О. А. ЛАДЫЖЕНСКАЯ
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
для
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ
С предисловием
акад. В. И. Смирнова
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1953

11-5-4

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие • 5
От автора 8
Введение 9
Гл а в а I. Вспомогательные предложения
§ 1. Нормированные пространства и пространства Гильберта . 24
§ 2. Обобщенные производные. Средние функции 27
§ 3. Пространства W^ (Q) и теоремы вложения 32
о о о
§ 4. Классы функций D, Dj и D2 38
§ 5. Собственные функции . , • 43
§ 6. Некоторые предложения о разностных отношениях .... 48
§ 7. Три леммы о производных функции на криволинейной
поверхности 58
Глава II. Метод Фурье
§ I. Постановка задачи 70
§ 2. Нахождение обобщенного решения 74
§ 3. Основная вспомогательная теорема 83
§ 4. Обоснование метода Фурье 101
§ 5. Неоднородные уравнения 112
§ 6. Интегралы гиперболических уравнений 116
Глава III. Решение смешанной задачи в целом
с помощью конечных разностей
§ 1. Определение обобщенного решения и его единственность 125
§ 2. Отыскание обобщенного решения 134
§ 3. Исследование дифференциальных свойств обобщенного
решения 151
§ 4. Сведение краевых и начальных условий к однородным . . 178
§ 5. Смешанная задача для бесконечных областей 183
§ 6. Смешанная задача для общих линейных уравнений
второго порядка . , 184
Глава IV. Преобразование Лапласа
§ 1. Сведение смешанной задачи к решению эллиптического
уравнения 190

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Обобщенное решение задачи Дирихле i93
§ 3. Исследование дифференциальных свойств обобщенных
решений 201
§ 4. Решение смешанной задачи 210
§ 5. О дифференцируемости собственных функций в замкнутой
области 213
Глава V. Метод аналитической аппроксимации
§ 1. Оценка производных первого порядка от решений
уравнения 221
§ 2. Оценка старших производных от решений 229
§ 3. Задача Коши (аналитический случай) 233
§ 4. Задача Гурса (аналитический случай) 236
§ 5. Преобразование уравнения к характеристическим
координатам 239
§ 6. Смешанная задача (аналитический случай) 250
§ 7. Решение смешанной задачи (неаналитический случай) . . 258
§ 8. Решение смешанной задачи для областей общего вида . . 265
Дополнения 271
Литература 277

ПРЕДИСЛОВИЕ
Основные задачи для линейных уравнений
гиперболического типа — это задача Коши и смешанная задача. Трудность
этих задач и достигнутые в отношении их решения
результаты совершенно различны. Это видно хотя бы на примере
волнового уравнения в обычном трехмерном пространстве.
Задача Коши решается в замкнутом виде при помощи
формулы Пуассона, и анализ решения может быть проведен
совершенно элементарно. Иное положение до последнего
времени было в отношении смешанной задачи. Никаких общих
результатов, касающихся решения задачи для областей
произвольной формы, не было. В частности, не был теоретически
оправдан известный метод Фурье. Тем самым не был выяснен
вопрос о том, какой гладкости надо требовать от данных
задачи и границы области для существования решения.
Задача Коши для гиперболических уравнений с
переменными коэффициентами с большой полнотой и общностью
исследована в работах С. Л. Соболева. Более ранние работы
по этому вопросу принадлежат Адамару и Шаудеру.
Существенным моментом в работах С. Л. Соболева было
применение идей и методов теории функций вещественного
переменного и функционального анализа к постановке и решению
задачи Коши. При этом широко применялись обобщенные
частные производные, обобщенные решения уравнений с
частными производными и замена искомых функций
функционалами. С. Л. Соболеву принадлежит также идея введения
обобщенных решений и для решения смешанной задачи в случае
волнового уравнения с использованием для этого метода
Фурье. Все это естественно поставило в порядок дня общую
проблему о решении смешанной задачи для линейных
уравнений гиперболического типа с переменными
коэффициентами. Эта проблема привлекла большое внимание участников

6 ПРЕДИСЛОВИЕ
семинара по математической физике в Ленинградском
университете. По этому вопросу был проведен целый ряд
докладов.
Наиболее общие результаты были получены О. А.
Ладыженской. Изложению этих результатов и посвящена в
основном настоящая книга. Только в последней главе книги
излагаются с некоторыми дополнениями результаты Шаудера по
смешанной задаче. Они мало эффективны по существу и,
кроме того, дают решение лишь на достаточно малом
промежутке изменения временной координаты.
Смешанная задача для линейных гиперболических
уравнений с произвольными коэффициентами решена О. А.
Ладыженской с помощью метода конечных разностей. Этот метод
позволил получить так называемое обобщенное решение
задачи при весьма малых ограничениях на данные задачи. Затем
автор исследует дифференциальные свойства полученного
обобщенного решения в зависимости от гладкости данных
задачи, их согласованности и гладкости границы области.
Это дает возможность, используя известные теоремы
вложения С. Л. Соболева и В. И. Кондрашева, указать условия,
при которых получается классическое решение смешанной
задачи.
Вторым методом, который исследован автором, является
преобразование Лапласа. Рассматриваются линейные уравнения
с коэффициентами, не зависящими от времени, и с помощью
преобразования Лапласа строится классическое решение задачи
при соответствующих условиях.
Преобразование Лапласа сводит задачу к задаче Дирихле
для уравнения эллиптического типа. С помощью метода
конечных разностей строится обобщенное решение этой задачи
и исследуются дифференциальные свойства этого решения.
Третьим разделом работы является подробное
исследование рядов Фурье, формально решающих смешанную задачу.
При некоторых предположениях о гладкости коэффициентов
уравнения и границы области даются необходимые и
достаточные условия, накладываемые на функции, выражающие и
и -5v- при £=0, при которых ряд Фурье и ряды, полученные
его почленным дифференцированием до k раз по
пространственным координатам и времени, сходятся в L2 равномерно
по t9 при — оо < t < -\- оо. Это дает, в зависимости от

ПРЕДИСЛОВИЕ 7
величины &, обобщенное решение, решение почти всюду или
классическое решение смешанной задачи для однородного
уравнения. Решение задачи проводится далее и для
неоднородного уравнения. В основе исследования ряда Фурье лежит
доказанное автором интегральное неравенство для любых
достаточное число раз дифференцируемых функций,
удовлетворяющих лишь некоторым условиям на контуре области.
Весь комплекс работ О. А. Ладыженской по смешанной
задаче представляет собою большой шаг вперед в этой мало
исследованной области. Характерным для этих работ является
применение понятий обобщенных решений и решений в
классах Wik\Q), что, повидимому, весьма существенно для
уравнений гиперболического типа, а также использование автором
метода конечных разностей. Ценные результаты, полученные
автором в отношении конечных разностей для гладких
контуров, указаны во введении.
Необходимо особо отметить также доказанное автором
интегральное неравенство, о котором мы говорили выше.
Сейчас можно .сказать, что решение смешанной задачи
вышло из того неудовлетворительного положения, в котором
оно находилось до последнего времени, и исследовано с
такою же полнотой и общностью, что и решение задачи Коши.
Профессор Ленинградского
государственного университета
академик Вл. Смирное

ОТ АВТОРА
Для гиперболических уравнений рассматривают две
основные задачи: задачу Коши и смешанную. Задаче Коши, помимо
многочисленных журнальных статей, посвящен и ряд
монографий, из которых следует отметить в первую очередь книгу
Ж. Адамара „Проблема Коши* и книгу С. Л. Соболева
„Некоторые применения функционального анализа к
математической физике". Этой задаче уделено много внимания
также и в учебной литературе.
Иное положение имеет место со смешанной задачей в
случае трех и более независимых переменных и областей
произвольного вида. Монографии и даже обзорные статьи,
посвященные этой задаче, отсутствуют. В учебной литературе
обычно ограничиваются лишь указанием формальной схемы
метода Фурье и преобразования Лапласа.
Настоящая книга представляет собою попытку изложить
и теоретически обосновать различные методы решения
смешанной задачи. Так как большая часть результатов,
излагаемых в книге, публикуется в развернутом виде впервые, то
мы заранее извиняемся за возможные недочеты изложения.
Автор выражает свою глубокую признательность акад.
В. И. Смирнову за внимание, проявленное ко всей работе
автора и за ряд сделанных им ценных указаний.
Автор благодарит также С. Г. Михлина, X. Л. Смолиц-
кого и А. Д. Мышкиса, просмотревших различные главы
рукописи и сделавших ряд ценных замечаний.
О. Ладыженская

ВВЕДЕНИЕ
В настоящей книге мы будем иметь дело с линейным
уравнением второго порядка
д*и
г, 5=0 J
п
+f(x0,...yxn) = 0 (1)
гиперболического типа. Условие гиперболичности уравнения (1)
для какой-нибудь области Q определения его коэффициентов
в общем виде формулируется так: в каждой точке области Q
п
квадратичная форма 2 ai№i вещественных переменных
&0, ..., %п имеет характеристические числа, отличные от
нуля, причем одно из них имеет знак, противоположный
знакам всех остальных. Пусть, для определенности, одно
характеристическое число—положительное, а все другие —
отрицательные. Простейшим представителем таких уравнений
является волновое уравнение.
По отношению к уравнению (1) выделяют три типа
гладких поверхностей: пространственно ориентированные,
временным образом ориентированные и характеристические.
Если поверхности заданы уравнениями вида g(x0, .. ., хп) = 0,
то на поверхностях первого типа должно выполняться усло-
п
вне A(g)== 2j aij7r~* 1Г~ > 0> на поверхностях второго
i,j = 0 % j
типа А(g")<0, а на характеристических поверхностях A (g)^=zQ*

10
ВВЕДЕНИЕ
Для гиперболических уравнений чаще всего ставятся две
основные задачи: задача Коши и смешанная задача. г Первая
задача заключается в отыскании решения уравнения (1),
удовлетворяющего на заданной пространственно
ориентированной поверхности F0 так называемым начальным условиям
ЕЕ-
дп
о "о
*п
(2)
где -^— означает дифференцирование по нормали к
поверхности F0. Решению этой задачи посвящено много работ,
сыгравших значительную роль в развитии современной
математики. Укажем лишь на те основные работы из этой
области, которые относятся к линейным уравнениям с
переменными коэффициентами при любом числе независимых
переменных. Если коэффициенты уравнения (1) и функции (2) ?
суть аналитические функции своих аргументов в некоторой
окрестности ffi(М) точки М начальной гиперплоскости FQy
то, как это следует из работ О. Коши и С. В.
Ковалевской, в некоторой окрестности точки М, заключенной
внутри 91 (Ж), существует единственное аналитическое
решение задачи Коши. На это*м широко известном результате мы
останавливаться не будем, а перейдем к неаналитическому
случаю.
Первый метод решения задачи Коши для уравнения (1)
с неаналитическими коэффициентами дан Ж. Адамаром в
1904—1908 гг. (см. его книгу [1] 1923 и 1932 гг., а также
книгу Д. Гильберта и Р. Куранта [1], ч. II, стр. 489—509).
Сначала Адамар строит основное сингулярное решение V
уравнения, сопряженного с данным, а затем с помощью
этой функции V дает явное выражение для искомого решения
U (X) через начальные данные.
Использование сингулярных решений в гиперболических
уравнениях затруднено тем, что они обращаются в
бесконечность на всей поверхности характеристического конуса.
1 Кроме этих задач, часто рассматривается еще задача Гурса,
с решением которой для аналитического случая мы встретимся
в гл. V, § 4.
2 Здесь и далее мы будем ради удобства считать начальную
поверхность F0 гиперплоскостью х0 = 0.

ВВЕДЕНИЕ 11
Это потребовало особых предосторожностей при применении
формулы Грина и привело Адамара к особому понятию
интеграла.
Иной метод решения задачи Коши дан в работе Р.
Куранта, К. Фридрихса и Г. Леви [1] (1928 г.). Авторы этой
работы доказывают, что решения некоторых конечноразно-
стных уравнений, сопоставляемых уравнению (1), дают в
пределе искомое решение задачи.
Третий метод решения задачи Коши принадлежит И. Шау-
деру ([1], 1935 г.). Он заключается в следующем. Строятся
последовательности полиномов (или каких-либо других
аналитических функций), аппроксимирующих с любой степенью
точности коэффициенты уравнения (1) и начальные
функции (2). Для этих вспомогательных уравнений и начальных
условий существуют по теореме Коши — Ковалевской
аналитические решения M(W). И. Шаудер доказывает, что щт)
сходятся при /та—>оо к искомому решению задачи Коши для
уравнения (1) при условиях (2). Аналогичным же методом
И. Шаудер решает задачу Коши и для квазилинейных
уравнений (см. его работу [1]).
Наконец, четвертый способ решения задачи Коши дан
в работе С. Л. Соболева за 1936 г. (см. его книгу [1]). Сам
автор называет свой метод методом Кирхгофа, так как для
случая, когда уравнение (1) есть волновое уравнение с
четырьмя независимыми переменными, данное им выражение
для решения задачи совпадает с известной формулой
Кирхгофа.
При исследовании решений задачи Коши (и близкой к ней
задачи о диффракции волн от угла) С. Л. Соболев широко
пользуется новым для того времени понятием обобщенных
производных. В связи с этим он доказывает целый ряд
свойств обобщенных производных и исследует дифференциальные
свойства класса функций, суммируемых вместе со своими
обобщенными производными до некоторого порядка / со
степенью р > 1 в какой-нибудь конечной области Q изменения
аргументов. Класс таких функций, следуя С. Л» Соболеву,
обозначим W^iQ). 3 Введение в задачу Коши понятия обоб~
щенных производных позволило С. Л. Соболеву ослабить
1 Развернутое изложение этих результатов читатель может
найти в упомянутой ранее книге [1] С Л. Соболева.

12 ВВЕДЕНИЕ
требования, налагавшиеся до него на данные в задаче
функции, и привело его к расширению понятия решения задачи
Коши. Именно, им были введены и исследованы так
называемые обобщенные решения и решения в функционалах
задачи Коши (см. С. Л. Соболев [1] и [2]).
Можно сказать, что задача Коши подверглась
всестороннему изучению. К ней приводят исследования
колебательных процессов, распространяющихся с конечной скоростью
в безграничном пространстве. Не менее важным является
изучение колебаний, происходящих в ограниченной части
пространства, когда приходится учитывать отражение волн от
граничных поверхностей. Одной из основных задач этого типа
является смешанная задача. Применительно к уравнению (1)
она формулируется следующим образом:
В евклидовом пространстве переменных (лг0, ..., хп)
задана пространственно ориентированная поверхность F0, на
ней — конечная область Q. Через границу этой области Q
проведена другая поверхность Ft (она может состоять из
нескольких отдельных кусков, если область 2 многосвязная),
ориентированная временным образом. В области Q,
расположенной по одну из сторон поверхности F0 и ограниченной
областью Q и поверхностью Fv ищется решение
уравнения (1), удовлетворяющее на Q условиям (2), а на Ft
условию (граничному)
«1^=* (3)
или некоторым иным условиям, о которых будет идти речь
в соответствующих параграфах.
Однако эта задача обычно рассматривается в несколько
более частной постановке. Именно, считается, что в
уравнена
нии (1) а00 > 0, а 2 ацЩ есть отрицательно определенная
форма вещественных переменных Е2, ..., 5W, т. е.
п п
— 2 <*<№ > * 2 6», « = const > 0. (4)
Это особо выделяет из всех координат переменную лг0,
которую называют временной. Решение такого уравнения
ищется в прямом цилиндре Q == Q X [0 < х0 < /], основанием
которого служит конечная область Q изменения переменных

ВВЕДЕНИЙ
13
х , ...» хп> а образующие параллельны оси Олг0, причем
переменная х0 изменяется в пределах от 0 до / (/ > 0). На
нижнем основании цилиндра (при д;0 = 0) задаются
условия (2), а на боковой поверхности — условие (3).
Смешанная задача в своей общей постановке может быть сведена
к указанной здесь более частной задаче с помощью
введения новых независимых переменных. Однако это выполнимо,
вообще говоря, лишь вблизи начальной поверхности. Поэтому
мы следуя остальным авторам, также решаем смешанную
задачу в ее второй, более частной, постановке.
Переходим теперь к изложению основных результатов,
относящихся к смешанной задаче. Эта задача подробно
изучена в случае двух независимых переменных х0 = t и хх = х.
Большой цикл работ, начиная с XVIII в., посвящен вопросу
о линейных колебаниях в одномерном случае при
разнообразных условиях на концах (Д. Бернулли, Даламбер, Эйлер,
Фурье, Ляме, В. А. Стеклов и многие другие). Мы не будем
касаться здесь этих вопросов, ибо они достаточно полно
освещены как в научной, так и в учебной литературе.
Укажем лишь основные методы, применяемые при их решении:
а) метод Даламбера (проходящих волн), дополненный
методом отраженных волн, Ь) метод Фурье (метод разделения
переменных), с) преобразование Лапласа по переменной t,
d) метод Римана (функция Римана + формула Грина).
Ббльшая часть работ по смешанной задаче при п +1 > 2
относится к решению волнового уравнения в областях
специального вида, именно, в цилиндрах Q, основаниями
которых служат параллелепипеды в декартовой, цилиндрической
или сферической системах координат. В этих работах
применяются, в основном, два метода — метод Фурье и
преобразование Лапласа (операционный метод). Решение задачи
представляется или в виде ряда, или в виде интегралов от
функций, каждая из которых зависит от одного
независимого переменного. Входящие в выражение для решения
функции одного переменного суть решения некоторых
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка,
подробно изученных в математике. Мы не будем здесь
излагать решение этих задач частного вида, так как оно
достаточно полно освещено в учебной литературе (см. В. И.
Смирнов [1Ь т» И и IV; Д. Гильберт и Р. Курант [1], ч. II;
А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [1] и другие). Заметим

14 ВВЕДЕНИЕ
лишь, что исследование сходимости рядов или интегралов,
получаемых в процессе решения задачи, в большинстве
случаев не проводилось. Мы оставляем также в стороне работы
типа [1] В. А. Фока, в которых решается вопрос о
выделении в некотором смысле главных частей решения из
интегралов или рядов, к которым приводят методы Лапласа и
Фурье.
Иной метод—метод отраженных волн—используется Ж. Ада-
маром и С. Л. Соболевым при решении смешанной задачи
для волнового уравнения в случае, когда поверхности F0
и Ft суть плоскости. Именно, Адамар решает смешанную
задачу для волнового уравнения в прямом двугранном угле, на
одной из граней которого t = О заданы начальные условия,
а на другой хп = 0 — граничное условие (см. [1],
французский перевод, 1932 г.). С. Л. Соболев рассмотрел плоскую
задачу диффракции волн от угла (см. его работу [3] 1935 г.).
Новый метод решения смешанной задачи для волнового
уравнения — метод неполного разделения переменных —дан
B. И. Смирновым в его работе [2] (см. также [1], т. IV).
Этот метод позволяет изучать картину распространения волн
не только в случае одного волнового уравнения, но и в
случае двух волновых уравнений, описывающих колебания
упругих сред. Применению и дальнейшему развитию этого метода
посвящены работы последних лет Г. И. Петрашеня ([1J—[4])
и его учеников.
Исследованию решений смешанной задачи для волнового
уравнения в цилиндре Q, основанием которого служит область
произвольного типа, посвящены работы Н. М. Гюнтера [1],
C. Л. Соболева ([4] и [5]) и X. Л. Смолицкого ([1]—[3]).
Н. М. Гюнтером [1] для волнового уравнения с четырьмя
независимыми переменными доказан следующий результат:
если ряд Фурье (8) г сходится равномерно и абсолютно, и сумма
ряда и такова, что -^- есть непрерывная функция,
удовлетворяющая условию Гельдера, то и имеет внутри области
непрерывные вторые производные и является решением задачи.
Аналогичный результат установлен им и для неоднородного
уравнения. О работах С. Л. Соболева мы скажем ниже.
В работах X. Л. Смолицкого (1950 г.) доказывается суще-
1 Он определен ниже.

ВВЕДЕНИЕ 15
ствование так называемых интегралов волнового уравнения
любого порядка k и с их помощью проводится полное
исследование решений этого уравнения (как однородного, так и
неоднородного) при всех значениях t^O. Решение смешанной
задачи находится с помощью функции Грина, для построения
которой используются собственные функции оператора
Лапласа, равные нулю на границе. Далее рассматриваются
обобщенные решения и решения в функционалах. Для них
устанавливаются теоремы существования и единственности.
Переходим теперь к тем работам, которые легли в основу
настоящей книги. Нас интересуют здесь результаты,
относящиеся к общим гиперболическим уравнениям вида (1).
Первое решение смешанной задачи для таких уравнений
(в той частной постановке, о которой говорилось выше) было
дано И. Шаудером и М. Кржижанским в 1936 г. [1]. Мы
излагаем эти результаты в пятой главе. Их метод в общих
чертах можно охарактеризовать как метод аналитической
аппроксимации, которым пользовался И. Шаудер при решении
задачи Коши. Однако для смешанной задачи этот метод
оказался весьма сложным и, вообще говоря, неудобным для
фактического вычисления решения. В теоретическом же
отношении его главным недостатком является то, что решение
и(х0У . .., хп) определяется лишь для малых х0 (х0 £ [0, 8]),
причем удается доказать принадлежность и(&, х19 . . .,хп)
к W{*~2) (Q), если и (0, хи ..., хп) £ wik) (Q).1 Таким образом,
продолжение решения для больших х0 (8 <; х0 <; 28) приводит
к потере двух производных. Поэтому, если желательно
получить решение во всем цилиндре высоты /, то придется такое
продолжение делать у- раз, что приводит к необходимости
налагать на данные задачи ограничения, тем более жесткие,
чем больше число I — I. Это оказалось вызванным не
существом задачи, а способом доказательства.
В связи с этим было желательно дать иной способ
решения смешанной задачи для уравнений общего вида (1),
свободный от указанных недостатков. Кроме того, необходимо
1 Сами авторы доказывают более слабый результат. Однако
привлечение теорем вложения без каких-либо принципиальных
изменений в их рассуждениях позволяет установить приводимое
в тексте утверждение.

16 ВВЕДЕНИЕ
было исследовать два широко известных метода (метод Фурье
и метод преобразования Лапласа), применяемых для решения
смешанной задачи в тех случаях, когда уравнение (1) имеет
несколько более специальный вид. Рассмотрению этих
вопросов и посвящена в основном данная книга.
Мы различаем три типа решений: классическое^ решение
почти всюду и обобщенное решение. Классическое решение
должно иметь производные до второго порядка, непрерывные
вплоть до границы Q (т. е. в Q), решения же почти всюду
и обобщенное не обязаны иметь непрерывные производные,
но должны принадлежать W^\Q) и W<P (Q), соответственно. Если
обобщенное решение задачи принадлежит W^(Q), то оно
является и решением почти всюду; если же оно имеет вторые
производные, непрерывные в Q, то оно будет и классическим
решением.
Не останавливаясь здесь на точных определениях
указанных трех типов решений, отметим лишь, что при
конструировании определения обобщенного решения мы
руководствовались двумя противоположными мотивами: именно, с одной
стороны, при доказательстве теоремы существования выгоднее
как можно меньше требовать от решения задачи, с другой
стороны, при наложении слишком слабых требований на
решение могла нарушиться единственность такого решения.
В первой главе излагается материал, имеющий для нас,
в основном, вспомогательный характер.
Вторая глава посвящена методу Фурье. Смешанная задача
для уравнений вида
д*и _ vi _д_ ( , v ди \
dt* ~ 2u dxt {а*Лхи •••»*»; dxj)
~a(xv ...,xn)u-=zLu, (5)
где
м п п
2 ««?& > а 2 & а = const > О,
при однородном граничном условии
Ч = о (6)
или п
{2а^соз(п'^+Н=0' (?)
г, у=1

ВВЕДЕНИЕ
17
где п есть внешняя нормаль к 5, может быть решена
методом Фурье. Именно, формально уравнению (5), граничному
условию и начальным данным
, ди
Чя0 = ? И ~Ж
удовлетворяет сумма ряда
оо
2 (а8 cos X8t-f-£s sin Ae/) ^ (*i> • • •» ^)> (8)
8 = 1
в котором t>e, 5=1, 2,..., суть все нормированные
собственные функции оператора L (т. е. £#«= ^s) при
условии (6) или (7), соответственно, а коэффициенты
вычислены по формулам
а8= ! <ov8dQy ^^jK^
£ 'я
Для фактического же решения задачи и оправдания метода
Фурье необходимо исследовать сходимость ряда (8). Именно,
желательно указать те условия, при которых сумма ряда (8)
является: 1) обобщенным решением задачи> 2) решением почти
всюду, 3) классическим решением. Ответ на эти вопросы
опирается на исследование сходимости ряда (*0 и рядов,
полученных его почленным дифференцированием по лг^ и / до fe раз (где
А —какое-либо натуральное число). Именно, если ряд (8) и
ряды, полученные его однократным почленным
дифференцированием по х4 и t, сходятся в среДнем по Q равномерно
относительно t, то сумма ряда (8) буДет обобщенным
решением рассматриваемой здесь смешанной задачи. Если
одновременно имеет место такая же схоД^моСть РЯД°В>
полученных почленным дифференцированием р^а 09 ^о xi и t до k
раз, то сумма ряда (8) будет принадлежать при всех t классу
W^{Q) и потому при £>2 является решением почти всюду,
а при £> I ~1 + 3 — классическим решением задачи.
Обоснование метода Фурье для случая ДВУХ независимых
переменных tux дано в работах В. А. Стеклова (см. [1]).
При числе независимых переменные ббльшем двух, легко
установить, когда ряд (8) и ряды, полУченные его почленным
дифференцированием по хк или /, сходятся в среднем. Тем
2 Зак. 363. О. Ладыженская.

18 ВВЕДЕНИЕ
самым, как указал С. Л. Соболев, решается вопрос О том,
когда сумма ряда (8) будет обобщенным решением задачи.
Возможность же дальнейшего почленного дифференцирования
по хк потребовала целого ряда специальных рассмотрений.
Им и посвящена, в основном, вторая глава. *
Во второй главе устанавливается, при каких условиях ряд
(8) и ряды, полученные его почленным дифференцированием
по Xi и t до k раз, сходятся в среднем по S равномерно
относительно t£ (— оо, оо). Тем самым выясняется, когда
сумма ряда (8) принадлежит W^iQ) и является обобщенным
решением (при &;> 1), или решением почти всюду (при &;> 2),
или классическим решением задачи (при k^ -2. _j__3j.
Следует отметить, что условия, которые мы налагаем на
начальные функции <р и ^, чтобы гарантировать
принадлежность решения при всех t к являются не только
достаточными, но в некотором смысле и необходимыми.
В связи с рядами Фурье укажем еще на работу С. Л.
Соболева [5]. В ней Для волнового уравнения и уравнения (5)
находится так называемый положительный интеграл второго
порядка. Из существования этого интеграла и интеграла
энергии следует, что каждое трижды непрерывно
дифференцируемое решение смешанной задачи, удовлетворяющее
однородному граничному условию, есть почти периодическая
функция t
Результаты, полученные в рядах Фурье, позволили автору,
во-первых, доказать существование положительных
интегралов любого порядка для уравнений (5) и придать этим
интегралам весьма простую форму, именно, все эти интегралы
могут быть преобразованы к виду 1г ипП, /==1,2,.. .,fe—1,
где 1г{и) — известный интеграл энергии, во-вторых, усилить
вышеуказанный результат С. Л. Соболева о почти
периодичности решений уравнения (5) (см. заметку автора [4]).
В третьей главе исследуется смешанная задача для
уравнений общего вида (1) в цилиндре Q любой высоты /.
Решение ее получается как предел решений uh некоторых
разностных уравнений, причем вычисление uh проводится весьма
1 В сжатом виде результаты второй главы опубликованы
автором в заметках [2] и [3].

ВВЕДЕНИЕ
19
просто. Доказывается, что при сравнительно малых
предположениях относительно данных в задаче функций разностный
процесс приводит к обобщенному решению задачи. Никаких
ограничений на границу области 2 не накладывается.
В третьей главе даются два различных способа замены
дифференциального уравнения разностным.
Первый из них приводит к сходящемуся процессу при
&х
условии, что —j~(h = Axi9 /=1, ...,/г) меньше некоторой
постоянной; второй же порождает сходящийся процесс при
любом соотношении шагов решетки Ах0 и А. Однако при
первом способе замены вычисление решений разностных
уравнений значительно проще, чем при втором.
Далее, доказывается единственность обобщенного решения
и исследуются дифференциальные свойства его в зависимости
от степени гладкости данных в задаче функций, порядка их
согласования и гладкости границы области 2. Устанавливается,
при каких условиях обобщенное решение и принадлежит
W^2^(Q)> где * —какое-нибудь натуральное число. В
частности, если и £ I#2 (Q) при k ;> -п^ + 3, то оно является
классическим решением задачи. *
В четвертой главе исследуется возможность применения
преобразования Лапласа по переменной t для решения
смешанной задачи в случае, когда коэффициенты уравнения не
зависят от t. При числе независимых переменных, ббльшем
двух, это было сделано лишь в частных случаях, когда
решение могло быть выражено в явном виде через интегралы
от известных функций. В работе автора [5] этот вопрос
рассмотрен для произвольной области 2 с кусочногладкой
границей. Здесь мы несколько дополняем результаты работы [5],
исследуя дифференциальные свойства решения в замкнутой
области в зависимости от гладкости ее границы. Заметим,
что нам было бы достаточно в четвертой главе указать
условия, которые гарантируют получение лишь обобщенного
решения в виде интеграла Лапласа и не приводить
дальнейших исследований дифференциальных свойств решений, так
как это сделано в третьей главе для обобщенных решений
1 Основные выводы третьей главы опубликованы автором в
заметке [1].
2*

20 ВВЕДЕНИЕ
уравнений более общего вида. Однако нас интересовало здесь,
главным образом, поведение вблизи границы решений
эллиптических уравнений и лишь как следствие отсюда
доказывается дифференцируемость обобщенного решения смешанной
задачи.
В конце книги (в Дополнениях) приводятся некоторые
результаты, полученные нами для систем гиперболического типа.
Из них, в частности, видно, при каких сравнительно малых
ограничениях обобщенное решение для одного уравнения пред-
ставимо в виде интеграла Лапласа.
Остановимся теперь на вопросе о том, при каких
ограничениях получены перечисленные выше результаты и какие
улучшения возможны в направлении ослабления этих
ограничений. Во-первых, мы везде требовали у коэффициентов
уравнений существования непрерывных производных до
определенных порядков. Это заведомо излишне. Достаточно было
бы предположить, что они обладают обобщенными
производными до тех же порядков, суммируемыми с некоторыми
степенями. Такое ослабление условий на коэффициенты
проведено С. Л. Соболевым в задаче Коши (см. его книгу [3],
§ 21). Указанный им прием оценки мог бы быть без каких-
либо изменений применен и в нашем случае. Однако это
увеличило бы подчас и без того длинные выкладки и оценки и
заслонило бы те новые моменты, которые возникают при
решении смешанной задачи.
Во-вторых, наивысшие порядки производных, требуемые
нами от начальных функций в смешанной задаче, примерно,
на одну единицу превышают наивысшие порядки производных,
требуемые С. Л. Соболевым в задаче Коши (последние же не
допускают понижения во всяком случае для уравнений,
коэффициенты которых не зависят от f). Исключением является,
как сказано выше, вторая глава о рядах Фурье, в которой
требования, налагаемые на начальные функции, не только
достаточны, но и необходимы.
В Целях облегчения изложения и большей ясности его
мы не стремились в третьей, четвертой и пятой главах свести
эти требования к минимальным, тем более, что они, равно
как и ограничения, наложенные на граничную функцию и
условия согласования, не являются особенно преувеличенными.
Вероятно, некоторое усиление допускает теорема
единственности обобщенного решения (гл. III, § 1). Именно, жела-

ВВЕДЕНИЕ 21
тельно теорему единственности обобщенного решения доказать
при тех же предположениях, при которых доказана теорема
существования, т. е., иначе говоря, понизить порядок
требуемых от коэффициентов уравнения производных на единицу.
Более интересным, чем перечисленные небольшие
улучшения, мне кажется, будет выяснение вопроса о возможном
расширении понятия обобщенного решения задачи, при
котором еще сохраняется теорема единственности решения.
Такое расширение для задачи Коши (решения в
функционалах) получено С. Л. Соболевым [2]. В смешанной
задаче этот вопрос решен X. Л. Смолицким [2] для волнового
уравнения и аналогично может быть решен для
уравнений (5). Однако свое решение X. Л. Смрлицкий
основывает на существовании достаточного количества гладких
вплоть до контура решений волнового уравнения, что в свою
очередь требует достаточной гладкости границы области (и
гладкости коэффициентов уравнения, если бы они были
переменными). Между тем представляется желательным построить
расширение понятия обобщенного решения таким образом,,
чтобы как коэффициенты уравнения, так и граница области 2
удовлетворяли бы, по возможности, наиболее слабым условиям.
Основное направление наших исследований было прямо
противоположным этому. Именно, доказав существование
(и единственность) обобщенного решения смешанной задачи
в достаточно широком классе функций при сравнительно
слабых ограничениях на данные задачи, мы накладываем затем
все более и более жесткие требования на условия задачи и
выясняем, насколько улучшаются при этом решения. На таком
пути как частный случай получаются и классические решения.
Возвратимся теперь снова к методам решения
смешанной задачи, разобранным в нашей книге. Мы имеем дело
с четырьмя методами: аналитической аппроксимации (Щау-
дер, гл. V); методом конечных разностей (гл. III); методом
Фурье (гл. II) и методом преобразования Лапласа по
переменной t (гл. IV). При использовании того или иного метода
мы сводим граничные и начальные условия к тому виду,
который обеспечивал бы нам наиболее быструю сходимость
процесса, приводящего к искомому решению. Это сведение
(обычно даваемое в конце соответствующей главы), конечно,
выполнимо различными способами, которые в конкретных
задачах могут быть выбраны подчас значительно более

22
ВВЕДЕНИЕ
простыми, чем указанные для общего случая. Что касается
решения смешанной задачи другими способами, то нам
кажется весьма интересным выяснение вопроса о возможностях
метода Адамара и метода Кирхгофа — Соболева, которые
применялись для решения задачи Коши. Такие попытки
делались (Г. М. Мюнц, Д. Л. Добротин), но, насколько нам
известно, не привели к желаемым результатам.
Как было сказано с самого начала, мы не рассматриваем
здесь нелинейные уравнения. Отметим лишь, что имеются
две работы, в которых доказано существование (в малом)
решения смешанной задачи для квазилинейных и общих
гиперболических уравнений второго порядка, именно: работа [1]
М. Кржижанского и И. Шаудера и работа [2] И. Шаудера.
В обеих работах доказывается существование решения в
малом на основании теоремы И. Шаудера о неподвижной точке.
Разности можно применить и для определения решений
в нелинейном случае. Однако мы не умеем доказывать, что
решения соответствующих разностных уравнений можно
определять сразу во всем цилиндре Q так, как это сделано
в третьей главе для линейного случая.
Весьма интересным и трудным вопросом является
исследование смешанной задачи для гиперболических систем и
уравнений высоких порядков. Так, для произвольной
гиперболической системы второго порядка при числе независимых
переменных, ббльшем двух, не доказана даже теорема
единственности.
Имеется ряд работ, посвященных смешанной задаче для
систем при двух независимых переменных. Для бблыпего
числа независимых переменных исследованы лишь некоторые
системы специального вида.
Заметим, наконец, что мы почти во всей книге
рассматриваем смешанную задачу для ограниченной > области Q.
Однако данный в третьей главе способ ее решения без
каких-либо изменений применим и для любой бесконечной
области (гл. III, § 5).
На этом мы кончаем описание результатов, относящихся
непосредственно к смешанной задаче.
Скажем лишь несколько слов о методе конечных
разностей, которым мы широко пользуемся как в третьей главе
для доказательства существования обобщенного решения
смешанной задачи и его исследования^ так и в четвертой главе

ВВЕДЕНИЕ 23
о преобразовании Лапласа, где с помощью этого метода
решается задача Дирихле для общего линейного
эллиптического уравнения второго порядка и устанавливаются
основные оценки для решения этой задачи в зависимости от
комплексного параметра, входящего в коэффициенты
уравнения. Принципиальные установки того, как использовать
разности в задаче Дирихле для эллиптических уравнений
с переменными коэффициентами, даны в упоминавшейся выше
работе Р. Куранта, К. Фридрихса и Г, Леви [1] (они
рассматривают в ней задачу Дирихле для оператара Лапласа).
Однако используемые ими приемы позволяют исследовать
решение лишь внутри области. В граничных же точках
устанавливалось выполнение поставленных условий в некотором
обобщенном смысле, вне зависимости от того, гладкая
граница области или нет. Тем не менее естественно ожидать,
что чем лучше граничная поверхность, тем лучше вблизи
нее решение. Мы доказываем, что это действительно так,
показывая, как можно в разностном методе использовать
гладкость контура. Также вплоть до границы исследуются и
решения гиперболических уравнений.
Второй новый момент относится к применению метода
конечных разностей для решения гиперболических уравнений.
Именно, решетки, на точках которых определяются
решения вспомогательных разностных уравнений, могут быть
взяты одними и теми же для всех точек рассматриваемой
области, вне зависимости от того, являются ли коэффициенты
уравнения, стоящие при смешанных вторых производных,
малыми или нет. В работе же[1] Р. Куранта, К. Фридрихса
и Г. Леви сходимость разностного процесса (для задачи
Коши) существенно опирается на малость упомянутых
коэффициентов, и потому, если решение необходимо определить
вблизи некоторого куска начальной поверхности, то этот
кусок, следуя их методу, надо разбить на более мелкие и
для каждого из них построить свою решетку, специальным
образом повернутую. Мы устраняем этот недостаток их
работы, облегчая тем самым процесс фактического вычисли»
ния приближенных решений.

ГЛАВА I
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
В этой главе мы приводим ряд предложений, имеющих
для нас вспомогательный характер. Бблыиая часть из них
дается без доказательства. На протяжении всей книги мы
пользуемся интегралом Лебега, так как для него излагаемые
здесь результаты имеют более простой и законченный характер.
§ 1. Нормированные пространства и пространства
Гильберта
Множество Е абстрактных элементов называется
(вещественным) линейным нормированным пространством [или
пространством типа В (Банаха)], если:
1) Е— линейная система с умножением на вещественные
числа;
2) каждому элементу х системы Е ставится в
соответствие вещественное число, которое называется нормой этого
элемента и обозначается ||лг[|, причем предполагается, что
норма элемента удовлетворяет следующим аксиомам:
a) 11*11 1> 0» причем ||*||=:0 лишь для нулевого
элемента л:=0,
b) \\х+у\\ <\\х\\ + \\у\и
c) HA*||=|X||H|.
В таком пространстве можно ввести метрику, определив
расстояние р (лс, у) между двумя любыми элементами х и у, так:
р(лг, у)= \\х—у\\. Сходимость последовательности элементов
{хп} к х в норме Е определяется тем, что ||#Л — л:||->0
при п -> оо.
Говорят, что совокупность элементов Е' а Е всюду
плотна в Е, если любой элемент Е может быть получен
как предел в норме Е элементов из Е'. Иначе говоря,
замыкание Ег по норме Е дает все пространство Е,

§ 1 ] НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРОСТРАНСТВА ГИЛЬБЕРТА 25
Если в Е имеется счетное всюду плотное множество
элементов, то пространство Е называется сепарабельным.
Если для любой последовательности {хп}, сходящейся
в себе, т. е. .такой, что \\хр — jc^|j —> 0 при р, <7->оо,
существует в Е предельный элемент, то пространство Е
называется полным. Будем рассматривать лишь полные
нормированные пространства Е.
Мы встретимся с несколькими пространствами типа В.
Прежде всего отметим среди них так называемые
(вещественные) гильбертовы пространства (пространства типа #),
в которых для любой пары элементов х и у определено
скалярное произведение — вещественное число,
удовлетворяющее следующим аксиомам:
a) С*, JO = 0, х)>
b) C*V+*2> У) = (*1> У) + (хъ> У)>
c) (Хдг, у) = Цх, у),
d) (л:, л:)^>0, причем (л:, лс) = 0 только для л: = 0.
В качестве нормы элемента х берется число ||дг|| =
= V(x> ■*)• Для любых двух элементов х и у из Н имеет
место неравенство Коши — Буняковского — Шварца
\(х,у)\<\\х\\.\\у\\.
В пространствах Н рассматривается, кроме сходимости
по норме (сильной сходимости), еще слабая сходимость.
Последовательность {хп} называется слабо сходящейся в Н
к элементу х, если (хп—х, у) —► 0 для любого элемента у £ Н
при п->оо. Нетрудно видеть, что, если нормы хп
равномерно ограничены, то стремление к нулю (хп— х, у) при
л->оо достаточно устанавливать не для всех элементов Н,
а лишь для элементов какого-нибудь всюду плотного в Н
множества. Если [хп] сходится к л: в норме Я, то она и
слабо сходится к х. Обратное утверждение неверно.
Последовательность {хп) не может слабо (и, тем более,
сильно) сходиться к двум различным элементам Н.
Отметим теоремы, необходимые нам впоследствии.
Теорема 1. Пусть х и хпУ я=1, 2, ..., суть
элементы Н. Если х есть слабый предел хп при п —> со, то
1И<П5 1КЦ,
примем правая часть последнего неравенства конечна,

26 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
Теорема 2. Если х£Н есть слабый предел для хп£Н
при п -»оо, то х принадлежит замкнутой линейной
оболочке {хп}, т. е. х есть предел по норме Н некоторой
последовательности yjc = Juh *s, й = 1, 2, ..., линейных
8 = 1
комбинаций членов последовательности хп.
Множество М, расположенное в пространстве £,
называется компактным в пространстве Е, если всякое
бесконечное подмножество множества М содержит сходящуюся
последовательность. Если пределы всех таких
последовательностей принадлежат М, то множество М называется
компактным в себе. В пространствах Н аналогично вводятся
еще понятия слабой компактности в Я и слабой
компактности в себе. Имеет место
Теорема 3. Единичная сфера в полном сепарабельном
пространстве Н (т. е. совокупность элементов с нормой,
не превосходящей единицу) слабо компактна в себе.
Рассмотрим совокупность Lp (Q) всех вещественных
функций, определенных почти всюду в конечной области Q
n-мерного эвклидова пространства хи ..., хпг и обладающих
тем свойством, что /7-е степени их модулей суммируемы по Q.
Эту совокупность можно рассматривать как пространство
типа В, элементами которого являются функции из Lp{Q)y
если норму для элемента © определить следующим образом:
Имеет место
Теорема 4. Пространство Lp (Q) — полное и сепара-
бельное.
В качестве всюду плотного в Lp(Q) множества можно
взять, например: а) все полиномы или только полиномы с
рациональными коэффициентами; б) все к раз непрерывно диф-
1 Под областью в пространстве переменных х1ч ..., хп
понимается любое открытое связное множество в этом пространстве.
Область Q вместе со всеми своими предельными точками
обозначим G.
2 Строго говоря, элементом Lp (Q) надо считать не одну какую-
нибудь функцию из Ly (&), а весь клдсс эквивалентных ей на Q
функций,

§ 2] ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. СРЕДНИЕ ФУНКЦИИ 27
ференцируемые функции, обращающиеся в нуль вблизи
границы области В, ! и т. д.
Пространство £2(2) есть пространство Гильберта, если
в нем ввести скалярное произведение для любых двух
элементов ср и ф посредством равенства
(<р, ф) = j ?ф ^-
2
Нетрудно видеть, что все аксиомы скалярного произведения
в ы полнены.
Доказательство перечисленных в этом параграфе
утверждений можно найти, например, в книге [1] Л. А. Люстер-
ника и В. И. Соболева, в т. V курса [1] В. И. Смирнова
и т. д.
§ 2. Обобщенные производные.
Средние функции
Пусть в конечной области Q задана функция <?(Х),
X=(xv ..., хп), суммируемая по любой внутренней
подобласти Sr 2 Если <р имеет в 2 непрерывные производные
до &-го порядка, 3 то для любой функции ф, имеющей
непрерывные производные по х4 до &-го порядка в Q и равной
нулю вблизи границы Q, выполняется равенство
J L &V... дхпп дх±К.. &xrww J
Оно и берется за основу определения обобщенных
производных.
Функция со& ъ , суммируемая по любой внутренней
подобласти 2, называется обобщенной производной функции ф
с
1 Под выражением „функция (непрерывная) обращается, в нуль
вблизи границы области Q" понимаем, что для нее существует
число о>0, обладающее следующим свойством: во всех точках,
которые отстоят от границы Q на расстояние, не большее Б,
функция равна нулю. Иногда мы в этом же случае будем говорить так:
функция равна нулю в пограничной полосе (в Й§) ширины 5.
2 Т. е. ~йг <z Q.
3 Во всей книге мы понимаем выражение „функция имеет
производные до k-го порядка" в том смысле, что функция имеет
всевозможные производные до £-го порядка включительно.

28 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
ВИда —- _ у если для любой функции ф указанного
выше класса имеет место тождество
дЦ
-+(—l^+i^.^^rfQ^O.
дх£...дх%
Функцию о)Л ...& обозначают так; —ъ —=—.
1 w д.#.,.Л#»
Легко видеть, что обобщенные производные <р одного и
того же вида —j- j— могут различаться лишь на мно-
дх?...дх%>
жестве меры нуль; а такие функции мы условимся всегда
отождествлять друг другу. Обобщенная производная не
зависит от области. Именно, если а>к . к есть обобщенная про-
изводная —£ z—^- в 2, то она же будет обобщенной
дххК..дхп^
производной —^—1—дг- и для любой части 2.
дх±К..дхп»
Далее, если <р определена в области Qt \J 22 и в каждой
из областей 2^, / = 1, 2, имеет обобщенную производную
4^...ту * = 1, 2, то <о^...ля = <о^...йя в общей части
областей 22 и 22 и <р имеет в области 2j U 22 обобщенную
производную
Пусть в области 2 введены две системы координат: х19...9 хп
и у19 ..., уп, связанные между собою равенствами xi =
= ■*< Oi> • • •> ЛЛ *=lt - • • • п% и, обратно, yi=yt(xl9..., д;Д
/= 1, ..., я. Пусть, далее, , •"Лгп) > о в 2 и функции
и \у\, ... уп)
хг Oi> • • • > ЛЛ / = 1, ..., л, а следовательно, и yi (лг1э..., лгЛ),
/= 1, ..., л, суть непрерывно дифференцируемые до порядка
£ функции своих аргументов. Тогда, если <?(хи..., хп)
имела все обобщенные производные по xv ..., хп в 2 до

§ U] ОБОБЩЁННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. СРЕДНИЕ ФУНКЦИЙ 29
порядка ft, то функция ф(уп •••»^)s=?(*i(yi» ••м.Уп), ....
•^Cyi»'"» .Ую)) имеет все обобщенные производные по
J'ii...» А л° порядка ft.
Кроме этой теоремы, имеют место следующие.
Если ср. и ©о имеют обобщенные производные вида
—^ Y > то и с1о1 -{- £2ср2 имеет обобщенную производную
дх^ ... дхпп
Если cpi и ?2 и их обобщенные производные ^ и
^£L2(Q), то произведение <рго2 имеет обобщенную
производную
длг* '!&*:, ^'2длг*
Аналогичное утверждение имеет место и для производных
более высокого порядка.
Если функция ^ есть обобщенная производная —^-—-—j-,
ддг^... дхп"
дЩ
а х есть обобщенная производная —^—1—^- в той же об-
дх±*...дхп»
ласти 2, то х есть обобщенная производная для ср вида
—t—z ■-, ^7- в 2. Из определения обобщенной произвол-
их1 ... c/^w
ной следует, что она не зависит от порядка
дифференцирования.
Далее известно, что в случае одного независимого
переменного функция о(4 имеющая обобщенную производную
порядка ft (ft ;> 1), эквивалентна абсолютно непрерывной
функции, для которой производные до порядка ft — 1 суть
абсолютно непрерывные функции. Отсюда следует, что
непрерывная функция, имеющая обобщенную производную, есть
абсолютно непрерывная функция. Для таких функций ср(д;)
справедлива формула
X
fg<**«?(*)-?(a). ' О)

30 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
На основании ее легко доказывается
Теорема 5. Если <?(Х, х0) есть суммируемая по
цилиндру Q = Q X 10 ^ хо ^ Ч Функция, имеющая в Q
обобщенную производную -^- и I о (X, х0) dQ есть непрерыв-
ная на [0, /] функция х0, то
Докажем сначала, что функция Ф (х0) = I ср (X, х0) dQ
имеет на отрезке [0, /] обобщенную производную по лг0,
равную J7~^- Из условия существования в Q обобщенной
производной ~~ следует, что для любой непрерывно
дифференцируемой функции ф, равной нулю вблизи всей
поверхности цилиндра Q, справедливо равенство
/£♦«--/'&«• <2>
Покажем, что это равенство будет справедливо и для
функций ф, зависящих лишь от х0 и равных нулю при х0,
близких к 0 и к /. Для этого возьмем последовательность
положительных гладких функций
Я5 {хи ..., хп)у Ь = —, п = 1, 2, ...,
равных нулю в пограничной 8-полоске области 2, не
превосходящих единицы и стремящихся при п -> оо к единице
равномерно в каждой внутренней подобласти области Q. Для
функций ф8 = ф (аг0) #s (А) равенство (2) справедливо:
и нетрудно видеть, что в нем можно перейти к пределу

§ 2] ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. СРЕДНИЕ ФУНКЦИЙ 31
при 8-> 0. Предельное равенство (пользуясь теоремой Фубини)
запишем так:
OS 0 2
Отсюда следует, что Ф (х0) — I <?(X, х0) dQ имеет на [0, /]
обобщенную производную по хф равную -~-dQ. Применяя
' OXq
2
теперь к функции Ф(х0) формулу (1), мы и докажем
утверждение теоремы.
Введем понятие усреднения функции с помощью
некоторого ядра. В качестве ядра возьмем функцию
.(*, Р)= «^ ир* '<р> '-|/ 2*5
[О при г > р. *~х
г2
Обозначим xw= Г е9*-1 dX. Тогда Г о)(-ДГ, р)л(ДГ, взятый по
всему пространству xv ..., лгм, равен xwpw. Ядро <*>(,Y, р)
имеет непрерывные производные по xv ...,xn всех порядков.
Пусть <р £ Ijp (Q). Положим ф = О вне Q и составим для нее
„среднюю функцию*
<?р^ = ^/<в^-к> p)?(*W
причем интегрирование проводится по всему «-мерному
пространству. Функция срр (if) имеет непрерывные производные
по #!,..., лгм всех порядков. При стремлении р к нулю
функции <рР сходятся в Lp(Q) к ср.
Помимо этого, имеют место следующие предложения. Если
функция <р имеет в Q обобщенную производную —^—-—^-,
ди дхгК..дхпп
то производная —г— г- средней функции срр равна сред-
dx^.t.dx,»
ней функции от производной:

32 ЬСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
в области 2<p)<z2, точки которой удалены от границы 2 на
расстояние, большее р. Отсюда и из предыдущего утвержде-
dfe<p dft<pp
ния следует, что если <р и —^ ^£Z,2(2),to—^ ~1Г
дх*... dxf dxxi... dxf
сходятся в L% (27) к —^—-—^- , где 27 — любая строго
-дх±К..дхп»
внутренняя подобласть области 2. Наконец, отметим еще
одну теорему.
Теорема 6. Если к данной суммируемой функции v
можно приблизиться с помощью последовательности k раз
непрерывно дифференцируемых функций <ps, 5= 1, 2, ...,
в том смысле, что для всякой функции ф, непрерывной и
равной нулю вблизи границы 2,
lim f (?в —?)ф<ЯЗ = 0,
и если, кроме того,
8 " < С,
дх**...дх**\ы9)
то существует обобщенная производная —^ —^-, при-
дхх ... дхпп
чем норма ее в £2(2) конечна.
Теорема остается в силе, если <?s££2(^) и обладают
обобщенной производной указанного вида.
Результаты, приведенные в этом (и следующем)
параграфе, в основном принадлежат С. Л. Соболеву. Их
доказательство читатель может найти в книге С. Л. Соболева [1]
и в книге В. И. Смирнова [1], т. V, гл. III.
§ 3. Пространства W^ (Q) и теоремы вложения
Условимся прежде всего область 2 пространства X —
= (аг1, ..., хп) здесь и в дальнейшем считать конечной.
Функция <?(Х) называется непрерывной в 2, если она
определена и непрерывна во всех точках замкнутого множества
2 = 2 + 5, где 5 — множество предельных точек 2. Будем

§ 3] ПРОСТРАНСТВА Wp) (2) И ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ 33
говорить, что <?(Х) имеет непрерывную в Q производ-
дк*
НУЮ —k——F > равную ty(X), если функция ф непрерывна
дх"1...дхп
1 9}
в 2 и во всех внутренних точках области 2 является
обычае
ной производной от о вида —г — .
дх*1...дхкп
1 ?г
Рассмотрим совокупность всех функций, имеющих в ~й
непрерывные производные по xv ..., хп до порядка k
включительно, и введем в эту совокупность норму
^ 2 /«=0 а,, ..., a,=sl l *
считая р > 1.
Замыкание этого множества по указанной норме назовем
пространством WJp (2), а функции <р (^Yj, принадлежащие
ему, его элементами.
Теорема 7. Пространство W$) является сепарабельным
пространством типа В, причем в силу самого построения —
полным. Все элементы WJp (2) имеют обобщенные про-
изводные до порядка k , суммируемые со степенью р.
Пространство Н^(2) является гильбертовым; скалярное
произведение определяется равенством
(*'*v*(e)=J 2 2
Для W^(Q) справедливы поэтому теоремы 1 и 2 § 1 и
Теорема 8. Единичная сфера в W^\Q) слабо
компактна в себе.
Приведем теперь теоремы вложения, позволяющие
судить о поведении элементов НРр (2) на поверхностях
различных размерностей. Эти теоремы доказаны для таких
областей 2, которые могут быть представлены в виде суммы
конечного числа областей 2$, /= 1,..., N, звездного типа
(каждая из 2^ звездна по отношению к какому-нибудь шару,
3 Зак. 363. О. Ладыженская.

