Проф М. Ф. СУББОТИН
КУРС
НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
1933

Замеченные опечатки.
Должно быть
22 св.
5 СН.
19 св.
1 сн.
11-15 св.
8 св.
7, св.
27 св.
Р'
Из соотношений (1) и (13)
W
*<•+; =
и
191
2497
17
367
2,
720 = 1
60480 = 1
362 88П = 1
5 760=1
967 680=1
(21)
; 0 000107
: 0 000 004
; 0000000
OOOO00L
0000000
Ро
Л(°)
Из соотношений (і) и (3)
Л-Я-
Г. Ffsserand
11
191
2497
17
367
720 = 1
60480=1
3 628800 = 1
5760=1
967 680=1
(23)
Aw =
65-0.000107
317 + 0^000004
1453-0.000000
339 + 0.000001
2637 + 0.000000
Г. Tisserand
буМотки

Проф. М. Ф. СУББОТИН
КУРС
НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ
ТОМ I
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛЕНИНГРАД 19 3 3 МОСКВА

Т-Т-3 5-5-2.
4-;; tjb. ОНТИ IfKTJ! CC'.'P „tfpacnue Леч&гаде", Ленянгрм. Международный ир , 75-a.

ПРЕДИСЛОВИЕ.
Настоящая книга посвящена основам Небесной механики, а
именно теории невозмущенного движения планет и комет. По
своему содержанию она соответствует, таким образом, первой половине
университетского курса Небесной механики, называемой прежде
Теоретической астрономией, а теперь носящей название
Определения орбит. В основу изложения положена лекции,
читанные мною с 1922 года по настоящее время сначала в Ташкентском,
затем в Ленинградском университетах.
Нужно, однако, отметить, что я не ограничился рамками
университетского курса и предпочел рассмотреть вопросы определения
орбит со всей полнртою, необходимою для того, чтобы эта книга
могла быть не только учебником, но и справочным пособием для
астрономов, вычисляющих орбиты.
'Хотя я и стремился к возможной сжатости изложения и избегал
воспроизведения элементарных выкладок или лишних примеров, тем
не менее удобопонятность никогда не приносилась в жертву
сжатости. Я надеюсь поэтому, что выпускаемое руководство будет
так же полезно и для любителей Астрономии, интересующихся
вычислением орбит и обладающих хотя бы элементарными сведениями
по высшей математике.
Сдвиг, произошедший за последние 20 лет во внешнем
оформлении классических Методов определения орбит (вызванный, главным
образом, распространением арифмометров),уже нашел свое
выражение в учебнике Stracke, Bahnbestimmung der Planeten und Kometen,
вышедшем в 1929 г. Изложение основных проблем вычисления орбит,
которое читатель найдет ниже, конечно близко к изложению Stracke,
ибо обе книги отражают одну и ту же эпоху в развитии науки.
Но в то время как Stracke стремится научить читателя лишь тех-
нике вычисления орбит, я рассматриваю проблему
определения орбит как часть Небесной механики и, сообразно с
этим, уделяю больше внимания теории кеплерова движения (не
пренебрегая, однако, и технической стороной дела).
Я ограничиваюсь подробным изучением классических методов
Гаусса и Ольберса в их современном оформлении и не
останавливаюсь ни на одном из многочисленных способов вычисления орбит,
в таком изобилии предлагавшихся в течение последних 40—50 лет.
Объясняется это тем, что проблему определения первоначальной
орбиты я рассматриваю как практическую проблему Небесной
механики, а не как самодовлеющую математическую задачу. По-

скольку указанная проблема с исчерпывающей полнотой и всей
возможной простотою разрешается методами Гаусса, и Ольберса, я
не считал полезным загружать учебник другими вариантами ее
решения, каков бы ни был математический интерес, представляемый
этими вариантами. Тем более, что все позднейшие методы не
получили широкого практического применения; во всяком случае их
распространение никогда не выходило за пределы личного влияния
автора.
Это не значит, что все многочисленные усилия улучшить
классические методы вычисления орбит были бесплодны и что эти
методы вышли из рук их творцов в столь совершенной форме, что
последующие поколения уже не смогли ничего прибавить. Напротив,
ценные идеи авторов новых методов часто удавалось использовать
для внесения соответствующих улучшений в методы Гаусса и
Ольберса.' Так, например, когда работы Moulton'a, Charlier, Andoyer и
других выяснили целесообразность применения прямолинейных
координат и направляющих косинусов вместо сферических координат,
то соответствующая замена была произведена и в классических
методах; когда были созданы методы, основанные на замене
дифференциальных уравнений движения приближенными соотношениями
между координатами светила и интерзалами времени (методы W.
Gibbs'a, Р. Фогеля, Б. В. Нумерова и др.), то эти соотношения
(формулы Джиббса) нашли свое естественное место и в способе Гаусса.
Вопросы численного интегрирования дифференциальных
уравнений, столь важные для Небесной механики, выделены в особое
приложение, помещенное в конце тома. Это приложение
воспроизводит вкратце одну из глав курса численного интегрирования, читаемого
мною студентам как астрономической, так и математической и
механической специальностей.
Другое приложение к настоящему тому состоит из небольшого
собрания таблиц, выбранных таким образом, чтобы избавит!
читателя от необходимости обращаться к специальным сборникам —
по крайней мере во всех обычно встречающихся случаях.
В заключение замечу, что я придерживался, как общее правило,
десятичного деления градуса, которое несомненно скоро вытеснит
окончательно архаическое деление на минуты и секунды. Но так
как таблицы с десятичным делением у нас только начинают
издаваться, а заграничные мало кому доступны, то часть примеров была
вычислена при помощи обычных тригонометрических таблиц.
М. Субботин.
Пулковская Обсерватория, февраль 1933 г.

Часть первая.
ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКОЕ И ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ
ДВИЖЕНИЕ.
ГЛАВА I.
ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ.
Первая глава заключает прежде всего краткий обзор основных
этапов развития механики Космоса. Этот обзор предполагает,
конечно, знакомство с историей Астрономии, а потому имеет
своей целью лишь напомнить некоторые факты, главным
образом математического характера.
Для изучения следующего вопроса—динамических следствий
из эмпирических законов Кеплера, необходимо знание1 основ
Динамики точки. Изучение этого вопроса подводит нас к закону
Ньютона—основе всей Небесной механики. Фундаментальная
важность этого закона заставляет подробно остановиться
на его обосновании, тем более, что это обоснование является
одним из поучительнейших примеров в истории науки.
Следующий далее обзор важнейших проблем, стоящих перед
Небесной механикой, заканчивается двумя теоремами из
теории притяжения, позволяющими свести изучение движения
планет и комет к задаче о движении материальных точек.
Доказательство первой из этих теорем (§ 7), для которого
нужны некоторые орновные понятия из Динамики твердого
тела, при первоначальном изучении может быть опущено
§ 1. ЭМПИРИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ.
Одной из первых астрономических проблем, с которой
встретилось человечество, было отыскание закономерностей в движениях
Солнца, Луны и. больших планет.
Первые теоретические представления, оставившие прочный след
в науке, мы встречаем у философов пифагорейской школы. Ими
была установлена шарообразность Земли и произведено разложение
видимого движения Солнца (совершающегося, как известно, по
спирали) на два равномерных круговых движения: по экватору
с суточным периодом и по эклиптике с годовым периодом.
Блестящий успех, достигнутый таким образом в объяснении
движения Солнца, побудил итти дальше по тому же пути:
разлагать сложные движения светил на более простые. Эта задача
была отчетливо сформулирована в общем виде Платоном,
согласно которому целью „истинной астрономии" (так он называл
совокупность выводов из наблюдений) является представление

движений светил при помощи сочетаний равномерных круговых
движений.
Первое решение поставленной Платоном задачи дал его ученик
Эвдокс Книдский (409—356), представивший видимые движения
Солнца, Луны и планет при помощи сочетания равномерного
вращения 27 сфер с общим центром в центре Земли. Для
воспроизведения видимого движения Луны он употребил три сферы
(точно так же,'как и для Солнца], а для получения всех
особенностей видимого движения каждой планеты (стояния, прямого
и обратного движения) он ввел четыре сферы. Наконец, еще одна
сфера давала суточное движение неподвижных звезд. К а лип п
(370—300) довел число сфер до 34 для достижения лучшего согласия
с наблюдениями. '
Поскольку дошедшие до нас отрывочные сведения позволяют
судить о работах Эвдокса и Калиппа, эти ученые рассматривали
созданную ими теорию как чисто геометрический образ, достаточно
точно воспроизводящий наблюдаемые явления. Первая попытка
дать физическую картину мира была сделана современником
Калиппа Аристотелем (384 — 322): Аристотель заменил
геометрические построения Эвдокса и Калиппа хрустальными сферами.
Новые пути математического представления видимых движений
светил были указаны Аполлонием Пергским (конец III века •
до нашей эры) и Гиппархом (II век до нашей эры). Гиппарх для
объяснения открытой им неравномерности движения Солнца
предложил поместить центр солнечной орбиты не в центре Земли,
а на некотором расстоянии от него—иначе говоря, заставил Солнце
двигаться по эксцентрику, Аполлоний дал новое решение задачи
объяснения прямых и обратных движений планет: он ввел для
этого э пи цикл ы и деференты.
Идеи Гиппарха и Аполлония были широко использованы
Птоломеем (II век нашей эры), создавшим весьма совершенную
по тому времени теорию видимых движений светил.
Теория Птоломея давала возможность, надлежаще выбирая
эксцентриситеты деферентов, число эпициклов, наклонности
деферентов и эпициклов к эклиптику и, наконец, скорости движения по
различным деферентам и эпициклам, удовлетворительно представить
наблюдения того времени. Однако по мере того как наблюдения
становились более многочисленны и более точны, число эпициклов,
нужных для воспроизведения движения во всех подробностях,
становилось все больше и больше. Если бы теорию Птоломея
рассматривали лишь как матеглатическое представление наблюдаемых
явлений (аналогично нашим эмпирическим формулам), то такое
усложнение никого бы не удивило. Но очень рано на теорию
Птоломея установился взгляд не как на математическую фикцию,
лишь описывающую видимые явления, а как на „систему мира",
т. е. выражение действительного устройства вселенной. При такой
точке зрения непрерывное усложнение теории должно было
неизбежно привести к сомнениям в ее истинности.
Такие сомнения (встречающиеся еще в XIII веке) привели'
в конце концов к созданию новой, гелиоцентрической системы
мира, что было, как известно, выполнено Коперником (1473—1543).
6

Однако при создании гелиоцентрической системы играли весьма
важную роль и другие мотивы, а не только стремление к
упрощению математического аппарата. С формальной стороны система
Коперника была проще птоломеевой лишь в том отношении, что
самый большой эпицикл у каждой планеты был уничтожен и
заменен движением Земли, все же остальные эпициклы Копернику
пришлось сохранить. Но система Коперника была неизмеримо
проще системы Птоломея с точки зрения законов механики, еще
не сформулированных, но уже более или менее сознаваемых.
Гелиоцентрическая система мира потому произвела такой радикальный
переворот в Астрономии и вызвала такую страстную борьбу, что
в ней был заложен новый принцип чрезвычайной важности:
„небо" подчиняется тем же законам, что и „земля".
Другое весьма важное отличие новой системы мира (также
весьма созвучное Эпохе Возрождения) заключалось в том, что
система Коперника была настоящей рабочей гипотезой, открывавшей
возможность предсказывать и сличать предсказания с наблюдениями,
тогда как система Птоломея была лишь „чистым описанием*
видимого и потому заводила науку в тупик. Например, система
Птоломея закрывала путь для нахождения расстояний между Землей
и планетами. Система Коперника давала возможность сразу найти
относительные расстояния планет от Солнца, а следовательно и от
Земли.
Все возможности, заключающиеся в новой системе мира как
рабочей гипотезе, были с исключительной мощью вскрыты Кеплером.
(1571 — 1630). Кеплер показал, каким образом, комбинируя видимые
положения планеты в различные /моменты, можно получить ее
гелиоцентрические координаты. Этим была открыта возможность
следующего этапа в деле создания Кинематики солнечной системы:
Кеплер смог приступить к построению эмпирической Кинематики
не видимых, а действительных движений планет.
Многолетняя упорная работа привела Кеплера прежде всего
к следующим результатам (1609):
1. Гелиоцентрическое движение каждой планеты происходит
в неподвижной плоскости, проходящей через центр Солнца и
притом так, что площадь сектора, описываемого радиусом-вектором
планеты, изменяется пропорционально времени.
2. Орбита каждой планеты есть эллипс, в одном из фокусов
которого находится Солнце.
Эти законы были открыты сначала для Марса и Земли, а затем
уже проверены для остальных планет. ,Мы их приводим в том
порядке, в каком они были даны Кеплером. Позднее (1619) Кеплер
присоединил сюда еще один закон, связывающий планетную систему
в одно целое:
3. Квадраты времен обращений планет относятся как кубы
больших полуосей их орбит.
Установление этих законов позволило Кеплеру представить
движение планет с точностью, далеко превосходящей все то, что
давали прежние теории при самом чудовищном нагромождении
эпициклов и эксцентриков.
7

8 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ ЗАКОНОВ КЕПЛЕРА.
-Созданная Галилеем (1564—1642), Гюйгенсом (1629—1695)
и Ньютоном (1642—1727) Динамика- позволила вывести из
законов Кеплера следствия" чрезвычайной важности относительно сил,
производящих движение планет.
Так как движение планет отличается от прямолинейного
и равномерного движения, то отсюда следует, что планеты
находятся в силовом поле. Каковы же свойства этого поля? Согласно
первому закону Кеплера, всякая траектория в этом поле есть
плоская кривая, находящаяся в плоскости, проходящей через
центр Солнца. Отсюда легко вывести, что ускорение в каждой
точке поля (напряжение поля) направлено к центру Солнца.
В самом деле, обозначим через 5 и Р положения- Солнца и планеты
и предположим, что планета имеет начальную скорость РА. Для
того, чтобы движение происходило в плоскости, заключающей
точку 5, необходимо чтобы ускорение лежало в плоскости SPA.
Так как направление РА может быть взято произвольно, то ясно,
что ускорение должно быть направлено по прямой РА. Итак, силк,
действующая на каждую планету, направлена к
центру Солнца.
Вторая часть первого закона (так называемый закон
площадей) ничего не прибавляет нового, ибо она является следствием
первой части. Действительно, взяв в плоскости орбиты
координатную систему Sxy с началом в точке S и обозначив через ху
координаты точки Р, получим:
так как ускорение, имеющее компонентами^', у"\ направлено, как
мы только-что видели, по прямой PS.
Интегрирование равенства
ху" — х"у = О
дает
ху' — х'у = С,
и
f{xt-yd3dt = Ct+C». (2)
т. е. закон площадей.
Обратно, дифференцируя равенство (2), выражающее- закон
площадей, получим равенство (1), показывающее, что в каждой
точке поля ускорение направлено к центру Солнца; отсюда уже
непосредственно следует, что движение будет происходить в
плоскости, заключающей центр Солнца.
Для получения величины ускорения обратимся ко второму
закону Кеплера, согласно которому планета движется по эллипсу,
в фокусе которого находится Солнце. Расположим оси координат
так, как это указано на чертеже (рис. 1). Обозначая через а и Ь
8

большую и малую полуоси, а через е—эксцентриситет эллипса,
•получим его уравнение в таком виде
,2 t $Л *9
а-
Ь*
так как OS—ае. Но этому уравнению можно удовлетворить,
полагая
х + ае = a cos?, y~b sinЕ}
где Е остается произвольным, следовательно эллипс можно
представить следующими параметрическими уравнениями
х — а (со?Е — е)\
у == Ъ sin E
(3)
*-х
Рис. 1.
Вычислим компоненты ускорения, действующего на планету,
х" = — a sin ЕЕ " — a cos ЕЕ'2 \
у" = Ьсо%ЕЕ1Г — b sin ЕЕ'2. J ¦
(4)
Подставляя эти выражения в равенство (1), после некоторых
упрощений получим
Е" _ — esinEE'
Е "
(5)
(6)
1 — € COS Е
Интегрирование этого равенства дает
Е' = п (1 — е cos E)~\
де п — постоянная интегрирования. Снова разделяя переменные
г, интегрируя, найдем
Е — е%тЕ~п (t— t0), (?)
где А)— новая постоянная.

Подставим выражение (6) в формулу (5)—это даст Е\ Внося
затем полученные выражения для Е и Е' в равенство (4), будем
иметь
3 е — cos В
хГ = ап ^_ecosEyi
,, , о sin?
•^ (I—-?oos.?)3
Следовательно величина ускорения равна
(1-е cos ?)* *
С другой стороны, уравнения (3) дают для радиуса-вектора
планеты такое выражение
г = ]/х*+~У2~== а (1 — е cos ?>
Поэтому, окончательно,
R=*f- (8)
Посмотрим теперь, что дает третий закон Кеплера. Чтобы его
использовать надо ввести в рассмотрение время обращения планеты.
Обозначим его через Р.
Уравнения (3) показывают, что полному обороту планеты
соответствует увеличение Е на 2т.. Как показывает равенство (7), для
момента времени t = tQ будет ?=0; следовательно для момента
t ~ і0 + Р должно быть Е = 2-. Подставляя эти последи
значения в равенство (7), получим
2г = пР.
откуда
п = р.
Выражение (8) может быть теперь записано так
Я =
р-
Согласно третьему закону Кеплера отношение а2: Я2 имеет
одну и ту же величину для всех планет. Поэтому, вводя
постоянную величину
4-V
получим
!* = ¦>¦- > (9)
р.
*=7^
Итак, д в и же ни е планет вызывается силовым
полем, напряжение которого убывает
обратно-пропорционально квадрату'расстояния от центра Солнца.
ю

§ 3. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ.
Исходя из законов Кеплера, мы получили вырзжение той силы,
с которой Солнце притягивает планеты. Посмотрим теперь, как
от этого результата можно перейти к закону всемирного тяготения.
Наблюдения показывают, что движения спутников -вокруг
планет происходят по законам Кеплера. Отсюда следует, на основании
рассуждений предыдущего параграфа, что планеты (по крайней
мере имеющие более чем одного спутника) являются центрами
силовых полей, напряжение которых убывает обратно
пропорционально квадрату расстояния от центра планеты. Так что, например»
Юпитер является центром силового поля, в каждой точке
ускорение которого равно
р і*і
где г.—расстояние от центра Юпитера, а \іг—некоторая постоянная
величина.
Обозначим через М и тх массы Солнца и Юпитера. В таком
случае-сила, с которой Солнце притягивает Юпитера, будет равна
Щ\&~~2; сила, с которой Юпитер притягивает Солнце, будет Mja/-2.
Так как по. закону равенства действия и противодействия эти две
силы должны быть равны, то
откуда
М тпх
Обозначая через / это отношение, сохраняющее, как мы видим,
одно и то же значение для всех полей притяжения, будем иметь
Следовательно, для силы F, с которой Солнце притягивает
планету, а планета Солнце, окончательно получаем такое
выражение ' ¦
' Рассмотрим теперь поле притяжения Земли. Из факта наличия
у Земли спутника, движение которого подчиняется первым двум
законам Кеплера, следует, на основании предыдущего параграфа,
что движение этого спутника вызывается силой, направленной к
центру Земли и производящей ускорение равное
R = %. (Щ
Стоящую здесь величину ^ легко вычислить подформуле (9).
Как известно, сидерический месяц равен Р=27"743т1Г =2 360 59Г;
большая полуось лунной орбиты равна а = 3.844 х 10ю см. Поэтому
I*' = 4.020 х1020. Если принять во внимание, что наблюдаемое
движение Луны есть результат не только притяжения Земли на Луну,

но и Луны на Землю, кроме того учесть притяжение Солнца (а также
планет), то после введения соответствующих поправок для
величины р\ зависящей только от притяжения Земли, найдем .
р'== 3.986 хЮ20.
Поскольку Земля имеет только одного спутника, мы не можем
убедиться в постоянстве р/ на различных расстояниях г при помощи
третьего закона Кеплера—как мы это сделали в § 2 в отношении
силового поля Солнца. Но для Земли Ньютон усмотрел другую
возможность проверить постоянство р. Он задался вопросом, не есть
ли сила, удерживающая Луну на ее орбите, та самая, которая
заставляет все тела на земной поверхности падать по направлению
к центру Земли. Чтобы ответить на этот вопрос, нужно только
вычислить н-', соответствующее силе тяжести.
Так как ускорение силы тяжести на экваторе равно, согласно
наблюдениям, 981.4 см(сек29 а'поправка за центробежное ускорение,
вызываемое вращением Земли, равна—3.4 cMJcex2, то для
ускорения, вызываемого притяжением Земли, имеем:
R = 978.0 см/сек2.
Принимая во внимание, что экваториальный радиус Земли
равен 6.378 х.108 см, из формулы (10) найдем
р/ = 3.978 х 10м.
Если учесть поправку на сжатие Земли х), то получим полное-
совпадение с предыдущей величиной, найденной из движения Луны.
Итак, центральная сила, производящая движение Луны, есть-
не что иное, как хорошо нам знакомая из повседневного опыта
и доступная для лабораторного изучения сила тяжести.
Опыт показал, что ускорение силы тяжести не зависит ни от
физического или химического состояния тела, ни от его размеров: все
тела, большие и малые падают в пустоте с одинаковой скоростью.
Отсюда (принимая во внимание тождественность силы тяжести
с силой, действующей между светилами) можно заключить, что
сила притяжения действует не на планету или спутника как цел о е,
а на каждую малейшую их частицу, так что наблюдаемый нами
эффект является следствием того, что каждая частица Солнца
притягивает каждую частицу планеты и наоборот. Рассуждая
подобным образом, Ньютон и пришел к закону всемирного тяготения,
известному также под именем закона Ньютона:
каждые две материальные частицы взаимно притягиваются
с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной
квадрату расстояния между ними.
Пусть т и т'— массы двух материальных частиц, г — их
взаимное расстояние. Каждая из них находится, согласно закону Ньютона,
под действием силы, направленной к другой частице и равной
+ mm'
г) Для этого надо взять средний радиус Земли, равный 6.3712 X 10е си, и
соответствующее ускорение силы.тяжести ?=981.993 см/сек2.
12

Стоящий здесь коэффициент пропорциональности /, называемый
иногда постоянной тяготения (Gravitationskonstante),
представляет абсолютную постоянную, численная величина которой зависит
от выбора единиц. В системе CGS имеем, в среднем из новейших
лабораторных определений,
/= 6.675 хіО"8.
В Астрономии очень часто пользуются другой системой
единиц, а именно: за единицу длины принимают большую полуось
земной орбиты, за единицу массы—массу Солнца, за единицу
времени—средние солнечные сутки. Полагая
в этой системе единиц будем иметь
. k -0.017 202 098 95.
Эта величина называется гауссовой постоянной.
Примечание. Для величины у/, определяющей, согласно
формуле (10), силовое поле Земли, мы нашли в системе CGS
значение р/ == 3.986 х 1020. Так как
где тг — масса Земли в граммах, то, пользуясь только-что
указанным /,' найдем
т' = 5.97 х 10й г.
Объем Земли равен 1.083 х Ю-7 смг, следовательно:
средняя плотность Земли = 5.52 zjcm?.
§ 4. НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА.
Закон всемирного тяготения был опубликован Ньютоном в его
знаменитом произведении „Математические начала натуральной
философии" (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) в 1687 г.
В истории открытия этого великого закона природы ясно
различаются три момента. ¦*
Первым этапом явился вывод из законов Кеплера
величины той силы, которая производит наблюдаемое движение
планет. Существенную заслугу в этом отношении сам Ньютон
приписывает Гюйгенсу. Гюйгенс незадолго перед тем (1675) получил
известную формулу для центростремительного ускорения при
круговом движении. Путем применения этой формулы, притяжение
Солнца, обратно пропорциональное квадрату расстояния, было
открыто независимо несколькими современниками Ньютона (Галлей,
Гук, Врен, Бррёлли), но в предположении кругового движения
планет Ньютон поставил и решил более общую и значительно более
трудную задачу: „Тело обращается по эллипсу, требуется
определить закон центростремительной силы, направленной к' фокусу
эллипса". В § 2 мы изложили аналитическое решение зтой задачи;
решение Ньютона было чисто геометрическое.
хг

Второй этап заключался в сопоставлении сил, действующих
между светилами, с силой тяжести и привел к формулировке
гипотезы всемирного тяготения. Здесь особенно ярко выступает
мощь Ньютона как естествоиспытателя. Ведь закон всемирного
тяготения не только не является следствием эмпирических законов
Кеплера, но даже, строго говоря, противоречит им, так как
взаимное притяжение планет неизбежно вызывает отклонения от этих
законов.
Наконец, третий этап состоял в развитии следствий
гипотезы всемирного тяготения и сопоставлении этих следствий с
наблюдениями. Гений Ньютона успешно преодолел те огромные
математические затруднения, которые тут встретились с самого начала.
Когда было установлено, что все Полученные следствия согласуются
с наблюдениями, гипотеза всемирного тяготения перестала быть
гипотезой и стала законом природы.
Ньютон только начал разработку следствий, вытекающих из
закона всемирного тяготения. Эта грандиозная задача явилась
предметом новой науки—„Небесной механики". Лаплас (1749—1827),
один из величайших преемников Ньютона, определил 'Небесную
механику как „совокупность теорий, охватывающих
все следствия закона всемирного тяготения в
отношении движения и равновесия твердых и жидких
масс, составляющих солнечную систему, а также
аналогичные системы, наполняющие мировое про-
с'транство".
Усилия величайших математиков и астрономов XVIII и XIX
столетий (среди них. особо следует отметить Клеро, Даламбера,
Лагранжа, Эйлера, Лапласа, Лежандра, Гаусса, Бесселя, Ганзена,
Коши", Якоби, Леверрье, Ньюкома, Хилла, Пуанкаре, Джорджа
Дарвина) довели Небесную механику до известной степени
законченности, по крайней мере в отношении наиболее актуальных
проблем, касающихся солнечной системы.
При этом выяснилась чрезвычайная, беспримерная в истории
науки точность, с которой закон Ньютона позволяет предвидеть
малейшие особенности движений планет, спутников, комет,
двойных и кратных звезд и т. д. Всякий раз, когда "думали, что удалось
констатировать расхождение между теорией движения,
базирующейся на законе Ньютона, и наблюдениями, всегда более
тщательная разработка теории или исправление вычислительной ошибки
восстанавливали согласие с наблюдениями и доставляли новый триумф
закону Ньютона. Только один случай несомненного расхождения
был до сих пор установлен: для годового поступательного
движения перигелия Меркурия наблюдения дают-величину на 0".42 ±0".02
большую, чем теория.
Дальнейшее развитие науки внесло постепенно целый ряд
изменений в перечень проблем, подлежащих, согласно вышёйри-
веденному определению Лапласа, ведению Небесной механики:
учение о внутреннем строении Земли и о приливах отошло в область
Геофизики; учение о внутреннем строении Солнца, о кометных
формах, о происхождении планетных, форм—перешли в круг
ведения Астрофизики и Космогонии. С другой стороны стали более
14
t

доступны, а следовательно и более актуальны, вопросы о
движениях в системах двойных и кратных звезд, в звездных скоплениях.
До известной степени в связи с этим изменением содержания
стоит наметившееся в .последние годы желание заменить несколько
архаическое название Небесная механика другим, более
созвучным с названиями новых отделов Астрономии. Так,
например, в английской литературе все большее и большее
распространение получает наименование Динамическая астрономия.
Конечно, граница между НебеснЬй механикой и смежными
науками (Геофизикой, Астрофизикой, Космогонией) во. многих
случаях может быть проведена лишь условно. Так, например, учение
о вращательном движении Земли не может быть вполне отделено
от учения о ее деформациях.
§ 5. ЗАКОН НЬЮТОНА И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.
В предыдущем параграфе было указано, что между теорией
движения планет, построенной на основании закона Ньютона, и
наблюдениями в одном случае было установлено наличие хотя и
очень небольшого, но все же несомненного расхождения. Для
устранения этого расхождения, заключающегося в движении
перигелия Меркурия, большем чем то, которое производится
возмущениями остальных планет, было предложено несколько гипотез.
Но одни из этих гипотез приводили к следствиям,
противоречащим наблюдениям (гипотеза интра-меркуриальной планеты,
гипотеза неполной сферичности Солнца), другие — с трудом
приводились в согласие с наблюдениями при помощи целого ряда
допущений, придуманных специально для этого случая (гипотеза
возмущающего влияния вещества зодиакального света). Н ь ю к о м
(Newcomb, 1835—1909"), в результате своей обширной многолетней
работы над построением возможно более точных таблиц движения
планет, остановился в конце концов на гипотезе Холла (Hall,
1829—1907), предложившего заменить закон Ньютона законом
притяжения
fmmT*9
где N— отлично от 2.
Ныоком показал, что, принимая
iV = 2 000 000 161 2,
можно полностью устранить указанную невязку в теории движения
Меркурия и улучшить немного согласие теории с наблюдениями
для Марса, не внося никаких других ощутимых изменений в
движения планет. Более- того», применив новый закон притяжения
к Луне, Ньюком получил для ее перигея дополнительное движение,
по сравнению с законом Ньютон?, в 140" в столетие, что очень
хорошо согласовалось с вековым движением перигея в 156"
открытым Ганзеном (Hansen, 1795—1874). Для объяснения этого
движения Ганзену пришлось допустить, что Луна имеет форму
трехосного эллипсоида. Ньюком имел возможность, таким образом,,
отбросить указанное предположение Ганзена и свести движение
is-

перигея Луны к той же причине, которая производит аномальное
движение перигелия Меркурия.
Однако новая теория Движения Луны, развитая Брауном
Е. Brown), показала, что открытое Ганзеном движение перигея
почти целиком объясняется несовершенством его теории. Браун
показал, что гипотеза Холла может быть применена к Луне лишь
при условии, что для Луны мы будем брать другие значения,
показателя N или коэффициента /, чем для планет.
Только теория относительности дала, наконец, объяснение
поступательного движения перигелия Меркурия, не требующее
ни придумывания специальных масс, нужных только для этога
случая, ни других произвольных допущений.
Теория относительности не только устранила невязку в теории
движения Меркурия, но она также впервые позволила глубоко,,
заглянуть в природу силы тяготения, что не удалось сделать ни
Ньютону, ни его преемникам, несмотря на все усилия.
Ньютон резюмировал свою работу в этом направлении
следующим образом:
„До сих пор я изъяснял небесные явления и приливы наших
морей на основании силы тяготения, но я не указывал причины
самого тяготения. Эта сила происходит от некоторой причины,
которая проникает до центра Солнца и планет, без уменьшения
своей способности и которая действует не пропорционально
величине поверхности частиц, на которые она действует (что
обыкновенно имеет место для механических причин), но пропорционально
количеству твердого вещества, действие которой распространяется
повсюду, на огромное расстояние, убывая пропорционально
квадратам расстояний.
„Тяготение .к Солнцу составляется из тяготения к отдельным
частицам его и при удалении от Солнца убывает в точности
пропорционально квадратам расстояний даже до орбиты Сатурна, что
следует из покоя афелиев планет, и даже до крайних афелиев
комет, если только эти афелии находятся в покое.
„Причину же этих свойств силы тяготения я до сих пор не
мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю. Все же, что'
не выводится из явлений, должно называться гипотезою,
гипотезам же метафизическим, физическим, механическим, скрытым
свойствам—не место в экспериментальной философии. В такой
философии предложения выводятся из явлений и обобщаются помощью
наведения. Так были изучены непроницаемость, подвижность и
напор тел, законы движения и тяготение. Довольно того, что
тяготение на самом деле существует и действует согласно
изложенным нами законам и вполне достаточно для объяснения всех
движений небесных тел и моря".
Таким образом Ньютон, не будучи в состоянии найти в
известных ему явлениях какую-либо точку опоры для выяснения
природы силы тяготения, оставляет этот вопрос последующим
поколениям.
Только спустя 200 лет недостававшая Ньютону точка опоры
была найдена в знаменитом опыте Майкельсона, приведшем к
созданию специальной теории относительности. Создав на базе этой
іб

последней общую теорию относительности, Эйнштейн смог дать
теорию тяготения, естественно вытекающую из наших основных
представлений о пространстве и времени.
Движение по законам релятивистской теории тяготения тем
меньше отличается от движения по закону Ньютона, чем меньше;
отношения скоростей движущихся тел к скорости света. 'Для
планет, для которых эти отношения весьма малы, мы можем надеяться
уловить (при помощи имеющихся сейчас в нашем распоряжении
наблюдений) различие в движениях согласно старой и новой
теорий тяготения только в-одном.случае. Именно, в релятивистской
теории тяготения доказывается, что / перигелии планетных орбит
должны при каждом обороте планеты передвигаться (сверх
передвижений, , вызываемых взаимным притяжением) на долю оборота
равную 3 j^, где ^ — скорость планеты, а С—скорость света. Эти
дополнительные годичные перемещения перигелия для Меркурия,
Венеры, Земли и Марса равны соответственно
0".43, 0".086, 0".039, (Г.014..
Для Меркурия мы имеем таким образом как-раз ту величину,
которая была получека из наблюдений и оставалась необъяснимой
на основании закона Ньютона. Для Венеры и Земли указанные
перемещения перигелия не могут быть обнаружены наблюдениями,
так как вследствие очень малых эксцентриситетов положение
перигелия для этих планет не является достаточно определенным.
Наконец для Марса невязка между наблюдениями и теорией,
основанной на законе Ньютона, равная 0".05 ± О", 02, несколько
уменьшается.
Итак, при изучении движений светил мы можем базироваться
на з коне Ньютона. Только в некоторых, крайне редких случаях
нам придется вычислять небольшие поправки, обусловленные тем,
что закон Ньютона является лишь приближенным „ выражением
точного закона тяготении.
§ 6. ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ.
Как уже было сказано, предметом Небесной механики является
изучение движений светил. Движение всякого тела разлагается
на движение центра тяжести» вращение вокруг центра тяжести и
деформации. Оставляя в стороне деформации светил, мы будем
рассматривать две основные проблемы: изучение п оступатель-'
ных движений центров тяжести светил и изучение
вращательного движения светил, рассматриваемых
как твердые тела.
Вторая проблема сводится к изучению ^вращательного
движения Земли и Луны, так как в отношении остальных светил
наблюдательный материал слишком недостаточен.
Обратимся к первой проблеме, составляющей- главное
содержание Небесной механики. В следующих параграфах будет
показано, что вследствие незначительности размеров светил по
сравнению с разделяющими их расстояниями, взаимное притяжение их
2 Курс небесной мехаивкж т. I. **

таково, как если бы масса каждого была сосредоточена в его
дентре тяжести. Таким образом изучение поступательных движений
светил приводится к так называемой задаче п тел: определить
движение п материальных точек притягивающих
Друг друга по закону Ньютона.
Движение п материальных точек под действием заданных сил
определяется (как известно из Механики) системой
дифференциальных уравнений порядка б«.
Общие теоремы Механики дают нам 10 интегралов этой
системы, так чго для полного решения надо найти еще бте—10
первых интегралов. Если п ~ 2, то недостающие два интеграла
находятся без труда, так что задача двух тел решается до конца (что
было выполнено еще Ньютоном).
Но уже для задачи трех тел подобное простое решение
невозможно. Усилия величайших математиков, неустанно
занимавшихся этой задачей в течение XVIII и XIX столетий, очень мало
приблизили нас к ее полному решению. В 1912 году Зундману
(Sundman) удалось, продолжая работы Пуанкаре (Роіпсагё,
1854—1912) и Леви-Чивита (Levi-Civita) выразить
координаты трех тел бесконечными рядами, сходящимися для любого
момента времени. Но эти выражения столь сложны, что из них
нельзя ничего извлечь ни для вычисления координат, ни для
изучения свойств движения.
К счастью Астрономия может обойтись в настоящее врем»:
без полного решения' задачи трех тел. Это обусловливается тем*1
что во всех наиболее важных случаях, встречающихся в солнечно»
системе, притяжение одного тела на много превосходит притяжение
всех остальных. Например для каждой планеты притяжение Солнца
во много раз больше притяжения всех остальных планет; для Луны
доминирующим является притяжение Земли и т. д. Вследствие
этого, приняв во внимание только притяжение доминирующего
тела, т. е. решив задачу двух тел, мы уже получим приближенно;
изучаемое движение. Это первое приближение к действительности!
носит название невозмущенного или кеплерова (т. е. происходящего
по законам Кеплера) движения. \
Таким образом первая задача, стоящая перед нами, заключается^
во всестороннем изучении невозмущенного движения, — это основ-'
ная проблема Небесной механики. Невозмущенное движение планеты
или кометы относительно Солнца определяется шестью постоянными*
входящими в общее решение дифференциальных уравнений движе^
»ия и носящими название элементов орбиты. Определение
элементов орбит планет и комет (а также спутников, двойных звезд,
метеоров и т. п.) при помощи полученных из наблюдений
координат светил составляет содержание первого раздела Небесной
механики — определения, орбит.
Невозмущенное движение является только первым
приближением к действительному движению светил. Чтобы получить
действительное движение, надо учесть, те изменения в кеплеровом движе-
вии, которые производятся телами, не принятыми во внимание
в первом приближении. Эти изменения полечили название возму-
яцений, а соответствующий раздел Небесной механики называется
18

теорией возмущений. В этой теории даются, с одной стороны,
способы для вычисления возмущений, с другой— изучаются общие
свойства возмущений; особенно те свойства, которые имеют отно-
: шение к вопросу об устойчивости движения.
В теории возмущений отдельно изучаются:
теория больших планет, в которой рассматриваются взаимные
возмущения, производимые большими планетами нашей солнечной
системы, и выводятся такие значения элементов и масс этих пла-
, нет, которые наилучше удовлетворяют всей совокупности
наблюдений;
возмущения малых планет и комет, при определении которых
движение возмущающих тел (больших планет) предполагается уже
точно известным. <> прощение, которое отсюда проистекает, далеко
не компенсируется теми затруднениями, которые создаются
большими эксцентриситетами и наклонностями орбит малых планет (не
говоря уже об орбитах комет). Эти затруднения настолько
значительны, что весьма часто приходится отказываться от определения
возмущений аналитическими методами (при помощи разложений
в ряды) и довольствоваться вычислением возмущений методами
численного интегрирования дифференциальных уравнений.
Наконец особо приходится рассматривать теорию движения
Луны и теории спутников больших планет. Во всех этих случаях
приходится прежде всего считаться с теми возмущениями, которые
' движении спутника производятся Солнцем: тут масса
возмущающего тела во много раз больше массы главного, так что
возмущения приходится трактовать иначе. Кроме того, вследствие близости
спутников к планете приходится учитывать уклонения планеты от
строго сферической формы. Для Луны приходится принимать во
внимание даже деформации Земли: приливные волны чувствительно
влияют на ее движение.
| 7. ПРИТЯЖЕНИЕ ДВУХ ТЕЛ, РАЗМЕРЫ КОТОРЫХ ОЧЕНЬ МАЛЫ ПО
СРАВНЕНИЮ С РАЗДЕЛЯЮЩИМ ИХ РАССТОЯНИЕМ.
Пусть требуется определить притяжение, производимое телом 5
на материальную точку Р с массой \х (черт. 2). Каждая частица тела,
имеющая массу dm и находящаяся на расстоянии г от точки Р,
притягивает эту точку с силой равной
f*jr -<»)'
н направленной по соединяющей их прямой. Нужно найти
равнодействующую таких сил, соответствующих всем возможным поло-,
жениям элемента dm в теле 5.
Возьмем прямоугольные оси координат, причем начало О
поместим в центр тяжести тела S. Через (х,у9 z) обозначим
координаты точки Р, а через (:, % С) — координаты элемента dm.
Компоненты силы (11) по осям координат будут очевидно равны
? dm $ — х /¦ dm v\—y , dm Z — z *
»-..

Поэтому, обозначая через X, Y, Z компоненты искомой
равнодействующей, будем иметь
— Z
где
X-fcf1!^*"* Y-frJ—r^t™* Z-ftf'^dm.
причем интегрирования производятся по всему объему 5.
Как известно можно вычисление X, F, Z свести к нахождению
только одного тройного интеграла: для этого надо ввести потенциал
т-Г±.
(12)
Тогда
X = fr
dV_
dx
Черт. 2.
Вычислив вторые производные потенциала по xf j/, z> легко
проверить, что он удовлетворяет (при условии, что точка Р лежит
вне тела S) уравнению Лапласа
* + "су + ™ ^ °-
дх1
д#
Предположим теперь, что точка Р находится очень далеко
от тела S. Положим
На основании только-что сделанного предположения
отношения $//?, у/Я, С/# будут малые величины; сообразно с этим вели-
20

чину у, стоящую в выражении потенциала, преобразуем следующим
образом
-і. = [(5- х)* + (-4-у? + (С-2)» ]"Т =
_ і Г, . pL=M+J"i+2')1-t_
= J_ 11 + і±Кп_±?і___Еі +
, 3 ХФ+У-? + гК1 + 2xyhj + 2хг& + 2yzjj l
-f -у ?і h • • • • }•
Подставив это разложение в формулу (12), получим
-TfrfW+Tvf № + $&/№ +
Так как начало координат по условию находится в центре
тяжести тела, то
* / Ыт = / t\dm = ГЫт — О.
Обозначим через М массу тела и введем в рассмотрение моменты
и произведения инерции относительно нашей системы координат, а
именно
А = f(r? + f?) dm, В =f (С2 +S2) dm, С - f<? + t?)dm,
F= J yfcdm, G ~ I &dmt H' «= / b\dm.
Тогда
Kfdm**Mt fp*dm~±(A + B + C),
f?dm=*-Y(B+C-A),...,
следовательно
V--%---Wr W+B + Q + ll? (B + C-A) +
+ f$i(C + A~B) + ^(A + B-C) +

Это выражение можно переписать в такой форме:
3 -4х* + By1 + С* - 2Fyz — 2Gxz — 2Нху ,
—й? # + '"
Но отношения л//?, .у/Я, г//?, суть направляющие косинусы
прямой, соединяющей начало координат с точкой Р (х, у, z).
Поэтому, на основании известных свойств моментов инерции,
получим
/= jx(Ax2 + By2 + Cz* — 2Fyz — 2Gxz~2Hxy\
где/—есть момент инерции тела S относительно только-что
упомянутой прямой.
Итак окончательно, ограничиваясь членами третьей степени
относительно IfR, будем иметь
Если бы вся масса тела S была сосредоточена в его центре
тяжести, то потенциал полученной таким образом материальной точки
был бы равен
Действительный потенциал (13) отличается от потенциала этой
материальной точки на величину, которая мала не только'
вследствие малости 1/flVl//?5,..., но и вследствие малости
коэффициентов при этих выражениях. Действительно, если бы тело S имело
сферическую структуру (состояло бы из однородных сферических
слоев), то было бы
так что первый из упомянутых коэффициентов был бы равен нулю.
В следующем параграфе то же самое будет показано и в
отношении всех остальных коэффициентов. Но действительная структура
Солнца и планет весьма мало отличается от сферической.
Более того, если мы будем рассматривать планету вместе с ее
спутниками, как одно притягивающее телр, то и в этом случае
уклонение от сферической структуры будет (вследствие малости
масс спутников) практически неощутимо. Таким образом при
изучении движения планет мы можем заменить
каждую планету вместе с ее спутниками материальной
точкой, помещенной в соответствующий центр
тяжести- Солнечная система" станет при этом системой некоторого
числа материальных точек, взаимно притягивающих друг друга по
закону Ньютона,
Когда движение каждой такой материальной точки будет
изучено, а также будет определено движение спутников относительно
планеты, то отсюда можно уже окончательно вывести движение
планеты относительно Солнца.
82

В теории движения спутников приходится считаться с
уклонением структуры планеты от строго сферической и при вычислении
силы притяжения брать в формуле (13) также и второй член.
§ 8. ПРИТЯЖЕНИЕ ТЕЛ СФЕРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ.
Рассмотрим шар радиуса а, у которого плотность во всех
точках, равноудаленных От центра, одна и та же. Обозначая через а
расстояние произвольной точки от центра шара, а через
р—плотность в этой точке, будем' следовательно иметь,
Р = р(а).
Такое тело можно кратко охарактеризовать, сказав, что оно
имеет сферическую структуру.
Из центра шара О (черт. 3) опишем радиусом а сферическую
поверхность.
Черт. *.
Далее, приняв прямую 0Р, соединяющую центр с
притягиваемой точкой РУ за ось, опишем две конические поверхности О А А'
и ОВВ с общей вершиной О и с углами растворения,
соответственно равными 2<р и 2(ср + <2?). Поверхность сферического пояса
АВВ'А', вырезаемого этими конусами, будет равна
2тса sin <р • oid'f.
Рассмотрим, далеед.аналогичную сферическую поверхность
радиуса а + da. Масса тела, заключенного между двумя сферами и
двумя конусами, будет очевидно
dm = р • 2тах2 sin <p dyda.
Поэтому, обозначив через г расстояние АР произвольной точки
этого тела от притягиваемой точки Р получим
V=J±.-2«fptof-
sin у dy
(14)
&s

Пусть OP = R, тогда
/•a = a2 + /?* — 2a# cos <p;
откуда
rdr = aR smcp <fcp
Вместо переменного интегрирования <р введем переменное г,
изменяющееся очевидно в пределах от R — а до R + а. Получим
I/ = ?/ parfa /rfr
о Л —а
Откуда
V = -?, (15)
где
М = 4тс / рсА/а
о
есть очевидно масса шара.
Формула (15) показывает, что шар, имеющий
сферическое рас пределен ие плотности, притягивает
внешнюю точку так, как если бы вся его масса была
сосредоточена в центре.
Рассмотрим еще случае когда притягиваемая точка Рг
находится внутри шара, так что .. <а. Интеграл (14) разобьем на два
о ' о Я о
К первому из этих интегралов применим только-что
полученный результат. Поэтому он равен MJRt где
R
Л11==4я і'раЧа
Что касается до второго интеграла, то для него
Г2 = аа + R* + 2а/? cos <p;
следовательно
rdr =— a/? sin cprfcp,
причем переменное г меняется в пределах от а + /? до a — Rf ибо
в рассматриваемой случае R = ОРх. Таким образом этот интеграл
равняется
a a — Л a
— 2тс / pa3<tfa / -^- = 4к I padcx.
Итак для внутренней точки потенциал выражается формулой
V= М5Х +4* foada.
' * і •
24

Если мы имеем дело с полым шаром, внутренний радиус
которого равен Ь, а внешний по прежнему а% то
р(а)=0 для 0=^а<?.
Следовательно для точки Рі9 лежащей внутри этого полого
шара (R<b), получим
о
Мг = О, V = 4-х j'pada = const. (16)
Раз потенциал постоянен, то компоненты силы притяжения
равны нулю. Итак притяжение шарового слоя
сферической структуры на точку, лежащую внутри его
полости, равно нулю.
Дополнение к главе I.
ДВИЖЕНИЕ ДВОЙНЫХ ЗВЕЗД.
Для того чтобы закон Ньютона мог быть назван по
справедливости законом всемирного тяготения, надо убедиться в его
приложимости к звездам. Единственная возможность для этого,
имеющаяся сейчас в нашем распоряжении,—это изучение движений
двойных и кратных звезд. Посмотрим, что оно может дать.
Наблюдения Вильяма Гер шел я (1738—1822) над тесными
парами, начатые около 1780 г. в надежде определить параллакс
дифференциальным методом, привели (1803) к открытию для
нескольких пар. орбитального движения одной звезды относительна
другой. Накопленный с тех пор материал позволил достаточно
хорошо изучить орбитальное движение более чем для сотни двойных
звезд. Конечно при этом изучается не действительная орбита,
а лишь видимая, т. е. проекция действительной орбиты на
плоскость, перпендикулярную к лучу зрения.
Для всех изученных двойных звезд видимое движение спутника
подчиняется следующим двум законам:
1. Радиус-вектор видимой орбиты описывает площади,
пропорциональные времени.
2. Видимая орбита есть эллипс, внутри которого находится
главная звезда. Ни для одной известной пары главная звезда не
находится в центре эллипса.
Дальнейшие выводы из этих законов можно сделать лишь при
помощи допущения, что спутник движется в плоскости, проходящей,
через главную звезду. Всякое иное предположение является
совершенно несовместимым с наблюдаемыми лучевыми скоростями,
не говоря уже о том, что оно было бы совсем неправдоподобно.
Из этого допущения сейчас же следует, чтои для
действительного движения одной звезды относительно другой должны
иметь место те же законы, т. е. оно должно происходить по
эллипсу согласно закону площадей. Отличие от движения планет
заключается в том, что мы не можем утверждать, на основании
2&.

данных наблюдений, что главная звезда находится в фокусе
эллипса описываемого спутником: все что мы можем сказать—это
то, что она не находится в центре эллицса, ибо это свойство
сохранилось бы и в проекции.
Закон площадей показывает (§ 2), что движение спутника
происходит под действием силы, направленной к главной звезде.
Нужно, следовательно, найти закон действия этой силы, основываясь
на том, что траектория движения есть эллипс. В этом заключается
так называемая проблема Бертрана (J> Bertrand, 1822—1900),
предложенная- им в 1877 г. и тогда же решенная Дарбу (Darboux) и
Альфаном (Halphen). Решение Дарбу заключается в следующем.
Возьмем оси координат в плоскости орбиты спутника, причем
главную звезду примем за начало координат. Уравнение
траектории возьмем в самом общем виде
ах2 + 2kxy + by* + 2gx + 2fy = 1, (17)
Перейдем к полярным координатам, полагая
х = г cosw, у = г зіпй,
Уравнение траектории напишется так
-jr = g cosu+Z sim/±1^4 cos2tt^5"slji2a~+7^" (18)
где
A=±(g* + a-f*-b)y B-gf+h,
H = ±-(g* + a+p + b).\
Обозначим через R силу, производящую движение спутника
относительно главной звезды.
Уравнения движения
dt*— * г ' dt* ~~ * ~
при переходе к полярным координатам приводятся к такому виду
dt* r[dt) - —*l
г?« 4-2^-^»0 (19)
r dt* +/ dt Чі "иЧ
Интегрирование второго из этих уравнений дает закон
площадей;
г2 . *L e с
1 at °'
Отсюда
d*r
dt*
da
dt
_
. —
d
da
С
r*'
( C
Ы
dr
dt
dr\
du
s=s
du
dt
dr da С dr
da dt r* da
o'(-f)
du*
U

Следовательно, подставляя эти выражения в первое из
уравнений (19), будем иметь
«-?[*+
*ж
da2
(20)
Пользуясь уравнением траектории ,(18) получим после
некоторых упрощений
*_±? e=?=J> г. (21)
(A cos 2 « + В sin 2 и + И) *
Эту формулу можно представить в другом виде, если исключить
стоящий в знаменателе радикал при помощи уравнения (18,).
Получим
( ?cosa — f sui а \ х *
Легко проверить, что каждая из сил (21) и (22) при любых
начальных условиях производит движение по коническому сечению.
Действительно, прежде всего ясно, что траектория, определяемая
уравнением (18), удовлетворяет уравнениям движения (19). Остается
показать, что число произвольных постоянных в уравнении (18)
достаточно для удовлетворения любым начальным условиям. Но
начальные условия требуют выполнения трех уравнений:
траектория должна проходить через заданную точку (н0т г0); производные
Ч? It Д°лжны иметь в этой точке наперед заданные значения.
Таким образом остается показать, что для каждого из двух
полученных законов действия силы, (21) и (22), в уравнении траектории
остаются три произвольные постоянные.
Для (22) это очевидно, ибо этот закон фиксирует g и /, то^да
как a, h и b остаются произвольными.
Что же касается до закона (21), то тут необходимо иметь в виду,
что он (принимая во внимание произвольность С) фиксирует лишь
отношения А: В: Н\ так что и в этом случае в нашем
распоряжении остается в уравнении траектории три параметра.
Приходим к следующему заключению:
Единственные центральные силы, производящие
движение по коническому сечению при любых
начальных условиях, даются формулами (21) и (22).
С астрономической точки зрения интерес представляют конечно
лишь те силы, величина которых зависит только от расстояния между
взаимодействующими телами, а не от направления соединяющей их
прямой. Поэтому, делая в формуле (21) Л =-5 = 0, а в формуле
(22) g =/ = 0, получим
/? = ? и /? = ул 123)
Вторая из этих сил не может иметь место в системах двойных
звезд, ибо при g-=/=0 уравнение (17) дает коническое сечение,
27

центр которого находится в начале координат. Итак остается закон
Ньютона, как единственно возможная сила, производящая
наблюдаемые нами в системах двойных звезд движениях).
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Если бы Земля имела спутника, движущегося у самой ее поверхности, то
каков был бы период обращения этого спутника? Та же задача для Солнца и для
Сатурна.
2. Вычисление коэффициента [V состоящего в формуле (10) при помощи
соотношения (9) даю нам (x'=U)20X іо20- Показать, что для получения значения ц',
зависящего только от притяжения Земли на Луну, но не зависящаго от притяжения
Луны на Землю, надо указанную величину умножить на mhm-\~ml), где т — масса
Земли, а тх — масса Луны. Сделать иычисление, принимая т/тг = 81-Ь6.
3. Доказать что притяжение, производимое однородным шаром на точку,
лежащую на его поверхности, пропораиональнО' радиусу.
4. Можно ли указать такой закон изменения плотности с расстоянием от центра,
при котором притяжение шара на точку. Лежащую на его поверхности, не зависит
от радиуса?
5. Показать, при помощи формулы (13), что притяжение, производимое
однородным сплюснутым сфероидом с экваториальной и полярной полуосями, равными
соответственно а и Ь, имеет потеі циал
7 = -?--f-—- (1 —3cosaY^+ -•>
где а = есть сжатие сфероида, а т —угол, образуемый полярной осью и
прямой, соединяющей центр сфероида с притягиваемой точкой.
Указание: Главные моменты инерции для сжатого сфероида равны
О •' О
6. Получить формулы (15) и (16) при помощи уравнения Лапласа.
ГЛАВА II.
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ.
Основной и в то же время простейшей проблемой Небесной
механики является задача двух тел: изучить движение двух
материальных точек под влиянием их взаимного притяжения
по закону Ньютона. Эта задача встречается в Астрономии
в двух видах — чаще всего нужно бывает определить
движение одной точки относительно другой; в других случаях
приходится определять движение двух точек по отношению к их
общему центру тяжести. Решение в обоих случаях получается
при помощи интегрирования одной и той же системы
дифференциальных уравнений. Поэтому, рассмотрев подробно пер-
)Д-Д. МордухаЙ-Болтовской поставил и решил следующую задачу:
Каковы те силы, зависящие только от расстояния между двумя материальными
точками, которые производят движение по коническому сечению для любого
начал ьно го положени я этих точек и некоторой фиксированной
начальной с к ор ост и? Единственными решениями этой более общей задачи
являются те же две силы (23). См. Зап. Фіз.-Мат. Віддлу Всеукр. Акад. Наук,
23

вую проблему (§§9—17), мы можем легко исчерпать (§ 18)
проблему движения относительно центра тяжести.
В результате изучения этой главы должно быть получено
отчетливое представление о законах движения и о роли
каждой из постоянных, введенных интегрированием. Эти
постоянные (элементы орбиты) определяют все обстоятельства
движения.
§ 9, УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.
Рассмотрим две материальные точки 5 и Р, имеющие массы,
равные соответственно т0 и т. Согласно закону всемирного
тяготения, каждая из этих точек притягивает другую с силою, равной
№ /720 т г-2, где через г обозначено расстояние SP. Таким образом
точка Р будет иметь ускорение № т0 /—а по направлению к точке
Sy а эта последняя будет иметь ускорение, равное к%тг~г и
направленное к точке Р.
Для нас важно изучить движение одной точки относительно
другой, ибо этот случай имеет наиболее частое применение в
Астрономии: движения планет и комет определяются по отношению
к Солнцу; движение спутника относится к планете; при изучении
движения двойных звезд положение одной звезды определяется
относительно другой.
Будем.изучать движение точки Р относительно ,9. Этому
относительному движению будет соответствовать относительное
ускорение, направленное по прежнему от Я к 5. но равное уже
к2 т0 г-2 + k2 m г-\
ибо для получения движения относительно S мы должны приложить
ко всем точкам нашей системы ускорения, равные, но прямо npq-
тивоположиые ускорению точки S.
Поместим начало координат в точку S и обозначим через х, у, z
координаты точки Р. Косинусы углов, образуемых вектором PS
с осями, будут очевидно равны
х у г
*~ г г г *
Поэтому компоненты только-что указанного относительного
ускорения будут
— k2(m0 + m)xr~zt — k* (т0 + т)уг~ь, — А2 (т0 + m)zr~8.
Следовательно уравнения движения точки Р напишутся так
d х , кЦт0 + т)х __ п
-Л1-+ г» =0> } I1)
d* z ( k (т0 + ти __ ~
dt% ' а8
29

Решение задачи двух тел сводится таким образом к
интегрированию этой системы трех совокупных дифференциальных уравнений
2-го порядка. Как известно, общее решение такой системы даст
искомые координаты х, у, z в виде функций времени t и шести
произвольных постоянных Произвольные постоянные
интегрирования могут быть выбраны различно. Например за эти постоянные
можно принять координаты х0, yQ, z0 и компоненты скорости х0\
Уо> zo точки Рв какой-либо момент времени t = t0. В дальнейшем
увидим, что может быть сделан другой, для нашей цели более
удобный, выбор этих произвольных постоянных.
Перейдем теперь к нахождению интегралов системы (1).
§ 10. ИНТЕГРАЛЫ ПЛОЩАДЕЙ.
Умножим первое из уравнений (1) на—у} второе на + х и
сложим их почленно, получим
d*y d*x л d ( dy <ix\ rv
Откуда
где С,—постоянная введенная интегрированием.
Аналогично получаем два другие первые интеграла
dz dy ~ dx dz г* . /fSS
УЧі-г-1і = С^ zlit-x!u = C* <3>
Эти три первые интеграла системы (1) и носят название
интегралов площадей.
Умножая равенства (2) и (3) соответственно на z, х и у и
складывая их почленно найдем '
Это соотношение показывает, что движение точки Я происходит
в плоскости, проходящей через начало координат, т. е. через точку
5. Положение этой плоскости определяется начальными условиями
движения, дающими возможность найти, при помощи уравнений (2)
и (3), коэффициенты Сь С2, С3.
Для получения механической интерпретации соотношений (2)
и (3), рассмотрим три положения Р0і Р и Р (черт. 4). движущейся
точки, соответствующие моменты t0i t и t+dt. Эти три положения
будут находиться в плоскости, проходящей через S. Обозначим
через А площадь сектора, заключенного между радиусами -
векторами SPq и SP и траекторией точки Я, а через dA — площадь
сектора SPF.
Площадь сектора dA отличается от площади треугольника SPP*
на бесконечно-малую величину второго порядка. Следовательно,
замечая, что площадь треугольника SQQ\ являющегося проекцией
треугольника SPP> равна «-{xdy — ydx\ а проекция сектора SPP\
т. е. сектор SQQ', имеет площадь, равную dA cost, получим
< ~% (xdy —У &х) ^ dA cos-j.

Через а, р, f мы будем обозначать углы между нормалью 5ЛЛ
к плоскости, в которой совершается движение, и осями координат..
Проектируя сектор SPP на две другие координатные плоскости,,
мы получим еще два аналогичных соотношения. Сопоставляя зтк
соотношения с интегралами площадей (2), (3), мы можем этим
последним придать такой вид
2 cos a dA = Си 2 cos р4т = Q/ 2 cosT^ «С*
W
rf/ — ~lf ~ ^ r df — ^2, *, ^о j -^ = о». (4>
Возведем эти равенства в квадрат и почленно сложим. Получимг
OdA —Г
с=усг*+с2*+с3*.
Черт. 4.
Интегрирование последнего равенства дает
A = \c<t-t0). (5>
Итак, интегралы площадей показывают, что: "относительное
движение точки Р происходит в плоскости, проходящей через
точку S и притом так, что площадь сектора, описываемого радиусом-
вектором SP, изменяется пропорционально времени.
Равенства (4) дают
Ccosa^C^ Ссо$$ — Съ Ccos'f =С3.
Условимся считать величину С, которая есть не что иное как
удвоенная секториальная скорость, всегда положительной. Эти»
однозначно определятся знаки cos a, cos р и cos ?» а следовательно-
и направление нормали SN к плоскости орбиты.
91

§ 11. ВЫБОР ПОСТОЯННЫХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ИНТЕГРАЛАХ ПЛОЩАДЕЙ
Соотношения (5; выражают С„ С2) С3 через постоянные С, а, р, у-
Эти новые постоянные имеют то преимущество, что они
непосредственно связаны с только-что выясненными обстоятельствами
движения. Но введение их было бы неудобно потому, что вместо трех
независимых постоянных мы здесь имеем четыре, связанные
соотношением
cos2 а + cos2 р + cos2 if = L
Чтобы освободиться от указанного неудобства определим
положение плоскости орбиты двумя углами. Это делается следующим
образом.
Черт. 5.
Возьмем сферу (черт. 5) с центром в тотае S. Пусть плоскость
орбиты пересекается с этой сферой по большому кругу -к ру а
нормаль к плоскости орбиты встречает ее в точке п (.направление
нормали установлено в конце предыдущего параграфа).
Каждая из двух точек, в которых орбита пересекает основную
плоскость xSy, называется узлом орбиты. Тот из узлов, при
прохождении через который координата z переходит от отрицательных
значений к положительным, называется восходящим узлом, другой—
нисходящим. Восходящий узел обозначаем знаком ?? (черт. 4). Те
же самые названия сохраним и за проекциями узлов на сферу
(черт. 5).
Условившись в такой терминологии, мы можем определить
положение плоскости орбиты двумя углами: углом xSQ, который
называется долготой восходящего узла (отсчитывается от оси Sx
по направлению к оси 5V), и углом nSz, измеряющим наклон
плоскости si тс Р к плоскости х^у, и называющимся наклонностью
орбиты. Очевидно эти два угла вполне однозначно определяют
положение плоскости орбиты. Долгота восходящего узла, которую мы
будем обозначать через ?J, может иметь любое значение от 0° до
32

360°. Наклонность орбиты будем обозначать через і. Если О0^ і< 90°,
то говорят, что движение точки Р прямое (совершается в том же
направлении, в котором увеличиваются долготы); в случае 90°<і<180°
движение называется обратным.
Итак наиболее удобными для нас постоянными являются,
наряду с С, углы Q и і. Остается выразить С15 С2, С3 через эти
новые постоянные.
Из сферических треугольников хп^и ynQ>% в которых хп = а>
утг = 1$> находим cos а = sin ^ sin г, cos//= — cos Q sin/.
А так как кроме того ч=*гп=і, то окончательно получим
интегралы площадей с новыми постоянными в таком виде
dz dy ^ . . . г-^
У~Ж — *--5T=Csiiu sin Й
dx dz s> . * ^-ч
z—Jt x-fi- = — Csinr cos^
dy dx ,y
(6)
dt -* dt
§ 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ.
Вернемся к интегрированию уравнений (1). Уже найденные в
§ 10 интегралы привели нас к заключению, что движение точки Р
совершается в плоскости, проходящей через точку S. Естественно
поэтому, для упрощения дальнейшего изучения движения точки Я,
изменить систему координат—принять за основную плоскость х Оу
плоскость орбиты.
Предполагая такое изменение координатной системы уже
выполненным и обозначая новые координаты через х, у, г, мы будем
иметь z== 0, вследствие чего уравнения (1) сведутся только к двум
dt* /* > dt* г* ' ^ '
Для сокращения письма положено
К* = k2 (mQ + m). (7a)
Интегралы площадей (6) сведутся очевидно к одному
Как известно из Механики, уравнения (7), точно так же как и
уразнения (1), имеют интеграл живой силы. Действительно,
умножая первое из уравнений (7) на 2 —-, второе на 2 -—-, и
складывая, получим
![(?Г+($)']=2^(і),
ибо
. -dy\ -2 dr dfl
+ y-dih-r чг=ат{-
Курс яебесноЗ мехгнвкн, т. I. * •>*

Итак, после интегрирования,
(1)4 (#)'-""+*• <9>
где h — новая произвольная постоянная.
Если бы мы исходили не из >равнений (7), а из уравнений
(1), то получили бы интеграл живой силы в таком виде
'-' + [% +r? =-r+h- do)
Решение системы (7) приводится, таким образом, к
интегрированию двух уравнений (8) и (9) первого порядка. Этим мы сейчас
и займемся.
Прежде всего введем полярные координаты, полагая
л = г cos и, у — г sin и.
-.Чтобы легче было вернуться к координатам х, у, z, условимся
полярный угол и отсчитывать от линии узлов S ?^. По причине,
которая будет ясна из дальнейшего, отсчитываемый таким образом
угол <Й,5/^черт. 4), измеряемый на сфере [черт. 5) дугой ?^Л
называется аргументом широты.
Уравнения (8) и (9) примут, как легко видеть, такой вид
(3'+"'(?/-'-?+*¦ ад
Исключим из этих уравнений время. На основании (11) имее*-
dr _^ dr da С dr
~dt~~du dt~~l* аи"*
что позволяет переписать уравнение (12) следующим образом
или (
ai?>^
[-
К* (С К*\\
du .
Делая, для краткости,
получим
¦ №-*-*¦
Интегрирование этого уравнения дает
и— о)=± arccos-^-,
или
s~Acos(u — a>)3
где через о—обозначена постоянная, введенная интегрирование*
34

Определяя отсюда г, получаем
-Q+Y п + -?z cos \и- со)
или, окончательно,
Г== 1 + е cos и * (*3)
(И)
(15)
Как известно, уравнение (13) представляет коническое сечение,
фокус которого находится в точке 5, причем ресть параметр этого
конического сечения, а е—его эксцентриситет. Заметим, что в
уравнении (13) мы можем считать е положительным: в самом деле
изменение знака е равносильно изменению постоянной
интегрирования со на 180°.
Когда речь идет о движении планет и комет, следовательно за
точку S принимается Солнце, вершина конического сечения,
ближайшая к S, носит название перигелия. В других случаях
применяются аналогичные названия: перигей — для орбиты Луны по
отношению кЗемлеуперисатурний—для спутников Сатурна, периастрон—
для двойных звезд и т. д.
Угол v, отсчитываемый от перигелия в направлении движения
точки Я, называется истинной аномалией.
Вид конического сечения, описываемого точкой Р, определяется
величиной эксцентриситета е. Рассмотрим случаи, какие могут здесь
представиться.
Если е<17 что будет иметь место, когда А<0, то траектория
будет эллипс. В этом случае истинная аномалия изменяется от 0*
до ЗбСР. Точка орбиты, для которой v~ 180е, называется афелием.
Обозначим через а большую полуось эллипса; тогда, как известно,
р = а (1 —е1).
Если е—\, т. е. А = 0, то точка Р будет двигаться по параболе
(черт. 6). Истинная аномалия считается в этом случае от—180° до
+ 180°. Уравнение орбиты (13J для параболы напишется так
г== Т+Ш = ~^±> (16)
где
есть не что иное, как перигельное расстояние SU> ибо r^q, если
где введены следующие обозначения
С5
PZML
и наконец
v = и — со.
з*
3*

В случае е> 1, т. е. при k>Ot уравнение (13) представляет
ветвь гиперболы, вогнутую по отношению к точке S (черт. 7).
Обозначим через ф наименьший положительный угол,
удовлетворяющий уравнению
1 + в cos ф — 0;
в таком случае истинная аномалия в уравнении (13) может
изменяться лишь в пределах от — (180°—') до + (180° — ф) ибо, только
при таких значениях v мы будем получать для г положительные
значения.
Черт. 6.
Черт. 7.
Большую полуось а условимся считать для гиперболы
отрицательной—при таком условии равенства
<*(t-*2)
г= -
1 + е cos v
(17)
будут одинакозо применимы как для эллипса, так и для гиперболы.
Соотношения (14) и (15) по*воляют выразить первоначальные
постоянные иитегрир ваиия С и А через новые введенные нами
постоянные а и е, характеризующие форму орбиты. Имеем
* = -?, C=KVp = KV*W -e*)
Заметим, что интеграл живой силы (10) может теперь быть
написан так
at
или, обозначая через V
-скорость точки Я,
$•
(13)
(19)
se

Отсюда заключаем:
величина скорости в какой-либо точке орбиты зависит только
от большой полуоси орбиты и от радиуса-вектора.
Обратно:
радиус-вектор а абсолютная в личина скорости точки Р в
какой-либо момент времени вполне определяют большую полуось
орбиты. В частности, если
то движение происходит по эллипсу; если
то движение происходит по гиперболе; наконец, в случае
V^kYt (20)
движение происходит по параболе.
Критическая величина я скорости (20), отделяющая замкнутые
орбиты от орбит, уходящих на бесконечность, называется парабо»
лиЪеской скоростью.
Как известно кометы в большинстве случаев движутся по
орбитам мало отличающимся от парабол, тогда как орбиты планет
мало отличаются от окружностей. Так как для кругового движения
(г^а)
то отсюда следует, что скорость кометы в тот момент, когда она
пересекает орбиту планеты, в ]/2= 1.41... раз больше скорости
планеты.
Итак, мы довели интегрирование системы (1) до определения
траектории. Остается только заполнить один пробел: надо еще
показать, каким образом координаты xt у, z выражаются через
коррдинаты г, v, фигурирующие в уравнении траектории.
Обратимся к черт. 5, где через р и тс обозначены проекции
точки Р и перигелия П на сферу. Так как
х = г cos (рх), у = г cos (ру), z — rcos (pz),
то остается найти косинусы луг рх, ру, pz. Из сферического
треугольника х?1р9 в котором лр = ??, ?^р = и, а угол между этими
сторонами равен 180° — і, получим
cos(px) = coskcos^—sin и sin fy cos/.
Точно так же, из треугольников у?&р и zfyp,
cos (ру) = cos и sin Q> + sin и cos Q, cos /
cos (pz) = sin и sin /.
87

Следовательно
х = г (cos и cos Q> -— sin и sin Q> cos r)
у = r (cos # sin ^ + sin и cos ^ cos i)
2 = r sin д sin /
Эти соотношения, совместно с равенствами
л(і —**)
(21)
й = ^ -f <о, Г =
1 + е cos tf
дают искомые координаты точки Р в функции истинной анома*
лии v и пяти постоянных ?1 і, со, а я е, введенных
интегрированием. Геометрический смысл ?J, і7 а и ? был-нами своевременно
указан; так как
со = и — v = А/7 — я р = Атг,
то й> — есть угловое расстояние перигелия от узла.
Чтобы получить полное решение задачи двух тел, остается
выразить истинную аномалию з функции времени. Это выполняется
различно в зависимости от формы орбиты, поэтому в дальнейшем
мы рассмотрим отдельно движение по эллипсу, параболе и
гиперболе.
§ 13. ДВИЖЕНИЕ ПО ЭЛЛИПСУ.
Интеграл площадей (11) мы можем написать так:
(22)
ибо du = dv. Подставляя сюда значение радиуса-вектора, даваемое
уравнением орбиты (17), получим искомую зависимость между» и L
Удобнее однако
воспользоваться параметрическим
представлением эллипса.
Возьмем в плоскости
орбиты прямоугольные
координатные оси SS и St\t
расположенные так, как это
указано на черт. 8.
Обозначив через (5, tq) координаты
точки Р в этой системе,
получим
? = г cos vf tj = г siiri>.
Уравнения (3) на стр. 9
дают
Черт. 8.
? = *(cOsi: — е)9
у\ = b sin E$ (23)
38

где b — aY 1—e% есть малая полуось эллипса. Следовательно
rsin v = а ]/1—е1 sin? \
rcosv — a(cosE—ё) J * '
Нетрудно выяснить геометрическое значение параметра Е.
Проведем из центра эллипса С окружность радиусом, равным л.
Продолжим ординату PQ точки Р до пересечении с этой окружностью
в точке Л/, и рассмотрим треугольник CQN. Так как
CQ = CS + SQ = ае +1 = a cos ?
Л/Q = j/OT^Q* = l/a2 — a«cos*? = a sin E,
то ясно, что угол QCN этого треугольника как раз равен Е.
Угол Е в Астрономии называется эксцентрической аномалией.
Соотношения (24) позволяют выразить г и v ч.-рез эк
центрическую аномалию. Володя их в квадрат и складывая, получим
г=а(\— ecosE). (25)
Подставляя это значение г в равенства (24), найдем
cos Е — е
. l/"l — ег$т Е cos
Sin ¦27= Х- г:—, COSt>=;
1—е cost 9 1 —
ecosE
Продифференцируем первое из этих равенств и воспользуемся
вторым для исключения cost'. Это даст
dv e l-gcos? ' <26>
Подставим теперь найденные выражения (25) и (26) в интеграл
площадей (22). Получим
з
(1 —е cos ?)rf? =/Ca 2 dt,
откуда, после интегрирования,
Е —es'm Е= Ка~ * (t—T),
где Т—постоянная интегрирования.
Это уравнение называется уравнением Кеплера.
Полагая
п = Ка~~*, (27)
M = n{t—T), (28)
яапишем его так
Е — е$тЕ = М. (29)
Уравнение Кеплера служит для определения Е для данного
момента времени /. Когда уравнение Кеплера решено, то уравнения
(24) дадут г и v, после чего по формулам (21) можно вычислить
*, у, z.

