ФММорс, Г. Фешбах
МЕТОДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, т.2
Содержание
Глава 9. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ 5
9.1. Теория возмущений 6
9.2. Поверхностные возмущения 40
9.3. Приложение методов теории возмущений к изучению рассеяния и 63
дифракции
9.4. Вариационные методы 104
Задачи к главе 9 152
Таблица приближенных методов 155
Литература 163
Глава 10. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 165
10.1. Решения в двумерном случае 166
10.2. Комплексные переменные и двумерное уравнение Лапласа 204
10.3. Решения в трехмерном пространстве 237
Задачи к главе 10 290
Тригонометрические и гиперболические функции 300
Функции Бесселя 302
Функции Лежандра 306
Литература 311
Глава 11. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 312
11.1. Волновое движение, одна пространственная координата 313
11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 339
11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 404
11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы 478
Задачи к главе 11 514
Цилиндрические функции Бесселя 522
Функции Вебера 524
Функции Матье
Сферические функция Бесселя 531
Сфероидальные функции 534
Краткая таблица преобразований Лапласа 536
Литература 540
Глава 12. ДИФФУЗИЯ. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА 542
12.1 Решения уравнения диффузии 542
12.2. Функции распределения для задач диффузии 561
12.3. Решение уравнения Шредингера 590
Задачи к главе 12 689
Полиномы Якоби 698
Полуцилиндрические функции 699
Литература 701
Глава 13. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 702
13.1 Векторные граничные условия, собственные функции и функции 705

Грниа
13.2. Статические и стационарные решения 730
13.3. Векторные волновые поля 748
Задачи к главе 13 817
Таблица сферических векторных гармоник 824
Литература 827
ПРИЛОЖЕНИЕ 828
Указатель обозначений 829
Таблицы 838
I. Тригонометрические и гиперболические функции 838
П. Тригонометрические и гиперболические функции 839
III. Гиперболический тангенс комплексного аргумента 840
IV. Обратная гиперболическая функция Ar th \xi 843
V. Натуральный логарифм и обратные гиперболические функции 844
VI. Сферические гармоники 845
VII. Функции Лежандра для больших значении аргумента 846
VIII. Функции Лежандра чисто мнимого аргумента 847
IX. Функции Лежандра порядков 1/2, -1/2 и 3/2 848
X. Функции Бессепя для цилиндрических координат 849
XI. Гиперболические функции Бессепя 850
XII. Функции Бессепя для сферических координат 851
XIII. Функции Лежандра для сферических координат 852
XIV. Амплитуды и фазы цилиндрических функций Бессепя 853
XV. Амплитуды и фазы сферических функций Бессепя 856
XVI. Периодические функции Матье 859
XVII. Нормирующие постоянные для периодических функций Матье и 861
предельные значения радиальных функций Матье
Литература 863
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 864
Предметный указатель
Этот указатель относится к обоим томам. К номерам страниц второго тома
условно прибавлена 1000.
А
Абсолютная величина комплексного числа 332.
Абстрактное векторное пространство 80—95; и интегральные уравнения 838; и
квантовая теория 82, 223—254; итерционио-пертурбациониая формула 1022;
комплексное а. в. п. 84; неравенство Бессепя 85; неравенство Шварца 85;
операторы 85, 86; операторы вращения 93; преобразование операторов 88—
90; собственные векторы 81, 716; собственные значения 81, 716;
собственные функции 666; спиновые операторы 91; теория возмущений
1022; унитарные операторы 87; функции Грниа 735—827; эрмитовы
операторы 86.
Адмитанс, или полная проводимость 274, 287, 1314, 1316; акустический а. 296;
аффниор а. 274, 317; граничный а. 1342; диссипативной системы а. 285; и

проводимость, или коидуктанс 287; и реактивная проводимость, или
сусептанс 287; и резонанс 274; излучения диполя а. 1798; крутильный а.
1778; отклоняющий а. границы 1345.
Аксиальные векторы 21, 39, 50, 54.
Активное сопротивлевле, или резистанс 287; и реактивное сопротивление, или
реактанс 353; излучения а. с. 831, 1370, 1398, 1400.
Акустический адмитанс 296.
Акустический импеданс 296, 1328, 1329, 1343; для колеблющегося диска 1476;
для колеблющейся полосы 1398.
Акустический коитур 1333, 1334.
Альбедо 1563; при диффузном отражении 1575.
Ампера закон 199.
Амплитуда комплексного числа 332.
Амплитуда рассеяния 1064, 1069, 1070, 1160; вариационный принцип 1127, ИЗО,
1161, 1650, 1652; и полное эффективное сечение 1069, см. также фактор
углового распределения; интегральное уравнение 1076.
Амплитуда скорости 128.
Аналитические функции 337—385; аналитическое продолжение 357, 367;
действительная и мнимая части 350; и импеданс 352; и электростатика 334,
335; интегральная формула Коши 347; обратная функция 342; особые точки
339; производные 354, 355; ряд Лорана 357, 358; ряд Тейлора 355; теорема
Коши 344; условия Коши—Римана 334.
Аналитическое продолжение 357, 368; для гамма-функции 372; для
гипергеометрической функции 376, 514, 546, 554; естественная граница 368;
и область существования 368; и точки ветвления 370; метод Эйлера 373, 375,
457; основные теоремы 369; приемы 370; принцип Шварца 372.
Антенна полуволиовая, излучение 1808.
Антиэрмитов оператор 842, 849.
Асимптотическая формула для собственных значений и собственных функций
687; в случае уравнения Бесселя 689, 690.
Асимптотический ряд 410—418, 457, 358; для вырожденной гипергеометрической
функции 521, 522, 569, 570, 572, 573; для гамма-функции 418; для
интегральной показа тельной функций 411; для кулоновской волновой
функции 592, 593; для функций Бесселя 583 (для ф. Б. высших порядков
587—591); единственность 413; и метод перевала 414; и явление Стокса 413,
571,573.
Асимптотическое поведение преобразования Фурье 437.
Атом экранированный, рассеяние на нем 1631; борновское приближение 1639;
структурный фактор, или атомный фактор рассеяния 1640; эффект
Рамзауера 1633, 1634.
Аффниор 60—77; адмитанса а. 274, 317; главные оси 64; деформации а. 72; и
тензор 60, 61; импеданса а. 273, 309, 316, 317, 1751; как векторный оператор
61; кососимметрический 66; напряжений а. 74; рассеяния а. 1823;

симметрический а. 64 {собственные значения 65); теорема Гаусса 71;
теорема Стокса 71.
Аффинерная функция Грниа 1710; для диполей 1813, 1814.
Аффинерный оператор 76.
Б
Бабние принцип 1404.
Безвихревые поля 29.
Безвихревые течения 150.
Бернулли уравнение 158.
Бесконечное произведение для гамма-функции 399; для целых функций 363, 364.
Бессепя неравенство 85.
Бессепя уравнение 518, 521, 579, 580; функция Грниа 821.
Бессепя функции 538, 579—591; асимптотическое поведение 583, 590, 591;
высших порядков Б. ф. 587—591; и интеграл Фурье—Бессепя 711; и
полиномы Гегенбауера 582; и уравнение Лапласа 1243, 1277; и функции
Ганкепя 583; 584; и функции Матье 594; интегральное представление 580,
581, 583, 584; интегральное уравнение 835; ортогонализация 710;
производящая функция 581; рекуррентные формулы 580; сферические Б. ф.
582, 583, 1433, 1444 (и сфероидальные функции 602; интегральное
представление 583;рекуррентные формулы 582; таблицы значений 1851,
1856—1858; таблицы корней 1534; формулы и таблицы 1531—1534);
таблицы значений 1849— 1851, 1853—1858; таблицы корней 1523, 1524;
фазы и амплитуды 1522; чисто мнимого аргумента Б. ф. 1243, 1277, 1303
(таблицы 1850); явление Стокса 690.
Бета-функция 401.
Бигармоническое уравнение 1726; и функция напряжений 1726; пример 1734.
Биортогональные ряды 861; и полиномы Неймана 864.
Биоргогональные функции 818, 823.
Биполярные координаты 1171; два цилиндра в однородном поле 1201; и метод
изображений 1171; потенциал вне двух цилиндров 1199; уравнение Лапласа
в б. к. 1199; функция Грниа в б. к. 1202, 1203.
Бисферические координаты 495, 621, 622; потенциал между плоскостью и сферой
1280; собственные функции 1281; уравнение Лапласа в б. к. 495, 1279;
функция Грниа в б. к. 1281, 1282.
Борна приближения 1072, 1160, 1673; высших порядков Б. п. 1075, 1641; для
потенциала Юкава 1081; для прохождения через потенциальный барьер
1079; для рассеяния на атомах 1639; для рассеяния на атомах водорода 1684;
для фаз овых углов 1641; для экспоненциального потенциала] 1644;
сходимость 1073.
В
Вариационио-итерационный метод 1029—1035, 1133—1141, 1143—1147, 1158; в
квантовой механике 1647 {длярассеяния 1652; для экспоненциального
потенциала 1649); для круглой мембраны 1143; для неортогональных
функций 1039, 1040; для уравнения Шредингера, см. Шредингера

уравнение; и метод минимизированных итераций 1149; и уравнение Матье
1033; и экстрапопяционный метод 1138; неравенства для собственных
значений 1134, 1145; нижние границы для собственных значений 1139, 1147;
сходимость 1031, 1135.
Вариационные методы в задаче двух частиц 1679; в электростатике 1105; для воли
в трубах 1479 (коэффициент прохождения 1125, 1480); для звуковых воли
1504 (диффракция на отверстии в плоскости 1483; рассеяние на полосе
1509); для излучения 1131; для неоднородных уравнений 1108, 1109; для
рассеяния 1120, 1126 (амплитуда рассеяния 1127, 1131, 1161; в квантовой
механике 1120—1127, 1131, 1161, 1163, 1644, 1650, 1652; в случае
экспоненциального потенщала 1651; коэффициент прохождения 1125,
1151; фазовые углы 1120—1125, 1153, 1650; электромагнитных волн р.
1823); для собственных значений 1104—1152 (в случае высших с. з. 1147; в
случае наименьшего с. з. 685; и граничные возмущения 1127—ИЗО, 1158; и
связанные состояния 1112, 1114; и связанные состояния атома гелия 1679;
и связанные состояния для экспоненциального потенциала 1644; и теория
возмущений 1116; интегральных уравнений с. з. 843, 845, 920, 1117; метод
Рэлея—Ритца 1115; с. з. с линейными параметрами 1113, 1116; с. з. с
нелинейными параметрами 1114; с. з. уравнения Гельмгольца 1110; с. з.
электромагнитного резонатора 1821; с. з. ормитовых операторов 1107);
для уравнения Гельмгольца, см. Гельмгольца уравнение; для уравнения
Лапласа 1105: для уравнения Шредингера, см. Шредингера уравнение; для
функций распределения 1581.
Вариационные параметры 1105, 1113—1116; и вековой определитель 1116;
линейные в. п. 1113; нелинейные в. п. 1114.
Вариационный принцип 264—328; для векторного поля 303; для интегральных
уравнений 843, 845, 920, 1117; для колеблющейся струны 288, 325; для
упругой среды 306, 309; для уравнения Гельмгольца 292, 1110; для
уравнения Дирака318; для уравнения диффузии 298; для уравнения
Клейиа—Гордона 301; для уравнения Лапласа 293;
для уравнения Шредингера 299, 326; для уравнения Штурма—Лиувилпя 684; для
функций распределения 1581; для электромагнитного поля 310; и уравнения
связи 267; сводка результатов 324—328.
Вариация интеграла Лагранжа 265, 324; и плотность функции Лагранжа 265; и
уравнения Эйлера 266.
Вебера функции 1378; и гармонический осциллятор 1593; и интегралы Френеля
1380; и полиномы Эрмита 1380; таблица свойств 1524.
Вейерштрасса эллиптические функции 406.
Вековой определитель 65, 1016, 1037; вариационный метод 116; для возмущений
граничных условий 1042, 1046; для возмущений формы границы 1054; для
объемных возмущений 1016, 1037.
Векторная теорема Грина 1708.
Векторное волновое уравнение 200, 1705—1724, 1728—1730, 1748—1817;
аффниор импеданса 1751; граничные условия 1702, 1703, 1709, 1750, 1751;

интегральное представление решений 146; функция Грниа 1728; см. также
Векторное уравнение Гельмгольца, Упругие волны, Электромагнитные
волны.
Векторное пространство комплексное 84; см. также Абстрактное векторное
пространство.
Векторное уравнение Гельмгольца 1705—1724, 1748—1817; аффинерная функция
Грниа 1710, 1717, 1802 (продольная и поперечная Б. у. Г. 1719); в
прямоугольных координатах 1713, 1714, 1781; в сферических координатах
1794—1817; в сфероидальных координатах 1819; в цилиндрических
координатах 1758, 1759; вариационный принцип 1821, 1823; волны в
волноводах 1755—1772; излучение 1400, 1796, 1803—1810; неоднородное в.
у. Г. 1711; отражение плоской волны 1749; разделимость 1706; рассеяние
1792—1794, 1810—1814, 1823; собственные функции 1713;
электромагнитные резонаторы 1781—1792, 1799—1801, 1814.
Векторное уравнение диффузии 160, 1749; и нестационарное течение вязкой
жидкости 1780.
Векторное уравнение Лапласа 1724; аффинерная функция Грниа 1736; в полярных
координатах 1733; в сферических координатах 1737; и бигармоническое
уравнение 1726; плоские задачи 1731; поля токов 1730; течение
несжимаемой вязкой жидкости 1731; функция Грниа, см. Грниа функция.
Векторное уравнение Пуассона 1730; течение несжимаемой вязкой жидкости
1731.
Векторные гармоники зональные, таблица 1825; сферические в. г., таблица 1824.
Векторные поля, вариационный принцип 303; интенсивность 305; плотность
импульса 305; плотность момента количества движения 305; сводка
результатов 324—326; тензор напряжении-энергии 304 (симметризация
321); уравнения Эйлера 303.
Векторные собственные функции, см. Собственные функции векторные.
Векторный оператор как аффниор 61.
Векторный потенциал 59; в теории упругости 142, 145; для движения жидкости
160; для магнитного поля 198,1705, 1730, 1736, 1741; для электромагнитного
поля 200, 1705.
Векторы 19; аксиальные в. 21, 39, 50, 54; векторное произведение 21; и
комплексные числа 332; ковариантные в. 39, 52; коитравариантные в. 39, 52;
преобразование в. 38; скалярное произведение 20; смешанное тройное
произведение 22; 4-векторные потенциалы 203, 310; 4-векторы 98 (и
спиноры 103; 4-е. импульса 9% 4-е. тока 203).
Веицеля—Крамерса—Бриллюэна—Джеффриза (WKBJ) метод 1090—1104; для
ограниченных систем 1096; для прохождения через потенциальный барьер
1097; для радиальных уравнений 1090; для функций Матье 1388; и
интегральные уравнения 1092; и классические точки поворота 1091 (близко
расположенные т. п. 1101; изолированные т. п. 1093); обобщение Имаи
1155, формулы связи 1093—1096.
Вероятность в квантовой теории 83, 84, 224.

Весомая идеализированная струна 130—133.
Ветвления линии 377.
Ветвления точки 370, 377; и аналитическое продолжение 370; и интегралы 388; и
римановы поверхности 379; многозначных функций в. т. 370, 377.
Взаимности принцип в абстрактном векторном пространстве 816; для векторного
волнового уравнения 1710, 1711; для разностного уравнения 653; для
рассеяния 1127; для скалярного волнового уравнения 773; для уравнения
Гельмгольца 746, 749; для уравнения диффузии 793; для уравнения
Клениа—Гордона 790; для уравнения Лапласа 742; и причинность 793;
обобщенный в. п. 806, 807, 823.
Взаимные функции 846.
Вниера—Хопфа метод 906; для неоднородного уравнения 917; и задача Милиа
179, 913, 1578, 1579; излучение из конца трубы 1490; отражение в
облицованной трубе 1484; примеры применения 908—917; факторизация
907,915.
Виртуальные уровни 1074, 1609, 1634; и сходимость метода возмущений для
рассеяния 1073.
Вихревая линия 30, 1218. Вихревой вектор 49, 150, 1175-1178.
Вихрь 48, 57; в ортогональных координатах 50; в тензорных обозначениях 57.
Внутреннее нестационарное нагревание пластины 1547.
Водорода атом 259, 592, 1615, 1683.
Возбуждение волновода током 1761; входной импеданс 1762.
Возбуждение резонатора при помощи волновода 1786; в. р. током 1784.
Возмущения в граничных условиях 1041—1053; вековой определитель 1042,
1047; приближенные условия Дирихле 1044—1048; приближенные условия
Неймана 1041—1044; пример 1048, 1343, резюме 1047, 1048; таблица 1158.
Возмущения объемные 1005—1040.
Возмущения поверхностные 1005, 1040—1063.
Возмущения формы границы 1053—1063; вековой определитель 1054; примеры
1062, 1363, 1367, 1407, 1414, 1418, 1439, 1455; резонансные частоты 1054,
1410; сходимость 1056; таблица 1158; условия Дирихле 1060, 1061; условия
Неймана 1053—1055.
Возраст 192, 1556, 1589; возрастная теория 1587; возрастная функция Грина 194;
возрастное уравнение 192, 1556, 1589.
Волновая функция сопряженная 1125, 1127, 1131.
Волнового импульса плотность 292; см. также Плотность импульса поля.
Волноводы (электромагнитные волны в них) 1755—1772; влияние изменения
размеров сечения 1768; возбуждение резонатора 1786; возбуждение в. током
1761; дисперсия воли 1756; затухание воли 1762—1766; отражение воли от
конца в. 1766; отражение воли от штыря в в. 1772; поперечио-магнитные
волны 1758; поперечио-электрические волны 1755; функция Грниа 1758;
эффективный импеданс 1757, 1766.
Волновое напряжение 292.

Волновое уравнение 100; для звуковых воли 159; для линии передачи 212; для
струны 123, 135, 137; для упругих воли 140; для электромагнитных воли 200.
Волновое уравнение векторное, см. Векторное волновое уравнение.
Волновое уравнение скалярное 1312—1541; в параболических координатах 1373;
в полярных координатах 1348; в прямоугольных координатах 1341, 1406; в
сферических координатах 1430; в сфероидальных координатах 1466, 1475; в
эллиптических координатах 1382; вариационный принцип 292, 294;
запаздывающий потенциал 201, 778, 808; и гиперболические уравнения 638;
импеданс 295; разностное уравнение 647, 654; решение начальной задачи
781—784; условия Дирихле 639, 656; условия Коши 637, 655; функция
Грниа 772—792; см. также Гельмгольца уравнение, Мембрана, Струна.
Волновое число 218.
Волновой вектор 1404.
Волновой импеданс 127, 139, 214, 296.
Волны в пространстве нескольких измерений 640; в трехмерном пространстве
143; изменение формы в. 143, 640, 781—784; см. также Звуковые волны,
Плоские волны, Продольные волны, Упругие волны, Электромагнитные
волны.
Волны кручения в шаре 1801; вдоль стержня 1775.
Волны сжатия в жидкости 294, 325, 326; акустический адмитанс 296; волновое
уравнение 159; плоские в. 297; плотность импульса 295; плотность функции
Лагранжа 294; тензор напряжении-энергии 294, 295, 297; см. также
Продольные волны.
Волны скорость, см. Скорость волны.
Волны ударные 165.
Волны фроит 143.
Вопьтерра интегральные уравнения 837, 838, 851, 900, 919, 922, 923; и
преобразование Лапласа 900.
Вращения координаты и разделимость 605.
Вращения оператор 42, 43; в квантовой механике 93; в спинорной форме 106; для
спиноров 104; как кватернион 79.
Время в квантовой механике 238—245; как параметр 238, 239; соотношение
неопределенности 238; собственное в. 95.
Вронского определитель 496; для вырожденных гипергеометрических функций
574; для радиальных функций Матье 599, 600, 1529, 1530; для сферических
функций Бессепя 1450; для сфероидальных функций 1535; для
тороидальных гармоник 1311; для функций Бессепя 1522; для функций
Вебера 1525; для функций Лежандра 562, 1309; оценка 766.
Всестороннего сжатия модуль 76.
Входной импеданс 273.
Вынужденное движение и преобразование Фурье 130, 1314; струны в. д. 129;
упруго подкрепленной струны в. д. 138.
Вынужденные крутильные колебания бруса 1777.

Вырождение 83, 674, 1443, 1623; и вариационный принцип 686; и эффект Штарка
1626.
Вырожденная гипергеометрическая функция 519—524, 566—580;
асимптотическое поведение 520, 569—573; в. г. ф. второго рода 576 (и
функции третьего рода 51 А; интегральное представление 575, Ы1\ряд
578); и кулоновская волновая функция 592; и полиномы Лагерра 728; и
полиномы Эрмкта 730; и функции Бесселя 579; интегральное представление
567, 569;ряд 520; явление Стокса 571, 573.
Вытянутые сфероидальные координаты 487, 617; и векторное волновое уравнение
1817, 1818; и скалярное волновое уравнение 1466—1475 (разложение
плоской волны 1471; решение 1466; функция Грина 1471); и уравнение
Лапласа 1266—1273 (интегральное представление решений 1270;
потенциал вытянутого полусфероида, помещенного на заземленной
плоскости 1269; потенциал вытянутого сфероида 1268; потенциал
сфероида, помещенного внутрь сферы 1271; сфероид в однородном поле
1267; функция Грина 1272); и уравнение Шредингера для электрона в
двухатомной молекуле 604; разделение переменных 487.
Вычетов теория 386—395, 457.
Вязкой жидкости течение двумерное 1175; и условия Коши—Римана 1176; между
двумя цилиндрами 1212, 1219, 1220; между наклоненными плоскостями
1178; между параллельными плоскостями 1176; через щель 1187, 1733.
Вязкой жидкости течение трехмерное 1731; в круглой трубе 1773
(нестационарное т. 1780); в трубе прямоугольного сечения 1732; за сферой
1744; и закон Стокса 1744.
Вязкость 156—160; и векторное уравнение диффузии 160; и волновое уравнение
157, 158; и трение расширения 156; и число Рейиольдса 1733; коэффициент
в. 156, 157.
Г
Гамильтона канонические уравнения 271; для полей 304; для струны 290, 291; для
уравнения Шредингера 300, 301; для электромагнитного поля 312; и
импеданс 271, 272.
Гамильтона принцип 269; и уравнения Лагранжа 269.
Гамильтона функция 270; зависящая от времени Г. ф. 242—245; и канонические
уравнения 271; и квантовая механика 233—236, 241, 242, 1590; и энергия
270.
Гамильтона—Якоби уравнение 279; и переменные угловая и действия 281; и
уравнение
Шредингера 1104.
Гамма-функция 372, 396—401; аналитическое продолжение 372; бесконечное
произведение 399; и бета-функция 401; интегральное представление 372;
контурные интегралы 397; особые точки 396, 397; производные 399;
рекуррентные соотношения 396; таблица свойств 461, 462; формула
Стирлинга 400, 418; формула удвоения 401.
Ганкеля преобразование 873, 891, 921.

Ганкеля функция второго рода 584; асимптотические формулы 584, 590, 591; и
функция
Весселя первого рода 585; интегральное представление 584.
Ганкеля функция первого рода 583, 584; асимптотические формулы 583, 590, 591;
и функции Бесселя первого рода 585; и функции Грина 762, 763, 766, 767;
интегральное представление 583; сферическая Г. ф. п. р. 582.
Гармоники зональные 1248, 1307, 1431; зональные векторные г. 1825;
секториальные г. 1248; сферические г. 1248, 1431 {векторные с. г. 1824;
Гобсона с. г. 1268;, комплексные с. г. 1431; Феррера с. г. 1268); тессеральные
г. 1248, 1431; тороидальные г. 1283, 1309; эллипсоидальные г. 1287.
Гармонические осцилляторы квантовые связанные 1665.
Гармонический осциллятор квантовый одномерный 236—238, 1592—1595;
возмущения 1600; импульсное представление 1601; собственные функции
238; факторизация уравнения 678; энергетические уровни 237.
Гармонический осциллятор квантовый трехмерный 1613; в однородном поле
1627; импульсное представление 1628.
Гармонический осциллятор классический двумерный 279.
Гаусса теорема 46; для аффиноров 70, 71.
Гегенбауера полиномы 726.
Гегенбауера функции 516—518, 563—566; граничное условие конечности 664,
665; и второе решение уравнения 565; и гипергеометрическая функция 563,
564, 727; и интегральные уравнения 867; и полиномы Чебышева 566; и
присоединенные полиномы Лежандра 564; и сфероидальные функции 541,
601; и факторизация оператора Штурма—Лиувилля 680, 682; и функции
Бесселя 582; и функции Матье 594; производящая функция 564, 726;
собственные значения 682; таблица свойств 726, 727; формула сложения
727; функция плотности 726.
Гейзенберга уравнение движения 90.
Гелий жидкий 1689.
Гелия атом 1679.
Гельмгольца векторное уравнение, см. Векторное уравнение Гельмгольца.
Гельмгольца резонатор, рассеяние на нем 1454.
Гельмгольца скалярное уравнение 125,292, 1339—1541; вариационный принцип
1110— 1112, 1128, ИЗО, 1131; для струны 125; плотность функции
Лагранжа 292; разделимость 470—492, 604, 605; таблица разделяющих
координат 612—622; функция Грниа, см. Грниа функция.
Геометрическая оптика и коротковолиовое приближение 1104.
Геометрия систем координат 478.
Гиббса явление 693.
Гильберта преобразования 352, 874.
Гиперболическая система координат и уравнение Лапласа 1199.
Гиперболические уравнения 635; краевые условия Дирихле 638, 639, 655, 656;
краевые условия Коши 637, 655; краевые условия Неймана 638, 639, 655,

656; нормальная форма 636; разностное уравнение 648, 654; решение 638,
639.
Гиперболические функции 1301.
Гипергеометрическая функция 511—516, 551—557; аналитическое продолжение
514, 546, 554; вырожденные формы 519, см. также Вырожденная
гипергеометрическая функция; дифференциальное уравнение 511;
интегральные представления 545, 551, 552, 554—556, 624—627;
интегральные представления второго решения 555; обобщенная г. ф. 449;
преобразование Эйлера 551; таблица свойств 622—628; уравнение связи 515,
546, 554, 555; формула удвоения 516.
Гипергеометрический ряд 367, 511, 512; поведение на границе круга сходимости
367; представление полиномов Гегенбауера 516, 563, 727; представление
полиномов Чебышева513; представление полиномов Якобж724;
представление функций Лежандра 513, 514, 517, 557, 560, 564;
представление функций этими рядами 513; преобразование Эйлера 376.
Главное значение Коши несобственного интеграла 348, 448.
Главные напряжения 75.
Главные оси аффинора 64.
Главные удлинения 72.
Градиент 40, 52, 115.
Граница естественная и область существования 368.
Границы возмущения 1053—1063, 1159; вариационный принцип 1129; вековой
определитель 1054; для амплитуды рассеяния 1070; для условий Дирихле
1060; для условий Неймана 1053—1060; и интегральное уравнение для
рассеяния 1070; нижние границы для собственных значений 1139, 1142;
приближение Кирхгофа 1073; сходимость 1056, 1061.
Граничные условия, см. Краевые условия.
Граничный адмитанс 1344, 1345.
Граничный импеданс 1345; для векторных волн 1751; для отражения от стенок
трубы 1484; для рассеяния на сфере 1455; металлической поверхности г. и.
1753.
Грниа оператор 815, 843; разложение по собственным функциям 817, 819.
Грниа теорема 745; векторная Г. т. 1708; обобщение 805.
Грниа функция 735—827; в абстрактном векторном пространстве 812—819; для
бесконечной области 762; для векторного волнового уравнения 1728; для
векторного уравнения Гельмгольца 1711, 1717 (в сферических координатах
1803; для волноводов 1758; для неограниченной области 1718; для
резонатора 1782; для упругих колебаний 1722; и неоднородные задачи 1712;
поперечная Г. ф. 1719; продольная Г. ф. 1719; разложение по собственным
функциям 1717); для векторного уравнения Лапласа 1727 (в полярных
координатах 1736; в сферических координатах 1739); для границы 653, 661,
741—743, 749; для неоднородного интегрального уравнения 920; для
разностного уравнения 652 (для границы 653, 661; и случайные блуждания
654; принцип взаимности 653); для скалярного волнового уравнения 772—

792 {граничные условия 772, 773; для бесконечной области 774—785; метод
изображений 785; начальные условия 112,113; принцип взаимности 113;
разложение по собственным функциям 786; таблица свойств 825, 826); для
скалярного уравнения Гелъмголъца 145—772, 820, 821 (в параболических
координатах 1380; в полярных координатах 765, 767, 1348; в прямоугольных
координатах 762, 1343, 1344, 1406," в сферических координатах 820, 1434,
1437; в сфероидальных координатах 1471; в цилиндрических координатах
821, 1482; в эллиптических координатах 1395; граничные условия 751; для
задачи о диафрагме в трубе 1478; для колеблющейся струны 125, 771, 1323,
1326; для круга 1350; для параллельных плоскостей 755; для переменного
адмитанса границы 1345; и неоднородная задача 747—749; и
преобразование Лапласа 1322, 1323; и преобразование Фурье 1340, 1510; и
разложение плоской волны 161; метод изображений 753—757; разложение
по собственным функциям 760—772, 825; таблица свойств 824, 825); для
скалярного уравнения Лапласа 741, 742 (в биполярных координатах 1202; в
вытянутых сфероидальных координатах 1272; в декартовых координатах
1167, 1171, 1240; в круговых цилиндрических координатах 1247; в
параболических координатах 1197, 1279; в полярных координатах 1179; в
сплющенных сфероидальных координатах 1277; в сферических координатах
1256; в тороидальных координатах 1285; в эллиптических координатах
1192; для бесконечной области 762; для неподвижной струны 123; для
параллелепипеда 1242; и интегральная формула Пуассона 755; метод
изображений 753—757); для телеграфного уравнения 801; для уравнения
диффузии 752, 793— 804, 1545, 1550, 1554 (возрастное у. д. 194; для
бесконечной области 795, 796; для неравномерного рассеяния 186; метод
изображений 798; разложение по собственным функциям 799; решение
неоднородной задачи 795; таблица свойств 826, 827); для уравнения
Клениа—Гордона 138, 790; для уравнения Лапласа 741, 824, 1167, 1171,
1179; для уравнения Штурма—Лиувилпя 770; зависимость от собственных
значений 760, 761, 770, 771; и интегральные уравнения 869, 881; и
неоднородные задачи 747; и неэрмнтовы операторы 818; и оператор Грниа
815; и плоские волны 766, 767; и производящие функции 745; и эрмитовы
операторы 817; интегральное представление 392, 761; интегральное
уравнение 823, 845, принцип взаимности 653, 742, 746, 774, 790, 793, 801,
807, 816, 823; природа особенностей 750, 751; разложение по собственным
функциям 760—772, 823, 824; разрывы 743, 744, 747; таблица свойств 826,
827.
Гюйгенса принцип 784.
д
Давление 156, 172, 1175.
Даламбера оператор 100, 202.
Даламбера признак сходимости 365.
Даламбера решение волнового уравнения 781.
Двоякопериодические функции 404.

Двух частиц задача в квантовой механике 1657—1689; ичетность 1670; обмен
частиц 1686; одномерный случай 1657—1666 (и связанные гармонические
осцилляторы 1665; и частично связанные состояния 1661; функцияГрина
1659); рассеяние 1683; рассеяние неупругое 1685; симметризация волновой
функции 1670; трехмерный случай 1666— 1689 (и момент количества
движения 1666—1669; координаты Хиллерааса 1682; связанные, свободные
и поверхностные состояния 1674, 1679; функцияГрина 1676).
Действительная и мнимая части аналитической функции 351; и импеданс 352; и
метод изображений 350; и преобразование Гильберта 352.
Действия интеграл 278; и уравнение Гамильтона—Якоби 279.
Действия переменная 281; и момент количества движения 281; и угловая
переменная 281.
Декартовы координаты в пространстве 1240; и уравнение Лапласа 1167;
конформное преобразование к полярным коордниатам 1211; потенциал
между двумя плоскостями 1167; поток тепла внутри призмы 116% функция
Грниа 1167; 1171, 1240, 1242; см. также Прямоугольные координаты.
Деление и диффузия 1552—1560.
Дельта-функция Дирака, см. Дирака дельта-функция.
Деформация 71, 72; для волн в упругой среде 147; однородная д. 73; связь с
напряжением 75.
Деформирование контура интегрирования 346.
Диагональные матрицы 722.
Диагональные ядра 880, 881, 890.
Диафрагма в трубе круглого сечения, аппроксимация 1480; вариационный метод
1479; звуковые волны 1477; интегральное уравнение 1479; коэффициент
прохождения 1478.
Диафрагма в трубе прямоугольного сечения 1414.
Дивергенция 43; тензорное обозначение 57.
Динамика, см. Классическая динамика.
Диполн 1258; излучение д. 1445; магнитные д. 1797 (и индуцированные токи
1814; излучением, д. 1797, 1807, 1808; индуцированныем. д. 1814);
электрические д. 1798 (и индуцированные токи 1814; излучение а. д. 1798,
1806, 1808; индуцированные э. д. 1813).
Дирака дельта-функция 122, 232, 754; в обобщенных координатах 769; в
полярных координатах 765; и нормировка собственных функций 709;
производная д. ф. 775, 777; разложение по собственным функциям 668, 677.
Дирака уравнение 250—254, 318, 319; и преобразование Лореица252; и спиновые
операторы 250; и уравнение Лагранжа—Эйлера 319; интенсивность поля
319; плотность заряда и тока 251,319; плотность функции Лагранжа 318;
плотность энергии 319; полный момент количества движения 253; решение
типа плоской волны 254; таблица 328; тензор напряжений-энергий 319.
Дирихле краевые условия 471, 633, 659, 748, 809; вариационный принцип 1111,
1128; н гиперболические уравнения 638, 640, 656; н граничные возмущения

1044, 1060; и эллиптические уравнения 648, 654; метод изображений 753;
функции Грниа 747, 748.
Диск, рассеяние на нем 1483.
Диск колеблющийся, акустический импеданс 1476; излучение 1475.
Дисперсия и уравнение Клейиа—Гордона 138, 139; д. электромагнитных; волн в
волноводах 1756.
Диссипативные системы 284—288; вариационный принцип 285; и уравнение
диффузии 298; импеданс 285—288.
Дифференциальное поперечное сечение рассеяния 1065, 1654.
Дифференциальные уравнения с частными производными теоретической физики
119—263.
Диффракция, методы теории возмущений 1072—1104; на крае экрана 1362,1381
(интегральное уравнение 832); на отверстии в плоскости 1482; нащелн 1403;
Фраунгофера д. 820; Френеля д. 1362.
Диффузии уравнение 136, 168—195, 1542—1561; вариационный принцип 298,
299; векторное д. у. 160, 1749; для неизотропного рассеяния 185, 186; для
частиц 1549—1560; и возрастное уравнение 1556; и параболические
уравнения 170; метод изображений 798, 1545; неоднородное д. у. 795;
плотность функции Лагранжа 298; принцип взаимности 793; функция Грниа,
см. Грниа функция.
Диффузия 168—195, 1542—1561; действие внешних сил 190; и возрастной
параметр 1556; и деление 1552—1560; и конформное отображение 1207; и
уравнение непрерывности 169; и функция распределения 170; нейтронов д.
169, 1552—1560, 1568—1590; постоянная д. 170; светад. 177.
Диффузная эмиссия 1572; и преобразование Лапласа 1578.
Диффузное отражение 1573.
Диэлектрик, граничные условия на поверхности 210.
Диэлектрическая постоянная 196.
Длинноволновое приближение 1083, 1084; для излучения 1352,1805; для
рассеяния 1357, 1402, 1450, 1792, 1811; для уравнения Шредингера 1086,
1635 (и длина рассеяния 1085, 1087; и эффективный радиус взаимодействия
1090); сходимость 1089.
Добротность электромагнитного резонатора 1783, 1784, 1800.
Дозвуковой поток 162.
Е
Единичная ступенчатая функция 122, 778; интегральное представление 392.
Единичного сдвига оператор 131.
Единичный аффниор, или идемфактор 63.
Емкость в триоде 1221; вариационный принцип 1106; е. вытянутого
полусфероида, помещенного на заземленной плоскости 1269; е. вытянутого
сфероида 1267; о. двух цилиндров 1200; е. пары длинных пол ос 1231; е.
пары эксцентричных сфер 1255; е. переменного конденсатора 1232; с.
проволоки вблизи заземленной плоскости 1173; е. проволоки внутри
эллиптического цилиндра 1192; е. проволоки между двумя заземленными

плоскостями 1226; е. системы сетка—плоскость 1223; е. сферы вблизи
заземленной плоскости 1281; е. эллипсоида 1288, 1289; эквивалентная е. для
звуковых волн в трубах 1334.
Естественная граница функции 368.
3
Зависимость операторов от времени 88, 240, 241.
Зависящая от времени функция Гамильтона 242.
Зависящее от времени уравнение Шредингера 242.
Замедление частиц 192, 1556—1559, 1583—1590.
Закрепление струны нежесткое 1324; подвижное з. с. 1338.
Запаздывающий потенциал 201, 778, 808.
Заряд, поле движущегося з. 206, 778, 779; сила, действующая на з. 199; функция
Лагранжа для з. 282.
Затухание в волноводах 1762, 1763; в трубах 1413.
Звуковые волны в трубах 1328—1336; 1411—1430; вариационный принцип 1125,
1479;
затухание 1413; и конформное отображение 1418; излучение из конца трубы 1424,
1490—1498; интегральное уравнение 1479; т. изогнутая 1418; т. облицованная
1484;
т. переменного поперечного сечения 1331; т. с диафрагмой 1414, 1477; т. с
мембраной
1422; т. с упругими стенками 1428.
Зональные векторные гармоники, таблица свойств 1825.
Зональные гармоники 1248; таблица значений 1845; таблица свойств 1307.
И
Идемфактор, или единичный аффниор 63.
Излучение звуковое диполя 1445; из открытого конца трубы 1424, 1490; импеданс
и. 831; колеблющегося диска 1475; колеблющейся полосы 1396; кругового
цилиндра 1351; поршня, являющегося частью сферы 1447; реактнаное
сопротналение и. 1370, 1398, 1400; системы источников 1446; случай
длинных волн 1352, 1444; случай коротких волн 1353, 1445, 1497, 1498;
сопротналение и. 1370, 1398, 1400; сферы 1444.
Излучение электромагнитное мультиполой 1796, 1805, 1808; петли тока 1809;
полуволновой антенны 1808; тока, текущего по полосе 1399; токов 1803.
Изменение формы волны 143, 640, 641, 781—784.
Измерение в квантовой механике 223; и вероятность 224; и операторы 224.
Изображений метод 753—757; для концентрических цилиндров 1227, 1228; для
параллельных плоскостей 755—757, 1226; для прямоугольной призмы 1228;
для сферы 1258, 1297, 1298; для уравнения диффузии 793, 1545, 1550; для
условий Дирихле 753; для условий Неймана 754; для цилиндра 1220; и
аналитические функции 350, 351; и биполярные координаты 1171; и
интегральная формула Пуассона 353, 755; и краевые условия 639; и
параболические координаты 1198; н полярные координаты 1179; н функция
Грниа 753—757, 785; и эллиптические функции 1226.

Изотропная упругая среда 306, 327.
Изотропное рассеяние, интегральное уравнение 1571.
Импеданс акустический 296, 1328, 1329, 1345 (для резонатора Гелъмголъца 1457);
аффниор и. 273, 317 (для векторных волн 1751; дляупругой среды 308, 309);
волновой и. 128, 139; входной и. 273 (для волновода 1762); главные значения
и. 273; граничный и. 1344, 1751, 1753 (для облицованной трубы 1484; для
рассеяния на сфере 1454); и аналитические функции 352; и канонические
уравнения 272, 273; и реактанс 287; и резистанс 287; и резонансные частоты
274; излучения и. 831; излучения диполей и. 1798; механический и. 128, 129;
переносный и. 273; поля и. 1369; поперечный механический и. 129 (га. м. и.
стенок трубы 1429); среды и. 149; точки приложения силы и. 130;
характеристический и. 214 (для диссипативных систем 285—288);
эквивалентный и. для волн в трубе 1333; эффективный и. 1417 (для
клистрона 1792; для колеблющейся сферы 1446; для колена трубы 1421; для
мембраны в трубе 1424; для отверстия в резонатор Гельмголъца 1457; для
поперечно-магнитной волны \1Ъ1, 1758, 1767; для поперечно-электрической
волны 1757, 1758, 1767; для преграды в прямоугольной трубе 1417; для
сферического поршня 1448, 1449).
Импульс 270; волновой и. 292 (для звуковой волны 297; для колеблющейся струны
292; для уравнения Шредингера 301); и функция Гамильтона 271; плотность
и., см. Плотность импульса; оператор и. 82, 224 (и координатный оператор
233); сопряженный и. 222; средний и. 172; 4-вектор и. 99.
Импульсная функция 1318; для волн в трубе 1330; для волн внутри круговой
области 1350; для струны с нежестким закреплением 1326; для струны в
упругой среде 1323; и функция Грниа 1322.
Инвариантность 16, 44, 53, 54, 61, 97; в классической механике 277, 278;
калибровочная и. 201, 204—206; Лореицаи. 97.
Инверсия и четность 1670.
Инверсия относительно окружности 427, 428; относительно сферы 1297, 1»298.
Индукция магнитная 197; электрическая 196.
Инерции коэффициент и эффективная масса 1276.
Интеграл потока вектора 27, 43.
Интеграл циркуляции 29.
Интегралы, вычисление при помощи вычетов 386; и. от функций, имеющих точки
ветвления 388, 447; криволинейные и. 28; поверхностные и. 26.
Интегральная показательная функция 411; обобщенная и. п. ф. 1571, 1572.
Интегральные представления 542—604; вырожденной гипергеометрической
функции 567, 627; гипергеометрической функции 545, 552, 554—556, 624,
625; решений векторного уравнения 1795; решений волнового уравнения
146 (в сферических координатах 1435; в сфероидальных координатах 1469);
решений дифференциальных уравнений 542— 604 (и преобразование Эйлера
549; и сопряженный оператор 548; и степенные ряды 543; и
функциональные ряды 541; модуляционный множитель 547; таблица 624,
625, 627; ядро 546—549); решений уравнения Лапласа 246 (в вытянутых

сфероидальных координатах 1270; в круговых гщлиндрических координатах
1246; в параболических координатах 1278; в сплющенных сфероидальных
координатах 1276; в сферических координатах 1253; и функгщи Лежандра
1257); сферических функций Бесселя 582; сфероидальных функций 1469;
функций Бесселя 580, 581; функций Ганкеля 583, 584; функций Лежандра
557—560; функций Матье 593.
Интегральные уравнения 828—923; в абстрактном векторном пространстве 838,
839; вариационный принцип 843, 844, 1117; Вольтерра и. у. 837, 851, 900;
для амплитуды рассеяния 1076; для излучения 1501; для излучения из
круглой трубы 1490; для распространения волн в трубах 1479,1484; для
рассеяния 1068, 1071 (Варна приближение 1072; граничные возмущения
1070; ряд Фредголъма 1077); для уравнения Шредингера 1070; и
преобразование Лапласа 873, 900; и преобразование Меллина 871, 873, 904;
и преобразование Фурье 871, 888—919; метод Вниера—Хопфа 906—919;
Милиаи. у. 179,913—917, 1572, 1577—1581; общие свойства 838—855;
проблемы моментов и. у. 876; собственных функций и. у. 834; сопряженные
и. у. 848, 850; таблица свойств 919—923; Фредгольма и. у. второго рода 836,
879—888; Фредгольма и. у. первого рода 837, 856—879; функций Матье и. у.
593; функций распределения и. у. 1571, 1572 (для диффузной эмиссии и
отражения \11—179, 1574, 1576; и уравнение Мита, 179, 913—917, 1572,
1577); эллипсоидальных гармоник и. у. 1289,
Интегрирование в комплексной плоскости 342; и теория вычетов 386; теорема
Коши 344; теорема Морера 347; формула Коши 348.
Интегрирующий множитель и сопряженные уравнения 498.
Интенснаность звуковойволны 1352.
Интенснаность поля 305; для жидкости 295, 297, 326; для струны 125. 126, 291,
325; для упругой среды 149, 306, 309, 327; для уравнения Дирака 319, 328;
для уравнения диффузии 326; для уравнения Клейиа—Гордона 302, 327 для
уравнения Шредингера 301, 326; таблицы 325—328; электромагнитного
поля и, см. Пойнтинга вектор.
Иррегулярная особая точка 505, 507; уравнения с и. о. т. 507, 518, 523; см. также
Особые точки дифференциальных уравнений.
Источник 27; мощность и. 27; несжимаемой жидкости и. 154; подвижный и. 206,
778.
Итерации 1133.
Итерационио-пертурбационный метод 1006—1015; в абстрактном векторном
пространстве 1022; для неортогональных функций 1037; для рассеяния, см.
Борна приближение; для уравнения Матье 1013; и вариационный метод
1116; модифицированный и.-п. м. 1036; сходимость 1011, 1023, 1029;
таблица 1156.
Итерированные ядра 846, 347.
К
Кавитация 158.
Калибровочная инвариантность 201.

Калибровочное преобразование 204—206.
Канонические формы дифференциальных уравнений, таблица 622—628.
Канонического импульса плотность 311, 326, 327.
Каноническое преобразование 89, 274; и интеграл действия 277; и сопряженные
переменные 275.
Квадруполн электрические 1258; излучение к. э. 1798, 1806, 1808.
Квантовая механика 215—254; вероятность в к. м. 83, 84, 224; время в к. м. 238,
239, 242; и абстрактное векторное пространство 82, 223 и ел.; и классическая
механика 215, 279; измерение в к. м. 223, 224; инвариантность относительно
преобразования Лореица 246; момент количества движения 1611,1668;
наблюдаемые величины в к. м. 82, 83; независимые переменные 225;
операторы 82, 224; операторы вращения 93; постоянная Планка 217; правила
коммутации 229; принцип соответствия 241; пространство импульсов, см.
Пространство импульсов; свободные состояния 1602, 1674; система двух
частиц, см. Двух частиц задача; системы нескольких частиц 1666— 1689;
скобки Пуассона 222; соотношение неопределенности 83, 90; 220;
соотношения де Бройля 218; средние значения 224, 1591; уравнение
Шредингера 233; уравнение Шредингера, зависящее от времени 242;
функции преобразования 228; центральные поля, см. Центральные поля в
квантовой механике; экспоненциальный потенциал, см. Экспоненциальный
потенциал в квантовой механике.
Кватернионы 77, 92, 106; верзор 79; обратный к. 93; оператор вращения 79; тензор
79.
Кинетическая энергия жидкости 293; струны к. э. 125; полная к. э. 172.
Кинетический потенциал 269.
Кирхгофа приближение 1072, 1073; сходимость 1073.
Классификация дифференциальных уравнений 505.
Классификация функций комплексного переменного 360.
Классическая динамика 268—288; диссипативные системы 284; для
релятивистских частиц 284; и квантовая механика 215,216,279;
канонические преобразования 274; принцип Гамильтона 269; скобки
Пуассона 277; сопряженные переменные 275; угловые переменные и
переменные действия 281; уравнение Гамильтона—Якоби 279; уравнения
Лагранжа 269; функция Лагранжа 269.
Классические точки поворота 1091, 1093, 1101.
Клейиа—Гордона уравнение 137, 301,1323; и диспергирующая среда 139; и
квантовая механика 247; и уравнение Прока 214, 215; импульсная функция
1323; плотность импульса поля 302; плотность тока и заряда 302; плотность
функции Лагранжа 301; плотность энергии 302; принцип взаимности 790;
функция Грниа 138, 790—792, 1323.
Клистрон 1789; резонансные частоты 1792; эффективный импеданс 1792.
Ковариантная производная 55.
Коварнантный вектор 39, 52.
Ковариантный тензор 53, 61.

Когерентное рассеяние 1460.
Колебания, см. Векторное волновое уравнение, Векторное уравнение
Гельмгольца, Волновое уравнение, Гельмгольца уравнение, Мембрана,
Струна.
Коммутационные правила в квантовой механике 229; и наблюдаемые величины
82; и принцип соответствия 241.
Комплексно сопряжениая величина 77, 332.
Комплексного переменного функции, см. Функции комплексного переменного.
Комплексное векторное пространство 84; см. также Абстрактное векторное
пространство.
Комплексные числа 332; и векторы 332, 333; как операторы 77.
Конгруэнтные точки для двоякопериодических функций 404.
Конденсатор с параллельными пластинами 1230; переменный к. 1232.
Коидуктанс, или активная проводимость 287.
Конические координаты 616.
Константы движения, классические и квантовые 241.
Контактные преобразования 275.
Коитравариантный вектор 39, 52.
Коитравариантный тензор 53, 61.
Контур в методе перевала 415; гладкий к. 343; деформация к. 346.
Контурные интегралы 342; и электростатика 335,
Конформное отображение 339, 419—428, 1732; и волны в трубах 1418; и
разделение переменных 474; и уравнение Лапласа 1166; 1204; и
электростатика 419; метод инверсии 427; многоугольника к. о. 420; формула
Шварца—Кристоффеля 420, 1229.
Концентрации точка и геометрия систем координат 479; и конформное
отображение 474.
Координат преобразование 16, 34.
Координатные системы разделяющие 470—495, 604—606; таблица 612—622.
Координатный оператор 227; и оператор импульса 229, 233; собственные векторы
Координаты в связи с волновым уравнением параболические 1373; полярные
1348; прямоугольные 1343; сферические 1430; сфероидальные 1466, 1475;
эллиптические 1382.
Координаты в связи с уравнением Лапласа биполярные 1199; декартовы 1167;
круговые цилиндрические 1243; параболические 1197; полярные 1174;
эллиптические 1185
Коротковолновое приближение для излучения 1353, 1436, 1437, 1445, 1497, 1498;
для рассеяния 1090, 1100, 1103, 1357, 1450, 1511; для уравнения Шредингера
1090— 1104; и геометрическая оптика 1104; и преобраз ование Маджн 1512;
см. также Веицеля—Крамерса—Бриллюэяа—Д жеффриза метод.
Короткодействующие силы 1595.
Косинус-преобразование Фурье 431.
Кососимметрический аффниор 66.

Кошизадача471, 633; и гиперболические уравнения 637, 655; и параболические
уравнения 657; и характеристики 634; и эллиптические уравнения 643, 654.
Коши интегральная формула 347, 348; и производные аналитической функции
355.
Коши—Римана условия 338, 1176; и конформное отображение 340; и особенности
аналитических функций 339; и течение жидкости 153; и электростатика 334.
Коши теорема 344; и деформирование контура 346; и многосвязные области 345;
и формула Коши 347; и электростатика 335; следствия 346.
Краевые условия 631—658; вариационные принципы 1110; Дирихле к. у., см.
Дирихле краевые условия; для векторных полей 1703, 1709, 1751; для
гиперболического уравнения 637, 639, 640, 655; для параболического
уравнения 644; 645, 657; для поперечно-магнитных волн 1757, 1758; для
поперечно-электрических волн 1755; для рассеяния 1064; для течения
жидкости 154; для функций Грниа 741, 751, 752, 772; для эллиптического
уравнения 642, 643, 648, 650, 654; и константы разделения 481; и
поверхностные заряды 738; и разделимость 1705; и собственные функции
652, 661, 662; и типы уравнений 631, 657, 658; конечности к. у. 663, 664;
Коши к. у., см. Коши задача; Неймана к. у., см. Неймана краевые условия;
неоднородные к. у. 634; непрерывности к. у. 663; однородные к. у. 633, 736
(и собственные функции 663); периодичности к. у. 663; сопряженные к. у.
808; типы к. у. 632 (и собственные функции 661).
Краевых условий возмущения 1041—1053, 1158; вариационный принцип 1128;
вековой определитель 1042, 1046; пример 1048.
Край экрана, диффракция Френеля на к. э. 1362, 1382.
Кривизна координатных линий 35, 54.
Криволинейные интегралы 28; см. также Интегрирование в комплексной
плоскости.
Криволинейные координаты 31—40; и поперечное поле 1706; и упругие волны
1773; и упругие напряжения 1774; таблица свойств 116; см. также
Ортогональные координаты.
Кристоффеля символы 54.
Критическая частота 1413.
Кронекера символ 33.
Круг сходимости 356.
Круглая труба, излучение из конца 1490; мембрана внутри к. т. 1422.
Круговой цилиндр, волны внутри к. ц. 1350; излучение к. ц. 1351.
Круговые цилиндрические координаты и векторное волновое уравнение 1734
(аффинерная функцияГрина 1736; векторные собственные функции 1735;
поле петли тока 1736; упругие волны в брусе 1775); и волновое уравнение
1422 (мембрана в трубе 1422; рассеяние на цилиндре со щелью 1363, 1367;
упругаятруба 1328); и уравнение Лапласа 1243 (и функции Бесселя 1243;
поток жидкости в цилиндре 1245; поток тепла в цилиндре 1243; функция
Грина 1247); разделение переменных 487 (таблица 614).
Крутильные колебания бруса вынужденные 1777.

Крутильный адмитанс 1777.
Кулоновские волновые функции 518, 521, 592, 1615; асимптотическое поведение
593, 1615; в импульсном представлении 1628; второе решение 593; и
вырожденная гипергеометрическая функция 592; и параболические
координаты 1617; и энергетические уровни атома водорода 592, 1615;
формула Резерфорда 1619; эффект Штарка 1626.
Л
Лагерра полиномы 728; и интегральные уравнения 867; и кулоновскнй потенциал
1615, 1618; и метод факторизации 733; и трехмерный осциллятор 1613;
интегральное уравнение 835; присоединенные Л. п. 728; таблица 728.
Лагранжа множители 267.
Лагранжа функции плотность 265, 303; для векторных полей 303; для волнового
уравнения 290, 294, 326; для струны 289, 325; для течения жидкости 293,
326; для упругой изотропной среды 306, 327; для упругой неизотропной
среды 308, 327; для уравнения Дирака 318, 328; для уравнения диффузии
298, 326; для уравнения Клейна— Гордона 301, 326; для уравнения Лапласа
293; для уравнения Шредингера 299; для уравнения Эйлера 289, 324: для
электромагнитного поля 311, 328; инвариантность 321; таблица 324—328.
Лагранжа функция 221. 269; для диссипативных систем 286; для заряженной
частицы 281; для релятивистской частицы 284; и количество движения 270;
и принцип Гамильтоив 269; и сопряженные переменные 221, 222; и
уравнения движения Лагранжа 269.
Лагранжа—Эйлера уравнение 265—268, 303, 324.
Ламе коэффициенты 34, 478; и точки концентрации 479.
Ламе уравнение 606; и уравнение Лапласа 1286; и эллипсоидальные гармоники
1287.
Лапласа оператор 17; в криволинейных координатах 116, 117, 320; для векторов
58, 116, 117.
Лапласа преобразование 443; и вынужденные колебания 1319; и диффузия 1553—
1559; и интегральные представления 549, 568, 594; и интегральные
уравнения 873, 921; и неортогональные собственные функции 1327; и
уравнение Вольтерра 900; и функции распределения 1578; таблица 1536;
таблица свойств 460; теорема о свертке 444, 460; формула обращения 443.
Лапласа уравнение 18, 1167—1311; в биполярных координатах 1199; в
бисферических координатах 495; 1279; в вытянутых сфероидальных
координатах 1266; в гиперболических координатах 1199; в двух измерениях
1166—1237; в декартовых координатах 660, 1166, 1240; в круговых
цилиндрических координатах 1243; в параболических координатах 1197,
1277; в полярных координатах 1174; в сплющенных сфероидальных
координатах 1273; в сферических координатах, см. Сферические
координаты; в тороидальных координатах 495, 1282; в трех измерениях
1237—1289; в эллипсоидальных координатах 1285; в эллиптических
координатах 1185; вариационный принцип 1106; векторное Л. у., см.
зное уравнение Лапласа; граничные условия Дирихле 654; граничные

условия Неймана 654; и комплексные переменные 1204; 1237; и конформное
отображение 1166, 1205, 1228—1237; и функции Бесселя 1243; плотность
функции Лагранжа 293; принцип максимума 18, 654; разделимость в двух
измерениях 474; разделимость в трех измерениях 491, 492; разностное
уравнение 647; течение несжимаемой жидкости 153; функция Грниа, см.
Грниа функция.
Лежандра полиномы 518, 695, 697; и ортогонализация 724; и полиномы
Гегенбауера 726; интегральное уравнение 835; нормировка 698; полнота 538;
производные 564; производящая функция 560, 695; разложение
сфероидальных функций 539, 1467; рекуррентные формулы 696, 726;
таблица значений 697; таблица формул 727, 1306— 1308; -формулы 696,
697.
Лежандра уравнение 557; определитель Вронского 562; решение второго рода
514, 560; решение первого рода 514, 559.
Лежандра функции 514; асимптотическое поведение 559; и гармоники 1248; и
мультиполн 1258; и уравнение Лапласа 1247, 1248; интегральное
представление 559, 560, 1257; как гипергеометрические функции 559;
мнимого аргумента Л. ф. 1273, 1309; обобщенные Л. ф. 517; определитель
Вронского 562; таблицы значений 1845—1847, 1852; таблицы формул
1306—1311; теорема сложения 1257.
Лежандра функции второго рода 514, 610; асимптотическое поведение 561; и
гипергеометрическая функция 561; и полиномы Лежандра 699; интегральное
представление 560; определитель Вронского 562; производящая функция
699; рекуррентные соотношения 563; таблица значений 1846—1848; таблица
формул 1308, 1309.
Лежандра функции присоединенные 517, 564; для полиномов 564; и второе
решение 565; и гипергеометрическая функция 564; граничные условия
конечности 665; и полиномы Чебышева 566; и собственные значения 682; и
сферические гармоники Гобсона 1268; и сферические гармоники Феррера
1268; и тессеральные гармоники 517; и уравнение Лапласа 1247, 1248, 1267,
1273, 1280; и функции Гегенбауера 726; нормировка 727; полуцелого
порядка .Л. ф. п. 1283; производные 564; рекуррентные формулы 684, 726;
таблица значений 727; таблица формул 1306—1311; теорема сложения 727;
формула связи 565; функция плотности 726.
Линейные дифференциальные уравнения 468.
Линейные источники, поля, создаваемые ими 1218; двумерная система л. и. 1224;
л. и. ив окружности 1220; одномерная система л. и. 1222.
Линии ветвления, см. Ветвления линии.
Линии передачи 211; характеристический импеданс 214.
Линии тока 22.
Лиувилля теорема 360.
Лиувилля уравнение, см. Штурма—Лиувилля уравнение.
Лорана ряд 357; и изолированные особые точки 359; и мультишши 359.

Лоренца преобразование 96—101; для магнитных полей 204; для спиноров 103;
для электрических полей 204; и движение релятивистской частицы 284; и
калибровочное преобразование 204; и уравнение Дирака 252; и уравнение
Клейна—Гордона 247; и 4-вектор тока 202; и четырехмерный векторный
потенциал 202; и электромагнитное поле 202.
Лоренц-инаариантность 97; в квантовой механике 246, 247; для
электромагнитного поля 202; и уравнение Клейна—Гордона 247; оператора
Даламбера Л.-и. 202; плотности функции Лагранжа Л.-и. 321.
М
Магнитная индукция 197.
Магнитная проницаемость 197.
Магнитное поле 197; векторный потенциал 198; вращающегося заряженного шара
м. п. 1741; и векторное уравнение Лапласа 1730, 1731; и токи 197, 198, 1736,
1741; магнитная индукция и проницаемость 197; преобразование Лоренца
204.
Магнитные диполн индуцированные 1813; излучение м. д. 1797, 1807.
Магнитные мультштолн, излучение 1799, 1807, 1808.
Магнитные силовые линии 1172.
Магнитный потенциал 1172, 1188, 1189, 1193, 1195; вне двух цилиндров 1203; и
конформное отображение 1207; м. п. линейных источников 1218, 1220, 1224;
м. п. провода в прорези 1214; м. п. токов 1249.
Магнитостатика, см. Магнитное полз, Магнитный потенциал.
Маджн преобразование 1512.
Максвелла уравнения 199.
Малый объект внутри проводящей сферы, рассеяние на нем 1814.
Масса эффективная для диафрагмы в круглой трубе 1276; для диафрагмы в трубе
прямоугольного сечения 1417.
Массы поток 168.
Матрицы и операторы 716; диагональные м. 722.
Матричные элементы 1599.
Матричных сумм правило 1686.
Матье функции 523—535, 593—601, 1383—1395; и волновое уравнение 1383—
1404; и непрерывные дроби 525, 532; и определитель Хилла 527; и ряды
Фурье 524; и функции Эрмита 1391; и эллиптические интегралы 1389; и
эллиптические функции 1392; интегральное уравнение 593, 594; нечетные
М. ф. 530—532; нормировка 531; определитель Вронского 534;
периодические М. ф. 530, 538, 539; приближения 1386—1393 (вариационно-
итерационное п. 1033; WKBJ. 1388; итерационно-пертурбационное п. 1013;
Финбергап. 1021; Фредголъмап. 1028); радиальные второго рода М. ф. 533,
595, 599, 1385, 1386 (асимптотическое поведение 1386; значения и
производные 599, 600; определитель Вронского 600; приближения 1388;
разложение в произведение 599; разложение по функциям] Неймана 595;
таблица .формул 1526—1531); радиальные первого рода М. ф. 595, 599,1385
(асимптотическое поведение 1385; значения и производные 599, 600; и

волновое уравнение 1385; приближения 1388; разложение в произведение
599;разложение по функщям Бесселя 595; таблица формул 1526—1531);
радиальные третьего родаМ. ф. 601; разложение в произведение 598;
рекурсивные формулы 524; собственные значения 524; таблица значений
1859—1862; таблитта формул 628, 1526-1531; четные М. ф. 530, 531.
Маха линии 163; и ударные волны 165.
Маха угол 163, 166.
Маха число 162.
Медленные частицы, рассеяние 1636.
Меллина преобразование 444; и нтегральные представления 549; и интегральные
уравнения 873, 905, 921; и преобразование Фурье 445; таблица 460; теорема
о свертке 446, 460.
Мембрана в круглой трубе, прохождение звуковых волн 1422.
Мембраны колебания, вариационио-нтерационный метод 1143; вариационный
принцип 325, 1112; нестационарные м. к. 788; прямоугольной м. к. 701;
треугольнойм. к. 701; эллиптическойм. к. 703.
Мероморфные функции 361, 456; 457; разложение на элементарные дроби 362.
Механика, см. Квантовая механика, Классическая механика.
Механический импеданс 129.
Мплна уравнение 179, 183,913, 1571, 1572; вариационный метод 1581; метод
Вниера—Хопфа 913—917, 1578—1581.
Минимакс 415.
Минимизированных итераций метод 1149; трехчленная рекуррентная формула
1150.
Мировая линия 96.
Многозначные функции 376—385; аналитическое продолжение 370; линии
ветвления 377; точки ветвления 370, 377.
Многосвязные области 343; теорема Коши 345.
Многоугольника отображение 420; ограниченного дугами окружностей м. о. 427;
см. также Шварца—Кристоффеля формула.
Модуль всестороннего сжатия 76.
Модуль сжатия 160.
Модуль эллиптической функции 409.
Модуляционный множитель для гипергеометрического уравнения 551; для
интегрального представления 547; для преобразования Эйлера 551; при
разделении переменных 492.
Момент ниерции 62.
Момент количества движения 281; в квантовой механике 1612; для нескольких
частиц 1668; оператор м. к. д. 91; плотность м. к. д. 305, 306, 325; плотность
м. к. д. для электромагнитного поля 314; полный м. к. д. для уравнения
Дирака 253.
Моментов проблема 876.
Моменты функции распределения 1569.
Мощность источника 27.

Мупьтипопн 1258—1264; излучение м. 1798, 1799, 1805—1808.
Н
Набла-оператор 18, 40—53; таблица 115, 116.
Наблюдаемые величины в квантовой механике 83.
Навье—Стокса уравнение 158.
Нагревание излучением 1546.
Направляющие косинусы 32.
Напряжений функция 1726; уравнения совместности 1726.
Напряжений-энергий тензор 100, 291, 304, 324; для векторного поля 304; для
звуковых волн 297,325; для струны 291; для упругой среды 306, 309; для
уравнения Дирака 319; для уравнения Клейиа—Гордона 302; для уравнения
Шредингера 300; и волновой импульс 292; и интенсивность поля 305; и
плотность импульса поля 305; и теоремы сохранения 291; симметризация
321.
Напряжения 74; в жидкостях 155; в колеблющемся шаре 1745, 1747; волновые н.
292; выражения для н. в круговых цилиндрических координатах 1735;
выражения для н. в сферических координатах 1742,1743; выражения для н. в
цилиндрических координатах 1744; главные н. 75; для упругих волн 147,
1750; и бигармоническое уравнение 1725, 1726; н. на поверхности цилиндра
1775; н. на поверхности шара 1745, 1747; 1801; растягивающие н. 75; связь с
деформацией 75; срезывающие н. 75.
Начальная задача для скалярного волнового уравнения 781—784 {двумерная н. з.
782; решение Даламбера 781; решение Пуассона 784); для телеграфного
уравнения 803, 804.
Не положительно определенные операторы 840, 847—852; вариационио-
нтерационный метод 1144—1149.
Независимые решения дифференциальных уравнений 496.
Неизотропная упругая среда 77, 308, 327.
Неймана краевые условия 471, 657, 809; вариационный принцип 1110, 1111, 1128;
для гиперболического уравнения 638—640; для параболического уравнения
657; для эллиптического уравнения 650, 654; и граничные возмущения 1041,
1060; метод изображений 754; функция Грниа 748, 749.
Неймана множитель 691.
Неймана полиномы 864.
Неймана ряды 864.
Неймана функции 585—591; асимптотическая формула 586 {для Н. ф. высших
порядков 590); и вырожденная гипергеометрическая функция 585; и
радиальная функция Матье второго рода 595, 1385; 1386; и функции Ганкепя
585; разложение в ряд 587, 1303; сферические Н. ф. 582, 1433
{асимптотическое поведение 1433; и радиальные сфероидальные функции
1470;ряды 1433; таблица значений 1851; таблица свойств 1531—1534);
таблица значений 1849; таблица свойств 1302—1306, 1522—1524; см. также
Бесселя функции, Ганкепя функции.

