченно возрастало, то, очевидно, при достаточ-
но больших значениях X значение L (X) стало бы отрицательным,
что в силу (3) невозможно. Отсюда следует, что при отрицатель-
ных значениях h величина X должна всегда иметь конечную верх-
нюю границу. В этом случае планета не может произвольно да-
леко отстоять от К и К’.

Пусть теперь гх и г2 — корни уравнения L (X) = 0; тогда
имеем

L (X) = Ах (гх — X) (X — г2),	(4)

где при действительных значениях гх, г2 предполагается, что
ri > г2.	(5)

Можно различать четыре случая:

гх и г2 комплексные,

гх и г2 действительные, но меньшие с,
гх действительно и больше с,
гх и г2 действительные и большие с.
Но первые два случая соответствуют одинаковому состоянию
движения и могут быть рассмотрены одновременно. В обоих слу-
чаях знак L (X) не изменяется, ибо не существует никаких дру-
гих действительных корней, больших с. В обоих случаях L (X)
должно оставаться отрицательным, так как L (+ оо) отрица-
тельно.

Следовательно, мы будем различать следующие три случая:
а) гх и г2 либо комплексные, либо действительные, но мень-
шие с,

Ь)	гх > с > г2,

с)	Г1 > г2 >
Если ПОЛОЖИТЬ

Л/(р,) = (Л' —Х')н —Л1Н2 + «.	(6)

и обозначить корни уравнения

М(ц) = 0	(7)

через Pi и р2, где для действительных корней рх р2, так что
M(p) = Mpi — р)(р — Ра),

то всегда будем иметь

Л/(р)<0.	(8)

Здесь мы должны исследовать четыре случая:

а)	рх и р2 комплексные,

Р) рх и р2 действительные и по абсолютной величине боль-
шие с,

Т) Pi>c>p2> — с,

б)	c>Pi>P2> — с.

В у) включен также случай
с Pi — с р2,
который будет подробно разобран ниже.

Комбинируя каждый из случаев а), Ь) и с) с четырьмя послед-
ними, получим здесь 12 различных случаев, которые последова-
тельно рассмотрим.

Случай 1а. Корни ту и га либо комплексные, либо дей-
ствительные и меньшие с.

Согласно (5*) § 1 имеем

(X® - И2)	= у 2(Х2 —ca)ZL(X).	(9)

Так как в этом случае L (X) постоянно остается отрицательным и,
кроме того, X не может стать меньше, чем с, то этому уравнению
можно удовлетворить только тогда, когда положим

X = с.	(10)

Планета всегда должна оставаться на линии К'К. Движение будет
прямолинейным. В зависимости от значений р мы получим теперь:

Случай laa. Pj и р2 комплексные ♦).

При всех действительных значениях р функция М (р) не изме-
няет знака и, следовательно, отрицательна, так как она оказы-
вается отрицательной при достаточно больших значениях р.

•) В реальных движениях этот случай не встречается. (Прим, перев.)
Имеем

(Х2-р2)^ = /2(р2-с2)Л/(р) .

(Н)

и так как М (р) отрицательно, то р должно было бы колебаться
периодически между — с и 4-с. Но так как при ц = ± с и X = с
планета сталкивается с одной из масс К или К’, то дифферен-
циальные уравнения теряют силу.

Значит, случай 1аа характеризуется тем, что в начальный
момент планета находится на линии К'К, а ее начальная скорость
направлена вдоль оси X. Планета движется в этом направлении
до тех пор, пока не произойдет соударения с К' или К.

Случай lap. pj и р3 действительны и по абсолютной вели-
чине больше с.

Функция М (р) во время движения знака не меняет. Если
М (р) отрицательна, то имеем такое же движение, как и в слу-
чае 1аа. Наоборот, если М (р) положительно, то из (11) следует,
что р необходимо должно быть тождественно равным -}-с или
—с. Тогда планета имеет те же самые координаты, как и одна
из масс, и движение невозможно.

Случай lay. Pi > с > р2 > — с*).

Имеем

(р2 - с2) М (р) = (р2 - с2) h, (р, - р) (р - р2).	(12)

Чтобы это выражение оставалось положительным, очевидно,
должно быть

— с < И < Р2-

Если в начальный момент р положительно, то р возрастает до зна-
чения р = р2, затем возвращается и, наконец, сталкивается с
массой К.

Случай 1аб. с >• рх > р2 — с.

Из (12) следует, что имеем либо

— с < р < р2,
либо

Pi < И < с-

Планета сталкивается либо с К, либо с К'.

В качестве пятой возможности можно было бы рассмотреть
случай, когда

С Pi С Ро»

который, очевидно, подобен случаю lay, только планета здесь
должна столкнуться с массой К' **).

*) Этот случай отпадает. (Прим, перев.)

♦•) Этот случай также не реален. (Прим, перев.)
Мы обратимся теперь к следующему случаю.

С л у ч а й lb. Г] с г2.

Из

(V - р2)	(X - г2)

(13)

следует, что

ri > X, > с-

Еслп dk в начале движения положительно, то X возрастает,
достигает значения X = i\, затем начинает уменьшаться и умень-
шается непрерывно до к — с, после чего вновь возрастает.
Значит, для X имеет место случай либрации. Говоря языком гео-
метрии, планета всегда должна находиться внутри эллипса,
который имеет фокусами К' и К, и большая полуось которого
равна гР Более точное описание движения зависит от значения
корней рх и р.2.

Случай Iba. pL и р2 комплексные.

Функция М (р) не меняет знака и остается отрицательной.
Тогда из (11) следует, что р колеблется в границах между — с
и с. Следовательно, имеет место либрация как для X, так и для р,
и мы можем применить здесь результаты об условно-периодиче-
ских движениях. Траектория является либо замкнутой линией,
имеющей примерно форму лемнискаты, либо она повсюду плотно
заполняет все пространство, ограниченное эллипсом X = гх.

Для элементарных периодов имеем здесь значения
г,	с

(	X2<ZX	С	р2</р

С0ц = \	,	0)21 = \ у. ,

J/fl(X)’	J/-S(P)

Г1	с

<7Х	С	</р

(012 = \ —F=- >	®22 = \ г—  •

Величины X и р можно разложить в сходящиеся ряды Фурье
по кратным обоих аргументов их и и.„ определенных при помощи
(9) § 1.

Случай Ibfi. pi и р2 действительны и по абсолютной вели-
чине больше с.

Функция М (р) не меняет знака во время движения. Если
М(р) отрицательно, то этот случай совпадает с Iba. Если жеМ(р)
положительно, то из (11) следует, что

р = -I- с.

Движение происходит на той части осп X, которая лежит за
массой К или К', если исходить из начала координат. В конечном
итоге планета столкнется с одной из масс.
С л у ч а п Iby. Pi j> с р2 2> — с-
Как и в случае lay, находим, что

— с < р. < р2.

Следовательно, имеет место либрация как по р, так и по X. Траек-
тория находится внутри области, расположенной вокруг
К, которая ограничена эллипсом К = гх и гиперболой р. = р2.
Движение является условно-периодическим. Для элементарных
периодов со u и о 12 получаются те же самые выражения, как и в
случае Iby, а значения остальных будут

0)2t

₽!

<о22=Л’-д=.

Vs (И)

Значит, здесь тело будет спутником массы К. Интересно заметить,
что траектория спутника повсюду плотно заполняет область воз-
можности движения, и поэтому нет никакой нижней границы
для расстояния спутника от массы К. Но верхняя граница суще-
ствует.

К этому случаю относится также тот, в котором

с > Pi > — с > р2.

Тело движется подобно спутнику вокруг массы К' *).

Случай I Ьб. с > pi р2 > — с.

Тело становится спутником, который движется либо вокруг
К’ либо вокруг К. Рассмотрение аналогично предыдущему.

Случай 1Ь6. с > рх > р2 ^> — с.

Тело будет спутником, который обращается либо вокруг К',
либо вокруг К. Исследование подобно тому, которое имеем в
предыдущем случае.

С л у ч а й Ic. и г2 больше с.

Из (13) следует, что либо 1 = с, и этот случай можно опустить,
либо

г2<

Г1-

Движение происходит между двумя эллипсами, большие полуоси
которых равны г2 и т\. Величина % обладает либрационным дви-
жением в границах между гх и г2. Более точное исследование дви-
жения зависит от значения корней с и —с.

Случай 1са. рх и р2 комплексные.

Как и в случае Iba, р колеблется в границах —с и +с. Пла-
нета движется по траектории, которая охватывает обе массы, К'

♦) Этот случай невозможен. (Прим, перев.)
§ 2]

и К, и является либо замкнутой, либо повсюду плотно заполняет
пространство, ограниченное обоими эллипсами гг и г2.

Случай 1ср. рх и р2 действительны и по абсолютной ве-
личине больше с.

По предположению, г2 > с н

L (rj = L (г2) = 0.

Так как L (-|- оо) отрицательно, то должно быть

L (с) < 0,
т. е.

(К + К') с - hyc- -Ь а < 0.

Но

М (с) — (К — К') с — /гр:2 + а < L (с).

Значит, М (о) также должно быть отрицательным. Но согласно
предположению корни уравнения М (р) = 0 оба действительны и
численно больше с. Поэтому для движения, в котором всегда име-
ет место условие | р| с, М (р) должно быть отрицательным,
и в соответствии с этим заключаем, что снова приходим к
случаю 1са.

Случай Icy. pi с р2 > —с.

Этот случай невозможен. Действительно, как и в предыдущем
случае, находим, что

М (с) <Цс)< 0.

И, далее,

М (—с)<^М (с).

Значит, функция М (р) обладает свойством, что при р — -}-с
и р = — с она отрицательна. Но отсюда следует, что уравнение
М (р) = 0

между значениями р = — с и р = с имеет либо два корня, либо
ни одного, что противоречит предположению.

Не может также существовать двух корней между этими гра-
ницами. Обозначим через х какую-нибудь действительную и
положительную величину, которая меньше с; тогда, по предпо-
ложению, L (я) отрицательна. Но теперь

М (х) — L (х) = —2К'х

и, таким образом, М (х) также должно быть отрицательным
для всех положительных х, меньших с. С другой стороны,

М (- х) = - (К - К') х -	+ а = М (х) - 2 (К - К') х,
п так как здесь предполагается, что К К', то М (— х) также
должно быть отрицательным.

Итак, если т\ > г2 > с, то между —с п + с не может быть
никаких корней.

Случай 1сб, в котором сх> Pi р2 с, также не может
иметь места.

§ 3- Постоянная h положительна

Теперь перейдем ко второму важному случаю, именно к слу-
чаю, когда постоянная h положительна, и произведем такое же
разбиение в зависимости от корней.

Так как теперь

L (X) = (К + К') X + ЛХ2 + а,	(1)

и так как, сообразно с природой движения, L (X) всегда должно
быть при Х>с положительным (или нулем), то отсюда следует,
что X может принимать произвольно большие значения. Необ-
ходимо даже, чтобы X вместе со временем неограниченно возра-
стало. Так как

(Х2-р2) (^)2 = 2 (X2 - с2) L (X) = 2 (X2 - с2) h (X - n) (X - г2), (2)
пли

(X2 - ц2) (^)2 = 2/1 (X + с) (X - с) (X - п) (X - г2),

то находим, что X должно быть либо больше всех трех корней

с, гг, г2,

либо меньше всех трех, если пока не рассматривать кратные
корни. Но X никогда не может быть меньше с, и, значит, X всегда
больше, чем наибольший из этих трех корней, или в крайнем слу-
чае равно этому корню. Если в начальный момент dX отрицатель-
но, то X убывает и достигает этого наибольшего корня. Затем
dX меняет знак, и X монотонно возрастает до бесконечности.
Такого типа будут все движения, для которых h положи-
тельно. Здесь мы должны только определить минимальное
значение X. На движение, кроме того, влияют значения кор-
ней pi п р2.

Случай Па. т\ и г2 либо комплексные, либо действитель-
ные и меньшие с.

Здесь нижняя граница X равна с. В зависимости от корней р,
и р2, получаем:

Случай Паа. рх и р2 комплексные.
§ 31

Постоянная к положительна

111

М (р) постоянно положительно, так как положительно М (ос).
Тогда должно быть

р = ± с.

Планета движется вдоль оси X и сталкивается с одной из масс К
или К', или удаляется в бесконечность в зависимости от знака
dX в начальный момент.

Случай Пар. pj и р2 действительны и по абсолютной ве-
личине больше с.

Если М (р) здесь положительно, то движение будет таким,
как и в предыдущем случае. Если же М (р) отрицательно, то пла-
нета может один раз пересечь линию К'К и затем удалиться от
К'К по осциллирующей кривой, в то время как р периодически
колеблется между — с и + с.

Случай Пау. рх> с р2> — с (или с рх > — с > р2).

Планета делает один оборот вокруг К’ (соответственно К)
и затем постепенно удаляется на бесконечность, в то же время
она колеблется между отрицательной (соответственно положи-
тельной) частью осп X и гиперболой р = р2 (соответственно
И = Pi)-

Случай Пао. с > рх р2 — с.

Здесь р колеблется между значениями pt и р2. Планета пере-
секает линию К'К и удаляется на бесконечность, периодически
колеблясь между гиперболами рх и р2.

Случай ПЬ. > с г2.

Здесь нижняя граница для X равна гг Планета приближается
к эллипсу X = ту, касается его и затем удаляется на бесконеч-
ность, в то время как X непрерывно возрастает. Постоянная а
должна здесь быть отрицательной.

Оба корня, и г2, не могут быть при положительном h больше
с. Имеем

_ K + K'i-j/W + K')2	*

Г1~	2h	V W	h ’

„ _	К + К'	f/(К+	Г

Г2~	2Л	V 4h*	h •

Если корни действительны, значит, г2 необходимо должно быть
отрицательным.

Случай ПЬа. Корни pt и р2 комплексные или действитель-
ные и по абсолютной величине больше с.

Здесь М (р) будет всегда отрицательным, так как отрицатель-
но М (0) = а. Величина р колеблется между — с и с. Планета,
удаляясь, обращается вокруг масс К и К' по развертывающейся
кривой. Орбита является своего рода внешней развертывающейся
спиралью.

Случай ПЬ0. Один или оба корня р2 и р2 меньше с, но
больше — с.

Этот случай невозможен. Так как, по предположению, i\ с,
и непосредственно очевидно, что модуль га больше модуля гь то
га должно быть отрицательным и численно больше с. Функция
L (х) не обращается в нуль ни при каких значениях х, которые
заключены между — с и с, и для этих значений остается отрица-
тельной. Теперь из уравнения

М (х) = L (х) - 2К'х

следует, что М (ж) должно быть и для положительных х также
отрицательным (и отличным от нуля). С другой стороны

М (- х) = М (ж) - 2 (К - К') х,

и поэтому М (— ж) в упомянутой области также отрицательно.
Следовательно, никакой из корней р2 и р2 не может лежать между
— с и + с.

§ 4.	Постоянная h равна нулю

Пусть теперь

L (X) = (К 4- К') К + а = (К + К') (X - г),
М (р) = (К - К')Н + а = (К - К') (р - р).

Мы должны здесь различать в зависимости от значения г два слу-
чая, а именно:

1)	г < с,

2)	г>с.

Случай Ша. г < с.

Функция L (X) во время движения остается положительной.
Величина X может монотонно убывать, пока она не достигнет
значения X = с. Затем X начинает расти и непрерывно растет
до бесконечности.

Пусть

а
r~ К-|-/С<С’

а

Р-—К_Х'*

Абсолютная величина р может быть здесь в зависимости от об-
стоятельств меньше или больше с.
s 5]	КРАТНЫЕ КОРНИ УРАВНЕНИЯ Я(Х)<=0ИЛИ S(h) = О ЦЗ

Случай 1Паа. |р| > с.

Здесь функция М (р) всегда остается отрицательной, и так как
- И2) £ = /2(p*-c*)Af(p),

то р должно периодически колебаться между — с и + с.

Планета один раз пересекает линию К'К и затем удаляется в
бесконечность по раскручивающейся спирали, охватывающей ли-
нию К'К. Этот случай подобен ПЬа.

Случай Шар. |р |< с.

Чтобы М (р) было отрицательным, р должно быть здесь мень-
ше р. Величина р периодически колеблется между р и — с. Пла-
нета один раз пересекает линию КК' и удаляется в бесконечность,
периодически колеблясь между гиперболой и положительной
частью оси X. Движение очень своеобразно и неожиданно.

Случай П1Ь. г > с.

Нижняя граница для X здесь будет равна г, и движение со-
вершается вне эллипса X = г. Постоянная а должна быть отри-
цательна (= — сц) и, согласно предположению, имеем



Должны также иметь



Р =

так что следует рассмотреть только один случай.

Случай ШЪа. г >. с. р > с.

Во время движения М (р) остается всегда отрицательной и,
таким образом, р периодически колеблется в границах между
— с и + с. Планета касается эллипса г = с и удаляется в беско-
нечность по развертывающейся спирали, которая охватывает рас-
сматриваемый эллипс.

§ 5.	Кратные корни уравнения R (X) = 0 или Я (р) = 0.
Предельные движения

Если два корня совпадают, то возникает предельное движе-
ние. Будем различать следующие случаи:

А)	гх = г2 > с,

В)	гх > г2 = с,

С)	гг = с > г2,

D)	rt = с = г2.

Различные случаи, в которых совпадают два корня урав-
нения 5 (р) = 0, мы рассмотрим позже.

8 К. Шарлье
Случай IVA. г = гх = г2 > с.

Имеем

(X2 - И2)	= У 2(Х2-с2)Л(Х-г)2.

Для того чтобы движение было возможно, необходимо, чтобы
h было положительно или X = г. Последний случай мы исследуем
позже. Предположим, следовательно, что h > 0.

Так как уравнение

(Я 4- К') X + ЛХ2 + а = 0

обладает двойным корнем X = г, то

(К + К') г + Аг2 + а = 0, (К + К') + 2hr = 0,
значит,

К + К'
2h •

Стало быть, корни должны быть отрицательны и поэтому не могут
быть больше с. Если h отрицательно, то может встречаться только
этот случай, и X должно быть равным г. Он будет рассмотрен в
следующем параграфе.

Случай IVB. Г1 > г2 = с.

Здесь имеем

L (с) = (К + К’) с + Ле2 + а = 0
и

(X2 - И2)-g = (X - с) V2h(k + c)(k-ri).

Если h положительно, то должно быть X гх, и мы приходим
снова к случаю ПЬ.

Предположим, что h отрицательно (= — fex). Величина X
должна быть меньше гх и с ростом времени асимптотически при-
ближается к значению X = с. Относительно значения корня р
заметим, что

M(c)<L (с) = 0,
и, далее,

М (- с) = М (с) - 2 (К - К') с < М (с).

Таким образом, функция М (р) при р = + с отрицательна,
и либо оба корня р должны лежать между — с и -|- с, либо они
должны находиться вне этих границ (или быть комплексными).

Случай IVBa. рх и р2 комплексные, или действительные,
и по абсолютной величине большие с.

Во время движения М (р) всегда остается отрицательным.
Тогда величина р периодически колеблется в границах между
— с и + с. Планета описывает спираль, которая асимптотически
приближается к линии К'К. Эта спираль ограничивается снаружи
эллипсом X = гх.

Случай IVB0 *). Корни рх и р2 действительны и по абсо-
лютной величине больше с.

Так как теперь

М (р) = k± (рх — р) (р — р2),

то, чтобы М (р) было отрицательно, р должно быть либо больше
рх или меньше р2. В последнем случае р периодически колеблет-
ся между р2 и — с, а в предыдущем случае •— между pt и + с.
Планета описывает маятникообразное движение около К' или К
и при этом асимптотически приближается к линии К'К.

Случай IVC. = с > г2.

Как и в предыдущем случае, теперь получим

(V -р») -g = (X - с) /2Л(Х + с)(Х-гг).

Так как здесь X г2, то h должно быть положительным. Большая
полуось эллипса X может быть сколь угодно большой и с возра-
станием времени асимптотически приближается к значению X = с.

Для значения корня р, который здесь подвергается иссле-
дованию, получим, как и в предыдущем случае, неравенства

М (- с) < М (с) < Z, (с) =0.

Так как М (+ оо) положительно, то находим, что

Pi > с, Ра < — с.

Значит, функция М (р) не может во время движения менять знак,
но остается отрицательной, и поэтому р колеблется между —с и
+ с. Движение подобно тому, которое исследовалось в случае
IVBa, только здесь нет никакой верхней границы для X.

Случай IVD. Fj = г2 = с.

Он невозможен по тем же самым причинам, которые были от-
мечены для случая IVA.

Мы переходим теперь к тем случаям, в которых имеются крат-
ные корни уравнения

Функция S (р) = 0 имеет четыре корня, и все они могут являться
граничными точками области допустимых значений.

•) Случай Вр нереален. (Прим, перев.)
Таким образом, мы должны различать следующие случаи:

К)	pi = р2,

L)	рх = с,

М)	pi = — с,

N)	р2 = с,

О)	Ра = — с-

Кроме того, может случиться, что совпадают три корня:

Р)	Pi = Ра = с,

Q)	Pi = Ра = - с-

Случай VK. рг = р2.

Здесь нужно предположить, что корень р лежит между — с
и + с, так как иначе он не влиял бы на движение.

Пусть

S (р) = 2 h (р2 - с2) (р - р)2,
откуда следует, что либо h положительно, и тогда должно быть
р2 = с2 *) (в таком случае движение будет происходить вдоль оси
X), или h отрицательно (= — h^. Рассмотрим этот случай. Пусть

М (р) = (К — К') р - ЛхР2 4- а.

Так как р — двойной корень, то имеем

{К - К') р - Лхр2 + а = О,

К - К' — 2Лхр = О,
следовательно,

Подставим это значение в первое из уравнений; тогда будет иметь
место соотношение

(К - К')2 + 4/1х<х = 0,	(2)

которому должны удовлетворять коэффициенты, так что а —
отрицательно (= — ах). Пусть, далее,

L (X) = (К + К') X - ЛхХ2 - ах,

и корни уравнения Z (X) = О суть

_ К + К' ± V (К + К')2 - 4ахЛ1"

Г1’2 ~	2Л1	•

Если под квадратным корнем вычтем величину (К — К1)2-^^^,

•) Случай р = р также может встретиться и позже будет исследован.
равную нулю, то получим

K + K-±2VKK' (VK±VK'y-
г,’2 =-----2Л1------------%-----’

Теперь

(/л — /X')2 = К + К' - 2 YKK' = К — К' + 2К' — 2 уТПс =
= К — К' + 2УК>(УК' — УКХК — К',

и, следовательно, имеем

г*<-мг-<с-	(4)

Значит, только корень г может быть больше с. Мы должны здесь
рассмотреть два случая:

Случай VKa. т\ <Z с.

Здесь необходимо, чтобы

X = с;

тогда движение происходит на линии К'К, и планета при возра-
стании времени неограниченно приближается к точке р — р на
этой линии, где р определяется формулой (1), причем это прибли-
жение может происходить как с одной, так и с другой стороны.

Случай VKb. > с.

Движение ограничивается эллипсом X = rv Планета колеб-
лется между этим эллипсом и линией К'К\ при этом она при
монотонном увеличении или монотонном уменьшении р асимпто-
тически приближается к гиперболе р = р.

Случай VL. Pi = с > р2-

Планета асимптотически приближается к линии К'оо. Пусть

(К - К') с + he2 + а = 0,	(5)

и тогда имеем

S (р) = 2 h (р — с)2 (р — р2) (р + с).

Если h отрицательно, то р должно колебаться между — с и р2,
и мы приходим к рассмотренному ранее в § 2 случаю *). Если h
положительно, тогда следует, что всегда должно быть р р2.
Планета один раз касается гиперболы р = р2, а затем асимптоти-
чески приближается к отрицательной части оси X (или парал-
лельной к ней прямой).

Что касается корней гг и г2, то можно доказать, что они
для положительных h не могут быть больше с. Действительно,

*) Если ра <—с, то движение происходит на оси X,
согласно (5)

L (с) = (К + К') с + he2 + а > О,

и для всех к, бблыпих с, имеем

£(Х)>£(с).

Значит, функция L (X) во время движения не меняет знака и по-
стоянно остается положительной. Величина X один раз принимает
свое минимальное значение X = с. Планета один раз пересекает
линию К’К и асимптотически приближается к одной из прямых,
параллельных оси X.

Случай VM. рх = — с > р2.

Планета асимптотически приближается к положительной части
оси X. Имеем

S (ц) = 2 h (у, + с)2 (р — р2) (р — с).

Так как р <С с, то Л должно быть отрицательным (= — hj).
Вместе с тем,

М (- с) = - (К - К') с -	+ а = О,

так что а положительно.

Далее,

L (X) = (К + К') К - ЛхХ2 + а,

и, следовательно, L (с) положительно. Но так как L ( + оо) отри-
цательно, то, очевидно,

Ч > с > г2.

Область движения ограничивается эллипсом X = гг. Величина
X колеблется между X = и X = с. Отрицательная часть оси X,
с другой стороны от с, может пересекаться один раз, и орбита
асимптотически приближается к положительной части оси X
с маятникоподобными колебаниями при монотонно уменьшаю-
щихся значениях р.

Случай VN. Pi > р2 = с.

Имеем теперь

S (р) = 2 h (р - с)2 (р - Р1) (р + с).

Здесь h должно быть отрицательным (= — hj). Поэтому

М (с) = (К - К') с- hf* + а = 0.

Отсюда следует, что L (с) положительно, и так как L (оо) бу-
дет отрицательным, то должно быть

ri > с >
Этот случай совпадает с предыдущим, только в этом случае пла-
нета теперь асимптотически приближается к отрицательной части
оси X.

Случай VO. Pi Рг = — с.

Планета приближается асимптотически к положительной части
оси X. Иначе этот случай будет совпадать со случаем VL.

Случай VP. Pi = Рг = с.

Пусть

М (с) = (К - К') с + he* + а = О,

М' (с) = К -К' + 2Лс = О,
так что

С	2h ’

и отсюда следует, что h должно быть отрицательным (h = — AJ.
Как и в случае VK, далее находим

r

Г1,2 = ----------

так что, как и в указанном

2ht

случае,



С другой стороны, находим,

что здесь также всегда

с,

Движение ограничено эллипсом гг = с, и орбита будет такой же,
как и в случае VN.

Наконец, в случае VQ

Pj = Ра = — С’

Здесь будет

с_
2Л ’

так что h положительно. Справедливы те же самые выражения для
гх и г2, как и в предыдущем случае, поэтому

_ _ (Гк±/К')2

Г1.2 --------2Л----- -

и оба корня отрицательны.

Значит, функция L (X) во время движения не изменяет своего
знака и остается положительной, и так как
то величина X один раз уменьшается до своего минимального
значения X = с. Орбита один раз пересекает линию К'К и за-
тем асимптотически приближается к прямой, параллельной оси
X. Этот случай подобен случаю VM.

Из замечательных орбит, которые можно встретить в этой
проблеме, наиболее своеобразные, пожалуй, относятся к слу-
чаям Пау и Паб, и они кажутся даже невероятными. Поэтому
исследуем их несколько подробнее.

В случае Па h положительно, и г2 либо комплексные, либо
действительные и меньшие с.

Исследуем те значения корней, которые могут встретиться.
Имеем

- (К + К') ± /(К + К')2 -4аЛ

ГЬ2 =-------------2Л------------

и	—(К — К') ± /(К-К')’-4аЛ

Pi,2 =------------2Л-----------•

Сначала предположим,	что	т\	и	г2	комплексные. Тогда имеем

(К	+	К')2 <4ah.

Значит, а должно быть положительным, и далее будем иметь

(К - К’)2 < 4аА.

Корни pj и р2 также будут комплексными, и имеют место те же
условия, что и в случае Паа.

Во-вторых, предположим, что гх и г2 действительны и меньше
с. Тогда имеем

(К + К')2 > 4аЛ

и

2hr2 < 2hri = У (K + K')2 — 4ah — (К + К') < 2ch

или

(К + К' + 2сН)2 > (К + К')2 - 4аЛ > 0,

или

4сА (К + К') + 4с2/!2 > — 4а/г,

где а может быть отрицательным. Можно разделить на 4Л, и тогда
получим

(К -f- К') с -|- Ас2 — а,

что можно также написать в виде L (с) > 0.

Случаи Пау и Паб предполагают, что рх и р2 могут принимать
действительные значения, и что одно или оба эти значения по
абсолютной величине меньше с.
Если оба корня по абсолютной величине должны быть меньше
с, то будем иметь

К — К' + V(K — K'^—4ha < 2ch,

или

(К - K'f -4ah< [2ch -(К- К')]*,

откуда после преобразований получаем

- (К - К') с + he2 + а > О,

что можно также записать в виде М (— с) 0. Теперь, очевидно,
М (- с) = L (с) - 2Кс,

и возможно, что при£(с)^>0 можем иметь также М (— с)^>0.
Оба корня Pj и р2 могут быть действительны и численно мень-
ше с.

Рассмотрим теперь соответствующие дифференциальные урав-
нения

(Ь’-р2)^- = V2h(M-c*)(K-r1)(b-r2),

(V - н2)	= /2Л(р2 —с2) (р-р,) (р-р2),

где

С > Г1 > Г2» с > Pi > Рг > - с-

Чтобы величины, стоящие под знаками квадратного корня, были
положительны, величины Лир должны, очевидно, удовлетворять
следующим неравенствам:

X > с, pi > р > р2.

Положим

1^2 Л (Х +с) (% — г,)(Л — г2)
dt ~	— р2	’

dw2 _ У"2 (с2 — р2) h

~dT —	л,2—р2 •

Подкоренные выражения никогда не могут обратиться в нуль, и
поэтому вспомогательные величины и?х и ш2 монотонно возраста-
ют вместе со временем.

Далее, имеем

dwi r

= /(Pl “И) (Р-Р2),
и отсюда интегрированием получаем
.	,	1	2

Х = с +j wi,

р = pl COS2 -у- + p2Sin2 у .

Планета колеблется между двумя гиперболами, рх и р2, и одно-
временно монотонно удаляется в бесконечность.

Следовательно, случай Паб существует. Что же касается слу-
чая ПаР, то он содержится в Шар.

§ 6. Периодические движения

Движения, периодические во времени, могут встретиться в
случаях, рассмотренных в § 2, если выполнены условия (10) § 1.
Кроме того, движение будет периодическим, если тело движется
по кривой X = const, а также при условии, что орбита опреде-
ляется уравнением

р = const.

Сначала рассмотрим эти случаи.

Случай Via. X — const.

Так как

(*2 - Р2)	= /2(Х2 - с2) L(X),	(1)

то очевидно, что X либо равно с, либо совпадает с корнем урав-
нения

L (X) = 0.	(2)

В первом случае тело движется вдоль линии К'К, и мы уже зна-
ем, что при этом могут встретиться только три случая: либо имеет
место соударение с одной из притягивающих масс, либо планета
асимптотически приближается к некоторой точке на линии К'К
(VKa), либо планета удаляется в бесконечность. Эти случаи мы
можем опустить.

Остается еще упомянуть о случае, в котором X совпадает с
одним из корней гх или га. Если гх с г2, то X не может тож-
дественно совпадать с rv Известно, что для отрицательных h
должна быть либрация по X между гх и с (случай 1Ь), а для поло-
жительных h X возрастает до бесконечности (случай ПЪ).

Если гх > г2 > с, то h необходимо должно быть отрицатель-
ным, так как для положительных h по крайней мере один корень
должен быть отрицательным. Поэтому имеем

(V - р2)	= /2Л1(Х2-с2)(г1-Х)(Х-га).	(3)
Если мы исключим случай X = с, то всегда будет иметь место
либрационное движение между г1 и г2, и X может оставаться по-
стоянным только при единственном условии, что

Г1 = гг.

Так как здесь будет двойной корень, то должно быть

(К + К')2 — 4аЛ = О	(4)

и, следовательно,

(К - К')* -tLah<$,

так что Pi и р2 будут комплексными. В соответствии с этим, ве-
личина р колеблется между — с и + с, и движение происходит
по эллипсу X = г, где (согласно IVA) будет

Всегда имеется особое решение дифференциального уравне-
ния (3):

X = гх или X = г2.

Находим, что вторая производная от X по времени имеет конечное
значение. Если, однако, X = г обозначает двойной корень, то
не только вторая производная, но и все производные высших
порядков также при X = г тождественно равны нулю.

Случай VIb. р = const.

Если не принимать во внимание случаи ц = + с и если р
должно быть постоянным, то дифференциальное уравнение

(М= /2Л(Р2-*2) (р-Р1) (р —р2)	(6)

должно удовлетворяться только значениями р = рх = р2 = р.

С л у ч а й VIba. Для отрицательных h(=—hi) имеем

(V - р2)	= /2Мс2-На)(И-р)2,

и в этом случае р = р является неустойчивым решением.

Так как р — двойной корень, то имеем

P = Air1<c	(7)

и, кроме того,

(К - А')2 - 4аЛ = 0.	(8)

Далее,

- (К + К') ± /(К + К')2-4аЛ
”19 = -----------------------
или, по (8),

_ - (К + К') ± 2 VKK' _ ( VK ± /К')2

г’>2—	2h	~	2Л1

Таким образом,

Р =

О)

Отсюда следует, что гг и г2 одновременно не могут быть больше
с. Однако возможно, что

Г1>С> гг.

Теперь имеем

£(Х) = Л1 (Г1 _ 1) (X - г2),

и 1 будет колебаться между и с.

В этом случае планета будет совершать маятникообразные
движения вдоль гиперболы

р =

К-К'

2fti

Если К — К’, то [л = 0, и планета колеблется вдоль оси У,
вблизи начала координат по обе стороны.

Случай Vlb0. Если h положительно, то для совпадаю-
щих значений р получим

К-К'

Р ~ 2h ’

„	(VK ± /7С)2

Г1'2 —	2h

Таким образом, здесь оба корня г будут отрицательны. Функция
L (X) остается во время движения положительной. Величина к
возрастает до бесконечности. В этом случае планета уходит в
бесконечность по гиперболе

р= —

К-К'
2h

Если элементарные периоды со12 и со22 имеют такие значения,
что

m-ico i2 *4“ ш2со 22 == О,

где и обозначают целые числа, то будут иметь место перио-
дические орбиты. Числа Жг и т2 имеют разные знаки, так как <о12
и со гг можно выбрать положительными. Лучше записать

/пг©12 — га2со22 = О,	(10)
где теперь mt и т2 обозначают положительные числа. Затем для
соответствующего периода получаем значение

2Т — 2/га^со л 2?7i2(o 2i>	(11)

Примем теперь для постоянной интегрирования h положитель-
ное значение, тогда уравнение (10) будет выполняться для беско-
нечного ряда дискретных значений другой постоянной интегри-
рования а и обратно. Таким образом, будет оо2 периодических
траекторий.

Чем меньше числа ту и т2, тем «проще» будет соответствующее
периодическое движение. Орбита оказывается наиболее простой,
если = т2 — 1. Вообще постоянные интегрирования можно
выбрать так, чтобы имел место этот случай. Так, например, может
быть в случаях Iby и 1са. Мы получим периодическую орбиту,
которая не пересекает сама себя. Однако в случае Iba такой вы-
бор едва ли возможен. Очевидно, наименьшими значениями для
тх и т2 зяесъ будут т1 = 2, т2 = 1.

Рассмотрим отношение

v = —,

<022 ’

которое можно считать меньшим единицы (в противном случае

это будет иметь место для ^), тогда движение будет периодиче-
(012

ским, если v является рациональным числом. Так как на сколь
угодно малом отрезке всегда найдется бесчисленное множество
рациональных чисел, каким бы малым ни был выбран этот отре-
зок, то периодические орбиты будут распределены всюду плотно
среди орбит, для которых имеет место 0 < v 1. Таким обра-
зом, необходимо придавать v бесконечно малые изменения, чтобы
отделять произвольные периодические орбиты от соседних, не-
периодических орбит.

Бесконечное множество элементов называется счетным по Ка”

тору, если можно пронумеровать его элементы так, что ни один
элемент не будет пропущен. Рациональные числа между нулем и
единицей образуют счетное множество; действительно, их можно
записать в следующем порядке:

1	1 2 1 3 1	2	3	4	1	5

2’ 3’3’4’ 4’5’ 5’ 5’ 5’ 6’6’

так что последовательно записываются те числа, знаменатели
которых 2, 3, 4, 5, 6, ... и т. д., и для каждого знаменателя чис-
лителю придаются значения 1, 2, 3, и т. д., за исключением таких
значений, для которых числитель и знаменатель не являются
взаимно простыми.

Периодические орбиты образуют счетное множество, что,
наоборот, не имеет места для случая непериодических орбит.
Множество последних, по терминологии Кантора, имеет более вы-
сокую мощность, чем множество периодических кривых. Если рас-
сматривать непериодические орбиты, то согласно § 2 гл. II эллипти-
ческие координаты X и р, а следовательно, также и расстояния
г и г' планеты от притягивающих масс, можно разложить в ряды
Фурье в форме

2 G„i2 cos (ijUj + i2u2).	(12)

оо

Эти ряды равномерно сходятся, a и и2 являются линейными
функциями времени:

Ui = nxt + V1,|
u2 ti2Z -j- y2,}

(13)

где

пг -

Лй)22
а

ЛШ1«

(14)

Можно произвести некоторые интересные исследования этих
рядов, которые представляют большой интерес для решения за-
дачи трех тел. Для построения рядов (12) можно использовать
приближенные методы, которые употребляются в «теории возму-
щений». Рассмотрим, например, спутниковый случай 1Ь6, в ко-
тором движущееся тело должно оставаться в окрестности массы
К, и предположим, что масса К' сравнительно мала, тогда можно
для получения выражений для координат использовать разло-
жения по степеням малой массы К'. При определении методом
последовательных приближений значений коэффициентов ,,
пришлось бы преодолевать трудности, возникающие за счет ма-
лых делителей, имеющих вид ilnl + i2n2 (о которых впоследствии
мы будем говорить), и ряды (12) не были бы равномерно сходя-
щимися, хотя это и имеет место для истинных рядов (12). Можно
было бы заранее сказать, почему должны возникать такие труд-
ности. Объяснение этого, видимо, кроется в том, что, как было
доказано в § 3 гл. II, для расстояния г от тела К не существует
никакой нижней границы, отличной от нуля. Поэтому не су-
ществует также никакого среднего значения этого расстояния
в том смысле, в каком это понятие используется в теории воз-
мущений.

Возможно, что в подобных обстоятельствах и следует искать
объяснение вопроса сходимости рядов теории возмущений.
§ 7.	Сопоставление различных типов орбит, встречающихся
в задаче двух неподвижных центров

1.	Прямолинейное движение. Планета дви-
жется вдоль отрезка К'К или на его продолжении.

Планета движется в начальном направлении до тех пор, пока
она не столкнется с одной из масс (1аа, 1а0, Паа и др.),
или планета движется в начальном направлении, пока она не
достигнет определенной точки, затем возвращается и сталкивается
через некоторый промежуток времени с массой (lay, 1а6 и др.),
или удаляется на бесконечность вдоль оси X (Паа),

или приближается неограниченно к точке, располож'енной
между К' и К, не достигая ее за конечный промежуток времени
(VKa).

2.	Лемниск ато подобное движение. Если дви-

жение не является периодическим, то орбита заполняет повсю-
ду плотно всю область, заключенную

внутри эллипса (Iba, IbP; рис. 2).

3.	Спутниковое дви-
жение. Планета движется внутри
ограниченной области, в которой
находится одна из масс К или К'.
Границами этой области служат дуги
эллипса и гиперболы. Орбита явля-
ется или периодической или повсю-
ду плотно заполняет упомянутую
область (Iby, 1Ь6; рис. 3).

4.	Планетное движе-
ние. Планета движется (подобно

Рис. 4.

внешней планете) в области, ограниченной двумя софокусными
эллипсами. Орбита либо периодическая, в случае когда оба
эллипса сливаются, либо повсюду плотно заполняет соответ-
ствующую область (lea, 1с0; рис. 4).
5.	Расходящееся маятниковое движение.

Планета удаляется в бесконечность
маятникообразные колебания между
ветвями гиперболы по обе стороны
оси X (Пау, Шар; рис. 5).

6.	Гиперболическое
синусоидальное дви-
жение. Планета удаляется в
бесконечность, совершая периоди-

от обоих центров, совершая

Рис. 6.

Рис. 5.

ческие колебания между двумя софокусными гиперболами (Паб;
рис. 6).

7.	Расходящееся спиральное движение.
Планета удаляется в бесконечность, совершая вокруг линии К'К
обходы все возрастающих размеров (Па0, ПЬа, Шаа, ШЬа;
рис. 7).

Рис. 8.

вокруг нег®> но не Достигая его в конечный момент времени (IVBa,

ральное движение.

Планета асимптотически приближается к отрезку К'К, обращаясь

8. Сходящееся
9.	Сходящееся маятниковое движение.
Совершая маятникоподобные колебания по обе стороны от оси X,

планета асимптотически приближается либо к гиперболе (VKb),
либо к оси X, не достигая этих границ за конечное время
(VKb, IVB₽, VM, VN, VP; рис. 9 и 10).

10.	Асимптотически-прямолинейное дви-
жение. Планета асимптотически приближается к прямой, па-
раллельной оси X (VL, VO; рис. И).

Рис. И.

11.	Эллиптическое движение. Планета дви-
жется в определенном направлении по эллипсу, уравнение кото-
рого

, К + К’

2hi

(случай Via).

12.	Гиперболическое движение. Планета дви-
жется вдоль гиперболы либо так, что она удаляется в бесконеч-
ность, и фокус этой гиперболы лежит в большей массе К, либо
так, что она маятникообразно колеблется вдоль гиперболы около
оси X, и фокус этой гиперболы лежит в меньшей массе К' (VIba,
рис. 12).

9 к. Шарлье
Все рассмотренные здесь типы движения, за исключением
случая VIba, являются устойчивыми и не могут перейти при
бесконечно малом изменении постоянных интегрирования (Л и а)
из одного типа в другой.

Введенные выше наименования для различных форм движе-

ния не всегда дают адекватное описание соответствующей орбиты.
За более точным описанием мы отсы-
лаем читателя к предыдущим параг-
рафам.

В своей классической работе об
эллиптических интегралах Лежандр
посвятил подробные исследования про-
блеме двух неподвижных центров [15].
При этом он ограничился случаем,
когда h<^0, в котором, как мы видели,
орбиты лежат в ограниченной области.

Среди возможных здесь движений он рассматривал типы
1, 2, 3, 4, 8, 9, 11, 12. Сходящееся маятникообразное движение

9 он рассматривал только для случая, когда планета асимптоти-

чески приближается к оси X (см. рис. 10). Общий случай (см.
рис. 9), в котором планета асимптотически приближается к ги-
перболе, он не заметил. Любопытно, что Лежандру было изве-
стно важное свойство непериодических орбит заполнять повсюду
плотно область возможности движения. По крайней мере он
определенно упомянул об этом относительно планетного движе-
ния типа 4.

Прямолинейное движение было изучено Лежандром в пред-
положении, что планета может проходить через массы К и К'.
Полезно считать, что движение заканчивается соударением, так
как здесь утрачивается физический смысл движения и дифферен-

циальные уравнения теряют силу.

Лежандр основывается при рассмотрении этой проблемы на
своих глубоких исследованиях эллиптических интегралов. Но эти
рассмотрения оказываются неоправданно громоздкими п трудными.

В сравнении с этим, как мы видели, выполненное рассмотре-
ние движения оказалось почти не связанным с выкладочной ра-
ботой и без громоздких формул. Если бы вместо интегралов Ле-
жандра мы захотели ввести эллиптические функции, то это не
принесло бы никакой пользы. Это излишне при рассмотрении форм
движения, а для вычисления значений координат для произволь-
ного момента времени это слишком окольный путь, так как доста-
точно выразить не координаты через время, а время через коор-
динаты. А координаты через время задаются формулами (12), и
коэффициенты в рядах могут быть всегда сравнительно легко
вычислены.
§ 8. Примеры

Хотя в природе неизвестно ни одного примера, в котором дви-
жение тела определяется притяжением к двум неподвижным цен-
трам, но все же встречаются различные случаи, когда речь идет
о трех телах, взаимно притягивающихся по закону Ньютона,
в которых представляется справедливым предположить, что про-
блему двух неподвижных центров можно выбрать в качестве при-
ближения при изучении орбит.

Например, такой случай встретился бы, если мы бы захотели
исследовать движение малого тела, которое с большой скоростью
проходит через двойную систему.

В нашей планетной системе также не исключены примеры,
в которых возможно подобным образом получить приближе-
ние к истинной орбите. Рассмотрим, например, систему, кото-
рая состоит из Солнца, планеты и принадлежащего ей спутника;
тогда угловую скорость планеты вокруг Солнца можно считать
весьма малой, если спутник расположен достаточно близко к пла-
нете, и, таким образом, по крайней мере на коротких промежут-
ках времени, можно было бы считать Солнце неподвижным,
а спутник притягиваемым двумя неподвижными центрами. Если
иметь дело с движением малой планеты под действием притяже-
ния Солнца и большой планеты — Юпитера или Сатурна,— то,
как будет показано в одной из следующих глав, координаты пла-
неты можно разложить в ряды по степеням угловой скорости
большой планеты и затем воспользоваться методом последователь-
ных приближений, выбрав проблему двух неподвижных центров
в качестве первого приближения. Хотя сходимость этих приближе-
ний не была исследована, тем не менее представляет интерес про-
верить орбиты, которые получились бы в первом приближении.

Предположим, что тело находится на линии центров между
Солнцем К и планетой К1, и что оно в начальный момент будет
удаляться с перпендикулярной к этой линии скоростью, причем
К и К' будем считать покоящимися; его движение должно иссле-
доваться в предположении, что тело будет притягиваться к К
и К' по закону Ньютона.

Сначала мы должны определить постоянные интегрирования
Лиа, а затем вычислить корни гг, г2, рх, р2.

Согласно формулам (6) и (5*) § 1 имеем следующие формулы
для вычисления Лиа:

ft _ 1 М2 „24 Г | й2 1	(* + *П | (*~К') И

Л— 2 (Л Р )	С2 I С2_ ц2 J	X2 —Ц2 + X2 — J12 ’

«=+к')х (2>
ИЛИ

- « =	+ (К - К') и + А|Л	(2*)

Iе — у. )

Чтобы получить значения Хо, |х0 и Хо, Но, мы должны в этих
формулах подставить значения h и. а для начального момента.

Выберем единицу длины так, чтобы с = 1. Тогда расстояние
К'К будет равно 2. Если тело в начальный момент находится на
расстоянии а от К', то

А.о = 1, ц0 = 1 — а.	(3)

Чтобы вывести значения производных Хо и р0> воспользуемся
уравнениями (1) § 7; так как согласно сделанным предположениям

£в = О,
находим

Н<А> 4- МНо = 0.

м .. - = dyo,

или, в соответствии с полученными для Хо и р0 значениями,

(1 — а) + Но = °»

Таким образом, будем иметь

Xq = ц0 = 0	(4)

и

^о Уо	64*}

V	

Если подставить значения (3), (4) и (4*) в (1) и (2), то

.	1 ,2 К	К'

h~ 2 Уо	2 —а	а ’

-а = (К-К') (1 — а) + А (1 — а)2.	(5*)

Если значения масс К и К', расстояние а и начальная скорость
у0 заданы, то значения Ан а могут быть определены.

Относительно а мы сделаем два различных предположения,
одно из которых соответствует случаю, когда речь идет о планете,
движущейся между Солнцем и возмущающей планетой, а другой
соответствует спутниковому случаю.
Сначала заметим, что уравнение (5*) можно записать в следую-
щей форме:

М (1 - а) = О,

где Л/(р) — то же самое обозначение, что и в предыдущих пара-
графах. Следовательно, один из корней рх, р2 равен 1 — л, т. е.
равен тому значению, которое имеет р в начальный момент. Гра-
ница области, допустимой для орбиты, таким образом, проходит
через ту же точку, в которой траектория (в начальный момент)
пересекает линию К'К под прямым углом.

Чтобы получить простой пример астероидного движения, по-
ложим *)

а = 1.

Тогда согласно (5*)

а = 0, h — ^y*-—K — K'.	(6)

Определим начальную скорость у0 таким образом, чтобы астероид
двигался вокруг Солнца К по кругу, если прекратится притяже-
ние планеты К'. Как и в предыдущем параграфе, будет

Й=*=Х.	(7)

так что

h = -±K — K'.	(8)

Для определения границы области возможности движения соглас-
но предыдущим параграфам нужно вычислить корни уравнений
Др) = О

и

М(р) = 0.

Так как а = 0, то

ЦК) = (К + К') к + М2,

М(р.) = (К — К') р + Лр2,
или

L (К) = (К + К') К - (1К + К') X2,
М (р) = (К - К') р - (1К + К') р2.
Таким образом,

2 (К — К')	Л

р' “ ~К + 2К' ’ Рг — °-

*) Это примерно соответствовало бы малой планете, которая находится
на среднем расстоянии астероидов и возмущается Юпитером.
В обозначениях предыдущих параграфов

ri>c>rt, Р1>с>р2> —с,
и мы приходим к случаю Iby § 2. Для Аир теперь находим
следующие границы:

К + 2К'	’

О > (1 > — 1.

Движение является либрационным. Для р = О получаем отрезок

ЛОВ оси Y. Большая

руг К' по кругу, если

.	2(К 4- К')	,

полуось эллипса л =	_[_2/С ’ ПРИ°ЛИ~

женно равна 2, так как масса К'
мала. Движение происходит внутри
области АВС, которую траектория
будет заполнять всюду плотно. Лю-
бопытно, что граница области воз-
можности движения при любых зна-
чениях К' всегда образуется осью У.
Перейдем теперь ко второму слу-
чаю, в котором малое тело, очень
близкое к планете, будет удаляться
от линии К'К в перпендикулярном к
ней направлении. Предположим, что
тело обладает такой начальной ско-

ростью,
бы можно

что оно двигалось бы вок-
было пренебречь притяже-

иием Солнца; тогда будем иметь

л К'

и значит,

ft = — 15---------1Г“ ,

2 — а	1а ’

(9)

где а обозначает малую величину.

Движется ли тело вокруг К или вокруг К"1 Чтобы решить
это, мы должны вычислить корни гх, г2, pt, р2. Имеем

Л/(р) = (К — ЛГ')р + Лр2 4-а,

M(i - а) = (К- К') (1 - а) + h (1 - а)2 +а = О,
так что если Л/(1 — а) вычесть из Л/(р), то

Л7(р) - Л/(1 - а) = [К - К' + h (р + 1 - а)] [р - (1 — а)].

Большая полуось гиперболы, ограничивающей область, внутри
которой может двигаться тело, равна 1 — а. Если, далее, имеется
гипербола, расположенная ближе к К, то тело должно двигаться
вокруг К'. Условие того, что тело будет спутником К', таково:
__________________ K-K'-yh (1 — д) 1 _ а

h	’

или, если подставить значение /г,

Для Луны

К = 320 000 Л",
200а = 1,
и поэтому находим, что здесь

следовательно, тело, которое находилось бы на расстоянии Луны,
согласно с высказанными условиями, двигалось бы вокруг Солн-
ца, а не вокруг Земли, если последние рассматривать неподвиж-
ными. Это относится также и к тому случаю, когда вместо сидери-
ческой угловой скорости Луны используется синодическая.

На первый взгляд это кажется странным. Можно было бы ожи-
дать, что тело будет двигаться вокруг Земли. Однако при ближай-
шем рассмотрении находим, что результат не мог быть другим,
так как именно здесь опускается притяжение Земли Солнцем.
Прямое притяжение Луны Солнцем на самом деле почти вдвое
больше прямого притяжения Луны Землей. Неравенство (10) мо-
жет быть просто выражено следующим образом: тело движется
вокруг Солнца, если удвоенная сила больше силы притяжения
планетой.

Таким образом, для Луны нельзя использовать задачу двух
неподвижных центров в качестве первого приближения.

Если бы вместо этого взять, например, внутреннего спутника
Марса — Фобос, то мы бы нашли, что притяжение Фобоса Марсом
в 200 раз больше притяжения этого спутника Солнцем. Для спут-
ников Нептуна притяжение центральной планеты в 8000 раз боль-
ше прямого притяжения Солнца. В этих случаях Солнце в первом
приближении можно считать неподвижным*).

*) При изучении движения комет в сфере действия Юпитера, а также в
задачах механики космического полета с малой постоянной тягой, может
быть использован предельный вариант задачи двух неподвижных центров,
в котором один из притягивающих центров удаляется в бесконечность. Подоб-
ный подход излагается в работах В. Г. Дёмипа [16], В. В. Белецкого [17],
А. Л. Куницына [18]. (Прим, перев.)}
ГЛАВА IV

ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ

§ 1. Общие соображения

Если начало координат поместить в одну из масс т1 и через
х, у, z обозначить координаты другой массы тг, то будем иметь

dlx	ц®

"dfi~	г» ’

rf2y______РУ	И)

dfi ~	г» ’	7

d*z	цг

~dfi~	г* ’ .

где

[А = А2 (т1 4- mJ,
г* = ж2 + у2 4- Z2,

и А2 обозначает постоянную тяготения.

Из этих дифференциальных уравнений непосредственно полу-
чаются следующие интегралы:



+ 2Ли

(2)

который называется интегралом живых сил, и

dz у ~dt	Z dt	= e„-	
dx  Z4t	dz ~~X~dt	= Cit	(3)
г  dt	dx  -y^t	= c3,	

которые будем называть интегралами площадей.

Если эти интегралы умножить соответственно на х, у, z и ре-
зультаты сложить, то получается уравнение плоскости:

Ci® + Cjp + c3z = 0.	(4)

Из этого уравнения следует, что движение происходит в некото-
рой неподвижной плоскости.
Если обозначить через a, ₽ и у углы, которые нормаль к этой
плоскости образует с осями координат, то уравнение плоскости
можно записать также в форме

a: cos а + У cos £ + z cos у = О,

и поэтому имеем

С1

с2

Сз

cos a cos 3] cos у

Ус? + <?2 + сз •

Если i — наклонение плоскости орбиты к плоскости ХУ,
Q — угол, который образует восходящий узел орбиты с осью X,
то непосредственно находим, что

cos a = sin г sin Q,

cos |i = — sin i cos 0,
cos у = cosi,

следовательно,

сх = с sin i sin Q,
ca = — csin i cos Q,
Сз = ccosi,

(5)

где положили

с

Если повернуть координатные оси,
с2 и с8, изменятся, в то время как

Форма орбиты определяется зна-
чениями постоянных интегрирования
с и Л. Получаются следующие четыре
случая, которые мы поочередно ис-
следуем:

1.	с = 0, прямолинейное движе-
ние;

2.	отрицательно, эллиптичес-
кое движение,

3.	hx равно нулю, параболичес-
кое движение,

4.	Ai положительно, гиперболи-
ческое движение.

В качестве исходного пункта ин-
тегрирования мы выбираем диффе-
ренциальное уравнение Гамильто-
на — Якоби, так как при этом мы :
сведениям о задаче трех тел.

то
с

{ и Q, так же как clt

неизменным.

остается

придем к более подробным
§ 2. Интегрирование уравнения Гамильтона — Якоби
для задачи двух тел

В § 9 гл. I было показано, что для задачи двух тел в полярных
координатах уравнение Гамильтона — Якоби имеет следующий
вид:

(dwv , 1 /dwy . i (dw\’_ 2g 2

I dr ) + г21 д<р / + га cos2 ф \ ае ) ~ г +	(1'

Легко показать, что это уравнение можно проинтегрировать
путем разделения переменных. Здесь можно применить теорему
Штеккеля. Действительно, если положить

фи = 1,	ф2( =0,	фл = О,

Ф12 = , ф22 = 1,	фз2 = О,

Ф13 = О,	ф23 = —	,	ф38=1,

то будем иметь

Д = |Фо| = 1 (г, / = 1, 2, 3)
и

i ад _	। i ад	i i ад	_	1

Д дфп ~	’ Д дфл	г'~	’ Д дфз1 г2сов2ф	*

(2)

Коэффициенты при частных производных в левой части (1)
имеют, стало быть, ту форму, которая необходима для применения
теоремы Штеккеля; далее имеем

Ф1 = -у- , Фг = 0, ф3 = 0.	(3)

При помощи формул § 1 гл. II задачу можно непосредственно
свести к квадратурам. Соответствующие уравнения будут

j/3i + 2a1-^-2

-- dr  — + d(f = 0,	(4*)
r2l/Jt +2«!—l/2a2-_2^_

F Г 1	1 Г3 Г	СО82ф

-------/У	= 0,	(4**)

СО82Ф1Л 2a2-^2ot3

V	С082ф

где = ax.
Если эти уравнения разрешить относительно dr, dtp и dt), то
получим промежуточные интегралы

(1г — 1/" 2Н	2“2

dt ~ V г ' г2

г2^Ф
dt

2а3
cos2<p ’

(5)

г2cos2 <р-	= У2а3.

Q <

При рассмотрении движения можно исходить либо из (4), либо
из (5), смотря по тому, будут ли использоваться соответствующие
теоремы § 2 или § 3 предыдущей главы. Из (4) очевидно, что здесь
мы имеем пример условно-периодических движений, а в одном из
следующих параграфов мы выведем теоремы, которые отсюда сле-
дуют для задачи двух тел.

Из последнего уравнения (5) следует, что а3 должно быть поло-
жительным, так как иначе dQ становится мнимым, и далее из вто-
рого уравнения вытекает, что а2 также должно быть положитель-
ным. Поэтому положим

2а о = /г-2,
2а з = /гз,

(6)

где /гг и h3 обозначают действительные величины, которые также
могут быть равны нулю.

Подставим эти величины в (4) и проинтегрируем; тогда полу-

чим следующие уравнения:

где Нг, Н3, Н3 обозначают три новые постоянные интегрирования.
В соответствии с § 1 гл. II постоянная ах совпадает с постоянной
Лх интеграла живых сил.

Уравнения (7) дают общий интеграл с необходимым числом
постоянных интегрирования. Прежде чем определять из этих
уравнений координаты г, <р и 0 как функции времени, рассмотрим
формы орбит при различных значениях постоянных интегрирова-
ния. Как было уже установлено в предыдущем параграфе, орбита
лежит в плоскости, а поэтому для изучения формы орбиты доста-
точно найти расстояние г между обоими телами как функцию вре-
мени. Но это выполняется с помощью первого из уравнений (7),
которое мы теперь будем исследовать.

Из второго уравнения (5) вытекает, что при а2 = 0 должно
также иметь место аз = 0, и поэтому при а2 = 0 приходим к ре-
зультату, что как <р, так и 0 должны быть постоянны, так что тело
движется по прямой, вдоль радиуса-вектора.

§ 3.	Прямолинейное движение

Из § 2 второй главы известно, что изменение механической
величины г, определяемой дифференциальным уравнением

зависит от значений корней уравнения

ф(г) = 0.	(2)

Эти корни не могут быть комплексными. Если бы имел место этот
случай, то ф(г) ни при каких действительных значениях не меняла
бы знак. Но при достаточно малых г значение ф(г) необходимо
является отрицательным, поэтому, если бы корни были комплекс-
ными, ф(г) должно было бы быть отрицательным, что невозможно.
Итак, корни комплексными быть не могут.

При с = 0 (и, следовательно, при /г2 =0) уравнение ф = 0
не может иметь больше одного корня. Исследуем теперь этот слу-
чай. Нам уже известно, что движение происходит вдоль радиуса-
вектора. Имеем

(•5-)*“*+2л-	<2’)

Если, во-первых, положительно, то правая часть уравнения
(2*) ни при каких действительных (положительных) значениях
г не обращается в нуль. Отсюда следует, что в этом случае г всег-
да или возрастает, или всегда уменьшается. Оба тела либо неогра-
ниченно удаляются друг от друга, либо в конце концов сталки-
ваются друг с другом.

Если, во-вторых, Лх отрицательно, то положим

Л1 = - /;	(3)
тогда

dr ______2|л — 2/г

~dt) ~ г

В соответствии с методом, развитым в § 2 гл. II, введем при
помощи уравнения

(4)

вспомогательную переменную w, так что

dw ____ 3

. dt ) ~ г ’

где р обозначает некоторую положительную постоянную, пока
не определенную.

Из (5) следует, что w возрастает вместе с t. Уравнение (4) дает

Положим

откуда

тогда будем иметь

(6)

(7)

(8)

Подставляя в (5) это значение, получим

1/1 — v?d.w = ^-r- dt,

О)

и тогда после интегрирования находим

w I/1 —w2 + arcsin w = ? (I —10).	(19)

I*

Уравнения (8) и (10) дают решение задачи. При t < t0 w отри-
цательно и затем возрастает, а при t = t0 получает значение w = 0.
При этом расстояние г достигает максимального значения р//.
Далее г уменьшается до тех пор, пока оба тела в конечный момент
времени не столкнутся. Это произойдет в момент

« —«о =

рл

2 /г/’/’ *

(11)
Для определения значений г в произвольный момент времени
уравнение (10) необходимо разрешить относительно w. Так как
это уравнение трансцендентное, то его решение возможно только
или посредством разложения в ряды, или другими приближен-
ными методами. Если расстояние между телами мало, то можно
использовать разложения по дробным степеням времени, которые
мы здесь получим.

Из (2) дифференцированием получаем

d2r
dt'1

И

г« ’

(12)

Если тела соударяются в момент t = 0, то мы будем строить раз-
ложение г в ряд в окрестности t = 0. Введем вместо г новую пе-

ременную р при  и тогда получим	ПОМОЩИ	уравнения r= pFn,  rf*p _	1_	(13)  (14)  (15)
Если теперь положить  то будем иметь  Ф dt d2p Ht*		dt'1 ~	p2 •  P = tmy,  = rnytm~\  = m(m — 1)т4т-3.	

Величина (15) будет, очевидно, удовлетворять дифференциаль-
ному уравнению (14), если т и у будут выбраны так, что

	2 — m = 2m, 1 m(m — l)rs = — 1, J	(16)
откуда находим	2 m = -q ,	
Следовательно,	О  Т=У 2 *	(16*)
	3/"9 ч p=y 4* =т	(17)

является частным решением (14). Оно не содержит постоянной
интегрирования. Теперь будем искать общий интеграл в форме

р = т +ait2 + а3т3 + ....	(18)
Отсюда получаем

£ = (1 + 2а8т+ЗазТа+...)$,

g. = (2as + 6а3т + ...) (-g-)2 + (1 + 2a2r + За8т2 + ...) g-.

Но согласно (17)
/ dr \2  2	____1

\ dt /	т ’ dt'2 т2 ’

тогда получаем

^ = -^- + ^ + 9«з-Ь20а4т + ...

Далее, согласно (18)

Р2 = т2 + 2аат3 + (а® + Заз)!4 + •••,
и отсюда

---+ За| — 2<Хз — (4а| — 6а2а8 4- 2а4) т + ...

Таким образом из (14) получаем следующие соотношения:

2аг = 2а2,

9а3 = — За® + 2а8,
А

20а4 — 4а® — 6а2а8 + 2а4,

Отсюда находим, что а2 — произвольно,
п ___________________	3 »	_ 23 3

^3	7 ^2*	~~~ §3 ^2* • • • •

Наконец, при помощи (13) для радиуса-вектора находим

г = ^ц(т + а2-г2 — |а2т8 + Ца®т4— ...	(19)

Если бы мы исходили из уравнения (2), а не (12), то в ряд для г
вошла бы постоянная ht. Следовательно, между Aj и аг должна
существовать зависимость. Для ее определения подставим (18)
в (2) и тогда получим

ht —	а2.	(20)

Разложение г для случая соударения было дано впервые Бар-
роу 119].
§ 4.	Эллиптическое движение

Если в уравнении

г®ф(г) = 2рг + 2htr2 —	= 0	(1)

h3 отлично от нуля и hv отрицательно (= — /), то оба корня долж-
ны быть действительны и положительны. Мы должны доказать,
что они не могут быть комплексными, и так как ф(0) и ф(оо) отри-
цательны, то оба корня должны быть положительными. Обозна-
чим корни через и r2 (rx > г2); тогда

r^(r) = 2/(гх - г)(г - rj.	(2)

Отсюда следует, что всегда должны быть выполненными неравен-
ства

Г2 < г < rv	(3)

Согласно принципам, развитым в § 2 гл. II, введем теперь вспомо-
гательную переменную w при помощи формулы

О = Т(Г1_г)(г“Гг)-

Выберем здесь [3 так, чтобы

3 = 2/,	(4)

и тогда будем иметь уравнения

& = ^~г^г~г^

\dt) г2 г* •	W

Величина w монотонно возрастает вместе с г, и г периодически
колеблется в границах от гх до г2. Из (5) следует

r = r1 sm® -2" + Га cos® -у- .	(7)

В этом случае орбита, как известно, будет эллиптической. Чтобы
доказать это, нам необходимо принять во внимание уравнения для
<р и 0. Так как мы уже доказали, что орбита является плоской кри-
вой, то плоскость XY можно выбрать так, чтобы она совпадала
с орбитальной плоскостью. Тогда имеем <р = 0 и используем
только последнее из уравнений (5) § 2, которое запишем в виде

=	(8)

С другой стороны,

'£= А"—

(9)
и из этого уравнения посредством деления получим

—= dO.	(10)

Интеграл этого уравнения при соответствующем задании постоян-
ных ри е будет записываться в виде

г = Ч^Гссо<Г(ё'-п)’ ’

где л обозначает постоянную интегрирования; (11) представляет
собой полярное уравнение эллипса.

Максимальное значение величины г равно гх, а минимальное —
г2. Для введения обычных обозначении положим

i\ = а(1 4- е), г2 — а (1 — е);	(12)

тогда из (7) получим

г = а (1 — е cos w).	(13)

Вспомогательная величина w называется в астрономии эксцен-
трической аномалией.

Далее из (0), подставляя вместо г выражение (13), после ин-
тегрирования получим уравнение

у‘•>7

w— esinw =- 	(t —1„),	(14)

которое обычно называется уравнением Кеплера. Если из (14)
найти w как функцию t, то с помощью (13) можно вычислить соот-
ветствующее значение /•.

Величины а и е можно легко выразить через постоянные ин-
тегрирования Лх и g. Согласно (1) имеем

, И	'4

Г1Н-Г2=-у-,	Г1Г2= -2у.

Отсюда и из (12) следует

« =	а2(1— е2)=^-	(15)

или

Й2= |/иТ1-74,	(15*)

С помощью этих формул /г2 и / выражаются через эллиптические
элементы. Согласно (16*) § 2 гл. II период будет равен

27’ =• 2\	___- = 2\,	(16*)

J |/ 2цг — 2/г2 — Л2 J V 'Ц

Ю К. Шарлье
или, если подставить вместо г значение (13), то

2Т =

2ла

(16)

Отношение 2л : 2Т называется средним движением п планеты,
которое выражается следующим образом:

/2/_ /и .

(17)

тогда формула (14) запишется в виде

w — е sin w = п (t — t„).

(18)

Теперь выразим постоянные А3, Нъ Н2, Н3 через обычные эл-
липтические элементы. Согласно (5) § 2 имеем

2

2 COS2 ф

(19)

где <р обозначает угол, который радиус-вектор образует с пло-
скостью XY. Следовательно, максимальное и минимальное зна-
чения ф определяются формулой

cos ф = -I- — ,

и так как ф не может превосходить величины наклонения орби-
тальной плоскости к плоскости XY, то

h3 = h3cosi = ]/ pa (1 — e2)cos г.

(20)

Для определения Hlt Н2 и Н3 в (7) § 2 необходимо выбрать опре-
деленные пределы интегралов. Их можно выбрать произвольно
и положить

Г

(21*)

(21**)

0-Л3

ф

I

J—

0 СО82ф

= Н3.

(21***)

r2*L _
dt ~


Если г — гх, то планета находится в перигелии. Из (21*) полу-
чаем, что — Ях = tn — момент прохождения планеты через
перигелий.

Положим также в (21**) г= rj; тогда последний интеграл об-
ратится в нуль, и получаем

где через фя обозначена широта планеты в момент ее прохожде-
ния через перигелий. Если положить

sintp — sini sinu,	(22)

то угол и будет иметь очевидный геометрический смысл (рис. 15)

Имеем

du =

и, следовательно, Н2 = ип —
угловое расстояние перигелия
от восходящего узла орбиты.

Если наконец, положить в
(21***) <р = 0, то получим
Н3 — % — долготу восходящего

Рис. 15.

узла.

Если обозначить через Q долготу восходящего узла планеты,
а через л — долготу перигелия, которая определяется обычным
образом, как сумма угла между осью X и линией узлов и угла в
плоскости орбиты между линией узлов и направлением на пери-
гелий, то получим следующую совокупность значений постоянных
интегрирования, выраженных через обычные эллиптические эле-

менты:

hi = —	,	h2 = ]/ра(1 — е2) ,

h3 = y]ia(i — e2)cosi, Hi= — tK,
U2 —- л — Q,	Н3 = Q.

Постоянные Лх, h2, h3, Hlt H2, H3 называются каноническими эле-
ментами орбиты.

Выражение координат как функций времени будет дано в од-
ном из следующих параграфов. Хотя координаты г, ф и 0 можно
выразить как функции времени только путем разложения в ряды,
по их можно представить в замкнутом виде как тригонометриче-
ские функции вспомогательной переменной — эксцентрической
аномалии w. Из (5) § 2 имеем

r2 df9 _ h 1 /~4	COS»T

dt 2 г cos8 ф

или

Ар ________h-y dt hi dw

V COS2 ф

или

_ V\. — e2du>	<2^.

cos2 i 1 — e cos w ’	' '

* ~’ cos2 ф

и после выполнения интегрирования получим

. sinф о . ! -ж Г 1-|-е . w "I . tr
arcsin Wf = 2 arct§ L V tg TJ + H2

(25)

где постоянная Н2 должна быть тождественной с введенной в (21**)
постоянной интегрирования.

Отсюда получаем

sin ф	гг . п , Г - / 1 + е . w 1 ,

= cos Н2 sm 2 arctg | )/ tg | +

+ sin И. cos2 arctg	tg "г]-

Но

9 х

sin 2 arctg х = r-т-— >

1 -j-
г» i	1 — х*

cos 2 arctg х = г-—5 ,

и поэтому после некоторых преобразовании будем иметь
sin ф	‘/l--e2sinw и , cosw — e . ,,

-	-----------cos 7/2 + ---------sin Я2.	(26)

sin i 1 — е cos w	* 1 1 — e cos w 2	' '

Заметим, что из этого выражения следует

г sinip = a sin itjfl — е2 sin w cos H2 + (cos — e)sinT/2J. (27)

Величина r sin <p обозначает аппликату планеты, которая выра-
жается при помощи приведенной выше простой формулы через w.
Наконец, из (21***) имеем
ф

О — If3 — cos i	-----—

v	- / COS- I

О cos-ф у 1-^47

или, вводя вспомогательную величину и,
а и С cos i du
V il з = \ 7----------------------;—5-1—;—т  ,

° J 1 — sm21 sin2 U ’
0

откуда

0 — H3 = arctg (cos г-tg u).	(28)

Введем снова ф; тогда окончательно получаем

tg (0-Я3) = - 77--?Sin<P 2 •,	(29)

ysm2i — sin2<p	'

где вместо sin ф необходимо подставить его выражение из (27).

Из (29) выводятся следующие формулы:

sin (0 — Н3) = etg i t g ф,

cos (0 — H3) =

У sin2 i — sin2 <p
sin i cos <p

(29*)

Из (25) следует, что

V1 - £т = cos {2 arcl 8 [	lg 1] + н*}

или

/л sin2 <р 1 гт п . Г-1 /” 1 + е , w 1

1 ~ та- = cc,s Яа cos 2 arctg [V тЬ- tg т] ~

— sinH2sin 2arctg [ytg j>
и, следовательно,

-i/". з1п2ф cosio-e „	Vl — e2sinw . тт ,„л.

1/1-----г-Л- = т---------cos II2---------------sm H«. (30)

r sin21	1 — e cos w *	1 — e cos w z i /

С помощью этого выражения и (27) (если положить Н3 = Q,
Н2 = я — Q) получаем

г cos ф cos (0 — Q) = a [(cos w — е) cos (л — Q) —

— У1 —easinws>in (л — й)],
г созф sin (0 — Q) = a cos I [У i — е2 sin w cos (л — О) +

+ (cosг» — е) sin (л — Q)],
rsin ф = asin г [У1 — e2sinwcos(n — Q)

(31)

(cos w — e) sin (л — Q)].
Левые части этих выражений обозначают прямоугольные коорди-
наты планеты в системе координат, ось X которой совпадает с ли-
нией узлов; ось Y лежит в прежней плоскости XY, ось Z совпа-
дает со старой осью Z. Таким образом, эти координаты суть
линейные функции от cos w и sin w. Координаты, относящиеся к
произвольной системе координат, также будут линейными функ-
циями тех же величин.

§ 5. Параболическое движение

Если Aj = 0, то
/rfr\2 2|1Г —
\dt) ~ г2

и если положить теперь

то будем иметь

/ dw\%__3

\ dt )	г2 *

(1)

(2)

(3)

Из (2) следует, что г имеет минимальное значение А2/2|х, от ко-
торого оно неограниченно возрастает. Обозначим перигелийное
расстояние планеты через q; тогда

„__М_
q~ 2|*

(4)

dr
Vr — q

= 1/' ^-dw,
V р

Если, далее, мы определим р таким образом, чтобы

2р

и, следовательно,

B=4L=

Р 2? ft2

то получим

г — q (w2 -|- 1).

(5)

(6)
В соответствии с (3) между w и t будет иметь место соотношение
г dw — р dt

или, если подставить вместо г его значение из (6) и проинтегри-
ровать,

_l_W3 + w = Z₽(f_Q	(7)

или

где через t0 обозначено время прохождения планеты через пери-
гелий. Формулы (6) и (7) определяют радиус-вектор как функцию
времени. Координаты г, ф, 0 можно выразить в конечном виде
как функцию вспомогательной величины w.

Подставим в формулы

(8)

(8*)

вместо <р вспомогательную величину и, а вместо г величину w, где
sin ф = sin i sin и;

тогда из (8) получим

и = Н2 + 2 arctg w,
откуда после преобразований находим

sin <р 2» и- , 1 — w2 . гт
 = -т-;----* COS Н3 4- -р-i-Г ЭШ Z/<

sm i 1 + w2 я 1 + ш2

Имеем также

cos u =

___sin3 <p

sin2 i ’

(9)

(10)

и поэтому
ч/\ sin3<p 1 — w2 „ 2w . гт

1/1-----T~ = -j—: =- COS Hi . , . Sin Hi.	(11)

r sin31	1 + w3 я 1 -j- w3 *	' '
Для долготы планеты 0 из (8*) получаем значение

U
е = 7/з + ^
о

cos idu

1 — sin2 i sin2 и

или

О — II.t + arctg (cos/tgu),
или

tg (9 — На) = cos г tg u.

Отсюда следует, что

cos (0 — II») -

sin (0 — H3) —

cos и_______

Vi — sin2 i sin2 u
cos i sin и ________

У 1 — sin2 i sin2 и

1 / , sin2q>
V_______sin2 i

cos <|>

tgcpctgi.

Заменяя Нз и II2 через Йип — О, после подстановки выражений
(10) и (11) получаем

г cos <р cos (0 — Q) = q [(1 —w2) cos (л — Q) —

— 2wsin(n — Q)j,
r cos q> sin (0 — Q) = q cos i f2w cos (л —12) 4-

-{- (1 —w2)sin (n — Й)],
r sin <p = q sin i [2w cos (л — 12) -f-

4- (1 —w2)sin (л— 12)].

(13)

Таким образом, в прямоугольной системе координат, ось X ко-
тором проходит через восходящий узел плоскости орбиты, коор-
динаты выражаются при помощи (13) через рациональные функ-
ции второго порядка относительно w. Координаты, отнесенные к
произвольной системе координат, также будут рациональными
функциями второго порядка относительно iff.

Если плоскость XY лежит в плоскости орбиты, то 0 будет
долготой в орбите v. Выражение для нее можно получить из (13),
если положить л = 12:

rcos(v — л) = </(1 — и>2),
г sin (v — л) = 2qw,

(14*)

откуда после деления находим

. ,	. 2из

tg^-n)^!-^
так что

«' =	— л)-	с14)

Таким образом, мы имеем следующую сводку формул для вычис-
ления положения тела на параболической орбите:

г =--<7(1 + Щ2),

1
w = tg^-(v — л),

г cos <р cos (0 — й) = q [(1 — u>2) cos (л — й) — 2 wsin (л — й)],

г costp sin (0 — Q) — q cos i [2 w cos (л — Й) +

+ (1 — it2) sin (л — Й)],

r sin <p = q sin i [2 w cos (л — Й) + (1 — ip2) sin (л — Й)].

Для представления координат как функций времени необходимо
использовать разложения в ряды.

Вблизи момента прохождения планеты через перигелий коор-
динаты можно разложить в ряды по степеням времени, которые
сходятся для достаточно больших, но ограниченных интервалов
времени.

§ 6. Гиперболическое движение

Если положительно, то один из корней уравнения

г2ф(г) = 2pr + 2AX/2 — hl = О

должен быть
положить

будем иметь

положительным, а другой — отрицательным. Если

г2ф(г) = 2/^ (г - rj (г - rj,

Гг —

Wi =

JL
hi

%

2hi •

(2)

Расстояние г

между телами имеет минимум, равный rlt и неогра-

ниченно возрастает после того как он достигнут.
Чтобы проинтегрировать уравнение

с/r Д _ 2Л1 (г — rj (г -I- г2)

dt) ~	г3
мы должны ввести, в соответствии с принципами, развитыми в
§ 2 гл. И, вспомогательную величину и>, которую определим так,
чтобы

<4)

тогда получаем

(4.)

Из (4) следует

Г-Г1 = ^-"Я- (5>

Для установления зависимости между г и временем необходимо
последнее выражение подставить в (4*); тогда получим

du> ]/"з(п+ 2fw« + r2)

*г =------------------- (6)

г1+>

Постоянная Р еще не определена. Выберем ее таким образом,
чтобы

^ = Г1 + Г2’	(7)

и затем вместо (6) получим

V3(ri + /-2)(1+W2)

lAi + N^+^U,-	-------= /7f.	(8)

'	3	r₽(r» + r»)(l+w’)	’

Теперь имеем

2 $ У1 -\-v?dw = wjfl -J- w2 + In (w + У1 + w2);

5тй^=1п(ш+ггпг1)-

Из (8) после интегрирования получим

4 /4е »- 2V;:,;4,) 1» <»+

Положим

„ _ >» + п

Х“Г2-П ’

1	2 Уз (Г! + г2) е

Г» — Г1
тогда из приведенного выше уравнения следует

v.w УЛ + w2 — In (w + УЛ + w2) = X (t —10)	(9*)

или

„хш У 1+w»

 с-  _____ = & У-М.	(9)

w + У1 -|- wa

С помощью последней формулы по t можно вычислить w. Здесь
через в мы обозначили основание натуральных логарифмов.

При помощи соотношений (2) получим следующие выражения
для х и X через постоянные интегрирования и Л2:

х=1-л1ГЖ.	(10)

г1

Как будет показано ниже, в этом случае орбита будет гипербо-
лической. Если выразить постоянные через элементы, то будем
иметь

ri = а(е — 1), I
r3 = a(14-e), J

(11)

где а обозначает действительную полуось, а е — эксцентриситет
гиперболы. Далее, согласно (2) и (7)

Л2 = У ра(еа —1),

(И*)

Для х и X получим следующие значения:

(11**)

тогда формулы для вычисления радиуса-вектора гиперболической
орбиты выразятся следующим образом:

г = а (е — 1) + 2aew2,

отвУ 1+w’

О

W-J- У1 + »*

2а /«
= 8
Эти формулы непригодны для расчетов таких орбит, эксцентри-
ситет которых близок к единице. В этом случае а будет бесконечно
велико и, следовательно, по (11*) р — исчезающе мало. Поэтому
для таких орбит рекомендуется при вычислениях избирать другой
путь. При интегрировании (3) можно поступить следующим
образом. Положим

(гМ1'-'1»'-1-'’1'	(13>

и тогда получим

Очевидно, что определенная таким образом величина w обладает
свойством монотонно возрастать вместе со временем. Полагая
теперь

Р = 2k,	(14)

интеграл уравнения (13) напишем в виде

r =	(15)

где использовано обозначение

chw —Ё,-—.	(16)

Так как по (13*)

г div — J^^dt,
то, подставляя вместо г его значение и используя обозначение*)

shw^ 2	.	(16*)

получим следующую зависимость между iv и временем
fL^w + ^^sh«, = /p(Z_Q.	(17)

Если теперь величины а и е заменить в (15) и (17) при помощи
соотношений (И), получим

г = <z(echw — 1),

1	/3 t х	(18)

е sn w — w =	(t —10).

Здесь, в соответствии с (11*) и (14),
J2.... Гё.	(18*)  1	а.!'	’

) Здесь e — основание натуральных логарифмов. {Прим, ред.)
Если обозначить через v долготу в орбите, то в соответствии
с (5) § 2

(19)

Так как, далее,

r = /2Лх(г —^(г + га),

то между дифференциалами г и v имеет место соотношение

dv =

h., dr

(20)

и легко убедиться в том, что этому уравнению удовлетворяет
величина

д(е2—1)

1 е cos (v — л) ’

(20*)

которая представляет собой полярное уравнение гиперболы с
действительной полуосью а и эксцентриситетом е. Вместо величин
ri> г2> необходимо подставить значения (И) и (11*).

Далее можно таким же образом, как для эллипса и параболы,
представить прямоугольные координаты в замкнутом виде как
функции вспомогательной величины w. Если подставить в (19)
вместо dt выражение (13*) и вместо dr (18), то получим

dv = —	.	(21)

а/,3 (ch г« — 1) ecliw —1	' ’

Интеграл этого уравнения имеет вид

<22>

Для гиперболических орбит, эксцентриситет которых близок к
единице, необходимо использовать другие формулы.

§ 7. Отталкивательная сила. Кометные хвосты

Если сила отталкивательная, то р должно быть отрицатель-
ным (= — pj. Если мы теперь рассмотрим уравнение

А|)(г) = — 2рх г + 2ЛхГ2 — hz = 0,	(1)

то отсюда непосредственно получим, что должно быть только
положительным, так как иначе движение будет невозможным.
Один из корней уравнения (1) должен быть положительным, а
другой — отрицательным. Мы положим

Ш2-2,“(Г~?.)(Г	(2)
Будем иметь

Г1 ~ Г2 - х ’
л!

(3)

Из первого из этих уравнений следует, что г\ г2. В подоб-
ном уравнении, рассмотренном в предыдущем параграфе, крити-
ческий корень был, наоборот, численно меньше второго. Мы мо-
жем по своему произволу при интегрировании (2) использовать
либо первый, либо второй метод, описанные в предыдущем пара-
графе. Положим теперь

®2==<Г-Г1НГ+Г2)’	(4)

и тогда

Из (4) следует, что

r = r^ + rA±I?chw.	(5)

(5*)

(6*)

(8)

Если это значение подставить в (4*), то получим
Га W + Г1 + r* sh w == У 2ЛХ (t —10).

Далее,
r*dv = htftt,
и, следовательно,
dv = —т,-	^hidr -------,

г у 2Л1	Г1) (Г + гг)

Если ввести величины а и а, определив их при помощи следую-
щих равенств:

ri = а (а + 1), r8 = а (а — 1),	(7)

то согласно (3) будем иметь

hi = -g-, Ла - УН1«(е2-1).	(7*)

Если принять во внимание соотношения (7) и (7*), то найдем, что
интеграл (6) имеет следующий вид:
Но это не что иное, как полярное уравнение топ ветви гиперболы,
фокус которой не лежит в точке г = 0. Если сила отталкиватель-
ная, то относительная орбита одного из тел будет гиперболой,
второй фокус которой находится в
другом теле («Солнце»).

Для долготы в орбите v получим
из (6*) дифференциальное уравнение
y^=\dw	Синие

-----г—,	(9*) /	,
1+echw ’	' '	— г,~а(1*е)

которое дает

tg±(v-x) = ]/e^th-%-. (9)

Формулы для вычисления относи-	Рис. 16.

тельных орбит двух тел, которые от-
талкиваются обратно пропорционально квадрату расстояния,
таковы:

w + е sh w = (t —10),
a <’

r = a (1 + e ch w),

(10)

Если рассмотреть пространственное движение, то координаты
тоже можно выразить в конечном виде как функции вспомогатель-
ной величины w.

По гипотезе Бесселя хвосты комет образуются из мелких ча-
стиц, которые по указанному закону отталкиваются от ядра ко-
меты. Мы кратко остановимся на этом вопросе.

В качестве орбиты ядра кометы примем параболу. Те величи-
ны, которые относятся к ядру кометы, будем обозначать пропис-
ными буквами, а соответствующие величины для отталкиваемой
частицы — строчными. Например, R и V будут обозначать ра-
диус-вектор и долготу ядра, г и v — соответствующие величины
для отталкиваемой частицы. Справедливы следующие уравнения.

Для ядра:

4- и3+w=—у’»),
3	‘	у 2 Q1-	'

Л = Q (1 + П'2),
ir = tg-L(P-n).
Для частицы:	_

w + е sh iv -К/1*1" (t — <«),
а •’

г — а (1 + е ch w),
tg 4” — л) = ]/"Ниlh “Г w-

(11*)

Обозначая через 3 и s абсолютные скорости ядра и частицы, в
соответствии с (2) § 1 имеем

Затем из интегралов площадей находим

dv ,
r' Ht = /i2-

(13)

Постоянные Н2, h2, ht и элементы орбиты связаны следующими за-
висимостями:

772 =- /2р^,
/г2 = уцга (е3 — 1),

(14)

Сделаем теперь предположение, что в момент времени, когда
частица отделяется от ядра кометы, абсолютные скорости ядра и
частицы равны как по величине, так и по направлению. Следо-
вательно,
г = Ц, v = V,

ds   dS dv   dV
dt	dt ’ dt ~ dt ’

Из уравнений (12), (12*), (13) и (14) находим следующие соот-
ношения между элементами орбиты частицы и координатами ядра
на параболической орбите:

_ _ 2|и । И.	)

R ~ R	' а ’ }

2[tQ — Hia(e2 — 1). J

(15)

Отсюда можно получить для любого момента времени величину
действительной полуоси и эксцентриситета гиперболы, описывав-
мой частицей. Для того чтобы получить остальные элементы, под-
ставим вместо г и v в полярное уравнение гиперболы (8) R и V
и тогда получим

или, по (15),

cos (Г-

сов(Г-Я)=4-(1+^),

(16)

откуда находится л. Если частица отделяется в момент I — Т, то
для определения момента прохождения частицы через перигелий
(на гиперболе) t0 из (11*) получим

.	1 /Я Л

ch W =-------------1 ,

е \ а

w + е sh w —	(7 — £0),

а'’

(17)

где

sh w = Ych2 w — 1 .

После некоторых преобразований приходим к формулам для
определения элементов гиперболы, описываемой частицей:

е2

cos (7 — л) =

1-^

1 1 Р1Я

ch w —

2н
Hi

(18)

а

Я

Q ’

w 4- е sh w =	(7 —10).

а'•

Из этих формул можно сделать некоторые общие выводы.
Действительная полуось описываемой частицей гиперболы имеет ми-
нимум при прохождении ядра кометы через перигелий и затем мо-
нотонно возрастает до бесконечности. Эксцентриситет в момент
прохождения ядра через перигелий достигает максимального зна-
чения, а затем монотонно уменьшается до единицы.

11 К. Шарлье
В момент прохождения кометного ядра через перигелий имеем



е2

2

л = П,

fo — Т

Итак, орбитой будет гипербола, касающаяся в вертексе описы-
ваемой ядром параболы, параметр которой принимает значение
а(еъ—1) =2-~ Q.

Впрочем, это значение имеют все гиперболы. Долгота вершины
гиперболы л при прохождении ядром перигелия равна П и при-
ближается к я = V при возрастании расстояния.

Относительно момента прохождения частицы через вершину
(перигелий) гиперболы следует заметить [это непосредственно из
формул (18) не видно], что если частица отделится перед прохож-
дением через перигелий, то Т — t0 будет отрицательным, если же
частица покинет ядро кометы после прохождения через периге-
лий, то Т — Zo будет положительным. В первом случае частица
после отделения проходит через вершину гиперболической орбиты,
в последнем случае она все более
удаляется от нее. Это непосред-
ственно обнаруживается по на-
чальным условиям движения.
В противном случае орбиты до и
после прохождения через пери-
гелий будут одинаковы.

При движении ядра кометы
частицы постоянно отталкивают-
ся ядром, и каждая описывает
свою особую гиперболу. Все
вместе частицы образуют хвост.
Форму хвоста в различных точ-
ках орбиты и при различных
предположениях о величине от-
талкивательной силы Цх можно
определить по выведенным фор-
мулам. Мы, однако, ограничимся
простым случаем, а именно,
когдарх= 0, таким образом, дви-
жение частицы не зависит ни от

притяжения Солнца, ни от его отталкивания. Тогда орбиты будут
прямыми линиями, которые огибают параболу. Согласно взгля-
дам Цёлльнера, равно как и по другим теориям комет (например,
Аррениуса), такие частицы должны оказываться в кометных хво-
стах, следовательно, соответствующее предположение не являет-
ся пустой фикцией. Заметим, между прочим, что при любом зако-
не отталкивания первую часть орбиты после отделения частицы
можно рассматривать всегда как прямолинейную.

Рассмотрим орбиту частицы Р, которая отделяется в момент
Z; комета (и частица) находятся в точке А (рис. 17). В момент Т
комета находится в В, а частица движется вдоль касательной,
проведенной в точке А, и находится в Ь. Поместим начало коорди-
нат в фокусе параболы (Солнце), пусть ось X направлена вдоль
оси параболы, положительное направление оси У выбрано так,
что ордината У кометы перед прохождением через перигелий по-
ложительная. Если обозначить через х и у координаты кометы
(и частицы) в момент t, через | и г] координаты частицы в момент
Т, через 0 угол, который образует скорость кометы с отрицатель
ным направлением оси X, то будем иметь

£ = х — s(T — /)соз0, |

>1 = У — з(Т — Z) sin 0, J
где з обозначает скорость.

По известному свойству параболы имеем

0 = (v — л) + 90°,
и так как согласно (14) § 5

w = tg-l'fa —я)’

то

cos 0 =

sin 0 =

Далее, из (12)

_V2ix

Vq (w2 -I- 1) *

Согласно (14*) § 5 имеем

х = q (w2 — 1), у = — 2

(19)

(20)

(20*)

(21)

(22)

Если подставить эти выражения в (19), то получим


Если обозначить через w значение вспомогательной величины в
момент I. а через IK — ее значение в момент Т, то по (11)

тогда	_

Т — f =	—	— w3)].	(24)

Подставляя это значение в (23), окончательно будем иметь

£ = <z(w3-l) + J^[jy-w + -L(I¥»-w’)],
т) = — 2qw —	[17 — w +	(И/3 — w3)].

(25)

Отсюда получим уравнение касательной

£ + ил) + q (1 + w2) = 0.	(25*)

Пусть теперь W остается неизменным, а время t принимает
все значения, меньшие Г; тогда мы получим значения £ и т] всех
точек, которые в момент Т образуют хвост. Мы получим уравне-
ние кривой, ограничивающей хвост, если исключим w из обоих
уравнений (25). Если X и Y — координаты кометы в момент Т,
то

Х = <7(^-1), |

Y = —2qW.	J	(2G)

Введем затем обозначения

B--l-(E-X),

н = у(ч-Г),
и тогда

3 - w2 - W2 +	[17 - w + 4- (И/3 -w3)],

н = - 2 (w - 17) -	[17 - W + 4 (IF3 - W3)]

или

S = (w - W) {w + W - -^[1 + 4 (w2 + wW + IF3)]},
H=(w-17){-2+^-1[1 + 4- (w3 + wl7-MV2)]}.
Для тех частей хвоста, которые находятся вблизи ядра, w — W
мало. Поэтому введем величину и, которую выберем так, что

w = IF + и,	(28)

и тогда в результате преобразований

2 (И7 J-u) 4-1^ 1

Е — »2 __1 _i________х 6	'

L	i^Wi-’r2Wu+u?	(29)

2м2 (тг + и)

Н = ~ 1 + IP 2П7и 4- и2'

Если из этих уравнений исключить и, то получим уравнение хво-
ста кометы. Если, в частности, и мало (рассматриваем ту часть
хвоста, которая находится вблизи ядра), то*)

“ и и72 +1 ’

гт 2 2TF

Н — 11	.

(30)

откуда получаем

(IF2 - 1) Н + 21FS = 0.

Но если принять во внимание соотношения (26), то это уравнение
можно записать в форме

ХН — УЗ = 0.	(31)

Таким образом, для малых значений и линия, ограничивающая
хвост, будет прямой, которая располагается в направлении ра-
диуса-вектора.

Отсюда следует, что огибающая (29) для головы кометы имеет
точку возврата, касательная к которой направлена в сторону,
противоположную Солнцу. В этом мы находим объяснение тому
известному факту, что хвост кометы направлен в сторону, проти-
воположную Солнцу. Следует отметить, что это утверждение со-
храняет свою силу при любых значениях рх.

Из (29) следует соотношение

3 + (IF + и) II + и2 = 0.	(32)

Исключая из этого уравнения и второго из уравнений (29) и,
получим уравнение четвертой степени для координат. На рис. 18

*) При этом пренебрегаем членами со степенями и выше второй. (Прим,
ред.)
изображена форма, которую принял бы хвост при сделанных
предположениях в случае удаления кометы от перигелия на 90°,

как до прохождения через перигелий,
так и после прохождения через него.

Пусть W = + 1- Достаточно под-
ставить в (29) одно из этих значе-
ний. Тогда получим форму кометного
хвоста как до прохождения кометы
через перигелий, так и после его про-
хождения, когда и соответственно при-

нимает отрицательные или положитель-
ные значения. Если положить W =

= — 1, то будем иметь

Н =

/’	2 \

2 и2 (— 1 -|- -g- и j

2 — 2и + м» ’

Н = (1 — п)Н — и*.

В исследованиях Бесселя о форме хвоста кометы координаты
частицы разлагались в ряды по степеням времени. Этот метод
затем был развит Бредихиным в его известных исследованиях о
хвостах комет*).

§ 8. Задача двух тел, как пример условно-периодических
движений

В соответствии с (7) § 2 полярные координаты в задаче двух
тел определяются следующими формулами:

(1)

Если г и <р для двух значений времени t принимают одни и те же

•) Работы Бредихина продолжил С. В. Орлов и др. [20]. (Прим, перед.)
значения и соответствующие значения 6 отличаются на величину,
кратную 2л, то для этих двух моментов времени оба положения
тела одинаковы. Если через Q обозначить произвольную перио-
дическую функцию от 0 с периодом 2л, то согласно (1) г, <р и 0
будут условно-периодическими функциями от + t, Н2 и Н3.
В соответствии с § 3 гл. II для элементарных периодов получим
следующие значения:

©и = 0.

®32 = 0>

(о13 = 0,	®2з = — cos i \ —rf<p

^.СОВ’ф/ф

где

Я = ^ + 2Лг-^-,

®33 = Я»

и где вместо ht и h3 следует подставить их значения из (23) § 4.
Из (16*) и (17) § 4 имеем

Ю11 = Т = 2L ,	(2)

где п обозначает среднее движение.

Согласно (5) § 4 зависимость между эксцентрической анома-
лией w и радиусом-вектором г выразится следующим образом:
dw   dr	f<3^

V2f~ г VR'	W

Подставляя из (3) dw вместо dr в co12, получим для со12 выражение

те
Ла С dw
(012	--Г= \ А------- >

a Y2f J1 — е cos w

или на основании (23) § 4
« Г---------------------------------

SV 1—e*dw	,,л.

~7--------•	(4*)

1 — е cos w	' '

о

Подставим

. v 1 Л1 + е. w
Ъ-2- = У ГГ-etgy
и получим

dv =

1 — е cos w

Следовательно, имеем

®12 = — Л

Далее,

(4)

Если положить

rf<p

cos2 i

cos2 ф

sin<p = sin i sin «
то отсюда следует, что

(5*)

и тогда получаем

du —

<7ф

cos2 i

~~ COS2 ф

©22 — л,

(5)

Для вычисления элементарного периода ©23 введем опять при
помощи соотношения (5*) угол и и тогда получим

du

0)q3 '—’ 1 COS t \ т ;	; 5 *

J1—sm21 sin2 и ’
о

ИЛИ

я

_ __ COS 1 1‘ Г___1_______I_______1______1 ,

®2s —	2	1 —sin i sin и "г l-J-sinisinuJ U’

и

Заметим, однако, что этот интеграл имеет точно такую же форму,
как и интеграл (4*), и следовательно,

©23 = — «.	(6)

Наконец, имеем

©зз = л.

Объединяя результаты, будем иметь

©и = л/ге, со21 = 0,	©31	=	О,

©12 = — Л, 0>22 = Я, ©32 = 0,	(7)

©13 ~ 0,	©23 ~ — Л, ©зз — л.

Тогда для определителя | ©^ | получим следующее значение:

I । л3

(8)
которое оказывается отличным от нуля. В соответствии с (21)
§ 3 гл. II можно ввести вспомогательные переменные н{, полагая

л (< + Нг) = ult
лН2 = — nil! + ям2,
лНз = — лиг + ям3.

или

тогда

мх = п (t + Ях),
— iii + и2 == Н2,
— и2 + и3 = Н3;

ui ~ п G + ^Л)>
и2 = п (t + 7fx) Н2,
и3 = п (£ + Hi) + Н2 + Нз.

(8*)

(8**)

Отсюда видно, что в задаче двух тел координаты г, ф и 0 суть
периодические функции от ut, и2 и и3 с периодом 2я, или. что то
же самое, периодические функции трех величин

n(t + Hi), Н2, Нз

с периодом 2я для каждой из них. Вспомипая теперь, что Н3 рав-
но долготе восходящего узла Q, а Н2 равиЪ разности между дол-
готой перигелия я и долготой восходящего узла, найдем, что лю-
бая ограниченная функция Т от г, ф и 0 может быть записана
в следующей форме:

Т(г, ф, 0)=	3	ЛокеПп<'+я>)+>п+к(я-о>1/~Ч	(9)

i. j, fc=—оо

Коэффициенты Лъ)с могут быть вычислены по формулам (24*)
§ 3 гл. II и будут зависеть только от значений большой полуоси,
эксцентриситета и наклонения орбиты планеты.

В специальных случаях форма разложения (9) может быть
упрощена. Из (1) непосредственно обнаруживаем, что г является
периодической функцией wlt которая не зависит от Н2 и Н3. Да-
лее, ф является периодической функцией от wx и Н2, не зависящей
от Нз. Очевидно, что это имеет место и для 9 — Н3.

Переменная их называется средней аномалией планеты. Обоз-
начим ее через М; тогда

М - п (I -|- Н^.	(10)

Приходим к следующей теореме: любая функция Y (г, ф, 0— Й),
которая периодична по 0 — й с периодом 2л, может быть пред-
ставлена как периодическая функция М и я — й.
Если ось X направлена вдоль линии узлов, то прямоугольные
координаты планеты будут иметь указанную структуру. Соответ-
ствующие разложения этих функций исследуем в следующем
параграфе.

Так как элементарные периоды связаны соотношениями
©и + ©га 4" ©за = 0,
©13 4" ©83 4- ©зз = 0,

то в задаче двух тел выполняются те условия, которые необходи-
мы согласно § 3 гл. II для периодичности движения во времени.
__	_	2л

Период равен или —, что уже известно из предыдущих па-
раграфов.

§ 9. Представление координат как функций времени

Прежде чем переходить к прямоугольным координатам, пред-
ставим сначала радиус-вектор как функцию времени. Так как
радиус-вектор определяется уравнением

то, как известно из § 2 гл. II, гявляется периодической функцией
времени с периодом —, для которой согласно (16*) § 4 имеем

К

(2)

Если ввести среднюю аномалию М:

М — п («4- Нг) = п (t— tn),

(3)

где tn обозначает время прохождения планеты через перигелий,
то г будет четной функцией М, которая может быть разложена по
косинусам кратных М. Положим теперь

— = Во 4- cos М + B2cos2Jf 4-____________

Л	it

(3’)

причем для коэффициентов по теореме Фурье имеем значения

В<= — ^-cosiMdJf.

Л J а
о
Для вычисления этих интегралов введем вспомогательную вели-
чину w из § 4. В соответствии с формулами (13) и (18) указанного
параграфа имеем

— = 1 — е cos w,
а

М —w — esinw,

(5)

следовательно,

dM = (1 — е cos w) dw.

(5*)

Интегрируя по частям и принимая во внимание первое из уравне-
ний (5), получим

Bs = —sin iM sin w dw,
‘ rti J

о

или

n

Bi — cos [(i + 1)w — sin w} dw —

0

n

— -4r\cos[(i — l)w — ie sin w}dw.

Jll J

0

Введем в рассмотрение интегралы следующего вида:
п

J* =	cos (iw — к sin w)dw,	(6)

о

и в этих обозначениях получим

Bi=-^(^:1-Ji171).	(7)

Интегралы вида (6) называются бесселевыми интегралами или
бесселевыми функциями.

Если под f понимать значение w, которое лежит между преде-
лами интегрирования 0 и л, то

Л = cos (i£ — к sin В).	(8)

Из этого выражения следует, что

1)	/к непрерывно и при действительных значениях i и к за-
ключено между — 1 и -|- 1;

2)	J* ни при каких значениях к (действительных или комп-
лексных) не может обратиться в бесконечность. Поэтому функции
Бесселя могут быть разложены в абсолютно сходящиеся ряды по
степеням к. Это разложение имеет вид

= ТГ (4) {1— 1 (i + 1) (т) + 2! (* 4- 1)(* 2)( 2") “•••}• (9)
Функции Бесселя связаны между собой следующими рекуррент-
ными соотношениями:

kJ1*1 — 2iJfc + к№ = 0,	(10)

при помощи которых, если известны J0 и J1, могут быть вычис-
лены любые функции. Функции J° и J1 были затабулированы
еще Бесселем. Для вычисления бесселевых функций с большими
значениями i следует рекомендовать данные Ганзеном разложе-
ния при помощи непрерывных дробей.

Бесселевы функции удовлетворяют следующему однородному
линейному дифференциальному уравнению второго порядка*):

S + tS + (!—-&Р = °-	(И)

dk2 1 к dk 1 \ к2 j	' '

При i = 0 формулы (7) для Bi непригодны. Возвращаясь к форму-
ле (4), легко получим

4»o = i+p.

(12)

Перейдем теперь к представлению прямоугольных координат как
функций времени.

Если ось X направить по линии узлов, то для координат х0,
у0, z0 согласно § 4 имеем следующие выражения через эксцентри-
ческую аномалию:

— = (cos w — е) cos (л — Q) — )/1 — е2 sin wsin (tn — Q),	]

й ______________ |

-у = cosi [)Л1— e2sinwcos(n— Q)+(cosw—e)sin(n—Q)],	(13)

-y- = sin i [ /1 — e2 sin w cos (л—Q) + (cos w—e) sin (л—Q)].

Коэффициенты в разложениях x, у и z по кратным средней анома-
лии зависят от вычисления следующих интегралов:

п

Ci = (cos w — е) cos iM dM,
о

(14)

Dt = —sin w sin iM dM.

и

♦) Теорию бесселевых функций см. в [21]. (Прим, перес.)
Теперь найдем
с<=

о
или
п

2 С

Ci = —г \ sin iM sin w dw.

Ль J
0

Подобным же образом получим

Di = —-—.----\ cos iM cos w dw.

Л1 J

0

(15)

(16)

Подставляя вместо M выражение (5) и принимая во внимание (6),
получим

G=|(/i71-4+1),

(17)

Согласно (14) для i = 0 получим
я

2 р

Со = —\cosw(l —ecosw)dw — 2е =
о

2 (*

— \ е cos2 w dw — 2e = — Зе.

Л J
о

Z>o = O.

Если принять во внимание непосредственно получающееся соот-

ношение

(18)

то будем иметь

ОО

cosw — е= 3	Ji? cos iM,

i——oo

oo

yi—e2sinw= Yi — e2 3 4-/м1 siniM,
i=—oo

(18*)

где член, соответствующий i = 0, в первом ряде следует поло-
3

жить равным —ув, а в последнем — нулю.
Если ввести в орбитальной плоскости прямоугольную систему
координат, ось X которой направлена от Солнца к перигелию, и
обозначить координаты через £ и т], то, как непосредственно вид-
но из (13), будем иметь

£ = a (cos гр — е),
ц = a Y— е2 sin w,

и, значит, можно написать

а;0 = geos (л — й) — т) sin (я — й),

у0 = [ g sin (я — й) + ц cos (я — й)] cos г,
z0 = Уо tg i-

Поэтому имеем

ОО	'

g = fl 2 7 ^ie1 COS iM,

oo

t] = a /1 — e2 3 siniAf,
i=—oo

(19)

(20)

(21)

откуда и вытекают разложения для х, у и z. Итак, эти коорди-
наты представлены как периодические функции времени, причем
коэффициенты являются периодическими функциями от л — й,
как это a priori было доказано в предыдущем параграфе. Ряды
(21) сходятся при любом значении времени и для любого значе-
ния эксцентриситета < 1.

При помощи (9) координаты можно разложить в ряды по по-
ложительным степеням эксцентриситета. Полученные таким об-
разом ряды, расположенные по возрастающим степеням эксцен-
триситета, сходятся не для всех значений эксцентриситета, мень-
ших единицы. Величину круга сходимости этих рядов мы иссле-
дуем в одной из следующих глав.

Если перейти теперь к произвольной системе координат, ось
X которой образует с линией узлов угол й, и обозначить в этой
системе координаты через х, у, z, то будем иметь

х = x0cos й — posin О» 1

у = х0 sin й + у0 cos й, }	(22)

z = z0,	J

и, следовательно, согласно (20) эти координаты можно записать в
форме

X — ilg + 5ц,
у = 4xg +51П,
z = 48g + Б,т),
где коэффициенты А и В имеют следующие значения:

А = cos (л — £2) cos £2 — sin (л — £2) sin £2 cos i,

В = — sin (л — £2) cos £2 — cos (n — £2) sin £2 cos i,

= cos (n — £2) sin £2 + sin (n — £2) cos £2 cos i,
Bi= — sin (n — £2) sin £2 + cos (л — £2) cos £2 cosi,
A2 = sin (л — £2)sini,

В2 = cos (я — £2) sin i.	J

Общие выражения для координат в задаче двух тел как функции
времени даются при помощи (23) и (21).
ГЛАВА V

ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ

§ 1. Первые интегралы задачи трех тел

Обозначая через ж,, yi, Zi абсолютные координаты массы т,
для силовой функции V имеем выражение

F = 2 kimimi t
i, j=l ГИ
i<3

где А? обозначает постоянную тяготения, a

(1)

= (Xi — Ж,)2 + (Уг — У})2 + (Zi - Zj)2.

Тогда дифференциальные уравнения движения будут

(1*)

d*x.
mi ~dt*

m'~di^

d*z.

дУ
dxi ’
дУ
dVi ’
дУ

mi dt* ~ dzj ’
(г = 1, 2, 3).

(2)

В ряде исследований удобно все три координаты обозначать од-
ними и теми же буквами. Пусть

— абсолютные координаты первого тела,

ж4, ж5, Хв —	»	»	второго » ,

ж?, ж8, х9 —	»	»	третьего » .

Для симметрии условимся обозначать массу первого тела через
или тп2, или т3, массу второго тела — через тп4 или т6, или
me и т. д. Положим далее
dx,

yi=mi~dF (i = l, 2, .... 9),	(3)
тогда для живой силы Т получим выражение

Так как силовая функция зависит только от координат
(и явно не зависит от времени), то

Н = Т - V,	(5)

и канонические дифференциальные уравнения запишутся в виде

_ дН_

dt dyt

•’Vi _ дН
dt	dxi

(i = l, 2, ..., 9).	(6)

Дифференциальные уравнения (2) или (6) обладают десятью
алгебраическими интегралами. Существование этих интегралов
обусловлено определенными свойствами характеристической функ-
ции, а именно:

1.	Если Н не зависит явно от времени, то имеет место интег-
рал живых сил.

2.	Н не зависит от положения начала координат, так как изме-
нение его положения не влияет на значения скоростей и расстоя-
ний. Отсюда вытекает шесть интегралов центра масс.

3.	Н не изменяется при повороте системы координат, и, следо-
вательно, существуют три интеграла площадей.