Легко видеть, что уравнение Кеплера для любого значения М
имеет одно и только одно решение. В самом деле, так как при
всех значениях Е
-т- = 1 — ?cos?>0,
ае
(ибо е<\), то при возрастании Е величина М = Е—?sini?Henpe-
ры но возрастает. С другой стороны,, М -* + оо, когда ?->¦ + со
и М^ — оо, когда Е-*- — со. Отсюда ясно, что каждому, значению
М отвечает одно вполне определенное значение Е.
Вопросом о фактическом решении уравнения Кеплера мы
займемся впоследствии, а сейчас отметим лишь два частных случпя.
Пусть t~ Т, тогда Ж = 0 и следовательно ? = 0, *> — 0, т. е.
движущаяся точка находится в перигелии. Итак, постоянная Т в
уравнении Кеплера есть один из моментов прохождения движущейся
точки через перигелий.
Пусть теперь t=T + P9 где через Р обозначено время полного
оборота движущейся точки. Так как за время полного оборота
эксцентрическая аномалия возрастает от 0° до 360°, то для
рассматриваемого момента из (29J получим
360° = пР%
откуда
360°
"-—•
Это выражение дало повод назвать п средним суточным
движением (время оборота предполагается выраженным в средних
сутках). Величина М — п (t— Т) называется средней аномалией.
Конечно, в уравнении (29) все члены должны быть выражены
в одинаковой мере. Если например Ё и М выражаются в градусах,
то и эксцентриситет е должен быть выражен в градусах при
помощи равенства
е° = 57°. 29578*.
Обратно, если Е и е выражены в радианах, то и М должно
быть выражено в радианах, для чего надо взять
п = Щ. (30)
Задача интегрирования уравнений (1) в случае эллиптического
движения полностью решена: уравнение Кеплера (29) и формулы
(24) и (21) дают координаты движущейся точки в функции времени
и шести постоянных <Л>,?, <¦>, а, е, Т. Эти постоянные, вполне
определяющие все обстоятельства движения, называются элементами
орбиты.
Вместо Т часто пользуются другим элементом, более удобным
в особенности для планет. Обозначим через t0 какой-либо
определенный момент времени и перепишем равенство (28) так
яг = л(*-д + жв
где
40

Равенство (31) показывает, что М0 есть нечто иное как
средняя аномалия для момента t0t или, как принято говорить, средняя
аномалия эпохи.
Примечание. Для вычисления радиуса-вектора и истинной
аномалии можно пользоваться, вместо формулы (24), другими
соотношениями.
Комбинируя путем сложения и вычитания равенство (25) со
вторым из соотношений (24) получим
г (1 — cos v) = а (1 + е) (1 — cos Е)
г(1 +co$v) = a{\ —e){\ +cos?*)
или
Y г sin — = ]/а(1 + e)sin
]/" г cos -|- = )Лг (1 — ?)cos -y
(32)
Двойственность знака при извлечении корня устраняется тем
соображением, что углы -=- © и -§- ? находятся всегда в одном
и том же квадранте (ибо когда Е = 180°, то и t/= 180°).
Из (32) вытекает следующая часто употребляемая формула
¦*т = /т^*т- <32а>
а потому
Введем угол эксцентриситета ср, определяемый равенством
sin ср = е.
Тогда
j/IT^ - К2cos (45°- 4-?) >
і/ г=^=yTsin (45°- 4- ?),
tg^=cotg(45°-| <p)tg4- (33>
Умножая первое из равенств (32) на cos -к-, второе на
— sin —, и складывая, получим
VTsin -1 (t;-?) = |/а"( YT+~~e—/I^l) sin-? cos у-.
Или, вводя угол эксцентриситета,
sin -J- (* - .5) = ]/-f sin -і- ? sin ?\ (34)
Пользуясь формулами (24) и (25), можно придать этому
соотношению такой вид
sin ~ (v—Е) »|/у sin — ? sin v. (35>
4і

Совершенно таким же путем выводятся следующие две: фор-
sin \ (v + Е)=у -у cos pepsin?*,
sixi-y(v + E)^Yt cos-5-? sin if.
§ 14. ДВИЖЕНИЕ ПО ПАРАБОЛЕ.
Перейдем теперь к определению положения движущейся точки
«а орбите в том случае, когда движение происходит по параболе.
В этом случае уравнение орбиты (16j дает
r = ^sec2-|-. (36)
Подставляя это выражение в интеграл площадей
dv_
dt
r*%=KV7,
солучим
cos4 —
i+tg24V4tg~b-^
Это равенство можно переписать так
Откуда _
»'
Легко видеть, что это уравнение для каждого значения t дает
одно и только одно значение истинной аномалии в пределах от
—180° до + 180°. В самом деле, когда v убывая стремится к — 180°,
то і стремится к —оо; при v стремящемся к + 180°, время t
стремится к + «>. С другой стороны при возрастании одной из этих
переменных другая также всегда возрастает, ибо
*> _ **^-л-
dt г* ^и>
откуда следует, что каждому значению t соответствует только
-одно значение v.
В Астрономии с параболическими орбитами приходится
встречаться при изучении движения комет относительно Солнца. За
единицу масс принимается масса Солнца, по сравнению с которой-
массы всех комет практически равны нулю. Таким образом в
равенстве (7aj
мы можем положить *дав = 1, /тс = 0, что дает /С=&.
42

Принимая это во внимание и полагая
p=q *{t—T)
получим _
?(*т+т»т)"й М
Специальные таблицы, дающие либо Р по аргументу vf
либо Ф по аргументу Ру позволяют очень просто находить
истинную аномалию, соответствующую данному моменту времени, когда
известны q и Т.
Так как при v — О, из (37) следует t = 7*, то Г есть момент
прохождения через перигелий.
Итак, параболическое движение определяется следующими
пятью элементами: <ГЬ, іу со, q, 7\
Чтобы получить координаты кометы для какого-либо момента
времени t, надо найти, при помощи уравнения (38), истинную
аномалию v; после чего уравнение орбиты (36) даст радиус-вектор г,
наконец формулы (21) дадут координаты кометы xt yy z.
§ 15. ДВИЖЕНИЕ ПО ГИПЕРБОЛЕ.
Этот случай отличается от случая эллиптического движения»
рассмотренного в § 13, только тем, что в уравнениях
г=5= а ^ ~ g2> r*-- = KVa(i — e2)
подлежащих разрешению относительно г и v, надо считать е>1,
а<0.
Сделанная нами подстановка (24)
rsinv = aY\ — г2 sin ?",
rcosv= a[cosE— e)
одинаково применима и для гиперболы, ибо эти выражения, точно
так же как и вытекающее из них равенство
г = а(1 —ezosE),
тождественно (т. е. при всяких значениях Е, как действительных,
так и комплексных) удовлетворяют уравнению орбиты, независимо
от того, каковы будут а и ё.
Отличие заключается только в том, что в случае
гиперболического движения sinE будет мнимым числом, тогда как cos?*
остается действительным. В виду этого здесь удобнее вместо
эксцентрической аномалии Е пользоваться величиной
Н = — іЕ.
Отсюда, по самому определению гиперболических функций,
і sin Е = — sh Я, cos Е = ch Н;
4*

так что для параметрического представления точек гиперболы
получаем следующие формулы с действительным параметром Н
г sin v = — аУе2— 1 sh//,
г cos v = — а [е — ch H)f
или, окончательно,
rsin v = | a J ]/^2— lsh//, I ,39
rcost/ = \a\ (e — chH) J V ;
Для получения параметра И в функции времени можно было бы
проделать вычисления, аналогичные тем, которые привели нас
в § 13 к уравнению Кеплера. Но проще прямо заменить в этом
уравнении Е через + Ш. Это даст
е$ЪН—Н = п(і—Т), (40)
где
п - К1 a J 2.
Отметим еще следующие формулы легко получаемые из
соответствующих формул § 24 при помощи той же подстановки
r=U|(echtf-l), tg-f = ]/|±f tgh^ (41)
' /7sin -f = VTa\&Tl) sh -y-
/7соз^«іЛТТПг=Г)сь4
В прежнее время, когда подробные таблицы гиперболических
функций отсутствовали, пользование этими формулами было
затруднительно. г) Поэтому их заменяли другими, содержащими только
тригонометрические функции. Этой цели можно достичь
подстановкой
tf-lntg(45° + 4-n
где через In обозначен натуральный логарифм. Тогда, как легко
проверить, ^
sIi//=tgF, ch/Z-secF, tgh-f = tg— -
Подставляя эти выражения в формулы (40), (39) и (41) и
переходя от натуральных логарифмов к обыкновенным, получим
MeigF-\gtg(45°+-yF)=Mn(t— T) (42)
г) Из имеющихся в настоящее время таблиц гиперболических функций
укажем: Таблицы логарифмов гиперболических функций и натуральных величин
гиперболических и тригонометрических функций д-ра Лиговского (издание
Военно-топографического Управления, Москва, 1929).
44

М = О • 434 2945
г sin t; = | а \ V^—ligF
rcosv = | a \ (e — sec/7)
r=\a\(esecF-l), tg -f = ]/Ш tg -? .
Решение уравнения (40) относительно Я, или уравнения (42)
относительно F производится обычными методами численного
решения уравнений. Можно, например, найти приближенное значение
неизвестной графически и затем исправлять его по способу
Ньютона 1).
§ 16 ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА.
Полученные результаты позволяют осветить связь
существующую между законом всемирного тяготения и законами Кеплера»
сыгравшими такую большую роль в открытии закона всемирного
тяготения.
В первом приближении мы можем пренебречь силами, с
которыми планеты действуют друг на друга, и рассматривать
движение каждой планеты как результат взаимодействия этой планеты
и Солнца.
При. таком предположении результаты § 10 и 12 сразу дают
нам первый и второй законы Кеплера: планета движется в
плоскости, проходящей через центр Солнца, и притом так, что
площадь сектора, описываемого радиусом-вектором, изменяется
пропорционально времени (стр. 31); траектория движения есть эллипс,
в фокусе которого находится Солнце (среди найденных в § 12
возможных траекторий движения, для планет может иметь место
только эллипс*.
Третий закон Кеплера связывает большую полуось орбиты а
и период обращения планеты вокруг Солнца А Для получения
такой зависимости сравним выражения (27) и (30), полученные
в § 13 для среднего суточного движения. Вспоминая, что
f( = /е Ymo + от >
получим
Р = —?=- аТ. (43)
кут0+т
Для другой планеты с массой тх, периодом обращения Рг
н большой полуосью alt точно так же будем иметь
куmQ±mx
г) Клк отметил H..HL Матвеевич (Изо стигг Гл. Астр. Обсерватории в Пулкове
Je 103 (1929), стр. 242), при решении уравнения (42) очень полезны мореходные
таблицы, дающие
по аргументу F.
45

Откуда заключаем, что
Это и есть третий закон Кеплера, но только в исправленном,
уточненном виде. Отличие от приближенного закона, открытого
Кеплером, невелико вследствие малости планетных масс: массы
планет настолько малы по сравнению с массой Солнца, что дробь
(пі0 + тг): (ш0 + пі) во в.ех случаях отличается от единицы меньше
чем на одну тысячную.
§ 17. ВЫБОР ЕДИНИЦ. ГАУССОВА ПОСТОЯННАЯ.
При изучении движений тел солнечной системы наиболее
удобной системой единиц является следующая: за единицу длины
принимается большая полуось земной орбиты \ за единицу времени—
средние солнечные сутки, за единицу массы — масса Солнца. Этой
системой единиц мы и будем пользоваться в дальнейшем.
Важно вычислить постоянную притяжения, соответствующую
принятой системе единиц. Для этою воспользуемся форхмулой (43),
которая дает 3
к =
Гаусс применил эту формулу к Земле, причеи длину
сидерического года он принял равной Р = 365 -256 3835 средних
солнечных суток; для массы Земли (+ масса Луны) о.н принял величину
т~ 1:354 7J0, Так как кроме того, по условию, а*=\л /и0=1, то
получается следующее значение k
k = 0.017 202 098 95
lgft =8.235 581 441 4 —10/;
lg?" = 3.550 006 574 6
где через k" обозначена величина k выраженная в секундах, т. е.
положено -
R "arcl" •
Это значение к известно под именем гауссовой постоянной.
Имеющиеся в настоящее время более точные значения Р и т
дали бы несколько иное значение для k. Но так как изменять к
неудобно» то предпочли оставить без изменения гауссову величину
этой постоянной: а для того чтобы в равенстве (43) не получилось
противоречия условились единицу длины выбирать так, чтобы это
равенство строго удовлетворялось. При таком условии большая
полуось земной орбиты не будет уже равняться единице, а будет
определяться формулой
( ЬРУ\ +т V
2к
г) Точнее говоря, большая полуось орбиты, описываемой вокруг Солнца центром
тяжести системы Земля—Луна.
46

Взяв значениЯэ положенные Ныокомом в основу его таблищ.
больших планет, а именно:
т = 1:329 390,
Р (для 1900) = 365.256 360 42,
получим \g a = 0.000 000 013.
§ 18. ДВИЖЕНИЕ ДВУХ ТЕЛ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ.
Обозначим через (:0, v С0) и (;, ть Q координаты точек S и Р
относительно произвольной, неподвижной системы осей координат.
Через т0 и т будем попрежнему обозначать массы этих "точек.
Напишем дифференциальные уравнения движения. На точку S
действует сила, направленная по прямой SP и равная k9mQmr-\ где
г—расстояние между S и Р. Компоненты этой силы по осям
координат равны
k*mQm
~72~
6-6.
кгт0т у\
— и
10
k*mQm С
^2 ""
Сг
Компоненты силы, действующей на точку Я, будут такие же, но
с обратными знаками. Сообразно с этим, уравнения движения
напишутся так
т,
mt
ttti
і- = k2mnm —.-¦¦
л8
•. = k~m0m
ч*
4^ = ?2/л0т ^-^
/7i
/Я
f3"
s.-e
= k m0m -^.,
md?"n' "'0'" r»
(44)
Складывая попарно полученные уравнения, получим
/72,
/w,
/и.
d*
to
•¦a
Проинтегрировав дважды эти равенства получим
где Лг, Л2, Л3, 51э 53,_53j- постоянные введенные интегрированием.
Обозначим через 6, ч, С координаты центра тяжести точек 5*
в Р. Тогда
(т0 + т) yj = т0% + пщ (45)
fme + от)С = w#C0 + ml.
4Г

Следовательно
(m0 + m)\=Alt + B1
(m0 + m)r?= A%t -h B2
(m0 + m) С = Azt + Bz.
Эти равенства показывают, что центр тяжести движется
прямолинейно и равномерно. _ __ _
Перенесем начало координат в центр тяжести (?, у\7 С), причем
новые координаты S н Р обозначим через (х0, yQ} zQ) и (х, у, z),
так что _
? = Ч + Уо -П = У+У | (46)
Подставляя эти выражения в уравнения (44) и замечая, что
-— = О
at* >
d2i\
dt*
= 0,
?1
dt*
= o,
получим следующие уравнения, определяющие движение
относительно центра тяжести
U Л л t л X —~ Хл
z — z0
jtIq —t^S- = k?fttntit ¦
dt*
-U'
r*
(47")
r = /(* — x0)*+iy- y0)* + [Z- z0)\
Подстановка выражений (46) в равенстве (45) дает
тох0 + тх = 0, т0у0 + ту = 0, m0zQ + mz~0.
Эти соотношения дают возможность исключить из уравнений
{47') *, у, г, а кі уравнений (47") д0, у0, z0. Получим
d/2 ""*" г» "~~ U'
rf2 г0 , А*(ду0 + діігь __ q
Так как, кроме того,
т0 4-«
/и
я
Q»
где
tfo-KV+V + V.
^2 -Г Лз — U.
то, полагая ради краткости
М =—2і_
0 («• + «/'
Ж =
т0>
yw0 -f т)1'
43

N
окончательно получим уравнения
движения точек S и Р в таком виде
d*x0
dt*
dP
d*z0
dP
+
¦ +
+
&M0Xq
УМьУо
= 0,
= 0,
-o,
d*x №_Mx_
dp
d*y
dt% "r
d?z
dt*
+
k*My
k?Mz
= 0,
= 0,
- = 0.
Сравнивая эти уравнения с
уравнениями (1), определяющими
движение Р относительно S, мы видим, что
они отличаются лишь заменой
постоянной mQ -f т через MQ или М.
Таким образом все результаты,
полученные для движения, определяемого
уравнениями (1), остаются в силе и
для движения каждой из точек S и Р
относительно их общего центра
тяжести.
На черт. 9 дан пример
прямолинейного и равномерного движения
центра тяжести двух тел. С левой
стороны на этом чертеже изображено
движение Сириуса и его спутника с
1850 г. по 1920 г. в проекции на
небесную сферу.
С правой стороны представлено
движение спутника относительно
Сириуса.
УПРАЖНЕНИЯ.
Черт. 0.
1. Найти уравнение траектории при помощи форм\глы (20) на стр. 27.
2. Показать что справедливо следующее предложение, частным случаем
которого является третий закон Кеплера. Если ямеем какое-либо решение
задачи двух тел, то мы можем получить из него другоерешение,
умножив все линейные размеры на А, а все интервалы нреыени
и а Л •*, где А любое постоянное число.
Это предложение справедливо и для задачи я тел.
3. Изучить движение двух материальных точек, между которыми действует
отталкивательиая сила прямо пропорциональная массам и обратно
пропорциональная квадрату расстояния. Показать, что в этом случае движение одного тела
относительно другого происходит по веіаи гиперболы выпуклой по отношению
к этому последнему телу.
4. Если бы масса Земли стала исчезающе малой по сравнению с массой Солнца,
то как это отразилось бы на движении Земли?
(Отв. Длина года увеличилась бы на 47*-8)
5. Определить время, в течение которого комета, имеющая перигельное
расстояние, проходит часть своей орбиты от v = 0е до v = 90°
{Отв. 109-61 q1'1 суток).
6. Вычислить параболическую скорость для материальной частицы, движущейся
у поверхности Земли.
(Отв. 11,180 м/сек).
4 Курс небесной кехянкхя, т. I.
49

7. Вилькенс (A. Wilkens) указал на следующее обобщение третьего закона
Кеплера: Если два светила с исчезаюше малыми массами движутся по орбитам
с равными эксцентриситетами, то квадраты времен прохождения одинаковых и
одинаково расположенных относительно линии апсид дуг относятся как кубы перигельных
расстояний (для эллиптических орбит отношение перигельных расстояний можно
заменить отношением больших полуосей).
Доказать эту теорему.
8. Изучить движение материальной точки, притягиваемой неподвижным центром
с силой равной F=\j.r~2 + v/--3- Показать, что при малых значениях v орбиту
можно рассматривать как коническое сечение, линия апсид которого поворачивается
с постоянной угловой сьоростью.
9. Из уравнений (1), (2) и (3) вывести интегралы Лапласа:
dx dy
dt~ClTt
*. 57- *g-*•(«. + *) 7 =/"
W /n Л» /3—новые постоянные.
ГЛАВА Ш.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭФЕМЕРИД ПЛАНЕТ И КОМЕТ.
В предыдущей главе мы проинтегрировали уравнения
движения задачи двух тел. С математической точки зрения эта
задача таким образом вполне решена; но она еще не решена
нами до конца- с астрономической точки зрения. Действительно,
мы получили общие выражения координат светила в функции
времени и шести постоянных ' интегрирования, но для того
чтобы вопрос мог считаться исчерпанным, надо уметь
определять эти постоянные интегрирования (элементы орбиты).
из наблюдений; надо, также, дать практически удобные
способы для вычисления координат светила для любого момента
времени. Первая из этих проблем — определение элементов
орбиты из наблюдений — будет подробно изучена в
следующей части. Настоящая глава посвящена второй проблеме—
вычислению координат светила, когда элементы его орбиты
уже известны. Таким образом эта глава является
естественным продолжением предыдущей (поскольку в ней
обрабатываются с точки зрения вычислительной техники формулы-
предыдущей главы) и подготовкой к изучению более сложной
проблемы—нахождения элементов орбиты из наблюдений.
Мы рассмотрим прежде всего вычисление прямоугольных
гелиоцентрических координат х, у, z для данного момента
времени L Данными при этом являются элементы орбиты:—
а> е* й» U ®, Af0. —если орбита эллиптическая, и q, ?2» А
о>, Г —если орбита параболическая. Случай, когда
эксцентриситет мало отличается от единицы, с точки зрения
вычислительной техники требует специальных методов (§ 22 и
Дополнение в конце главы).
50

После того как получены гелиоцентрические
координаты, мы можем вычислить соответствующие
геоцентрические координаты ;, у\, С, воспользовавшись формулами
переноса, начала координат
где через X, Г, Z обозначены координаты Солнца (известные
из^ теории движения Земли). Затем остается только от
прямоугольных геоцентрических координат перейти к сферическим,
для чего служат известные соотношения
$ — р cos 3 cos a, *q = р cos 8 sin а, С = р sin 8.
§ 19. ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ В ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ ДЛЯ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ.
Положение светила в плоскости орбиты может определяться
либо полярными координатами—радиусом-вектором г и истинной
аномалией v, либо прямоугольными координатами $ и г\, причем
? = rcos*c\ 71 = rsin'C.
Для получения этих координат надо выполнить
нижеследующие операции (см. § 13).
/. Вычисление средней аномалии. Для этого служит формула
M*=n(t — t0) + M0f
где п — среднее суточное движение, $, М0—средняя аномалия для1
эпох t0.
2. Вычисление эксцентрической аномалии определяемой
уравнением Кеплера
E — eslnE*=M. (1)
Решение уравнения Кеплера относительно Е состоит из двух
частей—нахождения приближенного значения корня и улучшения
этого предварительного значения для получения Е с нужной
степенью точности.
Приближенное значение Е удобнее всего находится при
помощи специальных таблиц. Таблица IV, помещенная в конце книги,
дает гразность ?—М с точностью до 0°*01 для значений е, не
превышающих 0.50. При пользовании этой таблицею надо
помнить, что
Е — М>03 если 0Э<Ж<180°,
и
?-гЖ<0, если 180° < М < 360°.
Таблицы Астранда х) дают Е с точностью до 0" * 001 по
аргументу М (изменяющемуся от 0° до 180° сначала через 0°-5, затем
через 1°) и аргументу е (который изменяется от 0 • 00 до 1 «00
через 0- 01). Если М превышает 180°, то для М и Z? берутся
дополнения до 360°.
х) J. J. Astrand, Htilfsfafeln zur leichten und genauen Auflteung des Keplerschen
Problems. Leipzig, 1890.
4* 61

Если таблицы отсутствуют, или пользоваться ими неудобно (для
больших значений эксцентриситета),1 то приближенное значение
Е может быть получено-при помощи несложного вычисления. Из
многих способов, предложенных для этой цели, укажем следующий.
Полагая
Е-М=х
перепишем уравнение (1) так
х = е sin (М + х),
или
. = sin Af ^\
? Х ~~ хЦе sin х) — cos M ' * *
Так как функция x/sinx при не очень больших значениях х
изменяется, при изменении х, весьма медленно, то достаточно
подставить в правую часть уравнения (2) грубо приближенное
значение х для того, чтобы найти, по tgx, значительно более точную
величину х. Для первого приближения можно например взять
xjsinx=* 1, что дает
, sin м
tgX° — l/tf — cos Л* '
Для получения более точного значения tgx, нужно взять, в
правой части уравнения (2), более точное значение x/sinx, например
x0/sin х0/Значения функции x/sinx не очень удобно находить при
помощи обыкновенных тригонометрических таблиц, поэтому они
либо берутся из специальных таблиц г), либо находятся при
помощи приближенной формулы
з
-Д- = V sec х ,
sin л1
которая дает логарифм этой функции с пятью верными знаками
для х <9°, и с четырьмя знаками, если х< 15°.
Обратимся теперь к вычислению точного значения Е, для чего
применяется либо метод итерации, либо метод Ньютона.
Рассмотрим сначала метод итерации.
Пусть Е0 приближенное значение эксцентрической аномалии.
Если уравнение (1) написать так
Е = М + е sin Еу
г) Из таких таблиц можно указать следующие;
М. Ф. Субботин, Формулы и таблицы для вычисления орбит и эфемерид. Таш-
X
кент, 1929. Таблица XI дает Ig ¦. по аргументу tgx.
Mirth (Monthly Notices of the R. Astr. Soc, 1S90, Vol. 50) дает значения этой
же функции по аргументу \& хдо Igx = 9-850.
Аналогичную таблицу, но идущую лишь до Igx = 9 • 700 опубликовал Harzer
(Astr. Nachr. Bd. 195, 1913).
Наконец Oppolzer, предложивший преобразование уравнения Кеплера к виду
х
(2), дал обширную таблицу вначенийід -гп~г по аргументу lg tgx (Wien. Denkschr.
d. К. Akad. 1885, Bd. 50). Однлко вследствие неудачно і ыбранного аргумента эта
тлблица несмотря на свои размеры, не охватывает всех случаев, обслуживаемых
только что упомянутыми таблицами.
52

то легко проверить, что условие применимости метода итерации1)
будет выполнено при любом значении Е. Действительно
7W М +esinE)
е<1.
dE
Таким образом, вычисляя последовательно
El—M + es'mEQ
Еъ = М + евтЕг
Ez = М + #sini:2
мы можем быть уверены, что Еп будет стремится к искомому
значению Еу когда п—возрастает.
Можно несколько сократить вычисления при помощи
следующего приема. Пусть
"О—?^1 ?q, Oj = h% Elf ...j
тогда
Е = lim?„ = Е0 + Д0 + А, + Д2 + ..; (3>
Так как
Аг^Е2 — Е1=е (sin^ — sin?0)=2<?sJn E*~E* cos ^Ц~^,
то приближенно можно положить
Ді = (е cos e) Д0, (4)
где ее -gCfi + ^o)' Точно так же
A2 = (ecose) Ьг = (есо$г)2Ь0ч
и вообще
An = (<?cose)"A0.
Подставляя эти выражения в формулу (3) и суммируя
получившуюся геометрическую прогрессию, будем иметь
? = ?»+- А° ,
и ' 1 — е cos е '
или, пользуясь (4),
Е = Е0 Ч д~7/Г" *
а0 — дх
Заметив, что
^2 = ?'1 + Д1 = ?,о + \ + діі
последнее равенство можно представить в следующей
окончательной форме 2)
*=?«+т^зг- (5>
х) Как известно это условие заключается в следующем: корень а уравнения
х==-у(х) может быть найден при помощи итерации, если (ір'(а)1<1«
*) Этой формулой пользовался еще Гаусс (к. Ф. Гаусс, Теоретичевкая
астрономия, Лекции читанные в Геттингене в 1820—1821 г., записанные Купфером.
Перевод А. Н. Крылова. Петроград, 1УЩ стр. 168). Позднее на нее обратил внимание
Патере (Astr. Nachr. Bd. 126, 1891 г.).
53

Применение метода итерации к уравнению Кеплера, представ^
ленному в форме (2), приводит к цели еще скорее, но является
удобоприменимым лишь при наличии специальных таблиц.
При логарифмических вычислениях вместо метода итерации
нередко пользуются методом Ньютона. Этот метод заключается, как
известно, в следующем. Взяв какое-либо приближенное значение
?*0, разложим правую часть уравнения (1) в ряд Тэйлора по
степеням Е—Е0. Получим
М = Е0-е$т Е0 + (1 — есо$Е0)—^ + е$іпЕ0{^^..
Откуда, пренебрегая членами порядка выше первого и полагая
М0 = ?0 — esinEQ)
будем иметь
?-?; =
М — Af0
1 — «cos En
Повторное применение этой формулы очень скоро приводит
к цели.
3. Вычисление полярных координат производится по одной из
трех следующих групп формул
г sin v = a cos cp sin Е 1 ,
rcos*n = a(cosE—sin?) j W
tg{^ = tg(45°+|-?)tg^l
r= а(1-*-есо?Е)
V r sin -?- v = Ya (1 + e) sin у Е
]/ r cos -g v = ]/a(l — e) cos-^-^
(7)
(8)
Когда нужно вычислять г и v для целого ряда моментов, то
последние формулы наиболее удобны, но они дают, при том же
числе знаков, точность слегка меньшую. Наиболее точные при
определенном числе знаков, результаты получаются при вычислении по
формулам (25) и (34) § 13, т. е.
г = а{\ —ecos E)
sin-gC^—?) = !/ -у sin -|sin?
Существуют таблицы, дающие радиус-вектор и'истинную
аномалию по средней аномалии, минуя нахождение эксцентрической
аномалии. Укажем следующие таблицы этого рода.
Таблицы Титьена а) дагот,^ — М с точностью до 0°.01 по
аргументам М (изменяется через Г) и ср (изменяется от 0е до 20°20'
через 20'). Радиус-вектор вычисляется по формуле
1 -j- € COS V
*) F. Tietjen, Tafel zur Berechnung der wahren Anomalie fur ExzentrizitatswinkI
von 0* bis 20e20', Verftff. d. Astr. Recheninstituts № 1. Berlin 1892.
M

При четырехзначном вычислении для малых планет
употребляются таблицы Петерса *) дающие v — М и lg (rja) по аргументам
М (через Г) и ср (через 20' до 24°). Разность v — M дается до 0°-01.
Таблицы Шлезингера и Удик 2) дают v с точностью до
0°-01 по 'аргументам М (через Г) и е (меняется от 0-00 до 0«77
через 0-01). При построении этих таблиц имелись в виду главным
образом орбиты двойных звезд.
4. Вычисление прямоугольных координат производится по фор- '
мулам
? = д (cos Е—ё) = a(cos?— sin 9) \
т] = а ]/і — е2 sin Е = a cos ср sin Е. j Ф)
Когда вычисления ведутся с небольшим числом знаков, то эти
координаты могут быть найдены и без предварительного
вычисления эксцентрической аномалии при помощи специальных таблиц,
дающих
X = cos Е — е — — cos v
Y~V\ — е* sin E = — sin v
по аргументам М и е.
Таблицы Иннеса 3) дают X к Y с пятью знаками для всех
значений М через 1° и для всех значений е от 0.00 до 0.99 через
0.01
Таблицы Штраке 4) дают эти величины (он их обозначает
соответственно через С и 5) с четырьмя знаками для значений М через
1° и для значений ср через 10' от ср = 0° до <р = 25°.
§ 20. ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КООРДИНАТ.
Пусть дано: л... 0.422 4389, в... 9.389 7262, М = 332°28'54", 77;
требуется найги г и v.
Так как в настоящем случае е = 0.2453, М = 332°.482, то приближенное
значение Е, определенное при помощи таблицы IV, будет
Е0 = 324°,26 = 32415в/36"
Уточним это значение при помощи итерации. Прежде всего выражаем е в
секундах дуги; так как вообще
?" = [5.314 4251] е,
то е"... 4.704 1513.
v) J. Peters, Tafeln zur Berechnung der Mittelpunktsgleichung und dfs Radiusvek-
tors in elliptischen Bahnea fur Exzentrizitatswinkel von 0° bis 24*. Veruff. d. Astr.
Recheninstituts № 41. Berlia 1912.
a) F. Schlesinger and S. Udick, Tables for the true anomaly in elliptic orbits.
Publ. of the Allegheny Obs. № 17.
3) R. T. A. Innes, Tables of X aad К Elliptic rectangular coordinates. App. to
Union Obs. Circ. № 71. 1927.
r r
4) G. Stracke, Tafeln der eHptischen Koordinaten C=— cos v und S = — sin v
fur Exzentrizitatswinkel von Оф bis 25°. VerOff. d. Astr. Recheninstituts. H 46. Berlin
1928.

sin E0 . . . 0.766 4932 л sin Ex . . . 9.766 3678 <x
J* sin E0 . . . 4.470 6445 n ef sin Ex . . . 4-470 5191 л
^ sin ?0 = ~-8o 12' 35"-92 *'' sin ?x = -8 12' 27".39
?2 =324° 16' 18".85 Et = 324° 16' 27//.38
д0 = + 42^.85 согг. = + 2".i2
Д1==4- 8.53 Е =324 16 29.50
До— Ді = + 34".32; sin ? . . . 9.766 3366 п
Ьг* . . . 1.8618 *" sin ? . . . 4.470 4879 п
Д, — Дх . . . 1.5356 «" sin ? = — 8° 12' 25".27
Согг * . . 0.3262 ?= 324 16 29.50
Для вычисления г и # возьмем формулы (7). Вычисление располагаем так
<р = 14° 12' 1".88
45Л+|-(р = 52° 6' 0"194
j?=ie2°8'H".75 1
tg U$°+J ?)• • -0-108 7573
tg -g-Я . . . 9.508 2198 л
tg тг V . . . 9.616 9791 л
1
•JV =157° 30' 4ГЛ50
f = 3l5 1 23.00
cos ?".. *
е cos E . .
— ? cos E .
г .
-.9.909 4637
. . 9.299 1899
. . 9.903 5488
. . 0.325 9877
§ 21. ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ В ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ ДЛЯ
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ.
При логарифмическом вычислении положение кометы в орбите
определяют координатами г и v. Истинная аномалия v находится
для заданного момента времени t из уравнения
где
p=q \t—T).
После чего радиус-вектор вычисляется по формуле
r = q sec2f = ?(l + tg*-|).
Полагая для краткости* " ч
• ° = tS-2>
напишем две последние формулы в таком виде
56

При арифмометрическом вычислении положение кометы
определяется прямоугольными координатами
t = rcosv, r\ = rsinv,
которые выражаются через о следующим образом
Решение уравнения (10) относительно v, или решение
уравнения (11) относительно с, производится проще всего при помощи
специальных таблиц. Таблицы, известные под именем таблиц
Барк ер a (Th. Barker опубликовал первые таблицы этого рода
в 1757 г.), дают lg Р или lg Ж, где
по аргументу v. В наиболее подробных таблицах аргумент v
меняется через 10".
Леверрье построил таблицу, дающую v по аргументу А Бау-
шингер (J. Bauschinger) значительно расширил эту таблицу: он дает
v до 0"'01 для значений IgP, меняющихся от ЬЗОО до 4-100
через 0.001; для меньших значений Р аргументом служит не lgP,
а А
Существуют таблицы, дающие по аргументу Р (или lgP)
величины С И 5*. *)
Таблица Va, помещенная в конце книги, дает а и а2 для
значений Р от 0 до 200; от Р — 200 до Р = 300 дается с. При еще
больших значениях Р эта таблица дает Р по аргументу з. Таблица Vb
дает v по аргументу Р (от 0 до 20) и lgP (от 1-30 до 3-70).
Если таблицы 2) отсутствуют, то уравнение (И) можно решить
обычным приемом решения кубических уравнений, основанном на
тождестве
(cotgT— tgT) + -j(cotg7 —tg7)3 = -|(cotg3T — tg3 т) -
V 2 V
x) Bengt StrOmgren, Tables giving ig -g and tg -s- *n Parabolic Motion, with Ar-
3
gutnent M = (t—T)q 2 to facilitate the Compulation of Ephemerides from Parabolic
Elements (Publ. og mindre Medd. fra Kobenhavns Obs., № 58, 1920J. Значения
указанных величин даются с пятью знаками от Л! — 0-0 до М = 300.0.
М. Ф. Субботин, Формулы и таблицы. Таблица XII дает v по аргументу Р (от
0-0 Д'-> 20.0) и по аргументу \gP (от 1-300 до 4-60) Эта же таблица д;іег о (с пятью
знаками) для значений lg Р от 1.300 до 2 500, Таблица XIII дает а и о* с семью
знаками по аргументу Р от 0-0 до 144-0 (через 0-1) и от 144 до 300.
В тех случаях, когда пределы этих таблиц оказываются недостаточными, можно
воспользоваться таблицами:, Jens P. Moelier, Table giving tg-g v in parabolic
motion with argument M=(t—T)q 2 from Af = 275 to Af = 4515 (Publ. og mindre
Medd. fra Kobenhavns Obs., № 82, 1632).
*) Следует отметить, что все »тм таблицы могут применяться для решения
любого кубического уравнения вида х* 4- рх 4- Ц = 0, где р > 0. Подстановкой вида.
х *= та это уравнение легко приводится к виду (И). -*-ч
67

Полагая
с = cotg Tf — tg 7 = 2 cotg2 y
полупим
y(cotg»T-tg»T) = yyA
Чтобы найти из этого соотношения угол ?, положим еще
з
тогда
^rP = i(cotgip-1gIp)-f cotgp.
Итак, окончательно имеем следующие формулы
cotg р = -Ц= Р
з
tgT-]/tg}p
° = tg| = 2cotg2T
(13)
§ 22. ДВИЖЕНИЕ ПО ОРБИТЕ, ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ КОТОРОЙ БЛИЗОК
К ЕДИНИЦЕ.
Очень часто орбиту кометы мы можем принимать, в
пределах точности наблюдений, за параболу. Но нередко встречаются
и такие кометы, которые движутся по орбитам с
эксцентриситетами хотя и мало, но все же заметно отличающимися от единицы.
Легко убедиться, что обычные формулы эллиптического
движения
з
Е—е sinE = ka'"r(t—T)> (14)
? » а{со$Е—е), *] = а]/Г^*5іп? (15)
становятся в этом случае, когда е близко к единице и
следовательно а весьма велико, мало пригодными для вычисления
координат Еит](а следовательно и г и v).
Действительно, если при определенном перигельном расстоянии
д=:а(1—е),
заставим е стремиться к единице, то Е будет стремиться к нулю,—
как показывает уравнение (14), —а выражения (15) станут
неопределенными.
Чтобы получить формулы, пригодные для рассматриваемых
кометных орбит, преобразуем уравнение (14) так, чтобы при е
стремящемся к единице оно переходило в пределе в уравнение
°о+Т°*=уТР> P~q~ht-T) (17)
определяющее параболическое движение.
58

С этой целью перепишем уравнение (14) следующим образом
(1 — е) sin Е + Е — sin Е __ - -
или, полагая
8 = 1(1— е)} (18)
2ssin?-(-?' — sinE k p
4е'<» у 2
Это равенство можно написать так
acosg +*Q(g) = y=-P, (19)
(20)
где
-
¦
E = 2gH
Когда е -*¦
1,
то
?
а =?
0(5") =
"2 sin ^,
2^—sin 2g
4 sin'g*
-*- 0, поэтому
cosg-+09 0(g)+±.
Таким образом уравнение (19) действительно в пределе
обратится в (17). Отсюда следует, что
lima =lim \в 2 sing J = а0.
Выразим координаты (15) через с. Принимая во внимание
(20), получим
Е = 0(1_ о»), 7!=:2?l/r^l3cos^ (21)
Уравнения (19) и (20) должны быть решены относительно о
и g. Вместо g удобно ввести другую вспомогательную
неизвестную. Положим
z=sin8?. (22)
Тогда эти уравнения примут следующий вид
3==?32 \
(23)
где
U(z)=^Vl-z, V{z)=X±Q®>
а формулы (21) напишутся так
$ = <7 (1 — а2), ч = /2"А ^ 1/Т=^з?/(г) - ? ЗДе) • aU{z). (24)
Решение уравнений (23) относительно сиг выполняется весьма
просто последовательными приближениями, так как z очень мало,
а функции U\z) и V(z) при малых z изменяются медленно. Для
Ь9

первого приближения можно взять 2 = 0, тогда уравнения (23)
обратятся в (17), так что будем иметь <з = с0. Для получения более
точного значения а вычислим Р0 по формулам
Тогда равенство
даст новое значение о. Это равенство является следствием
следующей легко проверяемой формулы
Л Л3 U{z)
Все выведенные для эллиптического движения формулы
применяются и к гиперболическому движению (см. § 15). Только в
этом последнем случае величины Е и g будут чисто мнимые, а
потому будет z< 0.
Функция Uiz) настолько проста, что ее можно вычислять без
всяких таблиц. Таблица VI дает lgU(z) и lgV(z) для значений z от
— 0.20 до 4-0.20 с шестью знаками. Более подробные
семизначные таблицы можно найти в сборнике „Формулы и таблицы".
(Таблицы XV и XVI ).
Если вместо прямоугольных кбординат \ и ч\ нужны полярные
координаты г и v, то их проще всего вычислить по формулам
Tg2 y—z U(г)* } (26)
легко получаемым из формул (II, 25) и (II, 32а) при помощи
соотношений (16), (18), (20) и (22).
S 23. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭКВАТОРИАЛЬНЫХ ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИХ
КООРДИНАТ. ПЕРВЫЙ СПОСОБ.
Рассмотрим эклиптическую гелиоцентрическую систему
координат Sxcy^c, в которой за основную плоскость Sxcye принята
плоскость средней эклиптики для какого-либо определенного
момента, а ось Sxc направлена в точку весеннего равноденствия для
того же момента. Элементы <П,ги в>, определяющие положение
орбиты в пространстве, мы будем считать отнесенными именно к этой
системе координат.
Координаты светила в рассматриваемой" системе координат
даются формулами (.II, 21) на стр. 38, а именно
хе = г (cos a cos Л» — sin и sin Sh cos г)
Л — r (cos й sin Л + sin я cos Л cos г) | (27)
ze — r sin в sin/ J
где
и = v -j- <о.
во

Рассмотрим, далее, экваториальную систему координат Sxyz
у которой за начало принят центр солнца 5, за ось Sx—то же
направление, что и для только что рассмотренной системы, а за
плоскость Sxy — плоскость среднего экватора для того же'момента.
Так как эклиптическая система получается из экваториальной
путем поворота на угол е (наклон эклиптики к экватору) вокруг
оси я-ов, то
х = хс
Zc Sins
z~yc sins + 2c coss.
Подставив сюда выражения (27), получим
.x; = rcosa cos si— rsinti cos/ sin si
y = rcdsu sin sb cose + rsinK(cos/ cos si cose —sin/ sine)
z=r cos и sin si sine + r sin a (cos i cos sb sin e +sin/ cose).
Полагая
sin a sin A = cos si>
sin a соэЛ— — cos г sin si
sin? sin B = sin Sh cose
sin* cosB~ cosi cos si cose— sin/ sine
sine sin C=sin si sine
sine cos С = cos/ cos si> sine +sin/ cose
(28)
получим окончательно
x = rsina sin (Л + и)
y = rs'mb sin (B + u)
# = rsin с sin(C-f#)
(29)
Вспомогательные величины а, Л, b, 5, с, С носят название
постоянных Гаусса.
Чтобы проконтролировать вычисление постоянных Гаусса можно
воспользоваться следующей формулой. Умножим 4-е из равенств
(28) на — sine, а 6-е—на cose и сложим; это даст
sin / = sin с cos С cos е — sin Ъ cos В sin е.
Деля почленно это равенство на равенство второе из числа
(28), получим
, . sin SI (sin с cos С cos Е — sin Ь cos В sin t)
^ sin a cos A
Наконец, определяя cose и sins из третьего и пятого из
равенств (28) и подставляя сюда, получим окончательно
tgi =
sin Ь sin с sin (С— В)
sin a cos A
Полагая
' п sinAf = sin/ I
пcosM=zcos a cos/, ]
(30)
01

можно формулы (28) представить в следующем виде
sin a sin А = cos Sb
sin a cos А = cos i sin Л
sinu sin ? = sin Л cose
sin b cos В — ncos (N +e)
sine sin C = sm.cTb sine
sin ? cos С = /г sin (ЛГ+ s)
(31)
§ 24. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭКВАТОРИАЛЬНЫХ ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ.
ВТОРОЙ СПОСОБ.
Если вычисления ведутся при помощи арифмометра, то
формулы (29) заменяются другими. Формулы (29) можно написать так
х = sin a sin (А + <п) • г cos v + sin a cos f A + to) . r sin г»
у = sin ft sin (5 + со). r cos v + sin & cos (5 + a>) • r sin v
z = sin с sin (C + <o) • r cos v + sin с cos (C + a) . r sin v
- Пользуясь прежними обозначениями для прямоугольных
координат в плоскости орбиты
S = rcosz>, т] =rsin^3
и полагая
Рх = sin a sin (Л + ш)
pv = sin ft sin (В + со)
Q,,— sin a cos (A -f e>)
Qy = sin b cos (5 -f «>)
P[— sin с sin (C + ш) Qs = sin с cos (C + »)
получим
x^PJ + Q^
y = Pyt+Qyt\
(32)
(33)
Эти соотношения суть очевидно не что иное как формулы
преобразования координат ($, г\3 0), для которых за основную
плоскость S\f\ принята плоскость орбиты, ось SI направлена в точку
перигелия, а ось S ij в точку орбиты v = 90°, в экваториальные
координаты. Поэтому Рх> Риі Ре суть направляющие косинусы
прямой Si, а Qxf Qy, Q, —направляющие косинусы Sv\. Отсюда
следует, что
Направляющие косинусы Р и Q вполне определяют положение
орбиты в пространстве, так что или можно пользоваться для этой^
цели вместо элементов а> U <°- Формулы (32) и (28) позволяют
выразить Р и Q через эти элементы:
Рк = cos со cos Sb — sin со sin Sb cos і
Pv = (cos со sin SI + sin со cos Sb cos i) cos e — sin to sin i sin s
P% = (cos со sin Sb + sin со cos SI cos i) sin e + sin %sin i cose
Q«. = — sin ш cos <ft — cos ш sin Л cos i
Q9 = (— sin со sin Sb + cos <o cos A cos i) cos e — cos o> sin i sin e
Q, = (— sin <o sin S\> -f cos со cos Sb cos i) sin e -f cos со sin i cos e
ее
(32а)

Для вычисления элементов о, i*si по направляющим косинусам,
могут служить следующие легко проверяемые формулы
sin і sin (о = Pz cos е— Ру sin г
sin i cos to = Qt cos e — Qp sin e
sin SI = (Py cos © — Q sin o) sec e
cos Л = ЯЛ cos со — Q. sin to
(34>
РЛ sin 6) + Qx cos © = — cos i sin Л. (35)
Рассмотрим сначала случай эллиптического движения. Пользуясь
выражениями (9), получим
х = аРх (cos Е — e) + acos<p Q^sinf
у~аРу (cosE—e) + a cos ср Qy sin?"
z== а Ра (cos ?—?) + a cos cp Qt sin ?
(36)
Таким образом достаточно вычислить аРт7 aPwV..f a cos <p Q„..>
чтобы иметь возможность находить х, у, z непосредственно по
эксцентрической аномалии, минуя вычисление радиуса-вектора и
истинной аномалии. В этом заключается главное преимущество
употребления направляющих косинусов Р и Q, носящих название
векторных элементов, вместо постоянных Гаусса.
Формулы (36) имеют известные преимущества перед формулами
(29) и при логарифмическом вычислении.
Для параболического движения, как было найдено в § 21,
следовательно
x = qPx(l-o*) + 2qQxo
y = ?Pf(l-3*) + 2gQ,a ( (37>
z=q P,{l-a*) + 2qQ$s
При употреблении этих формул нет надобности вычислять
радиус-вектор.
Формулы (36) в применении к вычислению эклиптических
координат (е = 0) встречаются впервые *) у Леверрье (1855), затем их
предложил Джиббс (J. W. Gibbs) в 1888 г., но в употребление они
вошли лишь после того, как Адаме (С. Е. Adams) и Комри (L. J. Comrie)
вновь обратили, в 1922 году, на них внимание. На этот раз,
вследствие широкого распространения арифмометров, формулы (36), (37)
стали быстро входить в обиход, все более и более вытесняя
формулы (29).
Примечание. Формулы (32а), служащие для вычисления
направляющих косинусов PtQ по эклиптическим элементам,,
удобно представить в таком виде: полагая
Лі = cosA А2 = — cosi sin Si
Bt =a Sin SI COS e B\ — COS i COS SI COS e — Sin i Sin e
Cx ==* sin SI sin e C2 =1 cos i cos SI sin e + sin i cos e
г) Эти формулы находятся также в посмертных бумагах Гаусса, относящихся и-
1814 — 1816 гг. и опубликованных в 1906 г. (Werlte, Bd. VII, стр. 444). Гаусс
подумает их как естественное следствие особого способа интегрирования уравнений
задачи двух тел —способа весьма изящного и поучительного (стр. 440—4а).
«Й-

получим
Ях= Аг COS& + А2 sin ш Qx= А2 cos ш—Аг sin со
Р =B,cosoi + 52 sin ш Qy =Sacos со — 5Х sin
Р2 = Cxcosco -j- Са sin со Q? = С2 cos со — Сх sin
§ 25. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭФЕМЕРИДЫ.
со
со
(32в)
Эфемеридой называется совокупность геоцентрических
положений светила для ряда равноотстоящих моментов. Эфемериды
вычисляется прежде всего для того, чтобы можно было найти
и наблюдать малую планету или комету. Этого рода эфемериды
(Aufsuchungsephemeride) обычно вычисляются с четырьмя или пятью
знаками, ибо точность до Г, самое большое до О'. 1 является здесь
вполне достаточной. Эфемерида вычисляется также в тех случаях,
когда надо сравнить большое количество наблюдений с
вычисленными положениями светила. Тут точность, с которой вычисляется
эфемерида, зависит от точности наблюдений. Если наблюденные
положения даны до О8.01 по прямому восхождению и до 0". 01 по
склонению, то вычисления ведутся с шестью или (сравнительно
редко) семью знаками.
При вычислении эфемериды важно, прежде всего, целесообразно
выбрать величину интервала между соседними моментами. Этот
интервал выбирается, в зависимости от величины геоцентрического
движения и точности эфемериды, таким образом, чтобы при
интерполировании четвертая разносіь была нечувствительна или почти
нечувствительна.
Опыт показывает, что для малых планет обычно можно брать
интервал в 8 суток, и лишь в исключительных случаях заменять
его интервалом в 4 суток.
Для комет обычно берут интервал в 2 суток, но иногда
приходится брать значительно более короткий промежуток времени.
Отличие вычисления эфемериды от вычисления изолированных
положений светил заключается прежде всего в том, что при
вычислении эфемериды весь вычислительный процесс удобно и на,-
дежно контролируется при помощи разностей. Кроме того, решение
уравнения Кеплера весьма облегчается тем, что почти точные
значения эксцентрической аномалии могут быть получены при помощи
экстраполирования, исходя из ее значений для предыдущих
моментов.
Сопоставим формулы, служащие для вычисления как
отдельных геоцентрических положений светила, так и эфемериды.
а) Движение по эллиптической орбите.
Прежде всего вычисляем для всех моментов среднюю аномалию.
Если эфемерида вычисляется для моментов іъ ^ — іг + т, і3 = іг +
+ 2w, ..., /m = tx+ (m — \)w, то вычислив
М^Мь + п^-Ъ),
находим последовательным сложением
Mk = Mx + (k — l)nw (? = 2,.,.,«). (I)
64

Для контроля вычисляем непосредственно
Затем для каждого значения М находим соответствующую
эксцентрическую аномалию решая уравнение Кеплера
Е=*М + е $'тЕ. (іі)
При этом эксцентриситет е выражается либо в долях градуса,
либо в секундах при помощи равенств
е° = 57°.295 78 е =[1.758 1226J е
<?" = [5.314 4251] е.
Уравнение Кеплера решается для первых двух моментов; после
чего экстраполирование даст приближенное значение
эксцентрической аномалии для третьего момента; уточнив это приближенное
значение, снова экстраполируем (уже со вторыми разностями)
и получаем уже почти :очное значение для четвертого момента,
и т. д.
Экстраполирование выполняется проще, если его
применять не к эксцентрической аномалии, а к значениям разности
Е — М.
Если вычисления производятся на арифмометре, то третья
операция заключается в нахождении для каждого момента
геоцентрических координат я и о по формулам
Р cos о соз а = аРх (cos Е — ё)-\- bQx sin E + X ]
pcos 8sina«ffPv(cos?—е) + bQy sin E+Y i (Ilia)
p sin8 = flPe (cq$E— e) + bQesin E+Z J
b — a cos <p.
Если направляющие косинусы P и Q неизвестны, то они могут
быть вычислены по формулам (132а) или (32Ь). Координаты Солнца
Ху Y, Z должны быть взяты относительно того же экватора
и эклиптики, к которым отнесены Р и Q.
При логарифмическом вычислении (а также в том случае, когда
нет готовых направляющих косинусов Р и Q) предпочитают
пользоваться постоянными Гаусса. В этом случае третья операция
заключается в вычислении истинной аномалии и радиуса-вектора
по формулам
г sinv — a coscpsin E
г cos v =*= a (cos Е—е)
Полученные значения г и v полезно проверить при помощи
разностей.
5 Курс лсбесисш механики, т. I. "
(ШЬ)

(IVb)
Следущая операция заключается в вычислении постоянных
Гаусса, для чего служат формулы
п smN=s\ni
п cos N — cos Л cos i
sin a sin Л = cos SI
sin a cos A = — cos i sin Si
sin b sin В — sin SI cos e
sinbco$B = ncos (N + s)
sin с sin С = sin Л sin e
sin с cos С = n sin (Af+e)
Наклон эклиптики к экватору s берется для той же эпохи,
к которой относятся элементы А, г, со (таблица III). Надо иметь
в виду, что
sin а > О, sin b >О, sinOO.
Для контроля служит формула
tg* =
sin Ь sin с sin (С — В)
sin a cos A
Кроме того следует иметь в виду, что для орбиты мало
наклоненной к эклиптике имеют место следующие приближенные' равенства
BzzSb^ С, Л « Л + 90°,
делающиеся точными для і = 0.
Весьма глубокий, но несколько громоздкий контроль
вычисления постоянных Гаусса дают формулы
sin2 a sin2 (А + т) + sin2 Ъ sin2 (В + со) + sin2 с sin2 (С + со) = 1
sin2 a cos2 (А + со) + sin2 b cos2 (5 + со) + sin2 с cos2 (С + со) = 1
sin2 а sin (2Л + 2со) + sin2 b sin (25 + 2со) + sin2 с sin (2С + 2ео) = 0,
где углу со — можно придать любое значение. Эти соотношения
являются следствием равенств (32).
Наконец искомые геоцентрические координаты находятся при
помощи уравнений ;
где
р cos 8 cos а =» г sin а sin (Л' + -у) + ^
р cos 8 sin а == г sin ft sin (fi' + v) + Y
p sin 8 = r sin с sin (C' + v) + Z
A' = A + w, B' = B + to, C' = C + o>.
b) Движение по параболической орбите.
Для каждого момента вычисляем
~~ 2
(Vb)
P = q *{t-T)
Ф
U

При вычислении эфемериды эта величина находится для
первого момента ?,; затем, путем прибавления q 2wf где
^—интервал между датами эфемериды, находится для всех остальных
моментов; и, наконец, для контроля Р вычисляется независимо для
последнего момента.
Если вычисление производится с арифмометром, то при помощи
таблиц (см. § 21) находится, для каждого значения Р,
соответствующий корень уравнения
после чего вычисляются искомые геоцентрические координаты по
формулам
pcosScosa = /rca:(l—о2) +neQ + X \
рcos8 sin a = my(l — о2) + луо + Y 1 (Ilia)
р sin 8 = т9 (1 — а2) + nta + Z j
где
тя = qPx9 т% = qPy, тпш = qPt
nx^2qQx> ny=2qQ9, nt = 2qQt
При логарифмическом вычислении решаем (см. §21) уравнение
относительно истинной аномалии; затем определяем радиус-вектор
r = ?sec2y. « (Illb)
Наконец
р cos 8 cos а = г sin а sin (Л' + v) + X |
р cos 8 sin а = rsinastn(S' +г>) + ^ 1 (IVb)
р sin 8 = г sin с sin (С +v) + Z J
где
А' = А + со, В' = В + со, С = С + а>.
Относительно вычисления постоянных Гаусса см. формулы (IVb)
для эллиптического движения.
с) Движение по орбите, эксцентриситет которой близок к
единице.
Для каждого момента t так же как и в предыдущем случае
вычисляем величину
P=q-T(t—T). tt>
По формулам параболического движения находим <*#,
удовлетворяющее уравнению
5* в?

Пользуясь о0 как приближенным значением, вычисляем сначала
где
Z0 — ез0 5
•-ТС1-*)»
причем значения функций
Оф-ПГ^Т11*, V(z) = ^G(arcsinl/s)
берутся из таблицы VI; затем находим поправку
-^- = 0.00014796, lg',-f-=.617013_10.
С новым, более точным значением о повторяем вычисление,
пока уравнения
*"* 1 (И)
oU(z) + d*V(z) = P]
не будут точно удовлетворяться. С окончательными значениями о,
г и U(z) найдем, если вычисление производится при помощи
арифмометра,
т) = V 2 kq V 1 — з аВД - Щ Щг) oU{z), | "11а)
]/2ft = 0.024 32744, lg У 2k = 8.386 0Э64_10
& = 0.000 2959122, lgk* = 6.4711629_10
После чего остается найти геоцентрические координаты
р cos о cos а = PJ + Qxt] + X )
р cos 8 sin а = Рч% +Qijri + Y [ (IVa)
psin8 = P^ + Qz7]+Z j
При логарифмическом вычислении находим истинную аномалию
и радиус-вектор по формулам
*?=KT^eeT/We 1 (ШЬ)
г = ?(1+ *>«). . J
Геоцентрические координаты определяются из уравнений
р cos 8 cos а = г sin a sin (Л' + v) + .ЛТ |
pcoso sina = r sin A sin (В' + v) + Y > (IVb)
p sin 3 = r sin с sin (C + ?>) -p Z j
где
Л' = Л + о), B'^B + cq, C = C+a>.
68

Относительно вычисления постоянных sin a, sin&, sin г, At В, С
см. формулы (IVb) для случая эллиптического движения (стр. 66).
Примечание. При вычислении эфемериды величина а
находится по вышеуказанным формулам лишь для первых 2—3
моментов; для последующих моментов экстраполирование даст
почти точные значения о, нуждающиеся лишь в
незначительном исправлении.
§ 26. СРАВНЕНИЕ ЭФЕМЕРИДЫ С НАБЛЮДЕНИЯМИ.
Полученные из наблюдений координаты дают топоцентри-
ческие положения светила. Чтобы сделать их сравнимыми с
эфемеридой, дающей геоцентрические положения, нужно ввести
поправки за параллакс.
Пусть а', Ь' наблюденные топоцентрические координаты; а, Ь
соответствующие геоцентрические координаты. Разности
даются известными формулами
tgT = tg?'sec(e—а), т<180°,
рра = С sin (? —'а) sec 3
ррь = S sin (т — 8) cosec ?,
где ? -местное звездное время наблюдения, а ог — геоцентрическая
широта места наблюдения. Логарифмы величин tg'ff,
C^-Ygpop'costj/, S = я,?'sin cp"
приведены, для ряда обсерваторий, в таблице IL
Так как С и S выражены соответственно во времени и в дуге,
то ра получается в секундах времени, а ръ—в секундах дуги.
Величины рра и ррь или их логарифмы обычно публикуются
вместе с наблюдениями под именем „параллактических
множителей".
В настоящее время (с 1925 г,) наблюдатели дают всегда средние
координаты планет и комет, отнесенные к началу того года, в
котором были произведены наблюдения (ср. § 42). Для того, чтобы
сделать эти-средние координаты сравнимыми с эфемеридой
(вычисленной, конечно, для того же эйватора и равноденствия), нужно
еще принять во внимание планетную аберрацию.
Астрономическую единицу расстояния свет проходит в 498*.5.
. Следовательно расстояние от светила до Земли, равное р, свет
пройдет в промежуток времени равный Ар, где
Л = 4988.5 = 0а.005770.
Таким образом, наблюдая светило е момент t, мы регистрируеи
направление луча света, оставившего светило в момент f = t — Ар.
Промежуток времени t — t°=Ap настолько мал, что
соответствующее передвижение Земли мы можем считать прямолинейным и
равномерным.
б»

Пусть (черт. 10) Р0 положение светила в момент f, когда луч
света оставил светило; Г0 соответствующее положение
объективного конца трубы. В момент t\ когда рассматриваемый луч дошел
до объектива, пусть этот последний занимает положение Т', а
окулярный конец находится в точке S'. В течение времени t —1\
употребляемым светом на прохождение длины трубы, труба
переместится, и в момент t, когда луч достигнет окуляра, будет занимать
положение TS.
Точки Р0» Т' и S лежат очевидно на одной прямой, причем
Р0Г':Г'5 = (*' — f):(t — t'). С другой стороны, вследствие,
прямолинейности и равномерности —
согласно нашему предположению —
движения объективного конца
трубы, точки Г0, V и Т также лежат
на одной прямой и Т0Т' : Т'Т =
= (*' — f):(t— f). Отсюда
заключаем, что треугольники PqTqT' и
TT'S подобны, а потому прямые
Р0Т0 и TS параллельны.
Но TS есть видимое
направление на светило в момент t,
а Т0Р0 — истинное направление на
светило в момент t°} так что имеем
следующее правило:
I. Видимое направление на
светило в момент t совпадает с
истинным направлением в момент
f = t — Ap.
Если видимое направление на
светило ST исправить за звездную
аберрацию (aberratio fixarum), то получим направление SP0. Таким
образом:
II. Истинное направление на светило в момент t есть
направление, в котором из положения Земли в момент t видно
положение светила в момент f = t—Ар.
При сравнении эфемериды с наблюдениями применяется всегда
первое правило. Делается это следующим образом:
1. К полученным из наблюдений средним координатам светила
придается звездная аберрация^ т. е. величины
Черт, ю.
а
— ата = 4- A sin (Я + a) sec 8
app "тега 15
8арр — ^vera^ h C0S (# + а) Sin S + J COS 8,
2. Найденные таким образом видимые координаты светила
сравниваются с координатами, взятыми из эфемериды для момента
e=*t — Ap.
Для того, чтобы можно было вычислять величину Ар, носящую
название аберрационного времени, эфемерида должна давать не
только а и &, но и р.
70

Если наблюдатель дает не средние для начала года, а видимые
координаты светила аарр, оарр1 т. е. неосвобожденные от звездной
аберрации и отнесенные к мгновенному экватору и равноденствию
момента наблюдения, то их нужно привести к тому экватору и
равноденствию, для которых вычислена эфемерида; после чего эти
координаты для момента, наблюдения t будут соответствовать
координатам, взятым из эфемериды для момента t° = t — Ao.
§ 27. ПРЕДВЫЧИСЛЕНИЕ ОППОЗИЦИИ МАЛОЙ ПЛАНЕТЫ.
Малые планеты за немногими исключениями доступны для
наблюдения лишь около времени оппозиции. Поэтому эфемериды
предназначенные для поисков и наблюдений малых планет
вычисляются обычно на период времени охватывающий приблизительно
24 дня до оппозиции и столько же после оппозиции. Интервал
берется, как общее правило, 8-дневный.
Вычислений ведутся по формулам сопоставленным в § 25
с четырьмя знаками. Сообразно с этим, вычисления могут быть
весьма сокращены употреблением указанных в § 19 таблиц,
позволяющих находить гелиоцентрические координаты, не решая
уравнение Кеплера.
Чтобы начать вычисление эфемериды нужно хотя бы
приблизительно найти время оппозиции. Для планет, которые наблюдались
уже в нескольких оппозициях, это не представляет никакого труда:
достаточно сопоставить моменты последовательных оппозиций,
чтобы предсказать будущую оппозицию с точностью до нескольких
дней.
Если речь идет о вновь открытой планете, то нужно найти
момент оппозиции для того года, когда планета была открыта, и
синодический оборот планеты.
Для определения момента оппозиции по прямому восхождению
сопоставляем наблюденные прямые восхождения планеты а и
прямые восхождения Солнца А Составляем разности a — A — 12h
и выбираем два наблюдения, для которых эта величина по
возможности мала и имеет противоположный знак. Линейное
интерполирование даст тот момент, когда эта разность равна нулю —
это и будет время оппозиции по прямому восхождению.
Синодическое обращение планеты S вычисляется по формуле
5 =
360 -60-60
пл — п
где п — среднее суточное движение планеты выраженное в секундах,
ал0 = 3548" — среднее суточное движение Земли. Вместо этой
формулы можно пользоваться следующей табличкой
п = 200" 5—12.7 месяцев
300
400
500
600
700
800
13.1
13.6
14.0
14.5
15.0
15.5
л= 900"
1000
1100
1200
1300
1400
1500
S=16.l месяцев
16.8 ,
17.5
18.2
19.0
19.9
20.9
71

Если эксцентриситет невелик, то момент оппозиции,
вычисленный при помощи синодического обращения, достаточно точен для
того, чтобы начинать вычисление эфемериды. Если же
эксцентриситет значителен, то бывает полезно найти время оппозиции точнее.
Делается это следующим образом. Для 'двух моментов іг и t2l
охватывающих предполагаемый момент оппозиции, и отстоящих
примерно на 40—60 дней, вычисляются гелиоцентрические долготы
планеты 1г и /а. Вычисление ведется с точностью до 1°. Сначала
находятся средние аномалии Мх и М%, затем истинные аномалии
z>! и v% (проще всего при помощи таблиц Титьена или Петерса), и
наконец искомые долготы по формулам
tg (/х— <ГЬ) = cos i tg К + со)
tg (/2 — А) = cos i tg (v2 + ф).
'Обозначим через Ьг и 1г взятые из эфемерид для тех же
моментов долготы Земли. В таком случае момент оппозиции по
долготе получится по формуле
т-і л- &-'і) (4-Ді) t a JkrJxLSLzzbL
- bi-ft-^)-(/,_?,) " 1* ^ {іг-Ьг)-{1%-L2) *
Около этого момента и располагается середина эфемериды.
В том случае, когда эфемерида базируется на мало надежных
элементах, полезно давать, для облегчения- поисков и
идентификации птанеты, вариацию. Вариацией называется отношение тех
изменений склонения и прямого восхождения, которые получаются
при изменении положения светила в орбите. Так как из всех
элементов наиболее ненадежным является обычно среднее суточное
движение, то отклонения вычисленных положений от
действительных оказываются обычно, зависящими главным образом от
неправильности принятой величины средней аномалии. Вариация и дает
как раз возможность судить, насколько изменение средней
аномалии может привести эфемериду в согласие с наблюдениями.
Вычисляется вариация следующим образом. Пусть при
вычислении эфемериды мы нашли для двух моментов tt и Ь^Л
гелиоцентрические координаты (хи уп zt) и С\.+1, уЦЛ, zi+1). Обозначая
соответствующие координаты Солнца через Xif Г,, Zit. .., получим
для определения прямых восхождений уравнения
Pf cos 3, cos о, =*, + *',
P,cos 8, sina^y^ Yi .
pisinoi = zt + Zi
и аналогичные уравнения для момента ti+ v
Сдвинув планету в орбите из положения (хі9 yti zt) в
положение {хі+1, у(^19 jzt.+1) мы получим, для того же момента tt новые
прямые восхождения и склонения av, \ при помощи уравнений
P. cos 8С cos ае = х.+1 + Х4
P^cosS.sin^^y^+K,
pf sin 8С » zi+1 + Zv

Вариация склонения отнесенная к изменению прямого
восхождения на+ 1га-0 будет равна
причем 5„—8< выражается в минутах дуги, а аг—а, в минутах
времени.
Для малых планет вариация изменяется обычно настолько
медленно, что достаточно ее вычислить только для начала и конца
эфемериды.
Эфемерида малой планеты должна сопровождаться указанием
ее яркости. Так как малая планета светит отраженным светом, то
ее видимая яркость / будет обратно пропорциональна квадрату
расстояния от Солнца и квадрату расстояния от Земли, т. е.
где К — коэффициент пропорциональности.
Для перечисления этой яркости в звездные величины
обратимся к закону Погсона
\g(IJIm)=0A (т-п),
где 1Н и 1т — яркости, соответствующие звездным величинам я я т.
Делая п — 0, перепишем это равенство так:
/7i = 2.51g/0 —2.51g/M,
Подставив сюда яркость малой планеты, получим
соответствующую звездную величину
m = g+5\g(r9)t (38)
где через g— обозначена постоянная величина
? = 2.51g/0 —2.51gtf.
Чтобы определить g и иметь возможность вычислять величину
по формуле (38), надо иметь хотя бы одну оценку яркости планеты.
Средние условия видимости планеты часто характеризуются
величиной
"z0=? + 51g(a2 — a),
которая представляет звездную величину планеты для того
момента, когда r=a, р =д—1, где а — большая полуось орбиты
этой планеты,
§ 28. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭФЕМЕРИДЫ ПРИ ПОМОЩИ ЧИСЛЕННОГО
ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ.
Пусть требуется вычислить эфемериду для моментов
4 = 4 + лда,
где п — целое число.
Обозначим через хп9 уп9 zn гелиоцентрические координаты,
соответствующие моменту 4- Предположим, что по формулам §§ 19,
21 или 22 мы вычислили
(*Ji, .У-і» О» (*<и Ув> zo)- <39>
7S

Эти шесть величин могут быть приняты за произвольные
постоянные, определяющие то частное решение уравнений движения
(уравнения II, 1, в которых делаем т0= 1, т — 0)
d2x . №х Л d*y . Ъ*у Л d2z h2z Л , .
которое представляет движение рассматриваемого светила.
Определенное таким образом частное решение может быть
получено при помощи численного интегрирования уравнений (40),
Посмотрим, каким образом могут быть применены в данном случае
наиболее распространенные методы численного интегрирования —
метод Коуэлла и метод квадратур (см. Приложение „О численном
интегрировании уравнений*, помещенное в конце книги).
Метод Коуэлла. По данным значениям координат (39)
вычисляем прежде всего радиусы-векторы
гі^^г+Уіг + ^гз
г6 == хо ~г )'о + zty
Затем находим соответствующие значения функций.
/= —w2k2r~3x,
а именно
и аналогично для двух других координат.
При этом
если w = 2d, 107да»*а = 11 836.49
, w = 4d, 107^2А2=: 47345.95
. w = 8d, 107да«Ая = 189 383.81.
После этого переходим к нахождению •xli ylt zv В первом
приближении имеем
хг = 2x0-x_l +/0,... rf^xf+yf + zS.
Далее находим
и составляем разности значений /. Имея /03 можно уже вычислить
хи Уи zi п0 более точной формуле
с, — w2k2r~3y,
w4zx_1
„з і /о
г~1
— wzk2r~~8z
1!)гк2Хъ
г3
хх = 2х0 — х_г+Л
Л2=/о+~/<Д
2
О >
12
Уточнив xt, yt4 zl9 переходим к вычислению х2, у2, zr
Дальнейшие вычисления ведутся по формулам
Хк+1 ^ ^Хк — ХН-1 + ^Л • * *
74

которые могут быть заменены такими
&ъ =/* + -jg Л2 — go Л4 + • • .
И' — /Г 4-/12
¦**+! — ** + ^VfVa'
Таблица VII, дающая w9k*r-3 по аргументу г2 (для та> = 8d),
значительно облегчает вычисление значений функции/1).
Заметим, что начальный момент /0, от которого ведется
численное интегрирование, следует помещать не в начале, а в
середине эфемериды и интегрировать от него в обе стороны.
Метод квадратур. Даны значения координат (39) для двух
моментов t_v t0. Находим
rU^xl.+y^ + zl,,
Л-
причем пользуемся таблицей VII. Эта таблица составлена для
w = 8d; если эфемерида вычисляется для ?iy = 4d, то все числа,
даваемые таблицей надо уменьшить в 4 раза.
Затем составляем разности
/о— ./Li—/-!,,
и вычисляем начальные члены столбцов сумм по формулам (см.
Приложение, стр. 277)
/-V» == *о— х-і "J2" /-Vt ¦ ¦'о ~хо и Л'
После этого можно уже начать суммирование:
/И./я +/о=/і72 > Л"2+/J".1 = /Г
(см. схему разностей на стр. 267). Для вычисления хг по основной
формуле метода квадратур
х* вЛ + 12 ^* ~~ 240'*2 + • ш •
нужно еще знать /г. В первом приближении эта величина находится
экстраполированием; затем, когда найдены
АГ1==<Д + *Y2 А ) • • ¦
г
1) Штраке опубликовал (Astronomlsche Nachrichten, Bd. 236 (1929), 97—114)
таблицу, дающую I01wtk%r~z с восемью знаками для значений г% от 1^-50 до 35-0.
7*

то вычисление fx производится по обычным формулам
tf^xf+yf + zf
Аналогично вычисляются (х2, у& zz) и {х_2, y_v z_2) и т. д.
Когда несколько строк вычислительной схемы уже заполнено, то
экстраполирование дает обычно настолько точные значения/A,/ft2,...,
что вычисление xkJ y};, zh не приходится повторять.
Пример. Дани следующие координаты планеты 931 Whittemora:
1920 х у z
Апрель 3 5 Т. U. — 3.162 896 +0.255 837 + 0.700 030
11.5 — 3.190 262 + 0.188 287 + 0.682100
Требуется вычислить ее эфемериду с 8-дневным интервалом.
Воспользуемся методом квадратур. Все вычисления относящиеся к функциям /
будем вести с семью знаками. Вычисления ведутся параллельно по четырем схемам:—
для ж-ов, для J/-OB, для 2-ов и одна вспомоіательная для нахождения функций /.
Ар
п~ — 3
— 2
— 1
0
+ 1
+ 2
г у и е л т
1920
Март 18
„ 20
Апрель 3
. 11
* Ю
. 2*
г*
"
10 440 00
10.559 41
10.67848
•
'¦ 10.797 18
—107tti3K2r—3
— 5615
— 552 0
— 542 7
— 533 8
Разности
+ 95
+ 93
+ 89
п
-3
9
— 1
0
+ 1
+ 2
Г2
— 3.103 0С0 5
— 3.133 030 8
— 3.163 0415
— 3.190 406 3
— 3.216 039 7
— 3.239 956 5
/-1
— 30 870 3
— 291107-
— 27 364 8
— 25 033 4
— 23 916 8
ю7./
(+ 1 772 1)
+ 17596
+ 1 745 9
+ 1 731 4
+ 1716 6
(+ 1 701 8)
Z1
<- 125)
— 137
— 145
— 148
(- 148)
X
— 3.102 913
— 3.133 784
— 3.162896
— 3.190 262
— 3.215897
— 3.239 815
Разности
— 30 871
— 29 112
— 27 366
— 25 635
— 23 918
76

те
— 3
-2
— 1
0
¦ + 1
+ 2
f-2
+ 0.390 4912
+ 0.323 260 7
+ 0.255 848 7
+ 0.188 295 S
+ 0.120 6401
+ 0.052 920 3
fl
— 67 230 5
— 67 412 0
— 67 553 2
— 67 655 4
— 67 719 8
107. f
(— 223 2)
— 1815
— 1412
— 102 2
— 64 4
(— 27 7)
fl
(+417)
+ 403
+ 390
+ 37 8
(+ 30 7)
У
+ 0.390 473
+ 0.323 246
+ 0.255837
+ 0.1S8287
+ 0.120 635
+ 0 052 918
Разности
+ 67 227
+ 67 4C0
+ 67 550
+ 67 652
+ 67 717
n
— 3
-2
— 1
0
+ 1
+ 2
гг
+ 0.734 749 4
+ 0.717 607 3
+ 0.700 062 3
+ 0.682130 9
+ 0 6G3 82D3
+ 0.G45 173 4
/-1
— 171421
— 17 545 0
-17 9314
— 18 301 6
— 18 035 9
10'./
(—419 7)
— 402 9
— 386 4
— 370 2
— 354 3
(-338 7)
Iх
(+168)
•
+ 165
+ 162
+ 159
(+ 156) !
i
1
i
0
+ 0.T34 714
' +0.717 574
+ 0.700 030
+ 0.682100
+ 0.663 800
+ 0.643 145
Равностн
— 17140
— 17 544
— 17 930
— 18 300
— 18 655
В скобки заключены значения найденные зкетрап лированием и неисправленные
вторым приближением. В этом примере второе приближение нигде не изменяло
цифры полученные экстраполированием.
Разности, стоящие с правой стороны в каждой схеме, вычисляются для
контроля полученных значений. При этом вычисляются не т лько первые разносіи, но
и вторые, третьи,... (у нас они опущены ради экономии места).
§ 29. ВЛИЯНИЕ ПРЕЦЕССИИ НА ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ.
Если элементы cfl, /', о>, определяющие положение орбиты,
отнесены к эклиптике и экватору одной эпохи, а эфемерида должна
давать координаты светила относительно эклиптики и экватора
другой эпохи, то необходимо прежде всего отнести элементы
к основным плоскостям этой последней эпохи Соответствующие
формулы выводятся в Сферической астрономии. Здесь мы
ограничимся тем, что приведем приближенные формулы, дающие
достаточную точность во всех случаях, когда разность эпох не
превышает нескольких десятков лет.
Обозначим через А0, «0, щ элементы отнесенные к основным
плоскостям эпохи tQ> а через А, і, а> и ?blt ix тх элементы,
считаемые относительно основных плоскостей эпохи t и эпохи -^- (<о+0-

В таком случае будем иметь
<Л> = SlQ+ [р — Tccotg^sin (П—<Л>іО] (t—to)
i = h — ^cos (П — Shx) (t — t0) (41)
аз = ft)0 + « cosec ^ sin (П — A)j) (? — t0)
Промежуток времени t—10 предполагается выраженным в
годах. Через р — обозначена общая прецессия по долготе, и
—обозначает годичное изменение наклона эклиптики относительно
основной эклиптики 1850.0, наконец П—есть долгота восходящегд^узла
эклиптики по отношению к той же эклиптике 1850-0. Величины
р, те и П должны быть взяты для момента -тг (t0 + t). Их значения
могут быть найдены из следующей таблички:
Год
1890.0
1900.0
1910.0
1920.0
1930.0
1940.0
1950.0
V
50*.254
50 .256
50 .259
50 .261
50 .263
50 .265
50 ;Ж
«
0*471
0 .471
0 .471
0 .471
0 .471
0 .471
0 .471
п
173°.86
173 .95
174 .04
174 .13
174 .22
174 .32
174 .41
В первом приближении в правых частях равенств (41) надо
взять <ГЦ=<Л>0. /х = і0, а)1 = ?о0; затем вычисление повторяем
принимая іГЦ = -і- (А0 + А), іх = -|- </0 + і\ <*\ = 4" К + <°)-
Если наклонность орбиты близка к нулю, то изменения
элементов 1? и » могут быть весьма значительны. В этом случае
положение узла по сути дела является менее определенным. Что же
касается до перигелия, то его положение в рассматриваемом случае
лучше определять величиной
• і
% = ?Ь + <»,
носящей название долготы перигелия.
Для прецессионного изменения долготы перигелия формулы (41)
лают такое выражение
7С
«o + [p+«tg-b-sin(n-«fl1)] t-Q.
Рассмотрим случай, когда элементы, орбиты считаются
относительно плоскости экватора как основной плоскости. Обозначая их
в этом случае через 1Я\ і\ ш' и сохраняя прежние обозначения для
элементов относящихся к разным эпохам, будем иметь такие
формулы
Л = <П0+ (т — п cotgf/ cos A,') (t—t0)
і' — і0' — и sin Л/ it —10)
«' 3 ш/ + п cosec і{ cos Л2 (?— ^)э
78

где т и я —обозначают годичную прецессию по прямому
восхождению и годичную прецессию по склонению. Общепринятые
в настоящее время значения этих величин, данные Ныокомом,
таковы
/ті= 45 ".0851+ 0".0279Г
п = 20 .0468 — 0 .00857;
где Г обозначает время, считаемое в столетиях от 1900.0.
Нам остается еще рассмотреть вопрос о влиянии прецессии на
направляющие косинусы
Р* Р» P. Q* Qy> Qr (42)
Обозначим через
р:, Ру°> р: q:> <?л q.°
направляющие косинусы отнесенные к экваториальной системе
некоторой'начальной эпохи. За такую начальную эпоху мы примем
1950*0. Направляющие косинусы (42J мы будем считать отнесенными
к экваториальной системе момента Т, где через Т—будем
обозначать время считаемое в столетиях от 1950-0
Косинусы углов между осями координат экваториальных систем
(х, у z) и (х°, у0, zQ), соответствующих моментам Т и 1950*0,
обозначим следующим образом
X
У
г
х°
ха
*.
х.
У°
г.
у,
у.
г°
zx
z,
z.
Теория прецессии дает следующие выражения для этих величин:
Хх = 1.0000 0000 — 0.0002 9696 7а — 0.0000 0014 Г»
Y„ = — Ху = — 0.0223 4941 Г— 0.0000 0576Г2 + 0.0000 0221 Г»
Zx = — X, = — 0.00971691Г + 0.0000 0206Т2 + 0.0000 00987"»
Yy = 1.000 J 0000 — 0.0002 4975 Р—0.0000 0015 7»
К,= Zv = —0.00010858 Г2
Zt = 1.00000000 — 0.00004721Р + 0.0000 0002Р.
По известной теореме о косинусе угла между двумя направле«
ниями имеем
р,=*л°+ухРу°+zj>:
РУ = ХуР* + уАс + zvp.°
р. = х?; + yjp; + zj>;.
7»

Эти соотношения можно записать несколько короче в
следующей символической форме г)
х
\=\ Р°
Р?
[ X. X. X.
)
к. к \.
причем подразумевается что справа умножается столбец на столбец.
Для Qx, Qyy Qz имеют место совершенно такие же'формулы
преобразования. Их можно записать одновременно с предыдущими
следующим образом
Ч I
X. X.. X. \
Y. Y У.
У
z,t
(43)
Обратное преобразование совершается, как легко видеть, по
формулам
Q,
I
{
Р
Р.
о
х
о
V
о
2
q:
>—і
[-
i
p.
[p.
X
Y„. Z„ )
i
X. Y.
у
X. Y.
Z.
(44)
s I
Для того, чтобы перейти от эпохи 7\ к эпохе Т2, нужно по
формулам (44) перейти к нормальной эпохе 1950.0, а затем по
формулам (43) к эпохе Т2.
Так как при вычислении орбит и эфемерид до настоящего
времени'еще употребляется прежняя нормальная эпоха 1925-0 то
приводим формулы для перехода от одной эпохи к другой: 2)
fPj'i950.0), ,^(1925.0), Н-0.9999 8144+0.0055 ?690+0.0024 29341
| РД1950.0) »Р,(1925.0) —0.0055 8690+0.9999 8439-0.00000679
\P,{195J.Q)> »P,(192o.0)J 1-0.0024 2934—0.00000679+0.99999705 J
Примечание. Те же самые формулы (43) и (44) служат для
перевода экваториальных прямоугольных координат с одной
эпохи на другую. Например, для преобразования координат
Солнца X, Y, Z, отнесенных к экватору и равноденствию
эпохи Т, в координаты Х0, Y0, ZQ, отнесенные к экватору и
равноденствию эпохи 1950.0, имеем
Уо
Z0
= { Y
[ Z
X.
Yv
Y,
Zy
Z.
\
1) Эти обозначения приложены Т. Банахевичем (Тіь Banachiewicz), и уже
получили некоторое распространение.
*) Значения коэффициенюв для перехода на нормальную эпоху 1925.0 и обратно
можно найти в „Формулах и табл ііца хв — Таблица VII, и в № 13 Ьюлдетеня
Астрономического Института (В. Numer. v, HiJfstafeln гиг Bahnbestimmung und ge-
stOrten Ephemeridenrechnung nach der Extrapolationsmethodc).
80

Дополнения к главе UL
ОТРЫВКИ ИЗ THEORIA MOTUS ГАУССА, ТРАКТУЮЩИЕ О ТОЧНОСТИ
ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КООРДИНАТ *).
Art 30.
„Так как все чиста, которые мы извлекаем из логарифмических и
тригонометрических таблиц, не абсолютно точны, а лишь приближенны, то результаты
получаем.>,е при вычислениях с помощью этих таблиц, могут быть только
приближенными. В большинстве случаев, однако, обычные таблицы, точные до седьмого
•знака (т. е. не уклоняющиеся никогда от истины больше чем на пол-единицы
седьмого порядка), дают точность более чем достаточную для того, чтобы
неизбежные ошибки не имели ни >акого значения. Тем не менее, несомненно может случиться,
что в некоторых чістных с-іучаях ошибки таблиц производят столь значительный
эффект, что Mm можем быть вынуждены совершенно отказаться от изв стного
метода (вообще превосходного) п заменить его другим. Подобный ел чай м жет
также предсіавиться и в тех вычислениях, которыми мы только что занимались;
поэтому не будет неуместно привести здесь некоторые исследования, касающиеся
той степени точности, котор ю можно получить в этих вычислениях при помощи
обычных таблиц. Но так как.здесь не место исчерпывать этот столь важный для
вычислителя вопрос, то мы его изучим лишь настолько, чтобы это было достаючно
для нашей цели и позволило тому, кого он интересует, улучшить метод и
распространить его на все другие операции*.
Art 31.
„Всякий" логарифм, усинус, тангенс и т. д. (и вообще всякая иррациональная
величина извлекаемая из таблиц) подвержен ошибке, которая может достигать до
половины единицы последнего десятичного знака; мы обозначим этот предел ошибки
чер.'З «,— в обычны \ таблицах этот предел равен 0 * 000 0000 5. Е.ли логарифм
не находится непосредственно в та-лицах, но должен быть определен
интерполированием, ошибка может по двум причинам оказаться несколько более значительной.
Во-первых, что касается до пропорциональной ча.*ти разности, то во всех случаях,-
когда она не есть целое число (принимая последний десятичный знак за единицу),
следует округлять ее до б іижайшего целого числа; легко усмотреть, что вследствие
этой причины оши'жа не может удвоиться. Но мы м жем не считаться с этим
увеличением ошибки, ибо ничто нам не мешает прибавить в пропорциональной частя
один лишний десятичный знак, а без труда можно усмотреть что, если
пропорциональная часть совершенно точна, ошибка интерполированного логарифма не больше
ошибки логарифма, непосредственно взятого из таблиц, поскольку конечно можно
считать изменение логарифмов равномерным. Вторая причина увеличения ошибки
заключается как раз в том, что это последнее предполож ние не «бсолютно точно;
но мы пренебрежем этой пр гчиной, как потому, что влияние вторых и высших
разностей почти во всех случаях нечувствительно, так и потому, что это влияние
легко учесть, если оно станет Солее заметным. П этому во всех случаях мы пило-4
жим наибольшую неизбежную ошибку таблиц = ш, если однако аргумент (т. е.
число, когда ищем логарифм, или угол, для которого ищется синус и т. п.) известен
с абсолютной точно тью. Но есл'і сам аргумент і звестен только прибл «женно,
причем максимальной возможной в нем ошибке отвечает вариация логарифма <»'
(которая может быть определена при помощи отношения дифференциалов), то
максимальная ошибка логарифма, вычисленного при помощи таблиц, может возрасти
до о -f- «'.
Обратно, если при помощи таблиц вычисляется аргумент, соответствующий
заданному логарифму, то его максимальная ошибка будет равняться той вариации,
кото, ую он испытывает при вариации логарифма равной <d — если этот последний
г) В дальнейшем будет подробно указана роль Гаусса (С. F. Gauss, 1777—1855)
в создании современных методов вычисления орбит. Его основное сочинение
„Теория движения небесных тел, вокруг Солнца по коническим сечениям
обращающихся" (Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium,
1809) содержит ресьма подробное изложение свойств неьозмушенного движения.
Нижеследующий отрывок можег да ь представление о той обстоятельности, с
которой Гаусс изучает каждый способ с точаи зрения вычислительной техники.
б Курс небесной меганнг*, т. L
:V 81

известен точно, или равной <о + ш' — если логарифм может быть ошибочен на о/.
Едва ли нужно прибавлять, что шиш' должны быть взяты с одинаковыми знаками.
Если несколько величин точных лишь в известных пределах складываются, то
максимальная ошибка результата будет равна сумме < тдельных максимальных
ошибок, взятых с одинаковыми знаками; по той же причине при вычи ании е.еличин
приближен..о точных максим ільная ошибка разности будет также равна сумме
отдельных ошибок. При умножении или при д лении приближенной в лич. ны
максимальная ошибка увеличивается или уменьшается в том же отношении как и
сама величина*.
Art 32.
Приступим теперь к применению этих принципов к наиболее полезным из
числа вышеизложенных опер..ций.
I. Если при употреблении формулы
tg-L?=tg4-ot2(4s°--H
для вычисления истинной аномалии п;и помощи эксцентрической, <р и Е
предполагаются точно известными, то ошибка о> может быть допущена в lgtg (45° у)
и в Igtg — Я, следовательно ошибка разности = lgtg — v будет 2о>; максималь-
ная ошибка в определении угла -^- v будет поэтому
Зш^
(-Н
Зо> sin v
>
<**gtg— v
где X—модуль употребляемых логарифмов. Таким образом ошибка, которой
подвержена истинная аномалия, становится, после выражения в секундах,
3tQfnt?- 206 265 = (У7-0712 sin v,
если употребляются Бригговы логарифмы с семью знаками; таким' образом мы
всегда можем быть уверены в величине v в пределах 0Г/ • 07; если употребляются
маленькие таблицы логарифмов только с пятью знаками, то ошибка может
достигнуть 7" ¦ 12.
II. Если ecosE вычисляется при помощи логарифмов, то может быть допущена
ошибка доходящая до г ; величина 1 — ecosE или — будет подвержена
к о,
такой же ошибке. Следовательно, при вычислении логарифма этой величины ошибка
?в cos E
может достичь (1+8) <о, обозначая через о величину — =-, взятую с положи-
і. "~—* € COS С
тельным знаком; возможная ошибка \gr доходит до того же предела (1 + о)ш, если
только предполагать lga заданным точно. Если эксцентриситет мал, то. величина о
заключается в тесных пределах; но к гда е мало отличается от единицы, 1 — ecos?"
остается весьма малым, если Е мало; поэтому о может тогда достичь величины,
которой уже нельзя пренебрегать; вот почему формула
/• = а(1 —ecosE)
становится в этом случае менее пригодной. Величина о может быть также выражена
следующим образом
3 (а — г) _ Ze (cos v + е)
г ~~ 1— е*
каковяя формула показывает еще более ясно, в каких случаях ошибкой (1 + о)ш
можно пренебречь.
82

III. При употреблении формулы
sin — (v — Е) = sin — tp sin Ey —
для вычисления истинной аномалии по эксцентрической, величина lg 1/ — будет
подвержена ошибке (™9" + "n~ 8 ) *>, а следовательно lg sin — tpsinfl/ — ошибке
( — + --- 3 ) ш; отсюда находим, что максимум возможной ошибки в определении
угла v — Е или у равняется
¦j-V + WS-j-fr-E),.
или выражая в секундах, при условии употребления семи десятичных знаков,
= (О". 166 + О".024 В) tg -у (и — ?).
Если эксцентриситет невелик, то о и tg — (у — Е) будут малы; вот почему
этот метод допускает большую точность, нежели рассмотренный в параграфе I.
Но этот последний метод должен быть напротив предпочтен, когда эксцентриситет
1
очень велик и приближается к единице, ибо тогда 8 и tg — (v — Е) могут стать
а
весьма значительными. При помощи наших формул всегда можно решить какой
из этих двух способов должен быть предпочтен.
IV. При определении средней аномалии по эксцентрической при помощи
формулы
М = Е — е sin E,
ошибка величины е sin Е, вычисляемой при помощи логарифмов, а следовательно и
ошибка средней аномалии М, может достичь
BvesinE
X '
каковой предел должен быть умножен на 206 265", если желательно выразить его
в секундах. Отсюда можно легко заключить, что в обратной задаче, когда ? должно
быть получено пробами по заданному М, величина Е может быть ошибочна на
^і|*А *Е 206 265" = ^^206 265",
X dM \r
хотя она и будет удовлетворять уравнению Е — esmE=M со всею, точностью,
которую допускают таблицы.
Таким образом истиннзя аномалия вычисленная по средней может быть
ошибочна по двум причинам, если мы рассматриваем среднюю аномалию как
заданную точно; во-первых по причине ошибки, допущенной при вычислении v по Е,
каковая, как мы видели не имеет большого зн.чения; во-вторых потому, что
значение самой эксцентрической аномалии может быть ошибочно. Влияние последней
причины получим, умножив ошибку Е на --»=, произведение будет т)
?2?«°? . * 206 265- = ^?^206 265- = ( -і^ ) 0-0712,
X d М \г \ 1 — е1 /
1) Для получения -г-.-? надо воспользоваться формулами (22), (27) и (28). Для
dM
выражения г через v служит уравнение орбиты (М. С).
83

если вычисления производятся с семью знаками. Эта ошибка, всегда небольшая
для малых значений е, может стать весьма большой, когда е мало отличается от
единицы, как это видно из следующей таблицы, которая показывает наибольшее
значение предыдущего выражения для некоторых значений е.
е
0.90
0.91
0.92
0.93
Наибольшая
ошибка
0".42
0 .48
0 .54
0 .62
е
0.94
0.95
0.96
0.97
Наибольшая
ошибка
0." 73
0 .89
1 .12
1 .50
е
0.98 «
0.99
0.999
Наибольшая
ошибка
2".28
4 .59
46 .23
[Далее Гаусс совершейно. таким же образом изучает точность, с которой
вычисляются координаты для гиперболической орбиты].
Art 33.
„Таким образом для тех конических сечений, эксцентриситет которых мало
отличается от единицы, иначе говоря для эллипсов и гипербол приближающихся
по форме к параболе, вышеизложенные методы, как для определения истинной
аномалии для заданного момента, так и для определения времени по истинной
аномалии *¦), не дают всей желательной точности: неизбежные ошибки, возрастая по мере
приближения формы орбиты к параболической, превзойдут в конце концов всякий
предел. Конечно большие таблицы, дающие больше семи десятичных знаков,
уменьшат эту неопределенность, но они ее не уничтожат и не помешают тому, что она
превзойдет всякий предел, если орбита приблизится достаточно к параболе. Кроме
того вышеизложенные методы становятся в этом случае достаточно неудобными,
потому что часть из них требует многократно повторенных проб, тягостность
которых увеличивается от употребления больших таблиц. Несомненно, поэтому, не
будет лишним дать специальный метод, при помощи которого можно избежать,
в этом случае, указанной неопределенности и получить достаточную точность при
помощи одних только обыкновенных таблиц*.
Далее Гаусс развивает способ вычисления истинной аномалии в случае орбиты,
эксцентриситет которой мало отличается от единицы. Способ, указанный для этого
в § 22, основывается на той же идее, что и способ Гаусса, но требует меньше
вспомогательных таблиц: единственная необходимая для него таблица значений
функции V{z) понадобится нам в дальнейшем для других целей (см. § 40); между
тем как способ Гаусса требует специальных и притом гораздо более обширных
таблиц.
О ВЫЧИСЛЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ КООРДИНАТ В СЛУЧАЕ, КОГДА
ИСТИННАЯ АНОМАЛИЯ БЛИЗКА К ISO0.
В § 21 было показано, каким образом истинная аномалия в параболическом
движении, или заменяющая ее величина
может быть найдена по аргументу ,
з
Р = ?~ 2 (t—T)
при помощи специальных таблиц. Но подобные таблицы могут быть доведены, лишь
до некоторого определенного значения Р; таким образом для вычисления v или а
при очень больших значениях Р (следовательно, когда v близко к 180°, а а очень
велико) приходится прибегать к другим способам. Формулы (13) остаются, конечно,
применимыми, .но делаются мало удобными при логарифмическом вычислении.
*) Так как время имеет множителем а\ то ошибка в М возрастает тем больше,-
чем больше становится а = р:(Х — ег).
4

Существует, поэтому, потребность в методах для вычисления v (или а) по Р -г
а также для решения обратной задачи—специально приспособленных для того
случая, когда Р имеет очень большую величину. *
Первый способ, предложенный Бесселем (W. Bessel, 1784—1846), заключается
в следующем.
Возьмем тождество
Htg-f + cotg -l-)S = tg^ + 4-tg»-|-- + cotg^+ 1-coV-f ¦ '
Так как
tg — + — tg3 — = —- Р
2 3 2 /2
v . * v 2
tg -іг + cot2 -o-
2 ь 2 sinv
то получим для определения v такое уравнение
1 3fc„13/,vIl.,«\
Р + — ( cotg — -j cotg*— ]. (45)
sin»v 8УТ 8 V 2 3 2
В том случае, который нас здесь интересует, v близко к 180°, следовательно
co*g ~о~ v есть очень малая величина, поэтому написанное уравнение удобно
разрешается способом последовательных приближений. Для первого приближения
берем значение v = w, где w определяется равенством
sin» w —
Zk
С этим значением вычисляем правую часть уравнения (45) и находим новое
более точное значение г\
Бессель полагает
и дает таблицу значений о по аргументу v.
Второй способ. Определяемая уравнением
3 -/2
величина с возрастает до бесконечности вместе с Р — именно поэтому ее нельзя
табулировать для всех значений Р. Введем вместо а новую неизвестную р, полагая
Получим вместо уравнения (46) такое
где
«*/Л~*
У*
или х = се 2 , если положить
1'
3* р,«
у%-
?Ь

Когда Р стремится к бесконечности, то х стремится к нулю, а р стремится
к единице. Поэтому легко дать таблицу значений р по аргументу х для всех
нужных нам значений х.
Формулы, служащие для вычисления, окончательно представим так:
lgo = 9-520 ?292_10 + ^~Чр>
X = сГ~2 ,
причем Ig р может быть взят по аргументу х из специальной таблицы (таблица XIV
в сборнике „Формулы и таблицы").
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Показать, что постоянные Гаусса связаны соотношением
sin5 a -f- sin2 b -f- sin* с = 2.
Почему это соотношение не может считаться хорошей контрольной формулой?
2. Показать, что постоянные fv Д, Д в интегралах Лапласа (Глава II, задача № 9)
следующим образом выражаются через элементы
Д = № (т0 -\-т)е (cos <о cos ?Ъ — sin о> sin <Л> cos /)
/2 = kz (mQ -f- т) е (cos о> sin <ГЬ + sin о cos Sb cos 0
Д = ?2 (/n0 -f- /я) е sin o> sin r.
3. Выразить постоянные Д, Д, Д через векторные элементы Р и Q.
4. Вывести приближенное равенство
, „ sin М
ь cosM — e
и определить до каких степеней е оно справедливо.
5. Представить интеграл площадей в таком виде
где
kV^ + e (l + °a)
—і-^-(і + ь^'
2*2
, v . 1 — *
Вывести отсюда разложение а по степеням X.
6. Сопоставить формулы нужные для вычисления эфемериды планеты,
движущейся по круговой орбите.
7. Показать что для эллиптического движения координаты в плоскости орбиты
разлагаются в ряды по степеням е такого вида
S = a cos М -f -?- е (cos 2Ж — 3) + .. .
і\ = a sin M-f ~z~ e sin 2M + . . . .
86

