Учебное издание
Николай Сергеевич Маркин
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Редактор Н. А. Еськова
Оформление художника Н. М. Биксентеева
Технические редакторы Н. С. Гришанова, В. Н. Прусакова
Корректор В. С. Черная
ИБ № 706
Сдано в набор 21.05.91 Подп. в пе». 03.09.91 Формат 60X90'/i6. Бумага офсетная № 2.
Гарнит-.-ра литературная. Печать высокая 11,0 усл. печ л. М,13 усл. кр.-отт. 10,97 уч.-изд. л.
Тираж 70Ш Цена 2 р.. Ф к. Изд. №. 564/8
Ордена «Знак Почета» Издательство стандартов,, 123557, Москва, ГСП,
Новопресиеискнй пер., 3
Калужская типография стандартов, ул. Московская, 256. Зак. 1094

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 3
Глава 1. Элементы теории вероятностей в применении к обработке
результатов измерений 5
§ 1. Предмет теории вероятностей 5
§ 2. Событие. Виды событий. Виды случайных событий. Полная
группа событий. 6
§ 3. Относительная частота. Вероятность события. ... 8
§ 4. Теорема сложения вероятностей 10
§ 5. Независимые и зависимые события. Условная вероятность . 12
§ 6. Теорема умножения вероятностей 12
§ 7. Повторение испытаний (биномиальное распределение). . .13
§ 8. Вероятнейшее число повторений при определенном числе
испытаний. . . 15
§ 9. Закон распределения вероятностей при многократных испыта-
испытаниях. Предельный закон Муавра-Лапласа. . . . .17
§ 10. Случайные величины 23
§ 11. Параметры распределения случайной величины. . . .25
§ 12. Применение элементов теории вероятностей к результатам
измерений. 29
§ 13. Понятие о распределениях, отличных от нормального . . 33
Глава 2. Элементы математической статистики в применении к об-
обработке результатов измерений 35
§ 14. Задачи математической статистики 35
§ 15. Статистическая совокупность. Генеральная совокупность и
выборка 37
§ 16. Статистический ряд. Статистическая функция распределения
и способ ее представления 39
§ 17. Дополнительные характеристики случайной величины. . . 47
Глава 3. Общие сведения об измерениях 50
§ 18. Основные понятия . 50
§ 19. Предварительные сведения об измерениях и о погрешностях
измерений 51
§ 20. Классификация погрешностей измерений 54
§ 21. Нормирование погрешностей средств измерений . . .57
Глава 4. Систематические погрешности 60
§ 22. Обнаружение и устранение систематических погрешностей . 60
§ 23. Влияние систематических погрешностей на точность резуль-
результатов измерений 62
§ 24. Исключение переменной систематической погрешности . . 65
Г л а г а 5. Случайные погрешности измерений 67
§ 26. Общая характеристика случайных погрешностей измерений . 67
§ 26. Свойства случайных погрешностей измерений . . . .67
§ 27. Принцип арифметической середины (среднего арифметического) 70
§ 28. Определение средней квадратической погрешности . . .74
§ 29. Распределение случайных погрешностей измерений . . .76
§ 30. Методы проверки нормальности распределения случайных
погрешностей .... 81
§ 31. Обнаружение грубых погрешностей 87
§ 32. Доверительные интервалы 89
§ 33. Необходимое количество измерений 93
Глава 6. Обработка и оценка точности результатов измерений . . 94
§ 34. Задачи обработки результатов многократно измеренной ве-
величины 94
§ 35. Обработка результатов прямых равноточных измерений, со-
содержащих случайные погрешности 95
§ 36. Оценка точности прямых равноточных измерений . . . 9S
§ 37. Порядок обработки примых равноточных измерений . .100
Глава 7. Обработка и оценка точности результатов неравноточных
измерений Ю<>
§ 38. Неравноточные измерения 105
§ 39. Общие сведения о понятии «вес» 106
§ 40. Вероитиейшее значение многократно и неравноточно измерен-
измеренной величины . 137
§ 41. Оценка точности неравиоточных результатов измерений по
известным дисперсиям Ш
§ 42. Оценка точности иеравноточных измерений по средним ариф-
арифметическим значениям групп измерений П4
§ 43. Порядок обработки неравноточных измерений . . . 11J
§ 44. Оценка точности иеравноточных измерений . . . .120
Глава 8. Обработка и оценка точности результатов двойных и кос-
косвенных измерений '22
§ 45. Оценка точности двойных равноточных измерений . . .122
§ 46. Оценка точности по разностям двойных неравноточных изме-
измерений 125
§ 47. Обработка н оценка результатов косвенных измерений . . 127
Глава 9. Метод наименьших квадратов 130
§ 48. Сущность совместной обработки результатов нескольких из-
измеренных величии 130
§ 49. Вероятностный смысл принципа наименьших квадратов . 133
§ 50. Сущность уравнительных вычислений 134
§ 5*1. Составление нормальных уравнений 145
§ 52. Решение нормальных уравнений 149
Глава 10. Правила приближенных вычислении 155
§ 53. Приближенные числа, их округление и правильное написание 155
§ 54. Погрешности округления . . . . . • • • Ч?^
§55. Вычисления с приближенными числами ISO
Приложение 1 l°J>
Приложение 2 I™1
Приложение 3 -°J
Приложение 4 '°-
Приложение 5 1'"
Список литературы . 171

УДК 681.3.02:63.08
Маркин Н. С. Основы теории обработки результа-
результатов измерений: Учебное пособие для средних специаль-
специальных учебных заведений. — М.: Издательство стандар-
стандартов, 1991,-1176 с, ил.
В учебном пособии рассматриваются сущность и
методы математического обеспечения обработки ре-
результатов измерений, базирующихся иа применении тео-
теории вероятностей, элементов математической статисти-
статистики применительно к метрологии. Дается анализ погреш-
погрешностей, возникающих при проведении измерений, и
способы их учета. Основные теоретические положения
иллюстрируются примерами. Приведены справочные
таблицы распределения случайных величин.
Учебное пособие предназначено для учащихся сред-
средних специальных учебных заведений, а также может
быть полезно специалистам различных отраслей на-
народного хозяйства, занимающихся измерениями.
Табл. Ил. 22. Библногр.: 18 назв.
Рецензенты: канд. техн. наук Сафаров Г. П.,
Ладыгина И. В.
М-
2004010000—055
О85@2)-91
¦-44-91
ISBN 5-7050-0222-Х
Маркин Н. С.
ВВЕДЕНИЕ
Измерения играют весьма важную роль во всех областях тех-
техники, доставляя исходную информацию для точных наук.
Измерение любой величины рассматривают с двух точек зре-
зрения _ количественной, выражающей числовое значение измерен-
измеренной величины, и качественной, характеризующей точность измере-
измерения.
С развитием науки и техники, в том числе и метрологии, повы-
повышается точность измерений и совершенствуются методы их мате-
математической обработки.
К измерениям, прежде всего, предъявляются такие требования,
которые не содержат промахов и просчетов или, как говорят, не
имеют грубых ошибок. С целью их исключения производят много-
многократные измерения. Из опыта известно, что даже при самой тща-
тщательной и аккуратной работе многократные (повторные) измере-
измерения любой постоянной величины всегда дают несколько различ-
различные результаты. То обстоятельство, что н при отсутствии грубых
просчетов результаты повторных измерений всегда в известных
пределах различаются между собой, объясняется тем, что любые
измерения сопровождаются неизбежными малыми погрешностями,
т.е. отклонениями результатов измерений от точных значений изме-
измеренных величин. Источниками погрешностей являются неточности
измерительных операций наблюдателя, неточности изготовления и
юстировки приборов, недостатки учета влияния непрестанно изме-
изменяющихся условий измерений и др.
«Поэтому их (т. е. неизбежные погрешности — прим. авт.)
приходится терпеть в наблюдениях, но следует по возможности ос-
ослабить их влияние на полученные результаты путем искусного ком-
комбинирования ...» (К. Гаусс «Избранные сочинения», т. 1, 1957 г.,
с. 18).
В вопросе о точности измерений и их математической обра-
обработке следует обратить внимание на одно важное обстоятельство.
Не вдаваясь в способы числовой оценки качества результата из-
измерений, можно утверждать, что результаты, содержащие мень-
меньшие погрешности, больше импонируют потребителю этих резуль-
результатов. Иногда на этом основании предъявляют явно завышенные
требования к точности измерений, не соответствующие действи-
действительной необходимости и реальным возможностям.
Однако излишняя точность измерений столь же нежелательна,
как и недостаточная точность, ибо это ведет к увеличению объема,
сроков работ и к их удорожанию. Поэтому возникает необходи-
необходимость определения целесообразной, т. е. нужной и достаточной то-
точности измерений и обработки их результатов.
¦Изучение качественной стороны измерительного дела, законов
возникновения и действия неизбежных малых погрешностей, раз-
разработка правил оценки и расчетов необходимой точности измере-

ний, а также методов и способов вычислений, позволяющих полу-
получать при экономных затратах вычислительного труда наилучшие
окончательные результаты — предмет теории математической об-
обработки результатов измерений.
Основу метода математической обработки дал К. Ф. Гаусс
A777—1855). В XVIII в. выдающиеся астрономы и математики
того времени — Л. Эйлер A707—1783), И. Ламберт A728—1777),
П. Лаплас A749—1827) и другие предложили различные способы
по обработке результатов.
В 1810 г. французский математик и астроном Лаплас, исполь-
используя результаты Муавра A667—1754), вывел формулу, позволяю-
позволяющую определять вероятности числа появлений случайных событий
при многократных испытаниях. Эта формула значительно расши-
расширила возможности применения теории вероятностей в практике, и,
в частности, при обработке результатов наблюдений.
Значительное развитие теория вероятностей получила в рабо-
работах русских математиков: П. Д. Чебышева A821—1894),
А. А. Маркова A856—1922) и Л. М. Ляпунова A857—1918). Их
работы продолжили и развили советские ученые: С. Н. Бернштейн,
А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, Н. В. Смирнов, В. И. Романов-
Романовский, Б. В. Гнеденко и друпие, создавшие современную школу те-
теории вероятностей и математической статистики.
Предлагаемое пособие не претендует на исчерпывающее и
строгое изложение всех затронутых в нем вопросов. Более того,
изложение сведений из теории вероятностей и математической
статистики ограничено лишь элементарными сведениями, которые,
однако, в приложении к метрологии позволяют построить достато-
достаточно обоснованную теорию математической обработки результатов
измерений, обеспечивающую заданную точность вычислений. По
вполне очевидным соображениям не имеется возможности остано-
остановиться на анализе различных трактовок основных понятий и оп-
определений теории вероятностей и математической статистики, по-
поэтому проводятся лишь те, которые прн элементарном изложении,
с одной стороны, наиболее доходчивы и понятны и позволяют ре-
решать поставленную задачу, с другой. Все основные теоретические
положения проиллюстрированы соответствующими примерами.
ГЛАВА 1
ЧПРМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ПРИМЕНЕНИИ
К ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИИ
§ 1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Понятие вероятности вводится при изучении таких явлений,
для которых невозможно точно предсказать результаты будущих
наблюдений, если даже и известны условия, в которых явление бу-
будет происходить. При всякого рода измерениях вследствие несо-
несовершенства средств измерений и разных случайных причин появ-
появляются случайные погрешности измерений. Приступая к измере-
измерениям, мы не можем заранее точно знать значения погрешностей и
границ, в которых они будут заключаться. Например, владелец
лотерейного билета не может до розыгрыша предсказать размер
выигрыша. Такого рода явления называют случайными.
Обсуждая ожидаемые результаты предстоящего наблюдения
случайного явления, зачастую можно указать не один определен-
определенный результат, а несколько, при этом априорные суждения в неко-
некоторой степени зависят от тех условий, в которых явление будет
происходить.
Примеры.
Если известно, что модуль случайной погрешности при измерении угломер-
угломерным инструментом ие превышает 101, то на вопрос о значении погрешности
при предстоящем измерении можно дать ответ, например, в такой форме: воз-
возможны погрешности с модулями от 0' до 2' или от 2' до 4', или от 4' до 6Г
и т. д.
Если свободно подбрасывается монета, то выпадает цифра или герб.
Если свободно бросается игральная кость, то возможны следующие резуль-
результаты: 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков.
Теория вероятностей — математическая дисциплина, изучаю-
изучающая количественные закономерности массовых случайных явле-
явлений, т. е. таких явлений, которые при многократном воспроизведе-
воспроизведении одного и того же опыта происходят каждый раз различно.
В работе Ф. Энгельса «Людвиг Фейербах и конец классичес-
классической немецкой философии» отмечено, «... где на поверхности
происходит игра случайности, там сама эта случайность всегда
оказывается подчиненной внутренним, скрытым законам. Все де-
дело лишь в том, чтобы открыть эти законы».
Установление этих законов, скрытых при рассмотрении отдель-
отдельных случайных событий в их массовом проявлении — основная
задача теории вероятностей.
Для изучения всего разнообразия явлений проводятся наблю-
наблюдения, опыты, измерения. Наблюдения и измерения — это основа
научных исследований, в ходе их выявляются признаки наблюда-
наблюдаемого и измеряемого объекта как качественные, так и количествен-
количественные.

В метрологии уделяется достаточно большое внимание как
пер вы м» так н вторым.
Количественные признаки выявляются двумя способами: точ-
точным дискретным (прерывным счетом) и измерениями, дающими,
как правило, приближенные результаты.
В общем, теория вероятностей изучает не только случайные со-
события, но и случайные величины.
Случайной называют величину, которая в результате опыта
принимает значение, заранее неизвестное и зависящее от случай-
случайных причин, заранее не могущими быть учтенными.
Измерением физической величины называют совокупность опе-
операций по применению технического средства, хранящего единицу
физической величины, заключающихся в сравнении измеряемой
величины с ее единицей с целью получения значения этой величи-
величины в форме, наиболее удобной для использования.
В метрологии в ходе проведения измерений основное внимание
уделяется закономерностям случайных явлений, обладающих от-
относительной устойчивостью некоторых свойств в их массовом про-
проявлении. Такие случайные явления в массовом их проявлении в
обыденной жизни встречаются довольно часто. Например, процент
рождения мальчиков по отношению к общему числу рождения де-
детей сохраняется довольно устойчиво E1,5%). Устойчивы также
средние значения таких случайных явлений, как рост людей, ме-
месячная температура в определенных географических районах и
т. п.
§ 2. СОБЫТИЕ. ВИДЫ СОБЫТИЯ. ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ.
ПОЛНАЯ ГРУППА СОБЫТИЙ
Явления, рассматриваемые в теории вероятностей,- называются
событиями. Проведение отдельного наблюдения, опыта или изме-
измерения называют испытанием. Его результат также является собы-
событием.
Событие принято называть заглавными буквами латинского
алфавита: А, В, С, ...
Примеры.
Появление при измерении положительной случайной погрешности. Появле-
Появление герба, появление цифры при бросании монеты.
Событие называют случайным (возможным), если в резуль-
результате Данного испытания оно может произойти, а может и не про-
произойти.
Примеры.
Значение и знак случайной погрешности результата измерения какой-либо
величины. Выигрыш в спортлото. Попадание в цель при выстреле.
При большом числе испытаний, производимых в одинаковых
условиях, обнаруживаются вполне устойчивые закономерности, что
является основой при применении методов теории вероятностей и
математической статистики к обработке массовых наблюдений.
События могут бы достоверными, невозможными и случайными.
л
Достоверное — это событие, которое обязательно произойдет*
при соблюдении определенного комплекса условий.
Пример В ящике имеются только белые шары. Событие А — появление
белогойара при взятии одного шара — событие достоверное. Достоверное со*
бытие обозвачнм буквой U. Следовательно, A-U.
Событие, которое при соблюдении определенных условий не
может произойти, называют невозможным.
Пример. Невозможным событием в предыдущем примере будет событие
д появление черного шара. Невозможное событие обозначим буквой V. Сле-
Следовательно, B = V.
Случайные события могут быть совместными, несовместными,
единственно возможными, равновозможными.
События называют совместными, если при испытании они мо-
могут появиться вместе. Если А, В, С W — совместные собы-
события и они наверняка произойдут, то Л, В, С, . . . , W=U.
Пример. Попадание снаряда в цель и разрыв снаряда — события совмест-
совместные.
Несколько событий называют несовместными, если в результа-
результате данного испытания они не могут появиться вместе.
Пример. Производится один выстрел нз орудия. События: «разрыв снаря-
снаряда» и «неразрыв снаряда» — несовместные события.
Единственно возможными называют события, если появление в
результате испытания одного и только одного из них — достовер-
достоверное событие.
Пример. Прн бросании монеты единственно возможными событиями явля-
являются: «выпал герб», «выпала цифра».
Несколько событий называются равновозможными, если воз-
возможно появление каждого из них с одинаковой степенью уверен-
уверенности.
Пример. Появление положительных нли отрицательных погрешностей при
правильно поставленных измерениях.
Систему единственно возможных событий называют полной
групной событий. Это означает, что при испытании одно из собы-
событий полной группы обязательно появится.
Пример. В ящике лежат белые, черные, красные шары. При выниманию
одного шара может появиться только белый, черный илн красный шар. Три
события: «появлеиие белого шара», «появлеиие черного шара», «появлеиие
красного шара» составляют полную группу событий.
Два единственно возможных события, образующих полную»
группу событий, называют противоположными. Событие, противо-
противоположное А, обозначается той же буквой, но с чертой наверху,
т. е. А.
Пример. А — попадание в цель при выстреле; А_-~ пр_омах при выстреле.
В_ общем_ случае прн одном испытании (и А, и A)=AA = V (или А, илн
A

§ 3. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ
Случайное событие может появиться в результате испытаний,
которые могут быть повторены любое число раз при одних и тех
же условиях. Такое событие называется массовым. Оно может
быть охарактеризовано числом. Вычислив его частость (р) нли
относительную частоту т, выражающуюся отношением числа по-
появлений этого события к числу всех произведенных испытаний
(п), получим
т
Р= IT ¦
A.1)
Пример. Произведено 24 измерения одной и той же величины при этом
Л
положительных погрешностей оказалось 6. Следовательно^ т—6, ге=24, относи-
"л"
тельная частота появления положительной погрешности /?=0,25 или 25%.
Относительная частота (частость) прдсчитывается после опыта и выражает-
выражается дробью или в процентах.
Изучение массовых случайных событий показало, что при определенных
условиях некоторые из них происходят с тем более постоянной устойчивостью,
чем больше число испытаний. Появление этих закономерностей является свойст-
свойством устойчивости относительной частоты однородных случайных событий,
т. е. уменьшение разброса ее значений, получаемых в разных сериях испытаний,
яри увеличении числа испытаний в каждой серии.
Выполнив большую серию испытаний, можно с высокой точностью пред-
предсказать результат других таких же серий испытаний (см. табл. 1).
Таблица I
Лицо, производившее опыты
Бюффон
Грнфитц
Пирсон
Пирсон
Число опытоз
404G
8178
И2000
24000
Частота
0,51
0,6004
0,5016
0,5005
Английский ученый К. Пирсон, определяя относительную час-
частоту появления герба при бросании монеты 12000 и 24000 раз, по-
получил значения этой частоты соответственно равными 0,5016 и
0,6005.
Нетрудно предсказать, что частость должна составлять значе-
значение, равное 0,5.
При большом числе испытаний п относительная частота обна-
обнаруживает устойчивость, которая характеризует объективную связь
между комплексом условий, в которых производится опыт, и со-
событием.
С увеличением п в сериях испытаний колебание значений в раз-
разных сериях уменьшается, т. е. существует определенное значение
относительной частоты, от которого она отклоняется в разных
сериях испытаний в ту н другую сторону.
&
Чтой постоянной величиной является количественная мера сте-
степени объективной возможности появления события при одном опы-
тр называемая вероятностью события (Р).
Вероятность Р события А можно определить как отношение
числа т случаев, благоприятствующих появлению события А, к
чисчу п всех возможных случаев; при этом случаи предполагают-
предполагаются равновозможными, несовместными и единственно возможными.
A.2)
т
п
Иногда
Р=
т
п
A.3)
Из определения следует, что вероятность любого события А
заключена между нулем и единицей
0<Р<1. A.4)
Если т есть число благоприятствующих появлению события
случаев А, то п—т — число неблагоприятных случаев. Обозначая
через q вероятность того, что событие не произойдет, получим по
определению
п—т. ,, о v
я= —%— > 0-3а)
так как случаи, неблагоприятные событию А, благоприятны непо-
непоявлению события А. Складывая равенства A.2) и A.3а) полу-
получаем
P+q=l. A.36)
Пример. В ящике находится 50 белых и 46 черных шаров. Следует опре-
определить вероятность появления двух белых шаров при одновремеииой выборке
шаров из ящика.
Подсчитаем число всех возможных случаев пит, благоприятствующих
появлению двух белых шаров: ге=С?6; т=С§0 ;
С2
50-49
2!48!
96-95
2!94!
пользуясь основным свойством факториалов и сделав соответствующие сокра-
сокращения, получим:
Р=
95-96
=0,27.
Свойство относительной частоты — устойчивость —- явилось
предметом исследования многих ученых. Впервые се отразил
Я. Бернулли A654—1705 гг.) в виде теоремы.
При числе испытаний п, неограниченно большом с вероятно-
вероятностью, сколь угодно близкой к единице, относительная частота
т/п события сколь угодно мало отличается от его вероятности в
отдельном опыте.

Математическая запись может быть следующей
л.-«
р
<е
A.5)
где е и 6 — сколь угодно малые положительные числа.
Следствия из определения вероятности:
1. Вероятность невозможного события равна О
P(F)=0, A.6)
где V — невозможное событие.
2. Вероятность достоверного события равна 1
P(i/)=1, A.7)
где U — достоверное событие.
3. Вероятность случайного события — всегда положительное
число, заключенное между нулем и единицей O^P^l.
Часто обозначают Р(А)—р — вероятность появления события;
Р(А) —q — вероятность непоявления события;
Р-Н=1. A-8)
Пример. В ящике находятся 20 шаров: 13 красных н 7 белых. Найти ве-
вероятность того, что, вынимая одновременно 2 шара, достанут 2 белых.
Решение. Число всех равновозможиых случаев вынуть пары шаров од-
иого цвета определяется числом сочетаний из 20 по Е, т. е.
0
Число благоприятствующих случаев определяется числом сочетаиин из 7 белых
шаров по 2
7-6
т=
1-2
=21.
Следовательно, P=s=21/190=0,905 или Р=9,05%.
§ 4. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вероятность суммы нескольких несовместных событий, без-
безразлично каких, равна сумме вероятностей этих событий, т. е.
или
Р( 2 Л,)=
i
A.9)
A.10)
Докажем это, введя обозначения:
л — общее число возможных исходов испытаний;
Шх — число неходов, благоприятствующих событию А\\
т2 — число исходов, благоприятствующих событию А2;
10
m _ число исходов, благоприятствующих событию Ап ,
Число исходов тв, благоприятствующих появлению события
В=*А1+А2+ ¦ ¦ ¦ +Ап ,
=т1+тг+...+тп,
следовательно.
¦¦¦+«,
/??2
т„
с учетом^- =P(Ai), (i=\,2...,n),
получим
или Р( S At)- S P(At).
1 !
A.Н)
A.12)
A.13)
A.14)
A.15)
Теорема о сумме вероятностей событий полной группы. Сумма
вероятностей событий, образующих полную группу событий, рав-
равна единице.
Если события А\, Л2, . . . , Л„ образуют полную группу, то
появление одного из них достоверно и, следовательно,
==1. A16)
Поскольку события полной группы попарно несовместны, приме-
применима теорема сложення:
Р(Л1)+Р(Л2)+-.+Р(Д,)=1. (I7
Записывают также
В частном случае, когда все вероятности одинаковы,
Пример. В лотерее 1000 билетов, из иих падает выигрыш: на одни би-
билет — 500 руб., на 10 билетов — по 100 руб., на 50 билетов — по 20 руб..
на 100 билетов — по 5 руб. Остальные билеты невыигрышные. Найти при на-
наличии одного билета вероятность:
1) (выигрыша не менее 20 руб.; 2) выигрыша любой суммы.
Решение. Обозначим события: Bi — выигрыш не менее 20 руб., В2 — вьп;г-
рыш любой суммы; Л, — выигрыш 20 руб., Л2 — выигрыш 100 руб., Дз —
выигрыш 500 руб., At — выигрыш 5 руб.;
Ва=Л1+Л2+Л3+Л4.
Из теоремы сложения вероятностей получим
100
=0,061+ -joo?)- =0,161.
II

$ S. НЕЗАВИСИМЫЕ И ЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ.
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Два события А и В называются независимыми, если наступле-
наступление или ненаступление одного из них не изменяет вероятности по-
появления другого.
Пример. Двумя операторами взято два отсчета по шкале прибора. Вероят-
Вероятность ошибки первого наблюдателя ие зависит от ошибки второго наблюдате-
наблюдателя и наоборот.
Два события А и В называются зависимыми, если вероятность
появления одного из них зависит от того, появилось или не поя-
появилось другое событие.
Пример. Боли поражение цели достигается двумя попаданиями, то пораже-
поражение цели при втором выстреле есть событие зависимое, так как оно может прои-
произойти лишь прн условии первого попадания в цель.
Вероятность, вычисленная в предположении, что одно или не-
несколько событий уже произошло, называется условной вероятно-
вероятностью.
Условная вероятность Ра (В) равна отношению числа случа-
случаев /, благоприятствующих совмещению событий А и В к числу
случаев т, благоприятствующих событию А, т. е.
Pa(B)=-L. A.20)
Теорема сложения действительная и для условных вероятностей.
Пример. Бросают игральную кость. Пусть событием А является выпадение гра-
грани с цифрой 6, а событием В — выпадеиие грани с цифрой, кратной трем.
Найти безусловные н условные вероятности событий А и В н установить, зави-
зависимы или независимы эти события.
Решение. Безусловные вероятности Р(Л) = 1/6; Р(В) =2/6.
Найдем условные вероятности. Грань с цифрой, кратной трем (событие В), вы-
выпадает в двух случаях (с цифрой 3 или с цифрой 6). Из этих двух случаев
выпадению грани с цифрой 6 (событию А) благоприятствует одни случай.
Поэтому, условная вероятность Рв (Л) = 1/2. Аналогично вычислим Рл (В) — 1.
Так как условные вероятности не равны безусловным, то события А и В за-
«исимы.
§ в. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вероятность совместного появления неоколькнх независимых
простых событий (одновременно или последовательно одно за дру-
другим) равна произведению их вероятностей
P(A,B,C,D,...,N)=P(A)-P(B).P(C).....P(N) A.21)
¦ли
В :частном случае:
Р=рп.
12
A.22)
A.23)
r случае зависимых событий теорема умножения приобретает
SSSfi вид Вероятность совместного появления нескольких
SSK?Равнапроизведению их вероятностей, при этом события
Полагаются в определенном порядке и вероятность каждого
Ебыт^я Счисляется в предположении, что все предыдущие собы-
РлАА^-РаЛА^.лРл^л^ЛА,,) A.24)
A.25)
тия имели место
или
где pi, Рз , ¦ • ¦ > Рп — вероятности событий, вычисленные из
предположения, что каждое из предшествующих событий, выбран-
выбранных в данном порядке, произошло.
Пример. Трое учащихся стреляют в цель. Вероятность попасть в цель для
первого учащегося равна 0,7; для яторого — 0,6; для третьего — 0,5. Подсчи-
Подсчитать вероятность тога, что при первом выстреле все три учащихся поразят цель.
Решение. Применяем теорему умножения для независимых событий:
Р=0,7-0,6-0,5=0,21=21 %;.
§ 7. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ (биномиальное распределение)
Допустим, что при некотором испытании событие А может на-
наступить или не наступить. Вероятность наступления события А
обозначим Р(А)~р, а вероятность его ненаступления — через
A)=q=l-p..
Рассмотрим возможные неходы двух последовательных незави-
независимых испытаний. Их можно представить в следующем виде (при-
(приведены также вероятности различных исходов):
Результаты испытаний
АА
ГА
АА
АА
Вероятность
Р2
РЯ
ЯР
Очевидно, что вероятность двукратного появления события А
равна р2, вероятность его однократного появления (безразлично,
при каком испытании) равна 2pq, а вероятность того, что событие
А не наступит ни разу, равна q2.
Ясно, что полученные результаты единственно возможны, при-
причем p2+2pq+q2 = (p+qJ=\.
Рассмотренный пример можно отнести на случай большего чи-
числа испытаний. Так, при трех испытаниях вероятность наступле-
наступления события А три раза подряд равна рг. Вероятность наступле-
ния_события А два раза возможна прн следующих трех исходах:
ААА, ААА, ААА, т. е. вероятность каждого из них p2q, так что ве-
вероятность двукратного наступления события А при трех испыта-
испытаниях будет 3p2q. Аналогичен подсчет вероятности однократного
1&

наступления события 3pq2 н вероятность того, что событие А не
наступит ни разу, будет q°.
Можно записать р° + 3p2q + 3pq2 + q3 = (p-\-qK= 1.
Соответственно задачу можно сформулировать в общем виде.
В серии из п независимых испытаний вероятность наступления
события А при каждом отдельном испытании равна Р. Требуется
определить вероятность Рп (т) того, что событие наступит т раз.
Отметим, что Рп (п)=рп и Р„ @)=qn находятся по теореме ум-
умножения вероятностей.
Вероятность того, что при п испытаниях событие А появится
т раз, определяется по схеме
т раз п—m раз
Очевидно, что эта вероятность будет равна pmqn~m, т. е. число
всех возможных вариантов из п элементов, в которых т раз встре-
встречается А в различной последовательности, равно числу сочетаний
Cm
п .
С использованием теоремы сложения вероятностей, рассмот-
рассмотренной ранее, получим
.пКп^пГ Рт1П-т- (L26>
Полученное уравнение иногда называют уравнением Берцул-
ли. Очевидно, что вероятность Рп (т) представляет собой слага-
слагаемые бинома
(p+q)n=pn+n-p
n-1
1-2
A.27)
Пример. Какова вероятность выпадания герба 0, 1, 2...6 раз, если монета
подбрасывалась 6 раз?
Решение. В данном случае p=q=l/2.
По формуле A.26) находим:
)-р.E)=с« D-)'
32
if".
Полученные результаты можно перенести на график (рис. !), отложив по
осн абсцисс значения т, а по оси ординат значения Р(т) (т=1). Очевидно, что
наиболее вероятное число выпадений герба т = 3, ио эта вероятность невелика
и составляет 5/16.
Полученная в результате вывода формула A.27) находит ог-
ограниченное применение в практике метрологических работ из-за
сложности вычислений при больших значениях пит.
U
Пои больших значениях пит (больше* 10) вычисления факто-
факториалов становятся затруднительными. В этом случае прибегают к
приближенной формуле Стерлинга
4 A.28)
п\ =
288пг
/ 2 J 4 5 б т
Рис. 1
Чаще формула Стирлинга встречается в следующем виде:
A.29)
§ 8. ВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО ПОВТОРЕНИЙ
ПРИ ОПРЕДЕЛЕННОМ ЧИСЛЕ ИСПЫТАНИЙ
Из примера, приведенного выше (см. с. 14) видно, что с ростом
т вероятность Р„ (гп) сначала возрастает, а затем с некоторого
m начинает убывать. Это имеет место и в общем случае, поэтому
необходимо установить такое значение ш, при котором Рп (т)
будет наибольшим для данного п.
Сравним два соседних значения Рп (т) и Рп(т-\-1)ш-
"' •pm-qn—m=
т\(п—т)\
т\
• рт • qn~
л!
(m+1)!
qn_
п—т—1 —
m_x
Отношение последующего члена к предыдущему равно:
Pn(m+l) _ n—m _ _?_
Pn(m) m+l ' q '
A30)
A.31)
A.32)
15

Второй множитель этого отношения p/q — величина постоян-
постоянная, не зависящая от т. Первый множитель (п—тI(т-\-\) с ро-
ростом т убывает, так как числитель убывает, а знаменатель растет.
Благодаря этому можно написать ряд неравенств:
п-р _Р„A) ^ Р„B) ^ J\(n) Р .. ооч
~1~~Р~Ж ^ PUJY >- ¦ Рп(п-1) ~!Tj~- {[66)
Таким образом, отношение Рп (т-\-1)[Рп (т) для малых т
больше единицы, а затем становится меньше единицы.
Выберем такое целое число ц, для которого Рп (ц+1)//3,,
(|л)>1, но для всех т>\х, уже Рп(т + \)/Рп (т) <1.
Можно записать
Pn{m)<Pn(m-\-\) при /n<[i;
Р„(т)<Р„(т+1) при т=[х; A.34)
Рп(т)>Рп(т-\-\) при т>[*.
Очевидно, что при т = |а вероятность Р„ (jx) будет иметь наи-
наибольшее при данном п значение. Если Р„ ([л+1)=Р„([л), то мак-
максимальное значение вероятности достигается при двух значениях
т = ц и т=ц-\-1. Определим величину ц в последнем случае
= 1,
A.35)
откуда np—y.p=\>.q+q\ A.36)
\^np-q. A.37)
Следовательно, если число пр—q будет целым, то наиболее ве-
вероятными числами появления событий будут: ц=п-р—q и ц-|-1 =
= n-p—q+l = (n+\).p.
Если число пр—q не будет целым, то отношение Рп (т-\-\)/
1Рп{т) переходит от значений, больших единицы, сразу к значени-
значениям, меньшим единицы. Пусть ц — такое число, что
<1; A.37а)
в соответствии с формулой A.32)
Р«(м—1) I*
так, что пр—\ip-\-p>\i-q, т. е. \а<п-р+р.
С другой стороны,
— >1
A.38)
или пр-
так что \а>пр—q.
Таким образом, для \i получаются неравенства
np—q<y.<np-\-p,
A.39)
где (х — целое число, находящееся между двумя положитель-
положительными числами, разность которых равна 1, (пр-\-р) — (пр—</) =
16
р^7=1, что и указывает границы, в которых заключено наи-
наиболее вероятное число появления события А при п испытаниях.
Пример 1. В данный промежуток времени орудие может выпустить 40 сна-
снарядов с вероятностью попадания 0,8 для каждого нз них. Найти вероятнейшее-
чисяо попаданий за данный промежуток времени.
Решение, п—40, р=0,8, 9=0,2, по формуле A.39) имеем 40-0,8-f-0,S»n»
>40-0,8—0,2 или 32,8>ц|>31,8, следовательно ц=32.
Пример 2. В производстве вероятность для отдельной детали оказаться.
бракованной равна 0,005. Какова вероятность того, что в партии из 10 000 из-
изделий бракованных окажется а) равно 40; б) ие более 70?
Решение
a) Pn(m)=C™p>lqn-
PieaooD0)=C«ooa • @,005)*°.@,995р«=
р=0,005; <7=«0,995; п=10000; т=40 .
10000!
•@,0Э5)-:О-@,995)9s«0;
70 70
б") Р@<п<70)= 2 Ря-A0003)= 2 С*т-@,ООЬ)т- @,995)
т=0 т=0
10ОО0—т
Очевидно, что во второй задаче очень трудно произвести требуемые вычисле-
вычисления. В последующих параграфах будут рассмотрены другие формулы, позволяю^
щие решать эти задачи хотя и приближенно, но более просто.
§ 9. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ПРИ МНОГОКРАТНЫХ ИСПЫТАНИЯХ.
ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЗАКОН МУАВРА ЛАПЛАСА
Рассмотренное выше биномиальное распределение вероятностей
пригодно для решения задач при сравнительно небольшом числе-
испытании (до 20). С увеличением числа испытаний п вероятнос-
вероятности отдельных значений числа появлений события уменьшаются и-
при большом п становятся ничтожно малыми. Это связано с тем>
что число членов биномиального распределения равно п+1, а сум-
сумма его членов равна единице.
В процессе обработки результатов или в прогнозировании ка-
качества результатов измерений практический интерес представляет
решение следующей задачи: какова вероятность того, что событне-
совершится в пределах от о до 5 раз, т. е. совершится или а раз
илн а-\-\ раз, или а+2 раз и т. д., или Ь раз.
В соответствии с теоремой сложения вероятностей вероятность,
такого события (суммы событий) равна сумме вероятностей со-
составляющих событий:
рп(а)+рп(а+\)+рп(а+2) + ...
Подсчет суммы вероятностей с использованием формулы A.41)
при большом значении п затруднителен
(p+q)=C°n q"pa+Cl q»-y+Cl q»-2p2+...+C"nq°p". A.41)
Проще решаются подобные задачи с применением нормального
закона распределения вероятностей, вывод которого дан Лапла-
Лапласом, использовавшим результаты, полученные ранее Муавром. От-
Отсюда название закона Муавра — Лапласа.
17

Нормальный закон распределения дает достаточно точные ре-
результаты при большом числе испытаний. При п^20 и при значе-
значениях р, отличающихся от 0 и 1, полученные результаты нормаль-
нормального закона н биномиального распределения практически не отли-
отличаются.
Попытаемся получить нормальный закон на основе биномиаль-
биномиального с учетом двух недостатков биномиального закона распреде-
распределения.
Первый недостаток — закон дискретный, т. е. функция рп (k)
изменяется дискретно (прерывно), поэтому рп (а)-\-рп (a-f-l)-f-
ь
+РЛ (°+2)+ • • • +Рп (ь) = 2 (р„)(к), нельзя заменить инте-
а
гралом.
Второй недостаток биномиального распределения заключается
в том, что ряд распределения (p-{-q)n зависит от двух парамет-
параметров, пир, что делает невозможным составление таблиц для нахо-
нахождения значения вероятностей рп (k).
Нормальный закон распределения свободен от указанных не-
недостатков биномиального распределения. И главное достоинство,
что нормальный закон распространяется на очень большой класс
случайных явлений и используется для подсчета вероятностей в
определенные интервалы и во многих других практических слу-
случаях.
Для вывода воспользуемся функцией
A.42)
Эту функцию называют плотностью вероятности нормаль-
нормального распределения.
Построим график функции У=ф(х), так как ф(х) — четная
функция, то ее график симметричен относительно оси Оу. Кривая
имеет ось (к горизонтальной асимптотой при х-*- + °°.
Функция достигает максимума при х=0, причем
Ф@)= -+=¦ =0,3989.
График приведен на рис. 2.
Площадь, ограниченная этой кривой и осью Ох, равна единице:
J <p(*)dx=l.
— oo
Используя известное значение интеграла
получаем
= -^ I e
A.43)
A.44)
A.45)
18
Еще более существенное значение, чем функция <р(х), играет
интеграл от нее, взятый в пределах от 0 до х, т. е. функция
1 х
= 1ШJ е
-j
¦dt.
A.46)
з г
Эту функцию называют нормальной функцией распределения.
Иногда ее называют функцией Лапласа или интегралом вероят-
вероятности.
Функция Ф(х) является нечетной. Действительно, считая t==
*=—т получим:
*' , -х _il
A.47)
1
Кривая у=Ф(х) симметрична относительно начала координат,
имеет две.горизонтальные асимптоты
1 1 ¦ _ ^*ч /v 1
х-*- — оопри д;=0Ф^)=0.
Начало координат служит точкой перегиба кривой (рис. 3).
В некоторых случаях вместо функции Ф(х) рассматривают
функцию F(x)
-Ж I
с учетом соотношения
A-48)
A.49)
Ввиду большой важности функций ф(х) и Ф(х) для них состав-
составлены подробные таблицы, приведенные в приложении 1.
19