34 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
лежащему внутри нее *), причем каждая Q^ пересекается
с й4 U ... U S<-i по непустой области <о^
Для таких областей вместо указанной нормы Wp (Q) можно
было бы взять другую, эквивалентную ей норму,
определяемую равенством
В книге [1] С. Л. Соболева указан большой класс норм,
эквивалентных норме Wp \ Все теоремы, формулируемые нами
для нормы Wp9 будут справедливы и для любой
эквивалентной ей нормы.
Обозначим через C(Q) пространство типа В, элементами
которого являются все непрерывные в !2 функции, а норма
определяется равенством II^р || o-<s>=== тах 1?1- Пространство
C(Q) является полным и сепарабельным. Сходимость в нем
есть, очевидно, равномерная в обычном смысле сходимость
в Q. Для областей Q указанного вида доказаны следующие
теоремы.
Теорема 9. (Вложение Wpf* в С и полная непрерывность
оператора вложения).
Если р > 1 и pk > п, где п есть размерность
области Q, то любой элемент <?(Х) пространства Wp*(Q)
есть непрерывная в Q функция и ||?||а(2)<^11?|1ж(&)(2)>
где 'М — постоянная, зависящая лишь от вида области.
Больше того, всякое ограниченное в W^(Q) множество
элементов компактно в C(Q).
Из первой части теоремы следует, что если имеется
последовательность элементов 9s £ Wp(Q), s = l, 2, ...,
сходящаяся в пространстве Wp к функции с?, то эта
последовательность сходится равномерно ков й.
Далее, функции <р из W$\ при kp> п-\-рту имеют
непрерывные производные до порядка т. Если все обобщен-
1 Область называется звездной но отношению к шару, если
она звездна относительно каждой точки этого шара.

§ 3] ПРОСТРАНСТВА W^ (Q) И ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ 35
ные производные &-го порядка функции v£Wjf*(Q)
ограничены по абсолютной величине, то ее производные более
низкого порядка непрерывны.
Теорема 10. Пусть о есть элемент из W^ (Q) и pk^n,
где п—размерность области Q, а р > 1. Тогда на
сечении F8 области Q любой плоскостью размерности $>/г—pk
функция о определена почти всюду, суммируема с любой
степенью q* < q = f^ , и
где М есть некоторая постоянная, не зависящая от ср.
Кроме того,
(\?(X+^X)-9(X)fdSx<e, (5)
если только |ДХ|<8(е) и точки X и X-\~AX£Q. Для
всех <р, норма которых в WJ^(Q) не превосходит одного
и того же числа, 8 (е) может быть выбрано одно и то же.
Из теоремы следует, что ограниченное в W^(Q)
множество функций компактно на любом сечении F8 в норме
Lq*(F8). В частности, ограниченное в 1^л)(2) множество
компактно в W$~X)(Q), а также в Lp(Fn^1)t
Теорема остается справедливой, если вместо куска
плоскости взять кусок k раз непрерывно дифференцируемой
поверхности размерности s > n—pk. Поэтому имеет смысл говорить
о значениях элементов из Щ* на поверхностях размерности
s и о том, что эти значения принимаются как предельные
в норме Lq*(F8) [см. неравенство (5)]. Так, например, если
часть S1 границы области Q есть k раз непрерывно
дифференцируемая поверхность размерности п—1, то значения о
из W^ и ее обобщенных производных до порядка k — 1
суммируемы на Sx по крайней мере с /?-й степенью и
\\*(X+AX)-o(X)\\w^1{S?-+0
при \ЬХ\-*0.
3*

36 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ • [ГЛ. 1
Рассмотрим частный случай области в пространстве
переменных xv ..., хпУ х0. Именно, пусть Q есть цилиндр
высоты /, основанием которого служит конечная область 2,
лежащая в плоскости л;0=0, а образующие параллельны
оси Ох0, Любой элемент пространства Wip){Q) (&!> 1, p > 1)
на основании теоремы 10 можно рассматривать, как элемент
пространства La*(2), q* < ■ ^ __ k> непрерывно зависящий
от параметра xQ в том смысле, что
f<p\(X9x0+bx0)-4(X,x0)\g*dQ-+0 при Д*0->0,
2
или как элемент пространства W^~x) (Q) при q* < _^_ .l
Укажем два следствия теоремы 10, необходимых нам
впоследствии..
Следствие 1. Из любого ограниченного в Wf^(Q)
множества элементов {®(Х, х0)\ можно выделить
последовательность {?w}, обладающую следующими свойствами:
а) {?w} сходится слабо в W^ (Q) к некоторому
элементу <?£Щ(Q)\ b) [от) сходится к о в Lq*(Q)
равномерно относительно х0£[0, /], т. е. \\<рт — o\\L ,й) < e,
при m>A/(s), причем N(s) может быть выбрано не
зависящим от х0. Отсюда следует, что о есть элемент Z,g*(2),
непрерывно зависящий от х0; с) {<рш} сходится в Ц^*"""1* (2),
где г* < г< , равномерно относительно х0 и потому 9
есть элемент W^~1)(2), непрерывно зависящий от х0.
В качестве q* и г* можно взять в этом следствии, напри^
мер, 2,
Следствие 2. Если последовательность функций {<от\
сходится слабо в L2(2) к функции <р и || <рш || wk(Q) < С для
всех <Pw> m = li 2, ..., то {от\ сходится к (р и в норме
Wf-~1)v'2) и слабо в wf°(Q).
1 Заметим, что в качестве q* можно взять, например, р.

§ 3] ПРОСТРАНСТВА Wp} (2) И ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ 37
Следствие 3. Для элементов W^(Q) справедливо
утверждение теоремы 5; именно, если v(X, x0)£ W2 (Q), то
О S
П*^*-/™*
1*0=*
dX.
Рассмотрим теперь совокупность всех функций из Lp(Q)>
которые имеют обобщенные производные по х19 ..., хп
до &-го порядка включительно, суммируемые по 2 со
степенью р. Эту сококупность с нормой W$\Q) обозначим
W{p\Q). При этом функции, эквивалентные между собою,
считаются за один элемент Wp. Нетрудно видеть, что W$\Q)
есть полное пространство типа В.
Легко видеть, что W{p) (2) a W^ (Q).
В дальнейшем мы будем рассматривать пространства Wp(Q)
для областей 2, ограниченных конечным числом замкнутых k
раз непрерывно дифференцируемых поверхностей или для
цилиндров, в основании которых лежат области такого
типа. Для таких областей пространства WJ^(Q) и W$\Q)
совпадают.1 Действительно, лнгбую функцию о из
можно продолжить с сохранением класса на более широкую
область 22 (т. е. <р будет £ 1^)(21)).2 Усреднения же <рр
так продолженной функции ср принадлежат W$\Q) и
сходятся при р -> 0 в норме Wp * (2) к функции <?;
следовательно, о эквивалентна функции из WP(Q). Таким образом,
1 Совпадение пространств WJ® и W^ легко доказать,
например, для областей звездных относительно какой-нибудь своей
внутренней точки.
2 Как показали С. М. Никольский и В. М. Бабич, это можно
сделать тем же способом, который был предложен X. Уитнеем [1]
и М. Р. Хестенсом (см. [1]) для продолжения k раз непрерывно
дифференцируемых функций.

38 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
для элементов Wp*(Q) справедливы теоремы 9 и 10, если
только условиться за элемент <р из WJp брать ту
эквивалентную ср функцию, которая принадлежит W^(Q).
Теоремы 9 и 10 доказаны С. Л. Соболевым и В. И. Кон-
драшевым. Их доказательство читатель может найти в книге
С. Л. Соболева [1].
о о о
§ 4. Классы функций D, Dl и Z>2
При исследовании поведения решений эллиптического
уравнения вблизи границы оказались весьма удобными при-
о
водимые ниже классы функций D и D, введенные с этой
целью К. Фридрихсом. Для исследования решений
гиперболического уравнения мы вводим еще две пары классов функ-
о . о
ций Dx и Dv D2 и Z)2.
Пусть 2 есть произвольная конечная область в простран-
w 1 ВС ™Л > • • • } П*
Обозначим через D (Q) совокупность всех непрерывно
дифференцируемых в 2 функций, равных нулю вблизи границы 2.
Очевидно D (2) есть линейное множество и D(Q)c:W2 (Q).
' (1) °
Замыкание D(Q) в норме W2 (2) назовем классом D (2).
(1) °
В силу полноты пространства W2 (2) функции из D(Q)
(1) °
принадлежат У72 (2) и D (2) является подпространством
пространства W2 (2). Так как D(Q) сепарабельно, то сепара-
о о
бельно и пространство D (2). Вследствие этого для D (2) верна
теорема 3 § 1. Из теоремы 2 и определения пространства
о
D(2) вытекает
Теорема 11* Слабый предел в норме W^ функций аз
о О
Z)(2) есть снова функция из D(Q).
Если граница области 2 кусочногладкая, то из теоремы 10
о
следует, что функции из D (2) принимают на границе области 2
нулевые предельные значения. Имеет место и обратное
утверждение: если ср есть элемент пространства W2 (2) и равен
о
нулю на границе области 2, то v£D(Q). В частности, если
ср непрерывна в 2, равна нулю на границе области 2 и

о о о
§ 4] классы функций D9 Dx и D2 39
? £ Щ (2)? то ср 6 ^ (2)- Наоборот, если ср £ D (Q) и
непрерывна в 2, то о на границе равна нулю. Мы не приводим
здесь доказательства этих предложений, ибо в дальнейшем
пользоваться ими не будем. г
Рассмотрим теперь эвклидово пространство лг -|- 1
измерения xv ..., хп, х0 и в нем цилиндрическую область Q= Q X
X [0, /], где Q есть конечная область изменения переменных
хи ..., хп, а х0£[09 /]. Обозначим через Dt(Q)
совокупность всех непрерывно дифференцируемых функций, равных
нулю в 8-окрестности боковой поверхности цилиндра,
имеющей вид: Q5 = Q8X [О, Л> где 28 есть совокупность точек Q,
удаленных от границы Q на расстояние, не большее 8. Для
различных функций из D1(Q) величина 8, вообще говоря,
разная.
Замыкание Dt (Q) в норме W2 (Q) обозначим Dt (Q).
о
Утверждения, сформулированные выше относительно D,
о
справедливы и для Dv В частности справедлива
Теорема 12. Слабый предел в норме wP(Q) функций
о о
из D1(Q) есть снова функция из D1(Q).
о
Из теоремы 10 следует, что функции из D1 (Q) принимают
на боковой поверхности цилиндра нулевые значения, если
граница Q кусочногладкая.
Наконец, введем третий класс функций, необходимый нам
в главах II и III. Обозначим через D2(Q) те функции из
£>! (Q), которые обращаются в нуль для х0, принадлежащих
какому-либо интервалу вида [/—81? /], где 82 — любое
положительное число, не ббльшее /.
• m о
Замыкание D2(Q) в норме Wl (Q) назовем D2(Q).
Теорема 13. Слабый предел в норме wP(Q) функций
о о
из D2(Q) есть снова функция из D2(Q).
° ° (1)
Очевидно, D2сDt a W2 . Докажем следующие теоремы.
1 См., например, работу автора [4].

40
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
Теорема 14. Если <р £ Ь3 (Q), то при любом 1г £ [0, /]
функция
( h
V (X, XQ) :
Г о (X, х0) dx0 при 0 < х0 < /1Э
0 я/ш ^ <; х0 «^ 7
принадлежит D2(Q).
Доказательство. Построим последовательность
функций из D2(Q), сходящуюся в норме Wix) (Q) к v. Для этого
возьмем (fb^D1(Q) такие, что ф8=0 в Qb и ||<р — ?811^(0^0
при 8 -> 0.
Функция
Я«=1
*i-e
/ ?8^о ПРИ -^оО0* h — 3Ь
^о
о
при ^^[/j —e, /]
непрерывна и имеет непрерывные первые производные в Q
по xv ..., лгп и обобщенную по лг0. Последнее следует из
того, что для любой непрерывно дифференцируемой функции ^,
равной нулю вблизи всей границы цилиндра, справедливо
равенство
г1-.
«,-.
JKS*-/ Ш/^°К
о 2
2 ЖЛ Ж0 ° 0 2 OS
откуда видим, что -4^ существует и равна
\ 0 при х0£[1г — е, /].

§ 4 j классы функций Dy Dx и D2 41
h
Обозначим через t*8 функцию, равную I <obdx0 при
•^o€[^> ^1 и нулю при x0£[lv /]. Легко видеть, что
11^—^11^(1)^° ПРИ Ь~>° И IK*" MwQ)-+° ПРИ 8~>0-
Построим, наконец, усреднения 1>8>е?р для <08je, беря радиус
усреднения р < min (8, s). 1 Функции vbt e> p будут принадлежать
классу Д> (Q). Последовательность v^ = Vi сходится
^ -. • (п), р (п)
при я-»оо в норме 1F2(1)(Q) к v, если е(я) и р(я) выбраны
так, что
Действительно, для так выбранной подпоследовательности
Теорема 15. Если <р £ D (Q), я ^ И^ (2), wo
/£♦*—Jt£*.
Доказательство. Действительно, так как <p£Z)(2),
то существует последовательность функций ©8 £ Z) (Q), для
которой || ср — 9s 1!тл7(1) *""* О ПРИ 8->0. Фунция 9s равна нулю
в пограничной полосе 28 и имеет непрерывные первые
производные, поэтому в силу определения обобщенной производной
для функции ф
Q 2
.х Если /t < /, то усреднение можно брать для функций #§
с p<mfa-(ftf / — /j).

42 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. '
Но
/(^-£)H'<J(£-S)W^a<
2 2 2
<Ь-<Р|1>ГС^° ПРИ 8-°>
и так как
|J^-?)^«r<j(?»-?)e^J©,«<
2 2 2
<!?» —?flVw,c-*° при 8-0'
то, переходя в (6) к пределу при 8 -» О, получим
2 2
о
Благодаря этой формуле введенный класс функций D(Q)
весьма удобен. Мы будем ее неоднократно использовать.
Аналогично доказывается
О /1\
Теорема 16. Если y^D^Q), a ^^Wl '(Q), то
J&W—SljfcdQ, /-1 ».
Q Q
Если 9б4(3)> « <K^2(1)(Q), /wo
Jdx0 J dx0 j Ц=0
Вторая часть этой теоремы вытекает из теоремы 5 и
следующего
Замечания. Возьмем какую-нибудь функцию <р из
о —•
D(2) и функцию ср*, равную <р в 2 и нулю вне 2. Из
теоремы 15 следует, что 9* имеет обобщенные первые
производные в любой области Q'dQ, равные соответствующим первым
производным <р в 2 и нулю вне 2. Возьмем в качестве области 2'
шар, содержащий внутри себя область 2. Из сказанного видно
что 9* € ^2(1) (SO- Так как область Q'— звездная, то для
функции 9* справедлива теорема вложения 10. Но тогда теорема 10

§ 5] СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 43
будет иметь место и для функции <р, несмотря на то, что
область Q может иметь плохую границу. Аналогичные
рассуждения убеждают нас в том, что теорема 10 справедлива и для
о
класса функций D1(Q)i где Q — цилиндр, в основании
которого лежит произвольная конечная область 2. Поэтому, если
о
<р £ £>i(Q), то функцию ®(Х, х0) можно рассматривать как
элемент пространства L2 (Q), непрерывно зависящий от х0£[0, /].
В частности, интеграл Г <р2 (Х> х0) dQ есть непрерывная на
[О, /] функция х0. й
§ 5. Собственные функции
Пусть в связной конечной области Q задан
самосопряженный дифференциальный оператор
п
эллиптического типа, т. е. такой, что а^ = а^ и
п п
2 aifi£j > а 2 б, а = const > О
i,j =i *=i
для любых вещественных iv ..., ?w. Кроме того, пусть
а(*)>0.
Собственной функцией оператора L в области Q при
нулевом граничном условии называется отличное от
тождественного нуля решение уравнения
bo = kv, (7)
равное нулю на границе S области S. Те значения X, при
которых существуют такие решения, называются
собственными числами.
В классической постановке задачи искомые собственные
функции v должны быть непрерывны в Q, а внутри Q иметь
непрерывные производные второго порядка. Решение этой
задачи можно получить, используя работу [1] Жиро и теорию
интегральных уравнений. Более простой путь ее решения
связан с вариационным подходом к ней и с введением
обобщенных собственных функций.
•

44
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
[ГЛ..1
Функцию v(X) назовем обобщенной собственной
функцией рассматриваемой задачи, если она не равна тождественно
о
нулю, принадлежит классу D(Q) и для любой функции С из
о
D(Q) удовлетворяет интегральному тождеству
Q г, ^=1 J 2
Число X, входящее в это тождество, называется собствен-
ним числом^ соответствующим функции v.
Если обобщенная собственная функция будет
принадлежать W^(Q) то, производя в (8) интегрирование по частям,
получим
Я Q
откуда будет следовать, что уравнение (7) удовлетворяется
почти всюду в Q. Если же обобщенная собственная функция
непрерывна в Q и имеет в Q непрерывные производные
второго порядка, то она является классическим решением задачи.
Задача отыскания обобщенных собственных функций
эквивалентна следующей вариационной задаче:
о
Определить функцию vx из D(Q), дающую функционалу
Q ij=zl J 2
минимальное значение по сравнению со всеми функциями v
о
из D(Q). Функция vx будет обобщенной собственной
функцией, а —E(vt) равно соответствующему ей собственному
значению. Каждая следующая функция vk9 k > 1, дает
минимальное значение функционалу Е (v) на множестве функций
о
из D(Q), ортогональных к ранее найденным обобщенным
собственным функциям vv ..., еок_1. Значение функционала
— E(vk) будет собственным числом Хк,- соответствующим vk.
Легко доказываются следующие утверждения: если а^ и а
суть измеримые, ограниченные функции, то вариационная
задача имеет бесчисленное множество собственных чисел. Все

§ 5]
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
45
они отрицательны и могут быть занумерованы в порядке
возрастания их модулей | ^i | -^ | ^ К .. . . Каждому кк
соответствует лишь конечное число линейно независимых обобщенных
собственных функций. Принято в ряду собственных значений
kv X2, ... каждое число повторять столько раз, сколько
соответствует ему линейно независимых решений (иначе говоря,
какова его кратность). Собственные функций vv v2, ... будем
считать нормированными, т. е.
В силу самого определения этих функций
(**, *,) = <>, кф1.
Кроме того,
Система всех собственных функций vv v2, ... полна
в L2(Q), т. е. в L2(Q) не существует функции (кроме
эквивалентных тождественному нулю), ортогональной ко всем vk.
Для любой ср £ L2 (G) имеет место следующее разложение в ряд
Фурье по функциям vk:
оо
9=2 ckvkf где ск =* (<?, vk),
оо
причем ряд jj^ckvk сходится в £2(2). Больше того, этот ряд
сходится в среднем к ср и
оо
Для оператора
п
^*^2лщ{р(Х1*•л"х»*щ)~q(*v "' Xn)v
указанная вариационная задача решена Р. Курантом. Больше
того, им даны условия, гарантирующие непрерывность вторых
1 Ък — символ Кронекера.

46 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ . I
производных обобщенных собственных функций внутри
области 2. Тем самым установлена связь вариационной задачи
с задачей отыскания собственных функций дифференциального
оператора в ее классической постановке. Изложение этих
результатов Р. Куранта читатель может найти в гл. VII т. II
книги [1] Д. Гильберта и Р. Куранта. Решение вариационной
задачи для функционала E(v) дано в книге [lj С. Г. Михлина.
Однако в ней вопрос о дифференцируемости обобщенных
собственных функций не рассматривается.
Этот последний вопрос сравнительно просто исследуется
с помощью конечных разностей. Именно, сначала
устанавливается, что с помощью конечных разностей можно получить
обобщенные собственные функции и доказать, что они имеют
обобщенные вторые производные, суммируемые со второй
степенью по любой строго внутренней подобласти области 2. ]
Но, как доказано С. Г. Михлиным (см. его статью [2]),
решения однородного эллиптического уравнения Lv — kv = 0,
имеющие обобщенные производные до второго порядка, квадратично
суммируемые по любой внутренней подобласти области 2,
имеют в 2 непрерывные производные второго порядка, если
только а^ трижды, а а один раз непрерывно
дифференцируемы. Таким путем может быть доказана следующая
Теорема 17. Если коэффициенты а^{Х) имеют в 2
непрерывные производные третьего порядка, а а (X) есть
непрерывно дифференцируемая функция в 2, то
сформулированная выше вариационная задача имеет бесчисленное
множество решений — обобщенных собственных функций,
обладающих перечисленными выше свойствами. Эти
функции имеют внутри области 2 непрерывные производные
второго порядка и удовлетворяют уравнению (7).
Граничному же условию они удовлетворяют в обобщенном смысле,
о
именно, принадлежат классу D(Q).
1 Решение разностным методом задачи о собственных функциях
оператора L при условии, что его коэффициенты afj непрерывно
дифференцируемы j U 3, а а дифференцируемо -~- + 2 раза,
дано в работе Д. М. Эйдуса [1]. Именно, им доказано, что если
контур Q кусочногладкий, то собственные функции принадлежат D (&)
и имеют непрерывные производные второго порядка внутри Q.

§ 5] СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 47
Мы не приводим здесь доказательство этой теоремы, ибо
в гл. II о рядах Фурье нам необходимо, чтобы
собственные функции оператора Lv имели непрерывные производные
в замкнутой области Q до какого-нибудь наперед заданного
порядка т. Достаточные условия для этого можно
сформулировать, исходя из результатов § 2 и 3 гл. IV, следующим
образом:
Теорема 18. Если коэффициенты a4j и а имеют
непрерывные производные по лг$ до порядков k и k — 1,
соответственно, а функции уп = со (уг, ..., уп_х)> дающие уравнение
контура области Q в местных координатах (см. § 7, гл. I),
непрерывно дифференцируемы до порядка k -j- l, то
собственные функции Vi (X) оператора Lv принадлежат щ (2).
Из этой теоремы и теоремы (10) следует, что vx
непрерывно дифференцируемы в 2 до порядка m = k — у — 1.
В § 3 гл. VI мы исследуем решения задачи Дирихле для
уравнений более общего типа, чем (7). Метод, предложенный
там для исследования этих решений в замкнутой области, без
всяких изменений применим и к задаче о собственных
функциях. При этом методе мы исходим из того, что с помощью
конечноразностного процесса можно получить обобщенное
решение рассматриваемой задачи. Итак, применение разностей
позволило дать достаточные условия для непрерывной диф-
ференцируемости собственных функций в замкнутой области.
Однако результат этот можно, несомненно, улучшить, снизив
число требуемых производных от коэффициентов уравнения
и функции (л(у19 ..., уп). Для оператора Лапласа такое
усиление теоремы 17 получено в работе [3] X. Л. Смолицкого, *
именно:
Теорема 17'. Если функции уп = <й{ух, ..., yn^i) имеют
непрерывные производные до порядка £ + 5, то
собственные функции, определяемые условиями
д# = Xi>, v \8 = О,
непрерывны в Q вместе с производными до порядка k.
1 Следует указать, что это потребовало привлечения тонких
теорем теории потенциала, доказанных Н. М. Гюнтером, и
доказательства новых теорем того же типа.

48 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
Эта теорема ослабляет по сравнению с предыдущей
требование дифференцируемое™ контура цри больших п. 1
Перечисленные выше свойства системы собственных чисел и
собственных функций для оператора L при нулевом граничном
условии имеют место и для граничного условия:
п
Ш+М =0' где Ш= 2 в«^со5(и,лгД
а /г($)>0.
§ 6. Некоторые предложения о разностных
отношениях
Разобьем эвклидово пространство переменных xv ..., хп
плоскостями х{ = kt Дл^, / = 1, ..., /г, где А^ — целые числа,
на параллелепипеды Qk ... и , координаты точек которых
определяются неравенствами kt Дл^^лг^ <] (A^-J- 1) Длг^, * = 1, ...., л.
Обозначим через 2д область, составленную из тех
параллелепипедов Qk ... & , которые принадлежат области
(открытой) 2. Пусть в точках решетки (kx^xv ..., й^ДлгЛ), при:
надлежащих 2Д, задана функция йд. Введем обозначения для
ее разностных отношений:
д^г [# (-^i> • • • > ** -г A**> • • •» •^n)"-^ C*i> • • •» xi* • • •» ■*»)] ==в
Построим теперь в области 2 некоторые функции,
совпадающие с ид на точках решетки, и выясним их связь между
собою.
Полилинейную по xv ..., хп функцию, совпадающую на
точках решетки с йд, обозначим ид. Для точки (xv . ...
•••> *n)€2ft "... fc она определяется равенством:
П П
+ S«ei... »,_,*,„... »ЖП(*«—*.**,) + • • • +ид>
s=l
1 В настоящее время X. Л. Смолицким доказано, что от
граничных функции уп = & достаточно потребовать существование
производных k-то порядка, удовлетворяющих условию Липшица.

§ б] НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ О РАЗНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ 49
Д™а 1
причем разностные отношения aXi .. х* = л л и
г1 %т *Х{ ... ЬХ{
1 ш
последнее слагаемое вычислены в вершине (кг Axv ..., &м А-*гп).
Функция Мд определена на 2Д, непрерывна и имеет
обобщенные первые производные. Нетрудно проверить, что
2д i-1 « 2Д г = 1
где Ап = Д.г1, ..., Ахп.
Обозначим через щт) функцию, которая в 2& ... &
постоянна по дгт, линейна по остальным переменным и
совпадает с «д в тех вершинах Q* ... к , которые лежат на
плоскости лгш = &тДл:ш. Для (xv .. ., -vJ^Q^ ... йя
п
= йа1 ... а?то-1а?т+1 ... хп 11 (Xs—&sAATs)-f . . .-\-Ua,
&фт
причем все разностные отношения #д и последнее слагаемое #д
вычислены в вершине (&х Axv ..., kn &хп). Проверим, что
в Якг ... лп
^ = (—) (9)
дхт \AxmJ(m)' }
Действительно,
п
2 «*,
г = 1 1
гфт
dx--UxX-
"• жг-1жг+1 "
..*я11(*в—м**)+
те
.«я П (*в-мх*)+-
ъ :j£ r, афт
■■+и*т>
причем во всех оставшихся коэффициентах имеется разностное
отношение по хт, ибо только в такие члены входило хту
сам же множитель (хт — kmAxm)> содержащий хт, исчез
в результате дифференцирования. Отсюда видно, что
равенство (9) верно.
Где
А™и Д / Д*»-1а
Ах4 ... Длг, Ах
4 Зак. 363. О. Ладыженская,

50 ЁСП0МОГАТЁЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [гЛ. t
Введем, наконец, еще одну функцию #д, равную в Qk ... к
посеянной UA(k1Axv ..., knkxn).
Допустим, что Длгр ..., Ахп пробегают какие-либо
числовые последовательности, имеющие своим пределом нуль,
примем такие, что величины Axv .. ., кхп являются бесконечно
малыми величинами одного порядка малости. Пусть для каждой
из решеток, соответствующих этим значениям Ал^, . .., kxni
задана своя функция #д, определенная во всех точках
решетки, принадлежащих Сд, где Q есть какая-нибудь область*
содержащая внутри себя Q. Функции и^ щт) и #д будут
определены дли достаточно малых &xlf ..., &хт на всей
области Q. Для этих функций имеет место следующая
Теорема 19. Пусть
тогда, если одна из последовательностей функций {мд},
{Щт)\ или {йд} сходится в L2(2) к некоторой функции
u(xv ..., хп), то и две другие сходятся в L2(Q) к и.
Прежде всего покажем, что величина | и'А — и т) | достигает
своего наибольшего значения на Qft ... к в одной из вершин
1 п
этого параллелепипеда, и это значение равно произведению
Аид I
-г— Алгш, взятому в одной из вершин Q* ... и , принадлежа-
tXXifli I 1 'tl
щей плоскости xm = kmLxm, Действительно, на грани хт =
= kmAxm взятого параллелепипеда функции #д и щт)
совпадают. Вдоль отрезка, выходящего из какой-нибудь точки этой
грани параллельно оси Охт, функция иА линейна по лгш,
a tf(W) — постоянна. Поэтому
/ ^йд I
• /tm\\ (Xfn m ^xm)i
т т ш

§ б) НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ О РАЗНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ 51
max \u'L — u(\ = bxm
max
(±)
&Хт'{т) I
к. Ах£ < х{ < (fy 4-1) Aa?j
Но функция I -г—) на грани хт = km Ахт линейна по всем
\&Хт' (т)
переменным xi9 i Ф т, и потому принимает свое наибольшее
значение в одной из вершин этой грани, где она равна
просто -г—. Поэтому верно неравенство
&хт
• • К
И.х~
Я«1 " *«
(10)
где суммирование проведено по всем вершинам Q& ... ^ .
Разберем один из случаев, указанных в теореме, ибо остальные
доказываются аналогично.
Пусть
|(ид—u)2dQ-*0 приАлг^->0 /=!,...,«.
Оценим тогда интеграл
#=JVa — «(w))2rfQ< 2 / (ЙД — 4m))%dQ,
*~Ч\...*Щ
где суммирование проведено по всем Qb...kn> не
выходящим из Q'. г Используя (10), можно написать:
ЖД-4
(к.,... к„) о7 7 ^7
1 п' Ч1...кп *j
J s (£)'*s<
<2геД^.Д„ 2(д^)2<2геД;с-С->0
при Дл^, ..., Дл;п-*0.
1 Мы считаем при этом Дл^,.. ., Ддгп уже столь малыми, что
функции «д и и^ определены во всей области Q.

62 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЙ [гЛ. 1
Отсюда следует, что
J («С») — uf dQ < 2 J [(и! — tt(w))2 + («1 — и)2] rfQ -► О
Q 2
при Дл^, ..., Дд;п->0.
Теорема 20. Пусть
тогда если одна из последовательностей {#д}, {и,ш)}
или {йд} сходится слабо в L2(2) к функции и при
kxv ..., Дл;п->0, то и две другие сходятся слабо к и.
Если функции Ид заданы лишь в точках решеток,
принадлежащих 2, то мы доопределим их в остальных точках
решеток, полагая, например, ид = 0 вне 2д. Условие
теоремы
Д„2и2д<С,
очевидно, соблюдается для любой области 2' id 2.
Функции йд, #(Ш) и ид, таким образом, будут определены во всей
области 2. Их интегралы по 2, очевидно, будут равномерно
ограничены.
Возьмем в Q функцию f(xl9 ..., хп), непрерывную вместе
со своими первыми производными и равную нулю в
пограничной полосе. Пусть
j u'bfdQ-» f ufdQ)
2 Q
докажем, что f ад/dQ-* Г uf dQ.
2 2
Другие случаи доказываются этим же путем.
Если через /д обозначить кус очно постоянную функцию,
совпадающую с / на точках решетки, то и
ибо
Г Яд/д dQ -* Г ufdQ,
2 2
[ j «I (/—/д) rfOJ2 < / ("I)2 <ЙЗ • / (/ —/д)2 <^ -* 0.

§ 6] НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ О РАЗНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ 53
Возьмем kxv ..., Алгм уже столь малыми, чтобы в
параллелепипедах Qfc ...& , не принадлежащих 2д, функция/д
равнялась нулю. Тогда
(*i — *n> 2-
лч ...fc
где 2 означает суммирование по всем 2& ...^ с: 2д.
# — ^ /д \tta?!--^"^Г «-
г=1
w га
r=l s = l
Перенесем в каждом слагаемом скобки одну из разностей
с и на Д, например
при этом суммировании по частям контурные члены
отсутствуют, ибо Д равно нулю в пограничной полосе. Тогда
(*,-*»>
Но
R== д» S_ {Лг, % ....*„ Д*2 • • • Д*»^-+ • • • +
г=1
Дп 2 («*, ... а>, Д-V. . . . ДЛГ* )2 < CjA„ 2"А < ССХ
Дге22г7-)2<с2,
2д Г=1 ЖГ
1 Где /_ (^ ..., ^) - -L {Щ :.,хц)-Пхг^х% *„>].

54 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
следовательно
R->0 при кх1У ..., Длг^-^0.
Итак, доказано, что
Г wA/ldQ~> Г ufdQ,
поэтому и
J Ид/rfQ = Г ид /д </Q + f «а (/—/а) <И2 -► j* a/rf2,
2 2 2 2
ибо _
2 2 2
при Ajq, ..., Дагп —> 0.
Мы установили сходимость интегралов Г u^fdQ для гладких
функций /, равных нулю в контурной полоске. Но любая
квадратично суммируемая по Q функция ф может быть
приближена в Z,2(S) функциями типа /, и потому можно
считать, что слабая сходимость {#д } к и доказана. Аналогично
доказываются другие утверждения теоремы.
Теорема 21. Пусть заданная последовательность
функций и± на решетках 2Д такова, что
Од < = 1
и пусть #д равны нулю на границе Од и вне Йд. Тогда
существует такая подпоследовательность функций и± ,
для которой функции u'L сходятся в L2(Q) и слабо
ос
в wP(Q) к некоторой функции и. Предельная функция
о
принадлежит D (Q).
Действительно, для непрерывных функций ад £ WW (2),
как отмечалось выше, справедливо неравенство
1 В качестве С О) можно, например, взять 2п-\,

§ 6] НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ О РАЗНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ 55
Поэтому из теорем 10 и 11 следуют утверждения нашей
теоремы. Из теорем 10 и 12 следует и
Теорема 21'. Предположим, что данные в
теореме 21 функции и& зависят от параметра х0 таким
образом, что йд определена для значений x0 = sAxQ,
5 = 0, 1, ..., -д— +1> равна нулю на границе 2д и
вне 2д при всех этих значениях х0 и
г—1
а*о к 2 2 [«*+2 ОёЛ <т=const •
2д 8=0 * = 0
Тогда существует подпоследовательность #д , для
которой функции и' сходятся к некоторой функции и из
а
о
Dx (Q X [0 <1 х0 <; /J) в норме L2 (Q) равномерно
относительно х0£[0, I] и слабо в норме ^(QXIO^^^/]).
Заметим, что в теоремах 21 и 21' kxi9 /==0, ..., п, не
обязаны (в отличие от всех остальных теорем этого
параграфа) стремиться к нулю.
Теорема 22. Пусть заданная последовательность
функций ut, на решетках Йд такова, что
£ 2 *.SU,a"X )'<T-cons», ,1„
причем суммирование 2 * каждом члене проведено лишь
яо тел* точкам решетки, для которых стоящее под
знаком этой суммы отношение образовано с помощью
значений йд в вершинах решетки йд, обладающих тем
свойством, что Qfe ...a , ^еряз которые проходят
отрезки, их соединяющие, принадлежат Йд.
Гогдя существует подпоследовательность и± , для
( AW"a V
которой фукции йда и ("д^ ^—) >^ = 1? ..., & — 1?

56 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
i\ ... , /m== 1, ... , п сходятся в Z,2, а функции
( 1 j сходятся слабо в Z,2 no любой строго
внутренней подобласти области Q к некоторым
функциям и, uit„.i и щ ...*,, соответственно. Предельные
функции обладают следующими свойствами*.
utwpiQ), 1иЖ(*)(а)<ед
и
дти
дх, ...дх> =и^ ... im э 0</я<&, q, ..., /m=l, ..., я.
Возьмем монотонно возрастающую последовательность
областей Q^p\ р —1, 2, ..., стремящихся при р->оо к Q.
Для Адгр ..., Алгп, меньших некоторого 8^ > 0, функции
\А 1—) {т ^ *) бУдУт определены во всей области 2(р).
Из неравенства (11) следует, что
где постоянная С (у) зависит лишь от ] и числа измерений п.
На основании теоремы 3 существует такая
подпоследовательность й£р), для которой функции (и^У и
А" "2? у /х, •"• /ж=1, .... я
Ддг, ...д*. ) ' m = l,...,k сходятся слабо
в Z,2(Q(P)) к некоторым функциям и(р) и u{p\.ti квадратично
суммируемым по Q^p\ На основании теоремы (20) отсюда
дж а( *>
следует, что функции (^£- %^—) , ?=1, ..., я,
V' *т (a)
т — 0, . .., k, также сходятся слабо к и№ , . Поэтому можно
*i •• «I
утверждать [см. (формулу (9) § б и теорему б § 2], что
функция и\& , . есть обобщенная производная —-^ ~

§ 6] НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ О РАЗНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ 57
в 2^\ из чего в свою очередь следует, что
1 т
Кроме того,
11"(Р)11яК*)(в(*),<С(т).
Для разных р= 1, 2, ... последовательности й£р> согласуем
так, чтобы функции а<*+1> находились бы среди функ-
а
ций ttW. Затем из последовательностей
а а
составляем диагональную, которую обозначим через {ид }.
Обычное рассуждение приведет нас к тому, что
подпоследовательности
сходятся слабо по любой внутренней подобласти области 2
к некоторой функции и и ее обобщенным производным, при-
чем « = «<*> в 2W и Ц«1Ц*>(а)<С(т).
На основании следствия 3 из теоремы 10, теоремы 17 и
приведенных здесь рассуждений можно заключить, что функции
д j— J для 0 <; т <! k — 1 сходятся в среднем к ука-
*1 " " гт
занным выше функциям по любой внутренней подобласти
области 2.
Следствие. Предположим, что данные в теореме 22
функции йд зависят от параметра х0 таким образом, что йд
определена для значений x0 = s Дл:0, где 5 = 0, 1, •••> I ^- + АДлг0,
Длг0 -> 0 одновременно с Дл^, ..., Длгп и
А*о 2121 21 ^(ь tt\ y<v

58 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
Тогда существует подпоследовательность Ида, для которой
функции и'^ и { ^ \х^ ) , т = 1, ..., k — \\iv ...,
im = 0, .. ., л сходятся в среднем по любой внутренней
подобласти Q равномерно относительно х0 к некоторым функ-
тями(Х,х0)иин...{т(Х, х0), а ( ^ 9.т \х. ) сходятся
слабо к щ ... i в 12 для любого цилиндра Q8 = 2а X [0> Л,
лежащего внутри цилиндра Q = QX[0, /]. Кроме того,
11«11,г*(в)<С(т). дХндУдХ(т = а^-^ 0<т<&,
Ь> • • • > *wj === U, • • • > Я
и и(Х, х0) может быть рассмотрена как элемент
пространства W\ (Q), непрерывно зависящий от лг0.
§ 7. Три леммы о производных функции
на криволинейной поверхности
Пусть конечная область Q я-мерного эвклидова
пространства xv ..*,xn ограничена гладкой поверхностью S.
Возьмем в произвольной точке М поверхности S местную
прямоугольную систему координат уи ..., уп так, что
координатная линия уп направлена в сторону внешней нормали
к поверхности в точке Ж, а начало координат помещено
в /W. Если для каждой точки fA поверхности 5 существует
такая окрестность, что уравнение куска поверхности 5,
принадлежащего этой окрестности, имеет вид
Уп=**{Уи •••> .Ул-i)»
где функция <*>(ylt ..., Уп-i) непрерывно дифференцируема k
раз, то такие поверхности S назовем k раз непрерывно
дифференцируемыми, а функции о) — контурными функциями.
Пусть поверхность S дважды непрерывно
дифференцируема. Разобьем ее на конечное число неперекрывающихся
дбласте# Df(i=l, ..., т) таких, что: щ) в каждой щ щх

§ 7] ПРОИЗВОДНЫЕ НА КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ 59
можно выбрать ортогональную координатную сетку 6*, ...,
11п_х без особенностей, причем коэффициенты первой
квадратичной формы поверхности в этих координатах должны
быть непрерывно дифференцируемыми функциями их; Ь) для
п — 2-мерной границы Сц областей Di и Dj (С^ должна
быть гладкой) существует такая окрестность ее на
поверхности 5, в которой можно ввести обе системы
координат Й, ..., &_! и £{, ..., $£_i. причем Й, •••, ^-i как
функции координат %{, ..., ^_х (и наоборот) должны быть
D (?*,..., 6* )
непрерывно дифференцируемыми и якобиан *' '" п~х—
отличен от нуля.
Дифференциал дуги на поверхности будет иметь вид:
dS\ = (Si (rftf)1 + ... + <S£-i {d^x)\
В каждой точке М поверхности 5 выберем местную систему
координат так, что если M£Dh то прямые у\, ..., y^-i
касаются в точке М соответственно линий ?ь ..., &_i.
В точках границы Ci} выбраны, следовательно, две местные
системы координат, связанные между собою ортогональным
преобразованием
^=2^ « —1, ..., я —1.
Нетрудно видеть, что
Элемент площади поверхности 5, как известно, дается
формулой
™кПбий...*й-1.
Определим элемент площади dSn_2 (n — 2)-мерной
поверхности С, лежащей на поверхности 5, если она задана урав-т
нением

60
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
(Мы опускаем верхние индексы у координат Ел, так как все
наши рассуждения справедливы для любой из этих систем).
dF
Пусть ^г- Ф 0 в точке М £ О, тогда в окрестности ее
можно за независимые переменные взять Efe, k Ф ос. В этих
переменных первая квадратичная форма поверхности С имеет
вид:
1фа, тф а
^£
Но -^~ =— -л^~ =— т/" ' следовательно,
ds\ = 2 (@K^Fm+g^ef) -£- л, <#ш,
7, го = 1 а
1ф<х, тфа
или, вводя очевидные сокращенные обозначения, получим:
1фч, тф*
Как известно,* элемент площади поверхности С
выражается через коэффициенты первой квадратичной формы
этой поверхности так:
^n-.-V| «& | <«!..• <*6._,<Я. + 1
di
Найдем определитель |gj
Jm1
\ •» а /
«.*&
<S.
•»-!•
F\Fn-\
е*
Vt
gl
1
гп-1
6,
.©•+«.
-1 1 /Р да
з~ *№)+*■-
(/, л*=1, ..., а —1, а+1, ..., п — 1)
1 Qm. П. К- Рашевский [1], § 22, стр. ИЗ (1-е изд.),

§ ?] ПРОИЗВОДНЫЕ НА КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ 61
Вынесем из &-й строки множитель Fk и вычтем затем
первую строку из всех остальных. Далее из &-го столбца вы-
несем множитель -^ и изменим затем первый столбец, при-
бавив к нему все остальные:
I &1т
РФ*
кфа
«М*
1 О
О О
га-1
п-1
-ил-е-
р=1
fc=l
@*
1
1*
Следовательно,
dS,
п-2
Гп-l п~1
У ПЛ2
X
р=1
F2
fc = l
X
d^ ... rf$s_1rf$0[+1 ... dtn_v
(14)
Из тензорного анализа известно, что так определенный
элемент dSn_2 инвариантен относительно выбора координат
&i> ••«> %n-v Кроме того, сумма 2j-~- также инвариантна
fe=i
относительно тех преобразований координат £л, которые
ортогональную сетку %к на поверхности 5 снова переводят
в ортогональную* (мы рассматриваем здесь и в дальнейшем
лишь такие преобразования криволинейных координат на
поверхности). Установим теперь на взятой нами поверхности 5
формулу интегрирования по частям. Именно, имеет место
следующая лемма:
Лемма /. Пусть S есть замкнутая дважды
непрерывно дифференцируемая поверхность и пусть в каждой ее
точке М задан непрерывно дифференцируемый вектор Р(М),
1 П. К. Рашевский [1].

62 ВСпбмбГАТЁЛЬНЫЁ ПРЕДЛОЖЕНИЯ flVh !
лежащий в плоскости, касательной к S в точке М. Если
через Р\, • • • > Pn-i мы обозначим проекции вектора Р (М) на
оси местной системы координат ylv ..., Уп_х в точке М> то
п-1
д
i = l 2), <х = 1
—2№&(КП«)
dS
п
(15)
Мг У П<4
Замечание. Непрерывная дифференцируемость
вектора Р понимается в следующем смысле: если на части Di
поверхности S мы введем криволинейные координаты (£, ..., ^_х
так, как указано выше, и если у*9 ..., уп_х — местные
координаты, соответствующие сетке Й> ..., \п-и то проекции
Pv •••> ^я-i на ^1> •••> J'n-i являются непрерывно
дифференцируемыми функциями Й, • ••> £»-i- Напомним здесь,
что при переходе в точке М от одной местной системы
координат у\у ..., у1п_х к другой у(, ..., у^п1 компоненты
вектора Р(М) преобразуются так:
^-"svft если ^в2М'
р«1 p=i
Доказательство. Так как местные координаты
УЬ • • •» Уn-i в точке М касаются в этой точке
соответствующих им координатных линий Й, ..., Е£_ь то
д i __дР{ д$* _<ЭР* 1
Поэтому
/П^Л

§ ?] производив на криволинейной поверхности 63
=fe("-/n^)A'-^--
Используя формулу (14), получим:
J А ду* J А ' л/~& г^гш
- f Sp^]/n^^i • • • <*и
Знак перед первым интегралом должен быть выбран так,
чтобы вектор ^(Fu ..., Fn_1) был бы направлен в
сторону внешней по отношению к области D^ нормали к
границе Сй.
' "-1 Fi
Нетрудно видеть, что сумма \Яц r— инвариантна
a = 1 r ^a
по отношению к рассматриваемым нами преобразованиям ?*
в ^ и соответственно у{ в у{.
Действительно:
Fi_ dF n-i dF д%

64 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 1
или^ в силу равенств (13):
Далее, Р«= S^xy^y» следовательно,
n-l Fi n-1 ^
a=l К @e a, pt Y = 1 К @$
HO 2 ^хт^«в = 8у, ПОЭТОМу
V i* F° _ V ы Fi
Второй множитель под знаком первого интеграла
V
V 1*.
как указывалось выше, также инвариантен по отношению к
нашим преобразованиям £* в S£, следовательно, инвариантно
и все подинтегральное выражение.
Если составить теперь сумму
то все интегралы J взаимно уничтожаются вследствие дока-
с<
занной выше инвариантности их подинтегральных
выражений и выбора знаков перед интегралами. Тем самым лемма 1
доказана.
Тождество (15) можно рассматривать как своеобразную
формулу интегрирования по частям на замкнутой
поверхности. Оно позволяет „снимать" производные по
касательным направлениям с вектора Р, лежащего в касательных
плоскостях к S. Возможность такого „ снятия" производной
у Р доказана X. Л. Смолицким в его работе [1] с помощью

§ 7] ПРОИЗВОДНЫЕ НА КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ 65
установленной им геометрической теоремы. Мы предпочли
здесь иной путь доказательства этого факта, позволивший
дать формулу интегрирования по частям в явном виде.
Лемма 2. Если функция и(х19 ..., хп), заданная по
одну сторону от поверхности S и на самой поверхности S,
имеет непрерывные вплоть до S производные по xv ..., хп
до k-то порядка и обращается в нуль на S, то k-я
производная этой функции по касательным к S
направлениям yv ..., уп_г в какой-нибудь точке М£$ может
быть выражена через производные функции и до k—1-го
порядка по переменным yv ...,yn_v yn и производные до
k-io порядка от контурной функции уп = <й(у19 '.*,уп-г)
в той же точке М.
Доказательство. Возьмем местную систему координат
yv • • • > уп в точке М£S. Координаты yv .. ,,уп точки М
будут, таким образом, равны нулю. Функцию и{Х) можно
рассматривать как функцию местных координат и=и (yv ..., уп).
По условию u(yv ...,J>n-i> <■>(>!, ..., ^M_i)) = 0.
Дифференцируя это тождество по переменным yv .-.,^я_! и
затем, учитывая, что ^— = 0, /=1, ..., п—1 в точке Ж,
мы и докажем утверждение леммы; именно, в точке М:
д^и ди дЪо>
*у£ • • й&т1 дУп ^ - й&т1
+ ••• +
"Т" ,2л dytdyj
Все производные k-го порядка, кроме производной, стоящей
в левой части этого равенства, пропали, так как имели при
себе множители -^-. Заметим, что каждый член правой части
содержит по крайней мере одно дифференцирование по
нормали уп.
Лемма 2Г. Пусть по одну сторону от поверхности S
и на самой поверхности заданы k — 1 раз непрерывно
дифференцируемые функции a^(xv ..., лгп), /,у = 1, ..., п
и h(xv ..., хп) и k раз непрерывно дифференцируемая
5 Зак. 363. О. Ладыженская.