Часть вторая.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ ОРБИТЫ.
ГЛАВА IV.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ ПО ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИМ
КООРДИНАТАМ СВЕТИЛА.
В главе II мы определили движение одной материальной
точки Р относительно другой — S) исходя из предположения,
что эти две точки притягивают одна другую по закону
Ньютона. Произведенное нами интегрирование уравнений
движения дало координаты х, у, z точки Р в виде функций
времени t и шести произвольных постоянных. Мы видели, далее,
что за эти произвольные постоянные выгодно принять шесть
элементов орбиты^ а именно і, Q, со, а, е, Т. Итак
*=/ (t, і, si» (о, а, е, Т)
г = ? (*, U Sly о» <*>> е, Т)
У = $ (і, і, Sly © а, е> Т)*
(1)
Задание элементов вполне определяет движение. Но
с другой стороны для определения движения точки Р можно
задать координаты xQi у0, z0 и компоненты скорости х0' у0 Zq
этой точки для какого-либо момента времени t0. Отсюда ясно,
что эти шесть величин однозначно определяют элементы
орбиты; и, конечно, обратно—зная элементы, мы можем найти
^Оэ Уо> Z0i Х0 9 Уо > ^OJ (2)
для этого нужно только в уравнениях (1) и в тех, которые
получаются из них после дифференцирования по t, положить
t=t0. Оставляя пока в стороне вторую задачу, мы займемся
r этой главе решением следующей проблемы:
Зная величины (2), определяющие положение и скорость
светила в какой-либо момент времени tQ, определить элементы
орбиты. ' ^
С этой проблемой приходится встречаться в
разнообразных вопросах Небесной механики, между прочим и при
вычислении орбит из наблюдений.
Вторая проблема, которой мы здесь займемся (также
имеющая фундаментальное значение при вычислении орбит),
заключается в следующем:
Даны координаты светила (хг, у'ъ z^ и (х2> у2, z2,) для
двух моментов времени іг и t2- Определить элементы орбиты.
87

Заметим, что эта проблема может рассматриваться как
обобщение предыдущей, так как при бесконечно малом
промежутке времени ?j — /j она совпадает с предыдущей
проблемой. Отсюда можно, между прочим, заключить, что при
малых интервалах времени t% — tx вторая проблема также
имеет одно и только одно решение.
Решение первой проблемы не представляет никаких
трудностей и было получено одновременно с решением задачи
двух тел. Что же касается до второй проблемы, которая
решается, вообще говоря, лишь путем последовательных
приближений, то впервые законченное решение этой проблемы
мы "находим в Theoria tnotus Гаусса.
Конец главы посвящен изучению теоремы
Эйлера-Ламберта, имеющей применение при определении кометных орбит.
§ 30. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ ПО ПОЛОЖЕНИЮ И
СКОРОСТИ СВЕТИЛА.
. Даны координаты светила (х0,_у0,.г0) и компоненты его скорости
(х0', у0'? #0') для некоторого момента времени t0. Ради большей
определенности будем считать эти величины отнесенными к эква:
ториальной системе координат.
Интегралы площадей (И, 6) дают три уравнения
k Yp sin V sin JY = y0z0' —гъУъ
k Vp sin i' cos JV = x-qZq — z0x0'
k ]/jecos *'•= x0y0' —y0x0'
(3)
вполне определяющие параметр /?, и элементы і\ А', фиксирующие
положение плоскости орбиты относительно экваториальной системы
координат.
Интеграл живой силы (II, 18), дающий равенство
Ч'г + Уо'2 + V2 = & (¦»- - ±), (4)
где °
позволяет определить большую полуось а.
Далее, продифференцировав уравнение орбиты, представленное
в форме
?COS-0= — 1,
получим
J dv p dr
esmv-w=T*-d?>
или, ввиду того что (см. II, 22)
будем иметь ___
V Р dr
к at
88

Для определения производной радиуса-вектора
продифференцируем равенство г2 — х2 +у2 + г\ это даст
rrr = хх' +yy' + zz\
Полагая в двух последних равенствах и в уравнении орбиты t=t#
получим
W = *о*о' + УоУо + ZqZq'
e cosz'o^pro"1— 1
(5i
Эти равенства дают возможность найти эксцентриситет е и
значение истинной аномалии, соответствующее моменту t = tQt
Для контроля проделанной работы следует воспользоваться
соотношением
/>==а(1— е2).
Если эксцентриситет близок к единице, то вычисляем пери-
гельное расстояние
Я =
і+*'
Теперь обратимся к формулам (II, 21), которые для момента
t~tQ дают
xQ = r0 (cosa0 cosA' —sintt0sintfb' cosr')
yQ = r0 (cos /г0 sin A' + sin я0 cos <fl/ cos f')
z0— r0 sip и0 sinf
где
Щ = Ъо + С0'.
Чтобы найти аргумент широты и0 и получить, таким образом,
элемент со можно воспользоваться любой комбинацией этих формул.
Например, можно умножить первую формулу на cos ?1', вторую
на sin SV и сложить результаты. Окончательно получим для
определения со такие уравнения:
r0 sin (v0 + со') = z0 cosec V \
r0 cos (vQ + со') = x0 cos A' + y0 sin A' J
Остается определить последний элемент—время прохождения
через перигелий Т (или среднюю аномалию /W0) Этот элемент
определяется различно для различных родов конических сечений.
Для эллиптической орбиты с не очень большим
эксцентриситетом по формуле
Le 2 F 1 + е ё 2
89

находим эксцентрическую аномалию Е0. Уравнение Кеплера
М0 = Е0 —е sin Е0
дает, затем, искомую среднюю аномалию М0.
Среднее суточное движение п и время прохождения через
перигелий Т находим по формулам
п =ka
1
Параболическую орбиту будем иметь в том случае, когда
уравнение (4) даст а=оо. Так как'в этом случае е=1, то последние
два уравнения (5) можно заменить таким
tg^ =
глг
о'о
kV'p.
Время прохождения через перигелий .определяется равенством
3
Т=&
Р> Я = -о-А
2
где
Р =
Ч{
<з0 +
*о = tg^.
Для орбиты, эксцентриситет которой мало отличается от
единицы, время прохождения через- перигелий вычисляется по
формулам § 22.
Примечание I. Если положение светила определено эква-'
ториальными координатами, то предыдущие формулы дадут
элементы si\ і', <*>' относительно экваториальной системы.
Для того, чтобы вычислить эклиптические элементы л,
і, со, рассмотрим сферический треугольник, образованный
экватором, эклиптикой и орбитой светила. Углы этого
треугольника равны 180е—/', гиг, причем стороны
противолежащие двум первым углам равны соответственно si и jV; сторону
противолежащую углу е обозначим через d. Основные формулы
Сферической тригонометрии дают
sin i sin si ~ sin V sin si'
sin i cos si = — cos г'sine + sin V cose cos sb
cos i = cos V cos e + sin V sin e cos 'si
sin i sin d = sin e sin si'
sinicosd== sin V cose — cosi' sine cosjV
Отсюда определим i7 si и d, затем
со = со' — d.
(7)
60

Вместо предыдущей группы формул можно взять
следующие, получающиеся из того же треугольника при помощи
формул Деламбра,
sin-g-/sin у- (а + Ф = sin т(*'+ з) sin-J-л'
sin — і cos-y (si + d) = sin ^- (i' — e) cos -~ л'
cos4- «sin-5- (<ft — <0 —cos-j (i'+Osin™ <n/
л — d) » cos 4~ (*' — e) cos4- ca'
2 2
1 . 1
cos-2-zcos-g
(8)
Примечание II. Вместо элементов si\ i'> <*>' часто
предпочитают определять постоянные Гаусса, так как с одной
стороны они удобны для вычисления эфемериды, а с другой—от
них легко перейти к эклиптическим элементам^ г, со (см. §23).
Обратимся к формулам (III, 29). Первая из них,
х — г sin a sin (A' + v)y (A' = A + co\
после дифференцирования дает
x' = /ysin a sin (A'+ v) +r sin a cos (A' +v)vr
или
х' _ ^ = il^-sin a cos (Ar + v),
так как, согласно интеграла площадей,
Итак
sin a cos (A' + v) =
rx'—ат7
*V7
Применяя эти соотношения (и им аналогичные для двух
других координат) к моменту t = tQ) получим окончательно
sin a sin [Ar + v0) = —
sin a cos (A' +vQ) =
ftv^n — ^rt^n
O^O
kYP
Уо_
sin frsin (S'+ u,)« f
sin6cos(fi' + t?0) =
sin с sin (C' +v0) =
— w.r'
sin?COs(C' + ?;0) =
Г0У0 " ?W»
k Vp
'0<- f.
kV'p
(9)
91

§ 31. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ ПО ДВУМ
ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИМ ПОЛОЖЕНИЯМ СВЕТИЛА.
Даны положения светила Рг (х1у yv zx) и Р2 (х2, у2, z*\
соответствующие моментам tx и t2. Требуется определить шесть элементов
его орбиты.
Найдем прежде всего элементы Sb' и і', определяющие
положение плоскости орбиты. Для этого рассмотрим треугольник SPXP2
(черт. 11), образованный Солнцем и двумя данными положениями
светила. Удвоенная площадь этого треугольника равна
[/у2] =V2 sin O2 —^i)>
где через гх и г2— обозначены радиусы-векторы SPV SP2, а
через vx и v2 — обозначены соответствующие истинные аномалии.
Проектируя тре-
2 угольник SPXP2 на
плоскость xSy, получим
треугольник SCjC9 с
вершинами S (О, О", 0),
Ci(^>yv0)tC2(x2,y2i0y
Удвоенная площадь
этого треугольника
равна
хху2 -^яУі*
Следовательно
хгу2 —x2yt= [ггг2] cos?.
Совершенно так
же, проектируя
треугольник БРгР2 на две
другие координатные
плоскости и замечая,
что косинусы углов,
образуемых нормалью SN
'У
с.
Рис. 11.
к плоскости орбиты с осями Sx и Sy равны соответственно (см. § 11)
sin i sin «Л/, — sin ir cos .Л/,
получим две аналогичные формулы. Итак
[ггг2] sin і' sin SI' = yxz2 —y2z1 ]
[rxr2] sin i' cos SI' = xxz2 — x2z3 j-
[rxr2]: cos ir = x1y2 — x2vx
(10)
Эти уравнения дают возможность вычислить элементы *', <П>' и
разность истинных аномалий
2/=^-^. (II)
Предположим теперь, что нам 'известен параметр орбиты р.
Покажем, каким образом при этом условии могут быть определены
все остальные элементы.
Прежде всего уравнение орбиты дает два соотношения
е cos vx=*ql9 eco$v2 = qZi
96

где для краткости положено
Второе соотношение напишем так
5 008(^ + 2/)=^,
откуда
е cos v cos 2/— е sin vxsin 2/ == q^ или ? sin ^ sin 2/= ^x cos 2/— qv
Таким образом получаем уравнения
е sin vx =ж ?і c°tg 2/— 9а cosec 2/j
ecos^1 = ^1 J (12)
позволяющие найти е и г^. Равенство (11) даст v2.
Для эллиптической орбиты дальнейшие вычисления ведутся
так. Находим большую полуось а и среднее суточное движение л:
2
а — /> sec2 ср, sin ср = б, n~ka
Затем вычисляем эксцентрические аномалии /^ и Е2:
и средние аномалии:
Ліі = ?"х — е sin Еь М2 = Ег — е sin E2.
Для контроля можно снова определить п:
мш-мг
п~ t%-tx •
Формула
M = Mx + n(t—tx)
дает возможность вычислить среднюю аномалию Ж0,
соответствующую любому моменту t*=tQ. Эта же формула позволяет найти
время прохождения через перигелий Т\ так как в момент
прохождения через перигелий М = 0, то
Остается определить последний элемент — расстояние
перигелия от узла со'. Для этого обратимся к уравнениям (6), Применив
их к моменту tx, получим
rx sin (vx + о)') =г zx cos ее V V
rx cos (vx + to') + хх cos л' +уг sinji'.I (13)
Формулы (7) или (8) позволяют перейти от экваториальных
лементов jV\ і\ ш' к эклиптическим si, г, <о.
Для параболической орбиты, определив по соотношениям (12)
и (11) истинные аномалии vx и v2, находим время прохождения
через перигелий при помощи формул lq=* jp)'
T=tx-qbPx = tt-q%l*P* (14)
аз

где
Для орбит, эксцентриситет которых мало отличается от
единицы, применяем формулы, данные в § 22.
Примечание. Если заранее известно, что орбита
параболическая, то вычисление элементов ведется иначе, причем нет
надобности в предварительном определении р.
После того как из уравнений (10) найдены .лЛ V и v2 — vu
обращаемся к уравнению параболы, которое даст
а а
г __ , *¦ г -—
2 2
где через q — ^p обозначено перигельное расстояние. Из этих
равенств находим
]К-Г= > 17Lcos(l+^)=17L'
2 угх Уд \г 1 у г*
1
— COS тг =
1 4 V, cotg / cosec / 1
откуда
;' f (12a)
-r=— COS -5- = «7=-
Эти уравнения дают возможность определять qy vv а
следовательно и v2. Вычисление элементов заканчивается по формулам
(13) и (14), дающим со' и Г.
Чтобы задачу'Вычисления* элементов по двум
гелиоцентрическим положениям светила можно было считать вполне решенной,
нужно еще рассмотреть вопрос о нахождении р для случая
эллиптической орбиты (случай гиперболической орбиты не
представляет никаких принципиальных отличий). Раньше чем перейти
к этому вопросу, остановимся на вычислении постоянных Гаусса
sin a, sin*,-sin с, А,В,Си векторных элементов Р& Ру, Р2, Qx, Qyi Q2.
§ 32. ПРОДОЛЖЕНИЕ: ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ ГАУССА.
При определении элементов орбиты по двум
гелиоцентрическим положениям (х„ уъ гг) и (х2, у2, z2) обычно приходится иметь
дело с координатами, отнесенными к экваториальной системе.
Экваториальные элементы і\ ^ь'> <°'> которые при этом вычисляются
по формулам (10) и (13), не представляют непосредственного
интереса, ибо положение орбиты принято определять при помощи
эклиптических элементов і, si, ">. Но экваториальные элементы
представляют то преимущество, что дают возможность -очень просто
94

найти постоянные Гаусса. В самом деле, полагая в формулах ПН
28) е = 0, получим v '
sin a sin А = cosjV sin b sin В = sin л,'.
sin acos Л =— cos ir sinjV sin b cos5 = cos ?' cos j^,'-
<: = *', C = 0.
Определив отсюда sin a, sin й5 Л и 5 будем иметь для
вычисления гелиоцентрических координат формулы
х = г sin a sin (Л+a/ + v)
y = rsinb sin (5+ш' + v)
z^rs'm i' sin (<o'-f?/).
(15)
§ 33. ПРОДОЛЖЕНИЕ: ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.
Покажем теперь, каким образом направляющие косинусы Ря,
Ру> Pz> Q*> Qy* Qz могут быть вычислены непосредственно, минуя
вычисление элементов sb, i'* a>/-
Согласно формулам (III, 33) имеем
хх = Рхгг cos vt + Qxrx sin vx
*г — P^r%cosv%+ Qxr2s'mv2.
Отсюда находим
jj sin v2 sin vx ^ч. cos vx cos v.
2/
ИЛИ
^ ~~ Xi /y-2 sin 2/ 3 /y8sin 2/ ' 4* "" Л2 гЛ sin 2/ " Л* /у, sin 2/ *
Эти формулы решают поставленную задачу, но они имеют то
неудобство, что Рх и Qx оказываются выраженными в виде
разностей двух приблизительно одинаковых величин, что влечет при
вычислении потерю точности.
Положим
r1r2sin2f=r1r0; (16)
замечая, что
r2 sin v2 = r2 sin (v2 — vx) cos vt + r2 cos {v2 — vx) sin v1
r% cos v2 — r2 cos (i/2—^0 cos vx — r2 sin {v2 — *>¦,) sin z^,
получим
D __ cosyt Г rxrt cos 2/ \ sintH
Полагая
ггг2 cos 2/
r.
-*o — ^2 — axl> Уо =Ул — °Уіу 20 = Z2 — aZv (17)
95

окончательно будем иметь для вычисления направляющих косину-
соз следующие формулы
COS У:
"х — ХХ ~~Z Л0
Р — ',, C0S "У у
sine.
Л» .
sin^
Го
sin Uj
Го
cosv,
(18)
sin v.
cost?.
COS V
В рассматриваемом случае находить величину
/у\> sin 2/= [/уз^/уо
из уравнений (10) нецелесообразно, ибо Л' и V нам не нужны. Мы
можем, возводя уравнения (10) в квадрат и складывая, исключить
эти элементы и получить формулу
('Л)8 = (Уі*« — .УА)я + (^і^2—-Vi)2 + (^ьУг —^гУі)2>
дающую г0 (а следовательно и 2f—v2 — vx) непосредственно,—но
эта формула довольно громоздка. Укажем другой способ
вычисления г0 и 2/.
Так как
то
'1 *2
а =
v
(19)
или
Далее, на основании равенств (17),
Хо% +Уо2 + 2о2 = *22 +У22 + Ъ* - 2 fr*+^«+ *»«»>' +
или
^+Л. + ^в_йЙЬ^М«^у_
г,я
Откуда, принимая во внимание равенство (16), получим
окончательно
rf^xf+yf + zf.
(20)
96

Итак, вычисления нужно производить в следующем порядке:
сначала по формуле (19) находим о, затем равенства (17) дадут
хо> Уо> zo> а равенство (20) г°; после этого по формуле (16)
определяем 2/,.что открывает возможность найти, из уравнений (12) или
(12а), истинные аномалии; наконец по формулам (18) вычисляем
искомые направляющие косинусы Раі Qe,...
§ 34. ПРОДОЛЖЕНИЕ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРА ОРБИТЫ ПО СПОСОБУ
ГАУССА.
В предыдущих параграфах мы видели, что решение задачи
о^ нахождении элементов орбиты по двум гелиоцентрическим
положениям светила сводится к определению параметра р. Если
параметр известен, то вычисление остальных элементов не
представляет никаких затруднений.
Параметр определяется трансцендентным уравнением, так что
его можно вычислить лишь путем последовательных приближений.
Чтобы сделать проведение этих последовательных приближений
возможно более удобным, Гаусс ввел вспомогательную
неизвестную iq, равную отношению площади сектора SPXP2 к площади
треугольника 5PZP2-
Обозначая по-прежнему'через [/у2] удвоенную площадь
треугольника SP&t а через (гдг2)--удвоенную плоіцадь сектора $РгР&
будем иметь
ігЛі = V%sin 2J*
следовательно
Отсюда ясно, что, определив % мы тем самым будем знать ру
так что задача приводится к нахождению отношения %
Формулы (II, 32) в применении к рассматриваемым положенюй*
светила дают
УТХ sin \vx = Va{\ + е) sin у ?lf
V rx cos у vt = Vet (1 — e) cos у Ev
"|/ra Sin ^2 = ^(1+^)8111 j Eb
Vr*cosj v^Va(l— «)cos*j E2.
Перемножая эти равенства попарна, я затем складывая и
вычитал результаты, получим '
V*7% sin \ fa — wj). == a V: 1 — «"sin у [E% — EJ
V7f% cos у fa — vj = a cos у {?* — Я^—ae cos i (Ea + Ed.
7 Курс небесной ііех&ннкя, т. I. ™*

Вспоминая что v% — v1 = 2fia полагая.
E2-Ex = 2g (22)
еcos J (Et + Ег) = cosh% (0<A<180°), (23)
2
напишем последние равенства так
Угхгг sin/= a]/l — е2 sing* (24)
іЛу-а cos/== a (cosg*— cos A). (25)
При помощи (24) выражение (21) можно представить в
следующем виде
2yr1racos/* а У"і — е sing
ИЛИ
(26)
2Yarxr% cos/sing'
Полагая для краткости t
напишем последнее равенство следующим образом:
2 a sin2 ?• = 0 2 *'—-„-г . (27)
& 2 т}2 г^з cos3/ ^ '
- Чтобы исключить из' этого соотношения неизвестную
величину я, обратимся к-равенствам
r2 = a(l — ecosE,), ra = a(l — ecos?2)-
Учитывая (22) и (23), получим
rt + г2 = 2а (Г— cosg cos A), (28)
или, подставляя сюда cos h, найденный из (25),
гг + г2 = 2а sin2? -f 2 |Лу2 cos^ cos f.
Это равенство, совместно с (27), дает
Гі + г2= 2у?Г^С0%ч + 2 VTJi cosg cos/
или
'"l + f'a і-- -і 1? t cosg—-1
4 y7[Fa cos /2 V 8 гл Kr^rj cos*/ + 2
Положим
x?
2
последнее равенство нанишется-так
"-(.yv.«>y (29)
l=,!;-" ,~\. <зо>
4 У /*!*•, cos / *
* = sin»i*; (31)
*=f—/• (32)

Это весьма важное уравнение содержит кроме у\ еще
неизвестную величину х. Поэтому нам надо найти еще одно уравнение,
связывающее х и ?).
Уравнение Кеплера дает
__3
ka 2 (іг— Т) = Ег — евіпЕі9
з
ka 2 (t2 — Т) — Е2 — е$'тЕ2%
откуда
ka 2 (t2— і^ = Ег—*Ег—e(sin?a— sinfj).
. Или, учитывая введенные обозначения,
ха 2 = 2g"— 2 sing-cos h.
Подставив сюда значение cos А, найденное из (25), получим
"2 V ггг2 cos f sing
та 2 » 2?— sin 2g*-+
Так как, на основании (26),
а
1 . %i\Yr\r*cos/sin^
_«_IL__ , (33)
то окончательно получим
rf — rp = mX{x)f (34)
где через Х(х) обозначено выражение
_ 2g— sin 2^
sin3?
являющееся очевидно функцией x = sin2-^ 5".
ад-^ги-. да)
Итак задача сводится к решению системы следующих двух
уравнений, найденных Гауссом:
Х = —г- I
<ф — у? = тХ{х)
(36)
Эта. система решается очень просто методом-итераций, так как
при малых значениях х (а только такие значения и встречаются
на практике) функция Х(х) медленно меняется с изменением х
Можно, например, взять в первом приближении f\ = 1 и
соответствующую величину х = т —/ подставить.во второе уравнение.
Решая это последнее, найдем более точное значение % после чего
первое уравнение даст новое более точное значение х> и т. д. г).
*) Вместо указанного значения х можно для первого приближения взять
х = sin2 — /. Можно, наконец, взять среднее из этого значения и указанного в тексте
х — т — /. - . '
7*
99

Работа- весьма существенно облегчается, если имеются две
следующие таблицы:
1) таблица значений функции Х(х) по аргументу х;
2) таблица, дающая положительный корень уравнения
по аргументу z (для положительных значений z).
Так как при у>\
§=j>(3j>-2)>0f
то при возрастании у от 1 до + со функция z непрерывно
возрастает от 0 до + °°. Вследствие этого каждому положительному
значению z отвечает одно и только одно значение у большее
единицы.
В „Формулах и таблицах" таблица XXII дает шестизначные
значения функции Х(х) для значений аргумента от х = 0.000 до
х = 0.300. Таблица XXIII дает семизначные логарифмы у2 по
аргументу z, изменяющемуся от 2 = 0.000 до z = 0.300.
Таблицы Гаусса. Гаусс, вместо только что указанных таблиц,
непосредственнее всего ведущих к цели, дал другие, учитывающие
некоторые особенности разложения функции Х{х) по степеням х.
Нетрудно прежде всего убедиться в том, что эта функция
действительно разлагается по целым степеням х. Из равенства (31)
•следует, что
g — 2 arc sin |/;с.
Поэтому
ч
. 2g— sin 2g = 2g— 2 sing cosg =
= 2g—4 sin jg cos j g (l—2sin2i^ =
= 4 arc sin У x — 4"|/x ]/"l -^Tx (1 — 2x)t
•откуда
32/,/—N3 16/,a->
2^-sin2^=^(^)3-1-4^)5-i(^)7-...
С другой стороны
sin*'g = (2Vx Vl^xf = 8 (Vxf-l2(Vx)5 + 3 (Vx)7 + ..-.
Следовательно, на основании выражения (35),
Таким образом мы убедились в существовании разложения
функции Х(х) по целым положительным степеням х, сходящегося
при |*|<1. Для того, чтобы найти закон составления
коэффициентов этого разложения, Гаусс обращается к дифференциальному
уравнению, которому удовлетворяет функция Х{х). Выведем это
дифференциальное уравнение.
100

Дифференцируя равенство
Xsin*g = 2g—$in2g,
получим
sin35-+3^Tsin2^cos^==2 — 2cos2^= 4sin2g\
Так как
dx . l l l .
TO
*X.~*2L EL — S-6Xcosg 4 — 3Xf 1 — 2x)
dx dg dx %\xil g %x{\ — x)
Итак, функция X(x) удовлетворяет уравнению
2(х — х^)~х « 4 — (3 - &*)*.
Подставим в это уравнение разложение
X = | (1 + ахх + а2х* + ...+. <ус" +'...).
Получим
- (8 — 4^)^ + (8а3 — 4а2)х3 + ... + (8ап_1 — 4ajxn + ...
Следовательно
8^ = 3(8 — 4^),
8(2ос2 — од) = 3(8а2 — 4а2),
откуда
8(явп-(я-1)^-і)«3(вап-і-Ю,
6 8
«1= J, «2 = 7 а1»
а потому
_ 2" + 4
6 • 8 - 10 ... (2л + 4)
* 5.7-9... (2л -f 3) *
Итак окончательно
У(г\- 44-4'6г4- 4>6-8 2 4 -6 -8- 10 о
ЛМ"і + §Т5^+ S • 5 • 7 * + 8-5-7-fl ^+'"
ч
Имея в виду значения коэффициентов двух первых членов, Гаусс
полагает
4
ед =—г—• (37>
101

Отсюда
Следовательно
Вместо таблицы значений функции А^л;) Гаусс дает таблицу
значений этой величины ? для значений х от 0.000 до 0.300.
Табулирование ? вместо X имеет то преимущество, что при
обычной точности и обычной величине интервала,
интерполирование величины \ производится" при помощи одних только
разностей первого порядка, тогда как при интерполировании X нужно
учитывать и разности второго порядка.
Подставляя выражение (37) в уравнения (36), получим
•п3 -«2
и ч —
4
1Гт
l~f (х-©
10
і-*+5
10
5 +/+5- ш
5
Разделим числитель и знаменатель последней дроби на -г- +1+
+ 5 и положим
А =
m
зто даст
+ 4-5
10
7]3 —7]2
9
h
или
^-Ч'-ЛЧ-Т*"0' (38)'
Итак, после введения вместо х\х) функции ?, уравнения (36)
заменяются окончательно такими
А -
ч'-
о? =
5
б
-Ч«.
т
+/+s
— Ллг) —
— * ¦ ¦
1
9
= 0
(39)
Кроме уже упомянутой таблицы значений і'(х), Гаусс дает еще
таблицу значений lg tf по аргументу А, чем облегчается решение
уравнения (38) относительно ц, При наличии этих двух таблиц х)
) Таблицы Гаусса полностью воспроизведены, кроме сборника Баушингера,
в курсах Оппольцера, Уотсона и Клинкерфюса (издание 1912 года,-дополненное Бух-
гольцом). В сокращенном виде (с шестью знаками) их можно найти в курсе
А. и. Орлова. (См. указатель литературы, помещенный в конце этого тома).
102 .^

решение системы (39) выполняется путем последовательных
приближений совершенно так же, как и решение^системы (36). Для
первого приближения можно взять 5 = 0.
§ 35. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ СЕКТОРА И ТРЕУГОЛЬНИКА.
СПОСОБ ГАНЗЕНА И СПОСОБ ТИТЬЕНА.
Так как вычислять отношение площади сектора к площади
соответствующего треугольника приходится весьма часто, то было
потрачено не мало усилий на возможное упрощение, определения
этой величины.
Недостатком изложенного в предыдущем параграфе способа
Гаусса является, прежде всего, то, что он требует довольно
обширных вспомогательных таблиц. Ганзен (P. A. Hansen, 1795—1874)
показал, каким образом уравнение (38) может быть весьма просто
разрешено без помощи таблиц: этим была устранена необходимость
в таблице Гаусса, дающей lg т]2 по аргументу А.
Положим
7)=1+S,
тогда уравнение (38) заменится таким
s (i+s)*-(f+s)h = Ot
или
10 , _ S (1 + 5)а
Пользуясь тождеством
(l+,)«-(l + ±s)(l+ii.) + ^»f
получим
10 , /, ¦, И ¦ \ . 1 s8
•*-.(!+?.) +
9' \ 1 10 ' 100 - . 9
1+То5
или,.
Вследствие малости s последний член этого уравнения весьма
мал, поэтому Ганзен его отбрасывает и получает следующее
приближенное уравнение
и-. f, . и Л п ь (41)
Полагая
напишем это
для
10 \
краткости
равенство так:
и
Ь
10
іі
~~ 9
1 +
А,
ь
іі
10
S
103

или
ю 6
1 +
i+S*
или
И
s =
ю 1 +
1+
1+-S-
и т. д. Таким образом искомое отношение получаем в виде
следующей непрерывной дроби, найденной Ганзеном:
7] = !+•¦
иі+-1ь
+ь
1 + Ь
(42)
l + b
Решение уравнения (41) обычным способом дает
3-~i-+Vi+T* C«)
откуда
Чтобы привести формулу (43) к виду, удобному для
логарифмического вычисления, Титьен положил
tg26 = 2]/^ft,
что дает
или
11 __ 1.11 __ sin2 ф
s — 0 ~г л
10 2 ' 2 cos 2 Ф cos 2Ф '
-SV4***
Таково приближенное значение 5, удовлетворяющее уравнению
(41). Точное значение s, определяемое уравнением (40), Титьен
представляет в форме
s = aVh~tg ф,
где а—некоторая функция. А, значения которой весьма мало
отличаются от 1^100/99 ,
Сопоставим теперь полученные формулы в том порядке,- в
каком они употребляются при вычислении.
104

Способ Ганзена. Первый случай; определяются все
элементы орбиты. В этом случае мы можем считать за
исходные данные радиусы-векторы ги гъ угол между ними 2/ и-
соответствующий промежуток времени t2—tv
Прежде всего вычисляем
9 (2 Wi cos Л3
(44)
1 = 4-(2 ^Afcos / ~] )• (45>
Ц-&=* 0.000 361 6705 \<g~- Ь? = 6.5583131
Затем
9 s 9 ~.~^~»«»_10.
U
9
11
lgJi=0 087 1502
9 т
Ь = -? , (46)
1 і 10
^-ТТі <47>
-|- = 0.833 3333 іу = 0.909 0909
lg -|- = 9.920 8188_10 lg —¦ = 9.958 6073_10
і
Непрерывная дробь одинаково удобно, вычисляется при
помощи арифмометра и -при помощи логарифмов сложения.
Второй случай: ищется только отношение tq. Здесь
за исходные данные мы будем считать координаты (xl9^yl9 zx),
(х2> .Уа» ^а)» соответствующие моментам tx и t%.
Так как
^ r^a cos 2/= A:1xa+j/1ya +2^2,
и следовательно
2/уя cos2/= Va + ххх2 +УіУг + ЧЧ>
то полагая
*2 = Va + ххх% + уху% + zxz2 (48)
легко приведем выражение для Ь, даваемое формулами (44), (45),
(46), к такому виду:
b = , « *' (49)
-^1=0.942 80905 lg %? = 9.974 4237_10.
105

Итак, вычислив радиусы-векторы rv г2 по формулам (48) и (49),
сразу находим Ь, после чего остается только вычислить
непрерывную дробь (47). ¦
Указанные приближенные формулы позволяют находить у
с весьма значительной точностью, в большинстве встречающихся
случаев совершенно достаточной. По определению Оппольцера
погрешность значения ч» даваемого формулами (46) и (47), не
превосходит
единицы 5-го знака для 2/<39.°7
6-го „ . 2/<27.0
7-го „ „ 2/<18.4.
В тех случаях, когда погрешностью формул Ганзена
пренебречь нельзя, можно вычислить второе приближение, взяв
и
-§- + * + ? l + ^ft —*) .
причем
. — JL х2 4- -^- х* 4-
находится по аргументу
т j
при помощи приводимой' ниже таблички, дающей функцию с,
определяемую равенством
Способ Титьена. Вычисляем т, I и h либо по формулам (если
угол 2/ известен):
(2 W* cos ff ' 2- \ 2 у772 cos f
(2 У г St cos /Г
m
f+>
A2 = 0.000 295 9122 lg k* = 6.471 1629_10
4=0.8333333 lg ± = 9.920 8188-ю
либо по формулам (если угол 2/ неизвестен):
*2 = Va + Х\Х2 Л-УхУг + ztza
-== =0.000 10462076
fe i^f = 6.0196179_ю ¦
У~2= 1.4142136
106

Затем определяем угол ф:
tg 2ф = г]/1-1^ = [0.344 6051] Vh
и наконец
4=l + alAtg<Js
Iga берется из приводимой ниже таблицы.
С найденным значением г\ вычисляем
Ь = сх2 (Igc из таблицы),
после чего с новым значением^
7і= —
т
+ 1+і
повторяем вычисление ф и ц.
X
Igc
h
Iga
0.00
.01
.02
.03
.04
0.05
.06
.07
.08
.09
0.10
.11
.12
.13
.14
0.15
.16
.17
.18
. .19
0.20
.21
.22,
.23
.24
0.25
0.057 143
.057 478
,057 815
.058155
.058 501
0.058 849
.059 202
.059 559
.059 921
.060 289
0.060 664
.061041
.061 424
.061813
.062 207
0.062 607
.063 012
.063 422
.063 840
.064 263
0.064 692
.065 127
.065 569
.066 018
.066 474
О.Обв 936
335
33'7
340
346
348
353
357
362
368
375
377
383
389
394
400
405
410
418
42S
429
435
442
449
456
462
8.756 96
8,759 50
8.762 04
8,764 59
8.767 16
8.769 74
8.772 34
8.774 95
8.777 58
8.780 24
8.782 92
8.785 62
8.788 34
8.79108
8.793 84
8.796 62
8.799 42
8.802 24
8.805 09
8.807 96
8.81085
8.813 76
8.81670
8.819 66
8.822 65
8.825 66
254
254
255
257
258
260
261
263
266
268
-270
272
274
276
278
280
282
285
287
289
291
294
296
299
301
0.00
.01
•02
.03
.04
0 05
.06
.07
.08
.09
0.10
.11
.12
.13
.14
0.15
.16
.17
.18
.19
0,20
.21
.22
.23
.24
0.25
0.602 1824
.002 1819
.002 1805
.002 1783
.002 1755
0.0021721
.002 1683
.002 1641
.002 1596
.002 1548
0.002 1497
.002 1444
.002 1390
.0021335
.002 1278
0.002 1220
.002 1161
.002 1102
.0021042
.002 0981
0.002 0921
¦002 086L
.002 0800
.002 0739
,002 0678
0.002 0617
5
14
22
28
34
38
42
45
48
51
53
64
55
57
58
59
59
60
61
60
60
61
61
61
61
107

В тех случаях, когда интервал времени t% — tx таков, что
заранее можно быть уверенным в достаточной точности первого
приближения, можно обойтись без вычисления т и /, а ограничиться
вычислением h по формуле (48) и следующей
Л= —
Щі2 - У*
о
2У2
= 0.942 80905
lg
21^2
9.9744237
-10.
Пример. Дано
-^ — ^ = 100^
/*!... 0.221605
2/=44°25'4В",
/•»... 0.209 905.
Применим способ Ганзена. Так как здесь несомненно нужны два приближения,
то вычисляем по формуле (44) величину т сначала без множителя —.
Wi-'i)
/=
Vv*
cos/
2Yr^cosf
{2~V rxrt cos f)*
m
1
9 m
l+<
b
Вычисление н
2.000 000
0.235 58l4
22°12'54''
0.215 755
9.966 504
0.483 289
0.471163
1.449 867
9.021 296
9.108446.
9.941 249
9,167 197
епрерывной др
P-
1+
Add
Wr-f%cos/
2/
/
Add.
j>
6
e+'
r.221 605
0.295 219
0.209 905
0.516 824
0.483 289
0.033 535
8.904 588
8.603 558
0.020 430
9.920 819
9.941 249
1 +
эквивалентное решению уравнения
P =
i+p
методом итерации, выполняется при помощи- логарифмов сложения (дающих
В — Jg(l + х) по аргументу A=^\gx) следующим образом:
lg&—9.167197 — —. __
Ь = lg (1 -Ь Р> = 0.059 548 0.052 359 0.053 182 0 053 087
Л = lg Р = 9.107 649 9.114 838 9.114 015 9.114 110
0.053 097 (6)
9.114100 (1)
108

Так как это только первое приближение, то можно было бы и не продолжать
вычисление до получения совершенно точного значения Igp= 9.114101, а
остановиться на одном из предыдущих значений и с ним найти по формуле'(50) более
точное значение Ь. Формулу (50) напишем так
11
— т
(b) = —z , -д & = -о.оп—И ~~1)S
± + l+Z 1 + 0.9(^—1)
6
Ь = (Ь) + Д*
§ 9.114101 да* 7.2840 4=0.833 3333
10
11
6
9.958 607 с 8.7682 / = 0.010 1382
т] — 1 9.072 708 ' ? 6.0522 6 = 0.000 1128
знам. = 0.873 584
v] 0.048 529 - 0-9(7і — П 9.027
Ц ш 9.108 446
м 9.021296 ft — I)9 7.218 знам. 9.941 302
V " 0.097058 i + o.9(kj—1) 0.044 . (Ь) '9.167144
mif2 8.924 238 7.174 Add. 9.999 951
Add. 0.038 450 0.011 8.041 Д5 5.215n
— / 8.603 558n
x 8-642 008 h>b 5.215n b 9.167 095
x — 0.04 385
С новым значением b вычисляем непрерывную дробь, причем за первое
приближение величины lg(l + P) можно взять ранее полученное значение (с некоторым
округлением):
\g b = 9.167 095
J3 = lg(l + р) = 0.053 095
A = lgp = 9.114000
0-053 085 (86)
9.U4010 (09)
Остается вычислить окончательное значение ц:
р 9.114 009
к| —1 9.072 616
Ч 0.048 520
Точная величина 0.0485191. Таким образом даже в этом, исключительно небла •
гоприятн'ом случае (tz~ tt= ЮО дней, 2f=44°) приближенная формула Ганзена дала
lg-iQ с, ошибкой, не превосходящей единицы пятого знака.
§ 36. СПОСОБ ЭНКЕ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОТНОШЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ СЕКТОРА
И ТРЕУГОЛЬНИКА.
Энке (J. F. Encke, 1791 — 1865) дал способ для нахождения
отношения т], очень удобный для логарифмического вычисления и
очень быстро приводящий к цели во всех обычно встречающихся
случаях.
Искомая величина т\ определяется как функция двух величин
т к I уравнениями (36), которые дают
где
т^ ш
109

Пользуясь разложением функции Х(х) в степенной ряд,
найденном в § 34, это уравнение напишем так:
^>+#[4+й(7~<)+-Ш-(7-')'+--і да>
Вместо величин т и I введем две другие *[-ио, полагая
'і + '« ^ sec т - №~~ца. = о
так что
/ = 4-(sect— 1) == sin2 -7Г TfsecY
2
(Л + ^г)8 V 2"^^ cos/^
m = , ; у? (—??*—\ = k2a secs ъ
'" ' - у? \ 2 W,r. cos f f
Подставив эти значения / и т в равенство (51), получим
следующее уравнение для определения г\:
i2asec3Y Г 4 i 4 • 6 / fc2asec3Y v
л . 7с2а sec3 т Г 4 , 4 • 6 /
Ч = И- -> т + ТТТ-і
ч"
— sin2-y-7sec-r) + - • • ]¦
(52)
Это уравнение показывает, что г\ может быть разложено по
степеням о в ряд вида
*l = l + <hP+ в&*+ . - - »
причем коэффициенты этого ряда являются функциями ? ( или,
і \
что все равно, функциями sin2 — -м. •
Имея в виду удобство логарифмического вычисления, Энке
определяет коэффициенты не этого ряда, а такого
In Y) == аа + bo2 + со3 + . . * ,
дающего натуральный логарифм искомой величины.
Из последнего равенства следует
+ т?т(ао + йо2+ • • • )2+ - ¦ ¦.
—4
7) =
Подставляя эти разложения в уравнения (52) и приравнийая
коэффициенты, стоящие справа и слева у одинаковых степеней о,
определим последовательно а, Ь, с, . . .
но

Окончательно получим
1пЧ = 4-*8з+ -f~ (sin2 Т Т ~ "f b*°)k*° +
i 73S /„• 4 1 89 . , 1
¦ +-mrk*°2)k*°+ • • • •
Умножив обе части на модуль ЛГ = 0.434 2945 для перехода ог
натуральных логарифмов к десятичным, будем иметь такую фор-'
мулу , "
lg 7і «а'о -f
+ а,"е — Ь"'02 + с"'а*+ . . . ,
где одним штрихом отмечены коэффициенты 2-го порядка, двумя —
4-го порядка, тремя — 6-го порядка и т. д., причем порядок
считается относительно малых величин sin-у у и k.
Сопоставление формул для вычисления по способу Энке* Если
даны радиусы-векторы4 и угол между ними 2/, то вычисляем по
формулам
cosT =-т^ cos/, r=lg—— -lg. 1-co ,
1 ' ** 2 sin* — i '
причем величина Г находится непосредственно по таблицам
логарифмов вычитания по аргументу lgcos-f (таблицы логарифмов
вычитания Бремикера дают В ~ lg- _% по аргументу C = \gx):
Если даны прямоугольные координаты (xlt ylt zt)} (х2, yt> z^9
то вычисляем сначала радиусы-векторы, затем
х2 = ггг? + хгХъ + угу2 + zxz%
и наконец __
cosT=-$b lg2= 0.150515,
после чего Г определяется так же, как и в предыдущем случае.
Найдя Г, вычисляем
после чего \
lg ч = а'с.+ (а"о — ^V), (53)
где, в единицах шестого десятичного знака,
lg a' = 2.233 8859
lga" = 2.614097 — Г
lg&" = 9.034108_10
Ш

Опыт показывает, что для малых планет при промежутках
времени между наблюдениями не больше 30 дней и шестизначном
вычислении достаточно взять
так что вычисление cos-y» а следовательно и угла 2/, становится
излишним. При том же числе знаков формула (53) дает достаточную
точность для промежутков времени до 60 дней. При
больших,промежутках времени формулу (53) следует дополнить членами 6-го
порядка
+ а'"о —ft"V-|-c"'a8,
где коэффициенты, также выраженные в шестом десятичном знаке,
имеют следующие логарифмы
Iga'" = 2.82970 — 2Г
lg6'" = 9.71243_10 — Г
lg<r'" = 6.00642 _10
% 37. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ СЕКТОРА И ТРЕУГОЛЬНИКА
ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ОРБИТ.
В § 34, при> выводе уравнений, определяющих рассматриваемое
отношение % мы исходили из формул эллиптического движения.
Но уравнения гиперболического движения совершенно
тождественны с формулами движения эллиптического — разница
заключается только в том, что для гиперболического движения а<0,
«>1 и, сообразно с этим, эксцентрическая аномалия имеет мнимое
значение (см. § 15). Отсюда следует, что все формулы § 34
целиком применимы и к гиперболическому движению:
отличие будет только в том, что в этом последнем случае величина
х = sin2 ±-g = sin2 -- (Е% — Ег)
будет отрицательна.
По этой причине таблицы функций Х(х) и і(х\ указанные
в § 34, дают значения этих функций и для отрицательного
аргумента.
Чтобы получить формулы, дающие г\ для параболической
орбиты, заставим а стремиться к' бесконечности. При этом, как
показывает уравнение Кеплера, эксцентрическая аномалия будет
стремиться к нулю. -Поэтому при а —оо будем иметь я = 0. Отсюда
следует, что для параболической орбиты уравнения (36)
обращаются в такие * '
-J-'-O, vf-r?=j-ms (54)
ибо Х(0).= —, как это видно из разложения этой функции в
степенной ряд.
112

Поэтому
или, пользуясь выражением (30),
т —- ri + rz | 1
Обозначим через 5 хорду, соединяющую концы
рассматриваемых радиусов-векторов, тогда
52 = гхг + г? — 2ггг2 cos 2/\
Написав это равенство следующим образом:
52 = (/\ + г2)2 — 4ГіГа cos2/, (56)
или
/ з )2 _ і _ /2/y,cos/\»
\rx + rj { гг + г2 ) .
и полагая, как и в предыдущем параграфе,
Г1 + ^2
secf = —Л—¦¦¦—'
2yrlr2cosf
окончательно получим для вычисления -q, вместо формулы (55),
такие выражения
sinT->-^7-, 4«-§-(l + 2seeT). -(57)
Как было показано в § 31, определение элементов
параболической орбиты производится без предварительного нахождения ч\.
Поэтому вычислять это отношениедля параболы приходится
сравнительно редко.
Если исключить из уравнений (54) r\f то получим некоторую
зависимость между r3, r?, cos/ и z — k(t2 — tx) [см. выражения (29)
и (30) для т и /]. При помощи равенства (56), позволяющего
выразить cos/ через 5, окончательно будем иметь зависимость между
rv r2, s и т. Как будет показано в дальнейшем (см. § 40), этой
зависимости может быть придана следующая форма
(/-1 + Г% + S)" -('1 + r2-S)* =6т,
-или
(1 + sin т)2 — (1 — sin у)2 = г
('і + 'а)*
Отсюда ясно что т, а следовательно, на основании (57), и ч\
суть функции величины
_ (2т)«
Поэтому могут быть построены таблицы, дающие ч\ по
аргументу \у. таким образом для определения *і нет надобности
вычислять cos/ или s.
8 Курс исбесдод механики, т. I. **¦*

В сборнике „Формулы и таблицы" таблица XXIV дает Ig-ij
с семью знаками по аргументу ^ от \і = 0.000 до у. = 0.200. В
других из упомянутых ранее_сборниках можно найти таблицы,
дающие Igiq по аргументу_У^ (в наших обозначениях). Однако
употребление аргумента J/V менее выгодно, ибо влечет увеличение
вторых разностей табличных значений.
Примечание. Полезно отметить, что род конического
сечения определяется еще до того, как по формулам (12)
будет вычислен эксцентриситет: уже при вычислении
отношения т], нужного для определения параметра орбиты, знак
величины х решает вопрос. Мы имеем:
• эллипс, если х>0,
параболу, если х=0,_
гиперболу, если х<0.
§ 38. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ФОКАЛЬНОГО СЕКТОРА КОНИЧЕСКОГО
СЕЧЕНИЯ.
В предыдущих параграфах мы подробно рассмотрели
вычисление отношения площади фокального сектора конического сечения
к площади треугольника, заключенного между теми же радиусами^-
векторами. При определении этого отношения — величины чисто
геометрической — мы для площади сектора взяли выражение
4-^&-ч),
даваемое интегралом площадей, и таким образом избежали
выражения площади сектора через геометрические данные задачи. Но
вывод геометрического выражения для фокального сектора
конического сечения все же представляет для нас интерес, ибо это
выражение,,в связи с законом площадей, дает нам теорему Эйлера-
Ламберта, которой приходится пользоваться при определении
орбит.
Обозначим, как и раньше, через гг и г2 радиусы-векторы,
ограничивающие сектор, через щ и v% — соответствующие истинные
аномалии. Удвоенная площадь всякого сектора выражается в
полярных координатах формулой
Остается вычислить этот интеграл для конического сечения.
Для выполнения интегрирования удобнее всего выразить г и <о
-через эксцентрическую аномалию, для чего служат, как известно,
формулы (II, 25 и'26):
г = а(1—ecosE),
1 — е cos E
Ш

Итак
/»
(гл)=а»1Л —<* / (1 - е cos Е) dE,
к
где через Ег и Е2 обозначены значения эксцентрической аномалии,
соответствующие границам сектора. Следовательно
(гхг2) ~а*УТ^7* [E2—E1—e(sinE2~sinE1)] =
= az\fT^?\E2-E1 — 2esm Et^E^cos-E* + El\.
Полагая опять, как и в § 34,
Е2 —.?, = 2g,
ecosE*+El «cos А, (0<А<180°),
получим
(Гіг2) = 2а2 ]Л — е2 (# — sing-cos A). (58)
Эта формула решает вопрос о вычислении площади
фокального сектора, но она представляет то неудобство, что выражает
эту площадь через значения вспомогательной переменной —
эксцентрической аномалии. Для исключения этой последней (или, что
все равно, углов g и It) воспользуемся прежде всего
соотношениями
гг =а(1 — еcosЕх), r2~a(l — ecosE2)y
которые дают
гг -f г2 = 2а — 2а cos g cos h. (59)
Хорду s, соединяющую концы радиусов-векторов гх и г2, можно
выразить через те же углы g и h. В самом деле, прежде всего
имеем
S2 = Г J2 + Га2 — 2ГХГ2 COS {V2 — Vj,
или
S2 = (Гі + r2)2 - 4/уа cos2/, (60)
где
Формулы (II, 32) дают
V~f[ sin -- ^ =Уа(1+^) sin -g-fj
У7і sin -j- % = 1/"а(1 + е) sin -g- ?2,
]//^cos ~-^ = і/а(1— в) cos — ??
* l/^cos-і-фя = Va{\—e) cos-у ?"2,
8* 115

откуда
VT^cosf^ail—ejcos — ^cos -2-^2 +
+ a(l + e) sin ± fjSin ~- Et=acos -i- (E2 — E,) — aecos±- (Et + E&
Итак
l/T^cos/^ a(cosg-—cos A). (61)
Подставляя выражения (59) и (61) в формулу (60), после
некоторых упрощений получим
$= 2а sin g sin А, (62)
Теперь нам остается только, воспользовавшись формулами (59)
и (62), исключить углы g и А из найденного ранее выражения
площади сектора. -
Равенства (59) и (62) дают
rx + r2 + s = 2a[l- cos С? + А)]
гх + гя — s = 2а [1 — cos (§¦—А)]
Полагая
А + ?=е, А—? = 8,
следовательно
A===-L(e + 8), ?=~(г~^),
можно последние равенства написать так:
Введем теперь углы еи8 в формулу (58); окончательно
получим для удвоенной площади сектора такое выражение
(ггг2) = a2 Vl — e2 [в — sin е — (8 — sin 8)], (64)
причем е и 8 определяются равенствами (63).
Формула (64) одинаково применима как для эллипса, так и
для гиперболы. Разница будет заключаться только в том, что для
гиперболы а<0, е>1'и углы е и о будут мнимые. Чтобы
избежать употребления мнимых величин, можно было бы ввести новые
переменные, полагая e = Ult 8=$2, но мы не будем на этом
останавливаться.
Рассмотрим подробнее вычисление площади эллиптического
сектора по формуле (64). Самый вывод этой формулы показывает,
что она обладает полной общностью и потому одинаково
применима к секторам всех возможных видов (см? черт. 12). Нужно
только в каждом случае суметь выбрать надлежащим образом
углы е и 5, неоднозначно определяемые формулами (63).
116

Ограничимся случаем, когда угол растворения сектора 2/eja- ^
меньше 2тс. В таком случае очевидно будем иметь
2?=Е% — Ег<2к
и потому
0<#<1Г.
С другой стороны, поскольку угол h мы определили только
одним условием
Черт. 12.
Для определения знака sin ~ обратимся к формуле (61), которую
можно написать так:
|//V^cos/ = 2а sin -^- sin -у.
117

Это соотношение показывает, что *
«к
о
"2
sin 4~ > 0, если 0 < 2/< «,
sin — < 0, если тс< 2/< 2тг.
Для окончательного определения квадрантов, в которых должны
находиться* углы-тг* и -g-8, остается найти знаки cos-^-e и cos у 8.
Для предельного случая бесконечно узкого" сектора, когда,
2g = E2 — E1 = 0f имеем е = 8 = /г, следовательно
е Б іс
~2~ ~"2"< !"'
а потому
cos — > О, cos у > 0.
Когда cos -— обратится в нуль? В этом случае должно быть
ein*:J-«l,
следовательно
rt + r2 + s = 4a,
т. е.
s = (2a — r1) + (2a — r%).
Таким образом cos -^ обращается в нуль тогда, когда хорда
Р3Р2 проходит через второй фокус F (черт. 12Ь).
Легко видеть, что всегда
cos — >0,
ибо обращекгае этой величины в нуль повлекло бы за собой
невозможное равенство
Г! + га —5 = 4а. ¦
Введем теперь углы е0, 30 однозначно определяемые
равенствами
*Ь/^, «inj-l/^ (65)
и условиями
0<е0<те, 0<80<іг.
В таком случае произведенное исследование позволяет
формулировать следующие выводы:
1) если сегмент рассматриваемого сектора не заключает ни
одного фокуса (черт. 12а), то
е = е0> 8 = 80,
следовательно
(,у*2) - а* УТ=?[Ч — sin е0 — (80 — sin 80)]; (66')
118

2) если сегмент заключает второй фокус F', но не содержит
первого фокуса F, служащего вершиной сектора (черт. 12с), то
, . sin-4- >0, cos ~ < О
sin -s- > 0, cos 4- > О,
следовательно
1 1 1 * 1 *
_е=7С__е0, тЬтов,
а потому
(ГЛ) = л2 Vl—e2 [2іс - е0 + sin е0 — (80 — sin 80)]; (66")
3) если сегмент заключает только фокус F, находящийся в
вершине сектора (черт. 12d), то
sin 4" > 0, cos 4-> О,
2 ^ v, „^ 2
2-<0, COST
sin -н- < 0,. cos 4* > О,
и сообразно с этим
е==?0, 8 = — 80.
Следовательно в этом случае
(ГЛ) = *я 1Л - е2 К- sin s0 + (So - sin S0)]; . (66'")
4) наконец, если сегмент заключает оба фокуса (черт. 12е), то
а потому
sin -y > 0, cos -|- < О,
'sin — < 0, cos ~ > О,
і 1 1 й і ,
Следовательно
(Гіг2) = а? 1/Г^2-[2тс—е0 + sins0 + (S0 — sin S0)]. (66")
Формулы (65) и (66).дают исчерпывающее решение задачи о
вычислении площади фокального эллиптического сектора.
§ 39. ПРОДОЛЖЕНИЕ. ПЛОЩАДЬ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО СЕКТОРА.
В Астрономии приходится встречаться только с такими
эллиптическими секторами, у которых сегмент, не заключает „пустого"
фокуса, а может заключать лишь тот фокус, в котором находится
Солнце и который является вершиной сектора. Таким образом мы
будем иметь дело исключительно со случаями 1 и 3 из числа
перечисленных в конце предыдущего параграфа.
1 19

Соответствующие формулы (660 и (66"') можно объединить
в одну:
(гЛ) = Ф У\~^\Ч - sin е0 =F (80 — sin 80)], (67)
причём верхний знак берется в том случае, когда -угол
растворения сектора % — vx меньше 180°, а нижний, когда этот угол
больше 180°.
Положив для краткости
т
=ущ
г±$_
следовательно
sin -~- = т%
будем иметь
¦і і
-j- е0 = arcsin т = т+-у-~т* + -^ -~~ т* + ~ ^~ГЬ т1 + ¦-•"
1 ' . ...1.1 о , 1 1 • 3 с . 1 1 • 3 • 5
Tsine0=: mVl
следовательно
т2 = т — nv
і • і
2 • 4
т
5
118
2-4-6
Ш{
Подставляя это разложение и аналогичное разложение для
80 — sino0 в формулу (67), получим
(V.) =^т
2 2
2 ~г- у , . < 2
+ _LJ_
(Гх + r2 + s) 'q= (rx + r2 - 5)
ih + r2 + s)2 T (rt + r2 - s)
+
3 1
+
1792 a2
5 1
(Л + /-2 + s)2 =F (r2 + rt — s)
+
+
-Г-
18432 a3
(fi + r. + s)'ТСГі + г,-*)
+ ...
(68)
Эта формула одинаково справедлива и для эллиптических и
для гиперболических секторов, как в этом нетрудно убедиться
при помощи исследования, аналогичного проведенному в
предыдущем параграфе для случая эллипса.
Полагая а = со, получим следующую формулу для удвоенной \
площади параболического сектора:
(v,) = \Vp
2 21
2 -.-/„, . _•* 2
(>і + г, + д)2:р(гі + г,-*)
(69)
120

§ 40. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА-ЛАМБЕРТА.
Равенство
гЧо = k YT(l—&) dt,
даваемое интегралом площадей (II, 22), проинтегрируем в пределах
от t = tx до t = t2. Это даст
('Л) = * /в (1-е*),
где
т = ?(г2 — ^),
так как слева получится удвоенная площадь сектора, описанного
радиусом-вектором светила за указанный промежуток времени.
Подставив в полученное равенство выражение (67), будем
иметь теорему Ламберта (J. Lambert, 1728—-1777):
та 2 = в — sin е Т (8 — sin 3), (70)
причем
«"¦T-y^SS, «о4-/5±3=1. (7!)
(0<-і-<90°, 0<«-'<90°).
Эта теорема показывает, что время, в течение которого
светило переходит из одного положения в другое, зависит только от
суммы радиусов-векторов этих положений, от хорды, их
соединяющей, и от большой полуоси орбиты.
Если движение совершается по параболе, то формула (69)
дает теорему Эйлера1) (L. Euler, 1707 — 1783):
A А
6т= {rx+r, + s)2 =F (гг+г2 — s)\
¦ Полезно напомнить, что верхний знак надо брать тогда, когда
дуга v2— vu проходимая светилом, < 180°, а нижний, когда эта дуга
> 180°.
Эйлер опубликовал эту теорему в 1743 г. Обобщающая ее
теорема Ламберта была найдена в 1763 г.
Если воспользоваться формулой (68), то получим выражение
этих теорем одинаково удобно применимое к эллиптическим,
параболическим и гиперболическим орбитам, а именно:
А А
6т-(г1 + г2 + 5)2 Т (Л + ^-s)2+
¦А А
(г1 + г2 + з)2Т(гг + г2-з)2
~ 40 а
+
890 а*
2_ 2.
(Гг + Ь + s)* Т(Гг + г2-8)2
+
+ ...
а) Геометрическая формулировка теоремы Эйлера была известна Ньютону, что
было отмечено еще Лагранжем, но затем забыто. Вновь обратил на это внимание
А. Н. Крылов, показавший, что лемма X из III книги Ргіпсіріа — эквивалентна
теореме Эйлера.
Ш

Еще одна форма теоремы Эйлера-Ламберта, полезная при
вычислении орбит, получается, если ввести функцию
1/(2) в Yl fr-dnfr. (72)
к } 4ft sin3? V*)
z — sin2g,
которой мы уже пользовались в § 22.
Делая
2
из равенств (71) получим
е о /
4а ' . 4а
Причем формула (72) даст
з
_ «/ Л + Г. + 5 ^ 2
8 —Sill в = ~г ЛГГ'*~Г* V(Z\
Подставив эти выражения в равенство (70)э окончательно
получим
V»(t% - О =(rx + r2 + s)2 V (z) =F (гх + r3 - s) 2 f (г') [ (73)
-_{i+?z±f „/_ Л + Га —g ¦ - I
Z~~~ 4a ' Z ~ 4a J
Таблица VI дает lgV(z) для интервала
— 0.20 *sz =?"4-0.20.
Положительные значения z соответствуют эллиптической
орбите, отрицательные — гиперболической.
§ 41. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА.
Формула Эйлера
Л Л
бт-Сгз+г. + г)" Т (rx + r2-s)\ (74)-
выражающая промежуток времени 4~^і через сумму радиусов-
векторов и хорду, играет весьма важную роль при вычислении
параболических орбит комет, ибо именно этим уравнением
выражается условие, что искомая орбита есть парабола.
При вычислении первоначальной орбиты гелиоцентрическое
движение не превосходит 180°, так что в равенстве (74) надо брать
верхний знак. Так как, с другой стороны, в этом случае хорда s
обычно мала, то правая часть равенства (74) вычисляется как
разность двух мало отличающихся по величине чисел, с большой по-
122

терей точности. Покажем, каким образом, путем надлежащего
преобразования формулы (74), этот недостаток может быть устранен
Ограничиваясь случаем, когда гелиоцентрическое движение
кометы меньше 180°, напишем уравнение (74) так:
в.-(,1+,.)41(.+7^)4-(>„іД
или
^ 4 • 6 • 8 • 1(Л /і -г /» / " ' J *
Возводя обе части в квадрат и полагая
получим
(2x)2 = 52(r1 + r8)(l—Lc__|_c2
Представим это уравнение в таком виде:
?0(2т)2= з*(гг+г2), (76)
где
, 95 6 1363 в .
"*" 41472 С "*" ,74сі496 С + • ¦ •"
Конечное выражение этой величины таково:
? =(——l?L ч2
\(і+і/02-(і-У7)
В форме (76) уравнение Эйлера свободно от вышеуказанного
недостатка.
Таблица X дает шестизначные значения \g% по аргументу с
от с = 0.00 до с = 0.50.
Дополнения к главе IV.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА ОТНОСИТЕЛЬНО ХОРДЫ.
Ограничиваясь случаем, когда гелиоцентрическое движение
кометы не превосходит 180°, возьмем уравнение Эйлера в
форме (75):
123

где (как и в § 37) положено
5
г (гі + г,)»-
Обращение ряда (77) дает
т?гл-У?+ i(vT)"+4г(УУ) +
откуда
У^+'а V ' 24 384 У
Полагая
получим окончательно
5 = - ^j- = С VRh + г2). (78)
Энке вычислил таблицу, дающую lgC по аргументу W- Эта
таблица эквивалентна вышеуказанной таблице X, ибо, как легко видеть,
сравнив (78) и (76J, _
Таблицу Энке можно найти почти во всех сборниках таблиц
для вычисления орбит. Употребление аргумента ц., вместо
общепринятого Уу.9 способствовало бы некоторому сокращению таблицы
Энке, ибо при табулировании по аргументу \з. вторые разности
значительно меньше (при том же табличном интервале).
Уравнение Эйлера может быть весьма просто решено
относительно хорды без помощи специальной таблицы. Поло'йсим
sinT = ^TTv (0<т<90°),
и напишем уравнение (74) так:
6т а - О + sin?)2 =Fd -sin?)2 .
или
бт
(Гг + Ъ)
ибо
(Гг + гГ
cos—T + sin^-т) =р (C0S~2~T~"sin"2~T ) * ^
/ 1 1 \2
(^cos-y-'fism-y- T ) = 1 isinT-
В случае верхнего знака равенство (79) дает
я- = 6sin-r-7C0S о T + 2sm3-^-7===-
= 6sin —f —4 sin»*4-b
124

что может быть переписано следующим образом:
22(гх + гг)2
/ . 1 \ / 1 чЗ
'5тл1
= 3-^1-4
Поэтому, принимая во внимание формулу для синуса тройного
угла
siti3e = 3sin& — 4sin3e,.
положим
sin ? =^_ sin \ т.
Так как по условию 0<у< 90°, то мы можем угол В выбрать
всегда в интервале
0< ?<30°
Тогда
— §- — sin З?,
Vtfa + rjT ¦
причем, определяя отсюда- угол З?, мы должны взять
О < З? < 90°.
Если гелиоцентрическое движение кометы превышает 180е, то
беря в уравнении (79) нижний знак, будем иметь
6т
4-" " 1 V2
Полагая
. л 1 1
sin ? = -т=. cos -т,
мы и в этом случае получим
_ -- sln з?,
но угол З? нужно уже будет брать во второй четверти, ибо
^<8іп?<г^, 30°<?<45°,
следовательно
90°<З?< 135°.
го -
Итак, для решения уравнения Эйлера относительно хорды прежде
всего вычисляем угол ? по формуле
125

причем если З? < 45°, то можно утверждать, что гелиоцентрическое
движение меньше 180°, В этом случае хорда s определяется
однозначно по формулам
sin o"Tf = ]/2"sin ?0, s = (rx+r2) sin 7.
Если sin 34 > l/yT, то для угла З? надо ..взять два значения:
одно З?0 в ' первом квадранте, другое, равное 180° — ЗЬ$ во
втором квадранте. Первое значение даст хорду, соответствующую
предположению, что гелиоцентрическое движение меньше 180°,—
sin j f = /rsin ?0 , s = (rx + ra) sin 7.
Второе значение даст хорду, соответствующую предположению,
4TQ дуга, описанная кометой, больше 180°,—
cos у y = yTsin (60° — в0), $ = [гг + r2) sin 7.
ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ЛАМБЕРТА К ВЫЧИСЛЕНИЮ
ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ.
Как было показано в § 31, определение элементов орбиты по
двум гелиоцентрическим положениям распадается на две части:
элементы г, А, разность истинных . аномалий v2 — vt и аргумент
широты vx 4- w определяются весьма просто из чисто
геометрических соотношений; определение всех остальных-элементов было нами
поставлено в зависимость от нахождения параметра р.
Трансцендентное уравнение, определяющее р, мы, следуя Гауссу,
преобразовали, введя новую неизвестную ч\ — отношение площади сектора
к площади треугольника. Для новой неизвестной, через которую р
выражается очень просто, было получено уравнение (36)
Ч3 — г\г = тХ (гщ-2 — I).
Другой путь для определения элементов второй группы
открывает уравнение Эйлера-Ламберта, позволяющее вычислить большую
полуось орбиты а, после чего нахождение остальных элементов уже
не представляет никаких затруднений.
По данным координатам {хъуъ %), ( х2, y2l z2),
соответствующим моментам tx и іъ находим прежде всего радиусы-векторы
и хорду,
Гг^УхГ+y^+z^ г2 = Ух2* + j,a» + *,«, .
&2 = (Jfi - -*2)2 + (Vi - У*)* + (гх - г2)2.
Затем решаем уравнение Эйлера-Ламберта '
ха 2 = е — sin e =f (8 — sin S), (80)
'¦tai-ZuIgli, 2 ' si„l=/^Zi (81)
(0<{S<90°, 0<^-8<90°),
128

относительно а. При этом попутно находим углы е и 8. Но, как мы
видели на стр. 116,
так что это нам даст полуразность эксцентрических аномалий.
Почленное -сложение и вычитание равенств
гг = а (1-е cosEj), г2 = а (1 — е cos?2)
дает
е sm^(?2 + ?1) = r^cosec^(?2~?1)
е cos \ (Е2 + Ег) - (1 - 2R) sec \ (Е2 - ?і),
где
Отсюда найдем эксцентриситет ? и эксцентрические аномалии
Ех и ?2. После чего известные формулы
'tg^1 = tg(45°+b-cp)tgi-?11)
sin cp = е
Мх ~ Ег — е sin Ег
дадут истинную аномалию (нужную для определения элемента <ю) и
среднюю аномалию.
Рассмотрим теперь вопрос о решении уравнения (80)
относительно а. Трудности^ с которыми здесь приходится встречаться,
заключаются, помимо некоторой сложности уравнения, в том, что в
случае, часто встречающемся на практике, когда хорда s мала, правая
часть уравнения (80) есть разность двух мало отличающихся величин,
что влечет потерю точности; кроме того уравнение Эйлера-Ламберта
в форме (80) не дает никаких указаний относительно приближенной
величины а, с которой надо начинать пробы. Покажем, каким образом
можно избежать указанных неудобств.
Первый способ}) По формулам (81) находим ^е и ^-8. Так как
. sin2 - е — sin2 - S = ^-,
или 2 г га
sin --И2—s) sin - (в + 8>= ~ ,
то отсюда мы можем найти і(е —8) без всякой потери точно-
сти как бы мало ни было s.
х) Н. С. Piummer, On some points connected with the determination of orbits,
Monthly Notices, Vol. 66,471.
-127

Далее, так как
2 sin\ (»*-8) - (sin е-sin 5) = 2 sin j (e- S) [l - cos -i (e + 8)] =
= ^tgi(s + 8),
то уравнение (80) можно представить следующим образом
x = a25tg|-(e + 5) + 2aF[l(e — 3) —sin|-0
Или» возвращаясь к обозначениям § 38:
А = -і(е + 8), *=4(*-8),
"]¦
и полагая
g~ sing
sm* jg
ОД,
будем иметь
2 1 2 1
Для вычисления функции G можно воспользоваться формулой
Титьена
<?Ctf = vS(cos±*
12
5
где множитель 5, весьма мало отличающийся от единицы, берется
из прилагаемой таблички, дающей \gB по аргументу g.
я
0°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 .
14
15
107 • lg В
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
2
2
3
4
ff
15°
1в
17
18
19
?0
21
'22
23
24
25
26
27
28
29
30
1<Г • lg В
4
5
7
9
11
13
16
19
23
27
32
37
43
50
57
66
128

Итак, при решении уравнения (80) относительно а, значение т
соответствующее каждому пробуемому значению л, вычисляется по
следующим формулам: прежде всего по формулам (81) вычисляем
—-е и -$ 8; затем формула
sing^^cosecA , ft» -|(e + 5)
даст g*= ¦=- (е — 8); наконец
. * = а2 stg^h + jBa2 sin3yg-(cos-~?*)
- 24
Недостатком этого способа является то, что он<не дает
никаких указаний на то, с какого значения а начинать пробы.
Второй способ г). Если интервал времени t% — tt становится
бесконечно малой величиной tit, то хорда s станет элементом дуги
ds и уравнение (80) в пределе обратится, как нетрудно проверить,
в такое:
($Г-*(4~?).-
т. е. в интеграл живых сил.
Сообразно с этим придадим уравнению Эйлера-Ламберта
следующую форму
где величина ? определяется как раз из условия, что это
уравнение должно быть тождественно с (80). Подставляя сюда значение х,
даваемое равенством (80) и полагая
*-^Г' c"\r1+rJ '
получим
е-/? і ' t6R*c
А ^ (е — Sine — 8 + Sin B)a '
при этом формулы (81) напишутся так:
sm±e«]/*(l+l/c), sin ia = ]/> (1-V7).
Величина ?, являющаяся функцией R к с, находится при помощи
специальных таблиц. Для малых планет, для которых в обычно
встречающихся случаях
OA^R^O.7, О^с^ОЛ,
1) М. Ф. Субботин, Новая форма уравнения Эйлера-Ламбертз и ее
применение при вычислении орбит, Русский Астрономический Журнал, т. I (1923), стр. 1.
9 Куре небесной кеіаннки, т. I.
129

эти таблицы вычисляются при помощи разложения ? по степеням с
имеющего следующий вид (іос. сіі):
1 "*" 12(1 — R)"**" 240(1—Л)8 +-....
.Для большинства кометных орбит R очень близко к нулю (ибо
а очень велико), а с может принимать значительно большие, нежели
для планет, значения. Сообразно с этим удобнее ? разложить по
степеням R. Положим
? « е#,
где, как и в. § 41,
fl/ *VC \2 1 I 1 I 1 9 I
з_ з_ | ' 12 ' 48
2 ,. „ г—ч 2
тогда
^1+«(-7'~йв'-51го^-йй5в4--) +
+^(-тс~4с2---)+
+^(—Ic-^—••)+¦•••
В „Формулах и таблицах" даны таблицы» позволяющие легко
находить ? во всех встречающихся на практике случаях.
Познакомившись с вычислением 6, вернемся теперь к
решению уравнения Эйлера-Ламберта, представленного в форме (82),
относительно а. Это уравнение напишем так:
Я-в-ігС'і+Ч (83)
и будем решать относительно R. Для первого приближения в
правой части можно взять /?=0, ? = ?0 —если речь идет о комете, и
#.= 0.5 — если имеем дело с планетой. Новое значение R,
получившееся в левой части, используем для более точного вычисления
? и т. д. Двух-трех приближений, даже в наиболее
неблагоприятных случаях, будет достаточно для получения R, точно
удовлетворяющего уравнению (83), после чего
а 4/? • .
В 'обычно встречающихся на практике случаях определение
элементов орбиты при помощи решения уравнения
Эйлера-Ламберта не представляет преимуществ перед способом Гаусса,
основанным на употреблении отношения ?] (§ 34), тем более, что -при опре-
130

делении орбиты из наблюдений отношение ч\ все равно должно быть
вычислено. Только при определении кометных орбит с
эксцентриситетами близкими к единвде уравнение Эйлера-Ламберта
применяется довольно часто.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Получить формулы (6) при помощи проектирования замкнутой ломаной линии,
образованной радиусом-вектором г0 и координатами ж0) yQ, г0,на линию узлов и
на ось z-ов.
2. Вывести формулы (см. § 31)
- ^a-f^i 1 (Р Р\ *
е sin ' — т ~ — — cosec/
2 2
v2 + vx'. X {р , р л\ .
Этими формулами можно пользоваться вместо формул (12) для определения
эксцентриситета и истинных аномалий.
3. Для кометы, движущейся по параболе, известны г и t>, соответствующие
моменту t Показать, что время прохождения через перигелий Т может быть
вычислено по формулам
11 2 -
5іПХ==уТ5іП2""' t-T~ur*sln*xr
4. Когда при определении орбита по двум гелиоцентрическим положениям
С*і> Уи z\) и (Ч< Уг* zz) вычислены радиусы-векторы гіУ г2 и истинные' аномалии
vv v2, то определение постоянных Гаусса может быть произведено без помощи
элементов Г, Sb 9 «*' (см. §32) по формулам:
sin a sin (Л* + v%) = *і гг
¦ sin a cos (Л'.+ vx) = х2 re cosec 2 /— хх г^l cotg 2/,
sin 6 sin (В' + ^j) == ух rx
sin ? cos (B'-f- %) =ya/,a cosec 2/—j/xrx cotg 2/
••• • • • »
где
Доказать эги формулы, исходя из равенств (III, 29).
5. Доказать следующие формулы, которые могут быть .применены для той же
цели, что и формулы предыдущей задачи:
sin a cos \а' + у (vx + оа)1 = у (^ - ~) cosec-і- (», — vx\
6. Исходя нз формул (III, 28), выразить эклиптические элементы /, Sb через
постоянные Гаусса.
7. На странице 128 была указана формула Титьена
sin»y?-.
Показать, что
9 1 142 1
5 = 1 + 175Sin4T^ + 2l25Sine4^+-
9* 131

8. Вывести формулу
где
Й = 1—-Lt* xMte 40244 , __
Р . 3 175 g 5 + 7875 g ^ + 1010 625 g *"
При малых значениях g эта формула позволяет довольно удобно находить
функцию X без всяких таблиц (см. § 34).'
9. Показать что поправка, которую надо придать к правой части следующей
приближенной формулы (Plummer, Monthly Notices, Vol. 66, стр. 493):
f v,\ - 4 , 24576. 1 17496. 1
lgZ«=lg?+7000 IgsecT^" 7000 lgsec?-'
равна
_ 59 M 8
С01Гв"" 18191250^ "'*"
где М = 0-434... модуль десятичных логарифмов.
Таким образом ошибка этой приближенной формулы достигает одной единицы
седьмого знака только для ^=41°.
10. Гаусс нашел такую приближенную формулу (Werke, Bel. VII, стр. 299):
і*ад»*4+Мг+й)-:і*(і-т)
x = smzjg .
Поправка, которую надо придать к правой части для получения точной
величины, в единицах седьмого знака равна
Согг.= 0 , если 0 <?<13°27'
= -1., „ 13°27'<?<16° 9'
= - 2 , „ 16° 9'<?< 17°34'
11. Исследовать уравнение (38). Определить число корней ббльших единицы.
12. Пусть задано положение Солнца S и два положения светила Pv Я2,
соответствующие моментам іг и t2. Зная rvrt, хорду s и промежуток времени ;2— tlt мы
можем найти большую полуось. Показать, что существует ьообще говоря два кони-
, ческих сечения, имеющих данный фокус S. данную большую полуось д, и
проходящих через две заданные точки Р1у Р2, Почему при определении орбиты не может
возникнуть сомнение, какое из этих ионических сечений надо взять?
13. Показать, что уравнение Эйлера может быть представлено в такой форме
(Plummer, Monthly Notices, Vol. 66, стр. 497):
где* -
i i_
2 2
* —(/i + 'i+s) + ft + r,— s) .
Каковы преимущества этой формы для малых значений $?
14. Вывести уравнение Эйлера (которое было нами получено как предельный
случай уравнения Эйлера-Ламберта при а = со) непосредственно из формул
параболического движения.
15. доказать, что для параболического движения имеет место следующее
соотношение между двумя радиусами-векторами гх, га, углом между ними 2/ и
соответствующим промежутком времени t2 — іх:
* V*a — Ч) =
132
*ft —У = ^(гг + rt+Yr1rzcosf)V ¦r1 + ra — )/"r1ra cos/.

