Раймбан Типовые линейные модели объектов управления by Райбмана Н.С. (ред) (z-lib.org)

Теги: автоматика системы автоматического управления и регулирования интеллектуальная техника технология управления оборудование систем управления техническая кибернетика
Похожие
Алгоритмы статистических измерений
Элементы математического моделирования в программных средах Matlab 5 и Scilab
Методы анализа данных
Адаптация и обучение в автоматических системах.
Текст
                    ТИПОВЫЕ
ЛИНЕЙНЫЕ .

МОДЕЛИ ,
ОБЪЕКТОВ
УПРАВЛЕНИЯ
ТИПОВЫЕ
ЛИНЕЙНЫЕ
МОДЕЛИ
ОБЪЕКТОВ
УПРАВЛЕНИЯ

Под редакцией

Н. С. Райбмана

МОСКВА

ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1933
ББК 32.965

Т43

УДК 681.5.015

Рецензент Ш. Е. Штейнберг

Типовые линейные модели объектов управления/

Т43 С. А. Анисимов, И. С. Зайцева, Н. С. Райбман,
А. А. Яралов; Под ред. Н. С. Райбмана, — М.:
Энергоатомиздат, 1983. — 264 с., ил.

В пер.: 90 к.

Дано систематизированное изложение разработанных авторами
методов типовой идентификации, на базе которых составлены таб-
лицы типовых моделей объектов управления. Описываемые методы
дают возможность получить с минимальными временными затратами
математическую модель объекта (структуру и параметры) в классе
линейных стационарных моделей.

Для инженерно-технических и научных работников, занимающих-
i я решением задачи идентификации в различных областях управле-
ния: технике, медицине, биологии, экономике, экологии н др.

„ 1502000000-449

Т4 05|(01)-83

195-83

ББК 32.965

6Ф6.5

Сергей Александрович Анисимов, Ирина Семеновна Зайцева,
| Наум Самойлович Райбман], Абел Абелович Яралов

ТИПОВЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

Редактор Р. Е. Кузин

Редактор издательства Л. Д. Никулина

Переплет художника В. Я. Батищева

Художественный редактор А. А. Белоус
Технический редактор Г. С. Соловьева
Корректор 3. Б. Драновская
ИБ № 2757

Сдано в набор 09.02.83	Подписано в печать 01.06.83	Т-12864

Формат 84Х108'/ц Бумага типографская № 3 Гарнитура литературная
Печать высокая Уел; печ. л. 13,86 Усл. кр. сит. 14.07 Уч.-нзд. л. 14,99
Тираж 5Б00 экз.	Заказ 3070 Цкна 00 к.

Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюювая наб., 10

Ордена Октябрьской Революции и орд. пи Трудового Красного Зна-
мени Первая Образцовая типографии имени Л Л. Жданова Союз-
полиграфпрома при Государеim ином комик i СССР по делам изда-
тельств, полиграфии и книжной торговли Микио, М-54, Валовая, 28
ПРЕДИСЛОВИЕ

На современном этапе развития народного хозяйства
одним из основных путей повышения производительности
труда и качества продукции является использование авто-
матического и автоматизированного управления техноло-
гическими процессами. Решение задач управления как в
технических, так и в других областях человеческой дея-
тельности, например в медицине, биологии, физиологии,
сельском хозяйстве и др., тесно связано с вопросами ма-
тематического моделирования, т. е. с построением модели
и изучением на ней закономерности функционирования
объекта. Исследователи часто Проводят большой объем
экспериментов, тратят средства и время в целях получения
динамических характеристик изучаемого процесса или
явления, при этом не всегда представляя себе; каков дол-
жен быть вид получаемых характеристик. Положение
усложняется тем, что измеряемые входные и выходные
сигналы являются случайными и обычно представляют со-
бой смесь полезного сигнала и шума. В этих случаях ис-
пользование детерминированных подходов корреляционной
теории может не привести к цели из-за некорректной по-
становки задачи (см. приложение 1).

Данную книгу следует рассматривать как справочную
книгу, в которой собраны простейшие динамические ха-
рактеристики. Приведенные функции дают наглядное пред-
ставление о том, как меняется форма характеристик даже
при небольших изменениях параметров входных и выход-
ных сигналов. Они разработаны и систематизированы
впервые авторами и могут быть использованы исследова-
телями для решения задач идентификации и определения
динамических характеристик в качестве первого шага при
решении задач управления. Здесь также будут рассмотре-
ны вопросы, связанные с предварительной классификацией
объектов и решением задачи построения модели на базе
этой классификации: восстановление структуры и опреде-
ление коэффициентов относительно простого класса линей-
ных стационарных моделей.
Кроме того, книга может продемонстрировать даже для
узкого класса линейных стационарных объектов исключи-
тельное разнообразие возможных реальных характеристик
объектов.

Общая постановка задачи типовой идентификации и
определение характеристик динамической системы рассмо-
трены в гл. 1. В этой главе вводится понятие метода типо-
вой идентификации, сущность которого заключается в том,
чтобы на базе накопленного опыта и теоретических иссле-
дований по наиболее часто встречающимся характеристи-
кам входных и выходных сигналов выбрать оператор, близ-
кий к истинному значению неизвестного оператора объекта.
Метод построения типовых таблиц подробно рассматри-
вается в гл. 2, где приводится один из аналитических ме-
тодов решения задачи идентификации По таблицам на
основе полученных, оценок корреляционной функции вход-
ной переменной и взаимной корреляционной функции
входной и выходной переменных производится приближен-
ное определение класса операторов, к которому может быть
отнесен данный конкретный объект, т. е. определяется
структура модели, описывающая данный объект. Даны
примеры Построения типовой таблицы и сама таблица для
наиболее часто встречающихся видов корреляционных
функций и взаимных корреляционных функций входной и
выходной переменных.

В гл. 3 рассмотрены вопросы, касающиеся оценки па-
раметров модели при типовой идентификации линейных
объектов. Типовые таблицы, включенные в эту главу, по-
строены с помощью моделирующей установки, на которой
набирается схема решения дифференциального уравнения,
составленного относительно удовлетворяющих ему кор-
реляционных и взаимных корреляционных функций. Изме-
нения коэффициентов дифференциального уравнения,
а следовательно, и импульсных характеристик приводят
к получению различных взаимных корреляционных функ-
ций— элементов типовой таблицы, построенной для
экспоненциальной и экспоненциально-косинусной корреля-
ционной функции входной переменной. (Изложены резуль-
таты, в разработке которых принимал участие В. А. Ме-
няйленко.)

Здесь же приводится методика моделирования, поэтому
использовать предлагаемые методы можно и в тех слу-
чаях, когда входные сигналы отличны от рассмотренных.
В каждой из областей исследований при развитии пред-
лагаемых методов могут быть созданы своп типовые табли-
цы для наиболее часто встречающихся характеристик и
воздействий в данной конкретной области.

Прикладная направленность предлагаемой работы про-
является в характере изложения теоретических вопросов.
Вводятся понятия и описываются проблемы, которые воз-
никают в процессе решения задачи идентификации в ре-
альных условиях, причем большое внимание уделяется ме-
тодической стороне задачи. Авторы считают, что понимание
проблем, возникающих в процессе решения задачи, уже
наполовину способствует ее решению. В этой связи прило-
жение следует рассматривать не как прикладное руковод-
ство по методам и алгоритмам, а как теоретическую часть,
разъясняющую суть поставленной задачи и обосновываю-
щую предлагаемый типовой метод ее решения. Это облег-
чает специалистам в области идентификации пользование
методом типовой идентификации в задачах, характеристики
которых не попадают в класс описанных в книге. Овладев
общим методом, каждый разработчик может расширить
эти таблицы. Разработанные методы решения легко по-
зволяют сделать это, а исследования на некорректность и
постановка задачи в минимаксном (игровом) виде страху-
ют от опасности ухода от реальности в процессе математи-
ческой формализации задачи.

Поскольку таблицы составляются для некоторых типо-
вых входных сигналов и специально варьируемых пара-
метров моделей, данную задачу можно отнести к задачам
планирования эксперимента. В условиях, когда допустим
активный эксперимент, можно планировать случайный
входной сигнал с заданными характеристиками.

Авторы считают своим приятным долгом выразить бла-
годарность рецензенту Ш. Е. Штейнбергу, замечания и
рекомендации которого позволили улучшить книгу.

Авторы
ГЛАВА 1

ЗАДАЧА ТИПОВОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ
ОБЪЕКТОВ

1.1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
МОДЕЛИ

Проблема построения моделей объектов управления
является одной из основных в теории и практике управле-
ния. В первую очередь это связано с ростом сложности
объекта, для которого решение задач управления (выбор
структуры и определение параметров управляющей части
системы управления) осуществляется обычно на основе
предварительного моделирования.

Первым этапом в общем комплексе работ по математи-
ческому моделированию является идентификация изучае-
мого объекта, т. е. построение его математической модели
с учетом ее назначения. Например, построение гносеологи-
ческой модели преследует познавательные цели — установ-
ление объективных законов природы, взаимодействия ча-
стиц, элементов и т. п. Целью построения информационной
модели, описывающей поведение объекта-оригинала, явля-
ется разработка методов управления или непосредственное
использование модели в системе управления.

Во всех случаях моделирование требует знания мате-
матического описания (модели) объекта, т. е. идентифика-
ции последнего. Естественно, что при решении различных
задач для одного и того же сложного объекта управления
могут быть построены разные модели, во многих случаях
и не связанные между собой. Следовательно, подход
к идентификации объекта в большой степени определяется
теми задачами, которые будут решаться на базе получен-
ной математической модели.

Под идентификацией объекта будем понимать построе-
ние математической модели, устанавливающей закономер-
ное л, между выходными и входными переменными объек-
|.т, коюр.тя даст возможность определить с заданной точ-
но* п.ю выходную переменную объекта-оригинала по ее
с>
входным переменным. Основой для создания модели данно-
го объекта служат результаты измерений входных и выход-
ных переменных объекта, и решение задачи идентификации
связано с получением этих экспериментальных (статисти-
ческих) данных в условиях нормального функционирова-
ния объекта, охватывающих весь диапазон изменения
входных сигналов и его состояния. При этом несуществен-
но, какие сигналы (естественные или искусственные) вво-
дятся в объект, важно лишь то, что измерения входных и
выходных сигналов производятся синхронно при нормаль-
ной работе объекта. В первых работах по идентификации
задача была связана с определением коэффициентов задан-
ного уравнения объекта, однако в дальнейшем было уста-
новлено, что для многих типов объектов уравнения связи
между выходными и входными переменными являются
чрезвычайно сложными. Поэтому возникла задача опре-
деления структуры параметров модели объекта управле-
ния по данным вход-выход.

В общем случае построение модели для конкретного
объекта требует по результатам измерений входного и
выходного сигналов отнесения данного объекта к опреде-
ленному классу объектов. При этом будем исходить из
статистической постановки задачи идентификации, считая,
что возмущение (входная переменная) x(t) и реакция (вы-
ходная переменная) y(t) представляют собой случайные
функции или случайные величины.

Если динамические характеристики объекта описыва-
ются оператором А, то при наличии результатов измере-
ний входной и выходной случайных функций (переменных)
задача идентификации сводится к определению некой
оценки А оператора А, например к оценке коэффициентов
в дифференциальном уравнении или к оценке импульсной
характеристики по имеющейся статистике функций x(t)
и y(t). Естественно требовать близости оценки Л к истин-
ному значению оператора А, что равносильно требованию
близости случайной функции на выходе модели

ff(t)=Ax(t)	(1.1)

к случайной функции у (О, являющейся реакцией системы
на входное возмущение x(t).

Для количественной оценки степени близости Л' и А
вводится функция потерь p[i/t, yt], выбор которой зависит
от принятого критерия оптимальности оценки Д' неизвест-
ного оператора А. Сама функция р[у<, У/] не зависит от
типа оператора, а является лишь функцией значений вы-
ходных переменных объекта и модели (1.1) в каждый мо-
мент времени t. При решении задачи идентификации ми-
нимизируется средний риск, т. е. математическое ожидание
функции р:

M{p[t/P yt]}-+ min,	(1.2)

А

и близость оценки А к истинному значению оператора А
определяется по критерию минимума среднего риска. Усло-
вие (1.2) будет выполняться, если искать минимум
М{рПУ(, &]} при заданной реализации случайной функ-
ции x(s)

M{p|z/p yt\xs; t, sET]}-nniii,	(1.3)

A

где T — область наблюдения случайных функций х(/) и
Z/W-

Самым распространенным критерием, по которому опи-
сывается оптимальный оператор, в задачах идентификации
является критерий минимума среднего квадрата ошибки
оценки оператора А. В этом случае за функцию потерь
принимают

р[Уь yt]=(yt—ytY'

Из условия (1.3) вытекает уравнение, определяющее по
критерию минимума среднего квадрата ошибки оптималь-
ную оценку оператора А:

ff(t)=Ax(s)=M{y(t)lx,; t, sgT}. (1.4)

Уравнение (1.4) дает оптимальный оператор объекта
в классе всех возможных операторов по критерию миниму-
ма среднего квадрата ошибки. Этот оптимальный оператор
называется оператором условного математического ожида-
ния или регрессией выходной переменной y(t) относитель-
но входной переменной x(t).

В данной работе мы ограничились рассмотрением клас-
са линейных моделей и, следовательно, оптимальный опера-
тор будем искать в классе линейных операторов. Умножим
обе части уравнения (1.4) на входную случайную функцию

Ах (о) х ($) =М(г/ (/) | xs}x (о)	(1.5)

и найдем математические ожидания обеих частей (1.5)

М{Ах (о)х (s) }=М{М{1/ (/) |х (s)}х (о)},

M{Ax(cr)x(s)}=M{z/(f)x(a)}.

II । >пк<( линейных операторов при самых общих пред-
111|||<|,кг1111ях оператор математического ожидания М ком-
11
мутативен с оператором А, и вследствие этого уравнение
для определения оптимальной оценки оператора А (по
критерию минимума среднего квадрата ошибки) запишет-
ся как

aM{x(o)x(s)}=M{i/(/)x(g)}.	(1.6)

Не ограничивая общности, можно предположить, что
М{х(?)}=0 и М{у(/)}=0, тогда уравнение (1.6) примет
вид.

Агхх(о,	о),	(1.7)

где Гхх(о, s) —корреляционная функция случайного сигна-
ла x(t), a rxy(t, о)—взаимная корреляционная функция
случайных сигналов y(t) и х(1).

Уравнению (1.7) соответствует линейное интегральное
уравнение, в котором свойства оператора описываются им-
пульсной характеристикой g(t, s):

t

гиЛ^ <0 = f s)rxx(s, a) cis,
t-T

(1-8)

где T — интервал времени наблюдения.

Таким образом, для модели линейного объекта опти-
мальная оценка импульсной характеристики по критерию
минимума среднего квадрата ошибки определяется из
уравнения (1.8).

В частном случае, когда случайные функции x(t) и
y(t) являются стационарными и стационарно связанными,
оптимальная оценка оператора определяется из уравнения

г vx (t) —Агхх (Z—т),

импульсная характеристика стационарной линейной систе-
мы из интегрального уравнения Фредгольма первого рода

rVx (О = $g (’) rxx (t - т) dt, -<эо<7<оо	(1.9)

О

или интегрального уравнения Винера — Хопфа

Гух = (*)rxx(t-x.jch, />0,	(1.10)

что непосредственно следует из уравнения (1.8).
1.2.	ТИПОВЫЕ МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Важным классом динамических систем является класс
стационарных систем. Система называется стационарной,
если реакция ее у (t) на любой заданный тип возмущения
х(1) зависит только от интервала времени между данным
моментом времени и моментом начала действия этого воз-
мущения x(t). Если же для системы это условие не выпол-
няется, то система называется нестационарной.

Относительная простота лилейных стационарных систем
позволила довольно полно исследовать этот класс систем.
Заметим, что на основании определения стационарной си-
стемы импульсная характеристика стационарной линейной
системы будет зависеть только от интервала времени меж-
ду данным моментом t и моментом действия импульса о.
Уравнение для стационарной системы, описывающее реак-
цию физически возможной линейной системы на любое
возмущение, имеет вид:

t

y(t)= jg(* —	(1.11)

— ОО

Предполагается общий случай, когда входные возмущения
действуют на систему неограниченно долго. Если же воз-
мущение начинает действовать в момент /0, то при о<Ио
получим х(о)=0.

Заменив переменную x=t—о в (1.11), имеем

СО

У (t) = j g W X {t - X) dt.

0

Определим характеристику реакции физически возмож-
ной стационарной линейной системы на показательные воз-
мущения. Подставляя в правую часть уравнения (1.11) вы-
ражение импульсной характеристики стационарной линей-
ной системы и произведя замену переменных x—t—а,
получаем

2 (Р) = [ g (’) е~Р' dz-	О-12)

о

Легко заметить, что правая часть уравнения (1.12) не
зависит от времени и, следовательно, частотная характе-
ристика реакции стационарной линейной системы на вход-
ное воздействие в виде показательной функции представ-
ляет собой функцию только параметра р показательной
ю
функции. Эта функция называется передаточной функцией
системы и обозначается как

G(p) = ]g^e-p'd..	(1.13)

4 б

Передаточные функции особенно удобны для исследо-
вания стационарных линейных систем, так как показа-
тельные функции являются инвариантными функциями для
всех стационарных линейных систем

Известно [1], что любая система, поведение которой
описывается линейным дифференциальным уравнением
с постоянными коэффициентами

п	ГП

”.14)

1=0	/=0

является	стационарной	линейной	системой.	Передаточная

функция	такой	системы	представляет	собой	дробно-рацио-

нальную функцию параметра р

С(р) = (Ьтрт+ ... +bip+b0) 1(апрп+ ...

... +aip+flo), ri^m.	(1.15)

Поскольку передаточная функция линейной стационарной
системы 6(р) представляет собой преобразование Лапла-
са ее импульсной характеристики g(t), то для определения
G(p) по g(r) и наоборот можно пользоваться таблицами
формул операционного исчисления.

С практической точки зрения большой интерес пред-
ставляют устойчивые системы. Линейная система является
устойчивой, если ее выходная переменная остается ограни-
ченной при любых ограниченных по абсолютному значению
входных возмущениях. В общем, необходимое и достаточ-
ное условие устойчивости физически возможной линейной
системы имеет вид:

lira t)|o!t<c,

f-»0O •'

fo

где с — константа.

Формула (1.15) формально определяет передаточную
функцию стационарной линейной системы, поведение кото-
рой описывается дифференциальным уравнением (1.14)
при нулевых начальных условиях. Как известно [2], для
устойчивости такой системы необходимо и достаточно, что-

11
бы корни % характеристического уравнения

•	апрп + .. , + aip + ao=O

имели отрицательные действительные части.

Задачи исследования устойчивости решаются по извест-
ным коэффициентам характеристического уравнения на ос-
нове критериев устойчивости [1]. Разработано большое
число алгоритмов для ЭВМ, позволяющих автоматизиро-
вать исследование устойчивости.

1.3. ЗАДАЧА ТИПОВОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ
СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ

Решению прикладных задач при математическом опи-
сании технических, биологических, медицинских экологи-
ческих и других систем обычно отводится ограниченное
время па проведение научных исследований, поэтому необ-
ходимо максимально использовать уже разработанные
средства, дедая минимальные доработки для конкретной
прикладной задачи. Это обусловливает спрос на типовые
средства, охватывающие достаточно широкий круг реаль-
ных задач и обеспечивающие простую настройку на кон-
кретные условия.

Уравнение (1.9) универсально для линейных стационар-
ных динамических объектов и’ охватывает широкий круг
задач идентификации. Однако его применение сопряжено
с рядом математических и технических трудностей.

Для его численного решения необходимо использовать
ЭВМ, при этом иногда операция по подготовке входных
данных является трудоемкой. Кроме того, могут получить-
ся результаты, которые нельзя использовать из-за их не-
точности и недостоверности, что вытекает из-за математи-
ческой некорректности постановки задачи идентификации
при использовании уравнения (1.9). Этот вопрос подробно
рассмотрен в приложениях. Отметим, что так как в реаль-,
пых условиях для решения используются приближенные
данные, т. е. в уравнение (1.9) подставляются опенки
гхх.(/) и ryx(f) корреляционных функций, то некорректность
может проявиться в отсутствии решения £f(r) или в зна-
чительном расхождении между оценкой ^(т) и истинной
характеристикой объекта g(x). Причем эти факты являют-
ся принципиально неустранимыми до тех пор, пока не бу-
дет использоваться дополнительная информация для реше-
ния задачи идентификации.

Таким образом, возникает необходимость неформально-
го подхода к решению задачи идентификации с использо-
ванием априорной информации, имеющейся у исследовате-
12
ля. Часто априорная информация носит качественный ха-
рактер, что затрудняет ее включение в процесс численного
решения уравнения (1.9), который и без того достаточно
сложен. В настоящей книге для решения задачи идентифи-
кации при использовании уравнения (1.9) производится
классификация априорной информации, встречающейся на
практике. Классы определяются качественным поведением
корреляционных функций rxx(t) и ryx(t).

Для каждого из рассмотренных классов далее построе-
ны аналитически соответствующие классы характеристик
линейных стационарных динамических моделей. Кроме то-
го, в пределах каждого класса для различных численных
значений параметров смоделированы корреляционные
функцииjxx(0 и ryx(t) и соответствующие импульсные ха-
рактеристики g’(t).

Задача типовой идентификации состоит в том, что ис-
следователь должен априорно отнести корреляционные
функции rxx(t) и гух(0 к некоторым из рассмотренных
классов, затем в этих классах аппроксимировать функции
rxx(t) и ryx(t), получить их оценки гхх(0 и ryx(t) и, нако-
нец, определить соответствующую характеристику g(x).
Соответствие устанавливается с помощью типовых таблиц,
приведенных в книге. При этом необходимо обратить вни-
мание на получение данных, обеспечивающих корректность
решения, как это описано в приложении.

Таблицы, приведенные в книге, допускают дальнейшее
расширение их по мере накопления сведений о других клас-
сах корреляционных функций при решении конкретных
прикладных задач.

ГЛАВА 2

ПОСТРОЕНИЕ ТИПОВЫХ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ

ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

2.1. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ТИПОВЫХ МОДЕЛЕЙ В КЛАССЕ
СТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

При рассмотрении общей постановки задачи идентифи-
кации было показано, что для определения оптимального
оператора одномерного линейного динамического объекта
по критерию минимума среднего квадрата ошибки необ-
ходимо знать корреляционную функцию входной перемен-
ной и взаимную корреляционную функцию входной и вы-
ходной переменных. Обычно априори при построении мате-
матической модели того или иного объекта управления
корреляционные и взаимные корреляционные функции
входных и выходных переменных объекта неизвестны и их
оценки получают по данным, снятым с объекта в реаль-
ных условиях его функционирования.

Здесь исходим из того, что необходимые характери-
стики входных и выходных переменных получены (син-
хронная запись реализаций входных и выходных перемен-
ных статистически обработана и получены оценки корре-
ляционной функции входа rxx(t) и взаимной корреляцион-
ной функции входа и выхода ryx(t)), и математическая
модель объекта строится по этим характеристикам. Полу-
ченные оценки rxx(t) и fyx(t) аппроксимируются соответ-
ствующими функциями rxx(t) и ryx(t), и по ним аналитиче-
ски определяется импульсная характеристика объекта,
а затем и другие характеристики. В этом случае на пер-
вом этапе решение задачи идентификации сводится к за-
даче аппроксимации корреляционных функций, определен-
ных по результатам измерения x(t) и y(t).

Другой (не аналитический) путь определения импульс-
ной характеристики заключается в численном решении
уравнения Винера — Хопфа, когда по оценкам rxx(t) и
ryx(t) получают оценки ординат импульсной характеристи-
ки £(т) и представляют уравнение (1 10) системой линей-
ных алгебраических уравнений. Этот метод широко иссле-
дован, имеются программы расчета па ЭВМ, однако в прак-
тическом применении необходима известная осторожность,
так как при малых погрешностях в оценках корреляцион-
ных функций возможны большие отклонения в решении за-
дачи идентификации.

И, наконец, метод типовой идентификации. Сущность
этого метода заключается в том, чтобы на базе накоплен-
ного опыта и теоретических исследований по наиболее ча-
сто встречающимся характеристикам входных и выходных
сигналов выбрать оператор, близкий к истинному значению
неизвестного оператора объекта. Таким образом, речь идет
о том, чтобы максимально использовать опыт теоретиче-
ских и экспериментальных исследований и на его базе
составить классификацию объектов управления, по кото-
рой можно было бы приближенно оценить структуру и па-
раметры реального объекта. Практическая ценность такой
।ипшацни очевидна. Наличие таблиц типовой идентифика-
ции дает возможность значительно уменьшить затраты
ир< mi пи nt обходимые для решения интегрального уравне-
ния и и шх определения характеристик многочисленных
Hiiioa ofii'kioii, и, кроме того, в дальнейшем сможет слу-
11
Жить основой для полной автоматизации процесса иденти-
фикации. Например, для случая одномерного стационарно-
го линейного объекта процедура использования результа-
тов типовой идентификации выглядит следующим образом:
по реализациям входной и выходной переменных, по-
лученным в реальных условиях функционирования объек-
та, определяют оценки функций rxx(t) и гих(/); п0 виду
этих функций производят приближенное определение клас-
са оператора, к которому может быть отнесен данный
конкретный объект, т. е. определяют структуру модели,
описывающую данный объект; затем по виду полученных
функций rxx(t) и ryx(t) определяют тип данного объекта
и параметры модели.

Методы построения типовых таблиц не играют принци-
пиальной роли в типовой идентификации. Они могут быть
составлены и с помощью рассмотренных выше методов, и
при помощи моделирования на аналоговых машинах, а
также любыми аналитическими методами. Остановимся
на одном из аналитических методов подробнее.

При определении импульсной характеристики путем ре-
шения интегрального уравнения (1.9) применим способ
разбиения корреляционных функций rxx(t) и ryx(t), пред-
ставив корреляционную функцию входа в виде

/•+(/) при
r~At) при

(2-1)

и взаимную корреляционную функцию входа и
в виде

I (0 ПРИ t 0;

^(0 = ух

при t<Q.

выхода

(2.2)

Предположим теперь, что корреляционная функция вхо-
да rxx(t) и взаимная корреляционная функция ryx(t,) при
отрицательном значении аргумента t представляют собой
аналитические функции и допускают продолжение на по-
ложительную полуось. В силу симметричности корреляци-
онной функции

Г*"и(^)=Г'XX (-0,

однако в связи с принятым предположением, например,
когда в rxx(t) явно входит модуль t, возможно

r+xx(t)^r-xx(t) при />0.
Для t^.0 уравнение (1.9) примет вид:

=	^)r~(t-^)dz.	(2.3)

о

Уравнение (2.3) имеет место для всех t в силу единст-
венности аналитического продолжения (если оно существу-
ет) функций r~yx(t) и r~xx(t).

Уравнение (1.9) для ^0 с учетом разбиения корреля-
ционной функции (2.1) и взаимной корреляционной функ-
ции (2.2) запишем следующим образом:

ГуХ (t)=\g (t) Г* (/ - г) rfx 4- f g (г) Г (t - т) (it.
о	о

Последнее уравнение представим в виде

(0 = J W (/ - г) dt 4- J (г) Г (/ - г) г -
о .	о.

—jg w Г~ХУ-
о

и, учитывая (2.3), получаем

- *)-<a-x)]dt, f>o. (2.4)
о

Уравнения (2.3) и (2.4) эквивалентны (1.9). Если для
рассматриваемых функций существует преобразование
Лапласа, то решение уравнения (2.4) всегда существует
и единственно. Из (2.4) следует, что передаточная функ-
ция объекта

G (р) = (R+yX (р)—R~yx (р)) / (Д+хх (р) R хх (р)), (2.5)
где большими буквами обозначены преобразования Лап-
ласа от функций, обозначенных соответствующими малы-
ми буквами.

Метод разбиения корреляционных функций используем
также для решения интегрального уравнения (1.10), кото-
рое с учетом изложенного может быть представлено в
виде

^х(0-^(0=	(f-T)-r-(f-x)]dt, f>0;	(2.6)

о

(2.7)
о
Таким образом, уравнение (1.10) эквивалентно уравнениям
(2.6) и (2.7).

Рассмотрим решение этого уравнения для довольно об-
щего случая, когда корреляционная функция входа
rXx(t—т) может быть представлена в виде конечных сумм
произведений неслучайных функций каждой из перемен-
ных t и т [3]. Тогда с учетом принятого разбиения корре-
ляционной функции (2.1) будем иметь

г хх	=

п
rtx^~^ = ^	ПРИ

/=1
п

Гхх^~^=='21 Vl^UM ПРИ
<=1

(2-8)

Уравнение (2.7) с учетом (2.8) может быть представлено
в виде

^(0 = 2 c‘v‘ W’
z=i

(2.9)

где

ОО

сг = Jg (т) и, (т)di = const, z=l..... п. (2.10)

о

Следовательно, уравнение (2.6), если учитывать (2.9),
может быть записано следующим образом:

п	t

гуХ^-^ cA(o=fgw^a-^)- r-(/-t)]rfz,
Ь=1	о

(2.Н)

где коэффициенты с, определяются из уравнения (2.10).

Применение преобразования Лапласа к обеим частям
уравнения (2.11) дает следующее уравнение передаточной
функции объекта:

(п	\ I

Rtx - 3 C'V‘	- R~XX ^))-

/=1	л

Разложение передаточной функции на простые дроби и
приравнивание нулю дробей, соответствующих неустойчи-
вым элементам, дают уравнения для определения коэффи-
циентов С(.

2—3070	17
й некоторых практических случаях (в частности, для
исследования точности [3]) необходимо иметь корреля-
ционную функцию выхода ryy(t), которую можно найти
из соотношения

ОО

ГууУ) = J g (т) ryx (t-t)dt.
о

Причем в силу четности ryy(t) достаточно определить
только

(0 = J
о

Очевидно, что определение структуры и коэффициентов
модели корреляционной функции входа rxx(t) и взаимной
корреляционной функции выхода и входа ryx(t) является
приближенным. Повышение точности может быть достиг-
нуто за счет учета вида корреляционной функции выхода
т- е- в этом случае типовая идентификация осу-
ществляется по оценкам rxx(t), rvx(t) и fyy(t), полученным
по реализации в условиях функционирования объекта.

В случае линейной системы с п входами xi(t) и одним
выходом y(t), когда

П ОО

ио=2

i=1 О

получают систему интегральных уравнений для определе-
ния импульсных характеристик gi(r);

п ОО г^ю=2 1=1 0	г (t-^dx, k=\, .... п. (2.12) xi k
Пусть	(0 при />0;
Г«Л® =	\Г~Х^ при/<0;
г«-4®='	при ^>0;  r~(t) ПРИ /<0- uk
Тогда для из (2.12) имеем

П 00

r7xAW = S J £>'W к -’Ж k= 1>-- п <2-13)
/=1 о

и для

п Г t

>kw=s

/=i Lo

ОО	"1 п t t

+ f Si Ы rx.Xk it-z)dx = {J Si (x)	к -x) -

6	J 1 = 1 lo

’) rfx+ Jgf (T)\.xftk-X)dx

0

или с учетом (2.13) и аналогично приведенному выше

и - ©=з 5

i=l о

(2.14)

Справа в (2.14) стоит сумма сверток. Применяя преоб-
разование Лапласа, получаем

С»-Л?)=2 й<wiRL.w<215)
1=1

Система '(2.15) имеет единственное решение, когда опре-
делитель ее отличен от нуля. Пусть, например,

r^Xk(t) = r-x^t) при i^=k
и

i=i......»

где r~х (t) и г~х (/) аналитически продолжены на всю чис-
ловую ось.

Тогда

"ри

1=1.....«•

2*	19
и система (2.14) распадается на п уравнений, из которых
сразу находится 6,(р):

w=(«;«, и - л,-., «жу., w - (р».

z = 1, .... п.

Если система имеет п входов и т выходов, так что

У/(0=3 j—	/=1...... т,

1=1 о

то для нахождения £я(т), /=1, ..., т\ /=1, ..., п надо
решить отдельно т систем уравнений типа

П ОО

= 2 f	(t-г)dz, k=\...... m.

i=\ о

Это можно сделать, применив, например, вышеизло-
женную процедуру.

2.2. ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЙ ХАРАКТЕРИСТИК ОБЪЕКТОЕ
УПРАВЛЕНИЯ

Для иллюстрации метода ограничимся исследованием
характеристик объектов при заданных rxx(t) и ryx(t).

1.	Пусть

гхх(1) = Ае~а'\ Д>0, а>0,	(2.16)

т.	е.

г+ (/) = Ае ~at и г" (0 = Aeat ;

f (B+£,sinY0^““f при ^0;

[ Be * при /<0,

r^0 = (5 + £sinY0e-t'/ и r~(t)=Beat.

Так как

(здесь и дальше знак со ставится между оригиналом и
соответствующим ему изображением), то по (2.5) получим

G(p)=-

1 у
2М 24

рг (Df 4- 2<хВ) — 4рагВ —	4- 2<х’В 4- 2аугВ)

(д4-“)24-т2

(2-17)
или после разложения на простые дроби

г IЛ1 2аВ — Dy Оу

G^ =-----W----- +-2й

V 'од /? + а ,
X .(p+n)5 + v +

75_______

(р + °)2 + №

(2.18)

Из (2.17) найдем дифференциальное уравнение объек-
та второго порядка (при нулевых начальных условиях)

V + 2» + (»’+п У = - -от И + 2”В) V



(£)уа2-|- 2а3В-|“2ау’В)х

Из уравнения (2.18) определим импульсную характе-
ристику.

Так как

то

6 (т) <-v 1, co^wleat^

р — ?

(р — а)24-ш2 ’

£(т)

2аВ — Dy

2й

8(г) +

h-^r[2acos ут _|_ у sin ут] е " , т>0.

В частном случае, когда D или у равны нулю, т. е.
г,М = Ве~'т.
имеем уравнение статического усилителя

G(p)=B/4, g (т) = (В/Л)6(т), y(f) = (BM)x(Z).

2.	Пусть rxx(tt) имеет вид уравнения (2.16), а

Ce~?t при />0;

Beat при /<0.

В этом случае г+(^) = Се_?? и г ~x(t) = Beat, аг^(/)при
С^В имеет в нуле разрыв.

Тогда по (2.5) получим передаточную функцию вида

р / П1 — Р2 — С) 4- р (а + (!) В + а (Са -|- В$)

и	~'	2чА (р + р)

ИЛИ

G(^=n^p(g-C) + («B + PQ+ С(р+^}

(2-19)

(2.20)
Дифференциальное уравнение, соответствующее пере-
даточной функции (2.19), имеет вид:

^-+₽«=-ет[<в-с)®-+

4-В (« + Р)	+® (Са-|-Вр)Л'1

Из уравнения (2.20) найдем импульсную характери
стику.

Так как б'(т) сор, то

g(z)

в-с
2аЛ

8' (г)

аВ + PC
2<хЛ

2?Л	6

При С=В, т. е. непрерывной ryx(t),

гМ=4^ф-18«+<а-»«"”1;

при р= а

^(’) = ^-[(В-С)8' Н + «(В-С)8(т)]

и

y(t)

ЪГ* (0+^(0-

3.	Пусть известно решение уравнения (1.9) для задан-
ных rxx(t) и ryx(i). Если ввести в рассмотрение запазды-
вание <p=const>0 и вместо функций ryx(t) подставить
функции fyx(t) =ryx(t—<р), оставив без изменения rxx(t),
то, учитывая, что по теореме запаздывания f(t — ?) ^
^vF(p)e_/’<₽, из формулы (2.5) получаем

(Р)	(Р)

= ^ИР)—(Р)  e-PV = G е- w
Рх+х(Р)-^(Р)

Отсюда g (т) =g (т—(р).

1 В качестве следующего примера рассмотрим опре-
ш к нис динамических характеристик объекта, схематиче-
<141 и 11>б|>а>кеп11(>го па рис. 2.1,а. Аналитическое уравне-
iiiii in HI < in н мы получить трудно, а измерению доступны
?а
значения x(t) и y(t), которые рассматриваются как вход-
ная и выходная переменная объекта. В упрощенном виде
приведенная система дана на рис. 2.1,6, где F (ср)—изме-
ритель координаты с неизвестной априори нелинейной
характеристикой. Здесь ограничимся рассмотрением про-
стейшей линейной модели, т. е. нахождением оператора
объекта в классе линейных операторов.

Приближенное аналитическое уравнение для корреля-
ционной функции входа x(t) имеет вид;

rxx(0=e-’^cos^L.

На рис. 2.2 показана эмпирическая (/) нормированная
корреляционная функция входа и соответствующая ей тео-
ретическая (2), построенная по уравнению Rxx(t) =
=rxx(t) /их, где ох — среднеквадратическое отклонение
x(t). Из рисунка можно сделать заключение об удовлет-
ворительном соответствии между опытными и аналитиче-
скими кривыми.

Приближенное уравнение для взаимной корреляцион-
ной функции выхода и входа запишется как

0,74-10-’e-°-w’^cos^6+ 1,376 sin

0,74-10-er’-”8' (cos 1.376 sin^j, /<0.

Соответствующая эмпирическая (/) и теоретическая
(2) нормированные взаимные корреляционные функции
показаны на рис. 2.3.
0,74-10-se-’•’os’/ (cos l,376sm^ =
\	LILI	^SLIV J

0

откуда импульсная характеристика

g (С) = 8,5 1.0-3 [0,748 (г)4-О.7е-0'01761 -

10 “со  (),5г с~0,0К(5т — 1,3sinO,O5te~o,u(B6T
Графически.. импульсная
характеристика для рассма-
триваемого случая представ-
лена на рис. 2.4 (6-функция
при этом не изображена).

Применяя преобразование
Лапласа, получаем следующее
уравнение передаточной функ-
ции:

ОИ = 8.5.10-'^±^Х

(р + 0,008)2 4-0,0026

* (р + 0,0056)2 + 0,0026 •

Графически она изображена на рис. 2.5.