66 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [гЛ. I
функция и (хи ..., хп). Пусть функция и на
поверхности Sудовлетворяет условию {rrr+^f =0> г^е лТг =
п
= V a4j cos (n, х,) ^—-, а п—нормаль к S. Тогда производная
д / д*-1й
в какой-нибудь точке M£S может быть выражена через
производные и до k—1-го порядка по yv ..., уп,
производные h—до k—1-го порядка и производные &(yv ••••>yn-i)—
до &-го порядка в точке М.
Доказательство. Как и выше, возьмем в точке М
местную систему координат yv ..., уп, направив ось Оуп по п.
Пусть х4 = Х.иу^ а *# = ae?XeiXpi, тогда
п
ди \л ди /_ . \ V^ l ди
ш
i,j=l " г, з=1
п
ди
' * " l i,j=l
п
-°v,
где
/■+"$' О"'
7=1, ..., я—1,
г = 1
1
0DW=
< = 1
В силу условия леммы имеет место тождество по
yv -->Уп-1-
п
ди
==0.
Дифференцируя это тождество 6 — 1 раз по у1г ...,у„-г

^ 71 производные на криволинейной поверхности 67
и полагая затем уг = ... =.У«-1==0> мы и докажем
утверждение леммы, если учтем, что при всех производных и k-то
дки
порядка, кроме нужной нам производной ъ z— ,
dNdy? ... дукпп^
стоят множители ^—, /= 1, ..., я— 1, которые обращаются
в нуль в точке М. Так, например:
п
Vl f, д2и . и д2и доу .
i, j~l
, db{j du dudiaj] , dh /ди , ди д<*>\
1 dyxdyi J^ ts dyidy1\^dy1 ' Wi ^W
В точке Ж это равенство примет вид:
п п л
д (ди\ , Vl dbin ди , \\ , ди °*j \ dh \ и ди п
Лемма 3. Пусть функция u(xv ...,хп) имеет
непрерывные производные до k-vo порядка в 2, a ®(xv ...,хп)
непрерывна на контуре S области Q. Поверхность S
предполагаем дважды непрерывно дифференцируемой. Тогда
для любых 1^т—\<^k— 1 имеет место неравенство:
I Г &U дт-1и ,0| .
| I • dxh ... дхн dxh ... dxjm_x |^
о
2 а.
т-1
где е — любое число из интервала (О, 1], а постоянная С
зависит лишь от max|<p|# области Q.
s
Доказательство. Предположим функции cos(n, x{)
(п — внешняя нормаль к поверхности 5), определенные на
5*

68 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
поверхности 5, продолженными внутрь области Q так, чтобы
они имели в ней ограниченные первые производные. Это
возможно, ибо по условию леммы функции cos (n, Xj) непрерывно
дифференцируемы в местной системе координат yv .. .9уп_г.
Обозначим так продолженные cos(n, х{) через ^t(xv ...,x^).
Воспользуемся теперь для оценки данного в лемме
контурного интеграла формулой
Г п С п л
j 2^-cos(n> *<><»= j 2§<«-
Именно,
дт~1и
С &и т
J ? dxh ... dxi% m dxh ... dxJm_x
s
= Ci J l{dxh.a.dx() +
<
\Q 1
\dxh ... bxim_xj j
Q i — 1
= Ci J 2 Ц [{dxh.U.dxJ + (dxh... dUxjm_J] dQ +
Л.Г fV9i Г дЫ дШи I
•1
^dxh ... dxJm^dXidxh ... d-r^J
Слагаемые, стоящие в квадратной скобке под знаком
второго интеграла, оценим с помощью алгебраического
неравенства 21 ab | < ыР-\ £2, справедливого при любом s > 0.

§ 7] ПРОИЗВОДНЫЕ НА КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ 69
Функции же | ф< | и
ной, поэтому
dXi
J
?
не превосходят некоторой ПОСТОЯН-
dXh ... дХН dxh ... дХ;т_г
п
-AS <
<М1+т)/2[(д^*5Г+
^\bxl>xlx...bxlm_J J ~~
a «,...«„=1 *
л m-l те
а д=г «х ... а^=1
Vdxai... dxaqJ
если е£(0,1|, ч. т. д.

ГЛАВА II
МЕТОД ФУРЬЕ
§ 1. Постановка задачи
В этой главе мы рассмотрим уравнение вида
** = Lu+f(X9 t), (l)
где
п
коэффициенты которого определены в конечной, связной
области 2 изменения X=(xv ...>xn). и удовлетворяют в 2
условиям
п п
я (X) > О, a4j = aji9 2 aiMj>а2б, а = const > 0, (2)
а свободный член f(X, t) определен в цилиндре Qt =
= 2X10 <! /<; /]. Второе из неравенств (2) выражает тот факт,
что уравнение (1) принадлежит в Qt к уравнениям
гиперболического типа.
Для этого уравнения разберем следующую смешанную
задачу: определить в Qj решение уравнения (1),
удовлетворяющее начальным условиям
и\ = О (X), кг
»..=*<*>
и граничному условию
и\8 = 0 при *£[0, /J,
где 5 есть граница области 2.
(3)
(4)

§ 11
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
71
Относительно граничного условия
п
{ 2 av %t cos (n' *J> + hu }s = ° <4'>
необходимые указания будут даны в конце главы.
Мы рассматриваем в первую очередь уравнения вида (1)
потому, что для них решение может быть сравнительно просто
получено в явном виде — в виде ряда Фурье, для которого
удается дать необходимые и достаточные критерии сходимости
в различных пространствах W^{Q).
Как отмечалось во введении, мы будем различать
решения смешанной задачи трех видов: 1) классическое решение,
2) решение почти всюду и 3) обобщенное решение.
Классическим решением назовем функцию, имеющую
в Qt непрерывные производные второго порядка и
удовлетворяющую всем поставленным условиям в обычном смысле.
Решением почти всюду назовем функцию, которая
о
является элементом Wfp(Q^, принадлежит /^(Qj),
удовлетворяет почти всюду в Qz уравнению (1) и принимает
начальные условия (3) в том смысле, что
fla(X, M) — <f(X)\*dQ-»0 (Зг)
2
И
J [^§^-HX)]*dQ-*0 при Д*- + 0. (?2)
Q
В § 3 гл. I отмечалось, что элементы W*(Qj) могут быть
рассмотрены как элементы WM(Q), непрерывно зависящие
от /, т. е. для любой функции v(X, t) из W£)(Q^
\\v(X, t+M)-v(X, /)|Ц1)(а)
стремится равномерно относительно f£[0, /] к нулю при
Д£-»0. Поэтому имеет смысл говорить для таких функций
о выполнении начальных условий в форме (3j) и (32). Легко
видеть, что классическое решение задачи является
одновременно и ее решением почти всюду. Обратное неверно, ибо

72
МЕТОД ФУРЬЕ
[ГЛ. II
нетрудно построить пример решения почти всюду, которое
не является дважды непрерывно дифференцируемой функцией
своих аргументов. Однако, если решение почти всюду есть
дважды непрерывно дифференцируемая в Qz функция, то оно
является классическим решением задачи.
Обобщенным решением задачи назовем функцию и (X, f),
о
которая принадлежит D1(Ql)^ принимает начальное значение,
равное <р> в смысле (Зх) и удовлетворяет интегральному
тождеству
4 ]Vurf2 = 0, (5)
2
о
при любой функции Ф из D2(Qt).
Простым интегрированием по частям проверяется, что
решение почти всюду удовлетворяет тождеству (5) и является
тем самым обобщенным решением задачи. Обратное неверно.
Из приводимых ниже в § 2 рассуждений следует, что
существуют обобщенные решения, которые не имеют обобщенных
вторых производных и потому не являются решениями почти
всюду. Однако, если обобщенное решение задачи принадлежит
WjpiQt), то оно будет и решением почти всюду. Это
предложение имеет место и для гиперболических уравнений более
общего типа, чем (1), и потому будет доказано ниже в начале
§ 3 гл. III, в которой изучаются такие уравнения.
Покажем сначала, что введенное нами расширение
понятия решения задачи допустимо в том отношении, что задача
может иметь не более одного обобщенного решения.
Теорема 1. Пусть коэффициенты уравнения atJ и а
измеримы и ограничены на 2. Тогда, если функция и
о
Принадлежит D1(Ql)i равна нулю при / = 0 и
удовлетворяет тождеству
г п
а о <^=i J
о
при АЮ0О& ф из D2 (ф), то и = 0,

§ 1] ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 73
Доказательство. Возьмем в качестве Ф(X, t) функ-
t
цию, равную \и{Х, l)d% при /£[0, Ь] и нулю при t£[b, /].
ъ
о
Это возможно, ибо она будет принадлежать D2(Qt) (см.
теорему 14 § 4 гл. I). Подставим в тождество (5Х) вместо и(Х, t)
равную ей при /£[0, Ь\ функцию -^ и преобразуем
тождество (5Х) так:
ШМ(г?)'-МД-*]*=°- <6>
дФ дФ
Нетрудно видеть, что Ф, ^— и -^т- могут быть рассмотрены
как элементы Z,2(2), непрерывно зависящие от параметра
t(z№> b]. Кроме того, в силу условия теоремы и опреде-
функции Ф интегралы ("лт) dQ9 *1 dQ n
2 Q
у . dQ равны нулю. Поэтому на основании след-
ствия 1 из теоремы 5 равенство (6) можно преобразовать
к виду
/©!.-+Л 2<-£,+**]1-.л-*
Так как оба интеграла являются величинами
неотрицательными, то из последнего равенства следует, что
Q 2
Ввиду произвольности b £ [0, /] отсюда заключаем, что и = О
в £г, ч. т. д.
Из этой теоремы следует, что если имеются два
обобщенных решения уравнения (1), удовлетворяющих одним и
тем же начальным и граничному условиям* то их разность,
почти всюду равна нулю.
ления

74 МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. II
Теперь мы перейдем к формальному построению решения
задачи в виде ряда с помощью метода разделения переменных.
После того как этот ряд будет получен, мы займемся
исследованием его сходимости. Сравнительно просто установить
условия, при которых сам ряд и ряды, полученные его
однократным почленным дифференцированием по хи и t, сходятся
в среднем [в Z2(Q)1, так как все они ортогональны в
некоторых метриках. Такая сходимость рядов, как мы увидим
далее, гарантирует то, что сумма основного ряда будет
обобщенным решением задачи. Выяснение же условий, при
которых сумма ряда будет решением почти всюду или
классическим решением, связано с исследованием сходимости
рядов, полученных почленным дифференцированием основного
ряда по хк и t два и более раза. Это исследование, в свою
очередь, опирается на одно неравенство [см. (21), ле*мма 1,
стр. 88] весьма общего характера, которому посвящен § 3.
Значение неравенства (21) не исчерпывается тем, что с его
помощью получено обоснование метода Фурье. Оно позволяет
оценивать решения уравнений различных типов в метриках
WM(Q)> или непосредственно через свободный член (для
эллиптических уравнений), или через свободный член и
производные решения по времени (для гиперболических и
параболических уравнений), которые в свою очередь легко
оцениваются с помощью известного „интеграла энергии" или
соответствующего ему неравенства. Так, например, благодаря
этому неравенству получена полная система так называемых
положительных интегралов для гиперболического уравнения
и естественным образом охарактеризовано замыкание
эллиптических операторов.
§ 2. Нахождение обобщенного решения
Предположим, что коэффициенты а^ и а измеримы и
ограничены в 2. В однородном уравнении
возможно отделение переменной t от X — (xv ... хп), т. е.,
иначе говоря, уравнение (I') имеет решения вида и(Ху t)=a
= T(f)v(X). Найдем все такие решения. Для этого подста-

§ 2] НАХОЖДЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ 75
вим Tv в уравнение (1') и, разделив обе части полученного
равенства на Tv< получим
Т» _Lv
Т ~ v e
Обозначим это отношение, которое, очевидно, не зависит
от t и X, через — >Я Тогда
T^AzosU + BsmM,
Ьо = — \Ч.
Возьмем те значения параметра X, для которых частные
решения удовлетворяют тому же граничному условию, что и
решение рассматриваемой смешанной задачи, т. е. в нашем
случае v |g = 0. Это приводит к задаче отыскания всех
собственных значений и соответствующих им собственных
функций уравнения Lv = — X2v при условии v\s = Q.
Будем предполагать, как и в остальных главах, область Q
конечной и связной. В § 5 гл. I указаны основные
результаты, относящиеся к этой задаче. При перечисленных
условиях задача имеет счетное множество линейно независимых
обобщенных собственных функций, которые можно
перенумеровать так, чтобы соответствующие им собственные
числа располагались в порядке неубывания их модулей.
Именно, пусть vv i>2, ... суть все собственные функции,
а — А.2 ^> — А| ^ ... — соответствующие им собственные
числа. По определению k-я обобщенная собственная функция
удовлетворяет тождеству
D(vk, Ф)в. J[2e«^.g|. + e^]dQ = X|J^rfQ(8)
о о
при любой функции Ф из £)(2), и сама принадлежит D(Q).
Собственные функции будем считать нормированными и
попарно ортогональными, т. е.
I0(vk, vl)^fvkvldQ = b{. (9)
Кроме этого, из (8) и (9) следует, что
(7)
Z>(tfc«4) = 4#. (Ю)

76 МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. II
Система обобщенных собственных функций vv v9, ...
полна в L2(Q) и поэтому для любой функции о из L%(Q) ее
ряд Фурье по этой системе сходится в L2(Q) к самой
функции.
Нетрудно проверить, что сумма конечного числа частных
N
решений 2 (а8 cos \st-\-b8 sin \JSf)v8(X) при произвольных
8 = 1
коэффициентах а8 и Ь8 является обобщенным решением
смешанной задачи для уравнения (I7), соответствующим началь-
N К
ным функциям 9 = 2 asvs и Ф = 2 ^8^svs' Поэтому есте-
8=1 8=1
ственно ожидать, что при некоторых предположениях
относительно © и Ф РЯД
оо
и = 2 (а8 cos X8t-\~ Ь8 sin \8t) v8 (X), (11)
8 = 1
где а8 = \vv8dQ к bs = Y \ $vs^2 будет обобщенным
решением смешанной задачи для уравнения (Iх),
соответствующим начальным функциям
с» оо
<р = 2*л и Ф = 2^л-
8=1 8=1
Прежде чем переходить к формулировке таких критериев
построим формальное решение смешанной задачи для
неоднородного уравнения (1). Для этого функцию f(X, t)
разложим в ряд Фурье по собственным функциям
со
f(X, <)=2/.0К(*), (12)
8 = 1
где/3(/)= lf(X, f)vs(X)dQ, и найдем решение уравнения
2
имеющее вид v (X, f) = Ta (t) vs (X) и удовлетворяющее
условиям Г8(0) = ^(0) = 0.

§ 2] НАХОЖДЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ 77
Для определения Т8 и vs получим, как и выше, два
уравнения:
£*>= — *Ч и Г' + А2Г=/,
из которых находим, что X2 = А2 и
t
т*{t)=h J Л (т) sin '**('~х) Л- (13)
Уравнению (1), нулевому граничному условию и начальным
условиям (3) формально удовлетворяет сумма ряда
С
и(Х, t)=%[±ffeWsln\9(t—T)dz +
8 = 1 О
+ (ая cos V+ *. s^n У)] vs (X). (14)
Исследуем теперь, при каких условиях сумма ряда (14)
дает обобщенное решение задачи. Для этого введем
обозначение
2 v 2 Z=0 a^ ...az=0 1 Z
где лг0 = /.
Докажем, что имеет место следующая теорема
существования обобщенного решения.
Теорема 2. Если коэффициенты а^ и а измеримы и
о
ограничены в 2, ?££>(2), ^G^(2)> a /(-*> 0 €^2 (ft)»
то ряд (14) сходится в WW(Q, t) равномерно по /£[0,/J
и его сумма и (X, f) является в Qt обобщенным решением
смешанной задачи для уравнения (1) при условиях (3)
и (4). Рассматриваемая задача корректна, т. е. малому
изменению у, ty и f в норме тех пространств, которым
они принадлежат, соответствует и малое в норме
W<p(Qf t) изменение ршения. Точнее, при всех t из [0, /]
i"-^„.n<c^-^>
(2)
+
■м*—+1^00 н-1/—ле^»,» ]» (15>

16 . Ь1ЁТбД ФУРЬЕ [ГЛ. If
где их есть решение смешанной задачи для уравнения (1),
соответствующее данным функциям <pi> <К и Л> а
постоянная С зависит лишь от /, формы области Q и
коэффициентов а^ и а.
Заметим, что никаких предположений относительно
гладкости границы области не делается.
Доказательство. Прежде всего докажем, что при
сделанных предположениях ряд (14) сходится в W^(Q)
равномерно относительно ty т. е. для любого е > 0 найдется такое
iV(e), не зависящее от t, что \\upg(X, f)\] ,±) <е при
р^М(г) и q^pf где через upq обозначен отрезок ряда (14)
для s, изменяющегося от р до q. Дня этого рассмотрим
коэффициенты ряда (14):
со
*8 = £J4M2=£-, причем 2^= / VdQ,
S = l
Ts{f)===i J/.(t)slnXe(/-x)rfxeb
(О
Покажем, что ряд 2 7^(0 сходится равномерно относи-
тельно t и его сумма не превосходит / Г Z2^, t)dQ.
Действительно: $г
* t г
t(t)<f sin»X,(/—t) A J*/»(т) А </ //*(т) Л,
О 0 0
с»
т. е. ряд 2 Т*(0 мажорируется сходящимся числовым рядом
оо ?
2^ l/f (х)^т» сумма которого не превосходит / |/2Л?.
Возьмем, наконец, коэффициенты
' £>(?,*,s).

§ 2] нахождение Обобщенного решения 1§
Обозначим через а8 интеграл у-£)(ср, v8) и покажем, что
со
Vag<;D(cp, <р). Действительно:
8 = 1
JV N
0<Z>(cp_2«8-g-, <?-2«s^) = D(9)9)-
S = l 8=1
-»£*>(* £) + £<о(£. ■*)-/>(,. ,)-£*
8 . _
S=l 8 = 1 S=l
При этом мы использовали ортогональность собственных
функций в норме D [см. равенства (10)].1 Запишем ряд (14)
в виде
оо
МО
«(*, 4 = 2nj4w. ("О
s=l
где
*. (0 = Ь W + «в с°* V+ P. sin Xs Л
Из полученных оценок для as, ps и ^s следует, что
оо
ряд 2^в(0 мажорируется сходящимся числовым рядом
8 = 1
2 3 [' J" /2 (Х>Л + «2 + $П и сУмма
s=i о
его
с»
2^X0,(11/111^+ цср»^ + \\whW)- (i6)
2 (2)
Отсюда и в силу ортогональности v8 в норме D следует
сходимость ряда (14') в норме D равномерно по ££[0, /]:
Д («ОТ apq) = 2 8* (0 < 8 ПРИ Р > ^ (е)> ? > Р-
8=J0
1 Очевидно, величина УО (z/, t>) может быть рассмотрена как
новая норма для функции v£D(Q), а интеграл D(v, <p) — как
скалярное произведение функций v и «р, принадлежащих £) (й).

80 метод фурьё [гл. И
о
Но для любой функции v из D(Q) имеет место неравенство
[ti2ffi<i-DK v), л?>0
(вследствие определения первого характеристического числа).
Кроме того, из (2) следует:
.(£&)•"<>*•>.
2 i = l
о
поэтому для любой v из £)(&)
^2(2) а Л J
о
Функция upq принадлежит D(Q) и потому
IIMW) <C*D(upv S«)<C2e ПРИ P>N(*)> 4>P>
2 (2)
т. е. ряд (14) сходится в норме w£\Q) равномерно
относительно /£[0, /j. Отсюда следует, что сумма ряда, во-первых,
есть элемент 1#а (2)> непрерывно зависящий от /, и, во-вто-
о
рых, принадлежит D(Q) при всех t из [0, /], так как каж-
о
дый член его входит в D (Q). Аналогичные рассуждения
показывают, что ряд (14), продифференцированный почленно
один раз по t, сходится в L2(Q) равномерно относительно
*6 [0> Л> и потому -Т7- есть элемент L2(2), непрерывно
зависящий от t. Тем более можно утверждать, что сумма ряда (14)
о
принадлежит D1 (Qj).г Что касается выполнения начальных
условий, то мы получаем, даже больше того, что требуется
1 Действительно, каждый из членов ряда (14) принадлежит»
очевидно, D1 (Qi); то же можно сказать и про сумму конечного
числа членов ряда. Ряд же (14) сходится в W^(&) равномерно по
t £ [0, /J и потому, тем более, он сходится в W$p (Qz). Сумма его
о о
будет входить в Dj (Qi) в силу замкнутости D1 (Q{) в норме
1^ ((?,).

§ 2] НАХОЖДЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ 81
от обобщенного решения, именно:
\\и(Х, А0-?(А)||^)(я)<Ии(^ Щ — и(Х, 0)||^w +
+ \\u(Xf0)-9(X)\\w<ihQr\\-u(X,At)-u(X,0nwa4a)^0,
и аналогично:
ди{Х,М) II ^ || да (X, At) ди(Х,0)\\ .
при A/-*0.
Проверим теперь, что сумма ряда (14) удовлетворяет
интегральному тождеству (5). Обозначим через ир (X, f) сумму
Н = 2 \Ts(t) + e8 (t)] v8(X),
где коэффициенты T8(t) определены равенствами (13), а
e8{t) = a8co$\8t-\-b8sm\st. Функции T8(t) имеют для почти
всех* из [0, /] вторую производную по t, равную —^tT8-\-fs
и суммируемую по отрезку [0, /] со второй степенью.
Поэтому функция ир имеет обобщенные производные по t до
второго порядка, суммируемые по Qt со второй степенью.
Составим интеграл
диР дФ Y1 дир дФ
_ ^ уу и ^ _^_j ^ и
Г I
dQ
г I ikjuV дФ \Л OUp 04? \
1 J т |*=о
S
о
для какой-нибудь функции Ф из D2(Qt) и проинтегрируем
по частям первый член, перенося производную по t с Ф на ир:
'р = j {tt И т° -f*+&J *°ф-
-<VK>(i«.S£,H-y»)]+/*}«e +
8 = 1
6 3ax. 363. О. Ладыженская.

8$ мйтдд фу^ьё {гл. п
Воспользуемся теперь тождеством (8), которому удовлетворяют
функции vs. Тогда
V
р р
^(/-2/.^)ф^+/(*-2^л)*л.
Q, 8 = 1 Q 8 = 1
<^[m\tVl0+MU<m+mitw]-
Переходя в этом равенстве к пределу, мы и докажем,
что сумма ряда (14) удовлетворяет тождеству (5). Таким
образом, установлено, что сумма ряда (14) есть обобщенное
решение задачи. Кроме того, выше доказано, что ряд (14)
сходится в норме W$\Q9 t) равномерно относительно t и,
как нетрудно видеть,
Отсюда и из линейности задачи следует неравенство (15) или,
иначе говоря, корректность рассматриваемой задачи.
Из вышеизложенного легко видеть, что решение
однородного уравнения (I7) представимо рядом
оо
« = ]£ («. V+*. sin V) % (X), (17)
в = 1
который сходится в норме W$ (Q, t) равномерно относительно t
из (— оо, оо) и при любом t обладает теми же
дифференциальными свойствами, которыми оно обладало (в силу усло-
вий теоремы) при *=0, т. е. a£D(Q) n -^r£L2(Q). Кроме
того, решение обладает устойчивостью в норме W$\Q,f) на
всей оси — оо < t < оо, причем интеграл
'«—о-ЯР^+Ё-'-ц
•щ)д(и — щ)
bxt дхл '
i,j=i 3
сохраняет постоянное во времени значение, равное
S tf [(а, —«„)• + (*.-*u)"l.
8 = 1

§ 3] бСЙОВНАЯ ВСПбМбГАТЁЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 83
где через их обозначено решение уравнения (Iх),
соответствующее начальным функциям
оо оо
91 = 2^^ и <К = 2*Ал-
8=1 Ь=1
Аналогично тому, как мы установили сходимость ряда (14)
в норме W^ (Q, f), можно исследовать, при каких условиях
ряд (14), продифференцированный k раз по t, сходится
в норме Wl! (Q, t). Однако нам желательно получить условия,
при которых ряд (14) сходится в норме 117^(Q, *), или, иначе
говоря, когда ряд (14), продифференцированный почленно k
раз по xi и t, сходится в L%(Q). На таком пути мы
получим как решение почти всюду (при к = 2), так и
классическое решение (при k = -j I + 3j. Исследование сходимости
ряда (14) в норме W^(2, f) при &;>2 осложняется тем, что
члены продифференцированного по xi ряда (14) перестают
быть попарно ортогональными. Для решения этого вопроса мы
докажем одну лемму, имеющую для нас первостепенное
значение.
§ 3. Основная вспомогательная теорема
Предположим, что коэффициенты а^ и а оператора
п
имеют в Q непрерывные производные по хг, ..., хп до
порядков т — 1 и т —2 включительно, ограниченные по
модулю постоянной Лт (относительно т предполагаем лишь, что
оно не меньше двух). Граничную поверхность S считаем
непрерывно дифференцируемой т раз.
Введем следующие обозначения:
Ih(a, v) = J a,A ... аШкН д д ■ д ...дх<®, *>L
а "1 "к h Pfc
Ф* («,«)- §a'A---a'H-1h-idNdxadk"dx. X
X я д*~? *S* *>2,
б*

84 метод фурьё [гл. и
где -^r = aapCos(n, х$)-^г> а п — внешняя нормаль к
поверхности S. Здесь и в дальнейшем мы используем
тензорную запись суммирования, считая, что av ..., ак, рх, ..., $к
пробегают независимо друг от друга все значения от
единицы до п.
Далее положим
2
*fc («) = % («» «)• *i («, *) = J Ж * dS.
s
Суммы, стоящие под знаком интеграла в Ik(u, v) и Фк(и, v),
инвариантны относительно как параллельного переноса осей
координат (что очевидно), так и ортогональных
преобразований. Т. е. если xv ..., хп связаны с координатами yv .. .,уп
равенствами
*i = ^yj + eif l> J =* 1» • • • > л»
где (Х^) — ортогональная матрица, и в связи с этим
д ( ди\_ д Л да \
дх4 Г* ^ / ~ дЛ V ^ ду, У'
где Ьу = аа$КгЪм> то
<W • • • <V*ajca ...а*. " алг3 ...дхо =
ai afc Pi h
1*i ■•' -Vtd^...d^ dyPi...d>Pft
и аналогично для ФЛ(я, г>).
Покажем, что имеет место неравенство
9 3^ = 1 pl Pft
причем Л^ и Лк зависят лишь от а^ a Ak > 0.

§ 3] ОСНОВНАЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 85
Действительно, в любой точке X=(xv ..., хп) £ Q
подинтегральное выражение в 1к(и) может быть
преобразовано к виду
п
А^---Пн{дх<..дх<)>
1 h
если в этой точке направления новых осей x'v ..., х'п
определить так:
Xi = CijXj9 aa$CaiC$j = \1>${.
Матрицу (с^) берем ортогональной, и потому \lv ..., рп суть
собственные числа матрицы (а^). В силу условий (2) ^^>«,
а так как модули \ау\ ограничены, то ^ меньше некоторого
числа а'. Поэтому
ah 2 L; дка.дх; )' < S w, • • • ^(<ц^)'<
в любой точке X£Q. Если теперь заметить, что сумма
V ( д"а V
инвариантна относительно ортогональных преобразований
переменных x'v ..., х'п, то из последнего неравенства
непосредственно получается (18).
Введем весьма полезное нам в дальнейшем понятие k-жви-
валентности (k^m). Именно, два выражения, содержащих
произвольные функции и и v, ^-эквивалентны между собою,
если их разность по модулю не превосходит
fc-i ft-i
8=0 «=0
при любом s из интервала (0,1]. Постоянные С и С могут
зависеть от ®(yv ..., уп-г), их производных до порядка k

86 МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. II
и от ЛЛ, * но не должны зависеть от и и v. ft-эквивалент-
ность выражений будет указываться знаком „яхи. Легко
к
видеть, что свойство ^-эквивалентности транзитивно.
Приведем пример выражения, ^-эквивалентного нулю.
Интеграл
f дг , ч дри д<Ь лг,
J дхч Ьхч ^Vi' • • •» SV йг, ...d*. " длг„ ... дх% №»
При Г+1, /?, ^г+1<*»
ft — эквивалентен нулю. Действительно, его можно оценить
нужным образом с помощью алгебраического неравенства
дри Ь%
д\ • • • й*8 ^ ... ддгч
<*(дх*."дхь) +
, 1 / № \2
+ е U* ...дхъ ) '
•'1
справедливого для любого © > 0. В § 7 гл. I (лемма 3) дан
другой пример выражения /«-эквивалентного нулю,
используемый нами в дальнейшем.
Заменяя знак равенства знаком эквивалентности, мы
сможем обращаться с коэффициентами ау и а при всех ниже-
проводимых преобразованиях так, как если бы они были
постоянными.
Проинтегрируем по частям Ik (a, v) (£>>2):
4 («, v) = - J * (S, ... яаЛ a **% ) X
2 Р* а1 V
И1 *k-l <*> Q
x дха ...а*. дхв • a*3 ...а*, <*й + ф*(*> «)•
1 Аъ есть максимум модулей функций ^иви их производных
до порядков & — 1 и &т-2, соответственно, в области &

§ 3] ОСНОВНАЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 87
Первый член снова проинтегрируем по частям, перенося
производную -^ с первого множителя на второй:
4(м, v)fi&Ih_i(La9 1*) + ФА(а, v) — Ф*_г(*>, La).
Продолжая указанную переброску производных с одного
множителя на другой, получим:
I2r{vy v)ttI0(Lrv, Lrv) + %r{<o, v) — Ф^-Л*, 1*0+
(2r)
+ *2г-2 (**. ^) — . . . + Ф2 (//-У /Г1*) — Фх (Г~У 14
при ft = 2r,
4r+iK «) « А(^Ч L^) + *2r+l(^ *) —*8r(*> ^) +
(2Г+1)
+ ... +Фв(Г~Ч Г^) —Ф2(Г~Ч Lr*), при ft = 2r + l,
где
Lrv=*L(Lr-lv), r = 2, 3, .,.
Эти соотношения запишем короче так:
(2r) \ (19)
/2r+1(tf, 9) » A(L4 I^ + V^^tF). J
(2r+l) J
При выводе первого соотношения мы предполагали, что
v{X) имеет в 2 производные до 2r-f-l-ro порядка, при
выводе второго—лроизводные 2г-|-2-го порядка. Однако
соотношения (19) представляют собою, по определению,
неравенства, в обе части которых входят в первом случае
производные от v(X) порядка не выше 2г, а во втором — не
выше 2r-j-l> причем постоянные, входящие в эти
неравенства, не зависят от функции v(X). Поэтому первое
соотношение (19) справедливо для функций, непрерывно
дифференцируемых в Q до порядка 2г, а второе — до 2г+1-го
порядка. Действительно, если v(X) имеет непрерывные
производные до 2г-го порядка, то ее вместе с производными до
2г-го порядка можно равномерно на 2 аппроксимировать

88 МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. II
функциями v& (X), 5 = 1, 2, ».., имеющими в Q
непрерывные производные всех порядков. * Для функций v^
справедливо первое соотношение (19); переходя в нем (или, лучше
сказать, в соответствующем ему неравенстве) к пределу по
s—*oo, мы и докажем первое из соотношений (19) для
функций v{X)i непрерывно дифференцируемых 2г раз.
Аналогично, второе из соотношений (19) справедливо для любой
функции v(X), непрерывно дифференцируемой 2r-f-1 раз.
Докажем теперь следующую лемму:
_Лемма /. Пусть функции *о{Х) имеют непрерывные
в Q производные по х1У ..., хп до т-то порядка и на
границе области удовлетворяют условиям
v\s = Lv\s=....=Ll 2 Jtf|s===o.
Коэффициенты а^ и а эллиптического оператора L
считаем непрерывно дифференцируемыми в Q до порядков
т — 1 и т — 2, соответственно, а границу S области S —
непрерывно дифференцируемой т раз.
При этих условиях
Wk(v)tt$ для 2<£</гс (20)
и
Ъг(*)^2,Ш<С1[КГо('о) + К^Ч*)] при m = 2r, I
8=:0 У (Л)
#ar+i W< ft [tf ДО+ <(*)] при ю = 2г+1, |
где
г г
*J(t>) = 2 /о (1М>); Kri (v) = So А ЦМ>).*
Доказательство. Покажем сначала, как из (20)
можно получить (21). Из соотношений (19) и (20) следует
/2Д*)</о(^)+Се/2г(*0+-гЯ2-1^)' 2г<т'
1 Граничные функции <о (yif ..., yn-i) предполагаются при этом
2г раз непрерывно дифференцируемыми.
2 Лемма справедлива и для несамосопряженного оператора L>
причем знак а(х) может быть произвольным.

§ 3] ОСНОВНАЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 89
Возьмем 8==^;, тогда из этого неравенства, перенеся
-Tyl^ri*0) налево, получим:
I2r(v)<2I0(Lrv) + AC^H2r^{v% 2r</n. (22)
"Для нечетных же индексов у Ik(v) будем иметь:
/*«(*) ^А^ + ^ЯвЛ*), 2г + 1<». (23)
К неравенствам (22) и (23) присоединим следующие:
/0(*)<2/0(«), А^хгл^).
Путем сложения этих неравенств найдем:
8=0 8=0
8=0 8=0
или, что то же,
H2r (v) < 2К"0 (v) -Ь 2ЯГ1 («) + С2Яаг_1 (t>),
#2г+1 («X 2*£ (v) + 2KI (*) + С2Я2Лг>).
Из этих же рекуррентных неравенств очевидным образом
следуют неравенства (21), если заметить, что
*о(<о<кг+1(*о и к?(*к*;+1(*).
Переходим теперь к доказательству соотношений (20).
Для этого покажем, что Wk(v), k^m, может быть
преобразовано за счет контурных условий на v {X) к контурному
интегралу от выражения, содержащего производные v не
выше k—1-го порядка. Обозначим
Пусть yl9..., yn — какая-либо местная декартова система
координат в точке М поверхности 5 (уп—направлена по

90 МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. П
внешней нормали к поверхности S), связанная с
координатами хи ..., хп некоторой ортогональной матрицей (Х^):
•*< = *<Л + е<- Тогда
Liv "" b4 d^dy'j' где b*i = а*?Х*<ХЫ>
to-TJLfa*-)-*, ft-о,
причем \у рассматриваются как постоянные числа. Введем
ряд новых сокращенных обозначений:
M^Jkatepb&L, e-i,..., п,
п-1
Заметим, что
«2 = 0, /, в —1, ..., п\ cin = cni = 0, /—1, ..., п.
Кроме этого, в точке М поверхности 5 определим
следующие операции:
dv dv , ч , dv d*v . . d*v
Ж^^-щcos ("• *$ - *•* 757 • "w=*•«*•* ^7^7'
Проверим справедливость „алгебраических" равенств:
1 d*v
■5m = Ls^ (24)
*„„ dNdtf. - Ьпп Lx°-rL2 "° — Zl С*« ду{ дуп' (2 >
*~i

§ 3] ОСНОВНАЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 91
Действительно:
d2v V*a a d2v i A2 d^a.oA Y/> d2v e=
n-1
= 2^ (binbjn—bnrfiij) ду;ду4 ^
+ bnnL\Q s=s
Далее,
^
_ A A ^ _L V A A ^
dNdNa ~ "nnUn* dv* ^ ;* d^« ^
n-1 n-1
4=1 г=1
n~l n—1
n-1 n-1
n-1
+d»« 2 *«» w» ^ ^^+
*=i
n-1
+Kr№v - 2 (*«•**< - *»»*«.) ^l^ •
i=l
Наконец,
n n-l; n n-l
Li^~ 2r^dy*dyM + -J °4 dyidyj~WdyZ*T 2ddNmdym
i=l 4,^=1 «=1
Введем еще одно сокращенное обозначение:
f/, а Э*и
J SV• -ЧЬЧ+А+Г *"Ч-Л-i diveyv..ajr.jfc_i x

92 МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. II
Индексы у ф(*) могут быть лишь целыми положительными
числами. Подинтегральная сумма в ф(^-1) инвариантна
относительно преобразований местной системы координат. г
Докажем теперь следующее соотношение:
(к)
(27)
для любых k раз непрерывно дифференцируемых в Q
функций и и v.
Для этого достаточно проверить, что в каждой точке
поверхности имеет место „алгебраическое" тождество
п
d2u dv
2*.
dNdy* dyp
/г I т \ dv V! д2и dv /оол
=(V+V)w - 1 с^жш'щ- (28)
а, 3 = 1
Докажем это тождество.
п п-\
VI . д*и dv д*и dv , VI д2и dv
2u °*t dNdya"dy^~W2"dy^^ 2и'дЫдЫ^"Щ'
л, р=1 8 = 1
Используя формулы (24) и (25), получим:
п п—1
d2u dv /r . . N / dv \lt dv
2 ^-^••£=^M+v)(^r-S^|r) +
a, 8 = 1 K 3=1 p
Q — -I « — 1 ^
cc=l
w-1 n-1
n-l n-1
<x,3 = l K 8 = 1 p
\. Мы везде берем только ортогональные системы координат
У1'--->Уп-

$ 3] Основная всгЮмогатёльная теорема 33
П-1 П-1 П — 1
_1_ и V г (Р> ^ V ( д2а V л _^и_\ dt>
0 = 1 р «,р = 1 Y = l
п-1
т dv VI д2и dv , р
а, р = 1 к
I
где через # обозначена сумма всех оставшихся членов:
П-1
с„А
д*я до
«. Р> t=i
п-1 п-1
V»?75^:' -ж- -г ^ с«т*«» дУа д • д •
Подставим сюда значения коэффициентов с®]:
п-1
^ ~ «L ~b— K*«»*N — ba$bnn) Ьлп — {ЬшЬ^п — К^пп) X
п-1
Отсюда видим, что # = 0, ибо а и т перестановочны
в обеих суммах. Таким образом, тождество (28) доказано. Из
него следует соотношение (27), именно:
С дка dfc-iz/
s
X ду ...ду* h*«iPi- • -b*k-2tk-2(b*k-ih-i+c*k-iH-i)X

ы
X
№тдД ФЗФЬЁ
дка д*-1 v
[ГЛ. tt
irl
— Ф^1(а, <p) + **-i (<fl, Lu + L^u)
dS<,
(к)
(к)
При этом был отброшен интеграл (см. лемму Зэ § 7, гл. I)
(Э ■*■ /С 1 Л 1
^«г- ^«ft-2
ЯЙ-2
\ C*fr-1 Pft-1
#«
дУ'к-гдУН-1
У*!'" У*к-2
Ь
дк-Ч
dS^O.
ldNdyh...dyh_2 (£
Установим еще одно соотношение:
(ft)
(29)
(ft) g
d*"1*
s
*dJVdjfPl...ajrPjk_.
X
dku
dS:
9уч...ду^ дуаду9 ъ
a*-1»
(ft)
X
X ca\
*y,
J дл ^*A'' 'b"K-fo-2dNdyB ...dy.
S Pl Р*-2
^_3^_fVl...VA.,x
"ft-2
dfc»
d*-1»
ал^... dyh_dy9c'» дуЯл ...дУлъл дУл
dS.
vl ' vh-i ' v "l ' "ft-2
Если мы покажем теперь, что система п — 1 величин
Р — h a dk~lv д"~1а
г, - *«,*, ... *Wft_s Шду^ _ _ _ ду^ сл9 ^ _ t ^ ^ д^

§ 3] ОСНОВНАЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 95
может быть рассмотрена как вектор на поверхности S, to
на основании лемм 1 и 3, § 7, гл. I первый интеграл будет
^-эквивалентен нулю, и тем самым утверждение (29) будет
доказано.
Итак, выведем закон преобразования системы величин
(Рг, ..., Ря_х) при замене местных координат yv ..., уп
на местные координаты y'v ..., уп.
Пусть ^ = [1^.. Матрица (|i^)— ортогональная, причем,
вследствие уп=/я, ^ = ^ = 0 для / Ф п и ^„ = 1.
Вспомним, что Ь^ = аа^кл^к^, где xi — е{ = к^г В новой
системе координат y'v ..., у'п
г/ _ */ «,' дк~гу , дк^1и
Ъ-'«л • • • Ч-a-,wdy>h...d/h_2Uау;...ау;_2а,;'
где 6«р = Ящ^Дс^р, *< — *< = v^., и, следовательно,
^-v«i(■*< — *<)• ПоэтомУ Х = ^ЛЛ===^Л> где ^a^VV
Найдем связь между величинами Ь<% и #ар. Благодаря
ортогональности матрицы (ку) а^ = ^вЦ^р 8, и потому
Причем ftan = *Y^aY И Ьпп — ЬПп-
Далее
причем
<k =»£.'=» О, 1<а<п.
<m Wa ' ^ ^*
Наконец,
л л п
ди Г1,/ ди V/i ^и V л ди да
a=l ^a a, 1,8 = 1 8=1 Q

96 метод ф*рьё [гл. и
Из всего этого следует, что
як—1
р; = *тА ... V2Wt^viWA•'' W» длгдЛ ...ал— х
6fc-2
-ч
дк~*и
_. . а*-1!/ а*"Ч
— Sei • • • 4-2efc-2^8lx^ алгдл ... ал " дУъ... аз> ау.'
т. е. Яр = ^3Р8, причем t8, 8 = 1,..., п — 1, ибо свл = *„,™
an wa *
Итак, мы доказали, что система величин (Pv ..., Рп_г)
преобразуется так же, как вектор, заданный на поверхности,
а отсюда, как было сказано уже выше, следует (29).
Из (27) и (29) вытекает соотношение
Фк («, v)» Ф^ (*, La) - Ф<£ х (к, *) - Ф^ (*, и) . (30)
("7
Возвратимся теперь к интересующему нас выражению Wk (v).
Объединим попарно входящие в него рядом стоящие
интегралы и заменим их разности, исходя из формулы (30),
эквивалентными им выражениями. Таким образом, получим:
при k = 2r
W2r(v)«-2Ф2Ц (*)-2ф£1, (Щ-... -2Ф11} (If'1*);
(2Г)
при k = 2г -{- 1
чг^хИ»- гФ^^-гФЙ?.,^)- ... -2фР>(Г-Ч
(2г+1)
[(31)
Соотношения (27), (29) и (30) могут быть рассмотрены
как рекуррентные формулы, позволяющие снижать нижний
индекс у Ф*(т>). Так как в выражения (31) входят Ф^(и, v)
лишь от одинаковых аргументов, то мы постараемся получить
из (30) рекуррентную формулу для Ф$ (г>, v), в правую часть
которой входили бы Фу также лишь от одинаковых
аргументов.

§ 3] ОСНОВНАЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 97
Пусть Z,~j-Z,2 = £4. Как нетрудно видеть, соотношение (27)
справедливо не только для Ф&(#, v)9 но и для Ф&-8(и, v),
поэтому
(Л) (Л)
— Ф(^2(г>, L4z>) — ф£12(о, £4^) + Ф(*18К *)•
Но благодаря (27):
ф£1, (г/, £4г>) « Ф^1 (v, v) + Ф(*212 (v, v\
(к)
и, следовательно,
% (*) « Ф^-2 (V) — 2ФЙ-1 (*) - Ф#.» (*),
(32)
если только k > 2. Формулы (32) и (27), как уже отмечалось
выше, справедливы не только для Ф&(?>)> но и Для Ф?-в(*0«
Пользуясь ими, мы снизим в правых частях соотношений (31)
нижний индекс до единицы, в результате чего 4^(1/) будет
/^-эквивалентно конечной сумме членов вида
QfitfiS) и ф?-*'№Ч ьГ'ьН (зз)
причем 2p-\-2q-\-s = k—1, так как во все подинтеграль-
ные выражения входят произведения производной от v не
выше &-го порядка на производную v не выше k — 1-го
порядка. Те же интегралы, которые не содержат
производных v &-го порядка, ^-эквивалентны нулю на основании
леммы 3, § 7, гл. I, и мы их не рассматриваем. Кроме того,
следует заметить (и это весьма существенно!), что во всех
членах (33) верхний индекс у Ф^ больше или равен единице,
так как уже во всех членах Wk(v) в (31) верхний индекс
равен единице, а при дальнейших преобразованиях он может
лишь увеличиться. Порядок операций над v, входящих в под-
интегральные выражения (33), не играет роли, т. е. изменение
его дает /^-эквивалентные члены. Интегралы (33), в свою
очередь, суть суммы членов вида
Ф18)(^Ч ^Ч), (34)
в которых 5>-1, 2r-\-2t-\^s = k— 1, 2r1-\~2t1-\-s = k— Г,
или 2r-\-2t-)rs = k — 2, 2r1 + 2/1 + s = £.
7 Зак. 363. О. Ладыженская.

98 МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. II
Итак, нам осталось доказать ft-эквивалентность нулю членов
вида (34), или, что то же, членов вида
д8+1(1г21*у) d8(L^v)
J *«А • • • c*S*dNdy^...dy^ dyh...dy^dS>
I
которые, очевидно, ^-эквивалентны (34).
В тех членах, у которых
2r + 2/+s+1=£ — I» a 2^ + 2^ + 5= ft,
мы можем снизить производную у второго сомножителя бла-
t
годаря лемме 2, § 7, гл. I, ибо по условию 11г;|5 = 0 (за-
t
метим, что 2^<;ft—1) и от этой функции Llv вычисляются
производные лишь по касательным координатам yv . .., уп_1
(оператор Ц, содержит производные лишь по уи ..., уп„г).
Таким образом, в эти члены под знак контурного интеграла
фактически будут входить производные v не выше k — 1-го
порядка, а такие интегралы по лемме 3, § 7, гл. I ft-экви-
валентны нулю.
В тех членах, у которых
ZrJ^lt+s + l^k, a 2r1 + 2^1 + 5 = ft—1,
мы „перебросим" с помощью леммы 1, § 7, гл. I одну
касательную производную -^— (такая есть, ибо s^ll) с первого
множителя на второй, а затем у второго множителя снизим
производную до ft — 1-го порядка так, как это было сделано
выше, именно:
j
d'jltfv) d\l%L%) |
• C«A dNdyH ... дЛ,_х ' dyh ... dyj*"*
s
~ J dNdy4...dy.e_l ' ду78[С°Л ' ' ' С'АдУ?1 - • дУ?е\ ^

§ 3] ОСНОВНАЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 99
Второй интеграл правой части допускает снижение
производной у v до k — 1-го порядка (он подходит под
разобранный выше случай), и потому ^-эквивалентен нулю.
Первый же интеграл эквивалентен нулю благодаря леммам 1 и 3,
§ 7, гл. I, ибо совокупность величин
Р - д*(1г21*у) d8(I%L%)
и*8 - С«А • • • *А дМду^ ... дуи_г # dyA...dyh'
преобразуется как вектор при замене одной местной системы
координат на другую. Проверка последнего утверждения
проводится так же, как и выше для величин (Р19 ..., Pn-1),
и мы ее делать не будем.
Итак, наше утверждение, что
**(*)« О,
<*)
доказано для любого 2 <[ k <; т.
Мы не подчеркивали каждый раз, когда писали знак
^-эквивалентности, какие производные при этом от atj, а и ш
оцениваются по модулю. Восполним теперь этот пробел.
Производные от <a(yv . .., уп_г) войдут не выше &-го
порядка, ибо производные со выше второго порядка появляются
d*(L*v)
лишь тогда, когда производная г—^—^— по касательным
координатам заменяется на основании леммы 2, § 7, гл. I
производными более низкого порядка, так что а> будет
дифференцироваться не более s раз; но s^k. От a (X)
участвуют производные порядка не выше k — 2. Действительно,
эта функция появляется лишь в операторе Lv. Но Lv
содержит вторые производные от v и потому от Lv могут
браться производные порядка не выше k — 2. Отсюда
следует, что от a (X) берутся производные не выше k — 2-го
порядка, а от а^—k—1-го порядка. Итак лемма 1
доказана.
Наряду с нею имеет место и такая лемма:
Лемма Г'. Утверждения леммы 1 остаются
справедливыми, если указанные в ней контурные условия для v
7*

100 МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. II
заменить следующими:
rw-2]
\ ал^ + *"- *7s '
где /e(Arlf..., д:п) есть функция, имеющая непрерывные
производные в окрестности контура S до порядка т — 1
(функция h может быть задана только на контуре S).
При доказательстве леммы 1 контурные условия на v были
использованы нами лишь в самом конце для доказательства
того, что выражения вида (34) й-эквивалентны нулю, т. е. что
Ф(в) (LrL*v9 LrHfiv) да 0, 2 < k < i», s > 1.
12 2 (к)
При новых контурных условиях на v мы докажем это
следующим образом:
a) если производную v й-ro порядка содержит первый
множитель в интеграле (34), т. е. если 2r-f-2/-|-s+l =ft,
а 2/*! -{-2tl-\-s = k— 1 (s>-l), то первый множитель
допускает понижение порядка производной у v благодаря тому,
что от функции Uv берутся производные лишь по касатель-
д
ным координатам yv..., уп_г и один раз производная -та-
(см. лемму 2', § 7, гл. I применительно к функции u^Uv,
причем 2t^.k:—2). Итак, (34) может быть преобразован
к интегралу, содержащему произведения двух производных
от v порядков не выше k — 1, а на основании леммы 3,
§ 7, гл. I такой интеграл ft-эквивалеитен нулю.
b) Если k-ю производную от v содержит второй
множитель в интеграле (34), то мы сначала „перебросим" одну
касательную производную со второго множителя на первый
с помощью леммы 1, § 7, гл. I, а затем поступим так же,
как в пункте (а), причем на этот раз лемму 21 надо
применить к функции u — Uv при 2t^k — 3.
Таким образом видно, что доказательство леммы 1' весьма
мало отличается от доказательства леммы 1.
В Дополнении мы намечаем другой путь доказательства
лемм 1 и 1', не Опирающийся на интегрирование по частям
по криволинейной поверхности.

§ 4J
ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ
101
§ 4. Обоснование метода Фурье
Возвратимся теперь к поставленной в начале этой главы
смешанной задаче для однородного уравнения -—= /,и (V)
и к ряду (11), формально дающему решение этой задачи.
Предположим, что коэффициенты afj(X) уравнения (I7) имеют
непрерывные в 2 = Q у ,S производные по xv .. , хп до
порядка k — 1 (&;>2), а коэффициент а(Х) — до порядка k—2.
Функции о (уг,..., ^w-i)> задающие уравнения
поверхности S в местных координатах, считаем непрерывно
дифференцируемыми до порядка k. Кроме того, пусть собственные
функции v8 (X) оператора L при граничном условии v8 \s = 0
имеют в 2 непрерывные производные по xv ..., хп до fe-ro
порядка.*
При перечисленных условиях имеет место следующая
Теорема 3. Для того чтобы ряд Фурье
со
и = 2 (а8 cos К* 4~ *ssin К*) v8 (■*)> (35)
8 = 1
в котором
• as= Ц ?*. dQ, *s = -^ / К rf2, (36)
2 2
и ряды, полученные его почленным дифференцированием
по xv..., хп и t до k раз включительно, сходились
в L2(2) равномерно относительно t£(—оо, оо),
необходимо и достаточно, чтобы <?(X)£Wik)(Q), $(Х)£ W?~l)(Q)
и функции ср, Lo,..., LL 2 J9, ф> М*> • • •» ^ 2 Ф принад-
о
лежали классу D (2).
£^лм Ф и ф удовлетворяют этим условиям, то (при
k^2) сумма ряда (35) является решением почти всюду
рассматриваемой здесь смешанной задачи.
1 Достаточные для этого условия указаны в § 5 гл. I (см.
теорему 18). Требование непрерывности производных собственных
функций в Q вызвано лишь желанием применить к ним лемму I
(§ 3), именно, неравенства (21). Было бы весьма желательно
ослабить это ограничение, заменив его условием, что v £ W<^ (&).