В практических задачах чаще интересует не наступление собы-
события А какое-то определенное число раз, а вероятность того, что
число наступления события А заключено в некоторых пределах.
Эту вероятность можно получить суммированием, что отмечалось
выше, однако это требует громоздких вычислений.
-з
-2
1/2
-1/2
Рис. 3
Существует интегральная теорема Муавра — Лапласа, которая
дает возможность подсчитать эту вероятность значительно проще.
Если вероятность наступления события А при каждом отдель-
отдельном испытании равна Р, то при неограниченном увеличении числа
испытаний п, вероятность того, что число т наступлений события
А удовлетворяет неравенству:
A.50)
Yn-p-q
где q— 1—р имеет своим пределом интеграл
хг
/2л
W 1 е
•Же.
Искомая вероятность получается из формулы
т—пр ™
A.51)
A.52)
где сумма распространяется на все значения т, удовлетворяю-
удовлетворяющие неравенству A.50). Эти значения можно записать в виде
т
=n-p+tVn-p-q,
A.53)
где t принимает значения между х\ и х2.
Подсчитаем приращение At при переходе от значения т к зна-
значению /п+1 для одного и того же числа испытаний п.
Пустьт+1 =п-/7+(/+Л-1)Vn p-q.
A.54)
20
Находя разность A.54 и 1.53) получим
\-St-Vn-p-q
или
1
Ynp-q
Пользуясь выражением A.56) и нспользуя формулу
1
-е 2~
получим
•е 2 At.
A.55)
A.56)
A.57)
A.58)
Подставим выражение A.58) в A.52), получим приближенно
вероятность неравенства A.56)
it. 0.59)
Yn-pq
При больших значениях п можно считать:
т—я-р 1
о
yw J е
JL
2 -dt.
После упрощения:
1 *•¦—Г"
Уъ I е
¦dt=
*1 _
Г е
о
В случае, если xi=—х2, то
^r I e
A.60)
dt-
A.61)
A.62)
Значения O(xi) могут быть найдены по таблицам.
Пример 1. Вероятность брака при изготовлении деталей равна 0,006. Како-
Какова вероятность того, что в партии из 10000 деталей бракованных окажется не
более 70?
Решение: р=0,005; 9=0.0995; я«= 10000
Yn-p-q~7,05; n-p=50. Неравенство 0<т^70 можно записать:
1—яр<20 или—7,09< Ш. П'Р <2,84.
Yn-pq
В силу теоремы Р(-7,09< т~"'р <2,84) =
2.84 ?1
dx
q /7i09
или, пользуясь A.61), имеем Р=ФB,84)— Ф^— 7,09) =ФB,84)+ФG,О9) =0,4977+
+0,50в0=0,9977.
Пример 2. Определить вероятность того, что при 8000 бросании игральной
«ости частота выпадения шестерки будет отклоняться от вероятности Р=1/6
меньше, чем на 1/80.
21

Решение. Нас интересует вероятность неравенства:
80СО
щ- , где т г— число выпадений шестерки;
p= -i- ; 0= -|- ; я=8000.
Можно записать: _100<m —8000-1/6<10O, или
1
—loo "'~uvw' T" loo
от—8000- -g-
< ¦¦ - <
rob г о
Откуда следует jci = —3, *2=3.
Из приложения 1: Р=2ФC) =2-0,49865=0,9973.
Выше отмечалось, что получаемые в ходе экспериментов часто-
частоты появления некоторых событий тем меньше отличаются от веро-
вероятности, чем больше число опытов.
Если производится т независимых опытов с вероятностью Р
появления события А, то, как уже отмечалось, частота будет вы-
выражаться отношением m/л. При большом числе опытов с вероят-
вероятностью, как угодно близкой к единице, частота появления события
А мало отличается от вероятности события. Это определение было
сформулировано Бернулли в виде неравенства:
т
п
Преобразуем неравенство:
A.63)
A.64)
Умножим все части неравенства на у —— и приведем его к
принятой форме
_е
PI
Таким образом
Vnpq
P-Q
p-q
p-q
Р-Я
A.65)
A.66)
В соответствии с рассмотренной предельной теоремой эта ве-
вероятность близка к интегралу
dx, гдеа=г.
22
При неограниченном возрастании п имеем также <х->-оо, поэто-
поэтому вероятность неравенства A.63) стремится к интегралу
1
J
dx, который равен единице.
Рассмотренная теорема Бернуллн является частным случаем
теоремы, известной под названием закона больших чисел.
§ 10. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Величина называется случайной, если в результате опыта (ис-
(испытания) она приобретает значение, заранее неизвестное. Сово-
Совокупность всех возможных значений случайных величин составляет
полную группу событий.
Примерами случайных величин могут быть: число очков, выпадающих на
игральной кости; число выстрелов, производимых до первого попадания в цель;
число зерен в колосьях пшеницы определенного сорта; стоимость выигрыша
s лотерее.
Случайные величины, возможные значения которых непрерывно
заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными
случайными величинами, например, случайные погрешности изме-
измерений.
Случайные величины принято обозначать большими буквами,
а их возможные значения — соответствующими малыми буквами,
например, X и xi, X2, . . . , х„.
Соотношения, с помощью которых устанавливается связь меж-
между возможными значениями случайной величины и соответствую-
соответствующими им вероятностями, называют законом распределения слу-
случайной величины. Он может быть задан: аналитически, численно,
графически.
Примером аналитического выражения закона распределения
для прерывных случайных величин может служить вероятность
появлений событий т раз при п испытаниях, т. е.
¦C™-<f-m-pm. A-67)
Используя эту зависимость, вычисляют Р„ (т), и по значени-
значениям xi, Рп (/) составляют таблицу н строят многоугольные распре-
распределения \xuPi), (Х2,р2), . . . , (х„, рв) —СМ. рис. 4:
Pi
*,
Pi
х2
Р2
Pn
Однако, составить таблицу распределения или построить график
(многоугольник) распределения для непрерывной случайной вели-
величины невозможно, так как непрерывная величина имеет бесконеч-
бесконечное множество значений.
23

Для этого вводят функцию распределения вероятностей случай-
случайной величины X (или интегральную функцию). До сих пор рас-
рассматривалась вероятность Х=х. Сейчас рассмотрим вероятность
события Х<Сх, т. е. вероятность того, что в результате испытания
случайная величина X примет значение, меньшее определенного
действительного числа х, т. е.
= J <f(x)dx.
A.68)
Jill
0 Xj K2 A'j /,, X5 X6... X
Рис. 4
Уравнение A.68) означает вероятность того, что случайная ве-
величина X при однократном испытании примет значение меньше
произвольного числа х.
Исходя из определения функции распределения можно дока-
доказать, что она обладает следующими свойствами.
1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0,1].
2. Функция распределения неубывающая.
3. Если возможные значения случайной величины принадлежат
интервалу [хь хг], то
F(x)=0 при х^хй A.69)
F(x) — l при
Функция распределения непрерывной случайной величины не-
непрерывна, поэтому такую функцию можно дифференцировать.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случай-
случайной величины называют производную от ее функции распределе-
распределения, т. е. плотность вероятности определяется равенствами
у=Ф(х). (
характеризует поведение непрерывной случайной величины X и
называется кривой распределения вероятностей случайной величи-
величины.
24
Плотность распределения вероятности обладает следующими
свойствами:
1. Плотность вероятности есть неотрицательная функция, т. е.
<р(*)>0. A.72)
2. Несобственный интеграл от плотности вероятности в пре-
пределах от —оо до +°° равен единице, т. е.
fq>(*)dx. A-73)
— ТО
Если все возможные значения случайной величины принадле-
принадлежат интервалу [хи х2], то
+х2
J <p(x)dx=l.
+
A.74)
3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина в
результате испытаний примет значение, принадлежащее интервалу
[xi, хг] определяется равенством:
= J ff[x)dx.
A.75)
§ 11. ПАРАМЕТРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Математическим ожиданием М(Х) прерывной случайной вели-
величины X называется сумма произведений всех возможных значений
случайной величины на соответствующие им вероятности.
n
V
M(X)=x1 -РхЛ-Хч, 'Рг + ¦¦¦¦
где />1+/>,+...+/>я=1.
Иногда пишут:
п
2 х,-о,-
A.76)
A.77)
A.78)
Если в формуле A.76) заменить отдельные значения непрерыв-
непрерывно изменяющимся параметром х, соответствующие вероятности
Pi — элементом вероятности cp(x)dx н конечную сумму — интег-
интегралом, то получим формулу математического ожидания для непре-
непрерывных случайных величин
= J x<?(x)dx.
A.79)
Пример. Вероятность попадания в цель при выстреле 0,5. Определить ма-
математическое ожидание числа попаданий при четырех выстрелах.
25

Решение. Вероятности возможного числа попаданий 0, 1, 2, 3, 4 соответст-
соответственно равны:
° [У =0,0625;
)=c5-/»«.ff»=6. D"L =0,3750;
=4. D~) =0,2Е00;
»=1- (-^-) =0,0625.
Контроль: 2
о
= 1,0000.
Af(je)=O-0,0625+l-0,2500+2-0,375O+3-0,250+4-0,0625=2.
Установим связь математического ожидания со средним арифметическим
значением, которое можно определить по формуле
1 n
я
A.80)
Покажем, что при числе испытаний бесконечно большим пределом средне-
среднего арифметического будет математическое ожидание случайной величины.
Пусть в результате я испытаний случайная величина X приняла следую-
следующие значения: я, появилось пц раз; х2 появилось т2 раз; хп появилось тп раз,
причем можно записать
'+ХпП1а A.81)
или
где mijn, т2/п,..., тп /п есть относительные частоты
распределение), т. е. т,\1п=р\\ т2/п=р2\...; тп /n=pn
или
приближенно
A.82)
(см. биномиальное
A.83)
A.84)
Математическое ожидание иногда называют теоретическим
средним значением случайной величины.
Рассмотрим свойства математического ожидания. Эти свойства
справедливы как для прерывных, так и для непрерывных величин.
Ограничимся характеристикой свойств математического ожидания
для прерывных величин.
1. Если значения случайной величины числа — именованные
(имеют размерность), то и ее математическое ожидание — число
именованное той же размерности. Это непосредственно вытекает
из определения, так как значения х умножаются на отвлеченные
числа (значения вероятности).
26
2. Математическое ожидание — число положительное, если все
значения х положительны, н может быть отрицательным, если
среди значений х есть отрицательные. Свойство следует из того,
что возможные значения случайной величины могут быть положи-
положительными н отрицательными.
3. Математическое ожидание постоянной величины равно ее
числовому значению. Так как случайная величина X по условию
может принимать только одно определенное значение С, то веро-
вероятность этого значения равна единице
Лф<)=С-1=С. A.85)
4. Математическое ожидание произведения случайной величи-
величины X на постоянную величину С равно произведению значения
этой постоянной величины на математическое ожидание случай-
случайной
^ A.86)
5. Математическое ожидание суммы нескольких случайных ве-
величин равно сумме математических ожиданий этих величин
M(X+Y+...+W)=M{X)+M(Y)+...+M(W). A.87)
6. Математическое ожидание двух или нескольких взаимно
независимых случайных величин равно произведению математи-
математических ожиданий этих величин
M(X-Y)=M(X)-MJ)
или
M(X-Y..W)=M{X)M{Y)-...-M{W). A.88)
В ряде случаев для характеристики распределения случайных
величин используются также понятия — мода, медиана.
Модой дискретной случайной величины Мо называется ее наи-
наиболее вероятное значение.
Модой непрерывной случайной величины называется такое ее
значение, при котором плотность распределения имеет максимум
x=M0=/(M0)=max. A.89)
Геометрически мода представляет абсциссу точки максиму-
максимума кривой распределения. На рис. 5 показана мода для непрерыв-
непрерывной случайной величины.
Медианой случайной величины Mt называется такое значение
случайной величины, относительно которого равновероятно, что
случайная величина окажется больше или меньше медианы .
P{X<Ml)^p{x>Ml)=Q,b. A.90)
Геометрически медиана — это абсцисса точки, в которой пло-
Щадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, дели-
делится поровну.
В случае симметричного распределения (имея один максимум)
все три характеристики положения случайной величины (матема-
(математическое ожидание, мода и медиана) совпадают.
27

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение (стандарт).
Дисперсия — одна из важнейших числовых характеристик случай-
случайной величины — дает возможность определить разброс возможных
значений случайной величины вокруг математического ожидания,
вызванный свойствами случайной величины или погрешностями
измерений.
f(XI
Однако значение X—М(Х) практического значения не имеет,
а математическое ожидание отклонения случайной величины рав-
равно нулю вследствие компенсации положительных и отрицательных
значений отклонений. Для устранения отмеченных недостатков
принято рассматривать не сами отклонения, а их вторые степени.
В этом случае большие отклонения сказываются на конечном ре-
результате оценки значительно больше, чем малые.
В общем случае дисперсией случайной величины X называют
математическое ожидание квадрата отклонения значения случай-
случайной величины от ее математического ожидания
D(X)=M\\X-M(X)\2}. A.91)
Для прерывной случайной величины
D(X) =S {Xi-M(X))*.Pi
с учетом A.84)
Для непрерывных случайных величин
I
Величина
или
28
a(X)=j/~D(X)
а=У"ЩХ)
A.92)
A.93)
A.94)
A.95)
A.96)
называется средним квадратическим отклонением или стандарт-
стандартным отклонением, или просто стандартом.
Среднее квадратическое отклонение имеет по сравнению с дис-
дисперсией несомненное преимущество: ту же размерность, что и слу-
случайная величина. Следует отметить, что обычно дисперсию нахо-
находят по формуле
2 (Xi-x)\ A.97)
1
§ 12. ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
К РЕЗУЛЬТАТАМ ИЗМЕРЕНИИ
Из накопленного опыта измерений известно, что при любых
измерениях неизбежно появляются случайные погрешности, зна-
значение и знак которых при переходе от одного из измерений к дру-
другому изменяется случайно.
Для приложения теории вероятностей к анализу погрешностей
измерений необходимо потребовать, чтобы результаты измерений
не содержали грубых и систематических погрешностей. Появление
случайной погрешности будем рассматривать как событие, осуще-
осуществлению которого соответствует определенное значение плотнос-
плотности вероятности, зависящей от погрешности А, т. е.
Ф(Д)=#. A.98)
Вероятность попадания значения погрешности внутрь малого
промежутка (A, A-\-dA) или (Д, А—dA) пропорциональна величине
dA
Р=«р(Д)йД. A.99)
Пусть интервал [—А, +Д] разбит на ряд равных промежутков
dA, тогда вероятность того, что значение погрешности попадет в
любой из этих промежутков по теореме сложения вероятностей
равна сумме отдельных вероятностей. Если представить, что число
этих промежутков в интервале [—А, -ЬД] неограниченно возрас-
возрастает, то dA является бесконечно малой величиной, а "сумма будет
стремиться к интегралу.
Таким образом, вероятность того, что при однократном изме-
измерении появится одно из значений случайной погрешности в преде-
пределах от —А до +А равна
+А
l-A<p<+A\= J ф(Д)-с(Д.
—д
A.100)
В пределах от —оо до +оо вероятность появления любого зна-
значения погрешности является достоверностью. Поэтому
A.101)
29

Для определения вида функции ф(А) используется постулат
К. Гаусса о том, что вероятнейшим значением из результатов нес-
нескольких непосредственных измерений одной и той же величины
будет среднее арифметическое значение из этих результатов. При
этом плотность вероятностей случайных погрешностей имеет вид
= -^e~hW, A.102)
A.103)
где h — параметр, называемый мерой точности.
Известно, что
а/2
Вероятность того, что погрешность однократного измерения
окажется в пределах от А до A+rfA, из формул A.99) и A.102)
«будет
Р= -77=^ >е
-dA.
A.104)
Подставляя A.103), получим
* ' O/t2
2о2
dA.
A.105)
Заменяя А= {х—шх), где гпх — величина, численно равная ма-
математическому ожиданию, имеем
Р=
l
A.106)
Кривая, построенная по уравнению
(х-т^)'
2-о2
A.107)
иазывается кривой нормального распределения вероятностей или
кривой Гаусса, изображенной на рис. 6.
Для построения графика функции A.107), рассмотрим геомет-
геометрический смысл параметров <тх и а.
Из формулы A.107) очевидно, что кривая у=у(х) достигает
максимума при х=тх, причем уты= —j=- С ростом <г макси-
ау 2л
мальное значение уменьшается, а так как площадь, ограниченная
всей кривой и осью абсцисс равна единице, то с ростом а кривая
растягивается вдоль оси Ох.
На рис. 6 показаны графики нормальных законов при разных
тх , но одинаковых с, на рис. 7 — наоборот, графики функций
tf=(f(x) при/71^=0,^0 различных а.
30
В практике метрологических работ значительное виимание уде-
уделяется определению при заданной вероятности попаданию значе-
значения измеренных величин в интервал
f
атрЦг ' \е
2а»
dx. A.108)
/77,=/
-3-2-1 О I 2 3 л
Последнее выражение легко приводится к ранее рассмотренному
интегралу Лапласа, для этого приравняем
х—тх
тогда
=t; dx=a-dt,
Р-(П„
Г е 2 a-dt=
31

Значения Ф (~^х ) и Ф ( —~ ) находятся по таблицам, при-
приведенным в приложении 1.
В заключение рассмотрим одно важное обстоятельство. Проде-
Проделаем некоторые числовые расчеты. Положим а=а; р = а+о> тог-
тогда из формулы A.110) получим
/>(а<х<а+а)=ФA)—Ф@)=0,3413—0,0000=0,3413.
Найдем также
р(а+с<х<а+2а)=ФB)-ФA)=0,4772-0,3413=0,1359;
р(а+2а<х<а+За)=ФC)-ФB) = 0,49865-0,4772=0,02145.
Наконец, если положить а=а—За, р=а+3а, то р[(а—За) <
<х<(а+За)]=2ФC) =0,9973.
2д / j
i/ ii ~ д \
fo«—»«-> »*
Рис. 8
Последний результат означает, что с вероятностью, близкой к
-единице @,9973), случайная величина, подчиняющаяся нормаль-
нормальному закону распределения, не выходит за пределы интервала
[а—За, а-{-За]. Это утверждение носит название правила трех
сигм.
Изучение нормальной кривой показывает, что она определяет-
определяется некоторыми основными характеристиками, показанными на
рис. 8. Очевидно, что 99,73 % площади под кривой лежит в преде-
пределах шести средних квадрэтических отклонений, т. е. по три сред-
средних квадратических отклонения по каждую сторону от среднего
значения.
Аналогично 95,44 % площади лежит в пределах четырех сред-
средних квадратических отклонений и 68,26 % — в пределах двух по-
подобных отклонений. Кроме того, можно заметить, что среднее
кведратическое отклонение равно 1/6 размаха.
32
Описанные характеристики вероятностного распределения важ-
важны еще и потому, что они позволяют легко оценивать вероятности
появления событий, а также проводить оценку полученных резуль-
результатов измерений.
Пример. Определить вероятность появления погрешности измерения, абсо-
абсолютное значение которой окажется в пределах от 4 до 6 мм, т. е. рD^СД«6),
если Д=±10 мм.
Решение. Используя формулу A.111), можно записать рD^Д<6) =
=фD—5/10). ФD—5/10); Ф@,1) +Ф@,1) =0,0398+0,0398 = 0,0796.
Полученное значение необходимо удвоить, так как приведенные значения
в приложении 1 даны для половинного интеграла.
В итоге получим рD<Д<6) =2-0,0796=0; 1592.
§ 13. ПОНЯТИЕ О РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ,
ОТЛИЧНЫХ ОТ НОРМАЛЬНОГО
Накопленный опыт изучения эмпирических распределений раз-
разных величин показал, что не всегда нормальный закон удовлетво-
удовлетворительно представляет наблюдения. Кроме величин, показываю-
показывающих недостаточную близость к нормальному закону, есть величи-
величины, которые по своим физическим свойствам не могут подчиняться
нормальному закону.
Поэтому для описания случайных величин нельзя ограничи-
ограничиваться только нормальным законом. Необходимо строить и другие
теоретические распределения, исходя из каких-либо вероятностных
схем или других теоретических соображений.
Рассмотрим некоторые ви-
виды распределения, вошедших
в практику.
1. Равномерное распреде-
распределение. В метрологической
практике часто приходится
иметь дело со случайными ве-
величинами, плотность вероят-
вероятности которых имеет посто-
постоянное значение в некотором
Рис. 9
конечном интервале. Такое распределение носит название равно-
равномерного. Плотность равномерного распределения случайной вели-
величины А' выражается функцией (рис. 9).
A.111)
где тх + а — пределы изменения случайной величины-; тх —
абсцисса центра интервала.
Таким распределением обладают, например, погрешности ок-
округлений.
График функции fr (x) представлен на рис. 9 в виде прямо-
прямоугольника, поэтому распределение часто называют прямоуголь-
прямоугольным.
2: Зак. 4094
33

Функция распределения Fr (x) имеет вид
О при х<тх—а
х-\-а—тх
Fr{x) =
2о
1 при х>тх-\-а.
при тх<а<хктх-\-а
A.112)
Числовые характеристики равномерного распределения — мате-
математическое ожидание, дисперсия и стандарт — могут быть пред-
представлены в следующем виде:
М(х)=тх;
A.113)
где а — наибольшая величина, на которую может отклоняться
значение случайной величины от ее математического ожидания.
2. Закон распределения Пуассона. Характеризуя нормальный
закон распределения для отклонения частоты от вероятности пред-
предполагается, что р — вероятность испытуемого события не очень
сильно отличается от 0,5. Для вероятностей, близких к нулю или
к единице, нормальный закон недостаточно [обоснован. В этих
случаях обычно применяют закон распределения Пуассона для
событий с малой вероятностью р. Если событие имеет вероятность,
близкую к единице, то закон применяют для противоположного
события </=1—р. Очевидно, вероятность числа т появлений со-
события равна вероятности числа (л—т) появления противополож-
противоположного события при числе испытаний п.
Закон распределения Пуассона выражается формулой
A.114)
где mo = rt'P, т. е. величина, постоянная при заданном п.
Величина т может принимать только целочисленные значения
при условии, что т<п.
Вероятность попадания числа т в пределы от нуля до тх
X ™ ш
р{0<т<тх)=е-т>- 2 ^l .
A.115)
Математическое ожидание, дисперсия и стандарт для закона
Пуассона могут быть записаны в виде:
М(т)=п-р;
D(m)=n-p\
)= Vn-p.
A.116)
34
Гипотезу о распределении, соответствующему закону Пуассо-
Пуассона, можно также проверить соблюдением приближенного равен-
равенства
D(m)
2 (mi-mo)\
A.117)
3. Распределение Стьюдента используется для оценки вероят-
вероятности выборочных средних от генеральной средней совокупности,
подчиняющейся нормальному закону распределения.
Распределение Стьюдента применяют в теории обработки ре-
результатов измерений с малым количеством наблюдений.
Плотность вероятности в распределении Стьюдента имеет вид
p(t)=C(n)- (i+-ii-)-T-, A.118)
где п — число наблюдений;
t — коэффициент нормального распределения.
Остальные элементы определяются по формулам
7— *1+*2+---*Я
х_ _
A.119)
я-1
а
o=i ¦—, ; A.120)
A.121)
A.122)
С зависит только от п; хь- х2;...хп —значения величины; х0 —
среднее значение всей совокупности (генеральное).
Распределение Стьюдента используют при числе наблюдений
до 20, так как при л>20 распределение мало отличается от нор-
нормального.
Практическое применение указанных законов рассмотрено в
§30.
ГЛАВА 2
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
В ПРИМЕНЕНИИ К ОБРАБОТКЕ
РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
§ 14. ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
В теории вероятностей, основные понятия которой были даны
в предыдущей главе, рассмотрены правила, позволяющие по ве-
вероятностям одних случайных событий вычислить вероятности дру-
других, с ними связанных; по числовым характеристикам и функциям
2» 35

распределения одних случайных величин подсчитывать функции
распределения и числовые характеристики других. Возникает воп-
вопрос о нахождении этих исходных вероятностей, функций распреде-
распределения и числовых характеристик, приближенной оценки их значе-
значений. Этими вопросами н занимается математическая статистика,
изучающая массовые случайные явления в природе, обществе,
технике методами теории вероятностей. Каждое исследование
опирается на эксперимент, на опытные данные, полученные в ре-
результате или специальных наблюдений, или экспериментов.
Термин статистика происходит от латинского слова «status»
(статус) —состояние.
В целом, статистика состоит из трех разделов:
1. Сбор статистической информации, т. е. информации, харак-
характеризующей отдельные единицы каких-либо массовых совокупно-
совокупностей.
2. Статистическое исследование полученных данных, заключа-
заключающееся в выявлении тех закономерностей, которые могут быть ус-
установлены на основании данных массового наблюдения.
3. Разработка приемов статистического наблюдения и анализа
статистических данных (составляет содержание математической
статистики).
Математическая статистика не ограничивается вопросами об-
обработки экспериментальных данных, а распространяется и на уп-
управление технологическими процессами, а также на проверку со-
соответствия теории того или иного явления экспериментальным
данным.
Наиболее существенными по своим практическим сведениям
являются следующие задачи математической статистики:
1. Определение способов получения и группировки статистиче-
статистических данных, в том числе определение объема необходимых опы-
опытов до начала и в ходе исследования.
2. Разработка методов обработки и анализа статистических
данных, позволяющих:
а) проверить правильность статистических гипотез о виде не-
неизвестного закона распределения, а также о значениях парамет-
параметров законов распределения, вид которых известен;
б) оценить неизвестные функции распределения и числовые
характеристики случайных величин;
в) провести сглаживание экспериментальных зависимостей.
Под закономерностью принято понимать повторяемость, после-
последовательность и порядок в явлениях. Так, по данным переписи на-
населения СССР, его численность неуклонно увеличивается, и его
ежегодный прирост составляет 3,5—4,0 млн. человек или около
1,5%.
Существует правильное, но абстрактное утверждение, что ку-
курение отрицательно сказывается на здоровье людей, что подтверж-
подтверждает отчет специальной комиссии медиков США, которая на мас-
массовом фактическом материале показала, что смертность среди
курящих мужчин на 68 % выше, чем среди некурящих, что опас-
36
ность заболевания легких для курящего в 10 раз больше, что те,
кто выкуривает свыше 20 сигарет в день, заболевают в 20 раз ча-
чаще, чем некурящие.
Количественное выражение действия законов и закономерно-
закономерностей приобретает особо важное значение, когда необходимо пред-
предвидеть, предсказать течение процесса. Чем лучше изучена количе-
количественная сторона явлений, тем точнее могут быть определены пер-
перспективы их развития.
В целом понятие «закономерность» близко к понятию «закон» —
оба выражают объективную связь между явлениями, причинами
и следствиями. Закономерности массовых явлений свойственны
совокупностям, которые являются основным понятием в матема-
математической статистике.
Совокупность — это множество элементов, складывающихся
главным образом под влиянием общих причин и условий, связан-
связанных общими характерными чертами, общими существенными при-
признаками.
§ 15. СТАТИСТИЧЕСКАЯ СОВОКУПНОСТЬ.
ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ И ВЫБОРКА
В математической статистике основу исследований составляют
данные наблюдений или опытов над случайными величинами.
Ряд полученных в п независимых опытах значений случайной
величины X (xi; x2; хп ) является исходной статистической сово-
совокупностью объема п, подлежащей обработке и анализу. Значение
Xi называется реализацией случайной величины в i-u опыте.
Пример. Для определения содержания углерода были отобраны 10 отливок.
Получен следующий ряд значений содержания углерода в отливках 0,5; 1,9;
2,0; 1,8; 2,7; 2,0; 2,4; 2,6; 2,2%.
В данном примере случайной величиной является процент содержания уг-
углерода. Полученные в 10 независимых опытах значения являются ее реали-
реализациями. Они образуют статистическую совокупность объема я=10.
Рассмотрев пример, сформулируем вопрос в общей постановке:
можно ли по ограниченному числу реализаций случайной вели-
величины X, образующих статистическую совокупность Х\, Х2, ..., Хп,
судить обо всем множестве возможных значений случайной вели-
величины?
На этот вопрос можно ответить положительно при условии, что
выполнены определенные требования, предъявляемые к правилам
получения статистической совокупности.
В математической статистике принято оперировать понятиями
генеральной совокупности и выборки.
Совокупность однородных объектов, которая изучается выбо-
выборочным методом, называется генеральной.
Выборкой или выборочной совокупностью называется совокуп-
совокупность случайно отобранных объектов.
Число объектов в выборке или в генеральной совокупности
называется ее объемом. Статистическую совокупность независимых
37

даблюдений случайной величины Хи Х2, ..., Хп также называют
выборочной совокупностью или просто выборкой объема п.
Для того, чтобы по выборке можно было сделать обоснованное
заключение о генеральной совокупности, нужно, чтобы пропорции
выборки правильно отражали пропорции генеральной совокупно-
совокупности. Такая выборка называется представительной. Она обеспечи-
обеспечивается случайным отбором, при котором вероятность попасть в
выборку для всех ее объектов одинакова.
Отбор может быть:
случайным в тех случаях, когда его осуществляют с помощью
карточек, на которых записывают номера объектов генеральной
совокупности. Все карточки тщательно перемешивают; из пачки из-
извлекают карточку, номер которой указывает на объект, попадаю-
попадающей в выборку. Процесс повторяют п раз, пока не будет образована
выборка объема п;
механическим, в котором генеральная совокупность делится на
группы так, чтобы из каждой группы в выборку вошел один
объект;
серийным, в котором генеральную совокупность разбивают на
серии. Их нумеруют, а затем, пользуясь случайным способом от-
отбора, образуют выборку, в которую отобранные серии войдут це-
целиком.
При большом объеме генеральной совокупности случайный от-
отбор может быть осуществлен с использованием вместо карточек
таблиц случайных чисел.
Для получения надежных результатов выборочная совокуп-
совокупность должна иметь достаточно большое число элементов.
Пример. На схеме, показанной ниже, приведены данные браковки промыш-
промышленных изделий выборочным методом. Из 25, 250, 2500 изделий выбираем
каждый раз по 10 изделий.
В первом случае (при 25 изделиях) получался большой разброс забрако-
забракованных изделий (от 0 до 16%). Во втором случае разброс значительно сокра-
сократился (до 3—9%). При 2600 изделиях ,в выборке разброс получился неболь-
небольшим E,5—6,5%), дающий возможность говорить о том, что в данном произ-
производстве брак составляет 6 %.
25
1
4
(
0
1
1
2
0
1
1
D%)
A6%)
) @%)
@%)
D%)
D%)
(8%)
@%)
D%)
D%)
Среднее 1,1
Число изделий в группе
250
Число забракованных изделий в группе
12 D,8%)
14 E,6%)
17 F,8%)
11 D,4%)
22 (8,8%)
9 C,6%)
15 F%)
14 E,6%)
21.(8,4%)
8 C,2%)
D,4%) 14,3 E,7%)
2500
157
152
157
136
152
135
143
160
149
153
150
F,3%)
F,1 %)
F,3%)
E,4%)
F,1 %)
E.4%)
E,7%)
F,4%)
F%)
F,1 %)
F%)
38
§ 16. СТАТИСТИЧЕСКИЙ РЯД. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И СПОСОБЫ ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Для изучения выборочных наблюдений их нужно прежде всего
упорядочить. Расположим наблюдавшиеся значения в следующем
порядке: *i«*2« ... <.хп . Полученный ряд называется ранжи-
ранжированным.
В ранжированном ряду различные значения х( могут встре-
встретиться несколько раз. Такие различные значения хс называют
вариантами, а ряд вариант, расположенный в порядке их возра-
возрастания, называется вариационным. Если число членов вариацион-
вариационного ряда очень велико, то для удобства его изучения образуют
интервальный ряд, группируя наблюдавшиеся значения в интер-
интервалы.
Длина интервала чаще всего берется одинаковой, хотя это и
необязательно.
Пусть значение х\ наблюдалось т,\ раз, х2 — т2 раз и т. д. Чис-
Число наблюдений называют частотой и обозначают т. Сумма частот
равна объему выборки Zmi = п, где п — число вариант.
Для интервального ряда частота т,- равна числу значений, наб-
наблюдавшихся в t-м интервале.
Отношение частоты к объему выборки называют частостью
*«-?-. BЛ)
Частость характеризует долю каждого значения (или интервала
значений) в общем числе наблюдений и по сути является стати-
статистической вероятностью, рассмотренной ранее.
В гл. 1 давалось понятие вероятности, в которой m — число
опытов с событием А, п — общее число опытов. Очевидно, что эти
понятия совпадают.
Варианты н соответствующие им частоты или частости образуют
статистический ряд выборки.
Универсальной характеристикой случайной величины является
ее функция распределения. Ее статистический аналог — статисти-
статистическая функция распределения Fn (х), которая определяет для
каждого значения х частость или статистическую вероятность со-
события, состоящего в том, что случайная величина X примет зна-
значение, меньшее х:
B.2)
Значение Fn (#,¦ ) вычисляют по формуле
B.3)
39

где m"a< —накопленная частота, определяемая последователь-
последовательным суммированием частот
т™*= 2mft. B.4)
Накопленной частотой т"ак называют число вариант со значе-
значением, меньшим х. . Статистическая функция распределения, опре-
определяемая как отношение накопленной частоты к объему наблюде-
наблюдений п, называется также накопленной частостью. Статистическая
функция распределения обладает всеми свойствами функции расп-
распределения.
При больших объемах наблюдений п, как следует из теоремы
Бернулли, Fi(X)->-F(X). Это означает, что эмпирическая функция
распределения выборки с ростом ее объема приближается к тео-
теоретической функции распределения генеральной совокупности и
может быть использована для ее приближенного представления.
Пример 1. Построить ранжированный ряд по данным приведенным на
с. 37.
Решение. Зная процентное содержание углерода, получим ранжированный
ряд: 1,8; 1,9; 1,9; 2,0; 2,2'; 2,4; 2,5; 2,6; 2,7.
Первая варианта *i=l,8 — наименьшее значение, а последняя варианта
Яю=2,7 — наибольшее значение. X\=x^\ri, *io=*max и значения лг2= 1,9 и
*4=2,0 встречаются дважды, поэтому т2=/П4=2.
Интервальный ряд строится не только для непрерывных, но и
дискретных случайных величин при большом числе вариант. Пра-
Правило Старджесса позволяет выбрать число интервалов г = 1 +
-+•3,3 lg п, например для я=100, г = 8.
Ширина интервала h
h= w-smin _ B 5)
Для достижения наглядности строят различные графики стати-
статистического распределения, из которых чаще всего используют по-
полигон, гистограмму и кумулятивную кривую.
Полигон и гистограмма являются графическими изображения-
изображениями статистического ряда, а кумулятивная кривая — это график ста-
статистической функции распределения.
Напомним, что графическими представлениями теоретических
законов распределения являются многоугольник распределения,
кривая распределения и графики функции распределения.
Полигон служит чаще всего для изображения дискретного ста-
статистического ряда, в то время как гистограмма строится только
для интервальных рядов. Случайные же величины, для которых по-
получены те или иные статистические ряды, могут быть при этом как
дискретными, так и непрерывными.
Полигон представляет собой ломаную линию, отрезки которой
соединяют точки с координатами (х. т(), где xt —варианта;
mi—ее частота или точки с координатами (xipi), pi —соот-
—соответствующая варианте хс частость.
40
Для интервального ряда строят полигон, соединяя отрезками
точки с координатами (х*пц) или (x*.pi ), где x*f —середина
интервала, rrij и pt —соответствующие данному интервалу часто-
частота и частость.
Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, состоя-
состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки,
изображающие интервалы вариационного ряда, а вычеты равны
частотам или частостям соответствующих интервалов, деленным на
ширину интервала. В первом случае площадь гистограммы равна
объему наблюдений, во втором — единице.
Кумулятивная кривая — это кривая накопленных частот или
накопленных частостей.
Если вариационный ряд дискретный, то кривая представляет
собой ломаную линию, отрезки которой соединяют точками с коор-
А
динатами (х( , т?зк ) или [xi, Fr (x)]. Для интервального вари-
вариационного ряда строят ступенчатую кривую. Ширина каждой сту-
ступеньки равна размеру интервала, а ее высота, соответствующему
данному интервалу значений накопленной частоты или частости.
Пример 2. Дать графические представления следующего статистического
распределения, полученного на основе обработки результатов контроля содер-
содержания углерода в отливках:
1,8
1,9
2,1
mi
2
3
7
2,2
2,3
2,4
mi
5
2
1
Решение. Исходный вариационный ряд — дискретный, следовательно нуж-
нужно построить полигон н кумулятивную кривую.
Вначале вычислим значения частости, накопленной частоты и статистиче-
статистической функции распределения:
Pi = т, In; m™K = 2тk; Fn(x)= гп?як /и,
k Hi
где n=S, mi =20.
Полученные значения занесем в табл. 2.
По найденным значения^ построим полигон частот и частостей и кумуля-
кумулятивные кривые накопленных частостей и частот (рис. 10 и 11).
Пример 3. Для контроля качества обработки роликов диаметром 25Zo'o25 MM
была взята выборка объемом я=100 шт. Диаметр роликов определялся с точ-
точностью до 0,001 мм. Отклонения диаметра от номинального размера (в мкм)
представлены в табл. 3 (знак минус опущен).
Построить: а) интервальный вариационный ряд; б) статистический ряд;
в) статистическую функцию распределения отклонений диаметра от номиналь-
номинального значения по результатам выборочных измерений.
Решение. Значения отклонений диаметра от номинального размера заклю-
заключены в интервале 11<*<24 (знак опущен). Число членов вариационного ряда
41

xi
mt
Pi
тГ
Д. (*)
1,8
2
0,10
0
0
1.9
3
0,15
2
0,10
2.1
7
0,35
5
0,25
2.2
5
0,25
12
0,60
2.3
2
0.10
17
0,85
Таб
2.4
1
0.05
19
0,95
>лнца 2
2.4
20
1,00
1.9 2,-g 2,1 2,2 2,3 ?,4.
Рис. 10
K,t*>
<'9 V 2,1 Z22j~2J~J7)
Рис. 11
Таблица 3
17
23
13
21
15
18
16
21
15
17
13
18
17
24
22
15
22
16
17
16
14
16
18
23
17
21
15
17
16
16
18
14
21
18
16
17
17
16
15
22
13
14
15
22
18
15
21
16
18
15
18
13
15
17
21
18
15
22
19
13
19
14
17
19
20
19
18
20
14
20
20
17
13
20
22
19
13
18
19
19
20
21
19
21
13
19
21
19
18
19
20
22
20
18
20
12
19
П
19
18
42
Вариационный ряд имеет вид: 11, 12, 13, 14,-'15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22,
23, 24, В данном случае число членов вариационного ряда /=14 ие очень ве-
велико, и можно переходить к построению статистического ряда распределения,
подсчитав соответствующие каждой варианте частоты. Однако при большом
объеме (п=100) целесообразно объединить варианты, построив интервальный
вариационный ряд. При этом упрощается поеледующий процесс обработки ста-
статистической совокупности.
Определим ширину интервала:
где /-= 1+3,3 IgA (для и=100 г=8).
В нашем примере, если выбрать г = 8, то
24-11 13_
"= 8 = 8 ~К
Следовательно, нужно цзять число интервалов г =7, тогда ширина иитер--
вала получится равной /г=13/7«2 мкм.
Вариационный интервальный ряд примет следующий вид: 10—12; 13—\4;
14-16; 16—18; 18—20; 20—22; 22—24.
По приведенным в настоящем параграфе формулам подсчитаем
Pi mf*, Fn (Xj\-\). Для удобства составим табл. 4.
Таблица 1
Номер
интервала
1
2
3
4
5
6
7
Границы
интервала
Txi+i
10—12
12—14
14—16
16—18
18-20
20—22
22—24
Частота
т.
2
13
19
25
22
16
3
Частость
- т1
0,02
0,13
0,19
0,25
0,22
0,16
0,03
Накопленная
частота
пак
т,
2
15
34
59
81
97
100
Статистическая
функция распре -
деления
0,02
0,15
0,34
0,59
0,81
0,97
1,00
Построим по вычисленным значениям гистограмму и полигон
частостей (рис. 12).
Рассмотрим числовые характеристики распределения статисти-
статистической совокупности значений случайной величины.
Статистическим аналогом математического ожидания является
среднее арифметическое наблюдавшихся значений случайной ве
личины:
X ==s
n
2
l
B.6)
Как уже отмечалось ранее, замена математического ожидания
средним арифметическим позволяет получить и другие статистиче-
статистические начальные и центральные моменты любых порядков. Прак-
43