Дифференциальное уравнение рассматриваемого объ-
екта будет иметь следующий вчд:

-g-+ 0,0288	+ 0,0028-g-+ 4 • 10-’у =

= 8,5-10-’ (0,74-^4-0,0518-^ +

4-О,О026-^-4-О,ООО1А

Результаты исследований характеристик объектов для
наиболее часто встречающихся функций гях(0 и rvx(t)
приведены в типовых табл. 2.1а—2.1г.
Корреляционная функция входа rxx(t)=Ae Л>0, а > 0 (рис. 2.1.1)

Виталия корреляционная функ- ция выхода и входа	Импульсная 1 тгчеристкха системы	Условия су- ществования решения н условия устойчивости	Передаточная функция системы (при условиях существования решения)	
1	9	3	4	
Гух (0 =  (Ве~^, / > 0, g > 0;  Z<0  (рис. 2,1.2)	В а -г 3 gW- А 2« РО) +  + («- 3) ё~	Л>0;  а,  — со<В <  <4-оо	г. , В а+зр + а G(p)— А 2а рЧ-З	
Гух (0 =  2 В^е-^, Z>0, ?>0; =' *=о  Baeat, t<0  (рис. 2.1.3)	gb) — 2аЛ I<“ + WSo — Sil 5 (г)~  ,	n+l  k=\  -2^Sfe4-fe(fe+l)B4+1]?-1	.. V . « о	X	8	:-  Л	Л	V	+	-  8	°	V	||  1	<£	G^- 2аЛ ^3[S«(“ + 3) п  (р—а)3k 1	  Й=1	9  >
			(Р + 3)"  G^ = ’2^4’ [2аВ«~ п  (р—a)S fe! вир+аР‘*  fe=i	
			(Р + »)" а = 3	

Продолжение табл. 2.1а

Дифференциальное уравнение системы	Корреляционная функция выхода
5	6
rfu	В а 4- В	,  dt+M— А 2а [dt +“xj'  в  У=~А^’ “=В	r (t}_  Гуу V) — 4а3л  (рис. 2.1.1)
л-Н	.	" + 1	ь  А=0	й=3  П	п	.  VI	A A dku 1	V4	dkx  k~0	fc=0  где Fk—коэффициенты при pk в числителе G (р)	^(0= ет i(“+3)So-bj£i^4-yjDk^)k B0(k k=Q	k—1	L  n	^4*1	“ A  p".  m=l	i=l  где	Dk=2$kBk+(a*-f)Bk-1-klk+V)Bk+1  '»<') - SjM	+ (I. _ s.) s<s, + [4(. + e) в. +  4- (23SO 4- Bt) (a2 — 32)] (So 4- Bt | Z |)j> e~9 |л при n = 1  (рис. 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6)
1		1	2	1 3	1	4
ryx if) —		1  а /т\ — .—	 гр Л /т\ _1_	Л>0; а, М>0;  — оо< В, С< 4-оо	G(n} 1 /КД + 3)В-7С] Р2,
		+ (Pj cos ft + P2 sin ft) e~?T], Л> = (“4-р)В; P, = (a2-p24- + Y2) В + 2?уС;  P2 = («2-32 + y2)C-2$yS		G }	2^А ) (р-b 3)24-Y2 +  , Д(^ + 3)s +Y2] Вр  1	(P4-3)24-y2 +  , [(“P4-P2-H2)B4-«yCI 1
=	vDcosyr + c sinV)e  <3*0; р, f>0 Bext,			
(рис. 2.1.7)				
				\	1	(p4-3)24-y2	(  Л
(РИ	гух (0 —  (В + С sin yO , t > =а0; р, Y>0;  . Beat, t < 0  :. 2.1.7)	=	W + P.+  + P2 cos ут + P3 sin ft) e~, где  Л> = (а4-з)в—уС;  P1=(a2_?2)B;  Рг = 2^С‘,  Л = (“г-?г + 7г)С	Л>0; а, р, т >о; — оо< В, С< 4-оо	g<^ = ^a*  У| ^р*  *=о  (р + 3) Кр4-?)24-т2]’  где  Л> = “ (“ 4- ?) (З2 4- Y2) В 4- агзуС;  Л = (? 4- 3) (324-2«р 4- -г2) В 4- а‘уС;  Р2 = (“ 4- ?) (« 4- ЭД в — ЗуС;  F3 = аВ 4- зВ — уС

Продолжение табл. 2.1а

d2t/	dy	1 f  w + Ц dt+^ + ^У- 2*A {[(“ + « S.  dXr  -7C]rfp4-B[(» + 3)24-Y2l 2Г+  4-»[(“? 4- Зг 4- №) В 4- ауС] x |	^(0— 2аЛ (/C>cos7i 4-Кг81ПТр|)<? ?l#l, где  к _яр , Д23= 4~ Y2) В + pyC] P, , [g-fB + y2C] Рг Д.-аРо-Ь	43 (32 4-Y2)	1 W4-Y2)	’  „ _rp , [(232 4- y2) C ~ 37^] Pi , (3-fC~ГВ) P2  Лг-С^о+	4p(p24-Y2)	+ W4-f2)  (рис. 2.1.8, 2.1.9)
d3u	d3u	du  d^ + 33^ + (3? + Y2) 7Г +ИЗ2+ №)!/ =  	!_ VFb —  - 2aA	d k  й=0  to  CO	ryy(t)— ZxA 4- Кг cos y# 4- K3 sin y 111) <? 3RI> где  к _ RP , bp, W + y^3 .  Л1 — °^о-г 23 -г 4?24-y2  _	4- Y2CP3 , tCPj .  4(₽2 + y2)p I432 4-y2’  к -ГР m. ^CP' ,(2r + ^CPj + ^CP3 A  Дз — ь/'о T 4p 4- Y2 '	4? (P2 4- Y2)  (рис. 2.1.8, 2.1.9)
Корреляционная функция входа rxx(t) = Ае a|**cosco7; А > 0; а, со>0 (рис. 2.1.9)

Взанъ 1 орреляцвонная функ- ция	и выхода	Импульсная характеристика системы 1	Условия существования решения и условия устойчи- вости	Передаточная функция систе- мы (при условиях существо- вания решения)
1	2	3	4
Гух (/) =  (В cos + D sin yO e~9*. t 3s 0, J, у >0;  (B cos cot + C sin co/) eat> f<0  (рис. 2.1.8, 2.1.9)		Л > 0; а, 5, y, со > 0; (а + Ka2 + со2) С +  , ш (32+y2—“2—со2) В-	1
	g (т) — 'ъаД И о3 (0 +  +	+(P2cosyt +  + Р3 sin ft)  где  Д» = (а + 3) В + шС — (D;  Р,=  2 (а— Ка2+ ей2) [(а2 4~со2) Р0+Р4].		° (р> 2аЛ Л  (р4-а)2 + <02 х (p+gr+r* х
		+а2 + Р2 + со2 + Y2 +	
		+ 2? V а2 + СО2  _ 2уыД У + со2 _ а2+?2 + (о2+тг + + 25 /а2 + СО2  = 0	'Р Ka2 4-со2 р +	“2 + со* ’  где  F, = (а + 5) В + + соС — -\D', ^ = (“ + S2 + »? + + fco2 + aY2) s + (“’ + + <o2)yZ)-(P2 + y2)«oC
	(J —Ka2 +co2)2 + y2  Д2 = (?2 + №— а2—со2) В+23<оС +  + 2«YB+2(a-3) Ра — Р,;  1 г З2 + №	„  Д.1	¥ V 2 1 2 Д> 5^*8  Y [ V а2 4- Ш2  -(?2-Н!)Д.-Д*; р<= W2 + 4-“23 + 3“2 + “Y2) В + y (а2 + to2) D— -co([J2 + y2)Q		

Продолжение табл. 2.16

Дифференциальное уравнение системы	Корреляционная функция выхода
5	6
d-3U	yr	 d2u  + (2? + V a2+ co2) + (52 + y2+  + 23/a2-Leo2) ^-+(32-|-Y2) ^4-^ =  1 Г d3x f „	Рг \d2x  2aA [Г* dt3 1 (‘аГ* Ka2 4- co2/ dt3+ 7	2a P, \ dx  — Ka2 4- co2F2X j	Гуу^)— 2а.А (^iCosV + KjSihyIZ |)с? 9|/|.  _ on [(5 4-Га2 4-со2) B4-YgIP. 4  1	°+	(5 4-Уа24-со2)24-Т2  , [2B2B + Y(Yfl+P£»l/% + Y(^ + YD) Л. .  +		4? (З2 4- Y2)  ^_ПР	+ Ка2 + иг)Д - YgI р1 4-  2	°+	(5-|-/а24-со2)24- Y2  [23=Р 4- Y (YP- ЗВ)] Р2+ Y (РД - YB) Р3.  +	43 (з2 4- у2)  Д<>> Р^ Да. Рз (см. в столбце 3)  (рис. 2.1.8, 2.1.9)
1	2	3	1
Частные случаи: 1) a = 3, = <0 (рис. 2.1.9)	£ (x) =	(po3 (x) +  + P1«-Val-“*X), где P„ = 2aB -f- <oC — col);  P, = 2aco (C 4- D)	A > 0; a, <0 > 0;  — 00 < В < + co;  a (C + D) +  + /a2 4- or (C— D) = 0	G - 2аЛ X  ^iP + ^“2 + rfFz p + Ka2 4- co2  где  Fi =2aB + <o(C — D);  F2 = 2aB — co (C — D)
2) D = С, у = <0 (рис. 2.1.8, 2.1.9)	g^ = ^lPoS^ +  + P3e~_j_ (p2 cos сот + + P3 sin сот) ё~3х],  где  Po = B;  p = 	23<O2 (a — 5)	  * а2 + 32 + 2<o2 — 23 Ka2 + 402 ’  P2 = (a — 3) Б + 2<oC— PjJ  рз = -5- [(“-?) (3s + “Q-  <o2P, I  3 2 Ka2 + CO-J	A > 0; a, 3, <0 >• 0;  (a — 3) coB = [(a 4-  + 5) (° + ^r“2 + “2) + + 2<o*J C	a 4- 8  G^~ 2«Л ><  FiP + Fg p + Ka2 + co2  (p+a)2 + <J2  X (P + 5)2+“2 ’  где  F, = B f2 = (аЗЧ-co2) B-|~(°cco—3)<oC  У a2 4- co2

020i

Продолжение табл. 2.16

^HO = ‘>^(/<'iCos<o2 + /(2sin<o|2|) е “lf|,
к	_.Пх r , 2““(С + в)И“+^+й2)В4-и£>] .

К1 = (2аВ+<оС-соР)В + ----,

К2 = (2аВ + оС-col)) D + 2^(C + 2))[(a + lg+^)2)-<oB]

’	(а+ И а2+<о2)2+<о2

(рис. 2.1.8, 2.1.9)

d3y	,______d2u ,r------------

W + (25 + V«2+ co2) +(23|/а2+<о2 +
U

+ 52+<o2)^-+ (з2 + <о2)Кт+ p-=

а + 3 Г d3x	rf2x

[S dP + (2“S+ dT + (2“f 2 +

dx,	1

+ co2B) + (a2 4- <02) F2x

ryy =	(^i cos co2 + K2 since | 2 |) <? 3 ln,

к- R2 _i_ КЗ + 1A2 + “2) B + <oC] P, ,
(32 + V »2 + <o)2+ co2

[(232 + co2) В + 3<oC] P2 + co (ЗВ + coC) P3

I"	43 (?2 + co2)

K2 = BC +

[(3 + Ka2 + co2) C — coB] P, j
(32 + a2 + <o2)2+ co2

[(232 4- <o2) С — <овВ] P2 + co (ВС — coB) P,
43 (32 + CO2)

(рис. 2.1.8, 2.1.9)
1	2	3	4
3) Y = 0, С = 0 (рис. 2.1.10)	a JW) +  + 2(а-?)(1-Вх)^]	А >0; а, В, а»> 0;  — оо << В <; + оо;  р = Каг + шг	В & —8 С(р)-л Xх  (/>+“)* +и2 х	(р+р)’

Продолжение табл. 2.16

5			в		
d2y  dp + 2?	^С,о2 В “+g dt "* •‘У А 2а  dx	\  + 2аОГ + ^х)	(d2x	(рис. 2.1.1)	гуу (0 _	в2 (» + 3)2 -3HI " А 2аВ е

Таблица 2.1 в

Корреляционная функция входа rxx(t)=(AAt 111)	; | Л21< аЛ; Л>0; а>0(рис. 2.1.4 —2.1.6)

Взаимная корреляционная функ- ция выхода и входа	Импульсная характеристика системы	Условия существования решения и условия устой- чивости	Передаточная функция системы (при условиях существования решения)
1	2	3	4
Гух (0 =	Л, = — аЛ	Л>0; а>0;	g(p)=4"x

tj	Продолжение табл. 2.1s				
1	2	3	4	
|(В + Вг/)е-а*, />0; ==l(B + B10eai,  (рис. 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6)	g Ф ~ 4а А <Р»8 (х) + Pi + Р2Х)>  Р0=2аВ+В1-В2;  Р, = 2а (В, + В2);  Р2=а2(В,— Вг- 2аВ);  при Вг = — В2 = 2аВ  В  g (*) = ~а 8 W	— оо<В, В,, В2< + оо; только для устойчивости: В,= — В2=2аВ	Грг (В, — В2 + 2аВ) рг(аЛ — Л,) —  L — а2(аЛ + Л,)  2а (В. + В2) р +  , +аг (В,—Bi—2аВ)	+-
			+ р2 (аЛ — ЛО +  + аг(аЛ + Л!) -	

Продолжение табл. 2.1 в

Дифференциальное уравнение системы	Корреляционная функция выхода
5	6
d2u	d2x  4аА аГ2 =	- В2 + 2aS> dp+  + 2a (В2 -j- B2) - Ц- a2 (В, В 2 2aB) X.  При Bt = — B2 = 2aB  В  У = -Ах w	Ai = — аЛ;  ^(0=^(1 — a If 1) *“eKI  (рис. 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6)
1	I	3	4
	1АК»Л;  g(x) = P08 (г) + Р1в-Х’ + Р2Л,  1/«Л + Л,.'  где Л-а у аЛ_д>  _ В, —В2Д-2аВ  2 (аЛ — Л,) ’  	 я (В, + В2)  —2(аЛ —Л,) “	Л >0; а >0;  Д<0;  -оо СВ, В„ В2<  < + °°;  только для устойчивости: в2 =  B.Va^—A^ ।	
	_ »2 [(В, — В2) Л + 2ВЛ,] 2 (аЛ — Л,) Vа2Л2 — Л2! ’  а(В, + В2)  2 2(аЛ — Л,) '  я2 [(В, - В2) Л + 2ВЛ,] 2(аЛ —Л,>Ка2Л2 —Л2,	аЛ —/а2Л2=Л2]  Я Л В] + 2аВЛ, +аЛ — У»2^2 — Л2,	

Продолжение табл. 2,1в.

5	1	6
	
rf2g ,,	1	Г „	d2x  dt2	2(аЛ —Л,) [(В1—вг—2аВ) rffi+	М^СаЛ  г т г в*к* (^1-а).(в+в21 /1) 1 ,d 
dx	1  + 2а (В, + В2) — + а2 (В,— В2- 2аВ) х .	'дИ0-[(а+д)г±	а + х	р ".
Для устойчивого объекта	. т/ Д>»-А . где А-ау аЛ_л ,
dy	dx  ~dt +	p°Ht + (ХР»+ Р^х’	Вг — В2 — 2аВ  2 (аЛ — Л,/ ’
где	я (В, + BJ а= [(В, - В2) Л + 2ВЛ,]
Bt—В2 + 2аВ  Р°— 2 (аЛ — Л,) ’	2	2(аЛ —Л,) 2 (аЛ — Л,) /а2Л2—А\ '
я(В, + В2)  2(аЛ —Л,)-	_ Bt а2Л2—Л2, + аЛВ, + 2а ВЛ, аЛ—Ка2Л2-Л2,

я2 F(B, — В2) ЛД- 2ВЛД
2 (аЛ—Л,) К«2Ж=Л\

СО
gj	Таблица 2.1г

Корреляционная функция вЛода rxx(t) -- A,eailtl + А2ё~ “=|б; Л1+Л2>0, а,, а2 > 0 (рис. 2.1.1, 2.1.11, 2.1.12)

Взаимная корреляционная функ- ция выхода и входа	Импульсная характеристика системы	Условия существования решения и условия устойчи- вости	Передаточная функция системы? (при условиях существования решения)
1	2	3	4
Гух (0 =  Ве~^ + Се~$* *, t За 0;  = De*1* + (В + С —  — D)eait, t<0  (рис. 2.1.2)	а9  А = — — А; «1 1  + F 2Т + F 3e-№ + F^e-^, где К2 = (“a + 31) В + (a2 + За) С —  — (“a — “i) D,  Fi, F2, F3 ,Ft— коэффициенты в раз- ложении G (p) на простые дроби, со- ответственно при  1 1 1	 1	  Р ’ Рг ’ Р+ 31’ Р+За  Аналогичным образом можно получить выражения при условиях на коэффи- циенты  «tA + Mi Q 51А_+М1_ 0  ~Ь* ®2-^2	* ^1-^1 “|~ ^2-^2	Л1 + As 0;  ai, а2» 31» ?2 > 0;  —оо В, С, D< + оо;  только для устойчивости:  Г, = 0, Г2 = 0	1 р 4 а.  G(P)- 2 р+ 3iX  > Р+ ЗаХ  S К‘Р‘  Х Рг (“1А + “аА) — ” — «,«2 (а2А, + оцА)1 где  — «чЗг (“а + 31) В + + “131 (“а + 31) С +  + 313а (“а —“1) D;  Х1 = —[(<х2 + 31) (а,—  — За) В + (“2 + За) (“1	  — 31) С + (31 +  + За) (“а — “i) О];  К2 = («2 + 31) £ +  + (“а + За) С— (а2—и,) £>

Продолжение табл. 2.1г

Дифференциальное уравнение системы	Корреляционная функция выхода
Б	6

Общий случай:

fe=0	Jfe=0

где Q/itRh—коэффициенты при р^ соответственно
в знаменателе и числителе G (р)

г (ft — В Г___-------4-—-к Гг-1 г-?1 |п +

+ с Г__________4- f'1—к—1 «“?’|И,

+ G [(а2,-^) А ДА + рЛ2рг J

где К2 = (a2 + gj) В + (а2 + (к) С — (а2 — a,) D; Ft, F2 — коэффи-

1 1

циенты в-разложении G (р) на простые дроби при р j_ g и JTjZ

(рис. 2.1.1)
Pu.c.l.1.3	Pilc.Z.1.10	Pu.c.2.1.11	Put).2.1.1Z
ГЛАВА 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ОБЪЕКТА
УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ ТИПОВОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

3.1.	МЕТОД ИДЕНТИФИКАЦИИ ПО ТАБЛИЦАМ

Решение интегрального уравнения, в которое входят
гжх(/) и гух(Г), в целях определения импульсной характе-
ристики искомого оператора является, как показано в [4],
некорректной задачей. Поэтому алгоритм определения им-
пульсной характеристики g(x) должен изменяться таким
образом, чтобы g(r) выбиралась из некоторого компакт-
ного класса [4]. Определяемая таким образом импульс-
ная характеристика мало меняется, если мало меняется
ryx(t).

Было бы целесообразно иметь метод, позволяющий
приближенно определить оператор объекта с малыми за-
тратами труда и времени. Этот метод можно использовать
как экспресс-метод для предварительного анализа реше-
ния задачи идентификации. Естественно, что этот метод
также должен давать устойчивые решения, т. е. малым
изменениям ryx(t) должны отвечать малые изменения най-
денного оператора.

Таким методом, на наш взгляд, является метод- типо-
вой идентификации (метод идентификации по таблицам).
Типовая таблица содержит три колонки; в первой— гра-
фическая и аналитическая характеристики входного воз-
действия (для определенности, например, корреляционная
функция rxx(t)), во второй — графическая и аналитическая
характеристики выходного воздействия (ryx(t)), в треть-
ей— вектор параметров объекта с такими параметрами,
которые превращают rxx(t) в ryx(t).

Пусть таблица достаточно подробно составлена, т. е.
одному виду rxx(t) поставлено в соответствие большое
количество кривых ryx(t) и векторов параметров. Получив
из опыта значения raxx(t) и rayx(t), соответствующие ре-
альному объекту, исследователь отыскивает в таблице
кривую rTxx(t), наиболее близкую к r3xx(t) (индекс «т» —
табличная кривая, индекс «э» — экспериментальная кри-
вая). Выбранная кривая rTxx(t) выделяет из всей таблицы
часть, которая содержит отклики rTyx(t) достаточно широ-
кого класса операторов на выбранное воздействие rrxx(f).
Выбирая далее из кривых rTyx(t) кривую, наиболее близ-
кую к r3yx(t), исследователь находит в строке, где стоит
выбранная rTJ/x(0, вектор параметров — это оценка пара-
метров реального объекта. Если при составление таблиц
будет использован принцип объединения подобных кривых
гТг/х(0> соответствующих определенной кривой гтхх(/),
в группы, то поиск кривой rTvx(t), близкой к r3yx(t), не
займет много времени — сначала подыскивается наиболее
близкая к r3yx(t) кривая, являющаяся обобщенным порт-
ретом кривых в группе, затем, после выбора группы, про-
должается поиск внутри группы.

Таким образом, определение оператора по таблицам
идентификации требует малых затрат времени и труда.

Покажем, что метод идентификации по таблицам дает
устойчивые решения. Предположим, что будем искать по
таблице импульсные характеристики, принадлежащие ка-
кому-то достаточно широкому компактному классу Z
(определение характеристики §(т), не принадлежащей
компактному классу, как показано в [4], является некор-
ректно поставленной задачей). Выберем из множества Z
конечную е-сеть Zb состоящую из элементов z^Z [5].

Воздействуя линейным интегральным оператором с им-
пульсными характеристиками из е-.сети Zt на rTxx(t), по-
лучаем набор rTyX(t) и строим таким образом типовую
таблицу. Получив из эксперимента r3xx(t) и r3vx(/), будем
искать g®(-r)sZ]. Для этого воспользуемся таблицей и
найдем gT(x), соответствующую rTyx(t) и rTxx(t), близким
к r3yx(t) и г3XX(/).

Выбирая по 'r3xx(t) и r3yx(t) импульсную характеристи-
ку из таблицы, остаемся в пределах компактного класса
Z. Тогда небольшое изменение r3yx(t) не приведет к боль-
шим изменениям импульсной характеристики и gT(Z) бу-
дет близка к g3(t), если /•т!/х(/) близка к rayx(t). Таким
образом, идентификация по таблицам дает устойчивые ре-
шения.

Очевидно, что размер таблицы зависит от широты ком-
пактного класса Z: чем шире этот класс, тем шире его
е-сеть Zi, тем шире таблица. Поэтому необходимо ввести
естественные ограничения широты класса Z. Первое есте-
ственное ограничение: в компактный класс Z входят им-
пульсные характеристики только устойчивых объектов. Это
ограничение естественно потому, что подавляющее число
объектов, подлежащих идентификации по данным, полу-
ченным в условиях нормальной эксплуатации, устойчиво.

Другим ограничением будет следующее: в компактный
класс Z входят устойчивые объекты, описываемые диф-
ференциальными уравнениями нр выше третьего порядка
с постоянными ограниченными коэффициентами.
Это ограничение оправдывается тем, что большое ко-
личество линейных стационарных объектов действительно
описывается дифференциальными уравнениями не выше
третьего порядка.

3.2.	ВЫБОР МЕТОДА ПОСТРОЕНИЯ ТИПОВЫХ ТАБЛИЦ
ИДЕНТИФИКАЦИИ

Наложив ограничения на компактный класс Z, можем
составить типовые таблицы идентификации следующим об-
разом: вычисляем для конкретного вида гхх(0 и импульс-
ных характеристик g(x) —элементов Z

00

\g(S) rxx(t —

(3.1)

Значение этого интеграла при разных t есть ryx(t).
Однако такой способ получения таблицы неудобен по сле-
дующим причинам. Выше было показано, что можно вы-
брать множество Z, — е-сеть для компактного множества
Z, но определить, какие же характеристики g(r) нужно
брать в качестве элементов множества Z\ в терминах им-
пульсных характеристик, трудно. Но, предположим, эти
трудности преодолены и мы знаем импульсные характери-
стики— элементы Z\. Однако, чтобы вычислить интегралы
(3.1) для элементов Zb нужно задать и ввести в ЭВМ зна-
чения g(r) в большом количестве точек (насколько сотец).
После вычисления интегралов (3.1) необходимо построить
функции.ryX(t) (также несколько сотен точек).

И хотя значительная часть работы на ЭВМ поддается
автоматизации (в частности графопостроители позволяют
получить графики функций ryx(t)), в целом объем работ
по подготовке исходных данных очень велик.

Есть и другой способ составления таблиц, свободный от
перечисленных недостатков. Этот способ использует связь
rxx(t) и ryx(f) в виде дифференциального уравнения. Пусть
объект описывается дифференциальным уравнением
третьего порядка, тогда выходной сигнал объекта связан
со входным сигналом уравнением

y'"(t) +а,у" (t)+a2y'(t) +а.у (t) =

(3.2)

Покажем, что так же связаны rxx(t) и ryx(t). Для это-
го умножим обе части равенства (3.2) на x(g) и найдем
математическое ожидание обеих частей равенства:

м У (О X (Е)] + а № у (t) X (!)] +

+	["7Г у х + а’М 1у W х (ЭД =

= ^м[^х(/)х(^ +

+ 61М \^х

(f)x(g)] +&2M[x(/)x(S)].

Принимая во внимание возможность перестановки ма-
тематического ожидания и линейного оператора, центриро-
ванность и стационарность в широком смысле процессов
х(0 и y(t), получаем

//3	Н

~№Гух (t - *) +	- t)+at-dTri/x (^ - £) +

d2

аУ'ух Ц — 5) =-t5°	I'XX — 5) +

+ rxx (*-*)+bsrxx (t-i).

Таким образом, rxx(t) и ryx{t) удовлетворяют тому же
дифференциальному уравнению, что и возмущения x(t) и
у (t). Отсюда следует, что ryx(t) можно получить, решив
на аналоговой моделирующей установке дифференциаль-
ное уравнение (3.2) для возмущения rxx(t) при нулевых
начальных условиях. Меняя значение коэффициентов диф-
ференциального уравнения, а тем самым и импульсные ха-
рактеристики, получаем разные ryx(t), которые и входят
в таблицу.	•

Кривые ryx(t) можно представить графически, подклю-
чив для этой цели выход моделирующей установки к двух-
коордннатиому графопостроителю. Согласовав быстроту
изменения rxx(t) па входе моделирующей установки с ее
полосой пропускания и с полосой пропускания графопо-
строителя, можно снимать одну кривую ryx(t) меньше чем
за минуту.

Теперь о выборе конечной е-сети Z^Z при построении
таблицы на аналоговой моделирующей установке. Ком-
пактный класс Z состоит из импульсных характеристик
ус гойчпвых объектов, описываемых обыкновенными диф-
pi iiii.ii.-i пьпыми уравнениями с ограниченными коэффи-
IIIUIH 1мп не выше третьего порядка. Условие устойчиво-
сти нйкладынает согласно критерию Рауса — Гурвица на
44
коэффициенты уравнения (3.2) ограничения вида

«1>0, а2>0, а3>0; ai<z2>a3.	(3.3)

Ограничение (3.3) совместно с ограничениями, которые
будут рассмотрены в следующем параграфе, позволяет вы-
делить в шестимерном евклидовом пространстве коэффи-
циентов Ai, а2, а3, b0, bi, &2 ограниченную область, точки
которой дают значения коэффициентов, соответствующих
g(r), принадлежащих компактному классу Z.

Теперь можно выделить конечную е-сеть Z\. Для этого
необходимо разбить эту ограниченную область на р рав-
ных частей, например, следующим образом, разбиваем от-
резок изменения каждого коэффициента на q градаций.
Тогда количество частей, на которые будет разбита огра-
ниченная область, будет равно q6.

3.3.	ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ

Выше было установлено, что, решая уравнение
r"'yx(t)-\-air"yX (t) +a2r'yx (t) '+a3ryx (t) =
=bor"xx (0 +bir'xx (t) +b2rxx (f)	(3.4)

для разных коэффициентов, получаем таблицу. В (3.4) ко-
эффициент при r"'yx(t), не уменьшая общности, можно по-
ложить равным 1.

На значения коэффициентов табличных операторов он,
а2, а3 можно наложить естественное ограничение, а имен-
но: при больших значениях этих коэффициентов, не пре-
вышающих, однако, aik, a2k, a3k совместно с bOk, b\n, b‘2h,
задающих компактный класс, ryx(t) становится близкой
к rxx(t). Следовательно, операторы с такими коэффициен-
тами для таблицы неинтересны, так как они вырождаются
в оператор безынерционного усилителя, который можно оп-
ределить без таблиц и расчетов, поделив амплитуду ryx(t)
на амплитуду кривой rxx(t), близкой к r.yx(t) по форме.

Покажем справедливость этого утверждения сначала
для объектов третьего порядка.

Рассмотрим три случая.

1.	Характеристическое уравнение, соответствующее
(3.4), имеет действительные некратные корни.

Импульсная характеристика записывается в виде

g =	л- А,ё~^ .	(3.5)

45
Известно, что корни Хь Хг, Хз характеристического
уравнения (3.4) связаны с его коэффициентами следую-
щим образом:

Я1=%14~^2“|_^3; О2=А,1Л,2-|-%Аз-|_^2^3>

аз=Х1Хг%3'	(3.6)

Нас интересует случай, когда at, аг, а3 большие, но
тогда из (3.6) следует, что Хь Хг, Хз (они из условия устой-
чивости все больше 0) должны'быть также большими.

Следовательно, слагаемыми функции g(t) в (3.5) яв-
ляются три быстро затухающие экспоненты, поэтому
§(0—узкая функция по сравнению с rxx(t), a ryx(f), вы-

ОО

числяемая как f £(т)гхх(^—т)</т, близка по форме
б

к rxx(t), т. е. повторяет rxx(t).

2.	Характеристическое уравнение для уравнения (3.4)
имеет пару комплексно-сопряженных корней.

Функция g(t) записывается в этом случае в виде

g(/) = 43e~w + e-e/ (И, cos р + Аг sinp/). (3.7)

Корень Хз— действительный, a Xi=a+/P, Хг=а—j'p.
Тогда

ал = 2а 4- 2,; а2 = К«2+ Рг + 2аЯ3;

ц3 = 23/^+Гг.	(3.8)

Коэффициенты at, аг, а3 велики, если:
а) Х3, а велики, р мало. В этом случае

ryx(Z) = X3p-^^a-t)dx +
о

-ф- Aj С	cos fbrxx (/ — т) dt -ф- Аг С е-“’ sin (/ — т)dt.

О	(Г

Интегрирование до. оо можно заменить интегрированием
до г0> при котором е~^° и е-’’’” малы. При этом вследствие
малости то rxx(t—то)=гхх(0, а из-за малости р cos

1, sin pro^sO. Поэтому

ryx (0	^3 T- r xx (0	1xx (0 ~ xx (O’

t. e. ryx(l) повторяет rxx(Z).

46
б)	Хз, а и 0 велики. Тогда g(t) быстрозатухающая, й,
как в предыдущем случае, можно показать, что ryx(t)^t .
^k2rxx (t) .

в)	%з и р велики, а мало. Увеличение коэффициентов
01, а2, а3 приводит к росту Х3 и р, т. е. g(t) становится ма-
лозатухающей и сильно колебательной. Однако идентифи-
кация в условиях нормальной эксплуатации предполагает
определение импульсной характеристики нормально функ-
ционирующего реального промышленного объекта, сущест-
вование же реального объекта с сильно колебательной и
слабо затухающей импульсной, а следовательно, и пере-
ходной характеристиками маловероятно. Поэтому и в этом
случае значение коэффициентов необходимо ограничить.

3.	Характеристическое уравнение уравнения (3.4) име-
ет кратные корни, например Х2=Х3.

Функция g(t) записывается в этом случае в виде

g (0 = А+ Аге~^ + А/е~^.

Все корни действительные. Тогда

Gi=Xi-|-2X2; а2=2Х1%2+Х22; о3=Х1Х22.	(3.9)

Все коэффициенты а\, а2, а3 велики только тогда, когда
%i и Х2 велики. Поэтому g(t) —быстро затухающая функ-
ция. Аналогичный результат имеем и в случае трехкратно-
го корня. Следовательно, ryx(t) повторяет гжх(0-

Итак, получили, что при больших значениях коэффици-
ентов аь а2, а3 в уравнении (3.4) функция rvx(0 повторяет
гхх(0- Эти большие значения аи а2, а3 примем за au, a2k,
a3k, которые совместно с b3k, bik, b2h задают компактный
класс импульсных характеристик.

Зададимся вопросом: каково будет решение ryx(t)
уравнения (3.4), если все коэффициенты ait а2, а3 малы?
Так же, как и раньше, разберем отдельно случай действи-
тельных простых, комплексных и кратных корней уравне-
ния (3.4).

а)	Действительные простые корни. Коэффициенты он,
а2, а3 малы, как видно из (3.6), тогда и только тогда, ког-
да малы Xi, Х2, Х3. Отсюда следует, что функция (3.5) мед-
ленно затухающая, т. е. на том временном интервале, где
rxx(t) отлична от 0, g(t) почти постоянна. Следовательно,
ryx(t) совпадает с g(t).

б)	Комплексные корни. Коэффициенты ai, а2, а3, как
видно из (3.8), малы тогда и только тогда, когда Х3, а и
Р малы. Поэтому функция (3.7) медленно затухающая, ма-
локолебательная и почти постоянная на временном интер-
вале, на котором rxx(t) отлична от 0 Следовательно, rvx(t)
совпадает в этом случае с g(t).

в)	Кратные корни. При малых оь а2, а3 вид ryx(t) со-
впадает с g(0, поэтому дальнейшее уменьшение коэффи-
циентов нецелесообразно. Рассмотрим коэффициенты Ьо,
blt Ь2. Правая часть (3.4) является суммой трех составля-
ющих rxx(t), r'xx(t) и r"xx(t). Коэффициенты b0, bit b2
определяют, какой вклад в сумму вносит каждая состав-
ляющая. Поэтому увеличение коэффициентов при сохране-
нии их соотношения приводит к изменению амплитуды
rVx(0, форма же кривой остается неизменной. При состав-
лении таблицы необходимо брать такие значения коэффи-
циентов bo, b\, b2, которые меняют и амплитуду, и форму
кривой.

Покажем принадлежность к компактному классу функ-
ций импульсных характеристик устойчивых объектов, опи-
сываемых дифференциальными уравнениями с ограничен-
ными коэффициентами и ограниченным порядком п левой
части, m правой части (3.4), причем т<п. Устойчивость
объекта понимается в том смысле, что Re {р(}^т]<0, где
рг — корни характеристического уравнения, соответствую-
щего дифференциальному уравнению объекта, а т] — малое
по модулю фиксированное число.

Предварительно покажем, что импульсная характери-
стика, соответствующая уравнению (3.4), определяется из
следующего однородного дифференциального уравнения:

У'" (П +а>у" (t) +а2у' (t)+asy (t)=0	(3.10)

с начальными условиями

Г(0)=с2; y'(0)=Ci-, г/(О)=со. 	(3.11)

Начальные условия находятся из системы линейных
уравнений

Ьо=Со’, 6i=Cj-|_OiCo> b2=c2-\-aiCi~\-a2c2.	(3.12)

Заметим, что в силу свойств преобразования Лапласа,
если y(t) соУ(р), то

/(О ^РУ(Р)— 1/(0);

y"(t) со р2у(р)~ py(O) — /(0);

у"' (/) со р3у (р)— р2у (0) - ру' (0) — у" (0).

Применяя преобразование Лапласа к уравнению (3.10),
получаем

(р3+а 1Р2+а2р+йз) У (Р) =pzco+p (ci+aiCo) +

+ (с2-(-ЯС1+л2Со) •
Отсюда

У(Р) =

рас, + р (с, 4-fl,cB) + 1са + Д,<1 + ^Со)

(3.13)

Р3 + я,/?2 + агр + а3

Сравнивая передаточную функцию, соответствующую
уравнению (3.4),

G(p) = (&0p2+bip+^)/(p3+aiP2+a2p+a3)	(3.14)

с (3.13), приходим к заключению: для того, чтобы решение
уравнения (3.10) с начальными условиями (3.11) соответ-
ствовало уравнению (3.4), необходимо и достаточно, чтобы
числители (3.13) и (3.14) были равны, а это означает
удовлетворение условий (3.12).

Итак, импульсная характеристика, соответствующая
(3.4), определяется из (3.10) и имеет вид:

§(0=Д1«1 (0+^2«2(0+^З^з(0> •	(3.15)

где i=l, 2, 3 — фундаментальная система решений
однородного уравнения (3.10), a Ait 1=1, 2, 3, — постоян-
ные коэффициенты, определяемые по начальным условиям
(3.11) из системы:

co = ^1U1(O) + A«2(O) + /13U3(O);

с, = Au',(0)f- Аги3 (0) + Л3ц'3(0);

с2 = А,и'\ (0) + А,и", (0) + A3u"s (0).

(3.16)

Определитель системы (3.16) есть определитель Врон-
ского W при t=O. Заметим, что ^(0)=^0, а из (3.12) вид-
но, что при ограниченных а,- и bi значения a, i=0, 1, 2
тоже ограничены и, следовательно, Ai, А2, А3, найденные из
системы (3.16), ограничены, т. е.	i=l, 2, 3.

Что представляет собой функция и; (^)? Это или экспо-
-V

нента е , или ее произведение со степенной или гармо-
нической функциями tke 1 , где fe<3, или e~at (cos р/ 4“

+sin p^), где А., и (а+/Р) — действительные или комплекс-
ные корни характеристического уравнения (3.4), взятые
с обратным знаком. Они связаны с коэффициентами а\, аг,
аз уравнения (3 4) соотношениями (3.6), или (3.8), или
(3.9). Из ограничения коэффициентов следует ограничение
и корней, т. е.

