Автор: Ободовский И.М.
Теги: ядерная, атомная и молекулярная физика физика задачи по физике ядерная физика
Год: 1987
Текст
ИЛЮбоддаский.
И.М.Ободовский
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ
МЕТОДАМ
ЯДЕРНОЙ
ФИЗИКИ
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов физических и инженерно-физических
специальностей вузов
МОСКВА
ЭНЕРГОАТОМ ИЗ ДАТ
1987
ББК 22.38
0-21
УДК 539.14.01
Рецензенты: кафедра ядерной физики Томского поли-
технического института им. С. М. Кирова, кафедра ядерной
спектроскопии Ленинградского государственного университе-
та им. А. А. Жданова
Ободовский И. М.
0-21 Сборник задач по экспериментальным мето-
дам ядерной физики: Учеб, пособие для вузов. —
М.: Энергоатомиздат, 1987. — 280 с.: ил.
Собраны задачи по основным разделам курса «Эксперименталь-
ные методы ядерной физики». Содержит справочный материал, необ-
ходимый для решения задач. Большая часть задач снабжена под-
робным решением. Подобный сборник задач издается впервые.
Предназначен для студентов старших курсов соответствующих
специальностей. Может быть полезен для аспирантов, инженеров и
научных работников различных отраслей науки и народного хозяй-
ства, использующих в своей работе ядерно-фиэические методы.
1704070000-018
°051(01)-87 1,1 87
ББК 22.38
© Энергоатомиздат, 1987
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 4
Основные обозначения и сокращения 8
Условия Ответы, решения
Глава 1. Взаимодействие ионизирующих
излучений с веществом 10 78
1.1. Релятивистские соотношения 10 78
1.2. Ионизационные потери энергии,
6-электроны 12 80
1.3. Однократное и многократное рассся-
ние .... .... 14 87
1.4. Пробег, распределение ионизации по
пробегу ... .... 15 91
1.5. Флуктуации потерь энергии н иониза-
ции ... 17 96
1.6. Гамма-кванты .... . . 19 99
1.7. Нейтроны 21 1С2
Глава 2 Преобразование энергии иоиизи-
рующего излучения в веществе 22 106
2.1. Элементы кинетической теории газов 22 106
2.2. Образование и структура трека 25 115
2.3. Захват электронов . . . . 28 120
2 4 Рекомбинация 30 123
2.5. Диффузия и дрейф 32 130
Глава 3 Газовые и жидкостные ионизаци-
онные детекторы 35 146
3.1. Плоские импульсные ионизационные
камеры 35 146
3.2. Камеры с сеткой 42 159
3.3. Цилиндрические и сферические ка-
меры 44 164
3.4. Токовые камеры 47 177
3.5. Детекторы с газовым усилением 48 181
Глава 4. Полупроводниковые детекторы 50 188
4.1. Элементы физики твердого тела 50 188
4.2. Особенности преобразования энергии
ионизирующих излучений в твердых
телах 51 195
4.3. Контактные явления и р—ц-переход 52 202
4.4. Свойства ППД 53 207
Глава 5. Сцинтилляционные и черепков-
ские детекторы 55 211
5.1. Сцинтилляторы 55 211
5.2. Фотоэлектронные умножители 59 223
5.3. Выходной сигнал сцинтилляционного
детектора 61 227
5.4. Черепковские детекторы .... 62 229
Глава 6. Радиометрия 64 234
6.1. Эффективность регистрации . 64 234
6.2. Определение активности источников
плотности потока и других характе-
ристик поля излучения .... 70 253
Глава 7. Методы ядерной спектрометрии 75 262
Приложение 268
Список литературы 279
ПРЕДИСЛОВИЕ
Деятельность ученого в процессе научных исследований и ин-
женера по использованию достижений науки в прикладных целях
по сути дела сводится к решению разнообразных задач. Поэтому
работа над задачами играет особую роль в процессе обучения. Ре-
шение задач позволяет перейти от накопления знаний (информа-
ции) к приобретению навыков (умений), от khow — whati<khow —
how. Известный математик Пойа утверждает, что умение намно-
го более важно, чем одно лишь знание. И с этим нельзя не согла-
ситься.
Формулировка положений учебного курса в форме задач дает
возможность перейти от качественного, описательного изложения
материала к количественному. Утверждая важность такого пере-
хода, сошлемся на авторитет крупнейшего ученого конца XIX ве-
ка Кельвина, которому принадлежит афоризм: «Если Вы в со-
стоянии измерить и выразить то, о чем говорите, в числах, Вы
кое-что об этом знаете, но если не можете, Ваши знания скудны и
неудовлетворительны».
Задачник составлен на основе опыта преподавания курса «Экс-
периментальные методы ядерной физики» (ЭМЯФ) и его разделов
студентам и аспирантам МИФИ, а также слушателям факульте-
та повышения квалификации инженеров. В нем представлены за-
дачи, охватывающие основной круг вопросов, характеризующих
предмет, расположенные в определенной последовательности и
имеющие внутренние логические связи.
В настоящее время сборников задач, посвященных совокупно-
сти специфических проблем ЭМЯФ, не существует. Задачи по
отдельным разделам курса можно найти в сборниках задач [1—
12], Небольшое количество задач содержится и в некоторых мо-
нографиях, например в [20, 24].
Курс ЭМЯФ выделился из общего курса ядерной физики в 40-е
годы. Как только стало очевидным, что ядерная физика способна,
предоставить человечеству скрытую в ядрах колоссальную энер-
гию, началось интенсивное, не прекращающееся и по сей день
развитие этой науки. С течением времени ядерно-физический экс-
перимент чрезвычайно усложнился, и его изучение в рамках еди-
ного курса ядерной физики стало затруднительным. В результате
в 1949 г. в МИФИ появилась кафедра экспериментальных методов
ядерной физики, а в учебных программах — соответствующие
курсы.
Сегодня мы можем говорить уже об определенных традициях
4
в изложении курса ЭМЯФ. Настоящий задачник составлен с уче-
том этих традиций. Рассмотрение таких приборов ядерной физики,
как ускорители, реакторы и сопутствующая техника, выходит за
рамки курса ЭМЯФ и составляет предмет самостоятельных кур-
сов. Вопросы измерения квантовых характеристик частиц, таких,
как спин, четность, странность и др., традиционно рассматривает-
ся в общем курсе ядерной физики. Самостоятельными отраслями
науки со своей учебной литературой, в том числе и задачниками,
стали дозиметрия и защита от излучений. Самостоятельной от-
раслью является и ядерная электроника.
Итак, в состав данного задачника входят следующие разделы:
Взаимодействие ионизирующих излучений с веществом.
Преобразование энергии ионизирующих излучений в веществе.
Методы регистрации излучений:
а) газовые ионизационные детекторы;
б) полупроводниковые детекторы;
в) сцинтилляционные и черенковские детекторы.
Радиометрия.
Методы ядерной спектрометрии.
Материал гл. 1 является пограничным между собственно ядер-
ной физикой и ЭМЯФ. Здесь делается акцент на вопросах, суще-
ственных для понимания проблем регистрации излучений.
Глава 2 содержит задачи по преобразованию энергии ионизи-
рующих излучений, в основном в газах. Особенности преобразова-
ния энергии в твердых телах отражены в гл. 4 и 5.
В гл. 3—5, посвященных отдельным методам регистрации из-
лучений, наибольшее внимание уделено физическим основам ра-
боты детекторов, принципам их действия, параметрам выходных
сигналов. Задачи, касающиеся радиометрических характеристик —
эффективности, чувствительности, разрешающего времени и др.,
собраны в гл. 6, а задачи, касающиеся спектрометрических харак-
теристик— формы аппаратурной линии, энергетического разреше-
ния и др., в гл. 7.
В имеющихся сборниках задач по различным отраслям науки
приняты два варианта отношения к теоретическому материалу. В
одном случае каждый раздел начинается с теоретического введе-
ния, набора формул и прочего материала, необходимого для ре-
шения задач. В другом — никакие формулы и теоретическое введе-
ние не приводятся, более того, признаются вредными. Автор на-
стоящего сборника пошел по третьему пути. Подавляющая часть
исходного теоретического материала преподносится в виде задач
с решениями. Читатель может либо выводить необходимые фор-
мулы, решая предложенные задачи, либо взять формулы из ре-
шений.
Существующие задачники различаются и соотношением объе-
мов текстового материала условий и решений задач. Анализ пока-
зывает, что дрля, приходящаяся на решения, тем выше, чем ква-
лифицированнее контингент, на который рассчитан задачник, и
чем уже тематика задачника. Так, в сборнике задач по атомной и
5
ядерной физике И. Е. Иродова [4] ответы и решения составляют
0,26 объема задачника, в сборнике задач по общей физике МФТИ
[6] —0,63, в американском задачнике для аспирантов Кронина и
др. [7] —0,76, в задачнике «Физика слабоионизированного газа»
Б. М. Смирнова [12] этот коэффициент больше 0,9. В предлагае-
мом задачнике он оказался равным 0,74.
Многие задачи, предлагаемые для решения в учебных целях,
являются частью реальных практических задач, которые прихо-
дится решать инженеру или научному работнику, использующему
ядерно-физические методы в своей деятельности.
Большинство задач составлено автором с привлечением мате-
риалов монографий, журналов «Приборы и техника эксперимен-
та», «Nuclear instruments and Methods» и др., а также на основе
собственной научной деятельности или научной деятельности его
коллег. Поэтому такой сборник задач может представить интерес
для специалистов, применяющих в своей работе ядерно-физиче-
ские методы. Для удобства пользования задачником в инженерной
практике все задачи решены в формульном виде и, кроме того,
задачник снабжен тематическим указателем.
Хочется отметить и определенную логическую и методическую
связь, существующую между задачами, на что мы уже обращали
внимание читателя выше. Поясним это примером.
К началу изучения вопроса об эффективности детекторов к
у-излучению всем студентам хорошо известно, что плотность пото-
ка у-излучения ослабевает по мере прохождения через вещество
по экспоненте. На основании этого формула для полной эффек-
тивности выводится студентом с легкостью. Но уже получение
выражения для парциальной, например фотоэффективности (см.,
задачу 6.27) встречает значительные трудности. На решение та-
кой задачи уходят несколько десятков минут и даже часов. Если
же предварительно вывести формулу для полной эффективности,
используя методы анализа бесконечно малых (см. задачу 6.20), то
студент со средней математической подготовкой получает пра-
вильное выражение для парциальной эффективности за несколько
минут.
Еще один пример. Много времени студенты тратят на вычис-
ление распределения заряда по треку — кривой Брэгга (см. зада-
чу 1.78), а также положения центра распределения (см. задачу
1.79). Но если предварительно решить задачу 1.76 — распределе-
ние энергии частицы по остаточному пробегу, что делается доста-
точно легко, то решение задач 1.78 и 1.79 трудностей уже не вы-
зывает. Аналогичная ситуация имеет место и для других групп
задач.
Точное решение многих задач весьма затруднительно или на
современном уровне развития науки даже невозможно. Поэтому
при решении приходится прибегать к некоторым упрощениям.
Иногда в условии задачи дается рекомендация, какие допущения
целесообразно принять. Читателю предоставляется право самому
решать — принимает ли он рекомендации автора или же пойдет
6
своим путем. В большинстве же случаев никаких указаний в усло-
виях задач не дается. Выбор условий и степени идеализации яв-
ления есть также задача, которая не менее важна, чем сформули-
рованная в условии, и право решать которую предоставляется
учащемуся. Предлагаемое автором решение является лишь одним
из возможных вариантов.
Уже указывалось, что многие задачи составлены на основе
оригинальных работ, монографий или статей в научных журналах.
Как писал в предисловии к сборнику задач по физике МФТИ
С. П. Капица [6], у задач есть сходство с фольклором. На воп-
рос, кто автор, трудно дать точный ответ. Поэтому соавторами
помещенных здесь задач следует считать всех специалистов, ра-
ботающих в области ядерной физики и смежных областях. Однако
всю ответственность за возможные ошибки и погрешности всецело
принимает на себя автор задачника.
В каждой главе нумерация задач и рисунков независимая, ну-
мерация рисунков начинается в условиях и продолжается в реше-
ниях. Нумерация формул в задачах сквозная. Если в условии
задачи есть формулы, то нумерация начинается с них и продол-
жается в решении. Ссылки внутри задачи даются просто на номер
формулы. В ссылках на формулу другой задачи содержатся номер
задачи и номер формулы, например (2.34.7)—ссылка на форму-
лу 7 задачи 2.34.
Предлагаемый сборник задач составлен по инициативе проф.
В. М. Колобашкина. Большую помощь в работе оказали автору
его коллеги, сотрудники МИФИ—Т. Я. Воронова, А. В. Вяльчен-
ков, В. А. Григорьев, В. М. Живун, В. К. Ляпидевский, А. А. Круг-
лов, С. Г. Покачалов, В. А. Прорвич, В. А. Шилов, М. П. Шарапов,
Н. П. Ушакова, М. А. Кирсанов, Б. У. Родионов, В. А. Христофо-
ров, И. Н. Фирсова. Важная роль в создании задачника принадле-
жит и студентам МИФИ, которые первыми решали многие задачи
на семинарах, зачетах, в качестве контрольных работ или домаш-
них заданий. Всем им автор выражает глубокую благодарность.
Автор признателен коллективу кафедры ядерной спектроско-
пии ЛГУ, и особенно доценту П. Н. Лебедеву, и зав. кафедрой
Томского политехнического института проф. Б. А. Кононову, вни-
мательно прочитавшим рукопись и сделавшим ряд ценных замеча-
ний.
И, М. Ободовский
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
А — атомная масса
амплитуда импульса
а — константа
ширина барьера
ускорение
b — константа
параметр столкновения
параметр поперечного
распределения заряда
С — константа
емкость
концентрация
с — скорость света
D — коэффициент диффузии
дисперсия
d — толщина слоя вещества
постоянная решетки в
кристалле
&—кинетическая энергия
интегральная показа-
тельная функция
&г — уровень Ферми
Ё — напряженность электри-
ческого поля
е — элементарный электри-
ческий заряд
F — сила
фактор Фано
f — функция
доля энергии, теряемой в
одном столкновении
эффективность светосбора
g — константа
ускорение свободного па-
дения
скорость генерации носи-
телей
число элементарных ячеек
Н — высота
h — коэффициент прилипания
постоянная Планка
7 — средняя энергия иониза-
ции
I — интенсивность
ток насыщения
i — электрический ток
/ — плотность тока
плотность потока
К — константа скорости реак-
ции
k — квантовая эффективность
фотокатода
коэффициент рекомбина-
ции
постоянная Больцмана
L — длина диффузии
световая энергия
энтропия
I — расстояние
М — молекулярная масса
масса частицы, как пра-
вило, покоящейся
коэффициент умножения
ФЭУ
коэффициент полного га-
зового усиления
т — масса частицы, как пра-
вило, движущейся
коэффициент вторичной
электронной эмиссии
тс, гпь — эффективные массы элек-
трона и дырки
W — число частиц, как прави-
ло, покоящихся
JVa—число Авогадро
Na, Мд— концентрация акцепторов
и доноров
п — показатель преломления
число частиц, как прави-
ло, движущихся
число динодов ФЭУ
число импульсов
п0 — число импульсов в еди-
ницу времени
Р — вероятность
дипольный момент
р — импульс частицы
давление
Q — энергия ядерной реакции
наведенный заряд
q — электрический заряд
эффективность собирания
электронов
R — пробег частицы
электрическое сопротив-
ление
среднее квадратическое
удаление
радиус
г — радиус
в
радиальная координата
S — площадь
Т — температура
время собирания носите-
лей заряда
T’/i—период полураспада
t — время
Д/ — интервал времени
U — потенциал
и — напряжение на выходе
детектора
V — объем
V — скорость
IF — потенциальная энергия
IF0 — высота барьера в р—п-
переходе
IFC, Wv — энергия краев зон прово-
димости и валентной зо-
ны
We — ширина запрещенной зо-
ны
AIF — потеря энергии
lFn — полная энергия
w — средняя энергия образо-
вания зарядов
Ло — радиационная длина
х, у, z—пространственные коор-
динаты
Z — атомный номер вещества
z — заряд частицы в едини-
цах элементарного заря-
да
сжимаемость
а — параметр
постоянная тонкой струк-
туры
угол многократного рас-
сеяния
поляризуемость
константа рекомбинации
а, Р — произвольные коэффици-
енты в методе Лагранжа
р — релятивистский параметр
коэффициент рекомбина-
ции
Г — ширина спектральной ли-
нии на половине высоты,
как правило, гауссиана
у — релятивистский параметр
(у-фактор)
Д — потеря (энергии, импуль-
са ...)
6 — относительное среднее
квадратическое отклоне-
ние
е — диэлектрическая прони-
цаемость
т) — эффективность регистра-
ции
вязкость жидкости
О — угол
угол рассеяния
х — конверсионная эффектив-
ность сцинтиллятора
плотность заряда
Л — длина свободного пробе-
га
X — длина волны
константа радиоактивного
распада
р, — подвижность
коэффициент поглощения
магнитный момент
параметр
•V —частота
число столкновений
удельная ионизация
£ — параметр
р.— удельное сопротивление
плотность
о — абсолютное среднее ква-
дратическое отклонение
сечение
проводимость
т — время жизни
ф — световой поток
Ф — функция
работа выхода
угол, как правило, по-
лярный
угол, под которым выле-
тает выбитая частица
ф — угол, как правило, ази-
мутальный
£2 — телесный угол
со — относительное энергети-
ческое разрешение
ПК — плоскопараллельная двух*
электродная ионизацион-
ная камера
ЦК — цилиндрическая иониза-
ционная камера
СК — сферическая ионизацион-
ная камера
ППД — полупроводниковый детек-
тор
ПШПВ — полная ширина на поло-
вине высоты
КГУ — коэффициент газового
усиления
ВЭЭ — вторичная электронная
эмиссия
9
ГЛАВА 1
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ
С ВЕЩЕСТВОМ
1.1. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
1.1. Получить выражения, связывающие кинетическую энергию
и скорость частиц в релятивистском случае. Убедиться, что при
§<^тс2 эти выражения переходят в классические. Вычислить ско-
рость частиц при с?=тс2.
1.2. Получить выражения, связывающие кинетическую энергию
и импульс частиц в релятивистском случае. Убедиться, что при
iOc2 эти выражения переходят в классические.
1.3. Вычислить импульс протона с кинетической энергией
10 МэВ и 10 ГэВ. Получить выражение для связи кинетической
энергии и импульса в ультрарелятивистском случае (<^^>тс2).
1.4. В результате измерения интенсивности переходного излу-
чения, которое, как известно, пропорционально у-фактору частиц,
определен у-фактор протона -у=533.
Чему равен импульс протона?
1.5. В первых опытах по обнаружению антипротона с помощью
магнитного поля из потока различных частиц, родившихся при
бомбардировке мишени ускоренными протонами, выделяли отри-
цательные частицы с импульсом р=1100 МэВ/c. Затем дифферен-
циальный черенковский детектор выделял из этих частиц такие,
скорость которых лежала в диапазоне от 0,75 до 0,78 скорости
света.
Вычислить диапазон масс в единицах массы протона частиц,
отобранных таким образом.
1.6. Экспериментатору предстоит исследовать спектры электро-
нов в диапазоне энергий от 1 до 10 МэВ.
На какой диапазон импульсов должна быть настроена магнит-
ная система спектрометра?
1.7. На измерение какой скорости должен быть рассчитан че-
ренковский детектор, если мюоны, влетающие в детектор, имеют
импульс 218 МэВ/с?
1.8. Частица пролетела расстояние 5 м между двумя детекто-
рами за время 25 нс. Во втором детекторе частица полностью по-
глотилась, ее энергия оказалась равной 321,6 МэВ.
Определить массу частицы и ее тип.
1.9. Вычислить кинетическую'энергию протона, если 0=0,9999.
1.10. В последнее время появились экспериментальные основа-
10
ния считать, что нейтрино имеет отличную от нуля массу покоя,
предположительно равную 30 эВ.
Во сколько раз дольше летят до Земли массивные нейтрино,
возникающие в термоядерных реакциях на Солнце (<^=1,7 МэВ),
чем безмассовые нейтрино?
1.11. Для частицы с импульсом 487 МэВ/c измерена ее кине-
тическая энергия, оказавшаяся равной 200 МэВ.
Какова масса частицы? Определите ее тип.
1.12. В последнее время предполагается, что протон может
быть нестабилен. Одна из вероятных мод распада протона
Вычислить кинетическую энергию позитрона, считая, что распа-
дающийся протон покоится.
1.13. Магнитная линза выделяет частицы с импульсом
1,55 МэВ/c, а затем черенковский детектор измеряет их скорость
и=0,95 с (0=0,95).
Чему равна кинетическая энергия этих частиц?
1.14. Для некоторой частицы известны ее полная энергия,
равная 1 ГэВ, и импульс, равный 346 МэВ/c. Определите скорость
частицы и ее тип.
1.15. Чему равна полная энергия электрона, если 0=0,99?
1.16. Импульс а-частицы равен 193 МэВ/с.
Чему равна ее полная и кинетическая энергия?
1.17. Вычислить средний путь, который пройдет нейтральный
пион до распада, если его кинетическая энергия равна 1013 эВ и
1 ГэВ.
1.18. Вычислить путь, который пройдет в вакууме пучок мюо-
нов с кинетической энергией 40 ГэВ до того, как интенсивность
пучка уменьшится вдвое.
1.19. В теории электронного торможения, т. е. потерь энергии
на ионизацию и возбуждение, важную роль играет скорость элек-
тронов на орбите.
а) Вычислить скорость движения орбитальных электронов на
/(-оболочке атома водорода.
б) Определить кинетическую энергию мюонов, пионов, прото-
нов и а-частиц, которые имеют скорость, равную скорости орби-
тальных электронов на К-оболочке атома водорода.
1.20. Вычислить длину волны де Бройля электрона, находяще-
гося в тепловом равновесии с газом при комнатной температуре.
1.21. Вычислить импульс фотона с длиной волны Л=10-8 см.
1.22. а-Частица вылетает из препарата плутония, расположен-
ного на поверхности полупроводникового детектора, движется в
веществе детектора и там останавливается.
Вычислить время движения а-частицы до остановки.
1.23. Известно, что для осколков деления удельные потери
энергии убывают с ростом • энергии по закону d<S /dx—если
скорость осколка удовлетворяет условию
и>У022/3, .
И
где Vo — скорость электрона на боровской орбите; z— ядерный за-
ряд осколка.
Если же
V<ZVqZ2/3,
то осколок эффективно теряет заряд, и теперь удельные потери
энергии растут с ростом энергии d<5 /dx~ ё.
Какому значению энергии среднего легкого и среднего тяжело-
го осколка отвечает граничная скорость?
1.2. ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ, 6-ЭЛЕКТРОНЫ
1.24. При прохождении заряженной частицы через вещество ее
электрическое поле взаимодействует с полем атомных электронов
и может передавать им энергию, возбуждая или ионизуя ат,омы
среды.
Получить выражение для удельных ионизационных потерь
энергии заряженной частицы, масса которой больше массы элек-
тронов.
1.25. Каковы физические причины релятивистского роста
удельных потерь энергии при высоких энергиях частиц?
1.26. Каковы физические причины эффекта плотности, 'г. е.
ограничения релятивистского роста удельных потерь энергии в об-
ласти очень больших энергий?
1.27. При анализе удельных потерь энергии и пробегов часто
пренебрегают изменениями медленно меняющегося логарифмиче-
ского члена в выражении
( teeWJZ . 2теслр ...
к dx /нов " (4яе0)а/»вс»ра /(1—0«)‘ ’
Какая при этом вносится погрешность?
1.28. Найти минимум удельных потерь энергии, а также ско-
рость и кинетическую энергию частицы, соответствующие мини-
муму.
1.29. По каким причинам удельные потери энергии тяжелых
частиц при малых энергиях существенно отличаются от вычислен-
ных по формуле (1.27.1)?
1.30. Что такое линейная передача энергии (ЛПЭ)? Чем отли-
чается ЛПЭ от удельных потерь энергии. Запишите выражение
для вычисления ЛПЭ.
1.31. Вычислить удельные потери энергии а-частицы с энерги-
ей 5,15 МэВ в газообразном аргоне. Как изменятся удельные по-
тери, когда частица потеряет 90% энергии?
1.32. Вычислить удельные потери энергии мюонов с энергией
105 МэВ в майларе (СюНвО^.
1.33. Сравните удельные потери энергии в начальных участках
треков а-частиц и электронов с энергией 1 МэВ в кристалле Nal.
12
1.34. Значение d&/dx определяют, измеряя потерю энергии
в слое вещества толщиной d и приравнивая
dS/dx~№/d.
Какова погрешность такого допущения, если бомбардирующая
частица — многозарядный ион неона с энергией 2 МэВ? Принять,
что в этом случае d&/dx~V <£. Толщина поглотителя такова, что
частица теряет в нем половину энергии.
1.35. Какую долю полной энергии <^о должна составлять поте-
ря энергии в поглотителе Лб?, чтобы погрешность определения
удельных потерь энергии по поглощенной энергии, т. е. равенства
d(S/dx=t±(S/d> не превышала 5°/о? Налетающая частица—протон
с энергией 100 МэВ.
1.36. Образование б-электронов обычно рассматривают, считая
соударения налетающей частицы с атомными электронами упру-
гими, т. е. пренебрегая энергией связи атомных электронов, а
также энергией их кинетического движения. Пусть заряженная
частица, имеющая импульс р, упруго рассеивается на покоящем-
ся электроне.
Вычислить импульс рассеянной частицы как функцию угла, под
которым вылетает 6-электрон.
1.37. Верхняя граница спектра б-электронов определяется
максимальной энергией, которую налетающая частица может пе-
редать электрону в соответствии с законами сохранения энергии
и импульса. Это значение является максимальной энергией, кото-
рую частица способна потерять в одном столкновении.
Вычислить энергию образующегося б-электрона и определить
максимальную передаваемую энергию в общем случае, а также
получить упрощенные выражения для случаев:
а) очень большой импульс тяжелой налетающей частицы (М^>
>т; р^>Мс-М/т);
б) малый импульс тяжелой налетающей частицы (М^>т; p<^i
<^Мс-М/т);
в) нерелятивистский случай для любых частиц.
1.38. Вычислить максимальную энергию, бтэлектронов, если на-
летающая частица—протон с энергией 50 МэВ.
1.39. Вычислить максимальную энергию б-электронов, если на-
летающая частица — электрон с энергией 50 МэВ.
1.40. Получить выражение для спектра б-электронов.
1.41. Вычислить число б-электронов, имеющих энергию больше
1 кэВ и образованных на 1 см пробега протоном с энергией
500 МэВ в газообразном аргоне при нормальном давлении.
1.42. В пузырьковых камерах пузырьки вырастают на следах
б-электронов, если их энергия больше некоторой критической, рав-
ной 165 эВ в жидком водороде.
Вычислить число пузырьков на 1 см пути мюона с энергией
314 МэВ в жидководородной пузырьковой камере.
1.43. При анализе флуктуаций потерь энергии заряженной час-
тицей в веществе важную роль играет значение граничной энергии
13
в спектре 6-электронов, для которой число 6-электронов, образу-
ющихся на определенной толщине поглотителя с энергией, боль-
шей этой граничной, равно единице.
а) Вычислить <^гр для протона с импульсом 920 ГэВ/c, движу-
щегося в слое аргона толщиной 1 см при нормальных условиях.
б) Вычислить число 6-электронов, имеющих энергию меньше
указанной граничной энергии.
1.3. ОДНОКРАТНОЕ И МНОГОКРАТНОЕ РАССЕЯНИЕ
1.44. При взаимодействии заряженной частицы с зарядом ze и
массой т, движущейся со скоростью v на расстоянии b (рис. 1.1)
от покоящейся частицы с зарядом z'e, налетающая частица откло-
няется на угол 6.
Определить этот угол.
1.45 Определить, как различаются углы, на которые рассеется
заряженная частица с зарядом ze и массой /п, движущаяся со ско-
ростью и, при столкновении с элек-
/ троном или ядром с зарядом Ze.
s' Параметр соударения равен Ь (см.
рис. 1.1).
о—------------------------ 1.46. При анализе рассеяния за-
------» 8----------------- ряженных частиц ядром принима-
ze------------------------ется во внимание электрическое
Рис. 1.1 поле ядра. Однако известно, что
ядра обладают магнитным момен-
том и, следовательно, создают магнитное поле.
Почему можно не учитывать воздействие этого магнитного поля
на рассеиваемые частицы?
1.47. Найти дифференциальное сечение рассеяния на угол 0 за-
ряженных частиц с зарядом ze и массой т, движущихся со ско-
ростью и, на покоящихся атомных ядрах с зарядом Ze. Вычислить
дифференциальное сечение рассеяния а-частиц с энергией
5,15 МэВ в телесный угол dQ на угол 0 — 60° в меди.
1.48. Получить выражение для сечения рассеяния на некоторый
угол, больший 0Ь заряженных частиц с зарядом ze и массой т,
движущихся со скоростью v в веществе с атомным номером Z.
Вычислить сечение рассеяния а-частиц с энергией 5,15 МэВ на
угол, больший 0! =90°, в Be, Al, Си, Ag, Pb.
1.49. Сцинтилляционный детектор расположен таким образом,
что из потока протонов с энергией 10 МэВ, рассеянных золотой
фольгой толщиной 0,1 мм, он регистрирует те из них, которые рас-
сеиваются в диапазоне углов от 30 до 60°.
Вычислить долю регистрируемых детектором протонов из обще-
го числа протонов, падающих на фольгу.
1.50. Протоны с энергией 100 кэВ рассеиваются на алюминие-
вой фольге толщиной 10~2 мм.
Вычислить долю частиц, рассеянных под углом 0=90° в телес-
ный угол dQ, а также долю частиц, рассеянных под углом 0>9О°.
14
1.51. Десятизарядные ионы неона, ускоренные в циклотроне
до энергии 93,1 МэВ, рассеиваются на медной фольге толщиной
2,5 мм,
Вычислить вероятность рассеяния на угол, меньший 60°.
1.52. Рассеяние частиц на большие углы маловероятно и случа-
ется редко. Рассеяние на малые углы имеет большую вероятность
и каждая частица много раз на своем пути испытывает незначи-
тельное рассеяние. Отклонение от первоначального направления
движения в серии последовательных рассеяний может составить
вполне измеримый угол. Такой процесс называется многократным
рассеянием.
Получить выражение для сечения многократного рассеяния.
1.53. Получить выражение для среднего квадратического угла
многократного рассеяния.
1.54. Вычислить средний квадратический угол многократного
рассеяния для электронов с энергией 1 МэВ, проходящих путь
1 см в аргоне при нормальных условиях.
1.55. Вычислить средний квадратический угол многократного
рассеяния дейтрона с энергией 300 МэВ, проходящего в жидково-
дородной пузырьковой камере расстояние 10 см.
1.56. Вычислить средний квадратический угол многократного
рассеяния протона с импульсом 938 МэВ (с после прохождения
слоя свинца толщиной 1 см.
1.57. Вычислить расстояние от поверхности кристалла CsI, на
котором влетающий в кристалл узкий пучок электронов с энерги-
ей 1 МэВ становится почти изотропным.
1.4. ПРОБЕГ, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИОНИЗАЦИИ ПО ПРОБЕГУ
1.58. Получить выражения, связывающие полные ионизацион-
ные пробеги различных частиц в одном и том же веществе, опери-
руя их скоростями или кинетическими энергиями.
1.59. Соотношение пробег—энергия для протонов в воздухе в
диапазоне энергий протонов 2—200 МэВ имеет вид
(1)
где выражено в МэВ, a Rp — в см.
Получить соотношение пробег—энергия для дейтронов в воз-
духе. Указать диапазон энергий, для которого это соотношение
справедливо.
1.60. Найти связь ионизационных пробегов пиона и протона в
одном и том же веществе.
1.61. Пробег а-частиц 210Ро в воздухе при нормальных условиях
равен 3,8 см.
Вычислить пробег этих частиц в аргоне при 0,2 МПа.
1.62. Вычислить пробег протонов отдачи, выбиваемых при лобо-
вом столкновении нейтронами с энергией 14 МэВ в полиэтилене
(СН2)П.
15
1.63. Вычислить пробег а-частиц с энергией 9 МэВ в германии.
Воспользоваться приведенными в приложении параметрами, харак-
теризующими пробег частиц в кремнии.
1.64. На поверхности кремниевого ППД нанесен слой борсодер-
жащего вещества.
Оценить пробег а-частиц, возникающих при взаимодействии
тепловых нейтронов с ядром бора, в ППД.
1.65. Источник а-частиц 238Ри нанесен в виде пятна диаметром
1 см в центре одного из электродов плоской ионизационной каме-
ры. Диаметр электродов 5 см, расстояние между ними 1,4 см.
Вычислить давление аргона в камере, при котором а-частицы
будут терять всю энергию в газе камеры.
1.66, Источник а-частиц 238U в виде диоксида UO2 обладает
определенной удельной активностью. Если нельзя увеличить пло-
щадь источника, то единственным путем увеличения числа частиц,
попадающих в детектор, является увеличение толщины источника.
Вычислить предельную толщину источника, дальнейшее увели-
чение которой не приводит к увеличению скорости счета.
1.67. Дейтроны с энергией 15 МэВ попадают в ионизационный
детектор через окошко из алюминиевой фольги толщиной 0,02 см.
Определить энергию частиц в детекторе.
1.68. Протоны с энергией 2,5 ГэВ проходят сквозь дрейфовую
камеру, заполненную газовой смесью 70% Ат+30 % СН4 до общего
давления 0,1 МПа. Длина пути частиц через камеру составляет
1 см.
Определить энергию, теряемую частицей в камере.
1.69. Протоны с энергией 1 ГэВ проходят сквозь кристалл CsI
толщиной 20 см.
Определить энергию, потерянную частицей в кристалле.
1.70. На пути протонов с энергией 17 МэВ поставлен графито-
вый поглотитель толщиной 0,15 г/см2.
Найти энергию протонов после поглотителя.
1.71. Экспериментатор имеет пучок протонов, ускоренных в цик-
лотроне до энергии 200 МэВ. Для работы ему требуются протоны
с энергией 100 МэВ.
Какой толщины графитовый поглотитель необходимо исполь-
зовать для получения пучка протонов с нужной энергией?
1.72. На поверхность моря из космоса падают потоки протонов,
пионов, мюонов и электронов.
Считая, что энергетический спектр каждого типа частиц одина-
ков, укажите, какие частицы будут обнаружены на наибольшей
глубине.
1.73. Оценить пробег протона с энергией 10 ГэВ в воздухе. Про-
тон ускоряется на ускорителе и движется в воздухе горизонтально.
1.74. Вычислить, какой путь (в линейных единицах) пройдет в
воздухе космический протон, имеющий при входе в атмосферу энер-
гию 10 ГэВ. Учесть изменение плотности атмосферы с высотой.
1.75. Из-за статистического характера взаимодействия заряжен-
ных частиц с веществом пробеги моноэнергетических частиц флук-
туируют. Для характеристики пробега обычно пользуются поняти-
ями либо среднего, либо экстраполированного пробега (рис. 1.2).
Считая, что разброс пробегов определяется нормальным рас-
пределением, получить выражение, связывающее средний и экстра-
полированный пробеги.
1.76. Найти распределение энергии частицы по пробегу, считая,
что на всем пробеге выполняется условие R=a&b.
1.77. а-Частица с энергией 5 МэВ движется в воздухе. Связь
пробега с энергией а-частицы дается
соотношением %
7?а=0,318^’а1’5, (1; Л
где /?а — в см; <^а— в МэВ. \
Вычислить число пар, образован-
ных: а) на первой и второй половине ________j г ц
пробега; б) на первой и - последней R &
трети пробега. Рис ,2
1.78. Считая, что на всем пробеге
выполняется условие R=a&b, полу-
чить выражение для распределения ионизации по длине пробега
(для кривой Брэгга).
1.79. Вычисления амплитуды сигнала, а также амплитудных
распределений и других характеристик для частиц, имеющих пе-
ременную плотность ионизации вдоль пробега, весьма трудоемки
или даже в аналитическом виде невозможны. Поэтому часто за-
дачу упрощают предположением о равномерном распределении
ионизации вдоль пробега. Однако часто такое предположение вно-
сит в результат слишком большую погрешность. Известно, что су-
щественно меньшую погрешность дает замена импульса от распре-
деленной ионизации импульсом от центра заряда трека.
Найдите положение центра заряда трека.
1.80. Для частицы с энергией известна ее кривая Брэгга
(кривая распределения ионизации по пробегу).
Найти пробег частицы с энергией ^0/2.
1.5. ФЛУКТУАЦИИ ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ И ИОНИЗАЦИИ
1.81. Если заряженные частицы, проходя через поглотитель,
теряют в нем часть своей энергии, то потери энергии испытывают
флуктуации. Известно, что если потери малы, то флуктуации про-
исходят согласно распределению Ландау. Если же потери значи-
тельны, то по нормальному закону (по Гауссу).
Сформулировать условия применимости нормального распреде-
ления и распределения Ландау.
1.82. Указать качественно характер флуктуаций потерь энергии
(по Ландау или Гауссу), которые а-частицы источников естествен-
ной радиоактивности (<^а^5 МэВ) испытывают в алюминиевой
фольге толщиной 0,1 мм.
2—5266 17
1.83. Протон с энергией 10 ГэВ проходит через пропорциональ-
ную камеру толщиной 1 см, заполненную аргоном при нормальных
условиях.
По какому закону будут флуктуировать потери энергии в ка-
мере?
1.84, Протоны с энергией 500 МэВ проходят через германиевый
детектор толщиной 1,2 см.
Определить, по какому закону будут происходить флуктуации
потерь энергии.
1.85. Получить выражение для относительной средней квадра-
тической флуктуации энергии, потерянной частицей в поглотителе,
для случая гауссовых флуктуаций.
1.86. а-Частицы 239Ри попадают в полупроводниковый детектор,
пройдя в воздухе при атмосферном давлении путь, равный 3 см.
Вычислить относительное среднее квадратическое отклонение
энерговыделения в детекторе, вызванное флуктуациями потерь
энергии в воздухе.
1.87. Одной из серьезных причин, ухудшающих энергетическое
разрешение ионизационных спектрометров короткопробежных час-
тиц, может быть поглощение части энергии частиц в веществе
источника. Наиболее существенно такое поглощение для частиц,
вылетающих под большими углами к нормали. Для уменьшения
диапазона углов, под которыми частицы вылетают из источ-
ника, используют дюзы — пластинки с отверстиями, коллими-
рующими треки частиц. Но при этом ионизация, производимая
в газе внутри отверстий дюз, не регистрируется. Это приводит к
уменьшению амплитуд импульсов и к росту их флуктуаций, по-
скольку потери энергии в слое газа в дюзах испытывают флукту-
ации.
Вычислить флуктуации выходного сигнала, связанные с этим
эффектом, если регистрируются а-частицы с энергией 5 МэВ. Ка-
мера заполнена аргоном до давления 0,2 МПа, пластинка с дюза-
ми имеет толщину 0,5 мм.
1.88. Протоны с импульсом 940 ГэВ/с проходят через слой ар-
гона толщиной 2 см при нормальных условиях. Найти граничную
энергию спектра 5-электронов, выше которой будет образован все-
го один электрон.
Вычислить число 6-электронов с энергией меньше этой гранич-
ной. Вычислить полную ионизацию, производимую этими двумя
группами 6-электронов.
1.89. Почему ширина распределения Ландау практически не
меняется с ростом толщины слоя поглотителя?
1.90. Распределение Ландау, как известно, несимметрично, оно
медленнее спадает в сторону больших потерь энергии. Из-за этого
средние и наиболее вероятные потери различаются.
а) Что больше — средние или наиболее вероятные потери?
б) Вычислите средние и наиболее вероятные потери протонов с
энергией 660 МэВ в слое углерода толщиной 0,5 г/см2.
1.91. Как флуктуирует ионизация, производимая быстрой части-
18
цей в тонком поглотителе, если потери энергии флуктуируют по
Ландау?
1.92. Оцепить погрешность, с которой может быть измерена
ионизация, производимая пучком протонов с энергией 660 МэВ
в алмазном детекторе толщиной 1,43 мм.
1.6. ГАММА-КВАНТЫ
1.93. Проанализировать процесс рассеяния у-кванта на свобод-
ном электроне (комптоновское рассеяние) и установить связь:
а) между энергией рассеянного у-кванта и углом, под которым
он рассеивается;
б) между энергией комптоновского электрона и углом, под ко-
торым он вылетает;
в) между энергией комптоновского электрона и углом, под ко-
торым рассеивается у-квант;
г) между углами рассеяния у-кванта и вылета комптоновского
электрона.
1.94. Получить выражение для максимальной энергии компто-
новского электрона.
1.95. Получить выражение для минимальной энергии рассеян-
ного у-кванта.
1.96. Вычислить максимальную энергию комптоновского элек-
трона, если первичный квант имеет энергию: а) 100 кэВ;
б) 100 МэВ.
1.97. Вычислить минимальную энергию рассеянного кванта, ес-
ли первичный квант имеет энергию 100 МэВ.
1.98. Вычислить энергию у-квантов, рассеянных под углом 90°,
если первичный квант имеет энергию 40 МэВ.
1.99. Комптоновское рассеяние у-квантов происходит на атом-
ных электронах, которые находятся в движении. Обычно движение
электронов не учитывается. Однако оно может приводить к значи-
тельному разбросу энергии электронов отдачи.
Вычислить разброс энергии электронов отдачи при рассеянии
у-квантов с энергией 1 МэВ на электронах /(-оболочки алюминия.
1.100. Сечение взаимодействия — это коэффициент пропорцио-
нальности в соотношении
dn=—tmNdx, (1)
где справа стоят концентрации исходных компонент взаимодейст-
вия, а слева — результат взаимодействия. При анализе комптонов-
ского рассеяния у-квантов такие соотношения можно написать
для числа компонент взаимодействия: а) падающих квантов av;
б) рассеянных квантов о/; в) комптоновских электронов ае;
для энергии компонент: г) падающих квантов оЭн; д) рассеян-
ных квантов oaHs; е) комптоновских электронов оэна.
При этом в выражении (1) должны стоять соответствующие
значения сечений, обозначения которых даны в перечислении ком-
понент. Здесь значок $ означает рассеяние, а значок а — поглоще-
2* 19
ние, поскольку передачу энергии у-кванта комптоновскому элек-
трону обычно рассматривают как поглощение энергии первичного
излучения.
Укажите связь между различными сечениями.
1.101. Дифференциальное сечение комптоновского рассеяния не-
поляризованного у-излучения на свободных электронах, так назы-
ваемое сечение Клейна—Нишины—Тамма, имеет вид
Найти:
а) дифференциальное сечение для числа фотонов, рассеянных
в единичный телесный угол, в функции угла вылета рассеянного
кванта;
б) дифференциальное сечение для числа электронов, рассеян-
ных в единичный телесный угол, в функции угла вылета электрона;
в) дифференциальное сечение на интервал энергии рассеянно-
го фотона;
г) дифференциальное сечение на интервал энергии, передавае-
мой электрону.
1.102. Найти дифференциальные сечения
а) рассеяния энергии в функции угла вылета рассеянного кван-
та;
б) поглощения энергии в функции угла вылета электрона.
1.103. Вычислить полное сечение рассеяния и полные сечения
рассеяния энергии и поглощения энергии.
1.104. Одна из интересных ядерно-физических задач — поиск
двойного p-распада. Из-за очень большого периода полураспада
ожидаемая скорость счета в детекторе составляет примерно 1 сут~].
Для работы со столь малыми активностями низкофоновый детек-
тор помещают в подземную камеру, но при этом необходимо за-
щищать детектор от у-излучения стен. Это излучение возникает при
распаде естественных радиоактивных элементов, содержащихся в
земных породах. Излучение заключено в широком энергетическом
диапазоне вплоть до максимальной энергии, излучаемой одним из
членов радиоактивного ряда тория — 208Th, frv=2,614 МэВ. Осла-
бить интенсивность излучения необходимо в 106 раз. Наиболее до-
ступный поглотитель, который может быть сделан достаточно чис-
тым,— это вода.
Вычислить толщину водяного поглотителя.
1.105. Радиоактивный препарат излучает две линии hv\i=
=60 кэВ и Av2=70 кэВ равной интенсивности. Подобрать тип и
толщину поглотителя так, чтобы линия hvz была ослаблена в 102
раз, а линия hvi пропущена с минимальными потерями. На сколько
при этом будет ослаблена линия ftvi?
1.106. Оценить максимальную энергию ядра отдачи при рож-
дении у-квантом с энергией 100 МэВ электрон-позитронной пары на
ядре свинца.
20
1Х НЕЙТРОНЫ
1.107. Какова кинетическая энергия заряженных частиц, воз-
никающих в реакции п+10В на тепловых нейтронах, если суммар-
ное энерговыделение равно 2,31 МэВ?
1.108. При взаимодействии быстрых нейтронов с ядрами 3Не
могут происходить ядерные реакции (п, р) или упругое рассеяние.
Сравнить энергию заряженных частиц, возникающих в реакции
n-РНе, с энергией ядра отдачи при упругом рассеянии нейтронов.
1.109. При упругом рассеянии нейтронов на ядрах образующие-
ся ядра отдачи имеют непрерывный энергетический спектр, про-
стирающийся. от нуля до некоторой максимальной энергии, опре-
деляемой кинематикой столкновения.
Найти распределение ядер отдачи по энергии, если угловое
распределение рассеянных нейтронов изотропно.
1.110. Какова максимальная энергия |3-частиц, возникающих
при радиоактивном распаде свободного нейтрона?
1.111. Какое ядро возникает при реакции (я, р) на ядре 14N?
1.112. При рассеянии быстрых нейтронов в полиэтилене воз-
никают ядра отдачи водорода и углерода.
Сравните их энергии.
1.113. Вычислить порог эндотермической реакции образования
нейтронов 7Li+p, если энергия реакции равна 1,646 МэВ.
1.114. Вычислить разброс энергии нейтронов, образующихся в
фотонейтронной реакции у, п при облучении Be у-квантами 24Na.
1.115. Вычислить энергию отдачи ядра Мп, испустившего
у-квант после захвата медленного нейтрона в реакции (я, у).
Сравнить эту энергию с энергией связи атома марганца в молекуле
КМпО4.
1,116. Сечение (я, а) реакции для тепловых нейтронов на ядре
10В равно о=3840-10~24 см2. Но 10В содержится в естественной
смеси изотопов в концентрации 19,8%.
Вычислить сечение для естественной смеси изотопов.
1.117. Вычислить толщину слоя Cd, необходимого для исклю-
чения воздействия тепловых нейтронов на детектор.
1.118, Чему равно сечение рассеяния нейтронов при энергии
100 эВ молекулами воды?
1.119. Чему равно сечение рассеяния тепловых нейтронов моле-
кулами воды?
1.120. Для того чтобы пороговые детекторы давали удобную
для обработки информацию, желательно, чтобы энергетическая за-
висимость сечения реакции взаимодействия имела ступенчатый ха-
рактер. Для реальных детекторов энергетическая зависимость се-
чения имеет плавный характер.
Как в этих условиях можно ввести эффективную пороговую
энергию?
1.121. Вычислить наиболее вероятную и среднюю скорости ней-
тронов, находящихся в тепловом равновесии со средой при 20 °C.
1.122. В таблицах обычно приводятся сечения для тепловых
21
нейтронов, соответствующие наиболее вероятной скорости нейтро-
нов, с максвелловским распределением по скоростям при 20 °C.
Во сколько раз отличаются от табличных значений сечения захва-
та нейтронов, соответствующие средней скорости нейтронов? Вы-
числить сечение захвата нейтронов ядром 10В, соответствующее
средней скорости.
1.123. Вычислить эффективное сечение захвата тепловых ней-
тронов естественным бором, если нейтроны распределены по энер-
гиям в соответствии с максвелловским распределением.
1.124. Обычно спектр нейтронов характеризуют распределением
по энергиям или скоростям. Поскольку для исследований спектра
часто используется метод времени пролета, полезно знать вид рас-
пределения по временам пролета.
Получите распределение по временам пролета, считая, что рас-
пределение по энергиям максвелловское.
ГЛАВА 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГИИ ИОНИЗИРУЮЩЕГО
ИЗЛУЧЕНИЯ В ВЕЩЕСТВЕ
2.1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
2Л. Параллельный пучок моноэнергетических частиц плот-
ностью п=103 см-2-с-1 падает на «тонкую» мишень толщиной
dx=10-3 см и плотностью N= 1022 см-3. В результате упругого со-
ударения частиц пучка с атомами мишени часть частиц пучка рас-
сеивается. Дифференциальное сечение рассеяния Jo/dQ = 10-24 см2.
Вычислить число частиц, которые будут рассеяны в единицу
времени под углом 0 к направлению падающего пучка в пределах
телесного угла dQ. Указать критерий и, воспользовавшись им,
проверить, действительно ли мишень является «тонкой». Вычис-
лить долю частиц, рассеянных под углом 0 в телесный угол dQ.
2.2. В потоке рассеянных частиц под углом 0 к падающему
пучку установлен детектор (рис. 2.1). Детектор регистрирует час-
тицы в некотором телесном угле.
Записать выражение для числа частиц, рассеянных под углом
0. Сколько из них будет зарегистрировано детектором?
2.3. На поверхность мишени падает пучок частиц. В резуль-
тате рассеяния часть частиц выбывает из пучка.
Получить выражение для числа частиц, прошедших в мишени
слой d без столкновения.
2.4. В условиях задачи 2.1 получить выражение для числа час-
тиц, рассеянных в «толстой» мишени толщиной d,
2.5. В случае упругого рассеяния энергия рассеянных частиц
однозначно связана с углом рассеяния. Поэтому вместо дифферен-
циального сечения по углам можно пользоваться дифференциаль-
ным сечением по энергии.
22
Найти связь между этими величинами.
2.6. На поверхность тонкой мишени падает немоноэнергетичес-
кий поток частиц. Если сечение взаимодействия зависит от энер-
гии, то простые соотношения, связывающие число рассеянных
частиц с плотностью потока, существенно усложняются. Тем не ме-
нее и в этом случае можно регистрировать рассеянные частицы
и определять некоторое экспериментально измеряемое сечение а
исходя из формулы
nper = onNdx.
Установить связь между экспериментально наблюдаемым се-
чением а и дифференциальным сечением по энергии для моно-
энергетических частиц.
2.7. Поток частиц падает па мишень плотностью 5,8 • 1028 м-3, и
некоторые частицы в результате столкновения с ядрами мишени
выбывают из пучка.
Вычислить средний путь, который проходят частицы в мишени
до столкновения, если сечение столкновения равно 1,72* 10-28 м2.
2.8. Первоначально параллельный пучок частиц движется в на-
правлении оси х через тонкий слой вещества. Некоторые из частиц
упруго рассеиваются на атомах вещества и изменяют направле-
ние движения в соответствии с известными законами. При этом
изменяется и импульс частиц.
Получить выражение для эффективного сечения изменения на-
правления первоначального движения (эту величину также назы-
вают сечением передачи импульса или сечением диффузии).
2.9. Изотропный поток частиц падает на поверхность площадки,
установленной в потоке случайным образом.
Чему равна вероятность того, что угол, под которым падает
частица на площадку, заключен в пределах от 0 до 0+</0?
2.10. Вычислить среднюю потерю энергии электрона с энергией
10 эВ при его упругом рассеянии на нейтральном атоме аргона.
23
2.11. Вычислить долю энергии, теряемой электроном с энерги-
ей 1 эВ при прохождении в гелии под давлением 3,7-104 Па рас-
стояния 1 мм.
2.12. Вычислить долю энергии, теряемой электроном с энергией
1 эВ при движении в гелии под давлением 3,7-104 Па в течение
1,7-10-9 с.
2.13. Молекулы газа, участвуя в тепловом движении, сталки-
ваются между собой. Ввиду случайного характера столкновений
длина пути молекул между столкновениями флуктуирует.
Найти дифференциальное и интегральное распределение сво-
бодных пробегов, если заданы сечение рассеяния и плотность
газа.
2.14. Вычислить среднюю длину свободного пробега атома ар-
гона при нормальных условиях.
2.15. Вычислить среднюю длину свободного пробега электрона,
находящегося в тепловом равновесии с молекулами водорода при
нормальных условиях.
2.16. Вычислить время свободного пробега электрона с энер-
гией 1 эВ в неоне при давлении 0,02 МПа.
2.17. Вычислить среднее число столкновений атома ксенона в
единицу времени в газе в нормальных условиях.
2.18. Вычислить средний квадратический свободный пробег мо-
лекулы в газе, если средний свободный пробег равен 5*10-а м.
2.19. Средняя энергия электронов в электрическом поле в чис-
том аргоне при E/N<—10-16 В-см2 может достигать 10 эВ. При до-
бавлении к благородному газу молекулярной примеси средняя
энергия электронов падает, так как теперь они могут тратить
энергию на возбуждение колебательных и вращательных движе-
ний молекул.
Оценить концентрацию углекислого газа в аргоне, необходи-
мую для понижения средней энергии электронов с 10 до 0,3 эВ.
2.20. Объясните немонотонный характер зависимости сечения
столкновения электронов с молекулами в некоторых газах от
энергии электронов (так называемый эффект Рамзауэра).
2.21. Вычислить число молекул, проходящих в газе через эле-
ментарную площадку за 1 с.
2.22. Получить выражение для коэффициента диффузии моле-
кулы в собственном газе.
2.23. Благородные газы считаются атомарными. Однако из-за
наличия слабого ван-дер-ваальсовского взаимодействия часть ато-
мов может объединяться в двухатомные молекулы.
Вычислить концентрацию молекул ксенона при давлении 1 МПа.
2.24. В замкнутом сосуде при комнатной температуре (293 К)
содержится определенное количество атомов ксенона, часть кото-
рых ассоциирована в двухатомные молекулы в соответствии с за-
кономерностями, проанализированными в задаче 2.23.
Во сколько раз изменится концентрация молекул, если темпе-
ратуру сосуда уменьшить до Т—170 К?
24
2.2. ОБРАЗОВАНИЕ И СТРУКТУРА ТРЕКА
2.25. Все основные процессы преобразования энергии ионизи-
рующего излучения в веществе существенно зависят от структуры
трека частицы.
Опишите структуру трека:
а) однозарядной релятивистской частицы в газе (аргоне);
б) а-частицы естественной радиоактивности в газе (аргоне);
в) осколка деления в твердом теле (кремнии).
2.26. Ионизация вдоль трека однозарядной релятивистской час-
тицы распределена в отдельных изолированных областях, назы-
ваемых ячейками. Каждая ячейка ионизации — это след медлен-
ного 6-электрона, хаотически распределенный в пространстве из-за
многократного рассеяния.
Для однозарядной релятивистской частицы, движущейся в ар-
гоне при атмосферном давлении, заданы:
удельные потери энергии d&/dx=2,48 кэВ/см;
первичная удельная ионизация v'=dn'/dx=29,4 см-1;
средняя энергия ионообразования йу = 26,4 эВ.
Определить среднее расстояние между ячейками ионизации,
среднее энерговыделение в ячейке, среднее число пар ионов в
ячейке и полную удельную ионизацию.
2.27. След однозарядной релятивистской частицы в газе пред-
ставляет собой последовательность статистически распределенных
вдоль направления движения частицы ячеек ионизации. С ростом
плотности ионизации ячейки сближаются, перекрываются, и в кон-
це концов след превращается в сплошную колонку ионов. За сред-
ний диаметр ячейки можно принять практический пробег 6-элек-
тронов с энергией, соответствующей среднему энерговыделению в
ячейке. В задаче 2.26 предлагалось найти некоторые параметры
ячеек. В частности, среднее энерговыделение оказалось равным
84,4 эВ.
Считая, что практический пробег электрона с такой энергией в
аргоне при атмосферном давлении равен 10“3 см, оценить при ка-
кой удельной ионизации ячейки сольются в сплошную колонку.
Вычислить, какой энергии протонов соответствует эта удельная
ионизация.
2.28. В задачах 2.26, 2.27 предлагалось вычислить некоторые
параметры ячеек ионизации и выяснить, как изменяется характер
следа при увеличении плотности ионизации за счет уменьшения
энергии частицы. Но плотность ионизации может расти и при не-
изменной энергии частицы за счет роста плотности вещества.
Исследовать вопрос, как будет изменяться характер следа (ста-
нут ли перекрываться ячейки?) с ростом давления газа.
2.29. При изучении торможения заряженных частиц важную
роль играет характеристика продольного перемещения частицы в
веществе — пробег. Однако во многих случаях необходимо учиты-
вать и поперечную относительно оси трека протяженность воздей-
ствия заряженных частиц на вещество.
25
Возникает вопрос — что такое радиус трека частицы? В каких
экспериментах радиус трека можно определить?
2.30. Записать уравнение, выражающее баланс энергии, поте-
рянной заряженной частицей с энергией б?о при ее движении в бла-
городном газе до полной остановки.
2.31. Заряженная частица, полностью теряющая свою энергию
в благородном газе, создает там электронно-ионные пары и воз-
бужденные атомы в следующих соотношениях:
отношение числа возбужденных атомов к числу пар ионов
riex/ni =0,4;
отношение средней энергии возбуждения к энергии ионизации
В7ех/^=0,85;
отношение средней кинетической энергии подпороговых элек-
тронов к энергии ионизации
Вычислить среднюю энергию ионообразования в газообразном
аргоне.
2.32. Первичное воздействие заряженной частицы на вещество
заключается в образовании электронно-ионных пар и возбужден-
ных атомов. Установлено, что соотношения числа пар ионов и воз-
бужденных атомов в газообразных и жидких благородных газах
различаются. В газе при атмосферном давлении пех/П[=^Д,
Как изменяется это отношение в жидкости и почему?
2.33. Используя уравнение баланса энергии, потерянной заря-
женной частицей в веществе, вычислить среднюю энергию, идущую
на образование фотона в газовых сцинтилляционных детекторах
в двух случаях:
а) фотоны образуются только при возвращении в основное со-
стояние возбужденных атомов (случай малых давлений);
б) фотоны образуются при рекомбинации электронно-ионных
пар и при возвращении в основное состояние возбужденных ато-
мов (случай высоких давлений).
Считать, что каждый акт рекомбинации и каждый возбужден-
ный атом дают по одному фотону. Численные данные взять из
условия задачи 2.31.
2.34. В сцинтилляционных детекторах эффективность преобра-
зования энергии ионизирующего излучения в световое принято
характеризовать таким параметром, как конверсионная эффектив-
ность х. Однако во многих случаях по аналогии с- ионизационным
методом удобно пользоваться параметром — средняя энергия об-
разования фотона шФ.
Установите связь между этими двумя параметрами.
2.35, При больших энергиях заряженных частиц средняя энер-
гия ионообразования является константой. Однако при энергии,
близкой к энергии, ионизации, она может заметно отличаться от
табличного значения.
Найти зависимость средней энергии ионообразования от энер-
гии частицы в области малых энергий.
2.36. В ионизационном детекторе, заполненном газообразным
26
ксеноном, требуется регистрировать рентгеновские кванты Ка-из-
лучения.углерода. Для вычисления ожидаемого сигнала надо знать
средиююю энергию новообразования w.
Вычислить w для этого случая.
2.37. Первичная удельная ионизация — это среднее число пар
ионов, образованных на единице пути, непосредственно налетаю-
щей частицей. Полная удельная ионизация — то же, но с учетом
ионизации, создаваемой б-электронами всех поколений.
Укажите эксперименты, в которых можно независимо измерить
первичную и полную удельные ионизации.
2.38. В задачах 2.26, 2.27 предлагалось вычислить и исследо-
вать некоторые средние параметры, характеризующие ячейки иони-
зации, образуемые релятивистскими частицами в веществе.
Указать, по какому закону флуктуируют вокруг среднего эти
параметры, а именно: расстояние между ячейками, энерговыделе-
ние в ячейке, число пар ионов в ячейке.
2.39. По каким законам флуктуируют первичная и полная иони-
зации вокруг своих средних значений?
2.40. При строго фиксированных потерях энергии заряженных
частиц в веществе число электронно-ионных пар, образуемых ими,
флуктуирует вокруг среднего значения п. Известно, что дисперсия
числа пар ионов пропорциональна их среднему числу
D(n) = /7п,
где F — коэффициент пропорциональности, называемый фактором
Фано.
Вычислить фактор Фано для благородных газов, предполагая,
что флуктуации происходят по биномиальному закону. Обоснуйте
допустимость применения биномиального распределения в данном
случае.
2.41. В задаче 2.40 предлагалось вычислить фактор Фано в
благородных газах, предполагая, что флуктуации ионизации про-
исходят по биномиальному закону. Вычислить значение фактора
Фано, определенное таким образом:
а) если все образованные частицей возбужденные атомы в ре-
зультате реакций типа
X*+Y->X+Y+ + e
дадут при соударении с молекулами примеси по одной электрон-
но-ионной паре;
б) если вся энергия частицы пойдет только на ионизацию.
2.42. Вычислить коэффициент пропорциональности между дис-
персией и средним числом фотонов, образованных заряженной час-
тицей в благородном газе, т. е. фотонный аналог фактора Фано.
Вычисления провести в предположении о биномиальном законе
флуктуации числа фотонов в двух случаях:
а) фотоны образуются только возбужденными атомами (слу-
чай малых давлений);
27'
б) фотоны создаются возбужденными атомами и в актах ре-
комбинации (случай больших давлений). Считать, что квантовый
выход фотонов в обоих случаях равен единице.
2.43. Образованные заряженной частицей в процессе ионизации
подпороговые электроны, т. е. электроны, энергия которых недо-
статочна для ионизации или возбуждения других атомов в благо-
родных газах, имеют среднюю энергию ^6=0,31 Wi. Двигаясь в
благородном газе, электроны могут терять эту энергию только в
упругих соударениях с атомами среды.
Вычислить число столкновений, которые требуются для того,
чтобы энергия электронов в аргоне в процессе термализации упа-
ла до тепловой.
2.44. Оценить число столкновений, необходимое для термализа-
ции электрона в молекулярном газе (водороде).
2.45. Вычислить среднее расстояние, на которое смещается
электрон в процессе термализации в аргоне при атмосферном дав-
лении.
2.46. Вычислить полный путь, проходимый электроном в про-
цессе термализации в гелии при комнатной температуре и атмо-
сферном давлении.
2.47. Найти зависимость времени термализации электрона в
газе от давления газа.
2.48. Вычислить среднее квадратическое смещение родитель-
ского иона в аргоне от места ионизации за время термализации
электрона.
2.3. ЗАХВАТ ЭЛЕКТРОНОВ
2.49. Вычислить потенциальную энергию взаимодействия элек-
трона и нейтральной молекулы кислорода на расстоянии 2-Ю-8 см.
2.50. Укажите основные механизмы захвата электронов кисло-
родом. Охарактеризуйте каждый из механизмов, укажите их ве-
роятности и области параметров, где соответствующий механизм
может доминировать.
2.51. Оцените вероятность излучательного захвата электронов
электроотрицательной молекулой.
2.52. Вычислить сечение захвата электронов, диффундирующих
в неоне при 116 К в отсутствие внешнего электрического поля, мо-
лекулами хлора.
2.53. При описании процесса трехчастичного захвата электро-
нов для количественной характеристики процесса можно пользо-
ваться сечением. Однако в данном случае чаще употребляется дру-
гой параметр — константа трехчастичного взаимодействия, явля-
ющаяся коэффициентом пропорциональности в дифференциальном
уравнении захвата электронов,
Я(Х)шУ(Х)ДГ(У),
где и, Af(X), AZ(Y)—концентрация электронов, молекул X, явля-
ющихся третьим телом, и молекул Y, захватывающих электроны.
28
Получить связь между сечением захвата и константой трех-
частичного взаимодействия для случая, когда молекула Y — кисло-
род. Объяснить, в чем причина предпочтения, отдаваемого кон-
станте /(.
2.54. В плотном газе при энергии электронов меньше 1 эВ до-
минирующим процессом захвата электронов молекулами кисло-
рода является трехчастичный захват. Ионизационный детектор за-
полнен криптоном до давления 0,24 МПа. В газе содержится кис-
лород в концентрации 10-1%..
Вычислить среднее время жизни электрона до захвата.
2.55. Вероятность захвата электро-
нов кислородом как примесью в ос-
новном газе зависит от давления ос-
новного газа.
Исследуйте зависимость среднего
времени жизни электронов до захвата
от давления основного газа при неиз-
менной относительной концентрации
примеси — кислорода.
2.56. Для характеристики захвата
часто пользуются так называемым коэффициентом прилипания hT
равным отношению сечения захвата к полному сечению рассеяния
электронов, ft = o3/a.
Вычислить среднее время жизни электронов, движущихся в
электрическом поле напряженностью 103 В/см в гелии при атмо-
сферном давлении, если известно, что в газе имеется электроотри-
цательная примесь в концентрации 0,17%., характеризуемая h =
= 10-3.
2.57. Газовая ионизационная камера заполнена аргоном, со-
держащим примесь кислорода в концентрации 0,5%., до общего
давления 0,27 МПа. Электроны, образованные в объеме камеры
ионизирующим излучением, движутся в электрическом поле напря-
женностью 1,8 кВ/см.
Вычислить средний путь, проходимый электронами до захвата.
2.58. Измерение формы импульсов тока от а-частиц, пролета-
ющих в плоской двухэлектродной ионизационной камере парал-
лельно электродам, показало, что импульс имеет экспоненциаль-
ный спад с постоянной времени 2,8 мкс. Камера заполнена гелием
с примесью кислорода до давления 0,3 МПа.
Вычислить концентрацию примеси.
2.59. Параметры захвата электронов примесью, растворенной в
жидком благородном газе, можно измерять следующим образом.
Жидкость, заполняющая двухэлектродную ионизационную камеру,
облучается короткими импульсами рентгеновского излучения
сквозь катод. Энергия излучения подбирается такой, чтобы об-
ласть возбуждения имела толщину, малую по сравнению с рассто-
янием между электродами. Образованные при возбуждении элек-
троны дрейфуют в однородном электрическом поле к аноду, и во
29
внешней цепи формируется импульс тока. Анализ формы этого им-
пульса позволяет получить данные о захвате электронов.
Вычислить средний сдвиг электронов до захвата, если на экра-
не осциллографа наблюдается импульс тока (рис. 2.2). Расстоя-
ние между электродами камеры 1,4 см.
2.60. В ионизационную камеру, заполненную аргоном, при се-
рийных измерениях требуется попеременно быстро вводить а-пре-
параты. В этих условиях трудно избавиться от примеси кислорода,
концентрация которого может достигать 0,5%.. Из-за захвата зна-
чительной части электронов молекулами кислорода амплитуда
импульса резко падает.
Каким образом можно обеспечить нормальную работу камеры,
не меняя концентрации кислорода?
2.4. РЕКОМБИНАЦИЯ
2.61. Во многих задачах, касающихся рекомбинации, важную
роль играет понятие сферы захвата, внутри которой потенциальная
энергия электростатического взаимодействия зарядов превышает
тепловую энергию.
Вычислить радиус сферы захвата для ионов в газе при комнат-
ной температуре.
2.62. Понятие сферы захвата, обычно используемое для ионов,
можно распространить и на дипольные и поляризующие молеку-
лы.
Вычислить радиус сферы захвата для дипольной молекулы
Н2О (дипольный момент 6,2-10“30 Кл*м) и поляризующейся мо-
лекулы кислорода (поляризуемость 1,57-10~24 см3).
2.63. Вычислить напряженность электрического поля точечного
заряда на поверхности его сферы захвата.
2.64. Получить выражение для коэффициента трехчастичной
ион-ионной рекомбинации в газе на основе модели, впервые сфор-
мулированной Томсоном. Рекомбинация произойдет только в том
случае, если ион одного знака влетает в сферу захвата иона дру-
гого знака и, двигаясь в пределах сферы прямолинейно по хорде,
испытает столкновение с молекулой газа. Задача симметрична от-
носительно ионов обоих знаков.
Укажите упрощения, сделанные при формулировке модели. Б
какой области давлений газа эта модель может оказаться спра-
ведливой? Вычислите значение коэффициента рекомбинации для
рекомбинации ионов кислорода в воздухе при атмосферном дав-
лении.
2.65. Получить выражение для коэффициента ион-ионной ре-
комбинации, считая,, что ионы одного знака движутся в поле ионов
другого знака со скоростью дрейфа и, достигнув иона, рекомбини-
руют (эту модель впервые сформулировал Ланжевен).
В какой области давлений газа эта модель может оказаться
справедливой? Вычислить значение коэффициента рекомбинации
ионов кислорода в воздухе при давлении 1 Па.
30
2.66. Начальная рекомбинация — это рекомбинация электрона
с пространственно ближайшим ионом, в большинстве случаев с
«родительским». При этом рассматривается термализовавшийся
электрон, который находится в кулоновском поле иона, участву-
ет в тепловом движении молекул вещества и, кроме того, испыты-
вает воздействие внешнего электрического поля.
Вычислить вероятность для пары электрон—ион с начальным
расстоянием г и углом 0 между прямой электрон—ион и направ-
лением силовых линий внешнего электрического поля избежать
рекомбинации (эту задачу впервые сформулировал и решил Он-
загер).
2.67. Короткий импульс излучения образует в жидком аргоне
высокую концентрацию зарядов. Электрическое поле отсутствует,
поэтому основной причиной убыли зарядов является рекомбина-
ция.
Как будет изменяться концентрация зарядов во времени?
2.68. В ионизационной камере при прохождении пучка частиц
мгновенно образовалось по=1О9 см-3 пар ионов, равномерно рас-
пределенных по объему камеры.
Вычислить время, в течение которого концентрация зарядов
упадет вдвое за счет объемной рекомбинации, если коэффициент
объемной рекомбинации р= 1Q—° см3/с.
2.69. Исследуйте поведение кривых зависимости концентрации
зарядов от времени в случае объемной рекомбинации при больших
временах.
2.70. Ионизационный детектор облучается ионизирующим излу-
чением, создающим в 1 см3 за 1 с 108 пар ионов. Единственной
причиной убыли зарядов является объемная рекомбинация с коэф-
фициентом |J=10“6 см3/с.
Найти равновесную концентрацию зарядов в стационарных
условиях, когда создание заряда полностью компенсируется реком-
бинацией.
2.71. В момент t=0 начинается облучение ионизационной ка-
меры ионизирующим излучением, создающим в 1 см3 за 1 с и0 пар
ионов. Основной причиной убыли зарядов является объемная ре-
комбинация.
Найти закон изменения концентрации зарядов со временем.
2.72. В момент t=0 начинается облучение ионизационной ка-
меры ионизирующим излучением, создающим в 1 см3 за 1 с п0 пар
ионов. Основной причиной убыли зарядов является предпочтитель-
ная рекомбинация.
Найти закон изменения концентрации зарядов со временем.
2.73. Ионизирующая частица образует в цилиндрической об-
ласти вдоль трека частицы колонку ионов, которые могут двигать-
ся под действием внешнего поля, диффундировать против гради-
ента концентрации, а также рекомбинировать.
Составить дифференциальное уравнение, описывающее скорость
31
изменения концентрации зарядов с учетом перечисленных трех
процессов (это уравнение впервые написал в 1913 г. Яффе).
2.74* При анализе судьбы зарядов, образованных ионизирую-
щей частицей в треке, обычно учитываются их дрейф во внешнем
поле, диффузия и рекомбинация.
Оценить роль каждого из этих процессов в изменении концент-
рации зарядов в треке в газах и жидкостях в диапазоне темпера-
тур от комнатной до температуры кипения жидкого гелия.
2.5. ДИФФУЗИЯ И ДРЕЙФ
2.75. В малом объеме, размерами которого можно пренебречь,
в начале координат сосредоточено большое число частиц по, кото-
рые в момент t=0 начали диффундировать сквозь газ, однородно
заполняющий все пространство.
Найти распределение плотности частиц на расстоянии г от на-
чала координат в произвольный момент времени t в одномерном,
двухмерном и трехмерном случаях.
2.76. Вычислить среднее квадратическое смещение частицы,
диффундирующей из начала координат сквозь газ в одномерном,
двухмерном и трехмерном случаях.
2.77. Найти положение максимума функции распределения
плотности диффундирующих частиц.
2.78. Через камеру Вильсона, заполненную воздухом при нор-
мальных условиях, пролетает быстрая заряженная частица. Обра-
зованные ею ионы перемещаются вследствие диффузии. Через вре-
мя задержки, равное 1,47-10~3 с, происходит расширение, на ионах
вырастают капельки и их подвижность падает до нуля. Возникший
капельный след фотографируется. На фотографии получается
проекция распределения ионов на плоскости фотопластинки.
Считая диффузию основной причиной уширения следа частицы,
вычислить ожидаемую среднюю квадратическую ширину проекции
следа на фотографии.
2.79. Электроны в газе в отсутствие электрического поля участ-
вуют в тепловом движении молекул газа и находятся с ними в
тепловом равновесии.
Найти функцию распределения электронов по энергии.
2.80. При анализе поведения электронов в веществе обычно ис-
пользуется функция распределения электронов по скоростям. Од-
нако часто важно знать распределение не Самих скоростей, а их
проекций на какое-нибудь выбранное направление в пространстве.
Найти распределение проекций скорости электронов, находя-
щихся в тепловом равновесии в газе, на некоторое определенное
направление, например ось х.
2.81. Найти наиболее вероятную, среднюю и среднюю квадрати-
ческую скорости для распределения Максвелла.
2.82. Найти наиболее вероятную, среднюю и среднюю квадрати-
ческую энергию в распределении Максвелла.
2.83. Вычислить среднюю, среднюю квадратическую и наиболее
вероятную скорости атомов аргона, находящихся в газе при 290 К.
32
2,84. Вычислить наиболее вероятную, среднюю и среднюю квад-
ратическую скорости электронов, находящихся в тепловом равно-
весии с газом при 290 К-
2.85. Получить выражение для скорости дрейфа ионов в газе.
Вычислить скорость дрейфа ионов аргона в собственном газе по
полученной формуле и сравнить с табличным значением. Сделать
выводы.
2.86. На рис. 2.3 приведен график зависимости скорости дрей-
фа электронов от напряженности электрического поля.
Рис. 2.3
Рис. 2.4
Как по этому графику определить подвижность электронов?
2.87. На рис. 2.4 приведен график зависимости скорости дрей-
фа электронов в жидком ксеноне от напряженности электрического
поля.
Как по графику определить подвижность электронов?
2.88. Каков физический смысл отношения коэффициента диф-
фузии и подвижности £>/ц?
2.89. Многие параметры в физике газового разряда, в частности
скорость дрейфа, являются функцией отношения £/р.
Каков физический смысл этой зависимости? Что характеризует
такой параметр, как отношение Е/р?
2.90. Есть ли какие-либо ограничения на диапазон давлений,
в котором можно использовать в качестве параметра отношение
£/р?
2.91. Электроны движутся в газе нейтральных молекул под дей-
ствием электрического поля. Столкновения электронов и молекул
могут быть только упругими. Электрическое поле, с одной сторо-
ны, настолько слабое, что сферически-симметричное распределение
скоростей электронов полем изменяется слабо, но, с другой сто-
роны, достаточно сильно, чтобы считать, что в столкновении пре-
обладает взаимодействие типа соударения твердых шариков, т. е.
сечение столкновения не зависит от энергии.
Найти функцию распределения по энергии.
3—5266 33
2.92. При анализе движения электронов в газе в электрическом
поле функцию распределения электронов по скоростям записывают
в виде
f(v)=fo(v)+fi(u)cosQ.
Пользуясь таким видом функции распределения, выразить че-
рез функции fo и ft среднюю энергию, скорость дрейфа и коэффи-
циент диффузии электронов.