16. Если сегмент фокального сектора конического сечения не заключает фокуса
то отношение площади этого сектора к площади соответствующего треугольника -п
выражается формулой '
е — Ь — (sin s — Sin о)
Ч-
sin (е — о) — (sia s — sin о)'
где е и о имеют то же значение, как и в § 40.
17, Уравнение Эйлера-Ламберта (70) в том случае, когда гелиоцентрическое
движение меньше 180й, может быть представлено в таком виде:
*('•"-У = / 77=
J ух —л
где
*eS(ri + rt + J) ' 2/=й(Гі+Га
s).
ГЛАВА V.
ПОДГОТОВКА НАБЛЮДЕНИЙ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОРБИТЫ.
Каждое наблюдение планеты или кометы дает нам прямое
восхождение а и склонение 8 для определенного мЪмента t.
Связь между этими величинами и элементами орбиты
устанавливается уравнениями
р cos 8 cos a = л;-}-Х
р cos 8 sin a=_y + У
р sin 8 = z + Z
0)
где х% у, z— гелиоцентрические координаты светила, выражение
которых через элементы орбиты было нами подробно изучено
в главах II и III, а ХУ Y, Z— координаты Солнца. Через р обозначено
как всегда расстояние до светила в момент наблюдения.
Уравнения (1), являющиеся не чем иным, как формулами переноса
начала координат, можно написать только в том случае, если
координаты Солнца X, У, Z и координаты светила
К — р cos 8 cos a
; т] = р cos 8 sin a > (2)
С =p sin 8 J
отнесены к одной и той же системе, т. е. являются либо
одновременно геоцентрическими, либо одновременно топоцентрическими,
и отсчитываются относительно одного и того же экватора и
равноденствия.
Таким образом нужно либо полученные из наблюдений топо-
центрические координаты а, 8 исправить за параллакс и сделать
геоцентрическими— тогда координаты (2) будут отнесены к тому же
началу координат, что и взятые из эфемерид координаты Солнца;
либо оставить а и 8 их топоцентрические значения, но тогда
в уравнения (1) должны быть поставлены топоцентрические
133

координаты Солнца. Затем нужно, учтя прецессию и
нутацию, позаботиться о том, чтобы ($, ?і, С) и (X, У, Z) были отнесены
к одному и тому же экватору и равноденствию.
Далее следует иметь в виду, что в уравнениях (1) координаты
а, 8 должны, относиться к геометрическому направлению на
светило, следовательно полученные из наблюдений значения этих
координат должны быть исправлены за аберрацию.
Наконец уравнения (1J связывают между собою
одновременные положения светила, Солнца и Земли. Поэтому надо
позаботиться об учете того времени, в течение которого свет доходит
от светила до Земли.
Уравнения (1), являющиеся основой всех методов определе*
ния орбит, можно взять в эклиптической системе координат.
В этом случае-они напишутся так:
р cos[5 cosX —л;с— R cos В cos I
p cos^ sinX=j/c— R cosB sinZ,
p sin p —ze —R sin 5
(3)
Здесь через X и [3 обозначены долгота и широта светила, через xeJ
yc,ze его эклиптические координаты, а через R> L и В — радиус-
вектор, долгота и широта Земли.
- Все, что было только-что сказано относительно уравнений (1)
целиком применимо и к уравнениям (3).
Особенностью уравнений (3) является то обстоятельство, что
широта Земли В величина весьма малая. Поэтому можно либо
совсем ею пренебречь, либо ввести в р небольшую поправку,
позволяющую совершенно точно считать 5 = 0 (это соответствует
переносу начала координат из центра Земли в точку, являющуюся
проекцией этого центра на плоскость эклиптики). В.том и другом
случае уравнения (3) принимают следующую форму
Р cosp cos'k = xc — R cost
p cos p sin I —ye — R sin L
P sin p = zc
(4)
Более простой вид последнего уравнения, по сравнению с (1),
несколько сокращает, при определении орбиты, вычислительную
работу. Особенно, если вычисления ведутся при помощи
логарифмов, а не при помощи арифмометра.
В настоящей главе изучаются наиболее употребительные методы
вычисления всех указанных редукций. При этом те формулы,
вывод которых можно найти в каждом курсе Сферической
астрономии, даются без вывода.
§ 42. ФОРМА, В КОТОРОЙ ПУБЛИКУЮТСЯ НАБЛЮДЕНИЯ.
Визуальные наблюдения планет и комет заключаются в
измерении помощью окулярного микрометра разностей прямых
восхождений и склонений наблюдаемого объекта и близлежащей звезды,
координаты которой известны. Учитывая постановления 2-го съезда
134

Международна™ Астрономического Союза (Кэмбридж, 1925 г.),
в настоящее время, публикуя наблюдения, обычно приводят
следующие данные:
1) мировое время наблюдения, выраженное либо в десятичных
долях суток, либо в часах, минутах и секундах;
2) полученные из наблюдений разности Да, AS в смысле
„планета (или комета) —звезда". Эти разности наблюдатель должен
исправить не только за дифференциальную рефракцию, но и за
дифференциальную прецессию, нутацию и аберрацию — так, чтобы
эти разности были разностями средних координат для начала
того года, когда производилось наблюдение;
3) средние координаты светила, полученные путем прибавления
только-что указанных разностей к средним координатам звезд
сравнения, отнесенным к экватору и равноденствию начала того
года, когда производилось наблюдение;
4) логарифмы параллактических множителей (с тремя
десятичными знаками);
5) средние координат звезд сравнения для начала года
наблюдения;
6) указания относительно каталогов, из которых взяты
положения звезд сравнения.
Раньше момент наблюдения указывался в местном среднем
(астрономическом) времени. Разности Да, До исправлялись только
за дифференциальную рефракцию и прибавлялись наблюдателем
к видимым координатам звезды сравнения, так что наблюдатель
давал не средние координаты планеты или кометы, как теперь,
а видимые координаты аарр, оарр.
Публикуемые фотографические наблюдения содержат:
Г) мировое время середины экспозиции;
2') прямое восхождение и склонение светила, полученные путем
редукции пластинки при помощи средних координат опорных
звезд. Эти средние координаты берутся либо для начала года
наблюдений, либо для какой-либо нормальной эпохи, например
1925.0, или 195.0.0; ¦
3') логарифмы параллактических множителей;
4) указание источников, откуда взяты положения опорных
звезд;
5') пропорциональные множители (dependences) опорных звезд.
Наличие этих множителей позволяет очень просто исправлять
положения светила в соответствии с той или иной поправкой
положений опорных звезд: если в каталожное положение звезды нужно
ввести поправки Да и ДВ, а пропорциональный множитель для
этой звезды Д то соответственные поправки в координатах
светила будут D-Да и ?>-Д8.
Момент наблюдения дается с точностью до 0*.00001 или до Г,
но часто довольствуются меньшей точностью и дают его либо до
0*.0001, либо до 0m.l.
Разности Да и Д8, так же, как и координаты светила, даются
до 0*.01 и 0".1, хотя средняя ошибка этих величин обычно
значительно выше: для координат планет ее можно считать порядка 1",
135

а для комет она может быть в несколько раз больше. Если
публикуются результаты предварительной редукции наблюдений, или
если наблюдения имеют по той или иной причине точность
меньшую обычной, то координаты даются до 0s.l по прямому
восхождению идо 1" по склонению. Наконец для малых планет публикуют
приближенные результаты фотографических наблюдений с
точностью до 0"\1 и V — это делают для того, чтобы своевременно
дать поправку к. эфемериде и тем облегчить дальнейшие
наблюдения планеты.
Примечание I. Средние положения планет и комет,
отнесенные к началу года, впервые начали публиковаться как
результат фотографических наблюдений, вследствие чего они
стали называться астрографическими положениями светил.
Когда астрономы, наблюдающие визуально, стали постепенно
отказываться от традиции давать видимые координаты и
заменили их также средними для начала года, то одно время была
тенденция и в этом случае (визуальных наблюдений)
сохранить то же название „астрографические положения". Это
объяснялось боязнью некоторой двусмысленности термина
„среднее положение для начала года" — под этим термином
можно, разуметь как то, что было выше указано в пунктах
3 и 2', так и средние координаты планеты для момента
наблюдения, уже исправленные за планетную
аберрацию. Постановлением Кэмбриджского съезда Международного
Астрономического Союза значение термина „среднее
положение планеты (или кометы) для начала года" было фиксировано
окончательно в первом смысле, а для средних положений
исправленных и за планетную аберрацию было решено не
вводить никакого особого наименования.
Примечание II. Мировое время, в котором теперь всегда
даются моменты наблюдений, есть * Гринилское гражданское
время (G. С. Т.). Введено оно в употребление с 1 января
1925 года, так что 12ьГриничского среднего (астрономического)
времени 31 декабря 1924 г. = 0h мирового времени 1
января 1925 г.
- Для мирового времени до сих пор нет общепринятого
обозначения. Французы и итальянцы обозначают его через
Т. U. (temps universel), немцы—через W. Z. (Weltzeit), у
англичан и американцев в эфемеридах употребляется
обозначение G. С. Т, а в журналах —U. Т. (Universal Time). Мы
будем обозначать мировое время через Т. U. (tempus universale).
§ 43. РЕДУКЦИЯ НАБЛЮДЕНИЙ ЗА ПАРАЛЛАКС
(Экваториальные координаты).
, Редукция наблюдений за параллакс имеет своей задачей
привести координаты светила (2) й координаты Солнца XfY, Z к одному
общему началу, т. е. сделать их либо одновременно
геоцентрическими, либо одновременно топоцентрическими. Сообразно с этим
учесть параллакс можно двояко.
136

J..Вычисление топоцентрических координат Солнца.
Геоцентрические координаты Солнца X, Г, Z отнесены к экваториальной
системе, в которой за основную плоскость хОу принята плоскость
экватора, ось х-о в направлена в точку весеннего равтгоденствия,
ось ^-ов — в точку с прямым восхождением 90°, ось 2-ов—к
северному полюсу экватора.
Вычислим координаты места наблюдения (а, Ь, с) относительно
этой системы. Положение места наблюдения определим: расстоянием
от центра Земли р0 (выраженным в частях экваториального
радиуса), геоцентрической широтой ср' и звездным временем ?,
определяющим положение меридиана места наблюдения относительно
точки весеннего равноденствия.
Очевидно
а = р0 cos ср' cos в
Ъ = р0 cos ср7 sin9
с = р0 sin ср'.
Чтобы выразить эти величины в астрономической единице
длины, их надо умножить на
sin/?0 =7?0sin 1"»
где р0 — 8".80 экваториальный горизонтальный параллакс Солнца»
Обозначая —а,—Ь,—с, после выражения в астрономической единице
длины, через ДХ, ДУ, AZ, окончательно получим
ДХ = Л соэ?
Д У= A sin ? (5)
Д Z = —р0 sin 1". р0 sin <p',
где
А — —р0 sin Г'. р0 cos ср'.
По известным формулам переноса начала координат для топо-
центрических координат Солнца Х\ У, Z получаем такие
выражения:
JC = X+AX
У' = У+ДУ (6)
Z'=Z + AZ
2. Вычисление геоцентрических координат светила. Чтобы перей-.
ти от топоцентрических прямоугольных координат
g' = р' cos 8' cos а'
Tj'^p'cos&'sma' (7)
С = р' sin 8'
к геоцентрическим координатам
? = р cos о cos a
v\ = р cos 8 sin a (8)
С = р sin о
137

можно воспользоваться теми же формулами, что и в предыдущем
случае: ^
7]' = 71+Д К (9)
Обычно вводят соответственные поправки в сферические
координаты а и 8. Рассматривая разности і—?, р—р', а—а', 8—о7 как
дифференциалы и полагая
дз равенств (7) и (8) получим
(р — p7)coso'cosa' — /?5p'sino'cos a' —pap'cos 8'sin a'= 5—'6' -
(P — p') cos o'sin a' — /7sp'sin 8' sin a' +pap'cos8'cosa' ==tj—tj'
(p — pO'siri 8' + ps p' cos 8' '"' = С—С
Отсюда найдем, принимая во внимание равенства (9) и (5),
д р' cos 8' = — Л sin (? — а)
/?5р' = -f Л cos(?— a) sin 8' —AZ cos о'.
Окончательно, после выражения ра в секундах времени," а р%
в секундах дуги, будем иметь следующие известные формулы (см.
§26)
рра = С sin (? — a') sec 8' \. ш
p/7s = 5cos8' — 15Ccos(e — a') sin 8' J l w
Логарифмы величин
C = ~^op0coscp\ S=/?op0sincp'
.для некоторых обсерваторий можно найти в таблице II.
В тех случаях, когда геоцентрическое расстояние р известно
хотя бы грубо приближенно (если светило не слишком близко
к Земле, то 2 — 3 значущие цифры достаточны), предпочитают
исправлять за параллакс, при помощи формул (10), прямое
восхождение и склонение. В тех же случаях, когда р совсем
неизвестно (как это имеет место при первоначальном определении орбиты),
прибегают к формулам (6) для вычисления топоцентрических
координат Солнца, а топоцентрические координаты светила оставляют
без изменения. Этот же путь следует предпочесть и в тех случаях,
когда нет уверенности, что р известно достаточно точно.
§ 44. РЕДУКЦИЯ НАБЛЮДЕНИЙ ЗА ПАРАЛЛАКС И ШИРОТУ СОЛНЦА:
(Эклиптические координаты)
Рассмотрим теперь, каким образом учитывается влияние
параллакса в том случае, когда вычисление орбиты ^ведется в
эклиптических координатах. В этом случае надо еще позаботиться о
приведении основной системы (3) к виду (4).
•138

L Если геоцентрическое расстояние в момент наблюдения
приближенно известно, то наблюденные прямое восхождение и
склонение приводим, при помощи формул (10), к центру Земли. Таким
образом, разумея под р, р, X—геоцентрические координаты светила,
а под R, В, /.—гелиоцентрические координаты центра Земли, будем
иметь, согласно (3),
р cos р cos X = хс — R cos В cos L
р cos р sin X = у6 — R cos В sin L
р sin р = ztf — /? sin 5.
Так как широта Земли 5 очень мала, то, пренебрегая второй
и высшими степенями этой малой величины, можем считать, что
cos 5=1. Посмотрим, нельзя ли придать р и р.такие поправки dp
и dp, чтобы эти уравнения приняли следующую форму
(р + dp) cos (P+ d(3) cos X^x,— RcosL'
(р + Ф) cos(р + dp) sin X =^с — Л sil1 ?
<Р+ 40 sin (p+ <#)=*,
Ш)
Ограничиваясь первыми степенями малых величин dp и dp,
имеем
cos р cos X . dp — р sin p cos X - dp — 0
cos p sin X . dp — p sin p sin X . dp = 0
sin p • dp + p cos p • dp = R sin В
Откуда
dP = R sin p sin B, dp » SSll # sin 5,
Поправкой dp можно пренебречь, ибо она всегда находится
за пределами той точности, с которою можно определить р при
первоначальнрм вычислении орбиты. Что же касается до dp, то»
выражая эту поправку в секундах дуги, напишем ее так:
№)*«_2і!в0, (12>
где JBQ = — В есть широта Солнца (астрономические ежегодники
дают именно широту Солнца, а не широту Земли). Радиус-вектор
Земли R здесь заменен единицей.
Итак, полагая
Ф-0, Р'«р + <*Р,
где dp_ определяется формулой (12), мы получим уравнения (11)
в таком видб:
р cos р' cos X а= хс — R cos L
.р cos p'sin l=ye— Rsin L
P sin p' = zc
2. Если геоцентрическое расстояние в - момент наблюдения
совершенно неизвестно, то точный учет влияния параллакса в
эклиптической системе координат значительно сложнее нежели в
экваториальной (что составляет одно из преимуществ употребления
130

этой последней при вычислении орбит). При вычислении
первоначальной орбиты кометы в эклиптической системе координат
влиянием параллакса попросту пренебрегают, что имеет известное
оправдание в малой точности кометных наблюдений, а также
в том, что первоначальная орбита вычисляется обычно на
основании приближенных наблюдений. Для малых планет нередко
сначала определяется круговая орбита, при вычислении которой
параллаксом также можно пренебречь.
В прежнее время, когда определение орбит производилось
исключительно в эклиптической системе координат, точный учет
влияния параллакса производился путем указанного Гауссом приема,
заключающегося в переходе к так называемому locus-Actus.
Прямую, соединяющую светило Р с местом наблюдения М9
продолжим до пересечения с плоскостью эклиптики в некоторой
точке F. Эта точка F была названа Гауссом locus fictus observationis,
т. е. фиктивным местом наблюдения: очевидно наблюденные
координаты светила не изменятся, если мы переместим наблюдателя
из точки М в точку F.
Вычислим прежде всего эклиптические координаты М
относительно центра Земли Г. Так как экваториальные координаты места
наблюдения относительно Т равны •
ро cos <р' cos ?, р0 cos q/ sin ?, р0 sin ср,
то, повернув координатную систему вокруг оси л>ов на угол—е,
получим такие выражения для эклиптических координат
• pocoscp'cos0 1
р0 cos ср' sin ? cos в + р0 sin ср' sin е | (13)
—Ро cos cp' sin ? sin е + р0 sin ср' cos.e J
Если через Х0, % обозначим геоцентрические долготу и широту
М, то для определения этих величин будем иметь очевидно такие
равенства:
cos р0 cos Х0 = cos ср' cos ?
cos(30sin Х0 = cos ср'sin ? cose + sin <p'sin ё , (14)
sin p0 = —cos ср'sin ? sin s + sincp' cose J
Обратимся теперь снова к уравнениям (3). Считая в этих
уравнениях р, р, X, за топоцентрические координаты светила, мы должны
в правых частях вместо гелиоцентрических координат центра Земли
Rcos В cosL
R cos В sin L
R sin В
поставить гелиоцентрические координаты места наблюдения, т. е,
R cos В cos L + sin р0 • p0 cos % cos Х0
R cos В sin L + sin p0 • p0 cos p0 sin X0
R$'mB+ sin/70 • p0sin p0.
Координаты места наблюдения относительно центра Земли,
даваемые формулами (13), мы выразили через ро и Х0 при помощи
140

(14) и умножили на sinp0 для выражения их в астрономической
единице длины.
Итак уравнения (3) принимают в настоящем случае такой вид:
pcos ^cos\ = xc~ R cos В cos L — p0sin/70cosp0cosX0}
pcospsinX===j;c—#cos5sinL —p0sin/?0cos(3osinXJ (15j
p sinp = 2:c — RsinB — p0 sinj70 sin ^0 J
Обозначим теперь через R + dR, Ъ, L + dL гелиоцентрические
координаты точки Fy в которой прямая РМ пересекает эклиптику,
а через p + dp расстояние PF, так что MF=dp. Уравнения (3),
будучи применены к наблюдениям светила Р, произведенным из
фиктивного места Fy дают
(р + dC) cos р cos X = хс — (R + dR) cos (L + dl)
(p + dp) cos p sin X =y6 — \R + dR) sin (L + dL)
(p + dp) sin p = 2,
(16)
В равенствах (15) и (16) мы можем все долготы уменьшить
на L, что равносильно счету долгот не от точки весеннего
равноденствия, а от точки эклиптики, долгота которой равна L. После
этого вычтем почленно равенства (15) из равенств (16). Полагая
cos^S = 1, получим
dp cos р cos (X — L) = — (R + dR) cos (dL) + RcosL +
+ p0 smp0 cos p0 cos (X0 — L)
dp cos p sin (\ — L) = — (R+- dR) sin (rfZ.) +
+ p0 smp0 cos p0 sin (X0 — L)
dp sin p = ^sin5 + p0sin/70sinpo.
(17)
Из этих трех уравнений мы можем определить rfp, R + dR и dL.
Точными формулами (17) никогда не приходится пользоваться—
это могло бы стать необходимым лишь в том случае, когда широта
светила р была бы весьма близка к нулю, но при таких
осложнениях нет надобности употреблять эклиптические координаты, и
будет особенно целесообразно вести вычисление орбиты в
экваториальных координатах. Во всех остальных случаях формулы (17)
можно заменить следующими приближенными (которые получаются
из (17), если пренебречь вторыми и высшими степенями величин1
dR и dL]:
(dp)" = (BR + р0 р0 sin p0) cosec p
R*(dL),r = р0 р0 cos р0 sin (Х0 — L) — (dpf cos р sin (X — L)
dR = p0 p0 cos p0 cos (X0 — L) — (dp)" cos p cos (X — L)
Здесь dp и dL выражены в секундах дуги, так же, как В и р0.
Придав к координатам центра Земли R, В и L указанные
поправки, получим координаты R+dR, 0 и L +dL фиктивного места
наблюдения F. Наблюдение из точки F должно быть отнесено
к моменту более позднему, чем действительное наблюдение из
141

точки М, на промежуток времени, в течение которого свет проходит
расстояние MF=dp. Этот промежуток времени равен
dt = A (dp)" sin V,
где
А = 498'.5 = 0* 005 770.
§ 45. РЕДУКЦИЯ НАБЛЮДЕНИЙ ЗА ПРЕЦЕССИЮ, НУТАЦИЮ И АБЕРРАЦИЮ.
Если наблюдатель дает видимые координаты аарр и оарр, то прежде
всего необходимо обратить их в средние координаты для начала
года. Для этого служат хорошо известные формулы:
(ашвсі-аарр)8 = -/--і:^зіп(0 + а)^8--й"А Зіц(Я+а)зес8
(^ей-8вдГ = -^С08(0 + а)-Асоз(Я + а)8іп8-<с0&8.
Если при вычислении орбиты приходится пользоваться
наблюдениями, произведенными в различные годы, а потому дающими
(после только что указанного приведения — если в этом была
надобность) средние положения для начала различных лет, то все их
надо привести к одной общей эпохе. Для этого служат формулы:
а =г а0 + {рг + л tg Ьг sin аг) (t— tQ)
8 = 80 + п cos ах (t — ?0),
где (а, 8), (а0, 80) и (аъ 8Х)—координаты, соответствующие эпохам t, tQ
и -«г (*о + *)• Значения тип таковы:
/я = 3*.07234 +0^.00186 Т
й« 20 Л)468 —0.0085 Т9
где Г—обозначает время, считаемое в столетиях, от 1900.0. Эти
величины должны быть взяты для эпохи -у (t0 +1).
Конечно, в уравнениях (1) координаты Солнца X, Y, Zдoлжны
быть приведены к той же эпохе, как и а, 8. Нужные для этого
формулы были указаны в § 29,
Переходим наконец к учету влияния планетной аберрации-
При определении первоначальной орбиты всегда применяется вто
рое из двух правил, указанных в § 26: истинное направление на
светило в момент t совпадает с направлением, в котором из
положения Земли в момент t видно положение светила в момент f =
= t — Ар. Это правило удобно потому, что, пользуясь им, мы
вычисляем X, У, Z (или R, L)y входящие в уравнения (1) (или (4), для
момента ^совершенно независящего от неизвестного расстояния р.
Таким образом эти величины вычисляются раз навсегда и не
меняются по мере получения все более и более точных значений р.
Меняется лишь тот момент f = t—Ар, к которому должно быть
отнесено положение светила.
142

ч
. Когда геоцентрическое расстояние р уже приближенно известно
из предшествовавших определений орбиты, то можно
воспользоваться и первым правилом § 26: видимое направление на светило
в момент t совпадает с истинным направлением для момента
f = t—A$. Чтобы получить видимое направление, нужно к
среднему положению для начала года прибавить звездную аберрацию,
т. е. к а и 8 прибавить соответственно
+ ji-Asin(f/+a)sec8
+ h cos (Н + a) sin В + і cos 8.
После этого положения как Земли, так и светила будут
относиться к одному и тому же моменту f — t-— Ар. Следует, однако,
заметить, что никаких выгод по сравнению с предыдущим методом
учета планетной аберрации мы здесь не имеем. Напротив, если
окажется, что нзятое значение р недостаточно точно, так что
значения X, У, Z (или R, Z), вычисленные для момента f^t — Лр,
нуждаются в исправлении, то это обстоятельство может повлечь
много лишней работы.
§ 46, ПЕРЕХОД ОТ ЭКВАТОРИАЛЬНЫХ КООРДИНАТ К ЭКЛИПТИЧЕСКИМ,
В том случае, когда вычисление орбиты желают вести в
эклиптической системе координат, нужно полученные из каждого
наблюдения экваториальные координаты а, о обратить в эклиптические
координаты *, р.
Из сферического треугольника, вершинами которого являются
полюс экватора, полюс эклиптики и положение светила, получаются
следующие известные из Сферической астрономии формулы:
cos р cos X = cos 8 cos а
cos р sin X — cos S sin a cos e + sin 8 sin e (18)
sin p = — cos 8 sin a sin e + sin о cos e.
Через e обозначена наклонность эклиптики к экватору. Ее
можно взять из таблицы III.
Если нет логарифмов сложения и вычитания (переход к
эклиптической системе коЬрдинат может встретиться лишь при
логарифмическом вычислении орбиты), то формулы (18) можно привести
к логарифмическому виду, полагая
т sin М = sin 8
т cos М = cos 8 sin а. (19)
Это даст
cos р cos X = cos о cos а
cos р sin X = т cos *М — е) 20)
sinp = msin(M—е)*
143

Вычисление эклиптических координат всегда должно быть
тщательно проконтролировано. Прекрасный контроль дают формулы
8in-i-(^ —e)«tg-|-«cos-f (Ь + а) tg-f-(8 + p)
tg-f (S - р) = tg \ е sin -f(^ + <0 sec -1- (X - а)
tg-f(^ + a)tgi(X-a)=tg-f (8 + P)tg-|-(3-P),
получающиеся применением к вышеуказанному треугольнику
формул Деламбра и аналогий Непера.
Если вычисление производится по формулам (19) и (20), то
можно для контроля взять формулы
sin (X — a) = 2 cos a sec p m sin -y- e sin (M—g- e)
sin-|-(8 —p) = sec-^(8 + P)msin-i-8COs(Af |-e).
ГЛАВА VI.
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ.
Для вновь открытых малых планет очень часто вычисляют
сначала круговую орбиту. Хотя строго по круговой орбите не
движется ни одна шинета, тем не менее в огромном большинстве
встречающихся на практике случаев круговая орбита представляет
движение планеты в/течение 1 — 2 месяцев с точностью,
достаточной для дальнейших' наблюдений (в особенности для наблюдений
фотографических, требующих значительно менее точной
эфемериды). Эта объясняется как тем, что эксцентриситеты орбит малых
планет обычно не очень велики (для первых 1100 малых планет
средняя величина эксцентриситета равна 0.15), так и тем, что малые
планеты, вследствие их слабости, открываются преимущественно
вблизи перигелия, т. е. в такой части орбиты, которая с большой
точностью может быть заменена окружностью.
Таким образом, круговая орбита обычно вполне обеспечивает
дальнейшее продолжение наблюдений, а на первых порах после
открытия только это и требуется. Пока не будут получены
наблюдения, охватывающие значительный промежуток времени, все равно
надежная эллиптическая орбита не может быть вычислена.
Для получения круговой орбиты, определяемой всего четырьмя
элементами, — а именно <Рьу і, а и щ (аргумент широты для
определенного момента t0), — достаточно иметь только два наблюдения;
тогда как для вычисления эллиптической орбиты требуются три
(иногда четыре) наблюдения и притом разделенные не слишком
различными интервалами времени.
Можно еще отметить, что качество круговой орбиты менее
зависит от точности наблюдений, нежели качество эллиптической
144

орбиты, вследствие чего для вычисления такой орбиты могут быть
использованы приближенные наблюдения, совершенно не пригодные
(особенно при малых интервалах времени) для вычисления
эллиптической орбиты. По той же причине при вычислении круговой
орбиты можно пренебречь исправлением наблюдений за параллакс.
Задача о вычислении круговой орбиты выделяется своей
простотой среди других проблем определения орбит планет и комет
по их наблюденным положениям. Поэтому естественно начинать
изучение определения орбит именно с этой задачи.
Общепринятый метод определения кругЬвой орбиты состоит
в нахождении путем нескольких проб радиуса орбиты а, после чего
вычисление остальных элементов производится весьма просто.
Этот метод может быть представлен в различных формах. Мы
приведем два варианта: один — основанный на употреблении
экваториальных координат, другой — использующий эклиптические
координаты. Определение круговой орбиты в эклиптических
координатах может быть весьма хорошо приспособлено к логарифмическим
вычислениям, но это достигается ценою дополнительных
преобразований и некоторого усложнения формул.
Вычисление круговой орбиты производится обычно с пятью
знаками.
§ 47. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ В ЭКВАТОРИАЛЬНЫХ
КООРДИНАТАХ.
Пусть имеем два наблюдения планеты tu av 8Х и t%% aa, 82t
Вместо прямых восхождений и склонений введем направляющие
косинусы
X, = cos 8, cos a,
Ъ = cos ot. sin ал (i = 1,2).
vt- = sin 8i .
Обозначим через p4 геоцентрическое расстояние светила в
момент наблюдения tv а через ХіУ У4, Zt — прямоугольные
экваториальные координаты Солнца в тот же момент.
Применив уравнения (V, 1) к каждому из наблюдений, получим
следующие выражения для гелиоцентрических координат планеты
•
х, = Р,Нч — Xt
Уі = рА — Yi
zt = РЛ — Zi
Пусть, далее, а есть радиус круговой орбиты рассматриваемой
планеты; так что
x?+y? + z? = a\ (і = 1,2).
Возводя равенства (1) в квадрат и складывая их почленно,
получим два уравнения.
(і=1,2). (1)
а* = Рі» + 2Рі /?! cos fc + #і2
а2 = Ра2 + 2Р2 R2 cos Ф2 + #2г
} (2)
10 Курс небесной ыеханвкя, т. I.
145

связывающие три неизвестные величины а, р1( ра. В этих уравнениях
мы положили
R? = f* + Y* + Z*9
так что Rt есть радиус-вектор Солнца в момент tlf а угол ф( —
это угол между направлением на планету (направляющие косинусы
\у Ри v*) и направлением, обратным направлению на Солнце
(имеющим направляющие косинусы —XjR^ —VJRn —-Z*/#<)-
Положение ' планеты в орбите мы будем определять углом v,
отсчитываемым от некоторой точки орбиты, которую мы пока не
фиксируем. Обозначим значения этого >гла в моменты наблюдений
через vt H-va. Дуга v^ — vl9 измеряющая угол-между направлениями
из центра Солнца на точки.(Лд, уг> гг), (х2)у2, z2\ дается формулой
a2 cos (v2 — vx) = хх х2 + уг у2 + zt z2.
В случаях, обычно встречающихся на практике, дуга va — vx = 2/
мала, поэтому последнему соотношению целесообразно придать
такую форму:
smV=l— ~[r(xlx2+y1y2 + zlz2). (3)
Итак, взяв любое значение а, мы можем найти, при помощи
уравнений (2), соответствующие^, р2» после чего формулы (1) дадут
гелиоцентрические координаты; наконец по формуле (3) вычислим
соответствующее значение /. Это значение /, полученное из чисто *
геометрических соотношений, мы назовем геометрическим
и обозначим через fr Очевидно fg есть функция а.
С другой стороны формулы эллиптического движения
показывают (см. § 13), что движение по кругу совершается равномерно
_ і
со скоростью, равной ka 2 . Следовательно
v2 — vx = ka 2 (і2 — іг),
откуда
/=*±ка~7уш-#. (4)
Это значение /, полученное из динамических условий движения
по кругу, мы назовем динамическим и обозначим через/d.
Круговая орбита, удовлетворяющая взятым наблюдениям,
получится при том значении а, для которого fg—f^
Уравнение
/,-/« = 0, (5)
левую часть которого мы можем вычислить для любого значения а,
решается обычными приемами численного решения уравнений. При-'
менение простейшего из этих приемов — способа пропорциональных
• частей (regula falsi) — после 3 — 5 проб приводит к цели.
146

Чтобы покончить с определением а, остается лишь заметить,
что решение уравнений (2) относительно геоцентрических
расстояний производится по формуле
Р, = — Ri cos ф, + VcCl~ (^sin^p. (6)
Перейдем теперь к вычислению остальных элементов. Так как
круговая орбита вычисляется прежде всего для того, чтобы
возможно скорее дать эфемериду, то естественно начать с вычисления
направляющих косинусов Р и Q. Поскольку у круговой * орбиты
нет перигелия, мы будем под Рх, Ру, Р9 разуметь направляющие
косинусы радиуса-вектора той точки орбиты, от которой
отчитываются углы v. Сообразно с этим Qx1 Qy, Qs будут направляющие
косинусы радиуса-вектора той точки орбиты, для которой ^.= 90°.
Формулы (III, 33) в настоящем случае дают
*і = Р*а cos vx + Qxa sin vx )
x2 = Paa cos v2 + Qxasm v2 j ^
и аналогичные равенства для двух других координат.
, Так как начало счета углов v еще не фиксировано, то этим
произволом можно воспользоваться, как заметил Штраке, для
упрощения вычисления Р и Q. Почленно складывая и вычитая
равенства (7), получим s
|- (дг2 + хх) = Рха cos j (v2 + vx) cos/+ Qxa sin ~ (va + vx)cos/
-| {x2 — xx) = —Pxa sin -g- (ua + vx) sin/ + Qza cos j (v2 -f vx) sin/.
Условимся выбрать начало счета углов v так, чтобы было
о-(t;a + иг) = 0, т. е., иначе говоря, будем считать этот угол от
радиуса-вектора, соответствующего моменту t0 = -^ (^ + /2).
При этом условии, подучим
и аналогичные формулы для двух других пар направляющих
косинусов.
Примечание. При решении уравнения (5) нужно для раз-*
личных значений а вычислять, по формуле (3>,
соответствующие значения fg. Эту величину можно выразить
непосредственно через рх, р2, так что не придется при каждой гипотезе
относительно а находить гелиоцентрические координаты
Действительно^подставляя выражения (1) в формулу (3),
получим
*sinV={ + ^(M + ?p2 + CplPa + D), (8)
где, 2Л = — (Va + РіН + vivs)
10* 147

2D = — (ВД, + V, Y2 + Z±Z2).
Вычисление по формуле (8) конечно короче, нежели по
формулам (1), (3). Но надо принять во внимание: необходимость
вычисления коэффициентов Л, В, С, D\ 'необходимость кон-
; Шроля этих коэффициентов [такой контроль получим, сравнив,
для первого взятого значения а, величину fg> вычисленную по
формуле (8) — с одной стороны, и вычисленную по
формулам (1), (3) —с другой]; и, наконец, необходимость вычисления
*о Уі> zi Для последнего значения а. Учитывая все это, а также
то, что вычислять f3 обычно приходится всего для 3 — 4
значений а, приходится признать, что употребление формулы (8)
особых преимуществ не представляет.
§ 48. СОПОСТАВЛЕНИЕ ФОР'МУЛ И ПРИМЕР.
Исходными данными являются следующие величины (все
координаты отнесены к экватору и равнодействию либо начала года,
либо нормальной эпохи, напр. 1925.0 или 1950.0):
Мпмйиты няблюжепяй Прямые восхождения Прямоугольные координаты
тоиенты наблюдении и склонения планеты Солнца
*і «і Ji Хі Ух Zx
Прежде всего находим
#i2« ^i2 + IV + A2>' R*2 = x? + у г + z&
Полезно сравнить эти величины с непосредственно взятыми из
эфемерид Rt и R2 — это дает хороший контроль координат Солнца.
Далее вычисляем направляющие косинусы
Хі, = coso1cosa1
^х » cos Ьх sin ax
vx = sin 8X
X2 — cosS2cosa2
ф = cos b2 sin a2
v2 = sin 82
и вспомогательные величины
С, ==/?: cos ф, = — (Хх Хг + {4 Г,.+ v, ZJ
С2 = tf2 cos ф, = — (Х2 Х2 + н Уг + v2 Z2)
V = C^i sin <Ю2 = Я,2 - (/?! cos «y»
S22 = (#2 sin ^2)2 = /?,* - (7?, cos ^f.
После этого переходим к гипотезам относительно а. Для
каждой величины а вычисляем
Рі = yV-^2- Q р2 = Va?-S2* - С2
хх — Ххрх — А'і х2 = Х2р2 — Х2
Л = fcft — Кі J>« = № — У г
zi = viPi — Z\ Z2 = v2p2 — Za
Контроль: V +^2 + «J8 = а2, л:,8 + yz* + г," = a2

sin2/, = I — ^L- (Xlx2 +угу2 + Zlz%)
fa = ~r=— у 2k° = 0°-492 80.
ay a *
Величину а вариируем до тех пор, пока не будет удовлетворено
уравнение
За исходные значения можно взять следующие:
а = 2.5 я2 = 6.25 а У а = 3.952 85
« 2.7 = 7.29 . = 4.436 56
Когда наедено окончательное значение а, то исправляем
моменты наблюдений за аберрационное время. Исправленные моменты
будут г)
#=*^ — А91ъ tf-b-Afr,
где
Л = 0*0005 77.
Затем определяем среднее суточное движение п и момент t%
от которого ведется счет углов v.
п "t° — t°' °== "2 ^ 1 ^" а'*
Контроль:
я=-4=, й° = 0°.98561.
Переходим к вычислению величин Р и Q, определяющих
положение орбиты. Для этого берем значения координат xv уь гъ
х%, У2> %ъ полученные в последней гипотезе. Имеем
і і *v"'
aPz = - sec/ • (х2 + хх) aQz^ j cosec/ • (x2 — xt)
aPy = -| sec/ • (j2 + yx) я Qy = ~ cosec/• (>3- yx)
аРя = |- sec/ • (22 + %) aQ, = j cosec/ * (z2 — zx).
Контроль:
а*{Рх(}х + Ру($„ + РА) = Ъ
. (aPxf + (aPyY + (aPey = a\ (aQ,V + (aQy)* + (aQt)* » a\
*) Строго говоря это исправление следовало сделать раньше, с тем, чтобы дд*
вычисления fa употреблялись уже исправленные моменты.
149

Представление наблюдений. Для того, чтобы вычислить а и 8,
соответствующие наблюденному моменту і} служат формулы
f^t — Ap, Л = 0'.00577
р cos Ь cos а = аРх cos ?; + aQx sin ij -f ^Y"
p cos 8 sin а = йЯу cos v + ,aQy sin v + У
p siij S = aPt cos ^ + #Qa sin v + Z.
Координаты.Солнца Jf, F, Z берутся из эфемерид для
момента L При нахождении t? достаточно иметь грубо
приближенное значение р.
Вычисление эклиптических элементов. С точки зрения
возможного отождествления вновь открытой планеты *с уже
известными представляет интерес вычисление элементов і, <ГЪ,
определяющих положение плоскости орбиты относительно
эклиптики. Для этого служат формулы (III, 34J, которые можно
написать так:
a sin / sin со = aPz cos е — аРу sin e
a sin i cos со = aQz cos s — aQy sin s
a sin <Л> = (aPy cos co — aQy sin ©) sec e
a cos Л = aPz cos o) — aQx sin a>.
Здесь со-у расстояние от узла до той точки орбиты, от которой
отсчитываются углы v. Таким образом со есть не что иное, как
аргумент широты и0 в момент і0.
Пример. Для открытой в Симеизе планеты х) 1931 ТР были получены
следующие наблюдения:
1931 T.U. 1931.0* 1981.08
Октябрь 11 23Л32т.6 27° 2'1" + 10°13'4б/7
Ноябрь 10 19 8.3 20 15 0 + 7 31 56
х) Вновь открытая малая планета получает порядковый номер лишь тогда, когда
ее орбита может считаться достаточно надежно определенной. До этого она
получает предварительное обозначение. В настоящее время (с 1925 года)
принята система предварительных обозначений, предложенная Боуэром (Bower,
Astr. Nachr.^ Bd. 223, стр. 149), которая заключается в следующем. Малая планета
обозначается годом открытия и двумя буквами: первая указывает время открытия
(Л—для планет, открытых 1 —15 января, В — для планет, открытых 16 — 31 января,
и т. д.); вторая буква указывает порядок регистрации открытия. в Берлинском
Вычислительном Институте (А — для первой планеты, открытой в соответствующий %
двухнедельный промежуток времени, Б — для второй, ...,Z —для 25-й, Аг— для
26-й и т. д.).
150

Подготовительные вычисления ведем в два столбца, соответственно каждому
моменту наблюдения;
Октябрь
cos а
sin а
cos о
X
I*
v
>.і -f и-8 + V2 =
X
Y
Z
R*
С
(У
lld.9810
27°.034
+ 100.229
+ 0.890 74
+ 0.454 "52
+ 0.984 11
+ 0.876 59
+ 0.447 30
+ 0.177 58
1.000 02
— 0.950 91
— 0.278 04
— 0.120 60
0.996 08
+ 0.979 34
0.036 97
(У
41й.7974
20°.250
+ 7°.532
+ 0.038 19
-1-0.346 12
+ 0.991 37
+ 0.930 09
+ 0.343 13
+ 0.13108
0.999 99
— 0.669 90
— 0.668 86
— 0.290 12
0.980 31
+ 0.890 60
0.187 14
*я — *і = 29d.8164
V *Й — У = Н°.6935
Переходим к определению а
а
а2
а>
с a
о2
Pi
2.5
6.250 00
6.213 03
2.492 60
6.062 86
2.462 29
1.51326
1.57169
2.7
7.290 00
7.253 03
2.693 14
7.102 96
2.665 U
1.713 80
1.774 54
2.270
5.152 90
5.115 93
2.261 84
4.965 76
2.228 40
1.282 50
1-337 80
Ух
Ч
)
!«-'<
sin*/,
sin/,
и-
+ 2.277 42
+ 0.954 92
+ 0.389 32
+ 2.13171
+ 1.208 15
+ 0.496 14
+ 6.201 64
+ 0.496131
0.003 869
0.062 20
3°.566
+ 2.453 21
+ 1.044 62
+ 0.424 94
+ 2.320 38
+ 1.277 76
+ 0.522 73
+ 7.249 28
+ 0.497 207
0.002 793
0.052 85
3°.030
3.952 85
3°.717
0°.151
4.436 56
3°.312
— 0°.282
+ 2.075 U
+ 0.851 70
+ 0.348 35
+ 1.91417
+ 1.127 90
+ 0.465 48
+ 5.094 95
+ 0.494 377
0.005623
0.074 99
4°.301
3.42010
4°.296
+ 0°.005
2.277 37
5.186 41
5.149 44
2.269 24
4.999 27
2.235 90
1.289 90
1.345 30
+ 2.081 62
+ 0.855 01
+ 0.34968
+ 1.921 15
+ 1130 47
+ 0.466 46
+ 5.128 77
+ 0.494 443
0.005 557
0.074 545
4°.275
3.436 77
4°.275
0°.000
151

После того как вычислены две первые гипотезы, следующее значение
а = 2.5 + х находим при помощи пропорции
х
0.2
— 0.151
0.282 + 0.15Г
дающей х = — 0.2305. Округляя до четырех зиачущих цифр, берем а — — 2.270.
После третьей гипотезы, вычисленной с этим значением, полагая опять а = 2.270 4 х,
будем иметь
0.005
0.23 0.005 4-0.151
откуда
0 = 2.277 37.
Вычисление элементов располагаем так:
Apt = 0* 0074 Лр2 = 0*0078
^о=п.9736 f2°.= 41.7896
іг* — г\° = 29.8160 п = 0°.286 76
*0 = 26.8816 октября 1931 г.
Контроль:
1 ,
-sec/
X8 + Xj
У 2+ У г
2*4 2*
ару
аР,
п = ka
0.501 395
4- 4.002 77
4 Ь985 48
+ 0.81612
4- 2.006 97
4- 0.995-51
4- 0.409 20
3
= 00.286 78.
1 ,
—— coseс/
х2 хг
Уг—Ух
г%—гх
aQy
6.707 36
— 0.160 47
+ 0.275 46
+ 0.116 80
— 1.076 33
+ 1.847 61
+ 0.783 42
Контроль:
а3 (РАх + P*Qy + pzQz) = - 0.000 02.
Перехолим к представлению исходных наблюдений, что -дает полный контроль
всей проделанной работы (остаются непроконтролированиыми лишь координаты
Солнца).
V
cost;
sinf
р cos 5 cos а
р COS о Sin a
psin о
tga
pcoso
tgo
а =
о =
11*9736
—14.9080
— 4°.275
+ 0.997 22
— 0.074 54
+ 1.130 71
+ 0.576 98
+ 0.229 07
+ 0.510 28
+ 1.269 41
+ 0.180 45
27°.034
+ 10.229
41*7896
+ 14.9080
+ 4°.275
+
+
+ 1.251 26
+ 0.46160
+ 0.176 34
+ 0.368 91
+ 1.333 70
+ 0.132 22
20°.2495
+ 7.532
152

Представление наблюдений (всегда дается в смысле Н.-В.)
Лз = 0°.000 + 0°.0005
ДВ = 0.000 0.000
указывает на отсутствие вычислительных ошибок.
Остается определить і и Л,. Так как для тех целей, для которых эти элементы
определяются, их достаточно знать лишь грубо приближенно* то достаточно
вычисление вести с 3—4 знаками.
cose
sin e
a sin i sin ш
a sin 2 cos ш
tgco
COSO)
a sin i
sin і
0.9174
0.3979
— 0.0207
.—0.0164
+ 1.26
— 0.621
+ 0.0264
•f 0.0116
(]>
asui<n,
acossi
231°.6
+ 0.905
— 2.090
— 0.433
156°.6
0°.66
В заключение сопоставляем полученные результаты:
4 = 1931 октябрь 26
Л = 0°.28677 = 1032//.4
<ГЬ —1б6°.6
і = 0°.66
оз — 231°.6.
§ 49. ВЫЧИСЛЕДОЕ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ В ЭКЛИПТИЧЕСКИХ
КООРДИНАТАХ
(Способ Гаусса).
Если вычисление производится при помощи логарифмов, то
зачастую предпочитают вычислять круговую орбиту исходя не
из экваториальных, а из
эклиптических координат р
планеты. Пусть 1г рХ1 и Х2,
Рг—долгота и широты
планеты, соответствующие
моментам наблюдений tx и t2.
Обозначим через Llt /?а и
Ьъ R$ долготы и радиусы-
векторы Земли в те же
моменты.
Метод определения
круговой орбиты остается тот
же, как и в предыдущем
случае — изменяются лишь
формулы, служащие для
вычисления ,
гелиоцентрической дуги 2/= v2 — vx
геометрическим путем. При употреблении эклиптических координат
эти формулы могут быть приведены* как показал Гауссг), к весьма
удобному для логарифмических вычислений виду.
*) Гаусс сообщил свой способ Клинкерфюсу, которым он и был опубликовав.
в 1871 г.
153-

Обратимся прежде всего к треугольнику (черт. 13),
образованному Землей (Г), Солнцем (5) и .планетой (Р), Обозначим через z
и 180° — ф углы этого треугольника, противолежащие радиусам-
векторам Земли и планеты. Рассматривая такой треугольник для
каждого наблюдения и замечая, что радиусы-векторы планеты
равны, в разбираемом случае, а, получим
Ri
а
Рі -
sin** sindv sin 0K- — zt)
Следовательно для вычисления pt. мы можем взять; вместо
формул (б), такие:
sin г4 =
Ri sin tj/j
a
?i =
sin г^
(9)
Гаусс показал, что искомая дуга fs может быть достаточно
удобно выражена непосредственно через углы zi% так что
вычисление Рі и р2 в каждой гипотезе становится излишним.
Черт. 14.
Обратимся к черт. 14, изображающему гелиоцентрическую
небесную сферу. Положения Земли в моменты наблюдений пусть
проектируются в точки эклиптики Тг и Тг, Через Рг и Р2
обозначим соответствующие гелиоцентрические положения планеты. На
этой же сфере отметим и геоцентрические положения плане і ы
П и naf т. е. точки пересечения сферы с прямыми, проведенными
из центра Солнца параллельно прямым Земля—планета. Очевидно
три точки—Тъ Р1иП1 — лежат на большомлсруге сферы, точно так
же, как и точки Т2, Я2> Щ*
Проведем через положения планеты Пг, П2 круги широт и
заметим, что Еі Пг = рі5 Тг ?х = Ьл — Xlf а дуга ТгПг измеряет
внешний угол треугольника Земля — Солнце — планета, который мы
уже обозначили через фх. Из сферического треугольника ?г ТгТ\ь
обозначая угол наклона TXD к эклиптике через ft, получим
cos^x
sin'^ cos ft
sin фх sin ft
cospx cos(X:
cos px sin (X.
sin Pj
(10)
154

Аналогично
cos Ф2 = cos р2 cos (Х2 ~ Lt)
sin ф2 cos-x2 = cospa sin(X2 —?2)
sin &2-Sin T2 = sin p2 .
(10a)
Эти формулы позволяют вычислить не только $ъ ф2, входящие
в соотношения (9), но и углы Yi, т* которые сейчас нам понадобятся,
Наща задача, заключающаяся в вычислении дуги РгРа = 2/,
будет решена, если мы найдем в треугольнике DPXP2 стороны
PXD = dlt pzD = d% и угол между ними т\. В самом деле
cos 2/, = cos^ cos^ + sin^i sinrf3 cos^, (11)
Обозначим дуги TXD и TgD соответственно через <рі и ?2 и
заметим что 7і^і = Фі —*і, тъР2 = ^2 — za» ибо эти последние дуги
измеряют углы между гелиоцентрическими направлениями на
планету и на Землю. Таким образом
dl = bP1=T1D—TxPx = <h-?-b + *j> \
d2 = DP2=T2D-T2P2 = <?2-^ + z2. ] (12)
Теперь нам остается только определить <рг, ъ и % Для этого
применим уравнения Деламбра к треугольнику TXDT2> в котором
известны сторона ТХТ2 —L2— Lx и два прилежащие угла 180°—7а
и ?і< Получим
sin у т] sin у (<рі + ?2) = sin -g (Z2 — ZJ sin -^ (?2 + Ti)
sin y?j cos у ('fx + cp2) = cos ^ (^2 — L±) sin у (т2 — Ti)
cos j -f\ sin -| (?! — <p2) = sin-у (?2 — Zi) cos ^ (т2 + Ti)
cos«4 cos-g (<pi — <p2) = cos у (L2 —1Х)cos - (Т2—Ti)
(13)
Уравнения (10 и 10а), (13), (9), (12)-и (11) полностью решают
задачу о вычислении дуги/,, соответствующей взятому значению а.
Радиус орбиты а должен вариироваться до тех пор, пока получаемая
таким путем дуга/д не станет равной своему динамическому значению
4- * л-у
/ — і
Jd — ,/"—
ay a
В заключение заметим, что формулу (11) можно заменить
другой, более удобной для нахождения малого угла fr Так как
cos dx cos d2 = у cos (rfx — rf2) + у eos № + <4)
sin dx sin <4 ~ y cos (^ ~ ^ — Y cos ^ "*" ^
то после некоторых легко усматриваемых преобразований получим
sin V, - (sin I sin ^)2+ (cos| sin Ц&)\
155

Вычисление элементов. Прежде всего находим
гелиоцентрические долготы 1Ъ 12 и широты Ьъ Ь2 планеты. Для этого'берем
следующие соотношения между элементами треугольников T^Sx
и 7*8PfcSt:
cos bt cos (/,.—/,,) = cos (^ — zt)
cos^sm (/, — ?<) = sin №i — z4) cos ъ \ (14)
• sin bt — sin ($i — 2i) sin'T.- J.
(i = 1,2)
Затем из треугольников JbP151 и SbP2S2 имеем
tgisin(/x — Sb)=.igbx
igisin(l2—Sl) = tg/>2,
так как угол этих треугольников приточке Л есть не что иное, как
наклон орбиты и
Второе равенство напишем так:
tg* [sin (72— 1г) cos (/?— Л) + cos (/2—/2) sin С^ — А)] == tg?a,
откуда окончательно будем иметь для определения наклонности
орбиты і и долготы восходящего узла <fl такие уравнения:
tg i sin (1г — Л) = tg &!
tg it cos (/x — Щ = tg &2 cosec (72 — /x) —
— tgbiC0tg(/a—/a).
(15)
Наконец для вычисления аргументов широты ЛР^г^, <ПР3 =
= и2 из тех же треугольников находим
tg иг«tg (^ — Л) sec f, tg u2 = tg (Z2 — A) sec г.
Этим и заканчивается вычисление элементов, ибо зная аргумент
широты для какого-либо момента и суточное движение
мы можем вычислить положение планеты в орбите в любой
момент.
Для вычисления эфемериды естественнее всего определить
постоянные Гаусса.
§ 50. СОПОСТАВЛЕНИЕ ФОРМУЛ И ПРИМЕР.
Полученные из наблюдений прямые восхождения и склонения
обращаем в долготы и широты. Из ежегодника находим
логарифмы радиуса-вектора и долготы Солнца. Долготы Солнца L0
перечисляем в долготы Земли по формуле L — L0± 180°. Конечно
координаты Земли и планеты должны быть отнесены к одной и
156

той же эклиптике и равноденствию. Исходные данные получаем
в таком виде:
Координаты Земли
Моменты *
наблюдений
к
и
Долготы и широты
планеты
Ь' Ь
\ Ра
ГкООр
Li
і»
Вычисление вспомогательных величин. Находим фц Тъ ^г, #Та по
формулам (10) или же таким, легко из них выводимым:
tgTi^tgPiCOsecfA! — Lx)
tg Тг *= tg p2 cosec (l2 — Za)
tg*a = tg(Xa — I2)sec72,
причем надо иметь в виду, что каждый из углов ъ, 7г> Фі, Фг
заключается в пределах от 0° до 180°.
Контроль:
cos <і>! = cos px cos (Хх —12), cos ф2 = cos р2 cos (Xa — /,,).
Далее находим, при пом'ощи уравнений (13),
<?v ft» sin "2" ^' c6slf ^
Наконец вычисляем
*і = Ті — Фі» *« —?> —Фя.
-L А й-У, lg 4-^° -9.69267
-ю<
Определение а. Для каждого значения lga вычисляем
/?j sin фг . #а sin ф
Sin Zj = — — , Sin Z2 =
д Л а
А = »х + ^, tf2 = &2 + 22
sin*/, - (sin J- sin А±Д.у + (cos 4- sin -А=А-)а
h =
4-*('.-<!)
•Л
Значения lga изменяем до тех пор, пока не получится
J я = Л-
Начинать можно например с lga = 0.40 и 0.44.
Вычисление элементов. По формулам (14) вычисляем
гелиоцентрические координаты (lv Ьг) и^(/2, Ь2). Затем по формулам (15)
находим элементы і и А; после чего формулы
tg «1 =?= tg & — Л) sec і, tg иг = tg (/2 — Si) sec г
дадут аргументы широты. Надо иметь в виду, что иг и и% должны
всегда браться в тех же квадрантах, в каких находятся lx — SI и
157

Контроль:
«a —«i = 2/,= 2fd.
Далее можно исправить моменты наблюдения за аберрационное
время:
_ /?д sin (фж —гг) __ ^2 sin (фа — zj
Pi smzx V Рз sinza
іг° = tx — Арх, t%° = t2 — Лра.
Наконец определяем среднее суточное движение и аргумент
широты для эпохи t0:
Urn UX
п = 8 --
Контроль:
п =* ?а~ ?, lg ?° = 9.993 70_10 .
«О = «і + Л (^0 — ^1°) = ^2 + Л (tQ — t2°),
Представление наблюдений. Вычисляем постоянные Гаусса (они
будут нужны и для вычисления эфемериды). Из формул § 23 берем
например такие:
sin a sin А — cos A
sin а cos А = —cos i sin/ ¦
sin 6 sin i? = sin A cos г
sin 6 cos В = cos r cos SI cos e — sin i sin s
sin с sin С ~ sin А sin e
sin с cos С == cos i cos A sin e -f sin r cos e.
Затем, исправив момент наблюдения t за аберрационное время
(для чего достаточно грубо прикинуть величину р), находим
аргумент широты
f = t-Ao,
u = u0 + n(f — tQ).
Наконец формулы (г=а):
pcos3cosa = rsinasin^ + и) + X
pcosS siiia =/-sin Ь$'т(В+й) + Y
psinS =rs'mc sin(C + u) + Z
дадут прямое восхождение и склонение планеты для момента
наблюдения к Координаты Солнца должны быть взяты для
момента к Конечно, они должны относиться к тому же экватору и
равноденствию, как и исходные'данные.
Пример. Даны следующие наблюдения планеты 1931 LB:
Место
Симеиз
1УЙ1
Июнь 6
* 21
A.U.
21Л 13w.6
21 25.3
a193l.O
256° И'47"
2'53 4 7
°1931.0
— 13° 39' 13"
¦ — Н 16 16
К указанным топоцентрическим координатам были приданы грубо прикинутые
поправки за параллакс ра = — V и +¦ і", р8 = +5" и 4- 5" (этого можно было бы
я не делать), посіе чего они были обращены в долготы и широты. Исходные
данные и вычисление постоянных располагаем следующим образом:
158

/-1=
XX_Z1 =
Pl =
*1
t*pl
cosec (Xx — Lj)
tgTi
Va =
secri
tg(^-^)
Фі =
cos фі
sin^
#1 sin фх
cos Pi
COS (Xj — X-i)
' (COS^i)
Та + Ti =
*
2"(T2 + T1) =
L%-Li~
sin-2-(ra+Yi)
' sin j (L2 — Ix)
coSyfo + Ti)
sln-g-l sin — (<& + %)
sin j n cos у (<px + <ps)
sec у (?! + 9%)
4 "2 CPi + <fa)
у (?i + ?•) =
?i=f
d1 =
sin \ v,
6^.8844
256° 28' 0"
255 10 53.
+ 1 17 7
+ 9 9 7
0.006 42
9.20711
1.649 16
0.856 27
82° 4' 26"
0.860 45
' 8.350 95
9.2.1 40
9° 14'28"
9-994 33
9.205 71
9.21213
9.99444
9.999 89
9.994 33
234° 34' 20"
117 1710
14 2022
9.948 77
9.096 24
9.661 28„
9.04501
9.757 47
0.008 01
9.287 54
10°58'21"
6 56 6"
— 2 18 22
9.765 48
1
2
1
2
. 1
sm-
1
cos-
1
cos-
1 . 1
COS-T] Siny
1 1
cos -p cos -
1
sec-
.**
1
2
>•*
xa =
?2 =
C*8 =
к.
T2 =
Фа =
cos^a
Rt sin фя
(cos 6S)
Та
(т.-
<V
(Тв-
?•-
(т2-
(«Pl-
Oft-
(%-


deos
-Ti =
-Ti) =
-/a) =
-Ti)
-A)
-Ti)
-?i)
-*>
-?»)
-?i)
-91) =
*1я
1
2ld.8926
253° 25'54"'
269 31 15
— 16 5 21
-f 8 12 35
0.007 04
9.15919
0.557 32„
9.716 51„
152° 29' 54"
0.052 08„
9.460 04„
9.512 12
18°0'47"
9-978 18
9.490 29
9.497 33
9.995 53
9.982 65
9.97818
70° 25' 28""
35 12 44
7 10 11
9.760 88
9.996 59"
9.912 23
8.757 52m
9.908 82
0.00108
8.848 7Q*
— 4° 2'15**
15 0 36
— 3 0 11
9.909 90-
i
15d.0082
1.176 33
0.869 00

Вычисление радиуса орбиты;
sin — і) sin
1
cos — ¦») sin
Li
a
sinz2
*i =
dS + da =
i-(d2 + d;)-
I (rf, - rfj =
sin...
sin...
X № + <ti)
\ №-<«
(...)a
Add.
(•••)2
sin2/ff
_4-J
a8
a1'-
/* =
/,-'d =
0.430 00 -
8.782 13
9.067 33
3°28'17//5
6 42 2L.5
1 9 55.5
3 42 10.5
4 52 6
2 32 15
2 26 3
1 16 7
8.62810
8.34517
8.393 58
8.255 07
6.787 16
0.184 24
6.51014
6.97140
8.485 70
1° 45' 12."4
1°.7534
1.29000
0-645 00
0-22400
1°.67 50
+ 0°.0784
0.460 00
8.752 13
9 037 33
3° 14' 22"
6 15 22
0 56 0
3 15 11
4 11 11
2 19 11
2 5 35.5
1 9 35.6
. 8.562 59
8.306 25
8.?2807
8-216 15
6.656 14
0.203 37
6.432 30
6.859 51
8.429 75
1°.2' Wr
1°.5414
1.38000
0.69000
0.179 00
1°.5101
+ 0,°0313
0.48000
8.732 13
9.017 33
3° 5'37"
5 58 25
0 47 15
2 58 14
3 45 29
2 10 59
1 52 44.5
1 5 29.5
8.515 73
8.279 89
8.281 21
8.189 79
6.562 42
0.219 16
6^79 5c9
6.78158
8.390 79
1°24'33"
1°.4092
1.44000
0.720 00
0.149 00
1°.4093
— O°.0001
После того, как сделаны две первые пробы, полагаем lg а = 0.46 + х и
определяем х из пропорции
х ' 0.03
313 471 "
Так как х = 0.01994, то с некоторым округлением берем х^=0.02.
Переходим к вычислению элементов.
Ф1=
Уі — Н =
cos Yi
sin (фа — z{)
sin?!
cos Ьг sin (lx—Lt)
cos^cos^ — 1г)
sec(. . .)
9°14'28"
3 5 37
6 8 51
9.139 55
9.029 74
9.995 83
8.169 29
9.997 49
5
*3 =
Фа — H —
COS Та
sin(tb8 — zt)
sinY2
cos&asin(/8—L2)
cos b2 cos (lz — L2)
sec ( ...)
18° 047"
5 58 25
12 2 22
9.947 92n
9.819 29
9.664 43
9.267 21rt
9.990 34
7 64

tg(. . .)
/!-?!=.
sin Ьг
cos b)
tg*i
cotg(/2 — /J *
• -tg^cotg(/2 — A)
Add.
tg ?2 cosec (/2 — /±)
tg/sinC/x —Л)
tg«cos(/!-*A)
sec(. . .)
tg(A-«a)
tg/.
uz =
(/) =
sinOW—*i)
cosec ?t
Px
"2 — «x =
И2 —"i
3600
Л"'
rf /0 i
Iq Си j
4-^1° j
n (r0 - >s°)
n (o - У
8.17180
+ 0° 51' 3"
9.025 57
9.997 54
9.028 03
1.314 35
0,342 38rt
9.004 22
.0.300 60
' 9.028 03
9.304 82,(
0.053 53„
9.723 21,,
152* 8'4"
9.358 35
154° 20' 52"
-151 31 46"
' 2 49 6
1 24 33
.0.029 74
1.267 87
0.006 42
0.30403
8.065 21
0Л)116
. 6.8728
2.°8183
ОД40 99
1.176 32
9.273 67
3.556 30
2.829 97"
0.959 96
1.382 51
' 0.233 63
0.656 18
tg(- - •)
*2 —/-2 ==
sin Ьг
cos Ьг
cosec (/2 — /3)
tgbzcosec { .. . . >
"¦ /*-A =
sec/
^g (/i - Л)
tgax
*g*2
*2^
i
i
Pa
И p2
Лр2 =
Г2 *x — (
л" =
4 =
'o-'i" =
вв = і
9.276 87й
10°42'45"
8.983 72
9.997 98
8.985 74
258° 48'30"
256 1 56
103 53 52
12 51 27
2° 46'34''
1.31486
0.300 60
= "' 154°54/38'/
0.01102
9.723 21*
9.670 44„
9.734 23,,
9-681 4б„
154.°3478
151.5294
.9,319 29
0.982 67
0.007 04
0.309 00*
8.070 18
0/0118
21.8808
15.0080
676/'3
Июль 1.0
+ 9.rf1192
+ 24.1272
+ 1.°7125
4- 4.5309
= 156.°0603
Сопоставляем полученные результаты:
эпоха /0= 1931 июль 1.0 T.U,
и = 156.°0603 + [9.273 67J (t° — /0)
103° 53/9 > Эклиптика и равноденствие
/г = 676/'3 - і= 12° 51/5 J 1931.0.
И
lg а = 0.4800 Sb
п = 676//3
Курс яебеспо5 механики, т. I.
161

Вычисление постоянных Гаусса можно расположить следующим образом:
sm ?
COS Е
sin *
costfb
cos /
sin SI
cos/cos Л, cose
. Add
— sin * sin e
cos/costfbsin e
Add
sin i cos г
9.599 80
9.962 57
9.347 38
9.380 55ft
9.988 97
9.987 09"
9 332 09w
0.149 89
8.941? 18„
8.969 32,
0.075 89.
9.309 95
sin a sin A
«in д cosA
sec Л
\gA
sin a
sin b sin В
sin b cos В
cosec В
igB
sin b
9.380 55„
9.976 06rt
0.013 55„
9.404 49
9.989 61
9.949 66
'9.481 98rt
0.023 84
0.467 68n
9.973 50
sin с sin С
sin с cos С
cosec С
tgC
sin с
Л =
B =
C==
с — в =
smlC—B)
sin 5 sin о sin (С — В)
cosec a sec A
Ytg.0
9.5S6 89
9.045 21
0.017 22
0.541 68
9.60411
194° 14' 27"
108 48 43
73 58'16
- 34 50-27
9.756 85й
9.334 46„
0:023 94n
9.358 40
Итак, для представления наблюдений и вычисления эфемериды окончательно-
имеем такие формулы:
pcosocosa-= [0.469 61] sin (.4 + и) -f X
pcoso sin x = [0.453 5.0] sin (B+ u) + Y
' p sino= [0 084 11] sin (C 4- u) + Z.
Представление исходных наблюдений диет не только полный контроль
полученных элементов орбиты, но и окончательный контроль вычисления постоянных
Гаусса, ибо употребленная нами контр льная формула (см. § 23)
, . sin & sin с sin (С — 8)
tgi= —
sin a cos A
дает лишь частичный контроль.
Дополнение к главе VI.
О НЕВОЗМОЖНОСТИ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ.
Основой определения круговой орбиты является, как было
показано в § 47, решение уравнения (5) относительно а. В 1894 г.,
при попытке определить круговую- орбиту для одной м'алой
планеты, было обнаружено, что это уравнение не всегда имеет
действительные положительные корни, отличные от очевидного корня,
приблизительно равного единице и соответствующего орбите Земли,
Это обстоятельство побудило Тиссерана (F. Tisserand,. 1845—1896)
заняться исследованием .уравнения (5).
Ограничившись случаем, когда наблюдения -близки к
оппозиции, интервал времени между ними мал, и широты- планеты не
велики, Тиссеран заменил сложное трансцендентное уравнение (5)
приближенным алгебраическим уравнением. Исследуя это
последнее, он пришел к такому заключению 2):
Пусть (сохраняем обозначения § 49)
/ =
\
?і
Ь =
L,-L,
круговая орбита невозможна,' е сл.и
й2>2 — 2/ — Я — 2VY—2I.. -'
*) Sur la determination des orbites circulates (Bulletin astronomique, t. XII,
53 — 59).
162

Вывод этого критерия (в несколько измененной форме) можно
найт/и в курсе А. Я- Орлова х). Там между прочим показывается,
что если среднее суточное движение Земли принять равным 59/1/
то неравенство Тиссерана может быть заменено такой таблицей:
ДХ = 6', 8', 10', 12', 14', 16', 18', 20\ 22% 24'
Др = 3', 4', 5', Г, 8'. 11', 13', 16', 19', 23'.
Эта табличка для каждого значения суточного движения по
долготе АХ дает предельное суточное движение по широте др —
если наблюдаемое суточное движение по широте превосходит
указанное предельное значение, то круговая орбита невозможна.
Случаи, когда критерий Тиссерана невозможности круговой
орбиты выполняется, встречаются на практике весьма редко.
Следует также иметь в виду, что выполнение неравенства Тиссерана,
еще не позволяет утверждать с полной категоричностью
несуществование круговой орбиты: вопрос окончательно выясняется лишь
при действительном разрешении уравнения, определяющего а.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. В примере § 50 вычислить представление полученной орбитой исходных
наблюдений, а также следующего:
1931 Т. U. а1931.0 ^Д 931.0
Июнь 17 20*30.1 253° 53' 28" — 14° 4' 39"
Координаты Солнца имеют такие значения:
X Y Z
Июнь 6.8844 + 0.25958 + 0.90О12 + 0.39041
„ ' 17.8542 +0.07679 -f 0.92950 +0.40316
21.8926 + 0.00850 + 0.9^238 + 0.40441.
2. В примерах, данных в §§ 48 и 50, найти корень уравнения (5) близкий
к единице (соответствующий орбите Земли).
3. Сколько независимых параметров входит в уравнение (5)?
4. Чем отличается определение круговой орбиты планеты, движущейся в
плоскости-эклиптики, от об'ііего сіучая вычисления круговой орбиты?
б. Хилл подробно разобрал решение следующей задачи: даны три
равноотстоящие наблюдения планеты, днижущейся" по круговой орбите в плоскости эклиптики;
определить орбиту и ььссу этой планеты. (Hill, The Collected Mathematical Works»
vol. I).
ГЛАВА VII.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЕМ НАБЛЮДЕНИЯМ. МЕТОД
ГАУССА В ЭКВАТОРИАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ.
Основной проблемой учения о вычислении орбит является
определение орбиты по трем наблюдениям в самом общем
случае, т. е. без всяких априорных, предположений
относительно характера орбиты.
Движение 'светила определяется шестью элементами: а,
е, MQ, 'Л, і, со. Так как каждое наблюдение, дающее для
г) А. Я. Орлов, Теоретическая астрономия, Одесса, 1921.
И» 163

определенного момента времени і координаты светила а, о,
позволяет написать два уравнения вида
.а=/і.& а> е> мо> Л 1> ^ 8 =/2 (А. а,"е, Л?0, А, /, ©), (1)
то три наблюдения необходимы и, вообще говоря, достаточны
для определения элементов орбиты.
, Однако уравнения (1) настолько сложны что
непосредственное решение их представляется невозможным1. Попытки
Эйлера (1744 г.) и Ламберта (1761 г.) дать способы "дЛя
вычисления ком^тных орбит- выяснили необходимость расчленения
задачи "путам введения /надлежащим образом выбранных
промежуточных неизвестных^ Эта' идея получила различное
осуществление в методах Лагранжа (1778 г*), Лапласа (1780 г.)
и Гаусса (1809 г.).
До конца задача была решена лишь методом Гаусса.
Лгігранж и Лаплас дали решение задачи только в первом
.'приближении, причем очень мало сделали в отношении приспособ-
лелия своих методов к практическому применению. Поэтому
их методы долго представляли только теоретический интерес,
-и лишь в XX веке, будучи основательно переработаны и
дополнены, получили некоторое .распространение.
Если во времена Лагранжа и Лапласа рассматриваемая'
задача'представляла лишь теоретический интерес (поскольку
дія -вычисления параболических орбит комет употреблялись
специальные методы^, то метод Гаусса создавался уже на
почве реальной потребности, созданной открытием малых
планет. Он был дан в столь законченном виде, что без всяких
изменений по-существу (если не считать некоторого улучшения,
внесенного Эяке в. первое приближение,—см. § 55) дошел
до наших дней —изменилась лишь, под влиянием успехов
вычислительной техники, его внешняя форма.
'' До недавнего времени метод Гаусса был единственным мето-
дом)Чдейстзитедько применявшимся для вычисления орбит по
трем наблюдениям. Но и в настоящее время, несмотря на
многочисленные попытки ввести в практику.- другие методы,
он остается основным, наиболее распространенным методом.
При изучении метода Гаусса, которому посвящена
настоящая глава, -необходимо иметь в виду следущке характерные
особенности этого метода:
1) За_неиззестиые принимаются геоцентрические расстояния
светила в -моменты, наблюдений р, plt р2. После определения
s Pxt ?2> Уже ¦ нетрудно вычислить гелиоцентрические коорди-
нлты светила и определить элементы орбиты (глава IV).
2) Так как задача может быть решена лишь
последовательными приближениями, то важно иметь для неизвестных
достаточно хорошие, приближенные значения," с. которыми
¦можно ' было бы начать процесс ¦ постепенного уточнения.
Для р, рі9 р2 такие исходные значения не могут быть указаны.
Поэтому Гаусс ^выражает их через две новйе неизвестные
(в наших обозначениях cv с2), для которых сразу могут быть даны
достаточно близкие к действительности приближенные значения.
1G4

* 3) Гаусс указал простой путь для получения, исходя из.,
приближенных значений съ с2, более точных значений тех же
величин. Повторное применение этого процесса очень быстро
приводит к точным (в пределах употребляемого- числа знаков)
значениям clt c2l причем одновременно получаются точные
значения р, рх, ра.
Как уже было отмечено, форма, в которой метод Гаусса
в настоящее время обычно применяется, отличается от
первоначальной. Еще' в 1871 г. Клинкерфюс, учитывая расширение
астрономических ежегодников (которые стали давать
прямоугольные- экваториальные координаты Солнца), рекомендовал
вести вычисление орбит не в эклиптических-координатах, как
это делал Гаусс3. а в'экваториальных, и дал соответствующие
формулы. Более глубоким изменением была замена
сферических координат направляющими косинусами. Этим
достигалось упрощение изложения и вместе с тем облегчалось
выяснение реальной точности отдельных этапов вычислительной
работы. Вместе с тем такая замена давала формулы наиболее
удобные для вычисления на арифмометре.
§ 51. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Обозначим через іг, t, t2, момент трех наблюдений, .выбранных
для определения орбиты. Мы предполагаем, что
4<t<U (У)
Такой способ обозначения является удобным потому, ,что
среднее наблюдение входит в формулы иначе, нежели крайние.
Обозначим через (а19 оД (a, S), (а2, 82), прямые восхождения
и склонения светила для моментов наблюдений, а через (А'д, Yx, Z3),
(X, У, Z), (Х2, К2, Za) прямоугольные экваториальные координаты
Солнца для тех же моментов.
Конечно; координаты светила и Солнца должны быть отнесены
к одному и тому же началу координат, т. е, быть одновременно
либо геоцентрическими, либо топоцентрическими (см. § 43); кроме
того они должны быть отнесены к одному и тому же экватору
и равноденствию.
Обозначая, как и раньше, через ри р, р2 геоцентрические
.расстояния светила, а через (xlt yl9zx), (х, у,'г), (х2, у2, z2) гелиоцентри-'
ческие координаты светила, отнесенные к тому же экватору и
равноденствию, что и все предыдущие координаты, будем иметь
хг*='к1р1 — Хг х = 1р — Х х2~12р2-~Х21
З^і = F-iРі — Уг У = ^Р— У ^2 = Н-2Р2— Уг > <2)
'zi = 49\-*rZ\ z, = 4p—Z ^«vjpjj —Z2 !
Величины
Xx = cos 3X cos ax 7 \xx = cos Sa sin aA> *x = sin 8X
суть направляющие косинусы тех направлений, в которых
наблюдалось светило.
165

Условившись в этих обозначениях, церейдем к выводу основных
уравнений. Как уже было указано, наша ближайшая задача
заключается в определении геоцентрических расстояний. Для вывода
уравнений, связывающих ри- р и р2, воспользуемся прежде всего
тем/ что светило движется в плоскости, проходящей через центр
Солнца.' •¦ '
Параметрические уравнения плоскости,, проходящей через точки
Р\(хіуУі^і)у PAx-2>y&z*) и $ (0,0,0), можно написать так:
6 =±uxv+ юхгу ч\ = цух-+ *°У& ' • Ъ=игг + vzz,
где Ё, ?!,С — текущие координаты, а и и v—параметры.
¦ Пусть и=пи v~n2 будут значения параметров, соответствую-
•щие точке P(x,y9z), которая по условию лежит в рассматриваемой
плоскости. Тогда .
пх хх — х + п2 х2 = 0 1
пхух—у + п2у2 = 0 > (3)
пх zl — z + nzz2 = 0 }
Сосуществование этих равенств является, таким образом,
условием необходимым и достаточным для нахождения четырех точек:
Ри Я2, S И Р В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ;
Интересно выяснить геометрическое значение величин пх и %
Первые Два из уравнений (3) дают
Обозначим через [гг г], [г, га], [г г2] площади треугольников
PxSPyPxSP2, PSPz. Так как выражения, стоящие в числителях и
знаменателях только что написанных выражений, представляют
площади проекций этих треугольников на плоскость xSy, то
*іУ — хУх _ Хі-Уг — *аУі *Ув — х2у
Следовательно
Подставляя выражения (2) в равенства (3), получим следующие
уравнения, являющиеся основными для определения геоцентрических
расстояний:
9\ П-1 V— Р '* + Р2 Я*2 ?і2 — /21 ^1 -^ + П2 -^2 ]
Рі «і іч — р Ц-+ рз п% [х2 = «! Гх — У + пг К2 ;- (5)
Рі /21 Vl ~ f' v + Р2 ?і V2 = Л1 ^1 ^ + >*2 ^2 ]
Если бы мы могли, выразить отношения площадей
треугольников я, и п2 через данные наблюдений, то эти уравнения' ре.шали
бы поставленную задачу. Но так как это невозможно, то приходится
искать пути для наиболее простого -выражения ?х и пг через
геоцентрические расстояния.
166

§ 52. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ Щ И П2
Мы уже использовали полностью одно- из свойств движения
—именно то обстоятельство, что движение совершается в плоскости
проходящей через центр Солнца. Поэтому для определения щ и п\
нам необходимо обратиться к другим свойствам движения светила"!
Удобнее всего исходить при этом непосредственно из
дифференциальных уравнений движения, являющихся первоисточником всех
таких свойств. /
Итак обратимся к уравнениям (II, 1). Так как мы условились
буквами без, индексов ху у, г, г, t обозначать величины,
относящиеся к среднему наблюдению, то для большей ясности текущие
значения те^х же величин будем обозначать большими буквами.
Уравнения движения напишутся так:
Массу Солнца мы приняли при этом за единицу, а массой
светила пренебрегли.
Удобно ввести обозначения
% = k(T—t)9 U=R~3;
так что ? будет время,- считаемое от момента среднего наблюдения
и измеряемое в единицах, равных* у- = 58.132' 44 . , .суток.
В этих обозначениях уравнения движения напишутся так:
— _ — ли 9 ^ — — г и, ^г zu. (6)
В Анализе доказывается, что функции Х> У, Z, определяемые
этими уравнениями, могут быть разложены в ряды по степеням б,
сходящиеся для достаточно,малых значений 0, Коэффициенты этих
разложений
б2 \
X = XQ + Х0'Ь + Х0" —¦ + . . .
¦ " Q2 .1
Z — ^о "г ^о о ~г ^о т>~ гг. • • • I
представляют собою значения производных X, У, Z для момента-
0=0. Для пол/чения этих коэффициентов нужно почленно
дифференцировать уравнения. (6) и затем положить 8 = 0. Так, например,
для первого ряда получим
Xq === —¦ А о L/q = — xtt
X0"r =—XQU0f—X0fUo = -xu' — x'u ¦¦
X™ = Х0 (С/о2-ВД"2^'Уо' = х{и%-и*)—2х'*>
где через х\ и, и\ . . , обозначены значения соответствующих
функций для момента среднего .наблюдения.
1«7

Подставляя полученные коэффициенты в ряды (7) и собирая
,вместе с одной стороны члены, имеющие множителем х (или у, z),
а с другой — имеющие множителем х' (или у, z')3 найдем
X = xF(B)±x'-G(d) }
Y = yF(b)+y>G{b) , (8)
Z=~zF\b)+z'G{b) )
где
F(8)==l-i- аР — -±і?&—^(иГ-«и*)Р-^. . ..
G(9) = 0^ і /гбз— Л- я'?* — . . .
Применим эти формулы к вычислению гелиоцентрических
координат для моментов крайних наблюдений. Долагая
и вводя для.краткости обозначения
G (— т2) = G1? G (-г) = G2,4
получим
л-а =Jc/r1 + -к' Gj, л*2 =* х F2 + л* G2,
Этими выражениями мы и воспользуемся для вычисления
отношений
Л1 = v , Х, ' ^2
Так как '
Ху2 —Х3у = G2 (ху'-V-*», JCjJ' — JfJ/j = Ох (*> — */),
х-іУі — хаУі = С^і^г — F&j.ixy' — ,v'.y),
то
Но
Gz __ _ —С?!
^=1— -LMv> + -LM't,3_ ....
' 1 1
Оі = — t2+ jM:23 — — и*~?+ • '• ¦
^2 = 1 — і"йта2'~ Tw'TiS— • • • •
G2 = x1—у uxf— -?ц'тл* — Л . .
Следовательно
где для краткости положено'
.¦T = Ti + V=A(4 —*і)-
it*

Итак
я, =
т1 "
ъ ""¦,|
и W 4
6 Ч 12 Ті ' ¦ ' ; *
б Х + 12 1 2 'х)ы + ¦"•
Учитывая, что
— 3 « — 4
я = г> и' = —Зг г'
представим эти формулы в следующей форме:
Лі = «1° + V, 3 л, - V + с г, ¦ 3 (9>
где
ЭТ 0 V „О Т«
'2-й Vzl* +-ПЪ і,-
{10}
Формулы (9) дают пг и тг3 в виде бесконечных рядов. Беря
в этих рядах то или иное число членов, будем получать пх и пг.
с различной точностью.
Ограничиваясь членами первого порядка относительно величин
~ч> *&, ъ. получим
Эти простые формулы не настолько точны, чтобы ими можно
было воспользоваться для нашей цели. Присоединяя члены 2-го
порядка, мы .тем самым взедем в пъ п% неизвестную величину л
Выражения пЛі пг, точные до членов 3-го'порядка, заключают не
только г, но и г'.
Примечание. Необходимость пользоваться приближенными
выражениями пг и п2 заставляет выбирать наблюдения так,
чтобы пренебрегаемые члены были действительно достаточно*
малы. Таким.образом приходится выбирать наблюдения,
разделенные небольшим** промежутками времени.
Необходимо однако отметить, что понятие малости
промежутка времени между наблюдениями является весьма отног
сительным. Дело в том, что .величина различных членов
в рядах (10) зависит не только от.х1( т2..т, но еще и от г и г'.
Таким образом для малых планет (для которых г заметно
больше единицы, а производная гг, вследствие малости
эксцентриситета, Majfa)' интервал в 1—2 месяца, как показывает
1?9-

опыт, можно еще считать малым. Напротив, для комет,
наблюдаемых вблизи Солнца (г мало) и движущихся по сильно
эксцентричным орбитам (г' велико), малыми приходится
считать лишь гінтервал&;' не превосходящие нескольких дней.
§ 53. ФОРМУЛЫ ОППОЛЬЦКРА, ДАЮЩИЕ Яі И П2 С ТОЧНОСТЬЮ ДО
членов з-го порядка.
Разложения предыдущего параграфа, оудучи продолжены до
членов 3-го порядка, дают формулы, заключающие г и г1, а потому
неудобные для употребления при определении геоцентрических
расстояний. Можно преобразовать эти формулы так, что, оставаясь
столь же точными, они будут, вместо г и г' заключать гг и г2.
Разлагая в ряд Тэйлора радиусы-векторы, соответствующие
.крайним наблюдениям, получим
rt = r — xgr'+. . . .
Откуда
Вычисляя при помощи этих равенств г~3 с точностью до
членов 1-го порядка, а>~4/ до членов нулевого порядка, получим
:и наконец
Подставляя эти выражения в формулы (9), (10), найдем
Я — Х-і Гі 4- 1/т2— т 2 "|__L__ J_ 4 xi2-:a гг ~ гі I 1
л —-2
«2 - t
(11)
Эти формулы нам понадобятся при вычислении орбит по
четырем наблюдениям.1 Они были даны (1870 г.) Опдольцером.
а то

§ 54. ФОРМУЛЫ ДЖИББСА, ДМОЩИЕ Щ И П2 С ТОЧНОСТЬЮ ДО ЧЛЕНОВ
: 4-го ПОРЯДКА.
Вернемся к уравнениям (6), определяющим движение светила.
Разложение (7) функции X, удовлетворяющей этим уравнениям,
¦напишем так:
X = Л0 + AJi + А%Ъ* + й,6» + Л40
гд
т
Подстановка этого выражения в первое из выражений (6) дает
-3
— XR ¦= 2А2 +. 6А8в + 12Л40* + ...
Применяя эти соотношения к моментам 0 = —т2) 0 и +*си
получим ^членами порядка выше четвертого пренебрегаем)
хг = А0 — А^2 + Л2х22 — л3т2з + Л4т24
х = А^
х* = А> + Ал + Ал2 + А3гг3 +¦ A#f
— *Л~3 = 2Л2 — 6А& + 12А&*
— хг* = 2А2
—х2г2-з = 2А2 + 6^ + Ш«гх«
(12)
Исключение из этих шести уравнений коэффициентов Л0,Л15...,
Л4 дает следующее соотношение между координатами светила для
рассматриваемых'моментов времени
X
х2
— ДУГ*
- хГа
-^2^2
1
1
1
0
.0
0
~2
0
0
0
0
То2
0
2
2
1
0 0
— 6~2 12'г"
0 0
6"! 12ч2
= 0 ,
Вычисление этого определителя не представляет затруднений,
результате получим
•3
12х1х1 — ХХГХ " т (т/ — Тхт2 — т2-) —
-3
— 12хх + хГ°і (х2 + ЗтЛ + V) +
+ 12х2*2 — -*Va т2 ("г'' — "і^г ч ) ™ 0
Замечая, что аналогичные рассуждения целиком- применимы к
двум другим координатам, окончательно получим
*Л(1 +В1гг-8) — хх(1 — Вг~*) +х&%(і+В#і*-)=*0\
Лті(Н-ВЛ-8)-^(1-Дг-,)+-УЛ(1+5Л"3)«0]., 0»)
*Л (1 + Вхгг~г) — z~ (1 — Вг~%) + г2т2 (1 + S2r2 ) = 0
где
А =
12
хт.
Vs ,,
fl-iv. + fl. 52 = F2(^-vj
171

Сравнение этих равенств * с * равенствами (3) дает формулы
Джіиббса (1888 г.):
—з
1 * 1— Вг~6
п2 =
* 1 — ?r
—3
-3
(14)
Легко видеть, что погрешность этих формул не ниже 5-го
порядка. Действительно, выражения координат (12), точные до
величин 4-го порядка включительно, обращают равенства (13)
.в'тождества, откуда следует, что ошибка каждого из этих равенств не
ниже 6-го йорядка. Умножая -первое из этих равенств на +у2
(соотв. +уг)у второе ка- х2 (соотв.—х3) и складывая, получим, на
основании (4), пг я пъ с ошибками не ниже''5-го порядка. Но
полученные выражения будут тождественны с (14).
§ 55. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИХ РАССТОЯНИЙ.
Теперь мы можем вернуться к разрешению'уравнений (5)
относительно геоцентрических расстояний. Для отношений цг и пг
возьмем/на основании (9) и (10), такие выражения: л г
лі = лі + ^іг
—3
я.
— w.O
п2° + с,г
—3
(15)
/; 0 _ Л
О Т2
Пь" =
Причем).-в первом приближении мы положим, ограничиваясь
членами 2-го порядка,
Сі = ? *Л (1 + Лі°), ^2 = 4 ТіХ, (1 + Л2°).
(16)
Таким образом пг и пй будут зависеть лишь от одной
неизвестной величины /-, которая легко выражается через-р. В самом
деле, возводя уравнения (2) в квадрат и складывая
уравнения,.относящиеся к каждому -наблюдению, получим радиусы-векторы
светила. Для среднего радиуса-вектора получим
где
/¦2 = Р2 + 2СР + Я»,
С = —Q.X+ vY + vZ), R2 = ** + Г* + Z\
Имея это в виду, исключим из уравнений (5) рг и р*. В
результате получим ш
V-U — V-, \Н
vd
v> Ч
УЛі пгХг — Х-+П2^С2> h
'и
п
1*^1
Z + /z2Z2, v2
Раскрывая стоящие здесь определители и.вводя обозначения
*12=ВД» — №> Н'12 = ^Л — *2Х1> V12=V2— Vl .-(17)
17

U =Хк12 -f}>12 +Zv12 ., (19)
перепишем последнее уравнение так:
дря5=_л1і/1 + і/-/г8г/,. (20)
Подставляя сюда значения /гх и п2, окончательно получим для
определения р такие уравнения:
,а = ра + 2Q + Я* JT ^>
где
Р= ^(Ц—п^ — п^Щ, Q = A"1 (^Ui + *t?/2). (22)
Вместо того чтобы исключать из уравнений (21) г, что дало
бы уравнение 8-й степени для р, обычно предпочитают
разрешать уравнения (21) совместно. Как увидим дальше, эта операция
не представляет никаких неудобств и выполняется очень быстро.
В конечном счете геоцентрическое расстояние р оказывается
выраженным через две неизвестные величины сь с%і входящие в
коэффициенты (22). Особенностью этих неизвестных является то,
что для них сразу можно указать весьма точные приближенные
значения, а именно значения (16).
Уравнения (21), впервые полученные Лаграижем в его мему-*
аре 1778 года, будем называть уравнениями Лаграяжа.
После того, как найдено р, а следовательно стали известны г9
пх, пъ определение остальных геоцентрических расстояний pL и р2
не представляет затруднений. Предположим, что из минорон (17)
самым большим по абсолютной величине является Х12. В таком
случае для определения pt целесообразно взять два последние из
уравнений (5). Исключение из них р2 даст для вычисления рг. такое
уравнение: ч
лЛгРі =' Vs— vp.2) р — (vtK— (x2Z) + «J. (vgyi— paZj) -f Щ (v3Ka— н^2).
Когда р и р! вычислены, любое'из уравнений (5) даст р2. И
здесь, для получения результата с наибольшей точностью, следует
взять то уравнение, в котором коэффициент при р2 наибольший
по абсолютной величине.
§ 56. ТОЧНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ р.
Нам нужно еще убедиться в том, что точность приближенных
значений сг> с2, даваемых формулами (16), достаточна
для.получения значения р, близкого к действительности. * . '
Поставим вопрос общее: допустим, что ошибка пъ л3 (или,,
что все равно, съ с2) т-го порядка относительно промежутков
времени; какого порядка будет соответствующая ошибка в р? ,
Удерживая прежние обозначения:
. 173

и пользуясь рядом Тэйлора, получим
XjssX-—т2Х' + т2а- т23-^-т+• . •
_XB«X + T1X' + T1S-g-+xi3__+ . . .
и i аналогичные разложения для двух, других направляющих
косинусов и двух других координат.
Подставляя эти ряды в выражения миноров (17), получим
разложения такого вида .
После чего по формулам (18) я (19) найдем
А = — —- tvc^D -h члены 4-го. порядка (23)
U^Mi + N» U = Mx + N, U2 = Mt + N2) (24),
где -....'¦-
X X1 X"
fl (J. . Ji
v v' v"
, M =
XXX'
Y p p-'
Z v /¦.
а через AfJf #, 7V2— обозначены совокупности членов порядка выше
первого. ,
Итак, в общем случае, когда определители D и М не равны
нулю, Д есть величина 3-го порядка, a Uv U, U% — первого порядка.
Поэтому,.решив уравление (20) относительно р
p=J7A-1 —яііЛЛГ1 — п*и21Г\ (25)
-мы будем иметь у пг и п2 коэффициенты (—2)-го порядка. Отсюда
ясна справедливость следующего положения:
Если для отношений пг и п2 взять значения, имеющие ошибку
ші-го порядка, то р получим с ошибкой порядка т—2. С такой же
оши кой получатся р, и р2-
Рассмотрим теперь случай, когда промежутки времени мёжддг
наблюдениями равны, т. е. когда
і
Подставим в уравнение (25) выражения (24). Получим
р = (1 —Пі — п2) М tZT1 + NA-1 — п^Л'1 — п% N2A~\ (26)
174

С другой стороны формулы (9) и (10) дают
В рассматриваемом случае это равенство обращается в такое
1_Лі_Ля =^ f-/-e+(4) + (6) + -.e,
где через (4), (6),... обозначены члены 4-го, 6-го,... порядков.
В самом деле,. поскольку щ получается из гіг заменой т1} х2 на
— та, — т15 все члены нечетных порядков должны сократиться."
Предположим теперь, что пг, п2 известны нам с ошибкой
порядка 21 + 1. Сумма 1—пг — пг будет известна с ошибкой порядка
21+2. Что же касается коэффициентов в формуле (26), то
порядок МіА~1 равен — 2, а порядок NxA~l и NzA~l
равен—1."Следовательно- р определится с ошибкой порядка 21. Итак,
если в случае равноотстоящих наблюдений пг и л3 известны
с ошибкой порядка 21 + 1, то р определяется с ощибкбй
порядка 21.
Применение полученных теорем* к тому случаю, когда в
уравнениях Лагранжа (21) дли сг> с% берутся значения (16) ошибочные
на величины 3-го порядка, показывает, что в первом приближении
мы получим р (а следовательно и р1з р2) с ошибкой 1-го порядка,
если наблюдения какие угодно, и с ошибкой 2-го порядка, если
наблюдения равноотстоящие.
§ 57. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИХ
РАССТОЯНИЙ.
Одной из важнейших заслуг Гаусса является разработка
весьма совершенного метода для перехода от' приближенных значений
геоцентрических расстояний, получаемых по формулам § 55, к точным
значениям. Лагранж имел в виду возможность уточнения величи-1
ны р, найденной в первом приближении, путем последующего
вычисления членов 3-го и высших порядков в рядах (10), Однако
этот путь нб получил-никакого распространения и был
основательно забыт. Только в недавнее время* (1931 г.) Шарлье была сделана
попытка облечь" метод Лагранжа в удобоприменимуіо форму.
Однако, дальнейшее улучшение этого метода, произведенное Андуайе,
привело в, сущности к отказу от идеи Лагранжа использовать
разложение (10) и к переходу на путь, указанный Гауссом.
Основная идея Гаусса весьма проста. После того как решение
уравнений (21) даст нам р, мы можем вычислить рг, р2 и, наконец,
гелиоцентрические координаты светила для моментов наблюдений.
Это даст нам возможность вычислить по совершенно точным
формулам (см. §§ 34—36) отношения площадей сектора и
треугольника для каждой пары наблюдений, а именно:
175