102 МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. II
Если & = ~ -j- 1 ~f- /я и т >^0, то ряд (35) и ряды,
полученные его почленным дифференцированием по хг,..., хп
и t до т раз включительно, сходятся равномерно
относительно X£Q и t£(—со, оо), и при т^2 сумма
ряда (35) есть классическое решение смешанной задачи.
Докажем необходимость ограничений, наложенных на ср
и 6. Пусть ряд (35) сходится в норме wf\Q, t) равномерно
относительно t£(—оо, оо). Тогда сумма ряда (35) и (X, t)
Ьти
и ее производные -^«Г, /я=»1,..., k суть элементы
пространств W^~m) (Q, t), непрерывно зависящие от t. Кроме
дти °
того, -=г— для /гс = 0, 1,..., k — 1 суть элементы D (Q),
ибо каждый член ряда (35) и его (члена) производные по t
о
до k — 1-го порядка являются элементами D(Q) и ряды для
-^Г, т = 0, 1,..., k— 1, сходятся в норме W$*(Q). Далее,
для суммы ряда справедливы при всех t почти всюду на 2
равенства
так как эти равенства справедливы для любой конечной суммы
членов ряда (35) и ряды, соответствующие левым и правым
частям этих равенств, сходятся во всяком случае в L2(Q)
Г—1
равномерно по L Из сказанного следует, что и, Lu,..., Ll 2 Jw,
£, L$f), . . ..^-^принадлежат Д(2)и« 6 ^ (2).
-~ £ W$~x) (Q) при всех t и, в частности, при /=0. Таким
образом, необходимость этих условий на <р и <]/ при £=0
доказана.
Покажем теперь, что если ряд (35) сходится в Щ (О, f)
равномерно по t£(—оо, со), то его сумма будет решением
почти всюду рассматриваемой нами смешанной задачи. Дей-
т

§ 4]
ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ
103
ствительно, уравнению -^- = 1й сумма ряда удовлетворяет
(как мы только что указали) при всех t почти всюду на Q.
Выполнение же граничного и начальных условий в том смысле,
как это требуется для решения почти всюду, мы установили
в § 2 настоящей главы, исходя лишь из того, что ряд (35)
сходится в Wi (2, f) равномерно относительно L Если
ряд (35) будет сходиться в Wf\Q,t\ & = Г^Л ~|-1-|-m,
равномерно по t, то по теореме вложения 10 ряд (35) и
ряды, полученные его почленным дифференцированием по xi
и t до тп раз (включительно), будут сходиться равномерно
по Х£ S и t£ (— оо, оо). При ш^>2 сумма ряда будет дважды
непрерывно дифференцируемой функцией в 2 X (— о°> °°) и
потому будет классическим решением поставленной
смешанной задачи.
Переходим теперь к доказательству достаточности, т. е.
пусть о и <Ь удовлетворяют условиям, сформулированным
в теореме, докажем, что в этом случае ряд (35) сходится
в норме 1^2^(2, t) равномерно относительно L
Установим сначала быстроту убывания коэффициентов а8
и Ь8 ряда (35) при возрастании номера 5.
Пусть k = 2г, тогда
я*= Ир*в<ЯЭ = — -тт \?LvadQ^ — -L L<?'VsdQ =
dQ
X2/ J
Z/cp • v8dQ,
причем все контурные интегралы, выделившиеся при
интегрировании по частям, пропали благодаря тому, что
v8, ср, 1<р,..., /,г~\р £ D (Q) (см. теорему 15, § 4, гл. I).
Обозначим
J°° /2
Lro . v8 dQ = otg. Ряд 2 as cxo
s=l
дится, так как <х8 суть коэффициенты Фурье по системе {v8}

104 МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. II
квадратично суммируемой по 2 функции (— 1)г£г? и потому
Далее, интегрированием по частям получим:
S 2 s 2 «2
(- i)r+1 IV v ^r-1+ *»■
X2r+1
8 9 <,J = 1
.КЕ^-^+^М'2'
Обозначим
D(v, «)= j(j± а^^ + а^-ОМ,
a
D((-irir->,^)=p;
VI л/2
Покажем, что ряд 2j P« сходится. Для этого преобразуем
8=1
заведомо неотрицательную величину
N
о <d((-1)^-4-2^)==
8=1
=d (г->) - 2 J; р: я ((- i)r+ii-4. §-)+
8 = 1
8=1 8=1
[При этом преобразовании мы использовали соотношения (10)
§ 2, гл. II],

§ 4] ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ 105
Отсюда видим, что 2 Ps ^ D № Ч) ПРИ любом N,
следовательно, и 2 Ps <CD(Lr Ч)'
8 = 1
Для случая нечетного k = 2г -f-1 установим вполне
аналогично, что
г о
если ср, L<p,... , L <р £ D (2), и
s 8 = 1 2
если ф, 1ф,..., Z,r~4£D(Q).
Объединяя оба случая для й = 2г и ft = 2r+l,
получим:
«.-■3-. 2^<сцТ|г
8 *=i
wf ><и) '
если
f—1 «
СО
8 = 1
если
(87)
Г—1
Применим теперь к отрезку ряда (35)
иРа = 2 («s cos X8t -f- £s sin Xst) v8 {X) =s 2 e8 (t) v8 (X)
8 = P
8 = P
лемму «предыдущего параграфа. Все условия леммы
выполнены ДЛЯ V = Цщ И m = k.

106 МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. II
Пусть сначала ft = 2r. Тогда первое из неравенств (21)
дает:
Я2Г (ат) < С, [KJ (и,а) + КГ1 (и„)]. (21')
Величину Ki'1 (upQ) заменим неменьшей
ICC1. (V < Li'1 (upq) a 2 D (11«м).
Подсчитаем D(Lupq), пользуясь соотношениями
ортогональности (10):
d (Llupq)=d (2«. w (-i)'*?«.) - 2 4 (0 4г+2.
S~p 8-р
Далее, используя (9), найдем
/0(i'Sg)=i;^)4'.
Отсюда следует, что
я* К») < сх 2 2 4 (О я?+q 2 2 «! (0 >4'+2. (зв)
J = 0 8-р 1 = 0 8 = р
Так как А2 -> оо при s -* оо, то можем считать р настолько
большим, что А2;>1 при 5>р. Тогда, беря во всех членах
последних сумм наивысшую степень Xs, получим:
H,r(um)*£C,i>el(t)\r,
C2 = 2Cx(r+l),
или, подставляя вместо а8 и £s их выражения из (37),
найдем:
Н2Г Ы < 2С2 2 (a2 + |32), ft = 2г. (39^
Если ft = 2r-)-l, то вместо первого из неравенств (21')
возьмем второе и из него выведем неравенство,
аналогичное (39^:
Я2г+1 (им) < 2С2 2 («82 + р2), ft = 2г + 1. • (392)
8=р

§ 4] ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ 107
При р и q —► оо правые части числовых сумм (39^), /= 1, 2,
стремятся к нулю, следовательно, и Hk(upq) -* 0
равномерно относительно /£(—оо, оо). Вспоминая же
неравенство (18), отсюда находим, что
стремится равномерно по t к нулю при р и q -> оо. Но это
и значит, что ряд (35) и ряды, полученные его почленным
дифференцированием по лг1э..., хп до k раз включительно,
сходятся L2 (2) равномерно относительно t £ (— оо, оо).
Применяя все вышеприведенные рассуждения к ряду
~ д1
8 = 1
мы докажем, что
2|*(«.«>sv+Mnv)«.W. /<*
0 при/?, q -> оо, т. е.
W^~l) (2)
установим сходимость в среднем рядов, полученных
почленным дифференцированием ряда (35) по ^ и t до k раз
включительно.
Сумма ряда и (X, f) будет обладать квадратично
суммируемыми по Q (при любом t) обобщенными производными по х{
и t до порядка &.
Итак, теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что решения рассматриваемой
задачи устойчивы в метрике UP|fc)(Q, f) на всем интервале
изменения t£(—оо, оо), т. е. малое изменение и и -^т-
в начальный момент в метриках
соответственно вызывает малое в метрике 1#2 (2> 0 изменение
решения, причем величина отклонения решения может быть
оценена вне зависимости от t£(—оо, оо). Больше того, для
устойчивости решения смешанной задачи нет необходимости
проверять малость отклонения функций ? и ф в нормах Щ (Q)
и Ч?2 (Q), а достаточно установить, что малы интегралы
/0(/Лр) и D (Z/*-1^) при ft = 2г и D (Lrcp) и /0 (1гф) при ft=2r+1.

108 МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. II
Именно, имеет место
Следствие. Пусть и и аг—два решения смешанной
задачи для уравнения (I7), отвечающие начальным условиям
{?> ф} и {?!, <Ы> соответственно. Пусть, далее,,
коэффициенты L, граница области, собственные функции v8 и
функции <р> Ф> ?i и ^i удовлетворяют условиям,
сформулированным в последней теореме. Тогда при k = 2r:
\\u-u1\\w{u){St)<C3{I0[Lr(<?-?1)] + D[Lr-1tt- 4»i)]}.
а при & = 2г -{-1:
||«-«1|||Р?)(в10<Св{Л[/.г(?-91)] + /о^Г('1—WJ).
причем постоянная С3 не зависит от времени t и
определяется лишь формой области 2 и коэффициентами
оператора L.
Действительно, пусть k = 2г. Обозначим и — ut =- до
и пусть %==? —<р,=«М,я01 ф2 = ^ —ф1==^
доказано, что для коэффициентов Фурье функций <р2 = 2 ^W?
«=i
оо
и Фа —2^А^« справедливы соотношения:
s = l
оо со
2 «:-/•(*'*>. 2B<Z>(L",W-
8=1 S=l
Подставляя в неравенство (38), выписанное для функции и2,
эти выражения для а8 и #s, получим:
г оо "-^ | 'З'й г—1 оо *—2 2*2
. Выше
# = 0

§ 4] ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА Ф*РЬЕ 109
Пусть к28 < 1 для s < N и Х28 > 1 для s > N. Тогда из
последнего неравенства следует, что
1 8=1 * 8=1
оо
+ 4<V ^ & + К) < Cs [I0 (Г?2) + D (L"\)],
s=JV
где
/ l+*?\
C3 = 4C4(r + l).max(l,^).
Так же докажем, что для т^2г
Н,г-т @) < Съ Ц0 (Г%) + D (L'-%)\.
Аналогично устанавливается второе неравенство следствия
при & = 2г—[- 1.
Итак, для уравнения (1') мы получили решение
рассматриваемой в этой главе смешанной задачи в виде ряда (35).
Если начальные функции ср и ф удовлетворяют условиям
?£D(Q) и b£L2(Q), (40)
то сумма ряда (35) есть элемент Щ: (2> 0> непрерывно
зависящий от t, дающий обобщенное решение задачи. Если же
начальные функции <р и 6 такие, что
и функции ^ (41)
о, !<?, ..., li~J<?, ф, 1ф, •.., J"4 I
О
принадлежат £>(2), то сумма ряда (35) есть элемент
непрерывно зависящий от t, дающий решение
почти всюду.
На требования (40) и (41) можно смотреть как на условия
согласования начальных и граничного условия. Именно, если
и(Х, t) есть элемент 1ЛТР(2, /), непрерывно зависящий от t,

m
ПО МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. II
о
и если и(Х, t) удовлетворяет граничному условию: u£D(Q)
при всех t, то -—££>(2), /ю=1, ..., k — 1 при всех t.
Если функция а(Х, t) удовлетворяет к тому же при всех t
почти всюду на 2 уравнению -^- = Ьи9 то для нее будут при
всех t почти всюду на 2 выполняться равенства
"• л.—• [4] - S&-*-©.
-> И-
Поэтому при всех / и, в частности, при /=0 функции
•.* i[¥I».f illH(w)
о
будут принадлежать £>(2).
Таким образом, условия (41) вытекают из граничного
условия, налагаемого нами на решение уравнения, и из того
факта, что решение должно быть элементом W^\Q,
/^непрерывно зависящим от L Требования (40) (при k=l) также
о
вытекают из граничного условия и £ D (2), которое должно
выполняться при всех /, и того, что а£ w£\Q, t) при всех t.
Рассмотрим теперь смешанную задачу для того же
уравнения
но при другом граничном условии:
Ш+Ч=0- (4°
где h есть k — 1 раз непрерывно дифференцируемая функция
точки контура S.
Пусть сначала h^>0 и а(X) или h (s) не равцы
одновременно тождественно нулю.
Метод Фурье опять приводит к ряду
оо
« = 2 К cos V + b8 sin V) v8 (X)y (42)

§ 4] ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ 111
в котором v8 суть собственные функции оператора L при
граничном условии (4'), т. е.
Lve~— АЯ, ||»5 + А*в} =0.
Известно, что в этом случае сохраняются все перечисленные
в начале этой главы свойства собственных чисел и
соответствующих им собственных функций. В частности, все к8 суть
положительные числа.
Если h = 0 и a(X)~==zQ, то вместо ряда (42) следует
взять ряд
оо
и = ао + V + 2 К cos V + b8 sin \st) v8 (X). (42')
Первые два члена в нем отвечают собственному числу Л0 = О,
которому соответствует собственная функция v0(X) = const.
Для рядов (42) и (42') справедлива теорема предыдущего
параграфа, надо лишь соответствующим образом изменить
граничные условия (условия согласования) на <р и <J*. Эти
условия должны быть следующими:
и
Доказательство этой теоремы вполне аналогично только
что проведенному, надо лишь вместо леммы 1 использовать
лемму 1'.
Если функции Ни а принимают и отрицательные значения, то
уже нельзя утверждать, что все собственные значения
отрицательны, однако все они вещественны и среди них
положительных будет лишь конечное число. Положительным
собственным числам Ль ..., Л! соответствует сумма
i
2(a/*'+V~V)M*)>
s = l

112 МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. II
а неположительным — сумма вида (42) или (42').
Сходимость же этого ряда устанавливается также на основании
леммы 1', утверждение которой не зависит от знака
функции А.
§ 5. Неоднородные уравнения
В § 2 мы нашли обобщенное решение неоднородного
уравнения
%g=>Lu+f(X, t), (l)
удовлетворяющее условиям
. да
"U>=<p> ж
*=о
= ф и и 6 £>,(&), (2)
в виде ряда
и (X, /)=2*. (*) [та J/« W sin Xs (*— t) Л +
8 = 1 0
+ a8 cos V + bs sin VI, (14)
me a8= j <?v8dQ, b8=j-jtyv8dQ9f8(t)= \f(X,t)vadQ,
и установили, при каких условиях этот ряд сходится в Wfp (Q, /)
равномерно по t. Сейчас мы дадим достаточные условия для
сходимости ряда (14) в Wik)(Q, f) равномерно по t. Для этого
рассмотрим лишь ряд
v(X,t) = %±jf8(z)sin\8(t-x)dx.v8(X), (43)
8 = 1 0
ибо сходимость ряда
оо
2 К cos V+ b8 sin \st) v8 {X)
8 = 1
в wi'(Q9 t) исследована в предыдущем параграфе.
Ряд (43) дает обобщенное решение уравнения (1) при
нулевых начальных и граничном условиях [если f(X, t) £ L2 (Q,)J.
Предположим, что коэффициенты уравнения (1), контур обла-

§ 5] НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 113
сти Q и собственные функции v8 оператора L обладают
свойствами, указанными в § 4, и пусть /0^, 0 € ^^(Qj)»
а функции
/, Lf, ..., if-^f&m. (44)
Докажем, что при этих условиях ряд (43) и ряды,
полученные его почленным дифференцированием по х4 и t до к раз
(включительно), сходятся в Z,2 (2) равномерно относительно
/£[0, /]. Для этого рассмотрим коэффициенты ряда (43)
t
т*(/)=Ь J/s (т) sin х° {t~~т) dz=
t
= ~Ц J/ (X, т) sin Xs (/ - х) *8 (A) <Ю Л.
*8
0
s о
Так же, как в § 4, покажем, что ряд 2^s(0> B котором
8 = 1
8g (t) == Х8 f8 (/), мажорируется сходящимся числовым рядом,
оо
и его-сумма 282W<C||/||l_(fc-i)/n.. Действительно, пусть
8 = 1 "2 Wj)
k = 2r-\- 1, тогда
8#(0 = ХГ///(*, x)sinAs(/—T)^(J^)rfQrfx =
2 0
= (— l)r f ff(X, т) sin X8 (t— т). Ir*e 4Q dz. .
2 0
Воспользуемся формулой интегрирования по частям (см.
теорему 16, § 4, гл. I) для функций /£ Dx (Qt) и sin \8(t—z) X
t
Z8(t)==(--l)r f f Lf.sin\s(t—z)Lr-1vsdQdx.
- ..„' - SO
8 Зак. 363. О. Ладыженская.

114 МЁтдд ф*Фьё [гл. ii
Продолжая аналогичную переброску производных с v8 на /
и принимая во внимание условия (44), получим:
t
Ь8 (t) =. (- l)r J* J L'f • sin X8 (*—t) • v8 dQ dr..
Q 0
Отсюда следует, что
t t г
85«)< J" sin2Xs(/— x)rfx J(J Lrf.v8dQjdx^l J ii'(T)it,
0 OS 0
где
Чв(т) = JV/(*, т).*.(Л)</9.
со ?
Но числовой ряд 2 ' Г **& (т) ^т сходится, и сумма его,
как легко видеть, не превосходит величины
l f(LrffdQ.
оо
Поэтому ряд 2^вС) сходится равномерно относительно
8 = 1
/£ [О, /]. Так же рассматривается и случай четного k.
Привлекая теперь лемму 1, мы так же, как в § 4, докажем, что
ряд
со
8 = 1 Л«
сходится в Wah)(Q), а ряды
2 -S (т-1 /• wsin х« е—т>л)** (*>• w < *•
es=l at \K8 0 /
сходятся в норме W|ft-w)(S) равномерно по *£[0, /J.
Возвращаясь теперь к ряду (14), можем сказать, что он и ряды,
полученные его почленным дифференцированием по х{ и t
до k раз включительно, сходятся в £2(2) равномерно по
*£[0, /J, если <р и <J* удовлетворяют условиям (41), а/—ус-

§ 5] НЁбДН0Р0Д*ШЁ УРАВНЕНИЯ 115
ловиям (44). Нетрудно проверить, что если для / требования
(44) выполнены, то ограничения (41) на ср и ф можно
рассматривать как условия согласования начальных и граничного
условий для решений уравнения (1); именно, условия (41)
следуют из того, что——, т = 0, ...,&—1, должны при-
о
надлежать D(Q) при /=0.
Обратим внимание на следующий любопытный факт.
В третьей главе мы покажем, что обобщенное решение
смешанной задачи при нулевом граничном условии принадлежит
W2k)(Qi)y если только производные
вычисленные исходя из начальных данных (2) и уравнения на
контуре 5 области Q, обращаются в нуль, или, иначе говоря,
если выполнены условия согласования до порядка А. Эти
условия согласования накладывают ограничения на граничные
значения <р и ф и на /|g при *=0. При исследовании же
сходимости ряда Фурье (43) мы опирались на то, что для /
выполнены условия (44), которые накладывают ограничения
на /|s при *!>0. Покажем на простом примере, что если для
/ условия (44) не выполнены, то ряд (43) будет плохо
сходиться, несмотря на то, что будут выполнены условия
согласования до сколь угодно большого порядка и, следовательно,
сумма ряда (43) будет принадлежать Wlfe)(Qz), где k — любое
наперед заданное натуральное число.
Пусть надо найти решение уравнения
д*и __ д*и ■ д.
для х£ [О, «J, />0, удовлетворяющее условиям а (О, /)=я
= й(тс, *) = 0, и (X) 0) = « ^/ ' = 0. Оно может быть
представлено рядом Фурье
Г
«(* 0 = 4St J ***n(t-x)dx. (45)
n-i о
Нетрудно видеть, что увеличение числа k не улучшает
сходимости этого ряда. Действительно, пусть, например,
8*

116 МЕТОД ФУРЬЁ [ГЛ. И
k = 2r, тогда
t
| z^sin n(t~ i)dz =
^ 2r(2r-1)1^-2 (2r)l
и ряд (45) можно записать так:
00 00
„ _ 4 яг V sin/l* 4*2r(2r —1) /0г_2 V sinnx I _L
+ (-1Г^2^- .. (450
Быстрота сходимости ряда (45) определяется скоростью
сходимости первого из рядов (45'), которая, очевидно, не
зависит от величины показателя k = 2г. С другой же стороны,
по мере увеличения k растет порядок согласования условий
и, следовательно, решение задачи (сумма ряда) становится
более гладким. Это последнее можно видеть и
непосредственно, решив задачу при помощи преобразования Лапласа,
именно:
1 2ш
где Xj > 0.
Xj-Joo
Х^+гоо Х.+г'оо
X. — ^оо Х.—^оо
§ 6. Интегралы гиперболических уравнений
Для уравнения
д*и т /1/4
можно указать такие билинейные функционалы
Jm (и, «О = / w». (и. «) «й> + /'««i'-i (". <0 ^5. (46)

§6] ИНТЕГРАЛЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 117
где' (считая x0^t)
д*и ЬЧ
которые сохраняют постоянное во времени t значение на
любой паре достаточно гладких решений уравнения (I7),
удовлетворяющих однородному условию (4) или (4/). Такие
функционалы Jm называются билинейными интегралами т-го
порядка для уравнения (1') при условии (4) или (4').
Пусть коэффициенты а^{Х) уравнения (Г) непрерывны и
da$j
имеют ограниченные обобщенные производные -тп-, а
коэффициент а(Х) есть измеримая, ограниченная на Q функция.
Рассмотрим сначала граничное условие (4) (#|s = 0).
На любой паре дважды непрерывно дифференцируемых
в QX( — °о, °°) решений уравнения (1') и и v> равных
нулю на S, сохраняет постоянное во времени t значение так
называемый билинейный интеграл энергии, именно:
« п
+ж--ж+Н^- (47)
Для доказательства этого умножим уравнение (1') на -^т
и сложим его с уравнением (1') для функции v, умноженным
да
на "ЗГ:
dt
д*и dv ■ дЧ> , би _, dv , L да
dt* dt^ dfl Ж ~La dt ^LV dt "
Отсюда следует, что
n
_д_/ди dv\ VI д ( ди ду . dv ди\
~dt\W * ИГ) ~ Ал'Щ \а*э dxj # dt "Г а^ dxj * dt J
i* 3 = 1
п
Sd ( du dv\ d , ч
w»

118 метод фурье [гл. н
Перенесем теперь все члены налево и проинтегрируем по
цилиндру QX[0, /]. В результате этого мы докажем
желаемое:
если заметим* что в силу граничного условия (4), выполнен*
ного для обеих функций и и v,
ди dv , dv ди
I dv ди\ ,~
dxj dt " uxj
^
Г ( du dv , dv du\ , ч JO Л
Вполне аналогично доказывается, что выражение Jx {иг, vm),
д1и dmv
значение на любой паре решений и к v уравнения (1'),
удовлетворяющих условию (4) и имеющих непрерывные произ-
д1+2а dm+2v
и
dxi dxj dt1 dxi dxj df*
Это следует из того, что функции иг и vm имеют
непрерывные производные второго порядка и удовлетворяют как
уравнению (1'), так и граничному условию (4).
Будем предполагать а(Х)^0. Тогда нетрудно видеть,
что наличие интеграла (47) позволяет заключить об
устойчивости во времени t£( — оо, сю) в метрике W% '(2, t)
решений уравнения (1'), удовлетворяющих условию (4), ибо
О и О ' V Л / л
водные -тгтпз- и тг^п^г. <> ; = о,...,« (*„-$.
1 При этом надо воспользоваться известным неравенством
Фридрихса
(>(x)<m<c2 f 2^ д,
а а *=1
о
справедливым для любой функции <р из D (Q). В частности, это
неравенство имеет место для функций <р, непрерывно
дифференцируемых в Q и равных нулю на контуре области Q,

§6] ИНТЕГРАЛЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 119
причем постоянная Сх не зависит ни от решения а, ни от
времени L
Также легко видеть, что из существования интегралов
Л (ui> ui)> ^=sa 0> • • •, ^ — 1 следует ограниченность во времени
(на всей оси t) следующего выражения:
Докажем, что если коэффициенты а,ц непрерывно
дифференцируемы к — 1 раз по xv ..., хп, а коэффициент а (X)
к— 2 раза, и если функции уп=*о>(yv .. .i^w-i)» дающие
уравнение контура S в местных системах координат,
непрерывно дифференцируемы к раз, то из ограниченности
интегралов Jx(uu иг), /=г0, ...,£ — 1 при *=*(), следует
ограниченность \\u\\ 11Л ДЛЯ tf( СО, ОО).
Для этого докажем, что для любого к -\- 1 раз непрерывно
дифференцируемого по xi и t в 2Х( — °°> °°) решения
и(Х, f) уравнения (1'), удовлетворяющего условию (4),
справедливо тождество
/+1<А,(48)
'•(■£■ £)-w.>+4®+*♦-«•
в котором
п
Л («) = J 2 %h • • • %п dxh ? * дхч # а*Л f.%*,/0'
2 ws=1
(? + i)
Напомним, что (/-[-1)-эквивалентность нулю означает, что
/?1+1(й) допускает оценку
I Rin («) К QM+i (a) + ■&//, (а), (49)

120 МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. II
где s — любое число из (0,1), а постоянная С2 определяется
лишь областью 2 и коэффициентами L. Выражение Ri+1(tt)
есть сумма двух интегралов: интеграла по области Q и
интеграла по границе S. Выражение, стоящее под зндком
первого из этих интегралов, есть сумма произведений
производной от и не выше /-(-1-го порядка на производную и не выше
/-го порядка. Коэффициенты в этих произведениях суть
известные функции от ац и а. Под знаком контурного
интеграла стоит сумма произведений производной от и не выше
/-го порядка на производную а также не выше /-го порядка.
Коэффициенты при этих произведениях определяются
функциями а^9 а и со. Знание явного вида Ri+i(u) для указанных
выше целей излишне. Важно лишь то, что Ri+i(ti)
подчиняется неравенству (49). Из представления (48) для Jx (иь иг)
видно, что главные члены его Ji+1(u) и hy~jfr) суть
положительно определенные формы: первая — относительно
дг+*и
dxh...dxil+1
1, ...,я,
вторая — относительно
д1+1и
,= 1, ...,л.
dxix ... bxi% dt
В § 3 этой главы доказано (см. лемму), что
/ar+i (*. *) = А 0-4 Lrv) + R2r+1 (о), 2r + 1 < А, (7г)
I2r(<o, v) = I0(Lrv, Lrv) + R2r(v), 2r<£, (72)
если t> \s = Lv \8 — .. .= Lrv Jg = 0 в первом равенстве, и
v\s= ... = Lr~1^ |д = 0 — во втором.
Функция и удовлетворяет этим граничным условиям при
любом/, так как, с одной стороны, Ls« = -^—-, а с другой,
dt1
= 0, / = 0, ..., k. Поэтому для нее справедливы
формулы (7^), i=l} 2, Получим из них равенство (48). Пусть

§ 6] ИНТЕГРАЛЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 12-1
сначала / = 2г, тогда : - _
Л («2П и2г) = А («2Г> U2r) + J utr+ldQ + #ar+l («) =
= Ix (Lru, Lru) + J* (Га,)2 rfQ + /&+1 («) ==
2
(tt, tt) + 4r(«* «*) + ^2r+l(«),
где через /?2r+i и #2r+i обозначены выражения того же типа,
что и /?2г+1-
Аналогично доказывается равенство (48) для /=^2/*4"*1«
Пусть теперь интегралы Jx{uh иг), /=0, ..., k—1,
ограничены при £=0 постоянной С3. Тогда правые- части
равенств (48) также будут не превосходить С3 при любом t.
Отсюда так же, как и в § 3 гл. II, легко получить,
что IMI w(fc)/S £ч не превосходит некоторой постоянной С4,
зависящей лишь от С3, области Q и коэффициентов
оператора L.
Из ограниченности || и \\ до на оси t следует почти
периодичность по £ решения й (X, f) в пространстве W^-1* (Q).
Эти же результаты (в несколько лучшем виде) мы получили
в § 4 гл. II, исходя из представления решений уравнения
при граничном условии (4) в виде ряда Фурье.
Заметим, что интегралы J1(ul9 иг), /=0, ..., k—1,
определены не только на гладких решениях уравнения (1'),
равных нулю на границе, но и на функциях, принадлежащих
замыканию этого множества в норме W^{Q, t) (равномерно
по f). Это замыкание совпадает с классом решений
уравнения (1'), удовлетворяющих нулевому граничному условию и
представимых рядами Фурье (7), сходящимися в норме
w¥\Q, t) равномерно по t (сц. § 4, гл. II). Благодаря этому
величину интегралов Jt {иь иг) можно выписать в явном виде
через коэффициенты а8 и Ь8. Именно, пусть
оо
« = 2 (а8cos V+hsin V) *>8 (X)%
тогда интеграл J1 (ah иг) = D (uj) + /0 (ul+1) легко подсчитать,
воспользовавшись свойствами ортогональности собственная

122
МЕТОД ФУРЬВ
[гл. п
функций (5) и (6):
^(йг,%) = 2(^ + ^)Х2/+2, /=0, ..., k— 1.
s=l
Пусть теперь решения (1') удовлетворяют граничному
условию
{m+h»}r0' (4°
в котором h (s) (k—1) раз непрерывно дифференцируемая
функция. Нетрудно показать, что билинейный интеграл на
таких решениях имеет вид:
Л, п (и, v) =
Отсюда следует, что и выражения Jltь{ць vm) сохраняют
постоянные во времени t значения на достаточно гладких
решениях и и v. Эти интегралы так же, как и
рассмотренные выше, допускают представление (48). Для доказательства
этого надо лишь воспользоваться леммой 1/, § 3, гл. II.
Вопросу разыскания интегралов уравнения (1') при
условиях (4) или (4'), имеющих Ьид правой части равенства (48)
(т. е. таких, в которых члены из Wm(a, v) [см. (46)] в
объемном интеграле, содержащие лишь производные и старшего т
порядка, образуют положительно определенную форму
относительно этих производных) посвящен ряд работ. Первыми
из них являются заметки [5] в ДАН СССР С. Л. Соболева,
в которых найден интеграл второго порядка для
уравнения (V) такой, что члены подинтегрального выражения,
содержащие вторые производные а, составляют положительно
определенную форму относительно ^—^—, ц / = 0, ..., #.
В последовавшей за ними докторской диссертации Д. М.
Волкова (1947 г.) (результаты ее содержатся в работах [1] и [2])
подсчитан интеграл третьего порядка для волнового
уравнения и сделана попытка описания всей системы возможных
интегралов волнового уравнения, доведенная до конца для
интегралов второго порядка,

§6] ИНТЕГРАЛЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 123
X. Л. Смолицким доказано (см. его заметки [1] и [2])
для волнового уравнения существование интегралов указанного
вида любого порядка ft. Это предложение дало возможность
X. Л. Смолицкому исследовать и доказать существование
решения смешанной задачи для волнового уравнения.
Для уравнений общего вида (1') такие интегралы найдены
нами (см. заметку автора [4] в ДАН СССР), причем интересно
то, что они могут быть преобразованы к известным ранее
интегралам энергии Jx (uh и{) [см. равенство (48)]. Интегралы,
найденные вышеупомянутыми авторами, также могут быть
преобразованы к виду Jx(uh аг) или к линейной комбинации
с постоянными коэффициентами интегралов такого вида.

ГЛАВА III
РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ В ЦЕЛОМ
С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
В этой главе мы рассмотрим линейное гиперболическое
уравнение второго порядка общего вида и для него докажем
существование и единственность решения смешанной задачи.
Для таких уравнений, как указывалось во введении,
смешанная задача в ее наиболее общей постановке может быть
сведена (во всяком случае вблизи начальной поверхности)
с помощью замены независимых переменных к решению
смешанной задачи для цилиндра Q = 2X[0<^0^'I» или»
иначе говоря, для произвольной области Q с неподвижной
границей. Смешанная задача для цилиндра Q состоит в
определении решения уравнения, удовлетворяющего на боковой
поверхности цилиндра граничному условию, а на нижнем
основании (при лг0 = 0) — начальным данным Коши.
Мы рассмотрим простейшее граничное условие: v\8 = %y
которое предварительно сведем к однородному и \s = 0 (см. § 4).
Доказательству существования такого решения я, его
построению и качественному исследованию и посвящена,
в основном, настоящая глава. Вычисление и ведется с помощью
конечных разностей, причем исследуются два способа замены
дифференциального уравнения разностным. При первом из
них решения разностных уравнений иь вычисляются весьма
просто, второй же требует решения алгебраических систем.
Зато второй способ гарантирует сходимость иь к решению и
задачи при любом соотношении шагов решетки Ааг0 и h = Алг^,
тогда как для сходимости иь к и в первом случае
необходимо, чтобы-^ не превосходило определенного числа,
зависящего от наклона характеристик уравнения. Кроме того,

§ 1) ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ И ЕГО ЕДИНСТВЕННОСТЬ 125
второй способ применим к любым линейным (гиперболическим)
уравнениям, первый же приводит к истинному решению,
вообще говоря, лишь при отсутствии членов с
производными ^—з— • Наконец, отметим, что при обоих способах
OXq 0Х{
замены решения й^, а также и и> определяются сразу в цилиндре
любой высоты /.
В § 5 даются указания, необходимые для решения
смешанной задачи в неограниченной области Q.
Мы начнем с того, что дадим определение Обобщенного
решения смешанной задачи и докажем его единственность.
Затем, при довольно слабых предположениях относительно
известных функций и области Q построим это обобщенное
решение с помощью конечных разностей, Наконец, используя
опять конечные разности, исследуем это обобщенное
решение в цилиндре вплоть до границы для того случая, когда
данные задачи удовлетворяют более сильным требованиям.
§ 1. Определение обобщенного решения
и его единственность
Поставим для уравнения
где
те
Lu— 2jati(xv •••*■ -V ^dxidxj^
n
~*r ^ai\xv •••> xn* xo^^T\a\xv •••» xw xo) u9
tf = 0 >
следующую смешанную задачу. В цилиндре Q = 2 X
XIO^-^o^^ определить решение уравнения (1), удовлетво?
ряющее начальным условиям
и 1*0-о = ? (xv • • • > хп)> £Q\k =0 •= Ф (*ц - > О (2)
и принимающее на боковой поверхности цилиндра F нулевые
граничные значения.
1 Ради удобства записи мы обозначили йремя t через Xq.

126 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОмбЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [гЛ.
ill
Q — считаем ограниченным открытым множеством в
пространстве переменных xv ..., xni или, иначе говоря, конечной
областью изменения (л^, ..., л;п) = Х Границу ее обозначим
через S. Предположим, что коэффициенты уравнения (1)
удовлетворяют условиям (гиперболичности):
%> — 1» ^а = а.
*ji
где S1?
п п
— 2 aiMj > а 2 й, а = const > О,
(3)
■любые вещественные числа, и обладают
следующими дифференциальными свойствами в Q: а) ац —
непрерывны и имеют ограниченные обобщенные производные
первого порядка вида -д-^-, -^ и ограниченные обобщен-
ОХ$ OXq
ные производные второго порядка вида -=—j— ; b) a4 —
ограничены и имеют ограниченные обобщенные производные первого
да* ч
порядка вида ~\ с) а — ограничена и измерима.
Функцию / будем считать суммируемой со второй
степенью по Q, ф — суммируемой со второй степенью по 2,
a <p£D(Q).
Обозначим через f верхнюю грань в Q функций
\%Ъ
да{з-
дх£
да^
дх0
d^j
ki
dai
dxi
dxi dxj |
/,7 = 0,..., n.
Назовем обобщенным решением поставленной задачи
о
функцию и (xv ..., хп, х0)у принадлежащую классу Dx (<?),
принимающую на нижнем основании (при х0 = 0) предельные
значения, равные <?{xv ..., хп), и удовлетворяющую
следующему интегральному тождеству:
Пп п
ди дФ I о V ди дФ . хл ди дФ ,
1 = 1
ij=l

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ Й ЕГО feAttHCfBEJHfcbCtb 127
_l Го V да°* ди j_ V да** ди V ди
~r[Z2ddxQ "дЦ~Г Zddxj "дх^~ 2иа*дх^~
-вв-/]ф}^+|(+ + 22в0<^)ф| Л-0, (4)
о
при любой функции Ф из D2(Q).
В § 3 гл. I указано, что функции (элементы) из W<p(Q)
(и тем более из ДДф)с1#2 (Q)) определены почти всюду
на всех сечениях цилиндра Q плоскостями х0 = const и
суммируемы на них по крайней мере со второй степенью. Больше
того, эти функции можно рассматривать как элементы 12(2)>
непрерывно зависящие от параметра дг0£[0, /]. В связи
с этим удовлетворение начальному условию: ихо=0=ср(д,1,..-. ,лгп)
понимается в том смысле, что и(Х, 0) равно <?(Х) почти
всюду на Q, и
Г [и (X, Длг0) — <? (X)]* dQ~+Q при Длг0 ~+ 0.
Это определение обобщенного решения применительно
к уравнению вида
совпадает с данным нами во второй главе.
Нетрудно показать, что решение йочТи всюду (и тем более
классическое решение задачи) есть в то же время и
обобщенное решение.
Действительно, пусть и (X, лг0) есть решение почти всюду,
т. е. пусть u^Wf^Q), Lu-\-f почти всюду в Q равно нулю,
и(Х, 0) и й* ■ ' почти всюду на 9 равны соответственно
OXq
<?(Х) и ty(X) и tf£Z)i(Q). Так как функция и(Х, х0)
принадлежит пространству wf* (Q), то и ^.' х°■ принадлежат
£2(2), и равенство и(Ху 6) = <р(Х) влечет за собою

128 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ, III
равенство
д
*£*-№»-«• '-'•••■•*'
Докажем, что и есть обобщенное решение этой же
смешанной задачи. Для этого достаточно проверить, что
функция и удовлетворяет тождеству (4) при любой функции Ф
о о
из Z)2 (Q). По условию Lu-\-ft=. О, поэтому для всех Ф££>2 (<?)
/■
(1и+/)ФА? = 0. (5)
Q
Преобразуем члены этого интеграла с помощью формул
д*и
ро=0
dQ,
J dxi ~ J дх0 дх0 ^ J дх0
Q Q ^
<«1, Q i=l
rfQ,
/
f Vf да дФ , daij ди _. 1 ,^
Справедливость их следует из теоремы 16, § 4, гл. I.
Подставляя все эти выражения в (5) и учитывая начальные
условия, мы придем к тождеству (4) и тем самым докажем, что
решение почти всюду является обобщенным решением задачи.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, ибо обобщен*
ное решение может не принадлежать WW(Q) (наличие таких
решений будет следовать из доказываемой в § 2, гл. III
теоремы существования). Однако, если обобщенное решение и
принадлежит WW(Q}, то, как мы покажем в § 3 данной главы,
оно будет решением почти всюду. Из этого следует, что

§ 1] Определение решения й его единственность 129
если и имеет непрерывные вторые производные в Q и является
обобщенным решением задачи, то оно является и классическим
решением задачи.
Переходим теперь к доказательству теорем
единственности и существования обобщенного решения смешанной
задачи.
Теорема 4. Если коэффициенты уравнения (1) и функции
/> ? й Ф удовлетворяют указанным в этом параграфе тре-
бованиям^ то может существовать не более одного
обобщенного решения поставленной здесь для уравнения (1)
смешанной задачи.
Предположим, что имеются два решения задачи. Их
о
разность и (X, х0) £ Dx (Q) равна нулю при х0 = О и
удовлетворяет тождеству (4)при /= 0, <]*== 0 и ^ =sO,/=l,...,w,
именно:,
п п
J \дхъ Ъх^ 2* a^dXi 'дх0 ~г 2и а^дх{* dxj~T
'I Ш dx0 dXi ' JmJ дхл " dxs
w
о
для всех Ф££>2(ф). Возьмем функцию
(О Ь<*0<1
Ф (ATj, . . ., Хп, Xq) —
j и (xv ...,хп, 6) Л, 0 < лг0 < Ь.
Она принадлежит классу £>2(Q) (см. теорему 14, § 4, гл. I)
и имеет в Q& = QXIO^-^o^*] обобщенные производные
- =0, ...,«,
9 Зак. 363. О. Ладыженская.

130 РЕШЕНИЕ В ЦЕлбм Ь ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. Ill
суммируемые со второй степенью по Qb. Кроме того, Ф,
дФ Г да <t ^
-— = I -— аЪ и и могут быть рассмотрены как элементы
ь
пространства £2(Q), непрерывно зависящие от параметра
х0£[0, Ь]. Для построенной нами с помощью решения и
функции Ф справедливо тождество (4х). Подставим ее в (4')
и выразим все члены, стоящие под знаком интеграла, через Ф
дФ
и производные -х—, / = 0, ... , п. Таким путем получим:
^ о i~ l
n n
_L_L V —( — —^ Vl daoi / дФ у
+ 2 2^ дх0\а**дх{ ' dxj 2u dxt \dxj
n * n
2 ^ dx0 ' dxt ' dxj ' L ^ ддг0 " dx0 dxi ~"^
^l дя^ Э2Ф v^ д*Ф ^ф ii
1 jJi ax a dxQox( £A % oxqOXj dx0\ J
i,j=l J г = 0
Интегралы от первых трех членов преобразуем к
контурным:
ъ
П# Г1 д /дФ\а , 1 VI д ( дФ дФ\\.п
[-2д70{дх-0) +Т 2d Е0П дх-ГЩ)\Щ-
Q О *,J = 1
_1_ Г Г /дФ\21 _ V ^Ф ^5.1 1 ^
~ 2 J [\dxj L=b Zd^dxi 'dxj\a,=o}a
(см. следствие 3 из теоремы 10, § 3, гл. I);
^ о г=1
(см. теорему 16, § 4, гл. I).

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ И ЕГО ЕДИНСТВЕННОСТЬ 131
В членах же, стоящих в квадратной скобке, произведем ин-
тегрирование по частям, перенося производную -^— , г=1,..., п
с -^—-х— на другие множители. При этом не выделяются ни-
° * дФ
какие контурные интегралы, ибо функция ^— принадлежит
OXq
Dx (Qb). В результате указанных преобразований получим:
1 С [{дФ\*\ vi дФ дФ I 1 -л
Шп daQi /дФу 1 у d^ ^ дФ_
ддг, W0/ "^ 2 2и дх0 ' дх< ' дх^
2 0 *=1 г,^=1 ^
4-2 V— ^ f ^ Ф^ I V дФ д (daij &)
~т~ 2ddx0' дхг \дх0 Ф/ ~г 2и дх0 ' дхг Кдх* ФУ
г = 0
Заменим правую часть этого равенства ббльшей
величиной, именно
2 О i=0
где С(у) — некоторая постоянная, зависящая лишь от f,
получим следующее неравенство:.
Д(^)'-2(< •£,)!,-><
0 п
с«Я [£(£)'+*!W «»
<
2 0 i=0
9*

132 решение в целом с помбщыО кОнёчныГ разностей [гл. lit
Подставим теперь в (6) вместо Ф(^, лг0) равную ей
велико
чину f u(X, l)db
ь
2 i,j = l Ъ Ъ J
2 О г=1 Ъ
+ (/«(*, l)di)\dQ. (7)
Ь
Последний интеграл правой части заменим большей
величиной из неравенства
ъ хо ъ ъ
j (J и 1й)2Лс0< j [(* — х0) /аал] ^0<
0 6 О XQ
ь ъ ь
*£[bfu*dbdx0=*b*f u*dl
0 0 О
Кроме того, введем в рассмотрение новые функции:
о
xQ
Очевидно
хо
b
Подставим также и эти выражения в (7):
п
J* [о« (X, Ь) — J' "ц (Х> 0) *< (*> *) «V (*• *)] dQ <
2 *.У = 1

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ И ЕГО ЕДИНСТВЕННОСТЬ 133
Ъ п
< С, (f) / / {«2 (X, х0) + 2 Wi {X, Ь) — vt (X, х0))*} dQ <
2 о 4=1
<2С1(Т) f ${u2(X, x0)+^[vUX, b)-j-v]{X,x0)]}dQ =
2 0 4 = 1
Ъ
2 0 4 = 1
= С8 (Т) f J Г и2 (X, х0) + J в? (*, *0)] Л? +
" - 4=1
п
+ C^)bj^vl(X, b)dQ.
2 4 = 1
Левая часть этого неравенства в силу условия (3) не
п
г Г 5 ,,» .ч .
ме
2 *" 4 = 1
леньше | й2(1, #) -J- а V щ (X, b) dQ, поэтому
2 4 = 1
9 8 4=1
c2(f)J J [«2+2«l]dQ.
Возьмем £ столь малым, чтобы а — ЬС2 (f) ^> -^ > тогда
из последнего неравенства следует
где С3=тах (^-}, С2 (Т)) , лу (b) = J j [«'+2 **] rf(?
2 0 4 = 1
1 Приведенный здесь вывод этого неравенства из
неравенства (7) сообщен мне А. Д. Мышкисом.
2 Заметим, что у (Ь) имеет непрерывную производную, равную
([*(Х, 6)+2*<(*' *)1*°-

134 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. III
Умножая последнее неравенство на е~ з и перенося все
члены налево, получим:
следовательно у (Ь)<Су (0) есъь. Но ,у(0) = 0, поэтому и
у (р) = 0 при Ь <С 97^71 • Таким образом доказано, что #==0
№ih 0 <] х0 <^ 9^ . . Но то же самое рассуждение можно
повторить для цилиндра Q X ос М' 7Г77 и таКвДалее>
пока не исчерпаем весь цилиндр Q.
§ 2. Отыскание обобщенного решения
Рассмотрим уравнение, в котором отсутствуют члены
дх0дх$
Для таких уравнений приближенные решения вычисляются
особенно просто. Относительно общего случая будут даны
соответствующие указания в последнем параграфе этой главы.
Условие (3) считаем выполненным. Обобщенное решение

добудет найдено в предположении, что функции йф -g—-, at
и а непрерывны на Q, /—квадратично суммируема на Q,
©(A)£D(Q),.a <!>(Л)6М2)- Обозначим
шах
/i ill \da*j\\
max |a^| = Tl.
Построим сначала решение для того случая, когда <р>
, ^ и / непрер
вблизи контура 5.
■т^ , ^ и / непрерывны, и функции о и ф обращаются в нуль

§ 2] ОТЫСКАНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ 135
Разобьем пространство Rn+i(x19 ..., хп, х0) плоскостями
х{ = kikXf н== kih, i = 1, ..., я, х0 = k0&x0, где k{K k0 —
целые числа, на параллелепипеды Q^...,^ &0, координаты точек
которых определяются неравенствами &Д*^-<;л^<;(&4+ 1)Длг$,
/ = 0, ..., я. Точки с координатами (АХА, ..., AWA, 60Длг0)
назовем вершинами или точками решетки. Обозначим через Qh
область, составленную из тех кубов О^.-.л (kih-^Xf^.
^ (*< + 1) А, / = 1, .,., я, л:0 = 0), которые принадлежат
открытой области G, а через QA — призму 2ЛХ[0> тАлг0],
где /» = [д^-о].
Граничную поверхность Qh обозначим через Sh9
a *SfoX[0, ткх0] = F±. Те же обозначения ЙЛ, QA, Sfo и FA
сохраним и за совокупностями точек решетки, принадлежащими
соответственно областям Qfo, Qa или границам Sh и fA.
Заменим уравнение (8) разностным уравнением следующим
образом:
£>«+/-О, (9)
п
г Д2й , vi Д2а , VI Да ,
Длг0Длг0 f^'bXitJCj f~ Д^
где коэффициенты и разностные отношения
Дц ^ 1
Дл?г А**
w5f — tz: ^ 77 Iй (xv •' •» **> " '' *o) — и (xv
..., Xj — Длг^, ..., л?0)],
или, короче,
„ я (**) — u(xt~- bxj) _u(xi + bXi)--u(Xi)
— А2ц _ JL f*fL^ — А. f АЛ _
XiX$ bxt Jxj Длг( \Длг/ Дх? \Длг/
— u(x4-\-£iXi9 Xj — Длг^) + и (xi9 Xj — Длг^)],
вычислены в точке решетки с координатами (хи ..,, хп, х0).
Определим ка точках QA функцию ип, удовлетворяющую
внутри QA уравнению (9), при л:0 = 0 к xQ = AxQ — начальным

136 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. III
условиям
uh (AjA, ..., knh, 0) = 9 (kth, ..., knh)
uh (kth9 ..., knh, &x0) = <? (AjA, ..., knh) +
+ Длг0ф (AjA, ..., AnA),
(10)
и равную нулю в точках F±.
С самого начала можем считать А столь малым, что
функции фи<])В точках Sh равны нулю, и потому (10) не
противоречат последнему требованию.
Очевидно, существует лишь одна такая функция uh, и она
вычисляется последовательно для рядов точек х0 = 2Длг0,
ЗДлг0, ..., /гаДлг0, принадлежащих Qa— F&, с помощью (9):
«(*, л:04- AxQ) = 2u(Xf x0) — u(Xf xQ — AxQ) — (Длг0)2 X
*,j = l г = 0
+ <ш(*, x0)+f(X9 xQ))
(заметим, что все члены правой части вычислены для слоев,
более низких, чем лг0^-Д*:0).
Целью дальнейших рассуждений является выяснение того,
при каких условиях функции uh будут давать в пределе при А
и Длг0 -> 0 обобщенное решение нашей задачи. Будет
показано, что для этого достаточно, чтобы отношение -j~- = х
было бы меньше некоторого числа, определяемого лишь
коэффициентами a4j. Ограничение величины х сверху диктуется
самой сущностью вопроса. Именно, область зависимости
решения разностного уравнения для любой точки QA должна
быть не меньше области зависимости решения и уравнения (8)
для той же точки. Но область зависимости для иь сужается
при увеличении х, и потому естественно, что х не должно
превосходить некоторое фиксированное число, которое будет
указано ниже.
При дальнейших преобразованиях нам потребуются
формулы „дифференцирования* произведения:

\
§ 2] ОТЫСКАНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ 137
[и (х) v (х)]х = их {х) v (лг)+" (* + Ал:) ^ (х + Алг) =» |
= М*)* (*) + «(* + **)*•(*)> j
[и(^)гр(дг)]-=а-(Аг)г>(х) + и(Аг — Длг)<у-(лг) = |
= а- (дг) v (лг) + и (л: — Ал:) ^ (л: — Длг), ]
и формула „суммирования по частям":
W-1
2 «(*)[*(*+1) — *(*)] —
== — 2 [«(«) — u(s— 1)] т> (5) -f a (n) v(n) — u (0) г; (О), (12)
8 = 1
которые легко проверяются непосредственным подсчетом.
Значок h у функции ah мы опускаем до тех пор, пока
речь будет идти только о решении уравнения (9). Также
мы часто не будем писать полностью аргумент (кхз .. „, хп, х0),
указывая явно лишь те координаты, которые сдвигаются по
сравнению с (х1У ..., хПУ х0) в результате
„дифференцирований" или „суммирований по частям".
Оценим теперь сверху сумму
п
для всех х0 = р kx0^L Преобразования, которые мы будем,
проводить с этой целью, несколько напоминают те, которые
делаются при выводе основного неравенства для уравнения (1).
Однако здесь они будут более сложными, так как при
составлении разностных отношений от произведений и при
суммировании по частям аргументы множителей сдвигаются.
Доопределим функцию ип на все точки решетки,
принадлежащие слото 0 <^ х0 <; т Д*0, полагая ее равной нулю вне фд.
Продолженная таким образом функция uhi вообще говоря»,
не удовлетворяет уравнению (9) в точках F&. Однако равенство
(%+"г0)(Ч»+/) = ° , (13)
имеет место для всех точек решетки, принадлежащих слою
Д*о<*о<(т — !)Алго-
'««-(ч./*

138 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. Ill
Преобразуем (13) с помощью следующих двух тождеств:
и -.(и -4-и- \ = (al )
xQxQ\ xQ xQJ \ xQ'xQ
и
= К/Ч (\+\)к. - \К (\+ %)Ц \\»гшл>
где символ { Jar.—дж. означает, что стоящее внутри выражение
вычислено в точке (хи ..., Xj— Ахр ..., дг0), тогда как все
остальные члены равенства вычислены в точке (хи ...,
Xj, . . ., Xq),
Равенство (13) можно записать так:
п
п
~ JL{{а<* (Ч+ЧЧ Ч ]*г^ +
п
+ (2 ар- + au+f)(u + а-) = 0.
<=о
Просуммируем теперь обе части полученного равенства
по всем точкам решетки, принадлежащим призме Qh X [Д-^о»
(р — 1)Даг0], р^т, в том числе и по точкам решетки,
принадлежащим боковой поверхности этой призмы, и учтем, что
при этом исчезнет второй член левой части.
„2_ F0B* АЖ0
х0 xQ
V
J№-1 W
+ Д*0 2 Л» 2 (2 ар- + аи +/) (и + и- ) = 0. (14)
J5-1
Знак 2 означает суммирование по х0:
e=i
лг0 = Лл:0, 2 Ад;0, . .., (р — 1) Алг0,

§ 2j ОТЫСКАНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ 139
Займемся преобразованием второй суммы
St = ^о%^%^{иХй+ифих.
Указание на то, что выражение, стоящее под знаком суммы,
надо вычислять при сдвинутой координате, мы опустили. Это
возможно благодаря наличию суммирования 2 и тому, что
вне Qa и на границе F± функция ип = 0. При
нижеследующих преобразованиях мы опустим знак суммирования по i и J
от 1 до п:
р-1
S1 = Длг0 2 *Л 2 1<*и (и„ + и-У а +
л
Сравним ее с суммой
р
S2 = ^2Аа:о2((я Х*0;; L fiA^-
2 o|J 0£i « *i */ЧЧ=вАач>
Последняя сумма может быть преобразована так:
р
So = hn 2 Д#о 2 {(я й~ и ~ Ъ h а~ =
р
9^ 3 = 1 У ^ ^0/8Aa?0 l
+ {а{/*хр0аа>^(8-1)Ьх0+ {%хоих{}8Ах0'{их)(8-1)Ьх]=
р-1

140 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. III
Р
С другой стороны,
s2 = ьп 2 [{^^^}рАЖо— {%-"^^.}0],
%
следовательно
#-1
*=s,+*. 2 д*0 2 (v, (%+«Ч? W-, -
-а»2 д*0 2 {v0%U0 <%}(.-1>*.в-
Обозначим через
5»=7*"? А*°{a*A/Vo W
5*=А" А*о 2 2 «в«в, <Ч+\К^{ "ч ~
h
Р
- hn Д*02 2 {«,£,*„,Ufl {".^s-da^ -
— Л»2 Д*0 {atjU^u^J 0.
Тогда
5Х = S2 + 53 + 54 = A»2 K"*^} £ A*° + 53 + 54

§ 2] отыскание Обобщённого решения 141
Подставим это выражение для Sx в (14):
р-1
+ h» Д*0 2 2 [«<а- + аа +/j (и + и-) +
2, s = l i 0 0
+ *Л2 {40 —а^йа,!^ } -0. (15)
2Д U
Оценим теперь сверху |58| и |54|:
«л t.J-1
йл «, i=l
n
ft
|54|<2»»rA»2A*oi I 2^ + 40Ue +
+ca»2{2<+4J 0-
где
С — щ Алг0 + w2<]f xx.
Наконец,
I А" 2 л*о 2 («<%+аи +/) (ч+V'<
2 S=*l * 0 0
<(«+3)TA»2^oi{i<.+«L+"a+/2Lv
g 8 = 1 г = 1 г О О
Перенесем в равенстве (15) все члены, кроме первого,
направо и оценим их сверху с помощью только что полученных

142 решение в ЦЕЛбм С пбмОщью конечные рАзнбстЁЙ [гл. if!
неравенств:
п
<
hn2 [40 — J24a4a»ttt»j\,t
2^ u t»J —1
<С^АХо±\{±ul +4 +«»+/•} +
2 s = l г=1 * О О
+ h" 2 { «*0 — . 2 «««*,«*, + С (2 «£< + 40) )x о +
2» Ф»^ = 1 ^ 4 = 1 U
Q,. tf = l * 0 •''"""о
Перенесем последний член налево и воспользуемся
неравенством (3):
л* 2 {«|0 а - «V)+2 4, («-«v)}„ п <
<50 + С1А»2Д^о2{<+244 + и2+/2}8ла!(>' (16)
где
50=а»2{40—<^i«4f«e.<B*i+c(iii0+<2«i<)}^e. (16')
Ах
Выберем теперь х = -^ так, чтобы -
1—л1*у1х>а1 >0, а — ^Tix>ai>°» (17)
где а1— какое-либо положительное число.
Так как постоянные а и ^ определяются лишь
коэффициентами а,ф то этими же коэффициентами определяется и
выбор х.
Из неравенств (16) и (17) следует, что
2. 8 = 1 4 = 1 0
1 Обратим внимание, что С, d и все вводимые ниже Q не
зависят от Длг^.