Разберем эти вопросы более подробно. Так как Н не содержит
явно времени, то согласно § 8 гл. I существует интеграл

Н = h = const,	(7)

который называется интегралом живых сил.

Подставляя в Н значения Т и V, получим этот интеграл в виде

или

1 v	।

(7*)

(7**)

Если выполнить перенос начала координат на величину — а в
направлении оси X, то при этом xlt х4 и увеличатся на величи-
ну а, а остальные координаты останутся неизменными, и так как
при таком переносе Н изменяться не будет, то имеем

2
ст дН

i=o d®8i+1

= 0,

12 к. Шарлье
а также

2

Y dH

4=0	31+2

2

3^ = 0.
Eo a*»>>

Поэтому,

в

соответствии с (6), имеем уравнения

2	2

S^ai+i _ у fZ^3i+2
dt ~ dt
i=0	i=0

4=0

из которых

после выполнения интегрирования находим
2

2 Уз!+1 = а1»
4=0

2

2 Уз4+2 = a2i ‘

(8)

2

3 y»i+3 = ®3>

4=0

где а1( а2 и а3 обозначают три произвольные постоянные интегри-
рования.

Принимая во внимание соотношения (3) и обозначая через
&1» bt, Ъ3 три повые постоянные интегрирования, в результате еще
одного интегрирования получим

2

^1 '«34+1*34+1 = Ч"

4=0

2

2 пгз4+2*з4+2 = аг^ + ^з»

4=0

2

2 п1з4+э*з4+з — aat + Ь3-

4=0

(9)

Уравнения (8) и (9) называются интегралами центра масс. Если
обозначить сумму трех масс через М, а координаты центра масс
через Х^9 X2, X3t то

2
MX\ = 2 '«34+1*34+1,
4=0

2
MX% = 2 '«34+2*34+2,
4=0

2
МХз = 2 '«34+3*34,3,
4=0

(Ю)
и, следовательно, согласно (9) имеем

MXi = ail + (i - 1, 2, 3),	(10*)

а из (8)

Yi = си (i - 1, 2, 3),
где
dX,

(10**)

Итак, центр масс движется прямолинейно и с неизменной ско-
ростью. Так как силовая функция зависит только от взаимных
расстояний тел, то она остается неизменной при повороте системы
координат. Полагая

^31'4-1 = $3i-t-li

•^31+2 ~ ®3i4-2 COS ф — Я&+3 sin ф,

^ЗЦ-З ”. Я%1+8^1Пф “|” Жз1-|-зСО8ф
(г = 0, 1, 2)

и выражая силовую функцию через новые координаты xt, полу-
чим [22]:

-|^(^, х2, ..., х9) = 0
или

V / dV	'	. dv	 \	„

Л ( —	—^зг+з +	—^siiз 1—0.

\	^зм	&x3i-m '

Последнее уравнение остается справедливым, если вместо коорди-
нат со штрихами подставить прежние координаты х^ Но по (5)
дН = _ _3V_
дх. ~ dxt >

поэтому

ЭЯ	ЭЯ

a. $31+3 я_ $31+2
oa:3i-‘-2	OX3i+3

= 0.

Теперь, принимая во внимание уравнения (6), имеем

2 (х31+ъУз1 13 — $3i+si/3ii 2) --- 0.

(11)

Циклической перестановкой индексов получим два аналогичных
уравнения. Если проинтегрировать эти уравнения, то получим
три интеграла площадей:

3 (^зг+аУзР-з — хз(+зУз1+г) =  2 (®зьзУз<+1 — а:з{,1Уз{+3) = с2,  2 (х31+1Уз1.1 — x3i, аУз! н) ’  сз,	(12)

где Ci, с2, с3 обозначают постоянные интегрирования. Вводя вновь
для прямоугольных координат обозначенная xi, yi, zt, выразим
интегралы площадей следующим образом:

(12*)

Если изменить направление координатных осей, то постоянные
сг, с2, е3 также изменятся, однако сумма

с\ + 4 + 4

останется неизменной. Направление координатных осей можно
выбрать так, что с2 = с2 = 0. Определенная таким образом пло-
скость была названа Лапласом неизменяемой плоскостью. Учи-

тывая то значение, которое эта плоскость имеет в ряде исследо-
ваний в теории возмущений, получим формулы для определения
положения этой плоскости.

При повороте координатной системы координаты х, у, z преоб-
разуются в новые координаты х', у', z', которые связаны с пре-
дыдущими при помощи ортогональной подстановки. Пусть она

имеет вид

х’ = О1Ж + Р1У + Yiz,
у' = а2х + Pjp + y2z,
z' = а3а: + РзУ + Уз z,

(13)

и между коэффициентами имеют место шесть соотношений

а?+а2 + аз = Pi + Ра + Рз = Ух + Та + Уз = 1»	1

P1Y1+ РаУа + РзУз — aiYi + а2у2 +азУз ~ aiPi + а2Ра + азТз = 0. J
(13’)
Отсюда получаем

+ (Тг«з — ТзЛг) (z $ ~ ж 4?) + (“2₽3 ~ Яз₽2> \х lit ~ У w) • (14)
В новых координатах х', у', z' интегралы площадей имеют форму

[ , dy'. , dx. \
т'\хЧй—Vi-dr)=c3-

Умножая (14) на mt и суммируя эти выражения для всех тел, по-
лучим

С1 = (₽2уз — РзУг) ci + (У2«з — УзО2) с2 + (а2р3 — (ХяРа) с3

и отсюда посредством перестановки индексов получим еще

«j = (Р гУз — РзУг) ci + (у2а3 — Уз«г) с2 + (а2р3 — а3р2) с3,
4 = (PsYi — PiYs) сх + (Ys«i — У1аз)с2 + (а3?1 — «jp3)c3,
сз = (P1Y2— P2Yi) ci 4" (Yi“2 — Y2<Xi)c2 4" (diP2 —агР1)сз-

(16)

Эти формулы можно записать проще. Действительно,
(РгУз — РзУг)2 4- (PsYi — PiYs)2 4- (P1Y2 — P2Y1)2 =

= (Р? 4- Й 4- ₽|) (y? 4- Yl + Yl) - (P1Y1 4- PSY. + Рз Y:.)2 = 1,
и тогда имеют место тождества

Pi(PaYs — P3Y2) 4- Pa(PsYi — PiYs) 4- Рз (P1Y2 — P2Y1) = О»

Yi(P2Ys — РзУг) 4- Y»(PsYi — PiYs) -I- Y3 (PiY2 - 33Yi) = 0-

Сопоставляя эти равенства с тремя следующими,
2 I 2 I 2 j
cti +<*2 + аз = 1»

aiPi 4-а2р2 4-аз₽3 = О,

aiYi 4-а2у2 4-а3у3 == О,
находим, что

+ di == р2у3 — РзУг,

±а2 =- p3Yi — PiYs,
±аз = PiY2 — P2Yh
где в левых частях необходимо одновременно брать либо знак плюс,
либо знак минус. Если обе координатные системы должны совпа-
дать, то коэффициенты а, Р, у должны принимать следующие зна-
чения:

ai=1, Pi=O, уг=0,
Ог=0, Рг=1, Ya=O,
а.з=0,	рз=0,	Уз=1-

Отсюда следует, что в указанных выше соотношениях единственно
возможным является знак плюс, и поэтому имеют место соотно-
шения

Oi — ЗгУз ЗзУг,
а 2 = ЗзУх — 3iYs,
аз = ₽1Уг — PiYv

(17)

из которых путем перестановки индексов получаются шесть ана-
логичных зависимостей. Следовательно, уравнения (16) приобре-
тают вид

<*1 •= ал 4- .Bic, 4- Yics,

= a 2ci 4- ₽2сз + Ysc3,
с3 = аяС1 4- Ззса 4- YaCj.

Сравнивая эти соотношения с (13), приходим к заключению, что
при повороте координатной системы постоянные площадей преоб-
разуются таким же образом, как и координаты. Из (18) следует,
что

ci 4" с2 4~ сз = ci 4* сг 4" сз = с2,	(19)

где с обозначает постоянную, нс зависящую от положения коор-
динатной системы. В частности, координатную систему можно
повернуть таким образом, чтобы — с2 — 0. Умножая урав-
нения (18) на а1,аг,аз и складывая результаты, а затем выполняя
то же самое с plt р2, р3 и т. д., получим три уравнения:

с, = axCi 4- <х2с2 4- «зСз,
С2 =	4- р2с2 4“ Р3С3,

Сз = YiCi 4- Т2С2 4- Т3С3,

(18*)
которые при = сг = 0 переходят в следующие:

'	<=г

Vc’+с’+с» ’

_____Сз

V4+cl+cl '

(19*)

При помощи этих уравнений определяются косинусы углов, ко-
торые нормаль к неизменяемой плоскости образует с первоначаль-

ными координатными осями.

Если через у обозначить наклон неизменяемой плоскости
к плоскости XY, а через П угол, который образует с осью X

Полученные в этом параграфе заключения остаются справедли-
выми и в случае, если вместо трех масс рассматривается произ-
вольное число масс, притягивающихся по закону Ньютона. Дейст-
вительно, необходимо только распространить суммирование в
формулах (7**), (9) и (12*) на все тела системы.

Если в нашей планетной системе плоскость эклиптики принять
в качестве основной плоскости XY, то, как известно, координаты
z всех больших планет будут малы. Отсюда согласно (12*) следует,
что в планетной системе постоянные сг и с2 имеют малые значения,
и поэтому из (20) находим, что наклон у неизменяемой пло-
скости к плоскости эклиптики должен быть мал. Для определе-
ния положения неизменяемой плоскости следовало бы подставить
в (12*) значения координат и скоростей планет в определенный
момент времени и, принимая во внимание значения масс, вычис-
лить постоянные clt с2 и с3.

Так как массы планет известны недостаточно точно, то опреде-
ление положения неизменяемой плоскости выполняется неуве-
ренно. Эта неточность, однако, так незначительна, что для прак-
тических нужд положение неизменяемой плоскости можно
определить достаточно строго. В дальнейшем мы обнаружим, что
использование определенной таким образом плоскости в качестве
плоскости XY при исследовании движения тел в планетной си-
стеме приносит определенную пользу.

§ 2.	Уравнения движения в относительных координатах

При помощи известных 10 первых интегралов проблемы трех
тел (интеграла живых сил, шести интегралов центра масс и трех
интегралов площадей) можно понизить порядок системы диффе-
ренциальных уравнений движения с 18 до 8. Итак, подходящим
выбором координат дифференциальные уравнения движения мож-
но свести к системе с четырьмя степенями свободы; позже это
понижение порядка мы фактически выполним *).

Обычно система дифференциальных уравнений минимального
порядка не используется. В большинстве случаев довольствуются
использованием 6 интегралов центра масс и с их помощью пони-
жают порядок системы с 18 до 12.

Если обозначить через барицентрические координаты, т. е.
координаты относительно центра масс, так что

^si+i — Xi +	. 1,

$3i+2 — ^2 + 5зр2,	, ..

_ Y I t	С1)

^3i+3 — Аз "Г Ssi+3

(/ = 0,1,2),

то согласно (10) § 1

2 ^Si+eSsi+s = 0 (s = 1, 2, 3),	(2)

1=0

а, значит, также

2 ^Si+stsi s = 0 (в = 1, 2, 3),

ИЛИ

2’lai+s = 0	(3 = 1, 2,3),	(3)

♦) Если использовать капоничесую форму, то порядок системы можно
понизить даже до 7. Ср. § 10.
если положить

тц =

(3*)

В силу (3*) и уравнений (3) и (10*) предыдущего параграфа из
(1) получаем

2/si+s = —(s — 1> 2, 3).

(4)

Если это значение подставить в выражение (4) § 1 для живой
силы, то„ принимая во внимание (3), получим

2

«•>

Итак, полагая

1 п2

(5*)
будем иметь

(/=1.2......9).	(5)

dt tty. ’ dt	'	’ ’	’ ’	' >

Следовательно, если начало координат находится в центре масс,
то дифференциальные уравнения имеют ту же самую форму, что
и для абсолютных координат.

Необходимо заметить, что новые координаты связаны соотно-
шениями (2) и (3), так что среди новых координат независимыми
будут только шесть. Следовательно, координаты & можно заме-
нить через шесть других координат. Обычно в качестве таких
координат выбираются координаты, отнесенные к системе с нача-
лом в одной из масс. Такие координаты называются относитель-
ными.

Обозначим через А, В и С три тела и примем С в качестве на-
чала координат; при этом в качестве барицентрических координат
С будут приняты |7, |8 и £0. Тогда относительные координаты бу-
дут

для А: — g7, g2 — g8,	— ge,

для В:	£7, £s — £в — Ie-

Если эти относительные координаты будут определены, то будут
также известны и значения барицентрических координат. А имен-
но, из (2) имеем

тЛ +	+m7g7 - 0,

тг - g7) + mt - |7) + Afg, = 0,
так что барицентрические координаты можно вычислить по отно-
сительным координатам при помощи формул

А/?, = — ^1(^1 — l-i) —	—	&),	)

М& = - m2(g2 - g8) - тп6(£6	-	g8),	|	(6)

М& = — m3(l3 — I») — ™в(£в	—	&>)•	'

При выводе дифференциальных уравнений для относительных
координат будем исходить из уравнений

d^i »У	Л О П\	/-7Ч

7И{	(г 1,2,..., 9),	(7)

которые тождественны с уравнениями (5). Обозначая массы А,	
В и С через та, ть и те, из (7) получим:	
. SV	та ЭУ  dt*	Э51	тс	’	
т	_ дУ	та ду  та dt*	д£.г	тс	’	(8)
„ rf2 (&-&)_ W ™а ду	
dt*	тс	

и

т d’-fa-h) _	dV	mb	dV	
"lb dt*	5^4	mc	аГ»	
„ d*(^-W	dV	mb	sv	
mb dta	35s	mc	a^g ’	(8*)
m d*fa-W _	dV	mb	sv	
ть dti		mc	a?9 •	

Очевидно, что в уравнения (8) и (8*) входят только относитель-
ные координаты, так как расстояния между телами, а следова-
тельно и V, зависят только от этих координат. Эти уравнения мо-
гут быть представлены в канонической форме. Если в соответ-
ствии с рассуждениями § 8 гл. I положить

fJl “ £1	?7, Я 2 ~ ?2

и т. д., то живая сила Т выразится через величины qi и соответ-
ствующие канонические переменные pi, определяемые уравне-
нием

Pi

ОТ
fy’i
$ 2] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОТНОСИТЕЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 187
после чего будем иметь

d<h дН dPi дИ а 4 9 fix

~1Г = -^1 ’ ~dt~ ~	(г = 4’ 2....6)-

Мы будем искать эти канонические относительные координаты
в следующем параграфе. Обычно используют только относитель-
ные координаты, которые не являются каноническими. Если по-
ложить

= Bi —	Вт,	=	Bi	—	в?.	]

92 = В2 —	Be,	?5 =	Вб	—	В»,	/	(9)

9з — Вз	В»,	Яъ —	Be	—	Во	I

и комбинировать с этими координатами	шесть	величин pt, опреде-

ленных так, что

Pi = "4^T (i = l, 2, ...,6),	(10)

то можно получить дифференциальные уравнения для pi и
хотя и не в канонической форме. Они могут быть приведены к
форме, которая имеет некоторое сходство с канонической, и по-
этому она была названа Пуанкаре полуканонической [23].

Имеем

у =

rab

к'т1,тс . кг'*ста
rbe “Г гса

(11)

где

rlc =	(В4	- Вт)2	+	(В5	-	Be)2 +	(Be	- В»)2,

г?а =	(Вх	- В,)2	+	(В2	-	Вз)2 +	(Вз	- В»)2,

Гао =	(В1	- В4)2	+	(Вз	-	В5)2 +	(Вз	- Be)2.

Эти уравнения могут быть записаны также в форме

гъа = 94 + 92 + 92,

Ла =-- Я1 + я1 + 9?,

Ль (91 — 9л)2 + (9г — 9.-,)2 + <9з — 9«)2-

(12)

(12*)

Для получения входящих в (8) и (8*) частных производных от
V сначала заметим, что

дУ _ дУ_

при i — 1, 2, . . . , 6. Таким образом, уравнения (8) и (8*) имеют
(13)

форму

та



dt*

Но

ть

d*q.

—	dV	_	”tg	dV

~	"ic	«5i+e

dV	mb	gy

dt* d?i тс d^i+6

дУ _

следовательно,

а также

Далее имеем

(4 - 1, 2, 3),

(i = 4, 5, 6).

klnlbmc^~^ k2mcnia^i — ^)



.3
са

"1а дУ _
тс д£7



.3
Ьс

к*т2 ?1

г3
са

>>lb 9У

"*c ^7

к*тьтаЧ1

A2mgg4

ca

/-(—) = О,
tyl \ '•fcc /

Если положить

V^V -f

Уа = У 4

kima
rac
k*m^
rac

то уравнения

<h

ca

(13)

ть

та

k*ml

' rbc	
!	*2'«b	
rbc	
примут	ВИД
	dVt
	
dt*	d91
<>29i	дУг
dt* ~	dq.

Вводя теперь величины

,з
ас

.3
cb

J_l_L
d4i V '‘ca

Л-/па/пь

г»
"be

к2тать

Г3
ас

94

4

(*7i*7i+ <7з*7в + 7з7в)>

(«71*74+ 7а?5+?з7в),

(i = l, 2, 3),

(г = 4, 5, 6).

rf9i

P^mi~dF

(14)
и полагая

3 2

2 *

Яа х= 4

/‘2,гаа	*2"1Ь

lu-

ас

к2татЪ

be

Pi

т-

i —4	1

г3

гЬс

Л’2"'а

-7-----------"

ас

(/lilt + <72<7s + ?з?в)

be

(16)

6



кг1Пат.

—---------(<71(74 + <Z2?5 + £з<7в),

г ас

получим полуканоппческие уравнения движения для относитель-
ных координат:
do.	dlln	dp.  d! -	(‘ = 1.2,3),
<Jl =	5 в)	(17)  dt	дрх ’	dt	dq-t	'	’ ’ /•

Каждое тело системы обладает своей собственной характеристи-
ческой функцией. Это дифференциальные уравнения, которые
обычно кладутся в основу исследований в так называемой теории
возмущений. Они обладают определенными преимуществами в
вычислительных задачах, но эти преимущества теряются, когда
рассматриваются общие свойства движения. Здесь выгодно ис-
пользовать канонические переменные.

§ 3. Канонические относительные координаты

Чтобы установить каноническую систему переменных, в кото-
рой в качестве g-координат были бы относительные координаты,
необходимо в соответствии с § 8 гл. I выразить живую силу Т
через ^-координаты и их производные, а затем получить соответ-
ствующие импульсы р при помощи формул



дТ

dQi

Тогда по (4*) § 2 имеем
Первый член в этом выражении согласно (10*) § 1 равен постоян-
ной величине и поэтому не должен приниматься во внимание.
Итак, если положить

(2)

то прежде всего следует выразить правую часть этого уравнения
через относительные координаты.

Имеем

£1 = 91 + &7>	&4 =	04	+	17.

^2 = 02 Т ^8>	^5 =	05	“Ь	^8’

&8 = 03 + &8»	£б —	08	+	£в,

и согласно (6) § 2

Ж7 = —W101 — »»404.

Ж8 = — m2q2 — mbqb,
Ж» = — »«з0з — "’806-

Следовательно,
= (»?ь + wc)gx — mbqt,
= (ть + z/?c)g2 — mbq6,
Жз = (mb + mc)q9 — mbqt,
Mli = — waqx + (ma + mc)g4,
Ml6 = — maq2 -f- (ma + me)q6,
Ml, = — maq3 + (ma + mc)ge.

При помощи (3) и (4) барицентрические координаты выражаются
через относительные координаты. Подобные формулы имеют место
и для скоростей Отсюда получаем

Т' — (ma(mb + тс) (qi + 02 + 0s) +
+ ть (та + me)(q\ + g§ + g?) — 2mamb (q^ + g2g8 + gsg'e)b (5)

Далее, согласно (1), получим

Pi = -у- =	[та (ть + тс) q, — mambg4],

м /5*}
дТ 1	♦	•	'

Pi = -7— = -J7- [ть (та + mc) д4 — mnmbq}].
апл

Принимая во внимание соотношения (4), эти уравнения можно
записать в форме

Pi = mili (i-1,2, .... 6).	(6*)
Итак, относительные координаты и произведения абсолютных
скоростей на массы в совокупности образуют систему канониче-
ских переменных для задачи трех тел.

Из (2) § 2 имеем

w-l? = — wiiBi —

и, следовательно,

+А),

£з =---(Ра + Ра).

тс

<8= — (Рз •+ Ре)-

С

(6**)

Таким образом, живую силу можно записать в форме

2 |_ma	' тс

(«)

где знак S означает, что суммирование должно быть распростра-

нено на все три координатные осн. Можно также воспользоваться
формой

Т'

где положено
1 _ 1 . 1
т'а ~	+ '“с ’

f’l , р! | 2/>1Р2
т'а тЬ "‘с

(7)

Канонические относительные координаты, на которые впервые
обратил внимание Пуанкаре, представляют большой интерес
благодаря своей простоте. В следующем параграфе мы обнаружим,
что они обладают некоторыми недостатками, которые можно
уменьшить при применении введенных Якоби канонических коор-
динат.

§ 4. Яко'иевы канонические координаты

В своем знаменитом трактате «Об исключении узлов в задаче
трех тел» Якоби [24] использовал систему координат, в которой
дифференциальные уравнения приобретают каноническую форму,
без изменения формы живой силы. Его результат был распро-
странен Аллегре на задачу п тел [25]. Ход этого исследования
примерно следующий.
Обозначая через £* прямоугольные координаты массы
пц, отнесенные к системе координат с началом в центре масс,
согласно (4*) § 2 будем иметь, если отбросить постоянный член,

и уравнения движения примут вид

<M,i _ 9V
mi dt* ~	’

dV

Ttli '	 = -5— .

1 dt2	’

_ dV
mi dt* ~

(I = 1, 2,	n).

(2)

Координаты связаны тремя уравнениями

2	= 2 "liHi = 2 m&i = 0-	(3)

С помощью уравнений (3) три из координат могут быть выраже-
ны через остальные; можно также различным образом Зге коорди-
нат т){, заменить через 3 (ге — 1) новых переменных. Пред-
положим наиболее простое: зависимость между старыми и новы-
ми координатами выражается при помощи линейных уравнений.
Положим

+ а12х2 + . . . + а11П_! жп-1,
^2	®21®1 Ч~ ®22®2 Ч" • • • Н” ®2,n—1 З-п—1»

£n — <*ni «1 + Опг^г Ч~ • • • Ч~ On,n-i®n-i,
"’ll =	+ «12^2 Ч~ • • • Ч" «l.n-iyn-l,

£1 = allzl + ®12Z2 + • • • + a1<n<Zn-i,

(4)

где xlt x2,	, xn-.i, ylt y2,	, yn^i, Zj, z2, . . . , Zn-i обознача-

ют новые координаты. Между п (п —1) коэффициентами а1}
можно установить ряд соотношений. Интегралы центра масс (3)
дают следующие п — 1 соотношений:

2 т^ц = 0,  2	= °>	(5)
2 miai, n-1 = °-	

Если поставить еще условие, чтобы живая сила сохраняла
свою форму (1), т. е., будучи выражена в новых переменных, Т
имела бы вид

1=1

(6)

где через щ, р2, . . . , рп_г обозначены постоянные множители,
то получим следующие уравнения:

п

2	= 0	(г, s = 1, 2, ..., п—1; г<^$),	(7)

1=1

(п—2)(п—1)

т. е. 5--------- соотношении.

Для коэффициентов р, получаются значения

п

jii=2,n»a»i (г = 1, 2, ..., n —1).	(8)

8=1

Так как теперь
дТ •	/пч

-Т- = р;х„	(9)

дх^

то ач, zt образуют вместе ср {х<, ptyt, ptzi каноническую систему
переменных.

На коэффициенты а,,- наложено

„_1+(»-1)(п-2) =

Л

п (п — 1)
2

условий, и, следовательно, мы имеем в своем распоряжении еще



13 к. Шарлье
условий. Этим произволом можно воспользоваться так, чтобы

новые координаты имели простой геометрический смысл.

Пусть Gi — центр инерции двух масс, т2 и G2 — центр
инерции трех масс, mlt т2, и т3, и т. д., так что Gn„i обозначает
центр инерции всей системы п тел (рис. 20). Пусть, да-

лее, xlt ylt zt обозначают проекции
тг отрезка т\т2 на координатные оси,
ж2, у2, z2 — проекции отрезка Gjn3
и т. д. и, наконец, zn-i, yn-i,
обозначают проекции отрезка (?п_2 тп
на координатные оси. Если теперь
положить

6t = mlt

б2 = ml + иг2,

(Ю)

6, = s Wi,

то для координат в системе с началом в центре масс получим
следующие выражения:

II	II	II  W	«	со  UP	UP	UP		<^2  <51  — Xi  <52	1	1  1  i	i	i		^n-lt  xn-lf  Хп-Ъ
				°n	
			  <38	cn	
&n-l			zn-2 „	mn	Xn-1,
			a *n-i!  °n-1	an	
					
				0,	Xn~]

(И)

После простых вычислений находим, что условия (5) и (7) здесь
выполнены. Для коэффициентов получим значения:

....	(12)
Уравнения движения в координатах Якоби имеют вид

<*Ч _ dV	
dt-	dxi ’	
dV	
	
rf/4	dyi ’	(13)
_ dV	
I4’ ’ dt* dzi	
i — 1, 2, . .., n — 1);	

они могут быть записаны и в канонической форме. С этой целью
положим

(14)

Ti —	2,

Ui =

Zi — Я si

	Psi-Ч —  7?3i-l “ Pi*7s<i-n  Psi ~  (i = 1, 2, . . . , n -1);	(14*)	
тогда	получим  dgt dii		
	dt ~~ dpi ’  dpi	dH		(15)
	dt ~ dgi  (1 = 1,2, . . ., n —	1).	
где  или	H = T -V, n-1	<)“	3^.	(W)  rij

§ 5. Вариация постоянных. Канонические элементы

Если в проблеме п тел одна из масс весьма велика по сравне-
нию с другими, то влияние последних друг на друга, по крайней
мере на малых интервалах времени, сравнительно мало и можно
получить приближенное представление о движении, по крайней

13*
море на малых интервалах времени, если принимать во внимание
только притяжение остальных большей массой, в последующем
для краткости именуемой Солнцем, и пренебречь сначала взаим-
ным притяжением малых масс. Орбиты малых масс в первом при-
ближении будут коническими сечениями, в одном из фокусов
которых находится Солнце. Если принять во внимание также
притяжение малыми телами друг друга и Солнца, то элементы ко-
нических сечений, которые получаются в первом приближении,
можно рассматривать как переменные и их изменение определить
так, чтобы задать истинное движение тел.

Формулируя в общем виде, мы можем этот принцип, который
был введен в астрономию Лагранжей и именуется методом вариа-
ции постоянных, выразить так, что для интегрирования диффе-
ренциальных уравнений

4,.£!L.	(/— 1, 2, ..и — 1)	0)

dt dpi ’ dt	oqi '	’ ’	’	>	' '

сначала выделяем часть характеристической функции Н' н ин-
тегрируем дифференциальные уравнения

,/<?i	д11'	,//?i	<>1Г	/•	л о	п	,Ох

-7Г-=--т—, -д--- а— (1 1, 2, . . •> П — 1). (2)
dt	0pi	dt	dq-l	'	'	4 >

При этом координаты </, и pt получим выраженными через время
и 2 (п — 1) постоянных интегрирования — параметров. Эта ор-
бита, по Гильдену, называется промежуточной орбитой. Если
параметры этой орбиты считать переменными, то можно вывести
для них дифференциальные уравнения первого порядка, которые
полностью соответствуют общим уравнениям движения (1).

Если, в частности, уравнения (2) интегрировать при помощи
метода Гамильтона - Якоби и получающиеся при этом постоян-
ные интегрирования рассматривать как переменные параметры,
то согласно § 1 гл. I дифференциальные уравнения для этих пара-
метров получаются в канонической форме и могут быть непосред-
ственно записаны. Упомянутые параметры называются канони-
ческими элементами.

Если мы рассматриваем задачу трех тел и в качестве координат
выберем якобиевы координаты, то

н - к(р"+ + р>> + 257^ + * + « -

_ kimbmc _ к2тста _ к2татЬ

гЬс	Гса	ГаЪ ’	' '
где согласно (12) § 4

7М|ШЛ

“ "1ь + "»с ’

Ца

та (тЪ + ,ис)
та + тЬ + тс '

(4)

Если абсолютные координаты (или барицентрические координаты)
массы т« обозначить через rji, а абсолютные координаты
центра инерции g обеих масс тъ и те — через	то будем

иметь

91 =	— £с>	?2 = ЛЬ Ле.	Яз = Cb —

<?4 ==	?5 = Ла — Лг>	9б = £а £g>

(5)

так что 9Х, <?2, q3 являются относительными
системе отсчета с началом в тс, a qit q-a,
q6 — относительными координатами та в
системе отсчета с началом в g.

Таким образом, имеем

r>a=^+^+?e- J
Далее,

rca ~ rga + rgc 4“ 2гgaTgC COS ф,
rab — rga 4" rgb — %rgargb cos Ф»

где

сО8ф = -^--^-4--^--4- 78

• F F * F F 'PF
be ga rbc ga rbc rga

координатами ть в

Рис. 21.

и, кроме того,

Г^ь = mb + mc r<’c’	= ~^+тс	(G*)

так что
,nh

t = („t+„e). («+?:+ Ц)+1\ + Il + +

2mb

“I" mK + m	+ 9з<7в),

О * с

nlc

T^“+mc)2	+ ?2 + ?») + я\ + я1 + Я1 —

(6**)

— mK + m ^1<?4 +	+ ЯзЯв)-

n • c
Если одна из масс, например, те, весьма велика по сравнению
с двумя другими, то находим, что приближенно

г2 = о2 4- <72 4- о2 = г2 ,
са 41 ~ '5 ~ 7e ga'

и этим обосновываем введение обычной формы промежуточной
орбиты, так называемого кеплеровского эллипса. С этой целью
положим

Н = Н' + Я",	(7)

где Я' выбирается так, что

И'-^-О?+« + /ф+^<«+г; + /ф-

Л^пкпг,	к2т„т,

- г - г ’ (8)

/9?+?а2+?23 iV4+?25+?:

и, следовательно,
к2т„т.	к2т„т.	кгт„тк

Н" = —- с   а с_________а о	?8* \

Г	Г	Г к *	' '

ga	са	9 ab

Промежуточная орбита определится дифференциальными урав-
нениями

дН'
dt дрц ’

<IPi _ д!Г
dt	dgi

(4 = 1,2, ..., 6).

(9)

Эти дифференциальные уравнения распадаются па две отдельные
системы. Одна получается, когда индекс i принимает значения
1, 2, 3, другая — при i = 4, 5, 6. Уравнения для определения
91. ?2. 9з, Pi, Рз> Рз, с одной стороны, и для qit q6, qe, pt, pit pe, —
с другой, будут иметь одну и ту же форму. Если рассмотреть

уравнения

dt др. ’

dpj_______дНь

dt ~ dqi

(4 = 1, 2, 3),

(10)

где

kbrum,
о с

Нь = 2^ (Р® + Pl + Р3)

(10*)
то согласно § 9 гл. I можно получить их решение из уравнения
в частных производных:

1 Г/ dW \2 . / dW \2  / dW \2 Л _ к2тьтс

2Иь 1А < <>4i )	\	/ J у?2 _|_ ?2 ? 2

Если W — функция от qlt q2 и q3, которая удовлетворяет этому
уравнению и, кроме постоянной hlt содержит два независимых
параметра h3 и h3, то имеем

dW
dhi

= t + Ti.

dW

(H*)

dhi T,‘

dW
dhi

= Тз»

где Yi> Ya> Ys обозначают новые постоянные
Кроме того,

dW

P^-d^

(i = 1, 2, 3).

интегрирования.

(11**)

Теперь положим

₽ь = к2тьтсрь =

к2т2т2

ГП, +
о 1 с

тогда уравнение (11) примет вид

жг+о+(©’]-	(12)

Интегрирование этого уравнения выполняется при помощи тео-
ремы Штеккеля, как показано в § 2 гл. IV. Обычный способ ин-
тегрирования этого уравнения состоит в следующем.

Сначала вводим вместо прямоугольных координат полярные
координаты, полагая

= г cos ф cos 0,
q2 — г cos ф sin 0»
q3 = г sin ф,

(13)

где г2 = q2 + q2 + q2, и получим затем вместо (12), записывая р
и р, вместо рь и рь,
Если записать это уравнение в форме

(dW	1	/ dw_\2 _ 2 Г / ЙФ

Эф ) ’ соз2ф \ 30 /	[ V д.

^ + 2^|,

то найдем, что переменные можно разделить и записать

W = Wt (г) + W2 (<р) + B's (0).

Именно, если через Л2 и Л3 обозначить две произвольные постоян-
ные, то непосредственно находим следующие три уравнения:

[-№

л

+- 2ц hi j = Л|,
I + Ла] = л|,
№)=«.

так что



Л2

+ 2^—^^,

Лг-

СО32ф

d<p,

(15)



W3=h£.

Постоянные интегрирования обозначим через Л2 и Л2, так как
они, как было показано в § 4 гл. IV, должны быть положитель-
ны. Нижние пределы интегрирования могут быть выбраны про-
извольно. Тогда согласно (И*) получим

--Лг

dr

г2 Ул

ф
е—Ц
о

J Ул

= t + fi,

= T2.

(16)

cos2 q> У® ^3’

ф

о

где



ф = /4

1-2ЦЛ, -4

.2LL

cos-q. ‘

(16*)
Промежуточные интегралы будут следующими:



(16**)

о 2 d0 ,
u,r2cos2n> -тг = /г3.
и I

Как и в § 4 гл. IV, отсюда заключаем, что г должно иметь мини-
мальное значение г2 = а (1 — е) и максимальное значение
rx = а (1 + е) и периодически колебаться в этих границах.
Для периода получим значение
или, после выполнения интегрирования,

Т = 	.	(17)

V— 2рЛ1 3	' '

Для среднего движения п получим следующее значение:

" = т = 7л-	<«’•)

Орбиты, которые определяются уравнениями

(1,1,2.....в),

dt dpt ’ dt	dqi '	’ ’	’ >'

где H' задана формулой (8), суть конические сечения (в тех слу-
чаях, которые нас особенно интересуют, эти конические сечения
всегда эллипсы), и тпь будет описывать эллипс с фокусом в тс,
а пго — эллипс, фокус которого находится в центре инерции масс
ть и те.

Сопоставляя уравнения (16) с соответствующими уравнениями
(21) § 4 гл. IV, находим, что в последних уравнениях всегда стоит р.
вместо величины р2, фигурирующей в (16). Поэтому выражения
для канонических элементов ha и т. д. легко вывести из (23)
§ 4 гл. IV. Получим

3
2ра

Т1 = — tn,

Лз = Р /а(1 — е2), h3 = £ ]/а(1 — е2) cos г,
Тз = л — Q,	Тз = Q.
Приведенное значение получено исходя из того, что сумма
обоих корней гг и г2 уравнения Н — 0 должна быть равна 2а,
а с другой стороны,

_ । _ __	3~

Г1 + Г2“-]1лГ’

откуда и следует указанное значение.

Содержащиеся в (18) постоянные 0 и р получают различные
значения в зависимости от того, рассматривается ли масса А или

масса В. А именно, для массы А

та (ть + те )

~ та + т1/ + тс’

.	к-т* т„ (т, 4- т„)

& = k*mamr\ia =---------ь

Г	Г '«а + '»Ь + тс

и, значит,

к^татс

flla ~	2а~~

(19)

(19*)

Для массы

В:

«а =

ть + т,

а‘г

Но

тЬтс
ть-\-тс ’

= к*тьтс\кь =

к-тьтс

ть + тс '

(20)

откуда

(20*)

В этом приближении среднее движение тела В имеет ту же форму,
которую оно имело бы, если бы отсутствовало тело А.

Эллиптические орбиты, которые мы нашли для обоих тел А
и В, можно использовать в качество первого приближения к ис-
тинным орбитам вследствие большой величины массы С и выте-
кающей отсюда малости разности Н — Н' при постоянных зна-
чениях элементов, если рассматриваемые интервалы времени
малы. Если элементы считать переменными, то их изменения
можно определить так, чтобы удовлетворялись точные уравнения
(1) задачи трех тел. Дифференциальные уравнения для этих из-
менений, как было показано в § 10 гл. I, получаются очень про-
сто, если возникающие при интегрировании дифференциального
уравнения Гамильтона — Якоби постоянные, которые были на-
званы каноническими элементами, принять в качестве перемен-
ных элементов. Положим

III — lliht 1^2 — Ii2bi Лз = АзЬ,

Т. = Т1Ь, = Ггь. Тз = Гзь
и

ht = hia, = hta, hg — hsa,

T1 = Tia, Тб — X2a, Тв = Tsa,

где hla, hva и т. д. обозначают определяемые формулами (18) ка-
нонические элементы массы A, hltl, и т. д.— канонические эле-
менты массы В', тогда изменение элементов kt и yi согласно § 10
гл. I определяется при помощи уравнений

_dfT_ _ ЭЯ" _ i 2	6) Г2П

dt “ dhi ’ dt ~ dfi (г-1, Z, ...,b), (ZI)

где H" = H — H', причем эти уравнения вполне заменяют общие
уравнения (1).

Если эллиптические элементы тела В обозначить через а, е, I,
tn, л, Q, а соответствующие элементы тела А —через а', е', Г,
t'n, л', Q', то канонические элементы и (г = 1, 2, . . . , 6)
будут связаны с эллиптическими элементами следующими фор-
мулами:

=	е2), h3 = 3/а(1—е2)cosi, ) _

Г1 = — tn, т2 = л —й, Тз = й	J

и

/г4 = —	, h6 = 3' У а' (1 — е'2), h3 = 3' У а' (1 — в'2) cos г', |

Yi = — t'n, т8 = л' —Q',	Тв = й',	*

(21**)
где

Р = Рь, Н = Ць,
₽'= Ра, р'= Ра

(21***)

и Рь, рь и т. д. определяются при помощи формул (19) и (20).
Дифференциальные уравнения эллиптических элементов проме-
жуточной орбиты нетрудно получить, если принять во внимание
определяемую формулами (21*) и (21**) зависимость между
эллиптическими и каноническими элементами. Выгоднее сохранить
канонические элементы, так как для них дифференциальные
уравнения имеют каноническую форму. Целесообразно заменить
две пары канонических элементов другими, также каноническими.
Пусть ими являются элементы hlt у4 и /г4, у4. Имеем

3	З2

п =	а =

ца /»

где под h будет пониматься либо hlt либо Л4. Следовательно, имеем

п =

/и

З2

(-2Л)'А.

Но тогда координаты тел А и В, как было показано в § 9
гл. IV, будут периодическими функциями величины п (t + у)
и могут быть разложены в тригонометрические ряды по синусам
и косинусам этого угла. Очевидно, что в правых частях урав-
нений

d-ц дН"

при t = 1 и 1 = 4 будут содержаться члены, которые умножаются
на время (так как в п входит либо hlt либо Л2). Но такие члены
неудобны с различных точек зрения, и их в этом случае легко
избежать. Уже Лаплас и Лагранж ввели в связи с этим другие
элементы, для которых такие члены не встречаются. Для канони-
ческих дифференциальных уравнений (21) эта замена элементов
была впервые выполнена Делоне [26].

Положим

Z — n (i H-Yi).

Если теперь рассмотреть уравнения

dhi _	дН" dh __ дН"

dt	dh ’ dt dhy ’

то, очевидно,
дН" _ дН" dl и дН"
dl~ dh ~ П dl ’

и, следовательно,
dhi	dH“

dt — п di ’

Далее имеем

(22)

(23)

(24)
Если обозначить через производную от Н'

' по явно вхо-

дящему hlt to
dH"
dhi

Так как теперь

I дН" \ . dH" .t . .an
-(-з»г) + -зг((+Т1) тяг-

dh _ dH"
dt dhi ’

то из (24) получим

dl

—г— = n
dt

,	/ dH" \ . dH" .. .	. дп . „ .	.

+ п VdhT) + п ~дГ $ + т,> "ал? + + ТО

>1

dn dhi
dhi dt

или, согласно (23),

dl
dt

/ дН"\

\ dhi /

(25)

Формулы (23) и (25)
Вводя величину

решают задачу.

L р /а,

(26)

п п

можно несколько упростить уравнения и одновременно придать
им более симметричную форму. Имеем теперь

г_ Р2

или

		Л1 =	з*		(24*)
			2pL2 ’		
так что		п — 	в4  цЬ» •		(27)
Таким образом,	имеем				
	dH"	dhi	3* dL	dL	
	п ~§г -	dt	|1LS dt	~П dt ’	
и поэтому		dL	OH"		(28)
		dt	dl •		
Далее имеем					

( ан" А _ ( дН" \ dhi (дН" \ .

\ dL I ~~ \ dhi I dL ~ П\ dhi ) ’

тогда вместо (23) и (25) получим

dL dH" dl (dH" \ .	/9Q.

1Г =----dT> Ht=\-dL) + n'	(29>
где скобки около могут быть опущены, если дифференци-
ровать только по явно входящему L, считая п не зависящим от
этой величины.

Если несколько изменить характеристическую функцию, то
уравнения (29) можно записать в канонической форме. Положим

(3°)

в таком случае

dF . dll"
dL ’ ' ” + dL ’

тогда вместо (29) получим уравнения

(IL   dF	dl	dF

lit'— ~dT ’ ~dt	dT •

Точно таким же путем элементы Л4 и y.t заменяются новыми канони-
ческими элементами. Итак, введем характеристическую функцию
следующего вида:

F	-1-	_ //"

2ИоЬ'=> Г 2Иь£2

Обозначая элементы орбиты В через L, G, Н, I, g, h, а соответ-
ствующие элементы орбиты А через L', G’, Н', V, g', k', получим
следующие уравнения:

dL	dF	dl	dF )	
				
dt	dl ’	dt	dL ’	
dG	dF	dg _	dF	
			I	1	1	
dl	dg ’	dt	cG ’	
dll	dF	dh	dF	
  11 				
dt	dli ’	dt	dll'	
dL _	dF	dl' _		
dt ~	dl' ’	dt ~	_ —  dL’ ’	
— —	dF	ds' _	dF	
dt	dg' ’	dt	dG' ’	
dll'	dF	dh'	dF	
		• -• •		
dt	dh' ’	dt	dH' ’	

(32)

(32*)

где

L — [J Y~a,	I = п (t у),

G=p}Gz(l — еа), g — л — Q,
Н = р Yо- (1 — е2) cos г» А = й

(32**)
и

L' = [У У а',	Г -- и' (I -|- у'),

G' = 0' У а (1 — е'г),	= л' — £>',

И’ = [У У а (1 — е'2/ cos i', li — Q'.

(32***)

Приведем еще значения 0 и 0':

Р =

kmbmc
rmb -г тс

0' = кта

тс (,пЬ -Г щс)

"la + "lu -i- тс

(33)

Средние движения даются формулами (19*) и (20*) *).

Для характеристической функции F, входящей в (32) н (32*),
из (3) и (8*) получим следующее выражение:

р = 3*_____|_ З'1	। 1Лпатъ  к-татс _ 1Апптс

_Г гаЬ 1" гса " rga •	' >

Функция F обычно называется возмущающей или пертурбацион-
ной функцией. Два первых члена в приведенном выше выраже-
нии согласно (33) и (4) имеют порядок возмущающих масс, а по-
следующие члены — порядок квадрата малых масс гпа и ть-

§ 6. Вариация постоянных для относительных координат

Кеплеровские эллипсы могут быть использованы в качестве
промежуточных орбит не только для якобиевых координат, но и
для обыкновенных или относительных канонических координат.
Геометрический смысл этих орбит различен, хотя различие между
ними всегда имеет порядок возмущающей массы. С формальной
точки зрения отличие связано с различными значениями посто-
янных 0 и 0' и функции F. Это значит, что для вычисления воз-
мущений элементов можно использовать формулы (32) и (32*);
нужно только задать другие значения входящим в формулы (32*)
и (32***) постоянным 0 и 0' и возмущающей функции. В частно-
сти, при обыкновенных относительных координатах для каждого
тела имеется особая возмущающая функция.

Сначала рассмотрим обыкновенные относительные коорди-
наты. Для них согласно (17) § 2 справедливы полуканопические

*) Едва ли нужно отмечать, что не следует смешивать элементы Н и Н’

с такими же обозначениями для характеристической функции.
208		ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ		[ГЛ. V	
дифференциальные уравнения:					
		dpt	дНа	(i	= 1, 2, 3),	
dt	dpi ’	dl	dqi			
d<li dt	dHb  9Pi ’	dPi _ 9Hb dt	dqi	(i	= 4, 5, 6),	(1)

где выражения для На и Нь задаются формулой (16) § 2. Полагая
теперь

На = На + На, нъ = Нь -I- Нь,	(2)

выберем функции На и Нь таким образом, что

»/’ _ 1 V »2 к*та (та + тс)

"°	Pi-----------------

i=l

ff’_____1 v n2 к*тъ (»H> + mc)

b ~ 2mb 2j Pi	rbc

i=4

Г2с = ?1 + ^ + ^’

ГЬс = ^ + ^ + ?Г

(3)

где

Интегрирование щих кеплеровские	дифференциальных эллипсы,		уравнений, определяю		
dqt дн’а	dPi		(г =  (i =	1, 2, 3),  4, 5, 6)	
dt - &Pi ’ dqi dH'b	dt  dPi	dH'b			(4)
dt ~~ dpi	'dt ~~	9Я i			

по методу Гамильтона — Якоби сводится к интегрированию
уравнения в частных производных следующего вида:

которое полностью совпадает с уравнением (14) предыдущего
параграфа. Здесь постоянные 02 и р, имеют следующие значения:
для массы А:

Ц = та, 3® = Л2т2 (та + те),	(6)

для массы В:

р = ть,	₽® = A2mg (игь + тс).	(6*)
Возникающие при интегрировании (5) канонические элементы
выразим по формулам (21*) § 5 через эллиптические элементы,
а затем введем элементы Делоне; тогда получим дифференциаль-
ные уравнения (32) и (32*) § 5. Для массы А возмущающая фун-
кция имеет следующую форму:

(м.++™.). т

а для массы В:

F‘	<м‘+ <7*>

Для среднего движения имеем выражение (17*) § 5:

ra = _L = JL
р,а7« p,L8

и, следовательно,

_ кУ,па + тс

—	«71

а'*

к уть-гтс

--	8/	‘

aZ1

(8)

Рассматривая канонические относительные координаты, для
характеристической функции в соответствии с § 3 будем иметь
выражение

2	2

Я ‘	+	(9)

z \ та	ть	тс I

где т’а, т'ъ и тс даются формулами (7*) § 3. Силовая фунция V
согласно (1) § 1 имеет вид

у _ кгт^пс . к2тста  №татъ
гЬс	гса	гаЬ

Положим теперь

Н = На + Нъ + Н",
где

(9*)

(Ю)

Н’а =		Р1  та	к2тста гса
Нъ —	1 S		к2т^та ф
	2	тЬ	гЬс

14 К. Шарлье
тогда

_ $ F1P4	кгтать

тс	гаЪ

(10**)

Поэтому кеплеровские эллппсы в этом случае будут определяться

дифференциальными уравнениями
_ дИ'а	dPi _	дНа	,> 9 ох  1Г- dPi ' dt -	d9i
= >  dt	dPi ’	dt	dq.	’ h

и мы опять сведем задачу к рассмотрению уравнения Гамиль-
тона — Якоби

[X/ll, (11*)

где теперь постоянные р® и р, для массы А:

татс
та "Г "’с ’

Ра = т'а

З2 = khnarname =

A2z»®/»i®
та — тс ’

(12)

для массы В:

”4>тс
Ut> ------;---,

ть + ”lc

З2 = k2m'bmbmc =

>»ъ — mc

(12*)

Дифференциальные уравнения в переменных Делоне принимают
форму (32) и (32*) § 5, а средние движения будут выражаться сле-
дующим образом:

па

к Уть + тс
пь = —-—гт---

а *

(13)

т. е. точно так же, как и для случая обыкновенных относительных
координат. Однако кеплеровские эллипсы в обоих случаях не
будут одинаковыми, как это видно из значений (6) и (12) постоян-
ных р и ц. Они отличаются на величину порядка возмущающей
массы. В одном из следующих параграфов мы сформулируем
более точно различие между каноническими и обычными коор-
динатами.
§ 7. Интеграл живых сил и интегралы площадей
в различных координатах

Дифференциальные уравнения для канонических относитель-
ных координат и для якобпевых координат имели форму

dq, dll dp, дН

т-^7. тг = —з*	<‘ = ‘,2.6>-

Так как в обоих случаях Н явно не содержит времени и харак-
теристическая функция зависит только от переменных и qi,
то из (1), умножая уравнения на и — и складывая ре-
зультаты, получим интеграл

Н = const,	(2)

который называется интегралом живых сил и по (16) § 4 и (7)
§ 3 имеет форму — в якобпевых координатах:

1 5(21

*	\ Нь

+ V-VF = /tl,
Ра !

&

-М

в канонических относительных координатах:

2	2

А- + -^-+ V = hu
та	тъ	тс /

где суммирование распространяется на все три координаты. Для
якобиевых координат согласно (14*) § 4 имеем

Pi = На qi, Pt = рь <h,	(4)

тогда, следовательно, вместо (3) можно записать

— (На (?i + <72 + 7з) + Нь (<?4 + 7s + 7в)1 — V + А» (3*)

т. е. интеграл живых сил имеет здесь то же самое выражение, что
и в случае абсолютных координат, но множители, зависящие от
масс, имеют другое значение.

Чтобы выразить интеграл живых сил в обыкновенных отно-
сительных координатах, необходимо подставить в (4) выражения
(5*) § 3

Mpi = та (mb + тс) qr — mambqi,
Mpi — — mambqi + тъ (та + тс) qiy

(5)

где

М = та + ть 4- т,
и тогда вместо (4) получим

4" 'S 7/ (ть + Ч* + ть (та + т<^ "А — Gambit g4] = F + h.

(6)

Такую форму принимает интеграл живых сил, будучи выра-
женным через относительные координаты.

Перейдем теперь к интегралам площадей, которые по (12)
§ 1 в абсолютных координатах выражаются следующим образом:

3 (^si+sj/si+s — ^si+sj/si+a) = с1»

2 (^Si+Sl/Si+I ^ЗИ-хУзЙз) = C2i

2 (^31+12/31+2-------^Si+aJ/si+l) = c3, •

(7)

где xlt хг, x3 суть прямоугольные координаты массы A, xit х-а,
хв — координаты массы В и хъ х9, х9 — координаты массы С.
Кроме того,

ил.

= mi~dT 

(7*)

При помощи интегралов центра инерции находим, что интегралы
(7) сохраняют свою форму, если начало координат поместить
в центр масс, следовательно, интегралы площадей можно выра-
зить в форме

2 (5з1+211з1+з — 5з{+зт1з1+г) = С1>

2 (Ssi+s'Hsi+l-----^Зг+хЛзг+з) = С2,

2 (5з1+111з1+г — 5з1+гт)з«+1) = сз, •

(8)

где постоянные в правых частях, вообще говоря, отличны от по-
стоянных сх, с2, с3.

Для получения выражений для интегралов площадей в кано-
нических относительных координатах необходимо использовать
формулы (3), (4), (6*) и (6**) § 3, которые дают

Mgi = (ть + тс) qi — тьци
Mlt = — maqt + (та + тс) qt,
МЪ = —	— mbg4,

П; =Pi (г = 1,2,...,6),

Пт = — (Pi + Pt),
Лз = — (Рл + Pt),
Лв = — (Рз + Рз),

(9)
если под qlt q2.....qe, plt рг, . . . ,p9 понимать канонические

координаты. Разрешая эти уравнения, получим

= Bi— В?,

?4 = $4 — В?,

Pi = T)i (г = 1,2.........6).

(9*)

Но отсюда следует

ЧчРз — ЧзРг + ЧъРз — ЧвРз =

= (U — Вв)Пз — (Вз — В»)Л2 + (Вб — В8)Лб — (Be — В»)Т15 =

= ВгЛз — ВзПг + ВвПв ~ ВвПз — Вз 01 з + Пв) + Вв Oh + Пз) =

= ВгЛз — ВзЛг + ВбЛ в — ВвЛ б + ВвПз — ВвЛ з = Ci,
и для интегралов площадей получим выражения

ЧзРз — ЧзРз + ЧьРз — ЧьРъ = ci,
ЧзРл — <ИРз + ЧзРх — ЧхРз — с2,
4iPs — <hPt + Ч1Рз — ЧгР1 = с3.

(Ю)

Таким образом, форма интегралов площадей остается неизменной
при переходе от абсолютных координат к каноническим относи-
тельным.

То же самое имеет место, если воспользоваться преобразованием
Якоби. А именно, применяя координаты Якоби, по (15) § 4 будем
иметь

=	----«L (/ = 1,2.....в),	(11)

dt dpi dt	dqi '	7	' 9

где

«-4-s4-h.

Но поскольку

то вместо (И) можно написать

rf2?i _ dV
Hi — dg{ ,

(И*)

п так как V не изменяется при повороте системы координат, то
точно таким же путем, как это было сделано в § 1 прп рассмо-
трении абсолютных координат, получим

дУ
ддг

9з + -^-92

дУ . дУ	п

ддз У* + dgt	°’
Если подставить выражение (И*) и выполнить интегрирование,
замечая при этом, что

Hi = Н = Мз = Нь. Ш = Hs = Не = На.

то получим уравнения

(12)

н.	4г - «• =<•

которые могут быть записаны также в форме (10).

Если интегралы площадей в каких-либо координатах прини-
мают форму (12), то говорят, что в этих координатах интегралы
площадей остаются справедливыми. Само собой разумеется, что
интегралы, которые соответствуют интегралам площадей, должны
существовать при любом выборе координат. Но позже мы увидим,
что форма (12) весьма выгодна в ряде общих рассуждений, имею-
щих важное значение для задачи трех тел.

Если использовать обыкновенные относительные координаты,
то форма интегралов площадей окажется более сложной. Ее
можно получить из (10) и (9). Если первые два из соотношений (9)
умножить соответственно на тх = та и т4 = ть и принять во
внимание четвертое соотношение, то будем иметь

Мрх = та (ть + Шс) <71 — ma»ib74,
Mpt = — manibqi + ть (та + тс) qi,

(13)

подставляя эти соотношения в (10), получим первый из инте-
гралов площадей в следующей форме:

= < +	(м<—+ ?si—?•?«)• (14)

Другие интегралы площадей получаются в результате цикличе-
ской перестановки индексов. Следует заметить, что члены в пра-
вой части (после с') будут второго порядка относительно масс.
§ 8.	Оскулпрующие элементы

Если координаты и скорости тела будут выражены через
определенные параметры

9< = <Pi (t, oci, a2, a3, -ft, r2, у3),
9i =	(t, ab a2, a3, гг, r2, f3)

(i = l,2,..., 6),

(1)

где ab a2, a3,	у2, y3 суть параметры пли элементы орбиты, то

может случиться, что функции ср, и ф£ таковы, что



дфг
dt

или

dqi __ dqi
dt dt

(2)

(2*)

тогда производные от координат будут вычисляться точно
таким же образом, как и в случае неизменных элементов.

В этом случае элементы орбиты называются оскулирующими,
так как промежуточная орбита в каждый момент времени каса-
ется истинной орбиты. Те элементы, которые вводились в каче-
стве переменных величин для случая якобпевых координат или
обыкновенных относительных координат, являются оскулирую-
щими. Это не будет иметь места для элементов, введенных
в случае канонических относительных координат.

Предположим, что координаты для промежуточной орбиты
суть (д{) и (р£) (i = 1, 2, . . . , 6), а соответствующие координаты
для истинной орбиты pi и qt (i = 1, 2, . . . , 6). Тогда согласно
методу вариации произвольных постоянных имеем

Pi = (Pt). 9i = (9i) (i = 1, 2, . . . , 6).	(3)

Промежуточные орбиты, которые мы рассматривали в двух пре-
дыдущих параграфах, определяются дифференциальными урав-

нениями следующего вида:			dHi	(1 = 1, 2, 3),  (i = 4, 5, 6),	(4)
d(qi) dt  d(qj) dt	dHi d(Pi)  _ dHj d(Pi)	d(Pi)  ’	dt	~  d(Pj) ’	dt			
			d(qi) dH2		
			d(qi)		
где		(Pi)2-,-(Pi)2 -r	l^-4-Фх	((?i). (9г). (9з)),	
		(m)2 + (/*)2 + 2v2	(%), (?•)).		(4*)
Здесь через vx и v2 обозначены величины, которые зависят только
от масс и имеют различные значения в разных системах коор-
динат.

Из (4) и (4*) следует, что для i — 1,2,3

, .	d(<h)

(Pi) = ^—dT

и для i — 4, 5, 6

(Pd = ^—dT

(5)

(5*)

Согласно §6—7 для

вых

координатах п

истинных орбит в обыкновенных относитель-
в якобиевых координатах будет

Для

или,

= O' = 1,2,3),

Pi = ^-3F (« = 4,5,6).

этих координат согласно (3) всегда имеем
dqi d (g4)
dt ~ dt

что то же самое,

(6)

(7)

d^t _

“Л ~di~ ’

В этом случае промежуточные орбиты всегда являются оскули-
рующими.

Иначе будет при использовании канонических относительных
координат. Согласно (13) § 7 имеем

Р1 =

mo>b4-mc)
----------?1 —

тать

pne + тЬ + тс
тать

та + тъ + т<

Qi,

та -г ть + тс

714

ть(пга + тс)

--------------?4»

та + ть + те

(8)



в то время как соотношения (5) и (5*) дают

(Pi) =

И" тс

(Pt) =

mbmc
mb4-wic

(7<) =

mamc dgi
ma + mc dt

mbm.c dgt

mb 4- mc

(9)

Из (3) получаем

та (тЪ -г ”»с) dg! _

та 4- "Ч + "hi dt
mamb dgi ,

тать

ma т mb + mc dt

"»a + mb J- me
mb (ma + mc)
ma + mb 4- me

dgi ___

dt

dgt _

dt ть 4- пгс

dgi
dt '
dgt
dt ’


и поэтому
dqi _	dqi		ть	dqi

dt	dt	"т"	ть 4- mc	dt	’

dgt _	dqt	.	ma	dqi	'	'

dt	dt	""I""	\ma + mc	dt	' ,

Стало быть, скорости для промежуточной и пстинной орбит не
совпадают друг с другом. Таким образом, элементы, которые
вводятся в случае этих координат, не являются оскулирующими.
Различие между компонентами скоростей в истинном и про-
межуточном движении согласно (10) имеет порядок возмущаю-
щей массы. Оно может быть еще более значительным, если скоро-
сти будут весьма большими, что может встретиться, если две
массы проходят достаточно близко друг от друга.

Недостаток канонических относительных координат состоит
в том, что при их применении элементы не будут оскулирующими,
но с теоретической точки зрения это не имеет большого значения.
С практической точки зрения оскулирующпе элементы пред-
ставляют определенные преимущества, п поэтому координаты
Якоби предпочтительнее канонических относительных координат.

§ 9.	Исключение узла. Теорема Лапласа об устойчивости

Из интегралов площадей задачи трех тел можно получить
некоторые важные выводы, к которым мы теперь перейдем.

Обозначим якобиевы координаты массы В через qlt q2, q3,
а координаты массы А через qit q5, q6. Начало координат в первом
случае находится в массе С, а в последнем случае — в центре
инерции масс С и В. Полагая

Pi = Pt><h	(i = 1. 2, 3), |	/^\

Pi =	(i = 4, 5, 6), J

для промежуточной орбиты будем иметь дифференциальные урав-
нения:

rf9, dt  dt	dPi ’	dpi dt  dp.	dHb  Vffa	(1 = 1,2, 3),  (z = 4, 5, 6),	(2)
		dt	dq.		
где согласно	(10*) § 5				
Нь	4  <1  = — (о24- о2 4-			Агтьтс	
На			V	9? ~ 9? - 9з к2тате	(2*)
	Ра 1	4 о ' * 6'	V	9? -г ql -г ql	
В в	соответствии форме	с (1), мы	можем	записать эти ур  (г = 1, 2, 3),  (г = 4, 5, 6).	авнения	также
		dfi  d29i				(3)
		dfi				

Отсюда получим интегралы площадей для промежуточной орби-
ты массы В:

9з4г) ~си

(91 ~St~ ~~зг)= Са’

(4)

и аналогичные выражения для тела А.

Промежуточное движение каждого из тел происходит в плос-
кости, положение которой определяется формулами (5) § 1 гл. IV.
Если наклонность этой плоскости обозначить через I, а долготу
восходящего узла —через Q, то будем иметь

сх = с sin i sin Q,
c2 = — c sin i cos Q,
c3 ~ c cos i,

(5)

где



(6)

Для массы А имеют место аналогичные уравнения, которые мы
запишем в следующей форме:

с' = с' sin i' sin Q',
c2 = — c' sin i' sin Q',
c8 = c' cos i’.

Если плоскость XY будет лежать в плоскости орбиты тела В,
то получим

/ dqt dq-i \

= с’

(7)

или, если ввести полярные координаты (см. § 5),
. dv

(8)
где v обозначает долготу в орбите. Но теперь согласно (16**) § 5
pbr2 cos2 <р = h3 = h2 cos i.	(8*)

Если плоскость XY лежит в плоскости орбиты В, то ф = 0, i = О
и, следовательно, уравнение (8*) примет вид

НЫ2 -S’ = ,<2’	(8**)

где теперь 0 = v. Если сравнить (8) и (8*), то будем иметь

с = /г2 = р У а(1 — е2),

(9)

где 0 определено так же, как в § 5.

Если подставить эти выражения в (5) и (4), то интегралы
площадей примут следующую форму:

Нь —	= Р /а(1—e2j sin i sin Q,

Нь (9з	~	— Р /а(1—е2) sin i cos Q,

Нь(71	— ?2ЧГ} = P	e2)cos 1 •

Для тела А получим аналогичные уравнения:

—	=Р' Va' (1—е'2) sin г'sin Q',

Н« (<7в	— ?4	— Р' Vа' С1 — б'2) Sin f C0S Q'>

На	— ?6 1г) = Р' Уа'— е'2> cos е-

(10)

(11)

Переходя теперь к истинным орбитам и обозначая координаты
точек В и А соответственно через qit qit q3 и через qit q&, q3, по
(12) § 7 получим интегралы площадей



(12)

-i>%)+и.	=»;•

Известно, однако, что в этом случае промежуточные орбиты точек
В и А являются оскулирующими орбитами *). Координаты и

*) Это не является необходимым для заключения об оскулирующем ха-
рактере орбит. На самом деле достаточно, чтобы для интегралов площадей
имела место форма (10) § 7.
скорости можно выразить одинаковым образом через элементы
и время вне зависимости от того, имеем ли мы дело с истинной
или промежуточной орбитой. Вспомогательные выражения (10)
и (11) можно подставить в (12), и тогда интегралы площадей будут
выражены следующим образом через оскулирующие элементы:

Р У а(1 — е2) sin i sin Й + p' У a' (1 —e'2)sin i' sin Й' = q,

P)/ra(l—e2) sin i cos Й + P' У a' (1—e'2) sin i’ cos Й' — —c3,	(13)

p У a (1 —el) cos i + P' У a' (1 —e'2) cos i' = c3.

При помощи этих интегралов в задаче трех тел можно вычислить
фокальный параметр [р = а (1 — е2)], наклонность и долготу
восходящего узла эллипса, если известны соответствующие вели-
чины для другого эллипса.

Этп уравнения допускают простую геометрическую трактовку,
если в качестве основной плоскости XY выбрать неизменяемую
плоскость. Тогда имеем с/ = с»" = 0, и если третью постоянную
обозначить через С, то уравнения (13) выразятся следующим
образом:

р У а (1 — е2) sin i sin й + р' У а' (1 — е2) sin i* sin й' = 0,
P У a(l — e2) sin i cos Й -|- p' У a' (1 — e'2) sin i' cos Й' = 0,
P У a (1 — e2) cos г + P' У a! (1 — e'2) cos i' — C.

(14)

Теперь из первых двух уравнений получим

tg й = tg й',

и должно быть либо й = й', либо й = й' + 180°. В первом
случае оба члена в первых двух уравнениях были бы одного и
того же знака, и их сумма не могла бы стать равной нулю. Стало
быть,

Й = й' + 180е.

(16)

Восходящий узел одной из орбит планет на неизменной плос-
кости совпадает с нисходящим узлом другой орбиты.

Эту изящную формулировку интегралов площадей впервые
обнаружил Якоби.

Если обозначить параметр оскулирующего эллипса через р,
так что

р = а (1 — е2), р' = а' (1 — е'2),
то вместо (14) можно записать

Q = Q' + 180°,
Р У р sin i = р' Ур' sin
Р У~р cos i + Р' Ур' cos I’ = С.

(14*)

Если заданы Q', Г, р’, то с помощью этих уравнений можно вы-
числить Q, i и р. Из третьего интеграла площадей следует важ-
нейшая теорема небесной механики, а именно, знаменитая теорема
Лапласа об устойчивости. Благодаря исследованиям Лапласа и
Лагранжа, к которым мы еще возвратимся в одном из следующих
разделов, было показано, что если принимать во внимание по
крайней мере только члены низшего порядка относительно возму-
щающих масс, то большие полуоси а и а' оскулирующих эллипсов
будут совершать только периодические колебания вблизи сред-
них значений а0 и ад. Это утверждение, которое составляет первую
часть теоремы об устойчивости Лапласа, мы будем предполагать
здесь доказанным.

Если не принимать во внимание эти периодические колебания
и заменить эти величины в третьем уравнении (14) их средними
значениями, то будем иметь

Р /а0(1 —e2)cost + Уад(1 —e'2)cosi = С. (14**)

Обозначая средние движения через п0 и п', согласно (17*) § 5
получим

п0 = ~4:;

Hao'

тогда вместо (14**) можно также записать

рпо#о У1 — е2 cos i + р. п'оао У1 — е'2 cos I' — С. (17)

Так как а0 (а следовательно, также и п0) и а'о предполагаются не-
изменными, то имеем также

pn0®0 + УП0 а’о ~ const>

и, следовательно,

pnoao (1 — У1 — е2 cos г) + p’nX2 (1 — У1 — е'2) cos Г = С',

где С' обозначает новую постоянную.

Это уравнение можно записать в следующей форме:

рп0«о

е2 cos2 i + sin2 i	, ' ' ч e'2 cos2 i' -4- sin2 i’

-----r „ . .	1- U noao 	 ---
1 + V4 — e2 cos i-----------------------1+1^1 — e'2 cos i'

(18)
Теперь предположим, что в некоторый момент времени эксцен-
триситеты и наклонности были малы. Вычисляя из (18) значение
постоянной С по значениям е и i в упомянутый момент времени,
находим, что С' должно быть также мало. Но так как С является
величиной постоянной, то левая часть (18) всегда должна оста-
ваться малой. Если, наконец, предположить,_что множители
циой2 и (или, что то же, числа 0)Лгоп^'р^йб) суть величины
одного и того же порядка, то из (18) будет следовать, что эксцен-
триситеты п наклонности должны иметь малые значения для лю-
бого момента времени.

Справедливость этой теоремы устанавливалась в предполо-
жениях, что:

1)	большие полуоси а и а испытывают только малые коле-
бания,

2)	р У а и Р' а суть величины одного и того же порядка.

Последнее условие в каждом конкретном случае легко про-
верить, если только выполнено первое условие.

Что касается первого условия, то его выполнение доказано
лишь с точностью до первых степеней масс; из различных сообра-
жений представляется весьма вероятным, что оно выполняется
совершенно строго п в том случае, когда рассматривается движе-
ние на неограниченном промежутке временп. Здесь полезно рас-
смотреть, что в этом отношении можно заключить из интегралов
площадей.

Предполагая, что движение происходит в одной плоскости,
из (14*) находим для i = О

$Vp + $VF=C.	(19)

Это уравнение показывает, что параметр р пли р’ не может не-
ограниченно возрастать. На самом деле максимальное значение
этой величины определяется уравнениями





С другой стороны, с уравнением (19) очень хорошо согласуется
предположение, что р и р’ могут принимать произвольно малые
значения. Это означало бы, что либо е приближается сколь угодно
близко к единице, либо а принимает сколь угодно малые зна-
чения.

В предыдущих рассуждениях молчаливо предполагалось, что
оба члена в (18) имеют один и тот же знак. Это будет в том случае,
когда п п п или оба положительны, пли оба отрицательны, т. е.
оба тела А \\ В обращаются вокруг начала координат в одном и
том же направлении. Это предположение справедливо для нашей
планетной системы. Если одно пли несколько тел движутся в на-
правлении, обратном по сравнению с другими, то, как указал
Лаплас, доказательство утрачивает свою силу.

Данное Лапласом доказательство устойчивости движения оста-
ется справедливым п для произвольного числа тел. Действительно,
вместо (18) получим

2 Ra2

е2 cos2 i 4- sin2 i

1 + У1 — e- sin2 i

= C',

(20)

и если все тела движутся в одном и том же направлении, то все
члены в левой части равенства имеют одинаковые знаки. Так как
сумма всех членов мала, что следует из наблюдательных данных
о нашей планетной системе, то должен быть малым также каждый
член. Эксцентриситеты и наклонности для планет нашей солнеч-
ной системы должны оставаться малыми в предположении, что а
постоянно или близко к постоянной. Этот вывод может допускать
только такие исключения, когда либо па~ мало (т. е. для планет,
которые очень близко расположены к Солнцу), либо сравни-
тельно очень мало р.. Из последнего замечания следует, что дока-
зательство устойчивости Лапласа теряет свою силу для малых
планет, наклонности и эксцентриситеты которых могут прини-
мать большие значения.

Оскулирующие эллипсы, которые рассматривались здесь,
были получены при использовании канонических координат
Якоби. Если бы использовались обыкновенные относительные
координаты и были введены соответствующие оскулирующие
эллипсы, то, как было показано в § 7, интегралы площадей не
приняли бы столь простой формы, а поэтому на эти элементы
выводы Лапласа не распространяются. Если пренебрегать
членами второго порядка относительно масс, то, как следует из
(14) § 7, форма (12) для интегралов площадей сохранится и для
обыкновенных относительных координат, и эти интегралы будут
иметь вид:

Swi (1 —е2) sin i sin Q = ct,

Sm У a (1 — e2) sin i cos Q = c2,

Sm У a (1 — e2) cos i — c3.

(21)

В астрономии обычно используются только относительные ко-
ординаты и получающиеся для них оскулирующие эллипсы. Из (21)
находим, что вывод Лапласа относительно устойчивости нашей
планетной системы справедлив также и для этих элементов, но
только с точностью до первых степеней относительно масс (вклю-
чительно)*). Полные выражения для интегралов площадей через
обыкновенные оскулпрующие элементы можно вывести из § 7 (14).

Возвращаясь опять к якобиевым координатам, выведем выра-
жения для интегралов площадей через элементы Делоне (см. § 5).
Полученные выражения найдут применение в следующем парагра-
фе. Эти элементы были

Z = n(f + T), 1

G = 3]/a(l—е*),	g = n — Q,	1	(22)

H = 3 У a (1 — e2) cos i,	h — g.	J

Поэтому интегралы (13), будучи выраженными через эти эле-
менты, примут следующий вид:

УС2 — Н2 sin /г + УG'2 — Н'2 sin /»' = с1(

У G2 — Н2 cos h + yG'2 — Н'2 cos h' — — c2,
H + H' - c3.

(23)

Используя неизменяемую плоскость в качестве основной, как и
ранее, получим h = h' + 180°, и отсюда уравнения (23) можно
записать в следующей форме:

h = h' + 180°,
G2 — Н2 = G'2 — Н'2,
Н + И'= с.

(24)

Эту удобную форму интегралов площадей мы используем в сле-
дующем параграфе для понижения порядка системы дифферен-
циальных уравнений задачи трех тел.

§ 10. Приведение системы дифференциальных уравнений
задачи трех тел к четырем степеням свободы

Девять абсолютных прямоугольных координат трех масс
в задаче трех тел первоначально определяются системой 18-го
порядка [см. (2) § 1]. Система сводится к 12-му порядку либо
при помощи шести интегралов центра инерции, либо введением

*) Приведенные рассуждения не являются строгими. В последнее время
существенный прогресс в решении проблемы устойчивости солнечной системы
был достигнут В. И. Арнольдом [27], который доказал теорему: «Если
масса, эксцентриситеты и наклонности планет достаточно малы, то для
большинства начальных условий истинное движение условно периодично и ма-
ло отличается от лагранжева движения с подходящими начальными условиями
в течение всего бесконечного промежутка времени — oo < t < + <»»• Однако
и сейчас еще нельзя утверждать справедливость теоремы Лапласа. (Прим,
перев.)
обыкновенных относительных координат, либо, если система будет
иметь каноническую форму, введением канонических относи-
тельных координат, или координат Якоби или каким-либо иным
путем.

Полученная таким образом система 12-го порядка обладает
еще четырьмя интегралами, а именно, тремя интегралами площа-
дей и интегралом живых сил. Поэтому, если использовать эти ин-
тегралы, можно получить систему 8-го порядка. Сохраняя кано-
ническую форму дифференциальных уравнений, эту систему
8-го порядка можно записать как систему канонических урав-
нений с четырьмя степенями свободы. Оказывается, что харак-
теристическая функция этой канонической системы остается не
зависящей явно от времени. Следовательно, для этой системы 8-го
порядка существует интеграл живых спл, и можно было бы с его
помощью понизить порядок системы еще на единицу.

Как было показано впервые Лагранжей, а позже Якоби и др.,
дифференциальные уравнения задачи трех тел можно свести
к системе 7-го порядка. Предлагаемый вывод канонической си-
стемы с четырьмя степенями свободы для задачи трех тел заим-
ствован у Пуанкаре *).

Будем исходить из дифференциальных уравнений в элементах
Делоне и предположим, что неизменяемая плоскость принята
в качестве плоскости XY. Тогда будем иметь следующие дифферен-

цпальные уравнения:						
dL _	dF	<7/ _	dF			
dt ~	dl ’	dt ~	dL ’			
dG	dF	dg _	dF			
dt ~~	dg ’	dt ~	dG ’			(!)
dH	dF	dh	dF			
— - - —		l=^—"				
dt	dh ’	dt	dH ’			
dL'	dF	dl'	dF			(1*)
dt ~~	dl’ ’	dt ~	dL' ’			

и т. д., и интегралы площадей запишутся в виде

h = h' + 180°,
G2 —Я2 = G'2 —Я'2,
Я + Я' = с.

(2)

С помощью двух последних из этих уравнений Я и Я' можно вы-
разить через G и G'. Второе уравнение дает

G2 - G'2 = Я2 - Я'2 = (Я + Я')(Я — Я') = с (Я — Я'),

•) Понижение порядка дифференциальных уравнений задачи трех тел
выполнялось Леви-Чивита [28], С. Ли [29], Воронцом [30], Радо [31] и др.
(Прим, перев.)

15 К. Шарлье
так что

Я = ^- +A.(G2-G'2),
я' = -^-А-(с2-с,г)-

(3)

Возмущающая функция F зависит от элементов L, G, Н, I, g, h.
L', G', H', I', g', h'. Покажем, что если в качестве основной плос-
кости выбрана неизменяемая плоскость, то в F не будут содер-
жаться h и h'. В гл. IV было показано, что для оскулирующего
эллипса координаты являются периодическими функциями от I,
g и h. Отсюда следует, что возмущающая функция, которая через
координаты выражается при помощи формул (6), (6**) и (34)
§ 5, будет периодической функцией от I, g, h и I', g', h', так что
можно записать

F = 2Л с“ {И + jg + kh + i'l' + j'g' + k'h'),	(4)

ВШ

где i, /, k, i, f, к’ принимают любые целые значения от —оо
до +ос. Коэффициенты А зависят только от L, G, Н, L’, G', Н'.

Теперь согласно третьему интегралу площадей (2)

Н + Н' = с,

и, следовательно, имеем
dH
dt

dH'
dt

= 0.

(5)

Из (1) и (1*) находим

dF . dF _
dh "т" dh' ~

(5*)

Подставляя вместо возмущающей функции в это уравнение ее
значение (4), получим

2 (к + к') А “ (И + jg + kh + i'l' + j’g' + k'h') = 0.	(6)

Это уравнение должно выполняться тождественно, а это возможно
только при к + к' = 0, так что элементы h и h' в возмущающей
функции всегда встречаются только в сочетании h — h'. Если,
в частности, выбрать неизменяемую плоскость в качестве плос-
кости XY, то согласно (2) будем иметь

h — h' = 180°,	(7)

так что в этом случае F не будет зависеть от huh'. Если при по-
мощи (3) исключить Н и Н', то F станет функцией от L, G, I, g,
L', G', V, g'. Используя для содержащихся в этой функции вели-
чин G и G' обозначения Г и Г', так что

G = Г,	G’ = Г',	(8*)

по (3) имеем

с	1	<8)

Я' = ^---^(Г-Г'2).

Тогда

dF аг	_ dF dG , dF дН ~ dG дГ ' дН аг	. dF дН' _ г дН' дГ ~~	dF , dF Г	dF Г ая' с •
			аг + ад с	
Но из	(7) и (1) следует	dF dF дН ~ дН'		(9)
и, значит, имеем				
		dF dF  ST = dG •		(10)
Таким	же путем получим	dF dF  дГ' “ dG’ •		(Ю*)

Вместо (1) и (1*) получим теперь следующие канонические диффе-

ренциальные уравнения для

задачи трех тел:

dL	OF	dl	dF
	-		
dt	dl ’	dt	dL •
dT	OF	dg __	dF
	 -- 			r-—T—
dt	dg ’	dt	ar •
dL’	dF	dl’	dF
			
dt	ar ’	dt	dL’ ’
dr	dF	dg' _	dF
			
dt	dg' ’	dt	ar *

(11)

которые соответствуют четырем степеням свободы. F является
функцией от L, G, I, g, L', G’, I', g', которая получается из общего
выражения (4) путем исключения G, G', Н, Н’ при помощи (8*)
и (8).

После того как из уравнении (11) L, Г, I, g, L', Г', I', g' будут
найдены как функции времени, движение общей линии узлов на
неизменяемой плоскости найдется посредством квадратуры.
А именно,

dh_________dF_

dt ~~	dH '

(12)
где перед дифференцированием F следует рассматривать как
функцию 12 первоначальных элементов. После дифференцирова-
ния введем Г и Г' с помощью (8*) и (8). Если уравнения (11) будут
проинтегрированы, то в правой части (12) будет стоять известная
функция времени, и тогда долгота восходящего узла найдется
при помощи квадратуры.

Так как время не входит явно в F, то система (11) имеет ин-
теграл живых сил

F = const,	(13)

при помощи которого можно исключить один из элементов и по-
лучить систему 7-го порядка. Наконец, вместо времени примем
в качестве независимой переменной один из оставшихся элемен-
тов (например, 1); тогда окончательно будем иметь для задачи трех
тел систему дифференциальных уравнений 6-го порядка.

Если в качестве независимой переменной использовать I, то

система будет иметь	такой вид:				
dr	dF . dF	dg	_ dF dF		
dl	dg : dL ’	dl	~ dT ' dL ’		
dL‘ _ dl ~	dF , p/1 dl’ : dL ’	dl’ dl	_ dF _dF ~ dL' : dL ’		(14)
dr'	dF dF	dg’	_ dF ,\dF		
dl ~	dg’ : dL ’	dl	~ dr ’’ dL '		

После вычисления частных производных от F необходимо при
помощи (13) из правых частей уравнений (14) исключить L. Урав-
нения (14) не обладают канонической формой. После того как
система (14) проинтегрирована, величина I находится как функ-
ция времени посредством квадратур из уравнения

Если рассматривать движение трех тел в плоскости, то движение
можно описать канонической системой с тремя степенями сво-
боды.

При i = О G и Н совпадают, и можно положить

G = Н = П.	(16)

Здесь существует только один интеграл площадей, а именно
П + П' = с.	(17)

Из этого уравнения следует, что

=	(18)

dg ' dg '	'

где g обозначает долготу перигелия. Это уравнение показывает,
что F зависит только от разности g — g'.
Введем теперь две величины, К и к, при помощи следующих
уравнений:

Я = П, ]
k = g — g', J

из которых следует, что

П' = с-Х;	(19*)

тогда при помощи (19) и (19*) F можно представить как функцию
L, I, К, к, L', V. Имеем

дК дП SIT ’

и поэтому

dk _ d(g-g')	_	dF	.dF	_	dF	,2n

dt	dt	~	ап 'Г dll'	—	dK •

Далее имеем

dK_	_	<ffl	_ dF.	_ dF_	.

dt	dt	dg	dk	’

тогда дифференциальные уравнения движения выразятся сле-
дующим образом:

dL_ _ d/’	dl_	__	dF_

dt dl ’	dt	dL	'

dL' _ dF	dl'____dF	?22)

~3T ~ ~dV ’	~dt	~	dL'	’	V	’

dK_ _ dF_	dk	_dF_

dt ~ dk ’	dt	=	dK	’ J

Эти уравнения представляют собой каноническую систему с тре-
мя степенями свободы.

После того как будет проинтегрирована система (22), долгота
перигелия получается при помощи квадратур из уравнения

г —	(22*)

в котором после вычисления частных производных от F правые
части должны быть выражены через L, L', К, I, I', к.

Уравнения (22) допускают интеграл живых сил

F = const,	(23)

поэтому, принимая вместо времени в качестве независимой пере-
менной один из элементов, можно понизить порядок системы
дифференциальных уравнений движения в плоскости до четырех.
Однако эта система не будет канонической.
При понижении порядка системы дифференциальных урав-
нений проблемы трех тел до четырех можно использовать произ-
вольные канонические переменные qit pi. Необходимо только
выразить через эти переменные интегралы площадей, и понижение
порядка будет выполняться с большими или меньшими затрудне-
ниями таким же путем, как и выше. Автор показал, как можно
составить канонические уравнения движения с тремя степенями
свободы для случая плоского движения, если в качестве д-коорди-
нат использовать расстояния трех тел от общего центра инерции
при надлежащем выборе соответствующих канонических пере-
менных [321. Этот метод имеет свои преимущества, так как воз-
мущающая функция оказывается алгебраической функцией пере-
менных, в то время как оскулирующие элементы входят в возму-
щающую функцию трансцендентным образом. Эти преимущества
достигаются и в том случае, когда вместо расстояний трех тел от
общего центра инерции в качестве координат выбираются взаим-
ные расстояния. Вывод дифференциальных уравнений оказывается
точно таким же, что и при использовании в качестве обобщенных
координат расстояний от центра инерции. Понижение порядка
системы дифференциальных уравнений движения в этом случае
до восьмого в изящной форме было выполнено Брунсом [33].
ГЛАВА VI

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ

§ 1. Введение новых канонических элементов

Если 2п величин xj и pt определяются канонической системой

*------£	(*-1,2.....ч (1)

dt dyi 9 dt dxi v	' '

и если положить

xi = /i(5i, 5а» • • •» 5n, Ли Ла» • • • , Лп)» 1
yi = St (5i, 5а, • • •» 5п, Ли Ла, • • •, Лп), J

то существует, очевидно, бесконечно много форм функций /< и gt,
при которых для новых переменных & и дифференциальные
уравнения будут снова иметь каноническую форму:

___dF ... 2	,3,

dt ~ dt — di,.	A•••»«)•

Мы хотим отыскать условия, иначе говоря, определить форму
функций и gt так, чтобы имели место уравнения (2) и (3).

Предположим, что F задана как функция яч, yi (i = 1, 2,...
. . . , п) и времени. Тогда имеем

_____

dt = Эя:1 dt “• dx2 dt ""i dxn dt "г

. dh-d*l dhd** J- ... 4-

“Г dyx dt ”r 3y2 dt ' * ’ "t” dyn dt ’
или согласно (1)
dli	_____

dt = дхх дух' Qx^dy^ ' dxn dyn

dF ^i dF	dF

dyxdxx dy^dx3 ” fyndxn'
Введем теперь обозначения
n

,	..	(da db da db,	...

(4)
тогда

ts)

V - lb. fi-

dF		dF	dF	, dF ЭПп
аУ,	~Кх9уа-Г'	1 ^dya 1	ат1г 9ya + ’ ‘	Эг)пду8 ’
dF	dF	dF 9^ .	dF aTh	, dF 9rin
	^d^dx^- •	‘ + ^ПЧ +	дха г	' ’+ dnn *

и, следовательно,

d$i dF_ _ dF_ _ /d£j	1

dxa dya dyf dxa d^1 \dxg dyg	dyg dxg) "T"

d$n \dxg dyg dyg dxg)

" dr)! Ids, dyg dyg dxg) *	•“ drjn \dxg dyg dyg dxj ’

Если просуммировать все эти выражения, последовательно пола-
гая $=1,2,..., п, получим

[61, ^1 = [Si, Stl ^+• • • + [St, Snl +

+ [Si, Till з£ + • • • + (Si, Пп] . (6)

Точно таким же образом получим

= hi, F] = [ш,Ы ^ + • • •+ hi, 6n]	+

+ hi.nil^+--- + hi,nn]^. (6*)

Потребуем, чтобы дифференциальные уравнения имели вид

= d4t = _ 9F
dt =	’ dt =	’

и эти уравнения, очевидно, выполняются, если удовлетворяются
следующие соотношения:

(U Srl = о,

hi. Лг1 = о,

(Si. Лг1 = 0.	Г7\

[Si, till = 1

(i, г = 1, 2, . . . , n)

(i=/=r).
Если выполняются эти условия, то переменные, введенные при
помощи (2), являются каноническими.

Соотношения (7) являются достаточными; необходимы ли они —
это для нашей цели безразлично, так как эти условия для иссле-
дуемых здесь преобразований выполняются. Сравнивая (6) и (6*)
с (3), находим, что уравнения (7) будут также необходимы, если
не делать никаких особых предположений относительно функ-
ции F.

С помощью этой теоремы мы введем теперь вместо элементов
Делоне новые канонические переменные.

1.	Вместо элементов L, G, Н, I, g, h введем новые переменные
Л, Г, Z, X, у, z при помощи следующих уравнений:

Л = L,	Г = L — G,	Z = G - Н,

X = l	g -|- h, у = — g — h, z = -— h,

а также соответствующие величины вместо элементов L', G'
ит. д. Новые элементы Л, Г и т. д. будут каноническими. Действи-
тельно, если старые элементы L, G, Н, I, g, h обозначить через
xlt х2, х3, ylt у2, у3, так что£ = ®1( G = х2 и т. д., а соответствую-
щие новые элементы через Bi, Sa, Is, Ли Лз> Лз> так что Л = В1(
Г = £2 и т. д., то, во-первых, находим, что

ISt, Srl = [тц, Лг1 = О,

}	(8)

так как зависят только от xlt х2, х3, а гц — только от ylt у2, у3.

Я JTRft

[Si, Л1] = 1,	[Sa, Л1]	= °,	[Sa,	Л1] = °,

[Si, Лз1 = °,	[Sa, Ла1	= 1,	[Sa,	Ла1 = О,

[Si, Ла] = 0,	[g2, Ла]	= 0,	[£3,	Лз1 = 1.

Таким образом, условия (7) выполняются, и поэтому новые эле-
менты будут каноническими. Выразим их через эллиптические
элементы:

Л = Р Уа, Г = Р]/га(1 — У1—е2), Z=p]4a(l—е2) (1— созг),1
X = 14- л, у = — л,	z = —Q,	)

(9)
где X обозначает среднюю долготу в орбите, у — долготу периге-
лия, z —долготу восходящего узла. Элемент Г пропорциона-
лен квадрату эксцентриситета, Z — квадрату наклонности.

2.	Введем, далее, вместо элементов Г, Z, у, z элементы
т), р, q при помощи следующих равенств [2]:

£ = ]Л2Г cos у, р = y2Z cos z, 1

т|='У2Гзтт, q = yr2Zsinz. J
Новые элементы также являются каноническими.
Так как при преобразовании (10) в выражения для новых
элементов входят только два сопряженных элемента, то мы можем
исследовать каждое преобразование отдельно. Предположим,
что уравнения

dx _ д£ dy _	НП

dt ду ’ dt дх *	' '

где F зависит от х, у и времени, преобразуются к переменным

В = У 2z cos у,	т) = У 2а: sin у;	(12)

тогда

15, £1 = 0,	[П, т)1 = 0,

1=’ U дх &у ду дх

-£= cosy -У&ссову + ]/2xsiny- -^=siny = 1

f 2з?	“	'	" у 2х

и, значит, |, т] являются каноническими. Отсюда следует, что
каноническими будут и элементы, определяемые формулами (10).

Полученные канонические элементы мы положим в основу
последующих исследований по теории возмущений. Их выра-
жения через эллиптические элементы согласно (9) и (10) будут сле-
дующими:

Л = р Уа, X = I + л,
g = ]/ 2Л (1 — УГ —• е2) cos л,
г] = — )/~2Л (1 — У1 — е2) sin л,
р = У2Лу1 —е2(1— cos i) cos Q,
q = — У2Л У1 — е2 (1 — cos i) sin Q,

(13)

где X — средняя долгота.

Исследуем более подробно зависпмость между приведенными
выше элементами Пуанкаре и эллиптическими элементами. Из (13)
следует, что

(Тх)!+(Й), = 2(1“/Г=?’"е,+ тв‘+-- <14>

Это уравнение показывает, что е2 может быть разложено в ряд
по степеням величины

(т=Л)’+Ш’
Получим

е2 = I_L\2 I (JL\2 _ ± г/-L\2 _4_ /Л_\2Г
(ул) + (ул) 4 Кул) (/л) J

Далее, так как

= е(1 + -1-е2 + •••),
то

= (1 + Sane2n) е cos л,

Л- = _ (1 _|_ 2апе2п) е sin л.

V Л

Из (14*) следует, что

(14*)

(15)

таким образом, е cos л и е sin л можно разложить в ряды по сте-
пеням —и -Д=. Обратно, из (15) вытекает, что —=. и -7=
/Л /Л	Ул Ул

можно разложить в ряды по степеням величин есозл и esinn.
Рассматривая теперь элементы р и q, находим, что

(1 _ е2)~ Т = ]<2 (1 — /Г — sin2 i) cos Q,

_ 1______________________________

y= (1 — e2) 4 = — у 2 (1 — У1 — sin2 4) sin Q,

откуда следует, что sin i cos Q и sin i sin £2 могут быть разло-
жены в ряды по степеням величин

_ 1	_ i

-У (1-е2) 4 и 4=(1-е2) 4-

Ул' ’	Ул ’

Стало быть, мы приходим к заключению, что величины
е cos л, е sin л, sin i cos Q, sin i sinQ могут быть разложены в ря-
ды по положительным степеням величин

£ П_ Р_ ч_

Ул’ Ул’ Ул’ Ул’

и наоборот.
Если пренебречь членами третьего*) порядка, то будем иметь

sin i cos й

P

Гл’

л
e sin л -->

/А

sin i sin Й --7= .

VA

(16)

В следующем параграфе мы докажем, что возмущающую функ-
цию можно разложить в ряды по степеням е cos л, е sin л,
sin i cos й, sin i sin й. Отсюда следует также, что она может
быть разложена по степеням

_2L р_

Гл’ /л’ / л’ Ул'

§ 2. Форма разложения возмущающей функции

Если ввести обозначения

г = ecos л,
s = е sin л,
г' = е' cos л',

и = sin г cos й,
v =s sin i sin й,

и т. д.,

(1)

то можно показать, что возмущающую функцию можно разложить
в ряд по степеням г, s, и, г’, s', и' и т. д., причем коэффициенты
в этом разложении будут функциями элементов Л, X, Л', X' и т. д.

Так как возмущающая функция является аналитической
функцией координат, которые конечны при r = s = u = r’ =
= . . . = 0, то достаточно доказать, что координаты могут быть
разложены в ряды по степеням рассматриваемых величин.

Заметим сначала, что

е2 = г2 + s2,
и, следовательно,

е2п = (г2	s2)n>

sin2 i — и2 + v2,

sin2n i = (w2 + v2)n,

откуда следует, что все четные степени е и sin i представляют собой
целые рациональные функции г, s, и, v.

Для прямоугольных координат в § 9 гл. IV мы нашли

х = At, + Вт],
у =	+ BXT],

z = А& + В2т],

(2)

♦) И более высокого. (Прим, рвд.)
где

ОО

£ = ® 3 ~Г cos il,
t=—00

00

т| = ауг1 — е2 3	И-

i=—оо

(2*)

Коэффициенты А, В, Аг и т. д. имели следующие значения:

Л = cos (л — Q) cos Q — sin (л — Q) sin Q cos i,
В = — sin (л — Q) cos Q — cos (л — Q) sin Q cos i,
Л1 = cos (n — Q) sin Q + sin (n — Q) cos Q cos i,
Bx = — sin (л — Q) sin Q + cos (n — Q) cos Q cos i,
A2 = sin (л — Q) sin i,
Bi = cos (л — Q) sin i.

(2**)

Эти коэффициенты могут быть записаны следующим образом:

А = cos (л — Q) cos Q — sin (л — Q) sin Q (1 — sin21)'/’ =

= cos (n — Q) cos Q — sin (л — 2) sin 2 (1-----------sin2 i —

----g- sin4 i----•) = cos л + -y sin2 i sin (л — 2) sin Q f 1 +

1	\ 1

4~ -y sin2 i + • • • j = cos л + -y sin2 i sin 2 (sin л cos 2 —

— cos л sin Q) + -у s’n2 * + •••) = cos л +

4~ (-у uv sin л —v2 cos л) (1 + sin2 i H--------------

Введем следующие обозначения:

P1 = |u2[14.|(u4»’)+-].

Pa = -1-uv[l 4-+

рз = ту2[1 + т(и2 + г;2) + ---|’

(3)

где Plt Р2 и Pa обозначают ряды, которые расположены по поло-
жительным степеням и, v (и начинаются с членов 2-го порядка);
тогда остальные коэффициенты можно представить в такой же
форме:

А = cos л + Р2 sin л — Р3 cos л,

В = — sin л + Р2 cos л + Ра sin л,
= sin л — Pi sin л + Р2 cos л,

Bt = cos л — Pi cos л — Р2 sin л,
Л2 =	и sin л — v cos л,

Въ =	u cos л + v sin л.

По известной теореме тригонометрии

cos п0 = Сп cos” 0 + Сп~г cos’1"2 0 + • • •,	(5)

где Сп, Спг-ъ и т. д. зависят только от п. Дифференцированием
получаем соответствующую формулу для sin п 0:

sin п0 — sin 0 [Z>n_i cos”"10 + Рп-з cos’1-3 0 + • • • ] •	(5*)

Из этих выражений находим

en cos пл = Спгп + Сп-аг”-2 (г2 + s2) Н-,	|

еп sin пл = s [Pn-ir”-1 Н- Dn-tfn~3 (г2 + s2) + • • • ]', J

следовательно, еп cos плие” sin пл суть целые рациональные
функции от г и s степени п.

Теперь рассмотрим постоянный член в (2*). Согласно § 9 гл. IV
»	t	3

в выражении для г) он равен нулю, а в § равен —ае.

Опуская постоянный член и избавляясь в (2*) от отрица-
тельных индексов, можем записать

ОО

5 =	-^-(/^-/i^cosi/,

i=l

oo

Г| = а 2 Д- (Л;1 + J’J1) sin и,
i=l

где вместо средней долготы I подставим ее выражение из урав-
нения (13) § 1:

I = X -л.	(7)

Будем иметь

S = « 2 Т ~	(с031Я cos s‘n 1Л sin г^’

т] = а ]/1 — е2 2 т	sin in cos iX + cos гл sin iX).
Коэффициенты J*e могут быть разложены в ряды по положитель-
ным степеням е, и согласно (9) § 9 гл. IV будет

а1 - ^(4Г - in (4)’+(4)‘~ • • <9>

= (T+1JT (т) I1 — l!(i + 2) ("Г) + 2! (i + 2)(i + 3) ("г)	}'

(9*)

Подставив эти выражения в (8), найдем, что J^1 и j£x следует
умножить на cos in или sin in, а также на cos л или sin л, если
принять во внимание выражения (2) и (4).

Очевидно, что в соответствии с (6) произведения

Jie1 cos гл cos л

Jie1 sin in sin л

можно разложить в ряды по степеням г и s. Точно так же непо-
средственно находим, что

e2J’e'x cos in cos л

e2j£x sin in sin л

можно разложить подобным образом.

Остается только исследовать те члены в | и г), которые имеют

вид

(£) = ® 2 т (cos 1Я cos +sin гл sin

(ц) = а 2 — Jje (— sin in cos iX + cos in sin il);

(10)

затем эти выражения следует подставить в (2) вместо £ и гр

Выполняя эти подстановки, находим, что получаются только
следующие две комбинации, а именно, либо J<7X cos (г—1) л,
либо J{7xsin(i — 1) л, которые можно представить согласно (6)
в виде степенных рядов относительно г и s. Это доказывает, что
координаты можно разложить в ряды по степеням величин и,
v, г, s, а следовательно, также по степеням элементов Пуанкаре
£, Л» Р» Приведенное здесь доказательство несколько громоздко,
и, по-видимому, могло быть сделано более коротким.
§ 3. Разложение возмущающей функции

Если ограничиться задачей трех тел, то возмущающая функ-
ция F согласно (34) § 5 гл. V в якобиевых координатах имеет
следующий вид:

Р _ З4 I З'4	, к2татЬ , к2тате	kimjnc

- W 1- 2И'Ь'2 -Г- Гаь Гса rga

(1)

где

ктлп.

у ть + тс

3' = кта

Г(тоь + wc)
ma + mb + mc

(2)

Координаты тела В в системе отсчета с началом в С суть дг,
qz, q3, а элементы описываемого В оскулирующего эллипса — А,
К, I. Л> Ру 4- Соответствующие величины (координаты и элементы)
для тела А, отнесенные к координатной системе, начало которой
лежит в центре масс В и С, обозначим буквами со штрихами.
Тогда согласно (6) и (6**) § 5 гл. V

__2 _ л 2 ।	2 ।	2	'

rga ~ 41 + ?2 Т t

m2

Ь Z„2 I I „2\ I „'2 I „'2 I „'2 I
rca =	(<7i + <7г + 4з) + 41 + 4z + 4з +

2mb ,	,	,

+ ^7+ znc (4141 + 4*h +	(3)

„,2

Г“Ь = (,nb +	"J" ^2*	—

2m,	,	,

~	(4141+ 4ъ4з + 4з4з)у

тъ — mc

В соответствии с предыдущим параграфом, координаты можно
разложить в ряды по степеням

П_ Р_ <7_

Vд’ /а’ /д’ /а’ /А'’

и т. д., и отсюда получить разложение такого же вида для возму-
щающей функции. Мы приведем это разложение с точностью до
вторых степеней включительно относительно соответствующих
величин.

Эти разложения могут быть найдены с точностью до любой
степени эксцентриситета и наклонности методом, изложенным
в предыдущем параграфе. Если ограничиться вторыми степенями
рассматриваемых величин, то можно, например, поступить сле-
дующим образом.
Согласно (19) и (23) § 9 гл. IV имеем

= A (cos w — е)	В f 1 — е2 sin w,	
^- = At (cos w — e) + Bt У1 — e2 sin w,	(4)
= A3 (cos w — e) + B3 У1 — e2 sin w.	

Выражения для А, В, Лх и т. д. даются формулами (4) предыду-
щего параграфа. Таким образом, получим

= — Ае + сое л cos w — ]/1 — е2 sin л sin и -f-

+ Р2 (sin л cos w -|- У’1 — e2 cos л sin w) -|-

+ Pg (— cos л cos w + 1^1 —e2sin nsinw),

= — Лхе + sin л cos w + У1 — e2 cos л sin tv —

— Pt (sin л cos w + У1 — e2 cos л sin u ) +

+ P2(cosncosw— yi —e2sin л sin и>),

= — A3e + и (sin л cos w + У1 — e2 cos л sin w) +

+ v(— cos л cos w + У1 —e2sin л sinw).
Ho

Ae = r + P2s — P3r,

A^e = s —PtS + P2r,

A3e = us — vr,
и поэтому, вводя обозначения

P = cos л cos w — yi — e2 sin л sin w,

E = sin л cos w + У1 — e2 cos л sin w,
иметь

•у- = — r — P2s 4- P3r + D + P2E — P3D,

31. = _ s + P1S - P2r + E - PtE + P3D,

— = vr — us 4- uE — vD,
n	1

(5)

(6)

(?)

так что остается только разложить в ряды по степеням г и s ве-
личины D и Е.

16 к. Шарлье
При помощи бесселевых функций или каким-либо иным путем
получим теперь разложения до второй степени е:

cos w = cos I + -у- (cos 21 — 1) +	е2 (cos 3Z — cos I),

sin w = sin I 4- 4-sin 21 4-4- e2 (3 sin 3Z — sin I),
л	о

Подставляя сюда значение средней долготы X из соотношения

X = I 4" л,
окончательно получим

D = cos X 4- 4- г (cos 2Х — 1) 4* 4- s sin 2Х + 4- г2 (cos ЗХ —
М	6л	О

— cos X) —4 s2 (3cos3X 4- 5 cosX) 4- 4_rs (3 sin3X + sinX),
1	1	i	'	(8)

E = sin X 4- -4 r sin 2X-s- s (cos 2X 4- 1) + -5- r2 (3 sin3X —

6л	6»	О

— 5 sin X) —s2 (sin 3X + sin X) —rs (3 cos 3X — cos X).

Подставляя теперь вместо r, s, и, v элементы £, т], р, q из (16)
§ 1 и принимая во внимание выражения (3) § 2, окончательно
получим:

— = cos X + у— (cos 2Х — 3) — у= sin 2Х 4-|^- (cos ЗХ —

— cos X) —	(3 cos ЗХ -|- 5 cos X) —	(3 sin ЗХ 4- sin X) —

_ ^sinX-^cosX,

= sin X +	sin 2X + (cos 2X + 3) + £- (3sin3X-

— 5 sin X) —	(sin 3X -|- sin X) 4- |^- (3 cos 3X — cos X) —

-^.sinX-^cosX,

•? = sin X	cos X+§ sin 2X ~ S’ (3 -cos 2X) +

4-	(3 4- cos 2X) - sin 2X.
2	2 I 2 I 2	2

rlc = ?i 4" Яг 4- 9з = a

—fecos X 4

Далее из этого выражения получим:

4=sin X +
К А

+	(3 - cos 2Х) + £ (3 + cos 21) +	sin 2х] (10)

r§a = Qi + Яг + Я'Л = Я 21 1-Tf=i CCS 1' + —sin X' +

уд	уд

+ U (3 — CCS 2Х) + £ (3 + cos 2Х') + sin 2Х']. (10*)

Из (9) выводим следующее выражение для q^ + </2о' + д3^:

+	= cos (X - X') +	[4 cos (2Х - X') - 4 cos X'] +

+ 7Х [ ~ Т sin (2Х - X') + 4 sin X'] +	[4 cos (2Х' - X) -

— 4 cos X] +	[----sin (2Х' — X) + 4 sin xj +

+ 4 [4cos ~~	—гcos ft — k)+тcos ft++

4-	4 Г —I" ccs (3X — X') —~ cos (X — X') —cos (X 4- X') j -|“

4-	x [ - 4sin <3X - - T sin ft + %')1 + X [4 cos <3X'- -
	cos (X — X') + 4 cos (X + X')] + 4 [ —I"ccs	—
_ 4 cos (X - X') - 4 cog (X + X')] +	[ - A Sin (3X' - X) -

- ± sin (X + X')] +	[4-4 ccs 2X - 4 cos 2X' +

+ 4 cos (2 X - 2 X')] +	[4 + 4 cos 2X + 4 cos 2X' +

+ 4 cos (2X - 2X')] 4-	[4 sin 2X + 4 sin 2X' +

+ 4 sin (2X - 2X')] +	[4 sin 2X' + 4 sin 2X +

4- 4 sin (2X' - 2X)] 4- 4 [4 cos (X 4- X ) - 4 cos (X - X')] +

4~ 4 [ T cos 4" M 4"cos ft M]
— sin (X -г X') +	|д- cos (X + X') — 4 cos (X — X')] +

+	4 cos + ^') — 4 cos ~ “

— sin (X + X') -J—l у cos + ^Z) ~r ~ cos	4“

4"	[4 cos + ^4 4- у cos(^ — ^z)]+	[-7 sin (X + X') +

4~ 4 s*n № — )j 4“ s*n ”1" *2*s^n

Теперь выражения (10) и (11) необходимо подставить в (3) и (1).
При этом оказывается, что разложение возмущающей функции
становится весьма громоздким, если не проводить одновременно с
£ п

разложением по степеням	, -т=и т. д. разложении по степеням

V Л ул

масс та и ть, которые предполагаются малыми. Это является
недостатком, который возникает при использовании якобиевых
координат и которого можно избежать при использовании обык-
новенных относительных координат, а также канонических от-
носительных координат. В то же время следует заметить, что,
во-первых, не возникает никаких математических трудностей
при использовании якобиевых координат, если не разлагать
по степеням масс, так что здесь прежде всего речь идет об удоб-
стве, и, во-вторых, что в исследованиях по теории возмущений,
в которых разложение по степеням масс все равно выполняется,
отмеченный недостаток этих координат не имеет никакого зна-
чения.

Пренебрегая в выражении для возмущающей функции чле-
нами более высокого порядка по сравнению с квадратом массы,
можно положить

г*аь = (11 + + <% + 7? 4- <% + ч32—2	4- 7Д 4- ад,),

геа = 7? 4- 7? + 7? 4-	(7Х71 4- 7272 4- 7/4),

и, следовательно,

1	1 Г 2mh ,	.	, 1-,/«

— = 7- 1 + ,77“ (ГЛ71 + 7272 + 7373) ] =

rca rga L ,,lcrga	J

1 mb 1 /	' ।	' , 'v

it*	c ga
Поэтому выражение для возмущающей функции с точностью до
членов второго порядка (включительно) относительно масс при-
мет вид:

_ R*	R'4 к2т„ти к-тт.