Нейтронов диффузия 169, 1552—1560, 1568—1590; замедление н. 1552, 1556;
запаздывание н. 1552; постоянная диффузии 170; см. также Возрастная
теория, Мил на уравнение.
Иекогерентное излучение 1460, 1461.
Неоднородное векторное уравнение Гельмгольца 1711.
Неоднородные дифференциальные уравнения с частными производными 736:
решение 747—749, 774, 795.
Неоднородные интегральные уравнения Фредгольма 887, 920; и преобразование
Лапласа 900; и преобразование Меллина 905; и преобразование Фурье 892—
894; метод Вниера—Хопфа917, 918.
Неоднородные краевые условия 633, 634.
Неоднородные обыкновенные дифференциальные уравнения 469; вариационный
принцип 1108, 1109; решение 500.
Неопред елейности соотношение в квантовой теории 83, 90, 220; для
гармонического осциллятора 238; для сопряженных переменных 222, 223;
для энергии и времени 238 239.
Неопределенные ядра 836, 847.
Неортогоиальные собственные функции 1325, 1343; метод возмущений 1036—
1040.
Непрерывное распределение собственных значений 780—711; для уравнения
Шредпнгера 712—714.
Непрерывности уравнение 101; для потока жидкости 151; для тензора
напряжений-энергий 295, 304; для уравнения Шредингера 1591; для
функции распределения 172; для частиц 1568, 1569; и диффузия 169.
Непрерывные дроби 525.
Неравенствавариационио-нтерациониого метода 1134, 1135; Бесселян. 85;
Шварца н. 85.
Несжимаемой вязкой жидкости течение 158.
Несжимаемой жидкости течение 150, 151; источники и стоки 151, 159; уравнение
Бериулли 158; уравнение Лапласа 153.
Несущая кривая 632.
Неупругое рассеяние 1685.
Неустановившиеся малые колебания мембраны 788.
Неустановившийся процесс нагревания пластины 1543, 1547.
Неэрмитовы операторы 818.
Нормальная форма гиперболического уравнения 636; н. ф. параболического
уравнения 644; н. ф. эллиптического уравнения 642.
Нормальные формы колебаний идеализированной весомой струны 133.
Нормальные координаты 80.
Нормальный акустической импеданс 296.
Нормировка 677; вычисление нормирующего множителя 1055; н. полиномов
Гегенбауера 727; н. полиномов Лагерра 728; н. полиномов Лежандра 698; н.
полиномов Эрмита 730; и. при непрерывном спектре собственных: значений

231, 709; н. собственных векторов 228; н. собственных функций 677, 709; н.
функций Матье 531, 1384 (таблица 1861, 1862).
Нули эллиптических функций 405; н. функций Бесселя 1523, 1524, 1534.
О
Область многосвязная 343; о. односвязная 343,
Облицованная труба, распространение волн в ней 1484.
Обменная плотность зарядов 1685.
Обменное рассеяние 1686.
Обратная функция 341.
Обратно пропорциональные кубу расстояния силы в квантовой механике 1616.
Обратный оператор, единственность 1108.
Обращение рядов 389.
Обращения формула Лапласа 443; о. ф. Фурье 429.
Объема элемент 37.
Объемного расширения коэффициент 72, 73.
Объемные возмущения 1005; см. также Вариационные методы, Пертурбационные
методы.
Обыкновенная точка дифференциального уравнения 501.
Обыкновенные дифференциальные уравнения 468—630; Бесселя о. д. у. 518, 521,
579, 580; в случае кулоновского поля 518, 521, 592, 1614; вырожденной
гипергеометрической функции о. д. у. 519, 567; Гегенбауера о. д. у. 516, 563,
726; гипергеометрическое о. д. у. 511, 552, 626; и интегральные уравнения
874; интегральные представления решений 542—604; классификация 505;
Лежандра о. д. у. 513, 557; линейные о. д. у. 468; Матье о. д. у. 523;
независимые решения 496; неоднородные о. д.у. 500; обыкновенные точки
501; однородные о. д. у. 468; определитель Вронского 496; определяющее
уравнение 503; особые точки 489, 503; Паппернца о. д. у. 509; рекурсивные
формулы 509, 535; сопряженные о. д.у. 498, 806; стандартные формы 505,
622—629; сферических функций Бесселя о. д.у. 582, 1444; таблица 622—629;
функциональные ряды 537—542.
Однозначные функции 370.
Однородное поле, вытянутый сфероид в о. п. 1267; два цилиндра в о. п. 1201; две
сферы в о. п. 1281; круговой цилиндр в о. п. 1175; сплющенный сфероид в о.
п. 1244; сфера в о. п. 1249, 1250; эллиптический цилиндр в о. п. 1189.
Однородные дифференциальные уравнения 468.
Однородные интегральные уравнения 836, 838, 879, 887; Вольтерра о. и. у. 851; и
преобразование Меллина 905; и преобразование Фурье 894; 906;
Фредгольма о. н. у. 836.
Однородные краевые условия 633; и собственные функции 663.
Операторное уравнение для собственных значений 82, 667, 718—722, 1022.
Операторные вариационные принципы 1106—1110.
Операторы 80—83, 85—92, 714—722, 812—819; антиэрмитовы о. 842, 849;
аффинерные о. 61; в квантовой механике 82—84, 85—92; вращения о. 93 (в
кватернионной форме 79; в спинорной форме 106); Грниа о. 815, 817, 819,

843; для уравнения Дирака 249, 250; единичного сдвига о. 131; зависимость
о. от времени 88, 240; и измерение в квантовой механике 223, 224; и
матрицы 716; импульса о. 83, 224, 231, 1590, 1592; интегральные о. 804;
интегрирования о. 714; комплексно сопряженные о. 814; коммутирующие о.
83; координатные о. 83, 227; момента количества движения о. 91; не
положительно определенные о. 1144; неэрмитовы о. 818; обратный о. 1108;
положения о. 83; положительно определенные о. 719; правила
перестановочности 229; преобразования о. 88; проекционные о. 113, 1022;
самосопряженные о. 805, 1110; след о. 844, 847, 1026, 1139; сопряженные о.
499, 548,805, 809, 811, 814; спиновые о. 91, 106; среднее зивчение о. 224;
унитарные о. 87; функции от о. 225, 719; эрмитовы о. 86, 717, 814; эрмитово
сопряженные о. 717, 814, 1107.
Опережающий потенциал 201, 808.
Определенное ядро 840, 841, 919; преобразование к о. я. 841.
Определяющее уравнение для дифференциального уравнения 503.
Ортогонализация 858—864; метод Шмидта 725, 858—860.
Ортогональность собственных функций 668, 675, 702; случай непрерывного
спектра 709.
Ортогональные координаты 32—38; выражение для градиента 41; выражение для
дивергенции 45; выражение для производной по направлению 42;
выражение для элемента объема 37; и тензоры 52—60; коэффициенты Ламе
34; таблица разделяющих координат 612—622; таблица свойств 116, 117.
Ортогональные полиномы 725—731; Гегенбауера о.п. 726; и факторизация 678,
731; Лагерра о.п., см. Лагерра полиномы; Лежандра о.п. 1306, 1311;
ортогонализация 725, 858—864; производящие функции 695; тессеральные
о.п. 517; Чебышева о.п. 724, 726; Эрмита о.п. 729; Якоби о.п., см. Якоби
полиномы.
Ортонормированные собственные функции 677.
Основной параллелограмм для двоякопериодической функции 404.
Особенности полей 30.
Особые точки дифференциального уравнения 489; иррегулярные о.т. 503;
определяющее уравнение 503; регулярные о.т. 503; слияние о.т. 489; случай
двух регулярных о.т. 506, 623; случай двух регулярных о.т. и одной
иррегулярной 523; случай одной регулярной о.т. 506, 622; случай одной
регулярной о.т. и одной иррегулярной 518—522,. 626 (вырожденное
гиперееометрическое уравнение 519; кулоновская волновая функция 519,
521; уравнение Бесселя 521); случай трех регулярных о.т. 508—518, 623
(гипер-геометрическая функция 511; стандартная форма 509>; уравнение
Папперица 509);. таблица формул 622—629.
Особые точки функций комплексного переменного 339, 456; и классификация
функций 360; и конформное отображение 341; и обратная фукция 342; и
точки ветвления 378; изолированные о.т. 359; полюсы 359; существенио
особые точки 359, 456.
Осциллятор, см. Гармонический осциллятор.

Осцилляционные теоремы для задачи Штурма—Лиувилля 670, 673.
Отверстие в плоскости, диффракция на нем 1482; течение жидкости через о. 1275,
1276.
Отклоняющий адмитанс границы 1345.
Относительность, см. Лоренца преобразование.
Отражение,вариационный принцип 1125, 1479; диффузное о. 1573; для уравнения
Шредингера 1071, 1074, 1092, 1606, 1611; звуковых волнв трубе о. 14.14
{случай круглой трубы с диафрагмой 1477; случай облицованной трубы
1484; случай о. от конца трубы 1490, 1491; случай прямоугольной трубы с
диафрагмой 1414; случай трубы с коленом 1418); упругих волн о. 1750,
1754; электромагнитных; волн о. от конца волновода 1766;
электромагнитных волн о. от плоскости 1749, 1750; электромагнитных; волн
о. от полосы 1400; электромагнитных, волн о. от штыря в волноводе 1772.
Отражения коэффициент 129, 1066, 1071, 1454; ЖКЙ/-приблнжение 1099;
приближение Борна 1079; ряд Фредгольма 1080.
П
Падения плоскость 1749.
Паппервца уравнение 509.
Параболические координаты 476, 488, 615, 617; и волновое уравнение 1373—1382
(диффракция на крае экрана 1381; и функции Бебера 1378; разделение
переменных 476, 477, 488;разложение плоской волны 1381; собственные
функции для внутренних задач 1375; функцияГрина 1380); идвумерное
уравнение Лапласа 1197 (функция Грина 1197, 1198); и кулоновскнй
потенциал 1618; и трехмерное уравнение Лапласа 1277 (интегральное
представление решений 1278; и функции Бесселя мнимого аргумента 1277;
функцияГрина 1279).
Параболические уравнения 170, 644; краевые условия 657, 658; нормальная форма
644; разностное уравнение 656, 722.
Параболические цилиндрические координаты 521; см. также Параболические
координаты.
Параболоид альные координаты, разделение переменных. 488, 620, 621.
Парсеваля формула 432.
Паулн спиновый оператор 106.
Перевала метод 414, 453; для гамма-функции 418; для функций Бесселя 587; и
коротковолновое приближение 1501.
Передачи импульса эффективное сечение 184, 189.
Переменные квантовые независимые 225; правила перестановочности 229, 230;
сопряженные к.п. 221; среднее значение 224, 230.
Переменные сопряженные 275.
Перенос, вызванный силовым полем 190.
Переноса уравнение 183, 829, 1562, 1563, 1585, 1587; см. также Диффузия,
Распределения функции.
Переносный импеданс 273.

Переходные процессы 1314—1323; для звуковых волн в трубах 1412, 1413; для
колеблющейся струны 130; и интеграл Фурье 130, 1314.
Периодические краевые условия и собственные функции 663.
Периодические функции 402—410; таблица 462—466.
Пертурбационные методы в абстрактном векторном пространстве 1022;
вариационио-нтерационныйм. 1029—1035 (иуравнениеМатъе 1033);
вековой определитель 1016; WKBJ-m&yor, см. Венцепя—Крамерса—
Бриппюэна—Джеффриза метод; для неортогональных функций 1036; для
рассеяния 1063—1104 (WKBJ-метод 1090—1104; длинноволновое
приближение 1083—1089; коротковолновое приближение 1090—1104,
1498—1504, 1511—1514;метод Фредголъма 1077; приближение Кирхгофа
1073; приближение Берна 1072—1075, 1637; примеры 1074, 1079, 1081,
1639); итерационный м. 1008—1015 (для вырожденных систем 1623; и
гармонический осциллятор 1598; и уравнение Мапгъе 1013; матричные
элементы 1699; модифицированный и.м. 1035, 1036; сходимость 1011, 1023,
1029); Фнибергам. 1015—1022 (и уравнение Матъе 1020; сходимость 1019);
Фредгольмам. 1022—1029 (м уравнение Матъе 1028; модифицированный
Ф.м. 1035, 1036); таблица формул 1:155—1157.
Петля тока, излучение 1809.
Планка постоянная 217; и соотношение неопределенности 220.
Плоские волны 143; в параболических координатах 1381; в полярных координатах
767, 1354; в сферических координатах 1434; в сфероидальных координатах
1471; в упругой среде 307, 1750 (отражение от плоскости 4, 1754; тензор
напряжений-энергий 308); в эллиптических координатах 1395; для
уравнения Дирака 254; для уравнения Шредингера для двух частнц 1678;
звуковые п.в. 297 (тензор напряжений-энергий 297); и интегральные
представления 767; и функции Грниа 767; электромагнитные п.в. 317, 1748
(в сферических координатах 1796; импеданс 318; отражение от плоскости
1749; тензор напряжений-энергий 318).
Плоскость падения 1749.
Плотности функция для полиномов Гегенбауера 726; для полиномов Лагерра 728;
для полиномов Чебышева 726; для полиномов Эрмита 729; для
присоединенных функций Лежандра 726; для собственных функций 677,
725. Плотность заряда в квантовой механике 246, 326, 1591; для уравнения
Дирака 251; для уравнения Клейна—Гордона 302; ив поверхности 211;
обменная п. з. 1685. Плотность импульса поля 305; для жидкости 297, 326;
для струны 290, 325; для упругой среды 307, 308, 327; для уравнения Дирака
319, 328; для уравнения диффузии 326; для уравнения Клейна—Гордона
302, 327; для уравнения Шредингера 301, 326; для электромагнитного поля
314, 328; таблицы 325—328.
Плотность скорости для уравнения Дирака 251.
Плотность собственных значений 705—707; для уравнения Шредингера 711, 712;
при непрерывном распределении 709.

Плотность тока 197; для уравнения Дирака 251, 319; для уравнения Клейна—
Гордона 302; для уравнения Шредингера 245, 326, 1591; и магнитное поле
197; как 4-вектор 202; продольная составляющая п. т. 205.
Плотность функции Гамильтона 290; для изотропной упругой среды 327; для
неизотропной упругой среды 309, 327; для сжимаемой жидкости 297, 326;
для струны 290, 325; для уравнения Клейна—Гордона 302, 327; для
уравнения Прока 215; для электромагнитного поля 312, 328; таблицы 324—
328.
Плотность функции Лагранжа, см. Лагранжа функции плотность.
Плотность частиц 1568.
Плотность энергии 290; для векторного поля 304; для звука 297; для струны 125,
126, 290; для упругой среды 148, 306, 309; для уравнения Дирака 319; для
уравнения диффузии 326; для уравнения Клейна—Гордона 302; для
уравнения Шредингера 300, 326; для электромагнитного поля 311, 312.
Поверхности римановы 379; п. уровня 16; эквипотенциальные п. 25.
Поверхностная плотность заряда 211.
Поверхностное нагревание пластины 1543.
Поверхностные возмущения 1005, 1040—1063; см. также Возмущения граничных
условий.
Поверхностные волны для уравнения Шредингера системы двух частиц 1660,
1673,1674.
Поверхностные заряды и граничные условия 738, 748, 749.
Поверхностные интегралы 26.
Поворот элементарный 42.
Поглощения эффективная ширина 1793; п. эффективное сечеиие 177, 1454, 1813.
Подъемная сила 1215—1218; и аналитические функции 1215; и циркуляция
вокруг кругового цилиндра 1215; при обтекании полосы 1217; при
обтекании эллиптического цилиндра 1216.
Пойнтинга вектор 209, 314.
Поле 13—15; аффинерное п. 6% безвихревое п. 29; вариационные принципы
288—319; векторное п. 19—31, 303—319, 1705—1827; завихреииость п. 49;
магнитное п. 197, 1730, 1736, 1741; общие свойства 303—306; особенности
30; скалярное п. 15—19, 288—303; электромагнитное п., см.
Электромагнитное поле; электростатическое п. 195.
Полигамма-функции 399, 400.
Полная проводимость, или адмитанс 287; см. также Адмитанс.
Полное эффективное сечеиие 177, 1454; и рассеяние вперед 1069, 1506.
Полнота 659, 660, 675; в случае нескольких измерений 701; вариационный
принцип 686; п. системы полиномов Лешандра 537, 538; п. системы
собственных векторов 666, 667, 721; п. системы собственных,.функций 659,
660, 675; п. системы тригонометрических функций 537; п. системы функций
Бесселя 538.
Положения оператор 83.
Положительно определенное ядро 836, 840, 919.

Положительно определенный оператор 719.
Полоса внутри параллелепипеда, искажение стоячих волн 1407; излучение
колеблющейся п. 1396; излучение тока, текущего по п. 1399; рассеяние звука
нап. 1401, 1509.
Полудиагонального типа ядра 882, 883; и производящие функции 883.
Полу определенные ядра 840, 847.
Полуцилиндрические функции 1699.
Полюсы 359, 456; п. гамма-функции 396; п. эллиптической функции 405, 406.
Полярные координаты 477, 614; и векторное уравнение Лапласа 1733 (статика
упругого тела 1734; течение вязкой жидкости в трубах 1733); и волновое
уравнение 1348— 1373 (излучение кругового цилиндра 1351; колебания
круглой мембраны 1350; рассеяние на крае экрана 1359; рассеяние на
цилиндре 1354; рассеяние на цилиндре со щелью 1363; функция Грина 1349);
и уравнение Лапласа 1174—1185 (внутреннее нагревание цилиндра 1181;
поле вблизи цилиндра со щелью 1182; поле между концентрическими
цилиндрами 1174; функция Грина 1179; цилиндры в однородном поле 1175);
разделимость 477; разложение плоской волны 767, 1354.
Полярные ядра 836, 840, 842, 919.
Поперечная аффинерная функция Грина 1719, 1803; разложение 1721.
Поперечная компонента векторного поля 1704," 1705; в криволинейных
координатах 1706.
Поперечно-магнитные волны в волноводах 1758; затухание 1766; эффективный
импеданс 1757, 1767, 1768.
Поперечно-электрические волны в волноводах 1755; добротность 1783; затухание
1765; рассеяние 1756; эффективный импеданс 1757, 1767, 1768.
Поперечные собственные функции векторные в круговых цилиндрических
координатах 1735; в прямоугольных координатах 1715; в сферических
координатах 1739, 1795, 1796.
Поперечные упругие волны 141, 145, 1750; в криволинейных координатах 1773,
1774, импеданс среды 149; напряжения 147, 1750—1751; отражение п.у.в.
1750,1751.
Поперечные электромагнитные волны 200, 205, 1749, 1755.
Потенциал векторный, см. Векторный потенциал; запаздывающий п. 201, 778,
808; кинетический п. 269; опережающий п. 201, 808; скалярный п., см.
Скалярный потенциал; скоростей п. 150, 293; электростатический п., см.
Электростатика.
Потенциальная функция 25.
Потенциальная энергия жидкости 293; п. э. струны 126.
Потенциальный барьер, см. Проникновение через потенциальный барьер.
Поток вектора 27, 44.
Поток массы 168.
Поток тепла 168, 169; в D-образном цилиндре 1226; в круговом цилиндре 1181; в
прямоугольной призме 1169, 1240, 1241; в шаре 1560; в эллиптическом

цилиндре 1194; и аналитические функции 1207, 1213; неустановившийся п.т.
1543, 1547; при распространении звука 257; постоянная диффузии 170.
Поток частиц 1568.
Поток энергии, см. Интенсивность поля.
Правая система координат 20, 33.
Преломления показатель 1752; и закон Снеллиуса 1753; и рассеяние на сфере
1452.
Преобразования и сопряженные переменные 274; канонические п. 274;
конформные п., см. Конформное отображение; операторов п! 88;
прикосновения п. 275; унитарные п. 89.
Преобразования функции в квантовой теории 228-230; для колеблющейся струны
134; уравнения 230.
Присоединенная билинейная форма 499, 548, 604, 805, 809; для вырожденного
гипергео метрического уравнения 569; для преобразования Эйлера 551; для
уравнения Лапласа 557.
Присоединенные функции Лежандра, см. Лежандра функции.
Причинность 773, 808; и взаимность, 793.
Пробные функции, или функции сравнения 1105, 1114.
Проводимости матричные элементы 1346.
Проводимость (активная), или кондуктанс 287.
Проводимость стенок волновода 1762; и добротность 1782; и затухание 1765; и
рассеяние 1793, 1812.
Проводники 202; граничные условия на поверхности п. 210, 1753;
релаксационные колебания тока внутри п. 202.
Продольная компонента векторного поля 1704, 1705.
Продольные аффинерные функции Грииа 1719; разложение 1721; уравнение 1722.
Продольные векторные собственные функции в круговых цилиндрических
координатах 1735; в прямоугольных координатах 1715; в сферических
координатах 1739, 1745, 1795.
Продольные упругие волны 141, 1750; в криволинейных координатах 1773; в
шаре 1802; импеданс 149; напряжения и деформации 147, 1750; отражение
1750, 1751. Продольные электромагнитные волны 200, 205.
Продольный ток 205.
Проекционный оператор ИЗ, 1022.
Произведение векторов 20, 21.
Производные аналитической функции 355; п. по направлению 41, 57.
Производящие функции 695—699; 864; и интегральные уравнения 864—869, 883;
п.ф. полиномов Гегенбауера 564, 720; п.ф. полиномов Лагерра 728; п.ф.
полиномов Лежандра 560, 695—699; п.ф. полиномов Эрмита 729; п.ф.,
связывающие гиперболические и тригонометрические функции 1302; п.ф.
функций Бесселя 581; п.ф. функций Лежандра второго рода 699.
Прока уравнение 215, 261, 1818.
Проникновение через потенциальный барьер 1075, 1610; ШКШ-метод 1097;
приближение Борна 1079; ряд Фредгольма 1080.

Просачивание жидкости через пористое твердое тело 169.
Пространство импульсов в квантовой механике 231, 1076, 1590, 1601, 1628; и
гармонический осциллятор 1601, 1628, 1629; и интегральная теорема Фурье
232; и координатное пространство 233; и кулоновская волновая функция
1629; и уравнение Шредингера234, 235; функция преобразования 231.
Прямоугольного сечения волноводы 1755; функция Грииа 1758.
Прямоугольного сечения трубы, звуковые волны в них 1411, 1412; случай
диафрагмы в трубе 1414; случай изогнутой трубы 1418; эффективный
импеданс 1417.
Прямоугольные координаты 476, 487, 614; и волновое уравнение 1341, 1406
{векторные волны 1714, 1758, 1759, 1781; искажение стоячих волн полосой
1407; разделение переменных 476, 487; функция Грина для внутренних задач
1341, 1407); см. также Декартовы координаты.
Псевдовектор 204.
Псевдопериодический ряд 407.
Псевдопотенцианьная функция 2о.
Пуассона интегральная формула 353, 755.
Пуассона коэффициент 76, 1776.
Пуассона решение начальной задачи 784.
Пуассона скобки 221, 278; и квантовая механика 222.
Пуассона уравнение 19, 47, 1167—1311; в электростатике 196; векторное П.у.
1730; граничные условия 654; для струны 121; разностное уравнение 648;
функция Грииа 741.
Пуассона формула суммирования 442, 459.
Пузырьки воздуха в воде, рассеяние звука на них 1462.
Пучок частиц, диффузия 1549.
Пьезоэлектричество 257, 323.
Р
Радиальное уравнение Шредингера 1612; вариациоиио-нтерациоиный метод 1647;
вариационный метод 1114, 1115, 1644 (для фазовых углов 1120); WKBJ-
метод 1099; длинноволновое приближение 1086—1090; для кулоновского
потенциала 1614; для силы, обратно пропорциональной кубу расстояния
1616; для трехмерного осциллятора 1613, 1614; для экспоненциального
потенциала 1620; и рассеяние 1066, 1072, 1630; интегральное уравнение
1071; разрешимые случаи 1620.
Радиус сходимости ряда Тейлора 356; аналитическое продолжение 357.
Разделения константы 473; и граничные условия 481; и разделимость 489, 703.
Разделимость векторного уравнения Гельмгольца 1706; и граничные условия 470,
471; и софокусные поверхности второго порядка 484; констант разделения р.
489, 703; константы разделения 473, 703; определитель Штеккеля 484;
таблица формул 612— 622; трехмерного уравнения Лапласа р. 491
(координаты вращения 605; софокусные циклиды 492; таблица 612);
уравнений Гельмгольца н Шредингера р. 470—495; условие Робертсона 484.
Разделяющие координаты 470—495, 604—606; таблица 612—622.

Разложения ядер интегральных уравнений 879; второго класса 881; конечные р.
885; первого класса 880; третьего класса 885.
Разностные уравнения 645—658; для гиперболического уравнения 654; для
параболического уравнения 656, 722, 723; для уравнения Лапласа 647; для
уравнения Пуассона 648; и рекурсивные формулы 510; функция Грииа, см.
Грииа функция.
Рамзауера эффект 1633.
Распределения функции 170—195, 1561—1590; в случае потери энергии при
столкновениях 191, 1588; вариационный принцип 1581; возрастная теория
192, 1587; граничные условия 181; диффузия света 177—184, 1571—1581
(приближение 180; уравнение Милна 179, 183, 1578—1581); диффузная
эмиссия и отражение 1572, 1573; для рассеяния вперед 1565, 1692, 1693; и
внешние силы 190; и кинетическая энергия 172; и уравнение состояния 172;
моменты р.ф. 1569; неизотропное рассеяние 184; средняя длина свободного
пробега 174; стациоийфные р.ф. 1568; уравнение для р.ф. 1562, 1563, 1571;
уравнение непрерывности 172.
Распространение тепла 170, 1543—1549, 1560, 1561; см. также Поток тепла.
Рассеяниев центральном поле 1630 {вариационно-итерационный метод 1652;
вариационный метод 1120, 1126, 1153, 1650, 1652; WKBJ-метод 1100;
длинноволновое приближение 1086, 1635; приближение Варна 1072, 1637;
резонансные эффекты 1633; случай экранированного атома 1631; фазовые
углы 1067, 1068, 1072, 1631; экспоненциальный потенциал 1636, 1644, 1651;
эффект Рамзауера 1633); вариационный принцип 1126, ИЗО, 1153, 1161,
1504, 1650, 1652; И^-Лметод 1100; граничные условия 1064;
длинноволновое приближение 1083—1090, 1636; для уравнения Шредингера
1630 (вариационно-итерационный метод 1652; вариационный метод 1120,
1126, ИЗО, 1153, 1161, 1650, 1652; задача двух частиц 1683; обменное р.
1686; структурный фактор 1640, 1686; упругое и неупругое р. 1685;
формула Резерфорда 1619, 1640); интегральное уравнение, см.
Интегральные уравнения; коротковолновое приближение 1100—1103, 1357,
1450, 1511; медленных частицр. 1636; методы теории возмущений 1063—
1104; неизотропное р. 184; приближение Борна 1072, 1075, 1642;
приближение Кирхгофа 1073; р. вперед и полное эффективное сечеиие 1069,
1506; р. вперед, функция распределения 1565, 1566, 1692—1694; р. звука
1354 (вариационный принцип 1504; когерентное р. з. 1460; на диске 1484; на
параболических границах 1377; на.полосе 1401, 1509; на пузырьках воздуха в
воде 1462; на резонаторе Гелъмголъца 1455; на совокупности
рассеивателей 1459; на сфере 1449, 1451, 1452, 1454, 1511; на цилиндре
1354, 1356, 1357; на цилиндре со щелью 1363; некогерентное р. з. 1460,
1461); р. на экранированием атоме, см. Атом; рэлеевское р. 1811; ряд
Фредгольма 1077; электромагнитных волн р. 1792 (вариационный принцип
1823; намолом объекте 1814; на сфере 1810; на цилиндре 1792).
Рассеяния амплитуда 1064, 1069, 1070, 1159, 1160; вариационный принцип 1127,
ИЗО, 1161, 1650, 1652; интегральное уравнение 1076.

Рассеяния аффинор 1823.
Рассеяния длина 1085, 1087.
Рассеяния эффективное сечение 174, 1065, 150й, 18.11; дифференциальное э.с.
1065; и рассеяние вперед 1069, 1507.
Растягивающие напряжения 75.
Растяжение простое 73; р. с сохранением объема 73.
Расходящиеся волны 144, 1064.
Расширения коэффициент для аффинора 61,65.
Реактанс, или реактивное сопротивление 287; см. также Реактивное
сопротивление.
Реактивная проводимость, илисусептанс 287; матрица р.п. 1348.
Реактивное сопротивление, или реактанс 287; и активное сопротивление 353;
излученияр.с. 831, 1398, 1400.
Резерфорда формула 1619, 1640.
Резистанс, или активное сопротивление 287.
Резольвента 845.
Резонанса явление при рассеянии 1367, 1455, 1633.
Резонансные частоты 274; вариационный принцип 1110; см. также Резонаторы,
Собственные значения.
Резонаторы акустические 1368; Гсльмгольцар.а. 1455; параллелепипед сполосой
внутри 1407; сфера 1436; сфера с колеблющейся струной внутри 1439; сфера
с отверстием 1455; цилиндр со щелью 1367.
Резонаторы электромагнитные 1781; вариационный принцип 1821; возбуждение
р. при помощи волновода 1786; возбуждение р. током 1784; добротность
1782, 1800; клнстрон 1789; потери энергии в р. 1782, 1800; прямоугольный
параллелепипед 1781; сферическая полость 1799; сферическая полость,
содержащая малый объект 1814.
Рейиольдса число критическое 1733.
Рекуррентные формулы для вырожденной гипергеометрической функции 626; для
гамма-функции 396; для гипергеометрической функции 623; для полигамма-
функций 400; для полиномов Гегеибауера 726; для полиномов Лагерра 728;
для полиномов Лежандра 696, 726, 1307; для полиномов Эрмита 729; для
полиномов Якоби 1698; для полуцилиндрических функций 1700; для
сферических комплексных гармоник 1612; для сферических функций
Бесселя 582; для функций Бесселя 580, 1302; для функций Вебера 1524,
1525; для функций Лежандра 563, 683, 726, 1306.
Рекурсивные формулы двучленные 511, 536; для дифференциального уравнения
510, 535; для разностного уравнения 510; трехчленные р.ф. 523, 524.
Релаксационные колебания и проводимость 202.
Релятивистская частица, функция Лагранжа 284.
Релятивистская энергия 99.
Римановы поверхности 379.
Робертсона условней разделимость 484.
Рожок экспоненциальный, излучение звука 1332.

Ротор, или вихрь 49.
Ралеевскос рассеяние 1811.
Рэлея—Рнтцаметод 1115; и вековой определитель 1116.
Ряды 365, 675; вырожденный гипергеометрический р. 520, 522, 578;
гипергеометрический р., см. Гипергеометрическая функция; и интегральные
представления 543; и решение дифференциальных уравнений 501—542;
обращение р. 389; р. по собственным функциям 675, 691, 693, 695;
степенные р. 364; суммирование р. 390.
С
Самосопряженные интегральные уравнения 919.
Самосопряженные операторы 86, 805, 1110; вариационный принцип 1110;
дифференциальные со. 869; и симметричные ядра 840.
Свернутый тензор 53, 61.
Свертки теорема для преобразования Лапласа 444, 460; для преобразования
Меллина 446, 460; для преобразования Фурье 440, 458, 459; и ядра вида
и(х—ха) 892, 900.
Света диффузия 177.
Сверхзвуковой поток 159, 162—168.
Свободные состояния в квантовой механике 1602; для систем нескольких частиц
1674.
Связанные осцилляторы 79, 80, 1665.
Связанные состоянияв квантовой механике 1602; вариационно-итерационный
метод 1158; вариационный метод 1112, 1157, 1679; WKBJ-метод 1096, 1099;
для двух частиц 1679; для нескольких частиц 1673; методы теории
возмущений 1006—1040, 1155.
Связи урышеыие для дифференциальных уравнений 542, 543; для вырожденной
гипергеометрической функции 570; для гипергеометрической функции 515,
546, Й54, 555, 623; для присоединенных функций Лежандра 564; для
функций Гегеибауера 565.
Связи уравнения для интеграла Лагранжа 267.
Связность области 343.
Сдвиг простой 73; модуль с. 76; чистый с. 73.
Сдвига волны, см. Поперечные волны.
Седловая точка 415; см. также Перевала метод.
Сетки потенциал в триоде 1221.
Сжатаямодуль 159, 160.
Сжимаемой жидкости течение 159—168; безвихревое т.. 161; дозвуковое и
сверхзвуковое т. 162; и волновое уравнение 159; линейное приближение 164;
линии Маха 165; ударные волны 165; число Маха 162.
Сила, действующая на заряды и токи 199.
Сила, действующая на тело, погруженное в поток жидкости 1209.
Симметризация тензора напряжений-энергий 321.
Симметричные аффиноры 64; задача о собственных: значениях 65.
Симметричные ядра 840, 843, 919; и самосопряженные операторы 840.

Сингулярные ядра 852, 920.
Синус-преобразование Фурье 431.
Системы координат правые и левые 20, 33.
Системы нескольких частиц в квантовой механике 1657—1674.
Скаляр 53, 61.
Скалярное волновое уравнение, см. Волновое уравнение.
Скалярное произведение векторов 20.
Скалярные поля 15; вариациоиный принцип 288—303; общие свойства 288—303;
сводка результатов 325—327.
Скалярный потенциал 59, 143, 1705; волновое уравнение 200.
Скии-слоя глубина 1783; эффективней с.-с. г. 1793.
Скорейшего спуска метод, см. Перевала метод.
Скоростей потенциал 160, 293; для волнового уравнения 159; для сжимаемой
жидкости 164; для уравнения Лапласа 153.
Скорости амплитуда 128.
Скорости плотность для уравнения Дирака 251.
Скорость волны 124; дисперсия 138, 1756; для звуковых волн 161; для струны
124; для упругих волн 141; для уравнения Клейна—Гордона 138; для
электромагнитных волн 200.
След аффинора 61, 65; с. оператора 844, 847, 1027; с. функции Грина 921.
Слияние особых точек 489; ивырождеииое гипергеометрическое уравнение 519.
Сложения формула для полиномов Лагерра 729; для полиномов Лежандра 727,
1257.
Случайные блуждания и функция Грина 654.
Смешанное тройное произведение векторов 22.
Смешанный тензор 53, 61.
Снеллиуса закон 1753.
Собственная длина 98.
Собственное время 95.
Собственные векторы 82; вариациоиный принцип 719; для гармонического
осциллятора 237; для координатного оператора 227; для оператора
единичного сдвига 132; для оператора импульса 231; для эрмитова
оператора 718, 719; и собственные функции 666, 667; и функции
преобразования 228; нормировка 228; операторное уравнение 82, 667, 718;
полнота 667, 721 ;,разложеиие оператора Грииа по св. 817.
Собственные значения 82; асимптотические формулы 687; в абстрактном
векторном пространстве 716; вариациоиио-нтерациоиный метод 1029—
1035, 1133—1141; вариациоиный метод 684, 1106—1120, 1147;
действительные с. з. 676; для атома водорода 592; для гармонического
осциллятора 237; для прямоугольной мембраны 701; для треугольной
мембраны 701; для уравнения Матье 525—527, 532; для эллиптической
мембраны 703; и вырождение 674; и задача Штурма—Лиувилля 669, 678,
682, 683; н собственные векторы 666, 718; итерационно-пертурбационный
метод 1006—1015, 1156; метод Фииберга 1015—1022; метод Фробеинуса

1022— 1029; наименьшие с.з. 670, 673, 719; непрерывное распределение с.з.
708; нижние границы 1139, 1141, 1147; операторное уравнение 82, 667, 834;
плотность с.з. 705; распределение с.з. 670, 671, 673; симметрического
аффинора с.з. 65.
Собственные функции 658—722; асимптотические формулы 687; в абстрактном
векторном пространстве 666; в нескольких измерениях 700; вариационный
принцип 684; вырождение 83, 674, 1443, 1623; для волнового уравнения
1326—1466 (в параболических координатах 1375; в полярных координатах
1349; в прямоугольных координатах 1343, 1406; в сферических координатах
1434; в сфероидальных координатах 1466; в эллиптических координатах
1383, 1384; и преобразование Лапласа 1326); для уравнения Лапласа 1174—
1287 (в биполярных координатах 1199; в бисферических координатах 1281;
в вытянутых сфероидальных координатах 1269; е декартовых
координатах 1167; в круговых г/илиндрических координатах 1243, 1246; в
параболических координатах 1197, 1277; в полярных координатах 1174; в
сплющенных сфероидальных координатах 1243, 1276; в сферических
координатах 1252; в эллипсоидальных координатах 1287; в эллиптических
координатах 1185); и дельта-функция Дирака 668, 677; и производящие
функции 695; и ряды Фурье 658, 691, 693; и функция плотности 677, 726—
731; интегральное уравнение 834; краевые условия 650, 659, 662—666;
метод факторизации 677—684, 731—733; неортогональные с.ф. 1036—1040,
1325, 1344, 1345; нормировка 677, 709, 771; операторное уравнение 82, 667;
ортогональность с.ф. 65, 666, 675, 702, 709; ортонормировэнные с.ф. 677;
полнота с.ф. 659, 675—677, 686, 687; разложение функции Грина по с.ф.
760—770, 786, 799, 824, 825 (метод изображений 755, 756); ряды по с.ф. 675
(сравнение с рядами Фурье 691, 693; явление Гиббса 693); случай
непрерывного распределения собственных значений 708.
Совместности уравнения в теории упругости 1726.
Совокупность рассеивателей 1459; пузырьки воздуха как рассеивателн 1462.
Соответствия принцип 241.
Сопротивление (активное), или резистанс 287.
Сопряженная задача 808.
Сопряженная функцияв вариационных принципах 1125, 1127, 1131.
Сопряженная функция Грина 793, 794.
Сопряженное операторное уравнение 806.
Сопряженные краевые условия 808.
Сопряженные операторы 499, 805, 814; со. дифференциальные 499, 541, 548, 603,
809; со. интегральные 811.
Сопряженные переменные 221, 275.
Сопряженный аффинор 61, 65.
Сопряженный импульс 222.
Сосредоточенная сила для струны 122.
Состояния системы 80, 82; в квантовой механике 223; связанные ее 1602;
свободные ее 1602; стационарные ее 1591.

Состояния уравнение 172—174.
Софокусные поверхности второго порядка и разделимость 484; и
эллипсоидальные координаты 484.
Сохранения теоремы 291, 292, 305.
Спиновый оператор 91, 105, 249; Паулн со. 106; преобразование Лореица 252.
Спиноры 102—108; и 4-векторы 103; преобразование Лореица 103, 104.
Сплющенные сфероидальные координаты 487, 618; и волновое уравнение 1475; и
течение за сплющенным сфероидом 1274; итечеиие через круглое отверстие
1275; и уравнение Лапласа 1273 (интегральное представление решений
127'6; функция Грина 1276); и функции Л ежандра мнимого аргумента 1273;
разделение переменных 487, 618, 619.
Сравнения функции, или пробные функции 1105, 1114.
Средние значения в квантовой механике 224, 1591; и функции преобразования
230.
Средняя длина свободного пробега 174; и эффективное сечеиие рассеяния 174.
Срезывающие напряжения 75.
Статика упругого тела, см. Упругого тела статика.
Степенной ряд 364; см. также Ряды, Тейлора ряд.
Сток 151.
Стоксазакон 1744.
Стокса теорема 51; для аффиноров 71.
Стокса явление 413, 690; и вырожденная гипергеометрическая функция 571, 573,
575.
Столкновения, возрастное уравнение 192, 1556; потеря энергии 188; уменьшение
скорости частиц 192.
Стоячих волн отношение 129.
Струве функции 1305.
Структурный фактор 1640, 1686.
Струна гибкая 119—140,288—292, 1316—1328; колеблющаяся с.г. 123—140,
288—292; 1316—1328 (в упругой среде 137, 138, 1323; вариационный
принцип 288, 325; волновое напряжение 292; волновой импульс 292;
вынужденное движение 129; иряды Фурье 134; коэффициент отражения,
129; отношение стоячих волн 129; переходная характеристика 130, 1314—
1323; плотность канонического импульса 290; плотность функции
Лагранжа 289; поток энергии 127, 292; скорость волны 124; с. внутри
сферы 1439; с. с нежесткими закреплениями 132.4, 1338; с. с подвижными
закреплениями 1338; с. с трением 135, 1316, 1321; тензор напряжений-
энергий 291; уравнение колебаний 124, 125, 290; функция Грина 125, 1316;
энергия 125, 291, 292; эффективный импеданс 127, 128); статика 119, 123
(уравнение 121; функция Грина 123).
Струна ндеализированиая весомая 130, 131; нормальные формы колебаний 133;
операторное уравнение 131; предельный случай непрерывной струны 133.
Ступенчатая функция 122, 392, 778.
Сужение в волноводе 1768.

Суммирование рядов 390.
Сусептанс, или реактивная проводимость 287.
Существенно особые точки 359, 456.
Существенно сингулярные ядра 855, 920.
Сфера, излучение звука колеблющейся с. 1444; колебания с. 1437; колеблющаяся
струна внутри с. 1439; рассеяние звука на с, см. Рассеяние;
электромагнитные волны внутри с. 1799, 1801.
Сферические волны расходящиеся 144, 1064; сходящиеся св. 144;
электромагнитные св. 1794, 1795.
Сферические гармоники 1248, 1431; векторные с. г. 1824; Гобсонас г. 1268;
комплексные с. г. 1431; таблица формул 1306—1308; теорема сложения
1257; Феррерасг. 1268.
Сферические координаты 487, 615; и векторное волновое уравнение 1794 (и
мулътиполи 1796; излучение 1796, 1803; продольные волны 1795;
разложение плоской волны 1796; рассеяние 1810; резонатор 1799; функция
Грина 1802); и векторное уравнение Лапласа 1737 {векторные собственные
функции \1Ъ1\ поле заряженной вращающейся сферы 1741; поле петли тока
1741; течение вязкой жидкости за сферой 1742; упругие деформации шара
1744—1747; функцияГрина 1739); ирассеяние 1449—1459
(коротковолновое приближение 1511; на резонаторе Гелъмгольца 1455; на
сфере 1449, 1452, 1454); и скалярное волновое уравнение 1430—1466
(излучение поршня, являющегося частью сферы 1447; излучение сферы 1444;
разложение плоской волны 1434; резонатор Гелъмгольца 1455; функция
Грина 1434, 1437); и скалярное уравнение Лапласа 1247— 1266
(диэлектрическая сфера в однородном поле 1250; заряженная проволока
внутри сферы 1258; заряженная сфера с отверстием 1264; заряженный
сферический сегмент 1252; имулътиполи 1258—1264; интегральное
представление решений 1253; магнитное поле петли топа 1251; поле между
эксцентричными сферами 1255; потенциал сферы 1249; течениеза сферой
1249, 1250; функцияГрина 1256); колебания воздуха внутри сферы 1436;
колебания гибкой сферы 1436; колебания струны внутри сферы 1439;
упругие волны в шаре 1801.
Сферические функции Бесселя, см. Бесселя функции.
Сфероидальные волновые функции 601, 1467—1475; асимптотическое поведение
1469; и полиномы Гегенбауера 601, 1467; и сферические функции Бесселя
602, 1469; интегральные представления 1471, 1472; нормировка 1467;
приближенные формулы 1468; радиальные с.в.ф. 602, 1469—1475;
разложение в произведение 1472; таблица формул 1534.
Сфероидальные координаты 487, 617, 618; см. также Вытянутые сфероидальные
координаты, Сплющенные сфероидальные координаты.
Сходимости круг 355, 356; и аналитическое продолжение 357; поведение функции
на границе с.к. 364.
Сходимости радиус 356.

Сходимость в среднем 433; с. вариационно-итерационного метода 1031, 1137; с.
гипергеометрического ряда 367; с. длинноволнового приближения 1089; с.
итерационно-пертурбационного метода 1011, 1023, 1029; с.
пертурбационных рядов для возмущений границы 1056, 1061; с.
пертурбационных рядов для рассеяния 1073—1075; с. формулы Фннберга
1019.
Сходящиеся волны 144.
Т
Тейлора ряд 355; и аналитическое продолжение 357; радиус сходимости 356.
Телеграфное уравнение 800; начальная задача 804; функция Грнна 801.
Тензоры 52—60; для электромагнитного поля 203; и аффиноры 61; как векторные
операторы 57, 58; типы т. 53, 61.
Тень 1357, 1512.
Тетрадики 76.
Течение вязкой жидкости 156—158, 1175; напряжения 155, 156; нестационарное
т.в.ж. в трубе 1780; т.в.ж. в трубе 1732, 1733; уравнение т.в.ж. 158.
Точение жидкости 149—168, 293—299; безвихревое т.ж. 150; вариационный
принцип.293; вихревой вектор 150, 1175; граничные условия 154;
дозвуковое и сверхзвуковое т.ж. 162; и аналитические функции 1206, 1213;
источники и стоки 151; кинетическая энергия 293; линии Маха 165;
потенциал скоростей 293; потенциальная энергия 294; силы, действующие
на погруженные тела 1209; т.ж. в трубах 1241, 1245; т. ж. за двумя
цилиндрами 1201; т.ж. за круговым цилиндром 1175; т.ж. за сплющенным
сфероидом 1274; т.ж. за сферой 1249; т.ж. за эллиптическим цилиндром
1180; т.ж. через отверстие 1275; т.ж. через щель 1185, 1733; ударные волны
165; уравненнеБериулли 158; уравнение Лапласа 153, 293; уравнение
непрерывности 151; число Маха 164.
Тока линии 22.
Тока функция 153, 1171, 1207; и комплексное переменное 337.
Токи, излучение т. 1803, 1804; индуцированные диполн и т. 1814; поля,
создаваемые т. 1727, 1730, 1736, 1741; силы, действующие на т. 198, 199.
Точки ветвления, см. Ветвления точки.
Тренне, колеблющаяся струна ст. 135, 1316.
Тренне расширения 156.
Треугольная мембрана 701, 702.
Тригонометрические функции 1300; таблица значений 1838.
Триоды 1221.
Тороидальные гармоники 1282, 1283, 1309; таблица значений 1848; таблица
формул 1309.
Тороидальные координаты 495, 622; и уравнение Лапласа 1282 (функция Грина
1285); разделимость 495.
Тэта-функции 407—410; и функции Матье 1391; таблица свойств 465.
у
Угловая переменная 281.

Угловая скорость 125.
Ударные волны 165.
Удвоения формула для гамма-функции 401.
Удлинения волны 1775.
Уиттекера функции 574, 627; см. также Вырожденная гипергеометрическая
функция третьего рода.
Унитарный аффинор 67.
Унитарный оператор 87.
Упругая среда, вариационный принцип 306; таблица 327.
Упругие волны 140—149; в брусе 1773, 1775, 1777; векторные у.в. 145; импеданс
среды 149; интенсивность 149; крученияу.в. 1775; напряженияи
деформации 147; отражение 1749, 1754; плоские у.в. 307, 309, 1749;
поперечные у.в. 141, 145; продольные у.в. 141; сдвига у.в. 142, 145;
удлинения у.в. 1775; функция Грнна 1722.
Упругие деформации 71—77; и напряжения 74, 75.
Упругие константы 77.
Упругие стеики трубы 1328.
Упругого тела статика 1725; бигармоническое уравнение 1726; деформации шара
1744
Уравнения 1730, 1731; уравнения совместности 1726; функция напряжений 1726.
Упруго-подкрепленная струна (струна в упругой среде) 137; волновой
импеданс 139; вынужденное движение 138; функция Грнна 1323; см. также
Клейна—Гордона уравнение.
Усиления коэффициент 1222.
Условие на дивергенцию электромагнитного поля 310.
Ф
Фазовое пространство 170.
Фазовые сдвиги 1067, 1072, 1631; вариационный принцип 1120—1125, 1153,
1650—1653; WKBJ -метод 1100; приближение Борна 1072, 1641.
Фазовые углы, см. Фазовые сдвиги.
Фазовый угол комплексного числа 332.
Фактор углового распределения 1064, 1069,1070, 1160, 1352, 1793, 1810, 1811;
вариационный принцип 1127, 1131, 1161, 1650, 1652; и фазовые углы 1632,
1633; интегральное уравнение 1076; см. также Амплитуда рассеяния.
Факторизация в методе Вннера—Хонфа 907; общий метод 915; примеры 908—
915,1488,1496.
Факторизация оператора Штурма—Лиувилля 677—684; и гармонический
осциллятор 237, 238, 678; и полиномы Гегенбауера 680; и рекуррентные
соотношения 683; таблица 731—733.
Факторизуемые ядра 885.
Фарадея закон электрической индукции 199.
Фиктивное пространство при рассеянии 1359.
Финберга пертурбационная формула 1015—1022; и уравнение Матье 1020;
неортогональные функции 1038; сходимость 1019; таблица 1156.

Флоке теорема 524.
Фотоны 216; импульс 218; энергия 217.
Фраунгофера диффракция 820.
Фредгольма пертурбационный метод 1022—1029; модифицированный Ф.п.м.
1036; применение к уравнению Матье 1028; случай неортогональных
функций 1038.
Фредгольма ряд для задач рассеяния 1077; для проникновения через
потенциальный барьер 1080.
Фредгольма уравнение второго рода 879—888, 919, 922; и преобразование
Ганкеля 891; и преобразование Фурье 888—919; и производящие функции
883; и функции Грнна 881; классификация 880; неоднородное Ф.у.в.р. 887,
896, 917; однородное Ф.у.в.р. 894.
Фредгольма уравнение первого рода 837, 856—879, 919, 921; и
дифференциальные уравнения 874; и интегральные преобразования 871; и
проблема моментов $76; и производящие функции 864; и функции Грнна
869; метод Вннера—Хопфа 917; решение в виде ряда 856.
Френеля диффракция на крае экрана 1362.
Френеля интегралы 756, 1362.
Фроит волны 143.
Функции комплексного переменного 330—467; аналитические ф.к.п. 334, 337—
410; асимптотические ряды 410; гамма-фуикция 396; двоякопериодические
ф.к.п. 404; и конформное отображение 339, 419; и электростатика 334; и
эллиптические уравнения 641; интегрирование 335, 344; классификация 360;
особые точки 339, 456; периодические ф.к.п. 402; преобразование Фурье
435; таблица свойств 455; условия Коши— Римана 334, 339; эллиптические
ф:к.п. 404.
Функциональные ряды 537—542; и интегральные представления 541; полнота
537; рекуррентные формулы 537, 540; рекурсивные формулы 510, 540, 541.
Фурье—Бесселя интеграл 711.
Фурье интеграл 428; и квантовая механика 232; и переходные процессы 130, 1314.
Фурье интегральная теорема 429, 433; и непрерывное распределение собственных
значений 708.
Фурье преобразование 428—446; аналитические свойства 435; асимптотическое
поведение 437, 438; и интегральные уравнения 872, 888—919; и переходные
процессы 1314; и преобразование Лапласа 443; и преобразование Меллина
444; и ряды Фурье 429; и функция Грнна 1340; интегральная теорема Фурье
429, 433; таблица 458, 459; теорема свертки 440, 458, 459, 892, 900; Ф.п. по
косинусам 430; Ф.п. по синусам 429; формула обращения Фурье 429;
формула Парсевапя 432; формула суммирования Пуассона 441.
Фурье ряды 134; и колебания струны 134; и преобразование Фурье 429; и ряды по
собственным функциям 691, 693; и функции Матье 530—532, 539; и
функция Грнна 661; полнота 537; явление Гиббса 693.
X

Характеристики 635. Характеристический импеданс 214. Хилла определитель 527.
Хиллерааса координаты 1682.
ц
Целые функции 361, 456; разложение в бесконечное произведение 364.
Центральные поля в квантовой механике, кулоновский потенциал 1614; момент
импульса 1611, 1612; радиальное уравнение 1613; разрешимые случаи 1621;
рассеяние 1630; сила, обратно пропорциональная кубу расстояния 1616;
трехмерный осциллятор 1613; экспоненциальный потенциал 1620.
Цепная реакция 1552; общий случай, диффузионное приближение 1559.
Циклиды софокусные и разделение переменных 492.
Цилиндр в электростатическом поле 1175; заземленный ц. и линейный источник
1179; концентрические ц., поле между ними 1174; поле вне двух ц. 1200;
рассеяние нац. 1354, 1792; рассеяние нац. со щелью 1363, 1367, 1368;
эллиптические ц. в однородном поле 1189.
Цилиндрические координаты, разделение переменных 487. Цилиндрические
функции Бесселя, см. Бесееля функции. Циркуляция 1190, 1191, 1215; ц.
интеграл 29.
Ч
Частиц диффузия 170—195, 1549—1590; вариационный метод 1581; возрастное
уравнение 193, 1556—1559, 1587—1590; действие внешней силы 190;
диффузионное приближение 179, 1549—1555, 1559; диффузная эмиссия
1576; диффузное отражение 1573; диффузное рассеяние 1574; замедление
частиц при столкновениях 192, 1556—1559, 1583—1590; и плотность частиц
1568; и фазовое пространство 170; изотропное рассеяние 1571—1583;
интегральное уравнение 1571, 1584, 1585; мгновенный ливень частиц 1550;
неизотропное рассеяние 185; однородное пространственное распределение
1563, 1585; рассеяние вперед 1565, 1691—1693; стационарный случай 1568;
уравнение Милиа 183, 913, 1572, 1578—1583; уравнение непрерывности
1568, 1569; функция распределения 171, 1561—1590.
Частица в электромагнитном поле 245.
Частота 125; критическая ч. 1413; резонансная ч., см. Резонансные частоты.
Чебышева функции 513, 518; и присоединенные функции Дежандра 566; и
функции Гегеибауера 566, 726; таблица формул 724—727.
Четность и инверсия в квантовой механике 1670.
4-векторы, см. Векторы; 4-в. потенциал 203, 310.
Ш
Шар, нагревание вращающегося ш. 1560; упругие волны в ш. 1801, 1802;
электромагнит ное поле вращающегося заряженного ш. 1741.
Шварца—Кристоффеля преобразование 420, 421, 1229; примеры 422—426,
1229—1236.
Шварца неравенство 85.
Шварца принцип отражения 372.
Ширина эффективная 1356; поглощения ш. э. 1793; полная ш. э. 1793, 1794;
рассеяния ш.э. 1793, 1794.

Шмидта метод 725, 858, 859.
Шредингера уравнение 1590—1689; в параболических координатах 611, 1617; в
пространстве импульсов 231, 1076, 1590, 1628; вариационно-итерационный
метод 1029—1035, 1133—1141, 1158, 1647; вариационный метод 1111,
1120—1127, 1131, 1153,1154, 1161, 1163, 1644, 1680; И^-Лметод 1090—
1104; возмущения, зависящие от времени 242, 1596; возмущения общего
вида 1106—1040, 1598; вырожденные системы 1623; длинноволновое
приближение 1086; для короткодействующих сил 1595; для электронав
двухатомной молекуле 604; зависящее от времени Ш.у. 242; и
геометрическая оптика 1104; и проникновение через потенциальный барьер
1097, 1609; и уравнение Гамильтона— Якоби 1104; инверсия и четность
1670; интегральное уравнение 235, 1071, 1076, 1092; момент количества
движения 1612, 1668; отражение и прохождение 1074, 1079, 1092, 1606;
плотность тока и заряда 1591; плотность функции Л агранжа 299;
приближение Борна 1072, 1075, 1637, 1641, 1683; радиальное Ш.у., см.
Радиальное уравнение Шредингера; разделимость 470, 486, 487, 613—620;
рассеяние, см. Рассеяние; ряд Фннберга 1015; ряд Фредгольма 1022; сводка
результатов 326; система двух частиц 1657; система нескольких частиц
1657; собственные значения 711—713; стационарные состояния 1591; тензор
напряжений-энергий 300; центральные силовые поля 1611— 1630.
Штарка эффект 1626.
Штеккеля определитель иразделимость 484; таблицы 613—622.
Штурма—Лиувилля уравнение 668—695; асимптотические формулы 687;
вариационный принцип 684; нормировка собственных функций 677;
ортогональность собственных функций 676; осцилляционные теоремы 670,
673; ряды по собственным функциям 675, 691; самосопряженность 669;
собственные значения 670—674; факторизация 677, 731—733; функция
Грнна 770; функция плотности 677.
Щ
Щель, диффракция на щ. 1403; течение жидкости через щ. 1186, 1187, 1733.
Э
Эйлера интегральное преобразование 549—554; для гипергеометрической
функции 551; для функций Лежандра 558; модуляционный множитель 551;
присоединенная билинейная форма 550.
Эйлера—Маскеронн постоянная 399.
Эйлера преобразование рядов 373, 457; обобщения 375; приложение к
гипергеометрическому ряду 376.
Эйлера углы 38, 68.
Эйлера уравнения 265—268, 303, 324.
Эквипотенциальная поверхность 25.
Экранированный атом, см. Атом.
Экспоненциальный потенциал в квантовой механике 1620; вариационно-
итерационный метод 1649; вариационный метод 1644,1651; приближение
Борна 1644; рассеяние 1636.

Экспоненциальный рожок, излучение звука 1332.
Экстраполяционный метод в вариационно-итерационном методе 1138.
Электрические диполн и мультиполн, излучение 1797, 1798; создаваемые
колеблющимисязарядамид. им. 1806, 1808; статические д. им. 1258—1264.
Электрической индукции поле 196.
Электромагнитное излучение, см. Излучение.
Электромагнитное поле 195—215, 310—318; аффинор адмитанса 317;
вариационный принцип 310, 311; вектор Пойнтинга 209, 314; граничные
условия 210; движущегося заряда э.п. 206, 778; закон магнитной индукции
199; закон электрической индукции 199; и преобразование Лоренца 202, 203;
калибровка 201, 204, 315; канонические уравнения Гамильтона 312;
канонический импульс 312; плотность импульса 313, 314; плотность
момента количества движения 314; плотность функции Л агранжа 311;
потенциалы 198, 200, 202, 310; таблица свойств 261, 328; тензор
напряжений-энергий 209, 311, 321; уравнения Максвелла 199; условие на
дивергенцию 310; 4-вектор плотности тока 202; энергия 209, 312.
Электромагнитные волны 200, 201, 1748—1827; в прямоугольных координатах
1714, 1755, 1781; в сферических координатах 1795—1817; в сфероидальных
координатах 1817, 1818; влияние конечной проводимости 1762, 1782;
возбуждение э.в. 1761, 1797, 1807; длинноволновое приближение 1792, 1805,
1811—1817; запаздывание 200, 201; и импеданс 1751, 1757, 1768, 1798;и
мультиполн 1796—1809; поперечные э.в. 200, 1755—1768; рассеяние 1792,
1810, 1813; резонаторы 1781, 1789, 1799; функция Грнна 1758, 1782, 1801,
1803.
Электромагнитные плоские волны 317,1749; аффинор адмитанса 318; отражение
от плоскости 1749; рассеяние на полосе 1401; рассеяние на сфере 1810;
рассеяние на цилиндре 1792.
Электромагнитные резонаторы, см. Резонаторы.
Электромагнитные сферические волны 1794—1796; разложение функции Грина
1803;таблицы 1824.
Электростатическое поле 195—197; в прямоугольном колене 1235; в триоде 1221;
вариационный принцип 1106; вне вытянутого сфероида 1267; вне диска
1249; вне сферического сегмента 1252; вне сферы 1248; вне тора 1284; вне
эллипсоида 1288; внутри прямоугольника 1236; для сферы с отверстием
1264; для цилиндра со щелью 1182, 1195; и функции комплексного
переменного 334—337, 358, 359, 419, 1206; между двумя проводами и
эллиптическим цилиндром 1193; между двумя цилиндрами 1200; между
пластинами конденсатора 1230; между плоскостями 1167, 1226; между
полосой и полуплоскостью 1197; между полосой и эллиптическим
цилиндром 1186; между проводами и цилиндрами 1227; между проводом и
круговым цилиндром 1179; между проводом и плоскостью 1171; между
проводам и призмой 1128; между сфероидом и сферой 1270; между сферой и
плоскостью 1280; между эксцентричными сферами 1255; плоское э.п. 753;
э.п. между проволокой и сферой 1258; э.п., создаваемое двумерной системой

линейных источников 1224; э.п., создаваемое линейными источниками
1218— 1228; э.п., создаваемое одномерной системой линейных источников
1222.
Элементарные дроби, разложение мероморфной функции на э.д. 362, 363.
Эллипсоидальные гармоники 1287—1289; интегральное уравнение 1289.
Эллипсоидальные координаты 485; вырожденные формы 487; и уравнение Ламе
1286; и уравнение Лапласа 1285—1289; разделимость 485, 486; таблица 619.
Эллипс, волны внутри э. 700, 1393.
Эллиптические интегралы 408, 409; и функции Матье 1389.
Эллиптические координаты и волновое уравнение 1382—1404 (волны внутри
эллипса 1393; диффракциянащели 1403; и функцииМатъе 1383; излучение
полосы 1396, 1399; радиальные решения 1385; разделимость 478, 487;
разложение плоской волны 1395; рассеяние на полосе 1401; функция Грина);
и уравнение Лапласа 1185—1195 (течение за эллиптическим цилиндром
1189; течение через щель 1185; функция Грина 1192; электростатическое
поле между полосой и эллиптическим цилиндром 1186; эллиптический
цилиндр в однородном поле 1189).
Эллиптические уравнения 641; и комплексные переменные 641; и условия
Дирихле 648, 654; и условия Коши 643, 654; и условия Неймана 650, 654;
нормальная форма 642; разностное уравнение 648.
Эллиптические функции 404—410; и двумерная система линейных источников
1224; и метод изображений 1226; и функции Матье 1392; поле внутри
прямоугольника 1236; таблица свойств 462—465.
Эмиссия диффузная 1572, 1576, 1578.
Энергетические уровни, вариационный принцип 1111, 1112; для кулоновского
потенциала 592, 1614; для одномерного гармонического осциллятора 237,
1593; для трехмерного гармонического осциллятора 1613; см. также
Собственные значения.
Энергии потери в волноводах 1766; в резонаторах 1782; при рассеянии 1793, 1812;
при столкновениях, см. Столкновения.
Энергия и соотношение неопределенности 239; релятивистская э. 99.
Эрмита функции 729; и гармонический осциллятор 237, 238, 1592; и
интегральные уравнения 864, 865, 877; и функции Вебера 1390; и функции
Матье 1383; интегральное уравнение 835; факторизация уравнения 733.
Эрмитово сопряженное уравнение 850.
Эрмитово сопряженный оператор 86, 717, 814.
Эрмитовы операторы 86, 717, 814; вариационный принцип 1107; положительно
определенные э.о. 718; собственные векторы 718; собственные значения 676,
718.
Эрмитовы ядра 920.
Эффектнаная площадь отверстия 1483.
Эффектнаная ширина цилиндра 1356.
Эффективное поперечное сечеине 175, 1505, 1632; дифференциальное э.п.с. 1065,
1654; передачи импульса э.п.с. 184, 189; поглощения э.п.с. 177, 1454, 1813;

полное э.п.с. 177 (ирассеяние вперед 1069, 1506); рассеяния э.п.с. 175, 1065,
1632.
Эффектнаный радиус взаимодействия 1090.
Ю
Юкава потенциал, приближение Борна для рассеяния 1081, 1655.
Юига модуль 76, 1776.
Я
Ядра интегральных представлений 546—549; видаДг/) 602; и преобразование
Лапласа 549; и преобразование Эйлера 549; и решения волнового уравнения
595—599.
Ядра интегральных уравнений 836, 842, 843; взаимные функции 846; вида у(х-х0)
864-866, 889, 890, 892, 923 (и преобразование Лапласа 900—904; и
преобразование Фурье 889, 892—897; и теорема свертки 892; метод
Винера—Хопфа 906—919); вида v(jt+Jt0) 898; вида v(x/x0) 904; итерированные
я. 846, 847; классификация 880—887; неопределенные я. 836, 847;
положительно и отрицательно определенные я. 836, 840, 841;
полудиагональные я. 881; полуопределенные я. 840, 847; полярные я. 836,
840; резольвента 845; симметричные я. 840, 843; сингулярные я. 852;
существенно сингулярные я. 855; таблица типов 919—923; факторизуемые я.
885.
Якоби полиномы 724; в задаче о двух частицах 1677; нормировка 725;
рекуррентная формула 725; 1699; таблица формул 1698.
Якоби эллиптические функции 406.

ГЛАВА 9
Приближенные методы
Точные решения уравнений физики могут быть получены только для
ограниченного круга задач. Например, в случае скалярного уравнения
Гельмгольца метод разделения переменных может быть применен лишь
для 11 типов координатных систем (см. по этому поводу § 5.1). Если
поверхность, на которой заданы граничные условия, не совпадает ни с
одной из соответствующих координатных поверхностей или граничные
условия не являются простыми условиями типа Дирихле или Неймана,
то метод разделения переменных неприменим. Если рассматривается
• уравнение Шредингера, то число координатных систем, допускающих
разделение переменных, может резко уменьшиться, так как разделение
возможно только для частных видов зависимости потенциальной энергии
от координат.
Подобное положение вещей имеет место и для интегральных уравне-
уравнений. Здесь решения могут быть получены — например, при помощи инте-
интегральных преобразований — только в случаях, когда ядро интегрального
уравнения имеет специальный вид. Так, например, преобразование Фурье
применимо, если ядро представляет собой функцию, зависящую от раз-
разности двух переменных, а область интегрирования простирается от — оо
до 4~°° или от 0 до оо. Таким образом, очень редко задача относится;
к классу точно разрешимых, так что обычно мы сталкиваемся с необхо-
необходимостью развития достаточно сильных приближенных методов. Более того,
мы увидим, что даже для задач, допускающих точное решение, иногда
удобнее применять приближенные методы, так как вычисление точного
решения может оказаться слишком сложным.
Отклонения от задачи, допускающей точное решение, мы будем назы-
называть возмущениями. Поверхностными возмущениями, мы будем называть
отклонения граничной поверхности, или граничных условий, или того
и другого соответственно от поверхности и условий, допускающих точное
решение. Например, мы мргкем пожелать определить резопапепые частоты
объема с трапецией в поперечном сечении, так что поверхность, ограничи-
ограничивающая этот объем, не является координатной поверхностью ни одной из
11 координатных систем, допускающих разделение переменных в скаляр-
скалярном уравнении Гельмгольца. Или поперечное сечение может быть прямо-
прямоугольным, но стенки могут быть так акустически обработаны, что гра-
граничные условия уже не будут однородными условиями Неймана.
Объемными возмущениями мы назовем отклонения внутри объема, ко-
которые выводят задачу из класса точно разрешимых. Например, потенциал
в уравнении Шредингера может быть таким, что уравнение не допускает
разделения переменных. Это, вообще говоря, имеет место в случае, когда
две взаимодействующие частицы или большее их число движутся в цент-
центральном поле сил, или в частном случае одной частицы, движущейся
в поле, порожденном несколькими центрами сил. Уравнение Шредингера
для двух электронов, движущихся в поле атомного ядра с зарядом Ze,

Гл. 9. Приближенные методы
имеет вид
где гг и i\ — расстояния первой и второй частицы от ядра, а г1а — рассто-
расстояние между самими частицами. Если -член е*/г12 отсутствует, уравнение
допускает разделение; член e2/'"ia является объемным возмущением. Объ-
Объемные возмущения в акустических проблемах могут быть обусловлены
наличием областей неоднородности в пространстве, соответствующих пе-
переменному показателю преломления, которые могут создаваться такими
объектами, как колонны, занавеси или неоднородное распределение темпе-
температуры в среде.
В этой главе мы рассмотрим три существенно разных метода полу-
получения приближенных решений: A) метод теории возмущений, B) вариа-
вариационный метод и C) вариационно-итерационный (сокращенно В-И) метод.
В теории возмущений объемные или поверхностные возмущения предпо-
предполагаются малыми, и поэтому может быть осуществлено разложение по сте-
степеням параметра, измеряющего величину возмущения; главный член раз-
разложения является решением при отсутствии возмущения.
Когда возмущения становятся большими, эта процедура неудобна,
и тогда более подходит вариационный метод. Как мы показали в гл. 3,
уравнения физики могут быть представлены в вариационной форме, т. е.
можно найти функционал от неизвестной функций, который должен быть
стационарным при варьировании этой функции. На практике употребля-
употребляются функции, называемые пробными функциями или функциями сравне-
сравнения, содержащие один или несколько параметров и подставляемые в ка-
качестве неизвестной функции в функционал, выражающий вариационный
принцип. Вариация функции осуществляется изменением величины этих
параметров. Улучшение может быть достигнуто увеличением гибкости
пробной функции посредством дополнительных параметров.
Другой способ улучшения исходной пробной функции состоит в ее
включении в качестве первого члена в полную систему функций, не
обязательно взаимно ортогональных. Ни одна из этих процедур не явля-
является столь систематической, как схема, применяемая в В-И методе. Более
того, В-И метод дает возможность оценки погрешности для каждой ста-
стадии вычислений, что является, по-видимому, его наиболее важным свой-
свойством.
Эти методы можно применять ко всем задачам, которые нам встре-
встретятся в этой книге. Задача может состоять в определении резонансных
частот акустических- или электромагнитных колебаний внутри полости.
Мы встретимся с задачей определения емкости конфигурации проводни-
проводников или течения жидкости, обтекающей препятствие. Нас будут интере-
интересовать рассеяние и диффракция волн на препятствии' или, в квантовой
механике, рассеяние потенциальным полем. Все три метода применимы
в каждой из этих задач, но, как мы увидим, сильно различаются в де-
деталях.
9. 1. Теория возмущений
Теория возмущений особенно хорошо применима, когда рассматривае-
рассматриваемая задача очень близка к задаче, которая может быть точно решена.
Предполагается, что отличия не носят сингулярного характера, так что
изменение от точно разрешимой задачи до рассматриваемой можно произ-
произвести непрерывным образом. Аналитически это выражается в требовании,
чтобы возмущение было непрерывной функцией параметра X, измеряющего
величину возмущения.