§ 9] 5fyCKAHfcfe ОБбБЩЁННбгО РЕШЕНИЯ 143
бцёнйм сверху сумму hn^u2 через hn^u% для любого
х0 = ^ Алг0. Для этого заключим область Qh в куб qxh <;
•С-*^<^2^» / == 1» ••., п. Так как uh = 0 вне QA — FA, то
8 = ^ 1
Возводя в квадрат обе части полученного равенства и
оценивая правую часть с помощью неравенства Коши,
получим ^
u2(xl-^rslh)^(s1 — q^h-h 2 «&<
Суммируя теперь обе части этого неравенства по всему кубу,
мы и получим неравенство:
A»2«a<:CaA»2«L (19)
2/> % г
справедливое для всех x0 — skxQi s = О, 1, ..., т.
С помощью этого неравенства исключим и2 из правой
части (18):
р п
«_i '*4ач>
<^о+с8*»2д*оЖ+2й*<+/2и, (20)
8=1 * = 1
где
c3 = (c2+i)<§-.
Обозначим
а» 2 дж0 2 {«|0 + 2 а\ I д*0=д' (р).
9„ 8 = 1
1

144 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОк С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [iVI. Ш
Тогда последнее неравенство можно записать в виде:
Отсюда находим, что
Величину Дл:0 можно считать с самого начала столь малой,
что 1—С3Дл:0>у. Пусть 1 __Q Дд, = Е, тогда
y(p)<Ey(p—l) + Ebx0F(Py, p = 2, ..., т. (21)
Для р = 1 присоединим к (21) следующее равенство:
у (1) = Д*0 Л» 2 № + 2 (?*, + Д*о <Ы2] = Д*о So. (22)
Применяя теперь неравенство (21) последовательно р — 1 раз,
найдем:
у (р) < Е'-'у (1) + Е Ьх0 2 f^-8/7 (s).
8 = 2
Но
ибо
и
£ Ддг0 2 ^-^ (5) < Е*-1 Д*0 2 ^ (*)< l<?4 F (Р)>
8=2 8=2
поэтому ос г /
.У(р)0 8 [A*oSi + /F(/»)]. (23)
Оценим, наконец, величину S0:
5i = А" 2 № + 2 [?«, + * (ф (*< + А) - Ф (**))]2} <
<*2{f4-3 2[4,+*V(*«+*)+*Yi}.

§ 21
ОТЫСКАНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ
145
Но функция ф равна нулю в тех точках решетки, которые
не принадлежат Qh, поэтому
ГУ
где в качестве С4 можно взять наибольшее из чисел 6х2я -|~ 1
и 3. Такая же оценка имеет место и для S0 [см. (16^],
только вместо С4 следует поставить, вообще говоря, другую
постоянную Сб.
Подставляя полученную для S0 оценку в (23), найдем, что
2CJ
у(р)<<уиг"*
(24)
Из (24) и (19) следует основное для нас неравенство:
р
р=19 ..., т.
(25)
Из (19), (20) и (24) вытекает и более сильное неравенство:
п
Нп-%{и2-\-и1о-\-2и1{}МХо<£С6Ар, р = 1,...,т. (26)
Итак, для функций uh при всех /г, меньших некоторого
Ах
числа Ах > 0, и х = -^, удовлетворяющем условиям (17),
справедливы неравенства (25) и (26), правые части которых
равномерно ограничены для всех h^h^
Пусть h и Алг0 пробегают некоторые числовые
последовательности kv h%> ... и *hv xft2, ..., члены которых
положительны и стремятся к нулю при s-»oo. г Для
последовательности [an | выполнены все условия теоремы 21, § 6,
1 %, вообще говоря, не обязана быть постоянной, но во всяком
случае должна удовлетворять неравенствам (17).
Ю Зак. 363. О. Ладыженская.

146 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. til
гл. I, поэтому существует такая подпоследовательность {%},
для которой непрерывные функции и!ь сходятся слабо в
о
норме WW (Q) к функции и из D1(Q). Кроме того, функции
и!ь сходятся к й на' каждой плоскости Х0 = const в норме
L2 (2) равномерно относительно х0 £ |0, /]. Вследствие этого
и есть элемент Z.2(Q), непрерывно зависящий от *0£[0, /]. На
плоскости х0 = 0 функции u'h сходятся в 12 (даже равномерно)
к заданной функции о, поэтому предельная функция и
удовлетворяет начальному условию
и(Х9 0) = о(4
Докажем, что и (X, х0) есть искомое обобщенное решение
задачи. Мы уже проверили, что она удовлетворяет гранич-
о
ному условию [входит в D1(Q)] и первому начальному
условию (и | _0 = ср). Остается доказать, что для и справедливо
о
тождество (4) при любой функции Ф из D%{Q). Пусть
сначала Ф есть какая-нибудь функция из £>2 (Q), т. е. пусть Ф
имеет непрерывные первые производные и равняется нулю
вблизи всей боковой поверхности F цилиндра Q и при
х0^1 — е, s > 0. Возьмем h настолько малым, что на
поверхности Fh функция Ф. равна нулю. Обозначим через р
натуральное число, определяемое неравенствами (р — 1)Дл:0<
</<рАлг0.
Для функций uh справедливо следующее тождество:
л»2д*о20*«+/)ф = о.
Преобразуем его с помощью формул (11) и (12), учитывая,
что Ф££>2(<?):
р п
0 = — /*n2A*o2l {"*0Ф*0+ 2 л^аатФа,+ .
~п п
+ 2 aijxux<& (xj + К) — 2^«-* — аиФ—/Ф } — /

§ 2] бТЫСКАНИЁ ОБОБЩЁННОГО РЕШЕНИЯ 14?
Это тождество можно переписать и в интегральном виде,
если воспользоваться обозначениями § 6 гл. I, именно:,
J J [«а-0Ф*0 + 2 **«*<**, + .2 OiSxjlxt * (Xj + К) —
— 2 «,"** — ««Ф- /Ф]Л? + f^*L=0^ = 0. (27)
tf = 0 i q °
Так как Ф имеет непрерывные первые производные в Q,
то кусочнопострянные функции Ф и Фх сходятся к Ф и
Y~t равномерно. То же имеет место для функций ау9 а^х.,
ai9 fl, /и |.
Если же h пробегает выбранную нами выше подпоследо-
вательность значений, то функции ап и их будут сходиться
слабо к и и тр- (см. теорему 20, § 6, гл. I). Поэтому
в равенстве (27) можно перейти к пределу при h->0,
в результате чего получим нужное нам тождество:
J [дх0 дх0^ Zd i3dXi дх^ Zd дхл dXi v
~2a< д^Ф-ввФ-/*]*? + J фФЦ.,^-0. (28)
Однако (28) доказано пока лишь для функций Ф из Z)2 (Q).
о
Пусть теперь Ф — любая функция из D2(Q). Из определе-
о
ния класса Z)2(Q) следует, что Ф может быть приближена
в норме W{i}(Q) гладкими функциями из Z)2(Q). Пусть Фк
есть последовательность функций из D%(Q),
аппроксимирующая Ф в норме WW(Q), т. ^. пусть при k-+oo
IIФ — Ф II а) ->0. Тогда на каждой плоскости xn=const
fc w2'(Q) °
будет || Ф — Фк || L (S) -> 0 при k -► оо равномерно
относительно лг0£[0, /J. Для всех функций Фк тождество (28)
10*

14& РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. \\\
доказано. Входящая в него функция и принадлежит WW(Q),
поэтому в (28) можно перейти к пределу при k -* оо.
Действительно:
ади_(^_дФк\х, V п ди (дФ дФА 1
дх0 \дх0 дх0)^ Zd ^ дхг \дхл дхл) ~^
-f(<S,-<bk)]dQ±j ф(Ф-Ф»)ЛЗ|<Св||«||Тр(1)(в)Х
h 2
X ||Ф — Ф II а) +св||Ф|| . ЦФ — Ф |l -*o
при & -> oo.
Отсюда следует, что для и тождество (28) имеет место при
о
любой функции Ф из D2(Q).
Итак, нами найдено обобщенное решение и при условии,
что /, о, ~ и iji непрерывны, а <р и ф равны нулю вблизи
границы S.
Для этого решения выполняется неравенство
Q *=0
<С7{ f [^ + ^ + 2(g._)"]rfQH- |></<?}. (29)
Действительно, для всех функций uh в силу (25) имеет
место неравенство
/7° п л
J J I»l + ul0 + S «*< <*Q=
9 0 <_1
= A» S Д*02 K + «« + S «« К Л Vi + A*o)-

§ 2] ОТЫСКАНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ 149
Кроме того, из теоремы 20, § б, гл. I следует, что
функции uh и их , г = 0, ..., я, сходятся слабо в L2(Q) к тем
, duh ди
же пределам, что и функции uh и ^—, т. е. к и и -^— ,
а из теоремы 2,§ 1, гл. I следует, что нормы и и ^— не
превосходят верхней грани норм uh и их.. Но для всех
достаточно малых h сумма квадратов норм иъиих., /=0,..., п
в I2(Q) не превосходит числа, сколь угодно мало
отличающегося от
и потому для предельных функций справедливо
неравенство (29).
Пусть теперь относительно /, © и ф известно лишь, что
о
/^I2(Q), ®£D(Q), a ^6^2(2)- Покажем, что им также
соответствует обобщенное решение задачи. Для этого
возьмем непрерывные функции Д, tyk и ок такие, что
ll/-/*llVe,-o. II-5—М*2<в,-0и ||?-ъЦц(в)-о
при /г -* оо, причем <Ьк и о^ обращаются в нуль вблизи 5,
а функции срл имеют непрерывные первые производные.1
Функциям {Д, 9fc> Фй I соответствует единственное
обобщенное решение ак уравнения (8), а функциям {Д—fm, vk—?m,
^к — tym } соответствует решение ик — ит> причем для него,
1 В качестве fk можно взять, например, средние для /
функции с радиусом усреднения р = -г, доопределив / предварительно
нулем вне Q. За функции <\>к можно взять средние с радиусом
усреднения р = -кг для ф(Л:) = <^ в ~Л, где Qk есть совокуп-
£к \К) вне «а^
ность точек Q, расстояние которых до S не меньше -=- . Функции
же срЛ можно выбрать благодаря тому, что множество гладких
функций из D(Q) плотно в 3{Q).

150 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. II
по доказанному выше, справедливо неравенство (29):
IIЧ — ит || 2w(i) (Q) < C7 [ || <?к — <?т || ^d (e) +
2 2
+ Ш-Ы\(а) + \\h-fm\\\{Q)\-
Отсюда следует, что ик при &-*оо сходятся в норме W^{Q)
к некоторой функции и. Нетрудно показать, что предельная
функция и будет искомым обобщенным решением задачи для
уравнения (8), соответствующим функциям {/, <?, ^}.
Действительно: a) u^D1(Q)1 так как все uk^D1(Q) и DX(Q)
замкнуто в норме W^(Q); b) и \х 0 = о, так как ик\х^0 = <?к
и ик сходятся на каждой плоскости х0 = const £ [0, /]
в норме I2(Q) равномерно относительно лг0£[0,/]; с) и
удовлетворяет тождеству (28), ибо каждая из функций ик
удовлетворяет (28) при <р = 9л» T, = T,ft VLf==fky и в этом
тождестве (28) можно перейти к пределу при k -> oo (аналогичный
предельный переход мы проводили выше для функций Фд.).
Итак, доказана следующая
Теорема 5. Если коэффициенты уравнения (8) я#, ai
паи функции -5-^ непрерывны в Q = 2 X [0<л:0 </],
где Q— произвольная конечная область пространства
xv ..., хп, a /£Z,2(Q), y£D(Q) и ty£L2(Q), то
существует обобщенное решение рассматриваемой в этой
главе смешанной задачи для уравнения (8),
соответствующее функциям /, ср и^. Для этого решения справедливо
неравенство (29).
Пусть выполнены условия этой теоремы и, кроме того,
имеет место теорема о единственности обобщенного решения
(достаточные условия этого даны в § 1 данной главы). Тогда
обобщенное решение и обладает устойчивостью относительно
начальных данных и свободного члена. Именно, если через их
обозначим обобщенное решение уравнения Lux -J-Д = 0 при
начальных данных ^ и $г и если <pi € & (2) > *h € ^-2 (^) и
/i€M«> то
lltt — ttil|2Tr31)(Q)<C7[|l? — TillV^w +

§ 3] ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СВОЙСТВ РЕШЕНИЯ 151
§ 3. Исследование дифференциальных свойств
обобщенного решения
Предположим, что обобщенное решение а (X, х0)
смешанной задачи, рассмотренной в § 1 и 2, принадлежит
пространству WM(Q). Покажем, что в этом случае и будет
решением почти всюду для той же самой задачи, т. е. покажем,
о
что и £ Dx (Q) удовлетворяет (почти всюду в Q) уравнению
La-]-/:= О и начальным условиям:
и(Х, 0) = ?(Л),
(2i)
(22)
Условию (2Х) и граничному условию и удовлетворяет
в силу своего определения. Кроме того, для нее выполняется
тождество (4). Рассмотрим сначала тождество (4) для всех
непрерывно дифференцируемых Ф, равных нулю вблизи всей
поверхности цилиндра Q. Для них исчезает последний член—
интеграл по плоскости лг0 = 0. В оставшемся объемном
интеграле произведем интегрирование по частям, перенося все
производные с Ф на и. Это возможно, так как u£WW(Q).
Учитывая при интегрировании то, что Ф равно нулю вблизи
всей поверхности Q, получим:
Я
Так как множество взятых нами функций Ф плотно в L2(Q),
то Lu-\-f будет почти всюду в Q равно нулю. Возьмем
теперь в (4) в качестве Ф любую функцию из D2(Q) и
проинтегрируем (4) по частям таким же образом, как и выше,
именно:
Q ^

152 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. III
Первый интеграл равен нулю, ибо Lu-j-f=Q почти всюду
в Q. Кроме него, равны нулю интегралы
/[ё-ёи**-0- '->• ••••••
ибо и £ Wf' (Q) и удовлетворяет условию (22) (см. следствие 1
из теоремы 10 § 3, гл. I). Поэтому равенство (*) можно
записать в виде:
2
Отсюда следует, что ф — ^— почти всюду на 2 равна нулю,
OXq
так как множество функций Ф(^, 0), непрерывно
дифференцируемых и равных нулю вблизи границы Q, плотно
в L2(Q). Таким образом, мы доказали, что обобщенное
решение есть решение почти всюду, если оно есть элемент
пространства wik) (Q), k >> 2. Если же обобщенное решение а есть
дважды непрерывно дифференцируемая функция в Q, то, по
только что доказанному, она будет решением почти везде; из
этого же следует, что и является и классическим решением
задачи.
В настоящем параграфе мы выясним, при каких условиях,
наложенных на данные в задаче функции, найденное в § 2
обобщенное решение принадлежит к Wik){Q), г^е * — любое
наперед заданное натуральное число. На этом пути мы
получим, в частности, достаточные условия существования
классического решения задачи, для чего необходимо лишь
установить, когда обобщенное решение будет принадлежать WW(Q)>
где* = р+1] + 3.
Сначала мы исследуем обобщенное решение смешанной
задачи для того случая, когда <р=з0, ^==г0 и
= 0, т = 0, . .., k—1;
dmf
дхТ
а затем разберем и общий случай,

§ 3] ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СВОЙСТВ РЕШЕНИЯ 153
1°. Пусть коэффициенты уравнения
п
д2и , VI д*и
l"+/=t5-+ S а^
dxi .**a ^ дх4дх4
u i, 3 = 1 « 3
n
и свободный член f(X, x0) имеют непрерывные производные
по лт0, ..., хп до порядка k — 1 в цилиндре Q = QX[0>^!>
dmf
и пусть
д*«
= 0, m = 0, ..,, ft— 1. Граничные
функции zn=*to(z19 ..., гПт,г) считаем непрерывно
дифференцируемыми по zv ..., zn_1 до порядка ft-j-1. При этих
предположениях мы исследуем то решение уравнения (8), которое
на боковой поверхности F цилиндра Q обращается в нуль,
а при лг0 = 0
да I
дх0\
и к=о = ? = 0
=4 = о. (30)
Пусть ft^3. Тогда такое решение (обобщенное)
существует, единственно и может быть получено как предел
решений uh разностного уравнения (9) при h -> 0. Вследствие
единственности обобщенного решения нетрудно доказать, что вся
последовательность uh (а не только некоторая ее
подпоследовательность) сходится к решению и. Кроме того, если мы
вместо координат xv ..., хп введем другие координаты
v19 ..., уп так, что функции уг(х19 ..., хп), /= 1, ..., п
будут иметь в Q непрерывные производные до третьего
порядка, то решением той же смешанной задачи для
уравнения (8'), полученного преобразованием уравнения (8) к новым
координатам, будет, очевидно, функция
«СУП» • • •> Уп> Уо) = а(xi(Уи • •> Уп\ • • •
• • • i хп \У\.ч * ' • » Уп)* Х0п хо — .Уо*
Эта же функция й может быть получена как предел
решений разностных уравнений, заменяющих уравнение (8'), для
которых сетка строится с помощью плоскостей y9 = kgby8J

154 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. III
s = 0, ..., п. Действительно, для уравнения (8') и
соответствующих ему разностных уравнений (9') можно, повторив
все рассуждения § 2, доказать, что последовательность
решений иь уравнений (9') сходится к обобщенному решению
уравнения (Б7), которое в силу теоремы единственности совпадает си.
Мы воспользуемся этим положением, позволяющим решение
смешанной задачи получать с помощью сеток в различных
системах пространственных координат.
Возьмем область 2Х с 2, примыкающую по п —
1-мерному многообразию Sx к границе 5 области 2. Назовем 2Х
пограничной областью канонического вида, если
существуют в 2 непрерывно дифференцируемые до порядка k ~j- l
функции )>i=yi(xv ..., хп), /=1, ..., я, отображающие
взаимно-однозначно область 2 на некоторую область так, что
области 2Х соответствует куб 0^^^/р причем грани куба
уп = о соответствует многообразие 51? а всем остальным
точкам куба — внутренние точки 2. Кроме того, уь—'У»'
должен быть больше нуля в 2.
Образ области 2 в пространстве (yv ..., уп) обозначим
через Д а куб 0^у4^.1^ *=1> •••> я, — через Dv
Возьмем в Dx куб /У, определенный неравенствами 0^уп^1г—28х,
^х^Уг^к — ^i» * = 1, •••> л — 1, где \ — какое-нибудь
малое положительное число. Пусть образом куба D' в
пространстве (xv..., хп) является область 2'. Очевидно,
2'с21с 2. Будем считать, что область 2 можно покрыть
конечным числом перекрывающихся канонических областей
Qv ..., 2jv так, чтобы сумма соответствующих им областей
2', ..., 2^ для какого-нибудь 8Х > О давала бы все 2 .
В качестве допустимых канонических областей 2^ можно
было бы взять еще такие области, которые состоят лишь из
внутренних точек 2 и отображаются k -(- Г раз непрерывно
дифференцируемыми функциями на куб Dv
Все дальнейшие рассуждения, проводимые для
„граничных" областей типа 2^, справедливы и для „внутренних"
областей канонического вида. Больше того, для
„внутренних" областей доказательства проводятся даже проще, и
потому мы позволим себе не проводить их отдельно, если
даже такие „внутренние" канонические области введены в рас*
смотрение^

§ 3] ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СВОЙСТВ РЕШЕНИЯ 155
Цель настоящего параграфа состоит в установлении того,
что решение и(Х, х0) имеет в каждом из цилиндров
Q{ = Q* X [0, /| обобщенные производные до порядка А,
квадратично суммируемые по Q^ Отсюда будет следовать,
что aZWJPiQ).
Переходим к доказательству этих свойств решения я.
Введем в 2 новые координаты у19 ..., уп с помощью
функций У{=Уг(х1, ..., *п)> г==3 1> • • •> я, имеющих
непрерывные производные до порядка & + 1, так, чтобы одна из
пограничных канонических областей, пусть Qv
отобразилась на куб Dv а вся область 2—на область D. Границу
области D обозначим через Г, а грань (уп = 0) куба Dt —
через Г1э так что Г^Г. Уравнение (8) в новых координатах
в цилиндре © = D.X [О^.Уо<^Л будет иметь вид:
где
4,j=l i=0
п
к, 7=1
дУ4 ^ fyj
дхк dxi '
*«e S ^дЩгг + ^Ш' b = a>
при этом мы сохранили за / и й те же обозначения и в
новых координатах у0, ..., уп. Для функции / при у0 = 0
выполнены равенства .
^0W
= 0, т = 09 ..., А — 1,
•у0=о
поэтому, если мы положим /==0 для у0^.0, т<> не нарушим
непрерывности / и ее производных до порядка к— 1.
Коэффициенты уравнения (31) имеют непрерывные производные
по у8 до к— 1-го порядка и, очевидно, удовлетворяют
неравенству
«' %\<- 2 М&<«'£& (-32)

156 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. III
где а' и а"— некоторые положительные постоянные,
зависящие как от a4j9 так и от производных вновь введенных функ-
ций^ —Ч i,k = l,...,n.
Доопределим коэффициенты уравнения (31) на весь
цилиндр ®! = DX[—8<^0<[/], где 8— какое-нибудь
положительное число, так, чтобы сохранились перечисленные только
что свойства дифференцируемости этих функций и
неравенство (32) с некоторыми положительными константами а' и а".
Пусть
max |£,.| = Tl,
i, j, ©2
а максимум моделей производных от коэффициентов
уравнения (31) до порядка k—1 и самих коэффициентов Ь^ и b
не превосходит f.
Будем решать теперь уравнение (31) в цилиндре ®t при
условиях
= ди_\
tfL = 0,
*<г
= 0, (300
у0=-ь
где Е — боковая поверхность цилиндра ®1Ф Для этого снова
используем метод сеток, на этот раз разбивая пространство
плоскостями у8 = k8 A*s, s = 0, ..., п, кух = ... = Дуп = h,
_=р = х, причем к ограничивается сверху так же, как и в § 2,
неравенствами
1—n*Tix>*i >°> а' — Аг^х>а1>0, (17')
где at — какое-либо положительное число. Будем брать Ау0
так, чтобы д—было целым числом, пусть -г— = г.
Уравнение (31) заменим разностным таким же образом,
как и в § 2:
и пусть uh есть решение этого уравнения, равное нулю во
всех точках решетки, принадлежащих плоскостям у0 =— 8
и у0 = — 8-|-Ду0 и во всех граничных точках £д. За
обозначениями Dh, £д, ®^д сохраним прежний смысл, указанный

§ 3] ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СВОЙСТВ РЕШЕНИЯ 157
в § 2. Будем считать kyQ уже настолько малым, что д—^&,
где k — число, входящее в условия гладкости
коэффициентов, сформулированные в начале этого параграфа.
Тогда на k „нижних* рядах, именно у§ — — 8-|-рДу0,
р =^= 0, 1, ..., к ■— 1, функция иь будет равна нулю, и потому
Любые разностные отношения — для уп~ — 8
ДУо° ••• Ьупп
будут равны нулю, если только т^к.
В § 2 для решений uh была получена основная оценка
«(l>(«(p))-*-^4o+g1«;i+«i}lfe,,^<cw (26)
п
на основании двух фактов: 1) величина и - 4- 2 Ь..и -
при u^Ufa где uh — рассматриваемое решение, выражается
через разностные отношения uh более низкого порядка и
2) uh \Е = 0. Но эти два свойства имеют место и для функ-
А
ций —^, т=1, ...,/5—1, и потому мы сможем оценить суммы
Я(1> (—-~\ т = 19 ..., к— 1 примерно так же, как это
сделано в § 2 для HW(u{p)\ Возьмем, например, функцию
и0 = д-^. Она удовлетворяет равенству
+2 V..-+2 v», + ч>+V+/*-0-1 <34)
Положим, как и выше, uh = 0 для —8<;рА^0</ вне
цилиндра ©1Д.
1 Значок + к наверху означает, что координата ук сдвинутл
на -\-кук по сравнению с &-ой координатой для остальных членов
данного соотношения» Аналогично, значок —k наверху означает
сдвиг ук на — Ayfc.

158 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНбСГЁЙ [гЛ. til
Вместо (13) возьмем равенство
(4+"o-,0)(V+/)*„ = (>,
справедливое во всех точках Dh X [— 8 <; р Ду0 <; /—Ау0],
включая и граничные точки £д, в которых обращается в нуль
первый множитель, но, вообще говоря, не второй. Так же,
как из (13) выведено (14), мы из этого равенства получим
следующее:
A»S{eo,.}pA--*»SA^o 2 IS IM«<*o +
+ Ч) \ ч )„,-»+Ай2 a,0 g £ (2*,«4+
+ 2 *<»0в^ + *"o + byji -}-fy0) («0j,0 + a0pfl) +
+ А»ЦДу0 2 .2 V^(%ft + <W==°< (35)
В (35) мы не указали явно „сдвига" аргументов у
некоторых известных функций, так как это не имеет
существенного значения. Все члены этого равенства преобразуются
так же, как аналогичные им члены из равенства (14).
Исключение составляет лишь последняя сумма в (35), которую мы
обозначим 5б.
Итак, из (35) указанным в § 2 способом выводится
неравенство, аналогичное (20), с поправкой на сумму S&:
п п
+ 2«^+2^+«2+4)+с11|55|, (36)
при условии, что x = -jp удовлетворяет неравенствам (17').
Справа в (36) мы не написали суммы S0, которая равна нулю
в силу того, что uh = 0 для у0 <; 0. Сумму же 5б мы
преобразуем следующим образом: „перенесем" одно из
разностных отношений с и - на остальные множители, воспользо-
yiyj

§ Sj ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СвбЙС1В РЕШЕНИЯ 159
вавшись формулой (12) суммирования по частям, причем снова
не будем явно указывать сдвиг аргументов у известных
функций и суммирование по /, / = 1, ..., п:
5б=- л»2 ал#*2+1«,4 I ьЧч («, л+Vo) ]у, =
+Wi (v«+ч-*о)]=-Ага ^Кл х
Отсюда легко получаем неравенство:
+ Са*-51АЛ S ( £**, + "'*)' (87)
Dh в—r+Aj-i I
справедливое для любого s > 0. В первую сумму правой части
входит член и| (рДу0), не содержащийся в левой сумме
неравенства (36). Мы оценим его через члены, входящие в
левую часть (36), таким образом:
uy0Vj ~ uyQyj /Г * и у0у0 — *W<r
Следовательно,
"«- < Зи1. + 3*2^п,7 + 3х2«о« •

160 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. III
Подставив это неравенство в (37), а затем (37) в (36), получим:
р
нт(«о0»))<с18{«//(')(и0(р)) + Ау0 ^ [Я(1)(моW) +
s=-r+l
2>л в=-г+1
Возьмем теперь е<о?г-, тогда, используя уже доказан-
-*W3
ное неравенство (26), из последнего неравенства найдем:
/*(1)(M/»))<cU4yo 2 я<1)(«0(5))+
s=-r+l
Отсюда же, в свою очередь, выводится нужное нам неравенство
tf(1)(«oO>))<cu
таким же способом, как указано в конце § 2.
Вполне аналогично этому устанавливаются неравенства
№{*ffl<Cu, »<*_1, (38)
причем сумма, стоящая слева, распространена на все точки
решетки, для которых (yv ..., уп) £Dh, а у0 = рку0, или>
**то то же самое, на все точки решетки, принадлежащие пло-
скости Уо = рку0, ибо uh и —— равны нулю вне ©и. Бла-
годаря тому, что uh и / равны нулю на плоскостях у0 =
-=—8-(-/?A^q, jP = 0, ..., &— 1, нам не приходится
заботиться о сходимости получающихся на этих плоскостях сумм
к соответствующим производным от начальных функций, что,
вообще говоря, довольно затруднительно. Наконец, заметим,
что при доказательстве неравенств (38), так же как и (26),
мы нигде не использовали гладкость контура Г области D и,
тем более, специальный выбор системы координат у19 ..., уп.
Так что неравенства (38) справедливы и для старых
координат Х±у • • •, Х^,

§ 3] ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СВОЙСТВ РЕШЕНИЯ 161
2°. Переходим теперь к другим разностным отношениям
функции uh и постараемся получить для них оценки в кубе /У
при любом .Уо = Рд.Уо€(—8> 1)- На этот Раз мы использУем
тот факт, что часть 1\ границы Г области D лежит в
плоскости уп = const. Возьмем область D", определяемую
неравенствами —82<^п</1, 0<У4<1г, где 82 есть
положительное число, настолько малое, что точки области—82<^з/п^О;
Рис. 1.
0 <;/<*< ^1 не принадлежат D. Внутри области DP возьмем
куб D'", концентрический с кубом D' и содержащий внутри
себя/У. Перенесем параллельно систему координат (yv .. ,,уп)
так, чтобы Dm расположился в первом координатном углу и
одна из вершин его находилась в начале координат. За
новыми координатами и за всеми входящими в рассмотрение
функциями сохраним их прежние обозначения. Введенные нами
области в новых координатах определяются следующими
неравенствами (рис. 1):
1) D'": 0<^</2, / = lf •...»;
2) /У: 83<Л</2 —8S, /«I,..., я;
Н Зак. 363. О. Ладыженская.

162 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛл-III
3) Ог: 88<^л</1+«В1 — 81 + 88<Л</1 + 8в —8lf
/ = 1 ^ • *. -» /г — 1;
4) D//:-82 + 83<^</1 + 83, 83 —8Х <y,</lT-
— Si + Sg, /=1, ..., /г —1, причем 88<82, 83<81, /2 < /1#
Очевидно, D'czD'"czD"; D'aD^D" и D'cD^D.
Сетка задается плоскостями yi=zkihy /=1, ... я,
^0 = /50Ду0. Пусть, ради упрощения записи, -# = г1 есть
целое число.
Возьмем следующую вспомогательную функцию:
С = СЛСУ!, ..., А) =
=
7*
Д(51П2^ + 81П2!1(Л±А), для ^ .,., ^)€D-
О вне D"'.
Очевидно, С> 0 в Drn и превосходит в /У некоторую
положительную постоянную сс2, не зависящую от h:
С>ос2 в D'. (39,)
Далее, для С в /У" справедливо неравенство
гДё С1б— постоянная, зависящая лишь от /2. ^ ;- V
Действительно, для точек решетки, у которых 0^ук^,
</2 — А, а 0<^</2, 1фк, ' •
. - 2яЛ , . . : ■•-
; -^- = '* s-,n »<■?*+'*> ТТ (sin2 *L< л- sin* "t* + *)\ •

§ 3] ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СВОЙСТВ РЕШЕНИЯ; 163
В точках решетки, у которых yft = /2, 0<^<!/2, * ¥= & :
Из последнего неравенства следует, что для точек
решетки с координатами ук =— А, 0<^<;/2, 1Фк
неравенство (392) должно быть заменено следующим г
... (l|)<C"C- (39^
Наконец, во всех остальных точках решетки можно считать,
выполненным . неравенства (392), ибо для них С и -v—" равныг
НуЛЮ. - -■«■'-
Теперь постараемся оценить сверху следующую-сумму! ,■
для любого .Уо — ^АУо из (—^> -О-Л- .** ~'\'•- ' 7
Для этого учтем, что uh = 0 вне Dh и в граничных
точках 1\ при всех з>0 = Р ДУо> -УоО—8, /J.. В частности, к 1\
принадлежат точки,: ^м = й'^ -f. 1), 0 <^ < 11У I "= 1, ...,
аг—1, поэтому для точек решетки, лежащих в сечении Dw
плоскостью y'n=ifi(r1Ar,i)9 будут равны нулю и~>* у*и„-■}:::г
при кфп для точек из /У", у которых'j^^(rt-^2) А', ибо
эти* точки и точки ^ координатой Уп^Фп), сдвинутой на as А;
ЯВЛЯЮТСЯ, ВЦуТрШНИМИ ;ТОЧКа^И Dh.;, Г; ,-.---. ^ ^;.i v4 • «
Рассмотрим теперь ^равенства:; v~, : г . , ' г,: г.
И:> . и
^+^с^*л^; ;•• а ^щ
\ t-"Mi>ibсчитаем. й.<*Ц^£> •/. s , -~ оогнео .ог.зи^ vr/'U
^ - - - t С.
11*

164 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. Ш
которые справедливы при k Ф я, как это следует из только
что изложенного, для всех точек решетки, принадлежащих
слою у0 = рку0.
Из этих равенств мы получим интересующую нас оценку
способом, весьма похожим на тот, который был использован
в § 2 для вывода неравенств (24) и (25) из равенств (13).
Некоторое своеобразие в рассуждении связано с наличием
множителя С, который необходим нам для того, чтобы можно
было „отбросить" значения uh в тех точках решетки,
которые не принадлежат D'".
Раскроем в (40J и (402) выражения (Lhu) и (Lhu)- и
.исключим из них члены £ „ =- и о-, =- с по-
""ЬЬупЬуп пп"*ЬУпЬУп
-мощью уравнения (33). Затем сложим (40^ и (402) и, вводя
-обозначения ик = иу и и% = и - , k = О, ..., п — 1, запишем
результирующее равенство так:
* <«ч+«ч> <%*+J, V w+
-«ану0+ ищ)<М* +/ук) +1(«&,+«!»,) (^«+/рк)» (41)
где Мк и М% — линейные операторы от ah% содержащие
разностные отношения я, ui и и% не выше первого порядка.
Правую часть этого равенства легко оценить, используя
неравенство AB^y^^T^2' Левую же часть преобразуем
так же, как это было сделано для аналогичных членов
равенства (13) § 2. Мы не будем подробно повторять ранее
проведенные преобразования, а лишь укажем, какие новые
моменты имеют здесь место благодаря наличию множителя С.
Просуммируем обе части равенства (41) по всем точкам
решетки, принадлежащим п -]-1 -мерному параллелепипеду
Gp = D"X[(— ' + 2)Ду0> (р — 1)Ду0], где г, как и выше,.
целое число, равное j—, а рДу0«</—АУо- Обозначим левую

[§ 3 ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СВОЙСТВ РЕШЕНИЯ 165
Чисть полученного равенства через Sv Сумму St можно
преобразовать к виду, аналогичному (14) § 2, с помощью
указанных там равенств и суммирований по частям, именно:
5, = ^2С{«2. + «!-}" —
1 D" *Уо kV0 P*Vq
Члены, выделяющиеся на границе при „суммировании по
частям" по yv ..., уп9 исчезли, так как С = 0 вне /У". Член
-8+2Ау0
получающийся при „суммировании по^о"» равен нулю в силу
того, что tih = 0 на k нижних рядах у0 = — 8 —j— / Дуа>
/=0, ..., k—1. Первая сумма в Sx фактически
распространена лишь на те точки решетки, для которых (yv ..., yn)£D'"
(включая, как всегда, и границу D'"). Вторая же сумма из St
распространена не только на эти точки, но и на точки, для
которых yj = — ^ 0<!^<;/2, j Ф U потому, что для них
д v
д— Ф 0 (тогда как С = 0). Выделим из SY сумму,
соответствующую этим последним точкам, обозначив ее 5П, а сумму
остальных членов — через 51Ц, так что:
tfss-r+2 i,j=l #.= -& v v о %

t66 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ_ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. III
где 2и означает суммирование по всем точкам решетки, для
которых yj = — А, О <Л- < /2, 1 Ф j (у0 = s Ау0),
ш гг> { *v0~ *у0 Му0. . .. . -
~ А^Ч J+2 Jx K^o+^44 + *«Vo +
Второй член Sm обозначим 5lv, а последний 5V. Сумму 5V
оценим по модулю, используя неравенство Коши и оценку
(392) для С , следующим образом:
\К\<С AW2A^o *2 fc2(«e + «- )+
_4-(й2 +й2- +я- +«--)).
.Сумму 5IV
преобразуем так же, как это сделано с первым слагаемым
суммы Sx § 2 (стр. 139—142). Наличие множителя С не влияет
на эти преобразования, потому что С не зависит от у0.
Буквальное повторение указанных там выкладок приводит к равенству:
srr=hn 2 с J^ { Vtyfy+*Л/Ч L,0+5vi.

§ 3] ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СВОЙСТВ РЕШЕНИЯ 167
где
п- f+ft —ft 1
5vi - - h"■£ дл ,2 Д V*/*A+VV*A1,**-
Первое слагаемое суммы 5VI аналогично Sg § 2 (стр, 140),
а второе — третьему слагаемому St\ разница лишь в том, что
в обоих слагаемых. SYl имеется множитель Сг и в 5Yi не
входят суммы по „нижним" рядам j/0 = — 8-(-sAy0, s < k, так
как на этих рядах uh = 0. 5VI оцениваем так же, как 58 + 54:
i^i<«t.«*-^g('4„+'i(r)+'>('^+
Итак, 5Ц1 может быть представлена в виде
Ш Вш \ hyQ ку0 i,j=i ij Щ kVj *.
Займемся теперь суммой S1V Представим ее в виде ^
где
fc;1 ^ +*; +j
а 51*'л получается из S{i,j) заменой k на k. Сумму 5(',Л пре-
1c ft ft
образуем по-разному, в зависимости от того, равны ли значки

168 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. Ш
/ и у или 1ф}\
8=s-r+2 2/^=-Л
Член, соответствующий первой круглой скобке, преобразуем
так же, как Siv, в результате чего получим
где
р-1
Vj=-h
+; +й; +; +J +о т
Член, соответствующий первой круглой скобке, оценим по
модулю так же, как это было сделано для 5у/исйользуя при
этом тот факт, что
С*Лг-
h ^ Ci& Ц=о ■
Оставшиеся два члена оценим так же, как сумму 5уь Для
сокращения записи сразу будем пользоваться неравенствами (38),
дающими ограниченность интегральных сумм для
и> и>У{1 иу0у^ / = 0, 1, ..., л,
распространенных на все точки решетки, принадлежащие
плоскости Уо = р&Уо* Таким путем нетрудно получить, что
+***"2{c«fciUb+cie.
yi=0

§ 3] ИССЛЕДОВаНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СВОЙСТВ РЕШЕНИЯ 169
- Переходим теперь к суммам SJjf'^ для i Ф]:
+ Н ^у. \tlkyQ + Ukj0)ukyij .
Первый член скобки равен нулю, ибо CL:=_u = 0. В
оставшемся члене произведем суммирование по частям, перенося
разностное отношение по у$ с последнего множителя на
остальные. Проведем необходимые вычисления лишь для одного
из слагаемых Sk' , так как для другого они вполне
аналогичны. ■?
+ *. +i.-< -* +i 1
+ ** Л/ч*К
Во вторам из полученных членов произведем суммирование
по частям, перенося -т— с последнего множителя на первый.
Кроме того, вместо суммы hn 2 напишем hn 2 > указав
при этом сдвиг аргумента yj в функциях, стоящих под знаком
этой суммы:
S<V> = - Ду0 *S А- 2 {%£-у У и ~и[ + ,
+ауо 2 aw2( *„ "ЛЛ/А-
Первый член ограничен по модулю некоторой постоянной
благодаря неравенствам (38). Остальные члены оцениваем так

170 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. Ш
же, как сумму Sv, используя неравенство Коши и
неравенство (392);
"|^|<cieAy0 У А« У с«к +
vro
где s — любое число из интервала (0, 1].
Для сумм 5-'^ оценки ничем не отличаются от оценок
для SP.
Соберем теперь вместе выражения, полученные для всех
слагаемых, составляющих «Si:
П -
Si=hn 2c {uli0+4?0 -(2 v*, «**, -
- 2 v%, «*,L, ~5-2An 2ct v*i+
+~^4-«) л +5vn' (42)
где
Для |Svn| имеет место оценка
n
I Svn I < «V* 2 С 2 {«Ц + 4_ }P л,0 +
jyrrr j-i 9
,+

§ 3) ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СВОЙСТВ РЕШЕНИЯ 171
Р п „ .. .,
;.,. +с^у0 s.hn2c2>W+mL +uk+«fcp+
- +c^o £ *••£ 2^>4-,.)+%- (4з)
где s —любое из интервала (0, 1].
С другой стороны, вследствие равенства (41) сумма
51=нпъ. **>. Ж. [с(*ч+«*,> (ж*и+v+
+^(%0+«^)(^"+/pft)]
и потому
+ <-„+"ч)+с» <44>
Подставим в левую часть этого неравенства вместо Si его
выражение (42) и заменим в нем |5i| меньшей величиной
[см. (32)i:
п
Затем в полученном неравенстве перенесем |Svn| направо.
Таким образом найдем:

172 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. ИГ
где через Sviii обозначена правая часть неравенства (44),
В правую часть этого неравенства входят величины и%у у
ul , й2_ и ut~ тогда как в левой части имеются лишь
Щ Щ ку4
величины и\у. и и! . Однако левую часть можно преобразо-
вать так, чтобы в нее тоже входили все четыре указанные
величины (точнее An величин). Именно, сумму hn 2 ^и\у, можно
-* Л'" *
иначе записать так! hn2j ^ш • Нетрудно проверить, что для
-i Z)" *
Л > А 5C>С, * поэтому
hn 2 &щ + hn 2 Cafe, > -£• А» ^ Cafe,.
2>'" y<ss0 Btff
Объединим в левой части неравенства (44х) величину
с последней суммой и их сумму заменим в неравенстве (44j)
меньшей величиной с помощью последнего неравенства.
Умножая затем полученное неравенство на 10, найдем:
*я2с{«* +4- +а,2(4 + 4 +
Din \ kyQ ky0 isl ui Bi '
+ 4 + 4- ) ) < 1015™ | + lOSvm.
kyi Uyi tpby0
Просуммируем это неравенство по k от 1 до п—1 и,
подобно тому," как из неравенства, предшествующего
неравенству (16) § 2, было получено основное неравенство (26) § 2
при условиях. (17), так и из только что полученного
неравенства при достаточно малом х*) мы найдем интересующую нас
i Действительно, ± = ^J1**^**® , а sin* (у( + А) -
= sin» [2y{ + (h —у{)] < 1 -j sin* 2yt + 5 sin* {yt — /г)< 5 sin2 ^ +
+ 5sin2(^ —Л).
*) Нетрудно показать, что на % достаточно наложить
ограничение (170.

