/
Автор: Велихов Е.П. Корниенко Л.С.
Теги: ядерная, атомная и молекулярная физика физика задачи по физике ядерная физика ядерная энергетика сборник задач издательство московского университета
ISBN: 5-211-02936-4
Год: 1992
Текст
Packed by Kot_Baton =)
Scanned by krjak
УДК 539.18
Рецензенты
Е.П.Велихов, академик
Л.С.Корниенко, профессор
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
С 23. Сборник задач по атомной физике. -4-е изд, испр. и
доп./Под редакцией |Г.И Горяги] идр.-М.: Изд-во Моск,
ун-та, 1992.-, 236с.
ISBN 5-211-02936-4 **<#ЧГ*
Учебное пособие предназначено для студентов физиче-
ского факультета МГУ, а также для слушателей ФПК.
077(02)—92-заказное ББК 22.38
ISBN 5 211 02936 4 © Московский государственный
университет, ,992.
Удачной подготовки и
сдачи интереснейшего
предмета - атомная физика
хе-хе =)
всё в ваших руках
3
с о ле рI а нв е
Предисловие к четвертому изданию 5
Предисловие к первому изданию 6
I. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В СИЛОВЫХ ПОЛЯХ 7
1.Элементы электронной оптики 9
2.Э лементы масс-спектроскопии 14
3.Э лементы физики ускорителей 16
II. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВАНИЯ АТОМНОЙ ФИЗИКИ И
К ВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 18
1 .Тепловое излучение 20
2 .Корпускулярные свойства излучения 23
3 .Столкновения частиц. Сечение. 25
4 .Волновые свойства частиц. Волны де Бройля. 26
5.Соотношения неопределенностей. 29
III. АТОМ БОРА 31
1 .Эксперименты, лежащие в основе теории Бора 32
2 .Атом водорода по Бору-Зоммерфельду 33
IV. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
V. СПЕКТРЫ АТОМОВ С ОДНИМ’ ОПТИЧЕСКИМ ЭЛЕКТРОНОМ 45
1 .Спектры щелочных металлов 49
2 .Тонкая структура. Правила отбора. 50
VI. РЕНТГЕНОВСКИЕ СПЕКТРЫ 53
VII. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ 56
1 .Сложение моментов. Конфигурация. Терм. Мультиплет. 60
2 .Переходы. Правила отбора. 64
VIII. АТОМ В ПОЛЯХ ВНЕШНИХ СИЛ 67
1 .Магнитные свойства атома. Опыт Штерна и Герлаха. 69
2 .Эффекты Зеемана, Пашена-Бакя и Штарка. 70
IX. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМА С ИЗЛУЧЕНИЕМ 73
X. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ МОЛЕКУЛЫ 78
XI. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 84
XII. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ 88
4
РЕШЕНИЯ 95
□рвложеквя
Основные атомные и спектральные постоянные. 225
Соответствие мввду спектральными и энергети-
ческими единицами и величинами. 227
Приставки для обозначения кратных и дольных
единиц измерения. 228
томные массы, спектроскопические характерис-
тики и ионизационные потенциалы элементов
периодической систем. 229
5
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
В 1988 году был изменен учебный план физического факу-
льтета МГУ. В соответствии с учебным планом курс атомной
физики изучается в 5 семестре студентами III курса. Новым
учебным планом предусматривается для курса атомной физики на
лекции - 2 часа в неделю, на семинарские занятия - 2 часа в
неделю и для работы в общем практикуме 3 часа в неделю. Эти
изменения учебного плана и связанные с ним уточнения про-
грамм* курса учтены в четвертом издании сборника. Сокращено
количество задач, посвященных вопросам движения заряженных
частиц в силовых полях, элементам физики плазмы. Введены за-
дачи на законы теплового излучения, общие принципы атомной
физики и квантовой механики. Заметно увеличено число задач
по физике молекулы, твердого тела, а также простых расчетных
задач, дающих возможность закрепить в памяти основные коли
чественные и качественные понятия и соотношения в микромире
и параметры микрообъектов. С целью облегчения работы сту-
дентов задачи сборника разбиты на разделы, последователь-
ность которых следует программе курса. Причем в начале каж-
дого раздела помещен краткий перечень основных понятий и
соотношений, необходимых для решения задач раздела. Однако
обоснованность размещения ряда задач в тех или иных местах
сборника не совсем очевидна, так как их содержание охватыва-
ет тем* двух-трех разделов.
Кроме того, уточнена редакция многих задач и ответов к
ним, исправлены замеченные опечатки.
Авторами четвертого издания сборника являются следую-
щие сотрудники кафедр* атомной физики, физики плазмы и мик-
роэлектроники; А.С. Ахманов, Л.Д. Богомолова, |Г.И. 1'оряга |,
Ю.К.Земцов, В.А Квливцдзе, А.И.Кокорев, Н.А.Красильникова,
С.С.Красильников, А.М.Попов, А.А.Рубан, И.А.Савченко,
В.В.Тарасова.
Редакционная коллегия: Ц'.И.Юряга] , Ю.К.Земцов,
С.С.Красильников, А.М.Попов.
1992 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящий сборник "Задачи по курсу атомной физики" яв-
ляется учебным пособием по общему курсу атомной физики. Сбор-
ник содержит около 270 задач с достаточно подробными указа-
ниями для их решения. Очередность содержания задач сборника
отражает программу лекционнного курса атомной физики,
читаемого на физическом факультете МГУ.
Программа лекционного курса (особенно в ее первой час-
ти: движение частиц в электрических и магнитных полях, эле-
менты электронной оптики и физики плазм, вопросы атомных
столкновений и Др.) отлична от традиционной, наиболее полно
отраженной в книге "Атомная физика" Э.В.Шпольского и "Сбор-
нике задач по атомной физике" И Л. Иродова.
С этим обстоятельством связана необходимость издания
настоящего сборника. Сборник не претендует на полноту соот-
ветствия курсу, отсылает по многим разделам курса к задачни-
ку И.Е.Иродова. Первый сборник "Задачи по курсу атомной фи-
зики" был составлен в 1959 г. коллективом преподавателей
кафедры атомной физики, руководимой академиком
Л. А. Арцимовичем.
Настоящее издание сборника подготовлено преподавателями
кафедры атомной физики: Л.Д.Богомодовой, Г.И.Горягой,
В.А.Квливидза, А.И.Кокоревым.С.С.Красильниковым, Н.А.Краси-
льниковой, Е.С.Машковой. А.А.Рубан, Л.А.Савченко, В.В.Тара-
совой, сотрудниками лаборатории физики плазм* НИИЯФ МГУ
Ю.К.Земцовым, Н.М.Персианцевой, А.Н.Старостиным.
ДВИХЕНХЕ ЗАРЯЖЕННЫХ. ЧАСТИЦ
7
I. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В СИЛОВЫХ ПОЛЯХ.
1. Сила, действующая на частицу с зарядом е в электро-
магнитном поле (сила Лоренца):
V = еЕ + f (vHl ,
V
где Е - напряженность электрического поля, Н - напряжен-
ность магнитного поля, v - скорость частицы, с - скорость
света.
2. Электронно-оптический закон преломления:
sin a, vg /и2
81лаг ~ vi ' /и/
Где v1, vg - скорости заряженной частицы в областях I и II с
постоянными потенциалами U1 и Ug, а1 - угол падения частицы
на плоскость, разделяющую области I и II, ag - угол пре-
ломления.
3. Основное уравнение электронной оптики дня параксиа-
льных пучков в цилиндрической системе координат:
d2r 1 , dr г .
и—X + -U ------ + -U = 0,
dz2 2 dz 4
где U(z) - потенциал аксиально-симметричного электрическо-
го поля, U = dU/dz, U = d2U/dz2.
4. Фокусное расстояние f тонкой линзы:
1 1 *7 1 d2U
? 4-/uo /и 03
где Uo= Ua= Ub, U - потенциал в пространстве объектива, Ub -
потенциал пространства изображения.
5. Ларморовский радиус - радиус траектории заряженной
частицы в однородном и постоянном магнитном поле:
mcvx
R = ёТГ ’
где т, е - масса и заряд частицы, Н - напряженность магнит-
в
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
него поля, v± - перпендикулярная к полю составляющая ско-
рости частицы.
6. Угловая частота вращения частица в однородном маг-
нитном поле ( циклотронная частота ):
е Н
ш = —
ш с
7. Уравнение магнитной линзы в цилиндрической системе
координат: еНг
—г + —| г = О .
dz2 8mc2U
Угол поворота параксиального пучка электронов при его дви-
жении от точки до точки Z2
нитном поле:
аксиально-симметричном маг-
е
Лф = ф - ф = -—
2 1 2mcv
. В
Z2
Фокусное расстояние
1
гонкой магнитной линзы:
е +со
---s- Г Н2 dz ,
8mc2U J, z
U - потенциал, который сообщает частицам пучка
8. Магнитный момент частицы, вращающейся
поле Н: шт2 Их
Ц = — =- — .
2Н Н
где Wx- кинетическая анергия вращательного движения частицы.
9. Полная энергия частицы:
-°— = ( р2с2 + ш2 с4 )1/2
скорость V.
в магнитном
Е = тс2
f
1 с2
где то - масса покоя частицы» р = mv - импульс частицы,
v-скорость частицы.Под полной энергией подразумевается сумма
кинетической энергии W и энергии покоя ш0с2 частилиг
Е = mQc2 + W .
ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ОПТИКИ
9
1. Элементы электронной оптики.
10 с. Опреде-
1-1. Электрон с энергией W = 100 эВ влетает в точке А
(см. Рис.1) в однородное пос-
тоянное электрическое поле
напряженностью Е = 100 В/см
и оказывается в точке В через
время t = 5
лить расстояние АВ и угол
влета
1-2. а - частица с энергией W = I06 эВ влетает в пло-
сетчатый конденсатор, к которому приложено задержива-
напряжение U = 2,5 • 10s В. При каком минимальном угле
а.
ский
идее
падения 0 (угол между направлением первоначального движения
а -частицы и нормалью к плоскости конденсатора) а - частица
отразится от поля конденсатора?
1-3. В плоскопараллельную систему электродов с катода
влетают электроны, изотропно распределенные по углам с нача-
льной энергией Wo и силой тока J. К электродам приложено
тормозящее электрическое поле. Найти зависимость тока на
анод от тормозящего потенциала.
1-4. Определить чувствительность трубки осциллографа с
электростатическим отклонением луча. Параметры трубки: уско-
ряющее напряжение UQ= 900 В, длина
отклоняющих пластин I = 2 см, рас-
стояние между ними d = 0,5 см,
расстояние от середины отклоняющих
пластин до экрана L = 20 см. Чувс-
твительностью
величина о =
отклоняющими пластинами, h - сме-
трубки называется
h/U, где U - раз-
ность потенциалов между
ценив луча на экране.
1-5. Фотоумножитель
содержит 13 эмиттеров и энод, ко-
торые расположены друг от друга на расстоянии lg= 1,5 см.
ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ОПТИКИ
II
10
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
Первый эмиттер находится на расстоянии 5 см от фото-
катода. Умножитель питается от источника напряжения
П - 1400 В. Напряженность поля во всех промежутках одинако-
ва. Считая электрическое поле между электродами однородным
и начальную скорость вылетающих из эмиттеров электронов рав-
ной нулю, определить время прохождения (запаздывания)
электрического сигнала через ФЭУ.
1-6. Электрон с энергией W = 500 эВ пролетает мимо
металлического шарика с потенциалом
7 U = 800 в ( относительно источника
Р г^\ электронов ). Радиус шарика R =
о* — 0,3 см, прицельное расстояние
Рис.З------------------р = 0,4 см (см. Рис. 3). Будет ли
захвачен электрон шариком? Поляри-
зуемостью шарика пренебречь.
1-7.Ионы Си+ и Аи+ ускоряются из состояния покоя вдоль
оси ОХ разностью потенциалов U. Затем они влетают в область
однородного электрического поля Е (Ех= Еу= О, Ez= Е). Найти
уравнения траекторий этих ионов. Можно ли в этом поле разде-
лить ионы?
1-8.К двум плоскопараллельным пластинам (катод и анод)
приложено напряжение и = 10 кВ. На катод нанесен точечный
изотропный фотоэмиттер, освещаемый излучением с длиной волны
X = 2537 1. Определить диаметр d пятна электронов на аноде.
Работа выхода катода А = 3 эВ, расстояние между пластинами
I = 1 см.
1-9. Вычислить фокусное расстояние линзы f , образо-
-»|1=2см|«- Ъ=10см »! ванной круглой диафрагмой. Па-
I раметры линзы указаны на Рис. 4.
Изобразить силовые линии электри-
|ческого поля и траектории элект-
ронов.
1^=0 Ug=+200 В
Рис. 4.
1-10. На пути пучка электронов расположено устройство
Пучок U|
электронов
Рис. 5.
1-11.Электронная линза
из двух экранирующих сеток
из тонкой проволоки и диаф-
рагмы с круглым отверстием
( см. рис. 5 ). Определить
фокусное расстояние такой
системы. При каких условиях
система будет выполнять
роль собирающей или рассеи-
вающей линзы?
образуется катодом (Uk = 0),
ускоряющей сеткой (Вс=200 В),
диафрагмой ( ид) и анодом
(UJ. Определить потенциалы
диафрагмы и анода, при кото-
рых электроны будут фокусиро-
ваться на аноде, если U = U .
Да
Расстояние между электродами
11 = 0,5 см и lg = I см
( см.- рис. 6).
1-12. На пути электронного пучка поставлены две сетча-
тые полусферы, общий центр которых лежит на оси пучка, па-
дающего на выпуклую сторону сеток. Средний радиус сеток
R = 3 см. Потенциалы сеток ( относительно источника электро-
нов ): 1^= 300 В ( внешний ) и Ug = 500 В ( внутренний ).
Считать пучок параксиальным ( полуширина пучка р « R), углы
падания и преломления малыми, расстояние между сетками и
размеры их ячеек много меньшими R. Найти фокусное расстоя-
ние f такой системы.
1-13.Простейшая электронная линза состоит из двух плос-
ких электродов с круглыми отверстиями, между которыми при-
кладывается определенное напряжение. Допустим, что с помощью
такой линзы получается изображение некоторого объекта, нахо-
дящегося на расстоянии 11 = 10 см от линзы ( оптическая ось
системы нормальна поверхности объекта и проходит через его
12
ДВШНКЕ ЗАРЯ1ЕНННХ ЧАСТИЦ
центр). Расстояние от изображения до линзы 1г= 20 см. Извес-
тно, что энергия электронов яр влета в линзу W = 500 эВ, а
разность потенциалов между электродами линзы U = 4000 в.
Считая линзу тонкой, определить отношение размеров изображе-
ния "Ь" к линейным размерам объекта "а".
1-14.Круглый виток с током представляет собой маг-
нитную линзу, у которой напряженность аксиально-симметрич-
ного магнитного поля на оси 0Z определяется соотношением
Не= ( 0,1 • 2xJR2 )/( R2+ Z2)3/2 ( R - радиус витка, ток J
в амперах ). Определить угол поворота изображения 8 и
величину тока J, при* которой фокусное расстояние линзы
f - 10 см; электроны пучка ускорены потенциалом П - ТО3 В,
R = 1 см.
1-15. Протон в магнитном поле Земли вращается по магни-
тному экватору. Пренебрегая высотой траектории над поверх-
ностью Земли по сравнению с ее радиусом и принимая напря-
женность поля равной 0,4 Э, определить кинетическую энер-
гию W, скорость v и период обращения Т протона.
1-16. В пространстве существуют однородные постоянные
магнитное и электрическое поля, причем Ех= Ez= О, Е = Е =
const, Нх= Hz= О, Ну = Н = const. Определить траекторию и
скорость движения частицы с массой m и зарядом е, если в
момент времени t = 0, x = y = z = 0, vx= vy= ve= 0.
1-17. Устройство, изображенное на Рис. 7, при прямоли-
Рис.7
нейном пролете является фильт-
ром скоростей независимо от
УГельногс заряда частиц. Опре-
делить скорости и кинетические
энергии электронов и протонов
(прошедших через фильтр) в двух
случаях:
а) Ех=300 В/см; Ну=100 Э;
б) Е =30 кВ/см; Н =111 Э.
X У
ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРОННОМ оптики
13
1-18. Протоны с энергией W = 300 эВ влетают сквозь ма-
лое отверстие в однородное магнитное поле Н = 300 Э под
углом а = 30° к полю. Определить, на каком минимальном рас-
стоянии от точки влета они вновь соберутся в фокус.
1-19. Протон с кинетической энергией W = 7«1010 эВ дви-
жется в однородном магнитном поле напряженностью Н = I04 Э
перпендикулярно его направлению. Определить период обращения
Т и радиус кривизны R траектории частицы.
1-20. Радиус кривизны траектории электрона в магнитном
поле напряженностью Н = I03 Э равен R = 20 см. Определить
кинетическую энергию W электрона я скорость v.
1-21. Период обращения Т электрона в магнитном поле на-
пряженностью Н = I03 Э равен 7»Ю~10с. Определить кинетичес-
кую энергию W электрона и радиус кривизны R его траектории.
1-22. Убедиться, что при одинаковых кинетических энер-
гиях электрона и протона радиусы кривизны их траекторий в
однородном магнитном поле и периоды обращения, существенно
отличающиеся при малых энергиях, сближаются в ультрареляти-
вистском пределе.
1-23. В однородном магнитном поле Н = 35,5 Э находится
точечный источник электронов ( энергия W = 100 эВ ), испус-
кающий электроны под углами 0^ 36е и 0?= 60° К магнитному
полю. На каком минимальном расстоянии от источника нужно
поместить диафрагму с малым отверстием, чтобы все электроны
прошли через него?
1-24. Между двумя дисками радиуса R, находящимися друг
от друга на расстоянии L « R, приложено
высокочастотное поле Е = EQ cos wt. На
расстоянии г R от оси и значитель-
ном удалении от дисков ( см. Рис. 8 )
находится электрон, который в начальный
момент ( t = 0 ) покоится. Описать дви-
Рис. 8 жение электрона:
а) без учета возникающего вихревого магнитного поля;
б) с учетом вихревого магнитного поля.
14
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
1-25. Определить среднюю скорость электронов в высоко-
частотном однородном электрическом поле Ех= EQ sln( wt + ф )
за время, большое по сравнению с периодом поля. Начальные
условия: х( 0 ) = ж( 0 ) = О, Ео= З-Ю3 В/см, w = IO10 с-1.
2. Элементы масс-спектроскопии.
1-26. Поток заряженных частиц при движении через попе-
речное однородное магнитное поле Н = 3 Э протяженностью
I = 2,8 см отклоняется от своего первоначального направле-
ния на угол е = 2,25>10-г рад. На тот же угол поток откло-
няется в поперечном электрическом поле Е= 100 В/см такой же
протяженности. Определить начальную скорость v , величину
удельного заряда и сорт частиц.
1-27. В масс-спектрог-
рафе Томсона используются
совмещенные однородные маг-
нитное и электрическое поля
(см.Рис.9). Чем отличаются
ионы, образующие на экране
след в виде параболы? Экран
перпендикулярен оси ОХ.
1-28. Дан цилиндрический
конденсатор (см.Рис.ТО), ради-
ус внешнего электрода равен
R? = 6 см. Расстояние между
пластинами конденсатора
AR = 0,6 см. Вдоль оси конден-
сатора ( перпендикулярно плос-
кости чертежа ) наложено пос-
тоянное магнитное поле Н = 500
Рис.10.
Э. Какую разность потенциалов
( по величине и знаку ) следует приложить между пластинами
конденсатора, чтобы однозарядный ион 7Ы+, вошедший в Конде-
нсатор через входное отверстие, прошел,не отклоняясь по сре-
дней линии конденсатора? Начальная энергия ионов W = ТО3 эВ.
ЭЛЕИЕНТЫ МАСС-СПЕКТРОСКОПИИ
15
1-29. К коаксиальным цилиндрическим электродам, имеющим
радиусы Ra и гк, приложена разность потенциалов U (см. Рис.
П). Электроды помещены в однородное магнитное поле Н, па-
раллельное оси цилиндров. Малый цилиндр служит катодом. Рас-
смотреть качественно траектории электронов в такой системе,
полагая начальную скорость
электронов равной нулю. Како-
ва наименьшая разность потен-
циалов между анодом и катодом,
при которой возникает анодный
ток?
1-30. В масс-спектрометре
с постоянными однородными
скрещенными полями Е и Н (тро-
хотрон Блэкни) расстояние от
щели ионного источника до изо-
бражения линии иона кислорода
1б0+ равно I = 20 см при Н = I04 Э. Определить величину эле-
ктрического поля Е и изобразить траекторию ионов. Начальную
энергию ионов принять равной нулю.
1-31. В омегатроне - масс-спектрометре со скрещенными
однородным постоянным магнит-
ным полем Н и однородным пе-
ременным электрическим полем
Е = Eq sin tot ионы водорода,
циклотронная частота которых
совпадает с частотой электри-
ческого поля, двигаются по
спирали Архимеда (см. Рис.12)
с радиусом г= cEQt/2H и до-
стигают коллектора "К”, рас-
Рис. 12. положенного на расстоянии го
от начала координат. Определить время tQ, полный путь L и
число оборотов п, необходимые для достижения коллектора
J го= 1см, Н = 3000 Э, Ео= IB/CM).
16
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
3.Элементы физики ускорителей.
1-32. Пучок протонов, ускоренных до энергии W = I09 эВ,
бомбардирует твердую мишень. Чему равна сила В, действующая
на мишень, если протоны теряют в ней половину своей кинети-
ческой энергии, а сила тока протонного пучка J = I0-6 А?
1-33. Протон и а - частица ускоряются одной и той же
разностью потенциалов U. Какова величина U, если после ус-
корения масса а - частицы превосходит массу протона в три
раза?
1-34. Какова кинетическая энергия W протона, движуще-
гося со скоростью, равной половине скорости света?
1-35. С увеличением энергии частицы в циклотроне выхо-
дят из резонанса - отстают по фазе от ускоряющего поля из-
за уменьшения циклотронной частоты, обусловленного реляти-
вистским ростом массы. Определить максимальную энергию про-
тонов в циклотроне с ускоряющим напряжением на дуантах
U = Uocos fit; UQ= 31,4 кВ. Ионы инжектируются в циклотрон в
момент t = О.
1-36. Найти частоту f генератора, питающего дуэнты ци-
клотрона, ускоряющего ионы дейтерия. Определить радиус R, с
которого выводятся частицы с энергией W = 13 МэВ. Магнитное
поле однородно и равно 11 = 1,8>ю' Э.
1-37. Определить относительное изменение частоты уско-
ряющего поля фазотрона Af/fQ, необходимое для ускорения
протонов до энергии W = 300 МэВ.
1-38. Электромагнит бетатрона с амплитудным значением
магнитного поля HQ= 4,2>103 Э питается от сети переменного
тока частоты J - 50 Гц. Радиус орбиты г = 83 см. Электроны
инжектируются в момент 1и = 10 мкс. Вычислить напряжение ин-
жектора электронов Пи, период обращения электронов в момент
инжекции ?и и в конце ускорения Т . К какому моме-
нту времени t энергия электронов достигает Wt = 10 МэВ? Оп-
ределить также максимальную энергию электронов. Отсчет вре-
мени ведется с момента, когда Н = 0.
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ УСКОРИТЕЛЕН
17
1-39. Инжектор электронов в бетатроне питается импульс-
ным напряжением, имеющим максимальное значение ии= 5>104 В.
Вычислить мгновенное значение величины магнитного поля Ни на
орбите бетатрона в момент инжекции, время t , соответствую-
щее моменту инжекции (считать от момента перехода магнитно-
го ноля через нуль) и максимальную напряженность Е^^^ вих-
ревого поля на стационарной орбите бетатрона. Электромагнит
бетатрона питается от сети переменного тока частоты 50 Гц и
магнитное поле имеет амплитудное значение HQ = 3500 Э. Ради-
ус орбиты бетатрона г = 20 см.
1-40. Первый бетатрон (бетатрон Керста) имел следую-
щие параметры: радиус равновесной траектории г = 7,5 см,час-
тота изменения магнитного поля Т = 600 Гц, напряженность ма-
гнитного поля на равновесной траектории Н = Ho>sln 2%ft, где
HQ = 1250 Э. Для ускорения электронов использовалась первая
четверть периода. Определить: а) предельную энергию электро-
нов Wmai; б) период обращения Тк электронов в конце цикла
ускорения; в) оценить путь L, пройденный электроном за время
ускорения; г) средний прирост энергии Wcp электронов на обо-
роте.
1-41. Электроны, ускоренные в бетатроне, попадают в ли-
нейный ускоритель и ускоряются в нем до энергии W = I ГэВ.
Амплитуда напряжения на ускоряющей щели линейного ускорителя
U = 300 кВ, а частота Т = 100 МГц. Определить длину L этого
ускорителя.
1-42. Определить радиус орбиты R электронов в синхрот-
роне на энергию й =1,5 ГэВ. Максимальное значение напряжен-
ности магнитного поля Н = 1,4-I04 Э.
max
1-43. В электронном синхротроне радиус кривизны траек-
тории R = 100 см, максимальная напряженность пилообразного
магнитного поля HQ = I04 Э, а -частота его изменения Г=60 Гц
(период пилообразного поля - время, в течение которого поле
изменяется от Н = 0 до Но). Определить: а) максимальную эне-
ргию электронов »тах б)частоту ускоряющего поля v; в) ампли-
туду напряжения и в ускоряющем промежутке.
18
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИЙ
II. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВАНИЯ АТОМНОЙ ФИЗИКИ
И КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ.
I. Формула Планка: спектральное распределение плотности
энергии равновесного излучения (абсолютно черного тела):
Г эрг 1
p(w.T) = ------- (I)
ire (exp(tw/kT) - 1) [ см радиан/с J ?
где w - частота излучения, Т - температура, к - постоянная
Больцмана.
2. Интенсивность равновесного теплового излучения:
‘ Бш3 Г эрг 1
1(ш.Т) = -5 р(ш,Т)=—3-5----------------- —j----------- (2)
4ic 4ic с(ехр(Ьш/кТ) - I) [ смгс рад/с ] ,
3.Закон смещения Вина:
ta « 2,822 kT, (3)
шах '
где штах ~ частота, соответствующая максимуму спектрального
распределения (I).
4. Интегральная по спектру плотность равновесного излучения
(закон Стефана-Больцмана):
00
Г Л ЭР’ 1
р(Т) = I p(w,T) dw = а-Т 4 —я , (4)
» L см3 J
о
где а - объемная постоянная Стефана-Больцмана:
it2k4 Г эрг 1 а = х-х = 7.57-10 15 (5) 15 с3Ь3 см3К41 .
Б. Поток энергии излучения с поверхности абсолютно черного
тел.': (исцускательная способность):
S(T) = ? р(Т) = о-Т4 [ 5^—1 , (6)
L cure J
где
о
о
поверхностная постоянная Стефана-Больцмана:
к?1с4 Г ЭРГ 1
л л 1U 60 c2h3 [см2с К4] U )
основы квантовой теории
19
Соотношения между энергией Е и частотой ш, между импуль-
сом р я длиной волны фотона к:
Е = hi); Р = X = ’ Р = **. (8)
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:
р
ШУ
—= hi) - А, (9)
2
?де А - работа выхода; ш, Утдт - масса и максимальная ско-
рость фотоэлектрона.
8. Эффект Комптона.
Изменение длины волны фотона при рассеянии:
АХ = X - Хо = A(I - cos ср ), (10)
где А = h/moc = 0,0242 А - комптоновская длина волны элект-
рона; Хо, X - длины волн падающего и рассеянного фотона;
- угол рассеяния фотона.
Энергия рассеянного фотона:
hi)_
Е = hi) = -------Р-------------- (II)
hi)
I + —( I - cos ф )
шос
Кинетическая энергия электрона отдачи:
о о hi)-,
W = тсI 2 - т с2 = -------—?------- (12)
I + —______________
hi)o(I - cos ф ) у’ .
Соотношение де Бройля: (/’>//'
X = | ; р = №, (13)
X - длина волны, соответствующая частице, движущейся с
Ульсом р = mv.
’’ Формула Вульфа-Брегга:
2.(bsin ф = п-x, (14)
[L й - расстояние между кристаллическими плоскостями; ф -
тол скольжения; п = 0,1,2...- порядок интерференции.
20
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
11. Соотношение неопределенностей для координаты и проекции
импульса частицы:
Лрж’Лх > ft ; (15)
для энергии и времени:
AE-At » ft. (16)
I. Тепловое излучение.
2-1. Излучение абсолютно черного тела заполняет его
внутреннюю полость, находящуюся при той же температуре Т,
что и тело. Полагая, что каждый фотон занимает объем К3,
где ft = с/ш, ш - частота фотона, и что распределение энер-
гии между фотонами подчиняется закону Больцмана,,оценить ин-
тегральную плотность излучения абсолютно чераоготела (закон
Стефана-Больцмана). “
2-2. Исходя из выражения для спектральной плотности
излучения черного тела рш в шкале частот, получит^ выражение
для спектральной плотности излучения черного тела'М» шкале
длин волн. . ..
2-3. Радиус Солнца RQ = 6,96-Ю10 см, а температура
его поверхности Т0 = 5770 К. Оценить, используя закон Сте-
фана-Больцмана, величину энергии, излучаемую Солнцем за I с.
2-4. На рисунке 13 изображено изменение мощйбсти излу-
Мощность чвния Двойной звезда в
излучения с t носительных единицах.
Звезда имеют одинаковый
диаметр и вращаются в
плоскости, проходящей
через наблюдателя. Мак-
------------------♦ симум мощности излучения
Время "темной" звезда прихо-
Рис. 13.----------дится на длину волны
2900 А. Определите температуры звезд. «
2-5. Звездная система С Orionls А состоит из двух
взаимодействующих звезд-компонент, движущихся вокруг общего
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
21
центра масс.Одна из звезд этой системы имеет радиус 1^= 19RQ
и температуру поверхности Т,= 2.9 -I04 К, другая - радиус
Rg= 9 RQ и температуру поверхности Tg= 2,6 -I04 К, где R0=
= 6,96 -IO10 см - радиус Солнца. Оценить, используя закон
Стефана-Больцмана, величину массы, которую теряет эта двой-
ная звездная система в 1 с, а также время t, за которое эта
система потеряет массу, равную массе Земли М0= 5,98 *1027г.
2-6. Звезда Денеб - ярчайшая звезда созвездия Лебедя.
Ее радиус R = 40 R0 ( где RQ « 7>10^° см - радиус Солнца ),
а температура поверхности I04 К. Используя закон Стефанэ-
Больцмана, оценить величину отношения энергий, излучаемых в
1 с звездой W и Солнцем ( = 3,8•I026 Дж/с ).
2-7. По теории Планка энергия осциллятора определяется
соотношением En= nhw, где п = 0,1,2,.... Допуская, что рас-
пределение осцилляторов по энергиям подчинено закону Больц-
мана, определить среднюю энергию осциллятора при данной тем-
пературе Т.
2-8. Исходя из формулы Планка для спектральной плот-
ности энергии излучения рщ, вычислить в законе Стефана-Больц-
мана постоянные для: я) интегральной плотности энергии рав-
новесного излучения р = а*Т4; б) интегральной испускатель-
ной способности S = о-Т4.
2-9. Найти связь между плотностью лучистой энергии р
и исцускательной способностью S абсолютно черного тела.
2-10. Исходя из формулы Планка, получить закон смещения
Вина Т = В и определить постоянную В. Определить
постоянную а для формулы Вина в шкале частот а-Т = По-
казать, что частота w*, полученная из значения
( ш*= 2лс/А.тах >5не соответствует максимуму в шкале
частот: ш*/штах= 1,76. Объяснить причину отличия от ш*.
2-11. Определить и штах излучения черного тела
при температуре Т = 2500 К (см.задачу 2-10).
2-12. Радиус Солнца R0 = 6.96-IO10 см, средний радиус
земной орбиты г = 1,51'Ю13 см, температура'поверхности Сол-
22
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
нца Т0 = 5770 К. Определить: а) исцускательцую способность
Солнца S0 (плотность потока энергии у поверхности Солнца),
б) полную мощность теплового излучения Солнца WQ, в) солнеч-
ную постоянную р плотность потока энергии солнечного излу-
чения у Земли.
2-13. Максимум интенсивности в спектре излучения звезда
61 Лебедя приходится на длину волны ^тах= 5800 А, а ее зве-
здная постоянная р - плотность светового потока энергии зве-
здного излучения равна р = 1,13-10“7эрг/смгс. Оцените радиус
звезда Нзв, если она удалена от Земли на расстояние R =
= 3,38 пс (Хпарсек (пс) = 3,08’Ю18 см).
£-14. Определить равновесную температуру Земли TQ, если
альбедо Земли (доля отраженного солнечного излучения) а=0,39,
температура поверхности Солнца Т0= 5770 К, радиус Солнца RQ=
6,96»1О10 см, средний радиус земной орбиты г = 1,5-Ю13 см.
2-15. В атмосфере Земли всегда присутствуют пары вода
(полоса поглощения 4-7 мкм) и СС? (полоса поглощения 12-19
мкм). Объясните, цочему излучение Солнца практически свободно
(зя исключением ультрафиолетовой области спектра) достигает
поверхности Земли, а излучение Земли напротив заметно погло-
щается атмосферой.
2-16. Железный брусок (плотность d =’7,87 г.см-3), наг-
ретый до температуры Т = Ю3 К ( теплоемкость с = 0,64-ТО7
эрг/г К), находится в термодинамическом равновесии со стен-
ками полости, в которую он помещен. Определить объемную пло-
тность энергии внутри железного бруска ( Q ) и вне его ( р )
и их отношение. Найти испускательную способность S железного
бруска.
2-17. Реликтовое излучение соответствует излучению аб-
солютно черного тела при температуре Т = 2,7 К. Определите:
а) А.тят реликтового излучения, б) число квантов N реликто-
вого излучения в единице объема, в) среднюю длину волны <А>
реликтового излучения.
ФОТОНЫ
23
2. Корпускулярные свойства излучения.
2-18. Сколько солнечных фотонов попадает ежесекундно в
зрачок глаза? Зрачок считать абсолютно черным, имеющим ради-
ус R - I мм.
2-19. Найти силу давления излучения Солнца на Землю,
считая, что все излучение поглощается.
2-20. Какой энергией должен обладать фотон, чтобы его
импульс был равен импульсу электрона с энергией W = 100 эВ?
2-21. Работа выхода цезия равна А = 1,89 эВ. Вычислить
потенциал, до которого зарядится изолированный цезиевый ша-
рик, освещаемый монохроматическим излучением с длиной волны
Л = 2500 А.
2-22. Какой скоростью должен обладать электрон, чтобы
его энергия была равна энергии фотона с длиной волны
А, = 912 А?
2-23. Красная граница фотоэффекта для цезия равна Л.гр=
6390 А. Чему равна максимальная энергия фотоэлектронов, если
падающее на цезиевый фотокатод излучение имеет длину волны
Л = 912 А.
2-24. В спектрах звезд наблюдается гравитационное "кра-
сное смещение". Оцените величину смещения линии водорода
Ло= 6563 А в спектре звезды сверхгиганта W Кассиопеи А, ма-
сса которой М = 57*Mg, а радиус R = 34*RO, где MQ= 2-I033 г,
R0= 7-IO10 см - масса и радиус Солнца.
2-25. Звезда сверхгигант W Кассиопеи А движется с лу-
чевой скоростью v = 5-I09 см/с. Определите величину отноше-
ния доплеровского смещения ЛЛд к гравитационному "красному
смещению" ДЛГ (масса, радиус звезды - смотри задачу 2-24).
2-26. Определить анергию и длину волны фотона, масса
которого равна массе покоя электрона.
2-27. Используя представление о световых квантах, пока-
зать, что давление света на освещенное тело определяется со-
отношением Р = p(I+R), совпадающим с выражением для давления
света в классической электродинамике ( р - плотность энергии
24
ФОТОНУ
излучения, R - коэффициент отражения).
2-28. Показать, что при столкновении со свободным элек-
троном фотон не может передать ему всю свою энергию.
2-29. Первоначально покоившийся электрон под действием
светового поля с длиной волны начинает двигаться в напра-
влении распространения световой волны. Определить доплеровс-
кое смещение при наблюдении под углом <р относительно направ-
ления распространения волны. Считать скорость электрона
v « с. Сравнить полученный результат с формулой Комптона.
2-30. Определить анергию электрона отдачи при рассеянии
на нем у - кванта с энергией Ьшо = I МэВ на угол 45е.
2-31. Определить энергию фотонов, рассеянных покоящимся
свободным электроном на угол 180* в двух предельных случаях:
а) при большой начальной энергии фотонов Вш » шосг и б) при
малой начальной энергии фотонов « тосг. Сделайте числен-
ные оценки для энергий фотонов 10 МэВ и 10 эВ.
2-32. Определить долю энергии, передаваемой фотоном
свободному покоящемуся электрону при комптоновском рассеянии
назад. Найдите предел при высоких и низких энергиях фотонов.
Сделайте численные оценки при энергиях квантов 255 МэВ,
0,255 МэВ и 10 эВ.
2-33. Как изменится длина волны фотона спектральной ли-
нии 1,уа етома водорода после рассеяния назад свободным поко-
ящимся электроном?
2-34. Определить скорость электронов отдачи, если энер-
гия 7 - квантов после рассеяния на угол 60е равна =
= 0,511 МэВ.
2-35. Во сколько раз уменьшится энергия 7- кванта, рас-
сеянного с максимальной длиной волны, если его начальная
энергия была равна 1,533 МэВ?
2-36. Каким будет спектр 7 - квантов ьоСо ( hwo =
= 1,25 МэВ ) после рассеяния водородом на угол х/2?
2-37. Определить величину комптоновского смещения, если
начальная длина волны фотона Л.о= 0,03 А, а скорость элект-
рона отдачи равна v = 0,6 с.
СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ
25
2-38. Найти энергию фотона после рассеяния на электро-
не, двигавшемся навстречу фотону со скоростью vQ. Рассмот-
реть предел vo -* с при рассеянии фотона назад.
2-39. При каких начальных условиях в задаче 2-38 рассе-
яние назад не изменяет анергии фотона?
2-40. Определить изменение энергии электрона в условиях
задачи 2-38.
3. Столкновения частиц. Сечение.
2-41. Пучок электронов пересекает сосуд длиной L = 1 м
и попадает на детектор. ( Давление остаточного газа Р =
= 3,7-10-4 мм рт.ст., Т = 0°С ). Определить долю электронов
достигающих детектора. Сечение рассеяния принять равным
о = 10~16 см-2.
2-42. Может ли электрон, обладающий энергией (3/4)-By ,
возбудить покоящийся атом водорода, находящийся в основном
состоянии?
2-43. Через сосуд с ксеноном (концентрация N=1014 см-3)
проходит электронный пучок. При атом плотность электронного
тока в пучке уменьшается в 5 раз на расстоянии х^ 62 см при
энергии электронов 1 эВ и на расстоянии хг= 4 см при
энергии электронов W2= 7 эВ. В чем причина этого явления?
(Определить сечения рассеяния).
2-44. Какой минимальной кинетической энергией W должен
обладать этом водорода, чтобы при неупругом соударении с по-
коящимся атомом водорода ионизовать его?
2-45. Полагая, что ионизация происходит в результате
столкновения быстрого протона ( энергия W = 5 МэВ ) с элек-
троном атома, определить максимальную энергию №тят выбитого
из атома электрона. (Взаимодействием протона с ядром пренеб-
речь).
2-46. Возбуждение атомов ртути электронным ударом начи-
нается при кинетической энергии электронов W = 4,7 эВ. Пред-
положим, что пучок атомов ртути проходит через электронный
газ. Считая энергию электронов равной нулю, определить мини-
26
СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ
мальную величину кинетической энергии атомов ртути Wg^, на-
чиная с которой станет возможным их возбуждение.
2-47. Оценить энергию, передаваемую быстрой альфа-час-
тицей покоящемуся электрону при "далеком" (не лобовом) стол-
кновении. Траекторию альфа-частицы считать прямолинейной;
смещением электрона за время пролета альфа-частйцы пренеб-
речь.
2-48. В условиях задачи 2-47 найти дифференциальное се-
чение передачи энергии электрону в интервале de вблизи зна-
чения е .
2-49. Найдите сечение ионизации атома водорода быстрой
а -частицей ( см. задачи 2-45,-47 и-48 ). Электрон атома
считать покоящимся. Сделайте численные оценки для а-частиц с
энергией 10 МэВ.
2-50. Механизм рекомбинации ионов в плазме при тройном
столкновении может быть таким: отрицательный (положительный)
ион, сталкиваясь с нейтральноым атомом на некотором расстоя-
нии rQ от иона противоположного знака, теряет свою кинети-
ческую энергию настолько, что может быть захвачен этим ионом
(Томсон, 1924г.). Оценить г0 при температуре газа Т = 300 К.
2-51. Возможна ли безызлучательная рекомбинация при
столкновений электрона и протона, приводящая к образованию
атома водорода?
2-52. Возможна ли безызлучательная рекомбинация элек-
трона и многоэлектронного иона в парном столкновении с обра-
зованием атома?
^.Волновые свойства ча 'тиц. В. лны де-Бройля.