2.93. Электроны движутся в неоне в условиях, сформулирован-
ных в задаче 2.91. Напряженность поля 104 В/м, длина свободного'
пробега 3,1•10-6 м.
Вычислить среднюю энергию и скорость дрейфа электронов.
2.94. Теоретический анализ зависимости скорости дрейфа элек-
тронов от напряженности электрического поля в пренебрежении
неупругими столкновениями показывает, что скорость дрейфа в
слабых полях линейна по полю, а в сильных — пропорциональна
квадратному корню из напряженности поля. Однако из экспери-
мента видно, что в некоторых газах, а особенно в газовых смесях,
скорость дрейфа может не зависеть от поля или даже падать с
ростом напряженности поля.
Объясните такой характер зависимости скорости дрейфа элек-
тронов от напряженности поля.
2.95. Известно, что если к благородному газу добавить молеку-
лярную примесь, то средняя энергия электронов в электрическом
поле падает, так как теперь электроны при столкновениях могут
тратить энергию на возбуждение колебательных и вращательных
движений молекул. Этим обстоятельством широко пользуются для
увеличения скорости дрейфа электронов в газе.
Объясните, почему при добавлении некоторых молекулярных
примесей к благородному газу скорость дрейфа увеличивается.
2.96. Облако зарядов, образованных ионизирующей частицей
в газе (трек), дрейфует в электрическом поле. Одновременно об-
лако размывается за счет диффузии. Известно, что коэффициенты
диффузии вдоль и поперек электрического поля могут различаться.
Объясните физические причины такого различия и укажите,
больше или меньше единицы отношение Рц/Р^для ионов и элек-
тронов в благородных газах.
2.97. В ионизационных детекторах ионизирующее излучение об-
разует в веществе детектора положительные и отрицательные за-
ряды, которые затем растаскиваются электрическим полем. Однако
при высокой плотности зарядов внешнее поле будет экранировать-
ся зарядами и в детекторе образуется плазма.
Сформулируйте условия, при которых объемный заряд из по-
ложительных и отрицательных носителей заряда можно считать
нейтральной плазмой.
2.98. Вычислить скорость движения положительных и отрица-
тельных носителей заряда в том случае, когда их концентрации
велики, так что их движение уже нельзя рассматривать незави-
симо.
34
ГЛАВА 3
ГАЗОВЫЕ И ЖИДКОСТНЫЕ ИОНИЗАЦИОННЫЕ ДЕТЕКТОРЫ
3.1. ПЛОСКИЕ ИМПУЛЬСНЫЕ ИОНИЗАЦИОННЫЕ КАМЕРЫ
3.1. Во внешней цепи ионизационных детекторов (газовых, жид-
костных, твердотельных) после ионизации рабочего вещества ре-
гистрируемым излучением возникает ток, который имеет специ-
фический характер, отличный от характера привычного сквозного
тока. Такой ток называют индуцированным.
В чем причины специфики тока ионизационных детекторов?
3.2. Образованный ионизирующим излучением в пространстве
между электродами ионизационного детектора заряд взаимодейст-
вует с электронами материала электродов, отталкивая или притя-
гивая их в зависимости от знака заряда. Количественный анализ
этого взаимодействия чрезвычайно сложен. Оказывается, однако,
что эту сложную ситуацию можно существенно упростить, счи-
тая, что на соответствующем электроде появляется «зеркальный»
заряд.
Опишите природу индуцированного тока, оперируя понятием
«зеркальных» зарядов.
3.3. В пространстве между двумя электродами, разность потен-
циалов между которыми постоянна и равна (7, движется под дей-
ствием электрического поля заряд q.
Получить выражение для тока, индуцированного во внешней
цепи при движении заряда.
3.4. В настоящее время широкое распространение получили
многоэлектродные детекторы, например различные варианты мно-
гопроволочных детекторов, ионизационные камеры с разделенными
анодами для измерения d<D /dx и <S или для измерения координат
частиц и т. д. Полезно знать параметр выходного сигнала в такой
многомерной системе.
Описать формы импульсов тока в цепи каждого из положи*
тельных электродов, если точечный заряд движется, как это по-
казано на рис. 3.1.
3.5. В ПК, наполненной аргоном до давления 0,06 МПа, на рас-
стоянии 2 см от отрицательного электрода перпендикулярно сило-
вым линиям поля пролетает а-частица.
Сравнить время собирания электронов и положительных ионов,
если расстояние между электродами камеры равно 5 см, а напря-
жение, приложенное к ним, составляет 800 В.
3.6. Найти форму импульса тока (зависимость тока от време-
ни) в ПК для заряда, образованного частицей, чей путь показан
на рис. 3.2.
3.7. Вычислить амплитуду и длительность электронной и ион-
ной компонент импульса тока для а-частицы 241Аш, пролетающей
параллельно электродам ПК на расстоянии 1 см от отрицательно-
го электрода. Камера заполнена чистым метаном до давления
3* 35
0,1 МПа. Расстояние между электродами 4 см, разность потенци-
алов 1520 В.
3.8. В ПК в непосредственной близости от положительного
электрода параллельно его поверхности прошла а-частица.
Вычислить длительность заднего фронта импульса тока, свя-
занную с диффузией облака ионов при его дрейфе в камере. Ка-
мера заполнена чистым аргоном до 0,1 МПа. Расстояние между
электродами 1 см, к электродам приложена разность потенциалов
500 В.
3.9. В ПК в непосредственной близости от отрицательного элек-
трода параллельно его поверхности пролетает а-частица.
о хо
Рис. 3.2
d
Вычислить длительность заднего фронта импульса тока, опре-
деляемую диффузией облака электронов при их дрейфе к поло-
жительному электроду.
Камера заполнена чистым аргоном до 0,1 МПа, расстояние
между электродами 2 см, к электродам приложена разность по-
тенциалов 1500 В.
3.10. ПК заполнена жидким ксеноном с примесью кислорода.
Камера облучается короткими импульсами рентгеновского из-
лучения, длительность которых пренебрежимо мала по сравнению
с временем дрейфа электронов. Облучение проводится сквозь ка-
тод, причем размеры области возбуждения пренебрежимо малы
по сравнению с расстоянием между электродами.. Суммарная энер-
гия в рентгеновском импульсе 2,7 МэВ, расстояние между элек-
тродами 0,6 см, средний сдвиг электронов до захвата их молеку-
лами кислорода 1,5 см.
Найти форму импульса тока.
3.11. Как влияет рекомбинация в треке частицы на форму им-
пульса тока в ПК?
3.12. Заряд, образованный ионизирующим излучением в рабо-
чем веществе детектора, во многих случаях занимает определенный
объем, протяженный вдоль силовых линий электрического поля.
Получить выражение для зависимости электронной компоненты
тока от времени в ПК. Заряд образован частицей, вышедшей из
расположенного на отрицательном электроде источника перпен-
дикулярно его плоскости. Пробег частицы меньше расстояния
36
между электродами. Считать заряд равномерно распределенным
вдоль трека частицы.
3.13. Вычислить форму электронной компоненты импульса то-
ка в ПК для частицы, вылетевшей из расположенного на отрица-
тельном электроде источника перпендикулярно его плоскости. Про-
бег частицы равен расстоянию между электродами. Заряд распре-
делен по пробегу в соответствии с кривой Брэгга.
3.14. В ПК заряженная частица вылетает из источника, рас-
положенного на отрицательном электроде, и движется под углом
к направлению силовых линий электрического поля.
Найти форму электронной компоненты импульса тока.
Q
Рис. 3.3
d
3.15. ПК облучается коллимированным пучком частиц через ок-
но в боковой стенке (рис. 3.3).
Получить выражение для электронной компоненты импульса
тока.
3.16. Укажите, какая информация о характеристиках регистри-
руемых частиц содержится в импульсах тока.
3.17. В большинстве ионизационных детекторов движение от-
рицательных и положительных зарядов (электронов и ионов в га-
зовых приборах, электронов и дырок в полупроводниковых) мож-
но рассматривать независимо и, следовательно, независимо рас-
сматривать формирование соответствующих компонент выходных
импульсов.
При каких условиях это правило нарушается? Укажите коли-
чественный критерий.
3.18. ПК с растоянием между электродами 0,6 см заполнена
чистым жидким ксеноном. Камера облучается прямоугольными им-
пульсами рентгеновского излучения длительностью 0,3 мкс сквозь
тонкий алюминиевый катод. Энергия рентгеновских квантов в ка-
мере 10 кэВ, суммарная энергия в одном импульсе 40 МэВ. Раз-
ность потенциалов между электродами 1,2 кВ.
Найти форму электронной компоненты импульса тока.
3.19, . Ионизационные детекторы являются генераторами тока,
но амплитуды импульсов тока в детекторах без внутреннего уси-
ления при энергии, поглощенной в приборе, менее 100 МэВ весьма
малы и их трудно регистрировать. Поэтому с ионизационных де-
текторов получают обычно импульсы напряжения.
37
Нарисуйте схему включения ионизационной камеры, в которой
на выходе может быть получен импульс напряжения.
3.20. Для ограничения токов утечки по изоляторам применяют
специальные охранные электроды.
Нарисуйте схему включения ионизационной камеры с охранны-
ми электродами.
3.21. Так как в подавляющем большинстве случаев импульсы
напряжения, формируемые во внешней цепи детектора излучений,
имеют весьма малую длительность, то кроме активного сопротив-
ления — сопротивления нагрузки, необходимо еще учитывать ре-
активные элементы.
Укажите эти реактивные элементы, их положение в цепи и их
роль в формировании импульсов напряжения.
3.22. Получить выражение для импульса напряжения, возника-
ющего на выходе детектора, который включен последовательно с
сопротивлением нагрузки, если в детекторе формируется импульс
тока i(t).
3.23. Укажите полярность выходного сигнала в схеме, приведен-
ной ла рис. 3.4.
Как изменить схему, чтобы получить на выходе импульс проти-
воположного знака, не меняя полярности приложенного напряже-
ния?
3.24. В некоторых случаях использования ионизационных де-
текторов различных типов, особенно при их работе с зарядочувст-
вительными предусилителями, удобно оперировать понятием ин-
дуцированного заряда.
Вычислить форму импульса заряда, индуцированного на элею
тродах ПК при движении в ней заряда q(t).
3.25. Вычислить индуцированный заряд и амплитуду импульса
напряжения в ПК в расчете на 1 МэВ энергии частицы, пролетаю-
щей параллельно плоскости электродов на расстоянии 1 см от от-
рицательного электрода. Расстояние между электродами 3 см, к
электродам приложено напряжение 600 В. Камера заполнена чис-
тым аргоном до 0,2 МПа. Эквивалентная емкость равна 20 пФ.
3.26. Получить выражение для зависимости индуцированного
заряда от времени в ПК для заряженной частицы, пролетевшей
параллельно электродам на расстоянии х0 от катода. Считать, что
RC~T_.
3.27. Выбрать сопротивления нагрузки, необходимые для обес-
печения работы ПК в режиме с полным и электронным собирани-
ем. Камера заполнена чистым аргоном до 0,15 МПа. Расстояние
между электродами 1,8 см; напряжение, приложенное к электро-
дам, 720 В. Эквивалентная емкость 28 пФ.
3.28. Построить графики зависимости амплитуды и длитель-
ности импульса напряжения в ПК от значения RC для частиц,
пролетающих параллельно электродам посредине между ними. Ка-
мера заполнена чистым гелием до 0,5 МПа, расстояние между
электродами 2,5 см, разность потенциалов между ними 5 кВ. Экви-
38
валентная емкость 2Q пФ. Отметить значения амплитуды и дли-
тельности импульсов при 7?С=и RC=T_.
3.29. Вычислите амплитуду импульса напряжения в ПК для
ионов 12бС с энергией 24 МэВ, влетающих в камеру перпендику-
лярно силовым линиям электрического поля на расстоянии 0,3 см
от отрицательного электрода и полностью теряющих энергию в
объеме камеры. Камера заполнена чистым аргоном до 0,07 МПа.
Расстояние между электродами 1,7 см, напряжение, приложенное
к ним составляет 600 В. Эквивалентная емкость равна 32 пФ, со-
противление нагрузки 1,6- 10б Ом.
Как изменится амплитуда импульса, если к аргону добавить
1 %, азота?
3.30. Вычислить индуцированный заряд в ПК, заполненной
жидким ксеноном с примесью кислорода. Концентрация примеси
такова, что среднее время жизни электронов до захвата равно
33 мкс. Камера облучается короткими импульсами рентгеновского
излучения сквозь катод. Толщина области возбуждения пренебре-
жимо мала по сравнению с расстоянием между электродами. Дли-
тельность рентгеновского импульса мала по сравнению с временем
дрейфа. Суммарная энергия в импульсе 13,6 МэВ, расстояние
между электродами 1 см. Считать, что T+^>RC^>T_.
3.31. Исследовать зависимость амплитуды индуцированного
заряда от места образования локализованного заряда в ПК, за-
полненной газом с примесью электроотрицательных молекул при
произвольном конечном значении RС.
3.32. В ПК, заполненной неоном с примесью элегаза (SF6), из-
мерены амплитуды электронных компонент импульсов напряжения
от а-частиц, пролетающих параллельно электродам. Измерения
проведены дважды: один раз при пролете частиц на расстоянии
2 см от положительного электрода (Ai= 1,4 мВ), другой — на рас-
стоянии 1 см (Л2=0,9 мВ).
Определить среднее расстояние, проходимое электроном до за-
хвата.
3.33. Вычислить амплитуду импульса напряжения для пучка
протонов с энергией 13,2 МэВ, -влетающих в ПК параллельно элек-
тродам через окно в боковой стенке на расстоянии 0,5 см от катода
и теряющих всю свою энергию в камере. Камера заполнена арго-
ном с примесью кислорода, так что время жизни электронов до
захвата составляет 8 мкс. Кислород захватывает электроны, но
практически не влияет на их скорость дрейфа. Общее давление га-
за 0,1 МПа. Расстояние между электродами 2 см, напряжение на
них 2300 В. Эквивалентная емкость 20 пФ, сопротивление иагруз-.
ки 4- 10б Ом.
3.34. Обычно в ПК амплитуда импульса зависит от места про-
хождения частицы. Однако если в газ, наполняющий камеру, ввес-
ти электроотрицательную примесь, захватывающую электроны, то
при определенных условиях для части камеры такая зависимость
может пропасть.
39
Подобрать такие значения времени жизни т и RC, чтобы в ПК
амплитуда импульса не зависела от места прохождения частиц для
половины камеры.
3.35. Можно ли с помощью ПК регистрировать однозарядные
космические частицы, если они падают на камеру нормально к
электродам? Камера заполнена аргоном до 0,2 МПа, расстояние
между электродами 3 см. Считать, что T-<^RC<g.T+. Камера под-
ключена к зарядочувствительному предусилителй к максимальным
значением коэффициента преобразования К=3,2-1015 В/Кл. Все
шумовые импульсы попадают в первый канал анализатора, т. е.
имеют амплитуду меньше 0,1 В.
3.36. В некоторых случаях приходится использовать ионизаци-
онные камеры в условиях, когда избежать рекомбинации зарядов
в треке не удается. Такая ситуация имеет место при заполнении
камер жидкими благородными газами.
Вычислить амплитуду импульса заряда с учетом рекомбинации
в треке.
Камера с сеткой заполнена жидким ксеноном, расстояние меж-
ду катодом и сеткой 1,6 см, разность потенциалов между ними
2 кВ. Потерей зарядов на сетке пренебречь. Камера облучается
источником у-квантов 137Cs, RC^>T— Принять, что коэффициент
рекомбинации равен 420 В/см.
3.37. Получить выражение для формы импульса заряда в ПК
для заряженной частицы, вылетевшей из нанесенного на отрица-
тельном электроде источника и движущейся перпендикулярно
плоскости электрода. Пробег частицы равен расстоянию между
электродами. Считать, что ионизация распределена по пробегу од-
нородно, a RC-+oc.
3.38. Получить выражение для формы импульса заряда в усло-
виях задачи 37, считая, что RC принимает конечное значение.
3.39. Построить график зависимости времени нарастания им-
пульса в условиях задачи 3.37 от значения RC. Сравнить получен-
ную зависимость с зависимостью tltap=f (RC) для постоянного за-
ряда. Объяснить полученное различие.
3.40. Вычислить амплитуду импульса заряда в ПК от а-частиц,
вылетающих из слоя борсодержащего вещества, нанесенного на
катоде. Частицы вылетают нормально к электроду. Камера облуча-
ется потоком тепловых нейтронов и заполнена аргоном до 0,06 МПа.
Расстояние между электродами 1,1 см, разность потенциалов меж-
ду ними 900 В. Эквивалентная емкость 16 пФ, сопротивление на-
грузки 105 Ом.
3.41. Как изменится амплитуда импульса в задаче 3.40, если
давление газа в камере уменьшить вдвое?
3.42. Вычисление амплитуды импульса напряжения для конеч-
ного значения RC часто весьма затруднительно. В тех случаях,
когда важны не абсолютные значения амплитуд, а их соотношение,
это вычисление заменяют на вычисление амплитуд электронной
40
компоненты импульса, принимая 7?С^>Т_, и пренебрегают ионной
компонентой, считая, что RC<^T+.
Оценить на простых примерах, какая при этом допускается по-
грешность.
3.43. В ПК, заполненной аргоном до 0,2 МПа, источник 226Ra
расположен на одном из электродов. Из источника параллельно
силовым линиям электрического поля вылетает а-частица. Рас-
стояние между электродами камеры равно 3 см, напряжение, при-
ложенное к ним, 1140 В. Эквивалентная емкость равна 50 пФ, со-
противление нагрузки 109 Ом.
Рис. 3.5
Вычислить амплитуду импульса напряжения, если источник
расположен:
а) на отрицательном электроде;
б) на положительном электроде.
Как изменяются амплитуды в этих двух случаях, если сопро-
тивление нагрузки уменьшить до 5-I06 Ом?
3.44. Получить выражение для амплитуды электронной компо-
ненты импульса напряжения при RC^>T_ в ПК от а-частицы, име-
ющей пробег, который полностью укладывается в объеме камеры.
Частица вылетает из источника, расположенного на отрицательном
электроде, под углом 6 к направлению силовых линий электри-
ческого поля.
3.45. В наиболее совершенных ионизационных спектрометрах
сильноионизирующих частиц на основе камеры с сеткой для умень-
шения диапазона углов, под которыми частицы вылетают из ис-
точника, используется так называемая электрическая коллимация
(рис. 3.5). В цепь высоковольтного электрода, на котором распо-
ложен источник, включается сопротивление нагрузки /?]. Сигнал
с этого сопротивления усиливается и проходит амплитудную селек-
цию в блоке АД, Отобранные таким образом импульсы управляют
линейной схемой пропускания CZ7, пропуская на анализатор АИ
импульсы с собирающего электрода, соответствующие частицам,
которые вылетают из источника под углами, близкими к нормали.
Электрическая коллимация выполняет те же функции, что и дюзы,
41
однако .при этом не перекрывается часть источника и, следователь-
но, не уменьшается светосила камеры.
Как надо установить пороги в блоке амплитудной селекции,
чтобы выделялись импульсы, соответствующие частицам, вылета-
ющим под углом не более ±6о к нормали?
В камере установлен источник а-частиц 239Pu, d\ = 2 см, 0 = 5°.
Камера заполнена, аргоном с примесью 0,2%- ацетилена до 0,2 МПа.
Эквивалентная емкость _в цепи высоковольтного электрода Ct =
= 19,5 пФ. Принять, что T-<^RCi<^T+. Коэффициент усиления
усилителя У1 равен 104.
3.46. В ПК установлен коллиматор с источником, излучающий
а-частицы, как показано на рис. 3.6.
Вычислить относительный разброс электронных компонент им-
пульсов напряжения для частиц с энергией 5,3 МэВ. Камера за-
полнена гелием до 0,4 МПа, расстояние между электродами 3 см,
xQ= 1 см, 20 = 20°.
3.47. Получить выражение для дифференциального распределе-
ния импульсов по амплитудам в ПК от моиоэнергетического ис-
точника а-частиц, помещенного на: а) отрицательном электроде;
б) положительном электроде. Активность источника NQ Бк, время
измерения ^изм. Считать, что пробег частицы меньше расстояния
между электродами.
3.48. Получить выражение для амплитудного распределения им-
пульсов в ПК от а-частиц, вылетающих из источника, который
расположен на отрицательном электроде. Учесть, что ионизация
вдоль пробега частицы распределена неравномерно.
3.49. При работе с ПК появились основания сомневаться в ис-
правности манометра, измеряющего давление газа в камере. Ап-
паратура позволяет измерять амплитудные распределения.
Как по виду дифференциального амплитудного распределения
определить давление газа?
Камера заполнена чистым метаном. Источник а-частиц распо-
ложен на катоде. Расстояние между электродами равно 2,26 см.
Относительная ширина практически прямоугольного распределе-
ния равна 0,5.
3.2. КАМЕРЫ С СЕТКОЙ
3.50. Получить выражение для формы импульсов тока.на аноде
камеры с сеткой, если заряженные частицы вылетают из источни-
ка, расположенного на катоде. Пробег частиц равен расстоянию
катод—сетка. Считать, что ионизация равномерно распределена по
пробегу, а проницаемость сетки 100%.
Построить графики формы импульсов тока для случаев 0=90°
и 0 = 0°, где 0 — угол между направлением движения частицы и
направлением силовых линий электрического поля. Расстояние
катод — сетка в 2,5 раза больше расстояния сетка—анод, а напря-
женности полей на этих участках таковы, что скорость дрейфа в
промежутке сетка—анод в 1,6 раза больше скорости дрейфа в
промежутке катод—сетка.
42
3.51. В камере с сеткой сигнал можно снимать и с сетки. Так
часто делают, и сигнал с сетки используют, например, для элек-
трической коллимации.
Построить график электронной компоненты импульса тока
на сетке камеры от частицы, вылетающей из источника, который
расположен на катоде.
3.52. Вычислить время собирания заряда в камере с сеткой для
частиц, вылетающих из источника, который расположен на катоде.
3.53. При анализе работы камеры с сеткой приходится пользо-
ваться понятиями «проницаемость сетки», «эффективность экрани-
рования сетки».
Объясните физический смысл этих понятий.
3.54. При каких условиях и почему проницаемость сетки может
составлять 100%?
3.55. Каким образом можно вычислить заряд, индуцированный
на аноде камеры с сеткой, от заряда, движущегося в пространстве
сетка—катод? Индуцированный заряд может появляться на ано-
де, если сетка экранирует анод с эффективностью меньше 100%.
3.56. Построить графики формы импульсов заряда на выходе
камеры с сеткой для частиц, которые вылетают из источника, нане-
сенного на катоде в двух случаях: а) частица вылетает парал-
лельно плоскости электрода; б) частица вылетает перпендикуляр-
но плоскости электрода. Энергия частиц 4 МэВ, давление аргона
в камере 0,185 МПа. Расстояния катод—сетка и сетка—анод рав-
ны 1,5 см. Потенциалы катод—сетка и сетка—анод по 1050 В.
Считать RC^>T_, потерей электронов на сетке пренебречь.
3.57. Получить выражения для формы импульса заряда, време-
ни нарастания и амплитуды импульса заряда на аноде камеры с
сеткой в общем случае для частиц, вылетающих из источника, рас-
положенного на катоде при RC~T_.
3.58. Из решения задачи 3.56 видно, что амплитуда импульса
на аноде камеры с сеткой при RC^>T_ не зависит от места про-
хождения частицы в объеме до сетки. Собственно, ради этого свой-
ства камеры в нее и вводится третий электрод—сетка. Однако так
как формы импульсов для частиц, вылетающих из источника под
разными углами, различны, то введение конечного значения RC
на выходе камеры должно приводить к разбросу амплитуд им-
пульсов.
Вычислить относительный разброс амплитуд импульсов для
крайних треков частиц (6 = 0° и 0=90°). Принять, что время дви-
жения зарядов от сетки до анода в 2 раза меньше времени дви-
жения зарядов от катода до сетки, a RC равно времени движения
зарядов от катода до сетки. Пробег частицы равен расстоянию
катод—сетка.
3.59. Вычисления амплитуд импульсов, амплитудных распреде-
лений, изменения амплитуд при прохождении импульсов через уси-
литель и других характеристик камеры с сеткой с учетом сложной
формы импульса весьма трудоемки. Поэтому часто на практике
43
эти задачи упрощают, предполагая, что фронт импульса заряда
линеен и имеет длительность, равную времени собирания электро-
нов.
Вычислить относительный разброс амплитуд, импульсов для
крайних треков частиц (0=0° и 0=90°) с учетом указанного упро-
щения. Остальные условия те же, что в задаче 3.58.
3.60. Перечислить все факторы, которые могут влиять на ам-
плитуду импульса в камере с сеткой.
3.61. Камера с сеткой, заполненная жидким ксеноном с при-
месью электроотрицательных молекул, облучается у-квантами
сквозь катод. Пробег электронов, возникающих при поглощении
у-квантов с энергией меньше нескольких мегаэлектрон-вольт, весь-
ма мал. Многократное рассеяние еще уменьшает размеры области
ионизации, так что ее можно считать точечной. При дрейфе в жид-
кости часть электронов захватывается примесями.
Вычислить дифференциальное амплитудное распределение на
выходе камеры. Плотность потока у-квантов см-2-с-4, чувстви-
тельная площадь электродов камеры S.
3.62. Выбрать основные параметры (расстояния катод—сетка—
анод, диаметр электродов, наполняющий газ и его давление, потен-
циалы на электродах, параметры сетки, сопротивление нагрузки)
камеры с сеткой, предназначенной для спектрометрии а-излучения.
3.3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ КАМЕРЫ
Во всех задачах по цилиндрическим и сферическим камерам,
если это не оговорено особо, центральный электрод является ано-
дом, а внешний — катодом.
3.63. Вычислить форму ионной компоненты импульса тока в ЦК
для заряженной частицы, пролетевшей параллельно оси камеры на
расстоянии го от оси и образовавшей заряд qQ. Радиус анода га>
катода гк. К электродам приложено напряжение U.
3.64. Получить выражение для электронной компоненты им-
пульса тока в ЦК для точечной ионизации в точке с координатой
г0, предполагая, что скорость дрейфа электронов зависит от на-
пряженности поля по закону: а) v = б) v = aE1/2; в) v—v0=£
3.65. Вычислить время собирания заряда в ЦК, заполненной
жидким ксеноном. Заряды образуются при поглощении у-кван-
тов равномерно по объему камеры. Образованный в месте погло-
щения кванта заряд можно считать точечным. Радиус катода
гк=1,1 см, радиус анода га=0,05 см, к электродам камеры при-
ложено напряжение £7=6,2 кВ.
3.66. Найти форму электронной компоненты импульса заряда в
ЦК для сосредоточенного заряда, образованного в точке с коор-
динатой Го- Учесть различные возможные виды зависимости ско-
рости дрейфа от напряженности электрического поля.
3.67. Вычислить амплитуду электронной компоненты импульса
заряда в ЦК. Камера заполнена газообразным ксеноном с не-
44
большой примесью радона до 1 МПа. Заряд образовался при рас-
паде одного из я^ер радона в точке с координатой Го=5 см. Ра-
диус катода гк=6 см, анода га=0,1 см. Эквивалентная емкость
С=2 пФ.
3.68. Вычислить зависимость относительной амплитуды элек-
тронной компоненты импульса заряда A/Aq от места возникнове-
ния компактной области ионизации в ЦК. Радиус катода гк=1 см,
анода га=0,01 см.
3.69. Если ЦК, заполненную жидким ксеноном, облучать у-
квантами с энергией 1 МэВ, то равномерно по объему в местах
поглощения у-квантов появляются фотоэлектроны, пробег которых
весьма мал (для <§Гр = 1 МэВ мм). За счет многократного
рассеяния электронов линейные размеры области, где происходит
ионизация, еще существенно уменьшаются. Поэтому область иони-
зации можно считать точечной. Аналогичная ситуация имеет место
и во многих других случаях, например при облучении нейтронами
ЦК, заполненной 3Не до давления в несколько раз выше атмосфер-
ного.
Найти дифференциальное амплитудное распределение электрон-
ных компонент импульсов напряжения в ЦК длиной h и радиуса-
ми гк и при равномерной по объему точечной ионизации, если
в 1 см3 за 1 с поглощается и0 у-квантов.
3.70. В задаче 3.69 найдено дифференциальное амплитудное
распределение в ЦК, где анодом является центральный электрод.
Как изменится вид амплитудного распределения, если изменить
полярность питающего напряжения? Теперь анод — электрод с
большим радиусом кривизны г2, катод — электрод с малым радиу-
сом кривизны гь
3.71. Найти относительную ширину на половине высоты пика в
дифференциальном амплитудном распределении в ЦК в условиях
задачи 3.69.
3.72. Анализ амплитудного распределения в ЦК для равномер-
ной по объему сосредоточенной ионизации показывает, что вклад
в пик дают частицы или кванты, поглощенные в определенной, до-
вольно значительной части камеры (см. задачу 3.69). Естественно,
что время собирания зарядов, а значит, и длительности фронтов
импульсов будут иметь разброс.
Вычислить относительный разброс времени собирания заряда
для разных соотношений между радиусами электродов.
3.73. Перспективным современным спектрометром заряженных
частиц и квантов является ЦК, заполненная жидким благородным
газом, как правило, аргоном или ксеноном. Но в жидких благород-
ных газах при технически доступных напряженностях электричес-
кого поля выход электронов с трека частиц меньше единицы и за-
висит от напряженности поля. При равномерном поглощении иони-
зирующего излучения по объему ЦК треки будут появляться в
точках с разной напряженностью поля, что приведет к разбросу
амплитуд импульсов.
45
Исследовать вопрос о влиянии рекомбинации в треке на диф-
ференциальное амплитудное распределение при равномерном по
объему поглощении у-квантов, приводящем к появлению практи-
чески точечных областей ионизации.
3.74. В жидком благородном газе, заполняющем ЦК, может со-
держаться электроотрицательная примесь, захватывающая элек-
троны при их дрейфе к аноду.
Исследовать вопрос, как это обстоятельство влияет на вид ам-
плитудного распределения при равномерном по объему возникно-
вении точечных областей ионизации.
3.75. В задачах 3.69—3.74 исследовалось амплитудное распре-
деление в ЦК для точечных областей ионизации. Как влияет на
форму амплитудного распределения учет конечных размеров об-
ласти ионизации?
3.76. Получить выражения для времени собирания электронов
и ионов в СК для сосредоточенного заряда, образованного в точке
с координатой го* Для электронов рассмотреть три типичных слу-
чая зависимости скорости дрейфа от напряженности электрическо-
го поля: а) и = цЕ; б) v = aExf2\ в) ^=uoy=f(E).
3.77. Найти форму импульса тока, возникающего при движении
ионов в СК. Точечное облако ионов с суммарным зарядом qQ обра-
зовалось в точке с координатой г0.
3.78. Вычислить форму электронной компоненты импульса тока
в СК* Точечная область ионизации с суммарным зарядом qQ воз-
никла в точке с координатой г0. Рассмотреть три типичных случая
зависимости скорости дрейфа от напряженности электрического
поля: а) ц = цЕ; б) v=aE[/2-t в) u=v0=#f(E).
3.79. Вычислить время собирания электронов в СК, которая за-
полнена жидким ксеноном для точечного заряда, образованного
вблизи катода радиусом гк = 1 см. Радиус анода га=0,3 см. На
электроды подано напряжение: а) = 10 кВ; б) =800 В.
3.80. Вычислить время собирания зарядов в СК, которая за-
полнена сухим воздухом до атмосферного давления для точечной
ионизации, производимой вблизи катода радиусом гк=Ю см. Ра-
диус анода га=0,4 см. На электроды подано напряжение 1920 В.
3.81. Найти форму ионной компоненты импульса заряда в СК
для точечной ионизации в точке с координатой г0.
3.82. Получить выражение для формы электронной компонен-
ты импульса заряда в СК для точечного заряда, образованного в
точке с координатой г0, Для различных видов зависимости v =
=f(E).
3.83. Вычислить зависимость относительной амплитуды элек-
тронной компоненты импульса заряда от места возникновения то-
чечной ионизации в СК. Радиус катода камеры 1 см, анода 0,2 см.
3.84. Вычислить дифференциальное амплитудное распределение
электронных компонент импульсов заряда в СК, если равномерно
по объему в 1 см3 за 1 с возникает п0 сосредоточенных зарядов.
3.85. Амплитудное распределение в СК при равномерной по
46
объему точечной ионизации представляет собой пик (см. задачу
3.84).
Вычислить относительную ширину этого пика на половине вы-
соты. Исследовать зависимости относительной ширины от отноше-
ния Гк/Ль
3.86. В СК при равномерной по объему точечной ионизации ам-
плитудное распределение дает четкий пик (см. 3.84). В этот пик
дают вклад заряды, образованные на различном расстоянии от
.анода. Естественно, что время собирания, зарядов, а значит, и дли-
тельности фронтов импульсов будут иметь разброс для импульсов
в пределах пика.
Вычислить относительный разброс времени собирания заряда
для импульсов в пике и исследовать зависимость этого разброса
от отношения
3.87. Сравнить формы электронной компоненты импульсов тока
в плоской, цилиндрической и сферической камерах (в ПК, ЦК и,
СК) для сосредоточенного заряда образованного вблизи катода.
Рабочее напряжение и межэлектродные расстояния во всех каме-
рах одинаковы: в плоской d=l см; в цилиндрической гк=1,01 см,
га = 0,01 см; в сферической гк= 1,01 см, га = 0,01 см.
3.88. Анализ работы ЦК и СК (см. задачи 3.69, 3.84) показы-
вает, что вклад в пик амплитудного распределения дают только
те частицы или кванты, которые поглотились в определенной час-
ти камеры- Остальная часть камеры для поглощения излучения
бесполезна.
Вычислить эффективность использования объема этих камер.
3.4. ТОКОВЫЕ КАМЕРЫ
3.89. Ионизационная камера облучается ионизирующим излуче-
нием.
Укажите факторы, влияющие на баланс зарядов в объеме де-
тектора.
3.90. Плоская камера облучается таким образом, что заряды
образуются равномерно по объему камеры с постоянной ско-
ростью.
Пренебрегая рекомбинацией, диффузией и образованием объ-
емных зарядов, получить выражения для плотности тока положи-
тельных и отрицательных зарядов.
3.91. Сферическая ионизационная камера радиусом 10 см, за-
полненная воздухом до 1 МПа, регистрирует космические частицы
на уровне моря.
Вычислить ожидаемое значение тока насыщения.
3.92. В веществе электродов сферической ионизационной камеры,
как и во всяком другом веществе, содержатся радиоактивные при-
меси, в основном атомы урана и тория и продукты их распада,
создающие фон a-излучения в камере.
Вычислить допустимое загрязнение материала камеры а-части-
цами (число а-частиц с 1 см2 поверхности в 1 ч), если фон от а-
47
частиц не должен превышать 10% ионизационного тока, вызывае-
мого космическими лучами. Камера и условия облучения те же,
что и в задаче 3.91.
3.93. Источник а-частиц 239Ри активностью 103 мин-1 нахо-
дится в центре сферической ионизационной камеры радиусом 2 см,
наполненной аргоном.
Вычислить зависимость тока насыщения от давления. Учесть,
что распределение ионизации по пробегу неравномерно.
3.94. В плоской камере облучение создает ионизацию равно-
мерно по объему со скоростью 109 см~3'С-1. Плотность ионизации
мала, так что основную роль в потере тока играет объемная ре-
комбинация, а предпочтительную и колонную можно не учитывать.
Вычислить относительную потерю тока за счет рекомбинации. Ка-
мера заполнена воздухом до 0,1 МПа, расстояние между электро-
дами 2 см, напряжение на электродах 200 В.
3.95. Получить выражение для вольт-амперной характеристики
(зависимости тока от напряжения) плоской токовой ионизацион-
ной камеры, облучаемой равномерно по объему.
3.96. В камере, заполненной сухим воздухом при атмосферном
давлении, электроны, образующиеся при ионизации, могут захва-
тываться молекулами кислорода с образованием отрицательных
ионов.
Оценить, какую часть времени существования в камере отри-
цательные заряды проводят в виде электронов.
3.5. ДЕТЕКТОРЫ С ГАЗОВЫМ УСИЛЕНИЕМ
3.97. Высокоэнергетические заряженные частицы, проходя че-
рез газ, образуют электронно-ионные пары. Электроны иониза-
ции, двигаясь в газе в сильном электрическом поле, также обра-
зуют пары ионов.
Как сравнить эффективность образования пар ионов в этих
двух случаях?
3.98. Получить выражение для коэффициента ударной иони-
зации исходя из условия, что электрон, для того чтобы произве-
сти ионизацию, должен набрать достаточную для этого энергию
на одной длине свободного пробега.
3.99. Получить выражение для коэффициента ударной иониза-
ции, не прибегая к упрощающим предположениям.
3.100. Основным механизмом развития электронных лавин в
разрядных детекторах излучений является ударная ионизация.
Указать другие процессы, которые также могут быть основ-
ными в развитии лавин.
3.101. Оценить характерное время реакции X*+Y—^X-j-Y+d-e,
если X — это неон, Y — аргон, содержащийся в качестве примеси
в неоне в концентрации 0,1 %- Общее давление смеси равно ат-
мосферному.
3.102. Кроме ударной ионизации в лавинах происходит и удар-
ное возбуждение. Возбужденные атомы, возвращаясь в основное
48
состояние, могут излучать фотоны с энергией, равной энергии
возбуждения.
Почему в спектре свечения пропорциональных камер и газо-
вых детекторов с регистрацией свечения разряда (иначе назы-
ваемых пропорциональными световыми детекторами) соответст-
вующие полосы излучения отсутствуют? Какова природа доми-
нирующего в спектре излучения?
3.103. Вычислить пороговое напряжение, т. е. напряжение, при
котором начинается газовое усиление, в пропорциональном счет-
чике, наполненном чистым аргоном до 1,33-104 Па. Радиусы:
анода 1,25-10—2 см, катода 1,1 см.
3.104. Получить выражение для зависимости КГУ от напря-
жения на счетчике, пренебрегая процессами на катоде, образова-
нием объемных зарядов, рекомбинацией и потерей электронов на
примесях,.
3.105. Оценить значение КГУ, выше которого в пропорцио-
нальном счетчике наступает ограничение пропорциональности.
3.106. КГУ пропорционального счетчика, заполненного смесью
аргона и метана, равен 103.
Вычислить, сколько ионизационных соударений испытывают в
среднем электроны, проходя область ударной ионизации до по-
верхности анода.
3.107. Размножение электронов в процессе развития лавин в
газовом разряде пропорционального счетчика имеет статистиче-
ский характер. Поэтому количество образованных в лавинах
электронов, а следовательно, и КГУ флуктуирует даже при стро-
го фиксированном числе первичных электронов.
Вычислить флуктуации коэффициента газового усиления про-
порционального счетчика.
3.108. Получить выражение для формы импульса заряда на
выходе пропорционального счетчика при RC^T+.
3.109. Пропорциональный счетчик с электродами радиусами
1,25’ 10~2 и 1,1 см, заполненный аргоном до 1,33-104 Па, облу-
чается релятивистскими протонами, проходящими по диаметру.
Коэффициент газового усиления равен 55. Рабочее напряжение
800 В.
Вычислить полную амплитуду импульса заряда, полное время
собирания ионов, а также время достижения амплитуды 0,5Qmax
И 0,25Qmax-
3.110. Оценить роль электронной компоненты в формировании
выходного сигнала в пропорциональном счетчике (га=10~2 см,
гк=1 см, давление газа 10-2 МПа) и пропорциональной камере
(га=10“3 см, гк=1 см, давление газа 0,1 МПа). И камера, и
счетчик заполнены аргоном.
3.111. В известном радиохимическом детекторе Дэвиса, реги-
стрирующем солнечные нейтрино, атомы 37Аг, образующиеся в
реакции
37Cl+v^37Ar,
4—5266
49
попадают в маленький пропорциональный счетчик, где. регистри-
руется их радиоактивный распад. Поток нейтрино от солнца та-
ков, что типичная скорость счета — одно событие в сутки. В этих
условиях огромное значение приобретает проблема фона. Кроме
пассивных (подземная лаборатория) и активных (защита антисо-
впадениями) методов подавления фона используется различие
истинных и фоновых импульсов по форме.
Объяснить, как различие импульсов по форме может быть
использовано для снижения фона.
ГЛАВА 4
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ДЕТЕКТОРЫ
4.1. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
4.1. Найти распределение электронов по энергии в твердом
теле, считая их неразличимыми частицами, подчиняющимися прин-
ципу Паули.
4.2. Для разнообразных вычислений, связанных с поведением
электронов полупроводниках, необходимо знание функции рас-
пределения плотности состояний. Нахождение точного вида функ-
ции для различных энергетических зон кристалла представляет
собой весьма сложную задачу. Однако во многих случаях с хо-
рошей точностью можно принять, что плотность состояний элек-
тронов в зоне проводимости равна плотности состояний свобод-
ных электронов.
Найти функцию распределения плотности состояний свобод-
ных электронов.
4.3. Вычислить положение уровня Ферми при абсолютном нуле
для серебра.
4.4. Показать, что при высокой температуре распределение
Ферми переходит в распределение Максвелла—Больцмана. Ука-
зать, насколько высока должна быть для этого температура.
4.5. Вычислить концентрацию носителей в соответствующих
зонах полупроводникового беспримесного кристалла.
4.6. Вычислить концентрацию собственных носителей в гер-
мании и кремнии при комнатной температуре и при температуре
кипения жидкого азота (77 К).
4.7. Определить положение уровня Ферми в собственном по-
лупроводнике. Насколько отстоит уровень Ферми от середины
запрещенной зоны в германии при 120 К?
4.8. Вычислить темновое удельное сопротивление собственных
германия и кремния при комнатной температуре и при 77 К.
4.9. Вычислить среднюю энергию электронов в зоне проводи-
мости полупроводниковых кристаллов.
4.10. Вычислить глубину донорного уровня, образованного
примесью атомов фосфора в кремнии.
50
4.1 L Полупроводниковые детекторы изготавливаются из ма-
териалов с малой концентрацией доноров и акцепторов.
Учитывая это, вычислить концентрацию электронов в зоне про-
водимости в кремнии n-типа при комнатной температуре, если
концентрация доноров равна 1014 см-3, а концентрация акцепто-
ров 1012 см-3. Вычислить также концентрацию дырок в валент-
ной зоне.
4.12. Объясните физический смысл понятия времени диэлек-
трической релаксации. Вычислите время диэлектрической релак-
сации для образца кремния с удельным сопротивлением 104 Ом-см
при комнатной температуре.
4.2. ОСОБЕННОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭНЕРГИИ ИОНИЗИРУЮЩИХ
ИЗЛУЧЕНИЙ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
4.13. При прохождении заряженной частицы через полупро-
водник большую часть пар образуют вторичные электроны, энер-
гия которых лишь в несколько раз превышает порог ионизации
Si. После ионизации первичный электрон и образованные им
вторичные электрон и дырка с равной вероятностью могут ока-
заться на любом уровне соответствующих зон.
Вычислить среднюю энергию носителей после ионизации, счи-
тая зоны параболическими.
4.14. В газе заряженная частица может образовать электрон-
но-ионную пару, если ее энергия чуть превышает энергию иони-
зации. В полупроводниках это не так. Пороговая энергия за-
метно превышает ширину запрещенной зоны.
Объясните причины различия. Вычислите пороговое значение
энергии электрона, при котором еще возможно создание им нары
электрон — дырка в полупроводниках.
4.15. Вычислить вероятность образования пар носителей мед-
ленным электроном, считая, что электрон может терять энергию
только на ионизацию и возбуждение фононов.
4.16. Вычислить энергию, идущую на образование пары носи-
телей в полупроводниках быстрой заряженной частицей.
4.17. Вычислить радиус сферы захвата в германии и кремнии
для кулоновского взаимодействия при комнатной температуре.
4.18. Когда средняя длина свободного пробега меньше радиу-
са сферы захвата, простое выражение для сечения захвата о=
= 4лг32 уже не может использоваться.
Получить выражение для сечения захвата в этом случае.
4.19. Вычислить время термализации носителей в твердых
телах.
4.20. Оценить среднее расстояние, на которое расходятся об-
разованные при ионизации электрон и дырка в процессе терма-
лизации.
4.21. Вычислить время жизни электрона в ловушке, образо-
ванной примесным атомом фосфора в кремнии, при 77 К.
4* 51
4.22. Как изменяется вероятность термического освобождения
электрона из ловушки под действием электрического поля?
4.23. Вычислить изменение вероятности термического освобож-
дения электронов из ловушек, имеющих избыточный положитель-
ный заряд в ионизованном состоянии в кремнии при комнатной
температуре, под действием внешнего электрического поля.
4.24. В том случае, когда длина свободного пробега электро-
на меньше размеров потенциальной ямы, при анализе процесса
делокализации электронов из ловушки во внешнем электриче-
ском поле нельзя ограничиться рассмотрением одномерной зада-
чи, как это сделано в задаче 4.23.
Как изменится вероятность делокализации электрона во внеш-
нем электрическом поле с учетом трехмерной картины взаимо-
действия электрона и кулоновского центра?
4.25. В полупроводниках носители заряда могут испытывать
рекомбинацию не только в треке, но и с равновесными носите-
лями во время дрейфа.
Как такая рекомбинация влияет на форму импульса тока?
4.26. В типичных полупроводниках прямая межзонная реком-
бинация имеет малую вероятность и рекомбинация идет в основ-
ном через локальные энергетические уровни — центры рекомби-
нации. Но локальные энергетические уровни могут выступать и
как центры прилипания — ловушки.
Объясните различие между центрами рекомбинации и ловуш-
ками.
4.27. В твердом теле при наличии ловушек носители заряда,
дрейфующие в соответствующих зонах, могут захватываться ло-
вушками, некоторое время проводить в локализованном состоя-
нии, а затем делокализоваться и продолжать дрейфовое движе-
ние.
Как это сказывается на наблюдаемых значениях коэффициен-
тов подвижности и диффузии?
4.3. КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ и р—п-ПЕРЕХОД
4.28. Полупроводниковый детектор с р—^-переходом получен
при диффузии фосфора в кремний p-типа с концентрацией акцеп-
торных уровней 1013 см-3. Продиффундировавшая примесь создала
донорные уровни с концентрацией 1014 см-3.
Определить высоту потенциального барьера в переходе в от-
сутствие внешнего напряжения смещения.
4.29. Полупроводниковый детектор с р—n-переходом получают
из исходного кремния n-типа с удельным сопротивлением
104 Ом-см. Бор диффундирует с одной стороны пластинки крем-
ния на глубину примерно 1 мкм, создавая в области, куда он
продиффундировал, примерно постоянную концентрацию акцеп-
торов, равную 1013 см~3.
Вычислить ширину перехода при нулевом обратном смещении.
4.30. Вычислить ширину перехода для детектора, описанного
52
в задаче 4.29, если к переходу приложено обратное смещение,
равное 10 В.
4.31. Емкость ППД площадью 0,8 см2, описанного в задаче
4.28, в отсутствие внешнего смещения оказалась равной 1100 пФ.
Вычислить ширину перехода.
4.32. Вычислить емкость перехода при обратном смещении
100 В в поверхностно-барьерном кремниевом детекторе площадью
0,5 см2, приготовленном из исходного материала p-типа с удель-
ным сопротивлением 6-Ю3 Ом-см.
4.33. Вычислить напряженность электрического поля в р—п-
переходе детектора, параметры которого указаны в условии за-
дачи 4.29.
4.34. Получить выражение для вольт-амперной характеристи-
ки р—п-перехода.
4.35. Вычислить обратный диффузионный ток р—/2-перехода,
описанного в задаче 4.28, при комнатной температуре. Время
жизни электронов до рекомбинации считать равным 10-4 с, пло-
щадь перехода 2 см2.
4.36. Вычислить обратный генерационный ток в ППД на
основе кремния с площадью электродов 1 см2 и шириной перехо-
да 0,01 см при комнатной температуре.
4.37. Для уяснения необходимости использования электродов
<с запирающими контактами при создании даже самых совершен-
ных на сегодняшний день ППД из сверхчистых материалов вы-
числить темновой ток, который будет протекать через гипотети-
ческий образец из сверхчистого германия с омическими контак-
тами площадью 10 см2 и толщиной 1 см, имеющий суммарную
концентрацию нескомпенсированных примесей Ю10 см-3 и нахо-
дящийся при температуре 77 К* Напряжение на электродах 2 кВ.
Обратите внимание, что концентрация 1010 в относительных еди-
ницах составляет 10-12, т. е. один микрограмм примеси на тонну
германия.
4.38. Если бы в образовании контакта металл—полупроводник
основную роль играло соотношение между работами выхода, то
какого типа контакт — выпрямляющий или омический — образо-
вался бы при напылении слоя золота на кремний п-типа?
4.4. СВОЙСТВА ППД
4.39. Получить выражение для формы электронной компонен-
ты импульса тока в ППД с р—/г+-пер входом, в котором высоко-
омной частью является p-область. Точечная ионизация произо-
шла в точке с координатой х0.
4.40. Получить выражение для формы дырочной компоненты
импульса тока в ППД в условиях задачи 4.39.
4.41. Получить выражения для формы импульса тока от то-
чечной ионизации в поверхностно-барьерном кремниевом детекто-
ре, получаемом путем напыления золота на n-кремний (Au—Si).
4.42. Найти форму электронной компоненты импульса заряда
53
в Si—Р-детекторе от точечной ионизации. Считать, что RC^>T_.
4.43. Найти форму дырочной компоненты импульса заряда и
Si—Р-детекторе от точечной ионизации. Считать, что
4.44. Вычислить амплитуду электронной и дырочной компо-
нент импульса заряда в Si—Р-детекторе при регистрации точеч-
ной ионизации, образованной в точке с координатой %о-
4.45. Вычислить время собирания зарядов в Si—Р-детекторе
с переходом шириной 52 мкм от точечной ионизации, образован-
ной в середине перехода. Внешнее смещение равно 100 В, детек-
тор работает при комнатной температуре.
4.46. Проанализируйте зависимость
времени собирания электронов в Si—
Р-детекторе от напряжения смеще-
ния.
4.47. Если ширина перехода равна
100 мкм, а пробег а-частиц в кремнии
составляет 25 мкм, то для оценок дли-
ной трека по сравнению с длиной
дрейфа носителей можно пренебречь.
Сравните времена собирания
носителей в Si—Р- и Si—Au-де-
текторах, считая, что вся энергия частиц поглощается вблизи по-
верхности. К переходу приложено обратное смещение, равное
1500 В.
4.48. Вычислить амплитуду импульса заряда в Si—Р-детек-
торе от а-частицы с энергией 5 МэВ.
4.49. К ППД площадью 1 см2, изготовленному из р-кремния
с удельным сопротивлением 103 Ом-см, приложено обратное сме-
щение 10 В.
Вычислить амплитуду импульса напряжения от протона с энер-
гией 1 МэВ. Принять RC^>T-, монтажная емкость
11 пФ.
4.50. Вычислить емкость коаксиального Ge (Li)-детектора
р—i—ft-типа со сквозным центральным каналом, имеющего внеш-
ний радиус 2,8 см, внутренний радиус 0,8 см и высоту 5 см.
4.51. Вычислить емкость коаксиального Ge (Li)-детектора
р—I—/г-типа с одним открытым концом. Детектор имеет внешний
диаметр 7,2 см, дрейф лития проводился с наружной стороны,
глубина дрейфа 2,6 см, высота детектора 6 см.
4.52. Коаксиальные детекторы, изготовленные из германия вы-
сокой чистоты, могут иметь две различные конфигурации: снару-
жи р+-контакт или п+-контакт. Известно, что радиационные по-
вреждения детекторов из германия высокой чистоты проявляют-
ся в первую очередь в уменьшении времени жизни дырок.
Какую из конфигураций целесообразно выбрать для работы
в условиях больших радиационных загрузок?
4.53. На рис. 4.1 приведена зависимость амплитуды импуль-
са в кремниевом поверхностно-барьерном счетчике от энергии
54
.протонов, падающих на счетчик нормально к поверхности со сто-
роны перехода.
Определить ширину перехода. „ .
4.54. Объясните вид зависимости, приведенной на рис. 4.1. По-
чему после достижения максимума амплитуда импульсов падает?
ГЛАВА 5
СЦИНТИЛЛЯЦИОННЫЕ И ЧЕРЕНКОВСКИЕ ДЕТЕКТОРЫ
5.1. СЦИНТИЛЛЯТОРЫ
5.1. Вычислить среднюю энергию, идущую на образование од-
ного фотона в антрацене.
5.2. Оценить число фотонов, испущенных кристаллом Nal(Tl)
при регистрации у-квантов l37Cs.
5.3. По определению, конверсионная эффективность — это от-
ношение световой энергии, высвеченной в сцинтилляторе, к энер-
тии, потерянной частицей, x=L/<B\ Но сцинтиллятор оказывается
нелинейным прибором, и величина % не является константой, а
зависит от <F. В таких случаях удобнее пользоваться парамет-
ром dLjdS.
Укажите связь параметров L/S и dL)d<S.
5.4. Световыход сцинтилляторов не строго пропорционален
энергии, потерянной частицей в сцинтилляторе, а зависит от плот-
ности ионизации Для теоретического описания зависимо-
сти сцинтилляционных свойств от плотности ионизации форму-
лу, хорошо совпадающую с экспериментальными результатами,
вывел Бирке. Он исходил из следующих соображений: при про-
хождении заряженной частицы на единице длины ее пробега
образуются возбужденные молекулы и центры тушения (напри-
мер, поврежденные молекулы), концентрация и тех, и других про-
порциональна плотности ионизации. Далее возбуждение может
быть захвачено центрами свечения, концентрация которых посто-
янна, либо центром тушения, созданным частицей.
Исходя из этих предположений получить формулу, описываю-
щую зависимость dL/dS от d<S)dx.
5.5. Для многих сцинтилляторов спектр свечения в шкале длин
волн можно удовлетворительно описать гауссианом. Так, напри-
мер, спектр Nal(Tl)—гауссиан с максимумом при 410 нм и ши-
риной на половине высоты 100 нм.
Как будет выглядеть спектр свечения Nal(Tl) в шкале энер-
гий фотонов?
5.6. Заряженная частица, проходя через сцинтиллятор, обра-
зует /г0 возбужденных молекул. Возбужденные молекулы, пере-
ходя в основное состояние, испускают фотоны сцинтилляции.
Среднее время жизни молекул в возбужденном состоянии т.
55
Найти форму импульса тока на выходе ФЭУ. Временем про-
лета электронов через ФЭУ пренебречь.
5,7. Ионизирующее излучение образует в сцинтилляторе
возбужденных состояний. Возбуждение может сниматься двумя
путями: излучательным путем перехода в основное состояние с
вероятностью 1 /т0 и безызлучательным — при столкновении с ту-
шителем, содержащимся в сцинтилляторе в концентрации С.
Получить выражение для изменения интенсивности свечения
со временем.
5.8. Космический протон, проходя через сцинтиллятор, обра-
зует 104 воозбужденньрх молекул, время жизни которых до излу-
чательных переходов равно 2-10-8 с. В сцинтилляторе присут-
ствует тушитель в концентрации 1016 см-3. Константа скорости
тушения 5’10“9 см3/с.
Вычислить полное число фотонов, испущенных сцинтиллято-
ром.
5.9. В сцинтилляторе содержится примесь в концентрации С,
которая способна захватывать энергию возбуждения основного’
вещества и излучать ее в другой полосе частот. Обе полосы
частот регистрируются ФЭУ. Вероятность излучательного пере-
хода молекул основного вещества 1/тоь молекул примеси 1/го2»
Константа скорости взаимодействия молекул примеси с молеку-
лами основного вещества равна ТС
Получить выражение для формы сцинтилляционного импульса.
5.10. В жидком сцинтилляторе возбужденные заряженными
частицами молекулы могут возвращаться в основное состояние за
счет спонтанных излучательных переходов либо безызлучатель-
но при столкновении с молекулами примеси.
Как будет изменяться постоянная времени свечения при из-
менении температуры жидкости?
5.11. Оптимальная концентрация активатора в сцинтилляторе
Nal(Tl) составляет 0,1 %.
Вычислить среднее расстояние между ионами таллия в кри-
сталле, если постоянная решетки равна 0,646 нм.
5.12. Концентрация активатора в жидком сцинтилляторе со-
ставляет 10-4 молярных долей.
Определить среднее расстояние между молекулами активато-
ра в жидкости.
5.13. Для некоторого органического вещества, используемого
в качестве люминесцентного активатора в жидких сцинтиллято-
рах, известно, что механизм передачи к нему энергии от раство-
рителя— индуктивно-резонансный. Из анализа спектра излуче-
ния этого вещества и спектра поглощения растворителя вычислен
критический радиус индуктивно-резонансного переноса, т. е. рас-
стояние, на котором вероятность резонансного переноса за вре-
мя жизни возбужденного состояния равна вероятности его спон-
танного распада. Критический радиус оказался равным 2-10“7см.
Вычислить оптимальную концентрацию активатора.
56
5.14. Во многих сцинтилляторах сцинтилляционный процесс
можно описать следующим образом. Энергия ионизирующего из-
лучения поглощается основным веществом, мигрирует по вещест-
ву в каком-либо виде и после ряда сложных преобразований воз-
буждает центры свечения. Присутствующие в веществе примеси
могут перехватывать энергию на любой стадии ее миграции по
веществу.
Как будет сказываться перехват примесью энергии, мигри-
рующей по кристаллу, на форме сцинтилляционного импульса?
Как выяснить, энергия захватывается примесью до возбуждения
центра свечения или после?
5.15. Для любого центра свечения любого сцинтиллятора су-
ществует такая температура, выше которой интенсивность свече-
ния начинает резко падать. Такое явление называется внутрен-
ним тушением.
Объяснить это явление. Получить выражение, описывающее
зависимость интенсивности свечения от температуры в случае
внутреннего тушения.
5.16. Реальные неорганические сцинтилляторы содержат в за-
прещенной зоне несколько типов ловушек электронов и дырок и
иногда больше одного центра свечения.
Проанализируйте кинетику затухания сцинтилляции в одном
из простейших случаев: имеется только один тип центров свече-
ния и один тип электронной ловушки. Зонная схема и вероятно-
сти возможных переходов указаны на рис. 5.1.
5.17. Важным методом изучения структуры электронных
уровней в твердых телах является метод термовысвечивания. Этот
метод также широко используется для измерения энергии, запа-
сенной кристаллом при облучении.
Получите выражение для изменения интенсивности свечения
кристалла с одним центром свечения и одним электронным уров-
нем при линейной скорости нагрева.
5.18. При регистрации у-квантов 22Na сцинтилляционным детек-
тором с пластическим сцинтиллятором на основе полистирола
максимум пика с большей энергией оказался в 195-м канале ам-
плитудного анализатора. При регистрации а-частиц 239Ри мак-
симум пика зарегистрирован в 72-м канале.
57
Вычислить отношение a/fj для этого сцинтиллятора.
5.19. Для регистрации осколков деления требуется использо-
вать сцинтилляционный детектор.
Какой тип сцинтиллятора следует выбрать, если основная за-
дача — спектрометрия осколков?
5:20. В неорганических щелочногалоидных сцинтилляторах,
электронные и дырочные процессы резко несимметричны. Если
электроны могут двигаться в зоне проводимости с высокой по-
движностью зонной частицы, то дырки автолокализуются.
В чем сущность процесса автолокализации?
5.21. Неактивированные кристаллы CsI эффективно сцинтил-
лируют при низкой температуре. Основной процесс, приводящий
к свечению,— рекомбинация электронов с автолокализованными
дырками. Температура разрушения (делокализации) автолокали-
зованной дырки в CsI около 90 К.
Получите выражение для температурной зависимости интен-
сивности собственной (неактиваторной) люминесценции.
5.22. В неорганических сцинтилляторах основная доля света'
излучается при рекомбинации электронов и дырок на центрах
свечения.
Какой должна быть форма сцинтилляционного импульса в-
этом случае, если нет никаких усложняющих факторов?
5.23. Надежно доказано, что свечение щелочногалоидных сцин-
тилляторов, например Nal(Tl), имеет рекомбинационный харак-
тер. В этом случае интенсивность свечения должна изменяться
во времени согласно гиперболе второго порядка (см. задачу 5.22).
Однако сцинтилляционный импульс в Nal(Tl) хорошо описывает-
ся экспонентой.
Объяснить причины расхождения элементарной теории и экс-
перимента.
5.24. Сцинтилляция в благородных газах определяется элек-
тронно-колебательными переходами в молекуле Х2*. На рис. 5.2
приведена структура нижних возбужденных уровней молекулы
Х2* и указаны переходы между ними. А4олекула имеет два ниж-
них возбужденных уровня: синглетный !SU и триплетный 3SW.
Переходы с этих уровней на основной отталкивательный уровень
спектрально неразличимы из-за близости. Вероятности пере-
ходов с уровней и 3SU существенно различаются, поскольку
вероятность синглет-синглетного перехода много больше вероят-
ности триплет-синглетного перехода. Два излучательных уровня
оказываются термически связанными, т. е. между ними возмож-
ны переходы под влиянием ударов нейтральных атомов. Пере-
ходы 1 /ti и 1/т<2 — излучательные, k\ и &2— столкновительные.
Вычислить постоянные времени свечения ксенона при давле-
нии 0,5 МПа, если для ксенона Ti = 5,5-10“9 с, т2=9-10~8 с, k\ =
=4,1 • IO"14 см3/с, Л2=10"14 см3/с.
5.25. Важным параметром сцинтиллятора является его про-
зрачность к собственному излучению. Одной из причин,, ухуд-
58
шающих прозрачность жидких сцинтилляторов, может быть рэ-
леевское рассеяние света.
Вычислить коэффициент ослабления для света сцинтилляций
жидкого ксенона за счет рэлеевского рассеяния при 170 К.
5.26. Практически точечный источник а-частиц находится на
торцевой поверхности цилиндрического сцинтиллятора с неотра-
жающими стенками. Радиус цилиндра 0,5 см, длина 2 см.
Вычислить число фотонов, выходящих из противоположного
источнику торца сцинтиллятора, если а-частица образует 105 фо-
тонов в одной сцинтилляции. Поглощением света сцинтилляции
пренебречь.
5.27. Как зависит временное разрешение сцинтилляционного
детектора от свойств сцинтиллятора?
5.28. В пластмассовом сцинтилляторе, имеющем форму парал-
лелепипеда, в произвольных точках возникают сцинтилляции.
Сцинтиллятор имеет небольшие размеры, поэтому поглощением
света в нем можно пренебречь. Все поверхности параллелепипеда
полированы, отражающих покрытий нет. Фотоумножитель имеет
оптический контакт с одной из граней.
Оценить эффективность собирания света на фотокатод.
5.29. Пластический сцинтиллятор имеет форму пластины тол-
щиной 1, шириной 10 и высотой 20 см. Фотоумножитель распо-
ложен на торце пластины. Детектор стоит в пучке протонов уско-
рителя и отъюстирован так, что пучок проходит примерно через
его середину. Собственное значение постоянной времени сцинтил-
лятора 2 нс.
Насколько затянется импульс света на фотокатоде за счет
разброса времени пролета квантов через сцинтиллятор?
5.2. ФОТОЭЛЕКТРОННЫЕ УМНОЖИТЕЛИ
5.30. Основным параметром, характеризующим фотокатод
ФЭУ, который предназначен для работы в сцинтилляционных де-
текторах, является квантовая эффективность и ее распределение
по спектру. Однако в паспорте ФЭУ, как правило, указывается
интегральная чувствительность фотокатода.
Указать связь между квантовой эффективностью и интеграль-
ной чувствительностью фотокатода.
5.31. Что определяет коротковолновую и длинноволновую гра-
ницы спектральной чувствительности ФЭУ?
5.32. Оценить разброс времени собирания электронов на ум-
ножительную динодную систему с фотокатода диаметром 40 мм.
Для вычислений принять, что расстояние фотокатод — входное
отверстие диафрагмы также равно 40 мм, а электроны движутся
в однородном поле напряженностью 50 В/см.
5.33. Для оценки задержки импульса сцинтилляционного де-
тектора, связанной с пролетом электронов через ФЭУ, вычислить
время пролета в фотоумножителе. Считать, что электроны дви-
жутся в однородном поле, расстояние фотокатод — умножитель-
59
ная система равно 2 см, напряженность поля 50 В/см, расстоя-
ние между динодами по 1 см, разность потенциалов между ними
по 200 В. Начальной скоростью электронов пренебречь. Всего в-
фотоумножителе 10 динодов и анод.
5.34. Оценить влияние разброса начальной скорости, с кото-
рой электроны вылетают с фотокатода, на разброс времени их
пролета на участке фотокатод — первый динод. Считать, что»
электроны движутся в однородном поле, образованном разностью'
потенциалов 200 В, и проходят путь 4 см. Минимальная энер-
гия, с которой электроны выходят из фотокатода, нулевая, мак-
симальная 1 эВ.
5.35. Укажите знак сигнала, снимаемого с анода ФЭУ.
5.36. Нарисуйте схему включения ФЭУ, в которой на выходе-
можно получать положительный импульс.
5.37. Детально опишите форму импульса тока, снимаемого с-
динода.
5.38. Предложите метод измерения коэффициента умножения
ФЭУ.
5.39. Как связаны флуктуации коэффициента умножения ФЭУ’
с колебаниями напряжения питания?
5.40. Каковы будут флуктуации коэффициента умножения ФЭУ,,
если напряжение питания стабилизировано с погрешностью до*
0,1%, а в рабочем режиме коэффициент вторичной электронной:
эмиссии меняется на 0,9 % при изменении напряжения на 1 %?‘
5.41. ФЭУ имеет 12 динодов и несимметричный делитель, так:
что коэффициент вторичной электронной эмиссии первого дино-
да равен 4,8, а остальных 2,6.
Вычислить флуктуации коэффициента умножения, т. е. флук-
туации сигнала на выходе при вылете с фотокатода одного элек-
трона.
5.42. С фотокатода ФЭУ вылетают точно 100 электронов иг
попадая на умножительную систему, дают электронный каскад..
Коэффициенты умножения всех пар динодов одинаковы и рав-
ны 4.
Вычислить относительную флуктуацию амплитуды выходного»
сигнала.
5.43. При слабой постоянной засветке или при термоэлектрон-
ной эмиссии с фотокатода вылетают некоррелированные отдель-
ные электроны. Если постоянная времени выходной цепи доста-
точно мала, то импульсы, соответствующие отдельным электро-
нам, будут разделяться и на выходе будут регистрироваться од-
ноэлектронные импульсы. Несмотря на то что каждый из этих
импульсов соответствует одному исходному электрону, из-за ста-
тистического характера процесса размножения на выходе будет
наблюдаться амплитудное распределение.
Указать вид амплитудного распределения одноэлектронных
импульсов. Дать его математическое выражение.
5.44. При слабой подсветке фотокатода на выходе ФЭУ реги-
60
стрируется некоторое распределение амплитуды импульсов, пред-
положительно одноэлектронных.
Как проверить, действительно ли это распределение одноэлек-
тронных импульсов?
5.45. Вычислить среднюю амплитуду одноэлектронного им-
пульса, если ФЭУ имеет 12 динодов, а средний коэффициент вто-
ричной электронной эмиссии равен 4. Эквивалентная емкость на
выходе ФЭУ 16 пФ.
5.46. В сцинтилляционных детекторах, где используются сцин-
тилляторы с малым значением постоянной времени, временем
пролета электронов через ФЭУ пренебречь нельзя. Время пролета
смещает импульс во времени, а разброс времени пролета размы-
вает его, что приводит к уменьшению его амплитуды.
Вычислить уменьшение амплитуды импульса тока, если по-
стоянная времени сцинтиллятора равна 2 нс, время пролета 20 нс
и разброс времени пролета 2 нс.
5.47. Как известно, последние резисторы делителя шунтируют
конденсаторами.
Вычислить емкость шунтирующих конденсаторов, если в сцин-
тилляционном детекторе используется сцинтиллятор Nal(Tl).Де-
литель питания ФЭУ равномерный и состоит из резисторов сопро-
тивлением по 100 кОм.
5.48. При большой силе тока в последних каскадах умножи-
теля возможно образование объемного заряда.
К каким изменениям в форме сигнала это приводит?
5.49. Оцените силу тока, протекающего через ФЭУ, при кото-
рой в последних каскадах возможно образование объемного за-
ряда.
5.3. ВЫХОДНОЙ СИГНАЛ СЦИНТИЛЛЯЦИОННОГО ДЕТЕКТОРА
5.50. Получить выражение для формы импульса напряжения
на выходе ФЭУ сцинтилляционного детектора при конечном зна-
чении RC.
5.51. Вычислить длительность фронта импульса напряжения
на выходе ФЭУ сцинтилляционного детектора с кристаллом
Nal(Tl), регистрирующего у-кванты 65Zn. Эквивалентная емкость
равна 20 пФ, сопротивление нагрузки 10 МОм.
5.52. Сцинтилляционный детектор с кристаллом стильбена ре-
гистрирует нейтроны с максимальной энергией 14 МэВ. RC на-
грузки выбрано равным т сцинтиллятора.
Вычислить максимальную амплитуду импульса напряжения,
если ФЭУ содержит 11 динодов, а коэффициент вторичной элек-
тронной эмиссии равен 2,9. Эквивалентная емкость выходной цепи
22 пФ.
5.53. Через пластмассовый сцинтиллятор толщиной 1 см про-
летает релятивистский протон.
Вычислить амплитуду импульса напряжения на выходе ФЭУ,
если коэффициент умножения равен 106, ФЭУ нагружен на ка-
61
Фель с волновым сопротивлением 50 Ом, эквивалентная емкость
12 пФ. Считать, что эффективность собирания света на фотока-
тод составляет 30 %.
5.54. Сцинтилляционный детектор с маленьким кристаллом
Nal (Т1) регистрирует у-кванты 141Се. Квантовая эффективность
‘фотокатода ФЭУ равна 10%. Делитель ФЭУ равномерный, ко-
эффициент вторичной электронной эмиссии каждого каскада ра-
вен 2,8. Из-за статистического характера процессов в сцинтилля-
торе и ФЭУ выходной сигнал будет испытывать флуктуации.
Вычислить относительные флуктуации амплитуды выходного
импульса.
5.4. ЧЕРЕПКОВСКИЕ ДЕТЕКТОРЫ
5.55. Основная формула Франка и Тамма для энергии череп-
ковского излучения, испускаемого на единице пути частицы, имеет
вид
рл> 1
где со— циклическая частота излучения.
Вычислить число фотонов, испускаемых электроном с энергией
500 кэВ в интервале длин волн 400—600 нм при прохождении
слоя воды толщиной 1 мм.
5.56. Вычислить число фотонов черепковского излучения в об-
ласти эффективной спектральной чувствительности сурьмяио-це-
зиевого фотокатода, излучаемых протоном с энергией 938 МэВ
при прохождении 10 см в радиаторе из полистирола.
5.57. Сравнить число фотонов черенковского излучения и сцин-
тилляции, возникающих при прохождении релятивистской одно-
зарядной частицы с |3~1 через кристалл Nal(Tl) толщиной 2 см.
5.58. Как зависит интенсивность черенковского излучения
(энергия на единицу пути) на единичный интервал длин волн
от длины волны излучаемого света?
5.59. Как зависит число фотонов черенковского излучения с
единицы пути частицы на единичный интервал энергии фотонов
от энергии фотонов?
5.60. Заряженная частица, движущаяся в среде, создает в
каждой точке траектории облако поляризации. Взаимодействие с
этим полем поляризации приводит к возникновению электромаг-
нитных волн. Интерференция этих волн гасит их. И только при
скорости частицы, большей скорости света в среде, имеется уни-
кальное направление, в котором распространяется волновой
фронт.
Исходя из этих соображений получить выражение для угла
по отношению к направлению движения частицы, под которым
распространяется излучение.
62
5.61. Вычислить максимальный угол, под которым выходит
черепковское излучение электронов в воде.
5.62. Вычислить максимальный угол, под которым выходит
черенковское излучение протонов в азоте при нормальных усло-
виях.
5.63. Вычислить минимальную энергию электронов, при ко-
торой они еще создают черенковское излучение в воде.
5.64. Вычислить минимальную энергию протонов, вызывающих
черенковское излучение в азоте при нормальных условиях.
5.65. Показатель преломления газов удобно выражать в виде
п=Ц-т]. (1)
Укажите связь между максимальным углом выхода череп-
ковского излучения и г), учитывая, что Ц'Ск
5.66. Космический электрон высокой энергии влетает в атмо-
сферу Земли и, двигаясь вертикально, создает черенковское из-
лучение.
Пренебрегая рассеянием и замедлением этого электрона, а
также рассеянием и преломлением света, вычислить радиус све-
тового пятна на поверхности Земли.
5.67. Вычислить длительность световой вспышки релятивист-
ского электрона, проходящего путь 0,5 см в воде. Регистрация
вспышки производится -на расстоянии 10 см от его траектории.
5.68. Вычислить временное разрешение черенковского детек-
тора, имеющего плексигласовый радиатор длиной 3 см.
5.69. Укажите факторы, ограничивающие энергетическое раз-
решение черепковских детекторов.
5.70. Скорость релятивистского протона измеряется черепков-
ским детектором с водяным радиатором.
Оценить вклад в разрешение по скорости, связанный с диС"
Персией вещества радиатора.
5.71. В черепковском детекторе из плексигласа толщиной 1 см
измеряется скорость электронов с импульсом порядка 100 МэВ/с.
Оценить вклад в разрешение по скорости, определяемый мно-
гократным рассеянием электронов в веществе радиатора.
5.72. Заряженная частица высокой энергии проходит через
пластический сцинтиллятор на основе полистирола толщиной 1 см
и черепковский радиатор из иесцинтиллирующего полистирола
такой же толщины. Выходной сигнал и в сцинтилляционном, и в
черенковском детекторе будет флуктуировать.
Укажите основные причины флуктуаций в этих двух случаях.
Вычислите относительную полуширину амплитудных распреде-
лений, возникающих на выходе сцинтилляционного и черенков-
ского детектора.
5.73. Вычислить удельные потери энергии быстрого электрона
с энергией 100 МэВ на черенковское излучение при движении в
воде.
5.74. В сцинтилляторах эффективность преобразования энер-
гии частицы в свет характеризуют средней энергией на фотон.
63
Можно ввести аналогичный параметр и для черепковского детек-
тора.
Вычислите среднюю энергию, затраченную заряженной части-
цей, на фотон черепковского излучения.
5.75. Пучок частиц падает нормально на плоскость пластины
радиатора.
При каких условиях весь свет черепковского излучения,
возникшего в радиаторе, будет транспортироваться к боковому
торцу за счет полного внутреннего отражения (рис. 5.3).
А АА
5.76. В черепковском детекторе с постоянной фокусировкой
излучение возникает при движении заряженной частицы по оси
конического радиатора.
Найти соотношение между углом раствора конуса радиатора
и углом выхода черепковского излучения, при котором излучение
выходит параллельно оси системы (рис. 5.4).
ГЛАВА 6
РАДИОМЕТРИЯ
6.1. ЭФФЕКТИВНОСТЬ РЕГИСТРАЦИИ
6.1. Из источника в случайном направлении вылетают части-
цы, причем все направления вылета равновероятны.
Вычислить вероятность частицам вылететь из источника под
полярным углом <р и азимутальным ф.
6.2. Параллельный пучок частиц падает на поверхность сфе-
рического детектора.
Вычислить средний путь частиц через детектор. Полезно про-
делать это независимо в полярных и декартовых координатах.
6.3. Параллельный пучок частиц падает на поверхность ци-
линдрического детектора нормально к его оси.
Вычислить средний путь частиц через детектор.