9.1. Теория возмущений
Если это имеет место, то можно вывести формулы, описывающие из-
изменения физического состояния, когда X изменяется от нуля; при этом
чем больше X, тем больше нужно членов, содержащих все более высокие
степени X, для того чтобы получить результат с нужной степенью точно-
точности. Вообще говоря, это будут отрезки бесконечных рядов по степеням X,
сходящихся для X, меньших Хо,—радиуса сходимости, для которого мы
выясним качественный смысл и получим количественную оценку. Кроме
того, можно дать практический метод аналитического продолжения ря-
рядов за Хо, так что оказывается возможным решать задачи как о слабых,
так и о сильных возмущениях.
В дальнейшем мы прежде всего рассмотрим те формулы теории иоз-
мущений, которые применимы к задачам с дискретным спектром собствен-
собственных значений и в которых имеют место возмущения объемного типа. За-
Затем мы применим эти результаты к граничным возмущениям в § 9.2 и
к вопросам рассеяния и диффракции в § 9.3.
Обычная формула теории возмущений. Обычно выводимые формулы
теории возмущений получаются, как можно показать., с помощью приме-
применения метода последовательных приближений к интегральной формули-
формулировке1) задачи. Для примера рассмотрим уравнение Шредингера, описы-
описывающее квантово-механическое движение частицы в одном измерении
под действием потенциала XF (х):
где ? — энергия частицы. Вводя сокращенные обозначения
h ~ h2 ^' и ~ я* '
получим
2 = O. (9.1.1)
Мы предположим, что движение ограничено в области 0<.i;<L беско-
бесконечно высоким потенциальным барьером (не включенным в V) при ж = 0
и при х = L. Следовательно, ф должна удовлетворять граничным условиям
Точно разрешимая задача содержит те же самые граничные условия
и состоит в решении уравнения
§? + ^Р„ = 0. (9.1.2)
Решения этого уравнения таковы:
?п = |/|- sin ^, п- целое, (9.1.3)
о
Интегральвую формулировку уравнения (9.-1.1) можно получить с
помощью соответствующей функции Грина, являющейся решением урав-
х) Термин «интегральная формулировка задачи» употребляется как сокращение
выражения «формулировка задачи при помощи интегрального уравнения».—Прим.
персе.

Гл. 9. Приближенные методы
нения
и удовлетворяющей тем же граничным условиям, что и <1). Из G.2.8)
имеем
О (ж) = — X \ Gk (х | х0) U (х0) ф (ж0) dx0. (9.1.4)
б
Функцию Грина можно выразить через <р„ [см. G.2.39)] следующим
образом:
Г l-r I v \ — V fP^^fP (жо) /О 4 Ц\
Щ
v
В одномерном случае Gft можно выписать в явном виде:
1 f sin(fa)sin[fc(L-a0)] (при ж<ж0),
(при ж>х) ( ^
Подставляя ряд (9.1.5) в интегральное уравнение (9.1.4), получаем
I 4>р (жо) U (ж0) ф (ж0) rfa;0
ФИ = ^Ц5 j^ ТР(ж). (9.1.7)
v v
Удобно выделить из ряда тот член, к которому стремится ty, когда ).
стремится к нулю. Пусть это будет <рп. Обозначим соответствующее ty
через фп« так что
Перепишем теперь разложение для Ф следующим образом:
L
$<tv(xo)u(.xo) > dxo
*пИ = ?„ + ^2] ^ fe^i Фр(ж>- (9-1.8)
Здесь мы пронормировали фэт так, чтобы коэффициент при <рп был равен
единице. Это всегда возможно, так как функция <Ьп, будучи умножена
на произвольную постоянную, остается решением уравнения (9.1.1).
Требование, чтобы коэффициент при <рп в формуле (9.1.7) равнялся
единице, приводит к условию
Л* = *„'+ X ^ 9п (х0) U (х0) Ф (х0) dx0. (9.1.9)
о
Мы можем проверить, что это согласуется с разложением (9.1.8)
и дифференциальным уравнением (9.1.1), следующим образом: умножая
левую' часть (9.1.1) на <рп и интегрируя от 0 до L, получим
dx Л к* [ $9ndx ~ X jj 9пЩ dx = 0.

9.1. Теория возмущений
Первый член можно вычислить двукратным интегрированием по частям.
Используя уравнение, которому удовлетворяет <рп, имеем
о о
Из (9.1.8) и условий ортогональности в (9.1.3) вытекает, что \ -b^ndx=\.
Подставляя эти результаты, немедленно приходим к (9.1.9).
Мы можем теперь применить метод последовательных приближений
к уравнению (9.1.8) и, подставляя получающиеся результаты в (9.1.9),
находить последовательные приближения для величины к2. За нулевое
приближение для <Ьп, $?' мы примем <рп и, подставляя его в правую
часть уравнения (9.1.8) вместо ф, получим первое приближение
где
L
](x0)U(x0)9n(x0)dx0. (9.1.11)
Второе приближение <|4Р получается подстановкой ф"' в (9.1.8):
•#' = *„ <*)+* 2 тёк*р+*' 2 w-Zw-m *»• (9ЛЛ2>
где запись рд Ф п означает, что члены с р~п или q = n в сумме опу-
опущены. Вообще
так что
<Ь(а) = CD -)- X У
i ?. Til I ^1J
Следует отметить, что эти формулы содержат неизвестное к2. Его
теперь можно определить подстановкой (9.1.13) в (9.1.9). Получаемое
таким образом соотношение, определяющее к2, имеет вид
Это уравнение можно решить методом последовательных приближений.
Если обозначить через (/с2)(а> а-е приближение, то
l.2\B) hi \\TT _l_ >2 > p p

Ю Гл. 9. Приближенные методы
Х- 2
рфп п
»• 2
рфп кп -Г кь пп -f- A.' 2j №к2 Р
" Ч
+ Х*
Вообще
(ЬЩа) — h2 Л- Ш Л- X2 У, Un
(К )У l-Kn+KU^ + h Zj r,2,(a
Unr>UPn
2,(a-2)
,8
рфп
npUpqUqri
,ya V UnpUpqUgyUrs ¦ ¦ ¦ U' zn „ . . r
и.т!^п(*п-ф(*й-*й*)(*г;-*?)"-(*л-л?)" ('
Соответствующие волновые функции таковы:
= 9n (X) + X Ц П
12 V VV.'.Uqn
X 2j 772 72ГГГ1 ТгГ'Рр
(An —fep)(/cn —/f,,)
. 2
upqu<trurt...uln
Б каждом случае я-е приближение берется с точностью до 1°.
Необходимо, однако, обратить внимание на то, что (9.1.15) и (9.1.16)
не являются разложениями по степеням X, так как знаменатели содержат
X. Степенной ряд можно получить разложением знаменателей в ряды
по степеням X. Этот процесс приводит к пертурбационным формулам
Рэлея—Шредингера1). Ясно, что эти последние выражения не только
i) См. любой учебник по квантовой механике, например, Kemble, The Fundamen-
Fundamental Principles of Quantum Mechanics, стр. 380—388; McGraw-Hill, New York, 1937.
{Или Ландау и Лифшиц, Квантовая механика, ч. I, стр. 159—162, М,—Л,. ГИИТЛ,
1948.— Прим. ред.]

9.1. Теория возмущений 11
значительно сложнее, чем (9.1.15) и (9.1.16), но и, вообще говоря,
имеют меньший радиус сходимости. Заметим также, что при получении
(9.1.15) мы подставляли вместо к2 ровно такое приближение, которое
обеспечивает точность порядка ~ка. На практике часто бывает удобно
при вычислениях всюду подставлять (/с2)'0) вместо к2.
Сходимость рядов. Сходимость рядов, которые дают выражения
(9.1.16) для ф<а> и (9.1.15) для (/е2)(а>, является, конечно, существенной
для их практического применения. Что касается рядов для ф(а>, то нас
интересует их сходимость в среднем (см. 6.3), для которой требуется
сходимость сумм квадратов коэффициентов при <рр в разложении 6<а).
Более точно, если "?(а) = 2 ^РФР> то мы требуем, чтобы ряд
сходился. Мы можем рассматривать прямо равенства (9.1.16), но более удобно
использовать само исходное интегральное уравнение (9.1.4), из которого
мы видим, что
$' (9.1.16a)
где штрих у интеграла указывает, что из функции вычитается ее проек-
проекция на ср„. Для сходимости в среднем разложения функции ф(а) требу-
требуется, чтобы второе слагаемое в выражении для ф(а> было интегрируемо
с квадратом. В рассматриваемом одномерном случае Gh является кусочно-
непрерывной функцией, хотя имеет разрывную производную. Следовательно,
в предположении сходимости разложения для ф(а—J) необходимым усло-
условием сходимости этого интеграла является интегрируемость U. Тем не
менее мы видим, что U может иметь особенность, а интеграл все-таки
будет сходиться; U может быть дельта-функцией Дирака или даже ее
первой производной. Однако вторая производная дельта-функции слишком
сингулярна, так как интеграл в этом случае пропорционален второй
производной от функции С^-ф^^, которая сингулярна. (Заметим, что
особенность дельта-функции соответствует особенности функции 1//? для
одного измерения; в и-мерном случае она соответствует особенности 1//?п.)
В терминах элементов Upn сходимость в среднем для рядов (9.1.16)
будет иметь место, если
1#рпГ^*з-, е>(). (9.1.17)
р-хэо
Конечно, если U содержит дельта-функцию или ее производную, сходи-
сходимость рядов для ф<а) будет медленной, что делает решение практических
задач утомительным и поглощающим много времени. Сходимость можно
ускорить суммированием в замкнутом виде рядов ^ -Вр<рр, где Вр при-
приближают Ар все точнее по мере стремления р к бесконечности. Затем
этот ряд вычитается из исходного, а сумма в замкнутом виде прибав-
прибавляется. Полученный таким образом новый ряд сходится быстрее старого.
Процедура образования таких сумм наводит на мысль, что ряды, пред-
представляющие \ GfrUty^dXo и \ Сои$<-аЫхо, сходятся в точности одинаковым
образом, так как медленная сходимость происходит из разрывного харак-
характера производной функции Gk.

12 Гл. 9. Приближенные методы
Мы приходим таким образом к рассмотрению функции
о
Эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
Тогда функция ф<а) представима в виде
?а) = ?„ - (Х(а))' - * $ ' (Gh - Go) U (х0) ф(«-1) dx0 =
о
Здесь штрих у )Да) и у интеграла означает, что нужно вычесть компо-
компоненту, пропорциональную <рп, т. е.
Важный вывод, вытекающий из этого рассмотрения, состоит в том,
что сходимость можно улучшить, если удается или решить неоднородную
задачу с нулевой энергией в замкнутом виде, или получить для нее
сходимость, более быструю, чем для (9.1.16).
Сходимость в среднем рядов в (9.1.16) для <Jrf°) не обеспечивает схо-
сходимости соответствующих рядов в (9.1.15) для (/с2)(°). Чтобы проверить
это утверждение, подставим в равенство (9.1.9) для к2 равенство (9.1.16а)
для Ф'а>. Тогда приближенным значением для к2 будет
l ь
В ~ К + \Unn-X2 J dx jj '9п {x)U(x)Gk(х\х0) U(х0) ф(-1) (xQ)dx0. (9.1.18)
о о
Снова необходимым условием сходимости является интегрируемость U.
Функция U может иметь особенность типа дельта-функции, но в отли-
отличие от того, что было в случае рядов для ф, она не может иметь особен-
особенности типа первой производной от дельта-функции [так как тогда для
вычисления интеграла в (9.1.18) функцию Gk пришлось бы дважды
дифференцировать]. Это пс делает недействительными наши результаты
для ф(а), но указывает на то, что в данном случае, прежде чем подста-
подставить ряды в (9.1.9) для получения к2, нужно улучшить их сходимость
при помощи указанной выше техники.
Многомерные задачи. Формулы (9.1.7) — (9.1.15) применимы-
к более общим задачам, чем (9.1.1). Если, например, мы имеем дело
с движением частицы в трехмерном пространстве под действием потен-
потенциала Uo -J- XZ7, то <1) удовлетворяет уравнению
= 0, (9.1.19)
где невозмущенная задача с точным решением ср„ и собственным значе-
значением кп состоит в решении уравнения

9.1. Теория возмущений 13
Если мы рассматриваем две частицы, то необходимо ввести шестимерное
пространство (три координаты для каждой частицы). Уравнение будет
в этом случае следующее:
V23 + V;$ + (к2-Uo- Ш) <!> = 0. (9.1.20)
Здесь ф — функция шести переменных xv yx, zt и х2, у2, z2. В каждом
из этих случаев возмущение создается членом XZ7 и поэтому можно
использовать результаты (9.1.7) —(9.1.15), причем теперь
Upn = \ • • ¦ \ 9Р (жт> Ж2 xn) U (xv х2 xN) X
dx1dx2.. .dxj^, (9.1.21)
где N — число измерений ( = 3 или 6 в рассмотренных примерах).
В исследование сходимости нужно внести некоторые изменения, так
как характер особенности функции Gk зависит от размерности простран-
пространства. В одномерном случае Gk имеет разрывную производную в точке
х = х0; в двумерном случае Gk обладает логарифмической особенностью;
в случае трех и более измерений Gk ~ AR~N+2, где R — расстояние от
источника до точки наблюдения и /V—число измерений. Поэтому нужно
рассмотреть интеграл
\ln\r-ro\U(ro)dvo, N=2,
где г и г0 — векторы TV-мерного пространства.
После интегрирования получится функция (от г), интегрируемая
с квадратом в том случае, когда U (г0) имеет особенность в точке гх вида
J г0 — гх 1^—2.3 (г0 — rj или |г0 — rj-2 для всех N, кроме N = 2. В случае
N = 2' допустимая особенность имеет вид | г0 — г^й (г > 0). Эти функции
дифференцируемы N — 1 раз. Следующее дифференцирование дает саму
о-функцию. Следовательно, эти функции имеют разрывы в своих градиен-
градиентах (N — 1)-го порядка. Мы видим, что при возрастании числа измере-
измерений допустимая точечная особенность по совокупности всех координат
становится все более слабой. Если U (г0) включает только одну из коор-
координат, то дело сводится, по существу, к одномерному случаю (это заме-
замечание может быть использовано для получения разобранных сейчас
результатов).
В терминах элементов Upn сходимость ряда (9.1.15) в среднем имеет
место, если
\Upn\2 ~ №-"-*, s>0. (9.1.22)
р-»со
Пример. Мы проиллюстрируем применение формул теории возмуще-
возмущений на уравнении Матье
Это уравнение было рассмотрено раньше (см. § 5.2), где был применен
метод непрерывных дробей для определения значений величины Ь, сов-
совместимых с периодическими граничными условиями, .наложенными на Л.
Физически уравнение Матье интересно при рассмотрении вопроса о рас-
распространении волн в эллиптических цилиндрических координатах [см.
формулу A1.2.70) и дальше]. Невозмущенные собственные функции

14
Гл. 9. Приближенные методы
имеют вид
соответствующие собственные значения равны и.2. Знак « + » относится
к четному решению — косинусу; знак « —» к нечетному— синусу. Эти соб-
собственные функции образуют на отрезке @, 2тс) полную ортонормальную
систему. Возмущение создается членом scos2 6, где теперь s—параметр,
определяющий величину возмущения, так что в формулах теории возму-
возмущений надо положить X = s, ?7 = cos2 6. Следующий шаг состоит в вычис-
вычислении элементов Unm для функции cos2 6. Так как cos2 6 —четная функ-
функция, то Unm отличен от нуля только в том случае, когда <рп и <рт либо
обе четные, либо обе нечетные. В этом примере мы сосредоточим внима-
внимание на четном случае. Тогда
1
U т0 - UOm = — im2,
„+
2] При ГП И П ф 0,
П -
00 ~~
Мы рассмотрим два случая, соответствующих невозмущенным соб-
собственным функциям ф0 с собственным значением 0 и <р6 с собственным
значением б2 =36. Соответствующие значения Ъп выражаются в согласии
с формулой (9.1.14) в виде
pq
рфп РЧфп
В этом примере мы проведем вычисления с точностью до четвертого
порядка включительно. Тогда
0= ~'Т~' 8(Ь0 —4) ~^16(Ь0 — 4J +32(Ь0—4J L Ъо — 4 "*" Tb0— \
Величина Ьо вычислена для нескольких значений s. Результаты даны
в табл. 9.1 вместе" с точными значениями. Укажем, что Ыоа1 есть а-е при-
Таблица 9.1
0,2
1,0
2,0
4,0
0
0
0
0
0,10000
0,50000
1,00000
2,00000
0,09875
0,46430
0,83333
1,00000
0,46892
0,891-97
1,77778
Ьо
0,87367
1,15407
Точное
0,09875
0,46896
0,87823
1,54486
ближение для Ьо. Как и следовало ожидать, сходимость, которая пре-
превосходна для 5<1, ухудшается при s > 1. При 5=4 сходимости нет
вовсе, последовательные приближения колеблются вокруг точного значения.
Ясно, что эта величина s больше радиуса сходимости пертурбацион-
пертурбационных рядов или в лучшем случае только совсем немного меньше его.
Как мы увидим на стр. 28, имеется возможность обеспечить анали-
аналитическое продолжение за радиус сходимости и получить выражение,
Напомним, что по определению =0 = l. ?i=e2= ••• =2. — Прим. ред.

9.1. Теория возмущений
15
справедливое для всех значений s. На данной стадии рассмотрения мы
можем применить специальную технику преобразования Эйлера [см. равен-
равенство D.3.16)], которая дает для Ьопри s = 4 приближенное значение 1,46231.
Для Ь6 выражение имеет вид
s2
«* f «
64 l(bc-16)
1 _ 1 1
^ZTI6 64=6"eJ
r
L
i
i
-bcJ L4A00-fc6)t64
1 1
-be)» J
-b6J J
Величины 5 и последовательные приближения к Ьв приведены в табл. 9.2.
Таблица 9.2
0,5
2
30
36
36
36
36,25
37,00
51,00
36,25022
37,00356
48,27998
53.28531
Точное
36,25022
37,00357
51,82897
Сходимость в этом случае аналогична сходимости для случая п = 0, однако
радиус сходимости значительно больше. Этого следовало ожидать, так
как возмущающий член s cos2 6 не может приблизиться к невозмущенной
величине п2 до тех пор, пока s не станет достаточно большим. Позже
(на стр. 28) мы разовьем приближенный метод, который основывается
на этом соображении. Однако при s = 30 пертурбационный ряд уже не
сходится; преобразование Эйлера дает величину 48,89, все еще довольно
далекую от точного значения.
Из этих примеров ясно, что метод улучшения сходимости ряда по
возрастающим степеням X был бы крайне желателен. Мы рассмотрим два
таких метода — метод Фредгольма и метод Финберга. Формула Фредгольма
дает выражение, справедливое для всех значений параметра возмущения X.
Пертурбационная формула Финберга; вековой определитель. Фин-
берг заметил, что в предшествующих формулах теории возмущений эле-
элемент UаЬ в данном порядке возмущения может встречаться более одного
раза, так что появляются (UabJ и более высокие степени Uab. Это можно
увидеть, анализируя член пятого порядка в (9.1.14):
Ясно, что в процессе суммирования по всем индексам (кроме п) оба
индекса риг мы можем положить равными а и в то же время выбрать
индексы q и s равными Ь, так что в этой сумме будет содержаться член
(?/аЬJ. Финберг затем указал, что можно получить пертурбационные
формулы, в которых такого повторения элементов не будет.
Основания для такого замечания можно увидеть из следующего сооб-
соображения. Пусть мы имеем задачу
где if—некоторый оператор. В уравнении (9.1.1) X = d2/dx2, в (9.1.19)
X = V2 — Uo; в (9.1.20) X = Vj -f- VJ— Uo. Невозмущенной является задача
+ Лп?„ = 0, (9.1.24)

16
Гл: 9. Приблимсенные методы
где, если X предполагается эрмитовым оператором, функции <рп образуют
полную ортонормированную систему:
nTmcfo = Snm. (9.1.25)
Разложим теперь ф в ряд по этой системе:
Подставляя этот ряд в уравнение (9.1.23) и используя (9.1.24), мы получим
¦Отсюда
(/с2 - А5) св = X
= X
или
(9.1.26)
Это верно для всех q, так что мы имеем систему линейных однород-
однородных уравнений для коэффициентов ср. Такая система имеет ненулевое
решение только в том случае, если определитель, образованный из коэф-
коэффициентов при неизвестных ср, равен нулю. Поэтому
Jqt> I = О»
"QP
(9.1.27)
или
к2 — Ар — Х[/
00 ^01
А2 —А* —Х[/п
- хс/,
-ХС/о;
-XC/j
k2-k\-W
22
= 0.
Это— уравнение, определяющее А2. Определитель слева называется вековым
определителем. Он был рассмотрен в гл. 1 (стр. 65). Теперь можно
видеть, что повторений элемента Uab при раскрытии определителя не
встретится. Предположим, например, что мы имеем дело с задачей,
в которой отличны от нуля только те UаЬ, для которых а<2, й<2.
Тогда определитель после раскрытия и перегруппировки членов, которая
нужна для приведения его к виду, аналогичному пертурбационной фор-
формуле (9.1.15), запишется следующим образом:
= а;
UnlU>,
\,2 ,, ,,, .A"ty2i^i2
I r " ft«-fti-xi
?/,,
1 (fca — kf — ?ч6г11)(/с2—/cf — Ш2о) — A.2t/jo(/21
С другой стороны, если мы напишем равенство (9.1.15) для этого случая,
то получим не конечное число членов, а бесконечный ряд. Можно пока-
показать, что дополнительные члены появляются в результате разложения

9.1. Теория возмущений 17
в ряд по степеням X знаменателей н написанном выше выражении:
LZ 12 I 1 /Г ! 12 Г ^01^10 _1 ^02^20 Т I > 3 Г ^01^11^10 t
Л_Л0+^00+Д [ д,_ч + fcs_fcj J + Л [ (*»-**)« +
, U01U12U20+U02U21U10 ¦ U02U22U20 1 ,
' (fc2_fc*)(fcS_fc|) "Г (fc2_ft|)S J "Г • • • •
Первый и последний члены в скобках при Xs являются результатами раз-
разложения в ряд дробей 1/(А2 — к\ — ХС/Ц) и 1/(к2 — к\—Х?/22), которые появ-
появляются в точном выражении. Все такие разложения уменьшают область
применимости пертурбационных формул; обычно полезнее видоизменить
развитие теории возмущений так, чтобы обойтись без этих разложений.
Рассмотрим для этой цели уравнения (9.1.26), определяющие неиз-
неизвестные коэффициенты ср. Предположим, что мы рассматриваем то реше-
решение, которое приводит к <р„, если возмущение исчезает, так что с„ = 1.
Тогда
S UM. (9.1.28)
(Запись q Ф пр указывает, что в сумме индекс q не может принимать
значений п и р.) Для построения метода последовательных приближений
мы должны теперь написать уравнение, определяющее cq. Во избежание
повторений матричных элементов нужно выделить в уравнении для cq
члены с индексами р и п:
р гфпт
Аналогично для сг
&Фпрдг
Пока еще не было сделано никаких приближений. Для конечного веко-
ного определителя, содержащего, следовательно, только конечное число
членов в разложении ty, получится конечное число уравнений вида
(9.1.28) —(9.1.30). Если бы мы имели дело, например, с вековым опреде-
определителем третьего порядка, то уравнение (9.1.29) не содержало бы члена
<¦ суммой; для случая определителя четвертого порядка последним урав-
уравнением было бы (9.1.30) и оно не содержало бы члена с суммой; и т. д.
1} каждом случае последнее уравнение не содержит члена с суммой.
Для того чтобы решить уравнения (9.1.28)—(9.1.30) и другие, кото-
которые получатся в процессе последовательного выделения коэффициентов,
отбросим член с суммой. в JV-ом уравнении и найдем из него N-e с. Под-
Подставив полученный результат в (N—1)-е уравнение, находим (N — 1)-е с
и т. д. Чтобы получить формулы для бесконечного векового определителя,
применим метод полной математической индукции для получения общего
решения при любом N, что позволит осуществить предельный переход
при N —=> со.
Мы проиллюстрируем первый шаг этой процедуры, взяв N = 3.
Из (9.1.29) находим
(/с2 _ ki _ хг7ад) cq = Wqn + lcpUqp.
Подставляя в (9.1.28), получаем формулу
2 М \ТТ 12 V UQPUPQ
-кр~кирр л 2л "тггтттг
дающую ср до второго порядка точности включительно.
2 Ф. М. Морс и Г. Фешбах

18 Гл. 9. Приближенные методы
Уравнение; определяющее к2, получается, если положить q = n в (9.1.26),
а вместо сп подставить единицу. Тогда
к2 = Л*+ Wnn + \ 2 cpUnp. (9.1.32)
рфп
Подставляя значение ср из (9.1.31), получаем кг с точностью до треть-
третьего порядка:
^ + x- 2UnpUpn +
2 ии
рфп Л*_4_ШРР-Х* У. Z
гфрп
(9.1.33)
Сравнение с приведенным выше точным выражением для векового опре-
определителя третьего порядка обнаруживает, что равенство (9.1.33) является
точным для этого случая. Для определителей более высокого порядка
оно дает точное разложение определителей третьего порядка, содержа-
содержащих к2 — кп — ~М7пп, а приближения входят только в алгебраические
дополнения.
Легко провести аналогичное рассмотрение для N = 4 или больших зна-
значений N и увидеть, какова должна быть форма решения для бесконеч-
бесконечного N. Мы приведем окончательные результаты.
Пусть
2 k*-
гфпрц
и т. д. Каждое х, с постепенно удлиняющимся индексом, имеет посте-
постепенно уменьшающееся число членов в каждом ряде, умножаемом на раз-
различные степени X; все больше матричных элементов опускается, и если
имеется только конечное число состояний, то ряды в конце концов сво-
сводятся к нулю, так как все нулевые матричные элементы опущены.
Можно дать общее выражение для ср через эти константы (х2)пр, .. -:
Upn ъ UPQUqn
CV~ k*-(x*)rp + Ч 2| [fc2-(x2)np][/?2_(x2)npg] +
гфпрд

9.1. Теория возмущений 19
Подставляя этот результат для ср в уравнение (9.1.32) для к2, получаем,
р_рх ш , Х2 V Х}^рУрп ^ UnpUmUqn
К = Кп "Г *•<-/ пп -+- А. > . -Г5 Z^i Г Л
Ясно, что здесь нет повторения элементов Uab, ввиду условия суммиро-
суммирования, указанного под каждым знаком суммы и не позволяющего двум
разным индексам принимать равные значения. Для любого конечного
векового определителя равенство (9.1.36) дает точное разложение.
Чтобы решить уравнение (9.1.36) относительно к2, мы должны при-
применить метод последовательных приближений. Это дает следующую фор-
формулу для а-го приближения:'
рфп
(9-1.37)
2 , /7f^4 , 2
" (^п —/Ср) (fen —/cq) (fen —fer) ¦ ¦ • (fen —fez)
<2=jfcnp
t
Здесь (ж2)^]".^ есть величина (х2)пр... в (а—2)-м приближении с погреш-
погрешностью, пропорциональной X0. Применяя формулу (9.1.37), следует дви-
двигаться постепенно, образуя желаемый порядок приближения. Можно
легко вычислить (А;2)<2) как
Затем (й2)<3) получится из (9.1.37) и (9.1.34), (Л*)<4> из (9.1.37) и (Л2)'8'
и т. д. Результаты этих вычислений можно затем подставить в (9.1.35)
и определить соответствующие значения коэффициентов ср.
Сходимость пертурбационной формулы Финберга (9.1.37) определяется
сходимостью соответствующего детерминантного отношения, которое равно
мпп
(9.1.38)
Здесь Мпп — алгебраическое дополнение элемента с индексами (/г, п),
равного (№ —kn—^Unn), в определителе (9.1.38). В а-и приближении все
произведения в разложении указанного определителя, которые содержат
более чем а недиагональных элементов Um(p /= q), должны быть опущены.
Ряды (9.1.37) перестают сходиться, если л превосходит Хо —первое значе-
значение X, для которого Мпп обращается в нуль, —или в том случае, когда
перестанет сходиться весь определитель. Определитель сходится, если-
сходится сумма
V ^. (9.1.39>
2*'

20 Гл. 9. Приблимсенные методы
Если число измерений N, то для этой сходимости Up,} должно для боль-
больших р и q стремиться к нулю по крайней мере со скоростью (Жр/сд)~ ~~е,
s > 0 (если U — эрмитов оператор, так что UQP = Upq). Это условие имеет
значение для тех U(r), у которых B/V —1)-я производная разрывна, так
что 2iV-H производная сингулярна. Любая более гладкая зависимость U
от г приводит, конечно, к сходимости ряда (9.1.39). В одномерном слу-
случае, когда 2N — 1 равно единице, U должно быть по крайней мере кусочно-
гладким. Конечно, условие сходимости в среднем рядов для ^ менее
жестко. Мы можем установить требования относительно поведения элементов
Um при рассмотрении сходимости рядов ^ сР, где ср выражаются форму-
формулой (9.1.35). Такой анализ показывает, что величина |?/рп|2 при увели-
увеличении р должна быть порядка kP'~N~B, e > 0, как было получено в (9.1.22)
для итерационно-пертурбационной формулы.
Указанные выше условия не зависят от значения X, и, следовательно,
не имеют отношения к сходимости ряда (9.1.36), как ряда по степеням X.
Радиус сходимости этого ряда определяется первым нулем Мпп. На это
указывает форма выражения (9.1.38). Более наглядно это можно также
иоказать, вернувшись к вековому определителю (9.1.27) и уравнению (9.1.26)
для определения коэффициентов ср в предположении, что Ж2 известно.
Как мы увидим, эти коэффициенты бесконечны, если Мпп равно нулю.
Пусть в равенстве (9.1.26) си=1; тогда получается линейная неоднород-
неоднородная система уравнений
S W - К) s<№- w,№] Ср = - w - Щ V- W7,n]•
рфп
Решения для ср обратно пропорциональны определителю, образованному
из коэффициентов при ср. Этот определитель может быть получен из веко-
векового определителя зачеркиванием /i-го столбца и /г-й строки и равен,
следовательно, как раз Мпп. Коэффициенты ср становятся, таким образом,
бесконечными, если Мпп обращается в нуль, и разложение (9.1.35) пере-
перестает существовать.
Абсолютная величина Хо — наименьшего X, для которого Мпп как
функция от X равно нулю, —есть, следовательно, радиус сходимости
ряда (9.1.35) для ср. Мы покажем теперь, что Mrin становится равным
нулю всякий раз, когда решения задачи (9.1.23) вырождаются. То, что Мпп
равно нулю для этих частных значений X,, и /с2, означает, что существует
решение уравнения (9.1.23), не содержащее функции <рп. Такое решение
можно, конечно, получить, взяв линейную комбинацию двух вырожден-
вырожденных решений, что доказывает теорему. Можно доказать также обратную
теорему.
Отсюда мы делаем вывод, что радиус сходимости пертурбационной
формулы Финберга определяется наименьшей абсолютной величиной ).,
для которого решения становятся вырожденными. Рис. 9.1 иллюстрирует
сходящиеся и расходящиеся решения. Линии представляют изменение
первых двух собственных значений к% и к\ с увеличением X от 0. Радиус
сходимости рядов Финберга есть Хо, потому что именно при X = X,, наблю-
наблюдается вырождение. Для Х<Х0 ряды будут сходиться, для Х>Х0 — расхо-
расходиться.
Пример. Применим теперь пертурбационную формулу (9.1.36) к четным
периодическим решениям уравнения Матье, рассмотренного выше на стр. 13
с применением итерационно-пертурбационной формулы (которая перестала
быть верной при s=4 для п = 0 и s = 30 для п = 6).
Для второго порядка (9.1.36) дает (bn в знаменателе ~ n2 + s/2)

9:1. Теория возмущений
21
t.-c + Z).-/* J
Для случая /i = 0, s = 4 в этом порядке получается 6 = 2—1/2=1,5, что
намного ближе к точному значению 1,54486, чем величина 1,00, которая
получалась в итерационно-пертурбационном методе на этом этапе аппро-
аппроксимации. Для случая п = 6, s = 30
получается 51,8035, что довольно
хорошо согласуется с точным зна-
значением 51,8290, в то время как итера-
итерационно-пертурбационный метод в со-
соответствующем случае дает 48,2800.
Различие между двумя формулами
возникает из-за предположения, что
s мало, и связанного с этим в ите-
итерационно-пертурбационной формуле
разложения по степеням 5. Ясно, что
в рассматриваемом случае это прак-
практически нецелесообразно. Например,
в случае Ьо величина 4 — Ъо = 2 как
раз равна s/2.
По сути дела, для уравнения Матье ряды Финберга приводят к точ-
точным непрерывным дробям (см. т. I, стр. 531), которые и используются для
получения точного значения, указанного выше. Члены порядка X3 и выше
в (9.1.36) исчезают. Рассмотрим, например, член с X3, который содержит
UnpUvqUqn (р Ф п, q Ф пр). Из общего выражения для Unm выше на стр. 14
мы видим, что р должно быть равно п ±2. Следовательно, q должно
быть равно только п ± 4, после чего Uqn исчезает, и значит, формула
1-7 71
рфп
является точной. Теперь (х2)„ в (9.1.34) равно
Рис gл область сходимости после-
дователыюсти (9.1.37) к точному зна-
чению к* имеется только для I < 10.
_ „2
-P
¦*—! Ьп—а
UqrUrQ
-2
uHulr
Нам нужно теперь только подставить сюда выражение для Upq, позволя-
позволяющее получить непрерывную дробь для Ьп. Например, для и = 0
s2/16

22 Гл. 9. Приближенные методы
Если для s = 4 подставить Ьо=1,5, как было получено раньше, и вычи-
вычислить правую часть, включая члены bQ — 9 — s/2, то получится Ьо = 1,545,
что уже близко к точному значению 1,54486.
Пертурбационная формула Фредгольма. Как было показано выше,
пертурбационная формула Финберга может иметь конечный радиус схо-
сходимости; ряды расходятся, как только X превосходит величину, при кото-
которой появляется вырождение собственных значений. Этот вывод тем более
имеет место для итерационно-пертурбационной формулы, поскольку, как
это было указано, эта формула может быть получена из формулы Фин-
Финберга дальнейшими разложениями, что, вообще говоря, приводит к рядам
с еще меньшим радиусом сходимости.
В настоящем пункте мы выведем пертурбационную формулу, которую
можно применять при всех значениях X; тем самым она обеспечит ана-
аналитическое продолжение рядов итерационно-пертурбационной формулы
я формулы Финберга за их радиусы сходимости. Эти формулы более
обозримы, если исследовать возмущения в терминах операторов и векто-
векторов в абстрактном векторном пространстве. Кроме того, такое рассмотре-
рассмотрение будет общим, допускающим распространение на любые задачи теории
возмущений.
Рассмотрим задачу о собственных значениях
(ЗД-?)е = Х$8е, (9.1.40)
где i? — собственное значение, а 31 и S3 — эрмитовы операторы. Невозму-
Невозмущенная задача соответствует оператору 31 с собственными значениями ?„
и собственными векторами fn
«f» = e»f». (9-1.41)
Возмущающий член выражается оператором Х58. Уравнения (9.1.40)
и (9.1.41) суть просто уравнения (9.1.1) и (9.1.2), записанные в абстракт-
абстрактном векторном пространстве. В случае более сложной многомерной задачи
уравнение (9.1.40) имеет вид (9.1.19) или (9.1.20) и т. п.; как подчеркнуто
выше, уравнения (9.1.40) и (9.1.41) применимы также ко многим другим
задачам. Аналог интегрального уравнения (9.1.4), из которого были
выведены итерационно-пертурбационные формулы, получается здесь вве-
введением оператора, обратного к 9t — E. Уравнение (9.1.40) принимает вил
?'Г193е. (9.1.42)
Мы снова отделяем собственный вектор, к которому стремится е, когда X
стремится к нулю. Пусть это будет fm, а соответствующие е и Е обозна-
обозначим через еп и Еп:
Чтобы описать отделение 1п от остатка правой части в уравнении (9.1.42),
необходимо использовать понятие проекционного оператора *{5П. Этот
оператор определен так, что он выделяет ту часть любого вектора, кото-
которая пропорциональна fn. Он, таким образом, имеет следующие свойства:
%Jn = in, $nfm = 0 при тФп.
Его можно представить более конкретно в форме аффинора
Следовательно, если e=2otpfp, то ^ne = anfn. Таким образом, уравне-
уравнение (9.1.42) для еп мы можем записать в форме
^n)CU-EnrlS8en. (9.1.43)

9.1. Теория возмущений 23
Для удобства введем обозначение
так что теперь (9.1.42) принимает вид неоднородного относительно еп
уравнения
en = fn + XJbn. (9.1.45)
Символическое решение этого уравнения есть
en = r=Hf» = f" + r=^Sf"- (9.1.46)
Итерационно-пертурбационная формула для вектора еп получится разло-
разложением 1/A — Щ) в степенной ряд по X
en = fn + XSSfn + X«(S1fn)+... • (9.1.47)
Этот ряд идентичен ряду (9.1.13), так как если мы подставим в разло-
разложение оператора й по собственным векторам fn
неличину скалярного произведения
f^f, = il(I -Щп) (И-Епух Ъ\а = ^§-п, р-фп,
то это разложение примет вид
Шфп
Произведение Шп равно V —vnIt и совпадает, конечно, с членом пер-
вого порядка в (9.1.10). Произведение S?2fn равно
в согласии с членом второго порядка в (9.1.12) и т. д.
Радиус сходимости дается абсолютным значением той величины X,
для которой однородное уравнение, соответствующее (9.1.45), имеет нену-
ненулевое решение, так как, вообще говоря, UQin не будет ортогональным
к такому решению при всех значениях q. Таким образом, в (9.1.46)
особенности сосредоточены в точках Хг, являющихся собственными значе-
значениями уравнения
g, = M8&. (9-1.49)
Подставляя из (9.1.44) выражение для й и умножая1) на *й—Е, пере-
перепишем (9.1.49) в виде
DL-E)gr = \(l-$n)®gr. (9.1.50)
Важно отметить, что Хг — не обязательно действительное число, так как
A—фпM8 — не обязательно эрмитов оператор. Из (9.1.50) вытекает, что
fn-gr = 0, и, следовательно, gr является тем решением исходной задачи
на собственные значения (9.1.40) с Х=ХГ, которое не содержит in. Такое
решение можно получить, если X таково, что уравнение (9.1.40) имеет
Отметим, что Щ = Щ.— Прим. ред.

24 Гл. 9. Приближенные методы
вырожденные решения, т. е. существуют по крайней мере два решения
с одинаковыми значениями Е и X, так что можно построить линейную
комбинацию этих решений, не содержащую in. Следовательно, как и i;
случае формулы Финберга, радиус сходимости ряда (9.1.47) определяется
наименьшей абсолютной величиной того X, при котором уравнение (9.1.40)
имеет вырожденные решения.
Обратимся теперь к задаче развития теории возмущений в такой
форме, которая обеспечила бы аналитическое продолжение решения за
указанный радиус сходимости.
Перепишем уравнение (9.1.46) для символического решения еп, введя
функцию х Q*)'
е **) f (915n
Xfr) [У.1-О1-)
Функцию х(к) выберем следующим образом. Она должна быть целой
функцией от X, т. е. не должна иметь особенностей во всей комплексной
плоскости X. Ее нули должны совпадать с полюсами функции 1/A — Х$)
(т. е. Х=ХГ) и иметь тот же самый порядок. Поэтому х(^ч)/(^— ^)» так
же как и х (X), будет целой функцией, и ее можно разложить в степен-
степенной ряд по X, имеющий бесконечный радиус сходимости (см. т. I, стр. 361).
Таким образом, оператор, связывающий еп с in, будет представлен в виде
отношения двух выражений, каждое из которых можно разложить в сте-
степенной ряд по X с бесконечным радиусом сходимости. Особенность, кото-
которая присутствует в исходном выражении, все еще остается в (9.1.51),
так как х(к) обращается в нуль при Х=ХГ.
Перейдем теперь к определению целой функции х- Аналогичная задача
рассмотрена в гл. 4, стр. 364. Процедура, описанная там в общих чертах,
включает в первую очередь вычисление логарифмической производной
от Х> z' W/Z W> гДе штрих означает дифференцирование. Ясно, что эта
функция имеет полюсы в нулях функции хМ> т- е- ПРИ Х = ХГ. Таким
образом, чтобы получить х> необходимо приравнять х'// функции, имею-
имеющей полюсы соответствующего вида в точках Х = ХГ. Таких функций
много, и мы выберем простейшую из них:
Здесь символ Spur (след) означает сумму диагональных элементов матрицы,
стоящей под знаком Spur. Второе равенство вытекает из того, что диаго-
диагональные элементы й равны 1/Хп. Этот выбор выражения для x'/Z был
сделан потому,- что он приводит к фредгольмовскому решению неодно-
неоднородного интегрального уравнения второго рода, если й соответствует
интегральному оператору, так что (9.1.40) соответствует интегральному
уравнению. Наиболее общий выбор функции x'(^)/z(^) такой:
xfr) '
г
где / — любая целая функция от X, которая не имеет нулей при Х=ХГ
и для которой /(Хг, 1/лг)= — 1/Хг. Различные выборы / дают возможность
выделить разные порядки возмущения.
Возвращаясь к (9.1.52), мы можем проинтегрировать обе части равен-
равенства от Х = 0 до Х = Х, предполагая, что Х = 0 не входит в множество {Хг},
т. е. что невозмущенная задача не является вырожденной. Тогда
Х(Х) = ехр Г-^ Spur^j-^^dXJ . (9.1.53)
о

9.1. Теория возмущений
25
Следующий этап нашей программы — разложение х(^) и (
в степенные ряды по X. Нам придется ввести обозначение для следа раз-
различных степеней оператора й. Пусть
xp = Spurtp. (9.1.54)
Рассмотрим сначала х(^)- Пусть
п=0
Тогда
Но из (9.1.52) и определения (9.1.54) следует, что
х'М/х(*)=-2 *„¦,*".
т. е.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X в обеих частях
этого равенства, мы получаем рекуррентное соотношение для коэффи-
коэффициентов ап
(9.1.55)
8=1
Эти равенства образуют систему неоднородных линейных уравнений
для as; ее решение можно представить в форме определителя
а„ = — -
о о
2 О
у, 3
О
О
О
*п-1 *П.-2 лп-3 • • •
Первые четыре из этих коэффициентов таковы:
(9.1.56)
(9.1.57)
Мы можем использовать подобный метод для разложения х(^)/A— Ш)
в степенной ряд по X. Берем логарифм и дифференцируем. Тогда, если
*(*¦)
(9.1.5В)
ТО

26 Гл. 9. Приближенные методы
Сравнивая с уравнениями, определяющими ап, мы видим, что отличие
состоит только в том, что в каждом члене хр заменено на %V — W-
Следовательно,
1 0 0 . . . О Xjl-Я
*!-й 2 0 ... О *2-t2
*,-йя x,-t 3 ... О *„-Й3
nf
Если мы положим bn= fcn (x, й) в знак того, что fcn есть функция от
S? и от следов степеней й, то будем иметь
Первые три из этих коэффициентов даны ниже:
/. @ I г*
fj — jv ^ "j,
/)_ = @3 _ @24. _ J- /v _ ,2^ @ 4^ д.. (9.1 .59)
Мы можем теперь раскрыть формулу (9.1.51) и получить таким образом
фредгольмовское выражение для е„:
fn. ср=Ър-ар. (9.1.60)
р=0
Отсюда с точностью до третьего порядка имеем
1 + ». (К- Xj) + X2 Г ?2 - tx, —1 (*2- Xf) 1
en = fn + XS j L_^ i J—fn. (9.1.61)
1 —Xxx—yX»K— *!)— -^ ^8Bx8- 3xjx2 + x5)
Соответствующая величина собственного значения Еп получится из
Я„ = з„-Ч'пйе„). (9.1.62)
Если подставить (9.1.61) в это выражение, то получится формула
для Е с точностью до пятого порядка.
Для вычисления (9.1.61) мы должны найти величины следов, а также
матричные элементы (f$®afn) = (Ша)рп для а<4.
Вспоминая, что Ш = A — %п) B1 - Е)'193, имеем:
ту
"; (9.1.63)

9.1. Теория возмущений
пп равно нулю из-за оператора 1 — $и, хотя для ($Орр это не так.
Следы ха выражаются формулами
рфп
так что
рфп VQ=t=n
pqqp
Bp-?n) (EQ-?n) и т. д. (9.1.64)
Теперь мы можем написать
«п = К + v, fp
рфп
- у ("* - О (se)pj } {1 - хх, —i х« (х2 - xj) - -i х« Bх, - Зх,х8+х?)} ! •
(9.1.65)
Равенство, определяющее ?„, как это следует из формулы (9.1.62),
в третьем порядке имеет вид:
_1х3 Bx3-3x^ + 4=)} "'. (9.1.66)
К = ?п - *в„„ - ^2 2
рфп
1х Bx3-3x^
Заметим, что энергетическое уравнение не отличается от результата,
полученного итерационно-пертурбационным методом, пока не достигается
третий порядок относительно X. Так как (Ш)рп и т. д. в (9.1.66) содер-
содержат Е, то (9.1.66) нельзя рассматривать как явное выражение для Е,
а нужно рассматривать скорее как уравнение, которое надо решать
серией последовательных приближений, уже использованных для полу-
получения равенств (9.1.15) и (9.1.37).
Формулы (9.1.65) и (9.1.66) можно употреблять только в одномерном
случае, потому что х3 обращается в бесконечность для любой задачи
с большим числом измерений. По этой причине важно получить формулы,
не содержащие %г. Этого легче всего достигнуть, если умножить выра-
выражение (9.1.53) для х (Ц на целую функцию рМ*, предполагая на момент,
что xt конечно, так что
X (X) = ехр { - \ Spur ( j-^Lf) dX + Xxj} . (9.1.67)
6
Эта новая функция у (X) имеет следующую логарифмическую производную:
Сравнивая с соответствующим уравнением, полученным раньше для
Х(Х) из (9.1.53), мы видим, что данное уравнение получается из преж-
прежнего, если положить *, = 0. Мы можем, следовательно, немедленно напи-

28
Гл. 9. Приближенные методы
сать для коэффициентов в разложении
Z(X) = ?а' X":
«Л--1
и!
2
О
О
3
о
о
о
4
О
Аналогично, если
1— №
то
1
1
-ft
О
2
-ft
= 7, Onk ,
0
0
3
y
xn-2
О
О
о
5
-se
0
о x —:
0 x;j —
(9.1.68)
(9.1.69)
так что
Наконец, в формулах (9.1.65) и (9.1.66) мы просто полагаем *j = 0. Вы-
Выражение для Е теперь согласуется с результатами итерационно-пертур-
итерационно-пертурбационного метода до третьего порядка; результаты в методе Фред-
гольма отличаются в членах пятого порядка и выше.
Пример. Рассмотрим снова уравнение Матье. Мы можем установить
следующее соответствие:—d2/db2—> 21, bn—±En, s—> —X и U—>S3, так
что C/pQ = i?pQ. Мы можем использовать равенство (9.1.66) без изменений,
так как ' рассматриваемая задача одномерная. Для собственного значе-
значения Ьо, для которого Еп = 0, фредгольмовское выражение дает в четвер-
четвертом порядке
i ,3
16S
—
32
iW4
(b0 - 4)«(bb-16) + (bo-4J
128'
^tj } [
Это уравнение можно решить последовательными приближениями. Резуль-
Результаты помещены в таблице ниже для случая s = 4 вместе с аналогичными
результатами, полученными итерационно-пертурбационным методом.

9.1. Теория иозмущений
29
Метод
Фредгольма
И.-П.
2
2
,0000
,0000
1
1
.«)
Ьо
,0000
,0000
1
1
Ь о
,5553'
,7778
1
1
Таблица 9.3
Ьо
,5442
,1541
Точное
1,5449
Превосходство результатов Фредгольма очевидно; ошибка результата
третьего приближения составляет менее чем один процент, четвертое
приближение совпадает с точным значением вплоть до четвертой знача-
значащей цифры. Можно оценить радиус сходимости итерационно-пертурба-
итерационно-пертурбационных формул, найдя наименьший нуль знаменателя в последнем выра-
выражении для Ьо. Это дает s~5 для величины корня. Таким образом, не
удивительно, что сходимость для s—4 у итерационно-пертурбационных
формул получилась такая медленная.
Вариационно-итерационный метод. Каждый из рассмотренных выше
методов приводит к уравнению, определяющему собственное значение, —
уравнению, которое с помощью метода последовательных приближений
(см., например, уравнение (9.1.15)] дает формулу пертурбационного типа,
в которой собственное значение выражается через параметр взаимодей-
взаимодействия X. Фактически такая зависимость редко бывает явно выраженной,
так как получаются очень громоздкие выражения.
Конечно, было бы более удобно получить явное выражение Е как
функции X. Оказывается возможным найти обратную функцию, т. е.
представить X как функцию от Е при ограничениях, которые появятся
ниже. При таком методе мы рассматриваем X как собственное значение, а Е
как данную величину, т. е. ищем интенсивность взаимодействия, необходи-
необходимую для получения данного значения Е. Такое требование соответствует
положению, часто встречающемуся в практике, когда Е — величина, из-
известная из опыта, а нас интересует природа взаимодействия. В случае,
если желательно определить Е для отдельного значения X, необходимо
при таком методе определить X как функцию Е в окрестности этого зна-
значения X, а затем воспользоваться методом обратной интерполяции.
Рассмотрим (9.1.40) как уравнение для собственных значений X.
Соответствующее интегральное уравнение дается формулой (9.1.42):
Мы будем решать теперь это уравнение итерациями. Эта процедура будет
отличаться от использованной в итерационно-пертурбационном методе
тем, что мы не будем больше выделять специальный невозмущенный соб-
собственный вектор. Предположим снова, что ЭД и S3 —эрмитовы операторы.
Тогда существует собственное значение Хо, наименьшее по абсолютной
величине, соответствующее наименьшей интенсивности взаимодействия, для
которой Е является собственной величиной. Большие собственные значения
соответствуют интенсивностям взаимодействия, для которых е является не
лаинизшим состоянием, а следующим за ним, и т. д.
Пусть нулевым приближением к е будет е@), за которое мы выбе-
выберем одно из невозмущенных состояний fn для Е, близкого к г„. Первое
приближение еа) к е получится, если в правую часть данного выше инте-
интегрального уравнения подставить е(°> вместо е, так что
Заметим, что множитель X можно опустить ввиду того, что мы интере-

ЛО 1'л. 9. Приближенные методы
суемся только формой е. Нормировка не имеет значения, так как при
умножении на произвольную постоянную решение рассматриваемого ли-
линейного однородного уравнения остается решением. Эта возможность
опустить X в итерационном процессе позволяет вывести явную функцио-
функциональную зависимость X от Е. Продолжая итерационный процесс дальше,
с помощью следующего рекуррентного соотношения между (п — 1)-м и
п-м приближением,
e(«) = (9t-JE')-iS3e<«-1), (9.1.70)
получаем
е(") = [(Я-?)-1©]пе(°). (9.1.71)
Соответствующие приближения для Хо получаются из первоначаль-
первоначального уравнения
е«(ЯД)е g
е v '
или из интегрального уравнения
1 е*Ъе
Если теперь подставить е(и> вместо е в (9.1.72), получится м-е прибли
жение для Хо:
Х(п) = (е<">)* (И - Ё) е<">
о • (е<п>)*фе<™> '
или из (9.1.70)
Если же е'-п> подставить вместо е в (9.1.73), мы получим ( и + yVe при-
приближение (смысл этого обозначения будет выяснен ниже):
(e<">)*S3e<">
Очевидно, что удобно ввести обозначение
[п, т] = (ef">)*
так что
Х(п)= К"-И , ХЮ^ I».j _ (9.L76)
о [п, и] о [и, п-\-\] v '
Элементы [и, т] имеют следующие свойства:
[п, т] = [т, п] = [п + р,т — р].
Если рассмотренный выше процесс сходится, то цель, к которой
мы стремились, достигнута, поскольку правая часть как равенства
(9.1.74), так и (9.1.75) зависит только от Е, так что результатом
является точная зависимость X от ?. Обсуждение сходимости относится
скорее к § 9.4, посвященному вариационному методу, так как строгое
доказательство сходимости существенно основывается на вариационном
принципе. В настоящем параграфе мы удовлетворимся формулировкой
нужных здесь результатов и поверхностным рассмотрением условий,
гарантирующих сходимость; дальнейшие подробности можно найти
в уравнениях (9.4.93) - (9.4.110).

9.1. Теория возмущений 31
Если операторы ЭД — Е и S3 являются положительно определенными
(и удовлетворяют условиям, указанным ниже на стр. 133), то
' >4п+1)... >\,>0. (9.1.77)
Другими словами, последовательные приближения образуют монотонную
последовательность, сходящуюся к Хо справа [см. формулу (9.4.101)].
Если оператор S3 положительно определенный, а §1 — Е — нет, то соб-
собственные значения Хп не обязательно положительны.. В этом случае
справедливы более слабые неравенства. А именно,
| | | | | 4 | I ^ I ¦ • • > I К I- (9-1.78)
Следовательно, только полуцелые приближения аппроксимируют | Хо |
справа. Целые приближения могут быть как больше, так и меньше | Хо |.
Сходимость метода. Скорость сходимости к точному значению Хп
наиболее сильно зависит от отношения первых двух собственных значе-
значений Хо и Xj для данного Е. Это можно в общих чертах продемонстри-
продемонстрировать следующим образом. Пусть собственное значение Хп в уравнении
(9.1.40) имеет соответствующий собственный вектор gn, т. е.
(9.1.79)
Эти векторы образуют полную систему, по которой мы можем разложить
нулевое приближение:
e@>=2«mgm, (9.1.80)
где ат— числовые коэффициенты. Мы можем теперь вычислить еA> и ги-
тем е'п>, так как
или
e<i>= V^L,
2 ¦§-&„• (9-1.81)
Для положительно определенных эрмитовых операторов величины Хш
образуют монотонную последовательность Хо, Хх, .... Хт Следова-
Следовательно, при отсутствии вырождения (т. е. равенства Хо = Хх) отношение
амплитуды низшего состояния g0 к амплитуде первой гармоники gj воз-
возрастает при возрастании порядка приближения: оно равно
% U
следовательно, для достаточно высокого порядка итерации разложение
е<"> будет содержать главным образом g0, и соответствующая величина
Х!"> будет очень близка к точному значению Хо. Скорость сходимости
последовательности X<n> подобна скорости сходимости последовательности
е<и>, поскольку, как будет показано в § 9.4 [см. (9.4.106)],

32 Гл. 9. Приближенные методы
Если отношение X0/Xj близко к единице, сходимость крайне медлил-
ная (слабая). Но в этом случае существует специальный прием, который
позволяет экстраполировать точное значение, несмотря на медленную
«ходимость. Этот прием, конечно, можно применять и тогда, когда схо-
сходимость удовлетворительная, но обычно это не является необходимым.
Предположим, что процесс итерации продвинут настолько далеко,
что остались только собственные векторы g0 и gr Тогда е!п), так же
как и другие величины, такие, как- Х<™>, можно разложить на два члена:
точный и ошибку. Если величину, нас интересующую, обозначить через F,
то я-е приближение выражается формулой
где Fx — ошибка. Проведя еще одну итерацию и вычислив р<а+1\ мы
получим
где s — коэффициент сходимости, приблизительно равный X0/Xj, когда
F = Хо или е. Итерируя снова, получим
Из этих трех уравнений можно теперь найти F и s:
Г -~Г >(aJ/-c
(9.1.83)
В большинстве приложений а, данное в (9.1.83), получается под-
подстановкой F(a) = >4">, ^<»*1>=х(»+1/2> и р«**ъ = Х<"+1>. Величина е, полу-
полученная таким образом, является оценкой для X0/Xj и может быть исполь-
использована также для экстраполяции других величин, таких, как е, которые
зависят от з аналогичным образом. Если мы обозначим такую величину
через G и ее a-е приближение через Gta>, то экстраполированная вели-
величина G будет равна
В случае, когда оператор 9t — jE—эрмитов, но не положительно
определенный, а S3 —эрмитов положительно определенный оператор, схо-
сходимость последовательности Х<"> также зависит от отношения ХОЛГ Для
операторов этого типа спектр собственных значений Хт простирается в обе
стороны, т. е. от. — с» до +со. Это не отражается на форме разложе-
разложения (9.1.81) и на дальнейших рассуждениях, за исключением того, что
в них вместо X0/Xj нужно писать абсолютную величину IXg/XJ. Как
и в случае положительной определенности, сходимость здесь зависит от
распределения собственных значений, детали которого определяются точной
структурой операторов ЭД и S3- Если Хо приблизительно равно + Хх или — \, то
сходимость медленная. Способ экстраполяции, рассмотренный выше и при-
приводящий к формулам (9.1.82) — (9.1.84), применяется и тогда, когда
положительной определенности нет. Он оказывается вполне пригодным
практически, если проведено достаточное число итераций.
Установив сходимость итерационного процесса, мы можем вывести
специальные выражения для Хоп> и е("> пертурбационного типа. Предпо-
Предположим, что мы интересуемся связью между \ ж Е в окрестности Ет,

9.1. Теория возмущений 33
собственного значения 'оператора 31, с соответствующим собственным
вектором fm. Тогда удобно выбрать fm за первое приближение е(°>.
Однако важно иметь уверенность в том, что соответствующее значение
X является наименьшим по абсолютной величине из тех, для которых
можно получить требуемое значение Е, так как именно для этого зна-
значения X итерационный метод сходится. Если im приближенно равняется
собственному вектору для X,, итерационный процесс не будет сходиться.
.')тот недостаток у сходимости выявится в процессе вычисления. Кроме
того, результаты (9.1.77) и (9.1-.78) больше не будут иметь места.
Часто можно видоизменить операторы 31 и S3 так, что новое значе-
значение X будет наименьшим X, как это будет показано на примере, приве-
приведенном ниже. Однако если это невозможно, то для обеспечения сходи-
сходимости необходимы изменения в самом вариационно-итерационном методе;
эти изменения слишком громоздки, чтобы можно было развить здесь
формулы теории возмущений.
Предполагая, что за нулевое приближение е(°> можно принять (т,
легко получить необходимые выражения для вычисления Xq и х{™+ .
Для этого нам нужна общая формула для e'n). Из (9.1.71) имеем
так что
e(i)_y Bp"' f е<2>= У Br"}bqm f (9 185)
p m
Отсюда легко вывести и общую формулу. С помощью этих выражений
для е<"> становится возможным вычислить различные приближения
(9.1.74) и (9.1.75). Из (9.1.76) и (9.1.85) имеем
^jij^fi,. (9.1.
w
¦pqr
(Ег_Ь) [шд-Е) (Шр-Е) '
Следовательно, мы можем теперь получить Х.М и X^n+1;2» uo формуле
(9.1.76). Например:
2™^ (9.1.87)
n
и т. д.
Пример. Мы возвратимся к уравнению Матье [следующему за фор-
формулой (9.1.22)] и рассмотрим случай Ьо= 1,54486 (s = 4), для которого
итерационно-пертурбационный метод перестает сходиться (см. табл. 9.1).
3 Ф. М. Морс и Г. Фешбах

34 Гл. 9. Приближенные методы
Оператор S3 соответствует cos2 6 и, следовательно, является положительно
определенным. Собственное значение \--\-s. Оператор %—Е соответ-
ствует -трг + о. Отметим, что -^р— отрицательно определенный опера-
оператор, так как
Следовательно, 91 — Е не является положительно определенным, так как
имеются такие функции ф, для которых
Поэтому собственные значения X, равные s, могут быть как положитель-
положительными, так и отрицательными.
Если вычислить Х{I/2)) Х^1», Х?3/2> для Е — — Ьо = 1,54486, то получается
Н1/2) = 4,5080, X(i) = 3,5847, л<з/2> = 4,9516.
Мы замечаем полную потерю сходимости к точному значению 4,0000
и нарушение неравенств (9.1.78). Это указывает на то, что существует
собственное значение, меньшее значения Х = 4, для которого Ьо = 1,54486.
Это утверждение можно проверить исследованием таблицы констант распре-
распределения Ъ. Действительно, принимая Xt равным 4 и оценивая Xj/X0 = з
(в этом случае) при помощи (9.1.83), мы получим ХО=^2,7, что недалеко от
действительной величины 2,5 ... .
Эту трудность можно преодолеть изменением определения операторов
s?( и S3, которое подсказывается следующей формой уравнения Матье:
Здесь можно принять
Ясно, что собственное значение Хо, которое меньше 4, дает для величины
b — s значение, большее, чем интересующее нас b — s= —2,45514. Чтобы
получить это значение величины Ъ— s, требуется поэтому возрастание \,
могущее привести к тому, что Хо превзойдет значение 4.
Для элементов Bpq теперь получаем
х
Окончательные значения для Х{>1/2)> Н1> и Ц}3/2) получатся такие:
X(i/2> = 4,1257; X<D = 4,0230; Х<3/2) = 4,0045.
Мы замечаем, что здесь уже наблюдается сходимость. Четвертое прибли-
приближение (Х<°) считается первым) уже имеет относительную точность в одну
тысячную. Этот результат можно улучшить, если использовать экстра-
поляционную формулу (9.1.82), которая дает экстраполированную вели-
величину Хо, равную 4,0004, т. е. с относительной точностью до одной десятиты-
десятитысячной.