2-53. Оценить размеры волнового пакета по истечении
большого времени, если начальные параметры пакета заданы со-
отношением Аро>Дхо~Б. Каково время расплывания пакета до
размеров порядка атомных, если начальный размер пакета по-
рядка классического радиуса электрона го= е2/ ш с2 . Оцените
также размеры области вероятного местонахождения космическо-
го корабля через год после старта при движении с постоянной
ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ
27
скоростью, если скорость его в момент старте известна с точ-
ностью Av ~1 см/с.
2-54. Электрон, движущийся со скоростью vo= 5-108 см/с,
попадает в однородное ускоряющее электрическое поле напря-
женностью Е = 10 В/см. Какое расстояние должен пройти элек-
трон в поле, чтобы его дебройлевская длина волны стала рав-
ной к = 10~8 см ?
2-55. В синхрофазотронах достигнута максимальная энер-
гия ускоренных частиц. Так на ускорителе в Батавии (США)
протоны ускоряются до анергии 500 ГэВ ( 1 ГэВ = 109 эВ ), на
ускорителе в Серпухове (Россия) протоны будут ускоряться до
анергии 5 ТэВ ( 1 ТэВ = 101г эВ ). Вычислить длину волны
протонов в пучках ускорителей Батавии и Серпухова.
2-56. Определить длину волны де Бройля, соответствующую
среднеквадратичной скорости атомов Не при температуре Т=5 К.
2-57. Определить длину волны де Бройля однозарядной
частицы, если известно, что радиус кривизны ее траектории в
магнитном поле напряженностью Н = 10д Э равен г = 5 см.
2-58. Определить дебройлевские длины волн и массы
электронов, ускоренных до энергий W1 =0,5 МэВ и 1#2 = 1 ГэВ.
2-59. Вычислить число длин волн де Бройля, умещающихся
на десятой боровской орбите.
2-50. При торможении электронов на антикатоде рентге-
новской трубки возникает тормозное рентгеновское излучение;
коротковолновая граница его спектра А = 1 А. Определить де-
бройлевскую длину волны электронов.
2-61. Определить постоянную fl кристаллической решетки
L1F, если второй дифракционный максимум для электронного
пучка, ускоренного разностью потенциалов I) = 15 кВ, наблю-
дается при угле скольжения 0 = 1°30 .
2-62. В экспериментах Мелленштедта и Иенсона наблюда-
лась дифракция параллельного пучка электронов на щели. Под
каким углом обнаружатся первые дифракционные минимум и мак-
симум, если энергия электронов, нормально падающих на щель
шириной b = 6-10-5 см, равна W = 40 КэВ?
30
СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
2-75. В мезонной теории ядерных сил предполагается,
что взаимодействие между нуклонами осуществляется посредст-
вом испускания одним из нуклоне® и последующим поглощением
вторым нуклоном нестабильной элементарной, частицы - х-мезона
(х+, х~, х°). Исходя из соотношения неопределенностей, оце-
нить массу u-мезона. Радиус действия ядераа сил порядка
Но « 1,4»10~13 см.
АТОМ БОРА
31
III АТОМ БОРА.
1. Формула Резерфорда.
Угол рассеяния при кулоновском взаимодействии:
tg « = р/Рх, (1)
где р = р(в) - прицельный параметр рассеяния на угол fl;
Z Z е2
Рх = р(90°) = 1 2 , (2)
p«vc
здесь Z1t Zg, - заряды взаимодействующих частиц, ц - приве-
денная масса, v - относительная скорость.
Дифференциальное сечение рассеяния ( в единицу телесного
угла fl ):
do _ 1 г 1
“ ’ 1 Pi sto‘M/2)- l3)
2. Постулаты Бора.
Условие частот Бора.
= Е - Е , (4)
nm m п
где шт - частоте перехода m -♦ и, Еш, Еп - энергии уров-
ней с главными квантовыми числами тип.
Условие квантования Бора-Зоммерфельда-Вильсона:
L = f PjdQi = 2it-n-h . (5)
где P-pQj - обобщенные импульс и координата, интегрирование
проводится по периоду движения относительно координаты q±. В
случае круговых орбит ( q± = q>, р± = mvr ) формула (5) дает
L = mvr = п>Е . (6)
3. Спектральные серии атома водорода ( водородоподобного
иона ):
J- = Z2R ( 4 - 4 ) • (7)
А. в2 го2
птп
п = 1,2,3,...
m = п+1,п+2,п+3.......
Здесь - длина волны для перехода ш —» п , Z - заряд яд-
32
АТОН БОРА
pa, R - 109737,32 см"1 - постоянная Ридберга.
п = 1 — серия Лаймана,
п = 2 — серия Бальмера,
п = 3 — серия Пашена,
п = 4 ---- серия Брэкета,
п = 5 — серия Пфунда,
п = б — серия Хэмфри,
п = 7 — серия Хансена-Стронга.
1. Эксперименты, лежащие в основе теории Бора.
3-1. По Томсоцу, атом водорода представляет собой
равномерно заряженную сферу ( R ’’’ 10-8 см ) с общим зарядом
е = +4.8-10-1° ед.заряда СГСЭ, внутри которой находится один
электрон (в центре сферы, если этом не возбужден).Найти час-
тоту излучения такого атома.
3-2. Протоны, а -частицы и ядра лития, ускоренные од-
ной и той же разностью потенциалов, проходят через тонкую
платиновую фольгу. Какие из этих частиц будут сальнее всего
рассеиваться?
3-3. На серебряную фольгу, массовая толщина которой
p-d = 1.22 мг/смг , падает нормально к ее поверхности тонкий
пучок а -частиц с энергией W = 3,5 Мэв. Относительная интен-
сивность рассеянных а -частиц, падагацих на счетчик, состав-
ляет т] = 2,9-10-5 при наблюдении под углом D = 20° к направ-
лению первичного пучка. Входное отверстие счетчика имеет
площадь S = 0,6 см2 и находится на расстоянии L = 12 см от
рассивающего участка фольги. Найти заряд ядра атома серебре,
пренебрегая его отдачей.
3-4. При соударении с ядром атома плутония а -части-
ца с энергией W = 1 МэВ отклоняется на угол О = 20°. Опреде-
лите минимальное расстояние, на которое сблизились частицы.
3-5. Оценить радиус ядра атома алюминия, если изве-
стно, что при рассеянии а - частиц с энергией W = 5 МэВ для
АТОМ БОРА
33
углов 0 > 60° наблюдаются отклонения от формулы Резерфорда.
3-6. Пучок однозарядных ионов аргона с энергией WQ =
= 30 кэВ рассеивается атомами меди. Анализ энергий рассеян-
ных ионов производится цилиндрическим конденсатором с радиу-
сами Е1 = 99 мм и Rg = 101 мм. Какое напряжение U на пласти-
нах конденсатора необходимо для регистрации ионов, рассеян-
ных на угол 0 = 90°? Влиянием электронных оболочек на рас-
сеяние пренебречь.
3-7а На золотую фольгу ( 2=79 ) толщиной 1=5 мкм
узким параллельным пучком ( диаметр пучка D = 0.2 см ) пада-
ет N = 106 а - частиц с энергией W = 4.5 МэВ. Сколько а -
частиц рассеивается в интервал углов от 01 = 44,5° до 02 =
= 45.5° ? ( Мишень считать тонкой. )
3-8. С каким прицельным параметром р должна лететь а-
частица с энергией W = 2.87 МэВ, чтобы рассеяться на угол
0 = %/2 : а) на бесконечно тяжелом ядре с зарядом Z = 20;
б) на ядре 2°Са ? Определить долю энергии а -частицы, теряе-
мую при столкновении.
3-9. Параллельный пучок протонов с энергией W =1 МэВ
рассеивается ядром атома меди. Оценить размер "тени" на пло-
скости, перпендикулярной пучку и расположенной от рассеиваю-
щего ядра на расстоянии d = З.б А (постоянная решетки крис-
талла меди). Влиянием электронов на рассеяние пренебречь.
2. Атом водорода по БоруЗоммерфельду.
3-10. Полагая, что в теории атома фундаменталышми ко-
нстантами являются постоянная Планка Б, масса m и заряд е
электрона, оценить, исходя из анализа размерностей, величину
скорости электрона в атоме.
3-11. Оценить величину отношения энергии связи элек-
трона в атоме к его энергии покоя.
3-12. Вычислить напряженность Е электрического поля на
первой боровской орбите иона гелия.
3-13. По Бору, атом водорода представляет собой пла-
34
АТОМ БОРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА
нетарную систему, в которой электрон вращается вокруг прото-
на на расстоянии aQ «» 5-10-9 см. Каков должен быть порядок
величины магнитного поля для того, чтобы характер движения
электрона существенным образом изменился?
3-14. Пренебрегая тонкой структурой и считая массу
ядра бесконечной, показать, что в спектрах Н и Не+ есть мно-
жество линий равных длин волн.
3-15. Какое число штрихов N должна иметь дифракцион-
ная решетка, чтобы в спектре первого порядка можно было раз-
решить линии начала серии Пикеринга ( Не+ ) и близкие к ним
линии серии Бальмера ( Н ) ?
3-16. Найти для ионов Не+ и . Ы++ радиусы первой бо-
ровской орбиты г, потенциалы ионизации I, резонансные по-
тенциалы U и длины волн резонансных линий к.
3-17. Изобразите на шкале длин волн положение серий
Лаймана, Бальмера и Пашена атома водорода. Для этого опреде-
лите длины волн ка головных линий и длинноволновые границы
А.гр сплошных спектров этих серий.
3-18. В излучении газоразрядной трубки с неизвестным
газом наблюдается серия спектральных линий с длинами волн,
определяемыми соотношением: 1/А = R ( 1/12 - 1/п2 ), где п =
= 4/3; 5/3; 6/3; 7/3; 8/3; 9/3 и т. д. Определите каким га-
зом наполнена трубка.
3-19. Найти расстояние между электроном и позитроном
в атоме позитрония в основном состоянии.
3-20. Протон иц- мезон могут образовывать водоро-
подобную систему, называемую мезоатомом. Масса р. - мезона
равна 207 электронным массам, а его заряд равен заряду
электрона. Найти первый боровский радиус и ионизационный по-
тенциал этой системы.
3-21. Считая электрон релятивистским, вычислить ( по
Беру ) его скорости, радиусы орбит и энергетический спектр
для водородоподобного иона. Массу ядра считать бесконечно
большой.
3-22. Определить ( по Бору ) скорость, радиус орбиты и
/
АТОМ БОРА - ЗОММЕРФЕЛ.ЬДА
35
энергию связи К-электрона в атоме ртути ( Z=80 ).
3-23. Найти изотопический сдвиг ( в А ) для а - линий
серии Лаймана ( Ly(i ) трех изотопов водорода, ионов 3Не+ и
4Не+ , 19Ney+ и 2ONe9+.
о
3-24. Фотон с длиной волны А = 500 А вырывает элект-
рон из атома водорода. Чему равна кинетическая энергия выр-
ванного электрона?
3-25. Ион Ъ1г+ излучает квант при переходе п=3 —» п=2.
Возможна ли фотоионизация этим квантом атома водорода?
3-26. Определить граничные длины волн излучения, ис-
пускаемого при рекомбинации электронов на уровни п=1 и п=5
иона Ыг+.
3-27. Согласно представлениям классической физики,
электрон, движущийся вокруг ядра с ускорением, излучает, те-
ряя энергию. Покажите, что энергия^излучаемая электроном за
один оборот, мала по сравнению с его энергией. Найдите зави-
симость радиуса орбиты от времени и время падения электрона
на ядро. Начальный радиус орбиты считайте заданным. Найдите
время падения при начальном радиусе, равном ао,-'10-8 см.
3-28. Используя решение задачи 3-27, найдите время
"падения" из состояния с главным квантовым числом гц в со-
стояние пг. Считайте п1» п2>> 1.
3-29. Считая, что электрон в атоме излучает класси-
чески, найдите время, необходимое для излучения энергии,
равной энергии одного кванта с частотой, равной частоте об-
ращения. Заряд ядра - Z, начальный радиус - aQn2.
3-30. Влияние классического излучения на траекторию
ускоренно движущегося электрона может быть описано действием
"силы радиационного трения" f =
2 ег „
— v -(лоренпевой силы).
3 с3
Найдите изменение момента импульса излучающего электрона.
Движущегося по спиралевидной траектории в поле ядра зэ вре-
мя, за которое излучается (классически) энергия, равная эне-
ргии одного кванта с частотой, равной частоте обращения.
36
АТОН БОРА - ЗОММЕРФЕЛЬДА
3-31. Сравнить шп - частоту обращения электрона на бо-
ровской орбите с п»1 в атоме водорода с частотой w кванта,
излучаемого при переходе из состояния п+1 в состояние п.
3-32. Оценить температуру разреженной водородной плаз-
мы, если спектральные линии серии Лаймана, начиная с п > 30,
перекрываются ( ширину линии считать доплеровской ).
3-33. С какой скоростью должен лететь атом водорода
навстречу наблюдателю, чтобы частота света, излучаемого при
переходе п —* п’ , совпадала с частотой, излучаемой поко-
ящимся атомом дейтерия при аналогичном переходе?
3-34. Какую скорость приобретает покоящийся атом во-
дорода, испустив квант Lyu? Определить длину волны с учетом
отдачи атома.
3-35. Определит^. квантовые уровни энергии свободного
электрона в однородном магнитном поле ( спином пренебречь ).
3-36. Во сколько раз изменится плотность потока фото-
нов, если одновременно удвоить частоту и амплитуду электро-
магнитных волн?
3-37. Фотоном из атома водорода, находящегося в возбу-
жденном ( п = 3 ) состоянии, выбит электрон с кинетической
энергией W = 4 эВ. Определить энергию фотона.
3-38. Вычислить наименьшую энергию, необходимую для
возбуждения полного линейчатого спектра иона Не+ из его
основного состояния.
3-39. Чему равна энергия электрода в ионе Ъ1г+ на пер-
вой и четвертой воровских орбитах.
3-40.* Какие спектральные линии появятся в видимой об-
ласти спектра при возбуждении атомов водорода электронами с
энергией 12.85 эВ ?
3-41. В экспериментах определены постоянные Ридберга
для водорода йд = 109678.58 см-1 и его изотопа - дейтерия
Rjj = 109708.596 см-1 . Чему равна масса электрона?
3-42. Опираясь на планетарную модель атома и принцип
соответствия Бора, покажите, что для водородоподобного иона
с зарядом ядра Z момент импульса кратен постоянной Планка:
АТОМ БОРА - ЗОММЕРФЕЛЬДА
Ъ = mvr = nh, 8 энергии уровней равны Еп = - 7? Ry / п?.
3-43. Найти потенциал ионизации атома гелия, считая,
что постоянная экранировки Is-электронов о = 0.3 ( Слэтер,
1929 г. ).
3-44. Укажите перехода в атоме водорода, образующие
спектральные серии Лаймана, Бальмера и Пашена. Укажите глав-
ные квантовые числа и орбитальные моменты начальных и конеч-
ных состояний.
38
эшттн квантовой тновт
IV. ЭЛЕМЕНТЫ квантовой теории.
1. Состояний микросистемы характеризуется волновой
функцией ф(г, t). Величина р (r.t) = |<j>(r,t) |2 есть плотность
вероятности обнаружить частицу в точке г в момент времени t.
2. Волновая функция, описывающая какое-либо состояние
частицы, нормирована согласно условию
J |ф(г.1)|2 с13г = 1.
3. В квантовой механике каждой физической величине А
по некоторому закону ставится в соответствие оператор А.
Измеряемые в эксперименте значения А принадлежат спектру
собственных значений оператора А.
4. Среднее значение и дисперсия величины А в состоянии
ф(г,г):
A (t) = J ф*(гД).Л ф(гЛ) d3r .
Da = ( А - А )г = Аг - А 2.
5. Операторы некоторых физических величин
координаты г = г, т.е. гф(г,1) = тф(г»1);
импульса р. = - Ihv, т.е. рф(г,1) - - .lh ?ф(г,1);
момента импульса 1 - [г«р] = - lh [r»v];
Л ~2 h2 >
кинетической энергии Т = р /2ш = •
потенциальной энергии U(r,t) = U(r,t) ;
Л К2 г
полной энергии (гамильтониан) Н = - + U(r,t).
6. Волновая функция ф(г,t) удовлетворяет нестационар-
ному уравнению Шредингера:
™ ft = - Ял + и<г’г>Ф •
ЭЛЕМЕНТУ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
39
7. Волновая функция удовлетворяет следующему уравнению
Непрерывности:
вр
+ div 3 = О ,
где p(r,t) - |ф(г,1)|2 - плотность вероятности,
j = ^jjjy (ф -ч/ф - ф-wj) ) - плотность потока вероятности.
8. Стационарное уравнение Шредингера:
h2 з
- а ’ ф(г) + и(г).ф(г) = Е Ф(г) ,
где Е - энергия стационарного состояния.
Общий вид врлновой функции стационарного состояния
ф(гД) = Ф(г)-ехр(-
Ф(г) - координатная часть волновой функции.
9. Оператор Лапласа:
а) в декартовых координатах :
V2 д? + +
Зх2 бу2 Зка
б) в цилиндрических координатах :
V = 1 (г э.) +1_ 0г_ +
г Зг Зг г2 5<р2 Зя2
в) в сферических координатах : •
, 1 3 г _> 8 .. 1 д д 1 з2
V2 = — —1г2 — + —--------- — ( sin fl — ) + —---- —-
г2 8г'- 8rJ r2sin fl dfl 5fl r2sln fl dq>2
. SL + г t . у + 1 -----------------4- ( sin « s- >.
дг г 3г i^sirrfl Зф2 г2н1п fl 3fl 3fl
10. Энергетические уровни и волновые функции стационар
них состояний одномерного гармонического осциллятора:
40
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОМ ТЕОРИИ
Еп = Ни ( п + 1/2 ) , п = 0,1,2,... ,
Ф (х) = N >Н (х/а)*ехр [- 1 (х/а)г 1
п n п 2 J »
где аг = h/mw, Нл - полином Эрмита,
Nn = (2n-n! >а/%)~1/г - нормировочная константа.
Общее выражение для полиномов Эрмита:
,г dn г ,2 1
Нп(О = Ы)п- [еЧ J .
В частности,
Н0(О = 1, Н1а)=2Е, Нг(|) = 4£г - 2 .
11. Кеплерова задача: U(r) = - Ze2/r.
Дискретные уровни энергии :
Волновые функции стационарных состояний :
ф , (г) = R , (г)-У, (-о.ф) ,
’nlm ' nl' ' 1m *▼'
где Rnl(r) - радиальная волновая функция,
¥г СО,ф) - сферическая функция,
причем 1= 0,1,2,..,п—1;
m= -1,-(1-1),....О,...(1-1),1 .
В частности,
’ ¥1O=/S cos « : Y1±< sln <Ье‘1ф-
Общее представление для радиальной волновой функции :
Rnl(r) = гМх - )•% + V + v2 + •••+
В частности.
Г Z i3^2 Z1*
R1O = - 2,ех₽(- а- )’
I d_ J *->
I
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
41
Г Z 13/г Z1’ Zr
I HaJ ао 2ао
Г Z l3/2f Zr 1 Zr
— • —- -ехр(----------).
I 2aQ J I •''^ЗЯд 2ао
12. Прозрачность потенциального барьера с профилем П(х)
в квазиклассическом приближении (D « 1):
D « ехр(- § J /2m( U(x) -Е ) -dx)
где Е - кинетическая энергия частицы, а интеграл берется по
области классически запрещенного движения.
13. Теория возмущений.
Пусть £п, <р - собственные значения и ортонормированные соб-
ственные функции гамильтониана Н^,удовлетворяющие
условию:
Г <р*-ф da - б
m тп пт
г 1, если т = п
I 0, если т / п .
Тогда собственные значения и собственные функции гамильтони-
ана Я - Hv,+ V ( V - малое возмущение ; записываются в вице:
Е = £ + <ф |У1ф >
П П ТП)' 1тп
ф ем (П +
П ТП
>-----------ф,
*— £ - £
mm п
m/n
Здесь <фт|V|фп> = /ф*-Уфпба - матричный элемент оператора V.
14. Волновая функция системы из двух электронов должна
быть антисимметрична относительно их перестановки (принцип
Паули):
за
ЭЛЕМЕНТЫ KUAHWBOH ТЕОРИИ
Ф(т1р2) = - ф(т2,т1),
где т^, т; - совокупности координат, пространственных и спи-
новых, определяющих состояние электроне.
Волновая функция электрона представима в виде произве-
дения спиновой и координатной частей:
ф(т) = (р(г)-х(о).
Поэтому в случае двухэлектронной волновой функции принципу
Паули удовлетворяют следующие комбинации:
а) пространственная волновая функция симметрична:
фо^.г,,) = фа^.гр,
спиновая — антисимметрична (полный спин S = 0):
X(o1ta2) = - xCOg,^);
О) пространственная волновая функция антисимметрична:
ф^.г,) = - фО^.гр,
спиновая - симметрична (полный спин S = 1):
Для системы из двух невзаимодействующих электронов коорди-
натная часть волновой функции (симметричная(+) и антисим-
метричная (-) функции ф+(г,,г2) ) имеет вид:
ф±(г1,г2) = [ «ргр-®2(г2) ± «ргр-Ш.Дгр ]»
Уг L
где 2 - одноэлектронные волновые функции.
----------------------------* —
4-1. Определить плотность потока вероятности для части-
цы, характеризуемой волновой функцией ф(г) = elkr . В чем
физический смысл такой волновой функции1?
4-2. Определить уровни энергии и волновые функции
стационарных состояний частицы в одномерной потенциальной
яме прямоугольной формы с бесконечно высокими стенками и
шириной а. •
4-3. Определить уровни энергии Е и волновые .функции
стационарных состояний в одномерной прямоугольной потенци-
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
43
элъной яме конечной глубины Utc шириной а. Рассмотреть слу-
чай Е < Uo .
* 4-4. Определить положение уровней з состояний в трех-
мерной сферически симметричной прямоугольной яме конечной
глубины.
4-5. Исходя из соотношения неопределенностей оценить
глубину U,. прямоугольной сферически симметричной потенциаль-
ной ямы, в которой ^существует хотя бы один уровень.
4-6. Определить электростатический потенции, создава-
емый в пространстве атомом водорода в состоянии Is.
• 4-7. Определить среднее и наиболее вероятное удаление
электрона от ядра в атоме водорода, находящемся в основном
состоянии.
4-8. Предполагая, что а-распад атомного ядра с зарядом
Z есть результат туннелирования а-частицы через кулоновский
барьер, созданный ядром-остатком i - Z-2 ) , определить
зависимость вероятности а-распада от энергии образующейся
а-частицы.
4-9. Сравнить вероятности захвата.электронов с К- и
L- оболочек тяжелым ядром с зарядом Z .
4-10. Состояние частицы с массой ш внутри одномерной
бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямы шириной
I определяется волновыми функциями фп = /2/1-sin к^х , где
kn = (it>n)/l /(2’Ш«Е )/Ьг , в = 1,2,3,... . Начало отсчета
х - 0 - на краю ямы, (ср. с 4-2). Определить среднее значе-
ние координаты частицы в n-м состоянии.
4-11. Определить координаты наиболее вероятного (xmaI)
и наименее вероятного (xmln) местонахождения частицы внутри
бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямы (см. за-
дачу 4-10) в состояниях с п - 1, 2 и 3.
4-12. В одномерном потенциальном ящике уровень n - I
занят одним электроном. На какие уровни можно поместить
второй электрон с той же проекцией спина?
4-13. В одномерной потенциальной яме с бесконечно вы
сокими стенками на уровнях с квантовыми числами п - 1, п /
зии гтавш тю
жждатя даа Дпм «ww* имида» «зима S = о а
S h дарж^шкяржяу® а пв ед® <йа тал »w «жииг-
Bimw&Wfts, wи (сдавт^игаэд® «тжизиаишшФ ив-
|ж'вада>ша ы^^’лида» Жййвии» фгфийшвипишка^ амта aaaete-
-Ш- »нро«вдкжо> {йй-ж^жэиа ада«Щ№№В' («ж. ®адеед
адак1фШ08 ijfsas$$&4ife»
<-Wk йрй ушиййж п$адедда$ задана ииййцип® предав®
|«?«’вмяйий! ж^вд адаш^айма ® «йхгяйяиииж е шипим «минши
$ =• © % $ == ц„
4Ml5s НйЯйж wiiflyw®' at эий(рI’UMi •а«яюли®йю> вшвжжяая в®~
де^даджй5ий№» жжйъ 00®©owwsiffle«i) вдяйнннм ipaBMeffKMi ад®»)»
аадод K&>wijWQ. Z» (етишати, jpamiWflim» дшх'фндаденншж ввд'п-
©Й^ИЙ ft-
4М&. ^Ш1®даз®Н8ВШ«и>. ^вдавжяв! ’свеинрвишии Bsgffi - Зэж
ШОфишьдах иейт ¥$кшй зий^'Жй хадс®' пидадагжайвдас»' щш-
^Й5® И: W®?Jfe Шк
4h-W-. Опркдешпь awHM'-.iww’tb. тки» жгдадакй эмжаии jj
Q- дойй^июйяж MMJEMWfe <w wnetmii эдйив^ж>й©«?1кг) жиж ft»
СНЕ’^РЫ пОДНОЭЛЕКТРОННЫХп лтоиов
45
V. СПЕКТРЫ АТОМОВ С ОДНИМ ОПТИЧЕСКИМ ЭЛЕКТРОНОМ.
Под "одаоэлектронным атомом" подразумевается этом водоро-
да и водородоподобные ионы (ядро с зарядом Z + один элект-
рон), этомы щелочных металлов (bi,Na,K,Hb,Cs и Рг) и щелоч-
ноподобные ионы (ионы изоэлектронной последовательности ще-
лочных металлов, т.е. ионы, имеющие ту же электронную конфи-
гурацию, что и соответствующий им нейтральный атом), а также
этот® некоторых других элементов с одним электроном сверх
полностью заполненных подоболочек (не иойер, Air - электрон-
ная конфигурация Is^Ss^p^s^p, Ga - электронная конфигура-
ция Isz2sz2p63sz3p63fl1 °4sz4p и т,п>^¥К(дтой, жв категории
атомов можно отнести "ридберговские" атош с одним сильно
возбужденным электроном, движуп^^'вдялиотвтомшэго остат-
ка - иона. -г, я,-
1. Квантовые числа оптического электрона.
Атол водорода. it- •
п - главное квантовое число: п = 1,2,3,...
I - орбитальное квантовое число: О С I С п-1
з - спиновое квантовое число:, а = 1/2
J - квантовое число полного J = I ± э
момента импульса(внутреннее
квантовое число):
(J = s = 1/2
при I = О).
В атомной спектроскопии состояния с различными значению
орбитального момента I принято обозначать буквами латина
го алфавита:
1 = 0 1 -г 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
spdfghlklmn
Атолы щелочных металлов.
Квантовые числа - те же, что и для атома водорода, но
пределы их изменения для валентного электрона иные.
Для з- и р- электронов:
п = По, по+1, по+2...
(D
Где по - главное квантовое число основного состояния атомов:
46
СПЕКТРЫ ’'ОДНОЭЛЕКТРОННЫХ" АТОНОВ
LI Na К Rb Cs Fr
По = 2 3 4 5 67
Для электронов с 1^2 минимальное значение главного
квантового числа (П|)ш1п определяется наинизшей незаполнен-
ной 1 - подоболочкой:
LI Na к Rb Cs Рг
=зз a mln 3 4 5 6 (2)
(и ) =44 I min 4 4 4 э
2. Энергии уровней без учета тонкой структуры.
Атол водорода (водородоподобный ион).
Z2-By
(3)
п
Атолы щелочных леталлов.
By (Z - a)2-By
(п - Дг)2 п2
(4)
В формулах (3) и (4) By =
называемый квантовый дефект,
те4/2В2 = 13.,606 эВ; Д-£ - так
а - константа экранирования для
энергии уровня (без учета тонкой структуры).
3. Энергии уровней с учетом тонкой структуры.
Атол водорода (водородоподобный ион).
Z2By a2Z4-By
EnJ = - = - -^3—
1
J + 1/2
3 '
4n
(5)
Интервал тонкой структуры - разность энергий уровней
ЛЕпГ En,J=i+1/2 " En,J=l-1/2 :
СПЕКТРЫ ’’ОДНОЭЛЕКТРОИПЫХ" АТОМОВ
47
aeZ4-Ry
(6)
АЕ 7 = -3------
nt n3l(l+1)
В формулах (5) и (6) а = ег/Ъс = 1/137 - постоянная тонкой
структуры Зоммерфельда ( 1/а = 137,04 ).
Атолы щелочных леталлов.
Интервал тонкой структуры:
где а’ - константа экранирования для тонкой структуры.
4. Спектральные обозначения состояний одноэлектронных атомов
Атал водорода (водородоподобнъсй ион).
Для полного описания состояния электрона в одноэлектрон-
ром атоме достаточно задать квантовые числа n, I и j. Обыч-
но их записывают в виде:
nlJ
(8)
Например: 1з1/г, 2p3/g, 4Г7/г и т.п.
Иногда встречаются более сложные обозначения, которые содер-
жат избыточную для данного случая информацию (существенную
для многоэлектронных систем), а именно, описание состояния
электронной оболочки (электронной конфигурации) и величин
результирующих угловых моментов атома (которые обозначаются
прописными латинскими буквами):
пг
и
(9)
Здесь ае = 2S + 1 - мультиплетность, S - полный спин. Для
одноэлектронной системы S = а = 1/2 и ае = 2: уровни одао-
электронного атома -дублетные.
48
СПЕКТРЫ "ОДНОЭЛЕКТРОННЫХ” ЛТОЬ'ОВ
Примеры записи типа (9): 1s
Чаще используют сокращенные
чения:
%/г- 2Р Ч/г> Ч
(по сравнению с (9)
п.
е-
п ЖЪТ (10)
Например, 12S1/g, 2гР3/е, 4г?7/г и т.п. — • »
йтолы щелочных леталлов. - , „зл/
Обозначения состояний оптического электрона что и
для атома водорода. Для полного описания нво&ейЦМоДобавить
характеристики электронного остова (иона) .Напрамц), электрон-
ные конфигурации и основные состояния атомов Ьыкгавдх метал-
лов записываются следующим образом:
LI 1s22s 2S1/g
Na 1s22s22p5 6 * * *3s 2S1/g Т-
К 1s22s22p63s23p64s гБ1/г
Rb 1s22s22p63s23p63d'°4s24p65s 2S1/g
Cs 1 s22s22p63s23p63d1o4s24p64dw5s25p66s
Fr 1s22s22p63s23p63d1o4s24p64d,o4f,45s25p65d*o£s26p67s 2S1/g,
Последний s-электрон расположен над заполненной рн-подоболоч-
кой иона. -
5. Правила отбора для электрических дипольнвдс жзлучательных
переходов в "одноэлёктронном" атоме:
Лп - произвольное,
AZ = ± 1,
AJ = 0,±1, _
Дш = 0.
S
СПЕКТРЫ ЩЕЛОЧНЫХ КЕТШОВ
49
6. Спектральные серии щелочных металлов
Главная серия: n02si/a ~ п 2pi/e,3/e
Резкая серия: ^Р^г.з/г * п %/г
Диффузная серия: пД,,, - п гБ3/г
и— n гБ
"о гз/г ^з/г.ь/г
Фундаментальная серия
(серия Бергмана): п гБ_/о - п,гР
2 J/d 2
n Бз/г ~ П Р5/г,7/г
п > По,
п > По+1,
п > (п.) .
dmin
П = (П.) , ,
dmln
П’£ (П ) .
I mln
Значения nQ, (nd)mln и (п±)т1л - см. (1),(2).
I. Спектры щелочных металлов.
5-1. Найти длины волн спектральных линий, возникающих
при каскаде переходов возбужденных атомов натрия из состо-
яния 4s в основное состояние 3s. Квантовые дефекты для S-
и Р- термов равны fis = 1,37, Ар = 0,88.
5-2. Длины волн линий резонансного дублета натрия
равны 5869 А и 5890 А, энергия ионизации I = 5,14 эВ. Пре-
небрегая тонким расщеплением, определите квантовые дефекты
для S- и Р- термов натрия.
5-3. Длина волны резонансной линии калия равна
о о
7665 А, а длина волны границы главной серии 2858 А. Опреде-
лить квантовые дефекты для S- и Р- термов и ионизационный
потенциал атома калия.
5-4. Головная линия резкой серии в спектре паров цезия
представляет собой дублет с длинами волн = 14695 £ и
Ag= 13588 А. Найти интервал в волновых числах между компо-
нентами дублетов остальных линий этой серии.
5-5. Какая часть атомов Na при температуре Т = 2-10 К
возбуждена на резонансный уровень? Квантовые дефекты для
атома Na равны As s 1,4. Ар == 0,9.
50 СПЕКТРЫ "ОДНОЭЛЕКТРОННЫХ" АТОМОВ
5-6. При наблюдении резонансного дублета нятрия в
спектре звезда оказалось,что коротковолновая компонента дуб-
лета ( = 5890 А) совпадает по длине волны с длинноволно-
вой компонентой дублета ( = 5896 А) в спектре земного
источника. Определить скорость звезды вдоль луча зрения.
5-7. В вакуум из нагретого до 573°С сосуда через колли-
матор вытекает в малый телесный угол струя паров натрия.
Определить спвктральдае шири-
Пары Na ны линии излучения паров нат-
Т = 573°С о рия < * = 5890 А > ПРИ иссле-
J * довании спектров в сосуде (А)
----- -------Г и в струе (В) (см. Рис. 16).
j, А 1 в Вероятность спонтанного йзлу-
Izzz'j |zzz] чения А ( Зр —» За ) равна
спектрограф 4,5 • 107 с-1.
Рис. 16.
2. Тонкая структура. Правила отбора.
5-8. Дублетное расщепление одной из спектральных ли-
ний главной серии натрия составляет Ак =3,7 см-1. Извест-
но, что постоянная экранирования для тонкой структуры
а'= 7,45. Какому переходу соответствует ата линия?
5-9. Оценить расстояние между двумя электронами, на
котором нецентральные магнитные силы, обусловленные их спи-
новыми магнитными моментами, могут сравниться с центральными
кулоновскими силами. Какова минимальная энергия, необходимая
для сближения электронов на такое расстояние?
5-10. Сравнить энергию кулоновского взаимодействия с
энергией магнитного спинового момента электрона в магнитном
поле, создаваемом при пролете другого электрона с заданж>й
скоростью v на расстоянии р (модель спин-орбитального вза-
имодействия).
ТОНКАЯ СТРУКТУРА. ПРАВИЛА ОТБОРА
5-11. Показать, что энергия тонкого спин-орбитальнох
расщепления для водородоподобного иона имеет порядок велич
ны ДИ ™ aeZ4Ry. Сделать численную оценку.
5-12. Оцешггь энергию ДИ сТ сверхтонкого расщепления
атоме водорода и длину волны излучения, испускаемого при г
реходе между подуровнями сверхтонкой структуры. Сравнить
сверхтонким расщеплением позитрония.
5-13. Вычислить величину тонкого расщепления реа
нансной линии атома водорода ( 1<уа ).
5-14. Укажите переходы, образующие тонкую структу
головной линии серии Бальмера, например, 2г51/г —» ЗгР3/
Отметьте переходы с ’одинаковой частотой.
5-15. Сравните по порядку величины тонкое и сверхто
кое расщепления в атоме позитрония (см. задачу 5-12 ).
5-16. Для двукратно ионизированного атома лития по
троить схему разрешенных переходов мевду состояниями с гла
ними квантовыми числами nt = 2 и п_ = 3. Рассчитать в во
новых числах интервал между крайними линиями мультиплета.
5-17. Определить кинетическую энергию электронов, в
битых из вольфрамовой мишени (работа выхода 4,5 эВ) метает
сильными атомами водорода в опыте Лэмба-Ризерфорда.
5-18. Определить энергию ионизации и величину расщэ
ления (в шкале волновых чисел) дублетных уровней ЗгР)/2 3
ионе Mg+, если константа экранирования для 3s- уровня а
= 8,85. а константа экранирования для тонкой структуры 3
уровней иона а' = 6,61.
5-19 . Одна из компонент резонансного дублета натр
имеет длину волны Х1 = 5890 А. Чему рэвна длина волны
второй компоненты этого дублета, если для тонкой структу
Зр-уровней натрия константа экранирования а' = 7,45 ?
5-20. Чему равно отношение интенсивностей компоне
дублетов главной серии атомов щелочных металлов и сходных
ними ионов?
5-21. Какие переходы образуют спектр поглощения на
рия? Укажите начальную и конечную конфигурации атома и те
мы.
52 ТОНКАЯ СТРУКТУРА. ПРАВИЛА ОТБОРА
5-22. 'При интенсивном облучении1 желтым светом (5880 А-
-6000 А) атош натрия возбуждаются на ; резонансный уровень
Зр гР1/г 3/г Какие спектральные серии возникают при погло-
щении света возбужденными атомами натрия?
5-23. Какие переходы образуют серии спектра поглощения
атомов алюминия ? Сравните спектр поглощения атома алюминия
со спектром поглощения возбужденного атома натрия (см. зада-
чу 5-22).
РЕНТГЕНОВСКИЕ СПЕКТРЫ
53
РЕНТГЕНОВСКИЕ СПЕКТРЫ
Тормозное излучение.
1. Коротковолновая граница Xmln сплошного спектра тор-
мозного излучения электронов равна
2ithc 12396 о
X . =------ =-------А ;
W - кинетическая энергия электронов.
Характеристическое излучение -
2. Закон Мозли
1 2 1
- “ R-(Z - о)г-( )
где R - постоянная Ридберга;
о - постоянная экранирования.
для L - серии оъ «» 7,4; n1,ng - главные квантовые числа
атомных оболочек, между которыми происходит переход.
1
2 ) .
па
Z - порядковый номер элемента
Для линий К - серии oR « 1,
,п„ - главные
6-1. Начиная с какого элемента периодической системы
можно наблюдать рентгеновские К-, L- серии?
6-2. Можно ли излучение рентгеновской трубки при
анодном напряжении 100 кВ использовать для наблюдения фото-
эффекта с К- оболочки урана 9ги ?
6-3. При исследовании тормозного рентгеновского излу-
чения с помощью отражения от кристалла каменной соли (период
решетки d = 2,8 А) дифракционная картина наблюдается при уг-
лах скольжения ф > 1°30*. Определить величину напряжения,
приложенного к рентгеновской трубке.
6-4. Найти разность волновых чисел компонент рентге-
новского дублета Ка1 и молибдена (константа экранирова-
ния для тонкой структуры в L - оболочке о » 3,5).
54 РЕНТГЕНОВСКИЕ СПЕКТРЕ
6-5. Показать, что величина расщепления ЛА рентгенов-
ских дублетов в шкале длин волн в атомах элементов с боль-
шими зарядами ядер Z не зависит от Z." '
6-6. Вычислить энергии квантов, соответствующих Кд-ли-
нии и энергию связи К - электронов в атоме вольфрама
( ок « 1).
6-7. Длины волн Кд- линий элементов равны = 1,795 А
и Ag = 2,29 А. Определите эти элементы.
6-8. Вольфрамовая мишень бомбардируется электронами с
энергией 80 кэВ. Определите энергию электронов, выбитых с
К- и L- оболочек (aR « 1; аь » 7,5).
6-9. Определить энергию фотоэлектронов, выбитых из
К-оболочки урана (oR „ 1) рентгеновским излучением с энер-
гией 150 кэВ.
6-10. Известны длины волн головных линий L-серий се-
ребра (А, = 4,1-56 А) и молибдена (Ag = 5,411 А). Считая по-
правки экранирования оь для этих линий одинаковыми,., оценить
значение постоянной Ридберга и величину поправки оъ.
6-11 у. Построить диаграмму рентгеновских энергетичес-
ких уровней вольфрама, если известно, что край полосы погло-
щения с К-оболочки имеет длину волны А^ = 0,178 А, а сред-
ние значения длин волн К - серии составляют А^ = 0,210 А;
А^р = 0,184 А; А^ = 0,179 А. Определить энергию возбуждения
( Wb ) L - серии и длину волны головной линии L - серии
( )•
6-12. Какие электроны могут заполнять вакансию в
К-оболочке? . .. .
6-13. Рентгеновское излучение с длиной волны, равной
длине волны Кд - линии вольфрама, пропускается через образец
из вольфрама. Поглощается ли это излучение? да, -то за
счет каких процессов? -- >
6-14. В процессе работы молибденовый -Рентге-
новской трубки, окисляется. Будет ли такая ? тфВВьдИйскать
Ка- линию молибдена?
РЕНТГЕНОВСКИЕ СПЕКТРЫ
55
6-15. Зачем перед рентгеноскопией желудочно-кишечного
тракта пациент принимает суспензии сульфата бария?
6-16. Какова скорость электронов, выбитых из К- обо-
лочки атомов молибдена, при облучении их рентгеновскими лу-
чами с длиной волны К = 0.5 X ? Длина волны К - линии
молибдена равна =0,709 к.
6-17. Какова скорость электронов, выбитых из L- обо-
лочки атомов молибдена, при облучении их рентгеновскими
О
лучами с длиной волны Л = 0.2 А ? Длина волны 1>а~ линии
молибдена равна = 5,411 X. Учтите релятивистские эффекты,
56
МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТСЯШ -
VII. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОШ.