6.4. Частицы падают на тонкий диск в плоскости, перпенди-
кулярной оси диска, так, что любые углы в этой плоскости между
нормалью к поверхности диска и направлением движения частиц
равновероятны.
64
Определить средний путь частиц через диск.
6.5. Сферический детектор находится в изотропном поле излу-
чения.
Вычислить средний путь частиц через детектор.
6.6. Вычислить телесный угол, охватываемый конусом, поло-
вина угла раствора которого равна 15°.
6.7. Вычислить телесный угол, под которым детектор в виде
плоского диска диаметром 6 см видит точечный источник, распо-
ложенный над центром диска на расстоянии 4 см.
6.8. Какому углу при вершине конуса соответствует телесный
угол, равный 1 ср.
6.9. Для регистрации излучения от заданного источника и
для защиты от фона используют коллиматоры.
Вычислить долю полного потока от изотропного источника,
вырезаемую цилиндрическим коллиматором длиной 5 и диамет-
ром 1 см.
6.10. Для исследования углового распределения плотности по-
тока излучения можно применять коллиматоры. Направленность
коллиматора характеризуют понятием углового разрешения.
Вычислить угловое разрешение, получаемое с помошью ци-
линдрического коллиматора длиной 4 см и диаметром 2 мм.
6.11. Источник, размерами которого по сравнению с диамет-
ром коллиматора можно пренебречь, помещается на оси цилинд-
рического коллиматора длиной 10 и диаметром 1 см.
Вычислить геометрический фактор (светосилу).
6.12. Торцевой счетчик Гейгера, имеющий входное окно пло-
щадью 0,4 см2, облучается бета-источником, представляющим
собой тонкую плоскую пластину со сторонами 2,2 X 3,8 см, распо-
ложенную на расстоянии 5 см от окна счетчика.
Вычислить телесный угол, вырезаемый окном счетчика из
изотропного излучения источника.
6.13. Вычислить вероятность того, что однозарядная реляти-
вистская частица, проходящая через счетчик Гейгера перпендику-
лярно оси, не будет зарегистрирована. Цилиндрический счетчик
диаметром 1,5 см наполнен аргоном до 104 Па.
6.14. Счетчик Гейгера облучается потоком космических частиц
с минимальной ионизирующей способностью перпендикулярно его
оси.
Вычислить эффективность регистрации, если диаметр счетчика
2 см. Счетчик заполнен гелием до 1,5-104 Па.
6.15. Известно, что с помощью низкоэффективных счетчиков
Гейгера может быть измерена удельная ионизация релятивист-
ских частиц.
Почему именно низкоэффективные счетчики должны быть
использованы для этого? Насколько мала должна быть эффектив-
ность регистрации?
6.16. Для измерения энергии частиц высоких энергий исполь-
зуют низкоэффективные счетчики Гейгера.
5—5266 65
Подберите наполняющий газ, давление и диаметр счетчика
для решения этой задачи.
6.17. При вычислении эффективности регистрации релятивист-
ких частиц счетчиком Гейгера используется формула
т) = 1—expi (—vpx),
где у удельная ионизация.
Какая удельная ионизация — первичная или полная—вхо-
дит в эту формулу и почему?
6.18. Ионизационная камера заполнена газом с примесью ра-
дона, излучающего а-частицы.
Вычислить долю частиц, пробег которых прерывается стенкой
камеры и они теряют в газе только часть своей энергии.
6.19. Эффект стенки, учет которого для плоской геометрии
проведен в задаче 6.18, значительно труднее учесть в цилиндриче-
ской геометрии. Еще большие- трудности возникают, если регист-
рируемые частицы — электроны, так как из-за многократного рас-
сеяния их пробег недостаточно точно определен. Поэтому при
регистрации р-частиц, возникающих в распадах 14С в цилиндри-
ческом пропорциональном счетчике, учитывать краевой эффект
(эффект стенки) предпочтительно экспериментальными методами,
а не с помощью расчета.
Предложите хотя бы один способ экспериментального учета
краевого эффекта.
6.20. На детектор, представляющий собой плоскую пластину
толщиной d9 падает параллельный поток квантов плотностью nQ,
Вычислить число квантов, поглощенных в детекторе, если ко-
эффициент поглощения равен ц, а площадь детектора S.
6.21. На плоский сцинтилляционный детектор с кристаллом
Nal(Tl) толщиной 2 см падает узкий параллельный пучок
у-квантов 65Zn.
Вычислить полную эффективность регистрации.
6.22. Необходимо регистрировать у-излучение источников с
энергией ~ 1 МэВ, причем важно, чтобы эффективность регист-
рации была значительной. Для этого предполагается использо-
вать ППД.
Какой тип детектора Вы выберете для решения такой задачи?
Какой толщины должен быть выбранный Вами детектор, если
желательно, чтобы эффективость регистрации была не меньше
25 %?
6.23. Газовый пропорциональный счетчик диаметром 2 см за-
полнен ксеноном под давлением 0,25 МПа. у-Кванты 241Ат вле-
тают в счетчик практически параллельным пучком через окно из
бериллия на боковой поверхности перпендикулярно оси счет-
чика. Диаметр окна 1 см.
Вычислить эффективность регистрации.
6.24. Вычислить эффективность регистрации у-квантов с энер-
гией 0,1 МэВ поверхностно-барьерным кремниевым ППД с тол-
щиной чувствительной области 50 мкм.
66
6.25. Чувствительность детектора — это отношение числа за-
регистрированных сигналов в единицу времени к потоку частиц
или квантов в месте расположения детектора.
Вычислить чувствительность детектора, описанного в задаче
6.24, если площадь детектора 0,8 см2.
6.26. Источник у-квантов активностью 1 МБк, размерами ко-
того можно пренебречь, находится на расстоянии 30 см от счет-
чика Гейгера по нормали к его оси. Диаметр счетчика 2 см,
длина 10 см.
Оценить эффективность регистрации, если за 3 мин счетчик
зарегистрировал 318 импульсов.
6.27. Вычислить фотоэффективность планарного ППД с крис-
таллом германия для у-квантов 137Cs. Практически параллельный
пучок у-квантов падает на детектор толщиной 1,85 см.
6.28. Чтобы определить влияние, которое оказывают атомный
номер и плотность вещества на эффективность и фотоэффектив-
ность детектора, вычислить полную эффективность и фотоэффек-
тивность слоя толщиной 1 см германия и жидкого ксенона при
165 К.
6.29. Как известно, соотношение между фотоэффективностью и
полной эффективностью детекторов у-квантов задается выраже-
нием
ЛФ=^ФП>
где Рф — так называемый фотовклад. При малых размерах детек-
тора фотовклад определяется простой формулой
Рф=Цф/ц.
С ростом размера детектора растет не только эффективность,
но и Рф, так как становятся существенными процессы поглоще-
ния рассеянных квантов. Очевидно, что максимальное значение
полной эффективности tj=1.
Чему равно максимальное значение фотовклада и фотоэффек-
тивности большого сцинтилляционного детектора с кристаллом
Nal(Tl) для у-квантов с энергией 1 МэВ?
6.30. Вычислить отношение суммарного числа импульсов в
пике полного поглощения к суммарному числу импульсов под
комптоновским распределением для сцинтилляционного детектора
с кристаллом Nal(Tl) (кристалл считать тонким) для у-квантов
с энергией 1 МэВ.
6.31. Вычислить отношение суммарного числа импульсов под
пиком полного поглощения к суммарному числу импульсов во
всем амплитудном распределении при регистрации у-квантов,
возникающих при аннигиляции позитронов, сцинтилляционным де-
тектором с кристаллом Nat(Tl) (кристалл считать тонким).
6.32. Вычислить эффективность регистрации у-квантов шаро-
вым детектором радиусом R, состоящим из вещества с коэффи-
циентом поглощения у-излучения ц, помещенным в однородный и
изотропный поток моноэнергетических у-квантов с плотностью п$,
см-2 • с-1.
5*
67
6.33. Шаровой детектор радиусом /?, состоящий из вещества с
коэффициентом поглощения у-излучения ц, помещен в бесконеч-
ную излучающе-поглощающую среду с удельной активностью qo
и коэффициентом поглощения ip,B (например, в морскую воду).
Вычислить эффективность регистрации у-квантов.
6.34. Планарный Ge (Li)-детектор толщиной d=l,3 см облу-
чается точечным источником у-квантов с энергией 1 МэВ через
коллиматор, как показано на рис. 6.1. Угол при вершине конуса,
вырезаемого коллиматором из изотропного излучения источника,
равен 2<р = 36°50'.
Рис. 6.2
Вычислить полную эффективность регистрации у-квантов.
Сравнить ее с эффективностью регистрации для узкого пучка.
6.35. Точечный источник, излучающий у-кванты с энергией
0,8 МэВ, находится на оси цилиндрического сцинтилляционного
детектора Nal(Tl) на расстоянии от него 5 см. Диаметр сцинтил-
лятора 40 мм.
Вычислить полную эффективность регистрации у-квантов.
6.36. Как связана эффективность регистрации с функцией от-
клика детектора?
6.37. Оценить эффективность регистрации тепловых нейтронов
сцинтилляционным детектором со сцинтиллятором Lil (Ей), имею-
щим форму цилиндра диаметром 30 мм и высотой 10 мм: Поток
нейтронов направлен параллельно оси цилиндра.
6.38. Вычислить эффективность регистрации тепловых нейтрон
нов пропорциональным счетчиком, заполненным газом BF3 до
8-Ю4 Па. Диаметр катода счетчика 40 мм, поток нейтронов
направлен перпендикулярно оси счетчика.
6.39. Рассчитать чувствительность пропорционального счетчи-
ка, заполненного газом BF3, к потоку тепловых нейтронов. Газ
BF3 обогащен изотопом 10В до 72%, давление газа 0,05 /МПа,
длина счетчика 30 см, радиус катода 2 см.
6.40. Если цилиндрический пропорциональный счетчик, запол-
ненный газом BF3, расположить так, чтобы нейтроны падали на
него перпендикулярно оси цилиндра, то счетчик будет иметь зна-
чительное поперечное сечение, но путь нейтронов через счетчик
будет относительно мал и, следовательно, относительно мала
вероятность их поглощения. Если же расположить счетчик так,
68
чтобы нейтроны падали параллельно оси цилиндра, то путь
нейтронов существенно увеличится, но уменьшится поперечное
сечение.
Как выгодно установить счетчик, чтобы получить максималь-
ную скорость счета?
6.41. Сравните эффективности и чувствительности пропорцио-
нального счетчика, заполненного газом BFS, при облучении его
тепловыми нейтронами перпендикулярно и параллельно оси счет-
чика. Диаметр счетчика 3 см, длина 10 см, давление газа 0,1 МПа.
6.42. Эффективность пропорционального счетчика, наполненно-
го газом BF3, для тепловых нейтронов составляет 2 %.
Как изменится эффективность при переходе от тепловых к
надкадмиевым нейтронам с энергией 0,4 эВ?
6.43. Пропорциональный счетчик радиусом 2 см имеет твердое
покрытие из аморфного бора толщиной 0,15 мг/см2 на внутренней
поверхности катода.
Вычислить эффективность регистрации тепловых нейтронов,
если бор обогащен изотопом WB до 90%.
6.44. Ионизационная камера с твердым слоем аморфного бора
на электроде регистрирует тепловые нейтроны. Толщина слоя
бора равна 2 мкм.
Вычислить эффективность регистрации нейтронов, если порог
регистрации равен 1 МэВ.
6.45. Поверхностно-барьерный кремниевый ППД со слоем LiF
на поверхности облучается тепловыми нейтронами. Толщина слоя
превышает пробег продуктов реакции, но может считаться малой
по отношению к поглощению нейтронов. Порог регистрации пре-
небрежимо мал.
Вычислить эффективность регистрации.
6.46. Поверхностно-барьерный ППД помещен в камеру, запол-
ненную 3Не, и облучается тепловыми нейтронами (рис. 6.2). Тол-
щина слоя газа 1 см, давление 1 МПа.
Вычислить эффективность регистрации нейтронов.
6.47. На внутренней поверхности отрицательного электрода
плоской ионизационной камеры нанесен слой борсодержащего
вещества. Толщина слоя велика и по сравнению с пробегом
образующихся при взаимодействии с нейтронами а-частиц, и по
сравнению с поглощением нейтронов. Состав слоя и обогащение
бора таковы, что макроскопическое сечение захвата нейтронов
равно 500 см-1. Пробег а-частип в этом слое равен 20 мкм.
Камера облучается тепловыми нейтронами так, что они попа-
дают на борсодержащий слой, пролетев через камеру нормально
к электродам.
Вычислить эффективность регистрации.
6.48. Параллельный пучок моноэнергетических быстрых ней-
тронов с энергией 10 МэВ падает на сцинтилляционный детектор
с кристаллом стильбена толщиной 10 мм.
Вычислить эффективность регистрации быстрых нейтронов по
протонам отдачи.
69
6.49. На водородсодержащий радиатор нормально к его по-
верхности падает пучок быстрых нейтронов.
Вычислить число протонов отдачи, вылетающих из радиатора
в пределах угла ф0 к направлению падения нейтронов. Радиатор
считать тонким.
6.50. На тонкое окно из органической пленки торцевого про-
порционального счетчика падает поток быстрых нейтронов с энер-
гией 0,5 МэВ.
Вычислить эффективность регистрации, если толщина окна
равна 3,3 мкм, а порог регистрации соответствует энергии
0,1 МэВ.
6.51. Ионизационная камера, заполненная водородом и пред-
назначенная для регистрации быстрых нейтронов, имеет порог
регистрации. Если энергия образующихся протонов меньше поро-
говой, то эффективность регистрации, очевидно, равна нулю.
С ростом энергии нейтронов растет энергия протонов, и при
энергии выше пороговой эффективность возрастает. Но
с ростом энергии нейтронов падает сечение взаимодействия,
что приводит к уменьшению эффективности. В результате при
определенной энергии ‘ нейтронов эффективность регистрации
имеет максимум.
Вычислить энергию нейтронов, при которой достигается мак-
симум.
6.52. На поверхности ППД нанесен слой полиэтилена. Детек-
тор облучается потоком нейтронов с энергией 1 МэВ.
Вычислить эффективность регистрации.
6.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АКТИВНОСТИ ИСТОЧНИКОВ, ПЛОТНОСТИ ПОТОКА
И ДРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
6.53. Импульсы, возникающие на выходе детекторов излуче-
ний, имеют конечную длительность. Поэтому при статистическом
распределении во времени частиц или квантов, попадающих в
детектор, возможны наложения выходных импульсов и в резуль-
тате просчеты.
Получите выражение, связывающее число сосчитанных импуль-
сов с числом попадающих в детектор частиц, если эффективность
регистрации равна единице, а детектор обладает временем разре-
шения непродлевающегося типа.
6.54. Во многих детекторах формирование импульсов от час-
тиц, попавших в детектор в пределах времени разрешения, проис-
ходит независимо. При этом, хотя частица, попавшая в детектор
в то время, когда на выходе формируется сигнал ют предыдущей,
зарегистрирована не будет, она также создаст импульс, который
удлинит время разрешения.
Получите выражение, связывающее число сосчитанных
импульсов с числом частиц, учитывая, что время разрешения
может продлеваться.
6.55. Ионизационная камера имеет время разрешения 1 мкс.
70
Чему равно максимальное число импульсов, которое она мо-
жет зарегистрировать, и при какой загрузке (числе частиц в еди-
ницу времени) этот максимум достигается?
6.56. Сцинтилляционный детектор с кристаллом стильбена из-
меряет спектр нейтронов, регистрируя протоны отдачи. Импульсы
с детектора подаются непосредственно на амплитудный анализа-
тор.
Какого значения времени разрешения можно ожидать в этом
случае? Какого типа будет это время разрешения?
6.57. Сцинтилляционный детектор с кристаллом Nal(Tl),
работающий в счетном режиме, имеет время разрешения 0,5 мкс.
Он регистрирует поток 3-104 с”1.
Чему равна относительная погрешность измерения?
6.58. Счетчик Гейгера имеет время разрешения 80 мкс.
Какова допустимая загрузка счетчика, если относительная
погрешность измерения должна быть не более 1%?
6.59. ППД с разрешающим временем 10 нс за один импульс
ускорителя, длящийся 10 мкс, зарегистрировал 200 импульсов от
частиц.
Какое число частиц прошло через ППД за один импульс
ускорителя?
6.60. Ионизационная камера предназначена для регистрации
нейтронов по осколкам деления. Для $того в камеру введено де-
лящееся вещество, которое обладает альфа-активностью. Импуль-
сы от (а-частиц меньше, чем импульсы от осколков деления, во
столько раз, во сколько меньше их энергия, т. е. примерно в
£=(!Госк/^>а. Но загрузка камеры а-частицами может быть значи-
тельно выше, чем осколками. В этом случае ^-кратное наложение
импульсов от а-частиц будет имитировать сигнал от осколка.
Оценить долю таких ложных событий, если время разрешения
камеры т.
6.61. Для регистрации нейтронов по осколкам деления на
электроды многопластинчатой ионизационной камеры нанесено
2 мг 239Ри.
Какова должна быть плотность потока тепловых нейтронов,
чтобы скорость счета осколков деления превышала скорость
счета А-кратно наложенных импульсов от а-частиц в 100 раз?
Разрешающее время камеры равно 0,5 мкс. Принять, что средняя
энергия регистрируемого осколка деления 60 МэВ.
6.62. Какие меры можно принять, чтобы отношение амплитуд
импульсов от осколков деления и а-частиц было больше отноше-
ния их энергий?
6.63. Источник и детектор находятся на расстоянии х, причем
детектор регистрирует интенсивность п. Источник приблизили к
детектору, но при этом регистрируемая интенсивность не увели-
чилась, а уменьшилась.
Что это означает? Что в этих условиях можно сказать об ис-
тинной интенсивности излучения и о времени разрешения детек-
тора?
71
6.64. Счетная система состоит из двух элементов: первого с
постоянным временем разрешения п, и второго с продлевающим-
ся временем разрешения тг. На вход первого элемента поступают
импульсы со скоростью щ с”1.
Получить выражения для скорости счета импульсов на выходе
второго элемента в двух случаях: а) п>Т2; б) т2>ть
6.65. Для измерения времени разрешения методом двух источ-
ников сцинтилляционный детектор облучался двумя источниками:
каждым отдельно и двумя источниками одновременно. При облу-
чении первым источником было зарегистрировано 1,214-106 импуль-
сов в минуту. Излучение второго источника регистрировалось 10 с.
За это время было сосчитано 2,971-105 импульсов. Оба источника
одновременно за 10 с дали 4,93-105 импульсов.
Вычислить разрешающее время счетчика.
6.66. Вычислить плотность потока у-излучения на оси диска
радиусом из излучающего материала в точке, отстоящей от
плоскости диска на расстояние Л. Поверхностная активность
диска равна о. Поглощение у-излучения отсутствует.
6.67. Диск радиусом R из у-активного материала помещен в
поглощающую среду с коэффициентом поглощения р.
Вычислить плотность потока у-квантов в точке на оси диска,
удаленной от его плоскости на расстояние h. Поверхностная
активность диска <т.
6.68. Вычислить плотность потока в условии задачи 6.67, если
диск имеет толщину d, изготовлен из материала с объемной
активностью q и коэффициентом поглощения рд.
6.69. Найдите угловое распределение плотности потока нерас-
сеянных квантов от излучения тонкого слоя снегового покрова в
точке нахождения самолетного гамма-спектрометра.
6.70. Коллиматор самолетного гамма-спектрометра вырезает
из излучения тонкого плоского рудного тела телесный угол с
углом при вершине, равным 0.
Вычислить плотность потока у-излучения, падающего на гам-
ма-спектрометр, если тело находится на глубине h2 под поверх-
ностью земли, а грунт обладает .коэффициентом поглощения р2.
Самолет летит на высоте h над поверхностью земли, а воздух
обладает коэффициентом поглощения
6.71. Поверхностная активность стандартных пород земли рав-
на 0,15 Бк/см2 на линии 2,62 МэВ. Самолет с гамма-спектромет-
ром на борту пролетает на высоте 50 м. Спектрометр не имеет
коллиматора и, следовательно, регистрирует излучение от беско-
нечной плоскости.
Сколько импульсов будет зарегистрировано в пике полного
поглощения для указанной линии за 3 мин измерения? В качестве
спектрометра используется сцинтилляционный детектор с крис-
таллом Nal(Tl) диаметром 200 и высотой 200 мм.
6.72. Какова эффективная площадь, с которой в каждый дан-
ный момент времени регистрируется у-излучение спектрометром,
описанным в задаче 6.71?
72
6.73. Вычислить число а-частиц, излучаемых 1 г диоксида
урана.
6.74. Типичное значение массового содержания радиоактивных
а-излучающих материалов в чистых металлах примерно равно 10-8.
Вычислить число а-частиц, излучаемых 1 см2 поверхности та-
кого материала.
6.75. Вычислить число а-частиц, излучаемых единицей поверх-
ности альфа-источника на основе стеклообразной эмали, если его
толщина равна 8 мкм, а удельная активность материала источ-
ника 3,13 МБк/см3. Пробег а-частиц в материале источника
20 мкм.
6.76. Вычислить активность образцового альфа-источника пло-
щадью 0,8 см2, имеющего толщину активной части <1 мкм, если
он приготовлен из материала с удельной активностью 1 ГБк/см3.
6.77. Вычислить число а-частиц, излучаемых всей поверх-
ностью альфа-источника, если его толщина больше пробега
частиц. Удельная активность материала источника равна 4 кБк/см3.
пробег а-частиц в этом материале 15 мкм, площадь источника
1 см2.
6.78. Альфа-источник сделан в виде фольги из серебра, содер-
жащей радионуклид 239Ри. Диаметр активной части источника
20 мм. Толщина активной части 4,65 мкм. Скорость счета импуль-
сной ионизационной камеры от источника, помещенного на отри-
цательном электроде, оказалась равной 550 с-1.
Вычислить число а-частиц, излучаемых 1 см3 материала источ-
ника.
6.79. Какое количество вещества Na2HPO4 надо взять для
измерения p-активности 32Р, если при эффективности регистрации
(с учетом геометрии расположения источник — счетчик), рав-
ной 0,2, желательно проводить измерения в течение ~ 10 мин и
получать результаты со статистической погрешностью 2%?
6.80. Как изменяется активность поверхности бета-источника
с ростом его толщины?
6.81. Пропорциональный счетчик диаметром 3 и длиной 10 см,
заполненный водородом до 0,3 МПа, облучается • потоком моно-
энергетических быстрых нейтронов с энергией. 0,6 МэВ, направ-
ленным вдоль оси счетчика. Сигналы, возникающие на выходе
счетчика, регистрируются многоканальным амплитудным анали-
затором, так что импульсы с максимальной амплитудой оказыва-
ются примерно в 60-м канале.
Оценить скорость счета в каждом канале анализатора, если
плотность потока равна 105 см~2-с-1.
6.82. В две индентичные токовые ионизационные камеры поме-
щены два источника: в одну 226lRa, а в другую 60Со. Активности
источников подобраны ’ так, чтобы токи в камерах оказались
одинаковыми п равными ЗЛО-10 А. Камеры включены навстречу
друг другу так, что разностный ток оказался равным нулю с
погрешностью до 5-10-14 А, Через 115 ч ток в цепи стал равным
5,3-10-13 А.
73
Чему равен период полураспада 60Со? Какова относительная
погрешность его определения?
6.83. Вычислить поток у-излучеиия на поверхность сфериче-
ского детектора радиусом R, погруженного в бесконечную излу-
чающе-поглощающую среду, например морскую воду. Удельная
активность среды q$. Коэффициент поглощения у-излучения р.
6.84. Требуется в течение 1 ч провести измерения потока излу-
чения от радиоактивного препарата при наличии фона.
Каким должно быть оптимальное соотношение времен измере-
ния излучения от образца и фона для получения максимальной
точности? Указать скорость счета для измеряемого излучения,
абсолютную и относительную погрешности в двух случаях: пол-
ная скорость счета и скорость счета фона «о2 составляют соот-
ветственно: а) 750 и 30 мин -1; б) 80 и 20 мин-1.
6.85. Определить время измерения фона и суммарной интен-
сивности эффект плюс фон, чтобы статистическая погрешность
измерения эффекта была не хуже 5 %.
Скорости счета фона и суммарная соответственно равны:
а) По2=8О, По1 = ЮО мин-1;
б) «02=80, «01=900 мин-1;
в) «02 = 4, «01 = 100 мин-1.
6.86. В тщательных предварительных экспериментах фон на
экспериментальной установке был измерен и оказался равным
(26,7±1,2) ч-1. В измерениях исследуемого эффекта за 20 мин
было зарегистрировано 84 импульса.
Вычислить абсолютную и относительную погрешности измере-
ния эффекта.
6.87. Выбрать время измерения, необходимое для выделения
слабого эффекта над фоном со статистической погрешностью не
Хуже 3%- Ожидается, что эффект составляет 1 с-1, а фон превы-
шает эффект примерно в 10 раз.
6.88. Известно, что скорость счета фона составляет 50 %
суммарной скорости счета эффект плюс фон.
Определить необходимое количество зарегистрированных сиг-
налов, чтобы ститистическая погрешность измерения эффекта
была не хуже 2 %.
6.89. В некоторых случаях (например, при автоматическом об-
мере большой партии, образцов) удобно проводить измерения в
режиме постоянного счета, т. ё. измерять интервал времени, в тече-
ние которого будет зарегистрировано" определенное число импуль-
сов от детектора. В этом режиме и фон'измеряется таким же
образом.
Вычислить скорость счета эффекта и абсолютное и относи-
тельное среднее квадратическое отклонения, если измерение с об-
разцом длилось Zi = 34,7 с, а измерение фона /2=96,2 с. Каждый
раз регистрировалось ГО3 импульсов.
6.90. При измерениях в режиме постоянного счета (см. зада-
чу 6.89) известно отношение суммарной интенсивности к интен-
сивности фона К.
74
Получить зависимость статистической погрешности измерения
от К при фиксированном значении числа событий п, набираемого
при измерении.
ГЛАВА 7
МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ СПЕКТРОМЕТРИИ
7.1. Во многих случаях форму спектральной линии можно
описать нормальным распределением. Мерой ширины распреде-
ления является параметр а, который равен расстоянию от абсцис-
сы максимума до абсциссы точки перегиба. Однако на практике
принято пользоваться шириной распределения на половине вы-
соты Г.
Получить формулу, связывающую о и Г.
7.2. Считая, что пик полного поглощения в амплитудном рас-
пределении описывается кривой нормального распределения, вы-
разить площадь под пиком через значение максимума nmax и
полную ширину на половине высоты Г.
7.3. При вычислении площади, высоты и ширины реальных
пиков, при проверке соответствия этих пиков нормальному рас-
пределению нужно знать многие характеристики нормального
распределения.
Найдите: а) абсциссы и ординаты точек перегиба; б) уравнения
касательных в. точках перегиба; в) высоту и основание треуголь-
ника, образуемого касательными и осью абсцисс.
7.4. Нарисовать график нормального распределения и указать
на нем ординаты: а) высоты треугольника, образованного каса-
тельными в точках перегиба; б) максимума; в) точек перегиба;
г) середины высоты распределения.
Выразить эти ординаты в единицах 1 /о и в долях Ука-
зать на графике ширину распределения: а) между точками пере-
гиба; б) на середине высоты; в) на 1/10 и 1/100 высоты; г) осно-
вание треугольника, образованного касательными в точках пере-
гиба. Выразить эти величины в долях о и Г.
7.5. Выразить площады под нормальным распределением через
площадь треугольника, образованного касательными ;в точках пе-
региба и осью абсцисс.
7.6. Если пик, предположительно описываемый нормальным
распределением, плохо выделяется на спектрограмме, ..то площадь
пика можно определить по его верхушке. Для этого в обе стороны
от положения максимума отсчитывается равное число каналов в
пределах уверенно выделяемой части пика. Вычисляются пло-
щадь получившейся верхушки пика 5' и его ширина АЛ'.
Получить формулу, связывающую эти величины с истинной
площадью распределения.
7.7. При анализе экспериментальных пиков трудно отделить
точки, ложащиеся на нормальное распределение, от точек на
75
краях распределения, определяющихся фоном или соседними пи-
ками и не соответствующих исследуемому пику. Есть метод, так
называемый метод Циммермана, пользуясь которым пик удается
линеаризовать и тем самым легко определить, какие точки
ложатся на прямую, а какие нет.
Покажите, что логарифм отношения числа импульсов в кана-
лах, взятых через один, есть линейная функция номера канала.
7.8. Найти связь между энергетическим и амплитудным раз-
решением. Амплитуда сигналов детектора связана с энергией час-
тиц соотношением A=f(§’).
7.9. На энергетическое разрешение спектрометра влияют нес-
колько независимых факторов, каждый из них дает вклад в раз-
решение, равный со{.
Определить суммарное разрешение спектрометра.
7.10. Вычислить предельное энергетическое разрешение, свя-
занное с флуктуациями ионизации при регистрации 0-частицы
с энергией 1 МэВ, полностью теряющей всю энергию в объеме
детектора: а) в газовой ионизационной камере, заполненной Аг;
б) в германиевом ППД.
7.11. Каким фактором определяется предельное энергетическое
разрешение сцинтилляционного детектора? Чему равно предельное
разрешение при регистрации 0-частицы с энергией 1 МэВ сцин-
тиллятором Nal(Tl)?
7.12. Вычислить энергетическое разрешение сцинтилляционно-
го детектора с кристаллом Nal(Tl), регистрирующего у-кванты
137Cs. Квантовая эффективность фотокатода равна 0,1, коэффи-
циент вторичной электронной эмиссии всех динодов одинаков и
равен 3. Флуктуациями светосбора пренебречь.
7.13. Как зависит вклад в энергетическое разрешение иониза-
ционных детекторов, связанный с флуктуациями ионизации, от
энергии регистрируемых частиц?
7.14. Сравнить относительные энергетические разрешения
спектрометра при выделении в нем энергии & одной порцией и
при выделении в нем той же энергии, но в виде двух порций
Рассмотреть два случая, когда относительное энер-
гетическое разрешение зависит от энергии по закону:
а) <о=а]Л^, как в полупроводниковых спектрометрах;
б) со= (A + Bl^yi\ как в сцинтилляционных спектрометрах.
7.15. В сцинтилляционном гамма-спектрометре энергетическое
разрешение зависит от энергии квантов
(0=(А + В/^)>/2) (1)
где А=4,5-10-3; В=1,57-10-3 МэВ.
Вычислить ожидаемое разрешение в пике суммирования кас-
кадных у-квантов 60Со. Сравнить это разрешение с тем, которое
получалось бы, если бы суммарная энергия выделилась одной
порцией.
76
7.16. Для электронного усилителя, использующегося в спек-
трометрическом тракте, известно среднее квадратическое шумовое
напряжение. Однако в практике работы со спектрометрами удоб-
нее пользоваться величинами:
а) эквивалентный шумовой заряд, выраженный в единицах
заряда;
б) эквивалентный шумовой заряд, выраженный в количестве
электронов (пар ионов);
в) энергетический эквивалент шумов.
Укажите связь между перечисленными величинами и средним
квадратическим шумовым напряжением.
7.17. Чему равен вклад в энергетическое разрешение шумов
электронного усилителя при регистрации частицы с энергией
1 МэВ полупроводниковым Ge (Li)-детектором, если эквивалент-
ный шумовой заряд равен 200 электронам?
7.18. Перечислите факторы, влияющие на энергетическое раз-
решение пропорционального счетчика.
7.19. Вычислить предельно достижимое энергетическое разре-
шение пропорционального счетчика, учитывая флуктуации числа
первичных электронов, образованных частицей, и флуктуации ко-
эффициента газового усиления.
7.20. Тщательными измерениями было установлено, что пик
полного поглощения полупроводникового гамма-спектрометра при
регистрации 7-излучения 65Zn хорошо описывается нормальным
распределением с шириной на половине высоты, равной 0,4 кэВ.
Как изменится ширина пика, если измерения проводятся
амплитудным анализатором с шириной канала 0,1 кэВ?
7.21. Сколько каналов должен занимать пик в амплитудном
распределении, чтобы его уширение за счет анализатора не пре-
вышало 10 %?
7.22. Регистрация пиков в амплитудном распределении анали-
затором с конечной шириной канала ДА приводит к деформации
пика: его ширина увеличивается (см. задачу 7.10), а высота па-
дает.
Определить, во сколько раз уменьшается скорость счета в
максимуме пика, если Г=5ДА.
7.23. По какому параметру разделяются частицы, если одно-
временно измерять:
а) энергию и импульс;
б) потерю энергии ДсГ и энергию 8\
в) время пролета и энергию;
г) время пролета и потерю энергии Д^?
7.24. Можно ли разделить дейтроны и а-частицы, измеряя
кривизну их траектории в магнитном поле и время пролета?
7.25. На сколько процентов различаются параметры идентифи-
кации для многозарядных ионов (ядер) 40Аг и 40Са в Д^ — 8-
методе?
77
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
ГЛАВА 1
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ
С ВЕЩЕСТВОМ
1.1. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
1.1. Кинетическая энергия равна разности между полной энергией
= тс2 (1)
и энергией покоя тс2. Отсюда
S=mc2[(l — р2)-°®— 1]; (2)
₽ = |Л1 («?/тса + 1)"*. (3)
Производя алгебраические преобразования в (3) при & <^тс-, получаем и=
= \/r2S~[m. При &=тс2 р=0,87.
1.2. Полная энергия, с одной стороны, есть сумма кинетической энергии и
энергии покоя, а с другой равна (1.1.1)
в + тс2 = тпеа/|/ 1 — Ра • (।)
Возведем обе части соотношения (1) в квадрат, прибавим и вычтем в правой
части /п2|32с4/(1—р2) и после простых преобразований получим
рс = |/<? (2/пс2 + <?); (2)
€ = |/р2с2 + т2с* —тс2. (3.)
При &<^тс2 из (2) находим р=1^2т8 и, следовательно, ^=р2/(2т).
1.3. рс равно 137 МэВ и 10,9 ГэВ. При ff^mc2 &~рс.
1.4. pc=mc2fty. Поскольку р= |/1—х~2, при у2^>1 рс=тс2у=500 ГэВъ
рс 1/1 _ R2
1.5. т/тр = ----р---= 1,04 - 0,94.
1.6. рс =/<? (2ис2 +<?) = 1,4 4- 11 МэВ.
1.7. Р=0,9.
1.8. mc2=S/[l— p/tW)0-5—1]=939,6 МэВ (нейтрон).
1.9. <? = тс2(у—1)=93 ГэВ.
78
1Л0. Пусть I — расстояние от Солнца до Земли. Тогда l/v— время движе-
ния массивных нейтрино, а 1/с — то же для безмассовых
-L 1 1
V / с р |Л— (<?/тс2 + 1)-а
(при вычислении на восьмиразрядном калькуляторе).
1.11. /пс2=(р2с2—#2)/2#=493 МэВ (заряженный каон).
1.12* £ = са(т„—— те)------------= 800 МэВ.
и тп+те
1.13. &=рс(у— 1) /уР=1,12 МэВ.
1.14. 0 = pc)Wu = 0,346; тс2 — |/1Гп — р2с2 = 938 МэВ (протон).
1.15. Гп = тс2/1/1—р2 = 5,1 МэВ.
1.16. №п = |Лп2с4 + /?2с2 = 3729 МэВ; 8 = U7n—тс2=5 МэВ.
1.17. 1=ТоР?с; 1=1,8 мм при # = 1013 эВ и 1=2-10-5 см при 8 = \ ГэВ.
1.18. lni=T)/2₽ус, гДе 1п2; 1|/2=170 км.
1.19. Скорость электрона на орбите с главным квантовым числом п водо-
родоподобного иона с зарядом Ze равна
и = Ze2/4rt8ofi ft.
а) При Z=l, п=1 (К-оболочка атома водорода) d=2,17-106 м/с; р =
=7,25-10-а;
б) #^=2,8 кэВ; #я=3,7 кэВ; #р=25 кэВ; #а=100 кэВ.
1.20. h=hc/\/2тс28\ при #=0,025 эВ %=7,8 нм.
1.21. pc=hc/K=12,4 кэВ.
1.22. Время движения а-частицы до остановки равно | dRfv. Для упроще-
о
ния полагаем, что на всем пути частицы до остановки выполняется соотношение
R=a&b. Поскольку имеет место нерелятивистский случай,
« = Wa)1/26 = C/?«,
где q = j/2/^а-l^2bf п= V2b. После интегрирования получаем
Для а-частиц в кремнии /?=2,32* 10-4#а1*5, где R выражено в см, #а — в МэВ.
В результате находим с.
1.23. Массы и атомные заряды среднего легкого и среднего тяжелого оскол-
ков равны тл = 98 а. е. м.; тт=140 а. е. м.; гл=40; zT=55;
8 = = 335 МэВ; £т = 733 МэВ.
Это заметно больше той энергии, с которой осколки образуются.
79
1.2. ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ, 6-ЭЛЕКТРОНЫ
1.24. Приведем упрощенный вывод выражения для ионизационных потерь,
восходящий еще к работам Бора.
Удельные ионизационные потери энергии равны произведению сечения столк-
новения на потерю энергии при одном столкновении и на плотность электронов
вещества, проинтегрированному по всем возможным параметрам столкновения Ь:
^тах
/ dS\ С da
—(1)
\ “X / ион J db
fynin
Дифференциальное сечение столкновения с
параметром столкновения Ь равно
—О*---------------J-----do
|д ----db — 2nbdb. (2)
i db
<jme
Потерю энергии при одном столкнове-
ние. 1.3 нии определим из следующих соображений.
Частица массой М пролетает на расстоя-
нии Ь от свободного и покоящегося электрона (рис. 1.3).
Если то взаимодействие частицы с электроном приведет к тому, что
электрон получит импульс в направлении, перпендикулярном линии полета ча-
стицы:
Составляющая импульса в направлении движения частицы равна пулю, так как
она состоит из двух равных компонент с разными знаками (соответствует при-
ближению частицы к электрону и удалению от него).
Участок 26, па котором кулоновская сила равна ze2/4n8962, частица прохо-
дит за время Ы=2Ь/и, т. е.
. ze2 2b 2ze2 .
Др~------------------------------------=-----, (3)
4п£062 и 4пваЬи
Кинетическая энергия, потерянная частицей при столкновении, соответствует пе-
реданному импульсу и равна
4 л Ьр2 2zM 1
Д£ = -?—=-------------------. (4)
2m (4ле0)2 mv2 b2
Таким образом,
^шах
dg 4nz2e4 „ f
—=————\ db/b,
dx (4ne0)2mv2 J
Интегрирование дает
^max
j d&/* = ln(*max/*1|in).
^min
80
Максимальный и минимальный параметры соударения определяются минималь-
ной и максимальной передаваемой энергией. Из (4) легко видеть, что
^max^min “’ V^max/^min’
Максимальная передаваемая энергия в нерелятивистском случае (|32<С1) равна
2mv2 (см. 1.38.1). Минимальная передаваемая энергия определяется энергией
связи электронов в атоме. Усреднение по всем электронным оболочкам дает сред-
нюю энергию ионизации 7. Итак, получаем
, 1 2mt»a
ln(6max^min)=VIn^-
Более детальный расчет приводит к результату ровно в 2 раза большему. Окон-
чательно получаем
f dS \ 4jrz2e4iVZ 2mvz _
—— =-----------hi - — •. (5)
\ dx /ион (4тсе0)2/ИП2 7
Учет релятивистских и некоторых других эффектов приводит к выражению
/ d# \ 4KZ2e4VZ 1 2ягиа
\ dx /иои (4ле0)2/п^2 П-7 (1—Р2)
(6)
Здесь б — поправка, учитывающая уменьшение роли далеких столкновений за
счет поляризации среды, существенна только при очень высокой энергии нале-
тающих частиц; U — поправка, учитывающая тот факт, что электроны К-, L-
и других оболочек не участвуют в столкновениях, если скорость налетающей ча-
стицы мала по сравнению с их скоростью; существенна только при малой энер-
гии налетающих частиц.
Несмотря на упрощенный характер вывода формулы (5), в области средних
энергий она дает результаты, отличающиеся от наиболее точных расчетов Штерн-
хеймера [22] всего па несколько процентов.
В удобном для вычислений виде формула (6) имеет вид
1 <*<? 1,02-10вр2
----— = 2С1п =--------—
? dx [ 7 (1—р3)
(7)
C=0,154z2Z/pM, (8)
где коэффициент С выражен в МэВ-см2/г.
1.25. Рост удельных потерь энергии при высоких энергиях вызван двумя
причинами:
1) с ростом скорости релятивистское сжатие кулоновского поля пролетаю-
щей частицы приводит к тому, что действие этой частицы становится ощутимым
па большем расстоянии от ее траектории;
2) с увеличением импульса убывает неопределенность координаты, устанав-
ливающая нижний предел для параметра столкновений в квантовой теории, что
приводит к возрастанию максимальной передаваемой энергии #тах. Таким обра-
зом, с ростом энергии радиус цилиндрической области вокруг пути частицы, где
атомы ионизуются, будет расти. При этом увеличивается роль далеких столкно-
вений в ионизации.
Формально рост ионизационных потерь, определяется членом 1—(З2 в знаме-
нателе логарифма выражения (1.24.6).
6—5266 81
1.26. При высоких энергиях по мере роста максимального параметра соуда-
рения между пролетающей частицей и далекими электронами оказываются ато-
мы, которые поляризуются и экранируют поле частицы и тем самым ограничи-
вают рост параметра соударения, а с ним и потерь энергии. Поскольку экрани-
рование определяется концентрацией экранирующих электронов, т. е. оно зави-
сит от плотности вещества, этот эффект и называют эффектом плотности.
Точные расчеты [21] показывают, что экранирование не прекращает реля-
тивистский рост, а только уменьшает его скорость примерно в 3 раза. Более
медленный рост связан с ростом максимальной передаваемой энергии.
Однако если рассматривать ионизационные потери с ограниченной макси-
мальной передаваемой энергией, называемые также линейной передачей энергии
(ЛПЭ), то в этом случае из-за эффекта плотности релятивистский рост оста-
навливается совсем и зависимость потерь энергии от энергии выходит на плато.
1.27. Если пренебречь зависимостью логарифмического члена от свойств ве-
щества, положить его равным 4 при 02=1О-2 и вычислить удельные потери по
формуле
dS brtWNZ
- —=------------ 4, (2)
dx (4n£0)2/?w2
то истинные удельные потери гелия будут больше этого значения на 40 %,
а свинца — на столько же меньше. С ростом 0 это различие уменьшается, но
логарифмический член надо приравнивать все большему числу.
Пренебрежение зависимостью логарифмического члена от энергии частицы
в диапазоне изменения 0= 10-2ч-0,99 приводит к отличию удельных потерь от
истинных примерно на ±50 % (если положить этот член равным 9—10) для
свинца и несколько меньше для более легких элементов, вплоть до ±40 % для
гелия.
1.28. Дифференцируя выражение для d& jdx (1.24.5) по 0 и решая полу-
чающееся трансцендентное уравнение графически или численно, находим, что
положение минимума зависит от атомного номера Z вещества, в котором тор-
мозится частица.
Минимум достигается при 0 = 0,97, ^/шс2=2,96 для самых легких веществ;
0=0,94, &!тс2=2 для самых тяжелых веществ.
1 d8
Минимальные удельные потери равны-------— =2,14 МэВ-см2/г при Z=l,
р ах
1 d£
----;— = 1,39 Д4эВ*см2/г при Z=82.
р ах
1.29. При малых энергиях протон и другие ядра начинают захватывать элек-
троны у атомов среды, из-за чего теряют заряд. При этом удельные иониза-
ционные потери, пропорциональные квадрату заряда, тоже, естественно, падают.
1.30, ЛПЭ — это удельные потери энергии, обусловленные такими столкнове-
ниями частицы с атомами, при которых переданная энергия меньше некоторого
определенного значения (^пср:
< dS_ \ = Nz 1п 2/пр^дер
V dx/SnQp (4ле0)г /2(i_ps)’
Сравнение этой формулы с (1.27.1) показывает, что ЛПЭ меньше, чем d&/dx.
Величина ЛПЭ описывает многие практические случаи измерения потерь
82
энергии частицы, так как в результате больших передач энергии, входящих
в dto/dx, появляются 6-электроны, которые могут вообще выйти из прибора
или зарегистрироваться независимо. Так что фактически измеряется именно
ЛПЭ.
1.31. Скорость а-частицы с энергией 5,15 МэВ равна 1,6* 109 см/с. Это зна-
чение мало отличается от скорости электрона на /(-оболочке аргопа. Поэтому
пренебрежем поправкой, учитывающей, что электроны К-оболочки не участвуют
в торможении частицы, если ее скорость мала по сравнению с их скоростями.
Тогда формула для вычисления удельных потерь энергии, МэВ*см2/г, имеет вид
1 лпЛпг22Г 1,02-Юврз
р dx ~ ’ 8Л(41П 7(1— Р2)
(1}
Для а-частицы с энергией 5,15 МэВ в аргоне находим
1 d£
------= 639 МэВ-см2/г.
р dx
После потери 90 % энергии частица имеет энергию, равную 0,5 МэВ. а-ча~
стица с такой энергией уже эффективно теряет заряд, поэтому пользоваться
приведенной формулой нельзя, а удовлетворительной теории для этой области
энергий еще нет. Воспользуемся данными, приведенными в приложении 10. Из
рис. П.1 для А1 находим
1 d&
------= 1320 МэВ «см2/г.
р dx
1.32. В этом случае Р2=0,75 и поправки па связь электронов на оболочках
и эффект плотности можно не учитывать. Для вычисления удельных потерь
в сложном соединении воспользуемся формулой
(dff/dx)M = -^ 2 ViA'CdS/dx)^ (1)
где М и Ai—молекулярная и атомная массы; N[—число атомов данного эле-
мента в молекуле.
Таким образом,
d£ 1 Г fd£ \ /d£\
—=— 120 ( — 4- 8 | — +64
dx 192 [ \dx
где удельные потери компонентов вычисляются по формуле (1.31.1).
1.33. Для релятивистского электрона удельные потери рассчитывают по фор-
муле, МэВ-см2/г:
Id# Z ( Г 2,55-10б#В2 I Г г_________
— — =0,154 ;1п - 2(1/1— В2
? dx Лр2 | L ^(1—Р2) J L
— (1 —Р2 >] 1п2 + (1 -Р2) +4" (1 -/Ь^Р2)2}-
О J
Вычислив удельные потери отдельно в Na и I, воспользуемся затем формулой
(1.32.1) и получим
2,07 МэВ-см2/г,
(1)
/ 1 \
|--------=1,61 МэВ*см2/г.
\ р dx / Nal
6*
83
Удельные потери для а-частиц возьмем из приложения (см. рис. П.1) для
А1 и пересчитаем на Na и I, воспользовавшись соотношением
а затем по формуле (1.32.1) найдем
1 d£\
----I =408 МэВ*см2/г.
(> dx /Nal
Таким образом, удельные потери на начальном участке трека а-частицы с энер-
гией 5 МэВ превышают удельные потери в начале трека электрона с энергией
1.34. Удельные потери энергии, определенные по поглощению, соответствуют
средней энергии частицы в слое вещества
^=(^0_|_^l)/2, (1)
где — энергия, с которой частица влетает в слой толщиной d-t #4 — энергия,
с которой она покидает этой слой. Значения d&/dx(&) и представлены
на рис. 1.4. Легко видеть, что
, _ = , ( 1 / 2 5!£.(J). (2,
dSjdx dS/dx [dx dx ] / dx
Поскольку по условию dS!dx = A j/<?,
« = 1 - (|/£о + (3)
Если теперь ввести величину £=<S>j/<3’o, то
5 = l-(l+^f)/K2(l+§). (4)
Для £=0,5 8=1,4 %.
1.35. Примем для протона с энергией 100 МэВ
(1)
Пользуясь этим условием, а также учитывая, что в данном случае Д£Г/d>
>d& /dx, аналогично (1.34.2) получаем
s A<g/d i (|+l)a
dS;dx 4£
где
(2)
84
Решая уравнение, находим
4(1 + 5)—2 /4 f(t+5)-2]»
6=2 ± V 4
(3)
'Так как £ по смыслу должно быть меньше единицы, то выбираем в (3) знак
минус.
Тогда для 6=0,05 £=0,64.
1.36. Уравнения, выражающие закон сохранения импульса, имеют вид
(рис. 1.5)
р == р' cos 0 + pi cos у;
р sin 0 = Pi sin у.
Отсюда после преобразований находим
Р' = ]/>8 + Р? —2рр» cos <f. (2)
1.37. Запишем закон сохранения энергии для столкновения падающей части-
цы со свободным электроном:
(+ 7ПСг)до столкновения — “Ь после столкновения- (О
Используя выражение (!.’2.1) и (1.2.3), из (1) получаем
]/р* 2 *с2 + М2с* + тс2 = У(р')а с2 + Л42с4 + + лгс2. (2)
Из закона сохранения импульса следует [см. (1.36.2)]
(р')2 = р2 + рг2—2p^cosy. (3)
Исключая р' из (2) и (3), находим
р2с2 cos2 у
= 2тс2
а)
б)
ли2с4 + M2c4 + 2тс2(р2с2 + Л42с4)У2 + р2с2 —p2Aos у
При Л1^>т и
При и р^Мс*М/пг.
**^2т&$2 / (1—р2),
(4)
(5)
(6)
в)
При р<^/пс:
(7)
(1)
Л ±тМ
1.38. <Гйшах =Ю кэВ=2/ии2
1.39. При &е^>тс2 из формулы (1.37.4) находим ^тах=^е. Полученное
соотношение бессмысленно, поскольку принципиально невозможно пометить элек-
трон с тем, чтобы определить, какой из них первичный, а какой d-электрон. По-
этому договорились считать 6-электроном тот, который имеет меньшую энергию,
и тогда эффективной границей спектра 6-электронов будет значение <В%/2=
=25 МэВ.
85
1.40. Будем рассматривать образование 6-электронов, считая соударения на-
летающей частицы с атомными электронами упругими, т. е. пренебрегая энергией
связи атомных электронов, Это справедливо по крайней мере для 6-электронов,
высоких энергий.
Пусть заряженная частица с зарядом ze и скоростью v пролетает на рас-
стоянии b от покоящегося электрона (см. рис. 1.3). Энергия, которая передана
частицей электрону, равна энергии, потерянной в столкновении [см. (1.24.3)]:
2z2e* 1
8 ” (4ле0)5 ти* ’
Дифференциальное сечение столкновения с параметром столкновения b
dGb=2$tbdb.
Дифференцируя (1), находим
2аМ Лё*
2b db =-----------------
(4ле0)2^2
Подставляя (3) в (2), получаем выражение для дифференциального
образования 6-электронов с энергией в диапазоне от до dff^
2nz2e4 d8*
do* =----------------•
8 <?s2
Число 6-электронов с энергией равно
2гсг2е4 d£b
(£х) dS. = NZda* =-------------------------------NZ------
ornax
f 2ne4z*NZ /1 1 \
1.41. ns (Sb > d?s') = nb dSz= (4jt£o)2OTv2^5 -5„axJ-
Вычислим <F&max = 2mc202/(l — 02) = 1,82 МэВ. Следовательно,
^>l/^amax. Пренебрегая членом l/#amax в круглых скобках, находим число
6-электронов, выраженное в см2/г:
1 Z
~л5(£г>1 кэВ) = 154 I (2)
= 0,2 см-1.
1.42. п=пъ (<£Г&>165 эВ) =29 см^1.
1.43. а) Вычисляем #отах=О,98 МэВ. Поскольку 1/#бтахС 1/#гр, восполь-
зовавшись формулой (1.41.2), получаем ^Ггр=250 эВ.
.6) Считаем, что средняя энергия ионообразования не зависит от энергии
электронов, и для простоты примем для аргопа й=25 эВ. Принимая эту энер-
гию минимальной для 6-электронов (считаем, что электрон меньшей энергии уже
не создает ни одной вторичной пары), находим и&(^&>25 эВ) = 10, а так как
иа(<В’д>250 эВ) = 1, то
па(<§?а<250 эВ) =9.
(1>
(2)
(3>
сечения
(4>
(5)
(1)
86
1.3. ОДНОКРАТНОЕ И МНОГОКРАТНОЕ РАССЕЯНИЕ
1.44. Простое решение этой задачи можно получить, рассматривая импульс-
ную диаграмму (рис. 1.6):
tg0=Ap±/p. (1)
Приращение импульса имеет вид (1.24.3)
2zz'e2
Л^±=;—г- (2)
Отсюда
Более строгий анализ, учитывающий гиперболическую траекторию, по которой
движется рассеиваемая частица, дает
О zz'e2
tg 2 - 4тгЕ(|ти2/> ’ < )
Для малых углов, когда tg 0^0, (3) и (4) совпадают, и можно, кроме того,
написать
Q^2zzfe2/4ne>t)fnv^b. (5)
1.45. Воспользовавшись решением задачи 1.44, находим, что при рассеянии
на электроне z'=l
(1£в)е = -------—;
4ле0ящ26
при рассеянии на ядре zr=Z
t Л 2zZe2
tg )я - 4да0/пу«6 ’
Отсюда получаем
(tg0)H/(tgO)e=Z,
т. е. рассеяние на большинстве ядер заметно сильнее, чем на электронах.
1.46. Сила, которая действует на заряженную частицу с зарядом дви-
жущуюся со скоростью v в магнитном поле с индукцией В, примерно равна
q(v/c)B. хЧагнитная индукция на расстоянии г от магнитного диполя с момен-
87
том |л порядка ц/r3, а ядерный магнитный момент ^^eh/mNc, где тц — масса
нуклона. Следовательно,
FM = qehv)mNc2r*.
Сила электрического взаимодействия F93i = qe/r2. Следовательно,
Рк1РЭл = ^1т.ысгг,
где г порядка радиуса ядра, т. е. примерно равен классическому радиусу элек-
трона г^е2/твс2, Отсюда
hvme<? tic v те п. ,
^м/<ЭЛ*4' z>2*M /»2 — Л М =" 0>1 v/C
е mNc с2 с 1
(hcje2 = 1/а= 137)
Таким образом, видно, что сила взаимодействия заряженной частицы с маг-
нитным полем ядра как минимум на порядок меньше силы взаимодействия
с электрическим полем.
1.47. На угол 0 отклонятся все частицы, которые будут взаимодействовать
с ядром с параметром соударения b (рис. 1.7), т. е. попадающие в область пло-
щадью 2stbdb. Отсюда дифференциальное сечение рассеяния на угол 0 равно
da=2n>bdb. Воспользовавшись решением задачи (1.44), выразим b и db через В
и получим
zZe* 1
Ь =------------------;
4rce0ma2 tg (6/2)
1 zZe2______________d9________
2 4леотиа tg2 (9/2) cos2 (0/2)
rc / zZe2
2 \ 4гсе0щу2
\2__________d0__________
/ tg3 (0/2) cos2 (6/2) ‘
(•)
(2>
(3)
Умножив числитель и знаменатель на sin (0/2) и воспользовавшись формулами
dQ=2JtsinOd0 и sin 0 = 2sin (0/2) cos (0/2), после простых преобразований по-
лучим
л ( zZe2 \2 d2 ...
do = I--------- I --------. (4)
\4rce0^o2/ 4sln4(0/2)
Для а-частиц в меди при 0=60° получим da/dQ=2,6-10-28 м2.
1.48. Воспользуемся решением задачи (1.47). Из (1.47.3) получим
. о ! Zze* \2d(sin0/2)
\ 4гсе0тми2 / sin2 (6/2) 4
Сечение рассеяния на угол, больший 0ь находим интегрированием в пределах
от 01 до л:
__ / Zze2 V Г 1
\ 4гс£0то2 / [sin2(01/2)
(2)
При 01=90° член в квадратных скобках равен единице. Отсюда для а-частиц
с энергией 5,15 МэВ получаем
Вещество....................Be Al Си Ag Pb
а, 10—28 м2................. 0,038 0,41 2,0 5,3 16,0
88
1.49. Сечение рассеяния в диапазоне углов от Oi до 02 находим интегриро-
ванием дифференциального сечения (1.48.1) в пределах от 0! до 02:
9д
Г f zZe* V Г 1 11
Q=lda=K( -----------J -------———--------Т—- = 1,4-10-27 М2; (1)
J ' 4rce0mo2/ [sin^fli/S) sina (92/2) I
6i
dn/n = при 1; dn/n = 8,2-10“3.
1.50. Вычисляем дифференциальное сечение рассеяния на угол 90° по (1.47.4)
и, поскольку ATxdo<l, dnf'n (0=9O°)^jVxdty=l,4-10-3. Сечение рассеяния на
угол больше 90° вычисляем по (1.48.2) и находим dn/n (0>9О°)^Мгх= 1,7-10-2.
1.51, При формальном вычислении сечения рассеяния частиц в интервале
углов 0—60° появляется расходимость при 0=0°. Поэтому надо задать какой-то
граничный угол, равный угловому разрешению регистрирующей системы, и счи-
тать провзаимодействовавшими частипы, рассеянные под углом, большим гра-
ничного. Поскольку в условии задачи угловое разрешение системы не указано,
будем включать в число частиц, рассеянных на угол, меньший заданного, и все
нерассеянные частицы. Поэтому вычислим вероятность рассеяния на угол, боль-
ший заданного, и вычтем эту вероятность из единицы: dn/n (0>6O°)=/Vox= 10-2;
dn/n (0 <60°) =0,99.
1.52. Согласно решению задачи 2.8 сечение рассеяния имеет вид
(* da
’р — I О —cos0)
J d2
При малых 0 1—cos0=sin2 (О/2)~02/2. Следовательно, ap = —J 02da.
Воспользовавшись выражениями (1.24.2) для do и (1.44.5) для 0, получим-
^тах
вр = 4жг’2%а(-^)2- J db/b,
где &min и &тах — наименьший и наибольший параметры столкновений. Элек-
тронная оболочка экранирует ядро, и поэтому для рассеяния на ядре при Ь>гл
0^0, где га — радиус атома, т. е. 5тах=Га. Для быстрых частиц минималь-
ный параметр столкновений равен радиусу ядра Ьт1п=гя (а для медленных —
длине волны де Бройля bmin=h/p). Таким образом,
\ РР / гя
га=—Z-1/3; гя = 0,4геД1/3; га/гя = З.б/Л^А1'3- (2)
аа
Полагая A~2Z, получаем га/'я= (193Z-1/3)2. Окончательно находим
Ор = 8nz2Z2re2 (193Z“1/3). (3)
В удобном для вычислений виде
Ор=5-10-25(zZ/ppc)2In (193Z-V3), (4)
89
где Стр выражено в см?, а — в МэВ. Значение логарифма равно 5,07 длж
Z=2 и 3,8 для 7=92, Принимая для оценок In (WSZ-1/3)^^, получаем
/ zZ \2
°р- 2,3-10'24 ( — . (5>
Р \/фс )
1.53. Возьмем слой рассеивающего вещества толщиной х и разобьем его на
много слоев толщиной Дх. Толщина слоя Дх должна быть настолько малой,,
чтобы угол отклонения частицы от первоначального направления движения бьиь
мал и чтобы вероятность повторного рассеяния в слое была мала. Пусть 6м—
угол однократного рассеяния k-и частицы в Z-м слое. Тогда средний квадрати-
ческий угол многократного рассеяния £-й частицы в слое х равен
х/дх
1=1
Изменение направления первоначального пучка (см. задачу 2.8) запишем в виде-
-8(x)=^-^(l-cos0fft). (2).
it k
Поскольку по условию все углы 6м малые, 1—cos Ом можно заменить на 02м/2.
Тогда получаем
— ®(х) (3)з
Ь k
С учетом (1) выражение (3) преобразуется к виду
п
-‘Й-гтЕ”’’- (4>
6=1
В задаче 2.8 показано, что —б(х)=оРЛ/х, откуда следует, что
(1/2п)£ otf = ap№. (5>
6=1
Величина в левой части выражения (5), очевидно, равна половине среднего^
квадратического угла многократного рассеяния в слое «х, поэтому получаем
п
JJ“fe8 = 2eP^-
6=1
(6>
Выражение для было получено в задаче 1.52. Подставляем его в (6) и на-
ходим
= 1&&Z0 (Г2в In (193 Z~,/3) Nx.
\ РР /
(7)
90
в удобном для вычислений виде
]/о* = 10~и pOv*ln(193 Z-*/3).
Ррс
Принимая In (193Z-V3)^4,5, находим
& 2- 10-12гг l^Nx/pfic, (8)
где рс выражено в МэВ, N — в см~3, х—в см.
1.54. Согласно (1.53.8) =0,14 рад=8°.
1.55. Согласно (1.53.8)1,6 мрад.
1.56. Согласно (1.53.8) 0,54 мрад.
1.57. Согласно (1.53.6) средний квадрат многократного рассеяния па едини-
цу пути равен
da2/dx=2/Vop.
Тогда величина, обратная половине среднего квадрата, будет средним транспорт-
ным пробегом или длиной изотропизации
Atr=l/MJp=0,013 см.
1.4. ПРОБЕГ, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИОНИЗАЦИИ ПО ПРОБЕГУ
1.58. Потеряв в веществе энергию d&, заряженная частица пройдет путь
dx=d& К—dg/dx). (1)
Интегрирование выражения (1) по энергии от начальной энергии до нуля
(см. далее) дает полный ионизационный пробег
о
R = dSK— dS/dx). (2)
Подставляя в (2) выражение для dg/dx (1.27.1) и полагая
dS~ (!-№= <3>
получаем
о
т_ тес* А (4та0)2 Г ft8 rfp (4j
z2 ^дР Z 4ne« J (1_р2)3/2^ *
₽нач
Из параметров, характеризующих частицу, под интегралом находится только
скорость. Поэтому для частиц с одинаковыми скоростями
-^-=^ * . (5)
W&2 21?
Поскольку на практике удобнее пользоваться не скоростью частицы, а ее энер-
гией, надо переписать соотношение (5) для случая, когда задана энергия частиц.
Однако предварительно надо сделать замечание.
91
При малых энергиях многие частицы могут захватывать атомные электро-
ны, что изменяет их заряд. При этом исходное соотношение (2) оказывается не-
справедливым. Строго говоря, в (2) и (4) нельзя интегрировать до нулевой
энергии или скорости. Однако если условия перезарядки на конечном участке
пути одинаковы, а они одинаковы у частиц с равным зарядом, то для- соотно-
шения пробегов имеем
А (6>
т2 \ т2 /
Для частиц с различным зарядом в соотношениях пробегов появляется неболь-
шая постоянная добавка (дефицит пробега)
(£) = - R2 ( ^доб (z2 > 2i) ♦ (7)
^2^1 \ ^2 /
Лдоб вычитается из пробега частицы, имеющей больший заряд (z2>zj). Значе-
ние 7?доб довольно мало. При энергии частиц больше 500 кэВ в воздухе /?Доб =
= 0,2 см. Поэтому при оценках пробега ею можно пренебречь.
1.59. В соотношение для пробегов разных частиц (1.58.6) подставляем со-
отношение пробег — энергия в общем виде
R=a&b (2)
и получаем
^i(^i) = (m2/m1)b-1a^\ (3)
где Ш2 — масса той частицы, для которой пробеги известны, в данном случае —
протона; — масса частицы, пробег которой надо найти, — дейтрона. Для про»
бега дейтронов в воздухе при ^в МэВ находим, см,
(4)
Полученная формула справедлива в диапазоне энергий, удовлетворяющем соот-
ношению #d=2#p, т. е. в диапазоне 4—400 МэВ.
1.60. Яя(^я)=0,149/?р(6,7#л).
1.61. Упрощенное соотношение для зависимости пробега частиц от свойств
вещества, получающееся из (27.1), если пренебречь медленно меняющимся ло-
гарифмическим членом, имеет вид p#-^const. Однако это приближение годится
только для оценок. Более точный результат можно получить из эмпирического
соотношения
где Д] и Л2 —атомные массы; и Rz выражены в линейных единицах. Отсюда
получаем /?аг—1>9 см.
1.62. Протоны, возникающие при лобовом столкновении, имеют энергию
14 МэВ. Сначала по (1.59.1) определяем пробег протонов в воздухе: /?р=
=219 см. Далее по (1.61.1) вычисляем пробег протонов в углероде р/?(С) =
= 0,25 г/см2 и водороде р/?(Н2)=0,14 г/см2. Для сложного вещества пробег на-
ходим по формуле
_L=_Ly/ML, (1)
92
где М и Aj — молекулярная и атомная массы; Ni — число атомов данного эле-
мента в молекуле. Отсюда для полиэтилена
1/Л (СН2) = t R (CHS) = 0,22 г/см’.
К (CJ ^(“2/
1.63. R (Ge) = 36,2 мюм.
1.64. Более 90 % а-частиц, возникающих при взаимодействии тепловых ней-
тронов с ядром бора, имеют энергию, равную 1,47 МэВ. При энергии а-частиц
меньше 3 МэВ начинает играть роль захват частицей электронов, и поэтому
имеющиеся эмпирические формулы для таких малых энергий неприменимы.
В таком случае пробег можно вычислить методом численного интегрирования,
воспользовавшись данными по удельным ионизационным потерям энергии
<?0/Д£
Я = Д<? 2 (dSldx)-^. (1>
/=1
Численное интегрирование по данным для алюминия позволяет получить р/? =
= 1,4 мг/см2. Поскольку кремний и алюминий — соседи в таблице Менделеева,
пробег в кремнии можно определить по пробегу в алюминии, учитывая только
разность в плотности. Отсюда 7?(Si)=6 мкм.
1.65. Если способом, описанным в задаче (1.59.2), используя соотношение
для протонов в воздухе, получить такое же соотношение для а-частиц,
то оно будет справедливо, начиная с МэВ.
Для а-частиц, излучаемых источниками естественной активности, показа-
тель степени в зависимости R=f(&) меньше й равен 1,5. Поэтому в данном;
случае воспользуемся другой эмпирической формулой для воздуха
Яа=0,318(ГаЧ
где Ra выражено в см, a <Fa —в МэВ. Пересчитывая на аргон по формуле
(1.61.1), находим 7?(Аг)=4,15 см. Отсюда р^0,3 МПа.
1.66. Скорость счета перестанет увеличиваться, когда пробег a-частиц в ма-
териале источника сравнивается с толщиной источника. Z?(UO2)=8 мкм.
1.67. Воспользовавшись формулами (1.59.1) и (1.61.1), находим для пробе-
га протонов в алюминии, см,
/?Р(А1) =1О-3#Р1’8,
где &р выражено в МэВ. Отсюда для дейтронов
£d(Al)=5,7U0-‘#?>8. (1>
Остаточный пробег дейтрона равен 0,075^—0,02=0,055 см. Энергия дейтрона, со-
ответствующая этому пробегу, определяется из (1). #^=12,7 МэВ.
1.68. (d&/dx)аг=2,44 кэВ/см; =1,48 кэВ/см;
(d^/tfx)CMCCH=2,44-0,7-|-1,48-0,3=2,15 кэВ/см;
A#=(d^/dx)Ax^2,15 кэВ.
1.69. Поскольку значения Z цезия и йода очень близки, пренебрегаем их
различием. Методом линейной интерполяции между ближайшими по Z значения-
ми пробега из табл. П.9 находим 7?p(CsI) = 123 см. Остаточный пробег равен
93
123—20 = 103 см, что соответствует 464 г/см?» Теперь из той же таблицы мето-
дом линейной интерполяции находим энергию, которая соответствует пробегу
464 г/см2, равную 768 МэВ. Таким образом, в кристалле потеряно 1000—768=
=232 МэВ.
1.70. По (1.59.1) находим пробег протонов в воздухе р/?=0,38 г/см2. За-
тем по (1.61.1) находим пробег протонов в углероде р7?=О,35 г/см2. Вычисляем
-остаточный пробег 0,35—0,15—0,2 г/см2 и по (1.61.1) пересчитываем его для
воздуха р/?0ст = 0,215 г/см2. Наконец, снова по (1.59.1) определяем энергию,
оставшуюся у протонов после прохождения поглотителя, # = 12,5 МэВ.
1.71. По табл. П.9 находим пробег в углероде протонов с энергией 200 МэВ:
р7?=29,02 г/см*2, а по формулам (1.59.1) и (1.61.1)—с энергией 100 МэВ: р7?=
= 8,62 г/см2. Искомая толщина поглотителя равна разности этих значений d=
= 9,07 см.
1.72. Критическая энергия для электрона, при которой сравниваются иони-
зационные и радиационные потери, в воде равна 93 МэВ, а радиационная длина
Ло=36 г/см^Зб см.
Критическая энергия для адронов (протона и пиона), при которой сравни-
ваются ионизационные и ядерные потери, равна 325 МэВ, а длина ядерного
взаимодействия в воде Л-~70 см. Отсюда видно, что наименьший путь пройдут
электроны, которые на большей части пути будут терять энергию на образова-
ние электромагнитного ливня. Несколько больший путь пройдут протоны и пио-
ны высокой энергии, которые теряют энергию, развивая адронный каскад. Наи-
больший путь пройдут мюоны, которые слишком тяжелы для радиационных по-
терь и не участвуют в сильном взаимодействии. Для примера укажем, что про-
бег мюона с энергией 10 ГэВ в воде составляет ~~50 м, в то время как протоны
такой же энергии потеряют практически всю энергию на глубине ^3 м, а элек-
троны — на глубине ~2 м.
1.73. Длина ядерного взаимодействия
Л=(^<гя)-1=(ДГлг02Л2/з)-1< (1)
Для воздуха Л=510 м=66 г/см2. По табл. П.9 находим, что такой ионизацион-
ный пробег имеют протоны с энергией 325 МэВ.
Протоны с энергией больше 325 МэВ теряют энергию по закону
#=#оехр (—х/Л). (2)
Отсюда для уменьшения энергии от до & требуется пробег
х=Л1п(#0/#). (3)
Для #о=1О ГэВ и #=325 МэВ х=226 г/см2. Таким образом, полный пробег
протона с энергией 10 ГэВ составит 292 г/см2, или 2258 м. Из них 226 г/см2,
или 1748 м, — потери в основном на ядерное взаимодействие, а на оставшемся
участке пробега — на ионизацию. Если бы протоны теряли энергию только на
ионизацию, то их пробег составил бы в воздухе 5081 г/см2=39 км.
1.74. Пробег протона с энергией 10 ГэВ в воздухе составляет 292 г/см2 (см.
задачу 1.73). Надо перевести это значение в линейные единицы. Учитывая экс-
поненциальное изменение плотности атмосферы, имеем
00
р# = J Ро exp ( — mgxjkT) dx, (1)
н
94
где ро — плотность у поверхности Земли; Н — высота над поверхностью Земли.
kT
Отсюда Я= — In - =33 км. Считая, что граница атмосферы
mg ?RkJ
дится на высоте 50 км, находим путь равным ~17 км.
1.75. Распределение пробегов описывается формулой
~ (R — R)* ~ .
нахо-
Тогда
dR
(1>
(2)
1.76. Остаточный пробег частицы, прошедший путь х, равен Ro—х,
полный пробег. Тогда
где
Ro
£(х)
1/&
(О
— &о
воздухе:
пробега:
1.77. а) По формуле (1) находим полный пробег а-частицы в
7?а=3,5б см, затем определяем энергию, соответствующую половине
3,17 МэВ. Таким образом, на первой половине пробега теряется 1,83 МэВ и
образуется 5,4* 104 пар, а на второй 9,3*104 пар.
б) На последней трети 7,1 -104 пар, а на первой 3,4-104.
1 d(SQ — <?(%))
1,78. dn/dx — —------------—LL
w dx
Дифференцируя #0—c?(x), где <§Г(х) задается выражением (1.76.1), находим
dn £0 Л х \1/^-1
dx wbRo \ Rq )
При x->R0 dti/dx-^-oo, что связано с неприменимостью в конце пробега исход-
ного условия.
1.79. По определению среднего
(О
(2)
х =
_dy.
Используя выражение (1.78.2) для dn/dx> находим х=0,67? при 6=3/2.
1.80. Для этого надо площадь под кривой Брэгга поделить пополам
(рис. 1.8).
95
1.5. ФЛУКТУАЦИИ ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ И ИОНИЗАЦИИ
1.81. Вероятность частице на пути х, выраженном в г/см2, потерять энергию,
равную <?, имеет вид (1.40.5)
P(S)d^=ldSlg\ (1)
где
, 2neWN 0,15 Z
(4Яе0)адаеР2еа %= Р2 Я Z X (2)
выражено в МэВ).
Тогда средняя потеря энергии равна
^тах
5= J ^^/<?2 = gln(^ax/5min). (3)
min
Потери энергии будут флуктуировать по нормальному закону в том случае, если
средняя энергия, теряемая в поглотителе, будет существенно больше максималь'
ной энергии, передаваемой в одном столкновении,
max. (4)
Следовательно, условие гауссова характера флуктуации ионизационных потерь
имеет вид
1гг (<§?max/^min) max. (5)
Согласно (1.24.6)
ln(^aAin)=21n=^^. (6)
Логарифм — медленно меняющаяся функция. В широком диапазоне изменения
значений I и 0 он колеблется в пределах 3—15. Этой величиной, учитывая знак
>, можно пренебречь. Поэтому часто в качестве критерия гауссовых флуктуа-
ций принимается
£ max- (7)
На практике достаточно, чтобы V^max^lO. Максимальная передаваемая энер-
гия при не слишком больших энергиях тяжелых налетающих частиц определяет-
ся выражением (1.37.6)
m а X=2тес^2 / (1 —1р2). (8)
Подставляя в ^7) выражения (2) и (8) и полагая Z/A^0,5, находим
PV(1—p2)<0,735z2x. (9)
>С помощью аналогичных рассуждений получаем условие применимости флуктуа-
ций Ландау
P4/(l—P2)»0,735z4 (10)
или
тах^0,01.
1.82. Воспользуемся критерием вида флуктуаций в форме (1.81.7)
&тах=4т&/М=2,7 кэВ; g=2,9 МэВ.
Поскольку £><§Гтах, флуктуации происходят по нормальному закону.
96
1.83. В данном случае <B’mnx = 2p2/nc2/(l — Р2) = 144 МэВ, а §=120 эВ. Таким
образом, что является критерием флуктуаций Ландау.
1.84. ^шах—1,35 МэВ; §=0,76 МэВ. Поскольку значения £тах и § имеют
одинаковый порядок величины, флуктуации не описываются пи нормальным рас»
пределением, ни распределением Ландау. Этот промежуточный случай был рас-
смотрен Симоном, подробное изложение работ которого содержится в [32].
£
шах
1.85. Оа (Д£)= (Д<?—= f (S’^de, (1)
S.
mm
где — энергия, переданная в столкновении; da— сечение столкновения, зада-
ваемое формулой (1.40.4). Подставляем (40.4) в (I) и после простых преобра-
зований получаем
О2(Д(Г)=§(^тах-<Гтт).
Пренебрегая значением #min по сравнению с #тах, окончательно находим
о2(Д<Г)=§<Гтах. (2)
Относительная средняя квадратическая флуктуация равна
6(Д£) = И|£ /§1п(£ /8 , )=1/ _______________________ (3)
' > 5 ^/5 тох/ mlnl у — . И
r к max' min'
1.86. Для ос-частицы с энергией 5,15 МэВ в воздухе: [S2=2,8-10~3; § =
= 0,42 МэВ; ^тах=2,86 кэВ; Д^=2,86 МэВ.
Воспользуемся критерием вида флуктуаций в форме (1.81.7). Поскольку
§/<£’шах=147, флуктуации потерь энергии в воздухе будут гауссовыми. Соглас-
но (1.85.3) и б(Д^) = 1,2%. Легко видеть, что флуктуации оставшейся энергии
связаны с флуктуациями потерянной энергии Д£Г
6(#)=6(Д<Г)Д#/^. (1)
Отсюда 6(<§Г) = 1,5 %.