Так как, согласно закону площадей,
то для отношений я, и /zj. получим новые значения
1 IvJ (Vs) Чі * % ¦ . (27)
" __ J>Vi _ (V) А _ « o-2L >
Эти новые значения пь щ мы можем представить в прежней *
форме (15): . .
то даст для сг и с2 новые значения
7Х = -г*{*п\ - л Д ^ = г3 (я2 - п2°). (28)
Таким образом мы избегаем употребления разложений (10) для
величин" с, и '?:, и находим их по- совершенно точным формулам-
Если бы значения геоцентрических расстояний, полученные в
первом приближении, были бы точны, то новые значения /zL й п2
.должны были бы созпасть с исходными, т. е. были бы
удовлетворены уравнения
пх=пь п2 = п2. (29)
За неизвестные, подлежащие определению из этих уравнений,,
можно считать сг и с2/ибо • в силу соотношений [2\)> (15) и (5)
геоцентрические расстояния р, ov р2 .являются вполне
определенными функциями cv с2.
Уравнения (29) могут быть разрешены относительно си е.г лю-.
бым методом, применяемым для численного решения уравнений.
Так как приближенные значения корней этой системы, даваемые *.
формулами' [1С), обычно мало отличаются от точных значений, то
уточнение этих значений всегда может быть легко выполнено по
способу пропорциональных частей (regula falsi).
Но для случая небольших промежутков времени {каковой
толь'ко и встречается на- практике) наиболее удобным и быстрым
является метод итерации, предложенный Гауссом. Этот метод
основывается на том обстоятельстве, что значения отношений
площадей треугольников, даваемые формулам^ (27), оказываются
гораздо более точными, чем исходные значения пъ п2. Таким образом,
принимая эти новые значения , /г„ щ за исходные, вычисляя по:
формулам (28) соответствующие си с% и подставляя ид в уравнение '
Лагранжа, мы получим новые, более точные значения р, pv p2 и
, т. д., до тех пор, пока заключительные значения л„ п% не срвпа-
дут с исходными.
Как'показывает весь огромный опыт вычисления орбит,
накопившийся со времен Гаусса, такие приближения сходятся обычно '
весьма быстро, так что 1—2 приближения почти всегда оказыва--
ются достаточными. Таким образом эмпирически законность при-
1 76

менения в данном случае метода итерации является хорошо
обоснованной.
Попытку обосновать указанный итеративный процесс
теоретически мы встречаем (1906) у Герглотца (G. Herglotz), который
указывает на существование такой теоремы х):
Если при вычислении отношений пх и п2 по формулам (27)
взять значения геоцентрических расстояний (а следовательно и
гелиоцентрических координат), имеющие ошибку порядка т, то
полученные значения пг и п2 будут иметь ошибку порядка т + 4,
Сопоставляя эту теорему с результатами предыдущего
параграфа, приходим к таким заключениям:
Если наблюдения неравноотбтоящие, то порядок ошибок в
различных приближениях дается таблицей:
Приближение
1-е 2-е 3-е
Ошибки в пг и пг: . . . 3 5 7
Ошибки в рх, р, ра:. . . 1 3 5
Для равноотстоящих наблюдений эта таблица заменяется такой:
Приближение
1-е 2-е 3-е
Ошибки в пх и ла: . . . 3 6 8
Ошибки в рх, р, р2: - . . 2 4 б
Так как формулы Джиббса дают отношения пх и п2 с
ошибкой 5-го порядка, то отсюда ясно, что ими всегда можно
пользоваться для второго приближения вместо точных, но гораздо более
сложных формул (27). В самом деле ошибки 5-го или 6-го порядка
в nv п2 дают, в случае равноотстоящих наблюдений, в геоцентрических
расстояниях ошибки одного и того же порядка (четвертого).
В заключение отметим, что:
При определении орбиты по трем наблюдениям важно
выбирать наблюдения по возможности равноотстоящие.
Такой выбор наблюдений важен не только с точки зрения
сделанных нами подсчетов точности различных приближений, но
еще и по следующей причине. Формула (20) показывает, что
определение р будет тем точнее, чем больше определитель Л. Но
величина Л зависит прежде всего от члена -«-x^tj Д как это
вытекает из формулы (23), и потому будет тем больше, чем больше
произведение т^. А так как эти сомножители связаны
соотношением т1 + т2 = т, то произведение т^ будет иметь наибольшее зна-
і
чение тогда, когда т1=т2 = — т.
§ 58. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА.
Нам остается рассмотреть вопрос о разрешении уравнений
p = P—Qr~*
г2 = р2 + 2Ср + R2
«
r) Encyklopadie der Matheraatischen Wissenschaften, Bd VIa, стр. 407—408.
(30).
12 Kipc небесной механики, т. I.
177

относительно р и' г. Как мы видели, эту систему придется решать
в каждом приближении, постепенно уточняя значение коэффициента <?.-
Отметим прежде всего некоторые свойства коэффициентов
этих уравнений.
Из треугольника TPS (черт, 13), образованного Солнцем S,
местом наблюдения Т и светилом Р, находим
г2 = р2 + 2р R cos ф + R2.
Следовательно
С = # cos ф,
где.ф—^гол между направлением на светило и продолжением
радиуса-вектора Земли.
Докажем, далее, что коэффициенты уравнений (30) должны
довольно точно удовлетворять соотношению
p^QR-з. (31)
В самом деле, легко видеть, что значения
р = 0, г = Я (32)
почти точно удовлетворяют уравнениям (30),—что и дает
равенство (31). Действительно, при выводе уравнений (30) мы исходили
только из двух предположений: 1) что светило движется вокруг
Солнца по законам Кеплера; 2) что это светило е моменты
наблюдений пересекает три заданные в пространстве прямые (каждое
наблюдение фиксирует прямую). Так как место наблюдения в
моменты наблюдений находится как-раз на этих прямых, и так как
оно движется вокруг Солнца приблизительно по законам Кеплера,
то ясно, что значения (32) должны почти точно удовлетворять,
уравнениям (30).
Исключив из уравнений (30) радиус-вектор, г, получим
3
9^Р~ Q(?2 + 2R9 cos^+Я2) 2 . (33)
Пользуясь соотношением (31), мы можем заменить это
уравнение другим, правда приближенным, но зато заключающим только
два параметра. Делая Q = PRS и вводя обозначения
x=?R-\ p = PR~\
легко приведем последнее уравнение к такому виду:
рх=*1 — {х*+ 2х'cos *t + \) 2 . (34)
Наличие только двух параметров позволяет легко дать таблицу
корней этого уравнения для различных значений р и cos ф.
Таблица VIII, данная в конце книги, содержит значения р,
расположенные по аргументам х и cos ф. Эта таблица, давая
возможность находить приближенные значения положительных корней
уравнения (34), содержит вместе с тем практически полное
решение вопроса о числе положительных корней этого уравнения.
178

Рассматривая эту таблицу, мы видим, что уравнение (34) имеет
либо один, либо два положительных корня. Так как каждому из
этих * корней соответствует действительное положительное
значение г = Ух2 + 2х cos іЬ+ 1, то приходим к такому заключению:
уравнения Лагранжа имеют, не считая паразитного решения,
соответствующего земной орбите, одно или два решения.
Сообразно с этим, задача определения орбиты, по трем
данным наблюдениям может иногда иметь два решения. В этом
случае для выяснения вопроса, какая орбита является
действительной, необходимо привлечение новых наблюдений.
Когда, при помощи таблицы VIII, получено приближенное
значение х, а следовательно и р = х R, мож-ю перейти к вычислению
соответствующего корня уравнения (33) с нужной точностью. Если
желаем применить при этом метод Ньютона, то переписав
уравнение (33) в следующем виде:
f(P) = p-P+Qr-*=09
будем иметь
/(P) = l_3Q(p + C)r-5.
Переход от приближенного значения рг к следующему более
точному р3 будет совершаться по формуле
Очень часто весьма быстро приводит к цели метод итерации.
В этом случае вычисление нового более точного значения р2
совершается по формулам
V=(Pi + C)a + S2
где
52 = R2 — С2 = R2 sin2 ф.
Для облегчения вычисления г~3 по г2 можно воспользоваться
таблицей VII, которая по аргументу г2 дает
С этою целью первое из уравнений (30) напишем так:
р==р_(/г-і Q).?ir~\
где
Л=107.64?2,
Л-1 = 0.000 005 280 28, Ig (А"1) = 4.722 657-м
Пример. Требуется решить систему
р = 1.9328 — 1.9653 г"3
г3 = (р + 0.966 552)1 + 0.098 758
Так как здесь
R = 1.016, р = 0.526, cos ф = 0.*>5,
12* "9

то из таблицы VIII находим х — 1.80, что дает р = 1.83. Чтобы вести дальнейшие
вычисления при помощи таблицы VIII, первое из данных уравнений напишем так:
р= 1.9328 — 0.000 010 377 (hr~B)
Последовательные приближения дают
р = 1.83 1.8446 1.8460 1.8461
р + с = 2.796 552 2.811 152 2-812 552 2.812 652
га = 7.919 46 8.006 33 8.009 21 8.009 769
Лг-3 = 8498 8368 8356
р = 1.8446 1.8460 1.8461
Итак
р = 1.8461, г1 = 8.009 769
Примечание. Соотношение (31) позволяет представить
первое из уравнений (30) следующим образом:
Так как р величина существенно положительная, то
заключаем, что
r>R, если <3>0,
r<R, если Q<0.
Можно показать (мы на этом останавливаться не будем)'
что Q>0 в том случае, когда видимый путь светила обращен,
выпуклостью в сторону Солнца, и Q< 0, когда он обращен к
Солнцу вогнутостью. В этом заключается теорема Ламберта
о кривизне видимого пути: светило находится от Солнца
дальше или ближе чем Земля смотря по тому, обращен ли
видимый путь к Солнцу выпуклостью или вогнутостью.
§ 59. УРАВНЕНИЕ ГАУССА.
Гаусс указал следующий способ решения системы (30).
Обозначим через z угол треугольника STP (черт. "13) при точке Я.
Так как
Р г R
sin {ф — г) sin b sin z *
TO
р=8/г *»№-«) r = *J*JL (35)
г sin г ' ч sm z v '
Подставляя эти выражения в первое из уравнений (30),
получим для определения z такое соотношение:
_ —з
— R sin ф cos z + (R cos ф + Р) sin z = Q (R sin ф) sin4 z.
Полагая
psin<7=#sin4>
H-cos?=/?cos6 + P (36)
180

приведем это соотношение к виду
sin (z — q) = m sin4 z. (37)
Это и есть уравнение Гаусса. Решив его, получим z9 после
чего формулы (35) дадут риг.
Такой путь решения основной системы (30) может представлять
известные преимущества при логарифмическом вычислении.
Условимся в уравнениях (36) квадрант q выбирать всегда так,
чтобы ^ имело jot же знак, что и Q, иначе говоря чтобы было
т>0. В таком случае наша задача будет заключаться в
нахождении положительных корней уравнения #(37), удовлетворяющих
условиям
Я < * < Ф>
таккак_эіп(ф— z) и sin {z — q) должны быть, по смыслу задачи,
положительны.
Для малых планет,„наблюдаемых вблизи оппозиции^ z мало
отличается от q, ибо угол <|> невелик, в силу чего sin 2 есть малая
величина, а потому, на основании уравнения Гаусса, sin (z—q)
также должен быть малой величиной. Таким образом для малых
планет в первом приближении можно взять z=q.
Для решения уравнения Гаусса было предложено много
различных способов. Из способов, основанных на употреблении
вспомогательных таблиц, наиболее разработанным является способ
Банахевича1). Мы ограничимся изложением способа Титьена, не
требующего никаких вспомогательных таблиц и быстро
приводящего к цели.
Для получения первого приближения Титьен полагает z = q + &z,
так что уравнение (37) обращается в такое:
sin А© = т sin4 (q + Д-г),
или, ограничиваясь членами первого порядка,.
Az~m sin4 q + Am sin3 q cos q Дат,
или
m sin* q
Az =
1 —4msin4?Cotg?'
откуда, с тою же точностью, для определения zt = q + Дг
имеем
. , n т sin4 q
sm^x—?; — 1_4«sin^cotg^'
Уточнить полученное значение z лучше всего следующим
приемом. Прежде всего вычислим z2 при помощи равенства
sin (г2 — q) = m sin4 zv (38)
' Затем переписав уравнение Гаусса следующим образом:
f(z) е= lg т + 4 lg sin z — lg sin {z — q) = 0,
*) Th. Banachiewicz, Tables auxiliares pour la resolution de l'equation de Gauss
dans la determination d'une orbite planetaire. Paris, Ш6.
181

нодставим в него точное значение z= z2 + Azz. Пусть d и D будут
табличные разности для lgsin?2 и lgsin(z2 — q)y соответствующие
изменению аргумента на некоторую определенную величину (напр.
0°.001, или КГ). В таком случае результат подстановки можно,
ограничиваясь членами первого порядка, написать так:
f(z2) + (4d—Ц>Дг2=0.
С другой стороны, пользуясь равенством (38), находим
f(z2)^\gm + 4lgsmzz — lgsm(z2 — q)=^
= lgm + 4lgs'mz2 — lgm~4lgsinz1=^4d(zt—zx).
Следовательно
Az* =
ы
D—Ы
{4 — z&
или, полагая z% + Д^а = ?3, будем иметь окончательно
ы
ZZ — Z2 ,+ ?__4rf" ^2 Z^'
Конечно этот прием может быть повторен; но на практике
в атом обычно не встречается надобности.
Пример. Нужно решить уравнение
sin (г — 8°.097П) = [1.283 608] sin4 z
Вычисления можно расположить так;
sin q
т
zin*q
cotgq
4
4т sin4 q cotg q
m sin4 q
4/nsin4? cotgq
sin(^— q)
zL-q =
9.148 761
1.283 608
6.595 044
0.846 888
0.602 060
9.327 600
7.878 652
9.896185
7.982 467
0°.550 30
8°.647 41
sin*!
sin4 zx
sin(z2 — q)
**-? =
z9~
Ч — Ч
smz*
sin (z4 - q)
Zi — q =
zA~
9.177 113
6.708 452
7.992 060
0°.562 59
8.659 70
0°;012 29
0.004 30
S°.664:0O
9.177 939
6.71L756
7.995 364
0°.566 88
S°.663&9
rf=50
D=712
Ы
D — Ы
= 0.350
Вычисленное для контроля zA в пределах точности шестизначного вычисления
совпадает с%
182

§ 60. СОПОСТАВЛЕНИЕ ФОРМУЛ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОРБИТЫ ПО МЕТОДУ
ГАУССА
(Экваториальные координаты).
Исходными данными являются: моменты трех выбранных
наблюдений tlf ty t2 (?i<t<t2)t выраженные в средних солнечных сутках;
наблюденные координаты светила (ах, 8Х), (а, 8), (а2, 82); координаты
Солнца в моменты наблюдений (Хи Уг, ZJ, (Аг, У, Z), (Аг2э К8> Z2).
Координаты "светила и координаты Солнца должны быть выражены
в одной и той же системе, т. е. должны быть одновременно либо
геоцентрическими, либо топоцентрическими, и должны быть
отнесены к одному и тому же экватору и равноденствию.
Ради полной определенности мы будем предполагать, что
наблюдения исправлены за аберрацию неподвижных звезд, но не
исправлены за планетную аберрацию.
Сферические координаты светила перечисляем в направляющие
косинусы:
Хх = cos 8Х cos аі5 pj = cos Ьг sin a„ vx = sin Ьг
Контроль:
V + Ha2+ V =!,••¦
Примечание I. Вычисление орбиты ведется как правило
с шестью знаками. В случае наблюдений исключительно
большой точности (напр. по нормальным местам — см. §77) может
быть целесообразно частичное применение семизначного
вычисления. Если вычисляется предварительная орбита по мало -
точным наблюдениям (напр. данным с точностью до 1"), то
можно ограничиться пятью знаками (самое большее —
вычислить с шестью знаками основные постоянные, а все остальное
вычислять с пятью)..
Примечание IL Так как всякая ошибка в исходных данных
сведет на-нет всю последующую работу, то не следует
жалеть времени на самую тщательную проверку всех этих
величин. Для контроля координат Солнца можно образовать
величины Хг2. + Уг2 + Zx\ .. и сравнить их с квадратами
радиусов-векторов Земли, найденными из эфемерид. При этом
берутся, конечно, геоцентрические координаты Солнца.
Вычисление постоянных.
хі8 = We — Wi» V-іъ = vix2 — Vi> vi2 = Чі*а — xaPa
Д = \ll2 + w12 + vv12
Ux = Xxll2 + Уф* + Zivu
t/2 = ^2^12 + ^12 + ^2V12
Контроль:
L = Xx + b + b + Xl + X + Xt
M = H + V- + ft + Yi + Y+Y*
183

Lht + MyX2 + №гг = А + и + иг + U%.
Далее находим
S* = R2 — C\
Первое приближение.
ix^k (f% — t), t = k (t% — tx)y xa = k(t —4)
A = 0.017 2021,
Контроль:
При логарифмическом вычислении можно не вычислять xls т2, т
и заменить эти формулы такими:
у = 5.693 012 _10
Далее находим
р = Ь~\и—п№г — 4*U%\ Q = А"а (dtA + с2?/2) (A)
и составляем основную систему
р = Р- Qr~\ г2 = (р + Q» + S2. (В)
Относительно решения этой системы см. § 58.
Если вычисление ведется с логарифмами, то можно перейти
к уравнению Гаусса:
p. cos q в С + Р J
Определив отсюда р и q (для р.- берем знак одинаковый со
знаком Q), находим
m = Q)».~lS~* (от>0).
Решив уравнение Гаусса (см. § 59)
sin (z — q) — m sin4 2,
вычисляем рил
7 У? ' r sjhz ' sins
134

После того, как тем или иным способом вычислены риг,
переходим к определению геоцентрических расстояний и радиусов-
векторов для моментов двух крайних наблюдений.
Прежде всего находим
-з
Затем вычисляем рх по одному из уравнений
п ЛгРі — Ova — VH*) Р — (v2 У — Н?) +
+ пг (vayi — p.2Zj) + щ (v2r2 — t*2Z3)
«lhfPl = (VX2 — ^2) P — (X2^ — \X) +
+ Лі (^ — v^) + n2 (X8Z2 - v2^a)
ЛЛ2Р1 = (Xpa — jxX2) p — (ji^Y— \2Y) +
+ «i &2XX — \2YX) + пг (?2X2 - Х2Г2)
(C)
Выбираем то уравнение, в котором коэффициент при рх
наибольший.
Точно также для определения р2 берем то из уравнений
/г2Х2р2 = Хр — йхХіРі — X + пхХх + пгХ2
»2Мг = W> — ЛіН-іРі — У + піУг + n%Y% -,
Л8 V2 — VP — йЛРі — Z + /ZtZx + n2Z2 .
(D)
в котором коэффициент при р2 наибольший.
Наконец переходим к определению гелиоцентрических
координат, для чего служат формулы
хі ~ хіРі — Хъ х = \р — X, л2 = Х2р2 — Х2
yi^V-iPi—Уъ У=*1Н> — У, У2=*№% — У%
гг = vxpj — Zj,, 2 = vp — Z, 22 = v2p2 — Z%
(E)
и радиусов-векторов светила:
Контроль: полученная величина г должна совпадать с
найденной раньше. Кроме того должны выполняться соотношения
х = пххх + п2х2у у = пгуг + п2у2У z = nxzx + п&%.
Первое приближение заканчиваем учетом планетной
аберрации: полученные нами координаты светила (хх, уъ zx\ (х, у9 z),
(x2j J^2j zz) относятся соответственно к моментам
где
tx — Аръ t — Ар, і% — Лр2,
А = 0* 005 770, lg А = 7.761 18_
ю
Для малых планет очень часто можно ограничиться тою
точностью, которую дает первое v приближение, и перейти сразу
к "определению элементов.
185

Второе приближение.
Второе приближение начинаем с вычисления более точных
значений пг и nt. Для этого- проще всего взять формулы Джиббса.
1 х \—Вг~ъ 1—Вг*
где -
Не следует забывать, что t, тх, т2,. ла°, яа° должны быть
перевычислены с моментами наблюдений, исправленными за планетную
аберрацию.
Вычисление коэффициентов В, Ві9 В2 облегчается таблицей IX,
которая дает р, р1э р2 п0 аргументу Wj0, после чего
Я = рЛ Ях^т», Я, = р,хя:
В третьем и дальнейших приближениях вместо формул
Джиббса следует взять точные формулы
Этими же формулами можно пользоваться и во втором
приближении в более трудных случаях (напр. для кометы вблизи
перигелия, или в случае весьма значительных промежутков
времени между наблюдениями).
Вычисление отношений площадей секторов и треугольников
^> Чі, ^2 обычно выполняется при помощи Гаизеновской
непрерывной дроби (которая при шестизначном вычислении дает точный
результат, если гелиоцентрическая дуга, описанная светилом, не
превосходит примерно 30°).
Сначала находим
*2 = гхг% + хгх^+угуг + ztz2
*і = гг% + хх% + ууг + zzt
V = V + хгх +Уіу + zxz}
затем
іі . а
X
I ^-,8
U 9 А ' 9
* = 7ГГ7- Г*» К
'2^2 , , V % (2V2 j.' V
11 8
а ^—, "9 ^, Ц^ = 0.942 809
*№* + * + ,
^ = 1.222 222
186

и наконец
1 і 10 Ь і . 1° h
Ч =* 1 + 77 ' Т-ТГн Чі = 1 + ¦ ' 1
11 1+Ь_ (1 ' 10 1+^1
1 + Ь 1Н-*і
Ъ-і + ТГ'тЬ; ?=0.909091
1+^7Т івіг- 9.958 607_і0
При логарифмическом вычислении величины Ь, Ьъ &й находим
по формулам,
* — —/-..^ > г"> *і =
*2 -Г- * + '"і+'а *ія(-4—«і+/" + га
11 #{* —у*
2V2
b>= Луг Г> 1^ = 9.974 424_10
v 3 / lg-у- k* = 9.558313-ю.
Непрерывные дроби одинаково удобно вычисляются на ариф^
мометре и при помощи логарифмов сложения.
В тех весьма редких случаях, когда возникнет сомнение в
достаточной точности Ганзеновских формул, вычисление можно
выполнить по формулам Гаусса (см. §§ 34 и 35).
После того, как тем или иным способом получены новые
значения пх и #2 (обозначения для них сохраняем прежние), вычисляем
соответствующие сг и с2:
с1 = (п1 — п1(і)г31 с2 = (я2 —ля°)г».
Затем по формулам (А) и (В) (или, если угодно, при помощи
уравнения Гаусса), находим новые значения риг. Подставляя
новые значения пь п2 и р в те из уравнений (С) и (D), которые
употреблялись в первом приближении, получим новые
значения Рі и р2.
Наконец уравнения (Е) дадут новые значения
гелиоцентрических координат.
Если новые, значения р, рХі р2 отличаются от полученных ранее
больше чем на 0.001, то следует перевычислить поправки за
планетную аберрацию.
Последовательные приближения продолжают до тех пор, пока
новые значения пг и я2 не будут совпадать с теми, которые мы
имели в предыдущем приближении, в пределах точности
вычисления.
187

Вычисления элементов.
Элементы вычисляются при помощи гелиоцентрических
положений светила іг (хг, уг, z$9 t2 {хг, у2і z2), полученных в последнем
приближении. Моменты іг и t2i которым соответствуют эти
положения, получаются из моментов наблюдений исправлением их за
планетную аберрацию.
Прежде всего вычисляем вспомогательные величины
гг
Xq — Xq QX}
z0 = гг — szx
го = VV + Уо1 + V-
После, чего находим разность истинных аномалий
sin (?2 — vx) = -Ь-
'а
со8(«>,-^-**+**+*''
Согласие этих величия является контролем только что
выполненных вычислений. При малых значениях vu — vt этот
контроль мало чувствителен —его лучше тогда заменить таким:
(гіг0)*=« (УЛ — y*?d*+.(x&—x*zi)2 + (-ЧУі — ХъУіТ-
Затем вычисляем параметр орбиты
Л Л,
т-Afo-'i). Ур=^
?
Входящее сюда т\ либо берется из последнего приближения
либо вычисляется по формулам
*а = ггг? + х±х2 + угуъ + zxz%
J!
9
-у = 1.222 252
^Г^1х+г1+г,
3
1 ^ 11 1
+ ь
3
11
0.942 809
0.909 091
і + ь
Формулы
гі га
е cos t^ == дг
qx COs(v2 —vx) — ?а
е sin v1 =
sin (va — -у-l)
'2 ™ Vl + (V* — Oj)
дают истинные аномалии и эксцентриситет. Контроль:
Р = r2(l + ecost/2).
188

. Далее находим большую полуось орбиты и эксцентрические
аномалии
а = р
— = Р
(1-е) (И-*) cos8 ср
Контроль:
е = sm <р,
tg-f^ = cotg(450+4-9)tgi^
cotg(45°+-|-?)tg^-tr2
fii) = V"iV*sin t К — vi)>
*Т?«
& sin ^- (?2
где
Затем идет вычисление средних аномалий:
*° = 57°.295 78 е = Мг~Ег — ё> sin ?2
= [1.758 123] е
і% = ?'* — ^slnfe.
Если употребляются таблицы* со старым подразделением градуса,
то эксцентриситет можно выразить в секундах дуги:
jr
206 264".8г.
Среднее суточное движение и средняя аномалия выбранной
эпохи tQ вычисляются по формулам
п
Контроль:
где
или
где
П=—~F=3
ay a
k° = 0°.985 608 « [9.993 704-ю],
k"
л =
аУ а
~ і
k" = 3548" Л 9 = [3.550 007].
Наконец переходим к определению элементов, фиксирующих
положение орбиты в пространстве. Прежде всего вычисляем
направляющие косинусы
Хл
COSUi
* Гл.
—л
sintr,
sin u,
о п
р —. 1/ C0S1J*
Р — г C0StJi
•Уо
о
sint^
г1
Хг
sint^
COSVi
COSVi
''о
COS 1\
186

Заодно полезно вычислить аРХУ аРуу аР2У bQ& bQyy &Qt> где
6 = acoscp, и сразу проконтролировать все эти вычисления при
помощи соотношений
(aPxf + {аРуУ + (аРгУ = я» -
(&Q»)2 + (bQ,)2 + (6Qz)3=*2
(аРх) (bQx) + {аРу) №У) + (aPz) (bQe) = 0.
Вычисление і> о> и <Л> производится по формулам
sin t sin со = Р% cos е — Ру sin е
sin г cos <о = QB cos e — Qy sin e
sin tfb — (Ру cos ш — Qy sin to) sec e
cos si — ^ cos ш ~~ Q*sin ш
причем sine и cose можно взять из таблицы III.
Контроль: sin^ и cos л, должны принадлежать одному
и тому же углу; кроме того должно быть
Рх sin со + Qx cos <o = — cos i sin si-
Представление наблюдений.
Наиболее полным' контролем полученной орбиты является
представление исходных наблюдений при помощи найденных элементов.
Практически достаточным является контроль, - заключающийся
в представлении среднего наблюдения, непосредственно не
участвовавшего в определении элементов. Вычисленные координаты
светила должны совпадать с исходными данными в пределах
точности вычисления.
Представление исходных наблюдений прзволяет судить лишь
о правильности вычислений, но не о качестве полученной орбиты.
Пригодность найденной орбиты может быть оценена лишь после
представления ею-других наблюдений. Дурное представление этих
последних может иногда с определенностью указать на наличие
ошибок в исходных наблюдениях и на необходимость повторить
вычисление орбиты с другими данными.
" Чтобы вычислить координаты, соответствующие наблюденному
моменту ty пользуемся формулами
f=t-AP> А = 0*005 770
M = M0 + n(f — tQ)
E-~e°smE = M.
р cos 8 cos a = aPm (cos E— e) + bQx sin E+ X
pcosS sina = aPy(cos?—e) + bQysinE+ Y
P sin 8 = aPt (co.s? — e)> + bQ2 sin E + Z.
Координаты Солнца берутся для момента t Аберрационное
время Ар получается путем интерполирования или экстраполирования
из данных имеющихся для трех исходных наблюдений. После
определения р правильность принятой величины Лр поверяется и,
в случае надобности, вычисление повторяется. Сравниваемое
наблюдение исправляется за параллакс.
190

§ 61. ПЕРВЫЙ ПРИМЕР. (Вычисление с арифмометром).
Даны следующие топоцентрические положения планеты 1931IB, полученные
в Симеизе:
1931
Июнь 6
. 21
Июль 7
т. и.
2іь 13». б
21 25 -3
20 33 -9
а (1031.0)
17* 4* 59*-13
16 52 16 -49
16 41 35 -77
S(1931.0)
— 13 39' 13".2
— 14 16 16 -9
— 15 11 40 -0
Вычисление направляющих косинусов располагаем следующим образом:
t
«
0
COS a
Sin а
COSO
А
И-
V
X
Y
Z
Х« + р2 + v2
—
—
+
_
+
+
+
6*884 45
256°.246 38
13 .653 67
0.237 747
0.971 327
0.971 740
0.231 028
0.943 877
0-236 052
0.259 587
0.900 143
0.390 383
0.999 998
С
Л2
-S2
—
. —
.—
+
—
—
+
+
+
+
21d.892 57
253°.068 71
14 .271 36
0.291 225
0.956 655
0.969 139
0.282 238
0.927 132
0.246 515
0.008 504
0.932 409
0.404 379
1.000 002
0.966 552
1.032 981
0.098 758
—
__
—
+
—
—
__
+
+
—
—
+
37*856 88
250 .399 04
15 .194 44
0.335 467
0.942 052
0.965 042
0.323 740
0.909 120
0.262 096
0.258 673
0.902 079
0.391 223
1.000 001
0.827 588 —L
0.045 498 — М
0.441 322 — АГ
Координаты Солнца вписываем сюда уже исправленные за параллакс, т. е.
топоцентрические.
Вычисление постоянных.
Ліа
-?лій4* •
+ 0.032 7868
4- 0.015 8680
— 0.095 5386
— 0.070 0192
А
и \
и,
Сумма
— 0.000 4137
— 0.023 5595
— 0.014 5021
— 0.031 5438
— 0.070 0191
— 0.095 5386 ад — — 0.043 5615 р
— 0.294 1269
+ 0.055 4166 пх
+ 0.527 2039 л,
— 0.262 096 rt2p8 = — 0,246 515 р — 0.404 379
-f 0.236 052 rt^-f 0.390 383 пх
+ 0.391 223 я,

Первое приближение.
и-
t%-t
*і°
п2°
-пх*их-пхЧ1%
c>Ux + c%U%
15.964 31
15.008 12
30.972 43
0.515 4363
0.484 5639
— 0.000 7996
— 0.000 81304
X
1
6
V
Р
Q
0.274 6197
0.258 1712
0.532 7908
..0.011 8165
1.9328
1.9653
с2
сх+с%
Т (*+*¦>
0.017 9071
0.017 5423
0.035 4494
0.011 8165
Следовательно уравнения Лагранжа имеют в настоящем случае такси вид:
р = 1.9328 — 1.9653 г~\ га = (р + 0.966 552)* + 0.098 758.
Решение этой системы (см. § 58) дает
р = 1.8461, г2 = 8.009 769, г~% = 0.04411.
Контроль и вычисление отношений пх> п.г:
X
У
— 0.529 544
— 2.643 987
— 0.859 470
8.009 773
схг-г
п<
0.000 7897
0.000 7736
0.516 226
0.485 337
После этого обращаемся к ураврениям, дающим рх и ря, и заканчиваем
приближение вычислением аберрационного времени и гелиоцентрических координат;
"ipl
V4Pi
vtrtt
Уі
ч
rt
гх~г
— 0.090 0667
0.942 726
— 0.245 537
— 0.127 205
— 0.681 488
— 2.623 841
— 0.821 459
8.023 76
0.04400
Pi
Pi
Уг
4
V
'¦"*
1.826 189
1.930 246
— 0.366 225
— 2.656 904
— 0.897 133
7.998 11
0.04421
¦4 Pi
A?t
ЧУх+'ЧУг
nxzx -\-n^z^
0*010 54
0 .010 65
0 .011 14
— 0.529 544
— 2.643 989
— 0.859 470
Второе приближение.
Пользуемся формулами Джиббса:
t
<і
37.845 74
21.881 92
6.873 91
Вх
192
0.005 178
0.006 637
0.029 561
п
я, —л,
0.516 2207
0.515 4303
0.000 7904

t —
t
h
Px
Pa
P
и—пг*их-п*и2
CxUx + ci^a
Л1Р1
v2n2p3
15.963 82 1 + fi.r,-*
15.008 01 1 + ?ara->
30.971 83 1 — Br-1
0.532 7305
0.283 8550
+ 0.018 24
+ 0.023 38
+ 0.104 14
¦0 000 7995
¦0.000 81416
0.090 0498
0.942 549
0.245 504
0.127 207
я*:»*0
г3
1.000 2278
1.000 2934
О 998 6963
1.001 5335
1.001 5998
22.668 9
p
Q
H
?*
1.9326
1.9680
1.825 864
1.929 956
rt1
p
r-»
X
У
z
0.485 3449
0.484 5697
0 000 7752
0.017 9175
0.017 5729
0.0441
1.8458
8.008 082
0.0441
0 529* 459
¦2.643 709
•0.859 396
8.008 086
Ух
4
П
0.681 413
2.6J3 534
0.B21 382
8.021 923
2.832 300
x2
yt
0.366 131
¦2.656 641
0.897 057
7.996 505
2.827 809
пгхг + п2х%
ПхУі+ПгУг
пх2г + л А
глг,
1'2
0.529 459
2.643 710
0.859 396
8.009 203
Определение элементов.
*хХ*+УіУй+г&
о
3 * + *"
*'(...)
11 2
-— х2
9
Ъ
непр. дробь
Л
cotg(45° + -|lj
tg-_
tg"•
5 2
' tg + Ex
+ 7.956 101
+ 0.991 795
15.965 304
3.995 661
9.427 254
150.5090
0.346* 9339
0.002 3051
0 002 2998
1 002 0907
0.940 149
— 0.149 544
— 0.091 085
— 0 140 594
Xb
Уо
4
n*
rxr9:%
Vp
e
cos cp
1— e*
+ 0.309 691
- 0 054 633
— 0.0Я2 414
0.105 6853
0.325 093
0.920 761
1.728 219
1.731 832
2.999 242
G.O'-l 639
3°.533 90
0.998 098
3° 531 655
0.996 201
sin (vi—v1)
cos(t?a—vj
4x
e sin vx
4*>x
COS&!
v9 — v
1
1
T г
1
+ 0.114 9829
+ 0.993 370
+ 0.060 624
+ 0.058 942
- 0.018 032,
- 0.305 «28
+ 0.956 "252
- 0.292 544
6°.601 49
342,989 66
349.591 15
171 494 83
174 795 58
3.300 75
13 Курс небесной явханяки. т. I.
193

tg
т<?*
Ег)
Ег
sin Er
Va
а'1'
—3/
ti — h =
— 0.085 634
175°.Ю5 50
171.997 01
3.108 49
343°,994 02
— 0.275 738
1.735 131
5.223 924
0.188 672
37*000 00
— 30.126 09
a
:0 , 9
45°+ -;
3.010 680 cos v2
ra(l+ecosfa)
46°. 766 95
+ 0.983 544
2.999 244
sin Ez
M2
Mx
M2-Mx
n
350°.211 00
sin 4 (?,_iy
— 0.170 Q20bsm~(E2-E1)
350.811 45
344.967 83 Vr7%
5.843 62 Sin-~(r3— vx)
0.188 675 Vw* - - ¦.
— 5.684 04
350.651 87
3.004 954
0.054 227
0.162 950
2.830 054
0.057 577
0.162 946
Остается вычислить направляющие косинусы;
/v
аРи
аР\
Е(аР8)
Ф
Р? cos e
— Ру sin е
Qt cosе
— Qy Sin e
Sin I Sin 0)
sin i cos u>
tgco
sinw
C0S.U)
sin/
+ 0.048 623
— 0.934 931
— 0.351 481
-f 0.146 388
— 2.814 778
— 1.058 197
9.064 186
9.064 194
— 0.322 4556
+ 0 372 0285
— 0.144 5661
— 0.043 8823
-f 0.049 5729
— 0.188 4484
— 0.263 058
-f 0.254 403
— 0.967 098
\ 0.194 860
a
bQx
hQy
bQz
E (W
b*
Pv COS О
-Q„sin<o
( >
Px COS (0
¦ Qx sin <o
sfritfb
cos«fb
a>
i
si
+ 0.981 330
+ 0.110 279
— 0.157 579
-f 2.948 851
+ 0.331 383
— 0.473 518
9.029 756
9.029 749
+ 0.904 1699
¦— 0.028 0553
+ 0.876 1146
— 0 047 0232
— 0.249 6533
+ 0.954 977
— 0.296 676
165°,261 79
1I.2.-6 54
107.253 10
cos vx: rx
sin vx: r0
sin vx: rx
cos v x: r0
? (aPbQ)
— Рх sin o>
— Qxcosu>
Сумма
cos i
cos / sin SI
+ 0.337 624
+ 0.899 878
-0.103 289
+ 2.941 472
— 0.000 018
— 0.012 3698
+ 0.949 0423
+ 0.936 672
+ 0.980 831 .
+ 0.936 671
Сопоставляем полученные результаты:
Эпоха fe = 1931 июль 7.0 Т. U. . -
мв
9
в
350°6519
3°.5339
0М88 675
(!)
і
Л
165°2618
1Г.2365
107°.2581
Эклиптика и равноденствие 1931.0
194

В заключение приводим представление одного из наблюдений, не
употреблявшихся при вычислении орбиты.
t
а
о
17*854 24
16*55™ 33*.85
14° 4' 41".5
X
У
Z
4- 0.076 786
+ 0.929 502
-f 0.403 163
Наблюденные координаты исправлены за параллакс, поэтому координаты Солнца
взяты геоцентрические.
t°
м
Е
sin E
cosE
cos Е—е
0.010 59
17.843 65
347°.037 59
346.194 87
— 0.238 620
+ 0.971 ИЗ
-i- 0.909 474
р cos о ros a
р cos о sin а
tga
а =
psino
pCuSO
tgo
5 =
а~
— 0.493 733
— 1.709 540
3.462 479
-253°.890 73
— 0.446 249
-f 1.779 410
— 0.250 785
—14.°078 06
16А 55т 33в.78
Итак:
Jf. — B.
Да = -f 0f.07t
5= —14°4'41".0
ДЗ = — 0".5..
Отсюда заключаем, что вычисление не содержит значительных ошибок. Так
как взятое наблюдение довольно близко к одному из наблюдений, употребленных
при оп; еделении орбит, то m лученный результат еще не может гарантировать
безошибочности употребленных наблюдений: только представление наблюдения, далеко
отстоящего от этих последних, моіло бы дать такую гарантию.
§ 62. ВТОРОЙ П ИМЕР. (Вычисление с логарифмами).
Даны следующие топоцентрические наблюдения планеты 1930 SE:
Место 193о Т. U. «з?зо.о 1 зэзо.о
Симеиз сентября 17 20* 0*.5 23* 14* 22*'28 -f 7° 26' 2".4
27
18
21
20
19.9
3.7
23
23
7 26-48
0 40.52
-f 6 40 39.1
4-5 3 32.2
, октябрь
Вычисления вед"м при помощи шестизначных логарифмических таблиц с
десятичным делением градуса. Прежде всего находим направляющие косинусы, при
чем вычисления располагаем в три столбца. х)
а, =
«1 =
COS 3t
cos сх
sin cej
Add
*ie
ЛА.12
34S°,592 83
+ 7.134 00
9.091 336
9.996 334
9 296 182n
9.987 670
' 9.292 5I6n
9.111 881
8237 889rt
9 957 693
8.51Я 378
8Л95 787
8.1У1 308
а =
5 =
X
Add
— Vi
Hii
Wu
346°.860 33
4- 6-677 53
9.988 478
9.997 043
9.356 648„
9.9*5 521
9.353 691;,
9 065 509
9.09^ 471
9.656 619
8.933 043„
8-589 662
7.943 353я
°1 =
Add <>
*ia
^it
345°. 16S 8a
4- 5.05$' Щ
9.985 585
9.998 3G?
9.408 102^
9.983 590
9.406 497*
8.945 373
9.394 №я
9.494 688
9.276 106
8.770 794к
7.836 303*
г) Rjia сбережения места некоторые простейшие контрольные вычисления
(напр. составле ие суммы квадратов направляющих косинусов) не включены в
вычислительную схему.

Далее переводим моменты наблюдений в доли суток, находим соответствующие
геоцентрич скне координаты Солнца и п речисл ем их (, 48) в толоцентрические
координаты. Логарифмы этих топоцентрических коораинат помещены в
вычислительной схеме.
h=
У^гг
Zxvlt =
Ui =
А =
Х2 =
Y* =
2* =
я2 =
5* =
17*833 68
3.999 852я
8.970 294
8 607 155
8.195 639п
7.559 956
7.377 949„
— 0.015 690 57
+ 0.003 630 42
— 0.002 387 53
— 0.014 447 64
+ 0.015 181 28
— 0.008 777 14
- 0.006 859 67
— 0.000 455 53
0.999 070
0.004 177
0.000 788
1.004 035
0.912 850
0.091 185
*¦ =
X
Y
Z
г*.
Zv18
" " -:
U =
L
M
N
1Ли
IX
v-у
vZ
s
в
Біпф
27*888 82
9.999 798n
8.8Ю 442n
8.448 184n
8-195 585ft
7.4*0 104„
7.218 978
— 0.015 688 63
— 0.002 512 49
+ 0.001 655 69
— 0.016 54л 43
7.27 1 609я
0.012 904n
8.1*56 619
*а =
х^гй
Zavia
=
tf.=
5.467 396n Сумма =.
8-602 5вйп
8 027 313я Д+...=
9.9^5 319я
8.164 133
7.513 693п
9.479 962
0.000 874
9.479 088
•—
C =
48^.835 90
9.956 559„
9.5S2 108я
9.219 4t2H
8.152 346„
8.171 770я
7.990 206
— 0.014 201 87
— 0.014 851 48
+ 0.009 777 00
— 0.019 276 35
— 0.000* 029 34
— 0.040 046 64
— 0.010 649 10
r — 0.050 725 08
— 0.050 724 99
— 0.966 7C0
+ 0.014 592
— 0.003 263
+ 0.955 431
Первое приближение.
*2 — / =
tt - t
20rf.947 08
10.055 14
31.002 22
n*Ut
n3*(Jt
5.693 012 17—ПлЧ/jl—..'.
1.321 124
1.0Й2 388
1.491 393
9.829 731
9.510 995
Д
P
7.989 529n P =
7.796 020n C+/> =
+ 0.009 761 78
+ 0.006 252 01
— 0.000 531 64
6.725 618„
6 658 517
0.067 101
n
[xsin q
p cosg
cosg
Q
1.167 08
2.122 51
9.479 962
0.326 850
9.995 649
9.153 112
8°-097 11
0.054 694
0.331 201

1 + л±в
1
1+п2°
<?1 ¦•
и%
0.224 187
8.016 524
0.121 998
8.240 711
8.159 798„
8.138 522
8.285 02оп
Сгиг
Add
cxUx + фг
д
Я
6.400 509,
0.289 664
6.423 547,
6.713 211,
6-658 517.
0.054 694
5»
т
$.723 493
8.439 885
1.283 608
Решение уравнения Гаусса
sin (г — 8°.09711) = [1.283 608] $ні**
приведено во всех подробностях в § 59. Вычисление р, *9 аХі *а, ра н р2
располагаем так:
<ь =
- z =
ф — г =
sin (ф — г)
/? sin ф
sin z
sin(^ — z) /sin-гт
Р
г
Р
Add
Контроль: р
хР-
17°.539 42
8.663 99
8.875 43
9.188 329
9.479 932
9.177 939
0.010 390
0.011 264
. 0.302 023
0.067 101
9.944 163
9.148 625й
0.011 264
9.996 785
Q
C-L
Г3
схг~*
Add
с2г-л
Add
п2°
«1
щ
пхХх
П%Хг
0.054 694
8.240 711
8.138 522
0.906 069
7.334 642
0.001 387
9.829 731
7.232 453
' О.0О2 281
9.510 995
9.831 118
9.513 276
9.830 970я
9.469 835й
Хр =
-п1Х1р1 =
— >Y =
+ пА =
+ naJVa =
п Д2ра =
Хар2
Р*
+ 0.992 625
- 0.660 433
-f 0.999' 534
- 0.677 595
- 0.295 009
+ 0.359 122
9.555 242
0.041 966
0-058 376
>.!-*<«
Add
— V
Xp2 — Xaji
p(Xjj,a — l2\x)
И*
Add
»X2K
р2Хх — Х2УХ
9.392 018„
9.L28 150
9.337 281
Add
8.465 431 |*Л —*t*a
8.476 695„ n|W,-W
9.406 295
0.094 888
8.794 032
9.501 183
-(...) =
"+лх( ..".¦) =
9.363 056
0.414 065
9.565 698
9.777 121
9.290 397
— 0.029 9706
— 0.317 0S00
+ 0.111 8155
ЛЛЛ
'it
»iPi
H
*Лрі
A?x
A9
A?t
8.6?2 953rt
8.770 794*
9.832 159
0.001 041
9.819 829
7.762 22
7.772 44
7.819 56

Add
9.406 349
9.811 035 +Лв( . . . )
8.953 884п
rt^iaPi
9.217 384
9.048 502
+ 0.195 1627
— 0.040 0824
—-4рі
— ^Ра
-0*005 78
— 0.005 92
— 0.006 60
17^.827 90
27.882 90
48.829 30
Вычисление геоцентрических расстояний мы закончили определением
аберрационного времени и исправленных моментов наблюдений. Далее находим, гелиоцен*
трические координаты и радиусы-векторы.
рА
Add
— Хі
РіРч
Add
-Ух
9x4
Add
Ух
*х
Ух- =
'1
9.988 711
0.295 4Ь5
9.999 852
¦
9.293 557„
0.168 806
8.970 294*
9.112 922
9.837 553
8.607 \ЬЬ%
0.295 347 к
9.462 363» У
8.950 475 2
3.896 673
0.084 086 3
0.007 960 7
3.988 720
0.600 833 /*
0.300 417 г
9-996 785
0-299 526
9.999 798
9.364 955rt
9.857 981
8.810 442
9.076 773
0.091 732
8.448 184
0.299 324 х%
9.222 936я ул
9.168 505 22
3.968 709
0.027 917 2
0.021 727 5
4.018 354
0.604 048 г22
0.302 024 г2
0.041 966
0.345 830
9.956 559
9.464 873п
9.491 208
9.582 108
9.003 749
0.206 450
9.219 412
0.302 389
8.956 081
9.425 862
4.025 ПО
0.008 169
0.071 076
4.104 355
0.613 245
0.306 623
Переходим к вычислению новых значений пх и л2. Применим формулы Джиббса,
которые, имея в виду удобства логарифмического вычисления, представим так:
193
я, = я
1 + ЯіГі-»
1 1 —яг-» *
--. М-**-»
пг = щ
1 —fir-» '
*«= 12 * [Лі° ™ (л'в)а]' Т? Тв = [5'391 в81в - lo] {h ~ *&я

t -
t -
i +
ft
{B,
l-
-t =
-t
"ie
"2°
n?n?
W
-к?
12 A
В
rs
-Г'
¦Br-*
20.946 40
10.055 00
31.001 40
1.321 109 4
1.002 382
1.491 381 6
9.829 728
9.511 000
9.340 728
0.086 055
2.982 763
5.391 -982
8.460 800
0.906 069
2.445 269
9.998 439
Add
- (n2°j2
"x° — Wf
12
B2
r**
B2ra-*
1 + В2г2-з
«2°
n2
9.829 728
9.9*26 500
9.022 001„
9.756 228
8.374 745
8.130 973
¦ 0.919 869
7.211 104
0.000 705
0.001 561
9.511 000
9.513 266
¦**"
6.471 162 8
9.453 926
V-
H-
П2°
Add
-(ЛД*
-("Ла
12
Вг
rl?
Вхгг-*
Л/
Пх
9.511 000
9 610 154-
9.659 456#
9.121 154
8.374 745
7.495 899я
0.901 251
3.405 352
9.999 829
0.001 561
9.829 728
3.831 118
Логарифмы пх и п2 отличаются от значений, принятых нами в первом
приближении, на 0 и — 10 единиц шестого зн ка. При таких разностях нередко проводят
второе приближение. Чтобы посмотреть, как эти разности отражаются на
представлении наблюдений, мы не будем делать второе приближение и прямо приступим
к вычислению элементов при помощи координат, найденных в первом приближении.
ххх2
¦ УіУг
zxz2
*2
Add
— ОХх
*0
у 2
х0
*о2 =
Уо> =
7 2
Го2 =
V-
г*
Г2
0.597 736
8.418 444п
8.376 337
0.302 389
8-384 667 *
0.291 984,,
8.676 651
7.353 302
0.002 2558
0.142 9757
0.031 7078
0.176 9393
9.247 824
«.623 912
0.306 623
хххг —
УіУг =
zxzt =
XiXiXz =
Уг
Add
— 9Уі
Уо
У,2
гхг.г =
%* =
*¦
-
+ 3.960 373
— 0 026 208 6
+ 0.023 786 8
+ 3.957 951
8 956 081
0.118 631
9.459 000
9.577 631
9.155 262
.4.046 130
8.004 081
0.903 312
0.451 656
9.974 424
0.426 080
2иХхХ2
г?
о
Ч
Add'
— с*а
Ч
V
г?
V
.' г?
(Wl)s
X2
Р
0.597 471
0.607 040
0.600 834
9.996 637
9.425 862
9 824 721
8.947 112»
9.250 583
8.501 166
0.600 833
9.247 824
0.005 078
9.853 735
9.453 926
0.399 809
199

sin (vt — Vj)
cos(u2 — vx)
Add
— Яг
Числит.-
e sin vt
e cos vx
ZQSVX
fa =
?
? —
COSCp
COS2tj>
a
T^J
г
Af2 — Af1=-
(»°)
4=
4-^ =
4 - h
9.317 289
9.990 431
9.410 215
9.400 646
8.708 560
9.378 995
8,087 555
8.770 266
9.410 215
9.988 890
9. ;) 051
12°.Q04 51
11.983 47
24.887 98
9.421 325
' 15°.297 46
9.984 333
9.968 666
0,431 144
0.215 572
6°. 892 39
0.838 369
1.491 382
9.346 987
1-0 октября
+ 13.172 10
— 17.829 30
1.119 655
1.251 134ft
0.466 642
0.598 121»
±V**«
(...)
&-tl)a
11 M
b
1 + 6
Ml+ *)
1 + ...
10
11
gfc(l+...)
4
1
л
**2**
tgl^
1
sin^
e° sin Ег
eesln?1 =
Мг =
«№-« =
M0 =
2.667 350
1.997 178
2.025 924
6.690 452
0.825 456
2.982 763
6.558 313
8.271 232
7.812 308
0.002 810
7.809 498
0.002 792
7.809 516
9.958 607
7.768 123
0.002 539
6°.452 255
9.053 430
9.882 644
8.936 074
4°.933 124
9.233 881
0.413 329
9°.866 25
2.590 18
7°.276 07
+ 2.928 48
10°.204 55
р:гг
€
cos a2
e cos vz
1 + e cos v%
CO
4l 1
a"
3600"
я" =
г0
1
~2Щ
. 1
iflJ
ъі*
2 3
sin ?2
e° sin ?2
?' sin Ez =
Ж2 =
«('.— '») =
Ж.=
.
0.099 392
0.093 1S6
9.421 325
9.957 671
9.378 996
0.093 187
0.306 623
0.399 810
9.993 704
0-646 716
! 9.346 988
і
! 3.556 303
2.903 291
800".370
1.179 448
12°.443 99
9.343 742
9.882 644
9.226 386
9°.559 87
9.515 269
0.694-717
19M19 74
4.951 28
14M68 46
— 3.963 88
10.204 .58
200

Переходим к вычислению направляющих косинусов.
cos vx
sinfj
*0
Хх cos v1: гг
Add
(xb sin vp: rx)
xx sin vx : rx
Add
*e cos vx: r0
-
9.988 890
9.348 941
9.623 912
0.300 417
9.983 820
9 98« 482
8.401 680x
9.972 302
0.403 446
9.343 871
0.175 668
9-041 629
9.519 559
9.935 03$
cos vx: rx
sin vx: r0
b
Qy
9 688 473
9.725 029
0-415 477
9.150 836n
0.231 719
9.302 660rt
9.534 379ft
9 965 523n
8.510 887rt
9.983 623
9.942 609
9.926 232
0.341 709
sin vt: ra
cos vx: r0
I
9.048 524
0.364 97S
8.638 948
0.068 565
8.975 612*
8.707 M3„
9.138 Qb1„
7.998 999
0.010 378
3.615 561
9625 937
0.041 414
Контроль вычисления направляющих косинусов, так же, как и определение
эклиптических элементов ради краткости не приводим. Окончательный результат:
Эпоха t0 = 1930 октябрь 1.0 Т. U.
Мо = 10° 2046 а = 5РЛ8458
ср= 15 2975
lg/i° = 9.346 988
я" = 80О".37О
Igfl=. 0.431 144
А = 280.6764
/ = 5.9357
Эклиптика и равноденствие
1930.0
Эти элементы следующим образом представляют исходные наблюдения (И—В):
17 сент.
Да = 0s .00
ДВ = + 0".1
27 сент.
+ 0s .05
4- 0"*3
18 окт.
0s .00
0".0
Для среднего наблюдения полученные разности несомненно не выходят за
пределы ошибок наблюдений, так что вы исление второго приближения могло бы дать-
лишь формальное, но не реальнее улучшение орбиты.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Доказать, что при условии Q = PR-* и ЗР cos ф > R уравнение (33)
имеет один и только один положительный корень.
Указание. Написать уравнение (33) в таком виде:
/(?) = (р — Р)% О2 + 2/?р cos ф + /fs)»-W = О,
положить Л(р) ^р™1/(р) я рассмотреть знаки выражений Д(Я) и j(0).
2. В примере вычисления орбиты, данном в § 61, определить элементы по
гелиоцентрическим координатам, полученным в первом приближении. Посмотреть,
как эти элементы представляют среднее место и оценить реальную пользу второго
приближения.
20і

3. Доказать формулы
г sin v = xQx + yQy + zQz
r cos v == xPx + УЯУ + zP2.
4. При малых промежутках времени параметр орбиты можно вычислить по
«следующей приближенной формуле:
где
Получить эту формулу из интеграла площадей, применив способ трапеций для
приближенного вычисления интегралов. Посмотреть, насколько точный результат дает
эта формула в примерах §§ 61 и 62.
5. Эйлер пользовался следующей, более точной нежели только что указанная,
формулой
где гв — определяется равенством
cos/ і / 1 , 1 \ 2т* . . 1
гл
Доказать эту формулу и посмотреть, что она дает в примерах §§ 61 и 62.
6. Принимая х за абсциссу, а р за ординату, построить кривую (34) для
различных значений cos 6. Когда задача о вычислении орбиты по трем наблюдениям
имеет два решения?
7. В формулах Джиббса (14) положить г1 = /*2= г, что будет особенно близко
к истине для орбит с малыми эксцентриситетами. Полученные формулы для пг и л,
Доложить в основу метода определения геоцентрических расстояний вместо формул (15).
Развить этот метод, и применить ето к примерам, данным в §§ 61 и 62.
Примечание. Метод, основанный на аналогичных, но менее удобных
(и несколько менее точных) формулах, дал Эберт (W. Ebert, Eine einfache
Methode zur Bestimmung elliptischer Bahnen aus drei Beobachtungen, Denk*
schriften der Wiener Akademie, Bd. 78, Math.-phys. Klasse).
8. При выводе формул Джиббса (§ 54) мы представили каждую координату
в виде полинома четвертой степени относительно времени. Исходя из представления
каждой координаты в виде тригонометрического полинома
х = д0 + о-і sin nt-\- bt cos nt -f az sin bit -J- Ъг cos 2nt
и применяя совершенно такой же способ рассуждения, получим, что [/т2], [>у2]> [гіг1
соответственно пропорциональны таким выражениям:
(Мг + Nxrx-*) sin nblt (М — Nr-*) sin л?, (М2 + N2r2-*) sin л?а,
где
Q^b — t, e = ^-^, 6, = *—^,
л?, л? ' лО»
5 = cos —— cos —— cos —~-,
it U Z
M1=^AS— cos л?х = l + cos лО + cos «?2
M = 4S — cos л? = 1 + cos лОа+ cos лб^^
iW2 = 4S — cos л?3 = 1 + cos л?т+ cos лО
Nx= cosnO!—S= 3S — Mx
N = cos л? — 5 = — 35 + M
N2 = cos л?2 — S = 3S — M2
Наиболее точные результаты эти выражения дают в том случае, когда за п
принято среднее суточное движение светила. Если Mv Nt . . . , разложить по
степеням промежутков времени и ограничиться низшими степенями, то получим
формулы Джиббса (Shin Hirayama, Monthly Notices of the R. A. S. Vol. 66, 1906).
202'

ГЛАВА VIII.
МЕТОД ГАУССА В ЭКЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ.
Метод Гаусса был нами подробно изучен в предыдущей главе.
Теперь мы посмотрим, какую форму он принимает при
употреблении эклиптической системы координат. В этом случае при
помощи некоторых дальнейших преобразований формулам может
быть придан вид особенно удобный для логарифмического
вычисления. Употребление только двух координат (долготы и радиуса-
вектора) для определения положения Земли в момент
наблюдения вместо трех координат Солнца (X, F, Z), служивших для этой
цели в предыдущем случае, также представляет известные удобства.
При вычислении с арифмометром указанные положительные
стороны употребления эклиптических координат теряют свое значение,
между тем как отрицательные стороны — необходимость
перечисления "(а, 8) в (X, р) и трудность точного учета влияния параллакса
(см. § 46 и §44) — остаются в силе. Этим объясняется, что по мере
распространения арифмометров, эклигіитические координаты при
вычислении орбит вытесняются экваториальными.
Если вычисления ведутся с логарифмами, то излагаемая ниже
форма метода Гаусса вполне может конкурировать" с той формой,
которая была дана в предыдущей гла-ве.
§ 63. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Удерживая прежние обозначения tb I, t2 {tx<t< t2) для
моментов наблюдений, обозначим соответствующие геоцентрические
координаты светила через (1Хі рх), (К (3) и (Х2"Ра)- Положение Земли
для тех же моментов будем определять долготами Лъ L} L2 и
радиусами-векторами Rx, R, /?2.
Что касается широты" Земли, то мы будем либо ею
пренебрегать, либо будем считать, что широты светила уже исправлены
за широту Земли; либо, наконец, будбй предполагать, что каждое
наблюдение приведено к соответствующему locus fictus (см. § 44).
Наряду с геоцентрическими расстояниями рх, р, ра введем, для
упрощения формул, еще их проекции на плоскость эклиптики
Рз « рх cos $х> р = р cos р, Ра = Рз cos р2,
носящие название сокращенных расстояний.
При таких обозначениях основные уравнения (VII, 2) напишутся
следующим образом:
х1 = р1 cos X + Rx cos Lx x = p cos X + R cos L
yx = px sin \x + Rx sin Lx у = p sin I + R sin L
*x = PitgPx * = ptgp (1)
*2 = Рг cos *a + Яа cos L%
У% = Рг sin Xa + R% sin L%
201

Подставляя эти выражения в уравнения (VII, 3), выражающие
условие нахождения трех гелиоцентрических положений светила
в одной плоскости с центром Солнца, получим:
пі Picos *і ~~ Р cos * + Щ ?іcos ^2 =
= — nxRx cos Lx + R cos L — n2R2 cos L2
nx px sin Xj — p sin X + #2 P2 s^n ^2 =
= — nxRx sin Lx + R sin L — #2/?2 sin ^a
rtiPitgPi —Ftgp + /*aP,tgPa=0.
(2)
Таким образом для всех значений р1( р, р2) таких, что три точки
Ріэ ^ь Рі> Р' ^ Рі и Раі ^2» Рг лежат в плоскости, проходящей через
центр Солнца, существуют величины пъ п2, удовлетворяющие этим
трем уравнениям.
В частности для рх =р — р2 = 0 мы, очевидно, получим три точки,
лежащие в такой плоскости. Следовательно, обозначая через Nt
и N2 соответствующие значения параметров пг и л2, получим
О == — NjRx cos Lx + R cos L — N2R2 cos Z2
0 = — NXRX sin Lx + R sin L — N2R2 sin L2
Откуда
Л/ ._ ##aSin(Z8 — L) N ¦ __ RbRsinjL — L^
iVl R^siaiLt—Lx) ' iV2 ^^sinC^-IJ "
Вычтем почленно равенства (3) из (2). Это даст
¦¦ /z1r.1cosX1 — pcosX + n2pcosX2 =
— n1R1 cos Ьг + n2R2 cos L2
«1p1sinX1 — p sinX + n2p2$inl2 =
= л1/?1 sin Lx + /z2/?2 sin L2
^V&Pi —ptgp + »2fctgpa = 0
где для краткости положено
лх = Л^х — лг, п2-= h2 — #2.
Решение уравнений (5) относительно р дает
¦Ар«Д
(3)
(4)
(5)
(б)
(7)
где
?>== —
cosXb cqsX, cosX2
Д = sinXj, sinX, sinX2
tgPi, tgp, tgp2
cos X1? n,/?! cos Lx + n2R2 cos L2i cos X2
sinXX) /z1/?1sinZ1 +«2/?2sinZ2, sinX2
*Pi> 0, tgps

Займемся приведением этих определителей к виду, удобному для
вычислений. Прежде всего имеем
A-tg^sin^ —X)+tgPsin(X1 —X2) + tgP2sin(X —Ха). (8)
На геоцентрической небесной сфере (черт. 15) отметим положения
светила Рг, Р, Р2 соответствующие моментам наблюдений. Проведем
большой круг Рг Р2 через крайние положения и обозначим через
К долготу восходящего узла, а через /—наклонность этого круга
по отношению к эклиптике. Прямоугольные треугольники КРх0.г
и KP%Q% дают
tgPi = tg/sin (1,-/0, tgp1 = tg/sin(Xt-/(). (9)
Черт. 15.
Эти соотношения позволяют легко вычислить / и К. Переписав
второе из них следующим образом:
tg/sin(Xa — /Ocos(X3 — X^ + tg/cosfX, — A^sin(X2~X1) = tgp2
и пользуясь первым, окончательно получим
tg/sin(X1-/0 = tgp1
tg/cos(X1 —/C) = tgp2cosec(X2 —Xx) —tgp1cotg(X2 —Xj)
При помощи равенств (9) мы можем определитель (8) написать
так:
A=tg/[sin(X2 — X)sin(X1—K) +
+sin(X — X1)sm(^2 — К)] — tgpsin(X2— >J=
= [tg/sin(X — K)-tg$]sm{l2-h)>
— нужно только воспользоваться следующим легко проверяемым
тождеством:
sin (5—A)sm(D — С) + sin (С — Л) sin (5 — D)+ |
205

Это тождество дает
sin (Х? — X) sinCXx — /Q + sin (X—X^sin (Xa — /Q +
+ sin (Xx — X2) sin (X — K) = 0.
Наконец, полагая
tg/sin(X-A3 = tgp0,
окончательно получим
-d=(tgpe-tgp)sin(Xe —X,).
Из чертежа 15 ясно, что введенная нами величина ро есть не что
иное, как широта точки М, в которой круг широт для среднего
наблюдения пересекается с дугою РгР&
Обратимся теперь к определителю Z). Прежде всего имеем
D => лЛ [tg Рх sin (Ix— Х2) — tg р2 sin (Ij — Хх)] +
+ ^2 [tg Pi sin (Z2 — X2) — tg p2 sin [L2 - XJ],
или, пользуясь равенствами (9),
Z) = tg / {/^Лх [sin (Xx — AT) sin (Lx — X2) — sin (Xa — K) sin (Lx — Xx)] +
+ w^2[sin(X1 — К sin(L2 — X2)~-sin(Xa — K)$in(L2 — Xx)]}.
Тождество (11) дает
sin (Xx—#) sin (Z^ — X2) — sin(X2 — A3 sin (Lx — lx) =
= — sin (Lx — K) sin (X2 — Xx)
sin (Xx — AT) sin (L2 — X2) — sin (X2 — K) sin (L2 — h) —
= — sin {L2—K) sin (X2 — Xx).
Поэтому
D = - tg/ [яД sin (Lx—K) + H2R2 sin (L2 — AT)].
Подставляя найденные выражения Ли D в уравнение (7),
получим
Р (tg Р - tg Ро) cos р = tg / [nxRx sin (I2 - /0 + n2R2 sin (L2 — K)\
В общем случае, когда разность tgp — tg p0 существенно
отличается от нуля, мы представим это уравнение в такой форме
9 - dx{Nx — nx) + ^(Ч-л8), (12)
где
tg/secfl
<*і = Лр/?і sin (Lx — К), d2 = a0R2 sin (L2 — K).
206

§ 64. ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ.
Определение р при помощи уравнения (12) основывается в
методе Гаусса на употреблении следующих выражений для пх и п.
(см. § 52): х
пг - пх« + схГг, п2 - /г2° + С%Г\ (1 s>
где
« /fro
1 ' * Т
что же касается до сх и с2, то в первом приближении берем
Здесь, как и раньше, мы пользуемся обозначениями
x = k(t2 — tx), xx = k(t2~-t), x2 = k(t—tx).
Подставив выражения (13) в уравнение (12), получим
P-P-Qa--3, (15>
где
P=dx {Nx - nf) + d2 (N2 - n2%
Q = dxcx + d2c2.
Второе уравнение, связывающее риг, получим возведя в
квадрат и сложив уравнения (1), относящиеся к среднему наблюдению.
Это даст
г2 = р2 + 2/?р cos ф + Я2, (16>
где
cos ф = cos р cos (X — L) (16а)
Совместное решение уравнений (15), (16) было подробно
изучено в §§ 58 и 59.
После того, как найдены риг, соответствующие принятым
значениям съ с2, переходим к определению рх и ра. Для этого,
значения пх и я2, вычисленные по формулам (13), подставляем в
уравнения (5). Одно из уравнений, получающихся из (5) путем исключения
р2) например уравнение
«i_p1sin(X2 — \х) — psin (Х3 — X) = Г ,щ
= nxRxsin(\2—Li) + n2R2sm{l2—L2) ]'
даст нам p,. После чего, имея уже рх и.р, мы из любого из
уравнений (5) найдем р2.
Примечание L Следуя Гауссу, обычно представляют
уравнение \\7) в следующем виде:
h-^+ft-1)^-
20Т

Для р2 выводят, исключая из (5) рх, аналогичное уравнение
Здесь положено
/=cos?sm(X!1-X1) Л= ^tf.sin^-L,)
#2 sin ().j — Z-a>
fdt
sin (X., —
sin (X, —
sin (X2 —
i
>-) ,
X.) '
¦fQ
— .^1 Sil1 (^1 ~ -^l)
fdt
sin(X — XJ
sin(Xa —/.j)
g*
,, ,__ s\n{Xx
U2 —
K)
hdt ~* Л*х
Конечно, вычислив коэффициенты Ub Ux\ U2, U2', мы
несколько упростим нахождение рг и р2 в каждом из
приближений. Если б и пришлось делать много приближений/то такой
прием мог бы быть выгодным. Но так как в практике
вычисления орбит почти никогда не приходится делать более двух
приближений, то работа, затрачиваемая на вычисление и
контроль указанных коэффициентов, едва ли окупится.
Примечание II. В том случае, когда решение уравнений
{15), (16) сводят к решению уравнения Гаусса, приходится
избегать определения угла ф по форм ле (16а).
Отметим на гелиоцентрической небесной сфере (черт. 16)
положение Земли Т и геоцентрическое положение светила
Р, соответствующие моменту среднего наблюдения Из
прямоугольного треугольника TPQ имеем, обозначая через w угол
при вершине Т,
sin ге; sin 6 = sin p
cos w sin 'Ь = cos p sin (X — L)
cos ^ = cos p cos (X — L).
Откуда
tg w = tg p cosec (X — I)
tgip = tg{\ — L)secw

§ 65.. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ.
Найденные в первом приближении геоцентрические расстояния
позволяю^ найти более точные значения пь n2t нежели значения
(13)> 04)> употребленные для первого приближения. В обычно
встречающихся случаях для этого достаточно употребить формулы
Джиббса, выведенные в § 54. Чтобы воспользоваться этими
формулами нужно кроме г знать еще радиусы-векторы гг и г9.
Диалогично равенству (16) имеем
'i2 = Pi2 + 2#lPlcos41 + #12
г? = Р22 + 2R2?2 cos ф2 + Rf,
где
cos фх = cos рх cos On — Ij)
cos 6a = cos (3*2 cos^(X2 — L2)
Имея новые более точные значения пх и и2, из равенств (13)
определяем новые значения сх и с2, именно
С этими значениями заново решаем уравнения (15), (16), что
дает более точные значения рил
В тех весьма редких случаях, когда может понадобиться
'третье приближение, для которого формулы Джиббса уже не
достаточно точны, новые значения пх и л2 находим по формулам (см. § 57)
Яі = Лі0~> Ло = л20^. '
Для того, чтобы вычислить отношения **], т]1э -q2 площадей
секторов и соответственных треугольников, надо найти не только
радиусы-векторы, но и углы между ними.
* Это делается следующим образом. Обозначая через 1Х, /, 4
и bv by b2 гелиоцентрические долиты и широты трех
рассматриваемых положений светила, мы можем уравнения (1) написать так:
гг cos bx cos /і = р^ cos \-\-'RicosLx
rx cos&j sin'/x = pi sin \x + Rx.$mLx
rx sin *!=.?¦ tgpx.
и аналогично для двух другиі положений светила. Уменьшив все
долготы на Lu мы можем переписать эти уравнения в несколько
более удобной форме
гг zq"sbx cos (/,—Lx) = j^cosft^— Lx) + Rx
rx cosbx sin (lx — I1) = ^sin(X1 — Lx).
¦rx sifl'&1 = Pltg>p1
(18)
Определив отсюда гелиоцентрические .координаты (rj, lu bx),
(r> I, b), (r2, 4» *a)>. находим4, при помощи формул (VI, 15)
наклонность орбиты і и долготу восходящаго угла А; после чего формулы
tg их ¦ = tg (4 —: Л) sec i
igu ='tg(/—«Яд sec/
tg«2 = tg (4-^) sec*
14 Курс небесной механики, т. 1; и
і

дадут аргументы, широты иъ щ и2, позволяющие найти углы между
радиусами-векторами.
Зная радиусы-векторы и углы между ними, найдем ц, ч\г и т}2
по одному из способов, указанных в §§ 34 — 37.
§ 66. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ,
Когда найдены окончательные значения геоцентрических
расстояний,- то переходим к определению элементов.. Прежде всего
по формулам (18) и им аналогичным находим (гъ lv b}) и (г2\ /2, ?2).
После этого по формулам, указанным в предыдущем параграфе,
находим ц «Л>_и аргументы широты %, иа.
Зная радиусы-векторы г1э г% и угол между ними
^ — ^ = 2/,
находим (см. §§ 35 — 37) отношение г\г которое дает^возможность
вычислить параметр орбиты, ибо (§ 34)
Остальные элементы находятся по формулам, данным в § 31.
Отличие будет лишь в том, что после определения истинной
аномалий vx мы сразу определим расстояние перигелия от. узла, ибо
о> = ил +- v,.
§ 67. СОПОСТАВЛЕНИЕ ФОРМУЛ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОРБИТЫ ПО МЕТОДУ
ГАУССА.
(Эклиптические координаты)
Подготовка наблюдений.
Моменты выбранных наблюдений іх, і, t2 (t^<t<t2)
выражаются в десятичных долях суток. Если геоцентрические расстояния
светила приближенно известны, то наблюденные прямые
восхождения и склонения исправляем за параллакс и обращаем в
эклиптические координаты (Хі5 рд' (X,-р), (Х2, ра); полученные широты
исправляются за широту Солнца. Если геоцентрические расстояния
совершенно неизвестны, то можно привести каждое йаблюденИе
к соответствующему locus fictus (§ 44).
Приближенные геоцентрические расстояния могут быть исполь:
зованы для исправления моментов наблюдений за аберрационное
время:
Координаты Земли берутся из эфемерид для неисправленных •
моментов іъ t, t2. Долгота Земли == долготе Солнца ±180°.
210

Вычисление постоянных.
Определяем tg/ и АГ из уравнений (tg />0):
tg/ sin (Ъ —/0 = tgft
Контроль: tg / sin (X2 — K) = tg$2
Далее вычисляем a0> dx, d2, Nx и N2. Для контроля вычисляется
еще d:
tgPo = tg/ sin-(*-«)
_ tg / sec ft
ao--tgp—Що
rfj = a% Rx sin (?X—K), d = a0R sin (I — AT), d% = a0 /?2 sin (Ia — #)
¦\j- R sin ^2— ?) дг _ ff sin (L — Zj)
Vl Rx sin^jj—Ij,)' iV2 Ла sin (i, —^J
Контроль: A^ rfa -4- Л/2 rf2 = ^-
Вычисление угла, 4:
tg-cy = tgp cosec (k—L)
tg6 = tg(X — L) stew
(0°.<^<180°).
Контроль: cos^==cos^ cos (X —I).
Наконец, находим коэффициенты уравнения (17), Служащего для
определения рх:
л __ sin (Х2 — XI
sin (X2 —Xj)
Д — #1 S'n (*»—А) о __ і?з S*'n (*g —A)
^~ sin (Х2 —Хх) * ^2- sin(Xs —X,)
Первое приближение.
lg±A8. = 5.693 012_10
Если была возможность исправить моменты наблюдений
за аберрационное время, то'в этих формулах вместо tx> t, t2t берем
t\°, t°> 4°' Далее вычисляем
СХ = 4 тЛ (1 + лД ?2 = 1 тЛ (1 + Л2°)
Р = dx (Л^- nf) + d2 (tf, - я2°)
Q = Й1?1 + ^2
14* 211

и либо решаем уравнения Лагранжа (§ 58)
P = P-Q>-8
г2 = (р + R cos ф)2 + #2 sin2 ф,
либо заменяем их уравнением Гаусса. В этом последнем случае
находим q и гп:
^ sinv q — R sin ф
(ь cos q = R cos 6 + P
Q
OT |x (Й si п ф)» . '
Знак p. выбираем так, чтобы величина in''была положительна.
Решение уравнения Гаусса (§ 59)
sin (z — q) = m sin4 г
даст z, после чего находим
о = -^—V р — р cos р
r sin г
/?-вшф
sin z
Контроль: р = Я — Qr~3.
"Для'вычисления рх и р2 служат формулы:
«і = йі° -Ь сгг"3, . іга = /г2° + cgr~3
/гіРі = Л~^ + B^Ni — nJ + 52(Л^2 — /г2)
/га ^ cos Ха = — #х j? cos Ха + JTcos X + Rx cos Zx (Л^ — nx) -f-
+ R2 cos L2(N2 — n2)
pt = ix. sec px. psf=^ secp2
Если cos X2 близок к нулю, то для определения р2 можно взять.'
другое уравнение из числа (5).
В т.ех случаях, когда заранее можно быть уверенным, что
гелиоцентрическая дуга, описанная светилом, не велика, находим
радиусы-векторы' гъ г% и при помощи формул Джиббса вычисляем
новые значения щ и п2. При этом моменты наблюдений исправляем
за аберрационное время при помощи найденных значений pv p, p3:N
*і° = *і— Ар, ' f=*t — Ap9 ,t?2 = t2 — Ap2
lg А = 7.76118 _10.
cos фі = cos р! cos (кх —¦¦ ?х), cos ф2 = cos ра cos (Х2 — Lz) т
Гі2 == <Рі +>і cos фг)2 + Rxz sin 2 фі, г2а - (р2 + #2 cos ф2) 2 -f /?22 sin2 ф2
пг = л2° тітіі "2, ¦ п2 = Ля^я"1
212

1 — fir
P>Pij?2 берутся из таблицы IX.'
* Если гелиоцентрическая дуга, описанная светилом за время
между крайними наблюдениями, велика, особенно же, когда имеем
дело с кометой, близкой к Солнцу, отношения ?ь %, т)2 лучше
вычислять по формулам §§ 34 и 35.
Для этого сначала вычисляем гелиоцентрические координаты
пра помощи формул
г, cos Ьг cos (!г — Ьг) = Jx cos (Xj — ?х) +г#г
rx cos &! sin {lx —Lx) = p-L sin (\x — L2)
fisin^^» ^tg^-
и аналогичных для двух других моментов.
Затем вычисляем і9 Si и аргументы широты иьщ.и^.
tg і sin (/х — <Л>) = tg йх
Контроль:
tgzsin,(/2 — SI) = tg&a
tg г sin (/ —- A) == tg 6
tgtfj — tg(/x — A) sec г
tga = tg4(/—A)seci
tg Ba *=* *g (4 —«П.) sec г
Каждый из углов иъ #3 и2 находится в том же квадранте, как
и соответствующая разность /г— Sl,l—Sh,l2—~Sb. •
Когда вычислены'не только радиусы-векторы, но и аргументы
широты, то довольно глубокий контроль проделанной работы дается
соотношениями
— /vysin (ца — и) _ ysin (д — trT)
Нужно только заметить, что при очень малых значениях углов
иг — иъ иг—щ и — и, правые и левые части могут заметно
отличаться и при отсутствии вычислительных ошибок. В этом случае
надо посмотреть, не мргут ли быть уничтожены обнаруженные
разности между правыми и левыми частями последних равенств
при помощи замены ии и, и2 через иг + ощ и — 8 я, н9 + &в.
Поправка Ъи при шестизначном вычислении не должна превосходить
0".2 — 0".3. •
213

.Второе приближение.
Если значения
пі = пг Мг"1 > п2 = л2°Wa~\
полученные в конце первого приближения, заметно отличаются .от
исходных значений
п± = пг° + сг г~3, п% == п2° + с2Гъ,
то вычисляем второе приближение. Для второго приближения
берем новые значения nvпгк полагаем
сг '== (пг — п±°)г\ с2 = (п2 - л2°) г3.
С этими значениями по тем же формулам, что и в первом
приближении, последовательно находим р, г ^і9 р2, и наконец гелиоцен- '
трические. координаты {rull9bL)9 (r2,l2yb2\ нужные для определения
элементов. Если предполагается третье приближение, то
вычисляются также и (г,/,b). f
Наконец снова вычисляем L Sb и аргументы широты иь и2.
Вычисление элементов.
Прежде всего находим отношение г\. Для малых планет обычно
наиболее удобным является способ Энке (§ 36J:
2 Vrx
cos — l
Т= Гі+\ cos-а (ц2 — их); r = lgr—
cos y
lgY] = а'с + (а" а—Ь" о*),
где коэффициенты, выраженные в единице шестого знака,
таковы:
¦ Ig a' =2.233 886
lg а" = 2.614 10—Г
lg-*" = 9.034 11^0
В особо трудных, случаях (когда гелиоцентрическое движение
превосходит 30°) применяются способы, указанные в §§ 34 и 35.
Далее
ч/"п -
VP-
*-?
esmxfx-=
#cos vx =
со = ut -
ггг^\п{иг —
AW*-*!
— 1,'. ?2 =
^cos(aa-
sin (л.
= ?1
-»1
"l}*
°) Ч
-«l)-
-%)
1
¦?S
г>а = иг — со =^ + (as — aa)
Контроль: г cos z>2 = q2.
214

Если в последнем приближении и для среднего наблюдения
был вычислен аргумент широты, то хороший контроль получим,
еще* при помощи равенств
v = и — о), г(1 + eco$v)=p.
Вычисление остальных элементов:
sin ср = е, а = р sec2 <p
sin -у (^ — Ег) = sin ~2 ср у -Гі- sin г?х
sin -2 (V0 — E2) = sin ^ ср "J/ -й ' sint?a
контроль: a cos ср sin -^- (Е2 — Ег) = j/V, r2 sin v (v2 — г\Л
М1 = Е1 — es'mE1 \ge" = \ge +-5.314425
Мъ = Ег-~е*іъЕг ]ge° = lge+ 1.758 123
„_Af2-Mt
*/~ ^o _ ^
3
Контроль: п = &"а" , lg А" = 3.550 007.
Представление наблюдений.
Для того чтобы проверить полученные элементы орбиты при
помощи представления исходных наблюдений "(еще важнее
посмотреть, как эти элементы представляют другие наблюдения), а также
для вычисления эфемериды, обычно находят постоянные Гаусса
(§ 23).
Затем для каждого представляемого наблюдения вычисляют
M=M0 + n(f—4)
Е— е sin Е = М
г sin г? = a cos© sin Z:
г cos v = a(cos Е — е)
р cos о cos а = г sin a sin (А'+а> + v) +Х
р cos. о sin а = г sin Ъ sin (5 + со + v) + Y
psinS = rsincsin(C+ a> + v) +Z
Через f = t—Ap обозначен момент наблюдения,
исправленный за аберрационное время. Координаты Солнца X, Y,Z берутся
из эфемерид для неисправленного момента L Наблюденные
положения должны быть, исправлены за параллакс.
215

§ 68. ЙРИМЕР.
Даны следующие топоцентрические наблюдения планеты 1931 TN:
Место Симеиз
1931
Октябрь ...... 14
Ноябрь 6
Декабрь ....... 9
Т. U.
23ь24ш.2
20 6.0
19 323
а .(1931.0)
2h 5m25s.6(
1 48 33 30
1 35 49.48
В (1931.0)
+ l°f5'16".4
+ 0 21 5.2
+ 0 26 55 8
При помощи ранее вычисленной предварительной орбиты исправляем эти
наблюдения за параллакс и планетную аберрацию. Находим следующие поправки:
Октябрь
Т. U-.
14d.975 14
37.837 50
70.814 10
JgP
0.245
0.252
0.312
+ 0*.07
— 0.03
+.0.07
+ «/7.4
+ 3.4
+ 3.0
Аберр. вр.
— 0d.01015
— 0.010 31
— 0.01183
Придав эти поправки; обратив экваториальные координаты в эклиптические;
найдя из эфемерид (для неисправленные моментов) долготы Земли L (=Lq±: Д80°),
логарифмы радиусов-векторов и широты; исправив, наконец, широты планеты за
широіу Земли (эти поправки в данном случае равны + 0".38, — 0''.01 и+0".15),
получим исходные данные, стоящие в начале вычислительной схемы:
t
t
х1==
X =
к =
X,—.X =
х" — \ =
Х1-АГ =
X -Ж =
х.—-jc =
tgpl
cos (Ха — Хх)
-tgP1cos(Xa~X1)
Add.
tgPt
Числитель
sin(Xa~X1)
tg/cos(X—К)
tg(h-K)
cosp
t° =
t ° —
2° — t°- s= 1
t° - tx° = 1 ¦
29°.585 50
25.314 05
22.344 81
161.939 30
— 2°.969 24
— 4.57145
— 7J.540 69
227°.946 20
223.374 75
220.40551'
9,252 793,
9.996 228
9-249 021
• 9.132 292
9.193 792я
0.055 229
8.326 084
9.118 034я
9.208 050я
9.825 963„
0.044 743
9.382 087
9.993 178
14 964 99
37.827 19
70.802 27
32-975 08 /,°
22.862 20 . t° •
55.837 28 t2
L =
Z2-
K =
L2 — L =
L —1г^
L —K =
L2-K =
sin (X2—Lx)
sin(X8—L2)
Rx sin (X2—Lx)
¦ R2sin(k2—L%)
sin (XB—X)
sin (X,-,)^)
A
»
в,
P.=
P.=
—
20°.643 72
43.443 47
76.765 69
161.939 30
33°.322'22
22.799 75
56.121 97
218°.704 42
241.504 17
274.826 39
8.472 541
9.910 257„
8.471 315
9.903 614n
8.714 328»
9ДГ8 034Я
9.596 294
9.353
0.785
281,
580
10°.147 10
10.128 95.
8.880 10
1.518 186
1.359 118
1.746 924
a0
sin (Ьг—Ь )
sin (Л —L{]
sin (i,—Lx)
^2 *-2
a0RT
sin аг~К)
auR
sin (Lz—K)
a0R2
sin (L2-K)
Rsm(L2—L)
i?isin(?2—Z.J
R sin (L—LJ
tfasin(Z2—LJ
**г
a
9.998 774 .
9.996 094
9.993 357
1.271 269;i
9.739 847
9.588 284
9.919 197,
+ 1°.70109
—54.42088
l;270 043n
9.796 090n
1.267 363„
9.<)43 916w
1.264 626,,
9.998 458,,
.9.735 941
9.917 971
9.584 378
9.912 554
9.817 970
1.066133
1.211279
1.263 0S4
216

sin (V-AT)
sin(X — K)
(tg h)
Add.
tgP
tg/secp
tg P—tg Po
9.811 705n
9.836 810„
9.193 792rt
9.218 897
8.898 743
9.252 «•O0n
0.033 103
9.388 909
8.117 640„
sm(X—Д)
tg xw
tg.(X-L)
cos да
cos <b
cos(X—I)
cos {3
(cos 40
9.252 000,
9.492 990;
9.759 010
/9.515 103,
9.938 135,
9.576 968
9.971065
9.977 886
9.993 178
9.971064
M
9.671 824
0.884 103
0.934 908
7.657 78
8.60812
16.265 90
16.265 93
Покончив/с вычислением постоянных переходим к первому приближению-.
Находим риг.
*1°
1+Лі0
1+V
9.771 262
9.612 194
0.201 549
0.149 047
1
*1
*1
<?2
rf2
^ (Я sin 4')3
т
г3
•Qr-3
Р =
—Q/*-3=
(р)
8.570 316
8.771865
1.066 133
8.719 363
1.203 084
¦9.837 998
- 0.234 783
9,982447
9.855 55Г
0.217 230
9.084 791
1 1.132 439
1.320 804
8.896 426
1.885 219
— 0.078 782
1.806 437
0.256 823
*1
Add.
/2,°
Х2
Add.
di
N^-n*
d3 (Nz~rif;
rfa(7V2-/22°)=
i?COsi=
p. COS <7 =
sin<y
sin4 #
COtg?
m sin* #
1—4 m . ..
9.817 '970
9.055 170
9.771262
0.046 708
9.671824
9.167 838
9.612.194
0.059 630
8.826 432
1.066 133
9.892 565
8.780 032
'1.263 084
0.043116
0.780 845
1,104 3,74
0.927 168
2.812 387
9.091712
1.132 439
6.3b*6 848
0.904 949
0.602 060
7.499 287
9.953 .37
sin di
R
cos d>
cos^
\bsinq
p cos q
cosq
tg?
<7=
(R sin i)3
6=
2=
&Л —2=
sin (ty—z)
R
R sin {b—z)
R sin 4*
sin z
P
r
cosp
'?
9.548 032
9.996 094
9.971064
9.967 158
9.544126
0.449075
9,996 662
9.095 051
7°.'G94 89
0.452 413
8.63°- 378
20°. 683 74
7.297 19
13.386 55
9.364 588
9.996 094
9.360682
9.544 126
, 9.103 858
0.256 824
0.440 268
9,993 178
0.250 002
Вычисление крайних геоцентрических расстояний р2 и ?2 располагаем так:
пг*=
Nt-n-*
і
0.590 557
0.067 0551
0.002 8253
cos Хх
а
0.017 018
9.938 030
9.955 048
_3'
8.771865
8.679 196
8.719 363
217