1. Состояние электрона в центрально-симметричном потен-
циале в многоэлектронном атоме определяется четырьмя кванто-
выми числами; эти числа суть:
в - главное квантовое число;
1 - квантовое число орбитального момента импульса;
- проекция орбитального момента на выделенное на-
правление ;
mg - проекция спина электрона на выделенное направле-
ние.
Вместо последней пары чисел употребляются также:
J - квантовое число полного момента импульса электро-
на;
nij - проекция полного момента импульса электрона на
выделенное направление.
( Сравн. с введением в раздел "Спектры атомов с одним опти-
ческим электроном".)
2. Принцип Паули: "В физической системе, состоящей из
многих ферми-частиц, о одном состоянии не может находиться
более одного фермиона". Его альтернативная формулировка:
"Волновая функция системы фермионов должна изменять знак
(быть антисимметричной) при перестановке двух фермионов".
3. Оболочка - совокупность электронов с одинаковым
главным квантовым числом п.
4. Подоболочка - совокупность электронов оболочки с
одинаковым квантовым числом 1. Электроны одной подоболочки
называются эквивалентными.
Орбитальный момент электрона обозначается буквой в соот-
ветствии со схемой:
Момент 1 = 0 1 2 3 4 9 б .................
ZC4S» А*.
Обозначение
состояния з р d I Я. .....
5. Электронная кон ггурация - распре, Мвктронон
по оболочкам и подоболочкам - квантовыми Ж1.
ЫНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОШ
57
Обозначение группы из к электронов с квантовым числом
орбитального момента I и главным квантовым числом п :
П1*,
число I обозначается буквой в соответствии с приведенной вы-
ше схемой.
6. Число электронов в заполненной подоболочке (число
состояний в подоболочке) равно 2(21+1).
7. Число электронов в заполненной оболочке (число сос-
тояний в оболочке) равно
п-1
У 2(21+1) = 2пг.
*=°
8 .Общее правило сложения моментов. Квантовое число
сушгарного момента импульса J = принимает следую-
щие значения (пусть J1 > J2):
~ J + Jg» Jg ~ 1 •
9. Типы связей моментов в атоме.
Нормальная IS -сйяз^:
Ь = £ Ij S = £ Bt; J = L + S ;
-связь;
: J = £ = Е вр ;
суммирование по всем электронам конфигурации, квантовые
числа суммарных моментов находятся по общему правилу.
Ниже везде, за исключением специально оговоренных слу-
чаев, будем иметь в виду IS -связь.
Ю. В заданной электронной конфигурации квантовые числа
L и S определяют ее терм.
Обозначение терма: заглавной буквой обозначается кван-
товое число L в соответствии с схемой (сравн. с обозначением
одноэлектронных состояний):
58
МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ
Момент L = 0 1 2 3 4 5 б ...........
Обозначение
терма S Р D F G Н I .....................
Слева вверху указывается мультиплетность терма, равная по
определению, 2S+1. Таким образом, обозначение терма есть
2S+1
L.
Терм характеризуется также четностью, равной
Р = Е lt.
1
11. Правило Хунда - способ определения терма с наимень-
шей энергией при заданной электронной конфигурации.
1) Среди термов, принадлежащих к одной конфигурации
эквивалентных электронов, наиболее глубоким (имею-
щим наименьшую энергию) является терм с наибольшим
возможным в этой конфигурации значением полного
спина S;
2) Среди термов с одинаковым спином S наиболее глубо-
ким является терм с наибольшим значением полного
орбитального момента L.
12. Если не учитывать спин-орбитальное взаимодействие,
все уровни одного терма, имеющие равные значения полного мо-
мента импульса, вырождены. Спин-орбитальное .взаивдействие
расщепляет терм в мультиплет таким образом, что:
- если подоболочка заполнена менее, чем наполовину,
наименьшую энергию имеет уровень с наименьшим зна-
чением J - нормальный мультиплет;
- если подоболочка заполнена более, чем наполовину,
наименьшую энергию имеет уровень с наибольшим зна-
чением J - обращенный мультиплет;
- если подоболочка заполнена ровно наполовину,
спин-орбитальное взаимодействие отсутствует - терм
нерасщеплен.
МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ
59
Сдвиг. АЕТ
и
Уровни
Терм гэ+11
интервал.
Сдвиг уровня с полным моментом J относительно нерасщеп-
ленного терма равен
А [
АЕТ = - J(J + 1) - 1(1 + 1) - S(S + 1) ;
J 2 L
A - константа связи складывающихся моментов L и S.
Правило интервалов Ланде регламентирует расщепление
терма в мультиплет:
АЕ = AJ ;
у I
А > 0 , если к < 21+1 , нормальный мультиплет;
А < 0 , если к > 21+1 , обращенный мультиплет;
А = 0 , если к = 21+1 терм нерасщеплен;
к - число электронов в конфигурации lk. .
Переходы в многоэлектронном атоме. IS - связь.
13. Одноэлектронный оптический переход в электричес-
ком дипольном приближении разрешен, если удовлетворяются
следующие правила отбора (сравн. с правилами отбора в одно-
электронном атоме):
1. Правило Лапорта - переход возможен только между
четными и нечетными термами:
ар = а ( £ гр = + 1;
следовательно должны быть заданы обе электронные
конфигурации.
2. А I = 0,± 1 ;
3. A S = 0 - "интеркомбинационный запрет" ;
60
МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ
4. A J>0, t 1 ;
Переход £ = 0 * J’= ° запрещайте -» 0" переход).
При рассмотрег&и’сверхтонксйст^ктуры оптических спектров
действует правило для полного момента импульса атома F:
F = J + I ; I - спин ядра .
Квантовое число F принимает значения:
F = J+t/j+bi, .
Правило отбора для F: ? ’
5. A F = 0, ± 1 ,
Переход ? =? 0 —♦?•=□ запрещен.
--- * -----
1. Сложение моментов. Конфигурация. Терм. Мультиплет.
7-1. Найдите значения суммарного орбитального момента
в следующих электронных конфигурациях:
ns n’s, sp, ad, np n’p, pd, pf. df.
7-2. Найдите значения суммарного орбитального жомента в
трехэлектронной конфигурации pdf. Сравните различные после-
довательности сложения pd(L’)f. pf(I>’ )d. df(L')p ; L’ -
квантовое число промежуточного момента - суммарного орби-
тального момента первых двух электронов.
7-3. Известно, что число состояний данной электронной
конфигурации не зависит от типа связи. Покажите ато на при-
мере np n’d - конфигурации для IS- и JJ- связей. Запишите
соответствующие спектроскопические обозначения.
7-4. В сильно возбужденных состояниях атомов встреча-
ется так называемая JI- связь. Порядок сложения моментов,
определяемый взаимодействиями в атоме, следующий:
J = (J + 1) + в = К + в.
Здесь J - момент импульса атома, J - атомного остатка, 1 -
орбитальный момент возбужденного электрона, в - его спин,
КОНФИГУРАЦИЯ. ТЕРМ. МУЛЬТИПЛЕТ
61
К - промежуточный момент. Найдите значение J для возбужден-
ного р -электрона, если J = 3/2.
7-5. Найдите термы двухэлектронной конфигурации pd;
укажите четность термов (см.задачу 7-1 ).
7-6. Найдите термы трехэлектронной конфигурации pd";
укажите четность термов (см.задачу 7-2 ).
7-7. Найдите термы двух неэквивалентных р -электронов
(см.задачу 7-1 ); укажите четность термов.
7-8. Сколько эквивалентных р -электронов, d -электронов
и f -электронов могут находиться в одной оболочке ? Каковы
главные квантовые числа этих оболочек?
7-9. Определите термы заполненной подоболочки и запол-
ненной оболочки.
7-10. Найдите терм конфигурации, состоящей из единст-
венного электрона поверх заполненной подоболочки. Например,
s2p; d1os; s2f.
7-11. Составьте конфигурации почти заполненной подобо-
лочки р -электронов: заполненную подоболочку с одной дыр-
кой - вынутым электроном. Какие элементы периодической сис-
темы имеют такие конфигурации наружных электронов? Найдите
термы такой подоболочки. Сделайте то же самое для подоболо-
чек d- и Г- электронов.
7-12. Найдите термы конфигураций эквивалентных элект-
ронов р2 (атомы С. Si, Ge, Sn ...) и d2 ( атомы Т1,
Zr, НТ) (сравн. с задачей 7-7 ).
7-13. Сравните термы двухэлектронных конфигураций р2 и
d2 с термами двухдырочных конфигураций р4 и d8 ( см. за-
дачу 7-12 ).
7-14. Найдите низшие термы (имеющие наименьшую энер-
_ 2 р р
гию) конфигураций р и d (см. задачу 7-12 ).
7-15. Найдите низшие термы двухдырочных конфигураций
р4 и d8; сравните их с термами двухэлектронных конфигураций
Рг и d2 (см. задачу 7-14 ).
7-16. Найдите электронную конфигурацию и низший терм
возбужденного атома азота (Z = 7).
62
МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ
7-17. Найдите низший терм электронной конфигурации d3
( атомы ванадия V, тантала Та, нильсбория Ns ).
7-18. Найдите термы возбужденного атома углерода; воз-
бужденный электрон находится в одном из состояний пз; пр
или nd, п > 2. Укажите четность термов.
7-13. Найдите термы возбужденного атрма азота; возбуж-
денный электрон - в одном из состояний: ns, пр, или nd,
п > 2. Укажите четность термов. Сначала найдите терм атомно-
го остатка (иона), состоящего из эквивалентных электронов -
родительский терм, затем сложите моменты возбужденного
электрона с моментами родительского терма.
7-20. Напишите электронные конфигурации и низший терм
элементов второго периода периодической системы, укажите
четность терма и определите его расщепление - нормальное
или обращенное.
7-21. На рис.17 изображены мультиплеты основных термов
атомов углерода и кислорода.
ае2
АЕ1
ле2
ЛЕ,
С 2рг 3Р
Рис.
Найдите отношение расщеплений в
J
--------------- о
178 см 1{ ,
396 см-1/
I --------------- 2
Рис. 18
0 2р4 3Р
17
мультиплетах ДЕг-
7-22. На рис.18 изображен
мультиплет основного терма
атома серы (Z = 16) с ука-
занием величин расщепле-
ний. Определите величину
константы связи моментов в
формуле Ланде.
КОНФИГУРАЦИЯ. ТЕРН. МУЛЬТИПЛЕТ.
63
7-23. Взаимодействие магнитного момента ядра с маг-
нитным моментом электронной оболочки атома (сверхтонкое
расщепление) аналогично спин-орбитальному взаимодействию-
результатом является правило интервалов Ланде:
= A(I.J)P.
Здесь I, J - спин ядра и полный момент импульса электрон-
ной оболочки, F - полный момент импульса атома. На рис.19
Ед изображено сверхтонкое рас-
щепление основного состоя-
------------ ®з ния атома йода(терм р5 гР).
Е2 Измеренное соотношение рас-
Е1 щеплений мультиплета при-
близительно описывается
Рис.19
пропорцией
(Е -Е ): (Е -Е ): (Е?-Е.) - 4:3:2 .
4 j -Ле- I
Определите спин ядра.
7-24. Изобразите расщепление основного терма атома Nd,
электронная конфигурация атома - 4f46s2. Определите терм и
соотношение интервалов между уровнями.
7-25. На сколько компонент расщеплено основное состо-
яние атома водорода сверхтонким взаимодействием?
7-26. Показать, что механические и магнитные моменты
Ь, S, J, р_, р , р замкнутых оболочек и подоболочек равны
нулю.
7-27. Определить угол между орбитальными механическими
моментами первых двух электронов в трехэлектронной конфигу-
рации pdf, терм - S.
7-28. Вычислить угол между суммарным орбитальным и
спиновым моментами электронов в атоме в состояниях 3PQ и 3Е?-
7-29. Один из электронов атома гелия имеет главное
квантовое число п = 2. Записать возможные электронные конфи-
гурации и спектроскопические обозначения соответствующих
состояний.
7-30. Показать, что терм 3Б1 атома Не не может быть
основным.
64
МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ
7-31. Определить основное состояние атома марганца
(электронная конфигурация 1s22s22p63s23p63d^ 4s2) и иона
(удалены 4s электроны).
7-32. Построить основные электронные конфигурации
двухзарядного иона аргона и атома кальция.
7-33. Записать полные обозначения основных состояний
атомов цинка и стронция.
7-34. Определите основное состояние атома хрома, элек-
тронная конфигурация которого 1s22s22p63s23p63d5 4s .
7-35. Определите основной терм атомов , электронная
конфигурация незаполненной оболочки которых d3 и d7.
7-36. Найти основной терм атома , электронная конфигу-
рация незаполненной оболочки которого 4f66s2 (самарий Sm).
7-37. Установите основной терм атома, электронная кон-
фигурация незаполненной оболочки которого 4f75d6s2 (гадоли-
ний Gd).
7-38. Определить отношение интервалов Д? см-1 между
компонентами терма 5П.
7-39. Возможны ли следующие состояния: 2S , 3S , 3Р
Зс 2с Зт, 2т> <j>
1/2’ Ь1/2’ ВО' В1/2 ‘
7-40. Дописать недостающие компоненты мультиплетов
4/2’ Ч’ Ч/2’ Ч> Ч’ 4/2-
2.Переходы. Правила отбора.
7-41. Являются ли нижеуказанные переходы разрешенными
в электрическом дипольном приближении (указаны конфигурации
и термы): s2 1S * sp 1Р; sp 1Р * pd 1П; пр2 3D -» прп'р 3D;
р2 1П * pd 'В; р2 1Б -» ps 1Р ?
7-42. Найдите метастабильные состояния атома углерода.
7-43. Какие переходы возможны при поглощении излучения
из основного терма атома углерода? Укажите только конфигура-
ции и термы. (Сравните с задачей 7-45 ).
7-44. Учитывая расщепление атомов углерода в задаче
7-43 согласно правилу интервалов Ланде, рассмотрите тонкую
ПЕРЕХОДЫ. ПРАВИЛА ОТБОРА
65
структуру линий поглощения атома углерода. Константу связи
моментов возбужденных термов считайте малой по сравнению с
константой связи основного терма; расщепление возбужденных
термов считайте нормальным. Изобразите переходы на схеме
уровней. Отметьте крайние линии мультиплетов. Сравните с
задачей 7-46.
7-45. Какие переходы возможны при поглощении из основ-
ного терма атома кислорода в возбужденные состояния с роди-
тельским термом*S ? Укажите только конфигурации и термы.
Сравните с задачей 7-43.
7-46. Учитывая расщепление термов кислорода согласно
правилу интервалов Ланце, рассмотрите тонкую структуру линий
поглощения атомов кислорода. Константу связи моментов воз-
бужденных термов считайте малой по сравнению с константой
связи моментов основного терма; расщепление возбужденных
термов считайте обращенным. Изобразите переходы на схеме
уровней. Отметьте крайние линии мультиплетов. Сравните с
задачей 7-44
7-47. Какие переходы возможны при поглощении из основ-
ного терма атома фтора (или другого галогена)? Укажите толь-
ко конфигурации и терйы. Родительским термом возбужденного
атома считайте терм невозбужденного иона. Сравните с зада-
чей 5-23 .
7-48. Рассмотрите тонкую структуру линий поглощения
атома.фтора (см. задачу 7-47) в рамках правила интервалов
Ланде. Константу связи моментов возбужденных термов считайте
малой по сравнению с константой связи моментов основного
терма, расщепление - обращённым. Изобразите переходы на схе-
ме уровней. Отметьте крайние линии мультиплетов.
7-49. Какие переходы возможны при поглощении из основ-
ного терма атома азота? Укажите только конфигурации и термы.
Родительским термом возбужденного атома азота считайте терм
невозбужденного иона.
7-50. Рассмотрите тонкую структуру линий поглощения
азота (см. задачу 7-49 ) в рамках правила интервалов Ланде.
66
МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ
Изобразите перехода на схеме уровней и отметьте крайние ли-
нии мультиплета.
7-51. Кеков физический смысл правила отбора для полного
механического момента атома: A J = 0, ±1 ? Почему запрещены
перехода J1 = 0 * J2 = О?
7-52. Каков физический смысл правила отбора по проек-
ции спина Am = 0 ?
S
7-53. В опыте Франка и Герца пучок электронов пропус-
кается через Не. При ускоряющем потенциале U = 19,8 В возни-
кает первый пик , соответствующий возбувдению состояния
1э2з 3S1 (основное состояние 1s2 1Sn). Как объяснить возник-
новение этого пика, если интеркомбинационный переход,т.е.
переход с изменением спина атома, запрещен?
7-54. При аннигиляции невозбувденного атома позитрония
испущено три фотона. Орто- или парапозитроний аннигилировал?
7-55. Какие из следующих оптических переходов разре-
шены правилами отбора :
’) 4/2- 4/2’ 3> 4- 4-
2> 4/г- 4/2’ 4> п 4-п’ 4-
АТОМ В ПОЛЕ ваших сил
67
VIII. АТОМ В ПОЛЕ ВНЕШНИХ СИЛ
I. Атом в магнитном поле.
1. Магнитный момент атома в приближении LS - связи.
Д = jL + jL = - (KL + 2hS) = |xq(L + 2S) = - |in(J + S);
v 2mc
{1^= - pQL - орбитальный магнитный момент атома;
ps= - 2pQS - спиновый мэгнитнный момент атома;
п = = 0,927-10-20 арг/Гаусс - магнетон Бора;
° 2тс
L.S.J - орбитальный, спиновый и магнитшй моменты импульса
атома в единицах Е>.
2. Эффективный магнитный момент атома- компонента магнитного
момента, атома, коллинеарная полному моменту импульса
а = (L т 2S)J = (J + S)J = . SJ _
1Лг ’ Н1г ' Н1е~
= 1 + 1) + S(S + J) - L(L + 1) _ фаКТОр Ланде.
2<T(J + 1)
Слабое магнитное поле. Эффект Зеемана.
Слабым считается поле не разрывающее LS - связи. Взаимодей-
ствие магнитных моментов друг с другом значительно сильнее
их взаимодействия с магнитным полем.
A(L.S) » цоН ,
A(L,S) - компонента связи моментов, определяющая расщепление
терма в мультиплет (правило интервалов Ланде).
3. Энергия взаимодействия атома с магнитным полем:
Д Е = - < й >-Н = |1 g НМ, , х
проекция полного момента импульса на направление
магнитного поля.
4. Сила, действующая на атом в магнитном поле:
F = ( < ) Н ; g ма dHx/dx .
5. Эффект Зеемана. Сдвиг частоты спектральной линии в магни-
68
АТОН В ПОЛЕ ВНЕШНИХ СИЛ
тном поле относительно нврасщепленной линии :
Aw(M_ ,М_ ) = Aw_(g М- - g.M_ ) ;
'1 "2 J ”i " ~’г
1‘ОН ен
Ли) = ---= -Еа - нормальное лоренцево расщепление; индекс
h 2шс
1 относится к верхнему уровню перехода, а индекс 2 - к ниж-
нему.
В случае перехода между уровнями синглетных термов
( S=0, g1=g2=l ) имеет место нормальный (простой) эффект Зе-
емана; во всех остальных случаях - аномальный (сложный) эф-
фект Зеемана.
Сильное магнитное поле. Эффект Пашена-Бэка.
Сильное поле разрывает IS связь. В этом случае
psH, PjH » A(L,S) ,
6. Энергия взаимодействия атома с магнитным шлем (спин-ор-
битальное взаимодействие не учитывается):
ДЕ = - |LH - jlsH = р0Н (ML + 2Мд) ,
7. Эффект Пашена-Бака. Сдвиг частоты спектральной линии в
сильном магнитном поле относительно частоты перехода между
вырожденными термами (не расщепленными спин-орбитяльннм вза-
имодействием)
Ata (М^.М^) = ЦоН (М^ - М^) = роН А!^.
Это - нормальный лоренцевский •риплвт.
8. Дополнительные правила отбора, действующие в поле внешних
сил.
AMj = ± 1; - а -компоненты ,
AMj = □ ; - it -компоненты .
Переход М = 0 «—» И = О запрещен, если при переходе
1 2
AJ = 0 ( Jf = J2 ).
При разрыве LS-связч в сильном магнитном поле:
АИ^ = ± 1; - о -компоненты ,
AJ^ = 0; - х -компоненты ,
ам8= о.
АТОН В ПОЛЕ ВНЕШНИХ СИЛ
69
1. Магнитные свойства атома. Опыт Штерна и Герлаха.
- 8-1. Определить множители Лэнде следующих состояний:
Ч- Ч- Ч/г- Ч/г- Ч/г-
8-2. Вычислить множители Ланде для состояний з?. ,
4В1/г, 9Н1- Определить направление магнитного момента отно-
сительно механического.
8-3. Определить эффективные магнитные моменты атомов
в состояниях ЗР1’ 4/2*
8-4. Определить эффективный магнитный момент атомов в
состоянии и возможные значения его проекций на направле-
ние внешнего магнитного поля.
8-5. Определить максимальную величину энергии, приоб-
ретаемой атомом в состоянии 1В2 в магнитном поле Н = 104 Э.
8-6. Определить изменение энергии d-электрона атома
водорода, обусловленное взаимодействием только его орбиталь-
ного момента с магнитным полем напряженностью Н= 3-105 Э.
8-7. Определить частоту прецессии момента импульса не-
возбувдеиного атома галогена в магнитном поле напряжен-
ностью В = 1.5-104 Э.
8-8. Вычислить величину расщепления пучка атомов ли-
тия в опыте Штерна и Герлаха, если длина полюсов магнита
L = 10 см, градиент магнитного поля dH/dx = 2-105 Э/см,
температура печи Т = 103К. Расщепление измеряется у концов
полюсов. '
8-9. Оценить величину градиента магнитного поля, в
котором можно подвесить невозбуаденный атом натрия так, что-
бы сила, действующая со стороны поля, уравновешивала силу
тяжести. Как должны быть направлены магнитное поле и его
градиент?
8-10. На сколько компонент расщепится в опытах Штерна
и Герлаха пучок атомов гелия, находящихся в низшем метаста-
бильном состоянии?
8-11. Расщепится ли пучок атомов ртути в основном сос-
то
АТОМ В ПОЛЕ ВНЕШНИХ СИЛ
тоянии в опыте Штерна и Герлаха?
8-12. Из печи вылетает пучок, состоящий из невозбуж-
денных атомов Be, В, А1. Можно ли неоднородным магнитным по-
лем разделить эти элементы?
8-13. Определить гиромагнитное отношение в единицах
е/2тс для спина электрона в опыте Штерна и Герлаха с пучком
атомов серебра, вылетающим из печи с температурой 1100 К.
Градиент магнитного поля dH/dx = 3-105 Э/см, протяженность
поля 1 = 4 см. Расстояние от магнита до экрана L = 10 см.
Расщепление пучка на экране Ах = 1,76 см.
8-14. Определить максимальные значения проекций маг-
нитных моментов атомов ванадия, марганца и железа (термы ос-
новных состояний 4Р, 65 и 5D ), если известно, что пучки
атомов в неоднородном магнитном поле расщепляются на 4, 6 и
9 компонент. Определить основные состояния атомов.
8-15. В боровской модели атома водорода вычислить маг-
нитный момент, обусловленный движением электрона по орбитам
с главными квантовыми числами и = 1 и п = 10. Сравнить с
максимальным значением квантовомеханического орбитального
магнитного момента атома водорода при заданных и.
2. Эффекты Зеемана, Пашена-Бака, Штарка.
8-16. Начертить схему зеемановского расщепления спек-
тральной линии для перехода 3S1 —* 3?1 и определить сдвиг
отдельных компонент в шкале волновых чисел относительно не-
возмущенной линии. Напряженность поля Н = б И О3 Э.
8-17. Сколько спектральных линий будет наблюдаться при
переходах 11>г > 1?1 и 3Гг -» 3Р1 в слабом магнитном поле?
8-18. Изобразить графически расщепление уровней ЛГь/г и
4?7/2 в СЛ8<5ом магнитном поле и указать возможные переходы.
8-19. Каков характер (нормальный, аномальный) эффекта
Зеемана в слабом магнитном поле для первых девяти элементов
периодической системы?
8-20. Какой эффект Зеемана (нормальный, аномальный)
ЭФФЕКТЫ ЗЕЕМАНА И ПАШЕНА-БАКА
71
наблюдается при переходах: 1. 1Р. —> 1S , 2. гЪ , —» гР , ,
3. Ъ, - 3Р0, 4. 3S, -> %.
8-21. "Расстояние" между крайними зеемановскими компо-
нентами спектральной линии 3S1—* 3Р2 (А = 4811 А) составляет
0,5 А. Определить величину магнитного поля.
8-22. Оценить критическую величину магнитного поля,
выше которой наблюдается эффект Пашена-Бака для резонансного
дублета цезия (А4 = 8521 А, Кг = 8943 А).
8-23. На каких линиях серии Лаймана иона Не+ при Н =
= 300 Э будет наблюдаться эффект Пашена-Бака?
8-24. Для каких линий серии Лаймана атома водорода
магнитное поле Земли Н ~ 0,5 Э является критическим (см.за-
дачу 8-22)?
8-25. Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР) вещес-
тва, содержащего ионы Мп44-, наблюдается пои Н = 3,6-103 Э и
частоте высокочастотного поля г;= 101° Гц (без учета сверх-
тонкой структуры линии ЭПР). Определить (с точностью до
третьего знака) величину g -фактора для Мп++. Сравнить с
множителем Ланде.
8-26. Нэ сколько компонент расщепится пучок атомов бо-
ра, находящихся в основном состоянии, в эксперименте Штерна
и Герлаха в случае слабого и сильного магнитных полей? В
сильном поле LS - взаимодействием пренебречь.
8-27. Нарисовать схему расщепления и возможные перехо-
ды между уровнями термов гР и г5 в слабом и сильном магнит-
ных полях. В сильном поле LS -взаимодействием пренебречь.
8-28. Сколько линий можно наблюдать в спектре ЭПР эле-
ментов с J = 5/2 и J = 1/2 ?
8-29. На примере резонансной линии натрия (переход
ЗгР3/г —* г51/г)‘проследить различие между эффектом Зеемана
и ЭПР. Вычислить длину волны поглощения ЭПР для основного
состояния атома Na в магнитном поле Н = 3300 Э и сравнить с
С
длиной волны линии D2 (А = 5889,96 А).
8-30. Оценить величину напряженности магнитного поля
Н, при которой расстояние между зеемановскими компонентами
72 АТОН В ПОЛЕ ВНЕШНИХ . СИЛ
расщепленной линии дХ превосходит в а = 20 раз спин-орби-
тальное расщепление дублета Х1 = 6161 А й кг = 6164 А.
8-31. Определить число компонент расщепления и рассто-
яние между крайними it -компонентами линии 3Р2—» 3П1 в магни-
тном поле с напряженностью Н =104Э.
8-32. При напряженности магнитного поля Н > 1,3-Ю5 Э,
начиная с четвертой линии серии Лаймана некоторого водородо-
подобного иона, происходит разрыв 13-связи. Какому иону при-
надлежит ата линия?
8-33. При напряженности магнитного ^юля Н= 1,34-105 Э
расстояние между о - компонентами некоторой линии натрия в
10 раз превышает ее спин-орбитальное расщепление Ак. Найти
Ак.
8-34. В каких случаях спектральная линия в слабом маг-
нитном поле расщепляется на три компоненты?
8-35. Определите условие, при котором доя обоих уровней
спектральной линии множители Ланде g , g —» 1, то есть,
когда сложный эффект Зеемана вырождается в простой?
8-36. Показать, что для всех уровней, у которых L = S и
J # О, множитель Ланде равен g = 3/2.
8-37. Показать, что для каждого уровня с J =Jmax= I> + S
множитель Ланде равен g = L + S/Jmnjr.
8-38. Сколько линий поглощения можно наблюдать в спек-
тре атома водорода (серия Лаймана) в однородном электричес-
ком поле с напряженностью Е = 5,14-105 В/см? Эффект Штерка
и тонкую структуру уровней не учитывать. Туннельной автоио-
низацией пренебречь.
8-39. В опытах Вина (1916г.) при пропускании -пучка
быстрых атомов водорода через однородное магнитное поле наб-
людался эффект Штарка в наведенном электрическом поле. Оце-
нить скорость атомов, при которой штарковское смещение доми-
нирует нед зеемановским во всей серии Лаймана. - '
8-40. Определить сдвиг границы континуума в спектре во-
дородоподобного иона с зарядом Z за счет эффекта Штарка в
электрических полях соседних ионов плазмы; плотность ионов К.
ВЗАИМОДЕЙСТВЬЕ АТОМА С ИЗЛУЧЕНИЕМ
73
IX. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ атома с излучением
1. Для переходов между дискретными уровнями атома с
энергиями Ег > коэффициенты Эйнштейна определяются таким
образом, что
А?1 - вероятность спонтанного перехода 2 —♦ 1 в единицу
времени;
В21рш - вероятность вынужденного (индуцированного) перехода
2 —» 1 в единицу времени;
В1?рш - вероятность вынужденного перехода 1 2 (фотопо-
глощения) в единицу времени;
здесь рщ - спектральная плотность излучения на частоте пере-
хода: Вш = Ег - Е1.
Коэффициенты А£) и Вг1 связаны соотношением
(D
1 Вш3
А =--------В
21 1Г2 С3 21
2. Плотность потока квантов в полосе частот Сш вблизи
ш определяется таким образом, что
_ 2^
“ Вл
(2)
3. Сечение фотопоглощения определяется соотношением
°12 В12 Рщ’ 4
так что
Коэффициенты Эйнштейна удовлетворяют принципу деталь-
ного равновесия
SlB12 = 6гВ21’ (4)
здесь g1,gg- статистические веса уровней. Статистический вес
уровня изолированного атома равен числу значений проекции
полного момента импульса g = 2J+1. Для невырожденных уров-
ней я = 1.
74
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМА С ИЗЛУЧЕНИЕМ
Сечения фотопоглощения и индуцированного излучения так-
же связаны соотношением детального равновесия
ei°12 = g2°21‘
Для сечений фотопоглощения и индуцированного излучения
из (1) и (3-Е >) получим
°21 = хг A go, А.2 А = — = — — ; (б) 4 Гл) 4 Вш
здесь-Сш - ширина спектральной линии - доплеровская, люмине-
сценции и т.д.
4. Доплеровская ширина на полувысоте спектральной линии
равна:' ,--------------------------
2 / 2кТ.
= ш - / ----- • In 2 . (7)
D с / М ’
здесь ы - частота излучения, к - постоянная Больцмана, Т -
температура, М - масса излучающего атома.
Е>. Естественная ширина линии
Нет " 1/Т - А21’
% - среднее время жизни атома на уровне 2.
Б. Время затухания энергии колебаний классического гар-
монического осциллятора и ширина спектра его излучения опре-
деляются соотношением
2 егц)г
Сш = 1/т. = ——— ;
3 тс
ш - циклическая частота колебаний осциллятора.
Б шкале длин волн ширина спектра равна
X. 4ч ег
«А. = бы - = — г • г = —5 - классический радиус
!» 3 тс.
электрона.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМА С ИЗЛУЧЕНИЕМ
75
9-1. Время жизни атома натрия в состоянии ЗР равно
ч. „ 2>10~8 с. Оценить величины эйнштейновских коэффициентов
Аг1> В1г, Вг1 для перехода Зр —*• 3s ( желтый дублет- 5890,
5896 А).
9-2. Сравните газокинетическое сечение атома натрия
о = 6-10-16 смг с сечением фотопоглощения его резонансной
линии А = 5890 А. Атом считать изолированным и неподвижным.
9-3. Излучение с
вету длиной L = 10 см,
ппг
погло-
щение I
I I
Рис.20.
"белым"- спектром проходит через кю-
заполненную парами натрия с плотнос-
тью N = 1011 см-3 при температуре
500 К. Каким будет соотношение ин-
тенсивностей в центрах линий пог-
лощения (см.рис.20) резонансного
дублета 3s —» Зр? Уширение линий
считать доплеровским. Время жизни
обоих верхних уровней дублета т =
= 2-10-8 с (см. задачи 9-1, 9-2).
9-4. Оптический резонатор состоит из двух параллель-
ных плоских зеркал (коэффициенты отражения - г1 = 0,95, г2=
= 0,98), между которыми находится оптически активное вещест-
во. Каким должен быть его коэффициент усиления ж, чтобы из-
Рис.21.
★
лучение после одного обхода
резонатора (см. рис.21) вер-
нулось бы в исходную точку с.
интенсивностью, не меньшей,
нежели была при старте. Дли-
на резонатора L = 100 см.
9-5. Чему равна пороговая инверсная населенность ANn
в рубиновом лазере с длиной волны излучения А = 6943 X, ес-
ли его резонатор длиной Т. = 10 см имеет зеркала с коэффици-
ентами отражения г = 1, г? = 0,98 ? Ширина спектральной
линии Ак = 11,2 см-1 , время жизни верхнего уровня
т « 3-10~3 с.
76
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМА С ИЗЛУЧЕНИЕМ
9-6. Определить коэффициент поглощения излучения ж на
Ьы hW rvrvrvtV*
Рис.22.
в) распределение их
р „ частоте ш, полагая, что: а) ато-
мы газа могут находиться только
в двух энергетических состояни-
ях: Е1 - основном и Е2 - возбу-
E1,N1 жденном Ег; Ег - Е1 = Пш (см.
рис.22); б) уровни невыроадены;
по уровням - больцмановское; г) при про-
хождении излучения через вещество имеет место лишь поглоще-
ние фотонов и индуцированное излучение.
9-7. Можно ли, возбуждая излучением двухуровневые
атомы (см. задачу 9-6), создать инверсную населенность?
9-8. Полагая, что расходимость лазерного пучка в ос-
новном обусловлена дифракционными эффектами, оцените плот-
ность мощности W лазерного излучения вблизи фокуса идеальной
собирающей линзы (фокусное расстояние f = 10 см). Мощность
лазера Р = 1 МВт, диаметр его пучка d = 1 см, длина волны
излучения X « Г мкм.
9-9. Двухуровневый атом (см. рис.23) с невырожденными
________________ Е уровнями энергии Ег и Е1 нахо-
2 дится в поле резонансного излуче-
= Л ния с частотой ш = (Е -Е1)/8 и
__2_____________£ плотностью потока I см-2 с-1 .Най-
1 ти среднее время жизни атома в
Рис.23. обоих состог<иях; спонтанное излу-
чение не учитывать.
4 9-10. Для создания стандартов частоты (длины) необхо-
димо иметь излучение неподвижных и невзаимодействующих ато-
мов. Одним из способов создания такого "вещества" является
остановка пучка атомов встречным излучением лазера, настро-
енного на частоту резонансного перехода в атоме (эффект Доп-
лера компенсируется перестройкой частоты излучения лазера).
Поглощая встречные кванты излучения лазера и испуская кванты
люминесценции в произвольном направлении при обратном (спон-
танном) переходе, атомы замедляются до весьма малых скорос-
тей. Сколько квантов должен поглотить атом массой М и на-
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМА С ИЗЛУЧЕНИЕМ
77
чальной скоростью v до полной остановки? Какой должна быть
интенсивность излучения лазера (Вт/смг), чтобы остановить
атомы за минимальное время и на минимальной длине? Какова
величина ускорения атома?.Оценки произведите для атомов нат-
рия с начальной скоростью 105 см/с. Эффективное сечение ин-
дуцированного излучения примите равным о = Аг/4; А = 5890 А.
Время жизни возбужденного состояния = 2-10~8 с.
9-11. В "черном" спектре излучения поверхности планеты
после прохождения излучением ее атмосферы появляются линии
поглощения, позволяющие идентифицировать состав атмосферы.
Одна из линий поглощения изображена на рис. 24. Известны
Рис.24.
следующие параметры:
- идентифицирован атом и пе-
реход;
- длина волны А и ширина
линии 6А;
- время жизни верхнего уров-
ня линии;
- Радиус планеты R и ее
масса М.
Считая атмосферу тонкой ( « R ), а уширение линии допле-
ровским, найдите среднюю температуру атмосферы и плотность
обнаруженных атомов в ней.
78
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ МОЛЕКУЛЫ
X. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ МОЛЕКУЛЫ.
1. Момент инерции двухатомной молекулы:
I = цК2 ,
М1М2
здесь р = д-|д- - приведенная масса; И,, М2 - массы атомов;
Но - равновесное расстояние между ядрами.
2. Момент количества движения молекулы, вращающейся с
частотой ш:
L = 1ш = h/ J(J+1),
где J - вращательное квантовое число, J = 0,1,2,... .
3. Вращательная энергия жесткой двухатомной молекулы:
*,2
Еу ~ <J(J+1) = B-J(J+1),
h2
где В = ~ вращательная постоянная.
4. Частота колег<ний гармонического осциллятора:
ш = / к/р ;
к - постоянная квазиупругой силы.
5. Энергия колебаний двухатомной молекулы в приближении
гармонического осциллятора :
Ev= v + ) ;
v - колебательное квантовое число, v = 0,1,2,3, ... .
6. Энергия нгармонических колебаний двухатомной моле-
кулы, описываемой потенциалом Морзе:
Ev= Вш- ( v + i ) - НиХ' ( v -<- £ )2,
где х = эд - постоянная ангармоничности; В - энергия
диссоциации молекулы.
ЭЛЕМЕНТУ ФИЗИКИ МОЛЕКУЛУ
79
7. Состояние электрона в двухатомной молекуле характе-
ризуется квантовыми числами
п, 1, т,, т ;
Is
п,1 - главное и орбитальное квантовые числа электрона в
исходных атомах; и m - проекции орбитального и спиново-
го моментов электрона на межъядерную ось;
т,= 0, ±1, ±2,...; m = ±1/2 .
1 S
8. Квантовые числа,'характеризующие состояние электрон-
ной оболочки молекулы :
Л = IE mJ -
9. Состояния электронов в оболочке и оболочки в целом
обозначаются в соответствии со схемой
проекция момента - А = |mj = С, 1, 2, 3,
состояние электрона- О, я, о. Ф
проекция момента - А = 0, 1, 2, 3
состояние оболочки - Е. п, А, ф,
Ю. Терм электронной оболочки молекулы принято записы-
вать в виде
2S+1a
( 2S+1 - мультиплетность, S - полный спин ).
Например: *£, 3П, гА, ... и т.п.
Основной терм двухатомной молекулы, за редкими исключениями,
терм
11. Правили отбора для электрических дипольных излуча-
тельных переходов: •
АЛ = 0, ±1; AS = 0.
80
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ МОЛЕКУЛЫ
10-1. Оцените энергии уровней гармонического осцилля-
торе, используя принцип соответствия Бора - равенство часто-
ты излучения при переходе между высокими соседними уровнями-
и классической частоты движения.
10-2. Используя принцип соответствия Бора, оцените
анергии уровней плоского жесткого ротатора!.
10-3. Используя принцип соответствия Бора, найти энер-
гии уровней ангармонического осциллятора. Считать, что клас-
сическая частота колебаний такого осциллятора зависит от
энергии следующим образом: ш(Е) = wo[1-(E/D)2], где В -
энергия диссоциации. Потенциал такого осциллятора качествен-
но изображен на рис.25 (см. также задачу 10-1. ).
Рис.25. Типичный вид потенциала ангармонического
осциллятора и модельный вад зависимости
классической частоты колебаний от энер-
гии осциллятора
10-4. Волновую функцию молекулы - молекулярную орби-
таль (МО) можно представить в ваде линейной комбинации атом-
ных орбиталей (ЛКАО), принадлежащих различным атомам. Ис-
пользуя водородные волновые функции фа(1з) и <1^(1 s) ( а и
b - ядра атомов молекулы), составить возможные линейные ком-
бинации для МО молекулярного иона Н*. Изобразить графики
волновых функций вдоль оси, соединяющей ядра. Начало коорди-
нат - в середине межъядерной оси.
ЭЛЕМЕНТУ ФИЗИКИ МОЛЕКУЛУ'
81
10-5. Одно из ядер (массовое число “10) двухатомной
молекулы поглощает 7-квант с анергией Е “ 1 МэВ. Энергия
диссоциации молекулы D “ 1 эВ. Может ли молекула диссоции-
ровать после поглощения ядром 7-кванта ?
10-6. Используя соотношение неопределенностей для мо-
мента импульса и угла поворота, оцените энергию жесткого
плоского квантового ротатора с моментом инерции, равным I.
10-7. Исходя из правила квантования Бора-Зоммерфельда,
оценить уровни энергии жесткого плоского ротатора. Найти
разность энергий двух соседних уровней 6EJ+1 j-
10-8. Используя соотношение неопределенностей и теоре-
му вириала, покажите, что соотношение электронной, колеба-
тельной и вращательной энергий двухатомной молекулы опреде-
ляется пропорцией
®э ’ Екол ' ^р “ 1 • / К ‘ И ‘
где ш - масса электрона, М - приведенная масса ядер. Счи-
тать, что если амплитуда колебаний ядер достигает величины
порядка размеров молекулы, последняя диссоциирует. Энергию
диссоциации считать равной электронной энергии.
10-9. Определить межъядерное расстояние в молекуле
НВг, если волновые числа линий ее вращательного спектра раз-
делены интервалом йг> = 17 см-1 (см. задачу 10-7 ).
10-10. Определить амплитуду колебаний ядер в молекуле
водорода в основном колебательном состоянии; колебательная
частота равна ш = 8,29-1014 с-1. Сравните амплитуду с равно-
весным межъядерным расстоянием R = 0,74 А(см. задачу 10-8).