Dn
§ 3] ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СВОЙСТВ РЕШЕНИЯ 173
оценку, именно:
hn 2 c"s! и2- +«-- + 2 («U+и- +
l>w fctol *»o *»0 itl ^ *2/< '
+ В*+вК>} л <Сав- (45)
Так как в D' будет С>-02 1см' О*^)], то из этого
неравенства следует, что
£*Й* ку« *** & * ^
+ й2. +iiL)\ <£*. (46)
В левую часть последних неравенств входят всевозможные
разностные отношения от иь второго порядка, за
исключением лишь иу - . Но сумму hnsL\Ai^^p^ РаспР°стРа"
ненную на внутренние точки решетки D'h, можно оценить с
помощью неравенства (46), так как для этих точек справедливо
разностное уравнение /,лй-}-/ = 0, из которого можно
выразить а - через уже оцененные нами члены. Итак, будем
упуп
считать установленным следующее неравенство
й"2£ (4^U0<C27, (47)
Dh
причем суммирование производится по внутренним точкам D^.
3°. Методом^ аналогичным приведенному в этом параграфе,
может быть доказана равномерная ограниченность сумм
Я?>(«(Р))-
ft
т п
Dh 1 9 «
Tit = 3, •. • у h»

174 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ* III
Для этого сначала следует получить оценки^ для отношений
-ж—1^——-,. г = о,.:..1Й, о<«,<„_1,
а затем, используя разностное уравнение Lhu-j-f = 0 и
уравнения
оценить и все остальные разностные Отношения порядка т.
Сумму Я^(^) считаем распространенной лишь на те точки
решетки из D'h, для которых входящие в эту сумму
разностные отношения построены *лищь из значений ап в точках
решетки, принадлежащих D'h. Напомним, что оценку (46) для
области £>', примыкающей к границе основной области D%
нам удалось получить, во-первых, благодаря тому, что
функции иь и uHi k = 0, 1, ..,, п — 1, удовлетворяют равенствам (41)
и равны нулю на границе Tuh и в части D'hy лежащей вне Dh*
Этими же свойствами обладают и функции
Во-вторых, мы использовали тот факт, что для функций ah>
%у i = 0> '••' П> а*$0- И иЩ*К ^=°» •••» П> СуММЬ! ,
п Щп п
д^о
равномерно ограничены не только для^ области- D?';jho и д#я
несколько более ;■ широкой области»- получаемой
присоединением к \Dm , точек решетки,, примыкающих к *Dm (см» тодвие
аргументов у этих функций при проведенных выше оценках).
Равномерная же ограниченность указанной суммы~была дбка^
зана в § 1 и в начале этого параграфа, прежде чем мы
перешли к оценке вторых разностей.
: Поэтому-вслед за неравенством (45) надо получйть-оденку
для функций * , 0 < k< h — f, 0 < / <;/а. Для этих
функций имеет место неравенствогкоторое может быть полу-

§ Л]. ИССЛЕДОВАНИЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СВОЙСТВ РЕШЕНИЯ 175
чено изс (45) заменой функций ак и ик на функции ик , в»
и С2Г на некоторую, вообще говоря, другую постоянную.
Затем можно перейти к доказательству неравенства (45) для
функций щ ь , 0 <; ki <! п — 1, однако не во всей области Dmy
а в любой строго внутренней ее подобласти, строя в
соответствии с этой подобластью и функцию Сл. Эту подобласть
следует "взять так, чтобы она содержала D* внутри себяг
тогда неравенство (46) будет доказано для разностных
отношений - т—г—г— в той же области D'.
При' получении этого неравенства * следует из уравнения
д д— (Lhu +/) = 0 исключить все члены, содержащие:
двукратные разностные отношения и по уп, кроме члена
+*!•+*, д2И к'ко -- - ^ * -
#ww ——==, с помощью уравнений
V +/=о, ^- (4« -f/) = 6 и ^- (^й +/) = о. .
Таким путем получим равномерные по h оценки сумм:
^2(«(Р))<С28>-
?л=^Х-[-8<Л<([4]—m)Vo]. J
используя при этом гладкость коэффициентов данного
уравнения и .сравнительную малость к [см. неравенство (17') § 3],
ТмёньШаЯ- теперь h по какому-либо закону (например,
деля его на 2^, </-> оо), мы получим последовательность функ-~
ций. ~иъ на решетках, для которых справедливы неравен-*
ства (48) с .одной и той. же постоянно^ С^ Во всей,жбл
области D справедливы неравенства (38) § 3. Поэтому,
согласно § 2, существует предельная для - иъ функция
а СУо» • * • > Уь)> являющаяся обобщенным решением рассматри^\
вдемой ^медианной задачи» причем ussfi дляУо^й* '<Дпя>
(48)-

176 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. III
функции и в цилиндре /У XI—8, /] существуют все
обобщенные производные до порядка £, квадратично суммируемые
в нем. Это следует непосредственно из неравенств (48) и
теоремы вложения для разностных отношений (теорема 22,
§ 6, гл. I). Возвращаясь к старым переменным х0, ..., хПУ
мы можем теперь утверждать, что обобщенное решение
смешанной задачи (а оно единственно) имеет квадратично
суммируемые обобщенные производные до k-то порядка в
цилиндре Qr Х[—8> Л> где Q' есть образ D' в пространстве
xv ..., хп. При этом мы используем тот факт, что при
преобразовании координат yi=yi(x1, ..., х'п)> /=1, ..., я,
функция, обладающая квадратично суммируемыми
обобщенными производными по yi в некоторой области, переходит
в функцию, обладающую такими же производными по xi
в соответствующей области, если только функции У{(Х),
/=1, ..., п имеют непрерывные производные по xi до
порядка k (см. гл. I, § 2).
Выберем области Qi так, чтобы конечное число их
покрыло всю область Q (см. начало настоящего параграфа).
Для каждой из них имеют место неравенства, аналогичные (48).
Поэтому можно утверждать, что обобщенное решение
смешанной задачи имеет квадратично суммируемые обобщенные
производные по xv ..., хп до порядка k во всем цилиндре
Q X [— 8, Л или, что то же, в цилиндре Q = Q X [0> Л
(ибо и == О при у0 <; 0). Таким образом, нами доказана
следующая основная теорема:
Теорема 6. Пусть коэффициенты уравнения
и свободный член f имеют непрерывные производные по
*о> • • •» хп д° порядка k—1 (А>>3) в цилиндре Q = QX[0> Л,
а граница области Q непрерывно дифференцируема k-\-\
раз. Пусть, далее, —£- === 0, s = 0, ..., k — 1.
<Ц> U0=o
Тогда обобщенное решение и смешанной задачи для
уравнения (8) при нулевых начальных и граничных уело*
виях (его существование установлено в предыдущем пара*

§ 3) ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СВОЙСТВ РЕШЕНИЯ 177
графе) принадлежат пространству W^(Q) и,
следовательно, является решением почти всюду. Если k =
= —тг~ + 3, то и будет классическим решением задачи.
Для решения и справедливо неравенство
1|и|1жда(д)<с29||/||ж(*-1)(в). (49)
Неравенство (49) получаем из (48) так же, как из
неравенства (25) было выведено неравенство (29) § 2.
Замечание 1. При k = 2 утверждение теоремы остается
в силе, если выполнены следующие условия:
1) коэффициенты уравнения (8) и свободный член имеют
в Q непрерывные производные первого порядка, а функции
zn = w(zv ..., гп_г) непрерывно дифференцируемы три раза;
2) имеет место теорема о единственности обобщенного
решения смешанной задачи (достаточные условия для этого
даны в § 1 данной главы).
Замечание 2. Утверждения теоремы справедливы, если
относительно свободного члена / известно, что он принадлежит
классу W^"1](Q) и при х0 = 0 -^- = 0, s = 0, .. .,fe — 2.
Действительно, аппроксимируем / в норме W(^~1)(Q)
функциями /w, т = 1, 2, ..., имеющими непрерывные
производные до k—1-го порядка и удовлетворяющими условиям
и Jm
дх8
их0 Ц>=0
= 0, 5 = 0, ..., k — 1. Пусть ат есть обобщенное
решение рассматриваемой здесь задачи для уравнения (8)
со свободным членом, равным fm. Разность U{m) — U(p) также
есть решение задачи для уравнения (8), соответствующее
свободному члену fm—fpy и потому для нее справедливо
неравенство (49):
II Чт) — а(р) II ж(*) (Q)< Cw\\fm —fp\\ w(k-l) {Qy
Отсюда следует, что последовательность U(m) сходится при
т -> оо в норме Wf*(Q) к некоторой функции и из wfKQ),
12 Зак. 363. О. Ладыженская.

178 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. III
которая и будет решением задачи для уравнения (8) при
свободном члене /. Для предельной функции и также
справедливо неравенство (49). Из линейности задачи и неравенства (49)
следует корректность задачи; именно: малому в норме W^lj(Q)
изменению / соответствует малое в норме W[ 4Q) изменение и.
§ 4. Сведение краевых и начальных условий
к однородным
Рассмотрим теперь смешанную задачу при неоднородных
начальных и граничном условиях.
Предположим, что коэффициенты и свободный член урав-
нения т i / n /q\
1«+/=0, (8)
как и выше, имеют непрерывные производные до порядка
k—1 (/г^>3), а функции zn — &(zv ..., zn_1) непрерывно
дифференцируемы £ + 2 раза. Пусть начальные функции
®0(xv ..., хп) и <?г(х19 ..., хп) имеют непрерывные
производные до порядков к -|-1 и k соответственно, а функция
X (s> xo) = и\р непрерывно дифференцируема до порядка к -\- 1.
Из начальных данных 9о и ?i c помощью уравнения (8) вычислим
все производные до порядка k -\- 1 от искомого решения при
dmu I
л:0=0, в чрстности -T-sr = <рт(Х)9 т = 0, 1, ..., ft+1.
ОХ0 !л?0=0
Функция <?т имеет непрерывные производные по хг до
порядка k~\-\—т. Потребуем, чтобы
_дтг
а дх»
/гс = 0, ..., k-\- 1,
иными словами, потребуем, чтобы выполнялись условия
согласования до порядка k -j- l.
Предположим, что нам удалось построить в цилиндре Q
функцию «^(aTj, ..., х0), имеющую непрерывные вплоть до
границы Q производные k -(-1-го порядка, совпадающую на
боковой поверхности цилиндра с функцией х> а на основании
цилиндра, т. е. при л;0 = 0, удовлетворяющую условиям
g£U =?ш, Яв0,....* + 1.
ал0 1жЛ=0

§ 4] СВЕДЕНИЕ УСЛОВИЙ К ОДНОРОДНЫМ 179
Тогда функция w = u — аг будет удовлетворять уравнению
Z/ш+Д = О, где /1=/-|-Ltt1
и условиям
Л«ГЛ1 I
= 0,
«Ц,=о = °.
dw
дх0
Н = °-
Кроме того, Д будет иметь непрерывные производные до
к— 1-го порядка и, так как
dmw I
то
д™Л
дх™
их0 Ь0=0
дт
= 0, т = 0, ..., fe+b
= ^(-^k=o = °'
m = 0,
ft —1.
Таким образом, w будет решением рассмотренной в § 3
смешанной задачи. Оно существует, единственно и принадлежит
пространству W^iQ).
Следовательно, общая задача определения решения и
сводится к нахождению функции ut. В общем случае их может
быть построена, например, нижеследующим способом.
Продолжим функции <pw, т = 0, ..., k + 1 на все
пространство xv
хп с сохранением их дифференциальных
свойств, перечисленных выше (см. Фихтенгольц [1], т. I).
По этим функциям построим к + 1 раз непрерывно
дифференцируемую в полупространстве Ло>-0 функцию v(xu ..., лг0),
удовлетворяющую при х0 = О условиям
d™v
дх*
= Ф«
т = 0, ..., Л? —j— 1.
В качестве v можно взять функцию, построенную С. Л.
Соболевым (см. его книгу [1], стр. 246—248).г В книге |1]
С. Л. Соболевым доказано, что v имеет непрерывные
производные всех порядков при х0 > 0 и принимает предельные
1 Именно:
* = <Ро+тТ^1 + Ж V2+...-t
1!
2!
■(*+1)!
'А + 1»
12*

180 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [iVI. \Ц
значения в интегральном смысле, при условии, что ®т, т~
= 0, ..., & + 1, обладают лишь обобщенными
производными, суммируемыми по пространству xv ..., хп с
некоторыми степенями. В нашем случае функции от имеют
непрерывные производные до порядка k -f- 1 — т и потому, как
нетрудно проверить, функция v будет непрерывна во всем
полупространстве х0^0 вместе со своими производными до
к 4- 1-го порядка.
Построим теперь функцию vx (xv ..., л:0), непрерывно
дифференцируемую k-\-\ раз по х{ и принимающую на
боковой поверхности F цилиндра предельные значения Xi =
= — X~\~v\f* Для этого возьмем произвольную точку М на
поверхности S и пусть zv ..., гп есть местная система
координат с началом в точке М. Ось гп направлена, как и
выше, по внешней нормали к 5 в точке М. Уравнение куска
контура 5 в этих координатах вблизи М задается, по условию,
k-j-2 раза дифференцируемой функцией гп = а> (zv ..., £л-1).
В некоторой /z-мерной окрестности М в качестве новых
координат можно взять величины z'v ..., z' v r, связанные
Zp = zp — <xp(zu -. •, zn„{) -r, p = 1, ..., я — 1,
Zn = ш (гЬ • • • > *n-l) aw (*Ь • • -, *»-l) *\
(50)
где
^.^-/тгйЬо*©"**0'*''
2
з^ Pl ?»dx\K..dxi»
а оз*7.7в —некоторые числа. Функция Ф (£) равна нулю при £>1
1 п
1 Г ф (?) 1
и S <-^-, непрерывна со всеми производными и I —~- d$ = —,
о
где %п —поверхность единичной n-мерной сферы. В упомянутой
книге доказано, что если <pm £ W^-1"1"*** (Q), ю = О, ..., Л + 1,
то ^^+1)(ЙХ[0<а:о<Ф.

§ 4] СВЕДЕНИЕ УСЛОВИЙ К ОДНОРОДНЫМ 181
где
da(zv .... *n_i)
dz'n
р = 1, *..., /г —1,
1
У1+Ш'
а точка Ж' лежит на поверхности 5 и имеет координаты
Если заданы числа (z'v ..., У _v г), то соответствующая
им точка строится так: берется точка М1 на поверхности 5
с координатами zp = z'pyp = \, ..., п— 1, *n=a>(4, . •-,<_!)
и из нее проводится внутренняя нормаль к 5, от основания
которой откладывается отрезок длины г. Конец отрезка и
дает искомую точку. Якобиан (*]»..., гпу— в точке у^
/>«.....<.lf г)
равен единице, поэтому существует такая открытая
сферическая окрестность ffi(M) точки М, в которой якобиан будет
больше г/2, и система (50) определяет однозначно z'v ..., ^_ь
г как функции zv ..., <гп, непрерывно дифференцируемые до
k -j- 1-го порядка. Выберем эту окрестность 91 (М) столь
малой, чтобы ее пересечение S (М) с поверхностью 5 было
односвязной областью на 5. Так как поверхность 5 —
замкнутая, то существует конечное число точек М{ £ 5 и
соответствующих им S(Mi) таких, что
Sc US(M4).
i
Проведем теперь из каждой точки S внутреннюю
нормаль и отложим на ней, считая от основания, отрезок длины а.
Число а возьмем столь малым, чтобы область, образованная
этими отрезками нормали, вместе с граничной поверхностью,
образованной их концами, принадлежала \}9ЦМ^ и чтобы

182 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. Ш
проведенные отрезки нормалей, соответствующие разным
точкам 5, не пересекались бы друг с другом. Пусть С (г) есть
сколько угодно раз непрерывно дифференцируемая функция г,
2 ^ 1
равная нулю для г^-^а, единице для г<-^аи
заключающаяся между нулем и единицей для остальных г.
Определим тогда функцию vx (лг1э ..., лг0) следующим
образом: если точка (xv ..., хп) лежит на нормали к 5,
проведенной из точки № £ 5, и отстоит от M'{z'v ..., г^),
на расстоянии г, не большем а, то ео1 = С (г) Xi (*J, • • • > ^-i» *o)>
во всех остальных точках Q положим ггх = 0. Так
построенная функция <ох непрерывно дифференцируема й + 1 раз по
х0> ..., хп, принимает на боковой поверхности цилиндра F
предельные значения, равные хх, и обладает тем свойством,
что
-^ll =0, m = 0, ..., k + 1.
ox0 Ц=0
Последнее равенство следует из того, что в силу условий
согласования и равенств (49)
т£ =0' т = °> •••• * + !•
Легко видеть, что г>— v^ можно взять в качестве искомой
функции иг.
До сих пор мы рассматривали лишь непрерывно
дифференцируемые функции сро» ?i> X и /• Однако проведенное
только что построение функции ut и w сохраняет силу и
в том случае, когда <?0£ wf+1)(Q), ^6 Itff }(g), х€ ^2*+1)(П,
/£ ^^"^(Q) и условия согласования выполнены до порядка k.
При этом получается уравнение для w
Lw+ft = 0, (51)
свободный член которого ft принадлежит W^'^iQ) и удо-
dmfi I
влетворяет условиям —^ = 0, т = 0, .. ♦, k — 2. Для
°хо U0=o
такого же уравнения доказано существование нужного нам
решения w£Wf\Q) (см. замечание 2 в конце § 3).

§ 5] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ 183
Таким образом, установлена следующая
^Теорема 7. Пусть коэффициенты уравнения (1) имеют
в Q непрерывные производные до k — 1-го порядка, а
граница области 2 непрерывно дифференцируема k-\- 2 раза,
и пусть функции
о £ Wf+1) (2), ф 6 Wf} (Q), х € ^"+1) (О, / € ^f "1} (Q).
£<:ла для зшгд? функций выполнены на S при х0 = О ^усло-
#йя согласования до &-го порядка, то обобщенное решение
задачи существует ц принадлежит Wf\Q).
§ 5. Смешанная задача для бесконечных
областей
Предположим, что область 2 неограничена. Решим в этой
области для уравнения (8)
смешанную задачу при однородном граничном условии и \д = О
и неоднородных начальных данных и| =©, -5— =ф
причем u£L2(2'), ?€wl1)@') Для любой конечной 2'с: 2,
и ср равно нулю на границе 2. Для этого заметим, что
значения решения и в каком-нибудь конечном цилиндре Qr = 2' X
Х[0-<Ло<;Л> принадлежащем Q = QX0[<a:0< Л,
зависят от значений ср и ф не во всей области 2, а лишь в
некоторой ее части 2", включающей в себя 2'. 1 Поэтому
определение и в Q' можно принципиально свести к решению
смешанной задачи в цилиндре Qw = 2W X [0<^^0<! Л» Для
которого 2"с2'"с:2. На боковой поверхности Q'" надо
поставить нулевое граничное условие, а в качестве начальных
функций взять $==-^-| и функцию 9 = й|д. =0* равную о в 2"
1 Мы считаем, что читатель знаком с основным свойством
гиперболических уравнений (именно, что они описывают процессы,
распространяющиеся с конечной скоростью) и с вытекающими из него
следствиями относительно области зависимости.

184 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. III
и продолженную на все Q'" так, чтобы она равнялась нулю
на всей границе Q"'. Это замечание доказывает
существование решения (обобщенного) рассматриваемой здесь задачи для
бесконечной области.
Что же касается фактического определения и в Q\ то для
этого нет необходимости решать смешанную задачу для Q"f9
а можно непосредственно вычислять решения разностного урав-
ния (9), исходя из начальных функций ср и ф в области Q" и
учитывая условие и \s = 0 на той части границы 2, которая
принадлежит Q". Решение uh определится в некоторой
усеченной пирамиде, содержащей Q^. Устремляя h к нулю^ мы
придем к искомому решению а в Q'. Сходимость uh к и
следует из того, что uh совпадает в упомянутой пирамиде с
решением ап того же разностного уравнения (9) для цилиндра Q'"
при указанных выше начальных и граничном условиях.
Итак, доказательство существования обобщенного решения
смешанной задачи для бесконечной области сведено к случаю
ограниченной области. Приведенное выше рассуждение делает
также излишними специальные исследования
дифференциальных свойств обобщенного решения для бесконечной области.
Однако ряд вопросов теоретического и прикладного характера
требует дополнительных исследований решений в бесконечных
областях. Так, например, для обоснования перехода от
нестационарной к стационарной диффракции надо изучить
поведение решения при лг0 = £->оо. В этом же плане задач
интересно дать обоснование принципа предельной амплитуды
(см. А. Н. Тихонов и А» А. Самарский [1], § 3, гл. VII),
который, как показано для некоторых частных случаев,
эквивалентен принципу Зоммерфельда.
§ 6. Смешанная задача для общих линейных уравнений
второго порядка
В предыдущих параграфах мы рассмотрели уравнения, не
содержащие членов с производными -^—^—. Для линейных
уравнений общего вида

§ 6] ЗАДАЧА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 185
смешанную задачу в цилиндре Q = ^X[0<a:0<!/] также
можно решить, используя конечные разности. Однако
сходимость решений разностных уравнений, получаемых из (1) заме-
ной ^—з— на "о" (и„ -ru^h г з—^— на й„- и ;г- на и- >
дх0дх{ 2 v ^i ' xix0 dx$dxj x.xj dxi xi
не имеет места для любых уравнений (I).1 Мы докажем, что
решение смешанной задачи для уравнения (1) может быть
получено как предел решений следующих разностных уравнений:
4=1 ij=l
п
г = 0
где
Д х0 Ьх{ — 4 ^0"Г %Ц "Г 4" V% Т" %fy
Д2# 1 1
д^ = TV,(*' *•+А*о) + 2" V;(*' *• - А*о)'
причем все известные функции и разто:тные отношения аь
вычислены в точке (X, х0). Граничные и начальные условия
для ип берутся в том же виде, что и в § 2.
Для определения значений ап в точках решетки QA,
принадлежащих плоскости xQ = x'Q -}- А.г0, мы возьмем
равенства (52) для всех внутренних точек QA, принадлежащих
плоскости л:0 = а:0, и учтем, что решения uh равны нулю
в граничных точках FL при всех лг0. Если считать аь уже
найденным при xQ = x'QJ то для вычисления uh при х0=х^ -{- Длг0
мы будем иметь систему алгебраических уравнений.
Разрешимость ее является следствием основного неравенства,
доказываемого ниже, ибо из него легко получается, что
1 Например, для уравнения
df> adtdx~^dx*
такая замена приводит к расходящемуся процессу при всех числах
а ф 0 для широкого класса начальных функций,

186 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. III
соответствующая однородная система может иметь лишь
нулевое решение.
Мы установим теперь основное неравенство для uh.
Доказательство его для рассматриваемой здесь замены проще, чем
в § 2. Кроме того, существенным является то, что оно
справедливо при любом соотношении шагов Длг0 и h = Дл^, лишь
бы Ддг0 и h были величинами одного и того же порядка
малости.
Это гарантирует сходимость uh к решению задачи при
любой величине отношения —^, что является весьма важным
свойством замены с точки зрения фактического вычисления
приближений uh.
Для доказательства основного неравенства умножим обе
части равенства (52) на (их -f~ и- ) и результат просуммируем
по всем точкам призмы Qh X [Дл:0, (р — 1) Д#01. Члены,
содержащие вторые разности, преобразуем с помощью тождеств:
ихх (их +ах)^(а1)х >
То жо о о о
h
h
+аы (\+\k. (\+%)} =
=-hn | ««г, k0+»V (ч+ч);
h
= — /*n 2 2 (я^й,» tt~ /^ + \(1*aU>„ U>„)x I H~ • • ' •
Невыписанные явно в последнем равенстве члены содержат
разностные отношения лишь первого порядка От uh. Послед-

§ 6] ЗАДАЧА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 187
нее равенство легче всего проверить, исходя из следующего
тождества:
1 V4 Г+° ~° +0 ~° +0 "~° +0 ""° 1
= 25F0 li аФи + % (" - ")«,+(" + «)«, (« - «)«. J =
1 V4 Г +0 +0 -o-Ol 1 VI Г"1"0 +°
Равенство
0-1 Sft
можем преобразовать теперь следующим образом:
'-1 - га +о +о
-tS(+4ss4+---}==0'
8 = 1 2fe #=1
+0
#=1
причем невыписанные явно члены содержат разностные
отношения ип не выше первого порядка. Производя теперь
суммирование по х0, получим равенство
п _0
#=1
п
tj = 1 0 и
аналогичное равенству (15), § 2, стр. 141. Единственное
принципиальное отличие равенства (53) от (15) заключается

188 РЕШЕНИЕ В ЦЕЛОМ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [ГЛ. III
в том, что оно не содержит членов вида *S3. Наличие суммы S3
в (15) принудило нас раньше для получения основного не-
равенства (25) считать величину х = -^ достаточно малой.
В настоящем же случае неравенство
8=1 2г У г = 1* О
< С, {А» 2 [о2 + *2 + S ?У + Аж0Л" i 2/2} (25)
Qh i = l г s = 0 2fc
имеет место при одном лишь условии, что —^ ограничено
сверху. Вывод неравенства (25) из (53), дальнейшее
получение обобщенного решения задачи из uh и исследование этого
решения вполне аналогичны тому, что сделано во второй
половине § 2 и § 3. Поэтому мы не будем их повторять здесь
и на этом закончим рассмотрение общего линейного
уравнения.

ГЛАВА IV
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Для линейных гиперболических уравнений
■gjj = £«+/(*!, • ., хп, t), (1)
где
коэффициенты которых не зависят от времени t, смешанная
задача в конечной области Q изменения Х=(х19 ..., хп)
может быть решена с помощью преобразования Лапласа по t,
если контур 5 области Q не меняется с течением времени.
Этот метод широко применяется при решении смешанных
задач. Однако теоретическое обоснование его было дано
(насколько нам известно) лишь в случае одного
пространственного переменного х. При большем числе пространственных
переменных преобразование Лапласа с должными
обоснованиями применялось лишь в частных случаях, когда
решение и (X, t) можно было выразить через интегралы от
известных функций (именно, для волнового уравнения в случае
областей, допускающих полное разделение переменных, как то:
параллелепипеда, шара и прочее). Достаточные условия для
получения решения уравнения (1) с помощью преобразования
Лапласа в случае произвольной конечной области Q даны
в работе автора [5]. В этой работе автор ставил перед собою
две задачи: 1) доказать существование решения смешанной
задачи для уравнения (1) в целом (для всех t^O) при малых
требованиях относительно границы области и не слишком
больших требованиях относительно коэффициентов уравнения
и 2) дать достаточные условия применимости преобразования

19Э ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. IV
Лапласа к решению смешанной задачи, причем имелось в виду
дважды непрерывно дифференцируемое решение внутри 2.
В настоящее время первая задача нас не интересует, ибо
в третьей главе доказано существование обобщенного
решения смешанной задачи для уравнений более общего вида,
чем (1), при малых требованиях относительно коэффициентов
уравнения для областей 2 с произвольной границей. Вторая же
задача будет предметом исследования настоящей главы. Однако
из-за ограниченности места мы не будем в этой главе
доказывать, при каких условиях с помощью преобразования Лапласа
можно получить обобщенное решение задачи и когда оно
принадлежит тому или иному классу Wi \ а сразу наложим
на данные задачи такие ограничения, которые гарантировали
бы дважды непрерывно дифференцируемое в 2 X [0 <! -{- < оо]
решение. *
§ 1. Сведение смешанной задачи к решению
эллиптического уравнения
В уравнении (1), как всегда, считаем л# = я^ и
п п
2 %^i > а 2 й> а = const > 0.
i, j=l i = l
Мы рассмотрим для уравнения (1) смешанную задачу
следующего вида.
В конечной области 2 изменения Х= (xv ..., хп) для /]> О
ищется решение уравнения (1), удов отворяющее однородным
начальным условиям
= 0
* = 0
и равное нулю на границе S области 2 при />«0.
Свободный член уравнения (1) f(X9 t) предполагаем имеющим
непрерывные производные
1 Впрочем, для такого более подробного исследования все
необходимое будет дано в процессе определения классического решения
(см. также „Дополнения*).

§ 1] СВЕДЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 191
в 2 для t^>0, причем
5L-0-'""•' М+3' <2)
В § 4 гл. III было показано, что решение смешанной
задачи при неоднородных граничном и начальных условиях
можно свести к решению задачи рассматриваемого здесь типа.
Пусть коэффициенты уравнения (1) обладают в Q
непрерывными производными по хг до порядка |н-2,а функции
(о (zv ..., zn_1) = zni дающие уравнение контура 5 в местных
координатах, непрерывно дифференцируемы по г< до порядка
|U-4. Относительно свободного члена уравнения/(ЛГ, t)
предположим е#ще, что при X£Q и £]>0 выполнены
неравенства
Мг/
д?°дх$ ... дх1»
< C«V,
0</0 + /<[|] + 4, 0</<[|] + 2, (3)1
где С и 10>0 какие-нибудь постоянные. В настоящей главе
будет доказана следующая теорема:
Теорема 8. При перечисленных условиях существует
дважды непрерывно дифференцируемая функция и (X, t)
в области Q для *>-0, являющаяся классическим
решением поставленной задачи, и она может быть получена
с помощью преобразования Лапласа по переменной t. 2
Обозначим
оо оо
f u(X, f)e-udt=v(X,k), ff{X, t)e-**dt=<?{X9 А), (4)
о о
где Х = Х1 + Д2, Хх ^ A.J > Х0.
1 Следует помнить, что изменение f(X, t) для tf >•*<)> 0 не
влияет на решение и(Х, t) при t^.t0, поэтому, если необходимо
знать и лишь при *<*о» то/(X, t) можно произвольно изменить
для *>*о в Целях упрощения задачи.
2 Утверждение теоремы 8 сохраняется, если от / потребовать
существования лишь обобщенных производных до I «" I + 2 порядка,
а неравенства (3) заменить соответствующими интегральными
неравенствами (см. „Дополнения").

192 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. IV
Нетрудно видеть, что если и (X, t) удовлетворяет
уравнению (1) и возрастает вместе со своими производными до
второго порядка не быстрее, чем ех°*, то функция v будет
удовлетворять равенству
$we~Udi=sLv+*-
Но в силу начальных условий на и
I dt* e l dte
1о
Агг>.
+ А2 (* ue-^dt-.
о
Таким образом, для v получаем эллиптическое уравнение
Lv = l*v — <? (5)
с граничным условием v | g = 0. Из них мы однозначно
определим v(X, А.). Докажем, что v(X, К) аналитически зависит
от Я, дважды непрерывно дифференцируемо по хг и подчинено
неравенствам
d'v
dx\idxh
<
A|«'
/-0, 1, 2,
(6)
для всех достаточно больших X1 = Re(X)^>X^. Тем самым
будет показано, что v(X, X) не имеет особых точек в
полуплоскости Х1^к,0 и что функция
4й) ИХ,*)***
XQ—гоо
имеет непрерывные производные до второго порядка по дг^
и t для X £ 2 и t £ (—оо, оо), равна нулю для ^<0и равна
нулю на 5 при всех t (см. Д. Гильберт и Р. Курант [1]
ч. II, гл. 3, § 3). Эта функция и будет решением поста-

§ 2] ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 193
вленной смешанной задачи. Действительно, умножая обе части
уравнения (5) на -g-r ext, интегрируя их по к вдоль прямой
Re А = \'0 и производя необходимое интегрирование по частям
в правой части, проверим, что интеграл
-^ J v(X, X)e»dk
Х0—г со
удовлетворяет уравнению (1).
Итак, задача обоснования метода Лапласа сводится к
определению функции v{X> к) и доказательству для нее
неравенств (6).
§ 2. Обобщенное решение задачи Дирихле
Для нахождения решения эллиптического уравнения (5),
равного нулю на границе S, используем конечные разности.
Разобьем все пространство xv...,xn плоскостями
хк*=гтпкН, А=1, ...,я, где тк — целые числа, a h > О,
и уравнение (5) заменим разностным уравнением
п
1ф = 2 ач w **&+
п
Jr^ai(X)vXi^ra{X)v = ^v-<9{X, \). (7)
Мы будем пользоваться здесь теми же обозначениями, что
и в гл. III. Больше того, приемы исследования решений vh
разностных уравнений, данные в гл. III, в основном
применимы и к настоящему случаю. Поэтому мы иногда будем
отсылать читателя к гл. III.
Квадрильяж области 2 обозначим, как и выше, 2Й,
а совокупность граничных узлов Sh. Напомним, что точки Qh,
в том числе и Sh, являются внутренними точками 2.
Функцию vh в точках Sh и в точках решетки, не принадлежащих
Qh, положим равной нулю. В точках же решетки,
принадлежащих 2Л — Sh, vh должна удовлетворять уравнению (7). Это
13 Зак. 363. О. Ладыженская.

194 ТПРЁОВРАЗОвАНИТё ЛАПЛАСА [ГЛ. IV
дает систему неоднородных линейных алгебраических
уравнений для определения vh, причем число уравнений совпадает
с числом неизвестных — значений vh во внутренних точках Qh.
Для однозначной разрешимости системы достаточно доказать,
что однородная система, соответствующая ей, имеет лишь
нулевое решение.
Покажем, что если решение vh неоднородной системы
существует, то для него справедливы неравенства:
(8)
% *=1
при условии, что Re (А) больше некоторого Х0 > Х0. Для этого
умножим обе части (7) на функцию vh
комплексно-сопряженную с vh. Полученное равенство будет иметь место во всех
точках решетки, так как vh равно нулю на Sb и вне Qh.
Просуммируем его по всем точкам Qh и затем первую сумму
„просуммируем по частям", перенося разностное отношение
=- с Vxjjxa на vh- Выделяющиеся при этом контурные члены
будут равны нулю, так как vh\ « =0. Таким путем получим:
*B2(-2«j (аца) **+2 в**»Л+а I *% I2}—
2^ i, j=l i = l
= A»2U*|<*I9 —<№>}• (9)
Отделим в этом равенстве вещественную и мнимую части,
СЧИТаЯ «b=01 + M>2f ? = ?1 + ^?2»
а»21 2 atf>*'?>*i+ 2 ^яЛ^л+^г^) —
—2 a< (^1*л+*a*4*e)—* I * I21 =
г=1 J
= A»S{(X| — Х?)|«[2-)-?Л + ?2^} (10)

§ U\ бВОВЩЕЙНОЁ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 195
2 2 <W—**хЛ+*1*&+
*h[l.jml 3
n \
4=1 J
= A»2J{2X1Xa|tF|« —%^ + ?Л}. (11)
Разберем два случая: 1)у^>>| и 2)~ XJ<Xjj.
1) Пусть ±\\>Ц.
Перенесем все члены, кроме первого, из левой части (10)
направо и оценим их с помощью неравенства Коши
следующим образом:
п
+{ct+%+ *;-ф V*»+VVTF1); (12)
где е — любое положительное число, а постоянные С4 и Сб
определяются лишь верхними границами модулей функций
Возьмем е настолько малым, чтобы
а—С4е>-|~,
а затем возьмем \'Q > Х0 столь большим, чтобы для к± >* X'Q
имело место неравенство
а следовательно, и
Перенося в неравенстве (12) все члены правой части, кроме
последнего, налево и заменяя затем Члены левой части
13*

196 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПДАСА [гЛ, IV
величинами меньшими,- найдем:
Отсюда следует, во-первых, что
Ч (*> < £ Ч (^i^F< ■£ /4W-4(*><
<W^4H-4(?>
и потому
V«><ttW*><t?f4(»);
во-вторых,
Ч <•)< 4 / Ч «о'Ч <*> < 71TF Ч (*)' < с« Ч М-
Итак, неравенства (8) доказаны для А| < -^ \\ при
условии, что \^>Х^.
2) Пусть теперь ^>уХ*.
Из равенства (11) оценим член 2|А1А2<р2| через все
остальные, используя лишь неравенство Коши:
з | *л I ч (*) < °7 {У~ЩШ^)+V\(*>)\(<?)\ • (13)
С другой стороны, из неравенства (12) следует, что
/^)<с8{*1Ч(ф)+Ч (<?)!• <14>
Подставляя это неравенство в (13), найдем:
Увеличим, если понадобится, взятое нами выше Х^ настолько,
чтобы 2Xq — С9 > 1. Тогда, перенося в последнем неравенстве
первый член правой части налево и заменяя затем левую
часть меньшей величиной, найдем:

§ 2J ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 197
откуда
л2
Подставляя, наконец, это неравенство в (14), оценим и
/£>(*о<адй(?).
Тем самым неравенства (8) установлены при условии
: Re(X)>A;>A0.
Из них следует, что если <р —О, то и ^л = 0> т. е.
упомянутая выше однородная система имеет лишь нулевое решение,
и поэтому функция vh из системы (7) и нулевого
граничного условия определяется однозначно. Покажем теперь, что
при стремлении h к нулю функции vh сходятся к так
называемому обобщенному решению рассматриваемой задачи
Дирихле.
Обобщенным решением задачи Дирихле для уравнения (5)
при нулевом граничном условии называется функция v(X),
о
принадлежащая классу D(Q) и удовлетворяющая следующему
интегральному тождеству:
п п
— _ Г (ХЧ> —?)Ф<йЗ (15)
для любой комплекснозначной функции Ф£В(0). *
Теорема 9. Если функции а,ц — непрерывны^ аь а
и обобщенные производные-—^-— измеримы и ограничены
в Q и ReX^X^, то задача Дирихле для уравнения (5)
может иметь не более одного обобщенного решения.
Действительно, пусть w есть разность двух обобщенных
решений, тогда для нее справедливо интегральное тождество
1 Принадлежность комплекснозначной функции Ф к D (Q)
означает, [что ее мнимая и вещественная части суть функции из D (Й).

198 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. IV
(15) при ср = 0. Положим в нем Ф = w:
п
Пул dw д ■, -ч
п -
~ S^lJ^- a\w\*}dQ= — X2 J \w\*dQ.
Из этого соотношения получим равенства:
/2 (да) = | | w |2 rfQ = 0;
2 dQ = 0,
подобно тому, как из соотношения (9) были выведены
неравенства (8), надо лишь везде вместо разностных отношений
писать соответствующие им производные. Из них же следует,
что w в 0. Теорема доказана.
Покажем теперь, как с помощью функций vh можно
получить обобщенное решение. Так как все приводимые ниже
рассуждения по методам вполне сходны с теми, которые
привели нас в третьей главе к обобщенному решению
гиперболических уравнений и его исследованию (причем выкладки
в данном случае значительно упрощаются), то мы будем
в этой главе более краткими.
Будем считать функции а4р air #, -^f и 9 непрерывными
(от непрерывности ф мы в дальнейшем освободимся). Пусть h
пробегает некоторую числовую последовательность hv /tg, ...,
члены которой положительны и hs->0 при $->со. Для
последовательности { vhg } выполнены все условия теоремы 21 §6,
гл. I, поэтому существует такая подпоследовательность { <oh8 },
для которой функции v' (они входят в D (2)) сходятся при
к К
sk dv
s-+oo в Z,2 (Q) к функции v, а —^— сходятся слабо к ^—,
/ = Г, ....,«. Предельная функция v£D(Q). На основании

§ 2] ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 199
теорем 19 и 20 § б, гл. I последовательности {vhs }
и 11 —д— I будут сходиться в том же смысле к пределам
dv
Докажем, что функция v удовлетворяет интегральному
тождеству (15). Как показано было ранее (см. § 2, гл. III),
это тождество достаточно доказать лишь для непрерывно
дифференцируемых функций Ф, равных нулю вблизи границы.
Умножим равенство (7) на такую функцию Ф и просуммируем
его по всем точкам решетки. Затем в полученном равенстве
„просуммируем по частям" первый член. Таким путем
найдем, что
*я2( 2 ^К-Ф) — 2<vw&—***}-
=*—Л»2{Х»г>Ф —<рф},
причем мы считаем h уже столь малым, что Ф = 0 на Sh.
Это тождество можно переписать в интегральном виде, если
воспользоваться обозначением § б гл. II:
п п
= — J* { Х^Ф — ?Ф } dQ. (16)
Так как Ф имеет непрерывные первые производные, то
кусочнопостоянные функции Ф и Ф~. сходятся к Ф и ^—
равномерно. То же имеет место и для остальных данных
функций, входящих в (16). Если же h пробегает выбранную
пи n*f
нами выше подпоследовательность hkdi то функции v и vxi
dz/
будут сходиться слабо к v и -^—. Поэтому в равенстве (16)
можно перейти к пределу при s—юо, в результате чего

200 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. IV
получим нужное нам интегральное тождество (15) и, тем самым,
докажем, что v есть искомое обобщенное решение. !
В силу неравенств (8), справедливых при всех малых А,
для предельной функции v будут иметь место неравенства:
/e(»)ejH«i/Q<1^/fl0p),
\ п (17)
tfw- I 21^|irffl«v»<*).
2 1=1
если X ^> X^, причем Q не зависят от о и X. Покажем теперь»
что обобщенное решение задачи Дирихле существует не только
для непрерывной функции <р, но и для любой функции,
квадратично суммируемой по 2. Для этого возьмем
последовательность непрерывных функций <?т, сходящуюся в среднем
по 2 при /йчоокф. Пусть vm есть обобщенное решение
задачи Дирихле при нулевом граничном условии для
уравнения (5) со свободным членом <pw. Тогда vm — vz будет
обобщенным решением для уравнения (5) со свободным членом
?*» — 9г* Для него справедливы неравенства (17), из которых
следует, что последовательность vm, т, = 1,2, ..., сходится
в себе в норме W$\Q). Как легко видеть, предельная для vm
о
функция v будет принадлежать D(Q) и удовлетворять
тождеству (15), т. е. будет искомым обобщенным решением
уравнения (5) со свободным членом <р. Для него справедливы
неравенства (17).
Итак, мы доказали следующую теорему существования:
Теорема 10. Пусть в конечной области 2 задано
уравнение (5): Lv — №v — ср> коэффициенты которого суть
непрерывные в 2 функции, и пусть -—^- также непрерывны
в 2. Тогда для любой квадратично суммируемой по 2
функции о существует единственное обобщенное реше ие
задачи Дирихле для уравнения (5) при нулевом
граничном условии, если только ReX больше некоторого числа,
определяемого коэффициентами уравнения (5). Для этого
решения имеют место неравенства (17).
1 Заметим, что вследствие единственности обобщенного решения
вся последовательность v^ сходится в среднем к v.

§ 3] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 201
§ 3. Исследование дифференциальных свойств
обобщенных решений
Пусть коэффициенты уравнения (5) и свободный член со
имеют непрерывные производные по xv ...,хп до порядка
k — 1 (k > 2), а функции zn = <*> (zv ..., zn_^ дающие
уравнение контура S в местной системе координат,
непрерывно дифференцируемы по zv ...^п_г до порядка /г —|— 1.
Мы покажем, что при этих условиях найденное выше
обобщенное решение v обладает квадратично суммируемыми по Q
обобщенными производными до fe-ro порядка.
Так как методы исследования аналогичны примененным
ранее в § 3 гл. III, то мы позволим себе в настоящем
параграфе быть более сжатыми в изложении. Кроме того, мы
используем обозначения и понятия, введенные в начале § 3 гл. III.
Введем в Q новые координаты у19 ..., уПУ определяемые
функциями yi=yi(xv ..., хп), /=1, ..., Пу такими, что
одна из пограничных канонических областей, пусть Qv
отображается ими на куб Ог, а вся область 2 — на область D.
Функции yi (xv ..., хп) должны иметь непрерывные
производные по хг до порядка k -\-1. Границу D обозначим
через Г, а грань куба D19 лежащую в плоскости j/w==const и
принадлежащую Г, через 1\. Уравнение (5) в новых
координатах будет иметь вид:
где
w п п
ft, 7 = 1 ft, 1=1 ft = l
причем за <?(yv ..., yn) и v(yv ..., yn) мы сохранили их
прежние обозначения и в новых координатах. Коэффициенты
уравнения (18) имеют непрерывные производные по yv .. .,уп
до k — 1-го порядка. Характеристическая форма
эллиптического уравнения остается при невырожденных
преобразованиях координат положительно определенной, т. е.
п п
2 *«М* > «12 & «1 = const > <Я~ (19)

202
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. IV
Найдем обобщенное решение уравнения {18), принадлежащее
о
классу D(D), с помощью метода сеток, разбивая
пространство на этот раз плоскостями y8 = m8h. В силу теоремы
единственности это решение v(yv..., yn) после замены
Рис. 2.
координат переходит в ранее найденное (§ 2, гл. IV).
Уравнение (18) заменим разностным уравнением такого же вида,
как и в § 2:
/*• - ^ v-й+1 ь*\+bv=кЧ - ъ т
а граничное условие — следующим:
v
= 0.
Для первых разностных отношений и самой функции vh
справедливы, очевидно, неравенства (8). Мы хотим получить
сейчас аналогичные оценки для разностных отношений более

§ 3] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 203
высокого порядка, но не для всей области D, а пока лишь
для части ее D'.
Наряду с кубом D введем еще несколько
параллелепипедов, размеры и взаимное расположение которых описаны
в § 3 гл. III; именно:
1) /У": 0<Л</2, /=1, .,., я;
2) D': 83<^</2 — 83, 1=1, ..., п)
3) Ог: Ьь<Уп<*1 + К h — h<yi < 'i + 83— 8i
/ = 1, ..., л — 1;
4) /Г: §3-82<^</г + 83,88-81<Л</1 + 83-81,
/=1, ..., n — 1, причем 83<82, 83<8Р /2</г (рис. 2).
Очевидно D'<=lD'"clD"\ D'clD^D" и D'czD^D.
Число 82 взято столь малым, что область 8а — 82<Г^п^88'
8з— 81^Л^^1 + 8з — 8i не имеет общих точек с Z),
кроме граничного для их обоих п — 1-мерного куба 1\,
определяемого неравенствами:
8з —8i<^<^i + 88 —8Х, /=1, ..., л — 1, ^п = 8з-
Возьмем следующую вспомогательную функцию:
J n(sin^ + sin2 ^±^L) для (yv .,., ^D",
( 0 вне D'".
Для нее было доказано, что во всех точках решетки,
принадлежащих Df", справедливо неравенство
{§-J<Ci£, k = \, .... п.» (20,)
Во всех остальных точках решетки также выполнено
неравенство (20), так как обе части его равны нулю. Лишь для
точек решетки с координатами з>&== —-й, О^Л^С^» г ^ ^>
1 В § 3 гл. III вместо постоянной Сп написана Сц*

204 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. IV
неравенство (20) несправедливо и должно быть заменено
следующим:
/ КГ NQ
(Л\*<с +*
Оценим теперь сверху сумму
ли2г: 2 [\*у.у.\2+\*у.-у.\2+\%;.П
h
Для этого возьмем от обеих частей уравнения (7) разностные
Д Д
отношения — и =г и составим равенства:
сч <L**4=сч (Х2ч _ ч> (21)
1\<МЪ =Ч(^--? ), (21,)
Н К К (С
справедливые во всех точках решетки, если кфп.
Раскроем выражения (Lhv) и {L-uV)- и исключим из
ук Ук
них члены b *V, - и # - ^ - с помощью уравнения (20).
м«/, У У ппуч у у ;r v '
к п п кпп
Затем сложим (21) и (21х), результат просуммируем по всем
точкам решетки и, вводя обозначения vlA = <t> , уг — <о~
к ук к уъ
й = 1, ..., я—1, запишем окончательное равенство так:
{__ w +Л _ п -к \
+ ^_(Ж^+Х2^_?-)}, (22)
^
где через Мк и Ж^ обозначены линейные операторы от v%,
содержащие разностные отношения от vh, vp vj не выше
первого порядка.

§ 3] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЁННЫХ РЕШЕНИЙ 205
Первый член левой части (22) преобразуем так:
= — *"2 ^i [ ЬцЧу. vky. С + vkvky, ( *«Д,, J —
_a* 2 2 ^ (*^c)y.
Обозначим через 5fe последний член равенства
= 2.** 2 <b*, M^A/,-
Слагаемые Skjt j) и s£f5) для i ф j преобразуем различными
способами так:
Sk = h 2a bM *4 L 2~ *4 ^ 2 4 J ~~
s'kj)=h« 2 %/to+N=:
+k% +j ±1
= — hn Z ( h^y vk)y - vk =
уг-ъ
-bfr, +j ±2 +*. +•?' ~* 1* —
Второй член левой части (22) преобразуем аналогично
первому и результаты этих преобразований подставим я (22);

20б ^ОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [гЛ. IV
затем перенесем часть членов в правую часть равенства. Таким
образом, равенство (22) можно заменить следующим:
+T*"2 S Чь&ЪЛ'ь&фд-Ъ+'Ь
где
"* = -*" 2 Cl^CAf^ + X^-^) +
JD"'
+ 2 * 2 K^,vi-^»«К
<. J = l «/ =0
Правую часть этого равенства оценим по неравенству
Коши, принимая во внимание неравенства (20) и (20^:
П .7 7
<c^Sc[.sii(ir fc,4i2+i%i2+i%i2+in^i2)+
2>'" *=:U=1 *
+ IMMI^I2+I^I2) + I?J2+I?^|2] +
где e — любое число из (0, 1]. Просуммируем эти
неравенства по k от 1 до п — 1 и левую часть полученного нера-

§ 3] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЁННЫХ РЕШЕНИЙ 207
венства заменим меньшей величиной [(см. 19)], а затем
первый член первой суммы правой части перенесем налево:
и-1 п
(T«i-(»-i)«cM)*"2i:SS(l4l,+l4|t+
D'" fc=l * = 1
+ |?и19+Ма].
Возьмем теперь е столь малым, чтобы
yai — (" — l)*ci2>j«v
тогда
^^||11(|Чр+|Ч|-+|^|«+1^|«)<
<с13л»2|1(1М2!^12+1^1а+1?^12)- (23)
К этому неравенству присоединим оценку для \v - |,
которую легко получим, выражая из уравнения (20) v.. -
через vk, t^, 1) и их разностные отношения первого порядка
и оценивая правую часть с помощью (23). Суммируя затем
полученное неравенство по всем внутренним точкам решетки,
принадлежащим D', найдем необходимую оценку.
Присоединяя ее, наконец, к (23), найдем, что
ап2 <iil%4,ila<cuFS (|Ma2l<v<l"+
+ Ma + 2l*,la). (24)
4 — 1
Вместе с неравенствами (17) это дает искомое неравенство
для вторых производных
Аи2 2 \1>у{уА*<С1Ь[1$1(9) + Щ*\т. (25)

208 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. IV
Оценку производных более высокого порядка можно
получить вполне аналогично только что проведенной для
производных второго порядка. Для этого составим разностные
отношения k — 1-го порядка поух, ..., уп__1 от обеих частей
уравнения (20) и рассмотрим равенства:
*-У A^fotr-Xfr+T) ^0
(26)
справедливые для всех точек решетки, если 1 <^ Ц ^ п — 1
лк<ъ=й-
Из равенств (26) исключим члены, содержащие разностные
отношения v не выше &-го порядка, которые содержат
двукратные разностные отношения по уп. Для этого снова
используем уравнение (20) и уравнения, полученные путем
составления разностных отношений от обеих частей (20) по у%
до k — 2-го порядка. Это исключение позволяет привести (26)
к виду:
[__ п +it +^_1
" +h ~1к-\ 1
+ ^...?ft_1(^...r^ + ^1...Ts_1-?V..Vl)- <*)
Мы позволим себе не проводить дальнейших рассуждений
(так как это было бы простым повторением приведенных
зыше), а напишем сразу конечный результат:
h П 2
№\ (<п\ = 1,ЙГ VI Ml &V
я^с)-^2 2 s
U-.ll
<
< С1$ {H%f (?)+| X |2 ЯГ2) (?) -Ь... +| X Г"4 HD% (?)}. (28)
'h

§ 3) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 209
Неравенство (28) позволяет заключить, что предельная для
^функция v{yv ..., уп), являющаяся обобщенным
решением задачи Дирихле, имеет в D' обобщенные
производные по yi до k-vo порядка, квадратично суммируемые по
области D'. Тем самым обобщенное решение рассматриваемой
задачи для уравнения (5) v(xv ..., хп) имеет квадратично
суммируемые по области Q' cz 2 обобщенные производные
по Xi до й-го порядка.
Но то же самое может быть доказано для любой из кано-
N
нических областей 2(г\ /= 1, ..., Л/, а так как 2с \Jj 2(г),
то функция v(xv ..., хп) имеет обобщенные производные
до fe-ro порядка по всей области 2> квадратично
суммируемые по этой области. Из неравенства (28) следует и нужная
нам оценка этих производных, именно:
«?<•>-J" 2 2
gtsO tf.-0
rfQ<
<С1,2!М28яГ1-8)(?)- (29)
s=o
Итак, мы доказали, что обобщенное решение задачи
Дирихле для эллиптического уравнения (5) при условиях,
сформулированных в начале данного параграфа, принадлежит
классу W^ (2) и удовлетворяет неравенству (29). При этом
мы предполагали, что производные до k — 1-го порядка от <р
непрерывны в 2. Однако теорема имеет место для всех
ср £ wf~l) (2). Действительно, пусть ср £ W?"^ (2).
Аппроксимируем ее в норме W^"^ (2) k — 1 раз непрерывно
дифференцируемыми в 2 функциями <рю, ;» = 1, 2, .. .,и обозначим
через vm обобщенное решение уравнения (5) со свободным
членом, равным <рш. Для всех vm и vm — vt справедливо
неравенство (29), в. которое в первом случае надо вместо <р
поставить уш, а во втором <рш — %, причем С17 не зависит
от номера т. Из него следует, что при т->оо
последовательность vm сходится в норме W^ (2) к некоторой
14 Зак. 363. О* Ладыженская.