9.1- Теория возмущений 35
Работа, необходимая для вычисления этой последовательности
приближений, одинакова с работой, нужной для вычислений по итера-
итерационно-пертурбационной формуле четвертого порядка. Единственная
трудность, и мы вновь подчеркиваем ее здесь, связана с требованием,
чтобы параметр X сходился к наименьшей возможной для данного Е—Еп
величине X. Часто это ясно для рассматриваемой задачи из физических
соображений. Если это не так, то отсутствие сходимости и нарушение
соответствующих неравенств послужит указанием на то, что требование
не выполнено. В этом случае следует применить какой-нибудь способ
перестановки участвующих величин, как это было сделано в приведенном
выше примере.
Улучшение пертурбационных формул. Результаты, полученные для
итерационно-пертурбационного метода и метода Фредгольма, можно
существенно улучшить, применив простое преобразование, приводящее
к изменению знаменателей в выражении для энергии, аналогичному
тому, которое было сделано Финбергом, хотя и не совсем такому полному.
Здесь мы воспользуемся тем фактом, что рассмотренные выше методы
дают решения векового уравнения:
Всякое детерминантное уравнение, которое можно представить в такой
форме, будет иметь решения, которые, например, для итерационно-пер-
итерационно-пертурбационного метода даны в (9.1.13) и (9.1.14). «Энергетические»
знаменатели k2~kq, появляющиеся в этих формулах, заменяются в фор-
формулах Финберга на k2 — kq — \UQq плюс члены высшего порядка. Диаго-
Диагональные члены XC/gg можно включить в А;2 — к% при помощи простой
перегруппировки членов в данном выше определителе следующим обра-
образом:
АЗ-ши)гвр-мгврA-авР)| = о. (9.1.88)
Затем в- итерационно-пертурбационных формулах комбинацию к2—Щ
нужно заменить на к2— kq — \Uqq, a Uqv на Uqp(l—oqp), чтобы получить
решение векового уравнения (9-1.88). Оно получается следующее:
рфп
UpqUqn .q .
. )8
в то же время уравнение, определяющее к2, приобретает вид
ti — кг) — Кик
unpumu
fc *
,4 -vt UnpUpqUqrUrn
wSn (**-frP-^PP> {k*-klW) (&1&Ш)
prj=q

36 Гл. 9. Приближенные методы
Мы будем называть их модифицированными итерационно-пертурба-
итерационно-пертурбационными формулами; они представляют собой значительное улучшение
по сравнению с немодифицированными. Вернемся снова к примеру с функ-
функциями Матье, в котором итерационно-пертурбационные формулы для
случая s = 4 и Ьо (точное) = 1,5449 оказались такими несовершенными;
новая формула дает уже во втором порядке 6<,2> = 1,500, против 6<,2>= 1,000,
полученного по немодифицированным формулам. Выведенные выше фор-
формулы не так точны, как ряды Финберга, но значительно более удобны.
Подобные изменения можно внести в пертурбационную формулу
Фредгольма. Рассматриваемое там вековое уравнение легко можно запи-
записать так:
Мы перегруппируем теперь члены следующим образом:
В9РA-(>9р)| = 0. (9.1.91)
Формулы (9.1.63), выражающие величины (йа)р„, можно теперь видоиз-
видоизменить, подставив E—e.q-\-~kBqq вместо Е — г.(} и Bpq(l — oqp) вместо
Bw. Результаты таковы:
(ft) РфП
дфпр
и т. д. Следы теперь нужно вычислять не по формулам (9.1.64), а по
измененным формулам:
Х,=0, *2 = У ; р j-д г-. е г-д—г (9.1.9.5)
1 ' <= ZJ (sp — ?, — кВрр)(вд — h — Kbqq)
дфр
и т. д. Эти результаты, (9.1.92) и (9.1.93), надо подставить в (9.1.65)
и (9.1.66), чтобы получить выражения для е и Е. Так как Xj = 0, то
теперь нет необходимости в дополнительных изменениях, когда число
измерений больше единицы.
Неортогональные функции. Выше при рассмотрении четырех методов
теории возмущений мы всюду разлагали неизвестные собственные функ-
функции или собственные векторы по полной ортонормальной системе, членом
которой является невозмущенная функция. Часто случается, однако (й мы
это увидим на примере в следующем параграфе о граничных возмущениях),
что невозмущенная функция является членом не такой системы, а системы,
которая не ортогональна, хотя и полна. Конечно, такую систему можно
ортогонализировать или биортогонализировать с помощью метода, опи-
описанного в гл. 8. Однако наша цель здесь — видоизменить методы теории
возмущений таким образом, чтобы их можно было применять к разложе-
разложениям по неортогональным системам, не прибегая к промежуточному этапу
ортогонализации. Так же как и при улучшении пертурбационных формул,
мы воспользуемся тем обстоятельством, что пертурбационные формулы
дают решения некоторых вековых уравнений. В то же время, как мы
увидим, детерминантное уравнение можно получить даже при разложении
по неортогональной системе.
Прежде всего выведем только что упомянутое детерминантное урав-
уравнение. Пусть членами неортогональной системы будут fp. Пусть (п —

9.1. Теория возмущений .61
невозмущенное решение, и пусть, наконец, уравнением, которое мы будем
решать, является
(Ш-Е)еп=Х^еп.
Пусть
Подставляя этот ряд в уравнение для еп, получаем
2(и-я-х»).сА=о.
Умножим теперь это равенство слева на f?. В символических обозначения*
4»p=(?-a-fp).
Л№ = (**-У> (9.1.94)
получается следующая система линейных однородных уравнений:
2 ср (^p - ?iVQp - ХБ9р) = 0 (для каждого q). (9.1.95)
р
Эта система имеет решения только при условии, что определитель, обра-
образованный из коэффициентов при ср, равен нулю:
(При разложении по ортогональным функциям Nqp = ogp.) Удобнее будет
ввести обозначение
так что вековое уравнение примет вид
\ENqp-Hqp\ = 0. (9.1.96)
Сравним теперь это уравнение с уравнением (9.1.27), которое получено
в случае разложения по ортогональным функциям:
| (К — Kq) 0qp — ЛСУ gp | _ U..
Для сравнения перепишем (9.1.96) следующим образом:
| (ENgq - Hqq) oqp - (Hqp - ENqp) A - 8Qp) | = 0.
Это наводит на мысль, что мы можем использовать итерационно-пертур-
итерационно-пертурбационные формулы (9.1.13) и (9.1.14) и в настоящем случае, сделав
следующие подстановки:
12 <га w (9.1.97)
Wqp~>(Hqp-ENqp)(l-oqp).
Итерационно-пертурбационные формулы, справедливые в случае разложе-
разложения по неортогональной системе fp, будут поэтому иметь вид
е , V Нрп—
p-fn
г ^, (Hpq-ENm) (Hgn-ENqn)
'qq — Hqq)

38 Гл. 9. Приближенные методы
тогда как
тт , V №ч.-^пр)(Ярп-ДДГрп)
= Нпп + 2j
ENPP-HPT>
{Hnp-ENnp){Hpq-ENpq){Hgn-ENqn)
Подстановки (9.1.97) можно также использовать и в пертурбационных
формулах Финберга (9.1.35) и (9.1.36), чтобы получить соответствующие
результаты, когда разложение производится по членам неортогональной
системы. Это даст
Hpn—ENpn _ „
Cr>~ EN-H^-Tn^ 2j
r>~ EN^-H^-Tn^ 2j (ENvp-Hpp-rnp){ENm-Hqq-rnpq) Ч
y^fcnp
(Hpq-ENpg) lHQr-ENqr)(Hm-ENrn)
Гпр) (ENl!Q-Hgq-rnpq) (ENrr-Hrr-Tnpqr)
r ¦•¦•(« -1- u)
где
П-п X I /7 Л7 5г ^Т" ~1
-ям-Тпр9) (ENrr-Hrr-Tnpqr)
„ (Hgr-ENgr) (Brs-ENrs)(Hsq-ENsq)
2j (ENrr ~Hn—Tnpgr) (ENSS -Hss-Tnpqrs) +¦¦¦
гф-npq
Уравнение для собственных значений получится соответствующей под-
подстановкой в (9.1.36):
. V (H^-ENnp){Hpn^-ENpn)
¦fc—^ JjIVpp ¦Slpp J. np
p=f=n
vi WnP-ENnp) (Hpq-ENpq) (Hqn-ENqn)
+ 2 I" ' ;
(ENpp-Hpp-Tnp)(ENqq-Hqq-Tnpq) ¦
Мы можем также видоизменить формулы Фредгольма и вариационно-
итерационные формулы для разложения по неортогональным векторам
с помощью вышеуказанного процесса. Выражения (9.1.65), (9.1.66) сов-
совместно с (9.1.63) представляют решения задачи на собственные значения,
приводящей к вековому определителю
Чтобы получить надлежащие формулы для рассматриваемой здесь задачи
на собственные значения (9.1.96), нужно сделать следующие подстановки:
Е-ер-+ ENpp-Hw, WQV-* (ENgp - Hqp) A - 8№). (9.1.103)

9.1. Теория возмущений 39
Тогда формулы (9.1.63) принимают вид
^mvn^{Hpn-ENpn)/(ENvp~Hvp) при рФп,
-*/«« ^ , (ЯР9—РЛГМ) (Hqn-ENqn)
>~2т%п=% {ENpv-Hpp)(ENqq-nqq)
дфпр
(ENp^-Hpp){ENqq-Hqq)(ENn-Hrr)'
Формулы (9.1.64) принимают вид
(Hpq-ENpq)(Hw-ENgp)
_
Уз -
(ENpp-Hpp)(ENQg-Hgq) '
(9.1.Ю5)
(Hpq-ENpq) (Яд, -?Лу) (HTp-ENrp)
(ENpp-Hpp) (ENqq-Hqq) (ENrr-Hn)
РФп
Чфпр
r^npg
и т. д. При использовании формул (9.1-104) и (9.1.105) важно понимать,
что (йа)рП ке совпадает с (fp-ga-f j и *2 не является следом Щ2. Выраже
ния, определяющие значения этих величин, нужно подставить в формулы
(9.1.65) и (9.1.66) для того, чтобы получить разложения еп и Е.
Обратимся в заключение к вариационно-итерационному методу. Здесь
а рассматривается как собственное значение, которое нужно найти, а Е
предполагается известным, в то время как в формулах, данных выше,
предполагается как раз обратное. Это означает, что вариационно-итера-
вариационно-итерационные результаты можно обобщить с помощью простой перегруппировки
членов в вековом уравнении только в случае, если величины N и А
для р Ф q пропорциональны X, как это бывает в задачах с граничными
возмущениями (см. § 9.2). Мы удовлетворимся здесь тем, что напишем
формулы, вытекающие из этого дополнительного предположения, хотя,
по-видимому, вариационно-итерационная формула существует, даже если
ото предположение становится неверным. Пусть
ЯФР. (91Л06)
ф
Вековой определитель (9.1.96) в этом случае имеет вид
подсказывающий следующие подстановки в (9.1.85) и (9.1.87):
Тогда вариационно-итерационные формулы при разложении по векторам

40 Гл. 9. Приближенные методы
неортогональной системы и в предположении (9.1.106) имеют вид
е< 1 > = V Срп f
Zj avp-envp V
V
Slpp' ¦*-'¦'"рр
р (9.1.108)
^J (App-ENpp)(Aqq-ENm)
VI
и т. д.
Мы закончим этот пункт о разложении по неортогональным функ-
функциям выяснением применимости формул возмущения для различных ме-
методов. Мы можем ожидать, что эти формулы будут давать быструю
сходимость, если недиагональные элементы векового определителя
(9.1.96) малы по сравнению с диагональными членами:
«1, дФР- (9.1.109)
ENqq—Hqq
Ото неравенство будет выполнено, если, во-первых, Xi?gp мало и, во-
вторых, мало отклонение от диагональной формы определителей Aqp
и Nqp. Другими словами, для неортогональных функций параметр X не
является больше мерой величины возмущения. Если значения Nqp
и Aqp (q ф р) сравнимы с Nqq и Aqq, то мы уже не имеем дела с малыми
возмущениями, для которых применяются формулы теории возмущений.
В части таких случаев дело можно исправить ортогонализацией системы fp,
так как тогда недиагональные величины Nqp станут равны нулю. Для
малых возмущений следует по-прежнему требовать, чтобы недиагональ-
недиагональные элементы Xi? и А, взятые по отношению к ортогональной системе,
были малы по сравнению с диагональными элементами.
9. 2- Поверхностные возмущения
В этом параграфе мы обратимся к задачам, в которых отклонения
от точно разрешимой задачи имеют место на границах, в то время как
в предыдущем параграфе рассматривались задачи, в которых возмущения
были сосредоточены внутри ограниченной области. Возмущения, являю-
являющиеся одновременно и объемными и поверхностными, можно изучать
последовательным применением результатов §§9.1 и 9.2.
Поверхностные возмущения могут заключаться или в изменении
граничных условий, или в изменении формы граничной поверхности, или
в том и другом. Мы рассмотрим эти два случая отдельно; когда же
встречаются оба типа одновременно, можно применить по очереди резуль-
результаты исследования этих случаев. При решении задачи мы заменим

9.2. Поверхностные возмущения 41
первоначальное дифференциальное уравнение и связанные с ним гранич-
граничные условия на интегральное уравнение, которое можно или решить
иоследовательными приближениями или свести к вековому определителю,
к которому применимы результаты предыдущего параграфа.
Мы ограничимся рассмотрением скалярного уравнения Гельмгольца;
обобщение на большую часть других линейных уравнений получается не-
непосредственно.
Возмущения в граничных условиях, /' мало. Здесь мы рассмотрим
задачу о собственных значениях, которая получается, если однородные
граничные условия Неймана или Дирихле заменяются смешанными
граничными условиями:
§? + /EL> = 0, (9.2.1)
где /—вообще говоря, функция поверхностных координат. Точные
решения, удовлетворяющие этим граничным условиям, можно получить
для полостей (или объемов), имеющих форму параллелепипеда, круглого
цилиндра, сферы и т. п., если / постоянно вдоль каждой стенки, на
которой постоянна данная координата. Если же / меняется вдоль стенки
или стенка имеет более сложную форму, задача не может быть решена
методом разделения переменных, и мы должны снова прибегнуть к помощи
приближенных методов. В теории возмущений они, естественно, зависят
от величины /. Поэтому мы выведем два различных результата, соот-
соответствующих большим и малым /.
Рассмотрим сначала малые /. Здесь за невозмущенные решения удоб-
удобно принять функции, удовлетворяющие однородным условиям Неймана.
Пусть ими будут <рп, и пусть эти функции образуют полную ортонор-
мальную систему, удовлетворяющую уравнению
Чтобы получить интегральное уравнение для функции ф, мы используем
функцию Грина Gk, удовлетворяющую на границах однородным условиям
Неймана. Следовательно, Gk является решением уравнения
V20Gk (г | г0) + кЮк (г | г0) = - 4« 8 (г - г0), ^ = О,
тогда как <1> удовлетворяет уравнению
и граничным условиям (9.2.1). Умножая первое из этих уравнений на
•J-, а второе на Gh, вычитая один результат из другого и интегрируя по
области, заключенной внутри границ, мы получим
[Gk (г | r0) Vft- №Gk (г | r0)] dV0 = 4** (г). (9.2.2)
Используя теорему Грина и граничные условия, которым удовлетворяет
Gh, имеем
где подинтегральное выражение вычисляется на граничной поверхности S.
Следует напомнить, что правая часть дает представление функции <1>(г),
только когда г находится внутри граничной поверхности, и равна нулю

42 Гл. 9. Приближенные методы
для г вне ее. Величина <1> для г, находящегося на поверхности S, полу-
получается как предел, когда г приближается к S изнутри области, ограни-
ограниченной S. Подстановка граничных условий (9.2.1) в (9.2.2) дает
I ro) Ф Ю dSo- (9-2.3)
Мы видим, что если значения ф на поверхности можно определить, то
с помощью этого интеграла от поверхностных значений можно вычислить
ф и внутри поверхности; Gh (r | г^) по существу определяет способ, кото-
которым значения ф с границы распространяются внутрь. Для определения
этих граничных значений ф устремим г к граничной поверхности S
в обеих частях равенства (9.2.3), что даст возможность получить инте-
интегральное уравнение для ф (rs):
S h (rS' ^ * (r^ ds°- (9-2-4)
Это уравнение представляет собой однородное интегральное уравнение
Фредгольма второго рода. Его можно решить методом последовательных
приближений, а еще лучше свести его к вековому определителю, различ-
различные разложения для которого, включая результаты, полученные методом
последовательных приближений, были рассмотрены в § 9.1.
Чтобы довести эту программу до конца, важно заметить, что Gh
можно представить в виде билинейной формы [см. G.2.39)]:
G ^Z
где собственные функции ср удовлетворяют однородным условиям Неймана.
Тогда функция ф (г) может быть разложена аналогичным образом:
Подставляя эти разложения в (9.2.3), имеем
Пусть
/Р9 = 5 ' (го) Ъ («•?) %(rf) dS0. (9.2.5)
Мы, таким образом, получаем систему линейных уравнений
(kz — A|)cp = 2 fpqcq (для каждого р). (9.2.6)
Q
Ненулевое решение этой однородной системы существует, если обраща-
обращается в нуль определитель из коэффициентов при неизвестных с . Это
приводит к вековому уравнению
Up)Spq-/pq| = 0. (9.2.7)
Это уравнение становится идентичным вековому уравнению (9.1.27),
к которому применимы итерационно-пертурбационные формулы (включая
улучшенный вариант) и формулы Финберга, если 1-Upg приравнять jpq.
Например, модифицированная итерапионно-пертурбационная формула
для (9.2.7) будет такая:
/.2 __ 1.2 ,t I V /pq/ap _i_ V fpgfgrfrv , /о •) <й\
к —kq—i
2j

9.2. Поверхностные воамущения 43
Формулы Фредгольма и вариационно-пертурбационные формулы были
даны для векового определителя
Следовательно, мы можем использовать эти формулы, подставив
Е ер = к?—кр и kBpq=—fpg.
По поводу ограничений применимости формулы (9.2.8), возникающих ,
из-за того, что функция может иметь слишком сильную особенность,
можно вновь сослаться на рассуждения в § 9.1, где мы видели, что
/ может иметь разрывы, но не должна при этом быть сингулярной.
В дальнейшем мы возвратимся в нашем изложении к случаю сингуляр-
сингулярности.
Ряды (9.2.8) содержат столько индексов, сколько измерений в рас-
рассматриваемой задаче. Можно достичь значительной экономии усилий
уменьшением на единицу числа индексов, по которым происходит сумми-
суммирование. Это можно осуществить, если граничная поверхность такова,
что невозмущенные решения можно записать в разделяющихся переменных.
?P(r) = X«(S) s>!(?). (9.2.9)
где ? — координата, которая на граничной поверхности постоянна,
а индексы а и [3 нумеруют собственные функции. Буква S изображает
две другие координаты, которые обозначают точку на рассматриваемой
граничной поверхности \ = ES- Функции у на поверхности S образуют
полную ортонормальную систему. Тогда из формулы G.2.63) для функ-
функции Грина Gk можно получить, что
Gu (r& I *?) = 4«2 А« (к) Х« (s) Х« ($>)¦ (9.2.10)
а
Пример такого разложения для цилиндрических координат дает формула
G.2.51); ниже помещены другие примеры. Зависимость Аа(к) от к зна-
значительно более сложная, чем встречающаяся в билинейном разложении
1/(к* — к%). Поэтому становится неудобным употреблять к как собствен-
собственное значение.. Форма интегрального уравнения (9.2.4)' наводит на мысль
о следующей замене /:
f(S) = [iF(S), (9.2.11)
где (г есть мера отклонения граничных условий (9.2.1) от условий Ней-
Неймана. Тогда (г можно рассматривать как собственное значение. Решение,
которое мы получим, даст (г как функцию /с2; таким образом, это даст
ответ на вопрос, какова должна быть величина / при заданном распре-
распределении F, чтобы к2 имело заданное значение. Это, конечно, вопрос,
с которым часто встречаются на практике. Действительно, если функци-
функциональная зависимость р. от к2 известна (если /—комплексная функция,
эта зависимость может быть представлена линиями уровня в комплексной
плоскости к или / и т. п.), то обычно можно получить обратную зависи-
зависимость А2 от р..
Подставляя как (9.2.10), так и (9.2.11) в интегральное уравнение
(9.2.4), получаем
ф (rs) = - ц ^ А* (*) Х« (S) \ ^ (So) F (So) 6 (So )dS0.
a
Разлагая '^(г8) по функциям х«(^)>

44 Гл. 9. Приближенные методы
и подстаиляя в обе части последнего уравнения, имеем
°п = — \lAa(k) 2j cTf-^"T для каждого а,
Y
где
5«^Хтй5. (9.2.12)
Снова ненулевые решения этой системы уравнений можно получить только
при условии, что определитель системы равен нулю, т. е.
==0.
Можно получить для этого определителя несколько более симметричную
форму
= 0. (9.2.13)
Это—вековое уравнение для 1/р.. Сравнивая его со стандартными формами,
использованными в предыдущем параграфе, мы видим, что здесь тоже
можно использовать и итерационно-пертурбационные формулы (модифици-
(модифицированные или немодифицированные) и формулы Финберга, если провести
следующие отождествления:
л
F — Ц> ~ Шрр —>—\-AaFaa, —^Upg=\^AaA^a^. (9.2.14)
Формулы Фредгольма (модифицированные и немодифицированные) и ва-
вариационно-пертурбационные формулы можно использовать, если Е — гр-\-
-\-~кВрр заменить на (l/i>-) + AaFaa и КВр9 на УAaA^F'„т. Например, для
а-го собственного значения 1/р.о модифицированная итерационно-пертур-
итерационно-пертурбационная формула дает:
1
Этим мы закончим (кроме примера) наше рассмотрение граничного усло-
условия (Зф/Зга) + /Ф = 0 при малом /.
Возмущение в граничных условиях, / велико. Рассмотрим теперь
случай, когда / велико. Соответствующей системой невозмущенных реше-
решений будет та, которая удовлетворяет условиям Дирихле. Мы выберем
также и функцию Грина, которая удовлетворяет тем же условиям. При
таких условиях уравнение (9.2.2), как читатель может проверить, заме-
заменится уравнением
Подставляя граничные условия для функции <Ь, получаем аналогично
(9.2.3)

9.2. Поверхностные возмущения
Таким образом, значения ф внутри можно снова получить, как только
известны значения производной д<Ь/дп0 на поверхности.
Интегральное уравнение для последней производной получается,
если взять нормальную производную от обеих частей, положив
*i^ = V(S); (9.2.17)
тогда
Ядро этого интегрального уравнения, h , нужно вычислять осторожно,
имея в виду разрывность Gk как функции точки наблюдения, когда
точечный источник находится на поверхности (см. § 7.2). Поэтому
d2G
d2Gk
мы уточним смысл следующим ооразом:
где г приближается к S изнутри. Чтобы вычислить этот предел, удобно
сначала исследовать аффинор
из которого получается ядро уравнения (9.2.18) как скалярное произве-
произведение n-VGftV0-n0.
Разложение этого аффинора по функциям <рп, удовлетворяющим
условиям Дирихле на поверхности S, следующее:
/,„ V V<P" (г) ^о«рпЫ
Мы выделим из этого разложения члены с большими п, так как эти
члены определяют особенность:
у V<fn (Г) Ур<рп (Гр) I 4- V Vlfn (Г) Vptfrb (Гр)
^ к1(кп-кг) "Г '~ ZJ к*
и п
Второй член можно исследовать быстро, так как векторные функции
vn = ^ (9.2.19)
образуют ортонормальную систему, которую можно использовать для
описания любого вектора, циркуляция которого равна нулю (см. § 13.1).
Можно легко проверить, используя теорему Грина, что
Полезно ввести понятие сингулярного аффинора 2),, определяемого
уравнением [см. A3.1.30)]
% (гIго) = 2 v»(r) v« Ы = 2 v» (r
так что сумма ф, удовлетворяет условию

46
Гл. 9. Приближенные льетоды
Так как это соотношение справедливо для всех п, то оно справедливо
и для любого безвихревого вектора А:
А(г).®,(г|го)«гГ =
rotA =
(9.2.20)
Более того, так как А — любой безвихревой вектор, то отсюда следует,
что ®, должен иметь при г = г0 особенность, очень похожую на особен-
особенность о-функции Дирака, равной нулю везде, кроме г = г0. Это можно
видеть, выбирая вектор А (г), который равен нулю при г=г0, но конечен
в других точках. Для произвольного А уравнение (9.2.20) удовлетворя-
удовлетворяется, только если S), (г | г0) равно нулю при г Ф гA.
Это все, в чем мы нуждаемся, чтобы вычислить d2Gk/dn ди0; но мы
должны добавить, что 2),(г|гA) появится снова в гл. 13, где ®, будет
рассматриваться как безвихревая часть (называемая там продольной)
аффинора о (г — гп) g, где 3 — единичный оператор (идемфактор) (см. 13.1.31).
Кроме того,
1рр&1 (9221)
упоминается в гл. 13 как продельный аффинор Грина.
Уравнения (9.2.16) и (9.2.18) можно теперь переписать, введя в них
функцию @ft, причем мы отбрасываем ®,, так как он равен нулю при г Ф rs:
и [см. (9.2.18)]
Т V
o) dS0.
(9.2.22)
(9.2.23)
Мы можем получить вековые уравнения, подобные уравнениям (9.2.7)
п (9.2.13). Чтобы получить первое из них, разложим Тф по векторам
(9.2.19),
и подставим в (9.2.22). Тогда
cp = 2j сч
<1
дп0 f дп0
Характеристическое уравнение, определяющее собственное значение к,
будет иметь вид
= 0, (9.2.25)
где
Теперь можно получить различные пертурбационные формулы, установив
соответствие со стандартными формами этого уравнения в § 9.1. Итера-
Итерационно-пертурбационные формулы в зтом случае можно вывести, заме-
заменив fpq на — A//)ра в (9.2.8). Условия на сходимость отдельных рядов
ограничивают возможные особенности в 1//, не допуская особенностей,
более сильных, чем конечные разрывы.

9.2. Поверхностные возмущения 47
Чтобы получить вековой определитель, аналогичный (9.2.13), мы
должны не только ввести определение (9.2.11), / (S) = \>.F (S), но должны
также найти разложение n-Ck-n0, подобное разложению (9.2.10) для Ск.
Для этой цели заметим, что
Следовательно, если, как установлено в формуле G.2.63) [см. также
(9.2.10)], Gk можно разложить в разделяющихся переменных следующим
образом:
Gk(S, *|?0, ео) = 4*23х«(?)х«(?о)Ёв($, к)Е«$о> к)>
а
где ? — нормальная к S координата, то функции у^а образуют полную
ортонормальную систему относительно всех переменных, кроме ?. Форма
произведения функций, зависящих от ? и ?0, зависит от того, больше ?0,
чем ?, или меньше. Предположим, что значение ? на поверхности S меньше,
чем внутри. В приведенном выше приложении мы использовали выражение,
соответствующее случаю ? > ?0.
Мы можем теперь написать
M^^M 35g F, 0) дЕа Fо, 0) 1
й щ щ; J
где производные вычисляются для ? и ?0, лежащих на поверхности, или,
в более краткой форме,
n.©ft.n0 = An 2 х- E) X* (So) Д. (*)¦ (9.2.27)
Если теперь в (9.2.23) подставить разложение для V по функциям /а,
то характеристическое уравнение получается окончательно следующим:
= 0, (9.2.28)
где
Результаты § 9.1 можно теперь применить к вековому уравнению, что
уже знакомо читателю.
Подведем итоги обсуждения этого вопроса. Были выведены вековые
уравнения, решение которых дает решение скалярного уравнения Гельм-
гольца V2<b -f- кг<Ь = 0, где Ф удовлетворяет смешанным граничным усло-
условиям: (dty/дп) -f /t|) = 0. Уравнения (9.2.7) и (9.2.13) применимы при малых
/, (9.2.25) и (9.2.28) —при больших. Уравнения (9.2.13) и (9.2.28) более
удобны, если скалярное уравнение Гельмгольца можно решить разде-
разделением переменных для однородных условий Неймана и Дирихле соответ-
соответственно. В противном случае надо использовать (9.2.7) и (9.2.25). Когда
получено вековое уравнение, можно применять результаты §9.1. Эти формулы
пригодны до тех пор, пока сходятся отдельные ряды, входящие в решение, что
будет иметь место в разбираемом случае, если у функции / нет особенностей,
более сильных,чем разрывы. Действительно, если / имеет особенность типа
дельта-функции o(S—S'), то из первоначального интегрального уравне-
уравнения непосредственно ясно, что решения не существует. Это указывает
на то, что если / (или 1//) отличается от нуля только в небольшой
области, то практически сходимость в формулах (9.2.25) и (9.2.28) полу-
получается плохой.

48
Гл. 9. Приближенные методы
К качестве примера рассмотрим сумму
•у* hgtgp
к — кп — Тпп
1}фр ч 'чч
Интегралы fpq и fQp будут уменьшаться для больших q, как l/kq, так
что сходимость обеспечена. Однако эта асимптотическая зависимость не
достигается до тех пор, пока длина волны функции <j>Q не станет значи-
значительно меньше, чем область, в которой / отлична от нуля. Следовательно.
если такая область невелика, необ-
необходимо взять много членов в сумме,
прежде чем множитель 1//с| станет су-
существенным и сделает ряд сходящимся.
Конечно, если такая область есть
просто точка, как в случае дельта-
функции, то это никогда не произой-
произойдет, и ряд расходится. Способ, которым
можно обойти эту трудность в теории
возмущений, будет показан на следую-
У;
Уп
¦
а
д ш.
J
а
1
— щем примере.
Рис. 9.2. Волны в прямоугольнике со
специальными отражающими свойства-
свойствами вдоль области длины хю.
Пример. Рассмотрим двумерную
задачу, в которой граничная поверх-
поверхность представляет собой прямоуголь-
прямоугольник со сторонами а и Ъ (см. рис. 9.2).
Мы требуем, чтобы решение скалярного уравнения Гельмгольца удовле-
удовлетворяло однородным условиям Неймана везде, кроме области на гранич-
граничной линии ж = 0 с центром у0, т. е. для (г/0 —ау/2) < г/< (г/0 + ш/2).
Н этой области 4 удовлетворяет условию (di>/dri) -f [лф = 0 или, более
точно, — (dty/dx) + рф = 0, где |л = const. Другими словами, / в уравнении
(9.2.1) равно нулю везде, за исключением области ширины w с центром
в у0, где / равно постоянной р.
Так как невозмущенную задачу можно решить разделением перемен-
переменных, в данной задаче удобнее использовать метод, изложенный в тексте
после формулы (9.2.9) и приводящий в конце концов к вековому урав-
уравнению (9.2.13). Решениями <рп невозмущенной задачи являются
/eae
аир-целые.
И соответствии с обозначениями (9.2.9)
/га ( nay \ _
а \ a J ' р
Функцию 1"рина Gk (х, у | ж0, г/0) можно получить согласно рецепту, данно-
данному в гл. 7:
Gfc = - 4* 2 Z« B/) Х-Ы Л,., , ',„„ - X
cos
cos
;г —(теа/аJ (b - ж0)] при х < х0,
jcos [Vh* - (та/аJ (b - х)] cos[^AF2- (Ki/aJx0] при х > х.Л.
Полагая на поверхности х = хо = 0, мы получаем
(9.2.:»)

9.2. Поверхностные возмущения
49
гак что множитель Ла(к), который появляется в формуле (9.2.10), равен
Аа(к)= ctgh/fe2-("°/aJb].
Для векового уравнения (9.2.13) требуется найти, кроме величин Аа,
еще и 'Fat, определенные в (9.2.12). В данном случае
ИЛИ
У0-го/2
^«Y=V
Г г.
—т)
i/o+w/2
(9.2.31)
o—w/2
Р аа ~ 2 а
sin
2пау
¦+¦
yo+w/2
(9.2.32)
Эти результаты можно теперь подставить в различные пертурбационные
формулы, выведенные в § 9.1. Здесь мы удовлетворимся исследованием
итерационно-пертурбационной формулы до второго порядка включительно,
которая получится в данном случае из (9.2.15):
Sin
2-кау
Т 2 ^т
ctg
X
>¦
Tt(a—t) I
_J__+.*_S |x
sin f 2nT^-
-]
(9.2.33)
здесь в каждую отдельную функцию от у надо подставить вместо у пределы
yo-\-w/2 и yQ — w/2, как указано в (9.2.31) и (9.2.32). Заметим, что в чис-
числителе эти подстановки нужно сделать до возведения в квадрат. Сходи-
Сходимость этого ряда хорошая, так как для больших у члены ряда аппро-
аппроксимируются выражением
("ТK
1 w
1Лаа а
или, подставляя пределы,
— 8?а fsinC7t-fTo)cos(nar,+) —sin
) cos (пат,,7)
(9.2.34)
где введены сокращенные обозначения
Уо . У ..,+ ___ #о
'/о
Ф. М. Морс uj. Фешбах

50 Гл. 9. Приближенные методы
Рассмотрим теперь, при каких значениях у асимптотическая форма
0(у~3) слагаемых в (9.2.33) становится существенной, так как тогда мы.
сможем приблизительно знать, какое количество членов ряда нужно под-
подсчитать, чтобы получить точное значение для суммы. Конечно, необходимо,
чтобы [л > а, тсу > ка и izyb/a > 1. Другое условие станет более очевидным,
если подставить пределы в члены sin [% (а ^ у) tq]/tc (a ± у). После под-
подстановки получаем
2cos [я (а ± ^) tj0] sin
Теперь ясно, что асимптотическая зависимость будет иметь силу, лишь
если у настолько велико, что
(а±у)^>1- (9.2.35)
Если это условие не выполняется, т. е. если (a J-у) о> < а, то
sin I те (а-f-f) ——
L — 2а J ,^, ш
и дробь не будет иметь вида О (у), который получится, если удовле-
удовлетворяется условие (9.2.35).
Таким образом, даже для больших у члены ряда в (9.2.33) убывают
очень медленно до тех пор, пока не начинает удовлетворяться неравенство
(9.2.35). Мы видим, что число членов, необходимое для точного вычисле-
вычисления, равно приблизительно a/w, так что ряд (9.2.33) неудобен при
малом до/а.
Формулы для малого W. Чтобы обойти это затруднение, мы вычтем
ряд, полученный суммированием (9.2.34) от единицы до оо. Члены остав-
оставшегося ряда будут тогда порядка у для больших у, если удовлетво-
удовлетворяется (9.2.35), и порядка у в противном случае, так что ряд вполне
пригоден даже, когда w приближается к нулю. Трудности, которые мы
имели в первоначальном ряде, теперь перешли в вычитаемый ряд. Более
определенно, пусть
2^ и «, = -=-. (9.2.36)
Y=l
Тогда
1 _ _ ± е Г w ¦ sin(rcaa>)cosBttar|0) I
{
cos2 (тпхт;;) [S @) - S B<)J + cos2 (waij") [S @) - S B\)]
)-S (Tfn + ii:)l Tsin'drM.) cos2B7ra7i,
4A —50y) [Cos(KaTi)sinGtTT;)]g| 9

9.2. Поверхностные возмущения
где пределы т\ = tjo , Щ по-прежнему должны быть подставлены в послед-
последней части зтого равенства. Множитель 1— oq-( указывает на то, что-
в сумме опускается член с •{ = 0.
Мы перейдем теперь к исследованию поведения правой части равен-
равенства (9.2.37) для малого ш.
Нам нужны некоторые свойства-б1 (•»}). Сумму, полученную двукратным!
дифференцированием S (г,), можно выразить в замкнутой форме:
S" („) =
= ~ In [2 A - cos
Для малого Tj
S" (•»}) ~ ТС2 In (i"j).
Последовательным интегрированием получаем
(9.2.38)
f=l
(9.2.39),
(9.2.40>
Графики сумм
1 о-
и — — .5" (tj) приведены на рис. 9.3 и 9.4.
f
\
\
/
Рис. 9.3. Корректирующий ряд S (т,)
[определенный формулой (9.2.36)] для эф-
эффекта неоднородности граничных условий.
Риг. 9.4. Производная ряда S(r[)
как функция от yj.
Приведенные выше приближенные формулы справедливы в облает»
<j.0,5. Из равенства (9.2.37) мы можем теперь обнаружить невоз-
невозможность особенности типа о-функции, т. е. случая, когда / (S) в (9.2.1)
равна о (у — у0). Это можно получить из формул (9.2.37) л (9.2.40), по-
полагая и) —5. 0 и [ia —*¦ оо, причем (хаю —5. Са = const. Тогда из-за наличия S («>)
появляется член с логарифмической особенностью, указывающей, воз-
возможно, на несостоятельность в этом случае теории возмущений.
Этот результат не случаен, поскольку, как мы покажем сейчас, если
f(S)—Co(S — S'), где 6" — точка на поверхности, то не существует ко-
4*

52 Гл. 9. Приближенные методы
нечного решения интегрального уравнения, определяющего Ь. Подставляя
это выражение для ¦/ в интегральное уравнение (9.2.4), получаем
^(s)=-^Gh(S\S')^(S'). (9.2.41)
Чтобы определить &2 (или С), мы должны положить S = S' и найти ве-
величину /с2, которая делает уравнение разрешимым:
fc(|)
и S'-»S
В двумерной задаче, рассматриваемой здесь, Gh (S\S') имеет логарифми-
логарифмическую Особенность при S = S', независимо от к, а следовательно, при
ненулевых С не существует решения интегрального уравнения.
Длинный узкий прямоугольник. Много членов в рядах теории возму-
возмущений нужно вычислять также и при малом значении Ь/а, т. е. когда
прямоугольник длинный и узкий. Мы можем провести разложение каждого
члена в ряд по степеням Ь/а. Однако, оказывается, более просто разло-
разложить саму функцию Грина. Из (9.2.30) при помощи ряда ctg х = f- -f ...
получаем
Первая сумма с точностью до множителя \/Ь равна функции Грина для
одномерной задачи
При этом
Вторая сумма пропорциональна &(у — у0). Поэтому окончательно
L+±g-&(y-yo). (9.2.42)
Если мы возьмем больше членов в разложении котангенса, в (9.2.42)
добавятся высшие производные дельта-функции. Подстановка (9.2.42)
в интегральное уравнение (9.2.4) дает
(У\Уо) * (Уо) ^о -1 / (У) «Ь(У)-
Это интегральное уравнение эквивалентно дифференциальному уравнению
второго порядка
^(|> 0j> = 0 (9.2.43)
с граничными условиями
0*0 2/ = ° И 5'==
Если / — достаточно простая функция, как зто имеет место в. рас-
рассматриваемом случае, то дифференциальное уравнение (9.2.43) можно
решить и получить функцию Ф на поверхности и величину собственного

9.2. Поверхностные возмущения
53
значения к2. Если функция ф на поверхности известна, то с помощью
(9.2.3) можно получить ф внутри области. Мы видим, таким образом, что
если b достаточно мало, то эффект изменения граничных условий настолько
локализован, что учитывается дифференциальным уравнением лучше, чем
интегральным.
Возмущение формы границы. Рассмотрим теперь, как отражаются
на собственных значениях и собственных функциях изменения в форме
граничной поверхности. Пусть S' — первоначаль-
первоначальная поверхность, a S—искривленная (см. рис. 9.5).
Аналогично, область, ограниченную поверх-
поверхностью S', обозначим через R', а область, огра-
ограниченную поверхностью S, — через R. На черте-
чертеже R заключена внутри R'. Это существенно, если
мы хотим выразить собственные функции для обла-
области R через собственные функции области R'. Мы
ограничимся снова рассмотрением уравнения Гельм-
гольца и однородных граничных условий Неймана
или Дирихле. Предположим, что собственные функ-
функции срп, удовлетворяющие этим граничным условиям
на поверхности S', и соответствующие им собствен-
собственные значения к^ известны, так что
VV + ^n = 0- (9.2.44)
Займемся теперь выводом интегрального урав- ^яс- 9.5. Возмущение
v r , ., Jr формы границы от про-
нения для функции ф, удовлетворяющей граничным (?той формы ?' к искрив-
условиям На поверхности S и уравнению ленной S.
Интегральное уравнение вытекает из интегрального представления функ-
функции ф через функцию Грина Gh (г | г0), удовлетворяющую граничным усло-
условиям на S', и через саму функцию ф, которое можно получить прямо
применением теоремы Грина к уравнению (9.2.2):
Мы обращаем внимание на то, что этот интеграл представляет ф только
внутри S, будучи равным нулю вне ее.
Теперь нужно уточнить граничные условия. Рассмотрим сначала
однородные условия Неймана на поверхности S. Выберем Gh и <рп удо-
удовлетворяющими однородным условиям Неймана на поверхности S'; тогда
(9.2.45) приобретает вид
dGk(t\
¦dSn
(9.2.46)
Мы видим опять, что если функция ф на поверхности S известна, то ее
можно вычислить для любого г внутри поверхности с помощью (9.2.46).
Интегральное уравнение получится, если взять г лежащим на поверх-
поверхности S:
t (S 1 So) <
(9.2.47)

54 Гл- 9. Приблимсенные методы
Сведем затем равенства (9.2.46) и (9.2.47) к эквивалентным им веко-
вековым уравнениям, к которым можно применить технику, описанную в"§ 9.1.
Так как функция, определяемая интегралом в (9.2.46), равна нулю
вне S и, следовательно, имеет разрыв при переходе через S, ее разложе-
разложение по функциям <рп сходится не слишком хорошо. Это приводит к мысли,
что разложение по функциям, равным <рп внутри области, ограниченной S,
и нулю вне этой области, будет более подходящим. Мы обозначим эти
функции через Фп. Пусть тогда
'!>(*)= 2 с„Фр- (9-2.48)
р
Подставляем (9.2.48) в обе части равенства (9.2.46) и используем разло-
разложения (предполагая, что <рр действительны)
Iv, (9.2.49)
g R
где значок R означает, что интеграл берется только по области R. Полу-
Получается следующая система уравнений для вычисления ср:
2 ср [Л',р (к2 - К) - Aqp] = 0 для каждого q, (9.2.50)
р
где
Уравнения (9.2.i»0) — точно такие же, как уравнения (9.1.95), полученные
ори рассмотрении теории возмущений в случае неортогональных функций.
Мы отождествим
^*рр рр ^ ' ''"р/^^рр рр
Теперь можно непосредственно использовать выражение (9.1.98) для того,
чтобы получить разложение функции ty. Формула второго порядка для ф
дает
qФv
Формулу (9.1.99) невозможно использовать для вычисления собственного
значения точнее, чем во втором порядке, поскольку, как мы увидим ниже,
второй ряд в (9.2.52) сходится только в среднем и поэтому не может
быть вычислен на граничной поверхности прямой подстановкой. Однако
существует способ улучшения сходимости; мы рассмотрим его позже.
Выражение для к2 второго порядка точности можно получить из фор-

9.2. Поверхностные возмущения 55
мулы (9.1.99):
(Л. —
Так как будет доказана невозможность получить подобные формулы
для членов более высокого порядка, важно иметь выражение для /с2 —&?
через функцию ф, которое можно получить, минуя формулу (9.2.52). Мы
начнем с дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют ^ и <р„:
Из них сразу следует, что
Интегрируя по области R, используя теорему Грина и подставляя гранич-
граничные условия для ф, имеем
S
Напишем Ф = <р„ + (ф — <рп)- Тогда
(V-ft)Nnn = Ann- (А*-Л*) ^ ?„(ф- Tn)^F +5 (Ф-Ф„) ^dS. (9.2.54)
я s
Если члены нулевого и первого порядка в (9.2.52) подставить в это
уравнение, то получается уравнение (9.2.53).
Вычисление интегралов. Для того чтобы рассмотреть важный вопрос
¦о сходимости рядов (9.2.52) и (9.2.53), необходимо оценить величину
интегралов Npq и Ат. Сначала мы покажем, что объемные интегралы
Npq можно выразить через поверхностные интегралы. Из уравнений для
функций <рр и <pQ получаем сразу
Т, v2Tp - <PPV4 = {К - Ч) ФрТв-
Интегрируя по области R и используя теорему Грина, находим
k
Обращаясь теперь к Nyv, заметим, что соотношение между /Vpp и про-
производной но к2 от Apq подсказывается равенством (9.2.55). Рассмотрим
поэтому уравнение для д(р/д(к2):
д(к*) ^-
Комбинируя это уравнение с уравнением для tp, получаем
Интегрируя по области R и подставляя /с2=А:р, получаем величину Л* г
=,;2 ЛЬ'. (9.2.56)
Это совершенно общий результат, он применим, в частности, и в случае
разделяющихся переменных, который может служить поэтому иллюстра-
иллюстрацией. Между прочим, формула (9.2.56) часто дает простейший спо-
способ вычисления нормирующего интеграла для случая разделяющихся

56 Гл. 6. Приближенные методы
переменных, так как тогда она применима к каждой из собственных
функций, дающих в произведении решение многомерной задачи. Для
каждого из этих сомножителей поверхностный интеграл сводится к вели-
величине, получаемой подстановкой пределов изменения переменной, от кото-
которой эта собственная функция зависит, так что нормирующий интеграл
можно получить без интегрирования! Чтобы проиллюстрировать это,
найдем нормирующий интеграл для функции
которая удовлетворяет граничным условиям Неймана при х = 0 и х = Ь.
р~~
Г а? "I Ьх
LeBJ- 2
Пусть (j> в (9.2.56) равна coskx, так что кр~~-. Тогда
Заметив, что для этой задачи д/дп = д/дх, приведем уравнение (9.2.56)
к виду
так что Npp = b/2, как и должно быть. Более сложный пример будет
разобран ниже, когда будут рассмотрены конкретные задачи теории воз-
возмущений границы.
Показав, что мы можем ограничить наши рассмотрения поверхност-
поверхностными интегралами, мы обратимся теперь к способу, которым должна быть
задана поверхность и вычислены нормальная производная и элемент пло-
площади поверхности. Предположим, что невозмущенная поверхность может
быть определена заданием одной (скажем ?t) из трех переменных $lt ?2,
$з, в которых уравнение Гельмгольца разделяется. Тогда уравнение для
возмущенной поверхности можно записать так:
где
" — Ej C / (?2> У»
а с — значение ^ на невозмущенной поверхности; функция / описывает
возмущение. Встречающаяся в формулах величина -^ dS в терминах S
оказывается такой:
Э/
ее, ее,"
где после того, как произведено дифференцирование, ?t надо заменить
на с + /(?2, ?3). Область, пробегаемая переменными ?2 и У как Раз такая,
которая требуется для описания первоначальной поверхности S' ¦
Сходимость. Сходимость различных рядов в (9.2.52) и (9.2.53) опре-
определяется поведением элементов Ар!] при больших кр и kq. Это можно
увидеть более ясно, если выписать Apq в явной форме. Пусть

9.2. Поверхностные возмущения
Тогда
aw= \ \ ААМЪ. У {xq[c + f(^, у] [-цхР$я, У (^f ;E
Таким образом, ^4pQ пропорционально коэффициенту в разложении функ-
функции от $2 и $8 в фигурных скобках по системе функций xq(?2> У- Вообще
говоря, мы знаем, что если эта функция достаточно гладкая, Ард быстро
уменьшается при больших кр и kQ. Если бы длина волны, связанная с ^Q,
была значительно меньше, чем изменение функции, быстрое колебание -^
привело бы к исчезновению интеграла. Отклонения от гладкой- зависи-
зависимости могут встречаться, если /($2, ?8)—не гладкая функция, и будут
встречаться, поскольку Xlq [с + /(?2> У] колеблется все быстрее и быстрее
при возрастании q. Мы можем рассмотреть каждую возможность отдельно,
если предположим, что особенности функции / изолированные, так что
ее можно разбить на гладкие куски, а все особенности ее будут нахо-
находиться в местах соединения этих кусков. Эффекты, возникающие вслед-
вследствие колебаний X, упомянутых выше, можно вычислить тогда отдельно
для каждой такой области, что непосредственно приводит к рассмотре-
рассмотрению следующего интеграла:
Apq пропорционально /, когда q настолько велико, что остаток подинте-
грального выражения медленно меняется на протяжении многих колеба-
колебаний зСд и может быть поэтому приближенно заменен постоянной.' Инте-
Интеграл / мы оценим в частном случае декартовых координат. Это не при-
приводит к потере общности; для достаточно больших значений q и, следо-
следовательно, частых колебаний xq кривизна граничной поверхности не играет
роли. Действительно, в § 6.3 мы подробно доказали эту теорему, сравни-
сравнивая ряды Фурье с другими рядами по ортогональным функциям. Таким
образом,
где к„ = тс2 ( —) + ( — ) -+ ( — ) ив качестве функций <р взяты
функции, удовлетворяющие условиям Неймана. Используя правило сложе-
сложения косинусов, можно записать / в виде суммы нескольких членов, общий
член которой есть
где знаки плюс и минус указывают, что в / могут встречаться различ-
различные комбинации членов. Величина /' может быть оценена по методу пере-
перевала. Прежде всего запишем /' в комплексной форме:
Мы разложим экспоненту в окрестности тех значений ?2 и ?3, ?^ и $-'s, дл»
которых ее градиент равен нулю. Следовательно,

•58 Гл. 9. Приближенные методы
Всегда можно найти отношения qo/q1 и q3fq1 так, что эти уравнения будут
удовлетворяться в каждой точке поверхности. Этим не исчерпываются все
возможные значения отношений, а поэтому верхняя грань для /' полу-
получится, если мы предположим, что последним равенствам можно удовле-
удовлетворить всегда. Мы можем теперь разложить экспоненту в степенной ряд
в окрестности ?2' и ^:
«причем контуры интегрирования на комплексных плоскостях ?2 и ?3 выби-
выбираются так, чтобы получить «наибыстрейший спуск»1). Затем можно при-
приблизительно вычислить интегралы, распространив область интегрирова-
интегрирования от минус до плюс бесконечности, так что
•Отсюда можно заключить, что / и, следовательно, ApQ имеют порядок
!/<?! при q1—» оо, или
() <9-2-59)
Этот результат перестает быть верным, если множитель, стоящий под
знаком модуля в формуле (9.2.58), окажется равным нулю, как это слу-
случается для отдельных точек (которые должны быть седловыми точками)
на граничной поверхности, а следовательно, только для определенных
значений отношений q3 и q2 к qv Ввиду последнего ограничения эти
исключительные случаи не играют настолько заметной роли, чтобы изме-
изменить скорость сходимости ряда (9.2.53) по сравнению с той, которая
предсказывается формулой (9.2.59).
Почти таким же способом, как выше, можно получить поведение Арч
для больших кр. Имеется, однако, дополнительная зависимость, возни-
возникающая из-за производных от (j>p и приводящая к множителю кр. Сле-
Следовательно,
Apq = 0A). (9.2.60)
Если же и кр и kq одновременно велики, то получается
где знаки плюс и минус указывают, что встречаются обе комбинации
Ар и кд.
Формулы (9.2.59) — (9.2.61) дают асимптотическую зависимость, возни-
возникающую из-за наличия таких членов, как Xq(c + f). Мы обсудим теперь
¦ограничения, возникающие из-за особенностей функции /. Здесь важными
членами являются производные df/dh,l и df/d$-2. Следовательно, если / имеет
конечные разрывы, эти производные заключают в себе дельта-функции
по переменным ?г и ?9 соответственно, и, значит,
') Это чисто описательное выражение. Не путать с методом «наискорейшего спу-
спуска», который состоит в отыскании минимума функции (или функционала) последова-
последовательными сдвигами по нормали к линиям уровня. —Прим. перее.

9.2. Поверхностные возмуу^ения
это также имеет место, если только одна из пары величин к,р и /с(/ стре-
стремится к бесконечности. Если / непрерывна, но имеет разрывный градиент,
то
и т. д. Видно, что никакой характер особенностей / не приводит к более
медленному асимптотическому убыванию, чем (9.2.61). Следовательно,
мы можем считать, что формулы (9.2.59)—(9.2.61) описывают асимптоти-
асимптотическую зависимость Apq-
Мы можем, наконец, дать асимптотическую зависимость коэффициен-
коэффициентов при Фр в (9.2.52) и слагаемых в (9.2.53). Отдельные множители ведут
себя следующим образом:
Anp-(k*-K)Nnp ~
ft ->оо
~1рп 1Л ЛР/ •lV рп —" у1
APQ-W-kl)Wpq = °A)-
Подставляя эти асимптотические выражения в формулу (9.2.53) для
/с2—к%, мы видим, что слагаемые уменьшаются как 1/кР, когда кр возра-
возрастает. Этого достаточно для сходимости ряда. Ряд для следующего
порядка может сходиться условно; сумма абсолютных величин его членов
расходится логарифмически. Эта расходимость возникает вследствие того,
что ряд для членов до второго порядка в волновой функции сходится
только в среднем, т. е. сумма квадратов коэффициентов при <рр сходится,
что можно проверить следующим образом. Если данные выше асимптоти-
асимптотические результаты подставить в члены второго порядка (9.2.52), то коэф-
коэффициентом при Фр при больших кр будет [In (kp)]lkp; сумма 2 ['п2 (кр)]/кт>
сходится.
Улучшение сходимости. Предыдущие рассмотрения должны привести
нас к заключению, что получить явное разложение собственной функции
'!> по членам не возмущенного типа невозможно. В случае итерационно-
пертурбационной формулы мы должны представить хуже всего сходящу-
сходящуюся часть ряда в замкнутой форме, с тем чтобы остаток сходился доста-
достаточно быстро для того, чтобы можно было провести следующую итера-
итерацию. Часто это можно сделать подбором. Однако есть и более система-
систематический метод, основанный на интегральном уравнении (9.2.47). Прежде
всего выделим <pni так как эт°. конечно, главный член. Это дает
dV0. (9.2.62)
Мы можем отсюда получить первый ряд в (9.2.52), пренебрегая поверх-
поверхностным интегралом, содержащим ф — ($>п. Итерационный процесс в основ-
основном состоит в том, что полученный при этом результат для <Ь~ уп под-
подставляется затем в правую часть (9.2.62). Мы видим сразу же, что источ-
источником всех наших неприятностей является плохая сходимость 0Gh/dno.

00 Гл. 9. Приближенные методы
Сделаем поэтому подстановку
8Gh _ dG0 д
Здесь ?„ — функция Грина для уравнения Лапласа. Если Go можно выра-
выразить в замкнутой форме, а не посредством ряда, то мы сможем про-
продолжать наш итерационный процесс. d(Gh — G0)/dn0 можно представить
в виде ряда, так как сходимость последнего теперь будет соответствовать
требованиям. Результат итерационного процесса можно выразить, сле-
следующим образом. Пусть ф — <$>„ = 2хр, где ур удовлетворяет рекуррентному
соотношению
i$g^$^^d5, (9.2.63)
Первый член в правой части нельзя вычислять разложением в ряд по <рп.
Нужно применить непосредственное интегрирование или численные методы.
Во втором интеграле (9.2.63) можно использовать представление рядом
и интегрировать ряд почленно.
Возмущения границ для условий Дирихле. Мы используем те же
обозначения, что и раньше. Интегральное уравнение, определяющее ф,
можно получить непосредственно из уравнения (9.2.45), положив ф = 0
на поверхности:
±§k(r\S0)-ltdS0. (9.2.64>
Мы не будем пытаться получать волновую функцию с точностью выше
первого порядка, а собственное значение выше второго, ввиду возника-
возникающих трудностей в сходимости. Они имеют еще более непримиримый
характер, чем для условий Неймана, рассмотренных выше.
Чтобы получить поправку первого порядка для функции ф, выделим
в правой части равенства (9.2.64) член, пропорциональный невозмущен-
невозмущенной собственной функции (j>n:
Мы можем упростить коэффициент при уп, заметив, что
(*¦ - к?) $ ?пфdV = \ W\n - 9nV«4>] dV = - ^9nZdS- (9:2-65>
Следовательно,
рфп
рфп
Поправка первого порядка для ф получается подстановкой срп в правую
часть равенства вместо ф:
здесь iVnn и Лпр определяются формулами (9.2.49) и (9.2.51). Поверхно-
Поверхностный интеграл имеет порядок 1/кр для больших кр. Ряд в (9.2.66) схо-
сходится, таким образом, достаточно быстро, чтобы определить величину

9.2. Поверхностные возмущения
61
объемного интеграла \ <!>epnc?F в (9.2.65):
^ndv=mnn+ ^ i^-N™> (9-2-67)
Рфп.
где указано приближенное значение интеграла с точностью до первого
порядка, так как этого вполне достаточно, чтобы вычислить к2 — к% до
второго порядка.
Ряд в (9.2.66) нельзя дифференцировать. Мы должны, следовательно,
определить величину dty/dn в формуле (9.2.65) другим путем. Рассмотрим
интегральное уравнение, определяющее V-|>:
ЎФ С) = -Ь $
Это представление V6 обращается в нуль вне S и потому разрывно, так
как V^ не равно нулю на S. Мы используем подобное представление для
V(j>n и образуем V-!) — V<pn, «протолкнув» разрывность в более высокий
порядок. Из теоремы Грина и уравнений для <рп и Gh мы имеем
n (г) = (Л* - ^2) ^ VGfe (г | г0) 9п (г0) dV0
Следовательно,
с (9-2.69;
Первое приближение для V (<!> — срп) получается, если в правую часть
(9.2.69) подставить <рп вместо <Ь. Мы должны также произвести замену
W0Gfe на W0(Gh — Go), которая была уже сделана раньше в этойглаве.
Рядом для Vi!> до первого порядка будет тогда
^^<?P, (9.2.70)
рфп Р
где Npn выражено через поверхностные интегралы формулой (9.2.55).
Коэффициент при Va>p имеет порядок 1/кр для больших кр и, таким обра-
образом, ряд сходится достаточно быстро для того, чтобы его можно было под-
подставить в (9.2.65). Окончательно мы получаем для к2 — к„:
(к2 - К) Nnn - - Апп + ^ ^1»^+?-Ы*ё*В!1 . (9.2.71)
Р Р
Ряд сходится. В формулах (9.2.66) и (9.2.70) волновая функция и ее гра-
градиент выражаются рядами, которые сходятся в среднем, в то время как
ряд (9.2.71) для собственного значения сходится абсолютно.
Специальный класс граничных возмущений. Из предыдущего следует,
что для общих поверхностных возмущений трудности, связанные со схо-
сходимостью, препятствуют получению явного разложения собственных значе-
значений и собственных функций по системе невозмущенных собственных функ-
функций. Имеется, однако, особый вид граничных изменений, для которых
достигается достаточная сходимость во всех порядках возмущения. Чтобы

C2
Гл. 9. Приближенные методы
выяснить, какими должны быть эти поверхности, мы вернемся к оценке
поведения Apq при больших кр и кд, выведенной из формулы (9.2.58). Мы
напоминаем, что существование контура, для которого фаза
имеет нулевой градиент, привело к оценкам (9.2.59) —(9.2.61), на которых
основаны рассуждения о сходимости. Ясно, что сходимость можно было
бы улучшить, если бы /(?2, |3) была линейной функцией от ?2 и ?3, так
как тогда не было бы точки на поверхности, в которой градиент фазы
был бы равен нулю, за исключением
совсем особых отношений qjq1 и qs/qv
которые не влияют на сходимость в
целом. В таком случае из (9.2.58)
можно легко видеть, что Арп = О (кр2)
при кю —* со и т. д. Это асимптотиче-
асимптотическое поведение обеспечивает сходимость
ряда для собственных значений во всех
порядках аппроксимации. Пример по-
поверхностного возмущения такого спе-
специального вида приведен на рис. 9.6,
где четырехугольник ABCD' представ-
представляет возмущенную форму прямоуголь-
прямоугольника ABCD. В трехмерном простран-
пространстве прямоугбльник следует заменить
параллелепипедом, а линию AD' — пло-
плоскостью, образующей определенный
угол 6 с одной из его граней. Можно легко придумать соответствую-
соответствующие возмущения и в других координатных системах. Теперь мы дове-
доведем до конца вычисление элементов Апп и Nгг в указанном выше случае
как для того, чтобы проверить, наши рассуждения, так и для иллюстра-
иллюстрации общей теории. В качестве граничных условий возьмем однородные
условия Неймана.
Невозмущенные собственные функции равны
Р и с. 9.6. Возмущение граничной по-
поверхности отклонением стороны AD
на угол 6.
1 /Егеп пру ЩХ
= V at C0S a C0S ~Г ' Р Ш q ~
где двойной индекс (pq) заменяет одинарный, как в формуле ддя
Подобным образом <$>г равно
_ , :/ us y iztx
=¦- \/ ~г cos —- cos ^— , s и / — целые.
7 a о
Интеграл для Aps можно получить, вычисляя нормальную производную
согласно формуле (9.2.57). Для нечетных p + s

9.2. Поверхностные возмущения
Непосредственное интегрирование дает
- ¦ д f g.n2 Г
i. L
2b
!]*
X
(¦?-)*
+-
Выражение для /Vnn имеет вид
62 sin2
дд — EvEq
пп lab
6й a2 tg 6
4ег
tg fi
(IT
Мы можем немедленно убедиться, что Апг = ОA//сг), в то время как в
Г —> ОО
случае двумерной задачи для общего случая произвольной поверхности
^4пг = СA/{//сг). Мы замечаем также, что для низшего состояния колебаний
прямоугольника (при р = q = 0) Anr равны нулю; следовательно, во всех
порядках отсутствует изменение частоты. Это, конечно, правильно, так как
ф = const будет удовлетворять условиям Неймана и на возмущенной по-
поверхности.
9.3. Приложение методов теории возмущений к изучению
рассеяния и дифракции
В §§ 9.1 и 9.2 мы делали упор на применение теории возмущений
к определению собственных значений и собственных функций. Здесь мы
рассмотрим задачи, в которых собственные значения образуют непрерыв-
непрерывный спектр.
Так как собственные значения могут быть какими угодно, то наше
внимание будет теперь сосредоточено на волновых функциях, кото-
которые должны быть описаны в области, простирающейся обычно до беско-
бесконечности (непрерывный спектр и возникает вследствие этого). Существует
связь между поведением волновой функции на бесконечности и свойствами
среды, в которой распространяются волны, что представляет очень боль-
большой интерес. Поведение на бесконечности обычно наблюдается экспери-
экспериментально; свойства же среды, как правило, выводят из измерений, срав-
сравнивая теоретические предсказания, полученные в предположении, что среда
обладает теми или иными свойствами, с результатами эксперимента (см.
дальнейшие рассмотрения в §§ 11.3 и 12.3).
Наиболее распространенными являются следующие условия экспери-
эксперимента: излучение источника, обычно помещенного в бесконечности, направ

¦64 Гл. 9. Приближенные методы
лено на область, называемую рассеивающей областью, свойства которой
отличаются от свойств окружающей среды. Падающая волна может быть,
например, звуковой волной; среда — воздух, а неоднородность среды мо-
может создаваться некоторым твердым телом. В другом случае падающая
волна может представлять собой пучок электронов с определенным импуль-
импульсом, а рассеивающей областью может быть электрическое поле, создавае-
создаваемое атомом. Ясно, что в каждом из этих случаев рассеивающая область
Падающая
Рис. 9.7. Схематическое изображение падающей и рас-
рассеянной волны.
отклоняет часть падающих лучей от первоначального направления и со
здает рассеянную волну. На больших расстояниях от рассеивающей области
мы наблюдаем и рассеянную и падающую волны.
В этом параграфе мы рассмотрим методы приближенного предсказания
их относительной интенсивности. Точные решения задачи рассеяния будут
рассмотрены в гл. 11. Мы ограничим наше исследование уравнением
Шредингера и скалярным уравнением Гельмголыда; эти же методы можно
применять и к другим уравнениям, причем в большинстве случаев возни-
возникающие затруднения невелики.
Граничные условия для рассеяния. Общую волновую функцию •!»
можно разложить на падающую волну tyi и рассеянную <!»а:
* = *i + V (9-3.1)
Часть граничных условий, которая является общей для всех задач о рас-
рассеянии, состоит в том, что на больших расстояниях от рассеивающей об-
области ф8 приближается к волне, расходящейся из точечного источника,
помещенного в рассеивающей области. В трехмерном случае, мы можем
считать ф; падающей плоской волной
тогда tltj удовлетворяет уравнению V^ + Zc2^ = 0. Граничные условия на
бесконечности в этом случае требуют, чтобы
pifer
<>8~/(&,ср)~ при г-+со, (9.3.2)
где г, & и <р— сферические координаты с центром в рассеивающей области.
Функция / называется амплитудой рассеяния или фактором углосоги
распределения.

9.3. Приложение методов теории возмущений 65
В двумерном случае падающая плоская волна tyi обычно записывается
в виде
ф4 = eikx.
Рассеянная волна удовлетворяет условию
фв~/(9)^ при г-»со. (9.3.3)
Здесь г и ($> — полярные координаты с центром в рассеивающей области,
а угол ер отсчитывается от положительного направления оси х.
Отраженная
волна
"* Рассеивающая Проходящая
область волна """
Падающая волна
Рис. 9.8. Схематическое изображение одномерной задачи
о прохождении и отражении волн.
В одномерных задачах употребляется несколько другая терминология,
так как в этом случае рассеяние происходит вдоль направления падения.
Возьмем снова падающую волну в виде
<h = eikx.
Граничные условия на бесконечности состоят теперь из двух частей. Для
больших положительных значений х функция Ф приближается к проходя-
проходящей плоской волне:
при ж^со. (9.3.4)
При больших отрицательных значениях х мы имеем сумму падающей и от-
отраженной волн:
фгч, емх_j_ Ae-ihx при ж—* - со. (9.3.5)
Поперечное сечение рассеяния. Величины, измеряемые на бесконечно-
бесконечности, непосредственно связаны с функцией / или с коэффициентами А и Б.
Например, в акустике величина ]/(&, ф) |2 c?Q — это мощность, рассеянная
внутрь телесного угла dQ с направлением 8 и ер, рассчитанная на едини-
единицу падающей интенсивности. С другой стороны, если ф - шредингеровская
волновая функция, то | / (&, ер) |2 dQ дает величину рассеянного потока внутри
телесного угла dQ, приходящуюся на единицу плотности падающего по-
потока. Т аким образом, ] / (&, се) |2 дает угловое распределение рассеянного
излучения или рассеянных частиц. Ясно, что множитель |/(Э-, <$>) |2 имеет
размерность площади; поэтому он часто называется дифференциальным по-
поперечным сечением рассеяния с:
с (&, <р) = | / (&, ер) |2 в трехмерном случае. (9.3.6)
В двумерном случае |/(<p)|2cfo дает мощность, рассеянную внутрь проме-
промежутка углов dtp, приходящуюся на единицу интенсивности падающего потока.
Ясно, что в этом случае множитель имеет размерность длины и обычно
также обозначается через а:
а (ф) = I / (ф) Is в двумерном случае. (9.3.7)
Полная рассеянная мощность, приходящаяся на единицу падающей
интенсивности, или полный рассеянный поток на единицу плотности пада-
5 Ф. М. Морс и Г. ФешСах

66 Гл. 9. Приближенные методы
ющего потока получаются интегрированием с (&, ср) по всему телесному уг-
углу. Результат называется полным поперечным сечением рассеяния и обо-
обозначается буквой Q:
Q= \ c(&, y)dQ в трехмерном случае (9.3.8)
и
Q = \ с (ф) dtp в двумерном случае. (9.3.9)
и
Полное поперечное сечение имеет простую физическую интерпретацию:
это площадь (в двумерном случае отрезок прямой), нормальная к падаю-
падающему пучку, загораживающая путь такому количеству падающей мощно-
мощности, которое равно рассеянной.
Можно также выяснить физический смысл коэффициентов А и В в
формулах (9.3.4) и (9.3.5) для одномерной задачи. Отраженная интенсив-
интенсивность, приходящаяся на единицу падающей интенсивности, называется
коэффициентом отражения R и связывается с А по следующей формуле:
Л=|Л|Я. (9.3.10)
Коэффициент прохождения Т есть интенсивность прошедшей волны:
Т = \В\%. (9.3.11)
При отсутствии поглощения | А ]2 -)-1В |2 должно быть равно единице.
Рассеяние сферически симметричной областью. Сдвиги фаз. Если в
уравнении Шредингера потенциал является функцией только г или если
в акустике рассеивающая область имеет сферическую форму и изотропна,
трехмерное уравнение можно свести к системе независимых одномерных
уравнений относительно г. Они будут отличаться от одномерной задачи,
рассмотренной ранее, так как 0<г<со, тогда как — co<z<co.
Рассмотрим уравнение Шредингера
[V2 + (A:2-M/(r))]<l> = 0, (9.3.12)
где
Е равно полной энергии, a XF — потенциальной энергии частицы массы т.
Можно применить метод разделения переменных, перейдя к сферическим
координатам. Мы воспользуемся следующими элементарными решениями:
где Р1— полиномы Лежандра, a uL удовлетворяет уравнению
| = 0. (9.3.13)
Это дифференциальное уравнение имеет два решения. Мы выделим то из
них, которое равно нулю в начале координат, так как функция О не
имеет там особенностей:
»,(()) = 0, (9.3.14)
Амплитуду к, следует теперь выбрать так, чтобы <J> удовлетворяла гра-
граничному условию (9.3.2).