10-11. Экспериментально установлено, что длина связи
R в молекуле С02 равна 1,16-10-8 см. Найдите вращатель-
ную постоянную молекулы С0г и уровни вращательной энергии.
10-12. Определить энергию диссоциации молекулы водоро-
да, находящейся в основном состоянии, если частота ее коле-
баний равна ш = 8,29-1014 с э постоянная ангармоничности
X - 0,0285.
82
ЭЛЕМЕНТУ ФИЗИКЕ МОЛЕКУЛУ
10-13. Найдите отношение колебательных частот молекул
водорода Hg, дейтерия D2 и трития Т2 ( изотопический
сдвиг).
10-14. Отношение колебательных частот молекул и Н2
равно 0,707 (см. задачу 10-13 ), а для молекул DC135 и
НС135 оно равно 0,717 , т.е. близко к отношению колебатель-
ных частот молекул дейтерия и водорода. Объясните причину
этого явления.
10-15- Энергия диссоциации молекулы водорода равна I) =
= 4,46 эВ, а молекулы дейтерия = 4,54 эВ. Найти энергию
нулевых колебаний молекулы Hg. Равновесные расстояния мевду
ядрами этих молекул одинаковы.
10-16. Двухатомная молекула состоит из этомов с массами
М1 и М?. Определить изотопический сдвиг в колебательном
спектре этой молекулы, возникающий при изменении массы ядра
М1 на величину ЛМ4 ( &М1 <.<. М1).
10-17.. Оценить влияние изотопического эффекта на враща-
тельные уровни двухатомной молекулы.
10-18. Дня двухатомной молекулы известна частота шо
нулевых колебаний и постоянная ангармоничности х. Опреде-
лить частоту перехода v = 1 -> v = 0.
10-19. Определить отношение населенностей N1±/Kol пер-
вых двух уровней для колебатель.шх и вращательных состояний
молекулы водорода при температуре Т = 103 К. Вращательная
постоянная В е 0,75 10-гэВ, колебательный квант hw s0,52 эВ.
10-20. Какие электронные конфигурации и молекулярные
термы возникают при образовании молекулярного иона водорода
Н* из: а) H(1s) + Н+ ; б) Н(2р) + Н+ ?
10-21. Какие электронные конфигурации и молекулярные
термы возникают при образовании молекулы водорода: а) из
двух атомов в Is -состояниях; б) из атомов в 1s и 2р -со-
стояниях?
10-22. С помощью принципы Паули найти число электронов
в зеп,.ми енных о - , и • и G -подоболочках молекулы.
10-23. Определить термы гомоядерной молекулы, соот-
ЭЛЕМЕНТУ ФИЗИКИ МОЛЕКУЛУ
S3
ветствующие двухэлектронной конфигурации: а) неэквивален-
тных; б) эквивалентных % -электронов.
10-24. Оценить температуры молекулярного водорода, при
которых населенности вращательных и колебательных уровней
малы ( уровни "заморожены"). Равновесное межьядерное рассто-
яние R = 0,74 А , а частота колебаний равна
^^8,29-Ю14 с"'-
10-25. Определите частоту колебаний молекулы бромистого
водорода, если длины волн фиолетового (антистоксова) и крас-
ного (стоксова) спутников комбинационного рассеяния равны
X = 3385 А и X = 4095 А.
а с
10-26. Определите частоту колебаний молекулы кислорода,
если при температуре Т = 400 К отношение интенсивностей фи-
олетового и красного спутников в спектре комбинационного
рассеяния равно т) = 0,004.
10-27. Определите длины волн фиолетового( Х&) и красно-
го ( Хс ) спутников в колебательном спектре комбинационного
рассеяния молекул кислорода, возбуждаемого квантами света
с длиной волны X = 3650 А. Частота собственных колебаний
молекулы кислорода шкод = 2,97-1014 с-1.
10-28. Определите волновые числа двух первых линий ко-
лебательно-вращательного перехода vf= 0 —» v?= 1 молекулы
HJ, если межьядерное расстояние молекулы R 7 '• ,609 А, э ее
собственная частота колебаний v - 2308 см-1.
10-29. Определите момент инерции I и межьядерное рас-
стояние R молекулы 1Н35С1 , если разность волновых чисел
двух первых линий вращательного спектра составляет
Лг = 20,9 см"1.
10-30. Энергия диссоциации и энергия нулевых колебаний
молекулы Н„ равны D„ = 4,46 эВ и Е = 0,26 эВ соответствен-
но. Определите энергию диссоциации Dd молекулы дейтерия Г2«
10-31. Почему молекулы щелочно-галоидных соединений
диамагнитны ?
84 ЭЛЕМЕНТЕ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
XI. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА.
1. Волновая функция электрона в одномерном периодическом
потенциале
фк(х) = Uk(x)-elkx, (1)
где Uk(x) - периодическая функция с периодом потенциала,
к - волновое число. Энергетический спектр электронов в крис-
талле представляет собой чередование "разрешенных" и "зап-
рещенных" зон. Нижняя, не полностью заполненная зона, на-
зывается зоной проводимости.
Вблизи "дна” зоны проводимости связь энергии Е и
волнового числа к представима в виде:
Е (к) * Е + 1 & к2. (2)
к ° Z бк2
Из (?) следует, что вблизи дна зоны проводимости электрон
движется как свободный, но с эффективной массой:
2. Статистика Ферми-Дирака для идеального электронного газа
п(Е) = -----. (4)
езг( ТЯГ ] + 1
где п(Е) - населенность состояния с энергией Е, Ер- энергия
Ферми
о
V ,
Ne - концентрация электронов. При Т = О все состояния с
энергией Е < Ер - заняты ( п(Е) = 1 ), а с энергией -
Е • Ер - свободны ( п(Е) = О ).
Средняя энергия идеального электронного газа при Т = 0:
<Е> = 3 Ер. (5)
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕДА
85
3. Подвижность и проводимость электронного газа.
v^= ц Е
ДР
- скорость дрейфа в электрическом поле Е
- подвижность.
м =
е ш*
<t - среднее время между столкновениями электрона.
Проводимость
о = eNjie ,
N - концентрация электронов.
В полупр™эг,д1щиЯК э где электрический ток обусловлен
движением электронов и "дырок", проводимость определяется
выражением:
о = е Njxe + е Nppp ,
где Np, цр - концентрация и подвижность дырок.
------ * ------ -
11-1. Воспользовавшись соотношением неопределенностей,
оцените среднюю энергию электронов в вырожденном электрон-
ном газе с плотностью Ne - Ю23 см-3. Взаимодействием элек-
тронов пренебречь.
11-2. Оценить величину давления идеального вырожден-
ного электронного газа с плотностью Ne - 1023 см-3.
11-3. Считая атом шаром, в котором давление вырожден-
ного электронного газа уравновешивается кулоновским притяже-
нием к ядру, оценить зависимость размера атома R от заряда
ядра Z (статистическая модель атома Томаса-Ферми). Взаимо-
действием электронов пренебречь.
11-4. Определить зависимость концентрации носителей за-
рядов в собственных полупроводниках от температуры. Доказать,
что произведение концентраций электронов и дырок для дан-
ного проводника при данной температуре является постоянной
величиной.
86
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
11-5. Определить ширину АЕ запрещенной зоны полу-
проводника с собственной электропроводностью, если при наг-
ревании его от Т|= 273 К до Тг= 500 К проводимость
увеличивается в 3,2 разя,
11-6. Найти красную границу поглощения света пластинкой
германйя, если ширина его запрещенной энергетической зоны
равна Eg= 0,66 эВ.
11-7. Какой ширины должны быть запрещенные зоны полу-
проводников, чтобы из них можно было изготовить свето-
диоды, излучающие красный свет ( X •-* 6000 А ) и зеленый свет
( X « 5000 А ) 7
11-3-. ЗГглерод встречается в двух кристаллических моди-
фикациях: прозрачный для видимого света - алмаз и непрозрач-
ный - графит. Объясните эти оптические свойства кристалли-
ческих структур углерода.
11-9. Считая кусок металла прямоугольной потенциаль-
ной ямой для электронов, оценить ее глубину для.серебра, ра-
бота выхода из которого А = 3,7 эВ. Плотность серебра
р = 10,5 г/см3. При этом допустить, что каждый атом серебра
отдает в зону проводимости по одному электрону.
11-10. К полупроводнику приложены взаимно перпенди-
кулярные постоянное магнитное поле Н (Н = 103 Э) и вы-
высокочастотное электрическое поле Е = sin wt. При
(я = 8,79-10*° с~’ наблюдается резонансное поглощение ве-
ществом энергии электрического поля (циклотронный резо-
нанс). Какова эффективная масса т* носителей тока в полу-
проводнике?
11-11. В полупроводнике электрон и дырка могут объеди-
няться в экситон - электрически нейтральное образование,
аналогичное этому водорода (экситон Ванье-Мотта). Опреде-
лить радиус первой воровской орбиты и энергию связи экси-
тона в кремнии ( диэлектрическая проницаемость е = 12 ).
Эффективные массы электрона и дырки у кремния одинаковы
щ* = 0,25 ш .
е
ЭЛЕМЕНТУ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
87
11-12. Оценит» энергию ионизации донорного атоме в по-
лупроводнике, у которого диэлектрическая постоянная е = 10,
эффективная масса электрона го* = 0,3 п>е (см. задачу 11-11).
11-13. Оценить величину энергии Ферми для валентных
электронов натрия. Эффективная масса m* = 1,2 ше, плот-
ность' р = 0,971 г/см3.
11-14. Предложите эксперимент, при помощи которого
можно определить к какому типу ( п- или p-типу) относится
полуповодник.
11-15.* Подвижности электронов и дырок в германии при
комнатной температуре равны ре= 0,38 мг/Вс и цр= 0,18 мг/Бс
соответственно. Вычислить их скорости дрейфа в поле нап-
ряженностью Е = 103 В/м.
11-16.* Удельное сопротивление германия при Т = 300 К
составляет р = 0,47 0м-м. Полагая, что подвижности электро-
нов р^= 0,38 м?/Вс и дырок рг= 0,18 м?/Вс, вычислить
плотность носителей.
11-17.* Сколько электродов и дырок образуется в крис-
талле при поглощении им световой энергии Е = 1ГГ4 Дж на
длине, волны К = 2000 А ?
11-18.* Электропроводность меди о = 6-107 0м~’м“*, а
ее плотность р = 8,93 г/см3. Определить среднее время сво-
бодного пробега т электрона, допуская, что каждый атом
меди отдает в зону проводимости по одному электрону.
11-19.* Чему равна подвижность р. электронов натрия,
если электропроводность его о = 2,3-107 0м-1м-1, а кон-
центрация носителей N = 2,5-10гг см3.
11-20. Оценить концентрацию, начиная с которой при за-
данной температуре электронного газа становятся сущест-
венными квантовомеханические эффекты (вырождение).
11-21. Оценить концентрацию, выше которой электронный
вырожденный газ*идеален.
11-22. Найти координаты ( в плоскости N - Т ) точки-
пересечения кривых, разделяющих области идеальности и не-
идеальности невырожденного и вырожденного электронного га-
за (см. задачи 11-20, 11-21).
Ь задачах, отмеченных звездочкой » применяется система СИ.
88
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ
XII. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ.
1. Плазменная (ленгмюровская) частота:
г 4 тс N ег 11 /г
шъ= I —m------J
где N, е, ш - концентрация, заряд и масса частиц соответ-
ственно (электронная, ионная плазменные частоты).
2. Дебаевский радиус :
г = f кт 1,/г
D I 4 u N ег J
где Т - температура плазмы.
3. Циклотронная частота
Q = еН
ш с •
где Н - напряженность магнитного поля, тп - масса частиц
(электронов, ионов).
4. Радиус кривизны траектории частицы в магнитном поле
(ларморовский радиус) :
m Vx с
Р = ~е~Н--- •
где Vx - перпендикулярная направлению поля компонента скорос-
ти частицы.
5. Поперечный адиабатический инвариант, (магнитный момент):
mVf
Ц = = const .
6. Скорость дрейфа частицы в магнитном поле :
v с IFH1
ДР е Н? ’
где F - действующая на частицу сторонняя сила
7. Сечение кулоновских соударений :
°кул“ те4/(КГ)г.
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ПЛАВНИ
89
8. Проводимость :
„ п е_
° = -пГ т •
где *г - время между соударениями.
9. Подвижность :
и = V -
и и
10. Коэффициент диффузии :
D » ( Ах )г/т_,
где Ах - характерное смещение за время между соударениями т.
-------- * -------
12-1. Оценить скорость переноса (дрейфа) электронов
вдоль поля в газе и их среднюю (хаотическую) скорость при
следующих предположениях:
а) электрон теряет энергию только при упругих столкновениях
с атомами;
б) рассеяние изотропно, т. е. среднее по многим столкновени-
ям значение компоненты скорости вдоль поля после акта рас-
сеяния равно нулю. Пренебрегея движением атомов, рассмотреть
два случая,когда:
1) длина свободного пробега не зависит от скорости;
2) время свободного пробега не зависит от скорости.
Сравните скорость дрейфа и среднюю скорость в обоих слуаях.
12-2. Для условий задачи 12-1 оценить электронную про-
водимость о в плазме с концентрацией заряженных частиц Ке-
Ионы, считать неподвижными.
12-3. В положительном столбе несамостоятельного ста-
ционарного тлеющего разряда концентрация электронов
ке= Ю10 см~3. Определить среднюю скорость образования элек-
тронов в единице объема (удельную скорость ионизации), если
вреднее время диффузии электрона на стенку камеры равно
т- * Ю“5 с. Объемной рекомбинацией пренебречь.
90
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ
12-4. Оценить величину сечения рассеяния частиц в
плазме при кулоновском взаимодействии. Температуру плазмы
принять равной 1 эВ.
12-5. Найти эффективное сечение попадания заряженной
частицы внутрь сферы радиуса R вокруг точечного заряда.
Заряд считать бесконечно тяжелым (сравните с задачей 1-6).
12-6. Оценить степень ионизации плазмы N./N ( N., N -
la 1а
концентрации ионов и нейтральных атомов), при которой про-
водимость обусловлена столкновениями заряженных частиц
(кулоновская проводимость). Сечение столкновений электронов
с нейтральными атомами принять равным о « яаг, где ар -
- боронений радиус, v = v&, здесь v±, v - частоты
столкновений электронов с ионами и атомами. Рассмотреть
случай Т = 1 эВ.
12-7. Найти зависимость проводимости кулоновской плазмы
от температуры Т и концентрации N.
12-а. Полагая, что в плазме характерными параметрами
являются заряд е, масса ш, концентрация п, оценить, исхо-
дя из анализа размерностей,плазменную частоту ш_.
12-9. Найти глубину проникновения слабого электричес-
кого поля плоского электрода в изотермическую плазму ( де-
баевская длина экранирования). Ионы считать однозарядными.
12-10. Найти потенциал точечного заряда q в изотер-
мической плазме. Ионы считать однозарядными.
12-11. Найти связь между дебаевским радиусом I и
ленгмюровской частотой шь.
12-12. Оценить величину концентрации Ne изотермичес-
кой плазмы ( Т ~ 1 эВ ), начиная с которой плазма ста-
новится существенно неидеальной.
12-13. Оценить напряженность магнитного п >лл, которое
способно удержать водородную изотермическую плазму с кон-
центрацией Kfe= 1016 см-3 и температурой Т “ 10 кэВ.
12-14. Зная, что магнитный момент р заряженной час-
стицы является адиабатическим инвариантом, показать, что при
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ
91
медленном изменении внешнего магнитного поля магнитный по-
ток Ф через ларморовскую окружность также является адиаба-
тическим инвариантом.
12-15. Протон первоначально вращается в однородном
магнитной поле напряженностью Н = 103 Э по окружности,
радиус которой равен г(= 5 см. Затем напряженность маг-
нитного поля медленно увеличивается. Определить величину
энергии протона и радиус кривизны его траектории гг к
тому моменту времени, когда напряженность магнитного паля
достигнет величины Hg= 5- 1Г)3 Э.
12-16. Определить зависимость ларморовского радиуса от
напряженности магнитного поля, медленно изменяющегося во
времени или пространстве ( например, в адиабатической
ловушке).
12-17. В аксиально-симметричном магнитном поле с гради-
ентом cffl/dz = 50 Э/см в момент времени t = 0 электрон
движется под углом ао= 30° к оси. Напряженность поля в
этой точке равна Н = 500 Э. На каком расстоянии от началь-
ной точки частица отразится?
12-18. В пространстве существуют однородные стацио-
нарные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное
поля. В момент времени t = 0 электрон движется со скоро-
тью v = - . Как будет двигаться электрон в последующие
моменты времени?
12-19. К пластинам плоского конденсатора, расстояние
между которыми d = 5 см, приложена разность потенциалов
и = ЗОЛ В. Определить минимальную величину магнитного поля Н
параллельного, пластинам, при которой электроны, первона-
чально покоившиеся у отрицательно заряженной пластины, не
достигают положительно заряженной. Какой кривой описывается
траектория электронов? Найти среднюю скорость электронов.
92
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ
12-20. Найти скорость градиентного дрейфа vVH час-
тицы с массой ш и заря-
дом е в поле, изображен-
ном на рис. 2ь. ( Считать
1Г1+ гр1
г = VHl«
градиент ДН “ ( Нр- Н1)/г.
12-21. Найти скорость центробежного дрейфа.
12-22. Найти скорость дрейфа электронов и ионов в маг-
нитном поле прямого тока J.
12-23. Оценить время "кругосветного путешествия" иона
0+ вокруг Земли по экватору, учитывая лишь гравитационный
дрейф. Принять напряженность магнитного поля Земли равной
Н о< 0,5 Э и v = 0 при t = 0.
12-24. Оценить время заполнения однозарядными частицами
с энергией W “ 1 МэВ искусственного радиационного пояса
Земли после взрыва (операция "Морская звезда’’, 1962 г.) на
высоте Дй = 500 км над экватором ( Н = 0,5 Э ).
12-25. Оценить отношение коэффициентов диффузии вдоль
( D| ) и поперек ( Dx ) магнитного поля.
Указание: учесть, что если ларморовский радиус р мно-
го меньше длины свободного пробега X, то частица после
столкновения перемещается поперек магнитного поля в среднем
на расстояние порядка р.
12-26. Найти связь между коэффициентом диффузии D и
подвижностью ц (соотношение Эйнштейна).
12-27. Найти связь между готовым ректором г часто-
той плоской монохроматической электромагнитной волне? в бес-
столкновительной плазме.
12-28. Определить коэффициент отражения плоской элект-
ромагнитной волны с частотой w при ее нормальном падении
из вакуума на бесстолкновительнуто плазму.
ЭЛЕМЕНТУ ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ
93
12-29. Найти плотность плазмы Ne, ниже которой она
прозрачна для излучения неодимового лазера ( A^d= 1,06 мкм)
и С0?-лазера ( Ас0 = 10,6 мкм).
12-30. Определить плотность электронов в ионосфере,
если известно, что короткие радиоволны ( К > 10 м) отража-
ются от нее, а радиоволны метрового диапазона ( А. < 10 м)
проходят сквозь нее.
12-31. Водородная плазма' сжимается при термоядерной
температуре Т 10 кэВ. Определить - критическую плотность
плазмы, при которой начинают проявляться квантовомеханичес-
кие эффекты.
Указание: воспользоваться принципом неопределенности Гей-
зенберга .
12-32. Найти число частиц N в дебаевской сфере (сфера
радиуса lD) для "термоядерной" плазмы ( ТП: N =- ю’4 см-3,
Т = 104 эВ), низкотемпературной плазмы ( НП: N = 1011 см*3.
Т = 1 эВ) и плазмы солнечного ветра ( СВ: N = Ю см-3.
Т = 10 эВ).
12-33. Оценить длину свободного пробега по отношению к
кулоновским столкновениям I д для "термоядерной” плазмы
(ТП), низкотемпературной плазмы (НТ) и плазмы солнечного
ветра (СВ) ( см. задачу 12-32).
12-34. Оценить величину ларморовских радиусов электро-
нов и ионов (протонов), а также соответствующие циклотронные
частоты в "термоядерной" плазме (ТП:Т « 104 эВ, Н =< ;>-1С4Э),
низкотемпературной плазме (НП: Т <* 1 эВ, Я 103 Э) и плаз-
ме солнечного ветра (СВ: Т « 10 эВ, Н «» 10*4 Э).
96
РЕШЕНИЯ 1-1
1-5
97
eEt
1-1. а = arc sin -—— « 48 ;
/8mW
/ e2®2!2 /? W
AB = v t /l------------« 2 см, где v = / — .
° 8 m W ° m
1-2. ₽ = arc cos /U/Uo » 45°, где Uq = W/2e.
1-3. При изотропном распределении по углам ток элект-
ронов, вылетающих из катода под углом © в телесном угле
dfl = 2x sin © d© равен
J(B) = A-dC;
постоянная А определяется из условия нормировки
z/г
J = J <!(©) (Ю = 2z А.
о
Предельный угол влета электронов, еще попадающих на анод,
определяется условием ( см. задачу 1-2 )
eU = W cos2 © _ , ;
U - тормозящий потенциал.
Таким образом, ток на анод есть:
етах л—
J(U) = J J(6) d0 = 4 (1 - cos emax) = ^(1-/^ >•
о
1-4. о = £ = = 4,4.10 2 см/В.
и 2U_ d
О
1-5.
» . /а.<1, . «1/ Г /7 ,3 /7 1 . вд.ю-Яо
/ eU L 2 J
РЕШЕНИЯ 1-6
1-9
1-6. Из закона сохранения энергии
р2 W р2 eUR
~к + —г - — = W ,
2m г г
где рг - радиальный импульс, при рг = О, когда г = rm1n,
получим :
W р2 eUR
~г---------= W .
Г г
min mln
Отсюда
г
mln
eUR /, eUR .г '
-----+ / I ---- I + p 2 “ 0,23 см < R = 0,3 cm;
2 W V L 2 W J
т.е. электрон будет захвачен шариком.
1-7. у = |g х2. Ионы будут двигаться по одной и той же
траектории - параболе ( в данном случае траектория не зави-
сит от удельного заряда иона ), но с различными скоростями
Г 2eU ? 11/2
v = [ ~ г ] • Таким образом, в данную точку тра-
ектории они попадут в различное время. Следовательно, в та-
ком гтото таг моящп разделить не в пространстве, а во времени.
1-В.
/— [ — - А ) » 5.5-I0-2 см,
У eU 1 X J
постоянная Планка.
а =
4 г
h -
где
4V U
d2U
dz2
эмиттер
Анод
Рис.27
д/и J
z -а>
РЕШЕНИЯ 1-9
1-12
99
так как интеграл определяется
областью вблизи отверстия диаф-
рагмы, где # О , то пре-
dz
небрегяя изменениями энергии в
области отверстия, полагаем,
что U = иг. Таким образом,
рис.
28);Е1= -
V и1
—. Отсюда f = - 41 = -8 см, линза
рассеивающая.
1
1-10. Так как - =-------—- (см. задачу 1-9 ) и
j 4U,
U -Ut 2U 1
Е-Е_= —------- , то f = —!— . Поэтому :
1 г г VU1
а) при UjC Пг - собирающая линза;
б) при U2 - рассеивающая линза.
1-11. Так как f = (см. задачу 1-9) и Е = -5—-
ЕгЛ
Е =0 (т.к. U =U )
Г- /Д а
« 67 Б (_Г=1г).
д
1-12.
—1— = и —-
«г/ с
IOG
РЕШЕНИЯ 1-12
1-14
•3!.П Л О,, /и
--------- « — = / — = к ;
sin fl flf / JJ2
ф = fl( - fl = fljd-к) , ( см. Рис.29 );
R»fl R
f = .СБ = АС/ф = -------5— = -----« 13,3 см.
fljCI-к) 1-к
Рис. 30.
Если, как в условии задачи,'Потенциалы областей объекта и
изображения не одинаковы, то линза имеет два неодинаковых
фокусных расстояния:
+00
1
/ъ
1 =1
4 4/и
а
d2U~
dz
dz2
+00
г л
J
а2и
—2 dz.
и -
А
1
ь
П 4 ^4 4 1
Отсюда ~ ; — = —
4 /и. ь
Е>
Ь-1.
(см.рис.50, т.а. f = ------ ,
а а 4 b .
4 ь‘г1 ь*г1
— =-----1. Таким образом, ---!-
4 а-г2 *’4
(тек как U = 500 В, 8 U. = 1
» а ь
. 10 4 = V4
а а Ь
а-1
/. =-----— . Следовательно,
ь а + Ь
. Л. . ь _ 1_г
’ ° >, Z “ь 3
а + 4«Ю3 В = 4,5‘Ю3 В).
+00
1-14. 1. Поскольку - =------Г ЕГ; dz и тай как
f 8mcгП 4, г
РЕШЕНИЯ 1-14
1- 20
IOI
+00
J dz = (
2ic JR2-0,1 )г
O7L
8R5
то
1
е
8тсгП
0,03 7L3J2
-------- . Отсюда
2R
J =
16шсгПи
0,аЗтЕ3е/
« 99 А.
Так
как
-НЮ
Г Я =
т<-.
е
R = ----
Smcv
г
Г Я а-
J Z
Z
1-15
1-16
1-17
1-18
1-19
1-20
е
8тсгП
1/г
+00
f И dz
J z
W = 76 ГэВ
Прямая линия;
а)
W
е
б)
W
V
с
v = 0,01-с
0,1%eJ
------ = 0,3
с/ PifiS
рад.
Т = 0,13-с
еЕ
пГ
t;
= 0.
Z
= 3-I08
см/с
= 25,6 эВ ;
v = 0,9>с =
= С,66 МэВ;
1 = vrT = lr
Я = 47 кэВ
р
2,7«ТО10 см/с;
W = 1,2
р
'эВ.
-/2M W -cos
p
Vj - составляющая скорости
ш = (eH)/(М^с) = 2я/Т - циклотронная частота.
а =* 45,4 см .
вдоль ноля;
R
W = m сг
5,5 МэВ;
2.3-104 см; Т =
с
4,9-10 6 C.
10,8-ш сг
р
; -.гч 1/г
102
РЕШЕНИЯ 1-21
1-24
1 -21. W = m с2
О
r е Н Т
2ic m с
о
1
.» 0,49 МэВ;
В
moc ff е Н Т
ен ,\|2я тос
г ч1/г
-11 «< 2,9 с.
1-22. В
В
Б = ёН
нерелятивистском случае:
2i m с
<Т> — О
ёТГ
релятивистском случае:
2m с2
_ 1 + Нг~
где W - кинетическая, энергия;
Если W » m с2, то В = -
в = J
1/2
от массы покоя частицы.
т __ 2тс W
ёсП-
2 .
тос^ - энергия покоя.
W 2зс W
= gH Т = ggjp , т.е. не зависит
1-23. Электроны соберутся на оси в точке, отстоящей от
источника на расстоянии, кратном шагам обеих винтовых линий
( траекторий электронов ) Ь = = пгЬ2; гц, п2 - целые
числа.
п, = = cos е?-т = 5 ДГ Л. _ тс _
лг ni v cos 0 -Т ° ’ ° И ’ ЙТ ’
о 1
L(= 4,8 см; Ьг= 3 см; L = L(nt = 1>2п2= 24 см.
1-24. я) При начальных условиях задачи , >;(7.}=Г,
еК еЕ
получим: ,z(t) = —§ ( cos wt - 1), v Yt); = - —£ sin wt,
- №» z nw
частица будет колебаться около точки А ( см. рис.8 в усло-
вии задачи ). ’
’ б) Учтем, что переменное электрическое поле Ez= Eq cos wt
индуцирует вихревое магнитное поле Н^:
НФ = Ь И и ~ 2U Eo31n “t’
которое приводит к появлению силы Лоренца, направленной к
оси системы и равной
РЕШЕНИЯ 1-24
1-27
103
F = - § VH ------2- г sin2 wt.
c 2Й1С2
Средняя по времени сила <F> равна
. т e2E 2 e2E 2
<F> = - 1 Г ---5 г sin2wt dt =-----g r.
г o 2mc2 4jnc2
Благодаря этой силе, пропорциональной смещению г, заряд при-
тягивается к оси системы и, .кроме колебаний в направлении
электрического поля, совершает еще радиальные гармонические
колебания с частотой w = еЕ /2шс.
о о-
1-25. С учетом начальных условий скорость -электрона
еЕ f 1
есть : vx(t) ~ п£Г 1 cos ( u)t + ф ) - cos ф } .
Средняя за большое время скорость определится вторым чле-
еЕ
ном <v > = <х> = - cos Ф
X ШШ т
и зависит от начальной фазы ф. В случае ф = О она макси-
мальна и равна <vx> = 5,3-103см/с.
1-26. v = = 3,3-109 см/с .
?е^2ес!Е = 5<3.1017е5дзарядаСГСЭ_ удельный 38 д
m 1Н2
электрона.
1-27. Исходя из условий задачи Е^= Ez= О, Еу= Е; Пу= Я,
П = Н = С; при t = О v=.v,v=v=O определим траекто-
рии :
1 р Т г*
а)в электрическом поле: у = n - I ,
о
1 р Ир
б) в магнитном ноле: z = А I
tL HIV V
О
( при условии, что I « Е, R - радиус кривизны траектории в
магнитном поле ).
104
РЕШЕНИЯ 1-27 ------ 1-29
Определим кривую, описывающую след ионов на экране. Для
этого из уравнений а) и б) исключим скорость:
2г = е Н2!2
" m 2сгЕ У'
Отсюда следует, что ионы с одинаковым удельным зарядом, по-
падающие в различные точки параболы, отличаются скоростью
влета.
1-28. При условиях задачи R * В = tr/2MW R _
- циклотронный радиус ) возможны два значения разности но--
тенциалов
и = fl -5-1 In « Ц р ± 5- 1 £5 = 150 В или 250 в.
fl (XI fl Л I tt
V О J I V O'
В обоих, случаях электрическое поле направлено к центру кри-
визны траектории. При изменении полярности ионы попадут на
внешнюю стенку конденсатора.
1-29. По условию Н = Н, Н = Н = 0; Е = Е, Е = Е = 0.
z г ф ’ г z ф
Поэтому уравнения движения электрона ( с учетом знака заря-
да ) будут:
пЁ = 0 , ( 1 )
га ( г + г.ф2 ) = - еЕ - | уфН , ( 2 )
® ОТ ( г? Ф ) = ! VeH • (3 )
Из (1) и начального условия z(G)= 0 следует, что a(t)= 0,
т.е. движения вдоль оси 0Z нет. Из (3) следует, что
( Г2Ф ) = ^ГГ = Ш^ I ^г2),
где (я = еН/mc. Отсюда d ( г2 ф ) = ш б ( 0,5 г2).
С учетом начального условия ф = 0, получаем:
Ф г
d( г2 ф ) = J w d ( £ г2) .
РЕШЕНИЯ 1-29
1-31
105
Отсюда получим ф = ~ ( 1 —£
г
У поверхности анода фа= ( 1
) , где гк- радиус катода.
4
R2
Анодного тока не будет, если
поверхности анода радиальная
составляющая скорости
частицы vr будет равна
нулю и скорость частицы
V = V Va.
Поскольку V =
/---- г2
1 / 2еП ц) к х
Фа= R / -пГ = 7 >•
а п
а
> ёНгТ1г с г2 Л г
a I .j _ к |
8шс2____________< R2 J
а
Траектории электронов при разных потенциалах
анода изобра-
жены на Рис.31. При U > Ufc электроны будут достигать анода,
но их траектория будет искривляться полем Н ( кривая 1 ).
При U = U электроны у анода будут двигаться по касатель-
ной к его поверхности ( кривая 2 ). При U < U электроны
будут возвращаться на катод ( кривая 3 ).
Рис.32.
т _ „ m _ С-Е ?ЛМС
ъ - W “ "Я -ётг
Г*ТГ:и Mi;-i
Е = « 1 ,9'103 Б/см,
РлМсг
где М - массы иона. Траекто-
рия - циклоида (см. рис.32).
2Нг с t г еН2
1-31. t = - б-10 5с, п = -« 2,7'Ю2.
° С Ьо 1 Ю? Мс2
О
Здесь М - масса иона.
106
РЕ1ВЕНИЯ 1-31 1-35
Для пути имеем приближенно:
го го % сЕ и сЕ ш _
L = Г v dt = Г wr dt = Г —— t dt = —— t2
„ J J 2H °
ег2Н2
= °
' МсгЕ
« 8,6-Ю2 см.
1-32. Сила, действующая co стороны протонного пучка на
мишень равна F = (nAp)/At, где п - число протонов, пада-
ющих на мишень за время, At; Ар = р -р, - изменение-импуль-
са протонов при прохождении мишени. Сила тока протонов на
мишени J = (ne)/At. Отсюда F = (JAp)/e. Импульсы ро и pt
определяются соотношениями:
- W^WM^c2 . (W/2)2+WMopc2
Ро сг ’Pi сг
где Мор - масса покоя протона.
Отсюда „ . _
та сг 2М сс ->1/г 1 г 4И с >1/г->
р = 1 + 1 - 1 ( 1 + ---ЯР- 1 ) =-2-10-7Кг.
е*- 1А W » ‘ I W J J
1 TW
В ультрарелятивистском пределе: F -* j ~ .
гг -Р
1-33. U = йн ( И _ -ЗИ ) = 4,7-10® В.
е.в oCt ор
t-34. * . {[1 - f - 1
J = 1,45-10® ЭВ.
1-35. Критическое отставание по фазе, равное тс/2, бу-
дучи релятивистским по природе, достигается уже при нереля-
тивистских энергиях, ибо отставание по фазе (it/й), очень
мало по сравнению с полной, пройденной от начала ускорения
фазой 2то, п » 1 - число оборотов. Если отставание по фа-
зе превышает %/?. 1 частица будет попадать в тормозящее поле и
терять энергию. Из выражения для ’.циклотронной частоты
РЕШШЯ 1-35
1-38
п - еН
°" «7
еН f
ИГс I
р 4
2W ГУ2
V2 J
находим разность фаз Оф = ( Ио- Q ) t,
определяищую уско-
рение частицы - увеличение ее энергии:
dW = eU соэ (( °о~ И Ш f = 21 .
dt ip
Представив скорость роста энергии в ваде 3? = Зф и ис~
• w
пользуя приближенное выражение <р « Oq- О * йо, получим
jy» eUM с
W дф = —— cos ф. Окончанию ускорения - максимально дос-
тижимой энергии соответствует разность фаз ф = п/2.
Решая уравнение, находим
f ZeUM с2 ч1/г
W = ----£— = 4,33 МэВ.
max It J
1 еН с‘ 2М W >1/2
1-36. / = н“с “ 14 МГц: В--------------ей------- “ 41
см.
Af. М сг - М с2
ДХ _ р__________ор
М с2
р
___W_____
М с2 + W
Of
0,24
1-38. В бетатроне Н = sin wt = sin Zitjt I при ма-
лых tH « Т имеем: Отсвда, учитывая соот-
mv е
ношения для 1^, р = mv = ( еНиг)/с., г = ,
= р~с2 + пгс4 = ( m^c2 + W и. W = е11и получим
w (( 2iue/t Н г + пгс4 ) - -г с2
ии = | = I-------------------------------->--------2— i.JO кВ.
4
ice
РЕЯЕНИЯ 1-38
1-43
Далее
( W + m с2)
еии + шос2
0.3.10"® с;
W - егН « 105 МэВ; Т = М,7-10"® с;
лаж о к С
1 Wr -Л
t = arc sin и 3-10 с.
1-39. При t « 2ic/w; 1^= Ehwt ( см. задачу 1-38 ). 0т-
/2tn U„ . Н ,
сада 1^= | / g * = 38 Э, = 3,4-10 5 с. Далее:
О
2итЕ = а| , где Н = 2Н ( условие Видерое ) ;
rufl гшН
Н = Н sin wt. Отсида Е = cos wt‘; Е = =0,22 В/см.
о с* гоак V
„ f f егн •. г -j
’-40- a) moc {/ I J + 1 - 1 } “ 2-3 «аВ;
О
0) Т = * 1.6-10-9 с;
К. V
в) поскольку в среднем v « с, то Ъ = с *< 125 км;
число оборотов n = h/(2хг) “ 2,7-105;
W
Г) W = « 8,8 эВ.
ср П
1-41. Полагая, что после ускорения в бетатроне скорость
с ' W
электронов v с, получим L = 5 км.
1-42. R = И/(еН »= 3,6-102 см.
1-43. a) W = еКН = 300 НН эВ = 300 МэВ.
max о о
. сеН сеН.
б) у ж 1 = -i- = —£— = —= 48 МГц;
Т 2яН 2я тс- 2%И
.ТАХ
РЕЯГЕНИЯ 1-43
2-4
109
в) из (б) следует: W (t) = A H(t), где А = ,
AW = eU = А ® At* АНТ = д§. Так как магнитное поле
пилообразное, то H(t) = Hoft, U = ГНО= ГНо <* 3S0 В.
*****
2-1. Согласно Эйнштейну энергия фотона - Ьш. Полагая,
что объем полости заполнен фотонным газом, определим среднюю
энергию фотонов
-В/кТ
/Ее dE
е dE
Следовательно, N фотонов обладают энергией И = = NkT
и занимают минимальный объем V = Ж3 = Nc3/w3. Отсюда ин-
тегральная плотность р,= И/V = аТ4, где а = k4/c3h3 ( за-
кон Стефана - Больцмана ). Точный рассчет приводит к следу-
ющему выражению для постоянной Стефана - Больцмана:
„ _ тс2 к4 _ „ г.г- эрг
15 c3f>3 см3к4
2-2. Воспользуемся соотношением pw|dw| = p^dX и |du>| =
—— . П.-.№ИМ о.
К"
|dw| _ eCh I
!'w 11’Л1 тсГ
» — — -
2-3. Согласно закону Стефана - Больцмана интегральная
лучеиспускательная способность S = оТ4. Опираясь на это,
получим, что Солнце за 1 с излучает энергию
W_= 4nJLoT? « 3,83-ТС33
w w <v С
2-4. Температуру холодной (темной) звезды находим из
закона смещения Бина \тх= °«2Э см тх= 10* к- Пуль-
сации мощности излучения - результат "захода" одной звезды
ПО РЕШЕНИЯ 2-4 ------ 2-8
за другую. Таким образом ( Тг/Тх)4=256; Тр= 4-Ю4 К.
2-5. Согласно закону Стефана-Больцмана интегральная
лучеиспускательная способность S = оТ4. Отсюда следует, что
энергия, теряемая в 1 с на излучение первой звездой равна:
®i=(raic^= оТ44щЯ2. Поэтому m,= oT44icR2/c2 . Аналогично для
. . , Р Ли
второй звезды m2= oT24t:R|/c~, где m = 3^.
Масса, теряемая двойной системой в 1 с на излучение, равна
m = rii, + rii2= = f R2T4 + R|T4 1 = 1.13-1018 г/с. Массу,
c 1 J M
равную массе Земли, система потеряет за время t = — =
m
= 5,31 -10ус = 168 лет.
2-6. Согласно закону Стефана-Больцмана интегральная
лучеиспускательная способность S = оТ4. Энергия, излучаемая
в 1 с звездой: W = oT44itR2 = 4,2-1037эрг/с = 4,2’-10зодж/с.
Отсюда W/WQ « Ю4, т.е. звезда Денеб в 1 с излучает больше
энергии, чем Солнце в « 10000 раз.
2-7. По определению среднего ( дискретные уровни
е = n to - поэтому-суммирование )
У ntoe-nhtl)ZkT
п=о____________ _ _ d г -nto|3 _ to______ . __1
? e-nto/kT ' ’ Jo ’ e^zkT -1 ’ ₽=и •
n=t>
При высоких температурах ( RT » to ): <е> « М.
2-8. Согласно формуле Планка интегральная плотность
анергии равновесного излучения равна
О о
РЕШЕНИЯ 2-8
2-9
III
а = = 7,57-10-15 . Излучательная способность
15c3h3 смп
S = £ р = Т4 = оТ4, где о = 5,67-Ю-5 3РГ. .
4 60с в3 circK4
2-9. 1 вариант.
Испускательная способность S - это односторон-
ний поток лучистой энергии через единичную площадку за еди-
ницу времени. За время Ат через площадку AS (см.Рис.33) мо-
гут пройти фотоны , заключенные
Из элемента объема dV = гг dr
Al
Рис.33.
угла Ай от полного телесного угла
в полусфере с радиусом с Аг.
sin fl dfl dtp через площадку
AS проходят фотоны, по-
падающие в телесный угол
Ай = AS’/r2, где AS’ =
= AS cos fl. Таким образом,
вклад элемента объема dV
с энергосодержанием р dV
в поток через площадку AS-
- в силу изотропии равно-
весного излучения - про-
порционален доле телесного
др
4п и составляет pdV,
а полный поток равен S AS Ат = f р dV.
( по полусфере )
сАт *jc/2 2®
s = л у » Г r2dr Г sin f аФ С°о * - Выполняя ин-
О О О
тегрирование, получим S = р.
2, вариант.
Интенсивность излучения: I = р.
Вклад в односторонний поток I cos fl.
Испускательная способность ( интегральный по полусфере одно-
сторонний поток ):
112 РЕШЕНИЯ 2-9 ------ 2-12
ГС/2 zit.
S = fl cos fl dfl = f dfl sin fl J ЙФ g [ Дя cos fl j = £ p.