F = -2^+w-+~---------------(ад+ад+ад)- <13)

Основная трудность лежит в разложении величины Гдь. для чего
нам необходимо использовать выражение (12). Разделим теперь
г*ь на две части, Д2 и /, из которых Д2 содержит члены нулевого
порядка относительно т) и т. д., а / —все остальные. Тогда
имеем

До = а2 + а2 — 2аа' cos (X — X')	(14)

и

г2ь = д§ + /,	(15)

и, следовательно,

'ab Док 2Д2 + 8Д£	•••}•

Условия сходимости этого разложения мы исследуем в одной из
следующих глав. Теперь получаем:

----= - JL „ Г a2 cos X — 4 аа' cos X'	4- аа' cos (2Х — Х')14-

2Д®	/ЛД’1	2	^2	'

+ у^д3 [— й2 sin X + у аа' sin X' — аа' sin (2Х — X')] 4*

4* у"^д3 [й 2 cos — у аа' cos X -j- у- аа' cos (2Х' — X)J +

4—Г — a'2 sin X' 4~ 4 аа' sin X — 4- аа' sin (2Х' — Х)14-

V Л'Д’ L	2	2

4—Г — 4 «2 4- 4 «й' cos (X 4- X') — 4- йл' cos (X — X') +

ЛД’ L 4	»	'	2	'	'

4- у й2 cos 2Х 4- аа' cos (ЗХ — X')] 4-

3	1	1

а2 — у аа' cos (X 4- X') — у аа' cos (X — X ) —

— 4 a2 cos 2Х — аа' cos (ЗХ — X')j 4“
-Ц- Г— 4- йй' sin (X 4- X') — 4- л2 sin 2Х —

АД» L 4	'	2
— у аа! sin (ЗХ — X')] +

V*
Л'Д«

— а'2 + аа! cos (X + X') —

— у аа' cos (X — X') + а'2 cos 2Х' + §ал' cos (ЗХ' — X)] 4-
4-	Г—4-а'2 —7Гаа'003 + ^) — 4 W соз(^ — —

Л'Д„ L 4	°	4

о

— а!г cos 2Х' — у- аа' cos (ЗХ' — X)] 4“

у аа! sin (X + X') — у а'2 sin 2Х' — у аа' sin (ЗХ' — X)] 4*

J*jL - [у-аа' — 4- аа! cos 2Х — 4- аа' cos 2Х' +

/ЛА'Д® L4 4	4

! cos (2Х — 2Х ')*] -|—Г-S- ев' 4" -г ал' cos 2Х 4-

V 'J /ЛЛ'Д® L4 4

4- -|- аа' cos 2Х' 4- у ал' cos (2Х — 2Х')] 4“

^у аа' sin 2Х 4- у аа! sin 2Х' 4- -% ал' sin (2Х — 2Х')] 4“

УЛ^Гд^ 1"£ аа' 8*П аа> S*n	+ Т аа' З‘п	— ^)] “Г"

+"^з-[4аа,со® (х + х') —

1 ,
-г аа

1

-г аа cos
4

+ AAf[~ iaaC0S <Х + Х') —

Л^”^аа'81п(Х + Г)] +

+ f аа! cos (X 4* X') — 4-
Л'Д’ I4 v

4- £г[- 4аа'cos +х') ~

+ДН',“'51п(

+ rEL. „ Г— 4 аа> cos (X + X') 4- Д- аа' cos (X — Х')1 +
УЛЛ'Д’ L 2	'	2	'J

4- у^.дз [4аа'cos +4аа cos ~	+
рд'

у аа! sin (X + V) 4- аа' sin (X — Х')1 +

+ у=^- [т аа'sin & + *') + 4 аа'sin ~	•

‘О

(17)

Разложение Гдь характеризуется тем, что коэффициенты в раз-
ложении этой величины по степеням £, rj и т. д. будут целыми
рациональными функциями 1 : До. В разложении других членов
возмущающей функции эта величина До не встречается. В связи
с этим целесообразно возмущающую функцию разбить на две
части: так называемую главную часть

р _ ^тать
гаЬ

(18*)

и дополнительную
ft* R'* к*т„тк

F* = 2^ + 2iPZTT---(7Л + ад +	(18**)

так что

F = Л + Ft.	(18)

Тогда получим

*-*•’”* {£+ij7xx
[3	1г	1

a3 cos X —я- аа! cos V + т аа cos (21 — V) -4-
Z	A	J

+ д3 у._ [— а2 sin к + аа' sin к' —аа' sin (2-к — ^ )] +

е*	г	3	1	1

4—„ \__ a'2cos к' — -^аа cos к 4- -я- аа cos (2А — к) 4-

д® у Л'	L	z	«	J

4--Г — a>i sin	+	4 аа’ sin	к —	аа’ sin (2к' —	А)14-

Д“ У Л' L	z	4	J

+4" {дз [~ 4а2 4 cos ~

— 4 аа' cos (X — к') 4- 4 ®2 С03 + 4 аа'cos ')] “Ь

+[4аг+4а2а'2 - 4 а’а'cos &+г) -

— 4 а?а' cos (А, — к') 4- 4 а*cos — 4 а2а 2 cos +
_|_ 27 e2a'2 cos 2Х' — £ а2а'2 cos (2Х — 2Х') +

4- | а8а' cos (ЗХ — X') + -£ а2а'2 cos (4Х — 2Х')]} +

2£_ |£_ |\_ £ а2 _ £ аа' cos (X + X') — £ аа' cos (X — X') —

— £ а2 cos 2Х — аа' cos (ЗХ — X')] -]-

+ -£- Г| а4 + -у <№ + у а3«' cos (X + X') -

до L *

— £ а3а' cos (X — X') + £ а2а'2 cos 2Х —у а4 cos 2Х —

_ |£ а2а'2 cos 2Х' — £ а2а'2 cos (2Х — 2Х') —

— £ а3а' cos (ЗХ — X') —	а2а'2 cos (4Х — 2Х')]|

4-121J JL Г— £ аа' sin (X + X') —?> а2 sin 2Х — £ aa'sin (ЗХ — X')J +

-|- -£- Г£ а3а' sin (X + X') — £ a4 sin 2Х + £ а2а'2 sin 2Х —

— — а2а'2 sin 2Х' — £ а3а' sin (ЗХ — X') — £ а2а'2 sin (4Х — 2Х') +

_i_ ££ (£_Г_£а'2 + £aa'cos(X + X') — £ aa'cos(X —X') +

л I. До L *	8	*

у a'2 cos 2Х' + у ad cos (ЗХ'— X) j -f"

+ £у [£ а'1 +	а2а'2 — £ аа'3 cos (X + X') -

А»

— £ аа'3 cos (X — X') + £ a'4 cos 2Х' — £ а2а'2 сой 2Х' +
2	4	о

+ ata'* cos 2Х — £ а2а'2 cos (2Х' — 2Х) +

+ £ аа'3 cos (ЗХ' - X) + -£ а2а'2 cos (4 X' - 2Х)]| +

+^г{4з'[~та,2—4aacos^+

— £ аа' cos (X — X') — £ a'2 cos 2Х' — £ аа' cos (ЗХ' — X)^j -j~

+ £5- [у а'* + 4 а2а'2 + £ аа'3 cos (X + X') -
— аа'3 cos (А — А') — 4 a'4 cos 2к' 4- 4 а?а'2 cos 2А' —

_ ага'г cos 2А — -J а2а'2 cos (2А' — 2А) —

- аа'3 Cos (ЗА' — А) — а3а’3 cos (4А' — 2А)]} +

+	[~ Т аа’sin + — iа'2sin~

— | аа' sin (ЗА'— А)] + [у а«'8 sin (* + Г) — 4 а'* sin 2Г +

4-	а2а'2 sin 2А'—4 а2 а'2 sin 2А — 4 аа'3 sin (ЗА' — А) —

- А а2а'2 sin (4А' - 2А)]} + -^= {А [|аа' “ |аа' cos 2А -

— 4 аа' cos 2А' + 4 аа' cos (2А — 2А')] 4“	£— 4 аа'3 — 4 а3а’ "Ь

+ а2а'2 cos (А + А') + а3а'3 cos (А — А') — | а’а' cos 2А +

4- 4- аа’3 cos 2А — 4 аа'3 cos 2А' 4- 4 а3а' cos 2А' +

+ аа’3 cos (2А — 2А') + а3а' cos (2А — 2А') — а2а'2 cos (ЗА —

— А') —	а2а'2 cos (ЗА' — А) + 4 а2®'2 cos (ЗА — ЗА')]} +

-I—(А Г-?- аа' + 4 аа' cos 2А + 4 аа' cos 2А' 4-

^/AA'Ia’L* ^4	4

+ 4 аа' cos (2А — 2А') j + А £— 4 а3а' — 4 аа’3 —

— Q ага'2 cos (А + А') 4- а2а'2 cos (А — А') + 4 а3а' cos 2А —

— 4 аа>3 Oos 2А + 4 аа'3 cos 2А' — 4 а3а' cos 2А' +

+ 4 а3а' cos (2А — 2А') + 4 ®® 8 cos (2А — 2А') +

4- 4 л2®’2 cos (ЗА — А') + 4 а2® 2 cos (ЗА' — А) +

+ 4 (i2a'2 cos (ЗА - ЗА')]} + {А [4 аа' sin 2А +

4- 4 аа' sin 2А' + 4 аа' sin (2А — 2А')] 4- 4» [— Т а2а*2 s*n	) —

— а2а'2 sin (А — А') 4- 4 а3а> sin 2Х ~ Т аа>3 sin 2Х +
4- аа'3 sin 2%' — а3а' sin 2Х' + а8а' sin (2Х — 2Х') +

4- аа'3 sin (2Х — 2Х') + а2а'2 sin (ЗХ — X') +

+ у а2а'2 sin (ЗХ' — X) + А а2а'2 sin (ЗХ — ЗХ')]} +

vh 14» [4аа'sin 2Х+4аа'sin 2V+4

аа' sin

+ 4- Г— т а®а'г 8in (* + *') — ? а2а'® sin (V — X) 4-
Д’ L *	»

4- аа'8 sin 2Х' — а3а' sin 2Х' + а8а' sin 2Х —	аа'3 sin 2Х 4-

4	4	4	4	1

+ у аа'3 sin (2Х'— 2Х) 4- а8а' sin (2Х' — 2Х) 4-

+ 4 а2а'2 sin (ЗХ' — X) + £ а2а'2 sin (ЗХ—X') + а2а'2 х

ООО

X sin (ЗХ' — ЗХ)]} + аа' cos (X 4- X') —

1 1

•4 аа cos (X — Х')> +

аа' cos (X + X') — аа' cos (X — X')} -J-

4- ^57 аа' cos (X 4- X') — аа' cos (X — X')} 4-

4- Л—[—т- аа' cos (X 4- X') —
Д3Л' 14 к /

о'

1 <

-гаа

4

+4'v{-4aa'sin<x+x

4-4-аа' cos (X —Х')4-  99 —

2	4	> дз /ЛЛ'

рч' _

Д3 /ЛА'

1	1	}

^аа sin (X + X ) + -н- аа sin (X — X') г +
4^	£»	I

 Р’ч Г1

Д3 /АЛ' 12

аа' sin (X 4- X') —

(19)

О

кгткт. к2т„т,	аа' (	....

Fa = —=- 1—-Х-,---И тать	1— cos (X — X) 4"

4-	I-2 cos (2Х- X')] 4- j-L [2sin (2Х-Х')]4-

+7x44cos х- 4 c°s (w - *)]+ife[-4sin К
+ 4 sin (2XZ — X)] +	[— 4 cos (X + X') + 4 cos (X — X') —

~~ "g cos (ЗХ — X	-|—14" cos (X -j- X') + cos (X — Xz) -j-

+ cos (ЗХ — X')] + [4 sin (x + v) + д sin (ЗА- — X')] +
4~ 4Г Г—o’ cos (X 4" Xz) -4- -n- cos (X — X ) — -g- cos (3XZ — X)14-
4" 4r jjj cos 4~ Xz) 4“ ~2 cos (X — Xz) 4" д cos (3XZ — X)J -J~

4-	[4 sin (X 4- xz) + 4 sin (3XZ - X)] U_

4- -ff = I3 cos 2X — cos (2X — 2XZ)] + -^L [— 3 cos 2X -
У ЛА'	У ЛЛ'

— cos(2X — 2Х')] + 31_[—3sin2X — sin (2Х — 2Х')] +

у-?== [— 3 sin 2Х — sin (2XZ — 2Х) ] +	£— — cos (X 4- X') +

4" д cos (X — X')] 4- -д- [д cos (X 4- Xz) + cos (X — X')J +

4- [у sin (X + X')] +	|~—	cos (X + Xz) + -£- cos (X — X')j +

+ 4/" [д cos (X + Xz) + -£ cos (X — X') j +	[y sin (^ 4~ XZ)J +

cos (X — Xz) j +

+	4cos(X + X') —4cos(X —X')] +

4-yfc[— ^Sin4- Xz) — 4sin (X — X')j +

+ ^1= [ - 4 sin (X + X') - 4 sin (X - X')]} .	(20)

I- t^I4qos (x4-xz)—4

V ЛЛ L 4

Приведенные разложения до членов второй степени относи-
тельно т), р, q, и т. д. были выведены Г. Нореном и Дж. А.
Валленбергом [34]. Вместо канонических элементов А и Д' можно
подставить в коэффициенты большие полуоси а и а' оскулирую-
щих эллипсов, для которых имеем

Л« ,	Л'2

а — Р2 ’ а ~ Р'2
§ 4. Основы теории возмущений

Дифференциальные уравнения имеют следующий вид:  dA _ dF_	dX  dt	dk ’	dt				Для	канони  dF dX ’	ческих	элементов
dj dt	s=	dF dr) ’	dt) dt	= —	dF dl ’		/Л \
dp ~dt	=	dF dq ’	dq dt	= —	dF dp ’		(О
dX’ dt	=	dF  dk’ ’	dk' dt	= —	dF dX' ’		

и т. д.; возмущающую функцию F, в соответствии с рассужде-
ниями предыдущего параграфа, можно записать в следующей
форме:

где целые числа i, j, к, I, i',	к', I’ принимают значения 0,1, 2,...

Коэффициенты А зависят от A, X и А', X'.

Точное интегрирование этих дифференциальных уравнений
до сих пор выполнить не удалось, несмотря на продолжающиеся
усилия крупнейших математиков последних 150 лет. Неизвестно,
будут ли оставаться колебания больших полуосей оскулирующих
эллипсов в любой момент времени в конечных границах, и неиз-
вестно также, насколько далеко могут отклониться со временем
элементы £, т], р, q, V и т. д. от тех малых значений, которые они
имеют в нашей планетной системе в настоящее время. Так назы-
ваемое доказательство устойчивости Лапласа, к которому мы
ниже возвратимся, не содержит строгих рассуждений о том, что
изменения А и А' должны оставаться всегда малыми, и утвер-
ждает только — и это представляет в высшей степени важный
вклад в проблему устойчивости, — что если изменения А и А'
малы, то это должно иметь место также и для |, г) и т. д.

Хотя проблема трех тел до сих пор практически в общем виде
не решена, можно попытаться исследовать орбиты трех или боль-
шего числа тел, притягивающихся по закону Ньютона на ограни-
ченных интервалах времени. Как массы, так и начальные условия
могут быть таковы, что можно вычислить сколь угодно точно зна-
чения элементов, например, при помощи так называемых меха-
нических квадратур (численного интегрирования). Если, в част-
ности, одна из масс весьма велика по сравнению с другими, как
это имеет место в планетной системе, то эти вычисления можно
выполнить аналитическим способом, более того, сравнительно
легко можно вывести общие выражения для элементов (или коор-
динат), которые с достаточной точностью представляют истинные
орбиты тел на сотни и даже тысячи лет. Методы, которые с се-
редины XVIII в. применяются для этой цели, составляют теорию
возмущений.

Если рассмотреть возмущающую функцию в форме (13) § 3,
которую можно записать следующим образом:

к2тьт с	кЪпатс к2тать

к2та>пь

—г~ (ад + ад + ад),

ga

(2)

п предположить, что массы та и /«ь весьма малы по сравнению
с массой тс, то найдем, что в этом выражении два последних
члена имеют сомножителями произведения малых масс та и ть,
что кратко выражают так: это члены второго порядка (относи-
тельно масс). Два первых члена в F, которые мы обозначим через
Fn, так что

к2т,,т„ к2т„гп„

•г»	о с । ас

+ ~*ё~ ’

(3)

очевидно, имеют первый порядок. В частные производные от F,
входящие в (1), Fo входит только через производные по Л и Л'
(имеем Л==р|/а, Л' = р']Лг'), которые определяют скорости
изменения средних долгот X и X'.

Если сначала не принимать во внимание элементы Л и % Д'
и V и ввести обозначения

5 = /т	ч = /Р (ч),	
р=Ур (р),	<7 = /Р(<7),	(4)
£' = /₽' (Н,	= VT (?'),	

то вместо (1) получим дифференциальные уравнения

р dt	—  ~ а (ч) ’	р dt	= —	QF ' а а)’	
о <*(/>)  Р dt	dF  ~ ЧяГ	fid (Я)  Н dt	= —	dF д(р)'	(5)
В'111)  Н dt	SF	fi'dtf) р dt	= —	&F  а (Г)’	
Если, кроме того, Л	положить  = Р (Л),	Л' = ₽'	(Л'),		(4*)
то F, в соответствии с (1*), примет следующий вид:

где в (1*) вместо (Л), (£), (т)) и т. д. везде записывается Л, с, ц
и т. д.

Отсюда следует, что все частные производные, которые содер-
жатся в (5), умножаются на произведения малых масс. Но со-
гласно § 3 (2) приближенно имеем

Р = кть

₽' = кта Улг?,

(6)

так что выражения для производных от (|), (т|), (р) и(<?) содержат
множителем возмущающую массу тпа, а производные от элемен-
тов (^') ит. д. — массу ть. Так как эти массы предполагались
весьма малыми, то отсюда следует, что производные от элементов
(S), (т|) п т. д. будут малы.

На этом свойстве основывается теория возмущений. Если про-
изводные малы, то по крайней мере на коротких промежутках
времени также малы и изменения элементов, п в первом прибли-
жении можно считать (S), (г)) и т. д. в правых частях (5) постоян-
ными. Посредством интегрирования полученных таким образом
уравнений, что не представляет никаких трудностей, находим
возмущения первого порядка. Этот приближенный метод приво-
дит к разложениям по степеням возмущающих масс. Правда, но-
вые исследования показали, что эти разложения в ряды не явля-
ются абсолютно сходящимися. Тем не менее как теория, так и
опыт свидетельствуют, что ряды сходятся на конечных промежут-
ках времени и пригодны для числовых расчетов.

Относительно дифференциальных уравнений для (Л) и (Л')
остаются неизменными указанные выше предположения; тогда,
учитывая только возмущения первого порядка, можно предполо-
жить, что

(Л) = (Ло) + 6Л, |
(Л') = (Ai) + 6Л', J

где (Ло) и (Ло) обозначают две постоянные величины, а 6Л, 6Л'
являются малыми.

Если, наконец, рассматривать дифференциальные уравнения
для средних долгот

р dt ~	а (Л)1

_ dF

' dt	д (Л') '
то в F нужно рассматривать только те члены, которые зависят
от Fo. Согласно (3) имеем

и, стало быть,

_ к2тьтс к2тате
2(Л)2 + 2 (Л')2 ’

<//,	_	к2тьте	"j

?	dt	~~	(Л)8	’	1

□,	db’	_	к2пате	[

Р	dt	~	(Д')8	’	J

(8*)

(9)

или, если принять во внимание соотношения (6),

db _ кУ~™с
dt ~ (hf ’

db’ к УК
dt ~~ A'8 •

(10)

Подставляя сюда значение (7) и разлагая в ряды по степеням
малых величин 6Л и 6Л', получим

	db _kVme г,кУте 6Л  dt	(Л0)8 J (Ло)8 (Ло) ’  db' _ к	3 к	6Л'  dt (Aj,)8	(Ло)8 (л;>'
Если положить	°	(Ло)8	0	(Л0)8	V ’

где п0 и п0 обозначают постоянные величины, то из (11) после ин-
тегрирования получим

X = п0 (t у0) — 3n0 dt,

Ь' = ^ + т;)-Зи(А-££-Л,
* 1Л0'

(13)

где уо и То — постоянные интегрирования, и отсюда следует, что
разности b — По (t + То) и — га0 (£ + То) содержат множите-
лями первые степени масс и поэтому, согласно терминологии
теории возмущений, являются малыми первого порядка. Обо-
значим эти разности через 6Х и 6Х'.

Методы интегрирования в теории возмущений следующие.

Пусть Е обозначает какой-либо элемент, причем вместо X
и X' будем использовать в качестве элементов 6Х и 6Х'; тогда
для него имеем дифференциальное уравнение в форме

= f (А» М В. П. Р» У» А', А',	и', Р', q')-

Относительно функции / из § 8 гл. IV известно, что она является
периодической относительно X и А', таким образом, мы можем
записать

= 2 B(i’Г) ccs (г А + г'Х' + D(il °).	(14)

Для каждого элемента существует уравнение этого вида. Правая
часть (14) всегда умножается на малую массу и, следовательно,
мала. Чтобы получить возмущения первого порядка, положим
теперь в правой части (14)

1 = Ао = по (t + Yo), 1
А' = Ао = п0 (t + у^), j

а вместо остальных элементов А, £, т] и т. д. подставим постоянные
значения Ао, |0, т|0 и т. д. Тогда уравнение (14) преобразуется
к виду

yf = 2 Г) COS (z’A0 + 1'й +	n),	(16)

где jBq1'1 ) и Do '*) не зависят от времени. Тогда уравнение (16)
можно непосредственно проинтегрировать. Оставляя без внима-
ния вопрос о сходимости, который подробно будет рассмотрен
в одной из следующих глав, получим

Е = 2------ < sin (zA0 + i’ Aq + Do ’ * ^) -|- Ct Eo, (17)

+ I «0

где С обозначает тот член в (16), для которого i = i' = 0, а Ео
обозначает постоянную интегрирования.

Значения элементов Ао, у0, Во и т- Д- обычно выбираются так,
чтобы они для определенного момента времени, так называемой
эпохи, образовывали систему оскулирующих элементов. По-
стоянная интегрирования Ео в этом случае будет определена так,
что следующее из (17) значение Е для эпохи равно принятому
значению оскулпрующего элемента.

Выражение (17) для элемента состоит из двух качественно
различных частей:

1)	члена Ct, который называется вековым возмущением эле-
мента,

2)	членов 2----—rsin(iA + z'Ao + D), которые будут назы-

i/»o + i'nQ

ваться периодическими возмущениями.
Вековые возмущения, если они содержат возмущения первого
порядка, неограниченно возрастают с ростом времени. Следует
заметить, что С содержит множителем возмущающую массу и,
следовательно, является очень малым числом, вследствие этого
возрастание элементов происходит крайне медленно. Если принять
во внимание члены более высокого порядка, то доказывается,
хотя математическое рассмотрение проблемы и не свободно от
возражений, что вековые возмущения фактически не возрастают
неограниченно, а соответствуют периодическим колебаниям срав-
нительно большой амплитуды и очень большого периода. Мы под-
робно рассмотрим эти вопросы в следующей главе.

Периодические возмущения первого порядка задаются рядом

3 ~—7^-sin (^о + г'% + D),	(18)

1«0 +1 л0

где надлежит исключить значения i — i' =0.

Должны быть отмечены следующие свойства этих рядов.

1.	Если сумма

in0 -j- i'n'

конечна, то периодические возмущения не могут превзойти ко-
нечной верхней границы.

2.	Каждый член в (18) является периодическим и через опре-
деленный промежуток времени снова принимает свои прежние зна-
чения, если inQ -f- i'nQ 0.

3.	in0 + i'nQ' = 0, т. e. оскулирующие средние движения
обеих планет соизмеримы. Такой случай для двух планет неиз-
вестен, однако он встречается в системе спутников Юпитера,
где средние движения трех спутников оказываются соизмеримы-
ми и, как показал Лаплас, остаются соизмеримыми всегда. Если
встречается такой случай, то уравнение (14) необходимо решать
иным образом, отличным от приведенного.

4.	При произвольных несоизмеримых значениях п0 и п0 числа
i и I' можно выбрать всегда так, что in0 + г'п0 будет произвольно
малым. Члены, соответствующие этим значениям г и i', могут
при известных условиях достигать весьма большой величины.
Эти, так называемые малые делители, играют в теории возму-
щений важную роль и вызывают очень большие трудности, как
с практической, так и теоретической точек зрения, при исследо-
вании движения планет.

Значение этих членов впервые было выявлено Лапласом, кото-
рый теоретически объяснил обнаруживаемые из наблюдений
неравенства в движении Юпитера и Сатурна.

17 к. Шарлье
Пример 1. Среднее суточное движение Юпитера составляет
и0 = 299",1, а для Сатурна я' = 120",5. Отсюда находим, что

2п0 — 5«' = — 4",3;

тогда этот малый делитель в 70 раз меньше среднего движения
Юпитера и в 28 раз меньше среднего движения Сатурна. Благо-
даря этому соответствующий член в (18) увеличивается для Юпи-
тера в 70 раз, а для Сатурна — в 28 раз. Согласно (13) для опре-
деления средней долготы необходима двукратная интеграция,
и при втором интегрировании малый делитель еще раз появляется
в знаменателе. Возникающий таким путем член обычно называ-
ется большим неравенством в движении Юпитера и Сатурна.
Его период равен 860 годам.

Пример 2. Малая планета (17) Фетида имеет среднее движение
п0 — 912",8. Рассматривая возмущения этой планеты Юпите-
ром, находим, что

п0 —Зп0 = 15",5,

так что малый делитель в 59 раз меньше п0. Поэтому соответствую-
щий член в (18) возрастает в 59 раз, а член в средней долготе
в результате двойного интегрирования увеличивается в 3480 раз.
При этом в средней долготе возникает возмущение, которое до-
стигает необычно большого значения — 4°35'. Период составляет
240 лет.

§ 5. Коэффициенты Лапласа

Возмущающая функция является периодической функцией от
X и X' и может быть разложена в ряд Фурье по косинусам дуг.
кратных этим угловым величинам. Это разложение можно легко
вывести из разложения отрицательных степеней До в ряд по крат-
ным X — X'. Последнее из указанных разложений играет важную
роль в теории возмущений, и мы рассмотрим его более подробно.

Если в возмущающей функции рассматривать только члены
до второй степени относительно эксцентриситетов и наклонностей
включительно, то необходимо знать разложения До1, А о3 п Дё5.
Мы положим

ОО

4- = 4- У -^icosi(x—х'),

До	2 i=—оо

ОО

-у = 4“ 2 #iCosi(X — X'),

^0 i=—oo

00

1	Z-J	» /А	А

—- — -% /| С, CCS i (л — л).

Д®	i =—со

(D
Коэффициенты Лапласа определяются следующим урав-
нением:

(-Н8 =----------!-------- =1 3 4e)cosi(X-r),

\до/ [1 +a2 — 2acos(X— X')]8	2 i=_M

где = Lts) и

(3)

Отсюда получаем соотношения

a'Bt = aL(iM,
a'Ci = а^/г).

(4)

Аналитическое выражение для Дя) можно вывести следующим
образом. Положим

z = е1^-1

тогда

2 cos (X — %') = z + z"1,

2 cos i (X — X') = z* + z~l,

1 + a2 — 2a cos (X — X') = (1 — az) (1 — az-1)

и, следовательно,

(1 - az)"8 (1 - az-1)-8 = 4 2	(5)

Каждый сомножитель в левой части при a = 1 можно разложить
по степеням а. Если перемножить полученные ряды п приравнять
друг другу коэффициенты при z1 в правой п левой частях ра-
венства, то получим

1 r(s) _ s(s+ 1). . .(s-H —1) ,Г, . s(s + i) 2

~2bi ~	П	a L1 + 1! (i + 1) “

8(S + 1)(S-H) (»+»' + И
2! (i + l)(i + 2)

a4 + •••],

(6)

где нужно принять при i = 0 коэффициент прп а0 равным
единице.
Из (6) и (4) получим

1	, 1 2i + l2,

2	а —	2г!!	a[1+2,2i-2a +

ЬЗ (2i~i)(2i+3) 4	1

'г 2-4 (2i + 2) (2i + 4) а	J’

1 _,D	(2i +1)11 _4+, Г, ,3 2i-t-3„2 ,

3aSi = ^iiT“a L1+2-' 2ГТ2а +

I 3-5 / 2i -j- 3)(2i -|- 5) 4 ,	1

1" 2-4 ’ \(2i-j-2) (2i + 4) -|	J’ ,

и, в частности,

1^0=1+(4)!«.+(й)’«‘+-,

*• а'В. = a [1 + ( ’ )’ «• + (g)" «• + • • • ] ,

1«-B, - |a«[l + g • ga* + •  ].

P)

(7«)

Коэффициенты можно также выразить через определенные
интегралы. А именно, по теореме Фурье имеем интеграл

Я

г(«) _ 2 Г cos i (X — K)d(k — X’)	,n.

‘ ~ л J [1 + a2 — 2acos(X-X')]« *	( '

0

который можно привести к эллиптическим интегралам.

Между коэффициентами Лапласа имеют место рекуррентные
соотношения

Это получится, если продифференцировать по z уравнение (5):

ОО

u	i=~00

Тогда будем иметь

sa(l-A.)[H-a2-a(z + l)]~8-1 = 13^4>zW	(9*)

ysa (z — 4)3Li’)zi = yf1 +a2 —a(z + T)]StLi’>zi’
откуда после надлежащих преобразовании следует (9).
Подобным же образом получим соотношение следующего вида:
iL|e) = sa (L^ - L^).	(10)
Нужно ТОЛЬКО ВСПОМНИТЬ, что

и подставить это выражение в (9*). Тогда получаем



откуда выводим (10).

Комбинированием (9) и (10) получаем уравнения

г(«+х)_ (»+«)(1 + «г) r(s)	2(i —« + 1)а Z(,)

4	— s(l —а2)2	4	—s (1 — а2)2 Ь{+1’

г(«+1) 2 (t Ц-») g y(s)	(i — s 4-1) (1 + ot2) r(s)

4+1	s(l —a2)2 ‘	s(l —a2)2	bl+1‘

(И>

Если известны значения Lo/,) и то при помощи соотношений
(И) можно вычислить коэффициенты L{e) для всех значений s
и i (здесь предполагается, что s — число вида у, где п = 1, 2....).

п	1	3	5

При s = y; у и у из соотношения (9) вытекают следующие:

2i — 3 .

о	— 1

Bi-i — 2Г=з

Ci

2t —2

2i — 5

2i + 1

2i —5

Ci—2»

и из (И) получаем

т> _ (2i + l)a(l+ a2) A 2(2i + l)a2 A
l~ (1 —a2)2	4	(1 —a2)2 Я4+1’

r _ (2i + 3)a(l + a2) D 2(2i —l)a2 D

4	3(1 —a2)2	4	3(1-a2)2 i+I

, _ 2(2i + l)a2 4 _ (2i+ !)(! +a2) a .

,+1	(1 —a2)2	4	(1 —a2)2	Л4+ъ

,	_2(2i + 3)a2 D (2i — 1)(1 + a2)a D

4+1	3(1 —a2)2	4	‘ 3(1 —a2)2	4+1*

(12)

(13)

(13*)

При помощи формул (12), (13) и (13*) можно вычислить все коэф-
фициенты At, Bi, Ci, если известны Ао и Av
Согласно (8)

, .	2 С

О
а'л'-т1
о

_______(А,— А?)________

/1-|-а2-2асоз(А,—Х'У ’

cos (к— k')d (X— А»')

V4! + a2 — 2a cos (X — A,') ’

(14)

Эти интегралы подстановкой Ландена приводятся к нормальной
форме эллиптических интегралов. Полагая

ф = Х—А/,	(14*)

заменим ф при помощи преобразования Ландена углом 0, опре-
деляемым следующим соотношением:

sin (0 — ф) = a sin 0,	(15)

которое дает

tg 0 = s.in<p ..	(15*)

® cos (<р — a)	'	'

Из (15) получаем дифференцированием

rfq> _ cos (0 — <р) — a cos О

<70 — cos(0 —ф)
или

d = У1 — a2 sin2 0 — a cos_g

/1 —a«sm«e	' ’

Имеем

ccs ф = ccs (0— ф) ccs 0 + sin (0 — ф) sin 0 =

= У1 — a® sin2 0 cos 0 + a sin2 0,

откуда

У1 + аг — 2a cos ф = ]/”l — a2 sin2 0 — a cos 0,
так что
_________________________</ф__________<70
Yi + a2 — 2a cos ф У1 — a2 sin2 0 '

(17)

(18)

Так как далее при a 1 согласно (16) ф монотонно возрастает
вместе с 0, то получим

С_____________________

J Y1 + а2 — 2a cos ф

_____М______

Y1 — a2 sin2 0 ’

(19)
Далее

имеем

Г cos ф <7ф

J V1 -г а2 — 2а cos ф

а sin2 0 <70

VI — а2 sin2=& ’

или

COS ф <7ф

<70

J У1 + а2 — 2а cos ф

J У 1 — а2 sin2 0

— a2sin20rf0.

о

(20)

Если ввести полные эллиптические
второго рода в форме Лежандра

интегралы первого и

<70

У 1 — a2 sin2 0 ’

(21)

о

о

2

Е (а) = /1 — a2 sin20d0,

О

то, в соответствии с (14), (19) и (20), получим

4,= 4F<a)’ «'A = A-[F(a)-E(a)J.	(22)

Если а очень мало, то можно рекомендовать использовать
разложения в ряды (7). Относительно числовых расчетов коэф-
фициентов Лапласа следует упомянуть, что рекуррентные фор-
мулы, при помощи которых эти коэффициенты находятся по Lo
и Lu обладают недостатком, состоящим в том, что при больших
значениях i коэффициенты получаются в виде разности двух
больших чисел. Если вычисляются значения коэффициентов при
больших значениях i, то приведенные выше формулы для чис-
ленных расчетов оказываются непригодными и выгоднее восполь-
зоваться разложениями в цепные дроби, которые получил Ган-
зен из рекуррентных формул (9).

Если определять X согласно (1) § 4 гл. VI, то необходимо про-
дифференцировать F по А. Это можно сделать двумя способами —
либо продифференцировать возмущающую функцию по А до ее
разложения в ряд Фурье, и затем подставить разложение А-8,
либо сначала вывести разложения F и затем продифференциро-
вать по А. Поэтому перейдем к рассмотрению производных вида
dL^jda, которые можно выразить через коэффициенты L^. Если
уравнение

[1 + «*-«(г + -1-)У' = 4-2Й»2<	(23)

продифференцировать по а, то получим

> [(’ + т) -	[*+“’- “ (’+т)Г‘ - 4- 2 ‘‘ Т 

или

откуда получим формулу

- 2<xL?+1)),	(24)

из которой можно найти частные производные от А, В, С и т. д.
по а и а'. Имеем

dL_ _ dL да _ 1 dL
да	да, да а' да

dL   dL да  	a DL  	а dL

да’	да да'	а'2 да	а' да '

(25)

(25*)

Теперь из этой формулы и (4) получаем

, дЛ4 _ t dL^
а да а' да

, <м{	а «£<’/.>

а да'	а' да	*’

(26)

или, согласно (24) и (4),

а	(5{-i + В<+1) — aBj,

a = — At-------------(®«-i + ^i+i) + а^»-

(27)

Далее будем иметь

_______ 1 г(3/.) । « dM/:) _ 1 т(’/г) . a MZ,>
да ~ а'2 1 l" а'2 да ~ а'2 1	а'2 да '

Но теперь

^-4(£Е;’ + 4,А,-2«£рт).
или, в соответствии с (4),

а2 т=34	- 2аС‘)’

значит,

а = Bi + A (Ci-i + Ci+1 — 2аС{).	(28)

Так как Bi суть однородные функции от а и а' степени —1,
то далее имеем
дв, дВ,

л-Н- + а' -А- = —Ви	(29)

да 1 да'	”	' '

дБ,
откуда получим

Подобным ясе образом получаются частные производные от Ci
по а и а'.
ГЛАВА VII

ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

§ 1. Общие соображения

При использовании якобиевых координат и элементов Делоне
дифференциальные уравнения задачи трех тел согласно § 10
гл. V выражаются следующим образом:

dL	dF	dl	dF
			
dt	dl ’	dt	dL ’
dG	_ dF	dg	dF
dt	~ dg ’	dt	dG ’
dH	dF	dh _	dF
dt	e dh ’	dt ~~	dH ’
dL'	-QL	dl’	dF
			
dt	~ dl' ’	dt	dL'

(1)

и образуют каноническую систему с шестью степенями свободы.
Возмущающая функция F является периодической функцией от
I 1’> 8> и h'» причем две последние величины всегда встре-
чаются в комбинации h —h'.

Между этими элементами существуют три алгебраических со-
отношения — интегралы площадей, которые, если в качестве
основной плоскости использовать неизменяемую плоскость, при-
нимают следующую форму (§ 9 гл. V):

h = Л' + 180°,
G« —№= С'2 —Я'2,
Н + Н' = с.

(2)

Рассматривая возмущающую функцию как функцию I и Г, раз-
ложим ее, в соответствии с (19) и (20) § 3 гл. VI, в ряд Фурье
F = S cos № + i'Z') + S В sin (il i'l').	(3)

Те члены этого разложения, которые получаются при i = I' = 0,
дают вековые члены. Если вековую часть функции F обозначить
через [F], то согласно теореме Фурье будет

О о

(4)

Функция [F] является, таким образом, функцией от L, L', G, G',
Н, Н', g, g', h, h'. Если в (1) вместо F подставить [F], то получим
дифференциальные уравнения для определения вековых воз-
мущений. Так как [F] не зависит от I и Г, то дифференциальные
уравнения для L и L' будут иметь вид

dL	л dL	л

~dT	~dt	U

(5)

Эти уравнения свидетельствуют о том, что L и I/, поскольку
это касается вековых возмущений, остаются неизменными, и со-
держат первую часть знаменитого доказательства устойчивости
Лапласа. Если бы периодические члены в F приводили бы только
к конечным периодическим членам в элементах, тем самым было
бы доказано, что L и L' обладают конечной верхней границей и
отличной от нуля нижней границей и, как мы впделив§5 гл. V,
эксцентриситеты и наклонности также обладали бы верхней
границей. Справедливость указанных выше предположений о пе-
риодических членах в L и L' доказать не удается. Как бы то ни
было, из анализа вековых возмущений можно сделать важные
выводы о природе движения.

Вековые возмущения в G, Н, g, h, G', Н', g', h' определяются
следующей системой дифференциальных уравнений:

dG — аИ] dg „ ЗИ]
dt	dg	’	dt	dG	'

dH _ 3[#] dh _ d [F]
dt	~	dh	’	dt ~ dH	’

dG’	_	d[F]	dg'_____d[/4

dt	dg'	’	dt	dG'	’

dH' _ d [F] dh' _ a[F]
dt	dh'	’	dt	dH'	"

(6)

Так как интегралы площадей не зависят от I и Г, то они со-
храняют свою силу и для вековых частей элементов, п интегралы
(2) существуют для системы (6), если предположить, что в каче-
стве основной плоскости будет использована неизменяемая плос-
кость.

Далее можно точно таким же образом, как это было сделано
в § 10 гл. V в общем случае, привести систему дифференциальных
уравнений для вековых возмущений к двум степеням свободы.
Для этой цели положим

G = Г, G' = Г',

(7)

и тогда получим

Я =

вместо (6) найдем

dV = d[F]
dt ~ dg ’

dV _ a [Z1]

rft dg' ’

+ 2_(р_Г'*),
-±(Г-Г^);

rfg __
dt	аг ’

djL = -	.

dt	dV ’

(7*)

(8)



таким образом, дифференциальные уравнения вековых возмуще-
ний в элементах могут быть приведены к канонической системе
с двумя степенями свободы.

После того как выражения (8) будут проинтегрированы, из (7)
и (7*) получатся G, G', Н и Н', затем посредством квадратуры
находим h и h' из уравнений

dh a IF] )

dt	dH * |	(8*)

h' = h + 180°, ‘

где [F] перед дифференцированием следует рассматривать как
функцию G, Н, G', Н', g, h, g', h'.

Наконец, также путем квадратур получим вековые значения

I и Г из уравнений

dl _ a [F] dl’ _ a [F]
dt ~ dL ’ dt — dU ’

(8**)

Если движение происходит в плоскости, то дифференциальные
уравнения можно еще более упростить. Согласно § 10 гл. V по-
ложим

G = П = К,	(9)

и будем иметь

С' = П' = с — К,
g — g' = л —л' = к.

Мы получим канонические уравнения только с одной степенью
свободы

dK =:а[/д

dt dk ’

dk _ a [F]
dt ~ dK •

(10)
Эти уравнения обладают интегралом
[F] = const,

и, стало быть, их можно свести к квадратурам.

Дифференциальные уравнения для вековых возмущений могут
быть точно проинтегрированы по крайней мере в том случае,
когда движение происходит в плоскости, хотя это интегрирова-
ние до сих пор и не было выполнено *).

С этой целью необходимо использовать изложенные в § 2
гл. II методы (при этом необходимо помнить, что [F] более не
является квадратичной функцией от К, что, однако, не является
существенным при исследовании). Вообще, оказывается, что К
будет периодической функцией от t, которая колеблется между
двумя неизменными границами Кг и К2, получающимися в ре-
зультате пересечения двух Кривых

[F] = const, = 0.

При исследовании вековых возмущений в астрономии обычно
используют нередуцированную систему (6) 8-го порядка. В об-
щем случае эта система будет записываться не в канонической
форме, что является существенным недостатком.

Если подставить в (6) элементы Пуанкаре £, г], р и т. д. и
рассмотреть систему из п планет (п + 1 тел), то дифференциаль-
ные уравнения для вековых возмущений будут следующими:

				
dt		dt	Ki ’	
dpt	_ 3[F]		d[F]	(11)
dt		dt ~	dpi	
	(1 = 1,			

В гл. VI мы нашли, что возмущающая функция, а стало быть
также и [F], может быть разложена в ряд по положительным
степеням величин

51. П1. Pi. <71.

5». Лг. Ра. ?г.

(12)

Можно доказать, что члены в разложении [F] всегда имеют чет-
ный порядок относительно переменных (12). Коэффициенты при
различных степенях всегда являются функциями Ах, Л2 и т. д.,

♦) Интересные математические результаты были найдены фон Болином
[35]. Применением теории 6-функций с несколькими переменными автор ввел
ненужные усложнения.
которые в случае вековых возмущений будут постоянными вели-
чинами.

При числовых расчетах вековых возмущений в теории планет
обычно достаточно рассмотреть члены второй степени относитель-
но переменных (12). Сформулированную таким образом проблему
вековых возмущений мы рассмотрим подробно в следующих пара-
графах. Влияние членов высших порядков будет в некоторых
случаях учтено в § 7.

§ 2. Вековая часть возмущающей функции

Подставим в выражение для разложения возмущающей функ-
ции из § 3 гл. IV ряды

ОО

4- = 4- 3 ^tcos г (X — X'),

410	ОО

ОО

^.= ^-3BiCoSi(X-X'),

^0	—ОО

ОО

^=4-2 CiCosi(X-X'),

△о	—ОО

(1)

и удержим только те члены, которые не зависят от X и X'; тогда
получим выражение для вековой части возмущающей функции
[F1. Полагая

04	0'4

й° == грА2 + "I 2 А°’	&

Rt(x, у) = -j-А2тпать{4(-4-^Во--ГВ1 +

।	3	. 15 хч 3 а р_9 >-» \ ।

। у2 /	3 a D 1 D ( 3 а 2	। 15	3 а 9	.

+ АГ Т7Й°—ГВ1 + ^Г^Со+ 8Со—ГТС1—8-Ч,+

I ху I 9 D ,	1 D 9 а г 9 а'

+	+	2—rY °—ГТС° +

+ тС> + т7С'+т4С'-ТС4 <2’>

Л« (х, S) =	{4- (т + £) в. - rFS®1}- <2’">

находим

[FJ = я0 + /?; (1 Г) + Ri Oi. V) -R* (р> р') -R* (Я, 4'). (3)
Коэффициенты в R' и R " зависят от ои а или [(так как Л =
Л' = Р' У а') от величинЛ и Л', которые входят в выражения для
коэффициентов Лапласа Ai, Bi, Ci. Выражения для этих коэф-
фициентов более просто могут быть записаны при помощи фор-
мул, выведенных в § 5 гл. VI. А именно, получим из (12), (12*),
(13) и (13*)

С3 = 4(а + 4-)С2-7Сг,

Сг = —2 (а-f- —) Ci + 5С0,

с — 2а2 п -и а С1 + а2) О
1 — (1 — а2)2 0 "г 3 (1 — а2)2 ь

/> _я (1 + я2) д ।	2а2 п

С° (1 — а2)2 ° + 3 (1 — а2)2 2’1’

®г = 2 [л -|—Вг — ЗВ.,

(4)

где цифры в скобках относятся к соответствующим формулам из
§ 5 гл. VI.

С помощью этих соотношений коэффициенты в выражениях
для Rt и Ri выражаются через величины Во и Вг, или, что ока-
зывается здесь более подходящим, через Вх и Вг. Из (4) получаем

(4+4а2) с°- 4aCi - 44а5°+4в*

—г (а+ 4) с°+4Ci+

+4 (а+4)с*+4Сз =—г (а+4)

так что

И, (х. ,) = *^{4- В, (4 + £) - 4- В,	(5)

и, стало быть, выражение для [F1 будет

= ЦЛ2 2ц'Л'2 ”1“ ~2~ &2татьА0 +

, fi о (S2-M2 .	1 о /fU” . W \

+ к тать рз- Bi	Вг [у== +	-

1 о (Р2 4- 92 I р'г + Q'2	2(pp'+g/)\'.

--гвЦ-л- + —--------------(6)

Если элементы £, т] и т. д. выразить с помощью (16) § 1 гл. VI
через эллиптические элементы и удержать только члены второй
степени относительно е и i, то из (6) получим следующее хорошо
известное выражение для вековой части возмущающей функции:

IF] =	+ 2^ + k2mm'Ao +

+ k-miri

Г 1	.1

• |-g- Bi (е2 + е 2)-J- В2ее' cos (л — л ) —

-----Bi (sin2 i + sin2i') + -j-sin i sin i' cos (Q — Q')}- (6*)

Выражение (6) [или (6*)] кладется в основу числовых расчетов
вековых возмущений. Как следует из этих же формул, для вы-
числения вековых возмущений необходимо знать только три
коэффициента Лапласа, а именно Ло, Вг и. В2.

Если число планет больше двух, то соответствующее выраже-
ние для [F] можно непосредственно вывести из (6).

Пусть в случае п планет имеем массы т2, . . . , тп, при-
чем используется якобиева система координат (§ 4 гл. V). Пусть
соответствующие элементы Пуанкаре (§ 1 гл. VI) суть £<, и
т. д. (i = 1, 2, . . . , п). Введем теперь обозначения

До-2 2^л? + 2	a$,  ,	fl	/	X^ \  /?2 (Xi, Xj) =	Bi (aif a}) (д^+  »	fl	/	x \  n2(Xi, Xj) = k2minij^ Bi(ai, aj)	у	1	Хг%. I  — A- B2 (ait a}) J  4 2 v »’ з/ у Л{Л J

(7*)

тогда получим

[F] = Яо -f- 2 Т?2 (gi, £j) + 3-^2 (’ll, Лз) —

— 2^2 (PbPj) — 2-^2	(7)

где при суммировании i, j = i, 2, ... , n, i<Z j.

Для коэффициентов и В2 согласно (8) § 5 гл. VI имеем сле-
дующие выражения:

2 С а{а со8 corfm

1 (аЬ аз) - у )	С08ш]«/. ’

°	(8)

2 (• a,a.ws2<s>d®

В^ (я<, fflj) — —— \	„ j -

я J [a; + a2 — 2a{a. cos w] '*
§ 3. Вековые возмущения в случае двух планет

При применении координат Якоби планеты можно распола-
гать в произвольной последовательности. При двух планетах т
и т' можно либо т отнести к системе координат с началом
в Солнце М, и тогда движение т' относить к такой системе
координат, начало которой находится в центре инерции М и т,
или наоборот. Если т — та планета, которая находится ближе
к Солнцу, то предположим, что ее движение относится к системе
координат, начало которой лежит в центре Солнца. Движение
внешней планеты отнесем к центру масс М и т, как к началу
координат.

Тогда имеем

тМ	, т'(т 4- М)	...

J1 ~ т~М ’	— т + т' + М	f1)

И

= кп^ , = кт, д/'М^ + М} .

Vm + M	Y т + т +М	' '

Пусть элементы т суть Л (или а), X, £, т|, р и q, а элементы т' — Л'
(или а'), X', V. if» Р' и Я'• Так как, по предположению, a <V,
то а меньше единицы, и мы можем непосредственно использовать
формулы § 5 гл. VI.

При помощи выведенных там же формул выразим коэффици-
енты А 0, Вг и В2 непосредственно через эллиптические интегралы
F (а) и Е (а). Для Ао мы уже нашли выражение (22) § 5 гл. VI:

«'Ло =-^-F (а).	(2)

В соответствии с (13*) § 5 гл. VI получим

R _ 2яа . а (1 + а2) .
01 ~ (1 — а2)2 0	(1 — а2)2

и, значит, если подставить выражения для Ло и Alt

(3)

Далее, по (13*) § 5 гл. VI находим

R -	6а2 Л За(1+(х2) .

~ (1 — а2)2 1	(1 — а2)2	2‘

или, по (12) § 5 гл. VI

= -j- (а + —)	з" Ло,

R _ а(1+а2) .	2(1+а2)2-6а2 .

"а — ц _ а2)2 л0	(1 _ а,р

18 К. Шарлье
Подставляя вместо Ао и4хих выражения через эллиптические
интегралы, получим

-гаВ’- -r=^F<a>+2(1(t-‘«y6a'Е(а>-	(4)

Для контроля можно использовать формулу

аВ2 = 2 (1 4- а2)Вх - 3aB0.	(5)

По (13) § 5 гл. VI имеем

в __а(1 + а») 4	2х2 л

° ~ (1 — а2)2 °	(1 — а2)2 Л1’

следовательно,

Т“'В“-----“(fe^F<») + (T?WEW, («)

теперь подставим выражения (3), (4) и (6) в (5) и найдем, что это
равенство будет выполняться тождественно. Итак, имеем сле-
дующие формулы для вычисления Ло, Вг и Б2:

-2-a\40 = F(a),

т а'В> = “ га F («) +	Е

1 = - raF (*) + 2(Т-У" Е (“>’

(7)

Интегралы F (а) и Е (а) при малых а почти равны друг другу
(» у) и, следовательно, 5Х и В2 вычисляются по разности близ-
ких чисел.

В таблицах для F и Е в качестве аргумента часто используется
величина 6, определяемая формулой

a = sin 0.	(8)

Поэтому выгодно вместо а в (7) подставить 0. Тогда получим

а'Вг = (1 + 3 tg2 0 + 2 tg< 0) Е - (1 + tg2 0) F,
± ааВ2 = 2(1 + tg20 + tg40) Е - (2 + tg20) F.

Дифференциальные уравнения для вековых возмущений принимают
следующий вид:

de _ dt  dp  ~dt ~~  dt	а [^] ат] 1  apj а? ’  а И] at)' •	dT) _ dt ~  dq  ~dt ~  dt)' ~dt ~	a^ ’  ap • a UH a^' •	•	(10)	
dp'  ~dt ~	dq' ’	dq' It	_ a[F].  ap' ’ ,		
после того как эти уравнения проинтегрированы, получим ние долготы X и V из уравнений					сред-

dX _ d [F] dK _ d [/-]
at ал ’ dt ал' •

(10*)

Приближенно, в соответствии с (16) § 1 гл. VI, имеем
£ = У Ле cos л = УЛг,
т) = — prAesinn= — У As,	,

р = YЛ sin i cos Q = УЛ и,
q = — УЛ sin I sin Q» — УЛ»,

и так как Л здесь не зависит от времени, то				
dr  It ~	_ i a[Fj  Л ds '	ds 	  ~dt ~	i a [/•]  A dr ’	
du	1 3U4	dv	i a (/’l	
dt ~	Л dv ’	It ~~	л du ’	
dr'	1 W	ds'	i a[F]	(12)
dt ~	Л' ds' ’	~dt ~	A' dr' ’	
du'	i a 1^1	dv'	i a[F]	
dt ~	Л' dv' ’	dt ~	A' du' "	

Теперь выразим [F] через переменные г, s, и, v, г' и т. д.

1^] =	+ Т	Bt (r« + s2 +

+ Г'2 + /«) _ ± В2 (rr' + ss') (“2 + »2 + »'2 + v'2) +

4- -^Bi (ku'+ »»')}. (13)

Если ввести обозначения

кгтт' п

’ к2тт г,

кгтт’ „
^ = -^-Вг,
’ кгтт' и
Х2 —	4Д' ^*2»

(14)
то получим следующие дифференциальные уравнения:
— = — x1S + x2s ,
ds	,

— = Klr-Kir,
dr' ' , .	’

+ X2S,
ds' • ,	'

и

dF = Xi(*-r),
= X1 (—« + «'),
du'	' . ,	.

— = X1(V — v),
dv'	’ ,	, . .

-Л=х1(-« +u).J

(15)

(15*)

Для коэффициентов x получим выражения, удобные для числовых
расчетов. Приближенно (согласно § 5 гл. V)

	$ = ктУМ, к Ум п =	7, ’  а11	Р' = кт' УМ,	(16)
таким образом,	кгтт' __ кгтт	кт'	т  V Ma	М	
	А	3 Va		>
и аналогично,	к2тт' Л'	f Г ГП  = п а ; м	
поэтому имеем			
	пт' г»  Х1 = ТТГ аВЪ *	пт , п  ъ = ьмаВ"	*	п'пъ f D  х2	4Д/" а	(17)

В соответствии с (7), a'Bi и а'В^ а равным образом аВ^ и аВг,
зависят только от отношения а к а', поэтому формулы (17) весьма
удобны для численных расчетов, так как выбор единиц времени,
расстояния и массы просто определяется через значение среднего
движения п (или п').
Вычисление вековых возмущений в эксцентриситете и долготе
перигелия выполняется по формулам (15), а в наклонности и дол-
готе восходящего узла — по (15*).

Уравнения (15) и (15*) можно интегрировать двумя способами:

1.	Сообразно с принципами теории возмущений величины
г, s, и, v, г', s', и', v в правых частях этих уравнений можно
рассматривать как постоянные.

2.	Можно строго выполнять интегрирование, что легко, так
как здесь мы имеем дело с линейными дифференциальными урав-
нениями с постоянными коэффициентами.

Оба метода успешно используются в астрономии. При число-
вых расчетах часто бывает достаточно первого метода.

§ 4. Тригонометрические выражения для вековых возмущений
эксцентриситета и долготы перигелия

Вековые возмущения эксцентриситета и долготы перигелия
определяются уравнениями

«Г	.	/

— = — Xts + X2S ,

ds	,

- = ^r-^T ,
dr'	' , .	’

— = _K1s+ x^,

d s'	' ,

= K1r - ъг,

(1)

интегрированием которых мы теперь займемся.

Заметим сначала, что из (1) получается

*2(r + s dF) + 4r ~dt+s rfr) = 0’
и стало быть

x'2 (г2 + S2) + x2 (r'2 + s'2) = C,	(2)

где С обозначает постоянную интегрирования.

Подставляя сюда выражения для г и s, представим это урав-
нение в форме

х2е2 + х2е'2 = С.	(2*)

Это уравнение непосредственно показывает, что эксцентриситеты
не могут принимать сколь угодно большие значения, если пред-
полагается, что х2 и х'2 имеют один и тот же знак. Если они в опре-
деленную эпоху малы для обоих тел, то должны оставаться малыми
всегда. Из (17) § 3 находим, что х2 и х2 одного знака, если это
имеет место и для средних движений п и п', т. е. если обе планеты
обращаются вокруг Солнца в одном и том же направлении. Таким
образом, вековые возмущения не возрастают неограниченно,
как этого можно было ожидать в соответствии с использован-
ными в предыдущих параграфах методах.

Линейная форма дифференциальных уравнений (1) обуслов-
ливает следующую форму общего решения:

г = N cos (gt + Р),	г' = N' cos (gt + Р'),

s = N sin (gt + Р),	s’ = N' sin (gt + p').	(3)

Подставляя эти значения в (1), получим следующие уравнения:

(g -nJN +	= О,

x^V + (g	= 0,	(4)

которые будут удовлетворяться при

S ~ Xi х?

Х2 g — Xj

= 0.

(5)

Последнее уравнение имеет два корня, g± и g2, и каждому из
них соответствует согласно (4) значение отношения N к N’. Если
эти отношения обозначить через N2: ТУг и Nt: Nit то общее реше-
ние (1) выразится так:

г =	Ni cos	(qj	+ рх)	+	Nt cos (g2t	-f-	p2),	)

s =	Ni sin	(git	4- pj	+	N2 sin (g2t	-f-	p2),	t

r’ =	N[ cos	(git	4- Px)	4-	N2 COS (g2t	4-	P2),	f

s' =	Ni sin	(git	4- Pi)	4-	N2 sin (g2i	4-	p2)>	J

(6)

где Nit N2, pL и p2 можно рассматривать как постоянные инте
грирования.

Можно доказать, что корни gt и g2 должны быть действитель-
ными и положительными, если, как здесь будет предполагаться,
обе планеты обращаются в одном направлении вокруг Солнца.
Действительно, уравнение (5) можно написать в виде

g2 — (Хх 4- xbg 4- хгХ1' — хах2' = о,	(5*)

и так как

(Хх 4-х{)2 — 4(Х1Х1 — х2хг) = (хг — xj')2 — 4х2х2,

то при сделанных предположениях корни будут всегда действи-
тельными. Далее, оба корня положительны, если выполняется
неравенство

ххХ1 — х2х^>0,	(7)

которое может быть, в соответствии с (14) § 3, записано в форме

!^.(Bt-Bl)>0,	(7*)
или, проще,

Bv	(8)

Но это неравенство выполняется всегда. Имеем по (13) и (13*)
§ 5 гл. VI

(1 -<?)% = За (1+ а2)^ - 6а2Л2.

(1 - а2)2В2 = 6a2Ji- За (1 + а2)Л2,
следовательно,

+	(0)

откуда следует (8).

Постоянные интегрирования получаем из значений величин
г, s, г', s' для определенного момента времени. Если при t = 0 эти
значения будут равны r0, s0, г0, «о, то имеем

г0 = Nt cos pi + N2 cos р2,
s0 = Ni sin px + JV2 sin p2,
r’o = N’i cos px + N't cos p2,
«о = N’i sin px + N't sin p2.

Положим

Xx — Ni cos Px,	x2 = Nt cos p2,

Pi = 2Vx sin Pi,	y2 = Nt sin p2,

Ai = — 4-(gi — Xi), A2 = —-^-(g2 —Xi);
ла	Л2

тогда эти уравнения примут вид

Хх 4- х2 = г0,

ktxt + кгх2 = Го,

У1 + Уг = s0,
&хУх + *2^2 = «о,

и, следовательно,

(/к’2 — Aq) S-1 = *2Г0 — П>»

(kt — kJ х2 = Го	куГQ,

(к2 — kjyt = к280 — sj,
(к2 — kJ y2= si — k^o.

(10)

Определение. Говорят, что долгота перигелия л об-
ладает средним движением Ь, если разность л — Ы при всех
значениях имеет конечную верхнюю границу.

Из (6) можно вывести утверждение, что в рассматриваемом
здесь случае долгота перигелия обладает таким средним движе-
нием; более того, его значение будет совпадать с одним из корней
gx или g2. В исключительном случае, который будет рассмотрен
ниже, оно будет равно среднему арифметическому этих двух ве-
личин.
По (6) имеем

е cos л = Ni cos (gj + рх) + N2 cos (g2t + p2),
e sin л = sin (grt + + N2 sin (g2t + P2).

(H)

Сначала предположим, что jVx < N2. Из (11) следует, что
e sin (л — g2t — p2) = Ni sin [(gx — g2)t + pi — P21.

e cos (л - g2t — p2) = Nt cos l(gx — g2) t + Pi — P21 + N2,

и отсюда

tg (л — g2t — p2)

Ni sin [(gi — g2) t + gi — 3a]

Ni cos [(gi — g2) t + 3i — 32] + Ni '

(12)

Так как, по предположению, jV! < N2, то знаменатель в этом
выражении никогда не будет равен нулю. Следовательно,
tg (л — g2i — р2) никогда не будет бесконечным, так что угол
л — g2t — р2 либо численно меньше 90°, либо всегда находится
между 90° и 270°. Таким образом, долгота перигелия л обладает
средним движением g2.

Если, во-вторых, Nx N2, то аналогичным образом докажем,
что среднее движение л равно gt.

Если, наконец, = N2, то значение л найдется следующим
образом. Из (И) получим при произвольных значениях N v и N2
уравнения

esin ^л
есоз(л

gi + gi t 31 + За\______

2	2	) —

gl + gi ____31 + 3a\ _

2	2	/

(2Vx-AT2) sin

(Ni + N2) cos

(gl — gi

\ 2

Если теперь А\ = N2 = N, то отсюда получим

л-51+^Z _!L+k = i804

e = (-i)i2Ncos t +	,

(14)

где i обозначает целое число.

Итак, перигелий в этом случае обладает средним движением,
которое равно у (gt -f- g2).

Относительно долготы перигелия другой планеты т' справед-
ливы аналогичные выводы. Он обладает средним движением, рав-
ным glt если N{ N2, равным g2, если N’i <Z N2, и равным
у (gi + &). если X = X-

Из (2*) мы уже сделали вывод, что е и е' должны обладать
конечными верхними границами. Теперь мы можем более точно
определить эти границы. Действительно, из (И) следует, что
е2 = Nl + Nl + 2ДГ^2 cos [(* - g2)t + рх - ₽2],	(15)

и, аналогично,

е'2 = X2 + N'l + 2ЛГХ cos [(* - g2)t +	- ₽21,

так что е и е' удовлетворяют следующим неравенствам:

\N1-Ni\<e<Nl + Ni, 1

I Ni - XI < е' < X 4- Ni J	(lt>)

Из (5) находим, что величины gt и g2 содержат множителями малые
массы т и т' и, следовательно, малы. Поэтому средние движения
всегда малы.

§ 5. Вековые возмущения наклонности и узла

Дифференциальные уравнения, которые определяют движе-
ние плоскости орбиты, были
du .	'

— = K1(V-V),
4r = -*i («-«'),
du'	'	(1)

<f»'	- ,	,,

Из этих уравнений выводим следующие:
du , dv , ,
U4t+V~dt=^(VU ~UV)>
, du' , dv'	• . ,

u + v -di = —Ki(vu — uv )’

откуда

' / du . dv \ .	/ , du' .	,

^ = 0.
dt )

(3)

Далее, непосредственно получаем

' du , du' n

xidr + ^rfF = 0

' dv , dv' л

X2dF + X2W = 0
Уравнения (3) и (4) можно непосредственно проинтегрировать;
получим

XjM + X2u' = сх,

4- Xiv' = c2,
xi (u2 + v2) + Xi (u'2 + v'2) = c3,

(5)

где clt c2 и c3 обозначают три постоянных интегрирования. Соот-
ношения (5) соответствуют в этом случае интегралам площадей.
Чтобы доказать это, возвратимся к общим выражениям для этих
интегралов (13) § 9 гл. V, которые представляются следующим
образом:

Р Va (1 — е2) sin г sin Q + Р' j/a' (1 — е'2) sin i‘ sin Q' = cj,
p (1 — e2) sin i cos Q + P' V a> (1 — e'2) sin Г cos Q' = — c2,
P Vo (1 — e2) cos i + P' Va> (1 — e'2) cos ~ сз-

Если вспомнить, что

и = sin i cos Q,	v = sin i sin Q,

u' = sin i' cos Й',	v' = sin i' sin Q',

(6)

и левые части (6) разложить по степеням u, v, и', v', то, прене-
брегая членами третьего порядка, из двух первых уравнений (6)

получим

р Vav + Р' Va,v’ — сь 1
р /ан + Р' Vа>и' = — 02. J

Но из (16) § 3 имеем

Р V& =

к2тт'М
пат'

и, принимая во внимание значения хг и х{ из (17) § 3, находим,
что уравнения (7) совпадают с первыми двумя из уравнений (5).
Очевидно, что на третье уравнение (5) можно смотреть только
как на неполное третье уравнение (6).

Если, в частности, в качестве основной плоскости исполь-
зовать неизменяемую плоскость, то с[ и с2, а следовательно, также
и с2, равны нулю; затем по (5) имеем

Если записать это в форме

V

(8*)
то отсюда будет следовать, что

tg Q = tg Q'.	(9j

Таким образом, линии узлов обеих планетных орбит на неизме-
няемой плоскости совпадают. Это составляет знаменитую теорему
Якоби, которая, как было доказано в § 9 гл. V, сохраняет свою
силу для всех степеней и, v пт. д. Итак, имеем

Q = Й' + 180°.	(10)

Но отсюда можно вывести еще одно важное предложение, а имен-
но, что наклонности обеих орбит к неизменяемой плоскости ос-
таются постоянными.

Действительно, из (8) имеем
vu' — uv' = 0,

и, следовательно, согласно (2) упомянутому предложению будут
соответствовать уравнения

du . dv п
u-dt+vlt=Q'

,du' , ,dv' A
U -dt+V It =°-

Следовательно, здесь необходимо определить только одну
величину, а именно, движение общей линии узлов на неизменяе-
мой плоскости. Имеем

. » . dQ du , dv

Sln2l_ = _V_ + u— ,	(10*)

du	dv

и, подставляя вместо и -т? выражения (1),
al	al

sin8 i — Xi (u2 + v2) + Hi (mu' + vv'),

или, согласно (8), деля на величину sin8 i = и2 + v2, получим
f=-(«!+«;).	ао

Итак, общая линия узлов перемещается попятным движением
с постоянной скоростью ежегодно на величину нх + х£.

Если вместо неизменяемой плоскости выбрать другую плос-
кость ХУ, то, видимо, движение будет описываться более слож-
ным образом.
Определение положения неизменяемой плоскости выполняется
при помощи уравнений (20) § 1 гл. V:

tgTsinll = -4-,
С8

. тт с2

tgrcosll =-------- ,

с3

(12)

где Q, Cg и сй вычисляются из (6). Здесь у обозначает наклон-
ность неизменяемой плоскости к плоскости XY (например, к эк-
липтике) и П — долгота восходящего узла на этой плоскости.

§ 6. Вековые возмущения эллиптических орбит
при произвольном числе планет

В § 2 дана общая форма вековой части возмущающей функции
для случая произвольного числа планет. Если мы введем обо-
значения

1 т.т, _ .

(1» /) =	‘ д. (ai« ai)’

г

(‘‘=Н).

и

[i, il = (i, 1) + (i, 2) + . . . + (i, ri),	(1*)

то можно зависящую от эксцентриситета часть [F], которую мы
обозначим через [F]lt записать в форме

п п

[F11 = 4-33	Л (Si + W).	(2)

7=1 <=1

Соответствующие дифференциальные уравнения примут вид

a [Fjx	д [Fh

dt дт){ ’ dt	д!Ц

(i = 1, 2,..., ri).

(3)

Если бы в [F]x входили только квадраты £ и т), так что
[Fh = 42G(£?+ пТ),
то уравнения (3) приняли бы форму

-fn
~dt -

dt —

(4)

и тогда общее решение можно было бы записать непосредственно.
Но в § 4 гл. I мы показали, что квадратичная форма, какой в со-
ответствии с (2) является [Fix, может быть посредством ортого-
нальной подстановки преобразована к сумме только одних квад-
ратов. И так как легко показать, что при ортогональных преоб-
разованиях каноническая форма дифференциальных уравнений
сохраняется, то, следовательно, уравнения (3) можно привести
к форме (4).

Введем вместо Bi, 5г, • • • , 5п новые переменные Slt S2,...
. . . , Sn при помощи уравнений

51 = Т ц21 + Tia2a + • • • + TinSn)

5г = Тг121 -|- Таг^г + • • • + TanSn,	/51

5n — TniSi + TnaSg + . .. + ТппНп,

где согласно § 4 гл. I вследствие ортогональности преобразова-
ния коэффициенты связаны соотношениями

S Ti = S TMTvi = 0 (H =h *),	(6)

t=l	i=l

(6*)
i=l	i=l

Отсюда следует, что

Si = T1151 + Tai5a + • • • + Tm5n,
Sa — Tia5i + Taa5a + • • • + Tna5n>

2n = Tin5i + Tan5a + • • • + Tnn£n- '

Вместо величин т|г, т]2, . . . , % введем новые переменные Ух,
У2, . . . , Уп при помощи той же самой подстановки (следова-
тельно, с теми же коэффициентами уц).

Сначала докажем, что каноническая форма уравнений сохра-
нится также и в новых переменных. В § 1 гл. IV мы показали, что
для этого необходимо, чтобы

[St, Sr] = [У{, Уг[ = 0,
гп у, [0 для i^=r,
11	» I = Г,

(8)
где

использовано следующее обозначение:

г ,. то / да дЬ да дЬ \
[a, 6J =2

(8*)

Но

так

согласно (7)

«1.т	^ = о

Ъ т“’ ап. ’

аГг-о	™г-г

к, ’	- т*»

что непосредственно получаем

[2Ъ ЕГ] = [УЪ Уг] = 0,

[Ei, Ъ] = S Т,{Т„,
e=i

причем последняя сумма по (6) равна нулю при i =f= г и равна
единице, если i = г. Итак, ортогональные преобразования яв-
ляются каноническими.

В § 4 гл. I мы видели, что при соответствующем выборе коэф-
фициентов yij получим

п

i=l

(9)

Коэффициенты sv суть корни фундаментального уравнения *)

[1,1]	—в [1,2] . . . [1,п]

[2,1]	[2,2]—$. . .	[2, п]

(Ю)

[n, 1]	[п, 2] . . . [п, п]—s.

Если sv - какой-либо корень этого уравнения, то соответствую-
щие коэффициенты у^ определяются из следующей системы урав-
нений:

([l,l]-sv)Tlv+[l,21Tav + ... + [l,n]Tnv= 0,
[2,1 ] Tlv + ([2, 2] - sv) . + [2, и] Tnv = 0,

[и, 1] Т1, + [«, 2] T2V + • • • + (l«, n] — sv) rnv = 0,

♦) Такие уравнения называются еще вековыми. (Прим, ред.)
к которой добавляем уравнение, следующее из (6*):

SU = 1.	(11*)

<=1
Дифференциальные уравнения в новых переменных теперь
примут форму

dt dYi ’ dt------------дВ^ (i - l,z,.. .,n),	(1Z)

где согласно (9) и (2)

[^1= 4-3 MS? + У?).	(12*)

i=l

и, таким образом,	dt ~ SiYi* «/У.  It	(13)
	(i = 1, 2,.... n).	

Общее решение этих уравнений выразится следующим образом:

Sj = Mt cos (sit + P<),
Yi = — Mt sin fat + Pt)
(i = 1, 2, . . . , n),

(14)

где Mu M2,	, Mn, Pi, p2, . . . , pn обозначают постоянные

интегрирования. Подставляя эти выражения в (5), получим

= ТаИЛ cos (sxf + Pt) + у12М2 cos (s2t + р2) 4- ... 4.
+ rlnAfncos (V + Pn),
Sa = T2i^i cos (Sit + pl) + у22М2 cos (s2t + Pa) + ... +
+ T2nM'‘C0S (M + Pn),

(15)

Sn = Tni-Mi COS (Sit 4- Pl) 4- Yns^a COS (s2t 4- Pa) + • • • +

4- T„nAfnCos(s„Z 4-pn)

и

T)1 = — TnAfi sin (Sit 4- P,) — T12M2 sin (s2t 4- Pg) —... —

— Tm^sin (sn« + Pn)

и t. д., чем полностью и заканчивается интегрирование.
Из свойств ортогональных преобразований можно сделать
некоторые общие выводы об общем решении. Во-первых, в § 4
гл. I мы видели, что все корни фундаментального уравнения
(10) действительны. Можно также доказать, что все корни должны
быть положительными. С этой целью покажем, что [F] для всех
значений g2, .... |п, Ль Л2> • • • . Лп. а значит, и для всех
значений Slt Е2, . . . , Еп, Y\, У2, . . . , Yn должна быть положи-
тельной. При этом предполагается, что мы имеем дело только
с теми членами в [F], которые зависят от & и т]< (i = 1, 2, . . . , п).

Согласно § 2

[Fix = W + 3^2(л*, лр.
где
{/ 2	2 \	1

4 BL (а{, а,)	+ J. j _ 1в2 (а{, а,)	.

Это выражение можно записать в форме

,	к2т,т • [	/х, ж?	\

•Да fa, х,) = —g |В2 fa, aj) (д. + д. ~	j +

+ [Bi fa, а-) — В2 fa, а,)]

k^n^nij
8“

ж*

А,- -Г А;

• (16)

xi V

ВЛ -77--.

Так как, в соответствии с (9) § 4, Bi fa, а}) больше Z?2 fa, а,),
то отсюда находим, что Т?2 fa, Xj) всегда положительно и, сле-
довательно, [F] также всегда положительно.

С другой стороны, если подставить переменные Е< и Yi, то
будем иметь выражение

lFh = 43ME?+n).

которое должно быть положительным для всех значений Ех,
Е2, . . . , En, Yi, У2, . . . , Yn, что, очевидно, возможно только,
если все коэффициенты si (i = 1, 2, ... , ri) положительные.

Направление движения перигелия находится в тесной связи
со знаком величин Так как величины s, положительны, то
отсюда следует, что среднее движение перигелия, если таковое
имеет место, должно быть также положительным. Так как при-
ближенно.

= УХ е cos л,
т] == — /Л е sin л,
то, в соответствии с (15),

/А^{ cos Л, = тпЛ/1 cos + рх) + у^Мг cos (s2/ + 32) +
+ • • • + ^inMn COS ($nt + Зп),
yXiei sin Hi = TnM 1 sin (sxi + ₽x) + улМг sin (s2f + p2) +
+  • • + Tin-Wn sin (snt + £„).

Эти уравнения дают

AjCi = уп Mi + . . . + yin Mn +

+ 2ZyficyuMkMi cos [(gfc - gi)t + pk — pe]
и

= sin (gl* + 31) -i- • • • + tinMn Sin (gnt + pn)
g ni	tiiM 1cos (Sit + 31) + ... + TjnMn cos (gnt 4- p„) ’

(17)

(18)

(19)

откуда можно вычислить а и л<.

Из (18) следует с учетом уравнений (6) и (6*), что уравнение

^Mel=Ml+M22+ ... + М2п
i=l

(20)

дает для эксцентриситетов уже рассматривавшуюся теорему
Лапласа об устойчивости планетной системы.

Тот факт, что существует среднее движение перигелия, no-
видимому, можно было бы вывести из (19) или (17). Такого дока-
зательства в настоящее время нет, движение перигелиев подробно
изучено только при специальных предположениях относительно
коэффициентов, которые имеют важное значение для планетной
системы. Важнейший из этих случаев тот, в котором один из
коэффициентов yikMk больше суммы всех остальных. При этом
предполагается, что все коэффициенты положительные. Предпо-
ложим, например, что

iTi/AI >|yttM2| + ... + |y.nMn|,	(21)

и тогда можно доказать, что перигелий обладает средним движе-
нием gv Действительно, из (17) получим

УЛ^ cos (л< — git — Pi) = yftMx 4-

+ S YikMs cos U#s — Si) < + 3s — 31],

__	K~2	(22*)

У Ад sin (n{ — git — 31) =

= S	* sin I (?s “ Si)* + 3s— 31] .

S=2

19 к. Шарлье
и, значит,
tg(« — git — Pi) =

S itsin i<gte—gi) * -r Pt—Pii
ТцЛЛ + 2 тЛ cos [(gs - gi) t <	

(22)

В силу неравенства (21) знаменатель в (22) никогда нс будет
равен нулю, а следовательно, tg (л{ — gxt — рг) никогда не обра-
тится в бесконечность. Поэтому перигелий будет иметь среднее дви-
жение gv Из (22*) находим, что cos (л< — gxi —Pt) имеет тот же
знак, что и Положим

= git + ₽/ + Ру	(23

где pj = ръ если положительно, и Pl = Pi + 180°, если
YiiAfi отрицательно; тогда Р всегда должно оставаться численно
меньше 90°. Направление перигелия всегда уклоняется меньше
чем на 90°, от направления, которое задается линией, образую-
щей с осью X угол, равный gtt + pi.

Неравенство (21) выполняется для всех больших планет,
которые обращаются вокруг Солнца, за исключением Земли и
Венеры. Вероятно, эти планеты также обладают (положитель-
ным) средним движением, хотя здесь отклонения могут состав-
лять более 90°.

Если неравенство (21) не выполнено, то рассмотрение про-
блемы оказывается не столь легким. Автор обязан К. Б. Кавал-
лину (пз Остерзунда) за интересные замечания, которые хотя и
не решают окончательно проблему, но, по-видимому, указывают
правильное направленпе в исследовании вопроса.

Положим

X -=пи у — /Atfi, Аг = yirMr.

Умножая второе пз уравнений (17) на ]/ —1 и складывая с пер-
вым, получим

ye* s 2 АпеГ^(гг‘+^,	(24)

r=i

где t обозначает действительную независимую переменную, и Аг,
gr и рг суть действительные и постоянные величины. Затем можно
предположить, что коэффициенты Аг отличны от нуля.

Каваллин относительно величин gx, g2, . . . , gn делает пред-
положение, что они являются рациональными числами; хотя это
и не вполне законно, но все же оправдано, так как это предполо-
жение можно сделать приближенно, в частности, при числовых
расчетах.
Предположим, что рациональные числа g можно записать
в виде дробей с одним и тем же знаменателем; тогда

	„ 	 т2	„	Мп  т ’ ’ ’ ‘ ‘ ^п щ ’	(25)
и положим, кроме того,		
Аг	- А^’,	(26)
так что		
У—е	— Д , у-? т't r=l	(27)

Предположим, кроме того, что величины gr различны и располо-
жены так, что

Si >&>•••> £п,	(28)

откуда

mi > тг > тп-	(28*)

Полагаем теперь

z = e т ;	(29*)

тогда правая часть (27) может быть представлена в форме

5J Arzmr = AiZmn	zv* + ... +	,

"	I At	AJ

так как Ai отлично от нуля. Здесь

Hi = mi — p2 = m2 — mn, . . .
и, значит, согласно (28)

Hi H2 > Hs > • • •

Если корни уравнения щ-й степени

+ ... + ^? = О,
Л Л

(29)

(30)

(31)

из которых ни один не равен нулю, так как Ап=/=0, обозначить через

/-1А,
е т ,

е т ,

е т
то будем иметь

__ У^рпп< и, / У^Г t У^Гхг\

= A'je ™ П \e m ~e m / =
r=l

rzi(WL) Г

—L< im — e 2m

2 /=1

У -imnt 14

= A\e~" П2
r=l

ИЛИ

|1,	y^l(2mn+|4)« V^2xr 14

yey~lx = (2 /—1) A[e	™	+ ™ JJsin^3r. (32)

r=l

Вычисляя логарифмическую производную от обеих частей этого
уравнения и принимая во внимание, что 2тп + ux = mr + Шп,
получим

14

1 v . t — к,
2^2 ctg^

r=l

(33)

г«	их	ay	«

Так как х и у9 а также -гг и — величины деиствитель-
ut at

ные, то для получения выражений для Д? и необходимо от-
at at

делить в правой части (33) действительные члены от мнимых.

Полагая

14

V=4>(<).	(34)

r=l

найдем, что<р (i) иф(4) суть периодические функции периода 2/пл,
и что ф (i) всегда конечна. Из (33) и (34) следуют уравнения

^=^+^++(() = а+£.+ф(1). (35)

|ж=Ф«)-	(35«)

” t — А,

Каваллин [361 отметил, что функцию 3 СЦ> можно оп-
г=1
ределить одним из многих методов, которые мы имеем в распо-
ряжении для вычисления симметрической функции корней ал-
гебраического уравнения, и затем можно найти ф (i) и ф (t),
отделяя действительную и мнимую части функции.
Так как функция ф (t) периодическая и никогда (для действи-
тельных значений t) не может обратиться в бесконечность, то ее
можно разложить в ряд Фурье. Отсюда следует, что перигелий
обладает средним движением. Если через Ко обозначить постоян-
ный член Фурье, то значение указанного среднего движения
будет равно

Si т 8п

§ 7. Вековые возмущения плоскостей орбит
для произвольного числа планет

Рассмотрение вековых возмущений наклонности и долготы
восходящего узла выполняется подобно тому, как в предыдущем
параграфе были выполнены соответствующие исследования для
эксцентриситета и долготы перигелия. Здесь из корней фундамен-
тального уравнения один равен нулю, а все остальные корни
отрицательны.

Если обозначить вековую часть возмущающей функции, кото-
рая зависит от наклонности, через [Fl2, то по § 2 будем иметь

[Fh = - J] R" (рг, pt) -^R" (7i,	(1)

где

(22	\

^+^7-----(2)

или

R" (xit Xj) = -i- к2пцт^ (ait a,)	-jTat)* •

Отсюда непосредственно находим, что [F]a представляет собой
определенно отрицательную форму, и из этого заключаем, что
корни фундаментального уравнения должны быть отрицательны
или в крайнем случае равны нулю.

Если ввести обозначения

Iг'. /1 = -г	п *

I h 11 = — (i, 1) — (i, 2) — ... — (г, n),

то будем иметь

1г’>/ир1р3+ед).

(3)

(4)
Тогда

dPi д [F], d4i _ э^]а
dt 9qt ’ dt	dpi

(l = 1, 2,. . n).

Применяя ортогональное преобразование
Pi = ТиЛ + • • • + TlnPn,

Рп = Тп1Л + ...+тппРп .

(4*)

(5)

и, аналогично,

<li = Yn(?i + • • • +

?n=TnA + ... + rnn^n,

(5*)

где коэффициенты связаны соотношениями (6) и (6*) § 6, полу-
чим

п

МЪ-’-гЗ +	(4**)

Г=1

Величины аг определяются из фундаментального уравнения

Р(б) =

12, 11

• •••••
|п, 1|

|1,2|

12, 2| —о

|и, 2|

|1, «I
|2,п|

I п, п| — б

= 0. (6)

Коэффициенты у<г, соответствующие корню аг, определяются
из уравнений

(|1, 1| — бг)г1г + |1, 2|Тв. + ... + 11. «|ТПГ=О,

I”» 1|Т1г + |п» 2|таг+... + (|п, п| —б)тпг =0.

(6*)

Теперь докажем, что фундаментальное уравнение (6) имеет по
крайней мере один корень, равный нулю.

Из (1) и (2*) следует, что если положить

Pi _ Pl _	_ Pn

/л; ул, /л; ’

а также

_______42	_ _____

VЛ? “ Ул, Ул; •
то [F], должно обратиться в нуль. Следовательно, для этой си-
стемы значений pi/V^i и т. д. сумма

также должна обратиться в нуль, что возможно только, когда
либо все Pi и Qi (i = 1, 2, . . . , п) будут равны нулю, и в этом
случае по (5) все pi и qi также обращаются в нуль, что не является
необходимым, либо по крайней мере одна из величин о< обра-
щается в нуль.

Если —тот корень, который равен нулю, то для и q
имеем следующие выражения:

Pi = cos d, + ri2A2 cos (a2r + d,) -f-...

•••+Г1пЛГпСОз(Оп« + 6„),

Qi = — Ti^iSinSj — Yj^sin (з2« + d2) — ...

... — 4i„Nn sin (snt + d„).

Таким же путем, как и в предыдущем параграфе, приходим
к заключению, что если один из коэффициентов, например, yirNr,
численно больше суммы абсолютных величин остальных, то узел
обладает средним движением ог. Если бы, в частности, было

lrftWI|>|rj2Wa| + ... -HrinWnl,

то среднее движение узла было бы равно нулю, и линия узлов
периодически колебалась бы в плоскости XY около неподвижной
линии. Следует заметить, что это возможно только тогда,
когда в качестве основной плоскости используется плоскость,
отличная от неизменяемой. Действительно, находим, что если
орбиты отнесены к неизменяемой плоскости, первый член в (7)
отсутствует, и в этом случае колебания около неподвижной линии
более невозможны.

Отыщем те значения для уп, у21, . . . , ущ, которым соответ-
ствует корень о = 0. Согласно (6*) эти значения определяются
уравнениями

1 i.11 Yn + I i> 21 Y-2i + • • • + I i, i I Y<i + • • • + I»»n I Yni = 0
(i = 1, 2, . . . , n).

Но тогда, в соответствии с (3),

VAt | i, 11 + ГЛ21 i, 21 + ... -f- V An | i, n | = — p^Ai 11, i |.

Эти уравнения удовлетворяются, если положить

Th _ Т21 _	_ Ън _	1

Уд? ут2 ул; у зл ’

(7*)
Но тогда из (5) и (5*) имеем

Pi = Y11P1 + • • • + YrnPn,
Q = Yn?i + • • • + Ym7n
или, подставляя вместо их значения, получим

УSAP! = У Л]/»! + ... + УЛп/>п,

УSA(7t = У Ai*?! + ... + У Ап?я.

Но

Pj = А\ cos 6,

Qi = —Ni sin 6,
и, приближенно,

= УЛГ sin гг cos Qr,
qr = — /Л, sin ir sin Qr,
следовательно,

у SA cos fii = At sin it cos 4* . • . 4- An sin in cos Qn, 1	_

---	r (o)

у SAJVtSindi = At sin I'tSin Qi 4- • • • 4- Ansin ;nsinQn. J

Но с помощью (20) § 1 и (13) § 9 гл. V мы нашли, что наклонность
у и долгота восходящего узла П определяются следующими
формулами:

tgTCosn=-5-T-{A! sin ii cos Qi 4- A2sin i2 cos Q2 4-

4-... 4- Ansin in coS Qn},
1	I**'

tg т sip П = -T7T- {Ai sin it sin Qi 4- A2 sin i2 sin Q2 4-

4-... 4- An sin in sin QnJ
Сравнивая эти формулы с (9), получим

tgr = -^, П = 61,	(10)

поэтому постоянные и имеют простой геометрический смысл.

Если неизменяемая плоскость принята в качестве основной,
то у, а также и по (10) равны нулю, и первый член в (7) от-
сутствует.

Из сказанного очевидно, что с точки зрения механики наи-
более естественно относить движение орбит к неизменяемой плос-
$ 81 ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 297
кости, и тогда выражения для элементов сводятся к наиболее
простому виду. Это еще в большей мере свидетельствует о том, что
в качестве плоскости XY в небесной механике следует исполь-
зовать неизменяемую плоскость. Для этих целен пригодна такая
плоскость, как плоскость средней эклиптики, обычно выбирае-
мой в качестве основной, в силу того, что вековые возмущения
планет не имеют значительных колебаний.

§ 8. Метод Якоби вычисления корней
фундаментального уравнения

Фундаментальное уравнение для определения величин gi и at,
по которым находятся средние движения перигелиев и узлов,
является алгебраическим уравнением относительно g и о п-й
степени, где п — число планет. Это алгебраическое уравнение
дается в форме определителя с п2 элементами. Если этот опреде-
литель раскрыть обычным образом, то получим сумму п\ членов,
где каждый член состоит из п сомножителей. Если число планет
велико, то вычислительная работа, необходимая для раскрытия
определителя, очень большая. Если вычислять вековые возму-
щения восьми больших планет *) планетной системы, то таким
образом получили бы 8! = 40320 членов, каждый из которых
состоит из восьми сомножителей. А так как некоторые из элемен-
тов определителя, а именно те, которые стоят на главной диа-
гонали, состоят из двух слагаемых, то указанное число воз-
растет еще более, — вдвое, как отмечал Стокуелл. Уже только
численные расчеты для этого уравнения «с трудом можно
было бы преодолеть в течение одной человеческой жизни»
(Стокуелл).

Для вычисления этих корней необходимо отыскать косвенный
и более короткий путь. Астрономы для этого обычно пользова-
лись методом, который подходит вследствие специфической формы
нашей планетной системы, и заключается в том, что в первом
приближении вековые возмущения внутренних и внешних планет
могут быть вычислены отдельно. Хотя таким образом достига-
ют правильного определения корней, метод все же нуждается
в математическом обосновании и с точки зрения вычислений
уступает методу Якоби, к изложению которого мы теперь пе-
рейдем.

Запишем в несколько измененной форме уравнения (И) § 6,
изменяя знаки коэффициентов [i, /], которые согласно (1) § (>

*) Не учитывая Плутона. (Прим, ред.)
отрицательны,

(« — II. 1])ti + • • • + [1, Лт44-...

.. . + [1, A] rfc + . .. + [1, nJ Т„ = 0.

Ii, l]Yi+ • • • + («— [«. *])¥{+• • •

... + [г, Л] rfc + .. . + [г, п] гп = 0,

I*, l]Yi + • • • + [к, г]г{+ • • •

... + (« — I*. *1) Tfc +••• + [*, п] Тп = 0,

[«, 1] Т1 + • • • + [п, г] rt + • • •

... + [n, Л] rs + ... + (s — [n, nJ) rn = 0;

тогда задача сведется к вычислению корней уравнения
s —[1, 1]	[1, 2[	...	[1, п]

D(s)= 12111 s-I2’2! ••• I2- ”1	=

[n, 1]	[п, 2]	... $ — [и, и]

(2)

Этот определитель симметричен относительно главной диагонали,
так как по (1) § 6

(3)

Если бы все элементы определителя, которые стоят вне диагонали,
были бы равны нулю, то корни (2) были бы просто равны It, ij
[i = 1, 2, . . . , nJ. Метод Якоби заключается в выборе соответ-
ствующего преобразования, в результате которого элементы,
не стоящие на главной диагонали, уменьшаются, а отрицатель-
ные числа, расположенные на главной диагонали, сколько угодно
близко приближаются к значениям корней.

Для этой цели заменим два коэффициента, yj и у^-, двумя
другими, Pi и Рц, при помощи подстановки

= Pi cos а — Рн sin а,
Xk= Pi sin a -f- Pn cos a,

(4)

оставляя неизменными остальные коэффициенты уг. В (4) a —
пока неопределенная величина.

Если рассмотреть i-й и к-й. ряды и умножить первый на cos a,
а второй на sin а и сложить, затем умножить i-й ряд на sin a,
а к-п ряд на cos а и снова сложить, то получим следующие
преобразованные уравнения:

(U, 11 cos а + [А, 1] sin a)	— [f, i]')Pi + . . . -f-

+ I г, kYPit -г . . . + (li, n] cos а + [A, nl sin a) yn = 0,
(— I i, И sin a + [A, 11 cos a) yT + . . . + [Zc, i]’Pt + ... +

+ (s — [A, k]')Pk + ... + (—[!, nl sin a + [A, n] cos a) yn = 0»
где с учетом соотношений (3)

[i, if = [i, i] cos2 a —2 [A, i] sin aces a + [A, A] sin® a,
[A, A]' = [i, i] sin2 a 4- 2 [A, i] sin a cos a + [A, Al cos2 a,
[i, A]' = [i, i] cos a sin a [А, i] (cos2 a — sin2 a) —

— [A, A] sin a cos a,
(A, if = [i, A]'.

(5)

Теперь распорядимся величиной a так, чтобы новые коэффициенты
(i, АГ обратились в нуль, для чего достаточно, чтобы

tg2a=-..	.

(6)

Согласно (5) имеем

[г, if + [А, А]' = [г, г] + [А, А],

[i, if — [A, Af = ([i, i] — [A, Al) cos 2a — 2 [A, i] sin 2a.

В силу (6)
форме:

последнее уравнение можно записать в следующей



или также

[i, if — [A, Af = KilzLgiAl

1,1	1 * 1 cos 2a

Из этих уравнений, возводя их в квадрат и складывая, получим
([ i, if + [A, Al')* + (fi, if — [А, АГ)2 cos2 2a 4-

4- (li, if — [А, АГ) sin2 2a = (li, i] 4- [A, A])2+

+ ([i, il — [*, *])2+4 [A, il2

или, после надлежащих преобразований,

[i, il'2 + [A, Af2 = [i, il2 + [A, Al2 4- 2 [A, i]2.	(8)

Для всех других коэффициентов, которых затрагивает преобра-
зование, имеют место уравнения

[г, /Г* + [А, /Г* = li, /]2 + [А, /1«.	(9)
В результате фундаментальное уравнение (2) преобразуется к сле-
дующей форме:

Z)(s) =

s— [1,1]'....... [l,i]',	[1, Л]'....... [1,	и]'

[г, 1]', s—[г, г]',...,	*,	[г, и]'

[к, 1]',	*,	...,s — [Л, к]', .[к, и]'

[и, 1]',	[и, г]',	[и, Л]',	—[га, ?г]' (10)

где элементы, которые не подвергались преобразованию, сопровож-
даются сверху штрихом. Вместо элемента [Л, i]', который вслед-
ствие (6) обращается в нуль, в (10) стоит звездочка. Новый опре-
делитель также симметричен.

Между определителями (2) и (10) имеется существенное раз-
личие: сумма квадратов элементов, расположенных вне главной
диагонали, в (10) будет меньше соответствующей суммы прежнего
определителя на сумму квадратов [г, к] и [к, г], т. е. на 2 [А*, г]2,
а сумма квадратов диагональных элементов на ту же величину
возрастает. Под элементами, расположенными на диагонали,
будем подразумевать те числа в (2) или (10), перед которыми стоит
знак минус.

Это предложение вытекает непосредственно из уравнении (8)
и (9), которые заключают в себе суть метода Якоби. Элементы
i-ii и к-й строк (соответственно столбцов) изменяются в результате
преобразования, а остальные элементы им не затрагиваются.

Если сделать аналогичное преобразование новых элементов,
то снова сумма квадратов внедиагональных элементов умень-
шится на удвоенную сумму квадратов уничтожаемых элементов;
путем повторного применения такого приема эту сумму можно
сделать меньше сколь угодно малого наперед заданного числа.
Естественно, что в приложениях всякий раз преобразованием
выгодно уничтожать наибольший из встречающихся элементов,
находящихся вне диагонали.

Преобразования продолжаются до тех пор, пока числа, рас-
положенные на главной диагонали, не будут достаточно близки
к корням, о чем можно судить непосредственно по решению. Окон-
чательное вычисление корней можно еще ускорить при помощи
данного Якоби метода последовательных приближений.
Для того чтобы было более легко судить о методе, рассмотрим
вкратце два первых приближения в задаче, исследованной Якоби.

Данная система

0		I	II	III	IV	V	VI
0	—5"г510	9,8655	9,1587	7,8700	7,2604	5,8767	4,2157
1	9,8655	—11',812	10,6955	9,0999	8,3566	6,9646	5,3191
2	9,1587	10,6955	—12,"971	9,7529	8,7833	7,3812	5,7326
3	7,8700	9,0999	9,7529	—17",596	8,8878	7,4577	5,7989
4	7,2604	8,3566	8,7833	8,8878	—7",489	10,8790	9,0224
5	5,8767	6,9646	7,3812	7,4577	10,8790	-18",585	9,6439
6	4,2157	5,3191	5,7326	5,7989	9,0224	9,6439	—2",326

Отрицательные числа на диагонали выражены в секундах, для
остальных указаны логарифмы.

Из приведенной таблицы видно, что наибольший элемент,
расположенный вне диагонали, находится в четвертой строке
и пятом столбце. Второй по величине элемент мы находим в пер-
вой строке второго столбца. Все остальные элементы меньше
единицы. Мы хотим получить преобразованную систему, в кото-
рой упомянутые элементы отсутствовали бы.

Чтобы уничтожить элемент (4, V), определим в соответствии
с (6) вспомогательный угол а так, чтобы

-И0.1348],

откуда

а = 26°,88.

Отсюда получаем первую преобразованную систему:

	0	I	II	Ш	IV	V	VI
0	—5",510	9,8655	9,1587	7,8700	7,2198	6,8787п	4,2157
1	9,8655 -	-11",812	10,6955	9,0999	8,3158	7,9756п	5,3191
2	9,1587	10,6955 -	-12",971	9,7529	8,7423	8,4031п	5,7326
3	7,8700	9,0999	9,7529 -	-17",5962	8,8463	8,5100п	5,7989
4	7,2198	8,3158	8,7423	8,8463	—3",653	*	9,4669
5	6,8787п	7,9756п	8,4031„	8,5100„	*	—22",421	9,5382
6	4,2157	5,3191	5,7326	5,7989	9,4669	9,5382	—2",3259

где на месте уничтоженных элементов стоит звездочка. Числа
в четвертой и пятой строках (а, значит, также и в четвертом и
пятом столбцах) изменились, остальные преобразованием не за-
тронуты.
Уничтожим теперь элемент (2, I), используя вспомогательный
угол а = 41°,67. Получим вторую преобразованную систему:

	0	I	И	III	IV	V	VI
0	—5',510	9,8088	9,5799	7,8700	7,2198	6,8787п	4,2157
1	9,8088	—7',397	•	9,6724	8,7175	8,3781п	5,7117
2	9,5799п	*	-17",385	9,5304	18,4395	8,1009п	Ь,4231
3	7,8700	9,6724	9,5304 -	-17',596	8,8463	8,5100п	6,7989
4	7,2198	8,7175	8,4395	8,8463	—3',653	*	9,4669
5	6,8787п	8,3781п	8,1009п	8,5100п	*	—22',421	9,5382
6	4,2157	5,7117	5,4231	5,7989	9,4669	9,5382 •	-2",326

При следующем поиближении следовало бы уничтожить элемент
(0, I), который является здесь наибольшим.

Окончательные значения корней, полученных Якоби (число-
вые расчеты выполнены были Зейделем), суть

s0 = 5",299, sx = 7",574, s2 = 17",152, s8 = 17",863,
s4 = 3",715, sj = 22",427,	se = 2",258,

которые получены в результате десяти преобразований. Приве-
денные вычисления выполнены Якоби до открытия Нептуна и
относятся к семи ранее известным планетам [37].

§ 9. Результаты Стокуелла о вековых возмущениях
больших планет*)

Результаты Стокуелла содержатся в «Smitsonian Contributions
to Knowledge», vol. XVIII, 1870. Он исходит из следующих зна-
чений масс, больших полуосей и средних движений:

Меркурий.	. . .	т1	=1:4865751,	и1	= 5381016",2, я1 =0,3870987

Венера...........т11	=1:390000,	пп	= 2106641,438, я11 =0,7233323

Земля............т111	=1: 368689,	л1П	=1295977,440, я1П= 1,0000000

Марс.............mIV = 1: 2680637,	nIV = 689050,9023, я1У	= 1,5236878

Юпитер...........mN = 1:1047,879,	nv = 109256,719	а1	=5,202798

Сатурн...........mVI = 1: 3501,6,	пух =43996,127,	яух	=9,538852

Уран.............тУп= 1:24905,	лvn = 15424,5094,	яуп	= 19,183581

Нептун...........mVIII = l: 18780, л упх= 7873,993, яУШ = 30,03386

Пусть е1, еи, еш, . . . , пх, л11, лш . . . обозначают эксцен-

*) Подробные сведения о современном состоянии теории движения
планет приводятся в книге Г. А. Чеботарева «Аналитические и чис-
ленные методы небесной механики», Изд-во «Наука», 1965.
триситеты и долготы перигелиев, отнесенные к эклиптике и равно-
денствию 1850,0. Для эпохи 1850, 0 Стокуелл принимает следую-
щие значения:

Меркурий .... е1	=0,2056179	л1	= 75’07'О',0

Венера............ еп	=0,00684184	л11	= 129’28’51’,7

Земля............. е1П	=0,01677120	лпг	= 100’21'41',0

Марс.............. eIV	=0,0931324	nIV	= 333’17'47',8

Юпитер............ ev	=0,0482388	.tv	= 11’54'53',1

Сатурн............ eVI	=0,0559956	nVI	= 90’06'12*,0

Уран.............. evn	=0.0462149	nvn	= 170’34'17',6

Нептун............ evnl	=0,00917396	nvnl = 50’16'39',!

Он дает вековые возмущения эксцентриситетов и долгот перигелиев
в следующей форме:

e(i)cos л<’> = cos (si< + Pi) + cos (s2* 4- Р») + • • •» ]

е<4) sin л<’> = Mi’1 sin («j* 4- pj 4- J/£l)sin (s2* + Pa) + • • •. J

и получает для коэффициентов значения, приведенные в табл. I
на стр. 304.

Например, для Юпитера имеем

ev cos л'’ = — 0,0000090 cos (5",463803* 4- 88°0'38") +
+ 0,0000106 cos (7”,248427* + 20°50'19") 4-
-0,0000011 cos (17”,014373* + 335°11'31") +
4- 0,0000011 cos (17”,784456* + 137°6'36”) +
+ 0,0000636 cos (0”,616685* + 67°56'35”) +
4- 0,0019436 cos (2”,727659* 4- 105°3'53”) 4-
4- 0,0431601 cos (3”,716607* 4- 28°8'46”) 4-

4- 0,0156383 cos (22”,460848* 4- 307°56'50").

Если в (1) один из коэффициентов, скажем, М^'\ численно больше
суммы абсолютных величин остальных коэффициентов, то, как
нам известно из § 6, перигелий будет обладать средним движением
Кроме того, значение эксцентриситета обязательно заключено
в границах

Mr-Yr<l<Mr+^r,

где 5Г обозначает сумму модулей всех коэффициентов за исклю-
чением Мг. На основании этой теоремы из табл. I Стокуелл де-
лает следующие выводы относительно вековых возмущений экс-
центриситетов и долгот перигелиев больших планет.

Для планеты Меркурий имеем:

Максимум е1 = 2 |Af11 = 0,2317185. Половина этой величины
составляет 0,1158593. Так как это число меньше М[, то следует, что
Таблица I

	r = l	2	3	4
.*г	+5',463 803	+7",248 427	17',014 373	17',784 456
Зг	88’0'38"	20’50'19'	+335° 11'31'	+137’6'36',5
М1г	-j-0,1766 064	+0,0268 838	+0,0014 673	+0,0015 934
mV	+0,0085 906	—0,0201 444	—0,0112 171	—0,0131 892
mV1	+0,0054 825	—0,0153 619	+0,0113 105	+0,0162 641
	+0,0008 418	—0,0025 451	+0,0225 719	—0,0790 650
Mr	—0,0000 090	+0,0000 106	—0,0000 011	+0,0000 on
м™	—0,0000 080	+0,0000 109	—0,0000 064	+0,0000 110
м™	+0,0000 035	—0,0000 027	+0,0000 004	—0,0000 006
mJ111	+0,0000 001	—0,0000 001	+0,0000 000	—0,0000 000
	r = 5	6	7	8
	O’,616 685	2",727 659	3",716 607	22",460 848
	67’56'35"	105’3'53"	28’8'46"	307’56'50"
м*	+0,0000 077	+0,0005 685	+0,0244 939	—0,0000 975
mV	+0,0000 117	+0,0005 571	+0,0166 053	+0,0003 175
mV1	+0,0000 136	+0,0005 832	+0,0163 413	—0,0023 780
mJ4	+0,0000 219	+0,007 765	+0,0187 954	—0,0150 371
mJ	+0,0000 636	+0,0019 436	+0,0431 601	+0,0156 383
mJ1	+0,0000 717	+0,0017 694	+0,0341 011	+0,0483 504
mJ11	+0,0015 578	+0,0297 330	—0,0448 614	+0,0018 058
mJ111	+0,0100 389	+0,0029 105	+0,0014 205	+0,0001 365

М\ будет больше суммы остальных коэффициентов, следовательно,
перигелий Меркурия имеет среднее движение, равное
st = 5",463803, и делает полный оборот за 237197 лет. Минималь-
ное значение эксцентриситета составляет 0,1214943.
Для планеты Венеры имеем:

Максимум еп = 2 | Мп | = 0,0706329. Половина этой вели-
чины составляет 0,0353164. Так как ни один из коэффициентов
MJ1, Mj1 и т. д. не превосходит этого числа (то следует, что пери-
гелий орбиты Венеры не обладает средним движением и что мини-
мальное значение эксцентриситета равно нулю).

Для Земли имеем:

Максимальное значение е1П = 2 | М111 | = 0,0677352. Поло-
вина егп равна 0,0338676. Так как это число больше любого пз
коэффициентов М1П. то перигелий земной орбиты средним дви-
жением не обладает, и минимальное значение эксцентриситета
равно нулю.

Для планеты Марс имеем:

Максимум eIV = 2 | MIV | = 0,1396547. Половина eIV состав-
ляет 0,0698274. Так как это число меньше Mjv, то следует, что
перигелий орбиты Марса имеет среднее движение, равное s4
или 17”,784456, и что минимальное значение эксцентриситета
составляет 0,0184753. Стокуелл замечает, что даже небольшое
изменение принятого значения массы Земли вызвало бы заметные
изменения границ эксцентриситета и значения среднего движения.

Для планеты Юпитер имеем:

Максимум ev = 2 | Mv | = 0,0608274. Половина ev равна
0,0301137. Так как это число мэныпеМ^, то перигелий орбиты
Юпитера имеет среднее движение, равное s7 или 3”,71бб07, и
что минимальное значение эксцентриситета равно 0,0254928.

Для планеты Сатурн имеем:

Максимум eVI = 2 | MNl | = 0,0843289. Половина этой вели-
чины равна 0,0421644. Так как это число меньше чем М^1, то
следует, что перигелий орбиты Сатурна имеет среднее движение,
равное $8 или 22”,460848. и что минимальное значение эксцентри-
ситета равно 0,0123719.

Для планеты Уран имеем:

Максимум eVII= 2|AfVII| = 0,0779652. Половина evn равна
0,0389826. Так как это число меньше М^и, то следует, что пери-
гелий орбиты Урана имеет среднее движение, равное $, илп
3”,716607, и что минимальное значение эксцентриситета равно
0,0117576.

Для планеты Нептун имеем:

Значение eVIII= 2 |Jfvin| = 0,0145066. Половина evni будет
равна 0,0072533. Так как это число меньше чем М^111, т0 следует,
что перигелий орбиты Нептуна обладает средним движением,
равным s-„ или 0”,616685, и что минимальное значение эксцентри-
ситета равно 0,0055712.

20 к. Шарлье
В приведенной сводке мы придерживались утверждения Сто-
куелла, что Венера и Земля не обладают средними движениями
перигелиев. Это утверждение было заключено в скобки, так как
в предыдущих параграфах мы видели, что этот вопрос следует
считать открытым.

Из этого сопоставления следует интересное замечание, что
средние движения орбит Урана и Юпитера одинаковы. Отсюда
с помощью уравнений (17) и (19) § 6 можно сделать вывод, что
долгота перигелия орбиты Юпитера периодически колеблется
около значения s7f + 07, а долгота перигелия орбиты Урана —
около значения s^t + 07 + 180°. Из указанных уравнений можно
также определить амплитуду этих колебаний; Стокуелл находит,
что она для Юпитера составляет +24°10', а для Урана + 47°33'.
Долготы перигелиев орбит Юпитера и Урана могут, следователь-
но, сближаться самое большее на (180° — 24°10' —47°33') =
= 108°17', и в среднем удалены друг от друга на 180°.

Переходя теперь к вековым возмущениям плоскостей орбит,
установим сначала важное утверждение о различных формах
выражений для возмущений при использовании различных основ-
ных плоскостей. Если выбор основной плоскости XY произволен,
то согласно (7) § 7 вековые возмущения орбитальной плоскости
задаются формулами

Рт = Тг Лcos	cos (o2i + 62) + ...

•	• • + Тг Л" cos	+ fin)>

7r = —Trl^>sin6l —Tr2^2sin(52f + 62) + ...

•	• • + Ъ-Л" Sin (snt 4- dn),

где

pr = Y Kr sin i(r) cos Q(r),
qr = — y*Ar sin i(r> sin Q(r),

и, кроме того, было

Ni = /2Atg у,
6i= n,

(c)

где у и П обозначают соответственно наклонность и долготу
узла неизменяемой плоскости относительно плоскости АУ.

Но по (7*) § 7 было

ХА ’
тогда формулы (а) перейдут в следующие:

У Аг sin z<r) cos Q<r) = УЛГ tg у cos П + Tr2^2 cos (з2* + д2) + ...

• • • +ГгЛпСОЗ(Зп* + Йп),

У sin z<r> sin Q(r) = Улг tg у sin П + yrJAr2 sin (з2* + д2) +...

••• +Yr^n sin (On* + бп) •

Так как третьими степенями наклонности мы пренебрегаем, то
вместо tg у можно написать sin у; одновременно несколько изме-
ним обозначения (чтобы они стали более близкими к стокуел-
ловым) п окончательно получим

sin г(г) cos Q(r) = sin у cos П + cos (з^ + 6j) + .. •

• • • + A^n-li COS (Зп-l* 4- 5n-i),
sin z(r) sin Q(r) = sin у sin П -J- Mr> sin (si* + di) + ...

... + M-1 sin (sn-1* +	'

Здесь ©j, o2, . . . , on-i обозначают те корни фундаментального
уравнения, которые отличны от нуля.

Выше мы предполагали, что плоскость XY выбрана произ-
вольно. Если обозначить наклонность и долготу узла относительно

неизменяемой плоскости через и Qor), то для сферического тре-
угольника, образованного плоскостью XY, неизменяемой плос-
костью и орбитальной плоскостью, имеют место следующие соот-
ношения:

sin z0 sin (Qo — П) = sin z sin (Q — П),

sin i0 cos (Qo — П) = — cos z sin у + sin z cos у cos (Q — П).

Если пренебречь третьими степенями наклонности, то, умножая
уравнения соответственно на —sin П, cos П и на cos П и sin П

} (е‘)
и складывая, получим

sin ifrr) cos = sin i(r) cos Q(r) — sin у cos П,
sin ior) sin Q^r) = sin i(r) sin й(г) — sin у sin П.

Из (d) и (e) находим

sin itf* cos йог) = cos (sjf + 6j) + ...

. . . + M-l cos (sn-lt + dn-1),
sin >sinQ&r) — sin(pjt + 6X) + ...

• • • + ^n-i sin (sn-it 4* 6n_i). j

Итак, мы пришли к замечательному результату: если говорить
о вековых возмущениях, то выражения для sin i cos Q и sin i sin Q,
где i и Q обозначают наклонность и долготу узла отно-
сительно произвольной плоскости XY, легко получаются из выра-
жений для sin i0 cos Qon sin i0 sin Qo> причем i0 и Q 0 обозначают
наклонность и долготу узла относительно неизменяемой плос-
кости. Это можно получить сложением последних величин
sin у cos П и sin у sin П соответственно, где у и П обозначают
наклонность и долготу узла неизменяемой плоскости относи-
тельно плоскости XY.