9.3. Приложение методов теории возмущений 67
Для этих вычислений нам необходимо получить выражение для плоской
волны в сферических координатах. Элементарные решения получаются,
если положить U = 0 в (9.3.13) и выбрать такое решение, которое огра-
ограничено в начале координат. Элементарные решения равны
Pt (cos &)/\ (кг),
где [см. формулу A1.3.42)]
Можно показать [см. формулу A1.3.45)], что
со
eihz = 2 {21 + 1) i'Pj (cos &) /• (кг). (9.3.15)
1=0
Эта форма для плоской волны приводит к мысли записать ф в виде
ф=2 B/ + 1IгЛ(сой&)^- (9.3.16)
и подобрать Bt так, чтобы удовлетворилось граничное условие (9.3.2).
Следовательно, будем считать, что
ф _ ette = ,j,s ^ ^ B1+ 1) ?Л (cos &) (| - /
Мы должны так выбрать uL, чтобы
щ . . eihr
^-/,~Л,— при г—» со.
Следовательно, uL и /( должны быть сравнимы. Асимптотически /г ведет
себя (при г—>оо) следующим образом:
cos
Г fa-—1-я
1^
Если <7 (г) не простирается до бесконечности, то и, асимптотически
удовлетворяет тому же уравнению, что j\. Следовательно, к, можно запи-
записать в виде линейной комбинации двух решений свободного (U = 0) вол-
волнового уравнения. Тогда получается следующее асимптотическое выраже-
выражение для щ:
щ~е~и'1 cos Г/cr —-|-u(Z + l) —т]Л , (9.3.17)
где t]j — сдвиг фазы1). Амплитудный множитель выбран так, чтобы
Щ
кг
Следовательно,
*) Обычно используется другое определение сдвига фазы, отличающееся знаком
от определения (9.3.17).—Прим. ред.

Гл. 9. Приблимсенные методы
Функция /(&, у) является коэффициентом при eihr/r, поэтому
^ (9.3.18)
Полное поперечное сечение (в предположении, что т], действительны)
получается интегрированием:
со
^•l^f^fllsiu2^. (9.3.19)
Физический смысл этого результата будет рассмотрен подробно в гл. 11 и 12.
Здесь нас интересует главным образом остающаяся математическая задача.
Чтобы определить с и Q, нам необходимо знать сдвиг фазы -qL. Его
можно найти, решив дифференциальное уравнение (9.3.13) для к, и выб-
выбрав решение, равное нулю в начале координат; исследуя, наконец, его
асимптотическое поведение, можно найти т]г в соответствии • с фор-
формулой (9.3.17).
Поучительно сравнить задачу об определении щ и стандартную одно-
одномерную задачу. Заметим, что
e~ihr + ( —1)!+1 е~2щ
ut ~ const[e~ihr + ( —1)!+1 е~2щ1 eihr] при г —> со.
Вспоминая, что иг@) = 0, мы видим, что |( — II*1 exp( — 2й],)|2 можно
истолковать как коэффициент отражения для волны ехр ( — ikr), падающей
со стороны положительных г 'на рассеивающую область, оканчивающуюся
при г = 0 совершенным отражателем.
Интегральное уравнение для рассеяния. Так же, как и в случае
дискретного спектра, будет удобно использовать интегральное уравнение
для неизвестной функции как исходный пункт для развития различных
приближенных методов. Рассмотрим сначала полную трехмерную задачу,
исходя из уравнения Шрединтера, а затем обратимся к интегральному
уравнению для и{. Запишем (9.3.12) в форме неоднородного уравнения:
где, как указано, мы не обязательно имеем дело с центральными силами.
Используя затем для уравнения Гельмгольца функцию Грина для всего
пространства exj)(ikR)/R, где i? = |r |
Ц (г) = Ь W - ТП \ ~!Г U W Ф W <**V (9-3-20)
Здесь мы добавили к частному решению, выражаемому интегралом, функ-
функцию ф4 — решение однородного уравнения Гельмгольца. Можно теперь
показать, что выражение (9.3.20) удовлетворяет граничным условиям на
бесконечности. При больших г
— r0 cos 6,
где 6 — угол между векторами г и г0. Так как г—вектор, направленный
в точку наблюдения, то удобно ввести вектор ks с направлением вектора г,
но с величиной к, т. е.
k8.r0 = /cr0cos6. (9.3.21)
Следовательно, в пределе при г—> со
$ (г) ~ eikir - -А- ^- ^ е-^-о U (г0) •!> (r0) dV0.

9.3. Приложение методов теории возмущений 69
Амплитуда рассеяния / (&, ср) является коэффициентом при exp (ikr)/r, т. е.
/(». ?)= —ш] e-ik*-rot/(roN(ro)dFo. (9.3.22)
Мы, таким образом, проверили, что волновая функция, удовлетворяю-
удовлетворяющая уравнению (9.3.20), автоматически удовлетворяет граничным условиям
на бесконечности, и одновременно мы получили выражение амплитуды
рассеяния / через ф. Уравнение (9.3.20) и является, таким образом, инте-
интегральным уравнением для рассеяния. Прежде чем заниматься приближен-
приближенным решением этого уравнения, полезно выяснить важное соотношение
между полным поперечным сечением Q и /. Мы покажем сейчас, что для
консервативных систем (мы могли бы также доказать это и в случае,
когда частицы или энергия поглощаются)
^ (9.3.23)
где под /@) мы понимаем значение амплитуды /(&, ср) для & = 0, или,
принимая во внимание определение ks, для случая, когда ks в (9.3.22)
равно к{. Другими словами, полное поперечное сечение связано с амплитудой
рассеяния, вычисленной в направлении распространения падающей волны.
Чтобы доказать равенство (9.3.23), мы заметим, что из теоремы Грина
и уравнений для ф и ф4 легко вытекает соотношение
|-?Л1) dV.
Правую часть этого равенства можно переписать, используя выражение
для /@), получаемое из (9.3.22). Кроме того, за поверхность интегриро-
интегрирования примем сферу радиуса г. Тогда
lim \ (^-,b^k)dS= -4«/@). (9.3.24)
Г->СО •) N. "' "' У
Левую часть (9.3.24) можно выразить через Q с помощью закона
сохранения:
(9.3.25)
Они, попросту говоря, означают сохранение излучения для полной или только
для одной падающей волны (или в случае уравнения Шрединтера — сохра-
сохранение числа частиц). Если мы теперь в первом из этих двух равенств
заменим ф на ф4 4- ф3 и используем второе, то получим
Принимая во внимание (9.3.2), мы видим, что второй из этих поверхност-
поверхностных интегралов равен
Что же касается первого из поверхностных интегралов, то он приблизи-
приблизительно равен поверхностному интегралу в (9.3.24), как это можно показать.

70 Гл. 9. Приближенные методы
подставив Ф=Фг + '-1>8 в (9.3.42) и используя условие сохранения (9.3.25)
для плоской волны. Отсюда сразу получается теорема (9.3.23). Читатель
может проверить (9.3.23), сравнивая (9.3.19) п выражение для f(b,cp),
данное в формуле, стоящей непосредственно перед @.3.18).
В этом последнем рассуждении мы обращали главное внимание на
рассеяние, которое возникает в результате объемного возмущения. Анало-
Аналогичные результаты можно получить, если рассеяние появляется вследствие
введения отражающей поверхности, т. е. вследствие поверхностных возму-
возмущений. Предположим, например, что ф должна удовлетворять условиям
Дирихле на поверхности S. Тогда интегральным уравнением для рассея-
рассеяния будет
ф(г) = ф(г)-| \ —Х- dgo. (9.3.2b)
Переходя к пределу при г—> оо, мы найдем, что граничные условия на
бесконечности автоматически выполняются. Амплитуда рассеяния равна
-iks-roitrfe (9.3.27)
Мы предоставляем читателю доказать, что формула (9.3.23) и здесь остается
справедливой.
Интегральное уравнение для одномерных задач. Рассмотрим уравнение
iS. 4- [/с2 — W (х)] ф = 0. (9.3.28)
Граничные условия выражаются соотношениями (9.3.4) и (9.3.5). Исполь-
Используем функцию Грина
G (х | х0) = - ^ e*l*-*ol, (9.3.29)
удовлетворяющую уравнению
-s-j + k2G = — о (х — х0).
Функция ф удовлетворяет интегральному уравнению, ядром которого
является G:
ф (х) = е«* - X $ G (х \ х0) U (х0) ф (х0) dx0. (9.3.30)
—оо
Необходимо опять проверить, что выполняются граничные условия при
ж= ± со. Для этой цели перепишем (9.3.30) подробнее:
Отсюда следует, что при | х |j—» оо
+ ОО
ф (х) ~ е«* [l + ^5 e-itoo U (х0) ф (х0) dzo~] (ж— оо),
eikx»U (х0) ф (х0) dx0 (ж-> — оо).
—со
+О0

9.3. Приложение методов теории возмущений 71
Граничные условия (9.3.4) и (9.3.5) выполнены. Мы можем теперь немед-
немедленно получить выражение для коэффициента отражения
Коэффициент прохождения равен
e**°U(z0)y(x0)dx0\\ (9.3.31)
Т =
1 +
(9.3.32)
Отметим мимоходом, что условие сохранения
вытекает из следующего уравнения, написанного ниже, которое можно
получить прямо из дифференциального уравнения для ф:
dx Y dx J ж_>_оо У* dx ' dx J
Интегральное уравнение в трехмерном случае. Обратимся теперь
к интегральному уравнению для функции щ, определенной уравнением
(9.3.13) и соответствующими граничными условиями (9.3.14) и (9.3.17).
Это интегральное уравнение даже в случае 1 = 0 отличается от (9.3.30),
так как включает другие граничные условия. Мы, естественно, исполь-
используем функцию Грина, удовлетворяющую уравнению
Для того чтобы выполнялись граничные условия, функцию Грина нужно
выбрать следующим образом:
G (г |,) = _ кгг \ п (И »i <*;.) «ри ' < -о, (9>3.зз)
v ' 0/ ° \/1(Лго)Я1(Аг) при г>г0. V /
Функции /( определены ранее (т. I, стр. 582), а щ представляет собой
сферическую функцию Неймана
Щ= у ¦%& Ni+m(kr),
определяемую формулой A1.3.42). Для щ получается тогда такой интеграл:
со
щ (г) = кт]\ (кг) - X \ G (г | r0) U (r0) Ul (r0) dr0. (9.3.34)
Подставляя выражение для G (г|г0), получим
г
ut (г) = Ах/, (кг) + M™l (кг) \ го]\ (Лг0) U (г0) щ (г0) dr0 +
\ (кг) ^ ronL (kr0) U (г0) щ (r0) dr0.

72 Гл. 9. Приближенные методы
Вспоминая, что krj\ стремится к нулю при г—>0, мы видим, что гра-
граничное условие и{ @) = 0 автоматически выполнено. Для больших значений г
krj\ (кг) са cos Г кг — у (I + 1) тс 1 , krnt (кг) са sin \ кг - ~ (I + 1) те 1 .
Следовательно,
ut ~ cos A:r — у (/ -f 1) -тс +
+ Xsin [Лг~i-(J+l)«] ^o/iW^WBiW^o приг-*оо. (9.3.35)
Это согласуется с требованием (9.3.17), чтобы при больших г функция щ
была пропорциональна cos кг— -~-A + 1) тг — -q, . Теперь мы можем выра-
зить т); через интеграл, входящий в формулу (9.3.35):
roh (kro) U К) Щ (r0) dr0. (9.3.36)
6
Функция к(, стоящая справа, должна быть пронормирована так, чтобы
асимптотически вести себя в согласии с формулой (9.3.35). Таким образом,
решение уравнения (9.3.34) удовлетворяет всем граничным условиям, и,
следовательно, это уравнение является корректным интегральным уравне-
уравнением для иг
Приближение Борна. Возмущенные решения интегральных уравнений
для рассеяния изучаются методами, развитыми в § 9.1 в случае дискрет-
дискретного спектра собственных значений. Первым из этих методов был итера-
итерационно-пертурбационный. Он состоит в том, что сначала вместо неизве-
неизвестной функции в подинтегральное выражение подставляется невозмущен-
невозмущенная функция; это дает первое приближение. Второе приближение полу-
получается, если под знаком интеграла вместо непзвестной функции подставить
первое приближение и т. д. Первое приближение для амплитуды рассеяния
можно получить, подставив невозмущенную волновую функцию в различные
интегральные выражения: (9.3.22), (9.3.27), (9.3.31) и (9.3.36). Например,
в формуле (9.3.22) соответствующая невозмущенная волновая функция
представляет собой падающую волну ехр(гк4-г). Эта подстановка дает
приближение Борна
Ы», Ф)= -4S" S ei(ki~k*hrU(r)dV. (9.3.37)
Второе приближение для / мы найдем, подставив первое приближение
для <1> в (9.3.22) и т. д. Получаются следующие рекуррентные формулы:
4>(*> (г) = 4ч (г) - A. J ^ U (Го) ф(я~о (Го) dVo] (9.з.38)
Аналогичные результаты можно получить и для других интеграль-
интегральных уравнений рассеяния, рассмотренных выше; в главе 12 будут даны выра-
выражения для щ и соответствующих им фазовых сдвигов. Из интегрального
уравнения, полученного для поверхностных возмущений [например, урав-
уравнения (9.3.26)], можно вычислить первое приближение, если подставить
вместо неизвестной функции ее главный член—падающую волну. Это

9.3. Приложение методов теории еоамугцений 73
приближение часто называют приближением Кирхгофа. Из формулы (9.3.27)
получается соответствующая амплитуда рассеяния:
(9.3.39)
Полное поперечное сечение можно вычислить из формулы (9.3.23).
Однако можно показать, что если в этой формуле используется Жп\ то
полученное Q не лучше, чем (п — 1)-е приближение
/<"-') \2dQ.
Поэтому не имеет большого смысла применять формулу (9.3.23) при
такого рода схеме возмущений, хотя в других случаях мы найдем ее
весьма полезной. Для иллюстрации заметим, что
Амплитуда рассеяния действительна, и поэтому формула (9.3.23) дает
для поперечного сечения Q нуль, если функция V интегрируема.
Обратимся теперь к вопросу о сходимости последовательности (9.3.38)
и аналогичных последовательностей, которые получаются с помощью
итерационно-пертурбационного метода для других интегральных урав-
уравнений рассеяния. Как и при дискретном распределении собственных зна-
значений, рассмотренном в § 9.1, радиус сходимости итерационно-пертурба-
итерационно-пертурбационной последовательности определяется величиной X, для которой одно-
однородное интегральное уравнение рассеяния имеет ненулевое решение. Напри-
Например, для уравнения (9.3.20) итерационно-пертурбационная последователь-
последовательность перестает сходиться при X, больших некоторого Хо, для которого
имеет решение следующее уравнение:
AkR
V (9-3.40)
Здесь ищется, таким образом, решение, которое для больших значений
г расходится из рассеивающей области, причем это имеет место, несмотря
на отсутствие падающей волны. Физически ясно, что для того, чтобы
это случилось, рассеивающая область должна содержать в себе источники,
или, другими словами, X должно быть комплексным. Математически это
означает, что ядро интегрального уравнения не дефинитно, и поэтому
такой вывод не является неожиданным.
Этим специальным решениям однородного уравнения можно дать
физическое истолкование, заметив, что при X = Хо амплитуда рассеяния
бесконечна. Мы можем поэтому ожидать, что когда X изменяется вдоль
действительной оси, поперечное сечение должно обнаруживать острый
максимум или резонанс при приближении X к величине действительной
части Хо.
Так как Хо является функцией от к, то мы можем ожидать, что при
фиксированном X резонансы в рассеянии будут иметь место при таких
значениях к, для которых ReX0 близко к X. К этому же выводу можно прийти
более непосредственно, поставив вопрос, для каких комплексных значе-
значений кг параметра к при фиксированном X уравнение (9.3.40) имеет нену-
ненулевое решение. При таких значениях кТ поперечное сечение опять-таки
бесконечно. Следовательно, мы можем ожидать резонанса в поперечном
сечении, когда к приближается к действительной части кг. Заметим, что
решения для к—кг очень похожи на связанные состояния системы

74 Гл. 9. Приближенные методы
по характеру зависимости от г при больших г. В последнем случае
е~~хг
ф (связанное)~ ,
в то время как для случая рассеяния
eikr
<li (свободное) ~ .
Следовательно, эти состояния системы являются логическим расширением
понятия связанных состояний на непрерывный спектр. Они часто назы-
называются виртуальными уровнями и будут более подробно рассмотрены
в гл. 12. Пока же мы отметим, что радиус сходимости итерационно-
пертурбационного ряда как функции энергии определяется энергией,
при которой наступает резонанс.
V
-а а х-
-ikx
Се** ,
Ае/кх'
Рис. 9.9. Отражение и резонанс в одномерной задаче
рассеяния.
В качестве примера к этим рассуждениям мы рассмотрим одномер-
одномерное уравнение Шредингера при потенциальной энергии, заданной так,
как показано на рис. 9.9. На рисунке изображены волны, существующие
при ж > — а и х > а. При — а < х < а мы берем Ее*** + Fe~irx, где
Затем, вычисляя производную и значение ф при х — а, мы получаем
Ceika = Eaixa + Fe~"a; Weika — *Eeira —
Теперь можно выразить Е и F через С'.
Мы можем снова вычислить значение производной уже при х= —а:
А = — Ве21Ы + Ее1 (fe-*)a + Fel (ft+*>a,
A = Be2iha + [Ее1 (ft-lt)a — Fel (ft+lt)a] у .
Подставляя вместо Е и F их выраягения через С, получаем для С
р = А 4fcxexp( — 2ika) (Q
( \\
(— 2ixa) — (x— fcJ exp Bixa) " ^.o.ti;
Решения при исчезающе малом А (условие существования виртуаль-
виртуального уровня) будут существовать, только если знаменатель в формуле
(9.3.41) равен нулю. Иными словами, С обращается в бесконечность
для тех к (или X), для которых этот знаменатель обращается в нуль,

9.3. Приложение методов теории возмущений 75
когда А конечно. Кроме того, ясно, что всякое разложение этого выра-
выражения по степеням X или по степеням к перестает быть справедливым,
как только X или к2 приближается к тому критическому значению,
при котором амплитуда прохождения становится бесконечной. В заклю-
заключение мы покажем, что критические значения существуют. Определяющее
уравнение имеет вид
Если, например, ш <С 1. т. е. энергия падающей частицы почти равна
энергии потенциального барьера, то это уравнение принимает вид
откуда можно определить критическое значение X. или к. Решения
являются комплексными величинами.
Борновские приближения высших порядков. Если предположить, что
мы работаем в области сходимости итерационно-пертурбационных рядов,
то трудности в вычислении интегралов все же ограничивают пригодность
этих рядов. В одномерных задачах часто первое приближение можно
вычислить аналитически и тогда получить второе приближение Борна
для т],. Третье и более высокие приближения получаются численным
методом, который возможен здесь благодаря тому, что интегралы одно-
одномерны. Однако при решении двумерных и трехмерных задач численные
методы значительно более трудоемки и утомительны. В этих условиях
часто бывает полезно привлечь разложение функции Грина по собствен-
собственным функциям. В настоящем случае соответствующими собственными
функциями являются плоские волны
пронормированные так, что
Разложение функции Грина по этим собственным функциям можно выпол-
выполнить по общим правилам, изложенным в гл. 7. Мы получим
(9.3.42)
Чтобы понять эту формулу и, следовательно, дальнейшие рассуждения,
нужно проверить это равенство непосредственно. Переходя к сферическим
координатам в пространстве К, мы быстро сводим этот интеграл к инте-
интегралу по К:
eihR _ 1 Г° К sin (KB) ,K
Теперь нужно выбрать путь интегрирования на комплексной плоскости К.
Наш выбор, показанный на рис. 9.10, продиктован требованием получить
расходящуюся волну.
Так как подинтегральное выражение четно по К, то последнее соотно-
соотношение можно переписать в виде
•ы> +а>
elhR __ 1 Г К sin {КВ)

7fi
Гл. 9. Приближенные методы
где путь интегрирования выбран так, как это указано на рис. 9.11.
Интеграл можно теперь без труда вычислить с помощью интегральной
формулы Коши D.2.9), и таким образом формула (9.3.42) проверена.
Плоскость К
-к
Плоскость К
Рис. 9.10. Выбор контура для аре- Рис. 9.11. Продолженный контур интегрирова-
образования Фурье функции Грина. нип для функции Грина.
Подстановка в интегральное уравнение (9.3.20) дает
(г) = ф4 (г) -
U
Введем теперь обозначения
7'(K|ki) =
U(K\k) = l ^ е*
Из формулы (9.3.22) ясно, что
U(r)dVr.
в то время как первое приближение Борна (9.3.37) равно
(9.3.44)
(9.3.45)
(9.3.46)
(9.3.47)
Мы можем получить теперь интегральное уравнение, определяющее Т,
умножив обе части уравнения (9.3.43) на Х[/(г) ехр ( — г'р-r) и проинтег-
проинтегрировав:
(^)' \ U(llL'Vki)-dVK. (9.3.48)
Это интегральное уравнение эквивалентно, конечно, первоначальному
интегральному уравнению (9.3.20). Но оно имеет преимущество перед
первым, так как в последнем мы имеем дело непосредственно с амплиту-
амплитудой рассеяния.
Применяя итерационно-пертурбационный метод, немедленно полу-
получаем первое и более высокие приближения Борна. Мы используем верх-
верхний индекс для указания порядка приближения.
|к,-) +
Bn)e
U
f/(к. | К) г/(К | к,)
U
(9.3.49)
| —/с2)
(9.3.50)
и т. д. Пример применения этих формул будет дан в этом параграфе
позднее.

9.3. Приложение методов теории возмущений 77
Чтобы получить соответствующие интегральвые уравнения для одно-
одномерной и двумерной задач, необходимо заменить множитель B-)~3
на Bit)~n, где п — число измерений, и, конечно, объемные интегралы в про-
пространствах К и г на соответствующие им интегралы более низкой раз-
размерности.
Ряд Фредгольма. В итерационно-пертурбационные формулы, данные
выше в виде первого и более высоких приближений по Борну, можно
внести улучшения, приспособив для этого к задаче рассеяния метод Фред-
Фредгольма и вариационно-пертурбационный метод, разобранные в § 9.1.
Мы не будем рассматривать ряд Финберга, а разберем только ряд Фред-
Фредгольма. Вариационно-итерационный метод также отложим до § 9.4, где
он будет применен к задаче рассеяния.
Ряд Фредгольма, данный в формулах (9.1.60) и (9.1.65), можно непо-
непосредственно применить к интегральным уравнениям рассеяния, так как
ряд Фредгольма имеет силу для любого уравнения второго рода. Для
одномерных задач решение уравнения
е = f0 + Ше
выражается формулой (мы берем только несколько первых членов)
f т о ^
f°- <9-3-51)
где v.n представляют собой следы итерированных операторов S?, как
это определено в (9.1.54). Это выражение нельзя использовать для дву-
двумерных и трехмерных задач, поскольку хх в этих случаях бесконечно.
Соответствующую формулу можно получить из приведенной выше формаль-
формальной подстановкой хх = 0, как это показано в § 9.1. Ряды в числителе
и знаменателе сходятся для всех значений X и могут быть в принципе
использованы для вычисления амплитуды рассеяния в любом порядке
приближения. Чтобы сделать последнюю формулу более конкретной, мы
выпишем явно числитель выражения для рассеянной волны в одномерной
задаче, выраженной уравнением (9.3.30):
-X ^ G(x\xo)U(xo)eihx°dxo +
—СО
-j-oo 4-°°
4-Х2 ^ ^ G(x\Xl)U { ^
—оо —оо
G(xo\xo)U{xQ)dxo]
Знаменателю ряда Фредгольма можно дать физическую интерпре-
интерпретацию. Для этой цели мы заметим, что задачу рассеяния всегда можно
заменить эквивалентной ей задачей излучения, в которой возбуждение
излучающей системы производится падающей волной, а получающееся
излучение образует рассеянную волну. Амплитуда излученной волны будет
содержать типичный импедансный знаменатель вида r~\-ix. Активный
член г относится к энергии, которая излучается системой и доходит
До детектора на больших расстояниях от системы. Реактивные члены
не содержат никаких потерь энергии и возникают из-за того, что излу-
излученная волна частично распадается, когда расстояние от излучающей
системы возрастает. Величина х стремится к нулю при резонансных энер-
энергиях, рассмотренных ранее в разделе о сходимости высших приближений

78
Гл. 9. Приближенные методы
Борна. Мы должны также ожидать, что активный член зависит от полного
поперечного сечения, так как последнее характеризует излученную
мощность.
Чтобы продемонстрировать соотношение между знаменателем Фред-
гольма и импедансом, рассмотрим первый вблизи резонанса, т. е, при X,
близких к Хг. Тогда [см. (9.1.53)]
х
-\ SPurf
о
а является функцией от к2, и при
тельное). Поэтому
Х(Х)~const (>-*?
= к% — г"у/2 X равно Хг (кг — действи-
действиАмплитуда рассеяния / содержит х(^) в знаменателе, и, таким образом,
.получается типичное резонансное рассеяние при к2 — Щ,. Как указано выше,
эта формула напоминает результат воздействия на простую гармоническую
систему с резонансной угловой частотой кг и Q, равным у/2, допускаю-
допускающую определение соответствующего импеданса.
Убедимся теперь, что знаменатель в ряде Фредгольма содержит
полное поперечное сечение. Рассмотрим трехмерный случай, в котором
этот знаменатель с точностью до второго порядка равен 1—Х2х2/2, где
v-2 выражается формулой
_( * у С
Используя формулу (9.3.49), получим
Интегрирование по р разобьем на две части; одна появляется из-за полюса
при р = к и, следовательно, разрешает р быть равным к в падающей
волне. Перепишем х2 следующим образом:
- ( 1 У Г 1
т'"(Р|Р)-^(Р|Р)
где первый интеграл берется по замкнутому контуру вокруг р = к. Символ
of перед вторым интегралом означает, что берется главное значение
интеграла [см. D.2.9)], которое получается взятием среднего арифмети-
арифметического из результатов, полученных при интегрировании по двум конту-
контурам, обозначенным цифрами 1 и 2 на рис. 9.12. Первый интеграл можно
вычислить с помощью интегральной теоремы Коши, так что окончательно
0.3.52)
Здесь к —вектор длины к. Величины ?/(k|k) и TB>(k|k) являются пер-
первым и вторым приближениями Борна для амплитуды рассеяния в напра-
направлении к плоской волны, падающей в направлении к. Эти амплитуды
зависят от направления к, если рассеивающая система не имеет сфери-
сферической симметрии. В этом случае мы воспользуемся формулой (9.3.23),

9.3. Приложение методов теории возмущений 79
из которой получим
1тТ<2)(к|к)=-А(Ык), (9.3.53)
где Qb является первым борновским приближением для полного попереч-
поперечного сечения. Следовательно, знаменатель в ряде Фредгольма содержит
член, пропорциональный k2QB, где Qb — полное борновское поперечное сече-
сечение, усредненное по всем углам падения.
Плоскость Р
Рис. 9.12. Контуры, применяемые для получения главного
значения интеграла для х2.
Если, с другой стороны, система сферически симметрична, мы можем
положить
U (к | к) = - 4гс/в @), Т<2) (к | к) = — 4vfW @),
где ]в и fW — первое и второе борновские приближения для амплитуды
рассеяния в направлении распространения падающей волны. Подставляя
эти выражения в формулу (9.3.52), имеем
Пример. Рассмотрим прохождение и отражение волн материи для
случая потенциального барьера, изображенного на рис. 9.9. Точное зна-
значение амплитуды прохождения С/А дается формулой (9.3.41). Эквива-
Эквивалентное интегральное уравнение и точное выражение для амплитуды
прохождения даны в формулах (9.3.29) —(9.3.32). Так как U (х0) от-
отлично от нуля только; при — а<жо<+а, то ясно, что для того, чтобы
получить (п-|-1)-е приближение Ф и амплитуды прохождения, необходимо
знать величину п-ro приближения ф, ф(п) (х0), только в этой области.
Принимая за нулевое приближение невозмущенную падающую волну
и используя рекуррентные соотношения (9.3.38), мы находим при
< а, что
= exp (ikx) + ~ {(ж + а - -^-) exp (ikx) + -^ exp [ik Bа - х)}} .
Используя формулу (9-3.32), мы можем получить первое и второе при-
приближение Борна для амплитуды прохождения /^ и /B):

80 Гл 9. Приближенные методы
Сравним это с -точным выражением (9.3.41), которое мы перепишем так:
f ' *
/ /-у /Л2
Его можно разложить в степенной ряд относительно D:
exp Bika) sin BЛа).
Мы видим, что борновские приближения плохо соответствуют разложе-
разложениям точного выражения амплитуды по степеням D. Этого можно было
ожидать, так как величина силы взаимодействия зависит от а, так же
как и от D. По-видимому, ответственным за это является наличие полюса
в формуле (9.3.41). Однако, если вычислять коэффициент прохождения
7' = |/|2, получается
2/с2
где Г( } вычисляется по /<2) с точностью до величин порядка ZJ. Второе
приближение Борна дает, следовательно, в этом порядке точное выраже-
выражение для амплитуды прохождения, фаза же получается неправильной.
Обратимся теперь к разложению Фредгольма. Борновское прибли-
приближение содержит разложение / в окрестности к=ъ. Ряд Фредгольма, как
мы увидим, надо сравнить с отдельными разложениями числителя (это
не нужно в данном конкретном случае, так как числитель равен 1) и зна-
знаменателя. Из формулы (9.3.51) мы немедленно получаем
где /A) и Р2~>-—борновские амплитуды. Следы хх и х2 являются следами опе-
оператора A/2г/с) \ ехр (г/с | х — х0 |) U (х0) и даются формулами
ОО ОО
\ ^ U (XJ eXP Btk I X1~XO I) U ^о) dX0 dxi-
— ОО —ОО
Эти интегралы можно легко вычислить:
= _ (/B) _/(!))+(/(!)_ If.
Следовательно, результат в методе Фредгольма получается таким:
г) Эта формула для / неправильна: в числителе отсутствует множитель
ехр [2г (х—к) а] и в экспоненте знаменателя вместо х стоит к. Разложение исправлен-
исправленного выражения для / по степеням D совпадает с борновскими приближениями.—
Прим. ред.

9.3. Приложение методов теории возмугцений 81
Коэффициент прохождения Т, вычисленный до второго порядка относи-
относительно D в знаменателе, оказывается равным
m 1
Г XDsinBfca
L 2Л2
Мы видим, что результат в методе Фредгольма почти всегда лучше, чем
второе приближение Борна, так как первый не содержит ошибки, появля-
появляющейся из-за разложения х около к при выполнении дальнейшего разло-
разложения знаменателя.
Трехмерный пример. Высшие борновские приближения можно вычис-
вычислить аналитически только в некоторых случаях. Одним из них является
потенциал Юкава:
?/•_ ±
[АГ
Мы применим исследование в импульсном пространстве, приводящее к фор-
формулам (9.3.49) и (9.3.50). Матричные элементы С/ (ks | ki), входящие в них,
определены формулой (9.3.45) и для указанного выше потенциала равны
тт п I 1 \ 4тсХ 4тсХ
Первым борновским приближением для амплитуды /(&, <р) будет поэтому,
согласно (9.3.47),
Второе борновское приближение можно получить из (— 1/4тг) Г<2) (ks | kj), где
. . •» |^ I 17" Лг 12\ /•, & 1 | 17" \г 12 \ / ЛГ2 Jc2\ "
Н" —i I "- — "-S I / \ Н" ~т~ I "¦ — ъ \ ) К "^ — /
Вычисление этого интеграла можно, как мы увидим, свести к вычислению
dVK
Мы примем р за ось z сферической системы координат (К, а, р) в К-про-
странстве. Интегрирование по р можно осуществить сразу, так что
/ = 2ir \ sin a da \ —
КЧК
cos а) (ИГ2 —И "
Мы получим более удобное выражение для /, если сделаем подстановку
а = тс—A) и ^Г= —^Г' и затем возьмем среднее арифметическое полученного
таким образом и данного выше /:
¦к 4-со
f КЫК
Интегрирование по ^Г производится по контуру, приведенному на рис. 9.11.
Этот контур можно замкнуть полуокружностью бесконечного радиуса
в верхней полуплоскости. После этого можно применить теорему о вычетах,
учитывая, что подинтегральная функция имеет полюсы в нулях Ке и А",
знаменателя:
Kv = k и Kt = pcosa-\-i
Ф. М. Морс и Г. ФешСах

82 Гл. 9. Приближенные методы
Разбивая / на соответствующие интегралы, имеем
/ = /„ + /„
где
+ i
Jn = T.2lk ^ -2 + к2
ix+p
Г К,
ix— p
Следовательно, окончательно
Нам также будет необходимо знать величину L:
dVK
Этот интеграл можно получить, дифференцируя / но т:
Интеграл, участвующий в Гс2> (ks | k4),
можно связать с L при помощи соотношения
\_ ___ +С
1
Из него следует, что
dVK
2р* + \ К — к, |- (I -г з) + | К - к; |* A — z)p (К'- А*) *
— 1
Переписав знаменатель в соответстини с формой L, мы получим
1
-i
Интеграл по пространству К записан теперь в более удобной форме, причем
Так как длины kt и ks равны к, то
г2 + р2 = .,«+ /г2.

9.3. Приложение методов теории возмущений
83
Следовательно,
dz
Благодаря тому что т2 является простой алгебраической функцией от г,
этот интеграл можно найти в явном виде:
. (У.3.55)
Этот результат можно подставить в формулу для 7Ч2) на стр. 81. Сходи-
Сходимость здесь также ограничена, вследствие наличия «виртуальных уровней».
Мы закончим этот раздел вычислением по методу Фредгольма до вто-
второго порядка. Так как мы имеем дело с трехмерной задачей, то Spurx,
больше не появляется, так что фредгольмовское выражение для / можно
записать так:
если в этом выражении в числителе и знаменателе сохранены все члены
до второго порядка относительно X2. Интеграл для х2 есть
1 г г
Интеграл по пространству К пропорционален интегралу L, рассмотрен-
рассмотренному выше, так что
х - * {
2 4*v J
Этот интеграл можно сразу свести к контурному интегралу, дающему
окончательно
1
*2~~~Щх."'01"— Ш) "
Следовательно, для малых X фредгольмовское поперечное г.ечение второго
порядка будет больше, чем соответствующее приближение по Борну.
Трудно определить точность этих результатов, не сделав либо пере-
перехода к более высокому порядку приближения, либо точного подсчета
по методу фазовых сдвигов. Однако результаты, полученные в одномерной
задаче, указывают на то, что необходимо сделать вычисления на один
порядок выше, чтобы получить достаточно точные результаты.
Длинноволновое приближение. Б борновском приближении потенциал
U (г) рассматривается как возмущение, а в качестве невозмущенных вол-
волновых функций берутся плоские волны. В других приближениях рассмат-
рассматривают к2 или 1/к2 как параметр возмущения. Первый способ называется

84 Гл. 9. Приближенные методы
длинноволновым приближением; он будет рассматриваться в этом пара-
параграфе; второй годится для коротковолнового предела.
Длинноволновое приближение особенно полезно для решения скаляр-
скалярного уравнения Гельмгольца, так как связывает его решение с решением
уравнения Пуассона. Последнее же может быть решено методом разделе-
разделения переменных, а в двумерном случае методом конформного отображения
значительно чаще, чем в 11 координатных системах, в которых можно
получить точные решения скялярного уравнения Гельмгольца. Сейчас мы
рассмотрим это приложение, а затем перейдем к длинноволновому при-
приближению для уравнения Шредингера.
Мы разложим волновую функцию ф в следующий степенной ряд:
оо
¦Hr)=2(Jf!(P«(r)- (9-3-56)
71=0
В этом разложении предполагается, что ф — аналитическая функция от к
в окрестности точки & = 0. В случае, если это не так (например, двумер-
двумерная задача с условиями Дирихле на рассеивающей области), уравнения
для фп окажутся не имеющими решений. Если возможно определить
природу особенности, то всегда можно добавить соответствующие члены
в формулу (9.3.56). Форма разложения подсказана разложением плоской
волны, к которой должна, конечно, приближаться ф(г), когда расстояние
от рассеивающей области бесконечно возрастает.
Подстановка разложения (9.3.56) в скалярное уравнение Гельмгольца
и приравнивание нулю коэффициентов при каждой степени к дают
, _о ^2ф =0
0 ' (9.3.57)
Граничное условие на поверхности рассеивающей области для каждой
из этих функций такое же, как для ф. Граничное условие на бесконеч-
бесконечности более сложное. Так как ф приближается к
exp (ikz) -\— exp (ikr) / (&, 9),
то ясно, что
90 (г) —> 1 при г —> со.
Для того чтобы определить граничные условия для остальных <pit
удобно обратиться к интегральному уравнению для ф, так как оно вклю-
включает в себя граничные условия. Чтобы сделать анализ более конкретным,
возьмем условия Дирихле: ф = 0. Перепишем снова интегральное уравне-
уравнение (9.3.26):
1 С eihR
ф (г) = exp {ikz) + —^
Подставим сюда разложение (9.3.56) и приравняем опять коэффициенты
при одинаковых степенях к. (Заметим, что если бы мы не интересовались
разложением в степенной ряд по к, мы могли бы использовать это урав-
уравнение в качестве итерационной формулы, подставляя <р0 вместо ф, затем
подставляя полученный результат вместо ф, чтобы найти следующее при-
приближение, и т. д.). Мы получаем

9.3. Приложение методов теории возмущений 85
Первые три из этих равенств имеют вид
Применяя оператор V2 к этим уравнениям, можно проверить непосред-
непосредственно, что уравнения (9.3.58) и (9.3.57) идентичны. Асимптотическое
поведение при больших г получается, если разложить i?p-1 по убывающим
степеням г, начиная с гр. Мы принимаем в расчет только члены вплоть
до 1/г, исключая сам член 1/г, так как он является частью рассеянной
волны. Например,
1 С дср0 ,„
Здесь аг представляет собой единичный вектор в направлении г, т. е.
в направлении рассеяния. Эти условия уточняют наш выбор функций <р„.
Когда последние определены, ряд (9.3.56) можно подставить в (9.3.27),
чтобы получить амплитуду рассеяния. Если мы разложим ее по степеням к,
то-получим
/<». *> = ^2 (-*¦*)" ? 1^ЖрТ \ i-r-ror^dSo. (9.3.59)
п р=0
Во втором порядке относительно к имеем
.-2 \ V'o-g-^0+5^0]}. (9.3.60)
Непосредственно видно, что в пределе, при к = 0, рассеяние сферически
симметрично. Соответствующая амплитуда рассеяния имеет размерность
длины и часто называется длиной рассеяния а. Поперечное сечение Q(k = 0),
выраженное через а, равно 4тш2. Когда г стремится к бесконечности,
9j стремится к z-\-a.
Чтобы увидеть, как работают эти формулы, рассмотрим рассеяние
на сфере радиуса А, на которой выполняются условия Дирихле. Тогда
, А
Амплитуда рассеяния при к = 0 равна
4тс J дп0 О V дг у'г=А
Волновая функция ф2 должна приближаться к z — А при больших г.
Первый член z представляет собой однородный поток на бесконечности,
тогда как второй — однородное давление, аналогично случаю <р0. Отсюда
Подставляя в (9s3.,60), мы получаем

86 Гл. 9. Приближенные методы
Функция ф2 удовлетворяет уравнению
и условию
<j>2~z2— rA-\-2A* при /•—»схз.
Решение <р2 будет следующим:
Во втором порядке относительно к имеем
/(»,«)=_ 4 + ША* + -^И B - 3 cos &). (9.3.61)
Мы видим, что все, что необходимо знать для вывода длинноволнового при-
приближения, эквивалентно знанию элементарных решений уравнения Лапласа
в системе координат, соответствующей рассеивающей поверхности.
Для иллюстрации.общего метода была выбрана трехмерная задача.
Он, конечно, также применяется и в одномерном случае, как мы увидим
на примере ниже. Мы должны всегда помнить, что предположение об ана-
аналитической зависимости ф от к может оказаться необходимым видоизме-
видоизменить в особых случаях.
Длинноволновое приближение для уравнения Шредингера. Мы рас-
рассмотрим движение частицы с массой ?п и энергией Е в сферически сим-
симметричном потенциальном поле V (г). Так как длина волны X и энергия
связаны соотношением
A _ A _ JL л/ЪтЕ
то длинные волны соответствуют низким энергиям частицы. При таких
длинах волн изотропная составляющая падающей волны оказывает наи-
наиболее сильное действие, поэтому мы сосредоточим свое внимание на ура-
ннении для и0 [см. (9.3.13)]:
K+[k2-U(r)]u0 = 0, U = ^V. (9.3.62)
(Заметим, однако, что техника и некоторые результаты применимы для
любых /.) Будет удобно немного изменить наши обозначения в соответ-
соответствии с этим. Заменим символ и0 на ик, чтобы указать, что мы имеем дело
с решениями уравнения (9.3.62) с волновым числом к. В новых обозначе-
обозначениях и0 представляет собой решение при & = 0.
Граничные условия для uh (r) таковы:
иь@)=0, uk (г) ~ sin (кг—V)) при г—s*oo,
где мы оставили амплитуду на бесконечности неопределенной. Позднее
мы выберем ее так, как это будет удобно.
Задача, которую мы ставим здесь, состоит в том, чтобы найти ~q(k),
т. е. выразить сдвиг фазы для данного волнового числа к через пре-
предельный сдвиг фазы т]@). Легко установить, величину возмущения
первого порядка, сравнивая уравнения для ц0 и ик. Этот результат осно-
основывается на равенстве
Обычный способ непосредственного интегрирования по всей области изме-
изменения независимого переменного здесь не применим, так как интегралы

9.3. IIриломсенш методов теории возмущений 87
по отдельности расходятся. Мы поэтому введем некоторые функции, кото-
которые имеют такое же асимптотическое поведение, как и0 и ик. Пусть этими
функциями будут wk и w0, причем
uk (г) ~ wk (r) при г —*• со.
Здесь функция wh пропорциональна sin(A;r — -ц) и удовлетворяет уравне-
уравнению Шредингера, полученному из уравнения для ик при условии, что
потенциал U = 0:
Wl + k2Wh = 0.
Комбинируя уравнения для wk и w0, получаем уравнение
wow"k — whw + k2wkw0 = 0.
Вычтем теперь это уравнение из аналогичного уравнения для uk a u0.
Интегрирование по г от нуля до бесконечности теперь можно осущест-
осуществить, так как расходящиеся члены при больших г погашают друг друга.
Подстановка граничных условий для uk и и0 приводит к уравнению
со
[wow;s wkw'B]r::=0--=k2^(whw0-uku0)dr. (9.3.63)
о
Мы должны теперь подставить функции wh и w0. Выбирая их амплитуды
так, чтобы
находим
_ьшрт-1» Шо=1--, (9.3.64)
где
1/а = lim (A: ctg 7j). (9 3 65)
Неличину а можно вычислить, решая уравнение Шредингера для к = 0.
Выражения (9.3.64) подставим теперь в (9.3.63), и это даст следую-
следующий результат:
- к clg Tj = - 1 + /с2 ^ (wkw0 - uku0) dr. (9.3.66)
о
Из этого точного соотношения можно получить формулу для — к ctg -ц,
•справедливую до первого порядка относительно /г2, если приближенно
заменить wk на w0, а uk на и0:
СО
- к clg 7j ~ -1 + Л* \ (wl - ul) dr. (9.3.67)
о
Эта формула очень полезна не только с вычислительной точки зрения,
но также с точки зрения анализа экспериментальных данных. Из этих
данных можно определить ft ctg tj. Его зависимость от /с2, т. е. от энергии,
при малых к представляется прямой линией. Наклон этой прямой и от-
отрезок, отсекаемый на оси, дают два параметра, определяющие величину а
и интеграл \ (wl — ul) dr. Таким образом, результаты эксперимента могут
¦быть объяснены любым потенциалом, который имеет два свободных пара-
параметра .

Гл. 9. Приближенные методы
Для того чтобы найти более высокие приближения, нужно в уравне-
уравнение (9.3.66) подставить более точные выражения для wk и uh. Так как
дифференциальное уравнение для пк зависит от к2 и «падающая» волна
при соответствующей нормировке также является функцией от к2, то uk
можно разложить в степенной ряд по к2, так что
со
Л = во+ЕР9„- (9.3.68)
71=1
Дифференциальные уравнения для функций срп имеют вид
где ф0 = м0. Функции <рп при г = 0 равны нулю. Чтобы выяснить их по-
поведение на бесконечности, мы разложим асимптотическую функцию, опре-
определенную в (9.3.64), в степенной ряд по к2. Для иллюстрации мы получим
граничные условия для <рг, первого члена в разложении (9.3.68). Функция
wk выражается формулой
, , . sin кг
wk = cos кг— к ctg 7j —т— •
Мы можем разложить правую часть в ряд до первого порядка относи-
относительно к2 и заменить kctg-ц по формуле (9.3.67). Это даст
[ ^] (9.3.69)
о
Следовательно,
СО
r^ \ ИРИ г-^°°. (9.3.70)
Конкретизация функции <рх является теперь полной. Если и0 и о0
являются двумя независимыми решениями уравнения для и0 с вронскиа-
вронскианом, равным —1, то
г г
= Сао + v0 ^ ul dr0 -
б
0 -иЛ uovodr0, (9.3.71)
о
где С должно быть подобрано так, чтобы выполнялось граничное условие
(9.3.70). Чтобы определить С, нам надо знать поведение написанных ин-
интегралов при больших г. Первый из них можно записать следующим обра-
образом:
{и20— wl)dr+ \ wldr.
При бесконечном г первый из этих двух интегралов является как раз
коэффициентом при к2 в разложении (9.3.67) для к ctg ч\ (и также остается
конечным). Следовательно,
Г со
;* dr0 ~ V wl dr0 — \ (uyj — <) dr0 при г -* со.
Второй интеграл в (9.3.71) также стремится к конечному значению
при неограниченном возрастании г. Чтобы показать это, мы прежде всего

9.3. Приложение методов теории возмущений 891
отметим, что для того чтобы интеграл
о
был конечным, разложение и0 для больших г не должно содержать членов
с г и г". Этот факт в соединении с требованием, что вронскиан и0 mv0
должен равняться — 1, является достаточным для того, чтобы показать,
что разложение v0 для больших г также не содержит членов с г и г~2,
откуда и вытекает желаемый результат. Следовательно,
^KOo+^O^O + ^-y ПРИ Г-*СО,
О
куда подставлено явное выражение для w0 и асимптотическое для v0. Срав-
Сравнивая с граничным условием (9.2.70), мы видим, что
С = - а ^ (w20 - и20) dr0 + ^ {uovo + a - r0) dr0.
о о
Следовательно,
со со
9i = wo [ —а \ (wl-ul)dro+ \ (uovo + a-ro)dro +
0 г
г
+ аг _ ^ Г2 ] + „о ^ U2 dr_ (9.3.72)
о
Раз известно <pv то можно определить следующий член в разложении
kclgri:
оо со
- к ctg 7j ~ - i + к' [ К - ul) dr + кЛ [woXl - uo9l] dr, (9.3.73)
о о
где
п=1
так что <р,~Хг ПРИ г—>со. Функция Хг Дана формулой (9.3.70).
Мы имеем, таким образом, возможность оиределить следующий член
в разложении A:ctg7j в степенной ряд с помощью квадратур, заключаю-
заключающих в себе только два независимых решения уравнения для и0, «ради-
«радиального» уравнения Шредингера с & = 0. Этот процесс непосредственно
продолжается для получения членов более высокого порядка. Нужно так-
также отметить, что подобный степенной ряд для к ctg tj можно получить
вблизи любого значения к2. Однако сходимость таких рядов, вообще го-
говоря, слабее, чем у рассмотренного выше ряда.
Сходимость. Выясним прежде всего, при каких условиях зависимость
величины интеграла в формуле (9.3.66) от энергии будет слабой. Так как
иодинтегральная функция представляет собою разность между точной и
асимптотической формами, то она имеет значение только в той области,
где потенциал U отличен от нуля. Отметим, что для сходимости интеграла

90 Гл. 9. Приближенные методы
необходимо, чтобы потенциал U быстро стремился к нулю при возраста-
возрастании г. Поэтому предшествующий анализ применим только к короткодей-
короткодействующим потенциалам, а в случае потенциалов с бесконечным радиусом
действия, наиример для кулоновского поля, — неприменим. Действительно,
в этом последнем случае поперечное сечение при нулевой энергии беско-
бесконечно. Эффективный радиус взаимодействия ге обычно выбирается следу-
следующим:
со
wl — ul)dr, (9.3.74)
так как эта формула дает точное значение для потенциала, постоянного
при г <. ге и равного нулю при г > ге.
Обращаясь снова к интегралу, мы видим, что его зависимость от
энергии определяется зависимостью wk и uh от к внутри той области,
где U отлично от нуля, т. е. для г < ге. Если в этой области потенциал
очень велик, то изменения в энергии падающей частицы, которые малы
по сравнению с этим потенциалом, оказывают лишь небольшое влияние
на uh, так что замена uk на щ приводит к небольшим ошибкам. Таким
образом, сходимость будет хорошей, если
Uс. > к\ (9.3.75)
где Ucp. есть мера среднего значения потенциала в области 0 </'<rf.
Если взять эту меру равной
со
" ulUdr,
где амплитуда величины и0 выбрана так, что асимптотическая форма по-
последней w0 равна единице при г = 0, то неравенство (9.3.75) можно заме-
заменить приближенно неравенством
к2геа < 1. (9.3.76)
Мы рассмотрим тсиерь зависимость wh от к в области г < ге. Из фор-
формы равенств (9.3.64) ясно, что эта зависимость будет слабой, если
кге < 1. (9.3.77)
При этих условиях замена wk на w0 приводит к небольшой ошибке. Мы
можем, таким образом, сделать вывод, что сходимость ряда для к ctg т]
будет быстрой, если потенциал большой и короткодействующий.
Радиус сходимости ряда дается величиной к2, при которой ч] = тс, так
как тогда A:ctg7j обращается в бесконечность и ряд должен расходиться.
При такой величине энергии поперечное сечение равно нулю. Следова-
Следовательно, можно ожидать, что ряд для к ctg т] будет сходиться вплоть до
той энергии, при которой появляется первый минимум полного попереч-
поперечного сечения. Чтобы выйти за пределы этой энергии, необходимо приме-
применить какой-нибудь процесс аналитического продолжения, например пре-
преобразование Эйлера.
Коротковолновое приближение; WKBJ-метод1). Мы сосредоточим наше
внимание на одномерных задачах. Наиболее удобной для нашего иссле-
*) WKBJ —первые буквы фамилий: G. Wentzel, H. A. Kramers, L. Brillouin,
Н. Jeffreys более или менее независимо открыли этод метод в связи с решением раз-
различных задач.

9.3. Приложение методов теории возмущений 91
дования является следующая форма уравнения Шредингера:
З #(*)]Ф = О. (9.3.78)
Это ограничение очень мало нарушает общность, так как любое диффе-
дифференциальное уравнение второго порядка, в частности уравнение Штурма —
Лиувилля, может быть преобразовано в уравнение Шредингера.
При уменьшении длины волны изменение потенциала U (х) на протя-
протяжении длины волны становится все меньше и меньше. Это приводит к
мысли, что в пределе можно считать U (х) постоянным на протяжении
нескольких длин волн в окрестности х и что в этой области эффективное
волновое число q(x) равно
q (ж) = Vk*-U(x).
Соответствующим приближенным решением уравнения (9.3.78) будет тогда
ф ~ exp [± i\ q (ж) dx]. (9.3.79)
Условие, что q изменяется медленно на протяжении длины волны, необ-
необходимое для того, чтобы приближение (9.3.79) имело силу, выражается
неравенством
\„ € 1, или
q dx
dU/дх
< 1. (9.3.80)
Отсюда непосредственно ясно, что (9.3.79) теряет силу, когда dU/дх > 1
или A:2 —Z7 равно нулю.
Потенциальная энергия альфа-частицы в поле атомного ядра может
служить примером случаев, в которых коротковолновое приближение не
применимо из-за первой из названных причин. Пока частица находится
вне ядра, на нее действует электростатическая сила отталкивания, но она
очень быстро заменяется большой силой притяжения, как только а-части-
ца попадает внутрь ядра. Коротковолновое приближение можно приме-
применять только при таких энергиях а-частицы, при которых ее длина волны
мала по сравнению с расстоянием, на котором отталкивание сменяется
«ритяжением.
Метод не применим по второй причине, если U в некоторой точке
больше или равно к2. Тогда найдется точка, в которой U = к~. По клас-
классическим представлениям в этой точке полная энергия падающей частицы
равна ее потенциальной энергии и, следовательно, ее кинетическая эпер-
тия равна нулю. В следующий момент частица изменит направление дви-
движения; поэтому эти точки, в которых U = к2, называются классическими
точками поворота.
Выясним теперь более точно смысл этих замечаний. Уравнение (9.3.79)
наводит на мысль сделать подстановку
Функция <р(ж) удовлетворяет уравнению
= 0. (9.3.81)
•Jto нелинейное уравнение первого порядка для функции <р', являющейся
логарифмической производной от ф. Его можно решить итерационным ме-
методом, предполагая при этом, что ф' — медленно меняющаяся функция. Тогда

92 Гл. 9. Приближенные методы
Мы снова видим непригодность этого разложения при q2 — k2— U, рав-
равном нулю, и при слишком быстрых колебаниях U. Беря первые два чле-
члена разложения, получаем
ф с* 9->/2 ехр С ± i <\q dx V (9.3.82>
Общее решение представляется линейной комбинацией этих двух решений.
Особенность при д = 0 является, конечно, отражением несостоятельности
представленного в виде ряда решения уравнения (9.3.81) при этом значе-
значении д.
Приближение (9.3.82) можно использовать в задаче о прохождении
волн материи через потенциальный барьер U (х) и отражении их от этого
барьера, если энергия падающих частиц всюду больше U (х) (см. рис. 9.13).
Если частицы движутся в положительном направлении оси х с амплиту-
амплитудой, равной единице при х—> — со, то
— х
— ехр i \ (д — &)<&? ехр (ikx). (9.3.83)
—со
Следовательно, в этом приближении коэффициент прохождения равен еди-
единице, а меняется только фаза волны. Это соответствует классическому
результату. Мы можем получить следующее приближение для коэффици-
коэффициентов прохождения и отражения, подставив выражение (9.3.83) в формулы
(9.3.31) и (9.3.32) (Х = 1). Более точные выражения для О можно получить,
Рис. 9.13. Прохождение волн в случае, когда энер-
энергия к2 везде превышает потенциал U (х).
используя (9.3.83) в качестве исходной пробной функции в итерационном
методе, основанном на интегральном уравнении (9.3.30). Можно ожидать,
что сходимость такого итерационного метода тем лучше, чем больше А
ио сравнению с U. Она, конечно, может быть улучшена и с помощью ме-
метода Фредгольма. Случай, когда к2 близко к максимальному значению V,
будет рассмотрен позднее [см. уравнение (9.3.117) и далее]. Необходимо
указать, что итерационный метод, рассмотренный выше, не приводит к
разложению коэффициента отражения по обратным степеням к. Вполне
возможно, что коэффициент отражения не является на бесконечности ана-
аналитической функцией от к, даже если нам известно, что он там имеет
нулевое значение.
Связь с интегральным уравнением. Прежде чем приступить к рассмо
трению ситуаций, отличных от той, которая проиллюстрирована на рис.
9.13, стоит показать, как результаты, приведенные выше, можно получить
непосредственно из интегрального уравнения. Мы исходим при этом из
того замечания, что при к, стремящемся к бесконечности, коэффициент
отражения стремится к нулю. Следовательно, если мы рассматриваем
волны, падающие слева, как на рис. 9.13, мы должны ожидать, что в

9.3. Приложение методов теории возмущений 93
янтегральном уравнении для ф
X оо
1 Г . С ¦ С
V I оТТ. I ^ \ U \^о) т \Р^0/ &Xq ~х"" \ \ о.
— СО X
член, содержащий множитель exp (ixk), должен быть преобладающим. Опу-
Опуская другой интегральный член, имеем
X
ф ~ eihx + ~ eikx { e-ihx°U (х0) ф (х0) dx0.
—со
Умножая на ехр (— ikx) и дифференцируя по х, приходим к дифференциаль-
дифференциальному уравнению
d U
dx * •' llik * '
Уравнение это можно сразу проинтегрировать:
х
(9.3.84)
± \
Мы видим, что фаза в этом выражении содержит как раз первые два
члена разложения q{x) по обратным степеням к. Следовательно, эта функ-
функция ф приближенно равна той, которая определяется по формуле (9.3.79).
Улучшение результата (9.3.84) можно осуществить с помощью итераций,
но это приводит к результату, полностью эквивалентному тому, который
получается по итерационному методу, указанному после формулы (9.3.83).
Случай изолированных классических точек поворота. Если к2 меньше
максимального значения U, то имеется по крайней мере одна классиче-
классическая точка поворота. Для потенциала, изображенного на рис. 9.13, их
будет две. Анализ, который мы собираемся описать, применим в случае,
•если имеется только одна точка поворота или если их несколько, но они
расположены далеко друг от друга.
Рассмотрим тот случай, когда q имеет один нуль при х = х0; как мы
предварительно заметили, при этом приближенное реше'ние (9.3.82) имеет
особенность при х = х0. На самом же деле здесь никакой особенности нет, так
лак точка х0 является, очевидно, регулярной точкой для дифференциаль-
дифференциального уравнения (9.3.78), которому удовлетворяет функция ф. Мы можем
легко получить решения в окрестности точки х0 следующим способом.
В окрестности нуля q мы можем положить приближенно
где а—постоянная величина. Соответствующее дифференциальное урав-
уравнение
можно решить с помощью функций Бесселя порядка 1/3. Получается два
решения:
= Ух~^х~0 /, /3 [ 4 а (х - *0K/2 ] , (9.3.85)
(9.3.86)
Истинное решение ф должно приближаться к линейной комбинации ф^. и ф_
атри х. стремящемся к х0.

94 Гл. 9. Приближенные методы
Чтобы найти эту комбинацию, полезно заменить независимую пере-
переменную х другой переменной, которая сводится к 2а (х — хоK/2/Ъ при я—> .г„
и к \ qdx при больших х. Такой переменной является
w
X
={qdx. (9.3.87)
При этом мы видим, что функция
Р = j/-J- [AJi/3 (W) + BJ-m (a»)], (9.3.88),
где А и В — постоянные, сводится к линейной комбинации ф+ и ф_ для л.
близких к х0, и к линейной комбинации решений (9.3.82) при больших х.
Это последнее утверждение основано на асимптотических выражениях
E.3.68) для функций Бесселя. Константы А ж В определяются гранич
ными условиями. Функция Р является, таким образом, приближенным
решением дифференциального уравнения для ф как в окрестности точки
х0, так и при х —> ± со. В других местах она больше отклоняется oi
точного решения. Для того чтобы сообразить, как оценить порядок вели
чины ошибки, а также чтобы найти способ улучшения Р, мы найдем диф-
дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет Р. Непосредственное
вычисление дает
> = 0, (9.3.89)
где
г = ^2. (9.3.90>
Vq
Отношение г"/г является, таким образом, мерой ошибки. Оно равно нулю
при бесконечном х. Оно конечно при х = х0, и так как оно пропорциональ-
пропорционально второй производной U при х = х0, то ошибка будет малой, если произ-
производная потенциала меняется медленно. Ошибка будет большой в любых
других нулях q или в точках, где потенциал U меняется быстро.
Форма дифференциального уравнения (9.3.89) приводит к мысли, что
если х0 является единственным нулем q, то г"/г можно рассматривать
как возмущение.
Более явно мы запишем это следующим образом:
Это уравнение может быть преобразовано в интегральное уравнение с по-
помощью функции Грина для оператора
Г"
, 2
dx* ^ ' г '
которая выражается через два независимых решения, получающихся я а
формулы (9.3.88). Это интегральное уравнение может затем служить
основой для итерационного метода или метода Фредгольма, если это не-
необходимо.
Вернемся теперь к приближению (9.3.88), чтобы установить явный вид
его асимптотического поведения. Это нужно- для того, чтобы удовлетво-
удовлетворить граничным условиям при ± со. Рассмотрим сначала случай, пока-
показанный на рис. 9.14, где к2 > U для х > х0. Асимптотическое поведение
решения (9.3.88) для х > х9 может быть найдено сразу с помощью фор-

9.3. Приложение методов теории возмущений
95
у ~
мул E.3.68), дающих асимптотическое поведение бесселевых функций. По-
Получается, что
~ [Л cos fw — -j^iz^ + BcosC w --?>
Если х < х0, то ф отрицательно, так что и q, и w являются величинами
мнимыми, имеющими точки ветвления при х = х0. Чтобы продолжить на-
наше исследование, мы должны внимательно выбрать ту ветвь q, которую
надо использовать. Так как функция Р на самом деле однозначна, то-
годится любая ветвь. Мы выберем q = ехр (тм/2) | q | для х < х0. Тогда из
Рис. 9.14. Отражение волн от потенциального барьера.
определения (9.3.87) и линейного приближения для qz мы находим, что
w = exp('iizi/2)\w\ для х < х0. Формула E.3.68), дающая асимптотическое
поведение бесселевых функций, аргумент которых имеет фазу, заключен-
заключенную между ir/2 и Зтг/2, может быть применена и здесь и дает следующий
результат:
Р —> у V^T [(B-A)dwl + (AenW + Be-Ki/6)e-\wl],
х « х0, к2 < U. (9.3.92)
Так как ошибка в асимптотическом выражении начинается с члена
ехр (+1 йу |), то член ехр(— \w\) имеет смысл только тогда, когда В точ-
точно равно А.
Рис. 9.15. Сшивание решений для возрастающего потенциала.
Рассмотрим теперь случай, представленный на рис. 9.15, где ft* < U
для х > х0. Здесь более удобно употреблять переменную
а/= ^ qdx,
(9.3.93)

96 Гл. 9. Приближенные методы
так как w' положительно и действительно там, где действительно и по-
положительно q. Соответствующее асимптотическое решение Р' имеет вид
[A'Jt/a (w') + B'J_l/3(w')]. (9.3.94)
Асимптотическое поведение Р' при х < х0 можно получить из формулы
(9.3.91) заменой w на w', А на А' и В на В'. В области х > х0 можно
использовать формулу (9.3.92), заметив, что |щ>| = |а/|.
Рассмотрим теперь, как применяются эти формулы при решении кон-
конкретных задач.
WKBJ-метод для связанных состояний. Возьмем снова наш пример
из квантовой механики. Потенциал U (х) изображен на рис. 9.16. Для дан-
данного приложения существенно только то, что движение будет классиче-
классически ограничено. Граничные условия состоят в том, что ф стремится
к нулю при х, стремящемся к плюс и минус бесконечности.
^Область /-J, \ ?2. / и—Область III
% !
хо х, х ш-
Рис. 9.16. Потенциальная функция для связанного состояния.
Выражение (9.3.92) пригодно для области /. Для того чтобы удовле-
удовлетворялись граничные условия, мы должны взять А=В, так что
ф ~ А У B/тс<7) cos ( -д- тс ) е w I при х < х0,
«о (9.3.95)
|= \\q\dz.
X
Соответствующих! результат для области // получается, если положить
А=В в формуле (9.3.91):
ф ~ 2А cos ( -g- тс J cos f w — -т- тс j при х > х0,
х
w= ^ qdx. (9.3.96)
Мы можем теперь на основе формулы (9.3.94) провести аналогичный ана-
анализ связи между волновыми функциями в областях /// и //. Снова из-за
граничных условий В'=А', так что
/ /"IN
Ьса А ]/ B/тсо) cos ( -д- тс ) е~\w 1 при х
V Ь у'
х
\w'\= \\q\dx.

9.3. Приложение методов теории возмущений 97
В области // мы находим, что
$ ~ 2А' Yij-xq cos ( -7г тс J cos ( w' — -г ъ ) при ж < Xj,
1
w'= {qdx. (9.3.97)
Необходимо, конечно, чтобы решение этой задачи было непрерывным, так
что выражения (9.3.96) и (9.3.97) должны совпадать. Переписывая аргу-
аргумент косинуса в последнем из них в форме
w'
1
1
= ^ qdx-
'0
1
-X0--
мы видим, что непрерывности можно достигнуть, положив
Г 11
\ q dx — -ц тсг= —тс-\-птс, где п — целое,
хо
или
*1
(9.3.98)
Необходимо также выбрать соответствующим образом отношение А/А'.
Выражение (9.3.98) выводится, конечно, в предположении, что
л0 и жх отстоят друг от друга настолько, что можно использовать асимп-
асимптотические выражения для бесселевых функций, встречающихся в форму-
формулах (9.3.88) и (9.3.94). Другими словами, волновая функция должна иметь
много колебаний в области между х0 и xlt так что для справедливости
формулы (9.3.98) необходимым является условие
и»1. (9.3.99)
Нужно также, конечно, чтобы потенциал менялся медленно.
U(x}
I Область III
I
Рис. 9.17. Проникновение волн сквозь потенциальный барьер.
Проникновение сквозь потенциальный барьер. Мы будем здесь рас-
рассматривать плоскую волну, падающую на область, в которой потенциал
имеет форму, изображенную на рис. 9.17. Пусть волна падает слева.
Тогда в области III может существовать только прошедшая волна. Ее мы
7 ф. М. Морс и Г. Фешбах

98 Гл. 9. Приближенные методы
возьмем в виде
.— г /¦ i Л 
ф ~ у '2>1щ exp t ( ш —л1) ПРИ х 5> ж,,
L v yj (9.3.100)
w=\qdx.
Это выражение можно получить из формулы (9.3.91), выбирая соответ-
соответственно постоянные А и В. В области // формула (9.3.92) дает тогда
'¦-ie^\ (ж«Ж1). (9.3.101)
Мы отбросили член, пропорциональный ехр(— \w\), в (9.3.92), так как
он, вообще говоря, меньше, чем ошибка в члене ехр|о>|. Мы видим,
что ф будет быстро возрастать при х, значительно меньших, чем xv
Формула для функции <Ь в области // также получится из (9.3.92),
если w заменить на w', где
w
х
у'= \ qdx. (9.3-102)
Мы замечаем, что
так что (9.3.101) приобретает вид
где
=\\q\dx. (9.3.103)
Сравнивая с формулой (9.3.92) (с w. А и В, замененными соответственно
на и/, А' и В'), мы видим, что А'^=В\ так что
ф~1ЛB/1гд) A'
Сравнивая с формулой (9.3.101), получаем
А' =¦ ie%/cos f -g- тс J -
В области / пригодной является форма (9.3.91), если в ней заменить w
на w'. Вставляя туда найденную выше величину А' и переписывая (9.3.91)
в виде
ыы находим, что

9.3. Приложение методов теории возмущений
Сравнивая с формулой (9.3.100), мы видим, что коэффициент про-
прохождения Т выражается величиной 11/р [*, так что
Т~е-2\ (9.3.104)
В силу условия сохранения [см. (9.3.11)] коэффициент отражения R
должен быть равен
i? = l-71~l —е-2\ (9.3.105)
Формулы (9.3.104) и (9.3.105) должны иметь место всегда, когда х > 1,
т. е. Т <§; 1, конечно, при условии, что потенциалы меняются медленно.
WKBJ-метод для радиальных уравнений. Приведенные выше резуль-
результаты, в частности формулы (9.3.91) и (9.3.92), невозможно применять
непосредственно к радиальному уравнению (9.3.13),
так как при г = 0 оно имеет особенность. Одномерное уравнение Шредин-
Шредингера имеет особенность при ж= ± со, поэтому, чтобы привести радиаль-
радиальное уравнение к такой же форме, мы введем новое независимое перемен-
переменное х, так, чтобы точке г = 0 отвечало х = —со. В соответствии с этим
сделаем преобразование
г = е*.
Функция и удовлетворяет тогда уравнению
и" - и' + е2* [/с2 - U (ех) -1 (I + 1) г**] и = 0,
где штрих теперь означает дифференцирование по х. Это еще не одно-
одномерное уравнение Шредингера, так как здесь присутствует член с первой
производной. Его, однако, можно исключить, сделав следующую замену
зависимой переменной:
в = е*/2х(а;). (9.3.106)
Функция у (х) удовлетворяет уравнению
>х" + е** [*»_i/(e*)_(z+-*.ye-2*Jx = o. (9.3.107)
Теперь можно применять соотношения (9.3.91) и (9.3.92), [где q2 должно
быть равно коэффициенту при / в уравнении (9.3.107). Функция w равна
тогда
ЭТО
Возвращаясь к первоначальной независимой переменной г, получаел
w^ \ 1/ k*-U(/•)-( l + ± Y±dr. (9.3.108)
TO
Сравнивая с дифференциальным уравнением для м как функции от г, мы
видим, что это уравнение можно решать методом WKBJ для одномерных
С л ж 2
I -\- у J . В соответствии.
с этим обозначим подинтегральное выражение в (9.3.108) через qr. Про-
Простым применением этого результата является вычисление энергий свя-
связанных состояний. Согласно соотношению (9.3.98), они определяются!