( по полусфере ) о о
2-10. 1) Из условия dp^/dX = О получим уравнение
5 - х = 5 е-х, ( 1 )
где х = х^кТ' Подбором ( х = 5 - б ; б « 1 ) получим ко-
max
рень уравнения ( 1 ) х = 4,965. Откуда X Т = -^-с
О mft Xi лч X.
©
5“ 0,29 см К. Аналогично из условия dpVdw = 0 получим ура-
внение
3 - у = 3 е~У ( 2 )
hW
где у = -]дах- Подбором ( У = 3 - е; е « 1 ) получим ко-
Ц) у
рень уравнения ( 2 ) у0= 2,8. Откуда —= а =
= 3,7-1Г,'' с-'?-'
2) Так как ш - аТ; ш*= 2^ -= то £—г = 1,76.
шах ’ Л _ b Си аи ’
max max
3) Поскольку р/1Х =рш(1ы и dX = I |, то р%= рш р||-
Uj
- плотность спектрального распределения по длинам волн отли-
чается от рш - плотности спектрального распределения по
частотам фактором Эхс/ш2. Этот фактор приводит к тому, что
максимумы для и рщ сдвинуты друг относительно друга.
2-11. Из закона Вина следует ( см. задачу 2-10 )
X = й « 11600 А, ш - аТ « 9,9-1014 С*,
max ± max ’
2-12. a) S_= оТ4 =6,24-10’° эрг/см2 с;
б) W = S 4itR2 = З,83-Ю33 эрг/с;
в) р = оТ4 Rg/r2= 1,36-1033 эрг/см2 с.
РЕШЕНИЯ 2-13 —• 2-16 ИЗ
2-13. Звездная постоянная 0 равна ( см. задачу 2-12)
oT4R2
В = ____22_
1 R2
Согласно закону Вина Т = В/Л.
max
Поэтому
₽ =
abVL
ЗВ
к* R2
max
. Отсюда
RX2
г» * max
Езв-~^-
I ]1/2 « 2-10псм.
2-14. Мощность излучения Солнца, поглощаемая поверхно-
стью Земли, равна uR|(i-сс)0 , где 0 = °T4r| /1>2 " солнечная
постоянная ( см. задачу 2-12. )- Мощность, излучаемая всей
Поверхностью Земли, равна 4лР2о74. Из уравнения баланса
Ry
itR2 (1-ct.) оТ4 = 4<itR2 оТ4 следует
47 _С 47 4#
I j 4
Тф = j = 256 К = - 27°С ( более точные рас-
четы дают Тф= - 25°С ).
2-15. Максимум излучения Солнца, согласно закону Вина,
приходится на ^тах = Ь/Т0 =0,5 мкм. Поглощения в атмосфере
в этой области спектра нет, излучение доходит до поверхности
Земли. Средняя температура поверхности Земли Тф = -25°С ( см
задачу 2-14 ). Поэтому для Земли X т = 11,7 мкм, так что
значительная часть спектра излучения Земли лежит в полосе
поглощения С02, что и приводит к росту температуры Земли
( парниковый эффект ).
2-16. Объемная плотность энергии внутпч бруске р^ьн-
О - сТ-1 = 3-Ю1'' эрг см \ Объемная Уютность энергии излу-
чения ( см. задачу 2-8 ) есть р = cff4= 7,57-10~3 эрг см-3.
Отсюда Q/p = 6.6.I012. S = ^ = 5.68-106 эрг смгс-1.
114 РЕЯЕНИЯ 2-17 ------ 2-21
2-17. а) X = в/Т м 1 мм.
шит
5 й = [ § Г- 400о“’3-
О О о
сю
в) <Х> = J XN^dX/N;
о
к <П - - 811 dX /Ь - - П ЧА ли
NXdX - "ТЙТ - 7д -етКЬ/ю ? <Х> - 777 КГ ~ °’36 см-
Л. “ I
2-18. Интегральная( по спектру ) плотность потока сол-
нечных фотонов на орбите Земли равна
j.
с
Z
П =
г p(w)du)
J hW
О
= 0,633-Ю18 фот/ смгс.
П-itR2 2-Ю16 фот/с.
С
4Х2
3
•2,404
В зрачок ежесекундно попадает
2-19. Сила давления равна переданному излучением Земле
импульсу за 1 с: F = itR| J 4i) (3ц)’ где шютос'г^ пото-
ка фотонов частоты ш на орбите Земли = [ j — ;
^орб
множитель в скобках - плотность потока фотонов на поверхно-
сти Солнца. Таким образом, получим
. ( TL х2 _ с R х2 .
к = 37 IT5- I 1tR® I = -г- тг^~ I “ 1 •ЗЗ-105 т.
орб ' V орб /
2-20. р = = mv; Ьш = с/гтИ = 1,01-104 эВ.
2-21. eU = - A; U = 3 Е.
РВЯВШ1Я 2-22
2-26
115
2-22. v = /= 2,18-1 cP см/с - это скорость элект-
рона на первой боровской орбите атома водорода.
2-23. W = he Н - jl- 1= 11,7 эВ.
2-24. Изменение анергии фотона d(hw) = hdw в грави-
тационном поле звезды описывается уравнением
hdw = - dr, где масса фотона п^= Ъш/с2; 7 - гравита-
ционная постоянная. Отсвда
чаем:
(1) 00
г dw _ _ 7М с dr . 1т, ш
j (1) „2 J _2 * W
(1) С R
О
dw = тМ dr
“ " ' с2 г2
Интегрируя, полу
здесь интегрирова-
ние проводится от поверхности звезда до бесконечности. При
атом полагаем, что радиус звезда значительно больше радиуса
П1вярт тильда
Rg= 27м/с2. Отсюда X = Xoe2Kg/R =» XQ
1+
Rc2 J
АХ = X - X = X -3f= 2,33-10 10 см = 0,023 А.
° ° Rc2
11 2-25. Величина доплеровского смещения АХД= X- v/c.
Величина гравитационного "красного смещения" ( см. задачу
2-24 ) ЛХГ= X . Отсюда = v4^j = 4,7-104. Поскольку
АХ . - • - .
тт* » 1 то гравитационное смещение можно не учитывать при
определении, лучевой скорости звезда по доплеровскому смеще-
нию.
2-26. IS - В1 с? = 0,511 МэВ; X = = 2.426-1O"10 см.
О ill L.
116
РЕШЕНИЯ 2-Zl
2-29
2-27. Давление, оказываемое светом на стенку равно им-
пульсу, который передается излучением единице поверхности в
единицу времени. Пусть NnorjI и - числа фотонов, пог-
лощенных и отраженных стенкой; IN] = с-1см2; р = - им-
пульс фотона. Тогда давление света на стенку Р = pNnorJI +
+ 2pNOTp. Число фотонов в единице объема р/Ъш. Число фото-
нов, падающих на стенку, равно Nna= рс/Ьш. Число отражен-
ных фотонов NOTp= Rpc/hw, а число поглощенных фотонов
%гл = - « & = & < 1 - В )• так™ образом, давление
света равно
Р = Р“погл+ 2₽NOTP = (1 - R) + 2R = р ( 1+R ).
2-28. Если допустить, что фотон передает электрону всю
свою энергию, то из закона сохранения энергии hw + mQc2 =
,9 ? 2 4.1/2
= (р^ с + с . где ре- импульс электрона, следует
ь,. f 2mnc2 .1/2 ( 2m с2 -,1/г
р. - * тё- } - Ртг { ’ * -fc-} > h
где р? - импульс фотона. Это противоречит закону сохранения
импульса ( Ру = ^ = Ре ).
2-29. В поле световой волны электрон приобретает ско-
рость V, поэтому световая волна, догоняя его, воздействует
на него с меныпей частотой, т.е. К = А + A v/c. Именно
о о
эту длину волны А’ излучает электрон в системе координат,
движущейся со скоростью V. Относительно неподвижного наб-
людателя А - А’ ( 1 - cos <р ) = Aq+ Aq ( 1 - cos ф ),
ДА = А-Ао = ^Ао(1- cos ф ).
РЕШЕНИЯ 2-29 ------ 2-32 ' ’ 117
Таким образом, угловая зависимость для ДХ ,совпадаетс комт,
птоновской. Однако множитель перед скобкой, в Отличие рт,
эффекта Комптона, зависит от X и v й принимает произ-
вольные значения, если не ограничено время воздействия волны
Pt
на электрон ( v - , где В - сила светового давления,\t-
- время воздействия).
hW
2-30. W = -------2-----5-- = 0,36 МэВ.
m с~
1 + °
Ьшо(1-cos <р)
2-31. Из общей формулы в предельных случаях получим:
Пш . , m с2
а> —I * 1; ^|8О= 2 ™ос - zfcr > = °’249 МзВ-
тос о
to 2Ъш
б) —Я- « 1; hw.„_= hw (1--------f 4-10 5) « 10 эВ.
т с2 180 тс2 °
о о
Энергия фотона, рассеянного назад свободным покоящимся элек-
троном, ни при каких начальных энергиях не превышает вели-
чины А го с = 0,256 МэВ.
_ ^с. - ™18О _ . _ to180
Кш “ Вш
О о
2-31 ) В предельных случаях:
hw » m с2
о . О ?
Ьш « m с2.
2-32. о
( см. задачу
a) G -> 1 при
б) б » 0 при
При указанных энергиях квантов получим:
hwo = 256 МаБ б = 0,999
Пшо = 0,256 МэВ 6=1/2
Ни = 10 эВ * б = 4-Ю"5.
О
118
РЕШЕНИЯ 2-33
2-37
2-33. Длина волны X = 4/3*R = 1216 А увеличится на ве-
личину АХ = 2Л = 2-h/mc = 0,048; AX/Xq = (3/4).а2 = 4-10-5.
2-34. Искомая величина пирс чей яафг.я « тн-.^е-иием
здесь W =------^=5------- - кинетическая энергия электрона,
го с2
О _ I
hW(1-COS<p)
J—
При условиях задачи W = Ьш = moc2; v =.-^ с =2,6-101Осм/с.
2-36. Спектр состоит из двух линий ( см.Рис.34 ), соот-
j ветствующих рассеянию ? -
квантов на электронах ( Хе)
и протонах ( Хр):
! X = X + Л, X = X + Л , где
е о е’ р о р’
----->-------------♦ Л = с, Л = 2ich/m с
X X X X е ер р
р - комптоновские длины волн
Рис.34. электрона и протона , соответ-
ственно равные Ле= 2,4.~10-,° см, А = 1,3-10-13 см. Энергии
рассеянных квантов на угол <р = л/2 бы = Н*>о(1 + ) ня
о
электронах и протонах равны 0,36 МэВ и = 1,25 МэВ соот-
ветственно.
2-37. АХ = --------~----------------— = 1,35-10-2 А ;
Е°{ (1_ p2>-vCT " 1 }
где е = hw /го с2 = Л/Х .
ООО о
РЕШЕНИЯ 2-38
IIS
2-38. Запишем законы сохранения анергии и импульса
Р 2
Ш С“ ш Сс Ш V шт
hw+ ....— = hw + ° - . Не+ ° ° - Kk + ° .
/1- ₽2' /1- Р2 J 1- Р2 /1- t?
Здесь wo, ko, w, к - частоты и волновые числа фотона до и
после рассеяния ( к = ш/с ); vq и v - скорости до и после
рассеяния; ро= vo/c, р =v/c.
Введем единичные векторы в направлении импульсов фо-гона
электрона до и после
kn k
no= IF ’ n = К ’
п
рассеяния
о
Решение будет более компактным, если
ставить в безразмерном виде
1
законы сохранения пред-
(1)
1
е
V 1- р-
Рп
£ П
(2)
У 1- £
Здесь е^=
hi) /ш с- ;
о о
Умножим (2) на 2еп
в квадрат уравнения (2)
У 1- р-
е = Ьш/тс2,
е
и вычтем результат из возведенного
получим
2 2р,
) + 2eeq( 1- соя ф ) -
( Ео- Е
( е - е соя <р ) =
_5_
У 1- р-
1- Р"
где поп = соя <р; ф
уравнение (1) в виде
угол рассеяния
(3)
фотона. Перепишем
&
( е - е ) +
?г
У 1- р-
Затем возведем его в квадрат и вычтем из
(3); получим :
---------!--------(E - E + pE - pE COS ф) - E E(1 - COS ф)=0
j--------—' о О о о т
У 1 - Р2
После преобразований полним :
120 РЕШЕНИЯ 2-38 ---2-40
с И * <Ц ео_________________________ .
1 + Pocos <р + ео(1- cos ф) /1- Ро
При рассеянии на покоящемся электроне ( р
обычную формулу Комптон-аффекта
е
е = ----------5-----------
1 + е ( 1 - cos ф )
О т
При рассеянии назад ф = z ив пределе р& —» 1 найдем
(4)
= 0 ) получаем
(5)
Таким образом, энергия фотона, рассеянного назад ультрареля-
тивистским электроном, не зависит от начальной энергии фото-
на, а целиком определяется начальной энергией электрона
( сравните (6) и (4)).
2-39. Энергия фотона и электрона не изменяются при рас-
сеянии назад, если полный импульс до и после рассеяния равен
нулю. Приравнивая импульсы фотона и электрона ( см. задачу
2-38 ), получим
% = тРос р2 = Ро
с " i - Р;
где е = Ьц> /ш с2, р = v /с. Если е2 > р2/(1- р2), то
о о о е р р о '
пр рассеянии фотон теряет энергию. В обратном случае
е2 ‘ Рр /(1-р2) его энергия возрастает.
2-40. Изменение энергии электрона выразим через измене-
ние энергии фотона
ЛЕ ( 1 + р„ 1
Ле = — — - € - * - е <1 - ------------------------------— I
е ,2 о ] 1 /_______ |
meC 1 + РоС03ф + Ео(1-СОЗф)7 1- -I
(обозначения - см.задачу 2-38). При рассеянии фотона назад
Ф=1С и при ро—» 1 получаем Лер =< -1/(1-р2)1/г. Таким образом.
РЕШЕНИЯ 2-40
2-45
121
ультрарелятивистский электрон отдает фотону почти всю свою
кинетическую энергию.
2-41. Искомая величина есть
х = — = exp(-NoL) » е“°’13= 0,88 ;
J° Р
здесь N =------концентрация газа.
КГ
2-42. Возбуждения не произойдет, так как в этом случае
не выполняются одновременно законы сохранения энергии и им-
пульса, из которых с необходимостью вытекает, что энергия
электрона должна превосходить (3/4 )Ву, по крайней мере, на
величину -•-•Ру, где И - масса атома.
И 4
2-43. Причина в эффекте Рамзауэра. Область энергий та-
кова, что сечение рассеяния электронов на атомах ксенона
увеличивается с ростом энергии. Действительно,
ln(J/J ) _
о = ------— ; о = 2,6’10 16см2 ; о = 4«10 15см .
xN 1 2
То есть при изменении энергии электронов от 1 до 7 эВ сече-
ние увеличивается более, чем на порядок величины.
2-44. Из законов сохранения энергии и импульса
Mvi Mvp 2
= 2 + 1 2-Mvp, следует, что W = (Mv^/2) > 21,
где I - энергия ионизации, v и vp - скорости налетающего
атома до и после столкновения.
2-45. По условию задачи, скорость протона больше скоро-
сти электронов в атоме. В этом случае процесс ионизации мож-
но рассматривать как столкновение протона со свободным поко-
ящимся электроном. Максимальная энергия будет передана при
лобовом столкновений. Поскольку Мр » ш8, электрон вылетит из
атома приблизительно с удвоенной скоростью протона; его
122
РЕШЕНИЯ 2-45
2-47
энергия будет равна
т₽ ? тр
W » е(2.у)2= 4 r# W « 11 кэВ.
max л ' р' М
2-46. Физический поцесс возбуждения не зависит от сис-
темы координат, он зависит от относительной скорости взаимо-
действующих частиц. Для возбуждения атомов ртути электрон
должен обладать энергией W =4,7 эВ в системе центра инерции,
т ° ° nunmouo ^<^рдинат, связанной с атомом ртути, он дол-
1 /р
жен иметь скорость v, равную v=(2W/p), где р - приведен-
ная масса (р к» те).Чтобы атомы ртути, сталкиваясь с неподви-
жными электронами, могли возбудиться,они должны обладать той
же относительной скоростью. Таким образом, атом ртути должен
обледать в лабораторной системе координат (связанной с элек-
троном) энергией W^, равной
WHg = ЛГ = ST * 1 ’8 МэВ’ м ~ масса атома ртути.
2-47. При условиях задачи электрон получит импульс
только в направлении перпендикулярном скорости альфа-частицы
-"поперечном". Поперечный импульс, полученный электроном ра-
00 00
вен: Р = J F.dt = 2-f F dt ;отсчет времени ведется от момен-
1 -оо 1 о 1
та наибольшего сближения-точки 0 (см.рис.35).Таким образом:
а-частица
Р
[p2+(vt)2]
Рис.35.
Е
F,= Fcoscp =
1 р* + (Vt)*
Za - заряд альфа-частицы, v - ее ско-
рость. Таким образом:
v2
Pi = 2 -pv- ’
энергия, полученная электроном, равна
Р? о , Z„e242
2m
РЕШЕНИЯ 2-48 ------ 2-51
123
2-48. Искомое дифференциальное сечение (см.рис.36) есть
do(E) = 2xp(E)dp = 2itp|^||dE ;
связь прицельного параметра р с
переданной энергией Е - см. в за-
даче 2-47. Таким образом,
ап(Е) = 0| .
mv е
Это - один из вариантов формулы Резерфорда.
в
max
dE
Е2
2.8-I0'
в атоме; сечение ионизации, соот-
4^^
mv
гг*л 1
м xj.'IE ----— —
mv2 I
СМ2.
2-49. При ионизации электрон получает энергию, превыша-
одую энергию его <
ветственно, есть
Z2e4
о = —
mv
При Еа= 10 МэВ о
2-50. Захват возможен в случае, если кинетическая энер-
гия относительного движения ионов после столкновения с нейт-
ральной частицей окажется меньше потенциальной; полная энер-
го ег м+ М_
гия при этом отрицательна: , здесь р. = ц + g ;
о + —
г - среднее расстояние до ближайшего иона противоположного
знака. .Для двухкомпонентной системы ( А+, А- ) средняя от-
носительная скорость без у«ета взаимного притяжения состав-
ляет vq= ( v2 + v2 )1/2, где v+ и v_ - средние скорости
положительного и отрицательного ионов соответственно. Тогда,
2
поскольку 2 M+v+ = 2 M-v- = 1 и'- то = | кТ. Следова-
тельно, 2 kT £ — . так что го 3 “ 4,10-6 см.
2-51. Реакция Н*+ е -► Н ( или Н*) невозможна, ибо она
124
РЕШЕНИЯ 2-51
2-54
противоречит законам сохранения анергии и импульса
mv2 (nn-M)v2
= —2-------Есв ; mvo= (nH«)v1;
Есв>0 - энергия связи электрона в атоме. Эти уравнения
несовместны.
mv2 (пн-М)у?
2-52. Из законов сохранения = —2—- + ДЕ и
mvo= (m+M)v1, следует, что рекомбинация возможна при скорос-
ти электрона
’ - [ (-s )Г •
где ЛЕ - энергия, потраченная на возбуждение внутренних
электронов атома. В возникающем при безызлучательной ре-
комбинации атоме находятся в возбужденном состоянии два
электрона: А+ + е -» А** ; такая рекомбинация называется
диалектронной.Обратная реакция А** -» А+ + е - автоионизация.
2-53. Размер пакета определяется неопределенностью ско-
рости в начальный момент Ax(t) = [(Дхо)2+ (Avot)2]1/2. но
Др„ h
так как Ах « Av t , то Ax(t) Av t » t « t.
o’ ’ о jn m • Лхо
Для времени расплывания от Axf~ e2/m<2 до размеров порядка
атома Ь2/те2 получим т « =< Ю-21 с.
тс2 с
Размер области вероятного местонахождения космического ко-
рабля ( размеры ”пекг та даотности вероятности*' ) через год
составит величину Ах “ Av-t * 3-I07 см = 3U0 кк.
2-54. Поскольку v « с, то начальная энергия электро-
2
mv
на Wo= -р2 = 71 эВ. Если де-бройлевская длина волны элект-
рона равна Л, то он обладает энергией W = Ь2/ЕеЛ2= 150 эВ.
РЕШЕНИЯ 2-54
2-62
125
Таким образом в поле электрон приобрел энергию ДИ = 79 эВ
Следовательно, он пролетел расстояние L = ДИ/еЕ =7,9 см.
2-55. Согласно де Бройлю, к = h/p ; импульс релятиви
стекой частицы определяется соотношением
р2с2 + М2с4 = Е2 = ( Мос2 + И )2 .
Отсюда р2 = ( * )2 + 2ИМо , где И - энергия движения ча
стицы; М - масса покоя частицы. Поэтому
О
he
Л *- ------------5----
, 2М с2 -.1/2
W [ 1 + -ft- J
В Батавии длина волны протона
цухове - к “ 2,48-Ю-17 см.
2-56. к = 5,6-ТСГ8 см.
2-57. к = 8,1 -КГ12 см.
2-58. m « 2m = 1,8-10~27
1 о
1,4-1О-10 см,
2-59. Десять.
f А> 11/2
2-60. А.дб = [ ] = 0
длина волны электрона.
к “ 2,53-10 16 см, а в Cep-
г. тг“ 2-10-3то= 1,78-19-24г.
%2= I.2-I0-13 см.
11 А, где Л - комптоновская
2-61. d = ----ЗЬ-------- и 3,8 А,
2 sin 8 vZ2meU
где п - порядок дифракционного максимума.
2-62. Условие минимума : b sin сц - гЛ; максимума:
b sin etg = р ( 2n + 1 ) , а де-бройлевская длина волны
126 РЕШЕНИЯ 2-62 ------ 2-65
к = h = 6,13-1 (Г10 см « Ь.
/ 2m Е
е
Поэтому
к . = arc sin —-— *< 10-5 см * 2 ;
mln /-------
W 2meU
к= arc sin | --- м i ,5-10-5 ~ 3 .
max tL. j-----
bv 2meU
2-63. В соотношении Вульфа-Брегга 2d sin ф - nA угол
Ф - угол скольжения, который вдвое меньше угла, рассеяния 0
(см. Рис.37). Учитывая это,
г _-й : 1 —L ► '-Кристаллик в полукристаллической фольге считая, что угол ф мал, ( sin ф = sin | | “ 2? ) и принимая во внимание ре- лятивистские эффекты, по- лучим:
Рис.37. 2-64. Ж" L h 11\ ШМ- Ь=1+2х Рис.38. d = г z h ‘ ' 1 “ 2,2 А- / 2m eU /1+ ° у 2m с2 о Размер тени : b = 1 + 2х, tg а =х/Ъ ( см. рис. 38 ).Так как / а мал, то а « . Из условия первичного мини- муме ( см. задачу 2-62 ) I sin а = к = 1а получим а = к/l. Отсюда b = 1 + . Из условия рг = 0 : 1 « /ль Г —р/ги ю-4 см. 1 (МКГ)1'2
2-65. При заданном угле скольжения ф от данного семей-
ства атомных плоскостей когерентно отражаются только те ней-
РЕШЕНИЯ 2-65
2-66
127
троны, длины волн которых подчиняются условию Вульфа-Брегга
2d sin <р = гЛ, где п = 1, 2,..-порядок отражения. Из условия
Вульфа-Брегга следует, что если длина волны нейтронов А пре-
вышает вдвое максимальное межплоскостное расстояние к > 2d,
то такие нейтроны вообще не будут испытывать брехтовского
(упругого, когерентного) отражения
Ф(Е)"
то
Нейтроны,
испытавшие
брегговское
рассеяние
в фильтре
есть не будет иметь
место брегговское
отражение от повер-
хности кристалла
(первая атомная
плоскость) и после-
дующих атомных пло-
скостей. Таким об-
разом, для нейтрон-
ных волн такой длл-
нь ( К > 2d ) поли-
Спектр ней-
тронов, пада-
ющих на фильтр
Спектр
отфиль-
трован-
ных ней-
Рис.39.
тронов
Е
кристаллический фильтр будет практически прозрачным (возмож-
но более слабое некогерентное рассеяние и др.). Согласно де
Бройлю к = h/p; таким образом, нейтроны низких энергий, им-
пульс которых Р < g(j = не будут испытывать брегговск-.-е
рассеяние и пройдут через фильтр (см.Рис.39). Нейтроны, ди-
ны волн которых А < 2d, т.е. с импульсом Р ' 73 = будут
когерентно рассеиваться,покинут фильтр через боковую поверх-
ность и поглотятся стенками реактора. У графита б.= 3,345 А,
поэтому Агр= 2d = 6,69 А и ^/(ЗМ^, • = 1,83-о-3 эВ.
Это соответствует температуре Т= 22°С.
2-66. Ал л/ х?/ст. , где т - время жизни атома в воз-
буаденном состоянии;
АА1 10-3 А ; /Лг ~ КГ* А.
128
РЕШЕНИЯ 2-67 ------ 2-72
2-67. Температура газа должна быть
естественной,
Av>t 1л
кТ < Мс-, ;
(вт)с
ровская ширина на превышала
ношением неопределенностей
Лгдоп * VCnya)’ с < т ’
такой, чтобы допле-
определяемой соот-
Т < 1СГ3 К,
2-68. Для оценки энергии нижних уровней в ящике соот-
ношение неопределенностей может быть записано в виде pL — Е.
Тогда оценка энергии есть Е~ рг/т Ег/тЬг. Для "электрона
в атоме" имеем Е ~ 10 эВ, для "нуклона в ядре" получим
Ен ~ 1 МэВ. Для макрочастицы имеем Е ~ 13 эВ.
2-69. X ~а = 3,529-10 а см.
2~70- е ~ Е — ; рг ~ в .
ПОТ КИН ’Г Ш ’ 1
ьг °
Отсюда г ~ =0,529 А.
2-71. W ~ p?/m ~ 10 эВ. R - размер атома.
2-72. Полагаем, что электрон в атоме водорода движется
по круговой орбите вокруг ядра (протона):
р 2
ПГС = ₽_ (1)
г гг '
отсюда получим v = е / /юг (2)
Полагаем, что неопределенность радиуса орбиты (координаты
электрона) № .рядка величины радиуса орбиты, т.е. Аг « г, а
неопределенность импульса электрона Ар порядка величины им-
пульса р ( Ар » р = mv). Тогда, согласно соотношению ннопре-
делвнн.---.тнй
V >. г./ШГ, (3)
Сравнивая (2) и (37, получим г » Ъ?/тег = aQ.
РЕШЕНИЯ 2-73
2,-75
129
2-73. Используя соотношение рх ~ В, запишем
р р р
TP В ПХ1) X
2шх2 2
Минимизируя это выражение, находим амплитуду
х ~ [ ЙГ- |1/г и энергию Е ~ Вш.
nw J г min
2-74. В соответствии с соотношением неопределенностей
электрон, локализованный в пределах атомного ядра размером R
обладает импульсом р & В/R и кинетической энергией
Т = / р2с2 + ш2сл _ ЯъСг = rnoc?[/l + (Ле/2лЖ)г - l] .
2«тгк
Поскольку комптоновская длина волш- электрона Л = лит » F •-<
“ IliV
“ ( 10-13 + 10~12) см, перепишем (1) в виде:
в
Т “ Ш С“- в-- “ hc/R.
о п
Если эта величина превышает потенциальную энергию электрона
в ядре |U| «< Ze2/!!, то электрон не может удерживаться в ядре
электростатическими силами. Условие
hc/R > Ze2/R
выполняется для всех Z $ Z* = hc/e2 = 1/а е 137.
2-75. В соответствии с соотношением неопределенностей
акты испускания и поглощения ' it - мезона должны’ разделяться
промежутком времени т < h/E^ , где Е^ = тп^с2 - энергия it-
мезона, т^- его масса. Радиус действия ядерных сил определя-
ется максимальным расстоянием, на которое может удалиться it-
мезон от точки своего рождения за время т. Оценивая эту ве-
личину как
Ео « <Л/ЕЯ
Отсюда Щд.
R « ст, получим:
м \ - комптоновская длина волны
" сГ м 250 те
iHj-C2 » ~ 120 МэВ.
л.-мезона.
130
HSUUStiUH 2-75
3-3
Точные значения Е = 139,57 МэВ, Е =134,96 Мэв.
«г1
О. электрона на расстояние г от центра
сферы (см.рис.40) на него Судет
действовать сила F = - еЕ, где
Е = ^~ , согласно теореме Острог-
К3 ООО
радского-1‘аусса(4'П> Е= 4-хег /Н ).
Из уравнения движения г + оЛг=О,
где ш2= е2/шК3, следует,что элек-
трон будет колебаться с частотой
Рис.40. ш = (е2/тК3)1/г Ю16 с-1. Такой
атом излучает на частоте, близкой к частоте оптического диа-
пазона, одну линию, что противоречит наблюдаемому спектру
излучения атома.
3-2. Дифференциальное сечение упругого кулоновского
(резерфордовского) рассеяния do/dO зависит от параметров Z и
Mv2 рассеиваемых частиц как do/dO = f( Z/Mv2)2, причем
Mv2 = 2ZeU.Поэтому все частицы будут рассеиваться одинаково.
3-3. Доля частиц, рассеянных в телесный угол ДО = S/L2,
составляет
Ч = % Ж ’
где NQ= pd/M - число рассеивающих частиц на единицу площади,
М - их масса,
do = 1 . zzgeg .г 1
® 4 2W 31n4ez3 ‘
Откуда получаем
2 = а1п2е/2 " 4?-
ЧГ
РЕШЕНИЯ 3-4 ------ 3-6 131
3-4. Расстояние между частицами будет минимальным, ког-
да г = О (см.рис.41). Определим гт1п из законов сохранения:
Рис.41. женин:
Mpv = Мг2ф . -2J
Исключая ф из (1) и (2) и полагая г = О, получаем
г2. - 2р.г . - р2 = О,
min min r
где p = p±ctg8/2, p± = ZZQe2/Mv2.
Окончательно получим
/2 2
Pi - p
-pqj— ( 1 + esc 8Z2 ) s 9,1-10 " cm.
3-5. Отклонение от формулы Резерфорда наблюдается, ког-
да г . ~ г Величина г . вычисляется в задаче 3-4.
min ядра min "
_______ 2Z е2
гядра' rmin= + 7Р? + Р? = -^ ( 1 + CSC 6/2) S 10",2см.
3-6. Массы мишени и снаряда одного порядка величины,
так что необходимо учитывать отдачу мишени. Из законов сох-
ранения анергии и импульса «•приданном анергию иона, рассеян-
но!- на уг«оЛ 6 = V2:
1 + м/мг
М1 5
= И - отношение масс. аргона и меди. >;«м«и В К«•НДгнСиТ*>рн
' II -2
приблизительно однородное Е = ( так как — 10 ;
132
РЕШЕНИЯ 3-6,
3-9
R =
Vr2
~7~
) »
2W(R-R.)
U = ----^—!-
eR
= 277 B.
3-7. Доли рассеянных частиц составляет (см.решение за-
дачи 3-3 ):
AN _ v. flo
т - ho ап ш •
где No = plS/M -число рассеивающих частиц, р =19,32 г/см3 -
-плотность золота, 5 - сечение пучка, М - масса атома золота,
АП = 2it sin© А6 - телесный угол; 6 = (е( + 6g)/2; А6 = 1° =
= 0,0175 рад. Таким образом AN ® 5.
3-8.
u-
г Ze2
Рх = = Рх(“)(1
pvc
zv?
Уг ’
pj_(m>
Px(m) = 10 ,г СМ, рх(Са) = 1,1-10 12 см,
2 МЛа
1 + Vca
AW
-ц =
Рис.42.
ния протона на плоскость
0,182
(см.задачу 3-6).
см.рис.42) определяют протоны, рас-
сеянные на малые углы Э, так как
мо. но прш. обречь отдачей рассеи-
вающего ядра и воспользоваться
формулой Резерфорда для малых
углов рассеяния:
W р Р
где b = Z(Z?e?/W . Точка паде-
расположеня на расстоянии
R = р - 6<1 = р + М/р
от оси пучка; оно минимально при р = -/м. Так что радиус
тени есть R* = й/м = 7,8-10 ~10см.
РЕПНИЯ 3-10
3-15
133
ed е 1
З-Ю. V ~ £- = ас, где а = .
3-11. Энергия электростатического взаимодействия элек-
трона в атоме ег/г порядка его кинетической энергии. Дей-
2 2 2 2
ствительно, = 4 и поэтому f- ~ 4- , причем v ~ ас (см.
1 г~ 1
задачу 3-10). Отсюда е ~аг ~ 5-1СГ5. Таким образом,
го„сг
о
энергия электростатического взаимодействия электрона в ато-
ме много меньше его энергии покоя.
3-12.
4 (не) а°(н)
где о,, (н) - радиус первой борэвской орбиты атома водорода;
Z - заряд ядра Не.
1
п*2
= 4R
Если п* = 2п, и п* = 2.п , то 1_____ _ р, 1 1
1 12 2 ч——— - К( — - —
Не Л" Tig
3-15. Длина волны второй линии серии Пикеринга опреде-
ляется соотношением
= Z2R +( 4 - 4 ) = Rj. <-( 4 - 4 )-
'Sie не 4- бг * 2г Зг
~ 1 11
а длина волны Н„ - линии серии Бальмера т— = fL( --? ).
134
РЕШЕНИЯ 3-15
3-17
Постоянные Ридберга этих атомов отличаются вследствие изото-
пического эффекта. Поэтому
N =
Л. _
ЕЕ
л М
3 и 2450 штрихов.
3-16.
Ионы г, А I, эВ и, В Л., А
Не+ 0,26 54,4 40,8 304
Li44" 0,18 122,5 91,8 135
Серия: Ха, А.
Лаймана
912 + 1216
Бальмера
3647 + 6565
Пашена
8206 + 18756
Брекета
14588 + 40523
Пфунда
22794 + 74599
Хемфри
32824 4- 123720
Хансена-Стронга
44677 4- 190620
’"58353 4- 278036
Длины волн: головной линии - \= д n ^n+1 ; предел серии -
ч 1 2
= р п- - Обратите внимание на перекрывание спектральных
диапазонов серий, начиная с серии Пашена.
РКШШ 3-18 - 3-21 лзь
3-1 я. Подставим в формулу серии первое из возможных
значение п = 4/3:
г = R( -|-----Ц- ) = К ( g - ) = 32R( 4 " -4 >-
К I2 (4/3)2 У 42 З2 42
Сравнивая это соотношение с формулой Бальмера.
I = RZ2( 4 - 4 >•
nf n2
приходим к выводу, что 2 = 3. То есть, в трубке пары лития,
и наблюдается серия Пашена иона Ы2+.
.2
3-19. г = , где р, - приведенная масса. Диаметр ато-
Це
ма позитрония равен 2ао = 1,06 1.
3-20. t2 rn m.
г = = =£ (1 + « 2,8-10 11 см
ре2 “V % °
1 = = П^/Ш^ Ну » 2,ь кэВ.
р
3-21. Из условий Бора, в которых ш = mo/(l-v2/c2)1/2,
находим (v/c) = aZ/n,
a = e2/hc = 1/137,
Энергия (за вычетом энергии покоя) есть
/----------------------------------------
En= тс2 - тос2 - ^ = тос2[/1 - (^)“ - 1 ].
С учетом энергии покоя электрона
/-------------------------------------
Еп + шос2 = то°2 У 1 - ( > •
Отметим, что при n = 1 результаты имеют смысл лишь для
Z < 137. При (a Z2/n) « 1 имеем обычные нерелятивистские
136
РЕШЕНИЯ 3-21
3-26
уровни энергии:
HyZ2
w - -——
3-22. В тяжелых атомах внутренние электроны движутся с
релятивистскими скоростями (см.задачу 3-21):
v = Zac = 0,58 с.
Радиус орбиты равен
ао Г г l1^2 -11
г = I 1 - (саг - 5,4*10 11 см .
Энергия равна
Е = шос2[ / 1 - (aZ)2 - 1 ] = - 9,6*104 эВ.
3-23. Изотопический сдвиг для Lya - линий ионов есть:
ЛА - 1 1 1 m ПИМ
' 4 РЧ ’ЧТ ? «те •
где Кот и Хд - постоянная Ридберга и длина волны a - линии
серии Лаймана атома водорода при массе ядра М —» <».
Изотопы АХ, А
1Н; 2Н 2Н; 3Н 3Не+;4Не+ 19Ме^; 2<W* 0,33 0,11 0,014 1 ,7*10-5
3-24. W = 11,2 эВ.
3-25. Энергия кванта
ta = Z2fiy( -1 - -1 ) = | Ry
2г З2 4
достаточна для фотоионизации атома водорода.
3-26..X W 100 А; Л. _ »» 2500 А.
п=1 п=5
РИШШК 3-27
137
3-27. Мощность излучения ускоренно движущегося электро-
на равна
- * = з i 1'г'1г- (1)
С
На круговой орбите ускорение - центростремительное |r|-v2/r;
v - скорость электрона на орбите.
За один оборот излучается энергия:
г г г 2 v з г з
- Е-Т ф) ф ф В ,
малая по сравнению с самой энергией: поэтому траектория яв-
ляется слабо скручивающейся спиралью.
Из теоремы вириала Е = - ег/2г получим
' р2 •
Е = г . (2)
2г2
Теперь из (1) и (2) получим уравнение движения
г = - g -|^з ~ • О)
3 m2c3 г2
После введения безразмерных переменных
р = г/ао ; г = wot ; wo = vo/ao,
(ао, vQ - радиус первой воровской орбиты и скорость электро-
на на ней) уравнение (3) приобретает вид
do3 з
з£- = - 4a3. (4)
Решением (4) будет (с начальным условием р(0) = ро)
Ро
Время падения электрона на ядро найдем из условия р(т. ) = и
г = у (6)
4a аы 4а„
о о
Как видно из (5) и рис. 43 электрон сначала падает медленно
и основное время проводит вдали от ядра. Полагая г(0) = aQ,
J ЗУ
MSU1UHHH 3-27 -------- 3-30
получим
Рис.43.
3-28. Начальные и конечные
2 2
аоП1 И Г(\п> = аоП2
Cl/C 4 Г.
= 1,25-10 10 с
4аа
радиусы
ороит заданы: г(О) =
Из формулы (6) задачи 3-27 найдем
г
п^пг
ID
Используя условие гц » ng, получим оценку
V « ton6. (2)
эту формулу можно использовать для грубой оценки времени жи-
зни любого уровня атома водорода. В частности, для п = 2 по-
лучим ч и 10~8 с.
3-29. Из условия hw = 1т, 1 = § |г|2 =
° cJ
у р2 4 Р
= § “ ш г - мощность излучения, находим
сравните с результатами задачи 3-28.
3-30. Момент импульса изменяется под действием момента
лоренцевой.силы (г - радиус кривизны траектории):
L = -1г ,
связанной с мощностью излучения 1 соотношением
1 = £v ,
v - скорость частицы. Оценивая время излучения одного кванта
соотношением
1 = ^изл71
заходим изменение момента импульса за это время
AL = Ьт =
V
Обратите внимание, что ответ, по существу, обусловлен тем,
РЕШЕНИЯ 3-30
3-34
139
что частота излучения полагается равной частоте классическо-
го движения и не связан с явным видом лоренцевой силы.
3-31. Частота классического излучения электрона (или
осциллятора) равна частоте его обращения вокруг ядра (часто-
те колебаний):
w
,3
и совпадает с
квантовой частотой излучения при переходе
п + ’ —» п между высокими уровнями(и >71):
ш = + 'а •
ьпг(п+1)г hn3
3-32. При п » 1 разность- частот соседних линий серии
Лаймана Аш~ (см. за дачу
hr3
ровской ширины линии
у
Дц> и? —
доп с
КУ
Отсвда
где v - скорость
то
2Ry
Ьп3
теплового
мс£ ~, эв =
кпб
3-31) становится порядка допле-
(1
1
пг
1
п3
Ry
с
движения атомов. Так как Mv?
104 К.
с
R
и
3-33. Доплеровское смещение частоты:
Аи> /ш = v/c .
доп о
Частоты излучения изотопов
шн = wo/(1 + тге/Мр) ; = wo/(1 + ше/2Мр) ;
здесь шо - частота излучения атома с бесконечно тяжелым яд-
ром. Сравнивая изотопический сдвиг ы^- Шц с доплеровским
смещением, получаем
v/c = m /2М = 3-1СГ4 ; v s 8>10б см/с.
е г
3-34. Из законов сохранения энергии'и импульса:
Ro> = hw ч- М уг/2. ,
О F
М ч = Wc ,
гыианИЯ 3-34
3-37
о
где Ьшо = g Ry, получаем
(1 ~ ?.к,ъ,'Мро2} 1 * к.ъ/Мс = g а гпе/мр;
ЛХ/Ло = (шо - ш)/(1>о = уд агпг/Мр.
О
Длине волны Л() = 1216 А (см. задачу 3-17), так что
v = 3,3 м/с; АЛ = 6.6.10"6 А .
3-35. Движение электрона вдоль магнитного поля инфинит-
но и не квантуется
Е| = Р| /Зги .
Условие квантования в плоскости, перпендикулярной магнитному
полю, имеет вид
I = ni f Р, dr = nls, n = 1,2,3,... , (')
где Рх = Рл - f А - 'Обобщенный импульс, р± - проекция обыч-
ного импульса, А - векторный потенциал: Н = rot А.