Стокуелл исходит из следующих значений для i(r) и от-
несенных к средней эклиптике 1850,0:

Меркурий .... ir	= 7° О' 8",2	Q1	=	46’33' 3",2

Венера............ i11	= 3’23'34",4	Яп	=	75’20'42",9

Земля............. inr = 0° 0'0",0	= 0е 0' 0",0

Марс................. ilv	= 1’5Г 2",3	QIV	=	48’23'36",8

Юпитер............ iv	= 1’18'40" ,3	Qv	=	98’54'20",5J

Сатурн............ iVi	= 2’29'22",4	ftVI	= 112° 19'20", 6

Уран.............. ivn	=0’46'29", 9	Qvn	= 73’14'14",4

Нептун............ ivin	= 1’47'0",9	Ovln	= 130° 7'45",3

Для положения неизменяемой плоскости он выводит следую-
щие значения постоянных у и П [при помощи уравнений (20)
§1 гл. V]:

у = 1°35'19;376,
П = 106°14'6",00.
Для наклонностей и долгот узлов планет из уравнений (е*) он			
получает следующие	значения:		
Меркурий . . . .	ij	= 6’20'58",08	nJ	= 34е 8'11",12
Венера 		=2° 11'13",57	йп “о	= 53’28'14",10
Земля 		г*п =1 “35'19",376	а111	= 286’14' 6",00
Марс		i’v = 1’40'43",70	QIV “0	= 355’10'27",45
Юпитер		1'У	= 0е 19'59", 674	Qv  -го	= 316’21'41",44
Сатурн 		г™ = 0’55'30",924	oVI “0	= 122’48'32’,66
Уран		,-VH =1» 1-45^27	Qovn	= 310’26'39",78
Нептун 		= 0’43'24",845	Qovin	= 32’54' l",10

Для корней а2, . . . , о7 величин 6,, . . . , 6, и коэффи-
циентов в формулах (f) Стокуелл получает значения, приво-
димые в табл. II.

Таким образом, например, для Юпитера:

sin cos &У = — 0,0000252 cos (—57126112 t + 21°6'26;8) +
+ 0,0000095 cos (-6",592128 t + 132°40'57;8) —
— 0,0000025 cos (—177393390 t + 292°49'53",2) —
— 0,0000001 cos (-18’,408914/ + 251°45'8;6) +
+ 0,0011993 cos (-0",661666/ + 20°31'24;6) +
+ 0,0008794 cos (-2^916082/ + 133°56'10;8) +

+ 0,0063005 cos (—25*934567/ + 306°19'2i;2).

Из таблицы II получаются следующие выводы о вековых воз-
мущениях наклонности и долготы узла относительно неизменяе-
мой плоскости.

Для планеты Меркурий:

Максимум sin ij = S | TV £ | = 0,1595008, которому соответ-
ствует наклонность 9°10'41". Половина этого числа равна
0,0797504. Так как она меньше чем то следует, что больше
суммы остальных коэффициентов, следовательно, долгота узла
орбиты Меркурия на неизменяемой плоскости имеет среднее
движение, равное аг пли —5'126112. Минимальное значение на-
клонности составляет 4°44'27''.

Для Венеры:

Максимум sin ij1 = 0,0570719, которому соответствует на-
клонность 3°16'18". Так как ни один из коэффициентов JVjr не
превосходит половины указанного числа, то вопрос о среднем
движении узла орбиты Венеры остается нерешенным.
Таблица II

	г = 1	2		3		4
бг	—5" ,126 112	—6",592 128		—17",393 390		—18",408 914
6Г	21’6'26",8	132’40'57",8		292’49'53",2		251’45'8",6
	+0,1210 760	+0,0283 520		+0,0015 240		+0,0036775
JV1,1	+0,0148 670	—0,0078 380		—0,0084	783	—0,0224 278
АГ”1	+0,0106 500	—0,0063 210		+0,0069 546		-0,0244 768
A^v	+0,0021 280	—0,0013 250		+0,0506 672		—0,0375 951
	—0,0000 252	+0,0000 095		—0,0000 025		—0,0000 001
N?1	—0,0000 320	+0,0000 134		—0,0000 214		—0,0000 006
АГ™	+0,0000 280	—0,0000 070		+0,0000 021		+0,0000 000
АГУ1П	+0,0000 008	—0,0000 004		+0,0000 002		+0,0000 000
	г=5		6		7	
аг	—0",661 666		—2",916 082			25" ,934 567
6г	20’31'24",6		133’56'10" ,8		306’19'21",2	
АГ*	+0,0014 778		+0,0031 283			-0,0002 652
а» г	+0,0013 568		+0,0018 108			-0,0002 932
АГ”1	+0,0013 291		+0,0016 228			-0,0027 275
ATjv	+0,0012 586		+0,0011 557			-0,0092 499
АГ/	+0,0011 993		+0,0008 794		+0,0063 005	
АГ/1	+0,0011 577		+0,0007 180			-0,0156 928
АГ/П	—0,0011 248		—0,0176 872		+0,0006 890	
АГ/пх	—0,0117 882		+0,0019 010			г-0,0000 772

Для Земли:

Максимум sin ioll= 0,0540818, которому соответствует на-
клонность 3°6'0". Так как ни один из коэффициентов не превос-
ходит половины этого числа, то вопрос о значении среднего дви-
жения узла земной орбиты остается еще открытым.

Для планеты Марс:

Максимум sin i£V= 2 |;Vjv | = 0,1033795, что соответствует в на-
клонности 5°56'2". Половина указанного числа составляет
0,0516898. Так как ни один пз коэффициентов JVjv, N™ и т. д. не
больше этого числа, то вопрос о значении среднего движения узла
орбиты Марса следует считать открытым.

Для планеты Юпитер:

Максимум sin $ = 2 |JV7| = 0,0084165, которому соответ-
ствует максимальное значение наклонности к неизменяемой плос-
кости в 0°28'56". Половина приведенного числа равна 0,0042083.
Так как это число меньше N?, то следует, что узел орбиты Юпи-
тера обладает средним движением, равным — 25'934567. Мини-
мальное значение наклонности составляет 0°14'23".

Для планеты Сатурн:

Максимум sin ij4 = 2 |N?11 = 0,0176359, соответствующий на-
клонности в 1°0'39". Половина указанного числа равна 0,0088180.
Так как это число меньше Л?1, то следует, что узел орбиты Сатурна
обладает средним движением, равным ст7 или —25"9346. Минималь-
ное значение наклонности составляет 0°47'16".

Для планеты Уран:

Максимум sin io11 = 21 N?u | = 0,0195381,соответствующий на-
клонности в 1°7'10". Половина указанного числа равна 0,0097690.
Так как это число меньше N^11, то следует, что узел орбиты Урана
обладает средним движением, равным ов или —2'916082. Мини-
мальное значение наклонности составляет 0°54'25*.

Для планеты Нептун:

Максимум sin i^in = 21	| = 0,0137678, соответствующий

наклонности в 0°47'21". Половина указанного числа равна
0,0068839. Так как это число меньше Ngin, то следует, что узел
орбиты Нептуна обладает средним движением, равным <т5 или
—0*661666. Минимальное значение наклонности к неизменяе-
мой плоскости составляет 0°33'43".

Из сопоставления результатов явствует, что средние движе-
ния узлов орбит Юпитера и Сатурна на неизменяемой плоскости
в точности равны, причем оба узла обладают обратным движением
с годичной скоростью 25^934567. Это второй либрационный слу-
чай в планетной системе, обнаруженный Стокуеллом. Более
подробное исследование на основе уравнений (22) и (23) § 6 по-
казывает, что средние долготы восходящих узлов обеих этих
орбит на неизменяемой плоскости разнятся друг от друга на 180°.
Вследствие периодических колебаний они могут сближаться самое
большее до 153°15', причем узел орбиты Юпитера может коле-
баться около своего среднего значения с амплитудой 19с38',
а узел орбиты Сатурна — с амплитудой 7°7'.

Узел орбиты Меркурия может отклоняться от своего среднего
значения на 18°ЗГ; узлы орбит Урана и Нептуна — соответ-
ственно на 6°0' и 9°40'.

Относительно средних движений узлов и перигелиев орбит
Венеры и Земли и равным образом относительно среднего дви-
жения узла орбиты Марса анализ Стокуелла представляется нам
неуверенным. Как мы уже неоднократно отмечали, многое говорит
о том, что такие средние движения также существуют и для этих
планет, более того, положительные для перигелиев и отрицатель-
ные для узлов. На время от —300 000 до -f-100 000 года по фор-
мулам Стокуелла вычислены значения эксцентриситета и дол-
готы перигелия земной орбиты (см. табл. III).

Из табл. III вытекает, что долгота перигелия земной орбиты
подвержена большим колебаниям; при известных условиях она
может обладать даже обратным движением, но в рассматривае-
мые годы наблюдается положительная скорость движения пери-
гелия, которая в промежутке от —300 000 до 0 года составляет
примерно 5",5 в год. В следующие 100 000 лет скорость будет еще
больше. Отсюда никаких строгих выводов в математическом смысле
слова о существовании среднего движения сделать нельзя. Не-
видимому, применение метода Каваллина здесь дало бы более
точные сведения о движении.

В учебниках нередко отмечается, что перигелии всех планет
обладают прямым движением, за исключением перигелия Венеры,
который должен иметь обратное движение. Следует заметить,
что это справедливо только в том случае, если использовать из-
ложенные в § 3 методы, которые дают только движение перигелия,
относящееся к моменту оскуляции начальных элементов. Воз-
вращаясь назад всего лишь на 1000 лет, мы бы, наоборот, нашли
для движения перигелия орбиты Венеры положительные зна-
чения. В ближайшие 30 000 лет перигелий этой орбиты будет
иметь обратное движение (примерно на 60°), но затем долгота
перигелия снова начнет возрастать, и наиболее вероятно, что
перигелий Венеры также обладает положительным движением.
Вековые возмущения больших планет находят важное прило-
жение в так называемой астрономической теории ледниковых пе-
риодов.

В своей работе Стокуелл приводит также числовые данные
для вычисления влияния малых поправок в массах. Необходимые
для этого формулы столь громоздки, что мы не имеем возмож-
ности здесь их приводить.
Таблица III

Эксцентриситет и долгота перигелия Земли

Год	Эксцентри- ситет	Долгота перигелия	Год	Эксцентри- ситет	Долгота перигелия
—300000	0,0373	—433°	—100000	0,0408	—148°
—290000	0,0337	—402	— 90000	0,0392	—124
—280000	0,0262	—373	— 80000	0,0343	— 99
—270000	0,0163	—355	— 70000	0,0269	— 76
—260000	0,0093	—377	— 60 000	0,0181	— 59
—250 000	0,0161	—403	— 50000	0,0110	— 61
-240000	0,0271	—388	— 40000	0,0110	- 83
—230 000	0,0370	—366	— 30000	0,0157	— 79
—220000	0,0437	—340	— 20000	0,0192	- 59
—210000	0,0471	—315	— 10000	0,0195	- 31
—200000	0,0470	—291	0	0,0168	0
—190000	0,0442	—269	4- 10000	0,0115	4- 36
—180000	0,0395	—244	4- 20000	0,0055	4- 92
—170000	0,0334	—232	+ 30000	0,0049	4-206
—160000	0,0283	—222	4- 40000	0,0077	4-225
—150000	0,0254	—218	4- 50000	0,0134	4-297
—140000	0,0266	—214	4- 60000	0,0145	4-325
—130000	0,0307	—206	+ 70000	0,0134	4-345
—120000	0,0356	—190	4- 80000	0,0113	4-354
—110000	0,0394	—170	+ 90000	0,0110	4-349
			4-100 000	0,0143	4-348

§ 10. Случай кратных корней фундаментального уравнения

Вековые возмущения больших планет определяются путем
решения системы линейных дифференциальных уравнений с по-
стоянными коэффициентами.

Если имеется одна зависимая переменная, которая определя-
ется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка, то,
как известно, если фундаментальное уравнение имеет кратные
корни, в решение входят члены, которые умножаются на неза-
висимую переменную и в силу этого неограниченно возрастают.
Наоборот, если дана система совместных линейных дифферен-
циальных уравнений с постоянными коэффициентами, то двой-
ному корню фундаментального уравнения не всегда соответствует
такой член, который пропорционален независимой переменной
(Зеелигер доказал, что для случая, когда число планет равно
трем, фундаментальное уравнение не может иметь равных корней
[38]). В частности, если определитель, который, будучи прирав-
ненным нулю, дает фундаментальное уравнение, имеет симме-
тричную форму, то в решении не могут содержаться такие члены,
которые пропорциональны независимой переменной.

Дифференциальные уравнения для определения вековых воз-
мущений эксцентриситетов и перигелиев согласно (3) § 6 имеют
следующую форму:

dt	’ dt d^ Ц -1,	(i)

где

h = t2im]№+w)	a*)

и коэффициенты обладают свойством
[/, i] = li, /].

(2)

Введем теперь величины и У< при помощи ортогональной
подстановки

К = ТЦВ1 + • • • + TinSn.
П, = Гау1 + • • • + rinYn
(i = 1, 2,..и).

(3)

Коэффициенты уц будут определяться обычными формулами,
которые имеют место для ортогональных преобразований (6) и
(6*) § 6 и, кроме того, уравнениями (И) § 6:

([1,1] — Sv) rlv + ... + [1, и] rnv = О,

[«, 1] Tlv + • • • + ([«. «] — Sv) Tnv = О
(v = 1, 2,..., и),

где Sv будут определяться из фундаментального уравнения

[1,1]—S ...	[1, п]
[п, 1]	... [п, п] —S

= 0.

(5)

Если все Sv различны, то получим п систем вида (4). Но крат-
ному корню соответствует только одна такая система.

Очевидно,
дР
и, следовательно, если это уравнение умножить на	то

дР г»/ /_\ Xi &D JdP	,-к

д[г, г] D	с» [i, i] d[r, г] ’

где г может иметь произвольное значение. Так как теперь D = 0,
то в силу (7) § 1 гл. I имеем симметричную форму

дР дР _ др дР _ / дР
d[i, i] д [г, г] д [/, г] д [г, i] d[i, г]/
Вместе с тем

дР п,_ y I dD
d[r,r]D^~

Из этого уравнения следует важный вывод. А именно, если sv —
двойной корень, то одновременно должны удовлетворяться урав-
нения

D (з„) = 0, D' (sv) = 0.

Итак, из (7) непосредственно следует, что для двойного корня при
всех значениях i п г будет

дР

9 [»> И

= 0.

Таким образом, для двойного корня все миноры первого порядка
равны нулю. Справедливо также и обратное утверждение, что
если корень является простым, то не все миноры первого порядка
могут обратиться в нуль.

Из (6) следует, что все миноры первого порядка вида не
могут одновременно обратиться в нуль, если D' ($)=/= 0. Из фор-
мулы

1=1 3=1

также следует, что для двойного корня [для которого Z)''(s) =1= 0]
все миноры второго порядка не могут обратиться в нуль, и т. д.

Если все корни простые, то, следовательно, не все определи-

дР

тели вида

равны нулю. Предположив, что

дР
д [1.11

¥=о,
из (4) получим следующее решение:

Ти	Tav ____	_ 4nv _________________1________

9P(sv) ~ дР (s„)	~ dP(sv) ~ -i /~у /	9Р \2 ’

д[1.1] а [1,2]	а [1, n] V h \ d[i, I] )

v = 1, 2, . . . , п.

Сумму под квадратным корнем можно записать еще проще. А имен-
но, так как D = 0 (и определитель симметричен), то в силу § 1

гл. I

/ дР V дР дР

U[l,i] ) ~ 5 [1, 1] ’ д [i, i] •

Поэтому имеем

VI dD V _ dD V	dD -

Zi \ д [1, q ) ~ э [1,1] Zj д [f, q ~
i=l

dP п, , .
9(1,1] D

Тогда полная система значений коэффициентов если все
корни фундаментального уравнения различны, будет следующей:

Tn	_	T21	_		 Tni		1
9P(°i)	9P (si)	op (si)		9P (sj) ,	’
9[1, 1]	9 [2, 1]	9[n, 1]		a [i, i] u (S1)
T12	_	T22	_		 Tn2		1
dP (s2)	dP (s2)	dP (s2)	•\Г	90 (S2) r,,,	'
9(1, 1]	9 [2, 1]	9[n, 1]		d[l, 1] D (®2)
Tin	Tgn	Tnn		1
				
	9D(sn)	9D(sn)		
a [1,1]	9[2, 1]	9(n, 1]		n., , d [1, 1]	' n>

Если воспользоваться формулой (7) § 1 гл. I, то можно полу-
чить интересную форму для квадрата коэффициента А именно,
с помощью указанной формулы получаем



(8)

Если известны знаки коэффициентов уц, то формула дает
удобный способ вычисления этих коэффициентов в случае симме-
тричной формы определителя.

Из (8) следует, что определители

9D(sv)
d[i, И .

(i = 1, 2, ..., ri)
должны быть одновременно либо положительны, либо отрица-
тельны. Будучи сформулирована в общем виде, эта теорема утверж-
дает,что если дан симметричный определитель с действительными
элементами вида

а11— $	012	• • • вщ

О21	O22	• • • &2п

&п1	®п2	• • • Опп “~ 8

и обозначает такую величину, для которой определитель обра»
dP(*J

щается в нуль, то все миноры первого порядка вида -g— имеют
один и тот же знак.

Если обозначает двойной корень, то в соответствии со ска-
занным выше все миноры вида

дЧЦъ)

9 [». i] <> [/. /1

не могут обратиться в нуль. Таким образом, предполагая, что

М>(*1)
d[l, 1J д [2, 2]	’

согласно (12) § 1 гл. I будем иметь формулу

Y	, &РЫ „ /пх

д[1, 1]д[2,2] ‘и д [1, i] д [2, 2] 111	д[1,1]д [2, i] ,21’	' '

которая также справедлива для i = 1 и i = 2. Подставляя теперь
из этого уравнения значения уц в уравнение

будем иметь

/	у ” / <*рМ	" / <м>м

kd [1, 1] д [2, 2]) 'll 2] \д [1, i] д [2, 2] /	Т2121 \д [1, 1] д [2. i])

1=1 1=1

I 2yhY V д2# (si)_________д2.Р (gi) /хп\

+ Т11Т21 21 д[1, i]d[2, 2] д[1, 1]д[2, i] '

i=l

Если уи определено, то из этого уравнения получаем значение
у21. Двойному корню соответствует бесчисленное множество ко-
эффициентов у. В этом и следует искать объяснение, почему при
двойном корне должны появляться еще две постоянные инте-
грирования. Так как теперь все миноры первого порядка рав-
ны нулю, то можно использовать соотношение (7) § 1 гл. I для
миноров второго порядка, и следовательно,
/ dD \» dD	dD

/ d2D (si) \г _ I д d [2, 2] I d d [2, 2] d d [2, 2] _

U[l, i]9[2, 2] )	\ d[l,i] / d[l, i] ' d[£, 1]

dD „ &D

d d [2, 2] ° d [2, 2]	d2D	d2D

~ a[1, 1] a [i, i] — d[l,l]a[2, 2] ' d[2,2]d[i, i] 2

и таким же образом

/	d2D \* _ d2D	d2D

\ a [i,	1] а [2.	q J ~	d[t, i]a[2,	2] а [1,1] a [f,	q •

Последнюю сумму в (10) можно преобразовать следующим образом:

а[1, t] а [2, 2]	д[1, 2]Э[2, i] [по (6) § 1 ГЛ. I],

d2D _ d2D _ d*D
d[i, ija[2, q — a[i, i]a[», 2] “ a[i,2ja[t, i] »

d2D	d2D	d2D	d2D

d[l,i]d[2,2] d[i, 1] a [2, i] “ d [1, 2] d [2, i] d [1, 2] d [i, 1] —
dD dD	dD dD

d a[i, 2] a a [i, 2]	9 a [1,2] 9a[i, 2] _

— a [2, ij an. i] a [2, i] a [f, q

d2D	d2D __ d2D	d2D

~ a[i, 2]a[2, i] a[i, 2]an, q a[i, ija[2,2] a[i, 2]an, q

[no (7) § 1 гл. I],

" d2D	d2D _ d2D Д d2D

2j a[i, ija[2,2] a[i, i]a[2, q a[i, ija [2, 2]Zj a[i, 2]an, q •
i=l	i=l

Коэффициент l]d[2 2] ’ по пРеДположению> отличен от нуля,
и поэтому на него можно везде поделить. Тогда соотношение (10)
примет вид

_ r3 V VP	" d2D _

аи, ija[2, 2] — tuZj а[2,2]an, q ~‘2iZj а[i, qan, q

i=l	i=l

— 2тпТ21 2 d [i, 2] a [i, q •	1)

i=l

Так как теперь
dD____________________________Д ар

ds	a [i, q ’

i=l
то эти формулы можно записать также следующим образом:

-	।	2гнг,. дЧ> -О

3 [1, 1)3(2, 2р тп 3 [2, 2] 3s ‘21 «[1, l]o»s Tuf21 3 [1, 2] 3s

(12)

Из (12) выводятся следующие нормальные формы для коэффициен-

тов Yu:

Tn =0,

V2 _

ти 3(1, 1)3(2, 2] • д [2,213s

(13)

Остальные коэффициенты даются формулой (9), которая теперь
приобретает вид

____________т =_______________Г11	(14)
3(1, 1)3(2, 2] 41 д [1, i] д [2, 2] 711

Коэффициенты второй формы будем отличать от коэффициентов
первой формы штрихом сверху:

Тп = 0,

_ ЭЧ)(з) . д*Р(8)

*21 а [1, 1)3(2, 2] • 3(1, l]3s •

₽)

(15)

Остальные коэффициенты у' определяются пз следующего урав-

нения:

d2D(s)

3(1, 1)3 [2, 2] 41	3(1, 1)3 [2, i] *2Г

(16)

Формы аир, которые для краткости мы будем называть нормаль-
ными, в случае двойного корня вместе дают полное решение рас-
сматриваемой задачи. Соответствующие интегралы дифферен-
циальных уравнений составляются совместно с интегралами для
других корней фундаментального уравнения, как сейчас мы это
докажем.

Сначала обратимся к другой форме уравнений (14) и (16).
Для квадратов коэффициентов у получим следующие симметрич-
ные формулы:

Случай а):

Til	1	(i = 1, 2,.. .,n).	(17)
32D(s)  3 [2, 2] 3 [i, i] Для случая Р):	32Д (s)  3 [2, 2] 3s		
7<1	1	(i = 1,2,..., n).	(18)
32D(s) 3(1, 1)3 [i, i]	32Z>(s)  3 [1, l]3s		
Ортогональное преобразование (3) сохраняет каноническую форму
дифференциальных уравнений. Поэтому вместо (1) имеем

rf5i _ 9 [Л dYi________Л Л	ZSAX

dt dY{ ’ dt	d3t ’	' '

т. e., так как

2[F]=SMS?+H).

dSa	dY,

т =	-ir = -s^	<20>

и отсюда

S( = Mt cos (s^ 4- pi),	Yf = — Mi sin (s^ 4- Pi),

где Aft и Pt обозначают постоянные интегрирования.

Уравнения (3) теперь примут следующий вид:

Si = TuAfi cos (s^ + Pi) + * + Tia^G cos (sat + Рз) +
+ ... + TinAfn cos (snt + pn),

Sa = * -|~ TaaAfa cos (stf 4- Pa) + TasAf3 cos (sat 4- p3) 4“

+ . .. + T2nAfn cos (snt 4- pn),
S3 = Yai-Mi cos (s^ 4- Pi) 4- TsaAfa cos (sjt 4- p2) 4-

4- ТззА/з cos (sat 4- p3) 4- ... 4- XsnMn cos (snt 4- pn),

Sn = TnlMi COS ($1£ 4- pl) 4" Tn2-^2 COS (Sit 4- Pl) 4-

4- ТпзА/з COS (sat 4- p8) 4-... 4- XnnMn cos (snt 4- pn),

(21)

где no (13) и (15)

d2D 2 _ д-D	d2D . _	04)

d[2, 2]ds TU d [1, 1] d [2, 2] ’ d [1, 1] ds ~2i d[l, 1] a [2,2] *

Пусть теперь

#П> ?12> • • • » 9m,
Saa> • • • > бгп,

§nit Snit • • • , Snn
какая-нибудь другая система коэффициентов, которая удовлетво-
ряет уравнениям (4), так что

(Si) = S^n“<’|	^22)

(Sa) = Sg«Si. J
также является решением дифференциальных уравнений. Тогда,
i 10] СЛУЧАЙ КРАТНЫХ КОРНЕЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 321
вследствие соотношений (14), (16) и (9),

о _ Тй	Ti2 п

Y11	+ Тга &г1’

(23)
Til	, Ti2	к ’

^2	Т11 Sn+ #22-

Таким образом, уравнения (22) могут быть записаны в следующей
форме:

(Si) = gii (Afi) COS [Sit +(31)] + g!2 (М2) cos [Sit+(За)] +	gijSj,

]=3

(5г) = #2i (-Vi) cos [sit + (3i) ] + g22 (Ma) cos (sxt + (p2) J + £	,

= (	+ W cos № + +

\ i 11	122	/

+ & 8u + gM)m cos + (Wi + 3

j=3

Если теперь постоянные интегрирования Mlt М2, рх и р2 в (21)
определить так, чтобы

?н (ЛЛ) cos [sxt + (Pj)1 + gw (Л/>4) cos [sxt + (Pa) ] =

= УцЛ/i cos (sxt + ₽i)

g2i (Л/i) cos [sLt + (P01 + g22 (Af2) cos [sxt + (Pa)] =

= УггЛ/а cos (s2t + ps)

что всегда возможно, то, очевидно, получим
(50 = 5<,

откуда следует, что решения (21) образуют фундаментальную
систему.

Указанные рассуждения существенно основываются на том,
что определитель D имеет симметричную форму. Если одна из
масс равна нулю, то этот случай места не имеет, и поэтому воз-
можно, что для малых планет, которые расположены так, что
уравнение (5) имеет кратные корни, время может входит и вне
тригонометрических функций. Эти рассуждения для случая двух
равных корней фундаментального уравнения приводятся в статье
автора [391. Мы отсылаем читателя по этому вопросу к статье
А. Идмана [401 (см. также § 12).

21 К. Шарлье
§ 11. Вековые возмущения мдлых планет

Под названием «малая планета» в небесной механике пони-
мают тело, масса которого может быть положена равной нулю.
Такое тело в своем движении испытывает влияние больших пла-
нет, но не оказывает никакого влияния как на движение послед-
них, так и на движение других малых планет системы.

Если пользоваться каноническими координатами Якоби, то,
очевидно, можно начало системы координат для малой планеты
поместить либо в центральном теле (Солнце), либо в центре масс
системы, состоящей из Солнца и произвольного числа больших
планет. Можно также в качестве начала координат выбрать центр
масс всей системы.

Здесь элементам Пуанкаре, которые мы применим при иссле-
довании вековых возмущений малых планет, мы придадим не-
сколько другое значение, отбросив множитель 0, пропорциональ-
ный исчезающе малой массе планеты. Итак, положим

А — Ул, X — I -|- л,

| = У 2Л (1 — У1 — e3j cos л,

т] = — У2Л (1 —УТ— e3)sin л,
Р=/2ЛУТ^72(1— cos г) cos Q,
д = — У~2Л ]/1 — е3 (1 — cos г) sin Q,

(1)

и получим следующие дифференциальные уравнения:

dk _	1	dF	dk _	1	dF
dt ~~	3	dk ’	dt —	3	dk >
К _	1	dF		1	dF
dt ~	3	an ’	dt ~	3	
dp	1	dF		1	dF
dt ~~	3	g? ’	dt	3	dp ’J

(2)

Если, в частности, речь идет
положить

о вековых возмущениях, то можно

dk	— 0	dk _	g[^l	
dt		dt	dk '	
Jt	g^)	<Zt]		
dt	fit) ’	~dt	dl ’	(3)
dp	a[F]	dq		
				
dt	dq ’	dt	dp '	
где приближенно,

” ~%Л? + "ПГЗ Л,И1 {4" Л° <а' fl‘> +

!? + п2

А

, «+п!\	iB/

+ At )	vB2(a,ai) у^ —

2	2

1 о ,	. / pi + ?2 .	Pi + 9i \	1	и .	. PPi + <7?i ]

~ 8 B1 (a, di) ( I- )	- 4	В1 (а, «0 у—, j;	(3 )

через М обозначена масса Солнца, а через т1г т2, . . . , Шп—
массы планет. Значения 0 и р зависят от выбора начала коор-
динатной системы.

Если положить

„	, кт, _

<°’	= 4/МА В1 Л^'

кт,

[°> Л =	Вг (а’ ai)’

4 У М У AAt	М\

[°> г'Г = , т/^kf  В1 <а’ а<)

4 У М у AAt

({ = 1,2,..., п),

то дифференциальные уравнения для £, т),р и q приобретают вид

Л 2 (0.0'- 310,4]'Ч,-
(=1	1=1

^=-6S(0,0' + 3[(M]'U
i=l	i=l

---«3 (0,0' + 3 |0,4|'?„
i=l	(=1

-Й-=РЗ(0,0'-З|0,4|'4',.

Величина Ai имеет здесь значение Л< =	, и далее имеем

gi = V 2At (1 — У 1 — е«) cos л{, и т. д.

Приведенные уравнения могут быть записаны в несколько более
простой форме, если обе части уравнений разделить на УЛ. Если

21*
ввести обозначения

Ur] =

К1 =
[рг] =
F?r] =

ej) cos лг« er cos лг,

— V 2 (1 — У1 — e®) sin nr^t — er sin лг,
/У! —ef(l — cos iT) cos Qr ~ sin ir cos Qr,
— V'Y 1 —e*(1 — cos ir) sin Qr m — sin ir sin Qr
(r = 0,1,.. .,n),

где A = Ao, S = So и т. д., и далее
Am, _

<0’ = 4A/M B1

I0, l’l = 4лУл7 Вг <a’
(г = 1, 2, .... n),
то, очевидно, вместо (5) и (5*) получим уравнения
= h] 2 (0, 0 - in°.‘W.

i=l	<=1

^=-uj2(o,o+2 io, i] ил
и	i=l	i=l

—м3 <0,0 + 2 io. овд.
i=l	»=1

^ = [р12(°’г')-2 (°.01аь
i=l	i=l

(6)

(6*)

(7)

(7*)

которые следует положить в основу вычисления вековых возму-
щений.

Здесь, как и при вычислении вековых возмущений больших
планет, можно воспользоваться двумя способами. В первом
способе, становясь на точку зрения собственно теории возмуще-
ний, подставим в правые части (7) и (7*) истинные значения эле-
ментов, относящиеся к эпохе оскуляции, вследствие чего правые
части примут постоянные значения, что непосредственно даст
значения вековых изменений элементов. Второй способ состоит
в точном интегрировании уравнений. Оба метода успешно ис-
пользуются также и для малых планет. Так как периоды веко-
вых возмущений в этом случае намного короче, чем это было
в случае больших планет, то выражения для возмущений, полу-
чаемые при помощи первого метода, дают хорошее приближение
к истинным значениям возмущений только на сравнительно
коротких интервалах времени, и в связи с этим тригонометриче-
ская форма возмущений может быть выгодна также с практиче-
ской точки зрения. Поэтому мы рассмотрим только последний
метод.

Сначала запишем коэффициенты (0, i) и [0, i] в наиболее
подходящей для численных расчетов форме. Имеем к \~М=п№,
где п — среднее движение малой планеты. Следовательно,

(О, = Т WnaB1 (а> а$’

[О, г’1 = паВ2(а, at),

(8)

где аВх и аВ2 зависят только от отношения а к at. Ранее мы вывели
формулы, удобные для вычисления этих величин [(9) § 31.

Из теории вековых возмущений больших планет выражения
для £(, т]{, и qt известны. В обозначениях § 9 имеем

[ &] =	cos (stt + pi) И-+ cos (snt -J- pn), |

Ind = — М(У sin (stt -j- pi)----M(n} sin (snt -j- pn), J

[pd = cos 4- fii) 4- ... 4-cos (6n« + dn), 1

[?d = — M0 sin (ci* 4- Si)------sin (бп* 4- Sn). J

Величины s2, . . . , sn все были положительны, а величины
a1, o2, . . . , On — все отрицательны. Значения коэффициентов
М ulN, а также значения st, о<, р< и (i = 1, 2, . . . , ri) для пла-
нетной системы были указаны в названном параграфе.

Если подставить значения (9) и (9*) в (7) и (7*), то эти урав-
нения примут следующую форму:

п

= ь [т)J 4- 2 Er sin (srt 4- pr),
r=l

n

= - & [&] + 3 Er cos (srt + pr),
r=l

(10)
И

2U£L = _ b [g] - 2 Fr sin (6rf + fir),
dt	-

r=l

n

^1=6^-2^008^ + ^),

где

(10*)

п

<=1

Er = S
i=l

Fr = 2 (0, i) M‘\

(11)

Общее

решение этих уравнений
п

[£] = 4cos(&4-B)+ 2

Г=1

имеет вид

E

rzrrcos (srt + pr),
° —

*

[T|] = — A sin (bt + B) — 2 ьТТГ sin (sr* + M>

(12)

И

n F

[p] = C cos (— bt + D) + 2 .yxy cos (arf + 6r),
r=ll ~ r

” F

[?] = — C sin (— bt + D) — 2 sin (M + fir).

w—.1	” Г

(12*)

Здесь А, В, C, D обозначают постоянные интегрирования.

Величины [0, i] и (0, i) зависят только от расстояния пла-
неты от Солнца. В силу (11) это имеет место также и для величин
Ь, Ег и Fr. Уравнения (12) показывают, что коэффициенты в ре-
шении, за исключением первого члена, имеют определенные зна-
чения для любого расстояния до Солнца. Исследуем их поведе
ние более подробно при различных значениях этого расстояния-

коэффициенты Bt (а, а<) согласно (8) § 2 определяются сле-
дующей формулой:

Saat cos 1ф d<f
[а2 + а* — 2aaf cos <p]a/l
По определению, они имеют конечные и положительные значения
для любого а, за исключением а = at. При а = а< значения этих
коэффициентов равны бесконечности.

Отсюда следует, что Ъ, Ег и Fr при каждом значении а также
конечны, за исключением значений а = сц, а = а«, . . . , а = ап,
для которых эти величины становятся бесконечно большими.
Если на оси абсцисс отложить значения а, а на осп ординат —
соответствующие им значения величин Ъ, Ег или Fr, то полученные
таким образом кривые будут асимптотически приближаться
с обеих сторон к прямым а = а1( а — аг, . . . , а = ап.

Коэффициенты

Er	Fr

b—sr' b + бг

для этих расстояний получают
личины Ъ, Ег и Fr становятся
менно, то получим

lim 	 = М?\

а^а. b~sr

конечные значения. Так как ве-
бесконечно большими одновре-

limry-
а-»в. Ь + °!

= М‘>,

так что, в то время как большая полуось орбиты малой планеты
стремится к большой полуоси большой планеты mi, выражения
для вековых возмущений элементов асимптотически приближа-
ются к следующим значениям:

]£] = A cos (bt + В) + S cos (srt + Pr)>
r=l

[т|] = — A sin (bt -j- B) — 2 sin (srt 4- pr),

r=l

[p] = C cos (— bt + D) + 2 cos (crt 4- dr),

r=l

[g] = — C sin (— bt -J- D) — J] sin (art 4- dr),

r=l

пли, если вспомнить выражения (9) и (9*),

[£] = A cos (bt 4- В) 4~ Е >

[т]1 = — A sin (bt 4- В) 4-
[р 1 = С cos (— bt 4- D) 4- Ipd,
[g] = — C sin (—bt 4- D) 4- [ffil.

то для упомянутых малых планет с точностью до произвольного
члена A cos (bt 4- В), A sin (bt 4- В) и т. д. получим такие же
выражения для вековых возмущений элементов, как для боль-
ших планет пц.

Хотя для расстояний, которые совпадают с расстояниями
больших планет, все коэффициенты в аналитических выражениях
для вековых возмущений малых планет конечны, отсюда еще не
вытекает, что орбиты малых планет для таких значений следует
считать устойчивыми.

Как будет показано, величина Ъ в произвольном члене, кото-
рая в среднем совпадает со значением среднего движения пери-
гелия и средним значением попятного движения узла, будет для
указанных расстояний бесконечно большой, и средние движения
перигелия и узла неограниченно возрастают, если эти расстоя-
ния стремятся друг к другу. Таким образом, можно представить,
что имеет место разрушение таких планетных орбит, для которых
благодаря быстрому движению перигелия и узла должно в ско-
ром времени произойти соударение с большой планетой или по
крайней мере настолько тесное сближение с ней, что орбита
малой планеты претерпит полное изменение. Само собой разу-
меется, что при этом периодические возмущения также должны
играть большую роль, или даже главную.

Коэффициенты в выражениях для вековых возмущений ста-
новятся бесконечно большими, если расстояние от центрального
тела имеет такое значение, что Ь становится равным одной из
величин sr (г = 1, 2, ... , п) или—аг (г = 1, 2, ... , п). Этот
случай более подробно мы исследуем в следующем параграфе.

Величины [0, i], (0, г) и Ь были затабулированы Нореном и
Раабом [41]. Из их таблиц мы извлечем сводку значений b для на-
шей планетной системы.

Таблица IV

а	ь	а	ь	а	ь
1,60	32",681	2,60	49",319	3,60	158",086
1,70	22,752	2,70	54,744	3,70	182,125
1,80	23,094	2,80	60,864	3,80	211,477
1,90	24,816	2,90	67,797	3,90	247,832
2,00	27,114	3,00	75,692	4,00	293,620
2,10	29,814	3,10	84,734	4,10	352,416
2,20	32,882	3,20	95,160	4,20	429,665
2,30	36,327	3,30	107,263	4,30	533,994
2,40	40,180	3,40	121,425		
2,50	44,490	3,50	138,146		
Подставим в (12) и (12*) значения

[£] = е cos л, [р] = sin г cos £2,

[т]1 = — esinn, [?] = —sin i sin £2,
и воспользуемся обозначениями

тогда

е cos л = A cos (bt + В) + S Gr cos (srt + ?r), 1	««ч

e sin л = A sin (bt + В) + 2Grsin (srt 4- pr), J	* '

и

sin i cos £2 = C cos (— bt + D)+ ^Hr cos (art 4-dr), 1

sin i sin £2 = C sin (—bt + D) + 2Hr sin (srt + dr). J '	'

Постоянные ингрирования A, B,C,D определим следующим
образом. Полагая t = 0, получим уравнения

А cosB = e0cos л0 — 2^rCospr, 1	.

A sin В = е0 sin л0 — J Gr sin pr, J	' '

а также

C cos D = sin i0 cos £20—S#rCosdr, |	(14*)

C sin D = sin i’o sin £20 — S Hr sin Sr, J

где e0, л0, i0 и £20 обозначают значения элементов малой планеты
для t = 0.

Теперь, как легко обнаружить, величины Gr и Нг будут в об-
щем того же самого порядка, как эксцентриситеты и наклонно-
сти больших планет. Далее из (14) и (14*) следует, что Л и С
имеют порядок эксцентриситета и наклонности малой планеты.
Так как последние в среднем заметно больше соответствующих
величин для больших планет, то отсюда следует, что для большей
части планет А и С больше, чем Gr и Яг, а более подробное ис-
следование показывает, что для многих малых планет справед-
ливы неравенства

|Л|>2|СГ|,	(15)

1|С|>2|ЯГ|.	(15*)

Отсюда можно получить интересные следствия. Если выпол-
няются неравенства (15) и (15*), то из анализа § 6 известно, что л
должно обладать средним движением Ь, а £2 — средним движе-
нием — Ь. Среднее движение перигелия малой планеты и среднее
движение узла на неизменяемой плоскости суть величины, рав-
ные Ь. Среднее движение перигелия прямое, а среднее движение
узла — обратное.

Так как по (14) и (14*) коэффициенты Л и С можно выбрать
положительными, то будут иметь место уравнения

л = bt + В + Pi,
Й = - Ы + D + Р2,

где Р4 и Р2 обозначают периодические члены, которые численно
меньше 90°.

Если не принимать во внимание астероид (433) Эрот, орбита
которого расположена внутри орбиты Марса, то известные асте-
роиды находятся на расстояниях от 1,95 а. е. до 4,30 а. е. от
Солнца *). Самая внутренняя планета — (434) Венгрия, большая
полуось которой а равна 1,946, и самая внешняя малая планета
(279) Туле с а = 4,263. Поэтому из табл. IV находим, что Ъ лежит
между 25,82 и 488,26. Следовательно, в основном средние дви-
жения перигелия и узла для малых планет значительно больше,
чем соответствующие значения для больших планет. Из табл.
IV очевидно, что Ь принимает наименьшее значение между Юпи-
тером и Марсом. Минимум имеет место при а = 1,73 а. е. и со-
ставляет 22,55.

Иначе ведут себя те планеты, для которых неравенство (15)
или (15*) не выполняется. Если, в частности, одна из величин
Gr, скажем, G„ которая обозначает максимальный коэффициент
в большей части области, будет по своему числовому значению
больше суммы абсолютных величин остальных коэффициентов,
включая и А, так что

4-S'|GP|,	(16)

то по § 6 перигелий должен обладать средним движением, рав-
ным s7. Тогда, как говорят, имеет место либрация между малой
планетой и Юпитером. Имеем, далее,

л = s-t + р7 + Р3	(16*)

или

л = S/ + р7 + Р4 + 180°,	(16**)

где Р3 и Р4 суть периодические функции, меньшие 90°, причем
формула (16*) справедлива при (г7 > 0, а формула (16**), на-
оборот, при отрицательных значениях <77. Из § 9 известно, что

*) К настоящему времени область средних расстояний расширилась.

(Прим, перев.)
для Юпитера имеет место уравнение •>
nv = s7t + Р? + Рй,
и, следовательно, среднее положение перигелия малой планеты
для всех значений времени будет совпадать со средним положе-
нием перигелия Юпитера, если G1 положительно, и наоборот,
среднее положение перигелия малой планеты будет совпадать
со средним положением афелия Юпитера, если G, имеет отри-
цательное значение. Для всех известных к настоящему времени
малых планет, за исключением, вероятно, только (433) Эрот,
G, положительно.

Для малых планет, расположенных достаточно близко к Марсу,
при некоторых условиях может иметь место также либрация
с Сатурном, представляющая собой для небесной механики заме-
чательный случай.

Подобные рассуждения справедливы и относительно среднего
движения узла. Как уже известно пз § 9, имеет место либрация
в узле для Юпитера и Сатурна. Это либрационное движение
может иметь место и для малых планет. Мы исследуем этот слу-
чай в следующем параграфе.

Из выполненного автором анализа [42], к которому мы сейчас
перейдем, следует ожидать либрацию в перигелии (с Юпитером)
для следующих планет:

(40) Г армония	(215)	Энона
(117) Ломия	(286)	Иклея
(147) Протогенея	(292)	Людовика
(189) Фтия	(300)	Геральдика
(196) Филомела	(338)	Будроза
(205) Марта	(357)	Нинпна

Не исключено, что либрация имеет место также и для некоторых
других планет. Для выяснения того, как обстоит дело с ука-
занными планетами, необходимо вычислить коэффициенты
Glt G2, . . . , Gn (табл. V) и постоянные интегрирования А и В.
Для этой цели можно воспользоваться таблицами Ньюкома [43].
Находим, что коэффициенты G(„ G-„ Ge наибольшие. Если пре-
небречь остальными коэффициентами, то для названных планет
получим значения для Ge, G-„ Gs, кроме того, по (14) вычисляем
постоянные интегрирования Л и В (см. табл. Vf).

Находим, что для этих планет коэффициент G, больше А,
а также больше и всех других коэффициентов. Для трех астерои-
дов (147) Протогенея, (189) Фтия и (205) Марта G-, больше суммы
других коэффициентов. Следовательно, эти три планеты обладают

*) Под Pi (i = 1,2,...) мы понимаем периодическую функцию, численно
меньшую 90°.
Таблица V

а	б.	G,	G,	Gt
2,2	+0,000079	-0,000 162	+0,000352	—0,000597
2,3	+0,000052	—0,000109	+0,000209	—0,000343
2,4	+0,000033	—0,000073	+0,000 131	-0,000203
2,5	+0,000020	—0,000050	+0,000085	-0,000 126
2,6	+0,000011	—0,000034	+0,000056	—0,000081
2,7	+0,000004	—0,000022	+0,000038	—0,000054
2,8	—0,000001	—0,000014	+0,000026	—0,000037
2,9	—0,000004	—0,000008	+0,000018	—0,000025
3,0	—0,000007	—0,000004	+0,000012	—0,000017
3,1	—0,000009	±0,000000	+0,000008	—0,000012
3,2	—0,000011	+0,000002	+0,000006	—0,000008
а	G,	G,	Gt	
2,2	+0,000 049	+0,001 679	+0,024174	+0,023044
2,3	+0,000051	+0,001741	+0,024960	+0,019 984
2,4	+0,000053	+0,001802	+0,025 743	+0,018043
2,5	+0,000055	+0,001 862	+0,026523	+0,016 735
2,6	+0,000057	+0,001922	+0,027299	+0,015 817
2,7	+0,000059	+0,001980	+0,028070	+0,015 162
2,8	+0,000061	+0,002038	+0,028837	+0,014 688
2,9	+0,000063	+0,002096	+0,029598	+0,014 346
3,0	+0,000065	+0,002153	+0,030355	+0,014104
3,1	+0,000067	+0,002 209	+0,031107	+0,013 935
3,2	+0,000069	+0,002 265	+0,031854	+0,013 831

либрацией в долготе перигелия, т. е. долготы перигелиев этих
трех планет никогда не отклоняются больше чем на 90° от долготы
перигелия Юпитера. Здесь среднее движение перигелия равно
s7 или 3*717, в то время как для других планет, которые нахо-
дятся на том же расстоянии от Солнца, среднее движение равно
b и, стало быть, значительно больше. Что касается остальных
из указанных планет, то значения средних движений их периге-
лиев, если таковые вообще существуют, предварительно следует
считать неизвестными. Во всяком случае они не совпадают с Ь.
Таблица VI

	ф	п	а	G,
(40) Гармония ....	2е,67	0е,90	2,267	+0,00172
(117) Ломия ......	1,53	38,19	2,993	+0,00215
(147) Протогенея . . .	2^04	13^98	3,136	+0,00223
(189) Фтия		2,07	9,40	2,452	+0,00183
(196) Филомела ....	1Д8	—48J8	3,116	+0,00221
(205) Марта		1,92	24,58	2,780	+0,00203
f24 51 Энона		2,02	—20,70	2,766	-1-0.00202
(286) Иклея ......	0,71	26,60	3,196	-1-0.00226
(292) Людовика ....	1,61	—29,13	2,530	+0,00188
(300) Геральдина . . .	2,44	—34,73	3,209	+0,00227
(338) Будроза		1,21	35,04	2,913	+0,00210
	G,	G,	А	b
(40) Гармония ....	+0,02470	+0,02083	+0,01292	37',08	
(117) Ломия		+0,03030	+0,01412	+0,01729	74,93	
(147) Протогенея . . .	+0,03137	+0,01389	+0,00380	88,10	
(189) Фтия		+0,02615	+0,01730	+0,00350	42,27	
(196) Филомела . . . .	+0,03123	+0,01392	+0,02477	86,11	
(205) Марта		+0,02868	+0,01477	+0,01151	59,44	
(215) Энона		+0,02858	+0,01483	+0,01545	58,56	
(286) Иклея		+0,03182	+0,01383	+0,02548	94,50	
(292) Людовика . . . .	+0,02676	+0,01643	+0,01702	45,78	
(300) Геральдина . . .	+0,03193	+0,01382	+0,02971	95,94	
(338) Будроза		+0,02970	+0,01431	+0,01943	68,61	

§ 12. Вековые возмущения малых планет (продолжение)

Выше мы уже обратили внимание на то, что коэффициенты Gr
становятся бесконечными, когда расстояние от Солнца имеет
такое значение, что для него величина Ъ будет равна sr; точно
так же Нг будет бесконечной, если 6 будет равно—ог. Мы устано-
вили, что между Марсом и Юпитером Ъ принимает минимальное
значение Ьт = 22'55. Так как s, равно 22’46, и никакое из sr
не принимает большего значения, то коэффициенты Gr между
Марсом и Юпитером никогда не могут стать бесконечно боль-
шими. С членами в наклонности дело обстоит иначе. Здесь
о, = —• 25'93, и, стало быть, численно больше Ьт- Знаменатель
в Я7 может, следовательно, обратиться в нуль, и, как следует
из результатов Норена и Рааба [41], это имеет место, когда рас-
стояние от Солнца равно 1,951 а. е.

Такое расстояние, для которого знаменатель в коэффициенте
Нг или Gr уничтожается, назовем критическим. Если бы в воз-
мущающей функции рассматривались только члены второго
порядка, то получили бы результат, что для этих критических
расстояний вековые возмущения становятся бесконечно боль-
шими.

Дело обстоит иначе, если в возмущающей функции учитывают-
ся члены высших порядков. Ниже покажем, что для этих
критических расстояний вековые возмущения имеют конечные
значения. Однако вместе с тем обнаруживаем, что критическое
расстояние является особой точкой, в окрестности которой воз-
мущения не возрастают неограниченно, но все же могут прини-
мать весьма большие значения, где, кроме того, коэффициенты
Нг скачком изменяют свои значения с отрицательных на поло-
жительные.

Если принимать во внимание члены третьего порядка и по-
ложить

х = tg i sin Q, I

y = tgicosQ, J

то получим следующие дифференциальные уравнения:

+ У [Ь — с (** + У2)] = 2 F»cos + й«)>

— х [6 — с (х2 + у2)] = — 2 ^sin (ast + de),

причем здесь

с = 2^(2^ + ^),

где и Ъ% суть коэффициенты Лапласа, которые определяются
следующими разложениями в ряды:

а2’ (а2 — 2аа{ cos <р + а2)“* = у № +	cos <р -[- Ь$2) cos 2<р 4- • • •

Нет необходимости находить общее решение (2). Достаточно
рассмотреть поведение решения в окрестности критического
расстояния, и для этой цели нужно найти только частное реше-
I 12] ВЕКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ МАЛЫХ ПЛАНЕТ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 335
ние, которое при с = 0 совпадает с выражением (12*) предыду-
щего параграфа.

Если через о обозначить ту величину, которая обусловли-
вает критический член в решении, то достаточно рассмотреть
следующие уравнения:

+ У 1ь — с (х* + у2)] = Feos (at -f- б),
,	(3)

— x [Ь — c (x* + y2)] = — Asin (at -f- d).

Очевидно, что эти уравнения допускают частное решение

х = A'sin (at -]- б), |
у = К cos (at + 6), J

и здесь на коэффициент К можно наложить условие, что он дол-
жен непрерывно стремиться к предельному значению F : (b -J- о),
когда с стремится к нулю.

Из обоих уравнений (3) мы получим одно и то же уравнение
для К, а именно:

<jK + К (Ъ - сА2) = F.	(5)

Величины Ь, с и F суть известные функции от расстояния малой
планеты до Солнца.

Для такого значения расстояния а, при котором
о + b = О,

т. е. в точке, которая названа критической, из (5) получим

л = -)7л.	(в)

Видим, что в этой точки К имеет конечное и определенное зна-
чение.

Однако здесь нет необходимости искать особую точку. Вернее
сказать, она получается, когда а имеет такое значение, что урав-
нение (5) обладает двойным корнем. Если положить

^± = х, = К	(7*)

то уравнение для определения К примет вид

А3 - ЗхА - 2Х = 0.	(7)

Последнее уравнение имеет двойной корень, если X2 = х3.
Обозначим через а0 значение а, для которого выполняется
это уравнение. Если теперь а > а0, то х8 > X*, и все корни (7)
суть действительные и различные. Если, наоборот, а •< а0, то
х8 < X2, и уравнение (7) имеет только один действительный корень.

Теперь установим, что один из трех действительных корней
в предыдущем случае стремится к F : (Ь + о), когда с стремится
к нулю.

Три корня даются формулой

0 2рл
3

где

К = 2 У~п cos

(/> = 0,1,2),

Л X
c°s0 = y^-’

(8)

(8*)

Если через 0О обозначить наименьшее положительное значение,
которое получается для 0 из уравнения (8*), то для корней Klt
#2 и К3 имеем значения

#1 = 2 1/х cos,

О

#2 = 2 У~й cos

(А +120°),

#з = 2 У v. cos

(Л + 240°).

Так как знак F может быть выбран произвольно, то всегда мож-
но предполагать, что 0О < 90°.

Рассмотрим теперь значения этих корней при нулевом значе-
нии с. Из формул для х и X следует, что cos 0 равен нулю, если с
принимает нулевое значение, и для малых значений с имеем

ео = 9О° —/у7,

где / обозначает положительную и конечную величину.

Далее следует, что при с, стремящемся к нулю, #х и #2 не-
ограниченно возрастают, и что

lim #з
с-Н)

F

Ь + б ’

Итак, для представления величины # при а^> а0 нужно выбрать
корень #8. В то время как а стремится к значению а0, 0О стремится
к нулевому значению, а #3 приближается к предельному зна-

чению — ]/х или, что то же самое, к — у^Х.

Если, наоборот, рассматривать единственный действитель-
ный корень, удовлетворяющий при а < а0 уравнению (7), то
§ 12] ВЕКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ МАЛЫХ ПЛАНЕТ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 337
для него имеем значение

К = [X + /X2 — х8]’7* + [X — /X2 — х3]'7'.	(9)

В частности, при а — а0 (X2 = х3) получаем

К = 2]/Т

Итак, в окрестности особой точки а0 коэффициент К обладает
следующим замечательным свойством:

Для а < а0 коэффициент# имеет значение (9), которое при а=ап
переходит в К = 2у^X; в то время как а переходит через значение
а0, К меняет знак и, кроме того, уменьшается вдвое. Для а а0
коэффициент К определяется формулой

К = 2^и cos + 240°) ,	(10)

где через 6 обозначен наименьший положительный угол, который
удовлетворяет уравнению

cos0=/$.	(10*)

Таким образом, коэффициент К в особой точке терпит разрыв
(непрерывности).

Чтобы применить эти результаты к планетной системе, нужно
найти числовые значения величин F, Ъ и с. Из таблицы Ньюкома
имеем для F, следующие значения:

Таблица VJI

а	F,	°	F,
2,2	—0",1753	2,8	—0,3456
2,4	—0 ,2192	3,0	—0,4209
2,6	—0 ,2733	3,2	—0,5467

Здесь мы выбрали для F отрицательный знак, чтобы получить
положительное значение X.

Особая точка, как мы скоро обнаружим, находится на рас-
стоянии а0 = 2,05. Из табл. VII находим, что без заметной ошиб-
ки можно положить F — —0,15, и это значение было исполь-
зовано при вычислении х и X. Были приняты во внимание только
возмущения от Юпитера и Сатурна и были получены значения
b и с в окрестности особой точки (табл. VIII).

22 к. Шарлье
Таблица VIII

а	ь	С	Ь + а,
1,821	21",54	21",58	—4", 39
1,873	22 ,80	23 ,61	—3 ,13
1,925	24 ,15	26 ,04	—1 ,78
1,977	25 ,54	28 ,61	—0 ,39
2,029	27 ,00	31 ,39	+1 ,07
2,081	28 ,52	34 ,41	4-2 ,59
2,131	30 ,10	37 ,67	4-4 ,17
2,183	31 ,76	41 ,17	4-5 ,83

Здесь о7 принято равным —?5,93.

При а = 1,99 а. е. получаем b 4- о, = 0. Это именно то рас-
стояние, о котором Леверье писал [44]: «Между Юпитером и
Солнцем имеется место, характеризующееся тем, что если туда
попадет малая планета, которая движется по орбите с малой
наклонностью, то она удалится от своей первоначальной орбиты
и приобретет большую наклонность относительно плоскости
орбиты Юпитера вследствие возмущений от последнего п воз-
мущений от Сатурна». Если учесть члены третьего порядка, то
это утверждение изменится, поскольку, во-первых, рассматри-
ваемая точка будет лежать несколько дальше от Солнца (мы най-
дем, что особой точке будет соответствовать а0 = 2,05 а. е.),
во-вторых, изменения наклонности будут лежать в довольно
узких пределах. Для и и % получим значения, приведенные
в табл. IX.

Таблица IX

а	X	X	Х« — х’
1,821	—0,0678	4-0,00318	4-0,0003 239
1,873	—0,0442	4-0,00318	4-0,0000 964
1,925	—0,0228	4-0,00288	4-0,0000 201
1,977	—0,0045	4-0,00262	4-0,0000 070
2,029	4-0,0114	4-0,00239	4-0,0000 042
2,081	4-0,0251	4-0,00218	—0,0000 НО
2,131	4-0,0367	4-0,00199	—0,0000 463
2,183	4-0,0472	4-0,00182	—0,0001 019
Таблица X

а	К,	к,	к,
1,821	+0,0340		
1,873	+0,0472		
1,925	+0,0774		
1,977	+0,1470		
2,029	+0,23?4		
2,081	—0,0610	+0,2997	—0,2388
2,131	-0,0364	+0,3493	—0,3130
2,183	-0,0258	+0,3877	—0,3627

Положение особой точки непосредственно находится из по-
следнего столбца таблицы. Соответствующее значение а будет

а0 = 2,05 а. е. Находим, что эта
точка не совпадает с критической,
хотя и мало удалена от нее. Зна-
чения К, соответствующие особой
точке о0, суть

К = -0,1326 п К == +0,2652.

Последнее значение соответствует
наклонности в 14,8, если перво-
начальная наклонность планетной
орбиты равна нулю.

Значения К в окрестности осо-
бой точки в соответствии с фор-
мулами (9) и (10) приведены в
табл. X.

На рис. 23 приводится график,
который дает ясное представление
о характере решений в окрестно-
сти особой точки.

Просматривая список малых
планет, находим два астероида,
которые лежат в окрестности этой
особой точки. Первая из них —
весьма интересная планета

(434) Венгрия, находящаяся на рас-

стоянии а = 1,946 а. е. от Солнца, а с другой стороны от особой
точки находится планета 1893 С, которая обладает круговыми
элементами и которая после своего открытия более никогда не

наблюдалась.
Пример. Применим приведенные рассуждения к планете
(434) Венгрия, учитывая при этом только влияние планет Юпи-
тера и Сатурна. Если взять только три члена, то вековые воз-
мущения от Юпитера и Сатурна будут согласно § 9 выражаться
следующими формулами:

Ч : sin ?o cos йУ = 0,001199 cos (—О;6617/ + 20°31') +
+ 0,000879 cos (—279161/ + 133°56') +
+ 0,006301 cos (—25'9346/ + 306°19'),
: sin iV cos йУ = 0,001158 cos (—CT6G17/ + 20°ЗГ) —
— 0,000718 cos (—279161/ 4- 133°56') —

— 0,015693 cos (—25'9346/ 4- 306°19').

Далее, отсюда вычисляем значения Fs, FB и F,. Они, в соответ-
ствии с (И) § И, даются формулой

Fr = S(0.

Для коэффициентов (0, /) из таблиц Норена и Рааба (а = 1,9466)
получим значения

(0,5) = 23765, (0,6) = о;9382
и отсюда

Л = 070296, Fe = 0'0202, F- = 0;i350,

так что дифференциальные уравнения (2) запишутся в таком
виде:

— + у [5 — с(х2+ у2)] = 0*,0296 cos (—0",6617/ + 20°ЗГ) +

+ 0",0202 cos (— 2", 91611 + 133°56') —

— 0",1350 cos (— 25',9346/ +126°19'),
dy	(11)

% + z[b- с(х2+у2)] = —О',0296 sin (—0",6617/4-20°31)—

— 0",0202 sin (—2",9161/ + 133°56') +

+ О’,1350 sin (— 25",9346/ + 126°19').

Здесь, чтобы получить для X положительное значение, изменен
знак последнего члена и одновременно уменьшен аргумент на
180°. Без большой ошибки значение с можно взять пз приведен-
ных таблиц. В этом случае получаем: с = 27'14. Небольшие ошиб-
ки в b сильно сказываются на результате, и поэтому эту величину
лучше вычислить по точной формуле

b = S (0, г),
i=l
учитывающей также влияние остальных планет, из коих Марс и
Земля дают в b заметные поправки. Получаем (0,4) = 0’43 и
(0,3) = 0'51. Учитывая все планеты, из таблиц Норена и Рааба
[41] получаем b = 25’834.

Если при интегрировании уравнений (И) пренебречь чле-
нами третьего порядка, то решение выразится в следующем виде:

tg i sin Q = C sin(—bt + P) +

+0,00118 sin (-0',’6617i + 20°ЗГ) +

+ 0,00088 sin (—2*91612 + 133°56')+ (12)
+K sin ( — 25'93462 + 126°19'),

tg i cos Q = C cos (— bt + D} + . . . ,

где К = +1,350, и в наклонности получим возмущение, которое
составляет более 53°. Так как различие в b и —о7 составляет
всего лишь 0'100, то этот результат следует рассматривать как
совершенно иллюзорный.

Обозначим через К истинное значение коэффициента в послед-
нем члене в выражении (12); согласно (7) имеем

К3 — ЗиК - 2Х = 0.

Из (7*) для х и % получим значения х = —0,001228;

X = 0,002487.

Так как X2 больше х8, то уравнение для К имеет один действи-
тельный корень, который можно вычислить при помощи (9).

Так как в этом случае х весьма мало, то для вычисления
достаточно воспользоваться формулой

Это дает значение К — +0,1707, которое почти в восемь раз
меньше значения, полученного из членов первого порядка.

Остается еще упомянуть об определении постоянных инте-
грирования С и D. Из таблиц Псиландера [45] элементов малых
планет, отнесенных к неизменяемой плоскости, получаем

i0 = 22°,01,	Йо = 178°,29,

где долгота узла отнесена к эклиптике и равноденствию 1900,0.
Величины Стокуелла относятся к эпохе и равноденствию 1850,0,
и поэтому в (12) нужно подставить t = 50. Находим

С = + 0,3283, D = 203°,16
и для малой планеты (434) Венгрия, пренебрегая членами с мно-
жителями 0,00118 и 0,00086, будем иметь

tg i sin £2 = 0,3289 sin (—25,8342 + 202,53) +

+ 0,1707 sin (—25*9352 + 125*97),

tg i cos Q a» 0,3289 cos (—25,8342 -f- 202,53) -f-

+ 0,1707 cos (-25',9352 + 125°97).

Итак, для этой планеты либрации с Юпитером и Сатурном нет.
Наклонность изменяется в пределах:

наименьшее значение наклонности 9°t0,
наибольшее »	»	26°,0.
ГЛАВА VIH

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

§ 1.	Точные решения задачи трех тел

Хотя общее решение задачи трех тел до сих пор получить не
удалось, тем не менее уже давно известны точные конфигурации
трех тел, для которых могут быть получены решения. Эти реше-
ния, которые нашел Лагранж в одном из своих прекрасных
сочинений [46], на первый взгляд кажутся имеющими только
теоретическое значение *). Различные исследования показали,
что они представляют весьма большой интерес для общей задачп,
и что они, вероятно, находятся в тесной связи с существенными
особенностями общего решения. Эти лагранжевы решения являют-
ся порождающими для одного сорта периодических решений зада-
чп трех тел и сами они могут быть рассматриваемы как простей-
шие периодические решения этой задачи. Поэтому настоящую гла-
ву мы начнем с указанных точных решений задачп трех тел.

При выводе лагранжевых решений мы будем следовать методу,
данному Лапласом в его «Небесной механике», т. IV. Правда,
он слабее методов Лагранжа, поскольку отчасти связан с гео-
метрическими рассуждениями. Но именно благодаря этому он
выявляет механическую природу этих решений, и позднее нам
представится случаи аналитическим путем вновь установить
особые точки, соответствующие лагранжевым решениям.

Лаплас исходит из замечания о том, что точные и простые
решения задачи п тел удается установить при следующих услови-
ях. Предполагая, что п тел в начальный момент расположены
в плоскости так, что равнодействующая приложенных к каждой
массе сил проходит через общий центр масс G и полагая, что эти
равнодействующие по своей величине пропорциональны расстоя-
нию от G, очевидно, получим, что массы всегда будут оставаться
в одних и тех же взаимных положениях, если вся система будет
вращаться вокруг G с такой угловой скоростью, что соответствую-
щая вращению центробежная сила будет равна упоминавшейся
равнодействующей.

♦) Сам Лагранж пишет [46]: «cetterecherche n’est ala vi'rite quedepure
curiosite».
Из геометрических рассуждений, которые будут развиты
ниже, находим, что подобное равновесное состояние имеет место,
когда начальные скорости масс наклонены к прямой, соединяю-
щей массы с центром инерции, под одним и тем же углом и по
величине пропорциональны расстоянию
до G. Конфигурация масс в этом слу-
чае остается неизменной, изменяются
только ее размеры. Возникает вопрос,
какое необходимо для этого располо-
жение масс?

Мы предположим, что имеются три
тела с массами т, т', т". Их прямо-
угольные координаты в системе коорди-
нат с началом в G суть х, у, х', у'", х",
у". Их расстояния от G обозначим че-

рез г, г' и г", а их взаимные расстояния через s, s' и s", так
что

s — расстояние между т' и т",
s' »	» т” и т,

s" »	» пг и т'.

Предположим также, что тела притягиваются с силой ф (s), кото-
рая является функцией от взаимного расстояния $. Пусть про-
екции ускорений на ось X суть X, X’ и X”; тогда

X — т' (х' — х) 4-т“ (х" — х),

X'= т" ^^-(х" — х') + т (х —х'),	(1)

Х = т ^2(Ж —Z) + т'(/_Z),
о	S

и аналогичные выражения получим для проекций ускорений на
ось Y.

Если равнодействующие сил, действующих на т, т’ и т",
проходят через начало координат, то

X = Кх,	Y	= Ку,	]

X' = К’х,	Y'	= К'у’,	!	(2)

Х"= К"х",	Y"	= К" у".	)

Модули равнодействующих соответственно равны

К ]/х2 + у3, К’ /ж'2 + у'2,	К" ]/ж"2 + у"2,

и если они предполагаются пропорциональными расстояниям от
G, то должно быть

К = К' = К",	(2*)

что, впрочем, вытекает из свойства центра инерции. Уравнение
(1) дает

тх + т'х' + т"хи = 0,	(3)

что следует из свойства центра масс.

Если из первого из уравнений (1) при помощи (3) исключить
х", то, учитывая (2), получим

— Кх = х Гт' + (т + in") Tlp.1 4- т'х Г^Р----)"1. (4)

L s	8 j	L $	8 j

Для координаты у получим аналогичное уравнение

— Ку = у Гт' *ЦР + (т + т")	] + т'/рЦР — ^Р1 • (4*)

|	о	О	I О	v J

Из этих уравнений следует, что
х : х = у : у',	(5)

если не будут иметь место равенства

т_ф(п=о,	(6)

8	s' ’	V 7

а также

т'^ + И + т")3^1 = 0,	(6*)

которые выполняются одновременно.

Сначала рассмотрим случай, в котором имеет место соотно-
шение (6). Оно удовлетворяется, если

s' = s",
откуда по (4)

— К = (m + m' + m")^- .	(7)

Остальные уравнения (1) дают то же самое значение для К в пред-
положении, что

s = s' = s'.	(8)

Следовательно, прямые, соединяющие три массы, образуют рав-
носторонний треугольник. Ускорения трех масс суть

Кг, Кг', Кг",
где К дается формулой (7).
Стороны треугольника s, s', s" и расстояния от центра масс
г, г' и г" связаны соотношениями

(т + т’ + m")2r2 = — m'm"s2 + (т' + m") (m"s'2 + mV2),
(m + m' + m”)2r'2 = — m"ms'2 -|- (m" + m) (ms"2 + m"s2),
(m + m' + m")2r"2 = — mm's"2 + (m + m') (m's2 + ms'2),

которые легко выводятся из свойств центра инерции.
Если s = s' = s', то, значит,

т + т' + т"

Vт.'1 4- т'т“-\- т"г

(9)

(10)

и согласно (7) для ускорения массы т получается выражение
г К = — /m'2 + m'm" + m"2 <р ( rm.±^' + ’nL. И .

Для встречающегося в природе случая имеем

Ф (») = V

и, следовательно,

л— (т + т' + т")2 г2 ’

Движение происходит таким образом, как если бы каждая
масса притягивалась центром инерции с силой, обратно про-
порциональной квадрату расстояния. Таким образом, каждая
масса описывает коническое сечение, фокус которого находится
в центре инерции. Расстояния между массами всегда образуют
равносторонний треугольник, и если конические сечения будут
параболами или гиперболами, то расстояния могут неограниченно
возрастать. Это первое из найденных Лагранжом точных реше-
ний задачи трех тел.

Если не имеет места соотношение s = s' = s", то согласно (5)
х : х' — у : у', так что т и т' лежат на прямой, проходящей
через центр масс. Тогда все три массы лежат на одной прямой.
Но их положение на этой прямой не может быть выбрано про-
извольно. Если расстояние между двумя массами определено,
то положение третьей массы не может быть выбрано произвольно.
Предположим, что тела на прямой расположены в последователь-
ности т, т', т". Если положить

х = — pz, z" = — vz,
то v обязательно положительное число, в то время как р может
быть как положительным, так и отрицательным. Далее получим
s = (v —р)г,
s' = (1 + v) г,
s' = (1+ p)r.

Если эти значения подставить в (1), то получим

К = - т' (1 4-1|) - т" (1 + v),
-ptf = -m'-^(v-p)4-m^(l + p),	.

— vK = m ^(l + v) + m'-^-(v —р).

s	s	t

Соотношение (3) выразится следующим образом:
т — т’\к — m'v = 0.

Если ф (s) = sn, то имеем

К = — т' (1 + р)"гп-1 — т" (1 + v)nrn-1,
— цК = — т" (v — p)"r’1-1 + т (1 + р)пг’1-1
— vK = т (1 + v)nrn-1 + т' (у — р.)пгп“1.

(12)

(13)

(14)

Если первое из этих уравнений умножить на (р 4~ v) и сложить
с оставшимися, то, поделив на г"-1 и приняв во внимание (13),
получим

(т' — т") [—V (1 + р)п + р(1 + v)n + (v — p)n] = 0. (15)

Следовательно, либо имеем уравнение

т' — тп = 0	(16)

либо

v (1 + р)п — р (1 + v)n — (v — p)n = 0;	(17)

из них, однако, только (17) дает независимое решение.
Следуя Лапласу, положим

v — р = (1 4- p)z;
тогда

1 4- v = (1 4- р) (1 + z)

и согласно (13)

л I _ >п 4- т' 4- т" . ,	_ (т + т^т1') (14-*)

"1* т' 4- т" (1 4- z) ’	"Г"	т' 4- m* (1 4- z)

Предполагая, кроме того, что массы притягиваются по закону
Ньютона, так что п — — 2, для z получим следующее уравнение
пятой степени:

— thz2 [1 — (1	z)3] + т' (1 4- z)2 (1 — z3) +

+ иг" [(1 + z)3 - z3] = 0, (18)

которое имеет по крайней мере один действительный положи-
тельный корень *>. Этому корню всегда соответствует положи-
тельное значение v, так как

__т + (т + т ) г

V т' -|- т" (1 + z) ’

в то время как р, наоборот, может оказаться отрицательным,,
поскольку

__ т — m"z

— т’ + т" (1 + z) ’

и, следовательно, положительному значению z может соответ-
ствовать отрицательное значение р. Еслир отрицательно, то центр
масс лежит между т' п т".

Мы доказали следующую теорему:

Пусть даны три тела с произвольными массами т, т и пГ.
Пусть массы т и т" находятся друг от друга на произвольном
расстоянии. Тогда на прямой линии между т и т" всегда имеется
определенное положение для т', которому соответствует точное
решение задачи трех тел. Если массы различны по величине, то
всегда имеются три различные конфигурации, которым соответ-
ствуют точные решения, в зависимости от того, наибольшая,
наименьшая или третья масса лежит посередине.

Описываемые тремя массами орбиты в этом случае будут
коническими сечениями, фокусы которых лежат в центре масс.
В следующих параграфах нам представится случай изучить эти
решения более подробно.

В начале этого параграфа согласно Лапласу утверждалось,
что для существования точных решений не обязательно, чтобы
начальная скорость была перпендикулярна к прямой, соединяю-
щей массы с центром инерции, но достаточно, чтобы начальные
скорости различных масс составляли один и тот же угол с этой
прямой, если только величины начальных скоростей пропор-
циональны расстоянию до центра масс. Так как справедливость
этого утверждения непосредственно не очевидна, то мы проведем
доказательство.

Пусть А и В — начальные положения двух масс, G — общий
центр масс всей системы.

*) Ниже покажем, что это уравнение обладает единственным действитель-
ным корнем.
Предположим, что:

1)	величины равнодействующих сил, приложенных к Л нВ,
относятся как расстояния AG : BG;

2)	начальные скорости АА' и ВВ' находятся в том же отно-
шении друг к другу (.4G : BG), и

3)	угол А'AG равен углу B'BG.

В некоторый момент времени тела А нВ занимают положение
А' и В'. Покажем, что оба треугольника ABG и i'B'G подобны

друг другу. Действительно, по предположе-
нию,

А'А : AG = В'В : BG, 1	(а)

ZA'AG = ZB'BG. J

Значит, подобны и треугольники A 'A G и
B'BG и, следовательно,

AG : BG = A'G : B'G,

ZAG А' = ZBGB',	(b)

а также

ZAGB = ZA'GB'.

Принимая во внимание (b), находим, что
треугольники ABG hA'B’G подобны. Но от-
сюда следует, что образованная массами кон-
фигурация в некоторой момент будет по-

Рис. 25.

добна первоначальной конфигурации. Изменился только масштаб.

Во второй момент времени действующие силы таковы, что
величины равнодействующих относятся друг к другу как
A'G : B'G\ тогда предположения 2) и 3) будут оставаться спра-
ведливыми, и образованный массами треугольник всегда будет
изменяться подобно, что и требовалось доказать.

Остается доказать, что уравнение Лагранжа (18) обладает
одним действительным, более того, положительным, корнем.
Для этой цели расположим члены по убывающим степеням z.

Уравнение примет такой вид:

{т + m')zb -J- (3m + 2т’)^ + (3m + m')z3 —

— (m' + 3m")z2 — (2т' + 3m")z — (m' + m") = 0.	(18*)

Это уравнение допускает только одну перемену знаков и по
теореме Декарта оно имеет не более одного положительного и не
более четырех отрицательных корней. Но отрицательными кор-
нями оно обладать не может. Если в (18) вместо z подставить —и,

то получим уравнение

тиг [1 - (1 - u)3] + т' (1 - и)2 (1 + и3) +

+ т" [(1 - и)3 + и3] = 0 (18**)
и коэффициенты при т, т' и т" в правой части этого уравнения
будут всегда положительны при положительных значениях и.
Итак, уравнение (18) имеет только один и притом положительный
корень.

Если задана последовательность, в которой расположены три
массы на прямой, и выбрано для расстояния между двумя внеш-
ними массами определенное значение, то существует только одно
положение среднего тела, которому соответствует лагранжево
точное решение задачи трех тел. Если изменить порядок распо-
ложения масс, то получим три, вообще говоря, различных ре-
шения.

Те точки, которые определяют лагранжевы точные решения
задачи трех тел, мы назовем, следуя Гильдену, точками либрации.

При применении этой теоремы к планетной системе особенно
интересен тот случай, когда одна из масс значительно превос-
ходит другие. Исследуем положение точек либрации в этом слу-
чае. Будем всегда предполагать, что три массы располагаются
в последовательности т, т', т". Могут встретиться два случая:
1) либо наибольшая масса является самой внешней, 2) либо она
лежит посередине между двумя малыми массами.

В первом случае будем предполагать, что т — весьма велико,
а т' и т" малы. Из (18*) непосредственно вытекает, что уравне-
ние имеет положительный корень, который приближенно дается
формулой

Z

т' -|- т"
Зт

(19)

Отсюда следует, что расстояния масс т' и т" от центра инерции
приближенно равны



так что

(20)

или, с той же степенью приближения,

г —г

3/~т' 4- т"

" Зт

Точки либрации для масс т' и т" находятся весьма близко друг
к другу.

Во втором случае предположим, что большая масса лежит
посередине, так что т' велико; тогда (18) имеет корень, близкий
к единице. Подставим в (18) z = 1 + у и разложим по степеням у\
тогда придем к уравнению

т (1 + 2у + у2) (7 + 12у + бу2 + у3) +

+ тп' (4 +	+ у2) (Зу + Зу2 + У3) + т” (7 + 9у + Зу2) = О,

и если учесть, что т' по сравнению стоит’ весьма велико, то
найдем, что это уравнение имеет весьма малый по величине корень,
значение которого приближенно дается формулой

у = —	.	(21)

а	12/п	4 '

Получаемые отсюда значения р и v суть

т — т*
ц = —-—.
~ т ’

. , 17 т — т"

V = 1 + ТТ--- .

1 12	т	’

а расстояния между тремя массами будут

Для неравных масс всегда можно предполагать, что т т".
Если в точках либрации расположены равные массы, то они от-
стоят от тп' на одинаковых расстояниях. В приведенных выше
формулах г означает расстояние центра инерции от тп. Расстоя-
ние большей массы от тп' равно s", и для расстояния s меньшей
массы от тп' получим значение

S = (1

7 т — т" \ „
~12 т' Г

(22)

Особенно интересен тот случай, в котором одна из меньших масс
исчезающе мала, так что без заметной ошибки ее можно положить
равной нулю. Обозначим наибольшую массу через М, а малую,
но конечную массу, — через тп. Далее обозначим через а расстоя-
ние между М и тп, а через Ъ — расстояние между М и бесконечно
малой массой. Из (20), (20*) и (22) получим для Ь следующие
значения:

(23)

Три точки либрации, определяемые этими формулами, обозначим
через Llt L2 и L3. Их положения указаны на рис. 26.



77

-4-

Рлс. 26.

Если учитывать только притяжение Солнца и одной планеты,
то каждой планете в солнечной системе будут соответствовать
три точки либрации, которые обладают тем свойством, что малая
частица, например, метеорное тело, которая находилась бы
в одной из точек либрации и обладала бы соответствующей на-
чальной скоростью, всегда описывала бы вокруг Солнца эллипс
под действием притяжения к Солнцу и указанной планете,
и притом так, что эта частица всегда оставалась бы на прямой,
проходящей через планету и Солнце.

Точки либрации для различных планет приведены в табл. XI.

Таблица XI

Точки либрации в планетной системе

	Расстояния от Солнца		
	Li	L,	L,
Меркурий 		0,9966	1,0034	1—0,00000007
Венера 		0,9907	1,0093	1—0,00000143
Земля 		0,9899	1,0101	1-0,00000178
Марс		0,9952	1,0048	1—0,00000019
Юпитер		0,9332	1,0698	1—0,000557
Сатурн 		0,9550	1,0464	1—0,000167
Уран		0,9758	1,0246	1—0,000026
Нептун 		0,9743	1,0261	1—0,000030

За единицу расстояния принято среднее расстояние соответ-
ствующей планеты от Солнца.
Точки либрации Lk и Ьг для всех планет лежат вне орбит
известных спутников планет. Для Земли точки и лежат при-
мерно на учетверенном расстоянии Луны от Земли. В следующем
параграфе найдем, что положение точки либрации тесно связано
с устойчивостью движения.

§ 2. Периодические решения в окрестности точек лтбрации

Общее решение задачи трех тел с необходимым числом про-
извольных постоянных до сих пор неизвестно. В то же время най-
дены различные частные решения, которые зависят от некоторого
числа произвольных постоянных. При этом в последнее время
стали играть большую роль периодические решения, и с их по-
мощью изучение задачп трех тел пошло по новым путям, которые
имеют большой теоретический интерес. Исследование этих орбит
продвинулось уже столь далеко, что открыло новые горизонты
в числовых расчетах орбит небесных тел.

Периодические орбиты были введены в астрономию Хиллом
в его прекрасной серии работ [47]. В этих сочинениях берут свои
истоки многие важнейшие исследования в астрономии за послед-
ние десятилетия. В последующем мы часто будем иметь случаи
возвращаться к этим основополагающим работам Хилла.

Общая теория периодических решений позднее была развита
Пуанкаре с применением сильных математических методов, кото-
рые были в его распоряжении, сначала в его стокгольмском
конкурсном сочинении в 1889 г. «Sur 1е ргоЫёше des trois corps
et les equations de la dynamique», и затем детально в его класси-
ческой работе «Les Methodes nouvelles de la mecanique celeste».
Периодические орбиты характеризуются тем, что тела через
определенные интервалы времени возвращаются к имевшейся
ранее конфигурации. Периодические орбиты целесообразно раз-
делять на два класса. В первом классе изменения образуемых
телами конфигураций всегда остаются бесконечно малыми,
а во втором они конечны. Периодические орбиты второго класса,
вообще говоря, могут проходить через любую произвольную
точку пли непрерывную область плоскости. Наоборот, периоди-
ческие орбиты первого класса могут встречаться только при
вполне определенных конфигурациях тел.

Орбиты первого класса аналитически исследуются легче.
Поэтому мы начнем исследование периодических орбит с этого
класса.

Мы ограничимся специальным частным случаем задачи трех
тел, а именно тем, в котором одна из трех масс исчезающе мала,
п, кроме того, обе конечные массы движутся по окружностям
вокруг общего центра инерции. Движение обоих этих тел, на
23 к. Шаплье
которые бесконечно малая масса не оказывает влияния, должно
происходить с постоянной скоростью.

Этот случай, который мы назовем астероидной задачей трех
тел ♦), в астрономии имеет большое значение, так как теория
малых планет, создание которой представляет насущную по-
требность практической астрономии, основывается на этой задаче.

Оба тела конечной массы обозначим через тх и п?2, а беско-
нечно малое тело — астероид (планетоид) — через Р. Массу т1
примем за единицу массы, т2 будет иметь массу р. Мы предпола-
гаем, что при нашем выборе единиц р является либо правильной
дробью, либо единицей.

Расстояние между mr и zn2 примем за единицу длины, и пусть
гг и г2 суть расстояния тел и тг от их общего центра масс G.
Тогда будем иметь

Г1 + г2 = 1,	|

Г1 ~НГ2 = 0-	|

(1)

Единица времени выбирается так, чтобы постоянная тяготения
была равна единице. Время Т одного оборота и тп.2 вокруг G
будет

2л

/1 т-р

(2)

и, следовательно, угловая скорость п этого движения

п =	+ р.

(2*)

Предположим, наконец, что астероид движется в плоскости, в ко-
торой при своем движении находятся тп1 и т2.

В качестве начала координат выбран центр масс G. Движение
точки Р отнесено к прямоугольной системе координат XOY,
которая вращается с постоянной скоростью; ось абсцисс направ-
лена к тъ а положительное направление оси Y образует с осью
X угол 90° в направлении вращения.

В § 7 гл. I мы вывели для движения Р следующие дифферен-
циальные уравнения:

d*x
"di*

— 2п — п2х =
at

dU
dx ’

-d^ + 2nli~ny = -w

(3)

♦) Французы используют название «Le РгоЫёте restraint». (Прим, автора)
В отечественной литературе чаще употребляется название «ограниченная
круговая задача трех тел». Наряду с этой задачей рассматриваются также
«ограниченная эллиптическая задача трех тел» и «ограниченная гиперболи-
ческая задача трех тел» (см. [48]). {Прим, перев.)
где

1	I---

/(X - П)2+У2	/(» + г»)2+У2 ’

Если расстояния от т до тх и т2 обозначить через рх и р2, так что

Pi2 = (x-r1)24-p’, 1
р22 = (х +	+ у2, J

(4)

то будем иметь

6' = — + — .	(3*)

Pi 1 Рз	' '

Эти уравнения могут быть записаны в несколько более удобной
форме. С учетом (1) имеем

^-(‘—гтйГ+л

и следовательно,

Р1 + нр| = т^г - (1 + н)(г2 + г/а) = -j^ + n’-^ + i/2).

Если положить

га + + +£-)•	<5>

то можно записать дифференциальные уравнения в следующей
форме, впервые полученной Дарвином [49]:

d2x _2 dy __ 3Q

rft2 П dt дх ’	/д\

d2y , 9 dx _ да	{ '

dt2 dt ду ' .

Эти уравнения обладают так называемым интегралом Якоби
F! = (»’ + (t)‘-2q-c-	Р)

где С будет называться постоянной Якоби. Если положить
gi = х, д2 = у,

Pi=^ — ny, рг=^-+пх,

2Н = pi2 4- р22 4- 2n (р^а — p2gx) — 2U,	(8*)

то согласно (10) § 8 гл. I получим дифференциальные уравнения
в канонической форме:

dqi _ ЭЯ
dt dpi

dq2 _ дН

dpi _ дН

dt	dqi	’

dft = _ ЭЯ
dt др-i ’ dt	dq2	‘

Здесь мы будем использовать дифференциальные уравнения
в форме (6).

Если х = а, у = b -— координаты произвольной точки, кото-
рая не совпадает ни с ни с т2, то из формулы для S2 непосред-
ственно очевидно, что функция Q, а равным образом и все ее
производные от х и у могут быть разложены в ряды по положи-
тельным степеням х — а и у — Ь. Если х — а и у — Ь достаточно
малы, то в этом разложении члены низшего порядка будут больше
суммы всех остальных членов этого ряда.

Будем отыскивать те точки, в достаточной близости от кото-
рых существуют такие периодические решения дифференциаль-
ных уравнений (6), что бесконечно малая масса Р может навсегда
остаться в окрестности этой точки, двигаясь по орбите, которая
замыкается.

Пусть (а, Ь) — такая точка. Положим
х = а •+ g,
У = Ь + 1].

Тогда будем иметь

9,Лт] . . ЭЙ ^Э2Й , дЧ1 ,
dt2 dt да ь Эя2 1 да дЬ "Т" ' ' ' ’

di- аа э2й , дю. ,
dl2 "Н dt ~ дЬ '^дадЬ' 1 ЭЬ2 ' ' ‘ '

Вторыми и высшими степенями g и ц в этом разложении можно
пренебречь, если мы ограничимся отысканном таких периодиче-
ских орбит, которые лежат в близкой окрестности точки (а, Ъ).

Кривые, находящиеся на конечном удалении от (а, Ь), при-
надлежат второму классу периодических орбит. Если в (9) удер-
жать только первые степени £ и т[, то очевидно, Что при этом,
для того чтобы £ и ц оставались малыми, должны иметь место

следующие соотношения:

эй _ эй _

да дЬ

(10)

Эти уравнения определяют положение точки (а, Ь).

Решение этих уравнений очень просто может быть получено
следующим образом. Имеем

Pi2 = (« - 'О2 + Ь\

Рг2 = (а + г2)2 + Ь\
и, следовательно,

dQ   0Q, а — ri I д® я 1 г2  q

~да	Эрх “pl	’ ~др~2 р?г ’

9Q _	о

db ~~ dpi Pl "г Эр2 р2 —

Эти уравнения предполагают, что либо имеет место

	Эй 	 Эй _ Q  Эрх — Эр. — ’	(И)
либо	а — ri	a -L г2  Р1	Ра	= _ 2_(Г1 + ,.,) = __L = 0.  Ь	Ь	Pi?2 '	’’	Р1Р2	(12)
Уравне	Pl	Р2  ния (11) могут быть записаны в следующей форме:	
или	1	1 о  Pi	г = Рг	г =°  Р?  Р1 = Р-2 = 1-	(13)

Эта точка (а, Ь) лежит в вершине равностороннего треугольника,
сторона которого равна т^т^.

Очевидно, что имеются такие две точки [которые обозначим
через (а4, bj и (а8, 5,)], что

л4 — о8

Г1 — Г2	1	1 —11

2	~	2 *1+н’

= — Ь6 = — /3.

Точка (а4, &4) лежит в верхней полуплоскости, а (а8, bf) в нижней.

Для точек, которые соответствуют решению (12), должно быть
b = 0, и, значит, они лежат на оси X. Значение а для этих точек
определяется уравнением

дй а—ri , Эй я + га ____Л	/4Л1

ЭР1 pi ”* Эр2 р, - V-

При нахождении корней этого уравнения следует различать три
случая:

1.

2.

3.
358	ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ	(ГЛ. VIII

Для этих трех случаев соответственно имеем

1.  2.  3.	а — гх	=	— р17	а	4- '2 =	р2‘>  а — Гл	=	— pi,	а	4- г2 =	—	р2;  Л —~	“	Pj,	U	“	Pg*
Уравнение (14)	принимает следующие формы:
1)	д£1	dQ л	।	.  "5	~а— =	Pi = 1 — Рг,  dpi	др2	'1
2)	дС1  да л	. л  “я	Ь ~а— —	Р1 = р2 4- 1  dpi 1 Зр2	’ п •
3)	Эй । Эй л	л 4  1 дра	'

Во всех случаях для определения pj или р2 получим уравнение
пятой степени. Эти уравнения имеют такой вид:

1) (1 + |1) р|- (3 + 2И)Р‘+ (3 + И)Рз_ИР2 + 2Ир2-ц =0,
2) (1 4-р) р® 4-(3 4-2|*) р* 4-(3 4-р) р’— рр| — 2црг — р. = 0,	(15)

3) (1 4- р) pj + (2 4- Зр) р* 4- (1 + Зр) pj — р$ — 2рг — 1 = 0.

Каждое из этих уравнений имеет один действительный положи-
тельный корень и остальные четыре — комплексные.

При очень малых значениях р эти корни будут иметь следую-
щие предельные значения:

1)	•.3/т ра = Г
2)	Р2=У
3)	Pi = 1	И-

Более точные значения определяются уравнениями:

1)	
2)	P>=(V+4-
3)	Pl 1	12	12 '

Если приведенные уравнения пятой степени сравнить с урав-
нением (18*) § 1, то легко получаем, что точка, в окрестности ко-
торой могут быть периодические орбиты, совпадает с той точкой,
в которой находилась бы Р, если бы существовало точное ла-
гранжево решение задачи трех тел.

Кроме того, в близкой окрестности масс и тп2 могут быть
периодические орбиты. Более подробно мы исследуем эти ор-
биты в одном из следующих параграфов.

Ниже приводится сводка приближенных значений координат
точек либрации:

(44 -4Ш4. *-<>.

Ц:	аг = — j-T^- - (-$-) — -у , Ь2 = О,

Ьз‘- аз = т+7+1	Ьз = 0,

т	1	1 — н	,	Уз

в* -	2 ‘ 1 п- и ’	bi ~ 2 ’

г. „ ______	1 1 М	j __

а&-----г 1+р ’	°8----2 •

Заметим, что при больших значениях р, необходимо обратиться
к уравнениям (15).

§ 3. Граничная кривая Хилла

Прежде чем перейти к детальному изучению периодических
орбит в окрестности точек либрации, попытаемся изучить одно
свойство орбит, вытекающее из интеграла Якоби [(7) § 2].

Интеграл Якоби представлялся в виде

(£)’+(#)* = 20-С.	(1)

В своей классической работе [47] Хилл отмечал, что кривая

2Q - С = 0	(2)

играет важную роль для характеристики движения.

Именно из (1) следует, что во всякий момент времени коорди-
наты тела необходимо должны иметь такие значения, чтобы

2Q - С > 0.

Поэтому действительная плоскость делится кривой (2) на две
области, причем движение возможно только в одной из этих
областей. Если кривая состоит из одной или большего числа
замкнутых ветвей, внутри которых 2Q — С положительно, то
Р при своем движении всегда должна оставаться в замкнутой
области. Мы будем именовать кривую (2) «граничной кривой»
или «хилловой граничной кривой».
В гл. IX мы более подробно рассмотрим значение этой кри-
вой в вопросе об устойчивости. В этой главе мы изучим форму
граничной кривой в астероидальной задаче трех тел.

При каждом ц кривая зависит только от значения параметра С.
Этот параметр не может иметь произвольные значения, если
кривая должна быть действительной. Если С отрицательно, то,
очевидно, 2Q — С никогда не может равняться нулю. Следова-
тельно, постоянная С имеет определенное минимальное значение.
Если С меньше этого значения, то никакой граничной кривой
не существует, и тело т может занимать произвольное положение
на плоскости.

Найдем это минимальное значение. Для этого должны выпол-
няться уравнения

дО. _ Эй __

вр7 ~ "э^ J

и, как известно из предыдущего параграфа, это имеет место в точ-
ках либрации Li и L-a. Соответствующее значение С получим из
(2); положив р2 = р2 = 1, будем иметь

Cmin — 3 (1 4* р).

(3)

Если С принимает это минимальное значение, то кривая Хилла
вырождается в две точки, Lt и La.

Исследование формы граничной кривой для различных зна-
чений С легко можно выполнить следующим образом. Для весьма
больших значений С уравнение

р.'+4+4р’+к)“С’	(4)

очевидно, может выполняться для трех различных случаев.
Во-первых, если принимает очень малые значения, во-вторых,
если р, будет весьма мало, и в-третьих, если сумма pf -f- рр|
будет очень большой. Итак, при весьма больших значениях С
граничная кривая состоит из трех различных ветвей: одной, а —
очень малой, которая охватывает массу mlt другой, 0 — также
малой, вокруг массы т2, и еще одной — у, очень большой, охва-
тывающей обе массы.

Уравнения этих ветвей в биполярных координатах прибли-
женно будут

для а:	— = С,

Pi

»	.3:	= С

»	у:	Pi2 4- ррз = С.
Следовательно, приближенно ветви а и 0 являются окружностями.
Радиус окружности а больше радиуса окружности 0. Если р, = 1,
то обе окружности одинаковы. Третья кривая имеет вид овала.

Если уменьшать С по величине, то радиусы обеих окружно-
стей возрастают и одновременно стягивается овал. При опреде-
ленном значении С, которые мы обозначим через Clt окружности
будут касаться друг друга, и граничная кривая будет иметь

лемнискатоподобную форму (рис. 27). Здесь кривая имеет двой-
ную точку, ордината которой равна нулю, а абсцисса удовле-
творяет уравнению

-£- = 0.	(5)

Это уравнение имеет следующую форму:

эй^ = 0.	(6)

dpi р!	1 др2 р2	' '

Так как здесь

х — Г1 = — Pi, х + г2 = р2,
то уравнение примет вид

= 0;	(6*)

dpi	др2 ’	' '

тогда двойная точка	совпадает	с точкой либрации Lt.

Еслй С меньше Clt то лемниската переходит в кривую, по
форме напоминающую песочные часы, которая при С = С2 со-
единяется с внешним овалом. Эта точка лежит на оси абсцисс
за малой массой, так что рх = р2 + 1. Уравнение (6), которое
здесь также справедливо, поскольку это относится к двойной
точке, дает

д£1 . дй _______

dpi dpi” ~ ’

при сравнении с предыдущим параграфом находим, что эта двой-
ная точка совпадает с точкой либрации £2.

Граничная кривая принимает теперь подковообразную форму.
Внутри кривой 2Q — С отрицательно, и здесь, следовательно,
никакого движения быть не может. При убывании С от значения
подковообразная кривая постепенно сужается и при значении
С = С3 распадается на две кри-
вые. Точка деления лежит на
оси X со стороны большей мас-
сы; тогда легко находим, что
двойная точка совпадает с точ-
кой либрации L3.

Для значений С, меньших С3,
граничная кривая состоит из
двух отдельных замкнутых вет-
вей, которые при наименьшем
значении С4 переходят в точки
либрации Z4 и L~a. Для еще бо-
лее меньших значений С, как
уже отмечалось, никакой гра-
ничной кривой не существует.

Рис. 27 дает ясное представ-
ление о приведенной выше эво-
люции граничной кривой. Она
вычислялась Дарвином в его из-
вестной работе [49], где нахо-

дится также всеобъемлющее рассмотрение хилловой граничной
кривой. Положение точек либрации (соответственно двойных
точек) видно из табл. XII.

Чтобы получить представление об изменении положения точек
либрации при различных значениях р, мы еще приведем соответ-
ствующие числа для р = 1: 32000 и для р = 1. Положение точек
либрации при р = 1 было найдено Барроу [51]. Вид граничной
кривой для различных значений С и при р = 1 приведен на
рис. 28. Следовало бы отметить, что при подготовке этого рисунка
принимались во внимание только положения точек либрации и
точек пересечения кривой с осью X и осью Y. Последние опре-
делялись по формуле

о । 2____С   С

Р+р	1-т-р	2 ’
Таблица XII
(1 = 0,1

	Pl	₽»	ci
Li	0,7175	0,2825	4,0182
Ц	1,3470	0,3470	3,8876
Ьз	0,9469	1,9469	3,4905
Lt и Lt	1,0000	1,0000	3,3000

Таблица XIII
ц = 1:320 000

Li	Pl	Pi	Ci
Л	0,98990	0,01010	3,0009264
Lt	1,01017	0,01017	3,0009227
Lt	0,99999818	1,99999818	3,0000156
Lt и Lt	1,0000	1,0000	3,000094

Для р = 1 получим:

Таблица XIV

|Х=1

Lt	Pl	Pl	C{
1л	0,5000	0,5000	8,500
Lt	1,6984	0,6984	7,412
Lt	0,6984	1,6984	7,412
Lt и Lt	1,0000	1,0000	6,0000

где р обозначает расстояние от точки пересечения до какой-либо
массы. Для определения точки пересечения с осью X служит
уравнение

2р4 + 4р8 + (3 - С)р2 + (5 - С) р 4- 2 = 0.	(7*)

Необходимо учитывать только положительные корни уравнений
(7) и (7*).
§ 4. Периодические решения в окрестности точек
либрации (продолжение)

В силу соотношений (10) §2 дифференциальные уравнения дви-
жения в окрестности точки либрации примут следующую форму:

rft2	dt да1 дадЬ4'

d-ri	д2Й

dt* dt ~ dadb

дЬ*

Таким образом, мы имеем дело с линейными дифференциальными
уравнениями с постоянными коэффициентами. Мы можем искать
решение в следующей форме:

g = Аеи, т] = Веи,

где Л п В будут определяться следующими соотношениями:

,1	— ™\ — В (2пК + Д-) = 0,

\ да2/ \	1 да дЬ/ 1

Л (2пХ-^) + В (х2- g) = 0.

\ оа Оо/ \	оог /

(2)

Из этих соотношений мы получим уравнение для определения X:

12 diQ	(•)„! । diQ \

х “а72	-(2пХ + га) =0

л 2__ЭШ

2 Л да дЬ * дЬ*

ИЛИ

14	12	I д3£3	//4 1	\\ I ^2Й	/ 342 V n /Q\

Природа движения зависит от значений корней этого уравнения.
Если X2 имеет отрицательное значение, то периодические реше-
ния существуют. Если таких корней нет, то Р в окрестности точки
(а, Ь) может оставаться только конечное время. Для вычисления
корней нам необходимо знать значения вторых производных от Q
для пяти различных точек либрации.

Имеем

дга _ a^/api\2 эй

да2 ар2 \ da / ' dpi да2 др2 \Эа / др2 да2
Для 4^- имеем аналогичное соотношение. Далее,

а2й  а2й api api . ай a2pi . а2й ар2 Эр2 . ай а2рг
да дЬ	др2 да дЬ Эр2 да дЬ ф2 да дЬ Эр2 да дЬ *
С помощью этих выражений получим следующие значения про-
изводных в различных точках.

Таблица XV

а*о
аа*

а*о
аь*

2 2р
^Н + рз + ^з-

£ 2 И

1-гН-ГрЗ-рЗ

2_ 2Н

‘-гИ + рз + рЗ

3

4(1 + Н)

3

4 0 + И)

1 р3 р2
ri га

. . , — И-
р? Ра
.	1	и

и-р?~р?
9
4 (1 + р)
9
40+Н)

а»п

дадЬ

О

О

О

3
~4/3(1-р)

3 г.

4 /3 (1 - р)

Значения рх и р2 в трех точках Zx, Z2 и L3 следует взять из
уравнений (15) § 2.

Если положить

J_ + JL

Pi Ра ’

то корни, соответствующие точкам £х, Ьг и L3, задаются формулой

V = - (1 + |х -/) ± /9/^-4 (1 + р)/.	(4)

Эти корни будут действительными, причем один из них положи-
телен, а остальные отрицательные. Это было доказано Плюм-
мером [50] следующим образом. Из (3) очевидно, что теорема будет
доказана, если показать, что

d2Q d*Q
даг дЬ*

( дЧ1

\да дЬ/

Но теперь, согласно табл. XV, в точках £х, L2 и L3

да db

= 0,

и, значит, достаточно показать, что

аа2

(5)
(6)

Но при у = 0 имеем
д2а__________________________

ду2 ~~ Р1 dpi "* Рз дрз '

В точке Lx Ъудрт
да ______________________да __________1

дРз ~ dpi — P1 ~ pf

и, следовательно, выражение

ду2 ~ \Р1 + Рз / \Р1 р® J

будет отрицательным, так как Pi <С 1-

В точке L3 имеем
ЭЛ _ _dQ_ = J_________________________

dp2 — dpi — р2 Р1

и, значит,
d2Q /1_________________________1\ f______1_\ .

Эу2 ~ \Р1	Рз / \Р1	р2 ) ’

так как Pi = р2 + 1, то первый сомножитель в этом выражении

отрицателен, а второй положителен, следовательно,
тельно. Наконец, в точке L3 также

d2Q

цг отрица-

дШ ( i
ду2 \ pi

_1_\
РГ

и, так как здесь р2 = рх + 1, то первый сомножитель положпте-
дгР. ,

лен, а второй отрицателен, и в этом случае будет также

отрицательным.

Отрицательному корню А.2 соответствует периодическое реше-
ние дифференциальных уравнений, следовательно, для всех у
существуют периодические орбиты в окрестности Z2 и L3.
Численное решение уравнения (4) дает следующие значения для
корней при у = 1, [1 = 0,1 и [1 = 1:320000:

Таблица XVI

У*	L,		L,		L3	
1	28,63	—16,63	2,671	—3,531	2,671	—3,531
0,1	12,426	—7,482	4,695	—3,091	0,253	—1,261
1 : 320000	6,413	—4,353	6,176	—4,234	0,000	—1,000
Предельные значения корней для нулевых значений р выража-
ются для и Z2 формулой

Х2=1±/28,	(4*)

а для £3

X2 = - 0,5 + 0,5.	(4**)

Периодические решения в окрестности Л4 и L6 могут быть
легко изучены. По данным значениям производных получим
уравнения для X в обеих точках:

4Х4 + 4 (1 + р)Х2 + 27р = 0.	(7)

Корни этого уравнения действительны, если

(1 + р)2 > 27р,
т. е. при

р < 0,0401.	(8)

Если р меньше этого значения, то оба значения отрицатель-
ны, и тогда имеем два различных типа периодических орбит.

Если р> 0,0401, то никаких периодических решений в ок-
рестности этих точек не существует.

Барроу [51] выполнил некоторые расчеты для отыскания пе-
риодических орбит при р = 1 в окрестности Z4 и не обнаружил
их, что и следовало ожидать, так как таковых, по крайней мере в
близкой окрестности этой точки, при указанном значении р нет.

Итак, периодические решения для Lt и L6 существуют только
при малых значениях р. Поэтому попытаемся разложить корни
уравнения (7) по степеням р. Тогда для одного из корней (7)

X2 = - 6,75р - 38,8125р2,
а для другого

X2 = - 1 + 5,75р + 38,8125р2.

Каждому корню X соответствует значение А : В. Общее реше-
ние (1) запишется в виде

(9)
П = S В#Ч ,
i=l

где Ai ъ Bi связаны друг с другом соотношением

.____ d2Q

Л 2ГЦ-рХ,-гга

Bi ~	,2	( '

• — да-
Четыре из коэффициентов Ai п Bi могут быть выбраны произ-
вольно. Эти произвольные постоянные мы обозначим через Blt
В2, В3 и. Bt. Соответствующие значения At затем получаются
из (10).

Пусть Ij и — два сопряженных чисто мнимых корня, так
что, если положить v2 = — Л2, соответствующие и v2 будут
действительными. Для краткости положим также

_ d2Q	_ d*Q

Г ~~ да* ' S ~~ db* ’ да дЪ '

Имеем, следовательно,

-li ______<	_ 2 /1-r p.vi

Bi v2 -j- г V2 -j- г '	’

Aj __ t 2 Y1 — pv2 ,/	<

v2 + r v2 + r '

Отделим в At и A2 действительные и мнимые части, полагая

Л2 = oil ос2 У— 1,

Л2 = ai — а2 У— 1;

тогда можем написать

Bi — Pi + Ра У— 1,

В% = Pi — Ра — 1.

Далее имеем

Л^*' + Л2е?=' = 2ах cos v2t + 2а2 sin v2t.

Если произвольные постоянные В3 и В^ выбрать равными нулю,
то будет существовать периодическое решение вида

с = 2а, cos v,t + 2ct2 sin v2i,)	....

П = 2₽;Cosv2i + 2₽2sinv2r;}	<H)

здесь коэффициенты связаны зависимостью

(v2 + г) ах = Фх 2nv2P2,\

(v2 + г) а2 = 2wv2px — ф2.	1	'	'

и тогда уравнение (3) примет вид

(v2 + г) (v2 + s) = 4n2v2 + t2-	(И**)

Из (И*) и (11**) получим

(v2 + г) (сир, + а2р2) = - t (Р! + Р1),

(v2 + г) (а2р2 - агр,) = - 2nv2 (Р? + pl),
(V? + Г) (а? + а|) = (v22 + a) (р? + р2).
Уравнение орбиты, описываемой Р, получим, исключая время,
из уравнений (11). Таким путем находим

4

5
п

«1

Pi

а2
₽2

а2
₽2

ах Г

Pi П

или

4 (ахр2 - а2|М2 = (Р! + Р22) I2 + (а? + а!) ц2 - 2 (а^ + а2₽2)

или, подставляя значения а и 0,

Я2 = (V2 + г)? + (V2 + З)т]2 + 2^Т1,	(12)

где

Л2 = ^р(31 + ₽2)-	(12*)

Принимая во внимание значения г, s и t, из табл. XV находим,
что кривая (12) для всех точек либрации представляет собой
эллипс. Итак, для Lv Lz uL3 t=0 и большая ось эллипса лежит
на осп абсцисс. Позже мы возвратимся к исследованию этой
кривой. Для Ьц п Ьъ оси системы координат нужно повернуть
так, чтобы они совпали с осями эллипса. Если положить

g = х cos0 — у sin0,

т] = х sin0 + у cos0,
то для угла 0 получим значение

tg20=7^7	(13)

или, по табл. XV,

tg20 = ±f3^,	(13*)

где знак «+» соответствует точке Ь4, а знак «—» точке £6. Когда
существуют периодические решения, то масса р всегда меньше
0,004 и из (13*) очевидно, что угол 0 по абсолютной величине
не превышает 30’. Таким образом, одна из осей эллипса направ-
лена примерно к большей массе, а другая пересекает эту линию
под прямым углом. Для полуосей эллипса а и b получим значения

= (v2 -f- г) cos2 0 + (v2 + s) sin2 0 + t sin 20,

= (v2 + r) sin2 0 + (v2 + s) cos20 — t sin 20,

24 К. Шарлье
которые могут быть записаны также в форме

cos 26 = (v2 + г) cos2 0 — (v8 + s) sin2 0,

cos 20 = (№ + s) cos2 0 — (v2 + r) sin8 0.

Можно легко получить точные значения полуосей. Принимая
во внимание, что для периодических решений величина р мала,
можно рекомендовать использовать разложения в ряды по сте-
пеням р. Приближенно имеем

on 1 t 3
cos 20 = у + -4 Н,
cos2© = 4+4н>

• П л 1	3

sin2 0=4-— g- И-

Далее имеем (точно)

Следует различать два случая для V2, которые соответствуют
двум корням (11*):

1)	v2 = 6,75 р.

Здесь

Л2 = 144р (₽8 + р8),

а2 = 16 (₽8 + р8),

& = 48р (р8 + р8),
так что

Эксцентриситет эллипса всегда близок к единице. Наибольшее
значение Ь : а, которое может встретиться, будет

max 4 = 3/0,12 = 0,35.

Если тг — Земля, для которой положим р = 1 : 320 000, то
— = 0,00306. Если р — масса Юпитера (мы предполагаем, что
обозначает массу Солнца), то большая ось эллипса в 19 раз
больше малой оси.
Для второго корня (11*)

2)	v2 = 1 - 5,75р.