100
Гл. 9. Приближенные методы
формулой
^
Величины г0 и г1 являются нулями для qr. Как и раньше, необходимым
условием справедливости этой формулы является неравенство п > 1.
Метод WKBJ для сдвига фазы. WKBJ-приближение можно также
использовать для того, чтобы получить оценку сдвигов фаз -^ в за-
задаче рассеяния (см. стр. 67 и 72). Мы рассмотрим случай, когда qr
имеет только один нуль, г0, для положительных значений к2. Типичная
о г„
Рис. 9.18. Подсчет сдвигов фаз при решении
задачи рассеяния.
кривая показана на рис. 9.18. Мы рассмотрим сначала удовлетворение
граничным условиям при г = 0. Здесь и должно быть равно нулю, так
что х(х) Должно быть равно нулю при х— — оо.
Следовательно, в формуле (9.3.92) мы должны считать А = В, так что
у ~ I/ — 2^Tcos ( -pr ж ) cos w —Ttz
при
Мы получим сдвиг фазы, если сравним аргументы косинуса при наличии
и при отсутствии потенциала U (г):
¦±-Y±dr, (9.3.109)
Фаза
где гг = A+1/2)/к. Можно ожидать, что этот
результат применим при больших сдвигах
фаз. Малые сдвиги фаз можно оценивать с
помощью борцовского приближения (9.3.36), так
что, используя WKBJ-метод и метод Борна, мож-
можно быстро получить оценку сдвигов фаз для
всех I. Сравнение некоторых сдвигов фаз,
вычисленных по формуле (9.3.109) WKBJ-при-
ближения, с точными дается в приведенной слева
таблицех) (взятой из книги Мотта и Месси,
см. библиографию в конце этой главы). Мы ви-
видим, что WKBJ-приближение дает прекрасное
совпадение с точным значением, когда сдвиг
фазы порядка 1 радиана или больше. В то
) В этой таблице даны сдвиги фаз для электронов с энергией 54 eV, рас-
рассеянных на атомах криптона (см. цитированную книгу Мотта и Месси, стр. 256). —
Прим. ред.
1
0
1
2
3
4
5
Точная
-9,696
-7,452
-4,469
-1,238
-0,445
-0,143
WKBJ
-9,597
-7,540
-4,505
-1,355
-0,535
-0,174

9.3. Приложение методе* теории возмущений
101
же время борновское приближение дает очень хорошие результаты для
фаз, значительно меньших единицы.
Случай близко расположенных классических точек поворота. Приве-
Приведенный выше анализ можно легко распространить на тот случай, когда
имеется больше двух точек поворота, если только они лежат так далеко
друг от друга, что можно использовать соответствующую асимптотиче-
асимптотическую форму (9.3.88). Мы рассмотрим теперь случай, когда точки пово-
поворота расположены настолько близко, что этого сделать нельзя. Ограни-
Ограничимся случаем, когда только две точки поворота близки друг к другу.
Это никоим образом не ограничивает общности наших результатов, так
как более сложный случай большего числа близких точек поворота может
быть исследован рассмотрением каждой из соседних пар в отдельности.
Мы начнем следующим образом. Для удобства выберем начало коор-
координат посредине между нулями, которые будут иметь тогда координаты

Рис. 9.19. Проникновение через барьер небольшой
ширины и высоты.
± х0 (см. рис. 9.19). Затем найдем решение дифференциального уравне-
уравнения в области — х0 < х < х0. Это решение может быть связано с линей-
линейной комбинацией бесселевых функций порядка 1/3, как в формуле (9.3.88),
в случае х > х0, и с другой линейной комбинацией для х < — х0. Затем
для каждой комбинации можно легко использовать асимптотические
формы и определить в них константы так, чтобы удовлетворялись гра-
граничные условия.
В области —х0 < х < х0 функцию ф можно аппроксимировать с помо-
помощью параболы:
q* = b{x — xo)(x + xo),
так что дифференциальное уравнение приобретает вид
(9.3.110)
Чтобы привести это уравнение к стандартной форме, сделаем подстановку
?=Ь^х; (9.3.111)
тогда ф будет удовлетворять уравнению
Этот тип уравнения встречается тогда, когда решают скалярное уравне-
уравнение Гельмгольца методом разделения в параболических координатах; он
детально рассматривается в гл. 11. Обращаясь к таблицам, помещенным
в конце этой главы, мы видим, что двумя независимыми решениями

102 Гл. 9. Приближенные методы
в этом случае являются He( — \/rbxl, Q и Но( — УЬх%, Q. Мы будем
пользоваться первыми двумя членами в степенных рядах, соответствую-
соответствующих этим функциям, так как предполагаем х0 достаточно малым.
Следовательно,
1^)A±), (9.3.112)
где а и р — константы. Чтобы установить связь с аппроксимацией при
помощи бессеяевых функций при х = ± х0, нам необходимо знать вели-
величину Фиф' при х = ± хв. Для х = х0 имеем
~ К)+ К (l +~ К) •
t y v J (9.3.113)
4.' (*„) ~а(| Ьх\) + р (l +1 К) .
Для ж= — жв мы просто заменяем жв на — .т0 в этом выражении. (Это
замечание справедливо также для уравнений, приведенных ниже.) Схо-
Сходимость этих выражений в основном определяется параметром Ьх\. Пусть
теперь х > хь\ положим
,b= i/ 5L[i4/I/s (ш) +B/_i/s (ш)];
г q
поведение ty вблизи х0 описывается формулами (9.3.85) и (9.3.86). В та-
таком случае для х, близких к х0, имеем
Д./.
где q* = а2 (ж — х9) вблизи х0 и я2 = 2Ьх0. Сравнение этой формулы
с (9.3.112) приводит к соотношениям
<9-3-114)
Если а и р известны, то В и Л могут быть определены иэ предыду-
предыдущих соотношений. Если же известны А и В, то нужно обратить эти соот-
соотношения, что даст
(9-ЗЛ15)
Чтобы получить результаты, соответствующие х, близким к —х0, мы
должны просто заменить в уравнениях (9.3.114) и (9.3.115) х0 на — ха
а А и В, скажем, на А' и В'.

й.3. Приложение методов теории возмуы^ении К:3
Мы теперь имеем достаточно данных для того, чтобы вычислить при-
приближенно волновые функции, а также коэффициенты отражения и про-
прохождения для величин Л:2, близких к максимуму U (х). Мы наметим ме-
метод в общих чертах, предоставляя его детальный разбор читателю. Пред-
Предположим, что волна падает слева на барьер, изображенный на рис. 9.19.
Тогда граничное условие для х > х0 требует наличия там только прошедшей
волны. Из асимптотической формы для ф [см- Ф°РмУлУ (9.3.91), которая
здесь применима] отношение А к В определяется так, чтобы это граничное
условие выполнялось. Затем уравнения (9-3.115) используются для опре-
определения а и В. Из уравнения (9.3.114) можно тогда определить А' и В'
(вспоминая про замену х0 на — х0); окончательно асимптотическая форма,
имеющая вид
где
w
= \ qda
дает амплитуду падающей волны.
Этот процесс становится невозможным, когда х0 и — х0 сливаются,
так как в этом случае линейное приближение не имеет области приме-
применимости. Однако уравнение
имеет решение, которое может быть продолжено на большие значения х
точно тем же способом, при помощи которого решения (9.3.85) и (9.3.86)
привели к формуле (9.3.88). Мы получаем
) + #/_1/4(ву)]. (9.3.116)
Использование этого приближенного решения ни в чем существенном не
отличается от использования приближения бесселевыми функциями по-
порядка ±1/3, так что мы не будем здесь все это повторять.
На зтом мы закончим обсуждение WKBJ-метода. Мы хотели бы снова
особо отметить требование медленного изменения потенциала U, которое
играло существенную роль во всем нашем анализе. Однако даже когда
лто условие не выполняется, решение, полученное по WKBJ-методу, часто
удобно принять за исходную функцию для итерационного процесса, кото-
который может быть основан, например, на интегральном уравнении для
функции О.
Коротковолновое приближение в трехмерном случае. Разобранный
выше метод можно применять также к двумерным и к трехмерным зада-
задачам. Однако он может быть доведен до конца лишь частично. Мы удо-
удовольствуемся тем, что покажем, что уравнение типа уравнения Шре-
дингера
|ф = 0 (9.3.117)
для коротких волн сводится к уравнению, которое при акустических
и оптических приложениях уравнения (9.3.117) соответствует геометриче-
геометрической оптике, т.е. лучевой теории. Поэтому все диффракционные эффекты,
как и можно было ожидать, в этом приближении исчезают. Когда же
уравнение (9.3.117) является уравнением Шредингера, описывающим дви-
движение частиц, коротковолновое приближение приводит к уравнению Га-
Гамильтона— Якоби [см. уравнение C.2.12) и дальше], которое является

104 Гл. 0. Приближенные методы
частной формой механики Ньютона. Эти результаты будут использованы
главным образом в § 11.4, где предсказания геометрической оптики при-
применяются в качестве первого приближения для волновой теории.
Снова делается основное предположение, что q (г) мало меняется на
протяжении длины волны. Говоря более определенно, если q сильно из-
изменяется в некоторой области, то диффракционные эффекты остаются
существенными, пока длина волны не станет значительно меньше разме-
размеров области. Если бы q была постоянной, то функция
exp[i<7(afc.r)],
где ah— единичный вектор в направлении распространения, являлась бы
решением уравнения (9.3.117). Для медленно меняющихся q этот резуль-
результат подсказывает следующую форму решения ф:
ф = е™(*>. (9.3-118)
Подстановка в уравнение (9-3.117) приводит к следующему уравнению
для величины w:
Приближенно для медленно меняющегося q можно в этом уравнении от-
отбросить член V2w:
= q*. (9.3.119)
Это в точности уравнение Гамильтона — Якоби C.2.12), где
и w = S/h, причем ? —интеграл действия. Этим доказывается утверждение,
что в предельном случае очень коротких волн уравнение Шредингера
переходит в уравнения классической динамики. Как было уже показано
в гл. 3, линии, ортогональные к поверхностям w = const, образуют мно-
множество возможных траекторий.
Чтобы показать, что уравнение (9.3.119) следует из геометрической
оптики, нужно только вспомнить принцип наименьшего действия:
= b^ \VS\ds = 0, (9.3.120)
где S — интеграл действия, Т — кинетическая энергия, ds — элемент длины,
а символ о означает вариацию. Варьирование совершается при условии,
что энергия сохраняется. Уравнение (9.3.119) является следствием этого
вариационного принципа. Он является также формулировкой принципа
Ферма, как это можно видеть, заменяя | VS | в уравнении (9.3.120) через q
согласно уравнению (9.3.119). Мы получаем, отбрасывая постоянный
множитель,
11
о \ qds = 0.
Следовательно, q пропорционально показателю преломления. Это уравне-
уравнение является формулировкой того, что правильная траектория луча—это
такая траектория, для которой оптическая длина пути стационарна.

9.4. Вариационные методы 105
9.4. Вариационные методы
Когда возмущающий член велик, применение методов теории возму-
возмущений, описанных в предшествующих параграфах, становится длинным
и утомительным, а физический смысл результатов затемнен сложвостью
получающихся- выражений. В случаях такого рода более выгодно приме-
применять вариационные методы, потому что, как мы увидим, они допускают
использование любых сведений о задаче, которые могут быть получены
из чисто интуитивных рассмотрений. Конечно, и здесь имеются ограни-
ограничения, которые мы укажем в дальнейшем изложении.
В гл. 3 мы видели, как вытекают уравнения физики из вариационных
принципов, которые выражаются через плотность лагранжиана
¦о
дхп
Получающееся уравнение движения имеет вид
^} (9.4.2)
Содержание уравнения (9.4.1) можно выразить словами следующим
образом. Будем подставлять в интеграл / уравнения (9.4.1) все функ-
функции <р, которые удовлетворяют тем же граничным и начальным данным,
что и ф. Эти функции называются функциями сравнения (или пробными
функциями). Тогда для тех функций сравнения, которые отличаются на
малую величину б-^ от правильной (искомой) функции ф, величина инте-
интеграла J будет отличаться от его точного значения не больше чем на
величину, пропорциональную (бсрJ, так что разность о/ между этими зна-
значениями / и его точным значением должна быть малой второго порядка
относительно 6'f. Если функция сравнения имеет параметры аг, а2, ...,
определяющие ее вид, то J (ср) будет функцией от а и будет иметь ста-
стационарное значение (т. е. max, или min, или седловую точку) для тех
значений а, для которых ср является решением (9.4.2). В окрестности
стационарной точки интеграл /, конечно, менее чувствителен к деталям
строения функции сравнения, чем в каком-либо ином месте.
Вариационный метод имеет целью провести программу вычисления J для
всех возможных функций сравнения путем применения функций сравне-
сравнения, содержащих один или больше параметров, называемых вариацион-
вариационными параметрами, значения которых должны быть определены. Конкрет-
Конкретная применяемая форма подсказывается какими-нибудь априорными догад-
догадками о характере точного решения. Пусть этими параметрами будут а,.
Тогда
/ = /(«,, .... а,). (9.4.3)
Условие стационарности интеграла приводит к системе уравнений
? = 0, i = l s. (9.4.4)
Решение этих уравнений определяет различные возможные значения а4
и, следовательно, лучшую возможную при заданной форме функцию срав-
сравнения. Точность результата возрастает при введении большего числа па-
параметров в функцию сравнения, так как это увеличивает ее гибкость и тем
самым способность представить точное решение ф.

106 Гл. 9. Приближенные методы
Очень часто можно так выбрать форму вариационного принципа, что
величина J для точного решения 0 будет иметь ясный физический смысл.
Например, плотность лагранжиана, соответствующая уравнению Лапласа,
равна
В электростатике V-i*= — Е, где Е — электрическое поле. Следовательно,
L пропорциональна электростатической плотности энергии, а /—пол-
/—полной электростатической энергии. Для двух проводников с постоянной
разностью потенциалов Vo эта энергия равна -%¦ CV*, где С — емкость. Бе-
Белее точно,
Вариационный принцип
сводится к вариационному принципу для С и записывается в виде
где скобки, в которых заключено С, указывают, что величина, подлежа-
подлежащая варьированию, не есть С Она, конечно, равна С, тольке если в [С]
подставить точное fy.
Изтза стационарного характера вариационного интеграла (в этом случае
он имеет минимум при точном Ф) и вытекающей отсюда нечувствитель-
нечувствительности к ошибкам в функции сравнения можно очень часто получать пре-
превосходные оценки для С при помощи довольно грубой функции срав-
сравнения. Ясно, что это свойство имеет большое практическое значение. Очень
часто нас интересует главным образом одна величина, такая, как резо-
резонансная частота, энергия связи, сдвиг фазы при рассеянии или коэффи-
коэффициент отражения. Для этих величин можно сформулировать вариационные
принципы аналогично тому, как это было сейчас сделано для емкости.
Как и в первом случае, можно тогда получить хорошие оценки для этих
величин, используя довольно грубые функции сравнения и не строя, сле-
следовательно, полного решения уравнения.
В большинстве случаев исходную задачу можно свести к задаче на
собственные значения, причем собственным значением служит величина,
которую желают найти. Поэтому мы обсудим сначала вариационный прин-
принцип для задачи на собственные значения.
Вариационный принцип для задачи на собственные значения. Мы
будем использовать общие операторные обозначения не только ради их
общности, но и потому, что они более отчетливо вскрывают технику по-
получения вариационного принципа. Изучаемая задача на собственные зна-
значения имеет вид
J?('l>)=bJ(-i>), (9.4.5)
где X и ^ — дифференциальные или интегральные операторы. Мы теперь
утверждаем, что уравнение
/ ^] o[X] = 0 (9.4.6)
представляет вариационный принцип для X. Функция ср будет вскоре опре-
определена. Интегрирование производится по всему объему, определенному
независимыми переменными, от которых зависит <'j, а также «р. Способ,

9.4. Вариационные методы 107
которым получено это уравнение, очевиден. Уравнение (9.4.5) умножено
на функцию <р> пока произвольную, и выполнено интегрирование. Получен-
Полученное уравнение разрешено относительно X. Таким образом, непосредственно
ясно, что если в [X] подставить точное решение ф, то будет получено
точное значение X.
Чтобы показать, что (9.4.5) вытекает из (9.4.6), рассмотрим уравнение
[X] ^ <faS (ф) dV = ^ 9Х (ф) dV.
Теперь выполним варьирование, варьируя ср и X:
Подставляя условие Й[Х] = О и заменяя JX] на X во втором члене (так как
результат варьирования вычисляется только в первом порядке), мы
получаем
i [X (ф) — ~k"Jl (ф)] dV — 0.
Отеюда, поскольку о<р произвольно, следует (9.4.5).
Обратимся теперь к уравнению, которому удовлетворяет ср (функция «р
также должна быть определена из вариационного принципа). С этой целью
перепишем интегралы в (9.4.6) следующим образом:
€ (ср) ф dV + ф Р (ср, ф) dS,
Здесь X и dfl — операторы, сопряженные соответственно к X и &#; Р п Q —
соответствующие присоединенные билинейные формы [см. E.2.10) и G.5.4)].
Вторые интегралы справа берутся по поверхности, ограничивающей V.
Мы выберем теперь <р так, чтобы она удовлетворяла граничным условиям,
сопряженным к тем, которым удовлетворяет Ф [см. G.5.12)], т. е. так, что
Р(ср, Ф) = 0 на S и Q(9, 40 = 0 на S.
При этих условиях (9.4.6) можно записать в виде
I ^ <1)^(<р) c?f] =0.
Поэтому <р удовлетворяет уравнению
i j9). (9.4.7)
= о Г С
Таким образом, <р удовлетворяет уравнению и граничным условиям, со-
иряженным к тем, которым удовлетворяет ф. Поскольку <р является
сопряженным решением, мы обозначим его через ф, так что вариационный
принцип (9.4.6) будет читаться следующим образом:
ф) dV I \ $«»« (ф) dF ] = 0.
Заметим, что если X — эрмитов оператор, (Х) = Х, то ф = ф. Если опера-
операторы X и <М самосопряженные, то ср = ф и вариационный принцип приоб-
приобретает простую форму:
о [X] = о [ ^ ЪХ (ф) dV j { $аМ (ф) dV ] = 0. (9.4.8)

108 Гл. 9. Приближенные методы
Можно получить и другие вариационные принципы для X; можно мно-
многими эквивалентными способами сформулировать одну и ту же задачу.
Например, для каждого дифференциального уравнения с граничными
условиями обычно можно написать эквивалентное интегральное уравне-
уравнение. Мы проиллюстрируем это замечание, установив некоторые дополни-
дополнительные вариационные принципы, которые будут полезны в наших даль-
дальнейших рассмотрениях.
Рассмотрим сначала случай, когда X — оператор, для которого не
существует <1), удовлетворяющего уравнению X<Ь = 0. Это будет, например,
в случае, когда X — положительно определенный оператор. Тогда можно
написать
(9.4.9)
где X*1— оператор, обратный к X. Если X— дифференциальный опера-
оператор, это будет эквивалентное интегральное уравнение. В самосопряжен-
самосопряженном случае, т. е. когда X и <М — самосопряженные операторы, форма
(9.4.9) неудобна, так как оператор Х^хо/И, сопряженным к которому
служит оМХ~х, не обязательно самосопряженный. Эту трудность легко
преодолеть применением к обеим частям равенства (9.4.9) оператора оМ:
(9.4.10)
Для самосопряженных аМ и X оператор cSX^aS также будет самосопря-
самосопряженным.
Вариационный принцип, вытекающий из (9.4.10), запишется в виде
о[X] = а [ ^ ^Л(tydVI \ ЪЛХ^сМ(<Ь) dV] = 0 (9.4.11)
для общего случая, когда один из X и оМ> или оба —несамосопряженные
операторы. Функция ^ тогда является решением уравнения
Л (ф) = cSX^cMfi). (9.4.12)
В самосопряженном случае
o[XJ = u Г ^ <Ьс?(Ъ) dV I \ $сМХ-хсМ(Ъ) dV i =0. (9.4.13)
Если существуют решения % уравнения %<Ь0 = 0, то уравнение (9.4.9)
следует заменить уравнением
Л = Л% + Х,5?-1е//(ф), (9.4.14)
где .<4 — константа. Это можно легко проверить применением к обеим частя.м
равенства оператора X. Постоянная А отлична от нуля, если Xх выбран
так, чтобы член \Х~хо/?С F) не мог удовлетворять граничным условиям,
которым должна удовлетворять ф. При этом подразумевается, что X не
единственен. Это следует из свойств ф0, так как мы можем прибавить к
разложению Лв^1 по собственным функциям член, содержащий ф0> не на-
нарушая соотношения
Добавление такого члена будет, конечно, менять граничные условия, со-
соответствующие оператору X'1. Факт неединственности Х'х был отмечен
раньше в нашем рассмотрении функции Грина, где было показано, что
для данного дифференциального оператора имеется много функций Грина,
удовлетворяющих разным граничным условиям.
Чтобы образовать вариационный принцип, приводящий к уравнению
(9.4.14) и аналогичный уравнению (9.4.13), умножим (9.4.14) на сА и вы-

9.4. Вариационные методы 409
пишем также сопряженное уравнение:
о# (ф) = Aag (ф0) +
<М (ф) = Ле$ (ф0) + Ш {%)-*¦<? (?). (9.4.15)
Здесь ф0 — решение уравнения <55фо = 0, удовлетворяющее граничным усло-
условиям, сопряженным к тем, которым удовлетворяет %. Наш вариационный
принцип должен давать оба эти уравнения. Он записывается в виде
= о | J [ф {оМ - hMSTM) <Ъ - А 0НГфо+ Фов«Ф)] dV} = °-
Этот вариационный принцип имеет ту неприятную особенность, что он за-
зависит от амплитуд <Ъ и ф. Так как исходная задача однородна, то неод-
неоднородность уравнения (9.4.14) фиктивна; поэтому можно сформулировать
вариационный принцип так, чтобы он не содержал амплитуду Ф. Это
достигается использованием вариационного принципа для определения
наилучшей величины амплитуды для данной функции сравнения. Подстав-
Подставляем поэтому
ф = аХ, ф = ах (9.4.17;
и [J] и рассматриваем а как вариационный параметр. Тогда [/] приоб-
приобретает вид
[/] = а2 ^ \j(ojf, - -kn№%-i<M)y] dV -Ла^ [х<^Фо+ V^x] dV¦
Стационарные значения / получим при dJ/da = 0, так что
а = л ^ (ХвЯФо + ?ов*х)dV I 2\h.№- W/.STV/) x] d V. (9.4.18)
Подставляя это значение а в /, мы получим
Так как мы еще не выполнили варьирование по параметрам, входящим
в х и X' то это выражение для [/] все еще должно удовлетворять усло-
условию о/ = 0.
Мы можем это проверить, выполнив варьирование и показав, что полу-
получающееся уравнение для х и X можно также получить, подставляя (9.4.17)
и (9.4.18) в исходное уравнение. Для удобства заменим постоянную —-г-А2
на тг , обозначив новую величину через [/']:
[ Ш*М-У«ЛЗГле#)у\йУ. (9.4.19)
Условие о[/'] = 0 приводит к уравнению
\ (хЩ0 + Фов*х)dv ' (9,4.20)
is котором/' есть значение выражения (9.4.19) с подставленными точными
значениями х и Х- Уравнение для сопряженного х имеет вид
dV ¦ (9.4.21)
Эти уравнения получатся также, если определения (9.4.17) х и X и вели-
величину а из (9.4.18) подставить в (9.4.15).

110 Гл. 9. Приближенные методы
Заметим, что оба вариационных принципа, основанные на рассмотре-
рассмотрении [/'] и уравнений для X. и X.» однородны, т. е. если решение / умно-
умножить на константу, то получится снова решение. Это было достигнуто
за счет введения дополнительного параметра /' в уравнение. Заметим,
что /' можно рассматривать как параметр, так как любая пара точных
решений уравнений (9.4.20) и (9.4.21) автоматически удовлетворяет урав-
уравнению (9.4.19). На практике неоднородное уравнение (9.4.14) часто встре-
встречается в случае непрерывного спектра X. В этом случае /' оказывается
физически интересной величиной. Например, при вариационном рас-
рассмотрении рассеяния /'—простая функция сдвига фазы (см. стр. 120).
Мы закончим это рассмотрение тем; что выпишем соответствующее
выражение для /' и уравнение (9.4.20) для случая самосопряженного опе-
оператора X. В этом случае
\ (9.4.22)
Уравнение для ^ приобретает вид
( y (9.4.23)
Предшествующие рассмотрения мы провели в очень абстрактной фор-
форме, чтобы выявить технику, при помощи которой составляются вариаци-
вариационные принципы в различных интересных случаях. Мы возвращаемся
теперь к частным примерам, конкретность которых может помочь пони-
пониманию проведенных выше рассмотрений.
Вариационные принципы для резонансных частот и энергетических
уровней. Рассмотрим скалярное уравнение Гельмгольца
где ф удовлетворяет однородным условиям Дирихле или Неймана на по-
поверхности S', само уравнение должно удовлетворяться внутри объема,
ограниченного поверхностью S. Оператор V2 вместе с названными гра-
граничными условиями является самосопряженным, так что применим ^вариа-
^вариационный принцип (9.4.8). Собственное значение X равно /с2, так что опе-
оператор <5? здесь равен—V2 и, следовательно, уравнение (9.4.8) принимает
вид
Характер числителя становится более ясным после применения теоремы
Грина:
\ J ^ (9.4.24)
Для иллюстрации вывода вариационного принципа проверим непосредст-
непосредственно, что 6 [/с2] = 0 приводит к скалярному уравнению Гельмгольца. Мы
имеем
Подставляя о [к2] = 0 и выполняя варьирование, получим
Используя соотношение 8Т"'!>= V (бФ) и теорему Грина, находим
U(кЧ + V4)dV- ^ Ц-8ф^ = 0. (9.4.25)

9.4. Вариационные методы 111
Если выполнено однородное условие Неймана, то д^/дп = О на S; если
удовлетворяется однородное условие Дирихле, то vb должно быть равно
нулю на S; следовательно, при любом из этих условий интеграл по поверх-
поверхности в (9.4.25) исчезает, и мы получаем, что >l> удовлетворяет скалярному
уравнению Гельмгольца.
Возвращаясь к уравнению (9.4.24), мы непосредственно замечаем,
что [к2] всегда > 0. Следовательно, если подставлять всевозможные функ-
функции сравнения, величина [к2] будет иметь абсолютный минимум. Функция
сравнения, дающая этот минимум, является тогда точным решением, а
величина [&2] в минимуме, к%, — соответствующим собственным значением.
Этот минимум будет больше нуля для однородных условий Дирихле и ра-
равен нулю для условий Неймана (функция •{», равная постоянной и дающая
/с2=0, допустима при условиях Неймана, но, очевидно, не удовлетворяет
условиям Дирихле). Как было выяснено в гл. 6, волновые функции дру-
других резонансных частот все ортогональны к >1>0, так же как и друг к другу.
Можно поэтому получить вариационный принцип для к\ — собственного
значения, большего к\, но меньшего к\ (п > 1), — если ограничиться функ-
функциями сравнения, ортогональными к <!»„, т. е. удовлетворяющими условию
Минимум выражения (9.4.24) для волновых функций сравнения, подчинен-
подчиненных этому условию, равен тогда к\; соответствующая собственная функ-
функция есть &г Этот процесс можно продолжить для получения к\ дальнейшим
ограничением выбора функций сравнения, а именно подчинением их усло-
условию ортогональности как к <J»0, так и к tyj. Ясно, что (см. т. I, стр. 685)
Вариационный принцип (9.4.24) не будет иметь места для смешанных
граничных условий
на S, так как тогда интеграл по поверхности в (9.4.25) не исчезает. Эту
трудность можно легко преодолеть прибавлением такого члена к числи-
числителю уравнения (9.4.24), который уничтожает поверхностный интеграл
после проведения варьирования. Этот член после варьирования должен
давать 2 \ ftyhtydS; следовательно,
[&«] = И (V$)*dV+ С f&ds} I ^tfdV. (9.4.26)
Тогда уравнение (9.4.25) заменяется уравнением
+ й-)8* dS = °-
Поверхностный интеграл теперь исчезает в силу граничного условия
которому удовлетворяет $> так что соотношение 8 [к2] = 0 приводит к ска-
скалярному уравнению Гельмгольца для *.
Прежде чем оставить эту тему, необходимо показать, что после под-
подстановки точного решения ф формула (9.4.26) дает точное значение к2. Это,
конечно, есть следствие уравнения, которое получится из (9.4.26) после обыч-
обычного применения теоремы Грина.
Вариационный принцип для уравнения Шредингера

Гл. 9. Приближенные метсоы
совершенно аналогичен разобранному выше. Следует заметить, что хотя
оператор в этом уравнении самосопряженный, граничные условия в общем
случае не будут-действительными, так что Ф — часто комплексная функция.
Поэтому оператор вместе с граничными условиями уже не самосопряжен-
самосопряженный. Тем не менее он эрмитов, так что уравнение (9.4.6) применимо с <р =
= ¦!>. Следовательно,
o[F] = o j J $(U-V*)tydV I С |-i|2dF} =0. (9.4.27)
Интегралы в этом выражении, например нормирующий интеграл в зна-
знаменателе, будут конечны только для связанных состояний системы, для
которых Ф стремится к нулю при неограниченно возрастающем г. В дру-
другой форме, которая может быть получена применением формулы Грина,
[к2] определяется следующим образом:
[к2] = ^ (| V* |2 + U | Ф |2) dV I [ | ф I2 dV. (9.4.28)
Отсюда непосредственно видно, что если выбирать функции сравнения Ф
так, чтобы интеграл от ?7|Ф[2 был ограничен, то [к2] будет иметь абсолют-
абсолютный минимум. Соответствующее состояние системы называется основным
состоянием. Мы можем опять получить первое состояние с большим /с2:
первое возбужденное состояние получится, если рассматривать волновые
функции сравнения, ортогональные к волновой функции основного состоя-
состояния. Второе возбужденное состояние получится, если волновые функции
сравнения ортогональны к волновым функциям основного и первого воз-
возбужденного состояния и т. д.
Колебания круглой мембраны. Мы разберем теперь детально пример
применения вариационного принципа (9.4.24) для скалярного уравнения
Гельмгольца. Задача о колебаниях закрепленной круглой мембраны выбрана
из-за ее алгебраической простоты. Пусть радиус мембраны равен а. Гра-
Граничное условие для Ф имеет вид Ф (а) = 0, а внутри границы мы предпо-
предполагаем Ф непрерывной вместе с ее градиентом. Мы еще упростим наши
рассмотрения, ограничившись изучением только состояний с круговой сим-
симметрией, так что Ф будет функцией только от г. С этим упрощением фор-
формула (9.4.24) приобретает вид
Ясно, что удобно ввести безразмерную независимую переменную х — г/а.
Тогда
[(fta)«]= ^^Yxdx I ^ 'fxdx. (9.4.29)
Рассмотрим теперь возможные функции сравнения. Простейшим выра-
выражением, которое обращается в нуль при х = 1 и в то же время имеет не-
непрерывный градиент при х = 0, япляется 1 — х2. (Функция 1-х непригодна,
так как она имеет производную — 1 в начале координат, порождающую
острие в этой точке.) Подставляя 1—ж2 в формулу (9.4.29), мы получаем
[(каJ]=-6. Точное значение 5,7836, .так что, уже эта чрезвычайно грубая
функция сравнения дает результат, довольно близкий к точному. Заметим,
что приближенное значение больше точного.
Чтобы получить более точное приближение, мы должны улучшить
функцию сравнения. Мы используем два различных подхода. В первом из

9.4. Вариационные .методы
113
них мы выбираем в качестве функции сравнения
x*f, (9.4.30)
где А и В — вариационные параметры. Этот выбор основывается на том
факте, что всякая функция, равная нулю при х=1 и имеющая нулевой
наклон при х = 0, может быть разложена по степеням 1 — хг. Подставляя
эту новую функцию сравнения в (9.4.29), получаем
1 1 1
Г А2 \ A - .г2J х dx + 2АВ \ A- x2f х dx + B2 \A- .с2L х dx Л [к2а2] =
"о о
rf(l —
"]2
ж2J
— Ж2J I2
A— Ж2)
xdx.
Продифференцируем теперь по А ж В, полагая д [к2а2\/дА и д [к2а2]/дВ
равными нулю в соответствии с требованиями вариационного принципа
[см. уравнение (9.4.4)]. Получим
1 1
А \\к2а2] [ (l-.r2fxdx- [
[Га2] С (I_.r2K.rdr-
l —ж?)
dx
—— х dx \
(9.4.31)
x- \
=0.
Это два линейных однородных уравнения для А и В, i: они имеют нену-
ненулевое решение, только если определитель, составленный из коэффициентов
при А и В, равен нулю. Этот определитель подобен тем, которые появля-
появляются в теории возмущений, когда неизвестная функция разлагается по
неортогональной системе функций [см. уравнение (9.1.96)]. Мы увидим
позже [см. уравнение (9.4.38) и далее], что это не случайно. Подставляя
в определитель значения интегралов, получаем
= 0.
(9.4.32)
Это квадратное уравнение для [к2а2]. Его меньший корень равен 5,7837,
что очень близко к точной величине 5,7832. Отношение В/А в силу вто-
второго уравнения (9.4.31) равно
2 1
4 = ~ 2 * й-^= 0,637.
8 Ф. м. Морс и Г. ФешОах

114
Гл. 9. Приближенные методы
Собственные функции для
мембраны
круглой
Волновая функция 4, согласно формуле (9.4.30), равна
Ф = A - ж2) + 0,637 A - ж2J. (9.4.33)
Сопоставление этого приближенного результата, первой функции сравне-
сравнения 1 — ж2 и точного решения/0 B,4048х) даны в таблице ниже. Мы нор-
нормировали функцию Ь так, что она равна единице при х = 0, умножением
последнего выражения на 1/1,637. Заметим, что функция 1 —ж2 дает
ошибку в некоторых областях до 30%; предсказываемое же ею собствен-
собственное значение к?а2 = 6 имеет ошибку только в 3%.
Второй корень уравнения (9.4.32) также имеет значение. Здесь важно,
что приближенная волновая функция, соответствующая этому второму
корню, ортогональна волновой функ-
функции, определяемой первым корнем и
выражаемой формулой (9.4.33).
Поэтому из рассмотрения, следую-
следующего за формулой (9.4.28), мы видим,
что этот второй корень и соответствую-
соответствующая ему функция сравнения прибли-
приближают второе решение исходной задачи,
если, конечно, опять ограничиться
рассмотрением состояний с круговой
симметрией. Первое решение с низшим
собственным значением не имеет узло-
узловой линии; второе решение с ближай-
ближайшим высшим собственным значением
имеет одну узловую линию. Точное
значение для этого второго собствен-
собственного значения к?а2 — 27,3, в то время
как второй корень уравнения (9.4.32)
равен 36,9. Ошибка значительна и ука-
указывает на то, что для получения удовлетворительного результата следует
ввести зависимость, более сложную, чем предусмотренная формулой
(9.4.30). Высшие состояния обычно оказываются более сложными для
вычисления по вариационному методу, так как их волновые функции
быстро осциллируют.
Нелинейные вариационные параметры. Функция сравнения (9.4.30)
линейна по своим вариационным параметрам. Параметры могут,- конечно,
входить и нелинейно; это будет, например, у следующей функции сравне-
сравнения для круглой мембраны:
'1/ = cos a — cos ax.
Здесь а — вариационный параметр, который нужно определить вариацион-
вариационным методом. Мы не будем доводить это вычисление до конца, так как
уравнение для а довольно сложно. В этой задаче нет особой выгоды от
введения нелинейных параметров, но во многих случаях очень полезно
сделать это. Для иллюстрации рассмотрим уравнение Шредингера
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
X
,1
,2
,3
.4
.5
,6
,7
,8
,9
,0
Точное
0,986
0,943
0,875
0,783
0,671
0,545
0,410
0,270
0,133
0
(S-
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4.33)
,986
,944
,878
788
677
550
413
270
130
0
1— х2
0,990
0,960
0,910
0,840
0,750
0,640
0,510
0,360
0,190
0
Вариационный принцип гласит:
Подставляя волновую функцию сравнения е~$х2'ъ, находим
[а2]= -[l-^o

9.4. Вариационные методы Но
Уравнение для определения р, д[а2]/д$ = 0, сводится к
Для этой величины [3
= f/0.
Подученный результат очень прост; в этом случае нелинейная форма
удобнее для вычислений, чем какая-либо линейная комбинация функции
сравнения.
Метод Рэлея — Ритца. Вариационный метод дает результат, который
для случая положительно определенного оператора всегда больше точного
значения. Чтобы определить точность подсчета по вариационному методу,
необходимо иметь систематический способ улучшения исходной функции
сравнения. Метод введения дополнительных нелинейных параметров,
конечно, несколько увеличивает точность, но не дает уверенности, что
обязательно получится точное решение, так как неясно, что будут включе-
включены всевозможные функции со всеми видами симметрии и поведения. Другой
способ, в котором обходится эта трудность, состоит в рассмотрении ли-
линейных комбинаций функций, образующих полную систему, причем коэф-
коэффициенты этих комбинаций образуют множество линейных вариационных
параметров. Например, в случае колебания круглой мембраны мы положим
?г=0
Для рассмотренного выше уравнения Шредингера удобно взять ф в форме
со
4=2 Лпхпе-^2^.
п=0
Мы можем, конечно, предпочесть ортогональные системы. Во втором
случае, например, легче разлагать по полиномам Эрмита:
<? = 2 ВпНп(]/рж) e-P*v,. (g.4.34)
71=1
Эти функции сравнения приводят к бесконечной системе уравнений для
коэффициентов Ап или Вп. Уравнения мы теперь найдем в явной форме.
Пусть волновая функция сравнения имеет вид
*=5Х.Ф«. (9.4.35)
Уравнение, которое нужно решить, — это общее уравнение (9.4.5) с само-
самосопряженными X и <М. Применим вариационный принцип для X в форме
о/ = fi { \ -ЪХ (<I>) dV — [X] \ Ъ~М (й) dV }=0, й f X] = 0.
Подставляя волновую функцию сравнения (9.4.35), мы находим
/ = 2 -ЛпЛт {Ll(m — [XJ Мпп.} = 0,
пт
где
К п = \ 9п% (?т) ^'. Л/ит = ^ ?11^5 (<^т) dV. (9.4.36)
8*

116 Гл. 9. Приближенные методы
Если функции 9п ортогональны по отношению к оператору cS, то Mnill
•отличны от нуля только при п — т. Вариационный метод требует, чтобы
dJ/dAi = 0. Следовательно,
2^iJ.(L,.i-XA/J.i) = 0 для каждого г. (9.4.37)
з
Мы использовали самосопряженность операторов S6 и еМ и отбросили
квадратные скобки вокруг X, так как решение системы этих уравнений
должно давать точное значение X. Решение системы (9.4.37) существует
только в том случае, когда определитель из коэффициентов при А^ равен
пулю:
| L;i - >.Myi | = 0. (9.4.38)
Уравнение (9.4.38) —это знакомое нам вековое уравнение, разобранное
в § 9.1. Там предполагалось, что заранее имеется достаточно точное
значение первого члена.
В вариационном методе первый член, так же как некоторые харак-
характерные параметры [например, параметр [3 в ряде (9.4.34)], определяются
вариационно.
Решение векового уравнения (9.4.38) может быть проведено по методу,
намеченному в § 9.1. Часто, однако, первый член ср0 содержит достаточ-
достаточное число вариационных параметров, так что можно ожидать, что он
весьма близок к точному решению. Дальнейший процесс, которому
в общем случае надо следовать, состоит в точном решевии векового
уравнения для небольшого числа первых членов разложения (9.4.35),
увеличении количества этих членов, повторном решении и т. д., причем
вычисления прекращаются, если значение X не изменяется при добавле-
добавлении новых членов. Окончательное значение X получается тогда экстра-
экстраполяцией. Часто такой процесс диктуется, конечно, практическими
соображениями. Ясно, что он является рискованным ввиду отсут-
отсутствия каких-либо точных оснований для сходимости. В литературе име-
имеется немало примеров кажущегося стремления к неверному пределу,
вызванного, по-видимому, систематическим пропуском членов определен-
определенного вида. Поэтому важно дать точные оценки ошибки в вариационном
методе, что мы сделаем позже в этом параграфе.
Приложения к теории возмущений. Используя волновые функции,
полученные в теории возмущений в качестве волновых функций сравнения,
можно глубже понять смысл этой теории. Пусть ^„ — нормированные
собственные функции оператора Хо, удовлетворяющие соотношениям
Тогда решение b задачи
с точностью до малых первого порядка равно
2 Т
Вариационный принцип (9.4.8) требует вычисления отношения
[Х]=

9.4. Вариационные методы 117
Если взять /0 в качестве функции сравнения, то мы получим
Это в точности совпадает с результатом теории возмущении в первом
приближении. Для положительно определенного самосопряженного опера-
оператора X иг! вариационного принципа можно немедленно заключить, что
X<X0 + L?. (9.4.39)
Заметим также, что выражение первого порядка точности для X было
получено при помощи функции сравнения нулевого приближения. Это
еще раз показывает относительную нечувствительность вариационного
выражения для [X] к ошибкам в волновой функции.
Подставим теперь волновую функцию первого порядка точности.
Тогда
Во всех суммах в этом выражении опущены члены, в которых хотя бы
один из индексов тип равен нулю. Вычисляя это отношение с точностью
до третьего порядка относительно возмущения, мы получим
-м • (9А40)
Это как раз результат теории возмущений [уравнение (9.1.15)] третьего
порядка точности. Заметим, что он был получен с помощью волновой
функции всего лишь первого порядка точности. Если мы используем
волновую функцию второго порядка точности, то результат получится
пятого порядка точности и т. д. Таким образом, результат теории возму-
возмущений нечетного порядка может быть получен из вариационного прин-
принципа, и он должен поэтому давать величину, которая больше точного
значения X. Соответствующее определенное суждение для четного порядка
высказать нельзя.
Интегральное уравнение и соответствующий вариационный принцип.
Проиллюстрируем теперь вариационный принцип (9.4.13) и уравнение
(9.4.9) для ф, содержащее обратный оператор.^. Рассмотрим снова
скалярное уравнение Гельмгольца, которое мы перепишем в более удобной
форме
V2<1> = —Щ.
Рассмотрим ограниченную область, на границе которой для ф поставлены
однородные граничные условия. Интегральное уравнение для ф можно
сразу получить, используя функцию Грина Go (г | г0):
Мы выберем функцию Грина, удовлетворяющую тем же граничным усло-
условиям, что и -I/. Тогда

118 Гл. 9. Приближенные методы
Это интегральное уравнение, соответствующее уравнению (9.4.9). Обрат-
Л Г*
ный оператор %~г есть —^ \ G(r|r0). Вариационный принцип (9.4.13)при-
(9.4.13)принимает вид
о [к2] = о
(г)
г) G°(г'Го) *(го) dv dv°
= 0. (9.4.42)
Проверим теперь непосредственно, что этот вариационный принцип при-
приводит к уравнению (9.4.41). Для этой цели проще рассматривать такую
вариацию:
S {lS ][ * (Г) G° (Г I r»)* <Го> dv dvo - ^ (') dv} = °-
Вспоминая, что о [к2] = 0, получаем
- 2 5 Ф й* dv = 0.
Чтобы получить общий множитель при оф, необходимо изменить порядок
интегрирования для члена, содержащего d'!»(r0). Для то1Ло чтобы это было
возможно без появления дополнительных членов, необходимо, чтобы Go
была симметричной функцией от г и г0 и чтобы пределы интегрирования
были одинаковы. В нашей задаче эти условия, конечно, выполнены
так что
Ф (г) Ц (г0) Go (г ! г0) dv dv0 = J J -!> (r0) 8-!, (r) Go (r | r0
Следовател ьно,
Это уравнение приводит, конечно, к интегральному уравнению (9.4.41).
Вариационный принцип (9.4.42) применим также к уравнению Шре-
дингера; в этом случае функция Go определяется уравнением
™0 (г | г0) - U (г) Go (г | г0) = - 4*S (г - г0).
Это уравнение используется не часто, так как отыскание Go в случае
уравнения Шредингера очень затруднено. Чаще интегральное уравнение
для уравнения Шредингера получается другим способом, при котором
интенсивность потенциала рассматривается как параметр. Мы пишем
поэтому потенциальную энергию в виде —^f(r), а уравнение Шредингера
с виде
Соответствующим интегральным уравнением будет уравнение
d. = ^ ^ Gia (г | г0) / (г0) ф (г0) dv0, (9.4.43)
где
V2Gia-a2Gia=-47Co(r-ro). (9.4.44)
Во многих задачах требуется найти Gja, соответствующее бесконечной
области; тогда

9.4. Вариационные методы 119
Вариационный принцип для X можно теперь получить из уравнения (9.4.13):
Ъ [X] = о Г- lfW» 1 = 0. (9.4.45)
Заметим, что ото введение / (г) было необходимо для того, чтобы
функция от г и г0, которая стоит в знаменателе формулы (9.4.45) между
•Ь (г) и ф (г0), была симметричной. Только тогда варьирование приводит
к интегральному уравнению для ф, что можно усмотреть из рассуждения,
следующего за формулой (9.4.42).
Этот вариационный принцип исходит из известного значения а —
уровня энергии системы—и дает значение X —интенсивности потенциала,
нужной для получения данного а. Такой вариационный принцип приме-
применим, в частности, если закон сил еще не известен, а уровни энергии
известны из эксперимента. Если, с другой стороны, X известно и нужно
определить а, то уравнение (9.4.45) необходимо использовать для мно-
множества значений а, тогда как в скобки заключена известная величина X.
Соответствующее значение а получается при этом обратной интерполяцией.
Отметим важную практически особенность уравнения (9.4.45): в нем
фигурируют только те значения ф(г), для которых /(г) отлично от нуля.
Правильная зависимость при очень больших значениях г обеспечивается
функцией Грина.
Подобные вариационные принципы можно построить и для задач
с возмущением граничных условий. Мы видели в § 9.2, как такая задача
сводится к решению интегрального уравнения, в котором играют роль
значения ф (или ее нормальной производной, в зависимости от типа гра-
граничных условий) только на возмущенной поверхности. Вариационный
принцип формулируется тогда для параметра, измеряющего величину воз-
возмущения (соответственно величине потенциала для случая уравнения
Шредингера). Если желательно сформулировать вариационный принцип
для /с2, то нужно использовать формулу (9.4.26). В §* 12.3 мы разберем
примеры применения этой техники, в которых более нолно выясним физи-
физический смысл различных членов.
Пример. Мы еще раз рассмотрим колебания круглой мембраны и вы-
вычислим резонансную частоту низшего симметричного состояния. В этом
случае ф является функцией только от г. Ее можно подставить в уравне-
уравнения (9.4.41) и (9.4.42), или можно обратиться прямо к обыкновенному
дифференциальному уравнению для ф. И тот и другой путь приводят
к получению следующего интегрального уравнения и вариационного
принципа, которые мы напишем, введя безразмерную переменную х —
.W^t К) *о dx0 (9.4.46)
1 1
^ ^ b(x)xGo(x\xQ)xoty(xo)dxdxQ} =0. (9.4.47)
0 0
¦Здесь
In х для х>х0,
и0 (х \х0) = — 4тг \
0 к ' 0/ I In х0 для х < х0.
Мы воспользуемся теперь той же самой функцией сравнения 1 —х2, которая
была применена раньше. Если фх — функция, получающаяся при нодста-

120 Гл. 9. Приближенные методы
новке 1-х2 в правую часть уравнения (9.4.46), то, опуская множитель,
содержащий к2, который (как и любой постоянный множитель) сократится
при подстановке в вариационный принцип (9.4.47), получим
Vi - 16 - -4 х + 16 х ¦
Соответствующая величина (каJ из (9.4.47) равна
i 1
[(ко.)*] = ^ 'fx dxl \ <|> (ж) ф2 (ж) х dx.
о о
Подставляя ф и ф1; мы находим, что [(/тJ| приблизительно равно 5,8182,
в то время как точное значение 5,7832. Заметим, что это приближение
значительно лучше, чем величина 6, полученная прямой подстановкой
1—ж2 в формулу (9.4.29). Это достигается благодаря тому, что фа ближе
к точной волновой функции, чем ф, так как ^ получается из ф примене-
применением оператора Грина. Эта процедура, как мы видим, приводит к умень-
уменьшению ошибки Bin будет поэтому базисом вариационно-итерационного
метода.
Вариационный принцип для сдвигов фаз. Вариационные принципы,
разобранные до сих пор, соответствуют задачам, в которых уровни энергии
образуют дискретный спектр. Мы имели дело либо с конечной областью,
на границе которой волновая функция удовлетворяла граничным усло-
условиям, либо с бесконечной областью при условии, что волновая функция
должна стремиться к нулю на бесконечности (более подробно об этом см.
в § 12.3). Теперь мы обращаемся к задачам с непрерывным спектром
собственных значений. Решения, удовлетворяющие соответствующим гра-
граничным условиям, существуют здесь для всех собственных значений из
некоторого интервала. Волновые функции уже не будут интегрируемыми
с квадратом, так что вариационные принципы, соответствующие связанным
системам, здесь непосредственно не применимы.
В качестве первого примера изменений, которые необходимо ввести,
рассмотрим вариационный принцип для сдвига фазы i\0. Радиальное диф-
дифференциальное уравнение, определяющее этот сдвиг, было рассмотрено
раньше [уравнение (9.3.12)]:
fg..HA2_tf(r)]B = 0; (9.4.48)
оно снова будет рассмотрено в § 12.3. Здесь мы рассмотрим только схему
вариационной техники решения этого уравнения. Функция и удовлетво-
удовлетворяет граничным условиям
ы@) = 0, и (г) ~ sin (кг — -ц) при г—>со.
Заметим, что интеграл от и2 бесконечен. Если бы это было не так, то
выражение
о
привело бы после варьирования но и к уравнению (9.4.48). Чтобы обойти
расходимость интеграла на бесконечности, мы рассмотрим разность между
этим интегралом и некоторым интегралом, .который расходится точно та-
таким же образом на бесконечности. Рассмотрим поэтому функцию v — реше-
решение уравнения

9.4. Вариационные методы 121
удовлетворяющую граничным условиям
v(r)c^u(r) при г—>оо, (9.4.49)
так что v с точностью до нормирующего множителя равно sin (кг —т}).
Вариационный принцип для v, если вновь пренебречь указанной выше
расходимостью, должен получаться из выражения
[(v'J-k2v2]dr.
о
Это выражение расходится точно так же, как соответствующий интеграл,
содержащий и, так как и и v для больших г близки друг к другу.
Это подсказывает идею рассмотреть разность двух интегралов
со
J=^ [{u'J-(v'J~k2(u2-v2)-\-Uu2]dr, (9.4.50)
о
где варьирование выполняется независимо как по и, так и по v, подчи-
подчиненным, однако, дополнительному условию (9.4.49). Интеграл / конечен.
Используя уравнение для и и и, можно показать, что его величина для
точных и и v равна
со
3 = \ Чг '""' ~ VV'^ dr = V' ^ V ^'
о
так как и —> 0 при г —> 0 ив^о при г —> оо. Вариацию интеграла / мы
запишем следующим образом по причине, которая вскоре выяснится:
(9.4.51)
Нетрудно показать, что условие
приводит к правильным дифференциальным уравнениям для и и v.
Заметим прежде всего, что
v' @) , ,
V ' = — /С CtgTfj,
v@)
так что вариационный принцип формулируется для /cctg-yj. Мы вычислим
сначала о/ из формулы (9.4.50), варьируя и ш v и имея в виду соотноше-
соотношение (9.4.49) между ними:
о/ = 2 \ [Ы (- и" - к2и + Uи) + w {v" + k2v)] dr + 28 [v (())] v @).
о
Подставляя выражение (9.4.51), получаем
ОО
V* @) о [к ctg -ц] = 2 ^ [оы [и" + к2и — Пи] - аи (v" + к*и)] dr.
о
Из условия о [к ctg 7j] — 0 мы непосредственно находим уравнения для и и v.
Мы выбрали эту специальную форму вывода для того, чтобы под-
подчеркнуть независимость вариационного принципа для к ctg tj от ампли-
амплитуды v. Однако в приложениях удобнее выбирать v @) = 1. Вариационный

122 Гл. 9. Приближенные методы
интеграл / равен — к ctg tj для точных миое должен быть проварьироваи
при условиях (9.4.49) и w@) = l. Окончательно
¦где
СО
[-/fctg7j]= ^ [(м'J —(t)'J—/с2(м2 —d2) + f/M2]dr, (9.4.52)
о
и(/-)~ v(r) При /•—>со; t) @) = 1 -
Как простое приложение этой формулы, мы получим производную по
к2 от — kctg-ц, вычисленную для некоторого частного значения к (напри-
(например, к0). Подставляем с этой целью решения, соответствующие к = к0,
в качестве волновых функций сравнения в вариационный принцип (9.4.52).
Тогда зависимость [ — /cctgnrj] от к2 становится явной и мы можем вычислить
производную:
^P5 (9.4.53)
о
где ик и vh— функции и и v для волнового числа к. Если полошить к
равным нулю, то результат эквивалентен формуле (9.3.67), полученной
методом теории возмущений.
Вариационный принцип (9.4.52) для сдвига фазы может быть исполь-
использован почти таким же образом, как и соответствующий принцип (9.4.28)
для /с2. Подставляя в (9.4.52) волновые функции сравнения для umv, удовлетво-
удовлетворяющие дополнительным условиям, определяем значения вариационных
параметров, входящих в и и v, из требования стационарности вариацион-
вариационного интеграла. Заметим, что так как подинтегральная функция в (9.4.52)
не дефинитна, то стационарное значение может быть максимумом, мини-
минимумом, а также точкой перегиба.
Функцию сравнения для v можно взять в виде sin(fcr — 7j)/sin (— r,),.
где, однако, нужно рассматривать tj как вариационный параметр или, как
это часто делают, подставить как-нибудь угаданное значение ij. Ясно, что
было бы удобнее, если бы можно было найти такой вариационный принцип
для к ctg 7j, который не содержит явной зависимости от -ц, как теперь bv.
Для того чтобы это сделать, введем разность v и и:
sin (кг—т)) /Г1 . г/\
w = v — и, v= ^ ~, (9.4.54)
w—^0 при г-^ оо , w @) = 1.
Дифференциальное уравнение для w имеет вид
w" + [к* - U] w = - Uv. (9.4.55)
Подставляя w в вариационный интеграл и используя свойства v, находим
В = 1 + -|- ^ U sin (kr) cos (kr) dr~-^\Uw sin (kr) dr, (9.4.56)
о о
со со
С = i [(w'f - (/с2 - U) w2] dr + \ U [cos2 (кг) — 2w cos (kr)] dr.

9.4. Вариационные методы 123
Мы решим теперь квадратное уравнение для R, выбирая корень, который
«едет себя правильно в предельном случае очень малых U:
R^_. (g>4_57)
Это точное выражение для R, которое не годится, конечно, в качестве
вариационного принципа для R. Тем не менее нам здесь повезло; мы сейчас
покажем, что требование о (R) = 0 для вариации w, подчиненной граничным
условиям, указанным в (9.4.54), приводит к нужному дифференциальному
уравнению (9.4.55) для w.
Обозначая правую часть уравнения (9.4.57) через \R], мы находим, что
(9.4.58)
¦где мы отбросили некоторые постоянные множители. Далее,
2 Г
ЬВ = — -г \ ow U sin (kr) dr,
о
оо оо
ЬС = — 2 \ ow U cos (kr) dr — 2 \ ош (w" -f k2w — Uw) dr.
о о
Подстановка этих выражений для 823 и ЬС в уравнение (9.4.58) непосред-
непосредственно приводит к правильному дифференциальному уравнению для w.
Вариационный принцип, основанный на формуле (9-4.57), часто легче
использовать, чем принцип, основанный на формуле (9.4.50). Подставляют
волновую функцию сравнения для w, равную единице в нуле и нулю в бес-
бесконечности, содержащую один или несколько вариационных параметров,
таких, как у в функции e~Yr. Затем определяют значения параметров,
для которых R стационарно, или прямым табулированием R, или полагая
дифференциал R по этим параметрам равным нулю, смотря по тому,
что удобнее.
Этот вариационный принцип дает борновское приближение (9.3.37),
если использовать w = cos (kr) как волновую функцию сравнения, так как
тогда С=0 и J3=l. Соответствующее и есть sin (kr) — падающая волна.
На самом деле cos (kr) не удовлетворяет нужным условиям на бесконеч-
бесконечности, так что мы должны рассматривать этот результат, как полученный
предельным переходом. Мы могли, например, использовать e~er cos kr
в качестве волновой функции сравнения и определить поведение R приг,
стремящемся к нулю.
Можно развить вариационные принципы описанного типа для высших
сдвигов фаз т][, Z>1, которые так же удобны и точны, как уравнение
(9.4.57). Они сформулированы в задаче 9.8.
Вариационный принцип для сдвига фазы, основанный на интеграль-
интегральном уравнении. Интегральное уравнение для ut выведено раньше
[см. (9.3.34)]:
щ = Akrj\ (кг)--^ \ G^ (г | г0) U (г0) щ (r0) dr0. (9.4.59)
о
Здесь А — постоянная, /', — сферическая функция Бесселя [см. E.3.67) и
далее], G^ определена в (9.3.33). Уравнение (9.4.59) —неоднородное инте-
интегральное уравнение, так что применим метод, приводящий к формуле
(9.4.22). Тем не менее мы предпочтем прямой подход, чтобы выяснить
физический смысл.