тически указанные моменты (их называют теоретическими) вычис-
вычисляют по эмпирическим формулам:
S x\
_1_
n
B.7)
где ak и |лА — начальный и центральный статистические моменты
k-vo порядка соответственно.
Pi
3,30
0,20
С,!!]
,S
Полигон
/Ьстограмма
Ю 12 <ч /6 /8 20 22 2U X/
Рнс. 12
Статистический начальный момент первого порядка есть сред-
среднее арифметическое, а статистический момент второго порядка —
статистическая дисперсия. Эти два положения являются важней-
важнейшими характеристиками — позволяют судить об основных особен-
особенностях изучаемой статистической совокупности — ее центре груп-
группирования и степени рассеивания наблюдений относительно цент-
центра (см. §17).
Часто используют в обработке выборочную дисперсию
B.8)
Выборочное среднее квадратическое отклонение o*=V(а*У .
Для сравнения вариационных рядов с точки зрения их рассеива-
рассеивания относительно средней удобно использовать безразмерную ве-
величину — коэффициент вариации:
v= "-=- -103 %.
X
B.9)
44
Пр» большом объеме статистических данных для вычисления
выборочных средней и дисперсии удобно воспользоваться методом
произведений, приводящим к следующим формулам:
Х =
у
Jj
A2
n
r
= h— 5 пца\-{х-хо)\
B.10)
B.11)
где х0 — постоянное число, называемое условной средней; пц =
= (xi —хо)/п — условная варианта; тс —частота; г — число ва-
вариант; п — объем выборки; h — расстояние между соседними ва-
вариантами.
Этот же метод удобно использовать для приближенного расче-
расчета xi и (а*J интервального вариационного ряда с постоянной ши-
шириной интервала, переписав формулы B.10) и B.11) в виде:
B12)
ft2
(°*J= ^ 2
B.13)
где х0 —условная средняя; и\ = (Xj —хо)/п; xt —середина
/'-го интервала; г — число интервалов.
Пример 4. Вычислить статистические среднее и дисперсию отклонений, ис-
используя данные примера 3.
Решение. По формулам B.10) и B.11) найдем приближенные значения
х и (О*J, расположив значения в табл. 5.
Таблица 5
Номер
интервала
1
2
3
4
5
6
7
/4 = 2
Границы
интервала
*/-*/+.
10—12
12—14
14—16
16—18
18—20
20-22
22-24
х*=17
Середина
интервала
*
11
13
15
17
19
21
23
Частота
т1
2
3
19
25
22
16
3
V=.
Xj-X0
п
—3
—2
]
0
1
2
3
m. и*.
—6
—26
— 19
0
22
32
9
2=12
т. <«;>
18
62
19
0
22
64
27
2Г =202
45

В качестве условной средней х0 взята середина 4-го интервала,, на кото-
который приходится наибольшее значение частоты:
2
х=17+
100
•12=17,24 мкм;
@*)» =
2
ШО
¦202— A7,24 —17J =
2=2,8 мкм.
Одна из важнейших задач математической статистики — нахож-
нахождение функции распределения по данному статистическому ряду.
Это действие называется выравниванием статистического распре-
распределения, а искомую функцию распределения F(x) или плотность
распределения f(x) называют выравнивающими. При выборе вы-
выравнивающей функции можно найти такой теоретический закон
распределения, который выражает самые существенные свойства
изучаемой статистической совокупности.
Вид гистограммы или полигона, а также анализ статистических
характеристик позволяют сделать вывод о возможности выравнива-
выравнивания статистического ряда с помощью того или иного закона расп-
распределения. Так, симметричный вид гистограммы позволяет пред-
предположить, что данная гистограмма выравнивается нормальной
кривой.
После того, как найдены значения параметров распределения,
проводят сравнение теоретической функции распределения F(x)
и эмпирической Fn (x). Для наглядности строят графики F(x) и
Fn (х).
Сравнение графиков показывает, насколько теоретический закон
распределения удовлетворительно отражает экспериментальные
данные.
Выравнивающая функция распределения сглаживает все те
случайные отклонения, свойственные Fn (x), которые происходят
из-за ограниченного объема наблюдений.
Выравнивание статистического распределения проводят в сле-
следующем порядке:
1. Выбирают теоретический закон распределения, зависящий от
k параметров: F(xh ax, ak) или / (хи аи ah).
2. Вычисляют параметры распределения. Оценку приводят к ре-
решению системы k уравнений:) \ч = \ц (i — 1,2,..., k).
3. Строят графики выравнивающей функции распределения
F(x) или плотности f(x) для значений х., где xi —варианта для
значений Xj /где х} —граница интервала (для интервального ва-
вариационного ряда).
4. Сравнивают графики F(x) и F- (х) или f(x) и гистограммы.
Пример 5. Выравнить статистический ряд распределения по данным при-
примера 4.
46
Реикдаие. Предположим, что закон распределения отклонений диаметра ро-
роликов от\номииального размера — нормальный. Плотность его распределения
2о2
Считая, что в соответствии с методом моментов х—тх, а* —а определим зна-
значения параметров нормального закона: тх=х= 17,24 мкм; а*=а=2,83 мкм.
Следовательно, выравнивающая кривая имеет вид
1
17,24)з 1
2-2,83» J-
Вычислим значения f{x) для_граииц интервалов jc^ (/= 1, 2,...,8). Для
этого, вводя переменную у=(х—х)/а* и используя свойство нормального расп-
распределения f(x) = l/<J-f(y), найдем по таблице приложения 1 значения f(yi ).
Найденные значения занесем в табл. 6 и по ним построим график плотности
распределения. Сравнение кривой распределения f(*) и гистограммы позволяет
сделать вывод об удовлетворительном описании статистического распределения
с помощью нормального закона (рис. 13). Методы сравнения приведены в § 31.
В эту же таблицу занесем значение теоретической функции распределения
Р(х)=Ф(у)г найденные по таблицам функции Лапласа (приложение 1).
Таблица 6
/
xi
У1 'а
*(*/)=Ф@*)
1
10
-2,56
0,0037
0,0037
2
12
-1,84
0,033
0,0259
3
14
-1,15
0,125
0,0726
4
16
—0,44
0,330
0,1280
5
18
+0,27
0,606
0,1361
6
20
+0,97
0,835
0,0881
7
22
+1,68
0,954
0,0344
8
24
+2,39
0,991
0,0081
§ 17. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Для полной характеристики распределения случайной величи-
величины в математической статистике кроме основных характеристик,
рассмотренных в § 16, применяют и другие. К ним относятся асим-
асимметрия (мера «скошенности») и эксцесс (мера «крутости»), т. е.
островершинности или плосковершинности распределения.
Эти характеристики являются частными случаями более обще-
общего понятия — моментов.
1. Моменты. Различают начальные и центральные моменты.
Начальным моментом порядка k случайной величины X называют
математическое ожидание k-й степени этой случайной величины,
т. е.
B.14)
47.

Центральным моментом порядка k называют математическое ожи-
ожидание k-й степени отклонения случайной величины от е^ матема-
математического ожидания
Мк=М[(х-х)к].
B.15)
f'-У.) fix!
1^
| У
Г /
s
и
/
/
Г
1
i
V
1 Г
U,ui
Рис. 13
Практически, указанные моменты (их называют теоретически-
теоретическими) вычисляют по эмпирическим формулам:
B.17)
В соответствии с формулами B.14) и B.15) и используя свой-
свойства математического ожидания, устанавливают следующие со-
соотношения:
ао=1;
fs=j_;
а1=х;
14=0;
а2;
B.Г8)
jx3=a3—За; a2-f2a3.
Основные характеристики х и D(X) равны соответственно
х=а; ц,=ВД. B.19)
2. Эксцессом ? называют величину, вычисляемую по формуле
-3.
B.20)
Ы'
В ч:лучае точного соблюдения нормального закона распределе-
распределения в выборке величина Е должна равняться нулю. Для соотноше-
соотношения |Л; й |Х4 эксцесс, как правило, нулю равняться не будет.
Отклонение эксцесса эмпирического распределения от его тео-
теоретического значения, т. е. нуля, будет указывать на отклонение
эмпирического распределе-
распределения от нормального, причем,
если Е > 0, распределение
будет «высоковершинным»,
если ?<0 — «низковер-
«низковершинным» (рис. 14).
Эмпирическое распреде-
распределение совпадает с нормаль-
нормальным только при числе испы- _S_
таний, неограниченно боль-
большом. В практике значение
эксцесса отличается от нуля,
поэтому необходимо знать,
можно ли считать значение эксцесса несущественным для данного
случая, и, следовательно, отклонение вершины кривой эмпириче-
акого распределения от нормальной кривой допустимым.
Для этого используют формулу, позволяющую вычислять сред-
среднее квадратическое отклонение эксцесса
Рис. 14
о(?)= у^ . B.21)
При малом числе наблюдений B0 < п < 50) значение эксцесса
вычисляют по формуле
|?|<3о(?). B.22)
3. Асимметрия. В практике встречаются случаи, когда кривая
распределения является как бы скошенной. В качестве числовой
характеристики в этом случае применяют так называемый показа-
показатель асимметрии
Sk= ^ ,
B.23)
где Sk—'показатель асимметрии (Sk — первые буквы слова
skewness — скошенность); jx3 — третий центральный момент; о3 —-
третья степень среднего квадратического отклонения.
Для симметричных распределений, в том числе нормального,
очевидно, что Sk = 0; при Sk > 0 кривая будет скошена влево,,
при Sk < 0 — вправо (рис. 15).
Для нормального распределения при большом числе испытаний
среднее квадратическое отклонение показателя асимметрии может
быть вычислено по формуле
s(Sk);
B.24)

Если выполняется условие
|Sk|<3a(Sk), B.25)
то эмпирическое распределение можно считать практи^ки сим-
симметричным.
Рис. 15
ГЛАВА 3
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИЗМЕРЕНИЯХ
§ 18. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Анализ и оценивание погрешностей измерений представляет со-
собой один из разделов метрологии.
Погрешностью измерения называется отклонение результата
измерения от истинного значения измеряемой величины. По форме
выражения различают абсолютные и относительные погрешности.
Абсолютная погрешность — погрешность, выраженная в едини-
единицах измеряемой величины и представляющая разность между по-
полученным результатом измерения (х. ) и истинным значением из-
измеряемой величины (X)
Д=х,-Х. C.1)
Относительная погрешность — погрешность, выраженная в
долях истинного значения измеряемой величины
? C.2)
8= *i .
Л.
Относительные погрешности чаще всего выражаются в процентах.
В определении погрешности использовались понятия «результат
измерения» и «истинное значение измеряемой величины». Под ре-
результатом измерения понимается оценка измеряемой физической
величины в виде некоторого числа принятых для иее единиц, полу-
полученная путем измерения.
Истинное значение физической величины — значение физиче-
физической величины, которое идеальным образом отражает как в каче-
качественном, так и в количественном отношении соответствующее свой-
свойство объекта.
50
Рассматривая результаты измерения, непременно следует отме-
отметить возникновение погрешностей, характеризующих несовершен-
несовершенство измерений. В силу этого появляется еще одно понятие — точ-^
ность измерений.
Под тЬчностью измерений понимают качество измерений, от-
отражающее близость их результатов к истинному значению измеря-
измеряемой величины. Измерение тем точнее, чем меньше его погреш-
погрешность. Однако, вместе с тем, использовать значение абсолютных
погрешностей для оценки результатов измерений не всегда удоб-
удобно, так как надо знать значение измеряемой величины. Например,
если мы говорим, что абсолютная погрешность составила 1 м, то
сказать хорошие ли результаты измерений или нет — не можем.
Но, если мы скажем, что относительная погрешность получилась
0,001 или 0,1 %, то достаточно просто можно судить о качестве
проведенных измерений.
§ 19. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИЗМЕРЕНИЯХ
И О ПОГРЕШНОСТЯХ ИЗМЕРЕНИЙ
Общие положения теории измерений. Измерения известны с
незапамятных времен. Как правило, измерения проводились мето-
методом сравнения, т. е. сопоставлялись однородные величины, харак-
характеризующие разные объекты. Размер одной из них принимался
за единицу, и с ней сравнивались другие измеряемые величины.
Так появились эталоны — средства измерения, размер соответст-
соответствующей физической величины крторых приняты за единицу.
Развитие науки и техники, международное сотрудничество, при-
привело к тому, что многие страны стали применять одни и те же еди-
единицы физических величин. Для этих целей разработана Междуна-
Международная система единиц (SI);
В соответствии с этой принятой системой единиц создается наци-
национальная система эталонов, т. е. средств измерений, воспроизводя-
воспроизводящих или хранящих единицу с целью передачи ее размера рабочим
средствам измерений. Следует отметить, что эталоны не использу-
используются непосредственно для измерений (это нецелесообразно), а пред-
предназначены для воспроизведения единиц соответствующих величин
к соответствующим средствам измерений.
Средства измерений делят на рабочие и образцовые.
Рабочие средства применяются для измерений, не связанных с
передачей размера единиц. С их помощью выполняются многочис-
многочисленные измерения в технике, сельском хозяйстве, научных иссле-
исследованиях, быту, т. е. во всех сферах человеческой жизни.
Образцовые средства измерений находятся в ведении метроло-
метрологических служб и для практических измерений, как правило, не-
неиспользуются, они служат только для передачи размеров единиц
от эталонов образцовым и рабочим средствам измерений.
Передача размера осуществляется прежде всего при изготов-
изготовлении средств измерения: в результате градуировки шкал, подго-
5t;

товки мер и определения действительных значений величин ими
воспроизводимых.
При измерении какого-либо объекта необходимо его взаимодей-
взаимодействие со средством измерений. Например, для измерения диаметра
стержня его обжимают губками штангенциркуля; для измерения
напряжения в электрической сети подсоединяют вольтметр.
По окончании измерений получают оценку измеряемой величи-
величины — конкретное число, которое можно получить как в единицах
измеряемой величины, так и в результате вспомогательных вычис-
вычислений. Например, число отсчитанных по шкале прибора делений
умножается на определенный множитель.
Несовершенство средств измерений и неточность передачи ра-
рабочим средствам измерений и размеров единиц соответствующих
физических величин служат существенным источником погрешно-
погрешностей.
Источниками погрешностей могут быть изменения условий наб-
наблюдений (влажности, температуры, давления), несовершенство
применяемого метода измерений, а также погрешности, вызванные
субъективизмом наблюдения.
По способу получения числового значения измеряемой величи-
величины все измерения делятся на четыре основных вида: прямые, кос-
косвенные, совокупные и совместные.
Прямыми называют измерения, заключающиеся в эксперимен-
экспериментальном сравнении измеряемой величины с мерой этой величины
или в отсчете показаний средства измерений, непосредственно даю-
дающего значение измеряемой величины. К простейшим прямым изме-
измерениям относятся измерения длины линейкой, температуры — тер-
термометром, объема жидкости — мерником, электрического напряже-
напряжения — вольтметром и т. д.
Прямые измерения — основа более сложных видов измерений.
Косвенные — это измерения, результат которых определяют на
основании прямых измерений величин, связанных с измеряемой
величиной определенной зависимостью. Например, объем, прямо-
прямоугольного параллелепипеда можно определить по результатам пря-
прямых измерений длины в трех перпендикулярных направлениях,
электрическое сопротивление — по результатам измерений падения
напряжения и силы тока и т. п.
Находить значения некоторых величин легче и проще путем
косвенных, чем путем прямых измерений. Иногда прямые измере-
измерения практически невозможно осуществить. Нельзя, например, из-
измерить плотность твердого тела, определяемую обычно по резуль-
результатам измерений объема и массы.
Косвенные измерения некоторых величин позволяют получить
значительно более точные результаты, чем прямые измерения.
Совокупными называют измерения, в которых значения изме-
измеряемых величин по данным повторных измерений одной или не-
нескольких одноименных величин при различных сочетаниях мер или
этих величин. Результаты совокупных измерений находят путем ре-
решения системы уравнений, составляемых по результатам несколь-
52
ких прямых измерений. Например, совокупными являются измере-
измерения, при которых массы отдельных гирь набора находят по извест-
известной массе одной из них и по результатам прямых сравнений масс
различных сочетаний гирь.
Совместными называют производимые одновременно (прямые
или косвенные) измерения двух или нескольких неодноименных ве-
величин. Цель совместных измерений, по существу, это нахождение
функциональной зависимости между величинами, например, зави-
зависимости длины тела от температуры, зависимости электрического
сопротивления проводника от давления и т. п.
Рассмотрим совместные измерения физической величины А при
определении влияния на нее переменной величины В. Эта зависи-
зависимость в общем виде выражается формулой
Л<==Л0.A+а-Ь,+р.&2), C.3)
где Ло — значение величины А при значении величины В, равном
BQ и соответствующем исходным условиям; Ас — измеренное зна-
значение величины А при значении влияющей величины Bi (i = 1, 2,
3 —номер измерения),; bi —приращение величины В; (В с —
—Во) = bi, если Во = 0, например, 0°С, то вместо b , подстав-
подставляют Bi ); а — коэффициент линейного члена формулы; р — коэф-
коэффициент квадратического члена формулы.
Для определения Ло и коэффициентов аир проводят ряд изме-
измерений величины А при различных значениях величины В. Каждое
измерение при измененной величине В дает новое значение At в
C.3); где Аи, аир неизвестны. Решая систему полученных в ре-
результате измерений уравнений, определяют значения Ао, аир.
При невысоких требованиях к точности нередко ограничива-
ограничиваются определением коэффициента а. Значение коэффициента при
этом принимается равным нулю. При повышенных требованиях и
необходимости более точно исследовать зависимость величины А
от В в формулу вводят дополнительные члены, соответственно уве-
увеличивая число коэффициентов, например у • bi и т. д.
Важнейшая характеристика качества измерений — их точность.
Материальной основой, обеспечивающей точность бесчисленных
измерений, выполняемых в народном хозяйстве, служат эталоны и
образцовые средства измерений. Точность каждого конкретного
измерения определяется точностью использованных средств изме-
измерений, примененным методом измерений. Однако, поскольку истин-
истинное значение измеряемой величины всегда неизвестно, погрешно-
погрешности результатов измерений приходится оценивать расчетным пу-
путем, теоретически. Эта задача решается по-разному, с разной точ-
точностью. По точности оценивания погрешностей введем следующую
классификацию измерений.
Измерения с точным оцениванием. погрешностей — измерения,
при которых учитывают индивидуальные свойства средств измере-
измерений и контролируют условия измерений
Измерения с приближенным оцениванием погрешностей — из-
измерения, при которых учитывают нормативные данные о свойствах
53

средств измерений и приближенно оценивают условия измерений.
Наиболее существенные влияющие величины иногда измеряют.
Измерения с предварительным оцениванием погрешностей —
измерения, при которых регламентированы типы (марки) приме-
применяемых средств измерений, условия выполнения измерений и зара-
заранее оценены погрешности. Заметим, что измерения с предваритель-
предварительным оцениванием погрешностей часто называют техническими из-
измерениями.
Здесь нужно обратить внимание на одно обстоятельство, спра-
справедливость которого будет ясна из дальнейшего. Представим себе,
что измерения с разной точностью оценивания погрешностей вы-
выполняются с помощью одних и тех же средств измерений. Приме-
Примечательно, что при этом и результат измерений получается разной
точности. Самым точным будет результат измерения с точным оце-
оцениванием погрешностей. Результат измерения с приближенным
оцениванием погрешностей в большинстве случаев будет точнее ре-
результата с предварительным оцениванием погрешностей, только в
отдельных случаях эти результаты могут оказаться равными по
точности.
Во всех рассмотренных выше случаях измерения были направ-
направлены на получение оценки истинного значения измеряемой вели-
величины, что собственно, и является задачей всякого измерения.
§ 20. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ
Погрешности измерений классифицируются по различным при-
признакам. Один из признаков классификации был рассмотрен в § 19,
это способ классификации по форме числового выражения. Дру-
Другой, не менее существенный признак — это классификация погреш-
погрешностей по закономерности появления погрешности измерения.
Различают погрешности систематические и случайные.
Систематической погрешностью измерения называется состав-
составляющая погрешности измерения, которая остается постоянной или
закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же
величины.
Различают постоянные систематические погрешности и система-
систематические погрешности, закономерно изменяющиеся. Последние,
в свою очередь, подразделяют на прогрессирующие, периодические
и изменяющиеся по сложному закону.
Постоянная систематическая погрешность — это погрешность,
остающаяся неизменной и потому повторяющаяся при каждом на-
наблюдении или измерении.
Прогрессирующие погрешности — погрешности, постоянно воз-
возрастающие или убывающие при измерениях.
Периодические погрешности — погрешности, меняющиеся с оп-
определенным периодом.
В общем случае, систематическая погрешность может меняться
по сложному непериодическому закону.
54
Обнаруженная и оцененная систематическая погрешность ис-
исключается из результата измерения путем введения поправки. Од-
Однако, таким образом полностью устранить систематическую по-
погрешность не представляется возможным, какая-то часть погреш-
погрешности остается неустраненной, и тогда эта остаточная погрешность
будет представлять собой систематическую составляющую погреш-
погрешности результата измерения.
Для того, чтобы дать определение случайной погрешности из-
измерения, представим себе, что измерение какой-то величины выпол-
выполнено несколько раз. Если между результатами отдельных измере-
измерений имеются различия и эти различия индивидуально непредсказу-
непредсказуемы, а какие-либо присущие им закономерности проявляются лишь
на значительном числе результатов, то погрешность, обусловлен-
обусловленную таким рассеиванием результатов, называют случайной погреш-
погрешностью.
Деление погрешностей измерений на систематические и случай-
случайные очень важно, так как эти составляющие проявляют себя по-
разному, и их оценивание требует разного подхода.
Если случайные погрешности обнаруживаются путем повторе-
повторения измерения одной и той же величины в одних и тех же усло-
условиях, то систематическую погрешность измерения эксперименталь-
экспериментально можно обнаружить либо сопоставлением данного результата с
результатом измерения этой же величины, но полученным другим
методом, либо путем использования более точных средств измере-
измерений. Однако обычно систематические погрешности оценивают пу-
путем теоретического анализа условий измерения, основываясь на
известных свойствах средств измерений.
Качество измерений, отражающее близость к нулю системати-
систематических погрешностей результатов измерений, называют правиль-
правильностью измерений.
Качество измерений, отражающее близость результатов изме-
измерений, выполненных в одних и тех же условиях, называют сходи-
сходимостью результатов измерений. Хорошая сходимость свидетельст-
свидетельствует о малости случайных погрешностей.
Говоря о свойствах погрешностей, будем различать также гру-
грубые погрешности или промахи. Грубой погрешностью называют
погрешность, существенно превышающую погрешность, оправдан-
, ную условиями измерений, методом измерения, свойствами приме-
примененных средств измерений, квалификацией экспериментатора. Та-
Такие погрешности могут возникать, например, вследствие резкого
кратковременного измерения напряжения в сети питания (если на-
напряжение в сети в принципе оказывает влияние на результаты из-
измерений).
Грубые погрешности при статистических измерениях обнаружи-
обнаруживают статистическими методами и обычно исключают из рассмот-
рассмотрения.
Промахи — следствие неправильных действий экспериментато-
экспериментатора. Это, например, описка при записи результатов наблюдений, не-
неправильно снятое показание приборов и т. д. Промахи обнаружи-
55

вают нестатистическими методами, и их следует всегда исключать
из рассмотрения.
Погрешности измерений делят также на статические и динами-
динамические. Выше мы говорили о статических погрешностях. Динами-
Динамические погрешности — это погрешности измерений, обусловленные
инерционными свойствами средств измерений.
Если с помощью регистрирующего прибора осуществлена за-
запись изменяющейся величины, то разность полученной функции и
действительного процесса измерения регистрируемой величины во
времени (с учетом необходимых масштабных преобразований) пред-
представляет собой динамическую погрешность данного динамического
измерения. В этом случае она также функция времени, и для каж-
каждого момента времени можно определить мгновенную динамиче-
динамическую погрешность. ¦
Теперь рассмотрим случай, когда процесс фиксируется путем
измерений его отдельных мгновенных значений. Ясно, что если за
время одного измерения изменение измеряемой величины незначи-
незначительно, а мгновенные значения процесса получены в известные мо-
моменты времени и достаточно часто, то найденная в итоге совокуп-
совокупность точек дает картину изменения измеряемой величины во вре-
времени с пренебрежимо малой погрешностью. Таким образом, здесь
не будет динамической погрешности.
Инерционные свойства прибора могут быть, однако, такими,
что изменения измеряемой величины за время измерения будут
вызывать определенную погрешность в результатах измерений
мгновенных значений. В этом случае полученная совокупность
мгновенных значений не будет совпадать с процессом изменения
измеряемой величины во времени и их разность точно так же, как
и в случае с аналоговым самопишущим прибором, даст динами-
динамическую погрешность. Соответственно погрешность измерения от-
отдельной мгновенной величины, обусловленную темпом изменения
измеряемой величины и инерционными свойствами средства из-
измерений, естественно назвать мгновенной динамической погрешно-
погрешностью.
Если измеряется какая-то одиночная мгновенная величина, на-
например, амплитуда импульса, и измерение осуществляется специ-
специальным показывающим прибором, то отличие формы импульса от
той, при которой прибор был отградуирован, вызовет в результате
измерения дополнительную погрешность. В свете изложенного ее
можно было бы назвать динамической погрешностью. Однако обыч-
обычно в таких случаях избегают применять обобщенное наименование
«динамическая погрешность», а называют такую погрешность с
указанием причины, ее обусловившей. В данном примере рассмот-
рассмотренную погрешность естественно назвать погрешностью из-за фор-
формы импульса. На практике форму импульса характеризуют рядом
параметров и с каждым из них связывают свою составляющую по-
погрешность.
Каждая из составляющих погрешности в свою очередь может
вызываться рядом причин. Так, методические погрешности могут
56
возникать вследствие недостаточной разработанности теории явле-
явлений, положенных в основу измерения, и неточности тех соотноше-
соотношений, которые используются для нахождения оценки измеряемой
величины. В частности, погрешность вследствие порогового несо-
несоответствия модели конкретного объекта самому объекту является
также методической погрешностью.
Инструментальные погрешности измерения — погрешности из-
за несовершенства средств измерений. Обычно различают основ-
основную погрешность средств измерений — погрешность в условиях,
принятых за нормальные, и дополнительные погрешности, т. е. по-
погрешности, обусловленные отклонением влияющих величин от их
нормальных значений.
Личные погрешности. Индивидуальные особенности лица, вы-
выполняющего измерения, обусловливают появление индивидуаль-
индивидуальных, свойственных данному лицу погрешностей. К ним относятся
погрешности из-за неправильного отсчитывания десятых долей
деления шкалы прибора, асимметричной установки штриха опти-
оптического индикатора между двумя рисками и т. п.
Совершенствование конструкций отсчетных и регулировочных
устройств средств измерений привело к тому, что при применении
современных средств измерений личные погрешности обычно не-
незначительны; при применении, например, цифровых приборов они
вообще исчезают,
§ 21. НОРМИРОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ
Средства измерений можно использовать только в том случае,
если известны их метрологические свойства. Обычно их описывают
путем указания номинальных значений тех или иных параметров и
допускаемых отклонений от них. Эти сведения приводят в техни-
технической документации на средства измерений.
Установление границ для отклонений реальных метрологичес-
метрологических свойств средств измерений от их номинальных значений —
нормирование метрологических свойств — предопределяет каче-
качество средств измерений. При изготовлении средств измерений, а
затем в процессе эксплуатации, проверяют, не выходят ли за уста-
установленные нормы реальные свойства средств измерений. И если
какое-то из реальных свойств отклоняется от своего номинального
значения больше, чем предусмотрено нормами, то средство измере-
измерения либо регулируют, либо переделывают, либо бракуют, либо за-
запрещают к использованию.
Сцецифической метрологической характеристикой средств изме-
измерений является их погрешность. Сведения о погрешностях средств
измерений необходимы для оценивания погрешности измерений.
В связи с этим погрешности, возникающие в процессе измере-
измерений, приходится нормировать. При нормировании погрешностей
средств измерений определяют пределы допускаемых основной и
всех дополнительных погрешностей, а также нормальные условия
и допускаемые отклонения от нормальных значений для всех вли-
57

яющих величин. Одновременно устанавливают ряды пределов до-
допускаемых измерений по точности и тем самым ограничивают их
номенклатуру. Это упорядочение осуществляется путем установле-
установления классов точности средств измерений.
Класс точности — это обобщенная характеристика средств из-
измерений, определяющая допустимые пределы для всех погрешно-
погрешностей этих средств измерений, а также и все другие свойства средств
измерений, влияющие на их точность (см. табл. 7).
Таблица 7
Форма выражения погрешнос-
погрешности
Предел допускаемой по
грешности
Обозначение классов точ-
точности (для данного приме-
примера)
Приведенная погрешность,
если нормирующее значе-
значение выражено в единицах
измеряемой величины
Приведенная погрешность,
если нормирующее значе-
значение принято равным длине
шкалы
Относительная погреш-
погрешность, постоянная
Отиоснтельиая погреш-
погрешность, возрастающая с
уменьшеняем измеряемой
величины
7= ±1,5
7= ±0,5%
6= ±0,5
5=±[0,02i+0,01X
х (- -D1
1,5
0,5
0,5
0,02/0,01
Из всех перечисленных выше способов выражения погрешностей
средств измерений лучшим является их выражение в виде относи-
относительных погрешностей, так как в этом случае указание допускае-
допускаемого предела погрешности дает наилучшее представление о том
уровне точности измерений, который может быть достигнут при
применении данного средства измерений. Однако относительная по-
погрешность обычно существенно изменяется вдоль шкалы прибора,
ноэтому ее применение для нормирования затруднительно.
Абсолютная погрешность часто удобнее относительной. В слу-
случае прибора со шкалой возможно нормирование предела допуска-
допускаемой абсолютной погрешности с использованием одного числового
значения для всей шкалы прибора. Но при этом трудно сравнивать
приборы по точности, если они имеют разные диапазоны измере-
измерений, что отпадает при нормировании приведенных погрешностей.
Предел допускаемой абсолютной погрешности Д может быть
выражен одним значением (без учета знака) А = ± а в виде ли-
лилейной зависимости
C.4)
58
где х — номинальное значение меры, показание измерительного
прибора или сигнал на входе измерительного преобразователя; а
и Ь — постоянные величины или иным уравнением Д = f(x); при
сложной зависимости последняя представляется таблицей или гра-
графиком.
Приведенная погрешность у (в %) определяется формулой
7=-4- -100, C.5)
XN
где xn — нормирующее значение.
Нормирующее значение принимается равным:
конечному значению шкалы прибора, если отметка находится
на краю или вне шкалы;
сумме конечных значений шкалы приборов (без учета знаков),
если нулевая отметка находится внутри шкалы;
номинальному значению измеряемой величины, если таковое
установлено;
длине шкалы, если шкала имеет резко сужающиеся деления.
В этом случае погрешность и длину шкалы выражают в одних еди-
аицах.
Для приборов со шкалой, градуированной в единицах величи-
величины, для которой принята шкала с условным нулем (например,
в °С), нормирующее значение принимается равньш разности ко-
конечного и начального значения шкалы (диапазону измерений).
Предел допускаемой относительной погрешности б (в %) дол-
должен выражаться одной из следующих формул:
Ь= -~— -100=±с; C.6)
C.7)
где хк — конечное значение диапазона измерений прибора или сиг-
сигнала на входе преобразователя; end — относительные величины.
Принятый вид формулы C.7) придает первому слагаемому в
правой части смысл относительной погрешности прибора при х =
= хк . Второй член этого выражения характеризует возрастание
относительной погрешности при уменьшении показаний прибора.
Таким образом, часть наименований разновидностей погрешно-
погрешностей закрепилась за погрешностями средств измерений, другая —
за -погрешностями результатов измерений, а некоторые применя-
применяются по отношению и к тем, и к другим. В последующем рассмат-
рассматриваются вопросы, относящиеся к погрешностям результатов из-
измерений.
59

ГЛАВА 4 .
СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ
§ 22. ОБНАРУЖЕНИЕ И УСТРАНЕНИЕ
СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Обнаружение систематических погрешностей представляет со-
собой сложную задачу. Особенно трудно обнаружить постоянную си-
систематическую погрешность. Для ее обнаружения целесообразно
выполнить измерение несколькими, хотя бы двумя, различными пу-
путями. Часто измерения выполняют путем сравнения результатов
измерения одной и той же величины, полученных разными экспе-
экспериментаторами в разных лабораториях.
Изменяющиеся систематические погрешности обнаружить лег-
легче. Для этого применяют статистические методы, в частности, ме-
методы Стьюдента, Фишера, а также корреляционный анализ. Иног-
Иногда в процессе выполнения измерений полезно использовать гра-
график, на который наносят результаты в той последовательности,
в которой они выполнены. Общая картина расположения получен-
полученных точек позволяет обнаружить наличие систематического изме-
изменения результатов измерений без математического анализа.
В принципе, для обнаружения систематической погрешности ка-
какого-то измерения можно это же измерение выполнить с парал-
параллельным применением более точных средств измерений.
Если обнаружено наличие систематической погрешности, то
обычно удается ее оценить и устранить. В большинстве областей
измерений известны основные источники систематических погреш-
погрешностей и разработаны методы измерений, исключающие возникно-
возникновение этих погрешностей или устраняющие их влияние на резуль-
результат "измерения. Иначе говоря, устранение систематических погреши
ностей осуществляется путем математической обработки опытных
данных, применением соответствующих методов измерений.
Устранение постоянных систематических погрешностей методом
замещения представляет собой разновидность метода сравнения,
когда сравнение осуществляется путем замены измеряемой величи-
величины известной величиной и так, что при этом в состоянии и действии
всех используемых средств измерений не происходит никаких из-
измерений.
Пример. Устранение погрешности из-за неравноплечести весов. Пусть х —
измеряемая масса; р — масса уравновешивающих гирь; &{ и /2 — длина плеч
коромысла весов.
Измерение осуществляется следующим образом. Сначала взвешиваемое те-
тело помещают на одну из чашек весов и весы уравновешивают с помощью та-
тары с массой Т, при этом
х= j- Т. D.1)
Затем, сняв груз массой х, на освободившуюся чашку помещают гири
такой массы р, чтобы вновь получить равновесие весов
/»=-?¦ -Т- D.2)
60
Поскольку правые части обоих равенств одни и те же, то равны и левые,
т. е. х=р, а то, что 1\ф,12, на результат не влияет.
Аналогично можно поставить измерение сопротивления резистора, распола-
располагая чувствительным, но неточным мостом и точным магазином сопротивлений,
и измерение ряда других величин.
Метод противопоставления — разновидность метода сравнения,
при котором измерение выполняется с двумя наблюдениями, про-
проводимыми так, чтобы возникновение постоянной погрешности ока-
оказывало разные, но известные по закономерности воздействия на
результаты наблюдений.
Пример. Измерение способом взвешивания Гаусса. Сначала взвешиваемый
груз уравновешивают гирями pi и р2. Сохраняя обозначения предыдущего при-
примера
х= -?- -Pl. D.3)
Затем переставляют груз на ту чашку, где были гири, и вновь уравнове-
уравновешивают весы, получают
А
Из этих двух равенств исключают отношение
и
и находят
D.4)
D.5)
Метод компенсации погрешности по знаку предусматривает из-
измерение с двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы посто-
постоянная систематическая погрешность в результате каждого из них
входила с разными знаками.
Пример. Измерение ЭДС х потенциометром постоянного тока, имеющего
паразитную ТЭДС. Выполнив одно наблюдение, получают Е\. Затем переклю-
переключают полярность измеряемой ЭДС, изменяют направление рабочего тока в
потенциометре и вновь уравновешивают измеряемую ЭДС, получают Е2. Ес-
Если ТЭДС дает погрешность Ас то ?\ = х+ Дс, Ег=х—Ас где Ао — системати-
систематическая погрешность. Отсюда
D.6)
Устранение прогрессирующих систематических погрешностей.
Простейшим, но частным случаем прогрессирующей погрешности
является погрешность, изменяющаяся по линейному закону, на-
например пропорционально времени. Такой же характер имеет по-
погрешность измерения напряжения с помощью потенциометра, если
происходит заметное падение напряжения аккумулятора, создаю-
создающего рабочий ток. Формально, если известно, что рабочий ток по-
потенциометра изменяется линейно во времени, то для устранения
возникающей погрешности достаточно двух наблюдений, выпол-
выполненных с фиксацией во времени после регулировки рабочего тока
по нормальному элементу. Пусть
D.7)
61

где U и U — интервалы времени между регулировкой рабочего
тока и наблюдениями; k— коэффициент пропорциональности меж-
между погрешностью измерения и временем; Et и Е2 — результаты наб-
наблюдений. Отсюда
Х~
к-к
D.8)
Однако при точных измерениях целесообразно пользоваться
несколько более сложным методом симметричных наблюдений.
Сущность этого метода состоит в том, что несколько наблюдений
выполняют через равные промежутки времени и затем вычисляют
средние арифметические симметрично расположенных наблюдений.
Теоретически все эти средние должны быть равны, что дает воз-
возможность контролировать ход эксперимента, а также устранять
эти погрешности.
При более сложных закономерностях изменения погрешностей
методы их устранения усложняются, однако, знание этих законо-
закономерностей всегда позволяет устранить эти погрешности. Если же
закономерность настолько сложна, что ее выявление или нецеле-
нецелесообразно, или не удается, то представляется возможным свести
систематические погрешности к случайным, сделать их квазислучай-
квазислучайными. Для этого нужно выполнить ряд наблюдений так, чтобы по-
погрешности наблюдений были самыми разнообразными и похожими
на случайные. Однако этот прием менее эффективен, чем выявле-
выявление погрешности и ее прямое устранение.
Перечисленные методы не исчерпывают всех возможностей уст-
устранения систематических погрешностей. Так, для устранения из ре-
результата измерения систематической погрешности средства изме-
измерения измерение можно выполнить не одним, а одновременно не-
несколькими приборами (при условии, что погрешности приборов
некоррелированы). Принимая за результат измерения определен-
определенную комбинацию показаний всех приборов, можно получить разные
систематические погрешности у разных приборов, которые будут
как-то компенсировать друг друга и погрешность получаемого
результата будет меньше, чем при использовании отдельного при-
прибора.
§ 23. ВЛИЯНИЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
НА ТОЧНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Как уже отмечалось выше, закономерности возникновения слу-
случайных и систематических погрешностей измерений существенным
образом отличаются между собой. Случайные погрешности подчи-
подчиняются так называемой статистической закономерности. Что ка-
касается систематических погрешностей, то их закономерности зави-
зависят от источников возникновения погрешностей и могут быть обна-
обнаружены из специальных исследований.
Следует различать влияние систематических погрешностей на
точность отдельных результатов измерений и на точность функций
результатов измерений.
62
Сначала рассмотрим действие систематических погрешностей
иа отдельные результаты измерений. При наличии систематических
погрешностей общую погрешность измерений в можно представить
в виде суммы
6=Д+ДС, D.9)
где А — случайная составляющая погрешности; А, —систематиче-
—систематическая составляющая погрешности.
Возведем обе части этого равенства в квадрат и возьмем мате-
математические ожидания
М(вJ=М(Д2)+М(А2 )+2М(Д-Дс)- D.10)
Так как
М(Д-ДС)=ЩД)-Л^D) и Л*(Д)=0,
то для искомой средней квадратической погрешности получим
oS-oi+o»^, D.11)
где сгд — средняя квадратическая случайная погрешность; сгдс —
средняя квадратическая систематическая погрешность.
Обычно считают, что если один из двух источников характери-
характеризуется средней квадратической погрешностью, не превышающей
Уз части средней квадратической погрешности, характеризующей
другой источник, то первым источником погрешности можно пре-
пренебречь при оценке точности результатов измерений.
Действительно, положим
Тогда
D.12)
D.13)
т. е. значение сге , если пренебречь систематической погрешностью,
уменьшится на 5 % ¦
При сг =5= а/5 значение сг/6 уменьшится всего лишь на 2 %.
Таким образом, если систематические влияния характеризуются
средней квадратической погрешностью, не превышающей 1/з—Vs
среднего квадратического значения случайных погрешностей, то
такими систематическими влияниями можно пренебречь для оцен-
оценки точности отдельных результатов измерений.
Рассмотрим теперь совместное действие случайных и система-
систематических погрешностей на функции результатов измерений.
Средняя квадратическая погрешность функции результатов
измерений, отягощенных случайными и систематическими погреш-
погрешностями в случае совместного действия случайных и систематиче-
систематических погрешностей измерений
D.14)