имеем

Я2 = — — — ц,

Л 7	49

и далее,

а2 = ^(Й + Р1),

Ь2 = у (?? + ?!).

Обе оси остаются конечными при нулевом значении р.. Большая
ось вдвое превосходит малую.

Итак, через каждую точку, достаточно близкую к точке Li
или Lt, можно провести две кривые, которые соответствуют двум
различным периодическим решениям задачи.

Необходимо заметить, что значения полуосей эллипсов в слу-
чаях 1) и 2) непосредственно не сравнимы друг с другом, так как
Pi + Рг зависит не только от начальных значений координат,
но также и от значения корня v, который в обоих случаях ока-
зывается различным.

Выразим а и b непосредственно через начальные значения
координат. Если их обозначить через £0 и Ло, то по (11**)

(₽’ + Р1) = Я2 = (v2 + г) $ + (v2 + *) По2 + 2£ёоЛо-

Предположим, ради простоты, что т]0 = 0; тогда

16	(₽? + ₽;) = (v2 + г)2&	(15)

следовательно, в случае 1)

₽? +

а в случае 2)

Й + Й =

так что полуоси эллипса принимают следующие значения:

ьг

2	? t2

« — у S07

62
Во всех этих формулах g0 представляет собой значение абсциссы
той точки, в которой кривая пересекается с осью %.

Следует отметить, что для всех кривых этого семейства эксцен-
триситет имеет одно и то же значение, а именно: для 1) jAl—3 р
и для 2)	. Малые оси обеих кривых также имеют конечное

значение. Большая ось во втором случае также имеет конечное
значение, в то время как в первом случае большая ось неогра-
ниченно возрастает, если р. стремится к нулю.

Интересно отметить, что периодические орбиты можно клас-
сифицировать по значениям постоянной Якоби. Каждому зна-
чению С соответствует не более одной периодической кривой
в окрестности каждой из точек либрации. Интеграл Якоби запи-
сывается в виде

1'2 + Т)'2 = 2Й - С.

Выразим С через начальные значения координат g0 и г|0- Из (11)
получаем

g' = — 2v2a1 sin v.2t + 2v2a2 cos v2O
if = — 2v20x sin v.,t -j- 2v202 cos v2t. f

Полагая в этих уравнениях и в (11) t = 0, получим:
go = 2ах, go = 2v2a2,"|

т]о = 20х, т]0 = 2v202. )	(16)

При помощи (И*) можно g0 и т)0 выразить через ах и 0Х, а затем
также и через g0 и tlo- Имеем

2nv2a2 = ta! 4- (v2 4- s)0x,

2rav2p2 = — (v2 4- rjct! — <0j,
так что

2ngo = <g0 -r (v2 4- s)t]0,
2пт)о = — (v2 4- r)g0 — /т|о>
а, следовательно,

4n2 (g? + Л?) = I/2 + (v2 4- r)2)g? +

+ I/2 4- (V2 4- S2) ]T)o2 4- [v2 4- Г 4- V2 4- d 2*g0Ti0.

Если Q разложить по степеням g и т|, то получим, учитывая
соотношения (10) § 2,

2Q — 2Q0 4- dai £ 4- db2 4 4- 2 da &b gi) -f- . . . ,
где Qo обозначает величину Q в соответствующей точке либра-
ции. Если мы, как и ранее, точку (|0, т]0) выберем так, чтобы
т|о=О, то получим

С = 2Q0 +	(<2 + (v2 + г)2)] &	(17)

При помощи ранее найденных значений производных и корней
для точек L4 и Lt получаем

в случае 1)

C = 2Qo+

в случае 2)

С = 2£>0-1&

Из этих выражений мы находим, что семейству кривых 1) со-
ответствуют такие значения С, которые несколько превышают
2Q0, а второму семейству, наоборот, значения С, меньшие 2й0.
Кривые, которые соответствуют первому корню, мы назовем
семейством d-кривых, а кривые, соответствующие второму корню,
семейством е-кривых. Каждому значению ?0 соответствуют два
значения С, в то время как каждому значению С, мало отличаю-
щемуся от 2й0, только одно значение £0.

Как было доказано в предыдущем параграфе, для 1>4 и Lt
имеем

2й0 = 3 (1 + И).	(17*)

Это наименьшее значение С, для которого кривая Хилла имеет
действительную ветвь. Возьмем значение С, которое несколько
превышает минимальное значение (17*). В этом случае граничная
кривая Хилла состоит из двух эллипсоподобных ветвей, окру-
жающих точки Lt и £в. Уравнения этих эллипсов суть

а^^ + -^т12 + 2ст^ = С-3(14-И).

Сопоставляя эти эллипсы с эллипсами (12), находим, что оси
обоих эллипсов параллельны. Периодические орбиты семейства
d охватывают подобные эллипсы, которые образуют граничную
кривую для значений С, несколько больших 3 (1 + р).

Для С < 3 (1 + р) никакой граничной кривой не существует.
Однако также имеются периодические решения, а именно, кривые
семейства е. Барроу впервые заметил, что существование гра-
ничной кривой не является необходимым условием для существо-
вания периодических решений.

Период обращения Р по орбите может быть легко найден.
Если период обращения по орбите семейства d обозначить через
т4, а для орбиты семейства е через г3, то в общем случае

2л

v

Период обращения т1 и т2 вокруг общего центра масс задавался
уравнением

m __ 2Л

” /нт ’

так что

т-	О8)

Если здесь вместо v подставить те значения, которые соответ-
ствуют семействам d и е, то найдем следующие приближенные
значения периодов:

т Т

1	К6,75р. ’

т6 = 7(1 +3,375 |х).

Период обращения для всех орбит одного семейства общий. Для
семейства е период обращения приближенно равен Т, а для се-
мейства d период весьма велик.

Возьмем, например, |* = 1 : 320 000, т. е. т2 будет обозна-
чать массу Земли, а —массу Солнца; тогда будем иметь т4=217,8
лет, т3 = 1 год + 5,546 минуты.

Возвратимся теперь к рассмотрению периодических орбит в ок-
рестности точек либрации £х, Z2 п L3. Эти орбиты определялись
уравнением

Д2 = (V2 + Г) g2 + (V2 + 3)Т]2,

где R2 имеет значение (12*). Полуоси эллипсов в силу соотноше-
ния (12*) имеют значения

= (^г (₽? + ₽!)>

= (V+^П) (3? +31) = 4(3? + 3|)-

Подставляя сюда вместо 0? + 01 выражение (15), получим

ГА -	+ Г)2 ?2 _ Vs + Г ?2	,

“ ' 4n2v2'	“ v2 + s

Эксцентриситет этих эллипсов не зависит от £0 и имеет для всех
орбит, охватывающих точки Lx, L2 или L3, одно и то же значение.
Из табл. XV для г и s следует, что

Vs 4- г > v2 + s

и, следовательно, Ь является большой полуосью эллипсов. Малая
полуось, как и можно было ожидать, равна |0.

При помощи табл. XV мы получили числовые значения по-
стоянных, характеризующих эллипсы около L3 и L3 для
р, = 1, ц = 0,1 и |х = 1 : 320 000 (см. табл. XVII—XIX). Следуя
Дарвину, мы относим эти кривые соответственно к семействам
периодических орбит а, р и с, т° — угол поворота линии тпх?п2 за
промежуток времени, в течение которого Р совершает один обо-
рот по своей орбите.

Таблица XVII

Семейство периодических орбит а

	р- = 1	lx = 0,1	р. = 1 : 320 000
д2й			
~да*	+34,000	+15,388	+9,120
+й			
	—14,000	—6,044	-3,060
V2	+16,63	+7,482	+4,353
V 2 4- г	+50,63	+22,87	+13,473
V2 $	+2,63	+1,438	+1,293
b: а	4,387	3,938	3,227
е	0,974	0,968	0,951
х:Т	0,347	0,384	0,479
т°	124°8	138°0	172?6

Мы еще должны определить направление движения по раз-
личным орбитам. Для этой цели достаточно положить т]0 = 0,
и в таком случае направление движения можно определить по
знаку т)о- Но

2пт)о = — (v2 + r)g0-

Так как v2 + г для всех кривых положительно, то все орбиты
описываются в одном направлении, которое противоположно
направлению обращения масс т1 и т2 вокруг их общего центра
инерции.

При помощи (17) можно выразить постоянную интеграла
Якоби через начальное значение f0 координаты £. Получим зна-
чения постоянной Якоби.
Таблица XVIII

Семейство периодических орбит Ь

		р. = 0,1	1». = 1 : 320 000
у-й  да'1	+8,280	+6,708	+8,884
дЬг	—1,140	—1,704	—2,942
V2	+3,531	+3,091	+4,234
v«4-r	+11,811	+9,799	+13,118
V2 + S	+2,391	+1,387	+1,292
Ь: а	2,221	2,659	3,187
е	0,893	0,929	0,951
х:Т	0,752	0,597	0,486
Т°	270?9	214°8	175?0

Таблица XIX

Семейство периодических орбит с

	р- = 1	0-= 0,1	р. = 1 : 320 000
Э2Й			
Зе2	+8,280	+3,484	+3.000
Э2Й			
дЬ*	—1,140	—0,092	0,000
V2	+3,531	+ 1,261	+1,000
V2 + г	+11,811	-4-4,745	—4,000
V2 + S	+2,391	+1,169	+1,000
Ъ: а	2,221	2,015	2,000
е	0,893	0,869	0,867
х-.Т	0,752	0,934	1,000
т°	270’9	336’2	360’0

Через каждую точку в окрестности Zx, L2 и L3 можно провести
одну, и притом только одну периодическую орбиту первого клас-
са. Для орбит семейства а постоянная Якоби всегда меньше б\,
что является необходимым, так как граничная кривая при
С — С\ имеет двойную точку в Zx. По аналогичным соображениям
С должно быть меньше С3 для семейства Ь, а для семейства с мень-
ше чем С3.
Таблица XX

Семей- ство	р. = 1	р. = 0,1	р. = 1 : 320 000
а Ь с  d  е	8,500—286,0 g*  7,412—9,16 5g  7,412—9,16 gg	4,0182—103,5 g*  3,8876-15,12 g*  3,4905—1,63 gg	3,0009264—36,22 g’ 3,0009227—34,16 gj 3,0000156—1,00 g® 3  3,000094+ jgg, 7 n  3,0000094— jgg’

Наоборот, через каждую точку в окрестности и L6 можно

всегда провести две

периодические орбиты, одна из которых,
принадлежащая к семейству d, с весь-
ма большим периодом, возрастающим
неограниченно при уменьшающихся
значениях р, а другая — с периодом,
несколько большим периода обращения
тпх и тп2 вокруг их общего центра масс.

/4-7,0

Рис. 29.

На рис. 29 представлены орбиты, характеристики которых
приведены в таблицах XVII — XIX. Расстояние точки пере-
сечения кривой с осью | до соответствующей точки либрации
для всех орбит одно и то же. Кривые вокруг £3 изображены

Рпс. 30.

несколько неточно, поскольку при р, = 0,1 и р = 1: 320 000 по
масштабу они должны почти совпадать.

На рис. 30 представлены периодические орбиты вблизи Li
для р. = 0,01 а не для, р = 1 : 320 000, так как в последнем слу-
чае большая ось эллипса семейства с была бы весьма большой.

§ 5. Периодические решения в окрестности масс

Если астероид Р находится в одной из масс или т2, то рх
или р2 будет равно нулю н, следовательно, Q становится беско-
нечно большим. Значит, потенциал £2 в окрестности точек
и т2 нельзя разложить в ряды по возрастающим степеням коор-
динат. Поэтому исследование периодических орбит в окрест-
ности притягивающих масс связано с большими трудностями,
чем исследование орбит в окрестности точек либрации. Рас-
сматриваемую здесь проблему также нельзя считать полностью
решенной, несмотря на то, что благодаря очень глубоким и в
высшей степени интересным исследованиям Хилла открыты важ-
ные свойства решений.

Если поместить начало координат в центре масс 7nx и т2,
то дифференциальные уравнения движения Р запишутся в виде

d’-x
dt*

2п^-—n-r
at

ди

дх ’

л dx о

2nHi-n'y

dU
dy ’

(1)


где постоянную тяготения мы положили равной единице, а еди-
ницы массы и расстояния оставили неопределенными. Таким
образом, имеем

2 _ nil + w2

" — аз •

(1*)

__ nil I nii	'	'

Pi ‘ Pa ’

где а обозначает расстояние между и ma. Здесь

Ла /„	„\2 । „2	.2	/	। nui \2 ।	»

Pl = I ------i-- П ) “T" У , P2 ~ I % П-i-- a ) "т У *

r \	+ W-2 /	r \	1 Ml + m2 /

п, следовательно,

WPJ + m2p| = (ni! + ma) (x2 + у2) + ^^-a2

или, учитывая (1*),

Л2 I ^2 Л2 о I «f2\ I »2	^1^2	2

Pi +	Р2 = rfi (ж2 + у2) + и2 (mi + OTg)2 а2.

Если положить

то уравнения движения можно записать в форме

г/2#__п

dfi dt	~	Эх	’

d2y । « dx	_dQ

dfi +^ndt	~	dy	'	)

Эти уравнения при a =	= 1 переходят в уравнения (6) § 2.

Выбор единиц мы сделаем несколько позже.

Для исследования движения в окрестности одной из масс,
например, т2< положим

У =’Ъ

и получим

rf2? dt) _ 3Q
dfi ZW dt ~	’

rf24	d£i

dfi dt — dt] ’

(3)

(4)

где Q дается формулой (2*).
Все члены в Q, за исключением
mi т2

“ /^нГ2 ’

можно разложить в ряды по степеням £ и т]. Имеем

Р? = (£ - а)2 + И2»

Р2 = S2 + П2 = Р2

И

A = (««+p>-205)-i=l(l + 4-^ + |^+...);
следовательно,

4 + А^з

а8 1 pi а 1 а8 *

Постоянные члены и члены третьего и высших порядков отбросим;
тогда будем иметь

2

2Q =

ЗтД» , _ /Ч2+П3 ,
—5Г-+	---Г

(5)

или

2й = 3п2£2 — -^Ц2 +-т-П2 + ->2ОТ2 —.

= а8 ° 1 а® 1 1	_|_ ца

Распорядимся теперь единицами расстояния и массы так,
чтобы

п = т2 = 1,	(6)

и тогда получим

2Q = 3£2 + ? 2	- 4В2 + Ал2

_|_ -q2 а3 ‘ а3 1

ИЛИ

“-т^+^-гт^'+пЬп®'-	<5’>

Вследствие сделанного выбора единиц расстояние а между
и лг2 определится формулой

а = у' 1 + л?!.	(6*)

з_

Если, например, обе массы равны друг другу, то а = )/2, а если
OTj — Солнце, т2 — Земля, то имеем

а = у^1 + 320000 = 68,4.	(6**)
При выбранных единицах дифференциальные уравнения движе-
ния Р в окрестности массы /ге2 будут

__О I I	1______О |	2	\ * _ Л

Л2 Z	dt +	+	d +	’	(7

^L + 2^- + (_____*_________Mn = 0.

dt* dt	1 -j- nil )

Уравнения (7) допускают интеграл Якоби:

(1)’Я£)ММ3-пМЕ!+гт^’-с’ <«)

а граничная кривая Хилла определяется уравнением

2..= 4- (з - т-j—£а + т4— П2 - С = 0-	(8*)

£2	j)2 1 \	1 -j- mi)9	1 mi '	' '

Проведенные Хиллом исследования периодических орбит в ок-
рестности массы относятся к случаю, когда масса 7ПХ весьма велика
по сравнению с тп2. Его метод, впрочем, может быть применен
при произвольном значении mv Мы ограничимся здесь рассмо-
трением случая, исследованного Хиллом и имеющего важные
астрономические приложения.

Если тп,! весьма велико, то находим, что последние члены
уравнений (7) намного меньше предыдущих. Так как эти урав-
нения были получены в предположении, что членами третьего
и высших порядков в Q, а следовательно, членами второго и
высших порядков в (7) можно пренебречь, то членами

1 - mi	1 + mi

при очень больших значениях также можно пренебречь, ибо
они сравнимы по величине с и т]2. При этих предположениях
уравнения (7) примут форму

_____2 — -I- 1____3^ ? — 0
dt* z dt + к Рз___6) S ~ u’

^. + 2^ + 4г1 = 0,
dt* 1 dt 1 p* 1	’

(9)

где

p2 = £2 + T)2-

Эти уравнения были положены Хиллом в основу его исследо-
ваний. Они своеобразны, так как не содержат какого-либо пара-
метра, и поэтому рассматриваются как канонические уравнения
задачи. Это свойство связано с выбором единиц массы и расстоя-
ния, и на этом основании Хилл называет эти единицы канониче-
сними. Заметим, однако, что это свойство утрачивается, если
массы тг и т2 одного порядка, и в этом случае надлежит исполь-
зовать уравнения (7).

Из (9) получим интеграл

(t)’+(t)! = 7+3^-c-	<10>

Тогда уравнение граничной кривой будет

- -|_ 3£2 _ с = 0.	(10*}

р

Эта кривая, конечно, представляет упрощенную форму общей
граничной кривой астероидной задачи трех тел, которая была
обстоятельно исследована в § 3, поэтому мы лишь вскользь упо-
мянем о свойствах кривой (10*).

Каждому значению | соответствует определенное значение р,
значит, граничная кривая симметрична относительно оси |.
Каждому значению р соответствует либо два значения %, либо
ни одного. Эти значения равны по абсолютной величине, но про-
тивоположны по знаку. Кривая также симметрична относи-
тельно оси т). Она является алгебраической кривой шестого по-
рядка.

Координата £ не может быть произвольно большой. Очевидно,
что максимальное значение дается неравенством

Когда т] неограниченно возрастает, то £ стремится к одному
из этих предельных значений, и кривая имеет две прямолиней-
ные асимптоты, параллельные оси т], расположенные на рас-
стоянии 5 = +1/ у Расположение кривой между этими ли-
ниями зависит от значений С.

Ось т] пересекается только в двух точках, которые даются
формулой

Для определения точек пересечения кривой с осью X получим
уравнение третьей степени:

В3-уС£ + | = 0.	(12)

Если С весьма велико, то кривая состоит из очень малой замкну-
той кривой около т2 и двух ветвей, неограниченно приближаю-
щихся к асимптотам (рис. 31).
Если уменьшать С, то в конце концов придем к такому значе-
нию Сц при котором внутренняя кривая соприкоснется с внеш-
ними. Тогда уравнение (12) должно обладать
двойным корнем. Это имеет место при

С = з/з,

т. е. при С = 4,326. Соответствующее зна-
чение I будет

(13)

(13*)

g=±l= 0,6934.
у 3

Определенные таким образом точки совпада- рис
ют с точками либрации Lt и Ьг (рис. 32).

Если С <С 4,326, то граничная кривая состоит из двух не-
замкнутых ветвей (рис. 33). Когда С 4,326, то любая орбита
в окрестности массы т2 должна оставаться во внутренней ветви

Рис. 32.

Рис. 33.

граничной кривой, и тогда можно сказать, что движение является
устойчивым.

Если рассматривать систему Земля — Солнце, то расстояние
между т2 и т2 в канонических единицах равно 68,4. Точка либ-
а

рации отстоит от т2 на расстоянии -jqq, что согласуется с ре-
зультатами § 1.

При отыскании периодических решений дифференциальных
уравнений (9) можно избрать два различных пути. Можно исхо-
дить из определенных начальных условий, вычислять при помощи
численного интегрирования соответствующие орбиты и варьиро-
вать начальные условия до тех пор, пока не получим кривой»
которая замыкается, либо можно в (9) подставить вместо £ и i]
периодические ряды и разыскивать при помощи уравнений (9)
коэффициенты этих рядов.

Учитывая сложную структуру уравнений (9), едва ли пред-
ставляется целесообразным испытывать последний метод. Тем
не менее Хилл имел смелость приняться за решение этой про-
блемы и ему действительно удалось преодолеть трудности задачи
и решить ее по крайней мере для одного важного на практике

случая.

Главным препятствием на этом пути является наличие в диф-
ференциальных уравнениях отрицательных степеней расстоя-
ния р. Очевидно, что трудности преодолеть не удается, если непо-
средственно пользоваться уравнениями (9) и строить рекуррент-

ные формулы для коэффициентов.

Эту трудность Хилл преодолел, исключив из дифференциаль-
ных уравнений у при помощи интеграла Якоби. Исключение было
выполнено следующим образом.

Умножая уравнения (9) соответственно на —т| и | и складывая

результаты, получим:

+ ч^) + 35ч-0,

(14)

Но интеграл Якоби дает

и при помощи его второе из уравнений (14) можно записать в сле-
дующей форме:

^+’>^-2(5$-^) +

+![(»’+(4?)’]-4е’+4с=°-

(14*)

Можно заменить исходные дифференциальные уравнения (9)
уравнением (14*) и первым из уравнений (14). Постоянную С будем
считать известной. Вводя для t и г] ряды Фурье, для их коэффи-
циентов получим рекуррентные формулы второго порядка, кото-
рые содержат все бесконечное число коэффициентов. Уравнения
(9) привели бы к рекуррентным формулам восьмого порядка.
Вывод рекуррентных формул был выполнен Хиллом следующим
образом.
Сначала он ввел вместо | и г] две новые зависимые переменные
и и s при помощи соотношений

а = 5 +/—И. |
5 — £ —У—in. J

так что

us = £2 + Т]2 = р2,

и получил новые уравнения:

^ + 2Г=Т^+^-4(»+’)-О.

(15)

(«)

Целесообразно вместо t ввести новую независимую переменную.
Если эти уравнения допускают периодическое решение с перио-
дом —, то согласно теореме Фурье координаты можно разложить
по положительным и отрицательным степеням величины

£ = еГ-1

(17)

где t0 обозначает постоянную интегрирования. Значение числа v
пока не определено. Вводя с помощью (17) £ в качестве незави-
симой переменной, получим следующие дифференциальные урав-
нения:

(*! + 2vK % - 7^л- + 4 (»+•) = 0.

’V % + - 2v) Е % -	+1 (и + ,) - 0.

ИЛИ

“ +|(u+s)=o,
«Ь	“b (us)**	*

Г —1

vS£n^d_2v^-7-^- + l(u + s) = 0.

(18)

(18*)

Выгодно ввести следующий использованный Хиллом оператор

D — t —

(19)

25 к. Шарлье
386

так что по (18*)

		n2D2 + 2nD + 4  Л	__ 1 («s)7.	. $	л  и + jS = 0,	
		’ n2D2 -2nD + 4	_ 1 (us)7.	i $	л  s + — и = 0,	
или, если	ПОЛОЖИТЬ V = —, т ’				
	D2 + 2mD+ %-т2  ’ D2-2mD+^m2- л»		т2  (из)г/г .  тг ।  (ms)7, j	o'	о  II	II  о?  S	s  +	+  а	со	(19*)

Во введенных переменных интеграл Якоби записывается в виде

DuDs + y=~ + ±m2(u + s)2 = C.	(20)

Член 1 : (us)’,j при помощи (20) будет исключен из (19*) следую-
щим образом. Умножая уравнения (19*) соответственно на s
и и, складывая и вычитая, получим уравнения
uD2s + sD2u — 2т (uDs — sDu) +

+ 3TO2(u2 + s8 + 2„s)----=0,

у US

uD2s — sD2u — 2m (uDs -j- sDu) 4 m2 (u2 — s2) = 0,

или, если первое из этих уравнений сложить с (20), будет:

uD2s -|- sD2u — 2т (uDs — sDu) + Du Ds -J- m2 («+ s)2 = C,
3	(21)

uD2s — sD2u — 2m (uDs -|- sDu) -f- v m2 (u2 — s2) =0.

£

Для оператора D справедливо следующее свойство:

D (db) — aDb + bDa,
так что

D (uDs — sDu) — uD2s — sD2u,

D2 (us) — uD2s + sD2u + 2DuDs,
и, следовательно, из (21) получаем дифференциальные уравнения

D2 (us) — Du Ds — 2m (uDs — sDu) + m2 (u + s)2 = C,

3	(22)

D [uDs — sDu — 2mus] + у и2 (и2 — s2) = 0,
§ 5] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ МАСС 387
в топ изящной форме, которая была использована Хиллом, и
которая позволяет достаточно легко получить рекуррентные фор-
мулы для коэффициентов.

Из периодических орбит, допускаемых данными дифферен-
циальными уравнениями, мы рассмотрим только те, которые
в какой-либо момент времени пересекают ось абсцисс | под пря-
мым углом. К этой категории орбит принадлежат те, для которых
точка Р после одного оборота вокруг возвращается в прежнее
положение. Если для постоянной интегрирования t0 выбрать такое
значение, что орбита будет пересекать ось абсцисс £ под прямым
углом в момент tQ, то, очевидно, для такой орбиты координата 5
выразится рядом Фурье, в котором будут содержаться только
косинусы кратных v (t —t0), в то время как координата т) пред-
ставится соответствующим рядом по синусам. Свои исследова-
ния Хилл ограничивает такими орбитами, которые в момент t0
пересекают ось £ под прямым углом.

Покажем, что в этом случае ряды Фурье могут содержать
только нечетные кратные v (t — tg), так что

5 = Ло cos v (t — Zo) -j- Лу cos 3v (t — t0) A2 cos 5v (t — tg) +...,
T] - Bo sin v (t — tg) + Bx sin 3v (t — £0) + B2 sin 5v (t — tg) +...,
или, если положить

Ai = at + fl-i-i,

Bi — Cli — Я—i—1»
и ввести

T = v (t — tg),	(23)

TO

£ = 2 C0S (2t' + 1) |

i=-“	.	(24)

n = 2 ai sin (2i -J- 1)т. I
i=—oo	J

Вводя сюда определенную при помощи (17) переменную £ и одно-
временно и и s, получим ряды

«= 2 «£2‘+1.

i=c7	(25)

i=—oo	)
которые необходимо подставить в (22), чтобы получить искомые
рекуррентные формулы для коэффициентов а<.

Если перемножить два степенных ряда вида
00	ОО

2 и 2
i=—ОО	j=—<50

друг на друга, то их произведением будет степенной ряд
00	00	00	00

3 ^а1+1х 2 ^+1= 3 ( 2	(26)

i=—-oo	i=—oo	j——00 i——00

а так как, далее,

Du = 2 (« + 1)	Ds = 2 (2i + 1) a-i-i C**1,

то для us, u2 и т. д. получим следующие ряды:

US = 2 (2 aiai-i) c2J,
i i

“2 = 2 (2	) C2'»

*,=2(2«*«-<->1)с*\

3 i

Du Ds = - 2 [2 (2l‘ + i) (2l‘ “ 2/ + !)	j] \

j i

uDs - sDu = - 2 [2 (4‘ - 2/ + 2)	:2i.

j i

uDs + sDu = 2 [2 2ja{ai_j] C3,
3 i

и, далее,

D*(us) = 2[2(2/)2«i«i-j]:25,
3	<

(a + s)2 = 2 [2	+ 2вч)] ,

3 i

u* - a2 = 2 [2 («ч >3-1 ~ a-им)] ?2У>
3 i

«Z>2s — sD*u = — 2 [2 2/ (4г — 2/ + 2) «{в,-,]	= D (uDs —sDu).

i <
В этих формулах i и j принимают все целые числовые значе-
ния от —оо до -j-оо.

Если теперь приведенные выражения подставить в (22)
и определить сн таким образом, чтобы коэффициент при £2,‘
обратился бы в нуль, то получим следующие рекуррентные
формулы:

2	4* (2i 4* 1) (2*—2/-J-1)	4- 2/zi (4i—2/ 4- 2) (liOi-j 4~

i=—ooL

4т m?ai (a_i+;_j -|-	4" 2aj_j) j = 0,

2 [2/ (— (4i — 2/4-2) — 2m) aitii-j 4—£— a* (a-i+i-i—=

или

00

2 [(2i 4-1) (24 - 2/ 4- 1) + 4/’- + 4 (24 - / + 1) 7П + 4
i=-oo L	J

co

4-Im2 2	+	=	(27)

i=—co
00

4/ 2 (2* — J + 1 + m) aiai-j —
i=—co

00

— у m2 2 a< (e-i+м — a-i-j-i) = °- (28)

Эти формулы справедливы при всех значениях ; от —оо до 4-°°>
за исключением значения / = 0, для которого получим

00

2 Г(24 + 1)24- ±(2i 4-1)
i=—со

. 9	>! 2 ,

т 4- j т- J ai 4-

00

4- 4 т2 2 2 а{а_{_х = С. (29)
г — 'Оо

Уравнения (27) и (28) взаимно зависимы *). Это можно показать
следующим образом. Если умножить (27) на 2, а (28) на 3, а

') Второе из уравнений (28) удовлетворяется тождественно. (Прим, ред.)
затем сложить и вычесть, то получим
оо

2 [8г2 - 81 (4/ - 1) + 20/’- - 16/ + 2 +
{=—ОО

ОО

+ 4m (4 г — 5/ + 2) + 9m2]	-|-9m2 3 aie-i+i-i = 0. (30)

i=—oo

oo

2 [8г2 + 8i (2/ + 1) — 4/2 + 8/ -]- 2 4- 4m (4i-|-/-|-2) -)-9m2] flifli-;—|-
i=-oo

00

+ 9m2 2 «ifl-i-j-i = 0. (31)
i==—oo

Легко видеть, что эти два уравнения идентичны. Действительно,
если в (30) i заменить на i + j, а затем / на —/, то это уравнение
перейдет в (31). Следовательно, как для положительных, так и
для отрицательных значений / следует рассматривать только
одно из этих уравнений.

Уравнения (31) и (29) представляют собой бесконечную систему
уравнений второго порядка, из которой надлежит определить
бесконечное множество коэффициентов а0, a±i, a±a . . . и т. д.*).
Хилл не испугался этой задачп. Однако при этом он вынужден
был наложить на задачу одно ограничение. В приведенных урав-
нениях наряду с коэффициентами а% и целыми числами i и / входит
величина т, которую можно рассматривать как параметр. Ко-
эффициенты ai и а,- следует рассматривать как функции этого
параметра; a priori можно ожидать, что эти функции имеют
сложную структуру. Получить общие выражения для ai, спра-
ведливые при любых значениях т, вряд ли возможно. Поэтому
необходимо исследовать значения а\ в окрестности определен-
ного значения т. Эти исследования сравнительно легко прово-
дятся в окрестности m = 0. Соответствующие ряды очень важны
в приложениях к практическим задачам астрономии и были
подробно рассмотрены Хиллом.

Так как период равен 2лт, то при малых m имеем дело с та-
кими орбитами, которые замыкаются через короткий промежуток
времени, даже после одного оборота вокруг м2. Нет сомнения
в том, что существуют также периодические орбиты долгого
периода (эти орбиты в одном из следующих параграфов мы будем
изучать с другой точки зрения), и особенный интерес представ-
ляют орбиты, которые соответствуют очень большим значениям
т. Поэтому было бы весьма важно исследовать решение уравне-

•) Автор употребляет слово elimiuieren. (Прим, ред.)
ний (31) в окрестности т = оо, хотя это исследование представ-
ляется связанным с трудностями (можно, вероятно, показать,
что для таких орбит ряды Фурье непригодны).

Что касается разложения в окрестности т = 0, то без труда
находим, что ряды для а, имеют вид

= m2j (а,0) + т + тп2 + ...), |	^2)

a-j= m2j (a-j 4- а->т + a~]m2 4- . . .), J

где обозначают определенные числовые коэффициенты. Однако
Хилл не искал непосредственно a±j в виде ряда по степеням т,
а избрал путь, имеющий определенные практические преиму-
щества.

Если в (30) и (31) положить i равным нулю и затем равным /,
то найдем, что эти уравнения содержат следующие члены: в (30)

[20/2 — 16/4-2 — 4 (5/ — 2)т + 9т2]аоа_; 4-

4- [ —4/2 — 8/ + 2-4 (/ — 2)т 4- 9m2]a0aj
и в (31)

[ —4/2 4- 8/ 4- 2 4- 4 (/ 4- 2)т 4-9т21аоа -j +

4- [20/2 4- 16/ 4- 2 4- 4 (5/ 4- 2)т 4- 9т2]аоа,-.

Далее находим, что в (30) и (31) содержатся также и другие
члены, которые имеют множителем а, и a-j, однако эти члены
имеют форму m4a±J- или умножаются на степени т выше чет-
вертой. Кроме того, можно вывести, что все члены в (30) и (31),
если для коэффициентов предполагается форма (32), по крайней
мере порядка т2>, и что в членах порядка т2’ имеются только
коэффициенты «0, a±i, a±2, . . . , а±3, .... a±j. Таким образом,
эти уравнения пригодны для определения коэффициентов a±j
методом последовательных приближений.

Для этой цели Хилл сначала получил уравнения, которые
содержат только а,- и не содержат a_j, что, очевидно, получается,
если уравнение (30) умножить на

—4/2 + 8/ + 2 + 4 (/ + 2)т + 9m2,

а уравнение (31) на

-20/2 4- 16/ — 2 4- 4 (5/ - 2)т - 9т2,

и сложить результаты.
Тогда получим уравнение

2 48г/ [4г (/ -1) + 4/8 + 4/ - 2 - 4m (г - / + 1) + т2] ata4 -
i=—00

— 9m2 3 I— 4/2 + 8j + 2 + 4 (/ + 2) m 9m2] а£а_{+,_х —
i=—oo

- 9m2 3 [— 20/2 + 16/ - 2 + 4m (5/ — 2) - 9m2]	= 0.

i=—oo

Если это уравнение разделить на коэффициент при а,а0, равный
48/2 [8/г -2—4m + m2],

и ввести обозначения Хилла

4(/— 1) i + 4Z2 + 4/ — 2 — 4m (t — / + 1) 4- т*
j ’	8/2 — 2 — 4m + m2

3m2	4/2 — 8/ — 2 — 4m (/ 4- 2) — 9m2

Тб/2'	8/2 —2 —4mTm2 ’

3m2 20/2 —16/+ 2 —4m (5/—2) + 9m2

16/2 * 8p — 2 — 4m + m2

(33*)

то уравнение примет вид
OO	OO	00

3 l/> *1 aiai-j + [/] 3	+ (/) 3 aia-i-i-l = °- (33)

i=—oo	i=—oo	i=—00

Коэффициенты обладают свойством
[/, 0] = 0,	[/, /] = -1,

за исключением коэффициента [0, 0], который остается неопре-
деленным.

В (33) / может принимать как положительные, так и отри-
цательные значения. Вторая или третья сумма (33), в зависимо-
сти от знака /, на четыре порядка меньше членов низшего по-
рядка уравнения, и поэтому приближенно уравнение можно за-
писать в одной из следующих форм:

СО	ОО

3 [/, г] a^i-j 4- [/1 з	= °-

j=—оо	г=—oo

oo	oo

3 [—A {]	+ (— /) 3 aia-i+i-l = °-

i=—oo	i=—oo

(33**)
Если здесь последовательно полагать / = 1, 2, 3, . . . и т. д.,
то получим следующие уравнения, которые позволят найти
значения с большой степенью точности. В каждом случае
ошибка в а±, будет порядка т2’44:
аоа! = [11 аоао.
аоа-х = (—1)аоао>
а0й2 = [21 (аоах + а&о) 4- [2, Н^а-х,
а0а_2 = (—2) (аоа, 4-	+ [—2, —11 аха_1(

Яд^З == 131 (lZg£Z2 4~ “р Я2Яд) 4” [3, 11 #x^^—-2 4" [3, 2] Я2Я—х,
а0а~3 = (—3) (адЯ2 4* Яхй2 4” я2Яд) 4~ I—3,—1]а_]а2 4-

4- [ —3, —2]а_..а1
и т. д.

Здесь Хилл впервые ввел разложения по степеням т. Если
приведенные выражения разложить в ряд по степеням т, то
сходимость этих разложений будет зависеть от сходимости раз-
ложения знаменателей правой части. Эти знаменатели имеют
форму 8/2 — 2 — 4m 4 т2 и их разложения по степеням т оче-
видно сходятся тем быстрее, чем больше /. Наиболее неблаго-
приятный случай для сходимости —при 7 = 1, когда знамена-
тель имеет вид

6 — 4?п 4~ т2.

Если дробь с этим знаменателем будет разлагаться по степе-
ням т, то это разложение будет сходиться для т, по модулю мень-
ших, чем корни уравнения

6 — 4m 4- т? = О,
т. е. при | т | <Z 1^6. Теперь воспользуемся известной теоремой
из теории рядов: если дан степенной ряд

ОО

и—О
с радиусом сходимости Я, то имеет место соотношение

л
П—>00 п+1

Чем больше радиус сходимости, тем быстрее уменьшаются по
абсолютной величине коэффициенты Ап- Итак, если возможно
вместо т ввести величину к, которая мало отличается от т, и если
будет показано, что разложение по степеням и обладает большим
радиусом сходимости, чем у^б, то разложение коэффициентов at
по степеням х предпочтительнее, чем разложение по степеням т.
Поскольку задача неопределенна, то функциональную зави-
симость между т и х можно выбрать произвольно. Примем, сле-
дуя Хиллу, что

х

т = т—:--- ,

1 + ах ’

и оставим а пока неопределенным; тогда знаменатель выразится
через х в форме

(1 —4а + 6а2) х2 — (4 —12а)х + 6.

Полагая это выражение равным нулю, для квадрата модуля
корня получим выражение

6

1 — 4а + 6а2 ’

которое имеет максимум прп а = Этот максимум равен 18,
о

так что разложение знаменателя при | х К ]/"18 сходится. Так как
здесь положили

то необходимо разложить в ряд по степеням х знаменатель 1 х.
Это разложение сходится только для ] х ] <^ 3. Таким образом,
радиус сходимости равен 3, в то время как радиус сходимости
прп разложении по степеням т равен УН = 2,45. Хилл добился
более быстрой сходимости, разлагая в ряд по степеням х. Он мог
бы добиться еще более сильной сходимости, если бы принял для а
другое значение. Выбор, очевидно, получается наиболее выгод-
ным, если абсолютная величина корней знаменателя будет равна
корню уравнения 1 + ах = 0; таким образом, если

1 =	6

а2 1 — 4а + 6а2 ’

1

т. е. при а —	, делаем подстановку

< , 1 ’

1	-Г-4*

и в этом случае радиус сходимости будет равен 4.

Задавая х с помощью (34), Хилл разложил коэффициенты <ц
в ряды по степеням х. Первые члены этих разложений с точностью
до шестых степеней х будут иметь следующий вид:
«1	3	. . 3	з . 21	4	1 .	103 767	в

а0	16	ф 8	+ 144	6 Х	331776

Я-1

До

а2

_	, И 4 , 5 з_ 2644

16 8Х + 144Х + 36Х	331776

25

(Iq 256

553 . .	7486 в .

1920Х 28 800 К + • ' ’ ’

Д-2
Ло
«8

69 5 , 1863

1920Х + 28 800

833

До 12 288
а я __ 61

~ 12288

хв

Мы предпочтем в последующем использовать параметр т. Тогда,
согласно Хиллу, предыдущие выражения примут вид:

11 5	30749 «

__m5_wZree-...,

Л1 «0	3 п > 1 о । 7 = _,й2+ _ т3 + _,	
«-1 «0	19 ,	5 ,  	16т ~"зт	—
«2  «о	25 * . 803 5  256 т 1920 т	+ -
О о	23 s ,	299	
«0	640 т "* 23-3-5-	/п*

25-32-52

43 4

36 т
6109

14 g 7381 в .

27 т 21<>-3*т + • • •»

т* + . . .,

(35)

«з 833 в ,

Ло 1 ’

Формула (29) дает нам С выраженным через а0 и т. Если подста-
вить приведенные значения a_i и т. д., то получим

2/4 , ,	,9	, .	1147 4	1399 5	2047 .	\

<7 =а0(1 +4тп + у м2 +	--т5 -	т6 - . .

(36)

Из величин а0, С и т только одну следует рассматривать как про-
извольную. Если в интеграл Якоби

Du Ds 4- 2Т— + —- лг2 (u + s)2 = С
у us 4

подставить вместо и ив ряды, то, очевидно, полагая в левой части
постоянный член равным С, получим выражение вида

С=а2Л + §-,
«о

гдеР1пР2 обозначают степенные ряды по т, из которых Рг умно-
жен на ш2. Если из этого уравнения и (36) исключить С, то а0
выразится через т. Таким образом, получаем

t/ /1	2	,7	»	£ si 19565 д \	/О7\

ao=mA(l--3-m + Igm2-grm8 +(37)

Этот ряд записывается Хиллом в форме

пг/3
^0 — ~ i
(l+m)

1	2 ,	1	3 i 407	4

67 a	45 293 e

288 m	41 472 m

Из (36) n (37) для С получим ряд

г ч 14 । 8	 7	2	140 3	39533	4	\	,.JQ,

Этим полностью завершается аналитическое представление перио-
дической орбиты в окрестности одной из притягивающих масс.
Если задан синодический период бесконечно малой массы (спут-
ника), то приведенные формулы непосредственно дают выраже-
ния для координат как функций времени. Предпочтительнее
несколько изменить формулы (24), введя полярные координаты
р и <р, так что

£ = р cos ф,

т] = р sin ф.

Тогда уравнения (24) могут быть записаны в форме

ОО
рсоз(ф — т) = 3 а{со8 2гт,
i=—оо

оо

р sin (ф — т) = 2 a,i sin 2гт.
i=—оо

(39)

Синодический период обращения Луны в 12,37 раза меньше
года. Полагая т = 1 : 12,37, получим периодическую орбиту
спутника, который обладает тем же самым синодическим перио-
дом обращения, что и Луна. Ряды (39) имеют здесь следующие
§ 5] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ МАСС 397
выражения:

г cos (<р — т) =

= aQ (1 —0,007180039455 cos 2т + 0,000006042459 cos 4т +

+ 0,000000032576 cos 6т + 0,000000000180 cos 8т),

г sin (ф — т) = а0 (0,010211454396 sin 2т + 0,000005714879 sin 4т +

+ 0,000000027499 sin 6т + 0,000000000157 sin 8т),
где

а0 =0,999093141962 ——.
(1 + да)*/’

Следует помнить, что здесь в основу положена каноническая еди-
ница длины, значение которой для этого случая ранее было нами
дано. Эти выражения, используемые Хиллом в его теории дви-
жения Луны, представляют прекрасный пример быстрой сходи-
мости рядов.

Все периодические орбиты, которые рассматриваются здесь,
пересекают ось абсцисс под прямым углом. Интересно выяснить
зависимость между расстоянием этой точки пересечения Во от
п параметром т. При t = t0 получим

ОО

£о = S ai

i=—оо

и из (35) и (37) найдем

t ./ !а 2	11	,	89 з . 1477	4	\

Обращение этого ряда имеет вид

т =	(1 +	+ а2В? + а3Й* + •••)•	(40*)

При этом следует вспомнить, что период имел выражение
2лт. Формула (40*) показывает, что для рассматриваемых перио-
дических орбит период возрастает вместе с расстоянием £0, по
крайней мере при весьма малых т. В этом состоит главное раз-
личие между периодическими орбитами в окрестности zn2 и перио-
дическими орбитами в окрестности точек либрации. Для последних
период не зависел от расстояния до точек либрации, но имел
определенное значение, которое было общим для всех периоди-
ческих орбит в окрестности каждой точки либрации.

Хотя |0 при малых значениях т монотонно возрастает вместе
с т, однако это не имеет места, когда т становится большим.
При возрастании т достигается максимальное значение, для
которого

^ = 0.
dm

(41)

и если т принимает еще большие значения, то точка пересечения
периодической кривой с осью обсцисс смещается обратно в на-
правлении к ш2.

Применяя ряд (40), вместо (41) получаем уравнение следую-
щего вида:

2	10	44 „	979 ,

Т-W ~486W

. =0,

корень которого т — 1 : 2,86. Однако следует заметить, что здесь
члены четвертого и высших порядков, которыми мы пренебре-
гаем, могут дать заметную поправку к этому значению.

Хилл рассматривал этот вопрос не с помощью своих аналити-
ческих формул, которые позволяют выполнить достаточно точ-
ное исследование этого вопроса, а при помощи численного инте-
грирования. Для значения т, которое соответствует максималь-
ному значению £й, он получил приближенно 2,8.

Полагая в формуле (39) т — у, получим расстояние точки
пересечения кривой с осью т]. Если это расстояние обозначить
через 1|0, то согласно (24)

Ло = а0 — аг + а2 — а3 + . . . — д-i + а2 - а-з + • • •>
пли, по (35),

/. , , . 7 з . 1633 . .	\

Ло = «о (1 + тг + -g- т3 + т* 4- .. .) .

Если сюда подставить значение а0 из (37), то получим

r]0 = m2/’(l—утп4--^-т2+^т3 —(42)

При весьма малых значениях т величина возрастает вместе
с периодом. Для более детального исследования значения
приведенное представление недостаточно, и, видимо, здесь недо-
статочно учитывать члены высшего порядка, а необходимо вос-
пользоваться либо численным интегрированием, либо разложе-
ниями по степеням времени.

111

Полагая в (39) тп = у, -g и т. д., получим формулы, спра-
ведливые для спутников, содержащих за промежуток времени Т
10, 9, 8 и т. д. синодических оборотов. Этим способом, а также
частично при помощи численного интегрирования, Хилл получил
табл. XXI.
Таблица XXI

Периодические орбиты в окрестности mi

Число сино- дических оборотов за время  Т = — т	5.	%	•Ло : 4о
12Л 1Z160	0,17610	0,17864	1,01446
10	0,19965	0,20418	1,02271
9	0,21209	0,21813	1,02849
8	0,22652	0,23485	1,03678
7	0,24342	0,25543	1,04934
6	0,26332	0,28167	1,06969
5	0,28660	0,31699	1,10605
4	0,31232	0,36897	1,18138
3	0,33235	0,45973	1,38329
2	0,302	0,684	2,26
1,78265	0,27180	0,78190	2,87676

Скорость в соединении,	Скорость в квадратуре,	•• va	С
2,22295	2,16484	0,97386	6,50888
2,06163	1,97693	0,95892	5,88686
1,98730	1,88501	0,94853	5,61562
1,90904	1,78250	0,93372	5,33873
1,82721	1,66572	0,91162	5,05535
1,74X33	1,52851	0,87677	4,76409
1,66247	1,35953	0,81777	4,46103
1,60111	1,13480	0,70876	4,13277
1,62141	0,79387	0,48962	3,72018
2,00	0,18	0,09	2,89
2,24102	0,00000	0,00000	2,55788

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ МАСС
Первый из этих спутников имеет такой же период обраще-

ния, что и Луна

вокруг Земли. Спутник, приведенный в послед-
ней строке, будет рассмотрен ниже более
детально.

На рис. 34 показаны некоторые периоди-
ческие орбиты, содержащиеся в табл. XXI,
а именно те, которые соответствуют зна-
j

чениям — — 4; 3; 1,78 и, кроме того, орби-

1

та Луны. Видно, что при— < 3 точка пересе-
чения с осью | приближается к массе т2.

Все рассмотренные здесь периодические
орбиты пересекают ось £, а равным образом
и ось т), под прямым углом, пли, говоря бо-
лее точно, всегда имеется точка, в которой
эти орбиты пересекаются с осями под пря-
мым углом. Но это не препятствует тому,
чтобы в других точках, которые являются
двойными, орбиты могли бы составлять с
осями острый угол. Такие «петли» можно
изучать, как показал Пуанкаре (2], вполне
успешно при помощи разложений в ряды по
степеням времени.

Если периодическая орбита в момент t = 0 пересекает ось
ординат под прямым углом, то в окрестности этой точки коорди-
наты можно выразить в виде степенных рядов вида

£ = Vot + A3t3 + Л5«5 -г • • -,1

Л = Ло + -^2^2 + Aft* + •••!

(43)

Подставляя эти ряды в дифференциальные уравнения (9), для
коэффициентов получим рекуррентные формулы, из которых сле-
дуют значения

1 • 2 А а------2г>0 — Ло2,

2- 3 ^4з = 4Лг -|- Зг0 — Ло г’о.

3-4 А& = —6Л3 —у Ло* (3»о + ^Ло-^з)»

4-5 А3 = 8Л4 -|- ЗЛ3 -|—Ло* (^о 4" ^&оАг) Vq — Ло3 -4з>

(43*)

и, таким образом, имеем

£ = vQt —


Для того чтобы на оси г| появилась «петля», необходимо, чтобы £
обращалось в нуль для трех близких значений t. Первое условие
для возникновения такой точки состоит, следовательно, в том,
что v0 весьма мало, так что уравнение (44) приближенно будет
иметь вид

t =	+	(44*)

Зт)о

Если v0 отрицательно, то ось т) будет пересекаться с орбитой
в прямом направлении и может обращаться в нуль только при
одном значении t, а именно при t — 0. Но если ось т| пересека-
ется в противоположном направлении, то р0 положительно, и
координата £ может обращаться в нуль при трех значениях t,
а именно, при

Z = °’ 1Л5- I	(45)

t = + По VJ	V '

Так как здесь было сделано предположение, что va мало, то
такие «петли» должны встречаться всякий раз, когда скорость
движения спутника по орбите мала, движение происходит в на-
правлении, обратном движению тг и т« вокруг их центра масс,
а ось т| пересекается под прямым углом. Но отсюда отнюдь не
следует, что все подобные орбиты являются также периодическими.
Для этого необходимо, чтобы «петля» была на определенном рас-
стоянии от пг2. В канонических единицах длины это расстояние
равно 0,7819. Хилл прп помощи численного интегрирования
нашел, что спутник, который будет выброшен со скоростью, рав-
ной 2,2410, на расстояние 0,2718 под прямым углом к осп Е, до-
стигнет оси 1] с нулевой скоростью на расстоянии 0,7819 (см.
последнюю строку таблицы). Хилл назвал этот спутник «the
moon of the last lunation», а Пуанкаре показал указанным выше
образом, что аналитическое продолжение орбиты этой «луны»
приводит к петлеобразной орбите.

Такие точки могут встретиться и на осп абсцисс. Если орбита
перпендикулярна к осп £, то можно написать

= Во +	4- Btt* + .... X

= v0t + Bst3 4~ В5/8 +

тогда из дифференциальных уравнений (9) получим
1.2 вг = 2r0 + зв0 - в;2,
2 • 3 В3 = — 4В2 — Bo3^oi

3-4 Вц = 6В3 4- ЗВ2 4- -% Bq4 (3₽о 4- 4ВоВ3),

(46)

(47)

4 • 5 В5 = - 8В4 4- 4 So5 Н +	~ Вз-

U к. Шарлье
Хилл приводит значения коэффициентов В до Въ. Итак, имеем

Если v0 весьма мало, то приближенно будем иметь

T] = vof—(g0 —-L-'ps+...
\	.4FЛ I

(46**)

Координата т) может обращаться в нуль при трех близких зна-
чениях, а именно:

(48)

если под знаком корня стоит положительная величина. Таким
образом, необходимо различать два случая:

(а)

в котором v0 должно быть положительным. Значит, здесь «петли»
встречаются в том случае, если ось абсцисс пересекается орбитой
в прямом направлении при малой скорости. Рас-
стояние двойной точки здесь больше |0.

Рис. 35.

ь<^-

(Ь)

Петля имеет место при отрицательных значениях гЛ. Граничная
точка между этими двумя случаями, абсцисса которой равна
1 : р^З, согласно (13*) совпадает с точкой либрации Lv

Следовательно, бесконечно малые петли могут встречаться
в каждой точке оси £, если тела бросаются с перпендикулярной
к оси £ скоростью. При этом для возникновения «петли» направ-
ления, в котором тела проходят ось Е, должны быть вне Lr пря-
мыми, а внутри Lr — обратными.
Без специальных исследований нельзя установить, встреча-
ются ли периодические орбиты с такими «петлями». Но, вероятно,
существует периодическая орбита, которая имеет в вершину,
причем скорость при приближении тела к точке стремится
к нулю. Аналитическим продолжением этих орбит будут кривые,
которые образуют «петли» вокруг Из вычислении Дарвина
мы находим, что периодические орбиты этого рода существуют.

Приведенные исследования о бесконечно малых «петлях»
будут неполны, поскольку' они непосредственно неприменимы
к «петлям» в точке пли близкой окрестности этой точки. В упо-
мянутой точке не следует пренебрегать в коэффициенте при v0
в (46*) множителем с t3.

Для орбиты, которая пересекает под прямым углом ось £ в точке
Llt справедливы степенные ряды

5 - + 1>Z +   ;

пли, так как

то

п=»0 (t—4<з+ • • •)•

Следовательно, координата i] обращается в нуль при t = 0 и
также (в предположении, что это должно быть справедливым
при отбрасывании членов с i5, t~ и т. д.) при t = + j/'-у-. Но это
значение t не является весьма малым, что в приведенном выводе
являлось необходимым предположением, и, следовательно, в
нет никаких бесконечно малых петель. Правильнее было бы
сказать, что здесь нет никаких петель, которые описывались бы
за бесконечно малое время. Более того, возможно, что здесь
могут быть бесконечно малые петли, которые описываются за
конечное время, и действительно, известно, что этот случай имеет
место, так как периодические орбиты семейства а, которые мы
исследовали в § 4, как раз и обладают этим свойством. Период
обращения по этим орбитам будет иметь конечную величину также
и в том случае, когда размеры орбит бесконечно малы.

Поэтому будет справедливым предположить, что имеются
периодические орбиты, которые описывают петлю вокруг Lt.
Время, необходимое спутнику для описания этой петли, согласно
(4*) § 4 равно

= 0,483 • 2л,
/ /28-1

и корни уравнения т] = 0 в окрестности должны быть

i = 0,
t = ; -1— - = 1,52.

//28 — 1

Этот результат мог бы быть установлен непосредственно из рядов
(46*), если бы эти разложения были сходящимися для столь
больших значений t.

Если исходить из точных уравнений (4) ограниченной кру-
говой задачи трех тел, то выводы Хилла претерпят некоторые
изменения, в основном связанные с тем, что периодические
орбиты в окрестности т2 больше не будут симметричными отно-
сительно оси т). Спутник «of the last lunation» также будет иметь
место, а в равной мере и петлеобразные периодические орбиты,
хотя двойная точка больше не будет раположена на оси ц.

§ 6. Теорема существования Коши. Теорема Пуанкаре

Наиболее общие исследования периодических решений при-
надлежат Пуанкаре, который в [21 дал новые и общие методы их
построения. При этом он исходил из фундаментальной теоремы
о решении дифференциального уравнения, которую мы сначала
намерены доказать.

Пусть имеется дифференциальное уравнение

(1)

и пусть функцию <р можно разложить в окрестности t = t0, х = хй
по степеням t —t0 и х - х0, а значению t = t0 соответствует
значение х = а:0; тогда интеграл (1) можно записать в форме ряда

х = х0 + сх (t —10) -f- с2 (t — /0)2 + . . .,	(2)

который сходится в определенной конечной окрестности t = t0.
Коэффициенты clt сг и т. д. определяются однозначным образом,
и ряд (2) представляет собой некоторый аналитический интеграл,
который при t = t0 принимает значение х = х0.

Это и составляет знаменитую теорему существования Коши.

Эта теорема получила существенное развитие в работе Пуан-
каре, благодаря чему он смог сделать в небесной механике далеко
идущие выводы. Теорему Пуанкаре мы разделим на три части.
$ 6] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ КОШИ. ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ 405

Сначала мы рассмотрим дифференциальное уравнение
(3)

и предположим, что функция ф может быть разложена в ряд по
степеням х, а также, что это разложение сходится при | х | < а
и всех значениях t, таких, что

(4)

Мы не будем предполагать, что функция <р внутри области (4)
может быть разложена по степеням t. Мы рассматриваем ф как ана-
литическую функцию t в области (4), которая может быть раз-
ложена по степеням t — а в каждой точке а (0 а < Г), но это
не означает, что радиус сходимости столь велик, что разложение
по степеням t сходится во всей области (4).

Рассмотрим интеграл уравнения (3), который при t = 0 обра-
щается в нуль. Для этой цели введем функцию х', которая опре-
деляется дифференциальным уравнением

-^ = ф'(^о.	(3*)

где относительно функции ф' в правой части (3*) делается пред-
положение, что она может быть разложена для | х' | < а по сте-
пеням х', а также для всех значений t из области (4). Записывая
это разложение в форме

<4’>

предположим еще, что все коэффициенты Вп в области (4) поло-
жительны.

Если соответствующий ряд для ф имеет форму

ф=2)^п	®

то предположим, наконец, что

| Ап | < Вп.	(6)

Когда две функции ф и ф' удовлетворяют неравенству (6), то
Пуанкаре выражает это символом

Ф <С ф'	(6*)

или, полнее,
Ф *< Ф' (Arg х).
Как Ап, так и Вп суть произвольные функции t, для которых
должно выполняться неравенство (6) во всей области (4).

Если теперь при t = 0 х' — 0, то можно доказать, что

(7)

во всей области 0 t Т. Действительно, при t = 0 имеем

и так как по (6)
то, значит,

Ф = Ф (0, 0) = Ао,
ф' = ф' (0, 0) = Во,

Mol

I dx I	dx'

| dt |	dt ’

(8)

причем последнее неравенство сохраняет свою силу для доста-
точно малых положительных значений t. Для этих значений t
имеем

И О'.	(8*)

Неравенство (8*) должно быть выполнено, если выполняется (8).

Предположим, что (8*) справедливо от t = 0 до t — < Т
и тогда докажем, что оно должно иметь место также и для значе-
ний t, несколько больших tv При t — имеем

причем, по предположению, | хх | < Далее, для t = tv
-^ = Ф(«1,<1) = ЗЛп(Мх?,

и согласно (6*) при t — tr имеем J так что (8*)
справедливо для значений I, несколько больших, чем t = tv
Таким образом, мы будем продолжать рассуждения до тех пор,
пока не достигнем значения t — Т.

Доказав эту лемму, сделаем второй шаг, предположив, что в
рассматриваемое дифференциальное уравнение входит параметр р.
Относительно дифференциального уравнения

= t, р)	(9)

сделаем предположение, что функция ф (х, t, ц) для | ж| < а,
IНI Р может быть разложена по степеням х и р при всех
0 t Т. Тогда можно записать

ОО	ОО

ф = 2 АИ^} = 2
i=0	m=o

3=0

/ И<« IhKp \

\	0<f<r	)‘

(9*)

Будем отыскивать интеграл (9), который обращается в нуль
при t = 0 и разлагается в ряд по степеням р. Положим

х = х0 + рхх + Ц2х2 + . . .

и получим

-Г (*• '• I*) = »» 0) + £ (w V + < и +

8 /э<р а^ , а«ф /а®\»
I! \ дх ар8 + а®8 \ар )

д*ч дх , а^
ар а® ар + ар8 /|t=o

или согласно (10)

<р (ж, t, р) = <р (х0, t, 0) + р (JJ-

*+£) +

'UXq

. 1 а8ф 2 . 1 а«ф . 1 а«ф
д*2 ~|--—т- Xi Ч-----------Xj Ч--------

2 дх* 2 а®одр 2 ар8

'О

где Хт разлагается в ряд по степеням хх, х2, . . . , xm-i и, кроме
того, зависит от х0 и t.

Тогда для х0, Xi и т. д. имеем дифференциальные уравнения

^ = Ф(хо, t,0),

dxi d<P , дф

dt = а®0 1 ар »

frf । 1 Э8ф 2 । д2ф i 1 д2ф

~di aST "Г 2 дх*	1	2 Эр8 ’

dxrn. _ a<₽ v , у

dt ~ a®0 Xm ф Лт’

Затем мы рассмотрим аналогичное уравнение

^ = Ф'(г'.*,Ю,

(И)
где

ф' = 2 Bi}x'W = 2 Втцт,	(11*)

1=0	»1=0

Э=0

причем последнее разложение сходится для | х' | < а, | ц | < р
и для всех 0 < f < Т, и где

(12)

Если разложить интеграл этою уравнения в ряд по степеням
х' — х0 4- uxi +	+ . . • ,

то для определения х0, Xj и т. д. получим уравнения

.	— Ф (хо>	0)»

dx^	Эф' ,	Эф'

------ —~ X-i	4-,

dt	дхй	Эр

dx'	Эф' ,	1 Э2ф'	Э2ф' , 1	Э2ф

---— —т Ха 4--------гг Xi 4--;---Xi 4-------.

dt Э®„	2 Эх02 1 Э»0Эр 1 2 Эр2

dxm
dt

Эф' ,	,

= . • хт 4- Хщ‘
дх0

Предположим, что при t = О

= xi ~ хг ~ • • • — О
и

Хо = Ху = xz = . . . = О,
и покажем, что

I Хт| < хт (т = 0, 1, 2, . . .)

(13)

для 0 t < Т.

Из только что доказанной леммы следует, что для этих значе-
ний t |х0|<^хь. Замечая, что неравенство (12) может быть запи-
сано в форме

ЭНз’ф
дх* Эр?

э{+у

дх’*дц^ ’

(12*)
сначала находим из уравнений (так как при t = 0 хг = х* = 0)

</хг _	, Эф

dt ~ дх0 1 *" Эр ’

dx'.	dtp' , Эф'

—- = —г Xi 4---------,

dt	Э»о Эр

что при малых положительных значениях t должно иметь место-
неравенство Ixjl < а?х> Повторяя приводившиеся выше рассуж-
дения, приходим к выводу, что это неравенство должно выпол-
няться для всех значений t между 0 и Т.

Предположим, что таким образом показано, что
I ®11 < I I < $2..............I Sm-1 I < Хт-1,

докажем тогда, что справедливо также

Действительно, Хт является целой рациональной функцией
от а?1( х2, ... , «т-i, коэффициенты которой суть частные произ-
водные от функции <р по х0 и р; аналогичное заключение имеет
место и для Хт. Следовательно, |Xm | <С Хт. Уравнения

- 3<₽	। Y

~ ~дх^Хт + Лт’

dxm
dt

<Чп
dt

д<Р' ' I Y'
. > Хт Т Л-т,
#х0

показывают, что, так как при t = 0 хт — хт = 0, то для t — О

dxm
dt

и, следовательно, для малых положительных значений t должна
быть | Хт | <С хт. А это позволяет провести те же рассуждения,
которые были при доказательстве первой леммы; тогда неравен-
ство (13) должно выполняться для всех t между 0 и Т.

О вспомогательной функции <р' («', t, р) предполагалось, что-

1)	ее разложение по степеням х' и р сходится для | х' | <Z а
и IИI <С Р ПРИ всех I между 0 и Г.

2)	коэффициенты в этом разложении больше соответствую-
щих коэффициентов в разложении ф (х, t, р) по степеням х и р.

Теперь задача сводится к построению такой вспомогательной
функции.

Если разложение ф (х, t, р) по степеням х и р справедливо-
также для | х | = а и р = р (что всегда можно предполагать,.
1
п /!

так как в противном случае радиус сходимости можно взять не-
сколько меньший), то всегда имеется такое положительное число
М, что при | ж1 а, |р| р имеем |<р (□?, t, р)| < М. Тогда
по теореме Коши

аиАр	м

дх1 др7	а‘/>’

и, следовательно,

со ОО

или

ф (х, t, ц) <

М

в/\ р)

(14)

Функция в правой части (14) удовлетворяет условиям, которые
были наложены на вспомогательную функцию ф'. Однако Пуан-
каре предпочитает строить другую вспомогательную функцию,
так как вспомогательная функция (14) приводит к сложной ква-
дратуре.

Во-первых, заметим, что

1 ._______________1

(1 — -)(1——)	(1~ ®®)(1-®и) ’

- - 11
если только а выбрано равным большему из двух чисел — и —.
Далее, очевидно,

_________1 1

(1 — ах)(1 — ар) 1 — а(ж + р) ’

что непосредственно находится разложением в ряд по степеням
х и у. Но

аМ (х + р) _ М___________м

1 — а (х -f- р)	1 — а (х + р)	’

и окончательно имеем

аМ (х -|- р)	аМ (а: + р) (1 + а (я + р))

1 — а (х + р)	1 — а (я + р) ’

Если выбрать усиливающую функцию ф' так, что

М (я + р) (1 + а (я + р))

S’ - -----1—а(® + р)-----’

то

Ф (х, t, ц) << ф' (Arg X, J1),
если, кроме того, предполагать, что ф обращается в нуль при
р = х = 0.

Прежде всего наша задача состоит в интегрировании урав-
нения

dx _ М(х+ р) (1 +<x(» + p))
dt ~	1—а(»4-р)	•

Полагая

з = а (« 4- р),	(17)

имеем

ds __Ms(l -Р s)

dt 1 — s ’
что дает

I” (1 + s)a ~ Mt +

где С обозначает произвольную постоянную.

По предположению, интеграл должен удовлетворять условию,
что при t = 0 х = 0. Следовательно,

г - in “И

С 1П(14-ар)2’
и поэтому

—J___= еМ1________ HR)

(1 4- s)2	е	(14-ар)2’	{ '

Интеграл s должен разлагаться в ряд по степеням р. Полагая

Л =	(19)

(14-ар)2	’	4 >

(18) можно записать в форме

s’ + 2(1-яН1 -°-

Отсюда имеем

> = (18.)

ЛА

Выбирая перед квадратным корнем знак минус, получим именно
тот интеграл, который при р = 0 обращается в нуль. Тот инте-
грал, которому соответствует перед квадратным корнем знак
плюс, наоборот, при р = 0 обращается в бесконечность.

Правую часть (18*) можно разложить в ряд по положительным
степеням А; тогда получим ряд

$ = А 4- 2Ла + 54 3 + . . .,
который сходится при | А |	, т. е., если р обозначает положи-
тельное число, при

4ар

(1 + «Н)а

e~Mt.

(19*)

С другой стороны, А разлагается по степеням р, если только
р<^-^-; это неравенство всегда выполняется по предположению.
Если t имеет конечное, но произвольно большое значение, то р
всегда можно выбрать столь малым, чтобы неравенство (19*)
было выполнено. Следует, однако, заметить, что при возрастании t
до бесконечности радиус сходимости по р стремится к нулю.
Таким образом, положить t = оо невозможно.

Итак, результат, к которому мы пришли, сводится к следую-
щему.

Пусть дано дифференциальное уравнение
g = q>(z,	р).	(20)

Пусть функция <р обладает следующими свойствами:

1.	При всех значениях t и при р = х = 0 она обращается
в нуль, так что

ф (0, t, 0) = 0.

2.	Она может быть разложена в степенной ряд по степеням
х и р, который сходится, если х по модулю меньше а, а положи-
тельный параметр р меньше р, и притом для всех t, принадлежа-
щих области 0 t Т. Тогда можно найти два положительных
числа М и а таких, что если

, _ м (ж 4- р) (1 + «(ж 4- р))
ф	1 —а(ж + р) ’

то

Ф <С ф' (arg х> н)*

Во-вторых, мы доказали, что интеграл дифференциального
уравнения -& = ф (х , t, р) можно разложить в ряд

х' = х'о + р«' 4- р2ж' + . .

который сходится при всех t, удовлетворяющих условию 0 t Т
и при достаточно малых р. Верхняя граница Т для t должна быть
конечной, но она может быть взята сколь угодно большой.

Интеграл (20) можно также разложить в ряд

х = х0 + рях + р2^ + . . .,	(21)

и так как мы доказали, что х<^.х', то ряд (21) также сходится
для всех t, которые принадлежат области 0 t Т, при доста-
точно малых значениях р.
Если, в частности, разложение <р (х, t, р) по степеням х и р
будет сходиться для всех действительных значений t, то ряд (21)
сходится для любых сколь угодно больших значений t, если только
р выбрано достаточно малым. Чем меньше выбрано р, тем в об-
щем больше область для t, в которой (21) сходится. Но мы не мо-
жем заключить, что ряд (21) сходится также и для t = оо. Схо-
димость, по терминологии Вейерштрасса, будет условной, если
радиус сходимости по р зависит от t (или, точнее, от Т).

Здесь предполагается, что рассматривается тот интеграл, кото-
рый обращается в нуль при t = 0. Если же х для t = 0 не равен
нулю, а, скажем, равен 0, то положим

х — £ + 0
и будем иметь

§ = <Р(В + М,И)=Ф(£,*,М).	(22)

Если функцию ф можно разложить по степеням |, то можно ис-
пользовать ранее доказанную теорему и х также можно разло-
жить в ряд по степеням р, при условии, что при х = 0 функция <р
не обращается в бесконечность и вообще не имеет какой-либо
особой точки.

Условие, которое было оговорено выше, что функция <р (х, t, р)
при р = х = 0 должна обратиться в нуль, также не является
необходимым. Действительно, подставляя в (20)

х = | + 0 (0.
находим

и если функцию 0 определить так, чтобы

g = <p(0,*,O),	(23)

то получим

g = <p(5 + 0,Mt)-<p(0, «,0),	(24)

и правая часть (24) является функцией от £, t и р, которая обра-
щается в нуль при £ = р = 0. Если еще выбрать начальное зна-
чение 0 при t = 0 равным начальному значению 0, тогда инте-
грал (24), а, значит, также и (20), можно разложить по степеням р.
Для этого еще необходимо, чтобы правая часть (24) разлагалась
в ряд по степеням Говоря иными словами, х = 0 (£) не про-
ходит ни через одну особую точку функции <р (х, t, р), когда
t принимает все действительные значения от 0 до Т.
Интеграл дифференциального уравнения
g = q>(x, «,р),

в котором функция ф (a:, t, р) может быть разложена по положи-
тельным степеням р в сходящийся ряд для всех t из области
О < i < Г, в свою очередь в той же области t может быть раз-
ложен в ряд по положительным степеням р,

х = х0 (0 + p*i + Р?х2 + • • . ,
если только р взято достаточно малым, и кроме того, ф (х, t, р)
можно разложить по положительным степеням х — хй (t) для
всех t между нулем и Т.

Таково содержание обобщенной Пуанкаре теоремы существо-
вания Коши.

Если при t = 0 х = 0, то согласно (22) имеем
g = 4>(5.М).

Если здесь рассматривать 0 как параметр п если ф можно раз-
ложить по степеням 0, то согласно с изложенным интеграл S,
а значит, также и х, разлагается в ряд по степеням 0. Следова-
тельно, при сделанных предположениях интеграл х можно раз-
ложить в ряд по степеням как р, так и постоянной интегрирова-
ния 0.

Выше предполагалось, что имеется только одно дифферен-
циальное уравнение вида

^ = ф(Х, t, р).

Пусть надлежит проинтегрировать два совместных дифферен-
циальных уравнения:

^ = Ф(х, у, t, р),

= ф(х, у, t, р);

тогда можно провести аналогичные рассуждения и результат
совпадет, mutatis mutandis, с тем, который имеет место для
одного уравнения. Аналогичные результаты справедливы для
системы дифференциальных уравнений произвольного порядка.

В задаче п тел в качестве параметров будут массы планет
mlt m2.....mn-i- Здесь решения можно разложить по степеням

mlt тг, . . . , /Пп-1 для 0 t Т, если только предполагать
массы достаточно малыми, и если кеплеровы эллипсы, которые
получаются при

тг =	= ... = тип-i = О,

взаимно не пересекаются, ибо в последнем случае возмущающая
функция в определенный момент времени становится бесконечна
большой. Эти следствия из теоремы Пуанкаре мы рассмотрим
более подробно в одном из следующих параграфов.

На этой теореме Пуанкаре основывал своп исследования о пе-
риодических решениях в задаче трех тел, которые мы рассмотрим
в следующих параграфах.

§ 7. Метод Пуанкаре построения периодических решений

Предположим, что даны дифференциальные уравнения

=	0 = 1,2,...п)	(1)

и что суть определенные функции xlt х2, . . . , хп и времени t
и, кроме того, содержат параметр р. Предположим еще, что если
время входит явно в правые части (1), то X» (г — 1, 2, ... , п)
суть периодические функции от t периода Т. Пусть

Xi = 0iO, р) (г = 1, 2, ... , 7г)	(2)

решение уравнений (1).

Если функции Xj(x1( х2, . . ., хп, t, р) можно разложить по
положительным степеням р и Xi — 0,(2, 0) (г = 1, 2,..., и), то
из предыдущего параграфа нам известно, что решение 0, (t, р)
можно разложить по положительным степеням р и постоянных
интегрирования

Pi = 0i (0, р) - 0> (0, 0).	(3)

Если разложения X» по степеням р и Xi — 0> сходятся при
всех действительных значениях t (достаточно, чтобы они сходились
для 0 <3	7), то сходится также и разложение решения при

сколь угодно большом значении t, если только р достаточ-
но мало. Следовательно, при этом предположении мы можем
написать

Xi = Qi(t, рь ..., рп, и) =
дхх dxi	dxi

=е* <*» °) +	+ зр-Л + • • • +	+

+ у- р + члены высших порядков,

(4)

где коэффициенты при различных степенях рх, . . ., рп и р суть
определенные функции времени t.
Разложение (4) сходится при сколь угодно больших значениях t,
если и взято достаточно малым. Если решения (4) суть периоди-
ческие функции времени, то эти ряды должны оставаться сходя-
щимися для всех значении t (следовательно, и для t = оо). При
этом достаточно отыскать решение, которое сходится от t = О
до t = Т. Задача сводится к тому, чтобы отыскать те условия,
при которых движение, определяемое при помощи (1), будет
периодическим. Пуанкаре формулирует эту проблему следующим
образом.

Мы предположим, что функции Xt зависят от параметра р.
(в задаче трех тел в качестве параметра принимают одну из воз-
мущающих масс). Предположим, что при р = О дифференциаль-
ные уравнения (1) проинтегрированы, и что в этом случае най-
дено определенное периодическое решение; спрашивается, при
каких условиях мы имеем право сделать отсюда вывод, что суще-
ствуют также периодические решения при малых значениях р?

В простейшем случае, который может встретиться, координа-
ты х при t = Т и t = 0 принимают одни п те же значения. Тогда
согласно (1) для обоих моментов времени производные от коор-
динат также принимают те же самые значения, п движение обя-
зательно должно быть периодическим.

Но это отнюдь не необходимое условие для существования
периодических решений. Как здесь будет предполагаться, речь
идет о движении точечных масс; тогда периодические решения
существуют всякий раз, когда конфигурации масс и их мгновен-
ные скорости одни п те же прп t = 0 и при t = Т.

Рассмотрим сначала первый случай. Решение уравнений (1)
мы записали в форме

Xi = 01 (t, р),
плп, если мы возьмем разности начальных условий рр

Pi = 0< (0, ц) -9{(0,0),

Xi = Of (£, Pi, • • *, Pn> р)'

Пусть при р = 0 движение является периодическим с периодом
Т, так что

01 (Г, 0) = 01 (0, 0) (i = 1, 2, . . . , п).

Когда существуют движения, которые и прп р = 0 также будут
периодическими? Это, очевидно, будет в том случае, когда

01 (Г.р) = 0i (0, ц) (i = 1, 2, . . . , ri),
или, согласно (4), если

(i = 1, 2, . . . , ri).

Для 4'i из (1) можно найти следующее более удобное выражение:

(6)

или

о	о

т
ф,= $ Xidt
о

где в подынтегральные функции следует подставить р = 0Х =
= . . . = ₽п = 0. Запишем это выражение в форме

+ -41202 4- . . . + Л<п0п +

+ Лщр + члены высших порядков, (7)
так что

т

Г)

о

и
т
рдХ.

о

Если уравнения (5) или
ф1 =	= • • • = Фп = 0	(8)

можно разрешить относительно 0Х, 0а, .... 0п, то получим
01. 02» • • • • 0п в виде степенных рядов, расположенных по сте-
пеням р:

0< = Pi(p) (i = 1.2...... ri).	(9)

Начальные значения координат были

(Xi):.o =6<(O,O) + 0i,	(9*)

27 к. Шарлье
и, следовательно, при помощи (9) определяются начальные зна-
чения, которые приводят к периодическим решениям дифферен-
циальных уравнений (1).

Согласно § 3 гл. I решения (9) суть простые решения урав-
нений (8), если определитель

<411 Л12. . . Л in

п Л л Л 22	Л2п

-^nl 21 п 2	ЛПП

отличен от нуля. Вообще в механике уравнения (8) являются за-
висимыми. Предположим, что существует интеграл уравнений (1)

F (xlt х2, . . . , Хп, 0 = С,
который периодичен по t с периодом Т; тогда имеем
Л0! (Л и), ...» е„(Т,р), Т] = F [0! (О, и),..., 0п(О,р),О] =

= F [0Х (Г, р).....0„ (Г, р), 0]

или, так как

0< (Г, р) = 0{ (0, р) + ф1(
то

F [0Х (0, р) + фь . . ., 0п (0, р) + фп, 0] —
- F [0Х, (0, р), . . ., 0П (0, р), 0] = 0. (11)

Правая часть (11) может быть разложена по степеням фх, ...
. .., фп и обращается в нуль, если фг = ф2 = ... = фп = 0. Значит,
если п — 1 из величин фх, ф2, . . . , фп равны нулю, то обращается
в нуль также и последняя величина. В частности, при

Ф1 = Фг = • • • = Фп-i = 0

должно быть также и фп = 0, если ^- =/= 0. Если такого рода
интеграл существует, то уравнения (8) будут зависимы. Тогда
достаточно рассмотреть п — 1 уравнение

Ф1 = Фг = • • • = Фп-i = 0,	(12)

и для существования простого решения достаточно, чтобы опре-
делитель

	^11	Л12	• • -41, п-1
2>1 =	Л 21	Л 22	• • Л 2, П-1
	4 п-1,1	Л п-1,2	Л п-1, п-1

был отличен от нуля.
Одна из величин pi в этом случае может быть выбрана про-
извольно, или можно к (12) присовокупить уравнение F — С,
где С может быть выбрано произвольно.

Если имеются два подобных интеграла, то вообще можно два
из уравнений (8) рассматривать как следствие и — 2 остальных
и т. д.

Второй случай, в котором могут встретиться периодические
решения, был рассмотрен Пуанкаре при частном предположении.
Этот случай характеризуется одинаковыми конфигурациями
при t = 0 и t = Т.

Пусть даны канонические дифференциальные уравнения

dx,	ар du,	Af

-% = - ~ (г = 1, 2........sk (13)

dt	dt	oxt	'	’

где F является функцией от xlt . . . , xs, ylt . . . , ув и p co сле-
дующими свойствами:

1.	F может быть разложена при всех действительных зна-
чениях ylt у2, . . . , ys по положительным степеням р:

F = Fo + рЛ + p2F + . . .	(13*)

2.	Fo зависит только от xlt x2, . . . , x,.

3.	F периодична относительно ylt y2, . . . , ys с периодом 2л.

Дифференциальные уравнения (13) могут быть легко решены
при р = 0. Действительно, при р = 0

которые

^1-0 rfyt
dl ’ dt

дают

= т (i = l,2..............8),	(14)

Xi = at,

Vi = nit 4- 03 i

(i = 1, 2............8),

(14*)

где at п щ обозначают постоянные величины.
Если теперь

ntT, п2Т, . . . , пвТ

кратны 2л, то движение периодично с периодом Т. Когда же здесь
существуют периодические решения при р =/= 0 с тем же самым
периодом 7? Очевидно, что вообще для этого мы должны не-
сколько изменить начальные значения ц и у,. Пусть при t = 0

Xi = ai + pi,

Pi = ®i + yi,

n введем вместо Xi и yi новые переменные <pi и при помощи

27«
420
уравнений

Xi = ai + Pi + ф<,
yi = nit + ©i + Yi + ф,
(i = 1, 2..........s).

(15)

Для q>i и "ф< получим следующие дифференциальные уравнения:

rf<Pi _ dF_ _ dF_
dt дух d(Dt ’

dti _	dF

dt	dxi	П*

(i = l,2,..„ s).

(16)

Если ф< и ф< при t = 0 и t = Т принимают одни и те же значения
(здесь нули), то движение является периодическим с периодом Т.

Сначала рассмотрим уравнения

ф< (Т) = ф< (0) =0 (i = 1, 2, . . ., s).	(17)

Так как уравнения (13) обладают интегралом

F = С,

то уравнения (17) не будут независимыми. Мы предположим, что

так как уравнение ф8 (Г) = 0 будет следствием других уравнений
(17). Следовательно, мы должны рассматривать s — 1 уравнений

(Т) = 0 (i = 1, 2, . . . , $ — 1),	(17*)

и можно выбрать одну из величин pi произвольно. Положим
р8 = 0.	(18)

Теперь, в соответствии с (6*), получим

♦<(’’>—
о	о

+	-Ь члены	(19)

о	о

высшего порядка = 0

(г = 1, 2 ... , s — 1).
Так как Fo зависит только от xlt х2, . . . , ха и не зависит от уи
у2, . . . , ув, то в (19) содержатся члены, умноженные на yi. Уг> • • •

а*А*
da^daj

ys, а также на ц, которые здесь не выписаны. Так как
постоянно, то уравнение (19) после деления на Т примет

форму

а*/, п  а»/-»
dai dai Р* "т" dai da2

₽*+••• + daja^ Р*-1 +
т

+ ^г$д + ---

О

s-1). (19*)

Эти уравнения определяют значения 02, 02, . . . , 0s_i. Решение
будет простым, если определитель

d2F0
dai dai ' ' ‘ daida^
d2Fn	d*F0

aa^aai • ' • Ha^da^

отличен от нуля. Но этот определитель есть не что иное, как гес-
сиан от Fo относительно хъ х2, ... , Ze-i- Следовательно, усло-
вие существования простого решения уравнений (17) состоит
в том, что гессиан от Fo относительно s— 1 из величин х2, х2,...
. . . , ха отличен от нуля.

Перейдем теперь к рассмотрению уравнений

<р< (Г) = 0 (г = 1, 2.............. s).	(20)

Здесь мы можем считать величины 0Х, 02, . . . , 0( известными и,
следовательно, принять во внимание в (20) только члены, умно-
женные на уь у2.и р. Если мы применим формулу (6*)

для вычисления <р< (Г), то получим

г	т	т

<р (Т) = T1f ^-dt + . • • + тД dt + v\^a~dt + ... = 0.
' з dVidyi 1	1 "jdyidy, 1 r(j8yidp 1

о	oo

Но мы предполагали, что Fo не зависит от у2, у2, .... уа,
следовательно, под знаки интегралов вместо F необходимо под-
ставить величины pFx; все члены в ф, (Т) имеют множитель р,
что также справедливо и для тех членов в этой формуле, которыми
мы пренебрегли. Поэтому, деля на мнояситель р, получим

т

т

т

<Р{(П

— =Ti

С Mi	С av, , С dFi ,

) w/f + ’*’+4 Ws + J *7 +'

= 0. (21)
Чтобы рассматриваемые решения были аналитическим продол-
жением того решения, которое получается при р = О, очевидно,
необходимо, чтобы значения уъ . . . , у», которые мы получим
из (21), обращались в нуль вместе с р. Но уравнение (21) содер-
жит один член, который не имеет множителя р, и, следовательно,
этот член должен обращаться в нуль. Если решение периоди-
ческое, то должны иметь место следующие уравнения:

т

№dt = O

J дщ
О

(г = 1,2,..., а).

(22)

Уравнения (22) показывают, что для существования периоди-
ческих решений необходимо, чтобы между величинами Xi и yi
при р = 0, т. е. между а, ион, имели место определенные зави-
симости.

Исследование уравнений (22) было выполнено Пуанкаре
следующим образом. Положим

т

[А] = 4-$ЗД.	(23)

о

Величина [FJ, таким образом, обозначает «среднее значение»
функции Fv Уравнения (22) примут вид

ЦЛ! = 0	(/ = 12......з).	(22*)

dj/j — diOj	'	7	'	'

Эти уравнения (22*) свидетельствуют о том, что [FJ, рассматри-
ваемая как функция Mi, ю2, • • • ,ш«> должна принимать или мак-
симальное или минимальное значение.

Пусть Ft — периодическая функция уь yit . . . , у». Тогда
по теореме Фурье имеем

Fi = J A cos (шхух + .. . + mtys + Л),

где mt, . . . , ms принимают любые целые (положительные пли
отрицательные) значения. Имеем здесь

yi = nit +(0i,
так что

F\ = S cos ®»
где

со = (т^Пх + т2п2 4- ... 4- w?8«8)f + mjCOi 4- m2co2 +

+ ... -j- wi8(o8 4* h.
Следовательно,
dF. VI
3^- = —2М mi sin (о

и
г

[FJ = -±г Fidt = S A cos ®,	(24)

о

где знак S означает, что суммирование распространяется на все
такие значения тъ . . . , т„ для которых

3	= 0.	(24*)

Условие (22*) принимает вид

= — 8 т{А sin (о = 0 (г = 1,2,...,$).	(25)

В § 12 рассматриваются следствия из этого уравнения примени-
тельно к задаче трех тел.

§ 8. Метод Пуанкаре построения периодических решений
(продолжение)

Условия существования периодических решений уравнений
dx{ dF
~dT =~дУг'
dVi _ dF_	(П

dt ~ dXi

(l = 1,2,...,$),
где

F = Fo + pFx + p2F2 + . . .

и Fo зависит только от xlt х2, . . . , xs, согласно предыдущему
параграфу записывалось в виде

ЖНО,	(2)

’-£^0(1-1,2,...,«),	(3)

где Н (Fo) обозначает гессиан от Fo по s — 1 из величин xlt х2,...
. . . , хв.

Если решение (21) относительно ylt у2, . . ., ув должно быть
простым, то, кроме указанного, должно иметь место условие

Я([Л])^=0,	(4)
где гессиан надлежит вычислять относительно о 15 <о2, • • • , <о«.
В том случае, когда Fo зависит не от всех жх, х2, ... , хв, условие
(2) не выполняется. Хотя рассмотрение этого случая легко полу-
чается из сказанного, тем не менее мы особо рассмотрим его, так
как он часто встречается в задаче трех тел. Простоты ради пред-
положим, что имеется четыре степени свободы, и что Fo зависит
только от xt и х2. Тогда получаем

д/*о	dF о	л

пх----п2 = --^-, п3 = п4 = 0,

и при р = О

х2 — а2,	а?з = а2, х& —	1

ух=п£+(йъ У2 ~ n2t +(В2, Уз=®8. У4=®4-Г W

Уравнения (6*) предыдущего параграфа здесь примут после
замены обозначений следующий вид:

т	т	т

ф1(7’) = р1^ W-dt + ^A +	+

т ' ' r J oxidxi 1 ах1дх2 1 ro.} dxjdxa 1

T

*1’2(7’) = Pl $
0

T	T

I о C W ,. ,	[• d*F ,. , n

+ ₽4 \ s—3—	И \ 5—я~ dt Ч- • • • = 0»

1 J axioxt 1 J dxi du •	’

о	о

d*F f о C &F J. .

dx2dx2 "^P8j
о

T	т

। о C &F , C &F .

+ J dF^dt + I* J d^d£ + •
о	0

= 0,

T

*1’4(П = Р1$
0

T	T

d^F Л I О C W Л I О f *F JU .
я—я~ dt -|“ Pa \ a—dt -4- Вз \ 5—5— dt -|-
d«sda;i 1 r J ox2dx2 1 r J dx2dx2 1

о	о

T

3^F , Г d^F
я—я— dt -f- ц \ -x—dt -f-.
dx2dxt 1 rj dxadp 1

0

= 0,

T	T

d*F > n C 9iF . о C &F ,
s—я~~ dt -|- Pa \ a—д— dt p3 \ x—□— dt -4-
dx^dxi	raJ dxadx2 1 r J dx2dxs 1

о	о

г	T

+ M d^dt + ^ а^л + --- = 0-
о	0

T

♦з(Т)»₽1$
0

Так как Fo содержит только a?x и х2, то находим, что третье и
четвертое уравнения имеют множителем р; подставляя везде
Fo вместо pFx, преобразуем уравнения к виду
(6>

J* г*

Первые два из этих уравнений имеют следующую форму:

О = АХ1ВХ + АХ2В2 + члены, равные нулю при р = 0, \

о = л2хрх + л22р2 + »	»	»	» р = о, J(7>

где

т

Ai} = \^-dt.	(7*)

1 J дх^х^	' '

В соответствии с (7), 0Х и 02 можно разложить в степенные ряды
по р, которые обращаются в нуль вместе с р, если предположить,
что определитель

Лц ЛХ2

Л21 Л22

отличен от нуля. Этот определитель не что иное, как гессиан от
Fo по хх и ж2. Итак, предположим, что

Н (Fo) =/= 0 (Arg хи х2).	(8)

Два последних уравнения

Ф» = Л = о
р р

содержат как члены, пропорциональные 0Х и р, так и член, не
обращающийся в нуль вместе с р и 0Х. Поэтому начальные усло-
вия должны быть определены таким образом, чтобы эти члены
равнялись нулю. Следовательно, мы получим условия

т	т

р J дхз op	J дх3	’

о	о

Т	т

1 С

Н J
о

d2F С dFi л.
dxt dVLdt “J dxt dt’

0

или, если ввести функцию [FJ,

дх3 -U’

*И1].. А
dxt ~ •

(9)
Что касается уравнений ф, (Т) = 0, то на них распространяются
результаты предыдущего параграфа. Необходимо, чтобы

= 0	(f= 1,2, 3,4).	(10)

Значения уп у2, у3, у4 будут представлять простое решение, если
гессиан от [2*’1] по о ь <и 2, © 3 ищ4 не обращается в нуль.

В том случае, когда Fo зависит только от и х2, начальные
условия для х3, х4, ylt уг, у3, у4, т. е. значения, которые эти вели-
чины принимают при t = 0 и р = 0, необходимо определить так,
чтобы [FJ, как функция этих величин, имела бы максимум или
минимум.

§ 9. Форма разложения возмущающей функции

Для исследования периодических решений необходимо вывести
некоторые ранее не дававшиеся формы разложения возмущающей
функции. При этом мы ограничимся первыми степенями возму-
щающих масс, т. е. обозначенной через Fr функцией, хотя боль-
шую часть последующих результатов легко распространить и на
полное разложение возмущающей функции, если использовать
якобиевы канонические элементы.

Возмущающая функция зависит от трех расстояний г, г' и г";
имеем

г"2 = г2 + г'2 — 2гг' совф,	(1)

где ф обозначает угол между двумя радиусами-векторами г и г'.
Они выражаются через эксцентрические аномалии w:

г = а (1 - е cos w)
и

г' = а' (1 — е' cos w'),
где w и w' связаны со средними аномалиями при помощи формул

w — е sin w = I,	(2)

w' —esinw' = I'.	(2*)

Эти формулы показывают, что гиг' могут быть разложены
в ряды Фурье соответственно по кратным I и Г:

1 00

г = Во + Bi cos il,

4 , (3)
г' = -у Во +2 BiCoszZ'.

i=l
Значения коэффициентов даются в § 9 гл. IV. Если (2) запишем
в форме

w — I — е sin (w — I + I) = О

или

w — I = e cos I sin (w — I) + e sin I cos (w — I),

то по теореме Лагранжа очевидно, что w — I может быть пред-
ставлено рядом по степеням е cos I и е sin I:

w — I = Pr (е cos I, е sin I),	(4)

который обращается в нуль при е = 0.

Аналогично имеем

w' —Г = Pj (е' cos Г, е' sin Г).	(4*)

Для истинной аномалии v имеем следующее известное выра-
жение через оскулирующие элементы:

ОО

v = я +1 + J] оц sin г7,	(5)

i=l

где сц могут быть представлены при помощи степенных рядов
относительно е. Эти коэффициенты представляются в форме

= а^е* +	е<+8 + ei+4 + . . .,

а отсюда, как и в аналогичном случае в § 2, гл. VI, следует, что
di sin i I можно разложить по степеням е cos I и е sin I. Следова-
тельно, получим

v = л + I + Р2 (е cos I, е sin Z),
v' = я' + Г + Р'г (е cos Г, е’ sin /')•

Что касается представления угла <р в (1), то мы сначала рассмо-
трим случай, когда движение трех тел происходит в одной плос-
кости. Тогда

<р = v — v',

и из (5) находим, что в этом случае ф зависит от I, Гия —я'.
Очевидно, что г", а также и возмущающая функция являются пе-
риодическими функциями относительно этих переменных. Это
можно заключить из § 10 гл. V. Из (3) и (5) непосредственно сле-
дует, что г, г' и г", а поэтому и возмущающая функция, остаются
неизменными при замене I на — I, Г на — Г, л —л' на л' —л.
Следовательно, разложение возмущающей функции имеет
форму:

Pi = 2 А. г, j cos (il + Г Г + J (л — л'))»	(7)

(6)
где Atf.i зависит от а, а!, е и е', a i, i' и j принимают все как поло-
жительные, так и отрицательные целые значения. Стало быть,
является четной функцией от I, V ил —л'.

Из (3), (4) и (6) далее следует, что можно рассматривать
как функцию от а, а', е cos I, е sin I, е' cos V, е' sin I' и X —X',
где

X = л + I — средняя долгота,

и Fr можно разложить по степеням величин

е cos I, е sin I,
е' cos V, е' sin Z';

при этом коэффициенты будут

сать в следующей форме:

периодическими функциями от
X —X'. Перейдем теперь к общей
задаче трех тел. Из § 9 гл. V нам
известно, что восходящий узел
одной из планетных орбит на
неизменяемой плоскости совпа-
дает с нисходящим узлом дру-
гой орбиты. Пренебрегая вели-
чинами второго порядка относи-
тельно возмущающих масс,
расстояние г" между обеими
массами, тит', можно запи-

г"2 = r2 .j. r'2 _ 2rrz coscp,	(8*)

где

cos<p = cos (у — й) cos (v' — й') +

+ sin (v — Й) sin (vr — Й') cos J
или, так как й = й',

I

cos <p = cos (v — v ) — 2 sin2 -5- J sin (v — Q) sin (vf — Й).	(8)

Здесь J обозначает взаимную наклонность орбит, т. е. сумму на-
клонностей планетных орбит к неизменяемой плоскости.

Но по (5)

v — й = I + л — й + S «i sin г7>

или, следуя Делоне, положим

g = л — й;

тогда

v — й = I -|- g + 2 «1 sin И, ]
v' — й = Г -|- g' 4- 2 оц sin il', j

(9>
И

v — v' = I — V + g — g' + S a»sini7 — 22^ sin il'.	(9*)

Подставляя эти выражения в (8) и (8*), находим, что г", а рав-
ным образом и Flt суть периодические функции от I, Г, g и g',
которые можно разложить по степеням е и е'и sin2J (J = i 4- i'),
причем коэффициенты разложений будут зависеть от а и а'. Эти
разложения не изменятся, если одновременно поменять знаки
2, I', g и g'. Следовательно, является четной функцией этих
величин, и можно записать

Л = S А cos (il + i'l' + jg + fg’).	(10)

§ 10. Периодические решения первого сорта

В своих исследованиях Пуанкаре исходил из дифференциаль-
ных уравнений для оскулирующих элементов, и при этом им было
установлено три сорта периодических решений задачи трех тел:
для первого сорта наклонности равны нулю и эксцентриси-
теты обращаются в нуль вместе с малыми массами;

для второго сорта наклонности также равны нулю, а эксцен-
триситеты при р = 0 остаются конечными по величине;

третий сорт охватывает случаи, в которых наклонности ко-
нечны.

Периодические решения первого сорта можно было бы рас-
сматривать как частный случай решений второго сорта. Однако
они отличаются от них в одном существенном пункте. Если рас-
сматривать две планеты (при р — 0), которые обращаются вокруг
центральной массы в равномерном движении по круговым ор-
битам, движение этих трех масс всегда следует рассматривать
как периодическое, период которого равен синодическому перио-
ду обращения обеих планет.

Иначе обстоит дело, когда (при р — 0) речь идет о двух пла-
нетах, движущихся по эллиптическим орбитам вокруг централь-
ной массы. Здесь движение может также быть периодическим,
однако только при условии, что средние движения обеих планет
соизмеримы. Очевидно, что здесь мы стоим перед проблемой сов-
сем иного рода, чем в предыдущем случае.

Если средние движения обеих планет (при р = 0) обозначить
через п и п' (п > п')> то синодический период обращения равен
2л

п — п' ’

Следовательно, движение при р = 0 будет периодическим с ука-
занным периодом, когда орбиты являются круговыми. Будут ли
существовать периодические орбиты с тем же периодом также
и при р, 0?

Пуанкаре удалось найти ответ на этот вопрос почти без рас-
смотрения дифференциальных уравнений движения. Если тре-
угольник, образованный тремя телами при t = 0 и при t = Т,
имеет одни и те же размеры, и если, кроме того, производные от
взаимных расстояний г, г' и г" в оба эти момента равны, то,
очевидно, можно заключить, что движение будет периодическим.

Но в предыдущем параграфе мы нашли, что расстояния г, г'
и г" в случае, когда движение происходит в плоскости, зависят
только от следующих величин:

а, е cos I, е sin I, 1
a, e'cos Г, е' sin V, J

(1)

и X — X', и что они периодичны по к — X' с периодом 2л, а также,
что они могут быть разложены в ряды по степеням е cos I, е sin I,
е' cos Г и е' sin Г.

Имеем далее для производных от г и г' одни и те же значения
как в возмущенном, так и в невозмущенном движении, так как
элементы а, е и т. д. являются оскулирующими. Следовательно,

так что и зависят только от шести величин (1). Так как
г"2 = г2 г'2 — 2rr' cos (у — v')
и

dv __ Vpa (1 — в2)

~dt	г2 ’

dr"	.

то также определяется через те же самые величины и к — к .

Таким образом, для существования периодического движе-
ния необходимо, чтобы величины (1) при t = 0 и при t = 2Т
принимали одни и те же значения, и чтобы X — X' возрастало
на 2л.

Средние движения п и п определяются формулами

Т ' Y
п= -иг , п =	,

А* ’	А3 ’

где А = У а, Л’ = Уа, а у и у' — две постоянные, зависящие
от масс. Мы предполагаем, что при t = р = 0

е = е' = 1=1' = X = к' = 0
и Л = Ло, Л = Ло. Чтобы получить периодическое движение при
р, =£= 0, предположим, что е, е', I, V принимают значения е0, е0',
10, 10; вместо этого можно начало отсчета времени и положение оси
X выбрать так, чтобы X = X' = 0 при р, =£ 0. Пусть начальные
значения Л п Л' будут Ло + Pi и Ло + 02. При t = Т величины (1)
принимают значения

Ло + Pi + Фп е0 cos Zo + Фз, ео sin Zo + ф4,

Ло + Р2 + ф2, ео cos Zo + ф5, е0 sin Zo + фо.

где вместо а взято Л, а для X — X' значение 2л 4- ф0. Тогда условия
периодичности движения будут

Фо = Ф1 = Ф2 = Фз = Ф4 = Фо = Фе = 0-	(2)

Но мы имеем два первых интеграла — интеграл живых сил и
интеграл площадей, которые, как было доказано в пятой главе,
имеют вид

F = C, ]
рЛ У1 — е2 + Р'Л' уЧ — е'2 = с. J

(3)

Что касается интеграла живых сил, то его можно разложить
по степеням

F = F. + рЛ + p2F2 + . . .,
где

р — _1_ । г'

0— 2Л2 Т 2Л'2 ’

так что

Как и в параграфе (7), находим, чтофх иф2 должны уничтожаться,
если ф0, фз, ф4 и т. д. равны нулю.

Итак, мы должны разрешить уравнения

Фо = Фз = Ф4 = Фз = Фе = 0,	(4)

присовокупив к ним уравнение

F = С,	(4*)

где С рассматривается как заданная величина. Начальные зна-
чения 0Х, р2, е0, ео, Zo, 4 необходимо определить так, чтобы удо-
влетворялось (4) и (4*). Чтобы показать существование простого
решения этих уравнений, достаточно доказать, что якобиан
левых частей этих уравнений при р = 0Х = 0а = еп = е0 =
= 10 = Z© = 0 отличен от нуля. При составлении этого якобиана
нет необходимости выписывать члены, зависящие от р. Доста-
точно рассмотреть те члены в (4) и (4*), которые не обращаются
в нуль вместе с р. Говоря иными словами, для исследования яко-
биана достаточно рассмотреть невозмущенное движение, которое
определяется элементами

Ao + Pi, е0, 10,

Л*о + Р-2, во, 10-

Затем получается выражение для Fo:

F° ~ 2(Ao + 3i)2 + 2(Aq +3s)2 ’

а также для новых значений средних движений N и N':

Л = 1а>» = ге(1 + -т-Г3.

(Ло+31)8	\	1 Ло/ ’

V/ Т'	,	& \-8

Угловые величины I и X при изменении гот/=Одо£ = 7’
возрастают на

и = NT =	+ KV3

п — п \ Ло /

а V и X' одновременно на величину

Тогда членыв ф0,фз, ф<, ...» не содержащие множитель р, будут



фз = е0 cos (l0 + U) — е0 cos 10, ф4 = е0 sin (Zo + U) — е0 sin Zo,
ф5 = e0 cos (Zo + U') — e0 cos Zo, фв = ej sin (Zo + U') — eosin Zo.
Теперь не представляет никаких трудностей вычислить якобиан
этих уравнений. В самом деле, имеем

Л = AXA2A3,
где

Ах = якобиан от Fo и фо по рх и Р2,

А2 = якобиан » ф8 » ф4 » е0 » Zo,
А3 = якобиан » фз » Фе » e'o » Zo.
Для этих якобианов получаются следующие значения:

Л блпп' / 1 . 1 \

1	~ п — «' \Ло + д'о

А» = е0 {[cos (l0 + U) — cos Z0]2 + [sin (l9 + C7J — sin Z0]2},

△з = 4{(cos(Zo + U') — cos Zq]2 + [sin (Zq + U') — sin Zol2},

причем Дх обращается в нуль при Ло=—Ло, т. е. при п——п'
в случае, который не представляет интереса, Д2 и Д3 обращаются
в нуль, когда U и U' кратны 2л, т. е. если п кратно п — п'. Это
условие можно выразить также и в форме

4- = -U1,	(5)

где i обозначает целое число. Если уравнение (5) удовлетворя-
ется, то никаких периодических решений первого сорта не суще-
ствует. Очевидно, существует ос4 периодических решений первого
сорта, для которых можно произвольно выбрать период Т, по-
стоянную С, момент и долготу соединения.

В § 5 этой главы мы показали, следуя Хиллу, как могут быть
построены ряды, которые представляют такое решение.

Исключительный случай (5), для которого никаких периоди-
ческих решений первого сорта не существует, имеет особый астро-
номический интерес. Это обстоятельство с точки зрения теории
возмущений объясняется следующим образом.

Для элементов Делоне имеют место дифференциальные урав-
нения:

rfZ.	_	dF_	dl	_	dF

dt	~	dl *	dt	dL	’

</G	_	dF_	dg	_	dF

dt	dg ’	dt	dG	’

dL'	dF	dl'	dF

dt	~~	dl’ ’	dt	~	dL'	’

dG' dg' — dF
dt	dg' ’	dt	dG'	*

где Z и g соответственно обозначают среднюю аномалию и долготу
перигелия; кроме того, имеем

L = р /а ,	L' = ₽' /а7,

G = L	G' = L* /Г^Т2.

Обычно возмущающая функция выражается через эллиптические
28 к. Шарлье
элементы L (или а), е, L', е' и, очевидно,
dF_ =	dF

dG	Le де ’

так что движение перигелиев обеих планет определяется форму
лами

dg _ УГ^ dF
dt	Le	де ’

dg' _	dF	'

dt	L'e'	де'

Исследуем вековые движения перигелиев [g] и (g'l при очень
малых значениях е и е'. Если средние движения пип' несоизме-
римы, то имеем

<Z[g]	/1 —е2 dR

dt	Le	де ’

dig'] _ У1 — е'2 dR
dt	L'e'	de' ’

где R, как обычно, обозначает вековую часть возмущающей функ-
ции. Следовательно, при е = е’ = 0 имеем

dt	1 е ’

^1 = л' + в'4-.
dt	1 г

Перигелии обладают средними движениями, величины которых
существенно зависят от отношения обоих малых эксцентрисите-
тов. То же имеет место и в случае, когда пип' относятся как
целые числа

если только разность между i и j не равна +1 или —1. Но если бы
был этот случай, то уже среди членов первого порядка встречались
бы вековые члены и мы получили бы следующий результат:

^L^A + Br.+c±,

Здесь встречается исключительный случай: | г — j | = 1. Для бес-
конечно малых е и е' вековые движения перигелиев были бы бес-
конечно большими. Было бы преждевременно заключать, что
случаи, в которых | i — j | = 1, не имеют значения для астро-
номии. Наоборот, в планетной системе встречается много слу-
чаев, в которых средние движения с большой степенью точности
удовлетворяют этому уравнению, хотя при р. = 0 эксцентриси-
теты обращаются в нуль. Эри в своем классическом труде «О при-
тяжении» [52] установил возникающие при этом специфические
особенности состояния движения, Тиссеран [53] и Баклунд [54]
продолжили далее эти исследования в аналитическом направле-
нии. В системе спутников Сатурна существует много таких слу-
чаев, как Гиперион — Титан, средние движения которых отно-
сятся почти как 3 : 4, как Энцелад — Диона, средние движения
которых относятся как 2 : 1 [55]. Здесь мы встречаемся с перио-
дическими решениями проблемы трех тел, которые в точном
смысле не являются решениями первого сорта.

§ И. Периодические решения второго сорта

Эти решения характеризуются тем, что при р. = 0 эксцентри-
ситеты остаются конечными. Наклонности равны нулю. Следуя
Пуанкаре, исходим из соотношений при р. = 0 и сначала ставим
вопрос, когда система трех тел, два из которых обращаются во-
круг третьего тела по неизменным эллипсам, образует периоди-
ческую систему. Очевидно, это будет в том случае, когда средние
движения пип' для кеплеровских эллипсов соизмеримы. Тогда
движение всегда будет периодическим. Итак, пусть

п р
Т'

где png обозначают два взаимно простых целых числа. Если
через N обозначить наибольший общий делитель пип', так что

п — pN, п' = gN,	(1)

то период движения Т будет равен

Т = 2^-.	(Г)

Масса тп, которая обладает средним движением п, сделает за
этот промежуток времени р оборотов, а масса тп' со средним дви-
жением п' совершит q оборотов по эллипсу. При каких условиях
существуют периодические движения с тем же периодом Т при
и¥=о?

Согласно § 10 гл. V мы можем свести задачу к трем степеням
свободы. Если возмущающую функцию, которая здесь зависит
только от шести элементов, L, L’, I, V, К, к, обозначить через F
(возмущающую функцию как функцию обычных элементов

28*
Делоне будем обозначать через F), то соответствующие дифферен-
циальные уравнения запишутся в виде

d.L _ dF_ dt	dl ’  clL' — dt ~ dl' ’  dK dF	dl	_	dF  -	dL ’  dF  “ dL' ’  dF j	(2)
	dt dl' dl dk		
			
dt	dk ’	dt	dK ’ '	
где			
L = 3 У a ,	1 =	средняя аномалия m,	
L' — 3' у a' .	V =	»	>	т',	(2*)
К = 3 У «(1 —e") >	k =	л — л'.	
Эксцентриситет орбиты массы	m'	из возмущающей функции F	

исключается при помощи интеграла площадей, который запи-
сывается в форме

G + G' = 3 /а(1 —е2) + 3' У а' (1—е'2) = с

или

L УТ=* + L’ /1-е'2 = с.	(3)

Таким образом, F является функцией L, L', Z, V, Кик. Разлагая
по степеням р, имеем

F = Fo pFx + p2F2 + . . . ,

где	F =XiJL ru 2£2 Т 2L"Z ’

или, по § 5 гл. V (если постоянная тяготения положена равной
единице, а малые массы выражены в единицах большой массы),

го~ + 2£'2 ~ 2а '2а' -Г<>'	™

Что касается Ft, то согласно § 9 имеем выражение

Fx = 231 cos (it + i'l’ + jk).	(5)

Для Fj имеем аналогичное выражение:

Fx = 2 A cos (it + i’l' + jk),	(5*)

только в (5*) А следует рассматривать как функцию L, L', G
и G', в то время как в (5) 31 зависит только от L, L' и К. Для пе-
рехода от (5*) к (5) подставим в (5‘)

G' = с — К, G = К.	(6)
В частности, имеем формулу
dF _ dF _ OF
дК ~~ dG дС ’

которая будет использована позже.

Перейдем теперь к отысканию периодических решений (2)
с периодом Т. Так как Fo зависит только от L и L', то мы имеем
дело со случаем, рассмотренным в § 8. Итак, согласно построен-
ной теории сначала необходимо выяснить, будет лп гессиан
Zf(F0) от Fo по Z и 27 отличен от нуля. Находим, что выражение

(8)

для конечных масс не обращается в нуль. Для существования
периодических решений необходимо еще, чтобы удовлетворялись
уравнения

d[Fi] -dfFd _<4F1] А	/ах

di ~~ dv ~ dk ~

и, кроме того,

где необходимо после дифференцирования подставить вместо

L, L', I, V, К, к их значения, соответствующие t = р, = 0.