Xi<M2, i=l, 2, 3; а, р<Л43.

Но теореме Арцелла [5], для того, чтобы семейство
функций было компактным, необходимо и достаточно, что-
бы это семейство было равномерно ограничено и равно-
степенно непрерывно. Таким образом, необходимо прове-
4—3070	49
рить достаточные условия: равномерную ограниченность и
равностепенную непрерывность.

Равномерная ограниченность семейства {g(t)} функций
(3.15) следует из ограниченности коэффициентов А, и
функций Действительно, из условия устойчивости
следует, что —Xl<q<0 и — а<д]<0, тогда функции Ui(t)
вида или вида мг(/)=е-“'(соз 0/4-sin 0/) меньше
или равны при любом С5=0.

Что же касается функций вида ut(t) = te , то они
меньше или равны 1/т]е.

Аналогично

ц. (f) = fe-^f< (4/т]’) е~\

Следовательно, g(f) <ЗА1\ (4/r]2ie2)=M4, т. е. семейство
{§(/)} равномерно ограничено.

Покажем равностепенную непрерывность множества
функций {§(/)}. Как известно, функция непрерывна, если
она имеет конечную первую производную. Очевидно, се-
мейство {g(t)} равностепенно непрерывно, когда множест-
во {g'G)} равномерно ограничено. Следовательно, нам до-
статочно показать равномерную ограниченность семейства
з

{£'(/)}• Имеем g'(/)=2 AiU'^t).	Заметим, что

i=i

u'i(t) всех вышерассмотренных типов ограничены, так как
ограничены а, 0, X,. Поэтому, повторяя предыдущие рас-
суждения, легко показать, что множество {g'(Z)} равно-
мерно ограничено, а следовательно, (g(t)} равностепенно
непрерывно.

Здесь проведено доказательство для импульсных харак-
теристик объектов третьего порядка. Очевидно, что дока-
зательство верно и для любого порядка п.

Случай неограниченно больших коэффициентов диффе-
ренциального уравнения, как это показано в [6], приводит
к некорректной задаче.

3.4.	ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦ ИДЕНТИФИКАЦИИ С ПОМОЩЬЮ
ЭЛЕКТРОННОЙ МОДЕЛИРУЮЩЕЙ УСТАНОВКИ

Получение табличных кривых rvx(t) производилось на
моделирующей установке ЛМ.У-1. Выходной сигнал моде-
лирующей установки (ryx(t)) подается на вертикальную
развертку самописца. На горизонтальную развертку пода-
ется линейное растущее напряжение.
Так как самописец имеет ограниченную полосу пропу-
скания, то скорость изменения входного возмущения rxx(t)
задается такой, что самописец записывает rxx(t) и гуж(0
практически без искажений. Так, например, изменение
Гхх^) = Ле~л'1,1 происходит за 14 с, а гхх(/)=Де~“’1/1 X
XcoscoZ за 90 с, причем в эти 90 с укладывается восемь
периодов колебаний с частотой to.

Схема модели для получения данных части таблицы,

Рис.3,1

содержащей отклики линейной системы па возмущение
ухх=Ле~0,5 |f| показана на рис. 3.1.

Слева внизу дана А — схема получения функции гхх=
=Ле-0’5|?|, Б — схема решения дифференциального урав-
нения третьего порядка (3.2). Коэффициенты уравнения aj,
я2, аз устанавливаются с помощью сменных резисторов 7?i,
/?2, /?з интегратора 1 и делителей напряжения DH{, DHit
DH3. Коэффициенты br>, b}, b2 устанавливаются с помощью
входных резисторов сумматора 2 и делителей напряжения
DH<, DHs, DH§.
На интеграторах 1, 3, 4 и инверторе 5 собрана схема
решения уравнения

у'" (/) +at y"(t) +а2у' (/) +а3у (t) =х (/).	(3.17)

Эта схема вместе с сумматором 2 дает решение урав-
нения (3.2) [7].

Такая схема удобна тем, что в отличие от других не
требует пересчета коэффициентов исходного уравнения и
является простой, однако начальные условия уравнения
(3.2) должны быть нулевыми, что учтено при составлении
таблиц идентификации.

Схемы для решения уравнений второго и первого по-

рядков получаются из данной выключением ненужных ин-
теграторов и связей.

На рис. 3.2 показана схема для получения данных ча-
сти таблицы, представляющей собой отклики линейных си-
стем на возмущение сигнала экспоненциально-косинусного
вида. Ее отличие от схемы на рис. 3.1 состоит только в ча-
сти формирования входного возмущения rxx(f). В цепи,
содержащей интеграторы 1 и 2, инвертор 3, вырабатывав
ется сигнал косинусоидальной формы cos 0,56/, который
с выхода интегратора 1 подается на вход множителя МУ,
на другой вход которого подается сигнал экспоненциальной
формы Ле-01|? . На выходе множителя получаем rxx{t)—
=Де-°'Ч0 cos 0,56/.

3.5.	ПРИМЕНЕНИЕ ТАБЛИЦ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Экспериментальные кривые гэЖж(/), снятые с объекта
идентификации, могут находиться с табличными кривыми
гтжж(/) в следующем соотношении: r3xx(t)==kirTxx(kt), т. е.
52
различаться масштабами по оси как абсцисс, так и орди-
нат. Покажем, что таблицы можно использовать и в этом
случае.

Рассмотрим, какая получится .таблица, если rxx(t) =
=rTxx(kt), a g(t)=g^(kt).

При изменении масштаба в области оригинала преобра-
зование Лапласа для функции gT(kt) имеет вид
(!/£) GT (р/k). Тогда изображение реакции системы с им-
пульсной характеристикой gT(kt) и возмущением гтЖх(^)
имеет вид (1/й2)От(р/й)/?тжж(р/&), а сама реакция —
r’Tvx(kt) jk. Таким образом, реакция системы с импульсной
характеристикой gT(kt) на возмущение гтжж(А/) отличается
от реакции системы с импульсной характеристикой gT(/) и
возмущением гтжж(0 только изменением масштаба по осям
абсцисс и ординат. Поэтому объекты с импульсной харак-
теристикой	соответствующей диференциальным

уравнениям с коэффициентами, ограничивающими компакт-
ный класс импульсных характеристик, и объекты с им-
пульсной характерцстикой gT(kt) для возмущений rrxx(t)
и rxx(kt) соответственно имеют одинаковые по форме реак-
ции. Следовательно, применение таблиц для rxx(t) =
=^тях(0 при построении таблицы реакций на rxx(t) =
=fIxx(kt) приводит к тому, что в новую таблицу будут
включены импульсные характеристики, находящиеся с
прежними в следующем соотношении: g(t) =g'r(kt).

Рассмотрим, в каком соотношении находятся коэффи-
циенты дифференциальных уравнений третьего порядка,
которым соответствуют gT(t) и gT(kt). Так как

GT (р) = (& тоР2+&т 1Р+&2) / (р3+ат1Р2+ат2Р+отз),
то

1 р. 1_Р_\_____b„p2 + btkp b2k2

k 1 ( k ) p* + afip2 + a.kp + a3k3 '

Отсюда видно, что коэффициенты дифференциального
уравнения, соответствующего g^ikt), выражаются через .
табличные коэффициенты следующим образом:

bo=bTo; bi—kb^i;	а2=к2аг2',

a3=k2a^.	(3.18)

Из изложенного вытекает рекомендация по использо-
ванию таблицы, если /•эжж(/)=гтжж(^?). Необходимо пере-
строить r3yx(t) в kravx(t/k) [при этом преобразовании
r^yxkkt)^ переходит в гт„.т(/)]. По таблице находим кри-
вую, наиболее близкую к перестроенной, которой соответ-
ствуют коэффициенты aTi, ат2, ат3, bT0, &Ti, Ьт2. По (3.18)
определяем коэффициенты аь а2, а2, bq, b\, Ь2.

Рассмотрим, какова передаточная функция б(р)Гесли
масштабы корреляционных функций па входе и выходе
объекта различны и равны соответственно Z?irTXx(0,
k^yx^t). Тогда k2r’Tyx(p)=G(p)kir'lxx(p), или /•»„,. (р)=
— (ki/k2)G(p)r'Txx(p), откуда

О(р) = (Ш)Ст(р).

Таким образом, в этой ситуации необходимо по kirxx(t)
и k2ryx(t) найти наиболее близкие к ним по форме гтхх(/)
и rTyx(t) и соответствующую им GT(p). Найденная GT(p) ’
умножается на k^k\, тогда коэффициенты 6ТО, &Ti, 6Т2
умножаются на коэффициент k2lk{.

3.6.	РУКОВОДСТВО К ПОЛЬЗОВАНИЮ ТАБЛИЦАМИ ТИПОВОЙ
ИДЕНТИФИКАЦИИ

Таблицы 3.1, 3.2 содержат отклики линейных систем
первого, второго и третьего порядков на возмущение вида
rxx(t) — Aeпричем кривые объединены по сходству
формы в несколько групп. ,

Группы кривых можно отличить по типичным кривым
групп, которые вместе с соответствующими rxx(t) собраны
в наборе типичных групповых кривых (табл. 3.1).

При поиске кривой сначала выбирают близкую по фор-
ме кривую из набора типичных групповых кривых
(табл. 3.1) и по ней определяют группу кривых из табл. 3.2,
в которой необходимо вести дальнейший поиск.

Совокупность всех откликов ryx(t) на данный тип rxx(t)
разделена на 30 групп. Кривые в большинстве групп рас-
положены в порядке нарастания какого-либо отличитель-
ного признака, например увеличения частоты колебания.

Реальный объект может быть аппроксимирован моделя-
ми первого или второго порядка. При неудовлетворитель-
ной аппроксимации этими моделями аппроксимирующая
модель ищется в классе объектов третьего порядка.

Таблицы 3.3, 3.4 содержат отклики линейных систем
первого, второго и третьего порядков на возмущение вида
|Z| cos <ot.

Таблицы 3.5, 3.6 содержат отклики линейных систем
парного, второго и третьего порядков на возмущение вида
(4 I -Ml),-"'1.
Групповая типичная взаимная корреляционная функция выходной и входной переменных	Номер группы
Корреляционная функция входа — рис. 3.1.1	
Рис. 3.1.2	I
Рис. 3.1.3	II
Рис. 3.1.4	III
Рис. 3.1.5	IV
Рис. 3.1.6	V
Рис. 3.1.7	VI
Рис. 3.1.8	VII
Рис. 3.1.9	VIII
Рис. 3.1.10	IX
Рис. 3.1.11	X
Рис. 3.1.12	XI
Рис. 3.1.13	XII
Рис. 3.1.14	XIII
Рис. 3.1.15 '	XIV
Рис. 3.1.16	XV

Корреляционная функция входа —рис, 3.1.17

Рис. 3.1.18	XVI
Рис. 3.1.19	XVII
Рис. 3.1.20	XVIII
Рис. 3.1.21	XIX
Рис. 3.1.22	XX
Рис. 3.1.23	XXI
Рис. 3.1.24	XXII
Рис. 3.1.25	XXIII
Рис. 3.1.26	XXIV
Рис. 3.1.27	XXV
Рис. 3.1.28	XXVI
Рис. 3.1.29	XXVII
Рис. 3.1.30	XXVIII
Рис. 3.1.31	XXIX
Рис. 3.1.32	XXX

Порядок определения коэффициентов модели:

1.	По виду кривой корреляционной функции, вычислен*
ной по экспериментальным данным (гэхх(/)), выбираются
нужные таблицы. Например, если raxx(t) близка по форме
к Ae~a^t], выбираются табл. 3.1 или 3.2 и табличная кор-
реляционная функция входа гтхх(0-

2.	Для корреляционной функции входа находится мас-
штабный коэффициент k по оси времени такой, что гэхх(/) =
= сгтхх(£/), где с —постоянный множитель1.

1 Продолжение см. на с. 111, 184.
5С>
Рил. 3.1.19

ryi,B

Рис. 3.7.27

-10-5 t 5 10 15 20 t,c

Рил. 3.1-22


to

—L_

-10



Pilc. 3. 1, 31
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
I	Рис. 3.2.1	Г'ух + 0. 00 1 гух — гхх
	Рис.-3 3.2	г'ух + 0,005г ух = гхх
	.Рис. 3.2.3	г'ух 4* О.ОИрх — гХх
	Рис. 3.2.4	r'yx+ 0,05ГуХ = гхх
	Рис. 3.2.5	г'"ух + г"ух + Ьг'ху 4- 0, ®>Гух = 0, \г"хх + + 0.Ir'xx + 0.1Гхх
	Рис. 3.2.6	Г'"ух + З.бг”^ + Wyx + 0, lryx = 0, lr"xx + + 0. 1 г'хх + 0, 1 Гхх
	Рис. 3.2.7	Г'"УХ + г"ух + Г'ух + 0, МГух = 0,1 г"хх + + 0. 1г'хх + 0,1гХх
	Рис. 3.2.8	Г'" ух + 3, бг”^ + г'ух + 0,05ryx = 0,1 г"хх + + 0,1 г'хх + 0, 1Гхх
	Рис. 3.2.9	Г'" ух + г"ух + 4г'ух + 0,5гуХ = 0,\г"хх + + 0.1 г'хх 4" 0,1 гхх
	Рис. 3.2.10	г ух + гух = гхх
	Рис. 3.2.11	Г"'ух + 3, Ъг"ух + Г'ух + О.Обг^ = = 0.1 г" хх + г'хх + 0,1 гХх
	Рис. 3.2.12	г'ух 4" 0, ^Гух = Гхх
	Рис. 3.2.13	г'ух + ^Гух = Гхх
	Рис. 3.2.14	г'"ух + 3,5г"ух + ^г'уХ+Гух = — 0,1 г"хх 4т ОН г'хх 4-0.1Гхх
	Рис. 3.2.15	г'ух 4- О.бг^х = ГХх
	Рис. 3.2.16	г'"ух 4- г"ух 4- ^г'ух 4- гух — 0,1г”хх 4" 4* 0,1 г'хх 4- 0> 1Гхх
	Рис. 3.2,17	г'ух 4" 2Гух = гхх
	Рис. 3.2.18	г'ух + 1 ОГух = г хх
II		
	Рис. 3.2.19	Г'"ух 4- з, Ь"ух 4- ir'yx 4- о, 05гух = = 0,1г”хх4-г'хх4-0,1Гхх
	Рис. 3.2.20	• г'"ух + 3,5г"ух + г'ух + Ь 05гух = = 5г”хх 4- г'хх 4- 0,1гхх
	Рис. 3.2.21	г'"ух + г"ух+г'ух + О,^Гух = — 0.1г”хх 4  г'хх 4" 0,1 Гхх
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
II	Рис. 3.2.22	''"^+г''г/х + 4г'г/х + О,О5гг/х = = 0,1 г"хх 4- г'хх + 0,1 г
	Рис. 3.2.23	г>" ух + 3,5г" ух + г'ух + 0,05г//х = = 2г" хх + 0, \г'хх + 0, \гхх
	Рис. 3.2.24	г"'ух + г"ух + 0, 2г'ух + 0,05г,, = ==2г"„	г'хх 4* 0,1 гхх
	Рис. 3.2.25	г"'ух + ®<5г"уХ 4- г'ух 4- 0, Згух — ~ 0, 1r" хх 4" 0> 1г'хх 4" 0,1 гхх
	Рис. 3.2.26	Г’"ух + г"ух 4- г'уХ 4- 0,5гух = = 0,lr"„4-0,lr'^4-0,lr«
	Рис. 3.2.27	r'"yx + r"yX + 4r'yX + 0,5r-yX = ₽ 0, 1г" XX 4” Г'хх 4" 0, 1гхх
	Рис. 3.2.28	г"'уХ 4- г"ух 4- 4гГух 4- Гух = 0, \r"хх 4" 4- г'хх 4- 0, 1гхх
	Рис. 3.2.29	г",ух + 3,5г"ух + 4г'ух + Гух = = 0, 1г" Хх 4" Г'XX 4- 0, 1ГХХ
	Рис. 3.2.30	г"'ух 4" 3,5г’’уХ 4- 4г'уХ 4- 0,5г,, = — 0, 1г"хх 4" Г’хх 4" 0> 1Г,Х
III	Рис. 3.2.31	Г'"ух + з, 5г"ух 4- 4г'ух 4- о, О&ух = —2г”хх 4- 0> ^г'хх 4" 0, ^хх
	Рис. 3.2.32	Г'"ух 4- 3,5г"ух 4- 4г'ух 4- 0,05г,/х = = 5г"хх— ''хх4-0,1Гхх
	Рис. 3.2.33	Г' "ух 4- 3,5г"ух 4- 4г' ух 4- 0,05гуХ = — 5г"хх 4- г'хх 4” 0> ^гхх
	Рис. 3.2.34	г"'ух 4* 3,5г"уХ 4- 4г'ух 4* 0,5гуХ = = 5г" хх 4- r,xx4"0>lrxx
	Рис. 3.2.35	г'"ух 4- 3,5г"уХ 4- 4г’ух 4- еух = 5г"хх 4-  4- е'хх 4- 0,1^хх
	Рис. 3.2.36	г"'ух 4- г"ух 4- ''ух 4- 0,05)ух = ~ "хх 4- г'хх 4- 0. ''‘хх
	Рис. 3.2.37	г"'ух 4" г"ух 4" г'ух 4" 3,05гуХ == = 5г"хх — Т'хх 4- 0, Ifxx

GO
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
[II	Рис. 3.2.38	г'"ух 4" г"ух + г'ух + О.ОбГ^х = = 2г"хх + 0, Ir'xx + 0, 1ГХХ
	Рис. 3.2.39	Г'Г'уХ + 3,5г"уХ + Г'ух + 0,05г^х = = 5г'—г'хх 4-0,1
	Рис. 3.2.40	г'"г/х4-3,5г"г/х4-4г'г/х4-0,5гг/х = = 5г"хх — г'хх 4- 0,1Гхх
	Рис. 3.2.41	г'"ух+ 3,5г"г/х4- 4r'^4- 0,5г^х = ,= 2г"хх4- 0,1г'хх4-0,1гхх
IV	Рис. 3.2.42	f"'yx 4- 3,5г"Рх 4- 4г'г/х 4- Гух = =— 5г"хх 4- г'хх 4- 0,1гхх
	Рис. 3.2.43	Г'"ух 4- 3,5г''Рх 4- 4г'^х 4- О.бг^х = = —5г"хх 4" г'хх 4" 0, ^гХх
	Рис. 3.2.44	г"'ух + 3,5г"ух+4г'ух + гух = = — 5г" хх— Г'хх + ^Гхх
	Рис. 3.2.45	г'"ух 4" 3,5г"(,х 4" 4г'Ух 4- О.Обг^х = = — 5г"хх4-'’,хх4-0.1'>х
	Рис. 3.2.46	г'"ух 4- З.бг"^ 4- 4г'^ 4- О.ОБг^х = — — 5г"хх 4" г’хх + 0,1 Гхх
	Рис. 3.2.47	г'"ух + г" ух + Г'ух + 0,05гг/х = = — 5г" хх— г’хх 4-0 >1гхх
	Рис. 3.2.48	Г'"ух 4- г"ух 4- г'ух 4- О.ОБг^х = = — 5г"хх — г'хх 4- 0,1Гхх
	Рис. 3.2.49	г'"ух 4- r"yx~V ^г'ух 4- Гух = 0,1г"хх — г'хх 4- 0,1гхх
	Рис. 3.2.50	г'"ух 4- 3,5г"уХ 4- 4г'ух 4- Гух = = 0,1г"хх — г'хх 4-0,1Гхх
	Рис. 3.2.51	г'"ух “г 3,5г''уХ 4- г'уХ 4- 0,05гух — = — 5г"хх 4- г'хх 4- 0 , I гхх
	Рис. 3.2.52	г'"ух -Ь’З^г'^х 4- ^г'ух 4- 0,5гуХ = = 0, 1г"XX   г'хх 4- 0, 1 гхх
	Рис. 3.2.53	г'"ух 4- г"ух 4- 4г'рх 4" 0,5гуХ = = 0,1 г"хх — Г1 хх 4- 0, 1гхх
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
IV	Рис. 3.2.54	г"'ух *Ь 0,5г"ух г'уХ 0,05гуХ = — 0 > lf,/ XX   г'хх + 0, 1гхх
	Рис. 3.2.55	г"'ух+г”ух+г’ух + ^^гух^ — 0» ^Г"XX  Г'XX + 0, 1ГХХ
	Рис. 3.2.56	r"'yx + 3,5'^х + г'ух +	=  =  0г"ХХ  Г'XX + 0, 1ГХХ
	Рис. 3.2.57	г'" ух 4- 3,5г"хх 4- 4r'f/JC 4~ 0>05гух = = 0,1г”хх — г'хх 4- 0> XX
	Рис. 3.2.58	г"'ух + г"ух + ^г'ух 4- 0,05гух = = 0, \r" хх  г' XX + 0 ,^гхх
V	Рис. 3.2.59	Г'"ух + 0,5г''уХ 4" ^Г'ух + 0, 05ГрХ = = 0. ^Г" XX 4" 0> ^Г'хх 4” 0> ^гхх
	Рис. 3.2.60	г"'ух 4" 0,5г" ух + O.Sr'^x 4- 0,5ryx = = 0,1г”хх4-0,1г'хх4-0,1гхх
	Рис. 3.2.61	Г'"ух + 3,5г"рх 4- о,2г'ух 4- 0,05г„х = — 0, хх 4"г'хх 4- 0,1гхх
	Рис. 3.2.62	г"'ух 4* г"ух 4- 0,2г'ух 4- 0>05гух = = 0,\г"хх + г'хх+ 0,1гхх
	Рис. 3.2.63	Г" 'ух 4- г' 'ух 4- 0,2г'ух 4-0,05^ = = 0,1г"хх 4- 0,1г'хх 4" 0,1гхх
	Рис. 3.2.64'	г"'ух 4* 0,5г"уХ 4- г'ух 4* 0,5ГуХ — — 0,lr"xx + r'xx + 0,lrXx
	Рис. 3 2.65	г'"ух 4" 0,5г"ух 4- г'ух 4~ 0,5гух — = 0| ^Г"хх 4" 0- ^г'хх 4- 0 4ГХХ
	Рис. 3.2.66	г'"ух + 3,5г"ух + О,4г'уХ-1-Гух^ = 0,1г"хх 4- 0, Ir'xx 4* 1гхх
	Рис. 3.2.67	r"'yx ~Vr"yx 4- 0,5г'уХ 4- 0,Згух = = 0,1г"хх 4" г'хх 4- 04гхх
	Рис. 3.2.68	г"'ух 4* г"уХ 4" о,Or'ух 4* о,згуХ = = 0,1гхх" 4- 0, \г'хх 4- 0,1гхх
	Рис 3.2.69	r'"yx+0,5r"yx + r'yx + ryx = = 0,\г"хх + 0,\г'хх + 0,\Тхх
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
V	Рис. 3.2.70	r"'yx + r"yx + г'ух + 0,8ГуХ = 0,\г’'хх + 4” 0> ^г'хх + ^гхх
	Рис. 3.2.71	г’"ух 4" г"ух 4- г'ух 4- 0,5ГуХ = 0, 1г"Хх 4- 4* 0, Ir'xx 4- 0,1ГХХ
VI	Рис. 3.2.72	Г'"ух 4- г"ух 4- 4^4-0,05^ = = 2г" ХХ 4- 0, Ir'xx 4* О' ’гхх
	Рис. 3.2.73	Г"'ух 4“ Г"ух 4- 4г'уХ 4- 0>05Гул = = 5/-''хх4-г'хх4-0,1Гхх
	Рис. 3.2.74	г'”рх 4" Г"ух 4- 4г'ух 4" О.бГуд; = = 5г"хх 4" Г'XX 4- 0, Ir'xx
	Рис. 3.2.75	Г'"ух 4- г"ух 4- 4г'рх 4- Гух = 5г"хх 4- 4”г'хх 4” о<1гхх
	Рис. 3,2.76	г"'ух 4* г"ух 4- 4г'ух 4- 0,05rj,x = = 5г"хх	Г'XX 4" 0,1Гхх
	Рис. 3.2.77	г"'ух 4- г'ух 4" 4г'ух 4- 0>5грх = = -Г"хх 4- 0, ir'xx 4- 0,1гхх
	Рис. 3.2.78	г"'ух 4- г"ух 4- 4г'ух 4- Гух = 2r"хх 4- 4* 0> ir'xx 4* 0,1Гхх
	Рис. 3.2.79	Г’"ух 4- г"ух 4- 4г'ух 4- о,5гух = = 5г' 'хх — г'хх 4- 0, 1Гхх
	Рис. 3.2.80	г'"ух 4- г"ух 4- 4г'рх 4" Гух = 5г"XX 	  — г'хх 4* о, 1гхх
VII	Рис. 3.2.81	г"'уХ 4- г"ух 4- 4г'ух 4- 0,05гух = ~ 	5г"хх 	г'хх 4- 0.1Гхх
	Рис. 3.2.82	Г'"ух 4- Г"ух 4- 4г'ух 4- 0,5^ = —	5r"XX г'хх 4-	1Гхх
	Рис. 3.2.83	Г"'ух 4- г"ух 4- 4г'ух + Гух = — 5г"хх - 	г' XX 4” 0- lfXX
	Рис. 3.2.84	Г'"ух 4- г"ух 4- 4г'ух + 0,05гух = —	5г"хх 4" г'хх 4" 0,1Гхх
	Рис. 3.2.85	Г'"ух 4- г"ух+4г'ух 4- 0,5гих = = —5г"Хх 4* г'хх 4- 0,1бхх 1
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
VII	Рис.’ 3.2.86	г'"ух 4" г"ух + ^г'ух 4" гух — — ^г"хх + + Г'хХ + 0> 1ГХХ
VIII	Рис. 3.2.87	Г' + з,	+ 0,2r'yx + 0,05гуХ =  = $г"хх + г'хх + 0, lfxx
	Рис. 3.2.88	Г"'ух + 3,5r"yx + 0,2г"^х +0,05^ = = %г"хх 4-0,1 г'хх 4- 0,1гхх
	Рис. 3.2.89	г"'ух 4- г" ух +®Лг'ух 4- 0,05гуХ = = ^>г"хх 4- г'хх 4- 0,1гхх
	Рис. 3.2.90	Г"'ух 4- г"ух 4- 0,2г'ух + 0,05гуХ = = 5г"хх — г'хх 4- 0,1гхх
	Рис. 3.2.91	Г"'ух 4- 3,5r%x 4- 0,2r'vx + 0,05гих = =5г"х — г'хх 4- 0,1гхх
	Рис. 3.2.92	г'"ух 4~ 3,5г''уХ 4- г'уХ + О.бг^х = =2r"xx + 0,lr'xx + 0,lrxx
	Рис. 3.2.93	г'"ух 4-3,5г"их + г'уХ 4- 0,5гвх = — ^Г"хх 4- Г'хх 4“ 0, 1гхх
	Рис. 3.2.94	г"'ух 4* 315г/,0Х + г’ух 4" 0  ^гух — ~ ^Г"ХХ 	г'хх 4- 0, ^гхх
	Рис. 3.2.95	г'"ух 4- 3,5г"ух 4- г' уХ	гух =  = 0,1г"хх 4" г'хх 4- 0 > ^гхх
	Рис. 3.2.96	г'"ух 4- 3,5г"ух 4- г'ух 4- fyx — — ^Г"XX 4~ г'хх 4- 0, 1гхх
	Рис. 3.2.97	Г'"ух 4~ 2>,Зг"уХ 4- r'yX 4- Гух = ^Г"хх — — г'хх 4- 0,1гхх
	Рис, 3.2.98	Г'"ух 4- 3,5r"j,x 4- г'ух 4- Гух — — ^г"хх 4- 0,1г'хх 4- 0 • 1гХх
	Рис. 3.2.99	г'"ух 4- г"ух 4"	ух 4" 0,Згух =  = ^>г"хх 4- г'хх 4- 0,1гхх
	Рис. 3.2.100	r'"f/x4-r"!/x4-0,5r'ex4-0,3ri,Jt = = 5г"хх- г’хх 4-0,1 гхх
	Рис. 3.2.101	г"'ух 4- г"ух 4- 0, ^г'ух 4- 0, ЗГуХ = ~ 2й”XX 4” 0, If'хх 4" хх
Номер групп	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение'объекта
VIII	Рис. 3.2.102	г"'ух + г"ух + Г'ух 4* ®>$ГуХ = = 2г"хх + 0,1г'„+0,1гхх
	Рис. 3.2.103	г'"ух + г"ух + г'ух + 0,5ryx = = 5г"хх — г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.2.104	г"'ух 4" г" ух + Г' XX 4“ 0 > Ьгух = = ^Г" XX + г'хх + 0.1^ХХ
	Рис. 3.2.105	Г'"ух + ^’^Г"ух + Г'уХ + О.ЗГ^ = = %г" хх + 0,\г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.2.106	г"'ух + ^<^г"ух + Г'ух + 0, ЗГуХ = — §Г"XX ~ Г'XX + 1гхх
IX	Рис. 3.2.107	г'"ух + 3,5r"yx + 0,4г'уХ + ГуХ = — ^>Г" XX	Г'хх + 0 > 1г*х
	Рис. 3.2.108	г"'ух +3,5"гух + 0,2г'уХ + 0,5гуХ= = 5г"ХХ 	Г'хХ + 0 । ^гхх
	Рис. 3.2.109	г'"уХ + 3,5г"уХ + 0,4г'ух + ГуХ = — ^"ух + г>ух + 0> ^гух
	Рис. 3.2.110	r"'yx + 3,5r”yx + Ь,4г'ух + ГуХ = = 2г"хх + 0,1Г'ХХ + 0,1гхх
	Рис. 3.2.111	Г"'ух + 3,5г"ух + 0,	ух + Гух —  = ^,^"хх + г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.2.112	г'"ух + 3,5г"уХ + 0,2г’ух + 0,5гуХ = = 0, 1г"хх + Г'хх + 0>
	Рис. 3.2.113	г"'ух + 3,5г"ух + 0,2г’уХ + 0,5гуХ = = §г"хх + г'хх + 0,1г*х
	Рис. 3.2.114	Г,Пух + ^>^гПух 4“ 0 t^r'yx +	=  = ^гП XX + 01 ^гГХХ + 0, 1гхх
X	Рис. 3.2.115	г"'ух 4” 3, Зг"ух + 0,2г'уХ + 0,05г^х = — 0,1г"хх — г'хх 4- 0, \гхх
	Рис. 3.2.116	Г'" ух + з, 5г"уХ + 0,2г'уХ + 0, ЖгуХ = = ^г"хх	Г'хх + 0, 1ГЛХ
	Рис. 3.2.117	г'"ух + г"ух + 0>2г'уХ + О.ОБг^ = = 0,1г" хх — г'хх + 0,1гхх
Номер  групп	Взаимные корреля ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
X	Рис. 3.2-118	г"'ух 4~ 3,5г"уХ + г' ух + 0,5ryx = = 0,1г"хх — г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.2.119	г'" ух + г" ух + 0,2г'^ + 0,05г^ = = 	 5г" хх + Г'ХХ + ^гхх
	Рис. 3,2.120	г'" ух + г"ух + 0,2г'ух + 0,05гуХ = = — 5г" хх — г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.2.121	г"'ух + 3,5г"^ + г'ух + 0,5г^ = — — 5г" хх — г'хх + 0,1г хх
	Рис. 3.2.122	Г'"уХ + Г"УХ 4~ 0,Зг'ух + О.ЗГух = = 0,1г"хх — г'хх 4-0,1гхх
	Рис. 3.2.123	г'"ух 4- 3,5г"уХ 4- г'уХ 4- 0, 5гух — = — 5г"хх 4* г'хх 4* 0, 1гхх
	Рис. 3.2.124	Г"'ух 4- 5,5г"уХ 4- г'ух 4- Гух — = 0, ^г"хх 	г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.2.125	г"'ух 4“ 5,5г"ух 4- г'ух 4- Гух — — — 5г"хх 4" г'хх 4- 0,1 гхх
	Рис. 3.2.126	г"'ух 4* 5,5г"ух 4- г'ух 4- ГуХ = =   5г"хх г'хх 4" 0,1гхх
	Рис. 3.2.127	Г'"ух 4- г"ух 4- о,5г'ух 4- О.ЗГух = = — 5г"хх + г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.2.128	г'"ух 4" г"уХ 4- г'уХ 4- 0,5гуХ = = 	 5r"хх 4” г'хх 4~ 9,1гхх
	Рис. 3.2.129	г"'ух 4- г"ух 4- г'х 4* 0,5rffJC = =   5r"хх  г'хх + 0, ]гхх
	Рис. 3.2.130	г'"ух 4- г"ух 4- 0,5г'уХ 4- О.Зг^ = =	5г"хх — г'хх 4- 0,1 гхх
	Рис. 3.2.131	г'"ух 4* г"ух	г'уХ 4- 0,5г^х = 0, \г"хх —  — г'хх 4~ 9,1Гхх
XI	Рис. 3.2.132	г'"ух 4- 5,5т"уХ 4- 0,^г'ух 4- Гух = =	5г"хх 4" г'хх 4- 0,1гхх
	Рис. 3.2.133	г'"ух 4* 3,5"ух 4- 0,2г'ух 4~ 0,5гуХ = = — 5г"хх 4- г'хх 4~ 0,1гхх
Номер группы	Взаимные корреля ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XI	Рис. 3.2.134	г"'ух + 3, Ъг" ух + 0,4г'ух ~ Гух — =	5г" х — г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.2.135	г'"ух + 3,5г"₽х + 0,4г'уХ + гух = =	0,1г"хх — г'хх 4" 0,1гхх
	Рис. 3.2.136	r”'i/x + З.бг'^х + 0,2r'ffx + 0,5гух = = 3г''хх	 Г>ХХ 4" 0,
	Рис. 3.2.137	г"'ух + З.бг'^х + О^г'ух + 0,5гйх = = 0,1г"хх —r'xx + O.lfxx
XII	Рис. 3,2.138	Г"'ух + Г"ух + Г'ух + 0>8Г(/Х = 5г"хх 	  - Г'хх + О.кхх
	Рис. 3.2.139	Г'"ух + 0. Wyx + г'ух + 0,8гИх = = &Г"хХ 	 Г'хх + 0. lfxx
	Рис. 3.2.140	г"'ух 4* 0, k,f(/x + г'ух + О.ОБг^х == 2г"хх+ + 0, Ir'xx + O.kxx
	Рис. 3.2.141	'"'ух 4* 0,5г"рх + г'ух 4* О.Зг^х = = 5г"хх + Г' XX 4* 3, кхх
	Рис. 3.2.142	г"'ух + г"ух + г'ух + О.ЗГух = 2г"хх + + 0, к'хх + 0< ^гхх
	Рис. 3.2.143	г'''их + 0,1г"г/х + '-'г/х + 0,05гих = — 5г"хх + Г'хх + 0, кхх
	Рис. 3.3.144	г'" УХ + r"yx + r'yx + 0,8ryx — = 0,1г"хх + г'хх + 0,1Гхх
	Рис. 3.2.145	г'''их + 0,5г"Их + г^ + 0,ЗгИх = = 0, 1г''хх + г'хх + 0> 1Гхх
	Рис. 3.2.146	г!"ух + 3,2г"^х + ^г'ух + 3,5гйх = = 5г''хх-Г,хх + 0.1Гхх
	Рис. 3.2.147	г"'Их+0,Зг"их+4г'вх + гИх = = Зг''хх  Г'XX + 0, 1гхх
	Рис. 3.2.148	г'"ух + 0,1Г"уХ+4г'уХ + 0,05ГуХ = — 5г"хх 	 Г>XX 4" 0, Ifxx
	Рис. 3.2.149	f"'yx 4" 0>3r"yx4- 4r'yX -t~ryx= 2r"хх 4- 4” 3> k'xx 4- 0, 'гхх