Вывести общую формулу для систематической части средней
квадратической погрешности функции, т. е. для ад невозможно,
так как закономерности влияния систематических погрешностей
могут быть в отличие от случайных погрешностей самые разные.
Поясним это. Истинные погрешности функции F(x, у, ..., п), обу-
обусловленные систематическими погрешностями аргументов, можно
выразить так же, как и случайные части погрешностей в виде диф-
дифференциала
Лд =(jL) дх +(<*) а +...+ (<*) д. . D.15)
Средняя квадратическая систематическая погрешность функции
будет
ч-
X
*с'ДУс
D.16)
В отличие от действия только случайных погрешностей, члены,
содержащие суммы произведений систематических составляющих,
отбрасывать нельзя, так как они свойством компенсации не обла-
обладают.
Рассмотрим действие систематических погрешностей на точ-
точность некоторых функций.
Действие систематических погрешностей на точность среднего
значения многократно измеренной величины. При наличии систе-
систематических погрешностей в отдельных результатах измерений мож-
можно записать
X
Л Л
2 с
D.17)
где X — точное значение измеренной величины; xt — результат
/-го измерения.
Сложив левые и правые части этих равенств и разделив сум-
суммы на п, получим
п
i
п
2 Д
1
п
п
п
или
Х=х-Аср—А, .
ср
D.18)
D.19)
Порядок величины Аср характеризуется, как известно, формулой
D.19а)
V1T
64
где Од — среднее квадратическое значение случайной погрешно-
погрешности одного измерения. Последнее равенство показывает, что случай-
случайная погрешность простого среднего арифметического уменьшается
с увеличением числа измерений.
Что касается Ас , то в каждом конкретном случае структура
этой величины может быть разная. В частности, если систематиче-
систематическая погрешность будет постоянна и равна Дос , то формула D.19)
примет вид
Х=1-Дср-ЛОс, D.196)
откуда видно, что увеличение числа приемов измерений будет да-
давать реальное повышение точности лишь до тех пор, пока значение
Ajp г^сГд \V п не станет пренебрегаемо малым по сравнению с А ж.
Дальнейшее увеличение числа приемов не будет иметь смысла.
Средняя квадратическая погрешность суммы равноточно изме-
измеренных слагаемых при совместном действии случайных и система-
систематических погрешностей.
Пусть слагаемые (суммы у — xt + х2 + • • • + хп измерены с
одинаковой средней квадратической погрешностью 0д и постоян-
постоянной систематической погрешностью оос , тогда в формуле
значения сг и сгс будут а=о&-\/Гп -ос=п-А0с , а средняя квад-
квадратическая погрешность суммы у будет:
Д2 . 0.20)
§ 24. ИСКЛЮЧЕНИЕ ПЕРЕМЕННОЙ
СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТИ
Первичная обработка последовательности промежуточных ре-
результатов измерений одной и той же величины заключается в ис-
исключении переменной систематической погрешности с целью ис-
исправления результатов измерений и их группирования для получе-
получения вариационного ряда.
Постоянная составляющая систематической погрешности не мо-
жеть быть ни выявлена, ни тем более, найдена методами совме-
совместной обработки результатов измерений. Однако она не может ис-
исказить ни показатели точности измерений, характеризующие слу-
случайную погрешность измерений, ни результат нахождения пере-
переменной составляющей систематической погрешности. Поэтому та-
такие задачи могут решаться как при отсутствии, так и при наличии
постоянной систематической погрешности.
Наличие существенной переменной составляющей системати-
систематической погрешности (прогрессирующей, периодической, изменяю-
изменяющейся по какому-либо другому неслучайному закону) искажает
оценки характеристик случайной погрешности и аппроксимацию
3 Зак. 1094 65

ее распределения. Поэтому она должна обязательно выявляться,
исключаться из результатов измерений и учитываться в оценках
систематической погрешности.
Переменная систематическая погрешность может быть выявле-
выявлена сложными методами дисперсионного анализа. Однако для ре-
решения инженерных задач обычно достаточно применить графиче-
графический метод. Для этого на график по оси ординат наносятся точка с
координатами, выражающими значения результатов измерений,
а по оси абсцисс — момент времени его получения или порядковый
номер результата при равномерном во времени получении резуль-
/0,2/
20
19
/8
17
/б
/0,15
9—
V
——=
—¦ —\
/
20
n
Рис. 16
татов. Для наглядности точки целесообразно соединить прямыми
линиями. На графике проводят плавную кривую, которая выра-
выражает тенденцию изменения результата измерений. Если она видна,
или констатирует, что такая тенденция не наблюдается, тогда
переменную систематическую погрешность считают практически
отсутствующей (несущественной).
На рис. 16 выражена прогрессирующая линейно возрастаю-
возрастающая по модулю погрешность. В этом случае следует зафиксиро-
зафиксировать, что модуль переменной составляющей систематической пог-
погрешности ДС; =0,05/25-t, где I—порядковый номер наблюдения.
Полученные значения Дс исключают из результатов измере-
измерения, заменяя исходную последовательность результатов следую-
следующей последовательности
х°=х(—Дс. . D.21)
В других случаях зависимость Дс. может оказаться нелиней-
нелинейной. Тогда нужно проводить плавную кривую так, чтобы она
лучшим образом выражала изменение погрешности в среднем.
Если возникает сомнение в выборе кривой, останавливаются
на той, при которой оценка средней квадратнческой погрешности
исправленных результатов меньше. При невозможности выраже-
выражения аналитической зависимости Дс.- ее находят для всех точек
непосредственно по графику.
66
ГЛАВА 5
СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
§ 25. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СЛУЧАЙНЫХ
ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ
Закономерность проявления случайных погрешностей подда-
поддается учету и рассмотрению при достаточно большом числе изме-
измерений. Чем большее число измерений проведено, тем ярче выяв-
выявляется закономерность их проявления. Сказанное проиллюстри-
проиллюстрируем примером. Отрезок длиной 12,40 см был отложен 20 раз на
20 одинаковых листах бумаги и каждый отрезок разделен одним
исполнителем на глаз. Очевидно, что точно найти середину отрез-
отрезка невозможно, т. е. середина каждого из 20 отрезков нанесена
ошибочно. Затем были измерены отрезки от левого конца до
отложенной на глаз середины каждого отрезка и найдены раз-
разности A = xi —х.
Полученные результаты приведены в табл. 8.
В итоге получилось 9 положительных и 11 отрицательных
погрешностей, причем их распределение носит случайный харак-
характер-
Случайные погрешности вызываются большим количеством та-
таких факторов, эффекты действия которых столь незначительны,
что их нельзя выделить и учесть в отдельности. Случайную пог-
погрешность можно рассматривать как суммарный эффект действия
таких факторов.
Случайные погрешности нельзя исключить в каждом из ре-
результатов измерений. Но с помощью методов теории вероят-
вероятностей можно учесть их влияние на оценку истинного значения
измеряемой величины, что позволяет определить значение изме-
измеряемой величины со значительно меньшей погрешностью, чем
погрешности отдельных измерений. Учет, влияния случайных пог-
погрешностей основан на знании законов их распределения.
§ 26. СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ
Как уже отмечалось, случайные погрешности подчиняются за-
закономерности статистического характера. Ранее, давая общую ха-
характеристику погрешностям, стало очевидным, что существуют
ряды результатов измерений, погрешности которых не подчиня-
подчиняются на взгляд никакой закономерности. Производя анализ ре-
результатов измерений, выяснилось, что за кажущимся отсутствием
закономерности в чередовании погрешностей и по знаку, и по
значению скрываются закономерности, которые можно выявить
только в массовых проявлениях погрешностей.
Выяснилось, прежде всего, что как бы ни был велик ряд пог-
погрешностей измерений, эти погрешности колеблются в определен-
определенных довольно узких пределах. Значение этого рредела определя-
67

ется условиями, в которых производятся измерения. Отсюда вы-
вытекает первое свойство случайных погрешностей.
1. Случайные погрешности не могут превосходить по абсолют-
абсолютному значению определенного предела. Этот предел зависит от
условий, в которых производятся измерения (средства измерений,
оператор, внешние условия и др.).
Таблица 8
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
п
Изморенная длина,
X , ММ
61,7
65,8
60,7
вО,8
61,5
63,6
63,5
64,2
65,2
62,5
60,7
62,8
61,8
62,6
61,0
60,5
61,4
57,8
60,5
64,7
20
-2,6 2Д.+2.7
Л( -xi x
—0,3
+3.2
—1,3
—1,2
—0,5
+ 1,6
+ 1,5
+2,2
+3,12
+0.5
— 1,3
+0,8
—0,2
+0,6
—1,0
— 1,5
—0,6
—4,2
-1,5
+2,7
Разность
Д2=<*. —X)»
i
0,09
10,24
1,69
1,44
0.25
2,56
2,25
4,84
10,24
0,25
1,69
0,64
0,04
0,36
1,00
2,25
0,36
17,64
2,25
7,29
20
2 Д^ =67.37
/20 ,
L V
67.37 =
20
68
Выяснилось также, что в ряду измерений случайные погреш-
погрешности встречаются и со знаком плюс и со знаком минус, и при-
притом примерно в равной мере. Отсюда следует второе свойство
случайных погрешностей.
2. Случайные погрешности — положительные и отрицательные
— одинаково часто встречаются в ряду измерений.
3. Очень важное свойство, компенсация случайных погреш-
погрешностей, проявляющееся при сложении погрешностей, является
следствием первых двух свойств случайных погрешностей. Его
можно сформулировать так: среднее арифметическое из случай;
ных погрешностей измерений одной и той же величины, произве-
произведенных в одинаковых условиях, стремится к нулю при неограни-
неограниченном возрастании числа измерений.
На этих трех свойствах базируется вся теория погрешностей
измерений. Но при анализе обнаружилось еще одно свойство,
присущее абсолютному большинству рядов случайных погреш-
погрешностей.
Чем больше абсолютное значение погрешности, тем реже та-
такая погрешность встречается в ряду измерений. Это свойство име-
имеет большое значение в практической деятельности, так как дает
возможность определить практический предел, который не дол-
должен превосходить случайные погрешности в конкретных условиях
измерений.
Когда погрешности измерений обладают вышеперечисленными
свойствами, то говорят о нормальном распределении погрешнос-
погрешностей измерений. Теоретически характеристика законов нормально-
нормального распределения дана в гл. 1, практическое их применение —
в гл. 4.
Как уже отмечалось, под погрешностью измерения подразуме-
подразумевается разность между измеренным значением величины и истин-
истинным (действительным) значением
А=х-Х, E.1)
где х — измеренное значение величины; X—истинное значение ве-
величины; Д — погрешность измерения X.
Значение погрешности показывает, насколько измеренное зна-
значение отклонилось от истинного; знак погрешности — в какую
сторону произошло отклонение.
Переходя от частных случаев к обобщению, можно сказать,
что если некоторая величина X измерялась многократно п раз и
в результате измерения получился ряд числовых значений
Y Y V (ч 9\
причем в этом ряду отсутствуют грубые и систематические пог-
погрешности, то полученные погрешности измерений можно обозна-
обозначить через
69

Это будет ряд случайных погрешностей, которые подчиняются пе-
перечисленным свойствам случайных погрешностей.
В силу этого, при достаточно большом числе измерений, в ря-
ряду погрешностей можно ожидать, что погрешности положитель-
положительные и. отрицательные будут встречаться почти в равных количест-
количествах, и это будет тем вернее, чем больше число погрешностей.
Поэтому, если все погрешности сложить, то положительные пог-
погрешности будут компенсироваться отрицательными, т. е. сумма
погрешностей будет малой величиной, как бы ни возрастало их
количество.
Вследствие этого можно записать, что
или
lim
n
2 л,-
n
=0.
E.4)
E.5)
Формула D.25) представляет математическое выражение
третьего свойства случайных погрешностей, т. е. свойства компен-
компенсации погрешностей-
В том случае, когда точное значение измеренной величины не-
неизвестно, о характере ряда измерений приходится судить на осно-
основании уклонений отдельных измерений от арифметической сере-
середины (среднего арифметического).
§ 27. ПРИНЦИП АРИФМЕТИЧЕСКОЙ СЕРЕДИНЫ
(СРЕДНЕГО АРИФМЕТИЧЕСКОГО)
Пусть имеется ряд измеренных значений хх\ х2; ...; хп одной
и той же величины X, полученных при одинаковых условиях.
Пусть случайные погрешности этих измерений будут соответ-
соответственно Дь Д2; ...; А„ .
Напишем ряд равенств:
х1~Х=А1;
х2—Х=Д2;
E.6)
Складывая левые и правые части этих
„ или
п
откуда
V д
равенств, получим
E.7)
E.8)
70
Обозначим
П
через х, а
п
2 А,
через Д так, что
п
а »
А,
= Д.
E.9)
E.10)
Согласно этим обозначениям формула E.8) примет вид
Х=*+Д, E.11)
где ;Г—среднее арифметическое из измеренных значений величи-
величины X; Д — случайная погрешность этого среднего арифметичес-
арифметического (арифметической середины).
На основании третьего свойства случайных погрешностей мож-
¦но написать
или
НтД=0
\\тх=Х,
E.12)
E.13)
т. е. среднее арифметическое (арифметическая середина) из ре-
результатов одинаково точных-измерений одной н той же величины
стремится к истинному значению этой величины при неограничен-
неограниченном возрастании числа измерений'
Формула E.13) предусматривает неограниченно большое чис-
число измерений. Но и в случае конечного числа измерений принято
за окончательное значение измеренной величины брать арифме-
арифметическую середину из измеренных значений этой величины. Ведь
каждое отдельное измерение, отображая действительные размеры
измеряемого объекта, в то же время имеет свои особенности,
свои случайные признаки, отличающие его от других измерений,
той же величины, свою случайную погрешность измерений. Когда
же мы берем среднее арифметическое из результатов измерений,
то эти случайные признаки сглаживаются, компенсируются, и
получается результат, который лучше, вернее, надежнее характе-
характеризует действительные размеры измерявшегося объекта.
Рассмотрим математические свойства среднего арифметичес-
арифметического.
Пусть
х^»...,хя- E.14)
результаты измерений. Среднее арифметическое значение
- ХС
X =
E.15)
71

Найдем отклонения результатов отдельных измерений от их
среднего арифметического, т. е.
Л 2 % ===r
E.16)
остатки или уклонения от среднего арифмети-
арифметигде У)-, и2; ••¦; уя
ческого.
Сложим левые и правые части формулы E.16), получим
но
п п
2 Xi— ПХ— 2 -Vi,
1 1
п
тг-х= 2
1
С учетом D.38), получим
2 г>,-=0.
E.17)
E.18)
E.19)
Таким образом, алгебраическая сумма остатков уклонений от
среднего арифметического равна нулю.
Найдем из равенства E.16) значения х\\ х2; .-.; хп . Будем
иметь
E.20)
Возведя в квадрат левые и правые части этих равенств и сложив
их, получим
E.21)
1 х\=пх*+ 2 v2.—2х 2
1 1 i
Учитывая E.20), найдем
2 х\=пхг+ 2 v2.
1 1 '
или 2 v2.= 2 х2—
i ' 1
E.22)
E.23)
Составим равенства, аналогичные E.16), взяв вместо среднего
арифметического произвольное число ха
xo—x1=w1',
E.24)
*,—*„»»„,
72
где wx\ w2; ...; wn—остатки от произвольного числа.
Сравним E.16) и E.24). Для этого из обеих частей равенства
E.24) вычтем части равенства E.16). Получим
xo—x=wl—
х0—x=w2—
E.25)
xB—x=wn—vn.
Эти равенства свидетельствуют о том, что все остатки от про-
произвольного числа х0 отличаются от соответствующих остатков от
среднего арифметического настолько, насколько это число отли-
отличается от самого среднего арифметического значения.
Обозначая эту разность через е, получим
*0-х=е, E.26)
:е D.45) приобретет вид
b=w1—v1;
E.27>
или
Возводя в квадрат левые и правые части этих равенств и сложив
их, найдем
?«?= 2 ¦у2
1 1 '
2 vt,
откуда
п
2 w*.—t
i '
E.29>
E.29а>
Отсюда можно сделать вывод, какова бы ни была разность
2 = хо—х по значению и знаку, всегда
2 v2.< 2 ы?. E.30>
i ' 1 '
Т. е. сумма квадратов остатков от арифметической середины
(среднего арифметического) всегда меньше суммы квадратов,
остатков тех же чисел от произвольного числа. Или строго гово-
говоря, сумма квадратов уклонений любого ряда чисел от их среднего
арифметического есть наименьшая из всех возможных этого ряда.
73.

§ 28. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ
КВАДРАТИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТИ
Для получения применяемой на практике формулы предполо-
предположим, что имеем ряд результатов равноточно измеренной величи-
величины X
xi,x.2,.,.,xn.
Случайные погрешности ряда
Из § 27 имеем, что
•л* л /V ~~ ~~^2 *
E.31)
E.32)
E.33)
хп-Х=Ап.\
Но истинное значение X измеряемой величины неизвестно- В
§ 27 определили, что наиболее надежным окончательным значе-
значением этой величины будет среднее арифметическое из ряда изме-
измеренных значений
п
ti
п
E.34)
Там же были рассмотрены основные математические свойства
среднего арифметического
х, —x —
X,—AT=t
и определили, что
га
2 т><=0
E.35)
E.36)
при любом числе п.
Так как среднее арифметическое значение из результатов из-
измерений наиболее надежно характеризует измеряемый объект, то
уклонения V\\ v2; ...; vn можно рассматривать не только как ус-
условные математические символ,ы, но и как реальные величины,
•близкие к случайным погрешностям измерений. Они близки к ним
постольку, поскольку среднее арифметическое ряда измерений
близко к точному значению измеряемой величины.
Поэтому, если среднее арифметическое представляет вероят-
нейший результат измерений, то и величины V\\ v2\ ...; vn можно
называть вероятнейшими погрешностями измерений. В отличие от
них погрешности А\; Дг,' ...; А„ можно называть истинными пог-
погрешностями измерений.
74
Составим разности левых и правых частей соответственных
равенств E.33) и E.35):
X—x=A1 — vl;
X—x=A2—vi;
X—x=A
С учетом X—х=А получим
tl-vn.
E.37)
E.38)
\=vn+A.
Возведем обе части равенства в квадрат, получим
Сложим левые и правые части равенства
Разделим обе части равенства на п, будем иметь
п
E.39)
E.40)
E.41)
или
E.41,а)
В правой части равенства при большом п член 2 у? In мало
_ 1
изменяется с изменением п, а величина Д с увеличением числа из-
измерений имеет тенденцию к уменьшению.
Вследствие того, что в равенстве E.41а) член Д является
второстепенным, то можно заменить его средним значением, т. е-
Vn'
Тогда
V 2
E.42)
75

откуда
а—
f п-\
E.43)
Пример. Угол измерен прн одинаковых условиях девять раз. Результаты*
приведены в табл. 9. Требуется определить наиболее надежное значение уг-
угла, оценить точность этого определения.
Таблица &
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Измеренные значения угла
45'38,3"
45'44,6"
45'33,7"
45'41,1"
45'43,0"
45 '.,36,2"
45'39,6"
45'37,8"
45'40,3"
vt
+ 1,1
—5,2
+5,7
— 1,7
—3,6
+3,2
-0,2
+ 1,6
-0,9
9
Ч
1,21
27,04
32,49
2,89
12,96
10,24
0,04
2,56
0,81
Среднее
45'39,4"
i =0,0
= 90,24
9
2
X =
-45'39,Г; .-_
=1/11,28 = ±3,4";
а 3,4"
§ 29. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ
ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ
Вероятностная модель. Случайные погрешности измерений ха-
характеризуются определенным законом их распределения. Его су-
существование обнаруживается, как уже отмечалось, многократ-
многократным повторением измерения величины и подсчетом числа т тех
результатов, которые попали в любой заданный интервал; отно-
отношение этого числа к общему числу произведенных измерению
(относительная частота) при большом числе измерений оказы-
оказывается близким к постоянному числу. Это обстоятельство позво-
позволяет применить к изучению случайных погрешностей методы тео-
теории вероятностей.
Случайные погрешности А = х—X, как и сами результаты из-
измерений х=Х+Д, рассматриваются как случайные величины, ко-
которые могут принимать любые действительные значения, причем
76
каждому интервалу [Аь Д2] соответствует определенное число,
называемое вероятностью попадания случайной погрешности в
этот интервал и обозначаемый через /3[Ai<A<A2]-
Можно записать:
т
п
E.44)
Правило, позволяющее для интервалов [Дь Д2] находить ве-
вероятности р(А\<А<А2), названо законом распределения вероят-
вероятностей случайных погрешностей.
Закон их распределения записывается с помощью интеграла
л2
/7(A!<A<A2)= J р(АШ, E.45)
л,
где р(А)—неотрицательная функция, нормированная условием
-f-OG
J р(ДШ=1. E.46)
—oo
Эта функция полностью определяет соответствующий закон
распределения вероятностей и называется плотностью распреде-
распределения:
Нормальный закон распределения. В качестве закона распре-
распределения случайных погрешностей измерения может служить закон
нормального распределения (закон Гаусса).
Плотность нормального распределения
</=/?( А) =
т=— е
2о«
E.47)
с параметром сг(сг>0), характеризующим точность измерений.
График плотности распределения вероятностей называется кри-
кривой распределения.
6 =//2
-А -
На рис. 17 показаны кривые нормального распределения прн
различных значениях ст. Очевидно, что при уменьшении парамет-
параметра а, кривая сжимается вдоль осн ОД и вытягивается вдоль оси
77

р(Д). Следовательно, чем меньше ст, тем быстрее убывает плот-
плотность распределения р(Д) с возрастанием А.
Вероятность p(Ai<A<A2) попадания в интервал [Ль Лг] гра-
графически изображается площадью соответствующей криволиней-
криволинейной трапеции под кривой распределения вероятностей. Например,
вероятность попадания в симметричный интервал [—Ai +Л] изо-
изображается площадью фигуры, заштрихованной на рис. 18.
рШ
-26 -б 'А О +А О
16 ?
Из рисунка очевидно, что чем меньше а, тем меньше разброс
погрешностей относительно 0.
Вероятность попадания случайной погрешности в симметрич-
симметричный интервал [—А\ +Л] при нормальном распределении вычис-
вычисляется по формуле
p(-A<A<+A)=p(\A\<Al)=2ib(A1jo), E.48>
где
t Л
= —т=- е
E.49>
Функция <D(t) называется интегралом вероятностей Лапласа.
Значения ее приведены в приложении 1. В этом приложении зна-
значения приведены лишь для положительных значений аргумента,
для отрицательных значений аргумента функция Ф{х) продолжа-
продолжается нечетным образом Ф(—t) =—Ф(^).
Вероятность попадания случайной погрешности в любой ин-
интервал (Ль Л2) в случае нормального распределения вычисляет-
вычисляется по формуле
а). E.50>
Вероятность того, что случайная погрешность выйдет за гра-
границы t• о, (^>0) равна
р(|Д|>*.а) =1—2Ф(/). E.51>
Для удобства расчетов значения вероятности 1—2®(t) при
значениях />2,5 -приведены в приложении 1. Там же даны значе-
значения обратной функции t = t(p), для которой 1— р=1—2Ф(*)
78
Например, вероятность выхода за пределы За считают прак-
практически невозможной: р(|Л|>Зст) = 1—2ФC) =0,0027.
Другими словами, принимается, что случайные погрешности изме-
измерения ограничены по абсолютному значению значением За.
Если случайные погрешности имеют нормальный закон распре-
распределения, то распределение результатов измерений, имеет плот-
плотность
1
г=— е
а|/2я
которая только сдвигом на величину X отличаются oi
Л2
1
^^ е
2о2
E.52)
E.53)
Распределение Стьюдента. Описанный выше закон нормаль-
нормального распределения справедлив при сравнительно большом
(я>20) числе наблюдений одной и той же физической величины.
В практической же деятельности приходится иметь -дело с обра-
обработкой ограниченного (и<20) числа наблюдений. В этом случае
закон распределения случайных- погрешностей отличается от нор-
нормального и существенно зависит от числа наблюдений.
Исследование вопроса о реальных законах распределения
случайных погрешностей показало, что при малом числе измере-
измерений поведение случайных погрешностей более точно описывается
законом распределения Стьюдента.
Аналитически закон Стьюдента записывается в виде уравне-
уравнения
E.54)
где pn(t)—плотность вероятности случайной погрешности при
заданном числе измерений; Г (и)—гамма-функция, значение ко-
которой зависит от числа наблюдений и обладающая свойством
Т(п-\-1) =пТ(п), например, для целых чисел пТ(п+1)=п\; tQr —
. Д 7—х
й
параметр, определяемый соотношением
.у-
Иногда в
формуле E.54) (п—1) приравнивают /, где f — число степеней
свободы.
В приложении 2 приведены значения коэффициентов распре-
распределения Стьюдента при разном числе наблюдений п.
Методы статистических расчетов для наблюдений, подчиняю-
подчиняющихся нормальному распределению, достаточно хорошо отработа-
отработаны и обеспечены таблицами.
Если же в процессе измерений окажется, что нормальное рас-
распределение не подходит, то статистическа;; обработка существен-
существенно осложняется.

Распределение Стьюдента широко применяют при построении
доверительных интервалов, когда число измерений невелико и
погрешности распределены по нормальному закону или близкому
к нему.
Доверительные интервалы значительно шире, если дисперсия
найдена но результатам измерений и вычислена по формуле
S (*,-*)*
E.55)
чем, если бы она была точно задана.
В табл. 10 приведены значения доверительной вероятности в
зависимости от tCT и числа измерений п-
Таблица 10
ст
1,5
2,0
2,5
3,0
4,0
Доверительная вероятность р при числе измерений
5
0,792
0,884
0,933
0,960
0,984
10
0,834
0,923
0,966
0,985
0,997
15
0.844
0,935
0,975
0.990
0,999
20
0,850
0,940
0,978
0,993
0,999
СЮ
0,866
0,954
0,988,
0,997
0,9899
Пример. Найти доверительную вероятность, если х получено по результа-
результатам пяти измерений и предельная погрешность Д=2,5о>, т. е. /Ст =2,5;
р[х—2,5сх<х<х+2Мх] =р=0,933 или «=2,60-*, р=0,933, и = 5.
Таблица значений tCj в зависимости от доверительной вероятности р и
числа измерений п дана в приложении 2.
Распределение х2 (распределение Пирсона). Величиной %2 на-
называют сумму квадратов нормированных нормально распределен-
распределенных случайных величин
2 (*/-*)*
У.'— p •
Его плотность распределения записывается в виде
<рис. 19)
1 — J—
П"^)*2
~«ЕГ (Xs)
E.56)
уравнения
E.57)
при 0<х2<°°; Р(х2) =0. ПРИ 5С2<°-
Функция распределения
п— 1
, 2
dx
(Ь.Ы,а)
табулирована (приложение 4).
80
Ю IS 20 25 30 J5 W
Таблицы позволяют строить доверительные интервалы для
X2, ширина которых зависит как от принятой доверительной ве-
вероятности р, так и от числа степеней свободы f=n—1.
¦ имеет большое значение для проверки
равноточности измерений (равенство дис-
дисперсий) и наличии систематических погрешностей в результатах
измерений.
Распределение %2
предположения о
§ 30. МЕТОДЫ ПРОВЕРКИ НОРМАЛЬНОСТИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Рассмотренные в § 29 распределения случайных погрешностей
основаны в предположении нормальности закона распределения
случайных погрешностей измерения, и соответственно могут при-
применяться лишь до тех пор, пока результаты эксперимента не про-
противоречат этому предположению. В том случае, когда результа-
результаты измерений вызывают сомнения в нормальности распределения,
то для решения вопроса о выбранной функции распределения
применяют один из критериев, описанных ниже.
При большом числе наблюдений (я>50) лучшими критерия-
критериями проверки гипотезы о нормальности распределения считается
критерий согласия К. Пирсона (критерий %2) и критерий Р. Мозе-
Мозеса— Н. Смирнова (критерий со2) для негруппированных наблюде-
наблюдений, а также приближенные методы оценки.
Критерий согласия %2 (критерий Пирсона). Идея критерия х2
состоит в контроле отклонений гистограммы экспериментальных
данных от гистограммы с таким же числом интервалов, построен-
построенной на основе нормального распределения.
Сумма квадратов разностей частот по интервалам не должна
превышать значений х2, для которых составлены таблицы (прило-
(приложение 4) в зависимости от уровня значимости критерия <7=1—р
и числа степеней свободы k — l—3, где / — число интервалов.
4 Зак. 1094
81

Схема вычислений %2 может быть представлена в следующем
виде.
1. Вычисляют среднее арифметическое значение результата из-
измерений и среднее квадратическое отклонение по формулам:
V
n
11
1
1
tl
(x,
.
-*)
2
E.58)
E.59)
2. Результаты измерений, в которых отсутствуют системати-
систематические погрешности, группируют по интервалам таким образом,,
чтобы эти интервалы покрывали всю ось (—оо. +оо) и чтобы ко-
количество данных в каждом интервале было достаточным боль-
большим (не менее 5).
3. Для каждого интервала (х{-\ , х) подсчитывают число пщ
результатов измерения, попавших в этот интервал, а затем вы-
вычисляют вероятность рс попадания в этот интервал при нормаль-
нормальном законе распределения, используя формулу Лапласа
pt=<t>
E.60)
4. Если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше
пяти измерений, то его соединяют с соседним интервалом. Затем
вычисляют показатель разности частот
xt=2x?=2
(mi—apt)*
E.61)
где I •— число всех интервалов (—оо, х), (х\, х2) ... (д'г-i , оо);
п — число измерений (n = ml-\-m2 + ... +тп).
5. Выбирают уровень значимости критерия q. Он должен быть
достаточно малым, чтобы была мала вероятность отклонить пра-
правильную гипотезу.
По уровню значимости q и числу степеней свободы k (прило-
(приложение 4) находим границу критической области -/2, так что
Р{Г>4!=^- E.62)
Вероятность того, что получаемое значение %2 превышает у2,
равна q и мала.
Если оказывается, что %2>х2, то гипотеза о нормальности
отвергается. Если %2<х2 , то гипотеза о нормальности прини-
принимается.
Чем меньше q, тем при том же k больше значение %2q , тем
легче выполняется условие %2<%2 и принимается проверяемая
гипотеза.
82
Пример. Возьмем интервальный ряд данных, представленный в табл. 11.
Значения параметров нормального распределения для него равны *=8,630,
о=0,127.
Для применения критерия %2 объединим крайние интервалы, чтобы число
данных в каждом интервале стало не менее 5. Полученные данные приведены
в первых двух столбцах таблицы. Крайние интервалы взяты бесконечными.
В третьем столбце подсчитаны отношения:
xi—"х л:,—8,630
ti= a = 0,127
Например, для *,= (8,425—8,630)/0,127=—1,614.
В четвертом столбце приведены соответствующие значения интеграла ве-
вероятностей Ф(<>) из приложения 1. По значениям <t>{ti) в пятом столбце вы-
вычислены вероятности р i как разности соответствующих значений Ф@:
ф,=Ф(*,-)_ Ф(г,._,). Например, для рз=— 0,3888— @,4467) =0,0579.
При вычислении вероятности pi учтено, что Ф(—оо)=—0,5.
Сумма чисел последнего столбца дает значение %2=2,528. Сравнение этого
значения с критическим значением при числе степеней свободы fe=10—3=7, по*
называет, что нет оснований сомневаться в нормальности распределения.
Таблица 11
Интервалы
i—1 i
8,275—8,325 ) -°=-
8,325—8,375 8,425
8,375—8,425 J
8,425—8,475
8.475—8.525
8,525-8,575
8,575—8,625
8,625—8,675
8,675—8,725
8,725-8,775
8,775—8;825
8,825—8,875 1
8,876—8,925 } 8,825+ос
8,925—8,975 1
т .
1
1)
27
4)
5
8
10
18
17
12
9
7
61
0 7
lj
1
i
—оо
-1,614
-1,220
-0,827
-0,433
—0,039
0,354
0,748
0,142
1,536
Ф (t. )
—i0,4467
—0,3888
—0',2959
—0,1676
—0,0156
0,1383
0,2728
0,3733
0,4377
0.50О0
0,0533
0,0579
0,0929
0,1283
0,1520
0,1539
0,1345
0,1005
0,0644
0,0623
т. —пр.
1 1
1,67
—0,79
— 1,29
—2,83
2,80
1,61
-1,45
—1,05
0,56
С,77
(т( —пр. )¦
п
0,523
0,108
0,179
0,624
0,516
0,168
0.157
0,110
0,048
0,095
Сумма
п= 100
1,000
2,528=х2
В практике измерений часто возникает необходимость провер-
проверки гипотезы при небольшом числе измерений. В этом случае ис-
используется ограниченный уровень значимости 0,02<:<7^0,1 или
2 %^<7<10 %, если q задана в процентах (приложение 4).
Эту гипотезу проверяют с помощью двух критериев.
Критерий 1. По данным наблюдений хи х2, ..., хп вычисляют
значение параметра d по формуле
d=
\хс—х\
по*
E.63)
83

где
„•=]/ J—-
E64)
Выбирают затем уровни значимости критерия q и по табл. 4.2
приложения 4 находят dq, и di_ Чл .
Гипотеза о нормальности по критерию 1 не отвергается, если
d 9l-^d<d9l. . В противном случае гипотеза отвергается.
~~2~ 2~
Критерий 2 введен дополнительно для проверки «концов» рас-
распределений.
Пусть гипотеза о нормальности по критерию 2 не отвергается,
если не более т разностей \xi—х\ превзошли оР,2-с, где а вы-
вычисляется по формуле
a tp —по таблицам нормированной функции Лапласа.
2~
п
р определяют по п и q как корень уравнения 1—2С?A—p)hpn~k=q.
Для нахождения р по заданным п, q, m=l или 2 составлена
табл. 4.3 приложения 4.
При 10<и<20 следует принимать т=\.
При 50>и>20 следует принимать т = 2.
Если число разностей \xt —х\, больших tp -о, превышает т,
2~
то гипотеза о нормальности отвергается.
Гипотеза о нормальности принимается, если для проверяемой
группы данных выполняется оба критерия.
Уровень значимости составного критерия q = qi + q2, где qi —
уровень значимости для критерия 1; q2 — то же для критерия 2.
Пример 1. Измерение выходного напряжения U низкочастотного генерато-
генератора дало результаты, приведенные в табл. 12. Необходимо проверить их соот-
соответствие нормальному закону распределения.
Так как по условию имеется и=16, т. е. соблюдается условие
15</г<50, то для решения воспользуемся составным критерием.
Критерий 1.
Вычислим отношение d
2 \и~п\
по*
84
Таблица 12
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
и., в
10,72
10,56
10,70
10,55
10,54
10,65
10,57
10,51
10,36
10,59
10,38
10,60
10,61
10,48
10,71
10,38
0<, 16
0/00
0,14
-0,01
-0,01
0,09
0,01
-0,05
-0,2
0,03
-0,16
0,04
0 05
—0,08
0,15
0,16
(U. -U)'
0,0256
0,000
0,0196
0,0001
0,0001
0,0081
0,0001
0,0025
0,04
0,0009
0,0256
0,0016
0,0025
0,0064
0,0225
0.0256
1 16
/= пг S
10,56
1В
—?7J = 0,1876
Для этого предварительно определяем U, W= 10,56 В. Значе-
15
ние 2(С/г —10,56) приведено в табл. 1.
Значение а определяем по формуле
¦Ц- 2 Шс-
¦~1 1
Подставляя соответствующие значения
рассчитаем
, 1,34
°.{876-0,1083.
в выражение для d
d= 16-0,1083 =°>7733-
Примем уровни значимости по общим критериям qx =
тогда общий уровень значимости составного критерия
б
будет
р у
7 = ?i + <72==0,04. Для этих значений q найдем по табл. 2 прило-
приложения 7 квантили распределения d
i-Si
2
и d4l (для данного
по
случая ^- =0,01). м=16 с? 1_о.о1 =^о,ээ = 0,6829; do.oi =0,9137.
Результаты измерений можно считать распределенными
нормальному закону, если d 4l <d< d4l.
Для условий задачи это соотношение соблюдается, т. е. 0,6829<
< 0,7733 < 0,9137.
Критерий 2. Считается, что результаты наблюдений соответ-
ствуют_нормальному распределению, если не более т разностей
(Ui — U) превзойдет значение tppo*, где ст* — среднее квадрати-
ческое отклонение напряжения, вычисленное значение которого
а* = 0,1118 В; tp!2 — верхняя квантиль распределения нормирован-
нормированной функции Лапласа, отвечающая вероятности Р/2.
85