210 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА \\*А. iV
функции v из W^k) (2), которая и будет искомым
обобщенным решением задачи.
Далее, заметим, что в настоящем параграфе мы с самого
начала предполагали контур области достаточно гладким.
Однако для исследования решения v внутри области 2
гладкость контура и переход к другой системе координат не нужны.
Куб Dm в этом случае надо взять внутри 2. Для него
справедливы все проведенные выше рассуждения и вытекающее из них
неравенство (29) (в котором интеграл слева надо написать
по /У). Больше того, для таких внутренних кубов D'" нет
необходимости исключать производные по одному из
переменных и тем самым можно несколько упростить приведенное
выше доказательство. Таким образом, доказана
Теорема //. Если коэффициенты эллиптического
уравнения
S««W^: + ie«W^+-WtF = ^-9W (5)
имеют в области 2 непрерывные производные по xv ..., хп
до порядка k — 1 (/г^>2), свободный член v£W{£~^(Q) и
НеХ больше некоторого числа KQf определяемого
коэффициентами уравнения (5), то обобщенное решение v
уравнения (5) при нулевом граничном условии принадлежит
пространствам АТ^й'), где Q' — любая строго
внутренняя подобласть области 2.
Если функции zn = <a(zv ..., zn_1), задающие
уравнение контура дблаети 2 в местных координатах,
непрерывно дифференцируемы по zv ...., zn^1 до /г-(-1-го
порядка, то обобщенное решение v (X) принадлежит W^ (2)
и удовлетворяет неравенству (29).
Если *= | +1 + «, то v(X) имеет в 2
непрерывные производные до т-го порядка и при т^2 является
классическим решением задачи.
§ 4. Решение смешанной задачи
Вернемся теперь к смешанной аадаче для уравнения (1).
Пусть выполнены условия, сформулированные в начале этой
главы. Благодаря им интегралы Hq\<£>), входящие в правую

§ 4) РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 211
часть неравенства (29), можно оценить через степени |Х|
нижеследующие образом.
Проинтегрируем по частям интеграл, стоящий в правой
части равенства
~ = & ft" * "'»
дххК..дхпп $дх?...дх1«
справедливого при всех &<Г-|.1-j-2, fyl -\-4 — k раз,
учитывая свойства /при * = 0 и *= -j-oo и считая Л1>А0:
*<[т] + 2'
Отсюда следует, что
I ЗЦ . I • g)8
1а^...а^1^|М[|]+^'
"^>< ,tt-L_.)' *<|f]+2>*>>v
Подставим последнее неравенство в (29):
"»»< ,(|L|<№ *<1т1+»- ОТ
| Х| Vl2 J )
На основании теоремы вложения (теорема 10, § 3, гл. I)
из (30) следует, что v(X, X) имеет непрерывные вплоть до
контура производные второго порядка по х$ и удовлетворяет
неравенствам
<-%, / = 0,1,2, Xi>Xo>*o. (31)
14
dh
дхг{дх1/
Нт осталось доказать, что функция <о (X, X) есть
аналитическая функция от а в полуплоскости Xi > Х0. Фиксируем
14*

U1U ПрЕбБРАЗОВАНИЁ ЛАПЛАСА [гл. IV
л = Xj -j- /Х2 из этой полуплоскости. В силу линейности
уравнения (5) относительно v имеет место равенство
, /Др\_Д(Хар) Дер ,ад
где hu = u(Xf X-j-AX)— #(X, X). Наряду с (32) рассмотрим
уравнение
Lw = X*w + 2Xv — -gj- (33)
при условии ^1^ = 0, считая ?>(^» л) известной функцией.
Вычитая из (33) равенство (32), получим:
L(w — ^)=(Х + ДХ)2(У— -^) — (2Х + ДХ)АХ^ +
При стремлении АХ —> 0 функция
вместе со своими обобщенными производными по х$ до
порядка ~_ _|_ 2 стремится к нулю в среднем по области 2
[по норме L2(Q)]. Поэтому, вследствие неравенства (29),
интегралы
к-1
н°к) (• - ж) <с" S iх+м |28 я*_1~8) <«
8 = 0
стремятся к нулю при АХ -> 0 для & <; -j + 3. Отсюда
Д^ А1 Л
по теореме вложения следует, что w — -гт-, при АХ->0
стремится к нулю равномерно по X£Q, т. е. -^т- существует и
равно до. Аналогично доказывается непрерывность г> и до по X.
Таким образом, решение уравнения (5) есть аналитическая
функция X в полуплоскости Re (X) > Х0, не имеет там особых

§5] 0 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ 213
точек и подчиняется неравенствам (31). Поэтому функция
Х0-Иоо
как это показано в § 1 данной главы, будет решением
поставленной выше смешанной задачи для уравннния (1).
Итак, основная теорема, сформулированная в начале этой
главы, доказана.
Замечание 1. Если контур области 2 предполагать
лишь кусочногладким, то рассматриваемый в этой главе метод
дает обобщенное решение смешанной задачи, дважды
непрерывно дифференцируемое внутри 2. (Это доказано в работах
автора ([3], [4]).
Замечание 2. Установленные в этой главе теоремы
без каких-либо существенных изменений доказываются и для
краевого условия
а также для гиперболических уравнений, содержащих произ-
водные жщ-
§ 5. О дифференцируемости собственных функций
в замкнутой области
Метод исследования обобщенных решений эллиптических
уравнений в замкнутой области 2 без каких-либо изменений
применим и к задаче о собственных, функциях оператора
п
при нулевом или при каком-либо другом однородном
самосопряженном условии. Отличие имеется лишь в доказательстве
того, что разностный процесс приводит к так называемым
обобщенным собственным функциям * поставленной задачи.
1 Понятие обобщенных собственных функций можно вводить или
исходя из интегрального тождества, или исходя из вариационной
задачи. Оба эти пути приводят к одной и той же системе функций.
Определение обобщенной собственной функции дано в § 5 гл. I,

214 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. IV
Дальнейшее исследование обобщенных собственных
функций, ничем не отличающееся от проведенного в этом
параграфе, дает возможность сформулировать достаточные условия
для того, чтобы собственные функции принадлежали
пространству Wik)(Q).
Именно, имеет место следующая:
Теорема 12. Если коэффициенты а^(Х) и а(Х)
оператора L{0 непрерывны в 2, то оператор Lx<a при нулевом
граничном условии имеет бесчисленное множество обоб*
щечных собственных функций, образующих
ортогональную систему, полную в L2(Q).
Если коэффициенты ац имеют непрерывные в 2
производные &-го порядка (&>>1), а а(Х)— непрерывные
производные k — 1-й) порядка и если контурные функции
zn — m(zv ..., гп^.г) имеют непрерывные производные до
k -f- 1-го порядка, гпо обобщенные собственные функции
принадлежат W^k) (2)« При k = [ ~ ] + 1 + т отсюда следует,
что собственные функции и их производные до порядка т
непрерывны в 2. Если т^2, то обобщенные собственные
функции являются собственными функциями в
классическом смысле.
Покажем, например, как с помощью разностного метода
можно получить первую (обобщенную) собственную
функцию Lr при условии, что ац и а — непрерывны в 2, a 2—
произвольная конечная область пространства хи ..., хп.
Пусть 2Л есть квадрильяж 2, причем, как и раньше, точки
Qh вместе с граничными точками Vh являются внутренними
точками 2. Поставим задачу: определить функцию vh на
точках решетки Qh — Vh так, чтобы при vh квадратичная
форма
принимала наименьшее значение по сравнению со всеми
функциями v, равными нулю на 1\ и такими, что /sft (•*>) = 1.
Одно из решений задачи (которое, очевидно, существует)

§ 5] О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ 215
обозначим через vh, а соответствующее ей значение Do (v) —
через \h. Очевидно, Xh > 0.
Пусть h пробегает какую-нибудь числовую
последовательность, сходящуюся к нулю. Легко показать, что
значения Хл, соответствующие этим h, ограничены сверху в
совокупности некоторым числом. Действительно, возьмем какую-нибудь
функцию 9 из D(Q) и составим из ее значений в точках Qh
величину Dq (9). Для всех к достаточно малых о |г = 0 и
Аз (<Р) Dq (?) Dq№
*^ -77W>h- Н° ПРИ *-° 7Г(?Г-7^У'1отк^
п п
и следует, что все kh из нашей последовательности
ограничены некоторым числом.
Из ограниченности Dq (v) и /а (v)=l следует
ограниченность интегралов DQ (v'h) и /2 (г^), поэтому можно
выделить такую подпоследовательность ftg, для которой функ-
> dvK
ции 4% сводятся в L%(Q) к некоторой функции г>, а -^~
сходятся слабо в L2(Q) к -^—. Предельная функция v будет
О /О
принадлежать D(Q), ибо г>л ££>(2) (см. теорему 21, § б,
гл. I), Но по теоремам 19 и 20 § 6 гл. I функции v% также
будут сходиться в L2(Q) к т>, а (-£—-) слабо в ^(Q) —
к д—, Отсюда следует, что /a(tf) = l, а
£>2 (v) < lim D2 (Ул ) =s iim A> (<ял ).
Без ограничения общности можем считать, что для
подпоследовательности hs, выделенной выше, \ь сходятся к
некоторому числу У ^ 0, и потому Dg (v) = к <[ X'.
1 Напомним, что

216 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ''ЛАПЛАСА [ГЛ. IV
Докажем, что найденная нами функция v дает
наименьшее значение функционалу Dq(v). Предположим противное,
о
т. е. пусть имеется функция <р££>(2), для которой Dq(®)=*
= т < X, а /д (<р) = 1. Возьмем г < —г— и подберем функ-
Аз(Ф)
цию ф из D(Q) так, чтобы —т-р- отличалось от т меньше,
т в№)
чем на е. Далее, для всех h, меньших некоторого числа,
, /|л отличается от -. /|ч меньше, чем на е, так что
■яа.(Ф)
, /,v отличается от m меньше, чем на 2е и.
л
Но это находится в противоречии с тем, что при /z = As
достаточно малых Xh ^Д' — е, ф |г =0 и потому
s й
Do (40
ft4
Итак, доказано, что существует такая функция v из Z)(Q)>
для которой принимает наименьшее значение X по сра-
о
внению со всеми функциями из D(Q). Это и есть первая
обобщенная собственная функция вариационной задачи,
а —к — первое собственное число. Докажем, что она
удовлетворяет интегральному тождеству
= к j-&dQmOJa(v, Q

§ 5] О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ 217
о
при любой функции С из D(Q). Для этого заметим, что для
о
любого е функция t>-|-sC£D(Q) и потому
откуда 2е [De (*, С) - UQ (*, С)] + г2 [Dg (С) - Х/д (С)] > 0.
Но так как это неравенство верно при любом е^О, то
DQ(*>, С) — ЦД^, С) должно равняться нулю.
Для дальнейших исследований дифференциальных свойств
функции v следует исходить из того, что: 1) функция vh,
дающая минимум Dq (у), будет во всех точках Qh — Th
удовлетворять уравнению Лагранжа для условного экстремума
а в точках Th равняться нулю; 2) суммы Iq (v) и Dq (v)
ограничены для всех малых h.

ГЛАВА V
МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ
АППРОКСИМАЦИИ
Результаты данной главы в основном принадлеэкггйКГ ЕШу*
деру и М. Кржижанскому. Мы излагаем их работу [1], дсм
бавляя необходимые, с нашей точки зрения, доказательства
и пояснения, а также снижаем число требуемых от данных
в задаче функций производных.
Пусть в некоторой области пространства (лг0, xv..., &Л
задано уравнение гиперболического типа
п п
i,j=Q J <=0
+ a(*0>...f xn)u~\-f{xQi..., xn) = 0, (1)
в котором a00 = 1, ay = ajfr и форма
n n
— 2 *«Vi>« 2 & a = const > 0 (2)
для любых вещественных {j,...,^ и (лг0,..., хп) из данной
области.
По отношению к уравнению гиперболического типа
целесообразно различать три типа гладких поверхностей:
1) пространственно ориентированные — те, в каждой точке
которых компоненты т]0,..., г\п норщда удовлетворяют
неравенству
п

метод аналитической аппроксимации 219
Иначе, если g(x0,..., хп) = 0 «сть уравнение такой поверх*
ности> то fc каждой ее точке
2) времяобразно ориентированные поверхности §*(лг0,...,лгп)=5
е=0 — те, для которых
A(g)<^
3) характеристические поверхности g(x0>..., хп) = 0.
На ййх
Поверхности g (лг0,..., х^ = б, на которых Л (g) ;> О,
назовем пространственно-Характеристическими.
Плоскости л:0 = const по отношению к уравнению (1)
ориентированы пространственным образом, ибо Л (лг0 — const)=з
5=5 ат = 1 > 0. Из условия же (2) следует, что любая
плоскость, параллельная оси Олг0, ориентирована временным
образом. Переменную х0 назовем временем, а лг1э..., хп —
пространственными координатами.
В данной главе решается смешанная задача для
уравнения (1) в случае „неподвижной границы*. Точнее, внутри
цилиндра Q = {0 ■< х0 < /] X 2 ищется решение и
уравнения (1), удовлетворяющее на нижнем основании начальным
данным Коши
= ©(*!,..., Хп\ ~\ ==:<J>(.*lf..., Хп\
ж0=0 0ХЪ '*0=0
а на боковой поверхности цилиндра принимающее заданные
значения х* Разумеется, цилиндр Q должен принадлежать
области определения уравнения (1).
Построение такого решения проводится по следующему
плану: цилиндр Q (при условии, что / невелико) разбивается
пространственно характеристическими поверхностями на
конечное число перекрывающихся конусов, основания которых
лежат в плоскостях х0 = 0 и х0 =*= /, а внешние нормали
к боковым поверхностям образуют с Ох0 углы, не
превосходящие 90°. Различаем конусы двух типов: те, боковое

220 МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ [ГЛ. V
поверхности которых частично принадлежат боковой
поверхности цилиндра Q, и те, боковые поверхности которых
проходят внутри Q. Области первого типа должны отображаться
на так называемые области типа R. Именно, должно
существовать такое преобразование переменных xi = х4(у0,...,уп),
i = 0,..., л, в результате которого часть боковой
поверхности такой области, принадлежащая боковой поверхности
цилиндра, отображалась бы на плоскость уп = 0, а
плоскость х0 = 0 переходила бы в плоскость у0= 0- Кроме
того, новая переменная у0 ДОлжна сохранять свойства
временной координаты, a yv..., уп — пространственных
координат, т. е. в уравнении (1), преобразованном к переменным
v0,..., уп, коэффициент при —~ должен быть больше нуля,
а для коэффициентов при -^—^—, *, у = 1,..., я, должно
выполняться условие (2). Лишь для того, чтобы облегчить
себе задачу отыскания таких преобразований, мы и
ограничились прямым цилиндром Q. В этом случае новые
переменные можно ввести так: у0 = х0, у€ = yi (xv..., хп),
/=1,..., п. При любом невырожденном преобразовании
такого рода сохраняются указанные свойства гиперболичности
уравнения. Поэтому функции у4 (xv..., хп) можно выбирать,
исходя лишь из необходимости „распрямления" части боковой
поверхности конуса.
В областях типа R решается смешанная задача с
начальными данными Коши на основании yQ = 0 и с граничным
значением на той части боковой поверхности пирамиды,
которая принадлежит плоскости уп = 0. Тем самым определяется
решение уравнения (1) в областях первого типа. В областях
второго типа берется решение задачи Коши при начальных
данных на основании х0 = 0 (мы считаем, что читатель
знаком с решением этой задачи; см., например, книгу [1]
С. Л. Соболева). Решения уравнения (1), найденные таким
образом в различных частях Q, определяют в Q однозначную
функцию, которая и будет искомым решением поставленной
задачи.
Описанное разбиение Q на части может быть
осуществлено, вообще говоря, лишь для относительно малых / уже
по одному тому, что поверхности сеченця должны быть про-

§ 1] ОЦЕНКА ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ОТ РЕШЕНИЙ 221
странственно-характеристическими. Следовательно, и
смешанная задача таким способом решается лишь для малых х0.
Переходим теперь к получению необходимых в дальнейшем
неравенств (§ 1 и 2), а затем и к решению смешанной
задачи для областей типа R.
Пусть в области определения уравнения (1) содержится
„усеченная пирамида" R, основания которой Qx и Q2 лежат
в плоскостях л;0 = 0 к x0=zhv Боковая поверхность R
состоит из двух частей: F1 и F2. Fx лежит в плоскости
gx (лг0,..., хп) ~хп = 0 и R расположена в полупространстве
хп^0] F2 есть гладкая поверхность, ориентированная в
некоторых точках характеристическим, в других
пространственным образом. Т. е., если g2^x0— g%(xv..., xn)~Q есть
уравнение поверхности F2, то на F%
АШ>0- (3)
Кроме того, внешняя (по отношению к R) нормаль п2 к F%
образует с Ох0 острый угол: cos (n2, лг0) > 0.
В пирамиде R ставится следующая смешанная задача:
определить решение уравнения (1), удовлетворяющее на Qx
(#0 = 0) начальным условиям
=*b(xv..., xn) (4)
и
( \ ди
а на F1 граничному условию
п
•> *n-i>. (5)
Установим предварительно ряд неравенств для решений
уравнения (1). " X, ,
§ 1. Оценка производных первого порядка
от решений уравнения
Пусть и есть решение уравнения (1), имеющее в R
непрерывные производные второго порядка. Пусть, далее,
функции а4р aiy а и -g-^ непрерывны в R и их модули
ограничены в ней константой *fv
Введем в R новые координаты х0=у0,..., хп_1=уп_1,
хп=уп-\-суф с > 0. Уравнение (1) в этих переменных

222 метод Аналитической Аппроксимаций [ГЛ. V
будет
ie+/sl*^+i*'¥+te+^0' (6)
где
Ьц = ац для /, ] < п;
bni =* bin = — V + ®т* &пщ — а6ос2 — 2аопс + ап
п
*<= 2 а*Ш'ь==а-
fe = 0
Возьмем с настолько малым, чтобы
п
и
cos (n2, у0) > 0.
Кроме того, при любом преобразований координат
ПОЭТОМУ ^fe)>° Ha ^2- (40
Далее, Я (£х) = £ (yn-f ^Уо) = flnn< — а в # в СИЛУ (2)
и В(у0—const) = а00 = £00 = 1 > 0.
Наконец, заметим, что благодаря положительности
с cos(nx, ,у0)<$ где % — внешняя нормаль к Fv
Переходим теперь к оценке первых производных* Для
этого преобразуем интеграл
М
2^(Lu+f)dR = 0
ty\
о
1 Точнее, надо <5ыло <щ писать не -J*-, a —-*, где
rW-• • *Уп) — g£*о{У*..-. Уп)>...**п {У*. - -1 .Уя))-

§ 1] Оценка производных первого порядка от решений 223
с помощью тождества
п п
Lk L°4 ду0 ' dy£dyj — * 2d dyt \°Ч дуй * dyj
n n
Sd /, ди ди \ 9 vi dbtj ^ ди e ди ,
дуо \ i3 dyt ' dyj) Zj dyt ' ~dy^ ~Sy7 '
n
+ .2i-d^'Wt'Wr (?)
Интегралы тех слагаемых, которые являются производными
каких-либо произведений, преобразуем в интеграл по
нице R:
от
границе
/ 2 [•*£•■&«•<■•*>-
+^-ё-^)+^(|«^+*")]«+
Обозначим через Фх выражение, стоящее под знаком
второго интеграла. Для него, очевидно, справедливо неравенство
i*1i<c^[i(lr)2+a2]' <9)
* = 0
где символом С (ft) здесь и в дальнейшем будем обозначать
различные постоянные, зависящие только от fi-1
1 С(т) могут зависеть и от области /?; однако в нашем
рассуждении пирамида R фиксирована.

224 MEtOA АНАЛЙ1ИЧЕСК0Й АППРОКСИМАЦИИ [ГЛ. V
Преобразуем теперь выражение Ф2> стоящее под знаком
поверхностных интегралов. Для этого введем в окрестности
каждой из поверхностей Fs (5 = 1, 2) новые координаты
т)(«), & = 0, 1,..., п, с помощью равенств
•Ч?) = *,в(Уо.---.ЛЛ Ч£)==Л> *=1э..., л, 5 = 1,2.
Эта система однозначно разрешима относительно ,yft,
ft = 0,..., я, вблизи своей поверхности /%. Действительно,
первое из уравнений разрешимо при достаточно малом с > О
относительно у0, ибо & (у0>. . ., уп) =вуп + су0, а
§2=^0 — вв(Лэ--м Уп-V Уп+сУо)-
Перейдем в Ф2 к новым переменным:
ди __ ди , ди dg8 ь \ л- ^И = **и dgs *
r fc=o
причем знак корня выбирается так, чтобы
cos (п8, у0) = -щ •&- (ns — внешняя нормаль к f8).
Подставим эти выражения производных в Ф2:
<ь I — 9 V ht\ да - ди ^ dge - dg8 1,
' A^Uf <Ч8) ejr0 а* +
*,
. /fay a^g agg dge 1 у, Г fa fa .
T H9) *f / ty W§)' dyj ду{1®8
n
= B fe) (Щ C°S (°" ^ "" Д *« ^ * ^ C0S <n» ^

§ 1] ОЦЕНКА ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ОТ РЕШЕНИЙ 225
Вычислим Ф2 на 2„, s=l, 2. Для этого учтем, что
с<и(п,Л)|а =0,/>0;cos(n,^0)|a=— 1; cos(n, y0)\Q = 1.
n
- 2^lrl7]C0S(n'^H(l;)2-
n
Подставим теперь все полученные выражения для Ф2 в (8):
*i
*2
Выражение Ф2 на /^ неотрицательно, ибо на F2 по условию
cos(n2,^0)>0 и 5fe)>0 [см. (40 и (20]. Кроме того,
fi^XO и cos (пх, ^Х О на F19 поэтому из последнего
15 Зак» 363. О. Ладыженская.

226 МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ [ГЛ. V
равенства, следует, что
п
+cwj[ii(&),+*]«+J',«-
i? $=o
. Из этого неравенства благодаря условию (2') и
ограниченности Ьц следует:
Нетрудно видеть, что
2 Sj JS г = 0
1 Возьмем в R старые координаты х&.. %» хп. Перпендикуляр,
опущенный из любой точки R на плоскость xQ = 0, встречает
границу /? в точках основания Qj (лг0 = 0). Поэтому
и (hb х1% ..., хп) = и (0, х19 ..... хп) + J -g—dXQ.
о
Отсюда

§ 1] ОЦЕНКА ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ОТ РЕШЕНИЙ 227
Неравенства (10) и (11) справедливы для любой части Rh
пирамиды /?, расположенной между плоскостями у0 = 0 и
у0 = h<Chr Надо лишь в них заменить Q2 на Qh — сечение/?
плоскостью х0 = А, /? на Rh, a Fx — частью Flh,
заключенной между у0 = 0 и у0 = h. Складывая эти неравенства,
получим:
Н%(и)= )[2©'+«9]^1---<У.<С(Т1)[я^(«) +
"" г = 1 ^ 0 .
*W
где
**
Оценим с помощью этого неравенства HqUu)* Для этого
h
обозначим J Hq (u)dx = z(h), а сумму всех оставшихся чле-
о
нов правой части неравенства (12), умноженную на С(^),
где hi есть высота пирамиды R. Интегрируя это неравенство по 22»
получим:
J «2 axt ... dxn < 2 и2 (0, *lf . ♦■. хп) dxx ...dxn +
+ 2/*i J*(^-JW<2[и2 (0, jflf ... ^)^...^я +
Перейдя к координатам у^ .»**у, получим (11).
1 Входящая сюда постоянная С (ft), вообще говоря, отличная*
от £(?i) из (10), выбрана общей для всех h из [0, ht].
15*

228 МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ [ГЛ. V
обозначим E(h). Тогда (12) можно записать в виде
djM-<C(b)z(h)-}-E(h). (120
Умножим его на е~°^^ь и перенесем первый член правой
части налево:
Интегрируя обе части по h от 0 до h и умножая затем обе
части на е (ri , получим:
h
z (А) < ес^ hJE(h) в'0** h dh <
о
< IgL (Лh-1)<E(A) A*°»i>\ (13)
если учтем, что E(h) есть неубывающая положительная
функция Тг. Это неравенство дает желаемую оценку первых
производных, именно:
где
^(«)<С(Т1)[Я^(«) + «^(") + Я^(/)], * (130
Подставляя (13) в (12х), или., что то же, в (12), получим еще
одно неравенство:
Я§(в)<С(Т1)[/^)(и) + ^Л («) + «%(/)]• * (14)
В этих оценках весьма существенно то, что в Н*$ (и) входят
лишь те производные от и, которые вычисляются через
значения а лишь на самой поверхности Fv
1 Постоянные С (ft) в неравенства* (13х) и (14) выбраны общими
МН : всех h £ [0, fy]. Они, вообще говоря, не совпадают с С (ft) из
неравенства (12^ .

§ 2 J ОЦЕНКА СТАРШИХ ПРОИЗВОДНЫХ ОТ РЕШЕНИЙ 229
§ 2. Оценка старших производных от решений
Пусть коэффициенты уравнения (1) и / имеют в R
непрерывные производные до к—1-го порядка, ограниченные по
модулю fi> а решение и имеет непрерывные производные до
/г-4-1-го порядка, причем &;>2. Введем в R новые
координаты:
Уг = Ъ> •••> Уп^Чп* «i(y0. •••> Уп)^Уп + сУо = г1о-
Уравнение (1) для и(-%, ..., ijw) = и (у0, ..., ^)
преобразуется к виду:
i, j=l i = 0
Коэффициент В (g,) при —ъ не может обратиться в нуль, ибо,
как было указано выше,
£(&) = *«!< — а-
Продифференцируем уравнение (15) по %, ft=l, ..., я,
вводя очевидные сокращенные обозначения:
+i^>.ff+..., * = i,...,,. (16)
Невыписанные члены содержат производные и не выше
первого порядка.

230 МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ [ГЛ. V
Введем следующие обозначения:
Q s=0 о^ = 0 * s
^ 8 = 1 Vl l
Исключим из правой части равенства (16) член,
содержащий ——у с помощью равенства (15). В полученных таким
способом уравнениях для величин з—, ft = l, ..., п,
перейдем к старым координатам у0, ..., уп> в результате чего
найдем:
*, ?=о i=otj=i
/5=1, .. ., я,«
причем /' содержит производные и не выше первого порядка.
Исходя из равенства (17), методом, указанным в § 1,
получим оценки для первых производных по у0, ..., уп от
функций з^- , ft = 1, ..., я. Именно, умножим (17) на з— (д~"~) ,
просуммируем по' ft от единицы до я и затем проинтегрируем
по Rh. Из полученного равенства, аналогично прежнему,
докажем неравенство:
2^(ё)<с(-г1)1Я?(й)+^л(«)+яё>(/)],
fc=l x fr/
0<А<Лх (18)
при условии, что я<7-, а^ а и их первые производные непре-
df д*и
рывны и ограничены по модулю *(и а ;г~ и *—з—з не~
прерывны в /?.
С помощью неравенства (18) мы оценим интегралы от
производных з,—з—» * = 1, ..., л, 7 = 0, . .., /г. Определяя же

§ 2] ОЦЕНКА СТАРШИХ ПРОИЗВОДНЫХ ОТ РЕШЕНИЙ 231
из (16) производную —- через другие члены, получим
аналоге
д*и
гичное неравенство и для —5*
Тем самым оцениваются все производные второго порядка
по У& • •> Уп от «•
П\(«) < С(т,) Щ(и) + Я|;Л(«) + Н% (/)], (19)
0<А<Аг ,
Затем последовательно оцениваются производные третьего и
более высокого порядков. Пусть для Н$ (и) неравенство
типа (19) уже установлено. Докажем его для //V" (и). Для
этого составляем от обеих частей уравнения (16)
всевозможные производные Dxu /-го порядка по %, ..., г\п и из полу-
ченного равенства исключаем член, содержащий —^Dz ги
с помощью уравнения (16), от обеих частей которого соста-
влены производные Ог_г. Таким путем находим, что для Dzti
справедливы равенства
b'^f+i^w^r+f"'' (2o)
«,J=0 ^ Ч 4 = 0 (8) Ч
где /" содержит производные а не выше /-го порядка. Во
втором же члене 2 означает суммирование по всевозможным
производным /-го порядка от а по i\v ..., %. Из равенств
(20) методом, указанным в § 1, оцениваются Н& (А^)>
% =£ 1%» т. е., иначе говоря, все те производные /-J-1
порядка от м, в которых дифференцирование по г\0 входит не
более одногр раза. Все же остальные производные 1-\-\
порядка оцениваются через эти, благодаря уравнению (16).
Действительно, составив от обеих частей (16) производную

232 МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ [ГЛ. V
—-7 —» мы из полученного равенства сможем определить
dl+1Z ~ , , л
—-r^z j— через производные от и не выше /+1 по-
дгУ *...&#
рядка, в которые дифференцирование по т)0 входит не более
4 + 1 Раза- Беря 4=0> 1» •••> I—1> мы и получим
желаемые оценки для всех производных / порядка от и по ч%, ..., ч\п,
а следовательно, и по у0, ,.., уп. Итак, мы установили
следующее неравенство:
"8J («) < С(Tl) [Я8? («) + #j^ (?) + Я ^ (/)], (21)
0<А<А1Э
при условии, что модули всех производных от коэффициентов
уравнения (1) до порядка k—1 включительно в R не
превосходят fp а и и / имеют непрерывные производные &-J-1
и k — 1 порядков.
Заметим, что в выражение Я$*А (и) входят производные
от и только по координатам i\v ..., г\п и потому они
вычисляются через значения функции и на поверхности Flh:
и(0, -%, ..., -г)п) = иЦ.
Возвращаясь к переменным х0> *.., л;п, легко видеть, что
неравенство (21) справедливо в R и для производных и по
Наряду с (21) имеет место и более сильное неравенство
^(«)<C(Ti)N? («)+•#% Й + Я^Ч/)], (21а)
0<А<Ар *
которое выводится совместно с (21) [см. (14) и (15) § 1].
Итак, доказана следующая лемма:
Лемма 2. Если функции а^ а{ и а, входящие в
оператор I, имеют в R непрерывные производные до k— 1-го по-
рядка, то для любой k-\-\ раз непрерывно
дифференцируемой в R функции и (х0> ..., хп) справедливы неравенства
(21) и (21х), в которых надо положить / = — Lu.

§ 3] ЗАДАЧА КОШИ (АНАЛИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ) 233
Замечание. Неравенства (21) и (21j) имеют место и
при более слабых предположениях относительно функций иу
а{р а и /. Так, легко видеть, что функции и достаточно
иметь квадратично суммируемые по R обобщенные производ- *
ные до &+1-го порядка, функции/ — до k—1-го порядка.
Остальные функции должны удовлетворять тем же
требованиям, что и при установлении аналогичных оценок для задачи
Коши. Эти условия сформулированы в книге [1] С. Л. Соболева
(§ 21, п. 6, стр. 222). Прием оценки интегралов» данный
С. Л. Соболевым при выводе неравенств в задаче Коши, при
ослабленных условиях, вместе с вышеизложенным методом
Шаудера получения оценок для смешанной задачи, дает
возможность доказать неравенства (21) и (21х) при упомянутых
более слабых требованиях.
§ 3. Задача Коши (аналитический случай)
Предположим, что коэффициенты уравнения
дх*- h а^дх.дх ~zZiaoidx дх —
— ^ai^ — atl—f—LU—t (1>
суть аналитические функции всех своих аргументов, причем
радиус сходимости их разложений в степенные ряды в
окрестности любой точки М0 (О, Хи ..., х°п) £ Qt равен г > О (точнее,,
разложения коэффициентов в окрестности каждой точки
M0£Qt в ряд по степеням дг0, дг^ — х*9 /=1, ..., п>
сходятся для | х01 < г, | х{ — Xi | < г, / = 1, ..., п). Пусть этому
же условию подчиняются и начальные данные Коши —
функции <?(XV ..., Хп) = и\ И ф(*!, ..., хп)=^-\ -1
В этом случае решение и уравнения (1), удовлетворяющее
только что указанным условиям Коши, может быть найдена
1 Мы могли бы ограничиться тем случаем, когда коэффициенты
уравнения (1) и начальные функции суть полиномы.

234 МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ [ГЛ. V
в виде ряда по степеням лг0, л^-^-лг?, /=1, .„», л, где
М0(0, лгь ..., хп) — любая точка, принадлежащая Qv Pa-
т диусы сходимостей рядов для и не меньше некоторого
положительного числа р. Число р определяется лишь
вышеупомянутым радиусом г и максимумом модулей коэффициентов
уравнения (I) для комплексных значений аргументов дгг- из
области Кг\
ja не зависит от величин модулей свободного члена / и
функций' Ф И ф.
Сформулированный результат есть следствие известной
теоремы Ковалевской и доказывается методом исчисления
пределов или, что то же, методом мажорантных рядов. Мы не
будем здесь излагать этот широко известный результат, но
-лишь выпишем мажорантное для (1) уравнение и покажем, от
чего зависит число р.
Введем новую функцию v = u—<р — ф • л"0. Ясно, что
И
где Д = -/ + Lx (? + л;0ф)..
, Из условий (22х) с помощью уравнения (222) известным
процессом могут быть вычислены всевозможные производные
функции v в любой, произвольно фиксированной точке М0£ Qx
(см* книгу [1] Д. Гильберта и Р. Куранта, т. II, гл. I, § 7).
Ряд Тейлора для функции v
j ОО
2 av.. * 4° (*! — *i)*» ... (xn—x0nfn
*o kn^° ° "
мажорируется рядом для функции г (х0, ..., хп), которая
приводится н"иже. Именно, z есть решение мажорантного для (222)

•§ 3] задача коши (аналитический случай) 235
уравнения
п п п
*L e V&dXi°X' Я*'4**' A'"' J (23)
дхо ^ + (Xl_*o)+_+( ^
1 —i!
г
где
jW = max{|<ty|, К|, |я|}, АГ=тах1/|1
к к
г г
я а — любое положительное число между нулем и
единицей* Кроме того* функция z есть функция одного аргумента
п
z = Ф (у), у = а:0 + « 2 (■** —*2)» и начальные условия для
4 = 1
нее следующие:
Ф(0) = 0 и ^ = 0.
Уравнение (23) для функции Ф(у) переходит в обыкновенное
уравнение второго порядка
dy* \—2L
аг
которое преобразуем к виду:
аг яг аг
где
/?=1— Ж(а2Аг2 + 2ая).
Радиус сходимости коэффициентов для точки у = 0 равен
р' = а/?/\ Возьмем, например, а = . , , тогда
.ЗпШ + ЗпШ*
?'>г"
(1+ЗМл*)8 ?
Известно, что уравнение (24) имеет единственное решение,
удовлетворяющее условиям Ф (0) = Ф' (0) == 0; это решение

236 МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ |ГЛ. V
разлагается по степеням у в ряд с неотрицательными
коэффициентами, и радуис сходимости этого ряда не меньше р\
Пусть
фоо-2«*л ы<р'.
fc = 2
Тогда ряд
будет мажорировать ряд, полученный раньше для функции v>
ибо z (лг0, ..., лгм) удовлетворяет мажорантному для
уравнения (22) уравнению (23) и начальные для z функции
ОО П
fc=2 i = l
fc=2 *=1
представляются рядами с положительными членами, и потому
могут быти рассмотрены как мажоранты для начальных
функций v(0, хг, ..., хп) = 0 и
длг0
0.
Радиус сходимости ряда для и (х0, ..., хп), очевидно,
будет не меньше
р^^тг- (25>
§ 4. Задача Гурса (аналитический случай)
Мы хотим рассмотреть следующую задачу: определить
решение уравнения (1), обращающееся в заданные функции
на двух поверхностях Fx и G. Поверхность F1 ориентирована
временным образом, поверхность G является
характеристической для уравнения (1). Эта задача, решаемая локально
вблизи пересечения Рг и G, может быть сведена г с помощью
замены независимых переменных к следующей:
* Об этом сведении речь будет идти ниже, в § 5.

§ 4] ЗАДАЧА ГУРСА (АНАЛИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ) 237
Найти решение уравнения
удовлетворяющее условиям
a \Vq=0 = <h (yv ..., уп), и |^=0 = ф2 (Л, ..., ^_x)
причем
Все входящие в условие задачи функции разлагаются
в ряды по степеням уь i = 0, ..., я, сходящиеся в
комплексной области Кг значений аргументов, определяемой
неравенствами:
\Уг\<Г, / = 0, ..., П.
Пусть
Ж = тах{[^|, |*,|, |*|}, АГ=тах[/|.
Мы покажем, что эта задача имеет единственное
аналитическое решение, разлагающееся в ряд по степеням у0, ..., уп,
и радиус сходимости этого ряда не меньше некоторого числа р19
зависящего лишь от г и Ж.
Без ограничения общности можно считать фх = ф2 =з 0, ибо
б противном случае мы ввели бы новую функцию
V (у) = и — фх — ^ + фх (Л, . . ., Jf^, 0),
которая обращается в нуль на плоскостях уг = 0 и уп = 0
и удовлетворяет уравнению (26) лишь с другим свободным
членом fv что, как будет показано далее, не влияет на
величину р1#
Итак, пусть
Из условий (27) и уравнения (26) однозначно определяются
все производные и(у0, .. *., уп) в точке 0(0, ... 0). Покажем,
что формально составленный для и ряд Тейлора
в^Л-.ч-..^----* (28)

233 МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ [ ГЛ. V
может быть мажорирован сходящимся рядом. Для этого
составляем мажорантное для (26) уравнение
п п
fl22 г, j^l J 1=0
— +У1 + • • • + J'n
1_^
г
и ищем решение его в виде
п
(29)
Тогда
г = 1
или
«г
1 г * r 1 r
где i?j == a —. a2n2M. Возьмем a = 2 , тогда
/? - l
Найдем то решение уравнения (29'), для которого <р(0) =
= </ (0) = 0. Такое решение существует и представимо рядом»
с положительными членами
оо
радиус сходимости которого не меньше
(1+/2Ш)2*
Ряд
(30)
* 0^' .J • • * л.)=2 ч (у о+«2л)
fc=2 *=1
-» ? л...».*-*
*„.••*„=« °"'га

§ 5] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ 239*
мажорирует ряд (28) и потому радиус сходимости ряда (28)
г
не меньше р, = тг—:—^т——ГТх.
В следующем параграфе мы покажем, как преобразовать
уравнение (1) к виду (26). При первом чтении читатель может
опустить этот параграф.
§ 5. Преобразование уравнения
к характеристическим координатам
I. Пусть уравнение (1) задано для значений аргументов х4-
из области Rv определяемой неравенствами:
— 2г<*„<2г, _4г<^<^ + 4г, / = 0, ..., п — 1.
Коэффициенты уравнения предполагаем разлагающимися в
степенные ряды с радиусом сходимости не меньшим 2г для любой,
точки многообразия Qx:
Агп = 0, — 2гО,.<& + 2г, 1 = 0, ..., п — 1.
Рассмотрим уравнение характеристических поверхностей:
д<р дер .
v *
i, J=0
t Л—Л * J
и связанную с ним систему обыкновенных дифференциальных
уравнений:
/ = 0, 1, ..., п (32}
где
ф=
dxt _ Pi
ds ~ P>
dPi _ фг*
ds P '
ds и;
п
i, j = 0
n
pi=dfi==-2lia^p^
j = 0
fc, z=o ' r *=o

'240 МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ [ГЛ. V
Напомним, что а00=1 и
п п
— 2 ЯуЩ > « 2 б, <* = const > 0, (2)
it j-l i = l
откуда, следует, что — au !> а > 0.
Присоединим к (32) следующие начальные условия при s = 0:
Х% = Х{, I = 0, . • ., П — I
•*„ = *„ = <) М0(х°о, ..., 4-1, 0)€Q„
<Р = *о> Ро=1> Л = 0, /=1, ..., л —1,
(33)
гпричем /?° определим из равенства
п
. 2 *</P</V Uo = °> т- е- 1 + За^р» + annpl = 0.
Из двух значений, определяемых этим уравнением, возьмем
«следующее:
po = f_^L_i/ L+4-}
Нас интересует система функций
Х$ = ЛГ^ (5, ЛГо, . • •, ATw_i), J = 0, . . . , tly
-определяемая из уравнений (32) при условиях (33), и
разрешимость этой системы относительно s, х^.
Прежде всего покажем, что
P>2C1]/2lpl (34)
тде C1 = min(l, а) [см. (2)].
Для этого докажем, что характеристические числа
квадратичной формы
п
(ЛЕ, £)= 2 акЩ по модулю не меньше Сх.

§ 5] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ 241
Действительно, ортогональным преобразованием переменных
и
*о = '1о> Ъ = 2 с4кщу i— 1, ..., п, приведем (Л$, S) к виду:
*' = 1 г = 1
Характеристические числа этой квадратичной формы
удовлетворяют уравнению
А —1
*01
^01
л + А,
"02
О
О
у0п
о
*+*и
*0гс
= (Л — 1) (Л Н-Лх) ... (X + AJ —2 &П (* + **) = 0. (35)
/с=1
Пусть 0 < лх <; л2 <...<; Ап. Тогда из (35) нетрудно
заключить, что в промежутке — кх < к < 1 нет корней
уравнения (35), ибо для к из этого промежутка первый член
отрицателен, а вторая сумма неотрицательна и потому их разность не
может равняться нулю. В силу же (2) кг ^ а, значит,
характеристические числа матрицы
/ 1 *01 .
н
\ап0 ' • • • ап
по модулю не меньше Cv откуда в свою очередь следует:
п п п
2 (2)«<//v)2>Ci2!/&
Отсюда сразу вытекает (34).
Из (34) и (33) следует, что P|g=0>-2C1 для всех
М(х®, •••>■*£_!> 0)€Qi> поэтому существует такое >*!<>,
что для всех комплексных xi и /?^, удовлетворяющих
неравенствам | Xi-x°.\<2rv i = 0 л, M(**f0)€Q19 \Pj—p°[<rlf
/ = О, . . ., /г, функция | Р | превосходит некоторую
положительную константу. Тогда
16 Зак. 363. О. Ладыженская.
для \х4 — *J|<2r1,

242 МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ [ГЛ. V
/ = 0, ..., л, иЖ(4 0)£Q1 и \Pj—pO\<rv y = 0, ...,/г
не превосходят некоторой постоянной М. Поэтому разложе-
р. ф.
ния -± и -~ по степеням (х,— лф и (/?,— /??), у = О, ..., я,
допускают в указанной области мажоранту
М
^ г==0 1=0
и потому существует такое г2 > 0, что для | s | < г2
степенные ряды по ^ для xi и pi сходятся.
Однако нас интересуют разложения xi и pi по степеням
не только 5, но и (л:° — ос{), / = О, .. ., л — 1, для точки
Л;(а0, ..., a^j), принадлежащей области Q2, определяемой
неравенствами:
— '"<«<<?* + /•» / = 0, ..., л —1.
Для этого введем новые функции:
.?<=■*< — *?■ 4i = Pi — Pi* ** = 0, ..., л, « = 0).
Они удовлетворяют уравнениям:
(32')
где
р'(х n\—PiS^£U.
*«(**, Р*)~ Р{Хк,Рк)>
и начальным условиям
ли0 = °» ^Uo = °> * —о л. < (ззо
Переменные л^, / = 0, ..., л— 1, входящие в правые
части (32') в явном виде и через посредство функции р^,
рассматриваются как параметры. Для любых значений этих

§ 5] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ 243
параметров Xi = а{, I = О, . ..., п — 1 из Q2 правые части (32')
можно разложить в ряды по степеням уь qi и {х\— %),
сходящиеся при | yi | < г3, | qi | < г4, | х\ — а{ | < г3, причем
постоянные г3 и г4 можно выбрать общими для всех точек
М(<?0, •••> aw-i) €^2- * Именно, возьмем r3<r1, ar4-j-C2r3<r1,
где С2 есть верхняя граница модулей функций
дрКА *»-!>
а*!
-г-п ^"и7 ••■' "??—1/ . Л 1
тг — , / = 0,..., я-1,
для комплексных значений х° из области \х°. — a J <!г3,
^К> •••> an-i)€Q2-
В комплексной области значений аргументов |j^|<r3,
I Яг I < г4> I-*?— аг I < гв Функции Р* и ф/ аналитичны и не
превосходят по модулю М, ибо при этих условиях
аргументы хк и рк функций Pi и Ф$ не выходят из области
аналитичности этих функций:
\Ч — ч\ = \(Ук + хп) — ^|<2г3<2г1,
Таким образом, функции Р^ и Фг- допускают мажоранту
М
V П П — 1
-mi
l_i^_ii 1_1±L_ l^^o
й, следовательно, решения системы (32') представляются
рядами
yi = xi — x(i =
со
= 2 41... uixl-*0)*о • • • (4-1 -*,s-i) n'ls\ (36.)
4i — Pi—/>< =
оо
/ = 0, ..., я, (362)
Л*0' •••» fc«=0
1 г3 прежде всего берем настолько малым, чтобы в указанной
области функция р°п(х°0, ..., х^^) не имела особых точек.
16*

244
МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ
[ГЛ. V
сходящимися при | s К р2, \x°i — ос J < р2 Для любой N (а0, ...,
an-i)€Q2 (Ръ зависит лишь от величин уИ, г3 и г4).
Остается выяснить вопрос о разрешимости системы (36^
относительно Xq, ..., Хп-и $»
D (х х \
Подсчитаем якобиан /= \ °' '"' п)— при 5 = 0. Си-
D(xl...,x°n_vs)
дХ{\
стема (32) дает значения
ds
= Pi
s-o
is=o
, / = 0, . .., п. Из
начальных данных (33) вычисляем все остальные производные
при s = 0: -Щ-
этому
'I...-
5 = 0
= 8/, / = 0, . .., /I, £ = 0, ..., п— 1, По-
1 0 .
0 1 .
0 0 .
Ро Р[.
.. 0 0
.. 0 0
.. 1 0
р' р
S-0
= — р 2 (аопР°о + <*ппр1) |^ = j -p Vain — <*nn}s=0'
и так как по условию (2) — #ww!>a>0, то |/|;> 2 J^aP-1.
Вследствие непрерывности / по 5 и 4 найдется такое р3-<р2>
что | /1 ^ С3 > 0 для
По теореме о неявных функциях для каждой точки Ж (<х0, ...,
aw-i» 0) замкнутого вещественного многообразия Q%: — г<[
<^ аг ^ Рг + г> / = 0, ..., я — 1, лежащего в комплексном
пространстве /?2w+2 переменных дг0, •.., *w-i> s> существует
своя открытая окрестность (размерности 2n-j-2) /?(Ж),
обладающая следующим свойством: система (36х) однозначно
разрешима относительно х®, s; при этом любой точке (дго, ...,
Хп-и 0)> Для которой —г — Ps<Cx<i^ Рг + ^ + Рз» соответ-
ствует точка х0 = Хо, ..., лгм_а = хп„и хп = 0. Ввиду ком-

§ 5] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ 245
пактности Q2 можно выбрать конечное число точек Л^£§2,
т
/ = 1, ..., т, таких, что открытое множество R (Q2) = 2 RW д
содержит в себе Q2. В #(Q2) система (36х) однозначно
разрешима относительно х\> s и функции л;? (х0, ..., д;п),
^ (дг0, ..., хп) аналитичны по переменным дг0, ..., хп.
Возьмем теперь столь малое р4<^Рз> чтобы область D:
\s\<p»\x*i — <*i\<p4; 0<^<fo, / = 0, ..., /г — 1, (37)
комплексного пространства /?2п+2 заключалась в /?(Q2).
Если мы возьмем любое р ^ р4, то область Z)(p> точек (лго, ...,
лг^-ь s) с вещественными координатами, удовлетворяющими
неравенствам | s | < р, \х\ — <^ | < р, 0 < а{ <; р^, / = О, ...,
п—1, отображается функциями (36х) взаимно однозначно на
область вещественных переменных х0, .. ., лгм, содержащую
некоторый параллелепипед /?(8):
К1<8(Р)> 0<^<&, / = <>,..., л — 1. (38)
Вернемся теперь к уравнению (31). Его решением при
условии ?|^=0=^ будет функция
9 (•**<)> * * • > -*ю) === *0 (-*ч)> " ' * > -^w)
[см. (33)].
Характеристические линии для этого решения в
пространстве (дг0, ..., хп) определяются уравнениями
п л о
где в правых частях вместо р{ подставлены ^—
Характеристические направления задаются вектором
(Хо> ...» Хп\ где ti = — Zi а*3 Ш~-'

24:0 МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АПтЮКСЙМА'ЦЙй ^ГЛ. Ъ
Поверхность х% (xv ..., хп) = С есть характеристическая
поверхность уравнения (1), проходящая через п — 2-мерное
многообразие:
лг„ = 0, х0 = С, 0<л:^<^, * = 1, ..., п — 1.
Так как нормали ее вдоль этого многообразия совпадают по
направлению с векторами (1, 0, ..., О, р°), а р° < О, то
поверхность *о(лг0, •••» xri)z=^ расположена для
положительных хп над плоскостью х0 = С. Поверхности ос[ (лг0, ...,
хп) = const, /=1, ..., я — 1, также выстилаются
вышеупомянутыми характеристическими линиями, и потому нормали
к этим поверхностям в любой точке М ортогональны к
характеристическому направлению в этой точке, т. е.
?:^кщ=о> *=о,1,...,я-1. (39)
Подсчитаем еще сумму
ДЛЯ 5 = 0.
Алгебраические дополнения к последней строке матрицы
1 0 ... О О
yi dfo ds
°оп= 2ja4dXi dxj
0 0 1 0 I ' соответствующей / = ^^[[[^
\Po Pi Pn f 8 = 0
деленные на определитель этой матрицы, равный /, дадут
ds л
значения-^— при 5 = 0:
ds ds ^ ds J_
dx0 ~ ' " — дхп-г ~ ' Шп ~ I '
Якобиан /|в=0 был найден нами выше:

§ S] прёобраЗЬваниё rt характеристическим координатам 54?
* * i = 0 h-0
\ пп у а* ann)s=0
Следовательно,
, , о ч ds I l/a ds
=о - («о» + «»»/>п) ^\g=o У ат — апп ^
= — 1/2 (aio + ainp0n)'
о » i=o
!«=0
Но
Кгс + *«»/£)а = а1п — апп>\ аПп | ><*,
и потому __
l*OfilUo>Vr«>0-
Будем считать р4 в неравенствах (37) столь малым, что
в области £>, определяемой этими неравенствами,
l*oJ><4>0. (40)
II. Применим теперь полученные в этом параграфе
результаты к уравнению (1):
п п
S аУв+Ий<|+ЙВ+/=о. (1)
i,j=0 s = 0
коэффициенты и свободный член которого удовлетворяют
условиям, сформулированным в начале настоящего параграфа.
Пусть Q3 есть параллелепипед, определенный
неравенствами: 0<^<^, / = 0, ...,л — 1, лг„ = 0.
В области 7?(р) , по только .что доказанному, можно ввести
новые координаты xl, ..., Хп-и $. Уравнение (1)
преобразуется к новым координатам так:
п п
.1 = 0 г 3 г-0 г

248 МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИЙ • [ГЛ. V
о
Где через хп обозначено s, a
у* дх* дх°г
к, z=o
, v дх" I V dxi
к, 1=0 fc=0
Благодаря (39) и (40)
^иО, / = 0, ..., я — 1, |*оп1>С4>0-
Поделив обе части (41) на 2Ь0п, получим уравнение:
п п
коэффициенты и свободный член которого суть
аналитические функции в комплексной области D, определенной
неравенствами (37):
|$|еэ|лг»|<р4, |лг2 — <*<|<р4, (><«,<&, / = 1, . .., /1—1.
Используя теперь результат § 4, можно утверждать
существование положительного числа рб < р4, обладающего
следующим свойством.
Уравнение (42) имеет единственное аналитическое
решение и (лго, ..., *п) в вещественной области
|4|<рб, !** — <** |<рб> / = 0,...,я —1, (43)
где а4— любые из промежутков [О, (3J, / = 0, ..., п—1,
удовлетворяющее условиям:
и (О, хи • • •, Хп) = ^i (^2, • •. > а:»), 1
и{Хо, ..., лгм-1, и) = ty2 (лго, ..., xn-i), j
(42,) *
если только фх и ф2 аналитичны в области |лгпКР4>
|*° —<Ч<Р4> аг€[0» kh ' = 0, ..., я — 1, и <J>i(*i, ...,
*w-i, °) = ^2(ao» *ь • • •> *%-i). Число рб не зависит ни
от выбора о^ из [0, PJ, ни от /7, ^ и ф2> н0> вообще говоря,
зависит от коэффициентов уравнения (1).