1.87. Согласно решению задачи 1.31 для а-частицы в аргоне d&[(pdx) =
= 639 см2/г. Энергия, теряемая в слое газа толщиной 0,05 см, равна
ДсГ = ppodd&/rfx=114 кэВ.
Поскольку ^тах=2,7 кэВ, флуктуации потерянной энергии происходят по нор-
мальному закону. Согласно (1.85.3) б(Д^)=8%, а по (1.86.1) б(^ост) =0,19 %.
1.88. #'б=250 эВ, остальные результаты сведены в таблицу:
(£&>£'&)....................
пъ ..............
Л1О н^-Mi/W....................
25 50 83 125 250
10 5 3 2 1
5 2 I 19
5 4 3 5 17
В результате все первичные электроны с энергией меньше 250 эВ (9 электро-
нов) образуют 17 вторичных, а один первичный с энергией больше 250 эВ обра-
зует 10 вторичных, т. е. один 6-электрон производит почти 60 % ионизации, соз-
даваемой всеми остальными 6-электронами.
7—5266 97
1К89. С увеличением толщины слоя вещества число столкновений, испыты-
ваемых частицей, растет и, казалось бы, должны уменьшаться флуктуации числа
столкновений. Однако наибольший вклад в потери энергии дают столкновения
с относительно большой передачей энергии одному электрону. Из решения зада-
чи 1.88 видно, что потеря энергии на образование одного электрона с большой
энергией почти равна потерям энергии на образование многих электронов с мень-
шей энергией. С ростом толщины слоя растет энергия электронов, среднее число
которых в этом слое равно единице, и опять этот единственный электрон заби-
рает на себя почти половину потери энергии в слое. Поэтому увеличение толщи-
ны детектора, а также эквивалентное этому усреднение измерений от нескольких
слоев слабо меняют величину флуктуаций.
Согласно (1.92.2) относительная ширина распределения Ландау на полови-
не высоты
“ = 4/,n Pd-FT'
Здесь толщина слоя поглотителя входит в £ и, значит, (о зависит от толщины
по логарифмическому закону.
1.90. а) Средние потери больше, чем наиболее вероятные.
- d8 2щРс2б2
б^=^=^1п^к=1’15 МэВ;
2wec232£
gB;p = Sln =0.96 МэВ.
1.91. Вероятность образования п пар ионов при средней потере энергии
Д#, соответствующей образованию среднего числа пар ионов 7l=A^’/w, равна
/(/г, п)=<р('Д#/w = n)P(n, n)dn, (1}
где <р(п)—распределение потери энергии, соответствующей образованию п пар
ионов, — распределение Ландау; Р(п, п) — вероятность того, что при среднем
числе пар ионов, равном /г, образуется п пар ионов. Полная вероятность обра-
зования п пар ионов получается при интегрировании (1) по всем возможным
энергопотерям
сО
Р(п) = J <р(л)Р(п, n)dn. (2)
о
В задаче 2.40 показано, что наиболее близкая к реальности простая функция
Р(н, п) —это биномиальное распределение. При больших п оно переходит в нор-
мальное распределение. При этом ширина нормального распределения в данном
случае оказывается много меньше, чем распределение Ландау, и, не внося боль-
шой погрешности, можно заменить нормальное распределение б-функцией. Итак,
если- средние потери энергии в веществе детектора не очень малы, то можно
считать, что ионизация флуктуирует по Ландау.
1.92. Абсолютная ширина на половине высоты распределения Ландау рав-
на 4g, а относительная
(О—4c/df вер*
(1)
'98
„ 2wec2p2£
Так как <?D.n = £ In . то
в-А ь /2(I_.p2)
(2)
Таким образом, со=0,25. Полагая, что ионизация флуктуирует так же, как по-
тери энергии, находим, что погрешность измерения ионизации составляет 25 %.
1.6. ГАММА-КВАНТЫ
1.93. Схема комптон-эффекта приведена на рис. 1.9. Составим уравнения,
выражающие законы сохранения энергии и импульса:
hv = hv' + <?к;
/iv/c= (b'/t)cos 8 + AKccs<p; (1) __________
0 = (Av'/c)sin 0 -^P^ sin —UZj’
Решаем эти уравнения совместно. Вос-
пользовавшись соотношением (1.2.2), ис. .
связывающим импульс и кинетическую энергию, и вводя обозначение Av/(/nc2) =
=а, получаем
a) /rv'=/iv/[l-|-a(l—cos 0)];
б) #K=/iv2a/[lH-2a+(l+a2) tg2cp];
в) #K=/rva(l— cos 0)/[l~]--a(l—cos 0)];
r) ctgcp=(l+a) tg (0/2);
д) cos 0= 1-2/[(l-]-a)2 tg2 ФН-1].
(2)
(3.)
(4)
(5)
(6)
1.94. Максимальная энергия комптоновского электрона соответствует 0=л
или ф=0. Подставляя эти значения в (1.93.4) или (1.93.3) соответственно, по-
лучаем
<?К?ах =/iv • 2а/(1 + 2а).
(1)
1.95. Минимальная энергия рассеянного кванта соответствует 0=л. Тогда
из соотношения (1.93.2) находим
- A,v^lft = A V(l +2a).
(>)
1.96. а) 28 кэВ; б) 100 МэВ.
1.97. При hv^tnc2 hv'min=rnc2/2, и энергия рассеянного кванта практнчеош
не зависит от энергии первичного кванта.
1.98. При hv^mc2 hv'(90°)=/пс2 и энергия у-кванта, рассеянного под углом
90°, практически пе зависит от энергии первичного кванта.
1.99. Уравнения, выражающие законы сохранения- энергии и импульса. при
лобовом столкновении фотона с электроном,
Ре — Рк Д
hv + 8е = hv‘ + £к. /
(1)
7*
99
Здесь знак минус соответствует встречному движению электрона и фотона,
а знак плюс — движению в одном направлении.
Используем выражения p4=hv!c\ ре=ту$с\ ff=mc2(y—1), и после простых
преобразований приходим к системе
а+Лм'//пс2 = ткРк±
а—hy'/mc2 — ^—V’ I
Поскольку даже для электрона К-оболочки |₽2<1, у^1. Исключая из системы
(2) hv'} получаем
бк=гг?с2(2аТр)2/(242ай=|Р). .
Отсюда, по-прежнему полагая Р2<С1 и пренебрегая р по сравнению с 2+2 а
в знаменателе, находим
A(SK//rv=4iP/(l+a).
Для К-оболочки. А1 |Р=9,4И0-2 и при а=2 разброс достигает 10%.
1.100. Число падающих квантов, число рассеянных квантов и число компто-
новских электронов равны друг другу, поэтому равны и соответствующие сече-
ния. Кроме того, эти сечения равны сечению для энергии падающих квантов —
сечению рассеяния энергии, поскольку с каждым рассеянным фотоном из пер-
вичного пучка уносится энергия, равная hv. Энергии же рассеянных квантов и
комптоновских электронов не равны, поэтому различаются и соответствующие
сечения. Итак, можно записать а7=о*т=оа = оэн— будем обозначать просто о;
аЭп = сг5ан+оаэн. Указанные соотношения относятся как к полным, так и к диф-
ференциальным сечениям.
1.101. а) Подставим в (1) отношение hv'lhv из (1.93.2) и получим
do re2 1 a2 (1—cos 6)2 1
----=-----------------------l+cos2S + —--------------— . (2)
dQ 2 [] +а(1 —cos9)]2L 1 + а( 1 — cos 6) |
б) Элементарные телесные углы, в которые рассеиваются у-кванты и элек-
троны, равны соответственно
dS2=2n sin 0d9; (3)
dQ'=2tt sin <pd(p. (4)
Искомое дифференциальное сечение находим следующим образом:
da da dQ
dQ^ = ~dQ dQ* ' ( >
Соотношение телесных углов получаем, используя (3) и (4),
dQ sin 9 d9
—— =--------------. (61
dQ* sin f d<p
Дифференцируем (1.93.5) и после простых преобразований с использованием
тригонометрических соотношений находим
dQ = (1 + a)2( 1 —-cos 9)2
dQ* cos3 '
100
Выражая получаем (2) и (7) только как функцию ср и подставляя их в (5), окончательно 2re*(l + a)* 1 (g-2)a 4a3 1 (g + 2“)2 cos3 9 L 8Ъ g(g + 2с01 ’
где g=(i + »)2te2? + i. (9) da do d2 do d9
В) d(ftv') dS d(Av') dQ d(hv') 1
Отсюда
da пгетс* | hv'
d(hv') (Av)2 [ Av
Av
Av'
(II)
da da dQ da d$
r) -775— =-----TfT- = —— 2л sin 9 . . (12)
dQ d£K jq dS^
Отсюда
d* _ Г1 + (1 - y)2 _ 2 у i/2 j '
«Av [ 1—у al — у a2( 1 — y)2 J ’
где y^xjhv,
1.102. Между дифференциальным сечением столкновения (оно же сечение
рассеяния для полной энергии, сечение рассеяния для числа фотонов и сечение
поглощения для числа электронов) и дифференциальным сечением для рассеян-
ной энергии имеется простое соотношение
^аэн Av' da
dQ Av dQ
Используя (1.93.2) и (1.101.2), находим
d°S3H f2e 1 Г , a*(l —Cos fl)a 1
dQ 2 [1+a(l—cos9)]3 [ l+a(l —cosO) J
Аналогично
^°эн _ da
dQ' Av dQ9 ' ( )
1.103. Интегрируя (1.101.2) по всем углам, находим
Л и -L а Г2(1+a) 1 11 • 1 4-3a 1
• - {—- T "<' +2“)H? ’"(l + 2-> —(1)
Интегрируя (1.102.2) по всем углам, находим
' 2,1+Х,2:;~') (2)
(3)
1.104. По таблицам коэффициентов поглощения у-излучения для воды опре«
деляем, что минимальный коэффициент поглощения соответствует максимальной
энергии в спектре 0,0435 см-1,
(106) =317,6 см.
101
1.105. Необходимо использовать такой поглотитель, К-окачок поглощения
которого попадает между этими линиями. Наиболее удобным оказывается воль-
фрам р (60 кэВ) =3,67 см2/г; ц (70 кэВ)=11,1 см2/г; d=p~l In (102) =0,415 г/см2.
При такой толщине поглотителя линия hvx будет ослаблена в exp (|1^) =
«=4,58 раза.
1.106. Ядро отдачи будет иметь максимальную энергию, если электрон и
позитрон вылетают под углом 90° относительно направления движения у-кианта.
В этом случае hvjc=p> где р— импульс ядра отдачи. Отсюда
<g = (/iv)2/2Mc2=0,537 (/iv)2/4, (1)
тде g выражено в кэВ, hv:—в МэВ; ,Д — атомная масса ядра. Для свинца при
/rv=100 МэВ <g^26 кэВ.
1.7. НЕЙТРОНЫ
1.107. Поскольку энергия тепловых нейтронов пренебрежимо мала по сравне-
нию с энергией, освобождающейся в реакции, можно считать эти нейтроны по-
коящимися. Следовательно, суммарный импульс участников реакции до взаимо-
действия равен нулю. Равен нулю он и после взаимодействия. В результате про-
дукты реакции разлетаются в противоположные стороны и делят между собой
освобождающуюся энергию в отношении, обратно пропорциональном массам.
7
Продукты реакции — а-частица и ядро 7Li — получают энергию <§а= — <?=
4
=1,47 МэВ; <gL1 =— <8=0,84 МэВ.
1.108. В реакции (л, р) с ядром 3Не суммарная кинетическая энергия, МэВ,
продуктов реакции — протона и тритона — равна 0,764+<gn, где <gn —энергия
налетающего нейтрона. При упругом соударении нейтрона с ядром 8Не появля-
ются ядра отдачи с широким спектром энергий от нулевой до максимальной,
определяемой выражением
<§Лтах=,[4Д/(Д + 1)2]<Рл = 0)75бп>
При #п=1 МэВ в амплитудном распределении детектора с 3Не, регистрирую-
щего нейтроны, будут наблюдаться: пик от быстрых нейтронов 1,76 МэВ, пик
от тепловых нейтронов 0,76 МэВ и непрерывное распределение от ядер 3Не с гра-
ницей при 0,75 МэВ.
1.109. Число ядер с энергией ,в интервале от до <§д+^(8д равно числу
нейтронов, рассеянных под углом <р,
de
п($А) dSA = nQN dQdx , (1)
где По — плотность потока нейтронов; N-—концентрация рассеивающих ядер.
Введем функцию f(SA)=n(QA)/riQNdxt равную вероятности появления ядра
с энергией <§а,
da da
= —d2 = —Snsinyd?. (2)
102
Отсюда искомая функция распределения ядер отдачи по энергии имеет вид
^A) = ir2’tsin¥ / (3)
Поскольку связь энергии ядра отдачи с углом, под которым оно вылетает, за*
дается формулой (1.37.7)
<S.4=afinCos2(p, (4)
Где а=4Д/(Д-|-1)2, Д —атомная масса ядра в единицах массы нейтрона, про*
изводная в (3) равна
d § Aldq=2a <g n(cos ф sin ф. (5)
Подставляя (5) в (3), находим
те de
f(5/l)=a<?ncos<f ~dQ' >
Рассеяние нейтронов с энергией до 10 МэВ на протонах является изотропным
в системе центра масс. Отсюда следует, что дифференциальное сечение упругого
рассеяния в лабораторной системе координат имеет вид
Следовательно,
f(<Sp)=<o/Sn=const (8)
(а=1 для протона). Это означает, что все значения энергии протонов в преде-
лах от 0 до <§л оказываются равновероятны.
1.110. mP~me)c2=0,783 МэВ.
1.111. 14N+n—>нС+р.
1.112. Коэффициент пропорциональности между энергией нейтронов и ядер
отдачи равен
4А cos2<p/(4+l)2.
Для водорода этот коэффициент равен соз2ф, а для углерода 0,28 cos2 ф.
1.113. Законы сохранения энергии и импульса дают
Sp—SzA~Qf Pp—Pz,
где ёг и pz — энергия и импульс составного ядра. Из этих уравнений легко,
находим
<gnop=Q/(H-mp/M) = 1,881 МэВ,
где М — масса составного ядра, в данном случае 8Ве.
1.114. Максимальная и минимальная энергия нейтронов соответствуют слу-
чаям, когда нейтрон вылетает по движению или против движения у-квантов.
Законы сохранения энергии и импульса для этого случая имеют вид
ёп — hv—Q—(SoctJ (1)
Рост=— Pn±hv!c, (2)
где рост и (§о<?т — импульс и энергия остаточного ядра. Знак минус в (2) со-
ответствует излучению нейтрона по направлению движения у-кванта, а знак
103
плюс — против направления. Решаем совместно (1) и (2), пренебрегаем членом
hvlM.c\ где М — масса остаточного ядра, и получаем
Av '
sn = -7--------(ft> -Q) ± — Г 2mnSn. - (3)
Л4 -|- mn Me
Второе слагаемое в (3) мало, поэтому для оценки энергии нейтрона можно
принять
Подставляем это приближенное значение под корень второго слагаемого и, вы*
ражая М в единицах mn, окончательно получаем
М _ / 2М
г"=ятт(‘,-<г,±‘’ V Mf+w (5)
Отсюда находим gn=969±14 кэВ.
1.115. Закон сохранения импульса в случае, когда импульсом нейтрона мож-
но пренебречь, имеет вид
pA=hv/c.
Поскольку £а=Ра/2М, gA= (hv)2/2Mc2. При hv=2 МэВ и Д = 50 <§л=40 эВ,
что заметно больше энергии молекулярных связей.
' 1.116. о=760-10-24 см2.
1.117. d= —тг ln(Z0/Z). Если принять Z0/Z=103, то с/=0,059 см.
eN
1.118. Поскольку энергия нейтрона заметно больше энергии связи атомов
в молекуле, связью можно пренебречь. В этом случае сечение равно сумме се-
чений рассеяния на двух свободных протонах и на ядре кислорода, т. е. о~
—45-IO-24 см2.
1.119. В данном случае энергия нейтронов заметно меньше энергии химиче-
ской связи атомов. Поэтому нейтроны рассеиваются на молекуле как на целом.
Как известно, сечение рассеяния пропорционально квадрату отношения приве-
денных масс
Омол=Пат (р//М')2э
где
=МпМмОд1 (tnn -|-Afмо л) р=Я1пМат/(Wn-f-Мат) .
Если Ммол^ тп, то р/=тп, и тогда
Омо л = Оат (Мп/р) 2.
Массу атома можно записать, используя значения атомной массы,
Л1ат==^п Д •
В результате получаем
<Тмол = Оат,[ (Д 4- 1) /Д]2.
В соответствии с полученной формулой вклад атома кислорода в рассеяние при
малой энергии оказывается незначителен, а для водорода Д = 1 и Омол—4оат=
= 152• IO”24 см2.
104
1.120. Эффективная пороговая энергия вводится в соответствии с соотно-
шением
оо оо
ja(5)f(5)<i^=o J
о <?эф
где /(<§) — функция распределения нейтронов по энергии.
1.121. vBep = (2И»‘/2 = 2198 м/с;
й = (2/|/'й) «„ер = 2480 м/с.
1.122. ф) = a(vBep) = a(vBep) = 3404-10~« см».
1.123. а(и)
оо
<s(u)vn(v)dv \ I J vn(v)dv.
Л о
(О
Зависимость сечения захвата от энергии (скорости) для бора в широком ин-
тервале энергий хорошо описывается законом 1/о
a(fl)=aBepVo/p, (2)
где ц0=2200 м/с.
Максвелловское распределение также удобно использовать как функцию
скорости
n(v)-^v2exp (—v2/v2o)«
Тогда
00
®0°о J °2 ехР( — 02/^02) dv
О
и8 ехр( — и2/uoa)dv.
Проведя вычисления, найдем
— ]/ п
°(у) = ~б^°) = °(М^=а(у)-
1.124. Запишем исходное максвелловское распределение в виде распределения
по скоростям
n(v)dv=aiv2 exp (—v2/v20)dv.
Скорость нейтрона связала с временем пролета очевидным соотношением и =
=l/t. Следовательно, dv=—ldt/t2. Связь распределения по скоростям с распре-
делением по временам пролета задается выражением
n(v)dv=—n(t)dt.
Знак минус показывает, что там, где скорость растет, время пролета убывает.
В результате получае^м n(t)dt=a ~ГехР (—*2/t2o)dt, где а=а}1\
105
ГЛАВА 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГИИ ИОНИЗИРУЮЩЕГО
ИЗЛУЧЕНИЯ В ВЕЩЕСТВЕ
2.1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
da
2.1. dn = —— nNdxdQ = 10~2 см^-с"1.
Критерий тонкости мишени — малость отношения б/я/н<С1. Действительно,
dn/n=10-5. Доля частиц, рассеянных под углом 0 в телесном угле (Ю, равна
dnln. Эта величина равна вероятности частице быть рассеянной под углом 0.
f da
2.2. dn = nNdx I dQ; (1)
dQ=sin ОяГСМ-ф. (2)
Так как сечение рассеяния от азимутального угла ф не зависит, то при вычис-
лении числа рассеянных частиц интегрирование по ф дает 2л:
02
f da
dn^ = nNdx,*2n I -^g-sinGdS. (3)
Oi
Из этого числа рассеянных частиц детектор регистрирует, как видно из рис. 2.1,
только некоторую долю, попадающую в диапазон углов Дф,
02
dnper = nNdx У У sin (4)
6i Дф
2.3. Выделим в мишени на глубине х слой dx и запишем выражение для
числа частиц, выбывающих из пучка в этом слое. Поскольку выйдут из пучка
частицы, рассеянные под любыми углами, надо воспользоваться интегралом от
дифференциального сечения по углам, т. е. полным сечением,
р da
dn = — nNdx I dQ = — nNadx. (1)
Знак минус означает, что dn — это убыль частиц из пучка. Интегрируя (1) с на-
чальным условием н(х=О)=Ло, получаем
п=п0 exp (—Nad). (2)
2.4. Выделим в мишени на глубине х слой dx и запишем для числа частиц,
рассеянных этим слоем,
dn=nNadx. (1)
Несмотря на внешнюю схожесть этого выражения с (2.3.1), в данном случае
знак минус отсутствует, так как теперь мы записываем не число выбывших из
пучка частиц, а число рассеянных частиц. Эти два числа, естественно, равны, по
знаки у них разные. В (1) п — число частиц, достигших слоя х. Используя ре-
шение задачи 2.3, записываем
n=/z0 ехр(—Nax).
106
Отсюда
dn=NcnQ exp (—Nax) dx. (2Ц
Интегрируя (2) в пределах от 0 до d, находим
п=п0 [1—exp (—Mid]. (3)
В тонкой мишени Nad<^l, и экспоненту можно разложить в ряд. Прене-
брегая членами с высшими степенями, получаем простую формулу для топкой
мишени
n=noNad. (4>
Выражение (3) можно получить и проще, вычитая из п0 число частиц, пре-
шедших без рассеяния слой d, однако знакомство с процедурой вывода чрезвы-
чайно полезно.
2.5. Поскольку частицы, рассеянные в телесный угол dQ под углом 0, будут
иметь энергию ;в интервале от § до <S+d<§,
nWa(0)dQdx=rtMj(<g )d<gdx. (1)
Учитывая, что в данном случае dQ=2nsin6d0, имеем
do da
----2тг sin 9d0 = —— d<?.
dQ dS
В результате получаем
da (da/d2)27t sin 9d9
~dS = dS.fdb ~ ‘ (2)
2.6. Число актов взаимодействия для падающих частиц в диапазоне от &
до £4-d<g равно a(<S)Wn (<S)d(S), Число актов во всем энергетическом диа-
пазоне получим с помощью интегрирования этой величины. Эту же величину
можно записать через о. Итак,
W р($)л(<?)Ж? = 7ЛГ J n(S)dS. (1J
Отсюда
f <s(S)n(S)dS
° = ~с-----------’ (2)
I n(£)d£
2.7. Число частиц, выбывающих из пучка в слое dx, на глубине х рав-
но (4.2)
dn—Nm^ exp (—Wx) dx.
Вероятность частице испытать столкновение в слое dx равна доле частиц, ис-
пытавших соударение,
Р (х) dx=dn/riQ=Na exp ox) dx.
(О
107
Тогда средний путь частицы до столкновения определяется по обычному правилу
нахождения средних величин
J xP(x)dx
о
=0,1 м.
Ns
(2)
У P(x)dx
Q
Обычно произведение Wo=S называют макроскопическим сечением. Введем для
среднего пути частицы до столкновения специальное обозначение Л
х=Л=1/2,
где л — средний свободный пробег.
2.8. Сопоставим каждой частице единичный вектор х и вычислим
значение этого вектора для всех частиц
(3)
среднее
n.
(1)
Очевидно, что для параллельного пука х=1, а для изотропного х=0.
Модуль вектора (х)' после рассеяния будет определяться проекцией
ров х, изменивших направление в результате рассеяния, на направление
начального движения (ось х). Поскольку после рассеяния частицы движутся под
углом 0,
векто-
перво-
to'
п.
(2)
Таким образом, изменение направления будет равно
п п
X— (х)' = й(х) = 1 — — COS 9; = ( 1 —COS 8j).
1 I
(3)
Для каждой частицы может быть свой угол рассеяния, в частности для очень
многих он равен нулю. Если теперь правую часть (3) умножить на число рас-
сеянных частиц и суммирование заменить интегрированием, для изменения на-
правления получим
6(х) = Ndx, I (1 —cos 9)d2 = efl/Vdx,
(4)
где
(5)
°и =
r* do
| —(1 —cos9)d2
— сечение передачи импульса.
2.9. Вероятность попадания частицы на площадку пропорциональна площади
проекции площадки перпендикулярно направлению падения частицы. Из рис. 2.5
108
видно, что отношение проекции площадки к истинной площади равно sin 6. Та-
ким образом, искомая вероятность равна
Р (0)40= sin 040.
2.10. Схематический чертеж рассеяния электрона на атоме приведен на
рис. 2.6. Законы сохранения энергии и импульса для первоначально покоящегося
атома запишем в виде
fnV20=tnv2+Mv2a\ (1)
tnv$=rriv cos 0-L-AlOa cos ср; (2)
O = zn0Sin0—M0asin<p, (3)
где 0O, 0, 0a — скорости электрона до и после столкновения и скорость атома
после столкновения соответственно.
Исключая из уравнений (1)—(3) 0 и 0, находим
2/И0П cos 9
»*= Л,,, •
Относительная потеря энергии электроном равна
= gm~ = MV;2imv<t2 (5)
Подставляя (4) в (5), получаем
Л Л imM
и-,. <6’
При tn^M 6<g=4/n cos2 <р/Л4.
Из законов сохранения (1) — (3) следует, что при т<^М соотношение меж-
ду углами имеет вид
(р=л/2—0/2. (7)
Из элементарных тригонометрических соотношений следует, что cos2qp=
= ~^~(1—cos0). Следовательно,
Л Л 2т
«£ = -^-(1-cos9). (8)
Если о(0) и По — дифференциальное и полное сечения упругого рассеяния элек-
трона, то вероятность электрону рассеяться внутри телесного угла 4Q с поляр-
ным углом 0 и азимутальным ф равна
Р(0)«б(б)42/ао. (9)
109
Средняя потеря энергии при одном столкновении составит
iS = ^МР(6)=-^~ J J (1 — cos 9)a(fl)sin edei/ф. (10)
0 о о
Используя выражение дня се гения передачи импульса
ви = J (1—cos 0)a(O)sin(11)
о о
можно записать
В том случае, когда рассеяние электронов изотропно au=<Jo, средняя потеря
энергии равна
№^2т/М=2,7-10~*. (13)
Для электронов с энергией меньше 1 эВ рассеяние не зависит от углов,
а при большей энергии такая зависимость появляется, причем доминирует
рассеяние вперед, что означает ои<о0. Так, например, в аргоне при <§^10 эВ
Оо/Ои^1,5, что дает = 1,8-10~Б.
Если доминирует рассеяние вперед, то ои<Яо, а если назад, то ои>оо«
2.11. Доля энергии, теряемая на пути х, равна
(1)
где 6 g — средняя потеря энергии за одно столкновение; NGq — число столкно-
вений на единице пути. Величина б (найдеиа в (2.10.12)
Подставляя в (1), находим
85(x)=-^-Wa„x = 0,18. (2)
м
2.12. 6<g (0 =(б£Муии/=0,18.
2.1'3. Выберем в газе некоторое произвольное направление х и на нем слой
dx. Тогда для частиц, движущихся в направлении оси х, можно записать долю
частиц, которые рассеются в слое dx,
—dnln=*Nadx,
Интегрирование при начальном условии п(х=0)=п дает
п (х) =п ехр (—jV<tx).
Тогда вероятность молекуле пройти без рассеяния путь х', т. е. интегральное
распределение длин свободных пробегов, запишем в виде
Р (х>х') =?ехр_(—Nax').
(1)
110
Вероятность молекуле испытать рассеяние на пути dxt т. е. дифференциальное
распределениёудлин свободных пробегов, будет иметь вид
P(x)dx=Na ехр(—Nax)dx. (2)
Легко проверить, что средний свободный пробег равен (2.7.2)
х=А=1/Ж. (3)
Пользуясь понятием^ среднего свободного пробега, запишем выражения для
распределения пробегов
Р(х>х') =ехр (—х'/А); (4)
P(x)dx = -=~ехр(— x/A)dx. (5)
2.14. По формуле (2.13.3) имеем Л=1/Ао. Считая атомы упругими шарами
радиусом г, получаем о=4лг2. Множитель 4 возникает потому, что расстояние,
на котором могут взаимодействовать равные по диаметру шары, равно 2г.
В итоге
Л= 1/4№W.
Такая формула получается, если считать остальные атомы неподвижными. Учет
их движения добавляет коэффициент |/^. Окончательно
Л= l/4/27tr2.V = 7,6-10 8 м.
2.15. A=1/jVo=4,5 10-? м.
2.16. t=l/Nov=2-10-" с.
2.17. Если пренебречь движением остальных молекул, то число столкновений
равно числу молекул, которые находятся внутри цилиндра с поперечным сече-
нием, равным сечению столкновения, и длиной, равной тепловой скорости мо-
лекул,
v=N*sv. (1)
Если рассматривать молекулы как упругие шары радиусом г, то сг=4лг2 и v =
=4лг2Лг£.
Если же учесть, что все остальные молекулы тоже движутся, то получается
значение в |Л2 большее
v = [Л2»4лг2Аи = 5,8-109 с-1.
(2)
2.18.
СО. \ 1/2
С х2 —
I ехр( — x/A)dx
00
С X —
I -=-ехр(—x/A)dx
о
= Л |<2 = 7,1 • 10-в М.
2.19. Строгое решение этой задачи весьма сложно, однако оценку искомой
величины можно получить довольно простым способом.
Запишем баланс энергии электрона в электрическом поле
e£tin=gfvy, (1)
Ш
где g—средняя энергия; f — доля энергии, теряемая в одном столкновении;
vy — частота упругих столкновений; — скорость дрейфа.
При добавлении молекулярной примеси соотношение (1) изменится
eEv'n= б 'fvy + Д IFvtjy, (2)
где A1F— энергия, теряемая в неупругом столкновении; vHy — частота неупру-
гих столкновений; <§', у'д— средняя энергия и скорость дрейфа электронов с
учетом неупругих столкновений. Отсюда изменение энергии при добавлении
примеси
S' = ”л _ (3)
£ еЕид
Поскольку \‘Ну=Мх1р(УауУ, то для концентрации примеси получаем
еЕид
Д1Пяуу
(4)
Принимая для вычислений А №=0,1 эВ; ону=6-10-16 см2 и среднюю ско-
рость у, соответствующую средней энергии электронов <§=0,3 эВ, находим
jVnp=2-1018 см-3,
атмосферном давлении составляет 7,5%.
что в относительных долях при
2.20. Эффект Рамзауэра — это чисто
квантовомеханическое явление. Его можно
качественно описать, рассматривая прохож-
дение электрона через прямоугольный по-
тенциальный барьер. При определенном
соотношении между шириной барьера и
энергией электрона, т. е. его длиной волны
де Бройля, волны, отраженные от обоих
краев барьера, оказываются в противофазе
и, интерферируя, гасят друг друга. Таким
образом, барьер оказывается прозрачным и
не рассеивает электроны, что должно соот-
ветствовать минимуму сечения рассеяния.
Для идеально прямоугольного барьера се-
чение в минимуме равно нулю. Но
у реальных атомов их форма, естественно,
несколько отличается от идеальной.
При этом у атомов благородных газов внешняя электронная оболочка целиком
заполнена и сферически симметрична, что делает ее наиболее похожей на пря-
моугольный потенциальный барьер. Поэтому для благородных газов эффект
Рамзауэра проявляется наиболее четко. Соотношение между параметрами, для
которых наблюдается минимум сечения, имеет для прямоугольного барьера
тривиальный вид d=X/2, где d — ширина барьера; X — длина волны де Бройля
электрона. Отсюда легко находим £=h2l§md-. Принимая для диаметра атома
ксенона значение d=4-10~8 см, получаем 6—2,5 эВ. Строгий анализ дает для
минимума значение 0,8 эВ, что надо признать вполне приличным приближением,
учитывая простоту анализа.
112
2.21. Рассмотрим элементарный объем dV и элементарную площадку dS
на расстоянии г от dV (рис. 2.7). Если плотность газа М то в объеме dV на-
ходится NdV молекул. Число молекул, покидающих dV в течение 1 с, равно
NdVv, где v=v/A— частота столкновений. Из них в направлении dS будет дви-
гаться доля молекул, равная dS cos 0/4лг2. Из них достигнут dS только те мо-
лекулы, которые не испытают рассеяния на пути г, т. е. доля, равная ехр(—г/А).
Таким образом, число молекул, покидающих dV и проходящих площадку dS,
будет равно
dn = NdVv ехр( — г/Л). (1)
4лг2
Элементарный объем в сферических координатах имеет вид
d V=т sin Qdtyrdftdr. (2)
Полное число молекул, которые проходят через dS за 1 с из полупростран-
ства, содержащего dV, получаем интегрированием
_ оо ть]2 2«
dSNv — (* С N —
— I ехр(—г/А; dr I sin 0 cos 9J0 J dty = — vdS. (3)
о 0 0
2.22. В задаче 2.21 было получено выражение для числа частиц, проходящих
через площадку dS за 1 е со стороны положительного направления какой-либо
координатной оси, например 2,
п =
_ оо к/2 2тс
J - J W ехр( — r/A)dr sin 0 cos 0d0 j d<|>.
0 b о
(1)
Выражение для числа частиц, проходящих площадку с противоположной сторо-
ны, отличается только тем, что плотность частиц может быть другой — N'.
Разложим плотность частиц в ряд Тейлора
к,, ч ч. dN t z2 d2/V
A (z) = A -k z------4--------------
dz Г 2 dz2
(2)
Если изменения плотности не очень резкие, то высшими членами разложения,
начиная со второго, можно пренебречь. Подставим (2) в (1) и вычтем поток со
стороны отрицательного направления оси г из потока со стороны положитель-
ного направления. Члены, содержащие А, взаимно сокращаются, а члены с пер-
вой производной по z имеют разный знак, так как градиент плотности считаем
постоянным. Отсюда плотность потока оказывается равной
v dN Р
Л dz J
и Л dN
sin0cos20d0==—------. (3)
3 dz
г ехр( —r]K)dr
о О
Здесь мы приняли z=r cos 0 для г из (2). Сравнивая полученное выражение
с уравнением диффузии Фика
/=—Dy.V,
(4)
113
8—5266
для коэффициента диффузии получаем
D=vX/3. (5)
2.23. Пусть Л/1—концентрация атомов, Л72 — молекул, N— любых частиц
(атомов и молекул) в газе. Тогда
(1)
Молекулы образуются и разрушаются в реакции
Хе -|- Хе ^2 • с2. (2)
По закону действующих масс для этой реакции
№=№1, (3)
где К— константа. Подставляя (3) в (1), получаем квадратное уравнение
W+ATl—N=Q. (4)
Имеющее физический смысл решение этого уравнения имеет вид
Л\ = (|/1 +Ш-1 /2К. (5)
Подставляя (5) в (3), находим
W2 = (l + 2/W—/1 -]-4КЛ')/2/<. (6)
Используя разложение члена |/1 + 4/(Л; по формуле бинома при 4КЛГ<1 и
пренебрегая членами третьей и более высоких степеней от 4 W, получаем
W2=/W2. (7)
Константа К является вторым вириальным коэффициентом. Для ксенона при
комнатной температуре он равен 2,2 Ю-28 м3 на молекулу.
В результате для ксенона при давлении 1 МПа находим
;V2=l,6-1025 м-3,
что в относительных долях составляет
ЛГ2/Лг=5,9’10“2,
т. е. примерно 6%.
Полезно проверить, до какого давления можно пользоваться формулой (7).
Условие 4ЮУ<1 выполняется до —4,2 МПа. Поэтому при давлении больше
4 МПа надо пользоваться формулой (6).
2.24. Зависимость второго вириального коэффициента от температуры опи-
сывается выражением
tf^expCUW),
где а — некоторая константа; W— энергия связи двухатомной молекулы. Для
ксенона №=0,03 эВ. Так как объем замкнутый, то общая концентрация частиц
не меняется, и в соответствии с формулой (2.23.7) получаем
^2(^2)
ехо|№ - -Ml =2,36.
• I 1 ьт t-.'r I
1
114
друга в
частицы
иониза-
пробега
энергии
1.1. ОБРАЗОВАНИЕ И СТРУКТУРА ТРЕКА
2,25. а) Удельные потери энергии однозарядной релятивистской частицы в
газе при нормальных условиях составляют 2,48 кэВ/см. На пути 1 см частица
образует в среднем 94 пары ионов, испытывая в среднем 26,4 столкновения с
Молекулами газа. При каждом столкновении образуется ячейка ионизации, в ко-
торой находится примерно 3,2 пары ионов, ячейки отделены друг от
среднем расстоянием4 0,34 мм. Таким образом, трек релятивистской
в газе представляет собой цепочку статистически расположенных ячеек
ции, средние параметры которых приведены выше.
б) а-Частица с энергией 5 МэВ в газе на начальной части своего
имеет удельные потери ~1 МэВ/см, которые растут по мере потери
примерно как 1/<§. Полный пробег а-частицы составляет 3,82 см, на этом пути
она образует в среднем 1,9-105 пар ионов. На начальном участке пробега реаль-
ное расстояние между парами меньше вычисленного, а на конечном больше. Та-
ким образом, трек а-частицы в газе — цилиндрическая область с высокой плот-
ностью ионов. В самом конце пробега, а-частица может захватывать электроны
вещества, меняя свой заряд, из-за чего плотность ионизации падает.
в) Осколки деления в плотном веществе характеризуются очень большими
удельными потерями энергии: 104—105 МэВ/см. Правда, по мере потери энергии
удельные потери осколка деления не растут, как, например, у а-частицы в газе,
а падают, так как с самого начала движения в веществе осколок захватывает
электроны вещества, уменьшая свой заряд. При столь высоких удельных поте-
рях осколки деления всю свою энергию, примерно равную 100 МэВ, теряют на
пути (Зч-4)10-4 см. В результате в веществе образуется цилиндрическая область
хорошо проводящей плазмы, куда внешнее поле практически не проникает.
2.26. / = L у'= 3,4-10~2 см— среднее расстояние между ячейками; Д£ =
d$/d* л - dS/dx
=------= 84,4 эВ—среднее эперговыделение в ячейке; n = \S/w=-.—— zzz
у' у'ад
. ~ л dS /dx
= =3,2 среднее число пар ионов в ячейке; y_0J1H = —=— =94 — пол-
ад
ная удельная ионизация.
2.27. Среднее расстояние между ячейками в аргоне для однозарядной реля-
тивистской частицы б/=3,4-10-2 см. Ячейки сольются, когда среднее расстояние
станет равным диаметру ячейки, т. е. d=10~3 см. Для этого удельные потери
должны вырасти в 7Д/=34 раза и стать равными 2,48-34=84,3 кэВ/см. Такие
удельные потери имеет протон с энергией 6—7 МэВ. Естественно, что из-за ста-
тистического характера распределения ячеек по треку перекрытие их начнется
при меньшей плотности ионизации и, следовательно, при большей энергии про-
тона.
2.28. С ростом давления газа ячейки будут сближаться, но и размер их будет
уменьшаться, так как за диаметр ячейки принято считать практический пробег
б-электронов, который уменьшается с ростом давления. Поэтому с ростом дав-
ления отношение расстояния между ячейками и их размера будет мало ме-
няться.
2.29. Радиус трека можно определять как коэффициент в выражении для
объема трека 1/=лг27?, где R — пробег частицы. Объем трека может проявлять-
ся в тех случаях, когда становятся существенны межтрековые взаимодействия.
8*
Ио
Так, например, скорость образования дефектов в твердом теле, запасание све-
тосуммы в термолюминесцентных дозиметрах и т. д. линейны по интенсивности
возбуждения до тех пор, пока не начинают перекрываться отдельные треки.
Измеряя отклонение от линейности, можно вычислить объем трека, а из него
и радиус трека г.
2.30. SQ=Kin{Wi^riexWex+nb6bt __ (1)
где Wi — энергия ионизации; W?x — средняя энергия возбуждения; go — средня:}
кинетическая энергия подпороговых электронов; nit пех, пъ — средние числа пар
ионов, возбужденных атомов и подпороговых электронов, обычно /гг==пЛ; Ki —
коэффициент, учитывающий ионизацию внутренних оболочек и образование мно-
гозарядных ионов.
2.31. В уравнении баланса энергии, потерянной частицей в газе (2.30.1),
(§0=1.06/1/ Wi~\~flcx W Ш (§ б
поделим обе части на щ. Тогда получим
Й = — = 1,06^+-wcx + въ.
«I п(
Подставляя сюда приведенные в условии задачи данные, находим й/ = 1,71. Для
аргона №/=15,86, откуда й?=26,9 эВ.
2.32. Количество энергии, передаваемой атому частицей при столкновении,
определяется параметром удара. Более далекие столкновения приводят к воз-
буждению, более близкие — к ионизации. Но в жидкости среднее расстояние
между атомами заметно меньше, чем в газе. Поэтому доля далеких столкнове-
ний уменьшается, а следовательно, и пех1т должно уменьшаться.
2.33. а) В уравнении баланса энергии (2.30.1) поделим обе части на пех
а>ф' =^- = ^-1,06Г,+ Г„+^-£8.
пех пех пех
Подставляя сюда данные из задачи 2.31, находим
йф' = 4,ПГ{.
б) В уравнении баланса энергии поделим обе части на пех+п(:
Ф
=----1.06Г/ + - Пе- ”г_ £а.
Пех + П[ n-t + пех гц 4- пех ' nt + пех
Подставляя сюда те же данные, находим
Шф = 1,21Г|.
2.34. По определению йУф = <§о/Яф, а х=йф/п>/5с- Отсюда x-hy/wti.
2.35. При малой энергии частицы число образованных ею носителей заряда
пропорционально не самой энергии, а разности между кинетической энергией
и энергией ионизации:
ni=g(£—Wi),
(1)
116
где g — коэффициент пропорциональности. Но по определению средней энергии
ионообразования int-=<§/w. Отсюда
e = (2>
w 1 — w i/h
При тогда g=l/w<*>.
В результате получаем
ш=й>оо/(1—Wt/S), (3)
Значения w и различаются па 1% при S = 102^i. что Для аргона со-
ответствует энергии ~2,5 кэВ. При меньшей энергии расхождение значительней.
2.36. Энергия Ка-линии углерода 280 эВ. Фотоэффект в ксеноне идет на
Дг1-оболочке с энергией связи 208 эВ. Таким образом, фотоэлектроны имеют
энергию около 70 эВ. В каскаде переходов при заполнении вакансии на Afi-обо-
лочке появляются электроны примерно с такой же энергией. Поскольку эта
энергия ненамного превышает энергию ионизации, для вычисления цу надо ис-
пользовать формулу (2.35.3). В итоге получаем
w = 21,9/(1—12,1/70)—26,5 эВ,
что примерно на 20% больше табличного значения.
2.37. Поскольку спектр 6-электронов резко падает с ростом энергии, подав-
ляющее большинство 6-электронов имеет малую энергию и, следовательно, малый
пробег. Первичная ионизация измеряется в тех случаях, когда вторичная иониза-
ция, образованная вдоль треков ,6-электронов, пространственно не отделяется от
первичной. Например, если между моментом прохождения частицы через детек-
тор и срабатыванием детектора нет существенной задержки, то в таких детек-
торах, как камера Вильсона или стримерная камера, подсчет капелек или стри-
меров вдоль следа частицы дает первичную ионизацию. Если же между момен-
том прохождения частицы и моментом срабатывания детектора сделать
значительный интервал (несколько микросекунд), то в результате диффузии
электроны вторичной ионизации пространственно разойдутся и каждый из них
сможет стать зародышем капли в камере Вильсона или основой стримера в стри-
мерной камере. В этом случае измерения дадут полную ионизацию. Естественно,
речь идет о таких режимах измерения (давление газа, энергия частицы), когда
разделение отдельных электронов возможно.
2.38. Расстояние между ячейками флуктуирует по закону Пуассона, энерго-
выделение— по Ландау. Флуктуации числа пар ионов в ячейке — это суперпо-
зиция распределения Ландау и флуктуаций ионизации при фиксированном энер-
говыделепии.
2.39. Первичная удельная ионизация равна числу столкновений частицы на
единице пути и поэтому флуктуирует по закону Пуассона. Флуктуации полной
удельной ионизации представляют собой суперпозицию флуктуаций потерь
энергии и ионизации при фиксированном энерговыделении. Флуктуации потерь
энергии зависят от потери энергии на рассматриваемом участке пробега. Если
потери энергии меньше максимальной передаваемой энергии, то флуктуации про-
исходят по Ландау, если же значительно больше, то по нормальному закону.
2.40. Дисперсия биномиального распределения равна
(и) =П (1 и/ах),
117
где fi=golw, a nmax определяется из условия, что вся энергия заряженной ча-
стицы пошла только на ионизацию, Птах= <So/^- Отсюда D^(n)^=n(l—и,
следовательно, фактор Фано равен
Г=1—Wi/w.
Поскольку для благородных газов й>=1,71Г/, Г=0,42.
Флуктуации ионизации похожи на биномиальное распределение, потому что
здесь, как и в случае явлений, точно описываемых биномиальным законом, есть
предельное число событий nmax, а реально происходящее число событий мало
отличается от предельного.
Однако флуктуации ионизации описываются не биномиальным законом,
а гораздо более сложным. Это связано с тем, что первично флуктуирующей ве-
личиной являются потери энергии, а числа образованных пар ионов и возбуж-
денных атомов — лишь производные от потерь. Поэтому вычисленное нами зна-
чение F хотя и очень близко к значению, первоначально вычисленному самим
Фано, все же вдвое больше современных удовлетворительно совпадающих
теоретических и экспериментальных значений.
2.41. a) F=0,05; б) Г=0.
2.42. В биномиальном законе дисперсия Пв=цф(1—нф/лтах), где йф =
= (§o/w; Лтах= (So/Й^х- Отсюда F = 1 — Wcx/w*.
а) Из решения задачи 2.28 находим Шф=4,1№7 Кроме того, для благород-
ных газов ^ж=0,41Гр Тогда F=0,902.
б) w'^=lt2Wrt F=0fi7.
Квантовый выход рекомбинационной люминесценции обычно меньше еди-
ницы. Это еще увеличивает F в случае «б». Поэтому при грубых оценках фо-
тонный фактор Фано можно считать равным единице, а флуктуации числа фо-
тонов— происходящими по закону Пуассона.
2.43. Из законов сохранения при упругом' соударении получаем, что при
каждом столкновении электрон теряет часть своей энергии
д<?=5°(^нйГзС052<р ()
Усреднение по углам с учетом условия М^>т дает
‘М = 6с2/и/Л4. (2)
Энергия электрона после v-ro столкновения
gv= (S оехр [(—2m/M)v]t (3)
М
откуда v=“2m’ln(<?o/^y)- (4)
Для аргона <§с^5 эВ; М= 1840-40m и <gv=0,025 эВ. Тогда v=2-105.
2.44. В молекулярных газах при неупругом столкновении электрон может
передавать в одном столкновении сразу большие порции энергии. Так, в водо-
роде энергия колебательного кванта составляет 0,6 эВ, а вращательного 0,007 эВ.
Однако, поскольку электрон является легкой частицей, передача энергии на ко-
лебания и вращение тяжелых атомов малоэффективна. В водороде в диапазоне
энергий 0,6—10 эВ сечение неупругих колебательных столкновений примерно
в 20 раз меньше сечения упругих столкновений. Примерно такое же соотно-
118
шение и для вращательных столкновений, но при меньшей энергии. Поэтому
можно считать, что электрон в среднем в одном из двадцати столкновений
теряет энергию неупругим образом. Поэтому электрон, имеющий энергию 5 эВ,
испытает примерно 170 столкновений, пока его энергия не станет меньше ниж-
него колебательного уровня. Затем, возбуждая вращательные степени свободы^
электрон должен испытать еще примерно 400 соударений, пока его энергия не
сравняется с тепловой. Таким образом, для термализации в молекулярном во-
дороде электрону требуется несколько сот соударений вместо нескольких сот
тысяч в атомарном аргоне (см. задачу 2.43).
2.45. При термализации электрон описывает сложную ломаную траекторию
типа броуновской. За время движения электрона родительский ион, практически
не получивший в процессе ионизации избыточной энергии, участвуя в тепловом
движении, сдвинется с места образования на пренебрежимое расстояние. Поэто-
му, обозначая расстояние, на котором окажутся электрон и ион к моменту окон-
чания термализации, /?, для его квадрата можно написать
V V
/?а = (Г1 + г2 + ... 4-r7f = П)
J=1 l.k
Если считать рассеяние при каждом столкновении сферически-симметричным, то
при усреднении вторая сумма исчезает, так как среднее значение косинуса при
изотропном рассеянии равно нулю. В итоге имеем
/?2 = vr2. (2)
Учитывая распределение свободных пробегов, для г2 находим
оо
J ехр( —r/A)dr = 2А2. (3)
о
Следовательно,
V& = A|/2v. (4)
Численный расчет с учетом зависимости A=f(g>) согласно эффекту Рам-
зауэра дает|/^ с^2-10-2 см. С ростом давления это значение меняется обратно
пропорционально давлению.
2.46. Полный путь, который проходит электрон в процессе термализациии,
складывается из его отдельных пробегов от столкновения до столкновения, т. е.
свободных пробегов:
1
где v — число столкновений, требующихся для термализации, определяем по
формуле (2.43.4); для Не v=4,2»10*. Поскольку эффект Рамзауэра в гелии почти
не проявляется и сечение рассеяния слабо зависит от энергии, имеем (Л=6,8Х
Х10“5 см)
L=vA=2,8 см.
119
оо
r2 = J г2ехр( —г/Л) dr
о
2.47. Длительность процесса термализации в газе
1
Поскольку средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давле-
нию, A/^l/p.
2.48. Примем, что ион аргона имеет средний свободный пробег и число со-
ударений в единицу времени такие же, как у нейтрального атома. Тогда за
время тер1мализации электрона ион испытывает v&t столкновений, а среднее
квадратическое смещение за это время составит VR2 = А = 7-10~4 см-
2.3. ЗАХВАТ ЭЛЕКТРОНОВ
2.49. Электрон индуцирует в атоме кислорода дипольный момент Р, который
пропорционален напряженности электрического поля электрона в месте располо-
жения атома: Р—аЕ, где а — поляризуемость; £=e/4net/2. Потенциальная энер-
гия заряда и диполя равна
№=—еР /4ледг2=—ие2/(4 л е0) 2г4=—1,41 эВ.
Знак минус показывает, что это взаимодействие — притяжение.
2.50. Основные механизмы захвйта электронов молекулами кислорода;
радиационный
O2-H-hO2--P/iv; (1)
трехчастичный
он-е+х->о2-+Х; (2)
диссоциативный
0НчмЮ--|-0. (3)
Механизм (1) имеет вероятность — 10~7 и проявляется в очень разреженном
газе, например в верхних слоях атмосферы. Механизм (2) имеет вероятность
^10“3—10-4 и является доминирующим в лабораторных условиях при энергии
электронов меньше 1 эВ. Механизм (3) начинает доминировать при энергии
электронов больше 4 эВ. В этом случае вероятность близка к единице.
2.51. При радиационном захвате должна выделиться в виде кванта света
энергия hv=We-\-&, где №*— энергия сродства к электрону; <S— кинетическая
энергия электрона. Время жизни до разрешенного всеми правилами отбора излу-
чательного дипольного перехода в оптической области ~10~8 с. Время, в течение
которого тепловой электрон со скоростью ^-107 см/с проходит мимо молекулы
размером 10~8 см, составляет 10-15 с. Таким образом, вероятность излучатель-
ного захвата оказывается <^10-7.
2.52. Поскольку энергия сродства.‘к электрону для хлора равна энергии дис-
социации, диссоциативный захват является основным механизмом захвата, при-
чем он энергетически выгоден при любой энергии электронов, вплоть до нулевой.
В этих условиях сечение захвата будет близко к лХ, где Л—длина волны
де Бройля электронов,
лХ= 1,2.10-13 см2.
2.53. Захват электронов кислородом по трехчастичному механизму происхо-
дит в две стадии
О2-Н^(О2-)*; (1)
(О2“) *-|-Х->О2“Н-Х-|-энергия. (2)
120
Здесь значок возбужденного состояния обозначает колебательное возбуждение
отрицательного иона. Сечение захвата для такой двухстадийной реакции
a=(hP, (3)
где ch — сечение реакции (1);
Р=ЛГ(Х)о2М/; (4)
Р— вероятность девозбуждающего столкновения (2) за время жизни возбуж-
денного иона At Здесь а2 — сечение столкновения (2); и2— относительная ско-
рость иона и нейтральной частицы; Л7(Х)—концентрация молекул X.
Поскольку N(X)—функция давления, сечение захвата также оказывается
функцией давления, и в этом его неудобства.
Среднее время жизни электрона до захвата, выраженное через сечение за-
хвата,
T=[oviCiV(X)]“1, (5)
где — относительная скорость электронов и молекулы кислорода; С — отно-
сительная концентрация кислорода, C=W(O2)/ЛГ(Х).
Эта же величина т, выраженная через константу трехчастичпого взаимодей-
ствия, запишется в виде (2.54.4)
т=[К(Х)С]-1[У(Х)]-2 (6)
Сравнивая (5) и (6) и используя (3), (4), находим связь между константой
К(Х) к а
Z((X)=<yla2v1u2At (7)
Видно, что К(Х) —действительно константа, не зависящая от давления.
2.54. Кинетическое уравнение для захвата электронов
dn/d/=-tf(Kr)ntf(Kr)tf(O2), (1)
где п, Л^Ог), М(Кг)—концентрация электронов, атомов кислорода и криптона
соответственно; К(Кг)—константа трехчастичного взаимодействия. Решение
этого уравнения дает
n=noexp [-К(Кг)ЛЧКгИ(О2)ф (2)
Отсюда среднее время жизни
T=[Z((Kr)A^(Kr)JV(O2)]-L (3)
Если концентрация кислорода задана в относительных единицах
С=ДГ(О2)/ЛГ(Кг),
то имеем
T=[K(Kr)C]-i^(Kr)]-2. (4)
Используя значение К(Кг) из табл. П.25, получаем т=4,8 мкс.
2.55. Согласно решению задачи 2.53 при не очень большом давлении .
1/t=K(X)C[W(X)]2, (1)
т. е. величина, обратная т, пропорциональна квадрату давления.
Здесь
KW^Pvi/NtX); (2)
Р — вероятность девозбуждающего столкновения (2.48.2); ст2 — сечения реак-
ций (2.48.1) и (2.48.2); vj и V2 — относительные скорости электрона и молекулы
121
кислорода и иона кислорода и молекулы X соответственно; А/ — время жизни
иона в возбужденном состоянии.
Выражение (1) справедливо до тех пор, пока Р не станет равной единице,
Ра=#0(Х)о2и2Д/=1. (3)
При больших давлениях зависимость т от давления получим, если в (1) под-
ставим (2) и положим Р=1. Тогда
1/т=о1У1СЛ'(Х), (4)
т. е. при больших давлениях величина, обратная т, пропорциональна давлению.
2.56. Используем известную формулу для времени жизни т= (a3vAZnp)“l,
полагаем в ней ста=Ла; NVTt=CN и получаем
T=(houC/V)-1.
Здесь а и а3 — сечения столкновения электрона с
молекулой примеси и захвата; N и Апр— кон-
центрации молекул основного газа и примеси;
v — средняя скорость электронов.
Для определения v воспользуемся формулой
(2.93.1), позволяющей найти среднюю энергию
электронов при известной напряженности элек-
трического поля. При этом считаем, что примесь
практически не изменяет распределения электро-
нов по скоростям
£ = 0,427 т]те еЕ\.
Сечение рассеяния электронов и, следовательно, А почти не изменяются с изме-
нением энергии, поэтому принимаем о=6-10-16 см2, тогда е=2,3 эВ, отсюда v =
=9,1-107 см/с. Окончательно получаем т=4*10-7 с.
2.57. L = ut=v/AC№. Кислород в малой концентрации практически не влияет
на распределение электронов по энергии, а следовательно, и на их скорость
дрейфа. Используя значение v для чистого аргона, находим L=0,4 см.
2.58. С=1/Л(Не)^(Не)]Ч=0,17 %.
2.59. i\=io exp (—/i/т); г2=г0ехр(—/2/т). Делим и на /2 и после простых
преобразований находим выражение для т
/2 t
= 9,8-10—« с.
Скорость дрейфа электронов определяется по форме импульса
у=1,4/(/2—Л)=2,8-105 см/с.
Окончательно L = ut=2,7 см.
2.60. Известно, что электроны в аргоне в электрическом поле с обычной для
детекторов излучений напряженностью (около 103 В/см) могут набирать зна-
чительную энергию (до 10 эВ), а примесь кислорода слабо ее изменяет. Из
рис. 2.8 видно, что если понизить энергию электронов до ~2 эВ, то сечение
захвата молекулой кислорода уменьшится почти на порядок, что примерно во
столько же раз увеличит время жизни электронов.
Уменьшить энергию электронов в аргоне можно, добавив в аргон молеку-
лярную примесь, например азот (см. задачу 2.19). Именно так поступали в одной
122
из экспериментальных работ» добавляя 2—4 % азота к смеси аргона и 0,5 %
кислорода. При этом ионизационная камера работала практически так же, как
на чистом аргоне.
2.4. РЕКОМБИНАЦИЯ
2.61. По определению сферы захвата
е2/4л€оГз=З^Т /2. (1)
Отсюда га=2е2/З^Т-4ж0=3,8- 10“в м. (2)
2.62. Потенциальная энергия взаимодействия заряда е с диполем с момен-
том Р равна
W=—eP/An^r2, (1)
Тогда
Гз=И 4п=0.ЗЛТ 1,2,10 ’м- (2)
Потенциальная энергия взаимодействия поляризующейся молекулы поляризуе-
мости а с электроном равна
Тогда
Гз = V (4яе0)23ЙТ =5'10-10 м*
2.63. £=е/4леог02=10б В/м.
2.64. Если в единице объема содержится положительных ионов и все на-
правления движения равновероятны, то в единицу времени в сферу захвата,
окружающую отрицательный ион, будет попадать число положительных ионов,
равное лгэ2л.|v. Подобное же выражение можно записать для числа отрицатель-
ных ионов: лгз2^_у, где г3=2е2/3&Т’4лбо— радиус сферы захвата.
Число актов рекомбинации будет равно произведению числа ионов, попав-
ших в сферу захвата, па вероятность иону испытать там столкновение с моле-
кулой газа и потерять энергию:
npQK=Ttr32n+n-v (Р+-|-Р_). (1)
Если ион входит в сферу захвата под углом ф к нормали, то расстояние,
которое он может пройти в сфере без столкновения, будет равно
х=2г3 cos <р.
Вероятность пройти по х без столкновения равна ехр (—х/Л), где Л—средняя
длина свободного пробега. Вероятность того, что угол падения заключен в интер-
вале от ф до равна sin фб/ф. Следовательно, вероятность иону пройти
сферу без столкновения есть
те/2 __
J ехр(—2r3 cos <p/A)sin =-^~ [1 — ехр( — 2г3/Л)]. (2)
о
123
Отсюда искомая вероятность иону испытать в сфере столкновение
Р= 1— [1 — ехр(—2г3/Л)|.
(3)
Считая длины свободного пробега отрицательных и положительных ионов рав-
ными, находим число актов рекомбинации
«рек = 2яг38л+л_Ь[1---(1 — ехр(—2г3/Л))]- (4)
Коэффициент рекомбинации равен числу актов рекомбинации, деленному на
п+п_,
Р = 2яг3ац
1 — (1 — ехр(—2гэ/Л))
(5)
Исследуем, как ведет себя коэффициент рекомбинации в случае низких и
высоких давлений.
При малом давлении Л велико и 2га/Л<С1. Поэтому
Р=1-^-(1-ехр(-2г3/Л)]^г3/Л (6)
и, следовательно,
Рн = 2^г33и/Д. (7)
При высоком давлении вероятность испытать столкновение в сфере захвата
можно считать равной единице. Тогда
Рв = 2лг32£. (8)
Наконец, подставляя в (8) и (9) выражение (2.61.2) для г3 и (2.81.5) для у,
находим
Л 32 |/2^ев 1 .
Зн — 27 5/2 /— — ’ (^)
11 (4лг0)3(£Т)о/2 |Лп Л
16 /2^е*
Рв = 9 f’ (Ю)
(4^0)2(^Т)3/2 V™
Таким образом, при постоянной температуре р линейно растет с увеличением
давления в области малых давлений и не зависит от давления в области вы-
соких.
Эксперимент хорошо совпадает с рп и не совпадает с рв. Это значит, что
описанный механизм рекомбинации удовлетворительно реализуется только
в области малых давлений (ниже атмосферного). При высоких давлениях теория
завышает значение р. Это связано с тем, что не учитывается возможность более
одного столкновения в сфере захвата. Если первое столкновение отнимет у иона
энергию, что позволит ему прорекомбинировать, т. е. не. вылететь из сферы
захвата, то второе столкновение может, наоборот, добавить ему энергию, в ре-
зультате чего ион все-таки покинет сферу захвата.
С учетом сказанного выше используем для вычислений формулу (9). Для
ионов кислорода Р=3,6«10-12 м3/с. Полученный результат хорошо совпадает
с экспериментальными данными.
124
2.65. Напряженность поля точечного заряда равна е^леог2. Относительная
скорость дрейфа двух ионов, находящихся на расстоянии г друг от друга, равна
(|х+-|-М'_)е/4л8ог2. Число отрицательных ионов, дрейфующих через сферу радиу-
сом г, окружающую положительный ион, равно
4лг2 (|х+ 4- |Х“) епт/(4Л£Сг2)‘ (1)
Если концентрации положительных и отрицательных ионов равны и л-, то
число рекомбинаций в единицу времени будет равно
Ирск=4лел+п- (н+“Нх“) / (4 JtBo), (2)
а коэффициент рекомбинации
0=4ле(|Л+-Нх“) /4лео. (3)
В тех случаях, когда подвижности можно считать приближенно равными, полу-
чаем упрощенную формулу Ланжевена
Р=8лр,е/4л8&. (4)
Поскольку подвижность убывает обратно пропорционально давлению, то коэф-
фициент рекомбинации обратно пропорционален давлению. Эксперимент хорошо
совпадает с теорией при давлении свыше 1 МПа. Это означает, что описанный
механизм справедлив только в области высоких давлений.
Для ионов кислорода при давлении 1 МПа
0 = 5,8-Ю"13 м3/с.
2.66. Исходное дифференциальное уравнение для решения этой задачи со-
ставляется на основе уравнения Фоккера — Планка. Это уравнение можно при-
менять в тех случаях, когда при движении частицы в среде ее состояние мало
изменяется за одно соударение с частицами среды по сравнению с полным изме-
нением состояния. Уравнение Фоккера — Планка имеет вид уравнения непре-
рывности.
Пусть f — функция распределения состояний, т. е. f(t^ xQ, t, х)—вероят-
ность того, что частица, находившаяся в момент времени в состоянии х0,
перейдет к моменту времени t в состояние х, причем
J хо- Л x)dx= 1. (1)
Здесь х — непрерывно меняющаяся переменная, характеризующая состояние си-
стемы (координата, энергия, импульс и др.), в данном случае — координата.
Плотность потока частиц можно записать в виде
j=Af-DVf> (2)
где первое слагаемое—плотность гидродинамического потока, пропорциональная
плотности состояний и возможная только в силовом поле; второе слагаемое—1
плотность диффузионного потока, пропорциональная градиенту плотности со-
стояний; А и D — коэффициенты пропорциональности, причем в данной задаче
D — коэффициент диффузии.
Уравнение Фоккера — Планка имеет вид
df/dt=—div j. (3)
Два коэффициента, входящих в определение плотности потока, можно све-
сти к одному, воспользовавшись тем, что в равновесных условиях /=0. Равпо-
125
веемому потоку соответствует функция fOt и тогда
4=DVfo/fo. (4)
Следовательно,
/ = Dyf!Lf_Dvf = DfoV(f/fo). (5)
/О
Подставляя (5) в (3), получаем
<W=0div[foV(f/W]. (6)
Равновесная функция распределения состояний имеет вид
f-o=exp (-UZ/fcT), (7)
где W—потенциальная энергия электрона,
М7=—eEr cos 0—е2/4ле0ег. (8)
Уравнение (6) с равновесной функцией в виде (7) запишем как
df/dt=D div [e-^V (fe^)L (9)
Решение нестационарного уравнения (9) весьма сложно, однако, как показал
Онзагер, вероятность паре ионов избежать рекомбинации
Ф=/ехр(^/(^Г)) (10)
подчиняется стационарному уравнению
div [exp (— W/(kT)) V<p]=0. (11)
Это и есть исходное уравнение теории Онзагера.
Функция ф должна удовлетворять очевидным граничным условиям
Ф(О, В)=0; <р(оо, 0) = 1, (12)
В отсутствие внешнего поля решение уравнения (11) есть просто величина,
обратная больцмановскому фактору,
у = exp(W/kT) = ехр(еа/4тсЕ0ЕгАТ) = ехр(—г3/г). (13
Решение уравнения (1) с граничными условиями (12) дает
<f(r, 9, Е)
{Г eEr 1 |
4 7-«"+Ч! :
S/ еЕ \f‘+i . . rJrJ
Ы <'+-»>"-,(,+<1,
it /=0
Если считать распределение пар по углам изотропным и проинтегрировать (14) по
углам, то получим
ср(г, Е) = ехр
(eErjlkT)1
(<+1)!
I—1
/=о
(/•зЛУ*1
(/ + 1)!
X
(15)
126
2,67. В первые моменты времени после прекращения возбуждения будет про-
исходить рекомбинация в близких парах зарядов, т. е. будет идти так назы-
ваемая начальная, или предпочтительная, рекомбинация. Скорость убыли про-
порциональна концентрации пар, следовательно, она описывается дифференциаль-
ным уравнением
dn/dt^—ап, (1)
решение которого с начальным условием л(О)=Ло
л—лоехр (—at), (2)
В результате начальной рекомбинации близкие пары зарядов прорекомби-
нируют и концентрация зарядов упадет до такого уровня, что среднее расстоя-
ние между компонентами пар станет равным расстоянию между парами. Это
произойдет к моменту времени При этом вероятности рекомбинации любых
зарядов с любыми зарядами противоположного знака станут равными, что ха-
рактерно для объемной рекомбинации, которая описывается дифференциальным
уравнением
dn/dt=—$n2. (3>
Решение (3) с начальным условием n(t = t')=n'Q имеет вид
• С 4 1 F
1 + рПо'(/_Г)
2,68. Для объемной рекомбинации справедливо дифференциальное уравнение
dn/dt =—Рл+л_. (1)
Поскольку в ионизационной камере положительные и отрицательные заряды обра-
зуются парами, п±=п_ = п, Следовательно,
dn/dt=—0/1* (2)
Решение (2) с начальным условием я(О)=яо:
n=rto/(l-HW). (3)
Полагая л=л0/2, находим
^1/2= 1/Рпо= Ю“3 с.
2.69. л(О=Ло/(1+₽М.
При PW^> 1 в знаменателе можно пренебречь единицей, и тогда пропадает
зависимость от начальной концентрации зарядов
2.70. Кинетическое уравнение для этого случая имеет вид
dn/d/=n0—Рл2. (1)
В стационарных условиях dn/dt=^ и
л = ]/ = Ю см~\ (2)
2.71. Кинетическое уравнение для этого случая имеет вид
dt/dt=riQ— Рл2. (1)
127
Решаем его методом разделения переменных
С dn 1 , |/no/0 + n _ Г
I ----Л '= г:— 1п _ । at — t
J па — 0na 2|/0no /no/p._rt J
Отсюда легко получить
л(0 =
«о ехр(2/|/ рп0) — 1
Р ехр(2/|/К) + 1
(2)
-n&thft |/0по).
Таким образом, концентрация зарядов нарастает от нуля до равновесного зна-
чения [см. также (2.70.2)]:
2.72. Кинетическое уравнение для этого случая имеет вид
dn/dt=n^—wi. (1)
Решаем это уравнение методом разделения переменных
«РМ -_1_.
а ехр(а/)
Как видно, концентрация зарядов нарастает от нуля до равновесного значения
(3)
2.73. Пренебрежем для начала рекомбинацией. Пусть п — плотность заряда
(лц. или п_). Тогда изменение со временем заряда в некотором объеме V дает-
ся, с одной стороны, производной
ot J
V
а с другой — это изменение определяется количеством заряда, выходящего или
входящего через поверхность, ограничивающую объем. Обозначим элемент по-
верхности, ограничивающей объем V, ориентированный по направлению внеш-
ней нормали, dS. Количество заряда, проходящее через элемент dS в единицу
времени,
nvdS, (2)
где v — скорость движения заряда в точке, принадлежащей dS.
Полный заряд, выходящий из объема,
nodS = — J jdS, (3)
s s
где j— плотность тока. Приравнивая (1) к (3) й применяя теорему Гаусса,
получаем
IT f =
Ot J
V
div jcV.
(4)
Объем V был выбран произвольным образом, соотношение (4) справедливо для
любого объема, поэтому можно написать
dn!dl=— div j. (5)
128
Таким образом, полученоу уравнение непрерывности, которое справедливо только
в том случае, если внутри объема, для которого оно записано, не происходит
диссипации или рождения зарядов. Учет убыли зарядов за счет рекомбинации
дает
dn/dt=—div /—0л+п_. (6)
Вектор плотности тока при наличии внешнего поля напряженностью Е есть
разность:
j—tiv—D\n, (7)
где (8)
Подставим (7) в (6). С учетом (8) будем считать, что электрическое поле
направлено по оси х, и, кроме того, запишем уравнение для конкретного вида
заряда
dn±!dt = + цЕдп±/д^ + £>Дл± — 0п+п_. (9)
Это и есть исходное уравнение теории колонной рекомбинации Яффе. Решение
этого уравнения в общем виде представляет математические трудности. Поэтому
и Яффе, и многие другие решали это уравнение со значительными упрощениями.
В качестве начального условия задается начальное распределение заряда.
Для колонки ионов в цилиндрической геометрии принимается гауссово распре-
деление заряда поперек оси
п±а=о)=exp(-rv&2), (io)
где b — параметр поперечного распределения зарядов, характеризующий его ши-
рину; No—начальная линейная плотность пар ионов в треке.
В тех случаях, когда ионизация сосредоточена в ячейках, принимается гаус-
сово распределение заряда в сферической геометрии
«±^ = °)=-^’ехР(-га/6’)- о о
2.74. Исходное дифференциальное уравнение, учитывающее все три указан-
ных процесса, имеет вид (2.73.9)
дп^д? = ± дп±/дх + £Дп± —(1)
Примем в соответствии с соотношением Эйнштейна (2.88.2)
D=jx£77e, (2)
а в соответствии с соотношением (2.65.4)
Р=8лце/4этео. (3)
Введем новую переменную f=(p,/e)/'. Тогда (1) примет вид
дп, дп± 8ле3
~дГ i— 4ПС# п+п_. (4)
В правой части (4) стоят три члена: полевой, диффузионный и рекомби-
национный. Обозначив их соответственно [f], [d] и [г], получаем уравнение
в символической форме
<?п±/<и=[П+И4-И-
(5)
129
9-5265
Примем, что начальное распределение зарядов в колонке является гаус-
совым
где Уо — начальная линейная плотность пар ионов в колонке вдоль оси z; b —
параметр распределения, характеризующий его ширину.
В начальный момент времени три члена уравнения (5) по порядку величи-
ны равны
[f]^ENQ/b5; [d]^kTNQ/b^ [r]^NJ/b\ (7)
Поскольку параметр b обратно пропорционален плотности вещества (давле-
ния газа), соотношения (7) зависят от температуры, плотности ионизации и
плотности вещества.
Если принять значения Ь— 10~3 см и NQ в треке а-частиц ~104 см-1 для
газов при нормальных условиях и Ь—10~6 См, Мо^107 см-1 для жидкостей, то
для (7) можно записать:
в газах при нормальных условиях
[d/f]Q^W-*T/E; [f/r]oc±O,lE; [d/r]o=8-10~3T; (8)
в жидкости
[d/f]o-±9OT/E; [f/r]0o±10-7 Е; [d/r]o^8- 10~e Т, (9)
В этих соотношениях Т выражается в кельвинах, а Е в В/см.
Анализируя (8) и (9), можно сделать следующие выводы:
а) в газах при 7^300 К диффузия перестает играть роль, если поле больше
27 В/см. В жидкостях диффузию можно не учитывать, если поле больше
270 кВ/см при 300 К, 7,2 кВ/см при 80 К, и 0,4 кВ/см при 4 К;
б) в газах дрейф начинает превышать роль рекомбинации при Е>10 В/см,
а в жидкостях — только при Е>107 В/см. Отсюда видно, что в технически ра-
зумных полях в жидкостях всегда будет играть роль рекомбинация и обеспечить
полное извлечение зарядов с трека невозможно;
в) в газах при комнатной температуре роль диффузии в несколько раз
(2,4 раза) больше, чем роль рекомбинации. В жидкостях, наоборот, влияние ре-
комбинации примерно в 400 раз больше при комнатной температуре и в 3* 104
при 4 К.
Таким образом, в зависимости от конкретных условий одним из указанных
процессов можно пренебречь для упрощения анализа, поскольку математические
трудности решения уравнения (1) в общем виде весьма велики.
2.5. ДИФФУЗИЯ И ДРЕЙФ
2.75. Уравнение диффузии имеет вид
dP/dt^DbP, (1)
Где р — вероятность нахождения частицы в точке г в момент времени t.
Решение этого уравнения в общем случае при начальном условии P(t=
=0)=л0:
00 оо
О - (2 j • • • (l-O. - ".> + -
... + (хп —«n)2]l4Dt} dan.
130
Отсюда легко получаем распределение вероятности:
в одномерном случае
1Р(Х’ ° = '2 ЛоГ “Р (-зс2/4О/)’ (3)
в двухмерном случае
Р(г, 0 = Г77 ехр(-г’/4Й); (4)
в трехмерном случае
(5)
Распределение плотности частиц получается из распределения вероятности
умножением соответствующей величины на объем элементарного слоя, равного
в одномерном случае dx, в двухмерном 2?trdr и в трехмерном 4nr2dr. Таким
образом:
в одномерном случае
п(х, t)dx = ехр(—хъ/№)Ъ (6)
в двухмерном случае
n(r' (7)
в трехмерном случае
n{r’ t}dr = (4я)"чв/)3/2' . (8)
Легко проверить, что во всех трех случаях интеграл в пределах от 0 до оо ра-
вен По-
2.76. Воспользуемся выражениями для распределения плотности частиц, по-
лученными в задаче (2.75)
В одномерном случае
У3са = I Jxan(x, i)dx I J* n(x, t)dx l=|/2D?; (1)
\o I о /
в двухмерном случае
___ /оо Joo \ 1/2
]/r2 = I J r2n(r, t)dr I f n(rt t)dr I =J/ 4D/ ; (2)
\o I о /
в трехмерном случае
/ oo I oo \ 1/2
yw = I J r*n(r, t)dr J n(r, t)dr =V6Dl. (3)
\0 (0 /
2.77. Условие максимума dn/dr=O, откуда после простых преобразований
г(лтах) — 2
9*
131
2.78. Решение уравнения диффузии (2.75.1) в цилиндрической геометрии для
вероятности нахождения частицы в точке г в момент времени i
P(r, =
Направим ось z вдоль следа и будем фотографировать по направлению оси у.
Тогда распределение вероятностей для проекции на плоскость xz получается
интегрированием (1) по у
—□о
Отсюда легко находим среднее квадратическое уширение
VW =1/25Г=10-а см.
2.79. Всякая функция распределения по энергии есть произведение двух
функций. Одна из них показывает, как распределены энергетические состояния,
которые могут занимать частицы. Это так называемая функция плотности со-
стояний, Другая функция дает правило заполнения этих состояний.
Начнем со второй функции. Рассмотрим распределение большого числа элек-
тронов. Разделим все энергетическое пространство на элементарные ячейки, при-
пишем этим ячейкам порядковые номера 1, 2, ..., т и обозначим число элек-
тронов в каждой ячейке nh П2> ..пт.