124
Гл. 9. Приближенные методы
Метод состоит в замене уравнения (9.4.59) однородным уравнением,
в котором сдвиг фазы tj, входит явным образом, а постоянная А исклю-
исключена. Соотношение между А и tj, выводится исследованием уравнения
(9.4.59) при больших значениях г. Следуя анализу, приводящему к фор-
формуле (9.3.36), мы приходим к точному соотношению
о)и W ui (ro) ro rfv
Исключая А из уравнения (9.4.59), мы получаем теперь однородное урав-
уравнение
Mj (г) = кг]\ (кг) ctg тг], ^ /\(kr0) U (/•„) в, (/•„) r0 dr0 -
со
- ^- ^ Gj? (г | г0) Z7 (г0) и? (r0) dr0. (9.4.60)
о
Соответствующий вариационный интеграл имеет вид
-L
и
(г | !•„) f/ (г0) в,
dr
[ctg ,,,] = /с i!
^
»«
. (9.4.61)
Варьирование этого выражения приводит к написанному выше интеграль-
интегральному уравнению. Заметим, что так как G&' — не дефинитная функция, то
стационарное значение [ctgnrj,] не обязательно будет максимумом или ми-
минимумом. Подставляя представление (9.3.33) вместо G& , можем несколько
упростить уравнение (9.4.61):
к ^ Uu]dr-2 ^ кгщ (кг) U (r) ut (r) { ftr0/i(fc#-o)f/(ro)Ki(ro)rfrorfr
[ctg !,,]=
I \ krjiUui dr
. (9.4.62)
Борновское приближение для \ может быть немедленно получено
подстановкой падающей волны кг]\ (кг) в качестве волновой функции сравне-
сравнения и отбрасыванием второго члена в числителе, так как он более высо-
высокого порядка по U, чем первый. Часто очень существенное улучшение
борновского приближения получается, если не отбрасывать второго члена:
[ctgTrj(]~Ctg[Tjfj
(kroiCfUdrodr
Pdr
(9.4.63)
Здесь Tjf — борновское приближение для сдвига фазы.
Мы не будем здесь приводить конкретных примеров использования
этого вариационного принципа, так как он будет разобран детально

9.4. Вариационные .методы 125
в гл. 12. Как обычно, вместо щ подставляются функции сравнения, содер-
содержащие вариационные параметры. Лучшие значения этих параметров те,
для которых [ctg 7j(] стационарен. Заметим, что играют роль только значе-
значения И; внутри области, где U не равно нулю. Мы можем поэтому не за-
заботиться о поведении и, в остальных областях.
\
Вариационный принцип для амплитуды прохождения. Задача о про-
прохождении и отражении волн для потенциального барьера исследуется почти
таким же образом, как рассмотренная выше задача о сдвиге фазы. Есть,
однако, одно важное различие, которое требует детального разбора. Урав-
Уравнение имеет вид
где U предполагается имеющей наибольшее значение при малых | х | и стре-
стремящейся к нулю при \х\—>оо. Соответствующее интегральное уравнение
для падающей волны амплитуды А, идущей из — оо, запишется в виде
со
ф =, Aeih* + -A. J Gh (х | х0) U (х0) ф (х0) dx». (9.4.64)
—оо
Мы преобразуем это неоднородное уравнение в однородное, выражая А
через величину амплитуды прохождения /. Чтобы получить это соотноше-
соотношение, необходимо подставить явное выражение для Gk [см. формулу (9.3.29)]:
ф = Ле** + Тк^ e*l*-*oi и (х0) ф (х0) dx0.
—со
Для больших положительных значений х мы нолучасм проходящую волну:
СО
ф ~ eita [ А +1. ^ е -ikx<>U (х0) ф (ж0) da-0 ] при х —> оо.
Следовательно, амплитуда волны, проходящей через потенциальный
барьер f/, рассчитанная на единицу амплитуды падающей волны, равна
Подставив в (9.4.64) найденное отсюда значение А, получим однородное
уравнение
со
' — 2А: (/ 1) J Vlo)r\Jo)UJo ¦¦
—СО
СО
+ ^г \ Gh (х | х0) U (т0) -Ъ (.r0) dx0. (9.4.65)
—со
Из-за наличия комплексных величин мы вынуждены ввести сопряженную
функцию ф, свойства которой будут определены из вариационного прин-
принципа для /:
\ ф#+ Ах-±- \ С $(х) U [х) Gk (х | хв) U (х0) ф (,„) dx0 dx
(9 4 66)
со . V ¦ ¦ )
?*¦ -°о —до -од
f
[

126 Гл. 9. Приближенные .методы
Выполняя варьирование по ф, получаем правильное уравнение для ф. Урав-
Уравнение \пя ф получается, если проварьировать это уравнение по ф:
Zu(xo)Gh(x\xo)dxo. (9.4.67)
Сравнивая с уравнением (9.4.65), мы видим, что ф является решением,
задачи, в которой падающая волна распространяется в отрицательном
направлении. Падающая волна имеет вид e~lkx, и когда х принимает
большие отрицательные значения, мы находим только волны формы e~lhx.
Заметим также, что / является амплитудой прохождения для падающих
волн, идущих через барьер в обоих направлениях. Это, конечно, частный
случай принципа взаимности.
При использовании вариационного принципа (9.4.66) нужно вместо
ф подставить функцию сравнения, которую мы обозначим через <]>fe. Вместо
¦!> нужно подставить функцию ф_ь, которая представляет собой ту же
функцию сравнения, только с переменой знака направления движения
падающей волны. Далее можно применить обычный метод определения
вариационных параметров. В качестве простого примера мы получаем
борновское приближение, если подставить 0ft = егкх и >b_h = е~гкх. Тогда
2к
i
\ Udx
—oo
oo
I
—CO
CO
—oo
e~ihxU (
x)e{
2k
i
CO
\
c-x° U(Xo)eikxOdXodx
Udx
l-z^=^ ___ . (9.4.68)
Вариационный принцип для трехмерных задач рассеяния. Процедура,
рассмотренная выше, позволяет вывести вариационный принцип для
амплитуды рассеяния. Мы начнем с уравнения ГПредингера
где U велико только в области вблизи начала координат и стремится
к нулю при г—>оо. Соответствующее интегральное уравнение для плоской
падающей волны имеет вид
где R = | r— r0 |, kj — вектор, идущий в направлении распространения падаю-
падающей волны, и к — величина вектора kt, /с = |к{|. Исключением А это ураи-
нение можно сделать однородным. Для больших расстояний от начала
~ik^U (г0) ф (г0) dV0,
где ks — вектор длины к, идущий] в направлении наблюдения, т. е.
в направлении рассеянной волны [см. также уравнение A2.3.68)]. Если
амплитуду рассеянной волны записать в форме — -г- Т (ks | к4), то
Т (к. | к4) = 4- \ е"*--1* U (г0) ф (г0) dV0

9.4. Вариационные методы 127
и интегральное уравнение примет вид
4 -1 Г *» \ С л*^^
Соответствующий вариационный принцип для Т (ks | к4) основан на варь-
варьировании выражения
Г \ yUedV] Г \ е*7ф dvl
| к,)] = Ut ,. JU ,«* J > (9-4.69)
^ ^J ^ (Г) ^ (Г) ~R~ U (Го) * (Го) dVb dV
где <J)—снова сопряженная к ф функция. Варьируя [Т] по ф, получим
точное уравнение для ф, тогда как варьируя [Т] по ф, придем к анало-
аналогичному уравнению для ф, в котором, однако, падающая плоская волна
распространяется в направлении — ks. Если мы поэтому более явно введем в ф
направление падения при помощи обозначения ф(к{), то ф = ф(— ks).
Теорема взаимности
непосредственно вытекает из уравнения (9.4.69).
Приложения этого вариационного принципа будут подробно разобраны
в § 12.3. Процедура снова включает выбор функций сравнения для ф(к4)
и для соответствующей ф( —ks), подстановку их в уравнение (9-4.69)
и варьирование. Мы здесь отметим только, что борновское приближение
автоматически получится, если положить
ф = exp (ikt-г) и ф = ехр( — iks• г)
и отбросить второй член в знаменателе.
Мы могли бы также получить вариационный принцип для Т, используя
интегральное уравнение для Т, выведенное в § 9.3 [см. уравнение (9.3.48)].
Это интегральное уравнение есть в точности преобразование Фурье
интегрального уравнения для ф, и соответствующий вариационный прин-
принцип может быть получен прямо из (9.4.69), если ввести преобразования
Фурье встречающихся в этом уравнении функций.
Вариационные принципы для поверхностных возмущений. Вариа-
Вариационные принципы, развитые до , сих пор в этом параграфе, касались
объемных возмущений (применительно к уравнению Шредингера или
к рассеянию волн при изменении показателя преломления). Теперь мы
обращаемся к задачам, в которых или граница или граничные условия
таковы, что обычные методы разделения переменных оказываются несо-
несостоятельными. Мы рассмотрим сперва вариационные принципы, основан-
основанные на дифференциальной форме, ограничившись для начала задачами,
в которых возмущена граничная поверхность, а граничные условия
остаются однородными условиями Неймана или Дирихле. Мы уже пи-
писали вариационный принцип для /с2, в котором варьируемой величиной
является [к2]:
[А;3] = С (V<b)advA №dV, (9.4.70)
причем мы особенно подробно останавливались на уравнении Гельмгольца.
Наши замечания могут быть, однако, легко распространены и на более
общий случай. Функции сравнения, которые можно подставлять в [к'2],

128 Гл. 9. Приближенные методы
должны быть определенного типа, что можно видеть при образовании
вариации [Л-2]:
\ оф (Т2ф + кЧ)dV - <? -|t Ц dS = U.
Мы замечаем, что если д'Ъ/дп =0, то для ф немедленно получается ска-
скалярное уравнение Гельмгольца. Для условий Дирихле оно получается,
только если ёф = 0 на S, т. е. если функции сравнения, подставляемые
в [А2], совпадают на S. Это ограничение для более сложных граничных
условий практически бывает трудно сформулировать. Мы поэтому при-
придумаем такой вариационный принцип, в котором функции сравнения
могут быть произвольными, как в случае условий Неймана. Это дости-
достигается тем, что к вариационному принципу (9.4.70) добавляется член,
изменяющий поверхностный член так, что подинтегральная функция ста-
становится пропорциональной ф, а не д<Ь/дп. Легко проверить, что соот-
соответствующее выражение для [к2] имеет вид
?}/J 2йК. (9.4.71)
Теперь в (9.4.71), так же как и в (9.4.70), мы можем подставить любую
функцию сравнения. Уравнение (9.4.70) соответствует однородным усло-
условиям Неймана, а (9.4.71) применяется в случае условий Дирихле. Эти
два уравнения приобретают более симметричную форму, если приме-
применить теорему Грина. Они принимают вид
(условия Неймана) (9.4.72)
[к2] = | - \ фТ2фЛ~ — <§ ф ^-ds}/{ ^dV (условия Дирихле). (9.4.73)
Эти выражения можно теперь употреблять в обычном вариационном
способе, уже неоднократно описанном. Если, например, в одномерной
задаче, в которой условия Дирихле удовлетворяются при х=0 и ж=1,
пробная волновая функция sin (xx) (х — вариационный параметр) под-
подставлена в (9.4.73) и полученное выражение продифференцировано по х.
то наилучшие значения х получаются при sinx, равном нулю. Мы можем
также получить пертурбационную формулу первого порядка, выведенную
в § 9.2, используя нормализованные решения <р уравнения Гельмгольца
я уравнениях (9.4.72) и (9.4.73):
к2 ~ Ц + <? <р -J dSj ^ ?2 dV ~ к% + § 9 |J- dS (условия Неймана),
к2 ~ fcj- — CD <p -~ dS (условия Дирихле).
В случае смешанных граничных условий, (д<Ь/дп) -\- /i|» = 0, соответствую-
соответствующей варьируемой величиной, в которой функция сравнения произвольна,
является
[/с2]= И (V<bfd
После варьирования это выражение дает

9.4. Вариационные методы 129
В симметричной форме, аналогичной (9.4.72),
[**]= j -^^V^dV + ^f^dSJj^^dV. (9.4.74)
Подставляя сюда невозмущенпую пронормированную волновую функ-
функцию <р, получаем
Вариационный принцип, основанный на интегральном уравнении
для граничных возмущений. Интегральные уравнения для ф при раз-
различного рода граничных условиях были выведены в § 9.2 [см. уравнения
(9.2.4), (9.2.16), (9.2.22) и (9.2.47)]. Простейшим случаем для настоящих
рассмотрений является случай смешанного граничного условия. Проведем
для иллюстрации одно из них. Уравнение имеет вид
(9.4.75)
где Gk — функция Грина, удовлетворяющая однородным условиям Ней-
Неймана. Параметр к слишком основательно спрятан в Gk и /, чтобы для
него можно было получить явный вариационный принцип, исходя из
уравнения (9.4.75). Удобнее принять /с2 за известную величину, а вели-
величину / использовать в качестве собственного значения. Чтобы сделать
этот подход более явным, положим
Тогда вариационный принцип для (j. состоит в том, что вариация [ц]
полагается равной нулю, где
&ty*{S)F(S)dS
(9-4Л6)
-— §> ф Ф (S) F (S) Gk (S | SB) F (So) ф (So) dS dS0
Для того чтобы сопряженная функция равнялась ^> существенно,
конечно, что Gh симметрична по S и So. Этот принцип дает ц как функ-
функцию от к, что соответствует акустической задаче о том, какое количество
вещества данного вида необходимо для получения данного поглощения.
Чтобы получить резонансную частоту и поглощение для данного распре-
распределения вещества, необходимо найти — путем интерполяции, например,—
обратную функцию А = А(|а) из |л= р(к).
Интегральное уравнение для возмущений в граничной поверхности,
скажем в случае, когда 'i удовлетворяет однородным условиям Неймана,
имеет вид
Ядро dGk/dn0 не симметрично. Чтобы сделать его симметричным, возьмем
от обеих частей равенства производную д/дп. Имеем
1$п = 0.
дп дп0
Отметим вновь [ср. уравнение (9.2.18) и далее], что d2Gk/dndn0 следует
вычислять осторожно, не разрешая переменной г приближаться к поверх-
поверхности S при вычислении производной по второй переменной. Это вычис-
вычисление в соответствии с нашими прежними рассуждениями можно провести
9 Ф. М. Морс и Г. ФешСах

130 Гл. 9. Приближенные методы
непосредственно, сделав подстановку
Gft-*rft = Gll-G0. (9.4.78)
Интегральное уравнение принимает тогда вид
o-O. (9.4.79)
Величиной, вариация которой равна нулю, будет интеграл
S. (9.4.80)
При варьировании величина к2 (или величина возмущения) остается
произвольной. Вариационные параметры в функции сравнения выбираются
так, чтобы б/ = 0. Затем уравнение (9.4.79) решается относительно к2.
В более простых случаях, рассмотренных ранее, для А;2 можно получить
явное решение, так что вариационный интеграл не зависит явно от к2.
К сожалению, это не имеет места в рассматриваемой задаче. Взамен
необходимо совместно решать уравнения (9.4.79) и б/ = 0. Мы не будем
рассматривать случай условий Дирихле, так как интегральное уравнение
(9.2.64) не отличается существенно от уравнения (9.4.79).
Рассеяние поверхностями. Можно разработать вариационный метод
для рассеяния таким объектом, на котором ф удовлетворяет однородным
граничным условиям. Рассмотрим сначала условия Неймана. Тогда
интегральное уравнение для ф имеет вид
где А— постоянная, Iq — вектор в направлении распространения падающей
волны, имеющий длину к, и R=\r — r0 |, где г0 находится на рассеива-
рассеивающей поверхности. Мы можем сделать это уравнение однородным, выра-
выразив А через амплитуду рассеяния. Для больших г
где ks —вектор длины к в направлении рассеяния. Амплитуда рассеяния
/ равна
Решая это уравнение относительно А и подставляя результат в уравне-
уравнение для ф, получаем
(9.4.81)
Для образования вариационного принципа для •!> это уравнение не-
неудобно, так как ядро интегрального уравнения не. симметрично. Как
и раньше, возьмем нормальную производную от обеих частей равен-
равенства (9.4.81) и вычислим ее значение на S. Тогда будем иметь
(9-4.82)

9.4. Вариационные методы 131
Мы снова отмечаем, что при вычислении (d^/dndno)(eihR/R) сначала
вычисляется нормальная производная, скажем, по п0 при г, не лежащем
на S, а затем берется производная по п. Теперь можно получить вариа-
вариационный принцип для Т. Мы требуем, чтобы 6[Т} = 0, где
&
(no.k.s) ф (SB) dS0
Выполняя варьирование по Ф, мы получаем интегральное уравнение для ф.
Как и следовало ожидать,
Ф = Ф(-кв). (9.4.84)
Другими словами, сопряженное решение является решением первона-
первоначальной задачи, но только падающая на рассеиватель волна имеет
направление— ks. Снова получается, что Т (ks |ke)= T ( — kt | — ks).
Подобным же образом получается вариационный принцип для Т,
когда на поверхности рассеивателя удовлетворяются условия Дирихле.
Мы находим, что [Т] выражается формулой
[Т] = - ± ^-Т JL- • (9.4.85)
1 С С d<h elkR dii K
Т- Ф Ф -t- -V- -IT- dS dS<>
«и if J дп Я дп0
Здесь (j) снова выражается формулой (9.4.84).
Мы замечаем, что оба вариационных принципа (9.4.83) и (9.4.85)
содержат соответственно значения ф и д*Ь/дп только на поверхности.
Поэтому необходимо получить волновую функцию сравнения, которая
бы приближала ф или д'Ь/дп только на поверхности S. Примеры, содер-
содержащие эти вариационные принципы, так же как и весьма близкие
к ним для диффракционных задач, разбираются в § 11.4.
Вариационный принцип для задач излучения. Физическая ситуация
выражается здесь неоднородным граничным условием, в котором или
нормальная производная от ф или величина ф задана на поверхности
излучающей системы. Здесь мы рассмотрим пример, в котором ф удовле-
удовлетворяет уравнению Гельмгольца и задана нормальная производная ф на
поверхности S- В акустике это соответствует нормальной скорости сжа-
сжатия, которая, конечно, синусоидальна по времени. Интегральное уравне-
уравнение получается сразу. Мы будем исходить из общего соотношения
eihR 9Ф 9 f eihR
Подставив заданной значение д'Ъ/дп, которое мы обозначим через
мы получим
Для простоты выберем N действительным. Чтобы получить интегральное
уравнение с симметричным ядром, мы вычислим нормальную производ-
производную д'Ъ/дп, так что
- N W+-w § N W ж {^
9*

132 Гл. 9. Приблимсенные методы
Левая часть этого равенства является известной функцией, которую мы
обозначим через <р, а уравнение (-9.4.87) является, таким образом, неодно-
неоднородным интегральным уравнением.
Функция <р противоположна по знаку разности между фактическим
значением нормальной производной N и нормальной производной, вычи-
вычисленной из первого приближения для ф, полученного из уравнения (9.4.86),
если отбросить второй член. Обозначая эту последнюю нормальную про-
производную через TV', мы имеем
N. (9.4.88)
Физически интересной величиной является излучаемая мощность, которая
пропорциональна мнимой части интеграла ф ф/V dS, как указано в фор-
формулах C.3.15) и A1.2.27). Однако для действительных N она пропор-
пропорциональна также fo&NdS. Действительной части ш tyN d$ также можно
дать интерпретацию, так как дробь §/(дй>/дп) пропорциональна акусти-
акустическому импедансу. Следовательно, действительная часть выражения
пропорциональна «реактивной» мощности, т. е. мощности, которая не поки-
покидает излучающую систему, навсегда уходя в бесконечность, а возвращается
к излучателю, влияя тем самым на характер излучения.
Варьируемая величина /, которая должна быть стационарной, может
быть найдена по общему методу для рассматриваемых неоднородных инте-
интегральных уравнений, как это показано в начале этого параграфа. Из урав-
уравнения (9.4.8) мы имеем
Вариационный принцип состоит в том, что о[/]=0. Теперь мы исследуем
величину / для точного Ф. Из уравнений (9.4.87) и (9.4.88) имеем
/ = <? фт dS; J = <? ф (Л''0' - Л') dS. (9.4.90)
Мы можем преобразовать это выражение дальше, используя определе-
определение /V@):
\Г@) ,7 С
Применяя уравнение (9.4.86), имеем
& Шт dS = — &&N(S)^w-N (So) dSdS0 - <? фЛ"dS.
Следовательно,
ibJ? л
/Vdi'. (9.4.91)
Поэтому мы можем заключить, что формула (9.4.89) является осно-
основой вариационного принципа для <§>CfNdS. Этот результат побуждает нас

9.4. Вариационные методы 13S
ввести подлежащую варьированию величину [К], такую, что К= ф tyN dSi
(9.4.92)
I -I ~ 2 1 (* (• d2Gi, "¦
N (S)~-N(S0)dSdS0,
где о [К] = 0.
Вариационно-итерационный метод. Вариационные методы, описанные
выше, не дают простого способа оценки точности получающихся резуль-
результатов. Вообще, при их применении просто увеличивают гибкость волновой
функции сравнения, вводя дополнительные вариационные параметры
и наблюдая сходимость интересующей нас величины с изменением числа
этих параметров. В принципе такой метод должен привлекать бесконеч-
бесконечное число параметров, так как уверенность в ответе есть только тогда,,
когда используется вся полная система функций в качестве волновых
функций сравнения в вариационных интегралах. Вариационно-итерацион-
Вариационно-итерационная техника, которую мы рассматривали в § 9.1 (стр. 29 — 34),
не только обеспечивает оценку ошибки, давая как верхнюю, так и ниж-
нижнюю грань варьируемой величины, но дает также и способ систематиче-
систематического улучшения волновых функций сравнения. Так как мы уже рас-
рассматривали эту технику, то здесь мы остановимся лишь на ее существен-
существенных особенностях и дадим доказательства некоторых теорем, которые были
отложены, пока мы разбирали вариационные задачи.
Мы будем снова употреблять для описания результатов формальный
операторный язык, ограничившись сначала положительно определенными
самосопряженными операторами. Пусть
<5?ф = Хг#ф. (9.4.93)
Итерационный процесс состоит в следующем. Пусть <р„— исходная волно-
волновая функция сравнения. Ее можно получить одним из тех вариационных
методов, которые были описаны в этом параграфе. Первой итерацией ipt
будет
и вообще и-я итерация выражается через (п—1)-ю по формуле
1. (9.4.93')
Мы предполагаем при этом, что X'1 Ж - интегральный оператор,
поскольку процесс интегрирования, зависящий от многих значений ?„_-,,
вообще говоря, действует в сторону улучшения волновой функции, так
что <р„ меньше отличается от ф, чем <рп_г В более общих терминах, X
и сМ должны быть такими, чтобы возможные значения X были ограничены
снизу и простирались до + со. Если бы мы были так неуклюжи в своих
построениях, что появилось бы 1/Х вместо X, то спектр должен был бы
располагаться от нуля до некоторого максимального значения, и сходи-
сходимость итерационного процесса была бы соответственно слабее.
Качественную картину итерационного процесса можно получить сле-
следующим образом. Пусть собственными функциями уравнения (9.4.93)
б Хп и соответствующими собственными значениями будут Хп:

134 Гл. 9. Приближенные методы
Эти функции образуют полную ортогональную систему, по которой мы
можем разложить ср0:
со
— У
р=0 Р Р
Мы немедленно находим, что
ф =У f?y
Тп /J , п /.р"
Теперь можно видеть, что последовательность срГ1 сходится к хо> если Хо
меньше чем Хг Сходимость тем лучше, чем больше отношение Xj/X0.
Если имеет место вырождение, т. е. Хо = Х1? то тогда <рп сходятся к линей-
линейной комбинации х0 и Хг
Различные итерации можно подставлять в два вариационных выраже-
выражения для X, данные в (9.4.8) и (9.4.13). При этом получаются следующие
приближения для Хо, если в качестве функции сравнения используется <рп:
}(п) __ I Тп-Утп dV ^ I 4nM^xdy ^ (9.4.94)
av ^ (9.4.95)
dV
Причины особого выбора верхнего индекса для Хо в (9.4.95) вскоре станут
ясны.
Ввиду формы выражений (9.4.94) и (9.4.95) удобно ввести символ
[п, т\:
[n,m)=^?n<M?mdV. (9.4.96)
Величины Х^п) и х^"+1/2> можно выразить через эти матричные элементы:
Отметим, между прочим, что
[в, m] = [m, n] = [n-s, m + s], (9.4.98)
где s целое.
Мы можем теперь показать, что Xj , включая как целые, так и полу-
полуцелые значения а, образуют монотонную последовательность уменьша-
уменьшающихся величин, приближающихся к точному собственному значению \
сверху, т. е.
Х(ои> >Х@"+1/2) > Х(сГ+1) > ... >Хо, (9.4.99)
Условие в (9.4.100) включено для того, чтобы обеспечить наличие состав-
составляющей по Хо в первоначальной функции сравнения. Если этого нет,
то последовательность Х(оп> будет сходиться к \ — второму собственному
значению уравнения (9.4.93). Неравенства (9.4.99) следуют из неравен-
неравенства Шварца A.6.31), которое можно получить из положительной опре-

9.4. Вариационные методы 135
деленности X и сМ. Мы имеем
и аналогичное неравенство, если здесь заменить <М на X. Функции ф и х
произвольны. Если мы возьмем <р„ за ф и <рп-г за Ъ то неравенство Шварца
ввиду положительной определенности оМ приводит к неравенству
Х@п-1/2)>Х@п). (9.4.101)
Аналогично, на основании положительной определенности X неравенство
Шварца дает
Комбинация этих двух неравенств немедленно приводит к (9.4.99).
Соотношение (9.4.100) мы докажем от противного. Отметим, что это
доказательство не вытекает непосредственно из вариационного принципа,
пока не доказана полнота системы <рп. Итак, предположим> что после-
последовательность Х(оа> ограничена снизу величиной v, не равной Хо и (на осно-
основании вариационного принципа) большей, чем Хо. Покажем теперь, что
это предположение противоречит поставленному требованию, чтобы
Рассмотрим функцию
/= 2 (*„)" W (9.4.101')
тк=0
Этот ряд сходится в среднем, если v > Хо. Это следует из ограниченности
^ Ш dV:
Это неравенство является частным случаем неравенства Бесселя A.6.32).
Согласно критерию сходимости Даламбера, этот последний ряд сходится, если
(ko)n*l[n+2, n+2]i/Z ^ .
- < 1 при п—> оо,
или
л!
< 1 при п—> со.
Ввиду нашей гипотезы это условие имеет место, так как Х@п+3/2) и х[,п+2)
оба больше числа v, которое в свою очередь больше Хо. Следовательно,
ряд (9.4.101') сходится в среднем.
Ввиду сходимости ряда можно теперь вычислить
при помощи перегруппировки членов ряда. Мы видим, что
•Ja(X-\^)fdV = Ot

136 Гл. 9. Приближенные методы
что противоречит условию в (9.4.100). Следовательно, предположение,
что v отличается от Хо, неверно, поэтому Хоа) приближается к Хо сверху
и имеет Хо своим пределом; это указывает на то, что в принципе (т. е.
если можно осуществить все интегрирования и если взять достаточно
итераций) вариационно-итерационный метод даст достаточно точный ответ.
Нашей ближайшей задачей будет оценка скорости сходимости и опре-
определение нижней границы для Хо, которая совместно с верхними грани-
границами, даваемыми членами последовательности Хоа), указывает ошибку
в методе, так как Хо должно лежать между верхней и нижней границами.
Нам уже известно, что сходимость улучшается при уменьшении отноше-
отношения Х0/Хг Более точная количественная оценка будет следовать из рас-
рассмотрения неравенства
Ь A - МЗЕГ^ «^ A - %~1<S\) cpj dV > 0, (9.4.102)
где <р произвольно. Это неравенство, как мы сейчас покажем, является
следствием вариационного принципа. Заметим, что оператор
положительно определен, так как неравенство
- \Х~\Щ <pdV>0
вытекает из вариационного принципа для Хо,
Мы можем поэтому ввести несингулярный оператор, равный квадрат-
квадратному корню из A — \S6~xa?~). Отметим, кроме того, что функция
j — ХоX~гз$ <р ортогональна к функции х0 и годится поэтому в качестве
функции сравнения в вариационном принципе для Хх. Следовательно,
I (V 1—1.ъзе^Жс?) пМ (Y\—\йх-1еА1 ) v
Мы можем существенно упростить как числитель, так и знаменатель
этого отношения. Проиллюстрируем это на числит^.!'» который ввиду
самосопряженности X и оМ> можно записать в виде
\ оМ VI -\Х~хм\ (р dV.
Кроме того,
= <М VI - \^\М . (9.4.103)
Это легко показать, если обе части равенства разложить в степенной
ряд; например, общий член разложения в степенной ряд левой части
можно записать так:
Подстановка (9.4.103) в числитель дает

9.4. Вариационные методы 137
и тогда неравенство для Хх принимает вид
последнее неравенство совпадает с (9.4.102).
Несколько более простое и соблазнительное доказательство, содер-
содержащее, однако, бесконечный процесс, получается, если подставить вместо-
<р его разложение по членам полной ортогональной системы у_т, которую
мы в соответствии с нашими целями пронормируем следующим образом:
Если
оо
то
что, очевидно, больше нуля.
Если мы подставим теперь в неравенство (9.4.102) <рп вместо <р
и используем определение (9.4.96), мы найдем, что
[п, п]-(\ + \)[п+1,
или, разделив на [п+1> п+1], что
Х(п+1/2)^+1) _ (Xi + к) Хо(„+1) + x^Xi > 0_ (9.4.104)
Такое же неравенство, только с увеличенными на 1/2 всеми верхними
индексами, следует из неравенства
[<р A - сМХ-1^) ЛХ-Х<М A - X0<3rV//) у] dV > 0. (9.4.105)
В этом можно убедиться почти таким же путем, как в случае неравен-
неравенства (9.4.102). Например, выражение для интеграла через коэффициенты
разложения <р по хр будет таким:
Мы используем неравенство (9.4.104) сначала для получения оценки
скорости сходимости, так как члены в неравенстве можно сгруппировать
следующим образом:
ИЛИ
Это неравенство прямо показывает, что X(ori+1) ближе к Хо, чем Xf,n+1/2), при-
причем отношение их расстояний до Хо меньше величины X^'tyx^ которая
для достаточно больших п близка к Хо/Х1. Поэтому отношение X0Ai
является верхней гранью скорости сходимости, к которой эта скорость прибли-

138 Гл. У. Приближенные методы
жается с увеличением п. Это можно видеть прямо из разложения
в ряд <рп и, наконец, Х(оп). Если Х2 существенно больше Хо, то сходимость
очень быстрая. Она плохая в случае, близком к вырождению, когда
ХО~ХГ В этом случае для того, чтобы сделать процесс более эффектив-
эффективным, применяется следующая специальная техника (она применима, даже
когда Хо < Х1; так как дает метод экстраполяции на точное значение).
Экстраполяционный метод. Предположим, что итерации продвинуты
так далеко, что <рп является линейной комбинацией собственных функций
Хо и Xi> так что Дальнейшие итерации должны привести просто к посте-
постеленному исключению jq. Это, конечно, медленный процесс, если Хо са Xv
Положив тогда
мы можем вычислить последовательные итерации
•Pn-i = (Хо/\>) + * (XiAi). <Р«+2 = (Хо/Ч) + Ь fa/Xj).
Из этих волновых функций мы можем получить величины Xq+ , Хц +
ш }S"+3/2\ которые мы теперь запишем в. предположении, что b2 <g 1:
Х(оп+1) ~ Хо
Эти формулы явным образом показывают, что сходимость Хоа) к Хо
определяется отношением \/\- Заметим также, что три написанных выше
равенства можно рассматривать как три уравнения с тремя неизвестными
Хо, Ь2~к0 [1 — (Xq/XJ] и Хц/Xj, так что из них можно найти Хо. Так как это
замечание относится к любой величине, которая является отношением
двух билинейных функций от Ф, то мы сможем записать результат этой
экстраполяции довольно общим образом.
Пусть F10', Fm и F™ — члены последовательности, сходящейся к вели-
величине F, которая получается, как и Хо, методом итераций. Например,
^@) = >(п+1/2))/;тA):=х(Г+1I/;,B) = х(Г+3/2)_ Следуя сказанному выше и счи.
тая, что итерации на стадии Fm достаточно далеко продвинуты, мы можем
предположить, что
где / — ошибка на стадии i*40', а е — параметр, определяющий скорость
сходимости. — есть Xj/Xj. Отсюда можно найти F:
р = рч» _ |[/?<о) _ pcn^lypm _ 2р™ + F12"]}. (9.4.107)
Если имеются два множества чисел F'n) и Gm\ зависящих от е одинако-
одинаковым образом, то можно получить е из одной последовательности и исполь-
использовать для экстраполяции другой, так что
F = F«?-> _ {[р(°-> — ^A)] [G(m — G'u]l[Gm — 2Gm + G'2)]} (9.4.108)
- G<0)]. (9.4.109)
Как мы увидим дальше на примере, экстраполяционный метод обладает
замечательной точностью.
Этот метод можно также использовать для экстраполяции <рп на Хо-
Здесь, однако, за Fm, F™ и FB) следует принять <pn> xo<Pn+i и ХоФп+2'
где Хо можно получить по экстраполяционному методу.

9.4. Вариационные методы 139
Нижние границы для Хо. Неравенство (9.4.104) можно также исполь-
использовать для получения нижней границы величины Хо. Сгруппируем члены
следующим образом:
х0 [\ - хГJ)] - 4п+1) [\ - хГ1/2)] > о.
Если итерации продвинуты достаточно далеко, так что
то
1l(n+l/2)__i(n + l) "I
1- \_^°i) J
Мы снова замечаем, что это неравенство остается в силе, если всюду
заменить п на п+1/2. Можно поэтому заключить, что Хо лежит между
двумя числами, причем точность этого ограничения зависит от близости
между ними, т. е. от малости отношения [X?,n+1/ J —X(on+ tyfXi—-Хоп+ ]•
Мы еще должны найти путь для оценки Хх, но, прежде чем перейти
к этому, отметим, что существует много неравенств, аналогичных (9.4.104),
и что поэтому можно вывести, кроме (9.4.110), много других оценок
снизу для Хо. Какая из них дает лучшее приближение, зависит от кон-
конкретных обстоятельств, возникающих из частных свойств величин М"\
Оценку снизу можно, например, получить из неравенства
> 0 (9.4.111)
Доказательство почти такое же, как для неравенства (9.4.102). Подста-
Подставляя в (9.4.111) 'fn вместо <р, имеем
[», n]-XJn+l, n]-XJ[»+l, п+1] + \Ц[п+1, п+2]>0,
или
X(n+l/2)x(«+t) _ Х
Отсюда вытекает оценка снизу, если Х^ > Х^П+1)Х(,П+3/2 :
Для пользования этой формулой необходимо знать величины трех после-
последовательных приближений Хо, в то время как нижняя граница (9.4.110)
требует знания только двух приближений.
Обратимся теперь к задаче об оценке \. Важно заметить, что оцени-
оценивающая величина должна быть меньше или равна \, но больше Xq + .
При обычном способе применяется следующее соотношение:
= ^ \ 1*fi* (Я^ГХт dV = ^ ц; ¦ (9.4.113)
Это соотношение имеет ценность, потому что нередко след можно вычис-
вычислить непосредственно, как мы увидим на примере, который вскоре рас-
рассмотрим (см. также § 12.3). Из формулы (9.4.113) вытекает, что
m=2

140 Гл. 9. Приближенные методы
Поэтому
X! > l/[Spur(<2rW/J- A/Х02)] > l/[Spur {X^aMf- A/X(on+1)J]. (9.4.114)
Следовательно, правую часть этого неравенства можно использовать
в качестве Хх или в соотношении (9.4.110) или в (9.4.112). Мы можем,
конечно, употреблять следы более высоких степеней Х~хо/Ц, причем схо-
сходимость будет лучше, но зато их значительно труднее вычислять.
Мы должны использовать след по крайней мере второй степени, потому
что след Х~Х<М бесконечен и для двух и для трех измерений.
Другие методы получения грубых оценок для X, (подчеркиваем: гру-
грубых) используют какие-нибудь особенности задачи. Можно, например,
использовать экспериментальные данные. Ниже мы рассмотрим другие
аналитические методы получения нижних границ, которые требуют меньше
или даже вовсе не требуют данных, касающихся Хг
Первый из них, который мы рассмотрим, начинается с изучения
величины
[Р2]
где а — произвольный параметр. Величина [[В2] положительна. Найдем ее
минимальное значение для данного а, полагая о [[В2] = 0. Мы находим,
что <р, для которого р2 стационарна, удовлетворяет уравнению
{о?-хХ - аJ ср = Р2?, или (ag-ije - о - Р) (gz/Г1^ - а + р) 9 = 0.
Мы видим, что р2 равно (Хп —аJ для тех 9> для которых р2стационарна.
Для того чтобы наименьшее из этих стационарных значений получалось
при ХП = ХО, мы требуем, чтобы
t(Xo + Xi). (9.4.115)
и тогда наименьшее значение [В2 будет равно (а —Х0J. Следовательно,
для а, удовлетворяющего неравенствам (9.4.115),
(а-Х0J<
Если мы положим 9 равным 9n+i> эт0 неравенство примет вид
(а - Х0J<а2-2аХ(п+1) + Х<Г+1/2)Х<П+1), (9.4.116)
или
л0 ^ a — у a — /.ало -f- Aq
или же
(9.4.117)
Неравенство (9.4.116) и нижняя граница (9.4.117) являются обобщениям
неравенств» (9.4.104) и (9.4.110), в чем можно убедиться, подставив
а = (Хо + XJ/2 в (9.4.116). Кроме того, так как нижняя граница (9.4.117)
является монотонно возрастающей функцией от а, то наилучшая оценка
нижней границы получается при значении а = (Хо + Х1)/2, которое в соот-
соответствии с (9.4.115) является для а максимальным значением. Следова-
Следовательно, нижняя граница (9.4.110) является наилучшей нижней границей.

9.4. Вариационные методы
141
[n+1, n] I Vn+i-X'yn+idV
¦которую можно получить с помощью только что проведенного анализа.
Его основное значение состоит в отсутствии явной зависимости от Хг
Нам необходимо только грубо знать положение Хг чтобы быть уверен-
уверенными, что выполняется неравенство (9.4.115).
Прежде чем перейти к следующему виду нижней границы, который
довольно сильно отличается по своей природе от рассмотренного выше,
следует указать на другую трудность при использовании нижних границ,
данных выше в неравенствах (9.4.110) и (9.4.117). Она состоит в необхо-
необходимости вычислять Х~хо/Я,^п. Не всегда легко получить оператор, обратный
к X, и поэтому важно показать, что нет необходимости делать это, если
только не требуется получить более точную оценку для Хо.
Однако имеется возможность заменить задачу отыскания
на задачу отыскания аМ~х- Эта последняя часто значительно проще, так
как <М часто бывает константой или функцией координат, а не дифферен-
дифференциальным оператором. Процедура состоит в следующем. Предположим,
что мы нашли (вариационным или другим методом) оценку для ^0.
Назовем эту оценку <рп+1. Как вытекает из (9.4.93'), <рп+] и <рп связаны
-следующим соотношением:
Теперь можно выразить Х(,п+1/2) и х?,п+1) через <pn+i и операторы X и
избежав появления v~l-
*—, (9.4.118)
(9.4.119)
В этих выражениях, как было указано, появляется только известная
функция <рп+1- Частная форма нижней границы, указанная в (9.4.117),
вместе с равенствами (9.4.118) и (9.4.119) может быть использована
для получения нижней границы энергии атома гелия в основном состоянии.
Метод сравнения для нижних границ. Несколько иной метод полу-
получения нижних границ основывается на теоремах сравнения, вполне, ана-
аналогичных теоремам, употребляемым в
штурмовской теории дифференциаль-
дифференциальных уравнений (см. § 6.3). Физиче-
ский смысл этого метода очень про-
простой. Пусть нужно решить уравнение
Шредингера с потенциалом — U (х).
Мы будем сравнивать собственные
значения этой задачи с собственными
значениями, которые можно вычис-
вычислить точно и для которых потенциал
— U' (х) всюду больше U, как пока-
показано на рис. 9.20, где мы изобразили
два возможных потенциала сравнения
и[(х) и U'2(x). Из физических сооб-
соображений ясно, что энергия основного
состояния как для U[, так и для U't Рис. 9.20. Потенциальная функция I/(*)
будет ниже, чем для U (х), и явля- и сравниваемые с ней функции U[ и Х1'„,
ется поэтому нижней границей для удовлетворяющие условию U'JJ[k
последнего случая. <U(x) для всех ж.
U(x)

142 Гл. 9. Приближенные методы
Сформулируем теперь этот принцип сравнения в более точной форме.
Пусть
где
\t!>G/#'4»dF>\ tyMiidV (9.4.120)
для любого ф. Мы хотим получить нижнюю границу для Хо, первого
собственного значения «нештрихованной» задачи, с собственной функ-
функцией Хо- Из вариационного принципа для Х^ имеем
>;<
или
^о ^ ^о \ Хо^Хо dV I V Хо^Хо dV.
Из неравенства (9.4.120)
\>К- (9.4.121)
Общая пригодность этого метода получения нижних границ зависит
от возможности точно сформулировать разрешимую задачу, удовлетворяю-
удовлетворяющую неравенству (9.4.120). Чем ближе задача сравнения к исходной
задаче, тем ближе значение нижней границы к Хо. На рис. 9.20 мы пока-
показали два возможных потенциала сравнения для одномерного уравнения
Шредингера. Аналогичные возможности имеются и в трехмерных зада-
задачах. Для уравнения Шредингера в задаче о многих частицах можно
получить задачи сравнения, отбросив взаимодействие между частицами,
если они отталкиваются, или заменив его осцилляторным потенциалом,
если они притягиваются. Применяя такой способ, можно также полу-
получить следующие грубые границы для Хо:
min (e#<pn_i/o#<pn) < Хо < max (p/flfr^JeM^^, (9.4.122)
где под min и max мы понимаем наименьшее и наибольшее значения
отношения этих функций.
Обозначим минимальное значение отношения 36<рп/е/Жуп через X, а мак-
максимальное через X. Тогда <рп должно удовлетворять вариационному
принципу о [X] = 0 и о [X] = 0, где
[X] = \ у%<? dvl { ф#<р dV, \М=\ <?<%<? dVJ \ <p gJly dV
и предполагается, что fug- положительные функции, которые везде
обязательно больше и соответственно меньше единицы. Они соответственно
равны «S^pn/Xe$yn и X фп/Хе#<рп.
Так как / больше единицы, то если у0 использовать в качестве
пробной волновой функции, немедленно получается, что
V = \.
Это доказывает теорему, так как %<?п1'е$<рп равно как раз
Вторая часть неравенства (9.4.122), относящаяся к X, может быть
доказана на основании вариационного принципа для Хо:

9.4. Вариационные методы
143
Заметим, что эта теорема, как доказано, имеет место только, когда
о#(рп_1/о#срп является положительной функцией. Это почти всегда случай
колебаний наинизшего тона, которые вообще не имеют узлов.
Аналогичный вид нижней границы собственного значения можно
получить для задач, содержащих возмущение гранип. Например, можно
ожидать, что резонансная частота для круглой области, изображенной
на рис. 9.21, будет больше, чем соответствую-
соответствующая частота для описанной области. Это заме-
замечание можно уточнить для условий Дирихле,
используя вариационный принцип (9.4.70). Пусть
собственным значением, которое соответствует
вписанной области, будет к2, а соответствующей
волновой функцией ф. Собственным значением
для описанной области пусть будет (А;'J. Тогда
в вариационный принцип для (к'J мы подста-
подставим в качестве пробной функции функцию ф,
полагая ее равной нулю в области между двумя
границами. Теперь из равенства (9.4.70) немед-
немедленно следует, что Рис 921 Сравнение ре.
зонансных частот для двух
1 dV = к , различных границ.
или
к2>(к'J.
(9.4.123)
Можно было бы добавить, что так как само к2 должно быть меньше,
чем соответствующая величина для области, содержащейся внутри перво-
первоначальной границы, то для области, имеющей объем (площадь), одина-
одинаковый с объемом исходной области, к2 будет довольно близким к точ-
точному значению. Например, если граничная окружность имеет радиус а,
то длина стороны равновеликого квадрата будет равна а ~\/~ъ. Величина
/с2 для состояния с такой же симметрией, как круговая симметрия
для круглой области, равна
k2 = 2{%/V™J, или (каJ = 2ъ,
что является неплохим приближением к точному значению, равному
5,7832.
Пример. Прежде чем продолжать применение вариационно-итера-
вариационно-итерационного метода к задачам другого типа, разберем поясняющий пример.
Рассмотрим еще раз колебания круглой мембраны радиуса а, снова
касаясь подробно колебаний наинизшего состояния с круговой симмет-
симметрией. Соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид
где х = кг и \ = (каJ. Положительно определенными операторами X и о/К
являются операторы
rf2 d
dz2 ' dx
а оператор 3TxafC- равен

144 Гл. 9. Приближенные методы
как это можно видеть из интегрального уравнения (9.4.46). Функция
Грина написана после уравнения (9.4.47). Мы полагаем фо=1— ж2
и итерируем, получая
90 = 1 — ж2,
^ = -^-C-4** + **),
<ря = [1/A6-576)] A9- 27жа + 9ж4 - ж6).
Элементы [п, т] можно теперь быстро подсчитать и получить следующие
значения Xf:
Х"» = 6; ХA/2) = 5,818182; Х^ = 5,789474; Х&з/2)== 5,784355. (9.4.124)
Сравнивая их с точным значением 5,783186, мы видим, что Х<3/2) имеет
ошибку всего около 1/5000. Конечно, на практике мы при оценке ошибки
должны полагаться на нижнюю границу (9.4.110). Нам нужна для этого
нижняя граница для \, которую можно получить из формулы (9.1.114).
¦След (X^cMY выражается интегралом
1 1
Spur {Х~гсМJ = \ \ Gk (х01 х) х Gh (х | х0) х0 dx0 dx=-^-.
о о
¦Следовательно, Хх больше 27,2126. В действительности Хх равно 30,4713»
Подставляя эту нижнюю границу для Х2 в нижнюю границу (9.4.110),
мы получаем
5,782972<ХО< 5,784355.
Мы можем улучшить этот результат, используя экстраполяционный
метод согласно формуле (9.4.107). Это дает величину 5,783244, которая
имеет относительную ошибку всего в одну стотысячную.
Другие примеры на вариационно-итерационный метод будут приве-
приведены в гл. 12.
Не положительно определенный оператор X. Мы сохраним предпо-
предположение, что о/М — положительно определенный оператор, а ^ — самосо-
самосопряженный. Задачи такого типа возникают при применении вариационно-
итерационного метода к определению сдвига фазы при рассеянии. Как
можно видеть из соотношения (9.3.35), ядра интегрального уравнения
содержат синусоидальные функции, которые принимают как положитель-
положительные, так и отрицательные значения. В некоторых задачах, например
в задаче об энергии связи дейтрона с включением тензорных сил, ?
является положительно определенным оператором, а <М — нет. Результаты
в этом случае вполне аналогичны результатам, изложенным здесь.
При упомянутых выше предположениях собственные значения Хп дей-
действительны, но могут принимать как положительные, так и отрицатель-
отрицательные значения, т. е. спектр собственных значений не ограничен теперь
в обоих направлениях. Расположим собственные значения в порядке
возрастания их абсолютных величин: Хо, Х1? .... Кроме того, выберем
знак у X так. чтобы Хо было положительно. Итерационную процедуру
(9.4.93') и определения x[,n) и Xq"+1;2) выражениями (9.4.97) можно
построить, как прежде. Однако теперь нео&ходимо пересмотреть теоремы,
относящиеся к последовательности Xq , выраженные в соотношениях
(9.4.99), (9.4.100) и следующих.
Некоторые сведения можно получить, преобразуя исходную задачу
(9.4.93) на собственные значения таким образом, чтобы получить задачу,

9.4. Вариационные методы 14>
в которой все операторы положительно определены. Простейшей из таких
задач является задача
[%<М-1Хуъ = ~к*<МЬ- (9.4.124')
Теперь можно применять целиком все предыдущие теоремы для поло-
положительно определенного случая. Последовательными приближениями к у^0,
начиная с ф0, являются ср0, ф2, ..., ср2п. Следовательно, величины, соот-
соответствующие х?|И) и ).[in+1/2) и полученные подстановкой <р2п в вариационные
принципы для Хо, соответствующие (9.4.94) и (9.4.95), имеют вид
, х<"+ *'2> _» x<2n+1/2V02n+1).
Их можно теперь подставить в соотношения (9.4.99) и (9.4.100), что дает
> > Х2; (g Л
если
Теперь можно установить аналог неравенства (9.4.104), откуда получаются
критерий сходимости и нижняя граница. Сходимость регулируется вели-
величиной (X0/XjJ следующим образом:
хBп+1/2)хBп+1)_х2 ¦** К2
а нижняя граница (9.4.110) приобретает вид
хBп+1/2ЬBп+1) iBn+3/2)xBn+2)
Х2 ^ хBп+3/2)хBп+2) Г J _ ^0 Л0 ~~Л0 К0 1
Важно отметить, что сходимость зависит от абсолютной величины отно-
отношения Хо/Х1. Таким образом, если существуют два собственных значения,
которые равны по величине, но противоположны по знаку, то сходимости
не будет, потому что итерированная задача (9.4.124') имеет вырождение.
Ясно, что указанные выше соотношения не дают нам исчерпывающих
сведений. Это легче всего увидеть, если соотношения (9.4.125) выразить
непосредственно через Х(,а) (используя <р1? <р3> • • • наряду с <р0, <р2, ...):
ХГ )/2)Х(оп) > ХГ 1/2Ч"+1) > ¦ • • > X2,, (9.4.126)
Х(п-1/2)Х@п) _^ Х2; если Г ZoQ#cpo dV ф Q
n-?-oo J
Поведение индивидуального Х(оа), или, что равносильно, произведения
Х<")}ч(*1+1/2) не установлено. Поэтому мы обратимся к свойствам индиви-
индивидуальных значений Xq '.
Так как оператор сМ является положительно определенным, то нера-
неравенство (9.4.101) все еще имеет силу:
хГ1/2)>х^.
Комбинируя его с соотношением (9.4.126), мы получаем
ХГ1/2)>ХО. (9.4.127)
Покажем теперь, что последовательность ХеГ~1/2) монотонно приближается
к Хо сверху, если процесс итерации продолжить достаточно далеко, так что
х! > х'0п+1)х[Г+3/2).
10 ф. м. Морс п Г. ФешСах

146 Гл. 9. Приближенные методы
Когда оба оператора были положительны, обе последовательности моно-
монотонно приближались к Хо сверху. В настоящем случае это верно только
для одной последовательности. Доказательство основано на неравенстве
(9.4.111), которое справедливо независимо от положительной определен-
определенности 35. Оно приводит к неравенству
Перегруппировывая члены и используя наше предположение относительно
\\, мы получаем
[Х<Г+3/2)-Х0]/[Х<0"+1/2)-Хо]<Х<Г+1)Х<Г+3/2)/М <1- (9.4.128)
Для того чтобы это неравенство было верным, необходимо, чтобы
Х<п+1/2) >Х<"+3/2>, (9.4.129)
что и доказывает монотонность последовательности Х@п+1/2).
Относительно последовательности Х<0"> такого утверждения сделать
нельзя. Ее поведение может быть весьма неустойчивым; X(on> может быть
больше Хо для одних значений п и меньше Хо для других. Более опреде-
определенное утверждение можно высказать, если процесс итерации продвинут
настолько далеко, что главной частью поправки в <prt является х, • Тогда,
если <pn = Xo + fyi.
Х<Г+1) ~ Хо
Х<0"+2> ~ Хо
Мы видим, что в пределе (т. е. при п —> со) последовательность Х(оп) моно
тонно приближается к Хо снизу или сверху, в зависимости от знака отно-
отношения Х0/Хг Если Хд/Xj положительно, Xq"' приближается к Хо сверху,
если отрицательно — снизу.
Мы можем теперь перейти к обсуждению сходимости и оценке нижнил
границ. Скорость сходимости дается формулой (9.4.128) и определяется,
как было предсказано, величиной (\J\^f. Можно придумать различные
нижние границы, подобные (9.4.110). Некоторые из них мы теперь укажем.
Неравенство (9.4.110) остается справедливым, если Хх заменить его
абсолютной величиной. Это следует из справедливости неравенства
<р A - аМХ1X, \)сМA - ЗГсМ1^) <р dV > О.
Это особенно легко увидеть, если подставить общее разложение для
по функциям хр- Отсюда
Неравенство (9.4.111), очевидно, применимо в настоящей задаче, так как
в него входит только XJ и, следовательно, знак Xf не важен. Из этого
можно сделать тот вывод, что неравенство (9.4.112) сохраняется и для
не положительно определенного X.
Индефинитный характер X приводит как к преимуществам, так и
к недостаткам, как указывалось выше. Например, то, что Х(оп) (п целое)
может быть меньше Хо, позволяет вывести верхнюю границу для Ко, кото-
которая может оказаться меньше Хо"^1' }. Мы исходим из неравенства
<р A + М&~х | X, |) аМ A - \Х'хсМ) <? dV > 0.

9.4. Вариационные методы 147
Полагая ср равным ср^, мы получаем верхнюю границу для Хо:
Во втором примере мы покажем, что если каким-нибудь способом
можно показать, что Хх меньше нуля, то неравенство (9.4.130) можно
улучшить. Действительно, в этом случае справедливо неравенство
<Р A - МЗВГХ | Х2 \)сМ A - ?^<М\) <? dV > 0. (9.4.132)
Если сюда подставить общее разложение ср по функциям yv, то полу-
получится эквивалентное неравенство
Это неравенство приводит к следующей нижней границе:
Г ,(п+1/2)_,(п+1)-|
)-|
г
Нужно, конечно, получить нижнюю границу для Х2. Ее дает следующая
формула, которая является простым обобщением неравенства (9.4.114):
Х| > l/[Spur (iTW - A/Х02) - A/XJ)]. (9.4.134)
Если подставить сюда верхние границы для X2 и XJ, то получится нижняя
граница для |Х2|. Конечно, может быть также применена несколько"более
специальная-процедура, описанная после (9.4.120).
Эти теоремы до сих пор использованы лишь в немногих задачах.
Их, может быть, самым важным приложением является приложение
к интегральным уравнениям для рассеяния, таким, как (9.4.60), в которых
используется как вариационный параметр интенсивность потенциала U,
а -г), задано. Однако конкретные случаи еще недостаточно исследованы.
Вариационные методы для высших собственных значений. Описанные
до сих пор вариационные методы применимы только для вычисления наи-
наименьшего по абсолютной величине собственного значения. Мы обратимся
теперь к задаче применения аналогичных методов к другим собственным
значениям. Большая часть из развитых ранее методов связана с тем.
что волновая функция высшего состояния ортогональна к волновой функции
низшего состояния. Если волновая функция для низшего состояния до-
доступна, то используют волновые функции сравнения, которые ортогональны
к ней Это ведет к определению следующего собственного значения X, и
соответствующей собственной функции у_г Если желают найти Х2, то
используют пробные волновые функции, которые ортогональны к ул и /а,
и т. д. На практике точная функция ^0 обычно неизвестна и требование
ортогональности к приближенной функции не может полностью исключить
Х.о из Функции сравнения. Это приводит к некоторой неизбежной ошибке
в определении Xlf которую мы теперь рассмотрим.
Для этой цели лучше всего подходит вариационно-итерационный метод-.
Мы начинаем с исходной пробной функции ф0, ортогональной к Хо~пРи"
ближению, которое мы получили для собственной функции ул низшего-
состояния. Затем мы итерируем <Ь0, снова ортогонализируем, опять ите-
итерируем и т. д. Если у'о разложить по собственным функциям уп, то вели-
10*

148 Гл. 9- Приближенные методы
чины коэффициентов при всех уп, кроме у0, будут малы:
Приближенное значение Хо, получающееся при подстановке этой функции
в вариационный принцип, отличается от Хо на ДХ0:
ОО
ДХ0~ 2 4K-U (9.4.135)
71=1
Пробная функция, ортогональная к %'о с точностью до первого порядка по sn,
дается выражением
Фо (! пп)й>+ S
71=1 П=1
Если ее проитерировать, мы получим ty'o'-
И=:1 71=1
Ортогонализация к у0 Дает
Ясно, что р-я итерация, ортогональная к у^, имеет вид
п=1 " п=1
Отметим следующую очень важную особенность: отношение коэффициента
при у0 к коэффициенту при уЛ стремится к постоянной, когда число р
итераций возрастает, в то время как отношение коэффициентов при других
функциях уп к коэффициенту при ул стремится к нулю. Подстановка фор-
формулы (9.4.136) в вариационный принцип для собственного значения дает
Возьмем теперь предел этого отношения при числе итераций, стремя-
стремящемся к бесконечности, т. е. когда р—>со. Он равен числу Х^, которое
отличается от Хх:
X; = X1{1-[1-(XO/X1)J3J}. (9.4.137)
Следовательно, существует неизбежная ошибка в определении Х1; которая
остается, даже если проведено бесконечное число итераций. Окончательное
значение Xj меньше X,, причем отклонение пропорционально квадрату со-
составляющей по jq, имеющейся в у^. Можно выразить верхнюю границу
ошибки через ДХ0, так как из соотношения (9.4.135) вытекает, что

О Л. Вариационные методы 149
Поэтому
X^Xl^Xj}, (9.4.138)
так что AX0Aj измеряет максимальное значение возможной относительной
ошибки; этот результат является главным выводом из нашего рассмотрения.
Следовательно, если ошибка в определении Хо достаточно мала, то в по-
получении Xj при помощи описанного выше процесса итераций и ортогона-
лизации трудностей нет. Сходимость итерационной схемы определяется
отношением Xj/X^ В заключение мы выпишем линейную комбинацию <1*п
(функции, получающейся итерацией из <!)„) и у^, ортогональную к Хо'
о- (9.4.139)
Эту процедуру легко приспособить для вычисления Х2 и высших
собственных значений. Как только Х^ (с описанной выше ошибкой) и
соответствующая собственная функция у\ определены, мы выбираем функ-
функцию сравнения, ортогональную к Хо и Xi> итерируем, ортогонализируем
и т. д. Ясно, что по мере перехода к более высоким собственным значе-
значениям неизбежные ошибки будут накапливаться. Кроме того, для полу-
получения какого-нибудь собственного значения необходимо найти все низшие
собственные значения и собственные функции. Мы обратимся поэтому
к другому методу; в нем нет этих трудностей, и он приводит к уравнению,
из которого можно вычислить любое индивидуальное собственное значение.
Метод минимизированных итераций. Описанные выше итерационные
схемы предназначены для выделения одного собственного значения за счет
остальных, так что после нескольких итераций функция сравнения со-
составлена главным образом из одной собственной функции и содержит
поэтому очень малую информацию о других собственных функциях. Мы
разовьем здесь итерационный метод, состоящий в итерационном построении
семейства ортогональных функций, каждая из которых содержит довольно
полную информацию обо всех или о некоторых собственных функциях.
Это семейство образует базис для разложения решения задачи и приводит,
как мы увидим, к уравнению в непрерывных дробях для собственных
значений.
Мы обозначим функции этого семейства через ф„, а первую итерацию
функции ф„ через ф^:
^; = «#Ф„. (9.4.140)
Будут использованы следующие сокращенные обозначения для интегралов,
включающих &ц:
[п, m}=^n*K*mdV, (9.4.114)
(9.4.142)
Пусть исходной функцией сравнения служит ф0. Функция 'Ьг определяется
из условия, что она является линейной комбинацией функций ф0 и ф„,
ортогональной к ф0:
*i = ?о - IP', 01/@, 0}] ф0. (9.4.143)
Функция ф2 определяется из условия, что она должна быть составленной
из ф,', ф1? ф0 и ортогональной к ф, и ф0. Следовательно,
}] ^ (9.4.144)

150 Гл. 9. Приближенные методы
Хотелось бы по аналогии написать подобное выражение для ф3.
Однако, как мы покажем, она и все остальные ф„ содержат только три
члена. Например,
, 2}]ф2-[{2\ 1}/{1, 1}]фг (9.4.145)
Член ф0 умножается на коэффициент {2', 0}/{0, 0}, который равен нулю,
потому что
{2', 0} = ^ («5Г'о^фгМФо dV = { ф^^Г^ф,, dV = {2, 0'}.
А так как функция ф^ может быть выражена из равенства (9.4.143) через
•!)j и ф0, которые обе ортогональны к ф2, то {2, 0'} равна нулю. Вообще,
мы находим, что
ф- = * -&3*. - (ЙгйЬ *-• (9-4Л46)
Коэффициенты при фп_2 и остальных функциях равны нулю. Например,
коэффициент при фп_2 пропорционален
Но так как функция ф^._2 может быть выражена через функции tyn_lt фп_2
и т. д., каждая из которых ортогональна к ф„, то {п, (п — 2)'} равно
нулю.
Заметим, что формула (9.4.146), примененная к фг дает (9.4.143),
если мы примем условие, что функции ф с отрицательными индексами,
в частности ф_,, равны нулю. Мы развили, таким образом, схему полу-
получения ортогональной системы функций при помощи сравнительно простой
трехчленной рекуррентной формулы. Отметим небольшое упрощение:
[п', п-Ц = {п, п}. (9.4.147)
Если бы мы имели дело с задачей, содержащей конечное число, ска-
скажем N-\-l, собственных функций и собственных значений, то ф^+1 былабыну-
лем. Действительно, ясно, что все собственные функции от ул до %$ уравнения
Ху = \сМу должны быть линейными комбинациями функций ортогональ-
ортогонального семейства ф0, ... , ф,у, и так как функция ф%.+1 выражается через у^,
то она должна быть линейной комбинацией функций фь. Но так как фл-+1
должна быть, кроме того, ортогональна к каждой из функций фь, то она
должна быть нулем. (Это верно, конечно, только в случае, если ф0 —
исходная пробная функция — содержит все собственные функции. Если же
это не так, то первая функция фп, равная нулю, появится для п, мень-
меньшего iV-f-1. За исключением этого случая, множество функций фп обра-
образует полное ортогональное семейство.)
Мы можем тогда разложить /, решение уравнения
в ряд по ф„:
Подставляя это разложение в уравнение, получаем
Отсюда мы получаем для ап трехчленную рекуррентную формулу

9.4. Вариационные методы 151
Уравнение, определяющее X, может быть получено при помощи тех-
техники, развитой для работы с трехчленной рекуррентной формулой в гл. 5
в разделе о функциях Матье [формула E.2.77) и следующие]. После вве-
введения новых неизвестных
уравнение (9.4.148) приобретает вид
R = Г Х К, п}1 Г {и+1,п+11 1 1
п 1 I \п,п\ \ L \n,n) J Дп+1 "
Последовательными подстановками получаем
(9.4.149)
1
X
{2',
{2.
2}
2}
{з,;
1
Н/{2,
{3',
{3,
2}
3}
3}
1
{4',
.3}
¦ 4}
X {4,4}
Однако из соотношения
«о [({0'. 0}/{0, 0}) - A/Х)] + а1({1', 0}/{0, 0}) = 0
мы также имеем
R, =
q
1 AД) — ({0',0}/{0,0}) ¦ la.
Подстановка этого результата в (9.4.149) дает уравнение относитель-
относительно 1/Х. Различные методы решения уравнения с непрерывной дробью та-
такого рода были разобраны в гл.5 после формулы E.2.78). Это разложе-
разложение в непрерывную дробь есть точное представление векового уравнения
для 1/Х, которое может быть получено из формул (9.4.148). Кроме того,
оно обрывается, если операторы X и сМ, таковы, что существует лишь ко-
конечное число собственных функций и собственных значений.
Сравнивая метод минимизированных итераций с описанным выше ва-
вариационно-итерационным методом, мы замечаем, что функции ф„ явля-
являются просто взаимно ортогональными линейными комбинациями итераций
<5>п. Эти комбинации могут быть определены прямо по методу ортогонали-
зации Шмидта (см. гл. 8). Указанный здесь процесс имеет, однако, пре-
преимущество в численных приложениях, где метод Шмидта быстро стано-
становится неточным из-за ошибок округления. В методе минимизированных
итераций ошибки можно исправлять проверкой ортогональности нового
¦Ьп ко всем предыдущим. Накопившуюся ошибку можно тогда исправить
вычитанием соответствующей составляющей по каждой из предыдущих
¦Ьп, как это указано в формуле (9.4.139).
Как следствие мы можем вывести, что отношения {п',п}/{п,п} и так-
также {п, п}/{п-\-1, п-\-1} могут быть выражены через Х<0"> и Цп+1/2К Напри-
Например,
{0,0} ХA/2) ' {0,0} W
(9.4.151)
U'.H 1 1-D3/2)/Ч1/2)>^L
Используя данные, полученные ранее [см. (9.4.124)], относительно
значений Х<п) в приложении вариационно-итерационного метода к коле-
колебаниям мембраны с круговой симметрией, можно вычислить различные

152 Гл. 9. Приближенные методы
отношения, фигурирующие в (9.4.151), и подставить их в уравнения
(9.4.150) и (9.4.149), отбрасывая в последнем все члены, содержащие ин-
индекс 2 и более высокие индексы. Мы получим тогда квадратное уравне-
уравнение для X, из которого можно найти Хо и Хг Мы получаем 5,78325 для
Хо (точное значение 5,78319), в то время как Хх получается равным 32,5,
что следует сравнить с точным значением 30,471. Нужно включить в
уравнение по крайней мере еще один член непрерывной дроби, чтобы по-
получить значение Хг с такой же точностью, как и Хо.
В заключение мы хотели бы отметить еще одно преимущество метода
иинимизированных итераций. Если мы имеем дело с данным отрезком
интегрирования, то для данной весовой функции <М существует только
одно семейство ортогональных функций, удовлетворяющих граничвым
условиям. Если эти функции будут известны заранее, то нет надобности
проводить ортогонализацию (9.4.146). Нужно только определить постоян-
постоянные, на которые нужно умножить каждую из ортогональных функций для
того, чтобы было выполнено соотношение (9.4.146).
Задачи к главе 9
9.1. У эллиптической мембраны массы о на единицу площади, нахо-
находящейся под натяжением Т, жестко закреплен край — эллипс с большой
осью а и малой осью Ь-. Показать, что решение уравнения свободных
поперечных колебаний этой мембраны можно выразить в виде ряда
со
>Jj — У A r2mi/2n
гп,п=.\
Получить вековой определитель, дающий волновое число к, подставляя
это выражение в формулу (9.4.71) и выполняя нужные вариации. Полу-
Получить возмущенное решение для низшего колебания, используя главный
член Аи. Получить вариационное решение при условии, что в пробную
волновую функцию включены только члены Аи, Ат и Azo. Получить оцен-
оценку снизу из соотношения (9.4.117).
9.2. Частица массы т движется в поле с потенциалом — Foexp(—-pr),
где р и Vo — постоянные. Показать, что решение уравнения Шредингера
для сферически симметричного связанного состояния можно преобразовать
к виду и(х), где и—решение уравнения
а для р взято частное значение. Выбрав в качестве исходной пробной
функции иа = е~х, получить щ_ и и2 по методу минимизированных итера-
итераций, рассматривая параметр X как собственное значение. Найти X из по-
получающейся непрерывной дроби. Сравнить ответ с точным значением,
данным в § 12.3.
9.3. Однородное электрическое поле Е, направленное вдоль оси г,
действует на электрический диполь с моментом р, который может только
свободно вращаться. Записать уравнение Шредингера в сферических ко-
координатах .(г, &, <р), где & —угол между осью диполя и осью z. Показать,
что если движение не зависит от <р. то уравнение принимает вид
где (i = cos&, а / — момент инерции. Найти решение уравнения для состо-
состояния с минимальной энергией, используя (с) итерационно-пертурбацион-

Задачи к главе 9 153-
ный метод, (б) вариационно-итерационный метод, начиная с постоянной,
в качестве исходной пробной функции. Найти две итерации и получить
верхнюю и нижнюю границу. Отметим, что в вариационном методе пара-
параметром собственного значения является величина Ер. Сравнить результа-
результаты обоих методов.
9.4. Плоская звуковая волна падает под углом & на диск радиуса а.
Вычислить поперечное сечение рассеяния в длинноволновом приближении
(см. в § 10.3 решения соответствующего уравнения Лапласа). Найти дав-
давление и вращающий момент, действующие на диск.
9.5. Звуковая волна распространяется вдоль канала, который внезапно
меняет поперечное сечение. Канал ограничен следующими четырьмя линия-
линиями: у = а, положительная полуось х, ось у между у = 0 я у = а — 6 и линия.
у=а — Ь при ж<0. Мы рассматриваем движения, не зависящие от z. По-
Показать, что при конформном отображении w—w(Q, ? = .г + г"г/, w=u + iv
уравнение Гельмгольца переходит в уравнение
-
dw
Определить величину | д^/dw | для отображения ступенчатого канала
в канал без ступеньки (см. задачу 10.21). Решить задачу об отражении
волны, движущейся в канале в направлении положительной оси х, исполь-
используя борновское приближение в координатах и, v.
9.6. При расчете задач рассеяния часто желательно получить асимп-
асимптотическую фазу радиального множителя решения [см. уравнение (9.3.13),
§ 11.3 и § 12.3]. Предположим, что в такой задаче уравнение для ра-
радиального множителя имеет вид
gf + (&2 + XU) и = 0; м@) = 0; и-*&т(кг—ц).
Показать, что решение и+ этого уравнения, которое приближается к
e'kr для больших г, удовлетворяет следующему интегральному уравнению:
Г
1 \ еЫъ-пи (г0) и (г0) dr0.
Найти интегральное уравнение для функции и_(г), которая приближается;
к e~~tkr. Показать, что
и = и_(г) -+- S (к) м+ (г); S (к) = - и_ @)/и+ @).
Установить связь между S и сдвигом фазы т\ и показать, что | S \ = 1
для действительных U. Показать, что S (а) = 0 определяет возможные
связанные состояния системы. Вычислить м+ и и__, а с ними и Л', с точ-
точностью до второго порядка по X для потенциальной ямы, т. е. для потен-
потенциала, который постоянен вплоть до точки г— а, а после нее равен ну-
нулю (используя elhr как начальное приближение для м+ и е~1'"' для и ).
Сравнить с фредгольмовским решением.
9.7. Показать, что вариационный интеграл (9.4.61) njiHCtgT;0 перехо-
переходит в случае малых к в интеграл
СО 7-Q СО
uldr-2^ Uu0 ^ rUuodrdro ]/[[ Uuordr

154 Гл. 9. Приближенные методы
Подставить пробную функцию а 4-fir в это выражение. U — притягиваю-
притягивающий потенциал, имеющий постоянную глубину X вплоть до радиуса а и
равный нулю при г > а. Определить а, [3 и, наконец, /с ctg- tq0 по вариацион-
вариационному методу.
9.8. Радиальное уравнение Шредингера для частицы с угловым мо-
моментом I имеет вид
(г) r2 J м-U,
и@) = 0, k~cos кг — -о-(^+ 1) те ~ I ] ПРИ г~>°о.
Показать, что функция
y(r) = M(r) + te;1ctgTQ—шгоо, w1 = krfl(kr), ш2оо= cos^/cr-
удовлетворяет уравнению
H2со) + ^(г/- щ ctgтL- ^2ю) = О,
у @) = г?>2о= @) + члены порядка r1+1, г/((х>) = 0.
'Показать, что можно вывести вариационный принцип для /cctgr,:
о
Это можно переписать в виде
А (к ctg 7jJ - 2В (к ctg tj) + С = О.
Показать, что вариационный принцип, эквивалентный написанному выше,
¦выражается формулой
[к ctg ttj] = (В 4- lAB2 — AC) I A.
Определить А, В ж С-
9.9. Плоская волна с волновым числом к падает на бесконечный жест-
жесткий цилиндр радиуса а. Показать, что в пределе при ка > 1
ф = 0 на затененной стороне цилиндра,
ф = 2ф4 на освещенной стороне цилиндра,
гДе tyi — падающая волна. Доказать, что точное выражение для амплиту-
амплитуды рассеяния дается формулой
где ф8—рассеянная волна. Подставить указанное коротковолновое прибли-
приближение в интеграл. Показать, что интеграл по тени цилиндра дает вклад
/се2 2 <f SllJ
Ш C0S ""
Ш C0S " /с2Я2 sin2 (<f/2) *
Приближенно вычислить интеграл по освещенной стороне. Его вклад в
поперечное сечение равен
-^- sin -|- + быстро осциллирующие члены.
Показать, что полное поперечное сечение равно 4с. Проанализировать ре-
результаты.

Задачи к главе 9 155
9.10. Частица массы т движется в притягивающем сферическом по-
потенциальном поле U= — Foexp [— (г/аJ]. Использовать для вычисления
сдвига фазы для 1 = 0 пробную функцию sin v.r (считая v. вариационным
параметром) в вариационном принципе (9.4.61). Сравнить результат по
порядку величины ка с борцовским приближением для V0. удовлетворяю-
удовлетворяющим условию
9.11. В дифференциальном уравнении
^ + .. ., с, Ф О,
произвести замену независимой переменной на z = \ \fq (х) dx и ввести
функции
Показать, что два решения уравнения для ф выражаются приближенно
формулами
f^g ^)] *Ф О,
где
j ^1
z2/3+Xy-2_±Xlx-252 , -^x^+i-X^-^
х2 = a2 + Хо, g = z2/3 + Хх-*.
Применить эти формулы к функции Ганкеля Hp(psec~k).
Таблица приближенных методов
Связанные состояния. Объемные возмущения. Уравнение, подлежа-
подлежащее решению:
V2<|> + (Ус2 — Uo- XZ7) ф = 0.
Невозмущенная задача V2<pn + (&n — U0)<pn = Q, которая может быть реше-
решена точно, имеет собственные функции срп и собственные значения к% (предпо-
(предполагаемые здесь невырожденными; об эффектах вырождения см. стр. 623).
Различные приближенные ряды для ф содержат матричные элементы воз-
возмущающего потенциала
= \
ndx1.. . dxs.