5*

67
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции ВЫХОДНОЙ и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XII	Рис. 3.2.150	'"'ух + О.Зг'^х + 4г'ух + Гух = = 5'"хХ + Г'хх + 0,1Гхг
	Рис. 3.2.151	г’"ух + 0,2г" уХ + 4г'ух + 0,5г уХ = = %'"хх + 0, Ir'xx + 0, 1гхх
	Рис. 3.2.152	г"'ух + 0, 1г"рх + 4г'ух + О.Оббрх = = XX 4* 0! 1г'хх 4- 0,1гхх
	Рис. 3.2.153	Г’"ух + 0,2г"ух + *'’ух + Ш>Гух = = S'" хх 4* г'хх 4~ 0, 1'хх
	Рис. 3.2.154	'"'ух + 0, \'"ух + ^г'ух + О.ОБг^х = — 5'"хх + Г’ XX 4" 0> 1'хх
XIII	Рис. 3.2.155	'"'ух + 0,5r"yx + г'ух + О.Зг^х = = 	 5'"хх + Г'хх + 0> 1'хх
	Рис. 3.2.156	'"'ух + '"ух 4” ' 'ух 4" 0, Ъ'ух =	5'"хх +  + '’хх + °> 1'хх
	Рис. 3.2.157	'"'ух + '"ух + '’ ух + 0'8'ух = = 	 5'"ХХ 	''хх + 0,1'хх
	Рис. 3.2.158	'"’ух 4~ '"ух + Г'ух + О.8гйх = 0- 1 '"хх 	  — ''хх + 0. 1'хх
	Рис. 3.2.159	'"'ух + 0,\г"ух + г'ух + 0>05гйх = =  5г"хх   г'хх 4* 0, 1'хХ
	Рис. 3.2.160	'"'ух + 0-5'"ух 4- г’ух 4- о,3гух = = — 0,5г"хх — г'хх— 0,1Гхх
	Рис. 3.2.161	'"'ух 4"	\'"ух 4- Г’ух 4" У’^Гух —  = 	^'"хх — ''хх 4~ 0> 1ГХХ
	Рис. 3.2.162	'"'ух 4- 0,3г"ух 4- 4г'ух 4- Гух = == 	^'"хх 4" Г'хх 4~ 0,1гхх
	Рис. 3.2.163	'"'ух 4" ^<^'"ух 4* ^Г'ух 4- О.ббух = — 	5г"хх 4" г'хх 4- 0, 1гХх
	Рис. 3.2.164	'"’ух 4-	4* Г'ух 4- ®’3'ух —  = 0,1 г"хх  г'XX 4* 0, 1гхх
	Рис. 3.2.165	'"'ух + 0,\г"ух + 4г'ух 4- о,05гуХ = =  ^'"хх 4* ''XX 4“ 0, 1гхх
Номер групп	Взаимные корреля- ционные функции выходкой н вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XIII	Рис. 3.2.166	г'"ух + 0,Зг"рх + 4г'уХ + гух = — 	 §Г"хХ 	г'хх 4" 0 > 1ГХх
	Рис. 3.2.167	Г'"ух + 0, \г"уХ + 4г'ух + 0,05гух = =		Г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.2.168	Г'"уХ 4" 0- %г"ух + ^Г'ух + 0, 5гух = = &Г"ХХ  Г> XX 4* 0, 1Гхх
XIV	Рис. 3.2.169	г'"9х + 0>1г"г/х + 4/-'Их + 0,05г(/х = =0, 1г"Хх + 0,1г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.2.170	г'"уХ + 0,2г"ух + 4г'ЙХ + 0,5ГуХ = = 0,1г"хх + 0, Ir'xx + 0,1гхх
	Рис. 3.2.171	г'"ух + о, 1г”9х + 4г'9х 4- 0|05гух = = 0,1г"ХХ + г'хх 4- 0,1гХх
	Рис. 3.2.172	г'”ух4-0,2г"г/х4-4г'9х4-0>5гих = = 0,1г"хх 4- Г'хх 4" 0,1Гхх
	Рис. 3.2.173	г"'ух 4* ®>&"ух 4- 4г'9х 4* гух = = 0,1г" 4-0,1г'4-0,1г
	Рис. 3.2.174	г’"ух 4-	*г" ух 4" ^г'ух 4" гух =  = 0,1г”х9 + г'хх 4- 0,1гХх
	Рис. 3.2.175	''"9х4*0> ^г"ух 4“ г'ух 4-0,05гуХ = = 0,1г"хх 4" 0,1г'хх 4* 0,1гхх
	Рис. 3.2.176	г"'ух 4" 0,1г"рх 4- г'ух 4" 0,05гух = = 1г"хх 4* б'хх 4- 0> lfxx
XV	Рис. 3.2.177	r'"yx 4- Ir'^x 4" 4г'ух 4- 0,05г0х = = 0,1г"хх —Г'хх 4-0. ICjcx
	Рис. 3.2.178	г"'ух 4* О.Йг'^х 4- 4г'9х 4- 0,5гух = = 0, 1г"хх — г'хх 4-0,1Гхх
	Рис. 3.2.179	г'"!/х + и,3г"(/х + 4г'!/х4-г9х = — 0, 1б"хх 	 г'хх 4- 0.1 Гхх
	Рис. 3.2.180	г"'(/х4-0,1г"9х4-г,9х + 0,05г9х = = 0, 1г"хх г'хх 4" 0, 1гхх
XVI	Рис. 3.2.181	Г"ух 4" Г'ух 4- 0,001 Гух = 0,001г'хх 4- ГХХ
Номер групп	Взаимные корреля ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XVI	Рис. 3.2.182	Г" ух + Юг'ух + 0,001Гух = 0,001г'Хх + гхх
	Рис. 3.2.183	Г" ух + г'уХ + 0,001 гух = 2г\х + гхх
	Рис. 3.2.184	г" ух +	4- 0,001 гух = г’хх + г хх
	. Рис. 3.2.185	г" ух 4* 0,5г'ух + 0,001гух = 0,001 г'хх + гхх
	Рис. 3.2.186	r"yx + Ю'^х + 0,001 ГуХ = 2г'хх 4- гхх
	Рис. 3.2.187	г" ух 4* 0, 5г'ух + гух = 0,001 г'х х + гхх
	Рис. 3.2.188	г"ух + 0,001г',х + 0,00\гух = г'хх -|- 0,001гХх
	Рис. 3.2.189	г"ух + 0,5г'ух + 0, 001ГуХ = 2г'хх + гхх
	Рис. 3.2.190	г"ух + Ю'\х + 0, \ГуХ = r'xx + гхх
	Рис. 3.2.191	Г"уХ 4* ^Г'уХ + 0, 1Грх — 0,001 Г'хх 4” ГХХ
	Рис. 3.2.192	r"yx + lOr'yx + 0, \ГуХ — 2г'хх -|- гхх
	Рис. 3.2.193!	r,t ух “I- 0» ^01г'^х + 0,001 ГуХ = 10rfxx + 0,001гхх
XVII	Рис. 3.2.194	г"ух 4" 0> 001 г'ух + 0,001 ГуХ = — 2г'хх — гхх
	Рис. 3.2,195	г"ух 4* 0, OOlr'yx 4- 0,001 rvx = г'хх 4- гхх
	Рис. 3.2.196	г"ух 4- 0,00Ir'yx 4- 0,001Гух = Ю''хх 4- гхх
	Рис. 3.2.197	г"ух 4- 0,001 г'ух 4~ 0,001 Гух = 0,001 г'хх 4~ 'хх
	Рис. 3.2.198	г"ух 4" 0,001 г'ух + 0,001 Гух = 2г' хх — гхх
XVIII	Рис. 3.2.199	г"ух 4* Юг'ух 4* 0,001г^х — — 2г'хх 4“ гхх
	Рис. 3.2.200	г"ух 4" г'ух 4~ 0> 001 Гух = — 2г'хх 4" 'хх
	Рис. 3.2.201	Г"ух 4- 0,5г'ух 4- 0, 001 ГуХ = — 2г'хх 4~ 'хх
	Рис. 3.2.202	г" ух 4- Юг'ух 4- 0,1гух = — 2''хх 4- 'хх
XIX	Рис. 3.2.203	г"ух 4" ^Г'ух 4- 0,001Гух = 2г'хх	ГХХ
	Рис. 3.2.204	г"ух 4* г'ух 4- 0,001Гух = 2г'хх — гХх
	Рис. 3.2.205	г"ух 4* 0,5г'ух 4- 0,001гйх = 2г'хх — гхх
	Рис. 3.2.206	г"ух 4” ^г'ух 4*	''ух — ^Г'хх гхх
XX	Рис. 3.2.207	г"ух 4- 10'f(/x 4" 0,1гух = Юг'хх 4" 'хх
	Рис. 3.2.208	г"ух 4- Ю'^х 4- 0,001Гух = 10'гхх 4* 'хх
	Рис. 3.2.209	г’'ух 4- '/j,x4_0l001rJzx = Юг'хх 4- 'хх
Номер группы	Взаимные корреля ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XX	Рис. 3.2.210	г" ух 4- 0,5г'ух + O.OOlfjpj = 10г'Хх + rxx
XXI	Рис. 3.2.211	Г" УХ + Юг'ух + Гух = 2г'хх + гхх
	Рис. 3.2.212	Г"ух + Юг'ух 4" гух — г'хх 4" ГXX
	Рис. 3.2.213	г"ух 4" Юг'ух + ГуХ = 0, 001г'хх + ГХХ
	Рис. 3.2.214	Г"ух + Г'ух + 0, 1ГуХ = 2г'хх + гхх
	Рис. 3.2.215	г"ух + г'ух + 0, \ГуХ — г'хх + г хх
	Рис. 3.2.216	г" ух 4~ г> ух + 0,1ГуХ = 0,001 г'хх + гхх
	Рис. 3.2.217	г"ух + 0,5г'уХ + 0,001 ГуХ = г'хх + 0,001гх х
	Рис. 3.2.218	г"ух + 0,5г'уХ + 0, \ ГуХ — 0,001 г'хх 4- гхх
	Рис. 3.2.219	Т"ух + Юг'ух + Югух = 0,001г'хХ + гхх
	Рис. 3.2.220	г" уХ + г'ух + 0,001	= г'хх + 0,001 гХх
	Рис. 3.2,221	г"ух + 0,5>г'уХ 4- 0,1ГуХ = 2г'хх 4- гхх
	Рис. 3.2.222	г"ух 4* г'ух 4" 0, \гух = 10г'хх 4~'хх
	Рис. 3,2,223	Г' 'ух 4- о, 5г'ух 4- о, 001 Гух = 10г'Хх 4- 0,001 гхх
	Рис. 3.2.224	г"уХ 4" Юг'ух 4- 0,001	= г'хх 4- о, 001 Гхх
	Рис. 3.2.225	г"ух + Юг'ух 4" 0,1гух = г'хх 4"	001гхх
	Рис. 3.2.226	г"ух 4- г'ух 4- гух = 0, OOlr'xx 4" f хх
	Рис. 3.2.227	Т"ух 4" г'ух 4- гух — г'хх 4- ГXX
	Рис. 3.2.228	г"ух 4* Юг'ух 4- 10гух = 2г'хх 4* гхх
XXII	Рис. 3.2.229	г"ух 4” Юг'ух 4- ЮГуХ =   2г'хх 4" ГXX
	Рис. 3.2.230	Г"ух 4- г'ух 4- 0, 1Гух = 	2г'хх 4" гхх
	Рис. 3,2.231	Г"ух 4- Г'ух 4- Гух = — 2г'хх 4- гхх
	Рис. 3.2.232	Г"уХ 4~ 0, бг'ух 4” 0, 1Гух = 	2г'хх 4" ГXX
XXIII	Рис. 3.2.233	г"ух 4* Г'ух 4- ^Гух = 2г'хх	 Гхх
	Рис. 3.2.234	Г"ух 4- Юг'ух 4- Югух = 2г'хх — Гхх
	Рис. 3.2.235	г"ух 4- 0,5г'ух 4- 0,1Гух = 2г'хх — гхх
	Рис. 3.2.236	г"ух 4" г'ух 4" Гух — 2г'хх — гхх
ХХ1У ;	Рис. 3.2.237	г"ух 4~ Юг'ух 4" 0,1гух = Юг'хх + 0,001гхх
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XXIV	РИС. 3.2.238	г"ух + ^г'ух + гух = г'хх 4" 0,001гхх
	Рис. 3.2.239	Г"ух 4- г'ух 4- 0, \гух = г'хх 4- о, 001 гхх
	Рис. 3.2.240	г"ух 4" 0, 5г'ух 4” 0,1ГуХ = Юг'хх 4- Гхх
	Рис. 3.2.241	г"ух 4"	4- гух = Юг'хх 4- гхх
	Рис. 3.2.242	Г"ух 4- 1 Ъг'ух 4- ^Гух = 10г'Хх 4- гхх
	Рис. 3.2.243	Г' 'ух 4- 0. 5г’ух 4- о, 1 Гух = г'хх 4- о, 001 гхх
	Рис. 3.2.244	г"ух 4" 1 ®г'ух 4" 10гЙХ = Юг'Хх 4~ 0,001гХх
XXV	Рис. 3.2.245	г"ух 4" г'уХ 4- Гух ~ 2г'хх 4" гХх
	Рис. 3.2.246	г"ух 4" о, 5г'уХ 4- Гух = 0,001 г'хх 4* гХх
	Рис. 3.2.247	Г"ух 4" 5г'уХ 4~ Гух = Г'хх 4" гхх
	Рис. 3.2.248	г"ух 4- 5г'ух 4" Гух = 2г'Хх 4" ГХХ
	Рис. 3.2.249	г"ух 4* г'ух 4- Гух = Юг'хх 4" Гхх
	Рис. 3.2.250	г"ух 4- 0,5г'ух 4- Гух — Юг'хх 4~ гхх
	Рис. 3.2.251	г"ух 4“ г'ух -\-Гух = г'XX 4- 0,001 гхх
	Рис. 3.2.252	г"ух 4" 0, 5г'ух А'Гух = г'хх 4~ 0> 001гхх
	Рис. 3.2.253	г"ух 4- 0,5г'уХ 4- Гух = Юг'хх 4- 0,001 гхх
	Рис. 3.2.254	г"ух 4- 0,5г'уХ 4- Гух = — 2rzxx 4" гхх
	Рис. 3.2.255	г"ух 4" 5г'ух 4- Гух = 2г'Хх	гХх
XXVI	Рис. 3.2.256	г"ух 4" г'ух 4* ЮгуХ — 0, 001 г'хх 4* гхх
	Рис. 3.2.257	г"ух 4- 0.5г'уХ 4* ЮгуХ = 0, OOlr'xx 4" гхх
	Рис. 3.2.258	г"ух 4- О, 001г'ух 4" Югух = 0,001 г'хх + гхх
	Рис. 3.2.259	г"ух 4- г'уХ 4- Югух = г'хх 4- гхх
	Рис. 3.2.260	г"ух 4" г'ух 4" ЮГух = — 2г'хх 4- гхх
	Рис. 3.2.261	г"ух 4- 0,5г'ух 4" Югух = — 2г'хх 4" гХх
	Рис. 3.2.262	г"ух 4" г*ух 4- Югух = 2г'хх — гхх
	Рис. 3.2.263	г"ух 4- 0,5г'уХ 4- Югух = 2г'хх — гхх
XXVII	Рис. 3.2.264	г"ух 4" О.бг'ух 4" 'ОГух = Юг'хх 4" Гхх
	Рис, 3.2.265	г"ух 4“ 0,5г'ух 4- Югух = 2г'хх 4" гХх
Продолжение табл. 3.2		
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции ВЫХОДНОЙ И ВХОД- НОЙ переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XXVII	Рис. 3.2.266	г"ух 4~ 0, 5г'уХ + ЮГуГ = г'хх + 0,001гХх
	Рис. 3.2.267	г"ух 4" 0,5г'ух + ЮГух = г'хх 4- гхх
	Рис. 3.2.268	Г"уХ 4* Г'ух 4" ЮГух = Юг'хх 4" ГХХ
	Рис. 3.2.269	г' 'ух 4" г'ух 4" 1 ^гух — г'хх 4- 0.001 Гхх
	Рис. 3.2.270	г"ух 4" г'ух 4" Югух = 2г'хх 4* Гхх
XXVIII	Рис. 3.2.271	г"ух 4- 0> 001 г'ух 4" 0, \ГуХ =	2г'хх 4- гХх
	Рис. 3.2.272	г" ух 4" 0,00Ir'yx 4* 0, Ir^x = 0,001г'хх 4- rxx
	Рис. 3.2.273	r"yX 4- 0,001r'yx 4* 0,1гух == Юг'хх 4- Гхх
	Рис. 3.2.274	r"yx 4" O.OOlr'yx 4- 0, Iryx = г'хх 4- rxx
	Рис. 3.2.275	r"yx 4- 0, OOlr'yx 4- 0, Ifyx = 2r'xx 4* rxx
	Рис. 3.2.276	r"yx 4* 0, OOlr'yx 4- 0,1гИх — 2r'xx — rXx
	Рис. 3.2.277	r"yX 4- 0,001 г'ух 4" 0,1гух = г'хх 4- 0,001 Гхх
XXIX	Рис. 3.2.278	г" ух 4~ 0,001 г'ух 4* Гух — — 2г'хх 4* гхх
	Рис. 3.2.279	г"ух 4~ 0,001 г'ух 4- Гух = 0,001г'хх 4" Гхх
	Рис. 3.2.280	г"ух 4" 0,001г'ух 4- Гух = 2г'хх 4“ Гхх
	Рис. 3.2.281	г''ух 4- 0,001 г'ух 4" Гух = Юг'хх 4~'хх
	Рис. 3.2.282	г"ух 4- 0, OOlr'yx 4- Гух = г'хх 4- 0, OOlfxx
	Рис. 3.2.283	г"ух 4" 0,001 г'ух 4" Гух = 2г'хх — Гхх
XXX	Рис. 3.2.284	г"ух 4” 0,001 г'ух 4" Югух = — 2г'хх 4" Гхх
	Рис. 3.2.285	Г"ух 4" 0, OOlr'yx 4" ЮГух = г'хх 4" Гхх
	Рис. 3.2.286	г"ух 4- 0,OOlr'yx 4- Югух = 2г'хх 4" Гхх
	Рис. 3.2.287	г"ух 4“ 0, OOlr'yx 4" Югух — г'хх 4* 0, ОО1гХх
	Рис. 3.2.288	г''ух 4" Oi OOlr'yx 4“ Югух = 2г'хх — гХх  73

-10	0	10	20	30 t,c	Рис, 3.2.20

Pilc, 3,2,22	Pu.c. 3,2.13


’uZ,®

3 I


м
Рис. 3.2.107

Рис. 2. 3.710

Гцх, В
4-

-7(7

*1-

у/Г/	—7- _/' /~\ /у

// / / г 1^4444/

\J XJ /	/	/ ioaf—T-SC

v V ly \P

'72ff j'fH

1B0

-f\

Pltt.M.Wf

8fi



ГОХ> В

О

Рис. 2.3. 103

-20 О

-2

~0

-6

го

. I.

00t,z

РисЛ.ЗМ

Рис.злт
"цх>^>
15

10
5

-ю о

-10

ID-

S'

SO % с

Puo.Z.ZM

-10 О

-5

-10

~15 -	rj/xi В

Гнх,^

10

120

i}c

Рм.М.1Ю

гцх>ъ

5

S

-10 О

-10

-15

PaC.UM

SO $С

-10 о





00

so

Рис. 3.2.ПЭ

-5

гдх > В
12—23

rUx> В

ГуХ> ®



о

-10

10	20	30 ОО 50	60	70	60	90 t, G

Рис. J. 2.185

Рис. 3.2 117
г'ис.3.г.1Э5
Рис. 3.2.198





105

Рис 3.2.267	Ри.с.3.2.262


Гух,*

20

Рис. 3. г. 285

3.	Строится промежуточная взаимная корреляционная
функция выходной и входной переменных гп?х (/) = kr9^ (t[k).

4.	По таблице типичных групповых взаимных корреля-
ционных функций выходных и входных переменных нахо-
дится номер группы кривых, близких по форме к r^x (t).
Затем в следующей таблице в группе кривых под этим но-
мером находится табличная-взаимная корреляционная функ-
ция выходной и входной переменных rTyx(t), близкая к
г”’(0> и определяются коэффициенты дифференциального
уравнения объекта r"\x(t)^aTir"yX(t)+aT2r'yx(t)-]-
_г°'тз/»х (О —b то/’//хх (t) ~\~b T i г'хх (t) + bT2rxx (t).

Таблица 3.3

Групповая типичная взаи”наг корреляционная функция выходной н Входной переменных	Номер группы
Корреляционная функция входа -	-рис. 3.3.1
Рис. 3.3.2	I
Рис. 3.3.3	II
Рис. 3.3.4	III
Рис. 3.3.5	IV
Рис. 3.3.6	V
Рис. 3.3.7	VI
Рис. 3.3.8	VII
Рис. 3 3.9	VIb
Рис. 3.3.10	IX
Рис. 3.3.11	X
Рис. 3.3.12	XI
Рис. 3.3.13	XII
Рис. 3.3.14	XIII
Рис. 3.3.15	XIV
Рис. 3.3.16	XV
Рис. 3.3.17	XVI
Рис. 3.3.18	XVII
Рис. 3.3.19	XVIII
Рис. 3.3.20	' XIX
Корреляционная функция входа —	рис. 3.3.21

Рис. 3.3.22	XX
Рис. 3.3.23	XXI
Рис. 3.3.24	XXII
Рис. 3.3.25	XXIII
Рис 3.3.26	XXIV
Рис. 3.3.27	XXV
Рис. 3.3.28	XXVI
Рис. 3.3.6

га®>

в

ч

100 t,c

- 100

м'(- Рис.3.3.15

I, В _у!_ Рис. 3.3.13	11 I I .

.г, I	ffj- -51-	РиС:

гуг, В

Z50 Ъ,с

-100

-10

Рис. 3.3.14

-100

Л/Ti В

10

-100

Рис. 3.3.16

350 t.c

ЧОО

t,c

_ ?Л*-	Рог. п м

-10'