Рассчитаем вероятность различных распределений ni между ячейками. При
этом будем считать электроны различными. Тогда вероятность распределения
равна числу перестановок из п элементов по т ячейкам
P=nl/niln2l ... Пщ!. JI)
В полученном выражении содержатся основные исходные положения для
получения распределения электронов по состояниям. Если бы мы считали элек-
троны принципиально неразличимыми, как это делается в квантовой механике,
то для Р надо было бы написать другое выражение и в результате мы пришли
бы к распределению Ферми (см. задачу 4.1).
Прологарифмируем (1) и применим формулу Стирлинга
In (nJ) =п/ In ni—т. (2)
В результате получаем
т т
In Р = n Inn—п — lnnf (3)
1 1
Значения nif которые надо найти, должны удовлетворять требованию, чтобы Р
имело максимальное значение. Используем дополнительное условие
2^п, = <?0. (4)
где — полная энергия электронов.
Распределение т будем находить методом неопределенных коэффициентов
Лагранжа. Из (4) можно записать
02 <^-0^ = 0,
(5)
132
где 0 — пока неопределенный коэффициент. Добавляем (5) в (3) (нуль можно
добавлять свободно) и дифференцируем
д In Р/дп^—(1Н-1п щ)— ₽^=0. (6)
Это приводит к выражению 1пгь=—1— (7)
откуда легко получаем п, = аехр (—р$\). (8)
При определении коэффициента 0 воспользуемся соотношением для энтропии
Больцмана L=k In Р. (9)
Подставляем хлода 1пР из (3) и для вариации энтропии получаем т 8L=> —^2 С1 + 1п п№п1- (Ю)
1 Отметим, что в силу постоянства общего числа частиц п т 2ги, = о. (И)
1 Следовательно, 81= —k 2 In (12)
Логарифмируем (8) и, замечая, что в силу (11)
— k In а 2^' = о» получаем 8L = ЛР S slSnl- (13)
Согласно второму началу термодинамики 6£=б<§/7’. (14)
Из (4) имеем т $8 = 2i (15)
1 Подставляем (15) в (14), результат приравниваем (13) и получаем Р=1ДТ. (16)
Таким образом, функция распределения по состояниям имеет вид
п/=аехр (—&i/kT). (17)
Это выражение носит название распределения Больцмана.
При вычислении а, т. е. распределения плотности- состояний, необходимо ра-
циональным образом выбрать элементарные, в данном случае энергетические,
ячейки, по которым происходит распределение. Это можно сделать, если перейти
от энергии к скорости или импульсу электронов. Перейдем к скорости, восполь-
зовавшись соотношением & = mv2!2. .
,133
Число частиц, имеющих скорость в интервале от v до v^-dv, пропорциональ-
но объему шарового слоя
dn = а-4гсиаехр(—8lkT)du. (18)
Но dv = d&llf 2т8\ v2 = 28/т. Следовательно,
8|/Г
dn = a— - exp(—8JkT)d8. (19)
y2 m3/2
Воспользуемся условием нормировки
OO
[dn = n. (20)
о
Проведя вычисления, получим
Окончательно имеем
2п&
MkTj2
1/2
dn 2 1/^8
f(8)d8 = — =— Г — exp(-8/kT)d8.
n (kTy12
(21)
(22)
Это и есть хорошо известное максвелловское распределение частиц по энергии.
Теперь с помощью элементарных преобразований легко перейти к распределению
частиц по скоростям
/~2 I т \3/2
— (-gjT 1 и2ехр(—mv2l2kT)dv. (23)
Если ввести скорость vB с помощью соотношения
/nuB2/2 = £7V (24)
то получим еще одно широко употребляемое выражение для максвелловского
распределения по скоростям
4 v2
<l(v)dv = -~——ехр(—&lvj)dv. (25)
V я
Наконец, используя безразмерную переменную
z=u/vB, (26)
получаем третий вариант записи функции распределения
4
y(z)dz = -7= г2 ехр(—z2)dz. (27)
у л
2,80, Для полученной в (2.79) функции распределения по скоростям <р(а)
можно записать
ср (о) с^=4ли2ф (их) ф(ц^) ф(ог)^,
откуда, принимая во внимание
134
получаем
\ 1/2
0 .т ехр(—mv^l2kT)dvx. (1)
Z7C/C1 /
Вводя в эту формулу наиболее вероятную скорость
ив — J/ 2kT )т,
получаем
<p(t'x)d«x = ехр(—^a/t>B!)dox. (2)
ув|/ л
И, наконец, используя компоненту относительной скорости ux/vB=z, находим
<p(z)dz — у— ехр(—z2)dz, (3)
что совпадает с нормальным законом распределения (7.3.1).
2.81. Дифференцирование выражения (2.79.27) сразу дает, что скорость, со
ответствующая максимуму распределения, равна vB. Из (2.79.24) следует
ув = \^2kT!m. (1)
Среднее значение удобно находить, воспользовавшись соотношением (2.79.27),
оо /со х= y%f(x)dx / J f(x)dx. (2) 0 1 0
Легко проверить, что
оо оо Jf(x)dx_ yr—Jx2 ехр(—x2)dx — 1. (3) 0 0
В результате для х находим
00 _ 4 p 2 x -|Z~ x’exp(—z—, (4) У J у тс 0
откуда, используя (1) и (2.79.26), получаем
o = l/8AT/nms^ 1,6 fAT/m. (5)
Аналогично 00 4 p 3 Xa—lx4exp(—x3)dx — , (6) |/ n J z Л
откуда V ]/^2 =КзлТ/«. (7)
2.82. Для начала убеждаемся, что
00 | f(£)dg= 1, 0
135
где f(&) соответствует (2.79,22). Действительно,
00
/л"(ЛТ)3/2 f ^SjkT)d§ = 1.
О
Тогда средняя энергия определяется из
00
__ 2 Л 3
s = /Г(йТ)3/2 J е312 ехр<" s!kT}ds = TkT' (1 >
О
а средняя квадратическая энергия
00
__ 2 С 15
g8= ^kT)^ J S&t2 W(-S/kTydS=(kT)* —;
0
= 1,94£T 1,35. (2)
Наконец, дифференцируя выражение (2.79.22), находим
<ГВ=6772. (3)
Обратите внимание, что вычисленные из распределения по энергии значения <S
не эквивалентны значениям и, вычисленным из распределения по скорости. На-
пример &т&=то2*12.
Соответствующие значения энергии можно вычислить по соответствующим
скоростям. Тогда
— 4 ‘— 3
£в = тив2/2 = kT\ £ = — kT\ V <?а = — kT.
к 2
2.83. Согласно (2.81.1) наиболее вероятная скорость вычисляется из соотно-
шения цв = Удобно проводить вычисления, умножая числитель и
знаменатель под корнем на с2. Тогда
ов = сj/"2kT/т^гс2 = 3,48* 10* см/с.
Аналогично
v = с ]/*8АТ]пт^с2 = 3,94* 104 см/с;
_ с у 3kT= 4,26* 104 см/с.
2.84 ив = с V2kTjmec2 = 9,37-10* см/с;
v = с У 8kT/ъ!пес2 — 1,06» 10? см/с;
= сУЗкТ//пес* = 1,15.10? см/с.
2.85. Будем рассматривать столкновение иона и молекулы как столкновение
упругих шаров, учитывая только короткодействующие силы отталкивания. Так
как ионы имеют массу, практически равную массе нейтральной молекулы, то
в столкновениях они могут отдавать всю энергию, приобретенную от электриче-
ского поля. Примем в качестве исходного условия, что ионы в поле энергию не
накапливают и как следствие скорость их движения в поле много меньше ско-
рости их теплового движения.
136
Скорость дрейфа определяется по формуле v=l/t, где I—смещение в элек-
трическом поле за время t. Двигаясь между столкновениями в электрическом
поле равномерно-ускоренно, ион смещается в поле между двумя последователь-
ными столкновениями на расстояние l=al2t/2, где а—еЕ/т— ускорение в поле;
t — в данном случае время движения между столкновениями, т. е. время сво-
бодного пробега.
Оперируя средними значениями длины свободного пробега и тепловой ско-
рости, получаем
1 еЕ А
v=/// = a//2 = ^-— —. (1)
где йт — средняя скорость теплового движения.
Однако на самом деле длины свободного пробега распределены вокруг сред-
него значения по закону
f(A)dA = ехр(—A/A)dA.
Усредняя смещение I по распределению длин свободного пробега, находим
00
f Aaf(A)dA
_ еЕ £______________
2?/wa 00 mv^
J f(A)dA
О
Отсюда для скорости дрейфа имеем
-о=еЕА/тй?. (2)
Если же, наконец, учесть не только распределение длин свободных пробе-
гов, но и распределение скоростей, то получим
1г = 0,75е£Л/тйт. (3)
Движение ионов в газе обычно характеризуют подвижностью ц=&/£.
Итак, имеются три формулы
|1=еЛ/2тйт; (4)
ц=еЛ/тит; (5)
р,=0,75еЛ//пут. (6)
Используя значение йт=3,9-104 см/с из (2.83) и Л=7,6-10-6 см из (2.14), в со-
ответствии с наиболее строго полученной формулой (6) находим
р=3,5 см2/(с *В).
Табличное значение подвижности ионов Аг равно 1,6 см2/(с*В). Расхождение
означает, что некоторые исходные положения, принятые при выводе формул для
скорости дрейфа, не вполне верны. Самый большой вклад в расхождение дает
предположение о равенстве средних длин свободного пробега иона и молекулы,
что следует из предположения о столкновении по типу упругих шаров. На самом
деле из-за наличия поляризационного взаимодействия между ионом и нейтраль-
137
ной молекулой средний свободный пробег иона в несколько раз меньше, чем
пробег нейтральной молекулы.
2.86. Поскольку график рис. 2.3 содержит зависимость v=f(E) в линейном
масштабе, подвижность равна тангенсу угла наклона линейного участка зависи-
мости в области малых энергий. Строго говоря, для определения подвижности
надо использовать метод наименьших квадратов. Но если требуется лишь оцен-
ка значения ц, то из графика легко найти 104 см2/(с-В).
2.87. График рис. 2.4 содержит зависимость v=f(E) в двойных логарифми-
ческих координатах. Воспользуемся тем, что подвижность равна значению ско-
рости дрейфа при напряженности поля, равной единице. Отыщем начальный
участок с наклоном, равным единице, и продолжим его до пересечения с линией,
соответствующей Е=1 В/см. Полученное значение и будет оценкой подвижно-
сти: ц=8500 см2/(с«В).
2.88. Воспользуемся простейшими выражениями для коэффициента
зии (2.22.6) и подвижности (2.85.5)
D=vA/3; p,=eA/mv.
Отсюда легко получить, что
D___mv2 2
V ~~2 Зе'
Таким образом, видно, что отношение D/p, пропорционально средней
электронов в газе. Поскольку D и р экспериментально измеримы, часто
с помощью отношения D/p характеризуют энергию электронов, эксперименталь-
ное определение которой гораздо более сложная задача. Если электроны нахо-
дятся в тепловом равновесии с газом, то щу2/2=З^Г/2, и тогда
D kT
~ е '
Последнее соотношение называют обычно соотношением Эйнштейна.
Поскольку kT не равно никакой из обычно использующихся значений энер-
гий — средней, средней квадратической или вероятной, то экспериментально
измеримое отношение-eD/ц называют характеристической энергией.
2.89. Отношение Е/р во многих, формулах появляется из-за наличия в этих
формулах члена еЕА. Поскольку A=I/Na=Po/((bVop),
диффу-
(1)
энергий
именно
Произведение еЕА — равно энергии, набранной однозарядным ионом в электри-
ческом поле на длине свободного пробега. Так как многие характеристики по-
ведения ионов (электронов) в газах зависят от их энергии, то понятна зависи-
мость этих характеристик от отношения Е/р.
2.90. Отношением Е/р в качестве параметра можно пользоваться, если свой-
ства газа близки к свойствам идеального газа. Поскольку давление р в отноше-
нии Е/р характеризует количество вещества, с которым взаимодействуют заря-
ды, правильнее пользоваться отношением Е/N или Е/р, где N— концентрация
атомов; р — плотность.
При условиях, близких к идеальным, все три параметра пропорциональны
друг другу. Однако с ростом давления из-за сжимаемости газа появляются
138
отступления от идеальности и теперь уже Efp^E/N. Аналогичные соображения
имеют место и при изменении температуры до значений, близких к температуре
кипения. При этом газ уже надо считать не газом, а паром, и для него также
надо учитывать сжимаемость*
Во всех этих случаях вместо отношения Е/р можно использовать также
отношение (£/p)z, где z=pV/RT—сжимаемость; R=kN — универсальная газо-
вая постоянная. Следовательно,
z=_pY_=c_p.
kNT ° ’
Отсюда
E/p^E/zN или Ez/p^E/N.
2.91. Функцию распределения по энергии можно найти, пользуясь кинетиче-
ским уравнением Больцмана. В самом общем виде это уравнение имеет вид
(1)
Здесь f —функция распределения плотности вероятности нахождения электрона
в определенной точке фазового пространства, т. е. пространства координат и
скоростей. Записанное уравнение является математическим выражением условия
непрерывности плотности вероятности. Стоящий справа член учитывает тот факт,
что скорости частиц могут изменяться за счет их взаимных столкновений, в ре-
зультате которых одни частицы покидают элемент пространства скоростей d3u,
а другие, наоборот, попадают в него, переходя из других элементов. Столкнове-
ния приводят к внезапным скачкообразным изменениям скорости, причем стал-
кивающиеся частицы не покидают соответствующий элемент конфигурационного
пространства d3r.
Заменим производную по времени частными производными по координатам
и скоростям
df \ дг df _| dt> df _( df \ 12)
di ' dt dr di du \ dt /CT’ ' '
В стационарном случае первый член равен нулю. Если распределение электронов
в пространстве однородно, то можно опустить и второй член. Наконец, учиты-
вая, что dv/dt — ускорение, которое испытывает электрон в электрическом поле,
можем окончательно записать
. (3)
т dv \ dt / ст
Столкновительный член вычислим, используя уравнение Фоккера — Планка.
Поскольку при упругих столкновениях электронов с нейтральными молекулами
средняя передача энергии оказывается порядка пг/М и мала по сравнению
с энергией электронов, использование уравнения Фоккера — Планка правомерно.
В задаче 2.66 было записано уравнение Фоккера—Планка в виде (2.66.6)
^=_div[DfoV(f/fo)]. (4)
Здесь дивергенция и градиент — это операторы в пространстве того параметра,
медленное изменение которого описывает уравнение. В нашем случае такими па-
раметрами являются энергия или скорость электрона.
Переходя к одномерной записи (4) и полагая, что функция f в равновес-
139
пых стационарных условиях равна
/о=ехр (—&/kT), (5)
получаем
Таким образом, задача определения столкновительного члена сводится к опре-
делению коэффициента D. По определению D равен среднему от квадрата изме-
нения энергии при столкновении. Усреднение производится по распределению
скоростей молекул и столкновениям, испытываемым электроном в единицу вре-
мени; последнее осуществляется интегрированием по Nvdo
(7)
Так как электрическое поле не изменяет распределение скоростей молекул, то
оно является максвелловским
/ Л4 \3/2
fa(y) = VTF ) . (8)
\ ZTtK 1 J
Для вычисления D(&) переходим от зависимости от энергии к зависимости от
скорости
£>(v) = j [V2— (9)
Скорости при рассеянии меняются незначительно, поэтому
v2—(v')2— (о-|-о') (у—v')=2v(v—v').
Ввиду изотропии скоростей молекул усреднение квадрата скорости по максвел-
ловскому распределению дает уа2/3, а средний квадрат скорости в свою очередь
равен SkT/m. Кроме того, учитываем, что v—v'=v(l—cos 0) и вводим диффу-
зионное сечение
= — cosO)da. (10)
В результате находим
тд2
0(a) = “^“ kTNv3^. (11)
Подставляем (11) в (6) и получаем окончательное выражение для кинетическо-
го уравнения
еЕ df _ /п 1 х
т dv М v2
д Г зл, [ I dr . f
X----- v3N<s„v--------+-----
dv L \ mv di kT ) ]
Поскольку по условию поле слабое, анизотропия распределения скоростей элек-
тронов невелика, и ее можно учесть в виде разложения в ряд. Обычно исполь-
зуется разложение по полиномам Лежандра
со
f(v) = f.(v)+S PnMv), (13)
/2=0
140
где io — сферически-симметричная часть функции распределения. Сохраняем
первый член разложения и отбрасываем остальные ввиду их малости. Правомер-
ность этого позднее будет проверена. Тогда
f(v)=Mv)+h(v)cosd, (14)
Если направление электрического поля совпадает с положительным направле-
нием оси х, то
= V COS О, (15)
где 0 — угол между направлением движения электрона и осью х. Перепишем
разложение (14) в виде
V у
f(v) = f.(v)+ —fl(0). 06)
V
Теперь нужно подставить разложение (16) в кинетическое уравнение и ре-
шить его.
Столкновительный член является линейной функцией относительно функции
распределения, так что
Интеграл столкновений для сферически-симметричной части функции распре-
деления получается просто заменой в (12) f на fQ,
Вычисления показывают, что столкновительный член для анизотропной части
функции распределения равен
(4—fi) М) =-ЛГСт0 — fi0). (16)
\ \ V / / 'СТ v
Кинетическое уравнение для (16) имеет вид
еЕ д /. . °Х .\ т 1 5 [ /1 df0 , f0 vx _
---------I fn - - ---fl =------Л/------— и3\' с. и I----------4----- — Л'Зцс) ---- fl.
т dv V0 1 v 11 / М и3 dv ди Г kT ) J и v Г1
(19)
Решают это уравнение методом моментов. Умножают обе части уравнения на
полиномы Лежандра и интегрируют. В данном случае это достаточно сделать
2 раза. Один раз просто проинтегрировать уравнение (19), так как нулевой
полином Ро=1, а второй раз предварительно умножить (19) на Pi=cos 0 и снова
проинтегрировать. В результате получаем два уравнения
/ * df 1 f т
т \ 3 ди v ,
еЕ м
-------------—Ns„vfi.
т dv
Отсюда для сразу получаем
_ еЕ df0
fl— -л >
mv ди
(20)
(21)
где v=Naav — эффективная частота упругих столкновений.
141
Подставляя полученное выражение в первое уравнение системы (20), нахо-
дим для fQ
fo== А exp
mvdv
(еЕ)2М
3m2Nv(v)u
Постоянный множитель А можно определить из условия нормировки
00
J 1.
Это можно сделать после задания зависимости о (и) в явном виде
о=С^п,
Тогда
f0— ехр^ — 2(га-|-2)Л1(е£)« ]’
(22)
(23)
(24)
(25)
В сильных полях во взаимодействии электронов с молекулами преобладают со-
ударения типа твердых шариков. В этом случае сечение не зависит от скорости,
показатель степени в (24) п=0 и тогда С—а. Полагая 1/Мг=Л, получаем
fo = А ехр
т8 у4 '
АГ (еЕЛ)\
Подставляя (26) в (23), находим
fa(v)dv =
1 Г 3 тп т2
тгГ(3/4) [ 4 Л4 (еЕЛ)2
[3/4
ехр
3/п8
4Л4
и4 I
---=— dv.
(еЕА)2 J
(26)
(27)
3^
4
Это есть известное распределение Дрейвестейна по скоростям.
Если теперь воспользоваться соотношением
= 4iw2f0(v)du,
то легко получить распределение по энергиям
4,56 ( т Vм 51/2
<}(S)dS =---- -rj- I --------------— ехр
/_3_\ \MJ {еЕл}№ Ч
Зтп ё2 '
М (е£Л)8
2.92. Исходное выражение для средней энергии
ОО /оо
— Г mv2 I С
<£=| ~2— / I f0(n)4^2dv.
о I о
(28)
(29)
(1)
Переходя под знаками интегралов к зависимости от энергии, после простых пре-
образований получаем
00 | оо
8 = f 8312 fe(8)dS / J <?1/2 f„(8)d8. (2)
О / о
Для вычисления скорости дрейфа направим ось х вдоль силовых линий электри-
ческого поля. Тогда скорость дрейфа будет равна среднему значению составляю-
142
щей скорости их, направленной вдоль х, Отметим также, что fx/f=cos0. Откло-
нение распределения скоростей от сферически-симметричного описывается функ-
цией fj. Следовательно,
оо I оо
Од = vx — J — / j* f0(^)47xoaJy. (3)
о / о
После простых преобразований с использованием аппроксимации ох2=^2/3
находим
__ со I со
*д = у ^Sh(S)dS $ S1'2 f„(£)dS. (4)
О / о
Отметим, что в слабых полях сферически-симметричная часть функции распре-
деления электронов по энергиям fo является максвелловской. Сравнивая с уче-
том этого замечания знаменатель (2) и (4) с (2.81.2), видим, что определения
максвелловской функции распределения в этих случаях различаются. Это обстоя-
тельство надо четко понимать. В некоторых случаях в определение функции
распределения включают и распределение по состояниям (больцмановский мно-
житель), и распределение плотности состояний [предэкспонента в (2.79.22)].
Именно в таком виде максвелловская функция приведена в задаче 2.79. Но часто
распределение плотности состояний выписывают отдельно, как это сделано в на-
стоящей задаче. Для свободных электронов плотность состояний пропорциональ-
на , что и отражено в формулах (2) и (4).
Коэффициент диффузии запишем, воспользовавшись известным соотноше-
нием
/МА/3,
но вместо средних значений учтем возможную зависимость A=f(^) и распреде-
ление скоростей
оо I оо
D=~3^T (Чтг ^'2Ms>dS / f sx'2f^s)ds =
0 I 0
___OO I 00
i / 2 f If*
ЧаГ V J J S'l2t^dS- (5)
0 /0
2.93. В выражение для средней энергии (2.92.2) подставим функцию распре-
деления (2.91.29) и после преобразований найдем
£ = 01577 У'Чг = °'427 еЕТ. (1)
Подставляя сюда заданные значения £ и А, а также М. для неона, находим
#=2,5 эВ.
Аналогично в выражение для скорости дрейфа (2.92.4) подставляем функ-
ции из (2.91.29) и fi из (2.91.2Г) и получаем
Ъ^еЕЛ.
« = 0,897 / ,,4 =4,9-10» см/с. (2)
(мт}-'
143
Оба вычисленных значения удовлетворительно совпадают с экспериментальными
результатами.
2.94. В большинстве известных теоретических моделей принимается, что се-
чение столкновения электронов с молекулами газа либо не зависит от скорости,
либо обратно пропорционально скорости. Это и приводит к указанным в усло-
вии задачи вариантам зависимости скорости дрейфа от напряженности электри-
ческого поля. Однако реальная, зависимость сечения столкновения от энергии
(скорости) электронов заметно сложнее.
Рассмотрим изменения скорости дрейфа с ростом напряженности поля на
примере благородных газов. Воспользуемся выражением
у~(еЕЛ)^
где cl—некоторый коэффициент, 0,5<а<1; Л — средняя длина свободного про-
бега, обратно пропорциональная сечению столкновения. Зависимость сечения от
энергии электронов приведена на рис. 2.9. Простейшие представления о поведе-
нии сечения приводят к монотонно падающей с ростом энергии кривой. Глубо-
кий минимум в области 0,3—0,6 эВ носит название эффекта Рамзауэра и свя-
зан с квантовомеханическим эффектом повышения прозрачности потенциального
барьера при определенном значении длины волны де Бройля электрона.
С ростом напряженности поля растет энергия электронов, но при этом
в определенном диапазоне напряженности поля растет сечение столкновения,
а следовательно, падает средняя длина свободного -пробега. При этом произведе-
ние еЕЛ может расти, оставаться постоянным или даже падать, что и опреде-
ляет зависимость скорости дрейфа от напряженности поля.
2.95. Это связано с особым характером зависимости сечения рассеяния элек-
тронов на атомах благородного газа от энергии электронов — эффектом Рам-
зауэра (см. 2.94). Ввиду того что электроны в упругих столкновениях с атома-
ми благородного газа теряют малые пор-
ции энергии, их энергия в электрическом
поле может эффективно расти и, например,
в аргоне при E/N^\0~1Q В-см2 (р^
—0,1 МПа; Е—103 В/см) достигать
—10 эВ. При такой энергии сечение рас-
сеяния практически максимально (рис. 2.9).
При добавлении в газ молекулярной
примеси электроны начинают эффективно
рис 2.9 терять энергию при неупругих соуда-
рениях на возбуждение1 колебательных я
вращательных движений молекул сразу
большими порциями (например, в азоте колебательный квант имеет энергию
0,29 эВ). Поэтому средняя энергия электронов падает и, как видно из рис. 2.9,
сечение рассеяния также падает и, следовательно, средняя длйна свободного
пробега растет. При этом, как видно из формулы (2.85.2), растет и скорость
дрейфа.
2.96. Различию коэффициентов продольной и поперечной диффузии можно
дать следующее качественное объяснение. Когда облако зарядов движется
в электрическом поле, то впереди облака движутся более быстрые, энергичные
заряды, а сзади более медленные. Дальнейший анализ определяется видом за-
144
висимости сечения рассеяния зарядов, а следовательно, и скорости дрейфа от
энергии зарядов.
Если сечение с ростом энергии падает, как это имеет место для ионов, то*
длина свободного пробега, а с ней и скорость дрейфа растет и, следовательно,
более быстрые электроны движутся еще быстрее, более медленные отстают,
облако зарядов растягивается вдоль поля и, значит,
Если сечение с ростом энергии растет, как это имеет место для электронов-
во многих газах, то, наоборот, длина пробега, а с ней и скорость дрейфа с рос-
тем энергии уменьшаются, следовательно, движущиеся впереди электроны
отстают, движущиеся сзади ускоряют свое движение, облако сжимается и, зна-
чит, /D±< I. Для электронов в аргоне в диапазоне £7р~20ч-130 В/(см*Па)-
Dn/D±"4'T4'T'
2.97. Изменение потенциала электрического поля в плазме описывается урав-
нением Пуассона
Д е {tii—Пе) /во, (1)
где щ — плотность однозарядных ионов; пе — плотность электронов. Так как.
изменение распределения плотности зарядов относительно равновесного распре-
деления может определяться только тепловым движением, то плотность зарядов-
описывается формулой Больцмана
п/=лоехр (—eU/kT)\ ne=noexp (eU/kT), (2)-
где «о — равновесная плотность зарядов в квазинейтральной плазме. Подставляя
(2) в уравнение Пуассона (1), получаем
Д£/=2и0е sh (e(//ZiT)/e0. (3)<
Если принять, что eU/kT<^\, то sh (eUjkT)~eU/kT, и тогда
A[/=U-2w2/m0. (4>
Размерность коэффициента 2пое2Д7'е0 равна обратной размерности квадрата
длины. Введем обозначение—радиус экранирования Дебая
Гд = (^Т/2^)1/2. (5).
Тогда уравнение (4) принимает вид
д[/ = г//4 (6}
Поскольку напряженность поля E=dU /dx, решение уравнения (6) для поля Е
дает
Е=Еоехр(—г/гд),. (7>
где £о—напряженность электрического поля у границы раздела зарядов.
Таким образом, гд есть характерный размер, на котором возможно разделе-
ние зарядов.
Если температуры ионов и электронов заметно различаются, то
и если при этом Те>*Л=7’, то
Гд=(ео/г77пое2)1/2, (9>
10—5266 145
2.98. Плотность потока частиц диффузии записывается как
tw=—(1)
откуда для скорости диффузионного смещения можно записать
v=—D\n/n. (2)
Если в плазме возникнет градиент концентрации носителей заряда, то сначала
заряды будут диффундировать в соответствии с законами диффузии. Однако
в результате нарушится электрическая нейтральность плазмы, возникнут объем-
ные заряды и обусловленное ими электрическое поле Е. Оно будет направлено
таким образом, чтобы тормозить диффузию зарядов, движущихся быстрее (на-
пример, электронов в газе), и ускорять диффузию зарядов, движущихся мед-
леннее (например, ионов в газе).
Дрейф в образовавшемся поле и диффузионное движение суммируются, и
для результирующих скоростей получаем выражение
= — -— уя +
D-
v~ — —— уп -|- Е,
(3)
После достижения равновесия скорости движения обоих сортов зарядов
сравняются
У-1- = и_=Уа.
Тогда, исключая из (3) скорость, получаем общую скорость движения зарядов
1 +
уа= —---------------—------------уп.
п + р-
(4)
Сравнение (2) и (4) показывает, что движение зарядов в этом случае можно
рассматривать как диффузию с коэффициентом
рЛ + |Л-
(5)
Такое совместное движение зарядов обоих знаков называется амбиполяр-
ной диффузией.
ГЛАВА 3
ГАЗОВЫЕ И ЖИДКОСТНЫЕ ИОНИЗАЦИОННЫЕ ДЕТЕКТОРЫ
3.1. ПЛОСКИЕ ИМПУЛЬСНЫЕ ИОНИЗАЦИОННЫЕ КАМЕРЫ
3.1. Для любого участка проводника протекающий в нем ток определяется
зарядом, перенесенным от одного конца проводника до другого.
В ионизационных детекторах заряды в подавляющем большинстве случаев
образуются в промежуточных местах между электродами и могут, в принципе,
сместившись на некоторое расстояние в электрическом поле, исчезнуть, напри-
мер, вследствие рекомбинации. В частности, заряды могут, дойдя до электрода,
на него не попасть, как, например, они не попадают на сетку во многих приборах
146
с сетками. Тем не менее во всех этих случаях в цепи электродов протекает ток,,
который и называют индуцированным. Физическое обоснование природы инду-
цированного тока см. в задаче 3.2. Силу этого тока можно рассчитать по фор-
муле Рамо — Шокли, см. 3.3.
3.2. Заряд в пространстве между электродами создает в каждом электроде-
«свое» изображение, т. е. заряд противоположного знака, расположенный за
электродом на том же расстоянии, па котором перед электродом расположен
истинный заряд, и пропорциональный доле силовых линий, приходящих от заряда
на этот электрод. По мере движения заряда от одного электрода к другому era
изображение на одном электроде уменьшается, а на другом растет. В момент
касания зарядом электрода его изображение равно ему по абсолютному значе-
нию, и они взаимно нейтрализуются. Таким образом, движение зарядов между
электродами приводит к одновременному переносу индуцированного заряда во
внешней цепи, т. е. к индуцированному току. В этом случае, когда заряд между
электродами проходит весь путь от одного электрода до другого, интеграл от
этого тока во времени должен быть, естественно, равен движущемуся заряду.
3.3. Рассмотрим микроскопическую картину движения заряда между элек-
тродами в поле напряженностью Е. Работа, совершаемая при смещении заряда
на dxt равна
qEdx, (1)
Если рассмотреть макроскопическую картину протекания тока i(f) во внеш-
ней цепи, где действует разность потенциалов (7, то эту же работу можно запи-
сать как
i(t)Udt. (2).
Приравнивая (1) и (2), находим
40 = 9(0-^
dx
dt 9
где dx/dt=v —скорость движения зарядов в ионизационных приборах, т. е. ско-
рость дрейфа. Окончательно получаем
i(t)=q(t)v(t)E/U. (3)
В общем случае скорость дрейфа может зависеть от времени, например при дви-
жении заряда в неоднородном поле. Полученное выражение называется форму-
лой Рамо — Шокли.
3.4. Вывод формулы для силы индуцированного тока (3.3.3) в теории элек-
тричества обычно преподносят как доказательство теоремы Рамо—Шокли. Точ-
ная формулировка теоремы гласит: если в пространстве между произвольна
расположенными заземленными проводниками движется заряд q со скоростью
у, то1 в цепи каждого проводника возникает ток, который равен i(t)=Evv(t)q,
где Ev — составляющая вектора напряженности электрического поля вдоль ско-
рости заряда v, которое было бы в точке, где в данный момент t находится за-
ряд, при условии, что этот заряд удален; потенциал проводника, для которого
определяется ток, равен единице, а остальные проводники заземлены.
Из приведенной формулировки видно, что ток в цепи интересующего нас
электрода можно найти, если на него подать определенный потенциал, а осталь-
ные электроды, в том числе и соседние проволочки, заземлить. Следовательног
импульс тока (рис. 3.7) будет формироваться в условиях неоднородного элек-
трического поля, хотя в рабочих условиях поле можно считать квазиоднородным
10* 147
на большей части траектории движения заряда (/—форма импульса тока на
центральной проволочке; 2 — на боковых проволочках; 3 — суммарный сигнал).
3,5. 7’_=8,4 мкс; Т+=5,4 мс.
3.6. i-=qQv-/d\ t_=(d—х0)/и_\ (1)
i+=qQv+/d\ t+=xo/v+. (2)
Форма импульсов тока приведена на рис. 3.8.
3.7. t_=7,5-10-8 А; /_=0,3 мкс;
L|_ = 8,6‘10-12 А; /+=3,5 мс.
3.8. Среднеквадратическое размытие облака ионов в процессе диффузии со-
гласно (2.76.1) равно 1/2Ш. Принимаем длительность заднего фронта равной
М = 2V2Dtjv.
Пользуясь соотношениями t=d2/[iU и DI\k=kT/et после преобразований по-
лучаем
Д/// = 2 v2kT,:elJ = 2- Ю-2.
Для Аг+ р=1,5 см2/(с-В), /=1,3 мс и, следовательно, AZ=26 мкс.
3.9. Среднее квадратическое размытие облака электронов согласно (2.76.1)
равно х= V2Dt» Длительность заднего фронта принимаем равной
_ 2d г______________
Д/= 2x/ti = — |/2Р/|Ш . (1)
При указанных в условии задачи значениях параметров: D/p=7,0 В; ц =
=0,5’100 см/с; Af=0,85 мкс.
Существенно, что Af/Z^-lO”1, в то время как для ионов (см. задачу 3.8)
л/д-ло-2.
3.10. Закон изменения заряда во времени за счет захвата имеет вид
?Ю=<7оехр (—//т),
где q^=^/w', т=6/и.
Таким образом, ~г ехр(—/у/б). При T=d/u=2 мкс Z/Zo = O,67.
а
3.11. Рекомбинация в треке только уменьшает амплитуду импульса тока за
счет уменьшения заряда, дрейфующего в камере. Во многих случаях долю за-
ряда, вышедшую с трека, т. е. избежавшую рекомбинацию, можно вычислить по
формуле
q/qa=(l+k/E)-'.
(1)
148
<3.12. Согласно формуле Рамо — Шокли (см. задачу 3.3) ток, индуцируемый
элементом заряда dq, равен
di=dqv/d. (1)
Считая распределение заряда вдоль трека длиной R однородным, принимаем
dq=q^dx/R. (2)
'Г .
Тогда di = —-----— ах.
R d
Форму импульса для интервала времени, в течение которого заряд, движу-
щийся в камере, не меняется, находим, интегрируя du по длине трека,
Я
Г ,. v Гл /Л
i = I de = ——- I ах = q^/d.
J R d J
о о
Если полученное выражение сравнить с (3.6.1), то видно, что в однородном
поле ток от распределенного заряда равен току от сосредоточенного заряда. По-
этому i(t)=qov!d при 0<^</t= (d— R)/v. При ii<t<t2=d/v заряд, движущийся
в камере, меняется во времени за счет нейтрализации па электроде по закону
(3)
и, следовательно,
= (4)
Для неоднородного поля полученный результат недействителен.
3.13. В задачу 1.78 получено выражение для распределения числа пар ионов
по треку при определенных упрощающих предположениях
где b — константа соотношения, связывающего пробег и энергию, R=a<$b.
Легко видеть, что распределение заряда по треку в этом случае будет равно
dq/dx=No(Ro—х)1/*-*, (2)
где No=qc/bRoi/b, Тогда заряд, исчезнувший из объема детектора к моменту t
за счет нейтрализации на электроде, равен
t
<7ис-1(0 = J dq = ;Voft \Rl0'b - (R, -
0
Заряд, оставшийся в объеме к моменту t и своим движением индуцирующий
ток во внешней цепи, равен
q(t)=qb(\-vt/R^lb. (3)
Отсюда при / = 0 q(t) = q$, при t^R^/v q(t)=Q. Окончательно
v f vt \ 1//>
. (4)
Сравните полученное выражение с результатом для случая, когда распреде-
ление по треку принимается равномерным.
149
3.14. При 0</<^i=(d—7?cos0)/t>
v
‘(0=<7oV 1
a
Форма импульсов тока — на рис. 3.9.
3.15. При 0</<6
R cos 0
i(t)=qcvld.
Рис. 3.9
1
Rsin0cos <р J’
Рис. ЗЛО
(1)
(2>
О)
(2)
при t{<t<t^d/v
При t\<t<t2
Для частиц, вылетающих в верхнюю полусферу,
d—z0 d—z0 + #sin 9 cosy
n — ? *2 = •
V V
Для частиц, вылетающих в нижнюю полусферу,
d —z0 — 7?sin 0 cos <р
h=----------------------У; t2=(d—Zo)/v.
(3)
(4>
V
Здесь ф — азимутальный угол, отсчитываемый для верхней полусферы от поло-
жительного направления оси z, для нижней — от отрицательного. Угол 0 отсчи-
тывается для верхней полусферы вверх, для нижней — вниз.
3.16. Начало импульса тока соответствует моменту прохождения частицы
через детектор. Форма импульса тока показывает, в каком месте и направлении
прошла частица через детектор. Интеграл от импульса тока равен заряду, обра-
зованному частицей в объеме детектора.
3.17. Взаимодействие между разноименными зарядами в ионизационных
детекторах надо учитывать, когда образованный частицами заряд становится по
порядку величины равен заряду, который емкость детектора способна удержи-
вать на электродах при поданном напряжении, т. е. при
qo^UC. (1)
Оценим, какое энерговыделение в детекторе требуется, чтобы образовался
такой заряд.
Пусть U—1 кВ; С=10 пФ. Тогда gb'MO-8 Кл~10и носителей. Принимая
эВ, получаем <^~2-1012 эВ=2«103 ГэВ.
150
3.18. Поскольку область поглощения квантов с энергией 10 кэВ в жидком
-ксеноне чрезвычайно мала (1/|х=2‘10“э см), протяженностью области иониэа-
щии можно пренебречь. Время дрейфа электронов до анода ^p=d/y=2 мкс>
>^возб> поэтому передний и задний фронты импульса тока определяются дли-
тельностью импульса возбуждения. Импульс тока имеет плоскую вершину,
причем
t=2,4-10-7 А.
3.19. Рис. 3.4.
3.20. Рис. 3.10.
3.21. Основную роль будут играть емкости: собственная емкость детектора
*СД, монтажная емкость выходных проводников и сопротивления нагрузки См
и входная емкость первого электронного блока, подключенного к детектору, Свх.
-Все эти три емкости можно считать включенными параллельно, как показано па
рис. 3.4 пунктиром, причем
С=Сд-]-См-}-Свх. (1)
Эквивалентная емкость С интегрирует сигнал.
3.22. Ток, протекающий через детектор при движении в нем зарядов, во
внешней цепи будет разветвляться на две составляющие: —ток через со-
противление R и ic(t) —ток через емкость С. Запишем условие Кирхгофа для
узла:
Ф)=М0+М0- (I)
Если в результате протекания тока через нагрузку R на выходе появляется на-
пряжение и, то для компонент тока можно написать
i*(t)=u/R\ (2)
ic(t)=Cdu/dt. (3)
Подставляя эти выражения в (1), находим
da и 1
<4)
at RC С
Полученное дифференциальное уравнение справедливо для большого числа детек-
торов. При его выводе не конкретизировались ни форма электродов, ни веще-
ство детектора, ни тип движущихся зарядов.
Дифференциальное уравнение (4) есть неоднородное уравнение первой сте-
пени. Его общее решение имеет вид
и (/) = ехр ( —t/RC)
t
М’+Т р(/')ехр (<7*0^'
о
(5)
где Uq — постоянная интегрирования, физический смысл которой таков — это по-
тенциал на выходе, оставшийся от регистрации предыдущей частицы в момент
прохождения через детектор регистрируемой частицы. Если для упрощения ана-
лиза принять, что частицы попадают в детектор редко, так что процессы от при-
хода одной частицы полностью заканчиваются к приходу другой, то можно
положить «о=О. Тогда имеем
и = J - ехр (t'/RC) dt'.
о
151
3.23. Отрицательный импульс. Для получения положительного импульса
в этой схеме сигнал ладо снимать с другого электрода, как это показано на
рис. 3.11.
3.24. Вывод выражения для Q(/) аналогичен выводу выражения для
и(/) (см. задачу 3.22). Окончательная формула имеет вид
Q (О = ехр ( — t/RC) J i (t') ехр (/'[RC) dt'. (1>
0
3.25. Q_ = qa e 4. j0-i6 цл; A_ = q_/c = 2. ю~4 B
a
<2+ = Wo/d = 2. Ю-i» Кл; A+ io-4 B;
Q = Q+ + Q- = 6-10-1» Кл; л = Д+ + л_ = 3-10—4 В;
3.26. Q_(0=<7«y [1-ехр(-//ЯС)]. (1)
Графики зависимости Q(/) при разных значениях RC/Т приведены на
рис. 3.12.
3.27. 7\ = 2,8 мс, следовательно, /?>100 МОм; Т-=6 мкс, следовательно,
2-105 Ом.
3.28. Рис. 3.13.
3.29. Д]=2,7 мВ; Дг=3,5 мВ.
3.30. Q_=1O-1S Кл.
3.31. Q(0 = <7n-zr-----^-[ехр(— th)— ехр ( — t/RC)]. (1)
1 о т — КС
Для заряда, образованного на расстоянии Хо от положительного электрода,
t = Ркар, если <вар <х0/о; (2)
ф \xofv, если <иар>Х0/и.
152
Значение /пар определяется из условия du/di=Q:
tRC , RC
” z • (3)
при RC=X 6iap=T
Qmax=Q (/ = /ф).
При фиксированном RC, если /Hap<d/y> т0 c уменьшением x0 амплитуда не
меняется, пока не выполнится равенство ta&p=xo/v. При дальнейшем уменьше-
нии х0 амплитуда падает в соответствии с формулой
RC т
Чпах W = У* ~т-------^Г~ teXP < ~ехР ( — *о/»ЯС)1- (4)
Если же при максимальном Xo==d ^нар>х0/и, то амплитуда импульса падает по
формуле (4) сразу с уменьшением Xq.
Таким образом, в некотором диапазоне значений т и RC амплитуда импуль-
са не зависит от места прохождения частицы,
а
3.32. Л = Л0 —[1—ехр( —х/3)]. (1)
Отсюда
Л1/Л2=[1-ехр (-Xi/б)]/[1—ехр (-х2/б)]. (2)
Используя соотношение xi=2x2, раскладываем числитель (2) на множители
как разность квадратов и получаем
Л!/Л2=1+ехр (—х2/1б). (3)
Следовательно, б=х2/1п [Л2/(Лi—Л2)] =0,59 см.
3.33. В данном случае x=RC. При этих условиях
И (0 = 7- ~ exp ( — tfr) (1)
С 1 о т
и ^нар=т. Поскольку ^нар>Г_, то согласно результатам задачи 3.37 /ф=7'_.
Следовательно,
А=и(/ =/ф) =7-7^-— ехр (—Т_/т) =2,1-10—8 в.
С 10 т
3.34. Чтобы для области камеры от катода до середины амплитуда импульса
не зависела от места прохождения частицы, требуется выполнение неравенства
/нар^То/2. (1)
Следовательно, iRC RC—-\ с т 2 (2)
При RC > т это дает То (%с .\
при RC < т In т I — — 1 ; 2RC \ т J RC 'То f RC Д (3)
In т 2RCV т } (4)
153
Неравенства (3), (4)—трансцендентные и могут быть исследованы графически
(рис. 3.14).
Сначала исследуем- область Если T0/2i/?C<1, то правая часть соот-
ветствует прямой /, и условие (2) выполняется, если
где (RC/i,)' определяется из равенства
,„«с д
т 2RC \ т /
Если Т’о/2/?С>1> то правая часть неравенства соответствует прямой 2 и ни приг
каких значениях RC нельзя удовлетворить условие (2).
Рис. 3.16
то правая часть неравенства соответ-
В области если Тс/2/?С>1,
ствует прямой 2 и условие (2) выполняется, если
/ RC \" RC
где (/?С/т)" определяется из равенства
1 Т _ Тб (1^ RC
RC 2RC \ т /’
Если Т’о/2/?С<1> то правая часть неравенства соответствует прямой 1 и
каких RC нельзя удовлетворить условию (2).
3.35. Амплитуда импульса от однозарядной релятивистской частицы,
дящей в камере нормально к электродам, на выходе усилителя будет
~5‘10-3 В, что меньше уровня шума. Следовательно, такие частицы зарегистри-
ровать в указанной камере нельзя.
3.36. Q = /7o/(1-R/£)=5,8-10-В * * * * * * * 16 Кл.
ни при
прохо-
равна
154
3.37* Согласно (3.12.4)
/(0 = (^оДо)/(1-//Го);
Q(0«<7o[(//r0)-(Wo)]. (1)
3.38. Подставляя выражение для тока (3.12.4) в (3.24.1), после простых
преобразований получаем
RC Г / RC \ 1
1 + -^ . (О
1 о L \ * о / J
Эта формула справедлива только до То, а затем напряжение меняется по экс-
поненте с постоянной времени RC. Легко проверить, что касательные слева и
справа от То одинаковы, т. е. кривая 1 переходит в экспоненту без перелома.
Формы импульсов заряда для различных соотношений RC/Tq приведены на
рис. 3.15.
3.39. /нар=£С In [ (Т0//?С) 4-1]. (1)
Зависимость /Hap/T0=f (RC/Tq) приведена на рис. 3.16. В случае, когда дрей-
фующий заряд не изменяется /Нар=Т0 при любых значениях RC.
Различие в формах импульсов в этих случаях объясняется следующим
образом. Процесс накопления индуцированного заряда можно рассматривать как
зарядку конденсатора С током детектора и одновременную разрядку его через
резистор R. Пока ток зарядки превышает ток разрядки, заряд на конденсаторе
растет. Амплитудное значение достигается, когда эти два тока сравниваются,
затем заряд начинает спадать. В тех случаях, когда ток детектора постоянен,
токи зарядки и разрядки сравниваются только в момент То.
В случае, если ток детектора убывает, он сравнивается с растущим током
зарядки в момент /нар.
3.40. Амплитуда импульса
= + (1)
ч L 1 о \ J
Q=2,7-IO-*5 Кл.
3.41. При уменьшении давления увеличивается пробег частиц и пе умещает-
ся в объеме камеры, из-за чего амплитуда импульса упадет. Если считать, что
ионизация вдоль пробега частицы распределена равномерно, то уменьшение дав-
ления вдвое приведет к уменьшению амплитуды в 2 раза. Если ж учесть, что
ионизация распределена вдоль пробега, по Брэггу, то амплитуда импульса упа-
дет примерно в 1,6 раза (см. задачу 1.78).
3.42. Сравним амплитуды импульсов от частиц, вылетевших из источника на
отрицательном электроде перпендикулярно и параллельно плоскости электрода,
в двух случаях: a) RC^T-; б) RC=T_.
a) Ai=<7o/2C; Ai^qt/Q Ai/A2=0,5j
б) А1=(?о/С)(1-1п2); А2 = (<?о/С) [1—ехр (—1)]; А./А2 = (1—1п2)/([1—
—ехр(—1)]=0,485. Как видно, различие составляет примерно 3
3.43. Т+=а2/(ц+/7) =5,640-3'с; £С=5-10-2 с.
Поскольку амплитуды импульсов в случаях а) и б) при R=
= 200 МОм одинаковы и практически равны Аа=<7о/С=1>45 мВ. При уменьше-
нии сопротивления нагрузки до R = 5 МОм выполняется неравенство T+^>RC^>
^>Т^, поскольку Т_=1,1-10“5 с, а 2?С=2,5-10-4 с. В этих условиях амплитуды
155
импульсов напряжения равны: а) Л=Л0(1—Ra/2d) = l,03 мВ; б) А —
=AoRa/(2d)=O,42 мВ.
3.44. Согласно (3.14.1) и (3.14.2)
= при
0< t < (d — Rcos(l)/u;
v(t—(d—Rcos 0)/иУ| d—RcosO л ..
-----------------при-------------
R cos 0 J и
Отсюда
Л_
~(d—R cos 0)/o
dt 4”
о
dfv
J dt~
(d—R cos 9)/и
C d
d{v
f v [/— (d — /?cos0)/tt)
i 1 dt
J R cos 0
(d—R cos Q)/v
(2)
После интегрирования и преобразований получаем
Л=Ао(1—Rcos0/2d). (3)
3.45. Амплитуда электронной компоненты импульса напряжения в цепи вы-
соковольтного электрода дается формулой (3.44.3). Минимальная амплитуда со-
ответствует 0=0°
A^n=AQ(l-R/2d). (1)
Максимальная 0 = 0О
Л.m(1—Rcos0o/2d), (2)
где Ао=&а,е/й)С.
Считая, что примесь ацетилена практически не изменяет пробег а-частиц,
находим Ra=2 CM^di. Для смеси Аг—1-0,2 % С2Н2 w=21 эВ; Ло=2-1О-3 В. На
выходе усилителя Лтах=Ю,04 В; Л min=10 В.
Таким образом, в качестве амплитудного селектора надо установить диффе-
ренциальный дискриминатор. Нижний порог дискриминации должен быть меньше
10 В, а верхний равен 10,04 В.
3.46. Форма импульса тока задается выражениями
i(t)=qQvld при 0<^<^; (1)
и Г« v У — /i) 1
ИО = 9о-г 1------п₽и<1</<^ (2)
d L R sin □ ]
Для частиц, вылетающих влево от оси коллиматора,
d—х0 d—xo + Rsin0
Для частиц, вылетающих вправо от оси коллиматора,
d—х0— Rsin О
4=
d—х0 . . <7р [d—х0 7?sin 8 |
~ v ’ 2~ С [ d 2d J' ( )
Для частиц, вылетающих по оси коллиматора;
А =
Яп d
С d
156
Таким образом,
А А q0 /?sin9 АЛ Rsin9
да= ———; т = з—* <5>
Cd A d—х0
При условиях, заданных в задаче, ДЛ/А = 0,42.
3.47. Поскольку амплитуда импульса в ПК в данном случае определяется
только углом 0 к направлению силовых линий электрического поля, под кото-
рым частица вылетает из источника, число импульсов с амплитудой в интерва-
ле от А до A-|-dA будет равно числу частиц, вылетающих в телесный угол dQ,
Для изотропного источника, излучающего NQ частиц в 4л, имеем
N(A)dA=-^dQ. (1)
В данном случае dQ=2rcsin0d0, откуда
N (л) = sin 0 / аГ' (2>
z / ду
Воспользуемся зависимостью амплитуды от угла 0, полученной в (2.44.3),
4=Д0(1—Яа cos 0/2d).
Тогда
;У(Л)=^МоЯа (3>
и не зависит от А. Амплитудное распределение простирается от АШах=А(0=-
=9О°)=Ао до Amin=A(0=O°)=Ao(l—Ra/2d). Следовательно, относительная ши-
рина распределения равна
6= (Ашах—Ащ1п)/Атах=Яа/2^. (4)
Полученное амплитудное распределение приведено на рис. 3.17 (сплошной
линией). Оно соответствует единичному времени измерения. При времени изме-
рения /иэм каждую ординату надо умножить па £ИЗм.
Интеграл от распределения, равный площади под кривой рис. 3.17, должен
быть равен суммарной интенсивности излучения источника в объем камеры. Про-
стая проверка показывает, что распределение получено правильно. Действи-
тельно,
= -ГЪ- [Ло — Ло (1 -Ra/2d)] = ,Ve/2. (5)
В случае, когда источник находится на положительном электроде,
Путем вычислений, аналогичных приведенным выше, получаем
N(A)=Nod/AGRa,t
т. е. распределение такое же, как в случае, когда источник находился на отри-
цательном электроде. Но теперь распределение простирается от Атах=А(0 =
= O°)=Ao^a/2d до Amin=A (0=90°) =0.
График распределения для источника, расположенного на положительном
электроде, также приведен на рис. 3.17 пунктиром. Видно, что предпочтительным
оказывается случай с источником на отрицательном электроде.
157
R/2d 1-R/2d 1 A/Aq
Рис. 3.17
3.48. Амплитуда импульса от точечного заряда, который расположен в цент-
ре распределения заряда трека частицы, вылетевшей из источника на катоде,
равна
A=A0(d—x)/dt
где x=£cos9 (£ — положение центра заряда). В задаче 1.79 найдено, что
^=O,6Z?o. Таким образом,
А = Ао cos 9^ . (1)
Коэффициент 0,6 в этом выражении появляется вместо 0,5 в (3.44.3), где не
учитывалось распределение ионизации по Брэггу.
При анализе амплитудного распреде-
ления распределение треков частиц по уг-
лам вылета заменяется распределением то-
чечных зарядов по расстояниям от катода.
Изотропное распределение по углам приво-
дит к следующему распределению по рас-
стояниям от катода:
N (х) dx, = -^- sine de. (2)
Как легко видеть,
sin9d0=dx/£. (3)
В итоге для распределения координат центров заряда (получаем
tf(x)=M)/l,2^ (4)
Таким образом, распределение по х— прямоугольное, простирающееся от х=0
до х=^, что дает прямоугольное распределение амплитуд от А=А0 до А=
=А0(1—Я/d). Относительная ширина распределения
6A=£/d=0,6£o/d. (5)
Это распределение шире, чем в (3.44), где не учитывалось распределение иони-
зации по Брэггу. Выражение для амплитудного распределения получаем, диффе-
ренцируя (I) и подставляя результат в (2),
Af(4)=TLrh"‘
Ло 1 Х\о
3.49. В задаче 3.48 получено, что относительная ширина распределения
AA/Ao=0,6/?/d. Пробег частицы 'зависит от давления по формуле 2?=2?opo/Pi где
7?о — пробег при атмосферном давлении; р0 и р — атмосферное и рабочее давле-
ние в одинаковых единицах. Следовательно,
бА=0,62?оРо/Р^-
Таким образом, если известны пробег частиц при атмосферном давлении и рас-
стояние между электродами, то, измерив относительную ширину распределения,
можно оценить давление:
p=0,6/?0po/d6A.
Пробег а-частицы плутония в метане при атмосферно«м давлении равен 3,48 см.
Отсюда р=2 атм^0,2 МПа.
158
З.Х КАМЕРЫ С СЕТКОЙ
3.50. На рис. 3.18,а показаны положения трека частицы в различные момен-
ты времени: 1) /=0; 2) Z=?r, 3) t=t2\ 4) t=t$. Форма импульса тока зависит
от угла 0. При больших 0 начало трека достигает сетки раньше, чем конец
трека достигает анода; при малых — наоборот. Граничное значение угла, при
котором одна ситуация сменяет другую, легко вычислить из условия
# COS Qrp | ^2 Ц)
где и —скорости движения в объемах размером и d2. Отсюда получается
Для случая 6 < 0Гр:
— конец трека достигает сетки, tl = (d1 — /?cosO)/ot; '
t2—конец трека достигает анода, /2 = ^i + d2jv2\
t3— начало трека достигает сетки, t3 =т djv^
—начало трека достигает анода, /4 = t3 + d2/v2.
Для случая 9 > 9гр:
—конец трека достигает сетки, iv = (dr—2? cos 9)/^;
t2—начало трека достигает сетки,
i3 — конец трека достигает анода, t3 = 4- d2fv2\
t4—начало трека достигает анода /4=/2 + d2jv2.
Форму импульса тока запишем в обозначениях, при которых выражения
оказываются одинаковыми в рбоих случаях, хотя если в формулы подставить-
значения Л, ..., /з, то, естественно, выражения будут различны.
0 < / <
*3 < * < ^4»
= 0; ।
. _ Я t
G2-/1) 03-^) :
. _ 9_____tj . '
3 h-tj ((з-ti) ’
i - q Г1-*~Ч
/2 Z, ^3 Zi ] ^3 J )
(5>
159
Форма импульса приведена на рис, 3.18,6. При 0=9Гр /2=^/3 и импульс тока ста-
новится треугольным.
Расчеты с такой формой импульса тока весьма громоздки, поэтому обычно
импульс тока на аноде камеры с сеткой аппроксимируют прямоугольником
с длительностью 7=^—h
т_ a3 | ^cos 9
»2 fl
(6)
3.51. Форма импульса тока па сетке приведена на рис. 3.19, Положения
трека в различные моменты времени показаны на рис. 3.18,а. Форма импульса
тока зависит от угла 0. При больших 0 начало трека достигает сетки раньше,
Рис. 3.20
чем конец трека достигает анода, при малых — наоборот. Граничное значение
угла определено в задаче 3.50
cos 9гр =
^2
R v2 *
Для О>0Гр форма импульса дана на рис. 3.19,а, для 0<0Гр— на рис. 3.19,6.
Обозначения моментов времени те же, что и в задаче 3.50.
3.52. Характерные моменты времени для движения электронов с трека ча-
стицы в камере с сеткой приведены в решении задачи 3.50. Время собирания
равно
v2
3.53. Проницаемость сетки — это отношение заряда, прошедшего сквозь сет-
ку, к заряду, образованному в камере.
Движение электронов и ионов в пространстве между катодом и сеткой мо-
жет приводить к появлению наведенного тока в цепи анода, если сетка недо-
статочно эффективно экранирует это пространство. Под неэффективностью сет-
160
кн обычно понимают отношение
Л0
di '
(1)
1де Уа — заряд, наведенный на аноде при движении электронов от места обра-
зования до сетки; Qo — заряд, образованный в камере.
Знаменатель xo/di показывает отношение наведенного и образованного за-
рядов, если бы сетки не было, а анод был бы на
3.54. Эквнпотепциали и силовые линии в
камере с сеткой при условии, что напряжен-
ность поля в промежутке анод — сетка боль-
ше, чем в промежутке сетка — катод, показа-
ны на рис. 3.20. Если предположить, что элек-
троны движутся по силовым линиям, т. с. пре-
небречь диффузией, то из рисунка видно, что
такое распределение напряженности поля фо-
кусирует электроны в пространстве между
проволочками сетки.
Проницаемость сетки достигает 100% при
условии
dr-dip -2£э ’ ( >
ее месте.
где р = 2лг/$; |= — (.— — In р I; остальные обозначения ясны из рис. 3.20.
2л \ 4 /
3.55. Методом конформных отображений получено выражение для неэффек-
тивности сетки
(1)
2л d2 \ 2лг/
Обозначения приведены на рис. 3.20. Используя выражение для а, можно за-
писать
заряд, индуцированный на аноде
------------------------------- =oxc/dt. (2)
заряд, образованный при хс
3.56. Проверкой убеждаемся, что пробег а-частицы практически равен рас-
стоянию катод — сетка. В этом случае форма-импульса тока имеет вид:
а) 0<«Т, :,(0 =0;
T<t<2T, i2(t) =q/T=5,45 нА;
б) 0<t<T, h(t)=qt/T*=5,451 /Т нА;
T<t<2T, i2(t)=q(2T—t)/T2=5,45{2T—t)/T нА;
Т=4,4 мкс.
Формы импульсов заряда и амплитуды импульсов соответственно равны:
a) Q,(0=<7/2/2T2;
Q,mal=q/2=l,2-10-14 Кл;
Qs (0 =2qt/T—qt2j2T2— 1,5q\
Q2max=(7/2=l,2.10-14 Кл;
Qoo«a=Q1'nax+Q2mal[=9=2,4-10-“ Кл;
11—5266 161
6) Q2(t)=qt/T; Qmax = ^=2,4*10-14 Кл.
Графики импульсов тока и заряда приведены на рис. 3.21.
3.57. Форма импульса заряда вычисляется из следующих соотношений:
Qi(O=0;
t
Q2(0 = exp( — t/RC) J 1Я(О exp (///«?) Л; (I)
G
3). *,<<</„ Qs(O = e-"₽c
t
^i2(t) t^dt + J i3 (0 tl,RCdt
fi ti
(2)
4). *8 <<</,; <?4(/)=е-'/лс
J i2 (t) e‘lRCdt + J ia (t) JIRCdt +
.А Л
+J* «« (0 ^tlRCdt
(3)
Учитывая форму импульса тока на втором и третьем временных интервалах
и понимая связь момента достижения амплитудного значения с формой импуль-
са тока (см. задачу 3.39), можно утверждать, что максимум Q достигается
только на четвертом временном интервале при любых значениях RC. Поэтому
вычисляем Qi(/), исследуем на максимум и находим /ф, а затем и амплитудное
значение @4(/ф)=Л.
Для 0<0гр, используя выражения для i(t) из задачи 3.50, находим
| __L 2з_
I RC' RC ' RC '
ta = RC In etilRC +
—i IRC Г (RC M (*2 G) t.lRC t./KCll
L Rct2 t2 ]/
G^h/RC_______ (RC ^1) (^2 G.) 11/Rcl.
RC RCt2 J ’
_ g^RCy ( <3 t2— tx _
Vmax (t2 — try (<3—fx) l/?C+ RC
in -1- tg’~tj- p‘iiRc № G) (*2 —4)
-ln[ + t2 e RCt2 Jr
(4)
(5)
(6)
При 9 =0 и R = /j = 0 и формулы упрощаются:
л /м ^о(^)2 Г t _'_L I -Ь-4. А_ , Р-ЧКС(. _.etilRC i
Q(0= Г яс+яс + 7?с+е (| е
<а = RC In (e',/RC + е(’/лс — 1);
- '• 7Г РтГ’ -<’’+ е'''С-1 > I'
*2^3 L J
(8)
(«)
Q
Xmax
3.58. Для частиц, влетающих под углом 9=90°, амплитуда импульса запи-
сывается в виде
<?тах = '?•—(' -е'Р(- WRC)].
12
162
При RC—2f2 Qmax/^o—0,79.
Для 0=0° по формуле (3.57.9) при /з=2/2 и RC=i2 находим
Qmax/^о = О,57.
Относительный разброс амплитуд импульсов, соответствующих крайним
углам, 6 = 28 %. Таким образом, дифференцирование импульсов /?С-цепью на
выходе камеры приводит к очень большому разбросу амплитуд. Поэтому обыч-
но на выходе из камеры устанавливается большое сопротивление, так что RC^
^>/3, а последующее формирование сигнала (дифференцирование и обязательное
интегрирование) проводится соответствующими цепями усилителя.
3.59. Амплитуда импульса в данном случае определяется простым соотно-
шением
RC
где T=t2 для 0=90° и Т=/3-|-/2 для 0=0°; Qmax/<7o(0=9O°)=O>79; Qmax/^o(0=
= 0°)=0,52; 6=34 %. Принятое допущение увеличивает вычисляемый разброс
амплитуд.
3.60. На амплитуду импульса в камере с сеткой влияют следующие фак-
торы:
1) энергия регистрируемых частиц;
2) потери энергии частиц в материале источника и, если есть входное окно,
то в материале окна;
3) потери энергии частиц в газе камеры на пути через отверстия дюз, если
имеются дюзы;
4) рекомбинация зарядов, образованных частицей в треке;
5) появление дополнительных электронов за счет неупругих соударений вто-
рого рода;
6) захват электронов при их дрейфе в газе электроотрицательными при-
месями;
7) захват электронов проволочками сетки;
8) размножение электронов на проволочках сетки;
9) наведение заряда на анод при движении электронов и ионов в простран-
стве катод — сетка за счет неэффективной экранировки сеткой;
10) дифференцирование и интегрирование импульсов переходными цепями
усилителя.
Факторы 1—4, 6, 7, 10 уменьшают амплитуду, факторы 5, 8, 9 увеличивают.
3.61. Число импульсов в интервале От А до A-j-dA равно W(/l)dA. В то же
время это число равно числу квантов, поглощенных в слое dx на глубине х:
N(A)dA=NQS ехр (—цх)це/х. (.1)
Отсюда искомая функция
/б/Л
— - (2)
ах
Зависимость амплитуды импульса на аноде от места поглощения кванта
с учетом того, что электроны могут захватываться и за сеткой и коэффициенты
поглощения до сетки и за сеткой могут быть различными, дается выражением
А(х) =Л0 ехр [—г|((dt— х) ] ехр (—42^2). (3)
163
11*
Тогда
dAjdx == Лот)х ехр [ —(d — х) ] ехр ( — т)аds) = т^А. (4 )
Следовательно,
N (Л) = ТГехр (— М- (5)
Л 41
Чтобы исключить зависимость от х, выразим х из (3) и подставим в (5):
Л/(Л)=^‘^(^У/,1,ехр1 ~и (dl+V‘ d2)l- (6)
A i'll \ Л J L \ /1
Амплитудное распределение простирается от А до А :
min тол
4min(X=0) =Л0ехР[— (Ml + Ws)J; (7)
= di) = лоехр ( —Mi)- (8)
Выразим № (А) через
^тах = N (Л = Лт1п) = ех₽ + Мг)! (9)
N (А) =^тах ехр[—Iх (rfi +“ —Mi —Maj- (1°)
Если для упрощения положить 7h=v)2, а также обозначить dt + d2 =* d, то
N (Л) = *п1ах + (11>
/
при ЭТОМ JVmax=M)SM> ехр (r]d) /Л0Т].
Исследуем полученное амплитудное распределение:
а) при ц<^т]
Л'(л)=Л,тах^-ехр(-^)- <12>
б) при Р» Г]
(А \
ехр(-И). (13)
3.3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ КАМЕРЫ
3.63. i=qvE/U=q^u/r2 In2 (rK/ra), (1)
где г — текущая координата точечного заряда. Чтобы получить ток как функцию
времени, надо найти зависимость r=f (/). Запишем дифференциальное уравнение,
связывающее смещение в электрическом поле dr за время dt,
dr=vdt=iiUdi/r]n (rK/ra). (2)
Интегрируем это уравнение и получаем
r2=r02+2gl7//in (Гк/Га).
(3)
164
Окончательно имеем
------------!---------- (4)
»'<>к/г.) •«• + 2|U/i/ln (гк/га) •
/+(/ = 0)=70ц[7/г02 In2 (Гк/Га). (5)
Подставляя в (4) выражение для Т± из (3.65/2), получаем
i+(t=T+) =q^U/rJ In2 (гк/ra). (6)
3.64. В общем случае l^q^E/U* E=U/r]n (гк/гл).
а) /_ = <70|л[7/г2In2 (гк/га), где г—координата положения заряда. Чтобы най-
ти зависимость запишем очевидное условие
dr=—vdl=—ycUdt/[r In (гк/га)]. (1)
Интегрирование этого уравнения дает
г2=Го2-2иШ/1п(гк/га). Р)
Окончательно
------------1----------
Интегрирование (1) в пределах от г0 Д° по координате и от 0 до Т_ по вре-
мени позволяет найти время собирания отрицательных зарядов
Т- = (Го2-Га2) 1П (Гк/Га) /2цСЛ (4)
Подставляя в (3) в одном случае f=0, а в другом /=Т_, получаем
I- (/ = 0) = q^U/rJ In3 (rK/ra). | ,5.
i-(t =Т_) = ад^/'а31п2(гк/га). f ’
б) i_ = <70aC/l/2 /А2 ln3/2 (гк/га). (6)
Проделав преобразования, аналогичные сделанным в п. а), находим
г3'2 = г.3'2 — l,5aUt/2 Z/lnl/2 (rK/ra); (7)
Т_ = (г?'2 - ra3'2) In1'2 (гк/га)/1,5аУ‘/2 ; (8)
________________-____________; (9)
In3'2 (rK/ra) r03/2 — t (r312 — r?l2)IT_
i_(t=C)= qtaU}‘2 /г3'2 In3'2 (гк/гау, 1
i_ (t = T_) = q9aU1'2 /r3‘2 ln3/2 (rK/ra). I
<11)
z*__ =-----------------!--------- /j2)
ln(rK/ra) r0—(r0—ra)/T—
l__ (t = 0) = q^vjr^ In (rK/ra); i_ (f = T_) = q^/r^ In (гк/га). (13)
3,65. Время собирания в общем виде
T=Jdr/v (1)
165
Для ионов при v=y,E=^U/г In (rtt/r0)
Г+= (rK2-ra2) In (Гк/Га)/2|Х£7. (2)
Положение заряда г0 для ионов при равномерном облучении может меняться
от гк до га. Таким образом, время собирания будет максимальным при rQ=ra.
В жидком ксеноне р,+=10“2 см2/(с-В), поэтому 7'+ = 30 мс.
В жидком ксеноне при £>102 В/см скорость дрейфа электронов почти не
зависит от напряженности поля и равна ро=2-1О5 см/с. Поэтому для электронов
7'_=(г0—ra)/vQ,
Время дрейфа будет максимальным при го=гк, следовательно,
Т_ = (гк — га)/у0 = 5,3 мкс.
t
3.66. Q_(Q = J i(t)dt.
e. . ЧйУМ____________!_______ гП
} l~W i^2(rK/r3) r2—(r2—ra2) t/T_’ [)
Q—(t) = gB {In (r») - In [r2-t (r2 -r32)/T_]}/2 In (rK/ra) (2)
Л— = <?_(< = Г_) = qa In (r/ra)/In (rK/ra) (3)
q-aU1!2 *
6) z- (0 = —777---------777----7^-----’ (4)
ln3/2 (rK/ra) r3/2 - (r3/2 - r^2)t/T_
Q-{t)=q3{\n (r’/2)—In [r3/2— (r3/2-ra3/2)Z/T_]}/l,5In (rH/ra); (5)
4_=Q(/=T_)=^oln (r/ra)/ln (rK/ra). (6)
в) i_ft)=qQvQ/(r—vQt) In (rK/ra); (7)
Q_(O=<7o[ln r—In (r—ttf)l/ln (Гк/га); (8)
zl_ = Q_(/=T_)=goln (r/ra)/ In (гк/Га); (9)
T_=(r—r&)/uQ.
Сравнение выражений для А в случаях а), б), в) показывает, что формула
для амплитуды импульса одна и та же независимо от вида функции v=f(E).
3.67. Поскольку в данной камере пробег а-частицы от распада радона
Яа—0,2 см много меньше расстояния между электродами, область ионизации
можно считать точечной. В этом случае Д=1,9 мВ.
3.68. Д/Ао=1п (r/ra)/ln (r«/ra) для любого вида зависимости v=f(E).
3.69. Число импульсов с амплитудой от А до A-[-dA равно числу областей
ионизации в цилиндрическом слое радиусом г и толщиной dr
N (А) dA=nQh • 2nrdr.
(О
Искомое распределение
Л;(4) = nQh-2nr
(2)
Зависимость Л=/(г) найдена в задаче 3.66
Л=Л01П (Г/Га)/1П (Ги//-а).
(3)
166
Тогда cL4/dr=A0/Hn (гк/Га), следовательно, N(A)=n0/i*2«r2 In (nt/rQ) /Ао. Вира* >
жаем г через А из (3):
г = 'а (гк1га)А1Ал.
Окончательно
v л04-2лга2 In (гкЛа) / гк у4/Л0
** (А) —
2tw0/z , t
——'ка In (Гк/'Га)-
(4)
(5)
Рис. 3.23
Теперь можно выразить N(A) через AZmax‘
N (A)=N
' 7 max
2 \(А/Л0)—1]
(6)
Вид полученного распределения приведен на рис. 3.22 (кривая 1).
Проверка: интеграл от N(A) должен быть равен произведению л0 на объем
детектора:
Ло
j JV (Л) dA = nthn (rK* —rj). (7)
О
3.70. Путем пустых преобразований, аналогичных проделанным в задачах
3.47, 3.69, находим, что в этом случае, когда анодом является внешний цилиндр,
амплитуда электронной компоненты импульса напряжения равна
А=А0 In (г2/г) /1п (г2/п). (1)
Отсюда
\dA/dr\=AQ/r\n (г2/п).
Вычисление амплитудного распределения в этом случае принципиально не
отличается от проделанного в 3.69:
(Г-t \2А/Ао
7- ; (2)
(3)
167
Wm a X=W (А = 0) = noh • 2пг22 1П (г2/г 1) /А о.
При А=Д0
N0о) =Nmax (^Аг)2.
(4)
3.71. Выражение для N (Л) найдено в задаче 3.69:
jV (Л) = А7
4 7 max
//a_V pJL\2AMo
\ Гк / \ Га )
(1)
/V
max
2
= М (АЛ = К
v 17 max
/_Гд_у /_Гк_\2^|Мо
\ ГК ) \ Га /
Отсюда
ю=1—^k = ln2/21n(rB/ra). (2)
до
График зависимости <a=f(rn/ra) приведен на рис. 3.23.
3.72. Будем учитывать различие времен собирания зарядов, дающих ампли-
туды, отличающиеся на ширину пика амплитудного распределения на половине
высоты. Соответствующее значение гх равно
1 °>Э5
гг = га ( ] 1п ^гк/гв) ,
\ Га /
Используя простейший вид связи y = f(£), находим
Т —Tr . t . .-0,35/1п (Гк/Г )
тах 1 I—('к/Га) К а
б/ = = - -
max j га/гк
(1)
(2)
га/гк.........................10—§ 10-2 10-1 0,2
ат, %.........................зо зо зз 37
3.73. Вид амплитудного распределения в ЦК без учета выхода с трека най-
ден в задаче 3.69, а ширина пика в 3.71.
Качественное рассмотрение показывает, что учет зависимости выхода с тре-
ка от напряженности электрического поля уменьшает ширину пика. Действи-
тельно, наибольшими по амплитуде оказываются импульсы, которые соответст-
вуют квантам, поглощенным вблизи катода. Но электрическое поле вблизи ка-
тода мало, это уменьшает выход с трека, а следовательно, и амплитуду импуль-
са. У импульсов, соответствующих у-квантам, поглощенным ближе к аноду,
амплитуды импульсов меньше, чем без учета выхода с трека, но это уменьше-
ние слабее, так как поле здесь сильнее, а выход с трека больше. Таким обра-
зом, различие в амплитудах, связанное с различным путем дрейфа электронов,
частично компенсируется различным выходом с трека и ширина линии умень-
шается.
Для количественной оценки этого в выражение для амплитуды импульса
(3.66.3) введем зависимость выхода с трека от напряженности электрического
поля
<7=(?о/(1+А/£)> (I)
где k— коэффициент рекомбинации. Получаем
Aoln(r/ra)______
р+^1п(гк/га)фп(гк/га) •
(2)
168
Амплитудное распределение находят так же, как и в задаче 3.69:
/ ^А . _
/V (А) =п0/Г’2яг / —. (3
Функция А (г) имеет максимум при определенном значении г—г'. Максимум
отвечает условию dA/dr=Q, При подстановке такого значения производной в (2)
в амплитудном распределении появляется особенность—бесконечное значение.
Причина появления расходимости — предположение о точечности области иони-
зации.
Получить выражение для амплитудного распределения в явном виде затрудг
нительно. Однако соответствующие зависимости можно рассчитать численно. Ha
рис. 3.22 (кривые 2—6) приведены амплитудные распределения, рассчитанные
из выражения
/V = no'l'2nr 11 + ln (fK/ra)/{7l {41
[Л0/г In (ГкАа)] — Ak In (.rK;rz)/U
при условиях 2лпой=1 и Ао=1.
Бесконечность в выражении N(A) и двузначность функции N(A) получают-
ся, когда максимум функции А (г) достигается при г'<гк. Если же г/>гк, то
функция оказывается однозначной и расходимости в решении нет. Если г7
то это соответствует случаю, когда выход с трека можно не учитывать. При
этом относительная ширина линии определяется выражением (3.71.2). По мере
уменьшения г' линия сужается, достигает минимума при r'=rv, а затем снова
растет. Значение г' уменьшается с ростом параметра
b=kln(rK/ra)/U, (5)
Равенство г'=гп выполняется при Ь—Ък^
= 1/Гк [1п (Гк/Га ) — !]♦ (6)
Соотношение между U и гк/га, при которых г7=гк, при гн = 1 см приведены
в таблице
Ut кВ......................... 2,0 4,0 8,0 10.0 16,0
гк/га.........................15 38 133 222 806 В
В детекторе с геометрическими параметрами, указанными в таблице, nptf
напряжении, большем табличного значения, особенностей в амплитудном распре-
делении не будет. С ростом напряжения ширина линии увеличивается, стремясь
к пределу, определяемому соотношением (3.71.2). При напряжении, меньшем
табличного значения, в амплитудном распределении появляется особенность и
с уменьшением напряжения линия также уширяется.