Обозначим эти начальные значения через

2/Q, 2L0, Zq, /с, Ко, к0.	(10)

Согласно (5) имеем

[Fj] = 2 91 cos (ilu -|- i'Zq -f- jko),	(H)

где i и i' принимают все целые числовые значения, для которых

in + i'n' = 0,

т. е. по (1)

гр + i'q = 0.	(12)

Следовательно, мы можем предположить, что

i = sq, i' = —sp,	(12*)

где s означает произвольное целое число; тогда будем иметь

[Fil = S 91 cos [s (</Z0 — pZo) + ]к„].

Здесь s принимает значения 0, 1, 2, ... Уравнения (9) примут
такой вид:

S sq 21 Sin [s (ql0 — pl0) + До] = О,

S SP % sin I5 (rfo — pin) + iko] = °*

S /21 Sin [s (ql0 — pl’o) + jk0] = 0.

Так как p и q обозначают определенные числа, то второе из этих
уравнений совпадает с первым. Следовательно, оба уравнения
±И1 = о a[F] -0
’ di0

Тождественны, и отсюда следует, что одна из величин 10 или 10
может быть выбрана произвольно. Тогда положим

4 = 0,	(13)

что можно достичь соответствующим выбором эпохи. Таким об-
разом, будем предполагать, что в момент t = 0 масса т’ нахо-
дится в перигелии.

Оба уравнения, которые должны выполняться, имеют форму

S $21 sin (sql0 + jk0) = 0, |

3 /21 sin (sql0+До) = 0. J

Эти уравнения выполняются, если к0 и 10 кратны нулю или 180°.
Выражаясь геометрически, это означает, что в момент t = 0
(и р = 0) оба тела находятся либо в соединении, либо в оппо-
зиции на линии апсид, которая для обеих планет имеет одинако-
вое направление. Долготы перигелиев могут совпадать или раз-
ниться на 180’. Пуанкаре в этом случае говорит, что обе массы
находятся в симметричном соединении или оппозиции.

Однако это не является общим решением уравнений (14).
Шварцшильд [56] обратил внимание на то, что 10 не обязательно
должно быть кратным 180°, чтобы удовлетворялись уравнения
(14). Достаточно, чтобы это имело место для ql0. При этом
мы получим два решения:

к0 = л — л' = 0, 1о = г ,	(а)

= л —л'= 180°, /0 = г-^±.	(?)

Здесь г может обозначать любое целое число, однако достаточно
рассмотреть числовые значения

г — 0, 1, 2,..., 2q — 1.
Следовательно, в каждом из случаев (а) и (0) имеем 2q значений
для Zo, которые соответствуют периодическому решению. Из этих
4g случаев не все являются существенно различными. Если,
например,

п   _1_

п' 3 ’

то q = 3, и для Zo можно выбрать только значения

О’; 60’; 120°; 180’; 240’; 300’.

Остается еще рассмотреть уравнение (9*):

Согласно (7) вместо него можно написать

д [Л]	д [F1 ]

dG dG'

(15)

Возмущающая функция Ft является функцией от L, L', G, G'
и угловых переменных I, V, g, g'.

Разложения возмущающей функции, которые обычно упо-
требляются в астрономии, в общем производятся по степеням
эксцентриситетов, и возмущающая функция является функцией
кеплеровских элементов а, епт. д. Если возмущающую функцию
считать зависящей от этих элементов (для отличия при нахожде-
нии частных производных обозначим ее через R), то мы должны
рассматривать три различные формы:

R (а, е, I, л, а’, е', Г, л') = F (L, G, I, g, L’, G’, I’, g') =

= F (£,£', К, I, I', к).
Имеем

G=L/1 —е2, G' = Z/]/l—е'2
и, следовательно,
dF G dX_ _	dR

dG	L2e de	Le	de ’

dF	G' dR _	dR

dG’ ~	L'*e' de' ~~ L’e’ de’ ’

так что уравнение (15) примет вид
угптг э[/?| _ а [/?]
Le de	L'e’ de'

где
т

[7?i=4-*5Rdt-

(16)
Мы можем записать R в форме

R = У! A cos (il — il' + j (л — л')),	(17)

где следует положить

I = 'nt + с, V — n't + с',
и [Z?] состоит из всех членов в R, для которых
in — i'n’ = 0.	(18)

Это условие выполняется в двух случаях:

1.	При i — i' — 0 соответствующие члены называются ве-
ковой частью возмущающей функции, которую мы обозначим
через St.

2.	Согласно (1) при ip — i'q = 0, т. е. при

i — sq, i' = sp (s — 4:1» 2, 3. . .).	(18‘)

Соответствующую часть [Я] обозначим через <S2.

Форма известна. Из § 2 гл. VII известно, что^! будет чет-
ной функцией от е, е' и sin (i + i'), которая разлагается в ряд
по косинусам кратных л — л', если рассматривать движение в
трехмерном пространстве и в качестве основной плоскости при-
нять неизменяемую плоскость.

Согласно (6‘) § 2 гл. VII, где необходимо положить Q — Q' =
= 180’, Л®= 1, члены низшего (второго) порядка будут

{Bi (е2 + е'2 — sin2 (г + г')) — 2Вгее’ cos (л — л')}, (19)
где

Я
„	2 f аа" cos <р dtp

я J [аа + а'2 — 2аа" cos <р] '•

Я

р____2 С_______аа" cos 2<р dtp_

2	я J [а2 + а'2 — 2аа" cos ф]’^1

или, если разложить по степеням а = (по § 5 гл. VI),

и 3 л Гл .3	5 si 3*5 5*7 л .

В1 = —а2 1 + -._а2 + —.—а‘ +

В

- 15 а?
2“ W а

, . 3.5 7-9 д
а +	6*8 а

(19’)

Что касается S2, то согласно (17) форма этой функции будет

•S2 = 2 A iti't j cos (ic — i'c' j (л — л')),	(20)
где i и V принимают значения (18*). Относительно коэффициен-
тов следует заметить, что они разлагаются в степенные
ряды по степеням е, е' и (i + i') и что члены низшего порядка
в этом разложении, как это следует из рассуждений § 2 гл. V,
имеют степень | i — i' |. Отсюда из (18*) следует, что члены низ-
шего порядка в 52 будут иметь степень | р — q |.

Из этого утверждения очевидно, что при рассмотрении уравне-
ния (16) необходимо различать два случая. Во-первых, если
|р — д| не мало (примерно больше четырех), достаточно в (16)
вместо [/?] подставить вековую часть возмущающей функции,
так что рассматриваемое уравнение примет вид

ЦЕ? ад _ 0	(21)

Le де Le де	' '

Подставим в <SX члены низшего порядка из (19) и положим
i — I' = 0, так как движение происходит в плоскости; тогда,
тт'

отбрасывая множитель , получим

^Вх — В2 cos (л — л')) — (-Вх — В2 у- cos (л — л') j = 0.

Но согласно предыдущему л — л' равно либо 0, либо 180’.
Если

а)	л — л' = 0,

то (за исключением случая е или е' = 0) приведенное урав-
нение примет вид

LB^ + В2ее' (L' — L) — L'B.e'" = 0,	(22)

и для

Р)	л — л' = 180’

получим

LB2e* — В^е' (L' — L) — L'B#'2 = 0.	(22*)

Из этих уравнений при заданных значениях L яВ можно опре-
делить отношение е к е', для которого существует периодическое
решение второго сорта. Корни этого уравнения всегда действи-
тельны.

Можно также предполагать заданными значения ей е'и опре-
делять соответствующее значение L : L'. Таким образом, полу-
чим в случае а)

В _ Вге2 — Вгее’	_

L В,е"> — Biee' ’
где е и е' должны быть выбраны так, чтобы правая часть была
положительно!!; в случае Р)

L’ _ В2е2 4- Bree'	/0Q..

L Вге’2 В у ее' ’	>

Для всех пар значений (е, е'), соответствующих указанному
в случае а) условию, отношение L' : L можно выбрать так, чтобы
существовало периодическое движение. Приближенные значе-
ния L ъ L’ согласно (6) § 4 гл. VI будут

L = т У а ,	L' = т' У а'.

Так как средние движения п и п' соизмеримы, то отношение а
к а' определяется. Условия (23) и (23*) могут выполняться при
подходящем выборе значений масс.

Эти рассуждения следует рассматривать лишь как прибли-
женные, так как учтены только члены второго порядка. Следо-
вательно, они справедливы только при малых значениях е и е',
а при больших значениях эксцентриситетов необходимо прини-
мать во внимание высшие степени е и е'. Но из уравнения (16)
очевидно, что е можно представить в виде степенного ряда в форме

е = е' (а0 + аге' + а2е'2 + ...).	(24)

Если |р — q\ —малое число, то в (16) необходимо подста-
вить также и S2. Рассмотрение уравнения при |р — д| > 2 ана-
логично приведенному, хотя, естественно, результаты оказыва-
ются иными. Но если |р — g| = 1, то, как легко заключить из
(19) § 3 гл. VI' в возмущающей функции имеется член

•4----------------—-------------г- • [e-cos (2Z — V + л — л') +

2	[в2 + в'2_2aa'cos(Z— Z'-j- л — л')]7’

+ е' cos (I — 21' + л — л')],
и если первый множитель разложить в тригонометрический ряд
по кратным I — V + л — л', получим член, который не содер-
жит t. Если, например, 2п — п' — 0, то для этого члена получим
значение

-у Вое cos (2с — с' + л — л'),

или, так как cos (2с — с' + л — л') равен -J-1 или —1, то имеем
j

+ -^Дое. Если подставить этот член в (16), то получим уравнение
вида

±4-тг+'с>+*'4-+--=°-
Корень е этого уравнения не обращается в нуль вместе с е', как
это имело место в (22’)- Поэтому значения эксцентриситета, кото-
рые соответствуют периодическому решению при \р — q\ = 1,
вообще говоря, много больше, чем при |р — g| > 1, и без по-
дробного исследования нельзя решить, существуют ли вообще
периодические решения второго сорта при р — q — 1, так как
для этого еще необходимо, чтобы значение корня для е было мень-
ше единицы. Между тем из рассмотренного Хиллом частного
случая, о котором дальше будет идти речь, можно ожидать, что
этот случай имеет место.

Если масса т планеты исчезающе мала, то мы будем иметь
дело с ограниченной круговой задачей трех тел; тогда обращается
в нуль второй член в (16), и мы получим условие в форме

где

S = -±- [Л].
т 1 J

Так как в этом случае л — л' также должно быть равно 0° или
180°, то здесь, вследствие того, что л'— постоянная, неизменно
и л. Итак, для периодических решений второго сорта в ограни-
ченной задаче трех тел перигелий малой планеты неподвижен.

Если | р — q | не будет малым числом, так что можно написать
для (25) уравнение

^L = 0,	(25-,

получится уравнение вида

Вге — В2е' cos (л — л') + члены высшего порядка
относительно е и е’ — 0. (25**)
Все члены, которыми мы пренебрегаем, имеют нечетную степень.
Это выражение показывает, что в данном случае к периодическим
решениям может привести только значение л — л' = 0, но не
равное 180’. Приближенное значение е при малых е' будет
е = <е'.	(26)

В § 4 гл. VI было показано, что всегда (а < а’) Ву^В^.
Стало быть, эксцентриситет малой планеты для периодических
решений всегда меньше эксцентриситета возмущающей планеты.
Периодические решения астероидной задачи трех тел были
рассмотрены Хиллом для случая, когда возмущающей планетой
является Юпитер. Хилл принимает е'=0,04825 и учитывает в
члены до шестого порядка включительно. В случае, когда — д|
большое число, Хилл получает значения корней уравнения (25*),
приводимые в табл. XXII.
Таблица XXII

Периодические решения второго сорта для астероидной задачи трех тел

а	•		е	а	е
0,02	0,0012091	0,26	0,015 5796	0,50	0,0291772
0,04	0,0024178	0,28	0,016 7534	0,52	0,030 2466
0,06	0,0036258	0,30	0,017 9216	0,54	0,031 3029
0,08	0,0048326	0,32	0,0190838	0,56	0,0323453
0,10	0,0060379	0,34	0,0202392	0,58	0,0333726
0,12	0,0072414	0,36	0,021 3875	0,60	0,0343837
0,14	0,0084426	0,38	0,022 5281	0,62	0,03 >3776
0,16	0,0096411	0,40	0,0236605	0,64	0,036 3529
0,18	0,0108366	0,42	0,024 7841	0,66	0,037 3980
0,20	0,012 0286	0,44	0,025 8982	0,68	0,0382412
0,22	0,013 2167	0,46	0,0270022	0,70	0,039 1503
0,24	0,0144005	0,48	0,0280955		

Так как

V1 +

а

п   р
п'	q ’

п'

то а получим из уравнения

In а = 9,9998618---

3 q

Если задана соизмеримость р : q, то отсюда получим значение
а, и таблица дает соответствующее значение эксцентриситета
орбиты малой планеты, которое соответствует периодическому
решению второго сорта.

Хилл также рассчитал периодические орбиты для малых зна-
чений |р — д|, а именно при р = 3, q = 1 и при р = 2, q = 1.
Здесь исследование более трудоемкое п частично необходимо чис-
ленное интегрирование. Для р=3, 9=1 он показал, что периоди-
ческие орбиты этого рода могут существовать только в том слу-
чае, когда перигелии малой планеты и Юпитера совпадают, так
что л — л' = 0. Здесь Хилл получает

— 0,0080600 + 0,287698с — 0,0046723с2 + 0,202990е3,
де

= — 0,1082128+ 1,250172с —0,630954с2 + 1,765393с3,

так что

— 0,1162728 + 1,537870с — 0,677677с2 + 1,968383е3.
де
Корень этого уравнения будет е — 0,077565. Более ясное
представление о соответствующей периодической орбите дает
рис. 37, на котором представлена синодическая орбита планеты со

сродним движением, втрое превосходящем среднее движение
Юпитера. Из об раженная здесь
орбита называется синоди-
ческой потому, что она отне-
сена к вращающейся системе
координат, ось которой про-
ходит через Солнце и Юпи-
тер. Буквы J и J' указывают
положение Юпитера в пери-
гелии и афелии. В обоих слу-
чаях он находится в соеди-
нении с планетой, которая
расположена в точкахРъР'

соответственно.

Хилл исследовал также решения дри р = 2, q = 1. Исследо-
вание оказалось весьма трудным и выполнялось в основном при
помощи численного интегрирования. Для
л — л' = 0 Хилл получил для эксцентри-
ситета значение е = 0,7073. Соответствую-
щая синодическая орбита планеты изобра-
жена на рис. 38. Эксцентриситет в этом
случае настолько велик, что за время
одного синодического оборота планета че-
тыре раза пересекает орбиту Юпитера.
Рис. 38 показывает, что малая планета
движется на большом удалении от Юпи-
тера, и отсюда Хилл заключает, что пе-
риодические возмущения должны быть
малы, и по его оценкам «ни один из коэф-
фициентов в долготе не превосходит зна-
чения 200"».

Рис. 38.	Сопоставляя результаты этого пара-

графа, находим, что периодические реше-
ния второго сорта в задаче трех тел существуют при следую-
щих условиях. При р, = 0:

1.	Средние движения обеих планет пип' должны быть соиз-

меримы, так что

п   р

п'	д'

(а)

где р и q обозначают целые числа.
2.	Долготы перигелиев лил' обеих планет должны быть тож-
дественны или разниться друг от друга на 180°:

л — л' = 0 или л — л' = 180е.	(Ь)

3.	Если начало отсчета времени выбрать так, что с' = 0, то с
должно иметь такое значение, чтобы

где г принимает значения 0, 1, 2,	, 2q — 1.

4.	Эксцентриситеты е и е' должны быть выбраны так, чтобы
выполнялось уравнение

dS /1 —е'2 dS _ n	/JX

Ге де Z7? дГ ~	W

где S содержит те члены возмущающей функции (17), для ко-
торых

ip — i'q = 0.

Чтобы полученное таким путем решение было периодическим, не-
обходимо, чтобы гессиан от [F2] по с, к и К был отличен от нуля.

§12. Периодические решения третьего сорта

Как было найдено в предыдущем параграфе, при ц = 0 здесь
также имеются периодические движения, если средние движения
пип' соизмеримы.

Приведем, в соответствии с § 10 гл. V, дифференциальные
уравнения н четырем степеням свободы; тогда

	dL dt ~~ dr dt ~~ dL'  dt ~ dr  dt			dF dl ’ dF dg ’ dF dl' ’ dF dg' ’	dl dt dg dt dl' dt dg'  dt	II II II II Illi 0)1 O> O>|	Q)| O) Q)l Q)  ч tr;| ч "э| ч ч	(1)
где L, L', 1 и	I'	имеют		такие	же	значения, как и в предыдущем	
параграфе, а	g	= л		Q,	g'	= л' — Q',	(1’)
Г =	G	= Lyi		— e2,	Г'	= G' = L' /1	-е'2.	(2‘)

Здесь предполагается, что из возмущающей функции F исклю-
чены элементы h, h', Н и Н', а движение отнесено к непзменяе-
мой плоскости, благодаря чему h и /г' обращаются в нуль; поло-
жим, кроме того,

я=-т+4-(Г2-г'2)’

(2)

где с обозначает постоянную площадей.

Fo имеет то же самое выражение, что и в предыдущем парагра
фе и, следовательно, зависит только от L и а гессиан от Fo
по L и L' отличен от нуля.

Как и в предыдущем параграфе, находим условия существо-
вания периодических решений, которые здесь будут

d[Fi] = a [F,] == a [Fd = a [F!] = Q	3

Зе de' dg dg' ’	' '

и

причем I = nt + с, V = n't + с'.

Возмущающая функция Fx имеет здесь вид [(10) § 9]

Fi = S 91 cos (il — i'V + jg — j'g'),
и далее,

[Fi] = S 91 cos (ic — i'c' + jg — j’g'),

(4)

(4‘)

оба урав-

где i и i' принимает все те целые значения, для которых
in — i'n' = 0; если положить, как в предыдущем случае,

п   р
п’	q ’

то должно быть
гр — i’q — О
или

г = sq, V = sp (s — 0, 1, 2, . . .),
причем при s = Омы получим вековые члены в [FJ.

Из (4*) следует, что одновременно выполняются
a[Fii n a[Fi] А	,ох

нения, 	1 = 0 и ge,J = 0, так что вместо (3) надлежит иссле-

довать три уравнения:

d [F,] _ _ d [F,] _ d [F,] _ 0
de dg dg' ’

и с' можно выбрать произвольно. Положим с' = 0, чего можно
добиться подходящим выбором эпохи. Приведенные уравнения
принимают вид

S S'J 51 sin (s/c + jg — j'g') = 0,
S 7 51 sin (sqc + jg — j'g') = 0,
S j' St sin (sqc 4- jg — j'g') = 0,
и удовлетворяются, если положить
g = 0= пли 180°,
g' = 0s » 180°,
c = r1^- (r = 0,1,2..................2<z-l),

(4**)

что не исключает возможности существования других решений
этих уравнений. Заметим, что вместо того, чтобы выбирать с' = О,
можно было бы положить с = 0, и вместо третьего уравнения
(4**) мы получили бы только уравнение

с' = г.^ (г = О, 1,2, ...,2р — 1).

Остается еще рассмотреть уравнения (3*)- Целесообразно
выразить возмущающую функцию через обычные кеплеровские
элементы, так как ее форма в этих элементах хорошо известна.
Итак, положим (не обращая внимания на угловые элементы,
которые не претерпевают никаких изменений)

R (L, L', е, е', I, i') = F (L, L', G, G', И, Н') = F (L, L', Г, Г');

(5)
тогда по § 10 гл. V получим

dF	_	dF_

дН	~	дН'

и, следовательно,
dF_ _	dF	dF __	dF

dG ~	dV ’	dG’ ~~	дГ ’

так что подлежащие рассмотрению уравнения будут следующими:

3[F] _ d[F] _
dG ~ dG' ~

Между G, Н и е, i имеют место соотношения

G = L/1 —е2, Я = С cos г
или

VZ2-G2 е~	L	sin i —	У G2 — Я2 G
,	у £-2 _ G<2  е =	L'	’	sin i' —	У G'2 — W'2 G'

(6)

Если выражения (6) для е, е', i, ir подставить в /?, то эта функция
перейдет в F. Таким образом, имеем

dF ___ dR	де	।	dR д	sin i

dG	де	dG	'	d	sin i	dG	’

dF ___ dR	de'		dR d	sin	i'

dG'	de'	dG'	‘	d sin i'	dG'

Так как

de _	/	]

dG	~	Ze	’	I

..	J	(0

d sin i _____cos2 i__ j

~dG~	“ L УГ^ sin i* J

то условия периодичности примут вид

УГ^Т2 д [Л]________cos2 i а [Я] _ 0

Ze de £ у 1 _ е2 sin j d sin i ~~ ’

уггт^а [/?]	___cos2 v а [Я]	0

L'e' de'	j' l’=T2sin i' <> sin V

В § 9 было доказано, что если неизменяемую плоскость ис-
пользовать в качестве основном координатной плоскости ХУ,
то наклонности i и г' всегда будут встречаться в комбинации
1 « 1

i + г', и R можно разложить по степеням sin2 •=(/ 4* Г) = sin2 4-J.
Z	л

Таким образом, имеем

ал __ ал _ dR
di di’ dJ

или

. ал а гл] ал
cos г . = cos г х—!—,
a sin г	a sin I dJ ’

так что уравнения (8) могут быть также записаны в форме

=0,

е de 6 dJ

е' de' Ctgl dJ •

(9)

(Ю)

29 К. Шарлье
Если из этих уравнений исключить -gj--. то получим уравнение
.	.1 — е-д [Я]	1 — е'-д [Я| п

[е1——zr~tgl — 1Н = 0’	(10>

которым можно заменить одно из уравнении (10).

Наклонности i и i' к неизменяемой плоскости согласно (14*)
§ 9 гл. V связаны соотношением

G sin i = G' sin i'.	(11)

Отсюда находим, что (10*) при i = i' — 0 переходит в уравнение
(16) предыдущего параграфа. Действительно, мы можем записать
(10*) в форме

да + Ф _ о,

Le де L е де

где Ф обращается в нуль при i — i' = 0.

При рассмотрении формулы (10) необходимо более подробно
исследовать функцию [Я], которую мы здесь обозначили через S.
Заметим, во-первых, что S является функцией J, которую можно
разложить в ряд по четным степеням этой величины. Так как,
далее, по (11)

G . .

!. =	+ члены высшего порядка по г,

то

J	G

— = 1 + -цг -|- члены, обращающиеся в нуль вместе с J,
j	„ с	(12)

= 1 + -7Г +	»	»	»	»	» J.

I	ь

Если временно не принимать во внимание значения е = е' — 0,
то вместо (10) можно записать

dS _ е
де 1 — ег

dS
де'

е' . dS
= П=75с1«г ~дТ'

(13)

ctS 1 аГ ’

S состоит из двух частей, Sr и 52, из которых SY равно обычной
вековой части возмущающей функции, в то время как S2 вклю-
чает те члены возмущающей функции, которые становятся веко-
выми вследствие соизмеримости средних движений. Низшая сте-
пень членов в 52 равна |р — д|. Относительно функции Sr сле-
дует заметить, что она не изменяется, если ей е' заменить на —е
и —е'.
Если |р — ?| 2> 2, то S2 будет по крайней мере третьей сте-
пени, и разложение S имеет форму (где предполагается л — п' = 0)

S = -g- Bl [е2 + е 2 — J2] — В2ее’ +	8', rese's’Jr,

где s + s' + г 2, а г всегда четное. Члены низшего порядка
в правой части (13) с учетом (12) суть

-4М‘+т>

II

и если их перенести в левую часть (13) и объединить с членами
dS dS

первой степени в	то получатся уравнения вида

^Bi{2 + ^e-±B2e' = Pu
^-B2e + ^-Bi(2 + ^-)e' = P2,

(14)

где Р2 и Р2 обозначают степенные ряды относительно Jv е, е',
которые не содержат членов ниже второго порядка.

Мы должны здесь различать два случая. Если |р — д| чет-
ное число, то как S2, так и всегда будут четными функциями

, m	ss dS

от е и е . Тогда все члены в g^-и должны содержать е или е
в качестве множителя, так что степенные ряды Р2 и Р2 при
е = е' — 0 обращаются в нуль.

Если же, наоборот, |р — д| — нечетное число, равное 2к + 1,
то S может содержать член вида B^eJ®1, следовательно, в
будет и член — Вк№. Тогда приближенные значения е и е' опре-
делятся уравнениями

В1 (2 + £)е “ В*е' = “

B2e-Bi(2+£-)e' = 0,

которые всегда имеют решение,

-в2

так как определитель

-в2

В‘(2 + т)

взегда отличен от нуля.
Из уравнении (14) в этом случае получим е и е' в виде степен-
ных рядов, расположенных по степеням J, которые обращаются
в нуль при J = 0. Аналогично будет и в случае, когда в S имеется
член вида

В этих случаях каждому значению J соответствуют опреде-
ленные значения е и е', обращающиеся в нуль вместе с J.

Если |р — д|—четное число, то никаких периодических
решений уравнений (14) найти невозможно. Как уже отмечалось,
в этом случае при е = е' = 0 и Р2 обращаются в нуль, и, сле-
довательно, уравнения (14) имеют решение

е = е' = 0.	(15)

Можно было бы считать, что это решение также относится к перио-
дическим решениям третьего сорта задачи трех тел, и Пуанкаре
в своих «Methodes nouvelles» даже не отмечает каких-либо других
решений, относящихся к периодическим орбитам третьего сорта.
Между тем, как нам представляется, великий математик допу-
стил здесь ошибочный вывод. В действительности никаких перио-
дических орбит третьего сорта, которые при ц = 0 были бы кру-
говыми, не существует.

Условия существования периодических решений даются урав-
нениями (3) и (3*). Из последних выведены уравнения (10), вместо
которых можно использовать уравнения (13), если только е и е'
не равны нулю. Иначе говоря, периодические решения существуют
для таких значений элементов, для которых S достигает макси-
мума или минимума. Но при этом элементы нельзя выбирать
произвольно. Если функцию S рассматривать как функцию от е
и е', то она при е = е' = 0 имеет минимум (=0), если \р — q\ —
четное число. Но если ее рассматривать как функцию Г и Г',
то она при этих значениях е и е' не имеет ни минимума, ни мак-
симума.

Изучение уравнений (14), если | р — g | — четное число,
могло бы происходить так, что сначала из каждого уравнения е
представлялось в виде степенного ряда по е' и /. Эти ряды при е'=0
должны обращаться в нуль, так что из (14) получим ряды в виде

е = е'Р3 (е', J),

е = е'Р4 (е', J).

Затем пришли бы к рассмотрению уравнения

Р3 (е', J) = Р4 (е', J).	(15*)

Но эти ряды не обращаются в нуль при е' = J = 0, и отсюда
следует, что (15*) может выполняться только при больших зна-
чениях е' или J.
Хотя в этом случае ей е' могут быть разложены по степеням J,
необходимо при помощи специального исследования доказать,
что эти ряды не обращаются в нуль, как это имело место при
J = 0 для нечетных значении — д|. Случай — q\ = 2
рассматривается точно таким образом, как и другие случаи, для
которых \р — д| —четное число.

Что касается случая — q\ = 1, то в S2 имеется член пер-
вого порядка, который содержит множителем либо е, либо е'.
В обоих случаях уравнения (13) принимают форму

Е0 +	е'> J) = 0, 1	/|g\

Рв (е, е', J) = 0, f

где Р-о tl Рл суть степенные ряды, которые обращаются в нуль
при е — е' = J — 0. Второй ряд дает выражение

е = Р, (е', J),
которое, будучи подставленным в уравнение (16), дает зависи-
мость между е' и J. По-видимому, дальнейшее исследование
этого уравнения необходимо выполнять численными методами.

Из уравнений (1) и (3*) следует, что для периодических ре-
шений третьего сорта величины я — Q и я' — Q' остаются не-
изменными.

§ 13. Периодические решения других сортов

Введенная Пуанкаре классификация периодических решений
не учитывает все множество таких орбит. Его исходная точка
зрения состоит в отыскании периодических орбит при р — 0
и затем в определении условий, при которых периодические ор-
биты могут быть также при малых значениях р. Прежде всего
при этом, конечно, исключаются такие периодические орбиты,
для которых р настолько велико, что координаты тела не могут
быть разложены по степеням р. Нельзя также быть уверенным,
что р при этом должно иметь весьма большое значение. Извест-
но. что р встречается в качестве множителя в вековых неравен-
ствах долготы перигелия и узла периодических орбит, и разло-
жения координат (или элементов) содержат одновременно со
степенями р и степени t. Таким образом, нельзя быть уверенным
в том, что при помощи разложений по степеням р можно получить
такпе орбиты, для которых период Т превышает определенную
величину.

Кеплеровские эллипсы благодаря своей простоте весьма под-
ходящи в качестве порождающих при отыскании периоди-
ческих орбит. Главный их недостаток в этом отношении следует
искать в неподвижности перигелиев и узлов. Можно, однако,
использовать в качестве порождающих произвольные промежу-
точные орбиты и, очевидно, исходить для этой цели из вековых
возмущений элементов. При этом можно было бы рассчитывать
периодические орбиты долгого периода, а также рекомендовать
рассмотрения такого рода для определенных орбит короткого
периода.

Ранее предполагалось, что периоды Т для ц — 0 и р. =f= О
одни и те же. Интересно поставить вопрос, можно ли добиться,
чтобы периоды в обоих случаях разнились на величину, обра-
щающуюся в нуль вместе с р. Рассмотрим этот случай более под-
робно. Пусть даны дифференциальные уравнения

dt dyi ’ dt	dxi ”	’

где

F = Fo + pFx + p2F2 + . . .

и Fo зависит только от а^, хг, ... , xs.
Тогда при р = О

Xi &i,	tlit Cj,

(1)

(1*)

где

„ - dF°

ni~~ •

Предположим, что решение (1*) периодическое с периодом Т.
Для отыскания периодических решений при р =/= 0 предположим,
что начальные значения х; и у, будут

Х{ =	+ Pt, pi = mt + ct + yf.

Определенное движение не должно более обладать периодом Т,
а имеет период

(1 + к)Г.

Если положить теперь
t = (1+ к)х	(2)

и ввести т в (1) в качестве независимой переменной, так что

^£.=_(1+л)4£.,

dx '	' dyi dx '	' dxi ’

то к, Pi и yi следует определить так, чтобы движение было перио-
дическим при р =jb 0.
Полагая

— а» + Pt + £i,	1  1  Vi =	+ Ci +	+ T)i	L	(3)
(i = 1, 2, . . ., s),	I	1

получим для и т); дифференциальные уравнения

=	^- = -(1 + Л)^-п{

dx ' 1 ' dq ’ dx viz 1

(i = 1, 2,..., s).

Функции & и г],, по предположению, являются периодическими
функциями от т с периодом Т. Полагая

т

1 J dq
о

Т

1 + к Г dF . .

_J^_dT+ral,
о

(4)

для периодичности решения будем иметь условия

<Pi =	= 0 (i = l,2,..., s).	(5)

Для выполнения этих 2s уравнений нужно распорядиться 2s + 1
величинами 0ь yi (i = 1, 2, . . . , s) и к. Ясно, что одной из этих
величин можно распорядиться произвольно, например, положить
к =0, и тогда оставшиеся 2s величин можно всегда определить
так, чтобы найти все периодические решения, существующие
в окрестности р. = 0. Иначе говоря, имеются ли периодические
решения, которые при к =)= 0 не совпадают с получающимися при
к = 0 решениями, но которые тем не менее совпадают с послед-
ними при р = 0? Как доказал Пуанкаре, этот случай может быть.

Действительно, рассмотрим уравнения

i|)i = 0 (i = 1, 2, . . . , s).

Вместо них согласно (4) можно записать

dflj дп-

т

Т } да^Т +	'

о

(i = l, 2, . . ., s), (6)

где отброшенные члены обращаются в нуль при р = 0.
Рассмотрим матрицу

dF0	а2/-'»	дЧ\>	d’F0
dai		да\ да..	d«i das
dF0	д-Ft)	d-Fa	d-Fa
да-.	да*dai	п 2	да-, да*
dF0	d-F0	d*-F0	d*-F0
das	das dai	да s да.	да"л

Из этой матрицы, вычеркивая 1-й, 2-й, ...,($-М)-п столбцы,
можно образовать s +1 определитель Д(|,	..., Д8. Если опре-

делитель До=О, в то время как один (или большее число) из опре-
делителей Ди Д3, . . . , Д, не равен нулю, то решение при к =^= О,
вообще говоря, отличается от решения, получающегося при к — О,
в то время как при к = 0 не существует простого решения урав-
нений (6).

Шварцшильд [56] обратил внимание па такой случай, который
относится к периодическим решениям второго сорта ограничен-
ной круговой задачи трех тел.

Если возмущающая планета движется вокруг Солнца по ок-
ружности, а астероид с массой, равной нулю при ц = 0, по про-
извольному эллипсу, тогда движение ири р = 0 будет периоди-
ческим, если средние движения астероида п и возмущающего тела
п' соизмеримы.

Как же обстоит дело с периодическим движением при р --4= О?
Если период Т в возмущенном и невозмущенном движении один
и тог же, то должно иметь место в начале или конце периода
симметричное соединение или оппозиция при одном и том же по-
ложении, так как период возмущающего тела в обоих случаях
один и тот же. Перигелий астероида должен быть неизменным,
как было найдено в § 11 при любом значении эксцентриситета
возмущающей планеты. Такая периодическая орбита может
существовать только при определенных значениях эксцентри-
ситета, который получается нз формулы (25) упомянутого пара-
графа.

Если эксцентриситет имеет иное значение, то по истечении
времени Т перигелий переместится в прямом или обратном дви-
жении. Как известно из § И гл. VII, среднее движение периге-
лия для малых значений е всегда положительно, поэтому пла-
нета и астероид через время Т -|- Д7’ снова будут находиться
в симметричной конфигурации или оппозиции, если это имело
место в момент времени t — 0. Следовательно, при помощи со-
ответствующего определения элементов при t — 0 можно полу-
чить периодическое решение с периодом Т + ДТ, и это решение
не будет совпадать с ранее полученным периодическим реше-
нием.

Аналитически это осуществляется следующим образом. Два
тела, планета и Солнце, с массами ц и 1, движутся вокруг общего
центра инерции по круговым орбитам. Третье тело, астероид,
с бесконечно малой массой, притягивается к этим двум телам.
Отнесем движение астероида к системе координат с началом в Солн-
це. тогда, в соответствии с § 2 гл. V,

_ dlf <>Fi _ дН
dt ~~ dpi ’ dt	dqi

(i = 1,2 3),

(7)

где

а через q^q-z, q3 обозначены прямоугольные координаты астероида.
Здесь

ч — “ (Р® 4" Рг + Р®) — д'-----г" 4~ И {qt(lt 4- <7г7з 4- <7з?в) > (8)

где Д обозначает расстояние между астероидом и планетой,
г — радиус-вектор, g4, <?5, ge — координаты планеты. Расстоя-
ние от планеты до Солнца принято равным единице, постоянная
тяготения также равна единице.

Совместим плоскость XY с плоскостью орбиты планеты, и
предположим, что долгота планеты при t = 0 равна нулю; тогда

#4 = cos n't, q — sin n't, qe = 0,
где

n' = ]/1 + p,

и, наконец,

Д2 = 1 4- r2 — 2 (<h cos n't q, sin n't).	(8*)

Положим

и дифференциальные уравнения примут вид

SU'	? ох

dt dPi ’ dt ~ d4i (i — i,

Проинтегрируем эти уравнения по методу Якоби. Тогда, вводя
элементы Делоне, получим дифференциальные уравнения

(IL _ (It ~~	dF dl ’	dl dt	_ dF  ~ dL ’	
<IG _	dF	dg	__dF	(9)
dt	dg ’	dt	dG ’	
(1П	dF	dh	dF	
		 .	1					 - -	
(It	dli ’	(It	dH ’	

где

L = Vа, I = средняя аномалия,

G = У а (1 — е2), g = л — fi,

Н = G cos i, h = fi.

Здесь

1 Ц'

F =	----H (?i cos « £ + <72 sin n t).

(9*)

В F, кроме элементов, входит также и время. Однако, вводя дру-
гие элементы, время можно исключить. А именно, из (8) и (9*)
очевидно, что время встречается лишь в комбинации

Ql cos n’t + g2 sin n't.

Но согласно (23) § 9 гл. IV

^ = 2414-511, д2 = А15+В1ц.

Значения коэффициентов A, Av В, Вг приводятся в этом же § 9;
имеем также

g - a (cos и— е),
т| = а У \ — ег sin w,

(Ю)

где w обозначает эксцентрическую аномалию. Величины £ и ц
можно выразить через линейные эллиптические элементы и
через I.

Принимая во внимание значения коэффициентов At и Bi,
находим, что

qL cos n't + q2 sin n't = A'£ + B'r|,	(11)

где

A' = cos g cos (h — n't) — sin g sin (h — n't) cos i,
B' — — sin g cos (h — n't) — cos g sin (h — n't) cos i.

(11*)

Отсюда следует, что в F время входит всегда в комбинации
h — n’t. Если вместо h — n't ввести новую переменную и одно-
временно к характеристической функции F добавить п'Н, то
получим каноническую систему дифференциальных уравнений,
в которую время явно не входит.

Положим:

Z1 =	]/а,	yi = средняя	аномалия,

=	У а (1 — е2),	у2 = л — Q,

х3 =	У а (1 — е2) cos i,	у3 = Q — n't,

F = —- + п х3 + ----------Ц (<7i cos п t +	q3 sin п	t),

где вместо qx cos n't 4- g2 sin n't следует подставить выражение
(И), и

Л = cos у2 cos у3 — sin у2 sin Уз — ,

В = — sm У2 cos Уз — cos у2 sm у3 — .
*2

Имеем теперь

(Ixi _ dF' dVi dF' ... ?

-dt-эй’ -dF~~d^	(И }

Из выражения для F’ находим

F' = Fo + pFx,

где

Fo-^+nx3,

1	(lj***J

1	/I

Fl = -r--(7i cos n t + q3 sin n t),

и далее находим, что разложение имеет следующую форму:
Fl = 2Л cos (гух + i’y2 + jy3).

Если движение происходит в плоскости (лежащей в
плоскости орбиты планеты), то для А' и В' получим выражения

А' = cos (я — n't),

В' = — sin (я — n't),
и положим

Х1 =	________ yL = I,

х3 = ]/а(1 — е2), у2 = я — n't',
в таком случае дифференциальные уравнения примут вид

dx-i	_ дг	dyi _ _	dF'	
~аг		dt	dxi ’	
dx-i	9F'	dy-i _ _	dF'	(12)
1Г	дуз ’	dt	dx-2 ’	
Где

F° = ^- + n4-

Будем искать периодические решения второго сорта для этих
дифференциальных уравнений. Если через п обозначить среднее
движение астероида, так что

1

= <

дх\

(13)

то первое условие периодичности
и п' соизмеримы;

решения состоит в том, что п

п

р

н' q *

(14)

где р a q взаимно простые числа.

В этом случае движение будет периодическим при р — 0.
Положим

xi — ai + Pi + У1 = nt + с + Yi + Л1>

x<i = а2 + Зг + £2, Уъ — — n't + g + у2 + Ла,
т

[F] = Fdx = S A I, i- cos (ic — i'g),
о

где при суммировании i и V принимают все целые значения, для
которых

ip — i'q = 0	(15)

и, следовательно,
ОО

[F] = 3 coss (r/с — pg);	(15*)

8=0

тогда из (4) и (6) получим условия

Цр = — <7 2 s-^9. sp Sin s (qc — pg) =- 0, 8=0  OO  QZ = — pS «Лд, sp sin s (qc — pg) = 0, °	»=o			(16)
dxt "1”	। I1 dxi	+	•. • = 0,	
дх-i	dx* dxi/L i ^2	r*	+	... = 0.	
§ 13]	ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДРУГИХ СОРТОВ	461

Так как без ограничения общности можно выбрать g = 0, то
первые два пз этих уравнений выполняются при

с = г~^~ (г = 0,1,..., 2q—1).	(17)

Что касается двух последних уравнений (16), то легко видеть, что
гессиан от Fo по хх и ж2 равен нулю. Здесь получаются различные
решения в зависимости от того, принимается ли к = 0 или к 0.
При к = 0 получим обычные периодические решения второго
сорта с неподвижным перигелием, и эксцентриситет определится
из уравнения

д И] =  /1-е2 а [Л] = 0
дх.<	Xie де

(18)

Это решение имеет место при определенных значениях эксцен-
триситета. Уравнение (18) тождественно с уравнением (25) § 11.

Если к отлично от нуля, то одна из величин или ₽2 может
быть принята равной нулю. Покажем, что коэффициент при р2
обращается в нуль, поэтому, если получается простое решение
имеем только р2 = 0, а так как

Мо_______1_ dFo ,

З.Т1	%з ’ дх2 ’

Э2/'о	3	d-Fa	d2F0	Q

дх*	я* ’ dxidx.,	qx2

LI	Л

то для определения к и получаем уравнения

J 3pi „ д [F,] ,	___п

ж* х*	®xi 1	’

+	— = о»

которые дают

п дх2

3	3 r dxi

(19)
Можно также записать

,	/1 - д [Л1

k^~V^----ЬГ

(19*)

где принято п' = 1.
Для периода имеем

(1 + к) Т

и, значит, к обозначает движение перигелия. Астероид в течение
периода совершит р оборотов по (вращающемуся) эллипсу, а пла-
нета обернется q раз по своей круговой орбите.

Исследование периодических решений, которые соответствуют
соизмеримости средних движений, этим путем оказывается удоб-
ным и быстрым, лишь после того как получено разложение воз-
мущающей функции. Так как р2 — 0, то такие решения могут
существовать при всех значениях эксцентриситета.

Если рассматривается пространственное движение тела нуле-
вой массы, то из уравнения (И**) можно сделать аналогичные
выводы. Тогда придем к периодической орбите с движущимся
узлом. Между эксцентриситетом и наклонностью орбиты асте-
роида должна иметь место зависимость, а расстояние перигелия
от узла остается неизменным.

Значение периодических орбит для астрономии должно быть
высоко оценено. С теоретической точки зрения, как замечав!
Пуанкаре, при помощи периодических орбит сначала удастся
вторгнуться в область, до сих пор недоступную анализу — в струк-
туру интегралов задачи трех тел. Основополагающие работы
Пуанкаре представляют собой бесценный источник для матема-
тиков и астрономов. Периодические решения скоро будут оказы-
вать большую помощь практической астрономии. Как известно
в настоящее время, в планетной системе существует один случай,
в котором действительно имеет место периодическое решение
задачи трех тел (в этом случае проблемы четырех тел), а имен-
но — для трех внутренних спутников Юпитера. Значение перио-
дических решений для астрономии заключается главным обра-
зом не в возможности обнаружить в природе такие случаи (хотя
каждый пример такого рода и представляет исключительный
интерес), а чтобы с их помощью можно было успешно разрешить
различные особенно трудные проблемы небесной механики.
В своей основополагающей работе о движении Луны Хилл ис-
ходит из периодического решения первого сорта, а относящиеся
к этому численные исследования рассматривает не как вычисли-
тельные упражнения, а как истинную основу для точного расчета
лунной орбиты. Эта исходная точка может с успехом найти при-
менение и в теории малых планет. Периодические решения пер-
вого сорта, без сомнения, будут играть важную роль в теории
спутников планет, как это вытекает из работ Эйри, Тиссерана,
Баклунда и др. о спутниках Сатурна. Случаи либрации для малых
планет стоят в тесной связи с периодическими решениями второго
сорта, и групповые возмущения Болина в принципе являются не
чем иным, как применением этих решений, хотя его исходная
точка зрения и несколько отличается от этого подхода.

Итак, есть все основания считать, что периодические решения
задачи трех тел будут определенно играть значительную роль
в астрономии*).

*) Метод Пуанкаре в теории движения малых тел солнечной системы
широко использовал Г. А. Чеботарев (Усп. астр, паук 5, 1950). Метод
А. М. Ляпунова построения периодических решений применен Г. И. Ду-
бошнным при разработке теории движения спутников Сатурна (Труды
ГАПШ 15, 1945; 28, 1960). См. также 10. А. Рябов, Астрой, журн. 29.
кык. 5, 1952. (Прим. перев.)
ГЛАВА IX

СХОДИМОСТЬ РЯДОВ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ

§ 1. Сходимость рядов в задаче двух тел

Вопрос о сходимости рядов в астрономии имеет большое значе-
ние не только с чисто математической точки зрения, но прежде
всего в силу важных практических выводов, которые можно
сделать только на основе тщательных исследований сходимости
используемых рядов. При этом необходимо иметь в виду 1) в ка-
кой области используемых переменных эти ряды сходятся и
2) насколько будет велика ошибка, если разложения оборвать
на определенном члене. Наконец. 3) при определенных условиях
можно сделать выводы из исследований сходимости о поисках
тех методов разложения, которые давали бы при числовых рас-
четах наибольшую выгоду.

Вопросы второй и третьей категории до сих пор мало иссле-
дованы, хотя часто появляются важные результаты. Можно
вспомнить, например, исследования о рядах Эйлера и их значении
для так называемых механических квадратур. Подобные иссле-
дования есть и в теории возмущений. Между тем здесь перед нами
открывается непочатый край работы, где при помощи существую-
щих методов исследования сходимости, несомненно, можно полу-
чить в высшей степени важные выводы для астрономии.

Исследования первой группы вопросов, которые в свою оче-
редь являются основными для других вопросов, были продви-
нуты в большей мере, хотя и здесь ряд проблем ждет своего
разрешения. В результате этих исследований еще не удалось
получить выражения для координат в задаче трех тел, которые
были бы справедливы на неограниченном промежутке времени,
или по крайней мере установить существование такого рода выра-
жений. Все еще остается открытым чрезвычайно важный во-
прос о верхней границе значений координат в задаче трех тел,
хотя едва ли нужно считать слишком нереальным пред-
сказание, что его решение не придется ожидать много деся-
тилетий.

В этом параграфе мы должны исследовать разложения отно-
сительных координат в задаче двух тел. В § 9 гл. IV было пока-
зано, что координаты в задаче двух тел, если рассматривать эл-
.пиитическое движение, суть периодические функции средней
аномалии, которые можно представить в виде рядов Фурье в сле-
дующей форме:

2 A cos il + ]/"1 — е2 • S #1 sin(1)
где

I = п (t — t„).

В том же самом параграфе было доказано, что эти ряды сходятся
для всех действительных значений I (а значит, и для всех дей-
ствительных значений времени) и для всех конечных значений
эксцентриситета. Достаточно рассматривать такие значения е,
которые по абсолютной величине меньше единицы. Коэффициенты
Ai и Bi суть голоморфные функции е, которые могут быть раз-
ложены прп произвольном конечном значении е0 в ряд по поло-
жительным степеням е — е0.

С другой стороны, функции cos И и sin И суть, очевидно,
голоморфные функции /, и каждый член в приведенном ряде можно,
следовательно, при произвольных конечных значениях е0 и t0
разложить по положительным степеням е — е0 и t — t0 при сколь
угодно больших значениях е — е0 и t — t0.

Однако отсюда не следует, что ряд (1), а значит, и координаты,
можно разложить в ряды по степеням е — е0 и t — t0, которые
сходятся при сколь угодно больших значениях е — е0 и t — t0.
Для подобного вывода необходимо, чтобы ряды (1) удовлетво-
ряли определенным условиям, полученным Вейерштрассом,
которые здесь оказываются невыполненными.

Между тем во многих случаях необходимо применять раз-
ложения координат по степеням эксцентриситета или времени,
и в связи с этим возникает задача об определении области сходи-
мости этих разложений.

Разложения координат по степеням эксцентриситета, которые
мы хотим исследовать в этом параграфе, впервые были исследо-
ваны Лапласом в приложении к пятому тому его «Mecanique
celeste» [57]. Его метод в принципе простой и прямой, однако
требует при своем применении весьма долгих и сложных рассуж-
дений. Позднее Коши и Руше рассматривали вопрос, опираясь
на развитый Коши метод; аналогичный подход в последнее время
принимается в большинстве работ по этой проблеме.

Эти исследования относятся к разложению координат по
степеням е, т. е. к разложению этих функций в окрестности точки
е = 0. Отсюда непосредственно нельзя определить область схо-
димости разложения этих функций в окрестности произвольной
точки е = е0. Этот вопрос был исследован автором, и мы повторим
здесь основные этапы этих рассуждений [57].
В § 9 гл. IV мы нашли для относительных координат в задаче
двух тел следующие выражения:

х = А1 + 2?т),

у =	4- ЯхТ],

z = Л2£ + Ват],
где Ai и Bi — известные тригонометрические функции долготы
перигелия, долготы узла и наклонности, и где

£ = a (cos w — е),
т] = a j/^l — е2 sin w.

Здесь w означает эксцентрическую аномалию планеты. Коорди-
наты являются голоморфными функциями эксцентрической ано-
малии.

Если рассматривать координаты как функции эксцентриси-
тета, то область сходимости разложений координат по степеням
е — е0 зависит от положения особых точек этой функции. Но при-
веденные выражения показывают, что этими особыми точками
являются е = 1 (в этой точке функция К1 — е2 имеет точку
ветвления) и особые точки w, рассматриваемой как функция е.
Поэтому задача сводится к следующей: какую область сходимо-
сти имеет разложение w по степеням е — е0?

Функциональная связь между эксцентрической аномалией и
эксцентриситетом дается при помощи уравнения Кеплера. Если
эксцентриситет обозначить через £, а среднюю аномалию через I,
то это уравнение примет вид

w — t, sin w = I.	(1*)

В то время как w рассматривается здесь как функция £, на I
можно смотреть как на постоянный параметр, который может
принимать произвольные действительные значения от —оо до
+ оо. Положим

W = <Р (0	(2)

или, если учесть еще параметр I, то

w = <р (£, Z).	(2*)

Речь идет об определении особых точек функции ф. Если поло
жения этих особых точек определены, то, как известно, разло-
жение будет сходиться в окрестности точки £ = £0 внутри круга,
центр которого лежит в £0 и граница которого проходит через
ближайшую особую точку.
Функция ф является бесконечнозначной функцией £0, так что
данному значению £ соответствует бесчисленное множество
значений w. Эти значения можно найти следующим образом.
Полагая

£ = £ + in, w = х + iy, х2 = £2 + n2,	(3)

где i = j/'—i , из (1*), отделяя действительные и мнимые части,
получим два уравнения:

еУ р-У

х2 sin х —t— = (х — I) £ + УП,

(4)
рУ__р~У

X2 COS X --2---= yi — (х — О П'

Сначала предположим, что эксцентриситет имеет действительное
значение, так что ц = 0.

Из (4) очевидно, что значения

У = о,
х — I = £ sin х

(5)

всегда представляют решение (4). Если £<^1, как мы здесь
предварительно предположим, то второе из уравнений (5) вы-
полняется для единственного значения х. Как сейчас будет до-
казано, оно является единственным действительным значением.
Для определения остальных значений w напишем соотношения
(4), где все еще полагаем п =; 0, в форме

еу + е~у___ х — I

2	5 sin v	’

еу — е~у___	1

2у	!• cos х	'

(6)

Значения х и у, которые удовлетворяют этим уравнениям, легко
можно получить графическим путем. Будем рассматривать эти
уравнения как уравнения двух кривых, которые обозначим
соответственно через (А) и (В). Точки пересечения этих кривых
дадут искомые значения х и у.

Кривая (б) состоит из бесконечного множества ветвей, кото-
рые можно получить, если произвольную ветвь переносить па-
раллельно вдоль оси х на расстояние 2кл (к = 0, ± 1, +2, . . .).
Здесь достаточно исследовать только одну ветвь, и так как обе
кривые симметричны относительно оси х, то достаточно принять
во внимание только положительные значения у.
Левая часть уравнения для (В)

еу—е~У 1
2у ~~ $ cos х
монотонно возрастает вместе с у и, значит, при у — 0 имеет мини-
мальное значение, равное единице. Это проще всего найти, под-
ставив вместо еу и е~У степенные ряды. Каждому значению х
соответствует только одно значение у. Минимальное значение у
получается при х = 0 и определяется из уравнения

еУ — е~У 1

Так как мы предполагали здесь £ < 1, то кривая (В) никогда
не пересечет оси х. Если х=+у, то у — оо. Следовательно,
рассмотренная здесь ветвь кривой асимптотически приближается
 л
к двум прямым, определяемым уравнениями х = z+zy.

Кривая (Л) может быть рассмотрена аналогично. Левая часть
имеет минимальное значение, равное единице при у = 0, и моно-
тонно возрастает при возрастании у до бесконечности. Кривая
состоит из бесконечного множества ветвей, которые асимпто-
тически приближаются к параллельным оси у прямым х =
= пп (п = 0, +1, 4=2, • • .)• Кривая симметрична относительно
оси х, я каждая из ветвей заключается между двумя параллель-
ными прямыми х = 2пп и х = (2га + 1)л. Кроме того, имеется
ветвь кривой между х = 0 и х = п. Эта ветвь пересекает ось х
в той точке хй, которая определяется уравнением

х0 — I sin х0 = I	(7)

и асимптотически стремится к прямой х — л.

При £ = 1/2, I = -^-кривые имеют вид, указанный на рис. 39.

Значения функции <р (?) при этих значениях эксцентриситета
и средней аномалии определяются точками пересечения обоих
множеств кривых. Одно значение х0 — действительно и находится
иэ (7). Остальные значения величины х лежат между х = 4га-у
и х = (4га + 1) v при га = 1, 2, 3, ... , и между х = 4га и
х = (4га — 1)-^- при п = 0, —1, —2, —3, ... и приближаются
при возрастании га к значениям х = (4га + 1) -5- при положитель-
ных значениях га, и к значениям х = (4п — 1)-^ при отрицатель-
ных значениях га. Величина у при возрастании га стремится к бес-
конечности. Ниже приводится уравнение кривой, которая про-
ходит через все точки пересечения кривых (Л) и (В).

Если эксцентриситет имеет комплексное значение, то вычис-
ление соответствующих значений w несколько более трудно.

Рис. 39.

Однако его также можно выполнить в элементарной форме. Дей-
ствительно, из (4) выводим следующие уравнения:

2. х2 {еЪ/ _|_ е~2« — 2 cos 2х} = (х — Z)2 + у2,	(а)

4 = 4[(*-Ш; + уп)2 , МуЕ-(*-*)П]2

(еУ + е-»)2 “Г (e«_e-V)2	’	* '

Х4	_ [У5-(*-Пп]2	/с)

sin2»	cos2® ’	' '

или, отделяя в этих уравнениях переменные х ъ у,

е2«_|_е^_^_ = 2 cos 2* + ^-= °* ,	(а)

~ х4 (е2« — е-2»)2 = (х— Z)2 [х2е2» + х2е~2« — 2 (g2 — т]2)] —

- 8 (х -1) у + у2 [х2е2« + х2е-2^ + 2 (В2 — п2)], (Ь)
и

Х4 = „2 Г_2>!_____£_] . 2п	.

у [sin2ж cos2®J~ ° L sin2а: ~ cos2® J~

' (т Л8	^2 1	1с\

Все эти уравнения можно привести к форме

/ (я) = g (У),

где / (х) и g (у) суть определенные функции х и у. Кривые, урав-
нения которых имеют такую форму, можно всегда без труда
начертить. Точки пересечения двух из кривых (а), (Ь) или (с)
определяют значения х и у. Уравнение (а) можно назвать урав-
нением модуля, так как оно зависит только от модуля, а не от
значений действительной и мнимой частей эксцентриситета.
Соответствующая кривая отлична от остальных тем, что она не-
прерывна. При рассмотрении уравнений (Ь) и (с) необходимо об-
ратить внимание на то, что при возведении уравнений (4) в квад-
рат вводятся посторонние корни, которые нужно исключить.

Итак, мы установили, что ip является бесконечнозначной функ-
цией эксцентриситета. Если эксцентриситет принимает действи-
тельное значение, меныпее единицы, то для соответствующего
значения w имеем единственный действительный корень. Этот
корень и представляет интерес в астрономических приложе-
ниях уравнения Кеплера. При заданном значении £0 его нужно
разложить в ряд по степеням £ — £0. Для этой цели можно вос-
пользоваться теоремой существования Коши (§ 6 гл. VIII).

Из уравнения

w — I — £ sin w = 0	(8)

следует соответствующее дифференциальное уравнение

dw	sin w	.q,

rff — 1 —£cosw •	(У'

Из теоремы существования Коши вытекает, что интеграл w этого
уравнения, который при £ = £0 принимает значение w = w0,
можно разложить по степеням £ — £0- в форме

w = w0 + сх (£ — £0) + с2 (£ — £0)2 + . .

если только можно разложить в ряды по степеням ш — w0 и
£ — £о правую часть (9). Особые точки, для которых разложения
такого рода не существуют, получатся, если из уравнений

w — I — £ sin w = 0

и

1 — £ cos w — 0

(10)


исключить w. Положения этих особых точек устанавливаются
следующим образом. Из (10) получаем

i sin w

eiw_

и запишем в форме (8)

giio __ eit. sin w+H-

тогда получим для определения особых точек t, следующее урав-
нение:

(Н)

Это уравнение можно умножить на £, если только принять
во внимание, что возникающий при этом корень £ = 0 не удо-
влетворяет уравнению (11), следовательно, никакого особого
корня нет. Итак, получаем уравнение

1 ± /1 — £2 = £е± +«.

1(12)

Необходимо вычислить корни этого уравнения. Для этой цели
положим

что дает

z=l=F/l— Е2,	(13)

£2 = 2z - z2;	(13*)

тогда получим из (12) уравнение

(4-‘)

eaz _ еа+2Н#

(14)

Параметр I имеет произвольное действительное значение.
Зато для соответствующего z можно получить действительные
или комплексные значения. Полагая

z = peei = р cos 0 + ip sin 0

и разделяя в правой и левой частях (14) действительные и мнимые
части, получим два уравнения;

еарcosеcos(2рsin0 — 0) — cos (2psin0)] = e2cos21,
e2₽ cos e [A sjn (2p sin 0 — 0) — sin (2p sin 0)] = e2 sin 21.

(15)
из которых выводятся следующие более удобные уравнения:
4	4

+ 1 — у cos9 = е1"^0039,	(16)

sin (21 + 0 — 2р sin 0) — sin (21 — 2р sin 0) = 0.	(17)

г

Будем рассматривать эти уравнения как уравнения двух дей-
ствительных кривых, точки пересечения которых дают положения
особых точек. Кривая (16), не
зависящая от Z, состоит из двух
отдельных ветвей. Одна из них,
которую мы более детально ис-
следуем ниже, имеет лемниска-
топодобную форму, и при
pcosO =1 имеет двойную точ-
ку. Другая ветвь представляет

рис 40	собой прямую линию р cos 0=1

(рис. 40).

Легко определить точку пересечения этой кривой с (17). Под-
ставляя в (17) р = —получим решения:

0-tg 0 =	--I

_ 1

Р cos е '

(18)

Следовательно, эти особые точки составляют бесчисленное мно-
жество изолированных точек, лежащих на прямой р cos 0 = 1.

Рассмотрение кривых (16) и (17) облегчается благодаря вве-
дению прямоугольных координат. Если положить

и = р cos 0,	v = р sin 0,

то эти уравнения преобразуются к следующей форме:

(и — I)2 = 1 + 2vctg (21 — 2v) — гР,	(20)

причем следует заметить, что к (19) добавляется еще линия u = 1,
которую мы уже рассмотрели. Кривая (19) симметрична относи-
тельно оси и, а также относительно прямой u = 1. Если положить
s = 1 — и,
то (19) можно записать в форме

.23 । .-23

p8 = _l_si+2s-Lr-^=5	(21)
или

v 2= 2s cth 2s — s2 — 1,
откуда непосредственно вытекает наше утверждение.

Далее, s не может становиться сколь угодно большим. Мак-
симальное значение $ получается из уравнения v = 0, которое
дает

«" = (4=7)’-	(2,*>

Это уравнение имеет два корня*): s=0 и s = 1,195 (прибли-
женное значение). Первый корень дает двойную точку, а второй —
искомый максимум. Вид кривой (19) приводится на рис. 40.

В окрестности точки s — 0 приближенно имеем

V2 = 4- S2,
о

так что здесь имеем две прямые:

S	S

V =	, V =-------7=.

/3	/3

Для нашей цели нет необходимости знать форму кривой (17) и (20).
Действительно, форма этой кривой зависит от значений параметра
Z и в то время как I изменяется, точка пересечения (16) и (17),
а также и особая точка уравнения Кеплера, смещаются на кри-
вой (16). Однако для сходимости рядов, расположенных по степе-
ням эксцентриситета, в астрономии необходимо, чтобы эксцен-
триситет принимал такое значение, что ряды оставались бы схо-
дящимися при всех действительных значениях I. Таким образом,
исследуемый радиус сходимости является наименьшим радиусом,
который получается, если I изменяется от — со до +оо. Но тогда
можно доказать, что действительные значения I всегда можно
выбрать так, что кривая (17) пройдет через произвольную точку
кривой (16). Следовательно, достаточно рассмотреть эти кривые,
так как каждая их точка может быть особой и, значит, должна
рассматриваться как особая точка. Докажем, что величину I
можно выбрать указанным образом.

Во-первых, из уравнения (18) непосредственно находим, что
любая точна линии р cos 6 = 1 может быть особой точкой. Если
выбрать произвольное значение 0 = 0О, то из уравнения

^^-Go + tgOo

получим соответствующее значение I.

*) Можно показать, что s = 0 — тройной корень. Кроме того, имеется
еще два корня s = ± 1,200, а не 1,195 (см. [59]). (Прим, ред.)
Легко показать, что при соответствующем выборе параметра I
кривая (20) должна проходить через любую произвольно взятую
точку (19). Если для ии v принять произвольные значения и0 и г?0,
то (20) будет выполняться, когда I выбирается так, что

tg (21 — 2г?0)

_____2v0_____

(Uo-l)2_1+^

этого можно всегда достигнуть подходящим выбором I.

При помощи уравнения (13*) перейдем от и и v к £. Если по-
ложить

g = g + IT) = xeTi,

(22)

то, разделяя в (13*) действительную и мнимую части, получим
уравнения

х2 cos 2т = — (1 — и)2 + г2 + 1, \

х2 sin 2т = 2г? (1 — и),	J	(23)

из которых могут быть найдены х и т, а значит, также £ и т].

При этом кривая (19) переходит в кривую, дающую те значе-
ния эксцентриситета, при которых функция (2) <р (£) обладает

особенностями. Все эти особен-
ности представляют собой точки
разветвления.

Полученная таким путем
кривая, которую можно назвать
особой кривой эллиптического
движения, воспроизведена на
рис. 41 и состоит из замкнутой
кривой ABCD вокруг начала

координат О и двух прямолиней-
ных частей АЕ и CF, совпадаю-

щих соответственно с положительной и отрицательной частями
оси £, за исключением отрезков этой оси между ОиА и соот-
ветственно между О и С. Радиус-вектор кривой, который совпа-
дает с модулем £, в точке А равен единице и непрерывно умень-
шается до В, где он имеет значение 0,6627... Найдем значение q
этого модуля, полагая в (12) I = и £ = гд и разрешая получен-

ное уравнение

1 4- /Г+д2 = qev^'	(24)

относительно д.

Формула (24) совпадает с известной формулой Лапласа для
вычисления радиуса сходимости разложений координат в ряды
по степеням эксцентриситета (в окрестности I, — 0). Если разре-
шим уравнение (21*) относительно з, то получим то же самое
значение, которое здесь может быть записано в форме
e2s_________________________8 + 1

®	~S-1’

а затем согласно (23) вычислим q (= х) по формуле

q = ]/s2— 1.

(24*)

(24**)

Рис. 41 основывается на числовых значениях координат £ и ц
особой кривой, приводимых в табл. XXIII.

Таблица XXIII

Координаты особой кривой

8	V	X		
0,0	0,000	1,000	1,000	0,000
0,1	0,057	0,9966	0,9965	0,0057
0,2	0,114	0,9868	0,9865	0,0231
0,3	0,165	0,9707	0,9694	0,0511
0,4	0,212	0,9491	0,9449	0,0896
0,5	0,251	0,9226	0,9122	0,1376
0,6	0,282	0,8917	0,8702	0,1945
0,7	0,302	0,8574	0,8174	0,2586
0,8	0,310	0,8208	0,7514	0,3299
0,9	0,302	0,7823	0,6681	0,4068
1,0	0,273	0,7413	0,5586	0,4873
1,1	0,211	0,7021	0,4047	0,5737
1,13	0,181	0,6899	0,3406	0,5999
1,16	0,140	0,6779	0,2585	0,6268
1,19	0,071	0,6665	0,1287	0,6539

Кривая имеет вершину при £ = +1, т] = 0 и переходит
в прямые линии т] = 0 (| £ | >1). В то время как £ уменьшается
до нуля, т] непрерывно возрастает, и при £ = О становится рав-
ным лапласову радиусу сходимости. Угол в точке А равен 120’.
Особая кривая позволяет просто ответить на вопрос о величине
радиуса сходимости разложения координат эллиптического дви-
жения в ряды по степеням t, — £0. Для этого возьмем в качестве
центра круга точку £0 и отыщем наименьший круг, который
касается особой кривой. Радиус этого круга равен искомому
радиусу сходимости.

Предположим, например, что координаты разлагаются по
степеням t, — 0,3; тогда с помощью рис. 41 получим для радиуса
сходимости значение 0,544 и, следовательно, соответствующее
разложение сходится для всех таких действительных значений
эксцентриситета £, которые лежат в пределах от £ — —0,244
до £ = 0,844. Следовательно, упомянутые ряды сходятся для всех
положительных значений эксцентриситета, меныпих 0,844, в то
время как разложения по степеням сходятся только при
£ <Z 0,6627. Так как в астрономических приложениях такие ряды
встречаются только для действительных значений эксцентри-
ситета, то область сходимости рядов можно увеличить, разлагая
в ряды по степеням £ — £0 и определяя £0 подходящим образом.
Таблица XXIV дает приближенное представление о характере
сходимости рядов при различных значениях £0.

Таблица XXIV

Значения радиуса сходимости

^0	R	^mln	Чпах
0,0	0,663	0,0	0,663
0,1	0,644	0,0	0,744
0,2	0,598	0,0	0,798
0,3	0,544	0,0	0,844
0,4	0,480	0,0	0,880
0,5	0,409	0,091	0,909
0,6	0,330	0,270	0,930
0,7	0,251	0,449	0,951
0,8	0,169	0,631	0,969
0,9	0,087	0,813	0,987

Здесь через Л обозначена величина радиуса сходимости при раз-
ложении по степеням £ — £0. Под £пнп понимается наименьшее
положительное значение эксцентриситета, которое лежит внутри
круга сходимости.

Хотя при возрастании £0 от нуля радиус сходимости монотонно
уменьшается, область положительных значений внутри круга
сходимости больше всего для значения, лежащего между 0,4
и 0,5, примерно равного 0,445. Разложение по степеням £ — 0,445
будет сходиться для всех положительных значений эксцентри-
ситета, меньших 0,892 *). Аналогичное исследование соответ-
ствующих разложений координат гиперболического движения
легко может быть выполнено**).

*) Иное дело — быстрота сходимости рядов. Она наибольшая при £о=
= 0, когда радиус сходимости имеет максимальное зпачение.

*♦) См. исследования Н. Б. Еленевской [60]. (Прим, перев.)
§ 2. Сходимость рядов в задаче двух тел
(продолжение)

В предыдущем параграфе мы нашли, что координаты в эллип-
тическом движении являются голоморфными функциями экс-
центрической аномалии, и что эксцентрическая аномалия зависит
от двух величин, а именно, от эксцентриситета орбиты £ и средней
аномалии планеты I. Во многих случаях, в частности, при опре-
делении элементов орбит планет из наблюдений, делаются по-
пытки использовать разложения координат в ряды по степеням
средней аномалии, и, следовательно, определение радиуса схо-
димости этих разложений имеет большое практическое значение.
Так как

I — п (t — t-),

где t- обозначает момент прохождения планеты через перигелий,
то разложение по степеням I — 10, где l0 = п (t0 — t~), равно-
значно с разложением по степеням t — t0, а следовательно, и
с разложением по степеням времени.

Область сходимости этих разложений определить легче, чем
область разложений по степеням эксцентриситета; это опреде-
ление выполняется таким же образом. Из уравнения Кеплера

w — £ sin w = I	(1)

определяем w как функцию от £ и I:

w = <Р (£, О-	(2)

В предыдущем параграфе мы рассматривали I как действительный
параметр, a w — как функцию переменной Здесь мы будем
рассматривать I как переменную, а £ — как параметр, который
будем предполагать действительным, положительным и меньшим
единицы, так как для астрономии представляет интерес только
этот случай.

Следует, во-первых, заметить, что w является бесконечно-
значной функцией I. В самом деле, это вытекает из исследования,
сделанного в предыдущем параграфе, в котором было доказано,
что заданным значениям £ и I соответствует бесчисленное мно-
жество значений w. Итак, <р (£, Z), рассматриваемая как функция
от I, является многозначной функцией, и задача сводится к оты-
сканию особых точек — точек ветвления этой функции.

Из дифференциального уравнения

^7Г = i---Г----	(3)

dl 1 — g cos w	' '
478	сходимость рядов в небесной механике [гл. ix

следует, что в особых точках должно быть
1 — £ cos ip = 0.

(4)

и, исключая из этого уравнения и (1) w, получим уравнение (12)
предыдущего параграфа:

1±/Г=Тг=Ее±^’«.	(5)

Те значения I, которые удовлетворяют этому уравнению, дают
особые точки функции <р(£, Z), рассматриваемой как функции от I.
Уравнение (5) можно непосредственно разрешить относительно I.

Предположим здесь, как уже указывалось, что £ является
положительной величиной, меньшей единицы. Тогда для соот-
ветствующего значения I получим, вообще говоря, комплексное
значение. Итак, положим

I = g 4- ih

v. получим из (5)

e~hsing = 0.

(6)

Второе из этих уравнений выполняется, если g является целым
кратным л. Так как при сделанных предположениях относительно
правая часть первого уравнения всегда положительна, то g

должно быть четным кратным л:

g = 2 Ал (к = 0, +1, ±2, ±3, . . .).	(7)

Тогда первое из уравнений (6) дает

h = ± /1 — & + In-

1±У1-С!

(7*)

Находим, что оба значения А, которые удовлетворяют этому урав-
нению, отличаются только знаком (рис. 42).

Стало быть, особые точки расположены симметрично отно-
сительно оси g и лежат на параллельных оси h прямых, прохо-
дящих через точки 2Ал (А = 0, ±1, +2, . . .). Все особые точки
имеют именно такую координату А, значение которой получает-
ся из (7*). Положение особых точек и определение области
сходимости при разложении в ряды по степеням времени в
эллиптическом движении впервые было дано Ф. Р. Мульто-
ном [61].

Если координаты или эксцентрическую аномалию разложить
по степеням I — 10, то, если ограничиться значениями 10 из об-
ласти — л *о < л’ что ™ в KO0b меРе не отражается на общ-
ности задачи, радиус сходимости Я/о будет иметь значение

К. = Yti + h*,	(8)

где h определяется формулой (7*).

Если <0 — то значение t, которому соответствует значение
I — 1а, то радиус сходимости Л{0 разложений координат эллип-
тического движения но степеням t — t0 дается формулой

= v=='/(z»-^2 + ^--	<9)

Величина радиуса сходимости зависит от 10 и значений экс-
центриситета. В формулу (9), кроме того, входит среднее дви-
жение планеты. Радиус сходимости при данном значении экс-
центриситета имеет в афелии наибольшее значение, а в перигелии
достигает минимального значения

min Иц = |А|.

Если орбита является круговой, и значит, £ = О, то, как по-
казывает формула (7*), радиус сходимости будет бесконечно
большим. В самом деле, координаты находятся тогда по
формулам

х = a cos п (t — £„), у = a sin п (t — £„)

и являются в этом случае голоморфными функциями времени.
В то время как эксцентриситет при заданном значении воз-
растает от нуля до 1, значения радиуса сходимости непрерывно
убывают и принимают при £ = 1 свое минимальное значение | Zo |.

Ниже мы дадим, следуя Мультону, численные примеры при-
менения этих формул.

Вопрос о сходимости разложений координат параболического
движения в ряды по степеням времени впервые был исследован
Гамильтоном 162].

В § 5 гл. IV мы нашли, что координаты в параболическом дви-
жении являются целыми рациональными функциями вспомо-
гательной величины w, которая связана со временем при помощи
формулы

+ = (10)

Если положить w = w (Z), то особенности этой функции совпадут
с особенностями координат, рассматриваемых как функции вре-
мени.

Находим дифференциальное уравнение для ш:

dw _ Y р.

dt / V (1 + w2) ’

и тогда по теореме существования Коши все особенности функции
w (Z) будут при w = Соответствующие особые значения t'
для t будут согласно (10)

Следовательно, здесь мы имеем только две особые точки. Разло-
жения координат в параболическом движении по степеням t — t0
сходятся внутри круга, центр которого находится в точке t0
и граница которого проходит через t'. Таким образом, радиус
сходимости при действительных значениях t0 дается формулой

Л = /(*о-М2-(*'-Мг = У (Zo - М2 +	•	(12)

Радиус сходимости будет наименьшим в перигелии, где

д 2 У7^

3/р

Чем больше перигелийное расстояние q, тем больше R, которое
возрастает до бесконечности вместе с q и i0— tr..

Наконец, вопрос о разложении координат в гиперболическом
движении по степеням времени был исследован Мультоном [61].
Исследования можно провести аналогичным образом, как и в пре-
дыдущих случаях. В соответствии с § 6 гл. IV находим, хотя
это и не было доказано, что координаты в гиперболическом дви-
жении суть голоморфные функции вспомогательной переменной w,
которая здесь выполняет роль, аналогичную эксцентрической
аномалии в эллиптическом движении. Между этой величиной и
временем имеет место соотношение

Z sh w — w = I,	(13)

где £ обозначает эксцентриситет, а

Если w рассматривать здесь как функцию I, то особые точки этой
функции совпадут с особыми точками координат, рассматривае-
мых как функции I. Получим эти особые точки объясненным ранее
способом, исключая w из (13) и уравнения

£ ch w — 1 =0.	(14)

Имея в виду запросы практической астрономии, мы можем здесь
ограничиться такими значениями которые действительны и
больше единицы.

Из (14) следуют соотношения:

w = In (ch w + sh w) = In 1 1	.

Если затем положить

I = g + hi,
то уравнение (13) примет вид

±l y^~Г_1п (1 ± i	l) + lnC = g + hi.

Так как, далее,

In (1 ± i V?=T) = In C -f- i (2fat ± arc tg /^T),
где к обозначает целое число, a arctg У%* — 1 — дугу в пределах
от нуля до у, для gnh, разделяя действительную и мнимую части»
получим значения

g = 0,______ ________________

± А — У£2 —1— arc tg У?? — 1 + 2Ал
(A = 0, ± 1, ±2,...).

(15)

31 К. Шарлье
Таким образом, в этом случае все особые точки лежат на оси h
и являются чисто мнимыми. Они расположены симметрично по обе
стороны действительной оси, и если положить

hi = ]Л£2 — 1 — arc tg Y£2 — 1,	(16)

то все особые точки получатся, если от двух точек hx и —h± на
мнимой оси откладывать последовательно отрезки 2л, 4л, 6л
и т. д.

Радиус сходимости в разложении координат в гиперболическом
движении для действительных значений 10 будет

л = У>о+/<о,	m

где через hQ обозначено наименьшее из значений h, получающееся
из формул (15).

Вместе с тем мы сталкиваемся здесь с трудностью. Если к
примет какое-либо целое отрицательное значение, то всегда най-
дется положительное значение £, большее единицы, при котором
правая часть (15) обращается в нуль. Тогда точка I — 0 должна
быть особой точкой, что несовместимо со сделанными предполо-
жениями. Предполагалось, что w = 0 при I = 0, а уравнение
(14) показывает, что w = 0 не является особой точкой. Это ка-
жущееся противоречие находит свое объяснение в том, что не
все особые точки функции ф (£, Z) являются точками ветвления
той ветви этой функции, которая при всех значениях эксцентри-
ситета имеет при I = 0 нулевое значение. Очевидно, эта ветвь
функции <р (£, Z), которую мы рассматривали, не может обладать
при I = 0 точкой ветвления, так как предполагалось, что при
I = 0 w = 0, и w = 0 не является точкой ветвления функции
ф (w, I). Следовательно, мы должны исключить те значения к
в (15), которые при каком-либо положительном значении £ 01)
могут дать значение h = 0. Иными словами, к либо равно нулю,
либо равно положительному целому числу. Следовательно, мы
должны в (16*) положить h0 = hi и получим для радиуса сходи-
мости значение

R = //? + /&	(17)

где	_____ _______________

/г1=]/"£2—1 — arctg]/£2—1,	(17*)

причем arctg У £2 — 1 обозначает ту ветвь, которая лежит между
нулем и л/2.

Формула (17*) показывает, что R при заданном значении 10
монотонно возрастает вместе с эксцентриситетом £. Если £ = 1,
то R = 1101. Если £ стремится к бесконечности, то R одновременно
неограниченно возрастает. Вычисляя радиус сходимости Rft
для разложения координат в гиперболическом движении по сте-
пеням t —10, получим

(18)

где вместо R следует подставить его значение из (17).

Мультон вывел некоторые интересные следствия из этих урав-
нений, которые мы здесь частично воспроизведем.

Если по соображениям симметрии для параболического дви-
жения записать

I = (t —

так что уравнение (10) примет вид

W-]-lW8 = Z,
О

(19)

(20)

и если речь идет о разложении в ряды по степеням I —10, то

выражения для радиуса сходимости как эллиптического, так и
параболического или гиперболического движений можно напи-
сать в форме

R =	(21)

где

для £<1

« £ = 1

« 1

(22)

Л, =	- arc tg

Для различных значений £ отсюда получим значения hlt приве-
денные в табл. XXV.

Эта таблица дает значения радиуса сходимости при 10 — 0, т. е.
для разложений по степеням I. В третьем столбце подставлены
соответствующие значения ht, выраженные в градусах. Отсюда
находим, что если эксцентриситет равен 0,1, то разложения ко-
ординат по степеням средней аномалии сходятся до I = 109’,55.
Разложения по степеням I (в перигелии) при параболическом
движении сходятся при I <Z 0,667, что соответствует значению
долготы 62’.

Радиусы сходимости разложений по степеням времени можно
легко вычислить при помощи формул (9) и (18), если известно
значение среднего движения по орбите или большая полуось.
Таблица XXV

	hi	h,«		hi
0,0	ОО	ОО		
0,1	1,998	109^55	1,0	0,667
0,2	1,312	75,17	1,05	0,010
0,3	0,920	52,69	1.1	0,029
0,4	0,650	37,23	1,2	0,077
0,5	0,451	25,86	1,3	0,137
0,6	0,298	17,03	2,0	0,685
0,7	0,181	10,35	10,0	8,478
0,8	0,093	5,35	100,0	98,42
0,9	0,031	1,80	1000,0	998,4
0,95	0,011	0,63		

Таблица XXVI

(Я^ в сутках при а = 2,651)

5	I. = 0	<.=>60*	1, = 120»	1, = 180»
0,0	ОО	оо	ОО	ОО
0,1	501,2	553,0	726,0	933,7
0,2	329,3	421,1	620,0	854,0
0,3	230,7	349,6	573,7	821,0
0,4	163,1	302,2	550,1	805,1
0,5	118,0	285,9	537,3	796,0
0,6	74,9	273,1	530,5	791,5
0,7	45,5	266,5	527,3	789,3
0,8	23,4	263,7	525,8	788,4
0,9	7,7	262,7	525,3	788,0
0,95	2,8	262,6	525,2	788,0

Полагая а = 2,65, Мультов вычислил табл. XXVI, которая пред-
ставляет интерес в приложениях этих исследований к теории
малых планет. Время обращения астероида на этом расстоянии
составляет 1575 суток. Таким образом, в афелии разложения
координат по степеням времени сходятся более чем для половины
оборота. В перигелии величина радиуса сходимости быстро убы-
вает вместе с возрастанием эксцентриситета.
Таблица XXVII, также вычисленная Мультоном, дает хоро-
шее представление о значении радиуса сходимости для орбит
различной формы.

Таблица XXVII

(Rtt в сутках для /0 = t„, q — 1)

С	Rt,		Rt,
0,0	ОО	1,0	54,8
0,1	136,1	1,05	53,8
0,2	106,7	1,1	52,3
0,3	91,3	1,2	50,1
0,4	81,3	1,3	48,5
0,5	74,1	2,0	39,9
0,6	68,6	5,0	25,7
0,7	64,1	10,0	18,3
0,8	60,5	100,0	5,8
0,9	57,4	100,0	1,8

Здесь во всех случаях перигелийное расстояние неизменно пред-
полагается равным единице. Важность этих величин для опре-
деления орбит очевидна.

Наконец, рассмотрим разложения в задаче двух тел в слу-
чае, когда сила отталкивательная. В этом случае координаты
согласно § 7 гл. IV выражаются через вспомогательную величину
w, которая связана со временем при помощи соотношений

w + £ sh w = I,	(23)

(23*)
а19

Здесь при I = 0 должно быть w равно нулю.

Следовательно, особые значения I получатся, если исключить
w из (23) и уравнения

1 + £ ch w = 0.	(24)

Здесь следует считать £ положительным числом, бдлыпим еди-
ницы.

Из (24) получаем

oh»-----‘

Ь	Ъ	в
Если ПОЛОЖИТЬ

In (— 1 ± i	= а + pl,

то для определения а и 0 получим уравнения:
ех cos 0 = —1,
exsin0 = ± УС8— 1,
и, следовательно,
а = In С,
0 = Т arc tg УС2 — 1 + тп,
где т обозначает целое число или нуль. Но из уравнения
ех cos 0 = — 1
находим, что cos 0 отрицателен, и, значит, т должно быть не-
четным числом. Следовательно,

In (— 1 ± i УС8 —1) = In t + i [=F arc tg УС2 —1 + (2k + 1) я],
где

к = 0, +1, +2, +3, . . .

Если это выражение подставить в (23) и записать

I — g + hi,	(25)

то будет
g = 0,

h = Т arctg /С8 — 1 + (2к + 1) я ± Ус8 —1.

Как и в гиперболическом движении в случае притягивающих
масс, отрицательные значения к здесь также должны быть ис-
ключены, так как иначе получились бы особые точки при I = 0.
Если положить

hi = УС8 —1 —arctg УС*^Т,
то положение особых точек будет определяться формулами
g = 0,	л

±h = hj_ + (2к + 1)я (к = 0, 1, 2, 3, . . .)./	(26)

Радиус сходимости R имеет значение

R = //? + (Ах + л)8.	(27)

Значение hL совпадает со значением (16) для ht гиперболического
движения в случае притягивающих масс.
Величина радиуса сходимости возрастает вместе с эксцен-
триситетом. В перигелии имеем

Лпврцг =	-|- л.	(28

Если эксцентриситет равен единице, то hr = 0, и, таким образом,
R = л.

Может показаться странным, что здесь при £ = 1 получается

конечное значение радиуса сходимости, в то время как в случае
притягивающих масс при £ = 1 значение радиуса сходимости
равно нулю. Это находит свое естественное объяснение в том,
что при £ — 1 для притягивающих масс орбита будет прямой
линией, которая имеет конечную точку в центральном теле.
Следовательно, в перигелии происходит соударение обеих масс,

и тогда ни о каком разложении по степеням времени речи быть
не может. В § 3 гл. IV мы нашли, что в случае соударения коор-
динаты могут быть разложены в ряды по степеням (t —

Для отталкивающих масс причина заключается в другом.
Хотя при £ = 1 орбита также является прямолинейной, но тела
сближаются только до определенного конечного расстояния, после
чего движутся по той же линии в обратном направлении. Формула
(28) показывает, что разложение относительных координат тела

в окрестности перигелия по степеням I, т. е. по^-^(/ — t-),

остается сходящимся при / < л.

Значение радиуса сходимости разложений координат по сте-
пеням t — t0 согласно (23*) и (27) будет

^. = 1/ (*о-М8 + -£(Л1 + я)г

(29)

и зависит, следовательно, от а и значения постоянной в силе
отталкивания.

В теории кометных хвостов Бесселя — Бредихина исполь-
зуются ряды, расположенные по степеням времени. Область схо-
димости этих рядов может быть вычислена из (29).

Дополнение. Мы приводим ниже рассуждения профессора
Вимана, касающиеся тех трудностей, которые возникают при
определении радиуса сходимости разложений координат гипер-
болического движения в ряды по степеням времени:

«Речь идет об определении радиуса сходимости того степенного
ряда w = f (I), который определяется уравнением

£ sh и? — w — 1 = 0,	(1)

*) Радиус сходимости этого разложения в соответствии с (18) и (15) ра-
вен -И—_ 2л.

/Р
где при 1 = 0 должно быть w = 0. Величина £ — параметр,
который положителен, и притом больше единицы. В случае особых
точек для различных ветвей, которые удовлетворяют уравнению
(1), должно выполняться условие

£ ch w — 1 = 0	(2)

и, таким образом, получаем

I = ± i [ уТ777?— arctg	+ 2ta],	(3)

где к обозначает любое целое положительное или отрицательное
число.

В таких особых точках в общем случае меняются местами две
w-ветви. Находим, что определенные значения £ особенно важны,
а именно те, для которых выполняется уравнение

]/£2— 1 — arctg ]/£2— 1 4- 2Ал = 0;	(4)

при атом к должно иметь отрицательное значение. Для таких
значений £ совпадают два особых значения I. Это означает, что
в данном случае в особых точках будут меняться местами две
пары ветвей w. Ветвь одной пары при этом не переходит в ветвь
другой пары. Для того чтобы через особую точку проходило
более двух ветвей, необходимо, чтобы

£ sh до = 0,	(5)

для чего требуется, чтобы £=1. Здесь для особых точек I = 2kni.
В таких особых точках циклически совпадают три ветви до. При
к = 0 эти ветви задаются уравнением

до8 + .. . = 6Z.

Это уравнение дает исходную ветвь, причем до = 0 при 1=0.
Если теперь £ растет и больше единицы, то эта особая точка
превращается в две, для которых

Г= ±1 (У£8 — 1 —arctg ]/£2 — 1).

Исходная ветвь в этих точках связана с двумя различными вет-
вями. Однако невозможно достигнуть особой точки исходной
ветви, для которой |Z| меньше ]/ £2 — 1 — arctg ]/"£2 — 1. Ведь
исходная ветвь, если выполняется (4), должна соединяться в осо-
бой точке именно с той ветвью функции, что и для соседних зна-
чений £. Таким образом, радиус сходимости упомянутого сте-
пенного ряда до = / (/) будет

У£2 —1 — arctg j/£2— 1.
§ 3.	Граничная кривая Хилла

Исследование сходимости рядов в небесной механике имеет
прежде всего своей целью определение границ, внутри которых
могут изменяться относительные координаты планет. Но можно
думать, что эти границы могут быть найдены вне зависимости
от того, будут ли для координат фактически существовать ряды,
сходящиеся на неограниченных интервалах времени; предприни-
мались различные попытки косвенным путем определить такие
границы. Из этих попыток оказалась успешной только одна из
них, а именно та, которая опирается на упоминавшуюся в § 3 гл.
VIII хиллову граничную кривую. С помощью этойграничной кри-
вой Хиллу впервые в истории небесной механики удалось получить
строгое доказательство устойчивости движения в задаче трех
тел. Он доказал, что земная Луна никогда не может удалиться
от своего центрального тела более чем на учетверенное совре-
менное расстояние от Земли. При этом предполагается, что учи-
тывается только притяжение Луны Землей и Солнцем, и, кроме
того, Хилл должен был сделать ограничение, что орбиты
Земли и Солнца являются в точности круговыми.

Граничная кривая Хилла нашла многочисленные приложения.
Наиболее общие исследования этой кривой выполнил Болин[63],
который исследовал также ее значение в общей задаче трех тел.
Оказывается, что в этой задаче нельзя сделать никаких общих
выводов о максимальных и минимальных значениях взаимных
расстояний из рассмотрения граничной кривой. Непосредственно
можно только заключить, что все расстояния не могут быть одно-
временно бесконечно велики. Если рассматривать общую задачу
п тел, то согласно § 1 гл. V интеграл живых сил имеет форму

-I / dx.\2	_к*т,тп 

IsMt)	<*)

так что уравнение граничной кривой Хилла (здесь лучше гово-
рить о граничной поверхности) примет вид

_№т,т,
2-^ + /г = °,	(1*)

где обозначает расстояние между массой и массой т,. Пред-
положим, что постоянная живых сил h, как это имеет место в на-
шей планетной системе, отрицательна. Правая часть (1) всегда
должна, быть положительна, и отсюда следует, что расстояния
не могут быть все одновременно бесконечно велики. Таким об-
разом, все члены нашей планетной системы не могут с течением
времени удалиться друг от друга неограниченно далеко.
Между тем в ограниченной задаче трех тел хиллова гранич-
ная кривая дает лучшие выводы о характере движения*). Болин
показал, что при определенных значениях постоянной Якоби
орбита астероида лежит внутри замкнутой кривой. Его иссле-
дования в изящной форме были продолжены Дарвином, и мы
воспроизвели в § 3 гл. VIII важнейшие результаты этого иссле-
дования. Здесь мы исследуем следствия, относящиеся к движению
малых планет нашей планетной системы.

Пусть, во-первых, Юпитер является возмущающей планетой,
которая обращается вокруг Солнца по круговой орбите. Интеграл
Якоби примет вид

(S-/-2Q-C.	<2)

где

=	+	(2*)

ds -
и обозначает скорость астероида во вращающепся системе
координат. Уравнение граничной кривой имеет вид

2Й — С = 0.	(3)

Если С достаточно велико, граничная кривая состоит из зам-
кнутых ветвей, и если в начале движения астероид находится
внутри замкнутой ветви, он должен оставаться там всегда. При
значении С = С\ граничная кривая переходит в лемнискато-
подобную фигуру, которая в точке либрации обладает двойной
точкой. В § 1 мы нашли, что эта точка либрации лежит на рас-
стоянии 0,0668 от Юпитера. Поэтому соответствующее значение (\
получается из (3), если положить рх = 0,9332, р2 = 0,0668,
р, = 1 : 1047. Получаем = 3,0426.

Мы можем сформулировать теорему: если для малой планеты
постоянная Якоби больше 3,0426, то планета не может двигаться
вне замкнутой кривой, содержащей Солнце.

Чтобы получить значения постоянной Якоби для малых планет,
можнопо их известным элементам вычислить в определенный момент
<Zs	-

времени значения рх, р2и и тогда соответствующее значение С
согласно (2) получается по формуле

с = е? + £+н(р: + £Н>Л <4>

Вычислим некоторые значения С в предположении, что в опре-
деленный момент времени орбита является круговой. Тогда аб-

*) Речь идет об ограниченной круговой задаче трех тел. (Прим, перев.
солютная скорость астероида равна , а скорость Юпитера
_____________	V Pi

будет УЧ + р, так что

fls 1	-./<—:-----

(5)

Если это значение подставить в (4), то найдем, что С для малых
рх имеет большое положительное значение; при удалении от Солн-
ца постоянная Якоби уменьшается по величине до тех пор, пока
она не достигнет минимума между рх = 0 и рг = 1, а затем воз-
растает при pi = 1 до бесконечности.

Из (4) и (5) получаем значения постоянной Якоби, приведен-
ные в табл. XXVIII.

Таблица XXVIII

Значения постоянной Якоби в планетной системе*)

р|		с	Pl	МР	2	С
0,1  0,2 0.3 0,4 0,5 0,6  ») Поль момента кс плоскости мовым в Ш ской ССР [	9,3773  4,1452 2,3274 1,3945 0,8351 0,4768  ГЫИ КАТАЛОГ личества дв эклиптики, б емахинской 64]. (Нрим,	10,6356 5,8978  4,4325 3,7690  3,4190 3,2214  значений п ижения отн мл составлен хстрофизичес tepee.)	0,7  0,8  0,9  0,95  0,98  остоянпых Л осительно ос Г. Ф. Султ< кой обсерва	0,2448 0,1010 0,0236  коби, а такя и, перпендп хновым и II. тории АН А		3,1089  3,0486  3,0277  3,0403  3,1170  хе значений кулярной к Б. Ибрагп- зербайджан-

Эти значения С для рх, заключенного в пределах между 0,6
и 1,0, графически изображены на рис. 43.

Через ординату С = 3,0426 проведем прямую, параллельную
оси абсцисс; тогда она отсечет от кривой часть, которая соответ-
ствует таким значениям С, для которых граничная кривая не
замкнута. Из рисунка видно, что замкнутой граничной кривой
не обладают такие астероиды, которые описывают круговые
орбиты, большие полуоси которых имеют значения между 0,815
и 0,96 (большая полуось орбиты Юпитера принимается рав-
ной единице). Поэтому такие орбиты справедливо считать не-
устойчивыми. Если большую полуось орбиты Юпитера принять
равной 5,201 астрономических единиц, то названные границы
неустойчивости будут

а = 4,24 и а = 5,00.

Самые внешние астероиды и их средние расстояния от Солнца:
(279) Туле (а — 4,283), (361) Бонония (а = 3,933), (153) Тильда
(а = 3,975). Самый внешний астероид, (279) Туле, лежит близ
границы области неустойчивости. Все известные до сих пор асте-
роиды обладают замкнутой граничной кривой, если принимать

кривая замыкается вокруг Юпитера,

во внимание возмущения
только от Юпитера, и ес-
ли только пренебречь экс-
центриситетом и наклон-
ностью при изучении про-
блемы устойчивости *).

Впервые исследование
граничной кривой для ма-
лых планет выполнил
Корб [65]. Он нашел, при-
нимая во внимание эксцен-
триситет орбиты, что асте-
роид (279) Туле находится
вне границ области ус-
тойчивости и не облада-
ет замкнутой граничной
кривой.

Если орбита малого те-
ла имеет среднее расстоя-
ние, большее 0,96, то со-
ответствующая граничная
и тело не принадлежит к

кольцу астероидов.

Исключая, возможно, некоторые из астероидов, все известные
малые планеты лежат внутри области, устойчивой по отношению
к возмущениям от Юпитера. Значение а = 4,24 представляет
естественную верхнюю границу для больших полуосей орбит
малых планет, так же как найденная в § 12 гл. VIII особая точка
а — 2,05 определяет нижнюю границу кольца астероидов.

Мы принимали во внимание здесь только влияние Юпитера
на малые планеты. Среди других планет солнечной системы не
следует пренебрегать влиянием Марса на астероиды. Дает ли здесь
граничная кривая сведения о природе движения?

Для больших значений С (а для всех известных астероидов
С имеет значения, которые можно считать большими) граничная

*) Мы приводим значение большой полуоси согласно «Эфемеридам малых
планет», ИТА АН СССР, 1960. (Прим, перев.)
кривая состоит из малой почти круговой ветви вокруг Марса,
из почти круговой ветви вокруг Солнца с радиусом, не-
сколько меныпим большой полуоси орбиты Марса, и, кроме
того, из третьей ветви, которую также можно рассматривать
как близкую к круговой, центр которой лежит в Солнце, а радиус
несколько больше половины большой полуоси орбиты Марса.
Малая планета должна двигаться вне последнего круга. Радиус
этого круга можно рассматривать как минимум расстояния малой
планеты от Солнца.

При вычислении значения этого радиуса в (2*), (4) и (5) можно
пренебречь членами, которые умножены на малую массу Марса.
Если рассматривать мгновенную орбиту астероида как круговую,
со средним расстоянием а от Солнца, и обозначить соответствую-
щее значение радиуса через х, то из указанных формул легко
получается следующее соотношение между а и х:

х2+4'==4+2^’

которое имеет один корень между нулем и единицей и корень
между единицей и +оо. Последний корень соответствует иско-
мому минимальному значению а.

Если, например, а = 1,5 (следует заметить, что все расстоя-
ния выражаются через среднее гелиоцентрическое расстояние
главной планеты, в данном случае Марса, которое принимается
за единицу), то получаем х = 1,21; если а = 2,0, то х = 1,36.

Ту же формулу (6) можно использовать для вычисления мак-
симального среднего расстояния астероидов, если принимать во
внимание возмущения астероидов от Юпитера. Здесь речь будет
идти о tqm корне, который меньше единицы.

Если значения минимальных и максимальных расстояний вы-
разить в астрономических единицах, то из (6) получим для а =
= 2,28 минимальное расстояние, равное 1,82, максимальное рас-
стояние, равное 3,28; для а = 3,04 минимальное расстояние, рав-
ное 2,08, максимальное расстояние, равное 3,90.

Малая планета (40) Гармония, которая движется по почти
круговой орбите с большой полуосью, примерно равной 2,267*),
не может никогда подойти к Солнцу ближе чем на 1,82 и ни-
когда не может удалиться далее 3,28 а. е.

Мы исходили при этом из предположения, что обе возму-
щающие планеты определяют граничные кривые независимо друг
от друга.

*) Для а взято значение из сборника «Эфемериды малых планет», ИТА
АН СССР, 1960. (Прим, перев.)
Вопрос о том, в какой мере реальным приближением к истине
можно считать определенные таким образом минимальные и мак-
симальные расстояния малых планет, остается нерешенным.
Малая масса Марса едва ли может дать заметную коррекцию
в максимальном расстоянии.

Наконец, заметим, что интеграл Якоби (2) позволяет делать
более глубокие выводы об устойчивости по сравнению с тем, что
можно получить при помощи граничной кривой.

§ 4. Сходимость разложений по степеням возмущающих масс

Теория возмущений, методы которой от Лапласа и Лагранжа
и до наших дней господствуют в исследованиях по небесной ме-
ханике, исходит из разложений координат в ряды по степеням
малых планетных масс. Как же обстоит дело со сходимостью
этих разложений?

Оказывается, что существование вековых возмущений пре-
пятствует сходимости рядов по крайней мере на больших про-
межутках времени. Правда, Лаплас и Лагранж смогли привести
доказательство (ср. с гл. VII), что среди возмущений первого
порядка в выражениях для большой полуоси, эксцентриситета
и наклонности орбиты никаких вековых неравенств не встреча-
ется. Но как обстоит дело в этом отношении с коэффициентами
при более высоких степенях масс, им не было известно; эта задачу
и сейчас нельзя считать решенной *).

Другую трудность при исследовании сходимости порождают
малые делители. С точки зрения теории возмущений незначитель-
ный или даже исчезающе малый до интеграции член мог бы дать
какое угодно большое по величине возмущение, если только
средние движения планет приблизительно соизмеримы.

С другой стороны, применение теории возмущений к планет-
ной системе дает хорошее согласие между теорией и наблюде-
ниями. Отсюда можно непосредственно заключить, что какого-либо
рода сходимость действительно должна существовать.

Учитывая указанные трудности, можно заключить, что ряды
остаются сходящимися для очень больших интервалов времени.
Но сходятся ли вообще эти ряды на ограниченных промежутках
времени или они принадлежат к асимптотическим рядам, которые

*) В возникающей здесь проблеме малых знаменателей долгое время не
наблюдалось никакого прогресса. Лишь в последнее время К. Зигелю [66],
А. Н. Колмогорову [67], В. И. Арнольду [12] удалось разрешить ряд задач,
связанных с указанными трудностями. В классической теории возмущений все
приближения вместе расходятся. Более сильный прием теории возмущений
может основываться на методах типа Ньютона, обеспечивающих быструю
сходимость. (Прим, перев.)
дают приближенные выражения для функций, если сохранить
несколько начальных членов ряда?

Ответ на эти вопросы имеет исключительное значение для
приложений! теории возмущений к вычислению движения небес-
ных тел. Если ряды только асимптотические, то при известных
обстоятельствах вычисление возмущений высшего порядка может
рассматриваться как бесполезная или даже вредная работа и
тогда лучше было бы отказаться от трудоемких вычислений
возмущений высших порядков и довольствоваться возмущениями
первого порядка; в этом случае, естественно, пришлось бы
выполнять вычисления для достаточно близко лежащих эпох.

Пусть х — какая-либо координата, для которой путем ин-
тегрирования дифференциального уравнения движения получено
выражение

х = х0 + р.Я1 + ц2х2 + р3х3 4- • . .	(1)

Величина р. представляет собой одну из масс, так что если массы
обозначить через тг, тп*, •  • , ms, то

mi = ajp, тг = а2р, . . . , тл = asp,	(2)

где ах, а2, . . . , а8 следует рассматривать как конечные числа,
одно из которых можно выбрать произвольно. В (1) хг называют
возмущением первого порядка, х, — возмущением второго по-
рядка и т. д.

При рассмотрении вопроса о сходимости ряда (1) следует
различать две проблемы. Возмущения различных порядков будут
даваться не конечными выражениями, а в виде бесконечных
рядов. Первая проблема состоит в исследовании сходимости
этих рядов. Вторая проблема связана с исследованием сходимости
ряда (1), образованного возмущениями различного порядка.

Этим последним вопросом мы и хотим заняться в данном пара-
графе. Чтобы сделать первую из названных проблем независи-
мой, мы сформулируем задачу так: можно ли координаты в задаче
трех тел (соответственно в задаче п тел) разложить в ряды по
степеням малых масс, и если это возможно, то какого рода будет
сходимость этих рядов? Ответ на этот вопрос был дан автором [69].

Мы воспользуемся элементами Делоне (§ 5 гл. V). Если, кроме
Солнца, имеется s планет, то дифференциальные уравнения при-
мут вид

dLi _	1	dF		1	dF_	
dt	Pi	dli ’	dt	Pi		
dGi	1	dF	<lgi _	1	dF	
dt	Pi	dgt ’	dt	Pi		(3)
dHi _	1	dF	dhi	1	dF	
dt ~	Pi	dhi ’	dt ~	Pi	dHi ’	

•ч	ri г

(1 = 1, 2, . ..,8)	)
где



Hi =	(1—e2)cosJi,

li = nit + cu
g{ = Jti —Qj,
1ц = Qj.

Возмущающая функция F может быть разложена по степеням
малых масс или по р, и будем иметь

F = Fo + pFx + р2Л + . . .	(3*)

Обобщенная Пуанкаре теорема существования Коши показы-
вает, что интеграл уравнений (3) может быть разложен по степе-
ням р (если р выбрано достаточно малым) для всех значений
времени t, для которых справедливо разложение (3*), с ограниче-
нием, сформулированным в§7 гл. VIII для случая, когда разло-
жение (3*) сходится для всех значений времени.

Чтобы это имело место, должно выполняться условие, которое
мы теперь исследуем. Пусть решение уравнений (3) будет

Li = Li(t, р),	li=k(t, р),

Gi = Gi (t, р),	gi = gi (t, p),

Hi = Hi (t, p),	hi = hi (t, p),

где функции Li(t, p), Gi(t, p) и т. д. разлагаются по положитель-
ным степеням р.

При р = 0 эти функции имеют значения

0), Ла, 0), Hi(t, 0),\

k(t, 0), gi(t, 0), hi(t, 0), J	(4)

и согласно § 7 гл. VIII необходимо, чтобы F и ее производные по L,
G и т. д. могли быть разложены по степеням Li — Lt(t, 0),
Gi — Gi(t, 0) и т. д.

Но в рассматриваемом случае функции (4) сводятся к постоян-
ным, за исключением функции I, (t, 0), которая имеет значение

li (If 0) ~ nif +

В самом деле, величины Lt (t, 0), Gi (t, 0) и т. д. не что иное,
как оскулирующие элементы планеты в момент времени t = 0.

Возмущающая функция и ее производные по элементам суть
аналитические функции элементов, которые для произвольных
значений

Li” G|o), Я|0)л

(5)
§4] СХОДИМОСТЬ ПО СТЕПЕНЯМ ВОЗМУЩАЮЩИХ МАСС 497
могут быть разложены в ряды по положительным степеням
Li — 1ц0), Gi — Gi0) и т. д. в предположении, что эти величины
выбираются достаточно малыми; эти ряды сходятся для всех
действительных значений времени, если только определенные
при помощи (5) конические сечения не пересекают друг друга.

Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть следующую про-
стую задачу. Пусть поставлена задача разложить функцию

44 '	/1-|-аа — 2а cos Z ’

где а < 1, в окрестности точки I — 10 в ряд по степеням I — 10.
Мы утверждаем, что это разложение сходится в конечной окрест-
ности I = Zo и притом для всех действительных значений 10.
Полагая

1 = 10 + 1,

имеем

cos I — cos Zo cos g — sin l0 sin £ = cos l0— 2 cos l0 sin2 у В — sin l0 sin g

и, следовательно,

<p (I) = [ 1 + a2 - 2a cos l01'71 (1 +

где

f = 2a (2 cos Zo sin2 -у !• + sin Zo sin g) .

Но правую часть (6) можно разложить по степеням /, если

| /1 < 1 + а2 — 2а cos Zo,

или, так как предполагается a < 1, когда

|/|<(1—а)2.	(7)

Но уравнение (7) выполняется, если

2 |sin24-^| + I sing| •	(7*)

Если это условие выполнено, то мы получим

q>(l) =A0 + A1f+A2f2 4- . . .,	(8)

где Ао, Лх, А2 суть функции от Zo. Этот ряд равномерно сходится
для всех значений £, которые принадлежат области (7*), причем
для всех действительных значений Zo. Мы предположим, что (7*)
выполняется для всех 5» которые удовлетворяют неравенству

15|<Р,	(9)

32 к. Шарлье
где р обозначает конечное число. Тогда ряд (8) сходится равно-
мерно в области (9).

Но / — голоморфная функция £, которая для всех значений 10
может быть разложена в абсолютно сходящийся ряд но степеням £.
Следовательно, по теореме Вейерштрасса правую часть (8) можно
представить рядом по степеням который сходится в области (9)
для всех значений 10. Но этот вывод, очевидно, нельзя полу-
чить, если величина 1 4- а2 — 2 a cos 10 при определенном значе-
нии 10 становится равной нулю.

Согласно сказанному и из рассуждений § 7 гл. VIII следует
сходимость ряда (1), который представляет координату в задаче
трех тел следующим образом.

Пусть дано произвольное действительное число Т; тогда всегда
можно найти конечную положительную величину R так, что
координаты в задаче п тел для всех |g | < R можно разло-
жить по степеням р.; именно эти ряды сходятся для всех значений
времени t, которые принадлежат области 0 t Т.

Величина Т может быть выбрана произвольно большой. Здесь
необходимо различать два возможных случая. Значение радиуса
сходимости может зависеть от Т, либо быть одинаковым для всех
Т. Вспомогательная функция Пуанкаре из § 6 гл. VIII приводит
к интегралу, который может быть разложен по степеням р, и ра-
диус сходимости этого разложения зависит от Т и стремится
к нулю, если Т неограниченно возрастает.

Методом, развитым в указанном параграфе, нельзя доказать,
что радиус сходимости разложений интеграла данного дифферен-
циального уравнения больше соответствующего радиуса сходи-
мости вспомогательной функции. Но может случиться, что
истинный радиус сходимости имеет много большее значение;
бывает, в частности, что радиус сходимости разложения ин-
теграла данного дифференциального уравнения по степеням
параметра р не зависит от Т. Это приближенно может быть
выяснено посредством построения других вспомогательных
функций.

Какой из этих случаев (зависит или нет R от Т) действительно
имеет место для дифференциальных уравнений задачи трех тел,—
требует особых исследований. Нам представляется, что в данном
случае R не будет зависеть от Т.

Практические выводы для теории возмущений в обоих случаях
весьма различны. Если R зависит от Т, то при заданных массах
с помощью разложений по степеням масс удается обеспечить
сходимость разложений только до определенного момента вре-
мени. На большие промежутки времени эти результаты распро-
странить нельзя, даже если принимаются во внимание и возму-
щения еще более высокого порядка.
В то же время, когда R не зависит от Т, ряды сходятся для
всех моментов времени, если только р < Л. Тогда при помощи
формул для возмущений можно вычислять координаты для сколь
угодно больших моментов времени. Однако в этом случае ряды
обладают иным недостатком, который ограничивает их практи-
ческое применение. Чем больше значения времени, для которых
должны быть справедливы ряды, тем больше нужно брать чле-
нов, чтобы достигнуть определенной точности, тем большим дол-
жен быть порядок учитываемых возмущений. Ряды сходятся
для всех значений времени, но при возрастании значений t схо-
димость замедляется.