Инты-рируя по периоду движения вдоль ларморовской окружности
(с учетом теоремы Стокса и условия p±jdr), получаем
I = f prdr - J A clr = 2тсг рх - ТО2Н. (2)
Подставляя в (2) ларморовский радиус г = р±с/еН, получаем
1 = 1 Р?с/ еН = nts .
Отсюда находим:
Е± - p?/2m = пШ,
где О = ен/mc - циклотронная частота.
3-36. I = <е2? ; I = Jhw , где Т - плотность по-
г-к.а энергии, J - плотность потока фотонов, <е?> - средний
квадрат электрическою поля
волны.
Отсюда
- с <Е ’
" Зй ЛйГ •
Плотность потока фотонов увеличится в два раза.
3-37. Энергия фотона равна
Ry
hw = W + -= = 5,51 эВ.
n
РЕШЕНИЯ 3-38 ------ 3-42 I4T
3-38. Минимальная анергия, необходимая доя возбуждения
всего спектра Не+ - энергия ионизации этого иона
Е = Z2Ry = 54,4 эВ.
Z2Ry
3—39. Е - — —; Е — — 122,4 эВ; Е. = — 7,65 эВ.
п2 1 Ч
3-40. Если атомы водорода находятся в основном состоя-
нии, то электроны с энергией И’ могут их возбудить на уро-
вень не выше, чем это следует из соотношения
w = fa - >’ т-е- m = Bntl*r ( ) = 4
Таким образом, электроны с энергией 12,85 эВ метут возбу-
дить атомы водорода на уровень с п = 2,3,4. При этом возни-
кают линии серий:
Лаймана переход 4 — 1 3 -» 1 2 —> 1 длина волны 373 Ю26 1216 (А)
Бальмера 3 — 2 4861 6563
Пашена 4 —* 3 18761
3-41, Из известно'» соотношения
го m
R.» = RH (1 " ТГ' = *4
н
где - ф?'.-тон иная r,w-jira ДЛЯ м —• “< , - массы
водорода и дейтерия, соответственно, следует
3-42. Пусть электрэн вращается по круговой орбите радиу-
са г со скоростью v ( см.Рис.44 ). Угловая частота вра-
щения:
ш = v/r ,
(1)
142
РЕШЕНИЕ 3-42
момент импульса:
I, = mvr. (2)
Из уравнения равновесия на орбите:
mv2 _ Ze2
г - тг
и выражения для энергии:
р mv2 Ze2
Е - “2------£~ ’
учитывая (2), находим:
v = <,
r _ mv __ z me
Е = __гг = __ЙГ-
(3)
(4)
При переходе на соседнюю орбиту (при поглощении или излуче-
нии одного фотона) энергия, согласно принципу соответствия,
меняется на величину Ьш:
Р л
ЛЕ = ЛТ, = Бш . (5)
Отсюда, учитывая С* ', (2) и (3), находим (сравните с задачей
3-30)
AL = h •
Суммируя изменения момента импульса при последовательных пе-
реходах п — (п ± 1) — (п ± 2) -»..., получаем
Ln = nh * С .
Здесь п - целое число, С - произвольная константа в интер-
вале
0 £ С < h .
Боровской теории соответствует 0 = 0. При этом получаем бо-
ровгкое правило квантования
L = пБ . (6)
п
Из (5’> и (6) находим уровни энергии:
РЕШИВ 3-42
3-44
Т43
W=v/r
3-43. Для иона гелия Не'*' энергия 1s - электрона равна
E|s = - ZaRy = - 4Ry = -54,4 .эВ.
Для атома гелия энергия связи двух 1s - электронов с учетом
Е
О
54,4 нВ
78,6 ев
Рис.45.
их взаимного экранирова-
ния есть
Е(1зг) = - 2(7, - о)гНу =
= - 5,78-Ву = - 78,6 эВ.
Энергия ионизации атома
гелия равна
1„ = Е, - Е, > = 24,2 эВ
Не Is Is ’
(см.рис.45).
(Точнее значение: I., = 24,586 эВ).
Не
3-44. Серия Лаймана 1Ч —» пп п >
^3 —» пп _ X
2р —* ns П > 3
2р —> nd
Серия Пашена 3s -* пр >
Зр —► ns
Зр —> nd п > 4
3d — пр
3d —» nf
144
РВШШЯ 4-1
4-2
4-1. Воспользовавшись определением вектора плотности
тока вероятности
J = — ( ф* vty - ф ?ф* ) ,
2ml
с учетом соотношений
?ф (г) = 1кф (г) ,
^ф*(г) = -1кф*(г) ,
получим
hk р
= ~ni =. m ,= т ’
где v - скорость частицы, m - ее масса, волновая функция
ф(г) = ехр (1кг) задает поток частиц с единичной плотностью.
4-2. Потенциал имеет вид!
U (х) =
О |х| $ а/2 ,
(1)
оо |х| > а/2 .
Уравнение Шредингера в области |х| $ а/2 :
агф
-^ + кгф = 0 , (2)
_ 2m
где кЕ 2 = -= Е ;
В2
Е - анергия стационарных состояний. Общее
решение уравнения (2) имеет вид:
ф (х) = A sin кх + В cos кх , (3)
Полагая, что на границах области
х = ± а/2 волновые функ-
ции обращаются з нуль, получим:
ка ка
A sin — + В cos — = О ,
2 2
ка ка
- A sin -- + В cos — = О .
2 2
(4)
Система (4) имеет нетривиальное решение, если ее определи-
тель равен нулю:
РЕШЕНИЯ 4-2
4-3
145
ка
sin —
• »
ка
cos —
ка
- sin —
2
ка
cos --
2
= О (5)
Из (5) получим: sin ка = О , откуда :
то
кп = -й ( п = 1, 2, 3....) ;
к2^2 _
Е’ = —г п -
п 2та2
(6)
Нормированные волновые функции стационарных состояний имеют
вид
/----- 'JCIU
Фп = у 2/а cos -ц- , для и = 1, 3, 5... ,
/ 7СПХ
ф = V 2/а sin -т=- , для п = 2, 4, 6... . (7)
тп а
Отметим, что все состояния с потенциалом (1) характеризуются
определенной четностью.
4-3. Выберем начало координат так, что
ГО |х| С а/2 ,
U (XI = { (1)
I Uo |х| > а/2 ,
(см.рисЛб). Запишем уравнение Шредингера для каждой из трех
областей:
ф - а2 ф = О для I, III ;
ф' + К2 ф = О для II , (2)
где
2m _ 2m
= Га < ио - Е > • * = Гг Е
i46
РЕШЕНИИ 4-3
п Щх)
! 1 i
I ; II » л j III
-0/2 ° 0/2
Рис.46.
На границах областей
х = t а/2 волновые фу-
нкции должны оыть не-
прерывно дифференциру-
емши. Все состояния в
яме характеризуются
определенной четностью.
а) Четные состояния. ( ф(-х) = ф(х) ).
Общие решения уравнений (2), удовлетворяющие условию ква-
дратичной интегрируемости, имеют вад:
Фх - Ах е+зех ,
Ф1Т = AXI cos Кх , (3)
*UI = Аш е-ЖХ -
Приравнивая в точке х = а/2 функции и их производные, полу-
чим
to /апио Т
И tg — = ае = 7 —-2 - to . (4)
2 h”
Уравнение (4) будем решать графически: его корни могут оыть
to
определены как точки пересечения фу^нодии k-tg — и
2
окружности радиуса
(см.рис.47). Существенно, что хотя оы один корень уравнения
(4) ( одно четное связанное состояние ) существует всегда.
б) Нечетные состояния , ( ф (-х) = - ф (х) ).
В этом случае имеем'решение уравнений (2) в виде:
ржания 4-з
4-4
147
Ъ = - AI в& ‘
ф11; = Ajj aln кх , (b)
. . -aex
*iii = Ai e
Теперь получим следующее уравнение для определения энергети-
ческого спектра:
на у ? f~~?---р
К ctg — = ж = / —з2 - г = /Кг - г . (6)
2 у h2
Графическое решение уравнения (6) приведено на рис.48.
4-4. Поскольку нас интересуют только сферически симме-
тричные состояния, запишем уравнение Шредингера в виде
h2 1 d2
----------? (гф) + Пф = Иф , (1)
2m г dr-
где
f 0 г а
""{“о
Функция ф(х) ограничена в нуле и стремится к нулю 'три
148
РЕШЕНИЯ 4-4
4-6
U(r)
г —» <» . Сделав замену переменных ф = -=— , получим:
h2 .
----u + Uu = Eu. (2)
2m
Таким образом, исходная задача сводится к решению одномерно-
го уравнения Шредингера с граничными условиями
и (г=0) = О ; и(г —» оо) -♦ оо .
Решая уравнение Шредингера раздельно в областях г > а и
г < а и приравнивая в точке г = а функции и их первые про-
изводные, получим
/ 2mU Г
- К ctg ка = / —j2 - К2 . (3)
у В2
Уравнение (3) аналогично уравнению (6) задачи 4-3 для опре-
деления уровней энергии нечетных состояний в одномерной пря-
моугольной яме. В частности при выполнении условия
связанных состояний в яме нет.
4-5. Считая, что Аг ~ а ( а - размер ямы),.а Ар ~ р ,
р2 Ъ2
получим Е = ---------5 . Связанное состояние существует, ес-
2m 2пп
2 ma2 U
ли Е $ U или --------j-2 £ 1.
°
Сравните полученный результат с формулой (4) задачи 4-4.
4-6. Электростатический потенциал может быть определен
из уравнения Пуассона
v2<p = - 4ice | С(г) + |ф1э|2 } (1)
1 - /п
где ф = ——— е о - волновая функция 1s - состояния
в z—з
атома водорода ; в правой части (1) - плотность объемного
заряда в атоме.
2ВЙШШЯ 4-6
4-8
149
Решая (1), получим
<Р (г) = | ( 1 + -§- ) е-2г/ао
Обратите внимание, что всвду <р (г) > 0.
4-7. Искомые величины определяются так:
<г> = | 1Ф1а12г <К = — J 4кт3е-гг/ао бг = - aQ ,
•као г
где ао -. радиус первой воровской орбиты.
_____ dp
Величина определяется из условия gf = u • где
р(г) = |ф1з|г 4‘ягг - плотность вероятности обнаружить элек-
трон на расстоянии г от ядра. Вычисления дают
Г, =
НВ о
4-8. Вероятность а - распада W пропорциональна проз-
рачности кулоновского барьера, созданного ядром - остатком
(см.рис.49).
О _______________________
С 2 ° / 2Z ег х
D ~ ехр { - - J / 2На ( -4- - Еа ) бг }. (1)
«я
Определим Во из условия
Интеграл в формуле (1) приводится к виду J v (izx) - 1 бх
IbU
РИШШН 4-8
4-9
Рис.49.
и вычисляется подстанов-
кой х = sln2t. Учитывая
что размер ядра Кя« KQ
в результате интегриро-
вания получим
( 4-itZ е~ ч
и ~ ез---------— V — f
Отсюда In W ~ Еа1/2
4-9. Вероятность захвата пропорциональна вероятности
обнаружить електрон в объеме ядра:
W ~ |ф|г d3r . (1)
VH
Поскольку размер ядра много меньше размера атомной оболочки,
W ~ |ф(г=0)|2. При г = О отличны от нуля только волновые
функции з - электронов.Число з - электронов во всех оболоч-
ках одинаково. Поэтому:
_ 1ф13(о)|2
Wb 1Ф2в(0)12
Полагая, что в тяжелых ядрах (Z » 1) волновые функции К- и
L- электронов являются волновыми функциями кулоновского спе-
ктра, получим:
откуда
3/2
4 ,(тоо>3
Z3 /(270V3
= 8-(Z„ /ZT)
К
(3)
где ZR и Zb - эффективные заряды ядра для электронов, нахо-
дящихся на К- и Ь- оболочках. Поскольку Z » 1, можно счи-
тать, что ZT => Z„ ° Z. Отсюда 8.
Jj A A Xi
РКВЕНИЯ 4-10
4-11
151
4-10. По определению <x>n = .Г х|фп|2 dx . Поэтому
2 1 , П
<х> = - х з1гг к х dx = - ,
n I о п 2
т.е. в любом состоянии среднее расстояние частицы от стенок
равно половине ширины ямы.
4-11. Плотность вероятности иметь координату х, равна
р 2 р
|фп (х)| = - sin knx. Экстремальные значения Wn определя-
ются условием:
максимумы плотности вероятности - требованием:
d2W(x)|
где хт - корни уравнения (1), а минимумы плотности вероят-
ности - условием.
d2W(x)
dx2 х
> 0 .
Отсада координаты экстремумов:
X = - 1
ш П jj ’
где m = U, 1, 2......2п. При атом, поскольку
d2Wn(x)!
то четным m соответствуют минимумы, нечетным - максимумы.
Графики плотности вероятности Wn (х) для п = 1,2,3 приве-
дены на рис. 50.
152
РЕШЕНИЯ 4-11 ---- 4-13
Рис.50.
п = 1 х = 1/2 .
X
п = 2 JZ4; 31/4 ,
□ЮЛЕ J '
X
и = 3 х = 1/6; 31/6; 51/6
ш&х
X
4-12. В соответствии с принципом Паули второй электрон
с той же проекцией спина, что и у первого, .может занимать
уровни с другим квантовым числом: и 2.
4-13. Двухэлектронные волновые функции, обладающие оп-
ределенной сикшетрией относительно перестановки электронов
имеют вид:
Ф± «2) = -F [ «WW * ].
V 2
Здесь ф. (х) = / - sin ££ ; ф_(х) = sin — - вол-
1 у г г 2 у i г
новые функции электрона в состояниях с и = 1,2; знак ”+"
соответствует спину S = знак - спину S = 1.
Места наиболее вероятного расположения электронов опре-
деляются максимумами функции |ф+ (х1,х^)|2. Эти максимумы
расположены вблизи точек с координатами:
РШИШЯ 4'13 - 4-15
153
Рис.51.
На рисунке 6'1 изображена топографическая карта поверхности
|ф± (х1, х2)|2.Звездочками отмечены вершины холмов.
4-14. Среднее значение расстояния между электронами оп-
ределяется интегралом (см.задачу 4-13)
<Г12>1 = X X ^2 1Х1" Х21‘1Ф± ^1’Х2Н2 =
9 г г
= X ах, J dx2
I о о
|х1- х2Г| slnpioq/lhsln^icXg/l) ±
± sln(%x2/i)-sln(27a1/l) I2 = ((1/3 - Ь/8%2 + Ю/Этс2):
<г._>. * 0,157 I; <г,_> « 0,383 I.
IС т 1 С. —
Взаимное отталкивание электронов в состоянии со спином й = 1
слабее, чем в состояниии с S = О ( <г12>_ больше, чем
<г12>+ )-
4-15. Потенциальная энергия электрона в поле
точечного
ядра
и = -^
Потенциальная энергия электрона в поле ядра конечных разме-
ров в условиях задачи:
lt>4
РЕШЕНИЯ 4-15 ---- 4-16
{- Ze2/г при г > R,
-(Ze2/2R)(3-r2/R2) при г С R.
Поправку к анергии уровня 1s находим усреднением величины
OU = U - Uo по волновой функции нулевого приближения
1 С 7 13/2
^р7г г ( S’ ) «Р'-гг/ао>.
где а - боровский радиус:
CE1s.= <1s|CU|1s>- = J |ф1в|2 СП d-r =
= 4-(Z/ao)3 J e-2Zr/ao СП г2 dr =
О
= 4 (Z/a )3 Ze2 Г e-2Zr,ao f - — - - ] r2dr.
° о 1 2R3 2R r J
Учитывая, что R « aQ/Z , полагаем под интегралом
ехр( -2Zr/a ) “ 1, и выполняя интегрирование, получим
5 г* •» ( !Г Г •
4-16. Из условия квантования Бора-Зожаерфельда
,f р dx = Zxnh
и закона сохранения энергии
Е = рг/2т + mgx
получаем
2 J l2m(E-tngx)J1/2 dx = 2mh,
о
где Н = E/mg максимальная высота.
Выполняя интегрирование, находим
En= (3ngh /1)2/3 п2/3,
Нп= | Oxh/niy'g ')273 п2/3.
РЕШЕНИЯ 4-17
5-2
15b
4-17. Ток эмиссии пропорционален вероятности туннели-
рования электронов с поверх-
ности металла через потен-
циальный барьер (см. рис.52).
Высота этого барьера есть
работа выхода А, а ширина
d определяется условием:
А - eEd = 0.
Рис. 52. где Е - напряженность при-
ложенного к поверхности металла электрического поля.
Оценивая прозрачность барьера как
получим
где
I) “ exp J / 2m(A-e£X) dx |
J “ exp { - а / Е J ,
( 2А )3/2 4/2йГа3/2 .
т1/2 eh 3 еН
5-1. Прямой переход 4з —* Зз запрещен правилами отбора.
Переход возможен в две стадии: 4з —* Зр —♦ Зз (см. рис 53) .
43 ---------
>-------Зр тогда
/ х = ! (3-Ар)2(4-дз)2
33 4з->3Р К (4-Д )2-(3-Д )2
РИС.53. о 3 р
«> 11700 А.
о
Л. „ « 5900 А.
3p-»3s
Д = 3
Я
5-2.
- ( Ry/I )1/2 = 1,37;
0,88,
где Л - средняя длина волны дублета.
156
РЕЙВИИЯ 5-3
5-7
5-3. А = 2,23; А = 1,76; I = 4,34 эВ.
S р
5-4. Расщепление дублетов резкой серии полностью опре-
деляется тонкой структурой нижнего терма 6 2P1/g 3/г, поэто-
му все линии резкой серии в шкале волновых чисел имеют оди-
наковое расщепление
5-5. Поскольку N — g-exp ( - E/kT ), где g = 2J + 1 -
- кратность вырождения уровня (статистический вес), Е -
энергия возбуждения, то
N(32Pl/g) + N(32P3/g) = g(32Pl/g) ч- g(32P3/g) -AE/kT _
N(32Sl/g) " e(32Sl/g)
-AE/kT
= 3-e * 1,5-10 \
где (1 1"|
AE = By < ---------g----------? ) .
I (3 - A )2 (3 - A)2 J
s p
5-6. AX/X w v/c ; звезда "убегает" co скоростью v *
w 3-107 см/с.
5-7. Доплеровское уширение линии с частотой wQ равно
Ашдоп = wQv/c , где v - проекгия скор юти излучающей части-
цы на направление наблюдения. В сосуде частицы движутся хао-
тически с тепловыми скоростями (v). В этом случае v = v =
= ( )1/2. Поэтому для X = 5890 А ( wQ = 3,2-Ю15 с-1 )
АШ = — )1/г = 8,3,109 С-1,
доп с м
что значительно больше естественной ширины = А =
= 4,5-107 с~! При наблюдении в направлении, перпендикулярном --
струе, (при малых углях а расхождения струи)
Лшдоп - <VV/C,a’
РЕЯЕНИЯ 5-7
5-12
157
так что при ‘ а —» 0 ширина линии Лш ж Лшест-
2 4 2 4
5-8. Ra (Z - а') г Ra (Z - а')
- ЛК = —=--------— ; и = < ----------------
п3Ц1 + 1) I ДК1(1 + 1)
Переход 5 %/2,3/2 - 3 гБ1/г.
5-9. Сравнивая по порядку величины магнитные и кулонов-
ские силы
-2 г
iic е ц t
получим = Л/21С.
Здесь Л - комптоновская длина волны электрона, цо - магне-
тон Бора. Необходимая анергия есть
~ а щсг = 3,7-Ю3 эВ.
5-10. Магнитное поле электрона, пролетающего со скоро-
стью v на расстоянии р, имеет порядок величины
Н а/ 1/ср ; 1 ~ е/'t /v ev/p ;
*t - характерное время пролета.
Отсюда цН~^-|~Г£И^.
мжижща Hq** mCCp2 L ₽ С J ₽
Таким образом, спин-орбитальное взаимодействие сравнимо с
кулоновским при больших скоростях и "близких" пролетах (т.е.
при v —» с и р —» А).
5-11. Двигаясь мимо ядра с зарядом Z электрон испыты-
тывает действие магнитного поля Н е ( см.задачу 5-10 ).
Поскольку v ~ ZvQ ; е ~ Ze/r2 ; г ~ aQ/Z , то для спин-
орбитального взаимодействия получаем оценку:
AW ~ цоН ~ a2Z4By ~ 7-10"4 эВ«24.
5-12. Энергия сверхтонкого расщепления по порядку вели-
чины равна анергии взаимодействия магнитных спиновых момен-
тов протона и электрона
1Ь8
РЕШЕНИЯ 5-12
5-16
1 he
К =
ст
й* „ . _L _ffi_ <* „
<’ о?
— л/iu2 см (точное значение
ц- а2Ку — 10“б эВ,
Л = 21 см). У позитрония
р
Д*ст~ а By - порядка тонкого расщепления в атоме водорода.
5-13. Так как
a2Z4By
ДЕ . = Л (Ьш) = ; Ъш = f By,
111 п31(1+1) 4 Р
а -з о
и, следовательно, К = 4/ЗВ, то ЛХ = ^ = 5,4«10 А.
5-14. Головная линия - самая длинноволновая в серии
Бальмера: и = 2 —> и = 3. Одинаковые частоты имеют линии с
одинаковыми начальными и конечными значениями полного момен-
та импульса, ибо энергия уровня, в рамках теории тонкой
структуры, зависит от двух квантовых чисел: главного кванто-
вого числя и полного моменте. Переходы HQ:
2Si/a - 3Pi/2' 231/? - зрз/2’> 2Pi/a -
2Р1/г ЗРз/г* 2Рз/г /г ’ 2рз/г ”* Зрз/г •
сРз/г -* °P5/2'
Одинаково подчеркнуты линии с равными частотами.
5-15. Поскольку в атоме позитрония (me_/me+) = 1, спин-
орбитальное (тонкое) и сверхтонкое расщепление одного поряд-
ка величины
a2 By .
с-о ст
5-16. Полная ширина мультиплета равна сумме расщеплений
обоих р-термов:
РЕВЕНИЯ 5-16
5-20
159
5-17. W = Е ( 2 %/г) - J Ry - Евых= 5.7 эВ.
где Е (2г5)/2) - энергия возбуждения метастабильного сос-
тояния атома водорода. Кинетической энергией атомов, выле-
тающих из печи ( Т “ 103 К “ 0,1 эВ ), здесь пренебрегаем.
5-18. Е .= - .
nt п г
В условиях задачи ( Z = 12; а = 8,85; п = 3 ):
I = - E3s = 15 эВ.
В условиях задачи (а'= 6,61; 1=1) имеем Лк = 91,3 см ’.
5-19. Расстояние между дублетными уровнями в шкале
волновых чисел . Лк = к1- к2 = ----. определяется соот-
ношением г ,,4
Лк = - а )
п~I(1+1)
о
Отсюда находим Л.,= 5896 А.
R .
5-20. Энергетический уровень, характеризуемый кванто-
вым числом J. расщепляется во внешнем поле не 2J + 1
подуровней. В отсутствии внешнего поля J - уровни пред-
ставляют собой 2«Т + 1 "слившихся" подуровня. Поэтому
уровню J соответствует статистический вес g=2J+1.
160
РВЯВШт 5-20
5-23
Статистический вес уровня определяет вероятность состояния
и, следовательно, интенсивность линии. Поэтому интенсив-
ность I дублетов главной серии щелочных металлов и подоб-
ных им ионов в отсутствии реабсорбции излучения определя-
ется отношением статистических весов 2Pj - уровней:
К n%/2 - n%/g) g( gP1/g) ,
К n2P3/g - n%/g) g( %/g) 7 '
т.е. в дублетах главной серии атомов щелочных металлов ко-
ротковолновая компонента ( n2P3/g * n?Si/2^ вдвое интен-
сивней длинноволновой ( n2P1/g -» n2S1/g).
5-21. Линии поглощения, соответсвуищие переходам из
основного состояния атома в возбужденные, образуют в атомах
щелочных металлов главную серию; в атоме натрия это пере-
ходы За -» пр. Более детально: линии главной серии - дуб-
леты (1з2 2з2 2рб) За 2S1/P - (1зг 2з2 2рб) пр 2P1/S
в скобках - не изменяющаяся при переходе электронная кон!и-
гурация атомного остатка - иона.
5-22. Исходный терм возбужденного атома натрия Зр 2Р
порождает в поглощении резкую серию - Зр 2P1/g 3/2-» па 2S1/2
дублеты и диффузную серию - Зр гР1/23/2 -» па гР3/2.5/2 -
"триплеты" ( переход гР1/2 -» 2^5/г ~ запрещен ).
5-23. Конфигурация невозбувденного атома алюминия
1з2 2з2 2р6 За2 Зр; его спектр поглощения аналогичен спект-
ру поглощения возбужденного атома натрия - резкой и диф-
фузной сериям. В спектре поглощения алюминия - две серии:
р р
дублеты Зр 2P1/g 3/2 - пз 2S1/g . п 4
"триплеты" Зр ?Р1/2 3/2 * nd %/2>5/2: и > 3.
РЕШЕНИЯ 6-1
6-10
161
6-1. К - серию можно набладать, начиная с лития; L -
серию - с натрия.
6-2. Нельзя, так как энергия связи К - электрона равна:
Е_и= (Z - 1)2 Ry w 113 кэВ
6-3. Дифракционная картина при 2d-sin <р < A.m±n не на-
блюдается. Для энергии электронов и напряжения на трубке по-
лучим соответственно:
w = ; и = ? « 85 кэв.
О л
6-4. Ак = °) = 8-105 см'1.
п3 1(1 + 1)
6-5. Посколку к ~ 1/ (Z - а.)2 - и Ak (Z - ото)л,
К Xkj •
для расщепления в шкале длин волн получим при Z » ок,
(Z - о™)4
АА.~А. Ак ~---------=^7- 1 + (члены порядка o/Z).
(Z - ок)4
6-6. Z = 74; Ек = (Z - 1)2Ry « 72,5 кэВ.
Е(Ка) = | Е,^ а 54,4 кэВ.
6-7.
Z = 1 + /1 / (| RA.) , элементы:
кобальт (Z = 27) и хром (Z = 24).
6-8. W, = 7,5 кэВ; WT « 65кэВ.
к Ъ
6-9. W <• 37 кэВ.
р
46 / 1/\ - 1/М в 1
6-10. R = ------2---« 1,06 105 см-1,
& (Z - Z )2
162
рвяения 6-ю
6-15
z2 - Z. V к/к
............* 6,5
1 ~ ✓ JL/Kg
6-11.
- уровень энергии атома с ва-
кансией на К - оболочке;
к_ н L - рентгеновские пе-
“•Р’< u рехода;
>вень
на L
энергии атома с ваканси-
- оболочке;
- уровень
атома.
энергии невозбужденного
Ек = 69,6 кэВ Еъ= = 10,6 кэВ
15^= 59,0 кэВ
Bfcp= 67,4 кэВ
Ек7= 69,3 кэВ
\д= 1,48 X
6-12. р - электрон любой оболочки со спином, парал-
лельным спину "дырки" (А1 = ± 1, A ms= 0).
6-13. Поглощается за счет фотоэффекта' с более высоких
оболочек, на которых энергия связи электрона меньше энергии
Ка - фотона.
6-14. Да, будет.
6-15. Молекулярный коэффициент поглощения рентгеновс-
ких лучей равен сумме атомных коэффициентов поглощения эле-
ментов, входящих в состав молекулы. Атомный же коэффициент
приблизительно пропорционален плотности электронов в атоме,
то есть Z ( Z/ao)3. Поэтому коэффициент поглощения каши.
РЕШЕНИЯ 6-15
7-1
163
содержащий тяжелую многоэлектронную примесь, значительно бо-
льше коэффициенте поглощения тканей человека, состоящих
преимущественно из легких элементов.
6-16. Кинетическая анергия выбитого электрона опреде-
лится соотношениями:
Отсюда
mV2
= hwo - By (Z - о)2;
By (Z - о)2.
6-17
тс2
1/2
2,3
109 см/с.
Из соотношений:
, By(Z - a)2
- mQc2 = %---------a----= n^c‘
,2
hw = = si By (Z - o)2
71 - р2
подучим:
1
n\,c
2 ]l/2
a 1,3 101° CM/C
3
= 4
V =
v = с
7-1. В соответствии с общим правилом сложения моментов
имеем
Конфигурация Квантовое число суммарного орбитального момента
nsn's 0
3 р
s d 2
пр п'р 0. 1. 2
Р d 1, 2, 3
Р * 2, 3, 4
d Г !,2, 3, 4. 5 —j
164
РЕШЕНИЯ 7-2
7-3
7-2.
Порядок сложения Промежуточный момент Квантовое число суммарного орбитального момента
pd(L'=;1)f L = 2, 3, 4
- рй(Г= 2)f L = 1, 2, 3, 4, 5
3)f О, 1, 2» 3. 4, 5. 6
4 ^Г(Ъ'=~2Й.’ I» = 0, 1,2, 3, 4, :
рКЬ'^ 3)d L = 1, 2, 3, 4. 5
jpf(I^=4)d L = 2, 3, 4, 5,4
' drd?= 1 )p L = 0, 1, 2 7 ; '
df(L'= 2)p > L = 1, 2, 3 .
j dI(L'= 3)p L = 2, 3, 4
j df(I>’= 4)p .. L = 3,: 4, 5
| df(L' = 5)p l ''' '1 = 4, 5, 6
Обратите внимание: результат (полный набор квантовых чисел
момента импульса) не зависит от порядка сложения моментов.
7-3. Уровни конфигурации пр n'd в приближении 1£-связи
РЕШЕНИЯ 7-3
7-6
165
1 1 ! з з ч 3 2 !г
i 2Fq
1
i 4
1
Уровни конфигурации пр n'd в приближении JJ-связи
>1 = 1 1 = 2 2 *2 J2ic J < V J2 Состояния
1 -а
1/2 3/2 ₽l/2 ^3/2 1, 2 N- NC го
! i/2 5/2 ₽1/2 d5/2 2, 3 о irtbJ -гч
3/2 3/2 ₽3/2 ^3/2 0, 1, 2, 3 f3 3-. V Z'o.i,2,3
3/2 5/2 Рз/2 ^/г 1, 2, 3, 4 ,3 5х {2 2Ч,г,з,л
В обоих случаях 12 уровней.
7-4. J=(J + l) + s = K+ s, причем J = 3/2;
1 = 1; s = 1/2.
к J JZCK3J
1/2 0, 1 I пр[3/2]0>1,
3/2 1, 2 з ~ пр[3/2], о ,
5/2 г-3 np[5/2J2j,
7-5. Возможные значения спина пары электронов S = 0,1;
суммарного орбитального момента L = 1,2,3. Соответственно,
i термы конфигурации pd суть: ’Р°, 1D°, 1F°, 3Р°, 3D°, 3F°;
все термы - нечетные: 2 1=3.
7-6. Возможные значения спина трех электронов в = 1/2,
3/2; суммарного орбитального момента ( см. задачу 7-2 )
166
гЕШЕНИЯ 7-гб
7-12
L - и,I,2,3,4,5,6. Термы конфигурации pdl суть: 2,4S.2,4P.
2,4D, 2’4Р, 2,4G, 2,4Н, 2,41, все термы нечетные: Z lt= 6.
7-7. S = 0,1; L = 0,1,2. Термы ’S. ’Р, ’d, 3S, 3Р, 3D:
термы четные: 2 1.-2.
7-8. В оболочке и £ 2 может разместиться ь р- элект-
ронов, в оболочке п £ 3 - 10 о- электронов, в оболочке
п > 4 - 14 Г- электронов.
7-9. Единственное значение проекции суммарного орби-
тального момента заполненной подоболочки есть нуль: Z тг= О,
следовательно 1 = 0. Суммарный спин также равен нулю: так
как Е ш = О. Терм - 1S, четный. Заполненная оболочка сос-
тоит из заполненных подоболочек. Терм - 1S.
7-10. Все моменты заполненной подоболочки равны нулю
( см. задачу 7-9 ); моменты терма определяются квантовыми
числами электрона вне заполненной подоболочки:
! конфигурация j терм
i ***" n * 2?
2s
' г с2 I-*-** 1 2? i 1
7-11. Все моменты заполненной подоблочки равны нулю,
поэтому квантовые числа терма подоболочки с одной "дыркой"
суть квантовые числа "дырки" - "вынутого" ( одного! ) элек-
трона. Конфигурацию р5 и терм 2Р имеют все галогены.
Конфигурация й9 имеет терм 2D - ион N1*. Конфигурация
Г12 имеет терм - атомы тулий (Тт)
и менделевий tMd).
7-12. Эквивалентные электроны имеют одинаковые кванто-
вые числа пи I; для двух оставшихся квантовых чисел ш-
РЕШЕНИЯ 7-12
7-13
167
и ms есть две возможности: 3 = 1- одинаковые ш , следо-
вательно, различные jnx; S = 0 - различные ш^, любые соче-
тания ш?. Составим таблицу значений проекции суммарного
орбитального
1. S = 1
момента М_= ш,,+
-Ь 11 Хе.
m = ш
Сочетания, меняющие местами электроны, не учитываем. Набор
значений ML представляет терм с 1=1, т.е. 3Р.
2. S = О, msl я Ms2
! ®
М.
Набор значений Мт представляет два терма - один с L = 2
и второй с 1 = О, термы * 1D и 1S. Терм !Р не предс-
тавлен этим набором значений М^. Для двух эквивалентных
электронов действует правило, выражающее принцип Паули -
L + S - четное число. Термы 1Р и 3S, 3D, имеющие место
в конфигурации неэквивалентных электронов пр п'р ( задача
7-7 )f в конфигурации р2 не реализуется.
По изложенным правилам для конфигурации d2 находим
термы 1S, 1D, ’G и 3Р, 3Р.
7-13. Термы дырок, имеющих квантовые числа "вынутых"
электронов, идентичны термам электронных конфигураций.
Термы конфигураций р2 и рл одинаковы - 1s, 1D, 3Р.
Термы конфигураций d2 и d3 - 1S, 1D, ’g, 3p- 3F.
Твв
РЕШЕНИЯ 7-14
7-19
7-14. Низшие термы конфигурации по правилу Хунда имеют:
Г) максимально возможный спин; 2) максимально возможный
(при наибольшем спине) орбитальный момент. Из набора воз-
можных термов (см. задачу 7-12)
Р2 - 1S, 1D, 3Р
d2 - 1S, 1D, 1G, 3P. 3F
низшими будут p2 - 3P, d2 - 3F.
7-15. Термы двухдырочных конфигураций такие же, как и
термы двухэлектронных. Низшие термы - р4 3Р и d8 3F.
7-16. Атом азота имеет конфигурацию Is2 2s2 2р3, наи-
большее значение спина трех электронов S = 3/2; при этом
проекции орбитальных моментов всех трех электронов должны
быть различными m1= 1, 0, -1. Единственное значение проек-
ции суммарного орбитального момента есть нуль Мь= 0. Сле-
довательно, L = 0 и терм 4S.
7-17. Максимальный спин трех электронов S = 3/2. Про-
екции орбитальных моментов всех трех электронов должны быть
различны и обеспечивать максимально возможные значения про-
екции суммарного орбитального момента; наибольшая возможная
величина ML= 3 обеспечивается набором ш1= 2, 1,0. Следо-
вательно, терм есть 4Р.
7-18. Конфигурации возбужденного атома углерода будут,
соответственно, 2р ns, 2р np, 2р nd. Орбитальные моменты
этих конфигураций были найдены в задаче 7-1; спин пары
электронов S = 0, 1.
Термы 2р ns, 1Р° и ЭР° -нечетные,
2р np, 1S, ’р, 1D, 3S, 3Р, 3D - четные,
2р nd, 1Р°, 1D°, 1F°, 3Р°, 3D°, 3Р° - нечетные.
7-19. Конфигурации возбужденного атома азота будут
РЕШЕНИЯ 7-19 ----- 7-21
IS9
соответственно, 2р2 ns, 2р2 пр и 2р2 nd; конфигурация
иона во всех случаях - 2р2, она имеет термы, идентичные
термам невозбужденного атома углерода ( см. задачу 7-12 )-
- 1S, 1D и 3Р - они и будут родительскими термами воз-
бужденного атома азота . Добавляя моменты возбужденного
электрона к моментам родительского терма, получим:
i1SJ + ns -> 2s, терм четный,
l5S3 + np -> 2P, нечетный
i 1SJ + nd 2d, четный,
L 1DJ + ris -> 2d, четный,
l1DJ + np -» 2P, 2d, 2Р, нечетный.
i1DJ + nd -> 2S, 2P, 2D, 2Р, 2G, четный,
t3P3 + ns -» 2P, 4P, четный,
i3PJ + np -> 2S, 2P, 2D, 4S, 4Р, 4D, нечетный,
L3PJ + nd -> 2P. 2D, 2Р, 4Р, 4D, 4Р, четный.
7-20.
Литий Ы 1S2 2s 2fi1/2 четный, терм нерасщеплен;
Бериллий Be 1s2 2s2 1So четный, терм нерасщеплен
Бор В 1S2 2s 2р ₽1/213/2 нечетный, нормальный, дублет
Углерод С 1s2 2s22p2 2Ро1 2 четный, нормальный, триплет
АЗОТ N 1S2 2s22p3 3S3/2 нечетный, терм нерасщеплен;
Кислород 0 is2 2s22P4 2P2i1<0 четный, обращенный триплет;
Фтор Р 1S2 2s22p5 гР3/2 1/2 нечетный, обращенный дублет'
Неон Не 1S2 2s22p6 1SQ четный, терм нерасщеплен.
7-21. По правилу интервалов Ланде расщепление соседних
компонент мультиплета пропорционально полному моменту импу-
льса:
EEj = AJ-
V t v l
РЕШЕНИЯ 7-21 ------ 7-25
Мультиплеты атомов углерода и кислорода, соответственно, но-
рмальный 3PQ 1 2 и обращенный 3Р2 , 0 . отношение расщеп-
лений ДЕ,/ДЕ2 (см.рис. 17 в условии задачи), согласно пра-
вилу интервалов, равно 1/2 для углерода и 2 для кислорода.
7-22. Мультиплет основного терма атома серы 1Р2 1 Q.
?1з правила интервалов Ланде дЕ = AJ следует соотношение
васшеплений АЕО 1/ДЕ1 2 = 1/2; неточное выполнение правила
интервалов обусловлено неучтенными в правиле интервалов вза-
имодействиями. Приближенная величина константы связи момен-
тов равна А к 190 см-1 •» 0,024 эВ.
7-23. Учитывая правило интервалов Ланде ДЕр ~ F в
пропорции расщеплений, получим уравнения для суммы I + <J :
J. + J . I + J — 1 □
------------------ = или = .
1+J-f---------------------------3 I+J-2--
Из них следует I + J = 4. Полный момент основной конфигура-
ции атома йода р5 равен ,j = 3/2, следовательно, спин ядра
йода равен I = 5/2.
7-24. Основной терм кон^ гуращ* 4f4 6s2 есть 51 - нор-
d мальный квинтет I. , , „ „
________ __ 4 у Э 9 О 9 f 9 О
В 1
} ЗА (см.рис. 55, А - константа
7 ------------- / связи моментов). Расщепле-
| 7А ния подчиняются правилу
5 } 6А ЛаНде-
4 ~ * 5А
Рис.55.
7-25. Спины обеих частиц одинаковы и равны 1/2. Основ-
ное состояние пары частиц - S - состояние, расщепленное ма-
гнитным сверхтонким взаимодействием на 2S + 1 =2 подуровня.
РЕШЕНИЯ 7-26 ----- 7-20
'7'1
7-26. Число электронов замкнутой подоболочки определя-
ется принципом Паули.
1. Для заданного числа 1 существует 21 + 1 состояний
с проекциями = -1,...0,...1; значение ML = £ = О в
заполненной подоболочке единственно, так что L = О.
2. В заполненной подоболочке значение Mg = £ ms = О
единственно, так что S = О
3. J = О вследствие 1 и 2.
4. Дь, jis, jij равны нулю, так как равны нулю L, S, J.
7-27. Векторы 1,, 12, 13
образуют треугольник (см.Рис.
56), ибо 1,+ lg+ 13= О. Возво-
дя в квадрат соотношение 1О =
= - 1 1,+ 1г ) и учитывая, что
|1|г = 1( 1 + 1 ), получим
d3+ 11 -l2d2+ 1) - 1, (1,+ 1) _
2 /1, (1,+ 1 )1г(1г+ 1 )
7-28. Возводя в квадрат соотношение J = L + S и учиты-
вая, что ।J|2 = J tJ + 1) (То же для
S УШ моментов L и S ), найдем
У / J<J + 1) - Lil + 1> - S(S + 1;
; /j COS p = --------------- . . --
£ 5/ 2. -/nL + 1 )S(S + 1 )
Рис. 57.
Таким образом в состоянии 3Р,.. р = % , в состоянии "Ti,
р = 106,78°.
РЕШЕНИЯ 7-29 ----- 7-3
7-29.
1 i Электронные 1 конфигурации S = и sTI
1ь J Уровень 1 1 Уровень
1 1s 2s I 0 0 ’So 0 1 =s,
I is 2р 1 1 1 0 Зр о
1 1 1
i 1 - ч
7-30. В основном состоянии у Не имеется два эквивалент-
ных is электрона, которые, согласно принципу Паули, должны
иметь различные ms (-1/2; +1/2), так что суммарный спин
S = О. Следовательно, основное состояние атома гелия
is2 1S0, а не % ,
7-31. Состояния атома определяются пятью d-электронами
с п = 3, для которых возможны S = 1/2; S = 3/2; S = 5/2.