Значение вероятности Р определяем по табл. 4.3 приложе-
приложения 4 по выбранному уровню значимости q2 и числу результатов
наблюдений п. Для данной задачи <7 = О,О2; «=1б; Р = 0,99. Далее,
следует определить значение /о,9э,2 = ^-ст*. Для этого воспользуем-
воспользуемся приложением 1, из которого находим, что io.495'=2,57. Теперь
хожно вычислить произведение *-сг* = 2,57-0,1118 = 0,29 В.
Из табл. 4-3 приложения 4 по числу результатов наблюдений
«=16 определяем значение т. В данном случае оно равно 1.
Это число показывает, что только одна разность т может
превзойти значение 0,29 В. Но в табл. 3 нет ни одной такой раз-
разницы. Следовательно, и по критерию 2 результаты наблюдений
можно считать распределенными по нормальному закону.
Окончательно можно сделать вывод о том, что результаты из-
измерения выходного напряжения низкочастотного генератора рас-
распределены по нормальному закону, так как условия обоих кри-
критериев соблюдаются.
Пример 2. Измерение добротности Q образцовой катушки индуктивности
дало результаты 18 наблюдений, сведенные в табл. 13.
Проверить результаты наблюдений иа соответствие их нормальному зако-
закону распределения по составному критерию. Общий уровень значимости состав-
составного критерия принять равным 4%.
Таблица 13
п/п
1
2
3
4
5
Q>
100,27
100,05
100,14
99,81
99,89
п/п
6
7
8
9
10
Q'
100,51
100,31
100,04
99,95
100,06
Ms
п/п
11
12
13
14
15
Q{
1О0,5<6
100,18
99,87
100,0!
100,24
N
п/п
16
17
18
Q<
100,12
99,93
100,06
Результаты наблюдений распределены по нормальному закону, так как
условия обоих критериев соблюдаются.
1-й критерий:
d=0,7815 ^=0,02 0=100,108
d =0,9083 q =0,6877
V
2-й критерий:
0,6S77<0,7815<0,9083
а*=0,206 (/2=0,02 при п=18 и
<Р/2 = 'о,495=М8 <р/2=0,511, т = 1.
Ни одно из значений (Q,- —Q) ие превышает 0,511.
Приближенные методы проверки. Применение рассмотренных
критериев требует достаточно сложных и трудоемких расчетов. В
качестве приближенного метода проверки нормального распреде-
распределения можно применить метод, связанный с оценками централь-
центральных моментов третьего и четвертого порядков аз и а4- В случае
86
нормального распределения случайных погрешностей эти момен-
моменты равны соответственно аз = 0, И4 = 3-(т4.
Оценками этих моментов по результатам
измерений служат
эмпирические центральные моменты (д,3 и ц4. В случае нормаль-
нормального распределения должны выполняться приближенные равенст-
равенства Цз~О, f.l4~3-(T4.
Для удобства сравнения подсчитывают безразмерные характе-
характеристики: коэффициент асимметрии Sft= ^3 и эксцесс ?=
(a*V 3>
где а* — средняя квадратическая погрешность.
Обе эти характеристики должны быть малы, если распреде-
распределение нормально. О малости характеристик судят по сравнению
с их средними квадратическими погрешностями, равными:
VЬ(п-1).[(п+\)-(п+3)] для Sk; E.65)
1/24-n(n—2) -(n-3) \(n-lJ-(n+S)-(n+o)} для Е, E.66)
где « — число измерений.
Если хотя бы одна из указанных характеристик па абсолют-
абсолютному значению в 2—3 раза превосходит свою среднюю квадрати-
ческую погрешность, то нормальность закона распределения на-
нарушена.
Пример. Для результатов измерений, приведенных в примере на с. 86
эмпирические центральные моменты третьего и четвертого порядка соответст-
соответственно равны: щ=А3(—2,4) и ц,4=А4A07,4).
Так как исправленная дисперсия составляет (а*J=Л2-6,50 (h — ширина ин-
интервала, равная 0,05), то показатель асимметри н эксцесс здесь равны
Sk =_2,4/6,503/2 =—0,16; ?= 107.4/6.502— 3=— 0,46.
Средние квадратические погрешности этих характеристик при числе из-
измерений «=100, равны соответственно:
/6-99/A01 -ЮЗ) =0,24;
/24100-98-97/(992-103-105)=0,4б.
Так как и коэффициент асимметрии и эксцесс по абсолютной величине не
превосходят своих средних квадратических погрешностей, то нет оснований
сомневаться в применимости нормального закона распределения случайных
norpeiuHocieif.
§ 31. ОБНАРУЖЕНИЕ ГРУБЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
При статистической обработке полученных результатов изме-
измерений и границ его погрешности предварительно необходимо убе-
убедиться в том, что отсутствуют результаты измерений, сильно от-
отличающиеся от остальных, или убедиться в том, что результаты
не содержат грубых погрешностей-
87

Такая проверка осуществляется путем сравнения результата
измерения, максимально отличающегося от других. При этом
применяются различные критерии в зависимости от того, извест-
известна или нет средняя квадратическая погрешность измерений.
Необходимо также иметь в виду, что измерения равноточные.
При известном значении о* производится сравнение абсолют-
абсолютного значения разности хтах ¦—х с величиной a*-j/(rt-f I )'n.
Для полученного отношения
1дтах Л I
a'Y(n+l)/n
E.67)
находят вероятность 1—2Ф(/) по приложению 1.
Это дает вероятность того, что отношение E.67) примет зна-
значение не меньше чем t при условии, что значение хшах не содер-
содержит грубой погрешности.
Если подсчитанная вероятность окажется очень малой, то зна-
значение хтак содержит грубую погрешность, и его следует исклю-
исключить из дальнейшей обработки результатов измерений.
Какое значение вероятности считать малым зависит от кон-
конкретных условий решаемой задачи: если принять слишком низкий
уровень малых вероятностей (значимости), то грубые погреш-
погрешности в результате могут остаться, если же взять этот уровень
неоправданно большим, то можно исключить результаты со слу-
случайными погрешностями, необходимые для правильной обработ-
обработки результатов измерения. Обычно применяют один из трех уров-
уровней значимости (q=lP);
5-й % уровень (исключаются погрешности, вероятность появле-
появления которых меньше 0,05);
1-й % уровень (исключаются погрешности, вероятность появ-
появления которых меньше 0,01);
0,1-й % уровень (исключаются погрешности, вероятность появ-
появления которых меньше 0,001).
При выбранном уровне значимости q значение хтях считают
содержащим грубую погрешность, если для соответствующего от-
отношения tT E.67) вероятность 1—2<&(t)<.q.
Значение tT=t(p), для которого 1—2Ф(/)=д, а значит
2Ф(/)=Р, называется критическим значением отношения tr при
доверительной вероятности Р. Так, если <7=0,01 A-й % уровень),
то Р = 0,99, критическое значение tr =t{P) =2,576 (см. приложе-
приложение 4). Как только отношение tr превзойдет это критическое
значение, можно считать, что значение хтях содержит грубую
логрешность с доверительной вероятностью Р = 0,99.
Пример. Пусть среди 41 результата равноточных измерений, произведен-
произведенных со средней квадратической погрешностью о* = 0,133, имеется одно значе-
значение, максимально отличающееся от других хтах =6,866. Среднее из остальных
40 результатов х = 6,5О0. Определим, содержит ли результат хта\ грубую пог-
погрешность.
88
Разность между Хтах и средним х составляет хтах—х = 0,366, поэтому от-
отношение
0,366
/г=
0,133-1^41/40
=2,72.
По приложению 4 для tr =2,72 оцениваем вероятность 1— 2Ф(^)=О,ОО66<
<0,007. Следовательно, с доверительной вероятностью Р>0,993 можно счи-
считать, что значение хтах содержит грубую погрешность, и из дальнейшей об-
обработки его необходимо исключить.
Этот метод используется только в тех случаях, когда заранее
известна средняя квадратическая погрешность о*.
При заранее неизвестном значении о используется следующий
метод исключения грубых погрешностей в результатах измерений.
Рассчитывают границы допустимых максимальных и минималь-
минимальных значений х при п наблюдениях и находят отношение
* г
\_5.68)
Составляют таблицы (приложение 5) g-процентных точек распре-
распределения максимальных по модулю отношений результатов наблю-
наблюдений от их среднего значения E.68)
Чтобы проверить возможность отбросить измерение хв , необ-
необходимо сначала вычислить
/= \*ф_ , E.69)
где х и о вычисляют с учетом всех результатов измерений л-
Затем, выбрав уровень значимости q по приложению 5, нахо-
находят значение tY , отвечающее этому уровню и числу наблюдений.
Если t>tc , то хв можно отбросить. Вероятность появление
измерения, дающего t>tr , мала и равна принятому уровню зна-
значимости. С уменьшением q растет /,. и условие t>tr выполня-
выполняется труднее.
Пример. Измерение силы тока дало следующие значения: 10,07; 10,08;
10,10; 10,12; 10,13; 10,16; 10,16; 10,17; 10,20; 10,40 А. Результат 10,40 А рез-
резко отличается от остальных.
Проверить, содержится ли грубая погрешность. Для этого х=Ш,16 Л;
а= ±0,094 А. Формулы приведены ранее.
_ 10,40-10,16
1~ 0,094 -2,55.
Примем q=\ %, по приложению 8 находим /г =2,6-2. Так как f</,- , то наб-
наблюдение 10,40 А отбросить нельзя.
§ 32. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ
Широкое применение в практике измерений нашли методы
оценки результатов с использованием доверительных интервалок.
Доверительным называется интервал, который с заданной ве-
вероятностью, называемой доверительной, включает истинное зна-
значение измеряемой величины.

Обоснование этого вопроса дано в главе 3 и основывается
неравенством Чебышева
Для случайной величины х имеем
E.70)
E.71)
При этом не обязательно знать вид распределения наблюде-
наблюдений, но необходимо знать о. Однако, получаемые с помощью не-
неравенства Чебышева, интервалы оказываются слишком больши-
большими, поэтому не получили достаточного применения.
Рассмотрим доверительные интервалы для истинного значе-
значения X измеряемой величины в предположении, что случайные пог-
погрешности измерения подчинены нормальному закону распределе-
распределения.
Тогда доверительные интервалы имеют симметричный вид и
могут быть записаны как
E.72)
или |лг—Х|<г. E.73)
Величина е определяется по заданной доверительной вероят-
вероятности Р, обычно близкой к единице @,90; 0,95; 0,99) или по уров-
уровню значимости 1—P = q @,10; 0,05; 0,01).
Доверительная вероятность может быть также задана в процен-
процентах.
1. Нахождение доверительных интервалов при известной точ-
точности измерений. Если заранее известна средняя квадратическая
погрешность о*, то доверительный интервал имеет вид
E.74)
Значение t = tp определяется по заданной доверительной вероят-
вероятности Р и из условия
2Ф(*)=Р, E.75)
т. е. может быть найдено из приложения 4.
Таким образом,
-V 7Г • _ '5-76)
Пример. Пусть для десяти измерений получено дс=36,06, а а* = 0,28. Тре-
Требуется оценить истинное значение измеряемой величины X с доверительной
вероятностью 0,99.
По приложению 4 для Р=2Ф(<) =0,99, т. е. 1—Р=о=0,01, находим
*•= 2,576.
Следовательно, можем ваписать
— 0 28
| ж—ЛГ[=|Э6,06—А[<2,576- —== =0,23,
т. е. значение X лежит в интервале [35,83<Х<36,29].
00
2. Нахождение доверительного интервала при неизвестной точ-
точности измерений. В этом случае используют распределение Стью-
дента, которым называют распределение случайной величины
E.77)
При этом доверительный интервал E./2) принимает вид
илн
\x—X\<tP{k)
E.78)
E.79)
где к — п—1, а множитель / Р (k) зависит уже не только от дове-
доверительной вероятности Р, но и от числа измерений п (кФп—\).
Значения этого множителя для трех уровней значимости
<7=1—р и для различных значений числа k приведены в прило-
приложении 3, которое составлено с помощью распределения Стьюден-
та, т. е. распределения вероятностей отношения \х—X|-")//i jo.
Значения t=tP (k) определены так, что
х—Х
а/Уп
E.80)
параметра к,
Распределение Стьюдента зависит от одного
который называется числом степеней свободы.
Пример. Пусть для десяти измерений, результаты которых приведены, тре-
требуется определить истинное значение измеряемой величины X с доверитель-
доверительной вероятностью Я=0,99 (*,= 35,6; 35,9; 35,9; 35,9; 36,1; 36,1; 36,1; 36,2; 36,6).
Вычислим х, которое равно 36,06 и а=0^5. По заданной доверительной
вероятности Р=0,99 и числу измерений я=10, находим t0 g9 (9) =3,25 и по-
получаем доверительные границы интервала, в котором находится истинное зна-
значение величины X в виде
\х— Х| = 136,06—Л|<3,25-
-^=0,27.
V9
можно считать-,
Таким образом, с доверительной вероятностью Р = 0,99
что значение X находится в интервале f35,79<^<36,33].
3. Нахождение доверительных интервалов с помощью кванти-
квантилей распределения Лапласа. В тех случаях, когда измерения вы-
выполняются изученным методом и известна средняя квадратичес-
квадратическая погрешность измерений .для этого метода о, доверительный
интервал X строят по нормальному распределению
P
о У
E.81)
где tPlr — квантиль нормированного распределения Лапласа, при-
приведенный в приложении 1.
4. Нахождение доверительных интервалов для средней квад-
ратической погрешности. Для их нахождения используют распре-
распределение х2 (хи-квадрат), приведенное в приложении 7.

Доверительный интервал с границами
для вероятности
Уп—\
сти
E.82)
находят следующим образом. В приложении 4 (табл. 4.1) даны
вероятноси Р{2>2} 2 находят для
д ледующим образом. В
вероятности Р{%2>х2}, значение %2
Пример. Получено сг
Тогда
=A+Р)/2, ах?
1,2-10—5, я=10, Я=О,90.
я»—
Ра=—y—=0.05.
Число степеней свободы ?=10—1=9. По приложению 4
%» = 16,92. Доверительный интервал будет
находим %н = 3,325,
-1,2-10—5 <а<
•1,2-Ю-5 J ,
т.е [0,88-10~5 <а<2,0-10~5 J.
5. Нахождение доверительных интервалов с использованием
правила трех сигм. Так как выбор доверительной вероятности при
определении доверительных интервалов несколько произволен, то
в практике обработки результатов измерений широкое распрост-
распространение получило правило трех сигм-
Оно может быть сформулировано следующим образом: откло-
отклонение истинного значения измеряемой величины от среднего
арифметического значения результатов измерений не превосходит
утроенной средней квадратической погрешности этого значения.
Таким образом, правило трех сигм представляет собой довери-
доверительную оценку
\x-X\<3olV7 E.83)
в случае известной величины и или доверительную оценку
\x-X\<3o*Vn E.84)
в случае неизвестной величины о*.
Шфвая из этих оценок E.83) имеет доверительную вероят-
вероятность ШC) =0,9973^ \—0,003 независимо от количества измере-
щяй. Доверительная вероятность E.84) зависит от количества
лзмерений. Зависимость доверительной вероятности Р от коли-
количества измерений п для E.84) указана в табл. 14.
92
Таблица 14
п
5
6
7
8
9
10
р
0,960
0,970
0.976
0.980
0,983
0,985
п
12
14
16
18
20
р
0,988
<\990
0,991
0,992
0,993
п
25
30
50
150
оо
р
0,994
0,995
0,996
0,997
0,9973
§ 33. НЕОБХОДИМОЕ КОЛИЧЕСТВО ИЗМЕРЕНИЙ
Влияние случайных погрешностей измерений можно умень-
уменьшить двумя способами: либо увеличить точность, либо количест-
количество измерений.
Увеличением количества измерений п даже при неизменной
их точности можно увеличить надежность доверительных интерва-
интервалов
\x-X\<tP-o!V~n и \x-X\<tP-o*lV^ E.85)
или сузить доверительный интервал для истинного значения изме-
измеряемой величины.
Необходимое количество измерений для достижения требуе-
требуемой точности е и доверительной вероятности Р можно определить
заранее только тогда, когда известно значение средней квадра-
квадратической погрешности измерений. В этом случае количество изме-
измерений для получения доверительного интервала е=\х—Х\ с за-
заданной доверительной вероятностью Р определяется с учетом со-
соотношения \х—X\<tpoYn , откуда
[-М1 ¦-.
E.86)
где t = tP находится из равенства 2Ф(^)=Р (см. приложение 1).
Если же средняя квадратическая погрешность измерений зара-
заранее неизвестна, но известен ее порядок, то необходимое число
измерений можно определить в зависимости от доверительной
вероятности Р и от соотношения ?=е/(т*, где ст* — предполагаемый
эмпирический стандарт погрешности.
При этом следует также иметь в виду, что суммарная погреш-
погрешность измерений не будет определяться только систематичес-
систематической погрешностью Дс, т. е. A<AC •
Обычно считают, что Д<ДС /3 или А^АС /2 или Ас =<А.
В этом случае
t=&;6*. E.87)
Необходимое число измерений, удовлетворяющее данной сум-
суммарной погрешности Ас +А и заданной доверительной вероят-
вероятности Р, определяется с помощью таблицы. Параметр t в табл.
15 приведен в долях случайной погрешности.
93

Таблица 15
t
1,0
0.5
0.4
0,3
0,2
0,1
0.05
0,01
Значение t при Р, равной
0,90
5
13
19
32
70
273
1084
27161
0,95
7
18
27
46
99
387
1540
38416
СД9
11
31
46
78,
171
668
2659
66358
0,999
17
50
74
107
277
1089
4338
108307
Пример. Выполнены измерения физической величины, причем систематиче-
систематическая погрешность, определяемая классом точности прибора, Дс=1 мкм. При
обработке результатов измерений получили среднее квадратнческое отклоне-
отклонение 0=1,25 мкм. Определить количество измерений для получения общей по-
погрешности измерений, не превышающую 1,5 мкм, с доверительной вероят-
вероятностью 0,95.
Так как общая погрешность измерений, равная Д+Лс не должна превы-
превышать 1,5 мкм, полагаем, что Д = ДС /2=9,5 мкм, т. е. сумма Л+А с равна
общей погрешности измерений. Из приведенных условно данных
Д 0,5
'=1Г =Г25=°>4-
Из табл. 15 для /=0,4 и Я=0,95 получаем «=27.
Предположим, что Д = Дс/4=0,25, тогда / = 0,2, а количество необходимых
измерений возрастет до 99.
ГЛАВА 6
ОБРАБОТКА И ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ
РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
§ 34. ЗАДАЧИ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНО
ИЗМЕРЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Пусть для определения неизвестной величины Л' сделано п
измерений, давших значения Х\, х2, ..., хп . Требуется из этой со-
совокупности значений вывести наиболее приемлемое в каком-то
смысле приближенное значение X и приближенное значение
средней квадратической погрешности одного измерения. За это
значение принимают обычно наиболее вероятное. Та величина,
которая принимается за X, есть функция случайных значений Х\,
х2, ..., хп, поэтому ее тоже можно считать случайной
X^f(x1,x^...,xn). F.1)
В этом случае появляется задача о вероятностной оценке точ-
точности результата. Иначе говоря, кроме средней квадратической
погрешности измерения следует вычислить и среднюю квадрати-
94
ческую погрешность наиболее вероятного значения измеряемой
величины.
Вместе с тем, прежде чем переходить непосредственно к об-
обработке результатов измерений, необходимо ввести понятие о
равноточности измерений, являющемся вероятностным выражени-
выражением понятия одинаковой точности всех результатов Х\, х2, ..., хп
измерений определенной величины. Каждое измерение хк (k=l,
2 ...) дает случайный результат, случайность его проявляется в
том, что при повторении такой же серии измерений k-e измере-
измерение даст новое значение х, отличное от xk .
Совокупность возможных результатов &-го измерения в общем
случае может определяться плотностью вероятности с парамет-
параметром ak. Если все измерения равноточные, то формальным призна-
признаком этого является равенство всех ак одному и тому же значе-
значению а независимо от значка k.
§ 35. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ РАВНОТОЧНЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ
Рассмотрим, прежде всего, измерения, при которых многократ-
многократные измерения проводятся для уменьшения влияния случайных
погрешностей. Результат каждого измерения при этом дает оцен-
оценку измеряемой величины.
Результат наблюдения отличается от истинного значения
измеряемой величины из-за случайной Д и систематической Дс
составляющих погрешности
Xi--=X+&+Ac. F.2)
Повторяя наблюдение, можно получить информацию о случай-
случайной погрешности. О систематической погрешности из этих наблю-
наблюдений информацию извлечь нельзя. Для оценки систематической
погрешности необходимо знать свойства используемых средств
измерений, метод измерений и условия измерений.
Если систематическая погрешность результатов измерений
известна, то вводят поправки
г», = -Дс. F.3)
Подставив F.3) в F.2), получим:
*,=Х4А- F-4)
Основная задача — найти оценку X=f(x). При нормальном
распределении результатов наблюдений, как уже отмечалось вы-
выше, оптимальной оценкой распределения X является среднее
арифметическое результатов измерений.
F.5)
95

где Х( —результат t'-го измерения; х — среднее арифметическое
значение; п — число измерений-
Рассмотрим, насколько основательна формула F.5). Ряд
результатов мы можем записать в другом виде:
2 дг,-= гс-х+2 А?,
F.6)
где X—истинное значение измеряемой величины или математи-
математическое М(Х) ожидание случайной величины; А;—случайная
погрешность i-ro измерения.
На основании теории при большом числе измерений сумма
всех случайных погрешностей стремится к нулю
lim 2*
п-оо 1
F.7)
Подставляя F.7) в F.6), получим
2
1
F.8)
откуда
п
2*,
F.9)
т. е. среднее значение является приближенным к истинному.
Если вместо X возьмем среднее значение х, получим
vt=Xi-x, F.10)
где vi —отклонение результата измерения от среднего значения.
Все полученные величины нам известны и с ними производят
необходимые вычисления. Очевидно, что
^-Vi=x-X. F.11)
Пользуясь отклонением от среднего значения Vi , вместо слу-
случайной погрешности Д,-, мы допускаем такую же погрешность,
как и при замене истинного значения X средним арифметическим
значением х.
Следует отметить, что отклонения от среднего имеют важные
свойства, а именно:
96
1. Алгебраическая сумма отклонений от среднего равна 0
п п
2 Vi= 2 Xi—n-X .
1 1
E.12)
Из формулы D.34) следует
откуда
F.13)
F.14)
2. Сумма квадратов отклонения от среднего имеет минималь-
минимальное значение:
2 T^
1
или
2 (Xi-X)z=m
F.16)
1
п
Обозначим 2 (хс— XJ=Q.
Найдем X так, чтобы минимизировать Q. Для этого найдем
^ =-2 2 {xt-X) F.17)
и положим dQ/dX = 0, откуда
2 (Xi-X)=0, 2 xi=n-X, т.е.
i i
а сумма квадратов отклонений от среднего арифметического ми-
минимальна, поэтому среднее арифметическое значение будет самой
эффективной оценкой измеряемой величины, особенно при нор-
нормальном распределении погрешностей.
Вычисление среднего арифметического значения можно облег-
облегчить с использованием следующего приема.
Каждый результат измерений представляют в виде суммы
Xi=xo + Bi, F.18)-
97

где х0—некоторое округленное число, выбираемое с таким рас-
расчетом, чтобы все е были малые положительные числа. Тогда
n
2*,
х =
n
n
F.19)
Получим еще формулу для контроля вычислений отклонений
Vi И I.V} .
1
Имеем
Отсюда
Vi=Xt—X =
• 2-L
F.20)
F.20,а)
и окончательно
*
;=
" 1
F.21)
Практически последовательность нахождения среднего ариф-
арифметического значения может быть следующая.
1. Выбрать х0 и вычислить Si = xi —х0.
2. Вычислить xo=*o+2ef /n
я погрешность округления До = лг0—х.
3. ВЫЧИСЛИТЬ Vo. =Х0—Х( .
п
4. Осуществить контроль 2уо. =До>«-
5. Вычислить 2уо>, 2е2., Bе,)а/«.
6. Осуществить контроль.Sf^ =2e,- —(ЕеJ/"-
Пример. Даны результаты равноточных измерений одной н той же вели-
величины, приведенные в табл. 16. Определить х, Хо, осуществить контроль на-
нахождения х.
36. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПРЯМЫХ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Из § 35 очевидно, что в результатах измерений остались только
^случайные погрешности, которые распределены по нормальному
закону. В качестве показателя точности измерений здесь оценива-
оценивается дисперсия этого закона о2 или средняя квадратическая по-
погрешность <т= Ус2.
•98
Таблица 16
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Результаты изме-
измерений X,
2344"
23'40"
23'43"
23'45"
23'46"
23'43"
23'48"
23'45"
23'48"
23'46"
23'47"
23'41"
\
+4
0
+з
+ 5
+6
+3
+ 8
+5
+8
+6
+7
+1
2
н
16
0
9
25
33
9
64
25
64
35
49
1
°!
+0,7
+ 4,7
+ 1,7
—0,3
—1,3
+ 1,7
-3,3
—0,3
-3.3
— 1,3
-2,3
+ 3,7
I' 2
to.
0,49
22,10
2,89
0,09
1,69
2,89
10,90
0,09
10,90
1,69
5,29
13,70
Решение
1. IvOi =Д0-я
0,03"-12 = +0,4"
п v- 2 " ¦¦
2. Suol =2e~ -
i
п
— Bе,J
56г
=334- 7F"=72
.+56 334 +0,4 72,9
хо=23'4О"; 7=123 44/666"; *Г=23 44, '7000"; Д0+0,03".
Существует несколько способов оценки дисперсии в прямых
равноточных измерениях.
1. Если проводят измерения известной величины X (эталона),
то в качестве эффективной оценки дисперсии применяют среднюю
квадратическую погрешность результатов измерений хи х2, .., хп
от значения X
;5.22>
2. Если измеряют неизвестную величину, то в качестве диспер-
дисперсии применяют эмпирическую дисперсию
/1—1
П
2
F.23)
Оценка F.23) является несмещенной и состоятельной, но не явля-
является эффективной, т. е. ее рассеивание стремится к минимальному
значению при неограниченном увеличении числа измерений.
Оценка называется несмещенной, если ее теоретическое сред-
среднее значение совпадает со значением X. Оценка называется состоя-
состоятельной, если при неограниченном увеличении числа измерений п
она стремится по вероятности к значению X. Оценка (несмещен-
(несмещенная) называется эффективной, если она имеет наименьшее рассея-
рассеяние среди всех несмещенных оценок значения X по результатам
измерения.
В указанных выше случаях эмпирический стандарт о*=
=]/(о*J дает смещенную (несколько преуменьшенную) оценку
средней квадратической погрешности о.
Смещение этой оценки зависит от числа измерений п и умень-
уменьшается с увеличением числа п (подсчитано, что при я=16 это сме-
смещение составляет 2 %, а при п=2б оно менее 1 %).
99

Учитывая, что размерность дисперсии не совпадает с размер-
размерностью измеряемой величины, находят стандарты или среднюю
квадратическую погрешность результата измерения
или
0=0*=
F.24)
F.25)
Имея значение средней квадратической погрешности отдельно-
отдельного результата, находят среднее квадратическое отклонение сред-
среднего арифметического
а-= -?=¦ . F.26)
% 37. ПОРЯДОК ОБРАБОТКИ ПРЯМЫХ
РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
В общем случае последовательность (алгоритм) обработки
прямых равноточных измерений, может быть следующая.
1. Исключение из результатов наблюдений известных система-
систематических погрешностей. Если известно, что все результаты наблю-
наблюдений отягощены одинаковой постоянной систематической погреш-
погрешностью, ее исключают из результата измерений:
V4 =-vi- F.27)
2. Проверка гипотезы по критерию, изложенному в § 30, для
чего определяют предварительное значение среднего арифметичес-
арифметического X, свободного от систематической погрешности и среднее
квадратическое отклонение у.
3. Если есть подозрение о наличии анормальных наблюдений,
находят
F.28)
Значение t\ и t2 сравнивают с табличным, имеющим для данно-
данного числа k и уровня значимости q определенное и выбранное из
таблицы приложения 8 значение.
Если t\ и t2 больше tr, то результаты xmin и #тах считают
анормальными и исключают их из дальнейшей обработки.
4. Вычисление среднего арифметического х исправленных ре-
результатов наблюдений
F.29)
100
Если все результаты наблюдений .г,- отягощены одинаковой
погрешностью Дс , сначала вычисляют среднее арифметическое
неисправленных результатов измерений
лГ= \- 2 7t, F.30)
где хс — неисправленный результат 1-го измерения, а затем ис-
исправленный результат измерения, который будет равен х = х—Лс.
Необходимо учесть, что среднее значение находят при условии,
что результат, содержащий грубую погрешность в расчет не берет-
берется.
5. Вычисление оценки средней квадратической погрешности ре-
результата измерения по формуле
о=
л/ \ (*-ГI
f я-1
F.31)
6. Расчет оценки среднего квадратического отклонения средне-
среднего значения результата измерения по формуле
-?=.. F.32,
У п
у п У п
7. Определение принадлежности результатов измерений нор-
нормальному распределению. При числе результатов измерений п>50
для проверки этой принадлежности используют критерий w или
у?. Если п<50, используют составной критерий.
8. Определение доверительных границ е случайной погрешности
результата измерения по формуле
или ^—±tz-a"j, F.33)
где ^с — коэффициент определяемый по приложению 2 коэффи-
коэффициентов Стьюдента по заданной доверительной вероятности Р или
а и числу наблюдений п.
9. Определение границы в неисключенной систематической по-
погрешности. Если известно, что погрешность результата измерений
определяется рядом составляющих неисключенных систематичес-
систематических погрешностей, каждая из которых имеет свои доверительные
границы, то при неизвестных законах распределения их границы
¦суммарной погрешности находят по формуле
2Q,-,
1
где т — число неисключенных систематических составляющих по-
погрешностей результата измерения; kn — коэффициент, принимае-
принимаемый равным 1,1 при доверительной вероятности Р = а = 0,95.
10. Определение соотношения в/о?. Если это соотношение мень-
меньше 0,8, то ненсключенными погрешностями пренебрегают п в каче-
101

стве границы погрешности результата измерения принимают
Д = ±е. Если 6/сгг>8, то пренебрегают случайной погрешностью
и считают, что A=±Q. Если 0,8<®/оГ <8, при определении гра-
границ погрешности А следует учитывать и случайную п системати-
систематическую составляющие.
11. Определение границы погрешности результата измерения
по формуле
где
*=
/4-
т
У,
12. Представление результата измерения и погрешности для-
случая симметричных доверительных границ в форме ХгЬАр.
Пример 1. С целью аттестации катушки индуктивности по добротности
проведено 20 измерений ее добротности в следующих условиях: температура
окружающей среды Т=25°С, влажность и давление в пределах нормальной
области, установленной в НТД на аттестуемую катушку. В качестве образцо-
образцовых средств измерений использовались: компаратор добротности Е1-8 с по-
погрешностью сличения, не превышающей бх = ±0,4 %, и образцовая катушка
А-7 из вабора образцовых мер добротности Q=0272-2, аттестованная с погреш-
погрешностью 63=±О,7 % И имеющая номинальное значение добротности 75 ед.
Требуется определить номинальное значение добротности аттестуемой ка-
катушки и погрешность аттестации с доверительной вероятностью Р = 0,95 для
нормальных условий (Г=25 °С).
В результате измерений получены данные, приведенные в табл. 17.
Таблица 17
Порядко-
Порядковый номер
измерения
1
2
3
4
5
Q,
1
76,3
74,7
75,7
75,5
75,7
Порядко-
Порядковый номер
измерения
6
7
8
9
10
Q,
1
76,0
75,3
74,9
75,5
75,4
Порядко-
Порядковый НОМСф
изморопия
11
12
13
14
15
75,3
75,1
75,5
75,4
75,8
Порядко-
Порядковый колер
измерения
16
57
1Ь
!5
20
75,9
74,9
75,7
75,3
77,1
Решение.
1. Проверяем гипотезу: результат 20-го наблюдения является анормальным
(промахом), для этого вычислнм Q и а для 20 наблюдений
20
=75,5 ед.;
20—1
=0,52 ед.
102
Рассчитаем отношение t» для Q=
, Q20-Q
'20— "Z
=77.1:
77,1—75,5
U,52
•3,07.
По приложению 8 определяем теоретическое значение tT для «=20 и
уровня значимости <7=0,О5. Находим /г =2,75.
Так как tm>t C,07>2,75), наша гипотеза не противоречит эксперимен-
экспериментальным данным, т. е. 2О-е наблюдение является анормальным, поэтому из
дальнейшей обработки его исключаем.
2. Вычислнм среднее арифметическое 19 наблюдений Qi9, которое прини-
принимаем за неисправленный результат измерений Q:
19
Qi9=Q--Li9~ =75,4 ед.
3. Исключим известную систематическую погрешность из результата из-
измерения. В данной задаче систематическая погрешность измерения будет обус-
обусловливаться отклонением температуры окружающей среды от нормальной.
Так как изменение температуры приводит к практически одинаковым измене-
изменениям добротности AQ для всех результатов наблюдений, целесообразным яв-
является исключение этой погрешности один раз — из результата измерения.
Используя известную зависимость, найдем AQ: AQ = Qj- РЛ7", где Qr —
— Q — результат измерения при Г=25 °С; р — температурный коэффициент
добротности, равный 5-10~4-1/гKai; АТ=5 "С —-отклонение температуры.
Получим AQ=75,4-5-lO-4-5=0,2 ед. _
Исправленное значение среднего арифметнческого будет равно Q=Qi —AQ =
=75,4—0,2=75,2 ед.
4. Вычислим среднюю квадратическую погрешность результатов наблюде-
яий:
7~ У 19=1
19
(Qi—QJ =0,42 ед.
5. Найдем среднее квадратическое отклонение результата измерения
а 0,4
а — — —' —Т 1 ел
d 1/ — i/"Tn »
6. Определим принадлежность результатов наблюдений к нормальному
распределению. Так как число наблюдений п больше 15 и меньше 50 A5<гс<50),
-используем составной критерий.
Проверка по критерию 1. Вычислим отношение d:
2 IQ,— Q\
d=
па*
, / 1 "
тде о*= у — 2 (Q<—QJ -
ческого отклонения.
Подставив числовые значения, получим
смещенная оценка среднего квадрати-
19
а*= I/ To" L (Qi-75,4K=0,4l,
тгогда
19
d=
2 (Qi-75,4)
19-0,41
=0,77.
103

Найдем по приложению 4 теоретические значения q \.„ ^-
Задаваясь уровнем значимости <7 = 0,1 для п=21 (ближайшее к п=19),
получим d^oj -2=0,7304 и d0il/2 =0,8768. Так как расчетное значение d
не выходит за пределы теоретических значений (т. е. 0,73<0,77<0,87), можно
считать, что по первому критерию распределение полученных результатов под-
подчиняется нормальному закону.
Проверка по критерию 2. Определяем число т разностей \Qi—Q\, которые
превосходят некоторое теоретическое значение |AQ|=^ рр-сг, где а — среднее
квадратическое отклонение результатов наблюдений; /р/2 — верхняя квантиль
распределения нормированной функции Лапласа (приложение 4), отвечающая
вероятности Я/2 (Я — значение вероятности, определяемое из приложения 4)
по выбранному уровню значимости q2, числу результатов измерений п и чис-
числу т).
Задаваясь ?2=0,0Б, я=19 я т=1 по приложению 4, определяем Я = 0,98.
Из приложения 1, найдем значение квантиля tg ggv , которое равно 2,32.
Тогда | AQ| =^о,98/2 -о"=2,32-0,42 = 0,97.
Анализируя значения модулей отклонения |Q,-—Q | результатов наблю-
наблюдений, мы видим, что ни один из них не превышает значение 1Д(?|=О,97,
что подтверждает теоретическое допущение.
Так как соблюдаются условия обоих критериев, можно считать, что расп-
распределение результатов наблюдений соответствует нормальному с уровнем,
значимости q = <?i + q2—0,1+ 0,06 = 0,15.
7. Вычислим доверительные границы е случайной погрешности измерения..
Так как распределение подчиняется нормальному закону, доверительные
границы вычислием по формуле z—±tc -сг, где tz— коэффициент, определяе-
определяемый по таблице распределения Стьюдента (приложение 2).
При заданной доверительной вероятности Я=0,95 и числе наблюдении
л=19 по приложению 2 находим 1С =2,101. Следовательно е= ±2,101-01 =
= ±0,2 ед.
8. Определим доверительные границы неисключенной систематической по-
погрешности измерения. В данной задаче неисключенная систематическая погреш-
погрешность измерения будет обусловливаться двумя составляющими погрешностями
аттестации образцовой катушки и компаратора. Рассматривая их как слу-
случайные погрешности с равномерным законом распределения, причем для
иих доверительные границы, численно равные пределам допускаемых погреш-
погрешностей аттестации катушки ба и компаратора S к .
Так как погрешности заданы в относительной форме, вычислим предва-
предварительно их абсолютные значения:
За=±Ш ^=- Ш '75.4=^0,5 ед.;
Ьк — 0,4
Qk=± Тпп -Q=i= fnn -75,4=±0,3 ед.
100 'l
100
Доверительные границы суммарной неисключеииой систематической пог-
погрешности найдем по формуле
,3^ -0,6 ед.
9. Определим, можно ли пренебречь какой-либо составляющей погрешнос-
погрешности измерения.
Вычислим отношение Q/cra. Так как значение Qfa =0,6/0,1 = 6,0 лежит
в пределах 0,8—8,0, ни одной из составляющих погрешности измерения пре-
пренебречь нельзя, следовательно, общая погрешность будет определяться обеими
составляющими.
10. Найдем доверительные границы А общей погрешности измерения,
включающей случайную и систематическую составляющие, A = kS^
104
Суммарное среднее квадратическое отклонение S2 результата измерения
определим по формуле
Y-y @,54-0,3*)+-0,Г-=
Коэффициент к вычислим по формуле
0,2 f0,6
>*+ V~t <°.5ч-о,за)
= 1,82.
Доверительные границы погрешности измерения
A=A>-SS =1,82-0,35= ±0,6 ед.
11. Результат измерения можно представить в следующей форме:
" или Q = 75,2±©,6 ед.; Я=0,95 = а.
ГЛАВА 7
ОБРАБОТКА И ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ
НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
§ 38. НЕРАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
В предыдущих параграфах рассматривались задачи получения
окончательного результата измерений, выполненных при одинако-
одинаковых условиях. Такие измерения называют равноточными. Наибо-
Наиболее надежным результатом из ряда результатов равноточных из-
измерений является среднее арифметическое.
Но не менее часто встречаются случаи, когда одна и та же ве-
величина измеряется при различных условиях. Такие измерения на-
называются неравноточными.
Если имеется ряд неравноточных измерений хи х2, ..., х„ одной
и той же величины X, то для получения из них наиболее надежного
значения этой величины нельзя взять просто среднее арифметичес-
арифметическое.
Очевидно, что измерение более точное должно иметь и большее
влияние на окончательный результат.
Неравноточные измерения одной и той же величины могут
иметь место в силу следующих причин:
1. Из-за использования средств измерений различной точности;
2. Из-за выполнения измерений при разных условиях внешней
среды;
3. Из-за различного числа измерений одним и тем же средством
измерений при необходимости каждый раз взять из них среднее
арифметическое;
4. Из-за проведения измерений одним средством измерений, но
различными операторами.
105