В обоих случаях,— зависит R от Т или нет,— можно сделать
важный вывод: разложения координат по степеням масс в про-
блеме п тел не являются асимптотическими рядами. Если только
находиться в области сходимости, то и правильно, и полезно
учитывать возмущения высшего порядка при получении точных
результатов. Чем выше порядок учитываемых возмущений, тем
точнее результат.

Числовые приложения этих рассмотрений к планетной системе
сопряжены с немалыми трудностями. Метод Коши, использованный
в теореме о существовании, в общем случае дает слишком малые
значения радиуса сходимости. Он все-таки будет, вероятно,
достаточным, чтобы можно было доказать, что разложения по
степеням фактически встречающихся в планетной системе масс
остаются сходящимися не только в весьма малой области. Ве-
роятно, можно отыскивать лучшие вспомогательные функции,
которые позволяют более точно определить область сходимости.

§ 5. Сходимость рядов в теории возмущений

В § 9 гл. VIII было показано, что разложение возмущающей
функции может быть записано в форме

F = S А$ cos (il + VI' + /g+ j'g'),	(1)

где i, V, j, j' принимают все целые положительные и отрица-
тельные числовые значения. Здесь g и g' обозначают угловые
расстояния перигелиев от общей линии узлов планетных орбит
на неизменяемой плоскости, а I и /'суть средние аномалии планет

I = nt 4- с, V = n't + с'.

Относительно коэффициентов известно, что они являются
аналитическими функциями эксцентриситетов е и е' и взаим-
ной наклонности планетных орбит J, которые в окрестности
е = е' = J = 0 могут быть разложены по положительным
степеням е, е' и J, причем коэффициенты будут функциями боль-
ших полуосей а и а' планетных орбит.

Ряд

314Я

(2)

сходится в области В величин а, а', е, «' и J. В разложении коэф-
фициентов А следует отметить одно важное свойство: в разложе-
нии

А&' = J] ae”e'V	(3*)

всегда выполняется неравенство

(3)

Если теперь под Е понимать произвольный элемент, то для него
будет справедливо дифференциальное уравнение

= 3 вц: cos (И +1'1' +	(4)

где

Dji’ = jg + fg’ или Djr = jg + j’g' + 90s.

Коэффициенты В здесь имеют те же самые свойства, как и
коэффициенты А в разложении возмущающей функции.

В теории возмущений (см. § 4 гл. VI) для определения воз-
мущений первого порядка элементы g, g’, а, а', е. е', J в правых
частях (4) рассматриваются как неизменяемые величины; после
интегрирования получается

В = 3 ;ц.11,--sin (В +	+ В]]') + Bt + Ео. (4*)

41 Г" I /I

Речь идет о том, чтобы исследовать вопрос о сходимости ряда,
стоящего в правой части этого выражения.

Заметим сначала, что из этого ряда можно исключить все
такие члены, для которых i и i’ имеют одинаковые знаки.
Так как именно для таких членов знаменатель | in + i'n' | обла-
дает конечной нижней границей, то все такие члены образуют
ряд, который сходится внутри области В.

В силу неравенства (3) задачу можно еще несколько упростить.
А именно, можно заменить В{{' наибольшим членом разложения
этого коэффициента, которое имеет форму (3*); подставляя вели-
чину х, которая равна наибольшей из величин е, е', лежащих
между нулем и единицей, и J, придем к рассмотрению ряда вида

К-; К”

3 7ZZ77 sin (а —i>1' +	(5)
§ 5]
где

г, г' = 1, 2, 3, . . .,	г = | г — г' |,	(5*)

a v равно отношению п' к п.

Если бы v было рациональным числом, то член в (5) стал бы
неограниченно большим, но если v иррационально, то числа i и Г,
очевидно, также могут принимать такие значения, что знамена-
тель г — i'v станет сколь угодно малым. Отсюда и проистекают
значительные трудности при этих исследованиях сходимости.

Рациональные значения v из рассмотрения могут быть исклю-
чены, по крайней мере в том случае, если речь идет о чисто тео-
ретических рядах для возмущений. Значения i и i', выбранные
так, что уравнение i — i'v = 0 строго выполняется, дают вековые
члены, и эти члены содержатся в коэффициентах С (4*).

Итак, предположим, что v обозначает иррациональное число,
и всегда можно считать, что оно меньше единицы.

Как будет подробнее исследовано в следующем параграфе,
множители sin (il — i’l’ + D) в ряде (5) не влияют на сходимость.
Поэтому сначала следует рассмотреть ряд

где

г = | i — i'|,

и согласно сказанному исходить из предположения, что ряд

SA'ii'x’	(7)

абсолютно сходится и имеет конечный радиус сходимости <Г1.
Существует теорема, которая принадлежит к важнейшим откры-
тиям в теории возмущений и приводит к совершенно неожидан-
ному результату в вопросе о сходимости рядов, встречающихся
в задаче трех тел. Эта интересная теорема была доказана Брун-
сом [68] в 1884 г. и состоит в следующем.

Пусть дано произвольное действительное число v0 и пусть S
обозначает положительное или отрицательное число. Тогда между
v = v0 и v = v0 + 6, каким бы малым ни было выбрано 6, име-
ется бесконечное множество значений v, для которых ряд (6)
сходится, и равным образом в той же области имеется бесконечное
множество значений v, для которых ряд расходится.

Если точками сходимости назвать такие значения v, для кото-
рых ряд сходится, а точками расходимости значения, для которых
ряд расходится, то теорема Брунса утверждает, что точки сходи-
мости и точки расходимости образуют повсюду плотное множество
(при всех действительных значениях v).
Очевидно, достаточно доказать, что в указанной области име-
ется одно значение v, для которого ряд сходится, и одно значение,
для которого он расходится. Если это доказано, то отсюда, как
следствие, вытекает, что существует бесконечно много значении
такого рода. Ряд 8 (6) сходится, если v — корень неприводимого
алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами
(и без рациональных корней). Пусть

Govm + GiV”-1 + . . . + Gm = 0

(8)

— такое уравнение, где Go, Glt . . . , Gm обозначают целые числа.

Пусть корни этого уравнения, кроме v, суть v2, v3, . . . , vm;
ради симметрии запишем vx вместо v. В члене . _ умножив
числитель и знаменатель на произведение

Go (i — i'v2) (i — i'v3) . . . (i —

имеем

Go П (»— »'v,) = Goim — Goim-1 V S Vi + Go*”"-2 г'2 S ViV2 + ... =

= Gor + Gxi”1"1 f + G2im-2i'2 + ... + Gmim.

Правая часть этого уравнения не нуль, так как (8) не имеет
рационального корня, а с другой стороны, очевидно, всегда яв-
ляется целым числом, следовательно, самое меньшее равно еди-
нице. Обозначим этот знаменатель через Na-. Запишем, далее,

Go (г — i'v2) (г — i'v3) ...(i — i'vm) =

= Н^-1 + H^-*i' + ... + Hm-iim~\

где Ho, . . . , Hm-i определенные, не зависящие от i и i' числа;
тогда 8 разделится на т рядов, которые имеют форму

и здесь теперь г = \i — г'|, |jV« | > 1.

Примем во внимание, что здесь следует брать только такие
значения i и Г, для которых делители i — i'v не превосходят
малого значения в; тогда, очевидно, (9) должно сходиться одно-
временно с (7). Ряд 8 сходится, если v удовлетворяет уравне-
нию (8).

Но числа, которые удовлетворяют алгебраическому уравне-
нию с целочисленными коэффициентами, располагаются на чис-
ловой оси повсюду плотно, и поэтому первая часть теоремы Брунса
доказана.
Брунс доказывает, что аналогичный результат имеет место
и для точек расходимости.

Предположим, что v представляется рядом следующего вида:

”=г+й+шг+"-	(10>

где е< обозначает или +1 или —1, а Лх, Л2, h3 — целые числа,
которые удовлетворяют неравенству

Л«+1>2Л«-1, Лх>2.	(11)

Впрочем, числа hi могут быть выбраны и произвольным образом.

Числа i и V в (6) могут принимать произвольные (положитель-
ные) числовые значения. Рассмотрим последовательности зна-
чений i hl i', которые образуются по следующему закону:

где

Яг =	. . . h,.

Заметим, что получающиеся при этом значения i и I’ суть целые
положительные числа. Отсюда находим

,, _ 1__I 82	।	88 I

V — Hi + я2 + я» + • • • ’

ибо i — i'v может быть записано в форме

i _ f'v = -£*--	----...»

я«+1	”а+1"а+2

и, принимая во внимание неравенство (11), при достаточно
больших значениях а можно заменить это выражение первым
членом. Если будут учтены только те члены, которые соответ-
ствуют значениям (12) для i и Г, вместо (6) получим ряд

s’ = 2 л«+11 ад хг.	(13)

Но числа ha. могут быть выбраны совершенно произвольно, лишь
бы выполнялось неравенство (11). Если они будут выбраны
так, что для всех а

А»+1 >

то находим, что (13) расходится, какое бы малое значение не
имело х.
Закон образования (10) для v непосредственно показывает, что
определенные таким образом точки расходимости образуют по-
всюду плотное числовое множество. Действительно, чтобы дока-
зать это, необходимо лишь изменить знаки различных еа.

Так как к выражению (10) для v можно добавить произвольное
рациональное число, не изменяя при этом приведенных рассуж-
дений, то находим, что точки расходимости на всей числовой оси
располагаются повсюду плотно. Можно в каждый сколь угодно
малый интервал действительных чисел вставить сколь угодно
много иррациональных чисел, для которых ряд (6) наверное
расходится.

После того как были выяснены особенности свойства сходи-
мости ряда (6), можно было бы поставить вопрос, имеют ли вообще
получающиеся в теории возмущений ряды действительный мате-
матический смысл? Если бы для достижения этого захотели бы
ограничить средние движения, а значит, также и v, такими
значениями, для которых ряд (6) сходится, тогда на практике
можно было бы получить этим путем сколь угодно хорошее при-
ближение, так как точки сходимости образуют повсюду плотное
множество. Но в действительности на этом пути мы только пере-
местили бы трудности, а не преодолели бы их. По теореме Коши —
Пуанкаре известно, что координаты в задаче трех тел суть ана-
литические функции постоянных интегрирования, и едва ли
можно объяснить, как можно использовать решение дифферен-
циальных уравнений, которые не обладают этим свойством, для
определения постоянных интегрирования из наблюдений.

Прежде чем переходить к решению этих трудностей, изложим
интересную попытку, предпринятую Гильденом, с помощью кото-
рой он хотел, так сказать, «обломать» вершину трудностей. Гиль-
ден пытался доказать, что хотя точки сходимости и расходимости
располагаются повсюду плотно, тем не менее вероятность расхо-
димости бесконечно мала.

При этом Гильден изумил неожиданной, найденной им тео-
ремой, которую мы здесь воспроизведем, ограничившись тем,
что необходимо в астрономических вопросах. Исследования
Гильдена по этому вопросу содержатся в [69]. Эти исследова-
ния позднее были развиты и углублены Броденом и Биманом
[70, 71].

Пусть v — данное, лежащее между 0 и 1, иррациональное
число, для которого имеет место разложение в непрерывную
дробь

1
v ' «1 + 1
«2 -|- 1
«» + •••,
где alt a2, а3, ... — положительные числа, которые однозначно
определяются по v.

Число v имеет произвольное значение между 0 и 1, так что все
отрезки одной и той же длины в этом интервале следует считать
равновозможными. Следовательно, мы предполагаем равновероят-
ным, что v лежит между v4 и v4 + 6v4 или между v2 и v2 + 6v2,
если v4 и v2 имеют произвольные значения между 0 и 1, и
6vj = 6v2.

Тогда можно поставить следующую задачу и дать на нее ответ:
если в непрерывной дроби заданы числа аг, а2, . . . , ап, то:
1) какова вероятность Fn<li, что следующее число ап41 примет
значение к (к — целое число), 2) какова вероятность ТУп.ь-, что
®n+i к.

Для того чтобы внести в эти вопросы ясность, начнем с про-
стого примера.

Пусть дано соотношение между двумя величинами х и у:

_ 1

У~ !.:.!•	(16)

X

Здесь х может принимать все действительные значения от 1
до бесконечности, а не только целые числовые значения, а для у
равновероятны все значения между 1/2 и 1. Спрашивается, какова
вероятность того, что х лежит между 1 и 3?

Очевидно, что у непрерывно возрастает вместе с х. При х = 1
у — 1/2, при х = 3 у = 3/4, и так как, по предположению, зна-
чения у между 72 и 3/4 так же вероятны, как и значения у между
3/4 и 1, то вероятность того, что х лежит между 1 и 3, равна ’/2.

Возвращаясь к общей задаче Гильдена, сначала вспомним
одно известное свойство разложений в непрерывные дроби. Обо-
значим подходящую дробь для цепной дроби (15), которая обра-
зуется из av a2, . . . , ап, через

(<h, а2,... , дп) =	>	(17)

тогда, как известно, справедливы соотношения

гп~. 1 ~	an+l rn 4* Гп-1,1	НЯ1

®п+1 =	®п+1	4~ 8п—1, J	' '

гп+1 _ гп __________ (	])n	It п\

„	,	е	9 9,’	'1г'/

•'гм1	*п	''nsn+l

где

ri = 1, г2 = a2, «j = alt s2 = a2ax -)- 1.

Искомые вероятности в соответствии с исследованиями Бродена
[70] выводятся следующим образом.
Пусть п — определенное число, и предположим для ах, а2,...
... ап определенные значения, в то время как для an+1, an+i и т. д.
это не предполагается. Тогда возможные значения цепной дроби
лежат между (а^ а2, ... , ап) и (ах, а2, . . . , ап, 1) и первое или
второе из этих граничных значений будет меныпим, в зависимости
от того, будет ли п четным или нечетным. Поэтому v связано
с отрезком длины

Zni = (—1)п {(®ц • • • ,	1) (йц • • • , ®п)}*

Из (19) и (18) находим выражение

lnl = SnSn+l = 5п(«п + «П-1) '	(19 )

Пусть, далее, к — целое число >1. Если ап+1 > к, причем
ап+2, ап>з, • • • принимают произвольные значения, то соответ-
ствующее значение v находится на отрезке

Ink = (—1)п {(®1» • • • ,	(®1» • • • » ®п)}>

который согласно (19) имеет длину

Iпк = —.	(19**)

Вероятность того, что an+i > к при заданных ах, . . . , ап, выра-
жается отношением 1пк к lni- Если положить

=	(20)

sn

то вероятность Wnk будет равна

<21)
лт Чп

Чем больше к, тем меньше вероятность того, что en+i имеет зна-
чение, большее или равное к. Из (18) находим, что qn всегда
меньше единицы. Следовательно, W должно быть заключено в сле-
дующих границах:

7<И,<ТТТ-	(22)

Вероятность того, что произвольное неполное частное ап в цеп-
ной дроби, если совершенно не принимать во внимание значения
остальных неполных частных, больше чем к, будет всегда мень-

2

Шв ~к'

(22*)

Это предложение мы используем в последующем.
Из (21) можно вывести вероятность Fnk того, что ап+1 при
заданных ах, а2, ... , ап принимает в точности значение к. Полу-
чаем

Fnk - 11 п, - 1ГП (к+1) _ —--1+^—

и для достаточно больших значений к находим, что F при про-
извольных значениях ах, а2, • • • , ап всегда меньше чем 2/А2.

Из этой теоремы Гильден получил различные интересные
следствия. Из них мы упомянем только об одной любопыт-
ной теореме: при разложении произвольно выбранного числа
в непрерывную дробь вероятное значение неполного частного
равно 2, так что при таком разложении единица в качестве зна-
менателя встречается столь жечасто, как и те числа, которые боль-
ше двух. В астрономических приложениях достаточно принимать
во внимание теорему (22*).

Теперь возвратимся к уравнению (6), где мы простоты ради
положили Кц> = 1 *)• Далее в ряде будем учитывать только те

значения i и i', которые соответствуют подходящим дробям —
sn

разложения v в непрерывную дробь. Соответствующий показательх

в (6) имеет тогда при v < 1 значение $п — гп, и так как гп при-
ближенно имеет значение vsn, то вместо (6) можно рассматривать

ряд

___es"

гп — snv

(23)

где е обозначает величину, меньшую единицы, значение которой
приближенно дается формулой е = х1-*.

По известной теореме из теории непрерывных дробей имеем

V=^2- + (—l)nf—-----------------h-.J,

Sn	I SnSn+l Sn+lSn+2	J

и, следовательно, приближенно

Гп — SnV —

(— l)n+1
®n+l

так что мы должны иметь дело с рядом вида

U = 3«п+1вЧ

*) Это оправдано, так как мы исходили из предположения, что ряд
обладает конечным радиусом сходимости. Указанное предположение означает
только, что мы выбираем радиус сходимости равным единице.
Если здесь согласно (18) положить

Sn+1 = ®n+l Н” Sn—li

то (23) распадется на два ряда, U' и U", один из которых,

U" = 3sn_16s",

всегда' сходящийся. Таким образом, исследуемым рядом будет

V =2ал+1м!".	(24)

Соотношение (24) позволяет доказать непосредственно, что точки
сходимости и расходимости образуют повсюду плотное множество.
Если даны неполные знаменатели а1? a2,. . . , am, то v должно быть
ограничено отрезком 1т1 (19*). Если теперь am+1, am+t и т. д.
выбраны так, что они будут меньше произвольного конечного
числа к, тогда, очевидно, ряд V сходится, и точки сходимости
располагаются повсюду плотно на указанном отрезке. Аналогич-
ный результат имеет место и для точек расходимости, если число
am+1 выбрано надлежащим образом (например,положено am+1>e~sn).
Затем Гильден делает заключение, что вероятность для расходи-
мости ряда (24) бесконечно мала.

Эта теорема, доказательство которой Гильден только наметил,
доказана Биманом [71]. В дальнейшем изложении мы попытаемся
упростить это доказательство.

Во-первых, находим, что ряд (24) сходится или расходится
одновременно с рядом

^" = 2вп+18я".	(25)

Поэтому рассмотрим этот ряд. О сходимости степенного ряда
справедлива следующая теорема.

Пусть дан степенной ряд

ОО

2 Аптп.

71=0

Если для всех п, больших nv имеет место неравенство

Мп *1п|< 1»

(26)

(26*)

то (26) для всех j х | <С | xt | абсолютно сходится. В то же время
ряд не сходится абсолютно, если для п невозможно найти такое
значение nv
Если применить эту теорему к ряду (25), то этот ряд сходится
для всех е ех, если неравенство

a»ni ~	(27)

<А

имеет место для определенного значения п = и для всех боль-
ших значений.

Какова же вероятность того, что неравенство (27) выполня-
ется для всех п пх? Вероятность того, что одно из этих
неравенств не выполняется, будет согласно (22*) меньше, чем
2eJn. Следовательно, вероятность того, что (27) выполнено для
определенного п, больше, чем 1—2ein, и вероятность, что удо-
влетворяются все неравенства (27), больше произведения

П (1 -Ч")-

n=nt

Но это выражение при достаточно большом значении становится
сколь угодно близким к единице. Следовательно, вероятность
сходимости ряда (25) отличается от единицы на бесконечно малую
величину. Поэтому вероятность расходимости ряда (25), а зна-
чит, и ряда (23), бесконечно мала. Что и требовалось доказать.

Между Броденом и Виманом имел место очень оживленный
обмен мнениями ([72] —[74]) о значении теоремы Гильдена, инте-
ресный во многих отношениях. Виман наиболее строго математи-
чески исследовал утверждения Гильдена, в то время как Броден
отстаивал точку зрения, что вероятностная трактовка не может
распространяться на встречающиеся здесь повсюду плотные
числовые множества.

Как бы то ни было, из этих исследований следует, что между
точками сходимости и точками расходимости существует опре-
деленное теоретико-множественное различие, для которого, по
нашему мнению, не опасаясь недоразумения, можно применить
выражение Гильдена, что вероятность расходимости бесконечно
мала, хотя весьма возможно, что для этого можно было бы найти
адекватное математическое выражение. Несомненно также, что эта
теорема имеет большое значение для ряда проблем небесной ме-
ханики.

Этим путем нельзя преодолеть трудности, которые были обна-
ружены теоремой Брунса относительно ряда (6). Если даже
вероятность расходимости мала, это не исключает того, напри-
мер, что при определении постоянных интегрирования при не-
прерывном изменении начального положения придется проходить
друг за другом бесконечное число точек сходимости и расходи-
мости. Определение постоянных при таких условиях было бы
математически неясной задачей, и вся теория возмущений была
бы построена на ненадежном фундаменте. К счастью, указанные
трудности можно устранить иным образом, что мы более по-
дробно рассмотрим в следующем параграфе.

§ 6. Сходимость рядов в теории возмущений (продолжение)

Исследования Брунса относятся к ряду (6), в то время как
фактически в теории возмущений ряды имеют форму (5) или (4*).
Из сходимости ряда (6) следует, что (5) также сходится, но
ряд (5) не обязательно должен расходиться для тех значений v,
которым соответствуют точки расходимости ряда (6). Действи-
тельно, тригонометрические множители в ряде (4) способствуют
тому, чтобы решение этого дифференциального уравнения можно
было представить аналитической функцией отношения средних
движений п' и п*).

Замечая, что величины in + Гп', где i и г' принимают все
положительные и отрицательные целые числовые значения, обра-
зуют счетное множество, мы можем записать исследуемое диф-
ференциальное уравнение в форме

ОО

4^ = 2 ^,COS(M+G,).	(1)

8=1

Если это уравнение проинтегрировать в пределах от t0 до t, то
получим

ОО

Е - Ей = 3 ’4- [sin (Kt + G.) - sin (Mo + G.)] + C (t -10), (2)
.=i
где

C = SA, cos Gs,	(2*)

причем эта сумма распространена на все члены, для которых
к = о.

Если предполагается, как и в предыдущем параграфе, что
ряд

ОО

2 л
«=х

абсолютно сходится, а следовательно, сходится также и ряд (2*),
то тогда следует доказать, что Е является аналитической

*) Приводимые здесь рассуждения в основном содержатся в [75].
функцией от п и п'. Действительно, имеем
sin (М + G,) — sin (Мо + £ч) —

= 2 cos (t + /0):+ С.] sin 4 («- h)
и, следовательно,

ОО

Е - Ь’о = 2 cos Г^- (t +10) + Gj sin (t - f0) + C (t - fo)-
Ле I	«

»=1 s

(3)

Но тогда для всех действительных значений Х6 и t — f0 справед-
ливо неравенство

|sin4(f-f0)|<|4(*-M|.	(4)

Если теперь запишем

Р-1 А

Е — Ео = 2 ~5~ [sin (Xsf + Gs) — sin (%8fo 4* G,)] 4" C (t — fo) 4" -Rp*
s=l A«

(5)
TO

00

rv < 2 I#-cos [4	+ G»1sin 4 (< - м I.

s=pl As L 2	J I |

и поэтому по (4) имеем

СО

я,<м.)21М	(6)

«=р

Но, по предположению, ZAS абсолютно сходится, следова-
тельно, если задана сколь угодно малая величина о, мы всегда
можем найти число р' такое, что при всех р^> р' имеет место

СО

2 IЛ1<б.

s=p

Тогда получим

Rp (t — f0) <т.	(7)

Это неравенство показывает, что при всех конечных действи-
тельных значениях f всегда можно выбрать число р' так, что для
всех р р' остаточный член в (5) примет сколь угодно малое
значение. Поэтому этот ряд, а значит, и ряд (2), сходится при всех
значениях времени, и притом абсолютно, так что его чле-
ны можно заменить их абсолютными значениями. Величина
остаточного члена может зависеть от t. Говорят, что ряд сходится
неравномерно, если при различных значениях t необходимо
выбирать различные значения р' для того, чтобы остаточный
член находился в заданных границах.

Исследование Брунса относилось к ряду

2|т1	<»>

и привело к результату, что для этого ряда сходимость зависит
от величины v отношения п' к п, а именно, оказалось, что точки
сходимости и расходимости при этом располагаются всюду плотно.
Для фактически встречающихся в теории возмущений рядов,
которые имеют форму (2), интеграл, наоборот, является непрерыв-
ной и аналитической функцией v, и точки расходимости ряда (8)
в действительности обусловливают здесь только то, что не будет
равномерной сходимости.

Прежде чем переходить к астрономическим приложениям
этой теоремы, мы несколько обобщим наши рассуждения.

Выше мы предполагали, что все дифференциальные уравнения
в теории возмущений имеют форму

^ == V^,cos(M + G,),	(9)

и в § 4 гл. VI нашли, что возмущения всегда можно получить из
таких дифференциальных уравнений. Между тем в этом пара-
графе было показано, что в некоторых случаях, а именно, если
речь идет о возмущениях средней долготы, уже для возмущений
первого порядка в правой части (9) может получиться интеграл
в виде ряда такой же формы, что и (9). Собственно говоря, в этом
случае мы должны иметь дело с дифференциальным уравнением
вида

^.=2^cos(^ + gs)>	(10)

и мы хотим исследовать, как тогда должны быть модифицированы
приведенные выше выводы.

Сначала из (10) в соответствии с (2) получаем

ОО

$---$= S 4- lsin (М + G,) - sin (Mo + G,)] + С (t -10),

(Н)

где-

С — 8Л8 cos
* = -	+	+	(12)

8=1 As

где

Я, = cos (XSZ + G») — cos (k,t0 4- Ga) 4- sin (Х8Г0 4- Ga)-ka (t —t0).

Ho выражение

Я, = - 2 sin [4 (f 4- f0) 4- G«] sin 4 (t — tQ) 4-

4- sin (k,t0 4- G8) • X8 (t —t0)

можно записать в форме

Я, = — [sin [-^- (t 4~ t0) 4“ G8j ~ sin (X8fg 4" Ga)j X, (t —t0) -f-

4- 2 sin [-A- (t 4-t0) + G.] [4 (t -10) - sin 4 (t - io)]
или

H, = — 2 cos[4 (* + 3*o) 4- <?.]sin 4 <*“*<»)-%«<* — *o) 4-

4- 2 sin [4 (t 4-10) 4- G.] [4 (f -M - sin4 (*- *»)] •
Для всех действительных значений Х8 и t — t0 справедливы сле-
дующие неравенства:

|sin4e-M|<|4(f-'o)|.

|4(f_f0)_Sin4(f_f0)|<4i%3(f_f0)3k

из которых последнее может быть получено из разложенпя в сте-
пенной ряд синуса. Имеем, следовательно,

|Я8|<А|Х’(/-м2|4-^-|х’(«-М3Ь

и подставляя это значение в (12), находим

« = — 2 4- lcos (V 4- Ga) — cos (ХЛ 4- Ga) 4-

8=1 *8

4- sin (X,i0 4" Ga) • X, (t —10) 4* у G (t — to)2 4" (t —10) 4- x0 4- Яр,

(13)

33 к. Шарлье
где

ОО	00

1Л1+(«-«о)83^-1М.ь аз*)
8=р	8=р

Следовательно, остаточный член при заданном значении t может
быть сделан произвольно малым, если выбирается достаточно
большое р. Итак, ряд, входящий в выражение для х, абсолютно
сходится, хотя значение остаточного члена при известных усло-
виях'может зависеть от t. Однако не обязательно, чтобы это было
так. А именно, если ряд

3|t|	(М)

сходится, что, как было доказано в предыдущем параграфе, имеет
место при определенных значениях v, то Rv не зависит от t.
Неравенство (13*) справедливо в любом случае, будет ли ряд (14)
сходиться или нет.

Второй член в формуле (13*), вообще говоря, исчезающе мал,
так как здесь главным образом встречаются такие члены, для
которых величины Х8 принимают весьма малые значения. Если
ряд (13) оборвать на определенном члене, как это бывает на прак-
тике, то остающаяся ошибка возрастает пропорционально квад-
рату интервала времени.

Интеграл уравнения

ОО

3a.cos(M + G.)

«=i

согласно (2) имеет форму

Е = Ео + 2 [sin (У + (?,) - sin (Mo + G,)] + С (1 - f0)

и является аналитической функцией различных которая
может быть разложена в окрестности X, = 0 по положительным
степеням %8. Отсюда следует, что Е является также аналитической
функцией отношения п' к п.

Этот интеграл в общем случае запишется в виде

Е = К + 2^-sin (1/ -j- Gt) + С (t — tQ),

где К обозначает постоянную интегрирования, и исследование
сходимости

2 £ sin (М + Gt)	(15)
связано с рядом, который обладает замечательными свой-
ствами, открытыми Брунсом. При этом мы обходим молча-
нием тот факт, что постоянная интегрирования К сама является
функцией от Jllt Л2, Х3, . . ., которая обладает теми же особен-
ностями,что и ряд (15), и что эти особенности взаимно уничто-
жаются. Аналогичное утверждение справедливо для интеграла
дифференциального уравнения вида (10).

Неравномерная сходимость рядов в теории возмущений имеет
своим практическим следствием то, что необходимо брать тем
больше членов в рядах, чем больше промежуток времени, на ко-
тором эти ряды должны представлять координаты планет. Рано
или поздно остаточные члены в рядах (5) и (13) становятся замет-
ными, и неравенства (6) и (13*) дают сведения о том, какого рода
отклонения должны быть между теорией и наблюдениями. От-
брасываемые в (5) члены влияют так, как если бы не был учтен
член, пропорциональный времени, в то время как в (13) ошибка
растет пропорционально второй степени интервала времени.

Если обратиться к возмущениям элементов, то из этого утвер-
ждения следует, что при вычислении возмущений нужно ожидать
следующие различия между теорией и наблюдениями.

В большой полуоси, эксцентриситете, наклонности, долготе
перигелия и долготе узла будут возникать ошибки, возрастающие
пропорционально времени. Эти ошибки оказываются такими,
как будто вековые члены были неправильно получены из теории.

В средней долготе различие между теорией и наблюдениями
может возрастать пропорционально второй степени. Эта ошибка
действует так же, как и вековое изменение среднего движения.

В истории астрономии нет недостатка в такого рода примерах
соотношения между наблюдениями и вычислениями. Наиболее
знаменитым примером такого рода является открытое Галлеем
в 1693 г. вековое ускорение в долготе Луны, которое, по оценке
Галлея, составляет 10",2, так что для получения совпадения
с наблюдениями необходимо было добавить к получающейся
по теории долготе Луны член 10",2 t2.

Этот член имеет именно ту форму, которую следовало бы
ожидать, если бы это различие объяснялось отбрасываемыми
в теории членами. И действительно, в 1786 г. Лапласу удалось
обнаружить неучтенный в теории член, который удовлетвори-
тельным образом объясняет неравенство Галлея.

Но было бы неправильным делать отсюда вывод, что все раз-
личия между теорией и наблюдениями, которые растут пропор-
ционально времени, можно устранить при помощи более точных
вычислений. Если бы мы допустили такое заключение, это при-
вело бы к крайне опасной неуверенности, касающейся всех от-
клонений от теории. Между тем неравенство (6) позволяет
получить доверительные границы, давая максимальную оценку
ошибке, которая не может быть превзойдена.

Коэффициенты Ая известны из разложения возмущающей функ-
ОО

ции, и для ряда можно всегда получить приближенное значе-
р

пие. Если наблюдаемое различие превосходит эту оценку, то
объяснение следует искать вне исследуемой системы точек.

Между тем нельзя упускать из виду, что при этом должны
быть найдены приближенные значения членов, зависящих от
высших степеней масс, и для получения таких значений нет ни-
каких непреодолимых препятствий.
ГЛАВА X

О ФОРМЕ ИНТЕГРАЛА В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ

§ 1. Канонические преобразования

Якоби доказал следующую теорему [761.

Пусть производные переменных величин zlt х2, . . . , хт;
yit Уг, • • • » Ут задаются следующими уравнениями:

dx-i	дН	dyi	дН	
				
dt	dyi ’	dt	dxi ’	
dx2	дН	dy2	дН	
	-			
dt	ду2 ’	dt	а®8	(1)
dxm	дН	dym	дН	
				
dt	fym ’	dt	ихт	

и пусть, далее,

1|) (®i, ®г» • • • » Хт', 51» 5г» • • • » 5m)

— произвольная функция т величин хи хг, . . . , Хт п т новых
величин Ёх, .......5m*)-	Определяя эти новые величины и т

других величин Т|1, Т)2.Т)т через Хи Х2, . . . , Хт", у1г у2,...

. . . , ут при помощи уравнений

			
	дх3	дх ~~ Ут* ихт	
	аФ _ п	5ф __	„	(2)
ас» “ Лъ	Ж - —112		д?,т ~	

и выражая Н через t и новые величины 52,

. . , 5т, ДЛЯ ЭТИХ

новых элементов получим совершенно

аналогичные уравнения:

dfr _ дН
dt	<h]i ’

d^t = аЯ
dt	5t]2 ’

dt)i	_ _ ая

dt	—	afci	’

_______	9H
dt_____ag2	’

rfU = rft|m _ эн
dt anm ’ dt a$TO •

♦) В аналитической механике эта функция называется производящей.

(Ярим, перев.)
Эту теорему, которая в общем случае определяет преобразование
одной системы канонических переменных в другую, мы обобщим
в двух различных направлениях.

Во-первых, необходимо обобщить теорему, поскольку в тео-
реме о преобразованиях Якоби предполагается, что функция ф,
которая определяет преобразование от одной канонической си-
стемы элементов к другой, не зависит от времени. Это предполо-
жение можно отбросить и показать, что имеет место следующая
теорема о преобразованиях.

Теорема I. Пусть переменные величины xlt х2, . . • , хт; ylt
Уг, •••, Ут определяются дифференциальными уравнениями

(i = l, 2,...,т),	(4)

dt dyi * dt	х	» »	» /»	\ >

где Н обозначает произвольную функцию величин xlt xit • ..
...,хт; уи у2.....ут и t; пусть, далее,

ф (®1» ®2» • • •» Si» • • •» 5п»; О

произвольная функция т величин хъ х2,	, хт; т новых ве-

личин £2, . . . , и времени. Если выразить эти новые вели-
чины и т яруна. новых величин т)ь ц2, . . . , т)т через х2,...
. • • , Хт', У1, у 2, ...» Ут И t при ПОМОЩИ уравнений

дф

= УН

дф

(i = 1,2,..., т)

(5)

(5*)

-

и выразить Н через t и эти новые переменные $2» . . . ,
т]х, .......т)т> то новые элементы определятся дифференциаль-

ными уравнениями

^11. _	rfTli _ _ SR /1 _ 4 2 т\ Гб)

dt ~ дт)4 ’ dt ~ дЦ U - 1» А • • •»т), (OJ
где

я =	(7)

Если ф не зависит от t, то, очевидно, приходи м к теореме Якоби.

Доказательство выполняется без каких-либо искусственных
приемов посредством замены х, и yi (i = 1, 2, . . . , тп) в Н на
и тр (i — 1, 2, . . . , т) при помощи уравнений (5) и (5*).
Мы приводим его ниже.
Если разрешить уравнения (5) и (5*) относительно зд и yt,
то получим

Xi = xi (£ь |2, . . . , Tlx, T)2.....r]m),

Ui = Vi (5i, £2. • • • . U; Лх» Л2....Л™)

(i = 1, 2, . . . , m).

Если эти значения подставить в Н, то Н станет функцией
51, .......Ль Лг............Л™ и t- Дифференцируя эту функцию

затем по т]к и рассматривая 1х> &г> • • • » 5™ и t как постоянные,
получим

дН = у, dff I у дН

аЛк 2? ЗЛи	3T)fc

или согласно (4)

дН _а _ у, dyt dxj , „ dxj dy«
^л» 2i dt алк *т" 2j dt a-rjfc ’
i	*

Но из (5) следует
fyj __ yi	dxi

-у дцдх} dqk ’
так что

дН _  -у dyj dxj 1 у, y, dxj d2^ dxj
df)fc 21 dt dr)k 2121 dt dxtdxj dr]k

или, если в первой сумме индекс i заменить на /, а в двойной сумме
изменить порядок суммирования, то

9Н _ у, дх± Г	dyj  уч dxj

drij £j 5r)fc L	dt Z1 dt dxjdxt]'

i	t

Если продифференцировать уравнение (5)

drb

по времени, то получим

dVi	_	yi	d8,P	dxl	1 yr	d2r|>	d^x		d2r|>

dt	21	dxjdxi	dt	' 21	dxjdxj	dt	•	dxjdt	’

так что

дН	_	_	у, у,	dxj	d2r|>	dh _ у,	dx,	d2r|>

diu	ZJ Zl	dru	dxjdxi	dt	21	dt)k	dxjdt	'

i <	i
d%.

Коэффициент при

Но теперь согласно

равен

yi дх; д*Ф

Zj dtyt ’

(5*)

<hb

Если это уравнение продифференцировать по г^-, то получим

3^$=° <г+‘ь

i

в то время как

VI д2Ф дх;________,

следовательно,

дН =	_ у д2ф dxj

ch]fc dt	dtdx; ’

Если положить

Л-Я+11-.

то

— dR ik-4 9

что и доказывает справедливость первого из уравнений (6). Чтобы

получить соответствующее уравнение для поступим ана-
dt

логичным образом. Сначала получим

дЯ	дН dxj , УГ\ дН ду; _	dxj , у, dxj dyj

= 2j dx;	Zi ду; d^ 2j dt 2л dt •

i	i	i	i

Из уравнения (5)

^ = 7^

получим соотношения

ду; __5П	<№)	дх;	|	д2ф

д1к	21	дх;дх;	д^к	"•	дх^ •

з

dy; _ yi	dx;	.	д2ф	(Те,;	.	д2ф

dt	21	дх;дх;	dt	i"	21 дх;дх;	dt	"r	dx;dt ’

з	з
которые после подстановки в выражение для дают
06»

9Н ___ V	0®< 0J'I’ V &Xi	1 ^Xi d2,P

a$k “	2i2i dx^j	dt 2i a^'aSiaF	+	2i dt dx^f

i j	i	i

Двойная сумма может быть преобразована в простую сумму, если
заметить, что из уравнения (5*)

посредством дифференцирования по можно получить уравнение

yi 0*ф	. а^ _п

2j dtjdxi 9^ т " и*

i

Следовательно,
9Н ___________ у, д2ф dfy । у, д2ф dxj	д^ф dxj

9^к — 21 д^к dt "г 21 9xffi,k dt 21 dxjdt д\к •

з	i	з

Но, с другой стороны, в соответствии с (5*),

2 32ф dxj .	д2^ dfy ।

. d^dxj dt у>9^к9^ dt -г 9%kdt ~ dt ’

так что

эн _	а2ф у а^ф дх,

0$к	dt 9lk9t 9xj)t 9\k '

Но теперь

\ dt I _ V d2’*’ dxi I
~ 21 dtdxj 9$k "1" Otdtk •

Следовательно,

rft)fc _ d (H +

dt ~	9^k

что и доказывает вторую часть теоремы о преобразованиях.

Если предположить, например, что уравнения движения (4)
для так называемой промежуточной орбиты с характеристической
функцией Hi могут быть проинтегрированы, то согласно методу
Гамильтона —Якоби сначала необходимо рассмотреть диффе-
ренциальное уравнение в частных производных

. 9V 9V 9V . л

• • I Хтг QXi >	1 • • • 1 Qx^ > j .

6V . „ /

~dt + H1 Xi' •

(8)
Если

7 = 7 (хи хг, . . . , Хт; аи а.......	t),

где ап а2, . . . , ат обозначают постоянные интегрирования, яв-
ляется полным интегралом уравнения (8), то, как известно, вели-
чины хъ х2, . . . , хт и у1г у2,	. ут получаются из уравнений

37	dV „	/.	. о	.

=	(г = 1, 2,..., т).

Но если эти уравнения сравнить с уравнениями (5) и (5*),
то в соответствии с теоремой I находим, что система (4) может быть
заменена уравнениями

	<7сц	дЯ  ~зг =	’	dpi _  Л “	~ ЗаГ (i — 1, 2,..., m)
где	теперь	R =	H + dt *
Но	согласно (8)	av dt	— —Hu
так	что	R	= H —Hv

(9)

А это совпадает с обычной теорией вариации произвольных по-
стоянных.

Постоянные си и Pi, которые получаются при интегрировании
уравнения (8), в общем случае непригодны для использования
в качестве новых переменных в задачах динамики. В задаче трех
тел, например, в уравнении (8) содержится в правой части умно-
женный на время член, который создает при интегрировании
значительные и ненужные трудности. Для кеплеровской эллип-
тической промежуточной орбиты давно уже известен метод, как
можно введением новых переменных преодолеть эти трудности
(см. § 5 гл. V). Для других промежуточных орбит необходимо
вводить другие преобразования, но до сих пор нет общей теории
отыскания таких преобразований.

Ниже мы рассмотрим достаточно общий случай, в котором
можно непосредственно указать искомое преобразование.

Предположим, что характеристическая функция для про-
межуточной орбиты не содержит время t явно. Тогда дифферен-
циальное уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби

dV . „ /	dV dV 9V \ п

~dt +	Г1’ ж2» • • •. хт; дХ1,	дХт ) - °	(10)
имеет интеграл

V = -Ct + W,

где W не зависит от времени t. Предположим далее, что найден
интеграл

W = W (жх, х2, ... , Хт; <хх, а2, . . . , От)
дифференциального уравнения

„ /	,	9W 9W 9W \	„

Ях [хи x2,J..., хт,	,...,	) - С, (10)

который содержит т независимых постоянных ах, а2, . . . , ат.
Постоянная С может совпадать с одной из этих постоянных ин-
тегрирования. В общем случае это места не имеет, и тогда со-
гласно (10*) С является известной функцией от ах, а2, . . . , ато:

С = С (<хх, а2, . . . , ат).

Координаты Х{ и yi (i = 1, 2....m) промежуточной орбиты

определяются уравнениями

9V ,,	9V	а

dxi ~~ У<’	fai ~ Р*»

и, следовательно,

19W _ 9W _ 9С .	□

~yi’ ~

Но согласно теореме Якоби эти уравнения показывают, что

®1» • • • »

и

+ + ..~^ + ^

суть сопряженные канонические переменные, значит, исходную
систему (4) можно заменить уравнениями

dax   дН
dt	dwi ’

.	ли (i = 1,2,..., т),

dwj   да	'	'

~dl	9^

где

Wi = -^t + ^	(» = lr2,...,m).

Если только найдена система аь а2, . . . , ат постоянных ин-
тегрирования, то другие системы постоянных интегрирования
можно найти бесчисленным множеством способов. Каждой системе
величин сц соответствует определенная система величин wi- Речь
идет о том, чтобы сделать наиболее выгодным выбор величин <х«.

Из многих промежуточных орбит, встречающихся в пробле-
мах механики, мы рассмотрим здесь такие, в которых координаты
являются условно-периодическими функциями времени. При по-
мощи линейного преобразования аргумента [ср. (21) § 3 гл. И]
можно добиться, чтобы периоды относительно различных угловых
переменных были равны 2л. Мы обозначим эти аргументы через
Пь Th> • • • » Tlm> так чт0

тр = mt + Ci (i = 1, 2, . . . , m),

и координаты для промежуточной орбиты будут периодическими
функциями Tji, т]2...т]т с периодом 2л. Если теперь выбрать

постоянные интегрирования ах, а2, . . . , ата таким образом, чтобы

и обозначить эти
что теперь

особые координаты через £1( £2, • • • > так

дС

то будем иметь

dW

dW

dxt ~ yi’ дЦ ~	1,0

и, следовательно, (i = 1, 2, . . . , т) суть сопряженные
канонические переменные.

Как же отыскивать эти постоянные £2, . . . , £т? Сначала
предположим, что для промежуточной орбиты в характеристиче-
ской функции Н1 величины yt, у2, . . . , ут находят только через
квадратичную форму, и что интегрирование уравнения



dW dW

Xi, x2,. . . , xm\ dxi , dXi ,

dW \ =
' ’ dxm)

(10*)

может быть выполнено разделением переменных. Тогда по теореме
Штеккеля интеграл уравнения (10*) примет вид

т /	т

W = 3 $ И 2Фх (хх) + 2 2аХфхх (хх) dxx. (11)
х=1	Х=1

Здесь фх (хх) и фхх (хх) обозначают определенные заданные функ-
ции от хк\ ai, а2, . . . , ат суть постоянные интегрирования, из
которых совпадает в (10*) с постоянной С. Поэтому интегралы
уравнений

dxi   dHi dyi   dHi

dt	dyi ’ dt	dxi
будут
.	n	dW	dW

О _	dW	dW

Р*	Эа2	’	дхг	’

„ _ 8W	8W

^т~~да~ ' Ут~~дх~’

Покажем тогда, что величины хь хг, . . . , хт суть условно-
периодические функции некоторых величин ult и2......um пе-

риода 2л, которые связаны со временем следующим образом
[(21) § 3 гл. II]:

®11м1 + ®21w2 + • • • +©mlWm = Л (—t 4* j3j),	)

®12Ui +(022U2 + . . . +(i)m2Wm = Л02,	I

..........................................(	(12)

®lm Ui 4“ (02m W2 4- • • • 4"	Um — Лрщ»	J

где

bi

<o„ = j	(12»)

“i 1/ 2ф1(х1)4- 2

V	3=1

и at и bt обозначают границы, между которыми колеблются вели-
чины xi. Эти границы всегда суть корни уравнения

т

2^(^ 4- S 2а-Фу(х,) = 0.
j=i

Предполагается, что определитель
й = |шу |	(i, / = 1, 2, . . . , т)

не равен тождественно нулю. Величины ону (i, j = 1, 2, . . . , т)
называются элементарными периодами.

Из предыдущего исследования очевидно, что должно быть

Tli = “i>

чтобы получить преобразования требуемого вида. Как же должны
быть выбраны для этой цели величины |t? Докажем, что нуж-
но положить

Si = ± $ ]/2^ 4- 3	dxi, (13)

aj	i =i

(г = 1,2,..., т)
чтобы получить сопряженные с тц канонические переменные.
Действительно, постоянные интегрирования аи <х2, . . . , ат можно
заменить какой-либо другой системой постоянных интегрирова-
ния аъ ait , ат, если только отличен от нуля якобиан пре-
образования (§ 9 гл. I). Известно, далее, что сопряженные с
£2). . . , переменные имеют форму

яр	7

=	+	(^1.2.....т).

Мы обнаружим, что эти величины совпадают с величинами ult
и.,, . . . , Um, и что, кроме того, якобиан от |j, Е2, . . . , по а1(
а2, . . . , ат отличен от нуля.

В самом деле, если разрешить т уравнений (13) относительно
аь а2, . . . , ат, то будем иметь

— а1 (£1> ^2> • • • , Zm).	(14)

Если продифференцировать это уравнение по с^, а2,
то получим

doti 35i . 3ai 35а ।	, ctai	j

Жах!-1" auaxi-*"’"1-a£ni axi -
a»i 35i । a»i 35» 1	1 3ai _______л

351 3ct2 35г 3a2 '	Г 35„ 3a2 — u’

• > Gm,

(15)

3ai 35i  3ai 35а 	. 3ai _л

35i Зата 35а дат^”'^дКт Заго “ u

Но тогда согласно (12*) и (13)

(16)

так что уравнения (15) запишутся в таком виде:

3ai . 3ai ,	, 3ai	1

35i®11+ 35^Ю’1+ ' ’' + 35^Ют1 = я’

3at , 3ai ,	, Sai n

35Г + 35; “22 ------------1- 35^ ®m2 = °’

3ai , 3ai ,	, 3ai	n

-|-	(02m + • • • + <Лтап — 0»

Так как at совпадает с С, то, сравнивая с уравнениями (12),
находим, что т]< = щ. Так как, далее, якобиан величин
£i> Вг> • • •» Вт по ах, а2, . . . , ат согласно (16) равен

л~т I (ЙЦ |	(i, j = 1, 2, . . . , т)

и этот определитель, по предположению, не обращается в нуль,
то величины gx, £2, • • • , Вт образуют независимую систему по-
стоянных интегрирования. Таким образом, приходим к следую-
щей теореме:

Теорема II. Пусть переменные величины хъ х2, . . . , хт\
У1, Уг, • • • » Ут заданы уравнениями

_ дН	dVi _	дН	гач \

dt ~ ду^	dt ~	dxt	(» — 1, 2, .	. т)	(17)

и пусть, далее, промежуточная орбита определяется уравнениями
dHi

~dt ~ &Уа

dy1=_dlh 0 = 1»2,...,тп),
dt dxi

где Нг — квадратичная форма величин ух, у2, . . . , ут. Если
дифференциальные уравнения могут быть проинтегрированы при
помощи изложенных в § 1 гл. II методов, то координаты проме-
жуточной орбиты оказываются периодическими с периодом 2л
функциями т аргументов

Л4 = 71/ + ^= —^-t + d (i = l,2,..., щ),

где gi в обозначениях цитируемого параграфа определяются ра-
венством

Bi = 4- $ 2ti (z<) + 3 Ц-Фу (*{) ^Ха.

7=1

Если затем Н выразить через t и новые величины 5Х, |2, . . . ,

Пи Лг» • • • » Лт» то эти новые элементы определяются при помощи
уравнений:

d^_ дН
dt 5т]4

_дН
dt - д^

Для разъяснения этой теоремы рассмотрим доказательство
для одной степени свободы. Пусть

dx  дН . dy    дН
dt	ду ’ dt	дх '

(г = 1,2,..., т).
где

H=±-y*-U(x).

Тогда диффэрэнциальноэ уравнэниэ Гамильтона —Якоби примет

вид

1 /ЭТ7\2 _

2	—

СА ос,

так что

W'=-$y2(tf + a)<fc.

Имеем, следовательно,

t -4-В = ^=Л —dx__
да J]/2(C7 + a)

Из этого выражения следует, что время Т изменения величины я
от минимального значения х± до максимального значения ar2
определяется формулой

*1

т = \

X,

dx

/2(J7 +a)'

Если положить

4 S* _____________

g =	]/2(CZ + a)dx,

X>

то

Величина x является периодической функцией t с периодом 2Т,
или, иначе говоря, периодической функцией от nt + с с периодом
2л, если положено п = Итак, согласно приведенному выра-
жению для Т имеем

— 1 _ а«

“ «1 “ 35 ’
da

что и доказывает теорему для случая одной степени свободы.

Если промежуточной орбитой является кеплеров эллипс, то
применение теоремы II выполняется следующим образом.
В силу (14) § 1 гл. II, (2) и (3) § 2 гл. IV и (8) § 8 гл. IV имеем
здесь:

(18)

гц = га (* + Нк),

= га (t + Ях) + Н2,

Т)з = п (t + Нг) + Н2 + На,

(18*)

где постоянные интегрирования ах, а2, а3; Н\, Н2, Нз связаны
с обычными кеплеровскими элементами следующим образом.
Имеем

2ах =— -у-,	2а2 = ра(1—е2),	2а3 = ра(1—e2)cos2i

и

Hi = — tn, Н2 = п — Q, На = Q.

В § 5 гл. V мы ввели в качестве переменных элементов ах, а2, а3
и Ну Н2, На для представления координат в задаче трех тел. Вместо
них мы будем использовать здесь £х, £2, £3, rjj, ц2, т]3. Из теоремы
II известно, что если какие-либо величины ас2, ха; уг, у2, уа
определяются уравнениями

£=	“	(. = 1,2,3)	(19)

dt dyi ’ dt dxi '	» > /	\ /

и если при помощи обычных формул эллиптического движения
выразить Xi, х2, ха, ylt у2, уа через ^х, £2, £3; т)х, т)2, т[3, то последние
будут определяться уравнениями, которые полностью заменяют
уравнения (19):

он	дн

dt ~~ д»), ’ dt ~

(/ = 1,2,3).

Найдем выражения для £х, |2, £3 через эллиптические эле-
менты. Границы т2 и гх, между которыми колеблется г, будучи

34 К. Шарлье
выраженными через эллиптические элементы, суть а (1 — е) и
а (1 + е). Так как

Si = 4"$ /— 2«1(п — г) (г — Га) v ’
Г,

то при помощи подстановки
г = а (1 — е cos w)

и принимая во внимание значение для <xlt получим

С Г—т———-----Ь 1 + ecoswl dw

ъ я JL 1 —ecosw 1	1 J

о

или, согласно известной формуле,

(20)

В формуле для $2

выполним подстановку
sin q> = sin i -sin и

и тогда получим после простых преобразований

Ь =	(1 — е2) (1 — cos г).	(20*)

Имеем, наконец,

g8 = У*2а8 = У ра (1 — е2) cos i.	(20**)

Элементы £< и гц не совпадают с элементами Делоне, которые
мы ввели в § 5 гл. V. Однако можно при помощи линейной под-
становки перейти от одной системы элементов к другой. Условия
для такого преобразования легко выводятся из теоремы о пре-
образованиях Якоби. Если положить

Ф = («11S1 + «12^2 + • • • + ®ип Sm У»]! +

+ (^2111 + ®22&2 + • • • + а2т £ш)т]а +••• +

+ (аmiSl ”Ь ®ш2?>2 “Ь • • • 4~®mm Sm)T]m>
а также

m =	= «uni++ • • • + <WU,

<hb ' ।	' ।	

4я =	= Я11П! + Ояя4а + • • • + втя4т.

ал

4m —	elm4i + <4m4a I   • “Г fflmm4mi

5, =	~ в1151 + а1я5я + ’ ’ • + <hm5m.

1	«41

5» = “7 — <4151 + <4я5я + • • • + <4т5т.

d’la

5т — - ' — «т151 + «тя5з + • • • + °тт5т»

то по теореме Якоби & и т|{ образуют каноническую систему, если
таковой является система величин £<, т|< (i = 1, 2, . . . . , m).

Чтобы перейти к элементам Делоне, необходимо положить

5х — Si + 5я + 5з»

5я = 5я + 5а>

5з = 5з»

следовательно, соответствующие угловые канонические эле-
менты т)1, т]а, т)з даются при помощи соотношений

Th = Чп

Ча = ’ll + Ча.

Чз = 41 + Чя + Чз.
так что

41 = 41 = » (* + #1).

4я = 4я — 41 = л — Q.

4з = 4з — 4я = й>

совпадают с формулами из § 5 гл. V.

Целесообразно, впрочем, было бы ввести иное линейное пре-
образование, а именно,

5i = 51 + 5я + 5з = V

5; = 51	=/^(1-/П^),

5з = 5я	= Уца(1 — е2) (1 — cos г),
при котором соответствующие канонические угловые переменные
определяются следующими формулами:

И1=	+ Пь

Пг = ni + Пз.

Пз = Их.
или

ni = Из = Я (* + #1) + л.

ni = Hi —Из = —л.

Пз = Из - Пз = й-

Если соотношения (20), (20*) и (20**) разрешить относительно аь
то получим

а ___________Ц8

1-	гкх+ы-Ь)”
откуда находим

dai dai dxi	р.2	Vp

«51 “ «£ ”	~ (51 + 5» + 5з)8 “ а’/« *

Элементы гц, Па> Пз имеют одно и то же среднее движение п, что оче-
видно из выражений (18*).

В некоторых проблемах в качестве промежуточной орбиты
можно использовать ту орбиту, которую опишет тело нулевой
массы, притягиваемое двумя неподвижными центрами по закону
Ньютона.

В третьей главе мы подробно рассмотрели формы орбит в этой
задаче. Здесь получается

Ь'

Е.	= + И2 |(Х+к'> 1	+ al	’

<21>

Ei = -£-$ /2 «к - Л И +	+ »)	.

Л.	Г

где ах и Ьг суть границы, между которыми колеблется величина X,
в то время как а2 и Ь2 - соответствующие границы для р.

Угловые величины r]i и т]2 даются соотношениями

Л (* + ₽1) =<0пП1 + <021И2. I

Лр2 =<>>121]1 “Ь й) 22П2» Г	(21*)
где имеем

Ш“ = А’
..

= И -

„ -д^

®21 “ av

“2г - •

В ограниченной круговой задаче трех тел пригодна для ис-
пользования во многих случаях только что рассмотренная про-
межуточная орбита. Мы хотим подойти к проблеме с этой точки
зрения. По § 2 гл. IX дифференциальные уравнения принимают
вид

(. = 1,2),

dt др^ dt dqt '
где

Я = 4 (р? + р2) + п(рхд2 — P2Q1) — U.	(22)

Здесь и д2 обозначают прямоугольные координаты тела нулевой
массы в подвижной системе координат, вращающейся с угловой
скоростью п. Величина п совпадает с угловой скоростью круго-
вого движения Шх и тг вокруг общего центра масс.

Начало координат здесь находится в центре масс и т2.
Чтобы получить полную аналогию с проблемой двух центров,
поместим начало координат в середине отрезка m1m2. С этой
целью положим

।	1 — Р

X1-Q1+ 2(1 + р) ’

х2 = q2, yi = Pi, Уг= Рг-

Очевидно,	что новые	координаты	Xi,	x2, Vi, Уч также канониче-
ские, так	что имеем			
	дН dt ду( ’	dyj	  dt	дН dxi	(i = 1, 2).	(23)
Здесь				

н =-^(у1 + у^ + п + £ (1 + £} у* —

и

Определим теперь промежуточную орбиту характеристической
функцией

Нх=~(у^У^~и,	(24)
Соответствующие дифференциальные уравнения будут

dt ~ dyi' dt ~ dxi ~	W

Это —дифференциальные уравнения движения тела нулевой
массы, которое притягивается двумя неподвижными центрами.
Координаты этой орбиты xlt х2, уъ у2 суть условно-периодиче-
ские функции времени, которые могут быть разложены в ряды
по аргументам, кратным гц и т)2 (21*). Коэффициенты этих рядов
могут быть выражены как функции величин и |2. После того
как хъ х2, уъ у2 этим путем найдены как функции от £2,	т]2,

подставим эти выражения в Н и определим изменение величин
li, |2, Ц1, т)2 согласно теореме о преобразованиях Якоби при по-
мощи уравнений

дП <4 дН ..	, 9.

dF = ^1’ -dt = ~d^	(2fi)

Здесь следует заметить, что величина Нх после подстановки
выражений для х1г хг, уг, у2 через £2, Th, т]2 сводится к функции
от и £2, так как уравнения (25) обладают интегралом Нг =
= const. Если обозначить эту постоянную через Clt то получим

Н = Ci + п (ylXi - ytX1) +	у2.	(27)

Таким образом, для возмущающей функции будем иметь простое
выражение, если исходить из задачи двух центров, и после этого
варьировать произвольные постоянные этой задачи.

Постоянная Сг является функцией только и |2. Остальные
члены в (27) суть периодические функции от т)г и т)2, которые
легко вычисляются после того как xlt х2, ylt у2 выражаются через
£i, £г. Ль Th- Таким образом, возмущающую функцию очень легко
получить, после того как координаты задачи двух центров пред-
ставлены в функциях времени, что необходимо для различных
исследований и что до сих пор не было сделано *). Весьма заме-
чательно то, что при использовании этой промежуточной орбиты
в пертурбационную функцию не входит величина, обратная
расстоянию между возмущающим и возмущаемым телами. Отсюда
следует, что задача двух неподвижных центров должна иметь
тесную внутреннюю связь с задачей трех тел.

Так как канонические дифференциальные уравнения не сим-
метричны относительно обобщенных координат q и импульсов р,
то теорема Якоби должна формулироваться в зависимости от того,

*) Идеи Шарлье были использованы в работах Замтера [77] и перевод-
чика этой книги [78]. (Прим, перев.)
какие из переменных будут входить в производящую функцию.
Ради полноты приведем формулы, относящиеся к этому вопросу.

Обозначим прежние координаты через xlt х2> • • • > хт;

У1, Уъ, • • • , Ут, а новые — через £2, . . . , rji» 'Пг.Пт.

так что будем иметь

dxi дН dv< дН

0 = 1.2,(28)

а также

dlli_ дН	,9q.

d:—av dt ~	д^‘

Можно различать четыре случая:

1.	Производящая функция ф зависит от хх, х2, . . . , хт;

£1, 52....5m, так что

Ф = Ф (®1, ®2. • • • » ®т? 61, 62, • • • , 6т)"

Соотношения между прежними и новыми переменными будут

gj-ltf ---------Ч, (<-1.2.........>»)•	(30)

2.	Если

Ф = ф (У1, Уг. .... Ут', *11» Пг. • • • , Пт),

ТО

=	^=—0 = 1.2, ...,т).

3.	Если же

Ф = Ф (®1, Х2, ... , Хт', ГЦ, Т]2.Т|т),

то эти соотношения имеют форму

.....”»•

4.	Если, наконец,

ф = Ф (У1, Уг. • • • . Ут', Bi, 5г, • • • . 5m),
то имеем

=	^ = Т)<	0 = 1. 2. • •/п).

Во многих случаях, когда характеристическая функция имеет
другую форму, чем предполагается в теореме II, можно исполь-
зовать методы, аналогичные приведенным. С таким случаем мы
познакомимся ниже, при рассмотрении проблемы Делоне.
§ 2. Механическая задача с одной степенью свободы

В случае, когда две действительные величины х и у опреде-
’тпют/'п дифференциальными уравнениями

-'х   дН	dy   дН	..,

dt	ду ’	dt	дх ’	' '

мы исследовали в § 2 гл. II изменение переменных х и у в пред-
положении, что Н является квадратичной функцией от у вида

H = ±y*-U(x).

Мы нашли, что х периодически колеблется между двумя неиз-
менными границами, и что между этими границами х не имеет
ни минимума, ни максимума. При определенных значениях по-
стоянных интегрирования могут встретиться предельные дви-
жения.

Теперь мы откажемся от этого специального предположения
относительно Н и предположим только, что Н внутри определен-
ной действительной области G является рациональной функ-
цией относительно х и у.

Уравнения (1) имеют интеграл

Н (х, у) = С.

(2)

Это соотношение, которое всегда должно выполняться, представ-
ляет собой уравнение орбиты, зависящее только от одного
параметра. Следует заметить, что не все значения х и у, принад-
лежащие кривой (2), действительно могут проходиться при дви-
жении. Вернее сказать, точка (х, у), вообще говоря, описывает
только часть кривой (2), и не обязательно, чтобы эта орбита
являлась изолированной ветвью кривой (2).

Если рассматривать уравнение

dx __ дН

lit ~ ду ’	W

где хну принимают только действительные

лагать, что движение начинается из точки
пример, положительно, то очевидно, что х
также должно возрастать до тех пор, пока
точка (а, Ь), в которой

дН
ду

= 0.

значения, и предпо-

/ ч дН
(х0, у0), где на-

при возрастающем t
не будет достигнута

Как же после этого будет изменяться величина х? Чтобы ис-
следовать этот вопрос, разложим функцию Н в ряд по степеням
$ 2] МЕХАНИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 537
х — а и х — Ь, что возможно, если, как здесь будет предпола-
гаться, точка (а, Ь) лежит в области G.

Так как точка (а, Ь) обязательно должна лежать на кривой (2),
то

Н — С = Аю (х — а) + А01 (у — Ь) + Л20 (х — а)2 +

+ Ли (х — а) (у —Ь)+ Л02 (у — Ь)2 + . . . (4)
и, следовательно,

= Л01 + Лц (х — а) + 24о2 (у — Ь) + • • •	(4*)

По предположению, это выражение должно обращаться
в нуль при х = а и у = Ь, поэтому Л01 = 0. При помощи урав-
нения

Н — С = Л10 (х — а) + Л20 (х — а)2 +

+ Лп(х-а) (у-Ь)+А02(у —Ь)2 4- ... = 0	(4**)

значение у —Ь можно выразить в окрестности точки (а, Ь) через
х —а. Если подставить это выражение в (4*), то (3) примет вид
после чего дифференциальные уравнения сводятся к квадрату-
рам. Оказывается, что в зависимости от того,будет ли Л10 отлич-
ным от нуля или нет, движения получаются совершенно разных
типов. Рассмотрим сначала случай А10	0. Пусть в правой части

(4**) Л08 (у — Ъ)в —член низшего порядка относительно у — Ъ,
который не содержит множителем х —а. Тогда

Лю (х — а) + Л08 (у — Ь)‘ + 2 А1} (х — а)1 (у — Ъ)1 = 0,
где в сумме все члены, для которых i = 0, имеют индекс /, боль-
ший s. Тогда в окрестности точки (а, Ь) получим разложение
х — а = (у — ЬУ [а0 + сц (у — Ь) + а2 (у — Ь)2 + . . .].	(5)

Здесь

ао = — Лов : Лю»	(6)

откуда следует, что а0 конечно и не равно нулю.

Обращая этот ряд, получим

у_Ь==рг(х_а)1/«_|_р2(а._а)^_|_рз(а._й)з/’+ ...,	(7)

где конечно и отлично от нуля.
Если это выражение для у —Ь подставить в (4*), то получим

= Мо, (у - ЬГ1 + 2/Аъ- [х - а)1 (у - Ь)^,

где в сумме при i = 0, j > з.

Если сюда подставить ряд (7), то уравнение (3) приобретает
вид

= — а)8 [т0 + у! (х — а)8 +т2(х — а)8 + •••]
или

—[1 + 61 (X - а)1/8 + 6, (х - а)2/8 +•.•]= То л,

(»-а)8

где у0 конечно и отлично от нуля.

Интеграл этого уравнения выразится следующим образом:

8 (х — a)v’ [1 + -у- (х — а)1/8 + -у- (х — а)** Ч-] = То (* — «о)»

где £0 — то значение t, при котором х = а. Наконец, обращая
этот ряд, получим

х — а = (t — <0)8 [е0 + 8r (t —10) + e2 (t — Z0)2 + ...],

(8)

где e0 конечно и не равно нулю.

Если s — четное число, то х возрастает до значения х
затем х начинает уменьшаться и уменьшается до тех пор,

= «»
пока

. ,	„ дН

вновь не достигнет точки (а , о ), в которой равно нулю.
Здесь снова нужно выполнить исследование, аналогичное тому,
которое делалось в точке (а, 6).

Если же s — нечетное число, то х проходит через точку а и
при t = t0 переходит к значениям, превышающим а. Величина х
возрастает далее до тех пор, пока не придет в новую точку (а", Ь”),
о дЛ g	g

в которой обращается в нуль; затем необходимо сделать ис-
следование, аналогичное тому, которое делалось в точке (а, Ъ).
Приведенные рассуждения неприменимы при бесконечно боль-
ших s. В этом случае Н — С имеет множителем х — а и орбита
имеет изолированную ветвь, а именно, прямую х = а.

Перейдем теперь ко второму случаю, в котором коэффициент
А10 обращается в нуль. Тогда при х — а, у — Ь, =0, так
что одновременно имеем

и г - дН -дН - п
Н~ С~ д^~ ду ~

(9)
Если два последних уравнения разрешить относительно х и у и
подставить в первое уравнение, то найдем, что такие точки могут
встретиться только при определенных значениях постоянной С.
Поэтому указанные значения С можно рассматривать как особые
точки данных дифференциальных уравнений. Отыскание этих
особых точек выполняется при помощи уравнений (9).

Какой вид имеет движение в окрестности этих точек? Пока-
жем, что при этих значениях постоянной С всегда будет иметь
место случай предельных движений. Во время движения никогда
нельзя перейти через точку (ж, у), определенную соотношения-
ми (9).

В окрестности точки (а, Ь) имеем разложения

Н-С = Ам(х -а)* + Ап (х -а) (у - Ъ) + Л02 (у -Ъ)2 +
4- Л30 (х — а)3 + Л2Х (ж — а)2 (у — Ъ) + ЛХ2 (х — а) (у — Ъ)2 +

+ Л03(у —Ь)3 + . . .	(Ю)

^ = ^ = Ли(3;-а) + 2Ло2(У-Ь) + Л21(х-а)2 +

+ 2ЛХ2 (ж — а) (у — Ь) -]- ЗЛ03 (у — Ь)2 4- • • • (11)

Необходимо представить правые части этих выражений в виде
функций от ж — а. С этой целью сначала предположим, что реше-
ние (10) имеет форму

у — b = ах (ж — а) 4- а2 (ж — а)2 4- а3 (ж — а)3 4- • • •	(И*)

Тогда из (10) получим следующие формулы для вычисления коэф-
фициентов а1( а2, а3:

Л20 +	+ Л02а? = 0,

(Лхх 4- 2Л02ах)а2 — —Л33 — Л2Хсх —ЛХ2<хх —Л33<хх
и, вообще,

(Ли 4- 2Л02ах)а2 = Фг (г = 2, 3, 4, ...),

где Фг — известные функции от ах, а2, . . . , ar-i-

Чтобы первое из этих уравнений давало для ах действитель-
ное значение, необходимо, чтобы выполнялось неравенство
Лп —4Л20Л02 > 0. Чтобы для ах получились конечные значе-
ния, кроме того, необходимо, чтобы коэффициенты Л02 и Лхх
не обращались одновременно в нуль. Оба эти уравнения выпол-
няются, если предполагать, что

Лхх —4Л20Л02	0.	(12)

Для получения конечных значений для а2, а3, а4, . . . необходимо,
чтобы Лц + 2Я02<11 было отлично от нуля. Но

Лц -|- 2Лога1 — Ч~ V Лц — 4Л20л7г

и, значит, для того чтобы получались действительные и конечные
значения коэффициентов в ряде (И*), достаточно выполнения
неравенства (12).

Если теперь ряд (И*) подставить в (И), то получим

^ = ^ = Л1(х-а) + Л2(х-а)2 + Л3(х-а)2+ •••,

где Аг = Лц + 2Л02ах =	— 4Л20Л02 и, следовательно, от-

лично от нуля. Отсюда находим

7^3-[В1 + В2(х-а) + В3(х-а)а+ ..•] =dt

и после интегрирования будем иметь уравнение

Bi In (х — а) 4- В2 (х — а) В3 (х — а)2 + • • • = t —10,

которое показывает, что х не может в конечное время t достиг-
нуть значения а. Следовательно, здесь имеет место предельное
движение.

Рассмотрим, во-первых, случай

Лн — 4Л20Л02 = 0.	(13)

Имеем

Л20 (х — а)2 + Лц (х — а) (у — Ь) + Л02 (у — Ь)2 =

= [/Л?(х-а)+ /Л^(у-Ь)]2.

Введем в этом случае вместо х — а новую переменную

5 = (х — а) + /Л^(у — Ь).

Тогда получим при Л20=/=0

Н - С = ? + Взо£3 + В21$8 (У - Ь) + ВХД (у - Ь)2 +

+ В0з (у - Ь)3 + . . . = 0.

если только Л20 и Л02 оба не равны нулю, ибо в этом случае такая
подстановка непригодна.

Предположим, что (х — а)р — низшая степень х — а, вхо-
дящая в Я, и равным образом (у — b)Q — низшая степень у — Ь
в этом разложении. Рассмотрим многочлены некоторого класса

К = Л (х — а)р + 2Л/ (х — a)pf (у — Ь)’/ + В (у — Ь)’,
где должны выполняться неравенства

(14)

Следует заметить, что как А, так и В могут быть равны нулю.
Если положить

у —Ь = (х — а)*,	(14*)

то, так как все члены в К принадлежат к одному и тому же классу
р, должно быть

Р = Pi + 911* = Pi + W = • • • = 91*	(15)

в предположении, что ни А, ни В не обращаются в нуль. Если бы
выражение А (х — а)р не принадлежало к этому классу, то пер-
вый член в (15) обращался бы в нуль; если бы не содержалось
В (у — b)q, то в нуль обращался бы последний член.

Так как

Pi + 911* = Рг + 921*.
то

р = л^,

9г — 91

так что р всегда положительно.
Произвольный член в К

дН
в член

At (х — a)pt (У — ЪУЧ

qtAt (х-а)Ч(у-Ьуг\

или, после подстановки (14*) получим

qtAt(x

дН

Итак, показатель произвольного члена в всегда больше
единицы. Может быть лишь единственное исключение, когда
рассматриваемый класс содержит только члены

А (х —а)р + В (у — b)q.

Порядок последнего члена равен pg, и, следовательно, порядок
соответствующего члена в равен (q — 1) р. Но в этом случае
р = и, таким образом,

(9 —1)р = р(1-L),
Вспомним, что здесь следует учитывать только такие
и q, которые больше или равны 2. Следовательно,

4—*

члены р

и

гг	ЭЯ

Порядок произвольного члена в больше или равен ।
Значит, можно положить

^- = ai(x — а)*' + а2 (х — а)*г + а3 (х — а)’1’ + • • •,

единице

где

Х3

и Хх > 1. В окрестности значения х = а дифференциальное урав-
нение для х можно записать в форме

dt = -^-5- [&о + bi (х - а)14 + М* - «Г + • • • Ь
(х — а)Л1

где jii ц2 < . • • и gi — положительно.

Интеграл примет вид

‘+“nst=[А;+йг+т=т. <*- +

+ >wbx;^-»)’-+- Ов)

Если бы = 1, то интеграл принял бы форму

t -|- const = Ьо In (х — а) 4- (х — а)14 (х — df* + • • • (16*)
р-2

В обоих случаях обнаруживаем, что х не может принять значе-
ние а в конечный момент времени t. Значит, имеет место случай
предельного движения.

В этом случае мы можем, mutatis mutandis, провести такие же
рассмотрения для дифференциального уравнения для у, так что
одновременно должны иметь место либрационные движения
как по х, так и по у.

Если функция Н вместе со своими производными суть одно-
значные функции х и у, то орбита не может самопересекаться,
если предполагать, что С не принимает особого значения. В самом
dx dv	о	/	\

деле, 37 и полностью определены в каждой точке (а:0, у0).
az az
Если, описав замкнутую кривую, возвращаемся к той же точке
(ж0, г/0), то снова возвратимся к старой кривой, и движение будет
периодическим. Если бы орбита обладала двойной точкой, то для
нее мы имели бы

дН дН_ п
дх = ду

и тогда постоянная С согласно (9) имела бы особое значение,
что противоречит нашему предположению.

Следует заметить, что здесь предполагается, что канониче-
ские координаты х и у представляют собой декартовы координаты
точки. При использовании других систем координат может, ко-
нечно, случиться, что возникнут двойные точки орбиты или иные
особенности.

Приведенные рассуждения о движении с одной степенью сво-
боды можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема. Если х и у обозначают действительные переменные,
которые определяются дифференциальными уравнениями

dx   дН dy   дН
dt	ду ’ ~dt	"дх ’

допускающими интеграл

Я (®, у) = С,

(17)

(17*)

и если Н является однозначной функцией х,у, которая может быть
разложена в ряд в окрестности каждой точки (а, Ь) по положитель-
ным степеням х — а и у — Ь, то характер орбиты, описываемой
точкой (х, у), зависит от значений постоянной С; такие значе-
ния С, которые получаются из (17*), если х та у определить из
уравнений

дН _ дН_ п
дх ду

(18)

следует рассматривать как особые значения С; если С имеет осо-
бое значение, то с возрастанием времени t точка (х, у) асимпто-
тически приближается к граничной точке (а, 0), не достигая ее
за конечный промежуток времени; если С не принимает особого
значения, то либо орбита является замкнутой кривой, которую
точка описывает за конечный промежуток времени, либо вели-
чины х та у (одна или обе) с ростом t неограниченно возрастают
или убывают.
§ 3. Разложение возмущающей функции
в ограниченной круговой задаче трех тел

В § 13 гл. VIII мы получили дифференциальные уравнения
пространственной круговой ограниченной задачи трех тел в сле-
дующей форме:

dt	’

_ 0F_

dt	дх\

(i = 1, 2, 3),

(1)

где

F = Д-, + АГ®'.+	— ^((ДсозМ + g2sinM)

и N обозначает среднее движение возмущающей планеты («Юпи-
тера»). Остальные обозначения читатель может найти в соответ-
ствующих параграфах.

Возмущающая функция F, как было доказано в упомянутом
месте, может быть разложена в ряд Фурье по косинусам дуг,
кратных yi, у3 и у3. Коэффициенты в этом ряде суть функции
хц х'г и х3. Для получения коэффициентов в этом ряде мы вос-
пользуемся разложением Леверье [44]. В обозначениях Леверье

имеем

У1 = X —и,
J/г = со — Q,
Уз = Q — Г.

(2)

Мы учтем только члены до четвертой степени относительно экс-
центриситета и до второй степени относительно наклонности.

Аргументы, которые встречаются здесь, выражаются через
угловые переменные уь уг и у3 следующим образом:

i (X — Г) = i (yi + уз + уз),

(i — 1)Х + © - il’ = i (yi + уз + Уз) — Уь

(i — 2)Х	+	2<о	—	il’	~	i (yi	+	уз	+	Уз)	— 2yi,,

(i — 2)Х	+	2т'	—	il'	=	i (yi	+	уз	+	Уз)	— 2 (yi + у2),

(i — 3)Х	+	Зсо	—	il'	=	i (yi	+	Уз	+	Уз)	— 3yi,

(i — 4)Х	+	4(о	—	il'	—	i (yi	+	Уз	+	Уз)	— 4у1.

Мы введем несколько другие обозначения для коэффициен-
тов Лапласа, чем в § 5 гл. VI, чтобы обеспечить совпадение с
обозначениями Леверье. А именно, положим

Ai = А«>Д	(3)

Bi = BWJ

где At и Bi определяются при помощи рядов (1) указанного па-
раграфа. Так как а' = 1, то имеем

--------------п- = -4- V А^ cos I®,
[1 -г<х® — 2а cos ф]2

—ОО
.	4-00

Ct	_ 1 чг-t r>(i)	•

--------------jf = -л- >, В' cos г®.
[1 +а2— 2а cos ф] ’	2

Следуя Леверье, положим

4>=^.	О-)

Если записать

F = Fo + Л + F2,
где

Fo=-Ц-Н-Мгз ,	= F2 = - jx (ft cosNt + ft sin Nt),

'“i

то получим Fit если в разложении для 7?(0,1) —положим
e' = 0, a' = 1.

Поэтому находим

-£-Fs= (— a + 4-<xe8 + arl®+-^e4)cos(!/; + y; + y;) +

+ -|-ae cos (y'x + y't + y3 — y'J +

+ (---г ae + "Tae3)cos + У* + уз + ~

- (-r0*2+i ®4)cos+ у'з + y'3-Ч) +

+ (—Г	+ “Г ae4)cos ^'1 + Уз + Уз + 2У1) -

— an2 COS [у; + у3 + у'3 — 2(у[+ у'г)] —

~ -^-ae’cos (у; + у3 + у3 — Зу^) —

— -у- aes cos (у; + у’г + у3 + Зу;) —

~ ъвae4 cos + У3 + У3 —	—

_ жае4 cos (yi + Уз + Уз+4^i)•	(4)

35 к. Шарлье
546	° форме интеграла в задаче трех тел [гл. х

Здесь положено

т)2 = sin2 4,

где J обозначает наклонность орбиты астероида к плоскости
орбиты Юпитера.

из разложений Леверье получим в следующей форме:

= 3 {4 л<1)+ (-2/2Л(1)++Л2<)) (4)2+

(_ 9i2 + 16i4) А™ — itA^ - 2г2Л^ + ЬА$ +	] -

- 4 (В<Ь1) +	Т)2)} cos i (у; + у; + у;) +

+ 2 {<-2M<i) - 4°) 4+[<* -5/2+4/8>л<0+

+ 4 (3 - 7г + 4г2) Д° + (- 2 - 2г) Д« - 3 Д‘> (4)’] X

х cos [i (у; + у; + у;)—у;.]}+

+ 2 {[4 (-5/+4/2)л<1) + (-1+2/) 4° + 4’(4)2]+

4- (4(Нг - 32г2 + 30г8 - 8г4) A(i) + -L (8-23г + 24г2 - 8г8) Д{) +
+ (— 4 + Зг) 41° + 4г’+ 4Л1{,(-|-)4] cos [г (у' + у'2 + у^) — 2yJ+

+ 2 4 В(<-1> 112 cos [i + »з) - 2 (V1+	+

+ 2 [4 <— 13l‘+15р ~4l’8)л<{)+4 3 +9i ~4°+

+ (2 — 2г) — 4У](4) cos (u’i + "Ь ^з) — 3^] Н-

+ 2 [4 (—206г'+283/2 -120/8+16/4)+

+ 4 (-16 + 59/ - 42/2 + 8/8) 4° + 4 (8 -!3i + 4г2) Д0 +

+ (— 3 + 2г) 4(3{) + Д°] cos [г (у[ + у\ + у'3) — 4ух ].	(5)
Мы не будем использовать разложение возмущающей функции
в этой форме, а сначала выполним преобразование координат.
Желательно вместо х2 и ха ввести другие координаты, так чтобы
возмущающую функцию можно было разложить по степеням
этих координат. В § 1 гл. VI мы видели, как это достигается
в неограниченной задаче трех тел.

Здесь достаточно положить

== $1> f f =	*^2з ,	%3 == *^2	*^3,	1	/£*\

У1 = У1 + У» + Уз5 У г = — Уз — Уз, Уз = — Уз, J U

так что новые переменные будут выражаться через эллиптиче-
ские элементы следующим образом:

®i= /а,

ха = ]/ а (1 — е2) (1 — cos J),

y1==Z + « — Nt,
уа = —л + Nt,
Уз — — Q	Nt.

(6*)

Тогда возмущающую функцию можно выразить в виде ряда по
положительным степеням ха и Уха. Согласно приведенным зави-
симостям имеем соотношения

сз — 2ж»	*1

Va “ ’

(7)

2 У«(1 —е») ’

которые необходимо подставить в разложение возмущающей
функции.

Полагая

„2 = Да =
2 /а 2я>1

и обрывая на четвертой степени е, будем иметь

(7*)

Если ограничиться случаем движения в плоскости (плоскости
орбиты Юпитера), то разложение возмущающей функции можно
записать в следующей форме:

4-00	4-00

F = и 2 ^°cos iyt + Н 2	’cos 1^1 - (У* + ^2)1 +

—ОО	—оо

4-00

+ |* 2 р2>с08 [Ф1 — 2 (У1 + 2/2)1 + • ’ •

—00

или,' короче,
4~оо оо

р = н 2 2 р*°cos [lJ/i—$(у*-+1»	(8)

i=—оо 3=0

где коэффициенты зависят от х% и х1(=‘/а) следующим об-
разом.

Для s = О имеем:

р(<> = 1 А »> + (- 2г2Д{> + Д> + Д>) е2 +
Л

+ [4"<7*8 + 16l’4) л(°-(1'2 + 4) ^11)-(2’а+ 1)4° + ЗД° + ЗД4)]в4,

за исключением:

для г = О

н40) = V7 + W (*!- *а) + 44 Л(о) + (До) + Д°>) 82 +

2xj	L *

+ (- До) - а^ + зД0) + з до)) в4],
для i = l и i = —1

Р<-« = р»> = 4 Л(1) - 4 а + (а - 2Л(1) + Д> + Д«) в» +

4- (- 4 а + Т-Л<1) “ 241’ — 3А+ 3Д> + 3АIй) в4.

Для s=l имеем:

Р<« = (— 2г — Д°) в +[(2г — 5г2 + 4г») Л<{) +

4- 4 (4 - 7г + 4г'2) Д4) + (- 2 - 2г) АV’ - 3А<4)] в»,

за исключением:

для г = + 1

р(« = (За _ 2Л(1) — Дц) в +

4- (- 4 а + 4» + 4- Д" -	- 3 Д1’) 8»,
для i = — 1

Pl'1’ = (— а + 2Л(1) — Л?)) 8 + (-J- а — 11 Л(1> + у-	— ЗЛ<31)) в8.

Для s = 2 имеем:

= [А (—5/ + 4г2) Ат + (-1 + 2г) Л^ + в2 +

_|_ [_*-	i _ 38/2 + зо/з _ 8гч) Л(«) +

+ 4- (И — 29/ + 24г2 — 8/8) Л?’ +

+ (— 5 + Зг) Л?> + 4г Л3’ + 4Л^] в1,
за исключением:

для / = + 1

рР = (- ± - 4 лт + л“> + Л?>) 8> +

+ (- 4 +т^“-4^11-2Д*, + 4Д‘, + 4Л“,)в‘,
\ О О	0

для / = — 1

pH) = (_	+ _9_ Л(1)_ ЗЛ(1) + Л(1)) в8 +

+	Л<1) + 24— 8Л81} — 4Л3 ’ + 4Л< >) в4.

} М	А

Для s = 3 имеем:

Р<‘> = [-L (— 13г + 15/2—4г8) Л(,) +

4- 4* (-3 + 9i-4г2) Л?’ + (2-2г) Л^>- Л^в8,
за исключением:

для г = + 1

Р«> _ (_ 4 «_ А Л« + л® - л»)

для г = — 1

Р|Г1, = (- -г«+'Т Л(1)-8Л<1> +4Л<1’- Л^в8.
Для s = 4 имеем:

р? = [-JL (_ 206г + 283г2 — 120г3 + 16г’*)	+

4-	16 + 59г — 42г2 + 8г3)	+

+ 4 (8 ~ 13г* + 4г2)	+ (- 3 + 2г) А «> + А <{>] в‘,

за исключением:

для i = + 1

p(i) Г $а	® л (1) । 3

^-[“"8	8"Л +~2J

для г = — 1

р(-1) _Г 125	. 625 .(1)	125

** “L-“2Г “1”2ГД---------6“



-54l) + ^l,]e‘.

Коэффициенты А^ зависят только от а, т. е. от х, (= Vа).
Имеем

дА® п дА®
= 2xi-£-.

dxi 1 да

Но согласно определению (3*)

а—--------sA^ + (® + 1) -^в+х,

так что

x^~dk = 2sA? + 2(s + 1) А

(9)

Если рассматривать возмущения до четвертых степеней, то
величины Л»<} необходимо вычислять при s = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Величина е зависит от xt и xt. Ее частные производные запи-
шутся в виде
дъ __	1	_ 1

дхг 2/2^	4»i8 ’

de	e

dxi	2xi ’

(10)

Производная от 8 no xt содержит г в знаменателе. Это при
определенных обстоятельствах может вызвать трудности, если
в проблеме Делоне учитывать члены первой степени. Эти труд-
ности можно избежать, если ввести новые координаты подобно
тому, как это было в § 1 гл. VI.
Относительно коэффициентов следует заметить, что
л<-‘> = Л<*>.

Мы не входим в методы вычисления этих величин. В своих
исследованиях Леверье дал для этого обстоятельные правила,
которые в некоторых отношениях могут быть упрощены. Жела-
тельно, в частности, ввести более совершенные методы контроля
вычислений.

§ 4. Проблема Делоне

В своей знаменитой «Theorie du mouvement de la lune» [26]
Делоне ввел новый замечательный метод построения интеграла
в задаче трех тел. Его сущность состоит во введении вместо кеп-
леровского эллипса новой промежуточной орбиты. При помощи
вариации элементов этой промежуточной орбиты, или, правиль-
нее, ряда таких орбит, Делоне добивается чисто тригонометри-
ческой формы для координат в задаче о движении Луны. В сле-
дующих параграфах мы возвратимся к этому вопросу, а здесь
сначала мы займемся чисто математическим рассмотрением про-
блемы.

Пусть действительные величины xlt х2, уг, у2 определяются
при помощи дифференциальных уравнений

dxi _ dF	dyi _____ dF

dt dyi ’ dt =	’

da;a	Й-F	dy2 _____ dF

dt	dyt	’	dt j=	dx2	*

где F имеет вид

F = Ф + 2 Ai cos	(!♦)

В этом выражении Ф, Alt А2, . . . суть данные функции от хи х2,
которые в каждой точке внутри определенной области могут быть
разложены по положительным степеням — а и х2 — Ь. Задачу
об отыскании xlt х2, ylt у2 как функций t мы назовем пробле-
мой Делоне.

Так как F не зависит от у2, то находим, что = 0, так что
х2 = const.	(2)

Задача фактически сводится к рассмотрению уравнений
dxt dF dyi _ dF
dt “ dyi ’ dt e dxi ‘	'
Эту задачу мы можем решить методом, изложенным в предыдущем
параграфе. Необходимо только учесть, что F содержит параметр
х2, так что вместо особых точек, которые мы должны рассмо-
треть, фактически получим особые кривые.

Наша первая задача — найти особую кривую. Ее можно по-
лучить при помощи теоремы предыдущего параграфа, если xt
и yt исключить при помощи уравнений

dF _ dF _0
дх2 — dyi

(3)

подставив их выражения в уравнение

С = Ф + ЗЛСО81![1.	(3*)

Не зная конкретной формы функций Ф, Ах, 42, А3, . . . ,
можно провести некоторое общее рассмотрение результата ис-
ключения. Второе уравнение (3) принимает вид

At sin ух + 2 А2 sin 2ух + 34, sin Зух 4- . . . = 0;	(4)

находим, что это уравнение имеет корни ух = 0 и уг = л. Если
существуют еще другие значения корней для ylt то они должны
удовлетворять уравнению, которое получим, если (4) разделим
на sin ух-

Легко получаются следующие зависимости:

8^_2.7 = 2 [cosу -|-cosЗг/+ cos5у-[- ... 4- cos (2г — 1) у],
Ы11 у

,В1П slny1)У = 1 + 2cos 2г/ + 2cos4у + ... + 2cos(2г — 2) у,

и, следовательно, имеем

2'gin у * =	+ З43 + 54, -[- 7Л7 + ... +

4- 2 (242 4“ 4Л 4- 64, 4-...) cos ух 4-

4- 2 (З43 4- 54, 4- 7Л7 4- • • •) cos 2 У1 4-

4- 2 (444 4- 64, 4- . • .) cos Зух 4-... (5)

По этим формулам часто можно легко судить, могут ли существо-
вать другие корни, отличные от 0 и л. Во многих случаях ряды
коэффициентов А сходятся столь быстро, что первый член в (5)
превышает сумму остальных и в этом случае, очевидно, никаких
других корней существовать не может. Но если сходимость ряда
(3*) слабая, то, вообще говоря, могут встретиться и другие особые
значения для ух, отличные от 0 п л.

Рассмотрим более детально корни ух = 0 и ух = л. Со-
ответствующие значения для хх и С получатся из следующих
уравнений:

У1 = 0.

С = Ф + Ai + А2 4" Аз . •.,

ЭФ . dAi . дА2 . дА3 _ «
dxj ”т" dxi dxi "Т"" dxi “г • ' '	’

У1 = л,

С = Ф — .41 А2 — 43 4- • • •»

ЭФ   dAi . дАз   дАз .	_ q

дхз	dxi • dxi	dxi "г ' ' '

(6)

(6*)

Если из обоих уравнений (6) исключить хх, то получим соотно-
шение Z>i (х2, С) = 0 между х2 и С. Это уравнение дает особую
кривую, соответствующую уг = 0. Из (6*) получаем аналогич-
ным образом уравнение Z)2 (х, С) = 0. Результат исключения
из функции и ее производной называется дискриминантом функ-
ции. Функции и Di суть дискриминанты характеристической
функции F при У1 = 0 и yi = л. Они могут быть получены ме-
тодами алгебры.

Рассмотрим, например, случай

Ф = а0 4- fl2xj,

Ai = biXi,

где а0, а2 и bi суть функции от х2, и предположим, что А2 = А3 =
= . . . = 0; тогда уравнения для особых кривых запишутся
в виде

(®г» С) — bi — i (ао —С)я2 = 0, \
Di (х2, С) = Ь? - 4 (во-С) я2 = 0, J

так что в этом случае Dt и D2 совпадают.
Если

Ф = Яо 4" 01X1 4- о2х®,

Ai = Ь1Хц

то будем иметь

Di (х2, С) — (Я1 4- bi)2 — 4 (я0 — С) я2 — О Л

Р2 (х2, С) = (fli — bi)2 — 4 (я0 — С) я2 = О J

(7*)

Обоим этим предположениям относительно F соответствуют два
важных случаях задачи трех тел.

Для возможных приложений запишем еще дискриминант в
предположении, что F является многочленом четвертой степени
относительно xlt т. е.

F = а0 + ад + a2xf + аяа® + а4х*.

Тогда будем иметь

D = 4 (12а0а4 — Зал + а«)8 —

— (72а0а2а4 + 9а1а2а3 — 27aja4 — 27аоа^ — 2а®)2.

Если Сиг, лежат на особой кривой, то согласно предыдущему
параграфу всегда будет иметь место предельное движение. Вообще
кривые D4 = О, D2 = 0 ограничивают различные области пере-
менных С и х2, внутри которых возникают характеризуемые
особенности движения. Так, например, в одной области величина
у, периодически колеблется между двумя конечными границами,
в другой она неограниченно возрастает вместе с t. Особые кри-
вые играют роль кривых разрыва непрерывности, а именно,
при переходе через такие кривые аналитические выражения для
координат переходят в другие формулы скачком.

Представление координат в проблеме Делоне как функций
времени оказывается вообще достаточно простым при использова-
нии дифференциального уравнения в частных производных Га-
мильтона — Якоби. В качестве обобщенных координат в зависи-
мости от обстоятельств можно использовать либо уг и у2, либо
хх и х2. В предыдущем случае необходимо рассмотреть дифферен-
циальное уравнение

St \dyx ’ dy4 j	' '

Так как F не содержит t и у2, то полный интеграл этого уравнения
можно искать в следующей форме:

V = Ct + ад, + W (yx),	(8*)

где W (yi) следует определять из уравнения

'(^•а’) = С-	<8’*)

Если найден интеграл этого уравнения

W = W (ylt а„ <ц),
в котором а, — постоянная интегрирования, то координаты полу-
чатся из уравнений

Q SC . . dW	dW i

Р1 «a, * + dai ’	X1 dyi ’	,g.

a SC ... dW	'
dW

Из (1*) и (8*) очевидно, что есть периодическая функция отрх

(если исключить особые значения постоянной С) и что W имеет
форму

W = В0У1 + 2Bi sin у! 4- 2В2 sin 2ух + 2В3 sin 3yt + . . .

Здесь Во обозначает определенную функцию от а2 и С. Но так
как выбор постоянной интегрирования ах произволен, то урав-
нения (9), если выбрать ах равной Во, примут следующую простую
форму:

-g-« + h-H+23^«to(l'b

~-S’‘ + ь =’! + 2 3-Я7sin'

= ai + 2 Si Bi cos i уь 1

®2 = a2*	J

(10)

Легко найти аналитическое выражение для коэффициентов Bi.
В самом деле, имеем

п
1 (*

iBi = — \ Xi cos i ух dylt	(11)

о

где Хх следует подставить из уравнения

F (*х, а2) = С.

При i = 0 имеем соотношение

Я

B0 = ai = -^-^a:idyi,
о

которое связывает alt a2 и С друг с другом. Это полностью
решает проблему Делоне по крайней мере для неособых зна-
чений С.

Если бы в качестве обобщенных координат использовались
Хх и х2, чтб в этой проблеме, вообще говоря, более предпочти-
тельно, то решение образуется следующим образом. Дифферен-
циальное уравнение Гамильтона —Якоби примет вид

т +	<12)

и, таким образом, можно положить

V = C't + а'ф (х2) + W',
где <р обозначает произвольную функцию от хг, а W определяется
из уравнения

= <*2’)

Если принять <р (ж2) = х2, то

V = Ct + а>2 + W.	(12**

Уравнение (12*) в силу (1*) имеет форму

Ф (arlt а:2) + A cos i = — С.	(13)

ЭИ7'

Разрешая это уравнение относительно , будем иметь

-S^- = K(X1, х2, aj,	(14)

где а' обозначает пока неопределенную функцию от С и х2.

Теперь интегралы уравнений (1) определятся из соотношений:

т; =

т;

ЗУ' _ ЙГ f  dw

да* da* da*

dV'

—Г = Ж2’

da2

(14*)

dW'

дС. . ' . dW
Уг~ ~д^ + а*+1^-

Форму решения не так легко усмотреть, как в предыдущем слу-
чае. Впрочем, приведенные выше уравнения можно упростить.
Сначала покажем, как можно выбрать величину а2 таким образом,
чтобы средние движения обеих угловых величин и у2 соответ-
ственно равнялись

dC	дС

da*	дх2 ’

Из интеграла

Ф + S At cos iy* = —С'
очевидно, что х* остается неизменным, если у* увеличивается
на 2л. Следовательно, среднее движение у* равно отношению
2л к периоду х2. Последний можно определить из уравнения
_ d&_t , dw

da't	да*
Если г2 представляет минимальное значение хи а гх — макси-
мальное, то из (14) имеем

1Г= ^Kdxu
Г,
так как мы имеем право произвольно выбрать один из пределов
интегрирования. Следовательно, будем иметь

da,	J да,

1	г, J

если постоянную интегрирования «п выбрать так, чтобы при
«1 = г2 было бы

Обозначая через 2Т период xlt очевидно, будем иметь

da,	J да,

1	г« 1

(15)

Правую часть этого уравнения можно представить как частную
производную определенной функции от а' и xt. Если временно
положить

1 ?

<2 (<*;» =-srJ Kdx^

Гг

ТО

При сделанных предположениях последний член в этом выра-
жении обращается в нуль, так как Кг, = 0. С другой стороны,
КГ1 = п, следовательно, имеем

da, п J да, да,
1	г, 1	1

и, равным образом,

д(? _ 1 ? дК_ , дг,
дг2 я J дх^ X1 "1” дхг

Гг
558

о форме интеграла в задаче трех тел [гл. х

Если положить

то

Qi =±-r^Kdti-ru
Г»

(16)

а<21 ..		г,	
	1		эк .
S	л	г»	
aOi =	1	Г»	эк , 	dxi
дхг	л	г,	Sx2 aX1'

(16*)

Таким образом, мы можем уравнение (15) записать в форме

даг dat

(17)

Если среднее движение величины уг обозначить через nlt то

и, значит,	«1 = -у-,  в силу (17)  (‘П

Теперь найдем выражение для среднего движения па величины у2.

—	м 9W'	„

С этой целью мы сначала найдем в член, пропорциональным t.
Имеем

dW	дК	л	С	дк	dxx	,

дхг	J	даъ	j	дх^	dt	’

Г,	f.

где t0 обозначает момент t, для которого xt = г2-

Теперь является периодической функцией относительно
nJ + сх, причем через сх обозначается определенная постоянная,
так что для коэффициентов при t правой части указанного урав-
нения получим по теореме Фурье значение

_1? дК_ dx±_
n J дхя dt
о

Таким образом,



ас , dQt

(18)
Формулы (17*) и (18) справедливы всегда. В частности, эти
величины получают простые значения, когда а'х совпадает с Qt.
Тогда имеем

gl = 0

UX2

SQi
да* ’

и, следовательно,

«1 =

дС
да,

дС
~д^'

(19)

Если бы, наоборот, а'
1
«1

совпадало с С", то получили бы

__ __ dQi . п» _ dQi

дС ’	dxt '

Если допустить, что а' совпадает с то в таком случае по-
лучаются уравнения (19), и мы можем доказать, что а' = — av

В самом

деле, имеем

,	1 г

а,! = — \ KdXi —

^i = ^x1dyi.

О

Интегрируя

по частям, получим

о

г.

j- \yidXi,

и так как

(«О» = rx; (pi)« = л; (y^o - 0
и, кроме того, по (14*)

dW v

то получаем

а; = — ах.	(20)

Так как в силу (8**) и (12*) существует еще соотношение

С = -С,

то имеем

П1 =

дС _ дС

dai ’	”2 да^ ’

что совпадает с формулами (10).
Вычисление аналитических выражений для координат в про-
блеме Делоне становится очевидным в чисто математическом от-
ношении. Если принять в качестве обобщенных координат уг
и у2, то вычисления будут много проще, чем в том случае, когда
используются переменные xt и х2. Последний выбор, как уже
было сказано, следует предпочесть с практической точки зрения.
Причиной этого является то, что в выражении (1*) для F нужно
брать, вообще говоря, только несколько членов ряда и чаще даже
один член может давать хорошее приближение. Отсюда следует,
9W'

что решение уравнения (8**) относительно оказывается в об-
1 9W'

щем случае намного сложнее, чем определение из уравнения
(12*). В то время как в последнем случае часто бывает достаточ-
ным разрешить уравнение первой или второй степени, в (8**) для
получения той же точности необходимо рассматривать уравнение
по меньшей мере четвертой степени.

Дальнейший ход решения выполняется следующим образом:
выберем а' = Q2 и из уравнения

+ =
1

получим известным образом xt как периодическую функцию от

Второе из уравнений (14*) дает
хг = у'а — const.

Третье и четвертое уравнения при применении (14) дают уг и у2
как интегралы от известных функций хъ которые могут быть
разложены в ряды Фурье по кратным аргумента (21). Следова-
тельно, и у2 получим как функции времени.

В следующем параграфе мы будем иметь возможность рас-
смотреть это более подробно.

§ 5.	О соизмеримостях низших порядков

Если средние движенпя двух планет п и п’ почти соизмеримы,
так что приближенно

п : п’ = q : р,

где р и q обозначают взаимно простые целые числа, то, как мы
видели в § 4 гл. VI, возмущения координат планет будут большими
и их изучение связано со значительными трудностями. Абсо-
лютная величина разности q — р называется степенью соиз-
меримости. Если из возмущающей функции исключить член,
который в возмущениях первого порядка имеет аргументом

(рп — qn')t + const,

то приближенное изучение движения можно выполнять при по-
мощи метода Делоне. Соответствующие исследования составят
предмет этого и следующего параграфов.

Начнем с соизмеримостей низших порядков. Для большинства
малых планет можно получить весьма хорошее знание орбиты
на основе проблемы Делоне. Такое исследование имеет также
большой теоретический интерес, так как оно дает представление
о больших трудностях, которые необходимо преодолеть, чтобы
получить общее решение задачи трех тел. Рассмотрение соизме-
римостей высших порядков представляет немаловажный интерес
для этого вопроса.

Чтобы уяснить сущность вопроса, мы ограничимся астероид-
ной плоской задачей трех тел и из выражения для возмущающей
функции [уравнение (8) § 3] выберем следующие члены:

1.	Содержащиеся в Ро члены нулевого порядка относительно
масс, выраженные через координаты xlt х2, ylf у2 предыдущего
параграфа:

F0 = ^j + ^(x1-x2).	(1)

2.	Вековые члены, которые обозначим через [F]. В соответ-
ствии с выражением для РоО) третьего параграфа имеем для них
[F] = |* [| А(о) + (А1°> + 40)) в2 4- (— 4°> — 40) + ЗД0)+ 3До)) 841.

(2)

3.	Те члены в F, которые содержат аргумент g и его кратные,
где g является линейной функцией от yv и у2 с целочисленными
коэффициентами. Запишем эти члены в форме

2 Gi cos ig,
где

g = «1У1 — s2y2

и Glt G2, G3, . . . суть известные функции от xt и х2. Величины
и s2 обозначают произвольные целые числа.

Полагая

R = Fo + [F] + S Gi cos ig,	(3)

36 К. Шарлье
мы приходим к рассмотрению

уравнений

dx\	dR	<iyi _	OR
.				
<11		dt	dxi
<lx-i	dR	<ly-2 _	dR
'll	- _ _		
dl		dt	dx>

(3*)

Эти уравнения имеют ту форму, которую мы предполагали в § 4
для проблемы Делоне, или по крайней мере могут быть приве-
дены к этой форме при помощи линейного преобразования коор-
динат. Здесь можно непосредственно применить выполненные
в указанном параграфе исследования.

Вместо выражения «соизмеримость степени | q — р |» говорят
также «соизмеримость типа р : у». Следует отметить, что соответ-
ствующий периодический член в F всегда имеет относительно
эксцентриситетов и наклонностей степень |у —р|. Для опреде-
ленности предположим теперь, что речь идет о соизмеримости
типа 1/3. Соответствующий главный периодический член в (3)
будет тогда иметь второй порядок относительно эксцентриси-
тета. Для « = 2 и i = 3 из формулы (8) § 3 получаем

ИР<8) = Gi = р 174 А(3) + 5Л<3) + A в’ +

+ (4 А(3) - 4 Д3) + 4Л<3) + 12Л® + 4Л<3>) в4] . (4)

Далее, для s — 4 и i — 6 получим

= С2 = р (157 Л(в) + ф ^i6) + 37 Л2в) + 9Лзв) + Л'в)) е4. (4*)

Для аргумента g получим значение

g = Зух — 2 (ух + у2) = Ух — 2у2	(5)

или по формулам (6*) § 3

g = I —3Nt + Зп.

Вместо #1, х2, уъ уг введем теперь новые координаты Ах, А2, Хь Х2
прп помощи линейного преобразования

Xi -----2~Ух + У> —---2 'g'	= У1’

j

ii --------Ах 4- Л2, х3 = Ах.

В соответствии с § 1 эти координаты также являются каноннче-
скпмн. Имеем, таким образом,

Ai = х»,	М =---------— ух + у2,

Аа - Л4“ а"2’	•'/"

пли, выражая через оскулирующие элементы,

At = У а (1 — /Г^ё2), Xt = 4-(3A'i — / — Зя),

Л2 = У а ---------У1 — e2 j , Х2 — I + п — Nt,

и тогда

<1Лх	dR	<1Кх__dR_

dl ~ dXi	’	dt ~~ d\x	’

rfA2	ая	rf?.2__ЙЯ

dt	d\«	'	dl	дЛ2	’ .

где

И - Fo н I Fl + S G, cos 2/ХР

(6*)

(7)

(7*)

Величины Fo, IF] и Gt даются при помощи формул (1), (2),
(4) и (4*) как функции хх и х2. Остается еще представить эти ве-
личины как функцпп Aj и Л2.

Из (6) находим

т» ~— Л« —	— Аг	Ух — 12,	
•V1 		 Л. »2	IМ ,		
	Lt		(8)
Хя — Ai,		Уч ~~	f—2~ ^2’	

так что сначала получим

Ро ~ ---------5---Гч~ + Ar i Л2--Г" Л1 ).	(9)

Величины (F) и Gi целесообразно разложить по степеням ЛР
Во-первых, получим

82 = '5т=;7и^лГ==р'2 + е'4^е'В+---’	(10)

где положили

(ю*)

Величины А«'* определяются согласно § 3 формулой

4<° - а*

* s ’ *! йач ’
и, следовательно, являются функциями только xt. Таким обра-
зом, имеем

4<‘> (л,-Ал1) =

a4(i) , / дм2 1 а2л<{>

dxi “г \ 2 ) 2 faX "г

\ дХ!

d2A(i) \	_____

дх* /0	’

где в выражения внутри скобок следует после дифференцирова-
ния поставить xt = Л2.

Из формулы (9) § 3 легко выводим следующие соотношения:

дА™

Х1 дхг

*1 d2A(i>
Я дх*

4<i> + 44<1),

так что имеем формулу

4(i) (а2 - у Ах) = 4(1) - 2е'М^ + в'4 (А^ + 44^) +. • •, (11)

из которой легко можно вывести соответствующие выражения
тгпя Л(1>	Д(1)

ДЛЯ Ai , At , A3 , . . .

Не входя в подробности исследования соизмеримости типа 1:3,
и отмечая лишь некоторые принципиальные вопросы, мы огра-
ничимся в последующем исследовании в [F1 и Gi членами второго
порядка. Fo, наоборот, оставим неизменным.

С учетом (И) имеем

R =

44

Так как R не зависит от Х2, то согласно (7) имеем
Л2 = const.

(13)

Таким образом, величины 4^ при интегрировании следует считать
постоянными.

Сначала необходимо определить особые значения постоянных
интегрирования. Согласно § 2 это получается исключением
Лх и X] из уравнений

R = С,
dR _ дЛ ~
дЛ1 axi •


Последние два уравнения примут такой вид:

та-- , ‘г-т— Ja' + ^(4”+A-«os2M = °, (14)
2	— 2

-	= 2цАв'2 sin 2Хх = 0,	(14*)

где

К =	А(” 4- 54?’ + 48)-

ы

Уравнение (14*) имеет только корни X = -% (к = 1, 2, 3, . . .).
Следует заметить, что это заключение для соизмеримостей низших
порядков справедливо не всегда, если учитывать члены с аргу-
ментами 4Х, 6Х и т. д. В таком случае могут встретиться особен-
ности при других значениях X, чем 0 и |, как мы это нашли в § 4.
Это, в частности, справедливо для соизмеримостей типа 1:2, 2:3
и т. д., где порядок характеристических членов равен единице.

Если в (14) подставить значения X = 0 и X = j, то для опре-
деления особых значений Лх мы получим следующие уравнения:
.7Г^г-уг->+та-(-4“)+Л')=°>	(*5>

2\Ai — 2 A1J

+	<15*>

Соответствующие значения С получим из

R = Fo + IF] + |1Ае'2 = С,	(16)

R = Fo + IF] -рАе'2 = С.	(16*)

Уравнения (15) и (15*) могут быть непосредственно разрешены
относительно Ах. Из (15) и (15*) получаем

Л2 -1 Лх = [ЗА - £ (л<” + К)у1г,	(17)

Л2 - А- Лх = [ЗА -	(Д°> - К)]-*.	(17*)

Эти значения для Лг необходимо подставить в (16) и (16*).
Тогда мы получим два соотношения между Л2 и С, которые дают
две особые кривые для соизмеримостей типа 1:3.