При этом, согласно правилу Хунда, основному состоянию атома
соответствует S = 5/2, при котором спины всех этих пяти эле-
ктронов параллельны. Тогда, в силу принципа Паули, т1 у них
различны, а именно т = -2, -1, 0, 1, 2. Поэтому Мт= £ m =
1 ь
= О и, следовательно, L = и, т.е. и еем секстетный терм
6S5/2 (Поскольку J = L + S, L + S - 1....|L - Б| и L = 0,
S = 5/2). У иона Мп++ отсутствует подоболочка 4s2, которая
не обладает моментом. Поэтому основное состояние Мп и., Мп++
одинаковы.
7-32.
Аг++: is2 ’б2 гр6 3s2 Зр4
иа: is2 2s2 2р6 3s2 Зрб 4s2.
7-33. Электронная
1 зг2ог2р63зг3р63с11 °4з2,
конфигурация атома цинка
основное состояние 3Q.
(Z = 30)
У атома
РЕШЕНИЕ 7-33
7-37
стронция (Z = 38) электронная конфигурация
Is2 2s~ 2рб Зз2 Зр° 4Я- 4р° за10 4s2. Основное состояние 1SQ.
7-34. У пяти d-электронов, согласно правилу Хунда, все
спины параллельны, поэтому у них все пять различны и сум-
марные Мт= J т1= -2 -1 +U +1 +2 = О и L = О. Таким образом,
конфигурация d5 дает S-состояние с суммарным спином S = 5/2.
43-электрон не изменяет L (L = О), а его спин по правилу
Хунда параллелен спинам d5-электронов. Поэтому суммарный
спин у 3d5 4з -электронов S = 3. Следовательно, основное со-
стояние Сг 7S_,.
7-35.
mg —» 1/2;
2; I;
состояние
Согласно правилу Хунда у трех d - электронов
1/2; 1/2, поэтому суммарный спин S = 3/2;
О, поэтому МЬ=Х = 3 и L = 3. Отсюда основное
(меньшее из J = 9/2, 7/2, 5/2, 3/2). Для
конфигурации d7 (смотрите задачи 7-31, 7-34)
Отсюда основное состояние (правило интервалов Ланде)
7-36. Для конфигурации f6 (смотрите задачу 7-26)
1. О, -1. -2,
1111
г* г’ г* г
Поэтому Мт =3, L = 3, S = 6/2 = 3 и основное состояние
7-37. Для электронной конфигурации 4f7 (см.задачу 7-26)
тх = 3, 2, 1, О, -1, -2, -3
ш = 1 1 1 1 1 1 1
S 2' 2* г’ 2’ 2’ 2’ 2
Поэтому Мь = У = 0. L = 0, S = 7/2. К этому нужно доба
РШНИЕ 7-37 --- 7-40
вить 5d-электрон, у которого I = 2, а = 1/2. Поэтому в сум-
ме L = 2, S = 4 и основное состояние 5DP.
7-38. Каждый уровень с данными значениями Ъ и S, вслед-
ствии LS-связи расщепляется на 2S + 1 компоненты, если L > S
или на 2L + 1 компоненты, если L $ S, по числу возможных
значений J. Причем поправка АЕЛ к энергии уровня, обуслов-
ленная LS-связью, пропорциональна возможным значениям
cos (P1,Ps), т.е.
АЕТ = A,cos (PT,S) = A<J(J + 1) - L(L + 1) - S(S + 1)>.
v 1 Л»
где А,А1 - коэффициенты пропорциональности, зависящие только
от L, S и мировых констант, т.е. постоянные для данного уро-
вня. Поэтому расстояние между соседними подуровнями
где Avn - постоянная для данного уровня величина.
4 Отсюда следует, что отношение интерва-
лов между подуровнями данного мульти-
плетного терма относятся как величины
° (J + 1) (правило интервалов) и что по-
" ~з.г-------------дуровни с меньшим J лежат ниже подуро-
---------- , вней с большим J. Поэтому для уровня
6 5П, для которого J = 0,1,2,3,4, интер-
рис. 58.____________валы A sD(Av) относятся как
A5Do1: AcD12: A5D23: А%4 = 1:2:3:4,
т.е.подуровни расположены так, как это изображено на рис.58.
7-39. Возможны лишь состояния 3РО и "Sl/2
7 Р1/2,3/а ’ ”1,2,3* ?3/2,5/г,7/2,9/2 ’
р ‘ ~Ti • ^Р
'0,1,2 * “0,1,2,3,4 * '1/2,3/2,ь/2 ’
РЯШЯНИЕ 7-41 ------- 7-44 175
7-41. Перехода sp 1Р —* pd и пр2 ~Р —» npn'p 3D за-
прещены правилом Лапорта (оба терма одинаковой четности).
Остальные переходы разрешены; структура мультиплетов не рас-
сматривается.
7-42. Низший терм основной конфигурации атома углерода
1s22s22p2 есть 3Р (см.задачу 7-12); другие термы этой же
конфигурации ’D и 1S метастабильны, переходы из них в ’Р за
лрещены дважды - по четности (правило Лапорта) и спину (AS =
= 0). Также метастабильным будет терм: 1ss2s2p3 5S.
7-43.
ls22s22p2 "Р
1s22s22p ns 3P°
’s22s22p nd 3P°
1s~2s~2p nd 3D°
n - 2.
Эти переходы образуют серии спектра поглощения атома углеро-
да. Возможны также переходы
!s22s22p2 3Р — 1s22s 2р3 3Б°. 3Р°. 3В°;
эти переходы, однако, не образуют спектральную серию.
7-44. Согласно условию, линии серий (1s22s2)2p2 3Р —»
-* 2р ns 3Р° и 2р~ 3Р —* 2р nd 3Р° имеют сходную структуру
(см. рис. А). Переход J = 0 —* = 0 запрещен. Отмечены
двумя черточками самая "красная" и самая "фиолетовая" линии
Рис. А.
Гис.Б.
'6
РЕШЕНИЕ 7-44 ------- 7-47
мультиплета. Визуально при наблюдении в спектрограф, линии
делятся на три группы, соответственно расщеплению нижнего
терма с большей константой расщепления. (На самом деле термы
2р nd 3Р° - обращенные для всех п).
Линии серии 2р2 3Р° —* 2р nd 3Г также имеют вид секс-
тетов (см.рис. Б).
7-45. „ Is^s^p3!^] ns 3S°
1s22s22p4 3Р \ р р з а зо
1s22s22p3[4S) nd 3D°.
Отличие от переходов в атоме углерода (задача 7-43) обуслов-
лено различными родительскими термами возбужденного атома.
7-46. Кислород имеет обращенные мультиплеты (см.Рис.59)
J J
' 2р- ns 3S° ?-------т------ 1 ч
। |-у---|пп|- 2 2₽" nd ”D'
Рис.59.
Черточками отмечены крайние линии мультиплетов. Заметим, что
на самом деле терм 3D в атоме кислорода в конфигурации
2р3 3d имеет нормальное расщепление, в конфигурации 2р3 4d
- обращенные, при п > 5 расщепление экспериментально не раз-
решается.
7-47 1s22s22p4[3P] ns 2Р ;
1s22s22p3 fcP° 1s22s22p4[3PJ nd 2P ;
X 1s22s22p4[3PJ nd 2D .
В скобках указан родительский терм. Хотя электроны испытыва-
ют те же переходы Зр —» пз или Зр —» nd, что и в атоме алю-
миния, спектр оказывается более сложным из-за более сложного
родительского терма.
РЕШЕНИЕ 7-48
7-52
177
7-48. Атом фтора имеет обращенные мультиплеты
J
1/2
3/2
2р4 ns 2Р
или
J
3/2
5/2
2р4 nd 2П
2р4 nd 2Р
3/2
Рис.60.
Черточками отмечены крайние линии мультиплетов.
7-49. В спектре поглощения атома азота две серии
Is22s22p2[3PJ ns 4Р ;
1э22эг2р3 4S°
1s22s22p2I3P] nd 4Р .
7-50. Обе серии (см.задачу 7-48) имеют сходную стру-
ктуру линий; термы 4Р с электроном nd выше, нежели термы
4Р с электроном ns.
J
5/2
2р2 nd 4Р
3/2
1/2
2р2 ns 4Р
Рис.61.
7-51. В замкнутой системе "атом + фотон" должен сохра-
няться полный момент импульса. Фотон же имеет спин, равный
эдинице, что и приводит к указанному изменению момента им-
пульса атома (момент увеличивается, уменьшается или повора-
чивается ).
7-52. Изменить направление момента импульса (т.е. про-
178
РЕШЕНИЕ 7-52
8-2
акцию) способны лишь моменты сил. отсутствующие в атоме при
учете.лишь центрального кулоновского взаимодействия между
частицами. Нецентральные спин-орбитальные и спин-спиновые
магнитные взаимодействия (слабые в случае IS-связи по срав-
нению с электростатическими) способны опрокинуть спин элек-
трона и нарушить это правило отбора. Такие переходы ( с
Amg / О ), однако, маловероятны.
7-53. Сохраняется проекция спина каждого электрона и,
следовательно, суммарный спин всей системы Не + е. Поэтому
изменение спина атома возможно лишь в случае замены одного
из электронов атома налетающим электроном с противоположным
спином:
т т I _________________, т т |
1 1 т, ’ Р *з . 1 р,
е - Не. S = О ---------» Не, S = 1 + е
S = 1/2 S = 1/2
7-54. Ортопозитроний. Основное состояние позитрония -
S-состояние с орбитальным моментом, равным нулю, поэтому по-
лный момент равен суммарному спину, имеющему значение нуль,
(пара-) или единица (ортопозитроний). По закону сохранения
момента импульса парапозитроний может породить лишь четное
число фотонов (спин фотона равен единице Г, ортопозитроний -
нечетное.
г» о
7-55. Разрешен только перевод "~Ь.}/г -------► ®3/г-
8-1.
1 ' j состояние ч - Ч/г 4р г1/г *1/г 1 Ч/г !
;множитель • Ланде 1/2 G 4/5 8/3 4 _ 0 i i
8-2. а) в (-?„.)= 5/4. < jl,.» I; J;
решение в~г
--- 8-7
179
°) g ( 4D1/2* = °’ ‘ °» * i\j 1 J):
в) g ( ) = -1.. < И j.
8-3. < Hj (3Р,)> = -3- цо = 1,97-1О~20 эрг/Гс;
/г
рт (%,„)> = 3 /?/5 р = 3,29- 1СГ20 эрг/Гс/
V 1 /с О *
8-4. < pj > = -2- ро = 2,65-1~2° зрг/Гс.
/б
Проекция
g = 5' 1^=0, ±1, ±2.
8-5. ЛЕ = u gH'M = 1,16-IO-4 эВ.
max го°^ Jmax
8-6. ЛЕ = u H-m, = ( 0; ± 1.74; t 3,47;)-10“3 эВ.
тят 'o 1 '
8-7. Производная момента количества движения М рав-
на моменту силы, действующей на эффективный магнитный мо-
мент < jlj > = - pogJ в магнитном поле Н:
( Ы ) = < И^-> « Н = - |iog J«H:
Отсада получаем нг -»
ат - °. ‘ 3-
-» |Л
где йл = g j-2 Н - угловая скорость прецессии ( ларморова
частота ): £1л= g gL .
Галогенам ( F. Cl, Вт, J, At ) соответствует электрон-
ная конфигурация ns2 пр5, где п = 2, 3, 4, 5, 6 ( от
фтора F до астате At, соответственно ) и основное сос-
тояние 2РР/Р Поэтому L = 1, S = 1/2, «J = 3/2, g = 4/3.
Угловая частота прецессии всех атомов галогенов одинакова
180
РЕШИВ 8-7
8-10
и равна = 1,76-10 11 с 1.
8-8. Атом, имевший скорость vz ( в - направление пуч-
Р f2 -j*
ка ) отклонится от оси на величину Ах = t = ~—
z
ИИ
время пролета магнита, F = g-HoKj g - силе действующая на
атом. Основное состояние атома 2S1/g. Расщепление измеря-
Рис.62.
ется мевду точками экрана,
соответствующими максиму-
мам плотности потока ато-
мов, которая согласно ( од-
номерному ) распределению
Максвелла по скоростям
вдоль оси и, равна:
П (vz)= const- vzexp(Mvz / 2КГ)
Наибольший поток соответствует скорости v* = У КС/М. Та-
ким образом 2Дх*= Иг/ИГ = 1,34 см.
8-9. Сила, действующая на магнитный момент в магнитном
поле равна F = (pv)H. Для вертикальной компоненты маг-
нитного поля ( Hz) получим:
да ^ауИ№)
dz ^О® ® J
4 Э/см;
Ускорение свободного падения, M(Na) - масса атома.
Остальные компонента магнитного поля произвольны. Направле-
ние Hz и знак dH/dz также произвольны - при любом вари-
анте удерживается половина атомов, имеющих соответствующее
значение м •
eJ
8-10. Пучок атомов в низшем метастабильном состоянии
РЕШЕНИЕ 8-10
8-16
181
23S1 расщепится на три компоненты.
8-11. Основное состояние атома ртути 's^; пучок не
расщепится.
8-12. Разделение возможно, если состояния таковы, что
различны величины произведений gMj (см. задачу 8-8). По-
этому из смеси можно выделить только Be.
8ИЗ- кТ-Лх
V-------------if 2-
8-14. Максимальное значение проекции магнитного момен-
та равно pog-Mj; так что получим
1 1 v i 4? 3/2 5 |
I j Мп ^5/2 ") 5 i
г (Л бц 1 ° i
ts
8-15. В модели Бора магнитный момент = роп
Уровень до Бору Нб= Ноп . по квантовой механике ц1= poVZ t(i+1)
| п = 1 1 п = 10 i II II О 0* = 0 Р-7 = ^</90 1
При больших I —» p,j.
РЕШЕНИЕ 8-16
8-17
8-16.
Н = О Н / О Mj
' <И1К1-М2Кг)=
=
= 0,28 см-1 ( 0;
±1/2; ♦ 2/2;
± 3/2, ± 4/2 )
а,-Ь- - JJL
’ 2%hc 4тапс~
AM = М^ Mg= 0. ± 1
J
•к - комп.
о - комп. 1I:
к
Рио. 63.
и. И2 Ml Мг поляризация
2 3 -2/2 О
2 3/2 +1/2 %
° и +4/2 п
1 3/2 -3/2 л
0 0 0 0 0 %
1 -3/2 +3/2 .. ° 1
0 0 -4/2 Л 1
-1 -1 -2 -3/2 -1/2
~£~ ±2/2 о
8-17. В обоих случаях имеет место 9 переходов, но
в случае —» 3Р1 наблюдаются 9 разрешенных спектраль-
ных линий, в случае 1D2 -+ 1Р1 наблюдаются- 3 линии -
3 группы слившихся по 3 спектральных линий.
РЕШЕНИЕ 8-18
8-22
183
8-18.
8-19. Атомы с четным числом электронов Не, Be, С, О,
имеют синглетные термы с нулевым спином; переходы меаду
синглетными термами испытывают нормальное расщепление. Во
всех остальных случаях ( термы нечетных мультиплетностей
перечисленных атомов и атомы с нечетным количеством элек
тронов ) - расщепление аномальное.
8-20. В случае 1 - нормальный, в остальных - аномаль
ный. В случае 3 - три компоненты, но масштаб расщепления
вдвое больше лоренцева.
8-21. Крайним! компонентами будут переводы (см. зада
чу 8-16): Зр? (Mj= О) —» -S (Ма= t1), расщепленные на вс
личину дк - 4-Дк^;-. так что магнитное , ноле - оказывается
,8-22. Эффект Лишена - Бака будет наблюдаться при но.
лях, заметно превышающих вс личину Н*, при которой' зее-
184
РЕШЕНИЕ 8-22
8-26
мановское расщепление сравнивается со спин-орбитальным:
Н*
2
4*)U|1C ДА rj 07 g
е А2 ”
8-23. Нэ линиях, начинающихся с уровней с главным
квантовым числом п, заметно превышающим величину:
n “ I u W* I “ 20 (О'*- задачу 8-22).
I Hq11 j
8-24. n « 60 ( см. задачу 8-23).
6-25. При переходе между полуровнями данного уровня
излучается частота
v = g .-И + к и .
в 4тапс Е пт’
ЦуНо
где А = ——-" — - постоянная сверхтонкой структуры,
У J(J+1)I(1+1)
Мт - магнитное квантовое число спина ядра. Пренебрегая
сверхтонкой структурой, получим
g = = 1,98.
Множитель Ланде для Mn++ (bS6/2) равен g = 2. Различие
обусловлено взаимодействием иона с окружающими диамагнит-
ными ионами вещества, содержащего Мп++.
8-26. Число компонент, на которое расщепится пучок в
слабом поле, определяется числом возможных проекций маг-
нитного момента атома на направление магнитного поля.
Поэтому в слабом магнитном поле пучок атомов бора, основ-
ное состояние которого гР1/2, расщепится на компоненты
соостветственно числу возможных значений Мд. В сильном
поле, разрывающем L-S - связь, число компонент в общем
случае равно (2S+1)(21+1), однако некоторые компоненты
могут быть вырождены, т.е. иметь одинаковые величины про-
РЕШЕНИЯ 8-26
8-28
185
екции магнитного момента атома на направление магнитного
поля. Пучок расщепится на 5 компонент, поскольку комби-
нации ML= -1, Мд= 1 /2 и ^=1. -1/2 дают значения
проекции магнитного момента, равные нулю и сольются в цент-
ральный пучок.
? “ »* i й «V «ь + щ
dx
«в 1/2 1/2 ,Л -1/2 -1/2 -1/2
I *L | 1 0 -1 1 0 -1
i M.+2Mg 2 1 ° 0 -1 ~2
8-27.
“j V2Ms “в “s
IV IV
а=0 Н- слабое И- сильное
Рис. 65.
Рис.66.
186
РЕШЕНИЕ 8-28
8-31
При расщеплении уровня в магнитном поле образуется экви-
дистантный спектр подуровней (см. рис. 66), поэтому все пе-
реходы ЭПР (ДМ = ±1) мевду подуровнями данного уровня да-
ют одну линию; частота перехода пропорционольна g - фактору
8-29. На рис. 67 показано расщепление линии D2 нат-
Зеемановские ЭПР
переходы
Рис.67.
тиметровом диапазоне. 8 -
апазоне.
рия в магнитном поле и
линии поглощения ЭПР.
Энергия и длина волны
кванта ЭПР, поглощаемого
атомами Na в основном
состоянии, таковы
Еэпр= ^о® = ® 2nic я =
= 4,08-1 О'17 эрг =
= 2,5б-10~5 эВ.
Хэпр= hc/Eanp= 4’87 см-
Линия ХдПр лежит в сан-
в видимом оптическом ди-
8-30. Спин-орбитальное расщепление Дш = . Учиты-
Л1 2
вая, что при а = 20 происходит полный разрыв L-S - свя-
зи, имеем нормальный лоренщ. в три; ;ет Дшь= так что
Н с. а •-* з • 1 о6 Э
А2 . е
8-31. g (~Р2) = д. g ('Р,) = д ,• смещение « - компо-
нент равно Дшх= дшъ(й7- gp-M; М - значения проекций мень-
шего из моментов. Спектральная линия 3Р? -» 3Р( расщепля-
ется на девять' компонент с расстоянием мевду крайними
; - . ’ • ч
% - компонентами равным AqL ,
РЕШЕНИЕ 8-32
8-36
187
8-32. Так как энергия естественного расщепления уров-
ней водородоподобных с Jj= I + а J2= 1 ~ 2 ионов оп-
ределяется выражением:
Ry-crZ4
ЛЕ = ------------- ♦
JTJ2 n3t(l+1)
где п = 5, поскольку четвертая линия Лаймана соответ-
ствует переходу 52Р,/2 $/г~* i2si/2* 8 ЛЕ p.QH, то
n3l(l+1)ЦОН .1/4 . 3+
Z =« 1 ---------- > =4, т.е. ион Be
* Вуог -*
1 Лшь -1
8-33. Лк =---------=1,25 см .
2itc 5
Это соответствует переходам nS —» 6р.
8-34. 1. S = 0 - нормальный эффект Зеемана (1DP-,P1).
2. J1 или J2 = 0 - величина расщепления отлична от
нормального лоренцевского (3S5~ 3PQ).
3 . J,= 1; g2= О
8-35. При S « L и, следовательно, J « L, имеем
g « 1 + ( член порядка S/L ) —♦ 1.
8-38. На рис.68 изображен график изменения потенциаль-
ной энергии электрона вдоль оси х, проходящей через протон
в направлении электрического поля
П(х) = - еЕх - ,
188
РЕШКНМК 8-36
8-39
и уровни энергии изолированного атома водорода. Выше зна-
чения U*= Щх,) = -2/ е3Е , х#= / е/Е являшщегося сед-
ловой точкой потенциала, дискретные уровни не реализуются.
Таким образом, из условия - Ry/n2 > и* находим, что не
реализуются уровни с главным квантовым числом
п > | ( Ео/Е )1/4; Ео= е/а2 ;
здесь Ео= 5,14-W9 В/см - напряженность электрического по-
ля на первой боровской орбите.
При условиях задачи в спектре поглощения наблодаются
лишь три линии поглощения п = 1 —» п’ = 2, 3, 4.
8-39. На уровне с главным квантовым числом п диполь-
ный электрический момент атома водорода можно оценить
величиной б =< еа..,пг.
п о
Для штарковского смещения линий по порядку величины
имеем eaQ£H* Е Н - электрическое поле в системе
РЕШЕНИЕ 8-39
9-2
184
координат, движущейся со скоростью атомов. Штарковское
смещение доминирует над зеемановским р0Н при усло-
вии J “ -х - Для серии Лаймана п £ 2.
с еао по х?
8-40. Континуум опустится до уровня, на котором штар-
ковское смещение в электрическом
п + 1 'чур''-'-поле соседнего иона сравняется
п с разностью энергий близлежащих
п “ 1 ' уровней
п - 2 ----
I е п2Е “ Z“ , здесь п -
Рис.69. главное квантовое число "послед-
него" дискретного уровня, Е = Ze/R2 - электрическое поле
соседнего иона, расположенного на расстоянии R.
Среднее расстояние между ионами определяется их плот-
ностью R “ (N)~1/3. Таким образом, "последним" дискретным
уровнем является уровень с главным квантовым числом
n - (Z/ao)2/5 JT2/15 =. (z2/r2/3)1/5
В последнем выражении фигурирует газовый параметр Г = а31Ч.
В редком газе Г « 1. В водородно - дейтериевой плазме
термоядерной установки "Токамак" ( N = 1014 см-3 > и = 30.
9-1. = 1 = 5-107 с
А к3
в = .г.с. _ д.1Пго см _
21 8uh г
Статистический вес терма 2Р равен g = (2L + 1) (2S. + 1 )= 6.
Таким образом
Bi2=^S2, =ЗВ21 = 1.2-1021
9-2. По условиям задачи (атом изолирован и неподвижен)
имеет место естественное (радиационное) уширение (Аш = А),
190
РЕШЕНИЯ 9-2 ------- 9-5
следовательно, ~ ~ 10 У см~. Поскольку о ~ аг (а -
«I4 г
п „ ?
размер атома), то — ( g ) ~ 10ь.
9-3. Сечение фотопоглощения ~Sl/2 — ~р3/2 (5890 А) при
доплеровском уширении равно
кг А -11 г
о =-----------= 1,58-10 см ,
Й1 4 ‘Ч>
«1,gg - статистические веса нижнего и верхнего уровней.
Излучение ослабляется в 100 раз на длине
In 100 -г
х = ------ “ З-Ю см.
No
9-4. Интенсивность излучения после одного обхода равна
(см.рис.21)
1(х + 21) = 1(х)-ежх г1еет’ ггеж(1,_х) > 1(х) ;
здесь х - координата стартовой точки, отсчитанная от зеркала
г , Кх) - интенсивность при старте. Отсада находим
ж i------- In ГГ-, = 4,9-10~".
2L 1 ~
Эта величина называется пороговым коэффициентом усиления.
9-5. Пороговая инверсная населенность равна
AN ----------— jji г г3 ;
порог 2Ьо 1 “
= F i ’ Аш =
РЕШЕНИЯ 9-5
9-8
191
Для лазера на рубине получаем:
AJL„=* 5,3-1015 см-3,
порог
9-6. Изменение интенсивности излучения dJ при прохож-
дении слоя газа толщиной dx определяется уравнением
dJ = -J ( N1- N2)-o dx = -Jaedx,
ae = o( N - N2) - коэффициент поглощения, о - сечение фото-
поглощения и индуцированного излучения; и N - насе-
ленности уровней 1 и 2, соответственно.
Из условий
N
jq=exp(-^]; Ni+N2=N; to =
получим
ae = oNthf — "|=aN 1 ~ BIP < ~to/KC > .
I № J 1 + exp ( -to/kT )
Излучение будет усиливаться, проходя через вещество, если
коэффициент поглощения эе = a(N - N2) < 0, т.е. если осу-
ществить инверсную населенность уровней. Этому формально
соответствует " отрицательная температура"
f Ni 1
kT = to/ln 1 jjl j < О.
Заметим, что при Т -» «> вещество прозрачно: ае -» о.
9-7. Нельзя, так как по достижении равенства заселен-
ностей коэффициент поглощения становится равным нулю - ве-
щество становится прозрачным и оно перестает поглощать
энергию (см. задачу 9-6).
9-8. Размер "зайчика" го определяется расходимостью
излучения, угол которого ф A./d. Далее находим
W с. io1- Вт/см~; ф Г.
г- °
192
РЕШЕНИЯ 9-9
9-10
9-9. Уровни невырождены, сечения фотопереходрв 1 + 2
и 2+1 одинаковы. Время жизни в обоих состояниях, сле-
довательно, также одинаково и равно
00
-г = J t P(t) dt ;
о
здесь P(t) - вероятность прожить время t, нормированная на
единицу т
J P(t) dt = 1.
Вероятность P(t) найдем из уравнения для ее изменения во
времени
dP(T) = - P(t) ; Р(0) = 1;
здесь 1/т - вероятность перехода в единицу времени, рав-
ная согласно определению коэффициентов Эйнштейна В12 и
ВР1 (см. введение в раздел ):
't ~ 1-1 ®12= Р ®21 "
Таким образом P(t) = ехр( - t/т ), а для времени жизни,
используя связь коэффициентов А21 и В21, а также соот-
ношение между спектральной плотностью излучения и плот-
ностью потока, получим
г = 1/Ю12-
9-10. До остановки атом натрия должен поглотить
Mv
N = ^7^ “ 34000 квантов. Излучение возбужденных атомов дол-
жно быть именно спонтанным, ненаправленным, для этого интен-
сивность излучения I (квантов/смгс) не должна превышать ин-
тенсивности насыщения I < 1нас= 1/от;2; в противном случае
индуцированное излучение будет происходить чаще, нежели спо-
нтанное излучение, ослабляя замедление за счет вынужденно-
го излучения квантов в направлении излучения лазера. Мощ-
РЕШЕНИЯ 9-10
9-11
193
ность излучения лазера, следовательно, не должна превышать
hwIHac“ 20 мВт/см2. Сила, тормозящая атомы, равна
где г1 = 1/Ю - время, проводимое атомом в невозбуаден-
ном состоянии; т2 = 2-10-8 с - время жизни возбужденного
состояния. Соотношение и т2 должно быть выбрано оп-
тимальным образом; для оценки примем т1+ т2= 2т2. Тогда
для ускорения получим а = F/M “ 75000 g; g = 981 см/с2.
При такой величине ускорения атомы натрия будут остановле-
ны на расстоянии S = v2/2a “ 68 см; за время t = (2S/a)1/2
« 1,1 мс. .
В эксперименте атомы натрия после торможения имели
скорость около 5 м/с. В принципе импульс атома можно до-
вести до величины порядка Bw/c; температуру такого вещес-
тва можно оценить величиной
р
кТ & 1О~10 эВ;
Мс2
или, приблизительно, T 10-ь К.
9-11. Температуру атмосферы найдем из доплеровской ши-
рины
кТ>
С
здесь ша- масса атома.
Плотность атомов в атмосфере распределена по высоте
над поверхностью планеты х согласно барометрической формуле
N(x) = N(0) exp(-magx/kT). (2)
g = GM/R2 - ускорение свободного падения на поверхности
планеты; G - гравитационная постоянная.
При прохождении атмосферы интенсивность излучения I
уменьшается согласно уравнению
194
РЕВВНИЯ 9-11
10-2
Эх 1 °1г ai2~ 3~ 8й£ g^ ’
gv gg - статистические веса нижнего и верхнего уровня.
Решение уравнения (3), согласно условию, есть
Ц1(0 = ехр(- о1г J N(x) dx ) = 0,1.
о
Таким образом плотность атомов на поверхности планеты
есть
»<°> - oh S “ г= •
12 mln
10-1. Используя принцип соответствия, запишем:
**|,п.п-1*' Яп ” **Sui’
шы- классическая частота движения. Учитывая, что собствен-
ная частота осциллятора не зависит от его анергии, получим:
Е = hw(n + const).
Спектр уровней Еп эквидистантный. Результаты, полученные с
помощью принципа соответствия, вообще говоря, лишь для высо-
ких уровней (п »1), в случае гармонического осциллятора
справедливы для любых и.
10-2. Частота вращения ротатора связана с его энергией
соотношением:
E = 1iw2(E), (1)
где I - момент инерции ротатора. Из принципа соответствия
следует:
ЬШп,п-1"' ЯН " М1*- (2>
Интегрируя (2) с учетом (1), получим:
РЕШЕНИЯ 10-2
10-4
195
Отсюда
г ЙЕ (21Е)’/г
I -------------------- п + const.
J bw(E) h
t>2 2
E = — (n + const) ; n » 1.
21
10-3. По общему правилу (см.задачи 10-1 - 10-2)
dE
—- = fain
w(E)
находим уравнение для определения Еп: .
в
п ЙЕ . 1 + Е /D
nhi) = J? = 4 D In-------------------S— .
° 1 — (EnZD)2 2 1 - En/D
Отсюда находим (здесь положено Е^= 0 при п = 0):
e2ntwo/D _ j
En = D ; , = 5 tb <n
При малых энергиях nfaj)n « D из (1) получим
Обратите внимание на сгущение уровней по мере приближения к
краю потенциальной ямы Еп —► D. Низкие уровни расположены
приблизительно эквидистантно Еп « nfao0, как уровни гармони-
ческого осциллятора.
10-4. Возможны две линейные комбинации атомных орбита-
лей
®3 = ~ { фа(1 s) + фь(1 s) ], (1)
/г 1
= 7F { Фв(,8) - Фь(1а) } ’ (2)
2
- симметричная относительно отражения в плоскости, прохо-
196
РЕШЕНИЯ 10-4
дядей через середину оси и перпендикулярной к ней, а Фд -
антисимметричная. Водородные функции, центрированные на раз-
личных ядрах молекулы (см.рис.70)
< , з/г - г/ап
Фа(1з) = ~; < а1 > е ° (3)
7 It °
и
, < з/г - Г. /ап
^da) = ( ) е ь о (4)
V я 0
Волновые функции (3) и (4) в атошшх единицах имеют вид:
Фа(1з) = -Ь е а
7 %
И
фь<19> = 4= е~Гь-
7' я
В плоскости рисунка
-(X + -(-X + f)
е “ + е
1'1 = ( х - | + у2.
Ня межъядерной оси ( у = О )
Фч = -л- (е’Га + е"ГЬ) = -L 1
Эта функция не меняет знака при отражении: х —» -х. Опреде-
лим ее значения в разных точках х.
На ядре а (х = - R/2)
= ~~ (1 + e-R) > О.
7 2я
На ядре Ь (х - R/2)
РЕШЕНИЯ 10-4
10-5
797
7 2я
+ 1) > 0.
х = Q) ф = —е~к/г > 0.
' TS J----------
/ 2я
График функции фд в отно-
сительных координатах изоб-
ражен на рис. 71.. Для ф4
на оси х (у = 0)
V 2И '
Функция фд меняет знак при
отражении: х —» - х
На ядре а ( х = - R/2 )
ф = —L ( 1 - e“R} > 0.
-/~гИ
На ядре Ъ ( х = R/2 )
1 ) « О.
В середине ( х = 0 ) фд= 0. На рис. 72 изображена функ-
ция фд(х).
Таким образом, в точке х = 0 Ф3(0) # 0, а фд(0) = и.
В случае фд электронная плотность между ядрами а и Ь
меньше, чем снаружи. Электрон как бы "выталкивается" из
области между ядрами и связь не образуется ( разрыхляющая
орбиталь ).
10-5. Импульс ядра после поглощения 7 - кванта р~
РЕШЕНИЯ 10-5
10-7
~Еус; кинетическая анергия ядра
Е2
~ 10“ эВ > D
М Не-
значительно превышает энергию диссоциации - молекула диссо-
циирует.
10-6. Соотношение неопределенностей для момента импуль-
са L и угла поворота ф может быть записано в виде:
L Дф « V5n Дф и Н,
находим, полагая Дф » 1,
Евр « Ь2/1.
10-7. Правило квантования Бора-Зоммерфельда для момен-
та импульса может быть представлено в виде:
,f L бф = 2 ic L = Л1,
где J - вращательное квантовое число.
Энергия ротат ра есть Е = й'В!, где I - момент инер-
ции. Таким образом, вращательные уровни плоского ротатора
имеют энергию:
Разность энергий соседних уровней:
.2
Д В,+1 . = — (2J + 1)
J+1.J 21
линейно возрастает с ростом момента импульса. Точные кван-
товомеханические значения суть:
.2
Е = — J (J + 1),
и 21
решения io-e —— io-э
29: ’
10-8. Движение электрона ограничено областью между яд-
рами молекулы. Если R - расстояние между ядрами молекулы, то
из соотношения неопределенностей PeR ~ h находим оценку эле-
ктронной анергии молекулы (Ре~ импульс электрона)
ре h2
р* п
3 ш mR2 ‘
Приравнивая кинетическую и потенциальную энергии электрона
ре h2 е2
—- ~ ~ , находим оценку размера молекулы
ш mR2 R
р
R ~ Ь2/ше2 ~ сг и энергии электрона Е ~ ~ ПУ-
и а та2
Сравнивая энергию диссоциации (см. указание в условии зада-
чи) с электронной энергией
ka2 ~ Ry ,
находим оценку константы упругой связи ядер k « Ry/a2. Оцен-
кой энергии колебаний ядер, таким образом, будет соотноше-
ние:
Е "hw ~ h / - ~ Ry / 5! .
кол. кол. V |д v V и
Амплитуда колебаний ядер, определяемая соотношением kA2~ tsw,
оказывается величиной, малой по сравнению с размером молеку-
лы A w ао(го/М)1/4 << ао. Вращательную энергию можно оценить
соотношением Евр ~ h2/I ~ h2/Ma|, где I - момент инерции.
Таким образом:
10-9.
«о = (—7— Ь4 А .
v <гирсЛ V J
2G0
РЕШЕНИЯ 10-9
10-12
где ц - приведенная масса ядер.
10-10. Выразим энергию молекулы в основном колебатель-
ном состоянии Вш/2 через амплитуду колебаний А:
? р
Вы _ рш А~
Отсюда
с в -»1/г
А = Г—I ,
I pwJ
О
где ц - приведенная масса ядер молекулы. Получаем А = 0,12А,
что значительно меньше равновесного расстояния между прото-
нами в молекуле водорода Rn = 0,74 А (отношение А/Ип = 0,17
действительно близко к оценке A/Rn = (m/M),/4= 0,15 (см. за-
дачу 10-8)).
10-11. Уровни вращательной энергии суть: Евр= BJ(J + 1);
В = Ьг/21 - вращательная постоянная; I - момент инерции; J -
квантовое число момента импульса J = 0,1,2...; I = 2 Mor|o;
MQ - масса атома кислорода; Rco - длина СО - связи. Таким
образом, В = 0,48-10-4 эВ.
10-12. С учетом ангармоничности энергии колебаний моле-
кулы:
Г Г
Ev = hwlV + jl ~ hWXIV + jl (1 ),
V - колебательное квантовое чис-
ло,
AEv= Ev = hwp - 2i(v + 1)J,
т.е. AEw линейно убывает с ростом
колебательного квантового числа.
ДЕ^= 0 соответствует диссоциации,
при этом vD= - 1 «16 (экспери-
РВЯЕНИЯ 10-12
10-15
2CI
ментально удается наолвдать 1ч килеиательныл уровней). В ос-
новном состоянии молекула обладает колебательной энергией
Е s hw/2 , поэтому энергия диссоциации равна:
= v «о - К 0 - М * § “4-52 эв-
10-13. Частота колебаний двухатомной молекулы опреде-
,--- М. -Мо
ляется как ы = 7 k/М (К - квазиупругая постоянная, р = —-—-
\ М1+Мг
- приведенная масса молекулы). Поскольку для всех трех моле-
кул величина к одинакова, то:
10-14. Приведенная масса ядер р, от которой зависит ко-
лебательная частота ы = -/k/р (к - квазиупругая постоянная),
определяется, в основном, легким атомом
И = пгЛ “ ® [1 - й)-
Поскольку частота колебаний ы и р-1/г (см. задачу 10-13),
отношение частот колебаний молекул НС135 и DC135 примерно
совпадает с отношением частот колебаний Н? и П2. Тяжелый
атом (С135) практически неподвижен.
10-15. Запишем энергию диссоциации молекул Н? и D? в
ваде 0н = По - 2 % = ио ~ где и0 ~ глубина по-
тенциальной ямы; ВШщдЗ колебательный квант молекулы Н2(02).
Запишем выражение для разности энергий диссоциации молекул:
Dd сн 2 (^“н
Учитывая, что Шр = —— шн (см. задачу 10-13), получим:
/г
202
РЕШЕНИЯ 10-15 ------- 10-19
hui = —- [пп - dJ « 0,55 эВ.
Н j—* V JJ rij
/2-1
/--- И, • И
10-16. Так как wQ = V К/Цо» где p,Q = ’ то
и = / ц . где
(К1 + АМ1 )Мг f Мг АМ1 л
И - М, + ЛМ1 + м2 ” V + И1(М1 + M2)J-
В результате получаем
1 _ г м^м; + мр)’
, М2 AM
Аи> = ш-шо=-^ыо и-1дм--+ мг)-
10-17. Поскольку Евр = где I = - мо-
мент инерции двухатомной молекулы, то Евр1/Евр2 = М-3/М-, • где
Hj и Цг - приведенные массы молекул.
10-16. Для колебательного спектра молекулы запишем:
Ек= 5ш,_, [v + ;>} - hwQx[v + jj? Частота перехода v = 1—» v = О
Е1 ‘ Ео г
равна ш1О к I- = шо-[1 - 2х] .
10-19. В термодинамическом равновесии населенности под-
чиняйся соотношению Больцмана
8.
3^ ехР
N4
[- Е±/йт] ;
где gj - статистический вес уровня.
РЕЯЕНИЯ 10-19
10-23
203
Вращательные уровни; gj = 2J + 1:
= 3 exp (- 2В/КР1 = 2,5.
ио 1 J
Колебательные уровни; gv = 1:
-тД = ехр f- WkTl = 2,4 1СГ3.
ио 1 J
10-20. а) 1зо гЕ, б) 2ро гЕ; 2р% гП.
10-21.
Исходные атомы Конфигурация Спины электронов Терм
H(1s) + H(1s) (1зо)г I T Ф
I T T 32
I T A Iv.
H(1S) + H(2p) 1so 2po 3X
f Ф X *n
1so 2po I I ф T 3n i 1
Терм (2зо)г 3Х является нестабильным, молекула диссоцииру-
ет.
10-22. Число электронов в заполненной подоболочке моле-
кулы определяется набором квантовых чисел и при задан-
ных квантовых числах п и Л; число mt принимает два значения
iDj = + Л; проекция спина и = t 1/2. Таким образом: (о- под-
оболочка содержит 2 электрона; я-, б-, ф- ... подоболочки с
X # 0 содержат 4 электрона.).
10-23. а) Сложение моментов может быть осуществлено
двумя способами:
204
РЕШЕНИЯ 10-23
10-26
—U -U 'j Оба состояния —U ]
<__ <___ ’Л, Л вырождены <_ ____к ’2,-2.
Л = 2 Л = О
б) Дня эквивалентных электронов, образующих Д-состояния
п, 1, ш одинаковы. Согласно принципу Паули шд1/ шд2 S = 0.
Следовательно, состояние 3Д невозможно. Осуществляются толь-
ко состояния 1Д, 12, 32.
10-24. Вращательные и колебательные степени свободы бу-
дут еще "замороженными", если « h ь) и ИТ « h
вр вр КОЛ кол
Отсюда:
а) 1’ « Беи ; Бш = fir- J fj + ll, где I = 1 M R^.
' вр вр’ вр £1 L J И р о
Твр
Ь2
« « 190 К
Wo
Б to
б) т « —« 6000 к.
хЧМЛ Л
10-25. Частоты фиолетового и красного спутников равны:
ш = w + UL : ш = ш - где ш - частота излучения воз-
а тсол С кол* v
бувдающего колебательный спектр комбинационного рассеяния.
Отсюда „ = и с ( г - г 1 « 4,8 1014с 1.