§ 5] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ 249
Образ области D^ в вещественном пространстве (лг0, ..., хп)
содержит, как указано в (38), параллелепипед R (8):
|*п1<8(рБ). °<х<<$<> / = 0> •••> *—!•
Для хп = 0, 0<*,<р<, / = 0, ..., n — U
Ъ^__ о_ а0п |/ 1 ■ аоп
Яг Рп— п I/ Л I <
илп ипп V ипп й,
поэтому можно 8(рб) взять столь малым, чтобы
пп
ду
дх„
>Сб>0 в /?(8).
Проведем через п — 2-мерное плоское многообразие х0 = а0,
О <С х% <С $ь *■ = 1 > • • • > л — 1, дг^ = О характеристическую
поверхность О(«0):
? С-^о' • • •» хп) — хо (хо> • • • > -^п) — ао-
В области /?(8) для хп^>0 эта поверхность располагается
выше плоскости х0 = а0, ибо
р«<-с6<о.
Кроме этого заметим, что р0 = ^- удовлетворяет неравенству
С7>р0>Св>0.
Действительно, из уравнения характеристической
поверхности .
п п
pi H- 2 2 я*оР*Ро +, 2 «^Pijfj = О
найдем
п
Ро = — л + 1^4» +В, где Л = 2 в<оЛ»
б=— 2 aijpipj>* 2 pi
В /?(8): B^aC6i |Л|< const и потому р0 превосходит
некоторую положительную постоянную С6, но остается меньше
некоторой другой постоянной Cv

250
МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ
[ГЛ. V
При фиксированных х1 = а1, ..., хп_1 = ап_1 из [0, j^J
? С*о> • • • > хп) — ао м°жет быть рассмотрено как уравнение
линии пересечения характеристической поверхности с
многообразием xi = сгч, /=1, ..., п—1 (см. рис. 3).
Так как ■—- ^ С6 > 0, то из этого уравнения х0 может
быть явно выражено через хп. Кроме того, благодаря
-Й- = -Рп>Сь>0 и /70<С„
поэтому EF ;>
S
FJn
д*п PQ ^ С7
>«о + |8(Рб).
С
Обозначим уг 8 (рб) = h.
Область, ограниченная
плоскостями
Рис. 3.
xi = K i=1> •••> Л —1э
и характеристической поверхностью
О (а0), является частью
параллелепипеда R (8), поэтому в этой области мы можем решить задачу
Гурса для уравнения (1), задавая решение на поверхности
G(aQ) и плоскости лгм = 0. Важно заметить, что h выбрано
нами не зависящими ни от а0 £ [0, р01, ни от свободного члена
уравнения, ни от функций фх и ф2.
§ 6. Смешанная задача (аналитический случай)
Мы займемся решением уравнения (1) при условиях (4) и (5)
в усеченной пирамиде /?, описанной в начале этой главы.
Пусть коэффициенты а^, ah а и функции /, ?, Ф и х
суть полиномы от лг0, ..., хпУ причем
9(*!, ..., xn_lr 0) = x(0, *it •••> *»-i).
Пусть их есть решение уравнения (1), удовлетворяющее
начальным условиям Коши: #1|а,=0==9> ^-Ч =Ф на
основании Qx пирамиды R.

§ 6] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА (АНАЛИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ) 251
В § 3 доказано, что иг (лг0, ..., atJ существует в цилиндре
[О, p]X^l, т. е. для 0<*0<р, (xv ..., xJ£Qv где
число р определяется неравенством (25).
Проведем через многообразие (х0 = 0, хп = 0)
характеристическую поверхность О0 уравнения (1). В обозначениях
§ 5 ее уравнение следующее:
х°0(х0, ..., хп) = 0.
Поверхность G0 разбивает R9 (часть R, заключенная между
плоскостями лг0 = 0 и лг0 = р) на две части: R?hR9. В R9—
части /?р, прилегающей к основанию Qv положим искомое
решение и = иг. В части же R9 решим задачу Гурса с
условиями: ■
В § 4 и 5 доказано, что такое решение и2 существует и
аналитично в Rj» являющейся частью /?р, заключенной между
плоскостями л:0 = 0 и xQ~h\ Полагаем й==й2 в Rh.
Итак, в Rh найдено решение и уравнения (1),
удовлетворяющее начальным и граничному условиям. В частях Rh
и Rh оно аналитично, а при переходе через
характеристическую поверхность G0 непрерывно. Покажем, что
производные и до порядка ft будут непрерывны при переходе через
поверхность G^ если начальные и граничная функция
согласованы до порядка ft, т. е. если производная —= (/ = 0, ..., ft),
дхо
вычисленная с помощью начальных данных и\ Л — <о и
ди л^у
— =<{* и уравнения (1), совпадает с -^(/=0, ..., ft)
0'а?0=0 дх0
на Г-пересечении {£г(х0=:0) и Fi(xn = Q).
Итак, пусть
(&-(&)„-(£&•'-•••>•*
vo'r Nl/-*o'r ч^о7г
(44)
Введем в Rh характеристические координаты. Тогда G0
перейдет в плоскость х°0 = 0, а хп = 0 в плоскость s*=0

252 МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ [ГЛ. V
или, что то же, х% = 0. Точки Г переходят сами в себя.
При Хо >. 0 и = #2, при лсо < 0 а = аг.
При переходе через плоскость xl = 0 в силу
непрерывности самой функции будут непрерывны так называемые
„ внутренниеи производные, т. е. всевозможные производные
от и по переменным дг?, ..., x^-i и 5 (предельные значения
этих производных с обеих сторон существуют, ибо и{ и #2
аналитичны). Кроме того, на Г совпадают предельные
значения всех соответствующих производных их и и2 до порядка А,
вследствие условий согласования.
Предельные значения-—(/= 1, 2) на х%=0 найдем из
дх°0
уравнения (42), общего для обеих функций:
п
д / дщ \ / дщ \\ ./ д*щ ,
п
да
»-1 ^
+ S^-S + *4+/. (45)
Это уравнение можно рассматривать на лг^ == 0 как
обыкновенное уравнение первого порядка относительно функций
~^(/= 1, 2), считая правую часть известной функцией <JW.
дх0
ди2 I
•- —^ и потому
дх01г
Но «р85*^ на ^ = 0 и —а
—)т = —4: на плоскости л™ = 0.
дх°0 дх°0 °
Из равенства
dJh. dJh на *°-0
дх°0 дх°0 °
следует:
дЧ 1 _ д1и2
дх°0 дх°^ ... дхУ \*ож0 дхо d/h ш щ ^ ^
Дифференцируя уравнение (42) по л:° и повторяя только что
проведенные рассуждения относительно функций —^, най-
дх0
, I • • •• 1 , . . . , П>ш

§ 6] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА (АНАЛИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ) 253
дем, что т-02^—02 на К^®' и т- д* для всех производ-
ных до &-го порядка. Производные же ^-j-1-го порядка
по х°0 имеют, вообще говоря, конечный разрыв на x°Q = 0.
Итак, мы нашли в области Rh решение и уравнения (1),
удовлетворяющее условиям (4) и (5). Вышина слоя h для
данного уравнения не зависит от того, какую плоскость
xQQ = const мы примем за начальную, ибо h не зависит от
начальных и граничных функций <р, ф и X и свободного
члена / (которые мы считаем, как и выше, полиномами, чтобы
не оговаривать их радиусы сходимости для различных точек).
Займемся теперь построением решения во всем R. Для
этого разобьем R на N частей плоскостями л:0 = /А,
/== 1, ..., N— 1 и введем следующие обозначения: /?(?> —
часть /?, заключенная между плоскостями x0*=z(l—\)h и
х0 = lh\ Q(I) — сечение R плоскостью х0 = (/— 1) h\ Тг —
пересечение 2(z> и Fv
В /?(i) решение и уже построено. Построим его в #(2).
Положим
я (A, xv ..., xJ = 92(^p ••> хп\
du(h, xl9..., xn) _ , .
Щ V2 Kxv • • • > xnh
Однако эти функции нельзя принять непосредственно за
начальные данные на 2(2). Действительно, <р2 и <j>2 непрерывны
на 2С2) вместе со своими производными только до k и
k — 1-го порядка, в то время как указанный метод требует
аналитичности начальных функций. Тем не менее, <р2 и &2
обладают двумя свойствами, которые нам будут весьма
полезны:
а) 92 и ^2 имеют производные всех порядков на 2(2>
кроме пересечения ©0 плоскости х0 = h с характеристической
поверхностью G0; (3) на Г2 выполнены условия согласования
до любого порядка между %> ^2 и X (и^° найденное нами
решение а аналитично в окрестности Г2).
Мы аппроксимируем «>2 и ^2 полиномами о28 и ^2s так,
чтобы:
(45а) <p2s и ^2s и их производные до порядков k и k — 1
включительно сходились при s-+oo равномерно на 2(2>
к <р2 и ф2 и их соответственным производным;

254 МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ [ГЛ. V
(45Ь) в окрестности контура Г2 имела место равномерная
сходимость производных cp2s и ^28 до порядка k -{-- т {N— 2),
Аппроксимируем теперь на Г2 условия согласования
нижеследующим образом.
Вычислим формально из начальных значений <p2s> t^s
с помощью уравнения (1) на 2(2) производные соответствую-
д*и
щего им решения й28. Согласно (45Ь) производные —р
oxQ
сходятся равномерно на Г2 к
(Й) ж* 0</<* + т(ЛГ-2).
\0ХО /от0= h
Аппроксимируем теперь на /71(лгп = 0) вверх от плоскости
х0 = h граничную функцию •% полиномом %а так, чтобы
(г&.-ф),,- o</<*+-(W-4 (46)
1 Эту аппроксимацию можно осуществить так: функции <р2 и Фг
фактически определены нами на несколько более широкой области
Построим для них усреднения у2 р и ф2, р» беря радиус
усреднения р столь малым, чтобы ср2^ и ф2 были определены во всей
области Q@y При стремлении р к нулю функции ср2 и ф2, р вместе
со своими производными до k и & — 1 'порядка сходятся
равномерно на £>(2) к <р2 и 4>2 и их соответствующим производным. Вблизи
же Г2 сходимость имеет место вместе с производными всех
порядков. Функции <р2 р и ^2, о вместе с их производными до
k-\-m(N—2) порядка аппроксимируем равномерно на Q(2)
полиномами ср2> 0t г и ф2 р§ г.
Возьмем теперь последовательности полиномов ср2§ = ¥2 i » (s)
и 4*2* = 4*2, -,р (s)» выбирая l=p(s) так, чтобы <р28 и <!>2g и их
производные до порядка k-\-m(N—2) отличались бы от таковых
для <р2 - и ^2 - вблизи Г2 не больше, чем на —. Очевидно, по-
следовательности <p2s и ф2§, £аг=1, 2».*»» обладают свойствами
(45а) и (45Ь).

§ 6] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА (АНАЛИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ) 255
и производные Dfi§ при s —► оо сходились бы в среднем по
области Ft(x0^h) к Dtx для 0<7<;&4"WC^—2) (см.
задачу в конце § 7).
По доказанному, существует в /?(2> решение и28
уравнения (1), которое на Q(2) удовлетворяет начальным условияхМ
?2s и ^2s> a на ^i принимает граничное значение xs» Так как
на Г2 выполнены условия согласования до k-\-m(N—2)
порядка, то до такого же порядка будут непрерывны
производные от решения и28 в R^y
Пусть
и (9h г г \ — a da2s(2h> ХЬ -••> хп) __ ^
U28 (4П, Хи . . ., Хп) — cp3s, j^ — y3g
будут начальными данными для решения иЬ8 уравнения (1)
в /?(,,). Они обладают непрерывными производными до
порядков k-\~m{N— 2) и k + m(N—2) — \.
Образуем для закрепленного 5* полиномы <?Ъ8г(хо> • • •»,*»)»
Фзяг^о» •••>лгп)» такие, что равномерно на Q(3)
lim ?3sr = ?3s> lim А?8вг = A?8ei
r=oo r=oo
lim A-i<!w = A-A*> !</<* + « (ЛГ— 2).
(47)
Вычислим снова на Q(3) производные —~~ для 0<^/<^
дх0
^k-\-m (N— 2). Функции ?8s и ^8s согласованы с ^s на Гв
до порядка k-\-m(N—2). Поэтому %8 можно в среднем
на Fx вверх от д;0 = 2А аппроксимировать полиномами isr
такими, что
(ШН^\> limD*sr = DlXa (48)
4 дхо /г3 ч °хо гз r=s°°
в среднем на 2(3) для 0<;/<[ft + i»(W—2).
Решение ид8Г, соответствующее функциям <p8er, tydsr, Хз*г>
по доказанному выше, существует в /?(3), имеет там
непрерывные производные k-\~m(N—2)-порядка и
кусочно-непрерывные производные k -j- 1 -|- m (ЛЛ—2)-порядка. В силу
(47), (48) и (21) справедливы неравенства
f Pi«8er)a^< const, 0</<* + т(ЛГ—2). (49).

256 МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ [ГЛ. V
1
Из этого неравенства благодаря теореме вложения
(теорема 9, § 3, гл. I) следует существование такой
подпоследовательности u3sr , которая сходится при А —> оо к
решению ид8 уравнения (1) и для которой равномерно в /?(3):
lim ОгиЬ8Г = ОгиЬ8, 0 < / < k + m (N— 3). *
Х-»оо А
Кроме того,
daSs
иьв Ц=2Л — <?8в» дХо
= 2Й
— V3S» **8в Ij^ p B(8) :
Продолжая таким образом дальше, мы построим во всех
R(i), 2<;/<;Л^, решение щ8 уравнения (1), обладающее там
непрерывными производными k~\-m(N—/)-порядка, для
которых справедливы неравенства типа (49). Оно принимает
на Ft значение х8 и удовлетворяет на Q^ (2 <; / <; N)
условиям: Dlui_U8^=Dluii8, 0</</5 + w(A/r—/).
Для фиксированного s из всех aiu (i ;> 2) образуем в
R = R(2) + • ♦ • ~\-R(N) решение и8 уравнения (1) с граничным
условием у8 на Ft и начальными значениями ®2s и ^2g на Q(2>.
Решение и8 в R непрерывно дифференцируемо k раз и
[ (ZVS)2 dR < const, 0 < / < k. (50)
Ж
Пользуясь этим неравенством, перейдем теперь к пределу по
s(s—> оо), считая k^> 2.
На основании теорем вложения (теорема 10, § 3, гл. I)
можно утверждать, что некоторая подпоследовательность
решений и8х сходится к функции и, имеющей обобщенные
производные &-го порядка, удовлетворяющие неравенствам (50).
При этом производные и8х до k — 1-го порядка сходятся
в среднем на любом сечении R плоскостью х0 = const
равномерно по x0£[h, kt] к соответствующим производным #,
1 Если вспомнить вид правой части неравенства (49; [см. (213)],
и учесть, что uSsr — и38р есть решение однородного уравнения (1),
соответствующее функциям {<p3sr — ^j». tW —' Фзвр» Issr — Xssp }>
то можно видеть, что вся последовательность w3«n /'=1» 2, ...,
сходится в норме №^(#(3))» q = k + tn(N—2), к функции и^.

§ 6] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА (АНАЛИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ) 25?
а производные. &-го порядка и8х сходятся слабо к
соответствующим производным и. Уравнению (1) а удовлетворяет
почти всюду.
Как указано в § 3 гл. I, можно говорить о значениях
функции и и -ее производных до k—1-го порядка
включительно на гладких поверхностях размерности п. В частности,
на Fx вверх от плоскости x0 = h функция и принимает
граничные значения х (хо> • • • > хп)> а на плоскости х0 = h функ-
ция й и ее производные до k — 1-го порядка включительно
совпадают почти всюду с таковыми для решения й,
найденного ранее в /?(1).
Решением поставленной в R смешанной задачи является
функция и, равная в /?(1) функции #, а в R— функции и.
Нетрудно видеть, что и обладает в R обобщенными
производными до ft-го порядка включительно, для которых верно
неравенство (50). Найденная функция и удовлетворяет как
уравнению (1), так и граничным и начальным условиям.
Существование классического решения
Если &= у +1+р, то найденное нами решение и
обладает непрерывными производными по х0> ..., хп до порядка р
включительно.
Действительно, функция и из R^ имеет непрерывные
производные до порядка k. Функции и8, 5=1,2,..., из
R = i?(2) -f- ... -\-R(N) обладают непрерывными производными
по xi до к-то порядка и для них выполняются как
неравенство (50), так и более сильные неравенства (21х) § 2:
f {Dxu8f dxx... dxn < const, 0 < / < ft, (21x)
где Qx —сечение R плоскостью лг0 = const. Благодаря
теоремам вложения (теоремы 9 и 10, гл. I, § 3) из (21х)
следует, что функции и8 (х0, ..., хп) вместе со своими
производными до /?-го порядка при фиксированном х0 образуют
равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное по
xv • • • > хп семейство функций.
YJ Зак. 363. О. Ладыженская.

258 МЕ*ОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИЙ [ГЛ. V
Производные порядка р -j-1 на основании теоремы
вложения 10 будут суммироваться по Qx со степенью q* и
/ \Dp + lU8 1^*1 • • • dXn < COriSt> (212)
2™
XQ
причем число q* определяется неравенством
q* ^ 2 л "^ 2п *
Если я ;> 2, то #* > п -j- 1 и потому функции й8 и их
производные до порядка р включительно образуют равномерно
ограниченное и равностепенно непрерывное семейство не только
в пространстве /г-измерений, но и в пространстве дг -|— 1-из-
мерения.
Поэтому из {и8}, s= 1, 2, ..., можно выбрать
подпоследовательность, равномерно сходящуюся в R вместе со своими
производными до порядка р включительно. Предельная
функция для нее будет решением в R\ вместе с функцией и
в /?(1) она дает решение поставленной задачи в R.
Заметим, что в силу единственности решения поставленной
задачи вся последовательность {и8}> s = l, 2, ..., должна
сходиться к решению и.
§ 7. Решение смешанной задачи
(неаналитический случай)
Теорема 13. Предположим, что в описанной в начале
главы пирамиде R коэффициенты а^, ai и а уравнения (1)
обладают непрерывными производными по xi до порядка
k—l включительно (£;>2), свободный член f^W^"1^(R)
?£^f+1)02i), ^^(Qi), a x€^2*+Vi). Пусть, далее,
условия согласования на Г (х0 = 0, хп = 0) выполнены до
порядка k включительно.
При этих допущениях в R существует решение и
уравнения (1), обладающее в R квадратично суммируемыми
обобщенными производными до &-го порядка включительно
и удовлетворяющее граничному и начальным условиям.

§ 7) смеЩанная зАДа^а (нканалитический Случай) 55§
Прежде всего заметим, что при сделанных предположениях
относительно входящих в задачу функций имеет смысл
говорить о согласовании условий лишь до порядка ft, ибо
производные от решения более высокого порядка, вычисленные
с помощью функций <р, tyi /и х> могут и не существовать на
многообразии Г, имеющем размерность п — 1.
Заключим R в куб Qa:
— Л<л^<Л, /=1, ..., п — 1,
0<лг0<2Л, 0<д:п<2Л.
Будем считать коэффициенты уравнения (1) и /
доопределенными на все пространство лг0, ..., хп, функции ср и ^ —
на все пространство xv ..., лгп, а / — на все пространство
xQy ..., хп_г так, что доопределенные функции будут 2Л-пе-
риодическими функциями своих аргументов, обладающими
в любой конечной области изменения аргументов теми же
дифференциальными свойствами, что и первоначально
заданные. Аппроксимируем их полиномами относительно sin—j-^-
и cos—jp- так, чтобы полиномы а§\ ai , a(s' сходились при
$->оо равномерно с производными до k—1-го порядка
к а^, ai и а, а полиномы /О), ср(8)> ф(8) и Х(8) сходились бы
в среднем соответственно на Qa и гранях л:0 = 0 и хп = 0
к функциям /, <р, ф и х вместе с производными до порядков
ft — 1, ft + Ь fe и ^+L
За функции /(*), <p(s), ty(s) и ^(8) можно взять отрезки
рядов Фурье, соответствующих этим функциям»
Уравнение, полученное из (1) заменой коэффициентов и /
на их приближения, обозначим (l)s.
К этому уравнению присоединим начальные условия
х0=° Т ' дх0
a<e>| А = «<в>
= ф(в).
Функцию же }((s) мы не можем взять непосредственно в
качестве граничного условия для w(s), ибо она не согласована
с (1)8, <р(8) и ф(8).
17*

260 МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИЙ (ГЛ. V
Обозначим
дх'
д1и&
■b4\xv
xQ=o
дх*
причем под
= $4*,
• > ^n-lJt I — ",..., &t
• у Xn_^), I — U, . . ., /с,
понимаем те значения производных искомого
О из начальных
решения и(*), которые вычисляются на х0
функций cp(s) и ф(8) и уравнения (l)s.
В силу выбранной аппроксимации и согласованности
условий задачи функции b{%\ c^f, / = 0, ..., k, сходятся при
5->оо в среднем на п — 1-мерной грани Qa : (х0 — О, хп = 0)
к одному и тому же пределу вместе с производными k — /-го
порядка.
Как будет показано дальше (см. задачу на стр. 262), можно
построить тригонометрические полиномы Р8(х0,..., *n_-i),
сходящиеся при 5 -> со в среднем на грани куба хп = О
к нулю вместе со своими производными до &-го порядка и
удовлетворяющие при х0 = 0 условиям:
д1Ря
дх*
= #>-#>.
Присоединим в качестве граничного условия к уравнению (l)s
следующее:
«(Ч=о = х(8)+^ = х(8)-
Полином х^(хо* •••» xn-i) сходится в среднем по грани
куба хп = 0 вместе со своими производными до /5-го порядка
к заданной функции х и его значения согласованы с <p(s)>
<5>(s) и (l)s до порядка k.
В § 6 доказано, что уравнение (l)g при начальных и
граничном данных <рФ, ф(8) и у(*0 имеет в R решение и&\
обладающее обобщенными производными до порядка k, причем

•§ 7] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА (НЕАНАЛИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ) 261
для него выполняется основное неравенство (50)
§ {Dju&f dR < const, / = 0, .. ., ft. (50)
R
Входящую в это неравенство постоянную можно выбрать
общей для всех 5 = 1, 2, ..., ибо она определяется лишь
максимумами в R модулей коэффициентов я$у, а({\ а{6) и их
производных по хк до порядка ft — 1 и величинами:
. dxny I = 0, .. ., ft,
/=0, .. ., ft,
/=0, ..., ft —1.
По теореме вложения (теорема 10, § 3, гл. I) из (50) следует
существование такой подпоследовательности #(s), которая
сходится вместе со своими производными до ft—1-го порядка
в среднем по R к функции и и ее (обобщенным) производным
до ft — 1-го порядка. Больше того, Dku(8) сходятся слабо
к Dku и для Dku выполняется неравенство (50). 1 Предельная
функция и является искомым решением поставленной задачи.
Так как мы доказали существование у и обобщенных
производных до ft-ro порядка, a ft ^2, то имеет смысл
говорить и о выполнении граничного и начальных условий, в
которые входят лишь значения самой функции и ее первой
производной х0 (см. теорему 10, гл. I).
Замечание 1. Приведенное здесь доказательство
теоремы 13 фактически требует от криволинейной части F2
боковой поверхности R непрерывной дифференцируемое™ до
A-j~ 1-го порядка, 2 тогда как теорема верна при условии лишь
гладкости F%. Однако нетрудно видеть как надо видоизменить
доказательство и для этого более общего случая. Именно,
1 Если же учесть вид правой части неравенства (50) [см. (21),
§ 2), то легко видеть, что вся последовательность a(d) сходится при
5->оо в норме W\(R).
2 Это необходимо, для возможности продолжить нужным
образом известные функции на QA.
J[Dl(?(8,) + Z)!-1(VS,)]^1.
J D? (Xм) <Ц>... <**«_!,

262 МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ [ГЛ. V
X
надо взять последовательность пирамид R(m), /ra=l, 2, ...,
исчерпывающую в пределе все R. /?0'0 должны быть такого
же типа, как и R, в частности, граничные поверхности R(m)
должны лежать в плоскостях х0 = О, х0 = h, хп = 0, а
криволинейные части Fill) боковых поверхностей — k-\-\ раз
непрерывно дифференцируемы. Приведенные здесь
рассуждения доказывают, что существует решение смешанной задачи
и (дг0, . . ., хп)9 определенное во всех R(m) и удовлетворяющее
неравенству (50) во всех R(m). Но так как правая часть
неравенства (50) может быть выбрана общей для всех т, то
мы можем утверждать, что и £ W$ (R) и для нее верно
неравенство (50) во всем R; ч. т. д.
Замечание 2. Если учесть замечание, сделанное в конце
§ 4, то можно усилить теорему 13 за счет ослабления
условий, наложенных на коэффициенты а{р а{ и а. Именно,
достаточно, чтобы эти функции обладали обобщенными
производными до порядков соответственно &, k— 1 и k — 1, сумми-
руемыми с показателями , __ . , -г-^ГТ и —\— соответственно
по сечениям R плоскостями х0 = const.
dafj
Кроме того, a4j и -^—- должны быть непрерывными на R
(см. замечание в конце § 4).
Классическое решение задачи
Если k= -^ М-1 + /?, то решение и будет обладать
непрерывными производными до порядка р включительно.
Доказательство этого утверждения проводится так же, как
и в случае аналитических коэффициентов (см. конец § 6).
Задача. Построить тригонометрические полиномы
Ра (х19. . ., хп) в параллелепипеде Q: 0 <! xi ^ 2т:, I = 1,. . ., я,
которые вместе со своими производными до /5-го порядка
включительно сходились бы в среднем на Q к нулю при
а—>со. Кроме этого, на грани ^ = 0 должны выполняться
следующие условия:
д1Ра
дх{
:Сра?(ЛГ2, ..., ЛГП), /=0,. ..,&, (51)

§ 7] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА (НЕАНАЛИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ) 263
где <ра (л:2, ..., хп) — заданные тригонометрические полиномы,
стремящиеся в среднем при а -> со по этой грани хг = О
к нулю вместе со своими производными ft— / порядка
включительно.
Задача имеет бесчисленное множество решений. Построим
одно из них.
Ради краткости изложения ограничимся лишь случаем
двух независимых переменных (xv x2) и функции <pj будем
считать нечетными.
'Пусть разложение заданных функций &£(х0) следующее:
#(«)
?i= 2 P£esin**a.
w = l
Ищем Ра в виде
Лс = 2 2 [#»w cos *Я#1 + #£»» Sin /ЯЛГ1] Sin ПХ2 .
я = 1 т = О
Условия (51) дают:
JV*
I] С (- \)1 тл = р2/' *, 0 < 2/< ft,
(52)
\
т~ 1
2*;«(-1)'«й+1=#,+1л i<2/+i<*. (53)
Пусть для определенности ft = 2ftr Положим все a*w = О,
кроме а*п вп, 5 = 0,..., ftj} которые определим из системы (52)
(п и а — закреплены), состоящей из ftx -J-1 уравнений со
столькими же неизвестными.
Определитель этой системы
Д«=:
1 1 ... 1 ... 1
0 п* ... (snf ... (ftj я)2
0 Л2*1 . . . (М)2*! . . . (ft1 Я)2*1
^(/г.-М).
0'

264 МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ [ГЛ. V
где
Обозначим через Р (п) , г, 5 = 0,..., kv алгебраическое
дополнение элемента из Д, стоящего в s-J-1-м столбце и
г -j- 1-ой строчке. Оно является одночленом относительно п
степени не выше &i(&i-j-l) — 2г. Тогда
*i
«и»*п=—¥^%(-1)г№шР (л) ,* = <>,..., Лх. (54)
Аналогично найдем Ь^8п> s=l, ..., kv положив остальные
Из (54) легко найдем оценку
к1 fe2r,a\2
(«»,«»)2<CV^LJ-' 5 = 0, .... Аг (55)
Аналогично
*1 /cj2r~l,a\2
(0'<с2т^ц. s=i *i- (5б>
Из условий, наложенных на ©J, следует, что сумм
ы
я»
2J (Р^я2*!-1)2 ^ 0 при а-* со. (57)
n=i г=о *.
Из (55), (56) и (57) получаем, что Ра вместе со своими
производными до k = 2&j порядка стремятся к нулю.
Действительно,
/)а=2 2 (а«,«»cossnx1 -j-bn,snsin snx^sin ялг2. .
При дифференцировании по хг или лг2 до 2&х раз может
в я-ый член войти самое большое множитель (кгп)гк1 и потому

§'8j СМЁШАНЙАЯ ЗАДАЛА ДЛИ (^ACfEft ОБЩЁГб ЁЙДА 2б5
дос*аточйо проверить стремление к нулю лишь суммы
S2iA»-«sl')4(*U'«aif]<
п-1 8=0
tf (a) kt Г kt kl 1
<с2 2 2С*Vfe^2r)2+2(prljV*i-2r+1)2Uo
«=b=oLf=o rs=sl J
при а-^оов силу (57)*
Аналогично можно рассмотреть случай нечетного k и
черных ср, а также случай большего числа независимых, перемен*
ЙЫХ.
§ 8* Решение смешанной задачи для областей
общего вида
Решим теперь смешанную задачу для прямого цилиндра Qi
основанием которого служит область 2 изменения переменных
*v • • •> хп-> лежащая в плоскости х0 = 0. Контур 5 области 2
предполагаем k -J-1 раз непрерывно дифференцируемым
^>2). Боковую поверхность цилиндра обозначим через /\
Строим решение уравнения
удовлетворяющее условиям:
ди
e|voe?^V- *J' £|*0,о = ^' ••■• *«>\ (^
«U = X. (22)
На все заданные функции налагаем те же условия, что и
в § 7 этой главы, в частности, должны быть выполнены
условия согласования до &-го порядка, т. е. —„ / = 0, 1 ,..., k
дх10
вычисленные на S (при л:0 = 0) с помощью функций <р, ф
и уравнения (1), должны равняться —J , /= 0, 1, ..., k.

266 MEtOU АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИЙ [ГЛ. V
Покажем, что существует единственное решение
поставленной задачи и оно обладает свойствами, перечисленными
в теореме 13 предыдущего параграфа. Это решение будет
определено для достаточно малый х0.
Пусть QW есть часть Q, заключенная между плоскостями
х0 = 0 и х0 = /. Если / достаточно мало, то Q^ можно покрыть
конечным числом усеченных пирамид Qv ..., Qm (QiCiQ®),
обладающих следующими свойствами: Qj ограничена
плоскостями лс0 = 0, х0 = 1 и характеристической поверхностью G,
проходящей через 5; Q4 (/ = 2, ..., т) есть пирамида,
примыкающая к боковой поверхности цилиндра. Точнее,
основания ее Лежат также в плоскостях д;0 = 0, л:0 = /, а
боковая поверхность состоит из двух частей: F4czF и гладкой
поверхности Ф<— ^о==^(ЛГ1> •••>Лгю)» ориентированной
пространственно-характеристическим образом, причем внешняя
нормаль на Ф^ образует острый угол с Ох0. Кроме того,
в основании Q€ (х0 = 0) пирамиды Q4 можно ввести такую
замену координат xv ..., хп на у*9 ..., у1п% при которой
часть Si границы Qt> принадлежащая 5, будет иметь
уравнение уп = 0, причем функцииу{ =у{(хг, ..., хп)> & = 1, ..., я
(I = 2, ..., т)у будут непрерывно дифференцируемы k -j-1
раз.
Обозначим через их решение задачи Коши для уравнения (1)
при условиях (2j). Оно однозначно определяется в Qt и
обладает там квадратично суммируемыми производными до й-го
порядка включительно. В каждой из пирамид Qti i = 2, ..., т
решим смешанную задачу для уравнения (1) при условиях
(2j) и (22). Для этого перейдем к новым координатам
.У о= хо> Уъ~ Ул (xv • • • у хп)> * = 1> ..., п.
Уравнение (1) преобразуется к виду:
причем ^=1 и
п п
/

§ 8] СМЕШАННАЯ ЗАДАЛА ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ ОБЩЕГО ВИДА 26?
Область же Qt преобразуется в пирамиду Ri9 для которой
смешанная задача была решена в § 7.
Переход к новым координатам не нарушает тех
дифференциальных свойств известных функций, которые нам
обеспечивали решение, имеющее квадратично суммируемые
обобщенные производные до k-то порядка.
Итак, пусть и{(хф ..., хп) есть решение уравнения (1)
при условиях (2j) и (22) в Q4.
Покажем теперь, что, если две пирамиды Qk и Qz имеют
общую часть Qkh то функции ик и иг совпадают в Qkl.
Действительно, основание Qkl лежит в плоскости х0 = О,
а боковая поверхность Qkl может частично принадлежать F:
пусть FklczF, другая же часть ее есть кусочногладкая
поверхность фкгг^х0 = Фкг(х1, ..., хп\ ориентированная
пространственно-характеристическим образом, причем внешняя по
отношению к QM нормаль к Ф^ образует острый угол
с Ох0.
Для такой области Qkl имеет место следующая теорема
единственности:
Если и имеет квадратично суммируемые обобщенные
производные в Qkl до второго порядка, удовлетворяет
уравнению (1) при f==0, на основании Qkl (Qkl = Qk f) QT) вместе
с производной j- равна нулю, а на Fkl обращается в нуль,
то # = 0 в Qkp
(Заметим, что Fkt или Фк1 могут отсутствовать. От FM
требуется лишь кусочная гладкость.)
Доказательство этого предложения ничем по существу не
отличается от вывода оценки для первых производных
решения, проведенного в § 1 этой главы. Поэтому мы позволим
себе привести доказательство теоремы единственности в
сокращенном виде.
Обозначим, через Qh сечение Qkl плоскостью х0 = /г,
а через Qhi Fh и Фп— части Qkh Fkl и ФкЬ заключенные
между х0 = 0 и х0 = h.
Преобразуем интеграл
п п

268 МШД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИЙ [ГЛ. V
с помощью тождества (7) § 1 гл. V к виду (8) § 1 гл. V:
J S[2^e-0-fecos^^-
Интегралы по Fh и Qkl обращаются в нуль, ибо
ди
дхп
F,
= 0, cos(n, х0)
= 0 и з~
=0,/ = 0, .. .,я.
длг
Интеграл по Фл неотрицательный, ибо выражение ЧГ,
стоящее под знаком контурного интеграла, может быть
преобразовано к виду:
п п
n
Xcos(n, x0) + 2 2 «yg.^cos(n, д*) = _£-_><
W
X { - 2 a« [щ cos (»' *о)-д| cos (n, *«)] • Г j| cos(n, *0)-
П
По предположению относительно Фл имеем cos (п, лг0) |Ф >0
и
п
2 ay cos (n, Ar<)cos(n, ^-)|фл>0,
следовательно, W \Ф >0 [см. (2)].

§ 8] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ ОБЩЕГО ВИДА 269
На Qb
поэтому из (58) вытекает неравенство
2^ = 0 *' Qh i = 0
Отсюда легко получить, что и = 0, тем же путем, как в § 1
гл. V из неравенства (10) было получено неравенство (14).
Вернемся теперь к функциям ик и иг в Qkl. Их разность
удовлетворяет всем условиям теоремы единственности и
потому тождественно равна нулю в Qkl. Поэтому можно считать,
что функции иь /== 1, ..., т задают одну функцию и в Q^l\
которая и является решением поставленной задачи. Функция и
обладает обобщенными производными до &-го порядка и
удовлетворяет в Q® неравенству (21) из § 2.
Итак, доказана следующая
Теорема 14. Пусть коэффициенты уравнения (1) имеют
в цилиндре Q = [0 <^х0 ^ h^\ X Q непрерывные производные
до k—1 порядка (k^2)9f^W^-r>(Q)i а контур Г области Q
непрерывно дифференцируем k-\~l раз. На основании
цилиндра заданы две функции <р £ W?+1) (2) и ф £ wf° (2),
а «а боковой поверхности F цилиндра задана функция
Гогдя для л:0, меньших некоторого числа />0(/^А1),
существует в Q0) = [0, /] X 2 функция и (лг0, ..., лгп) £
^ UPp (Q(Z)), удовлетворяющая уравнению (1) и условиям:
ди ,
х0=*о 4 длг0 Ц=о т'
F —X?
если ял Г {при лг0 = 0) выполнены условия согласования
до порядка k (см. § 6). Для нее справедливо неравенство
(21) § 2. Малые изменения ф, $> X и f в нормах
пространств Wr(ft+1)(Q), WJ*>(Q), ^+1>(/7) к Р^*-1)^), не
понижающие порядка согласования, вызывают малое
изменение в норме M*>(QW) решения и,

270 МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ [ГЛ. V
Классическое решение
Если в теореме &== tN + I^-p, m>o и имеет в Q®
непрерывные производные до р-го порядка включительно.
Это утверждение непосредственно следует из аналогичного
утверждения для областей типа R (см. конец § 7) и области
типа Ql9 в которой решается задача Коши.
Пусть относительно коэффициентов оператора L и
границы Г области 2 выполнены условия теоремы 14. Возьмем
какую-либо k-\-l раз непрерывно дифференцируемую
в Q=[0, ^1X2 функцию и. Для нее справедливо
утверждение леммы 1 § 2, именно:
"8* («) <С (т,) МФ (а) + ЙРь (и) + Я?"4 (La)), (21,)
где 2^ — сечение Q плоскостью х0 = Л, Q^ = [0, Л) X 2>
^ = [0, Л]ХГ. При этом следует заметить, что, так как
неравенство (21j) справедливо для любого цилиндра [/1Э /2] X 2
высоты l(lv /2£[0, AJ), то оно [лишь с другой постоянной
£(?i)] будет справедливо и для Q любой конечной высоты hv
Предположим теперь, что и £ W^+1>(Q). Аппроксимируем
ее в норме Wf+Ъ (Q) /г —j— 1 раз непрерывно
дифференцируемыми в Q функциями щту Для щт) справедливо
неравенство (21^. Переходя в нем к пределу, мы докажем, что
для и также имеет место неравенство (21!). Таким образом,
если и и v принадлежат U7|fc+1)(Q) и являются решениями
уравнений Lu=f, Lv—fv то их отклонение и — v в норме
Wi (QjO можно оценить сверху с помощью неравенства (21х)
через отклонение в норме W^ их значений на начальной
плоскости лт0 —0 и боковой поверхности цилиндра и через
II/—ЛII w(fc-i) m \- Привлекая же теорему вложения, мы мо-
жем оценить отсюда отклонение и—v и его производные
в каждой точке цилиндра Q.

ДОПОЛНЕНИЯ
О ДРУГОМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ
ОСНОВНОЙ ЛЕММЫ § 3 ВТОРОЙ ГЛАВЫ
Мы укажем здесь на другой путь доказательства леммы 1,
§ 3, гл. II, при котором не используется формула
интегрирования по частям на криволинейной поверхности (лемма 1,
§ 7, гл. I).
Покроем область Q конечным числом областей Qv ..., Qn
вида, описанного в § 3, гл. III (стр. 154). Для
доказательства основных неравенств (21) § 3, гл. II (стр. 88),
очевидно, достаточно показать, что справедливы неравенства
[которые мы обозначим (21*)], отличающиеся от них лишь
тем, что интегралы, стоящие слева, распространены не на всю
область Q, а на любую из ее частей Qs / = 1, ..., N.
Возьмем, например, подобласть Qr и для нее докажем (21*).
Введем б Q новые координаты yv ..., уп так, чтобы Qx
соответствовал куб D1 (0^у4<^1у /= 1, ., ., л), a Q'
соответствовал куб D'(Q<^.yn^l — 28^ 8!<^</—8р / =
= 1,..., п— 1). Образ 2 в пространстве у19 ..., уп
обозначим через D.
Вместо того, чтобы устанавливать (21*j для Q\
достаточно получить их для ZX, что мы и сделаем. Возьмем
какую-нибудь нертрицательную k раз непрерывно
дифференцируемую в D функцию £(К), равную единице в /У и нулю
в D — Dv и рассмотрим интеграл
h, с (и, а) =
п
-J W "■■•• - *л sv^-sv77^

272 дополнения
Его преобразуем так, как это было сделано с 1к (и, и) в § 3
гл. II, и заметим, что те члены, в которых
дифференцируется С, ^-эквивалентны нулю. Поэтому все существенные
для нас члены будут отличаться от аналогичных им членов
в представлении /л(и, и) лишь наличием множителя С.
Благодаря С контурные интегралы Ф$, ^ будут распространены не
на всю границу Dv а на часть ее, принадлежащую плоскости
уп = 0. Эти интегралы преобразуем с помощью выведенных
ранее формул (27), (29), (30) и (32), причем интегрирование
по частям проводится теперь лишь на плоскости уп = 0
в кубе O^yt^l, /=1, ..., п — 1, на границе которого
все подинтегральные выражения обращаются в нуль из-за
наличия С или ее производных. Если бы куб D1 был
внутренним, то вообще все контурные члены, выделяющиеся при
интегрировании по частям интеграла 1%, с, пропадают. Так что
для внутренних ГУ доказательство неравенств (21) особенно
просто.
Этими общими указаниями на другой способ получения
неравенства (21) мы и ограничимся.

О ПОЛУЧЕНИИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ
В ВИДЕ ИНТЕГРАЛОВ ЛАПЛАСА
Прежде всего условимся в некоторых обозначениях,
относящихся к преобразованию Фурье в пространстве L2, oo ком-
плексно-значных функций / (лг) вещественного аргумента
х£(—со, со). Норма в L2t oo определяется равенством
и/11 ==[ /i/i2^f2
Известна следующая теорема Планшереля:
Пусть f (x) £ L2f oo, и пусть
в
F{xy Ю=у= / f(y)*»*dy.
—В
Тогда F(x, R) при R-+oo сходится в L2fQO к некоторой
функции F(x)£L2f00\ и, обратно, функции
в
/(*, R) = y= j F(y)e-**vdy
—в
сходятся в L2fQO к /(#)•
Трансформации /(лг) и F(x) связаны формулами
оо
—oo

274 дополнения
оо
— СО
причем эта равенства имеют место для почта всех х.
Мы условимся записывать связь между f(x) и F(x) короче:
с»
F(x) = ^= J f(y)e**vdy
— ОО
со
f(x) = ^= J F(y)e-**dy.
(1)
В таком же смысле будем понимать и проводимые ниже
преобразования Лапласа.
Существование и представление в виде интеграла Лапласа
обобщенного решения смешанной задачи для гиперболического
уравнения
gf = !«+/(*, t), (2)
где
при нулевых начальных и граничном условиях гарантируется
следующей теоремой:
Теорема. Пусть коэффициенты уравнения (2) а^, аг
и а непрерывны в 2, &f(X, f) такова, что
со
f f Ре~2*1* dXdt <oo (3)
2 О
для какого-нибудь о^^О. Гогдя обобщенное решение
рассматриваемой смешанной задачи существует и может
быть представлено как трансформация Лапласа от
обобщенного решения эллиптического уравнения

дополнения 275
оо
где F (X, К) = -£= Г /(.AT, 0 е-« Л, Re A > <xv удовлетво-
о
ряющего условию v£D(2). Именно
Xj + гсо
«(*, 0 = т^«= f *(*> *)«"<**, (4)
/ у2я, t/.
причем Xx = ReX #£ меньше некоторого числа а2^а1Ф
Для й справедливо неравенство
00 W
<
$ О
с»
<С [ J* Pe'^dXdt,
в котором С определяется лишь коэффициентами
уравнения (2) й областью Q.
Никаких предположений относительно гладкости границы
при этом не требуется.
Равенство (4) выполняется для почти всех J^Q в том
же смысле, как и равенства (1).
Если же на коэффициенты уравнения (2) и границу области
наложить те же ограничения, что и в теореме б, гл. III, и,
кроме того, потребовать, чтобы неравенство (3) имело место
для всех обобщенных производных / до порядка k — 1 и
djf\
dt*\
дет принадлежать IF2[QX [0, оо)].
Аналогичные теоремы имеют место и для некоторых
классов систем. Именно для систем вида
- =0, s = 0, ..., k — 2, то обобщенное решение бу-
§J = Lu + f(*, 0
и
g5 = Iu + f(*,0, (5)
где L — сильно эллиптический оператор второго порядка (дм,
W

276
ДОПОЛНЕНИЯ
М. И. Вишик [1]). На системы (5) накладывается еще одно
дополнительное ограничение: основные члены L (члены,
содержащие производные второго порядка по х^) должны
образовывать симметрический оператор или, по крайней мере,
кососимметрическая часть его должна быть в некотором смысле
мала по сравнению с симметрической.
К такому типу систем (5) относятся, в частности,
динамические уравнения теории упругости, к ним легко сводятся
уравнения Максвелла и Дирака.
Для общего же случая системы (5) остается открытым
даже вопрос о единственности решения (при п^>2).

ЛИТЕРАТУРА
Адамар Ж. (Hadamard J.).
[1] Le probleme de Cauchy et les equations aux derivees {>af-
tielles lineaires hyperboliques. Paris 1932.
Бабич Б. М. Успехи матем. наук, т. VIII, вып. 2 (54), 1953.
Вебстер А. и Сеге Г.
[1] Дифференциальные уравнения в частных производных
математической физики, ч. I и II, русск. перев., 1934.
В и ш и к М. И.
[1] О сильно эллиптических системах дифференциальных
уравнений. Матем. сб., т. 29 (71): 3, 1951.
Вольтерра В. (Volterra V.).
[1] Sur les vibrations des corps elastiques isotropes. Acta
Mathematics v. 18, 1894.
Волков Д. М.
[1] Билинейные интегралы линейных гиперболических|Гзадач.
Изв. АН СССР, сер. математ., 15, 1951.
[2] Интегралы высших порядков типа закона сохранения
энергии для линейных гиперболических задач. Изв. АН СССР,
сер. математ., 15, 1951.
Г ю н т е р Н. М.
[1] La theorie du potentiet et ses applications aux problemes fon-
damentaux de la physique mathematique. Paris 1934.
Гильберт Д. и Курант Р.
[1] Методы математической физики, русск. перев., ч. I—
1934 г., ч. II —1945 г.
Жиро Ж. (Giraud G.).
[1] Sur le probleme de Dirlchlet generalise. Ann. de l'Ecole
Normale, 46, 1929.
Курант Р., Фридрихе К. и Л ев и Г.
[1] О разностных уравнениях математической физики, русск.
перев. в Успехах матем. наук, в. VIII, 1941.
КржижанскийМ. иШаудер И. (Krzyzanski M. und Schauder I.).
[1] Quasilineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom
hyperbolischen Typus Gemischte Randwertaufgaben. Studia
Mathematica, t. VI, 1936.
Ладыженская О. А.
[1] Решение смешанной задачи методом конечных разностей.
ДАН СССР, т. LXXXV, № 4, 1952.
[2] О методе Фурье для волнового уравнения. ДАН СССР,
т. LXXV, N2 6, 1950.

U1B ЛИТЕРАТУРА
[3] О сходимости рядов Фурье, определяющих решение
смешанной задачи... ДАН СССР, т. LXXXV, № 3, 1952.
[4] Об интегралах гиперболических уравнений. ДАН СССР,
т. LXXIX, № 6, 1951,
(5] О решении смешанной задачи для гиперболических
уравнений. ДАН СССР, т. LXXIII, N° 4, 1950; Изв. АН СССР, сер.
маматемат., 15, 1951.
Люстерник Л. А. и Соболев В. И.
[1] Элементы функционального анализа. Гостехиздат, 1951.
М и х л и н С. Г.
[1] Проблема минимума квадратичного функционала.
Гостехиздат, 1952.
[2] Об уравнениях эллиптического типа. ДАН СССР, т. LXXVII,
N° 3, 1951.
Петрашень Г. И.
[1] Решение векторных предельных задач математической
физики в случае шара. ДАН СССР, т. LXVI, № 7, 1945.
[2] Колебания изотропного упругого шара. ДАН СССР,
т. LXVII, № 3, 1945.
[3] Симметрия вращения и шаровые векторы. Уч. зап. ЛГУ,
в. 17, 1949.
[4] Динамические задачи теории упругости в случае изотропной
сферы. Уч. зап. ЯГУ, в. 21, 1950.
Рашевский П. К.
[1] Введение в риманову геометрию и тензорный анализ,
изд. 1-е.
Смирнов В. И.
[1] Курс высшей математики, т. I—V.
[2J Решение предельной задачи для волнового уравнения
в случае круга и сферы. ДАН СССР, т. XIV, № 1, 1937.
Смолицкий X. Л.
[1] Некоторые интегральные оценки производных решений
волнового уравнения. ДАН СССР, т. LXXIII, № 2, 1950.
[2} Предельная задача для волнового уравнения. ДАН СССР,
т. LXXIII, № 3, 1950.
[3] Оценки производных фундаментальных функций. ДАН
СССР, т. LXXIV, № 2, 1950.
Соболев С. Л.
[1] Некоторые применения функционального анализа в
математической физике. Изд. ЛГУ, 1950.
[2] Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pourles
equations Hneaires hyperboliques normales. Матем. сб. 1 (43),
1936.
[3] Общая теория диффракции волн на римановых
поверхностях. Труды Математ. инстит. им. В. А. Стеклова, 1935.
]4] Некоторые новые задачи теории уравнений lb частных
производных гиперболического типа. Матем. сб., 11 (53), 1942.
[5] О почти периодичности решений волнового уравнения. I,
II, III, ДАН СССР, т. LXVII1, 1945.
[6] Уравнения математической физики. Гостехиздат, 1950.

ЛИТЕРАТУРА 21§
Стеклов В. А.
[11 Основные задачи математической физики, ч. I. Петоогоад
1922. *
ТихоновА. Н. и Самарский А. А.
[1] Уравнения математической физики. Гостехиздат, 1951
Уитнэй Г. (Whitney H).
[1] Transac. Amer. Mathem. Soc, v. 36, 1934, s. 63—89; v 40,
1936, s. 309-317.
Фихтенгольд Г. М.
[1] Курс дифференциального и интегрального исчисления,
тт. I—III, 1947—1949 гг.
Фок В. А.
[1] Диффракция радиоволн вокруг земной поверхности. Изд.
АН СССР, 1946.
ХестенсМ. P. (Hestenes M. R.).
[1] Duke Mathem. Journal, v. 8, 1941, s. 183—192.
Ill а у д е р И. (Schauder I.)
[1] Hyperbolische Differentialgleichungen. Fundamenta Mathema-
tica, v. 24, 1935.
[2] Gemiechte Randwertaufgaben bei partiellen
Differentialgleichungen vom hyperbolisehen Typus. Studia Mathematica,
t. VI, 1936.
Э й д у с Д. М.
[1] ДАН СССР, т. LXXXIII, № 2, 1952.

Редактор Г. П. АкйЛдё
Техн. редактор К. М. Волчок
Подписано к печати 4/VII 1953г. Т-05227
Формат бумаги 60x92Vte. Бум. л. 4,38.
Печ. л. 14,35. Уч.-изд. л. 14,3.
Тип. зн. в печ. л. 39890. Тираж 4000 экз.
Цена книги 7 р. 15 к. Переплет 1 р. 50 к.
Заказ № 363.
4-Я типография им. Ев г. Соколовой
Союзполиграфпрома Главиздата
Министерства культуры СССР.
Ленинград, Измайловский пр., 29.