.-з__
V
Л2=
N2—nz
B2(N2-n2)
А?
¦-Bi№-«i)«
0:0642298
0.593 382
0.409 444
0.060 2604
0.002 5036
0.057 7568
0.411 948
8.807 738
8.161 019„
. 8.761603
9.547 18.3
' 9.846 296
— 0.014 485
+ 0.352 519
+ 0.701 933
*іРі= 1+ 1.039 964
Л-|0
iui
Рі
0.017 018
9.773335
0.243 683
Р
cosX
' Ь
cosLx
*і
с
cos/.*
л;
—а=
*==
/22(p2)cosX=
п2 cos X2
Q
COSP2
Ps
0.250 002
9.956 158
0.206 160
9.971179
9.998 774
¦ ¦ 8.S07 738
8.777 691
9.359 710
9.993 357
8 761 603
8.114 670
— 0.901 670
+ 1.607 5'33
+ 0.059936
+ 0.013 022
+ 0-778 821
9.891438
9.580 944
0.310 494
9.994 763
0.315 731
cos_X2
llfrtgpt
ъ
P2
tgp2
(?)
sin{J
psin p=
(psin g)=
Лрі
A?
А?г
7.451061
7.398 559
9.614 843
,9.966101
6.269 8 Un
9.614 843
0.310494
9.193 792я
9.119 129n
0.256 824
9.245 177я
.9.502 001„
— 0.317 687
-0.186128
— 0.131562
— 0.317 690
8.011 71
8.018 00
S.076 9i
Далее находим гелиоцентрические координаты для всех трех моментов:
V—? =
sin (X -— L)
?
cos(X-I)
р cos(X—-D
Add.
r cos Ь sin (/ -r- L)
rcosb cos(/ — L)
CuS (....)
¦tg<-..)
rsin ?
rcos?
COS#
tgft
9°,241 78
9.205 748
•0-243 683
9.994325
0.238 008
0.197 682
9.998 774
9.760 76B
9.449 431
0.435 690
.9.997 699
9.013 741
5C.892 89
9.496 476„
0.437 991
9.997 176
9.058 485„
0.440 815
—18°.129 42
9.492 990„
0 250002
9.977 886
0.227 888
0.200417 ,
9.996 094
9.768 206
9.742 992n
0.428 305
9.990 942
9.314 637»
— 11°.66150
9.502 002„
0.437 363
9.997 096
9.064 639n
0.440 267
-54° .420 88
9.910 257M
0.310 494
9.764 793
0 075 287
0.261 994
9.993 357
9.918 070
0 22Q751n
0.337 281
9.900 025
9.883 470„
- 37°,403 81
Э.504 286
0.347 256
9.997 063
9.067 030,
0.440193
n

Новые, более точные значения п± ил2 найдем по формулам Джи^бса. Так как
гелиоцентрическое движение планеты не превышает 13°, то можно быть уверенным,
что они дадут всю нужную точность.
Лр=
Ар2=
Рі=
Р*=
Р =
Рі
b
р
0.010 27
0.010 42
0.01194
+ 0 005 06
+ 0.035 24
+ 0.103 48
7.704 15
8.547 04
9.014 86
#('в—'і)8 >і 9-965 01
л,
Diff.
9.773 344
+ 0
*1=
'I3
52
В
г8
л2
7.669 16
1.322 44
8.512 05
1.320 80
8.979 87
1.320 58
9.С14 854
+ 11
Ліо=
-3
1+ВЛ
1+В/г8
1-Вг-3
остаются
без
изменения
0.590 557
0.000096
0.000 674
9.998014
Cf.002 082
9.771262
0.002 660
9.612 194
-Разность между новыми и первоначальными значениями
показаны в последней строчке) таковы, что следует провести
Интервалы между исправленными за аберрацию моментами
кими же, как и раньше (ибо разностью в 0d.000 01 можно
Ла , Р, уй, q берем из первого приближения.
Лі и пг (эти разности
второе приближение.
времени остались та-
пренебречь), поэтому
яи
Add.
схйг
ctd2
О
\і (R sin &)8
т
9.771262
7.6S2 2 ¦
7.453 462
1.322 44
8.775 902
1.066 133
9.8421'35
0-235 581
9.9 44 5 7в
9.857 457
0.220159
9.084 791-
• 1Л35 368
п2"
Add.
л.»—я,
'."
а
9.612194
7.788 500
7.400 694
1.32089
8-721 494
1.263 084
Q/--3
Р=
Qr"3=
Р=
(Р)
1.320 531
8.899 628
1.885 219
— 0.079 365
1.805 854
0.256 683
4=
z=
й—z=
sin (fi>—г)
R
R sin (b—z)
Rsln 6
sin гг
cosp
¦р
20°.683 74
7.298 73
13.385 01
9.364 5*8
9.996 094
9 360 632
9 544126
9.103 949
0.256683
0.440177
9.993178
0.249 861
Вычисление геоцентрических расстояний для крайних моментов «ало •
отличается по своей схеме от первого приближения:
*1
Add.
«i
9.817 970
9.034 310
9.773 344
0.044 626
«і?і
cos \г
а
0.016 893
9.938 020
9.954 923
21*

Nt-ъ
Add.
По
N2-n2
Bt{Nt-nJ
At
Вх М-щ)=
Bu(N%r-n?=
ЛР =
«iPi
Pi
8.807 654
8,i60 935s„
9.671-824
9.146 658'
9.614 854
0.056 970
8-761512
9.547 092
9.846 155
— 0.014 486
4-0.352 445
+ 0.701 706
+ 1.039 685
0.016.893
0.243 549
P
cosX
b
#, cos /,a
i?ficosI2
d
—a=
Лар2 GOS Xa=
л2со$Ха
Pa
0.249 861
9.956 158
0.206 019
9.969 953
.8.80/ 654
8.777 607
9.353 067
8.761512
8.114 579
— 0.901412
+ 1.607 Oil
+ O.i 59 925
+ 0.013 019
+ 0.778 543
9.891283
9.580 955
0.310 328
Снова вычисляем гелиоцентрические координаты для всех трех наблюдений
Координаты для среднего наблюдения вычисляются только ради контроля, так как
при определении элементов они не нужны.
р cos(X—I)
Add.
R
rcosb sin (I—L)
r cos b cos (/—I)
COS( ...)
/-!=
rsmb
rcosb
cos b
tgb
r
0 237 874
0.197 731
9.998 774
9.449 297'
0.435 605
9.997 700
5°.892 23
9.496 342я
,0.437 905
9.997 177
9.068 437M
0.440 728
0.227 747
0.200 469
. 9.996 094
9.742 851
0.428 216
9.990 944-
—u°:66oi3
9.501 861,
0.437 272
9.997 096
9.064 589,
0.440 176
»
0.075 121
0.262 069
9.993 357
0.220 585„
0.337 190
9.900053
;—37.399 00
9.504 120rt
0.437 137
9.997 064
9.066 983n
0.440 073
Щ ' Вычисление элементов начинаем с определения аргументов широты. Это вычи
сление сопровождается основательным контролем проделанной работы.
/ =
Л>^
г
26°.535 95
31.783 $4
' 39.366 69
127°.952 33
12°.830 74
cos(/a—/,)
tg^cos(...)
Add.
tgA
Числитель
sin (/a—lx)
9.989 018
9.047 455
8.662 682 .
9.066 983я
0.019 528
7.710 137ft
9.346 493
220

и ==
a2—и
и —u±
Sln(Uj— И) =
sin (a — их)=
sin(tt2—aA)=
r sin («j-
rx sin (u2-
¦йі)
rsin(w—Uj)
resin(tt,—«J
«1
258°.583 62
263.83101
271.414 36
27Г.404 83
263.873 29
258.658 59
7°.532 54
5.213 70
12.746 24
9.117 567
8.958 424
9.343 671
9.557 743
9.784 399
9.398 600
9.783 744
9.773 344
9.614 856
tgisin{lx—SI)
sin(,..)
tgxcos(...)
tg'(...)
sin (/-<Ш
sin(/2—SI)
(tg»J
¦(tg*)
sec/
tg(/-cfU
tg (WU
tg«i
tgu.
tg"a
9.058 437,
9.991-321,
8.363 644,
0.694 793
9.067 116
9.997 478,
9.999 868
'«
9.066 984rt
9.064 594n
0.002 938
0.966 226
1-607 474B
0.697 731
0.969 164
L610 412rt
Контрольное значение tgb отличается от первоначального на 5 единиц шестого
знака. Эта разность больше того, что обычно бывает, но все же вполне объяснима
накоплением погоешностей вычисления. Соответствующие значения Ь отличаются
на 0°.00008 = 0"Гз.
Отношение і\ вычисляем по формуле Энк?
(й8 —«х)=
2 Yrjr%
cos — (иа-%)
sec 7
Г
(гг+глР
с
а"
о2
6°.373 12
0.440 400
0.741430
0.741 430
0.000 000
9.997 308
0.002 692
2.209 02
3.493 848
2.224 290
1.269 558
0.405 08
2.539 116
3.503 444
1.674 64
1.573 23я
+ 3187.5
• + 47.3,
— 37.4
0.003 197
р
р:гг
cos (а2—их)
ftcosfo-rij
Add.
— Яг
Числитель
sin (u2—Oj)
p:rt
42
е sin v1
€ COS^x
ГЛ« ft.
0.490 328
0.049 600
-9.082 736
9.989 164
9.071900
8.597 632
9.088 764Я
0.016 864
7.669*532»
9.343 671
0.050255
9.088 764
8Л25.861„
9.082 736
Q.MS 447
9.243 125»
350°.07180
355.285 50
2.818 04
221

/у, sin (и,—и,)
V~P
C0 =
i
1
COScp
COS'' cp
a
a9
a*
n
Vrx-p
. 1
sin — 9
sin^!
sin-g-(fi—A)
-!•<*-«=
^i—^i=
?x=
г;а-^=
y(f*-^)r=
sin~ fpf-'v,)
Контро іь
sinf-L
— ec sin?'1=
— Лр2=
*2=
>0 =
v-ft=
0.227 669
9.982 505
0.245 164
7°.055 21
3.527 60
'9.996 699
9.993 398
0.496 930
1.490 790
9.993 704
0.745 395
9.248 309
9.975 200
. 8.789 083
9,236 573я
8.000 856rt
-0°.57410
— 1.148 20
351°.220 00
12.746 24
6.373 12
9.045 333
0.440 400
9.485 733-
0.847 412
9.183 67 ln
0.031 083rt
.4-1.074 19
¦ 352.29419'
— 0.010 27
- 0.01193
70.80217
¦ 14.964 87
55.837 30
32d.O00 00
17.035 1.3
tt>,^=
e
cos&a
COSf
(«i)
ecosa
\-\-e cos v
CO
sin i- 9
sin v%
Siny(^-A)
\(v*-Et) =
г'я-¦?¦»=
?a=
Siny (...) =
a cos cc
Контроль
sin Яи t
— e°$inE2=z
Mr*
мг-мх=
м2~мг
n°
nFf
W»
268°.586 79
9.089 289
9.999 475
9.998528
9.088 764
9.087 8 L7
0.050 152
0.440 176
9.974 872
8.789 083
8.691649
7.455 604
+0°.163 58
+ 0.327 16
2.490 88
11.270 88
5.635 44
8.992 105
0.493 629
9.485 731
0.847 412
8.638 093
9.485 505
— 0.305 85
2.185 03
9.890 84
0.995 233
1.746 924
9.248 309 "
2.804 611
—23.837 30

n
-<l)=
M0=
1.231 345
9.248 309
0.479.654
+ 3°.0l7 55
'355°.3U74
n
n(t0-t2)=
M0=
1.377 237^
9.248 309
0.625 566n
—4°.222 46
355°.3U 73
В заключение сопоставляем полученные элементы:
А) = 1931 ноябрь 1.0 Т. U.
Af0-™ 355°.ЗШ
? — 7.0552
п = 637".692
lgn°= 9.248 309
\ga = 0.496 930
w = 268^.5868 \ Эклиптика и сред-
Sl =* 127.9523 і нее равноденствие
/= 6.6570 J -1931.0
УПРАЖНЕНИЯ.
1. В примере, приведенном в § 68, вычислить элементы орбиты при помощи
гелиоцентрических координат, полученных в первом приближении.
2. В этом же примере вычислить представление исходных наблюдений как при
помощи элементов, полученных во втором приближении, так и при помощи элементов,
полученных при решении предыдущей задачи. Геоцентрические координаіы Солнца
таковы:
X
У Z
— 0 322 528, —0.139 897.
— 0.719553, — O.62520rf, —0.271176.
— 0.225 459, — 0.879 498, — 0-381 474.
t{. —0.933153,
t2:
3. Исходя из формул (Ш, 27) показать, что эклиптические геоцентрические
координаты светила могут быть вычислены по формулам
р cos р cos (X — SI) = г cos а — R cos (L — ?Ъ)
р cos р sin (X — SI) —г sin a cos / — R sin {L — Si)
p sin [J =-- r sin и sin /.
4. Приняв z за абсциссу, а у за ординату построить кривые
у = sin4 z
у = М sin (z — q).
Изучая различные случаи пересечения этих кривых, определить число корней
уравнения Гаусса
sin (z — q) = m sin4 z,
удовлетворяющих условию 0°<.г< 180°.
5. Полагая
. x = cotgz,
ч-
привести уравнение Гаусса к виду
ох+-р = (1 + д?)
Графический метод решения уравнения Гаусса, основанный на построении точек
пересечения криви#
У = & + #)
223

с прямой у = ах-{-$, был предложен Waterstone'OM и подробно разработан Р.
Фогелем (Определение элементов орбит по трем наблюдениям, Киев, 1591).
6. Даны радиусы-векторы г19 г, гг и аргументы широты иг, иу и2>
соответствующие трем моментам tlt t9 t2. Вывести следующую приближенную формулу для
определения параметра орбиты:
* ft - v Vp = -Щ^ * +?- * + 1M=?L ,.,
где
2/=аа —и„ 2/1 = и2 — и» 2f2=u — a1.
Исследования Moulton' a [Astron. Journ. Vol. 22 (1902), p. 45], давшего эту
формулу, црказывают, что для ма"лых планет в наиболее неблагоприятных случаях
получаемая величина р точна до 6-го знака, если t2 — tx не превышает 40 дней.
Указание. Применить формулу Симпсона.
7. Если известны радиусы-векторы г, г\ г" и аргументы широты а, и\ и'г
трех положений светила, то параметр может быть вычислен по формуле
sin (о* — аг) — sin {иы — и)-\- sin \и' — и)
р _ . ,_ _
у sin (и" — я') — -р sin (ц"— и)+ — sin (а' — и).
Доказать эту формулу и объяснить, почему,ею не пользуются при вычислении
элементов орбиты.
.Указание. Воспользоваться уравнением орбиты и тождеством (И).
8. Привесги предыдущую "формулу к виду (в наших обычных обозначениях)
ЯіАі + лаг8 — г
р пх+ п2 — 1
и посмот.реть, что она дает в примерах, вычисленных в §§ 61,62 или 68.
ГЛАВА IX.
ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ОРБИТЫ ПО ТРЕМ
НАБЛЮДЕНИЯМ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ЧЕТЫРЕМ
НАБЛЮДЕНИЯМ.
В двух предыдущих главах мы подробно изучили определение
орбиты по трем наблюдениям. При этом мы все время имели в виду
наиболее общий случай и не останавливались на тех осложнениях,
которые могут встретиться, когда наблюдения удовлетворяют не-
которым^специальным условиям. Теперь нам нужно остановиться
на тех случаях, когда общий путь определения геоцентрических
расстояний оказывается непригодным.
Прежде всего легко видеть, что возможны такие случаи, когда
орбита по трем наблюдениям вообще не может быть определена.
В самом деле, если светило движется в плоскости эклиптики, то его
движение определяется четырьмя элементами (а, е, MQ и долготой
перигелия <5), между тем как три наблюдения дадут лишь три
долготы, и следовательно позволят написать только три уравнения.
' Таким образом в этом случае необходимы четыре наблюдения для
того; чтобы можно было найти элементы орбиты.
Конечно ни одна планета или комета не движется совершенно
точно.в плоскости эклиптики. Но в тех, довольно часто
встречающихся на практике случаях, когда наклон орбиты малой планеты
не превышает нескольких градусов, коэффициенты Ри Q в уравне-
224

ниях Лагранжа (стр. 173) становятся столь мало точными (в
предельном случае, когда светило движется в плоскости эклиптики,
они принимают неопределенный вид —J, что для определения
геоцентрических расстояний приходится брать не три, а четыре
наблюдения.
Следует отметить, что употребление четырех наблюдений вместо
трех позволяет заметно точнее определить коэффициенты уравнений,
с помощью которых находятся геоцентрические расстояния. Поэтому
иногда может оказаться выгодным воспользоваться четырьмя
наблюдениями в таких случаях, когда можно было бы вычислить орбиту
и по трем наблюдениям. Более широкому распространению
излагаемого ниже способа вычисления орбиты по четырем наблюдениям
препятствует то, что он требует больше вычислительной работы,
нежели обычный способ.
Метод для вычисления орбиты по четырем наблюдениям
впервые был дан Гауссом (Theoria motus, Art. 164—171). Берберих (Вег-
berich) и Баушингер улучшили метод Гаусса, введя для вычисления
отношений пг и п% формулы Оппольцера (§ 53),
§ 69. СЛУЧАЙ, КОГДА НАБЛЮДЕННЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ СВЕТИЛА НАХОДЯТСЯ
НА БОЛЬШОМ КРУГЕ.
В §55, рассматривая вопрос об определении геоцентрических
расстояний по трем наблюдениям светила, мы получили для
определения р—геоцентрического расстояния в момент среднего
наблюдения—такое уравнение:
Др = — пхиг^и~пгиг% (1)
где /
А А» Ал
д =
a Uv U, иг~выражаются определителями вида
Ух =
Хі А^ Аа
Уг *Ч P-2
Zx ^ v2
, v =
X ax Xa
У Vt Vi
Z vx v8
-
, t/,=
X2 Aj k±
Уг t4 Pt
Z% vx >8
(2)
Уравнение (1) должно быть решено совместно с- уравнением'
г2 = ра + 2Ср + #2 .(3)
относительно риг.
Затруднения при этом могут возникнуть лишь в том случае,
когда д = 0.
Напишем это соотношение следующим образом:
Рл> рЛ. РіАа
РН-» PiHi» РгН
Р» PlvU P8V3
= 0.
15 Курс небесной механика, т. I.
225

Так как (рХ, pjt, pv), (ргХ1( р^, р^),... суть не что иное как
прямоугольные геоцентрические координаты, то это равенство выражает,
что три рассматриваемые положения светила находятся в плоскости,
проходящей через дентр Земли, а потому видимые положения
светила, определяемые направляющими косинусами (X, p., v),..,,
находятся на большом круге.
Итак, определитель Л равен нулю тогда и только тогда, когда
три видимые положения светила лежат на одном большом круге.
Рассмотрим решение уравнений (1) и ^3) при условии А=0.
Здесь могут представиться следующие случаи.
Первый случай. Определители (2) не все равны нулю. Если-бы
две из величин Uv U, U2 были равны нулю, то третья также была
бы равна нулю в силу (1). Таким образом по крайней мере одна
из величин иъ U$ не равна нулю.
Поэтому подставляя в уравнение.(1) выражения (VII, 15)
п1 = п1° + с1г^ь7 /г2 = л20 + с2г~3>
получим уравнение
0^ — Ліо иг + и — п2° U2 — (сг Ux + с2 U2) г~ъ, (Ibis)
позволяющее определить л.
Уравнение (3* даст р.
Второй случай. иг= U = U2,= 0.
В этом случае уравнение (1) обращается в тождество, и
определение р при помощи трех взятых наблюдений становится
невозможным. Посмотрим, когда этот случай может встретиться.
Предположим сначала, что не все миноры
Н ^2 — Рг Чі \ х2—va К h F* — *2 h. (4)
определителя (2) равны нулю. В таком случае равенство иг = О,
напитанное в форме
Хг, РЛ> ?t\
Уі* Рі(*ь hH
zv Рі?і> P*va
-о,
будет означать, что геоцентрическое положение Солнца в первый
момент находится в той, проходящий через центр Земли плоскости,
в которой лежат все три положения светила. Аналогично
интерпретируются равенства ?/ = 0 и ?/2=0. Таким образом, в этом случае
большой круг небесной сферы, на котором лежат видимые
положения светила, заключает соответствующие положения Солнца, т. е.
совпадает с эклиптикой.
Если миноры (4) равны нулю, то это дает
Аі = Мі = vi
*8 И-а
9
г
а потому 1г = Х2, ^ = (і2, vx = v2 (случай 1г == —Х2, ^ = — р.а,
*і = —v2» как не представляющий практического интереса, отбрз-
226

сываем), т. е. видимые положения светила для крайних моментов
совпадают. В этом случае можно, если не все миноры
равны нулю, составить уравнение, аналогичное (1 bis), и определить
гг и рх; после чего из основных уравнений найдем р8. Наконец, если
и эти миноры равны нулю, то все три геоцентрические положения
светила совпадают (случай диаметрально противоположных
положений опять исключаем) и мы бессильны определить орбиту при
помощи таких наблюдений.
Приходим к следующему выводу:
Определение орбиты по трем наблюдениям невозможно в двух
случаях:
1—когда все три наблюденные положения светила совпадают]
2—когда три наблюденные положения светила лежат на
эклиптике.
Конечно, с практической точки зрения приходится отказаться
от вычисления орбиты по трем наблюдениям не только тогда, когда
эти случаи точно осуществляются, но и тогда, когда мы достаточно
близки к ним.
§ 70. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ЧЕТЫРЕМ НАБЛЮДЕНИЯМ: ВЫЧИСЛЕНИЕ
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИХ РАССТОЯНИЙ.
Обозначим через tv ty t,' t2t (^<1<^ <t2) моменты
наблюдений, и такими же индексами будем отмечать соответствующие
этим моментам величины,
Исходным пунктом являются, как и во всех методах определе-
• ния орбит, соотношения между геоцентрическими и
гелиоцентрическими координатами светила:
Х1=:1гр1 ХХ
Xi^HPi — Yi
2l = vlPl — Zl
х= Хр — X
у= гр — у
z - vp —Z
Х2 -г Х2р2 - А3
.Уа^^зРз — Y%
22 = v2p2—Zs
xf^Vp' — JT
у = ?у-г
z' = *'p' — Z'
Условие нахождения трех точек (хг, yv zj, (х, у, z), (х2, у2, гг)
в плоскости, проходящей через начало координат, выражающееся
равенствами (VII, 3), дает
Рі пі \ — Р ^ + Рзп а *2 = пі Хг — X+п2 Х%
Рхяіні— р^ + РаЛз^в — п\ Y\ — ^ + лз ^і
Исключая отсюда р, получим три зависимости между рх и р*.
Выберем одно из этих соотношений и представим его так:
рш = Мрх + т, (7)
15*
227

где
«8
Совершенно также, условие нахождения трех точек (xv yu гг),
(х\ у, z')> (x2, yv z2) в плоскости, проходящей через начало
координат, даст нам аналогичное соотношение
Рі^М'ь + т', (8)
где
п.
т1
L\ —, + ?3 r-? + Lb .
я» л
где
Все коэффициенты К, Lxy L& Lt, К', Zq\ L{y Lz\ выражаются
непосредственно через данные направляющие косинусы и координаты
'Солнца. Что же касается отношений площадей треугольников nv
n2t Пі, пг\ то для выражения их .через радиусы-векторы г, иг2
воспользуемся формулами Оппольцера (VII, И)
1 __ гг — rx
Эти формулы дают
Для п{\п,ъ и 1/ft,' получим совершенно такие же выражения,
только х15 т2 будут заменены через
%{ = kit% — t\ %%f = k{p-t\
Подставляя все эти выражения в уравнения (7) и (8),
окончательно получим коэффициенты этих уравнений в таком виде:
*-7г?». Ч-?Е?. О)
М = G + 0, >+G2 6tq
/77 = Я+Я, Р + Я3С7]
ЛГ = О' + О', $ + <72' $ Y)
(Ю)
228

Вернемся теперь к соотношениям (5). Возводя их в квадрат и
складывая почленно, получим
r22 = Pa2 + 2C2p2 + tfa2, }> (П)
где
С, = —M + ftK. + ^ZA ф=>Х<* + У? + 2?
0=1,2).
Остается решить систему уравнений (7), (8), (*9), (11)
относительно неизвестных pv рь гг, г2, :, ц. Некоторые особенности
рассматриваемой системы делают это решение весьма легким.
Для малой планеты мы можем в первом приближении взять
/і = г2 == 2.7, что дает
$-= 0.0060, ^ = 0.
С этими значениями вычисляем по формулам (10) коэффициенты
уравнений (7) и (8). Определив из этих уравнений геоцентрические
расстояния
/п' — т Aftfi' — M'm
Рі" М — М* * ра М-М' >
найдем, по формулам (11), новые значения rlt r3. Затем вычисляем
более точные значения ? и г\ и повторяем определение plf р2 и г1? г2)
и т.д. — пока не получим окончательные значения всех
неизвестных.
После того, как pv ра вычислены, по формулам (5) находим
гелиоцентрические координаты для двух крайних положений
планеты, затем обычным путем вычисляем элементы орбиты.
§ 71. СОПОСТАВЛЕНИЕ ФОРМУЛ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОРБИТЫ ПО ЧЕТЫРЕМ
НАБЛЮДЕНИЯМ.
Исходными данными являются моменты tl91, f, іг {tx<t<t'<t^
четырех выбранных наблюдений, соответствующие им координаты
светила а1М, 8^-..... и координаты Солнца(Дг» Yly Z^>,*.. (см.
начало § 60 на стр. 183).
Вычисляем направляющие косинусы
X = cos Ьх cos alf >jt = cos &! sin a^ vt = sin 8j
и радиусы-векторы Земли-(только для двух крайних положений)
Я4> = Лі« + Уг2 + Zx\ RJ « X* + У,3 + Za3.
Вычисление коэффициентов основных уравнений.
Из уравнений
(^а - hv)4?% = — (?і ~ VKPi — (ху~ № + (ХГ* ^ ^iK +
(Kvo — Xav) щр% = - (Xvx — V) л i ft — (XZ - *Х)+ (XZi — v^i) ni +
+ (XZa — vX2) яа
"G"i — IV) «aP2 = — 0*t — M nx Pi — (v-Z—vK) + (nZj—vKa) лх +
229
(a)

выбираем то, в котором коэффициент левой части наибольший, и
представляем это уравнение в форме
Ра = м?і + т>
где
М
*g. <*=^;+чі+^
(Ь)
Из уравнений, получающихся из (а) путем замены >, p., v и
X, Yt Z на X/ р/ v' и X', У7, Z', выбираем одно, и также
представляем его в форме
Р2 = М'Рг + т'>
где
Затем приготовляем уравнения
(Ь')
'і1 = (Рі + Q" + ^Ч ,.
определяющие радиусы-векторы:
Сх = —(X1X1+Kirl + v1Z1) C2 =-(X2X2 + tx2K2 + vaZ3)
Ях» « хх« + Кг« + Zxa Я,2 = Ха2 + Г22 + Z32
5l2 =#1%_С1* S22 =/?22_С22
Исправление моментов наблюдений за планетную аберрацию.
Если моменты взятых наблюдений не были с самого начала
исправлены за планетную аберрацию (например при помощи ранее
вычисленной круговой орбиты), то находим сначала
приближенные значения геоцентрических расстояний. Для этого вычисляем
5 -fefr + ^('i-OK'-O-fr-*!)]} '
| = ^(i-^(V-')[(^-y+(^i)]}
(d)
-^=0.0003945496, lg^ = 6.596 1016 _
10 '
причем для малой планеты принимаем % = 0.006.
С этими значениями по формулам (Ь) и (Ь') находим М, т, М',
т', после чего
Рі
тг — т
М — М
Т t
_ Mm' — M'm
?t М — М'
230

Чтобы убедиться, что взятое нами среднее значение S = 0.006
достаточно близко к истине, по формулам (с) находим rv r3. Если
новое значение
і
(гх + га)* (е)
6 =
значительно отличается от принятого, то можно повторить
вычисление рх, р2.
Все вычисление надо вести с таким расчетом, чтобы получить
рх и р2 с 2—3 верными десятичными знаками.
Вычисляем аберрационное время
А = 0Ш5 770
APv А?2>
t — L
Ар = Арх + ~-^ (Лр2 — АРх)
AP'=APl+i^(Ah-APl)
и находим исправленные моменты
tx° = tx — ApXi t° »t —Ар, f° = f— A?', t2° = t2 — Ap2.
Определение геоцентрических расстояний.
Находим
А = 0.017 20210, "
4k
= 0.02293613.
и вычисляем коэффициенты формул
t + i?^-^+4^
(0
Подстановка этих выражений в формулы (Ь) и (Ь') дает
окончательные зыражения для коэффициентов основных уравнений:
M=G +G? +GM
m = H +Н? +Н?-п
Af' = 0/ + Oi,e + G1'bj
m' = Н' + Щ% + ВД
231

Сначала даем 5 значение (ё) и полагаем ^ — 0. С найденными
таким образом
Pl~" Af — М' ' Ра~ Af-M'
вычисляем rb г2 и находим более точные значения
('і + ^Г ' гх + г,
Процесс повторяется до тех пор, пока исходные и конечные
значения \ и т\ не будут тождественны.
В тех случаях,.когда была ранее вычислена приближенная
орбита, исходные значение $ и ч\ определяются при помощи этой
орбиты.
Вычисление элементов. После того как с окончательными
значениями рх и ра вычислены гелиоцентрические координаты
Уі = Р-іРі —Уг У2 = Ы2 ~ у2
% = Ч?і — Zt %г = v2p2 — Z2,
находим элементы орбиты по формулам, данным в § 60 (стр. 188 и
следующие).
Представление наблюдений. Применяются те же формулы, что
и в § 60. Отличие заключается в том, что представление двух
средних наблюдений может и не быть совершенно точным, несмотря на
безошибочность вычислений. Это объясняется тем, что каждое из
средних наблюдений используется не полностью, а участвует лишь
в вычислении коэффициентов
К, L1} -L2j ^з>
или соответственно
К ) bj, Z.2, L3 ,
Таким образом, чтобы убедиться в*том, что разности между
наблюденными и вычисленными координатами происходят не от
ошибок вычислений, нужно с вычисленными значениями координат
определить указанные коэффициенты: их новые значения должны
совпадать с прежними .в пределах точности вычислений»
§ 72. ПРИМЕР.
Даны следующие наблюдения планеты 1931 TU (координаты тогюцентрические):
Место 1931 Т. U/ а(1931.0) о(1Ш.О)
Симеиз Октябрь 10 1ь 4m.5 2h Sm49s .07 + 2°2і' 5".3
» » 14 23 24.2 2 Ъ 25 .60 +1.55 16.4
Ноябрь 6 20 6.0 1 48 33 .30 +021 5.2
» * 12 20 23.5 1 44 41 .62 +08 1.3
В этом случае планета находится далеко от эклиптики (чтобы убедиться в этом,
достаточно сопоставить ее склонения со склонениями Солнца для тех-зйе прямых
восхождений), тем не менее, вследствие неудачного распределения наблюдений, ожи-
232

дать хороших результатов от орбиты, вычисленной по первым трем (или последний
трем) наблюдениям, не приходится. Поэтому будем вычислять орбиту по всем
четырем наблюдениям.
Направляющие косинусы и координаты Солнца (топоцентрические) таковы:
*і *" *' іг
I 4- 0.845 440 + 0.853 465 + 0.889 888 + 0.897 460
р. 4- 0.532 494 + 0.520072 " + 0.456133 +0.441089
v + 0.041029 + 0.033 525 + 0.006 134 + 0.002 333
X —.0.961058 — 0.933 173 — 0.719 582 — 0 642 907
У — 0.248 893 — 0.322 551 — 0.625 216 — 0.690 256
Z —0.107 973 —0.139926 —0.271206 —0.299417
Из числа уравнений (а) в данном случае для обоих средних наблюдений
оказывается наиболее выгодным первое. Получаем следующие основные уравнения 1)
рв = 0.163 64 —Ь рх — 3.183 05 —і + 2.32618 '— + 2.821 48
#2 ^а ^а
9? = 5.237 03 % Рі — 12.874 75 ^7—13.542 92 —, + 19.05473
Ли ла л^
rf = (Pi + 0-949 481)а + 0.095 724 ,
r% — (Pa + 0.882 146)a + 0.201 251.
Переходим к вычислению приближенных значений'plt р2» Принимая 5 = 0.006,
при помощи формул (d), (Ь) и (Ь7) находим
М = + 0.9565 т = + 0.1229
М' = + 1-1349 т' = — 0.1933
Откуда
рх = 1-772 р2 = 1.818
Соответствующие значения
г1== 2.739 га = 2.737
дают
$ = (г1+г2Г3=: 0 006 090
Так как это значение весьма близко к исходному, то нет надобности
перевычислять рх, рэ. Находим аберрационное время и исправленные моменты
Ло- = 0.010 22 4° = 10-034 57 V ~ f = 28-874 28
А1 _ о.ою 26 і° = 14.964 88 *° — h° « 4.930 31
Лр =0.01044 *,о = 37.*2706 ' /°а —*'° = 6.01210
Арл == 0.010 49 t° = 43.83916 t'° - ^° = 27.792 49
Вычисляем коэффициенты формул^)
*а° —*!° = 33.804 59
ч
4 хг
*%—ч-
4гг2
0.496 6933
0.084 8117
5.856 483
4.540 804
-0,4118866
-1870 296
0.^86 837
0.5815099 ~<z 0.775 3465
0.103 4207
0.478 0892
3
0.216 3209
Yv^ 0.167 7237
Т/ — Т/ +0.374 6685
+ 0.062 841
4т/2 0.042 783
:) В некоторых случаях ради однообразия удерживаются заведомо нереальные
цифры.
233

Итак
— 6.856 482 —7 1.216 321
т+*а 0.666 3216 f r + r3' 1.059 5991
±. ?h (T + 4) — 3.025 636 — -|-T^ (r -f t2') — 0.177 7199
4тхтг2 Oi 168 503 3 4rxV 0.197 777
-2i- = 5.856 483 — 1.870 296 5 + 0.986 837 lt\
— = 6.856 482 — 3.025 636 $ + 0.168 503 b\
% = 0.216 3209 + 0.062 841 6 + 0.042 783 b[
— = 1.216 3209 — 0.177 720 6 + 0.197 777 ?i]
Следовательно
n2
l
M = + 0.958 355 — 0.306 06 6 + 0.161 ?<]
m = + 0.129 413 — 1.084 93 $ — 2.749 Stj
ЛГ = + 1.132 879 + 0.329 10 5 + 0.224 fy
/л' = —0.202 S84 + 1.597 83 6 -~ 3.229 bj
Подготовив таким'образом все необходимые формулы, переходим к вычислении»
^геоцентрических расстояний. На основании предыдущего для первого приближения
•берем 6 = 0.006 090, ч\ = — 0.002 :'5.5 = — 0.000 36
м-
т'
(Гі+>
«i = -
м
ш
т
т!
~М' ¦
—'т
Н
Ра
г*2
г*
+ /¦¦«
ъ-г=
0.006090
— 0.00036
— 0.000002
0.956 491
1.134 883
0.122 811
— 0.193147
"0.178 392
— 0.315 958
1.771144
1.816 895
7.497 524
7.486 073
2.738 160
2.736 069
5,474 229
— 0.002 091
0.182 674
0.006 096
— 0,000 382
— 0.000 002
0.956 489
1.134 885
0.122 805
— 0.193 137
— 0.178 396
— 0.315 942
1.771015
1.816 761
С окончательными значениями геоцентрических расстояний f^ —1.77102,
#в= 1.816 76 нахоаим элементы орбиты совершенно так же, как в призерах, приве
деяных в §§ 61 и 62.
534

ГЛАВА X.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ.
При определении первоначальной орбиты кометы всегда
исходят из предположения, что комета движется по параболе.
Толькд в том случае, когда дальнейшие наблюдения укажут
на несостоятельность этого предположения, вычисляют
эллиптическую орбиту. Такой образ действия оправдывается
следующими соображениями.
Во-первых, огромное большинство комет движется по
орбитам, которые в части, доступной нашему наблюдению, либо
совпадают (в пределах точности наблюдений) с параболой,
либо так мало отличаются от параболы, что отличие может
быть обнаружено лишь при помощи наблюдений,
охватывающих большой промежуток времени.
Во-вторых, для комет, вследствие их быстрого движения,
изменчивого вида и нередко затруднительных условий
наблюдения (связанных с близостью к Солнцу), особенно важно дать
возможно скорее хотя бы грубо приближенную эфемериду.
Между тем для вычисления параболической' орбиты можно
воспользоваться такими близкими наблюдениями (например
разделенными промежутками времени в один день), которые
для вычисления орбиты по общему методу (без предположения,
что ?=1) совершенно непригодны. Кроме того вычисление
параболической орбиты требует меньше времени, нежели
вычисление эллиптической.
В-третьих, в тех сравнительно редких случаях, когда
скоро выясняется необходимость вычисления эллиптической
орбиты, ранее вычисленная параболическая орбита оказывается
весьма полезной: прежде всего она позволяет выбрать
благонадежные наблюдения или даже составить нормальные места
(см. § 77), затем она дает возможность вычислить исходные
значения пг, п2 точнее, нежели это позволяют формулы (VII, 15
и 16), и тем сократить число последовательных приближений.
• Параболическая орбита определяется (§ 14) пятью
элементами: г, Л, <», q и Т. Между тем три наблюдения дают шесть
уравнений: таким образом при определении параболической
орбиты мы неполностью используем данные взятых трех
наблюдений. Этим именно и объясняется, что параболическая
орбита может быть получена из таких наблюдений, которые
непригодны для вычисления эллиптической орбиты.
Среди различных возможных .путей для определения
параболической орбиты доминирующее положение занимает
метод Ольберса (W. Olbers, 1758 — 1840), отличающийся как
аналитическою простотою, так и практическою удобопримени-
мостью. г)
г) W. Olbers, Abhandlung tiber die leichteste und bequemste Methode die
Bahn eines Kometen zu bestimmen, Weimar, 1797.
Тождественный по существу метод был еще раньше (1779) предложен
дю Сежуром (А. Р. D. du Sejour, 1734 — 1794). Основные идеи этого метода
»
236

Гаусс внес в способ Ольберса некоторые улучшения как
теоретического, так и практического характера. Наконец,
Гюльден (Н. Gylden, 1841 —1896) и Клинкерфюс заменили
эклиптические координаты экваториальными.
Основная идея метода Ольберса весьма проста. Условие,
что орбита есть парабола, выражается уравнением Эйлера (§ 40),
которое устанавливает зависимость между
радиусами-векторами гх га двух крайних положений кометы и соединяющей
эти положения хордой 5. Так как указанные величины ru t^s
очень просто выражаются через геоцентрические расстояния рх
и р2, то таким образом получаем одно уравнение, связывающее
Рі и Ра- Другое уравнение Ольберс получает из основных
уравнений (VII, 5) путем исключения р. Так как это второе
уравнение линейно относительно рх и р2, то очень легко
выполняется исключение ра. В результате получаем уравнение
с одной неизвестной рх, весьма быстро разрешаемое
обычными приемами численного решения уравнений.
Мы ограничиваемся изложением метода Ольберса в
экваториальных координатах, так как употребление эклиптических
координат не дает никаких заметных преимуществ даже при
логарифмическом вычислении, не говоря уже о вычислении при
помощи арифмометра.
§ 73. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИХ РАССТОЯНИЙ.
Как и раньше, обозначим через (alf 8Х), (а, 8) и (а2, 82) прямые
восхождения и склонения кометы, соответствующие моментам
наблюдений tv t и t% {tx < t < t2)t и положим
Xx sss cos \ cos «x, Hi = cos bx sin <xv vx = sin Bl3
Через (Хь К,, Zx\ (X, Y, Z), {X2i Y2, Z2) обозначим координаты
Солнца в моменты наблюдений.
Условие нахождениятрех гелиоцентрических положений кометы
в плоскости, проходящей через центр Солнца, приводит, как мы
уже знаем-(§ 51), к таким уравнениям:
РілЛ — Рх + Р2^2 = ЩХг — Х+ п2Х2 |
' ft«ith — р\ь + р2«2^а = пгУг— Y + Щ Y2 , (1)
РілЛ — Pv + p2«2v2 = «iZi — Z + n% Z2 J
гДе Pi» P> h — геоцентрические (или топоцентрические) расстояния
кометы, а пх и п2—отношения площадей треугольников,
заключенных между радиусами-векторами:
можно найти в работе Ламберта 1771 года. А. Н. Крылов обратил внимание
на то, что графический метод определения параболических орбит,
предложенный Ньютоном в Principle эквивалентен методу Ольберса и дает вполне
удовлетворительные—и с современной точки зрения—результаты (Monthly Notices
of the R. A. S. Vol. 85, 1925).
236

Исключение р из уравнений (1) дает три отношения между
Рі и pa- Например, исключая р между первым и вторым уравнением,
получим
02 - hv) пгн + (^і—М rhPi^ — QY—vX) + (XKj—|Of,) nx +
+ (ХГ2-іх^а)л2,
,В дальнейшем нам будет нужно только одно из этих
уравнений. Выбранное уравнение мы представим в таком виде:
р2 = Мрх + т. (2)
В коэффициенты Мят входят неизвестные величины пь пг
вместо которых приходится подставлять приближенные выражения.
С какою точностью должны быть взяты эти приближенные
выражения?
Если взять выражения (§ 52)
"і=Т. л2»^, (3)
где
" х = k (t2 — f2), zx = k (t% — t)t tj = k(t— tx),
ошибки которых 2-го порядка малости относительно т, т,, т2) то
это произведет ошибку 2-го порядка в коэффициенте М, который
имеет вид
где, например,
К =, _ Xt*i —Ле .
Хц, —Ха1х '
и ошибку 1-го порядка в
так как каждый из коэффициентов
/ — ^і — ^і / = _ lY—v-x 7 = ху*-~рх*
имеет в знаменателе малую величину 1-го порядка, тогда как
в числителе стоит величина нулевого порядка.
Таким образом, уже весьма простые выражения (3) дают
точность, вполне достаточную для первого приближения.
Раз коэффициенты уравнения (2J можно считать известными, то
для каждого значения рг мы можем вычислить р2 и
гелиоцентрические координаты кометы
*1~ *іРі— -^1 Х2==^2р2 —^2 1
v. = Wl —Yx у2 = «а — гг \ (4)
237

Затем по известным формулам
S2 = {х _ Хг) 2 + (j, yz) 2 + (^ _ ^ 2
(5)
вычисляем радиусы-векторы и хорду.
Задача заключается в отыскании такого значения рь чтобы
соответствующие rlf г2 и 5 удовлетворяли уравнению Эйлера
1 .1
6х = (г1 + /-2 + 5)2~(г1 + Г2-5) 2 . (6)
По причинам, указанным в § 41, это уравнение представим в
следующем виде:
е0(2т)« -s'-Ci + ^o,
где коэффициент ?0 берется из таблицы X по аргументу
я*
(Гх + г2)з
Решение уравнения (6), левая часть которого определяется
в функции Рх равенствами (5),-(4) и (2), даст нам геоцентрические
расстояния с ошибками первого порядка малости.
После этого можно перейти ко второму приближению. При
помощи найденных в первом приближении величин вычисляем
более точные значения пх и п2і нежели (3). Для этого можно восполь-
зоватся формулами Оппольцера, которые, с ошибками 4-го
порядка, дают (§ 70)
где
5-77^Т>Г, Ч-"""
(г, + г*)8 ' * ъ + га '
Можно также прибегнуть к точным формулам
причем вычисление отношений площадей секторов и треугольников
"—*!> Чі* *і2 производится как было указано в § 37.
С новыми значениями пг и пг раходим коэффициенты Мит
уравнения (2) и снова решаем уравнение (6).
В тех крайне редких случаях, когда может понадобиться третье
и следующие приближения, нужно пользоваться точными
формулами (7). Впрочем в этих, случаях обычно предпочитают итти
другим путем (см. § 80).
238

§ 74. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ.
Прежде всего определяем угол
заключенный между радиусами-векторами гг и г2. Так как хорда знав
известна, то для вычисления этого угла можно воспользоваться
любой тригонометрической формулой, служащей для вычисления
угла треугольника по трем сторонам, например:
Затем формулы (IV, 12а)
Vj sin i«x = cotg/-|/iL cosec>
у Is cos 1г/1=== і,
дающие
tg| ^i = cotg/— ]/ ^ cosec/,
позволят найти v1 и г?2 = vx + 2/.
Для определения q проще всего воспользоваться уравнением
орбиты:
q = rx cos2 -1^= r2cos2 j v2.
Формулы (IV, 14), приведенные на стр. 93, дадут время
прохождения через перигелий Т.
Если вычисление эфемериды предполагается вести при помощи
векторных элементов, то для определения угла / можно взять
формулу
^=^+гуХ+*«> (8>
легко выводимую из (IV, 16) и (IV, 19).
Остальные элементы находятся как обычно (см. §§ 31 — 33).
§ 75. СОПОСТАВЛЕНИЕ ФОРМУЛ.
Даны геоцентрические (или топоцентрические) положения
кометы
(*іЛ,) М). КУ-
и Солнца
(*і, Yv -Zi), (*, У, Z)> (*» Y$9 Z%\
соответствующие моментам наблюдений tv t, t2. Все эти координаты
отнесены к среднему экватору и равноденствию начала года.
23?

Вычисляем направляющие косинусы:
Хх = cos Ьг cos alf ^1;= cos ox sin a2> Vj = sin * г
и аналогично для (X, ^, v), (Х2, jifc v2).
Контроль:
Из уравнений
(Х^а — vlX2) w2 p2 = — (Xt4 — ^Хг)/^ Pi — (X K— jt^Q -f
+ (ХУі - pjfx) /tx + (ХГ2 — ц*а) я,
(Xv2 —p.X2) щ p2==—(Ч —vXi) ^Pi —(XZ —v^)-f
^ + (XZj - v Лі) лг + (XZ2 - v^2) /*2
(^2 — V[4) Л, p2 = — (^1 — VJ*j) Яі Pi — (|lZ — V ф +
+ (P^i - vKJ Лі + (FZ2 —vF2) л2
выбираем то, у которого коэффициент р2 наибольший по
абсолютной величине. Избранное уравнение представляем в^ форме
хде
Ра = м?х + Mf
Принимаем
Первое приближение.
(а)
и вычисляем соответствующие М и /и.
Для каждого значения рх находим р2 и гелиоцентрические
координаты
хг = *і ?і —''X\ х2 " ^2 Рг — -^2
«1 = Vl Pi ™ Zl ^2 = V2 Р2 — ^2
Затем вычисляем радиусы-векторы и хорду
я найденные значения подставляем в
140

где
2т = 2?(/2-г1))
2? = 0.034 40420, lg26 = 8.536 6114 я
?0 берется из таблицы X по аргументу
При логарифмическом вычислении полагаем
/ (Рі) = lg [во (2х)2] - lg [s* (гх + г2)].
Вариируем рх до тех пор, пока не получится
/(Рі) = 0.
Кроме обычного способа пропорциональных частей для
достижения этой цели можно применить интерполяционную формулу
Ньютона. По мере того, как будем получать значения функции /(рх)
для различных значений ръ будем составлять таблицу разделенных
разностей:
Рі = р' /(Рі)=Л |у f.
Рі. -/, ЩМЛ
где
Л.т~Л rf /1 Л-— ^
\J*Jz\ — р/л
[ЛЛ - 1ЛЛ1
і/і/г] — yrzzy ' 1ЛЛ 1 — р///„р// » •
[АЛЛ]
Г-р'
После того как вычислены fx и /2 для двух каких-либо значений
Рі = р' и р", следующее значение рх находим по способу
пропорциональных частей, который дает
р'^р"— ~f*
l/i/J '
После трех проб полагаем р1 = р'" + хи применяем
интерполяционную формулу Ньютона г)
/(Рі) =/. + (Рі - Р*'0 [/.Л] + (Рі - Р") (Р: - Р") [АЛЛ!
Полагая /(р1) = 0, для определения х будем иметь такое
уравнение:
0=/з+^{[/2/з] + (р'"-ЮГЛЛ/з]}+^[/і/2/з].
Этот процесс можно было бы продолжить и дальше, но больше
четырех проб делать обычно не приходится.
Примечание. Вместо того, чтобы при каждой пробе
вычислять гелиоцентрические координаты, можно выразить
гъг% и s непосредственно через рг и р2.
х) См. напр. Я. Безикович, Приближенные вычисления, 1931, стр. ПО,.
16 Курс небесной механики, т. I.

2
2
Подставляя выражения (4) в формулы (5) получим
Гг* = (Рі+W + SJ
V = (Р, + Q)2 + 52:
s2 = ^ + г,* + АРі + ?2?2 - ЕЫг -~ G,
где ' . '
Sa2 = Хг* + Ух2 + Zx2 — Сх2' = /?х2-— СД •
Q = - (W + Р-2 ^2 + V2Z2l
S22 = *22 + Г22 + Z22 - С22 = /?22 - СД
?>1«=2(^t + iiir1 + v1Z1),
D3 = 2(^1 + ^2F1 + v2Z1),
Е = 2(Х!Х2 -f u.l(J.2 + Vlv,)
G = 2(X1XZ+V1Y2 + Z1Z2).
Второе приближение.
При помощи значений рь р2, полученных в первом
приближении, и значения р, найденного линейным интерполированием:
tt — t , t — ti
Р = г=7 Рі + Г=7?Ря.
исправляем моменты наблюдений за аберрационное время (если,
конечно, они не были исправлены раньше — в отом случае только
проверяем ранее принятые поправки):
t° = tr-AP,' f = t—A?> t° = b — APa
А = 0d .005 770, lg4=.7.76118_ip.
Затем вычисляем
т = k (4° - txa), Ч = к (t2° - П т2 = ? (f - tf),
k = 0.0172021 lg k = 8.235 5814_10
('•1+'".)8' ^ /-X + /-2'
Se?. + T?fr-^+4*i )
1 t 4 тт.
(b)
Эти значения подставляем в формулы (а) и с новыми М и т
повторяем определение рх и р2, -
При третьем и следующих приближениях (если бы таковые
понадобились) можно пользоваться точными формулами (7), При
этом кроме гг и га нужно еще будет знать г. С достаточной точ-
242

ностью г можно определить из следующего приближенного
уравнения (даем его без доказательства)
-2 _
*! .. о і ^* . о , і:,т.
На практике вместо третьего приближения обычно прибегают
к способу вариирования М (см. § 80). Вариирование М применяется
нередко и вместо второго приближения,
Представление среднего наблюдения.
Чтобы убедиться в том, что полученные геоцентрические
расстояния достаточно точны, и что взятые наблюдения действительно
могут быть представлены параболической орбитой—вычисляем
гелиоцентрические координаты кометы для момента среднего
наблюдения
Л === /ZjЛ1 ~Y~ fiqJCtt
y^nly1 + n2y2
z = nxzx + n%z2.
Эти формулы можно представить и в таком виде:
х^пг (JJ *і + хі)
и т. д.
Затем из уравнений
Р cos 8 cos a = х + X
pcososina —y+ Y
р sin 8 = z + Z
определяем а и о.
Если получатся значительные разности а (набл.) — а (выч.) и
8 (набл.) — 8 (выч.), то нужно еще убедиться, что эти разности не
являются следствием вычислительных ошибок. Для этого, с
вычисленными значениями а и 8 находим коэффициенты К, Lu L2i
Z-з формул (а) — если вычисления верны, jo должны получиться
исходные значения этих коэффициентов.
Вычисление элементов.
Используя гелиоцентрические координаты, полученные в
последнем приближении, находим
г
°= ,2
Контроль:
20 = 1 + -^-
xQ = x2 — <зх1} y0=y%—vyl9 z0^z2—ozVt
о
г0- = *„* 4- Л' 4- V-
tg2/=
- іе*
ад + лл + ^л
243

Контроль:
Затем
siti/= LУ {s + Гі ~r*)(s ~ Гі + rt)
2 r rxr,
tg -J- vi = cotg/— у у; cosec/
^2 = »i + 2/
^ = rxcos2-y ^ = ra cos2 -g- v*
Рг и Pa могут быть найдены по таблице V.
Наконец определяем векторные элементы
cosvt ^ sin v± ^ v sintfj , v cosvx
"o
cos v± sin і>х ^ 4| sin tj-L f -t cost?x
"o
sin v-. . cos Vi
^ = ^1 —~ xo—r— Vx —-vi n "Г -*0 —-
и величины
Щ = Л. "V = ?Py> **. = ?P.
nm = 2?Q„ ny = 2qQy n% = 2?Qa.
Контроль:
/гся2 + m,2 + /и.1 = q\ nx2 + V + n* = V
Относительно вычисления эклиптических элементов Л, г, »
§ 60 (стр.-190).
Представление наблюдений.
Момент наблюдения t исправляем за планетную аберраций)
f = *_ Лр.
По аргументу
Peg »(f„r)
244

находим о (таблица V). Геоцентрические координаты кометы
вычисляем по формулам
р COS 8 COS a =772^ (1 — О2) + пха + Х
р cos 8 sin а = my (1 —а2) + п^о + Т
р sin 8 == mt{\ — о2) -J- пяа + Z
Координаты Солнца ^, Г, Z берутся из эфемерид для
момента t.
§ 76. ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ,
Возьмем следующие наблюдения кометы 1909а (Daniel)1):
Место 1909 Gr. М. Т. о(1909.0) 5(1909.0)
Июнь 16.5306 25°28'38" + 29°58'25"
Nice
Lick
Lick
16.5306
18.9809
21.9659
25°28'38"
27 12 29
29 27 51
+ 33 26 22
+ 37 25 17
Местное звездное время каждого наблюдения и приведения координат Солнца
к месту наблюдения (§ 43), выраженные, в единице 6-го знака таковы:
Июнь Местное зв.вр. ДХ
16 - 18ь51та.8 — 7
18 21 14 .1 —25
21 21 4 .3 — 24
+ 30
+ 23
+ 24
— 29
-26
— 26
Придав эти поправки, к взятым из эфемерид геоцентрическим координатам
Солнца и вычислив направляющие косинусы будем иметь исходные данные
вычисления орбиты:
X
р*
V
X
Г
Z
+ 0.78203
+ 0.372 62
+ 0.499 60
+ 0.085 427
+ 0.928 905
+ 0-402 916
+ 0.742 15
+ 0.381 54
+ 0.55106
+ 0.044 017
+ 0.931489
+ 0.104045
4- 0.69146
+ 0.390 64
+ 0.607 67
— 0.006 496
+ 0.932 506
+ 0.404487
Так как в настоящем случае
*(*і—Р>ч = + 0.026094,
Н
ра— v[i.a = + аоіб 58,
_ vXt = + 0.069 946,
то берем "второе уравнение из" числа указанных на стр.' 240 и представляем его
в таком виде
р2 = 0.86019 -^ р +'3.6021 -^ — 3.9403 -^- + 4.3429. (*)
Приготовим формулы для вычисления rv г% и s (см. Примечание на стр. 241)
Гі2 = (Рі — 0.614 23)2 +0.655 22
rt* ~ (р2 — 0.605 58)" + 0.666 50
д* = гг2 + га* +1.088 94рх +1.333 55р, —
—1.979 79рхря —2.05726.
*) Этими наблюдениями пользуется Лейшнер (А. О. Leuschner) для
иллюстрации своего метода вычисления орбит [Publications of the Lick Observatory, Vol. VII:
(1913), стр, 389].
249

Первое приближение.
*2—* = 2d.9850
t~ ^=2.4503
*2—А=5.4353
И±-
па
= 1.2182,
л,
= 2.2182
р2 = 1.0479рх — 0.0094
(2т)2 = 0.034 970
Pl =
Р2 =
Рі+С^
Ра + 02 =
sa =
г2 =
(Гі+г2)* =
е0 =
?02.тя =
1
1.0385
0.385 77
0.432 92
0.804 04
0.853 92
0.018 52
0.89668
0.92468
1.820 76
3.315 17
0.005 587
1.000 47
*
0.034 99
0.033 72
+ 0 00127
0.8
0.8289
0.185 77
0.223 32
0.689 73
0.716 37
0.012 53
0.830 50
0 846 39
1.676 89
2.81196
0.004456
1.000 37
0.034 98
0.02101
+ 0.013 97
1.02
1.0595
0.405 77
0-45392
0.819 87
0.872 54
0.019 23
0.905 47
0.934 10
1.839 57
3.38402
0.005 683
1.000 47
0.034 99
0.035 37
— 0.000 38
Два первые значения pt взяты наудачу. Третье вычислено так:
0.00127
Рі = 1+-0.2
0.01270
= 1.02
Дальнейшее уточнение pj нецелесообразно
ближению.
Второе приближение.
~ Лрх = — Od.O059
— Ар = —0-0060
— Ар2 — — 0 .0061
Формулы (Ь) на стр. 242 дают
*!° = 16.5247
*° = 18.9749
tz° = 21.9598
лучше перейти ко второму при-
%х = 0.051 347
т2 = 0.042 149
х =0.093 495
(2т) = 0.034 965
п
^ = 1.21803,
= 2.214 69.
Щ п2
Сообразно с этим во втором приближении р2 через рг выражается так:
^ = 1.0477?! +0.0038- .
Повторяем вычисление геоцентрических расстояний (схема вычисления та же,
что и в первом приближении, поэтому приводим ее ниже в сокращенном виде).
После того, как сделана первая проба р = 1.02, новое значение рх определяем,
исходя из предположения, что отношение изменений рг и f имеет ту же величину,
что и в первом приближении, т. е.
Ар_
1.02 — 1.00
— 0.000 38—0.00127
12Л.
246

Это дает
h = 1.02 — 0.006 15 X 12.1 = 0.9453.
Для третьей пробы берем
Рі = 0.9453 + 0.000 03 X 12.1 = 0.9457.
Третья проба (которую можно было бы и не делать, ибо 3 единицы последнего
знака лежат в пределах вероятного накопления ошибок вычисления) наглядно
показывает, что геоцентрические расстояния определяются только с тремя надежными
десятичными знаками. Несмотря на это, дальнейшие вычисления надо продолжать
с пятью знаками, раз мы хотим, чтобы полученные элементы представляли
наблюдения с точностью до 1".
р1 =
р2 =
$2 =
Г1 =
Г2 =
С =
?о =
е0(2т)2 =
*\гг+гг)=
f=
1.02
1.0725
0.819 87
0.884 51
0.022 28
0.905 47
0.940 48
0.006 539
1.00055
0.03498
0.04113
— 0.00615
0.9453
0.9942
0.764 83
081753
0.01965
0.87455
0.90417
0.006211
1.000 52
0.034 98
0.034 95
+ о.ооооз
0.9457
0.9946
0.765 09
0.817 84
0.019 65
0.874 69
0.904 35
0.006 209
1.00052
0.034 98
0.034 96
-f 0,000 02
Представление среднего места. Прежде всего находим гелиоцентрические
координаты
х? = + 0.654 14 хг = + 0.694 22 х = + 0.673 22
^ = — 0.576 52 у2 =г— 0.543 98 у = — 0.562 70
Zj = + 0.069 56 z2 = + 0-199 90 z = -f °-128 52
гг*=* 0.76511 r22 = 0.817 82
Посмотрим, как эти координаты представляют среднее наблюдение:
pCCS о COS а = + 0.717 24
р cos 5 sin a = + 0.368 79
psino = + 0.532 56
tg а = + 0.514 18
cos а = + 0.889 33
р cos 5 = + 0.8 6 49
tgS = + 0.660 34
cos о = + 0.834 48
а = 27°.2ПЗ
о = + 33 .4384
а = 27°.1241"
Ь = + 33°.26'18"
Набл. — Выч.:
Да s — 12"
До = + 4"
р = 0.9?6 46
X = + 0.742 13
р. = -f 0.38159
v = + 0.55104
Для того, чтобы убедиться что полученные разности Да, Д^ не являются
результатом ошибок в вычислениях, с полученными значениями I, p., v определим
коэффициенты уравнения (2). Получим
р2 = 0.86(510 Jh: Pl + 3.6019 Ь. _ 3.9401 ~ + 4.3427.
п.
п*
п<
Коэффициенты этого уравнения вполне совпадают с коэффициентами нашего
исходного уравнения (*; в пределах точности пятизначного вычисления, ибо
К~
0.06016
0.069 95
= 0.8600
247

имеет только четыре реальных знака 2). Пятый знак мы писали только ради
однообразия.
Вычисление элементов.
?*і*і = + 0.78164 (ггг9)% = 0.014 764 s = 0.140 18
г, .= 0.874 69
о = -f 1.021 60 ггг0 = 0.121 51 гг = 0.904 35
xQ = + 0.02595 tg2/ = 0.15546 s + rx — ra = 0.11052
*—rx + rt = 0.169 84
jy0 = + 0.044 99 " 2/' =* 8°.8365
Числ. = 0.018 771
z9 = -f 0.12384 f= 4.4182 Знам. = 0.79103
rea — 0.019 297 r. = 0.138 91
== 0.023 730
2smf = 0.154 045
sinf = 0.077 02
(/") = 4°.4173
rx:rt
V Л: ra
cos/
cos/— Vrx\r%
sin/
°i = tg — tfj
1
1
a2 = tg— lf„
«5
Л".
P2
=
==
=
^
=
=
0.967 20
0.983 46
0.997 03
0.013 57
0.077 04
+ 0.17615
9°.990
+ 19.980
+ 28.816 .
14.408
+ 0.256 91
14.6314
21.5860
1
cos y vi
cos—t/,
cos* — vx
.1
cos* — vt
Я =
(?) =
qVl «
2q =
-PxqVT =
- P*V1 -
T =
0.984 84
0.96855
0.969 91
0.938 09
0.84837
0.848 36
0.92105
0.781 39
1.696 74
— 11.4328
— 16.8671
5.0919
5.0927
sint/x 0.341 69 cost^ 0-939 81
+ cos^ : ^ -f 1.074 45 +sinu1:r1 -f 0.390 64
•—smvx:r0 — 2.459 79 -\-cosvx:r0 -f- 6.765 61
1) Отличие от предыдущего значения ня 0.0001 объясняется тем, что при
промежуточных операциях сохранялся .запасной* знак. •
248

р*
р*
р>
sin в
sin i sin ш
sin i cos «о
tg«
«
COS tt)
sin (u
= + 0.639 01
= — 0.73011
= — 0.242 18
0.397 97
+ 0.063 39
4- 0Л93 Ю
0.086 23
= 4°.9284'
0.596 30
0.085 90
Q, = + 0.43110
Qy = + 0.07917
Q, = + 0.898 85
cose 0.91740
sin Q — 0.800 32
cosQ -f 0.599 61
Q = 306e.84*
cos i 0.605 25
sin i 0.79605
Сопоставление полученных результатов. Элементы:
Т =1909 июнь 5.0923 Gr. М. Т.
q =0.848 37
© = 4°.92& 1
Q = 306.842 J 1909.0
/ = 52,753 J
Формулы для вычисления эфемериды:
Х—+ 0.54212(1— а*) + 0.731 46-а )
у— — 0.619 40(1 — а2) + 0-13433-а } 1909.0
z =—0.20546(1 — с2) +1.525 11-а }
В заключение следует вычислить по этим формулам гелиоцентрически*
координаты для момента среднего наблюдения.
Дополнения к главе X.
УРАВНЕНИЕ ОЛЬБЕРСА.
Исключение р из уравнений (1)дает два независимые уравнения
вида
>• (ЗУ
Мы употребляли, для определения геоцентрических расстояний,
только одно из этих уравнений. Естественно возникает вопрос,
какую пользу можно извлечь из второго уравнения.
Исключим из уравнений (9) -~ * Это даст соотношение вида
Такое соотношение имеет место не только для кометы, но
и для всяких трех точек, лежащих в плоскости, проходящей через
центр Солнца, и на прямых, представляющих геоцентрические
направления на комету. В частности это соотношение справедливо
249

и для Земли. Поэтому, обозначая через Л^ и ЛГ2 отношения
площадей треугольников, заключенных между радиусами-векторами
Земли,, получим
ибо для Земли р1=р2==0.
Вычитая это равенство из предыдущего, получим
Ъ-^К Tji + Li \nz~Nj'
Но мы знаем (§ 52), что
и аналогично
#і _ ті Гі і т (ха — ті) J. 1
N7~^l1+ 6У?з + •¦¦]'
Таким образом, делая ошибку 2-го порядка относительно
промежутков времени между наблюдениями, мы можем положить
а потому (с ошибкой 1-го порядка, поскольку порядок ?/' равен — 1),
Это и есть уравнение Ольберса. Так как оно имеет форму
Р« = Л*Рі, (Ю)
то оно проще уравнения (2). В частности это уравнение позволяет
легко выразить s2 через рг: подставляя найденное выражение
-р2 в формулу, полученную на стр. 242, получим s2 в такой форме:
s2 = h2h2 + 2hgcosx9l + g2> (11)
где
2 A^cos х = 2Q + 2С2Л4+ Z), + D%M
Следует особо отметить высокую точность уравнения Ольберса.
Полагая в уравнении (2) в первом приближении
250
/

мы имели в коэффициенте т ошибку 1-го порядка, ибо Ц есть
величина ( —1)-го порядка. В уравнении Ольберса отбрасываемая
величина 1-го порядка имеет вид
/ // Т1Т(Т2-^) / 1 1 \
1 6т2 \г* R*j
и потому обращается в нуль, когда т1 = та, т. е. когда промежутки
времени между наблюдениями равны. Этому условию почти всегда
можно удовлетворить, ибо кометы наблюдаются обычно весьма
усердно, особенно в первые дни после открытия, так что имеется
возможность выбирать наиболее благоприятные комбинации наблюдений.
Но употребление уравнения (10) вместо указанного ранее
уравнения (2) имеет и свои неудобства. Прежде всего коэффициент
Кг не только сложнее коэффициента К, но и вычисляется с
несколько меньшей точностью, даже в наиболее благоприятных
случаях. Иногда Kf становится практически неопределенным,
будучи слишком близко к форме -5-, тогда как для К мы всегда
можем выбрать наиболее подходящее из выражений
*t*t —Хдц, Ху1 — Хду р.уа — р,2у
Если бы знаменатели этих, трех-jxpoбей оказались очень близки
к нулю, мы могли бы представить уравнение (2) в таком виде:
Рі^^Рі + л»
где N равняется одному из выражений
Xvx— \\ъ ' Xnj — Xxn * p.vx—p-jv *
Только когда все числители и все знаменатели этих дробей
были бы равны нулю, применение способа, изложенного в § 73, стало
бы действительно невозможно. Но в этом случае все три
наблюденные положения кометы совпадали бы (см. § 69): по таким
наблюдениям вычислять орбиту никогда не придется.
О РЕШЕНИИ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ
ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ.
Основным моментом при определении параболической орбиты
является решение системы уравнений (2), (4), (5) и (6) относительно
рг Решение этой системы представляет два неудобства: во-первых
исходное значение рх приходится брать наудачу; во-вторых —в
некоторых, правда чрезвычайно редко встречающихся, случаях
рассматриваемая система может иметь три решения. Такой случай
трех решений задачи об определении параболической орбиты
встретился при вычислении орбит комет 1882 II и 1910 а. Т. Бана-
хевич указал еще следующий пример: если за исходные данные
взять (эклиптические координаты):
t X Y
— 10d 0.085 2408 —0.171 173 9
О 1.000 0000 0.000 0000
+ 10 0.985 2408 + 0Д71 173 9
X
4- 0°45'
О О
— 0 45
— О'і?'
О О
+ 0 16
251

то получим три параболические орбиты, одинаково хорошо
представляющие эти фиктивные наблюдения, именно:
\g q i Q « Т
0.421 0461 2° 56'16" 0 0 0
0.900 8249 22 6 34 0 0 О
1.164 0094 90 13 15 О О О
Определение числа корней рассматриваемой системы и
разделение этих корней явилось предметом работ Оппольцера, С. Д.
Черного, Т. Банахевича, Вилькенса и других. В основе этих работ
лежит замена уравнения (6) *
(r1 + rs)s2=490x»
другим, более простым.
Прежде всего в этом уравнении (12) можно положить ?? = 1 и
гі + г2 = 2г,
что даст
rs2 = 2x3. (12)
Далее, с тою же точностью можно положить
Рі + Р2 = 2р,
что, при употреблении уравнения Ольберса (10), дает
__ Рі+ Р2 „ 2Р
Рі 1+ М ~1+М '
Подставив это выражение в формулу (И), получим
і s* « цД), [W? + 4hg(i+M) cosX • ?+g2a + Mfl
С другой стороны г можно выразить через р обычной формулой
r2 = p2 + 2#cos^-p + #2,
где
/?cos^ = — QtX+uV+vZ), R2 = X2+Y* + Z*.
Подставляя эти выражения в равенство (12), получим следующее
уравнение для определения р
(р2 + 2д cos* • Р + b2)Vp* + 2Rcosy-p + R* = c, (13)
где
Дискуссия этого уравнения 6-й степени уже не представляет
особых затруднений, но останавливаться на ней, в виду
громоздкости окончательных результатов, не будем. Ограничимся лишь
указанием графического приема, данного Т. Банахевичем, для
приближенного определения действительных корней уравнения (13).
2С2

где
Это уравнение можно представить так:
dx • d2 = с,
di= V (p + b cos xY + Ьг sin2 x
4і= V (P + /? COS <{.)* + /?2 sltT^.
Взяв прямоугольную систему координат хОу, построим точки
Л(— йсоэХ, & sinX) и В(—Ясоэф, /?sin ф). Задача сводите*
к определению на оси абцисс такой точки Р (р, О), для которой
расстояния <1г*=АР и rf2 = ВР удовлетворяют соотношению
di*d2 = c. При помощи нескольких проб легко получить все точки
Р, удовлетворяющие этому условию. Исследуя кривую,
определяемую уравнением (13), можно показать, что таких точек Р будет
либо одна, либо три.
Определив приближенную величину р, вычисляем
соответствующее значение
_ 2р
Рі —Г+аГ
которое затем улучшаем при помощи точных уравнений (4), (5), (6).
УПРАЖНЕНИЯ.
I.B примере, расмотренном в § 76, вычислить положение кометы для момента
среднего наблюдения при помощи геоцентрических расстояний, полученных в первом
приближении.
2. Из тех же самых наблюдений, которыми мы воспользовались в § 76, Лейшнер
получил {Joe. cit.) следующие элементы орбиты
7=1909 Июнь 5.1677,G- М. Т.
ш= 4°.9867 )
Q = 306.3220 } 1909 - О
z= 52.4340 j
Igq = 9.92747
Показать, что эти элементы дают такое представление исходных наблюдений:
8. Доказать формулу
где у2 (*'» + ^і) имеет тот же знак, что и га — rv Это соотношение (данное Т. Бака-
хевичем) может служить, совместно с (8), для определения истинных аномалий.
4. Вывести приближенную формулу (указанную В. Stromgren'oM)
$• = 0.000 8370 ('a_/l'
В случае небольшой гелиоцентрической дуги эта формула может служить вместо
(6) для определения рг: надо вариировать рх до тех пор, пока значение s, даваемое
этой формулой („динамическое" значение хорды), не совпадет со значением *,
получаемым по формуле (5) („геометрическое" значение хорды).
5. Приближенную формулу (12) получить исходя из формулы, дающей скорость
движения по параболе (§ 12).
253

ГЛАВА XI
ПРОСТЕЙШИЕ МЕТОДЫ УЛУЧШЕНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ
ОРБИТЫ.
После того, как вычислена первоначальная орбита вновь
открытой планеты или кометы, следующая задача Небесной механики
заключается в уточнении этой орбиты при помощи дальнейших
наблюдений,
Причины, вследствие которых предварительная орбита
нуждается в исправлении, двоякого рода: во-первых, при выборе
наблюдений для первоначальной орбиты обычно отсутствует всякая
возможность судить о точности наблюдений, так что есть много
шансов взять наблюдения, отягощенные значительными ошибками
(такие ошибки — как в наблюдениях, так и в редукциях — особенно
часты среди первых публикуемых наблюдений); во-вторых,
неизбежные ошибки далее лучших наблюдений оказывают тем большее
влияние на элементы орбиты, чем меньше гелиоцентрическая дуга,
пройденная светилом за промежуток Бремени между этими
наблюдениями. Между тем дуга, охватываемая наблюдениями,
употребляемыми для определения первоначальной орбиты, по необходимости
весьма мала и даже для комет редко превышает 20 — 30°, а для
планеты обычно составляет всего несколько градусов. Таким
образом, хотя предварительная орбита вычисляется с 5 — 6 знаками, и
элементы даются с соответствующей точностью, однако число
реальных знаков в элементах значительно меньше. Это обстоятельство
сказывается в том, что по прошествии некоторого времени
полученные элементы представляют наблюдения уже с ошибками, нередко
достигающими нескольких минут или даже нескольких десятков
минут дуги.
Остановимся подробнее на причине, заставляющей давать
предварительные элементы с шестизначной (для комет — пятизначной)
точностью в то время, как число реальных знаков в этих элементах
обычно не больше .2— 3. Причина заключается в том, что все
элементы связаны между собою: конечно мы можем изменять как
угодно нереальные знаки какого-либо элемента (например
отбросить их), но при этом мы должны,—для того чтобы
исходные наблюдения были точно удовлетворены, — произвести
соответственное изменение в остальных элементах.
Чтобы лучше уяснить механизм этого явления, возьмем
следующий простой пример: нужно найти х и у, удовлетворяющие системе
уравнений
0.84852* + 0.36444у — 0.16559 = 0
0.87816* + 0.37732у — 0.17232 = 0 .
с точностью до единицы пятого знака.
Решая эти уравнения относительно ху получим (сохраняем один
запасный знак)
--0000320 _ 0со
*~ 0.000127 ™ Л'°г
254

Соответствующее значение у находим из второго уравнения:
.у =-6.32165.
Конечно, реальных значущих цифр в х, а потому и в у, только
две; но если бы мы взяли, ограничиваясь лишь реальными знаками,
х = — 2.5, у = 6.3,
то левые части наших уравнений обратились бы в
+ 0.00908, +0.00940,
т. е. уравнения были бы удовлетворены лишь с точностью до 0.01.
Легко видеть, что х можно дать любое значение в пределах
от—2.50 до —2.54. Если соответствующее значение у вычислим
с пятью десятичными знаками, то эта пара значений неизвестных
будет удовлетворять заданным уравнениям с точностью до 0.00001.
Совершенно такое же явление имеет место при определении
элементов орбиты из наблюдений: в этом случае все неизвестные
задачи выражаются через одну (р в способе Гаусса, р4 — в способе
Ольберса), на которой и отражается неопределенность решения; но
коль скоро значение этой неизвестной фиксировано (в пределах тех
3 — 4 знаков, которые имеют реальное значение), все остальные
неизвестные должны вычисляться с тою точностью, с которой мы
желаем удовлетворить исходным наблюдениям, т. е. с 5 — 6 знаками.
Улучшение предварительной орбиты производится, как общее
правило, в два приема: сначала выбирают несколько надежных к
достаточно удаленных друг от друга наблюдений, и элементы
орбиты исправляют таким образом, чтобы эти наблюдения были
удовлетворительно представлены; затем ищут, исходя из всей
совокупности имеющихся наблюдений, наиболее вероятную систему
элементов. В настоящей 'главе мы рассмотрим важнейшие способы,
предложенные для достижения первой цели —иначе говоря,
способы предварительного улучшения орбиты. Способы
окончательного уточнения орбиты при помощи всей совокупности наблюдений
будут рассмотрены во" вторам томе.
§ 77. ПРОВЕРКА НАБЛЮДЕНИЙ. СОСТАВЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ МЕСТ.
Прежде всего надо посмотреть, как подлежащая улучшению
орбита представляет имеющиеся наблюдения. Составив разности
Да и А8 между наблюденными и вычисленными значениями
координат, мы получим возможность судить о качестве наблюдений.
Всякий резкий скачок в этих разностях по отношению к соседним
наблюдениям укажет на ошибочное наблюдение. Такое наблюдение
должно быть отброшено.1)
Если имеется ряд изолированных наблюдений, разделенных
значительными промежутками времени, так что трудно решить, являете¦!
ли изменение Да или (или AS) следствием ошибки наблюдения или
*) Весьма нередко ошибка бывает не. в самом наблюдении; а в его редукциі
со стороны наблюдателя. При определении окончательных орбит комет оказывалось
до одной пятой всех опубликованных наблюдений с ошибками в редукциях.
25

же производится естественным изменением этой величины с
течением времени, то можно составить разделенные разности первого
порядка
Да2 — До^ Да3 — Дая
где через-Aat. обозначена разность, соответствующая моменту ti% При
безошибочных наблюдениях эти раздельные разности
(изменяющиеся с течением времени значительно медленнее нежели
первоначальные разности Да*) не должны обнаруживать скачков.
Составление разностей Да и AS между наблюденными и
вычисленными значениями координат позволяет не только удалить
подозрительные наблюдения и выбрать более благонадежные, но и
составить так называемые нормальные места.
Разность Да между действительным прямым
восхождением светила и вычисленным является аналитической функцией
времени t, а потому может быть разложена в степенной ряд
Ла = а + b (t — т) + C(t — т)2 + ....
Пусть наблюдения, для ряда близких моментов tv tt, , tny
дали нам значения этой разности Да1? Да2,..., Дап. Если эти
величины не обнаруживают систематического хода, или если их
систематическое изменение может считаться пропорциональным времени,1)
то, отбрасывая члены второго и высших порядков, мы можем
йоложить
Да, = а + Ъ &—%), (і = 1,2,...л),
Складывая почленно эти равенства, получим
Дах + Да2 + ... + Дая = па + Ь (^ + t2 + ... + tn — n-z).
Момент х, который до сих пор бставался произвольным,
положим равным
* = -^ + 'і + >.. + '<•)•
Это даст
а = 4"0W + Д*8 + •-, • + A«J.
Но а есть не что иное, как разность между действительным и
вычисленным прямым восхождением для момента т. Поэтому,
вычислив для момента х прямое восхождение при помощи исходной
системы элементов и придав к нему а, получим то прямое
восхождение, которое должны были бы давать для этого момента
наблюдения. Все сказанное одинаково применимо и к склонениям.
Таким образом приходим к следующему правилу:
Если п наблюдений, произведенных в моменты
А»**"*» 4» Дают разности Да,, Д80 не обнаруживающие
систематического хода или же имеющие ход,
пропорциональный времени, то эти п наблюдений можно
1) В чем можно убедиться составив разделенные разности.
256

заменить одним фиктивным наблюдением
(нормальным местом). Для этого вычисляем для момента
^7('іН + - + У
прямое восхождение и склонение светилаи
прибавляем к ним поправки.
к
— AOi + Aaj + .-. + AaJ:
^(Д81 + Д82+... + Д8м).
Как известно из Теории ошибок, мы можем рассчитывать, что
случайная _ошибка полученного этим путем фиктивного наблюде-
дения в \/п раз меньше случайной ошибки каждого из п взятых
наблюдений.
§ 78, МЕТОД ВАРИАЦИИ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИХ РАССТОЯНИЙ.
Одним из наиболее употребительных методов улучшения
элементов орбиты при помощи небольшого числа наблюдений является
метод вариации геоцентрических расстояний, заключающийся в
следующем.
Выберем два надежные наблюдения (или два нормальные места)
(аі> 8і) и (а2, о2), достаточно далеко отстоящие одно от другого. При
помощи исходной системы элементов ?твычислим соответствующие
геоцентрические расстояния рг и р2. Затем, взяв некоторые
небольшие величины Дрх и Др2, вычислим при помощи геоцентрических
положений
р1 + Ар1,«1,8х и р2,а2А (1)
систему элементов Е11, а при помощи положений
Рі»аіЛ ¦• И р2+ДР2>агЛ (2)
— систему элементов Е .
Выберем, далее, еще несколько наблюдений t0 al9 8Й и для
моментов t% вычислим прямые восхождения и склонения при помощи
всех трех систем элементов Е\ Е119 Еи\ получим соответственно а.1,
* I „ П * II г „ Щ * Ш
Обозначая через рх + ^-Дрі и p2 + j/^p2 те значения
геоцентрических расстояний, для которых получаются как раз наблюденные
значения ati it координат светила, будем иметь
а«=/(рі + *дРъ Pa+^pJ
8і = Т Оі + * А?ь Ps +У ЛРг),
ибо aft .8, являются функциями геоцентрических расстояний, взятых
для двух основных наблюдений alt 8Х и а2) 32,
257
17 Курс небесно! механики, т. I. ^

и аналогично
Принимая во внимание малость вариаций Арх и Ар2, мы можем
написать:
а;=/(Рі, Pa) + ^ *Рі* + |? ДР2У,
а/=/(ри Рі)
^П =ЯР1+АР1,р2) = а/+ ^ДРі
а'Ш =/(рц Р2 + дРз) = «/ + ^ АР2-
При помощи этих равенств и аналогичных для 8 окончательно
получим такие уравнения для определения х и у:
КТ1 - а/) л + (а4ш- а/) д, =, а, - а/ )
/•R II slv „ , /й Пі SI. ,, х «Л f • W
(S4 — oJ* + (o, — 8,; у = 8Z— o4 j
Решение этих уравнений по способу наименьших квадратов
даст наивероя^нейшие значения х и у. После этого, при помощи
геоцентрических положений
Рі + *Дрі, аі> 8і и р2 + укРъ а2>8 2. (4)
определяем улучшенную систему элементов ?.
Таким образом, для каждой пары геоцентрических положений
(1), (2) и (4) мы дблжны вычислить соответствующие
гелиоцентрические координаты, и затем вычислить элементы орбиты (§§ 31—34).
Сопоставление употребляемых для этого формул было сделано
в §§ 60 и 67, повторять их мы не будем. Для представления
наблюдений при помощи полученных систем элементов Е1У ?!1, Ет служат
методы, указанные в §§ 19—24.
Заметим, что применяя метод вариации геоцентрических
расстояний, можно комбинировать употребление экваториальных и
эклиптических координат: два основные положения можно взять
в эклиптических-координатах
lgp2> h, P* L* \gR2i
а при помощи полученных элементов вычислять для моментов іх
экваториальные координаты (при помощи постоянных Гаусса).
Что касается размеров вариаций Др1? Ар2 (или, при
логарифмическом вычислении, Mg.pi, Algpi»), то обычно берут их рав-'
ными 0.001.
Примечание. При употреблении метода вариации
геоцентрических расстояний прибегают к следующему весьма
удобному и весьма надежному способу контролирования
производимой вычислительной работы. Берут еще, одну пару
геоцентрических положений, а именно:
Рі + АРі> *и 8і и 92+ лРз> а2> h (5)
258