Итак, уравнения для особых кривых могут быть строго вы-
ведены. Однако для числовых расчетов целесообразно исполь-
зовать разложение по степеням АР Прежде чем переходить к этому
разложению, следует сделать некоторые замечания о точном
решении уравнений (7).

Если в [F1 и G1 учитывать только члены второго порядка, так
что R будет иметь форму (12), то в соответствии с (12) уравнение
орбиты, очевидно, можно записать в форме

Если затем обозначить числитель и знаменатель правой части
этого выражения соответственно через X и Y, то найдем, что ме-
жду Aj и временем имеет место соотношение вида

/	1 ‘Л

.•» уАг— 2 Ai i rfAi
t + ₽ - \ A -	.

r i V(Y — X)(Y X)

Хотя под знаком корня стоит многочлен шестой степени, но дви-
жение можно исследовать известным образом: здесь это облег-
чается благодаря тому, что многочлен шестой степени может
быть представлен в виде произведения двух многочленов третьей
степени.

Далее мы не будем следовать этим путем, а вместо этого раз-
ложим R по степеням А!- Уравнения (17) и (17*) показывают, что
А2 находится на особых кривых в окрестности значения (ЗЛ’)~‘з.
Поэтому целесообразнее всего принять во внимание такие зна-
чения А.,, которые мало отличаются от (ЗА)'1'’. Положим в
ветствии с этим

х = (ЗЛ’)'3,

соот-

(18)

и разложим R по степеням | и ЛР Для сокращения записи
жим еще

1 .

: = у xAt.

Тогда имеем

поло-

(18*)

и, следовательно, с точностью до членов второго порядка
сптельно £ и z включительно,

= 4 (4 - 4	3з0 •

отно-
Далее имеем

=	+ 2£ЛГ> + ...

и

61 = ТТ¥ ’

так что, пренебрегая членами порядка |2р, получим

[F] = р [1 Л'0’ + 4n)£ + <>z] ,

G, = pKz.

Величины Л(о), ЛГ, ^20) и К следует вычислять для значения
X, = 1/х.

Если положить

П = ^С-4-^ИЛ<"\	(19)

то уравнение орбиты примет вид

П = - у 5 + 3F2 + 3z2 - 6£z + А р (л<°>| + A^Z + Kz cos 2Xt).

(20)

Форма кривой зависит от двух параметров £ и ij. Особые зна-
чения получим, как раньше для X, — 0 и Xj = отыскивая
дискриминанты уравнений

П = - у g + 3^ + 3z2 - 6&z + А- р (Л<0)£ + Л<°>г ± Kz).

Эти дискриминанты имеют вид

[б£ - А р (40) ± А)]4 -12 (- п - 4 £ + 3£2 + А рЛ^) . (21)

Члены второго порядка относительно £ взаимно уничтожаются,
так что особые значения | и >] лежат на двух прямых, уравнения
которых имеют вид

п+з^г и2 (40) ± А')2 - g [ - 4+A J* (Л<«> + Л<"> ± А)] = о. (21*)

Если дискриминанты обозначить через uD}, то эти уравнения
будут иметь форму

Z»! = 0, D2 = 0.
Чтобы получить удобные для числовых расчетов формулы,
для краткости положим

П' = 1000(1,+ 4 5-352--АрД0)5), ’





(22)

К'=™^К,
л

и тогда уравнение (20) можно записать в форме

Ч' = 3000z2 + z [ - 6000£ +	+ К' cos 2 Хх]. (23)

Если известна масса возмущающего тела р, то вместо Аз и К'
можно подставить определенные числовые значения.

Предположим, что рассматриваются возмущения от Юпитера,
так что р = ущу Тогда получим следующие значения для встре-
чающихся здесь коэффициентов Лапласа. Имеем

х3 = 3N = 3 /Г+р = 3,00143,	/а0 = А = 0,69325,

откуда получаем значение <х0 = 0,48060, для которого коэффи-
циенты Лапласа получают следующие значения (из таблиц
Рэнкля [79]):

	1  2	Д°> = + 1,0667, До) = + 0,3099, До) = 4- 0,2585, До) = -|- 0,1466,	Д3)  Д3> АТ  Д8>	= + 0,0777, = + 0,2531, = + 0,3109, = + 0,2029.
Отсюда Из	получаем К = 2,3924.  этих значений получаем  А' = _2000н_ Л(о> =	0,2845,  Аз =	До) = + 0,2373,  К' = _2000р_ к = + 2,1963,  X2	।	>	>			
и затем по		(22)		

Ч' = 1000ч + 1333,04885 -3000	(22*)
Обозначая особую кривую, соответствующую значению Хх = О,
через Li, а ту особую кривую, которая соответствует Хх = л/2,
через £2, для £х и Z,., получим следующие уравнения:

особая кривая Lt

100011 = -0,0004935-1330,6152 g,	(24)

особая кривая £2

Ю0011 = -0,0003198-1335,0078 g.	(24*)

Если подставить вместо i] величину if, то эти уравнения примут
вид

для £х:

if = -0,0004935 + 2,4336 g -3000 g1,

для Л2:

if = -0,0003198-1,9600 g -3000 g2.

Правые части уравнений являются точными квадратами, так что
эти уравнения можно также записать в следующей форме:

£х: —т]' = 3000 (g - 0.0004056)2 Л	,9гл

L2: -if = 3000 (g + 0,0003266)®. J	[)

Будучи выраженными в переменных ц' и g, особые кривые будут
параболами с параллельными осями и вершинами соответственно
в точках g = 0,0004056 и g = —0,0003266. В последующем будем
использовать (24) и (24*).

Эти прямые пересекаются в точке g = 0,0000395, i) =
= -0,0530927.

Чтобы решить дифференциальные уравнения
dAi _______________ dR dXx __ dR

~dt 7x7’	"л--"-адГ’

перейдем к уравнению Гамильтона —Якоби:

il' = 3000z® + z (— 6000g + А'а+К' соз 2	.	(26)

Если

тл7, If	1)'-3000г»+ 60001-г

W = тг \ arc cos--------я?---------а Лх	(26*)

Z J	Л Z	'

— решение этого уравнения, где if будет обозначать постоянную
интегрирования, и по (18*)

dAi = -|-dz,
тогда, в соответствии с § 1, А! и Xi найдутся как функции времени
прп помощи следующих уравнении:

л 1	П' — ЗОООз2 -г бООО^з — .-1,3

Xi — -у arccos -------------------------—

дС . п дП"

Если положить

А\ = K'z - rf + 3000 z2 -6000 & + A,'z,\
X2 - K’z + rf -3000 z2 + 6000 & -A2z,f

то уравнение (27*) примет вид

ЭС	j i* rfz

dq' * — Pi = V J VXrfi ’

(27)

(27*)

(28)

(28*)

где z дается как функция времени.

Границы, в которых колеблется величина z, определяются
корнями уравнении Xt = 0 и Х2 = 0. Последние можно выра-
зить с помощью дискриминантов в Z>2. Если положить

//х = 1= 1 п + 0,0000001645 + 0,4435384g,
•5	<5

D., = 1D, =	+ 0,0000001066 + 0,4450029g,

О	о

и затем записать

Xi = 3000 (z — рх) (z — р2),

_у2 = —3000 (z — р3) (z - р4),
то будем иметь

pi = g — 0,0004056 УЁ^,

Р-2 = g — 0,0004056 — УЪ'Х,
р3 = g + 0,0003265 + У^2,	(29)

р4 ~ g + 0,0003265 — УЩ.

Дискриминант DL меняет знак на линии Llt а дискриминант Z),
на линии /,2. Если Dx отрицательно, то уравнение Л\ = 0 не
имеет действительных корней, и Хх всегда остается положитель-
ным. Если D2 отрицательно, то уравнение Х2 = 0 не имеет дей-
ствительных корней, и Х2 всегда остается отрицательным. Так
как произведение ХхХ2 не может быть отрицательным, то нахо-
дим, что не могут существовать такие значения g и т), для которых
D2 и одновременно отрицательны.
Прямые линии Z4 и L., делят действительную плоскость j-т)
на четыре области, которые обозначим через G4, G«, G3 и G4,

а именно так, что			
В	G4: Z>j положительно,	D_ —	отрицательно,
»	G2: Di положительно,	D2-	положите.! ьно,
»	G3:	отрицательно,	Z)2 —	положительно.
»	G4: Z>4 отрицательно,	Z>2-	отрицательно.

Область G4 является «запрещенной», ибо, если точка (g, q)
лежит в этой области, то дифференциальные уравнения никаких
действительных решений не допускают.

В области G4 корни р3 и р4 комплексные, так что здесь Л'.,
всегда остается отрицательным. Следовательно, должно также

всегда оставаться отрицатель-
ным ЛГ|, для чего необходимо,
чтобы z колебалось между кор-
нями р, и р2. В этом случае 2Х4,
очевидно, никогда не может
быть равно 180°, но угловая ве-
личина Л4 колеблется подобно
маятнику около значения Х4 = 0.
Следовательно, в области Gt
имеем либрацию по Х4 около
Л, -- 0.

В G., все корни рь р2, р3, р4
действительны. Здесь А\ и Д'2
должны быть одновременно или
оба отрицательны, или оба поло-
жительны. Величина z колеблет-
ся между одним из корней pj
пли р2 и одним из корней р3
пли р4. Какие из этих корней
определяют границы z. зависит

от их числовых значений. Уг-

ловая величина X, здесь неограниченно возрастает.

Наконец, в G3 корни р, и р2 комплексные, так что Д’, всегда
остается положительным. Следовательно, А, также всегда дол-
жно быть положительным, для чего необходимо, чтобы z коле-

балось между границами р3 и р4. Величина 2Х4 здесь никогда
не может стать равной нулю, так как она маятникообразно ко-
леблется около значения 2Х4 = 180°. Итак, в области G3 имеет
место либрация по Х4 около значения 2Х4 = 180°.

Для выяснения характера описанного только что движения
проведем вычисление корней для определенного случая. Положим
| = + 0,001 и тогда получим дискриминанты из формул

1)1 =	+ 0,0004437029,

О

D2 = 1,] +0,0004451095.
О

Будем теперь придавать величине г] различные значения от
0,003 до —0,0013353295 (последнее значение лежит на границе
«запрещенной» области Gt) и из (29) получим следующие значения
для корней:

	4”	Р1	Pt	Оа	Р<
1	0,001	0,0385905	—0,0374017	+0,0393411	—0,0366880
2	-0,0002	0,0162054	—0,0150166	0,0169825	—0,0143295
3	—0,0004430	0,0014311	—0,0002423	0,0027756	—0,0001226
4	—0,00044335	0,0011885	+0,00000035	0,0026530	±0,0000000
5	—0,00044370	0,0005944	+0,0005944	0,0025125	+0,0001405
6	—0,00044440	мнимое	мнимое	0,0021688	0,0004842
7	—0,00044511	»		0,0013265	0,0013265

Точки 1, 2, 3 и 4 лежат в области G2. Точка 5 лежит на Llt
т. е. на границе области G3. Точка 6 лежит в области G3, и, на-
конец, точка 7 лежит на L2 на границе «запрещенной» области б?4.
В случаях 1, 2, 3 z периодически колеблется между pt и р3. Угло-
вая величина неограниченно возрастает со временем.

При у Ч = —0,00044335 и вообще для всех таких значений т),

1

которые лежат между этим значением и значением у Ч =
= —0,00044370, имеют место особенные движения. А именно,
здесь могут быть две различные формы движения: либо z колеб-
лется между pi и рз, либо между р2 и р4. Значит, координаты не
являются однозначными функциями постоянных интегрирова-
ния В и Т).

При у т] = — 0,00044370 имеет место предельное движение.
Оно также может происходить двояким образом: величина z
стремится к граничному значению 4-0,0005944, либо от меньших
значений z, которые имеют нижнюю границу z = 0,0001405, или
от таких значений z, которые больше чем граничное значение,
но меньше чем 4-0,0025125.

В случае 6 z колеблется между р3 и р4. Здесь угловая вели-
чина 2Хх никогда не может быть равной нулю, колеблясь около
значения 180°. Таким образом, здесь имеет место либрация по Xt.
Это имеет место для всех значений т), которые лежат между
| ц = — 0,00044370 и | т] = — 0,44511.

Наконец, в случае 7 z принимает постоянное значение
+ 0,0013265, что будет при | ц = — 0,00044511. При значениях
ц, меньших этой границы, никакие действительные движения не-
возможны. Величины корней plt р2, р3, р4 дают точки орбиты,
которые соответствуют зна-
чениям 2A.J = 0 и 2Х4 = 180°.
Для получения еще двух то-
чек орбиты вычислим с по-
мощью (26) значение величи-
ны z, которое соответствует
значению

Az + К' cos 2Л»! = 0.

Подставляя числовые значе-
ния Л' и К', получим
2Хх = ± 96°,20.

Соответствующие значе-
ния z по (26) и (22*) будут
2 = £ ± j/l2 + зббо =
= 5 ±1/|П + 0,4443496g.
F «3

Таким образом, в трех

случаях 3, 4 и 5 мы получаем:

3)

4)

5)

zx = 0,002162,
Z1 = 0,002000,
zx = 0,001806,

z2< 0,
z2< 0,
z2 = 0,000194.

В случаях 6 и 7 значения z4 и z2 комплексные.

Рис. 45 дает ясное представление о геометрической форме
орбит 3—7. Одна из кривых, 4, лежащая внутри меньшей петли,
в этом масштабе свелась к точке. Предельная кривая указана
пунктиром. Если имеет место предельное движение, то точка
(z, XJ движется по одной из петель и с ростом времени неограни-
ченно приближается к двойной точке предельной кривой, не
достигая ее в конечный момент времени.
Если £ отрицательно или положительно и меньше чем
0,0000395 (координата £ точки пересечения линии Lx и £2), то
воспользуемся приведенными выше рассуждениями с одним из-
менением: лпбрацпя по 2Х| имеет место теперь не около 2k,	180°,

а около значения 2к1 — 0.

Соответствующие числа станут яснее, если при помощи полу-
ченных граничных значении для z вычислить соответствующие
граничные значения оскулпрующих средних движений малых пла-
нет. Для оскулпрующего среднего движения п имеем уравнение

пли в силу (8), (18) и (18*)

” =	=	-3g+ 3Z+•••).	(30)

Если N выразить в астрономических единицах и принять в ка-
честве возмущающей планеты Юпитер, то будем иметь N —
-- 299",12836, и, следовательно, для | --- 0,001

п --= 894",69292 + 269235524 z.

Отсюда получаем следующие граничные значения для оскули-
рующих средних движений в случаях 1 —7.

Граничные значения для оскулирующих средних движений
малых планет типа 1/3 при | = 4-0,001:

1.	998,5845	—	1000,6052	—
2.	938,3203	—	940,4124	—
.4.	898,5456	—	902,1652	—
4.	897,8925	894,7023	901,9352	894,6929
5	896,2931	896,2931	901,4569	895,0711
6.	—	—	900,5316	895,9964
7.	—	—	898,2640	898,2640

Из этой таблицы непосредственно видно, что оскулирующие
средние движения малых планет могут иметь любое произвольное
среднее значение. Для значений т), которые находятся на особой
кривой Llt по крайней мере для | — 0,001 оскулпрующее среднее
движение приближается к значению, которое мы обозначим
через v,:

V! - 896'2931.	(31)

В точке 7 оскулпрующее среднее движение имеет значение
v3 == 898'2640.	(31*)

Если имеет место либрация по X,, то оскулпрующее среднее двп-
жение колеблется между границами, из которых одна меньше
v„ а другая больше v3.

Если речь идет об орбите (например, 4), расположенной внутри
меньшей петли граничной кривой, то значения оскулирующего
среднего движения будут меньше v,.

Эти выводы справедливы пока только для значения £ — 0,001.
Но легко важнейшие из них распространить на все значения %.
В самом деле, можно доказать, что для всех точек линии Lv
оскулпрующее среднее движение неограниченно приближается
к определенному уравнением (31) значению vv

Далее можно доказать, что во всех точках линии L2 оску-
лирующее среднее движение обладает значением v3, определяе-
мым прп помощи (31*). Если точка (|, ц) находится на Lu то со-
гласно (29) z приближается к значению | — 0,0004056. Но этому
значению z по (30) соответствует постоянное значение п, а именно:

37V

(1 + 0,0004(>56)3

= 896", 2931 = vt.

п —

Аналогичным образом находим, что па Lt оскулпрующее среднее
движение обладает значением v3.

Если исключить из рассмотрения орбиты, попадающие внутрь
меньшей петли, то видим, что в области б2 оскулирующие средние
движения будут больше vlt и если бы мы предприняли подобное
исследование для отрицательных значений £ (или, точнее, для
|	0,0000395), то обнаружили бы, что оскулирующие средние

движения вне области либрации меньше v3. Если имеет место
либрация, оскулирующие средние движения колеблются между
двумя границами, из которых одна — верхняя — всегда больше
v3, в то время как нижняя граница всегда меньше v3. Но она может
в зависимости от обстоятельств быть большей или меныпей Та-
ким образом, это обстоятельство указывает на то, что вследствие со-

измеримости никаких люков в оскулпрующпх средних движениях
не возникает. То же самое, следовательно, справедливо для оску-
лирующих больших полуосей планетных орбит. Так как эле-
менты планетных орбит, которые публикуются в астрономических
эфемеридах, являются в подавляющем большинстве случаев
оскулирующими, то находим, что люки, которые обнаружены
в кольце малых планет и встречаются именно там, где оскулп-
рующпе средние движения планет в два или три раза больше
среднего движения Юпитера, едва ли могут быть объяснены тем,
что такие оскулирующие элементы малых планет невозможны
с теоретической точки зрения *). Однако это не мешает тому, что

*) Это, впрочем, само собой понятно уже из того, что можно представить
себе планету, которая в определенный момент описывает данный эллипс, также
похожий на этот эллипс. Оскулирующие элементы могут быть все выбраны
произвольно.
объяснение этих странных люков может стоять в связи с точ-
ками разрыва проблемы Делоне.

Как ведут себя истинные средние движения в областях Glt
G2 и G3? Чтобы ответить на этот вопрос, выясним сначала более
тщательно понятие истинного среднего движения.

Уравнение (28*) показывает, что если исключить особые ли-
нии, Lj и L2, z будет периодической функцией времени. Обозна-
чим. период через 27\ и положим «1 = Тогда из уравнения
(27) найдем, что — периодическая функция того же самого
периода. Следовательно, мы можем написать

2Хх = nJ + Ci + sin i (их< + q).

Затем, в соответствии с (7), имеем

_____ 9R
dt___ЗЛ2 ’

где правая часть является степенным рядом по z, который также
может быть представлен как периодическая функция времени
с периодом 27\. Имеем, следовательно,

Х2 = га2/ + с2 4- sin i (nJ 4- сх).

Величины пг и п2 являются средними движениями соответственно
для 2Хх и Х2.

Если эти формулы подставить в уравнение (6*), то получим
среднюю долготу I + л и долготу перигелия л, представленными
как функции времени. Из (6*) получаем

I 4- л в (Х2 4“ Nt) = (п2 4- N) t -}- с2 4- S * (^i^ 4* £i)»
п = N — (2X14*	=	— ~2 (wi 4* иа)j 4-сз 4"2С*l' (rei^4”ci)-

Таким образом, истинное среднее движение малой планеты,
которое мы обозначим через п0, имеет значение

По — пг + N,	(32)

и для среднего движения перигелия находим выражение
N — у (П14- По).

Если среднее значение функции обозначать скобками, то в силу
(7) имеем
Для вычисления значения п2 для точки внутри области G3 проще
всего поступить следующим образом. В силу (6) имеем

dR = _ _1_ dR , dR
дЛ.1 2 dxi dxt ’

dR = dR

ЗЛ2 Safi ’
и, значит,
dR , 9 dR _ 9 dR
ЗЛ2 ”т” ЭЛ1 dx3 '

Но внутри областей G± и G3 имеем = 0, следовательно,

Г_т = о
сад *

так что здесь

[£]-*[£]• м

Но правую часть можно сравнительно легко построить. Из (1),
(2) и (4) получаем

- 2^- = 22V + -Ц— Л1о) — Л<0) —

dx^	1 «1 L

- (-у- Л(3) + 5Л18) + Л<з() cos 2Хх + • • • ]. (35)

Все пренебрегаемые члены умножаются на положительную степень
ег и массу р. Для вычисления среднего значения правой части
этого выражения необходимо знать среднее значение cos 2Хх.
В области G3 величина Хх является периодической функцией t,
которая может быть записана в форме

Хх = 180° + Ecj sin i (n8f + c8).

Следовательно, в этой области имеем

Я
1 с
[cos 2 Хх] = — \ cos 2Хх d (n3t + с8).

6

В то время как n8f + с3 возрастает от нуля до п, z колеблется
между р4 и р8, так что согласно (28*)

[cos 2Х,] =4^-

dr)'

р>

1 С Xi— Xt

nJ Х3 + Xi

P4

dz

Vx^Xi'

37 к. Шарлье
Но в силу (28*), очевидно, имеем
р»
дС л 1«(* dz
дц’ ’ п? = 'xj /КхГ ’
р<
так что

[cos 21х] = ( f8"*1 . —dz— : £  /»	.	(36)

1	) Х2 + Х1 VxtXt j /ад	' '

р»	pt

Чтобы вычислить этот интеграл, проведем интегрирование урав>
нения (28*) для либрационного случая.

Корни рг и р2 являются комплексными. Если положить

Pi = а + ф,

Ра = а — ф,
то будем имет^
а = £ — 0,0004056, )

Тогда интеграл уравнения (28*) примет вид

_ р4 -|~ pifei + (— р4 + Pafri) са и

1 -J- Л14" (— 14“ Aj) сп и	’

где и и имеют следующие значения.

Введем вспомогательные углы <рх и ф2 при помощи формул
tg<₽i = p£^, tgq>> = eL^.

Тогда будем иметь

, cosФг	(Р4—а)« + ра	,ооч

А1 ~ с-Б5фГ = V (р,-а)а + ₽а ’	<38)

g = ЗОООх ^[(р* - а)®+ ₽Ч[(Рз-«)’ + ?*]	(38*)

и

и = gt + const.

Модуль к эллиптической функции сп и будет равен

Л = | sin-i (фа —Ф1)

Отсюда выводим следующие выражения для и Хг:

[1 + Лг + (—1 + Aj)cn и]Хх = 12000 [(р4- а)* 4-	(1 - A8 snaw).

[1 +	+ (—1 + Aj)cn и]Х2 = 3000	(р8 — Р4)8 sn® и,
и, наконец,
dz __________________________________du______________

V XiXit=	*._________________________ *

* 3000 V [(Р4 - а)» + Р211(ра - а)8 + З2]

При помощи этой формулы можно вычислить интеграл (36). Нет
необходимости выполнять эти вычисления, чтобы получить пред-
ставление об изменении истинного среднего движения. Во-пер-
вых, очевидно, что среднее значение [cos 2Хх] самое большее равно
+1, а самое меньшее —1. В самом деле, эти границы либо дости-
гаются, либо по меньшей мере мы подходим к ним сколь угодно
близко. Это оказывается в непосредственной близости от обеих
особых кривых и £2. Следовательно, внутри области Gs истин-
ное среднее движение п0 колеблется между двумя границами:

v<°) = ЗЛГ + JL (_	- Л<0) - К)	(39)

И

v^0) = 32V 4-	(— А 10) — 40) + К),	(39*)

где члены, которыми пренебрегают, умножаются на & и возму-
щающую массу и, значит, сравнительно малы.

Если подставить числовые значения, то найдем

= 896'165, v‘0) = 898'136.	(39**)

Таким образом, ни одна из границ для п0 внутри области Ga не
совпадает с Vj и v3. Действительно, находим, что

,,	д,(0)_ (О) _______ ЛО

V1*— V1 = Vg — Vg — UtlZo.

Разность v3 — vx равна разности Vg0) — Vi0).

Как ведет себя истинное среднее движение при переходе через
особые линии и Z2? Чтобы решить это, мы найдем для истин-
ного среднего движения в области Ga приближенное выражение.
Из (32) и (33) имеем

Но

R — Fo + [F] + cos 2Xj,

и будем иметь

д/У_______£

№=—» + #,

где п обозначает оскулирукщее среднее движение. Далее

37*
приближенно

2Е1 = 1ц ал(0) = JL л<°)
дЛ2 2 ** dxi Xi 1

Что касается среднего значения Gx cos 2Хх, то оно в области G3
с точностью до членов второй степени относительно эксцентри-
ситета и второго порядка относительно масс равно нулю, сле-
довательно, приближенно имеем

п0 = [л] - X 4» = [л] - О',128,

где [п] обозначает среднее значение оскулирующего среднего
движения. Как известно, это среднее значение на равно
896",2931 (=vx). В окрестности Lx [п] также немного отличается
от этого значения, и, следовательно, в области G2 вблизи особой
линии Lx имеем

л0 = 896*165 = v(!0).

Итак, находим, что при прохождении особой линии Lt истинное
среднее движение не делает никакого скачка, а непрерывно пере-
ходит в среднее движение области G3.

Это тем более неожиданно, что в другом отношении особые
линии и L3 следует считать линиями разрывов. Это имеет место
для амплитуды колебаний эксцентриситета.

В области G2 величина z (она приближенно равна е2) ко-
леблется между рх и р3, и амплитуда колебаний р3 — рх здесь
равна

р8 _ рх = 0,0007321 +	- УТТ.	(40)

В области G3 колебания z будут ограничены корнями р3 и р4,
а амплитуда колебаний здесь равна

Рз — Р4 = 2]/рГ.	(41)

Если оставаться в непосредственной близости Llt то Dx = 0
и, следовательно, амплитуда колебаний

в области G3.

»	»	G3:

0,007321 4-Ур; =«2,

2	= о3.

Если принять во внимание, что Z)x предполагается весьма
малым, то здесь приближенно имеем

D3 = -0,0000000579 + 0,0014645 g.
Таким образом, при переходе через линию Lx амплитуда колеба-
ний делает скачок от значения а2 до значения а3. Для очень малых
значений | (которые должны быть больше 0,0000395) а2 2> аз-
Для £ = 4-0,0004055 а2 — а3. Для еще больших значений |
всегда а3 а2.

Этот скачок в амплитуде колебаний при переходе постоянных
интегрирования через особую линию является наиболее важ-
ным свойством интеграла в окрестности соизмеримостей. Следует
отметить, что амплитуда колебаний изменяется скачком, а пе-
риод, как уже было доказано, подвержен непрерывному изме-
нению.

До сих пор мы не рассматривали область Gr Здесь корни
р3 и р4 комплексные, и следовало бы ожидать, что движение будет
происходить между рх и р2. Но формула (29) показывает, что р,
отрицательно. Так как по своей природе величина z всегда поло-
жительна, то в этом случае р2 не может служить границей для
колебаний z. С другой стороны, кажется *), что внутри Gr имеется
область, в которой рх положительно, и где положительные зна-
чения z совместимы с дифференциальными уравнениями. Как надо
исследовать соответствующие движения, если они вообще су-
ществуют? Дифференциальные уравнения (7) здесь непригодны.
Проще всего вместо Ах и 'к1 ввести новые канонические перемен-
ные (см. § 1 гл. VI):

и — ]/ 2Л1 cos v = У 2Ai sin

Мы не будем исследовать этот вопрос более подробно. И без этого
можно сказать, что эти орбиты, если они существуют, должны
соответствовать либрации по Xj около = 0, так как значение
2Хх = 180° несовместимо со значениями этих постоянных инте-
грирования.

Мы видим, что линии Lx и Ь2 не являются единственными гра-
ничными линиями для постоянных интегрирования. Значения
0 и 1 образуют для эксцентриситета (а следовательно, 0 и 1:4 для
Ах) также граничные линии, которые нельзя пересечь.

Сопоставляя наши результаты о соизмеримости типа 1:3, прихо-
дим к следующему.

Интегралы зависят от двух постоянных интегрирования, Виц.
Из них г) приближенно совпадает с постоянной Якоби, в то время
как £ зависит от эксцентриситета. Если | и ц рассматривать как
прямоугольные координаты на плоскости, то эта плоскость пря-

*) Мы говорим «кажется», так как область положительных значений
pi внутри Gi все же весьма мала, и поэтому не исключено, что наблюдаемая
здесь степень точности может быть недостаточной, чтобы окончательно ре-
шить этот вопрос.
мыми линиями Lt и L2 будет делиться на четыре области, Glt G2,
G3, G4, которые характеризуют различные формы движения.
Если точка (£, г]) находится в Gt, то движение невозможно. В G2
неограниченно возрастает Хх, в то время как Ах, а также эксцен-
триситет колеблются между двумя постоянными границами.
В G3 эксцентриситет, а равным образом и величина Klt также ко-
леблются между двумя постоянными границами. Около значе-
ния 2Хх = 180° имеет место либрация. В то время как точка
(£, тр области G2 пересекает особую линию Lt и переходит в об-
ласть G3, амплитуда колебаний эксцентриситета изменяется скач-
ком, а период этих колебаний изменяется непрерывно. В области
G2 может быть либрация по Хх вблизи значения Хх = 0. На линии
Li оскулирующее среднее движение при всех | и т) стремится
к значению 896,293, на линии L2 оно имеет значение 898,264.
Истинное среднее движение имеет на этих линиях соответственно
значение 896*165 и 896*264. Свойства интеграла не дают ника-
кого прямого объяснения люку в числе планет вблизи среднего
движения, равного 897".

Малым планетам типа 1/2 посвящены исследования различных
авторов. Результаты аналогичны, но не идентичны тем, которые
были здесь найдены для соизмеримости типа 1/8. Среди исследова-
ний можно отметить работы Гильдена, Гарцера [80], Шварц-
шильда [81], Пуанкаре [82], Андуайе [83], Бренделя [84] и
Хилла [85]. Наиболее полными из них являются исследования
Бренделя и Андуайе. Последний, между прочим, доказал, что для
соизмеримости типа 1/2 особые линии и либрационные движения
могут встретиться не только при Хх = 0 и Хх = 180°, но и при
промежуточных значениях Хх.

§ 6. О соизмеримостях высших порядков

Соизмеримости низших порядков обусловливают большие
возмущающие члены, которые уже на достаточно малых проме-
жутках времени вызывают большие изменения в координатах.
Иначе обстоит дело с соизмеримостями высших порядков. Они
могут быть замечены только на больших промежутках времени.
Но тем не менее они представляют весьма большой интерес,
так как непосредственно эти члены наиболее важны в вопросе
об устойчивости. Мы исследуем такие соизмеримости, применяя
методы предыдущего параграфа.

Из возмущающей функции мы возьмем: 1) члены нулевого
порядка (Fo), 2) вековые члены (F), 3) члены

S G{ cos ig,
где
g = SiUi ~ «2У2
и Sj и s2 обозначают большие числа, из которых s2 можно считать
положительным. В таком случае мы имеем соизмеримость по-
рядка Sj*

Полагая

R = т) + Ft 4- [F] + 2 Gt cos tg,	(1)

где под т] будет пониматься пока неопределенная величина, мы
придем к дифференциальному уравнению (3*) предыдущего пара-
графа.

Что касается коэффициентов Gi, то, как нам известно из § 4,
Gx имеет порядок s2 относительно эксцентриситета. Далее,
имеет порядок 2$2, и вообще Gi т-порядок is2. Так как здесь
з2 считается весьма большим, то Gt весьма мало, и ряд SGj схо-
дится очень быстро.

Для приведения уравнений движения к одной степени сво-
боды положим

М = »1У1 — S2^2.	^2 = S1J/1 -

где и s2 пока не определены. Если еще положить

«х = $ХЛХ 4- зхЛ2, «2 = — SjAi — 4Л2,

тогда Ai, Л2, Хх, Х2 также образуют систему канонических пере-
менных, с той же самой характеристической функцией R. Разре-
шая последние уравнения относительно Лх и Л2, получим

АЛХ = — 32Я!Х — SiX2, ДЛ2 = S2®1 4- SpTj,

где обозначено

А = — sxs2 4- s2»i«

Сделаем еще одно преобразование, полагая

ДХх = Хх, Х2 = — Х2,

Лх = дл'ь Л2 = — л'2,

и тогда новые переменные Лх, Л2, Хх, Х2 будут всегда оставаться
каноническими.

Выбор чисел $х и $2 является произвольным. Можно было бы,
например, этот выбор сделать так, чтобы получилось А = 1.
Такой выбор в некоторых случаях делается (например, для типа
х/г), но он приводит при высоких соизмеримостях к очень боль-
шим величинам координат Лх и Л2, что не удобно. Для этой цели
сделаем иной, более подходящий выбор. Возьмем

Si = —1;	$2 = О,
так что имеем Д = — s2 и координаты

Ai = х2,	yi + Уз»

S1 , ®

Л2 = Xi + — х2, л2 — yi,
®2

которые положим в основу последующих исследований.

Так как возмущающая функция разлагается по степеням х2 (или,
правильнее сказать, по степеням Yх2), то представляется целесооб-
разным использовать х2 в качестве координаты. Величина Л2
отличается от х, только на малую величину — х2 и, наконец,
Sa

аргумент равен — s2Xv

Дифференциальные уравнения
dAi	__ dR	c?Xi	__	dR

IF	=	aXT	’	IF	~	~	ал? >

dA2	_	dR	dk2	=	_	dR

dl	~~	dh2	’	dt	dA2

допускают интеграл

Л2 = const,

в котором постоянную обозначим через Y~®- Кроме того, имеем
интеграл

R = 0,	(4)

так как соответствующая постоянная интегрирования может быть
включена в т).

Дифференциальные уравнения
dAi   dR	dhi   dR

IF ~ ~dhT ’	~dF ~ dK

характеризуются несколькими особыми точками, которые полу-
чим из уравнений

* = = > =	(6)

Последнее из этих уравнений имеет вид

Si Gi sin ig = О,
а так как члены этого ряда очень быстро уменьшаются по вели-
чине, как мы выше отмечали, то это уравнение обладает только
решениями g = кп (к = 1, 2, 3, . . .) или

%! = — (Л = 1,2, ...).	(6*)

$2
Так как в характеристическую функцию R величина входит
только в комбинации то эти решения приводятся к двум
следующим:

s2Xx = 0, s2Xx = л.	(6**)

Если эти значения подставить в первое из уравнении (6), то
оно примет вид

Ri = П + Fo + [Fl + ZGt = 0	(7)

F2 = *l+F0+ [F] + 2 (—I)1 G, = 0.	(7*)

После того как из этих уравнений и соответственно уравнений

ая2
dAi

исключено Л1( получим уравнения для двух особых кривых.
Запишем эти уравнения в форме

D, (а, п) = 0,	(9)

D2 (а, п) = 0.	(9*)

Функции и Р2 можно рассматривать как дискриминанты Ri
и Я2.

Находить эти дискриминанты не обязательно. Рассмотрение
интегралов можно провести проще. Ниже, ради краткости,
ограничимся первым членом суммы 2Сп cos ig:

Gi cos g = Gi cos SjXj,

так как нет никакой нужды учитывать много членов. Положим
далее

Ф (а, Л,) = Fo + [Fl,	(10)

так что теперь

R = ц + ФСа.ЛО + Gi cos s2X1(	(И)

где Gi — степенной ряд относительно Л1( начинающийся с ВЛ’^2
(через В обозначена постоянная).

Так как Gx — весьма малая величина, то интеграл (5) не
на много отличается от интеграла уравнений

с?Л1	дФ dki____________дФ

dt ~ dKi ’ dt ~ ЗЛ1 •

По крайней мере в порядке опыта мы можем исходить из этих
уравнений при отыскании интеграла уравнений (5).
Интегралы уравнений (12) запишутся в виде

Aj = А? = const Д

= nJ + Ci, J	(13)

где

”i = -S-	(13*)

Уравнения (5) имеют форму

==	$2^*1 81D

rfXi	дФ dGi	л

ИГ	ал? “ ал? cos

Для получения интегралов этих уравнений положим

Л1 = л; 4- 6Л1Э

=	~|-	*4“

и разложим функцию Ф по степеням 6ЛХ:

ф = фо + ^дЛ1+1-^(дЛ1)« + ...

Учитывая сначала только первые степени 6ЛХ, для 6ЛГ и 6Х4
получим дифференциальные уравнения

= — SjGi sin s2 (ni< + Ci).

а«Ф0 * *	aft „ а

~di~ =----0AfdA1 ~ алГ008^’

интегралы которых будут

6Л1 = cosse («if 4- Ci),

------!_(^_Л+|«к),1п!1(П1(+С1).	<14»
«2»1 \ ал® «1	»Л1 /

Эти выражения показывают, что и Хх из-за наличия чле-
на Gt cos $2^1 испытывают в общем случае только малые перио-
дические отклонения от тех значений, которые даются уравне-
ниями (13).

Но этот вывод несправедлив, если величина nt весьма мала
или равна нулю; в этом случае выражения (14) становятся не-
ограниченно большими. Для исследования этого случая мы будем

Л

исходить из такого значения для Л1( при котором nlt т. е.
обращается в нуль. Пусть Аг = р представляет такое значение,
что

Тогда имеем

(15)

ф = фо + т-^-0Л1)а+---.

где Фо и ее производные должны быть вычислены для значения
Ai = р.

Для Я получим значение

Я = п + фо4-1^- (6Л0* + Gi cos

Пусть т]х —такое значение, что

T)i + фо = О-	(16)

Положим затем

П =	+ Дт);

тогда характеристическая функция получит форму

л = Ат> + т + Gicos	(17)

а дифференциальные уравнения будут допускать интеграл

R = 0.

(17*)

Теперь наши дифференциальные уравнения примут следую-
щий вид:

= — s3G sm з»Л1,

dt

ал?

(18)

В R мы пренебрегли тем изменением, которое испытывает вели-
чина G вследствие перехода от значения Aj = р к значению
Aj = р + АЛХ.

Особые значения Дт) получаются из уравнений

R =

dR _ dR

ЭЛ1 axi

которые дают

6Aj = 0,

$2^1 = 0 ИЛИ Я,
так что дискриминанты примут вид

= Дт] + Gx = О, |
D2 = Дт] — Gx = 0. J

Существуют только две особые точки Дт] = — Gx и
Из уравнений (18) и (17*) теперь получаем

= - s2 л/'Gl - ГДп +1 ф" (ЙЛ,)2Т,

= - /- 2Фв(Дп + С! соваЛ).

(19)
Дт| = Gv

(20)

(20*)

Достаточно проинтегрировать одно из этих уравнений.

Сначала исследуем значение Ф". Предварительно нужно
определить только знак этой величины. Согласно (2) и уравне-
нию (1) предыдущего параграфа имеем

‘-.Лу+ЛГ(Л-^Л')

2кЛг—7? Л1/

и, следовательно,
3Fq _ 31 ______________________1_________Si + S2 уу

дЛ1	«2 I .	31	\3	32

a2F0 = Зз2 1

Производные от Ф необходимо вычислить для значения Лх = р,
которое выбирается так, чтобы обращалось в нуль Имеем

тогда

31	1 31 + з2 N . Э |F I

sa / si \з s2	ЗА1

(Л2“^Р)

Последний член в этом выражении умножен на возмущающую
массу, и, таким образом, весьма мал. Множитель при — в первом
члене совпадает с оскулирующим средним движением п для
Лх = р. Итак, приближенно имеем

Sjn — (sx + s2)N — 0,

так что для соответствующих значений Лх среднее движение малой
планеты близко к соизмеримости со средним движением Юпитера.
Вторая производная от Ф почти совпадает со второй произ-
водной от Fo. Формула для Fo показывает, что Ф" положительно.

Рассмотрим уравнение

----s2 - [Дц + |ф"(дЛх)*]’ =

------£ Ф* V - (6ЛХ - ех) (дАх - е2) (6ЛХ - е8) (dAx - е4), (21)

По (19) особые значения для Arj будут Дт) = — Gr л Дц — Gv Если
Дт] Gt (эту величину мы предполагаем положительной), то
_________	с?бЛ1

все корни комплексные, и тогда также комплексное, так что

такие значения Ат) рассматривать не нужно.

Итак, необходимо исследовать следующие четыре случая:

а)
Ь)
с)
Ф

Дт] < - G

Дт) = - Gj

— Gi < Дт) < Gu

Дт1 = Gv

Случай а). Как видно из уравнения (21), если не проис-
ходит предельное движение, то 6ЛХ должно осциллировать между
двумя наибольшими или двумя наименьшими корнями ех, е2, е3, е4.
Порядок величин в случае а) ех <С е3 < е4 < е2, так что 6ЛХ пе-
риодически колеблется либо между ех и е3, либо между е4 и е2.
Угловая величина Хх неограниченно растет вместе со временем.

Случай Ъ). При Дц = Gx корни е3 и е4 совпадают. Это
соответствует предельному движению по 6ЛП так что Лх асимпто-
тически стремится к значению р, оставаясь всегда либо меньше р,
либо всегда больше р.

Случай с). Здесь ех < е2. Корни е3 и е4 комплексные.
Здесь 6ЛХ колеблется между границами

2(СХ —Дт,)

2(61— Дл)
Уравнение (20*) показывает, что величина s2Xx не растет
неограниченно вместе со временем, а периодически колеблется
около значения $^ = 180°. Таким образом, здесь имеет место
либрация по Хх. Если бы Gx было отрицательно, то имела бы место
либрация около значения Хх — 0.

Случай d). Дт] = Gx; тогда 6АХ должно быть тождественно
равно нулю, и, следовательно, Лх всегда равно р.

Амплитуда колебаний в случае а) равна

е2 — е4 = е3 — е, = l/X - Дт] - ]/-(Gi + Дт))],
BS	Т

и значит, остается одной и той же, независимо от того, будет ли
колебаться 6ЛХ между ех и е3 или между е4, е2.

В случае с) эта амплитуда равна

Если значение Дт) близко к особой точке —Gx, так что при-
ближенно Дт] = — Glt то амплитуда в случае а) равна |/" —,
а в случае с) — 2 j/ ; следовательно, при переходе через особую
точку от случая а) к случаю с) амплитуда колебаний удваивается.
Таким образом, особая точка Дт] = — Сг является для ампли-
туды колебаний точкой разрыва непрерывности, которая ведет
себя так же, как соответствующая особая линия для соизмери-
мости типа J/8.

Как же ведут себя средние движения Ах и Х2? Претерпевают ли
они также разрывы в точке Дт] = — Gx?

Уравнение (21) дает в случае а) для полупериода колебаний Т
значение

Т =	<?6Л1	,	(22)

J Y(е8 - 6ЛХ) (6ЛХ - ei)(e2 - 6ЛХ) (е« - 6Л2)

если имеет место колебание между ех и е3. Если бы колебания
происходили между е4 и е2, то значение полупериода можно было
бы получить, взяв приведенный интеграл в пределах от et до е2.

Как изменяется Т, когда Дт] стремится к значению Gx? Пола-
гая

. <23>

где

*8

— ех ’

(23*)
приведем эллиптический интеграл к нормальной форме, и тогда
получим
1

У _____________4_________С________dy_______

V(«2-ea)(e4-ei) J /(l-y2)(l-*V) ’

где модуль к имеет значение

£ _ 1/ (ег—	— ei)~ e “/Gi — Дт) — V— (Gx + А Я) лш

V (е4—ех)(е2 —е8)	/сх — Д т] +/—(Gx + А п) ' V '

Если Дц стремится к значению Дт) = — Glt то к стремится к еди-
нице и одновременно Т неограниченно возрастает. Если бы дви-
жение происходило между е4 и е2, то для Т получилось бы то же
самое значение.

Мы видим, что в случае, когда все корни ех, е2, е3 и е4 действи-
тельны, колебания замедляются, если Дт| стремится к особой
точке Дт) = — б?х. Движение постепенно и без скачка переходит
в предельное. Это можно выразить также и так, что среднее дви-
жение по Хх стремится к нулю, если Дт) при возрастании стре-
мится к Дг| = - Gv

Как же обстоит дело с либрационным случаем (случай с))?
Среднее движение по Хх всегда равно нулю, а величина Хх перио-
дически колеблется около значения Хх = 180°. Каков же период
этих колебаний?

Величина 6ДХ колеблется между ех и е2; корни е3 и е4 чисто
мнимые. Здесь полупериод Т имеет значение

Т — 2 С	rfSAx	(25)

Л у(в2 _ 6Л1) (6Л1 _ е1) (бЛ2 _ е2 ) ’

который может быть преобразован при помощи подстановки

дЛх = е2 УГ^2*	(25*)

к нормальной форме. Получаем

гр ____2___С	dz'

s2 У аРч?!л У(1 — z2) (1 —	’

где	_______

Если Дт] стремится к значению — Gx, то модуль к возрастает
до единицы и одновременно неограниченно растет полупериод Т.
Если приближаться к особой точке <7Х, то в области либрации
колебания становятся медленнее. Здесь также движение непре-
рывно переходит в предельное.

Если вспомнить, что по (2)

~ (Z 4- л — Nt) — л 4" Nt, %2 = 14- л — Nt,
s2

то из того обстоятельства, что среднее движение по при пере-
ходе через особую точку Дц = — имеет регулярное (непре-
рывное) изменение, отнюдь не следует, что это справедливо также
и для средних движений по I и я. Необходимо, чтобы среднее
движение по Х2 было непрерывной функцией от Дц. Но теперь

dKt  	dR   ЗФ0	1 д3Ф ... .2 dGi

dt —	дл.г - д\г	2 ал^л2 ( за;

Выясним вопрос, как ведет себя среднее значение (6ЛХ)2,
когда Дц переходит через точку —Gv

Если Дц < — Gu то обращение (21) дает

eiStef>

1	Л2 4- Уг
где

у — sn и
и и имеет значение

и =	s2O>" У(е4 — е!)(е2 — е3) t 4- const.

Итак, величина 6ЛХ является периодической функцией и
с периодом 2К. Это имеет место и для (6AJ2. Если (6ЛХ)2 разло-
жить в ряд Фурье, то постоянный член в этом разложении равен
среднему значению (6ЛХ)2. Оно равно

к

[(6Л1)2] =4\’ [ei*2 + *2f “Tdu.

1'	71 К J L Л2 + sn2 и J

о

Этот интеграл можно точно вычислить, однако достаточно
узнать его значение в окрестности точки Дц = — Gv Мы уже
видели, что в этом случае к принимает значение, равное еди-
нице. Затем будем иметь Л2 = 1 и

sn2u =

eU_e-Ux2

еи4-е-“/

и, следовательно,
2 к

им=-И

(25***)
где К неограниченно растет, когда Л2 стремится к единице. Но

с _____________________1

J [e2u - е"2"]2 ”	1 - eiu ’

так что

?	4du_______J_

J	+ e-2“l2 “ -

и, значит,

[(6Лг)21 = 0.

В случае либрации обращение (21) приводит к

6Лг = е2 сп Uj,

где	_____

«1 = s2 У 61Ф" t + const,

а модуль имеет значение (25**). Среднее значение (SAj)2 здесь
будет равно

2	К

[(6Л1)2] c^uxdUi.

Но	к	5

1 С ,	,	Л-2 , Е

к J C1V И1 ^Hl — к2 А2К *

О

где через К и Е обозначены эллиптические интегралы первого и
второго рода. Если А2 стремится к единице, то Е также стремится
к единице, в то время как К неограниченно растет. Итак, здесь
также

[(бЛО2! = 0.

Таким образом, среднее движение по X, не претерпевает раз»
рыва, когда Дт] переходит через точку —Gt.

Относительно соизмеримостей высших порядков мы приходим
к следующим выводам:

1.	Член

cos (s^i — s,t/2)

в возмущающей функции обусловливает только малые периоди-
ческие изменения с амплитудой, которая в окрестности соизме-
римости имеет порядок Y Gv

2.	Угловая величина зхух — s.^ в общем случае неограниченно
растет. Но если постоянная Якоби лежит внутри определен-
ной (впрочем, весьма малой) области, то возникает либрация
этой угловой величины, так что — s.^y2 колеблется около
значения 180°, если GL положительно. Если Gx отрицательно, то
происходит либрация около значения — s2y2 = 0.

3.	При переходе через границы этой области от «обыкновен-
ного» случая к либрационному амплитуда колебаний по удваи-
вается. Средние движения по I (средняя аномалия) и по долготе
перигелия испытывают при этом только непрерывные изменения.

§ 7. О представлении интеграла задачи трех тел
в чисто тригонометрической форме

Первые попытки (XVIII в.) отыскания интеграла задачи трех
тел позволили установить, что в возмущениях первого порядка
в эксцентриситете и наклонности появляются члены, возрастаю-
щие пропорционально времени. Но пз так называемого доказа-
тельства устойчивости Лапласа и Лагранжа вытекает, что на эти
члены следует смотреть только как на первые члены разложения
в степенные ряды долгопериодических тригонометрических выра-
жений, и поэтому имеется возможность представить координаты
планет в чисто тригонометрической форме. Такое представление
имеет важное значение как в практическом, так и теоретическом
отношении. Если произвольную координату можно представить
в форме

х = 2Л cos (^ц?! + i2w2 + . . . + i8ire),

где wlt wz, . . . ,ws обозначают линейные функции времени, и если
конечна, то, во-первых, можно найти предельные значения
координаты, чтобы окончательно ответить на вопрос об устой-
чивости, во-вторых, приведенный ряд для х можно применить
для всех моментов времени. Если подобные ряды получаются для
произвольных небесных тел, то они будут справедливы для любых
моментов времени. Тогда основная работа состояла бы при рас-
четах возмущений в точном определении постоянных интегриро-
вания. Каждое новое наблюдение светила сделало бы вклад в это
определение постоянных и позволило бы еще более точно вычислять
коэффициенты и средние движения «аргументов» wr-

Вычисление возмущений принимает совсем другой вид, если
координаты будут представляться при помощи рядов, которые
справедливы только для ограниченных интервалов времени.
Тогда все вычисления возмущений должны время от времени
выполняться заново. Форма представления может оставаться
той же, но коэффициенты различных членов будут постоянно
изменять свои значения.

Попытки осуществить идеи Лапласа о получении тригономе-
трической формы интеграла оказываются связанными с большими
трудностями. В своих исключительно интересных исследованиях
орбит больших планет Леверье предпринимал различные попытки
преодолеть эти трудности; он вынужден был отказаться от три-
гонометрической формы интеграла, и как и Ньюкомб, который
почти одновременно с Леверье выполнил полные исследования
орбит планет, должен был, по крайней мере частично, искать
выход в разложениях по степеням времени.

Наиболее серьезно за проблему представления координат
в задаче трех тел в чисто тригонометрической форме принялся
Гпльден. Его усилия после выхода работы [86] были направлены
исключительно на решение этой проблемы. При этом он открыл
много важных путей рассмотрения проблемы. Но преждевремен-
ная смерть оборвала его труд именно тогда, когда он сам верил,
что его исследования настолько продвинулись, что могут дать
основу для вычисления «абсолютных орбит» больших планет
(т. е. главных членов в тригонометрической форме интеграла).

Только одному исследователю удалось в одном специальном
случае полностью выполнить это представление координат в чисто
тригонометрической форме. Этим исследователем был Делоне,
который в ранее цитировавшейся работе «Теория движения Луны»
своеобразным методом добился представления координат этого
светила в чисто тригонометрической форме *). Практический успех
его метода в значительной мере зависит от того, что возмущающее
тело (Солнце) движется на значительном удалении от возмуща-
емого тела (Луны); остается под вопросом, можно ли реализовать
метод Делоне в более общем случае. По-видимому, он окажется
вполне пригодным для малых планет, средние движения которых
почти соизмеримы со средними движениями больших планет
(ср. ранее цитированную работу Хилла по этому вопросу). Помимо
практического значения метода Делоне, он очень подходит для
понимания того, как в формальном отношении действительно
можно добиться чисто тригонометрической формы решения задачп.
Это доказательство было дано Тиссераном [87]. Не задаваясь
целью приводить полное изложение этих идей, мы дадим неко-
торые указания о соответствующих вычислительных опера-
циях.

Предположим, что речь идет об интегрировании дифферен-
циальных уравнений

dxi __ dF	dyi ___ _ dF	j

dt ~ dyi	’	dt ~ dxi ’

dx-i _ dF	dy-2 _ dF	'	'

dt	dy->	’	dt	dx->	’	

*) Позднее Хилл и после него Браун добились той же пели иным путем
где

F = Ф + cos (tyi + jy2),

(1*)

а Ф и Ац суть заданные аналитические функции х2 и х2.

Возьмем из возмущающей функции F произвольный член

и положим

cos (i^! + ]гу2)

Л = Ф + Atljl cos (ijh + Лу2).

Рассматривая сначала уравнения

dxi	dFi	dyi	dFi

dt	dyi	’	dt	dxi	’

dx2 ___ 9Fi	dy2 ____ dFj

dt	dy2	’	dt	dxz	’

(2)

можно на определенные из них координаты смотреть как на коор-
динаты промежуточной орбиты Соответствующим изменением
постоянной )i можно удовлетворить точным уравнениям (1).

На интегрирование уравнений (2) можно смотреть как на
частный случай проблемы Делоне, которая рассматривалась
в § 4. Пусть

i'll = ЧУ1 + j}yz,\

П2 = iiUi + hl/t,)	V 7

где ii и /х обозначают произвольные целые числа, которые можно
выбрать так, что определитель iji — ]\ii будет иметь значение
+ 1. Кроме того, ii и /г предполагаются взаимно простыми (что
здесь может быть сделано). Определим далее две величины
и £2 из соотношений

®1 = liBi	[3*1

^2 = hli + HU- J

Как известно из § 1, это преобразование не нарушает канони-
ческой формы дифференциальных уравнений.

Но теперь дифференциальные уравнения для £lt £2, Лх и Ла
имеют форму, которую мы предполагали в проблеме Делоне.
В соответствии с (10) § 4 мы можем написать выражения для коор-
динат промежуточной орбиты а именно:

~ £’^ + P1 = T11+22-^sini‘Tlb

dC . . Q I о V • •

~	+ =	2а5Г8т1П1’ >

li = «1 + 2ZiBi cos гт|1,\

£2 = <4.	J	(4*)
(5)

Положим теперь

1,8---•f^' + P8-

Разрешая уравнения (4) относительно т)1э т)г, В2, получим

Пх = m + SAsinftii, 1	/сх

'	' I	(О)

Ла = Па + 2]-Е<8шй)1. j

Bl = “i + SA c°s ini, У

Bt = a2,	I	(6*)

причем Fo не обязательно должно быть равно нулю.

Из (3) и (3*) получим далее, принимая во внимание предполо-
жение о целых числах i't и ,

Ух = ?Л. — 71Па =

= /X - /X + S (fpi —hEi) sin i ni,
уг = - /i’ll + ina =	( ’

= — i’ti + iini + S (— i'Di + iiA) sin i-q'
и

xx = hOi -f- iia2 + S ii.Fi cos ir]i; 1	(7*)

*a = 7iai + 7iaa + S/1 Fi COS i T)1- J

Наконец, сделаем еще линейную подстановку, полагая

У1 = /Х, — УХ, r I	(8)

Уа = - «1Т]1 + ЧПа >
и

«! = /1«1 — il«2, f j

«а = — ii.Xi + ixXi* 7

Последние соотношения могут быть записаны также в форме

П1 = ii^i + 71Уа, 1

Па =	4" /1Уа J

Xi = ixOi + ii<xa,
®а = 7101 + /1«а-

(9)

(9*)
Мы утверждаем, что дифференциальные уравнения (1) можно
заменить системой уравнении

dF dyt dF
dt	ду. ’	dt	dx.	’

,	1	(10)

rf.r2	dF	dy2	dF

dt	dy2	dt	dx\	'

Действительно, мы видели, что переход от переменных хг, х2,
у1г у2 к переменным |1( |2, т]х, т]2 не может нарушить канонической
формы уравнений. Далее, теорема о преобразованиях Якоби
из § 1 показывает, что переход от последних переменных к пере-
менным ах, а2, r|j, г[2 также сохраняет каноническую форму.
В самом деле, согласно (9) § 4 имеем

' дс < । о dS е &s

Ъ=—	+

’ дС . . D dS - dS
------d^ + ^-dZ,’	& = av

где S является определенной функцией от rji, Т)2, ар а2 и по фор-
муле (8*) § 4 имеет форму

S — а.,т]2 + W (t]j, ах, а2).

Итак, согласно теореме о преобразованиях Якоби ах, а2, т)', т)2
также образуют каноническую систему с той же самой характе-
ристической функцией F. Наконец, линейная подстановка (9)
и (9*) очевидно оставляет неизменной каноническую форму.

По (7) и (7*) старые переменные хи х2, уь у2 связаны с новыми
переменными x'v x'z, yv у'2 следующими уравнениями:

У1 = У1 + S sin s (iiyi + /it/г).

У2 = у'% + S E'a sin s	+ /iy2),

' 1 V	' I • ' \	(11)

= хг -J- 2j Fs cos s (11У14- ]ty2),

x2 = xt + S Gs COS S (z’il/1 + jjy'z),

где s изменяется от нуля до oo, a Fo и Go не обязательно должны
быть равны нулю.

Все коэффициенты Aij в возмущающей функции умножены
на возмущающую массу р,. Если бы были равны нулю, то,
очевидно, все коэффициенты периодических членов в (11) обра-
тились бы в нуль и мы имели бы

У1 = У1> Уг = Уъ Xt = xlt х2 = х2.
Это замечание важно в том случае, когда рассматривается
изменение возмущающей функции при введении вместо xlt х2,
Ух, у2 величин x'v х'2, y'v у2.

Рассмотрим новую форму возмущающей функции. Положим

F = Л + Л-

Выражая хх, х2, ylt у2 через новые переменные, в соответствии
с (3*) § 4 приведем Fr к функции от х2 и х2, которая не зависит
ни от ух, ни от у2. Итак, положим

Fx = <I>i («1, х2).	(12)

Что касается Fx, то эта функция содержит все члены из F, за
исключением «вековых» членов, которые содержатся в Ф, и перио-
дического члена Aij, cos (iij/x + Если теперь ввести новые
переменные xlt Ух, Уч, то Fx примет впд

р'х = lAij cos (iy'x 4- jy’z),	(13)

и в соответствии со сделанным ранее замечанием о рядах (11)
новые коэффициенты Aij будут отличаться от соответствующих
коэффициентов в ряде (1*) только па величину порядка квадрата
возмущающей массы. В (13) также может, пожалуй, встретиться
член вида

cos (ixy'x + 711/2)-

Но в таком случае этот член умножается на квадрат возмущающей
массы, в то время как член

cos (Цух + ПУ 2),	(14)

который мы брали в промежуточной орбите J\, содержит множи-
телем первую степень возмущающей массы.

Итак, при помощи промежуточной орбиты Jx мы получили
возмущающую функцию, в которую член (14) либо вообще не
входит, либо приобретает еще более незначительный коэффициент.

Мы сделаем теперь еще одно преобразование Делоне или
«операцию», как это преобразование называет сам Делоне. Из воз-
мущающей функции Fx выберем член

Ai,it cos (i2y'x + /2г/2)	(14*)

и определим новую промежуточную орбиту J2 при помощи
600	0 ФОРМЕ ИНТЕГРАЛА В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ			[ГЛ. X
уравнений  где	dxi	dF2	dyi	dFt  dt	dyi	’	dt	dxl	’  dx%	dFa	dy%	dF a  dt	dyi	’	dt	dxi	’  Fa = Ф1 + Ац, cos (ityi + Дда	  ).		(15)  (15*)
Аналогично предыдущему можно записать уравнений в форме  yi = У1 + S # sin з (hyi + Jty't), yi = yi + S E't sin з (i2yi + hyi), xi = xi 4- SF"t coss (г'ау! 4- hyi), Xj = xi 4- 2j G» cos s (t2yi + /аУа)>			интеграл	этих  (16)

и теперь дифференциальные уравнения (1) можно заменить урав-
нениями

dxt	dF	dy’l _	dF ,	
dt	~~ svi'	dt	dxi ’	
d®'	_ dF	dyi	dF	(17)
dt	dvi ’	dt	a®' ’	

где характеристическая функция F теперь имеет следующую
форму. Если положить

F = Fa + Fa,

то Fa приведется к функции от xi и ха:

Ft = Ф, (xi, xj).

Что касается Fa, то имеем

Ft = SAyCOs (iy’i + /уа),

и в этой сумме члены вида (14) и (14*) либо не встречаются вообще,
либо они имеют намного меньшие коэффициенты, чем в прежней
возмущающей функции*). Так новыми операциями можно по-
следовательно убирать или уменьшать члены один за другим.

*) Следует отметить, что одновременно с членом A cos (Zyi 4* /у») можно
уничтожить также все члены вида A, cos s (lyi + /уа). Ср. $ 4.
Будем предполагать, что после серии из г таких операций
получается возмущающая функция Fr, в которой периоди-
ческие члены численно настолько малы, что ими можно прене-
бречь. Значение Fr сводится к вековому члену Фг, который за-
висит от xi^ и х<г\ Тогда получим уравнения

dJ{>	дФР	dtf	d<br
dt		dt	dz^ ’
d^r)	дфг		</ФР
dt		dt	

(18)

которые дают для aci"* и постоянные значения, а для у(Р и уР
значения

yir) = nJ + С1Д	(19)

yV = n2f 4- c2,J

где

0Ф.

П1 ’

дфг

Если теперь выполнить все подстановки, которые даются урав>
нениями (И), (16) и т. д., то получим

yi = «it 4-	ci +	S Dii sin [i (nJ 4- cx) 4- j (nJ	4-	<?,)],

у2 = nJ 4-	C2 4-	2 Ei} sin [ i (nJ -f- cx) 4- / (nJ	4-	c,) ],

xt =	2 Рц cos I* (nJ 4- ci) 4- 1 (nJ	4-	cj ],

x2=	2^0 cos I’ (nJ 4- ci) 4*/ (nJ	4"	c«)]>

что и дает выражения для координат в чисто тригонометрической
форме.

Мы предполагали здесь, что имеем дело с движением только
с двумя степенями свободы. Но приведенный выше метод, оче-
видно, можно применить к каноническим дифференциальным
уравнениям произвольного порядка. Видимо, для канонической
системы с р степенями свободы получим в общем случае также р
различных так называемых аргументов

nJ 4~ С|, nJ 4~ с2, . . , , nJ 4“ Ср.
В § 10 гл. V мы нашли, что дифференциальные уравнения
задачи трех тел могут быть сведены к четырем степеням свободы.
Поэтому элементы L, Г, L’, Г', I, g, Г, g' могут быть выражены
при помощи тригонометрических рядов с четырьмя аргументами.
Если выразить аналогичным образом прямоугольные коорди-
наты, то получим еще такой аргумент, который выражается
через среднюю долготу общей линии узлов обеих орбит. Этот
аргумент можно получить из уравнений (12) § 10.

Итак, в проблеме трех тел прямоугольные координаты могут
быть выражены при помощи чисто тригонометрических рядов
с пятью аргументами, которые все являются линейными функ-
циями времени. Если движение происходит в плоскости, то коор-
динаты выражаются через ряды с четырьмя аргументами.

В плоской астероидной задаче трех тел, в которой возму-
щающее тело движется вокруг Солнца по круговой орбите, коор-
динаты можно выразить через тригонометрические ряды с тремя
аргументами. (В пространственной задаче появляется еще одни
аргумент.)

Гениальный метод Делоне весьма универсален и имеет боль-
шие преимущества перед другими методами, которыми пытались
воспользоваться для получения решения проблемы трех тел
в тригонометрической форме. Но он страдает двумя существен-
ными недостатками, которые ограничивают его применение.
Во-первых, в практическом отношении оп весьма трудоемок.
Делоне выполнил не менее 497 операций, прежде чем получил
возмущающую функцию, которая, в пределах принятой им точ-
ности, не содержала никаких периодических членов. Такая ги-
гантская работа могла быть уместна для случая орбиты нашего
спутника. Для других небесных тел должны быть найдены более
компактные методы.

Во-вторых, необходимо учесть еще один существенный теоре-
тический недостаток. Выше мы молчаливо предполагали, что
ни одна из введенных промежуточных орбит не должна обладать
либрацией по уг или г/., (соответственно по у1( у2 пли у[, у2 и т. д.).
Но если бы имел место этот случай, возможность которого необхо-
димо предусмотреть, то при вариации элементов такой промежуточ-
ной орбиты эти вариации проходили бы иногда внутри лпбрацпои-
ных границ упомянутой орбиты, а иногда вне ее. Но как в таком
случае можно вывести тригонометрическую форму решения? Следу-
ет заметить, что такой случай едва ли можно избежать при соизме-
римостях высших порядков. Поэтому доказательство существо-
вания тригонометрической формы решения проблемы трех тел
с помощью метода Делоне оказывается нестрогим. Обусловлен ли
этот результат природой задачи пли дефектом метода — этот
вопрос оставим пока открытым.
§ 8. О представлении интеграла задачи трех тел
в тригонометрической форме (продолжение)

Если выражать координаты в проблеме трех тел в тригономе-
трической форме, то необходимо тем или иным образом исполь-
зовать промежуточную орбиту, параметры которой изменяются
таким образом, чтобы можно было представить истинную орбиту.
Обычно с этой целью вводится кеплеровский эллипс, хотя он для
этой цели мало пригоден. Наибольшая заслуга Гильдена состоит
в том, что он различными способами показал, что основное условие
сходимости последовательных приближений состоит в том, чтобы
с самого начала исходить из подвижного эллипса, а не пз эллипса
с неподвижной линией апспд, каким является обычный кепле-
ровский эллипс. Эти весьма простые, но важные исходные идеи
в той или иной форме встречаются во всех методах, которые вы-
двигались в последнее время для вывода тригонометрической
формы решения.

В формальном отношении очень гибким прп отыскании ре-
шения оказывается уравнение Гамильтона —Якоби. Наиболее
плодотворно оно используется Пуанкаре в его исследованиях
на эту тему во втором томе его «Methodes nouvelles». Большое
преимущество уравнений в частных производных лежит в почти
исчерпывающей возможности, которую они представляют для
введения избыточных постоянных интегрирования. Используя
это свойство и исходя пз метода Пуанкаре, мы показали [88],
как можно различными способами прийти к тригонометрическим
выражениям для элементов. Проведем здесь эти исследования
более обстоятельно. При этом мы ограничимся астероидной зада-
чей трех тел, ибо в этом случае рассуждения будут более корот-
кими. С другой стороны, это связано с тем обстоятельством, что
сейчас не существует каких-либо практических методов, чтобы
выразить численно координаты в тригонометрической форме
в общей задаче трех тел. Теоретическую возможность такого
представления мы показали в предыдущем параграфе.

Используем переменные § 3; тогда

агг=]/ла,	yi = Z + rt — Nt, 1

= У а (1—У1 — е-), уг = — a-\-Nt, J
п будем пметь

4^ = ^,	(i = i,2),

dt ду^ dt	dxj х	'

где

F = F0 + рЛ,

(1)
и Fo имеет значение

F° = -^- + 2V(x1-x2).	(2)

Возмущающая функция имеет форму

Л = 2Р1о cos [ iyr —s (ух + у2)].	(2*)

Коэффициенты разлагаются по степеням У®2.

Будем интегрировать дифференциальные уравнения (1*) при
помощи дифференциального уравнения в частных производных
Гамильтона — Якоби:

?(£% »'•«')=-с-

Если

S = S (ж®, aS; Ух, Уг)

— интеграл этого уравнения с двумя независимыми постоянными
интегрирования х° и х^, то xlt xt, ylt у2 получатся из уравнений

дЗ дх®	=#‘+^	дЗ — —х^ dyi	(3*)
дЗ		дЗ — =*2-	

Покажем, что S можно различным образом выразить как пе-
риодическую функцию от yt и уй. Для этой цели мы воспользуемся
следующим искусственным приемом. Положим

R = Fo + р.ф,	(4)

так что

F = R + ц (Л -ф).	(4*)

Здесь под ф понимается пока совершенно произвольная функция
-от а\ и х2.

Положим далее

С = Со +	+ psC2 + . . .,	(4**)

и предположим, что дифференциальное уравнение (3*) можно ин-
тегрировать при помощи ряда

5 = 80 + рУх + р252 + . . .

(5)

Принимая во внимание форму (4*) для F, для определе-
ния So, Su S2 и т. д. получим следующие дифференциальные
$8] О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ИНТЕГРАЛА ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 605
уравнения:

<«>

и, вообще, при р > 1:

dR dSp . dR dSp ______ф ____л	/«7*\

a»i dyi ф dx.t~d^-	°р»	V >

где Фр обозначает функцию от So, St, . . . , Sp-lf которую можно
«считать известной благодаря предыдущим интегрированиям.

Рассмотрим сначала уравнение (6) для So. Его решение можно
записать в форме

So = Х1У! + я&/а,	(8)

тде х? и обозначают две произвольные постоянные. Тогда между
Co, if и 4 должно иметь место соотношение

Со = — Я (ж?, 4).	(8*)

Если затем положить			
«о	dR	dC0	
пх — -  п°	dR	dz° ’ dCa	(9)
	м	4 ’	

тогда уравнения для 5Х и 8Р могут быть записаны в форме

О	।	0	_ г. . , р

„о dSp , о dSp i r«

m ’^”2	“ ФР + СР-

(Ю)

(10*)

Если рассмотреть в форме (2*), то интеграл (10), очевидно,
можно записать в виде

51 = 3 77" ‘о sin Ил —5 (У1 + ?«) ь	(11)

(l —- S) 7l| — Sn^

где штрих над знаком суммы означает, что надлежит исключить
значения i = s = 0. Ряд (11), очевидно, удовлетворяет урав-
нению (10), если предположить, что С\ выбрано так, что не за-
висящие от yt и у2 члены в правой части (10) обращаются в
нуль. Если через [FJ обозначить вековую часть возмущающей
функции, то Clt следовательно, должно удовлетворять условию
[FJ -ф (4, -г G = 0.	(12)

Очевидно, дифференциальные уравнения для S2, 83 и т. д.
совершенно аналогичны дифференциальному уравнению для St.
Фр получим в виде

Фр = 2/1 u’ cos [itjt — s (уt + у,)]

и обозначим не зависящий от уг и у2 член через [Фр1; определим
Ср таким образом, что

[ФР1 + Ср = 0;	(13)

тогда Sp получаем в форме

8р = 2т—Л---------Г sin ~ s + Уг)1-	(13*)

(l — s) /q — sn"

Итак, интеграл (3) будет иметь следующую форму:

S =	+ Х2У2 + 2'Bis sin [iyx —s (yl + y2)],	(14)

где коэффициенты Bis разлагаются по степеням р.
Уравнения (3*) примут вид

f + Р1 = У1 + V'-Д8 sin [iy^ — s (yi + у2)],
дх"	дх"

^-t + ^ = y2 + ^^-sin{iy1 — s(y1 + у2)],

Xi — Xi + Y (i — s) Вis cos [iyi — s (t/i + y2)],
x2 = x2 — 2 sBis cos [iy-i. — 5 (г/i + y2)l,

(15)

что и приводит к интегралу в искомой, чисто тригонометрической
форме.

Эти формулы справедливы при всяком значении функции
ф («!, а:2). В этом нет ничего странного, так как согласно (4) и (4*)
рф нужно сначала добавить к величине Fa, а затем вычесть из р/\.
Но мы найдем, что на свойства интеграла S сильно влияет выбор
величины ф. После того, какф будет определена, пз формулы (15)
получаем, что истинное среднее движение пг величины равна
дС	дС г

—г и истинное среднее движение п9 величины у» равно —й . J ово-
дх"			ох"

рят, что угловая величина у обладает истинным средним движе-
нием п, если

у = nt + периодическая функция t.
$ 8]

Заметим, далее, что выбор функции ф влияет на значения,
величин nJ и nJ. Делители, которые входят в ряды для Slt S2,
S3 нт. д., имеют вид

(z — s) nJ — snj.

Следовательно, значения делителей зависят от выбора функ-
ции ф. Мы можем ф выбрать так, что эти делители будут иметь
такие значения, что все ряды для Slt S2 и т. д. будут сходящимися.
С другой стороны, мы можем встретить такой выбор, что пх и п2
в момент t = 0 либо совпадают с оскулирующими средними дви-
жениями, либо будут тождественны с истинными средними дви-
жениям, либо будут иметь неизменные значения для ряда зна-
чении Хх и хг. Для достижения этих различных целен можно
рекомендовать, в зависимости от обстоятельств, несколько варьи-
ровать развитые выше методы.

Если мы хотим добиться, чтобы ряды для всех Slt S2 и. т. д.
были сходящимися, тогда по теореме Брунса, которую мы рас-
сматривали в § 5 гл. IX, величину ф необходимо выбрать так,
чтобы отношение nJ : nJ было корнем алгебраического уравнения
с целочисленными коэффициентами по меньшей мере второй
степени. Тогда для этих значений nJ, nJ все ряды Sj, S2 и т. д.
будут сходиться. Отсюда, естественно, не следует, что ряд

S = 50 + p$i + р252 + р353 + . . .

также будет сходящимся.

Если сделать так, чтобы в делители входили истинные средние
движения величин ух и г/.,, то целесообразно избрать следующий
путь. Положим

R = Fo +	4-Игй2 + • • .,

где й1( Й2, . . . обозначают пока неопределенные функции от х2
и х«. Тогда имеем

F - R 4- р (Л - Йх) + р2 (Г2 - Й2) 4- • • •

Будем искать решение уравнения

Z, ( dS dS	\	„

\дух' ду2 ’

в виде ряда

S = So 4- pSi 4- р2*$2 4- • • •:

тогда для So получим уравнение

d / d-Ур \

\9У1 ’ ду2)~	’
которое дает

$о =	+ а&г»

где гх и обозначают две постоянные интегрирования.
Если положить

_ \dR _ дС _ dR _ дС

1	дх^ Пг а»®	а»®’

то, очевидно, в силу (15) пх и па совпадут с истинными средними
движениями величин ух и yv Величины £2Х, й2, . . . определяются
так, чтобы в уравнениях для£х, 52 и т. д. уничтожались неперио-
дические члены.

Так как получаем

Йх = IFX],

то для истинных средних движений в астероидной задаче трех
тел находим следующие приближенные значения:

а [А]

	df'o		а[А1	1	N н
	ах®	г	дх®	~ х°3	" И
п2 = -	dF0 ах®	-р	а [А] а*“	= 2V_rxdJAl> а*®

Если эти выражения сравнить с формулами (1), то найдем следую-
щие значения для среднего движения перигелия и средней ано-
малии I:

_ .г а[А]

dt J - ** dx°2 ’

di_1 _ j________a[A] _ a [A]

. dt J a;03	QjA	qxo

1.	к	A

(16)

Эти формулы справедливы с точностью до членов первого порядка
включительно. Выражение для [Fx] берется из § 3. Не менее
интересен и другой способ выбора делителей. Величины пх и п2
можно выбрать так, чтобы они в момент t = 0 совпадали с оску-
лирующими значениями средних движений по ух и у2. Этого можно
добиться следующим образом.

Положим

С = Со + рСх + р2С2 + . . .,

S = So + ц«$х + р2«52 + . . .

и сначала получим

р (а А а а х____

0 \ dyi ’ dy2 / —

-Со,
откуда

So =	+ х2у2.

Мы хотим так определить функции Slt S2,  • чтобы по-
стоянные интегрирования хх, х2 в момент t = 0 совпали с оску-
лирующими значениями хх и х2.

Для 5Х справедливо уравнение

rai ~dyi	=	(zi» х2> Уь Уг) +	(^)

и, вообще,

»:^+”5ж = ф» + ^	<17*>

где Фр зависит от Sx, S2, . . . , Sp_j.

Здесь

„о dFo . „о _ dFo	Л7**\

Интеграл (17) можно записать в виде

Si = «1 + ₽1У1 + Т1У2 + S 8»п (4/i — «(Ух + У г) Ь	(18)

где

р(О

В<» =	, *

” (i-«)«’-»»»’

(18*)

До сих пор мы полагали лишние постоянные интегрирования
ai> Pi> Yi равными нулю, но теперь мы распорядимся ими иным
образом. Те же самые постоянные можно, очевидно, выбрать
произвольно, если только выполняется соотношение

«1₽1 + «2₽2 = [FJ +	(18**)

Это уравнение выполняется при соответствующем выборе С2.

После того как определено Sb аналогичным образом получим
S2. Положим

Фр = ZAiP cos [iyx — s (yx 4- y2)J

и тогда получим

Sp = ap + Mi + У2УР + S'Bl? sin [iyt —s (px 4- Уг)1> (!9)
где
Постоянная Ср определяется из уравнения
и?Рр + «зТр = ‘lo? + Ср.

(19**)

Теперь S мы можем записать в форме

5 =	+ Ж2У2 + а + Pl/i + УУг +

+ 2'BiS sin [iyi — s -f y2)], (20)
где

a = pax + p2a2 + . . .,

P = hPl + H2P2 + • • •>

Y = HYi + H2Y2 + • • • ,

Bis =	+ |i2Bi2) + . . .

Из (20) получаем интегралы

«1 =	= 4 + ₽ + 2 О’ ~ s) Bis cos [Ч/i —«(У1 + Уг)1.

dS	<21>

я2 =	= Х2 + т —2 sBis COS [г>1 —s(yi + у2)]

и

дС . .	. дх . д$ . ду '

^t + c1-y1+ — -г —у1 + — у2 +

+ 2 sin [iyi—s + у^>

дС . ,	da 1	30 ду	(21*)

+ Q = у2 +	^5-ух + ^-у2 +

+ 2sin 8(У1 + й)1‘

Величины а, р, у, являющиеся произвольными, должны быть
выбраны так, чтобы при t = 0	= Xi и х2 = ж2, и чтобы, кроме

того, постоянные ct и с2 совпадали со значениями у± и у2 при t = 0.
Обозначим эти значения через у? и у2 и тогда получим условия

Р + 2’ (»— «) Ви cos [iy? — s (у? + з/g)] = 0,
T — 2' sBu cos [гу? — s(yi+ y2)] = 0,
<*+₽«/? + T3/2 + 2’ Bis sin [гу2 — s (у® + y2)] = 0,

(22)

из которых должны быть определены a, Р и у.

Так как xi и х2 являются оскулпрующими значениями для хх
и х2, то —— будет оскулирующим значением среднего движения I.
Следовательно, в силу (1) при t = 0 оскулпрующее среднее дви-
жение по у2 равно

1____N = — 21°. = п°

х™	дх° 1

а оскулпрующее среднее движение по у2 равно

АГ — — dF° — и0
*’----—у — п2,

так что til и п2 в этом случае обозначают оскулирующие средние
движения величин ух и у2.

Из (22) получаем

+ п?т = — S' l(i — s)nx —лиг] Ви cos [гу? — s (у* + у£)].

Если в правой и левой частях приравнять коэффициенты при
одинаковых степенях р., то в силу уравнений (19*) и (19**) полу-
чаем

Ср = - А$ - ХА4(8р) cos I iyi - s (у? + у?)] = - Фр (y$, yt° ).

Следовательно, постоянные Cp необходимо определить так, чтобы
при t = 0 правая часть уравнения (17*) обращалась в нуль.

Так как, кроме того,

Со —	Fп,

ТО

так что

Fo + 2|1Рф<Р) (у°ъ у°2) = -С,



(23)

Значения истинных средних движений пх и п2 легко выводятся
из (21*) и (23). Для этой цели нам необходимо только отбросить
периодические члены в (21*) и разрешить уравнения относительно
ух и у2. Коэффициенты при времени t в этих выражениях дают
нам тогда значения пх и п2. А именно, получаем

h + *3 \п 4- и )

дС =
дх°

п2.

(24)

'2
Если отсюда с помощью (23) исключить частные производные от
С, то истинные средние движения можно выразить как функции
оскулирующих элементов.

Ограничиваясь первыми степенями относительно масс, в силу
(23) будем иметь

— = n® —cos [iy«—s(у® + у®)],
-§="?-И 3 cos [ iyW - s (у’+ у») ].

Заметим, что в этих рядах имеется также член с s = 0, i = О
Затем согласно (24) с той же степенью точности получаем

И1 =

дС
дх°

П^

1 дх*

п2 =

дС
дх*

п® .

1 дх*

П*-Ц-.

2 дх*

П*Ц-

2 дх*

ЭЗ

П1₽ -1- «2У = — р2'Р(«{) COS [ iyi — s (у? + Уг)1«

Если это уравнение продифференцировать по аг? и xi и учесть, что

М ____3	j!2l = o

5г®	х** ’	дх*

4=о-	’4-о.

а»?	дх*

то получим

"? Д + п° Д= ф? ~ и 3	cos 1	“(й+й) 1 ’

"! Д + "!	— и 2'	cos lf«? О? + »!)!•

Отсюда, наконец, получаем

«1 = «? - Н 4^- +	гао^8По cos [гуо-<(у®]+ у»)],

ихj	х^ — л/ ri^ — orfj

что и представляет собой искомое соотношение между истинными
средними движениями (пг и п2) и оскулирующими (п? и /г?).
Различие между истинными средними и оскулирующими дви-
жениями при известных обстоятельствах может стать, очевидно,
значительным также и при малом р,, в частности, если имеются
малые делители в соизмеримостях низшего порядка.

Использование оскулирующих средних движений в делите-
лях полезно не только потому, что можно непосредственно про-
водить вычисление коэффициентов в разложении возмущающей
функции, в то время как при использовании других средних дви-
жений приходится искать окольные пути, но и потому, что оно
имеет важное достоинство, состоящее в том, что для возмущений
различных порядков получаются сходящиеся выражения.

Учитывая соотношения (22), получим, например, для выра-
жение

= xi + pS'iB$ [cos (iz/i + /у2) - cos (iyl + yyj)],

где взяты только возмущения первого порядка и несколько из-
менены индексы.

Из ряда правой части мы рассмотрим члены трех типов.
Положим

2'iBn [cos (iyx + jy2) — cos (iyj + jy2)] = Xx + S2 + 23.

В мы включаем такие члены, которые фактически будут вхо-
дить в (упомянутые) числовые расчеты. Сумма Х2 охватывает
все такие члены, в которых малые делители не становятся меньше
определенной нижней границы. Так как сумма ХР,4 предпо-
лагается сходящейся, то, значит, при произвольных ух и у2 зна-
чение 2 2 не может превзойти определенную конечную величину.
Сумма Х3 содержит так называемые критические члены, которые
имеют малые делители различных порядков. Мы покажем, что
Х3 для конечных значений времени не может превзойти некото-
рую конечную величину.

В самом деле, имеем

_ 2iP (.У1 + У1 , ,Уг + у2\ ,
Х3 = — рХ .	,  :-0 sin —2-i- + /—2— } X

1И® + /«2	4	2	2	’

„ . I. yi - у? . . У2 —

Но при малых значениях времени приближенно имеем

У1 = Ух +

Уг = Уг + «2^.

40 к. Шарлье
о	г» Z-

где пх п п2 ооозначают оскулпрующие средние движения, п,
следовательно, для S8 получаем приближенное значение

„	. V • п • (  У1 + У1 , • у- + 2/з V

Х3 = — |1Z 1гР sin I г —r--Ь J —— I ’

'	6л	6л •

которое оказывается конечным. Таким образом, малые делители не
вызывают расходимости ряда для по крайней мере для малых
значений t. Наоборот, мы видим, что действие этих членов такое
же, какое имело бы место, если бы в хг и х» входили вековые
члены неизвестной величины. Если числовые расчеты недостаточ-
но полны, так что в 23 входят критические члены низших
порядков, то различие между вычислениями и наблюдениями
быстро обнаруживает пропорциональную зависимость от времени.
Если же числовые расчеты охватывают достаточно большое
количество членов, то малые делители станут заметны только
после сотен или тысяч лет.

Подставляя в уг и г/2 значения а, (3, и у и объединяя члены
в группы, как и выше, найдем, что здесь благодаря малым дели-
телям различие между вычислениями и наблюдениями в j/l и у2
возрастает пропорционально второй степени времени, или по
крайней мере может возрастать. Если ряды

SSjj соответственно У,

сходятся, то 23 всегда должно оставаться внутри конечной гра-
ницы.

Эти рассуждения относятся только к возмущениям первого
порядка. Для возмущений высшпх порядков справедливы ана-
логичные выводы; только в этом случае появляются высшие сте-
пени t (или, правильнее, р/). Эти выводы можно сравнить с сооб-
ражениями § 6 гл. X о рядах обычной теории возмущений.

Дифференциальное уравнение в частных производных Га-
мильтона — Якоби дает, как мы видели, большую свободу выбора
постоянных интегрирования.

Наконец, упомянем еще о таком выборе, который имеет
большое значение при систематических определениях возмуще-
ния малых планет. В методе Болина, который мы рассмотрим
подробно в следующем параграфе, возмущения группы планет
связываются, как известно, с определенными значениями по-
стоянных интегрирования, для которых средние движения пла-
нет соизмеримы. Между тем такие групповые возмущения от-
нюдь не обязательно связывать с точками соизмеримости, и
можно, конечно, исходить из совершенно произвольных значе-
ний элементов и к ним относить возмущения группы планет.
Вообще даже выгоднее выбрать точку несоизмеримости, так
§8] О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ИНТЕГРАЛА ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 615
как тогда функцию S можно разлагать по степеням р,, а не ]/р.
С другой стороны, предпочтительнее групповые возмущения свя-
зывать с точками соизмеримости только в особенных случаях.

Еще раз положим

S = So + pSj + p2S2 + . .

С = Со + pCj + p2C2 + . . .

и сначала получим

». / dS$ QSq \ __л

lo\W

откуда следует

So =	+ х2у2.

Затем имеем уравнение

niWi + n^==F(^' Уъ Уг) + С1’

интеграл которого запишем в форме

S = 01У1 + У1У2 + периодическая функция у2 и у2.

Теперь мы можем обеим постоянным п х2 дать произволь-
ные числовые значения, а 0 и у рассматривать как постоянные
интегрирования. Предполагаем, что величины 0 и у не слишком
большие.

Для С2 выберем такое значение, что

«201 + «2yi = [^11 + Ср

Определение S2, S3 и т. д. происходит тогда обычным образом
при помощи формулы (10*), и Sp (р > 2) можно всякий раз за-
писать в чисто тригонометрической форме.

Так как иногда оказывается необходимым учитывать члены
второго порядка, то рассмотрим дифференциальное уравнение
для S2. Имеем

(D - 1 (d*Fo (dS1 V । 2 d*F dS' dS1 I (dS' VI i

8	2 i ' fyi / "Г дхгдхг dyi dy2 fag \ dy2 ) ]'

4 X	2

। dFi dSi  dFi dSi  r,
"T” dxi dyi dx2 dy2 ‘	i

В астероидной задаче трех тел в силу (2)
F = -дгро-О
2 dxidz2
И

w0 _ _з_
дх* kJ *

так что

ф - 3 lds\z \ dFl dS1 I dF1 dS1

8 2«J* vfyif "1” "Г дхг дУг

Если записать

Л = S4y cos (iyx + jy£,
TO

Si = pyi + ТУ» + 2 —o'sin

где Ац, nJ и nJ нужно вычислять для значений х} = х[, хп_ = £»•
Таким образом, имеем

s; = 3^i“stoi+ »•).

ъ; -2-^см(ги + М>-

Заметим, что Ф2 является функцией второй степени относительно
Р и у. Так как постоянную С2 мы хотим определить так, чтобы в
Ф» + С2 обращались в нуль постоянные члены, то Ф2 + Сг
будет линейной функцией Р и у вида

Ф2 + Сг = TW + ртго + уТ<з),
и здесь

T<31 = 3 cos (wi +

В тех случаях, когда при непосредственном вычислении возмуще-
ний нет необходимости в учете возмущений второго порядка,
функцией Т(1), вычисление которой несколько затруднительно,
можно пренебречь и положить

Ф2 + Сг =	+ уТ(8>.

При применении этого метода для систематического вычисле»
м	О

ния возмущении малых планет величине дают ряд равноот-
стоящих значений и вычисляют соответствующие значения Ац
и их производные. Эти величины представляются в виде рядов по
степеням величины а£, которую можно оставить неопределенной.

§ 9. О представлении интеграла задачи трех тел
в тригонометрической форме (второе продолжение)

Если дана алгебраическая зависимость между х п у

F (х, у) = Fo (х) 4- рЛ (х, у) — С = О,	(1)

то в общем случае имеется корень этого уравнения, который
может быть разложен по степеням р в окрестности р = 0. Если
х0 — одно из значений х, которое удовлетворяет уравнению

F0(x0) — С = 0,
и если положить

х = х0 + дх,

то (1) получим в форме

п, следовательно, дх можно прп малых значениях р разложить
по положительным степеням р в предположении, что равенство



(2)

не имеет места.

Но если С имеет такое значение, которое удовлетворяет урав-
нению (2), то дх нельзя разложить по степеням р; тогда существует
разложение б ж по степеням Ур.

Рассмотрим вместо алгебраического уравнения (1) дифферен-
циальное уравнение впда

+	(3)

тогда в общем случае существует решение

S = So +	+ р2^ + . . .,

где |$о, 51( 8г, ... суть функции от у. Таким образом решение
разлагается в ряд по степеням ц. Но если выполняется уравнение
(2), то соответствующее решение (3) имеет вид

S — So 4- ]/~4- р5г 4- р Ур£з 4" • • •	(4)

Если вместо обыкновенного дифференциального уравнения (3)
было бы дифференциальное уравнение с частными производными
для S с. двумя пли большим количеством независимых переменных
У1> Уз> • • • > 11 F» зависело бы только от

dS_ dS_ dS_
dyi ’ ду-i ’ дуз ' ‘ ‘ ’

но не от уъ у.г, г/3, . . . , то результат был бы аналогичен (4).
Только условие (2) получает другую формулировку.

Возвратимся к астероидной задаче трех тел, в которой Ft
является периодической функцией от уг и у2 с периодом 2п по
обеим переменным. В предыдущем параграфе мы видели, что
ПОДХОДЯЩИМ ВЫборОМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ фуНКЦПП ф (х[, xj) можно
добиться, чтобы величины nJ и nJ, которые входят в делитель
in$ 4- ]п°, принимали произвольные значения. Это справедливо
также для значении постоянных интегрирования и arj. Мы на-
шли также, что интеграл S дифференциального уравнения Га-
мильтона — Якоби

j-i (dS dS \ .	>7 idS	dS	,	zr,

г» I — , “а— ) 4“ Н* 1 (“а— »	а—	»	//1» Уз)	— — V	(5)

°\dyi’ дуг) ' r \dyi	dy2	’	а	' >

может быть представлен в общем случае рядом, который распо-
лагается по возрастающим степеням р

S = 504-p*Si4- р2*$ 2 4- • • •	(6)

Но в предыдущем параграфе мы видели, что это не имеет
dF0	dF $	„

места, если производные —- и —-; связаны линейным со-
dx" dx’2

отношением с целочисленными коэффициентами. Тогда инте-
грал можно разложить по степеням Ур. Впервые это показал
Болин {89]. Его метод стал предметом обстоятельного изучения
во втором томе «Methodes nouvelles» Пуанкаре.

Вводя фупцию ф предыдущего параграфа так, что

F = Но + р (Л - ф)	(7)

и

+ И»	(?*)

предположим, что произвольная функция ф получает такое зна-
чение, что

4" /(/^2 О»

(8)
где положено

«0 =

dR

По =

dR
dx^

(8*)

В уравнении (8) i0 и /0 обозначают два целых числа. Какие бы
значения ни имели истинные средние движения величин г0
и ;0, всегда можно так выбрать ф (хи х2), чтобы выполнялось ус-
ловие (8).

Произведем теперь линейное преобразование

’ll = tyi + 7оУг,
’la = M/i + 7оУ2,

— г0^1 Н- *оВ2>
хг = 7o£i 4" 7оВ2,

(9)

которое не изменяет канонической формы. Числа 1ои/о выбираются
так, чтобы Iq70 — ;oio = 1. Этим самым мы добиваемся того, что
возмущающая функция будет периодической функцией относи-
тельно 7]! и т]2 с периодом 2л. Если положить

F = Ro +	(10*)

то

7?! = ZAij cos (ilh + JT]2),	(10)

где At, зависят от h и
Теперь имеем

dRp __ . dR0 . . dRn

и, следовательно, по (8) будет

д7?р ___q

(Н)

если £i, £2 являются значениями и £г, которые соответствуют
о	о

#1 == 21,	= х2.

Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение

d (	। .. ту (

\	Г.

’12) =-С

и попытаемся искать его решение в виде

<S = 5"о -|-	-|- ц52 -f- |i	. ,

одновременно полагая

С = Со + цС2 + цгС4 + . . .

(12)

(12*)

(12**)
Для сокращения записи обозначим
vo = _^°	(13)

Дифференциальное уравнение для So примет вид
р / d£c	д$а \____р

R° I 0Т|1 ’ dr)2 ) ~ С°’

Предположим, что его решение запишется в виде

So = Яъ + «П,	(14)

Имеем, следовательно,

во (Я, Я) = - Сй.	(14*)

Введение вспомогательной функции ф полезно, так как Я и Я
выбираются произвольно, и поэтому их можно считать по-
стоянными интегрирования. После того как выбраны Я и Я>
соответствующее значение для ф получим из уравнения (И).

Если в (12) подставить ряд (12*), то Для определения 3j, S2
и т. д. получим следующие уравнения:

<!>

мО = 1 dtR» ( V
2 Эт)2 2	\ dtji /

2»

0 ад8 _э2д0 ад. as2 . а2д0 dSi &s2 i азд0 / dSi
v2 dr)2 — аЯ dT)i dr)i + d£id£2 dr)i dt]2	6 dtf \ dr)i

n[d^ _д2Д0 dSi_	dSi	, 1 gv?o / dS2 \2	. av?o dSi	dS3

v® dm ая a’i1	+ 2 эЯ \	+	dm	d»i2

, а2Д0 д$г ds2	.	1 д2Д0 / dS2 \2 .	1 д»Д0	/ dSi \2	dS2

+ a?!dni dm	+	2 йЯ (dm / +	2 ая	\am/	dm

1 а»Д0 / dSi \2 dS2 

2 d^d?2 ' dm I dt)2 +

(П)

(III)

(IV)

Уравнению (I) удовлетворяет произвольная функция от т.
Пусть

8i — 8t (th)

(15)

является этим решением. Функцию выберем так, чтобы унич-
тожились члены в правой части (II), которые содержат в аргу-
19]	О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ИНТЕГРАЛА ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 621
ментах тригонометрических функций только ноне т|2. ЕслиФ—
произвольная функция вида

Ф = ат|! + &т]2 + 2у1;- sin (irji + /т]2)
или вида

Ф = 2бу COS (Й]1 +|/ц2),
то через (Ф) обозначим сумму тех членов из Ф, которые содержат
только “Пц так что в первом случае

(Ф) = arji + Ху» sin tfh,
а в последнем случае

(Ф) = 26<о СО9 ЙЦ.

Итак, мы определили так, что

4>О+(^+с’=«-	<1в>

Тогда функция St определится из уравнения

« Ях- (Лх) = 2 cos(frii + /П«)-

Штрих над знаком суммы означает, что следует исключить все те
члены, в которых j = 0.

Интеграл этого уравнения имеет вид

*$2 = S ~f -Ац s’n (гт11 + /Ла) + №)»	(17)

где функция (52) зависит только от т]х и пока не определена. Она
выбирается таким образом, чтобы члены в (III), не зависящие от
т]2, обратились в нуль.

Для этой цели должно выполняться уравнение

а2я0 д (5г) , 1 а«я0 /	\» = 0

6	\ ат)1)

или

з2я0 д 1 а»я0 / dSi \2 _ п	мя.

dt* 0Т11 + 6	(Эт)1) ~'

Б силу (16) это уравнение примет вид

/ а2я0 \’ afs2) 1 а®я0 I _______л мя*\

("^г)	3 7if(pi) + G_ '	(18 }
которое дает

/?” 1

№) = а2т|1 +	2 Т Ло sin гг)г,

где а2 обозначает постоянную, значение которой зависит от С2.

При интегрировании (III) в войдет произвольная функция
от т)х, которую определим так, чтобы зависящие только от т)! члены
в правой части (IV) обратились в нуль. Продолжая таким же
образом, мы, как и в предыдущем параграфе, получим S в форме

S = ат]1 + pr)2 + lBi} sin (ii]! + /т]2)	(19)

или, если снова ввести величины п у2,

S = а'у1 + р'г/2 + 5} В’а sin (iyr + jy2).

Итак, мы получили решение в чисто тригонометрической фор-
ме, причем здесь малые делители не возникают.

Рассмотрим более обстоятельно полученное решение.

Операции, которые мы выполнили, имеют, вообще говоря,
ту же природу, что и в предыдущем параграфе. Единственное
исключение представляет уравнение (16) для Sv Оно имеет форму

I В"о	= - с2 - 3 4i0 cos iTh.

Если C2 + Лоо достаточно велико, то отсюда получим

Bi = ctiili + sin /Цр

Но если 2' | Ai01 > |С2 + Лоо |, то колебания ти ограничены
частью окружности, и имеет место либрация по т^. Рассмотрим
более обстоятельно предыдущий случай. Рассматривая и £2
как постоянные интегрирования, представим теперь уравнения
для определения £2, гц, т|2 следующим образом:

_ = gi = а + iBi} cos (гni + /ц2),

= &2 = ₽ + 3 ]Вц cos (г‘Ц1 + /п2),
дС . , да . др . vi дВ . ..	. . ч

‘+с* = «я4* + «t4*+3-5? я” С’1*+№)'
дС . . да . S3 . V1 дВ . ,.	. . .

+2^а,“ <*’1*+

Истинные средние движения vlt v2 для r)i и ц2 получаются из
уравнений

дС ___ да , д$

~	+ aif Л2’

дС _ да 3.3

V1 + V2'

Они представляются в виде рядов, расположенных по воз-
растающим степеням ]Лр. Коэффициенты В у имеют такую же
форму.

Так как малые знаменатели, которые образуют главное пре-
пятствие для сходимости в обычных методах, здесь совершенно
не встречаются, то можно было бы думать, что здесь со сходи-
мостью дело обстоит лучше, чем с рядами предыдущего пара-
графа. Действительно, находим, что здесь ряды для S2, S3, . . .
сходятся, если сходится разложение для возмущающей функции. Но
мы видели, что этого же можно добиться также и для рядов пре-
дыдущего параграфа. Отсюда, однако, не следует сходимость
ряда

‘So +	+ Н КМ"$з + • • • !	(20)

действительно, Пуанкаре доказал, что эти ряды являются рас-
ходящимися.

Легко понять, как образуется эта расходимость. Для этой
цели исключим из возмущающей функции произвольный член

A cos (Zt)i + /Лг),

а из 3 — член

В sin (it)! + /т],).

Исследуем теперь форму В. В S2 мы получаем член

4-	sin (пи + /ц2),
v27

и отсюда

dS2 Лг /•	 • \

^ = ^cos(Hll + /1l2)-

Если через 0 обозначить постоянный член в , то в силу (III)
в 38 появится член вида

Л ,-2

3 -5- — sin (iTJi + 7*12)
v2 v" /
и, таким образом,

D «о A i2	. . .

^==₽^г^г^’С08(1П1+/Пг)

о

В тем же самым путем получим член

35*	. О2 Яо [S	. .

= т’cos (lTh+7Пг)

Следовательно, в S имеется член В cos (ii]i + /Лг), коэффициент В
которого разлагается в ряд по степеням величины

у— РЯ0 i
x = v»~-

Каковы бы ни были р, Р, Ro, v2, всегда можно найти такие зна-
чения i и j при произвольно большом х, что В представится
расходящимся рядом.
1.	Г у рса Э., Курс математического анализа, т. 2, ОНТИ, 1936.

2.	Р о 1 п с а г ё Н., Les methodes nouvelles de la тёсашцие celeste, 1.1—3,
Paris 1892_____1899.

3.	Lin’dstedt, Mem. de Г Acad, de St.-Petersbouig 21, N 4, 1883.

4.	E и 1 e r L., Mem. de 1’Acad. de Berlin, 1760.

5.	L e g e n d r e A. M., Traite de fonctions elliptiques et integrates du Eule-
йёппез, Paris, 1802.

6.	Сикорский Ю. С., Элементы теории эллиптических функций с при-
ложениями к механике, ОНТИ, 1936.

7.	J а с о b i С. G. J., Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum,
Regiomontani, 1829.

8.	S t a u d e 0., Math. Ann. 32, 1887.

9.	StackelP., Math. Ann. 42, 1893, 54, 1899.

10.	Kronecker L., Sitzungsber. der Berlin. Acad., 54, 1884.

11.	Дёмин В. Г., Астрой, ж. 37, вып. 6, 1960.

12.	Арнольд В. И., УМН, 18, N 6 (114), 1963.

13.	Tallqvist Н., Acta soc. sci. Fennicae, nov. ser. 1, N 1, 1927.

14.	BadaljanG. K., Comment, phys.-math. soc. sci. Fennicae 8, N 2,
1935.

15.	Бадалян Г. К., Астрой, ж. И, вып. 4,1934.

16.	Дёмин В. Г., Труды Университета дружбы народов, сер. мех., 9,
вып. 4, 1965.

17.	Белецкий В. В., Космич. исслед. 2, 3, 1964.

18.	Куницын А.Л., Космич. исслед. 4, 2, 1966.

19.	В и г г a u С., Astronom. Nachr. 136, N 3251, 1894.

20.	ОрловС. В., Голова кометы и новая классификация кометных форм,
Изд-во «Сов. наука», 1945.

21.	Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, Физмат-
гиз, 1963.

22.	D z i о b е к О., Die Mathematische Theorie der Planetenbewegungen,
Leipzig, 1888.

23.	P о i n с a г ё H., Bull, astronom. 14, 1897.

24.	J а с о b i C. G. J., Sur 1’elimination des noeuds dans le ргоЫёте des
trois corps.

25.	Allegret, Journ. de math pures at appl., 1875.

26.	D e 1 a u n а у C., Th4orie du mouvement de la lune, 1, Paris, 1860.

27.	Арнольд В. И., Сб. «Проблемы движения искусственных небесных
тел», изд. АН СССР, 1963.

28.	L е v i- С i v i t a T., Atti del R. 1st. Veneto, 74 1915.

29.	Lie S., Math. Ann. 8, 1876.

30.	Воронец, Изв. Киев, ун-та, 1907.
31.	R a d a u R., Ann. de I'Ecole Norm. Sup. 5, 1868.

32.	Charlier C. L., Medd. frAn Lunds. Obs., ser. I, 6, 1899.

33.	Bruns K., Uber die Integrate des Vielkorperproblem, 1887.

34.	N о г ё n G., W a 11 e n b e r g J. A., Mead, frAn Lunds Obs., ser. I

10, 1900.

35.	В о h 1 i n K., Kgl. Svensk. Vet. Ak., 1891.

36.	C	a v a	11 i n	С.	B. S., Medd. frAn Lunds Obs., ser. I,	19,	1902.

37.	J	а с о	b i C.	G.	J., Journ. fur reinc und angewand. Math.	30,	1846.

38.	See liger H., Astron. Nachr. 93, N 2231, 1878.

39.	C	h a r	1 i e r	C.	L., Medd. frAn Lunds Obs., ser. I, 15,	1901.

40.	I	d m a	n A.,	Medd. frAn Lunds Obs., ser. I, 14, 1900.

41.	NorenG., RaabS., Medd. frAn Lunds Obs., ser. II, 2, 1901.

42.	Charlier C. L., M e d d. frAn Lunds Obs., ser. I, 12, 1900.

43.	Newcomb S., Mem. of the Americ. Acad., New Ser. 5.

44.	Leverrier IL, Ann. de 1’Obs. de Paris, 2.

45.	Psilander A. A., Medd. frAn Lunds Obs., ser. I, 16, 1901.

46.	Lagrange J. L., Oeuvres, t. VI, Paris, 1772.

47.	H i 11 G. W., Amer. Journ. of Math., 1, 1878.

48.	Д у б о ш и н Г. H., Небесная механика. Основные задачи и методы.
Фпзматгиз, 1963.

49.	D а г w i n G. Н., Acta Math. 21, 1897.

50.	Р 1 u m m е г Н. С., Royal Astronom. Soc. 62, 6, 1901.

51.	В u г г a u С., Astronom. Nachr., N 3230, 3251, 1896.

52.	Airy G. В., Du Gravitazion, Leipzig, 1891.

53.	Tisserand F., Bull, astronom. 3, 1886.

54.	В a c k 1 u n d O. A., Bull, de 1’Akad. Imp. de St.-PAtersbourg, 1898.

55.	Brendel M., Theorie der kleinen Planeten, Berlin, 1898.

56.	S c h w a r z s c h i e 1 d. Astronom. Nachr. 147, N 3506, 1898.

57.	La p la se P. S., MAcanique celeste, t. V, Paris, 1825.

58.	C h a r 1 i e r C. L., Medd. frAn Lunds Obs., ser. I, 22, 1904.

59.	П у а н к a p e А., Лекцпи по небесной механике, изд-во «Наука»,
1965.

60.	Е л е и е в с к а я Н. Б., Бюлл. ИТА АН СССР, 8, N 6 (99), 1962.

61.	Moulton F. R., Astronom. Journ. 23, 1903.

62.	Hamilton W. A., Astronom. Journ. 23, 1903.

63.	В о h 1 i n K., Acta Math. 10, 1887.

64.	Султанов Г. Ф., Ибрагимов И. Б., Каталог значений по-
стоянных Якоби. Баку, 1962.

65.	К о b b G., Bull, astronom. 18, 1901.

66.	Зигель К., Лекции по небесной механике, ИЛ, 1959.

67.	Колмогорова. Н., ДАН СССР 98, N 4, 1954.

68.	Bruns К., Astronom. Nachr. 109, N 2606. 1884.

69.	G у 1 d е n H., Ofversigt af Kongl. Vetenskaps — Akademiens Forhand-
lingar, 2, 1888.

70.	В ro de n T., Medd. fran Lunds Obs., ser. I, 11, 1900.

71.	W i m a n, Ofversigt af Kongl. Vetenskaps — Akademiens Forhandlin-
gar 7, 1900.

72.	В г о d e n T., Bemerkungen fiber Mengenlehre und Wahrscheinlichkeits-
theorie, Malmo, 1901.

73.	W i m a n, Bemerkungen fiber eine von Gylden aufgeworfene Wahrschein-
lichkeitsfrage, Lund, 1901.

74.	BrodenT., Noch einmal d e Gylden’sche Wahrscheinlichkeitsfrage,
Malmo, 1901.

75.	Charlier C. L., Astronom. Nachr. 122, N 2913, 1889.

76.	Якоби К., Лекции по динамике, ОНТИ, 1936.

77.	Sum ter Н., Astronom. Nachr., 217, N 5193—94, 1923.
78.	Д ё м и н В. Г., Астрой. Hi. 38, вып. 1, 1961.

79.	Runkle, Smithsonian. Contr. Knowledge 9, 1856.

80.	H a r z e r, Mem. de l’acad. de St-Petersbourg, 1886.

81.	Schwarzschield K., Astronom. Nachr. 160, N 3839, 1902.

82.	Poincare H., Bull, astronom. 19, 1902.

83.	A n d о у e r H., Bull, astronom. 20, 1903.

84.	Brendel M., Astronom. Nachr. 140, Ns 3346, 1896.

85.	H i 11 G. W., The collected mathematical works, vol. 1—4, Washington,
1905-7.

86.	G у 1 d e n H., Undersokningar af theorien for himlakropparnes rorelser,
1881.

87.	T i s s e r a n d F., Ann. de 1’observ. de Paris 18, 1885.

88.	C h a r 1 i e r C. L., Medd. frAn Lunds Obs., ser. I, 24, 1904.

89.	В о h 1 i n K., Ober eine neue Annaherungmethode in der Storungstheorie,
1888.
К. Шарлье
Небесная механика

М., 1966 г., 623 стр. с илл.

Редактор И. Е. Рахлин

Техн, редактор И. Ш. Аксельрод
Корректор Е. А. Белицкая

Сдано в набор 16/П 1966 г. Подписано к печати
21/VI 1966 г. Бумага 60x90*/,,. Физ. печ. л. 39,25.

Условн. печ. л. 39,25. Уч.-изд. л. 36,36.

Тираж 4000 экз. Цена книги 2 р. 82 к. Заказ № 318

Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я тип. издательства «Наука», Москва,
Шубинский пер., 10