Рис.3.3.18

-100

-2

Рис. 3.3.17

ГГ,8_

О

—100

’ •' х,В
20

100 t,c

-100

Рис. 3.3.21

Рис.3.3.13

200 t,c

Рис.3.3. 20

wot,с

-100

Гух,&

60

40

Рис. 3.3.ZZ

Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
I	Рис. 3.4.1	Г'ух 4" 0> OOIr^x = Гхх
	Рис. 3.4.2	г'ух 4* 0,005гУх = гхх
	Рис. 3.4.3	г'ух + 0,01 Гух = Гхх
	Рис. 3.4.4	г'ух 4* 0,	= ГХх
	Рис. 3.4.5	Гг ух + 0, 1г^х = б хх
	Рис. 3.4.6	г'ух + 0, 5ГуХ = гхх
	Рис. 3.4.7	f'yx 4" Юб ух = гхх
	Рис. 3.4.8	г'ух + 5б уХ = Гхх
II	Рис. 3.4.9	Г'"ух + 3,5г"^ + о,2г^ + 0,025^ = = г"хх — 0,1б'хх + 0,1Гхх
	Рис. 3.4.10	Г"'ух + з, 5г"ух + 0,2г'ух + 0,025гух = = Г"хХ + 0, 1б'хх + 1бхх
	Рис. 3.4.11	Г'" ух + з, 5г"ух + 0,2г'ух + 0,05rffx = = б”хх + 0,1г'хх + 0,1бхх
	Рис. 3.4.12	Г'"ух + з, 5г" ух + 0,4г'их + 0,025^ = = Г"хх+ 0,1 г'хх +0,1бхх
III	Рис. 3.4.13	г'"ух + 3,5г"^х+ 0,2r'^x+ 0,025грх = = 2б”хх + 0, ^'хх 4* 0,1гхх
	Рис. 3.4.14	Г'" ух + з, 5г" ух + 0,4г'ух + 0,025гух = = 2б”хх + 0,1б'хх + 0,1 гхх
	Рис. 3.4.15	Г'" ух 4- з, 5г"ух + 0,2г'ух + 0, Ъ5гух = = 2б"хх + 0, \г'хх + 0, 1бхх
	Рис. 3.4.16	r"f ух + 3,5r + 0,4г'уХ + 0,05г^Л = + 0,1г'Хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.17	г"'ух+3,5г"ух + 0,2г'ух + 0,025гух = = ’ > бб"хх + 0,5г' хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.18	Г'" ух + 3,5г" ух + 0,4г'уХ + 0,025гух = ~ 1 > 5>г"хх + 0,5г'хх + 0, \гхх
IV	Рис. 3.4.19	г"'ух + 3, 5г"уХ + 0,2г'уХ + 0, \ГуХ = — ^r"XX 4” !б'хх 4" 0, 1гхх
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
IV	Рис. 3.4.20	г'"ух 4- 3,5г”уХ 4- 0,4г'^х + 0, \гуХ = = 2гпхх + 0, Jr'xx + 0,1гхх
	Рис. 3.4.21	г>"ух 4- 3, 5г" ух 4-0, 4г'ух + 0,1гух = = ^Г"XX + 0. Jr'xx + 0, 1гХх
	Рис. 3.4.22	г'" Ух + 3,5г"ух + о, 2г’ух + о, 05г^ = = Зг'^х 4- 0, Jr'xx + 0, Jrxx
	Рис. 3.4.23	г'"ух 4“ 3.5г"уХ 4- 0,4r'^x 4- 0,05гух = = ^>Г"XX 4- 0, ^Г'XX 4" 0,
	Рис. 3.4.24	Г'г'ух 4" 3,5г" ух 4- 0,2г'ух 4" о, 025г^ = — 5г"хх 4- 0, Jr'xx 4" 0, 1гХх
	Рис. 3.4.25	г"'ух 4- 3,5г" ух 4- 0,4г'ух 4- 0,025^ = = 5г" хх 4* 0, Jr'xx 4" 0, 1гхх
	Рис. 3.4.26	Г"'ух 4- з, 5г"ух 4- о, 2г'ух 4- о, 025гух = = 5г" хх 4" 0. Jr'xx 4- 0,1гХх
	Рис. 3.4.27	Г"'ух + з, 5г" ух 4- о, 2г’,/х 4-0,1Гух = = ХХ 	0, Jr'xx 4" 0, Jr.xx
	Рис. 3.4.28	Г"'ух + з, 5г" ух 4- о, 4г’ух 4- о, \Гух = = %Г"хх	0, Jr'XX 4-0, JrXX
	Рис'. 3.4.29	г"'ух 4- з, 5г" ух 4- о, 4г'ух 4- 0,05гуж = = 2г”хх-0,1г\х4-0,1Гхх
	Рис. 3.4.30	r"'llx + 3,5r"yx + r’yx + 0,Jryx = = 2r"xx-0,Jr'xx + 0,Jrxx
	Рис. 3.4.31	г"'ух 4- 3,5г"ух 4- 0,2г'уХ 4- 0,05^ = = 2r"xx-0,Jr’xx + 0,Jrxx
	Рис. 3.4.32	Г'"ух 4- 3,5г" ух + 0,4г'ух 4- 0,025^ = = ^г"хх — 0, Jr'хх 4- 0, Jrxx
	Рис. 3.4.33	Г'"ух 4- з, 5г"ух 4- 0,2г'ух 4- о, 025гух = = 2r"xx-0,lr'xx + 0.Jrxx
V	Рис. 3.4.34	г'"ух 4- 3,5г"ух 4- г'ух 4~ 0, \гух = 5=7 г"хх — 0,1 г'хх 4-0, Ifxx
	Рис. 3.4.35	г"'ух + 3,5г"ух 4- о, 4г'ух 4- 0, Ъ5гух = = г"хх + 0, Jr'хх 4* 0, JrXx
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
V	Рис. 3.4.36	г'"ух + 3, 5г”их + 0,2г'уХ + 0,05гуХ = = r"xx~ 0,1г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.37	Г’"ух + з, 5г” ух + 0,2г'ух + 0,05г^ = = 1 >5г"д:х + О.бг'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.38	г'"ух 4" 3, 5г” ух + 0,4г' ух 4* 0,05>гух = = Г"XX	 0, ^г'хх "1" ^гхх
VI	Рис. 3.4.39	Г"’ух + 3,5г"ух + 0,4г'ух + 0, \гух = = г" хх — 0,1г'дх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.40	Г"'ух + 3, 5г”ух 4- 0,2г'ух 4- 0,025г>х = = 5г"хх 4* 0, ^Г'хх 	 А, •'хх
	Рис. 3.4.41	г"'ух 4* 3,5г"ух 4- 0,2г'ух 4- 0,05гух = = 0,001г"дх 4- 0,5г'хх 4- 0,001Гхх
	Рис. 3.4.42	г’"ух 4- 3,5г”ух 4- 0,2г'ух 4- 0,05гух = — •,5г"хх 4“ 4г'хх 4" 0>•'хх
	Рис. 3.4.43	Г"'ух 4- з, 5г”ух 4- 0,2г'ух 4- 0,025^ = = 0,001г"хх 4- 0, 5г'хх 4" А, АА^хх
	Рис. 3.4.44	г"'ух 4- 3,5г”ух 4- 0,2г'ух 4-. 0,05гух = = — 5г”хх 4- 0,5г'хх 4" 0, •'’хх
	Рис. 3.4.45	Г”'ух 4- з, 5г''ух 4- 0,2г'ух 4- 0,025гух = — 1 <5г”хх 4" 4г'хх 4" A, •''хх
	Рис. 3.4.46	г'”ух 4" 3, 5>г”ух 4- 0,4г'ух 4- 0,05гух = = 1,5г”хх 4- 0,5г'хх 4- 0. •'хх
VII	Рис. 3.4.47	Г"'ух 4- з, 5г”ух 4- 0,2г'ух 4- 0,05r^ = = 5>f”XX 4" 0, •''хх	 0, •<XX
	Рис. 3.4.48	г'" ух 4- 3,5г”ух 4- 0,2r'„x 4- 0,05гух = — 1,5г”XX 4* 4r'XX   ГXX
	Рис. 3.4.49	Г'"ух 4- 3,5г"ул 4- 0,2г',х 4- О.ОбГух = = 1,5г”хх — 4г' хх — гхх
	Рис. 3.4.50	Г'"ух 4- 3.5г”ух 4- о, 2г'ух 4- о, 025г^ = = 1,5г”хх — 4г'хх 4" А, •'’хх
VIII	Рис. 3.4.51	Г"'ух 4- 3,5г”ух 4- о, 4г'ух 4- о, 025г^ = = •, 5г” хх — 4г' хх — гхх
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и ВХОД- НОЙ переменных	Дифференциальное уравнение объекта
VIII	Рис. 3.4.52	Г'" УХ + з, 5г"ух + 0, \г'ух + 0,025г^ = = 1 > 'де" хх 4- 4г'хх — гхх
	Рис. 3.4.53	Г'" ух + з, 5г"ух + о, 2г'уХ + 0,025^ = =	— 4г\х — Гхх
	Рис. 3.4.54	r'"yx + 3,5r"yx + 0,2r'yx + 0,025rtfx = = l,$r"xx + 4r'xx — rxx
IX	Рис. 3.4.55	r"'yx + 3,5r"yX + 0,2r'yx 4- 0,025r^x = = — 5r"xx — r'xx + 0,001 rxx
	Рис. 3.4.56	r"'yx + 3, 5r"yx 4- 0,2r'yx + 0, \ryx = — 1 > dr"xx — 4r'xx + 0, lrxx
	Рис. 3.4.57	r"'yx + 3,5r"yx 4- 0,2r'yx 4- o, \ryx = = dr"xx — r'xx — 0,001ГХХ
	Рис. 3.4.58	r"'yx 4- 3,5r"yx 4- 0,2r'yx 4- 0,05rtfx = = 1.5r''xx —4r'xx4-0,lfxx
X	Рис. 3.4.59	r"' yx 4" 3, dr"yx 4- 0,4r’yx 4- 0,1 ryx = = 0,00Ir"Xx 4- 0, d>r'xx 4-0,001^
	Рис. 3.4.60	r'"yx 4" 3,5r"yx 4- 0,4r'yx 4- 0,5ryx = = — dr"xx — r'xx 4" 0, 001 r'xx
	Рис. 3.4.61	, r"'yx + 3,5r"yx 4-0,4^ + 0,!^ = = 1 I dr"XX 4- 4r'xx 4" 0, IfXX
	Рис. 3.4.62	i/'"yx 4- 3,5r"j,x 4- d,2r'yx 4- 0, \ryx = — 1 > dr"xx 4“ 4r'xx 4- 0, Ifxx
	Рис. 3,4.63	r"'yx 4- 3,5r"yx 4- 0,2r'yx 4- 0,\ryx = = 10r"xx 4- 0,5r'xx 4- 0, lrxx
	Рис. 3.4.64	r"'yx 4“ d,5r"yx 4* 0,2r'yx 4- 0, \ryx = = 0, C01r"xx 4" 0, dr'xx 4- o, 001 rXx
	Рис. 3.4.65	r"'yx 4- 3, d"yx 4- 0,4r'yx 4- 0,\ryx = = 5r''xx4-0,lr'xx4-0,lrxx
	Рис. 3.4,66	r'"yx 4- 3,5r"yx 4- 0,'- r'yx 4- 0, \ryx = = 5r"xx4-0,lr'xx4-0,lrxx
	Рис. 3.4.G7	r"'yx 4-3,5r"yx 4-0,2r’yx 4-0, lr,x- = r"xx 4- 0, Ir'xx 4* 0, Ifxx
Номер группы	Взаимные корреля ционные функции выходной и вход- ной переменен*	Дифференциальное уравнение объекта
X	Рис. 3.4.68	Г'"ух + 3,5г' 'уХ + 0,4г'ух 4- 0,5ГуХ = — 5г"ХХ   г'хх   0> 001Гхх
	Рис. 3.4.69	Г,пух + 3, ^"ух + Г,ух + 0, 1Гух = = 0,001 rffxx ~Ь 0, хх + 0, 00Ifхх
	Рис. 3.4.70	г'"ух + 3, 5г"уХ + r'yx + 0, 1ГуХ = — ' i 5r"Xx 4- 4r'xx 4- 0, lrXJC
	Рис. 3.4.71	r' "yx 4" 3,5r"yx 4- 0,4r'yX 4- 0,05ryX = = 0,001 r"xx 4- 0,5r’xx 4- 0,001rxx
	Рис. 3.4.72	r"'yx 4- З.бг'^х 4- 0,4r'yX 4- 0,25гуХ = = r"xx 4- 0, ir'xx 4" 0, Pxx
	Рис. 3.4.73	r'"yx 4" 3, 5r" yX 4- 0,4r'yX 4" 0,5rtfx = = r"xx 4" 0, lr'xx4* 0, lrxx
	Рис. 3.4.74	r'"yx 4- З.бг"^ 4- 0,4r'yX 4- 0,05ryv = = 10r"xx 4- 0,5r'xx 4" 0, Irxx
	Рис. 3.4.75	r'"yx 4- 3, 5r"yx 4- o, 4r'yx 4- 0,025^ = = 10rz,xx 4" 0,5r'xx 4* 0, \rXx
	Рис. 3.4.76	r"'yx 4- 3,5r"yx 4- o, 4r'yx 4- 0,05r^ = = 5r"xx 4" 0, lr'Xx 4* 0, Ifxx
	Рис. 3.4.77	r'"yx 4- 3, 5r"yx 4- 0,4r'yX 4“ 0,1ГуХ = ~ ^r"xx 4" 0, lr'xx 4“ 0, lrxx
	Рис. 3.4.78	r"'yx 4- 3,5r"yX + 0,2r'yx 4- 0,05ryx = — '0r"xX 4* 0,5r'xx 4" 0, lrxx
	Рис. 3.4.79	r"'yx 4- 3,5*"^ 4- 0,4r'yx 4" 0,05ryx = — 1 > Er"xx 4" 4r'xx 4- 0, lrxx
	Рис. 3.4.80	r"'yx 4- 3,5r"yX 4- 0,2r'yX 4-0, lryx = = 1.5r"xx4-0>5r'^4-0.1rxje
	Рис. 3.4.81	r"'yx 4- 3, ^>r"yx 4- 0,4r'yx 4- 0,025гах = = 0,001 r"xx 4- 0,5r'Xx 4- 0,001 rXx
	Рис. 3.4.82	r"'yx 4- 3,5r"yx 4- 0,4r'yX 4- 0,5ryx = = 3r"x/4- 0, \r'xx 4- 0, lrxx
	Рис. 3.4.83	r'"yx 4- 3,5r"yx 4- 0,4r'yx 4- o, lryx = = ^r"xx 4- 0, Er'xx 4-0,
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
X	Рис. 3.4.84	г'" ух 4* 3, %"ух + 0,2г'ух + 0, 1гух — = — 5г"хх + 0, 5г'хх + 0, 1гхх
	Рис. 3.4.85	г"'ух + 3,5г гуХ + ®i4r'yX + 0, \ГуХ — ~ 11 XX 4* 0, ^>Г'XX + 0, ^гхх
	Рис. 3.4.8G	г'"ух + 3,5г"ух+0,4г'ух -4-0,1^ = = Г"XX + 0> 1 Г'хх 4" 0> ^гхх
	Рис. 3.4,87	г'" ух 4" 3,	+ 0, 2г'ух + 0,025r(p. =  = 10r"xx + 0,5r\x + 0, lrxx
	Рис. 3.4 88	r"'yx + ^^r"yx + r^ + 0,lr^ = — — 5r"xx + 0,5r'xx + 0, lrxx
	Рис. 3.4.89	r'"yx + 3,5r"yx + 0,2r'yx + 0, lryx = = 3r'\x + 0, 1Г' XX + 0> Ifjcx
	Рис. 3.4.90	r”!yx + 3,5r"yX 4* 0,2r'yx + 0,05^ = = 5r"xx “1" 0, ^f'xx 4* 0, 1ГХХ
	Рис. 3.4.91	r"'yx + 3,5r,'i/x + Q,4r'yX + 0,025^ = = 5'-"xx + 0,lr'xx + 0, lrxx
	Рис. 3.4.92	r'"yx + 3,5r"yX + 0.4r'yx + 0,001 ryx = = 0,00 lr"xx + 0,5r'xx + 0,001 rxx
	Рис. 3.4.93	r"'yx + 3,5r"yx + 0,4r'yX + 0,025ryx = = 1 > 5r"xx + 4r'xx + 0, lrxx
	Рис. 3.4.94	r'”yx + 3,5r"^ + r'yx + 0, \ryx = = 1, §r"xx + 0, §r'xx + 0, lrxx
	Рис. 3.4.95	r"'yx + 3,5r"yx 4- 0, ir'yx + 0,05г^ = = ^"'"xx + 0,5r'xx + 0, \rxx
	Рис. 3.4.96	r'"yx + 3, §r"yx 4- r’yx 4- 0,1ГуХ = — r"xx + 0, lr'xx 4- o, lrxx
	Рис. 3.4.97	r'"yx+‘d, 5r"yx 4- 0,4r'yx 4- o, 025ryx = = 	 5rr'xx +	4* ^xx
	Рис. 3.4.98	r"'yx 4- 3, 5r"yx 4- 0,2r’yx 4- 0,025rtfX = = — ^"xx 4- 0,5r'xx 4- 0, \rxx
XI	Рис. 3.4.99	r"'yx + 3,5r"yx 4- 0, 4r’yx 4- 0,05ryx = = 11 ^"xx 4- 4r'xx—rxx
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XI	Рис. 3.4.100	г’" ух + з, 5г" ух + 0,4г'ух + 0,05г^ = = I.5r"xx — 4г'хх — гхх
	Рис. 3.4.101	Г'"ух + 3, 5г"уХ + г'ух + 0. ^гух = = l'Sr"xx + 4r'xx — rxx
	Рис. 3.4.102	г'"ух + 3,5г"уХ + 0,4г'уХ + 0,05^ = = 5г"хх + 0, \г'хх — 0,1гхх
	Рис. 3.4.103	Г'"ух + 3, 5г"уХ Н" 0,4г'уХ -|- 0,1гуХ = — ^г"хх + 0,5г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.104	г'"ух Н" 3,5г"уХ + г'ух + 0, \ГуХ = =		4г'ХХ	гхх
	Рис. 3.4.105	г'" ух + 3,5г"уХ + г'ух + 0,1Гух = = 5г"хх 0> \Т' XX  0> 1ГХХ
	Рис. 3.4.106	Г'" ух + з, 5г" уХ + 0,4г'ух + 0,025г^ = = 5г"хх — г'хх — 0,001гхх
	Рис. 3.4.107	г'" ух + 3,5г" уХ + 0,2г'уХ + 0,025гуХ = = 5г" хх — г'хх — 0,001 гхх
	Рис. 3.4.108	г'"ух + 3,5г"ух + 0,4г'^ + 0, \гух = = 5г"хх + 0, Ir'xx 	 0| ^гхх
	Рис. 3.4,109	Г'" ух + 3,5г" ух + Q,2r’yx + о, 05г^ = = 5г"хх — г'хх — 0,001гхх
	Рис. 3.4.110	г'"ух + 3,5г"уХ + 0,2^ + 0,1гух = =^5r"Xx + 0, Ir'xx — 0, \гхх
	Рис. 3.4.111	г"'ух + 3,5г" ух + 0,2г'уХ + 0,025г^ = = — 5г"хх — г'хх + 0,001гхх
	Рис. 3.4.112	Г"'ух + з,5г"ух + 0,4г'ух + 0 001гух = = — 5г" хх	г'хх + 0,001 гХх
	Рис. 3.4.113	Г'"ух + 3,5г"ух + 0,4г'ух + 0, \Гух = — 1 > 5г" хх + 4г'хх — г хх
	Рис. 3.4.114	Г'" ух + з, 5г" ух + 0,4г'ух + 0,05гух = = 5г" хх г'хх — 0|001гхх
	Рис. 3.4.115	Г"'ух + з, 5г" ух + 0,4г'ух + 0,025г^ = ~	5r" XX —г'хх + OiOOlftX
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XI	Рис. 3.4.116	Г"'ух + з, 5г" ух + 0,4г'ух + 0,025^ = = 1,5г"хх — 4г'хх4-0,1гхх
	Рис. 3.4.117	г"'ух + 3,5г"уХ + 0,4г'ух + 0,05гуХ = =   5Г" хх   Г' XX + 0> 001 Г лсд;
	Рис. 3.4.118	г"-'ух + 3,5г" ух + 0,4г'ух +О,1ГуХ = = 1>5с”хх — 4г'хх — гхх
	Рис. 3.4.119	г'” ух + 3,5г"ух + 0,2г'ух + 0,1гух = = 1 > 5г" хх + 4г'хх 	 ГXX
	Рис. 3.4.КО	Г'"ух + з,5г"ух + 0,4г'ух + 0, \ГуХ = = 5г" хх — г'хх — 0,001 гхх
	Рис. 3.4.121	Г"'ух + 3,5г"уХ 4- 0, <2г'уХ + 0,05гуХ = = — 5г" хх — г'хх + 0,001г хх
	Рис. 3.4.122	Г"'ух + з, 5г"ух + г'ух + 0,\гух = = 5г" хх — г'хх — 0,001 гхх
	Рис. 3,4.123	г'" ух + 3,5г" ух + 0, Чг'ух + 0,1 гух = = 11 5г" хх — 4г' хх — г хх
	Рис. 3.4.124	Т'"х 4- 3,5г"уХ + 0,4’'уХ + 0, \ ГуХ = = — 5г" хх — г'хх + 0,001 г хх
	Рис. 3.4.125	г"'ух 4" 3,5г"ух + г'ух + 0,1г^х = = — 5г" хх — г' хх + 0,001 г хх
	Рис. 3.4.126	Г"'ух + 3,5г" уХ + 0,4г'уХ + 0,05гух = = 1,5"гяя — 4г\д + 0,1гхх
	Рис. 3.4.127	г'"ух + 3,5г"уХ+г'уХ + 0,1ГуХ = = Ибг'^х —4г'хя 4-0,1 rxx
XII	Рис. 3.4.128	« г"'уХ + 3,5г"уХ 4- 0,4г'ух 4- ГуХ = == — 5г"хх 4- 0,5г' хх 4- 0,1гХх
	Рис. 3.4.129	г"гух 4- 3,5г"уХ 4- 0,4г'уХ 4- гуХ = = 2г"^4-0,1г\д4-0,1гхх
	Рис. 3.4.130	г'"ух + 3.5г"уХ + 0,4г'уХ + ГуХ = = 5г"хх 4- 0, \г'хх 4- 0,1гхх
	Рис. 3.4.131	r'"yx 4" 3,5г"уХ 4- 0,4г'уХ 4- ГуХ = = 2г"хх-0,1г'хх4-0,1гхх
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XII	Рис, 3.4.132	r"'yx + 3,5г"ух +0,4г'ух + Гух = = Зг"хх + 0, ^Г'хХ 4" 0,1 гXX
	Рис. 3.4.133	г"'ух + 3,5г"ух 4- 0,4т'уХ + ГуХ = = 1 , 5г"Хх 	 4г' Хх 	 гхх
	Рис. 3.4 134	г'"ух + 3,5г"ух + 0, 4г' уХ	ГуХ =  — 1, ^>г"хх + 4г'хх — гхх
	Рис. 3.4.135	г"'ух + 3,5г"уХ + 0,4г'ух + Гух = = l,5r”xx —4г'хх4-0,1гхх
	Рис. 3.4.136	Г'"ух 4" 3, 5г"ух + 0, 4г'ух + ГуХ — =   Ьг"хх  г'хх 4~ 0,001 Гхх
	Рис. 3.4.137	Г'" Ух + з, 5г" ух + 0,4г'ух + Гух = = Юг"хх + 0,5г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.138	г,"ух + ^^г"ух+^4г'ух + гух = = 1,5г" хх + 4г' хх + 0,1 гхх
	Рис. 3.4.139	г>"ух + 3, 5г"уХ + 0,4г'ух + Гух = = 0,001г"хх + 0,5г'хх + 0,001гхх
	Рис. .3.4.140	г'"ух + ^5г"ух + 0,4г'ух+ гух = = 1,5г"хх + 0,5г'хх + 0., 1гхх
XIII	Рис. 3.4.141	г"'ух + 3, &r"yx + 0,2г'уХ + 0,6ГуХ = = ^Г"хХ — Г'XX  0,001гхх
	Рис. 3.4.142	Г"'ух + з, 5г" ух + о, 2г'ух + 0,5гух = = 1,5г"хх + 0,5г 'хх + 0,1 гХх
	Рис. 3.4.143	г'" ух + 3, 5г"ух + 0, 2.г'уХ + 0,6гух = = 1,5г"хх4-4г'хх —гхх
	Рис. 3.4.144	г'"ух + 3,5г" ух + 0,2г'уХ + 0,5г уХ = = Юг,/хх + 0,5/' хх + 0,1 гхх
	Рис. 3.4.145	г"'ух 4“ 3,5г"ух + 0,2г'ух + 0,6г^х = = 2г"хх + 0,1г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.146	г’"ух + 3,5г"ух + 0, 2г’ух + 0, вгух = = 5г"хх + 0,1г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.147	г'"ух + 3,5г"ух + 0, 2г'ух + 0,6ГуХ = ~ &г"хх + 0, ^г'хх — 0,1гхх
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта  Г
XIII	Рис. 3 4 148	Г>"ух + 3, 5г"уХ + 0> ‘Zr'yx + 0, бГуХ = = 1.5г"яя — 4г'хх — гхх
	Рис. 3,4.149	Г'"уХ + 3, 5г"уХ + в ^Г'ух + 0, 5ГуХ = — Зг" Хх + 0>	4“ 0| lfXX
	Рис. 3.4.150	Г'"ух + 3,5г" ух + 0, 2г'ух + 0,5гух = = 2г”хх — 0, \г'хх + 0,1 гхх
	Рис. 3.4.151	Г'" ух + з, 5г" ух + 0,2г'ух + 0, бГух = = — 5г "хх — г'хх + о, 001 гхх
	Рис. 3.4.152	Г'" ух + 3,56"^ + 0,2^ + 0,5гух = = 1.5г”хх —4г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.153	г'"ух + 3,5г"уХ + 0,2г'ух 4- 5,5гух = = I > Зг"хх + 4г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.154	г'"ух + 3,5г"ух + о, 2г'ух + 0,5гух = = г"XX   0, Ir'xx + 0, 1гхх
	Рис. 3.4.155	Г"'ух + 3,5г" ух + 0,2г'ух + 0,6^ = = 0,001г”хх 4- 0,5г'хх 4- 0,001гхх
	Рис. 3.4.156	Г'"ух + 3.5г"ух + 0,26'^ 4- 5,бГух = = -5г'^4-0,5г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.157	г"'ух 4- 3,5г"уХ 4- 0,2г'уХ + 0, бГух = —Г"XX 4- 0, ^г'хх 4~ 0, 1гХх
XIV	Рис. 3.4.158	Г'"ух 4- 3,5г"ух + 0,4г'ух + о, 5гух = = 5r”xx + 0>Ir'„-0,Irxx
	Рис. 3.4.159	г'"Ух + 3,5г"ух + 0,4г^ 4- 0,25^ = = 1 > 5г" хх — 4г' хх — г хх
	Рис. 3.4.160	Г'"ух + 3,5г"ух+г'ух + ^ЛГух = = Ьг"хх + 0, ir'xx + 0,1Гхх
	Рис. 3.4.161	г"'ух + 3,5г" ух + 0,4г'Ух + 0,1Гух = = 1 >5г"хх	 4г'хх + 0. irXX
	Рис. 3.4.162	г"'ух 4- 3,5г"ух 4- 0,4/-'^ + 0,5гух = = -5г”хх+0,5г'хх4-0,1г«
	Рис. 3.4.163	г'"ух 4- 3,5г"ух 4- 0,4r'i/X + 0,256^ = = 0,001r"xx 4" 0’ Sr'хх 4“ 001/>х
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и ВХОД- НОЙ переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XIV	Рис. 3.4.164	Г'"ух + 3, 5г" ух + 0,4г'уХ + 0, 5гух = = 1 > 5г" хх 4~ 0,5г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.165	г'"ух4~3, 5'ух 4" г"ух 4" 4г'ух + 0,25г ух — = 2r"xx + 0,lr'„4-0,lrxx
	Рис. 3.4.166	r>,fух 4” 3,5rz'уХ + ^гТух 4“	25г^ =  = Зг"XX 4“ 0» ^Г'хх 4* 0’ 1 Г XX
	Рис. 3.4.167	Г"'ух + 3,5г" ух + 0,4г'ух + 0, 25гух = = 5г"х.г 4-0. lr'xx + 0,1г.„
	Рис. 3.4.168	г"'ух 4” 3,5г" ух + 0,4г' ух + 0,25г ух — = Юг"хх 4- 0,5г'хх 4- 0,1гЯх
	Рис. 3.4.169	Г"'ух + 3,5г"ух + 0,4г'уХ 4- 0,5гух = = 1,5г”хх4-4г'хх4-0,1гХх
	Рис. 3.4.170	г"'ух 4- 3,5г"уХ 4- 0,4г'уХ 4- 5,5гух = = 0,001г"Хх 4- 0,5г'хх 4- 0,001 гхх
	Рис. 3.4.171	г'"уХ 4- 5,5г"ух 4- 0,4г'уХ 4- 5,25гух = = 1,5г"хх 4- 4г'хх — гхх
	Рис. 3.4.172	г"'ух 4- 5,5г"ух 4- 5,4г'ух 4- 5,5гух = = 1,5г"хх 4- 4г'хх — гхх
	Рис. 3.4.173	г'"ух 4~ 5,5г"уХ 4- 0,4г'ух 4~ 0,25г(/х = = 5г"хх4-0,1г'хх-0,1Гхх
	Рис. 3.4.174	г"'ух 4- 3,5г"ху 4- 0,4г'ух 4- 0,5гух = = Юг"хх + 0,5г'хх + 0,1гХх
	Рис. 3.4.175	г"'ух 4- 5,5г"ух 4- 0,4г’ух 4- 0,5гуХ = = 2г"хх + 0, lr'xx 4- 0,1гхх
	Рис. 3.4.176	г"'ух 4- 3,5г"уХ 4- ОЛг'^х 4- 0,5гуХ = = 5г"хх 4~ 0, lr'xx 4" 0,1гхх
	Рис. 3.4.177	rtt,yx. + 3,+ 0, ^ух = = 1 »	rxx
	Рис. 3.4.178	г'"ух 4- 3,5г"уХ 4- г'ух 4* 5гуХ =  = Зг"хх 4- 0, lr'xx 4* 0, 1гХх		
	Рис. 3.4.179	г'"ух 4- 3,5г"Ух4- 5,4г'уХ +5,25гух = = 5г"хх-Г'хХ- 0,001 Гхх
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XIV	Рис. 3.4.180	г'"уХ + 3, 5г"ух + 0,4г'уХ + 0,25г,х = == 1, 5г"Хх — 4г' хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.181	Г'" ух + з, 5г"ух + 0,4г'ух + 0,25гух = = 2г"хх-0,1 г'хх + 0,1 гхх
	Рис. 3.4.182	Г'" ух + 3,5г”^ + 0,4г'ух + 0,5гух = = l,5r"xx-4r'xx + 0Jrxx
	Рис. 3.4.183	г'" уХ + 3,5г"ух + 0,4г'ух + 0, 5г ух = = ^Г" XX 	 0, 1г'хх + 0, lfxx
	Рис. 3.4.184	г"'ух + 3, 5г" ух + 0,4г'ух + 0,25гух = = 1 > ~>г" хх + 0,5г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.185	г"'ух + 3,5г" ух + 0,4г'ух + 0,25г ух = = 1, 5r"xx + 4r'хх + 0, 1Гхх
	Рис. 3.4.186	г '"ух + з, 5г"ух + О,4г'ух + 0,25гух = = — 5>г"хх + 0,5г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.187	г'"ух + 3,5г"уХ + 0,4г'ух + 0,25г ух = = Г"XX  0, 1Г'хх + 0, lfxx
XV	Рис. 3.4.188	г"'уХ + 3,5г" ух + о, 2г'уХ + 0,25^ = = 2г"хх — 0,1г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.189	г'"ух + 3,5г"ух + 0,2г^х + 0, 25гух = = г" хх — 0, lf,xx + 0, 1 Гхх
	Рис. 3.4.190	Г"'ух + 3, 5г"ух + 0,2г'ух + 0,25гух = = — 5>г" хх + 0,5г' хх + 0,1 г хх
	Рис. 3.4.191	г'"ух + 3,5г"уХ + 0,2г' ух + 0,25г ух = = %г" хх + 0,1г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.192	Г'" ух + з, 5г" ух + 0,2г'ух + 0,25г ух = = 1,5г"хх + 4г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.193	г'" ух + 3,5г" ух + 0,2г'уХ + 0,25^ = = Г" XX + 0, lf'xx + 0, 1гхх
	Рис. 3.4 194	Г'" ух + з, 5г" ух + 0,2г'ух +0,25гух = =   5r"хх   г'XX + 0, 001 гхх
	Рис. 3.4.195	Г'"ух + з, 5г"ух + 0,2г'ух + 0,25гух = = 1,5г"хх + 0,5г\х	0,1гхх
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XV	Рис. 3.4.196	’ Г"'уХ + 3,5г"уХ + 0,2г'уХ + 0,25г ух = — XX   Г'хх  0| 001 Гхх
	Рис. 3.4.197	Г’"ух + з, 5г"уХ + 0,2г'ух + 0,25^x5= = 1.5^'хх — 4г'хх — гхх
	Рис. 3.4.198	г'"ух + 3,5г"уХ + 0,2г'уХ + 0, 25гуХ = = 1 > 5г" хх + 4г'хх — Тхх
	Рис. 3.4.199	Г"'ух + 3,5г"ух + 0,2г'уХ + 0, 25г^ = = 5г"хх + 0, Ir'xx 	0, 1 Гхх
	Рис. 3.4.200	Г'" ух + з, 5г" уХ + 0,2г'уХ + 0,25г,х = = 5г"XX + 0, Ir'xx + 0, 1Гхх
	Рис. 3.4.201	г"'ух + 3,5г"ух + 0, 2г'ух + 0,25гух = = 10г"хх + 0,5г'хх + 0, I Гхх
	Рис. 3.4.202	Г'" ух + з, 5г" ух + 0,2г'ух + 0,25г^х = = Зг"хх + 0, Ir'xx + 0,1гХх
XVI	Рис. 3.4.203	Г"'ух + з, 5г" уХ + 0, огбг'ух + о, 05г„х = ~ 5f"xx + 0, Ir'xx + 0,1Гхх
	Рис. 3.4.204	г'" ух + 3,5г"„х + 0,025г'ух + О.Обг^х = — 1 > 5г"хх — 4г'хх — гхх
	Рис. 3.4.205	Г"'ух + З.бг'^х + 0,025r'_/x+ 0,05rtfx = = 1,5г"хх + 4г'хх-Гхх
	Рис. 3.4.206	г"'ух + 5,5г" ух + 0,025^ + 0,05г ух = = 5г"хх 4-0, Ir'xx+ 0,1Гхх
	Рис. 3.4.207	Г'" ух + 5,5г"уХ + 0,025г’уХ + О.ОбГух = = 2г"хх4-0.1г'хх + 0,1Гхх
	Рис. 3.4.208	г'" ух + 3,5г "уХ + 0,025г' ух + 0,05г ух = — 2г"хх — 0, Ir'xx + 0,1гхх
	Рис. 3.4.209	г'" ух + 3,5г" уХ + 0,025г'ух + 0,05 Гух = = — 5г" хх + 0,5г'хх + 0,1 г хх
	Рис. 3.4.210	Г'" ух + 3,5г"ух + 0,025г'ух + 0,05г„х = = 1> 5г" хх + 4г' хх + 0,1Гхх
	Рис. 3.4.211	г"'ух + 3,5 г "уХ + 0,025г' уХ + 0,05гух= = 0,001г"хх+0,5г'хх + 0,001Гхх
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и ВХОД- НОЙ переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XVI	Рис. 3.4.212	г"'уХ 4- з, 5г"ух + О,О25г"ух + 0,05гух = = 5'’"хх4-0,1г'хх —0,1гхх'
	Рис. 3.4.2ГЗ	г"'ух “Ь $гГГух 4“ А» цх “И 05г^х = = 5г'\х — г\х —0,001 гхх
	Рис. 3.4.214	г'"уХ 4- з, 5г" ух + 0,025г',х + 0,05гух = = — 5г"хх — г'хх + 0, 001 гхх
	Рис. 3.4.215	г'"ух + 3,5г" ух + 0,025r'sx'+ 0,05гух = = 1.5г"хх — 4г'хх4-0,1гхх
	Рис. 3.4.216	г'"ух 4" 3, 5г"ух 4- 0,025г'уХ + 0,05гух = = 1> 5>г" хх -}- 0,5г' хх 4- 0,1 г хх
	Рис. 3.4.217	г'"ух + 3, 5г"ух + 0,025г',/х + 0,05гуХ = — г" хх + 0,1 г'хх 4- 0,1гхх
	Рис. 3.4.218	r,ffyx 4" 5гпуХ 4“ 0,025г'^ -J- 0,05гуХ = = Г'гхх — 0, 1rt хх 4- 0) 1гхх
XVII	Рис. 3.4.219	г"'ух 4- 3,5r"yx 4- 0,025г'ух 4- 0,01ryx = = — 3r"xx 4" 0,5r'xx 4- 0,1 rxx
	Рис. 3.4.220	r'"yx 4- 3,5r"yx 4- 0,025r’yx 4- 0,01 ryx = = r"xx 4- 0,1 r'xx 4- 0,1 rxx
	Рис. 3.4.221	r’"yX 4- 3,5r"yx + 0,025r'yx 4- 0.01r,x = = ^r"xx 4- 0, lr'xx 4" 0,1 rxx
	Рис. 3.4.222	r'"yx 4- 3,5r"yX 4- 0,025r'yX 4- 0,01 ryx = ~ ^r"xx — 0, \r'xx 4- 0,1 rxx
	Рис. 3.4-.223	r’"yX + 3,5r"yx 4- 0,025r'vx 4- O.Olr^ = ~ r"xx — 0, lr'xx 4- 0,1 rxx
	Рис. 3.4.224	r'"yX 4" 3,5r"yx 4- 0,025r,yX 4" 0,01	=  — 115>r"xx 4- 0,5r'xx + 0, 1 rxx
	Рис. 3.4.225	r'"yx 4" 3,5r"yx 4- 0,025r'yx 4- 0,01^ = = 3r"xx4-0,lr'xx4-0, lrxx
	Рис. 3.4.226	r"'yx 4- 3,5r"yx 4- 0,025r^x 4- 0,01 ryx = = 1.5r”xx 4-4r'xx 4-0,1 rxx
	Рис. 3.4.227	r"'yx 4- 3,5r"yX 4- 0,025r'yx 4- 0,01 ryx = = ^rffXX 4" ^'xx + °’  •

9—3070

120
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XVII	Рис. 3.4.228	Г"'ух + 3,5г" ух + 0,025б'ух + 0,01	=  = Зг"хх — Г'хХ 	001 Гхх
	Рис. 3.4.229	г’"ух + з, 5г",,х + 0,025г 'ух + o.oir^ = = 1.5б"хх — Ьг'хх +0,1 Г хх
	Рис. 3,4.230	г"'ух + 3, 5г" ух + 0,025б',/х -|- 0,01г^х = =   5г"хх   Г'хХ + 0, 001 гхх
	Рис. 3.4.231	г,пух +	-|- 0,025гг^х + 0,=  = 1» ^Г"хХ + ^ГГXX ГXX
	Рис. 3.4.232	r'"yx + 3,5г" yx + 0,025r'^ + 0,01	=  = 0,001б"хх+0,5б'хх + 0,0016xx
	Рис. 3.4.233	r"'yx+ 3,5r"yx + 0,0256'^+0,016^ = = 5б"хх + 0,1б'хх — 0,1бхх
	Рис. 3.4.234	r"'yx + 3,5r"yX + 0,025r'yX + 0,016 yx = = 1.5б"„ — 4r’xx— rxx
XVIII	Рис. 3.4.235	r'"yx + 3,5r"yX + 0,025r'yx + 0,0016^ = —	Зг" XX + <5r' xx + 0,16xx
	Рис. 3.4.236	r"'yX “b 3, ^r,ryx + 0,025rr^x + 001	=  = rUXX	0, \rfXX + 0, 1 rxx
	Рис. 3.4.237	r"'yx + 3,5r"yX + 0,025б'ух + 0,001 ryx = = 2б"хх — 0,1б'хх + 0,1бхх
	Рис. 3.4.238	г'"ух + 3,5"(p. + 0,025б'^х + 0,0016 yX — = r"xx + 0, l г'хх + 0,1бхх
	Рис. 3.4.239	r"'yx + 3,5г" Sx + 0,0256'^ + 0,0016^ = = 2б"xx +0,1 г'хх + 0» IfXX
	Рис. 3.4.240	r'"yx + 3,5r"yx + 0,025r'yx + 0,0016^ = = Зг"xx + 0, Ir'xx + 0, lrXx
	Рис. 3.4.241	r'"yx+ 3,5r"yX + 0,025r'yx + 0,001 ryx = = 115г" xx + 5r'xx + 0,1бхх
	Рис. 3.4.242	r’"yx + 3,5r"yx + 0,0256'tfX + 0,0016^ = = 3r"xx + 0, Ir'xx + 0, 1 rXX
	Рис. 3.4.243	r"'yx+3,5r"yx + 0,0256'^ + 0,0016tfX = = Юг"ЛХ + 0,5r'xx -f- 0, lrxx  4
Номер группы	Взаимные корреля ционные функции ВЫХОДНОЙ и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XVIII	Рис. 3.4.244	г'" ух + 3,5г"уХ + 0,025г'^х + 0,001 ГуХ = — 1.Зг"хх + 4г'хх + 0,ir Хх
	Рис. 3.4.L45	г'"ух + 3,5г" ух + 0,025г'„х + 0,001 г„х = = 1.5г"хх —4г'хя + 0, lrxx
	Рис. 3.4.246	г'" ух + 3,5г" ух + 0,025r'yx + 0,001г^ = —   Зг" хх  Г' XX + 0- 001 Г XX
	Рис. 3.4.247	Г'"УХ 4- 3,5г"уя + 0,025г^ + O.OOlr^ = = Зг"хх —г’хх — 0, 001 Гхх
	Рис. 3.4.248	Г"'ух + з, 5г" ух + 0,025г'ух + о, 001 гух = = h5r"xx +'ir’xx —гхх
	Рис. 3.4 249	Г'" ух + 3;5г"ух + 0,025г'ух + 0,001г^ = = i,5r"xx —‘ir'xx —гхх
	Рис. 3.4.250	Г',гух 4“ 3,5гrfух + 0,025r'z/x + 0,001г^ = = Ьг"хх + 0,1г'хх — 0,1 гхх
	Рис. 3.4.251	Г'" ух + 3,5г" ух + 0,025r'j,x + O.OOlr^ = = 0,001r"xx + 0,5r'xx 4- 0,001rxx
XIX	Рис. 3.4.252	r"'yX + 3,5r"yx + 0,4r'^ 4- O.OOlr^ = = ^r"XX 4- 0, ir'xx 4- 0, irXx
	Рис. 3.4.253	r'"yx 4- 3,5r";/x+ b.br’yx 4- O.OOlr^ = — 2r"xx — 0, ir'xx 4~ 0, lrXx
	Рис. 3.4.254	r'"yx 4" 3,5r"yx 4~ 0,4r'yX 4~ 0,001 r^x = — r"xx — 0,1 r'xx 4* 0, irXx
	Рис. 3.4.255	rtnyx + 3, yX + 0»4rf^x 4~	yx =  ==r'fxx 4- 0.lfrxx 4- 0, Irxx
	Рис. 3.4.256	r'"yx 4- 3,5r"yx 4- o,4r'yx 4- o,OOlr^ = = 3r"xx 4~ 0, ir'xx 4- 0, lrxx
	JPhc. 3.4.257	r'"yx 4* 3> 5r"yX 4- 0,4r'yX 4" 0,001 ГуХ = = — 3r"xx 4- О.Бг'хх 4- 0,1 rxx
	Рис. 3.4.258	r"'yx + 3,5r"yx + 0,4r'yx 4-0,001 ryx = = Юг"хх 4- 0>5г'хх 4- 0, lrxx
	Рис. 3.4.259	r"'yx + 3,5r"yX 4- 0,4r^x 4- O.OOlr^ = = 1 <3r"xx   ir'xx 4- 0, lrxx
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XIX	Рис. 3.4.260	г'"ух + 3,5г"рх + 0,4r'»x + 0,001гух = = 1 >5г”хх + 4г' хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4..261	г"'ух + 3,5г" ух + 0,4г'г,х + О', 001rtfX = = 5г"хх + 0,1г'лх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.262	г'"ух + 3,5г" ух + 0,4г'ух + 0,001г₽х = = 1>5г"хх + 0,5г'хх + 0,1гхх
	Рис. 3.4.263	г'" ух + 3,5г" ух + 0,4г'уХ + 0,001 гух = = 1>5г"хх + 4г'хх — гхх
	Рис. 3.4.264	г"'ух + 3, Зг"уХ + 0,4г'уХ	0,001гуХ =  = 5г"хх+0.1г'хх — 0,1гхх
	Рис. 3.4..(55	г'" ух + 3,5г" уХ + 5,4г'ух + 0,001гух = = '.5г"хх— 4г'хх — гхх’
XX	Рис. 3.4.266	г"ух + г' ух + 0,001ГуХ = г'хх + f хх
	Рис. 3.4.267	г"ух + г'ух + 0,001г^х = 10г'хх	Гхх
	Рис. 3.4:268	Г ' 'уХ + Г 'ух + 0, 001 Гух = 	 5г 'хх + Г XX
	Рис. 3.4.269	г"ух + О, ^г'ух + 0,001 ГуХ = 10г'хх + гхх
	Рис. 3.4.270	г"ух + 0, \г'ух + 0, 001 Гух = г'хх + гхх
	Рис. 3.4.271	ух + 0, 1 г'ух “И 001гуХ = 0,001г'ХЛ + Гхх
	Рис. 3.4..272	Г"ух + 0, У'ух + 0,001г ух =   Зг' хх + Г XX
XXI	Рис. 3.4.273	г"ух + 0,1 г'ух + 0,001 ГуХ = 10г'хх гХх
	Рис. 3.4.274	г''ух + г'ух + 0,001ГуХ = — 5г'хх — 5гхх
	Рис. 3.4.275	г"ух + г'ух + 0, 001 Гух = 10г'хх 	 Гхх
XX I	Рис. 3.4.276	г"ух + г'ух + гух — — Зг'хх	5гхх
	Рис. 3.4.277	гпух + г'ух	0,001 ГуХ = — ^г'хх + 0,001гхх
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XXII	Рис. 3.4.278	г"ух + г'ух + 0,1 гух — — 5г'хх — ^гхх
	Рис. 3.4..279	г"ух + Г'ух + 0, 1ГуХ ~ г'хх — 5гXX
	Рис. 3.4.280	Г"ух 4* r'yx + ryx — Юг'хх + 0 । 001 Гхх
	Рис. 3.4.281	Г" ух + г'ух + 0,1гух = г'хх + 0,001
	Рис. 3.4.282	г" ух + Г'ух + Гух = Юг'хх + Гхх
	Рис. 3.4.283	Г"ух 4" г'ух 4" Гух = г' Хх + Г хх
	Рис. 3.4.284	Г"ух 4" г'ух + Гух = — 5г'XX 4" 0,001 Гхх
	Рис. 3.4.285	Г"ух + г'ух 4“ Гух = — 5г' хх + Г хх
	Рис. 3.4.286	г" ух + 0,1 г’ ух + 0,001	= г' хх + 0,001гхх
	Рис. 3.4.287	Г"ух + г'ух 4“ 0, \Гух = 	 5г'хх + Гхх
	Рис. 3.4.288	г" ух-\- г' ух-\- Q,\ryx — — 5г' хх + 0,001 г хх
XXIII	Рис. 3.4.289	Г"уХ + 0, 1г'ух + 0, 1Гух = 10г'хх — Гхх
	Рис. 3.4.290	Г"ух + 0, Ir'yx + 0, \гух = 10,'хх + 0, 001 Гхх
	Рис. 3.4.291	Г" ух + 0,\г'ух + 0,1Гух = г'хх + 0,001гхх
	Рис. 3.4.292	f,,{/x + 0, 1л^ ух + 0, 1Гух = Г'хх + Гхх
	Рис. 3.4.293	Г"ух + 0, Ir'yx + 0, lryx = — 5г'хх + Гхх
	Рис. 3.4.294	г "ух 4* 0,1г'уХ + 0,1ГуХ = — 5г'хх + 0,001гхх
	Рис. 3.4.295	Т" ух 4" 0, ^г'ух + 0, \ Гух = — 5г'хх — 5гхх
XXIV	Рис. 3.4.296	г"ух 4" 0, 1 г'ух + Гух = — 5г'хх — ^>гхх
Номер группы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XXIV	Рис. 3.4.297	Г" ух + 0, 1г'уХ + Гух = Г'хх — 5гхх
	Рис. 3.4.298	Г"уХ 4" 0, ^г'ух + ГуХ— Юг'хх	 Т хх
	Рис. 3.4.299	Г"ух + 0, ^Г'ух + ГуХ— Г'XX + 0>001ГХх
	Рис. 3.4.300	Г" уХ 4" ^Г'ух + ГуХ = Юг'хх + гхх
	Рис. 3.4.301	г"ух + 0, ^г'ух + гух— 0,001 Г'хх + ГXX
	Рис. 3.4.302	г"ух + 0,1 Г'ух + Гух = Г'хх + Гхх
	Рис. 3.4.303	г"ух + 0, ^г'ух + Гух =	5г'хх + ГXX
	Рис. 3.4.304	г" ух 4" 0,1 г'ух 4* ГуХ = — 5г'хх + 0,001 Гхх
XXV	Рис. 3.4.305	г" ух + 0,OOlr'yx + 0,1г уХ = г'хх — бгхх
	Рис. 3.4.306	г"ух 4" 0,OOlr'yx + 0,1ГуХ = Юг'хх гхх
	Рис. 3.4.307	г"ух 4" 0,OOlr'yx 4” 0, l'’ух — г'хх 4" 0,001гхх
	Рис. 3.4.308	г"ух 4" 0,001 г'уХ 4- 0, \ГуХ = г'хх 4" гхх .
XXVI	Рис. 3.4.309	г"ух 4- 0,OOlr'yx 4* 0,001 Гух = Юг'хх 4~ гхх
	Рис. 3.4.310	г"уХ 4- 0,OOlr'yx 4- O.OOlryx = 0,001г'хх 4- гхх
	Рис. 3.4.311	г"ух 4" 0,OOlr'yx 4" O.OOlryx = г'хх 4- гхх
	Рис. 3.4.312	г"ух 4~ 0, OOlr'yx 4" 0,001 Гух = Юг'хх — гхх
	Рис. 3.4.313	ух 4“	“h 001гух^—хх
	Рис. 3.4.314	г"ух + 0,001г' х 4- 0,001 ГуХ = г'хх 4“ 0,001 Гхх
гчх,в

30

го

Гух,В
го

Рил.З.Ч.7


Ри.с,ЗЛ21

138

139
Ри.с.3.4.38

10

-го

-Zl-и РОЛ.ЗАЗЭ

PlLC.3.442

-60

Рас. 3.4.56

Ри.с.3.4.59
г</®, б
/5

Ptzc.3.4.60 -J-W

Гуя,8

50 -

25

Ри.с.3.462

145

10—3070



ГухЗ

10

WO t,c

Puc.3.4.85

Рис. 31.97

-20-

Too

Рис. 3.4.82

Рис. 3 1.33

100 t,c

Puc. 3.1.3)
rgX> 0

r

50
10

___]__

-100



-10

100 t,z

Рис. ЗЛ.Юб

гух>^

15

Гцх, В

10

Too ijc
Гул, В

60 -


I_________

200 t, с

3

Ри.с.3\139

г№в

20

-25

Рис. OA.TtO

‘t

^1

Рис.зл.т

-700



5001.а

Рис.ЗЛЛК
-IDO

Тих, В

20

450 t,t

Puc.3.4,146
1

20

tyr, в
60

-100



-4

Гул, в

-WO

IWWWW A—

-60

-WO

8

4 м

w

#,c

Puc, 3.4.147

Рис.з.ч.т

'500 t,C

Тцх, в

4

“*Г

Рис. 3.4.150



Puc. 3.4.14Э

400

ryx, В



15

350 t,C



Рис. 3.4-151

t,c

-40

Puc. 3.4.152
100

25

-100

100

-100

Гул, В

н|

li 'o t,t

450%

Puc. 3.4155

ryx,

Puc. 3 4,156

Рис. 3.4.154

Puc. 3.4.153

cyx, В

~20

Рис. 3.4.153
!59


-70 -

Рис. 3.1777

-701-	Рис.7.4.780
fyiCj -



"y'^>B

160



-ко

гоо



Рис. З.ЧЛЭ6

Puc. J.4.1S1






-wo
-100

4 l/wwvwv,
' Г U.T. В I

too

Puc.3.1.205

-WO

-Л

"ух,ъ

50

3

Pile. 3.1. Z01

Рис. 3. 1 208
ГУ'27'6

6

3

500 t}c

Рис.3.4.211

-юо

3



wo

в

450

Рис.злгп

15 -

-100  -15	l|Vvw\ 1 г5^>В	/^^^^400 t,c

Рис-З.Ч. 213
-5

>,В

го

-wo



-го

W

8

f,c

гух> В

ч

в

и ^АД/

-wo

ч

-ч

Рас. 14.213
ХДда^
- \J v Рис.з.ч.гго

poo

t,L

Рис.з.ч.гн

-ч



в

ГУ^’В

8

 м

ч

t,c

wo о

~ч

в

/•ис зч.ггг

wo

4W\a^

*1- V	рас.з.чггч

Рис.з.чггч
8

ryx, В




Рис.ЗЛ262

Рис. 3.





r!pc>B

10 -

ryx,^

-10\‘

Puc. 3. 4. 301

Рис. 3. ♦ 'Л9

Гис 3 Ч 314
5.	Вычисляется масштабный коэффициент йз по следу-
ющей формуле:

k = max гпр (t) max rT (t) I max rT (/) max ra (t)

6.	Коэффициенты дифференциального уравнения, най-
денные по таблице в и. 4, пересчитываются по формулам.

Для объекта третьего порядка

6о=й36то; 6r=&636Ti; 62=62636T2;

ао=1; ai=kaTi', а2=й2от2; а3=й3ат3.

Для объекта второго порядка

6о=О; Ь-1=й36ть 62=(Л/г36т2;

Оо=0; О]=1; а2=йат2; а3=й2ат3.

Для объекта первого порядка

6о=О; 61=0; 62=й36т2;
ао=О; ai=0; а2=1; а3=6ат3.