В силу отмеченного, возникает необходимость объединения ре-
результатов, отличного от ранее рассмотренного. Оценка искомого
значения измеряемой величины в этом случае осуществляется при
помощи_так называемого весового среднего арифметического зна-
значения (хр).
Простейшим случаем неравноточных измерений являются не-
несколько групп равноточных измерений, число измерений в каждой
группе различно.
Пусть произведено Ш\ равноточных измерений, из которых вы-
выведено наиболее вероятное значение х\ измеряемой величины. Дру-
Другая серия таких же измерений содержала т2 измерений и дала
значение х2, третья -v тъ измерений и дала значение х3 и т. д. Ста-
Ставится задача вывести наиболее вероятное значение измеряемой ве-
величины на основании результатов. Для решения этой задачи ис-
используется понятие «вес».
§ 39. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИИ «ВЕС»
Вес является вспомогательным числом при совместной обра-
обработке неравноточных или разнородных измерений.
Если о — средняя квадратическая погрешность результата из-
измерения, то вес этого результата находят по формуле
Рг
а2.
G.1)
где ц — коэффициент пропорциональности.
Это понятие веса для измеренной величины принято и для лю-
любой функции F измеренных величин; вес Рр функции F при извест-
известной средней квадратической погрешности aF вычисляют по фор-
формуле
0%,
G.2)
Веса результатов измерений и их функции являются положи-
положительными числами, пропорциональными квадратам их средних
квадратических погрешностей (дисперсиям).
Если Pi =1, то при однородных неравноточных измерениях бу-
будем иметь \i = a? .
Пользуясь формулой B), напишем еще две формулы:
OF =
G.3)
G.4)
В соответствии с формулами G.1) — G.4) при вычислениях с
использованием весов встречаются три типа задач.
166
1. Установление весов неравноточных или разнородных резуль-
результатов с целью совместной обработки этих результатов, например,
для отыскания вероятнейших значений их функций.
2. Отыскание весов функций неравноточных или разнородных
результатов для получения затем по формуле G.3) средней квад-
квадратической погрешности вР функции F, т. е. для оценки этой
функции.
3. Вычисление погрешности определения единицы веса для по-
получения характеристики той величины, вес которой может быть
равным единице, а также для применения формулы G.3).
Как видно из формул G.1) и G.2), для установления весов по
известным средним квадратическим погрешностям достаточно ус-
установить величину |х. Так как все веса в каждой конкретной зада-
задаче можно умножить или разделить на любое положительное, не
равное нулю, число, то очевидно выбор величин \х при установле-
установлении весов ничем не ограничен ни в отношении ее числового значе-
значения, ни в отношении размерности, и величину |х устанавливают,
руководствуясь удобством последующих вычислений.
Например при обработке ряда однородных неравноточных ре-
результатов размерность величины \х принимают такой же, как и раз-
размерность результатов и численно такой, чтобы все веса выража-
выражались числами около единицы.
При совместной обработке разнородных результатов измере-
измерений величину (х полагают отвлеченной, либо придают ей размер-
размерность, наиболее удобную для последующих вычислений.
Формула G.3) является основной при оценке точности функ-
функций измеренных величин.
Если коэффициент \х был принят при установлении весов ре-
результатов измерений, то для подсчета средней квадратической по-
погрешности aF функций этих результатов нужно определить вес
этой функции.
Веса однородных результатов являются относительными чис-
числами, и в тех случаях, когда неизвестны средние квадратические
погрешности этих результатов, их веса можно устанавливать, ис-
используя соотношение средних квадратических отклонений, исходя,
например, из числа измерений.
§ 40. ВЕРОЯТНЕИШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ МНОГОКРАТНО
И НЕРАВНОТОЧНО ИЗМЕРЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ
В практике исследовательских работ часто встречаются ситуа-
ситуации, когда необходимо найти наиболее достоверное значение вели-
величины и оценить его возможные отклонения от истинного значения
на основании измерений, проводимых разными наблюдателями с
применением разнообразных измерительных средств и методов из-
измерений в различных лабораториях или условиях внешней среды.
Ряды получающихся при этом результатов наблюдений назы-
называются неравнорассеянными (неравноточными), если оценки их
дисперсий заметно отличаются друг от друга, а средние арифмети-
107

ческие являются оценками одного и того же значения измеряемой
величины.
Рассмотрим некоторые случаи, приводящие к необходимости
проведения и обработки неравноточных измерений.
1. Если при точных измерениях необходимо убедиться в отсут-
отсутствии неисключенных систематических погрешностей, то измерения
проводятся несколькими исследователями. Если средние арифме-
арифметические полученных рядов наблюдений незначительно отличают-
отличаются друг от друга и нет признаков систематических погрешностей,
то при объединении всех полученных результатов и на основе их
математической обработки получают более достоверные сведения
об измеряемой величине.
2. Аналогичные измерения были выполнены в разных лаборато-
лабораториях различными методами и получены отличающиеся друг от
друга результаты. Используя все имеющиеся данные, пытаются по-
получить более достоверные значения измеряемых величин.
3. Измерения одних и тех же величин могут повторяться через
определенное время. В итоге появляется необходимость объедине-
объединения результатов. Точность рядов различна.
Во всех этих случаях приходится прибегать к методам обработ-
обработки результатов неравноточных измерений, задача которых в об-
общем случае заключается в нахождении наиболее достоверного зна-
значения измеряемой величины и оценки воспроизводимости измере-
измерений.
Пусть некоторая величина, истинное значение которой равно X,
измерена многократно и неравноточно, и получены результаты х\,
л'2, ..., хп со средними квадратическими погрешностями а\, ог, ...,
«V
Требуется найти вероятнейшее значение хр измеренной вели-
величины на основе имеющейся информации.
Выразим искомую величину хр в виде линейной функции
хр =
- A-k x
G.5)
где коэффициенты ki — некоторые функции соответствующих ве-
величин 0(- и связаны условием
ki+kt + ...+ka=\. G.6)
Необходимость условий G.5) и G.6) вытекает из следующих
соображений.
1. Равноточные измерения должны рассматриваться как част-
частный случай неравноточных, поэтому для случая равноточных изме-
измерений будем иметь 01 = 02= ... =о„ , откуда k\ = ki= ... =kn и фор-
формула G.5) примет вид
~xp=k{x1+xl+... + xn), G.7)
а условие G.6) примет вид п ¦ k= 1, откуда k= l/n.
108
Формулу G.5) можно представить как:
п
S
I
, т.е. условие соблюдено.
2. Если все результаты измерений случайно окажутся равными
между собой, т. е. Хр =х2= ... =хп, то очевидно будем иметь
~хр=х. G.8)
По формуле G.5) для этого случая запишем хр =x(ki~kz-\-
+ ...+kn ). но учитывая G.5), необходимо, чтобы k\-\-k*+...
kn = \, что еще раз подтверждает необходимость соблюдения ус-
условия G.6).
Коэффициенты ku &2, . • •. kn находят при условии, чтобы вели-
величина Хр была получена с наибольшей точностью, т. е. с возможно
меньшей средней квадратической погрешностью.
В соответствии с формулой G.5) и принимая результаты неза-
независимыми, напишем:
». G.9)
Таким образом, задача сводится к нахождению минимума функ-
функции oL-f(k1,kt,....,ka)=<fil%+d*f%+... + 62n%, если пере-
р
менные k\, k^, ..., kn связаны условием
S*(-l=0, G.10)
1
то задача решается по методу Лагранжа.
Напишем функцию Лагранжа (?>(kuki,...,kn,%)=o\k\-{ alk\-\-
где К — коэффициент, подлежащий определению, называемый
множителем Лагранжа. Далее возьмем частные производные
функции Ф по всем переменным k и приравняем их к нулю.
4® -=20?.*.—2А,=0 (* = 1,2,...,п), G.11)
откуда
G.12)
Возьмем теперь сумму этих равенств
1 1 ст
учитывая из G.10), что 2&(- = 1, получим Я= ——т-
1 2
и равенство G.12) примет вид
109

2, 1
G.13)
Выразив в линейной функции G.5)
¦найденные для них значения, получим
коэффициенты
_ №«)
хр--
п
2
1
через
G.14)
Полученная формула решает поставленную задачу. Однако,
она может оказаться неудобной для вычислений, если величины
<ц будут сильно отличаться от единицы.
Для удобства вычислений выбирают некоторый коэффициент
ц2, на который умножают числитель и знаменатель правой части
формулы G.14), после чего она примет вид
n
У
G.15)
Величину \ii выбирают с таким расчетом, чтобы отношение
}А2/о? было возможно ближе к единице.
Величины j.i2/0? — веса соответствующих результатов. хс обоз-
обозначают через Рс , т. е.
D._ ^
G.16)
С учетом этого выражения формула G.15) примет вид
x + Рг+...+Рп
G.17)
Величину хр , полученную по формуле G.17), называют весо-
весовым средним или общей арифметической срединой.
Нетрудно видеть, что среднее весовое не изменит своего значе-
значения,, если все веса будут умножены на какое-либо постоянное, ие
равное нулю, число.
Отсюда следует, что для получения вероятнейшего значения не-
неравноточно измеренной величины достаточно знать соотношение
средних квадратических погрешностей, сами же величины а могут
оставаться неизвестными.
Поясним это положение.
110
Предположим, нам известны отношения
где а, — средняя квадратическая погрешность некоторого резуль-
результата xf. Величина а{ (/=1, 2, .... п) нам неизвестна. Приняв
ц=с- а,, где с также неизвестно, можно написать
о?
1_ Н^ L Р
-с* о? - с* ''
откуда
Теперь формуле G.17) можно придать вид
л
2 PjXi
1
с2
п
1 ' '
G.19)
G.20)
т. е.
G.21)
Таким образом, для вычисления хр достаточно знать отношение
средних квадратических погрешностей, т. е. g. =ог/ст1-, причем
квадраты этих отношений будут играть роль весов.
§ 41. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
ПО ИЗВЕСТНЫМ ДИСПЕРСИЯМ
Неравноточные результаты измерений одной и той же величи-
величины, как уже отмечалось, возникают, если заданная величина изме-
измерялась приборами различной точности; одинаковой точности, но
при разном числе приемов; одинаковой точности при одинаковом
числе измерений, но в различных условиях.
Оценка параметра X, т. е. истинного значения измеряемой ве-
величины, в этом случае осуществляется при помощи весового сред-
среднего арифметического значения Хр.
Пусть х\, Х2, ..., хп — серия независимых, т. е. не содержащих
систематических составляющих неравиоточных значений результа-
результатов измерений одной и той же постоянной величины X.
Учитывая условия поставленной задачи, положим, что
М{Х1)=...=М{Хп)=Х; G.22)
=оа„. G,23)
111

при этом а] фа\ {1ф}), а G.22) и G.23) указывают на то, что из-
измеренные величины xi имеют один и тот же центр группирования
X, но различные дисперсии.
Для оценивания параметра X измеряемой величины использу-
используют среднее весовое значение хр, определяемой равенством
l, G-24)
тде Р. — вес измерения величины xt,
Чтобы оценка хрбыла несмещенной и имела наименьшую воз-
возможную дисперсию, необходимо внести условие
Р1+Р2+...+Р„=1. G.25)
Дисперсия о^ среднего весового хР, т. е. линейной функции
G.25), на основании теоремы о дисперсии суммы независимых ве-
величин D(X) =D(Xl+X2+ ...+Xn) =D{XX) +D(X2) + . ..+D(Xn)a
параметров нормально распределенных величин 02 = &202 + ... +
+ kl о2 и равна
0= =
р
Однако, учитывая G.25), получим
G.26)
G-27)
С целью получения уравнений для нахождения значений Р,
дифференцируем G.27) по Р;,..., Рл. Получим
да—
X
Р ОП—9О/1 П П \ О
откуда
G.28)
G.29)
Из формулы G.29) следует, что веса Ри ..., Рп должны быть
обратно пропорциональны дисперсиям или квадратам средних
ква^ратических погрешностей
р-Р- р =_L • J_. ._!_
^ °2 °n
G.30)
t'eca Рь ..., Рп — система положительных чисел. Система чи-
чисел G.30) должна удовлетворять условию G.25). Это значит, что
если мы найдем веса Р,- для всех xi по формуле G.30), то для вы-
выполнения G.25), необходимо вес Р,- каждой случайной величины
п
Xi разделить на сумму всех весов, т. е. на число 2Р(-,
i
112
При условии выполнения G.25) среднее весовое значение пред-
^ п
ставляет сумму слагаемых вида PtXi /2 Pt и определяется форму-
формулой
п
_ i ?n±n_ __ J—
•••\ n n
SP,, ^
G.31)
Дисперсия 0j весового среднего е учетом G.27) и G.25) оп-
определяется формулой
_ 9 п
Р2а]. G.32)
(К
Из формулы G.30) следует, что произведения Р,- -о? постоян-
постоянны, т. е. Pio2 = ... =Рлсг21 =Ц.2, где о2 = (х2 — общее значение этих
произведений.
Величину о=ц называют средней квадратической погрешностью
фиктивного наблюдения, имеющего вес, равный единице. С по-
помощью 02 = |i2 дисперсии отдельных наблюдений выражаются эле-
элементарной зависимостью
о О2 о °2 G "\Ч\
°1= p-v> an= pj ' (^••:5-:>)
Подставляя найденные значения а] в формулу G.32), получим
откуда теоретическая дисперсия о2-р среднего весового арифмети-
арифметического значения хр определится формулой
а2
7 р<
Эмпирическую дисперсию (о*J единичных наблюдений вычис-
вычисляют по формуле
Ц I P{X~xr G.35)
(а*у= -Ц- I Pi{Xi-~xpr.
Л—1 j
Для оценки дисперсии а\р весового среднего хР используют
статистику
aL —
X pf
.5—1 Зак: 1094
113

или
или о- = . G.36)
§ 42. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
ПО СРЕДНИМ АРИФМЕТИЧЕСКИМ ЗНАЧЕНИЯМ
ГРУПП ИЗМЕРЕНИЙ
Пусть произведено k групп или серий измерений одной и той
же величины X и получены независимые, т. е. не содержащие сис-
систематических погрешностей, неравноточные значения результатов
измерений (см.табл.18)
Таблица 18
Номер
группы
1
2
k
Хп
Хп
Xlk,.. .
хн
Xl п
Х%п
,Xknk
X
Xl
х2
Хп
Оценка
о*
*
01
*
02
¦¦¦:¦
вы
X
X
X
X
Параметры
а
01
02
0л
Из таблицы следует, что в качестве математической модели
распределения значений xij результатов измерений постоянной
величины X служит k многомерных нормально распределенных ве-
величин Xi (t= I, ..., k) с общим центром группирования X, но с раз-
различными параметрами рассеяния at . Величины наблюдались со-
соответственно П\,
раз, причем в общем случае ni
k
Необходимо произвести сщенку параметров X и о, используя
_эмпирические значения хи ..., xk средних арифметических
Xi групп или серий.
Непосредственно использовать формулы G.36) и G.31) для
оценки параметров X и а- , среднего весового значения хр не
представляется возможным, потому что веса Pi в этих формулах
соответствуют единичным наблюдениям х, а не групповым сред-
средним арифметическим х.
Если D(x. )=a2i — дисперсия единичного наблюдения величин
Xi, вес которого определяется по формуле G.30), то дисперсия
114
D(Xi)=tii /aj среднего арифметического значения xi группы в
вес ее Pj должна определяться формулой
Р— =
1
G.37)
Веса Р - средних арифметических групп xi должны удовлет-
удовлетворять ЪРх- = 1
или Рт :/>-:...:/>-= !± :
G.38)
Эмпирическое весовое среднее значение хр, определяемое по
средним арифметическим xt групп, на основании G.31) представ-
представляет собой сумму слагаемых весовых средних групп:
— Pxi xx I 4- Pxtc Xk ¦
X = —z Г---Т
G.39)
Эмпирическая дисперсия (о*J средних арифметических групп
xi относительно весового среднего значения хр представляет со-
собой сумму слагаемых вида Рх. (xi—хрJ, разделенную на число
степеней свободы к—1, т. е.
k—\
G.40)
Для оценки дисперсии а— весового среднего хР пользуются
ее выборочной оценкой
G.41)
Пример. Длина компаратора измерялась комплектом из трех инвариых
рулеток. Вначале измерения проводились в «прямом» и «обратном» направле-
направлениях, а затем в одном направлении.
Таким образом, получено по три числовых значения с весом 2 и весом 1
для каждой рулетки. Необходимо оценить значение параметров X и а-х , если
результаты измерений средних арифметических значений xi для каждой ру-
рулетки приведены в табл. 19.
115

Таблица 19
Номера
рулеток
238
239
241
238
239
441
_
X. ММ
9366,57
69,98
14,58
38,40
63,36
58,50
Boca Р.
i
2
2
2
1
1
1
БЭ
X -I.
1 р
+ 1,85
+ 5,26
+9,86
-26.32
— 1,36
—6,22
— _т J
i P
3,42
27,67
97,22
692,74
1.85
38.69
— —
' р
6,84
55,34
194,44
692,74
1,85
38,69
2989,90
Решение. Веса результатов измерений для каждой рулетки даны в табл. 19,
G
Вначале находим сумму весов 2Р,-.
Весовое среднее арифметическое значение х р находим по средним арифмети-
арифметическим значениям Х(, пользуясь формулой G.39).
Для упрощения вычислений за условное начало отсчета возьмем значение
с=9300,00 мм
пппп пп i 266,57+263,98+274,58+138,40+163,36 + 158,50
Хр =yoUU,UU-| =
=9300,00+
=9364,72 мм.
Дисперсию (о*J, полученную по средним арифметическим значениям xi,
найдем по формуле G.40). _
С этой целью по известным арифметическим значениим х (- групп и найден-
найденному весовому среднему значению хр (см. табл. 19) вычисляем разности х —хр
и их квадраты , а затем находим произведение вида Р(х,-—хРJ и их сумму.
Получим:
(°*J=-]ГТ Ъ PtOci-Xp)^ ^
-989,90=123,74.
Средняя квадратическая погрешность а* измерений отрезка будет
3,74=+ 11,1 мм.
Для оценки дисперсии a~j весового среднего значения воспользуемся фор-
формулой G.41)
2 (а*J 123,74
=13,75 мм,
v р
откуда средняя квадратическая погрешность aj среднего арифметического зна-
значения х Р будет
а- =у&. =1/13,75= ±3,71 мм.
116
§ 43. ПОРЯДОК ОБРАБОТКИ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИИ
Рекомендуется следующий порядок обработки результатов не-
неравноточных измерений.
1. Вычисляют значение «весов» по формуле
м.2 с
Pi= ¦%- или Р= -% ,
G.42)
где ц2 = с.
Если о,- неизвестна (средняя квадратическая погрешность), то
веса Pi определяют из условий, при которых проходили измере-
измерения [(число приемов при измерении углов, количество измерений в
серии с использованием формул G.42) и G.43)].
если о1=(т2=... = о„=1, получим
Pl:Pt:...:Pa=nl:nt:...:nk. G.44)
2. Выбирают приближенное значение измеренной величины
Хо и вычисляют разности
х,-*,=е,-. G.45)
Значение х0 выбирают так, чтобы все разности г{ были поло-
положительными.
3. Определяют среднее весовое значение
п
2 Pfii
ХР —xo'l n
2 Pi
G.46)
4. Вычисляют уклонение по формуле
Vi—Xi— Хр .
G.47)
5. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность единицы
веса
G.48)
6. Определяют среднюю квадратическую погрешность среднего
весового значения
а- = ° . G.49)
у I*
117

Вычисления контролируют, пользуясь свойством вероятнейших
погрешностей
2 PtVi=0.
1
( 7.50)
п п
Если при вычислениях ЪР i&i /БР( имеется ошибка округления
= *прин.—#точн.| ТО ДОЛЖНО бЫТЬ
2 PiVt=§
1 1
G.51)
В этом случае контроль вычисления ЪР&2. выполняют по
1
п п
формуле I,PiV2. =—J.PiEiVi
или по формуле
G.52)
Piv)= 2Prsf-^-L_
n
Ъ Pi
При обработке ряда неравноточных измерений наиболее часто
встречаются два случая, теория которых рассмотрена выше.
Первый случай. Даны результаты измерений xt и их средние
квадратические погрешности а .
Порядок обработки следующий:
1. Определяют веса измерений Рс =(л/сг?, причем ц = с, а зна-
значения Pi не должны существенно отличаться от 1.
2. Вычисляют среднее весовое значение
хр =л
п
Zi bi"i
1
3. Находят среднюю квадратическую погрешность по формуле
4. Вычисляют а- по формуле
118
Пример
Результаты неравноточных измерений приведены в табл. 20.
Определить хр , а — . Учитывая однообразие отдельных вычислений, нх сво-
Хр
дят в табл. 20.
серий
1
2
3
4
5
6
Результат
xi
71,729
,722
,717
,732
,730
,720
6,3
8,4
9,1
4,3
5,2
7,5
Pi 2
0,25
0,14
0,12
0,54
0,37
0,18
Ч
+ 12
+5
0
+ 15
+13
+3
piei
3,00
0,70
0
8,10
4,81
0,54
36,0
3,5
0
121,5
62,5
1,6
Та
vi
—1,3
+5,7
+ 10,7
-4,3
-2,3
+7,7
блица 2(
—0,33
+0,80
+1,28
-2,32
—0,85
—1,39
0,4
4,6
13,7
10,0
2,0
10,7
хо=71.717
+ 3,47
= + 10,7
—3,50
хр =71,7277
Сумма 1,60
17,15 221,1
—0,03 41.4
J
ft
2 Pi
l
2P(=-0,03;
р( X
2 Pt v*= 2
2,9
Второй случай. Обработка результатов неравноточных измере-
измерений здесь отличается от первого тем, что средние квадратические
погрешности результатов измерений ас неизвестны, но имеются
другие данные для определения весов.
119

Отличие заключается в том, что вес находят по формуле
1.*2** 3 гj^ ^П\,Т12.Г1% Х1Г .
Пример 2, По приведенным в табл. 21 многократным измерениям угла
определить вероятиейшее значение угла хр , среднюю квадратическую погреш-
погрешность 0— ,
хр
№ изме-
измерения
1
2
3
4
5
6
Измеренное
значение
45W16"
45°00'9"
45°00' 6"
45°00'10"
45W13"
45°00' 8"
Количество
измерений
п
6
18
3
15
6
12
Вес
' 3
2
6
1
5
2
4
1
+10
+3
0
+4
+7
+2
р ё
^i i
+20
+ 18
0
+ 20
+ 14
+8
„ 2
pi *i
200
54
0
80
98
16
Та
2
vt
—6
+ 1
+4
0
-3
+2
блица 21
—12
+6
+4
0
—6
+8
_ 2
72
6
16
0
18
16
= 45°00'06"
Сумма +18
Pfit
= +4,0
— 18
xp =45 00 10,0
Сумма 20
+80 448 0 128
? Pfii
_l
n
2 Pi
l
=+4,0"; p=0;
=448- -^ =128;
128
5,1
= ±5,1";
a- ==+ -i^ = + 1,14".
xp ~ /20
Примечание. Для упрощения вычислений взято за веса число измере-
измерений, уменьшенное в 3 раза, т. е. Pt = л,- /3.
§ 44. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИИ
Если результаты неравноточных измерений Хи Х2,...,х„ можно
рассматривать как средние для серий равноточных измерений, а ко-
количество измерений в каждой серии известно пь п2, ..., пг , то до-
120
верительная оценка истинного значения X измеряемой величины
имеет вид
\Xp-x\<tp{k)- -?L ,
где
1 "
— 2
п ,
n=
п
V
К »-1 Г
j— л:рJ
G.53>
G.54)
k = n—1 (число степеней свободы); Р — доверительная вероят-
вероятность, значение tP находится из приложения 3.
Если для результатов хи х2, ..., хп неравноточных измерений
известны точные значения весов или отношения этих значений
p.p. . р _!_._!_. . 1
1- 2 "~^ ' 4 < '
G.55>
где <з\ — дисперсия значения хр то доверительная оценка истин-
истинного значения X измеряемой величины имеет вид
\Xp-X\<tP{k)o- ,
G.56>
где хр =
1
-р
а Р= 2 Л, а- =
У
п
2
1
G.57)
Такой же вид имеет доверительная оценка и в том случае, ког-
когда каждое значение хс представляет собой среднее значение для
серии равноточных измерений со своей дисперсией а2{ и весом
Pi = mi /af, где m,- — количество серий в г-й серии.
Но иногда точные веса измерений (или их отношения) неизвест-
неизвестны и их заменяют приближенными значениями из результатов из-
измерений по формулам:
т\
где
Xti, xii, • • •. xim — результаты измерений в i-й серии со средним-
значением Xi.
В этих случаях ограничиваются приближенной оценкой
\хр-Х\<аР.в-
G.58)
121

или оценкой
\xp-X\<tP-VP,
G.59)
где tp = t(P) находится из уравнения 2ц> = Р, т. е. по приложе-
приложению 4.
ГЛАВА 8
ОБРАБОТКА И ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ
ДВОЙНЫХ И КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
§ 45. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ДВОЙНЫХ
РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
В метрологической практике нередко приходится измерять
большое число однородных величин, причем каждую величину из-
измеряют для контроля два раза. Такой метод измерений находит
широкое применение при исследовании средств измерений, изуче-
изучении условий, в которых проводятся измерения. Удовлетворительно
оценить точность каждой измеренной величины в отдельности при
числе измерений п = 2 не представляется возможным. Легко пока-
показать, что распределение Стьюдента при п = 2 для установления
доверительных интервалов с принятой выше 0,99 доверительной
вероятностью дает лишь формальный ответ.
Возникает вопрос, нельзя ли, пользуясь всеми разностями изме-
измерений однородных величин, оценить точность проведенных измере-
измерений?
Пусть некоторые однородные величины Х\, х2, ..., хп измерены
каждая дважды и получено: в результате первого измерения
х ' х2, ..., хп ; в результате второго измерения
(8.1)
разности двойных
хх, х2,... хп
Пользуясь рядами (8.1), можно вычислить
измерений
&\ = X. X. »
*п~Хп
(8.2)
и использовать эти разности для оценки точности.
В практике обычно встречаются два случая: все измерения х' и
х" равноточны и случай, когда измерения в парах равноточны, но
пары между собой неравноточны.
Рассмотрим первый случай.
Пусть все величины х\ и х"{ в рядах (8.1) равноточны. Если из-
измерения были бы безошибочны, то очевидно, что разности
х'. —х", в правой части каждого равенства (8.2) были бы равны
122
нулю. Следовательно, каждая разность d есть истинная погреш-
погрешность самой разности и для средней квадратической погрешности
a*d разности d можно записать a*' =M{d2) и приближенно
(8.3)
где п — число разностей.
Обозначим среднюю квадратическую погрешность одного изме-
измерения через ад и по правилу для средней квадратической погреш-
погрешности алгебраической суммы равноточных слагаемых напишем
следовательно ст.
откуда
2га
(8.4)
Вероятнейшие значения xi величин Xi, каждая из которых из-
измерена дважды, вычисляют как средние арифметические из соот-
соответствующих результатов измерений x't и х'. , т. е.
Xi= —^g > так как ал:'=аХ''=стд, (8.5)
то на основании формулы (8.4) для средней квадратической по-
погрешности а- вероятнейших значений величин d2 напишем
Если имеем два равноточных результата измерений одной и той
же величины, выполненных одинаковым образом, то можно пола-
полагать, что их систематические погрешности близки одна к другой и
систематическое влияние в разности таких результатов будет в
значительной мере погашаться. Поэтому систематические погреш-
погрешности в разностях di двойных результатов измерений называют
остаточными систематическими погрешностями.
При достаточно большом числе п двойных измерений среднюю
величину Ас погрешности в разностях dc на основании компенса-
компенсационного свойства случайных погрешностей находят как среднее
арифметическое из этих разностей,
п
2
т. е.
Ас=
(8.7)
123

Величину Ас при обработке двойных измерений исключают из
разностей di и находят величины е
г. =di — Ac. (8.8)
По свойству уклонений отдельных чисел от их среднего ариф-
п
метического будем иметь Бе(. =0, которое получено из (8.7) к
1 ' 1
Так как величины dt получены' из измерений, то уклонение е
можно рассматривать как вероятнейшие погрешности разностей
dc и по известной формуле Бесселя для средней квадратической
погрешности ad любой разности dc можно записать
У
n
2Ё2
1 '
n—1
(8.9>
Для средней квадратической погрешности ад одного измере-
измерения получим
I n
-ш/ S Е'
V2 f 2(n-\
Вычисление суммы
V2 f 2{n-\)
^ контролируется по формуле
(8.10)-
n n *•• a,
2s?=^-_L_. (8.11)
Для вычисления средней квадратической погрешности ад од-
одного измерения мы получили две формулы (8.4) и (8.10). Поэтому
возникает вопрос при каком систематическом влиянии Ас следует
пользоваться формулой (8.10)?
Если в качестве условия, при котором можно не применять
формулы (8.10) и (8.8), принять неравенство |ДС| ^-g-^, то на ос-
основании соотношения между средней и средней квадрати-
квадратической погрешностью напишем
или
где
, 1
ч
п
S
1
dt
V И
1
п
<о.
25
п
S
1
25
>^°
к
п
5п
(8.12)
124
Если условие (8.12) окажется выполненным, то для получения
характеристики ал случайных влияний на одно измерение следует
пользоваться формулой D).
Пример. Произведены двойные измерения одних и тех же величин. Произ-
Произвести обработку результатов.
Значения величин даны в табл. 22.
Таблица 22
п/п
1
2
3
4
5
6
7
Результат измерения, м
xi
1,489
2,468
2,223
3,536
8,457
2,293
5,158
Ч
1,398
2,412
2,250
3,536
8,444
2,665
5,082
Разности, см
di
+9,1
+5,6
—2,7
0,0
+ 1,3
+2,7
+7,6
+5,7
+2,2
—6,1
—3,4
—2,1
—0,7
+ 4,2
2
ei
32,5
4,8
37,2
11,6
4,4
0,5
17,6
Вычисления
108,6
Уа- 12 -
=±3,0 СМ;
3,0
ад=± 2 =
=н:2,1 см
Srff=+23,6 —0,2 108,6
Дс =+3,4
§ 46. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПО РАЗНОСТЯМ ДВОЙНЫХ
НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИИ
Пусть каждая из однородных величин Xi (t=l, 2, ..., п) изме-
измерена дважды и независимо, причем измерения в каждой паре рав-
равноточны, а измерения между собой неравноточны. Вычислим раз-
разности di в каждой паре измерений
dl=x[—x'l\
di=x'2-
*2'
Обозначим через Pi веса измерений в t-й паре, т. е.
Pt=Px't:=P'xt-
Веса Pi разностей dt
2 '
(8.13)
(8.14)
(8.15)
Величины di являются истинными погрешностями каждой ?-й
разности. Следовательно, можем записать
(Х =
(8.16)
яли
125

Вероятнейшие значения xt искомых величин X. получим как
простые средние арифметические
причем вес рх. каждого из вероятнейших значений х{ будет
' Следовательно, средние квадратические погрешности о- веро-
вероятнейших значений xt найдем по формуле
<т-=-^. (8-17)
xi У 2Pi
Среднее значение Дс систематических погрешностей, влияющих
на разности di , может быть вычислено по формуле
2 Ptd
J
п
1
Затем вычисляют Дс или
(8.18)
(8.19)
(8.20)
Пример. В табл. 23 даны разности в двойных измерениях н их число.
Произвести оценку точности.
Таблица 23
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Разности
d^, мм
+ 4
— 14
— 9
¦+15
—12
+ 11
— 12
+ 13
+ 12
— 7
Число изме-
измерений п.
7
27
13
25
32
15
19
18
16
23
Вес
10
"Г «
1,43
0,37
0,77
0,40
0,31
0,67
0,53
0,56
0,62
0,43
d2
"i
16
196
81
225
144
121
144
169
144
49
22.9
72,5
62,4
90,0
44,7
81,1
76,3
94,6
89,3
21,1
Вычисления
*¦= V 2~Т0 =
=±5,7 мм;
0,1
°xi - /2
=±4,1 мм
I
126
10
655
§ 47. ОБРАБОТКА И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ
КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Косвенные измерения — это измерения, при которых искомое
значение величины находят путем согласованных измерений других
величин, связанных с измеряемой величиной известной зависимо-
зависимостью. Эти другие величины получаются в результате прямых изме-
измерений; их будем называть измеряемыми аргументами.
В метрологии искомые величины нередко находят вычисления-
вычислениями как функции измеренных величин. Очевидно, что погрешность
функции будет зависеть от погрешности аргументов, по которым
она была вычислена, и от вида функции.
Рассмотрим вопросы вычисления средних квадратических по-
погрешностей функций по известным средним квадратическим по-
погрешностям аргументов, так как истинные погрешности измерен-
измеренных аргументов обычно остаются неизвестными.
При решении этой задачи встречаются два случая: коррелиро-
коррелированных и некоррелированных аргументов.
Две или несколько случайных величин называются коррелиро-
коррелированными, если коэффициенты корреляции парной статистической
связи не равны нулю; в противном случае они некоррелированные.
Например, случайные величины х\, х2, ..., х„ считаются некорре-
некоррелированными, если коэффициенты корреляции rXlx2 ==гХ1х3 =
= гХгХ} = 0 и коррелированными, если гХ1ХгФ0; гХ1Хзф0; гх2Х,?=0.
Определим среднюю квадратическую погрешность коррелиро-
коррелированных аргументов.
Измеряемая величина X связана с измеряемыми аргументами
Х( (/=], 2, ..., п) зависимостью, которую необходимо разрешить
относительно х, т. е. представить функцией в виде
F=X=f(xux2,...xn), (8.21)
где Х\, Хч, ..., хп — коррелированные аргументы, полученные из
наблюдений со средними квадратическими погрешностями а*,,
оХг , ..., охп соответственно. Предположим, что х\, х2, ..., х„ — ис-
истинные (точные) значения аргументов. Необходимо определить
среднюю квадратическую погрешность aF функции F. Пусть Д*,,
Дл:2 , ..., Дхп — истинные погрешности аргументов, т. е.
(8.22)
Тогда истинная погрешность функции будет
В соответствии с (8.22)
AF =f(x1,x2)...,xn)-f(x1-AXlx2-AXl,...,xn-Ax
(8.23)
(8.24)
127

так как погрешности измерений обычно имеют малые значения по
сравнению с измеряемыми величинами, то применяя к формуле
(8.24) разложение в ряд Тейлора, получим:
где R — остаточный член разложения, равный сумме всех нели-
нелинейных членов ряда Тейлора.
Для подавляющего большинства случаев, встречающихся в
практике, остаточными членами в ряде Тейлора при оценке точ-
точности можно пренебречь и написать
*=('& W-<?»+¦¦¦+(&W <8-25»
По аналогии с определением среднего квадратического откло-
отклонения, определим среднюю квадратическую погрешность функций
(8.21) через математическое ожидание квадрата ее истинной по-
погрешности
а^М(^). (8.26)
Найдем <у% =M(A2F):
Hl; )><*„>+ (?;)><*..>+-+(&)>*,,> +
4'.)+... <827»
Значения производных по соответствующим аргументам оста-
остаются постоянными и могут быть вычислены по приближенным зна-
значениям аргументов х\0, хг0, ..., Хпо, в качестве которых можно
взять любые результаты измерений.
Для этих производных достаточно сохранить в значениях х\0,
Х2О, ... .vn0 по две-три значащих цифры.
Опуская вывод, чему равны M(A.Vl, &х,), M(AXl, Л*,) и т. д. в
правой части уравнения (8.27), и приравняв Д*, —oXi, Д*2 — °Хг и
т. д., формула (8.27) примет вид:
dF \ 2 . . IdF
Окончательно:
При организации измерений одним из основных требований яв-
является обеспечение таких условий, при которых результаты много-
многократных измерений одной и той же величины или разных величин
128
были бы по возможности между собой независимыми. Любая ме-
методика измерений в той или иной мере рассчитана на выполнение
этого требования.
Так как для некоррелированных аргументов коэффициенты кор-
корреляции в формуле (8.28) равны нулю, то можно записать
Таким образом, средняя квадратическая погрешность функции
некоррелированных аргументов, равна корню квадратному из
суммы квадратов произведений частных производных функций по
каждому из аргументов на средние квадратические погрешности
соответствующих аргументов.
Пример 1. Дана функция F=x-y/z, где х, у, г — некоррелированные ар-
аргументы, полученные измерениями со средними квадратнческими отклонениями
OXf ву, Qz- Требуется определить ор .
Решение. Прологарифмировав по основанию, е, напишем lnf=\пх+\пу—lnz.
Учитывая, что d/dx-\nx=\/x и т. д., получим
т. е. квадрат относительной погрешности функции вида F=xy/z равен сумме
квадратов относительных погрешностей аргументов.
Далее можем записать
откуда
Op =
Пример 2. Определить допускаемую погрешность (при Р=0,95) измерения
амплитуды импульса с помощью электронного осциллографа, если известно,
что предел допускаемой погрешности коэффициента отклонения г) ^ = ±4 %,
ширина линии луча /=0,8 мм, неравномерность Цч =2 %. Погрешности этих
иеисключеиных составляющих распределены по равномерному закону.
Решение. Амплитудное напряжение импульса определяется по формуле
u=koh, где &о — установленное значение коэффициента отклонения на осцил-
осциллографе В/дел; h — высота изображения импульса на экране, дел.
Найдем коэффициенты влияния
kn ди h ди
dk0
' W
Относительная погрешность измерения амплитуды импульса du=vko8k o _).
Погрешность определения высоты изображения б/, складывается в свою
очередь из погрешности, обусловленной неравномерностью вершины импуль-
импульса бн , и погрешности отсчета по масштабной сетке экрана бв»з- Относитель-
Относительное значение общей погрешности ба =V/j B*0+V(j (б i +6Bi3 ).
Допускаемую погрешность измерения найдем через предельные значения
погрешностей этих составляющих.
¦Пи
-м- V
5 -2 Зак. 1094
129

Учитывая, чтоЦ=0,4-— 100, определим погрешность для размера Л=80 мм.
(о,4- |р -1
100 J =4,9 96.
В частном случае применение уравнения (8.29), когда функциональная
зависимость между косвенно и непосредственно измеренными величинами вы-
выражается формулой
F=kxf х$х?л...хчп , (8.31)
где k — безразмерный коэффициент, формула (8.30) примет следующий внд
Если a=p=...=v, то формула относительной погрешности примет вид
(8.33)
Формула (8.33) приемлема для определения средней квадратической по-
погрешности результата определения объема параллелепипеда, цилиндра и т. д.
Пример 3. Найти значение электрической энергии н среднюю квадратиче-
скую погрешность ее определения по результатам измерения силы тока, сопро-
сопротивления и времени, если /= A0,230±0,015)-А; Д= A1,68±О,01) Ом; t =
= D05,2 ±0,1) с.
Для нахождения энергии воспользуемся формулой A — P-Rt:
Л=10,23211,68-405,2=495,3 (кДж).
ГЛАВА 9
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
§ 48. СУЩНОСТЬ СОВМЕСТНОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ
НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН
В предыдущих главах рассмотрены правила и методы матема-
математической обработки многократных измерений одной величины. С
использованием этих правил и методов задача обработки решалась
бы полностью, если для получения итогового результата измеря-
измерялись бы только необходимые величины. Но в производстве метро-
метрологических работ приходится измерять и избыточные величины.
Например, результаты измерений с помощью наборов и магазинов
мер, а также шкал, линеек и других средств измерений сравнива-
сравнивают друг с другом и результатами, полученными по образцовой ме-
мере в различных сочетаниях. При калибровке гирь одну гирю или
сочетание гирь сравнивают непосредственно с образцовой гирей и
находят ее действительное значение. Действительные значения ос-
остальных гирь набора определяют путем сравнений в ,;— личных
130
сочетаниях всех гирь, входящих в набор, включая гири, которые
сравнивались непосредственно с образцовой гирей. Таким обра-
образом, избыточные измерения повышают точность определяемых ве-
величин и позволяют производить наиболее надежную оценку их
точности на основании математических связей между измеренны-
измеренными величинами. Кроме того, имеется возможность надежного конт-
контроля измерений и их отбраковки.
Установлено, что наиболее важным для математической обра-
обработки результатов измерений является то, что между измеренны-
измеренными величинами существуют математические соотношения, которые
в результате обработки должны быть удовлетворены. В противном
случае эти избыточные измерения окажутся ненужными.
Пример. Определить размер ребер X, Y, Z параллелепипеда Р при извест-
известном объеме V н известным площадям граней Su S2, S3.
Объем параллелепипеда и пло-
площадь каждой грани являются функ-
функциями длины X, ширины У, высоты
Z параллелепипеда, т. е.
V=X-Y-Z-
Sl=X-Z;
S2=YZ;
S^X-Y.
Для нахождения X, Y, Z надо
знать вид функций (рис. 20), т. е.
v=x-y-2;
Sj=X-2;
¦^2:~~ У ' ^ »
S3=X-IJ.
Для нахождения значений трех неизвестных достаточно иметь только три
уравнения. Зная v, s\, s2, найдем, что
v
Рис. 20
V
х= ~^г;
Так как величины V, S,, S2 получены из измерений, а результаты v, sb
s2 — содержат погрешности, то аргументы х, у, z будут найдены из уравнений
также с погрешностями. Однако о точности полученных результатов судить
сложно, так как измерений проведено только такое количество, какое необхо-
необходимо для определения неизвестных. Если к необходимым измерениям vt su
s2 добавить избыточные, например, s3, то появляется возможность оценить
точность вычисляемых аргументов, но само их вычисление осложняется.
Так, если v= 1021,3 см3; si= 129,8 см2; s2=93,6 см2; s3 = 85,2 см2, то
1021,3
ж= 93,6 ==10>91 см'>
1021 ,3
129,8-93,6
1021,3
=7'87 СМ;
131