3.74. Вид амплитудного распределения в ЦК без учета захвата электронов
найден в задаче 3.69, а ширина пика—в 3.71.
Качественное рассмотрение этого вопроса показывает, что наличие захвата
должно уменьшать ширину пика в распределении. Действительно, электроны,
возникшие вблизи катода, проходят больший путь и, следовательно, их захваты-
вается больше, чем электронов, возникших вблизи анода. В то же время элек-
троны, возникшие вблизи катода, формируют больший сигнал, чем электроны,
возникшие вблизи анода. Таким образом, происходит как бы выравнивание
амплитуд, что должно привести к сужению пика.
169
Теперь проведем количественный анализ. Импульс тока с учетом захвата
имеет вид
/(/) = qQv ехр [— (г—р)./Л]/р In (rK/ra), (1)
где L — средний сдвиг электрона в электрическом поле до захвата. Предпола-
гается, что L=f(£); г — точка появления заряда qOi р — текущая координата
положения движущегося заряда.
Амплитуда импульса напряжения определяется, как обычно,
ехр ( —r/L) Г ехр (p/Z.)
А = Ао —------------- | ----------ад.
In (rK/ra) J р
га
Поскольку интеграл в элементарных' функциях не выражается, его можно
разложить в ряд
(2)
Л/Ло =
ехр ( 1—riL)
!п (гк/га)
- со
Sf-П____ г П
, *
п\ nLn
*" /1=1
(3)
На рис. 3.24 приведены зависимости амплитуды сигнала от места возникно-
вения ионизации при различных L, рассчитанные до (3).
Рис. 3.24
Амплитудное распределение вычисляется аналогично задаче 3.73:
W (Д) =--------------------------, (4)
' (rK/raF — 1 |(г/гв) ln(rK/ra)]-i —Лга/Л0Ь ’
где г выражается через А в соответствии с (3).
Рассчитанные кривые N(A) при разных L для гк/га=174 приведены на
рис. 3.25. Видно, что в тех случаях, когда в (4) знаменатель обращается в пуль,
в амплитудном распределении появляется особенность.
Таким образом, при уменьшении L распределение сначала имеет монотон-
ный характер и по форме сходно с распределением без учета захвата. Далее при
170
некотором ЛКр в спектре возникает особенность, и при дальнейшем уменьшении
L в спектре возникают два резких обрыва, один соответствует точке с особенно-
стью, за второй несет ответственность стенка (катод) детектора.
На рис. 3.26 приведена зависимость относительной ширины линии от L, рас-
считанная для ГкАа=174. При L>LbP для расчета использовалась ширина на
половине высоты, при Л<Лкр— разность между двумя резкими краями линии.
Ширина линии оказывается минимальной при L—L](p. Это отвечает случаю,
когда максимум зависимости A=f(r) соответствует r=rK.
Может представлять интерес и связь Лкр с геометрическими параметрами
детектора. Рассчитанная зависимость LKP=f(/к/га) приведена на рис. 3.27.
3.75. Амплитудное распределение для точечной ионизации имело резкой пра-
вый край и при некоторых условиях бесконечную высоту пика. Учет конечных
размеров области ионизации устраняет расходимость и приводит к появлению
некоторого наклона правого края пика. Это можно выяснить, проведя аналити-
ческий расчет, но лучше данную задачу решать методом Монте-Карло.
3.76. Общее выражение для времени собирания
r = Jdr/a. (1)
Интегрирование производится от точки, где заряд образовался, до координаты
соответствующего электрода.
Для ионов v = ^E=[iUb/r2f где Ь=гкгл/.(гк—г&), тогда
гк
(2>
/о
Для электронов — J ir/v знак минус появляется вследствие того,
г0
электроны движутся в направлении уменьшения г:
а.) Т_ = (г08 —ra3)/3|x№:
б)’ T-“^W'2
В) Т- = (Го—Га) /V.
rdr — (r02 ^ra)/2a (Ub)if2 ;
что
(3)
Н)
(5)
171
3.77. В сферической геометрии
еи = г2 =^. • гк f а (1)
где ГкГа/(гк—Га)=&. (2)
Так как для ионов ti=g£‘, то t+ = q^jJJb2/^. (3)
Здесь г — текущая координата положения заряда. Чтобы получить зависимость
г(0> надо найти зависимость г (7): dr /dt = р,£ = ц иЬ/г2\ (4)
r2dr=p,Ubdt. (5)
Интегрируем полученное соотношение: г t У r2dr — J \dJbdt, (6)
г0 0 Отсюда Г4=(ГоЗ_|_3|Л^/)4/Э< (7)
Окончательно имеем (8)
3.78. По теореме Рамо — Шокли для электронов
1-——qvE/U.
Далее рассматриваем варианты:
а) Используя (3.77.1) для Е(г) в сферической геометрии и учитывая, что
для электронов q=—qOi получаем
i~=qopUb2/r4. (1)
Для получения зависимости записываем уравнение движения для элек-
тронов. С учетом того, что электроны движутся против направления оси г,
dr=—\kEdt,
откуда после интегрирования и преобразований получаем
,<=(г0з—3|лС/М)‘/’. (2)
Окончательно
f_=Wt/&n^o-(rsc-r3a)f/7'_]-V». (3)
где
Т_=(г0’-Га»)/3|х1/Ь (4)
при t = T_ 1
при t = 0 i _ = j
6) l-^qoaiUb^/r3; (6)
r3=[r<?—2a(Ub')42t]3/2-, (7)
i_=qaa(Ubs) */2 [r02—2a(Ub) W] -M. (8)
Или, воспользовавшись выражением
T_=(r<,2—ra2)/2a(UbyP, (9)
172
получаем
i_=qoa(Ub*) >/2[ro2- (r02-ra2) t/T-] ~3/2. (10)
При /=Т_ Z_=9oa(W)'/2/ra3; 1
при 1=0 i_=q0a(Ub3)'P/ro*. [
в) dr=—v^dt, откуда r=ra—vt.
i-U)=q0vaUb/(r0—vt)2; (12)
Т-=(Го-Га)/»о; (13)
*_(Z) =?е,Оо6[Го—(Го—r«)//I-)-2. (14)
га
3.79. В общем виде Т=— dr/и.
V
Г о
Дальнейшее вычисление определяется видом зависимости u=f(E),
а) При (7=10 кВ Еа=4,8-104 В/см; Ек=4,3«103 В/см, Во всем детекторе
Е>4*10а В/см.
В жидком ксеноне при Е>4*103 В/см и=3-105 см/с и не зависит от Е. По-
скольку (г0)шах = Гк, то Tmax==(fK—Га)/У=2,3 МКС.
б) При [7=800 В Еа=3,8*103 В/см, Ек=3,4-102 В/см. Во всем детекторе
напряженность поля находится в пределах 102—4-Ю3 В/см. В этом интервале
скорость дрейфа описывается выражением v=aEQ>\ где а = 6-104 см1»2»В-°»2-с~1.
В этом случае Гтох=3 мкс.
3.80. В сухом воздухе |х_=1,87 см2/(с«В);
Г_= (Гк—Га) (Гк3—Гаа)/3И[7ГкГа = 0,22 С.
3.81. Подставляем выражение для импульса тока (3.77.8) в (3.24.1) при
RC-^oo и получаем
t
Q+(t)= q^'b2 J dt (r? + 31Я/М)-4'3. (1)
0
Вычисляем интеграл
Q+(Q = qtb [-i- -(r„3 + 3^Ubt)~*/3j (2
или, подставляя сюда
7'+ = (rK3-r03)/3|iC/6, (3)
находим
Q+ (0 = <Zoft (— - 'Го3 + (Гкэ-Го8) </r+ Г*'3)- (4)
I го J
При t =Т+ Q+ = 4+ =qab (—); [
\ г# гк/ j (5)
при г0 = га Q+ = <70. 1
3.82. а) р = р.Е; (1)
Q_(O =<7оН[г?— — !/г0}. (2
.173
При t = T_ Л_ = qQb ( —- — ). (3)
V 'a rQ /
б)и = а£1/2; (4)
Q_(0 = Со* ;(rd2 — (Го3 — Гаг) //Т_Г1/2-1/>о}- (5)
При t = Т_ Л_ = с0Ь — —- ) . (б)
в) v = у0 = const; (7)
Q_(O =^{ко-(го — ГаГЖ-]— 1/ГоЬ (S)
При i = Т_ = q^b (— — — V (9)
\ Га Г0 )
Таким образом, в трех различных случаях а)—в) зависимости u=f(E) ампли-
туда импульса напряжения получается одинаковой
(Ю)
3.83. Решим задачу для одного вида зависимости v—f(E). Легко проверить,
что и другие варианты дадут тот же результат.
Итак, пусть и = тогда
1=до^иЬ2/г^ (1)
Q (/) = qtiiUb2 J dr/r*. 0 Заменим переменную интегрирования dt=—dr/v (2)
\dr/r*=qob(—-—); (3)
J \ г0 /
Результаты вычислений сведены в таблицу
Гл.................... 1 0,8 0,6 0,4 0,3 0,25
А мВ.................. 2,6 2,4 2,2 1,6 1,1 0,65
Л/Ло................... 1 0,92 0,85 0,62 0,42 0,25
3.84. Число импульсов с амплитудой в диапазоне от А до A-j-dA равно чис-
лу областей ионизации в шаровом слое радиусом г и толщиной dr
N (А) dA—nQ • 4nr2dr.
Отсюда искомое распределение
^(Л)=п0.
Воспользуемся зависимостью Л=^(г) (3.82.10)
А
(1)
(2)
(3)
174
тогда dA/dr=Aob/г2, следовательно,
?/(Л)=п0Ллг4/Л0Ь. (4)
Выражаем г через А из (3)
r* = ra‘ 1 (1 - _л_ Га / л0 ь ) (5)
Окончательно
4тЩп (. га \ Г А / , га \1—*
N Л) = —*!ras 1- —) (6)
л» к гк) L Ла \ Гк J .
4m ^ = ^а-ао)- Ао (7)
N(A)=N 1—- — v ' max г д L га (1—^Г4. Г.. \ гк / I <8)
Проверка: интеграл от М(А) должен быть равен произведению п0 на объем
детектора
Ао
С 4
N(A)dA= — 7i(r?-ra3)«0. (9)
t) &
о
3.85. Воспользуемся выражением для N(A)t полученным в задаче 3.84.
Тогда
Nmax _ Д' [Гк - Лг Гк (1_—'П"4 ,
2 2 max [ га Ло га V Гк / J
где А[ — амплитуда, при которой N(A) =NmSkX/2, После преобразований на-
ходим
Лх _ 21/4 — 1 _ 0,19
® = 1 (гК/П,)-1 “ (гк/га)~ 1 ' (1)
Результаты вычислений сведены в таблицу
Гк/га................ 2 2,5 3 4 5 8 10 100
со. %..............19 12,6 9,5 6,3 4,75 2,7 2,1 0,2
3.86. В СК Л[ — амплитуда, которая соответствует левому краю пика на
высоте, равной половине максимальной,
ЛХ = ЛО 1
0,19
(гк/га) — 1
(О
Чтобы найти координату rlt при которой поглощению соответствует появле-
ние импульса с амплитудой Ah воспользуемся связью (3.82.10) для Л=[(г),_
откуда
г! = ! / ( — --—
/ \ га Ло6
Подставляем сюда At из (1)
r,=rK/2W.
(2)
(3)
175
Используя формулу T=(r—га)/о, находим
Гтах-Г1 'к-^к/1,19 0,16
87=—222---------------------=--------- (4)
^тах Гк —Га 1 —га/'к
Результаты вычислений приведены в таблице
га/гк............................. 0,5 0,2 0,1
ЯГ, %.................. 32 20 18
3.87, Выбираем для сравнения простейший случай:
а) ПК: l = qQV(i/d T_ = d/vQ.
б) ЦК: i = 9oy(j/UK — vQt) In (rK/ra); Т_ = (гк — га)/и0;
h (/ = 0) = №о/гк In (rK/ra); %ах(т-) = <№о/г& In (гк/га).
в) СК: i = (гк-ПоО“г; Т_ = (гк - га)/о0;
г к — га
io (f = °) = Ша/'к (Гк — fa)I \r,ax(7’-) = ?о^</к/>а (rK —ra).
3.88. Будем считать, что вклад в пик дают те импульсы, амплитуда кото-
рых заключена в ширине пика на половине высоты. Из этого условия нахо-
дим Аг
^^Л,—Л, ;
л0
Г 0,35 1
“пил = 1п 2/2 In (rK/ra) = 0,35/ln (Гк/Га); А = А 1 — ;
1 1п (гк/га) I
2^-1 /Лгк . Г. 0,19 1
“с,»_ Ок/Га)—• -°’19/ ( га )’ 1 Л4 (Гк/Га)-1/
Затем по формулам, связывающим амплитуду и место образования заряда,
находим г г.
0,35
ЦК: гх = га (—) 1п^гк^га^ ;
\ га /
1
CK:fl~ 1 гк-1,19га
га гк^а
= гк/1,19.
Доля эффективно используемого объема равна:
. Лл(гх3—Г,2) , гг
о =----------- = I — —
/мгг3к Гк2
Подставляя сюда и, получаем бцил—50%; 6сф~40%.
176
3.4. ТОКОВЫЕ КАМЕРЫ
х х+ах
0
Рис. 3.28
3.89. На баланс зарядов в объеме детектора влияют следующие основные
факторы.
а) Дрейф зарядов в электрическом поле. При этом существенную роль
играет то, какие заряды движутся — электроны или отрицательные ионы. Воз-
можно, что часть пути проходят электроны, затем они захватываются и осталь-
ную часть пути до электрода движутся отрицательные ионы.
б) Диффузия, в частности через боковые поверхности детектора или про-
тив поля.
в) Рекомбинация.
г) При высокой интенсивности облучения в объеме детектора возможно
образование пространственных зарядов.
д) При нейтрализации зарядов на электродах
возможна вторичная эмиссия или отражение за-
рядов.
е) Рабочий объем детектора может быть не чет-
ко определен и изменяться при изменении напря-
жения.
ж) Сложная геометрия электродов.
з) Произвольное распределение ионизации в
объеме.
Учет всех перечисленных факторов невозможен.
Поэтому обычно задачу упрощают. Рассматривают
движение только одного типа зарядов, или только
электронов, или только отрицательных ионов. Пренебрегают объемными заряда-
ми, вторичной эмиссией и отражением на электродах, считают рабочий объем
фиксированным. Анализируют какую-либо относительно простую электродную
систему — плоскую, цилиндрическую или сферическую. Задают определенное мо-
дельное распределение ионизации в объеме — равномерное или сосредоточенное
в колонках или ячейках.
Такие упрощения производят не только в теоретическом анализе, но и при
практическом использовании принимают меры, чтобы работа детектора соответ-
ствовала этим упрощениям. Выбираются материалы электродов, интенсивности
облучения, устанавливаются охранные электроды и т. д. В результате баланс
зарядов в объеме определяют только дрейф, диффузия и рекомбинация.
3.90. В общем виде плотность тока в камере равна
/=/+-|-/-=e(n+»+-|-n_v_). (1)
Следовательно,
j+ = en+v+\ j-=en_v_. (2)
Для определения соответствующих компонент тока надо найти концентрации
положительных и отрицательных ионов и п_. Довольно очевидно, что эти
концентрации не будут постоянными вдоль силовых линий электрического поля.
Заряды образуются равномерно по объему, но положительные смещаются в элек-
трическом поле к отрицательному электроду, а отрицательные — в противопо-
ложную сторону.
Чтобы вычислить распределения концентрации ионов, рассмотрим слой Дх
в сечении х (рис. 3.28). В этом слое на площади 1 см2 рождается ПоДх пар
ионов, где по — количество зарядов, образуемых излучением в 1 см3 объема
12-5266 17t
камеры. Число зарядов, входящих в слой, dx—п(х)&+, выходящих Дх)и+.
В равновесных условиях
ОоЛх= [н (х-]- &х) —п (х) ] v+.
Отсюда получаем
Па _П (х + Ах) —п (х) dn
U4- Дх dx
Аналогично для отрицательных зарядов
tio/v_=—dnjdx. (4)
Решения этих дифференциальных уравнений имеют вид
п+ (х) = (nox/v+) Ч-Cf, (5)
п_ (х) =—(n^x/v-) -|~С2. (6)
Для определения констант интегрирования надо задать граничные условия. При-
мем, что концентрация положительных зарядов равна нулю на положительном
электроде, а отрицательных — па отрицательном:
л+(0)=0; n_(d)=0. (7)
Используя граничные условия, находим значения констант Ci=0;
Следовательно,
л+(х)=пох/о+; (8)
n_(x)=no(d—х)/п_. (9)
Теперь можно найти соответствующие плотности тока
/+=епох; (Ю)
j-=enQ(d—х). (11)
Обратите внимание, что плотности тока отрицательных и положительных заря-
дов оказались не зависящими от скорости их движения. Суммарная плотность
тока равна
i=i++i-=enad, (12)
а ток насыщения
/=enQSd=enQ V=eNQt (13)
где S — площадь электродов; V — объем камеры; jVq— количество пар ионов,
образуемых во всей камере в единицу времени.
3.91. Ток насыщения
I=evxpriS,
где v — удельная ионизация; х — средний путь частиц через камеру; п — плот-
ность потока космических частиц; S — сечение камеры, поперечное потоку ча-
стиц. Средний путь частиц через камеру найдем, полагая, что поток частиц на-
правлен по вертикали. Тогда средний путь равен высоте такого цилиндра, диа-
4
метр и объем которого равны диаметру и объему сферы, т. е.х= — /?(см. за-
□
дачу 6.2). Считаем, что космические частицы — это однозарядные релятивист-
ские частицы с минимальной ионизующей способностью. Тогда для воздуха
178
v=46 см-1. Наконец» принимая плотность потока космических частиц на уровне
моря равной 1,2 см-2-мин-1, находим 7=6,2* 10~15 А.
3.92. Ток насыщения, вызываемый «-частицами, равен
Ia = eqS&a/w,
где q — удельная активность поверхности металла; МэВ — средняя энер-
гия а-частиц; S — внутренняя поверхность катода (площадью анода по сравне-
нию с площадью катода можно пренебречь). Задавая условие 7а^О,17 и исполь-
зуя результат решения задачи 3.91 7=6,2-10“15 А, получаем допустимую удель-
ную активность
0,17ш-3600
= 0,063 см-2.4-1.
На самом деле при рабочем напряжении, обеспечивающем режим тока насыще-
ния для частиц с минимальной ионизующей способностью, для альфа-частиц
ток насыщения не достигается. Это в несколько раз увеличивает допустимое за-
грязнение.
3.93. В задаче 1.78 было получено, что если принять связь пробега частицы
с ее энергией в виде /?=а<!Р, то распределение ионизации по пробегу дается
формулой
dn 8$р / хр 1
dx \ 7?0 )
(I)
где р — давление в камере в долях атмосферного. Тогда а-частица, пробег ко-
торой больше радиуса сферы, образует в пределах камеры число пар ионов
Проведя интегрирование, находим,
п (Р) = по
о
при р < R0/rK>
где п$=&ъ1ю. В результате ток насыщения в камере будет равен
7=/о 1
при р < 7?о/гк;
(2)
(3)
(4)
7 = г0 = aenQ при р Rc/rK. >
Вычисления дают
/ = 5,2-10-,3[1—(1-0,5р)2'3] при /?<2;
/=5,2-10“ 13А при р>2.
3.94. В условиях, когда приходится учитывать рекомбинацию, ток в камере
оказывается меньше тока насыщения. Введем коэффициент
1=1/I. (1)
Распределение зарядов по камере при равномерном облучении получено
в (3.90.8) и (3.90.9). Будем считать, что рекомбинация не изменяет линейного
12* 179
к
О
характера распределения зарядов, т. е.
n+(x) =gn0(x)/o+; 1
n—(x) = t-no(d—x)/v_.f J
Количество пар ионов, рекомбинирующих в объеме, равно
d
ДНрек = s J ₽п+ (х) n_(x)dx. (3)
о
Подставляем (2) в (3) и после интегрирования получаем
где U — напряжение на электродах;
& = 0nod4/n+H-^2 (5)
— безразмерный параметр. Следовательно, относительная потеря тока из-за ре-
комбинации составит
M/I
аДЛрСк_____
= enQSj 6|Л+ |х_ U*
(6)
В этом выражении есть неизвестная величина g. Для ее определения запишем
очевидное соотношение
(/—A0/Z=g. (7)
Отсюда получаем уравнение для определения £
^4+^=°.
о
Его решение после преобразований имеет вид
О)
Из двух возможных знаков при корне выбираем так как в противном
случае g будет отрицательным, что физически бессмысленно. Итак,
e-t(i-Zi+4 ь-1}
(10)
Умножив и поделив (10) на 1 +
получаем известную формулу
Боуга
^ = 2
2 X
1 + Т ь)'
(11)
Используя это выражение, для потери тока находим
Д1// = 4~6/(1 + 1^1+“Г 6) • <12
Вычисление дают Д(//=0,1, т. е. потери тока составят 10%.
3.95. Это одна из основных задач, которые приходится решать при работе
с токовой ионизационной камерой. Решение задачи в общем виде встречает зна-
180
чительные математические трудности, поэтому необходимы определенные упро-
щающие предположения. При решении этой задачи примем те же упрощающие
предположения, что и при решении задачи 3.94, а именно: основная причина
потери тока — объемная рекомбинация; рекомбинация не нарушает линейного
распределения заряда по объему камеры.
Потеря тока за счет рекомбинации найдена в задаче 3.94. Изменим обо-
значение в формуле (3.94.6)
(1)
где C=0nod4/(6p+|ji_). (2)
Тогда из условия (/—A/)/Z=g получаем уравнение
С £2 _|_ £ _ 1 = 0. (3)
Решение этого уравнения, дающее неотрицательные значения К, имеет вид
U2 г
(И+4С/^-1). (4)
Таким образом, для вольт-амперной характеристики получаем Г/2
i = (|/1+4С/С/2-1)- (5)
3.96. Время жизни электрона до захвата можно получить из соотношения
(2.53.6)
1/т=К(О2) [^(O2)]2-|-^(N2)^(N2)^(O2),
откуда находим т^10~8 с. Это значение относится к тепловым электронам. Если
энергия электронов выше, то и время жизни оказывается больше. Так, для элек-
тронов с энергией 1 эВ т^2,5-10~8 с.
3.5. ДЕТЕКТОРЫ С ГАЗОВЫМ УСИЛЕНИЕМ
3.97. Для сравнения эффективности ионизации заряженной частицей и в ла-
вине введем коэффициент 1], который равен числу пар ионов, образованных
электроном1 на один вольт, пройденной им разности потенциалов. Легко видеть,
что коэффициент т] связан с известным коэффициентом ,ударной ионизации а
соотношением
Ti=a/£.
Величина 1/т| есть средняя энергия (в вольтах), затрачиваемая электроном на
один акт ионизации.
Коэффициент т] зависит от отношения Е/р, растет с ростом этого отноше-
ния и при определенном значении Е/р достигает максимума. Именно значение
1/Лтах и надо сравнивать с w. Так, для Аг w—26f4 эВ; 1/т)тах=45 В; для Хе
ш=21',2 эВ; 1/т|тах=38 эВ. Видно, что заряженные частицы несколько более
эффективно образуют электронно-ионные пары, чем лавины.
3.98. Сформулированное в задаче условие можно записать следующим
образом:
a=vP(0, АО, (1)
181
где v — среднее число столкновений электрона с молекулами газа на единице
пути; Р(0, Л,)— вероятность произвести ионизацию при одном столкновении,
равная вероятности не испытать ни одного столкновения на длине пробега, на
которой набирается энергия, необходимая для ионизации. Пренебрегая участием
электрона в тепловом движении, будем считать, что
v-1/Л, (2)
Л/ определим из соотношения
(3)
Полагая, что длины свободного пробега распределены по закону Пуассона, для
коэффициента ударной ионизации получаем
а = ехр (—W[/eEA). (4)
3.99. Запишем коэффициент ударной ионизации в следующем виде:
dn dn I d* z.
a =-----=----- / — (1)
dx dt j dt '
где n — число пар ионов, образованных в результате ионизащТП; dx/dt=v^—
скорость дрейфа. Величина dn)dt — число пар ионов, образованных в единицу
времени, есть величина, обратная времени между ионизационными столкнове-
ниями,
T=(jVait»)~1, (2)
где N— концентрация молекул; сч— сечение ионизации; v— скорость движения
электронов. Следовательно, для коэффициента ударной ионизации можно за-
писать
АГ —
а =--- з/и, (3)
Здесь усреднение проводится по распределению электронов по энергии. Изме-
нение вида функций распределения с ростом параметра Е/р не позволяет полу-
чить какую-либо универсальную формулу для описания коэффициента а. Хоро-
шо известное полуэмпирическое соотношение
а/р = А ехр ( — В I j ,
полученное в задаче 3.98, работает в относительно узком диапазоне значений
Е/р и соответствует почти линейной области изменений а. Обычно для различ-
ных областей значений Е/р используются различные выражения для а/р.
3.100. Таких процессов несколько. Укажем два.
1. Процесс Пеннинга или неупругое соударение второго рода. Если первич-
ный электрон образует возбужденный атом, то в определенных газовых смесях
может идти реакция
X*+Y->X+Y+4-e, (1)
приводящая к появлению нового электрона. Таким образом, происходит раз-
множение электронов,
182
2. Ассоциативная ионизация. Возбужденный атом может порождать элек-
трон и в такой реакции:
X*-LY->(XY)++e. (2)
Такой процесс эффективно идет в благородных газах. В этом случае X и Y —
тождественные частицы.
3.101. т=(/У<ти)-1. Здесь а=2,9‘10~,в см2; v — среднее значение относитель-
ной скорости атомов Ne и Аг,
v = (v2Ne+^2Ar)
йаг=4’104 см/с (см. задачу 2.83); UNe= |/ 2-4-104 см/с. Отсюда а=7-104 см/с.
У—концентрация атомов примеси, ЛЛ=2,7-1019С, где С—относительная концен-
трация. В результате получаем т=1,8 мкс.
3.102. Фотоны, испускаемые возбужденными атомами, являются резонансны-
ми. Сечение поглощения для них составляет 10“1и см2. Поэтому уже при давле-
нии 104 Па свободный пробег резонансного фотона оказывается порядка 0,1 мм.
При этих условиях возникает так называемое пленение резонансного излучения.
Эффективное время жизни возбужденного состояния значительно увеличивается.
Излучение как бы диффундирует в газе. За время жизни фотона могут произой-
ти какие-либо реакции безызлучательного типа, поэтому резонансные фотоны
практически не выходят из объема газа.
Реально наблюдающееся свечение связано с переходами в молекулах благо-
родных газов, образующихся в реакциях типа
Х*-|~2Х->Х2*+Х.
3.103. Способ вычисления зависит от того, что называть пороговым напря-
жением. Широко известны два подхода к этому вопросу.
а) Иногда пороговым напряжением называют такое напряжение, при кото-
ром электроны приобретают энергию, достаточную для ионизации непосредствен-
но на поверхности анода. В этом случае условие ударной ионизации запишем
в виде
е£аЛ=
Отсюда
<Люр = 1^га1п у-/л
(если U выражать в вольтах, a Wt — в электрон-вольтах, то е=1). Средняя дли-
на свободного пробега в аргоне при давлении 1,33’104 Па равна
Л=ЛоРо/р=1,9‘1О“3 см.
Вычисления дают £Люр=465 В.
б) В других случаях пороговым напряжением называют напряжение, при
котором электрон приобретает энергию, достаточную для ионизации на расстоя-
нии от анода, которое равно средней длине свободного пробега. В этом случае
условие ударной ионизации запишем в виде
Vх и
г пор _
Г(=е E(r)dr=— In ( +Л/га).
J In (гк/га)
га
183
Отсюда
rK / / Д \
^ор = ^1п — / In 1 +— 1 =488 В.
1 га / \ га ✓
Как видно, оба варианта расчета дают примерно совпадающие результаты.
3.104. По определению КГУ
ri
In т = а (г) dr, (1)
га
где г* — радиус области ударной ионизации. Коэффициент ударной ионизации а
есть, по сути, макроскопическое сечение ионизации
а=Л^. (2)
Зависимость сечения ионизации от энергии при значениях энергии, не сильно пре-
вышающих порог ионизации, можно аппроксимировать функцией вида
о,=Л(^— №/). (3)-
Предположим, что избыточная энергия электрона &—Wt равна энергии, наби-
раемой им в электрическом поле в промежутке между двумя столкновениями:
&—Wi=eEA, (4)
где Л=1/а.
Подставляя в (4) выражение для напряженности поля в цилиндрической
геометрии
E=U)r In (rK/ra), (5)
а также учитывая (2) и (3), получаем
s —Wt = /U/nV«ln(rK/ra). (6)
(Здесь положено е=1, так как & выражено в эВ, a U в В.). Подставляя теперь
(2), (3) и (6) в (1), находим
_____________ri
In т = \fNaU/In (rK/ra) J r-1/2dr. (7)
h
Интегрирование дает
lnm = 2 |/ AWr.,/ln (гкЛа) (КПЛа — *)• (8)
Значение г/ несколько превышает га, поэтому примем линейную зависимость п
от потенциала. Следовательно, можно считать, что радиус ц, на котором начи-
нается образование лавины при напряжении на счетчике U, связан с пороговым
напряжением £7ПОр соотношением
^=Га^/£/нор. (9)
Подставляя отношение п/га в (8), получаем
In m = 2 |/A'al/ra/ln (rK/ra) (1/77/17^, — 1). (10)
В окончательном виде выражение для КГУ имеет вид
т = ехр [2 /AWra/ln (гк/га) (/(7/77^ — 1)]. (11)
184
3.105. Верхняя граница КГУ, выше которой нарушается пропорциональность,
соответствует заряду в лавинах, который соизмерим с зарядом, накопленным
в емкости счетчика на единицу длины. Этот заряд равен q=CU=2n^U/ln(rK/rft).
При гк/га = Ю2 и t/=103 В </ = 1,2-10-8 Кл/м. В качестве характерной длины
возьмем значение А/^2,6-10-4 см при атмосферном давлении. Заряд, приходя-
щийся на такой участок длины анода, равен 3,1 -10-14 Кл. Чтобы объемный за-
ряд не сказывался совершенно, требуется, чтобы заряд лавины был много
меньше вычисленного. Примем ^л~0,01^=3,1 ♦ 10"1С Кл. Это соответствует
^л/е=1,9*103 электронам в
лавине. При начальной ионизации, равной (10—
—100)е, граничное значение КГУ составляет 2Х
ХЮ2—2-10.
3.106. Так как в счетчике содержится примесь
метана, то процессами на катоде можно прене-
бречь и считать, что все умножение связано с
развитием первичных лавин. Поскольку при каж-
дом ионизационном столкновении число электро-
нов удваивается,
т=2п.
Отсюда число столкновений равно
n=ln m/ln 2с^10.
3.107. Рассмотрим развитие лавин между плоскими электродами (рис. 3.29).
Пусть от электрода с координатой х=0 начинают двигаться п0 электронов. Тог-
да вероятность того, что после прохождения комбинированного слоя x-\-dx
образуется п электронов, будет равна произведению вероятности образования
п электронов в слое х на вероятность того, что в слое dx не будет создано ни
одного электрона, плюс произведение вероятности образования п—1 электрона
в слое х па вероятность того, что в слое dx появится один электрон, и т. д
Р(п, x-\-dx)=P(n, x)P(0, dx)+P(n— 1, х)Р(1, dx)-p ... (1)
Вероятность одному электрону образовать другой электрон в слое dx равна
adx. Вероятность одному электрону не образовать ни одного электрона в слое
dx равна 1—cu/х, а вероятность п электронам пройти слой dx, не образовав ни
одного электрона, равна
Р(0, dx) = (l—adx)n. (2)
Вероятность образования одного электрона в слое dx равна произведению ве-
роятности п—2 электронам не образовать пи одного электрона в слое dx на ве-
роятность одному оставшемуся образовать еще один
P(l, dx)=(l—adx) n~2adx(n— 1). (3)
Здесь множитель п— 1 показывает число возможных вариантов выбора размно-
жающегося электрона.
Вероятностями образования двух и более электронов в слое dx пренебре-
гаем, поскольку эти вероятности есть бесконечно малые. Поэтому в соотношении
(1) достаточно ограничиться двумя членами в правой части.
Теперь запишем вместо левой части уравнения (1) первые два члена его
разложения в ряд Тейлора, подставим (2) и (3) в правую часть, причем вместо
185
членов вида (1—adx)n также возьмем их разложение в ряд и в результате по-
лучим дифференциальное уравнение
Р(п, х) = ехр( —пах) С+ (л — 1)а J Р(п— 1, х')ехр(лах') dx' I.
0
Для определения константы С зададим граничные условия
Р(/70, 0) = 1; Р(п, 0) =0.
Используя эти граничные условия, находим
С = 1 при л = п0; С = 0 при л/-п0.
Для того чтобы найти искомый закон распределения вероятности, будем
лять последовательно вероятности того, что на пути х не появится ни
д
— Р (п, х) Ч-naP (п, х) = (и— 1) аР (п — 1, х). (4)
(7Х
Отметим, что полученное уравнение формально тождественно уравнению
(3.22.4). Его общее решение имеет вид
х “1
(5)
(6)
(7)
вычис-
одпого
дополнительного электрона, появится один, два и т. д. Так как потери электро-
нов данной моделью не предусматриваются, то вероятности появления меньше
по электронов на пути х равны нулю. Тогда получаем
Р(п9х) = ехр( — Поах); 1
Р(п0 + 1, х) = «о ехр ( — поах)[1 — ехр( — ах)]; |
/>(п0+ 2, х) = — + ехр( — поах)[1 — ехр( — ах)]2; j
Р(п, х) = С^4° ехр(— лоах)[1 — ехр( —ах)]'2 '2°. (9)
Воспользовавшись обычными правилами вычисления среднего и дисперсии, на-
ходим
й=иоехр (ах); (10)
D(n)=noexp (2ах)[1—ехр (—ах)]. (11)
Введем обозначение
й/н0=ехр (ах) =т. (12)
Здесь т — среднее значение коэффициента газового усиления. Тогда можно за-
писать
D(n)=n0m2(l—1/ш). (13)
Абсолютное и относительное средние квадратические отклонения соответственно
равны
g (/?) = ml/n01/1—\[т\ (14)
г<л) = 77= V ‘-77- <15>
|/ но г /Я
186
Следует отметить, что проведенный расчет завышает флуктуации коэффициента
газового усиления. Так, при больших т
Цп) Ъ 1//й0.
Эксперимент же показывает
8(n) =sO,67/Kno.
3.108. Выходной сигнал в пропорциональном счетчике формируется в основ-
ном при движении положительных ионов из области ударной ионизации к като-
ду (см. задачу 3.110). В задаче 3.63 была получена формула для формы импуль-
са тока ионов в цилиндрической камере
•11' Vo ln(rK/ra) га24-2цШ/1п(гк/га) ’
В пропорциональном счетчике ионы возникают в области ударной ионизации»
причем подавляющее число вблизи поверхности анода. На этом основании в фор-
муле (3.63.4) мы положили го=га.
Для упрощения записи введем постоянную, имеющую размерность времени:
га2 In (гк/га)/2рЛ=^. (2)
Тогда
. ... тс1о_____________1 ...
° 2ln(rK/ra) f. + f ()
Импульс заряда равен
t
(4)
о
3.109. Используя выражения (3.108.4) для Q(/) и (3.65.2) для Т, находим
Т=340 мкс; Qmax(f=T)=2,4-10-16 Кл.
Производя очевидные преобразования с формулой (3.108.4) и пренебрегая еди-
ницей по сравнению с (гкДа)2, получаем
t (Q = Q /п)=Т ^к1га)21п—}
откуда /о,5=3,8 мкс; ^.25=0,37 мкс.
ЗЛЮ. Фронт импульса в пропорциональном счетчике задержан относительно
момента прохождения частицы на время дрейфа электронов от места образова-
ния до области ударной ионизации. Время задержки можно вычислить по фор-
мулам (3.64.4), (3.64.8), (3.64.11).
При малых КГУ роль объемного заряда положительных ионов в области
ударной ионизации пренебрежимо мала и электроны собираются на аноде не-
зависимо от движения ионов. Примерно половина электронов образуется на по-
следней длине свободного пробега для ионизации, и вклад в амплитуду импуль-
са будет определяться той долей разности потенциалов, которую электронам
осталось пройти до анода. Оценим их путь.
187
Сечение ионизации связано с энергией электронов соотношением —
—№(), где а (Аг) = 1,8Ы0"17 см2/эВ. Полагая среднее превышение энергии элек-
тронов над энергией ионизации равным 0,5^=8 эВ получаем
сгг~1,5‘10“1в см®.
Средний свободный пробег до ионизации равен
A^I/o^.
Считаем, что в среднем электроны, образовавшиеся на этом последнем пробеге,
проходят до анода половину этого пути.
Амплитуду электронной компоненты импульса в цилиндрической геометрии
можно вычислить по формуле (3.66.3)
Я/Ло= In — / In —.
га / ''а
В пропорциональном счетчике А /А0 = 0,026, а в пропорциональной камере Л/Ао=
=0,017.
При больших КГУ объемный заряд положительных ионов удерживает элек-
троны, происходит амбиполярный дрейф (см. задачу 2.98). Электроны и в этом
случае дают вклад в суммарную амплитуду, но за время, характерное для дви-
жения ионов.
3.111. а7Аг испытывает A-захват, при этом излучается характеристический
рентгеновский квант с энергией 2,8 кэВ. Поглощение этого кванта приводит к по-
явлению электрона, пробег которого в газе счетчика составляет 0,1 мм. Скорость
формирования лавин в пропорциональном счетчике весьма велика, поэтому дли-
тельность фронта импульса зависит от времени дрейфа электронов. От точечной
ионизации, как в рассматриваемом случае, длительность фронта составляет 10—
20 нс. От распределенной ионизации, которую могут производить высокоэнерге-
тические кванты радиоактивных загрязнений и космические частицы, возникают
импульсы с фронтом длительностью порядка 50 нс. При малых RC амплитуда
импульса пропорциональна отношению /?С/тф. Таким образом, различие дли-
тельностей фронтов в 5 раз приводит к различию амплитуд примерно во столь-
ко же раз.
ГЛАВА 4
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ДЕТЕКТОРЫ
4.1. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
4.1, Распределение классических частиц по энергии было найдено в зада-
че 2.79. Метод получения распределения для квантовых частиц — электронов бу-
дет тот же. Найдем вероятность некоторого распределения электронов по энер-
гии и вычислим условия, при которых эта вероятность максимальна. Однако рас-
пределение, для которого мы будем вычислять вероятность, существенно отли-
чается от распределения для классических частиц.
Примем за элементарную ячейку квантовое состояние, в котором согласно
принципу Паули может находиться не более одного электрона. Значит, ячейка
188
может быть либо занята, либо пуста. Теперь выберем диапазон энергий от &
до 9 в этом l-м диапазоне содержится gi элементарных ячеек. Общее чис-
ло электронов в этом диапазоне энергий так что П/ ячеек заняты, а осталь-
ные gi—Щ— пусты.
Вероятность распределения равна числу способов, которым может быть вы-
брано запятых мест из общего числа gi, т. е. числу сочетаний из gi по П/
Если теперь учесть весь интервал энергий, то для полного числа различимых
расположений в системе получим
i I
Логарифмируем (2), применяем к факториалам формулу Стирлинга
1п п!~п In п—п
и получаем
1пР= Steflngf— (gi— П[) In (gl — n^—ll Inn,]. (3>
I
Для нахождения максимального значения In Р используем метод неопределен-
ных множителей Лагранжа. Дополнительными условиями будут
Srt<='V, (4)
где N— общее число частиц; и
(5)
где — полная энергия системы; N и <S не зависят от распределения.
Перепишем дополнительные условия (4) и (5) в виде
—aSnr-j-4zjV=0; (6)
Нр2л/<§Г<+р#=0. (7)
Добавим соотношения (6) и (7) к (3) (добавим нуль), дифференцируем полу-
ченное выражение и приравниваем производную нулю
dP/dzi/=ln (gi—П/)— In nr-rd—р#/=0. (8)
Это дает
(§<—«<) /4=ехр (a-|~pg\), (9)
или
ni = l+exp(e + ₽<?f) • (10)
Отношение числа электронов т с энергией к общему числу gt состояний
называется функцией распределения Ферми
ni_________________1_______
gi h 1 + ехр(а -|- р<?|)
189
При очень высоких температурах количество возможных состояний gi ста-
новится очень большим, а отношение tii/gi малым по сравнению с единицей. Но
в этом случае распределение по энергиям подчиняется закону Максвелла —
Больцмана. Сравнивая (11) с (2.79.17), видим, что |Р=1/^Л Теперь введем энер-
гию & f, которую определим с помощью соотношения <х=—&p/kT, так что функ-
ция распределения примет вид
f= l+exp[(5-^F)/ATJ ' (12)
Энергия &р называется энергией Ферми, а функция f—распределением Ферми.
4.2. Единичный интервал импульсов на единицу объема равен
kpxkpybpzxyz=h\ (1)
В таком объеме может находиться не более двух электронов. В пространстве
импульсов все импульсы в интервале от р до p~\-dp заключены в сферическом
слое радиусом р. Его объем равен 4np2dp. В этом объеме и в единице простран-
ственного объема может находиться число состояний, равное
2
g = — 4np2dp.
№
Далее переходим к энергии, считая электроны свободными и воспользовавшись
соотношением р= (2т&)1/2,
gf=-^L|/2m3/2|/'5^1 (2)
Л3
или, если вместо h использовать K=h/2n,
(з)
4.3. Положение уровня Ферми в металлах удобно определять из условия
нормировки
ОО
Jf(5)g(5)d<?=«, (1)
О
где п— концентрация электронов в металле. При Т=0 f(&) = l при %=&F и
f($>)=0 при р, поэтому интегрирование выполняется элементарно
_ & р _
/2 С 1Z- 2/2 m3/2 n3/2
"Ч-----77— I VSdS = ——-----—— <?1/2 = п, (2)
ла ft? J v Зл2 № F ' '
о
откуда
*2
Sp = — (З^я)2'3 . (3)
г 2т
Поскольку в серебре в зону проводимости поступает по одному электрону от
каждого атома, то концентрация электронов равна концентрации атомов
п=МаРЛ4 = 5,9*1022 см-8.
Подставляя полученное значение концентрации в (3), находим $7=5,6 эВ.
190
4.4. Из сравнения распределений Максвелла — Больцмана (2.79.22) и Ферми
(4.1.12) легко видеть, что распределение Ферми переходит в максвелловское,
если в знаменателе выражения (4.1.12) можно пренебречь единицей по сравнению
с экспоненциальной функцией. Это можно сделать, если <S—Для зна-
чений не сильно превышающих 8 Р, вводится пороговая температура, так на-
зываемая температура вырождения
йге=-?д = ^(3"а«)2/3-
Выше этой температуры система может быть опи-
сана распределением Максвелла. Для серебра
7\=2.10* К.
4.5. Схема энергетических зон приведена на
рис. 4.2. Будем отсчитывать энергию от потолка
валентной зоны. При низких температурах мож-
но предположить, что для электронов в зоне про-
водимости
(1).
В этом случае в знаменателе функции Ферми
можно пренебречь единицей по сравнению с экс-
понентой, и функция примет вид
Зона проводимости
Л
к Ст»
£
_____________________!1
Валентная зона
Рис. 4.2
/е—ехр (2)
Если предположить, что электроны в зоне проводимости ведут себя как свобод-
ные, то для плотности состояний электронов в зоне проводимости можно исполь-
зовать функцию распределения плотности состояний для свободных электронов
с энергией, отсчитываемой от дна зоны, но с эффективной массой электронов
в зоне проводимости
i/V
ge(S)dS = -^-^-[S-We)il2dS. (3)
Число электронов в зоне проводимости на единицу объема будет равно
«e = J ge!№)fe(8)dS. (4)
После интегрирования получим.
1 / тЛгТ \ 3/2
Пе еХр ~lWrl = С‘ ехР 1(^ (5)
где
_____Г ( mekT \з/2
е~ /2 t ЛЙ.2 )
Функция распределения для дырок fh связана с функцией распределения для
электронов fe соотношением
(7)
191
Следовательно,
(10)
(11)
1
fft= i +exp[(£p-S')/kT] (8)
При
fr^exp[(3T-^ F) /kT]. (9)
Так же как и для электронов, будем считать, что дырки в валентной зоне ведут
себя как свободные частицы с эффективной массой и поэтому для плотно-
сти состояний будем использовать функцию для свободных электронов, но
с эффективной массой пг-п и с энергией, отсчитываемой от потолка зоны,
г— 3/2
gh(S)dS = ^~ -^-(-5)’/2 dS.
И3
Число дырок в валентной зоне на единицу объема будет равно
О
Г 1 / тиЬТ \3/2
— J gh(8)fh(£)d8 = -р/— j ехр(—SF/kT).
—оо
После интегрирования получаем
”Л = уТ ()7 ехр<— = Сл ехр < ~ 1
где
1 / mhkT
Ch~ |/2- J •
4.6. В задаче 4.6 получены выражения для концентрации электронов и ды-
рок в соответствующих зонах. Перемножим (4.5.5) и (4.5.12)
'ienh=-^-(memh)zl2 exp( — W/kT)=CeCkexp( — Wg/kT). (1)
Z \ Лг1а / ъ
Существенно, что произведение n,nh не зависит от положения уровня Ферми.
В полупроводниках с собственной проводимостью
Ле=П/>. (2)
(12)
Введем для обозначения типа проводимости индекс i (intrinsic—собственная)
ni = l/nenh = ~Г7=~ («е^л)^4 X
V Л
(kT \3/2 .__
—J ехр( - Wg/2kT) = /СеСЛехр(- Wg/2kT). (3)
Табличные значения т обычно получают, используя tne — tnh—tn\
SI Ge
ш при 290 К, см-з.....................7-10» 2,25-L0ia
при 77 К, см~3...................3-10—20 1,8-10—в
192
4.7. В собственном полупроводнике пР=пк- Приравняем выражения {4.5.5)
и (4.5.11) и найдем
rg + “Y kT In (mhlfne);
U7g/2=4,3-IO"3 эВ.
4 8. р7 = 1/е(пе|ле-|-Ппр,л).
В случае собственной проводимости пе=пн=п^ следовательно,
Pi= 1/е/1((|Ле+Ил). (2)
Используя выражение (4.6.3) для nh получаем
l/Pi = е \fC£h [ехр( ~\Vg/2kT)) (|*е + нл). (3)
где Се и Сч задаются формулами (4.5.6) и (4.5.13). Значения pz- приведены
в таблице:
Si Ge
pf при 290 К, Ом-см..................... . 4,5-10б 48
pf при 77 К, Ом‘С.м........................ 3,6.1033 4,5-1019
При вычислении использованы значения це, ря, приведенные в табл. 34.
Видно, что при низкой температуре и германий, и кремний с собственной
проводимостью, если такие существовали бы, вели бы себя как прекрасные изо-
ляторы.
4.9. По определению
ОО /00
8 = Г 8g(8)f(8)dg / (1)
oJ / oJ
Подставляем в (1) выражения (4.2.3) для g(^) и (4.1.12) для делим чис-
литель и знаменатель на kT и вводим безразмерную переменную x—^/kT. Тогда
00 / 00
& = J х3/2 е~х dx I J х1/2 е“х dx — kT. (2)
о /о
4.10. Обычно примесные атомы пятой группы таблицы Менделеева в герма-
нии и кремнии размещаются в узлах кристаллической решетки. Они тратят на
образование валентных связей с четырьмя соседними атомами четыре электрона
внешней оболочки. Пятый электрон оказывается слабо связанным и обращается
вокруг примесного иона по орбите большого радиуса, внутри которой находит-
ся много атомов основного вещества. Таким образом, донор можно рассматри-
вать как водородоподобпую структуру, в которой взаимодействие иона с внеш-
ним электроном ослаблено из-за диэлектрических свойств среды.
Энергия связи электрона на первом уровне водородоподобного атома, со-
гласно теории Бора, равна
У7л=—(4л880) 22 №.
Индекс «л» показывает, что речь идет о глубине ловушки. Здесь массу свобод-
ного электрона мы заменили на эффективную массу электрона в зоне проводи-
мости.
13—5266
193
Для удобства вычислений умножаем числитель и знаменатель на с2
(в2 \2 т /
----) / 2^ = 3,2-10-« эВ.
he J т9 /
Табличное значение №Л(Р в Si) =0,044 эВ. Учитывая упрощенный характер моде-
ли, следует признать соответствие вполне удовлетворительным.
4.11. Схема энергетических уровней приведена на рис. 4.3. Пусть Л/д и N& —
концентрации доноров и акцепторов; пд и па — концентрации электронов на до-
норных и акцепторных уровнях. В целом кристалл должен быть электрически
нейтральным, следовательно,
Лл~|-(|Л/д Дд) = /2e~r —На)- (1)
Рис. 4.3
Здесь слева записано число свободных электронов, равное числу дырок в ва-
лентной эоне плюс число ионизованных доноров, а справа — то же для дырок.
Так как по условию то можем записать
пс=/гл-|-(/Уд— ид). (2)
Число электронов на донорных уровнях равно числу этих уровней, умноженно-
му на функцию распределения,
1+ехр[(^л-<?£)/АТ] '
Если подставить в (2) выражения (3) для (4.5.5) для пе и (4.5.12) для rih,
то получим уравнение третьей степени относительно ехр (&F/kT). Для упроще-
ния этого уравнения сделаем еще одно предположение, обычно хорошо выпол-
няющееся на практике, что электроны в зоне проводимости появляются в основ-
ном" за счет переходов с донорных уровней, т. е. примесная проводимость
«подавляет» собственную. В результате концентрация электронов в зоне прово-
димости будет много больше собственной концентрации (4.6.3) и вследствие по-
стоянства произведения nenh концентрация дырок в валентной зоне станет пре-
небрежимо малой. В этом случае (2) упростится до
— Л^д.
(4)
Подставляя сюда (3) и (4.5.5), получаем уравнение
е F е 8 Се-Ье
Q—/Уд = о.
(5)
Решение этого уравнения имеет вид
^FlkT = ( _ 1 + |/ 1 + 4 -|д- е<‘% - 'kT J / 2e-^/&r. (6)
194
В подавляющем большинстве реальных случаев (не очень большие концентра-
ции А;д и не очень маленькие температуры) выполняется условие
4/Vn
—Лехр[(«78-1Гл)/ЙТ]<1. (7)
Тогда, разлагая радикал (7) в ряд, получаем
ехр(^/йТ) exp(WelkT). (8)
Отсюда
^F^\Vg^-kTlnNA/Ce. (9)
Подставляя (9) в (4.5.5), находим
п^д=1014 см-8. ОО)
Поскольку произведение концентрации электронов и дырок при данной темпе-
ратуре постоянно и равно (4.6.1), концентрация дырок легко определяется:
nft = ехр( —WJkT) =3-105 см-»,
д
4.12. Время диэлектрической релаксации — это время, в течение которого
восстанавливается электрическая нейтральность в объеме полупроводника. Дру-
гими словами, это постоянная времени RC полупроводникового материала. Его
значение можно вычислить следующим образом. Пусть имеется образец толщи-
ной d и площадью S, обладающий удельным сопротивлением р. Тогда сопротив-
ление образца между электродами равно
R = pd/S.
Емкость этого образца
C=^S/d.
Таким образом,
To=/?C=eeop = e8o/e|in. (1)
Легко видеть, что время диэлектрической релаксации связано с радиусом экра-
нирования Дебая (2.97.9) простым соотношением
Гд = |/ Dt0, (2)
где D — коэффициент диффузии. По условию задачи то=1,1-10-8 с.
4.2. ОСОБЕННОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭНЕРГИИ ИОНИЗИРУЮЩИХ
ИЗЛУЧЕНИЙ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
4.13. По определению среднего
- / ?*
<? = j £f(<?)g(S)d£ / J (1)
о /о
13*
195
По условию задачи f(^)=const. Параболичность зон означает, что энергия
с импульсом связаны квадратичным законом, как для свободных электронов,
а в этом случае g(8) ^ |/8. После интегрирования получаем
f=0,6^f. (2)
4.14. В газах практически вся энергия частицы может идти на ионизацию,
так как тяжелый ион энергию почти не получает. В полупроводниках в резуль-
тате ионизации (мезонного перехода) образуются два легких носителя — элек-
трон и дырка, и на энергетическое соотношение
(О
накладывается дополнительное условие, вытекающее из закона сохранения
импульса
P\=Pr\~Pe-\~Ph> (2)
Здесь (g’j и pi — энергия и импульс бомбардирующей частицы до столкновения;
&2 и р2 — то же после столкновения; ре, ph — энергия и импульс обра-
зованных электрона и дырки. Совместное решение (1) и (2) при условии, когда
S। имеет минимум, дает
те
те + mh
(3)
4.15. Электрон, имеющий энергию S>Si, где Si— минимальная энергия,
необходимая для ионизации, может растратить ее в столкновениях с фононами,
не произведя ионизации. Для этого он должен иметь подряд число столкновений
с фононами, равное (с^—<£\)/to, где to—энергия фонона. При этом электрон
пройдет путь (S—#,)Аф/Д(д, где Аф — средний свободный пробег между столк-
новениями с фононами. Вероятность пройти такой путь, не производя иониза-
ции, равна
Р(0) = ехр
(<?-^)Аф
toA/
(О
где А, — средний свободный пробег до ионизации.
Вероятность произвести ионизацию (одну или больше) на этом пути, т. е.
на пути замедления от энергии S до энергии, меньшей S^ равна
Р(>>)= 1
(£ —8i) Аф
toA<
(2)
Поскольку значения А, и Аф с достаточной точностью не известны, Шокли вво-
дит параметр г=А1/Аф— среднее число фононов на одну ионизацию. Значе-
ния параметра определяются из сопоставления с экспериментом:
Si Ge
to, эВ..................... 0,063 0,037
г..........................17,5 57
4.16. На каждый акт ионизации требуется энергия Si (см. задачу 4.14).
Кроме того, на каждый акт ионизации энергия, равная rh со, переходит в энергию
фононов (см. задачу 4.15). Возбуждением (образованием экситонов) можно пре-
небречь, так как энергия связи экситонов в германии и кремнии очень мала и
196
при всех реальных температурах они автоиопизуются. Надо еще учесть оста-
точную кинетическую энергию подпороговых электронов и дырок к &ал»
В результате можно записать
W=& Г"|“^ fie”!-dh. (1)
Полагаем & ъе=&ън=№&i для параболических зон (см. задачу 4.13). Величину
определяем из (4.14.3), принимая me=mh. Окончательно получаем
ш=3,ЗИ74Г-|-гЯсо. (2)
Вычисления по этой формуле дают несколько завышенные значения w.
4.17. Согласно (2.61.2)
г3=2е2/З^Г-4леео.
Это дает г3=2,4-10“7 см для Ge и г3=3,210“7 см для Si.
4.18. Согласно теории Ланжевена коэффициент рекомбинации при больших
плотностях вещества равен (2.65.4)
Р=8лце/4леео. (1)
Если учесть, что сечение рекомбинации (захвата центром рекомбинации или лю-
бым другим центром) связано с коэффициентом рекомбинации соотношением
о=₽А, (2)
а также использовать выражения (2.61.2) для г3 и (2.85.5) для р, то получим
о=4лг3Л (3)
4.19. Процесс термализации носителей в твердых телах проходит в две ста-
дии. Сначала носители теряют энергию при взаимодействии с оптическими фо-
нонами, пока их энергия не опустится до значения, соответствующего дебаевской
температуре. Взаимодействие с оптическими фононами кинетически эквивалентно
неупругим потерям энергии. Можно считать, что в каждом столкновении теряет-
ся энергия порядка
h(») = kTj^t (1)
где 7д — дебаевская температура. Этот процесс происходит быстро. Длитель-
ность этой стадии процесса термализации можно оценить по формуле
^опт = (2)
где т—время релаксации, т. е. время, затрачиваемое на одну длину свободного
пробега; ^ = 0,6^i— средняя начальная энергия термализующихся носителей. По
порядку /Опт~10-11 с.
При энергии носителей ниже kT происходит рассеяние носителей на акусти-
ческих фононах. Этот процесс кинетически подобен упругому рассеянию на ча-
стицах, масса которых определяется из соотношения
Л1^в/2 = Й<0ак, (3)
где Узв — скорость звука в кристалле. Процесс замедления при упругом рассея-
нии более медленный (см. задачи 2.43—2.47) и длится примерно 10~10 с, т. е.
общее время термализации носителей в полупроводниках ^Ю-10 с.
1.97
4.20» Значения среднего времени релаксации и средней длины свободного
пробега можно получить из выражения для подвижности (2.85.5)
т = A/v = ту/е 10"~12 с; Л = ту 10~6 см.
Среднее квадратическое смещение носителей от места ионизации в процессе
термализации можно оценить по формуле (2.45.4). Примем за число столкнове-
ний отношение времени термализации к времени релаксации. Тогда
Уф = 1,1-10—* см.
В процессе термализации в полупроводниках расходятся оба носителя. Обозна-
чим их средние квадратические удаления как ге и г*. Тогда максимальное рас-
стояние между партнерами
f тах = ^ с~|-Г hi
минимальное расстояние
Г т!п=ГЛ»
Считая распределение смещений независимым и изотропным, находим
Г— (Гтах~|“Гт1п) /2 = Ге^10—4 СМ,
что существенно больше диаметра сферы захвата.
4.21. Время жизни электрона в ловушке есть величина, обратная вероятно-
сти освобождения электрона, т. е.
t=-^-exp (Ш'л/АТ). (1)
Здесь экспонента — величина, обратная вероятности электрону набрать энергию,
которая необходима для освобождения из ловушки за счет термических флук-
туаций; Ро — так называемый частотный фактор, физический смысл которого —
частота попыток освобождения электрона из ловушки. Грубо значение частот-
ного фактора можно принять равным частоте колебаний кристаллической ре-
шетки ^1013 с-1. Однако для более точного расчета надо получить более на-
дежное значение Ро. Сделаем это, используя принцип детального равновесия.
Приравняем скорость теплового возбуждения электронов из ловушек и ско-
рость захвата этими же ловушками. Скорость теплового возбуждения равна про-
изведению концентрации невозбужденных электронов Nл—п на вероятность тер-
мического освобождения из ловушек
(7\Гл—n)Pcexp (^WnlkT),
где ЛГл — концентрация ловушек; п — концентрация электронов, перешедших из
ловушек в зону проводимости.
Скорость захвата равна произведению числа свободных электронов на ве-
роятность захвата пвй. В последнем выражении п — число ионизованных лову-
шек, равное числу свободных электронов.
Результирующее уравнение
(ЛГл—л) Ро ехр (— /kT) =n?av. (2)
Теперь выберем такие условия, например температуру, когда уровень Ферми
находится на расстоянии Wn от дна зоны проводимости.
198
В этом случае свободной оказывается половина ловушек и Nn—п=п. Урав-
нение (2) принимает вид
Ро ехр (—# r/kT) = пай. .(3)
Но п согласно (4.5.5) равна
п = Сеехр(-^^Т). (4)
Подставляя (4) в (3), получаем формулу для вычисления частотного фактора
Ро=Сеай. (5)
Используя выражения (4.5.6) для Се и (2.81.5) для и, находим
Ро= (б)
Ионизованный фосфор является положительно заряженным по отношению
к электрону центром, поэтому а^Ю-12 см2. Примем глубину уровня равной
0,045 эВ, тогда т=5-10“н с.
4.22. Рассмотрим этот вопрос на примере прямоугольной потенциальной ямы,
образуемой в кристалле нейтральной ловушкой. Схема энергетических уровней
и возможных переходов показана на рис. 4.4. Переход 1 показывает термине’
ское освобождение электрона из ловушки в отсутствие электрического поля.
Электрическое поле приводит к наклону краев потенциальной ямы, в результате
ее глубина уменьшается на и становится возможным переход 2 — термопо-
левое освобождение электрона, впервые обсуждавшееся Я. И. Френкелем и по-
лучившее название эффекта Френкеля.
Перекос краев ямы приводит к появлению барьера конечной ширины, под
которым возможен туннельный переход 3, Наконец, возможна флуктуация тер-
мического и туннельного переходов. Термическая флуктуация может забросить
электрон на некоторый уровень ниже края ямы с дальнейшим туннельным про-
никновением под более низким и более узким барьером (переход 4). Проинте-
грированное по высоте барьера произведение вероятности термического освобож-
дения на вероятность туннельного эффекта дает вероятность термотуннельного
освобождения. Можно также считать, что сначала электрон туннелирует в неко-
торое подбарьерное состояние, откуда электроп-фононное взаимодействие пере-
водит его в зону проводимости — тупнельно-термополевой эффект (переход 5).
Освобождение электронов за счет переходов 4 и 5 обычно называют эффектом
Келдыша или эффектом Франца — Келдыша.
199
Поскольку при технически разумных значениях напряженности поля вероят-
ность туннельного перехода мала, туннельные и термотупнельные механизмы су-
щественны только при низких температурах <30 К. В широком интервале тем-
ператур доминирующим эффектом влияния электрического поля на вероятность
освобождения электронов из ловушек является термополевой эффект Френкеля.
4.23. Энергетическая схема для кулоновской ловушки приведена на рис. 4.5.
Вероятность термического освобождения электрона из этой ловушки дается фор-
мулой
Р=Роехр(-и7лДГ). (1)
Электрическое поле понижает потенциальный барьер на &W, как это видно на
«схеме. Потенциальная энергия электрона в кулоновском поле ловушки при на-
личии внешнего поля имеет вид
W=—еЕг. (2)
Определив экстремум функции UZ, можно найти значение AUZ, на которое умень-
шилась глубина ловушки в точке Го. Дифференцируем (2) и получаем
ro=|/e/47tfoefi. (3)
Подставляя (3) в (2) и вычитая из значения потенциальной энергии в отсутст-
вие электрического поля, находим
Д1Г = 2е 1/е^/4же0.
(4)
Отношение вероятности термополевого освобождения к вероятности чисто тер-
мического освобождения в предположении, что предэкспоненциальпый член
в электрическом поле не изменяется, будет равно (при Е=10Б В/см)
Р€/Р=ехр (Д^Г)=7,6. (5)
4.24. При учете трехмерной картины делокализации потенциальная энергия
электрона в ловушке во внешнем электрическом поле имеет вид
W=—е2/4леоег—eEr cos (р. (I)
Определяя экстремум потенциала, как это сделано в задаче 4.23, находим
Д№ф = Д№|/cos (?.
(2)
Вероятность термополевой делокализации определяется путем интегрирования по
полусфере
2 л к/2 ___
n n ( г ( ДГ|/соз? \
?е = ₽»ехР J J J ехр (-------------kT------) sin
о о
Интегрирование (3) дает
„ п ( U7 —Д№\ D
Р£ = Роехр ---—---}4пВ,
где
kT / kT / kT \а / ДГ \
“AU7 - ( Д1Г / + t Д№ ) еХ₽ \ kT J’
(3)
(4)
(5)
200
При £=105 3/см в веществе с диэлектрической проницаемостью около 10 4лВ=*
= 2,8. Таким образом, учет трехмерной картины распределения потенциала слег-
ка увеличивает вероятность делокализации. Но самый существенный результат
данной задачи заключается в появлении в предэкспоненте члена, зависящего от
температуры.
4.25. Основным процессом рекомбинации в объеме является рекомбинация
неосновных неравновесных носителей с основными равновесными. Например,
в полупроводнике p-типа это рекомбинация электронов, образованных излуче-
нием, с равновесными дырками, которых много. Кинетическое уравнение реком-
бинации имеет такой же вид, как для объемной рекомбинации:
dn/dt=—рппр. (1>
Но концентрация одного из партнеров по рекомбинации много больше, чем ДрУ'
того, np^>nt его расходованием в процессе рекомбинации можно пренебречь. По-
этому решение уравнения (1) приводит не к гиперболе, как в задаче 2.69,
а к экспоненте
/г=лоехр (—рМр/)=п0ехр (—t/т).
Таким образом, неравновесные носители можно характеризовать средним вре-
менем жизни до рекомбинации т. Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуж-
дениям о роли захвата носителей.
4.26, Между центрами рекомбинации и ловушками различие не качественное,
а количественное. Локальный энергетический уровень называют ловушкой, если
вероятность обратного термического возбуждения в свободное состояние больше
вероятности рекомбинации с носителем противоположного знака. В противном
случае этот уровень называют центром рекомбинации.
Запишем эти условия для электронов. Вероятность рекомбинации с дырка-
ми, имеющими концентрацию пл, равна /цсгрек£. При ллогреку>Р0 ехр (— Wa/kT)
имеем центр рекомбинации, при обратном условии — центр прилипания.
4.27. В твердых телах подвижность носителей заряда может определяться
многими способами. В частности, в данном случае пользуются термином «дрей-
фовая подвижность» — это подвижность, которой должны были бы обладать все
носители, чтобы создаваемая ими проводимость совпадала с наблюдаемой в дей-
ствительности проводимостью, обусловленной движением только свободных носи-
телей с присущей им подвижностью:
(гг-|~пл)р^=пр,, (1}
где п и пл — концентрация свободных носителей и носителей, захваченных ло-
вушками; ц и Цд—истинная и дрейфовая подвижности. Отсюда легко получаем
Ца=>цп/(п+пя), (2)
Концентрация свободных и локализованных носителей определяются соотноше-
нием п/пл=Тса/т. Тогда для дрейфовой подвижности
Иа=ЦТсв/.(Тсв4-т) • (3)
Во многих случаях в изоляторах выполняется неравенство тсв<^т, а кроме того,
TCB=1/Afou; (4)
т=!/Р=-^-ехр(1Гл^Г), (5)
201
где N — концентрация центров захвата; а — сечение захвата. В итоге, получаем
^=Н-Т^-ехр(-Гл/ЙГ). (6)
/V GV
Аналогично можно написать для коэффициента диффузии
Dd = Dtcb/(*cb + г) = D ехр( - W„/kT).
iVQV
(7)
4.3. КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ И р—«ПЕРЕХОД
4.28. Энергетическая схема р—«-перехода приведена на рис. 4.6. Здесь №с
и — энергии краев зон — проводимости и валентной соответственно; значки
р и /г означают положение границ в р- и
«-областях. Анализируя схему, можно запи-
сать очевидные соотношения
Wcp-Wcn=Wv^WVn = W.- (1)
и7ср-№ур=и7сп-№ип= Wg. (2)
Если уровень Ферми лежит ниже дна
зоны проводимости па несколько kT, то
для концентрации электронов и дырок в со-
ответствующих зонах можно написать со-
отношения, аналогичные (4.5.5) и (4.5.12),
Пп=Сп ехр [^P-^cn)/kT]‘ (3)
pn=Cpexp [(Wvn-&F)lkT] (4)
Pp=Cpexp[(Wvp-^F)/kT]; (5)
«р=Спехр [(&F-Wcp)/kT]. (6)
Используя (1), (2), из (3) —(6) получаем
«р/«п = Рп/Рр=ехр (— W0/kT). (7)
Отсюда
Wv=kT\n (пп/пр). (8)
В «-области концентрация электронов практически равна концентрации доноров
в этой области, пп—Мдп- Концентрация электронов в p-области определяется из
соотношения Пр=П12/Мар- Таким образом,
«п/^р = ^ар^дп/Я-/2- (9)
Следовательно,
WQ=kT In (АГар^дп/n?) =0,42 эВ. (10)
4.29. Энергетическая схема перехода приведена на рис. 4.6. Ноль на оси абс-
цисс совмещен с положением, до которого диффундировала акцепторная при-
месь. Ноль на оси ординат соответствует дну зоны проводимости области с про-
водимостью «-типа.
202
Для вычисления ширины перехода, распределения электрического поля в пе-
реходе и многих других параметров надо решить уравнение Пуассона
^г//^х2=—х/(ее0), (1)
где х — плотность заряда. Плотность заряда в обеих областях пропорциональ-
на сумме концентраций неподвижных зарядов (ионизованных доноров и акцеп-
торов) и подвижных зарядов (электронов и дырок). При х^О р-область
х=е[—п(х)]. (2)
При х>0 л-область
х=еИд+р(х)—п(х)]. (3)
Концентрация доноров в p-области обычно много меньше, чем концентрация
акцепторов, и, кроме того, концентрации подвижных носителей при наличии
электрического поля объемного заряда перехода много меньше концентраций не-
подвижных, поэтому:
при х<0
х=—(4)
при х>0
(5)
Составим уравнения Пуассона отдельно для п- и p-областей, причем запи-
шем их не для потенциала, а для энергии, полагая W=eU:
при х^О
d2\V/dx*=—e4K/wf (6)
при х>0
rf^/cfx^^/e&o. (7)
Зададим граничные условия в виде
lF=ITo, dW/dx—О при х=—хр; (8)
№=0, dW/dx=0 при х=хп. (9)
Решения уравнения с учетом граничных условий имеют вид:
при —хр<х^0
№ = №0—7^-(хр + хР; (10)
при 0^Х<Хп
eW„
При х=0 оба решения должны давать одинаковые значения U7 и dW/dx. При-
равнивая производные при х=0, получаем
Xn/xp=N^/N^. (12)
Отсюда следует, что
*п/ (хп-^-Хр)—N&/ (Nа-|-ЛГд) >
x,/(xn-|-xp)=^/(^4^).
(13)
(14)
203
Приравнивая значения W при х=0, получаем
е2
2ее0
где d=xn^-xp— ширина перехода, В результате для ширины перехода в отсут-
ствие смещения находим
№'# =
d2 Л/аЛ'д
^а + Л'д’
(15)
(16)
d=l/ BZ0-^- 'Уа + Л'д
V е2 N^n
По условию задачи как это и бывает в большинстве реальных случаев.
Тогда
</ = /2№в«0/е*Л'д. (17)
По значению удельного сопротивления исходного материала вычисляем концен-
трацию доноров в л-области
Wan = p/(ep)=4,6-10" см-3.
По формуле (4.28.10) находим высоту карьера 1FO^O,3 эВ. Тогда из (17) полу-
чаем d—30 мкм.
4.30. Используем выражение для ширины перехода в равновесии, получен-
ное в задаче 4.29. При приложении к переходу разности потенциалов U в обрат-
ном направлении (плюс к n-области, минус к p-области) высота барьера увели-
чивается на eU, а ширина перехода изменяется до
d = V(W.+eU)2eeole^^ (1)
Значение 1FO не может превышать ширину запрещенной зоны, а в высокоомных
материалах, из которых изготовляют ППД, оно в несколько раз меньше ширины
запрещенной зоны. Поэтому при £7>10 В eU> W'o, и тогда
d = |/2(/сс0/еУд. (2)
Обычно материал детекторов характеризуют удельным сопротивлением. Считая,
что в примесных полупроводниках проводимость определяется носителями одно-
го типа, получаем
d = |/2Un^g. (3)
Для исходного материала р-типа
d= 3,2-10-(1)
Для исходного материала л-типа
d = 5,4-10-e|/‘pL7- (5)
В обеих формулах d выражено в см, р—в Ом-см. В соответствии с условием
задачи d=170 мкм.
4.31. Проводимость исходного материала, из которого приготовлен
р—л-переход, много больше, чем проводимость обедненной области собственно
перехода. Поэтому р—л-переход можно рассматривать как конденсатор с рас-
стоянием между обкладками, равным ширине перехода,
C=ee0S/d. (1)
204
Отсюда ширина перехода d=7,5 мкм.
4.32. Для ширины перехода в задаче 4.30 получено выражение (4.30.2). Под-
ставляя его в (4.31.1), получаем
C = SJ/'ef0^/2l/ = 21 пФ.
4.33. Поскольку по условию задачи Лгд<^Ма, то все поле сосредо-
точено в /1-области и, следовательно, xn—d. Напряженность электрического поля
можно найти однократным интегрированием уравнения Пуассона для области
х>0 (см. рис. 4.6)
^{//^2=^д/еео (1)
с граничным условием
dU/dx=0 при х=хп. (2)
Решение уравнения имеет вид
E = dU/dx^-—^- (х — d). (3)
еео
При х=0
Е—Етах=—eNpd/zz^. (4)
Знак минус в данном случае означает, что электрическое поле направлено
в отрицательную сторону оси х. Теперь выражение для поля имеет вид
E=E^(\-x/d), (5)
Заменим Мд в формуле (4) для Emax, пользуясь соотношением (4.30.2), и тогда
получаем
£max=—1200 В/см. (6)
4.34. р—n-переход образуется за счет диффузии дырок из p-области, где их
много, в n-область, где их мало, и диффузии электронов в противоположном
направлении. Стационарное уравнение диффузии для дырок
Dpbp—р/тр=0, (1)
где р/хр — скорость рекомбинации дырок. Решение этого уравнения в одномер-
ном случае имеет вид
р=ро ехр (—x/Lp), (2)
где Lp — диффузионная длина для дырок,
£р в (3)
В области перехода, к которому приложено смещение U,
р0=рДехр (eU/kT)—1], (4)
Плотность тока диффузии дырок дается выражением
jp=— eDp^p. (5)
Дифференцируя (2), получаем
lp—^E)pp/LD. (6)
В области перехода
/p = f£^[exp(et//£7)—1]. (7)
ьр
205
С помощью аналогичных рассуждений получаем плотность тока диффузии элек-
тронов
/„=f^(exp(el//feT)-ll. (8)
Если Ln, Lp^>d, как это бывает в веществах с большим т, то внутри слоя
объемного заряда нет заметной рекомбинации, электронный и дырочный токи
можно считать непрерывными и плотность полного тока записать в виде
/=А[ехр (eU/kT)-l]t (9)
где
= (10)
\ Ьр Ln ]
В (9) положительные значения U соответствуют включению р—/г-перехода
в прямом направлении, а отрицательные — в обратном. При включении р—и-ле-
рехода в обратном направлении, когда eU хотя бы в несколько раз больше kT,
экспонента много меньше единицы, ток перестает зависеть от приложенного на-
пряжения и равен js. Обратите внимание, что в (10) стоят концентрации не-
основных носителей. Ток. насыщения js можно выразить через концентрации
основных носителей, воспользовавшись соотношением (4.28.7),
/s=4-^+—Ьхр(-г«/*т>- (11)
Lp Ln /
Если исходный материал p-типа, то обычно пп^>пр, и тогда
/s= —7-^ехр(-1Г0/йТ). (12)
Ln
4.35. Воспользуемся формулой (4.35.12). Коэффициент диффузии электронов
определим из соотношения Эйнштейна (2.88.2): Dn=34 см2/с. Концентрация
электронов в я-области практически равна концентрации нескомпенсированных
доноров. В результате получаем
i = SeN^X/T^p.ехр( — 1Г0/йТ) 10~» А.
4.36. Термические флуктуации образуют в объеме полупроводника g носи-
телей заряда в 1 см® за 1 с. Убыль зарядов будет происходить в основном за
счет рекомбинации. Уравнение баланса зарядов имеет вид
d<£n)/di=g—Ьп/х, (1)
где —nQ; п0— равновесная концентрация носителей.
В стационарных условиях генерация зарядов будет полностью компенсиро-
ваться рекомбинацией. В этом случае
5='Дга/т. (2)
В р—n-переходе образующиеся носители быстро растаскиваются в соответст-
вующие области, где и рекомбинируют. Поэтому при достаточно большом на-
пряжении обратного смещения можно положить Л(>=0, тогда An=n:-, и для ско-
рости генерации носителей получаем
g=ni/r. (3)
206
В большинстве случаев в полупровод-
никах основную роль играет генерация но-
сителей не прямо через зону, а через ло-
кальные энергетические уровни, располо-
женные около середины запрещенной зо-
ны,—центры рекомбинации. Детальный рас-
чет показывает, что в этом случае g=ni/2x.