и ведут для них вычисление элементов и представление
наблюдений параллельно с соответственными вычислениями для
положении. (1J и (2), а также для исходной пары положений о, а,
h и р2, а2, о2. ( . ™ 1?
Обозначая через Е1У и а/\ S/T элементы и координаты
соответствующие гипотезе (5), мы должны очевидно иметь'для
каждого элемента равенство
?IV-?ra = ?Ir-?\
и точно так же для координат
а. — <х. =а. —а.
*rv й ш „. ,і'
о. _ о. = 0і _ 0j #
Выполнение этих равенств (справедливых и для всех
промежуточных величин) будет свидетельствовать не только о
верности вычислений, но и о справедливости основного
предположения, на котором построен весь метод: именно, что
изменения координат <хЛ of пропорциональны изменениям
геоцентрических расстояний.
§ 79. УЛУЧШЕНИЕ ОРБИТ МАЛЫХ ПЛАНЕТ.
В настоящее время вновь открытая малая ллацета не
привлекает к себе особого внимания наблюдателей, так ч*го в первую
оппозицию редко набирается больше 5 — 6 наблюдений. При таких
условиях не только нет возможности составить нормальные места,
но и контроль наблюдений способом, указанным в §77, может быть
не всегда осуществим. С другой стороны промежуток времени,
охватываемый наблюдениями, редко превышает 2'— 2*/г месяца, так
что не приходится рассчитывать на получение особенно точной
орбиты.
Принимая все это во внимание, обычно довольствуются
вычислением орбиты по трем наблюдениям ($сли наклонность мала—то
по четырем), но выбирают наиболее надежные и далеко отстоящие
друг от друга наблюдения. Только в редких случаях прибегают
к вариации геоцентрических расстояний.
После того,.как планета была пронаблюдена чв 2 —3 соседних
оппозициях, применяют метод вариации геоцентрических
расстояний. При этом все наблюдения одной оппозиции соединяются в одно
или два нормальные места. Поскольку при таком улучшении орбиты
v пренебрегают возмущениями, нельзя рассчитывать на представление
наблюдений с большой точностью. Дальнейшее улучшение орбиты
производится уже с учетом возмущений от Юпитера, причем
употребляется, главным образом, метод вариации элементов, который
будет изложен во втором томе.
В тех случаях, когда имеется в виду лишь обеспечить
наблюдение малой планеты в ближайшие оппозиции, нередко прибегают
к эмпирическому исправлению средней аномалии. Опыт показывает,
что из всех элементов, получаемых из наблюдений, охватывающих
17*
259

небольшую часть орбиты, наименее надежным является среднее
суточное движение. Таким образом, когда мы констатируем разницу •
между наблюденным и вычисленным положением планеты, то эта
разница зависит, главным образом, от неверно определенной
величины средней аномалии. Принимая это во внимание, поступаем
следующим образом.
Пусть для соседней оппозиции наблюдения дали положение
планеты а, 8, тогда как наши исходные элементы дают для этого
же момента а0, 8°. Оставляя все элементы без изменения, дадим М
приращение ДЖ (например ДЛ4 = 1°) и снова вычислим координаты
планеты — получим а'5 о'.
, Обозначим через х Д/Ито приращение, которое надо придать М>
чтобы получить наблюденные координаты. Так как а и о для рас-/
см'атриваемого момента является функциями М, то будем иметь:
а =/(Л1 + ;сАЛ1), 8 =<?(М+х1ьМ)
а°«/(Л1), S°=cp(7W)
а' =f{M + MVL)y 8' = <р (Af + ДЛ4).
Разлагая эти'функции по степеням малых приращений и
отбрасывая члены выше первой степени, получим для определения х
два уравнения
а— а° = ;с(а' — а°), . 8 — 8° = *(8' — 8°).
Если эти уравнения дают достаточно согласны^ значения для я,
то это показывает допустимость сделанных нами гипотез. Разделив
полученную поправку хьМ на соответствующий промежуток
времени, получим эмпирическую поправку среднего суточного
движения.
Пример, Орбита планеты 1931 LB (см. § 61) оказалась очень похожей на
круговую орбиту планеты 1927 SK, так что возник вопрос о тождественности этих двух
планет.
Для 1927 SK. было получено только два наблюдения:
Место 1927 Т. U. «(1925.0) ©(1925.0)
Симеиз сент. 26 23ь 32т .5 lh 11т -7 —10° 15'
» „ 29 22 15.0 1 9.5 —10 32
Для момента первого из этих наблюдений орбита 1931 LB (стр. 194) дает
Л* = 90°.467, a = lh14:m.8, Ь = — 9° 56';
следовательно
Н — В: Д* = — 3m.l Д5 = —19'.
Взяв М = 89°. 467 и оставив без изменения все элементы, получим
Да = + 2т.З, До = + Н'.
Таким образом для искомой поправки имеем два значения
"AM=-10 8.1+2.8 ^-°°-58
хШ= — іО-—1? = _ о°.58
19-h 14
С этой поправкой получаем следующее представление вышеуказанных
наблюдений:
Сент. 26 Да = От.О До = О'
„29 = 0 .0 =0'
260

§ 80. УЛУЯШЕНИЕ КОМЕТНЫХ ОРБИТ.
Кометные орбиты бывают троякого, рода: орбиты, не
отличающиеся, в пределах точности наших наблюдений, от параболы;
орбиты с небольшими эксцентриситетами, по которым движутся ко-
роткопериодические кометы; и наконец эллиптические и
гиперболические орбиты с эксцентриситетами, мало отличающимися от
единицы. Посмотрим, как улучшается первоначальная
параболическая орбита в каждом из этих случаев.
Для короткопериодических комет, для которых очень скоро
обнаруживаются значительные отступления от параболического
движения, орбита уточняется при помощи метода вариации
геоцентрических расстояний. Отличие,от случая орбиты малой планеты
заключается лишь в том, что для кометы в большинстве случаев
имеется много наблюдений, так что есть возможность составить
нормальные места.
В том случае, когда нет оснований подозревать наличие
уклонения формы орбиты, от параболической, применяется метод
вариации отношения двух геоцентршескик расстояний. Выберем два
надежные наблюдения (или два нормальные места]
іъ а1з ?г ив /2, а2, 82,
по возможности далеко отстоящие одно от другого. При помощи
предварительной орбиты вычислим геоцентрические расстояния
рх, р2 для моментов tx, t27 и найдем отношение
Рі
Пусть для моментов других наблюдений (t0 a0 &.)
предварительная орбита дает координаты а;°, §/>.
Обратимся к уравнениям, которыми мы пользовались' в § 73
для определения геоцентрических расстояний кометы, а именно (мы
полагаем т = 0)
Уі = 1*зРі ~ *і Уъ = Wa— ^2
rx= V^xf+yf + Z!* r%=V ** + ~Уг% + **% ?
4?0х2-52(г1+г2)
Эти уравнения определяют р3, ра как функции принятого
значения М. Следовательно и элементы орбиты и вычисленные-по ним
координаты а, 3 суть функции М. Итак можно написать
Дадим АР некоторое приращение ДМ и вычислим
соответствующие координаты
ъ' = '/4(м° + ьщ ъ;=>ъ(М° + ьм) (8)
261

Посмотрим теперь, нельзя ли найти „такое приращение х AM,
чтобы соответствующее отношение геоцентрических расстояний
М° + хАМ давало бы как-раз наблюденные значения координат,
т. е. чтобы было
Ъ=ГЛЛГ + хАМ), Ъ? = ъ(М° + хАМ). (9)
Если ограничиться первыми степенями "малых приращений, то
равенства (7), (8) и (9) дадут
«,-«;=х(а/-о, ^-К = х(.\'-\°)- (Ю)
Определив из этих уравнений вероятнейшую величину х, найдем
при помощи уравнений (6), в которых полагаем
М = М° + хАМ,
геоцентрические расстояния, и наконец (см. § 75)—окончательные
параболические элементы.
Важно убедиться в законности применения линейного
интерполирования. Обозначим через Е°, Е' и Е значения какого-либо
элемента (или какой-нибудь промежуточной величины),
соответствующие значениям М°,М° + AM и М° + хAM отношения М.
Критерием законности применения линейнаго интерполирования
является выполнение равенства
Е-Е° = х(Е' — Е°).
Если окажется, что вариация AM или хАМ'слишком велика для
возможности строгого применения линейного интерполирования, то,
указанный прием повторяем еще раз..
Обратимся, наконец, к последнему возможному случаю, когда
орбита хотя и очень близка ю параболе, но все же заметно от нее
отличается. Наличие этого обстоятельства обнаруживается
невозможностью достаточно хорошо удовлетворить уравнениям (10).
Применение метода вариации геоцентрических расстояний' в этом
случае дает мало удовлетворительные результаты,' ибо
эксцентриситет и большая полуось определяются недостаточно хорошо.
Поэтому предпочитают вариировать,—положив опять в основу два
наблюдения (tv аі9 Ва) и (t2, а3, 82),—одно геоцентрическое
расстояние, например р1? и большую полуось (точнее говоря—, так как это
удобнее в вычислительном отношении). Делается это следующим
образом.
Пусть предварительная параболическая орбита (которой соот-
г
ветствует значение — = 0) дает для основных наблюдений
геоцентрические расстояния рг° и р2°, а для моментов остальных
наблюдений tit а?і Ь. дает координаты аД ot.°. Элементы этой орбиты
обозначим через Е°.
Вычислим вторую параболическую орбиту, взяв для первого
наблюдения геоцентрическое расстояние рхх = рх° Н— Зрг
Геоцентрическое расстояние р2х для второго основного наблюдения определим
из уравнения Эйлера
J. J
6^(/2-^)=(r1+r2+s)2=F(r1+r2-5) \ (И)
262

правая часть которого может рассматриваться как функция ра в силу
равенств
*і = хіРі — Хг хг = ),2р2 — Х2 *
Ух = РіРі — Ух Уг = Ыг — Уг
*х = Vi — Zi • ¦ z2 = V2 — 22 \ (12)
Элементы этой второй параболической орбиты обозначим
через Е\ а через а/, 8/ обозначим координаты, которые дает эта
орбита для моментов tv ..
Наконец вычислим третью орбиту, оставив на этот раз Рх
первоначальное значение рх°, но взяв для — некоторое отличное от нуля
значение А-—. Соответствующая величина р2 определится из
уравнения Ламберта, которое удобно взять в форме (IV, 73)
_з_ з
V* (4 - Ч) - (гх + г.2 +s)г V(z) Т (гг + г2 — s) М/ (г'), (13)
где
z ~ IS (Гі + Га + 5)\ *' ^ і ^ + Га ~ s)'
Полученные элементы орбиты обозначим через ?"; через а/', 8/'
обозначим соответствующие значения координат для моментов \.
Далее поступаем так же, как и в способе вариации
геоцентрических расстояний. Вычисленные прямые восхождения и склонения
для моментов t4 суть некоторые функции рх и —; обозначим эти
функции через fi (pls ~\ и ср. (рь -М. В таком случае
«<° = Л(Рі°, 0), V = <P,(Pi°,0),
*/ =Л (Рі° + АР> 0) 3/ » fc(?1° + Ар, 0),
і
Обозначим через рх° =хАр и j^A — те значения неизвестных
Рі и —, для которых вычисленные значения координат совпадают
с наблюденными, так что
«, =/* (Рі° + *Дрі, j/A-i-) , Л = «р, (Рі° + хАРі, yL±).
Применяя формулу Тэйлора и ограничиваясь лишь членами
первого порядка относительно малых приращений Арх и А—,
получим для определения х и у следующие уравнения:
о, - а,° = X (а?— а,0) + У («'<" - О
8,-V = ^ (о/ — V) + j; (S/'—О-
263

Для контроля производимой работы очень полезно, параллельно
с вычислением элементов ?°, Е\ ?", вести.вычисление еще
четвертой системы элементов EffJy взяв значения рх = рх° + Арх, —= Д-L,
При этом для элементов, точно так же, как и для различных
вспомогательных величин, должны выполняться равенства
Еи — Е" = Е — Е?. (14)
Выполнение этих равенств свидетельствует также и о
законности применения, при взятых значениях Дрх и А— линейного
интерполирования *).
Решение уравнений (11) или (13) относительно р2 производится,
как обычно, интерполированием (срав. § 47 и § 75).
§ 81. ПРИВЕДЕНИЕ ФОРМУЛ К ЛОГАРИФМИЧЕСКОМУ ВИДУ.
Если вычисления производятся при помощи логарифмов, то
можно основные наблюдения взять в эклиптических координатах,
а именно
tb К Pi, Lu IgRi
и
t2, ^2' Р2> L2i lg^?2
В этом случае уравнения (6) и (12) заменяют другими, более
удобными для вычисления с логарифмами. Так как
хг = рх cos рх cos Хх + Ri cos Lx х% = р2 cos р2 cos l2 + R2 cos L2
уг — Pl cos px sin lx + Rx sin Lx y2 — p2 cos ^2 sin l2 + R2 sin L2
zx = Pi sin pj. z2 = p2 sin pa,
то для радиусов-векторов имеем следующие формулы
V = Pi2 + 2р /?j cos фх + /у, г22 = р22 + 2р2 R2 cos ф2 + /?я»,
где
cos фх = cos рх (cos Хц — Zj, cos ф2 = cos р2 cos (Х2 — ?2),
причем, как и раньше, считаем
О < фа < 180°, 0<ф2<180°.
Полагая
tfiCOSfc-A, /?х sin фі = /1э tg91=^±-\
х) Если окажется, что равенства (14) выполняются лишь приближенно, т. е. что
вторыми степенями приращений &р1з А— пренебрегать нельзя, то изложенный
1
прием применяем еще раз, взяв за исходное значение— не нуль, а ту величину
уА — , которая получилась первый раз,
264

получим
>і2 = (Pi + Л)2 + V - у [і + tg2 ej,
откуда
гг = 1г sec ?х.
Совершенно аналогично, для вычисления г2 служат формулы
R* cos ф8 =/2, /?2 sin фя = 1Ъ tg ?2 =іф^
г2 = 4 sec в2.
Если речь идет об уравнениях (6), то несколько более удобными
являются формулы
/2=,ywr2sec ?2.
Что касается вычисления хорды s, то в случае уравнений (6)
ее удобно выразить через pv Для этого полагаем
g cos G = /?acosZ2 —/?х cos і!
g- sin G = R2 sin Z2—i?x sin Zx
A cosC cos # = Atfcos |32cos X2 —cos ^cosXj } (15)
A cos С sin H.— M cos p2 sin X2 — cos j3x sin Xj
A sin С = M sin j32 — sin plf
s2 = P12A2 + 2PlA?coscP+?2,
cos <p = cos С cos (H— G).
Делая опять
gcosy __ f g sitt У _ / f _ о _ Pi+/
~h~~~J> h ~L> ze^- / -
получим окончательно
s = A/ sec ?.
Заметим, что формулы (15), служащие для вычисления
вспомогательных величин g, "А,.С, G и Н, выгодно заменить такими:
^cos (G—L^ — Rzcos (Z,2 —Z,) —/?j
g sin (G — Ij) = /?2 sin (I2 — Z:)
A cos ? cos (#—Xx) = Ж cos p2 cos (X2 — X2) — cos &
A cos С sin (// — Хх) = Ж cos p2 sin (X3 — X2)
A sin С —Ж sin p2 —sin $t
Рассмотрим наконец определение хорды 5 по формулам (12).
В этом случае s нужно выразить непосредственно через искомую
величину р2, тогда как р1з а следовательно rf xv уь гь имеют
некоторые заданные значения.
265
тогда
где

Так как
х2 — хх = р2 cos р2 cos Х2 — хг + R2 cos Z2
Л — Л = Pa cos h sin Х2 —_j/x + R2 sin Z2
*2 — Zl = ?2 Sin ?я —Zu
то, полагая
a cos v cos K=—хг + R^cos L2
о cos v sin К = — _Уі + /?2 s*n ^2
а sin v = — zx,
получим
52 = р22 + 2р2 а COS Ф + а2,
где
cos Ф = sin % sin v + cos ?2 cos v cos (К—X2).
Причем угол Ф мы, как всегда, подчиняем условию 0 < Ф <180°.
Применив обычный прием, будем иметь следующие
окончательные формулы для вычисления s при каждом испытуемом
значении р2
о cos Ф =/, a sin Ф = /
tge-p-^t/, s==/sece.

ПРИЛОЖЕНИЯ.
О ЧИСЛЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ.
При решении различных проблем Небесной механики широко
применяются методы численного интегрирования
дифференциальных уравнений. Так как эти методы либо совсем не излагаются
в курсах Математики, либо излагаются не в той форме, в какой они
употребляются в Астрономии, то здесь мы даем необходимые
сведения по' этому вопросу.
1. Выражение производных,через разности. Значения каждой
функции мы будем рассматривать для значений независимого
переменного tt образующих арифметическую прогрессию
причем значения например функции f{t) будем обозначать через
fk^fihl где th = ti + kw.
Следующая схема наглядно показывает ту систему обозначений
разностей, которой мы будем пользоваться в дальнейшем:
п
— а.
3
2
— 1
1
0
1
2
1
3
2
2
Суммы
2-го
порялха
fz\
а
/о"2
/г2
/г2
Суммы
' 1-го
порядка
г\
'г\
і
' tf>
Я'
'
Значения
функции
/_»
/-1
/о
Л
Л
Разности
1-го
порядка
/-¦/.
f\
А
к
Разв остж
2-г.
порядка
• ' л *
fU
,
&
А
л т *
Разности
3-го
порядка
f3
7-М.
¦ * *
. . .
• • •
. . .
- • •
. . -
2Л7

Таким образом
* ¦ > ~ V-Л
« + т
2 1
¦+*-'
1
при любом целом значении k. ,
Одно из значений столбца сумм 1-го порядка может быть
взято произвольно. Остальные вычисляются по формуле
/Л.=/ \+/-
(1)
Точно так же, взяв произвольно одно из значений вторых
сумм, например/о-2, мы получим все остальные числа этого столбца
по .формуле
_2 —2 —1
делая & = 0, 1, 2,.. и ? =— 1, — 2, —3,...
Вышеуказанная разностная схема часто пополняется еще
полусуммами двух соседних величин одного и того же столбца. Для.
этих полусумм применяются следующие обозначения:
/.+i-i^+o.^-i(/Ui+/.i+i) •
(3)
Обратимся теперь'к выражению производных через разности.
Возьмем'сначала интерполяционнную формулу Стерлинга
Д*. + СТ/) = / + Z/„ + sr/ + о, /_ + ,, /. + •••
X
2! J * ' S! ¦'в ' 4!
Дифференцируя это равенство по ? и делая затем г — О, получим
-M«W-i/! + i/s-i/' +
<*г/«
6
30
140
к
W\dt4* J* VlJK^Q0Jr. 560'*+
4 - *
3
6 - «
120^ *
240
dt*
)L-/.-*/.+
(4)
268

Совершенно так же формула Бесселя
ntK + zw)=fr+zf[^+^f[ , 1+ Z
2!
к -4- —
1 о
!'(*-ц(«-т) /
3! >* + ! +
, («+1)«(«-1)(*-2) А И-1) * (2-1)(2-2)(г~|)
+ 7^ /к + 1 + ¦ -д /
4!
.+*+•••
позволяет выразить значения производных f(t) при ? = / через
разности строки п = А + —. Получим
я>
Jd*f\ А 1 / .
V^;."y«+i зУ«+і 12ЛС+1 24/*+F
та;
>w^) = / I-1/
.У.
(5)
В способах численного интегрирования уравнений,
предложенных Адамсом и Штермером, находят применение еще следующие
формулы, выражающие те же производные через разности,
расположенные по восходящей диагонали,
Чй).вЛ. * + 2^-1+ S Л.-1 + 4^-2+ 5 Л-*+-
2 а л
№
Эти соотношения получаются, тем же приемом из
интерполяционной формулы Ньютона
f(tK + zw)=fK + zfl_i+E^l)fl_i+lM±^±R/K_ _,+ ...
2 * 2
Примечание. Для обозначения разностей кроме
вышеуказанных употребляются еще и другие символы. Величину
/ , где і— целое число, а л —половина целого числа (четного
или нечетного), обозначают через/(л) или fi (л) или, наконец.
через/ (tQ + nw).
260

2. Интегрирование уравнений первого порядка. Пусть дано
дифференциальное уравнение
% = F(x9t)\ (7)
Требуется вычислить таблицу значений функции х (t),
удовлетворяющей этому уравнению и начальному условию
где tQ и х0 — заданные числа.
Полагая как всегда x{t0 + kw) = xK, займемся вычислением х1і
х2* х3) • • • Наша задача будет реіуена, если мы дадим средство
для вычисления разностей
*,+! —** = A*+b *«0, 1,2,...
Так как
то
4-+і-п(ё)+ !(?>.+ •••¦ м
Полагая
wF(x9f)=№, wF(x„Q=fn
и принимая so внимание уравнение (7), получим
А , . w fdf\ . w2(d2f\ . to3/?T3/\ .
• \+^/ж + т{й).+ ти].+ йЫ.+ ---
Выразим теперь стоящие здесь производные через разности.
Пользуясь соотношениями (6J, получим формулу
А " 1 ¦ / , 1 Z1 I 5 /2 ! 3 /3 I 251 / I 95 / I /0\
представляющую метод Адамса. Соотношения (5) дают формулу
А * і I'v1 г ,f2 . U /
которую можно написать так:
ж+і Лв + і 12Лв + 4- "1"720-'* + 1 60480'к + I "М
а4 97 J _ )ЛЩ
+ 3628800 * к + I #" I
ибо
~ г \ ' 2 / ^2
270

Эта формула дает метод интегрирования, который мы назовем
методом Коуэлла (так как аналогичный метод для-урзвнений
второго порядка был предложен Коуэллом]. а
Когда хъ х2)...3 хк уже вычислены, то формула (9) сразу
дает хй+1- Что же касается формулы Коуэлла (10), то она
выражает искомую разность хк+1—хк через такие разности /2,Д...,
которые .зависят ,оі;/я + 1,/к+2,..., а следовательно и от jc '
*,+„.... Эти--разности /%+і,Д+і>... в первом приближе-
2 2
нии находят экстраполированием, затем, после того как найдены
соответствующие xK+v *ж+8,...,, их вычисляют обычным
порядком и, если нужно, повторяют вычисление х„,,,х ,
Благодаря быстроте, с которой убывают коэффициенты в формуле (10),
этот процесс сходится настолько быстро, что второе приближение
оказывается излишним, если только интервал w взят не слишком
большой.
В тех случаях, которые встречаются в Небесной механике, —
а именно при вычислении возмущений элементов орбиты,—правая
часть уравнения (7) может считаться независящей от х. При
этом условий применение формулы (10) особенно упрощается, ибо ¦
все значения функции / и все разности этой функции могут быть
вычислены наперед.
В заключение рассмотрим еще вопрос о вычислении x{t) для
значений аргумента вида ?= t0 +lk + у)*^.
Определим разность
\ = х [f° + (* + i)w] ~ *[** + (k~~i) w\
Применяя опять разложение в ряд Тэйлора, найдем
f j . w\ I , w\ (dx\ , w* (d*x\ w* fd*x\ ,
Воспользуемся уравнением (7) и применим формулы (4). Это
даст
* f _L l f2 17 / i 367 V6 (U)
Полученная формула удобнее формулы (10) в том отношении»
что содержит только разности, тогда как формула (10) требует
вычисления полусумм разностей.
Начальные значения определяемой функции, например
находят или при помощи разложения x(t) в ряд, или способом
последовательных приближений.
3. Метод квадратур для уравнений первого порядка.
Недостатком метода Коуэлла является неизбежное накопление ошибок
271

при последовательном вычислении хъ х2, Действительно, для
определения хп мы имеем равенства
хг— х0 = А
'Н
х% — Хі — А* з j . .
Складывая их почленно, получим.
п-1
*«-*,=2 дк+і
п
хх-і
п-і.
9
(12)
Если погрешность каждой из разностей А заключена в
пределах от —е до+е, то ^наибольшая возможная погрешность хп будет
±е#* Как известно, Достижение погрешностью этой предельной
величины чрезвычайно мало вероятно: лучшее представление
о действительной погрешности дает вер'оятная погрешность,
растущая пропорционально У п.
Таким образом, при применении метода Коуэлла_(а также
методов, основанных на употреблении формул (9і, (11) и им
аналогичных), мы должны считаться с тем, что погрешность хп растет
пропорционально ]/я. Это неудобство может быть устранено сле-
ующим образом.
Формулы (12) и (10) дают
п-1
п—1
«—1
^-^S/^-iS/Vi+^S^i-- • (13)
о *+2
Из соотношений (1) и (13) получаем
/-C4-L = 5"
';<'г
+ і/ S -/ "і
*+
*+2~
= 4^-/^0.
Но, на основании (3),
/1--і(&+?і-). /:'=!(/".+/-' *
*-fl
*4-
¦поэтому
/^jl=/:,\-/:\
*+
Аналогично
к+1
^Г^1
/ э • • * •
572

Пользуясь этими равенствами и замечая, что
п-1 '"
^•j ^к-f— •'я Jo ' * * * *
о
придадим формуле (13) такой вид:
х =f-1 L f- л- _1L л _ 191 f5 ,
« Jn i2 -/и "Г 7207» 60480 Лі "*" • • •
4-Х — f""1 4- — f1 u f3 i ш f5
n 0 Jo T 12-^o 720 •'о "Г в0480У0 ~~ • ' '
Так как один член столбца первых сумм может быть выбран
произвольно, то обычно определяют /0 из условия
х ^=f1-.L fl 4-il fz
о Jo i9 Jo i 79П Jo . . .
12 J° "*" 720 ^° — • • • э Г14)
тогда
« •'ft. " i2' Л 720 -'ft • • • ¦ (15)
Вычисление по этой формуле свободно от указанного выше
недостатка накопления ошибок, ибо ошибка хп при надлежащем
выборе интервала w не .отражается на величине fn~wF(xn, tn),
а потому не влияет на последующие значения х.
Метод интегрирования уравнения (7), основанный на
употреблении формулы (15), мы назовей методом квадратур. В самом
деле, в том случае, когда правая часть уравнения (7) не содержит
л-, рассматриваемая формула дает известную формулу квадратур
3
х0 + Г F(t) dt = f~x~ynx + ~fn
to
причем f~l попрежнему определяется равенством (14).
Другой, также часто употребляемый, вариант метода
квадратур получим, просуммировав равенство (11) от k = 0 до ?= п. Это
даст
Если fZXi определить условием
18
Л 1 W\ -f*-1 _L * f1 17 f л 4-
Курс небесной механики, т. I.
(16)
273

то будем иметь более простую формулу
& Li Я
Примечание I. Изложенные способы численного инт'егрирования
уравнения (7> без изменения распространяются на системы
уравнений вида
? = F(х, у, z, /), ? = G(х, у, z, t), jt^H(х> У> "> 0-
В этом случае интегрирование ведется параллельно на трех
отдельных листах.
Примечание II. При употреблении указанных формул выгодно
пользоваться следующими приближенными равенствами:
11: 720 = 1
191: 60480 == 1
2497:5362880 = 1
17: 5760 = 1
367: 967680 = 1
0 000 107
О 000 004
О 000 000
О 000 001
О 000 000
4. Интегрирование уравнений второго порядка. Рассмотрим
теперь уравнение вида
w = F (¦*>?)¦ (is)
В астрономических проблемах искомое решение x(t) этого урав-
нения определяется обычно не начальными величинами xqAji)
функции и ее производной для t=t0, а заданием двух значений
х_г и х0, соответствующих двум моментам t_x= t0 —wn tG, По этим
данным" требуется вычислять остальные значения xv л;а, . . .
искомой функции.
Наряду с первыми разностями
VIе*. — **-!» Vl=Vi-**
введем в рассмотрение вторую разность
А2 == Л , і — А і = х . , — 2х + х
Разлагая *к + 1 =x(ts +w) и xK_l*= x{t% —w) по степеням Wi
получим
2! Ш \ dt* )Т 4! W\dt* jx+ • ' *
Положим
тогда
274
к Jк-г 12 ш \^dt2 ;к-гзб0 а/ ^4|к + . .

Подставив сюда выражения производных через разности
даваемые равенствами (4j, получим формулу
Л2 - / 4- — f — f4 4- 31 /6 289 8
. *~"'*^ 12 У* 240 -^ ^ 60480 7«~ 3628800^*+ • ¦ -,(19)
представляющую метод Коуэлла. ,
Применение соотношений (6) дает основную формулу метода
Шпгёрмера (аналогичного методу Адамса):
863 6
¦ + 1209б/*-3+ • - • (20)
-Сравнение коэффициентов двух последних формул сразу
показывает преимущество метода Коуэлла: если значения /к
вычисляются с ошибкой ±2, то разности -/*, /2, /*,... имеют ошибки,
заключающиеся в границах ±2s, +4г, ± 8е,,..; поэтому в формуле
(20), в которой все коэффициенты близки к -^, ошибки разностей
высших порядков будут чувствительно искажать значение Д2* .
Формула (19) благодаря быстрому убыванию коэффициентов
свободна от этого недостатка.
Вычисление по методу Коуэлла. ведется следующим образом»
Зная х _г и хо, мы можем вычислить
»
2
после чего, отбрасывая пока в формуле (19) все неизвестные члены,
находим приближенную величину
Это дает
А± = Д_ і + Д20
2 2
хх = х9 + ^.
о
Ийея теперь /_ ь /0, /„ мы можем определить /Д а
следовательно и более точную величину
"о —Jo ^ \2 J6 '
которой повторяем вычисление jcle Точно так же находится х_2.
Тосле этого мы можем уже найти /04 и взять еще" более точное
значение
Д 2_ / t JL/2 L/4
о Jo ' !2 Jo 240
и т. д.—пока не получим окончательное значение этой величины,
а следовательно и xv
18* . 275

Когда таким образом найдено несколько значений xv х
то для вычисления Д* неизвестные разности/2, /*,
определяются при помощи экстраполирования. Если интервал w не
чересчур велик, то это делается настолько хорошо, что почти
никогда не приходится подправлять найденное таким путем А*,
Вместо того, чтобы находить хк + 1 по Д2к при помощи
двойного суммирования:
можно вести вычисление по формуле
¦*« + ів2*«—*к-і + Ак * (22)
Но такое избегание выписывания разностей, не давая заметной
экономии, в то же время лишает вычислителя одной из
возможностей контроля.
Двойное суммирование, производимое явно по формулам (21),
или фигурирующее неявно в формуле (22), влечет' еще большее
накопление погрешности, нежели однократное суммирование при
применении метода Коуэлла к уравнениям первого порядка.
В настоящем случае средняя квадратичная ошибка хп будет уже
пропорциональна не Y л, а п. Отсюда ясно» что для уравнений
второго порядка еще более важно (в особенности при сколько-
нибудь продолжительном вычислении) заменить метод Коуэлла
соответствующим методом квадратур.
Суммируя равенства (21) от k = 6 до k — n—1, получим:
Ая_4_ = Д_г_ + 2А^) *^+2^'. (23)
О О
Формула (19) дает
п — 1 п — 1 it—I и — 1
0 0 О О
Так как, согласно нашим обозначениям,
m m — 1 т — 1
fo */l -/-i
"2 2
»» «i — l m — 1
А = /з -Л
2 2
-
m m — 1 m ¦
— 1
3
2
(m = 0, 2, 4
• ¦
.)
276.

то, сложив эти равенства, получим
п — \
•^тч "* т—х „ т—1
2 /. =/„_! -а •
Принимая все это во внимание, первое из равенств (21)
напишем следующим образом:
~г~ 1 * 1 3
А.^вЛ4 +.12^1=-"240"/.-1 + • ' •
2 2 2 ' 2
-11 3
2 2 2 2
Произвольный начальный член столбца первых сумм выберем
так, чтобы вторая строка этого равенства была равна нулю, т. е.
положим
2й 2 2 2
Окончательно будем иметь
2 2 2 2
Заменим здесь /г через &+1 и просуммируем от А = 0 до
k=zn— 1. Тогда второе из равенств (23) можно написать так:
я—1 .— 1 »і —Т я —1
А + Т 0 *¦' 2
Х№ - *0 + JTj * + ~ + ¦ П Jj fk+l_ 240 JL -^4. ^ + *
Но
2Л+>=Ч -Л - е*=0>2'4--);
Л — 1
т—1 »і—-2 m—2
О
следовательно
•*« ~/я * 12 ^л 240 ¦'» ' GO 480 Jn
+ A'ot Л) ~ iT ^° "*" 240 '» 60 480 Л "^ ' "
Начальный член столбца вторых сумм положим равным
-2 1 , 1 .2 31 / , 289 ,6
/о ~Х0~~ 12 Л + 240 Л ~ G0480 Л> "^ 3 628800 JQ "*" '" ' V '
тогда последняя формула напишется так:
¦*_Г24. Х f J- Лі--^- / ?5®_/+... f26)
¦*»-*"¦'» ТТ2" ^*~240 У»^ 60 480 у>. 3 628 800 % г '
277

При употреблении этих формул следует иметь в виду, что
31 1
60 480 1951
+ 0.0000000
2S9
в _1_ + 0.000 0000
3 628 800 12 557
Формула (26), дополняемая равенствами (24) и (25), и
представляет собою метод квадратур — наиболее совершенный
способ численного интегрирования уравнения (18). Вычисление по
ней ведется так же, как и по способу Коуэлла: сначала
последовательными приближениями находят (исходя из заданных хй
и A_j_~-*4) — #_і) несколько значений xv х_2, xv.r . искомой
функции; затем нужные для формулы* (26) разности /*,/*,...
определяют экстраполированием и подправляют, если это нужно,
вторым приближением.
Примечание L Для уравнений второго порядка, так же как
и для уравнений первого порядка, метод квадратур может быть
представлен в двух формах — смотря по тому, желаем ли мы
вычислять значения хп = х (і0 — лф), или же значения этой функции
для середин интервалов, т. е. х( tQ+ In + -у J vj) . Выведем не-
' обходимые формулы для этого второго случая- Положим
' 2
Формула Тэйлора дает
.2 (, . Ьт \ ¦ ^ I , . w \ . I . w\ __.о / d*x
~Г 2 .
dBx , .
, 1 ,/ d*x \ , 5 , f d*x\ , 1
+ X w\1e)+ -ы w" Ы)+Тй ж \ & ,t
А А л
Следовательно
или, пользуясь (5),
*+4"/a 2 *+4- 24 ^4tl920 Hf '"
1 2 , ~ 2 '2 ^2
или наконец, учитывая (10 bis),
J __ f 1_ ,2 17 4 367 ,6 t
V-f - V'4- 24 'A + i_ + 1920 ^_L 193 536 / + ^_ ^ ' * *
278

Эта формула дает метод интегрирования, аналогичный методу
Коуэлла. Просуммировав ее в пределах от к=Л до А-Т ?
получим ди №-~п *»
17
Положим
yo ^ 24 Jo 1920 h "r~*- •
Z""1 = о -I- — f :_ 17 /3_l
У0 О"1" 24 h 1920 Л +•--»
(27)
тогда
*n=f*
.-1
24 Jn ~ 1920 yn
Заменим в этом равенстве п через k и просуммируем его от
k « 0 до k~ п. Это даст
^ 1920 •/й+^
Полагая
—2
-г2 +— /
_2_ 24 •'_ і_
2 2
17
1920
17 2
2
(28)
получим окончательно
* [*о + (л + х) да
17
+
1920
/
п + .
(29)
Когда заданы начальные значения х (tf0 g-j и х ( f0 + -у/ >
определяющие рассматриваемый интеграл уравнения (18), то
формула (29), совместно с (27) и (28), позволяет последовательно найти
значения х (t) для t = tQ + (л + ~) *е>, где п «1, 2, 3,...
Примечание II: Вернемся к формуле Коуэлла
2 " 1-2 1_ 4 31 /
д " Л + "12" '* **" 240 Л + 60 480 **
(19)
которая совместно с равенством
xk+i *~ 2**
*ь-і + \
27»

позволяет последовательно ^ахо^ить xv х2....
Введем новую переменную х, полагая
Х = Х ~ 12 f> (3°)
так что при ?=4 будем иметь
Хк ~ Хк ~12 Jft"
Обозначая через А, А2,... разности ху получим
-2 *2 1 /> '
Таким образом для новой переменной имеем
а ~~ '* 240 J к * 60 480 Л
и, как нетрудно видеть,
х
— — _2
«4-1
Предположим, что интервал w выбран так, что членами
можно пренебречь. В этом случае для последовательного
вычисления „специальной координаты" х получаем весьма простую
формулу
~*Н-і = 2хА — хь-1+fr • (32)
В применении этой формулы заключается способ Нумерова>
называемый также иногда способом экстраполирования.
Для вычисления /А = w2F (xk> tk) требуется знать xk. Поэтому
от каждой найденной „специальной координаты" хь надо перейти
к обыкновенной координате xh. Для этого надо решить
уравнение (30), которое мы можем написать так:
** = X* — 1&F (хь '*)• (33>
Таким образом рассматриваемая модификация метода Коуэлла
может с ¦ пользой применяться при соблюдений двух условий:
1° можно заранее гарантировать нечувствительность членов (31)
во время всего процесса интегрирования (в методе
Коуэлла и в методе квадратур по ходу разностей всегда видно,
какими членами можно и какими нельзя пренебречь); 2° решение
уравнения (33) относительно хк выполняется достаточно просто.
280

В способе Нумёрова разности величин fk не составляются (ибо,
если бы они были составлены, то было бы проще вычислять по
формуле (19), нежели переходить к „специальной координате"),
поэтому работа лишается обычного контроля, и необходимая
гарантия от ошибок может быть получена лишь при помощи тех
или иных специально-контрольных вычислений.
Если итти дальше по пути уничтожения членов формулы (19)
и взять, наконец, за новую переменную
12 J ~ 240 J ' 60 480 J ~ * *''
то мы будем иметь совершенно точные равенства
но в этом случае максимального усовершенствования метода
Коуэлла мы получим, как показывает равенство (26),
¦т. е., иначе говоря, метод квадратур.
Примечание 1IL Все изложенные методы численного
интегрирования уравнения (18) без всяких изменений применяются к
системам вида
% = F{x, у, zy t), g = G(x, у, г, t)9 ^ =Я (x, у, z} *)•
Интегрирование уравнений, связанных в систему, производится
конечно, параллельно.
5. Вычисление интеграла, определенного начальной точкой
и начальной скоростью. До сих пор мы* рассматривали вычисление
интеграла уравнения (18), определенного своими значениями для
двух значений независимой переменной; например, задавали x(t\
для t=t0 и t=-t0 — w, или для t = t0 + -g- и г = tо —2* •
Пусть теперь искомый интеграл л: (0 будет задан начальными
значениями
х(*о)=х» (ёЬ,-^о. (34)
'Посмотрим, каким образом могут быть найдены значения xv
х2,... При этом, ради краткости, мы ограничимся лишь методом
квадратур.
Обратимся к формулам (26), (24) и (25), лежащим в основе
метода квадратур и посмотрим, нельзя-ли распорядиться
произвольными постоянными
/_JL и /0 так, чтобы формула (26) давала
2
-функцию, удовлетворяющую начальным условиям (34).,
281

Ясно прежде всего, что /0.2 следует оставить таким, каким его
дает равенство (25) —первое из условий (34) будет удовлетворено.
Далее, обозначая через А1, А2, Д3,... последовательные разности
функции х, будем иметь, на основании (4),
w (**) = д* _ J_ Д3 + JL Д5 _ J_ у -
W \dt) п б »^ 30 « 140 п "Г - • •
Формула (26) дает
і m y-m—2 . 1 jf w 1 /*m4-2 ,
A =/« +T2^-2lo4 +'"
следовательно
dx\ ,-i 1 л . П ;3 191 .5
dtjn~~jn 12 ¦'n "t*72Q Jn 60 480 Уп
Замечая, что
- V n+T n—-J *¦- —
и полагая я = 0, окончательно получим
>_1 — ' 1 + л- l fl П * 3 і 101 іЪ /осч
/_ і_ — ^* о 2"/ot^/o~ идо/ о "Т" 604So 7о ~" ' *" W
*2
Таким образом, достаточно вычислить начальные значения
столбцов сумм по формулам (35) и (25) для того, чтобы формула (26)
давала значения интеграла, удовлетворяющего начальным
условиям (34).
Рассмотрим еще случай, когда интеграл задан начальными
условиями
требуется вычислить х \tQ+(n + -^-]w\ для п = 0, 1, 2,...
Для решения этой задачи можно было бы применить только-
что употребленный прием к формуле (29). Ради разнообразия
покажем другой путь, столь же быстро ведущий к цели.
Заменим уравнение (18) системой
*ZT = F{*> t\ -?=*', (37)
и будем интегрировать первое из этих уравнений при помощи
формулы (17). Так как, в наших теперешних обозначениях,

то получим
WX
,[^ + (e + TH-r+S+i/iJд.
S760 Jn+± +
(38)
причем первые суммы / 1 определяются условием (16):
Г\ =wX0,-±f1\ +
17
5760
f\
(39)
Обратимся теперь ко второму из уравнений (37). Полагая
при помощи той же формулы (17) найдем
= А
+ *Г*\ а
»+т ' 24 «н-г
17 А3
5760
п+^
г +...
(40)
Чтобы вычислить стоящее справа выражение, нам надо знать
величины '
hn — h (t0 + nw) = wx* (t0+ nw),
тогда как формула (38) дает нам значения х (t) для точек
U + yt +~2") и/, лежащих в серединах наших интервалов. Поэтом
обратимся к хорошо известной формуле интегрирования в середину
которая получается из формулы Бесселя (приведенной на стр. 269)
1
npH2=-g-.
Делая в этой формуле
% = 'о + (я-1) да = к—\*>
и учитывая, что, на основании (38),
— f -1 4- L / ' — 17 f 3 4-
—/я Т" од Уп ЙТЙО-^ ~---
и следовательно
CD-
п +
17
_. / 1 4- — f 3 — f 5 4-.. -,
5760
2$3

окончательно получим
• __ / , 1 \ ГГ Lf1^ ll f3 Ш f 5_L
пп -~ ?^г» "г. 2 / "~ ¦'" 12 -'** *" 720 •'* 60480 ¦'"•* *' *
Найденное значение kn подставим в формулу (40). Это даст
Делая п — — 1, получим формулу
определяющую начальный член столбца вторых сумм.
Совокупность формул (41), (39) и (42) вполне решает
поставленную задачу. Формулу (42) можно заменить другой, дающей
/о"2, что несколько удобнее.
Так как
/?4.-т(л-+^і)-а---4/-4
2 ^2
то равенство (42) может быть представлено следующим образом
/о =^о+2*/~4 + "24/о_ 48 ;-т~"1920/0 + 3840 '-у " "' "
Складывая почленно это равенство с равенством (39),
умноженным наy , получим
или окончательно:
J
6, О коэффициентах формул численного интегрирования.
¦* Покажем теперь еще один путь для вычисления коэффициентов
в- формулах, служащих для численного интегрирования уравнений.
После того, как вид такой формулы установлен, ее коэффициенты
могут быть получены путем применения этой формулы к частному
случаю, выбранному надлежащим образом.
Возьмем уравнение
284

и к решению этого уравнения х = е* применим например формулу
Составим разности функции <р = е1 приняв 4 = 0. Получим
fk+L = е№+1)м - еы= ек"(е • - 1)
?А8 =f[eft"-e(fe-1)-](e--i)=e<*-4-(e«_1)s
ила полагая
с?*+| =в»-Ч-^-_1^
и = еа — е
Следовательно для функции/=W будем иметь
где
chw
I ТО 7" I
Подставляя найденные выражения в формулу (10), окончательно
получим такое тождество:
.^w.chw 12 ' 7*0 60480
Так как ,
= 21п(|й+|/і+і-^ ),
то это тождество можно написать следующим образом
« _:' 1 _ і «* 4- — а* —
2уГі + іль,(і-«+угі+^)
12 ' 720
Итак, для получения коэффициентов формулы (10) достаточно
стоящую слева функцию разложить в степенной ряд.
285

Аналогичным образом, коэффициенты формул (11), (19) и (29)
найдутся при помощи тождеств.
? - 1 + іи»_ Л_в*+ 367 и6-
Ю~1+24И 5760К ^9676SOU
^«і+й^-йо^+боЖ116----
twadto ™ А 24^^ 1920 U 193 536 т""
7. Исторические замечания. Численное интегрирование дифференциальных
уравнений впервые было применено Клэро в 1760—1762 гг. при вычислении
возмущений кометы Галлея. Веема важную роль в деле усовершенствования способов
численного интегрирования сыграло открытие малых планет. -Работая над вычислением
возмущений Паллады, Гаусс пришел к тем формулам „механических квадратур",
которые получаются из наших;формул (15), (17), (26) и (41), когда правая часть
уравнения, т. е. функция F{x, t), зависит только от времени. Эти формулы были
в 1835 г. опубликованы Энке (Berliner Astr. Jahrbuch iiir 1837), так как сам Гаусс,
сообщивший их Энке в 1812 г., потерял надежду найти время для соответствующего
мемуара. С тех пор формулы Гаусса получили самое широкое распространение при
вычислении возмущений малых планет и комет по способу „механических
(правильнее было бы сказать—численных) квадратур".
Постепенно за этим способом установилась репутация метода, пригодного лишь
для вычисления возмущений, т. е., иначе говоря, лишь для введения небольших
поправок в уже известное приближенное решение дифференциальных уравнений.
В астрономических вопросах такое исходное приближенное решение дается
невозмущенным движением по законам Кеплера. Возможность построения, на тех же
самых формулах Гаусса, метода с несравненно более широким кругом применения
очень долго оставалась незамеченной.
Этим объясняется то, что в 1908 году, когда был открыт 8-й спутник
Юпитера, движение которого даже отдаленно не напоминает движения по законам
Кеплера, и когда, таким образом, пришлось встретиться с динамической задачей общего
характера, Коуэлл не обратился к „"механическим квадратурам*, а создал особый
метод численного интегрирования уравнений, основанный на*формуле(19)х). Таково
происхождение метода Коуэлла, привлекшего к себе внимание в особенности после
блестящего применения к предвычислению возвращения кометы Галлея в 1910 году *).
С 1921 г. в Астрономическом институте этот метод широко применяется (в той
форме, которую ему придал Б. В. Нумеров)3) к вычислению возмущенного движения
малых планет.
Заканчивая работу о движении кометы Галлея, Коуэлл сделал весьма важный
вывод из своего обширного опыта применения численного интегрирования 4); вывод,
который долго не обращал на себя внимания 5), хотя теоретически он почти
очевиден. Этот вывод заключается в том, что вместо формулы (19) несравненно выгоднее
пользоваться формулой (26), так как тогда не происходит накопление погрешностей.
Таким образом мы снова возращаемся к старому методу квадратур, но теперь,
после попыток заменить его другими методами, он представляется нам гораздо
могущественнее, чем это предполагали еще недавно 6).
*) Р: Н. Cowell and A. D. Crommelin, The Orbit of Jupiter's Eighth Satellite
(Monthly Notices, Vol. 68, 577—581).
2) P. H. Cowell and A. D. Crommelin, Essay on the return of Halley's Comet
(Publikation der Astronomischen Gesellschaft, XXIII, 1910).
' 8) Б. Нумеров, Methode nouvelle de la determination des orbites et le calcul des
ephemerides en tenant compte des perturbations (Труды Гл. Росс. Астроф.
Обсерватории, т. II, 1923).
4) Appendix to the Volume of Greenwich Observations for the Year 1909, 1910,
стр. 84. /
5) На него указал J. Jakson (Monthly Notices, Vol. 84, 602).
e) Относительно применения метода квадратур к общей задаче трех тел см.
Е. StrOmgren, Ueber mekanische Integration und dereri Verwendung fur numerische
Rechnungen auf dem Gebiete des Drei - Korper - Problemes-. (Medd. fran Lunds Ast
Observ., № 13, 1900).
396

ТАБЛИЦЫ.
].—Обращение часов, минут, секунд в доли суток и обратно,
.^——
Часта
суток
d
001
.02
.03
.04
,05
.06
.07
.03
.09
0.10
.11
.12
.13
.14
.15
.16
.17
.18
.19
0.20 '
- .21
.22 '
.23
.24
.25
•26
.27
.28
.29
0.30
.31
.32
.33
.34
.35
.36
.37
.38
.39
0.40
.41
.42
.43
.44
.45
.46
.47
.48 '
.49
0.50
Часы, минуты
и секунды
1 h m s
| 0 14 24
t 0 28 48
і 0 43 12
і о іл зб
! 1 12 0
] 1 26 24
1 40 48
! 1 55 12
; 2 э 36
| 2 24 0
1 2 38 24
1 2 52 48
| 3 7 12
] 3 21 36
і з 36 о
і 3 50 24
; 4 4 48
4 19 12
4 33 36
4 48 0
5 2 24
5 16 48
5 31 12
5 45 36
6 0 0
6 14 24
6 28 48
6 43 12
6 57 36
7 12 0
7 26 24
7 40 48
7 55 12
8 9 36
8 24 0
8 38 24
8 52 48
9 7 12 ,
9 21 36
9 36 0
9 50 24
10 4 48
10 19 12
10 33 36
10 48 0
11 2 24
11 16 48
11 31 12
11 45 36
12 0 0
Части
суток
d
0.0001
х 02
03
04
05
Об
(>7
08
09
0.0010
11 '
• 12
13
14
15
16
17
18
19
0.0020
21
22
23
24
25
26
27 .
28
29
0.0030
31
32
33
34
35
36
37
38
39
0.0040
41
42
43
44
45
46
47
48
49
0.0050
Минуты
и секунды
1 Ш S
0 8.64
1 0 17.28
j 0 .25.92
! , 0 34.56
! 0 43.20
j 0 51.84
1 0.48
1 9.12
j 1 17.76
1
і 1 26.40
1 35 04
I 43.68
1 52.32
2 0.96
2 9;60
2 18.24
2 26.88
2 35.52
2 44.16
2 52.S0
3 1.44
1 3 10.08
3 18.72
3 27-36
3 36.00
3 44.64
3 53.28
4 1.92
4 10.56
4 19.20
4 27.84
4 36.48
4 45.12
4 53.76
5 2.40
5 11.04
5 19.68
5 28.32
5 36.96
5 45.60
5 54.24
6 2.88
6 11.52
6 20.16
6 28.80
6 37.44
6 46-08
6 54.72
7 3.36
7 12.00
Части
суток
0.0051
52
53
54
55
56
57
58
59
0.0060
61
62
63
64
65
60
67
68
69
0.0070
71
72
73
74
75
76 ..
77
78
70
0.0080
81
82
83
84
85
86
87
88
89
0,0090
91
92
93
94
95
96 {
97
98
. 99
о.оюо j
1
{ Мнвут'ы
і
1 о секунды
ГО О
7 20.64
7 29.28
7 37.92
7 46.56
7 55.20
8 3.84
8 12.48
8 21.12
: 8 29.76
і 8 38.40
1 8 47.04
] 8 55.68
! 9 4.32
і 9 12.96
9 21.60
9 30.24
9 38.88
9 47.52
9 56.16
1
j 10 4.80
і 10 13.44
\ 10 22.08
! 10 30.72
10 39.36
10 48.00
10 56.64
11 5.28
11 13.92
11 22.5;>
11 31.20
11 39.84
U 48.48
11 57.12
12 5.76
12 14.40
12 23.04
12 31.68
12 40.32
12 48.96
12 57.60
13 6.24
13 14.88
13 23.52
13 32.16
13 40.80
13 49.44
13 58.08
14 6.72
14 15.36
14 24.00

П. —Постоянные величины для вычисления паралакса
(см. стр. 137).
Л =я—/70sinl".p0cos'.p'
А2 = —р0 sin Г'.ро sin ©'
C^-^-^oPoCoscp'
8 = pbP0sino'.
Обсерватории
Долгота
сЗ О
« = 3
о * Й
к8?
ЮМ Ю7.Л2
tgtga
Iff С
Alger (новая обсерватория)
Arcetri
Athenes .
Arequipa
Bamberg (Remeis'Stw.). . .
Barcelona (Fabra Obs.) . .
Bergedorf (Hamburg) . . . .
Berlin — Babelsberg . . . .
Besangon
Bonn
Bordeaux
Cape of Good Hope . . . .
Dusseldorf (Bilk)
Frankfurt a. M
Greenwich . -
Harvard Coll. Obs.
(Cambridge) ..........
Heidelberg (Konigstuhl) . .
Jena (Univ. Stw.)
Johannesburg (Union Obs.) .
Казань (Унив. Обсерв.) . .
Казань (Энгельг. Обсерв.) .
Киев
Konigsberg .
Kopenhagen (Univ. Obs.). .
Krakow
La Plata Г
Lick (Mt Hamilton) . . . .
Lissabon (Tapada) . . ¦. . .
Marseille
Milan, Brera
Minneapolis
Москва (Пресня) . . . '. .
Munchen
Nice
Northfield (Minn.)
Paris . .T
Пулково .
Roma (Royal Obs.) ....
Sdn- Fernando
Santiago
Симеиз
Sonneberg
Stockholm
m
— 0 12
— 0 45
— 1 34
+ 4 46
— 0 43
-0 6
-»0 40
— 0 52
— 0 23
— 0 -:8
+ 0 2
-1 13
— 0 27
— 0 34
0 0
+ 4 44
— 0 34
— 0 46
52
16
15
2
21
— 1
-3
— 3
— 2
— 1
— 0 50
— 1 19
+ 3 51
+ 8 6
+ 0 36
— 0 21
— 0 36
+ 6 12
— 2 30
— 0 46
— 0 29
+ 6 12
-09
— 2 1
— 0 49
+ 0 24
4-4 42
-2 15
— 0 44
— 1 12
8
1
52
12
34
30
58
25
57
23
7
55
3
36
0
31
53
20
18
19
16
0
59
13
50
44
35
45
35
46
57
17
26
12
36
21
19
56
49
45
58
46
14
m
0.0
-0.1
—0.3
-fO.8
—0.1
0.0
—0.1
-0.1
—0.1
—0.1
0.0
—0.2
—0.1
—0.1
0.0
+0.6
-0.1
—0.1
-0.3
—0.5
—0.5
—0.3
—0.2
-0-1
-0-2
+0-6
+1-3
+0-1
—04
—0.1
+ 1.0
—0.4
-0.1
—0.1
+ 1.0
0.0
-0.3
—0.1
+0.Д
+0.S
—0.4
-0.1
—0.2
342
309
337
410
275
320
254
261
290
271
303
354
268,
274!
26Й'
+
+
254
294
261
120
325
281
341
337
312
329
2у9
237
331
326
332
- зіб; —
-278 —
-269:-
¦38з: +
¦ 240; —
-240' —
•272j —
¦247,—
-24i:-
275- —
- 35o: +
•340,—
¦ 333L —
•31l| -
3^01 —
.302| —
¦241: —
285 -
309: —
305] —
2811 —
215; —
318) —
344J —
356; +
305i —
273
871
978
889
465n
071
943
128
111
.031
085
99on
,825n
092
075
.096
— 218
286] 9-957
322 0.064
330 0.088
187* 9.689,,
351:0.165
0.165
0.080
0.147
0.163
0.074
9.841»
9.880
9.901
9.971
0.004
9.P97
0.164
0.045
9.978
9.989
O.055
0.232
9.950
9.866
9.819n
9.988
0.079
0.224
351
327
347
351
326
243
257
265
291
303
300
351
316
293
297
320
367
283
2*2
235
297
327
365
9.672
9.628
9.666
9.751
9.578
9.644
9.544
9.555
9.601
9-571
9.620
9.688
9.566
9.576
9.564
9.638
9.583
9.569
9.722
9.519
9.519
9.573
9.531
9.520
9.577
9-683
9.669
9.661
9.631
9.615
9.619
9/20
9.594
9.628
9.623
9.588
0.471
9.641
9.674
9.690
9.623
9.574
9.477

Продолжение.
О бее р ват оран
Долгота
Strasbourg . .
Ташкент
Tokyo
Torino
Uccle . . .
Washington (Naval Obs.)
Wien (Univ. Stw.) ....
Yerkes Ods„ Williams Bay
—0h31m
— 4 37
— 9 18
-0 31
— 0 17
+ 5 8
— 1 5
+ 5 54
48
11
10
6
26
16
21
13
а о
2 н 3
n Я
л ?•
«а Я
о
1С.А
іО'.Д^
Igtgf
1*0
-0Ш,1
—0 .8
—1 .5
—О .1
О .0
+0 .8
-О .2
+1.0
283
321
347
302
270
332
285
315
318
280
247
300
329
26%
317
287
0.052
9.94Г
9.853
9.998
0.086
9.904
0.046
9.960
9.590
9.645
9.679
9.618
9.570
9.660
9.593
9.636
1*5
0.817
0.762
0.708
0.792
0-832
0.740
0.815
0.773
HI.—Наклонность эклиптики к экватору.
Год
sine
COSe
1870.0
1880.0
1890*0
1900.0
1910.0
1920 0
1930.0
1940.0
1950.0
1921.0
192 .'.О
1923.0
1924.0
1925.0
1926.0
1927 0
1928.0
1929.0
1930.0
1931.0
1932.0
1933.0
1934.0
1935.0
1936.0
1937.0
193S.0
1939.0
1940.0
-f 23°27'22".31
2717 .63
- 27 12 .94
27 8 .26
27 3 .58
26 58 -89
26 54 .21
26 49 .52
-f 23 26 44 .84
+ 23°26'58".42
57 .95.
57 .48
57 .02
56 .55
+ 23 26 56 .08
55 .61
55 .14
54 .67
54 .21
+ 23 2653 .74
53 .27
52 .80
52 .33
51 .86
+ 23 26 51 .40
50 -93
50 .46
49 .99
49 .52-
+ 23e.45620
.45490
.45360
.45229
,45099
.44969
.44839
.44709
.44579
+ 23°.44956
.44943
.44930
.44917
.44У04
+ 23 .44891
.44878
.44*65
.44852
.44839
-1-23 .44826
.44813
.44800
.44787
.44774-
+ 23 .44761
.44748
.44735
.44722
.44709
0.398 0479
.398 0270
.398 0062
,397 9854
.397 9645
' .397 9437
.397 9229
.397 9 20
0.397 8812
6.397 9416
9395
9374
9354
9333
0.397 9312
9291
9270
9249
9^29
0.397 9208
9187
9166
9145
9124
0.397 9104
9083
9062
9041
9020
0.917
.917
.917
.917
..917
.917
.917
.917
0.917
3646
3737
3827
3918
4008
4098
4189
4279
4970
0.917 4107
4116
4125
4135
4144
0.917 4163
4162
4171
4180
4189
0.917 4198
4207
4216
4225
4234
0.917 4248
4252
4261
4270
4279
19 Курс небесной кехіяншг* т. I
239

о
О
ОО
«-<
VA
«
К
о
л/
1
ад
Hi
о
о
ОС
S
с;
се
S
О
я
«
X
Ф
о.
«
о
ж
о
X
Си
И
4)
=Г
О
m
>>
S
Л
о
о
S
м
се
і
о
О
О
и»
О
о
с*
3
* о
с5
из
о
^
^
о «о? г» с© л •«* со еа *ч о оіоос- со й<*соми офоос-<о ю ч*< со см *-4 о
СО *Л іО Ю *Л іЛ іЛ іЛ *Л Ю 1Q ч* «* ¦"# *** ¦«*•<*< "Ч* Т* **< "* СО СО СО СО ОЗ W СО СО Св СО
со оо «с со со со со со со со coco со со со со со со со со со со со со со со со со со со со
ОООФС» lOHOON NOCOOH О С-*-' СО СО О »Л »> Г4- *# OMOOWOO СО
0000)03 СО Си 00 00 t> (ОЮСОМО СО іО СС О 1> •** О CD CQ СО ч* С6 ч* Оі СО CO
О т-< N <М СО ** Л СО t- СО СЭО»-«С^СО СО ^ )Л СО СО t~ 00 С© СЬ ОЪ О О»-! wW СЧ
W^m^m -ч „ rtHHH тЧНИИИ ИНИ^тН NNWWW N
8<м со ю <о со со -ф<м о» •«# оа *-< со ©a nt-Nioo соболе- со і> -^ с* со л
^ со со ^* ©а о оэ со -tf тч osco^T-«co»o»-jcO"^p со ©а со со со со со со t> ©а о
о* " . • . • • • • •...
ООНОЗСО ^4 тИ Ю«0 С» С-ООООО HNWW^ ¦«# іЛ іЛ СО СО fr» С- СО СО О» СЬ
О t- со о <о i-(N^(0o> ©а со *# ** со і-і с- со ^ о ©а ©а ©а оэ со -«-н»гэооа»сь t>
о <о со о «о со оэ со ©з со ю *-м t~ со ел юо со »-* t> ©а і> са со тн со о ч* со ©а со
о* ».•.••••-•*•*• • • • • -•.-.
OOhnn со со ** ю ю с© t> е- со со оооин ©з©а со со -ч* -^ілілілсо со
О ¦"*< СО *-( Ю СО ••-< СО CD t> O5O1OO500 СО СО СЪ Щ О -ч*« 1> СЗ О О СП СО іД -r-с СО чн
ОЛО^И СО ©3 С-©J С- СМ 1>-СО (> ©3 С-; ©3 СО *-* О р ч? СО <ОЧ> О "4*00 ©а іО ОЬ
о*""* " •••
OO^rtCQ ©3 00 СО ** •*** ЮЮСОСОС* С- СО 00 0> СЭ OOO*-*'-t"CMCMCQe0C0*C0
ОСЛСОСО-гН ^ИОССОи ©3 СО х* -# СО ©3 -^ СЬ СО СО ОЮОЮСО ~н ч* Ю СО СО СО
O^oooat- г^іло>ч*со ©з со о ** со ©з со о> со t> ^н •¦* ao i-t -«*н со ¦»-• -«# і>- о со
о* * *.--*¦ ** ,
OOOrtH ©1 ©3©3 СО СО *# ч* Л Л Ю С© СО С© С- f» СОСООООЭОЭ 0>000*н тн
тЧ «-* т-1 т-Ч гЧ
осоі>осо сооіелілсг* сь ©з со ю с© t> р- со t- t> со *л со г-too о ©з г- со с- еа
р со со о со со сь со «о о> ©з со ел ©з *о со ¦** ¦"* і> о со со оэ ©з -ч* і>о<©зюі> о*
о* "*"" • • • • * ..... ...*. .
ОООни *-і ічсзсм ©з со со со ч# -ч* ^іідююо со со со с- е> с- со со х со о
ЗіЛ О іО © Л OS *# СЪ СО »М«ООеО D-OcriCOCO ч-* СО іО СО Г- СО С* СО Оі СО 00
ф ©з іл с^р ©з ** t> сй ©з -«t; с~ о> ©a <«*; соейч-чсою со р ©а -ф <о ооом^ф со
О О О О-г-е н интчеа сам<мсосо со со т* «* -^ -^юююю ю со со со со со
о со ift- со о оолсоооо OIM05C0C0 осососью емс^-сіоайт** а>т*а5ч**оо ем
О и « Ю 1> ОООМтііЮ С-СЯОСМч* СОС-ООСМ ^ Wt^QO О *-*СО-ч*"СО|[^- О»
о'"* *
ООООО онин^ w w cMcq с-з сз-е^озеосо сосососо^ <«^т*<^^^ -^
ОИММ т|і 1ДСОС-00О5 О ¦—( СМ СО СО ч*іЛЮ»ЛСО СОСОСОСО^О СОСОіЛіЛ-^ Л
O—jcaco^t* иэсос-cooa ч-ісмсо^*л cotr-оооьо -»нсмсо^ісэ ©t>ooo>o w*
ООООО ООООО
03 CM CN1 CNJ <M CN] WNCQCQCO СО
ОЛіНСО-Н cOCQt-(Ml> CSlt-COCOCO СО СО СО СО 00 СО СО СО t> ОЗ 1>*НСО^Ю О
рр-Нг-іеМ СМСОСО^-чЛ іГЗЮСОСОГ» 1>0ОООС5а> OO^rtN CNCOCO-*Tt* Ю
о Л *
О'ОООО ООООО ООООО ООООО ^-( тн тч і-і W ч-ч -и *ч *-( м *-н
O4-*CQC0Tf iOCOt>C0O> OtHfiqcOr** iOCOt-СвсЛ OwCMCO"* ЮСОР-OOOS О
wr-*t-«*HTH T-*Y-*rHr-i>-( cmocncmcn oa еа-см см са со
200

0.50
О
•*>
о
0.35
' 0.80
0.25
0.20
о
о
I**
*
о
0.05
/щ
о
О СО СО С- «О
to см ем см см
со со со со со
СО ift іЛ ** О
СО CM СО О ¦*
о
<М СО СО ^f т*
<м N ем ем ем
Ю Ю-*Н -Ч СО'
со о rt* оо i-t
• * * # *
0
OJOOOrt
тч ем см <м ем
» • • • *
о
со с- е- с- со
~Н СО СО С- С*
C0OJ «ЭОО^
со тс -^ *# ю
ео "* ем о со
СО СО СО ОЗ -^
о
,-t і-і і-< CM СМ
Л** СОМИ ОСОСОГ>СО іЛ^стагл-4
смемсмсмсм cmw^Sw SZ223
со со со со со со со со со со cococococq
іЛС-COOOlft СМ СО СО О О СО СО С-5 с- О
t> О со со со см ^ со со г* смт*сос-со
^ifilftlOvO СО СО СО СО С— Е- Г> D» С- О
см см см ©а см см ем см см см см см ем см со
О CM СО СО О С- СО Ю СО СО 00 О ч# О Ю
юсо*н <фі> со со «ф со оо ооа^сос-
*••*• "•••- ¦•*.*
И -- (М N W (МСОСОСОСО ч* чф ч* ч$ т*
СМ СО СО СО СО СО СМ СО СО CM СО СО СО СМ СО
О^Осою Vhcdojhn со «-« со со со
*# (> О СО іО 00 О N Ю 1> СО т-1 СМ ^ СО
СО СО СО С» СО СО О О ©О Oi-*^»-tW
С- ЮСОСО СО COwCO^iO^tiCOOt-CO
^1>ОМО 1> О СО ** СО 00 © СМ СО *Э
W кО СО СО СО СО D- Г- t> С- fc* 00 CO CO 00
CN1 С» ч-Ч ^ С- 050O0Q С- ¦*** W С- CN»
о со со -*»* со оо .ч со ю со со о со со ю
см см со со со со т* ч* ¦*# •*# ••# ю ю ю »о
О со со с» со
г?ооо о
со со со со со
со со со со ©
О --НСЧ сОт?
X 00 СО 00 СО
со см см см ем
СОСОч* т}(^(
со о у* см со
*
*Я Ю Ю Ю Ю
см см см ем см
С- W СО Л СО
t> СО О гН СМ
w і-( оа см см
см см см ем см
со ем со со о
СО 00 СО О СМ
со со со сп о
О 00 OS О т-<
Ю іО Л СО СО
кО ^ СО <М іН О
о ооо о о
со со со со со ео
со смсо оем ^
** юю со со о
• • • • • л
COCO СО 00 00 ОО
w емем <мсм см
СМ О t-CM 1> чН
чф іО О СО <0 С«
" • • ¦ • ¦
смсмсмоз см см
со л -^ w со со
со •* ю со со ъ-
ем ет м см с» см
CM CQ СМ СМ СМ СМ
ннОО>«> ео
со со со со со со
СО СО СО С-кО «0
см со^ ю со с-
со ср о^ со со со
СМ КО CO CM *tf
ONifD-O»
о
. со со со со со
СО ео іО СО -*
со о см •*« со
• • • •
о
СО С* С- С- С-
см со О со с-
со о см со ті<
о*
со ©а -*-« О со
-и о» со ¦<#¦*
* • • • •
о
СО СО СО СО СО
о ** со со с-
іП Ю Л СО СО
*****
0
0
О г-іе>» со *¦#
со со со со со
^ос-с~с-с- со ч*coco ю со с-со со О
*-иео кЛ с- со *-іеоюсооо о-•-< со г* со
ООЮСМООтН ОЮОМС- ч-« ч* СО СО О
t- СО т-< СО т* СО С- СО © і-1 СО ч* Ю СО СО
t— 1> 00 СССО СОСОСОСОСО О СО СО СО СО
1.
C0C0 чЦ fr- СО СМСЙі#Ю iOlOrt**^^)
ЮОООСО О СМ СО т* О СО 1>оОСЛОтЧ
Ю іО ift lO СО СОСОСОСОСО СО СО СО 1> С-
D» СО т* СО О СОСОСОООО Ю СО 00 Ю *н
о со с-со оэ ее о *н см см со ^*-чи «э со
со со со со со' со *Ф xjiTf ** <* ¦** ч* ч* «*
-н со О ** *» —«юелсоео омсрм
С- С- 00 СО 00 СО СО СО О О *-ч т-і т-t СО СО
...•> • ч. . • • •••••
юсог-сосо о^еосо** *?52Е:22
СОСОСОСОСО •<# if-ч# <Ф-* "Ч"^^"*<*
СО COCO О w
о coco »н см
CM CM СО СМ СО
-Н СМ СО СО СО
со о •- см со
*****
со оооо
еоі^ ооо со
см со -^ ^ о
¦ ¦ • • •
с- с-» с- е- t-
со-^ со о w
«о *• t» оо со
t* О со со О»
см со оо оо со
• • » • •
C4N смемсм
О'іН СМ СО-*
л ю ю >л іо
НИОСЫ> Ю
со * ю ю со с*
СО СО ^О СО СО 00
СМ ч-« ФС- іО СМ
^ЛкАЮО СО
¦ • * ¦ • а
оооооо
со с- t- оо со с»
» • • * • •
с t- с- г» с- с-»
v -«со*-* со О
СЗОО'НН СЯ
¦гч ^» t- соем *#
•<і •* -^ ^* Ю О
смсмсм смем fid
tfS СО С- COCO О
tQlOiO>OtO «О

о
о
о о со с~ со ю ^» со <м -« о оэ оо с- со *л ^f w ?? *-; о оэ оо с- со
о ел ел с» о озофооі a>ooao jOqo со оо оо со оэ оос-с-і> t-
WWCNcSc* MWWWC5 WNOatMN WWWNW NWWWW
*ft ^*t CO (M *н о ?
С- С- t- f- f- t- T
WWW M <M 04
О
us
О
О
in
О
со
«* irt ю -^.<м a<OHt-H *** с- О *-< t?a мм--0)с- 5! г; ?; ?? °° «o «- »-ч *# ь- <л
СОСОЮЮСО iOiQiO^^ M N N H О О» 00 С~ іО ¦«# СО W О <Л l>' СО т* СО ч-4 СЛ t>
ooaoaoaooo со со со со оо оооооооооо і> с-с-г-г- ^E^EXSR50 <о «э <о <о л ад
(NIMCQC4N см од см са см mnwnm wnwcqn ca см см ем см см са сз смеа оа
•^ ч*« СО 00 СО COC-WCOO (ОН ЮОМ СО 00 О ч-< CM ч-ч <-* О 00 СО СОС «D'NN И
г- с- о с- с- с- с» с- с- с- со со *о fo ^ со cnj см -^ о ел со t> ігз •«* со оа о сь і> (о
в* * *
Ю іЛ Ю Ю іО ЮЮЮіОЮ іЛЮЮЮЮ ОЙЙЛЮ ^*«'Ф'"<*|т*-'*ч#ч*',-#еОса eft
wnnnn ncmcsicin саоасасмсм ем см см ем оа емімоаесіеа смемемоаоа cj
со со со со oo о •<-< ем —> о as c- ¦** О со "*юом«о ojo wcaco со от -* o> c- «j
C- C- 00 00 CO ОЭ СЛ OS СЛ СЛ 00 00 00 CO C- C- CO CO iO ^ CO CO CM <-i О СЛ 00 t- Ю ^ <p
а * • « * ¦>*¦>* * ***** ¦¦*** • • • # # ***«B#
c\i с*а ем ем ем ем ем оа <м см ем ем ем оз см ем ем ем см ем ем ем ем оа <м w —і^^н *-<
оа см ем оа ем см оа ем w ем см оа ем ем оа мммоим оз см см ©а ©а ©асмемемем ©а
CO О Ю О О CO —< CO т* іП й Ю t|I M О 00 »CS -4 CO CM CO О ""в1 С- О М^Ювф CD
С- СО 00 OS OS CsOOOO-OOOO© ОЪ 05 <3S X CO 1У t- О О « "^^ .*""! О 0>
о
ел <л os os оэ os о о о О О о © о О os cs os ел os сооась ев d сосьоасйсь со
W чН гЧ ч-і rH ч-l CM CM CM CM CM CM CM CM ©4 ,-H ч-t ч-l —I ч-< ,-H W — ч-М ч-< ч-С чЧ ч-Н .-^ ,-« ,_,
« ОС- WCO CM CO © CO Ю C-OOOSOQ'COCDVWO CD M 00 W 00 <M CO О М О СО
C- CO CO OS OS © © чЧ ч-< .—< ч-н ч-< чЧ чЧ т—< чЧ w чЧ i-< © © © О OS 00 СО 1>С»СОЮ 4ji
О CO CO CO CO t- ?- C— t- C» C- C- t- C- t- C» t- С- С— С- С- Г- CO CO CO CO CO CO CD <?> CO
,-f «-" чЧ чЧ чЧ чЧ чЧ чЧ »Ч чЧ ,-( чЧ чЧ чЧ »Ч т-ЧтИч-Ні-чч-Ч ,-t ^-< чН ч-t ч-* ,-i ,-t ^ ,_( ,_, ,_,
— ¦-— ¦¦¦¦¦¦¦¦ ——. ..I II • ' I ~
Ю N Си 1Л -^ «OHiOOJW 1ЙСО *^t-.OJ CCt W N и О CO CD Tf* -^ CO tJ» О CO и СО О
C-OOOOOlO © -* »-^ t-i ©3 NWNCOCO CO CO CO CO CO WW с;)'-1 —* — OOCb СЙ
CO CO CO CO rf Tj*^^("4jt4j( •* ¦*#•** т* ч# -»# ** ^ ¦* -ч*і <t*-»*• ч* "# ^J* ** т*» -* т* СО CO
^ч-1ч-4ч-»ч-Ц чЧч-і чЧ чЧ «Ч ,4 чЧ-Н чЧ чЧ ^^н^ч^-,^ чЧ г ч-t - ,4 rl4-H-4W4^ 4
: 1- 1
оасэюозг- ©a t-. см со ел со со со © ©а ч* its л со со о ю 'Ф w ^ ел со т* —«с- ^
ОС 00 OS © © гн-^WWN СО СО СО ¦«# •** ч* чг -ф -<*< т* -^т^-чРтР-^ СО СО СО СО ©3 03
о* * .....
ООО^'Н W W ч-Ч W ч-Ч чН -Н^-« -Ч *НчЧ~.ч^-« _СЧгЧчЧ,Ч чЧ,-Н — _^ ^
С» «М 00 СО 00 СО С- чЧ ift <Л N іо СО О СМ ¦* СО С» 00 05 СЛ СЛ OS OS OS 00 t- іО ч? СМ О
ел О О -н тч еаоіеосесо ^tjj^xoo laioiiiioo колюю л ююлюю ю
о
D-C0Q0COCO ООСОСОСООО 000000X00 ООСС0С0О0О СОООООСООО СОХ 00 00 СО СО
О -4< оо <м <о Осососле>а юс-ОМ^ юмзооо —< оэ оі en со coeocaoi-^ о
CNJWCQCOCO *^ч*-*ч5(!»Л іОЮСОСОСО COCOCOCOt- С-С^Г-С^о t-C-I>D-C- t-
о * * *
ift «ОЛЮ Ю ЮОЮЮіО іЛіЛЮЮЮ ЮЮЛЮЮ, ЮіЛЮіОЮ ЮЮЮЮЮ Ю
'^C-Cft'-'eO lOf-OsON ^ЩСООТСЛ О н ?1 СО •* Tf іД Ю СО СО СОСОСОСОСО СО
iooiqcqcq cqcocqc-c> с-;с--с^с^е> сооооооооо cocooooqoo осоооооосо оо
о '
wcsc>JCQNc<iNc>ae3c<i оасмозсам csitMCNioac<i cmcsjcqmoi сосмсасмсм w
1А
01
о
о
S
ОчЧОЛСОтН ЛСОс-ОООЭ 0*НОЗСО^ іЛСОС-ООСЭ О-»НО1С0-«і* iOCOt>Q0C» О
СОСОСОСОСО СОСОСОСОСО С-С-С-С-С» C-I>I>D-C- 000000 00,00 00 00 00 00 СО 0J

о
in
gSSSS gSSSS §S2?S? 528ЙЗ gSS52 S3S23 S
«wnww «NnwS ojn<n«c3 SSeSlSS wSSnS SSSSS eS
^ Ji S2 ^1 Й 5 i? 3! ^ 53 oojco^h t-^оюн с-мсо^л слеоосэоз л
с^О^мо со <o т* ем о оолмно» со «« ем оэ с- m<cqon<v т-< да <о эт w да
іЙіЙЙЗЙЦЗ 2*!" 2С ** ** "* со со со со ем см <м см ^н -г* -ч ~* о О О О а сэ о оа со
емемемоаса емсмемсмсм wnwnn емсчсмемем соемсмсмсм cq^^wrH ^
SSEI^^SS ?2??2?:23 woooo асооюсо ^coono iocmcocoo ¦*
cq ¦* со -^ аэ aqtc-^tMO сомоеон coo^wo оою coi-ito co^ -.ч as <o **
о ' * • * • • •
со со со со ем Ni^wnn -h w -и —«,-* OOOOO ©аоо>со со со со с- с- e-
схкмсаезсм N см ca <м ем wwnwn cawcaww S^^^w SS^w^vw
о
Л<МСОіЛО CO --Ч іО О ч** t- О СО CO CO О 03 CO -* ч* ШОЛ-фСС NhOODO ¦***
CO 04 О С5 CO «O «O M W О CO I> Ю CO »-t OC0(D^*0) 0 00«0^<N О CO ОД CO »-• Ob
o* * " * * '" *
¦-ЧгН'г-tO© OOOOO & <2>Oi Oi Gi ОЭ CO CO CO CO OOC-t-t>C* E- CO CO CO CO ift
«MWNCIW ОчСМ<МСМ(М И r-i иі tH W W ~* yh «-t *H ,-i -ц r-f w *ч ^н r-i r-i *Ч гч -Н
сосою-*м о со ю озсл іо -^ со ~н со *-• ю ел см со а: ч-і т* со со О -*oj м ч* ч*
СЛ СО ?-; СО Ю т>< СМ »-і О СО О- СО ч* СО т-« О СО СО Ю СО НО СО СО ^ -СО і-і С» і> *0 СО
о
00СОСО0000 СО 00 00 СО С- С-с-С-С-1» С-СО СО СО СО ССЮЮЮіО ift іД ч* «*( т* «Ф
О
со
СООИМЧН
•^* -^ со см *-*
о
CD CD СО СО О
ч* ¦** т* СО СО НССООМ ОГ-050«0 г-* Е- (М С- ¦*-(
О о> х е- со ю-«л Who сл с- со ю со сч о о с-со
СО Ю іО *Л Ю ЮіОіОЮЛ чф -ф ¦** ч# тН ч*< -*Н СО СО СО
СО О ч* СО *-*
чр СО *н OS 00
СО COCO CM CM
«О
СО
8
о,
из
»-(
О
о
О
О
О ю со со ю сооозч^со
с» с© г- с- со юю^еом
о
СО СО СО СО СО СО СО СО СО СО
Г- СО СООі О
w О Оі 00 О-
СО СО* 03 cq СМ
со ао е- со іо
солесоса
NN 03 <М СМ
ее» *н а> D- -ч*і исОйиоО
»-«©соі>со іо со оа *н а*
CddHWH ^ч-^t-tp-iO
ч#
СО
о
TfOCOiHCO И tOO^OO CM »ft 00 r-t CO СО СО С» *-< N СО Tf ч* ю Л ift Л т*« СО СО W
ОЗСЗі-ітНС О 0> С» СО С~ ?><ОЮЮ^ CO N И И О ,0й СО Е-^ СО іО ч* СО СМ »-« О О»
т-і,^,--,,^^ *ч © о о о ооооо ooooo 00505СЯОЭ oaaoso со
ОООЛМОі CDCOOJiftH t*NMNC- CM CO О тИ CO N»u00*j2 K^^^S Ж
us ч* ¦* *# <*э «о: w cj w *н Hoqo) оэ со со і> со сой^^и о» -* тч _^ оэ со
со со со со х сососососо сосооооос- с-с-с-с-с- с» с-с-с-с- е- с- с-с- со со
о аэ со со л со *^ as с- ю см с» со со о с~ ч* осо со оэч^осо-* $??!,?; «2 ^
С^СОСОСОСО СОЮіОЛіО &•*&'**'# COCOCOtMN ww-гнОО ОЭОЭЧВОО*-; t>
іою\ліліл оюююю ююююігі ююллл юйююю *t **•-* 4j* ч* ч«
сосоюлти ^сосо-но 05сос-со^ «Hots :??2&°S?? "5!^2S;31 2
cocococoS coSooooco ^c*^^:1^ *-.*-.*: ^.^ «5«5<o^«? «J^^H! *t
§acM(M<M(M CaNNCMN WcMCOOJCM <N«WNW (МСЛеЗСЧКЯ «СіС^СЧОЯ С»
Oft СЛ C№ О СИ
ю ео d- со с»
О* О 0й C7S СЛ
оо о о
л со с-со л
о о с- о о
OwCJCOtJ* lOtOD-COO О
^ ч-( •--( *-1 *Н 1-* ч^ »-* *-* —* <Ч
^ W ,н ^t »-* ИННИИ W
293

о
О
о
•8
о
о
о
о
*
о
g
О ОЬ 00 t- СО
•*# СО СО СО СО
см см см см см
со со со со со
NNWNW
О ел со е- со
со см см ем ем
1Г5 ТН «Э ОТ *Н
W N СО W М
ео см 04 см см
О а> со с- со
CvJ т-1 гЧ тН т-1
см ем ем n см
о *# со ем
¦^Н -»Ч *Ч _( . ,
СМтч О
csj-
Ю00О W-* СО С- СО О *-* гЧ 01 ОЗ СО СО СО СО ОЭ СМ ч-1 © CU СО Г- <© *Л СО ОЗ О 00 tft:
СО ю СО О С- -^тЧООСОСО © С> ч# тЧ СО ЮСМОіСОСО О СО W О С- ^гНСОюн СО
о"**'******' * * *:.'
СО С© СО СО С- t- С- СО СО СО «ОЛіОій^ ¦«*< ч* СО СО СО СО ОЗ CM CM тЧ н-ООО 0>J
•^о^наосо і>мнісои ю со © со со соооз^о с-сасемсо ** -* ю со со к.*
¦Ф »ч ел со т* нсйфсом со ю ео о n ^ см ел со со © і> іл см ел со со о с- ^ тч -¦
в * * . " **"**•.
О 1>ОСО<С СО іЛ іЛ Ю іЛ «<і* ¦** т* ч* СО СО СО 03 СМ ОЗ ОЗ ¦•-< »ч *ч W ОООСЬО» ^'
т* чЧ ф СО СО ОЭ СО ОЗ 00 T*t О і?> <-- СО ~н СОИОО^ СО СМ СО О СО і>- О Т(< с» О Ьі
ОЭ t> ч# ОЗ © С- Ш СО О СО СО СО тЧ СО СО СО ¦«-< СО СО СО О СО Ю СО О t- іО CM OS Г-* *К
> a a * • a../» a * • • . * a a • a ¦ • . • a •••,. • Л ,
0
іОЮЮіЛЮ ¦«* rjt ** "# CO CO CO CO CM ОЗ (NN'HHH i-iOOOO CS СЛ CR CO CO 00ч
ч#^^4^^ M M И О Ol С-іЛСО<-<ОЪ С- *# *-ч СО »0 ОЗ Сі *Г5 СМ СО "* OCONCC eft'
COr-lObD-lO СО гЧ ОЭ С- ^ OJ О СО СО СО тЧ СЭ О- •*!< СЗ О ^ lO CO О CO CO CO іч 00 <D
О *' • • • ..... . . ...,,
** •** со со со со со со со оз nnwhh »ч о © © о о с» оъ ел ей со coco coco t>
тЧ гЧ тЧ гЧ •—I HHHri i—( ИгіИИН ч—і іЧ r—l *—* *Ч *—«
^t t- О CC Ю t-OiHCO'* Ю CO Г- CO CO СЛ СЛ С» СЭ СЛ CO CO ?>• CO Ю іЛ CO CNJ rt О CO
CD ** СО .4 СЛ "^ *0 "^ ^ О CO CO -чі< CM О CO CO -cr CSJ © CO CO ¦** CM © 00 CO ч# CM CA IN
о * *
счозозоз*ч ,ч ,ч ,ч »ч—« ooooo ел ел ел ел ел эо со со со со с-о с-с-со <o
¦*0«Л'НО -^ О О'ю СЛ СОС-^ЮОО МОСОИтіі CO СЛ чч сЪ Ю t>- СЛ тЧ СО ¦** (О
00 C> Ю тН CM тЧ СЛ СО СО •** COrjOCOCO Л CO н «J CO CO ¦«* CO^—< СЛ t- lO r|( CM О 00
о"'*- * '
OOOOO О СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ О CO CO CO CO CO CO t*- c-t-C-C-IC СО О О СО СО ОД
тЧ «Ч гЧ тЧ тЧ тЧ
03 © СЛ IN» .ft CO гЧ СЛ IN *Ф НСОЮМСО 1Л — С- СО ?35 ift -r-i СО СМ Г- ОЗ Г* ОЗ 1> 03 fr-
С0 00 Ю Ю -^ СО ОЗ О СЛ СО Г- Ю ^* СО тЧ © СЛ С- СО т* СО ОЗ О СЛ г- СО ч* СО *4 О СО
о
СО0О0О0ОО0 СО СО СО *>* С- С- О С- С- ?- С~ СО СО О СО ОССОЮЮ ЮЮЮЮЮ -ч*
со ел ¦«-< оз со т? ю со со г- с- со со со in с- с- о *п ю м< со см о ел со со m со w о
СО CN; t> СО іП ^JCOCMr-jO СЛ СО С- СО ift •# СО ОЗ тЧ © СЛСОі>чО'* ММИОСй 00
о
СЭ СО.чО COCO OCDCDOCD ЮЛОЮЮ ЮЮЮЮЮ -^<т**"^т*(-^ "^тЦт*»т*«С0 СО
гчдао-^оа сос-О^оо нюсОг*ч< с-Оеососу> esi^t>c»w со«осОО«м "^
С-СО,ОіЛ^ -^СОСОСЗгЧ -*-<СО.Оі0О С- С- О Ю ^ ^1<СОС>Зт-<г-і ОС>0000?> СО
о
-^^^•ч^-ф ^ч*і^^^ ¦^•^tococo сооэсососо сососососо сомсмсаем <n
CM OS СО -^ •»-*
тг coco со со
со л ем os со
СМ СМСМ *-• W
см а> со см о
•HQOOOJ
со см со -о *-*
а» о> со со со
t- со о <о а
С- С- fc- СО СО
СО «3* О СО *н
со
смозсмсмеа Wcmcmcmcm озсмозем
о
О"* СМ СО ^ ЮСОС-ООСЬ
ем см.см см ем см ем см см см
О'ЧМеОч* lOCOt-QOO» От-* СМ СО4* ЮССС-ООСЙ О
СОСОСОСОСО СОСОСОСОСО Ч^^^-ч*-^ ¦'«Зі^^'Т»*"* *0
-r-*»-l*4t-tW т-(*Нр-(т-<гЧ г-(-гН*-<гНгЧ f—(тЧт-Ч-г-ітЧ *Н
.294