КОЛ 1 л л J
а
10-26. В состоянии термодинамического равновесия отно-
шение заселенностей N . / N „ колебательных состояний с
v=1 ' v-O
квантовыми числами v1 = 1 и vQ = 0 определяется распределе-
нием Больцмана:
-2=1 = ехр (- ДЕ. /Ю).
Nv=O
РЕШЕНИЯ 10-26
10-28
ат5
где
= \=1 " *4=0 = ЬШкол‘
Поскольку отношение интенсивностей спутников
КГ In т)
то v = - ——------= 4,6-10 см
И
1
1
и 4— + т
10-27. Длины волн X, Х&, Хс, Хкол связаны соотношения-
ми (см. задачу 10-25)
1
Отсвда
кол
кол
X
- « 3873 А,
1 ~ асе
А
ТШ----- - 3451 А.
кол
2%С
10-28.
справедливо
v = vo&v + Б {J2[J2 + 1) ~
Поскольку правило отбора для переходов мевду колебательными
состояниями в приближении гармонического осциллятора есть
Av •= + 1, то волновые числа колебательно-вращательных пере-
ходов определяется равенством
Для частот колебательно-вращательных переходов
соотношение
v
v + —— + 1
J 4%1с I ~
- di(ji+ О}-
206
РЕШЕНИЯ 10-28
10-29
Принимая во внимание правила отбора для вращательного кван-
тового числа AJ = ± 1, получим :
a) J2 - JT| + 1,
б) J2 = J, - 1,
v6= vo
ft
2itlc
— JT
2ltlc 1
v - v
а о
Две первые соседние линии колебательно-вращательного спектра
возникают при переходах J1 = 0 —» J2 = 1 и =1 —» Jg = 0.
Учитывая это и соотношения (1), получим:
где I = - момент инерции молекулы. Так как ц. = 0,922 Мр=
= 1,66 10-24, то I = 4,2 1О-40 г.см2. Окончательно получим:
г> = Z + ___ - 94? 1 ем-1
“ v 2яТс
L = - -А— = 2295 см-'.
0 0 21CIC
10-29. Волновое число линии вращательного спектра пере-
хода J —» J = J + 1 есть:
Поэтому, с учетом правила отбора AJ=±1, получим для перехо-
дов: a) J = 0 —» = 1: б) J = 1 —» = 2:
1 2itlc 2 2itlc
Отсюда разность волновых чисел этих первых линий
Ev = vs
v.
ft
2itlc
РЕШЕНИЯ 10-29
11-1
Таким образом момент инерции молекулы есть
ts •к 4 40
1 = °— « £,f 10 Г СМ~.
2itcAv
Поскольку приведенная масса1Н35С1 р. = 0,972>М = 1,63-10“~4г,
г' I 7 1 г ‘J
то К = [-jj-J = 1 .^8 А.
10-30. Энергии диссоциации молекул Н2 и В2 суть:
вн = ио " 2 %н и Dd = ио " 2 Чю’
где UQ - глубина потенциальной ямы. Колебательная частота
квазиупругие постоянные молекул Нр и
D2 равны, то:
шон _ г Hdi 1^2
шог *-
Учитывая (1) и (2), получим:
1 г г 71/г1
•l1b uh + 2 Чэн[1 ” ГЦ ] J
(2)
= 4,Ь4 эВ.
10-31. В щелочно-галоидных молекулах доминирует ионная
связь: можно считать, что молекула состоит из ионов с запол-
ненными оболочками. Например,
W = Ll+ F“ = Ll+(1s2) l‘~ (1 s22s22p6).
Магнитные моменты заполненных оболочек равны нулю; ионы -
диамагнетики.
11-1. L3 - объем, приходящийся на один электрон, опре-
деляется из условия NeL3 1. Считая, что импульс электрона
есть величина порядка неопределенности импульса, получим
р ~ др ~ h ~ м!/3.
L е
zee
РЕШЕНИЯ 11-1 ---- 11-4
Тогда оценка средней энергии есть:
Е- ~ Е_ -v Ь_ ,
.11 ш е
Точные вычисления дают <Е>
2
Е₽= 2m '( 3Tt2Ne)2/3- энергия
1 эВ.
= 5 Ер = 4’7 эВ
Ферми.
11-2. Давление
равно объемной плотности энергии:
р ~ ГГ <Е>, где <Е> - средняя энергия одного электрона.
Поскольку <Е> ~ Ь- N^/3 (см. задачу 11-1), имеем
р ~ Ь- }£/3 ~ 105 атм.
11-3. Градиент давления вырожденного электронного газа
должен уравновешиваться кулоновской силой, действующей на
единицу атомного объема со стороны ядра. По порядку вели-
vP <v Е -v
R В3
где N.-v -электронная плотность. Учитывая
' R3
eN
что Р ~ N673
Ш е
(см. задачу 11-2), находим
-if Z“1/3 a.Z~1/3
П1е'' °
11-4. На рисунке
74 показана зонная структура соб-
EJ
i
i
I
j
i
i
i
зона
проводимости
E
вер
ooooooooooooooo
T
—I-------------
I
_______________
ooooooooooooooo
валентная зона
Рис.74.
E+dE
E
E
Q
E =Xe
P 2 g
ственного полупроводника.
Пусть при Т / 0 концентра-
ция электронов в зоне прово-
димости равна п, а концент-
рация дырок в валентной эоне
- р. Электронный газ в по-
лупроводнике вследствии сра-
внительно малой концентра-
ции зарядов является невы-
рожденным ( в распоряжении
каждой частицы имеется мно-
РЕШЕНИЯ 11-4 -— 11-4
209
жество различных свободных состояний). Число электронов dn
в единице объема в узком интервале энергий Е и Е + dE
равно
dn = g(E)-f(E)-dE . (1)
Здесь
g(E)dE = (2ш*) /е dE = ^O(m*)3/V Е - Е dE (2)
h3 n тсгЬэ n g
число состояний в единице объема, ш* - эффективная масса
электрона, a 1(E)- функция распределения по энергиям для
невырожденного электронного газа. Для него средняя плот-
ность заполнения состояний частицами значительно меньше
единицы
Г(Е) = ( е 111 + 1] « 1 .
Е-Ер
А это возможно тогда, когда expC-jg^) » 1. Поатому функция
распределения электронов по энергиям для невырожденного
газа имеет вид _ _
V*
Г(Е) = е M , (3)
где Ер - энергия Ферми. Для собственного полупроводника
Е₽= 2 Eg- Подставляя (2), (3) в (1). приведем его к виду
/2(Ш*)3/г Ер-Е Л-----•
4г р ЕА ®
,1 П
Интегрируя (4) от Eg до Евер ( приближенно до <> ),
получим
? г » 13/г r Е -Ew ч
п = —-—|2iun*kT| ехр| йр- I . (5)
(2иЪ)3 1 n J 1 м J
Аналогичный расчет, проведенный для дырок с учетом соот-
ношения Г = 1 - Гп приводит к соотношению
9 чЗ/г , Е -Е ,
Р = ^3 [^р®] е1₽( J ’ (6)
где ш* - эффективная масса дырки. Произведение п и р
210
РЕШЕНИЯ 11-4 ---- 11-8
для любого невырожденного полупроводника согласно (5) и (6)
равно 3
пр = 4 ( 1 (m*m*)3/2exp(-E ZkT) . (7)
1 2%h2 J - р g
где Eg= Ev- Е„ - ширина запрещенной зоны. Из (7) видим,
что при данной температуре произведение концентраций элект-
ронов и дырок любого невырожденного полупроводника являет-
ся постоянной величиной (закон действующих масс).
11-5 Для полупроводников с собственной проводимостью
концентрации электронов и дырок равны (ne= ng= п). Считая,
что п ~ ехр j , а проводимость о (Т) = 2епр
•V ехр£- , где ре= pg= р - подвижность, получим
2кТ .Т_. о(Т )
АК = тг-т; 1,1 аГКД “ 0,12 аБ-
11-6. Красная граница поглощения соответствует фотонам
с минимальной анергией (максимальной длиной волны), которые
перебрасывают электроны из валентной зоны в зону проводимос-
ти. Поэтому Л = « 18,8 мкм.
£
11-7. Излучение света в светодиоде происходит при ре-
комбинации электронов из зоны проводимости с дырками ва-
лентной зоны. Поэтому длина волны зависит от ширины зоны:
Eg= ; Eg(6000 А) ~ 2,1 эВ; Eg(5000 А) » 2,5 эВ.
11-8. Алмаз - диэлектрик с широкой запрещенной энерге-
тической зоной (Eg= 5,2 эВ). Энергия фотонов видимого света
не достаточна для того, чтобы перевести в нем электроны из
валентной зоны в зону проводимости. Поэтому фотоны види-
мого спектра не будут поглощаться алмазом.
Графит - проводник. Его электроны проводимости, подучив лю-
бую, сколь угодно малую, энергию, могут перейти в незанятые
РЕШЕНИЯ 11-8 ---- 11-13
возбужденные состояния в зоне проводимости. Поэтому графит
будет поглощать фотоны видимого света.
11-9. Электронный газ в металле вырожден, поэтому
р
глубина потенциальной ямы U = Ер + А, Ер= (Зтс2Пе)2/3 -
- энергия Ферми, Ne= р/М - концентрация свободных элект-
электронов в металле, М - масса атома серебра. В резуль-
тате вычислений получим: Ne= 5,86-1022 см-3. Ер= 5,5 эВ;
U = 9,2 эВ.
11-10. Циклотронный резонанс возникает в результате
совпадения частоты высокочастотного внешнего поля с
циклотронной частотой движения электрона в магнитном поле
w = 12 = ——Поэтому т*= = 0,182-10-27 г = 0,2 т .
х т*с е
11-11. Воспользовавшись моделью Бора для атома водорода,
ьгп2 з т*
получим г = е = 2е а,.п , где ц. = ---приведенная
- т
„ п не1 1 ш* Ry
масса. Энергия экситона Е = - = -is-----гЧ •
n 2f>2 e2n2 " me n2e2
с
Для основного состояния получим: г = 50,8 А;
Et= - 1,18-10-2 эВ. Поскольку размер экситона существенно
превышает расстояние между атомами в кристаллической ре-
шетке, их влияние на взаимодействие электрона и дырки можно
описывать посредством введения макроскопического пара-
метра - диэлектрической проницаемости.
11-12. Воспользовавшись решением задачи 11-11, получим
1П= = °t^gRy и °.°4 эВ.
г 2Ьге2 е2
11-13.
—.( Зя2Ц )2/3 «2,6 эВ
2m* е
212
РЕШЕНИЯ 11-13----- 11-18
где Ne= р/М - концентрация электронов; р - плотность; М -
- масса масса. № предполагали, что электроны не взаи-
модействуй друг с другом, а каждый атом отдает в зону
проводимости по одному электрону.
11-14. Например, эксперимент по наблюдению эффекта
Холла.
11-15.* Скорость дрейфа определяется подвижностью и
напряженностью электрического поля уда= рЕ. Отсюда
v“ = 380 м/с, a v*L = 180 м/с.
др др
11-16.* У полупроводника с собственной проводимостью
концентрации электронов и дырок равны ( N = N = N ).
Поэтому проводимость о = Ne(p + р ). Отсюда
е р
N = Ре(Ре+ Рр> * 2’411°19 М-3 = 2.4-ю13 СМ-3.
11-17.* Полагаем, что на образование электрона и дырки
затрачивается квант энергии е = 2тсЬс/А. . Поэтому число
возникавших электронов равно
кт __ Е — ЕЛ . 4
N - Ё - Ж и 10 •
11-18.* Скорость дрейфа v р есть величина порядка нап-
равленной вдоль поля Е скорости, приобретаемой за время
свободного пробега т:
v с-л' где т = —и)
др m *’ 1ДВ г <v> ’ 11 >
в <к> - средняя длина свободного пробега, <у> - средняя
скорость. По определению
.1 = о® “ МеУдр- (2)
Подставляя (1) в (2), получим
О - "Г1
Поскольку каждый атом меди отдает в зону проводимости по
РЕШЕНИЯ 11-18 ---- 11-22
213
одному электрону, то их концентрация N = р/М, где р -
плотность меди, а М - масса атома меди. Таким образом,
о = . Отсюда т ъ 23® « 2,5-10-14 с.
рег
11-19.* J = Мееуда= NeejiE = оЕ; Ц = » 5,7-Ю'3^.
11-20. Электронный газ становится вырожденным, когда
его средняя тепловая энергия будет заметно меньше энергии
Ферми, т.е. haN 2/з
Е » КГ,
Г ш
где Ne - концентрация электронов. Отсюда
N [ пйй ']3/г ш N (см-3) » 5.югг т3/г (эВ).
е I h2 J е
11-21. Электронный газ идеален, если потенциальная
энергия взаимодействия частиц U много меньше их средней
кинетической <Е>. В вырожденном электорнном газе <Е> Ер
( см задачу 11-1 ). Таким образом, вырожденный электронный
газ идеален, если U « Ер; U « ег/<г>--- e2N^/3; Е₽--» ~~ N2/3
Поэтому критическая концентрация имеет порядок величины
N f -4^.1Сг4 см"3.
‘ 1 h J %
aQ- боровский радиус.
11-22. Невырожденный электронный газ идеален, если
Ne < ( Т3/е6 ) ~ Т3 (см задачу 12—12 ).
Газ вырожден, если
N > ( 3? 1 ' Т3/2 ; ( см. задачу 11-20 ).
0 другой стороны, вырожденный электронный газ идеален, ес-
ли Ne > а~3 ( см. задачу 11-21 ).
214
РЕШЕНИЯ 11-22---- 12-1
12-1. Согласно предположению ’’б" скорость дрейфа есть
величина порядка направленной вдоль поля Е скорости, приоб-
ретенной за время одного свободного пробега:
(1)
где г(у) = X(v)/v - среднее время мевду соударениями, а
ЛДу) - средняя длина свободного пробега; обе величины в об-
щем случае
зависят от средней скорости, сравнивая энергию.
наоираемую на длине свободного пробега и теряемую электроном
при упругих столкновениях, получим
eEv__т й .
ДР м
(2)
Здесь М - масса атома (при упругих столкновениях электроны
передают лишь долю m/М своей энергии).
1. Л. = = const. Из (1) и (2) получим:
m
v
ГЖЙИЯ 12-1 - 12-5
гib
2. 'i = %o = const. Из (1) и (2) получим:
u 1/2
V w О
Ш
еЕт. .
m • др
V 1/2
В обоих случаях -^E ~ (ц). « 1
m
12-2. По определению плотность тока есть j = оЕ = еМ¥да,
v«p = т = (см.задачу 12-1). Отсюда для обоих случаев
Меегт. е_
(А, = const и 1 = const), о = —— = Njsp. ; р. = - под-
вижность электронов.
12-3. Уравнение, определяющее изменение средней по се-
чению столба концентрации электронов, имеет вид:
Ne
ar = ? “ ~ ’
где 7 - удельная скорость образования электронов, а N^/т -
скорость их гибели на стенке. В стационарном режиме (dNe/dt=
= О) находим: „
7 = = 1015 см"3с-1.
12-4. а ~ КГ13 см2.
Кул rpt-
12-5. Полная энергия сохраняется, следовательно, на
всей траектории выполняется соотношение
2
Р о2 Т2
E = 2st§r + ^2; L = ₽•*>>• <’>
Е - полная энергия, рг - радиальный импульс, р - начальный
импульс на бесконечном удалении от силового центра, р - при-
цельное расстояние; знак ”+" в кулоновском потенциале соот-
ветствует отталкиванию, знак - притяжению. В точке гт1п
траектории, ближайшей к силовому центру, рг = О, так что из
(1) имеем:
216
РЕЧЕНИЯ 12-5 ---- 12-9
Из условия попадания внутрь сферы rm1 л с R найдем искомые
сечения, для обоих случаев:
о!4' = 1ф~ = 1сК2( 1 + — ).
R ER
В случае отталкивания имеет место порог попадания: внутрь
сферы попадут лишь частицы с энергией Е > ег/И.
При больших энергиях, ( Е » ег/Н), траектория частицы близка
к прямолинейной и разница между притяжением и отталкиванием
исчезает « тсКг.
.К
12-6. Проводимость плазмы (см. задачу 12-2)
о = пе2
m(va + v±)
будет кулоновской при условии v± » ; для этого необходи-
ма степень ионизации
аб , Т 2
па °кул~ е4 '
ел XvjJl
При Т = 1 эВ о4/окул КГ3.
12-7. Проводимость плазмы пропорциональна отношению
плотности носителей заряда Ne к плотности рассеивающих час-
тиц N:
о Ne/N .
В кулоновской плазме Ne г N, поэтому:
о м т3/г/(ег -/ш).
Проводимость кулоновской плазмы не зависит от плотности.
12-8 шь<''(Ne2/m)1/2. Точная формула u^=(4nNee2/m)1/2.
12-9. Исходим из уравнения Пуассона Дф = -4-лр , где
РЕШЕНИЯ 12-9 ---- 12-12
217
Р = - N е + N,e ;
r i
ечр(х) еф(х)
N = N ехр ( ------ ) ; N = N ехр (- ---------- )
е кТ 1 кТ
- концентрации электронов и ионов. Полагая для слабого поля
еф(х)/кТ « 1 , находим
_ Jf . 1_-( &те2 }1/г
Решение этого уравнения с граничными условиями <р(0) = <ро ,
Ф(<») = О имеет вид <р(х) = (₽оехр (-х/1р) Таким образом, глу-
бина проникновения поля в плазму имеет порядок величины де-
баевской длины экранирования 1^.
12-10. Для сферически-симметричной геометрии уравнение
Пуассона (см. задачу 12-7) Л <р = ф/12 с граничными условиями
ф(г —» 0) —» q/r, ф(г —»<»)—» О. имеет решение
Q кТ 1
Ф(г) = = ехр (- г/1Т1) , 1 = ( ..? ) - дебаевский
х 8iu N^e-
радиус.
12-11. Дебаевский радиус 1D - линейный размер области с
нарушенной квазинейтральностью плазмы. Эти нарушения устра-
няются частицами, двигающимися со средней (тепловой) скорос-
тью <v> ъ (kT/m)1/2, за время т л w~1= (m/4it Nee2)1/2. Поэ-
тому 1D <v>t ~ (kT/4it N^e2)172.
12-12. Плазма существенно неидеальна, когда потенци-
альная энергия взаимодействия частиц U t е2/г сравнивается
__________________________________________________-1 /о
с энергией их теплового движения кТ. Здесь г Ne - сред-
нее расстояние между частицами. Отсюда U - кТ , если -
-Т3/е6. При Т = 1 эВ N₽ ъ 3-102° см-3.
218
РЕШЕНИЯ 12-13 ---- 12-17
12-13. Давление плазмы
Р = Pi + Ре = 2 МеИ
(Ne = N4 = N); давление магнитного поля рм = Н2/8тс .
Магнитное поле будет удерживать плазму, если Рм Р . т.е.
при Н > (1бтс N„kT)l/2 « 30 кЭ.
12-14. Поток Ф = та*2Н может быть выражен через магнит-
W 2
ный момент ц. Действительно, так как ц = — = = const ,
Н 2Н
mcvi р Purer2
а г = -ggi , то Ф = татй = ц = const .
12-15. rg = r/H/Hgp72 = /б см ;
12-16. В таком поле магнитный момент заряженной частицы
р = »Л/Н = mv2 /2Й = const, г = mcvi/eH. Поэтому v =
1 /р
(2pH/m) и следовательно
2рл1сг 11/г
erH J
У Н
12-17. Условие отражения: а = х/2. Учитывая что
W±/H = const, запишем (Wsln2a/H0) =
.> г=(Н)-1/2 W/H , где W - энергия частицы, HQ и
н
•_£ _ Н - напряженности магнитного поля
при t = 0 и в момент отражения. По-
скольку Н = Но + (6H/dz)l>, находим
Рис.76.
dH/dz
ctg ao = 30 см.
РЕШЕНИЯ 12-18 ---- 12-20
219
12-18. Электрон будет продолжать двигаться с начальной
скоростью.
12-19. Уравнения
Рис.77.
Траектория - циклоида
л = Qz + у = 0; z = - fix;
pH
Q = ^ . Решение с
учетом начальных условий:
х = ~ ( 1 - соа fit ) ,
air
У = О ,
z — — —о( Qt - sin Qt ).
пй2
2pR
в плоскости xOz ; х = а =
max
отсюда Нш1п= [
(г*м. р!5С .
Электрон будет двигаться вдоль пластин конденсатора со сред-
ней скоростью |<vz>|= с-(Е/Н) = 5,1•10е см/с.
, 2(Г1-гг) 2УХ Hg-H,
VH 11 Нг+Н1
Учитывая, что
vH = (Н2-Н1) и
Hg+н^гн
, подучим
v _ V1 vH
vvh“ Ж ~Н
где П = - циклотронная частота. Это выражение с точнос-
тью до множителя 2/х легко получается из общей формулы для
дрейфовой скорости
г ГРИ1 — _
¥ДР= ё НРИ подстановке F = =
= -p.vH,
v = с [HvHI
ун е и нг
V2
_ IHvH]
2П ц2
220
РЕШЕНИЯ 12-21 ---- 12-24
12-21. Центробежная сила при движении частиц вдоль ис-
кривленной силовой линии неоднородного магнитного поля равна
?цб= mv|R/R2, где R - радиус кривизны силовой
ходя из общей формулы для дрейфовой скорости
линии. Ис-
_ C[FH]
ДР~ еН2 ’
¥др = 2ПП (2v| + Ф =
еН
me
¥УН+ ¥цб
_ [НУН] ж 4 [RH]
“ 2П нг “ RH2
( см. задачи 12-20
также рис.
Н =
шс2
TjE
VAP
.,2
2J и
сП и
(2v? +
и 12-21, a
78). Так как
|vH| = | , то
G =
Положительные ионы дрейфуют по току (см. рис. 78), электроны
- в противоположном направлении.
12-23.. Ион будет дрейфовать на восток (см. рис. 79) со
средней скоростью
„ _ cMCgHl _ [tf] _ g о о см
’др- еНа - ~ЙГ - 8 -3’3 с
и обойдет земной шар пример-
но за 40 лет.
12-24 Скорость гравитационного дрейфа мала (см. задачу
12-23), поэтому время заполнения радиационного пояса опре-
деляется скоростями градиентного и центробежного дрейфов (см.
задачу 12-21):
удр= ¥ун + ’цб = 2ЩПШ7 <2vf + ’Ь;
R - радиус Земли. Отсюда
РЕШЕНИЯ 12-24 — 12-27
221
W ОТ w SHR w 5*8,1°5 CM/C-
Время заполнения t = 2xR/v « 2 часа,
др
12-25. Исходим из общей формулы для коэффициента диффу-
зии D ~(Лх)2/т, где АХ- характерное смещение за время 1
явяяз столкновениями. Подставляя АХ = А (длина свободного
пробега) для диффузии вдоль поля я Дх = р (ларморовский
радиус) для диффузии поперек поля, получаем
’ 1 1 е о
у ~ (Т/т)1/2 - средняя (тепловая) скорость.
Отсюда
Dj.
Ч ‘ (От)2’
имеем От »
где Q - циклотронная частота; при
p « к
1 и поэтому Dx « D».
12-26. Подвижность электронов ц = ет/m, a D~ rt
(см. задачу 12-25), так что
D „ „ Т
ц е е *
12-27. Решение уравнений Максвелла f- -• ..• (1)
mt и - 1 ЯН rot в " с ЗР rotH = ^J+Jt^. Ч.
будем искать в div Е = 0,- > " • , div И = 0 - - виде Е = Eoexpli(kr - wtj], И = Hoexpti(kr - wt)U (2)
Подставляя (2) в (1) , получим IkEl = 1 У Н , V (3)
IkH) = 1 J - Д £ Е , с2 : q (4)
РЕйЕНИЯ 12-27 — 12-28
(KE) = О. (кН) = 0. (5)
Умножая (3) векторно на к и, выражая [кН] с помощью
(4), с учетом (5) имеем:
-к~Е = J J - 4 Е. (6)
Для определения вектора плотности тока J рассмотрим
движение отдельного электрона в поле электромагнитной
волны. В случае бесстолкновительной плазмы
ат = 1г • откуда v = +1 i •
Тогда для J имеем: „
j = eNev = 1 Е; (7)
- концентрация электронов в плазме.
Подставляя (7) в (6), найдем связь между киш
(дисперсионное соотношение):
4
где е(ш) = 1 —- диэлектрическая проницаемость, шт -
- электронная плазменная частота.
Отметим, что волна в плазме может распространяться лишь
при ш > шь- В противном случае чисто мнимый вектор
k = 1 (ш2- ш2)1/2 с~1. означает невозможность распростра-
нения волны в плазме.
12-28. Коэффициент отражения определяется выражением
и = ! «4 !г,
; п+1 । *
где и = (е)1/2 - показатель преломления ( вообще говоря
комплексный ), е -диэлектрическая проницаемость.
Используя результаты задачи 12-26, 12-27, получим
R = О при ш > шь,
R = 1 при ш < ш^.
РЕШЕНИЯ 12-28 — 12-32
223
/ 4lLeN.
Концентрация электронов, при которой ш = шт = у——-
называется критической.
12-29. Плазма прозрачна для частот ш, превышающих
ленгмюровскую частоту шо (см. задачу 12-28).Для критической
плотности получим N*p = эс/(гоА.2), где го= е2/(тс2)
классический радиус электрона.
N^P(Nd) 1021 см-3; NKp(CC> ) 1019
12-30. Граница пропускания А.тпр= 10 м определяет
ленгмюровскую частоту ионосферной плазмы
Г 4Ч/ ->1/2
Отсада N₽ ~ 107 см 3.
12-31. Масса электрона много меньше массы протона
Мр, поэтому при сжатии плазмы квантовомеханические эффекты
прежде всего появляются у ее электронной компоненты.
Импульс электрона оценим из соотношения неопределенностей
PeN^1/3" С где п-1/3 линейные размеры области локализации
электрона ( это условие эквивалентно тому, что де-бройлев-
ская длина волны электрона порядка расстояния между час-
тицами). Поскольку (р|/ше) ~ Т, то N ~ (Тте)3/2/ь3. Учи-
тывая, что N±= Ne = N, получим
р = m n = m (Тш /Ь2)3/2 « 1 гсм"3,
p p e
12-32. WD= T3/2/(&ic1/2e3N1/2);
»Е(ТП) « 2-10e; »П(НП) <» 5-103; »D(CB) » 2-IO10.
В идеальной плазме » 1.
224
РЕШЕНИЯ 12-33 ---- 12-34
12-33. ; = 1 Т2 .
кул ~ ^е4 ’
1кул(ТП) “ г‘]°7 СМ: ^кул^ “ 2,1°2 см’ 1Кул<СВ) “211°14см
12-34. п _tf 2Т 11/2 . п еН
р ЙГ J • 11 = тс
Радиусы и циклотронный частоты Плазма
ТП НП СВ
Ре. см ~7-10“3 ~3-10~3 М -105
Р±. см 0,3 ’'OJ -6-106
Ц=.« С"1 9-1011 V 2-101° ~2-103
с-1 5-108 л-107 л-1 I
; 1 I
ПРИЛОЖЕНИЯ
225
Основные атомные и спектральные постоянные.
Наименование Обозначение, формула Система СГС
1 2 3
Скорость света в вакууме с 2,9979 101Осм с-1
Постоянная тон- кой структуры „ 2те2 е2 а ~ ~Бс~ = ~Бс 7,297 10~3
а-1 137,036
Заряд электрона е 4,803 10~1° ед.СГСЭ 1,602 10“19 Кл.
Постоянная Планка h h = h/2ic 6,626 10-27эрг.с 1,0546 10~27эрг.с
Число Авогадро 6,022 1023моль-1
Число Лошмидта NT 2,687 1019см~3
Масса покоя 9,109 10~26Г
электрона
Энергия покоя электрона mec- 0,511 МэВ
Атомная единица массы Мц = M [12c]/12 1,6605 Ю-24 г.
Масса покоя протона M p 1,6726 10~24 г.
Энергия покоя протона M c~ p 938,2723 МэВ
Масса покоя нейтрона M n 1,6749 10~24 г.
Энергия покоя нейтрона И c2 939.5656 МэВ
Масса покоя а-частицы «а 6,6442 10~24 г.
Удельный заряд электрона е/шг 5,273 1017ед.С1'СЭ г"1
226
ПРИЛОЖЕНИЯ
j _______________
Удельный заряд
протона
Отношение массы
протона к массе
электрона
Газовая постоян-
ная
Постоянная
Больцмана
Постоянная Рид-
берга для беско-
нечной массы
ядра
для водорода
для дейтерия
для ионизирован-
ного гелия
Радиус 1-ой во-
ровской орбиты
Ридберг
Классический ра-
диус электрона
Магнетон Бора
Магнитный мо-
мент электрона
ВДерный магнетон
Магнитный момент
протона
Магнитный момент
нейтрона
2 3
7 &Т 5 С® В* йГ S* W S CD Ф ‘ОХ I! II II II II II II JK X Ж О В М В I СВ В I I JX Ф ЯФ S Q Ф СВ IU ф у d s о ф о ги х гв w 3; ф х о| О{ ги| го| св гс о sz о® 2,872 1014ед.СГСЭ г-/ 1836,153 8,315 107эрг моль1 К-1 1,3807 10“16 эрг К-1 1,097373 105 см-1 1,096776 105 см-1 1,097074 105 см~1 1,097223 105 см-1 5,2918 10~9 см 13,606 эВ 2,8179 10“13см 9,2740 10“21эрг 1'с 1 4,00112 рБ= =9,2848 10“21 эрг 1'с-1 5,051 10'24эрг 1’с-1 2,7929 pN = , =1,4106 1С'23эрг Гс~‘ 1,9130 = =9,6628 10’ 24эрг Гс-1
ПРИЛОЖЕНИЯ
1 2 3 ;
Зеемановское нормальное расщепление Л* о е 4,67 10-5 см-1Гс-1
• н р 4lt Ш^С
Комптоновская длина волны электрона Л = И 2,426 10-1и см
me е
Комптоновская длина волны протона Л = р 11 1,321 10-13 см
М С р
Постоянная Стефана- Больцмана о = А4 60с2В3 5,67 105эргсм-2с_1К-1
1равитационная постоянная G 6,673 10~8дин см2г~2
Отношение Джозефсона 2e/h 4,836 1U14 1Ц В-1
Квант магнит- ного потока ф о = И/2е 2.U68 10~15В0
Соответствие между спектральными и энергетическими
единицами и величинами
Единица измер. V, см 1 к, СМ Е, эрг Е, эВ
1 см-1 - 1 1,9864 1U-16 1,2398 10~4
1 эрг 5,0341 Ю15 1,9864 1(Г16 - 6,2416 1011
1 эВ 8066,64 1,2398 Ю’4 1,6022 10-12 -
[Циклическая частота ш, соответству- ищая фотону с энергией 1 эВ IЭнергия, соответствующая 1'“К । iТемпература, соответствующая энер- |1 эВ 1 ,6193 1015 с/1 8,6174 10~5 ЭВ 116041 К
Атомные массы, спектроскопические характеристики и ионизационные
потенциалы элементов периодической системы.
Элемент Сим- вол ATOM ный номер Атом- ная масса Элект- ронная конфи- гура- ция основное состоя- ние ионизационные потенциалы в вольтах I
1 11 I ill 1 1
1 d 3 4 о 6 7 "" 8 9 j
i Водород и 1 1 ,008 is 2S1/2 13,699 - 1 i
(Гелий - Не г 4,003 is2 % 24,688 54,418 1
Литий Li 3 6,940 2з 2g ь1/г 5,392 75,641 129,455|
бериллий Be 4 9,013 авг 1g ьо 9,323 18,211 153,90
' Бор В ь 10,81 2зг2р 2р 1/г 8,298 25,155 37,93
!Углерод и 6 13,011 гз2зр2 3Н о 11,260 24,384 47,888
! Азот N 7 14,007 2s22p3 Чз/2 14,534 29,602 47,450
!Кислород 0 « 16,00 2зг2р‘ ч 13,618 35,118 54,936
! ФГОр У У 19,00 2зг2р5 2р *3/2 17,423 34,971 62,709
‘ Неон 20,179 2s22p6 1g ... ьо 21,566 40,964 63,46
Натрий Na 11 32,990 3s 2 S1/2 5,139 47,287 71,621!
• Магний Mg 13 24,306 38К о 7,646 15,035 80,144!
1 1 £ .Л 4 о 6 7 8 9
I Алюминий А1 13 26,98 3з23р 2pi/2 5,986 18,829 28,448[
[Кремний S1 14 28,09 3з23р2 4 8,152 16,346 33,493;
; Фосфор 15 30,974 Зз2Зр3 S3/a 10,487 19,726 30,204;
[ Сера S 16 32,06 3s23p4 3P2 10,360 23,338 34,83 ;
[Хлор С1 17 35,453 '2^ 5 '1Л5Р IV) Q IV 12.968 23,814 39,61 [
j Аргон Аг 18 39,948 3з23р6 4 15,760 27,630 40,911 i
[калий К 19 39,10 4S b1/2 4,341 31,626 I 46,806j
[кальций Са 20 40,08 4S2 4 6,113 11,872 50,914;
[Скандийt 1 Sc 21 44,96 3d4s2 P3/2 6,562 12,800 24,757[
[Фитан 1‘1 22 ,47,90 1 3d24s2 i 3P2 | 6,74 | 13,58 27,492[
[Ванадий V 23 50,94 3d“4s 4P3/2 6,74 14,66 29,311 [
Хром Сг 24 51,996 3d64s ?S3 6,767 16,498 30,96 [
Марганец Ми 25 54,94 3d64s2 4/2 7,434 15,640 33,668[
Железо Ре 26 55,85 3d64s2 4 7,870 16,188 30,652;
Кобальт Со гг 58,93 3d74s2 9/2 7,864 17,083 33,500[
[Никель N1 28 58,70 3de4s2 4 7,637 18,169 35,17 [ I
230 ПРИЛОЖЕНИЯ
1 2 3 4 6 6 7 _ 8 9_J
Медь Си 29 63,55 3d104a 2S1/2 7,726 20,292 36,841[
цинк Za 30 65,38 3d104s2 4 9,394 17,965 39,722;
Галлий Ga 31 69,72 4s24p 2P f 1/2 5,999 20,515 30,726;
Германий Ge 32 72,59 4824p2 3p rO 7,899 15,934 34,22 j
Мншьяк AS 33 74,92 4s24p3 4a ьз/г 9,789 18,589 28,3511
Селен Se 34 78,96 4s24p4 D 9,752 21,16 30,821|
Бром Br 35 79,904 4s24pS 4/2 11,814 21 ,81 35,90
Криптон Kr 36 83,80 4s24p6 ’«О 14,000 24,359 36,95
Рубидий Rb 37 85,47 5s 4/2 ' 4,177 27,28 39,02
Стронций Sr 38 87,62 5s~ ’«о 5,695 11,030 42,884
Иттрий Y 39 88,91 4d5s2 2d 3/2 6,217 12,24 20,525 i
Цирконий Zr 40 91,22 4d25s2 3P 2 6,634 13,13 22,99 |
Ниобий Nb 41 92,91 4d45S 6D i/2 6,759 14,32 25,05
Молибден Mo 42 95,94 4d65S 7s3 7,092 16,16 27,17
Технеций Tc 43 99,0 [981 4d55s~ 4/2 7,28 15,26 | 29,55 i
рутений Ru 44 101,1 4d75S 7,366 1 16,76 I [ 28,47 [
Г 1 ей 3 4 ь о 7 8 9 !
|~ ;Родий КН 4b 102,91 4de5s 4₽ -9/2 7,46 18,08 31,06 j
! Палладий Pd 46 106,4 4d1y 4 8,336 19,43 32,93 1
!Серебро Ag 47 107,88 4dv?5s S1/2 7,576 21,484 34,83 |
;Кадмий Cd 48 112,41 4d1obs2 4 8,994 16,908 37,48 i
1 йидий In 49 114,82 5s~bp -p 1 /1;> 5,786 18,870 28,044;
Олово Sn 5G 118,69 ba25p“ о Рн 7,344 14,632 30,503;
Сурьма Sb bl 121,75 5s25p3 4S b3/2 8,608 16,53 25,32 1
Теллур Те 52 127,60 5s25p4 CM Ph Cn 9,010 18,6 27,96 j
Иод 1 53 126.90 5s25pb 0.1 71 P-< 01 10.451 19,131 32,98 !
Ксенон Xe 54 131,30 5s25p6 4 12,130 21,21 32,12 ।
Цезий Cs 55 132,91 6s, 2s1/p 3,894 25,08 33,38 !
Барий Ba 56 137.33 6s2 | A i 5,212 | 10,004 35,844;
Лантан La 57 138,91 5d6s2 1 2d3/p j 5,577 11,06 19,1771
Парий Ce 58 140,12 4f5d6s2 i 4 5,539 10,85 20,198!
Празеода < Pr 59 140,9 4f36s2 1 %/г 5,473 10,55 21,624;
Неодим Nd 60 144,24 4£46s2 4 5,525 10,73 22.1 j
2 3 4 5 6 7 8 9
прометий Pm 61 11451 4f56s2 %/3 5,582 10,9 22,3
Самарий Sm 62 150,4 4f66s2 4 j 5,644 j 11,07 23,4
Европий Eu 63 151,96 4£76S2 4/2 5,670 11 ,гЧ 24,92
Гадолини! Gd 64 157.2b 4f75d632 . Ol J? 6.150 12,09 20,63
Тербий Tb 65 158,93 4£96s2 J 5/2 5.864 11,52 21,91
Диспрозй I Uy 66 162,50 4£io6s2 i % i 5,939 11,67 22,8
Гольмий Ho 67 164,93 4£116s2 •Чь/г 6,022 11,80 22,84
Эрбий Er 68 167,26 4£126s2 4 6,108 11,93 22,74
Тулий Tm 69 168,93 4£136s2 Ol 01 6,184 12,05 23,68
Иттербий Yb 70 173,04 4f146s2 4 6,254 12,76 25,05
Лютегщй Lu 71 174,97 4f145d6s2 ro IX» 5,426 12,97 20,955
Гафний Hf 72 178,49 5d26s2 4 6,454 13,78 21,44
Тантал Ta 73 180,95 5d~os~ . ^3/2 7,89 14,47 23,49
Вольфрам W 74 183,85 5d46s2 4 I 7,98 15,08 25,43
Рений Re 75 186,21 5d56s2 Ч/г 7,88 15,73 25,89
Осмий 0s 76 190,2 5d66s2 4 8,73 16,34 27,71
Иридий Ir 77 192,2 5dr6s2 4/2 i 9,05 1 16,91 29,5 l
232 ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИЛОЖЕНИЯ 233
1 2 3 4 6 6 ‘ 7 У 9
Платина Pt 78 195,09 5d96s2 4 8,96 18,563 35,25 234
Золото Au 79 196,97 5d1o6s \,г 9,226 20,56 37,37
Ртутг Hg 80 200,59 5d1o6s2 \ 10,438 18,756 34,22
ТаллиЯ ZL 81 204.37 6sz6p %/г 6,108 20,428 29,83
Свинец РЪ 82 207,21 6s26p2 % 7,417 15,032 31,94
Висмут Bl 83 ?08,98 6s26p3 ьз/г 1 7,285 16,69 25,56
Полоний Po 84 [209] 6s26p4 01 Рч CO 8,417 17,18 29,01
Астат Радон At Rn 85 86 [210] [222] 6a26p6 6s26p6 01 СП О Рч СЛ OJ 1- 9,224 10,749 19,10 20,99 28,98 31,52 ! 1
Франций Pr 87 [223) 7s 2S ь1/г 4,073 20,02 31,63 Sq
Радий Ba 38 226,03 7s2 Ч 5,279 10.W? 30,97
Актиний Ac 89 227,03 6d7s2 2-> эз/г 5,17 11,0^ 16,93 >
Торий Th 90 232,04 6d27s2 6,08 11,90 18,66
Протакти- иий - Pa 91 231,04 5f26d7s2 j К11/2 5,89 11,46 17.75
| Уран U 92 238,03 5f36d7s2 ' ч 6,194 11,63 18,09
jНептуний Np 93 237.05 5f46d7s2 Ч./г 6,266 11,80 18,37
i О 4 5 6 7 ... 8 У
! (Плутоний PU 94 [244] Sf^/s2 % 6,06 11,19 20,7
Америций Am 95 [2433 5f77s2 %/г 5,99 12,15 18,82
Кюрий Сш 96 [247] 5f76d7s2 % 6,02 12,36 18,96
Берклий Вк 97 (247] Sf^s2 %5/г 6,23 12,57 19,27
Калифорщ ай СТ 98 [251J 5f1o7s2 % 6,30 11,83 22,31
Эйнштейний Ед 99 [252] 5f117s2 4I А15/г 6,42 11,98 23,35
Фермий Pm 100 [257] 51127s2 w co 6,50 12,14 24,36
Менделее- вий - Md 101 [258] 5f137s2 %/г 6,58 12,29 25,33
Нобелий No 102 [259] 5f1 ^s2 4 6,65 12,45 26,27
Лоуренсй t Lr 103 [260] 5f146d7s2 4/e 4,312 14,00 21,36
Курчато- вий Ku 104 [272J 6d27s2 - - -
Нильсбо- рий Ns 105 [273] 6d37s2 - - -
VUISIOVIM!