	Таблица 3.5
Групповая типичная взаимная корреляционная	Номер группы
функция выходной и входной переменных	
Корреляционная функция входа —	-рис. 3.5.1
Рис. 3.5.2	I
Рис. 3.5.3	II
Рис. 3.5.4	III
Рис. 3.5.5	IV
Рис. 3.5.6	V
Рис. 3.5.7	VI
Рис. 3.5.8	VII
Рис. 3.5.9	VIII
Рис. 3.5.10	IX
Рис. 3.5.11	X
Рис. 3.5.12	XI
Рис. 3.5.13	XII
Рис. 3.5.14	XIII
Рис. 3.5.15	XIV
Рис. 3.5.16	XV
Рис. 3.5.17	XVI
Рис. 3.5..18	XVII
Рис 3.5.19	XVIII
Рис. 3.5.20	XIX
Рис. 3.5.21	XX
Рис 3.5.22	XXI
Рис. 3.5.3

I/X>

Рис. з.5. гг
Таблиц! 3.6

Номер груп- пы	Взаимные корре- ляционные функ- ции выходной и входной перемен- ных	Дифференциальное уравнение объекта
I	Рис. 3.6.1	г"ух + O.OOlr'^ -J- 0,001г„х = 0,7r'xx + 0,5гхх
	Рис. 3.6.2	г"ух 4- 0, OOlr'^x + 0, 001г^х = 001r'Xx -|- 0,5rxx
	Рис. 3.6.3	yx 4" 0,001 rryX 4- 0,001ГрЛ = 3,5г'xx 4- 0,5rxx
	Рис. 3.6 4	r'T yx 4" 0,07r'I/x -|- O.OOlr^x = 0,7r'Xx 4“
	Рис. 3.6.5	frryx 4~ 0,07г'yX	0,001r^x = 0,001 r'xx	0,5rxx
	Рис. 3.6.6	r" yx + 0,07г',ух + 0,001rvx = 7r' Xx + 0,5rxx
	Рис. 3.6.7	r"yx + 0,07r'^x + 0,001rvx = —3,5г' Xx + 0,5rxx
II	Рис. 3.6 8  Рис. 3.6.9	r"yx 4“ 0,07г'^х -J" 0,001rуХ = 0,1ггxx 4" 0,001гхх Г"уХ + ^^Г'ух + 0,001 Грд; = 0,7г'хх 4- 0,001гхх
	Рис. 3.6.10	гух" +	+ O.OOlr^ = 7г'хх + О,5гхх
	Рис. 3.6.11  Рис. 3.6.12	г'ух + 0,001 Гух = 0,7гхх ггух 4~ 0,035гуХ = 0,7гХх
	Рис. 3.6.13	г' ух + 0,07 г уХ = 0,7 г хх
	Рис. 3.6.14	г"ухЛ-Ь, 001 г'ух + 0,001 Гух = 7г' хх + 0,001 гхх
	Рис. 3.6.15	Г"ух + 0,07г'^ + 0.001 Гух = Ir'xx + 0,001гхх
	Рис. 3.6.16	г,гух 4“ 0,07г'|/х 4“ 0,001ГуХ — 7 г'хх — 0,5гхх
	Рис. 3.6 17	гПух 4- 0,001 rfyX 4“ 0,001г^х = 7г'хх 0,5гхх
	Рис. 3.6.18	Г" ух + 0,7г'уХ + 0,05г^х = 7 г' хх + 2гхх
III	Рис. 3.6.19	г' fyX 4-0,001 г'уХ 4" 0, 001 rtJX = 0,7гт хх — 2,5гХх
	Рис. 3.6.20	г"уХ + 0,001г'^х	0,001Г(,х = 3,5г'хх + 0,001гхх
	Рис. 3.6 21	г" ух + 0,7г'^х + 0,001г ух = 0,7г'хх — 2,5гхх
IV	Рис. 3.6.22  Рис. 3.6.23  Рис. 3.6.24	т"уХ + 0,07r,J/X + 0,001ryx = —3,5г' хх + 0,001гхх г’тух 4“ 0,7г'^х 4“ 0,05г^х = 0,7г'хх 2,5гХх  Г" ух + 0,7r'j,x + О.Обг^ = 0,7г'хх + 0,001гхх
	Рис. 3.6.25	г"ух + 0,7г'ух + 0,001 Гух ~ 7г'хх — 0,5гхх
	Рис. 3.6.26	г"ух + о,7г'ух + 0,001г,,х = 0,7г'хх 4- 0,001гхх
	Рис. 3.6.27	гПух 4" 0,7г'^х 4“ 0,5гух = 0,7г'Лх 4~ 0, Ьгхх
	Рис, 3.6.28	г' ух + О.ЗбГу,. = 0,7гхх
Номер груп- пы	Взаимные корреля- ционные функции выходной н вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
IV	Рис. 3.6.29	Т'ух + 0.7г ух — 0,7гхх
	Рис. 3.6.30	г'ух 4“ 1 <^гух — 0,7оХх
	Рис. 3.6.31	г>ух 4“ 7гух~ Wxx
V	Рис. 3.6.32	Г" ух + о, 7г'ух + O.OOlr^ = -3, 5г'а.х+0,001 гхх
	Рис. 3.6.33	гпух + ®>7ггух 4~ 0,5г^х — ^У7ггхх 2,5гХх
	Рис. 3.6,34	Г" ух + 0,7г'^ + 0,001 rtJX = -3,5г'хх + 0.5г хх
	Рис. 3.6.35	гТГух 4" 0,7Г’ух 4“ 0,05гуХ —	3,5г'хх 4- 0,001 гХх
	Рис. 3.6.36	г"ух 4" 0,7ггуХ + 0,05г1ух = 3,5г'хх 4“ 0,огхх
VI	Рис. 3.6.37	f" ух + ^,7г'уХ + 0,5гул: = 7г' хх + ~гхх
	Рис. 3.6.38	г"ух 4- 0,7г'ух	0,5гух = 7г'хх + 0 > 5гхд:
	Рис. 3.6.39	г”ух 4" 0,7г'^х + 0,5гуХ =* ^г'хх 4“ 0,001гхх
	Рис. 3.6.40	г"ух + ^.7г'уХ + 0,5гуХ = 7г' хх	0,5гхх
VII	Рис. 3.6.41	гпух + 0,7гг^х 4“ 0,5гух = —3,5ггхх 4" 0,001 гХх
	Рис. 3.6.42	ух 4" 0,7г'уХ -|- 0,5г[ух — —3,5ггхх 4“ 0,5гхх
	Рис. 3.6.43	т"ух + 0,07г' ух 4~ О,5гух = ^,7г' хх	2,5гхл:
	Рис. 3.6.44	г" ух + 0,001 'уХ + О.бг^ = —3,5г' хх + 0,001 г^-д.
	Рис. 3.6.45	гпух 4“ 0,001г'рХ 4“ 0,5гдо= 0,7г'хх 2,5гхх
	Рис. 3.6.46	т”ух + 0,07г'г/Д- + 0,5г^х = —3, Ъг' хх + 0.5гхх
	Рис. 3.6.47	г"ух + 0,07r'yX -j- 0,5гуХ — —3,5г’хх + 0,001 гХХ
vnF	Рис. 3.6.48	г"ух + 0,07г'уЖ + 0,5гуХ = 0, 7г'хх -J- О.бГяд.
	Рис. 3.6.49	Г" ух + 0,07г'^ + 0,5гух = 0,001г'хх + 0,5гхх
	Рис. 3.6.50	г"ух + 0,07^* -р О.бг^х = 7г'хх 4- 2гхх
	Рис. 3.6.51	г''ух 4" 0, (У1ггух 4“ 0, ^ух — 7ггхх 0,5гхх
	Рис. 3.6.52	г"ух 4- 0,07^$,* 4- О.бг^д; = 7г'хх 4- 0,5гхх
	Рис. 3.6.53	г"ух 4* O.OOlr'j,^ 4- 0,5^= 7г'хх — 0,5гхх
	Рис. 3.6.54	ух 4“ 0,001 ггух + 0,5г^х = 1гтхх 4" 0,5гхх
	Рис. 3.6.55	г"ух 4- O.OOIr'^j; 4- 0,5гуХ = 7г'хх + ^гхх
ttpyhlvC'.illi Util.

Номер груп- пы	Взаимные корре- ляционные функ- ции выходной и входной переменных	ДгеЬференциалЬное уравнение объекта
VIII	Рис. 3.6.56	г,гух 4" 0, 001 тгу* + 0,5гуХ — 0,001г' хх 4" 0,5гхх
	Рис. 3.6.57	Г'гух 4" 0,001 гг!/х 4" 0, §гух	0,7гг хх + 0,5гхх
IX	Рис. 3.6.58	ух 4" 0,07г'уХ 4~ 0,05гух ~ 7г’хх — 0,5гхх
	Рис. 3.6.59	г"ух 4“ 0,07г'!/х -|“ 0,05г,/х — 7г'хх 4“ 2гхх
	Рис. 3.6.60	г"ух + 0,07г,£/л; 4- 0,05г^х = 3,5r'хх + 0,5rXJC
	Рис. 3.6.61	гпух 4- 0,07r'f/x 4- 0,05г^х = —3,5г'хх 4~ 0,001 гхх
	Рис. 3.6.62	гпух 4~ 0,07г'^х 4~ 0,0ЬгуХ = 0,001 ггхх 4“ 0,5rxx
	Рис. 3.6.63	г,т ух 4" 0,07г'^х + 0,05г^х = 0,7ггхх 4“ 0,001rxx
	Рис. 3.6.64	frtух + 0,00Jr'^x 4“ 0,05гуХ = 0,7г'хх 4- 0,001гхх
	Рис. 3.6.65	г''уХ + 0,001 г'уХ 4- 0,05гуХ — 1г'хх + 0, 5г хх
	Рис. 3.6.66	г" ух 4- 0,001 гтух 4~ 0,05г^х = 0,7г'хх 4" 0,5rXA;
	Рис. 3.6.67	ух 4" 0,001г'^х 4“ 0,05ГуХ = 7г'хх 4~ 0,001гхх
	Рис. 3.6.68	г"ух 4" 0,001 rJух 4" 0,05гух =	3,5г'хх 4“ 0,5гхх
	Рис. 3.6.69	г"ух + 0,001 г'уХ 4- 0,05гуХ = —3,5r'xx 4- 0,001гхх
	Рис. 3.6.70	г,гух 4" 0,07г'до 4- 0,05г^х == 0,7гтхх 2,5гХх
	Рис. 3.6.71	гПух 4" 0,OOlr'yx + 0,05гуХ = 0,7г'хх — 2t5rxx
X	Рис. 3.6.72	г"'ух 4~ ^^r"yx 4" 0,01 ЪггуХ 4" 0,003г^х = = 1,05r"XJC — 2rfxx 4- 0,034гхх
	Рис. 3.6.73	r"'yX 4- 2,45r"yX 4- o,2r'vx 4- 0,009r^ = = l,05r”xz-2r'xje-0,34r^
	Рис. 3.6.74	r"'yX 4- 2,45r"yX 4- 0,2r'^ 4- 0,017^ = = l,05r”xx-2r^-0,34rxje
	Рис. 3.6.75	r,nyx 4“ 2,45r"^x 4~ 0,013r'iyX 4" 0,01 (Гух ~ = l,05r"xx-2r'xx-0,34rxx
	Рис. 3.6.76	r"’yX 4- 2,45г'^,4- 0,5r'yX 4- 0,034^ = = \,O5r"xx-2r'xx-O,34rxx
	Рис. 3.6.77	r"'yx + 2,45r''^ 4- 0, \r'yx 4- 0,017^ = = 1,05г”^-2г'хл:-0,34гхж
	Рис. 3.6.78	r'"yX 4- 2,45r"yX 4- 0,2r'yX 4- 0,034гух = = l,05r"xz-2r'Jcje-0,34rA:x

1ОЛ
Номер груп- пы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XI	Рис. 3.6.79	тп,ух + 2,45гг'^х +	4“ OjOOlr^ —  ~ 3,5г"хх — 0,5г\х — 0,001 Гхх
	Рис. 3.6 80	r"'yx + 2,45г"^ + 0,\г'ух + О.ООЭг^ = = 3,5г"хх— 0,5г\ж— 0,001гхх
	Рис. 3.6.81	ги,ух 4" 2,45г"^х 4~ 0,2г',/х 4“ 0,034г^х = = 3, ^гпхх 4“ 0, №ггхх	0,034гхх
	Рис. 3.6.82	f1nух 4“	ух + 0,5г'ух 4- 0,034rf/X =  =7гггхх + 0,25r'xx 4- 0,034r
	Рис. 3.6.83	r'"yx + 2.45r”^ + 0,3r'IJX + 0,034^ = — 2,1 r'' xx + 0,05r' xx + 0,034r xx
	Рис. 3.6.84	r'"yx + 2,45r'' yx + 0,5r'yx + 0,034 ryx = = 3,5r' ’xx — 0. br’xx — 0,001 rxx
	Рис. 3.6.85	r"'yx + 2,45r"yx + 0,2r'^ + 0.034r^ = = 3,5r"xx + 0,05r'XA. — 0,034г,. *
	Рис. 3.6.86	r"'lJX + 2,45г"^ + 0,2г'ух + 0,009ryjc = = 3,5r"xx + 0,05r'xx — 0,034rXJC
	Рис. 3.6.87	r'"yx + 2 45r,,|/x + 0, ir'yx + 0,017rVA: = = 3,5r"xx — 0,5r'xx — 0,001гХЛ.
	Рис. 3.6.88	r"'yx + 2,45r"yx + 0, \r’yX + 0,009fVJe = == 3,5r'\x + 0 05r'xx — 0.034л„
	Рис. 3.6.89	r'nyx 4- 2t45rf,yX 4- 0, ^rryX 4“ 0,034ryx = = 3,5rMxx 4“ 0,05rfxx 4~ 0,034rXx
	Рис. 3.6.90	r'"yx + 2,45r"yx + 0,2r'yx + 0,001^ = = 3,5r' 'xx	0,05г\ t — 0,034глл;
	Рис. 3.6.91	r"'yx + 2,45r"j,x + O.OlSr'^j; + О.ООЗГдо = = 3, br"xx - 0,5r'xx -0,001 rxx
	Рис. 3.6.92	rTUyx 4“ 2,45'^x + 0,2rrtfx 4“ 0,085r^x = J	= lrnxx + 0,2^xx 4- 0,034rxx
	Рис. 3.6.93	r'nyx + 2,45r"yx + 0, lrfyX 4~ 0,034/^ = = xx + 25rrXJC 4- 0,034r Xx
	Рис. 3.6.94	r’"yx + 2,45r"yx + 0,013r^ + 0,017r^ = = 3,5rr'xx 4" 0,05rf— 0,034rXJj:
Номер груп- пы	Взаимные корреля- ционные функции выходной н вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XI	Рис. 3.6.95	г'" ух 4- 2,45/-"^ + 0,\г'ух 4- 0,204г„х = — 1,05г,Лхх ~4- 0,25г'хх 4“ 0,034гхх
	Рис. 3.6.96	Т"'ух 4- 2,456"^ 4- 0, OlSr'^je 4~ 9,017г(ух = — 3,Ъг"хх — 0, 5г'хх — 0,001 гхх
	Рис. 3.6.97	Г"'ух 4- Мбг"^ 4- o,2r'^ 4- 0,17rpje = = 1,05rzzxx J- 0,25rzxx -|- 0,034rxx
	Рис. 3.6.98	r"'yx 4- 2,45r,,J/x 4- 0, Ir'yx 4- 0,085гдо = =	' xx 4- 0, 25г'ха: 4- 0,034rxx
	Рис. 3.6.99	r'."yx 4- 2,4^"^ 4- 0,2r'vx 4- 0,085ryx — — 1,4r"xx — 0,05r'xx 4- 0,034rxx
	Рис. 3.6.100	r"'yx 4- 2,45r,,,/x 4- 0, 2r'vx 4- 0, HtyX = — 0,7 r"xx 4* 0,05г'ХЛ. 4- 0,034rxx
XII	Рис. 3.6.101	r"'yx + 2,45rrryX -|- 0, \rryX + 0» 085ryX = = 1,4r"xx + 0,05r'xx + 0,034rxx
	Рис. 3.6.102	r'"yX 4- 2,45r"yX 4- o, Ir'yx 4- 0,017^ = lrnxx 0,25ггхх 4" 0, 034rxx
	Рис. 3 6.103	r'"yx 4- 2,45г",,* 4- 0.013г',,* 4- 0,001r„* = = 3,5r"xx 4- 0,05r'** - 0,034r**
	Рис. 3.6.104	r"'yx 4- 2,45г",,* 4- 0,2г',,* 4- 0,001ry* = = 7r"xx 4- 0,25r'** 4- 0,034r**
	Рис. 3.6.Ю5	r"ryx + 2,45rz^x 4“ 0, irryx + 0,017r^ = =3,5r' fxx 4- 0,05r\x 4- 0,034rxx
	Рис. 3.6.106	r'"yx 4- 2,45r"yX 4- 0,2r’yX 4- 0,009г,,* = = 3, ^rnxx “h 0,05г\Л + 0,034гxx
	Рис. 3.6.Ю7	r’"yx4*	yx4- 0,ir'yX 4* 0,034r^x =  = 2, \r"xx 4- 0,05r\x 4- 0,034гхх
	Рис. 3.6.108	тгпyx 4- 2,4^rr,yX 4- 0,013rryX 4-0,01 ^yx = = 7rzzxx4-0,25rzxx4- 0,034rxr
	Рис. 3.6-Ю9	rH,yx 4“ 2,4^rrryX 4- 0,013rzyx 4- 0,0I7r^ = = 3,5r"xx + 0,05r'xx 4- 0,034rxx
	Рис. 3.6.110	r"'yX 4- 2,45r”^ 4- 0. \r'yX 4- 0,034г^]= = । ,4г"хх-0,05г\х 4-0,034r„
Номер груп- пы	Взаимные корреля- ционные функции Ьыкодной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XII	Рис. 3.6.111	гп,уХ + 2,45г"{/д. 4-0,1 ггух + 0,085г^ = = 0,7rrrхх 4* 0,05г'хх 4“ 0,034гхх
	Рис. 3.6.112	г'" ух + 2,45г",,* + 0,\г'ух + 0,009г,,* = — 3, 5гп хх 4- 0,05г'ХА; 4~ 0,034гхх
	Рис. 3.6.113	г"'уХ + 2,45г",,* + 0, 1г'ух + 0,009^* = = 2,1г"** 4- 0.05г'** + 0,034г**
	Рис. 3.6.114	г'"ух 4- 2, 45r"yx + 0,2r'yx + 0,001	=  = 2, \г"хх + 0,05г'** + 0,034гхх
	Рис. 3.6.115	г,пух + 2,45г"^х 4“ 1г'ух 4* 0,011гуХ = — 2,1гПхх 4" 0,05г'хх 4“ 0,034гхх
	Рис. 3.6.116	г'"уХ + 2.45г",,* + 0,013г',,* + 0,003^* = = 3,5г" хх 4- 0,05г'** + 0,034г**
	Рис. 3.6.117	г"'ух + 2,45г"!,* + 0,2г'ух 4-0,001^* = = 3,5г" хх + 0,05г'** Ц- 0,034г**
	Рис. 3.6.Н8	г,пух + 2,45г"^х 4~ 0,5ггух 4~ 0,034гух == = 1,05г	4“ 0,25rrxx 4* 0,034гхх
	Рис. 3.6.119	г'пух 4“ 2,45г"^.х 4“ 0, 2ггух 4" 0,034r^x = = 1 >4г"хх 4" 0,05г\х 4~ 0,034гхх
XI п	Рис. 3.6.120	г'"ух + 2.45г"ух + 0,013г'„* + 0,003r„* = = —3,5г"хх 4- 0,25г'хх 4- 0,034гхх
	Рис. 3.6.121	г'"ух + 2,45г” ух + 0,2г'ух 4- 0,001г,,*= == —3, 5г"хх 4- 0,25г'** 4- 0,034гхх
	Рис. 3.6.122	г’пух 4“ 2,45г"уХ 4“ 0, 2ггух 4“ 0,017гдо — = 3, 5гпхх 4- 0,25rfxx 4- 0,034гхх
	Рис. 3.6.123	г"'ух + 2,45г"ух 4- 5,5г'ух 4- 0,034г,= = З.бг^^д; 	 О.бг'ях 4- 0,001 гхх
	Рис. 3.6.124	Г"’ух + 2,45г"ух 4- 0,5г'уХ 4- 0,034г^ = = 3,5гггхх 4~ 0,25ггхх 4- 0,034гхх
	Рис. 3.6.125	ггиуХ 4- 2,45г"^х 4- 0,2г'уХ 4- 0,034г^х = = 3,5г"хх 4- 0,25г'хх 4~ 0,034гхх
	Рис. 3.6.126	г"'ух 4- 2,45/-"^ + 0,013г^ 4- 0,001гех = = —3,5r"xx 4- 0,25г'хх 4~ 0,034гхх

13—3070

193
-		Продолжение табл. 3.6
Номер груп- пы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XIII	Рис. 3.6.127	гг,,ух + 2,45г"^х + 0,013г'^х 4“ 0,017г^х = = —3,5г'' хх + 0,25г гхх + 0,034г хх
	Рис. 3.6.128	г"'ух + 2,45г"|/а: -р- 0, \г'ух + 0|017гух = = -3,5г” хх + 0,25г'хх + 0,034гхх
	Рис. 3.6.129	Т"'ух + 2,45г”!/х -р 0,1г'уХ -р 0,017г|;х = = —3,5r"xx—0,5r'xx + 0,001гхх
	Рис. 3.6.130	г"’ух + 2,45/-”^ + O.lr'^ + 0,034^ = = — 3, Ьг"хх — 0, 5г'хх + 0,001 гхх
	Рис. 3.6.131	r'",JX + 2,45r”sx + 0,013^ + 0,017^ = = 3,5r"xx — 0,5r'xx -p 0,001rxx
	Рис. 3.6.132	r"'yx 4* 2,45г"^х 4~ ^r'yx + 0,085г^х = J = —3,5r"xx — 0,5r'xx + 0,001rxx
	Рис. 3.6.133	r"'yx + 2,45r”(,x + 0,2r'yx + 0,017ryA- = = 3,5r"xx—О.бг'хх -p 0,00Irxx
	Рис. 3.6.134	r"'yx + 2,45r",x + 0, lr'yx + 0,009rj,x == = 5r"xx — 0,5r'xx 4“ 0,001rxx
	Рис. 3.6.135	r'nyx + 2,45r"pX 4~	+ 0,001r^x ==  = 3,5r" xx — 0,5r'xx + 0,001 rxx
	Рис. 3.6-136	r,nyx + 2,45r"yX 4- 0,013r'^x 4^ 0,00IryX = = —3,5r"xx - 0,5r'xx 4- 0,001rxx
XIV	Рис. 3.6.137	r"'yx + 2,45r”J/x + 0,2r'yX + 0,001 ryx = = 1,05г”хл: + 0,25r'xx + 0,034rAA -
	Рис. 3.6.138	1	r’nyx 4“ 2,45r"^x 4- 0,2rryX 4“ 0,009ГуХ =  = 1,05r' fxx 4- 0,25rf xx 4- 0,034rxx
	Рис. 3.6.139	r'nyx 4“ 2,45r"^x 4" 0, Ir'jrx 4" 0,009гдо = = 1,05г"ХЛ- 4- 0,25r'xx 4* 0,034rxx
	Рис. 3.6.140	T"'yx + 2,45r"yx + 0,2r'yX + 0,017гуХ = = 1,05r”xx fl>25r'xx 4- 0,034rxx
	Рис. 3.6.141	r'nyx 4- 2,45г"ук 4“	^r'yx 4- 0,017fyX =  = 1 ,05г"ха: 4й 0r25r'xx 4" 0,034rxx
	Рис. 3.6.142	r’t9yx 4* 2,45r"yX 4- 0,013r'^x 4- 0,017ryX = = 1,05r"xx 4~ 0,25r'xx 4- 0,034rxx
194		
Номер груп- пы	Взаимные корреля- ции выходной и входной перемен- ных	Дифференциальное уравнение объекта
XIV	Рис. 3.6.143	г'"ух + 2,45г"вх + 0,1г'ух + 0,034/-^ = = 1,05г"ха: + 0,25r'XJt + 0,034гхх
	Рис. 3.6.144	г'"ух + 2,45г"^ + 0.013г'вх + 0,003гвх = = 1,05г"хх + 0,25г'хх + 0,034гхх
	Рис. 3.6.145	г'"ух + 2,45г"вх + 0,2г'вх + 0,034г,ух = — 1,05г'' хх + 0,25г'хх 4- 0,034гхх
XV	Рис. 3.6.146	г"'ух + 2,45г"ух + 0,2г'1/Х + 0,017г1/х = = 1,05r"XJC + 2г'хх + 0,034гхх
	Рис. 3.6.147	г'"ул: + 2,45г"ва: + 0,2г'вх 4- 0,009гвл: = = 1,05r"xx + 2r'xx + 0,034rxx
	Рис. 3.6.148	г"'ух + 2,45г"вх + 0,1Г'ВХ + 0,034г,уХ = = 0,001г"хх +	4~ 0 ,001гХА;
	Рис. 3.6.149	Г'" ух + 2,45г”вх + 0,1г'уХ + 0,017гвл: = = 0,001r"xx + 0,25r'xx + 0,00Irxx
	Рис. 3.6.150	г"'ух + 2,45г"вх + 0,013г'вх + 0,017^ = = 1,05г"хх 4- 2г'хх +
	Рис. 3.6.151	г"'ух + 2,45г"вх + 0,1г'„х + 0,017^ = = 1,05г"хх + 2г'хх + 0,034^
XVI	Рис. 3.6.152	г'" ух + 2,45r"BX + 0,013r'BX + 0,003^ = = 1,05г''хх4-2,8г'хх-0,34гхх	_
	Рис. 3.6.153	г’" уХ + 2,45r" ух + 0,2г'вх + O.OOlr^ = = 1,05г" хх +2,8г'хх-0,34гхя
	Рис. 3.6.154	г’" ух + 2,45/-"^ + 0,2г'ух + 0,009г(/х = = 1,05г"хх + 2,8г'хх — 0,34гхх
	Рис. 3.6.155	г'"уХ + 2,456"^ + 0,5г'ух + 0,034гвх — = 1,05г"хж + 2г'хх + 0,034/дх
	Рис. 3.6.156	г'"ух + 2,456"^ + 0,1г'вх + 0,009гвх = = 1,05г"хХ + 2,8г'ха:—0,34гхх
	Рис. 3.6 157	г'"ух + 2,45г"уХ Ц- 0,5г,г/Х4- 0,034гвл- = = l,05r"xx + 2,8r'xx — 0,34rxx
	Рис. 3.6.158	г'"ух + 2.45г"вж 4-0,013г'вх 4- 0,017^ = == 1,05г'9хх 4- 2, $>ТГ хх — 0,34гхх
Номер груп- пы	Взаимные корре ля- циоэные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение оэъекта
XVI	Рис. 3.6.159	г'"ух 2, №>rr,yX -f- 0,1г'уХ + 0,034гуХ □= = 1,05г"ХЛ- + 2,8г'Хх —- 0,34г хх
	Рис. 3.6.160	г'"ух + 2,45/-"^ + 0.2^ + 0,017/^ = = 1,05г" хх-\-2, 8ггхх — 0,34гхх
	Рис. 3.6.161	Г'"ух + 2.45г"г/х + 0, \г'ух + 0,034ryx = = 1.05г"хх + 2г'хх + 0,034гхх
	Рис. 3.6.162	г'" ух + 2,45г",/Х 4- 0,2г'уХ + 0,034^ — — 1,05г"хх + 2,8г' хх — 0,34гхх
	Рис. 3.6.163	rtnух + 2,45г'/уХ -]- 0,1г'ух “Ь 085г^ = = 0,001г"™ + 0,25г'™ + 0,001 гхх
	Рис. 3.6.164	Г"'ух + 2,45r"JW + 0, Хг'ух + 0.085г^ = = 1,05г,,хх + 2,8г'хх*— 0,34г хх
	Рис. 3.6.165	г'" уХ + 2,45г" уХ + 0,2г'уХ + 0,085г^ = = 1,05г' гхх	2г'хх + 0,034г™
	Рис. 3.6.166	г'пух -|- 2,45г"^ + 0, \гтуХ Ц- 0,085г^х = = 1,05г"™ + 2г'хх + 034гхд:
	Рис. 3.6.167	г'" ух + 2,45/-"^ + 0,2г'ух + 0,17г^ = = 0,001г"™-|-0,25г'™0,001г™
	Рис. 3.6.168	е"'ух + 2.45r”JUC + 0,2г'уХ 4- 0,17г^ж = = 1,05г"хх + 2г'хх + 0,034гхх
	Рис. 3.6.169	г'"ух + 2,45г"ух + 0, lr'^ + 0,204г^ = =0,С01г"ха: + 0,25r'xK + 0,001 гхх
	Рис.. 3.6.170	г"'уХ + 2,45г"уХ 4- 0,1г',/Л + 0,204^ = = 1,05г" хх + 2г'хх + 0,034г хх
XVII	Рис. 3.6.171	rtt,yx “Ь 2,45г"^ + 0,2г9ух + О.ОвбГух = = 3,5г"хх —	—0»001гХх
	Рис. 3.6.172	г,иух + 2,45г"^х + 0, Ir'^x + 0,085г^х = = 3,5r"xx — 0,5г'хх — 0, OOlr^
	Рис. 3.6.173	ггпух + 2,4Ьг"ух + 0,1г'ух + 0,204ГуХ = = 1,05г" хх + 2,8ггХх — 0,34гхх
	Рис. 3.6.174	г"'ух + 2,45г/,г/х + 0,1г'уХ 4- 0,2О4гуХ = = 3,5г"хх +0,05г'хх-г 0,034гхх
Номер груп- пы	Взаимные кОрреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XVII	Рис. 3.6.175	г"'ух + 2,45г"„ж + 0,2г’ух + 0,34гух = = 1,05r"xx -|~ 2,8г'хх — 0,34г
	Рис. 3.6.176	г’"ух 4“ ->45г”уХ 4~ 0,2г’уХ + 0,17^* = ~ 7г’ ’хх -|- 0,25г7хх 4~ 0,034гХх
	Рис. 3.6.177	r"fух 4~ 2,45г7'уХ 4- 0,2г7^х -|- 0,17/до = = 3,5г77хх + 0,05г7хх — 0,034гхх
	Рис. 3.6.178	Г"гух + 2,45г"уХ -J- 0, 2г’уХ + 0,34гуХ = = 1,05г'rхх 4* хх + 0,034гхх
	Рис. 3.6.179	г’"ух + 2,45г77^х 4* 0, \т*ух + 0,204г^х = = 7г77ха: -|- 0,24г’хх + 0, 034rxx
	Рис. 3.6.180	Г"гух 4~ 2,45г7’ух + 0,1г7^х -|~ 0,034гуХ = = 3,5г” хх — 0,5г’хх — 0,001гХА;
	Рис. 3.6.181	Г"гух + 45г”уХ -J- 0,%ггух 4* 0, ^7гуХ = — 3,5г” хх + 0,05г’хх 4" 0,034гхх
	Рис. 3.6.182	г'"ух 4* ^>45г”уХ 4- 0, 2г’ух 4" 0,34гух = = 0,7 г”хх 4” 0» 05г’хх -|- 0,034гХх
	Рис. 3.6.183	г1 "ух 4- 2,45г77{/Л. 4- 0,2г’уХ 4- 0,34г^х = = 1,05г77хх 4" 0,25г’хх 4- 034гХх
	Рис. 3.6 184	г'"ух + 2,45г7’ух 4- 0,1^^4-0,204^ = = 3,5г” хх — 0,5г’хх — 0,001г**
	Рис. 3.6.185	Г"гух 4* 2,45г”уХ + 0, ^г'ух 4- 0,17гуХ = = 3,5г77хх — 0,5г’хх — 0,001гхх
	Рис. 3.6.186	г"'ух + 2,45г"чх + 0,2г'уХ + 0,34г^х = — 7г"хх + 0.25r'xje 4- 0,034rxx
	Рис. 3.6.187	r'"ух + 2,45г"уХ Ц- 0,2г'уХ + 0,34гух — = 1 > 4г,,.1;х + 0,05г\Л- 4- 0,034гхх
	Рис. 3.6.188	г"'ух 4- 2,45r"i/JC 4* 0.2г'{/д. 4- 0,34гух = = 1.4г"хх — 0 05г\д 4 0,034гхх
	Рис. 3.6.189	г"’ух + 2,45r,,J/JC 4- 0, г'уХ 4- 0,34гух — = 3, Зг"хх 4- 0,05г' хх — 0,034гхд
	Рис. 3.6.190	г"'ух + 2,45г''ух 4- 0,2г'ух 4- 0,34гух = |	= О,7г'гхх — 0,05г'хх 4- 0,034гхд
Номер груп- пы	Взаимные корреля- ционные функции входной и выход ной переменных	Дифференциальное уравнение Объекта
XVIII	Рис. 3.6.191	г'" ух + 2,45r,,i,Jt + 0,+ 0,085гуХ — — —3, 5г'' хх + 0,25г'хх + 0,034г хх
	Рис. 3.6.192	г'"ух + 2,45г”г/А: + 0,2г'ух -р 0, ^7ГуХ — = —3,5г" хх — 0,5г'хх -р 0,001гЛЖ
	Рис. 3.6.193	Г"гух + 2,45г"^х + 0,2rryX + 0, \7гух = = 1,05г"хх — 2ггха; + 0,034гхх
	Рис. 3.6.194	гПГух + 2,45тиуХ + 0,2ггух + 0,17гуХ == — —3,5rz гхх + 0,25rrxx + 0,034гхх
	Рис. 3.6.195	г"'ух + 2,45г"ух -р 0, Ir'yx -р 0,204/^ = = —3,5г"хх — 0,5ггжх -р 0,001 Гд-д.
	Рис. 3.6.196	г'"ух + 2,45г" уХ ~р 0, \г'уХ + 0,204rJ/x = = 1.05^-2^ + 0,034^
	Рис. 3.6.197	г'" ух + 2.45г"уХ + 0,2г'ух + 0,34^ = = 1,05г" хх — 2ггХх + 0,034г хх
	Рис. 3.6.198	г"'ух + 2<45г"ух + 0, lr'yX + 0,204ryJC = = •—3,5r"xx + 0,25г'Хх + 0,034г xx
	Рис. 3.6.199	r’"yx + 2,45r"vx + 0,2r'yx + 0,34ryX = = 1, 05г'— 2г'Жх — 0,34г xx
	Рис. 3.6.200	r"’yx + 2,45r"yX + 0,2r’yX + 0,34ryx = = 3,5r"xx — 0,5r'xx — 0,001 rxx
	Рис. 3.6.201	r’"yx + 2,45r"yX + 0,2r’yX + 0,34^ = = —3,5r" xx — 0,5r'xx + 0,001^
XIX	Рис. 3.6.202	r"’yx + 2,45r"J/x + 0, \ f’yX + 0,204Г(,ж — = 1,05r"xx — 2г'— 0,34rxx
	Рис. 3.6.203	гПГух + 2,45г,г^х + 0» \ rryx + 0,085/до = = 1»05r7 T xx —	xx + 0,034r xx
	Рис. 3.6.204	r,nyx + 2,45г"^х + 0t2r'yX + 0, l7ryX = = 1,05r'r xx — 2r'xx — 0,34rxx
	Рис. 3.6.205	rttfyx + 2,45r"^x + 0,2rryX + 0,085r yX = = l,05r"xx — 2r'xx — 0,34rxx
	Рис. 3.6.206	r"'yx + 2,45r"yx + 0, Ir'yx + 0,017г^ = = 1,05r"xx — 2r\x + 0,034rXx
Номер груп- пы	Взаимные корре ля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XIX	Рис. 3.6.207	гП,ух + 2,45г"^д; 4- 0, \ггух + 0,034г^х = — 1,05г" хх	2г'хх + 0,034г хх
	Рис. 3.6.208	г"'ух + 2,45г"г/х + 0,5г'уХ 4- 0,034гуХ = = 1,05г" хх — 2г'хх + 0,034гхж
	Рис. 3.6.209	г"'ух 4* 2,45г" уХ 4- 0,2г' ух + 0,017г^ж = = 1,05г"хх - 0,2г'хх + 0.054гхх
XX	Рис. 3.6.210	г"'ух + 2,45г",/х + 0,013г'„л + 0,001 г^ = == 0,7ггг хх 4~ 0,05г\х 4- 0,034гхх
	Рис. 3.6.211	гП,ух + 2,45г"уХ -J- 0,013rz^x 4Н 0,003гух = = 1,4г"хх 4" 0,05г'хх 4~ 0,034гхх
	Рис. 3.6.212	гГПух + 2,45г"^а: 4“ 0, ^гГух 4" 0,009fyx = = 0,7гп хх + 0, 05г'ха; + 0,034г хх
	Ряс. 3.6.213	ггпух + 2, 45г"|/а: 4“ 0,013г'^ + 0,001 гух = = 0.7г"хх - 0,05г'хх + 0,034гхх
	Рис. 3.6.214	г"'ух + 2,45г" ух + 0,2г'уХ + 0,001г,/Л. = = 0,7г" хх — 0,05г'хх + 0,034гхх
	Рис. 3.6.215	г'"ух + 2,45г"ух 4* 0,2г' уХ + 0,009г,/х = = 0,7г" хх — 0,05г'хх + 0.034гхх
	Рис. 3.6.216	г'"ух + 2,45г"ух 4- 0,5г'уХ -|- 0,034^* = = 0.7г" хх — 0,05г'хх + 0,034г
	Рис. 3.6.217	г"' ух + 2,45г"ух + 0,2г' уХ + 0,017r^x = = 0, 7г"хх — 0, 05г'ха: + 0,034rzx
	Рис. 3.6.218	г'" уХ + 2,45г" ух + 0,1г'ух + 0,017 гух = = 0,7г" хх — 0.05г'хх + 0.034г хх
	Рис. 3.6.219	г'"ух + 2> 45г"ух 4- 0,013r,/JC 4- 0,017г&* = = 0,7г"хх — 0,05г'ХЛ: 4- 0,034гхх
	Рис. 3.6.220	г'"ух 4- 2,45г"^ 4- 0, ir'yx 4- 0,017^ = = 0.7г"хх 4- 0,05г'хх + 0,034rXJC
XXI	Рис. 3.6.221	г"'ух 4- 2,45г"ух 4- 0,2г'ух 4- 0,001гух = = 0,7г"хх 4- 0,05г'хх 4- 0,034гхх
	Рис. 3.6.222	г’"ух 4- 2,45г"^ 4- 0. ^'ух 4- 0, ООЭг^ = = 0,7г"хх 4- 0,05г'« 4- 0,034гхх
Номер груп- пы	Взаимные корреля- ционные функции выходной и вход- ной переменных	Дифференциальное уравнение объекта
XXI	Рис. 3.6.223	г999ух + 2,45rf,yX -|- 0,2rfyX + 0,017^^ = =0, хх + 0,05rzXA; 0,034гхх
	Рис. 3.6.224	г"'ух + 2,45г”уХ + 0,2г’ух + 0,034гух = = 0,7г"хх + 0,05r'xx + 0,034гхх
	Рис. 3.6.225	г"'Vx + 2,45r"^. + 0,5г'ух + 0.034^ = = 0,7г” хх + 0,05г'хх + 0,034гхх
	Рис. 3.6.226	гпгух + 2,4ЬгТ9уХ	0,013г'^ + 0,003гух —  =2, \г" хх -|- 0,05г9 хх -|- 0,034гхх
	Рис. 3.6.227	Г"'ух + 2,45г” ух + 0.013/-'^ + 0. ООЗг^ = = 1,4г' 'хх — 0,05г'хх + 0,034г хх
	Рис. 3.6.228	Г',г ух	2,45г,гуХ -|- 0, *2т9 уХ -|- 0,001г^х =  = 1 > 4г1 9 хх -|- 0,05г1 хх -|~ 0,034гхх
	Рис. 3.6.229	г'”ух + 2,45г",/х + 0,2г'ух + 0,001гда = = 1,4г99 хх — 0,05г'хл; + 0,634г хх
	Рис. 3.6.230	г”'ух + 2,45г”уХ + 0,2г'ух + 0,009гух = = 1,4г"хх + 0,05г'хх -р 0,034гхх
	Рис. 3.6.231	Г" 'ух + 2,45г' 'ух + 0,01 Зг’ух + 0,017гух = = 1 , 4г” хх + 0,05г'хх + 0,034гхх
	Рис. 3.6.232	г"'ух + 2,45г” уХ + 0,2г'ух + 0,017^^ = = 1,4г” хх + 0,05г'хх + 0,034^^
	Рис. 3.6.233	г'"ух + 2,45г"уХ + 0, Ir'yx + 0,017г,уХ = = 1,4г" хх — 0, 05г'жа: + 0,034гхл:
	Рис. 3.6.234	г'"ух + 2,45r"j,x + 0,013r'j,x 4- 0,017гул. = = 1,4г” хх — 0, Обг'х* + 0,034г хх
	Рис. 3.6.235	г'”ух + 2,45г"ух -р 0,2г'Ц- 0,017^ = = 1 >4г”хх — 0,05г'хх + 0,034г Хх
	Рис. 3.6.236	гптух + 2,4Ьгт,уХ + 0,	ух + 0,034гуХ =  — ^^г"хх — 0,05г\х + 0,034гхх
	Рис. 3.6.237	Г"’ух + 2,45г"{/х + 0,2r'j,x + 0,085^ = = 0,1тп хх	0,05rzxx + 0,034rхх





Рис.З.Б.Ч5

25 -

Рчс.З.Б. ЧБ
rtjX) 8

100
700

Pu.c.3.6.60


rl/x>°



гух, В

Рис.3.6 122




r^,B

'jw,®
fO

Рис J. В. 163

Рис. 3.6.166

Рис. 3.6. ПО

Г!Р>Ъ

Рис. 3.8.181

Рис. 3.8. 188

Рис. 3.8.793

222

223




3.7.	ПРИМЕРЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПО ТАБЛИЦАМ

Пример 3.1. Необходимо определить оператор цемент-
ной мельницы (размер 2,6x13 м, Себряковский цементный
завод). Входным возмущением цементной мельницы явля-
ется положение ножа тарельчатого питателя клинкером,
% а, выходным — тонкость помола, % Р-

По входной и выходной реализациям вычисляются оцен-
ки корреляционной и взаимной корреляционной функции
(рис. 3.3 и 3.4).