<fc
о
из
¦3
о
се
.о
С5
Ф
О
1—<
о
о
T-t
О
О С5 00 О СО
—»о оо о
О 04 09 04' 03
оо о о о
04 04 04 04 04
О <Л 00 Г- О
© С5 0> С5 О
04 тн тН <—' ч-і
ю т* соо4 w ©о>оо t-c© ю-^сос*** о
о- сьа> сьса сьдохоосо сооосооо со со
ч—( *-Н гЧ -I-* г-( Т-» г-( ч-t і—1 tH Т4НИНИ *-*
CD *# 04 О 00 ЮСОИСОЙ WOf-^и С0Ю04ОС0 СО О О СО
00 Ю 04 С5 КЭ 04 ОЭ СО С4 OS СО СО ОЭ СО СО С3> СО СО Оі СО СО О СО СО
8
0 .........
ОЭ OS CS00 СО 00 С-С-t- СО (ОФЮЮіО ¦«# ^ ч*< СО СО СО СО 04 С4 04 ИННОО О
с* со о с- со
со со о со со
е- с- с~ со со со оо е~ с- с- с- со со ю ¦«# ч* со о4 о4 w о о> со с- со ю^лмй о
-;СОЮМО> tO М О 1> ^ тЧ СО іО 04 Оі СО СО О О 4J ^н С*; «d< »-J 00 Ю 04 06 СО СО О
С5 00 СО 00 t- t> t> С- СО СО ЮЛЮО^ •<*¦**««# СО СО СО 04 04 04 »Н ИИООО О
СО СО 00 —* ^ СО 00 іЧ СО Ю С* OS т-4 СО іЛ О00О04-Ф іП1>СООн СОч*>«ОГ-0> О
¦ч#т-4СОСОС0 ОгчЮМОі СО СО -~t ОЭ *Л CM С» О ¦*# ^- 00 іО 04 О С- ^ —« 00 Ю О» О
о '- "
OOOOC-D-C-fc-СОСОСОЛ ift О іЛ ••# -«# тР СО СО СО СО 04 04 04 04 *-< ИИООО О
¦¦--¦¦ ¦¦ ... . . , ..,,), I, „ _ , , ¦ _
МОтЛОііЛ ОЮОЛО) т* OS-Ф СО СО С~ -r-t СО © тЛ ОЭСОГ-г-чО © ^ СО 04 СО СЭ
со оо іч со со Tjft-нсясосо тчоососоі-t со «о со •*-* со ю со О оо ю со С fc- ю 04 о
о**'** *•*
D- С- С- СО СО СО СО Ю Ю іО Ю ч# -Ф ч* -ф СО СО СО СО 04 04 04 04 W W i-t *-t О О О О
00 СО «Ф 04 i-t О СО ^ 04 О С-ЮМОО «Ф 04 С» СО СО О С* ^* -* 00 1Д С4 О* СО СО О
С- fcO СО т-ч OS CQ -ф С4. © СО \Г5 СО т-t 05 СО ^< 04 OS С- Ю СО О С© СО СО »-Ч СО СО ^ф С4 О*
СО СО СО С© Ю Ю Ю Ю Ю <Ф ¦«? -ч* "Ф СО СО СО СО 04 04 04 04 04 W -Н »-« r-lOOOO О
СО С- 00 © »-і 04 СО т*4 -»ф ift СО СО С- С^ 00 00О50ЭС0О5 СЬОООО QOOOO © 1
СО СО -ф СО *-* ООЮМН OS t> Ю СО *Н СЬС^ЮСО-^ СЛООСОт^ОХ © СО СО «Ф 04 О I
ЮЮкбОЮ -Ф т*< «ф т* *ф СОСОСОСОСО 04О404О404 *-ин ч-ци-гН i-t © О © О О
Sosssa^.ssss.asssig sssss sssss gssss 8
^h-^rjl-ф^ -ч*(СОСОСОСОСОС0040404 040404
о ©оо© о
g§S3? SSjSSS SSSSS SSSSS S5SSS SS^SS 8
CO CO, CO CO CO CO CO 04 04 (N 04 0-1040404
o© ©©ooo ©
чф Ю t- OS
CO lO *Ф CO
5g 83888 SS8S3 3^88 SSSSS $.3523 8
^^r-iw-.-i »ч »-и-4 *ч »-і О О О О О ООООО ©
04 04 04 04 04 04 04 04
о со а> <ф О
СО СО 04 04 04
ф w С- СО СО
т-» *-* © © OS
¦ч*4 OS -^Н © іО
OS СО СО 00 Г-
тА СО -^ С- 04
С* СО СО іО Ю
С- СО 00 СО OS
«ф -ф СО СО 04
** OS ч* О «
ИииИр
8
ооооо'ооооо ©©о©о ооооо
©тно4со^ ю со t- оо сі О »н 04 со т* ю «о с- со оа © ** ©а со **< ю to t- оо с» Q
ю *р ю ю ю каюіл юю со со со со со со се со со со с- ь- t> с*- с- fr-e-tr-o^» со
2fr5

Va. —Параболическое движение: значения о и о2.
tf3
О
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
И
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
50
0.000 00
.012 16
.024 32
.036 47
.048 62
.060 74
.072 85
.084 94
.097 01
.10904
0.12105
.133 02
.144 95
.156 84
.168 69
.180 50
.192 25
.203 9Q
.215 61
.227 20
0.238 74
.250 22
.261 63
.272 98
.284 27
.295 49
.306 65
.317 73
-.328 74
.339 68
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
0.350 55
.361 35
.37207
.382 72
.39329
.403 79
.414 21
.424 55
,434 82
.445 01
0.455 12
.465 16
.475 12
.485 01
.494 82
.504 55
.51421
.523 79
.533 30
.542 73
0.55209
1216
1216
1215
1215
1212
1211
1211
1207
1203
1201
1197
1193
1189
1185
1181
1175
1171
116&
1159
1154
1148
1141
-1135
1129
1322
1116
1108
1101
1094
1087
1080
1072
1065
1057
1050
Ю42
1034
1027
1и19
1011
1004
996
989
981
973
966
958
951
943
936
000000
.00015
.(00 59
.001 33
.002 36
.003 69
.005 31
.007 22
.009 41
.011 89
0.014 65
.017 69
.021 01
.024 60
.028 46
.032 58
.036 96
.041 60
.046 49
.051 62
0.057 00
.062 61
.068 45
.074 52
.080 81
.087 32
.09403
.100 95
.108*07
.115 38
0.122 89
.130 57
.138 44
.146 47
.154 68
.163 04
.171 57
.180 24
.189 07
.198 03
0.207 14
.216 38
.225 74
.235 23
-.244 85
.254 57
.264 41
.274 36
.284 41
.294 56
0.30481
15
44
74
103
133
162
і89
219
248
276
304
332
359
386
412
438
464
489
513
538
561
584
607
629
651
671
692
712
731
751
768
787
803
821
836
853
867
883
896
911
924
936
949
962
972
984
995
1005
1015
1025
50
51
52
53
44
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
7Т
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
\
0.552 09
.561 38
.570 59
.579 73
.588 80
.597 80
.606 72
.615 58
.624 36
.633 08
0.641 73
.650 31
.658 83
.667 28
.675 66
.683 98
.692 24
.700 43
.708 56
.716 62
0.724 63
.732 57
.740 46
' .748 29
.756 06
.763 77
.77142
.779 02
.786 56
.79405
0.801 48
.808 86
.81619
.823 46
.830 68
.837 86
.84498
.852 05
.859 Of
.866 05
0-872 97
.879 85
.886 69
.893 47
.90022
.906 91
.913 56
.92017
.926 74
.933 26
0.939 74
929
921
914
907
900
892
886
878
872
865
858
852
845
838
832
826
819
813
806
801
794
789
783
777
771
735
760
754
749
743
738
733
727
722
718
712
707
702
698
692
688
684
678
675
669
665
661
657
652
648
0.304 81
.315 15
.325 57
.336 09
.346 68
.357 36
.368 11
.378 94
.389 83
.400 79
0.41182
.422 91
.434 05
.445 26
.456 52
.467 83
.479 19
.490 60
.502 05
.513 55
0.525 09
.536 67
.548 28
.559 93
.571 62
.583 34
.595 09
.606 87
.618 68
.63051
0.642 37
.654 26
S66 16
.678 09
.690 04
.702 00
.713 99
.725 99
.73801
.750 04
0.762 oa
.774 14
.786 21
.79830
.810 39
.822 49
.834 60
.846 72
.858 84
.870 97
0.883 11
1034
1042
1052
1059
1068
1075
1083
1089
1096
1103
1109
1114
1121
1126
1131
1136
П41
1145
1150
1154
1158
1161
1165
1169^
1172
1175
1178
1181
1183
1186
1189
1190
1193
1195
1196
1199
1200
1202
1203
1204
1206
1207
1209,
1209
1210
1211
1212
1212
1213
1214
296

Продолжение
100
101
102
103
104
105
10в
107 .
108
109
НО
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
0.939 74
.946 18
.952 58
.958 93
.965 25
•971 53
.977 7?
.983 96
.99013
0.996 25
1.002 34
.008 38
.014 40
.020 37
,026 32
.032 22
.03809
.043 93
.049 74
.055 51
1.061 24
.066 95
.072 62
.078 26
.083 87
.089 45
.094 99
.100 51
.106 00
.11145
1.116 88
.122 28
.127*65
.132 99
.138 30
.143 58
.148 84
.154 07
.159 27
.16445
1.169 60
.174 72
.179 82
.184 89
.189 94
.194 96
.199 96
.204 93
.209 88
.214 81
1.219 71
644
640
635
633
628"
624
619
617
612
609
604
602
597
595
590
587
584
581
577
573
571
567
564
561
558
554
552
549
545
543
540
537
534
531
528
526
523
520
518
515
512
510
507
505
502
500
497'
495
493
490
^
0.883 11
.895 25
.907 40
.919 55
.93171
.943 87
.956 02
.968 19
.980 35
0.992 51
1.004 68
.016 84
.029 00
.04116
.053 32
.065 48
. .077 64
.089 79
.101 94
.114 09
1.126 24
-138 38
.150 51
.162 64
.174 77
.186 89
.199 01
.21112
:223 23
.235 33
1.247 42
.259 50
.271 58
.283 66
.295 72
.307 78
.319 83
.331 88
.343 91
.355 94
1.367 96
.37997
.391 98
.403 97
.4)5 96
.427 94
.439 90
.451 86
.463 82
.475 76
1,487 69
1214
1215
1215
1218
1216
1215
1217
12x6
1216
1217
1216
1216
1216
1216
1216
1216
1215
1215
1215
1215
1214
1213
1213
1213
1212
1212
1211
1211
1210
1209
1208
1208
1208
1206
1206
1205
1205
1203
1203
1202
1201
1201
1199
1199
1198
1196
1196
1196
1194
1193
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
1.219 71
.22459
.22944
.23427
.239 08
.243 87
.248 63
.253 37
.258 10
262 79
1.267 47
.27213
.276 76
.281 38
.285 97
.290 54
.295 10
.299 63
.304 14
.308 64
1.313 И
.317 57
.322 01
.326 42
.330 82
.335 20
.339 56
.343 91
.348 23
.352 54
1.356 83
.361 10
.365 36
.369 60
.373 22
.378 82
.382 01
.386 38
.390 54
.394 67
1.398 80
.402 90
.40699
,41107
.41513
.41917
.42320
.427 21
.431 21
.43519
1.43916
488
485
483
481
479
476
474
473
469
468
466
463
462
459
457
456
453
451
450
447
446
444
441
440
438
436
435
432
431
429
427
426
424
422
420
419
417
416
413
413
410
409
408
406
404
403
401
400
398
397
1.487 69
.499 61
.51153
.523 43
.535 32
.547 21
.55908
.57095
.582 80
.594 65
1.606 48
.61831
.63012
.641 93
.65572
.665 50
.677 28
.68904
.700 79
.712 53
1.724 27
.735 99
.747 70
.759 40
.77108
.782 76
.794 43
.806 09
.817 73
.829 37
1.840 99
.852 60
.864 21
.875 80
.887 38
.898 95
.91051
.92205
.93359
.945 12
1.956 63
.96814
.979 63
1.99111
2.00258
.01404
.025 49
.036 93
.048 36
.059 77
2.07118
1192
1192
1190
1189
1189
1187
1187
1185
1185
1183
118В
1181
1181
1179
1178
1178
1176
1176
U74
1174
1172
1171
U70
1168
1168
1167
1166
1164
1164
1162
1161
1161
1159
1156
1157
115*
1154
1154
1158
1151
іі5і
1149
1148
1147
1140
1145
1144
1143
1141
1141
29Г

Продолжение
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
.232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
1.439 16
.44311
.447 05
•450 98
.454 89
.458 78
.462 66
.466 53
.470 38
• 474 22
1.47805
.481 86
.485 66
.589 45
.493 22
•496 98
.500 73
.504 46
-.508 18
.511 89
1.515 59
.519 27
.522 94
.526 60
.530 24
.533 88
.537 50
.54111
.544 71
..54829
1.551 87
.555 43
.558 98
.562 52
.566 05
,569 57
.573 08
.576 57
.580 06
.583 53
1.586 99
.590 44
.593 88
.597 31-
.600 73
.60414-
.607 54
.610 93
.614 31
.617 68
1.62104
395
394
393
З'.П
389
388
387
385
384
383
381
380
379
377
376
375
373
372
371
370
368
367
366
364
364
362
361
360
358
358
356
355
354
353
552
351
349
349
347
346
345
344
343
342
341
340
339
338
337
336
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
263
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
1.621 04
.624 38
.627 72
.631 05
.634 37
.637 68
.640 97
.644 26
,647 54
.650 81
1.65407
- .657 33
.660 57
.663 80
.667 02
.670 24
.673 44
.676 64
.679 83
.683 00
1.686 17
.689 33
.692 49
.695 63
.698 76
.701 89
.705 01
.70812
.71122
.714 31
1.717 39
.72047
.723 54
.726 60
.729 65
.732 69
.735 73
.738 76
.741 77
.744 78
1.747 79
.750 78
.753 77
.756 75
.759 73
.762 69
.765 65
.763 60
.77154
.774 48
1.777 41
334
334
333
332
зп
329
329
328
327
326
326
324
323
S22
322
320
320
319
317
317
316
316
314
313
313
312
311
310
309
308
308
307
306
305
304
304
302
302
301
301
299
299
298
298
296
296
295
294
294
293
300.89
304.33
307.80
311.30
314.83
318.39
321.98
325.60
329.25
332.94
336.65
340.39
344.17
347.97
351.81
355.68
359.58
363.51
367.47
371.47
375.50
379.56
383.65
387.78
391.94
396 14
400.36
404.62
408.92
413.24
417.61
422 00
426.43
430.90
435 40
439.93
444 50
44911
453.75
458.42
463.13
467 88
472.66
477.48
482.34
487.23
492.16
497.12
502.13
507.17
512.24
517.36
522.51
527.70
532.93
538.19
1.78
1.79
1.80
.81
.82
.83
.84
1.85
.86
.87
.88
.89
1.90
.91
,92
.93
.94
1-95
.96
.97
.98
.99
2-00
.01
.02
.03
.04
2-05
.06
.07
.08
.09
2-10
.11
.12
.13
.14
2Л5
.16
.17
.18
-19
2-20
.21
.22
.23
¦24
2-25
-26
-27
.28
.29
230
.31
.32
.33
538.19
543 50
548.84
554.22
559.64
565.10
570.60
576.14
581.72
587.33
592.99
598.69
604Л2
610.20
616.02
621.88
627.78
633.72
639.70
645.72
651.78
657.89
664.03
670 22
676.45
682.73
689.04
695.40
701.80
708.25
714.73
721.26
727.84
734.45
741.12
747-82
754.57
761.36
768 20
775.08
782.01-
788.98
796.00
803.06
810.17
817.32
824.52
831.76
839.05
846.39
853.77
861.20
868.68
2.33
.34
2.35
.Зй
.37
.38
.39.
2.40
.41
.42 J
.43
.44
2.45
.46
.47
.48
.49
2.50
.51
.52
.53
.54
2.55
.56
.57
.58
.59
2.60
.61
.62
.63
:в4
2.65
.66
.67
.68
.69
2.70
.71
.72
.73
.74
2.75
.76
.77
.78-
,79
2.80
.81
.82
.83
.84
2.85
298

Vb. —Параболическое движение: значения истинной аномалии
v
lgP
V
lgP
V
о
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0°.0000
1 .3937
2 .7866
4 .1779
5 .5667
6 .9522
8 .3337
9 .7103
11 .0813
12 .4460
13 .8037
15 .1536
16 .4951
17 .8276
19 .1504
20 .4630
21 .7648
23 .0553
24 .3341
25 .6007
26 .8548
1.3937
1.3929
1.3913
1.3888
1.3855
1.3815
1.3766
13710
1.3647
Д.3577
1.3499
1.3415
1.3325
1.3228
1-3126
1.3018
1.2905
1.2788
1.2666
1.2541
lgP
1.30
.31
.32
.33
.34
1.35
.36
.37
.38
.39 .
1.40
.41
.42
.43
.44
1.45
V
26°,7957
27 .3743
27 ,9636
28..5635
29 .1740
29 .7953
30 .4274
31 .0703
31 .7240
32 .3886
33 .0641
33 .7504
34 .4476
35 .1557
35 .8745
36 .6041
: -
5786
5b93
5999
6105
6213
6321
6429
6537
66-16
6755
68*3
6972
7081
7188
7296
1.45
.46
,47
.48
.49
1.50
,51
.52
.53
.54
1.55
.56
.57
.58
.59
1.60
.61
.62
.63
.64
1.65
.66
.67
М
.69
1.70
.71
.72
.73
.74
1.75
.76
.77
.78
.79
1.80
.81
.82
.83
.84
1.85
.86
.87
.88
.89
1.90
36°.6041
37 .3444
38 .0953
38 ,8567
39 .6285
40 .4107
41 .2030
42 .0053
42 .8174
43 .6392
44 .4705
45 .3111
46 .1608
47 .0192
47 .8862
48 -7615
49 .6449
50 .5359
51 .4344
52 .3309
53 -2522
54 .1709
55 .0957
66 0262
56 .9619
57 .9026
58 .8478
59 .7972
60 .7504
61 .7068
62 .6662
63 .6281
64 .5921
65 .5577
QQ .5247
67 .4924
68 .4606
69 .4288
70 .3967
71 .3638
72 .3297
73 .2941
74 .2565
75 .2167
76 .1742
77 .1287
7403
7509
7614
7718
7822
7923
8023
8121
8218
8313
8406
8497
8584
8670
8753
8834
8910
8985
9055
9123
9187
9248
9305
9357
9407
9452
9494
9532
9564
9594
9619
9640
9656
9670
9677
9682
9R82
9679
9671
9659
9644
9624
9602
9575
9545
1.90
.91
.92
.93
.94
1.95
.96
,97
.98
.99
2.00
- .01
.02
.03
.04
2.05
.06
.07
.08
.09
2.10
.11
.12
.13
.14
2.15
.16
.17
.18
.19
2.20
.21
.22
.23
.24
2.25
.26
.27
.28
.29
2.30
.31
.32
.33
.34
2.35
77М287
78 .0800
79 .0275
79 .9711
80 .9104
81 .8452
82 .7751
83 .6999
84 .6193
85 .5332
86 .4413
87 .3433
88 .2391
89 .1284
90 .0112
90 .8873
91 .7564
92 .6185
93 .4734
94 .3211
95 .1614
.95 .9942
96 .8194
97 .6370
98 .4470
99 .2492
100 .0436
100 .8302
101 .6090
102 .3799
103 .1430
103 .8982
104 .6455
105 .3849
106 .1165
106 .8403
107 .5562
108 .2644
108 .9649
109 .6577
110 .3429
111 Х>204
Ш .6903
112 .3528
113 .0079
113 .6555
9513
9475
9436
9393
9348
9299
9248
9194
9139
9081
9020
8958
8893
8828
8761
8691
8621
8549
8477
8403
8328
8252
8176
8100
8022
7944
7866
7788
7709
7631
7552
7473
7394
7816
7238
7159
7082
7005
6928
6852
6775
6699
6625
6551
6476
299

Продолжение
IgP
V
2.35
.36
.37
.38
.39
2.40
.41
.42
.43
.44
2.45
.46
;47
.48
.49
2.50
.51
.52
.53
.54
2.55
.56
.57
.58
\59
2.60
.61
.62
.63
.64
2.65
.66
.67
.68
М
2.70
.71
.72
.73
.74
2.75
.76
.77
.78
.79
2.80
113°.6555
114 .2959
114 .9290
115 .5549
116 .1737
116 .7854
117 .3902
117 .9880
118 .5790
119 .1633
119 .7409
120 .3118
120 .8763
121 .4342
121 .9858
122 .5311
123 .0701
123 .6030
124 .1298
124 .6506
125 .1655
125 .6745
126 .1778
126 .6754
127 .1673
127 .6537
128 .1347
128 .6102
129 .0803
129 .5452
130 .0050
130 .4596
130 .9092
131 .3538
131 .7934
132 .2282
132 .6582
133 .0835
133 .5042
133 .9203
134 .3318
134 .7389
135 1416
135 .5399
135 .9340
136 .3238
6404
6331
6259
6188
6117
6048
5978
5910
5843
5776
5709
5645
5579
5516
5453
5390
5329
5268
5208
5149
5090
5033
4976
4919
4864
4810
4755
4701
4649
4598
4546
4496
4446
4396
4348
4300
4253
1207
4161
4115
4071
4027
3983
3941
3898
IgP
V
2.80
.81
.82
.83
.84
2.85
.86
.87
.88
.89
2.90
.91
.92
.93
.94
2.95
.96
.97
.98
.89
3.00
.01
.02
.03
.04
3.05
.06
.07
.08
.09
ЗЛО
.11
.12
.13
.14
3.15
.16
.17
.18
.19
3.20
.21
.22
.23
.24
3.25
136^.3238
1Ь6 .7095
137 ,0910
137 .4685
137 .8420
138 .2116
138 .5772
138 .9390
139 .2971
139 .6514
140 .0020
140 .3490
140 .6924
141 .0322
141 .3686
141
142
142
142
142
143
143
143
144
144
144
145
145
"•145
146
146
146
146
147
147
.7015
.0310
.3571
.6800
.9996
.3159
.62Я0
.9391
.2460
.5499
.8507
.1486
.4435
.7355
.0246
.3109
.5944
.8751
.1531
.4284
147 .7011
147 .9712
148 .2386
148 .5034
148 .7658
149 .0256
149 .2830
149 .5379
149 .7905
150 .0406
150 .2884
3857
3815
3775
3735
3696
3656
3618
3581
3543
3506
3470
3434
3398
3364
3329
3295
3261
3229
3196
3163
3131
3101
3069
3039
3008
2979
2949
2920
2891
2863
2835
2807
2780
2753
2727
2701
2674
2648
2624
2598
2574
2549
2526
2501
2478
IgP
V
3.25
.26
.27
.28
.29
3.30
.31
.32
.33
.34
3.35
.36
.37
.38
.39
3.40
.41
.42
.43
.44
3-45
.46
.47
.48
.49
3.50
.51
.52
.53
.54
3.55
.56
.57
.58
.59
3.60
.61
.62
.63.
.64
3.65
.66
.67
.68
.69
3.70
150°.2884
150 .5338
150 .7770
151 .0179
151 .2565
151 .4930
151 .7272
151 .9593
152 .1892
152 .4170
152 .6427
152 .8664
153 .0880
153 .3076
153 .5252
153 .7408
153 .9545
154 .1663
154 .3761
154 .5840
154 .7901
154 .9943
155 Л9в7
155 .:-973
155 .5962
155 .7932
155 .9885
156 .1821
156 .3739
156 .5641
156 .7526
156 .9394
157 .1246
157 .3082
157 .4902
157 .6706
157 .8494
158 .0267
158 .2025
158 .3767
158 .5494
158 .7206
158 .8903
159 .0586
159 .2254
159 .3909
2454
5432
2409
2386
2365
2342
2321
2299
2278
2257
2237
221?
2196
2176
2156
2137
2118
2098
2079
2061
2042
2024
2006
1989
1970
1953
1936
1918
1902
1885
1868
1852
1836
1820
1804
1788 I
1773
1758
1742
1727
1712
1697
1683
1668
1655
300
ч

VI. —Значения функций Ig U(z) и lg V(z)
¦
z
+ 0.00
.01
.02
.03
.04
+ 0.05
.06
.07
.08
.09
+ 0.10
.11
.12
.13
.14
+ 0,15
.16
.17
.18
.19
+ 0.20
— 0.00
.01
.02
.03
.04
— 0.05
.06
.07
.08
.09
— 0.10
.11
.12
.13
.14
— 0.15
•16
.17
.18
.19
— 0.20
\gU{z)
1.914 934
.912 751
.910 547
.908 319
.906069 -
1.903 795
.901 498
.899 175
.896 828
.894 454
1.892055
.889 629
.887 175
.884 693
.882182
1.879 643
.877 073
.877 473
.871840
.869176
1.866 478
1.914 934
.917 094
.919 234
.921 352
.923450
1.925 528
.927 J>86
.929 625
.931 645
.933 617
1.935 630
.937 595
.939 543
.941 473
.943 386
Л.945 282
\ 94 7 163
.949 026
.950 875
.952 707
1954 524
— 2183
2204
2228
2250
— 2274
2297
2323
2347
2374
— 2399
2426
2454
2482
-2511
— 2539
2570
2600
2633
2664
— 2698
*
2160
2140
2118
2.-98
" 2078
! 2058
20 9
2020
2002
1983
1965
1948
1930
1913
1896
1881
1863
1849
18 2
1817
\gV{z)
1.437 812
.439120
,440438
.441 767
.443 106
1.444 458
.445 817
.447 189
.448 572
.449967
1.451 374
.452 793
.454 224
.455 667
.457 123
1.458 592
.460 0?4
.461570
.463079
.464 603
1.466141
1.437 812
.436514
.435 226
.433 943
.432 679
1.431420
,430170
.428929
.427 697
,426 474
1.425 260
.424 054
.422856
.421 667
.420486
1.419 313
.418 148
.416 991
.415 841
.414 700
1.413 565
1308
1318
1329
1339
1350
1361
1372
1383
1395
1407
1419
1431
1443
1456
1469
1482
1496
1509
1524
1538
———
-1298
1288
1278
1269
— 1259
1250
1241
1232
122S
— 1214
1206
1198
1189
1181
— 1173
1165
1157
1150
1141
— 1135
301

VIL Таблица значений w2fc2: г3 для w = 8d
Ww* A2: r3
107w*JP:/*
1.60
.51
,52
.53
.54
.55
.56
.57
.58
.59
1.60
.61
.62
.63
.64
.65
¦66
.67
.68
.69
1.70
.71
.72
.73
.74
.75
.76
.77
.78
.79
1.80
.81
.82
.83
.84
.85
.86
.87
.88
.89
103 088
102 065
101 060
100070
99 097
98140
97 198
96 271
95 358
94 460
93 576
92 705
91 848
91004
90173
89 355
88 548
77 754
86 972
86 201
85 442
84 693
83 956
83 229
82 512
81806
81110
80 424
79 747
79 079
78 421
77 772
77 132
76 501
75 878
75 264
74 658
74 059
73 469
72 887
1.90
.91
.92
.93
.94
.95
.96
.97
.98
.99
72 312
71745
71185
70 633
70 087
69 549
69017
68 493
67 974
67 463
2.00
66 957
-1023
1005
990
973
957
942
927
913
898
— 884
871
852
844
831
. 818
807
794
782
771
— 759
749
737
727
717
706
696
686
677
668
— 658
649
640
631
623
614
606
599
590
582
— 575
567
560
552
546
538
532
524
519
511
— 506
2.00
.01
.02
.03
.04
.05'
.06
.07
.08
.09
.2.10
.11
.12
.13
.14
.15
.16
.17
.18
• 19
2.20
.21
.22
.23
.24
.25
.26
'.27
.28
.29
2.30
.31
.32
.33
.34
.35
.36
.37
.38
.39
2.40
.41
.42
.43
.44
.45
.46
.47
.48
.49
2.50
66 957
66 458
65 965
65 473
64 998
64 523
64053
63 590
63132
62 679
62 232
61790
61354
60 922
60 495
00074
59 657
59 245
58 838
58 436
58038
57 644
57 255
56 870
56 490
56114
55 742
55 374
55 010
54 650
54 294
53 942
53593
53 249
52 908
52 570
52 237
51906
51580
51256
50 936
50 619
50 306
49 996
49689
49 385
49084
48 786
48 491
48 200
47 911
— 499
493
487
480
475
470
463
458
453
— 447
442
438
432
427
421
417
412
407
402
— 398
394
389
385
380
376
372
368
364
360
— 356
352
349
344
341
338
333
3 1
326
324
— 320
317
313
310
307
304
301
298
295
291
— 289
302 ¦

Продолжение
. I07w4*:i*
2.50
.51
.52
.53
.54
,55
.56
.57
.58
.59
2.60
.61
.62
.63
.64
.65
.66
.67
.68
.69
2.70
.71
.72
.73
.74
.75
Л6
.77
.78
.7fl
2.80
.81
.82
•,83
,84
.85
.86
.87
.88
.89'
2.90
.91
.92
.93
.94
.95
•96
.97
.98
.99
3.00
47 911
47 625
47 341
47 061
46 783
46 508'
46 236
45 967
45 7C0
45 435
45173
44 914 -
44 657
44 403
44151
43 901
43^54
43 409
43 166
42 926
42 687
42 451
42 217
41986
41756
41 528
41303
41079
40858
40 638
40 421
40 205
39 mi
39 780
39 570
39 362
39^156 *
38 951
38 748
38 548
38 348
38151
37 955
37 761
37 568
87 378
' 37188
-37 001
86 814
36 630
36 447
— 286
284
280
278
275
272
269
267
265
-262
259
257
254
252
250
247
245
243
240
— 239
236
234
231
230
228
225
224
221
220
— 217
216
213 *
212
210
208
206
205
203
200
— 200
197
196
, 194
193
190
190
187
187
184
— 183
3.00
.01
.02
.03
.04
.05
.06
,07
.08
.09
З.Ю
.11
.12
.13
.14
.15
.16
.17
.18
.19
3.20
.21
.22
.23
.24
.25
.26
.27
.28'
,29
3.30
.31
.32
.33
.34
.35
.36
.37
.38
.39
3.40
.41
.42
.43
.44
.45
.46
.47
,48
.49
3.50
36447
36 266
36 086
35 907
35 730-
35 554
35 380
35 208
35 036
34 866
34 698
34 530
34 365
34200
34037
33 875
33 714
33 555
33 397
33 240
33 084
32 930
32 776
32624
32473
32 323
32175
32 027
31881
31736
31592
31449
31307"
31166
31026
30 887
30 749
30612
30 477
30342
30 208
30075
29 944
29813
29 683
29 554
29 426
29 299
29172
29 047
28923
-181
180
178
177
176
174
Л 72
172
170
— 168
168
165
165
163
162
161
15»
158
157
— 156
154
154
152
151
150
148
148
146
145
— 144
143
142
141
140
189
138
187
135
135
-134
133
131
131
130
129
128
127
127
125
- 124
303

/*2
Ю7^2:/-3
Продолженат
I07w2k2:r^
3.50
.51
•52
.53
.54
.55
.56
.57
.58
.59
3.60
.61
.62
.63
.64
.65
.66
.67
.68
.69
3.70
.71
.72
.73
.74
.75
.76
.77
.78
.79
3.80
.81
.82
.83
.84
.85
.86
.87
.88
.89
3.90
.91
.92
.93
.94
.95
.96
.97
.98
,99
4.00
28 923
28 799
28 677
28 555
28 434
28 314
28195
28076
27 959
27 842
27 726
27 611
27 497
27 383
27 270
27 158
27 047
26 937
26 827
26 718
26 610
26 502
26 395
26 289
26184
26 079
25 975
25 872
25 769
25 668
25 566
25 466
25 366
25 266
25 168
25 070
24 972
24 876
24 780
24 684
24 589
24 495
24401
24 308
24 216
24 124
24 033
23 942
23 8*2
23 762
23 673
— 124
122
122
121
120
119
119
117
117
— 116
115
114
114
113
112
- Ill
110
110
109
— 108
108
107
106
105
105
104
103
103
101
— 102
100
100
100
98
98
98
96
96
96
— 95
94
94
93
92
93
91
91
90
90
— 89
4.00
.01
.02
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
4.Ю
.11
.12
.13
.14
.15
.16
-.17
.18
.19
4.20
.21
.22
.23
.24
.25
.26
.27
.28
.29
4.30
.31
.32
.33
34
.35
.36
.37
.38
.39
4.40
.41
.42
.43
.44
.45
.46
.47
.48
.49
450
23 673
23 584
23 496
23 409
23 322
23 236
23 150
23 065
22 980
22 896
22 812
22 729
22 «46
22 564
22 482
22 401
22 320
22 240
22160
22 081
22 002
21924
21846
21769
21692
21615
21539
21464
21388
21314
21239
21166
21092
21019
20 946
20 874
20 802
20 731
20 660
20590
20519
20 450
20 380
20 311
20 243
20174
20 107
20039
19 972
19 906
19 839
-89
88
87
87
86
86
85
85
84
— 84
S3
¦83
82
82
81
81
80
80
79
— 79
78
78
77
77
77
76
75
76
74
— 75
73
74
73
73
72
72
71
71
70
— 71
69
70
69
68
69
67
68
67
66
-67

Продолжение
Ww*k*;r*
Ww%k*:i*
4.50
.51
.52
.53
.54
.55
.56
.57
.58
.59
4.60
.61
.62
.63
.64
.65
.66
.67
.68
.69
4.70
.71
.72
.73
.74
.75
.76
.77
.78
.79
4.80
.81
.82
.83
.84
.85
.86
.87
.88
.89
4.90
.91
.92
.93
.94
.95
.96
.97
.98
.99
5.00
/
И
19 839
19 773
19 708
19 642
19 578
19 513
19 449
19 385
19 322
19 259
19196
19 133
19 071
19 010
18 948
18 887
18 826
18 766
18 706
18 646
18 586
18 527
18 468
18 410
18 352
18 294
18 236
18 179
18 122
18065
18 009
17 952
17 897
17 841
-17 786
17 731
17 676
17 622
17 568
17 514
17 460
17 407
17 354
17 301
17 248
17196
17 144
17 093
17 041
16 990
16 939
-66
65
66
64
65
64
64
63
63
— 63
63
62
61
62
61
61
60
60
60
— 60
59
59
58
58
58
58
57
57
57
— 56
57
55
56
55
65
55
54
54
54
— 54
53
53
53
53
52
52
51
52
51
— 51
5.00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
5.10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
5.20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
5.30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
5.40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
5.50
16 939
16 888
16 838
16 788
16 738
16 688
16 639
16 589
16 540
16 492
16 443
16 395
16 347
16 299
16 252
16 204
16 157
16110
16064
16 017
15 971
15 925
15 880
15 834
15 789
15 744
15 699
15 654
15 610
15 565
15 521
15478
15 434
15 390
15 347
15 304
15 261
15 219
15176
15 134
15092
15 050
1SO09
14 967
14 926
14 885
14 844
14 804
14 763
14 723
14682
— 51
50
50
50
50
49
50
49
48
— 49
48
48
48
47
48
47
47
46
47
— 46
46
45
46
45
45
45
45
44
45
— 44
43
44
44
43
43
43
42
43
42
-42
42
41
42
41
41
41
40
41
40
-41
20 Курс н«бесно5 механняп, т. I-
ЗОБ

Продолж ение
I07w2k*:r*
10W?2:r3
5.50
.51
.52
.53
.54
.55
.55
.57
.58
.59
5.60
.61
.62
.63
.64
.65
.69
.67
.68
.69
5.70
.7L
.72
.73
.74
Л5
.16
.77
.78
.79
5.80
.81
.82
..83
.84
,85
.86
.87
.88
.89
5.90
.91
.92
.93
.94
.95
,96
.97
.98
.99
6.00
14 682
14 642
14 603
14 563
14 524
14 484
14 445
14 406
14 368
14 329
14 291
14 253
14 215
14 177
14139
14 102
14 064
14 027
13 990
13 953
13 916
13 880
13 844
13807
13 771
13 735
13 700
13 664
13 629
13 593
13 558
13 523
13 488
13 454
13 419
13 385
13 350
13 316
13 282
13 249
13 215
13 181
13148
13 115
33 0^2
13 049
13 016
12 983
12 951
12918.
12 886
— 40
39
40
39
40
39
39
38
39
— 38
38
38
38
38
37
38
37
37
37
— 37
36
36
37
36
-36
35
36
35
36
— 35
35
35
34
35
34
35
34
34
33
— 34
34
33
33
33
33
33
33
32
33
— 32
6.00
.01
.02
.03
.04
.05
.00
.07
.08
.09
6.10
•11
.12
.13
.14
.15
.16
.17
.18
.19
6.20
.21
.22
.23
.24
.25
.26
.27
.28
.29
6.30
.31
.32
.33
.84
.35
.36
.37
.38
.39
6.40
.41
.42
.43
.44
.45
.46
.47
.48
.49
6 50
12 886
12 854
12 822
12 890
12 758
12 727
12 695
12 664
12 632
12 601
12 570
12 540
12 509
12 478
12 448
12417
12 387
12 357
12 327
12 297
12 267
12 238
12 208
12 179
12 150
12121
12 092
12 063
12034
12005
11977
11948
11920
11892
11863
11835
11807
11780
11752
11724
11697
11670
11642
11615
11588
11561
11531
11508
11481
11454
11 428
-32
32
32
32
31
32
31
32
31
— 31
30
31
31
30
31
30
30
30
30
— 30
29
30
29
29
29
2»
29
29
29
— 28
29
28
28
29
28
28
27
28
28
— 27
27
28
27
27
27
27
26
27
27
— 26

Продолжение
107«/*Aa:r*
6.50
.51
.52
.53
.54
.55
.56
.57
.58
.59
6.60
.61
.62
.63
.64
.65
.66
.67
.68
.69
6.70
.71
.72
.73
.74
.75
.76
,77
.78
.79
6.80
.81
.82
.83
.84
.85
.87
.88
.89
6.90
.91
.92
¦93
.94
.95
.96
.97
.98
.99
7.00
11.428
11402
11376
11349
11323
11297
11272
11246
11 220
11195
11169
11144
11119
11094
11069
11044
11019
10 994
10 969
10 945
10 920
10 896
10871
10847
10 823
10 799
10 775
10 751
10 727
10 704
10 680
10 657
10 633
10 610
10 5й7
10 563
10 540
10 5L7
10 494
10 472
10 449
10 426
10 404
10 381
10 359
10335
10314
10 292
10 270
10 248
10226
— 26
26
27
26
26
25
26
26
25
— 26
25
25
25
25
25
25
25
25
24
-25
24
25
24
24
24
24
24
24
23
-24
23
24
. 23
23
24
23
23
23
22
— 23
23
22
23
22
23
22
22
22
22
-22
7.0
Л
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
8.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8 ¦
.9
9.0
Л
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
10.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
-7
.8
.9
11.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
12.0
10 226
10010
9 803
9 602
9 408
9220
9039
8864
8694
8 529
8 370
8215
8 065
7 920
7 779
7 642
7 509
7 380
7 255
7133
7 014
6 899
6 787
6678
6 571
6 468
6 367
6 269
6 173
6 080
5 989
5 900
5 814
5 729
5 647
5 566
5 488
5411
5 336
6 263
5191
5 121
5 053
4986
4920
4856
4 794
4 732
4 672
4 614
4556
-216
207
201
104
188
181
175
170
165
— 159
155
150
145
141
137
133
129
125
122
— 119
115
112
109
107
103
101
98
96
93
— 91
89
66
85
82
81
78
77
75
73
— 72
70
68
67
66
64
62
62
60
58
— 68
20*

Продолжение
1072У2?2: Г3
KWfc*:/*
12.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
13.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
14.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
Л
.8
.9
15.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
17.0
4 556
4500
4444
4 390
4 337
4 285
4 234
4184
4136
4088
4 040
3 994
3 949
3 905
3 861
3 818
8 776
3 735
3 694
3 654
3 615
S577
3 539
3 502
3 466
3 430
3 395
3 360
3 326
3 293
3 260
3 228
3 196
3 164
3 134
3104
3 074
3 044
3 016
2 987
16.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
2 959
2 932
2 904
2 878
2 852
2 826
2 800
2775
2 750
2 726
2 702
— 56
56
54
53
52
51
50
48
48
— 48
46
45
44
44
43
42
41
41
40
— 39
38
38
37
36
36
35
35
34
33
— 33
32
32
32
30
30
30
30
28
29
-28
27
28
26
26
26
25
25
24
— 24
17.0
Л
.2
' .3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
18.0
Л
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
19.0
Л
.2
.3
.4
.5
'б
.7
.8
.9
20.0
Л
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
21.0
Л
.2
,3
А
.5
.6
.7
.8
.9
22.0
2 702
2 678
2 655
2 632
2 609
2 587
2 565
2 543
2 522
2 501
2480
2 459
2 439
2 419
2 399
2 380
2 361
2 342
2 323
2305
2 287
2 269
2 251
2 234
2 216
2 199
2182
2166
2150
2133
2 117
2102
2 086
2 071
2 055
2 040
2 026
2011
1996
1982
1968
1954
1940
1926
1913
1900
1886
1874
1861
1848
1835
—'24
23
23
23
22
' 22
22
21
21
— 21
21
20
20
20
19
19
19
19
18
— 18
18
18
17
18
17
17
16
16
17
— 16
15
16
15
16
15
14
15
15
И
— 14
14
14
14
13
13
14
12
13
13
— 13

Продолжение
r%
22.0
Л
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.0
23.0
.1
.2
.3
А
.5
.6
.7
.8
.9
24.0
.1
.2
.3
.4
.5
.?
.7'
.8
.9
25.0
.1
.2
.3
Л
.5
.6
.7
.8
.9
26.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
27.0
10WA2:/-3
1835
1823
1811
1798
1786
1774
1763
1751
1740
1728
1717
1706
1695
1684
1673
1662
1652
1641
1631
1621
N
1611
1 601
1591
1581
1571
1562
1552
1543
15ЧЭ
1524
^ 1515
1507
1497
1488
1479
1471
1462
1454
1445
1437
1429
1420
1412
1404
1396
1388
1380
1373
1365
1357
1350
-12
12
12
12
12
11
12
11
12
— 11
И
И
И
11
11
10
11
10
10
— 10
10
10
10
10
9
10
9
10
9
— 9
9
9
9
9
8
9
8
9
8
— 8
9
8
8
8
в
8
7
8
8 '
•—7
гг
27.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
28.0
л
.2
.3
.4
.5
,6
.7
• .8
.9
29,0
Л
.2
.3
Л
.5
.6
.7
.8
.9
30.0
л
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
31.0
Л
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
32.0
107Ла:
1350
1342
1335
1328
1320
1313
1306
1299
12&2
1285
1278
1271
1265
1258
1251
1245
1238
1232
1225
1219
1213
1206
1200
1194
1188
1182
1176
1170
1164
1158
1153
1147
1141
1136
ИЗО
1124
1119
1113
1108
1102
1097
1092
1087
1082
1076
1071
1066
1061
1056
1051
1046
Г3
— 8
7
7
8
7
7
7
7
7
— 7
7
6
7
7
3
7
6
7
6
— б
7
6
6
О-
6
0
6
6
о
-5
в
6
5
6
6
б
в
5
6
— 5
5
5
5
ft
5
V
б
5
•г
5
v
— б
I
S0&

о
80й^со
см о — с-
osos со *ф OS
|> іф г- CD
О 00 СО СО тн
ridddd
о
d
О 00 С- О
СС -Ф OS тЧ
см со со -ф
dodo
Mill I I I I I +
¦ф Oi i-l CM CO
С 00 С- іО CO
«ч*« CO CO CO CO
eddod
+
•Ы Z 00 CO Л -ф
со см см n см <м
ifoddd
+
+
1Л
О см -ф oo eg
Ю —CO O) OS
с© с- с- со ю
¦г сьомо
^ r-H О CO CO
r-lON<0<M
C» CO OS CO Ob
1-НтчоОО ООСОО
I .1 I I I I +
CO CO t- OS —l
О 00 CO -Ф CO
CO CO CO CO CO
о о о 6 о
+
^ф т> со о» со <ф
<—• cs ос со *-: -ф
со г і ем см см ем
о о о о с* о
+
+
о
ООООНСО
00 О) С» О OS
*-* т-1 -г-* см ч-5
со аз е~ ~ О
1-н 00 ОЗ С- t—
оо о в os со
i-J i-ч і-н Q О
О '. WWC-
со О со со со
с со _* о
+
ч-і іО СО СО OS
со с- со тг см
со со со со со
+
СО Г-- С1 ОС СО чф
•нСЛ СО СОЮ xjl
со см см см ;м ем
ОС-0-. О С О С О О
+
+
ев
а
U
ч
эК
5
X
<D
к
>>
о
S
э
а
о
X
X
й>
Й
S
с?
\о
S
©«
1Л
(О
о
о
с*.
О -^ оь оо со
tr: *-* іО 1Д СО
О» -^ СМ СО СО
СО СО Ю О OS
О О О чз» Ю
СО тн СО *Ф О
D- СО С- С- СО
С- ч-< *-« <-* СО
со со t- со г*
СО СО іЛ т? СМ
СС СО СО СО СО
*-і СМ СМ СМ СМ СМ СМ тЧ ^-н і-< ООООО ООООО
I I II I I ! I I I 11 +
+
w СО *-і 00 Ю тН
тн О) COCO Ю^(
СО СМ СМ СМ СМ СМ
do J" d о d
+ +
ОМРчЛСй
О СМ -Ф "Ф С-
ИМЮС-СО
СО СО^Ф •& СО
О Г- OS 00 т-4
со о *ф о со
ел -^ О со os
m <м о •*-" О
тн -Ф О СМ СО
CM CM CM CM CM СМ СО СМ СМ *Н *-« О О О О
I I I I I I I I II II +
t-iOOOlrH
¦ч* »Л *Л СО СМ
СО СО СО СО СО
doddd
+
О OS СО СО tO *Ф
СО CM CM CM tM CM
r'ddd6d
+
-I-
us
o
CO
о
CO
о
а»
Ю "Ф Ю 00 CO
СМ Ю 30 і~( *Ф
со со с- со ю
со со -фо "Ф
СМ СМ СМ СО'СО СО СО СО СО СМ
<Ф --< Ю Ю
СО OS СО СМ СО
00 і> 1-* *-« СМ
fi О О О О
+
со ем см -Ф ч-і
CM -Ф *Ф «; СМ
СО СО СО СО СО
do* do d
+
о- со О г- -ф со
О OS 00 СОіП "Ф
СО С» СМ СМ СМ СМ
do о d о о
+
+
О «О 00 СО t-
т* с- т-и со -г-і
со см -1 •*# со
со ел os ш со
ю О ю
ЮОіЮОО
сэ со "Ф о ем
СМСМСОСО'Ф ч* ^Ф ^» ^Ф СО МИООО
СО СО СО 00 СО
OS СI СО СМ т-t
см со со со со
ООООО
IIIII I I I + +
Ю CM OS СО "Ф СО
О О) D- О Ю ¦*
СО СМ СМ СМ СО СМ
о о о с о о
+ +
Ю О) -Ф -и СМ
»Д OS іЛ СМ О
СМ СМ* СО ^ Ю
і-( Т* t> OS OS
О 1У М w fQ
\Л CO l> t> CO
со о- см
OS «О О 00 CM
О "*Оі -^ гЧ
из wood
Mill I I I I I I I I i +
ю о см -M —'
CM CO CO CO CO
d о do о
+
со о t> in со см
ООг-сой1*
CO CM CM CM CM ^1
d сdo do
+
+
О см см -Ф t-
c-wcocoo
ca со со -Ф со
со со см см с
COiO Ю С- CO
t> OS -^ M CM
со О О
00 OS CO OS О
i-t t> C- Tt< О
d^rldd
00 00 C"" CO OS
Os с- О —* О
i-l CM CO CO CO
§coco -* со см
азг-соот*
CO CM CM CM »M CM
ooooo oooooo
>
+
+
+
Ift О- ОЗ CO CO
СО -Ф СО Ю СО
см со -Ф ю і>
t- со -os у» со
•м -Ф со со р
О •* О СО -чЙ
тН f-< СМ С-Л СО
со ем со
CMOS СО -Ф OS
СО ч-( СО О -^
ОМЮиО
СО тЧ
О CM OS СО ГЭ
СМ^1 аоО О
гН СМ СМ СО СО
ООООО*
Mill Mill II I I I +
CO 'P Ю « N H
OS 00 C- CO О -Ф
CM CM CM CM CM CM
<э<5 do о о
+
+
8
О см с- со ь-
p *> t> со p
CO CO -чН CO CO
О -Ф lO О О
^' т" rt Ю О
¦r-l CM Ю Ю -rH
8
о
с- со
CO <Ф CM Ю
со* с см d
о w
о ^ \а і-( со
О О» '2 Оэ Os
р 1-н см см см
о d 6 d d
СМ СО СО СМ —* ч-(
OS 0О С- СО Ю чф
<м см см см см см
о о о о о о
I I
I +
+
+
О *н ем со ч*
о" d d d d
Ю СО О COOS
d d d d d
О СМ тН СО СО
О CCI гф СО СО
см* см см см см
р см ^ со со о
со со со со со ^*
310

8
о
О GOO •"* OS
0^00005
О г-* м г$ *$
ododd
+
OS СО 00 іЛ Ю
СО —< rj( 4Л іСЭ
ю со со со со
о* о о 6 о
+
СО 1« ¦** СМ СМ
т? —( t»- 05 OS
о о о о о
+
ю ©а со г- «ф
Ю СМ СЭ СО **
"Ч> "Ф 00 СО СО
ododd
+
со ту оо ©а as to
N О М t* й ^
СО 00 W CM СМ СМ
о do odd
+ +
о
ООЮСПН
нОнисО
О О О j О
I +
OS N -фСО OS
C-tJI00O-<
-** ю о со со
СО 00 СО Ю 00
т-< OS СО 05 00
ООООО О О и> О О
+ +
©а О in со со
О СЧ Q U) Т
¦"* ч*» СО СО СО
¦ * d о о о
+
са^л с-©а оа о
©а о оо (*- ю ті<
СО СО CJ СМ СМ СМ
J о d о о о
+ +
о см о «а со
о «о о *«** -
СО *-} О —< СМ
d о о d d
СО О СО СО 1>
С- СО w i(S С-
«tf ЮЛЮ
О 00 ¦«-( 00 СО
со о ю -н со
О О С О О ©а со О О О
+ +
+
05 00 О О СМ
4f -гм ОЭ О "Ф
чі* tJ* СО СО вО
ododd
+
СМ СО Г» М 00 СО
см о со с- »о tji
со со ©а см см см
+
+
ю О ю -ф
^ со ~* о -*
ododd
СО СО ©а іО О
СО СО tJ< OS СО
СМ СО *<#¦"* іО
d d d о о
I I I + +
оэ во аэ os с-
¦vinmoc-
Ю дГі ЮЛ-*
ododd
+
со со as тя у*
т* тч СО СО "Ф
'Ф *Ф СО СО СО
ododd
+
тИ СО С- СМ СО СО
см о со г- »о -ф
СО СО *М СМ СМ 01
d do d с5Ь
+ +
О оо со.со О
о со —і о о
со ^ со ^ч О
О* О О О О
¦ИтНЮСОЮ
*# со *о eg с-
у* СМ СО *«Л «ф
со о см о ^
О со ©а О г-
Ю Ю Ю Ю "Ф
ООООО ООООО
+
+
СМ СО t~ СО О
^і г-. СО СО тК
-^ ¦«# СО СО СО
odd ох^
+
г* со со оа ее со
NOCOb-Л'*
СО СО СМ Л) СМ СМ
do do dо
+
+
О -* со "Фсо
Л СО 00 СМ іО
с- со *$ со —<
d о d d d
о
о
о
О Ю Ю •»-<
-<# (О ч# 1-W
-ч ©3 СО т*<
о о о о
•J I I I I +
СО OS «# OS Ю
Ю OS О СО СО
•<# -ф іО ^ **
d oddd
+
СООЮ^О
СО ч-ч СО СО -Ф
*<$ "^ СО $0 СО
о о* о о о
+
О ©а СО *-» 00 «О
оі о со с- ю ¦*
СО СО СМ 05 СМ <М
do с d J о
+
+
О О «О Г- СО
о со о со
OS 00 СО іО СО
ododd
О О СО О Ю
СО О СО іО СО
і-і © t-н ©а ео
с', oddd
I +
СО т* СО СО t-
ОЭ СО 00 С" О
СО П* тР -Ф «ф
о о do о
+
см с- со о со
со о со со со
*** -ф ео со со
ddded
+
сь ©а со w оо со
i-lCQ0t- Ют»
со со см см см см
О* О О* О О О
+
+
О coco юсо
Ю t- іО О СМ
О OS 00 ¦- Ю
do d d d
см ©а о с© ч*
-Ф со О со ч#
со і-і о »-< см
d oddd
ю ©а со -^ со
©а см і& со "-Ф
СО *Ф ^ ч* <ф
ododd
I 11 + +
Г- ***0 00 Г-
са о оо in со
"Ф tJ( СО СО СО
odd do
СО *** Л і-4 t* ITS
со со см см см см
+ +
с~. О t> О с-
ОЮОМ'*
СМ і-1 О OS С>
игчнОО
©а ©а т** о ю
Ю іО СО О СО
ЙСОнО»-*
о о do о
О» О СО Г0 D-
СО С» СМ ^ СО
О» СО ч* ч* ¦*
d do о о
+ +
О OS 00 СО СО
©а о> ' - •: со
-Ф со ео со со
oddd d
+
t- С ю О с- л
нооор-л^
со со ©а©* см ем
do odd d
+ +
О ©а os со ч*
ю со со ш о>
со со см w os
и и 1-1 н О
ю со ео со О
OS О СО СО О
|>ЮЛ НО
6 J 6 о 6
со со ©а со ю
со о оэ ©а см
1-* со ео чр чН
о d о о о
СО Ю 4*4 ч* Л
— OS t— іО СО
-ч*і со со со ео
с' о о о о
+
СО О «Ф Ot- »Л
і-і "* СО С- іО **
со со см см см ©а
о о d о с о
+
+
оою^«
О W О» и 1^-
OS (3S СО т# ОЭ
t- ч# Г С- СО
О. со со со ін
ИОООО
ММ! II II I
О О 00С- О
ОСОБОЙ
О ©а со :о *J|
о о о о о'
+
чГ 0>і-с СМ СО
О со с- ¦¦ со
^ со со со со
о о -* о о
+
ю os -Ф as с- »о
i-t - 00 СО Л -Ф
со см см см ©а ©а
oddd ." d
+
+
О «-' са со ч**
d d о* d J
1Л CO С- СО OS
ododd
оса *f со со
О са -Ф со со
<м ©а ©4 woi
о ез тн со л "
со со со со во* ч?

о оі оэ оэ с* і
О ¦* с— os —*
ю ч* со со со
С СО ОЭСО СО
Ю СО 00 СО СО
со со со со гн
v-l тЧ <-* тН тН
О СО СО О i-t
о -^ оэ со -гн
со со <-<»-< w
4 * • # •
О О Оі ^ со
ift СЛ ОЭ СО іЛ
о о о о о
0"Ю 00 *«# w
О СОСДООі
QOO)OQ
О О О w О
О С- СО ОЭ -*
*СЭ СО OS ¦¦-» СО
і> oo oo a> en
doodd
О со c*> as w
OOflONO
CDC-l>00Q0
ddddd
О CO CO CO т*
iO C- CO CO I>
6 6 d do
О CO Tt* CO 00
со ч** ю со со
о о о о" о
iO OS т-н СО О
*-¦ со -* ю о
doodd
О 00 СО ^f* OS
О *Ф 00 О OS
О -- СО ч* т*
d dodo
о -гнеа со тн
doodd
со ел ооса со
СО iO OO СО СО
т-t О OS OS 00
СО О СО Ю СЛ
Оі CO(D О ¦*
О OQ OS СО
гЧ т-і О О О
со оэ <м с- іЛ
Ю СЭ ч* 00 СО
ООЭ ОЭ СО 00
ИОООО
СО іЛ СО С- О
т-ч со —* со са
О о* оа оооо
ИОООО
ч#СО t- Ю СО
«О СМ 00 "¦# О
оэ оэ оосо со
doodd
•н 00 Ю (М 00
оэ со оо оо с-
d odd d
ю со со -<# тл
»л тц са оэ со
00 00 00 С- С-
о* d о о о
СО іЛ чИ \Л т-і
оа os оо со ч*
с- с* с- с- t>
doodd
«¦ИМ WW
са ««# ч* со w
С- С- С- С- С~
о о о* о" о
Ю 00 OS OS СО
о со со со со
о о о о о
с» со со ю ю
СО —* ч* *0 Ю
іО СО СО СО СО
doodd
ю со о оо as
о о о о о
со со со са оо
О НОЭС-W
00 С- СО tCS іО
о о о о о
со с- са os со
ОЭ О СО СО -Н
С* Г- СО Ю іЛ
о d d d d
С-О00ЮЮ
оо о са со 1-н
Г- t~ СО Ю 1ГЭ
о d d о о
ісэ со со со са
t> as са со т-4
С-ОСО ЮЮ
о о о о о
нЮСООО
со со —< со у-*
с- со со ю ю
do о о о
г- со см со оо
ті*с--июО
С- СО СО іО «О
о о о о о
і-іЧО «О СО Ю
еосооюо
г*, со со ігэ ігэ
doodd
со ю оэ со см
і-ЮО^О
С- СО ЮЮ іП
о о о о о
ч# со см со оэ
OS чЛ OS чЛ CD
СО СО іО Ю ч}<
doodd
—ч о со со со
t* СО 00 СО ОЭ
со со о ю ¦<#
о d d о" о*
со л-ч* са со
*# •—' С*~ СО СО
СС СО Ю Ю ч*
о о о о о
о са ч* со со
СО Ю СО СО СО
с- со о о "ч*
ч* TF ч* СО СО
о о о* о о*
СМ ^ ^ СО 00
Е- СО О Г- ч*
ч* ч? "чИ СО СО
doodd
-* со О СО с-
C-COOt-'S'
ч* ч* ч* СО СО
о о о о о
СЗЭ СО О СО С-
СО СО С_? t- т*(
ч# -ч* ¦ч* со со
о о о о" о
оо ~* ед Т-* с-
СО СО OS С— -ч*
т*і *<Г СО СО СО
doodd
«оо со ^ со
со со езэ с» -чі*
Tt* -4f* СО СО СО
<5Ь dod
ч* 00 С- О СО
СО СО ОЭ С- ~гі*
¦ч* -чр СО СО СО
о о о о о
со с- со оэ ю
СО С1 ОЭ СО -ч**
тг ^* СО СО СО
о о о о* о
О <о ю оо m
СО СО О СО -чН
¦ч* TJ» СО СО СО
о о о о о"
00 ¦** ч#0О Tf
іЛ СО ОЭ СО ч*і
чл *& со со со
doodd
іО СО СО С- •*&
Ю CI OS СО -чН
ч*і ч* СО СО CCf
doodd
О со. -ч* со со
со coco со см
СО с- О тН О t-
С0 О Ой 1> со тИ
со со о* со со со
о о о о о о
СО С- OS ч# О С*
со о оо г**, со чл
СО СО СМ С0 СО СО
о о о d d о
СМ О СО С- СГ ч*
СО СО СО СО СО СО
ddoddd
іО<0 0^0»
СО О СО t> CO ч*
СО СО COCO COCO
dddedo
Ю СО OS СО О С-
СО О 00 Е- СО "Ч*
СО СО СО СО СО СО
о о dodd
ю со ел со о с-
СО О 00 Г- СО ч*
СО COCO СО 74 СМ
do о о" о о
Tf« »Л СО СО ОЭ 1>
са о оо с- ю ч*
СО СО СО СО СО СО
dodo о d
-d< ю со со ОйО
СМ О ОС t- Ю -ч(4
СО СО СО CM CJ СО
О О О* О* О О
¦^ ю оо со оэ с-
csiOccr-ю-*
оо со coco со см
о о о о о о
00 Ю СО СО СО С-
ет с оо с- ю -*
со со см со со со
о о odd о
СО ТН 00 СО С» СО
' СО О СО С- іП •<*
СО СО СМ СО СО СО
ddoddd
оса т(* со ооо
со со со со" со со

1.00
0.95
0.90
0.85
S
о
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
о
о
II
га
о
О
*
О IV СО СО ОЭ
О 00 О тч 00
р ^ ^ оо ю
со* см" см т* »-ч
О СО іП иг> О
Ю СО -Ч* С— СО
со со о о іс
WWW Hr-I
Ot-HMO
О оэ со со со
і> см ел с* л
CM СМ тЧ тЧ тЧ
О 00 СО СО 00
Ю СО тН 00 СО
Ю W CO CO ^J*
CM CQ т-Ч тЧ тН
о оэсс оэ о
OOJ-* сою
^ О 00 СО ТН
г*
О со с- оэ оэ
ЮОС-СОМ
см оэ с- іо -4jj
СМ тЧ і-Ч тЧ тЧ
О іН СО С- N
О os О со os
тЧ СО С- Ю СО
СМ тЧ ТЧ тЧ чН
О •* t-CM СМ
Ю О СЗ 00 Л
оэ с- «о -ч** со
О ION "«# О
О е- ч# СМ -ч
со со ю -^ со
y4 т4 тЧ іН тЧ
О со ю со ю
ю со со со со
г-1 тЧ тЧ ч-Н ^Н
О ОЭ СО СО tV
О ** С- OS -Ч
ід «# со са w
Ит4г<ИН
d dodo
IV О СО СО ОЭ
О coco со-ч*
т* СМ т-Н О СЭ
инннО
СО ч* (М СМ -Ч»
WWrtOQ
тЧНмм О
СО OS Ю OS СО
ONiHHCO
СО СМ іч О OS
іЧЧИнб
СО СО СО OS OS
-еН —t О О CM
ММИО01
ічиинС
0>»Л005И
тч СО OS OS CQ
СО тЧ О OS OS
нниОО
СО «О СО OS СО
OS IV С- СО --Ч
СМ 1—1 О OS OS
иинОО
СО СО тЧ С- Ю
СО Ю СО С- О
N И О О) 05
¦ч ииосі
о ^ ^ ю ю
СО СО ^ СО ОЭ
ем *-* о оэ оо
Ю тЧ Г» СМ іЛ
Он <М ЮСО
СМ гЧ О ОЭ СО
ИНИОО
см <ооооо -*
с-сооссс-
тЧ О О OS СО
ии'нОО
СО СО СО СМ N
СО Ю 00 (М СО
і-ч р р OS GO
И ri 6 6 О
Ю СО IV 00 р
o'doo'd
ю ю со оэ о
t- ю со оо со
00 С- С© »П Ю
о d о о о
О <М -ч СО С»
плюсом
СО О СО іЛ Ю
о d d d d
л оэ о> е~ со
со -^ ю со сч
со с- со ю ю
о d d о о
ОЭ Ю СО іО С>-
іЛ "Ч* Ю СО СМ
00 tv СО Ю Ю
о о о о о
Ч» СЧ «Ф т* СО
Ю тИ ift 00 СМ
СО EV <С іО Ю
о d d d d
1> СО СМ СО Ю
•<f со m со ем
00 tV СО Л ift
do d do
О4* ОЭ О-***
^ СО Ч< СО СМ
СО IV СОЛ Ю
о о о о о
со оэ со со со
СО W* IV СМ
СО IV СО »Л Ю
do о о о
ift ч* СО СО і-1
см см •* t~ см
со с- со о ю
о о о о о
<и »-j со t- ем
оо с- со »о »л
о о о о о
со coco см со
О іН СО IV —Ч
00 IV СО Ю Ю
odddd
О СМ *Ф СО СО
И И іЧНИ
*ч "-• СО СО v4
X т1* О С- О
^ "ч;^ coco
odddd
чч О СО СО О
00 т* О lv ю
ч* ¦«* -ч* со со
odddd
О С Ю СО О
00 -Ч* О Р- Ю
"Ч1 *Ч* "Ч1 СО СО
о do do
0» OS Ю СО О
IV СО О IV Ю
-Ф -Ч- rj* Л СО
d d о о* о
со о> л л о
с- со о»л
•Ф -# -ч; со со
d о о о d
00 00** Ю О
C-MOt-Ю
-ф -Ч< ^ еО СО
do'odd
C-D-Ч" 1ЛО
t- со О с- -ч»
•& *Ф -ч* со со
odddd
СО Г- СО т* ОЭ
CV СО О С- •*
¦* ^і TJ" СО СО
dd do d
з?і со СО-* ОЭ
IV СО О IV "С*
¦Ч^ ^t •* СО СО
ЬЬЬ<э<5
^і lft СМ СО СО
с- со О t- -ч<
rf «Ф Ч* СО СО
odddd
со л см со со
IV СО О IV-Ф
-ф Tf -^ СО СО
ddo'dd
О N ¦* рОО
см см см см см
00 СО —¦* Ю ?М СО
см о со с- ее -^
со со см см см ем
dddd d о
СО СО —" Ю чч СО
см о оэ cv со ^ф
со со см см см см
odd do d
00 СО О ift *ч CO
смо оэ iv со -*
СО гс СМ СМ СМ СМ
odd odd
со со о ю «-4 во
СМ О С» С- СО ч*
со со см см см см
О О* G<Z><$6
t-СООЮНСО
см о оэ с- со *«з*
со со см см см м
о dddd о
^
IV СО О Л С СО
WOCftt-Ci»'
00 СО СМ СМ СМ СМ
о о о о о о
С- IV ОтНОСО
ем О оэ с- со ч»
coco ем см см см
о о о" d о о
t- tv О ^ О СО
см о ев с- со •*«
со со см см см см
о doodd
СМ О СО Г- CCS •*
со о: см см см см
d о d d d d
«c-O^Ot-
<М О СО tv СО -*
СО Г СМ СМ СМ СМ
о о о d d о"
СО t» О ч* О cv
см о о> с>» чо ^**
со со ем см см см
о о dddd
О см -^ р со О
со со со со со ¦«*

IX.— Коэффициенты в формулах Джиббса
(см. стр. 186)
0.20
.21
.22
.23
.24
0.25
.26
.27
.28
.29
0.30
.31
.32
.33
.34
0-35
.36
.37
.38
.39
0.40
.41
.42
.43
.44
0.45
'.46
.47
.48
.49
0.50
Ла
р
+ 0.09667
.09716
.09763
.09809
.09853
+ 0.09896
.09937
.09976
.10013
.10049
+ 0.10083
.10116
.10147
.10176
.10203
+ 0.10229
.10253
.10276
.10297
.10316
+ 0.10333
.10349
.10363
.10376
.10387
+ 0.10396
.10403
.10409
.10413
.10416
+ 0.10417
49
47
46
44
43
41
39
37
36
34
33
31
29
27
26
24
23
21
19
17
16
14
13
11
9
7
6
4
3
1
Р
Рі
+ 0.06333
.06216
.06097
.05976
.05853
+ 0.05729
.05603
.05476
.05347
.05216
+ 0.05083
.04949
.04813
.04676
.04537
+ 0.04396
.04253
.04109
.03963
.03816
+ 0.03667
.03516
.03363
.03209
.03053
+ 0.02896
.02737
.02576
.02413
.02249
+ 0.02083
— 117
119
121
123
— 124
126
127
129
131
— 133
134
136
137
139
— 141
143
144
146
147
— 149
151
153
154
156
— 157
159
161
163
164
— 166
Рі
Ра
— 0.03667
.03451
.03237
.03024
.02813
— 0.02604
.02397
.02191
.01987
.01734
— 0.01583
.01384
.01187
.00991
.00797
— 0.00804
.00413
-00224
— 0.00037
+ 0.00149
+ 0 00333
.00516
.00697
.00876
.01053
+ 0.01229
.01403
.01576
.01747
.01916
+ 0.02083
216
214
213
211
209
207
206
204
203
201
199
197
196
194
193
191
189
187
186
184
183
181
179
177
176
174
173
171
169
167
Р*
п*°
0.80
.79
.78
.77
.76
0.75
.74
.73
.72
.71
0.70
.69
.68
.67
.66
0.65
.64
.63
.62
.61
0.60
,59
.58
.57
.56
0.55
.54
.53
.52
.51
0.50
пх
314

X.-
Таблица, облегчающая решение уравнения Эйлера
(см. стр. 122)
ige<
0.00
.01
.02
.03
.04
0.05
.06
.07
.08
.09
0.10
.11
.12
.13
.14
0.15
.16
.17
.18
.19
0.20
.21
.22
.23
.24
0.25
.26
.27
.28
.29
0.30
.31
.32
.33
.34
0.35
,36
.37
.38
.39
0.40
.41
.42
.43
.44
0.45
1.000 000
.000 835
.001 675
.002 519
.003 367
1.004 220
.005 077
.005 938
.006 804
.007 675
1.008 550
.009 430
.010 315
.011204
,012099
1.012 998
.013 903
.014 812
.015 727
.016 647
1.017 572
.018 503
.019 439
.020 380
.021 327
1.022 280
.023 239
.024 204
.025 174
.026 150
1.027 133
.028 122
.029117
.030 119
.031127
1.032 142
.033 163
.034 192
.035 227
.036 270
1.037 319
.038 376
.039 441
.040 513
.041 593
1.042 681
835
840
844
848
853
857
861
866
871
875
880
885
889
895
899
905
909
915
920
925
931
936
941
947
953
959
965
970
976
983
989
995
1002
1008
1015
1021
1029
1035
1043
1049
1057
1065
1072
1080
1088
0.000000
.000363
.000 727
.001093
.001460
0.001 829
.002199
.002 571
.002 945
.003 320
0.003 698
.004 076
.004 457
.004 839
.005 223
0.005 609
.005 996
.006 386
.006 777
.007 170
0.007 565
.007 962
.008 361
.008 762
.009 165
0.009 570
.009 977
.010 386
.010 798
.011211
0.011627
.012 045
.012465
.012 887
.013 312
0.013 739
.014 169
.014 601
.015036
.015 473
0.015 912
.016 355
.016800
.017 248
.017 698
0.018 151
363
364
366
367
369
370
372
374
375
378
378
381
382
384
386
387
360
391
393
395
397
399
401
403
405
407
409
412
413
416
418
420
422
425
427
430
432
435
437
439
443
445
448
450
453

ЛИТЕРАТУРА
Литература по определению орбит планет и комет весьма обширна. Работы, появившиеся
до 1900 года, довольно полно указаны в статье.
R. Radau, Bibliographie relative au calcul.des orbites, Bulletin astr., t. XVI (1899)
427—445.
Литература с 1900 по 1928 год (264 названия) приведена—также в хронологическом
порядке—в указываемой ниже книге Stracke. Систематизерованные литературные указания можно
жайти в статье
G. Herglotz, Bahnbestimmung der Planeten und Kometen, Encyklopadie der Mathem.
Wissenschaften, Bd. V, (1906), 379-426.
Наиболее обширными сочинениями по определению орбит являются:
J. С. Watson, Theoretical astronomy, Philadelphia 1868; 2 ed. 1877; 3 ed. 1881.
Th. von Oppolzer, Lehrbuch zur Bahnbestimmung der Planeten und Kometen, Bd. I,
Leipzig 1870; 2. Aufl. Leipzig 1882 (имеется французский перевод Pasquier, Paris 1886), Bd. II,
Leipzig 1880.
J. Bauschinger, Die Bahnbestimmung der Himmelsk6rper, Leipzig 1906, 2 Aufl.
Leipzig 1928.
W. Klinkerfues, Theoretische Astronomie, Braunschweig 1871, 2. Aufl bearb. von?
H. Buchholz, 1899. 3. Aufl. 1912.
Из учебников, не претендующих на исчерпывающую полноту, укажем следующие:
А. Савич, Теоретическая астрономия, СПБ. 1884.
М. Хандриков, Очерк теоретической астрономии, Киев 1883-
М. Хандриков, Теория движения планет и комет около Солнца по коническим сечениям,.
Киев 1890.
А. Я. Орлов, Теоретическая астрономия, Одесса 1921.
А. А. Иванов, Основной курс теоретической астрономии, Берлин 1923.
F. Fisserand, Lecons sur la determination des orbites, red. par J. Perchot, avec une
preface de H. Poincare, Paris 1899.
Современную форму методов для определения орбит можно найти в книге
О. Stracke, Bahnbestimmung der Planeten und Kometen, Berlin 192J.
В деле выработки и распространения современной формы способа Гаусса большую роль
сыграла статья G. Mertona'a: A modification of Gauss's method for the determination of orbits,
Monthly Notices, Vol. 85 (1925), 693-731. Эта статья полностью воспроизведена в книге
(содержащей также подробное изложение метода Leuschner'a):
R. Т. Crawford, Determination of orbits of comets and asteroids, New-York 1930.
Сущность проблемы определения орбит как с теоретической стороны, так и со стороны чи-
ето практической с большою ясностью обрисована в статье.
F Co hn, Neue Methoden der Bahnbestimmung, Vierteljahresschrift der Astr. Gesellschaft,
33. Jahrgang (1919), 27-146.
Эта статья представляет исключительный интерес для каждого интересующегося методами
определения орбит. В ней не только разбирается ряд новых методов (метод Лагранжа в
обработке Charlier и Andoyer, метод Лапласа в обработке Harzer'a, Poincare и Leuschner'a и
некоторые другие) и выясняется их практическая значимость, но и резюмируется богатый опыт
вычисления орбит, накопленный в Astronomisches Rechen-Institut.
Много интересного материала можно найти в обширной монографии.
О. Callandreau, Арегсді des methodes pour la determination des orbites des cometes et des
planetes, Paris 1902.
Особо отметим работу:
A. H. Крылов, Беседы о способах определения орбит планет и комет по малому числу *
наблюдений, СПБ 1911, дающую геометрическое освещение методов Гаусса и Ольберса и
выясняющую связь, существующую между этими методами и графическим способом определения орбит,
данным Ньютоном.
В заключение укажем курсы Небесной механики, в которых подробно рассматриваются
вопросы определения орбит:
Н. Andoyer, Cours de mecanique celeste, Tome I, II, Paris 1923, 1926.
H. C. Plummer, An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Cambridge, 1918.
Почти все перечисленные трактаты по определению орбит содержат более или менее
полные собрания вспомогательных таблиц. Укажем еще следующие специальные сборники таких
таблиц:
J. Bauschinger, Tafeln zur theoretischen Astronomie, Leipzig 1901.
G. Wirtz, Tafeln und Formeln aus Astronomie und G„od5sie, Berlin 1918.
M. Ф. Субботин, Формулы и таблицы для вычисления орбит и эфемерид. Ташкент 1929.
(Издание Ташкентской астрономической обсерватории.)
316

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие g
Часть первая
Гелиоцентрическое и геоцентрическое движение.
Глава I. Основные проблемы Небесной механики 5
§ 1. Эмпирическая кинематика солнечной системы 5
§ 2. Динамические следствия законов Кеплера 8
§ 3. Закон всемирного тяготения ц
§ 4. Небесная механика 13
§ 5. Закон Ньютона и теория относительности 16
§ 6. Основные проблемы Небесной механики 17
§ 7. Притяжение двух тел, размеры которых очень малы по сравнению
с разделяющим их расстоянием 19
§ 8. Притяжение тел сферической структуры 23
Дополнение к главе I: Движение двойных звезд. . . . • 25
Упражнения 28
Глава II. Задача двух тел 28
§ 9. Уравнения относительного движения 29
§ 10. Интегралы площадей 30
§11. Выбор постоянных интегрирования в интегралах площадей . . « 32
§ 12. Определение траектории 33
§ 13. Движение по эллипсу. ; * 38
§ 14. Движение по параболе 42
§ 15. Движение по гиперболе і 43
§ 16. Законы Кеплера • 45
§ 17. Выбор единиц. Гауссова постоянная 46
§ 18. Движение двух тел относительно центра тяжести 47
Упражнения 49
Глава III. Вычисление эфемерид планет и комет ч. . 50
§ 19. Вычисление координат в плоскости орбиты для эллиптического
движения *• • 51
§ 20. Пример вычисления эллиптических «соординат 55
§ 21. Вычисление координат в плоскости орбиты для
параболического движения ьб
§ 22. Движение по орбите, эксцентриситет которой близок к
единице • • б8
§ 23. Вычисление экваториальных гелиоцентрических координат. Пер-
вый способ • - • в°
§ 24. Вычисление экваториальных гелиоцентрических координат.
Второй способ ™
§ 25. Вычисление эфемериды *?*
§ 26. Сравнение эфемериды с наблюдениями • w
§ 27. Предвычисление оппрзиции малой планеты п

Стр.
§ 28. Вычисление эфемериды при помощи численного интегрирования
уравнений движения 73
§ 29. Влияние прецессии на элементы орбиты 77
Дополнения к главе III.
Отрывки из Theoria motus Гаусса, трактующие о точности
вычисления эллиптических координат. . 81
О вычислении параболических координат в случае, когда
истинная аномалия близка к 180° $4
Упражнения 86
Часть вторая
Определение первоначальной орбиты
Глава IV. Вычисление элементов орбиты по
гелиоцентрическим координатам светила 87
§ 30. Определение элементов орбиты по положению и скорости
светила 88
§ 31. Определение эіементов орбиты по двум гелиоцентрическим
положениям светила 92
§ 32. Продолжение: Вычисление постоянных Гаусса 94
§ 33. Продолжение: Вычисление векторных элементов 95
§ 34. Продолжение: Определение параметра орбиты по способу
Гаусса 97
§ 35. Вычисление отношения площадей сектора и треугольника.
Способ Ганзена и способ Титьена ЮЗ
§ 36. Способ Энке для вычисления отношения площадей сектора и
треугольника 109
§ 37. Вычисление отношения площадей сектора и треугольника для
гиперболических и параболических орбит 112
§ 38. Вычисление площади фокального сектора конического
сечения 114
§ 39. Продолжение: площадь параболического сектора 119
§ 40. Теорема Эйлера-Ламберта 121
§ 41. Преобразование формулы Эйлера 122
Дополнения к главе IV.
Решение уравнения Эйлера относительно хорды 123
Применение уравнения Эйлера-Ламберта к вычислению
элементов орбиты 126
Упражнения 131
Глава V. Подготовка наблюдений для вычисления орбиты ' 133
§ 42. Форма, в которой публикуются наблюдения 134
§ 43. Редукция наблюдений за параллакс (экваториальные
координаты) ..... 136
§ 44. Редукция наблюдений за параллакс (эклиптические
координаты) : 138
§ 45. Редукция наблюдений за прецессию, нут.щию и аберрацию ... 142
§ 46. Переход от экваториальных координат и. эклиптическим 143
Глава VI. Вычисление круговой орбиты 144
§ 47. Вычисление круговой орбиты.в экваториальных координатах . . 145
§ 48. Сопоставление формул и пример 148
§ 49. Вычи ление круговой орбиты в эклиптических координатах
(способ Гаусса) 153
§ 50. Сопосіавление формул и пример 156
Дополнение к главе VT. О невозможности круговой орбиты. . 162
Упражнения 163
318

Стр.
Глава VII. Вычисление орбиты по трем наблюдениям Метод
Гаусса в экваториальных координатах.'. . . . . 153
§ 51. Основные уравнения * lfl),
§ 52. Вычисление отношений пх и п2 ...!!. 1в7
§ 53. Формулы Оппольцера, дающие пг и п, с*точностью до членов
3-го порядка 1?0
§ 54. Формулы Джиббса, дающие пг и па с точностью до членов 4-го"
порядка в 171
§ 55. Определение геоцентрических расстояний \ * [ у^
§ 56. Точность определения р !!!!!! 173
§ 57. Определение точных значений геоцентрических расстояний ". '. ". 175
§ 8. Реше ие уравнений Лагранжа \ щ
§ 59. Уравнение Гаусса !!*.!! 180
§ 60. Сопоставление формул для вычисления орбиты по методу Гаусса*
(экваториальные координаты) 183
§ 61. Первый пример. (Вычисление с арифмометром) 191
§ 62. Второй пример. (Вычисление с логарифмами) . . ід$
Упражнения 201
Глава VIH. Метод Гаусса в эклиптической системе координат 203
§ 63. Основные уравнения 208
§ 64. Первое приближение ' 207
§ 65. Дальнейшие приближения 209
§ 66. Вычисление элементов 210
§ 67. Сопоставление формул для вычисления орбиты по методу Гаусса
(эклиптические координаты) 210
§ 68. Пример . . . 216
Упражнения к главе VIII 223
Глава IX. Особые случаи при вычислении орбиты по трем
наблюдениям. Определение орбиты по четырем
наблюдениям 224
§ 69. Случай, когда наблюденные положения светила находятся на
большом круге 225
§ 70. .Определение орбиты по четырем наблюдениям: вычисление
геоцентрических расстояний 227
§ 71. Сопоставление формул для вычисления орбиты по четырем
наблюдениям ^29
§ 72. Пример 232
Глава X. Определение параболической орбиты 235
§ 73. Вычисление геоцентрических расстояний 235
§ 74. Вычисление элементов 239
§ 75. Сопоставление формул . . . . і . • *3j>
§ 76. Пример • • • 245
Дополнения к главе X:
Уравнение Ольберса ^
О решении основной системы уравнений при определении пара-
болической орбиты г51_
253
Упражнения к главе X -
Глава XI. Б|§3стейшие методы улучшения предварительной ^
'орбиты ¦ • 2
§ 77. Проверка наблюдений. Составление нормальных мест «»
§ 78. Метод вариации геоцентрических расстоянии ^
§ 79. Улучшение орбиты малых планет 2б1
§ 80. Улучшение кометных орбит 2М
§ 81. Приведение формул к логарифмическому виду

Приложения.
. . Стр.
О численні)М интегрировании дифференциальных
уравнений 267
1. Выражение производных через разности 267
2. Интегрирование уравнений первого порядка 270
3. Метод квадратур для уравнений первого порядка 271
4. Интегрирование уравнений второго порядка 274
5. Вычисление интеграла, определенного начальной точкой и
начальной скоростью 281
6. О коэффициентах формул численного интегрирования 284
7. Исторические замечания 286
Таблицы.
I. Перевод времени в десятичные доли суток 287
II. Вычисление поправки за параллакс 288
III. Средняя наклонность эклиптики к экватору 289
IV. Разность между эксцентрической и средней аномалиями 290
Va. Таблица параболического движения 296
Vb. Истинная аномалия в параболическом движении 299
VI. Таблица функций igU(z) nlgV(z) 301
VII. Таблица значений 107ze>2fcV~3 для w = 8d - 302
VIII. Пр іближенное решение уравнений Лагранжа 310
IX. Коэффициенты формул Джиббса 314
X. Таблица, облегчающая решение уравнения Эйлера 315
Литература 31&
Сдано в набдр 1 ноября 1932 г. Ответственный редактор Ш^Ы. оінач
Поступало ж печати 11 карта 1933 г. Технический редактор В.Вр^ж я н т н.
Формат бумаги 62 X •*•
Количество печатщых .истов 20.
Количество лечатаых «каков в листе 50752.
ГТТИ J6 511.
Леігорлит № 6149. Зала* J4 1559. Т>Р** 5000 экз.