Таким образом, генерационный ток равен произведению скорости генерации
носителей на объем детектора:
ir = etitSd/(2x),
(4)
4.37. При наличии омических контактов ток через образец не будет зависеть
от полярности поданного напряжения и будет определяться законом Ома. По-
движность носителей независимо от их типа при низкой температуре составляет
4-Ю4 см2/(с‘В),
i=U/R=USenMd^\ А.
4.38. При нанесении металла с работой выхода срм на поверхность полупро-
водника с работой выхода фп при условии, что (рм>фн> образуется выпрямляю-
щий контакт (рис. 4.7).
4.4. СВОЙСТВА ППД
4.39. Поле р—/г-перехода сосредоточено в области более высокоомного ма-
териала и в большинстве случаев может быть описано выражением
E=£max(l—x/d), E^=2U/d. (1)
График распределения напряженности электрического поля в р—п-переходе при-
веден на рис. 4.8. Исходной формулой для определения формы импульса тока
является формула Рамо — Шокли (3.3.3)
i(l)=q(t)v(t)E/U. (2)
Казалось бы, надо подставлять вместо Е в (2) выражение (1) и получать иско-
мую формулу импульса тока. Однако это не так. Электрическое поле, задавае-
мое (1), образовано объемным зарядом. При движении заряда q в слое объем-
ного заряда объемный заряд перераспределяется (поляризуется), и это никак
не проявляется во внешней цепи. А во внешней цепи будет индуцирован импульс
тока, определяемый движением заряда в поле, задаваемым теми электродами, на
которых заряд и наводится. Если переход плоский, то это поле однородное,
определяемое соотношением E=U/d. Таким образом, исходное соотношение для
вычисления формы импульса тока в р—л-переходе имеет вид
i=qvId.
(3)
В остальном вычисления принципиально не отличаются от вычислений для га-
зовых ионизационных детекторов.
207
В ППД в гораздо более широком диапазоне полей, чем в газах, можно
пользоваться понятием подвижности электронов, поэтому
v =
(4)
причем здесь Е — реально действующее в переходе электрическое поле, зада-
ваемое (1).
Подставляем (4) в (3) и получаем
(5)
Здесь х—текущая координата положения заряда. Для определения зависимости
*-=/(/) запишем уравнение движения электронов
dx
at а»
(6)
Интегрируя это уравнение по х в пределах от х0 до х, а по t от 0 до t,
находим
(d—x) «ехр (2ц(Д/42). (7)
Подставляя (7) в (5) и вводя обозначение
^/2цС7=/о, (8)
окончательно получаем
<_(/) = (1 - ехр (t/to). (9)
*0 \ а /
4.40. Вычисление формы дырочной компоненты импульса тока аналогично
вычислению формы электронной компоненты (задача 4.39), только в выражении
(4.39.6) надо заменить знак, так как дырки движутся в направлении оси х
(рис. 4.9). В результате получаем
I-г (0 = ~ (J - -у) ехр (- ///0+).
СЛ ' '
(10)
4.41. График распределения напряженности электрического поля приведен на
рис. 4.8. Из рис. 4.8, а также 4.9 можно сделать вывод, что основные носители
движутся в .сторону убывания напряженности поля. Поэтому, используя резуль-
таты решения задач 4.39 и 4.40, но учитывая изменение типа проводимости и
208
направления поля» можем написать
t_(0=-“(l-Tr)exP(-W5
<о \ d /
1 + Ю=^Н—^)ехр(^). (2)
X !
4,42. По определению
t
Q(t) = J
Q
Подставляем сюда выражение (4.39.9) для электронной компоненты импуль-
са тока и получаем
<?_(/) = <7о(1-^')|ехр(ф7)-1]. (1)
\ a J
4.43. <?+ (0 = <?,( 1-~) [1-ехр (-//#)].
4.44. Подставляем выражение (4.45.1) для Т в формулу (4.42.1) для элек-
тронной компоненты и получаем
Q^^ = qQx0/d, (1)
Так как суммарная амплитуда заряда должна быть равна qa, то для дырочной
компоненты получаем
Q+^ = qQ-Q-^ = q6(l-x./d). (2)
4.45. Для вычисления времени собирания электронов необходимо выраже-
ние (4.39.6) проинтегрировать по х в пределах от х0 до 0, а по t от 0 до Т~.
В результате получаем
d* d
Т~ = ——— In ------.
2р,—и d — х0
Поскольку по условию задачи x^=d/2,
T-=d2\n2/2\k-U=7 нс.
Исходное выражение для вычисления времени собирания дырок имеет вид
dx[(d—x)=dt/t0+. (2)
Для вычисления Т+ необходимо (2) проинтегрировать в пределах от х0 до d,
что сразу дает Г+ = ооч Это связано с предположением, что поле в точке xQ=d
равно нулю. Реальное поле несколько отличается от идеализированного, кроме
того, в слабых полях в игру вступает диффузионное перемещение дырок, так
что время собирания дырок оказывается конечным. На практике за время со-
бирания дырок принимают время, в течение которого собирается 90 % заряда,
0,9Q.hmal=Q(T+).
Подставляя сюда выражения (4.44.2) для Q+^ax и Q(/), находим Т+
T+=to+ In 10 = 65 нс. (3).
14-5266 209
4.46. Согласно (4.45.1)
Т-= --------In-------,
2ku~t/ d — x0
где xo — точка возникновения ионизации. Но согласно (4.30.2)
d = G \/ U,
где G — константа. Отсюда видно, что T~=^f(U), С ростом напряжения растет
скорость носителей, но одновременно растет и ширина перехода.
4.47. Частицы влетают в детектор со стороны высокой напряженности поля.
Поэтому в Si — Р-детекторе в предложенных условиях импульс будет форми-
роваться в основном при движении дырок, а в Si — Au-детекторе — при движе-
нии электронов. Таким образом, основной вклад в формирование импульса дают
основные носители. Используя выражение (4.45.3), получаем: в Si — Р-детекторе
Т+ = 16 нс; в Si — Ан-детекторе Г-=5,7 нс.
4.48. Q<f=e&/w=2,2* 10"13 Кл.
4.49. Собственная емкость детектора с р—«-переходом из кремния р-типа
вычисляется по формуле
Сд= 3,3.10-951/77^,
где U выражено в В, р — в Ом-см, S — в см2. По условиям задачи Сд=33 пФ.
Эквивалентная емкость будет равна сумме емкостей детектора и монтажной:
С=44 пФ.
A = &e/wC=l мВ.
4.50. Емкость коаксиального детектора определяется по формуле
C=2nEefo/i/ln (/?/г)=35 пФ.
4.51. Емкость детектора с одним открытым концом можно определить как
суперпозицию емкостей коаксиального детектора с двумя открытыми концами и
планарного детектора
С=2л880/г/1п (7?/г)-|-8а8л(7?—r)2/d^44 пФ,
где d — глубина дрейфа.
4.52. Поскольку при поглощении у-квантов большая часть взаимодействий
происходит вблизи наружных областей детектора, выгоднее использовать р+-кон-
такт снаружи. К этому контакту прикладывается отрицательное напряжение,
дырки должны дрейфовать к внешнему электроду, и следовательно, путь их
дрейфа будет меньше, чем для электронов. Это уменьшает роль захвата дырок
и делает детектор более радиационно стойким.
4.53. Ширина перехода равна пробегу протонов с энергией, соответствующей
точке достижения максимума на кривой рис. 4.1, т. е. 5 МэВ. Используя данные
табл. П.13, находим
d=JRpsi (5 МэВ) =220 мкм.
4.54. Пока пробег протонов меньше ширины перехода, амплитуда растет
с ростом энергии протонов. Когда пробег становится больше ширины перехода,
то в переходе теряется энергия, по порядку равная
№=(d&/dx)d.
Так как с ростом энергии d& /dx падает, то и амплитуда импульсов падает.
210
L
S2
(О
L
ГЛАВА 5
СЦИНТИЛЛЯЦИОННЫЕ И ЧЕРЕНКОВСКИЕ ДЕТЕКТОРЫ
5.1. СЦИНТИЛЛЯТОРЫ
5.1. Согласно решению задачи 2.34 w^=hv/%. Среднюю энергию фотона
определим по положению максимума полосы излучения
Av = /ic/Xo=2,79 эВ.
Следовательно, й>ф = 37 эВ.
5.2. /7ф=#х/7гу. Для вычислений примем значение технической конверсионной
эффективности Nal(Tl)~ 10 %, тогда Пф^2,2-104.
5.3. Продифференцируем по <S отношение L/^
d (_L\_____1_ dL
d8 \ & ) & dS
Отсюда получаем связь параметров L/£ и dL/d^
*L—L.g&_L
dS S dS \ S )' ' '
Предположим, что связь световыхода и энергии частицы дается соотношением
L=a^. (3)
Тогда второй член в правой части (2) равен
d / L\
\ 6 /
Если сцинтиллятор линеен, то р=1 и
dL/d&=L/&. (5)
Если же р<1, то dL/d&<M и убывает с ростом энергии. При р>1 dL/d&^u
и растет с ростом энергии. Для разных сцинтилляторов и разных частиц могут
реализоваться оба указанных случая..
5.4. Пусть частица на единице длины пробега образует ad&/dx возбужде-
ний и bd& /dx центров тушения. Вероятность захвата возбуждения центром све-
чения равна а вероятность захвата возбуждения центром тушения равна
aTvbd8) /dx. Тогда световыход на единицу пробега будет равен
dL VjivNadS/dx
dx OflvN + o^vbdS/dx *
(1)
где N — концентрация центров свечения; ол и от— сечения возбуждения центра
свечения и тушения соответственно; v — скорость перемещения возбуждения
в веществе.
Поделим числитель и знаменатель на unvN и получим
14*
dL adS/dx
dx l+gbd£/dx’
(2)
211
где £=сгт/сТлМ. Между интересующей нас величиной dL/d& и полученной
dL/dx имеется очевидная связь
dL / dg _ dL_
dx / dx ~ dg' (3)
Отсюда
dg \+gbdgfdx '
При малых d&/dx, когда gbdff/dx<^\,
dL/dg^a, (5)
т. e. световыход линеен по энергии. При больших d&/dx, когда gbdg /dx^\,
а / dg
<6>
т. e. dL[d& обратно пропорционально d<§/dx.
5.5. При переводе спектра из шкалы длин волн в шкалу энергий фотонов
составляется равенство
L^d^L^dW, (1)
Отсюда
L(#)=L(X)dX/d#. (2)
Связь величин X и <5 дается соотношением Х=/гс/<^. Дифференцируя, находим
d\/d8=—hc/%K (3)
Знак минус означает, что <5 возрастает при уменьшении X. Гауссиан в шкале
длин волн запишем в виде
L(X)=Luexp [— (Хо—Х)2/2а2], (4)
где в = Г/(2|/ 2 1п 2); Г—ПШПВ (полная ширина на половине высоты).
Подставляя (3) и (4) в (2) и выражая X через получаем
=ехр [-hc (т - 4г/ / 2в21 ’ (5)
где £Го=ЛсДо. У новой функции максимум оказывается смещенным относитель-
но ^0. В рассматриваемом случае спектра свечения Nal(Tl) это смешение не-
значительно— ~2 %. На рис. 5.5 приведен спектр свечения Nal(Tl) в-шкале
энергий фотонов, построенный по (5) в предположении, что спектр в шкале
волн — гауссиан. При построении принято, что £o/tc/^o2= 1. Здесь же пунктиром
для сравнения показан гауссиан, построенный в шкале энергий фотонов с ма-
ксимумом при и ПШПВ=|А#=0,7 эВ.
5.6. Кинетическое уравнение для случая спонтанных переходов из возбуж-
денного состояния в основное имеет вид
dn/dt=—п/%, (1)
Интегрирование этого уравнения при начальном условии п=п0, при £=0 дает
л=По ехр (—f/x). (2)
212
Полученная формула описывает изменение числа возбужденных атомов. Число
фотонов в данном случае равно числу атомов» перешедших в основное состояние
Следовательно, изменение числа испущенных фотонов во времени будет
п'=по [ 1 —ехр (—/ /т) ]. (3)
Тогда интенсивность свечения определяется как производная от числа испущен-
ных фотонов
dn'jdl ехр( —t/ч)
(4)
Существенный результат этого простого вывода—
наличие т в знаменателе предэкспоненты. Теперь,
умножая число фотонов в единицу времени на
эффективность светосбора f, квантовую эффектив-
ность фотокатода k и заряд электрона, получим
ток с: фотокатода
»ф = П^к ехр( — f/-с). (5)
т
Анодный ток ФЭУ будет равен
nQefkM t Q
га =--------ехр(—f/t)= — ехр(—//т), (6)
где Q — полный заряд, собранный на аноде.
5.7. Баланс возбужденных состояний при
имеет вид
dn)dt = —п
Рис. 5.5
наличии тушащей примеси
(1)
где К — константа скорости столкновительного тушения. Введем обозначение
(1/т0)+КС=1/т. (2)
Тогда изменение числа возбужденных состояний запишется аналогично (5.6.2)
п(О=лоехр (—£/т). (3)
Интенсивность свечения есть произведение числа возбужденных центров иа ве-
роятность излучательного перехода, т. е.
ДО =/?(/) — = —^-ехр(— i/t). (4)
то хо
Полученное выражение отличается от выражения (5.6.4) тем, что здесь в пока-
зателе экспоненты и в предэкспоненте стоят разные т. Легко видеть, что т<т0.
Таким образом, введение тушителя оказывается способом, уменьшающим по-
стоянную времени свечения сцинтиллятора.
5.8. Форма сцинтилляции при наличии тушения получена в задаче 5.7
/(/) = —^-ехр( — ^/т).
213
Полное фисло фотонов получим интегрированием
00
«ф = J Z(Z)dZ =л0т/то.
о
где 1/т=1/т(гНКС. Таким образом,
Лф = по/(1-|-ТоКС) =5-103.
5.9. Изменение во времени числа возбужденных молекул основного вещества
будет проходить по тому же закону, что и в задаче 5.6, т. е.
л(/)=лоехр (—(1)
где 1/Т1=1/т01-рКС. Для анализа изменения во времени числа возбужденных
молекул примеси запишем кинетическое уравнение
dm/dt=—m(t) l%Qr\-KCn(t), (2)
где т — число возбужденных молекул примеси. Интегрирование этого уравне-
ния дает
KCtin
'”(0 = ,7, ,-----[ехр( — Z/tj) — ехр(—//тог)]. (3)
О Рог) U/Xi)
Форму сцинтилляционного импульса по аналогии с (5.7.4) запишем в виде
+ л« (4)
“01 Х02
Подставляем сюда (1) и (3) и после преобразований получаем
/(О = (“ + . КСп° ) ехр( — t/4} - КСп° ехр( — г/-СОЗ) • (5)
\ т01 1 — ХО2/Х1/ 1 -Х02/Т1
5.10. Вероятность распада возбужденной молекулы можно записать в виде
1/т=1/т0-ЬКС. (1)
Вероятность столкновения прямо пропорциональна коэффициенту диффузии D,
который в свою очередь связан с вязкостью жидкости 1] соотношением Эйн-
штейна
D=kT/frir\r. (2)
Поскольку вязкость жидкостей зависит от температуры по закону
Л(7)=аехр (W/kT), (3)
где а — константа, слабо зависящая от температуры, вероятность столкновений
в условиях вязкой жидкости оказывается пропорциональной
Л-Т ехр (—W/kT). (4)
Это означает, что
In [ (1 /т)— (1 /То)]~ln T—W/kT. (5)
Пренебрегая слабой логарифмической зависимостью, можно считать, что в ко-
ординатах In [(1 /т) — (1/то) ] и 1/Т должна получиться прямая.
5.11. Среднее расстояние между атомами примеси 7 связано с концентрацией
примеси С, выраженной в относительных долях, соотношением
1 = dtyc.
214
где d — постоянная решетки в кристалле, откуда получаем 7—6,5 нм.
5.12. Z=1/|^CW = 6-10-’см.
5.13. Оптимальная концентрация активатора С определяется из условия, что
среднее расстояние между молекулами активатора 7 равно удвоенному критиче-
скому радиусу:
7=(CW)-l/3=2fl0,
Где дг — число молекул в 1 см3 растворителя. Это значение определим, приняв,
что плотность растворителя 1 г/см8, а атомная масса—12. В результате получим
С=1/[М(2£о)3]=О,25%.
5.14. В большинстве сцинтилляторов миграцион-
ный процесс закапчивается за время, значительно
меньшее времени жизни центра свечения в возбуж-
денном состоянии. Поэтому форма сцинтилляцион-
ного импульса может быть описана выражением
(5.7.4)
Пл
/(/) = —ехр(^Л),
хо
где по — общее число возбужденных центров свече-
ния. Если перехват энергии возбуждения происхо-
дит на стадии миграции, то изменяется начальная ин-
тенсивность при неизменной длительности импульса. Если же энергия перехваты-
вается при взаимодействии примеси с возбужденными центрами свечения, то
изменяется т, а начальная интенсивность остается постоянной. Наконец, возмо-
жен перехват энергии примесью и в процессе миграции, и с центра свечения.
В этом случае уменьшаются и начальная интенсивность, и длительность сцин-
тилляции.
5.15. Это явление удобно объяснить на графике конфигурационных кривых
(рис. 5.6). Здесь нижняя кривая — это потенциальная энергия центра свечения
в основном состоянии в функции расстояния до ближайших соседей (или внутри
сложного центра). Верхняя кривая соответствует возбужденному состоянию
центра. Стрелкой, направленной вниз, показан излучательный переход,
вероятность которого Рпзл, Однако тепловые флуктуации могут забросить центр
в точку Л4, где две кривые пересекаются (или хотя бы достаточно сближаются).
Тогда центр может перейти в основное состояние безызлучательно, растратив
избыточную энергию на колебания решетки кристалла. Вероятность безызлуча-
тельного перехода здесь равна вероятности набрать энергию для перехода в точ-
ку М
Рт = Роехр (-U^/fcT). (1)
Интенсивность свечения пропорциональна отношению вероятности излучательно-
го перехода к сумме вероятностей излучательного и безызлучательного переходов
/~7?иэл/(7эизл-(-7?т). (2)
Предполагая, что вероятность излучательного перехода не зависит от темпера-
туры, получаем
Р~1/[1+аехр (-№МДТ)].
(3)
215
Полученная формула называется формулой Мотта.
5.16. Система дифференциальных уравнений, описывающих баланс электро-
нов и дырок на уровнях и в зонах, имеет вид
dtip/dt — р рпр
dflc/di’ •— Репе
di^e/dt = а + Рспс— §eNe — ре/1р^;
dNр/dt = а Ч- РрПр р РрП^Л'р;
np + Np=ne + Ne,
(О
Обозначения вероятностей переходов и концентраций электронов и дырок в зо-
нах и на уровнях ясны из рис. 5.1. В системе (1) пять уравнений, по пользо-
ваться можно только любыми четырьмя, так как только четыре уравнения ли-
нейно независимы.
Для решения этой системы необходимо сделать некоторые упрощающие
предположения.
1. Так как время жизни электронов и дырок в соответствующих зонах мало
по сравнению с временем жизни их в локализованном состоянии, то и концен-
трация их в зонах также существенно меньше, чем в локализованном состоя-
нии, т. е.
Np<&np. (2)
2. Изменение концентрации свободных зарядов почти не отстает от измене-
ния концентрации локализованных, т. е.
dNe/dt<&dne/dl; dNp/dt<^dnp/dt. (3)
3. Будем считать, что электронная ловушка не может служить центром ре-
комбинации, т. е. Рд = О.
4. В сцинтилляционном процессе возбуждение можно считать мгновенным и
сцинтилляцию рассматривать как послесвечение, т. е. <х=0.
После преобразований, связанных с учетом сделанных упрощающих пред-
положений, получаем систему
пе = Пр\
^ = Репе/(ае + реПр);
= РрЧр1^р',
Лпр_ реРе 2
dt ве + репр'1₽-
(4)
Для дальнейшего решения надо рассмотреть два практически важных
случая.
1, Экспериментальное изучение люминесценции различных кристаллофосфоров
показывает, что в большинстве случаев вероятность захвата электронов много
больше вероятности их рекомбинации, т. е.
(5)
При этом последнее уравнение системы (4) превращается в обычное уравнение
объемной рекомбинации (2.68.2) с разделяющимися переменными
dnP_. РеРе
ct 6е ПР-
(6)
216
Его решение имеет вид
«р—Hq/(l-J-tyjPcPet/Ье) ,
(7)
где no — концентрация зарядов, запасенных на уровнях локализации.
Интенсивность свечения, возникающего при рекомбинации электронов
с ионизованными центрами свечения, дается формулой
/= |Зе/1рЛГ р.
(8)
Подставляя сюда N* из второго уравнения системы (4) и пр из (7), получаем
/ = Ь^/(1 + (9)
Таким образом, в рассмотренном случае затухание сцинтилляции будет происхо-
дить по закону бимолекулярной реакции, однако длительность затухания будет
зависеть от времени пребывания электронов на ловушках.
2. Если же вероятность захвата электрона ловушкой много меньше вероят-
ности его рекомбинации с дырочным центром свечения, то последнее уравнение
системы (4) принимает вид
dn,p/dt=—Репр.
(10)
Это обычное уравнение мономолекулярного процесса, решение которого дает
=по ехр (—Pet),
(11)
Подставляя в (8) Ne из второго уравнения системы (4) и пр из (11), получаем
I=PetlQ ехр (—Pet).
(12)
Полученный результат есть характерный пример того, что бимолекулярная ре-
комбинация при определенных условиях может приводить к мопомолекулярным
уравнениям, кинетике первого порядка и, следовательно, к экспоненциальному
спаду интенсивности свечения. Этот пример показывает, что сам по себе экспо-
ненциальный спад интенсивности не может служить аргументом в пользу мо-
номолекулярности процесса.
5.17. В уравнении (5.16.6) для скорости изменения концентрации ионизован-
ных центров свечения заменим производную по времени производной по темпе-
ратуре
dnP dT_____&Р„
dT dt 6е пР •
(1)
Но rff/d/=x=const — скорость нагрева,
dnp__ fiepe
dT
(2)
Решая это дифференциальное уравнение, получаем
§ {^eMdT ,
(3)
То
Т
217
где TQ — температура, при которой проводилось возбуждение. Интенсивность
свечения определяем, используя (5.16.8), (5.16.4) и (5.16.5),
Г Т 1-1
1 = "V2"1 + ~ I (WMdT . (4)
Og I * J
Io J
Если подставить (5.16.10) в (4), то получается интеграл
т
j ехр(-И7/ЛТ)йТ,
Л>
который в элементарных функциях не выражается. Для получения аналитиче-
ских выражений можно воспользоваться приближением
г
С kT2
exp(^W/kT)dT = ^-exp(^W/kT). (5)
о
5.18. В выражении для средней амплитуды импульса (5.54.1) объединим все
параметры, кроме энергии частиц и конверсионной эффективности, в одной кон-
станте и, считая, что постоянная времени сцинтиллятора мало различается при
а- и 0-возбуждении, запишем
= = (1)
Отсюда
Следует понимать, что полученное значение не очень строго характеризует отно-
шение a/0, так как a-частицы поглощаются на поверхности сцинтиллятора,
а у-кванты — в объеме.
5.19. В неорганических кристаллах и любых типах органических .сцинтилля-
торов с ростом плотности ионизации сильно падает конверсионная эффектив-
ность, и для осколков деления она составляет несколько сотых конверсионной
эффективности для электронов. Кроме того, при работе с осколками деления
нарушается пропорциональность между энергией осколков и амплитудой выход-
ного сигнала. Поэтому использование любых твердотельных и жидкостных сцин-
тилляторов для спектрометрии осколков деления затруднено.
Преимуществами при решении этой задачи обладают газовые сцинтиллято-
ры. Их световыход пропорционален энергии осколков. Они позволяют работать
при значительных интенсивностях фона от а- и у-излучения и обладают малым
временем высвечивания.
5.20. Образование дырки в щелочпо-галоидиом кристалле — это ионизация
иона галоида X-. Возникающий ион галоида Хо неустойчив и в процессе релак-
сации образует с соседним ионом Х~ молекулярный ион Х2“. При низких тем-
пературах этот молекулярный ион стабилен и неподвижен, а при комнатной
температуре может перемещаться по кристаллу с подвижностью, характерной
для ионной проводимости. Образование молекулярного иона Х2- и есть авто-
локализация дырки.
218
5.21. При рекомбинации электрона и автолокализовапной дырки образуется
автолокализованный экситон, излучательный распад которого и создает наблю-
даемое свечение. Таким образом, автолокализоваппая дырка может либо реком-
бинировать с излучением с вероятностью 1/трек, либо быть термически разру-
шенной с вероятностью Ро ехр (—Рраар/Г). Интенсивность свечения пропорцио-
нальна отношению вероятности излучательного перехода к сумме вероятностей
всех возможных процессов, т. е. в данном случае — излучательного перехода и
термического разрушения. Для интенсивности излучения можно записать
___________1 /трек__________________(о________
= 0 l/w+poexp(—Гразр/Т) 1 + Сехр(—Тразр/Т) ’
Параметр С обычно подбирается таким образом, чтобы добиться наилучшего
согласия с экспериментальными результатами.
5,22. Дифференциальное уравнение, описывающее кинетику поведения заря-
дов при рекомбинации при условии равенства концентраций носителей, имеет вид
—dn/dt=fin2, (1)
где р — коэффициент рекомбинации, откуда, интегрируя при начальном условии
п=л0 при t=01 получаем
Д=/го(1+по₽/). (2)
Интенсивность свечения равна скорости убыли концентрации носителей
/(/)=— dn/dt. (3)
Следовательно,
/(0 = 1 а • (4)
(1 +рлоО2
Таким образом, при сделанных упрощающих предположениях спад сцинтилля-
ции выражается гиперболой второго порядка.
5.23. В сцинтилляторе Nal(Tl) рекомбинация электрона и дырки на центре
свечения, которым является ион таллия, замещающий катион (т. е. ион натрия)
в регулярном узле решетки, приводит к возбуждению центра. Поскольку время
жизни возбужденного состояния иона таллия много больше характерного вре-
мени рекомбинации, в спаде сцинтилляции проявляется распад возбужденного
состояния центра свечения, который обычно происходит по экспоненте. Длитель-
ность процесса рекомбинации проявляется в накоплении возбужденных центров,
т. е. во фронте сцинтилляции.
5.24. Изменение числа возбужденных молекул щ и п2, находящихся соот-
ветственно на синглетном и триплетном а2« уровнях, описывается системой
уравнений
/ Ч (I)
— = -—- ktNna + Wri!,
dt т2
где АГ— число нейтральных атомов ксенона в единице объема.
При малых давлениях (малое W) наблюдаемые времена высвечивания опре-
деляются скоростью образования молекул. При давлении порядка атмосферного
скорость образования молекул оказывается меньше характерных времен жизни
уровней, и наблюдаемые времена определяются из системы (1). Если считать,
219
что возбужденные уровни молекулы образовались мгновенно, как это имеет ме-
сто при возбуждении заряженными частицами, то в сцинтилляции наблюдаются
две компоненты — быстрая с постоянной времени tq=X| и медленная. Решение
системы (1) при условии I/ti-^jV» 1/т2-|-М^ приводит к следующему выра-
жению для постоянной времени медленной компоненты в газе:
-^-=1 + (2)
Из (2) следует, что в области давлений, где
T2ft2iV<l, (3)
значение т2/тм не зависит от давления и
тм=т2. (4)
Условия задачи удовлетворяют условию (3). Таким образом, в газообразном
ксеноне при давлении 0,5 МПа наблюдаются две временные компоненты в сцин-
тилляции: Тб=Т]=5,5-10~9 с и тм=Т2 = 9«10-8 с.
5.25. Интенсивность света 7, рассеянного объемом жидкости V, описывается
формулой Эйнштейна
л2
^ = /о—7T-(I + c°s26)(«2-I)2 VAT-z, (1)
Ava
где г — расстояние от рассеивающего объема до точки наблюдения; п — показа-
тель преломления жидкого Хе; % — изотермическая сжимаемость; 0 — угол меж-
ду направлением падающего света и направлением наблюдения. Тогда интенсив-
ность света, рассеянного на пути dlt запишется как
К2
di = 7-^- (1 -f-cosa9)(/2a— lySkT^
(2)
где S— поперечное сечение пучка света, которое можно принять равным 1 см2.
С учетом того, что из пучка выбывает свет, рассеянный практически под
любым углом, имеем
4п3
— I —— (д2 — VfkTydl. (3)
Л3
Тогда из решения дифференциального уравнения (3) получаем распределение
света на пути I
I=IQexp(—yl), (4)
4л3
где у= —(л2——коэффициент поглощения. Для жидкого ксенона (%=
Л4
= 175 нм; л=1,8; Т=170 К; %=2-10“10 см2-дин) у=5-10“7 см-1, что оказывает-
ся весьма малым значением.
5.26. В отсутствие поглощения световой поток, приходящийся на элемент
телесного угла, выразится в виде
^ф==ф0й?Й/4д,
(1)
220
где ф0 — полный световой поток, испущенный источником света сцинтилляций.
Световой поток на выходе из сцинтиллятора будет равен
00
ф= (ф0/2) JsinOrfe, (2)
О
где Oo=arctg (/?//). Отсюда
Ф = ф71-—. 1 Кб.ЬЮ*. (3)
°\ 2|//*+ Я2 )
5.27. Если заряженная частица проходит через сцинтиллятор в момент вре-
мени, равный нулю, то амплитуда импульса на выходе превысит порог сраба-
тывания регистрирующего устройства в момент времени, равный f0. Дисперсия
распределения значений t0 и будет определять временное разрешение детектора.
Сцинтиллятор дает вклад в разрешение за счет статистического характера воз-
никновения фотонов. Вычислить этот вклад можно следующим образом.
Число фотоэлектронов, вылетевших с фотокатода за время /о, найдем инте-
грированием распределения фотонов во времени
/о
п=(О
о
fl I
где /2ф= —ехр(—/о/т). В результате интегрирования получаем
т
п=nQ [ 1—ехр (—/о/х) ]. (2)
Если /0<^т, то, разлагая экспоненту в (2) в ряд и пренебрегая членами высших
степеней, находим выражение для /о
i$=nxln^ (3)
Теперь дисперсию /0 можно найти по обычному правилу вычисления дисперсии
косвенных измерений
д(и=(^Гд(п)+(4)
\ On / \ onQ J
Будем считать, что флуктуации в числе фотоэлектронов происходят по закону
Пуассона. Тогда
В(п)=и; Р(п0)=Ло. (5)
Производя дифференцирование в (3) и подставляя в (4) с учетом (5), по-
лучаем
п,, ч т2и / п \
— 3 (6)
По X По /
Поскольку /о^т, п<^,по, поэтому пренебрегаем членом п/л0 по сравнению с еди-
ницей. В результате имеем
2)(/0)=т2л/л20. (7)
221
Величину Ло можно выразить через конверсионную эффективность сцинтилля
тора
n^Qwkflhw
Отсюда видно, что
D(/0)~t2/x-.
(8)
5.28. Свет сцинтилляционной вспышки распределен в пространстве изотропно.
Поэтому на элемент телесного угла приходится доля света, равная
dQ 1
— = —sinGdO. (1)
4л 2
Свет, который выходит из любой точки под углом к грани, меньшим угла пол-
ного внутреннего отражения 90> выйдет из сцинтиллятора. Свет, выходящий под
большим углом, претерпевает отражение на гранях и может попасть на тор-
цевую грань и фотокатод. В конусе с углом в вершине 90 будет заключена доля
света, равная
6о
J dQ = V <1—cos 0»>-
о
(2)
Из любой точки внутри параллелепипеда можно построить шесть конусов,
перпендикулярных граням, с углами при вершинах Оо. Свет, выходящий в одном
из конусов в направлении ФЭУ, наверняка попадает на фотокатод. Свет, выхо-
дящий в остальных пяти конусах, наверняка выйдет из сцинтиллятора. Свет,
выходящий из любой точки вне конусов, имеет значительные шансы также по-
пасть на фотокатод. Таким образом, на фотокатод попадает доля света, равная
f= 1-5[у (I-
cos 90) =— (5 cos 0О —3).
(3)
Угол полного внутреннего отражения связан с коэффициентом преломления
соотношением
sin 0о=1 In. (4)
Используя значение л =1,5 в результате вычислений, получаем /=0,36.
5.29. Минимальное время, которое затрачивает свет, возникающий в центре
сцинтиллятора, чтобы достичь фотокатода, равно
^m1n^=^/2v,
где v=cln\ п — показатель преломления. Максимальное время можно оценить
по формуле
^max=l,5//0 COS Од,
где 0о — угол полного внутреннего отражения. Еще более длинными путями
пренебрегаем, считая, что на длинных путях начинает существенную роль играть
поглощение света.
Используя выражение (5.28.4) для и полагая п^1,5, находим
Atel,5//v=l,5 нс.
222
5.2. ФОТОЭЛЕКТРОННЫЕ УМНОЖИТЕЛИ
5.30. Однозначного соответствия между интегральной чувствительностью и
квантовой эффективностью нет. Для оценки можно воспользоваться определе-
нием светового потока. Для максимальной видности справедливо соотношение
1 А/лм=683 электрон/эВ.
Если считать, что средняя энергия фотонов в сцинтилляции примерно равна
3 эВ, то получим
1 А/лм=2050 электрон/фотон.
Отсюда находим
1 мкА/лм=0,2%.
Ясно, что справедливость этого соотношения определяется соответствием спект-
ров излучения черного тела и чувствительности ФЭУ. Так, например, если рас-
ширять чувствительность в сторону коротких или длинных волн, то интегральная
чувствительность будет расти без увеличения квантовой эффективности.
5.31. Длинноволновая граница спектральной чувствительности ФЭУ опреде-
ляется красной границей фотоэффекта материала фотокатода, т. е. фотоэлек-
трической работой выхода. Коротковолновая граница определяется прозрачно-
стью подложки, на которую фотокатод нанесен.
5.32. Кратчайшее расстояние, по которому движутся электроны с фотокато-
да на умножительную систему, соответствует центру фотокатода, а самое длин-
ное— его периферии (рис. 5.7). Следовательно, разброс времен собирания элек-
тронов составит
Af = ]/ -|- (У7Г- ИТ) * 0.5 нс,
где a=eEjm — ускорение.
5.33. Время движения на участке фотокатод — умножительная система по-
рядка 7 нс, пролет между каждой парой динодов —2,4 нс. Итого на весь ФЭУ
—31 нс.
5.34. Разность во времени пролета электрона, вылетевшего с нулевой на-
чальной скоростью, и электрона, вылетевшего с начальной скоростью vQi движу-
щихся в однородном электрическом поле, равна
. . vQmd
М = =^0 7 нс.
eU
5.35. Поскольку на анод собираются электроны, с анода снимается отрица-
тельный сигнал.
5.36. Положительный импульс можно получить, включив сопротивление на-
грузки в цепь любого электрода, с которого уходит больше электронов, чем па
него приходит, т. е. с дипода. Обычно снимают сигнал с последнего динода, как
показано на рис. 5.8.
5.37. В начальные моменты времени (несколько наносекунд) импульс в цепи
динода определяется движением к нему электронов от предыдущего динода.
Ясно, что при этом формируется отрицательный импульс. После того как первые
электроны долетят до динода, с пего начнет улетать электронов больше, чем
прилетает, и импульс изменит знак на положительный. Таким образом, у поло-
223
жительного импульса, снимаемого с динода, имеется маленький отрицательный
предымпульс.
5.38. Коэффициент умножения ФЭУ можно измерить несколькими спосо-
бами.
1. По измерению средней амплитуды одноэлектронного импульса.
2. По измерению тока на входе и выходе последовательных групп каскадов
усиления.
3. При некотором малом напряжении на ФЭУ и облучении его значитель-
ным световым потоком измеряют амплитуду импульса с фотокатода ЛфК и
амплитуду импульса с анода Ла. Небольшими вариациями светового потока
с помощью, например, диафрагм необходимо проверить линейность световой
характеристики. После этого световой поток уменьшают таким образом, чтобы
новая амплитуда импульса с анода Л'а оказалась равной первоначальной ампли-
туде импульса с фотокатода, т. е. Л'а=ЛфК. Это позволяет определить и новое
значение амплитуды импульса на фотокатоде А'фц=А'а/М, поскольку напряже-
ние па ФЭУ не менялось и, следовательно, не менялся коэффициент его усиле-
ния Л4=Ла/ЛфК. Теперь, устанавливая на ФЭУ нужное значение рабочего на-
пряжения и измеряя амплитуду импульса с анода Лараб можно определить ко-
эффициент умножения ФЭУ
•Мраб = ЛаРабЛа/Аа ЛфК.
5.39. Строгое выражение для коэффициента умножения ФЭУ имеет вид
М = П<7£-ш£, (1)
1
где qi — эффективность собирания электронов на соответствующий динод. Если
принять, что все qi равны единице и на всех динодах коэффициенты вторичной
электронной эмиссии одинаковы, то
М=тп. (2)
Логарифмируем и дифференцируем (2) и получаем
dM[M=ndfnlm. (3)
Обычно в рабочем режиме в диапазоне небольших изменений питающего на-
пряжения можно считать, что -коэффициент вторичной электронной эмиссии
линейно связан с межкаскадным напряжением, т. е. m=aU. Следовательно,
dMIM=ndU/U, (4)
5.40. dM/M—n(dmltn) (dUjU) = 1,2 %.
224
5.41. В соответствии с правилом вычисления флуктуаций в каскадных про-
цессах для относительной флуктуации коэффициента умножения можно записать
Й2/Д4) = ) -L — 2) + ..•+------'-----1г(тп). (1)
Флуктуации коэффициентов вторичной электронной эмиссии происходят по зако-
ну Пуассона, поэтому
&(т)—1/т. (2)
Учитывая, что по условию задачи все коэффициенты, кроме первого, равны,
получаем
й2(лп = — G + —+4-+.--+-^гУ <з)
mi \ т т2 пгп 1 )
Попользуем формулу для суммы убывающей геометрической прогрессии
1 m(mtl—1) ...
62(М) =------(4)
mi тп(т— 1)
Поскольку единицей в числителе в скобках можно пренебречь, и тогда
Й2(М) = —----. (5)
т — I
В результате получаем 62(Л1)=0,33. Отметим попутно, что если т{=т, то
62(Л4) = 1). (6)
5,42. По правилу вычисления флуктуаций каскадных процессов можем за-
писать
1 \
т"-1 /’
62(A) =
б2 (w)
Пе
1
т*
(1)
где пе — число электронов, попавших па первый динод. Полагая, как это сде-
лано в задаче 5.41, &(т) = 1/т и используя формулу суммы геометрической
прогрессии, получаем
1 т(тп— 1)
62(A) =•-------------(2)
тпе тп(т— I)
Пренебрегая единицей по сравнению с тп в числителе и производя сокращения,
находим окончательное выражение для относительной средней квадратической
флуктуации выходного сигнала
8(A) =И/«Д/и —О =0,058. (3)
5.43. Для регистрации одноэлектронного сигнала приходится использовать
значительные коэффициенты умножения ФЭУ и, следовательно, большие т.
В этом случае флуктуации процесса умножения па втором и последующем ди-
нодах слабо искажают распределение, полученное на первом диноде. Распреде-
ление числа вторичных электронов довольно хорошо описывается законом Пуас-
сона. Поэтому распределение амплитуд одноэлектронных импульсов на выходе —
это распределение Пуассона со средним, равным коэффициенту вторичной элек-
5—• 5266 225
тронной эмиссии первого динода»
—
P(v)=—Т-е"4”1,
Я
где v — целое число.
Относительная средняя квадратическая флуктуация одноэлектронного им-
пульса при равных коэффициентах вторичной электронной эмиссии описывается
выражением
о = 1 /|/ т — 1 .
Если т заметно больше единицы, то это выражение мало отличается от форму-
лы относительного среднего квадратического отклонения в законе Пуассона.
5.44. Для проверки соответствия наблюдаемого распределения одноэлектрон-
ным импульсам надо слегка изменить интенсивность подсветки. Если наблюдае-
мый пик является одноэлектронным, то с изменением интенсивности подсветки
высота пика будет меняться, а положение останется неизменным. Если же пик
сдвигается, то это означает, что он не одноэлектронный.
5.45. Д=е/иЛ/С=0,17 В.
5.46. Отдельный электрон, вылетающий с фотокатода, вызывает на аноде
импульс тока, который можно с достаточно хорошим приближением описывать
гауссовой функцией
еМ
ехр М/д/П- (1)
it
где /Пр — время пролета электронов от фотокатода до анода; Д/ — среднее квад-
ратическое размытие времен пролета. Импульс тока смещен относительно мо-
мента вылета электрона на время /ир, ширина импульса на половине высоты
равна 2,35Д//|/2. Импульс анодного тока от нескольких фотоэлектронов, выле-
тающих из фотокатода в моменты t' и распределенных по экспоненте
Q
0(0 = —ехр(—00,
складывается из отдельных перекрывающихся импульсов /а(/—/*):
t
Q Г
МО = ехр{Н(^-t9
тш у 7Z J
о
(2)
(3)
Это уравнение можно представить в виде
О(П =
(ДО2 11
4t2 Я
Q
V!t
откуда
. Q I t Оф । Д/2 \ ( Оф Д/ 1 , Г Оф । Д/ 11
la(0=2tex ( ~ 1егГ[~ДГ" ‘2Tj+erf |_“дГ+“2г])>’
226
где erf — функция ошибок. Считаем, что если бы разброса времен пролета не
было, то амплитуда импульса тока равнялась бы Z0=Q/t. Проводя вычисления
по (5), находим
(t’a) тахЛ’о=О»4.
5.47. Когда в последних каскадах ФЭУ протекает большой ток, это эквива-
лентно включению между соответствующими динодами маленького сопротивле-
ния. В результате потенциал на диноде изменяется, что искажает работу ФЭУ.
Для стабилизации потенциалов последних динодов параллельно резистору де-
лителя включается конденсатор. Его емкость определим из условия, чтобы RC
его разрядки было много больше длительности импульса тока по основанию,
/?С»Зт.
Отсюда получаем С^Ю3 пФ.
5.48. Объемный заряд в последних каскадах ФЭУ нарушает пропорциональ-
ность выходного сигнала и светового импульса, а также затягивает выходной
сигнал.
5.49. Образование объемного заряда существенно в тех случаях, когда заряд
электронов, заключенных между динодами, сравнивается с зарядом, который
способна удерживать емкость,
?Kp=Ct//fnp,
где С — емкость конденсатора, образованного парой динодов; U — разность по-
тенциалов между динодами; fnp — время пролета электронов между динодами.
Примем площадь динодов равной 0,5 см2, расстояние между ними 0,44 см,
тогда С=0,1 пФ. Если ЕМ 100 В, а fnP=2,4 нс (задача 5.33), то ?«Р=4 мА. Для
того чтобы избежать влияния объемного заряда, надо удерживать ток в послед-
нем каскаде ФЭУ значительно меньше, чем fKp, т. е. t^!00 мкА.
5.3. ВЫХОДНОЙ СИГНАЛ СЦИНТИЛЛЯЦИОННОГО ДЕТЕКТОРА
5,50. Импульс напряжения на выходе ФЭУ формируется так же, как в дру-
гих детекторах при движении электронов в промежутке последний динод —
анод. Но время пролета электронами этого промежутка весьма мало, и в первом
приближении им можно пренебречь. Поэтому импульс на выходе ФЭУ опреде-
ляется длительностью сцинтилляции, поставляющей электроны в промежуток
последний динод — анод.
Импульс тока в анодной цепи ФЭУ определяется выражением (5.6.6)
Q
= — ехр(—//т). (1)
т
Подставляя это выражение в формулу (3.22.6) для u(f) и проводя интегриро-
вание, получаем
v Q RC
«(П = 7Г-------Z7T Гехр(—f/г) - exp(-tfRC)]. (2)
С т —
5.51. Дифференцируем выражение (5.50.2) для «(/), приравниваем его нулю
и получаем
RC-c RC
tnap = ~-------In----=0,59 мкс. (1)
>5* 227
5,52. В выражении (5.50.2) для формы импульса напряжения на выходе
ФЭУ при 7?С=т возникает неопределенность вида 0/0. Устраняя неопределен-
ность по правилу Лопиталя, получаем
Q t
и(О =-^-—exp(-f/t). (1)
G Т
Дифференцируем это соотношение, приравниваем производную пулю и получаем
время достижения максимума
Лтар=Т. (2)
Подставляя (2) в (1), находим амплитуду импульса
Проводя необходимые вычисления для определения Q, находим Д=3,75 В.
5.53. Для вычисления амплитуды импульса подставляем выражение для
времени нарастания (5.51.1) в выражение для формы импульса в общем случае
(5.50.2) и получаем
Q RC Г/ х \RCi(RC-z) p V/(RC-т)1
л = -(rcJ Г'
5.54. Выходной сигнал равен
А=еп*ЦМ1С, (1)
где Гсф=5х//й>; k — квантовая эффективность фотокатода; / — коэффициент све-
тосбора. Относительная флуктуация выходного сигнала равна
62(Л)=б2(мф) +д2(/г/) -Нб2(М). (2)
Флуктуации в числе фотонов можно считать происходящими по закону Пуассона
(см. задачу 2.42), поэтому
6^(пф)=1/«ф. (3)
Флуктуации коэффициента умножения определяются в данном случае, когда на
первый динод прилетает в среднем n$kf электронов, по формуле
^(М) = 1/пфк}(т— 1). (4)
В результате получаем
««(А) = i^kf) + • (5)
Поскольку сцинтиллятор маленький, флуктуацией светосбора пренебрежем, и
тогда
-ч -в 1 + kf(т — l)l^v
,(Л)-у <»>
Привычное значение энергетического разрешения в 2,35 раза больше и равно
8,65 %.
228
5.4. ЧЕРЕНКОВСКИЕ ДЕТЕКТОРЫ
5,55. Проводим интегрирование в формуле (1) И получаем
\d£ у* <-(0? А_ 1 \ (2)
dx с2 2 \ р2п2 / *
где сох и со2 —граничные частоты области спектра, в которой регистрируется
излучение. Заметим, что
((022 —сох2) /2 = (<02— coj (<о2 + (Di)/2 = (Do((D2 —(Dl) , (3)
где (Do — средняя частота регистрируемой области спектра. Энергия излучения
связана с числом фотонов соотношением
5 = ПфЙш0. (4)
Подставляя (4) и (3) в (2) и воспользовавшись условием когерентности
(5.60.1), находим
dn^/dx = — (w2 —(Di)sin2 6, (5)
где u=e2lhc — постоянная тонкой структуры. После интегрирования (5) по дли-
не пути радиатора и перехода от частот к длинам волн по соотношению
(д=2лс/Х (6)
получаем соотношение для вычислений
Пф = 2ла/sin2 8. (7)
\ A Ai /
Для электронов с энергией 500 кэВ р2=0,75, показатель преломления воды п=
= 1,33. После вычислений находим
Пф=380 I sin2 9=9,4 фотона.
5.56. Эффективные граничные значения длин волн спектральной чувстви?
телыюсти сурьмяно-цезиевого фотокатода равны iX2=350 нм; /4=600 нм. Тогда
для числа фотонов из формулы (5.55.7) получаем, фотон/см
Пф=<550 Z sin2 9. (1)
Численный коэффициент в этой формуле определяется диапазоном длин волн
(или частот), в котором регистрируется излучение. Так, диапазону 400—700 нм
соответствует коэффициент 491. Приводимый во многих руководствах коэффи-
циент 450 соответствует диапазону частот Av=3-10J'4 с-1, т. е. примерно
400—670 нм.
По условию задачи g=mc2, что соответствует |Р = 0,87. Следовательно,
«ф= 5500 (1 — —Ц-) 2500.
\ р я /
5.57. Воспользуемся для оценки числа фотонов, возникающих в сцинтилля-
ции, удельными потерями энергии для релятивистских частиц d§jpdx=
=2 МэВ«см2/г. Тогда потерянная в сцинтилляторе энергия равна 14,7 мэВ,
а число фотонов ЛфС±г5*105. Число фотонов черепковской вспышки согласно
(5.56.1)
Пф^740.
16—5266
229
5.58, В задаче 5.55 было получено, что энергия черенковского излучения на
единицу пути пропорциональна квадрату частоты, а значит, обратно пропорцио-
нальна квадрату длины волны
d&/dx~lf№. ;(1)
Дифференцируя это соотношение, находим
I&)d^dh/№. (2)
Таким образом, интенсивность излучения обратно пропорциональна кубу длины
волны. Отметим, что это не значит, что интенсивность пропорциональна кубу
частоты. Действительно, при сравнении спектральных распределений нужно
сопоставлять следующие величины:
I(h)dK=I(y)dv. (3)
Отсюда
I(v)=I(h)dX/dv. (4)
Но |<il/dy|=c/v2, и, следовательно, если
то
5.59. В задаче 5.58 было получено, что число фотонов на единицу пути
пропорционально частоте, т. е. энергии фотонов,
dn$/dx^g$. (1)
Дифференцируя (1) по энергии, находим
I ) = d^ldxd&^f (<§Г ф). (2)
5.60. Условия возникновения излучения наглядно видны из рис. 5.9. Усло-
вием когерентности, при котором интерференция не гасит волны, возникающие
в различных точках траектории частицы, является равенство времени прохожде-
ния светом пути АС, а частицей — пути АВ. Скорость частицы равна v, следо-
вательно, AB=vt. Скорость света с/п, следовательно, АС=сЦп. Из анализа тре-
угольника АВС получаем
cos0=l/0n. (1)
5.61. Максимальный угол соответствует Р~1, следовательно,
0max = arccos (1/п).
Для ВОДЫ 0тах=42°.
5.62. 0тах=1,4°.
5.63. Необходимым условием существования черенковского излучения яв-
ляется требование cos 0^1. Отсюда получаем
рш/п=1/Л.
Для воды pmin=0,75, что дает ^mm=264 кэВ.
5.64. #т1д=38 ГэВ.
230
5.65. В газовых черенковскйх детёкторёх йрй не очень больших давлениях
газа угол выхода излучения мал. Поэтому основное соотношение, можно пере-
писать в виде
COS 0^1—'02jnax/2=l//l. (1)
При малых 1]
1/«=1/(1+п) = 1-П. (2)
Подставляя (2) в (1), получаем
®max (3)
5.66. Свет, возникший на высоте h и распространяющийся под углом 0
к вертикали, достигнет земли на расстоянии г от места попадания электрона
r=htgQ. (1)
Воспользуемся малостью угла 0, так что tg 0^0, тогда г=Л0. Для максималь-
ного угла выхода черепковского излучения, соответствующего частице с |0~1,
в задаче 5.65 было получено выражение
(2)
где т)=л—1—характеристика показателя преломления. Значение т] зависит от
давления газа, и, поскольку давление воздуха изменяется с высотой, для т] ат-
мосферы можно написать
T|W=noexp (3)
где т)о=2,9-10-4 для воздуха на уровне моря; Я=7,1 км — релаксационная дли-
на для изменения давления в атмосфере. Подставляя (3) и (2) в (1), получаем
Г = h exp(—>h]2H). (4)
Дифференцируем (4), приравниваем нулю и находим, что максимальное значе-
ние г, соответствующее h=2H, равно
Гшах = 2Я|/2^ ехр(-1) = 126 м. (5)
5.67. Время разгорания и затухания черепковского излучения порядка пе-
риода световой волны, т. е. ~10~15 с. Однако при регистрации черепковского
излучения на некотором расстоянии от места его возникновения импульс света
конечной длительности может возникнуть за счет дисперсии среды. Дело в том,
что во всякой реальной среде показатель преломления зависит от длины волны
16* 231
излучаемого света, а значит, для разных длин волн будет разным угол, под
которым выходит излучение. Как видно из рис. 5.10, это приводит к появлению
на расстоянии d от траектории частицы светового импульса конечной длитель-
ности At Величина А/ равна разности во временах прихода света крайних длин
волн, например голубого и красного, в точку наблюдения. Путь света равен
I = a/sin 8 = dp/2/|/ p3n2—1 .
Время прохождения этого пути
t = Z/pc = dn/c |/ 02п2 — 1 .
Разность времен
М=А. Г п*
с Ivpa«ia-1 /PW — 1Г
В воде п—1,333 для Х=600 нм и п= 1,343 для Х=400 нм. Полагая р^1, нахо-
дим Л/^5-10-12 с.
Полученное значение также очень мало, и поэтому можно считать, что че-
репковское излучение длится столько времени, сколько времени частица дви-
жется через радиатор. Согласно условиям задачи A/=2,2-10-11 с.
5.68. Как показано в задаче 5.67, длительность световой вспышки опреде-
ляется временем движения частицы через радиатор. В данном случае Д/=
= 0,15 нс. Здесь для вычисления использована максимальная скорость частиц,
еще вызывающих черепковское излучение. Полученное значение меньше харак-
терных времен, определяющих временное разрешение ФЭУ. Поэтому временибе
разрешение черепковских детекторов с радиаторами небольших размеров опре-
деляется временными свойствами ФЭУ.
5.69. Факторы, ограничивающие энергетическое разрешение черепковских де-
текторов:
1) конечное сечение пучка частиц;
2) непараллелыюсть лучка частиц;
3) разброс энергии частиц;
4) многократное рассеяние в радиаторе;
5) потеря энергии частиц в радиаторе;
6) дифракция;
7) хроматическая аберрация;
8) сферическая аберрация.
5.70. Дифференцируем соотношение для условия существования черенковско-
го излучения по 0
б/|0/б/0=Й02 Sijn Q
и по Л
de I dn
ir=Vctg0lF-
Здесь п— средний показатель преломления по области спектральной чувстви-
тельности ФЭУ. Запишем теперь
(2)
ар____ар ае
ал “ ае ал ’
(3)
232
Подставляем в (3) выражения (1) и (2) и после преобразований получаем
d$l$=dnln.
Принимая для воды в диапазоне А=400ч-600 им drc^0,01 и /7=1,335, находим
dP/0^0,7 %.
5.71. Дифференцируя формулу для условия существования черепковского
излучения, получаем
dP/P = d9 l/>n2— 1 •
Многократное рассеяние приводит к изменению направления движения частицы
и к соответствующим колебаниям конуса черепковского излучения. Поэтому в
качестве можно взять средний квадратический угол многократного рассеяния
(1.53.8). В итоге получаем сф/р^З % -
5.72. В сцинтилляционном детекторе основным фактором, определяющим
флуктуации выходного сигнала, являются флуктуации ионизационных потерь по
Лапдау. Относительная ширина распределения Ландау на половине высоты
примерно равна ыСц—30%.
В черепковском детекторе основная причина флуктуаций — статистический
характер вылета электронов с фотокатода. Число фотонов, падающих на катод,
определяем по формуле (5.56.1). Полагая |р-~1, находим sin2 0=0,42. Тогда
число фотонов равно 230. Считаем, что черенковское излучение собирается на
фотокатод без потерь, а квантовая эффективность фотокатода примерно равна
0,1. Следовательно, число электронов, вылетающих с фотокатода, в среднем
равно 23. Относительная ширина распределения па половине высоты может быть
определена как
= 2,35/]Zпэл 50 %.
Увеличение толщины радиатора практически не меняет ширину распределения
в сцинтилляционном детекторе (пока выполняется условие флуктуаций Ландау,
см. задачу 1.81) и уменьшает ее в черенковском радиаторе обратно пропорцио-
нально корню квадратному из толщины.
5.73. Проинтегрируем основную формулу для энергии черепковского излу-
чения (5.55.1) в пределах от 0 до Qmax — максимальной частоты, при которой
еще выполняется условие р/2^1. После преобразований получаем
( _ а Wmax
\ dx )„огл С ftwmax—2~ s,n 9- (О
Принимая '(Отах=б• 1015 с~1 (1=300 нм), находим
{d& [dx} погл = 1260 эВ/см.
5.74. Потеря энергии частицы на черенковское излучение на единице пути
равна
(dS \ а * «тах
\ dx /погл ТЙШ,пах —2“sina 9- (Ч
Энергия, высвеченная на единице пути в области спектральной чувствительности
ФЭУ с сурьмяно-цезиевым фотокатодом, равна
а
(d£/dx)pcp = — sin2 8. (2)
С
233
Число зарегистрированных фотонов
dn^fdx sin3 9. (3)
Отсюда средняя энергия на фотон равна
__ d& I ^пф ft^max^max
--------2Д^--------------------- (4>
Принимая G)max=6-1015 с”1; До = 2-1015 С-1; й<отах=4 эВ, получаем w=S эВ.
Так как при этом излучаются фотоны со средней энергией ftw0=2,7 эВ
(а>о=4,2• 1015 с-1; Х=4бО нм), то надо признать, что черепковские радиаторы
одни из самых эффективных преобразователей энергии заряженных частиц
в свет.
5.76. Условие полного внутреннего отражения на нижней и верхней гранях
радиатора состоит в том, чтобы
sin 0> 1/п,
а так как cosO=l/|0n, то отражение будет происходить при условии
sin0>₽cosO или p<tgO.
Для ультра релятивистских частиц это условие превращается в
tgO>l или 6 >45°.
Это значит, что cos 0 — 1/ц<|Л2 /2, а это дает п >К2 .
5.76. Путем простых геометрических построений находим, что ф=9/2.
ГЛАВА 6
РАДИОМЕТРИЯ
6.1. ЭФФЕКТИВНОСТЬ РЕГИСТРАЦИИ
6.1. При равновероятном распределении направлений вылета вероятность
частице вылететь в направлении, задаваемом полярным углом <р и азимуталь-
ным ф, дается выражением
Р(ф, ф)=4Й/(4л), (1)
где d*Q=sin фдкрс/ф — элемент телесного угла.
Так как координаты ф и ф независимы, то вероятность вылета в направле-
нии ф, ф можно записать в виде произведения
Р(ф, ф)4фб/ф=Р(ф)Р(ф) 4/ф^ф. (2)
Подставляем (2) в (1) и получаем
Р (ф) Р (ф) = (sin ф) /4 л.
(3)
234
Проинтегрируем это выражение по ф от 0 до 2л. Принимая во внимание усло-
вие нормировки
2те
(4)
О
находим формулу для вероятности вылета под углом <р
P(f>) =-ysinT- (5)
Разделив (3) на (4) почленно, получим формулу для вероятности вылета под
углом ф
Р(ф) = 1/2я.
6.2. Необходимые обозначения приведены на рис.
x=2/?sin<p. (1)
Площадь элемента поверхности сферы равна
dS=RdqR cos фс?ф. (2)
Вследствие аксиальной симметрии задачи проинтегри-
руем это выражение по азимутальному углу ф от О
до 2л
dS=2nR2 cos (pdcp. (3J
Площадь проекции элемента поверхности сферы (3),
нормальной к падающему пучку, получим, умножив
'(3) на sin ф,
dS'=2&R2 sin <р cos cpdcp.
(4>
Вероятность частице пройти путь х через сферу равна отношению площади про-
екции элемента поверхности (4) к площади поперечного сечения сферы
Р(х) Jx=2sin<p cos фб/<р.
Теперь х можно найти по обычному правилу нахождения среднего
я = J xP(x)dx I j P(x)dx.
Подставляя (1) и (5) в (6), получаем
к /2 | те/2
х =2R J sin2 у cos / у sin у cos yrfy = R.
0 I 0
(5)
(6)
(7)
Тот же результат можно получить, если проводить вычисления не в полярных,
а в декартовых координатах. В этом случае
Х = 2|/7?2—^з;
P(x)dx = 2itydylnR\
(8)
(9)
235
Обозначения ясны на рис. 6.3. Тогда
R I Я
X = [ |/ /?»- yiydy К ydy = у-(,0)
о / о
Наконец, из определения среднего ясно, что средний путь через сферу есть вы-
сота цилиндра, построенного на поперечном сечении сферы, объем которого ра-
вен объему сферы,
- 4 4
x = — = — (11)
О О
6.3. Путь частицы, пересекающей цилиндр нормального к его оси, равен
(см. рис. 6.3).
x=2/?sin<p. (1)
Площадь элемента цилиндрической поверхности с учетом симметрии относи-
тельно плоскости, проходящей через ось цилиндра,
dS=l-2Rdxp, (2)
где I — длина цилиндра. Площадь проекции этого элемента получим, умножив
dS на sin ср,
dS'=2lR sin кр</ф. (3)
Вероятность частице пройти в цилиндре путь в интервале от х до x + dx равна
отношению площади проекции (3) к площади поперечного сечения цилиндра,
равной 2RI,
P(x)dx=sin<pJ<p. (4)
Тогда средний путь определится из (6.2.6)
тс/2
х = 2/?^ sin2?rf<p = ;;/?/2. (5)
6
Отметим также, что средний путь через цилиндр при падении пучка частиц
нормально к его оси можно получить как высоту параллелепипеда, построенного
на поперечном сечении цилиндра и равного с цилиндром объема,
х=лР2//2Р/=лР/2.
6.4. Поскольку все углы равновероятны, можно написать
Р(Ф)бйр=Сф. (1)
Постоянную С определяем из условия нормировки
ir/2
j P(?)dT=l=C«. (2)
-«/2
Отсюда С=1/л. Вероятность частице иметь пробег в интервале от х до x+dx
равна вероятности попасть на поверхность цилиндра в интервале углов от ф
до Ф4-Жр
Р(х)б/Х=Р(ф)г/ф.
(3)
23С
Учитывая, что x=27?cos<p, из определения среднего находим
к/2
%”= С = 4/?/я. (4)
-к/2
6.5. Вероятность частице упасть на поверхность сферы под углом ф при
равновероятном распределении по углам фиф дается формулой (6.1.5)
P(<p)d? = -i-sin<pd'?. (1)
При этом путь частицы через сферу будет равен
x=2R cos <р. (2)
Вероятность частице иметь пробег в интервале от х до x+dx равна вероятности
упасть на поверхность сферы в интервале углов от ф до ф+^ф
Р (х) с(х=Р(ф) б/ф. (3)
Средний путь находим по формуле
х/2 I п/2
x^=2R j* sln^cosyd? / J sinyd<p=/?. (4)
6 / о
6.6. Элемент телесного угла равен
d2=sin ф^фб/ф. (1)
Интегрируя это выражение, получаем
Go 2ic
2= J J sin = 2л(1 —cos0o). (2)
<р=0 ф=0
В соответствии с условием задачи Q=0,21 ср.
6.7. Воспользуемся формулой (6.6.2)
2=2л(1—cos Оо). (1)
Согласно условию задачи
cos ee = Z/|/r2 + /2 = 0,8. (2)
Следовательно, Q=l,26 ср.
6.8. Из соотношения (6.6.2) находим
20c=2arccos (1—1/(2л))=65°40'.
6.9. В соответствии с (6.6.1) и (6.6.2) телесный угол, вырезаемый коллима-
тором, равен
2 = 2п(1-///^ + /а ). (1)
Долю полного потока изотропного источника можно найти, определив
л/4я = 0,5(1 — Z//d2 + Z2 ) = 9,7-10-’. (2)
6.10. Угловое разрешение цилиндрического коллиматора задается выра-
жением
а/4я = 0,5(1 — /|/сР-Нг) =6,2-10-4.
237
6.11. Геометрический фактор определяется выражением типа (6.9.1), однако
при заданном расположении источника
cos ee=
Следовательно,
Й/4л =0,5(1-///^+Та) =6,2-Ю'4-
6.12. Счетчик видит каждую точку источника под разными телесными угла-
ми. Поэтому для учета геометрического фактора необходимо провести усредне-
ние телесного угла по всему источнику. Схема взаимного расположения источ-
ника и окна счетчика показана на рис. 6.4. Те-
лесный угол, под которым окно «видит» эле-
мент площади источника dxdy, не зависит от
третьей координаты z и равен
О (х, у) =5 cos a/r2=
где S — площадь входного окна. Усреднение по
поверхности пластинки дает
а/ д/2
О — — f f Sr^xdy
ab .) J (r0’+*2 +f/a)3/2 '
о о
В результате интегрирования получаем
”2 = arctg--------r a& - -=~ = 1,4*10”2 рад.
ab ё 4r01/rB« + (6a/4) + aa/4
6.13. Заряженная частица не будет зарегистрирована в счетчике Гейгера,
если она, проходя через газ счетчика, не образует ни одной пары ионов. В сред-
нем частица образует v'op пар ионов на единице пути. Если образование пар
ионов подчиняется закону Пуассона, то вероятность не образовать ни одной
пары на пути х дается выражением
Р(0, х)=ехр(—v'opx). (1)
Путь частицы через цилиндрический детектор равен x=2rsin<p (см. рис. 6.3),
а вероятность иметь такой путь равна sin <рЖр. Таким образом, вероятность по-
току частиц не образовать ни одной пары ионов, проходя через счетчик по лю-
бому пути, равна
к/2
J ехр(—2v0f/;r sin ?)sin «pdf. (2)
о
Полученный интеграл в элементарных функциях не выражается и может быть
вычислен численно. Однако с погрешностью меньше 1% формулу (2) можно
заменить на формулу, аналогичную (1), где в качестве х подставлен средний
путь частицы через детектор. Для цилиндра (см. задачу 6.3)
х=лг/2.
Следовательно, вероятность, что частица не будет зарегистрирована, равна
1—т)=ехр (—v'opMr/2)±=iO,03.
6.14. 1] = 1 —ехр (—у'орлг/2) ^0,75.
238
6.15. Измеряемая экспериментально в пучке частиц эффективность реги-
страции по определению равна
П=п/па, (1)
где По — плотность потока частиц, падающих на счетчик; п — плотность потока
зарегистрированных частиц. В то же время эффективность регистрации связана
с удельной ионизацией соотношением
т]=1—ехр (—v'pd), (2)
Приравниваем выражения (1) и (2), после преобразований получаем
v'pd— In [ (1 —nlnQ) - *]. (3)
Дифференцируем полученное выражение и находим
_____________Л(п/п0)_______
v' (1 — л/л0)1п(1—п/л0)
Из (4) видно, что если эффективность счетчика высока, т. е. значение п близко
По, то относительная погрешность определения удельной ионизации может быть
весьма значительной.
При малой эффективности счетчика логарифмическую функцию в зна-
менателе (4) можно разложить в ряд и, пренебрегая членами высших степеней,
получаем соотношение между относительными погрешностями
»(*)«,. (5)
— л/п0
Погрешность определения частного записывается в виде
S(n/n0) =K8’(n)+82(n0) .
Считая, что флуктуации числа зарегистрированных сигналов происходят по за-
кону Пуассона, имеем
5(м) = 1/* — + — / (1 —-Д-) . (6)
1 } Г и. л0 / \ л0 / k 1
Численными методами находим минимум соотношения (6), он соответствует
л^О,Зио. Таким образом, минимальная погрешность определения удельной иони-
зации получается, если эффективность регистрации составляет ^30 %.
6.16. Для наполнения низкоэффективных счетчиков Гейгера используют газы
с малым значением первичной удельной ионизации — водород или гелий. Их дав-
ление и диаметр счетчика должны удовлетворять условию
ехр (—v'opx)=1 —т| = 0,7,
так как минимальная погрешность определения v' имеет место при г|^0,3 (см.
задачу 6,15). Отсюда получаем
v'opx—0,36.
6.17. Эффективность регистрации счетчика Гейгера завиеит от первичной
удельной ионизации, так как для срабатывания счетчика Гейгера достаточно
образования в объеме счетчика хотя бы одной пары ионов.
23S
6.18. Рассмотрим часть объема камеры вблизи стенки (рис. 6.5). Возьмем
точку А, расположенную внутри камеры на расстоянии от стенки, равном
x=7?cos0. (1)
Поскольку все направления вылета а-частиц равновероятны, то вероятность, что
частица вылетит под углом 0 к кратчайшему расстоянию от точки А до стенки,
будет равна
Ртм_3^! ' slnl<M. (2)
4п 2
Вероятность частице, вылетев из точки А, пройти до стенки путь R равна ве-
роятности вылететь под углом 0
PA(R)dR = P(9)d0 = -у sin 6d9. (3)
Дифференцируя (1) и подставляя в (3), получаем вероятность частице пройти
в камере путь R
PA(R)dR=xdR/2R2, (4)
Для того чтобы найти вероятность любой частице, трек которой начинается на
расстоянии от стенки, меньшем Рс, пересечь стенку, надо умножить (4) па
распределение точек вылета а-частиц dxjR^ и проинтегрировать по х от 0 до R
P™dR~ J (5)
0
Число треков, пересекающихся стенкой, будет равно произведению удельной
активности газа камеры на объем той части камеры, возникая в которой
частица может долететь до стенки (S+S'JPo на распределение пробегов, про-
интегрированное от 0 до /?о»
n=n0(S + S')7?0J^- = rt0(S + S‘)^/4, (6)
О
где S — площадь электродов; S' — площадь стенок. Полное число частиц, об-
разующихся в камере в единицу времени, равно
ППолн=По^=Ло^ (7)
где V—объем камеры.
240
Таким образом, Доля частиц, пробег которых не полностью умещается
в камере, равна
п S + S' { S' \
пООЛд SJ 4 V S / 4J ’
6.19. Надо в счетчике внутреннего наполнения, оставляя каждый раз оди-
наковым количество вводимого углеродсодержащего газа (например, СО2),
менять давление балластного газа, например аргона. Экстраполируя зависимость
скорости счета от давления к бесконечному давлению (к равному нулю значе-
нию 1/р), можно получить результат, свободный от краевого эффекта.
6.20. Рассмотрим слой dx на глубине х от поверхности пластины (рис. 6.6).
Число квантов, поглощенных в этом слое в расчете па 1 см2, равно
dn=npdx, .(1)
где п — число квантов, прошедших без взаимодействия слой х,
п=по ехр (—цх). (2)
Таким образом, имеем дифференциальное уравнение
dn=По р ехр (—рх) dx. (3)
Интегрирование от 0 до d дает
n=nQ [ 1 —ехр (—pd) ]. (4)
Число квантов, поглощенных во всем детекторе, найдем, умножив (4) на
площадь детектора,
N=nQS [ 1 —ехр (—pd) ].
6.21. Пусть плотность потока У’К®311™» падающих на детектор, равна
по- Тогда число квантов, поглощенных в детекторе в расчете на 1 см2 попе-
речного сечения, в соответствии с (6.20.4) будет равно
п=п0 [1— ехр (—pd) ].
Отсюда получаем выражение для эффективности регистрации
т]=п/п0= 1—ехр (—pd). (1)
Значение р находим в табл. П.19. Вычисления дают т|=0,34.
6.22. Нужно использовать Ge (Li)-детектор, так как у германия атомный
номер и плотность выше, чем у кремния. Толщина детектора выбирается из
соотношения
^^—“~1п( 1—т))^ 0,93 см.
6.23. Расположение окна на боковой поверхности детектора показано па
рис. 6 7. Сравнивая этот рисунок с рис. 6.3 задачи 6.2, отмечаем положение угла
Ф, с помощью которого вычислялся средний путь частицы через детектор. В ука-
занных обозначениях
x = 2R J sInV? = *(^-fnUn + Ys,n2?mln).
‘Pmln
241
где фтш определяется из условия
cos фтш=2)/2/?.
В результате получаем х=0,96/?.
Находим в таблицах р/р и, учитывая реальную плотность ксенона в детек-
торе, вычисляем рх=1,4-Ю-2. В условиях, когда рх<С1,
Таким образом, эффективность регистрации равна т]=1,4 %.
6.24. В соответствии с условием задачи pd=2-10-3, следовательно, в фор-
муле г) = 1—ехр(—pd) экспоненту можно разложить в ряд и, пренебрегая чле-
нами высших степеней, получить r)~pd=0,2 %.
6.25. Для условий, поставленных в задаче 6.24, чувствительность равна
произведению эффективности детектора на площадь поперечного сечения, Sa=
В задаче 6.24 было получено, что rpqid=2-10~8, следовательно,
Srf=pdS=pV=l,6-10-8 см2,
или 1,6Ю“3 имп/с на 1 квант/(см2-с).
6.26. ^ = -7- /-Г-Т» 10~’-
/ / 4пг2
6.27. Рассмотрим слой dx на глубине х от поверхности детектора. Число
квантов, поглощенных в единице поверхности этого слоя за счет фотоэффекта,
равно
d/i$=n[hbdx,
(1)
где п=поехр(—рх) —число квантов, прошедших без взаимодействия х (без
всякого взаимодействия, т. е. дошедших до слоя х, поэтому в показателе экспо-
ненты стоит полный коэффициент поглощения).
Число квантов, зарегистрированных в единичном столбике, можно найти,
решая дифференциальное уравнение
б/пф=Порф ехр(—\kx)dx, (2)
В результате получаем
Иф = П„ [ 1 — ехр( -grf) ].
(3)
242
Искомая эффертивность будет равна
Чф=Пф/пд = — [ 1 — ехр(-Н) 1 1,5’/о. (4)
6.28.
Ge Хе
Z.......................................32 54
р, г/см*................... 5,46 3,06
Видно, что полная эффективность германиевых детекторов выше. Здесь суще-
ственную роль сыграла большая плотность германия. Но фотоэффективность
заметно больше у жидкоксен о нового детектора, что связано с его большим
атомным номером.
6.29. Отличие максимального значения фотоэффективности от единицы свя-
зано с тем, что у-кванты, рассеянные назад вблизи от поверхности сцинтиллято-
ра, на которую они падают, выходят из сцинтиллятора. Вычислим число таких
квантов,.
Вероятность квантам дойти до слоя dx на глубине х, не поглотившись,
равна
ехр(—цх). (1)
Вероятность рассеяться на пути dx под углом 0 равна
dv(&)NZdx, (2)
где dkr(O) задается выражением (1.101.2).
Вероятность рассеянным квантам пролететь обратный путь до поверхности,
не поглотившись, равна
ехр'[—px/cos(jt—0)]=exp(jix/cos 0). (3)
Полную вероятность квантам рассеяться вблизи поверхности и вылететь назад
найдем, перемножив указанные три вероятности (1), (2) и (3) и проинтегриро-
вав их по х от 0 до оо и по 0 от л/2 до л,
ОО It
P=f J ехр(—px)c/j(9)AzZt/xexp(—p,x/cos0). (4)
О «/2
Полученное выражение есть вероятность у-кванту не дать вклад в пик полного
поглощения. Таким образом, фотоэффективность будет равна
Т1Ф=1-А (5)
Расчет т)ф методом Монте-Карло для сцинтиллятора размером 200X200 дает
т]Ф~07.
6.30. В тонком кристалле это отношение равно цф/|Лк=0,067.
6.31. В тонком кристалле это отношение равно |лф/(1цф+|Ак)=0,2.
6.32. Поток у-квантов на элемент поверхности dS в телесном угле dQ равен
(рис. 6.8)
dQ nGdS
пдаЗ cos у *——=— -cos у sin
4п 4тт
(1)
243
Толщина детектора в направлении прохождения у-кванта, попадающего на
поверхность детектора под углом <р к нормали,
/=2/? cos ср. (2)
Вероятность поглотиться па этом пути
1—ехр(—2ц/? cos ф). (3)
Общее число поглощенных квантов из числа падающих на площадку dS
2я к/2
nnodS
—4^— cos у sin у [ 1 —ехр (—2 ц/? cos у)] г/фг/ф =
о о
=_По^_ М +^.[(2pR+ 1)ехр(-2^)-1]}. (4)
Интегрирование по площади приводит к умножению на полную площадь шаро-
вого детектора 4л/?2
<S>
Поскольку полный поток на поверхность шарового детектора пПолн=ИоЛ/?2,
эффективность регистрации равна
^рег 1 । 2ц/? 4- 1
= п^Г-1 ~ 2(|Л/?Р+ 2(цЯ)а ех₽(“2*1/?) • W
6.33. Поток первичных у-квантов на элемент поверхности dS определен в
задаче 6.83 и равен
sin у cos ydSdy. (1)
2Цв
Толщина детектора в направлении прохождения у-кванта, попадающего на
поверхность детектора под углом 0 к нормали,
Z=2/? cos ф.