В соответствии с вышеизложенным определяем опера-
тор объекта в следующем порядке.

1.	Для кривой r3xx(t) из таблиц определяется близкая
к ней по форме

гтхх (/) = Ле~°-05 и cos 1/0,078/.

2.	Определяется масштабный коэффициент k:

k=TT/T3=Q,3 с/мин,

где Гт и Тэ — отрезки оси времени на графиках кривых
rTxx(t) и r3xx(t) соответственно от нуля до первого пере-
сечения кривыми оси времени.

3.	Строится промежуточная кривая

^(0=о,3г;>ж(//о,з).

4.	По табл. 3.3, 3.4 определяется гт„хЮ, близкая по
форме кгпр(1). Наиболее близкой к кривой О,3гэ„х(//О,3)
ух	v

оказалась табличная кривая, являющаяся выходом объек-
та первого порядка с коэффициентами ат3=0,5 с-1, 6Т2=
=1,0 с-1.

5.	Вычисляется масштабный коэффициент

0>013_це_

3	14	40	мин-Уоа
6. Пересчитываются коэффициенты дифференциально-
го уравнения:

ь2 = 0,01 з-1,0 = 0,013 ^7-0/—;

»/<,“ МИН ’

а3=0,3- 0,5=0,15 мин-1.

на рнс б.э пунктирной ли-

Ри.с.3.5
взаимная корреляционные

Для того, чтобы установить, насколько выходное воз-
мущение найденной модели объекта близко к реальному
выходному возмущению объекта г%ж(/), на аналоговой
установке можно набрать дифференциальное уравнение
с полученными коэффициентами, подавая на вход возму-
щение, близкое к гэхх(0- Это возмущение имеет вид
Ае~а |f cos ы/, где а=/гат, ы=/г2(а>т)2. Полученная на вы-
ходе модели кривая показана
нией, a r9yx(t) — сплошной ли-
нией.

Пример 3.2. Необходимо
определить оператор сырьевой
мельницы, оснащенной регуля-
тором промежуточной пере-
менной.

Входная переменная — рас-
ход сырья в кубических мет-
рах на час, выходная — вяз-
кость р. Корреляционная и
функции гэх.т(0> r*yx(t) показаны на рис. 3.6 и 3.7
(сплошной линией).

Следуя вышеизложенному порядку определения коэф-
фициентов модели, имеем:

1.	гтжж(/)=9,4е-0-5И .

2.	Масштабный коэффициент

Л=7’т/Тэ=1,5/17^0,1 с/мин.

Отрезки времени 7’т и Т9 являются расстояниями от осп
ординат до кривых на уровне 0,55 от максимального зна-
чения гтжж(0 и гажж(0 соответственно.

3.	Строится промежуточная кривая

4.	По табл. 3.1, 3.2 определяется r^yxlt), близкая по фор-
ме гпр (0- Она соответствует объекту второго порядка
с коэффициентами

0*2= 1,0 с-1; bTi=l,0 с-1;

а*3=0,1 с"2; Ьт2=0,001 с~2.
5.	Масштабный коэффициент

k, =	= 2 с-ед |1/(мин-м7ч).

6.	Пересчитываются коэффициенты дифференциального
уравнения

61=2-1,0=2 ед р/(м3/ч • мин);

&2=0,1 -2-0,001=0,0002 ед ц/(мин2-м3/ч);

«2=0,1 • 1,0=0,1 мин-1;

«3=0,12-0,1=0,001 мин-1.

Так же, как и в примере 3.1, можно проверить близость
выходных возмущений найденной модели и реального объ-

екта. Выходное возмущение
тирная кривая на рис. 3.7.

модели воспроизводит пунк-
ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ТИПОВОЙ МЕТОД И НЕКОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ
ИДЕНТИФИКАЦИИ

П1.1. Задачи идентификации при приближенных исходных данных

Уравнение (1.9), используемое для решения задачи идентифика-
ции в целях определения импульсной характеристики линейной дина-
мической стационарной системы по заданным корреляционной и вза-
имной корреляционной функциям стационарных случайных процессов
на входе и выходе системы, имеет вид:

СО

— '№ = ryx(tyh —оо</<4-оо.	(П1.1)

о

где rxx(t)—заданная на (—оо, оо) корреляционная функция входа;

—заданная на (—оо, оо) взаимная корреляционная функция
входа и выхода; £(т)—искомая на [0, оо) импульсная характери-
стика. .

Пусть Rc — множество стационарных случайных процессов. Обо-
значим через Rx множество корреляционных функций стационарных
процессов на входе:

Rx= {гхх (т) -Гхх (т) =М {(х (/) —М {х (/)})X

Х(х(/—т)—М{х(/—?)})}, х(Пе7?с).

Через GB обозначим множество импульсных характеристик ста-
ционарных линейных систем, преобразующих х(/)е/?с в y(t)^Rc:

gb=S g(t) [ £(t)x(Z — т)йтЕ7?с, x(Z)E/?c >.

I	6	J

Через Ry обозначим множество взаимных корреляционных функ-
ций между х(/)е/?с и y(t)<=Rc:

Rv = < Ч/* Ю  ГуХ(г) = М {(y(t) - М (х(/ - т) - М {х(/ - -с)}) L
*(/), y(t)^Rc, g(t)EGB, {/(/)= g(z)x(t^-z)dt.

Теоретическая постановка задачи идентификации обычно заклю-
чается в том, что при условиях

rxx(t)eRx; ryx(t)t=Ry; g(z)sGB	(П1.2)

требуется найти функцию §(т), которая удовлетворяет уравнению
(П1.1) при заданных rxx(t) и ryx(t).

Поскольку рассматриваемая задача идентификации носит при-
кладной характер, необходимо учитывать реальные условия, в кото-
рых она решается. В частности, реальные исходные данные практи-
чески всегда являются приближенными, т. е. точные функции rxx(t) и
г1/х(О. которые используются в постановке задачи (П1.1)—(П1.2), на
самом деле не заданы.

Пусть fxx(t) и ryx(t)—некоторые приближения к функциям
rxx(t) и rVx(0 соответственно, которые могут получаться на практи-
ке. Они могут не принадлежать множествам Rx и Ry. Однако в лю-
бом случае, чтобы оценивать точность приближения, необходимо вве-
сти меру близости функций друг к другу. Пусть Хо, Уо и Go — норми-
рованные пространства, такие, что

f XX (ОеХо; Гух(ЛеУо; g(T)eG0; Г XX (О е

еХо! г„х(/)еУо; gMeGo.	(П1.3)

В этих пространствах для каждого элемента определена его чис-
ловая норма:

llOrxllx, ДЛягххеЛ0;

II бух 1|у„ для Гух £ У»;
llg|lCo дляеео.

и близость элементов в пространстве определяется нормой их раз-
ности.

Задача идентификации при приближенных исходных данных со-
стоит в том, что при условиях (П1.3) требуется найти функцию g(x),
которая при заданных rxx(t) и ryx(t) удовлетворяет уравнению

й(т)~х.г(/— т)Л = ~yx(Z), — oo<t<-f-oo. (П1.4)
о

Для прикладных задач управления важно, чтобы такая функция
§(т) была единственной, а ее точность могла бы быть оценена конеч-
ным числом 6=6 (еь ег):

П£—gllo„^6, 6(eb 82)—И) при 81, 82—>0,	(П1.5)
зависящим только от точности исходных данных:

II ГХХ -----гхх Нх0 < ei J || Гух------------fyx ||у0 < е2>

(FIJ.6)

но не зависящим от самих исходных данных в пределах их точности
Bi и е2 и стремящимся к нулю при Сц е2—>-0.

Последние требования (П1.5) и (П1.6), связанные с понятием
устойчивости задачи, очень важны для прикладных задач управления.
Обычно в качестве приближений к rxx(t) и rvx(t) могут быть выбра-
ны совершенно различные функции rxx{t) и fyx(t), но имеющие при
этом одну и ту же точность, и так как в приведенной постановке вы-
бор функций fxx(t) и fvx(t) произволен [лишь бы выполнялись усло-
вия (П1.3) и (П1.6)], невыполнение условия (П1.5) означало бы, что
нельзя гарантировать никакую конечную точность решения, т. е. за-
дача имела бы фактически множество различных решений, и цель иден-
тификации оказалась бы недостигнутой. Таким образом, на практике
строгая постановка задачи идентификации линейной стационарной си-
стемы значительно отличается от теоретической постановки.

Содержание данного приложения составляет исследование коррект-
ности постановки задачи (П1.3)—(П1.4), суть которого состоит в уста-
новлении разрешимости задачи в постановке (П1.1)—(П1.6), которую
в дальнейшем будем обозначать через А.

Далее будет показано, что задача (П1.3)—(П1.4) некорректно
поставлена, а именно, будут приведены примеры, иллюстрирующие
случай практической неразрешимости задачи в постановке 4. После
выяснения причин некорректности и введения соответствующих общих
понятий перейдем к методам преодоления некорректности.

Заметим, наконец, что при аналитическом решении задачи в по-
становке А с помощью преобразования Фурье, что делается довольно
часто, уравнения (П1.1) и (П1.4) доопределяются в область отрица-
тельного аргумента и заменяются на следующие:

СО

J g (т) Гхх (t — т) dt = rvx (t), —oo<f<4-oo; (П1.7)
—ОО

ОО

J g(t) Ztx(<—=	— oo<7<4-oo,	(П1.8)

—oo

а на функции g(i) и g(t), которые определяются на всей оси (—оо,
оо), накладываются условия физической возможности

вЧ'О=ё(т)=0 при т<0.	(П1.9)

Эту постановку• задачи идентификации (П1.2)—(П1.3), (П1.5)—
(П1.9) будем обозначать через В.

16—3070	233
П1.2. Примеры некорректности в постановке задачи
идентификации

Пример П1.1. Пусть rxx(t)=ryx(t)=e 'f|. Очевидно, что rxx(t)&.
eRx и существует линейная система y(t)=x(t) с ₽(т)=6(т)еОв, где
б(т) —обобщенная дельта-функция, преобразующая rxx(t) в ryX(t)e
e=Ry.

Предположим для простоты, что корреляционная функция про-
цесса х(Г) задана точно, т. е. rxx(t)=rxx(t)—e~*f|. В качестве оценки
для гИх(0 возьмем ryx(t)=e~“1 zа>0. Точность приближения
ryx(t) к ryx(t) будем оценивать по норме пространства	—оо, оо):

Г оо	\ 1/2	~

С ~	1 I11

I ['ух (О — ГуХ (/) J 2 rf/ = —^=== <
-оо	' У “(“4-1)

- |“-1| -
< ---~< «2-

а
! '

При Сг< 1 данная норма разности будет меньше ед, если
1/(1+в2)^^1/(1- е2).	•

Таким образом, выбрав а достаточно близким к единице, всегда
можно сделать точность исходных данных сколь угодно высокой.
В то же время при любом а=£1 задача в постановке А неразрешима.
Действительно, при левая часть уравнения (П1.4)

00	00

р	~	г ~	— (т—/)	t

J g(t)rxx(t —	= j g(t) e df = const e ,

о	6

а правая часть этого уравнения равна eat, т.е. левая часть уравнения
не может быть равна правой части. Следовательно, задача в поста-
новке А неразрешима.

Неразрешима задача идентификации и в постановке В. Действи-
тельно, применяя к уравнению (П1.8) преобразование Фурье, полу-
чаем:

gW = “®(t)4-—g—е “|х|.

Как видно, эта функция не удовлетворяет условию (П1.9), и,
значит, задача в постановке В неразрешима.

Пример П1.2. В примере П1.1 был рассмотрен случай грубого на-
рушения условий решения задачи идентификации. Этот случай легко
распознается, а решение задачи корректируется,
234
Значительно труднее распознается случай, когда существует ре-
шение уравнения идентификации, но оно является неустойчивым.

Пусть rxx(t)=ryx(t)=e~1,1 и предположим, что rxx(t)=rxx(t)~
= e~lfl (как и в примере П1.1). В качестве оценок для ryx(t) будем
брать функции

~	j (1 4-Dsiny/)e-t при t^O;

ух	|	ef при t < 0.

Точность приближения 7ух(1) к ryx(t) по норме пространства
£2(—оо, оо) оценивается следующим образом:

II ~ух - Гух ||у0= | Dy 1/2 КТ+7< | D |/2.

Таким образом, ei=0, a ||rVI—П/*11у0если |В|^2е2, независи-
мо от у. Выбрав D достаточно малым по модулю, всегда можно сде-
лать точность исходных данных сколь угодно высокой при любом у.

Рассмотрим теперь решение уравнения (П1.4) или (П1.8). Оно су-
ществует и равно

~	2 — Dv	Dy

g(T) = ---g— $4* Т cosV1 + Y s’n Y1)е 1 т

g(t) = 0, т< 0.

Уравнению (П1.1) или (П1.7) соответствует ^(т)=б(т). Для
функций g(i:) вида

£(-г)^М>(т)-|~ш(-г), т^О,

,	g(x)=0, т<0,

где Л—произвольное действительное число, <о(т)—непрерывная и
ограниченная на [0, оо) функция, введем следующую норму:

IIgUgo = । Z I + SUP l“(‘t)l-

0^т<со

Тогда близость g(-r) к §(т) можно оценить следующим образом:

.	|£»у | |£>у|

II g — g l|Go = ~2~+~2~ SUP X
1 • z z 0<t<oo

XI (2 cos yt + у sin yt) ё~* ]	L

Так как у можно выбирать любым, не меняя точность е2 исход-
ных данных, то из последнего неравенства следует, что 11g—g|| нельзя
оценить конечным числом. Действительно, при |D| <2ег и у—»-оо
и, таким образом, неравенство (П1.5) не выполняется. В результате
одним и тем же исходным данным отвечает множество различных
решений, и цель идентификации не может быть достигнута обычными
методами.

П1.3. Анализ причин некорректности задачи идентификации

Некорректность поставленной задачи была показана на примерах,
в которых исходные данные рассматривались как приближенные. Про-
анализируем эти случаи некорректности, используя для конкретности
постановку В.

В примерах П1.1 и П1.2 уравнение (П1.7) имело решение при
условиях (П1.2) и (П1.9). Предполагая, что для рассматриваемых
функций существует преобразование Фурье, из уравнения (П1.7) по-
лучаем:

G(iw)=Slzx(iw)/SXX(со).

ОО	СО

Здесь G (гео) =	е~^dt— J g(t) ё~,<0ХЛ— частотная харак-

—оО	О

оо

теристика стационарной линейной системы; Syx(iw}= j" rvX(t)e~t<atdt—

—СО
взаимная спектральная плотность стационарных случайных функций на

со

выходе и входе системы; Six.(w)= J rxx(t) e~lu>t dt — спектральная

—co
плотность стационарной случайной функции на входе системы.

В примерах Ш.1 и П1.2 полагали fxx(t)=rxx(t). Обозначим через
v(t) погрешность оценки fyx(t) функции

и (/) =Гух (/) Гух (0 -

Тогда уравнение (П1.8) можно записать в следующем виде:

j g (т) ГХХ (t —z)dz= ryx (t) + V (t).
—со

Если для v(t) существует преобразование Фурье У(мо), то

Г(«ь>)	V(iw)

G('<0) =	=GH+ Sjex(u) ‘

Отсюда

~	1 Г V(ico) .

gW = gb)+ a? j Ххх(ю) e du>-

—00

73b
Условию (111.6) удовлетворяет множество функций rvx(/) и v(t).
Среди этих функций всегда есть такие, которые приводят к невыпол-
нению условия (Г11.9), как в примере П1.1, или условия (П1.5), как
в примере П1.2.

Условие (П1.9) не будет выполняться, если у функции

V(гео)
SXx(“)

будут полюсы в нижней полуплоскости. Пусть, например, Sxx( — га) ^0,
и положим V(<o) = £), (со2 + а2), т. е. v (t) = De~“ '* *.

Тогда

ОО

II Ну0 = W~yx — 'у* I ly0 = D J е^2“ 1' । dt = D а -> 0 при D -> 0.

—00

В то же время g(x)=/=O при т<0. Следовательно, несмотря на
сколь угодно высокую точность исходных данных, решение задачи
в постановке В не будет существовать. Объясняется это несогласован-
ностью приближенных исходных данных между собой, т. е. несогла-
сованностью fvx(t) с rxx(t). А именно, погрешности в исходных дан-
ных вызывают такие искажения в спектральных функциях Зхх(ы) и
Sux(ia>), которые делают невозможным получение Sv3C(i<d) путем про-
хождения 5хх(ы) через физически возможную систему.

Разберем случаи нарушения условия (П1.5). Положим

2л£>у

ИМ = -ю2-_ Д2-(1 - е-'ш)«хх(<0).

v (t) = D j sin 2лутгхл: (t — т) dz,
0	I

где у — целое число. При любом у

II v 11у0 — IIгух — гух Ну0 — I D I

при у—>-оо и любом D.

В то же время очевидно:

~	( g (т) при z < 0 и т:

(т) = {

lg(T) + D sin yz при О т < 1.

Если D—»-оо (но медленнее, чем у—>°°), то

II g — gib,-*00-
Таким образом, несмотря на сколь угодно высокую точность ис-
ходных данных, точность решения задачи в постановке В не может
быть оценена конечным числом. Объясняется это тем, что высокоча-
стотная погрешность в Svx (т<±>) может быть сколь угодно малой, од-
нако вызывается она при прохождении Sxx(u>) через физически воз-
можные системы, имеющие значительно различающиеся частотные
характеристики.

Резюмируя, можно отметить, что некорректность рассмотренной за-
дачи является следствием несогласованности исходных данных. Дело
в том, что на практике идентификация представляет собой процесс,
в котором решение задачи в постановке В является лишь одним из
этапов построения линейной модели. Не менее важными этапами мо-
делирования являются выбор условий (П1.3) и оценка по реальным
данным корреляционных функций rxx(t) и r„x(t), от которых также
во многом зависит качество идентификации. Как показывают приве-
денный анализ и примеры, несогласованность выбора условий (П1.3) и
оценки исходных данных с решением задачи в постановке В может
привести к неразрешимости всей задачи идентификации или к значи-
тельным погрешностям.

Фактически постановка В задачи идентификации моделирует сам
процесс идентификации. Эта модель не учитывает указанные выше
факторы и является приближенной. Неточности в отражении процесса
идентификации приводят к ошибкам в результатах. Некорректность
постановки задачи проявляется в тех случаях, когда эти ошибки ста-
новятся слишком большими.

Таким образом, исследования на некорректность устанавливают
связь между теоретической постановкой задачи идентификации и воз-
можностями ее практического решения в реальных условиях. Исследо-
ванию подвергается не модель объекта, а модель задачи идентифика-
ции в результате чего устанавливаются условия применимости модели
задачи.

Проблема некорректности играет важную роль для решения раз-
личных задач в реальных условиях. Она может быть сформулирована
в достаточно общем виде, который позволяет найти общие подходы
к ее решению.

Далее эта проблема будет рассмотрена как с общих позиций, так
и в конкретном приложении к задаче идентификации.

«
П1.4. Общие определения. Квазирешение. Решение на компакте

Пусть Уе, Ga — некоторые нормированные векторные простран-
ства. Будем обозначать через ]] х Па0, ||{/||у0- II g По0 соответственно
нормы произвольных элементов хеА0, У^Уо, geG0. Пусть Ro — век-
торное пространство линейных операторов, преобразующих Go в Уо.

Предположим, что в пространствах Ха, Уо, Go выделены некоторые
подмножества Х^Х0, УеУ0, GsG0 и каждому элементу х^Х йостав-
лен в соответствие оператор г(х)е7?0.
Требуется найти решение уравнения

г(х)^=у	(П1.10)

при условиях

хеХ=Х0; уеУ=У0; £eG=G0	(П1.11)

и при заданных приближенных исходных данных

хеХ; {?еУ.	(П1.12)

В исследованиях на некорректность предполагается, что приближенные
исходные данные удовлетворяют неравенствам

|| х —	|| у У|1у0<ег-	(П1.13)

При этих условиях из уравнения

g^G,	(П1.14)

должен быть определен единственный элемент g, такой, что независимо
от х и у при условиях (П1.12) и (П1.13) может быть получена оцен-
ка точности g:

II fi-£llOo<s = «(*.-	(П1.15)

для которой выполняется условие б—>0 при еь е2—»-0.

Нетрудно заметить, что постановка задачи (П1.3)—(П1.4) или
(П1.3)—(П1.8) является частным случаем приведенной общей поста-
новки (П1.10)—(П1.12), (П1.14), а именно, когда г(х) является ин-
тегральным оператором свертки с ядром x=rxx, a tj=rvx.

Условия (П1.13) и (П1.15) характеризуют так называемое свой-
ство устойчивости решения. Решение g устойчиво, если для любого
числа 6>0 могут быть найдены такие Si и е2. что при любых х н 0,
удовлетворяющих неравенствам (П1.13), выполняется условие (П1.15).
Другими словами, устойчивость можно охарактеризовать как свой-
ство, при котором из условий || х — х ||уо -» 0 и || у — Р ||yj -► О’следуст
\S — SIIgo-*’0'

Скажем, что задача (П1.10)—(П1.12), (П1.14) нахождения реше-
ния geG корректно поставлена, если задача (П1.10)—(П1.15) раз-
решима, т. е. решение существует, единственно и устойчиво.

Из-за приближенности исходных данных решение может не суще-
ствовать, и в этих случаях оказывается полезным понятие квазире-
шения.

Обозначим через go элемент в множестве G, такой, который обес-
печивает наибольшую близость элемента r(x)g0 к У, т. е. будем на-
ходить его из условия

Jnf ||r(x)g— 7||Гв=||г(х)р0— у[|у0.	(П1.1Г.)
Такой элемент обеспечивает минимум рассогласования между при-
ближенными исходными данными у и х в метрике пространства УС-
Геометрическая трактовка приведена на рис. П1.1. В частности, если
существует решение g уравнения (П1.14), то квазирешение будет со-
впадать с ним: g=go и минимум в (П1.16) будет равен нулю.

Квазирешение, так же как и само решение, может быть неустойчи-

вым. Однако при некоторых условиях можно заранее гарантировать
устойчивость.

Пусть оператор г(х) обладает следующими свойствами:

1)	непрерывно зависит от хеХ в том смысле, что при хп—*-х, т^е.
||х„— х||^ -» О,	и любом ge=G0

r(xn)g->-r{x)g, т. е. ||r(x„)g — r(x)g||r„-> 0;	(П1.17)

2)	осуществляет непрерывное преобразование Go в Уо, а именно,
если gn—*•£, т. е. || gn—g ||Оо -» 0, то при любом хеХл

ГWgn—+r(x)g, т. е. Цг(х)£п—г(х)£||то—>0;	(П1.18)

3)	уравнение r(x)g=0 имеет единственное решение £=0.

Тогда, если G — компактное множество, то квазирещение суще-
ствует, единственно и устойчиво.

Докажем это. Очевидно, что г (x)G — компактное множество. Так
как функция l|r(x)g—t/llr0— непрерывная, то она достигает своей
нижней границы, и значит, квазирешение, находимое из условия
(П1.16), существует,

В силу третьего свойства это квазирешение будет единственным.

Покажем теперь, что если хп—>х, уп—►«/, то соответствующая
последовательность квазирешений gon сходится к g: gOn—>-g, т. е.
имеет место устойчивость. Действительно, так как G — компакт, то из
любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся
подпоследовательность. Чтобы не загромождать изложение обозначе-
ниями, предположим, что сама последовательность gDn сходится, и ее
предел равен gD:

gen ~т- е- II gon go Но, ~
Теперь надо установить, что g0 = g. Рассмотрим || r(x)gc— у ||у0-
Очевидно,

|1 г (х)g0 — у ||Го = |j г (xfg. — г (х) gon + г (*) Гоп —

— r(xn) g0„ + r(x^)g0„ — Уп + Уп — g||y„<ll ''(*)&> —

г (*) Ёоп 1|у0 + II Г (х) gon	Г (х^ gon ||уо +

+ II r('xn)gon — Уп |1у0 + II ^П — У 11к0-

Из (П1.16) следует

II r (хп) gon Уп ||у0 < II r (xn)g Уп ||у0 = II r (Xn)g r(x)g +

+ '•(X)g — у + у — Уп ||Уо< II Г (Xn)g — r(x)g ||у0 +

ч- II r(x)g — Pl|yo+ll у — Му,-

Вместе с предыдущим неравенством получим

II г (*) go — У 1|у0 < И г (х) 7о — г (х) g„n ||у, + II г (х) gon —

-- Г (xn) gon lly0 + II r (xn) g	r (x) g Ily0 +

+ IkWfif —!/l!y0+2 ||g —Г||у0.

С учетом формулы (П1.18) первое слагаемое стремится к нулю,
а второе и третье слагаемые стремятся к нулю в силу (П1.17). Так
как g— точное решение задачи при точных исходных данных, то
r(x)g=y, и четвертое слагаемое равно нулю. Наконец, уп—*-у, и, сле-
довательно, пятое слагаемое также стремится к нулю.

Отсюда, переходя к пределу, получаем

l|''Wgo —Р||уо=0.

Таким образом, r(x)g0=y. Так как r(x)g=y, то r(x)(g—go)=0,
и в силу третьего условия go=g, что и требовалось доказать.

В частности, когда квазирешение совпадает с решением, принад-
лежащим компакту G, это решение является устойчивым.

Таким образом, если G— компакт, а оператор г(х) удовлетворяет
определенным выше условиям 1—3, то задача нахождения квазире-
шения является корректно поставленной. Множество G называется
классом корректности. Говорят также, что задача нахождения реше
ния в случае заданного компакта G является корректной по Тихоне
ву [8].
Для случая, когда G не является компактом, Тихоновым был раз-
работан общий подход к решению задачи, основанный на методе ре-
гуляризации. В следующем параграфе изложим его суть.

П1.5. Метод регуляризации

В постановке задачи (ШЛО)—(Ш.15), отвечающей реальным ус-
ловиям, предполагается, что исходные данные имеют погрешность,
удовлетворяющую неравенствам (П1.13). Различным исходным дан-
ным отвечают различные решения g, точность которых должна оце-
ниваться с помощью соотношения (П1.15).

Таким образом, можно считать, что решение получается в резуль-
тате применения некоторого оператора к приближенным исходным
данным. Этот оператор должен быть согласован с величинами ei и
е2, характеризующими точность исходных данных. Регуляризующее дей-
ствие этого оператора должно проявляться в том, что при ei и е2—*-0
величина б, оценивающая точность регуляризованного решения с по-
мощью неравенства (П1.15), должна стремиться к нулю.

Введем определение регуляризующего оператора, суть которого
раскрывается при рассмотрении общепринятого случая, когда ei=0,
т. е. х==х. Тогда будем обозначать: г(х)=г, ej=e, б=б(е).

Оператор /Це), зависящий от параметра е, называется регуля-
ризующим, если:

1)	существует число 8j>0, такое, что оператор /Це) определен
для любого е,	и осуществляет преобразование элементов уе

eY, удовлетворяющих неравенству (П1.13), в элементы g^G: g«=
=Я(в)р;

2)	для любого 6>0 существует е^еь такое, что из неравенства
(П1.13) следует неравенство (П1.15), где g=g,, т. е.

II Silo» <“•

Иногда используют более общее определение, предполагая, что
оператор R зависит не прямо от е, а от параметра а, который опре-
деляется как некоторая функция от е:а=а(е).

Оператор R(а), зависящий от параметра а, являющегося функ-
цией величины е, называется регуляризующим, если:

1)	существует число £i>0, такое, что оператор R(а) определен
для любого а—а(е), O^e^Bi и осуществляет преобразование элемен-
тов уеУ, удовлетворяющих неравенству (П1.13), в элементы g^G:

ga = R{a)y>

2)	для любого 6>0 существует е'^еь такое, что из неравенства
(П1.13) следует неравенство (П1.15), где g=ga, т. е.

и £а~ glia»
3)	существует функция а=а(е), обеспечивающая выполнение
предыдущих условий.

Элемент ga — R(a)y, где а = а(е) и || у — у |[ < е, называется ре-
гуляризованным решением задачи (П1.10)—(П1.12), (П1.14). Число-
вой параметр а называется параметром регуляризации. Он осуще-
ствляет согласование точности исходных данных с точностью решения.
За счет этого обеспечивается устойчивость регуляризованного реше-
ния. Действительно, при е—>0

II g<x~ gllce -‘°’ Т- е- £«=#(«)!/-»g.

где а=«(е).

Методом регуляризации называется метод нахождения регуля-
ризованного решения путем построения регуляризующего оператора и
определения на основе дополнительной информации параметра регу-
ляризации.

В работе Л. Н. Тихонова указан один из подходов к построению
регуляризующих операторов с помощью так называемых стабилизи-
рующих функционалов [8]. Опишем его.

Пусть 52(g)—непрерывный неотрицательный функционал на G.
Назовем его стабилизирующим, если для всякого числа rf>0 мно-
жество

Gd={geG:fi(g)sSd}	(П1.19)

компактно. Рассмотрим множество Ge элементов g, таких, которые
обеспечивают выполнение неравенства (П1.13):

св= {gGG:|| rg— g||yo<e}.

Очевидно, что точное решение принадлежит множеству Gs:^eG
и любой элемент из множества Ge удовлетворяет условию (П1.13) по
точности, наложенному на соответствующие ему приближенные исходные
данные. Однако множество Ge слишком широкое для того, чтобы в ка-
честве приближенного решения задачи можно было взять любой элемент
из Ge. Может даже оказаться, что при е-» 0 последовательность эле-
ментов, выбранных из каждого Ge, не будет стремиться к g.

Однако с помощью стабилизирующего функционала есть возмож-
ность построить такое правило выбора элементов из GE, которое при
е—>-0 обеспечивает сходимость этих элементов к точному решению
g. Пусть ge — элемент из Ge, находимый из условия

inf S(g) = S(ge).	(П1.90)
Такой элемент можно рассматривать как результат применения
к у некоторого оператора

g,=A')V-

Можно показать, что оператор R(e) является регуляризующим.
Рассмотрим геометрическую интерпретацию метода регуляризации.

Очевидно, что в силу (П1.19) множество

<32(/=feGG:2(g)<2(^}

компактно, содержит элемент g и

fi(ge) = >nf 2(g) = inf 2(g).

-	fee. ПОад

Пусть

2(gB)=2nf

Тогда	»

gse cs«v

Ecrai gseGB, to gt = ga-. В этом случае дополнительная информа-
ция, заданная с помощью функционала 2(g), согласована с точностью

исходных данных, и gP_ можно брать в качестве приближенного ре-
шения задачи.

Рассмотрим теперь случай, когда ga^Ge (рис. П1.2). Тогда, если
2(g) обладает следующим свойством: для любой точки gi=gB су-
ществует такая точка g2, что 2(g2)<2(gi), то inf 2(g) достигает-
ся при условии	*

II ГВ. — Йу0=е-	(П1.21)
Таким образом, находить минимум (П1.20) можно, решая задачу

inf 2(g)
2^0

на всем множестве G при условии (П1.21).

Если сравнить рис. П1.2 с рис. П1 1, то можно отметить, что
квазирешение находится из условия близости множества rG и элемен-
та у, а регуляризованное решение — из условия близости множества

Ge и элемента gs. Другими словами, в первом случае в априорном
множестве rG выбирается элемент, близкий к приближенному элемен-
ту у, и в качестве квазирешения берется его прообраз при отображе-
нии г, а во втором случае в множестве приближенных решений GB
выбирается элемент, близкий к априорному элементу gs, который и
берется в качестве регуляризованного решения,

Далее рассмотрим некоторые конкретные результаты задачи иден-
тификации. Полное и общее изложение методов решения некорректно
поставленных задач можно найти в [8].

П1.6. Некоторые методы решения задачи идентификации.

Типовая идентификация

Анализ, проведенный в П1.3 в частотной области, показал, что не-
корректность задачи идентификации имеет место из-за влияния вы-
соких частот со погрешности в исходных данных. Для получения
устойчивых решений необходимо подавить их влияние. Это можно
сделать, умножая, например, функцию V(ico)/Sla:(co) на некоторую
функцию f (со, а), зависящую от специально выбираемого параметра
а. При определенных условиях на f (со, а) оператор

оо

~ if f(lO, “) ~	. +iu>t

R(a)rDx = ~2^ J S^Jco) Su< (M °	dv>

—oo

является регуляризующим. В частности, это имеет место прн

/(со, o)=|Sxx(co)|2/[|SXx(co)|2+aA4(co)],

где М (со) — заданная четная неотрицательная и кусочно-непрерывная
функция, такая, что A4(co)^const>0 при достаточно больших |со|.

Функцию /(со, а) называют стабилизирующим множителем. Прн
заданном е параметр регуляризации а можно находить из условия
(П1.21), которое имеет вид:

00

^7 J I Sxx(co) G (ico) — pcfw = о®

—оо

Так как

G(ia)=SXx(со)Svx(ко)/[| Sxx(со) |2-|-аМ(со)],
то

1	а2Л12(ь>)|$^(Йо)|2</со

a? J {|5лДсо)|2 + аЛДсо)}2 =
—со

Как видно, рассмотренные общие методы находят конкретное со-
держание в задаче идентификации. Они могут быть применены для
ее решения, особенно при проведении численных расчетов,на ЭВМ,
когда исходные данные и решение задаются дискретными рядами
точек.

В данной книге упор делается на такой подход к решению зада-
чи, когда используется дополнительная априорная информация, по-
зволяющая решать задачу в аналитическом виде. Во многих случаях
такой подход можно считать оправданным, так как он прост, нагля-
ден и дает достаточно точные результаты. Кроме того, он стимулирует
исследователей на более критический анализ исходной информации,
позволяющий выявить в ней существенные свойства и отбросить слу-
чайности, искажающие решение.

Такой подход, названный типовой идентификацией, направлен па
соединение отдельных этапов идентификации в единый процесс. Он
соединяет этап подготовки исходных данных с этапом решения зада-
чи (П1.3)—(П1.4). Для решения задачи идентификации строятся
типовые таблицы, из которых выбираются исходные данные, более

всего отвечающие имеющейся информации. Приведенные в
таблицах импульсные характеристики и уравнения систем
ются за приближенное решение задачи идентификации.