но jci/=85,86 см2, а по результатам измерений s3=85,2 см2. Вычисленное зна-
значение ху и измеренное s2 не совпадают с 0,7 см2.
Для нахождения таких значений аргументов, которые наиболее
полно удовлетворяли бы всем измеренным значениям функций этих
аргументов, применяется метод, называемый методом наименьших
квадратов.
В общем случае задача сводится к следующему. Пусть для ре-
решения некоторой задачи измерено г величин, имеющих истинные
значения Хи ..., Хп. Результаты измерений Х\, ..., хп этих вели-
величин имеют веса ри ..., рп . По условию задачи известно, что изме-
измеренные величины связаны следующими зависимостями:
(9.1)
Из таких уравнений можно образовать несколько систем, сос-
состоящих из независимых уравнений. После выбора одной из них
остальные уравнения являются следствием выбранной системы, по-
поэтому не должны приниматься во внимание.
В (9.1) предположим, что уравнения независят друг от друга, а
число их равно числу избыточно измеренных величин. Эти уравне-
уравнения называют условными. Так как число избыточно измеренных
величин — это только часть числа всех измеренных величин, то
г<п.
Поэтому система уравнений (9.1) есть неопределенная система
условных уравнений, т. е. содержит уравнений меньше, чем неиз-
неизвестных, и поэтому решений может быть бесконечное множество.
Получив результаты измерений, необходимо проверить на-
насколько они удовлетворяют условным уравнениям.
С измеренными значениями величин получим
<D1{xu...,xn)=-wi;\
...... (9.2)
<Dr(Xu...,Xn) = Wr. j
Так как измерения содержат погрешности, то в правых частях
равенства (9.2) будут получены величины, отличающиеся от нуля,
которые получили название невязок.
В результате совместной обработки результатов измерений дол-
должны быть решены две задачи.
1. Устранение всех невязок, т. е. необходимо каким-то способом
исправить результаты измерений.
2. Оценка точности результатов измерений по результатам урав-
уравнивания.
Обозначим исправленные результаты измерений через Xi+Vi,
где vi — искомые поправки.
Получим
132
Значения х,- +и,- называют уравненными значениями измерен-
измеренных величин, а система уравнений (9.3) имеет п неизвестных и г
уравнений, т. е. представляет неопределенную систему уравнений,
допускающую множество решений (г<п).
В случае известных значений абсолютных погрешностей значе-
значение поправок было бы легко получить, т. е. —гч = +Д.
Но абсолютные погрешности неизвестны, следовательно, таким
путем решить первую задачу не удастся.
Таким образом, поправки vc должны ликвидировать невязки,
а также по абсолютному значению они должны быть близки к зна-
значениям истинных погрешностей измерений.
Можно сделать следующие выводы.
1. Наличие избыточно измеренных величин и наличие случай-
случайных погрешностей в результатах измерений является условием и
причиной задачи уравнительных вычислений. При отсутствии из-
избыточных измерений такая необходимость отпадает, так как иско-
искомая величина определяется однократно и условные уравнения не
возникают. Но без избыточно измеренных величин отсутствует на-
надежный контроль измерений и вычислений, а также возможность
повышения точности измерений.
2. Целью уравнительных вычислений является нахождение зна-
значений поправок к измеренным значениям, которые позволяют лик-
ликвидировать невязки. Следствием этого будет • однозначность, т. е.
равенство между собой значений каждой искомой величины, вы-
вычисляемой различными способами, а также повышение точности
определяемых значений всех искомых величин.
§ 49. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ СМЫСЛ ПРИНЦИПА
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Решение задачи, поставленной в § 48, может быть выполнено
при условии выяснения вероятностных свойств абсолютных по-
погрешностей измерений, которые используются при нахождении
системы искомых поправок. При этом учитываются только случай-
случайные погрешности измерений.
Определим вероятность некоторой совокупности погрешностей
Аь ..., Д„.
В соответствии с теоремой умножения вероятностей искомая
вероятность равна:
i
4)
Можно поставить вопрос об определении тех значений Дь ...,
Д„, при которых получится максимальное значение вероятности.
Из равенства (9.4) нетрудно определить, что наибольшему значе-
значению величины р(Аи ..., Ап) соответствует наименьшее абсолют-
абсолютное значение показателя степени в правой части равенства, т. е.
133

V
1
— min.
(9.5)
С учетом изложенного в § 48 приходят к такому решению: если для
поправок vi поставить условие
п
V
=min,
(9.6)
то совокупность абсолютных значений поправок vt в вероятност-
вероятностном отношении будет наилучшим образом приближаться к сово-
совокупности абсолютных значений погрешностей.
Условие (9.6) можно для удобства представить в следующем
виде, умножив все величины v'j /or: на ji2,
(9.7>
так как р, =ц2/а? — вес измеренных величин.
Формула (9.7) является математическим выражением принципа
наименьших квадратов.
Принцип наименьших квадратов дает однозначное решение
уравнения (9.6) и обладает рядом преимуществ.
1. Наличие в условии минимума вторых степеней vt ограничи-
ограничивает крупные поправки, поэтому при равноточных измерениях по-
поправки практически равномерно распределяются между результа-
результатами измерений.
2. При неравноточных результатах измерений веса р(. при о,-
уменьшают поправки к более точным и, наоборот, увеличивают по-
поправки к менее точным результатам.
Следствием того, что отыскание уравненных значений неизвест-
неизвестных по принципу наименьших квадратов приводит к наилучшим
результатам, может служить вывод формулы весового среднего,
полученной в гл. 6. Это также свидетельствует о преимуществах
метода наименьших квадратов.
В общем случае, принцип наименьших квадратов как весьма
стройный и довольно простой метод математической обработки ре-
результатов измерений может быть применен и в случае, когда по-
погрешности измерений не являются случайными, а обладают самы-
самыми различными свойствами.
§ 50. СУЩНОСТЬ УРАВНИТЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Совместное уравнивание нескольких величин по методу наи-
наименьших квадратов является задачей на условный экстремум.
п
Требуется найти минимум функции 2prf2 =min при условии,
что переменные v ,• связаны независимыми условными уравнения-
уравнениями (9.6).
134
Задачу решают одним из двух способов:
1) способом Лагранжа с неопределенными множителями;
2) способом абсолютного экстремума, в котором все измерен-
измеренные величины xt представляют в виде некоторых независимых не-
неизвестных параметров.
Способ Лагранжа имеет в литературе название коррелатного
способа или способа условий; суть его заключается во введении
вспомогательных множителей независимых условных уравнений.
Пусть измерено п величин Хи ..., Х„, связанных между собой
независимыми условными уравнениями:
ср1(Х1,...,Х„)=0;
(9.8)
Пусть также для величины Xt получены результаты Х\, ....
хп с весами, соответственно равными р\, ..., рп.
Так как значения х{ имеют погрешности измерений, то при под-
подстановке этих результатов в левые части уравнений (9.8), в пра-
правых частях получаются не нули, а невязки wi, являющиеся истин-
истинными погрешностями функций срь ср2, ..., ср„ .
Тогда
ср. {xu...xn)=Wi (i = \,2,...,r). (9.9)
Соответственно, уравненные значения результатов измерений
должны удовлетворять равенствам:
=0. (9.Ю)
Из всего множества значений неопределенной системы нам надо
п
выбрать такое, при котором 2p-u2 =
Эту задачу (на условный экстремум) в этом способе решают
по правилам Лагранжа, при помощи неопределенных множителей
условных уравнений.
Функция Лагранжа будет иметь вид
где <?l=<?[
Введение г неопределенных множителей Х\, fa, ..., Хг позволяет
рассматривать функцию Лагранжа как функцию независимых пе-
переменных.
135

Искомые значения поправок будут удовлетворять равенствам
вида
<ЗФ
¦^=0 (*=!,...,„).
(9.11)
Объединяя равенство (9.11) и равенство (9.10), получим п + г
уравнений с п + г неизвестными.
Для того, чтобы получить алгоритм решения, приведем равен-
равенство (9.10) к линейному виду, воспользовавшись тем, что поправки
малы.
Пренебрегая нелинейными членами разложения функции ф(. в
ряд Тейлора можно написать:
(^) (^) vn. (9.12)
<р. (x1+vu...sn+vn)=--<fi (xu...xa)+ (^-) .t»x
Введя обозначение
/ Ч
и учитывая (9.9), получим
a1Jv1+...+anjvn+Wj=0 (/==1,2,...,г), т.е.
(9.13)
Полученное уравнение называется условным уравнением по-
поправок.
Очевидно, что полученное равенство (9.13) представляет услов-
условные уравнения поправок.
Если оно задано в линейной форме, то формула (9.12) не ис-
используется, так как коэффициенты ап , ai2 , ..., air будут известны.
Поставленную задачу можно сформулировать следующим об-
п
разом: требуется найти минимум функции "Lpiv\, если перемен-
переменные vi связаны между собой уравнением (9.13).
Обозначая множители Лагранжа h.=—2&;; Яг = —2k2\ Xr =
=—2kr, получим
{v1,...,vn)= 2 p;vi—2k1 \ 2 as
1
—2k, \ 2 arvi+wr
(9.14)
Далее напишем
136
откуда
где
или
iP
(9.15)
(9.16)
Равенства (9.15) и (9.16) получили название коррелатные уравне-
уравнения поправок.
Коррелатный способ уравнивания. Из равенств (9.16) можно
найти искомые поправки v. при известных коррелатах k{.
Найдем коррелаты, для чего умножим все равенства (9.15) по-
поочередно на an, fli2,---, аи и каждый раз складывая их, получим
2 alv=k1 2
il
П П
2 qalaiJr...-\-kr 2
l
...-r kr 2 qaxar;
l
n fi
2 arv=k1 2
11
2
n
2
1
С учетом равенства (9.14) получим
п
К 2
1
п
К 2
п п
2 qa1a2+...-\-kn 2
1 1
п
2
п
2
n
kn 2
17ч
n qar^k2 2 qa2ar+...+kr 2 q
11 1 ;
Очевидно, что равенство (9.17) представляет систему нормальных
уравнений коррелат, в которой число уравнений г равно числу не-
неизвестных.
После определения коррелат находят искомые поправки vi в
результатах измерений.
Общая последовательность решения задачи может быть сле-
следующей:
1. Устанавливают систему результатов измерений хь ..., хп и
их весов р\, ¦.., рп .
2. Выбирают и составляют условные уравнения (9.8) с учетом
требований:
а) независимости уравнений друг от друга;
б)' уравнения должны быть максимально простого вида;
в) число уравнений г должно быть равным п—k, где п — число
всех измеренных, a k — число необходимых величин.
В случае г<л—k задача будет неопределенной.
137

3. По формулам (9.9) и (9.12) вычисляют свободные члены и
коэффициенты условных уравнений поправок.
4. Вычисляют коэффициенты нормальных уравнений коррелат
при помощи таблицы коэффициентов.
5. Решают нормальные уравнения, в результате чего получают
коррелаты xi .
6. Вычисляют значения поправок vi по формуле (9.16).
7. Вычисляют уравненные значения измеренных величин х[ =
8. Выполняют контрольные вычисления, подставляя уравнен-
уравненные значения л:'г в уравнение (9.9). При отсутствии ошибок в вы-
вычислениях эти уравнения должны удовлетворяться.
Пример. В треугольнике дана сторона С=АВ= 1000,000 м и измерены ос-
остальные две стороны и три угла. Обозначения измеренных величин показаны
на рис. 21.
Получены следующие резуль-
результаты измерений:
v,=46°25'13" с весом рг=1;
v,=6S°01'25* » р2=1;
х:!=65333'07" » Р5=1;
Xj=79538,l см » Р4=4,7;
х5=101866,0 см » Р5=3.4-
Составим условные уравнения.
Так как число необходимых
величин й = 2, а число всех изме-
измерений га = 5, то число условных
рис 21
уравнений будет равно г = п—k = 5—2=3.
Выберем условные уравнения наиболее простого вида:
sinx3
Можно было бы составить и такие уравнения:
f3(. 53
где функции f — выражения для углов через стороны. Но такие уравнения
будут иметь вид гораздо более сложный по сравнению с уравнениями, выб-
выбранными нами.
Второе и третье уравнения представим в логарифмическом виде. Оконча-
Окончательно имеем:
3— 18J"=3;
Подставляя в уравнения результаты измерений, получим свободные члены
Ш1 = 46о25'13"+68°0Г25"+65°33'07"—180°= —15",0.
138
w2=\g 100 000+lg sin 46°25/13"—lg sin 65°33'07"—lg 79588,1 =
=5,000000+9,859988—9,959202—4,900848=—62,0-10~6;
i?,3=lg 100000+lg sin бв'ЮГгб"—lg sin 65°33'07"—lg 101866,0=
=5,000000+9,967238,—9,959202—5,008029 = + 7,0-10.
Коэффициенты первого условного уравнения поправок равны +1.
Найдем коэффициенты второго и третьего уравнений.
Так как для логарифмов имеются таблицы значений через малые интерва-
интервалы аргументов, то коэффициенты этих условных уравнений поправок выгодно
получать как отношение приращений Algх/Ах, где Ах — разность соседних
-значений аргументов. Так как Д.г в таблицах логарифмов достаточно малы,
то можно полагать, что
Ау_ -
Ах ¦
dy Ay
dT = I!™ AT
Таким образом, коэффициенты последних двух условных уравнений будут
получены при помощи таблиц логарифмов, как изменение логарифма на еди-
единицу аргумента, т. е. на 1" для lgsinx и на 1 см для lgx4 я lgx5.
Для удобства вычислений свободные члены шч и Доз, а также коэффи-
коэффициенты уравнений ф2 = О1 и <р3 = 0 (т. е. перемены логарифмов) будем выражать
в единицах 6-го знака мантисс логарифмов (вычисления выполняются с 6-знач-
ными таблицами логарифмов).
Коэффициенты занесены в таблицу коэффициентов.
Подставим полученные коррелаты в сумму нормальных уравнений (суммы
п'
коэффициентов и 2 даны в графе 5 табл. 24 и 25): +3,80-3,114+13,37-5,327—
—7,80 • 1,671 —70,00000 = 0,02.
Таблица 24
Номер
измерения
i
2
3
4
5
. 1
<7=
P
1
1
. 1
0,21
0,29
ft!=f3,ll
+ 1,0
+ 1,0
+ 1,0
A:2-+5,33
+2,0
— 1,0
—5,5
&s =—1.<>7
+ 0,8
— 1,0
-4,3
-!- 3,0
+ 1,8
- 1,0
— 5,5
— 4,3
+ 13,8
+ 1,8
— 0,6
- 6,2 см
+ 2,1 см
— 15,0
—62,0
+ 7,0
-70,0
\
3,00
+ 1,00
—0,20
+ 1,00
11,37
+ 1,00
—0,20
+ 1,00
7,00
+ 3,80
+ 13,37
+ 3,70
Назва-шя
CTpO.i
JV,
N3
ki
k2
k3
3,00
1,732
hi
— 1,00
— 11,37
— 0.577
3,322
'••з
+0',20
— 1,00
7,00
+0,116
—0,321
2,624
w
+ 15,00
+62,00
— 7,CO
+ 8,661
+ 17,159
— 4,384
Та
S=s-ta>
+ 11,20
+ 48,63
— 14,80
+ 6,468
+ 13,516
— 7,008
6/
и ц
Ко
+
+
a 25
:троль
6,467
13,515
7,008
1+3,114
5,327
I-
1,671
13Э

Остаточная погрешность пренебрегаема.
Выписав теперь коррелаты в графы ац ai2, al3 табл. 24 вычислим поп-
поправки И,- ,
В параметрическом способе уравнивания выбирают необходи-
необходимые неизвестные Т\, ..., Тк, через которые выражают измеренные
величины хь ..., xk в виде функций х,- — /,• (Ти ..., Тк ) (t=l, 2,
..., п). Равенства такого вида называют параметрическими услов-
условными уравнениями.
Обозначим уравненные значения измеренных величин через
Xi =хс +vt , где vt — поправки к измеренным значениям Xi,
полученные из уравнивания, а уравненные значения необходимых
неизвестных — через t и напишем
Д(*1,...Л) (9.18)
или
(9-19)
Теперь условие 2 p;D? =min можно представить в виде
2pl{fl(tu...,h)-xl}*=mm. (9.20)
В левой части выражения (9.20) неизвестными являются только
величины t, поэтому ее можно написать в виде некоторой функции
F(tu.-A ),т.е.
F(<1,...)^)=min. (9.2!)
Таким образом, решение задачи уравнивания по способу услов-
условного экстремума свелось путем введения необходимых неизвестных
к задаче на абсолютный экстремум.
Составим систему уравнений
^=0 (v-1,...,*), (9.22)
из которой могут быть получены неизвестные t\, ... , t k .
Однако, если уравнения (9.22) будут иметь нелинейный вид, то
решение их почти всегда окажется практически невозможным. По-
Поэтому задачу решают следующим образом.
Для параметров t находят тем или иным путем приближенные
значения f, причем с такой точностью, чтобы можно было при-
привести функции fi (tu ..., tk) =Xi + U i к линейному виду путем
разложения в ряд Тейлора, в котором можно пренебречь членами
разложения второго и высших порядков. Это, как увидим дальше,
делает задачу уравнивания всегда разрешимой и, кроме того,
приводит к алгоритму решения, т- е. к определенному всегда оди-
одинаковому порядку вычислений.
Представим неизвестные t\, ..., //, в виде
U =К +т (v = l,...,fe), (9.23)
140
где Г — приближенные значения; т — неизвестные поправки к
ним. Подставив эти значения /v в равенства (9.19), получим
^=M/;+Tlt...A-f-Tft)-*?. (9.24)
Разлагая функцию /,• в ряд Тейлора, напишем
где R — сумма всех членов разложения, кроме линейных. Прибли-
Приближнн t\ f б й й
у
женные значения t
р р
должны быть найдены с такой точ-
точ\ k
ностью, чтобы можно было пренебречь величиной R. Иными сло-
словами, все поправки т должны быть настолько малы, чтобы можно
было пренебречь нелинейными членами разложения.
Заметим, что получить достаточно точные значения /J иногда
бывает довольно сложно.
Пренебрегая в равенстве (9.25) величиной R, получим
*'"'''* ]-Xi]- (9-26)
Введем обозначения
дх'Л __ (дх'Л _ (дх'Л _
fi{*l f-il/t ) Xi—X. Xi — /j.
Теперь можно написать следующую систему равенств:
(9.27)
-h. (9.28)
Линейные равенства (9.28) есть параметрические условные уравне-
уравнения поправок, но мы для краткости будем их называть «параметри-
«параметрические уравнения поправок», а иногда и просто «уравнения попра-
поправок» или «уравнений погрешностей».
Если функции ft (ti, ..., tk) имеют линейный вид, то приб-
приближенные значения t., можно не вычислять-
Пусть уравнения (9.27) имеют вид Xi +vi =fi (tu ..., tk ) =
Тогда U =Li—Xi, а уравнения поправок примут вид
vl=allt1+atttt+... + atlttll+ll. (9.29)
Однако в практике уравнительных вычислений приближенные зна-
значения Г часто вычисляют и в тех случаях, когда параметрические
условные уравнения имеют линейный вид.
Тогда h =atl t\ +ai2(°2 +... + aikfk +Z-,- —Xi, а уравнения по-
поправок примут вид (9.28). Это облегчает дальнейшие уравнитель-
уравнительные вычисления, так как легчз вычислять мчлые поправки т. вместо
величин /.
141

Учитывая равенства (9.28), условие 2,piz>2. = min можно запи-
1
сать так:
2 Pifi2=fpf2|= S pi(ailx1-\-ai2xi+...+aikxk+liJ=
(9.30>
Задача решается определенной системой уравнений
_??_ =о fv —1 k)
Возьмем частные производные и приравняем их нулю
-—=2p1v1—- -\-...-j-2pnv -!~- =0.
0Ti 0Ti 0Ti
Учитывая выражение (9.28), найдем dvt /dx\ = aix.
Теперь, сократив равенство (9.32) на 2, напишем
ЛР п
(9.32>
¦ \ра^]--=-0. (9.33>
—1 1
Знак [] означает сумму и в дальнейшем будет использоваться
для упрощения.
На основании тех же равенств (9-28) получим
и аналогично тому, как было получено выражение (9.33):
\pa2v\ = 0; \pa3v]=0,...,\pakv\=0.
Итак, получены равенства
(9.34>
Подставив в равенства (9.34) вместо ы правые части уравне-
уравнений поправок (9.28), получим к линейных уравнений с /г неизвест-
неизвестными.
Напишем еще раз систему параметрических уравнений поправок
(9.28): Vi = а,- xi + ai2 Т2 + аCтз + ...+а»*т* + /<.
Умножив обе части каждого из этих уравнений на pcuil соот-
соответственно и просуммировав затем результаты, получим р\аи v{ +
+ P2«2i v2 + ...-\-pnanivn = [payv\ = [payay]xyJr [pa]a2\r2+ [pa^-.jxa-}-
...+ {paxak\zk + [paxl].
Умножая те же равенства (9.28) на piai%, напишем [pa2v] =
= [ра{а2\х+ [ра2а2]х2 + [ра2а3]х3 + ...+ [ра2а,.]х,, + [pa2l].
Аналогично получим [pazv] = [ра|а3]т) + ... +[разй3]т -;-...+
[ра3ак]хк + [раг1]; [pak v\ = [paxa к ]х{ +...+ \pakak]хк + [рак/}.
142
Теперь равенства (9.34) примут вид уравнений:
\pala1]x1-\-\pala2]x2-{-...-'r\palak]xk-{-lpa1l\=0\
\pa1a2]x1-{-\pa2ai\ra f ...
(9.35)
Уравнения (9.35) называют нормальными уравнениями; они
представляют собой определенную систему k линейных уравнений
с k неизвестными. Из решения этой системы получают поправки
х, к приближенным значениям необходимых неизвестных.
Линейная система нормальных уравнений отличается следую-
следующими особенностями.
1. По диагонали, расположенной слева вниз направо, стоят ко-
коэффициенты, которые всегда положительны, их называют квадра-
квадратичными, а указанную диагональ — квадратичной.
2. Остальные, неквадратичные коэффициенты располагаются
симметрично относительно квадратичной диагонали.
Оба свойства системы нормальных уравнений облегчают ее
решение.
Получив поправки х\, ..., хк далее при помощи уравнений по-
поправок (9.28) находят поправки у,- и затем уравненные значения
измеренных величин х\ =х,--f-u,- и неизвестных iv =/v° +т.
Для контроля уравнительных вычислений могут служить урав-
уравнения (9.18), а именно: да -\-Vi —fi (tu ..., tk).
Задачу уравнивания параметрическим способом решают в та-
такой последовательности.
1. Измеренные значения величин хь х2, ..., хп (а следователь-
следовательно, и вычисляемые поправки к ним v,-) выражают в таких мерах,
чтобы значения средних квадратических ошибок сх(. величин до-
добыли по возможности близки к единице. Линейные величины вы-
выражают, например, в дециметрах или в сантиметрах, угловые — в
секундах, а малоточные измерения углов — в десятках секунд.
Коэффициент к для вычисления весов по формуле pi ~k/e~
выбирают так, чтобы и веса были по возможности близки к еди-
единице. Все это облегчает вычисления.
2. Выбирают необходимые неизвестные tu ... , tk таким обра-
образом, чтобы параметрические уравнения поправок (9.28) имели на-
наиболее простой вид. Неизвестные не должны иметь математических
связей между собой, а все измеренные величины должны выражать-
выражаться через выбранные неизвестные. В качестве неизвестных могут
быть как измеренные, так и неизмеренные величины.
3. Все измеренные величины выражают в виде функций х\ =
= fi(tu ... , tk ), где х\ =xt +vk.
4: Находят приближенные значения неизвестных t\, ..., t°l; и
выражают их с тем числом десятичных знаков, с которым будут
выражать их уравненные значения. По формулам (9.27) находят
коэффициенты и свободные члены уравнений поправок (9.28).
143

Для неизвестных t должны быть установлены такие единицы, при
которых порядок величин коэффициентов уравнений поправок был
бы по возможности близок к единице.
5. Составляют и решают систему нормальных уравнений (9.35),
в результате чего получают поправки ть ..., %k .
6. Вычисляют значения поправок vt при помощи уравнений
(9.28).
7. Получают уравненные значения измеренных величин из
равенств х'. ~Xi +tt и уравненные значения неизвестных t из
равенств f, = t[-\-x.
8. Контролируют все вычисления равенствами х[ —fi(tlt ...,tk)
Необходимо иметь в виду, что несоблюдение контрольных ра-
равенств может происходить не только из-за ошибок вычислений, но
и вследствие недостаточной точности приближенных значений не-
неизвестных t°t, ..., t°k, признаком чего будут недопустимо большие
абсолютные значения поправок т,-, ..., %k, т. е. такие поправки,
при которых нельзя пренебрегать нелинейными членами разложе-
разложения функций /\\(*1°+ть - . ^°+та).
В таком случае полученные после уравнивания величины t\, ...,
tk следует рассматривать лишь как уточненные приближенные
значения и с ними повторить все уравнивание.
Иногда бывает с самого начала видно, что получить достаточно
точные значения t°, ..., t°k невозможно. Тогда при первом урав-
уравнивании, которое является по существу лишь уточнением величин
t\, ..., fk можно допускать различные упрощения и вычисления
выполнять с меньшим числом десятич-
десятичных знаков по сравнению с вычисле-
вычислениями при окончательном уравнивании.
Пример. Измерены три угла ^i, X2, Х3, об-
образованные тремя направлениями (рис. 22), и
получены результаты измерений
хг с весом р!;
4 » » pV;
Параметрические условные уравнения бу-
будут
Рис. Ш
Приближенные значения необходимых неизвестных примем равными их измерен-
измеренным значениям, т. е. tx =дгг, t2= x2. • о
Вычислим свободные члены уравнений поправок /, = /,—дг=О; h=t2 — х2=0;
144
Напишем уравнения поправок
в1=+т1 с весом рх;
с1=+т2 » » р2;
гK=+Т1+Т2 + 'з » S Рз-
Нормальные уравнения будут иметь вид
Вычтем второе уравнение из первого p\ti—ргТ2=0, откуда
Й
•¦¦
Разделив первое нормальное уравнение на рз и учитывая выражение
для т2, получим:
Далее напишем
р* л- El. i Р-1-) г 4-1 -О
рТ + Р2 +Рз iTi+/3-°-
Вводя обратные веса, получим
и, наконец, определим поправки к результатам измерений
"i=— у^~ '^з;
Яз
§ 51. СОСТАВЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Определение коэффициентов нормальных уравнений. В матрич-
матричном виде система уравнений может быть записана следующим об-
образом:
NZ=-L,
(9.36)
где N — квадратная матрица коэффициентов; Z — матрица-стол-
матрица-столбец неизвестных; L — матрица-столбец свободных членов.
Формулу (9.36) в развернутом виде можно записать
Wlu...,Nlm\/ Zt
\hm,...,Nmm,
6 Зак. 1094
(9.37)
145

В параметрическом-способе уравнивания число уравнений т =
— к, где k — число необходимых величин; в коррелатном способе
т~г, где г — число избыточных величин.
В общем смысле коэффициенты нормальных уравнений в этих
способах имеют одну и ту же сущность Nsi — [pas clj ] — в па-
параметрическом способе; Ws/"= [<7asO; ] — в коррелатном спо-
способе;
= xiuLi~[pajl] — в параметрическом способе; г} =
!,,• =wc — в коррелатном способе.
Знак [] в принятой К. Гауссом символике обозначают сумму и
используется для простоты записи.
С учетом обозначения прямоугольной матрицы коэффициентов
параметрических уравнений поправок нли коррелатных уравнений
поправок через
' aiu"'aim ] (9.38)
где п>т, получают исходную матрицу.
Известно, что матрица N — квадратная, симметричная главной
диагонали, поэтому Nsj =NJS, и таблицу коэффициентов нор-
нормальных уравнений сокращенно записывают следующим образом:
' 22> iv23>
Л'
33>--->''*3m
N
(9.39)
тт> )
после чего записываются контрольные равенства
т. е. в каждой строке пишут коэффициенты, начиная с квадратич-
квадратичного.
Контроль вычислений коэффициентов нормальных уравнений.
Для каждого параметрического уравнения поправок вычисляется
сумма
+li=si, (9.40)
(9.41)
Все коэффициенты уравнений поправок обозначаются буквой а и
имеют два индекса: первый индекс / обозначает номер строки, в
-которой расположен коэффициент (номер измеренной величины),
второй — номер столбца в таблице коэффициентов. В сокращен-
сокращенной записи сумм произведений индекс I опускают. Например, тре-
третий член во втором из равенств (9.41) в развернутой записи будет
п
п
[ра2а3] =1,р1Щ2сц3
В коррелатном способе sc =aA
контрольные равенства имеют вид
... + Рпап2ап3
... + сцг
146
\qa1al]+\qala2}+...+[qa1ar] = \
Для проведение указанного контроля в таблицах коэффициен-
коэффициентов уравнений поправок дается дополнительная графа «s»
Приведение уравнений к равноточному виду. Как уже отмеча-
отмечалось, при равноточных измерениях коэффициенты и свободные чле-
члены нормальных уравнений имеют вид [aia{], [аха2]..., т. е. пред-
представляют собой суммы двух сомножителей. Учитывая возможности
современной вычислительной техники, такие суммы произведений
можно получать без промежуточных записей отдельных произве-
произведений. В то же время суммы произведений вида [рахах\, [раха2], ...,
[paj] и т. д. указанным способом получить нельзя.
В связи с этим выполняют приведение уравнений к равноточ-
равноточному виду, заключающееся в том, что все коэффициенты и свобод-
свободные члены параметрических уравнений поправок умножают mVpi-
После умножения на V^pi исправленные уравнения можно рас-
рассматривать как уравнения для равноточных измерений, т. е.
При этом
=Ypi =aik;
К 1\\=\
Для приведения к равноточному виду коррелатных уравнений
поправок коэффициенты этих уравнений умножают на Vqu
При приведении уравнений к равноточному виду таблицу ко-
коэффициентов дополняют графами а\, ..., a'r, lf, s'. В нижней
части этих граф выписывают значения [а'а'\, [a|af ]... и т. д.
Ниже приведены формы^таблиц коэффициентов для двух основ-
основных способов уравнивания (табл. 26, 27) в общем виде. Табл. 26 —
таблица коэффициентов в коррелатном способе.
Таблица 26
измере-
измерений
i
П
Р
Pi
Рп
an
<*П1
a.
...
«Ifc
ailk
I
h
In
V
"l
s
sl
a\
«11
a'n\
a2
(-!>
«12
...
ak
«ifc
I'
'i
t'k
v'
v'l
v'n
s'
К
\[a2l\
К
II'
2ft
S
147

я
S
ю
ьГ
о
в
а
с»
о.
измере-
измерений
о"
¦•о и'
и?
I? «Г
в* в'
а* а*
. «г сг
— S
а
¦SS
Э
а
s"
а
I ?
* *
1:1 1
"а"
~ а"
"а" ~а' ~а*
S
I В
S
2§
So
>|
I—I (U
II О
1*«
11?
a s|
и _
в- я §
1. В графу s' выписывают точные суммы редуцированных коэффициентов н
свободных членов уравнений, поправок, которые можно проконтролировать
равенством 2( =ail+ai2+ ... +lt ^stVPi
2. В нижней части таблицы в ту же графу s' также записывают точные
значения 2 сумм коэффициентов и свободных членов нормальных уравнений,
контролируя этн суммы равенствами S^faj 2'], 22«Го22'] и т. д,
3. Вычисление поправок v контролируют следующим образом: у(- =а(- т+
... +а ik T/t +1' и затем проверяют равенство
4. Убеждаются, что fpi>2]=|Vu']
§ 52. РЕШЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Обычно нормальные уравнения решаются по способу К. Гаус-
Гаусса, основанном на методе последовательного исключения неизвест-
неизвестных.
Для рассмотрения способа возьмем систему четырех нормаль-
нормальных уравнений:
(9.42)
Найдем первое неизвестное через другие из первого уравнения,
(9.43>
^1 ' м * \т **3 иг ^Х м
Полученное равенство называют злиминационным уравнением;
(от латинского слова elimino, означающего «исключать»). Под-
Подставим значение Z\ из (9.43) во 2-е, 3-е, 4-е уравнение системы
(9.42) и получим
(9.44)
148
149

Вводя обозначения
'22"
(9.45)
'vll )
получим преобразованную систему уравнений
(9.46)
Исключив из этой системы уравнений второе неизвестное, по-
получим второе элиминационное уравнение
z, —
и вторую преобразованную систему уравнений
()
23
«>
V22
d)
34
22
=0.
Введем обозначения:
22
(D
34
(9.47)
(9.48)
(9.49)
150
вид
после чего вторая преобразованная система уравнений примет
Получим третье элиминационное уравнение
г,= —
(9.50)
(9.51)
и третью преобразованную систему
44
=0
или
откуда
(9.52)
(9.53)
Вычислив г4, решают уравнение (9.51), из которого получдют
z3. Далее, подставляя z$ и г4 в (9.47) и (9.43), последовательно на-
находят г2 и 2^
Таким образом, для отыскания неизвестных необходимо иметь
только элиминационные уравнения (9.42), (9.43), (9.47), (9.53),
которые получаются из первых уравнений систем (9.42), (9.46),
(9.49), (9.52).
Решение системы и заключается в получении первых преобра-
преобразованных систем, а из них — элиминационных уравнений. Осталь-
Остальные уравнения преобразованных систем оказываются ненужными.
Таким образом, первые уравнения всех систем в совокупности
образуют эквивалентную систему вида:
(9.54)
Теперь можно записать систему элиминационных уравнений в
общем виде:
, ЦП1
или Zi=EnC+l)zc+l=Eni+2)Zi+2+...+Eimzm+Eii. (9.55)
151

Обозначения коэффициентов и свободных членов записываются
так:
pi pi
м(р-1) ?<Р-1)
El ?
(9.56)
v
pp
с учетом
Схема решения нормальных уравнений. Порядок в вычислениях
в схеме, приведенной в табл. 28.
Таблица 28
Nn
Nil
eII
eII
¦^23
^23
д/B)
/V44
Eu
4л
EN%
Eu
A/B)
/V44
Li
4°
f?>
1. Все вычисления производят последовательно сверху вниз.
Элиминационные строки вычисляют следующим образом. Получив
значение l.Wu (или XjN^p и т. п.), умножают это число на ос-
остальные коэффициенты уравнений эквивалентной системы. Также
получают строки El2N, El3N, El4N, E23N(l)n т. п., умножая соответ-
соответствующий коэффициент элиминационного уравнения на коэффи-
коэффициенты вышестоящего уравнения эквивалентной системы. Заметим,
что числа элиминационнои строки имеют всегда знаки, противопо-
противоположные знакам вышестоящих чисел («вышестоящие» строки и чис-
числа — строки и числа, стоящие непосредственно выше над данной
строкой или числом).
2. Коэффициенты эквивалентной системы, которые вписывают
под горизонтальной чертой, получают как сумму чисел данной
графы, стоящих ниже ближайшей верхней элиминационнои строки.
3. В графу 2 (табл. 29) выписывают точные значения сумм
коэффициентов и свободных членов соответствующих уравнений.
Для основной системы уравнений в схеме следует применять со-
сокращенную систему записи, т. е. вписывать только коэффициенты,
начиная с квадратичного. Контрольные значения S^, E^2), Sf> и
т. д. никуда не вписывают. Исключение в этом отношении состав-
составляет только величина 2-*+1, в параметрическом способе.
152
Таблица 29
Наичсновачие
действий
"и
El3N
Es
EUN
*
j
'-
.V,,
¦V,,
-Vn
A'l2
Ti \/ T>
¦V,3
~^N13
4$
Л2з' .,,,,
д|A) '3
a22
¦^33
1
'^23
¦Vi,
L
-¦^
23 ^m
д/d) ^2
L32)
Л'зз
lp//]
— 2 LA)
3 , B)
дД2> з
г B)
Л/'*'
yv33
if
2
Si
2ll)
"n '
~ V
22
s
s
2,
1 v
^ у (9)"
ГГ.З

4. Значения неизвестных находят при помощи элиминационных
строк Е3, Е2 и Е{. Для выделения этих строк их обычно заполняют
чернилами другого цвета и ниже этих строк делают пропуск.
5. В коэффициентах элиминационных строк сохраняют обычно
на один-два десятичных знака больше, чем в остальных строках.
Рассмотрим пример решения системы нормальных уравнений. Задана сис-
система уравнений и суммы 2
3,ООг,+0,39тг-0,28тз-0>26т:«+3,36=0) 2,= +6,21
•4-0,39т,+2,53т2+0,2От3—0,17т4+3,34=0, 22= +6,29
—0,28т1+0,20т2+1H8тз+0J9т4—2,62=0, 23=—1,33
—0,26т,—0,17т2+О,29тз+1,60т4+2,99=0, 2«= +4,45
[pit] =35,68 25=42,75»ГРУ
Решение приведено в табл. 30.
"JC
Таблица 30
Наименование
действий
Nu
Ei
Nu
E12N
Et
N3(
E13N
EKN{>
AlB)
"Si
E,
Jf*
ЕцМ
EMN*>
N\f
Et
JV5
E\iN
EisNn
E&N12
е«лг13
о
т,
3,00
J
—0,85
+ 0,39
—0,130
'2,53
—0,05
2,48
—1
—1,65
+ 0,21
-0,28
+0,093
+0,20
+0,04
+0,24
—0,097
1,08
-0,03
—0,02
1,03
— 1
+3,28
—0,32
+0.30
—0,26
+0,087
-0.17
+0,03
-0,14
+0,055
+0,29
—0,02
+0,01
+0,28,
-0,272
1,60
--0,02
—0,01
—0,08.
1,49
_1
-2,78
+0.76
—0.16
—0.24
L
+ 3,36
—1,120
+3,34
—0,44
+2,90
—1,170
—2,62
+0,31
—0,28
-2,59
+2,516
+2,99
+0,29
+0,16
+0,70
+4,14
—2,780
35,68
—3,76
—3.39
—6,50
-11,51
10,52
+2,52
-1.17
-1,12
+6,21
—2.070
+6,29
-0,81
+5,48
—2,212
—1,33
+0,58
—0,53
— 1,28
+ 1,244
+ 4,45
+0,54
+0.31
+0,35
+5,63
—3,780
42,75
—6,96
—6,40
—3,23
-15,65
+10,51-
Контроль
—2,070
+5,48
—2,210
—1,28
+ 1,244
+5,65
—3,780
154
Для окончательного контроля вычислений подставим найденные неизвест-
неизвестные в суммарное уравнение, для чего вычислим его коэффициенты и свободе
ный член:
21-11=+6,21-3,36=+2,58;
22-L2=+6,29-3,34=+2,95;
S3—Z-3=—1,33+2,62=+l ,29;
24-Z.4=+4,45—2,99=+l ,46;
S5—1р//]=42,75—35,68=+7,07.
Теперь получим: -2,85-0,85-2,95-1,65+1,29-3,28-1,46-2,78+7,07 = -2,42-
—4,87+4,23—4,06+7,07=—0,05.
" Остаточная погрешность пренебрегаемо мала.
ГЛАВА 10
ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
§ 53. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА, ИХ ОКРУГЛЕНИЕ
И ПРАВИЛЬНОЕ НАПИСАНИЕ
При обработке экспериментальных данных большинство расче-
расчетов производится с приближенными значениями величин в усло-
условиях, когда точные значения их остаются неизвестными. При рас-
расчетах к случайным погрешностям измерения исходных величин до-
добавляются погрешности округления, причем эти погрешности име-
имеют тенденцию к накоплению при массовых расчетах. Но не только
все результаты измерений являются по своей природе числами
приближенными, но и результаты многих расчетов. Например, при-
приближенные расчеты с использованием числа я (длина окружности1,
площадь круга, объем шара, конуса и т. д.). Несмотря на то, что
для него в настоящее время рассчитано более 100 000 значащих
цифр, при расчетах приходится где-то обрывать ряд 3,1416... и ок-
округлять это число. Приближенные значения логарифмов, тригоно-
тригонометрических и иных функций большинства чисел (точные числа
sin 30°=0,5; lg 10=1 и т. д. являются редкими исключениями).
Приближены по своей физической сути многие формулы, которым»
в повседневной практике часто пользуются как точными.
Например, в формуле gt2/2 величина g зависит от географичес-
географической широты, высоты над уровнем моря, микроструктуры геологичес-
геологического района и т. д. Формула s=vt, безусловно верная при обычных
земных скоростях, постепенно теряет это свойство при приближе-
приближении скорости перемещения к скорости света и т. д.
Для всех приближенных чисел так же, как, в частности, для"
результатов измерений, введены понятия абсолютной и относитель-
относительной погрешности.
Погрешность приближенного числа х, т. е. разность между х—
А'о, между ним и точным значением х0, обычно не известна. Но счи-
считается известной какая-либо оценка погрешности вида
155