Вероятность поглотиться
1—ехр (—2ц/? cos ф).
Общее число поглощенных квантов из числа падающих на элемент поверхно-
сти dS
= J [1—ехр(—2ц/?cos у)] sin у cos ydSdy = -^- +
о
Интегрирование по площади — это просто умножение на полную площадь шаро-
вого детектора 4л/?2. Полный поток на поверхность сферы определен в задаче
6.83. Эффективность регистрации равна отношению числа регистрируемых кван-
244
тов к полному потоку Легко видеть, что в этом случае получается то же вы-
ражение (6.32.6), что и в задаче об однородном и изотропном потоке.
6.34. Телесный угол, в котором излучение падает на детектор, значителен,
поэтому надо учитывать различие путей, проходимых в детекторе квантами,
вылетающими под разными углами. Плотность потока у-квантов, попадающих на
детектор в единице телесного угла, равна
М£2/4п, (1)
где По—активность источника. Вероятность у-кванту поглотиться в детекторе
дается выражением
Р=1—ехр (—fjid/cos ф), (2)
где d/cos ср— путь через детектор у-кванта, вылетевшего из источника под углом
Ф к нормали (см. рис. 6.1). Число поглощенных квантов на единицу поверхности
равно произведению числа падающих квантов на вероятность поглотиться
dn = nodQ[l — ехр ( — p.d/cos <р)]/4гс. (3)
Так как плотность потока квантов, падающих на детектор в телесном угле 2,
равна
^пад поЙ/(4я), (4)
то эффективность регистрации будет выражаться в виде
= f[l — ехр(— p.rf/cos<p)J dQ. (5)
bd J
Q
Подставляя в (5) dQ = sin у dy dty, получаем
2тс <p0
V) = — I cty I [I—exp ( — p.d/cos Ip)] sinyd? (6)
* J J
о 0
или
To
2k f
= I lexP ( ~“^/cos^) —1] J(cosy).
0
Так как 2 = 2эт(1—cosy0), то из (7) получаем
Фо
1
Ч = 1 —cos <р0 } ехр < —Hd/cos ?) d (cos ?) + 1.
О
Применяя подстановку—pzJ/cos <р = х, интеграл в (8) представляем в виде
(7)
(8)
О)
где Xi=—pJ; х2——pd/cos ф0. Интеграл (9) в элементарных функциях не вы-
ражается, поэтому разлагаем подынтегральную функцию в ряд, интегрируем
почленно, и, ограничиваясь пятью членами ряда, находим
П=0,359.
245
Для узкого параллельного пучка
т)=1—ехр (—|id) =0,330.
Если угол при вершине конуса уменьшить, то будет уменьшаться и эффектив-
ность, стремясь к значению эффективности для узкого пучка:
Фо
36*50'
24°30'
8° 10'
Узкий пучок
сса <р0 *1
0,8 0,359
0,91 0,334
0,99 0,331
— 0,330
6.35. Взаимное расположение детекто-
ра и источника показано на рис. 6.9.
В диапазоне углов 0—q>i путь кванта че-
рез детектор
x=dcosq>. (1)
В диапазоне углов <pi—q>2
x=a/sin <р—/i/cos ср. J2)
Углы ф1 и фа определяются соотноше-
ниями
tgq>i=a/(ft+d); tg<p2=a/ft. (3)
По аналогии с решением задачи 6.34 можно написать
т) = --------| С(1 —е—И^С03 <₽)'*sin"y d<p + Cf 1 —е 'sIn ф &cos<₽ Л sin ?d<p ?.
1 —cos IJ J L J J
0 <Pi
(4)
Численное интегрирование полученного выражения дает г)^0,39.
6.36. Связь эффективности регистрации с функцией отклика детектора
дается соотношением
Алах
V|(£) = f G(£, 4) dA.
Ляор
6.37. Эффективность регистрации нейтронов записывается аналогично эффек-
тивности регистрации у-квантов, но вместо коэффициента поглощения ц надо
поставить макроскопическое сечение поглощения 2=<гМ
т|=1—ехр (—Ми/). (1)
Если считать, что нейтроны распределены по скоростям в соответствии с
распределением Максвелла, а зависимость сечения от скорости описывается
законом 1/v, то, как показано в задаче 1.123, эффективное сечение захвата ней-
тронов
a(p)=v(v).
246
В таблицах обычно приводятся сечения, соответствующие наиболее вероятной
скорости нейтронов. Как показано в задаче 1.122, соотношение сечений имеет
следующий вид:
Q (tf) =“2“ 3 (^вер) “ 0»886 а (иВер) •
Кристалл Lil можно рассматривать как состоящий из молекул, причем в каж-
дой молекуле содержится по одному атому лития. Следовательно, концентрация
атомов лития в кристалле может быть определена по формуле
N=/VAp/M=l,8-1022 см-3.
Здесь Л4 — молекулярная масса для Lil, равная 1274-7=134. В результате для
эффективности получаем t]=0,67.
6.38. Строгое решение этой задачи приводит к формуле (см. задачу 6.13)
%/2
7l = j U —ехр ( —25# sin.?)] sin (О
Полученный интеграл в элементарных функциях не выражается. Обычно вместо
(1) пользуются приближенной формулой
П=1—ехр(—2х), (2)
где х=%/?/2 — средний путь через цилиндр (см. задачу 6.3).
Численный расчет показывает, что при малых значениях 2л/?/2 различие в
эффективностях, вычисленных по (1) и (2), составляет 0,1 %. С ростом аргу-
мента это различие растет и при 2otJ?/2^3O достигает 1 %. Формула (2) дает
несколько большее значение, чем (1). Вычисления по формуле (2) дают Т]~
^0,04.
6.39. По условию задачи 2х=0,02; так как 2х<С1, то чувствительность мо
жет быть определена по формуле
Srf=if]S=0,62 см2,
или 0,62 имп/с на единичный поток нейтронов.
6.40. Сравним чувствительности счетчиков в двух случаях. Поток перпен-
дикулярен оси
Sd=2Rl [ 1 —ехр (—2 лЯ/2) ]. (1)
Поток параллелен оси
[ 1 —ехр (—2Z) ]. (2)
Если выполняются условия 2лЛ/2<^С1 и 2/<^1, то обе формулы (1) и (2) при-
водят к одинаковому выражению
•$d=Jt/?2/2.
Таким образом, в этом случае все равно, как устанавливать счетчик.
Если же указанные условия не выполняются, то при />л7?/2 чувствитель-
ность счетчика при расположении перпендикулярно потоку больше, чем при
расположении вдоль потока.
6.41. Перпендикулярно оси:
П = 1— ехр(—2л/?/2) =0,039; Sa=r\-2Rl=1,2 см2.
247
Параллельно осй:
i) = l—ехр(—S/)=0,16; Sd=f]‘jii/?2=1,1 см2.
6.42. Сечение захвата нейтронов бором изменяется при изменении энергий
нейтронов по закону /2 в широком диапазоне энергий. Поэтому
т)(<? = 0,4 эВ)=т|тепл |/0,025/0,4 = 0,25т|теиЛ = 0,5«/о.
6.43. Примем, что средний путь нейтрона через поглотитель равен 2d. Тогда
tl=l—exp(—22d). (1)
Значение 2 можно определить по формуле
Sl/TT na
---2~ ° (''вер) °,9~ Р = 391 СМ“Х-
Поскольку 2d=l,310-4 см, по формуле (1) находим Т]==:0,05.
Пробег а-частиц с энергией 1,47 МэВ в слое аморфного бора равен
0,85 мг/см2.
6.44. По условию задачи Мо^1,7- 10~г<^1, так что слой бора можно счи-
тать тонким по отношению к поглощению нейтронов. Пробег а-частиц с энер-
гией 1,47 МэВ в аморфном боре равен 3,9 мкм, таи что слой бора надо счи-
тать толстым для пробега частиц — продуктов реакции взаимодействия нейтронов
с ядрами бора.
Рассмотрим слой dx на глубине х в твердом борном покрытии (рис. 6.10).
Из этого слоя выйдут только те частицы, которые вылетают под углом к нор-
мали, меньшим <р. Этот угол определяется равенством
COS'(p = x//?0. (1)
Из всех частиц, образовавшихся в слое dxt выйдет доля частиц, вылетающих
в телесном угле
(1—cos ф). (2)
Эта доля равна
42/4л = -|-(1 — cos?). (3)
А
В слое толщиной dx в расчете на один падающий нейтрон образуется Nadx
частиц. Выйдет из всего слоя бора число частиц
248
Поскольку порог регистрации больше энергии ядер лития, регистрироваться
будут только а-частицы. Для того чтобы вышедшая из слоя бора а-частица
имела энергию, большую порога, она должна в газе камеры иметь пробег R^
^R(^nop). Следовательно, в толще вещества она может пройти путь /?0—
—₽(^поР). С учетом этого обстоятельства формула для эффективности будет
иметь вид
d
2[/?о-Я(<?лор)].
1
*1
= ~
(5)
Пробег а-частицы с энергией 1 МэВ в слое бора, определенный по формуле
(1.61.1), равен 2,7 мкм. Производя вычисления, получаем т)=1,4-10~8.
6.45. Действуя по аналогии с решением предыдущей задачи, мы приходим
к выражению
dx,
(0
где теперь интегрирование проводится не по всей толщине слоя, а только до
максимального пробега частицы — продукта реакции. Интегрирование (1) дает
л=^п/4. (2)
Полученная формула учитывает роль только одной частицы. Но при взаимодей-
ствии нейтрона с ядром лития возникают две частицы: а-частица и ядро три-
тия, разлетающиеся в противоположные стороны. Это удваивает эффективность.
Учитывая различие пробегов образующихся частиц, можно записать
Пробег а-частиц с энергией 2,05 МэВ в LiF, вычисленный по формуле (1.62.1),
равен 6 мкм. Пробег тритона с энергией 2,7 МэВ, вычисленный с применением
формулы (1.58.7), равен 38 мкм. В результате получаем т]=4,1 • 10~3.
6.46. Поскольку в этом случае Mrd=l,4, необходимо учитывать поглощение
нейтронов в слое газа. Рассмотрим слой dx на глубине х (рис. 6.2). Число ней-
тронов, поглощенных в этом слое, равно
dnnorjl=/2oSexp(—2x)dx. (1)
Из этого числа зарегистрированы будут только те нейтроны, частицы от взаи-
модействия которых достигнут ППД. На основании (6.44.3) можно записать
1 I d—х\
^Лрег= ^Ипогл 1 “ J. (2)
Толщина слоя газа больше пробега частиц — продуктов взаимодействия нейтро-
нов с ядром 8Не. Поэтому эффективность взаимодействия мы найдем, проинте*
грировав (2) в пределах от d—/?0 до d,
d
С ехр ( — Sx) ( 1
z j \
d—X\
dx.
(3)
17—5266
249
После интегрирования и преобразований получаем
6.47, Схема облучения камеры нейтронами приведена на рис. 6.11. По ана-
логии с решением задачи 6.46, учитывая особенности условия данной задачи,
можно написать
Ro
S Г / х \ t
7| = -Fjехр(— (1—Ел*'
После интегрирования и преобразований получаем
71 = 0,6
6.48. Сцинтилляционные органические кристаллы состоят из водорода и угле-
рода. Соотношение между максимальной энергией ядра отдачи и энергией ней-
трона
<§*дах/(?Л = 4А/(^4 + I)2.
Для водорода этот коэффициент равен 1,0, а для углерода — 0,3. Если при реги-
страции ядер отдачи установить порог регистрации равным 0,4 максимальной,
то регистрироваться будут только протоны отдачи.
Рассмотрим слой dx на глубине х от поверхности сцинтиллятора, на кото-
рую падают нейтроны. Число нейтронов, регистрируемых единицей площади,
dn=nkZndx, (1)
где п — число нейтронов, достигающих без взаимодействия слоя dx; Sh—макро-
скопическое сечение рассеяния на водороде; k — коэффициент, показывающий
отношение числа протонов отдачи с энергией выше пороговой к полному числу
протонов отдачи.
Используем для п выражение, аналогичное (6.38.2),
п=лоехр(—2х), (2)
где S=Sh+Sc — полное макроскопическое сечение рассеяния, равное сумме
сечений рассеяния на водороде и углероде. Подставляя (2) в (1), получаем
дифференциальное уравнение
dn = n0#SH dx ехр ( —Sx). (3)
Интегрирование пэ толщине детект ора дает
£SH
[l-exp(2d)J. (4)
Отсюда эффективность регистрации
•*) = — = (*EH/S) [ 1 — ехр ( —Sd)J. (5)
250
Спектр протонов отдачи вычислен в задаче 1.109. Число протонов отдачи
в зависимости от их энергии выражается соотношением
М(^р) ^>>Р=Л0^<§Гр/<^Гп. (6)
Долю протонов отдачи, превышающих порог, можно вычислить из соотношения
k = J d8v[8n = 1 - <£пор/-?„. (7)
^nOp
Таким образом, эффективность регистрации
^(Sn/SJ'fl-expf-S^Kl-^nop/tTn). (8)
Микроскопическое сечение рассеяния нейтронов на углероде в интервале энер-
гий 2—10 МэВ постоянно н равно 1,7-10“24 см2, а на водороде 0,94 Ю~24 см2
для нейтронов с энергией 10 МэВ. Макроскопические сечения могут быть опре-
делены из соотношений
2н=(ТнЛгН1рЛГА/М=4,4 • 10-2 см-1;
Sc=ctcVcp^a/M=9,2-10-2 cm”1,
где М — молекулярная масса стильбена C]4Hi2; Nc, Nh—число атомов угле-
рода и водорода в молекуле стильбена. Вычисления с учетом порога регистра-
ции дают ц=2,5 %.
6.49. Рассеяние нейтронов на протонах при энергии нейтронов приблизи-
тельно до 10 МэВ сферически симметрично в координатах центра тяжести.
Следовательно, вероятность вылета протона -под углом Ф в координатах центра
тяжести равна (см. задачу 6.1)
Р(&) ^=-LsinodB. (1)
Для перехода к лабораторной системе учитываем, что •0,=2ф. Тогда получаем
P(q))d<p=2sin >ф cos ф dtp. (2)
Вероятность образования протона отдачи в пределах угла фо
н?о)= [р (?) <Л>== 1 —cos2if0. (3)
Для тонкого радиатора число протонов отдачи, вылетающих в пределах телес-
ного угла кро»
и (фо) =naN(jd (1—cos2 фо), (4)
где nQ — плотность потока нейтронов.
6.50. Эффективность регистрации в радиаторе, где не нужно учитывать вы-
ход из него протонов отдачи, дается выражением (см. задачу 6.48)
П=(2н/2)[1-ехр(-2е/)](1-^пор/^п). (1)
Если Sd мало, то, разлагая экспоненту в ряд и пренебрегая членами высших
степеней, получаем
П=2нй(1-^иор/гг»). (2)
Вычисления дают г]^8-10-5.
17* 251
Рис. 6.12
6.51. Эффективность регистрации для этого случая может быть записана
в виде (см. задачу 6.50)
Т|=2(/[1-^пор/(§Гп]. (О
Для нейтронов в диапазоне энергий 0,1—10 МэВ с хорошим приближением
можно считать, что сечение рассеяния обратно пропорционально корню из
энергии
2-^п-1/2. (2)
Таким образом,
const
= gI/2 U ^пор/^nl» (3)
Дифференцируя полученное выражение и приравнивая производную нулю, ла-
ХОДИМ, ЧТО T]=r)niax при = З^пор.
6.52. Отличие этой задачи от аналогичной для
тепловых нейтронов задачи 6.45 в том, что здесь
пробег протонов не является константой, а зависит
от угла, под которым они вылетают. Рассмотрим
рис. 6.12. Из слоя dx на глубине х вылетят только
те протоны, которые движутся в пределах конуса
с углом при вершине <р. Согласно решению задачи
6.49 вероятность образования протона отдачи в пре-
делах угла кр
Р(<р)=1—cos2 ф. (I)
cos <р=х//?. (2)
Воспользуемся приближенным соотношением между пробегом и энергией прото-
на Учитывая, что энергия протона связана с углом вылета соотно-
шением
(§п COS2 ф, (3)
получаем
Я«ЯоС08аф, (4)
где 7?о — пробег протона с максимальной энергией п. Подставляя (4) в (2),
находим
cos4 ф=х//?0. (5>
Эффективность регистрации можно теперь найти из очевидного соотно-
шения
о
Очевидно, что
Интегрирование дает
т)^а/?о/3=2,5‘1О-4.
252
6.2, ОПРЕДЕЛЕНИЕ АКТИВНОСТИ ИСТОЧНИКОВ, ПЛОТНОСТИ
ПОТОКОВ И ДРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
6.53. Пусть па детектор падает по частиц в единицу времени, а скорость
счета будет равна п. Запишем очевидное соотношение
гг0=7г-НА, (1)
где д — число несосчитанных частиц, Д^О. Вычислим Д. Вероятность того, что
в течение малого интервала времени dt в детектор попадает частица, равна
nodt. Частица не будет зарегистрирована, если она попадет в детектор в то
время, когда на его выходе формируется сигнал. Вероятность этого будет равна
/гг. Число несосчитанных импульсов в единицу времени составит
1
А = J дот dt = г?оцт. (2)
о
Подставляя (2) в (1), находим искомое соотношение
;г=по/(Ц-п0т)- (3)
6.54. Условием регистрации частицы в этом случае будет отсутствие частиц
в течение времени т перед появлением регистрируемой частицы. Тогда число
сосчитанных импульсов будет равно числу частиц, умноженному на вероятность
быть зарегистрированной, т. е. на вероятность того, что в течение времени т
до регистрируемой частицы других частиц не было,
л=п0Р(О, т). (1)
Для пуассоновских событий
Р(0, т)=ехр(—пот). (2)
В результате получаем
п=??оехр(—пат). (3)
6.55. В обычных схемах включения ионизационная камера имеет время раз-
решения продлевающегося типа. Исследуя на максимум соотношение (6.54.3),
получаем
Итпах=1/ет=3,7-105 с-1 при по=1/т=1Об С”1.
6.56. Время разрешения системы сцинтилляционный детектор — анализатор
определяется анализатором. Со сцинтилляционными детекторами целесообразно
использовать относительно простой анализатор АИ-256, его время разрешения
флуктуирующего нелродлевающегося типа равно 10—100 мкс.
6.57. 6=пт=л0т/(1+л0т)~/?0т= 1,5 %.
6.58. п0^6/т=125 с-1.
6.59. Будем считать единицей времени 10 мкс, тогда время разрешения в этих
единицах будет равно 10~3. Теперь можно воспользоваться формулой (6.53.3)
по=п/ (1 —пт) — 250.
6.60. Число а-частиц, появляющихся в камере в 1 с, равно па. Тогда число
отсчетов, т. е. независимых регистрируемых сигналов определяется (6.53.3).
253
Вероятность того, что при регистрации одной а-частицы в камере появится еще
к—1 частица, т. е. произойдет 6-кратное наложение, равна
(1)
Vе ч*
Следовательно, частота появления импульсов с 6-кратным наложением
1+п0г(6-1)!
6.61. Активность a-излучения в камере равна XJV=AJVaw/A, где т — коли-
чество активного материала. Число 6-кратных наложений может быть опреде-
лено по формуле типа (6.60.3)
XN (W-i
I+X/VT (6 — 1)!
Плотность потока нейтронов должна быть равна
n>WQNk/(Na).
(1)
(2)
Подставляя (1) в (2) и производя вычисления при 6=12, получаем п^7,6Х
Х105 см-^с1.
6.62. В треках а-частиц максимальное энерговыделение приходится на конец
пробега, а в треках осколков деления — на его начало. Поэтому если подобрать
расстояние между электродами и давление газа таким образом, чтобы в меж-
электродном пространстве умещалась только часть пробега частиц, то отношение
амплитуд импульсов будет больше отношения энергий осколков деления и
а-частиц.
6.63. Если при приближении источника к детектору скорость счета не воз-
растает, а убывает, то это скорее всего означает, что мы имеем дело со счетной
системой с продлевающимся временем разрешения. Таким свойством времени
разрешения обладает либо сам детектор, либо один из блоков в электронной
регистрирующей схеме. Можно также сделать вывод, что количество частиц,
попадающих в детектор в единицу времени, больше чем 1/т, так как именно
при такой загрузке скорость счета, определяемая выражением (6.54.3), дости-
гает максимума (см. задачу 6.55).
6.64. а) При Т!>т2 время разрешения второго элемента проявиться не мо-
жет, и поэтому
П=/20/(1+тГ1По). (1)
б) При t2>Tj возникает дополнительная возможность просчетов
п = I „ ехр Г— "®1 • (2)
1 + ^0
Перепишем это выражение в виде
pTirto
п = пое-^'”Пр^- (3)
Так как дробь в последнем выражении больше единицы, то наличие на входе
элемента с временем разрешения Ti уменьшает просчеты выходного элемента.
6.65. Сцинтилляционный детектор — это прибор с продлевающимся временем
разрешения. Но при тно<С1 системы обоих типов дают одинаковые формулы
254
ДЛЯ СВЯЗИ п И По
По=П(1-|-ПТ). (1)
Для случая облучения двумя источниками можно записать
^02= я2 (1 + J (2)
«012 — Л1г( I + «12х) •
Очевидно, что
«01 + «02 = «012* (^)
Подставляя (2) в (3), получаем
г= П12~”х~ У =5,65-10-^ с.
п1 + п2~ *12
6.66. Плотность потока в точке Л на оси от элемента dS поверхности равна
dn — adS/47txa,
где dS=rdrdq>, x=|/r2+ft3. Плотность потока в точке А от всего диска
2к /?
ar dr dy а
4ти|/г7Я=^'- 4
6.67. От элемента dS до точки А дойдет плотность потока
sdS
dn = ___ ехр( — |хх). (1)
Плотность потока от всего диска
2к R
Пзг dr dv f .
-^expC-^). (2)
О о
Из соотношения x2=r2-\-h2 следует, что xdx=rdr, откуда получаем
Vr~+&
»-f [ <з)
& J л
h
Интеграл в (3) в элементарных функциях не выражается и может быть пред-
ставлен с помощью интегральной показательной функции
е-г (4)
X
В нашем случае 6=1. Таким образом,
л=-5-[^(^)-«?1(нИ^+А5>]. (5)
At
255
6.68. В выражении (6.67.3) заменим а на qdz и введем интегрирование по
z. Кроме того, аргументы в интегральных показательных функциях в выраже-
нии (6.67.5) надо заменить на и (рЛ-|-z) /cos 0. Тогда получаем
d
Л = -2' f [^(М + Ндг) +*1 ( j dz.
J L \ cos и /
о
Выполняя интегрирование, находим
п = 1^2 (р-^) —^2 (М Рд^)1 —
+ [kW(н+^)]}.
Получить численные значения п можно с помощью таблиц интегральной пока-
зательной функции или численным интегрированием па ЭВМ.
6.69. Перепишем выражение для плотности потока у-квантов на оси диска
(вырезаемая коллиматором часть снегового покрова), полученное в задаче 6.67,
так, чтобы там фигурировал угол между направлением вылета у-квантов и нор-
малью. Легко видеть, что
|/>4-A« = ft/cos0. (1)
Тогда соотношение (6.67.5) запишется в виде
п = ([th) — Si (нА/cos 8)]. (2)
Дифференцируем (2) по 0 и получаем
dn/dti = ехр ( —pTz/cosG) tg 9. (3)
&
6.70. В этом случае плотность потока от элемента рудного тела дается вы
ражением (по аналогии с задачей 6.67)
dn
ar dr dv
---------ехр
4лх2
Показатель экспоненты легко преобразуется к виду
— (Mi + Ma) */(^i + М •
Введем среднее взвешенное значение коэффициента ослабления
(р*Л + = Р-
(1)
(2)
(3)
Тогда экспонента записывается в виде ехр (—р.%). Но именно в таком виде за-
писана экспонента в (6.67.1) в задаче с однородным поглотителем. Дальнейшее
решение то же, что в задаче 6.67, нужно лишь помнить, что р задается выра-
жением (3).
256
6.71. Плотность потока у-излучения от бесконечной плоскости можно найти
из соотношения (6.67.5), положив там 7?->оо,
« = (1)
Скорость счета самолетного гамма-спектрометра
/io=nSr). (2)
За время измерения, равное / = 3 мин, в пике полного поглощения будет сосчи-
тано
п = Sy — 108.
6.72. Площадь, с которой спектрометр собирает основную часть информа-
ции в момент, когда он находится в определенной точке, принято характеризо-
вать эффективным радиусом /?Яф. Плотность потока с этой площади составляет
90 % плотности потока с бесконечного пространства. Воспользовавшись форму-
лами (6.67.5) и (6.71.1), получаем
51(НЛ)-<?1(иУ^ф+/г2) nQ
^(ц/г)
Численный расчет с использованием таблиц интегральной показательной k функции
дает /?Эф = 280 м; 5ь.ф = 2,5- 10б м2.
6.73. а= [X (236U) С (28&U) + л (23BU) с (288Щ] = И кБк/г.
Здесь М— молекулярная масса двуокиси урана; С—концентрация соответст-
вующих изотопов в естественной смеси.
6.74. Наибольшей активностью среди естественных радиоактивных нуклидов
обладает уран. Удельная активность металлического урана, вычисленная так же
как в 6.73, равна 12,5 кБк/г. Для оценки примем плотность металла, в котором
уран содержится в качестве примеси, равной 5 г/см3, а пробег а-частиц порядка
20 мкм. Тогда число а-частиц, излучаемых единицей поверхности, в соответствии
с решением задачи 6.77 будет равно 1,1-10”3 с_,-см-2.
6.75. Рассмотрим слой dx источника (см. рис. 6.10). Единица площади этого
слоя излучает nodx частиц. Из них достигают поверхности только частицы, вы-
ходящие в конусе с углом ср при вершине,
dti=nodxQ/4n,, (1)
где Q = 2n(l—cos ср); coscp=(d—х) fR. Общее число частиц, испущенных едини-
цей поверхности источника, получаем интегрированием (1), причем, так как
d<R, интегрирование надо проводить по всей толщине источника
Вычисления дают п—103 см-2-с“1.
6.76. Пробег а-частиц нуклидов, наиболее часто используемых в альфа-
источниках, в большинстве материалов превышает 10 мкм. Поэтому в данной
задаче осуществляется ситуация d<^Ra. В этом случае активность источника
равна
n=noSd/2=4O кБк.
257
6.77. Решение аналогично решению задачи 6.75, но так как поверхности
достигают только частицы, излученные слоем толщиной R, то в формуле
(6.75.2) надо интегрировать в пределах от d—R до R
R
n^S С / d —х\
л = 4— 1——— dx = %S£/4 = 1,5 Бк.
* J \ А /
d-R
6.78. Пробег а-частиц с энергией 5,15 /МэВ в серебре равен 9,3 мкм. Для
этого случая можно воспользоваться формулой (6.75.2), исправленной на пло-
щадь источника,
nQdS / d \
п = —-— 1 —— .
2 \ 2R /
Проводя вычисления, находим 1 МБк/см\
6.79. Активность tn граммов вещества с молекулярной массой М равна
Na In 2
а = -ЛГтУ-------
1 1/2
Если требуется обеспечить статистическую погрешность 6 за время /, то ско-
рость счета должна быть равна
п0=1/62Г. (2)
Активность источника и скорость счета счетчика связаны соотношением
па=ат|. (3)
Отсюда находим
^1/2
m= * - = 8,8-10-** г.
*f\WNA In 2
Видно, сколь мало вещества требуется для работы. Если реальные количества
больше, то их разбавляют неактивным разбавителем.
6.80. Активность на поверхности от слоя толщиной dx, расположенного на
глубине х, можно записать в виде
dn = — Sn^dx ехр ( — gx). (1)
Здесь мы воспользовались тем обстоятельством, что поглощение 0-частиц можно
описывать коэффициентом поглощения так же, как это делается для у-квантов.
Активность от всего образца толщиной d можно получить интегрированием (1)
по толщине образца
/г = ^[1 —ехр (— prf)].
Такое выражение получается, если не учитывать косые траектории, т. е. для слу-
чая измерений в геометрии малого телесного угла.
6.81. Общее число протонов отдачи, возникающих в счетчике при рассеянии
нейтронов на водороде, равно
л=ЯоМт/^65О с-1.
258
Условия эксперимента подобраны так, что пробеги протона умещаются
в счетчике (это целесообразно проверить). Тогда при равномерном распределе-
нии импульсов по амплитудам в пренебрежении размытием спектра и шумами
в каждом канале анализатора скорость счета будет примерно равна 11 с-1.
6.82. В начальный момент времени токи в камерах равны:
coi=co2=co. (1)
Поскольку период полураспада радия весьма велик (772=1620 лет), активность
его можно считать неизменяемой. В камере с кобальтом за время t ток умень-
шится и станет равным
i2=соехр (—Л./). (2)
Сила разностного тока
Af=Z0— C2=/q[1—ехр (—V)]. (3)
При 1
(4)
Отсюда находим период полураспада
Ti/2 = co/ In 2/AY=5,15 лет. (5)
Значения i0 и i могут быть измерены с гораздо большей точностью, чем Ас. По-
этому погрешность Tj/2 определяется только погрешностью измерения Ы
6(71/2)=6(Ac)^10%.
6.83. Элемент объема среды dV излучает в направлении на элемент поверх-
ности детектора dS число квантов, равное (рис. 6.13)
q^dVdS cos ф/(4лг2). (1)
До элемента dS дойдет
dScos#
Q^V 4т* exp (_(2)
квантов. Элемент объема в сферических координатах имеет вид
dV=г2 sin (3)
259
Число квантов, попадающих па элемент dS из всего бесконечного пространства
под углом ср к нормали, получаем интегрированием
оо 2тс
dn = — ] С sin у cos dy ехр (—pr) drdS sin ?cos у dSdy.
4л J J 2р.
r— 0 <j>=0
Полный поток на всю поверхность S равен
тс;/2
. С С 1 JQ « ^н = —J j sin у cos ? dScty = — = S 1=0 6.84. Скорость счета эффекта По = n02* = — Л/?2. И (5) (1)
Дисперсия этой скорости счета
(по) = л01Д14“ Л 02/^2» (2)
где /=/i-|-/2 — общее время измерения. Чтобы найти минимальную дисперсию,
дифференцируем (2), приравниваем производную пулю и получаем
^1/^2 = !/^ П01/ЛО2‘ (3)
Применяя это правило к условиям задачи, находим:
а) /( = 50 мин, /2=10 мин, по=720±4,2 мин-1, 6=0,58%;
б) /1=40 мин, /2=20 мин, По=6О+1,7 мин-1, 6=2,8 %.
6.85. В измерении интенсивности излучения при наличии фона целесообразно
распределять время измерения в соответствии с соотношением (6.84.3)
^1/^2 = ^02’ (1)
Из этого соотношения легко получить
/1 = ^/f к^ои/г/01) ; (2)
г.= */(|/Т^%8) + 1]. (3)
где /=/[-|-/2. Подставляем (2) и (3) в формулу для дисперсии (6.84.2) и после
простых преобразований находим формулу, связывающую относительную погреш-
ность с суммарным временем измерения,
1 1/77 4-к;г
s («о) = „ °2- (4)
У t Л01-----Л02
Из этого соотношения определяем t и затем, пользуясь формулами (2) и (3),
находим /1 и /2:
а) /=6 ч, /[=3,2 ч, /2=2,8 ч;
б) /=1 мин, /[=45 с, /2=15 с;
в) /=6,2 мин, /1=5,2 мин, /2=1,0 мин.
6.86. ио=84/20—26,7/60=3,75 мин-1.
® (М = V(rti/i^) + °2 (ли) = 0,46.
Результат: по=3,7±О,5 мин-1, 6=12 %.
260
6.87. Воспользуемся л01—«о2=«о- Тогда соотношением (6.85.4), но учтем, что «01—^02—«оф‘>
Отсюда
При б(по)=3 %, л0=1 с~1 и лОф/ло=Ю /^12,3 ч.
6.88. Из (6.85.4) для оптимального соотношения времен измерений получаем
«(«»)- , п . (1) И П0]/ 1 — «02/Л01
Отсюда по1^=3-1О4. Теперь можно вычислить искомые количества зарегистриро-
ванных сигналов
«01'1 = «1 = л01</( 1 + |/п02/'л01 ~ 17 500 имп;
(я»з/л01) |/~п0з/Л01 ftonn
«02^2— «2 — ^01/ - — 6200 и мп»
1 + |/ Пог/'Пог
6.89. Скорость счета эффекта при измерениях в режиме постоянного счета
запишем в виде / 1 1 \ л0 = п —= !8,4 е-‘. (1) \ *1 /
Для абсолютной и относительной средних квадратических погрешностей имеем
а («о) = / « 1 ’ 5 = 5 (л«)/ло = 5.3»/..
6.90. Выразим через K=«oi/«o2 скорость счета эффекта
/ 1 1 \ п / 1 \
Аналогично получаем для дисперсии
(1)
(2)
и для относительной погрешности
г=/Ка+ 1 /|Лг (№—1).
(3)
261
ГЛАВА 7
МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ СПЕКТРОМЕТРИИ
7.1. Запишем нормальное распределение в виде
л(Л)=лтахехр [— (А—Л0)2/2о2], (1)
где птах — ордината максимума, имеющего место при Л=Л0. При Л—Л0=Г/2
л(Л)=лтах/2. Подставляя это в (1), находим
Г = в 1/81П2 = а. 2,35482. (2)
Если последовательно проводить округление коэффициента при о по обычным
правилам, то получают Г=<р2,36. Видимо, ближе к истине значение 2,35.
7.2. Г = 2а |<2hr2; = 1/а /2^;
ГЯшах = Г4ПГ2^ (1)
Следовательно, поскольку нормальное распределение нормировано на едини-
цу, то
S = Гй /I/ 41п 2/л = 1,064467ГП . (2)
max'v ' ’ max* v 7
Если последовательно проводить округление коэффициента при Глтах, то по-
лучают 5=1,07Гптах. Видимо, ближе к истине значение 1,06.
7.3. Будем анализировать нормальное распределение в виде
1 г
<>
В точках перегиба вторая производная равна нулю. Производя вычисления, на-
ходим абсциссы точек перегиба Xi=a±o, ординату точки перегиба
У1 = е-°6/(а |/2тг) = 0,2420/а. (2)
Касательные в точках перегиба определяются по формуле
(3)
откуда
0,24
!/ = —*
о2
0,24
а
(4)
а2
0,24^ , 0,24
а
Основание треугольника находим, полагая Оно равно 4о; высота соответ-
ствует х=а и равна 0,484/о.
7.4. Рис. 7.1.
7.5. Площадь треугольника — ЛГ'АЛ'=0,968. Лтсюда площадь под рас-
пределением равна
5=1,0335'.
262
7.6. Площадь под частью нормаль-
ного распределения выше точек пере-
гиба определяется по значению функции
Лапласа Ф(1/]Л 2) =0,6827 минус пло-
щадь прямоугольника с высотой, рав-
ной ординате точки перегиба с осно-
ванием, равным 2а. Итого 5' = 0,19875,
где 5 — полная площадь под рас-
пределением. Площадь части треуголь-
ника, образованного касательными в
точках перегиба выше точек перегиба,
равна 0,2425. Таким образом, площадь
треугольника больше на 0,04335. Если
измеряется 5', то пользуясь правилом
подобия треугольников и соотношением
между площадью распределения и пло-
щадью всего треугольника (см. зада-
чу 7.5), находим
Рис. 7.1
3= 1,033 (-Ы-У (S' +0.043S).
\ АД' /
7.7. Запишем нормальное распределение в виде
=NDexp [ — (л0—п1)а/2а21’ 0)
Легко видеть, что
1п'Хьм ={Ч±1_^=к[2Ло_(П{+1 + л|_1)]. (2)
Nf_! 2а 2
Так как л;.г1 —= 2, а = 2л/, то
>П ^±k=_T(ra«—п^’ (3)
'4-1 а2
что и требовалось показать.
7.8. Энергетическое разрешение запишем в виде
ш=д<§г/гг.
Дифференцируем соотношение амплитуды и энергии A=f(&) и получаем
А#=АЛ/И#).
Отсюда
_ Д4 f(S)
° A Sf’ (5) ’
Если А пропорционально то
ДД/Д=Д#/#.
(1)
(2)
(3)
(4)
7.9. Если каждый из факторов, действуя независимо, дает распределение,
близкое к нормальному, то суммарное разрешение определяется по формуле
со = |/Sco/2.
Если же какой-либо из факторов дает распределение, близкое к равномерному,
то вклад в разрешение за счет этого фактора добавляется в первой степени,
а не как квадрат величины. Например, потеря заряда в ППД, равная o3, дает
263
вклад в суммарное размещение в следующем виде:
СО = j/"ScOf2 -|“ COg. (1)
7.10. Дисперсия в числе пар ионов, образованных частицей в веществе, про-
порциональна среднему числу пар ионов и задается соотношением
где F— коэффициент пропорциональности, называемый фактором Фано. Следо-
вательно, относительное энергетическое разрешение запишется в виде
со = 2,35 (2)
Так как ni=&fwt то
ю = 2,35 V Fw/S. (3)
Для Аг экспериментально определенное значение фактора Фано F=0,19. Тогда
о=0,53 %. Маленькие германиевые детекторы (У<1 см3) имеют измеренное
значение фактора Фано У7—0,08, но для детекторов большего размера характер-
ны большие значения F (до 0,15). Используя значение ^=0,1, получаем о =
=0,13 %.
7.11. В реальных сцинтилляционных детекторах основной вклад в разреше-
ние определяется флуктуациями светобора. Но в сцинтилляторах малого разме-
ра и хорошей прозрачности при тщательной сборке этот фактор может быть
сделан пренебрежимо малым. Тогда предельное энергетическое разрешение опре-
деляется флуктуациями в числе электронов, выбитых из фотокатода. С хорошей
степенью достоверности можно считать эти флуктуации пуассоновскими, т. е.
о= 2,35 |Л1/Ле-Так как ne=^nfklhv, то о>=2,35 Принимая /iv=3 эВ,
%/=10 % и Л=0,1, находим со=4,1 %.
7.12. Флуктуации числа фотонов, высвеченных в сцинтилляторе, происходят
по тем же законам, что и флуктуации числа пар ионов, но фактор Фано можно
принять равным единице (см. задачу 2.42). Следовательно, по правилу вычисле-
ния флуктуаций в каскадных процессах получаем
w = 2,35 |/(1Мф) +1/пзл(/и— 1).
где Яф=^х//1у; пэл=«ф^.
Принимая х=0,15, находим со=3,2 %*
7.13, В соответствии с формулой (7.10.3)
<а - i/1/Т
7.14. Если то квадрат ширины линии определится по обычной
формуле
(Д^)^^!)2-}-^)2. (I)
Далее решение различно в двух случаях.
а) Для Д#1 и Д#2 можно записать
(|Д^’])2=а^’1; (Д#2)2=а<^2. (2)
Подставляем (2) в (1), делим на и получаем
со2=(Д#/#)2=а2/#.
Таким образом, разрешение не зависит от способа выделения энергии.
264
б) В данном случае
(A#,) 2=#j2 (А-\-В/$,); (Д#2) 2=#22 (А-\-В/&г). (3)
Подставляем (3) в (1), делим на #2= (#]-|-#2)2 и после преобразований полу-
чаем
(о2 = Л 1—-------—-----|+-------. (4)
L (<?l + (?2)2 J ^*1 +
Видно, что разрешение для суммарного пика лучше, чем для пика, образованно-
го при эперговыделепии в кристалле энергии одной порцией. Мини-
мальное значение о)2 достигается при & /2,
ь>2=Л/2+В/^.
7.15. Воспользуемся формулой (7.14.4), где #1=1,17 МэВ, #2=1.33 МэВ, и.
получим со=5,4 %. В случае выделения энергии 2,5 МэВ одной порцией вычис-
ления по (1) дают со^7,2 %.
7.16. а) Эквивалентный шумовой заряд — это такой заряд, который, дви-
гаясь между электродами детектора с эквивалентной емкостью С, формирует во
внешней цепи импульс с амплитудой, равной среднему квадратическому шумо-
вому напряжению
Cf ш = Си ш •
б)
в)
Таким образом, энергетический эквивалент шума зависит от типа детектора,,
с которым работает данный делитель (от значения ей).
7.17. (йш = 2,35лшй7/#=0,14 %.
7.18. Основные факторы — это флуктуации ионизации, флуктуации коэффи-
циента газового усиления, флуктуации собирания носителей и шумы электрони-
ки. Кроме того, на энергетическое разрешение могут влиять технологические
факторы, такие, как эксцентриситет анода, неоднородность поверхности анода,
изменение напряженности поля на краях счетчика. Наконец, определенное влия-
ние могут оказывать эксплуатационные факторы — нестабильность питающего*
напряжения, колебания температуры, флуктуации состава газовой смеси в про-
точных счетчиках и др.
7.19. Если флуктуации числа первичных электронов и коэффициента газово-
го усиления считать независимыми, то можно написать
62=62(н.о)-|-б2(ш). (1)
Относительная флуктуация числа первичных электронов согласно теории Фано*
62(no)=F/n0. (2)
Относительная флуктуация коэффициента газового усиления согласно (3.107.15)»
ea(m)eJr(l--------Ц. (3).
п0 \ т /
Следовательно,
8« — -Х-4-4-(1——+ —Y (4>
и0 л0 \ т ) п0 \ т J
Член в скобках в правой части часто записывают в виде где f=l—1/m —
аналог фактора Фано в случае газового усиления. Учитывая соотношение п0=
18—5266 265-
=8> /w, окончательно получаем
3 = + = С УТ. (5)
Если принять F=0,2 (для аргона с добавкой метана) и f=0,7, то С=
= 0,15 (кэВ)172. Вычисления f по формуле f=l—1/m дают значения порядка
единицы при любых реально используемых значениях т, Это дает при F=
= 0,2 С^0,18 (кэВ)1/2. Эксперименты со счетчиками с лучшей разрешающей спо-
собностью показывают, что С=0,16 (кэВ)1/2, что соответствует /^0,7. Таким
образом, формула (3) несколько завышает флуктуации коэффициента газового
усиления.
7.20. Исходное амплитудное распределение запишем в виде
НЛ) = —^ехр[-(Л-.Л0)*/20а]. (1)
о I/ Ztz
При регистрации такого распределения амплитудным анализатором с конечной
шириной канала распределение останется нормальным, но его ширина несколько
увеличится. Запишем измеряемое амплитудное распределение, заменив в (1) а
па а-|-Да,
Отношение искаженного к неискаженному распределению равно
f (А) а + Да Р1 2 [а2 (a-J-Aa)*]/’
Член в квадратных скобках в показателе экспоненты преобразуем, пренебрегая
членами типа (Да/сг)2 и представляя член типа 1/(1-|-х) как 1—х, к виду
_1___
Да ^2
а2 1 -
Подставляем (4) в (3) и, разлагая экспоненту в ряд, получаем
НА) Да Г(А-Ао)2 -
f(A) 1 ’
1
о2
аа
1 2Да
а2 а
(4)
(б)
Для определения Да рассмотрим регистрацию амплитудного распределения f(A)
анализатором с шириной капала ДЛ. Число импульсов, регистрируемых в f-м
канале, равно
А^+О.бДА
П1 = J f (A) dA,
—О.бДА
где Ai — амплитудное значение, соответствующее центру канала. Разложим
функцию f(A) в окрестности точки А; в степенной ряд
f (А) = f (At) + f (Af)(A -At) + f" (Ai) (А ~Al)2
Я14-Г(Лг)М <Л-Аг)2
- = fU£)LI+fMz) (Л“Л‘')+НАг) 2
(6)
(7)
266
Подставляя (7) в (6) и производя кьтегртрованге получаем
«< = НЛ,)ДЛр+— (8)
Регистрируемое распределение будет иметь вид
Так как по условию исходное распределение (1)—нормальное, то после двой-
ного дифференцирования и подстановки в (9) имеем
f(Ai) 24а2 [ а2 j
Из сравнения выражений (10) и (5) получаем формулу для До
До=(ДЛ)2/24о. (11>
Удобно в (11) вместо о и До использовать ширину на половине высоты Г
ДГ=0,23(ДЛ)2/Г. (12}
Таким образом, при измерении нормального распределения с шириной Г анали-
затором с шириной канала ДЛ получается пик с шириной
Г-|-Д Г=Г+0,23 (АЛ) 2/Г. (13}
Относительное уширение составит
(Г-рД Г) /Г= 1+0,23 (ДЛ /Г)2. (14)
По условию задачи Г=4ДЛ, следовательно, ДГ/Г=1,4%.
7.21. Из формулы (7,20.12) получаем
ДЛ = 2,1 Г /ДГ/Г = 0,66Г.
Полная ширина пика составляет ^2,5Г, следовательно, пик должен занимать
2,5/0,66^4 канала.
7.22. Используем соотношение (7.20.10), полагая Л = ЛХ—Ло. Тогда
Ф(Ло)//(Ло)=1-0,23(ДЛ/Г)2^1 %.
7.23. Все перечисленные методы работают в нерелятивистской области.
а) т. е. <5—p-метод разделяет частицы по массе.
б) A^^d^/dx^JWz2/^, так что произведение Д^^Г разделяет частицы по
параметру Mz2.
в) Так как t=llv, а &=ти2/2, то &t2^tn.
г) |/Д£/«а ~ z.
7.24. Этим методом нельзя разделить частицы, обладающие одинако-
вым M/z.
7.25. [Mz2(Ca) — Mz2(Ar)]/Mz2(Ca) = 19 %.
18*
267
Приложение
П.1. Физические константы
Константа Обозначение и формула Числовое значение
.Элементарный заряд е 1,602-10-19 Кл
'Скорость света в вакууме с 2,998-1010 см/с
Постоянная Планка h 6,626-10"34 Дж-с 4,136» 10“15 эВ-с
h = А/2я 1,055-10-34 Дж-с 6,583-10-13 эВ-с
Число Авогадро 'VA 6,022-1023 моль-1
Постоянная Больцмана k 1,381- 10-23 Дж/К 8,617-10~5 эВ/К
Постоянная тонкой структуры a = e2jhc 1/137=7,3-10“3
JVIacca электрона me 9,110.10“28 г 0,511 МэВ/с2
JVlacca Протона /Ир 1,673-10-24 г 1,007 а. е. м. 938,6 МэВ/с2
Отношение массы протона к массе электрона mplme 1836
Атомная единица массы 1 a. e. m. 1,661-10-24 г 931,9 МэВ/с2
Классический радиус электрона e2 a8 2,818-10"13 см
ГС —/ИеС2~4л^оо
Комптоновская длина волны — h ** 2,426-10-10 см
электрона e mec
Радиус Бора rB = a/4^oo 5,292-Ю-9 см
Постоянная Ридберга R^ = тее*/4л№с 13,606 эВ 2,180-10-18 Дж
Электрическая постоянная £o 8,854-10-12 Ф/м
1 /4ne0 8,988-109 м/Ф
.Магнитная постоянная Ho 4л -10-7 Гн/м (точно) 1,257-10-6 Г/м
0° 273,15 К
Число молекул в 1 см3 при 2,687-1019 см-3
°C и атмосферном давлении
Число молекул в 1 см3 при 0°С и давлении 1 Па 2,658-1014 см-3
Число молекул в 1 см3 при 293 К и давлении 1 Па 2,478-1014 см-3
268
2. Связь между единицами давления
1 Па=9,87‘10-в атм = 7,50« 10“3 мм рт. ст.
1 мм рт. ст.=133 Па.
1 атм=1,01 * 105 Па.
3. Связь между единицами £/р и E/N
1 В/(см-мм рт. ст.) =7,519-10-* В/(см-Па) =0,33 Тд=3,034-10~17 В-см2 при
293 К.
1 Тд (таунсенд) = 1О_ 17 Всм2=3,030 В/(см«мм рт. ст.) при 293 К.
1 В/(см-Па)=43,9 Тд.
П.4. Характеристики некоторых элементарных частиц
Частица Масса, МэВ Время жизни, с Основно.1 капал распада
v, v
л—
л0
/<±
к0
р
п
0
<45 эВ >
0,511
105,7
139,6
135,0
493,7
497,7
938,3
939,6
Стабильны
2,2.10-е
2,6-10-8
8,4-10—17
1,24.10-8
8,86-1О-10 (К5)
5,77-10-8 (KL)
>Ю32 лет
918
~-<?+ + V+~e
-2Т
-’•“•±+V
—>Л + -|-Л—
5. Характеристики некоторых радиоактивных нуклидов как у-излучателей
Нуклид Период полураспада Энергия квантов, МэВ Выход квантов на один распад, %
22Na 2,6 года 0,511 181
1,27 99,95
40К 1,27- 10э лет 1,46 10,7
8<Мп 312,5 сут 0,835 99,98
б7Со 267 сут 0,014 9,5
0,122 85,6
0,136 10,6
60Со 5.27 лет 1,17 99,88
1,33 100
65Zn 245 сут 1,115 50,6
88у 107 сут 0,898 93,4
1,839 99,37
113Sn 118 сут 0,391 69
137Cs 30 лет 0,662 84,6
i39Ce 140 сут 0,166 81,3
208Hg 46,6 сут 0,279 81,5
241 Am 45,8 лет 0,0595 35,3
269
П.6. Характеристики некоторых радиоактивных нуклидов как 0-излучателеЙ
Нуклид Период полу- распада Количество р-частиц на распад Я , МэВ р max МэВ
3Н 12,26 лет 1 0,0186 0,0057
14С 5730 лет 1 0,1561 0,0493
32р 14,3 сут 1 1,7089 0,6950
35S 88 сут 1 0,1673 0,0488
*>Sr 50,5 сут 1 1,463 0,573
°°Sr 28,5 лет 1 1 0,546 2,274 0,566
1141п 72 с 0,97 1,98 0,940
204^1 3,78 года 0,87 0,65 Моноэнергетическое
0,97 0,7634 0,2433
П.7. Характеристики некоторых радиоактивных нуклидов как а-излучателей
Нуклид Период полураспада Энергия ot-частиц, МэВ Число а-частиц на распад Период полурас- пада для спонтан- ного деления, годы
2Юр0 138,4 сут 5,305 1,0
222Rn 3.83 сут 5,49 1,0 —
22вра 1602 года 4,60 0,06 —
4,78 0,95 —
232Th 1,41 • 1010 лет 3,95 0,24 1,4-10»
233JJ 4,01 0,76 —•
1,62-106 лет 4,78 0,15 3-10*7
4,82 0,83 —
234(J 2,47-10б лет 4,72 0,28 2I016
236[J 4,77 0,72 —
7,1.108 лет 4,37 0,18 1,9.1017
4,40 0,57 —
238(J 4,58 0,08 —
4,51 * 10° лет 4,15 0,25 8-Ю16
238pu 4,20 0,75 —
86,4 года 5,46 0,28 4,9-10»
28Эрц 5,50 0,72 —
24 390 лет 5,11 0,11 5,5-10»
a41Am 5,16 0,88 —
458 лет 5,44 5,49 0,13 0,85 >1,4401»
10^ КГ1 10° 101 10* 10*
%/М, МзВ/а.е.м.
Рис. П.1
270
II.8. Удельные ионизационные потери энергии протонов
(1 /р) d8/dx, МэВ • см2/г
МэВ Be С AI Си РЬ Воздух
2 131,9 140,6 110,8 78,93 41,14 134
3 97.45 104.4 83,16 61,83 34,62 99,86
4 78,06 83,97 67,44 51,27 29,85 80,53
5 65,59 70.74 57,19 44,08 26,36 68,00
8 45,03 48,81 40,09 31,50 19,81 47,11
10 37,63 40,87 33,80 26,77 17,18 39,51
16 25.65 27,96 23,45 18,82 12,52 27,10
20 21,38 23,34 19,70 15,91 10,73 22,66
25 17,80 19,46 16,52 13,42 9,163 18,93
30 15,34 16,79 14,31 11,68 8,050 16,35
40 12,15 13,32 11,41 9,383 6,548 12,98
50 10,15 11,14 9,584 7,925 5,581 10,87
75 7,385 8,112 7,026 5,861 4,181 7,928
100 5,933 6,526 5,674 4.760 3.424 6.382
200 3,647 4,016 3,522 2,989 2,189 3,942
500 2,215 2,448 2,169 1,863 1,390 2,413
1000 1,767 1,960 1,754 1,522 1,153 1,950
2000 1,608 1,791 1,618 1,422 1,099 1,809
2500 1,595 1,778 1,611 1,422 1,108 1,808
3000 1,593 1,778 1,615 1,429 1,121 1,818
5000 1,621 1,813 1,659 1,478 1,178 1,889
10000 1,699 1.905 1.759 1,579 1,284 2.044
20 000 1,792 2,014 1.876 1,693 1,399 2,232
50 000 1,915 2,156 2,027 1,839 1,546 2.499
100 000 2,005 2.257 2,134 1.941 1,648 2.687
П.9. Ионизационный пробег протонов R в воздухе
при £>200 МэВ, г/см2
8, МэВ Ее С AI Си РЬ Воздух
200 31,91 29,02 33,34 39,71 55,14 29,64
300 63,33 57,53 65,79 77,82 107,0 58,68
500 144,4 131,0 148,9 174,9 237,6 133,3
1000 404,0 365,3 412,0 479,4 642,2 370,0
2000 1007 907,3 1014 1168 1543 910,3
5000 2879 2594 2857 3248 4185 2643
10 000 5889 5270 5777 6512 8234 5081
20 000 11 604 10 359 11 262 12 604 15 657 9742
50 000 27 711 24 677 26 550 29491 35 883 22 336
100000 53 158 47 278 50 509 55 863 67 070 41 519
Примечание, При £—2-Г-200 МэВ для вычисления R пользоваться формулой /?—
= 1,8 где <§*—3 МэВ.
10. Удельные потери энергии многозарядных ионов в алюминии (рис. П.1).
Пунктир в области малых энергий показывает вклад потерь на ионизацию.
271
П.11. Пробег а-частиц в воздухе R , см
<?, МэВ 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 0,7 0,8 0,9
0 0,000 0,097 0,16 0,210 0,256 0,297 0,336 0,376 0,417 0.459
1 0,502 0,546 0,592 0,639 0,687 0,736 0,785 0,836 0,889 0,944
2 1,001 1,060 1,121 1,183 1,247 1,313 1,381 1,451 1,522 1,595
3 1,67 1,747 1,826 1,906 1,987 2,071 2,156 2,243 2,331 2,421
4 2,512 2,605 2,700 2,797 2,895 2,994 3,095 3,198 3,302 3,406
5 3,514 3,622 3.732 3,844 3,956 4,070 4,184 4,300 4,418 4,537
6 4,658 4,780 4,903 5,028 5,145 5,282 5,412 5,543 5,675 5,808
7 5,943 6,080 6,218 6,357 6,498 6,640 6,783 6,928 7,074 7,222
8 7,570 7,520 7,671 7,824 7,978 8,133 8,290 8,448 8,607 8,768
9 8,930 9,093 9,257 9,423 9,590 9,758 9,928
Пр и м еч а н и е. Пробег а-частиц в воздухе, см, можно также вычислить по формуле R=
=0,318 при 4 МэЕ<£<7 МэВ, где <£— в МэВ.
12. Пробег легких ионов (от протона до а-частицы)
Для различных веществ пробег с удовлетворительной точностью можно вы-
числять исходя из соотношения
РаЯл/Лл^РвЯв/Лв1/3,
где индексы А и В относятся к веществам А и В. Отсюда, полагая вещество В
воздухом, получаем
7?а=0,525/?вЛ1/3,
где Ra — в мг/см2, Rb — в см.
13. Оптимальные значения констант в соотношении
пробег — энергия для легких ионов в кремнии
Я=а#ь,
где R в мкм, & — в МэВ.
Константа р d 8Н «Не а
а 13,27 8,48 6,96 1,90 1,61
b 1,74 1,72 1,68 1,66 1,65
14. Экстраполированный пробег моноэнергетических электронов в алюминии
R=412<Г п; п= 1,265—0,0954 In #
при 0,01 <^<2,5 МэВ;
/?=530#—100— (2,5^4-1) (Z—13)
при 1<<§Г<20 МэВ, где пробег выражен в мг/см2, а энергия — в МэВ.
П.15. Сечения комптоновского рассеяния у-квантов на один электрон
£, МэВ | а, 10’2'1 CM2 | | S. МэВ | а, 10'24 см У МэВ а, 10’;4 СМ2
0,01 0,6370 0.15 0,4436 1,5 0,1716
0,02 0,6160 0.2 0,4066 2,0 0,1464
0,03 0,5960 0,3 0,3535 3,0 0,1151
0,04 0,5780 0,4 0,3167 4.0 0,0960
0,05 0,5610 0,5 0,2892 5,0 0,0820
0,06 О,546о 0,6 0,2675 6,0 0,0732
0,08 0,5170 0,8 0,2350 8,0 0,0599
0.1 0,4929 1,0 0,2112 10,0 0,0510
Примечание. Для вычисления коэффициента комптоновского рассеяния любого эле-
мента в единицах см2/г надо число из приложения 15 умножить на атомный номер и на число
атомов в 1 г.
272
ПЛ6. Коэффициент поглощения у-квантов, см2/г
Воздух Вода Nat
МэВ pq \ Р /фото \ Р /пары \ Р /фото рц \ Р /пары ( Р )фото ’ 'jq ( Р /пары
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,08 0,1 0,15 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 1.0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 8.0 10 4,59 0,497 0,131 0,0508 0,0245 0,0135 0,00529 0,00254 0,000694 0,000278 0,0000762 0,0000098 0,0000051 0,0000031 0,0000015 0,0000009 0,0000004 0,0000003 0,0000968 0,000387 0,00112 0,00187 0,00253 0,00312 0,00414 0,00495 4,72 0,499 0,131 0,0499 0,0238 0,0131 0,00502 0,00240 0,000649 0,000256 0,0000699 0,0000966 0,000384 0,00112 0,00188 0,00253 0,00313 0,00416 0,00497 140 20,6 6,50 18,3 10,0 6,07 2,74 1,46 0,470 0,209 0,0671 0,0316 0,0177 0,0113 0,00575 0.00362 0,00170 0,00104 0,000563 0,000368 0,000274 0,000217 0,000152 0,000117 0,000705 0,00246 0,00635 0,0101 0,0132 0,0157 0,0199 0,0234
с А] Si
МэВ рм \ Р /фото (—) \ Р /пары ( р )фото (-М \ Р /пары pq \ pj /фото \ Р /пары
0,01 0,02 0,03 0.04 0,05 0,06 0,08 0,1 0,15 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0.8 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 8,0 0,0 1,91 0,192 0,0491 0,0186 0,00887 0,00481 0.00179 0,000862 0,000234 0,0000918 0,0000792 0,000316 0,000923 0,00153 0,00208 0,00256 0,00343 0,00414 25,7 3.06 0,826 0,324 0.157 0,0875 0,0348 0,0170 0,00469 0,00193 0,000551 0,000228 0,000114 0,0000672 0,0000312 0,000167 0,00067 0,00191 0,00317 0,00426 0,00520 0,00683 0,00819 33,2 4,03 1,10 0,437 0,213 0, 119 0,0474 0,0234 0,00641 0,00264 0,000763 0,000313 0,000159 0,0000965 0,0000450 0,0000262 0,000188 0.000750 0,00214 0,00354 0,00474 0,00581 0,00759 0,00913
273
Продоло!сение табл, ГШ б-
МэВ Ge Хе •РЬ
рм \ Р ,/фото \ Р / пары (—1 \ Р /фото \ Р /пары (—1 \ Р /’фото \Р /пары
0,01 33,9 169 124
0,02 40,7 24,9 83,1
0,03 13,1 7,94 28,5
0,04 5,81 22,2 13,2
0,05 3,07 12,2 7,21
0,06 1,78 7,43 4,39
0,08 0,755 3,55 1,97
0,1 0,390 1,79 5,23
0,15 0,116 0,578 1,8 !
0,2 0,0491 0,257 0,843
0,3 0,0145 0,0830 0,289
0,4 0,00665 0,0390 0,141
0,5 0,00376 0,0219 0,0823
0,6 0,00238 0,0141 0,0538
0,8 0,00120 0,00716 0,0285
1,0 0,000764 0,00450 0,0180
1,5 0,000358 0,000417 0,00211 0,000821 0,00858 0,00159^
2,0 0,000217 0,00159 0,00128 0,00284 0,00523 0,00500-
3,0 0,000117 0,00439 0,000693 0,00725 0,00282 0,0115
4,0 0,0000785 0,00717 0,000455 0,0115 0,00188 0,0168
5,0 0,0000595 0,00954 0,000340 0,0149 0,00139 0,0213
6,0 0,0000473 0,0115 0,000269 0,0178 0,00108 0,0248
8,0 0,0000338 0,0148 0,000188 0,0224 0,000750 0,0305
10,0 0,0000259 0,0178 0,000145 0,0266 0,000570 0,0360
П.17. Сечения ^которых ядерных реакций на тепловых нейтронах
Тип реак ции Нуклид Сечение, 10’24 см2 Состав естественной смеси изотопов Сечение 10’24 сма
П, р 3Не 5 400
П, а »Li 945 7,5%eLi+9 2, 5 »/о ’Ll 71
П, а 10В 3838 19,8 % ’«в+во.гуо “В 757,7
И, р 14N 1,75 99,63 «/о 14N4-0,37 »/о 15N 1,88>
П, 7 118Cd 20000 Ест. Cd 2537
я, f 236JJ 582
га, f 233JJ 525
га, f 230pU 742
для некоторых элементов (рис.
П.2)
Газ
екр,
Хо,
18. Полные нейтронные сечения
19. Критическая энергия и радиационная длина
Нг НаО
350 90 О
62,8 36,4
МэВ........... .
г/сма.............
20. Первичная
Впдух А! Аг Ее Хе РЬ
। 81 47 34 23,3 11,0 7,5
37. 1 24,3 19,7 13,9 8,5 6 4-
минимальные удельные ионизации
Газ . .
v't см"*1
V, см-1
и полная
Не Ne Аг Кг Хе Н2 Na Оз со2 сн4 CMio
5,9 12 29,4 22 44 5,2 10 22 34 46
7,8 39 94 192 307 9,2 56 73 91 53 195
274
21. Энергия ионизации и наименьшее значение энергии возбуждения газов
Газ..................Н2 Не N2 О2 Ne Аг Кг Хе СО2 СН4 С4Н10
№еу, эВ............. 10,8 19,8 8,1 7,9 16,6 11,6 10,0 8,4 5,2 — —
П7Г) эВ............. 15,9 24,5 16,7 12,8 21,5 15,7 13,9 12,1 13,7 15,2 10,6
22. Средняя энергия ионообразования в газах
Газ .... Не Ne Ar Кг Хе Н2 N3 О2 СО2 СН4 Воздух BF8
о., эВ . . . 42,7 36,8 26,4 24,1 21,9 36,3 36,6 32,5 34,5 29,2 34 32
Примечание. В жидком ксеноне ш=13,6 эВ.
23. Средняя энергия ионообразования в газовых смесях
Газ................. Не+0,13% Ar Ne-|-0,12% Аг Аг^-0,2% С2Н2
а.', эВ............. 29,7 26,7 21
24. Фактор Фано в газах и газовых смесях
Газ. . Н, Не Ne Аг НеЦ-Аг Не-4-Хе Не-|-СН4 Ne+Ar Аг+С2Н2
F . . . 0,34 0,21 0,13 0,16 0,054 0,057 0,089 0,063 0,096
25. Константы тройного прилипания электрона к кислороду
в некоторых газах для тепловых электронов
Газ................... О2 Н2 N2 Не Ne Аг Кг Хе
К, 10-аг см«/с........ 230 48 7,8—260 3,3 2,3 5 5 8,5
26. Энергия сродства к электрону
Ион ... . Н- Cl-О- Fa- С12“ Br2- I2- О2- SF-— СО2- С2~ ОН-
W'e, эВ . . 0,75 3,7 1,5 2,9 2,5 2,9 2,6 0,44 0,63 1 3,5 1,8
27. Подвижности некоторых ионов в собственных газах
Ион...........Не+ Ne+ Ne2* Ar+ Ar2-=- Kr+ Kr2+ Xe '- Xe2 '- N2 > O2+ Ог-
ре, cm«/(c-B) . . 10,8 4,2 6,5 1,5 1,8 0,9 1,2 0,6 0,8 2,5 2,3 2,0
275
28. Зависимость сечения передачи импульса в упругих столкновениях
от энергии электронов (рис. П.З)
29. Зависимость скорости дрейфа электронов от отношения Е/N (рис. П.4)
30. Скорость дрейфа электронов в некоторых газах, 10Б см/с
Газ Е1р. 10'8 В(см-Па)
1,5 3,0 4,5 6,0 | 7,5 | 15 1 30 I 45 | 60 75 110
н2 4,5 6,0 7,3 8,2 9,6 13 20 27 32 40 52
Воздух 5 8,0 9,65 11 12 17 26 34 43 51 75
N2 4 5 6 7 8 14 22 31 38 45 63
со2 1,8 3,2 5 7 9,3 12 34 60
Газ Е/р, 1О’а В/(см-Па)
2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 | 12.0 14,0 16,0 20,0 24,0 | 30,0 37,5 45,0
н2 4,3 5,7 7,0 8,3 9,6 10,9 12,2 13,5 16,2 18,7 23.5 30,2
А? 2,9 3.2 4,0 4,3 4,8 5,2 5,7 6,5 8,4 10 13 — —
BF3 45 88 130 160 195 220 250 280 330 410 490 585 665
Ne 5,4 7,2 9,5 13 16 20 24 28 35 43 52 64 75
31. Скорость дрейфа электронов в смеси 95 % аргона и 5 % углекислого газа:
E/р, 10-3 В/(см‘П?).......... 0,75 1,50 2,25 3,0 3,75 4,50 10,0 30,0’
уЮБ см/с..................... 0,88 2,1 3,5 4,3 4,7 4,8 4,5 4,6
32. Скорость дрейфа электронов в смеси 90 °/о аргона
и 10 % паров этилового спирта
Е/р, Ю-з В/(см-Па). . 4,5 6,0 7,5 9,0 10,5 12,0 13,5 15,0 13—40’
10б см/с........... 13 18 23 28 34 38 43 46 47
33. Плотность некоторых веществ
Газы при нормальных условиях
Газ ... . Не зне Ne Ar Кг Хе Н2 N2 О2 СН4 СО2 BF3 Воздух
Р, кг/м» . . 0,1790,134 0,90 1,783,745,890,090 1,25 1,43 0,72 1,98 2,99 1,29
276
Жидкие газы
Газ...................... Аг Кг Хе
Т, К..................... 90 126 164
р, г/см5................1,37 2,37 3,06
Сцинтилляторы
Вещество Nal(Tl) CsI(Tl) Lil(Eu) Антрацен Стильбен Толан Нафталин
р, г/см5 . . 3,67 4,51 4,06 1,25 1,16 blB 1,15
Металлы и некоторые другие вещества
Вещество Be Al Fe Си Ag Au Pb Графит В LiF UO2
С аморфный
P, г/см5 1,84 2,70 7,87 8,93 10,5 19,3 11,34 2,25 2,34 2,3 10,97
64. Свойства чистых германия и кремния
Параметр г, к Si Ge
Z 14 32
А 28,09 72,60
Постоянная решетки, нм 0,542 0,566
Число атомов, см-5 4,96* 1022 4,41 * 1022
р, г/см5 2,33 5,33
е/£о 11,7 15,7
эВ 300 1,12 0,665
о’ 77 1,16 0,74
Не, СМ2/(сВ) 290 1350 3900
77 3,7*104 3,3-104
p-Л, см2/(с В) 290 480 1900
77 1,7*104 1.4*104
П[, см-8 290 7* 10» 2,25-Ю*3-
Р/, Ом*см 290 2,5-Ю6 47
тс;т^ 0,33 0,22
0,55 0,39
ад, Эв 300 3,62
90 3,76 2,96
F 0,1 0,15
35. Коэффициенты преломления некоторых веществ
для желтой D-линии натрия (Х=589,3 им)
Вещество nD . . . . Вода 1,333 Полисти- Полимо- глице- рол тил мета- рПН крилат 1 1,592 1,491 1,47 Бензол 1,501 Плавле- ный кварц 1,459 Стекло тяжелый флинт ТФ-7 1,728 Стекло легкий крон ЛК-3 1,487
Газ ... . ня Коэффициенты преломления газов Аг Воздух Кг СНЛ Т| = /2о—1 со2 CClaFa Хе Фреон 13 В!
Ть io-4 . . 1,38 2,84 2,926 4,27 4,41 4,50 7,02 8,64
36. Некоторые математические величины и соотношения
а) С Л dx = —---------------Г ---------) .
J mk'l+' \ т /
о
277
Частным случаем этого интеграла при т=\ является интеграл Эйлера
со
б) Г (n) = J
О
-определяющий гамма-функцию при л>0.
Свойства жительном и. Значения л Г(п) . . . гамма-функции: Г(л-|-1) =иГ(л); Г(л) = некоторых гамма-функций: 1 / 3 / б : 3 / /2 /4 /4 /2 |А? 1,225 0,9064 |/тГ'2 (л—1)! при целом поло- 6/2 % г- 15 Г- 3 |Л л/4 -g уп
со ОО
в) j ехр ( —-/2) dt = 2 (* ехр ( — /2) dt = |А .
—оо О
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Задачники
1. Антонова А. И., Гончарова Н. Г., Живописцев Ф. А. Задачи по ядерной
физике. М.: Изд-во МГУ, 1979.
2. Гришкина Т. В„ Климова Г. И., Михайлова О. В. Сборник задач по
курсу «Методы регистрации излучений». М.: Изд. МИФИ, 1969.
3. Иванов В. И., Машкович В. П. Сборник задач по дозиметрии и защи-
те от ионизирующих излучений. — 3-е изд. М.: Атомиздат, 1980.
4. Иродов И. Е. Сборник задач по атомной и ядерной физике. — 7-е изд.
М.: Энергоатомиздат, 1984.
5. Климанов В. А. Сборник задач по теории переноса ионизирующих из-
лучений. М.: Изд. МИФИ, 1981.
6. Козел С. М., Рашба Э. И., Славатинский С. А. Сборник задач по физи-
ке. Задачи МФТИ. М.: Наука, 1978.
7. Кронин Дж., Гринберг Д., Телегди В. Сборник задач по физике с реше-
ниями: Пер. с англ. / Под ред. П. А. Крупчицкого. М.: Атомиздат, 1975.
8. Савельев И. В. Сборник вопросов и задач по общей физике. М.: Нау-
ка, 1982.
9. Сборник задач по общему курсу физики. Атомная физика, физика ядра
и элементарных частиц/ В. Л. Гинзбург, Л. М. Левин, М. С. Рабинович,.
Д. В. Сивухин; Под ред. Д. В. Сивухина. М.: Наука, 1981.
10. Сборник задач по физике элементарных частиц/ Ю. Д. Котов,
Ю. П. Никитин, В. П. Протасов и др.-2-е изд. М.: Изд. МИФИ, 1983.
11. Сборник задач по ядерной физике/ С. В. Скачков, Л. В. Константи-
нов, В. П. Строганова и др М.: Гостехтеоретлздат, 1958.
12. Смирнов Б. М. Физика слабоиопизовапного газа. Н.: Наука, 1978.
13. Топоркова Э. П. Сборник задач по ядерной физике. М.: Изд. МИФИ^
1982.
Общая литература
14. Абрамов А. И.. Казанский 10. А., Матусевич Е. С. Основы экспери-
ментальных методов ядерной физики. 2-е изд. М.: Атомиздат, 1977.
15. Альфа, бета- и гамма-спектроскопия. Вып. 1/Под ред. К. Зигбана:
Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1969.
16. Измерение характеристик ядерных реакций и пучков частиц. Состави-
тели-редакторы Люк К. Л. Юан, By Цзянь-сюн: Пер. с англ. / Под ред.
Л. А. Арцимовича. М.: Мир, 1965.
17. Калашникова В. И.г Козодаев М. С. Детекторы элементарных частиц.
М.: Наука, 1966.
18. Матвеев В. В., Хазанов Б. И. Приборы для измерения ионизирующих
излучений. 2-е изд. М.: Атомиздат, 1972.
19. Методы измерения основных величин ядерной физики/ Составители-
редакторы Люк К. Л. Юан, By Цзянь-сюн; Пер. с англ.’ Под ред. Л. А. Ар-
цимовича. М.: 1964.
20. Прайс В. Регистрация ядерного излучения: Пер. с англ./ Под ред.
Б. И. Верховского. М.: Изд-во иностр, лит., 1960.
21. Приборы для регистрации ядерных излучений и их применение/ Под
ред. А. Снелла: Пер. с англ. / Под ред. Л. П. Паникова. М.: Атомиздат, 1965.
22. Принципы и методы регистрации элементарных частиц/ Составители-
редакторы Люк К. Л. Юан, By Цзянь-сюн: Пер. с англ. / Под ред. Л. А. Ар-
цимовича. М.: Изд-во иностр, лит., 1963.
23. Ритсон Д. Экспериментальные методы в физике высоких энергий: Пер.
с англ. / Пед ред. В. П. Джелепова. М.: Наука, 1964.
24. Фрауэнфельдер Г., Фенли Э. Субатомная физика: Пер. с англ. М.:
Мир, 1979.
25. Эстулин И. В. Радиоактивные излучения. Практикум по ядерной физи-
ке. Вып. 1. М.: Физматгиз, 1962.
279
Справочная литература
26. Иванов В. И., Машкович В. П., Цептер Э. М. Международная система
единиц (СИ) в атомной науке и технике. М.: Энергоиздат, 1981.
27. Кимель Л. Р., Машкович В. П. Защита от ионизирующих излучений.
Справочник. 2-е изд. М.: Атомиздат, 1972.
28. Кэй Дж., Лэби Т. Таблицы физических и химических постоянных: Пер.
с англ. / Под ред. К. П. Яковлева. 2-е изд. М.: Физматгиз, 1962.
29. Немец О. Ф., Гофман Ю. В. Справочник по ядерной физике. Киев:
Наукова думка, 1975.
30. Радциг А. А., Смирнов Б. М. Справочник по атомной и молекулярной
физике. М.: Атомиздат, 1980.
31. Сторм Э., Исраэль X. Сечения взаимодействия гамма-излучения: Спра-
вочник: Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1973.
32. Таблицы физических величин: Справочник/ Под ред. И. К. Кикоина.
М.: Атомиздат, 1976.
33. Ядерно-физические константы/ И. В. Гордеев и др. — М.: Госатомиз-
дат, 1963.
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
ИЛЬЯ МИХАЙЛОВИЧ ОБОДОВСКИЙ
Сборник задач по экспериментальным методам
ядерной физики
Редактор О. П. Дунаева
Художественный редактор А. Т. Кирьянов
Технический редактор В. В. Хапаева
Корректор И. А. В о л о д я е в а
ИВ № 434
Сдано в набор 18.08. 8G. Подписано в печать 24.11.86 Т-23915
Формат 60Х901/18 Бумага типографская № 2 Гарнитура литературная
Печать высокая Усл. печ. л. 17.5 Усл. кр.-отт. 17,5 Уч.-изд. л. 21,78
Тираж 4000 экз- Заказ 5266 Цена I р.
Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного
Знамени МПО «Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова»
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. 113054, Москва, М-54,
Валовая, 28