этих же
принима-

Типовые таблицы
априорная информация

r+xx(t)=rxx(t)

Г~хх (t)~rXX (О
r+yx(t) — Г ИХ (О
г(f)—rVX (О

Г' хх хх (О

Г-хх(П=Гхх(/)

составлены для корреляционных

о которых приводится ниже. Обозначим:

функций,

при
при
при
при
при
при
при
при

/>0;
ZsgO;

/^0;

fSsO;
feiO.

Предполагается, что r+xx(t), r~xx(t), r+yx(f) и r~vx(f)—анали-
тические функции, допускающие аналитическое продолжение на всю
ось, а также

л

(О r7x (0; rtx (* - *)=s «<• (0 w 
i=i

Тогда

n

r7x (; — ’) = 2 Ui 
l=\
Исходные данные для решения задачи (П1.3)—(П1.4) выбираются
из того же множества функций: f+xx(t), r~xx(t), f+vx(f), r~vx(t) —
аналитические функции, допускающие аналитическое продолжение на
всю ось, а также

гхх^^ гхх(О.

п

~г*х й—г)=2	

/=1

(П1.22)

Тогда

п

~7х <z—т)=2 ~i •
£-=1

Для того, чтобы для уравнений (П1.1), (П1.4) существовали ре-

шения, должны выполняться следующие условия:

оо	п	со	)

7*10 = $	— T)dt = 2 Ki (О j gW«i(’)rfT =

о	i=i	о

п

= 2 с*мо;

z=i

п

~7xK)=2^~>-w •

/=!	I

где Ci и Ci — константы:

(П1.23) •

оо

СО

Ci = У g (т) И,- (т) dt; Q = j g(~) ~ц (т) А

О

о

Таким образом, исходные данные выбираются так, чтобы выпол-
нялись условия (П1.22) и (П1.23).

Решение уравнения (П1.1) предполагается принадлежащим мно-

жеству функций вида

^(т)=Х6(т)Ц ы(т), тХ) (g(x)=O при т<0),

где X — произвольное действительное число; со(т)—непрерывная и
ограниченная на [0, оо) функция; б(т)—обобщенная дельта-функция.

Решение уравнения (П1.4) будет выбираться из того же множе-
ства функций:

g(T)=Xfi(T)4-7(T).	(П1.24)

При типовой идентификации к условиям (П1.22) и (П1.23) добав-
ляются также условия, обеспечивающие устойчивость решения. Введем
их, рассмотрев уравнение (ГН 4)
Так как в силу четности корреляционной функции сигнала на
входе

Г+ХХ (О ==Г~ХХ (-0 >

то это равенство будет справедливо и для произвольных любого чет-
ного порядка от функций r+xx(Z) и г~хх(/):

~tx2k} (0 =	(— О ’k = °’ 1.2... ;<>0.	(П1.25)

Для производных нечетного порядка справедливо

7+М(0 =	fe=l. 2... ; t^O.

Отсюда следует, что если при каком нибудь fe=Z

7+J2'-" (О) = Т-’2*-1’ (0),	(П1.26)

ТО

7л+<2/-1)(0)=77;2/-п (О) = о.

В рассматриваемом случае найдется хотя бы одно такое k, при
котором равенство (П1.26) не будет иметь место. Если бы это было
не так, то с учетом (П1.25) разложения в ряд Тейлора функций
r+xx(t) и f~Xx(t) совпадали бы, что по теореме единственности при-
водило бы к нарушению второго из условий (П1.20). Обозначим через
k0 такое наименьшее число I, что

^-1,(0)=7-<2‘-1> (0)

при k < ke;

7+х(2*°~1)(°)	(°)-

(П1.27)

С учетом (П1.24) запишем уравнение (П1.4) в следующем виде:
~£(0 -7-(о =7 fcxW +

t

+ j “W l~£ (t - т) + 7~ (t - т)] Л.
0

Дифференцируя это уравнение 2А(!—1 раз, получаем с учетом фор-

мул (П1.25) и (П1.27) следующее выражение:

Т'+^’ЧО -	=7—7-<2^-”(/)]+

+ [ со (т) k7x(2*0-1) (Z — т) — 7xlpk°~" (t -t)J dz. (П1.28)
б

Отсюда при /= 0 получим:

Г = 1~^(2^п (°) — ~7x(2ft“-I)(°)1 f+<2ft°-1J(°) —"Гх24""1’ (°)1 - (П1 --9)

218
Следовательно, если производные корреляционных функций по-
рядка 2Ло—1 в нуле оценены с малой ошибкой, то коэффициент Л
мало отличается от точного значения Л.

Продифференцируем уравнение (111.28) еще раз:

7+х(2Ао) (/) -7~(2fe°> (/) -7 [7+W (0	(/)] =

= “(0 [~i£(^1,(0)+7-‘2^1>(0)] + ры [7+W (t - г) -
о

—7“<2Лв) V — Х)1	(П1 30)

Уравнение (П1.30) является уравнением Вольтерра второго рода
относительно неизвестной функции со(т). Его решение устойчиво к по-
грешностям в данных.

Таким образом, если импульсная характеристика имеет вид (П1.24)
и с малой ошибкой измеряются не только сами корреляционные функ-
ции, но и их производные достаточно высокого порядка, то задача
нахождения импульсной характеристики становится устойчивой.

В гл. 2 решение задачи (П1.3)—(П1.4) для построения типовой
таблицы проводилось при

йо=1, т. е. г+ хх(0)^Ьг—/хх(0).

В этом случае равенства (П1.29) и (П1.30) принимают следую-
щий вид:

~£(°)-77Л0).

<0 (О - А [7+"(0 -7-"(/)] =7(/) [7+' (0) -~-'х (0)1 +

t

+ J “ w vt'x' (<—т)—~~х а—т) ] л.
о

Типовые таблицы составлялись при исходных корреляционных
функциях заданного вида, содержащих неопределенные параметры,
значения которых оцениваются. Условия на малость погрешности
в исходных данных для этого случая могут быть выражены в виде
ограничений на параметры.

Таким образом, корректность решения задачи с помощью типовой
идентификации обеспечивается принятием следующих мер:

1)	выбирается вид fxx(t), обеспечивающий качественное согласо-
вание характера rxx(t) в типовой таблице с реальными данными;

2)	выбирается вид ги1(/) аналогично тому, как выбирается вид
rxx(t), и, кроме того, r~vx(t) устанавливается в соотиетстпе с coni
ношением (П1.22);

1'1

17—3070
3)	на некоторые неопределенные параметры накладываются огра-
ничения;

4)	задаются rxx(t) и fyx(t) с учетом произведенного выбора их
вида и ограничений на параметры.

В соответствии с заданными rxx(t) и ryx(t) по таблице находится
приближенное решение задачи. Отметим также, что очень часто априо-
ри задано, что система является устойчивой. Тогда к уже перечислен-
ным требованиям на выбор rxx(t) и fyx(t) необходимо добавить такое
условие на параметры, при котором импульсная характеристика g(t)
будет отвечать устойчивой системе. Поэтому в типовой таблице при-
ведены ограничения на параметры fxx(t) и ryx(t), обеспечивающие
устойчивость линейной системы.

П1.7. Примеры применения типовой идентификации

1.	Пусть rxx(t) = Ае “1*1; 7хх(/) = Ае “ 1 *1



Be & при /^=0;

Beat при t < 0;

G/x(0 =

Be при f^- 0;

Be"*

при t < 0;

Л, A, a, a, (J, g >0.

Тогда

g(z) = —-------[6(t) +(a — p)e ] при т>0.

Таким образом, решение существует, так как ryx(t) согласовано
с fxx(t). Очевидно также, что оно устойчиво. Например, если для про-
стоты положить rxx(t)=rxx(t), то Уп-^У при условиях Ёп-*-В и
Отсюда следует, что и gn->-g.

Априорная информация об rxx(t) и ryx(t) и согласованный вы-
бор (О и гВх(0 позволяют корректно решать задачу идентифи-
кации.

2.	Пусть rxx(t) — Ae a|<l cosco/;

гЛА(/)=Ле cosco/;

А, А, а, а, <в, <о>0.
С учетом условий согласования (П1.22) пусть

[ (В cos yt + D sin y<) e~^! при t 0;
ryx\4 — {	.

I (B cos coZ + C sin <o/)ea< при t < 0;

~ , j (B cos yt + D sin y/) e~?t ппи t 0;

ryx(t) = J

I (B cos <о/ + C sin tot) ea 1 при t < 0.

Выполнение условий (П1.22) обеспечивает существование решения

g (г)= —L_ [F.8 (г) + Ке~	+ “’* +

2 a А

+ L cosухе~^ + Мsin уте-’Р* ], т^О.

Здесь

F, = В а	В р +Сы — Ру;

F2 = Bap2+Bpa24-Bpco2 + Bay2 +

+ Ру а2 Ц- Ру со2— Ссо р2 — С соу2;

_ 2 (а - Ка2 +ш2) [F, [а2 + о2) + f 2]
(7-К“г+“!)г+?

£= Вр2 Ц-Ву2 — Ва2 — Вы2 +2Си'$ + 2 Day + 2(S —Р)?,—К;

1 Г~ p’+V2	—-----------

М=— к Р-212— -£р-F1(p2+y2)-F2

Y L у a2 + w2

Однако известно, что это решение неустойчиво, т. е. из уп~^у и
хп-+х не следует, что gn-^>~g Необходимо наложить еще ограничения
на параметры. Так, если задать ограничения на у, например
где у', у" — определенные числа, то задача становится устойчивой.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ТИПОВОЙ МЕТОД И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МИНИМАКСНОЙ
ИДЕНТИФИКАЦИИ

П2.1. Введение

В рассмотренной задаче идентификации учитывалось, что связь
между наблюдаемым выходом y(t) и входом х(/) линейной динамиче-
ской системы не является детерминированной. Это означает, что одним
и тем же наблюдаемым значениям входной переменной x(t) могут со
ответствовать различные наблюдаемые значения выходной iicpc-Meiiiion
17*	'251
y(t). Такое описание получено из практики и соответствует реальным
условиям идентификации, в которых связь между y(t) и x(t) содер-
жит неопределенность.

Обычным для теории идентификации является переход к статисти-
ческому рассмотрению. В этом случае неопределенность, возникающая
при детерминированном описании объектов, заменяется вероятностны-
ми закономерностями. Наблюдаемому значению входной переменной
x(t) соответствует одна единственная плотность вероятностей (или
функция распределения) выходной переменной y(t). Эта плотность
вероятностей является условной относительно x(t). Таким образом,
задача идентификации считается решенной, если установлена хотя бы
вероятностная зависимость y(i) от х(г).

Как правило, выходной сигнал системы является аддитивной ком-
бинацией реакции на входной сигнал и помехи f(f):

со

#(0=	+	(П2.1)

6

где f(f)—независимый от x(t) стационарный случайный процесс с ну-
левым математическим ожиданием. Будем также предполагать, что
f(r)—нормальный процесс с единичной дисперсией. Связь между
y(t) и x(t), носящая вероятностный характер, будет полностью опре-
делена, если удастся найти £(т).

Благодаря независимости f(t) от x(t) уравнение идентификации
имеет вид:

ОО

r^(O = f ё(х)Гхх(<-т)Л.	(П2.2)

6

Однако в реальных условиях уравнение (П2.2) должно быть за-
менено на уравнение
со

G/x (0 = f Я (г)7ХХ (t - г) dt-rf(t) ,	(П2.3)

6

где ryx(t) и rxx(t)—наблюдаемые (измеряемые или рассчитываемые)
оценки корреляционных функций, a f (t) — погрешность связи между

ОО

rvx{t) и ^ё(г)7хх

6

Уравнение (П2.3) ничем не лучше для идентификации, чем урав-
нение (П2.1), но во многих случаях £(т) находится из уравнения свя-
зи между fyx(t) и fXx(t), а не между y(t) и x(t), причем погрешно-
стью f(t) часто пренебрегают.

В некоторых задачах идентификации такой подход допустим,
если из малости погрешности в, исходных, данных следует малость по-
грешности в решении. Однако, как было показано в приложении 1,
для задачи идентификации линейных динамических систем такой под-
ход неприемлем. Даже сколь угодно малые погрешности в исходных
данных могут привести либо вообще к неразрешимости задачи, либо
к сколь угодно большим погрешностям в решении. Поэтому для реше-
ния подобных некорректных задач приходится принимать дополнитель-
ные меры, фактически изменяющие постановку задачи.

Очевидно, что использование при описании объектов и постановке
задачи идентификации вероятностных характеристик еще не означает,
что имеющаяся неопределенность учтена в надлежащем виде. Необхо-
димо предусмотреть тот факт, что сами вероятностные характеристики
оцениваются (например, методами математической статистики) и по-
этому в свою очередь содержат элементы неопределенности.

Таким образом, естественной для практики является такая поста-
новка задачи идентификации, которая в своем общем виде учитывает
неопределенность, присущую любому описанию объекта, детерминиро-
ванному или вероятностному. Эта постановка задачи, введенная
в [9—12] и названная игровой или минимаксной идентификацией, бу-
дет рассмотрена в следующем параграфе.

П2.2. Общая постановка задачи минимаксной идентификации

Обозначим через х — входную переменную, у — выходную перемен-
ную. Искомой полной характеристикой системы может быть любой
оператор, позволяющий при заданном х определять полностью случай-
ную переменную у. Это можно сделать с помощью следующих экви-
валентных характеристик:

1)	стохастического оператора А, преобразующего х в случайную
переменную у. у=Ах\

2)	условной плотности вероятностей у относительно х: ^((//х);

3)	условной функции распределения у относительно х: Ф(у/х).
Уравнение (П2.1) описывает связь между х и у в операторном
виде, причем оператор содержит случайную переменную f(t).

В общем случае' имеется некоторая информация I о зависимости
у от х. Задача идентификации состоит в том, чтобы на основе этой
информации определить любую из эквивалентных характеристик А,
Ч(у/х), Ф(у/х), например оператор А

Общий принцип игровой или минимаксной идентификации состоит
в том, что уже в постановке задачи идентификации должна учиты-
ваться возможная неопределенность в ее решении. Это означает, что
на основе информации I можно получить не один оператор А, а целое
множество Ло операторов, соответствующих информации /.

На основе этого принципа первая часть игровой или минимаксной
идентификации формулируется в виде задачи построения класса До=
= {Л} операторов А по информации I, или построения классов Чг0=
= {Чг(у/х)} и ф0={ф(г//хН эквивалентных характеристик Ч’Ху/х) и
Ф(у/ху.

/_^Ло={И}; или /-*То={Т(«//х)}; или /->Фо={Ф («//%)}.

В зависимости от имеющейся информации / могут быть построе-
ны различные классы Ло, Ч/о, Фо. В общем случае не только их по-
строение, но и описание представляет собой довольно сложную зада-
чу. Поэтому вторую часть игровой или минимаксной идентификации
составляет задача моделирования класса Ло, Чг0 или Фо в виде, удов-
летворяющем практическим целям.

Обозначим через Л% класс операторов Л*, используемых для мо-
делирования. Аналогично введем обозначения Чг*0 и Ф*о. На практике
различия между отдельными характеристиками могут оказаться несу-
щественными. Формально этот факт отражается с помощью критерия
близости между отдельными характеристиками.

Пусть Ai и Л2— произвольные два оператора, которые могут
использоваться для описания системы. Близость между ними в соот-
ветствии с поставленными целями характеризуется некоторым функ-
ционалом F (Ль Л2).

Аналогично можно ввести функционалы F(4fi, ’F2) и Г(Ф], Ф2),
где ’Fi и 'Р2 — условные плотности вероятностей, а Фь Ф2 — условные
функции распределения.

Максимальное значение функционала А (Ль Л2) по всем Ль Л2е
<=Л0 характеризует «размер» класса Ло с точки зрения критерия F.
Чем больше max р (Ль Л2), тем большая неопределенность
Д1, Дз(^~Др

имеется в описании системы. Поскольку при моделировании класс Ло
заменяется классом Л*о, для любого оператора Л*еЛ*0 его близость
к операторам класса Ло определяется величиной

А(Л*)= max F (А, Л*), Л*еЛ*0.

Заменяя описание объекта в виде класса Ло на описание с по-
мощью одного единственного оператора Л*, считаем, что различие меж-
ду операторами, выраженное значением, критерия близости, меньшим
или равным Е(Л*), несущественно.

Идентификация с помощью минимаксного критерия состоит в вы-
боре оператора Л*иеЛ*0, минимизирующего его отклонение от клас-
са Ло:

min Л (Л*) — min max F(A, Л*).	(П2.4)

Л*(=Л‘„	Л^Л^Л^Ло

Замена класса Ло одним оператором 4*меЛ*0 является наилуч-
шей в смысле критерия F, т. е. оператор Л*м точнее всего моделирует
объект при наличии информации I.

Если при моделировании используется тот же класс операторов Ло,
который получается на основе информации /:

Л*о=Л0,
То любой оператор из Ао может быть выбран и качестве представите-
ля целого класса. Среди всех таких представителей оператор А*м,
называемый чебышевским приближением, обладает тем свойством, что
он расположен по отношению ко всем операторам класса Ло наилуч-
шим образом в соответствии с критерием F. Однако, если не прини-
мать во внимание критерий F, выражающий практическую цель иден-
тификации и отношение исследователя к результатам идентификации,
то любой оператор АеА0 может быть с равным правом выбран в ка-
честве представителя класса До-

Функционал F задает качество идентификации. Величина
max F(Л,, А2) отражает наихудшее значение критерия качества,
Д1»

которое фактически показывает, насколько информация 1 удовлетво-
ряет целям идентификации.

Аналогичные рассуждения можно провести для плотностей веро-
ятностей и функций распределения. Для них задача идентификации по
минимаксному критерию записывается с помощью следующих выра-
жений:

min max /Г(Ф',Ф*); min max F (ф,ф*). (П2.5)
«т&ЧГо	Ф<£Ф*, ФЕФ„

Рассмотренной постановке задачи идентификации можно дать
игровую трактовку. Будем считать операторы из класса Ав чистыми
стратегиями идентифицируемой системы. Первая часть задачи иден-
тификации состоит в определении множества Ло этих стратегий на
основе информации I. Дакая именно стратегия А присуща системе,
полностью неизвестно. Вторая часть задачи идентификации состоит
в том, что исследователь должен выбрать одну из стратегий A*sA<j.
Иногда этот выбор может производиться даже в другом множестве
стратегий А*о.

Если выбрана стратегия А*, а на самом деле в системе реализует-
ся стратегия А, проигрыш идентификатора определяется функционалом
F(A, А*). Обычно предполагают, что F(A, А*)^0, причем при А*=А
F(A, А)=0.

Цель идентификации в такой игре состоит в минимизации проигры-
ша Л(71, А*). Во многих случаях идентифицируемая система в такой
игре пассивна и не имеет цели. О такой игре говорят как об игре
с природой. Можно предположить теоретически, что цели системы и
идентификатора совпадают. Это желательный случай, но практически
не имеющий места. Антиподом ему служит случай, когда цели иден-
тификатора и системы противоположны. О такой игре говорят как об
антагонистической игре двух лиц с нулевой суммой.

Выбор стратегии на основе минимаксных критериев (П2.4) и
(П2.5) основан на представлении процесса идентификации в виде анта-
гонистической игры. Минимаксный подход ориентирован на получение
гарантированного результата. Выбор стратегии А*м делает невозмож-
ным проигрыш больший, чем F(A*M).
Нередко минимаксный критерий называют пессимистическим. Счи-
тают, что ориентация на наихудший случай, особенно в игре с приро-
дой, не оправдана. Аргументация при этом основана на том, что
использование минимаксного критерия не учитывает дополнительную
информацию, позволяющую получать меньший проигрыш.

Такие утверждения исходят из сравнения статистических и мини-
максных постановок задач математической статистики. Действительно,
если использовать статистическую информацию, то в большом числе
опытов можно получить меньший средний проигрыш по сравнению
с минимаксным решением, полученным без использования статистиче-
ской информации.

Однако критерии (П2.4) и (П2.5) записаны в предположении, что
классы Ло (или Vo и Фо) построены с использованием всей имеющейся
информации I, в том числе статистической. Любая дополнительная
информация должна быть включена в /, что соответственно приведет
к корректировке классов Ло, Vo и Фо.

В частности, если есть основания считать цели идентифицируемой
системы не противоположными целям идентификатора, что информация
должна быть учтена в I. Однако после того, как она включена в I,
нет никаких объективных оснований вводить еще какие-либо условия.
После фиксации 1 и построения множеств Ло, Vo и Фо задачу иден-
тификации можно рассматривать как антагонистическую игру.

В общем случае для решения поставленной задачи не могут быть
разработаны универсальные и в то же время практически полезные
методы. Однако для некоторых конкретных видов информации 1 и
функционалов F задача может быть довольно просто решена. Далее
это будет сделано в интересующем нас случае.

П2.3. Минимаксный среднеквадратический критерий

ПусТь у—скалярная выходная переменная; х={хт} — входной век-
тор, который в общем случае является элементом некоторого простран-
ства, не обязательно конечномерного. Будем считать, что хх — функция
переменной х, которая может принимать значения от —оо до -j-oo.

При заданном х выходная переменная у может принимать раз-
личные значения, вероятностное распределение которых можно за-
дать, например, условной плотностью вероятностей V(y/x). Предпо-
ложим вначале, что класс До уже определен, т. е. первая часть задачи
идентификации решена. Рассмотрим решение второй части задачи
идентификации. Будем заменять класс Vo элементом V*(^/x), нахо-
димым по критерию (П2.5). В обсуждаемом случае решение довольно
просто удается получить даже тогда, когда на V*(y/x) не наклады-
вается вообще никаких ограничений, т. е. V*o — класс всех условных
плотностей вероятностей.
Пусть у* — моделируемые значения выходной переменной при за-
данном х, вероятностное распределение которых характеризуется
условной плотностью Чг*'(у*/х). При фиксированном х между у и у*
может возникнуть отклонение (у—у*). В качестве функционала F вы-
берем средний квадрат этого отклонения:

F (’₽.’₽*) =	(у/х) (у—у*)^ (у*/х) dydy* = }A{(y — y*)t/x}.

Здесь и далее переменные у и у* независимые, М(у/х] обозна-
чает условное математическое ожидание у относительно х.

Легко преобразовать этот функционал к следующему виду:

F^V, Ф*)=П{г//х}4-[М{(//х}—M{i/*/x}]2-(-D{p*/x}.

По минимаксному критерию (П2.5) следует найти такую условную
плотность Ф*. которая минимизирует max F(V, ф*). Предположим,

ФеФо

что Фо— класс условных плотностей вероятностей, для которых услов-
ные математические ожидания и дисперсии удовлетворяют только сле-
дующим неравенствам:

fi(x)^Nl{y/x}^f2(x), 0^D{y/x}^q(x).	(П2.6)

Легко получить, что решение Ф* задачи (П2.5) при ограничении
(П2.6) задается 6-функцией, т. е, величина у* является детерминиро-
ванной от х, причем

у* W = 4 W+Mx)],
а значение функционала

F=q(x) Hfi(x)-f2(x)P/4.

Это значение характеризует широту класса Фо с точки зрения кри-
терия F и правомерность замены класса Фо одним представителем. При
больших значениях F информации /, использованной для идентифика-
ции, недостаточно для удовлетворительного описания системы классом
Фо и тем более одним его представителем.

Представим значение F в следующем виде:

F = D {у/х} 4 {[<? (х) - D{p/x} | + 4" [Л (х) - f2 (x)J' }.

Отсюда видно, что F~^D{y /х}.

При <7(x)=D{j//x} и fl(x)=f2(x) = ^(yjx), т. е. когда информа-
ция / дает точные значения 1){р/х} и М{///х}, функционал F дости-
гает своего минимального значения: F=D{j//x}.

В игровой трактовке это значит, что достигнут минимальный про-
игрыш, который не может быть уменьшен за счет любых дополнитель-
ных данных о вероятностной связи между у и х. Дальнейшее умень-
шение F может быть получено лишь за счет расширения вектора х и
включения в него новых переменных, от которых зависит у. Только
в случае детерминированной зависимости у от х будет F=0.

Поскольку по правилам игры полное знание вероятностной связи
между у и х считается исчерпывающим для описания системы, следо-
вало бы при этом проигрыш идентификатора считать равным нулю.
Поэтому точнее было бы заменить функционал F на функционал F'~=
=F—D{y/x}.

Тогда при F—D{y/x} будет F'=0, и класс 'Го без всякого ущерба
с точки зрения функционала F' может быть заменен одним своим пред-
ставителем.

Как видно,

F’ = [<7 (*) - 1№М] + Ц- [f, (X) - f2 (х)]« >0.	(П2.7)

Таким образом, правомерность замены класса 'Го одним предста-
вителем тем больше, чем точнее информация I определяет значения
Г){у/х} и М{«//х}. Качество идентификации можно характеризовать ве-
личиной F'.

Перейдем теперь к решению первой части задачи индентификации—
построению класса Чг0 на основе информации I. Нас интересует случай,
когда информация I содержит утверждение о том, что идентифицируе-
мая система является линейной динамической стационарной одномер-
ной системой.

П2.4. Минимаксная идентификация линейной динамической системы

оо

Пусть !/(<)= f g(*)x (t —	+

о

где f(t) — стационарный случайный процесс с нулевым математическим
ожиданием M[f(01=0 и единичной дисперсией D[f(/)]=1, независи-
мый от х(т).

Заменим рассмотрение системы, описываемой уравнением (П2.1),
рассмотрением следующей системы:

(П2.8)

6

Здесь у—скалярный выход системы; z = {zx}— входной вектор; f —
случайная величина с M{f} = о и D{f} = 1, независимая от z.

Конкретные значения величин у, zx и f в момент времени t будем
обозначать соответственно через у/, гт; и ft. Будем считать, что g; =
= g(0. fr = f(O.

{х (t — %)	при t

О	при t	г.
Тогда yt=y(t) и вместо динамической системы (П2.1) можно рас-
сматривать статическую систему (П2.8). С учетом сделанных предпо-
ложений получим

• /

ОО

М {У/г} = I g^dz; D{y/z} = 1.

Таким образом, для идентификации необходимо оценить £ти най-
ти ограничения:

В рассматриваемом случае функционалы F и F' будут иметь вид:

F = 1 + -Г (*) - (г)Г и F’ = ~Т (г) - h ЮР-

Предположим, что имеются реализации y{t) и х(/), —оо</<оо.
Тогда для /е(—оо, оо) можно написать:

со

Vt = J g^zt^ + ft'	(П2.9)

о

Если бы ft было известно при всех t, можно было точно найти
gx. Однако ft ненаблюдаемо. Заданными являются лишь значения
zxt и yt при te(—оо, оо).

Так как М{/}=0 и D{f}=l, то по неравенству Чебышева получаем
|f|^A с вероятностью

При дополнительной информации f, например, если f имеет нор-
мальное распределение, можно получить более точное соотношение:

Р{|Я=СЛ}=2Ф(Д),
д_____м

где ф (Д) =  __ ( е 2 dt — интеграл вероятностей,

у 2тс J

о

Отсюда и из (П2.9)

оо

или yt — Д< Jgxzxfdz<yt + b.
о

(П2.10)

Эти неравенства выполняются с вероятностью, которую можно

оценить. При любом

z получается оценка M(y/z). Для этого надо
определить

□о	<Л

min I gT2x^c и max I g^dr

Ёг о	Ёт о

при ограничениях (П2.10).

Как было показано в приложении 1, при выполнении условий
(П2.10), сколь бы мало е нн было, значения fi(z) и f2(z) можно сде-
лать сколь угодно большими. Таким образом, получаем тот же резуль-
тат, а именно", без дополнительной информации область характеристик
идентифицируемой системы оказывается слишком большой для того,
чтобы ее можно было заменить одним представителем, а систему счи-
тать идентифицированной с удовлетворительным качеством.

Следует, кроме того, учесть, что реализации y(t) и x(t) реально
наблюдаемы лишь на конечных интервалах времени, скажем от 0 до Т.

Тогда вместо уравнения (П2.9) следует писать:

т

<е[0.л.	(П2.П)

о s

где f't может включать, помимо ft, еще погрешности от исключения
со

величины I" gxzxtdt (если zT/ ^Опри t>T).
т

Поэтому для определения gT при т > Т в этом случае вообще нет
данных. Естественно, в такой постановке задачи кажется целесообраз-
ным задание реализаций в аналитическом виде, позволяющем рассмат-
ривать их на всей оси (—оо, оо).

Однако для переменных x(t) и y(t) это часто нереально в силу
их нерегулярного характера, не поддающегося простому аналитическо-
му описанию. Как и в гл. 1, перейдем от уравнения (П2.11) к урав-
нению, связывающему корреляционные функции. Это удобно, так как
корреляционные функции во многих случаях поддаются аналитическо-
му описанию на основе теоретических исследований.

В результате вместо уравнений (П2.9) и (П2.11) при условиях
эргодичности процессов x(t), y(t) и /(/) при заданном виде корреля-
ционных функций можно написать:

со

6/х(0 = J (* —т)^+7 (0, ^( — оо.оо).

О

Здесь fvx(t) и fxx(0 —заданные на всей оси оценки корреляцион-
оо

ных функций; /(/)—погрешность связи между rvx(t) и | g-f хх (I—
о

—x)dx. Использование аналитического представления fvx(t) и fxx(t)
позволяет ставить вопрос об определении при всех т.
Однако и в этом случае для удовлетворительной идентификаций
мало данных. Только за счет более детальной информации [(/) можно
удовлетворительно провести идентификацию. Эта информация может
быть получена, например, за счет дополнительных сведений об оцен-
ках fxx(t) и rvx(t) или о импульсной характеристике g(t), что согла-
суется с результатом, полученным в приложении 1.

Таким образом, выводы, получаемые из решения задачи идентифи-
кации линейной динамической системы в минимаксной постановке, но-
сят такой же характер, что и выводы, получаемые в обычной поста-
новке после проведения исследований на корректность. Однако мето-
дически минимаксная постановка задачи идентификации выглядит
значительно более цельной.

Во-первых, она уже в самой постановке требует в обязательном
порядке учета всей имеющейся информации и выделения тех данных,
которые реально наблюдаемы. Тем самым уменьшается риск • для
исследователя уйти от действительно имеющихся данных в .область
теоретически заданной информации, а также в полном объеме и явно
формулируются все принятые в процессе идентификации гипотезы.

Во-вторых, минимаксная постановка задачи, рассматривающая про-
цесс идентификации в законченном виде, требует прежде всего описа-
ния идентифицируемой системы не в виде одной точки, а в виде це-
лого класса Ло, '1го или Фо. Такое описание более оправдано, так как
с самого начала предполагается, что реальной информации может ока-
заться недостаточно для однозначного определения характеристик си-
стемы.

Лишь после определения классов Ло, ’Во или Фо ставится вопрос
о выборе того или иного представителя, удовлетворяющего практиче-
ским целям идентификации. В частности, в качестве одного из спосо-
бов выбора такого представителя, разумного с точки зрения получе-
ния наибольшей гарантированной точности описания системы с его
помощью, минимаксный подход рекомендует выбор чебышевского при-
ближения. Однако следует отметить, что могут существовать и другие
представители, обладающие определенными хорошими свойствами.

В-третьих, в связи с тем, что с самого начала делается ориента-
ция на получение целого класса характеристик Ло, или Фо, исследо-
вания на корректность фактически включаются в задачу идентифика-
ции, в то время как в обычной постановке они носят характер допол-
нительных исследований вне рамок задачи идентификации. Из-за этого
часто о них просто забывают. Практическая реализация игровой иден-
тификации в общем-виде изложена в [11].

Методы типовой идентификации, рассмотренные в предыдущих
главах, естественно вписываются в минимаксную постановку задачи
идентификации. Действительно, эти методы ориентированы на исполь-
зование дополнительной информации об fvx(t) и г1х(/), имеющей ана-
литический характер с заданными ограничениями на плрамегры. Это
позволяет определить классы Ло, '1го или Фо и оценит н\ шпроту < по
мощью критерия F. В случае конечного F в качестве характеристик
идентифицируемой системы можно брать чебышевское приближение.

При типовой идентификации коэффициенты gT оказываются свя-
занными при различных т, в результате чего достаточно оценить не-
сколько параметров для того, чтобы получить все значения gz-
Область функций g(x) представляется в виде

G<p={g(t) : g(T)=g(r; ai...а„), a'i},

где а, — параметры, для которых могут быть получены ограничения.

Любая функция из этой области может быть принята за ее един-
ственного представителя. В частности, если

(/)=/« (^; Р1.---- Рт)‘> Г|,х(/) —rVx(/; Y1, .... ул),

где Р; и Yi —.параметры корреляционных функций, удовлетворяющие
заданным неравенствам:

P'j^Pj^P'S;	(П2.12)

то а, находятся как функция от Pj и у,-:
сц=аг(Р......................... Pm, Ti, ул).	(П2.13)

Функция g(x; ai, .... an) может быть принята за представителя
области Go и за решение задачи идентификации. Минимаксный
подход рекомендует находить решение задачи идентификации при лю-
бом z4< по формуле

gM (т)= [gmin(t)-[ gmax(T)]/2,
где gmm(T) и gmax (т) — решения следующих задач математического
программирования:

ОО
min f g(t; a,....a„)

al 0

00
max I g(t; ......an)

ai о

при ограничениях (П2.12), (П2.13).

Пример П2.1. Пусть rxx(t)=rxx(t)=e—|Л.

~	((1 + Dsinyf)e-* при fesO;

fyx (	et при t < 0.

(П2.14)

Тогда

fij 2 ~ D^f	Dy

g(x) = -2~ 5 (’)+ —(2cosyt + у sin yr) e~x,

Как видно, g(x) зависит от двух параметров: D и у, и при любом
z^t получим

СО

JgW^A =

О

2—2>г
2

оо

+ J (2 cos ут -f- у sin ух) е \tdt.
2
При конкретных z задача (П2.12)—(П2.14) сводится к миними-
зации и максимизации (П2.14) по параметрам D и у. Это позволяет
определить ограничения на M(i//z) и описать область решений задачи
идентификации в виде множества выходных реализаций при данной
входной реализации.

Не приводя довольно трудоемких вычислений, отметим лишь, что
типовая идентификация естественно вытекает из игровой постановки
задачи идентификации как один из способов ее решения. Ранее этот
же способ был рассмотрен как метод борьбы с некорректностью, имею-
щейся в обычной постановке задачи идентификации. Таким образом,
типовая идентификация позволяет добиться разрешимости задачи
в игровой постановке, так как она позволяет получать устойчивые ре-
шения в обычной постановке.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Основы автоматического управления/ Под ред. В. С. Пугаче-
ва.— М.: Наука, 1974.—719 с.

2.	Арамоиович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э. Функции ком-
плексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчиво-
сти.— М.: Наука, 1968. — 416 с.

3.	Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функ-
ций.— М.: Наука, 1968. — 463 с.

4.	Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и
методе регуляризации. — Докл. АН СССР, 1963, т. 151, № 3, с. 501—
504.

5.	Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и
функционального анализа.—М.: Наука, 1976.—543 с.

6.	Райбман Н. С., Анисимов С. А. Типовая идентификация ли-
нейных объектов. — Приборы и системы управления, 1970, № 3,
с. 1—9.

7.	Коган Б. Я. Электронные моделирующие устройства и их при-
менение для исследования систем автоматического регулирования. —
М.: Физматгиз, 1963. — 510 с.

8.	Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных
задач. — М.: Наука, 1979. — 285 с.

9.	Основы управления технологическими процессами/ Под ред.
Н. С. Райбмана. — М.: Наука, 1978. — 440 с.

10.	Анисимов С. А., Райбман Н. С. О минимаксной идентифика-
ции.— Автоматика и телемеханика, 1977, № 1, с. 16—22.

11.	Анисимов С. А. Некоторые методы минимаксной идентифика-
ции.— Автоматика и телемеханика, 1978, № 6, с. 50—55.

12.	Анисимов С. А. Минимаксная идентификация по среднеквад-
ратическому критерию. — Автоматика Nt телемеханика, 1975, № 6,
С. 168—170,
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ....	.	.............. 3

Глава 1. Задача типовой идентификации линейных объектов

1.1.	Постановка задачи построения математической модели 6

1.2.	Типовые модели стационарных линейных систем и их
характеристики ....	................ Ю

1.3.	Задача типовой идентификации линейных стационарных
объектов...............................................12

Глава 2. Построение типовых линейных моделей объектов
управления	.	.	.................................13

2.1.	Методы построения типовых моделей в классе стацио-
нарных	линейных	систем............................... 13

2.2.	Примеры исследований характеристик объектов управ-
ления	 20

Глава 3. Определение коэффициентов дифференциального
уравнения объекта управления методом типовой иденти-
фикации .......................................... .	.	41

3.1.	Метод идентификации по таблицам....................41

3.2.	Выбор метода построения типовых таблиц идентифи-
кации ............................ .	.............43

3.3.	Ограничения на коэффициенты дифференциальных
уравнений..............................................45

3.4.	Построение таблиц идентификации с помощью элект-
ронной моделирующей установки ...	50

3.5.	Применение таблиц идентификации	.	52

3.6.	Руководство к пользованию таблицами типовой иден-
тификации ................................................ 54

3.7.	Примеры идентификации	по таблицам .	228

Приложение 1 Типовой метод и некорректность постанов-
ки задачи идентификации ................................ 231

П1.1. Задачи идентификации при приближенных исходных
данных..................................... .	231

П1.2 Примеры некорректности в постановке задачи иден-
тификации ...........................................234

П1.3. Анализ причин некорректности задачи идентификации 236
П1.4. Общие определения ' Квазирешение. Решение на ком-
пакте ........................... .	238

П1.5. Метод регуляризации .	....................242

П1.6. Некоторые методы решения задачи идентификации.

Типовая идентификация	.	.	.	245

П1.7. Примеры применения типовой идентификации	250

Приложение 2. Типовой метод и постановка задачи мини-
максной идентификации......................... 251

П2.1. Введение .	.	............. .	.	251

П2.2. Общая постановка задачи минимаксной идентификации 253

П2.3. Минимаксный среднеквадратический критерий . 256

П2.4. Минимаксная идентификация линейной динамической
системы	................... .	258

Список литературы ...	.	.	.	...	263