Число Ах называется абсолютной погрешностью приближенного
числа х (или предельной абсолютной погрешностью). Это число
определяется неоднозначно: его можно увеличить или уменьшить.
Обычно интересует возможно меньшее число, удовлетворяющее не-
неравенству A0.1) и в дальнейшем речь пойдет именно о такой оп-
оптимальной оценке погрешности.
Абсолютные погрешности принято записывать не более чем с
двумя значащими цифрами.
Относительной погрешностью приближенного числа называют
отношение его абсолютной погрешности к абсолютному значению
числа
A0.2)
Обычно относительную погрешность выражают в процентах и
записывают не более чем с двумя-тремя значащими цифрами.
Относительная погрешность не изменяется при изменении мас-
масштаба измерения, т. е. при увеличении (уменьшении) приближен-
приближенного числа и пропорциональном увеличении (или уменьшении) его
абсолютной погрешности. Относительная погрешность приближен-
приближенного числа связана с количеством его верных знаков, которое от-
считывается от первой значащей цифры числа до .первой значащей
цифры его абсолютной погрешности. Например, если для числа
л=6,9358 абсолютная погрешность Ах = 0,0045, то число .v имеет
три верных знака F; 9; 3); остальные знаки — сомнительные. Ори-
Ориентировочно можно считать, что наличие только одного верного
знака соответствует погрешности порядка 10%, двух верных зна-
знаков — погрешности порядка 1 %, трех верных знаков — 0,1 % и
т. д.
Использование приближенных чисел ставит вопрос, во-первых,
об их правильном написании, а во-вторых, о правильных матема-
математических действиях над ними, т. е. о приближенных вычислениях.
Нередки случаи, когда при проведении работ по обработке резуль-
результатов измерений правила работы с приближенными числами нару-
нарушаются. Более того, в научно-технической литературе, в том числе
по метрологии и измерительной технике, при проведении примеров
числовых расчетов нередко нарушаются элементарные правила
приближенных вычислений, записи приближенных чисел. Например,
вслед за безупречно изложенными правилами, относящимися к
абсолютным или относительным погрешностям, их расчету, сумми-
суммированию и т. д., приводятся примеры, в которых эти правила явно
нарушаются.
Техника вычислений дает возможность извлечь нз имеющихся
экспериментальных данных наибольшую точность, получить гра-
грамотный, надежный ответ, и, наконец, достичь этого при минималь-
минимальных затратах труда на вычислительные операции. Рассмотрим это
несколько более подробно. Во-первых, имеющиеся данные следует
математически обработать так, чтобы получить максимум знача-
значащих цифр. Обидно, если из-за недостаточной квалификации расчет-
156
чика, его чрезмерной склонности к округлению исходных данных и
результатов теряется последняя значащая цифра ответа или не-
несколько таких цифр. Как правило, получение именно этих цифр
составляет основную трудность экспериментов и главную цель всей
работы. Во-вторых, исходные данные надо обработать так, что
последние цифры (последняя цифра) были надежными. Получение
неверной цифры, пожалуй, еще более опасно, чем необоснованное
отбрасывание надежной цифры. Таким образом, задача расчета —
найти оптимальное количество значащих цифр. И, в-третьих, эту
задачу надо решать с минимальными затратами сил и средств. Опе-
Оперирование числами с лишними значащими цифрами в промежуточ-
промежуточных выкладках повышает трудоемкость работы, увеличивает риск
допустить ошибку.
Прежде всего рассмотрим вопросы округления и правильного
написания приближенных чисел. Здесь основным является понятие
— значащая цифра числа, определение которого приведено выше.
Рассмотрим это сначала на примерах. В числе 37,780 и 37,7800
нули тоже являются значащими цифрами, разумеется, при усло-
условии, что числа записаны правильно (см. ниже), т. е. нули явля-
являются надежными значащими цифрами, а не заменяют неизвестные
цифры. В числах 0,03778 и 0,00003778 нули не являются значащими
цифрами. Следовательно, в десятичной дроби нули справа идут в
счет значащих цифр, а нули слева — нет.
А как быть, если получено число, например 37780, и, вместе с
тем, нельзя поручиться за точность нуля в конце? Тогда лучше за-
записать его в форме 3778-Ю1. Если же нет уверенности в восьмерке,
то 378' 102 н т. д.: 38-Ю3 и 4-Ю\ Нередко запись числа в форме
jc-10" применяется не только для правильного отражения точности
числа, но и для удобства представления весьма больших или весь-
весьма малых чисел (в астрономии, физике микромира). Общее прави-
правило округления таково: если отбрасывают цифру меньше пяти, то
последнюю оставшуюся цифру сохраняют; если отбрасывают циф-
цифру больше пяти, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на
единицу; если же отбрасывают пятерку, то обычно предпочтение
отдают четному числу. Это правило было предложено К. Гауссом.
Оно позволяет исключить одностороннее накопление ошибок за ок-
округление и иметь совершенно идентичные результаты, когда одни
и те же вычисления выполняют разные расчетчики. Таким образом,
845^84-10, а 855^86-10.
Пусть в результате измерений получен ряд чисел: 7,77; 7,76; 7,78;
7,79; 7,76; 7,75; 7,76; ... , который необходимо обработать, напри-
например, для получения х. Очевидно, в данном случае все числа ряда
должны иметь одинаковое количество значащих цифр.
Бессмысленным было бы одни числа написать с тремя знача-
значащими цифрами G,77; 7,79), а другие — с четырьмя G,783; 7,778).
Далее рассмотрим другой ряд такого вида: 9,99; 10,01; 9,98; 10,02;
5,98; 10,00; 9,97; 10,03 ... . Здесь у одних чисел три значащие циф-
цифры, у других — четыре. Нужно ли в этом случае все числа привес-
привести к трем значащим цифрам? Конечно, нет, так как при этом одни
157

числа оказались бы данными с точностью до сотой, а другие — до
десятой. Следовательно, напрашивается такое правило: если одни
числа однородного ряда начинаются с единицы, а другие с девятки,
то у первых должно быть на одну значащую цифру больше.
Обобщением этого правила является следующее: числа, начи-
начинающиеся с единицы (а иногда и сдвойки), записывают с лишней
значащей цифрой в сравнении с другими числами, а числа, начи-
начинающиеся с девятки (восьмерки, семерки), иногда лишают пос-
последней значащей цифры.
Выше уже указывалось, что точность расчетов должна быть
связана с точностью исходных чисел, в частности, с точностью эк-
экспериментальных данных. Подчеркнем при этом, что округление
чисел необходимо не только для упрощения вычислений, но и для
того, чтобы избежать иллюзии повышенной точности результата.
§ 54. ПОГРЕШНОСТИ ОКРУГЛЕНИЯ
Погрешности округления возникают как при вычислениях, так
и при измерениях.
При вычислениях результаты округляют-до удерживаемого в
каждой вычислительной операции десятичного знака. Если отбра-
отбрасываемая часть меньше или больше 0,5 единицы удерживаемого
(последнего) десятичного знака, то округление производят соот-
соответственно с сохранением или увеличением цифры этого знака на
единицу. Если же отбрасывают точно 0,5 единицы удерживаемого
знака, то округление производят до четной цифры по правилу,
предложенному К. Гауссом.
При измерениях погрешности округления возникают при от-
отсчетах по измерительным шкалам средств измерений в случаях,
когда десятые доли деления шкалы отбрасывают и отсчет произво-
производят с округлением до ближайшего целого деления шкалы. Но если
десятые доли деления шкалы определяют на глаз, то погрешность
отсчета будет погрешностью измерения, а не округления.
Эмпирически установлено, что погрешности округлений харак-
характеризуются следующими свойствами:
а) предельная погрешность одного округления Д=0,5 единицы
последнего (удерживаемого) десятичного знака;
б) положительные и отрицательные погрешности округлений
равновозможны;
в) математическое ожидание погрешностей округлений Д(- рав-
равно нулю, т. е. М (Д< )=0;
г) большие и малые погрешности округлений равновозможны.
Последнее свойство погрешностей округлений существенно от-
отличает их от случайных погрешностей измерений. Ошибки округ-
округлений полностью подчиняются закону равномерного распределения
с центром распределения, равным нулю. Стандарт равномерного
распределения, т. е. в данном случае среднее квадратическое зна-
значение погрешности округления, может быть найден по формуле
оа--~, (Ю.З)
158
где Д — предельная погрешность округления.
Формула A0.3) может быть получена также следующим путем.
Известно, что погрешность округления может принимать любое зна-
значение от 0 до ±iA. Выберем достаточно малый интервал е, чтобы
записать все возможные значения погрешностей.
Пусть
(Ю.4)
где k — целое число, которое можно выбрать как угодно большим.
Ряд погрешностей от —Д до +Д округления можно записать:
—fte, — F—1) е, ... — Зе, — 2е, —е, 0, +е, +2е, +3е, +... + (*—
— 1) е + &е. Этот ряд является рядом истинных погрешностей, по-
поэтому средняя квадратическая погрешность а0 одного округления
о»- 2[e2+Be2);^-+(fee)8]=йщ
С учетом
A0-5)
получим
о e2-fe(fe+l)
о~ з
A0.7)
НО ? =
следовательно,
¦A+4-).
A0.8)
Так как число k можно выбрать как угодно большим, то \/k мо-
может быть как угодно малой величиной. Поэтому можно записать
окончательно сго^А/3.
При округлении результатов вычислительных операций при ма-
математической обработке результатов измерений возникает вопрос
о рациональном соотношении между точностью вычислений и точ-
точностью измерений. Как уже отмечалось, удерживание лишнего
числа знаков при вычислениях сопряжено с большими затратами
средств и времени, а при недостаточном количестве знаков можно
снизить точность итогового результата.
Практикой выработано простое правило: погрешность, привно-
привносимая в конечные результаты вычислениями, должна быть не более
1/5 суммарного влияния погрешностей измерения.
Например, если влияние погрешностей измерений при определении некото-
некоторой величины характеризуется величиной 0=0,5 см, то при округлениях сле-
следует удерживать миллиметры, и предельная погрешность округления будет
0,5 мм (т. е. 0,5 единицы последнего внака).
Тогда средняя квадратическая погрешность одного округления о"о=0,5 мм/
/3=0,29 мм.
Совместное влияние погрешностей измерений и округлений будет выра-
выражаться величиной 0=v|^52-)-(O,29J =v-5,01 мм, где v — коэффициент, зави-
зависящий от алгоритма вычислений.
Как видно, о не будет существенно отличаться от характеристики влияния
погрешностей намерения.
159

§ 55. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
Определение погрешности суммы, разности, произведения, част-
частного, степени, корня и т. д. сводится к суммированию элементар-
элементарных погрешностей слагаемых, уменьшаемого, вычитаемого, сомно-
сомножителей, делимого, делителя и т. д. или их функций по вышепри-
вышеприведенным формулам суммирования погрешностей при прямых или,
в более общем случае, косвенных измерениях. Математический ап-
аппарат и формулы, по которым осуществляют расчеты, те же, что
вполне естественно, поскольку физическая природа погрешностей
(погрешности измерения, вычисления) роли не играет. Соответст-
Соответствующие элементарные погрешности получают по несложным фор-
формулам дифференцирования, в которых затем дифференциалы за-
заменяют разностями — погрешностями, что правомерно, так как
погрешности обычно существенно меньше самих используемых при
расчетах величин. Соответствующие выкладки приводятся в насто-
настоящем параграфе.
Что касается суммирования элементарных погрешностей, то это
вопрос весьма принципиальный, который не всегда решается дос-
достаточно корректно. Напомним, что согласно вышеуказанному, из-
известно три основных способа такого суммирования: алгебраическое,
квадратическое и арифметическое (суммирование абсолютных ве-
величин), каждый из которых ранее обоснован и указана область
его применения. В большинстве курсов, трактующих вопросы при-
приближенных вычислений, суммирование осуществляют арифметичес-
арифметически; при этом вовсе опускается возможность иного суммирования.
На' практике же погрешности приближенных чисел в большинстве
случаев следует рассматривать и, соответственно, суммировать как
случайные величины. Именно такое суммирование положено в ос-
основу вывода формул, приведенных ниже. Однако при этом следу-
следует иметь ввиду, что те же формулы легко перестроить на иной
способ суммирования (алгебраическое или арифметическое), ис-
используя те же составляющие погрешности. И, наконец, отметим
еще раз, что квадратическое суммирование, строго говоря, справед-
справедливо только по отношению к средним квадратическим; распрост-
распространять его на сами погрешности в общем случае нужно с извест-
известной осторожностью, учитывая при этом законы распределения, до-
доверительной вероятности и т. д.
Сложение и вычитание приближенных чисел. Если одно слага-
слагаемое округлено грубее остальных членов алгебраической суммы, то
это слагаемое и определяет число знаков, какое следует оставить
в сумме.
Например, пусть необходимо произвести действия:
+ 184,32
- +385,4
+ 12,358
— 114,74
+467,338
160
Второе слагаемое округлено до 0,1, в нем'может быть погрешность ок-
округления до 0.05, поэтому в сумме данных четырех чисел тысячные дол;-; еди-
единицы имеют фиктивную точность. Поэтому имеет смысл оставить сотые доли,
чтобы до округления не привносить в сумму еще лишней погрешности. В ито-
итоге получим результат 467,34. Но этот результат не будет верным до 0,05.
В этой сумме возможна погрешность в сотых долях и свыше пяти.
Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких чи-
чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.
Если s = xl + x2 + ... +х„ , то
Д,=ДЖ1+Дя,+...+ДЯ/1. A0.9}
При большом числе п слагаемых удобнее пользоваться оцен-
оценками, учитывающими, что при сложении происходит частичная ком-
компенсация погрешностей с различными знаками.
При сложении результатов измерений можно считать
При сложении чисел (по правилу дополнения) до m-го десятич-
десятичного разряда (т. е. округленных с погрешностью, меньшей 0,5 10~ш)
применяется правило Чеботарева А. С.
A0.11)
При сложении чисел, среди которых одно имеет абсолютную по-
погрешность, значительно большую, чем все другие, то можно счи-
считать, что погрешность этой суммы равна этой наибольшей погреш-
погрешности. При этом в результате сохраняют столько десятичных зна-
знаков, сколько в слагаемом с наибольшей абсолютной погрешностью.
Относительная погрешность суммы нескольких чисел одного и
того же знака заключена между наименьшей и наибольшей из от-
относительных погрешностей слагаемых:
min6,
<тахбх
A0.12)
При сложении чисел с различными знаками (при вычитании)
происходит потеря точности: относительная погрешность разности
двух положительных чисел больше относительной погрешности этих
чисел, особенно, если эти числа близки между собой (т. е. если их
разность очень мала по сравнению с этими числами).
Например, пусть даны числа
^=28,35; Длг=0,01;
лг2=28,11; Дд.2=0,01.
Их относительные погрешности равны 5Xt =6Xz =0,036 %, но их разность
Aj =Х\—х2=0,24, имеет относительную погрешность 6S =0,02/0,24-100 % = 8,4 %,
которая в 233 раза превышает относительные погрешности чисел.
Поэтому для получения разности с определенным числом значащих цифр
необходимо уменьшаемое и вычитаемое брать с их большим числом.
101 100 „
Рассмотрим еще одни пример: надо рассчитать^ — fgj- Решение задачи
таково:
161

s0,9902, следовательно,
101 100
102 "~ foT «0,9902—0,9901=0,0001.
ioi ~°.1; 102
101 100
102 ~~ 101
Итак, это решение несет в себе все те недостатки, которые уже были
перечислены выше. В данном случае можно было бы не рассчитывать умень-
уменьшаемое и вычитаемое до четырех знаков после запятой, а действовать следую-
следующим образом:
101 100 _ ЮР—100-102 _ 1013—<101— l)-(lOl-H) _
102 ~ 101 ~ 102-101 ~ 102-101 ~
1 1
101 ~ 102-101
101а—1012 + 1
102-101
~" 102-101
100-100
=0,0001.
Обычно стремятся построить расчетные формулы таким обра-
образом, чтобы избежать малых разностей. Рассмотрим один из наибо-
наиболее общих способов достижения этого. Пусть дана функция у=
= {(х), ее аргумент получил небольшое приращение Ах, а функция,
соответственно, небольшое приращение Ay: y+Ay=f (х+Ах). При
необходимости рассчитать Ay=f(x+,Ax)—f(x) приходим к нежела-
нежелательной малой разности. В таких случаях рекомендуется восполь-
воспользоваться приближенной формулой Ay=dy/dx-Ax.
Например, если надо иайти площадь F круглого кольца при малой раз-
разности внутреннего d\ и наружного d2 диаметров, то обычный способ расчета
дает ^=~4~ {d\—d\), что при d2—dl<<d2(d[) затрудняет получение точ-
точного результата. Воспользуемся приближенной формулой. Исходя из F=ndi /4,
получаем
AF=: dd1 Adl= 4 Adi= 2
Тем самым удалось избавиться от малой разности.
При обычном способе решения рассчитывают площади большего и меньше-
меньшего кругов. При этом формула точная, а расчет по ней (при ограниченном чис-
числе значащих цифр dx и d2) — грубый. Расчет по формуле AF = {ndKAd{)IQ.—
приближенный (разность площадей кругов приблизительно заменяют пло-
площадью прямоугольной полосы длиной Adx и шириной Ad\/2), зато его ре-
результат — точней.
В данной конкретной задаче можно было бы воспользоваться еще тем,
¦d\ — (d2->rd{) (d2—d\), однако последний прием является уже сугубо
частным.
Умножение и деление приближенных чисел. При умножении и
делении в результате следует оставлять столько значащих цифр,
сколько их имеет приближенное данное число с наименьшим коли-
количеством значащих цифр.
При умножении и делении приближенных чисел складываются
их относительные погрешности (а не абсолютные): относительная
погрешность выражения
что d\
F=
' хт
¦¦Ут
A0.13)
162
оценивается величиной:
6р=6»1+6,1+...+в,я1+бЛ+6,,+...+6„/в. ! 10.14)
При большом числе т + п выгоднее пользоваться оценками,,
учитывающими частичную компенсацию погрешностей разных зна-
знаков.
Если числа хп yi получены в результате измерения, то можно
считать
A0Л5)
Если числа xp yi округлены до одинакового количества знаков
и поэтому имеют одну и ту же относительную погрешность, то от-
относительную погрешность выражения A0.15) можно оценить так:
A0.16)
Если относительная погрешность у одного из чисел значитель-
значительно больше, чем у остальных, то можно считать, что относительная
погрешность A0.16) равна этой наибольшей погрешности,, т. е.
при умножении приближенных чисел сомножители должны иметь
относительную погрешность одного порядка (одинаковое число
значащих цифр). Лишние цифры, если таковые имеются, отбрасы-
отбрасывают и числа" округляют. Произведение должно иметь не больше
значащих цифр, чем сомножитель, у которого их наибольшее ко-
количество. Это правило распространяется и на случай деления
{z = x/y).
Естественно, что приведенное для умножения (деления) пра-
правило оставлять в результате столько значащих цифр, сколько их
в наименее точном сомножителе, постепенно теряет силу по мере
увеличения числа сомножителей.
Возведение в степень и извлечение корня приближенных чисел.
Если имеем функцию Е = хп , то относительную погрешность ее
можно определить по формуле
или
8F=n8x. A0.18)
Следовательно, при возведении в степень точность результата
уменьшается во столько раз, во сколько показатель степени боль-
больше единицы.
п
Если имеем функцию F—Ух , то ее относительную погреш-
погрешность можно определить по формуле
AF
A0.19)
т. е. при извлечении корня из приближенного числа точность ре-
результата возрастает пропорционально степени корня.
163

Более сложные случаи расчетов. В этих случаях можно поль-
пользоваться следующим достаточно общим приемом. Пусть дана функ-
функция y = f (хи х2, ...). Требуется определить погрешность Ау вели-
величины у по погрешностям хи х2 которые обозначим Дь А2
Подсчет погрешности функции Af , обусловленный погрешнос-
погрешностями округления аргументов Д*,, Ах,, ..., А* , может быть про-
произведен по известной формуле Тейлора
Если погрешности округлений неизвестны, то расчет по форму-
формуле A0.20) можно выполнить, задаваясь их средними квадратичес-
кимн погрешностями и вычислить среднюю квадратическую погреш-
погрешность функции по формуле
где ох, , ..., Охп — средние
ления аргументов.
С учетом Ox, =0*2 =... = охп, т. е. с учетом
влияний будем иметь
квадратические погрешности округ-
*дхх)о xi \дхг'о *2 '" \дхп
и можем получить
2 9
ИЛИ
принципа
п
равных
A0.
A0.
22)
.23)
°< = ~пТ ' A0.24)
Рассмотренные выше правила являются простейшими. Более
подробное изложение вопроса выходит за рамки настоящего кур-
курса. Поэтому следует иметь ввиду, что, во-первых, охвачены не все
возможные случаи, а во-вторых, в ряде отношений изложение яв-
явно упрощено и не учитывает различные возможности, оттенки, тра-
традиции в подходе к приближенным вычислениям. Например, требо-
требование ограничить погрешность приближенного числа половиной еди-
единицы последнего разряда числа в некоторых случаях рассматри-
рассматривается как чрезмерно жесткое, поэтому допускают увеличение этой
погрешности до единицы и даже до двух единиц. В ряде случаев
целесообразно использовать при расчетах лишнюю цифру в тех дан-
данных, где она имеется, а затем округлять окончательный результат.
При пользовании таблицами (логарифмов, тригонометрических фун-
функций, функций Ф (t) и т. д.) связь между количеством значащих
цифр аргумента и функции зависит от характера функции и мо-
может быть разной для разных частей одной и той же таблицы.
Цель настоящего раздела — не только научить правильным дейст-
действиям при вычислениях, а прежде всего внушить ту мысль, что со-
164
вершенно недопустимо имеющее иногда место безоговорочное до-
доверие к результатам расчетов, когда не учитывают неточность ис-
исходных данных и ее влияние на окончательный результат.
Правила сохранения знаков. С целью уменьшения накопления
погрешностей округления при вычислениях, во всех исходных дан-
данных для расчета сохраняют не только верные знаки, но и несколь-
несколько сомнительных. Их количество зависит от объема расчетов: если
количество выполняемых действий измеряется десятками, надо со-
сохранять один-два сомнительных (излишних) знака, если количест-
количество действий измеряется сотнями, надо сохранять два-три сомни-
сомнительных (излишних) знака. Сохранение двух излишних знаков со-
соответствует округлению абсолютных и относительных погрешнос-
погрешностей до двух значащих цифр, сохранение трех сомнительных знаков
соответствует округлению погрешностей до трех значащих цифр и
т. д. В окончательном результате целесообразно сохранять один
излишний знак, указывая при этом абсолютную (нли относитель-
относительную) погрешность результата.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Таблицы плотности вероятности нормального распределения
и функции Лапласа
dt; Ф(—*) = — Ф(а-)
Таблица 1.1
X
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,3989
0,3970
0,3910
0,3814
0,3683
0,3521
0,3332
0,3123
0,2897
0,2661
0,2420
Ф(х)
0,0000
0,0398
0,0793
0,1179
0,1554
0,1915
0,2257
0,2580
0,2881
0,3159
0,3413
X
1,10
1,20
1,30
1,49
1,50
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
0,2179
0,1942
0,1714
0,1497
0,1295
0,1109
0,0940
0,0790
0,0656
0,0540
0,0440
0,0350
0,3643
0,3849
0,4032
0,4192
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,4772
0,48:2A
0,4861
X
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,93
3,03
3,50
4,03
4,50
5,03
0,0283
0,0224
0,0175
0,0136
0,0104
0,0079
0,0060
0,00443
0,00087
0,00013
0,00002
0,0000
0,4893
0,4918
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,49865
0,49977
0,49997
0,49999
0,499999
Пример. Вычислить ФA,62).
Решение. Берем нз таблицы два значения: ФA,60) =0,4452 и Ф(!,70) =
0,4554 с разностью 0 0102 и вводим поправку на относительное приращение
A,614—1,610) =0,004: Ф( 1,614) =Ф( 1,61) +0,0102-20 = 0,4452+0.020 =
аргумента
= 0,4472.
165

Величины: 1—2Ф@, Для t>2,5
1—2Ф(лг) для х>2,5
Таблица 1.2
t
2,5
2,6
2,7
2,8
2.9
3.0
3,1
3,2
S,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4.7
4.8
4^9
5,0
0,49379
0,49534
0,49653
0,49744
0,49813
0,49865
0,49903
0,49937
0,49952
0,49966
0,499767
0,499841
0,4998912
0,499927
0,499952
0,499968
0,499979
0,499987
0,499991
0,499995
0,49999966
0,49999979
0,49999987
0,49999992
0,49999995
0,49999997
1-2Ф(О
0,01242
0,00932
0,00693
0,00511
0,00373
0,00270
0,00194
0,00137
0,00097
0,00067
0,000465
0,000318
0,000216
0,000145
0,000096
0,000063
0,000041
0,000027
0,000017
0,000011
0,0000068
0,0000041
0,0000025
0,0000016
0,00000009
0,00000006
I-P
0,05,
0,04
0,03
0,0й
0,01
0,009
0,008
0.007
0,006
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
0,0009
0,0008
0,0007
0,0006
0,0005
0,0004
0,0003
0,0002
0,0001
ю-5
ю-6
ю-7
1,960
2,054
2,170
2,326
2,576
2612
2,652
2,697
2,748
2,807
2,878
2,968
3,090
3,291
3,320
3,353
3,390
3,432
3,481
3.540
3,615
3,720
3,891
4,417
4,892
5,327
Р
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
0,991
0,992
0,993
0,994
0,995
0,996
0,997
0,998
0,999
0,9991
0,9992
0,999а
0,9994
0,9995-
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
ыо-5
ыо-6
ыо-?
166
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
л
2
3
4

6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
оо
6,31
2,92
2,35
2,13
12,02
1,94
1,90
1,86
1,83
1,81
1,80
1,78
1.77
1,76
1,75
1,75
1,74
,73
1,73
1,65
Коэффициент
Значение
0,90
0
12,71
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,37
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,11
2,10
2,09
1,96
распределения Стьюдента /
t при доверительной вероятности р
,95
0,98
31,82
6,97
4,54
3,75
3,37
3,14
3,00
2,90
2.82
2,76
2,72
2,68
2,66
2,62
2,60
•2,58
2,57
2,55
2,54
2,33
0,99
63,68
9,93
5,84
4,60
4,06
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,06
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
2,86
2,68
или а
0,99?
636,62
31,60
12,92
8,61
6,87
5,96
5,41
5,04
4,78
4,59
4,44
4,32
4,22
4,14
4,07
4,02
3,97
3,92
3,88
3J29
Пример. Составить доверительный интервал при р=0,9б для х, если x{<h<o—
найдены по результатам 10 измерений. Число степеней свободы /=10—1=9.
Из таблицы р\(х—Х)]<2,26-сг-=0,95.
167

ПРИЛОЖЕНИЕ
Значения ^-процентных точек распределения Стьюдента
ос=р
Число
степеней
свободы k
илн f
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Уровень значимости <J=
10
6,31
2,92
12,35
2,13
2,02
1,94
1,90
1,86
1,83
1,81
5
12,71
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,36
2,31
2,26
2,23
1-рЫОО К
1
63,66
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
Число
степенен
свободы к
шли f
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
оо
Уровень зп?
10
1,78
1,76
1,75
1,73
1,72
1,72
1,71
1,71
1,70
1,70
1,64
чимости <7=A—р)• 100 %
5
2.18
2.14
2.12
2,10
2.09
2,07
2.06
2.06
;2,05
2.04
1.96
1
3,06
2,98
2,92
2,88
2,84
2,82
2,80
2,78
2,76
2,75
2,58-
168
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Значения ^-процентных точек для ^-распределения (p{%2>%2q};
= \—p k = l—3
Таблица 4.1
Число
степеней
свободы
fe=n_l
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Уровень значимости f, %
99
0,00016
0,0201
0,115
0,297
0,654
0,842
1,239
1,646
12,088
2,558
3,053
3,571
4,107
4,660
5,229
98
0,00063
0,0404
0,185
0,429
0,752
1,134
1,564
2,032
2,632
3,059
3,609
4,178
4,765
5,368
5,985
95
0,00393
0,103
0,352
0,711
1,145
1,635
2,167
2,733
3,325
3,940
4,575
5,226
5,892
6,571
7,261
90
0,0158
0,211
0,584
1,064
1,610
2,204
2,833
3,490
4,168
4,865
5,578
6,304
7,042
7,790
8,547
80
0,0642
0,446
1,005
1,649
2,343
3,070
3,822
4,594
5,380
6,179
6,989
7,807
8,634
9,467
10,307
70
0,148
0,713
1,4B4
2,195
3,000
3,828
4,671
5,527
6,393
7,267
8,148
9,034
9,926
10,821
11,721
50
0,455
1,386
2,366
3,357
4,351
5,348
6,346
7,344
8,343
9,342
№,341
11,340
12,340
13,339
14,339
М>9

Число сте-
степеней сво-
свободы
k=n—1
16
17
18
19
20
21
22
ез
24
25
36
27
28
29
30
Продолжение
табл. 4.1
Уровень значимости q, %
99
5,812
6,408
7,015
7,633
8,260
8,897
9,542
10,196
10,856
11,524
12,198
12,879
13,565
14,1256
14,953
| 98
6,614
7,255
7,906 ,
8,567
9,237
9,915
10,600
11,293
11.992
112,697
13,409
14,125
14,847
16,574
16,306
| 95
7,962
8,6712
9,390
10,117
10,851
11,591
12,338
13,091
13,848
14,611
15,379
16,151
16,928
17,708
18,493
( 90
9,312
10,085
10,865
11,651
12,443 '
13,240
14,041
14,848
15,659
16,473
17,1292
18,114
18,939
19,768
20,599
| 80 | 70
11,152
12,002
12,857
13,716
14,578
15,445
16,314
17,187
18,062
18,940
19,820
20,703
21,588
22,475
23,364
12,624
13,531
14,440
15,352
16,1266
17,182
18,101
19 021
19,943
20,867
21.792
22,219
23,647
24,577
5,508
\ 60
15,338
16,338
17 338
18,338
19,337
20,337
21,337
22 337
23|]337
24,33-7
25,336
26,336
27,336
28,356
29,336
Число
степеней
свободы
k—n-l
1
2
3
4
5
6
7
8"
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
S4
25
26
27
28
29
30
Продолжение
' табл. 4.1
Уровень значимости q, %
30
1,074
2,408
3,665
4,878
6,064
7,321
8,383
9,524
10,656
11,781
12,899
14,011
15,119
16,2?2
17,322
18,418
19,511
20,601
21,689
22,775
23,858
24,939
26,018
Е7.096
28,172
29,246
30,319
31,391
32,461
33,530
20
1,642
3,219
4,642
5,989
7,289
8,558
9,803
11,030
12,1242
13,442
14,631
15,812
16,985
18,151
19,311
20,465
21,615
22,760
23,900
25,038
26.171
27,301
28,429
29,553
30,675
31,795
32,912
34,027
35,139
36,250
10
2,706
4,605
6,251
7,779
9,236
10,645
112,017'
13,362
14,684
15,987
17,275
18,549
19,812
21,064
22,307
23,542
24,769
25,989
127,204
28,412
29,615
30,813
32,007
33,196
34,382
35,563
36,741
37,916
39,087
40,256
5
3,841
5,991
7,815
9,488
11,070
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
19,675
21,026
122,362
23,685
24,996
26,296
27,587
28,869
30,144
31,410
32,671
33,924
35,172
36,415
37,652
38,885
40,113
41,337
412,557
43,773
2
5,412
7,824
9,837
11,668
13,388
15,033
16,622
18,168"
19,679
21,161
22,618
24,054
25,472
26,873
28,259
29,633
30,995
32,346
33,687
35,020
36,343
37,659
38,968
40,270
41,566
42,856
44,140
45,419
46,693
47,962
!
6,635
9,210
11,345
13,277
15,086
16,8112
18,475
20,090
21,666
23,209
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
32,000
33,409
34,805
36,191
37,566
38,932
40,289
41,638
42,980
44,314
45,642
46,963
48,278
49,588
50,892
0,5
7,849
10,597
12,838
14860
16.750
18,548
20278
5Т955
23,589
25,188
26,757
28 300
29 812
31,319
32,801
34,267
36,518
37,156
38582
39,997
41,401
42,796
44,181
45,558
46,928
48,290
49,645
50,993
52,336
53,672
170
Значения (/-процентных точеС распределения
па"
Таблица 4.2
Число
наблюде-
наблюдений
11
16
21
26
31
36
41
46
51
0,9359
0,9137
0,9001
0,8901
0,8827
0,8769
0,8726
0,8682
0,8648
при q/2t %
5
0,9073
0,8884
0,8768
0,8686
0,8625
0,8578
0,8540
0,8508
0,8481
10
0,8899
0,8733
0,8631
0,8570
0,8511
0 8468.
0,8436
0,8409
0,8385
90
0,7409
0,7452
0,7495
0,7530
0,7559
0,7583
0,7604
0,7621
0,7636
A-<7)/2. %
95
0,7153
0,7236
0,7304
0,7360
0,7404
0 7440
0,7470
0,7496
0,7518
99
0,6675
0,6829
0,6950
0,7040
0,7110
0,7167
0,7216
0,7256
0,7291
m
Значения р из уравнения 1— 2С„
Таблица 4.3
л
10
11—14
15—?20
21—22
23
24—27
36—32
33—35
36—49
m
1
1
1
2
2
2
2
•2
2
Уровень значимости щ,%
1
0,98
0,99
0,99
0,98
0,98
0,98
0,99
0,99
0,99
2
0,98
0,98
0,99
0,97
0,98
0,98
0,98
0,98
0,99
5
0,96
0,97
0,98
0,96
0,96
0,97
0,97
0,98
0,98
171

ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Значения ^-процентных точек распределения
» ¦—х\
Число
наблюдений
л
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
ВО
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0,1
1,414
" 1,7312
1,994
2,212
2,395
2,547
2,677
2,788
2,884
2,969
3,044
3,111
3,171
3,225
3,274
3,320
3,361
3,'400
3,436
3,469
3,500
3,529
3,556
3,582
3,606
3,629
3,651
3,672
Уровень
0,5
1,414
1,730
1,982
2,183
2,344
2,476
12,586
2,680
2,760
2,830
2,892
2,947
2,997
3,042
3,083
3,120
3,155
3,187
3,217
3,245
3,271
3,295
3,318
3,340
3,360
3,380
3,399
3,416
значимости q,
1
1,414
1,728
1,972
2,161
2,310
2,431
2,532
2,616
12,689
2,753
2,809
2,859
2,905
2,946
2,983
3,017
3,049
3,079
3,106
3,132
3,156
3,179
3,200
3,220
3/239
3,258
3,275
3,291
%
5
1,414
1,710
1,917
2,067
2,182
2,273
2,349
2,414
12,470
2,519
2,563
2,602
2,638
2,670
2,701
2,728
2,754
12,779
2,801
2,823
2,843
2,862
2,880
2,897
2.913
2,9i29
2,944
2,958
10
1,412
1,689
1,869
1,996
2 093
2,172
2,238
2,1294
2,343
2,387
2,426
2,461
2,494
2,523
2,551
12,577
2,601
2,623
2,644
2,664
2,683
2,701
2,718
2,734
2,749
12,764
2,778
2,792
172
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Артемьев Б. Г., Голубев С. М. Справочное пособие для работников мет-
метрологических служб. — М.: Изд-во стандартов, — 1990.
2. Березин И. С. Жидков Н Г. Методы вычислений. — М: Физматгиз —
1962.
3. Бурдун Г. Д., Марков Б. Н. Основы метрологии. — М.: Изд-во стандар-
стандартов, — 1985.
4. Бурумкулов Ф. X., Мировская Е. А. Основы теории вероятностей и
математической статистики. — М.: Изд-во стандартов — 1981.
5. Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероят-
вероятностей. — М.: Наука, — 1982.
6. ГОСТ 16263—70 ГСИ. Метрология «Термины и определения».
7. Гутер Р. С, Овчинский Б. В. Элементы численного анализа и матема-
математической обработки результатов опыта. — М.: Наука, — 1970.
8. Долинский Е. Ф. Обработка результатов измерений. — М.: Изд-во стан-
стандартов, — 1973.
9. Короткое В. П., Тайц Б. А. Основы метрологии и теории точности из-
измерительных устройств. М.: Изд-во стандартов. — 1978.
10. Мудров В. И., Кушко В. Л. Методы обработки измерений. — М,: Ра-
Радио и связь, — 1983.
11. Новицкий П. В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов из-
измерений. М.: Энергоатомнздат,— 1985.
12. Румшинский Л. 3. Математическая обработка результатов экспери-
эксперимента. — М.: Наука, — 1971.
13. Селиванов М. Н., Фридман А. Э., Кудрянова Ж. Ф. Качество изме-
измерений. — Л.: Лениздат, 1987.
14. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. —
М.: Наука, — 1985.
15. Тупиченков А. А. Метрологическое обеспечение производства. — М.:
Изд-во стандартов. — 1987.
16. Тюрин Н. И. Введение в метрологию. — М.: Изд-во стандартов, —
1985.
17. Шишкин И. Ф. Основы метрологии, стандартизации и контроля ка-
качества. — М.: Изд-во стандартов, — 1988.
18. Щиголев Б. М. Математическая обработка наблюдений. — М.: Физ-
Физматгиз — 1962.
173