156 Гл. 9. Приближенные методы
Итерационно-пертурбационные ряды. Первое, второе и а-е приближе-
приближения для ф и собственного значения к2 выражаются формулами [см. (9.1.15I
рфп
-t-l (*Д — &2)(*? —А,2) '
ф<°> = <РД + * 2j ' ft. (a-" )-fc2 + • • • + Х° 2j I
рфп рд...фп
ТТ Г7
/^.2\(а) __ у^.2 . Xj| _j_ х2 У ;
Рассмотрение сходимости проведено на стр. 11 и 13.
Ряды Финберга. Формулы, исключающие повторение матричных эле-
элементов в последовательных рядах, не отличаются от написанных выше
для первых двух порядков. Приближение a-го порядка имеет вид
[см. (9.1.37)]
рфп '
рфп
+ X2 У, ..... ffi^ff.(a_2) +...-*-
~Г Zj /l-2_fcil(
где
П , ^2 V UpqUqp
»-2) —(x2)(n>-2) '' • ¦ ¦
V2\(tn) _
формулы обычно сходятся для значений X, меньших того, при котором
наступает вырождение.

Таблица приближенных методов 157
Формула Фредгольма. Следующие формулы сходятся при всех значе-
значениях X. Они снова не отличаются от прежних для первых двух порядков
аппроксимации. Формулы для следующего порядка в случае двумерных
и трехмерных задач имеют вид
2 1 \TJ TJ ТТ TJ TJ
\ KtJ рп [_ ^ 2 ^W* Pqu 9?t и рп*-1 Qg i_
рфп V q=?n q
1 "x
v J" 1 _ x V ^gg L xa V UqrUi
л\х Zj (/c2)<j>_A.2 2 Zj (kl—i
рфп
"t"A Zj (k*—ki) (k\—ki) )\ Zj kn—kl)
гфп ¦ рфп
Общие формулы даны на стр. 26 — 28.
Эти формулы расходятся в одномерном случае, где след ^ Urr X
X A — Srn)/(&n — к*) расходится, хотя высшие следы сходятся. В этом слу-
случае [см. формулу (9.1.67)] мы просто отбрасываем расходящийся ряд
и используем формулы так, как если бы он был равен нулю.
Вариационный принцип длн связанных состояний. Вариационный
принцип для /с2, соответствующий уравнению (V2 -f- /с2 — Uo — У-U) >1> = О,
имеет вид
^ I \ 8[/c2]=0
[см. уравнение (9.4.8)]. Функция ер— пробная функция, удовлетворяющая
тем же граничным условиям, что и ф, и снабженная параметрами для
изменения ее формы внутри границ; ер—сопряженная функция, удовлетворя-
удовлетворяющая уравнению и граничным условиям, сопряженным к ер (см. т. I, стр. 814).
Величина [/с2], рассматриваемая как функция параметров, имеет стацио-
стационарное значение (которое мы будем называть «минимумом», хотя оно может
быть и максимумом и точкой перегиба), при котором ср равна ф0 — соб-
собственной функции низшего состояния, а [к2] равно к% — соответствующему
собственному значению уравнения. Чтобы получить kl и фх, мы добавляем
условие, что <р ортогональна к %, и находим новое стационарное значение
[ft2] и т. д.
Вместо «минимизации» [к2] мы можем использовать вариационное выра-
выражение для величины возмущающего потенциала X:
Тогда мы находим наименьшее значение Х; для которой к2 является соб-
собственным значением.
Мы можем также использовать функцию Грина Ga, решение урав-
уравнения
(V2 _ и0 - W) Gu (г | г0) = - 4«> (г- гп),

158 Гл. 9. Приближенные методы
и «минимизировать» выражение
[/с2] = ^ f ? dv I W 9 (г) Gu (г | г0) ср (r0) do <fo0.
Или можно использовать функцию Грина Gh — решение уравнения
(V2 + Л» - Uo) Gh (г |г„) 4*3 (г - г0);
тогда нужно «минимизировать» выражение для X
[X] =\vU<fdv/Wv(r)U (г) Gh (г | r0) U (г0) ср (r0) dv dv0.
Если существует решение ф0 уравнения (V2 + /с2 — f/0) ф = 0 для вы-
выбранного значения /с2, то мы должны «минимизировать» выражение
[см. формулу (9.4.19)].
Вариационно-итерационный метод. Мы преобразуем дифференциальное
уравнение в интегральное при помощи данной выше функции Грина Gj,.
Интегральное уравнение для последовательных приближений имеет вид
Ф(п) (г) = X ^ Gh (г | г0) 4(»-" (r0) U (г0) dv0.
При желании можно положить <!i<0) = epn.
Величина X является тогда собственным значением и вычисляется как
функция от к2. Если нужно, то после выполнения вычислений результаты
можно обратить и получить к2 как функцию от X. Положив
\m, n] = \ <]Дт>?Л1)(п> dv,
мы можем показать, что если оба оператора (V2—к2 — ?/„) и U положи-
положительно определены, то последовательность Х(гг)> Х(п+1/2)>Х(п+1)> ..., где
Х(п) = [я п—Щп п] и Х(и+1/2) = [п п]/[п
монотонно сходится к наименьшему собственному значению Хо, а соответ-
соответствующие функции фт> — к соответствующей собственной функции ф0 [фор-
[формулы ускорения сходимости приведены в (9.1.84) и (9.4.108)].
Если параметр /с2 близок к /с^, мы можем положить ф<0) = сри, и в этом,
случае
рд
— U I V UnpUpn
V
¦\ A1 >Л UnpUpn I \Л UnpUpqUqn
~ Zj ArS — ArJ, / Zi (ft*-*») (^-fc|)
и г. д. Приложения см. на стр. 34 и 143.
Возмущения граничных условий. Если невозмущенная задача состоит
в решении уравнения (V2 + кп) срп = 0 в области R, ограниченной поверх-
поверхностью S, на которой баданы однородные условия Неймана д<р/дп = О, то
решение уравнения (V2 -j- /с2) ф = 0 в R при граничных условиях
-~- -j- [jljP F1) ф = 0 на поверхности S

Таблица приближенных методов 15&
может быть выражено через <р„ и к2п, если р достаточно мало. Мы поло-
положим |х=Х и просто подставим вместо XE/mn в приведенные выше прибли-
приближенные формулы матричные элементы
где интегрирование распространено на всю поверхность S, ограничиваю-
ограничивающую R.
Если [1 велико, то наиболее удобной невозмущенной системой является
множество решений уравнения (V2-j-/e2)/ = 0, удовлетворяющих на S усло-
условиям Дирихле (х = 0)> с собственными функциями %п и собственными зна-
значениями kf,. Мы полагаем 1/fx = X и подставляем
дп F(S) дп
вместо ^Umn в различные пертурбационные формулы. По поводу частных
случаев и изучения сходимости см. § 9.2.
Мы можем также для получения ф и к2 использовать яариационный
принцип; мы «минимизируем» выражение
[Ь*\ =
[см. формулу (9.4.26)], где поверхностный интеграл берется по всей по-
поверхности .V.
Возмущения формы границы. Допустим, что область R. ограниченная
поверхностью S, целиком содержится в области R', ограниченной поверх-
поверхностью S', причем для области R' можно вычислить точные решения срп,
удовлетворяющие условиям Неймана на <5", и соответствующие собствев-
ные значения к%,. Пертурбационные ряды для решения уравнения
(V2 -(- к2) ф = 0, удовлетворяющего однородным условиям Неймана на S.
получаются при использовании векового определителя
.где
Ann= \l&9ndS (no S)
(no R) = Ап?1
(
Тогда с точностью до второго порядка ф равно нулю вне Я, а внутри
Я выражается формулой
рфп
Соответствующее собственное значение:
К С^Кп-^-т- \- У.

160 Гл. 9. Приближенные методы
Выражения для более высоких порядков приближения обычно расходятся
(см. стр. 56—59). Если граничными условиями служат однородные условия
Дирихле (ф = 0 на S, <рп = 0 на <5"), то обычно сходятся только выражение
первого порядка для ф и второго порядка для /с2:
Ф ^ Nnn?n + У т^& в R; ф = 0 вне /V;
к2 А2
п рп
Пертурбационные формулы для рассеяния. Плоская падающая волна
,eiki-r рассеивается на конечной области R вблизи начала координат.
Асимптотическое выражение для рассеянной волны на расстоянии г в на-
направлении ks от области R имеет вид
ф8 ~ - Т (ks | kt) (eihr/Aicr) при г -» со,
где к — модуль волнового вектора kt падающей волны, а также волнового
вектора kg рассеянной волны.
Если рассеяние вызвано объемными возмущениями, такими, например,
как потенциал U в уравнении Шредингера (V2 -)- к2 — U')& = 0, то инте-
интегральное уравнение для ф имеет вид
)^о, Д=|г-го|.
Последовательные борноеские приближения (9.3.38) получаются после
выполнения следующего ряда интегрирований:
ф(„)(г) = eik4.r _ ^|__С/ (Г„) fn~ J) (Го) dy0, ф@) = eU4-»,
rw(ks|ki)= ^ е^^гС/'(г)ф("-1)(г)^, Л1) = V e^i-^J
Последовательные борновские приближения для фактора углового рас-
распределения Т могут быть получены при помощи трансформации Фурье
пртенциальной функции
U (k, I ki) = J eW-k«>-rU (r) dv = Та> (к„ | kt)
[см. формулу (9.3.45)],
Г"' (к 1 к ) - У (к 1 к ) И(ks'К) У (К 'ki) tfc. ит д
Если рассеяние обусловлено каким-нибудь возмущающим объектом
вблизи начала координат с поверхностью S, на которой должны быть
выполнены граничные условия, то интегральное уравнение для ф приоб-
приобретает вид
¦ (г) = г**-'

Таблица приближенных методов 161
где нормальная производная берется по направлению внутрь поверх-
поверхности. Последовательные приближения для Ф и Т, начинающиеся с
где интегрирование производится по поверхности S (верхнее скалярное
произведение относится к случаю ty = 0, нижнее — к случаю д<Ь/дп = 0 на S),
называются приближениями Кирхгофа [см. (9.3.39)].
Вариационные принципы для задач рассеяния. При объемном возму-
возмущении, вызванном потенциальной функцией U (г), отличной от нуля
вблизи начала координат, вариационный принцип для фактора угло-
углового распределения Т получается «минимизацией» выражения
[Г(кв|к4)] = -
[ ц. U<? dv-\- W^U (eihR/inR) U<? dv dv0
[см. формулу (9.4.69)], где <р — сопряженная к ер волновая функция, соот-
соответствующая плоской волне, падающей в направлении — kg и рассеянной
в направлении—kt. Для рассеяния на поверхности S, на которой
д'1>/дп = 0, вариационное выражение, подлежащее «минимизации», имеет вид
^ ? (no.ks)
Т (ks |
[см. (9.4.83)]. Если ф = 0 на S, то мы «минимизируем» выражение
дп в
[сы. (9.4.85)]. Каждое из этих интегрирований производится по S.
Рассеяние на сферически-симметричных объектах. Сумма падающей
и рассеянной волн может быть разложена по сферическим гармоникам
ф = eihr cos» + фв = 2 Bm + 1) rPm{cos &)^Р ,
где
eihr cos»
= ^ Bm + 1) imPn (cos &) /m (/rr).
Функции /m — сферические функции Бесселя [см. формулу A1.3:42)].
Если рассеиватель изображается потенциалом U, функции ит (г) должны
удовлетворять уравнению ы^ + {/са — [т(т.~\- 1)/г2] — U (г)} ит =0 и стре-
стремиться к нулю при г—>0. Для больших значений г для них имеет место
асимптотическое представление
где 7j)ri называется сдвигом фазы. Поэтому рассеянная волна имеет сле-
следующую асимптотическую форму (8—угол между ks и kj):
\ (г) ~ / (&) eihr/r, f (&) = -A/4«) Т (к, | к,),
-Т 2 Bте + j) e"ir'msin(V) Л» (cos &).
Ф. М. Морс и Г. Фешбах

162 Гл. 9. Приближенные методы
Дифференциальное и полное поперечные сечения рассеяния равны тогда
соответственно [см. формулы (9.3.6) и (9.3.8)] с = |/(8^|2 и
Интегральное уравнение для ит имеет вид
ит (г) = krjm (кг) + кг [ пт (кг) ^ rojm (kr0) U (r0) um (r0) drB +
гопт (кг0) V (r0) um (r0) drB
[см. уравнение (9.3.34)], а сдвиг фазы определяется соотношением
со
= ^ roJm (kro) U (ro) um (ro) dr0.
Первое борновское приближение получается заменой ит (г) на jm (кг)
в этих уравнениях; высшие приближения получаются итерацией.
Можно также вывести вариационные принципы для ит и т]т. Мы их
напишем сначала для и0 и т]0; нетрудно вывести соответствующие выра-
выражения и для т > 0. Первый из этих принципов использует функцию vB,
решение уравнения Уц + /с2и0 = 0, которая имеет такой же сдвиг фазы,
как и и, при г—> со и которая стремится к 1, когда г—>0. Иными
словами,
v0 (г) = - sin (кг - 7]0)/sin т]0; и0 (г) ~ cosec 7]0-sin (кг- ri0).
г—>со
Первый принцип требует «минимизации» величины
о
где ер — функция сравнения, которая должна удовлетворять следующим
граничным условиям:
( 0 при г—»О,
ер —>{
{ — cosec т]0- sin (kr — yi0) при г~>со.
Вариационный принцип, в котором t\ не появляется неявно внутри
интеграла, использует пробную функцию w, причем w = v — и; ш@) = 1;
w—>0 (г—> со). Мы находим вид функции w, для которой «миними-
«минимизируется»
- 4АС],
где (см. формулы (9.4.56))
оо
. С тт sin2 (кг) ,
А=*\ U №dr'
dr—^r\ Uwsin(kr)dr,
о
= { jf (^y-(k*-U)w^ + U [cos2 (kr)-2w cos (kr)]} dr.

Литература 163
Другой вариационный принцип, годный для любого значения т,
приведен ниже. Пробная функция срт, равная ит, если «минимизируется»,
выражение
СО СО Г
yl dr — 2k I тт {кг)ути I rBjm (кг0) <?mUdrodr
^ ^ .
[I rjm(kr)U(r)ym(r)dr]2
О
стремится к нулю при г—>0, как г", и остается конечной при г-^оо.
Точная форма tpm при больших г несущественна, так как подинтеграль-
ные выражения там исчезают из-за наличия множителя U (г). Правиль-
Правильный вид функции ит может быть получен (если это нужно) подстановкой
лучшей формы ут B интегральное уравнение для ит, данное на стр. 162.
ЛИТЕРАТУРА
Теория возмущений, разобранная в этой главе, развивалась главным образом
в связи с эволюцией квантовой механики.
Книги и статьи на эту тему, содержащие разбор некоторых аспектов теории
возмущений:
Ландау Л. и Лифщиц Е., Квантовая механика, ч. I, М.—-Л., ГИИТЛ, 1948.
Шифф Л., Квантовая механика, М., Издат. иностр. лит., 1957.
Condon E. U., Morse P. М., Quantum Mechanics, chap. 4, New York, 1929.
Feenberg E., A Note on Perturbation Theory, Phys. Rev., 74, 206 A948).
Feshbach H., On Feenberg's Perturbation Formula, Phys. Rev., 74, 1548 A948).
Kemble E. C., The Fundamental Principles of Quantum Mechanics, chap. 11, New
York, 1937.
Mott N. F., Sheddon I. N., Quantum Mechanics and Its Applications, Oxford, Neve
York, 1948.
Сведения об эффектах изменения формы границы:
Brillouin L., Perturbation by Boundary Deformation as a Problem of Proper
Values, Comptes rendus, 204, 1863 A937).
Cabrera, Perturbation of Boundary Conditions, Cahiers phys., 31, 24 A948).
Feshbach H., On the Perturbation of Boundary Conditions, Phys. Rev., 65, 307A944).
Feshbach H., Harris С. М., The Effect of Non-uniform Wall Distributions of
Absorbing Material on the Acoustics of Rooms, J. Acoust. Soc. Am., 18, 472A946).
Wasserman G. D., On the Theory of Boundary Perturbations, Phil. Mag., 37,
563 A946).
Wasserman G. D., On Perturbation Problems Associated with Finite Boundaries.
Proc. Cambridge Phil. Soc, 44, 251 A947).
Дальнейшее изучение техники приближенных вычислений в вопросах рассеяния
и диффракции:
Мотт и Месс и, Теория атомных столкновений, М., Издат. иностр. лит., 1951.
Condon E. U., Quantum Mechanics of Collision Processes, Rev. Modern Phys., 3,
43 A931).
Dalitz R. H., On Higher Born Approximations in Potential Scattering, Proc. Roy.
Soc, A206, 509 A951).
Jost R., Pais A., On the Scattering of a Particle by a Static Potential, Phys.
Rev., 82, 840 A951).
Morse P. M., Quantum Mechanics of Collision Processes, Rev. Modern Phys., 4,
577 A932).
Ссылки на WKBJ-метод:
В ohm D., Quantum Theory, chap. 12, Prentice-Hall, New York, 1951.
Kemble E. C, The Fundamental Principles of Quantum Mechanics, стр. 90 и далее,.
New York, 1937.
L anger R. E., On the Connection Formulas and the Solutions of the Wave Equation,
Phys. Rev., 51, 669 A937).
11*

164 Гл. 9. Приближенные методы
Использование вариационного метода для вычисления дискретных собственных
состояний:
Коллатц Л., Численные методы решений дифференциальных уравневий, М. Издат.
иностр. лит., 1953.
Рэлей, Теория звука, М.—Л., Гостехиздат, 1955.
Dushman S., Elements of Quantum Mechanics, chap. 11, New York, 1938.
Hylleraas E. A., New Calculation of the Energy of Helium in the Ground State,
Z. f. Physik, 54, 347 A929).
Pauling L., Wilson E. В., Introduction to Quantum Mechanics, New York, 1935.
Использование вариационного метода для вычисления рассеяния:
Blatt J. M., Jackson J. D., On the Interpretation of Neutron-proton Scattering
Data by the Schwinger Variational Method, Phys. Rev., 76, 18 A949).
Hulthen L., The Variational Principle for Continuous Spectra, X Cong. Math. Scand.,
Copenhagen, 1946.
Hulthen L., Sturm —Liouville Problem Connected with Continuous Spectrum, Ark.
Math.. Ast. Phys., 35A, 1 A948).
Levine H., Schwinger J., On the Theory of Diffraction by an Aperture in an
Infinite Plane Screen, Phys. Rev., 75, 1423 A949).
Mott N. F., Sneddon I. N., Quantum Mechanics and Its Applications, Oxford,
New York, 1948.
Schwinger J., On the Charge Independence of Nuclear Forces (Appendix), Phys;
Rev., 78, 138 A950).
Сведения об итерационно-вариациогшом методе:
Hestenes M. R., Karush W., Method of Gradients for Calculation of Charac-
Characteristic Roots of Real Symmetric Matrix, Natl. Bur. Standards, J. Research, 47,
45 A951).
K-ellogg 0. D., On the Existence and Closure of Sets of Characteristic Functions,
Math. Ann., 86, 14 A922).
Lanczos C, An Iteration Method for the Solntiou of the Eigenvalue Problem, Nat.
Bur. Standards, J. Research, 45, 255 A950).
Svartholm N-, The Binding Energies of the Lightest Atomic Nuclei, Makan
Ohlssons, Lund, 1945 (dissertation).

ГЛАВА 10
Решение уравнений Лапласа
и Пуассона
Мы в общем завершили изучение свойств и поведения полей. Мы
рассмотрели различные виды полей, важные для физики, исследовали
разнообразные уравнения и граничные условия, позволяющие строить поля,
соответствующие в той или иной степени заданной физической картине,
обсудили различные математические методы, при помощи которых урав-
уравнения могут быть решены, а граничные условия удовлетворены. Оставшаяся
часть настояшей работы посвящается более или менее систематическому
применению этих общих методов и результатов к конкретным физическим
задачам.
В ходе предыдущих исследований мы уже рассмотрели многочислен-
многочисленные приложения общей теории в качестве примеров, выясняющих тот
или иной вопрос; таким образом, характер возникающих задач и методы
их решения в основном уже знакомы нам. Теперь необходимо система-
систематически изложить, как применяются эти методы для решения новых
задач, какие методы применять в первую очередь в тех или иных слу-
случаях и т. д. Этому будет посвящена остальная часть книги.
Следует еще раз подчеркнуть, что эта книга посвящена методам теоре-
теоретической физики, математическому аппарату, который применяется
при решении проблем во многих областях физики. Следовательно,
мы ограничимся здесь изложением физического содержания рассматри-
рассматриваемых задач, достаточным лишь для того, чтобы показать их связь
с физикой в целом, но не для того, чтобы дать связную картину
физических явлений со всеми их подробностями. Мы будем часто пере-
переходить от одной области физики к другой, не всегда соблюдая логиче-
логическое единство, показывая (мы надеемся, что это нам удастся), как дан-
данный математический аппарат может быть использован при решении
задач, характерных для большого числа полей разнообразной природы.
Мы главным образом будем заниматься применениями наиболее
современных методов расчета. Более простых приемов теоретической
физики мы касались в различных местах предшествующей части этой
книги, и они освещены во многих хорошо известных курсах. Но, как
нам кажется, имеет смысл изложить здесь менее известные методы.
Конечно, в результате этого чтение последующих глав книги будет затруд-
затруднено для более или менее случайного читателя. Во многих местах
ему будет трудно разглядеть за деревьями лес. Но мы надеемся, что
за массой деталей более внимательный читатель в конце концов почув-
почувствует характер, дух метода и начнет приобретать то полуинтуитивное
«чувство» новой проблемы, которому так трудно научить, но которое
является таким необходимым качеством для физика-теоретика.
Мы начнем с рассмотрения простейших уравнений: уравнения Лап-
Лапласа Vai|) = 0 и соответствующего ему неоднородного уравнения — уравне-
уравнения Пуассона V2 Ф = — 4тср. Эти уравнения принадлежат к эллиптическому

166 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
типу, и поэтому к ним необходимо добавить условия Дирихле или Неймана
на замкнутой границе. Возвращаясь к изложенному на стр. 18 и 643 тома I,
напомним, что уравнение Лапласа эквивалентно требованию, чтобы функ-
функция <1> не достигала ни максимума, ни минимума внутри области и чтобы
значение й в каждой точке равнялось бы среднему из значений 4
в соседних точках.
Мы развили два метода для удовлетворения граничных условий,
связанных соответственно с использованием собственных функций и функ-
функции Грина. Большей частью мы будем использовать оба этих метода,
разлагая функцию Грина в ряд по собственным функциям в подходящей
системе координат. В частном случае при решении уравнения Лапласа
для двух измерений несколько весьма эффективных специальных методов
дают нам свойства функций комплексного переменного и конформные
отображения. К сожалению, эти методы не могут быть распространены
на трехмерный случай, по крайней мере в их полной общности.
Уравнение Лапласа, как мы видели в гл. 2 и 3, появляется в гра-
гравитационных или электростатических проблемах; решения его суть электро-
электростатические или гравитационные потенциалы. Границами обычно являются
поверхности проводников, а граничные условия — условиями Дирихле
в том случае, когда задан потенциал проводника. Уравнение Лапласа
появляется также в гидродинамике при изучении стационарного безвих-
безвихревого потока несжимаемой жидкости; решением его является потенциал
скоростей (или функция тока), граничные условия суть условия Неймана,
возникающие из простого требования, чтобы жидкость не могла прони-
проникать сквозь твердые границы. К этому уравнению приходят также при опи-
описании установившегося потока тепла, стационарной (установившейся)
диффузии в растворе (или диффузии нейтронов) и при исследовании
многих других установившихся процессов. Скалярное поле, удовлетворя-
удовлетворяющее этому уравнению и граничным условиям, является потенциалом, его
градиент пропорционален скорости потока или силе.
Когда имеются «источники» или «стоки», или «заряды», создающие
поле, мы должны пользоваться уравнением Пуассона, где величина р
есть плотность распределения источников или зарядов. При этом частное
решение неоднородного уравнения строится с помощью функции Грина
для свободного пространства, а граничные условия удовлетворяются
подходящим выбором решений уравнения Лапласа.
Эти задачи будут последовательно рассмотрены для различных систем
разделяющих координат, каждая из которых применяется для соответ-
соответствующих видов граничных поверхностей. Сначала мы изучим двумерный
случай с его специфическими методами, основанными на свойствах ана-
аналитических функций, а затем перейдем к трехмерному случаю, где име-
имеющийся в нашем распоряжении аппарат более ограничен.
10.1. Решения в двумерном случае
В соответствии со сказанным на стр. 474— 478 тома I в двумерном случае
координатная система может быть выражена в декартовых координатах х, у
с помощью функции w(z) комплексного переменного z — x-\-iy. Веще-
Вещественная и мнимая части sy = 51 + iS2 являются ортогональными коорди-
координатами, с тем специальным свойством, что соответствующие коэффици-
коэффициенты Ламе hy и h2 равны (иными словами, отображение w—>z конформно).
Поэтому уравнение Лапласа имеет особенно простую форму
1Щ + Щ\-{), A0.1.1)

10.1. Решения в двумерном случае
167
а решения, представимые при помощи собственных функций, можно
найти сразу для большого числа координатных систем.
Решения, являющиеся произведениями функций от одной переменной,
могут иметь различный вид:
6i, gs. e«'i±*4 sm^sh^), ch^^sin^y и т. д. A0.1.2)
Решением наиболее простого уравнения Пуассона
соответствующего единичному «заряду», сосредоточенному в точке (х0, у0),
является, согласно формуле G.1.9), функция Грина
G(x,y\x0,%) = I{e[-21n(z-z0)) = ln(l/\z-z0\*), A0.1.4)
которая, конечно, должна быть преобразована к новым переменным w, Si
и ?2. Дальнейшие рассуждения более полезно проводить для какой-нибудь
конкретной системы координат.
Декартовы координаты. Эти простейшие координаты удобны для бес-
бесконечных плоских границ (параллельных одна другой) и для областей,
заключенных в прямоугольные призматические границы. Например,
yr=o
Г"
г
I г,
y=0 X *-
Рис. 10.1. Потенциал между двумя плоскостями
с граничными значениями, зависящими только от х.
и полупространстве у > 0 (граничная плоскость у = 0) с граничными
значениями потенциала, зависящими только от х, мы пользуемся частными
решениями e-hy±ihx, так как выбранная зависимость от у обеспе-
обеспечивает стремление решения к нулю при г/-->со, а зависимость от х
позволяет получить собственные функции для области — со < х < со.
Так как эта область бесконечна, то спектр собственных значений непре-
непрерывен и к2 изменяется от 0 до со. Этот случай был уже разобран в гл. 6.
Формула F.3.3) дает нам выражение для потенциала при положитель-
положительных у, если вдоль границы у — О задан потенциал %(х).
В качестве примера можно вычислить распределение потенциала
для конфигурации пластин, изображенной на рис. 10.1. Полоса шириной d
имеет единичный потенциал, а остальная часть плоскости г/ = 0 имеет
нулевой потенциал, плоскость у = I также имеет нулевой потенциал.
Тогда, используя видоизмененную формулу F.3.3), получаем
d/2
d/2 oo
' -d/2 -oo

168
Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Интеграл по к может быть вычислен при помощи контурного интегриро-
интегрирования. Если (? — ж) > 0, мы замыкаем контур полуокружностью беско-
бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости к. Тогда интеграл
равен умноженной на 2т сумме вычетов по всем полюсам подинте-
гральной функции в верхней полуплоскости (так как при у < I и 5 > ж
интеграл по верхней полуокружности равен нулю). Полюсы расположены
в нулях функции sh(kl), т. е. при k = i—j- , и =1,2 Несколько
громоздкие алгебраические выкладки приводят к выражению
со d/2
71=1
-d/2
n=l
n=l
-"'""Ч1?>
\x\>~d.
Естественно, что если потенциал полосы равняется V, а не 1, то резуль-
результат надо будет умножить на V.
Таким образом, наш интеграл по собственным функциям вдоль оси х
оказался разложенным в ряд по собственным функциям. Если раскрыть
квадратные скобки в выражении, применяемом при | х | < у d, то пер-
первый из получающихся рядов оказывается разложением простой функции
If (у), где
71=1
Этот ряд сходится условно и, следовательно, его нельзя почленно диф-
дифференцировать (это связано с тем, что весьма неестественно выражать
рядом по синусам функцию, равную единице при г/ = 0). Если все же
использовать это конечное выражение для ряда, то можно записать
Г
Ф (ж, У) = <
A0Л-5)
1п=1
Эти ряды можно почленно дифференцировать всюду, исключая ж = ± d,
у = 0, где имеется разрыв потенциала. Заметим, что конечное выра-
выражение 1 — у[1 само является решением уравнения Лапласа, удовле-
удовлетворяющим граничным условиям при .у = 0 и у = I для части области
изменения ж.
Отметим, что для |ж|, значительно превосходящего d/2 (например,
в точке А на рис. 10.1), третий ряд сходится столь быстро, что суще-

10.1. Решения в двумерном случае
169
ственен только первый его член и
<1 (х, у) ~ ^ в—1 -1/' sh ( ^) sin (^
Плотность заряда на полосе, где потенциал равен единице, полу-
получается по формуле о= — A/4it) (д'Ь/ду) при у — О. Так как мы избавились
от недифференцируемой части ряда, то для плотности заряда получаем
выражение
П—i
Используя разложение 1пA — ж) = — V—, мы можем получить коноч-
коночное выражение для заряда, приходящегося на единицу длины полосы
между — х и + х М х | < -^ d \
»= \ odx = -^+~ln
л 2те я2
l;
!]. о
<r x < -^
A0.1.6)
Эта функция имеет логарифмическую особенность при ос —» -j d (когда .мы
определяем полный заряд, размещенный на полосе), потому что плот-
плотность заряда у внешнего края полосы стремится к бесконечности благо-
благодаря близкому соседству проводящей плоскости, имеющей нулевой потен-
потенциал, каковой является вся оставшаяся часть плоскости у = 0. Когда d
велико по сравнению с I, логарифми-
логарифмический член мал по сравнению с пер-
первым членом всюду, исключая близ-
близкую окрестность края i
х—> -л
Прямоугольная призма, нагре-
нагреваемая с одной стороны. Для пло-
плоских неограниченных областей мо-
можно провести много подобных рас-
расчетов распределения потенциала.
Если же мы займемся областью, ле-
лежащей внутри прямоугольной приз-
призмы, то нам вместо интеграла Фурье
понадобится ряд Фурье. Например,
пусть имеется брус с прямоуголь-
прямоугольным поперечным сечением, показан-
показанным на рис. 10.2. Нижняя грань
бруса нагрета до температуры
Т = 1, а на верхней и боковых гранях поддерживается нулевая темпе-
температура. Температура в точке (х, у) внутри бруса будет [на основании
F.3.2)] выражаться при помощи ряда
t
У
у=ъ
II
Рис. 10.2. Граничные условия для уста-
установившегося потока тепла в прямоуголь-
прямоугольном брусе.
Т(х, у) =
п ZJ 2n+l
71=0
-1,
о J
A0.1.7)
довольно быстро сходящегося всюду, если только у не стремится к нулю.
Мы можем еще более улучшить сходимость этого ряда, заметив, что
для больших значений п отношение гиперболических синусов сводится
к e-(*v/a)Bn+i) _ Такой ряд можно просуммировать; прибавляя и вычитая

170 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
этот ряд почленно, получим
f Bи+1)] +
sh Г JL (b-y) Bи+1) 1 esh B„. + 1) ]
L a
= 1 2 * ^ J
-+¦> ¦¦¦ [=
Так как Аг th и = и + -=- и3 -f ..., то мы можем просуммировать первые
члены (они образуют ряд, сходящийся более медленно), и получим
i
Sln B«H-1)
]
Г / ,п„ , „Л
Последний ряд (и его производная) мал и сходится столь быстро, что
обычно достаточно при его рассмотрении ограничиться первым членом.
Действительно, первый член ряда всегда меньше 0,1, если Ъ есть вели-
величина того же порядка, что и а. Поэтому с очень большой степенью
точности
Т(х, у)^-\arctg Г s-i"("ж/? 1 - 2е-ь/а !*№>¦ sjn(rcx/a)\ . A0.1.8)
Когда Ъ стремится к бесконечности и призма превращается в полу-
полубесконечную плиту, нагретую по основанию, распределение температуры
описывается одним только первым членом этого выражения. По своему
происхождению этот первый член есть вещественная часть функции
— D?/тс) Ar th (e™z'a)
sin ("*/«) 1 2 Arth Г C0S
g |_sh(ny/e)
Следовательно, в этом случае мы получаем в замкнутой форме выражения
как для потенциала (в данном случае — температуры), так и для функции
тока (см. стр. 153, 154 тома I). Остаток ряда в формуле A0.1.8) и в преды-
предыдущей может рассматриваться как поправочный член, добавляемый
к этому основному решению для того, чтобы потенциал обращался в нуль
при у = Ь, а не при у—са.
Градиент температуры пропорционален потоку тепла. Как и в пре-
предыдущем примере, этот градиент имеет особенность при г/ = 0 и ж=0.
х = а.

10.1. Решения в двумерном случае 171
Функция Грина. В соответствии с формулой A0.1.4) функция Грина
в декартовых координатах имеет вид — ln[(x — xo)z-\-(y—yo)z]. Она
обращается в со в точке (х0, у0), где расположен «источник», и непре-
непрерывно убывает по мере удаления от этой точки. Когда границей являет-
является бесконечная плоскость, как, например, плоскость г/ = 0, соответствую-
соответствующее решение может быть получено при помощи метода изображений
(см. стр. 753 тома I).
Например, потенциал, соответствующий единичному линейному за-
заряду в точке (х0, у0) (длинная тонкая проволока, перпендикулярная
плоскости х, у, с линейной плотностью заряда, равной единице) и бес-
бесконечной проводящей плоскости у = 0, на которой поддерживается нуле-
нулевой потенциал, равен
(аг~аго)а+(У+Уо)а'
Плотность заряда, индуцированного на заземленной плоскости, равна
при этом
Она достигает максимума при х = х0. Весь заряд в полосе между z
и z-j-1 (от х= — со до х = +оо) равен единице. Он и должен быть
таковым, чтобы уравновесить единичный заряд, приходящийся на едини-
единицу длины проволоки.
Силовые линии такого поля образуют семейство координатных линий
% = const, которые всюду ортогональны эквипотенциальным линиям ty=const
(см. стр. 25 тома I). Другими словами, grad % перпендикулярен grad<l>,
что в рассматриваемом здесь двумерном случае можно получить, полагая
д'Ь/дх = dyjdy и dty/ду =
Но, согласно формуле D.1.10), эти равенства соответствуют требованию,
чтобы потенциальная функция <1> была вещественной частью, а ^ мни-
мнимой частью некоторой функции комплексного переменного z = x-\-iy.
В данном случае: если считать, что на единицу Длины приходится заряд
q, эта функция равна
zo = хо+ 1Уо> zo = xo—iyo>
(ЮЛ.Ш)
2yo(g—g0)
0) I
_yi J •
Линии <1> = const, x = const показаны на рис. 10.3,а (они являются коорди-
координатными линиями биполярной системы координат). Функция / называется
функцией тока (см. стр. 24 тома I) или функцией силовых линий. К сожале-
сожалению, этот простой метод разыскания силовых линий применим только
для двумерных задач теории потенциала.
Как мы показали на стр. 753, 754 тома I, если «источник» в точке (х0, у0)
является однородным линейным зарядом (с линейной плотностью q),
параллельным оси z, то' <1> представляет электростатический потенциал,
а х силовые линии, и напряженность электрического поля равна — grad<j>.
С другой стороны, как показывает предыдущее рассмотрение, если
«источник» является тонкой проволокой, по которой течет ток q в поло-

172
Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
жительном направлении оси z, то функция ty определяет магнитные сило-
силовые линии, а функция х—магнитный «потенциал». Этот потенциал мно-
многозначен, так как arc tg z — многозначная функция (зависящая от числа
обходов вокруг проволоки), но его градиент в каждой точке равен
напряженности магнитного поля в этой точке.
•Поэтому, если через точку (х0, у0) проходит такая проволока, по
которой в положительном направлении оси z течет ток q, а через точку
(ж0, — у0) проходит вторая проволока с током q, текущим в противополож-
противоположном направлении, то функция ф> определяемая формулой A0.1.10), опи-
описывает магнитные силовые линии возникшего поля, а величина grad/
(равная \dF/dz\) равна напряженности этого поля в точке (х, у).
Рис. 10.3. [Потенциал и функция тока для линейного источника и плоскости.
Записав уравнение <b = F в координатах \ = х — х0, ri^=y—y0, для
которых точка (ж0, у0) играет роль начала координат, мы можем показать,
что эквипотенциальные линии <Ь — V являются окружностями. Потенцируя
обе части этого уравнения и дополняя до полного квадрата, мы полу-
получаем уравнение для линии, соответствующей значению потенциала V:
Это уравнение окружности радиуса 2yoev>'2(i/(evi'(i — 1). Точка х0, у0 f
+ [^yJ{eVlq — 1)] является центром этой окружности и лежит несколько
выше фокуса (х0, у0) линий тока / = const.
Для достаточно больших значений V можно пренебречь степенями
e-v/2g выше первой. В этом приближении радиус окружности, вдоль
которой потенциал равен V, будет равен 2yoe~v/2Q, а центр окажется
в точке (х0, у0). Поэтому, если проволока такого радиуса с центром
в точке (х0, у0) заряжена д единицами на единицу длины, то ее потен-
потенциал по отношению к потенциалу заземленной плоскости у = 0 будет
равен V.
Обращая эти рассуждения, мы теперь можем найти заряд, необходи-
необходимый для того, чтобы потенциал проволоки радиуса р с центром, отстоя-
отстоящим на расстояние у0 от заземленной плоскости, превосходил потенциал
земли на величину V. В первом приближении, т. е. учитывая лишь

10.1. Решения в двумерном случае 173
первую степень e~~v^Q, можно считать
р ~ 2у0е-^ или q ~ ^—щ , Р « Ус-
Поэтому емкость, приходящаяся на единицу длины проволоки радиуса р
с центром, удаленным на расстояние у0 (у0 > р) от проводящей плоскос-
плоскости, равна
C = g/F~[21nBVp)r1 A0.1.11)
электростатических единиц. Для проволок больших радиусов нам при-
пришлось бы пользоваться точными выражениями для радиуса и координат
центра. Этот вопрос будет рассмотрен позже.
При другом виде граничных условий, вычисляя потенциал скоростей
в случае линейного источника жидкости, расположенного в точке (х0, у0)
над твердой плоскостью у =- 0, мы можем воспользоваться методом изобра-
изображений. В этом случае нормальная производная потенциала скоростей на
плоскости у = 0 должна равняться нулю. Этого можно добиться, при-
прибавляя потенциал изображения, а не вычитая его:
F = - 2*7 In [(z - z0) (z-\)\ = <!> + h,
¦ ф= -д1п{[(х-хоГ + (у-У()Г][(х-
Х= -2, arc* [I-I-5] -2,arc* [j±
Соответствующие эквипотенциальные линии и линии тока показаны на
рис. 10.3, б. Функция Ф соответствует магнитным силовым линиям вокруг
провода, по которому течет ток q и который проходит через точку (х0, у0)
над пластиной из мягкого железа, расположенной в плоскости у = 0.
Магнитная проницаемость пластины предполагается столь большой, что
магнитное поле всюду нормально к ее поверхности.
Уравнение B.4.2) показывает, что к этой же задаче сводится и зада-
задача о тонкой трубе, помещенной в пористую почву на расстоянии у0 от
плоской непроницаемой для жидкости поверхности. Боковая поверхность
трубы пронизана отверстиями, являясь тем самым источником жидкости.
Сопротивление почвы потоку обозначим через R. Полный поток, исходя-
исходящий из трубы, рассчитанный на единицу длины, равен q. Этот поток
просачивается через почву вдоль линий тока, заданных при помощи
функции у. В силу формулы B.4.2) и следующих, давление в каждой
точке равно потенциалу •!>, умноженному на R, минус потенциал силы
тяжести.
Согласно этому определению, на достаточно большом расстоянии от
трубы давление должно было бы стать отрицательным. Поэтому положим,
что на достаточно большом расстоянии существуют своего рода «стоки»,
где жидкость всасывается и давление равно нулю. Предположим, что это
происходит на полукруглой поверхности цилиндра с осью, проходящей
через точку (х0, 0), радиуса D (D > у0). Тогда, для того чтобы Ф обра-
обращалось в нуль на этой поверхности, надо прибавить qln(Di) к выраже-
выражению A0.1.12). Потенциал на поверхности трубы радиуса р (р < у0) при
этом приближенно равен ф^—2<71пBрг/0//J). Тогда давление в трубе,
создающее на единицу ее длины поток q, равно
Р ~ yog- 2qR In Bрг/0/?>2), р С у0 С Р,
где у0 — глубина залегания трубы, g — увеличение давления при погруже-
погружении на единицу длины, вызванное силой тяжести, R — сопротивление почвы
потоку, о—радиус трубы (предполагаемый малым по сравнению с у0).

174 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Заметим, что чем меньше у0, тем большим должно быть избыточное
давление в трубе, необходимое для создания заданного потока. Это не
является неожиданным, так как, уменьшая у0, мы приближаем к трубе
непроницаемый слой, который в силу этого больше препятствует созда-
созданию потока. Давление в точке (х, у) равно
где у — расстояние от непроницаемого слоя (вниз от него) и где мы
положили жо = 0, так как значение х0 здесь не играет существенной роли.
Полярные координаты. При выражении потенциала вокруг уединен-
уединенной заряженной проволоки удобно ввести полярные координаты
р, где C = -jln(a;2+?/2), ср = arctg(y/x).
Коэффициенты Ламе для этих координат равны /г;= /гф = \dz/dw\ = e'-,
а выражение для лапласиана [см. уравнение A0.1.1)]
Поэтому его частными решениями являются ?, ф, e^cosmy и т. п.
Каждое решение может быть представлено в виде вещественной части не-
некоторой функции комплексного переменного w = ? + г'ср = In z.
Если граничными поверхностями служат концентрические круговые
цилиндры, то, очевидно, удобно применять эти координаты; например,
потенциал вне цилиндра радиуса а может быть выражен при помощи
ряда по функциям вида е~тГ- cos (шф) = r~m cos (тжр) или т—msin(mcp), где
т должно быть целым для того, чтобы ф оставалось непрерывной функ-
функцией при ф = 0, 2и. Используя обычные выражения для рядов Фурье,
а также условие, что ф—>0 при i—s-oo, мы найдем потенциал вне
цилиндра
(){$} A0.1.13)
где ео=1, sn = 2 при п=1, 2, ..., а фо(<р) есть заданное значение потен-
потенциала на поверхности цилиндра.
Например, этот потенциал в случае, когда одна часть боковой по-
поверхности цилиндра @ < ср < тс) имеет потенциал +1, а другая часть
(тс < <р < 2и) потенциал — 1, равен
00
Ф() ЕС) ^[B
Учитывая сказанное на странице 170, замечаем, что функция тока, соот-
соответствующая этому потенциалу, равна
Далее, потенциал между двумя концентрическими цилиндрами, из
которых внутренний (радиуса а) имеет нулевой потенциал, а внешний
(радиуса Ь) потенциал V, равен
o)

10.1. Решения в двумерном случае 175
Цилиндры, помещенные в поля. Во многих задачах теории потенциа-
потенциала нас будет интересовать вопрос о том, как определить влияние границы
какой-либо формы на поле, порожденное границами другой формы. Напри-
Например, нас интересует поле вокруг цилиндра, помещенного внутрь однородного
поля, порожденного, например, двумя параллельными плоскостями,
расположенными на большом, расстоянии друг от друга. В подобных слу-
случаях полезно уметь выражать решения уравнения Лапласа, удобно за-
записывающиеся в какой-то одной системе координат, через соответствую-
соответствующие решения в другой системе координат.
Очень простым примером этого является решение * = — Ех, которое
соответствует прямоугольным границам и представляет собой однородное
поле (— grad <!» = .? i), принимающее в полярных координатах г = ес и ср вид
ф = — i?r coscp. Поучительный пример использования подобных соотношений
дает задача о цилиндре из диэлектрика, помещенном в однородное поле.
Пусть диэлектрическая постоянная цилиндра равна е, а граничные усло-
условия таковы, что на его поверхности производная потенциала по внешней
нормали равна производной потенциала по внутренней нормали, умножен-
умноженной на е, в то время как тангенциальные производные потенциала равны
друг другу (или, что то же, внутренний и внешний потенциалы равны на
поверхности).
В выражение для потенциала однородного поля — Er cos ср входит со-
сомножитель cos ср. Следовательно, этот сомножитель должен входить во
все члены, так как сопряжение осуществляется на поверхности г = а, где
г постоянно, а ср изменяется от 0 до 2и. Внутри цилиндра только част-
частное решение -4r coscp имеет нужный нам вид зависимости от ср. так как
решение другого вида (B/r) cos ср не остается конечным при г = 0. Допу-
Допустимая форма решения вне цилиндра имеет вид Ar cos 9 + (B/r) cos ср и пре-
превращается в ^4r coscp при достаточно больших значениях г. Но, по пред-
предположению, при достаточно больших г потенциал поля сводится к выра-
выражению — ZJrcoscp, соответствующему однородному полю. Следовательно,
выражения, подлежащие сопряжению на границе г = а, таковы: <1> =
= —Er cos ср + (B/r) cos ср для г > а и <1> = Ar cos <р для г < а. Для того чтобы
удовлетворить граничным условиям, мы должны иметь — Еа -\- В/а = Аа
и —E~Bja2j = eA. Решая эти уравнения, получим
— Er cos ср -j- Е -—пг — coscp, r > а,
2Е
— ^jTT r coscp, r<a.
Другой, более простой пример представляет цилиндр, погруженный в по-
поток идеальной, несжимаемой жидкости, имеющей скорость v0. Здесь гра-
граничные условия заключаются в том, что при г—> со скорость (т. е. gradty)
должна равняться v0 по величине и должна быть направлена по оси х, а
при г = а должна быть направлена по касательной к поверхности цилин-
цилиндра (дй/дг = 0). Решение, удовлетворяющее этим требованиям, имеет вид
<]) = Vff cos ср + v0 (a2/r) cos ср, ^ = гу sin ср — v0 (a?/r) sin ср.
Эквипотенциальные линии и линии тока показаны на рис. 10.4.
Поток вязкой жидкости. Выражения B.3.14) и B.3.15) показывают,
что соотношение между давлением и скоростью жидкости в медленном уста-
установившемся потоке вязкой несжимаемой жидкости имеет вид
gradjo= — 2-rjrotw,
где р есть давление в жидкости, ij — ее коэффициент вязкости, w =
= yrotv — вихревой вектор (или просто вихрь), a v — скорость жидкости.

1 76
Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Мы пренебрегаем объемными силами F, такими как, например, сила тяжести;
мы считаем, что diw = 0, так как жидкость предполагается несжимаемой;
мы пренебрегаем членом v-Vv, так как v предполагается малой.
В двумерном потоке v = ivx -\- jvv, вихревой вектор to направлен по
оси z и имеет величину
W = ~2 Их ~  ~ду~ "
Уравнения, связывающие давление р с величиной вихря to в случае двух
измерений, имеют вид
1 др дш i dp ди>
2rj дх ду ' 2tj ду дх '
т. с. являются уравнениями Коши—Римана, связывающими веществен-
вещественную и мнимую части аналитической функции комплексного переменного.
Рис. 10.4; Потенциал скоростей и функция тока для Севвихревого
потока, обтекающего цилиндр.
Поэтому, если мы сможем найти подходящую функцию W(z) комплексного
переменного z = x+iy, вещественная часть которой равна p/2'ij, а мнимая
часть—ев, то можно будет найти давление и вихрь.
С другой стороны, если существует функция тока U (х, у), производ-
производные которой связаны со скоростью соотношениями
ди
аи
ах
(другими словами rot f/k = v), то U связана с вихрем уравнением Пуассона
Lr= —2io.
Поэтому, определив U (либо W), удовлетворяющую граничным условиям,
мы сможем найти to и р (либо U и р) и решить задачу о движении вяз-
вязкой жидкости.
Очень простым является случай двумерного (параллельного плоскости
х, у) потока вязкой жидкости между двумя параллельными плоскостями.

10.1. Решения и двумерном случае 177
одна из кот.орых имеет уравнение у=-\-Ь, а другая у=—Ь. Весь поток
параллелен оси х, а скорость жидкости в точке (х, у) равна
где Q есть объем жидкости, протекающей в единицу времени между пло-
плоскостями, рассчитанный на единицу глубины. Отсюда следует, что U =
= Ж ( ~Т Ь2У — т Vs ) ¦ Лапласиан U равен — -—¦ у, т. е. удвоенной мнимой
части аналитической функции
т,г 3Q г . -. р
—Шё Iх ' 1У — хо\ = ^— гш-
Поэтому давление равно (Зт)(?/2&3) (х0 — х), где жо^край пластин (где
давление равно нулю); вихрь равен CQ/4bs)y и по абсолютной величине
принимает наибольшее значение вблизи пластин при у= ± Ь, что не яв-
является неожиданным.
Эти соотношения могут быть также выражены при помощи криволи-
криволинейных координат на плоскости. Положим /(?-|-пр) = ж-(- iy, где Z, и
tp — новые координаты. Оба коэффициента Ламе hx, и h9 равны \d'f/dw\,
где и) = С + ^. а лапласиан в новых координатах равен, согласно D.1.11),
v2t/ = .
где hz = | df/dw\2, a w и w следует рассматривать как независимые пере-
переменные.
Представим теперь функцию тока U в виде суммы двух функций:
где / (w) — функция, определяющая координаты ? и <р, F — произвольная
функция от w или w, a Uo — решение уравнения Лапласа V2f/0 = 0;
F и Uo подбираются так, чтобы удовлетворялись граничные условия задачи.
Выражение, стоящее в скобках, не является аналитической функцией, так
как оно одновременно зависит от w и w. Однако из него мы можем
получить скорость путем дифференцирования:
1 в?/ _ \ ди
h 9<p ' f h д'С,
Так как выражение, стоящее в скобках, не является мнимой частью
аналитической функции, то оно необязательно удовлетворяет уравнению
Лапласа. Мы имели это в виду, так как в соответствии с предшествующими
рассуждениями вихрь равен
ш = _ 1 V2?/ = - ' [f'(w) F'{w)-f(w)F'(w)\ --=
-1 Г *"М F'№ 1 - LTm Г *"(""> 1
4 L f'(w) /ЧШ) J 2 L f'(w) j '
где штрихи обозначают дифференцирование по w или по w. Но этот ре-
результат показывает, что если выбрать U в виде A0.1.15), то вихрь будет
мнимой частью некоторой функции отш=[+ г'ср, следовательно, на основании
проведенных выше рассуждений для медленного потока давление и вихрь
задаются при помощи комплексной функции
12 ф. м. Морс и Г. Фсшбах

178 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Чтобы разобрать пример, не столь тривиальный, как пример с параллельными
пластинами, предположим, что мы наклонили пластины так, что угол
между ними равен 2а. В полярных координатах уравнение одной из гра-
граничных плоскостей имеет вид <р = а, а другой ш=—а. Предположим,
что жидкость прогоняется из наиболее узкой области, например со стороны
г = г0, где расстояние между пластинами равно 2rosina, в сторону более
широкого раствора при r = rlr где расстояние между пластинами равно
27-jSina. Подходящими являются полярные координаты ? и <р, где 2 =
= f{w)=ew, до = ?-|-г<р. Коэффициент Ламе h равен |/'| = е"-; :r = e!;coscp,
у = ек- sin tf.
Мы хотели бы найти такую функцию F, чтобы функция тока U зависела
только от (р и не зависела от С, так что весь поток был бы радиальным.
Чтобы получить такую функцию, попытаемся ее искать в виде F (ш) = Ае~и'
Тогда из уравнения A0.1.15)
U = YiA [e2itp — eitp] + Щ = Щ — 4 А sin
Функция By, являющаяся решением уравнения Лапласа, добавлена, чтобы
удовлетворить граничным условиям. Вычисляя v, находим, что
vr должна обращаться в нуль при <р = ± а- Поэтому Б = у-4соБ2а.
Определим теперь значение А, подсчитав полный поток:
а
С 1
Q= \ vreldy = -j-A [2a cos 2a — sin 2a],
— а
откуда А = (? I ( a cos 2а —-к sin 2а J. Следовательно,
/ (Ш) = -. И W = — гг-^ : — .
4 „ 1 . „ 2а COS 2а — Sin 2а
а cos 2а — sin 2а
Окончательное решение имеет, таким образом, следующий вид:
vr = —:—к—^ тг~ fcos2m — cos 2а], &« = 0,
r sin 2а — 2а cos 2а L " j> ? >
p -
Г 1 cos2f 1
2a L "^" ~ ^ J'
Sin2a-2acos
ш _ Q sLn 2tf
siu 2a — 2a cos 2a r2 '
где мы положили давление равным нулю при г = г0, <р = 0. Перепад дав-
давления вдоль оси между г0 и гг равен
2-nQ rl-rg
siu 2a — 2a COS 2a r\r%
Как можно видеть, этот метод не является вполне удовлетворитель-
удовлетворительным, поскольку приходится начинать с конца, подбирая различные функ-
функции F, пока не будет найдена (если это удастся) такая функция, которая
соответствует физически интересному случаю для некоторой координатной
системы. Когда такой случай найден, результаты оказываются полезными, но
это не слишком удовлетворительный путь построения теоретической физики.

10.1. Решения в двумерном случае 179
Функция Грина в полярных координатах. Потенциал создаваемый
единичным линейным зарядом, расположенным в точке (г0, %)> является
действительной частью комплексной функции [см. уравнение A0.1.4)]
ln[(Z-z0J]= •
n=l
где z = rei(p и zo = roeliPo. Поэтому потенциал, являющийся функцией Грина,
выраженной в полярных координатах, имеет вид
-21nr + 22-i(-^)cos[n(?-?)] г>г0.
G(r, ?|г0, ?0)= { Г1 A0.1.18)
-2 In го + 2 ? ^(^У"* [n(<pfl-с?)], г<г--
При помощи этой функции Грина можно решить задачу о потенциале,
который создается линейным зарядом с линейной плотностью q, находящим-
находящимся в точке (г0, 0), в присутствии заземленного цилиндра радиуса а (а < г0)
с осью, совпадающей с осью z. Если бы не было заземленного цилиндра,
то в координатах (г, 9) B силу уравнения A0.1.18) потенциал, созда-
создаваемый линейным зарядом, выражался бы в виде
Tl=l
К этому выражению надо прибавить такую комбинацию из членов вида
(l/r)n cos (тор), являющихся решениями уравнения Лапласа, чтобы потенциал
обратился в нуль при г = а. Нетрудно видеть, что такой комбинацией
является
[ (
i
П=1
A0.1.19)
появление второго выражения связано с тем фактом, что форма функции
Грина различна при г > г0 и при г < г0.
Таким образом, мы прибавили ряд
n=l
к функции Грина qG (r, 91 г0, 0). Но этот ряд (с точностью до константы)
представляет собой потепциал, создаваемый линейным зарядом с плот-
плотностью — q, помещенным в точке г = а2/г0, 9 = 0, являющейся изображе-
изображением точки (г0, 0) относительно окружности г = а. Поэтому мы можем за-
12*

180
Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
писать потенциал, заданный равенством A0.1.19), в виде
-gin
r/r0)«-2(r/r0)cos?
• )то выражение, очевидно, можно было получить непосредственно из рас-
рассуждений гл. 7 о потенциалах изображений относительно плоскостей, ци-
цилиндров и сфер.
Эта функция является вещественной частью функции
2?In
Мнимая часть этой функции есть функция
(*-rl) (r/r0) sin?
_ 2q arc tg
) cos ,
которая задает силовые линии или линии тока.
Это решение описывает не только распределение потенциала и сило-
пых линий в электростатическом поле, создаваемом линейным зарядом
Рис. 10.5. Потенциал и функция тока для источ-
источника, расположенного вне заземленного кругового
цилиндра.
(вокруг заземленного цилиндра. Оно соответствует также случаю устано-
установившейся диффузии вещества, поступающего в раствор вдоль прямой, про-
проходящей через точку г = г^, <р = 0, и выделяющегося из раствора вдоль
цилиндрической поверхности г = а. Плотность вещества в каждой точке
пропорциональна ф. Линии тока и эквипотенциальные линии показаны
на рис. 10.5.
В непосредственной близости от точки r = r0, tp = O эквипотенциаль-
эквипотенциальные линии приблизительно совпадают с окружностями. Потенциал в точках
окружности радиуса р может быть получен наиболее просто путем под-
подсчета, с точностью до членов первого порядка относительно p/V0, потенциала 6
для z = r0 + peie:
- - 2q Re {
in
-- 2q\n
я >

10.1. Решения в двумерном случае 181
Исходя из этого, можно вычислить емкость тонкого провода вблизи за-
заземленного цилиндра. Дифференцируя выражение для потенциала, можно
определить плотность заряда- индуцированного на цилиндре (или, в слу-
случае диффузии, скорость выделения вещества на цилиндре).
Внутреннее нагревание цилиндров Функция Грина может быть исполь-
использована также при решении уравнения Пуассона в случае, когда заряды
или источники распределены внутри кругового цилиндра. Типичная про-
проблема такого рода возникает при вычислении распределения температуры
внутри уранового цилиндра, нагревающегося изнутри в результате ядерного
распада. В каждой точке скорость образования тепла пропорциональна
скорости распада в этой точке, которая в свою очередь пропорциональна
плотности медленных нейтронов. Если количество тепла, образующегося
в единице объема за единицу времени, равно q(x, у), а теплопроводность
урана равна К, то температура внутри цилиндра, согласно B.4.4), удовле-
удовлетворяет уравнению Пуассона V2F= —q/K.
Для источника тепла, расположенного на прямой, проходящей через
точку (г0, 9о) внутри цилиндра, ось которого совпадает с осью г, стацио-
стационарное распределение температуры задается суммой функции Грина A0.1.18)
и решения уравнения Лапласа, выбранного так, чтобы полностью удовле-
удовлетворялись граничные условия на поверхности цилиндра г = а. Если на гра-
границе задано условие Т — 0 при г = а, то температура в точке (г, <р) равна
т (г, 9 | г0, <ро) =
n=l
Если плотность распределения источников тепла во внутренних точках
(/•„, (ро) Цилиндра равна q (г0, <?0) и не зависит от координаты г, то темпе-
температура в точке (г, <р) равна интегралу от Т (г, <р | г0, <р0), взятому по внутрен-
внутренней части цилиндра:
Т (г, ip) =
27С Г СО
71=1
n=d
Если плотность нейтронов изотропна, то q не зависит от tp0 и выра-
выражение для температуры принимает более простой вид:
Т (г) = 4" {1п (у) ^ q(/"о)Г°dr° +S Ы ("^) q (/"o) Г° dr°) '
0 r
При дальнейшем упрощении мы можем предположить, что скорость рас-
распада является наибольшей вблизи внешней поверхности цилиндра и па-
падает с приближением к центру, грубо говоря, в соответствии с форму-
формулой q (r0) = (Q/ъа2) I (b2 -f rl) J ( b2 -f -^a2 J . Здесь Q — общее количество
тепла, образующегося в секунду, рассчитанное на единицу длины ци-

182 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
линдра. В этом случае мы можем осуществить интегрирование в эле-
элементарных функциях и найдем, что
7 (r)= Х^
Как и следовало ожидать, температура максимальна на оси цилиндра,
причем чем меньше b (чем больше тепла выделяется вблизи поверхности),
тем меньше максимум температуры, достигаемый в центре, и тем больше
градиент температуры вблизи поверхности.
Потенциал вблизи цилиндра с щелью. Аппарат функции Грина может
быть использован для нычисления потенциала вблизи заземленной метал-
металлической цилиндрической оболочки радиуса г = а, имеющей щель при
о, < tp < tp2. (Иными словами, поверхность г = а, ^г < ф < 2тс + срх для всех
значений z является металлической оболочкой, а остальная часть поверхности
цилиндра от срх до <р2 вырезана.) Мы будем исходить из соотношения G.2.7).
Если свободные заряды отсутствуют, то
Мы этим воспользуемся двояким образом.
Сначала в качестве поверхности So мы выберем металлическую часть
разрезанного цилиндра и возьмем функцию Грина для свободного про-
пространства, определенную равенством A0.1.18). Так как, по предположе-
предположению, потенциал ф равен нулю на этой поверхности, то в подинтегральной
функции остается только первый член и мы имеем
?2
где ф^ — потенциал поля с внутренней стороны поверхности цилиндра, фо—
потенциал поля с ее внешней стороны. Как мы уже сказали, функция
G(r, <?\a, P) определяется формулой A0.1.18). Полученное уравнение очень
просто интерпретируется: разность нормальных производных ф изнутри и
извне поверхности, деленная на 4тт, равна плотности заряда, индуциро-
индуцированного полем на этой поверхности.
Естественно: что искомый потенциал совпадает с потенциалом, порож-
порожденным этим зарядом, с точностью до решения уравнения Лапласа, не
имеющего особенностей в конечной части плоскости, которое мы должны
добавить для того, чтобы удовлетворить граничным условиям на беско-
бесконечности.
Точно решить это интегральное уравнение не очень просто, но мы
можем с его помощью получить искомое поле в первом приближении.
Предположим, что разрезанный цилиндр помещен в однородное поле,
имеющее на большом расстоянии от цилиндра напряженность Е. Тогда,
в качестве нулевого приближения, положим потенциал вне цилиндра рав-
равным фшо = — Er cos у-\- Е (а2/г) cos 9, а внутри цилиндра ф|°' = 0. При этом
величина., стоящая в скобках под знаком интеграла, равна 2i?costp, т. е.
в 4тс раз больше заряда, который индуцируется на цилиндре без щели.
В соответствии с проведенными рассуждениями первое приближение для
потенциала внутри или вне разрезанного цилиндра равно
ф (г, 9) =* — Er cos tp + ~ \ G(r, «p|a,

10.1. Решения в двумерном случае 183
где первый член добавлен для того, чтобы удовлетворить граничным усло-
условиям на бесконечности.
Заметим, что если tp1 = «p2 (щель отсутствует), то фо =—-fircostp-r
-\-Е (a2/r) costp, а ф^ = 0. как это и должно быть, а если же нет никакого
цилиндра (т. е. весь он оказался щелью), то % = tyi = — Er cos 9- Для
промежуточных случаев мы подставляем в полученное выражение ряд
{10.1.18). Мы получим, например, для внутреннего потенциала
2 2
^lna С cosSdS—^ ^ 4~(^У \
l
4(^У \ cos P cos
здесь мы использовали ортогональность косинусов для того, чтобы заме-
заменить интегрирование по металлической поверхности (<р2 < 9 < 2тс + <pj) ин-
интегрированием по щели (tp! < «р < ср2). Очевидно, этот потенциал в точности
¦совпадает с взятым с обратным знаком потенциалом, создаваемым зарядом,
устраненным при образовании щели. Этот потенциал не равен в точности
нулю на остальной части цилиндра, но в конце концов это только лишь
первое приближение.
В качестве следующего приближения мы построим потенциал, равный
нулю при г = а, (р2 < ? < 2тс + (р1> значения которого совпадают со значе-
значениями первого приближения при г = а, ?! < ф<(р2- Для этого мы приме-
применим функцию Грина, заданную формулой A0.1.19), которая обращается
в нуль при г=а. Вновь используя G.2.7), получим
?2
- -? \ ФП«. Y) [ ± ?o
где знак плюс у производной берется для г < а, знак минус для г > а.
При г = а для ф|П получается ряд
п=1
где
?2
v f Г , . / \ 1 Г sin \(т — п)ч] sin Um-{-n) f
Хш = — \ cos (ту) cos (tjy) dy = —=-Ц ^- Н ои. ', \'
тп -a J vi/ v 1/ I [ 2i (m — п) 2я (m-|-n)
C0S KOT~
2n (m-n) 2* (m+B) J 9 '
В случае, когда <p2 = ?i (щель отсутствует), все коэффициенты X и У равны
нулю, когда же cp2 = 9i + 2^ (цилиндр отсутствует), Хтп = 2/гт, а все
остальные коэффициенты равны нулю (зо=1, &т — 2 для т > 0).
Потенциал внутри разрезанного цилиндра во втором приближении
получается при помощи функции Грина подобно тому, как была получена
формула A0.1.19) для г < а,
— J cos [m (tp — у)] пРи
m=O

184
Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Подставляя все это в уравнение для второго приближения, получим
где
Ф12> {г, 9) ~ у "Я
m=0
sin
1
Am = XioXm0 ln a — /J T ftAn + VnJ'
n=l
n=i
'2
V l С '
4птг = ^г\ SI
Sin
"Pi
L 27Г (m — n)
sin [(m-, n)yl "If.,
1 T
)yl "If.,
и) JT
Таким образом, потенциал в центре цилиндра равен
1 Г
4>i @) = у а? | (sin <р2 - sin ?1) («р2 - 9i)ln «А2 -
СО
2 1 , . . xfsin [fn+lh] sin I(n —1)т] I*»
2n2n2 \ T^i Yl/|_ n-\-\ ' П—1 Jtp
To же приближение для потенциала вне цилиндра имеет вид
фо2> (г, ср) с^ — ?V cos 9 -+- Е — cos 9 +
со
m=0
m C0S
где первые два члена введены, чтобы удовлетворить условиям на беско-
бесконечности. Эти члены, очевидно, равны нулю при г=а, и ряд равен нулю
при r = a, tp2 < 9 < 2т7 + (р1 в точности так же, как и ряд для ф4. Поэтому
эти два выражения полностью совпадают на щели, однако непрерывность
градиента потенциала в щели не обеспечена. Еще лучшее приближение
может быть получено, если проинтегрировать по металлической поверх-
поверхности разность производных этих решений, как мы это сделали для фё0'
и фГ, и т. д.
Другой метод вычисления поля предполагает, что нам известен потен-
потенциал ф8(<р) в щели. Можно предположить, что щель расположена в про-
1
межутке —^
1
-<гА. Тогда потенциал внутри, и вне цилиндра равен
ф (Г, <р) =г
m=0
T - r<a'
Е [ -^ - г] cos (<р - а) + ^ [Am cos (m ?) +
m=0

10.1. Решения е двумерном, случае 1&>
где
л/2
-4™ = ЙГ \ tyB {и) cos (mu)du,
(Ю.1.22)
Ф. (") sin (mu) du.
-Л/2
На стр. 195, 196 мы увидим, что в некоторых случаях возможно высказать
довольно точные предположения относительно зависимости Ф8 (и) от и
в промежутке ± -tj-Л. Тогда мы можем непосредственно получить выра-
жение для потенциала. Можно также использовать эту формулу, сделав
заранее предположение о виде функции ф8, а затем так подобрать функ-
функцию этого вида, чтобы осуществить- сопряжение наилучшим образом.
Как мы видели, производная функции ф(г, <р) испытывает скачок при
1 1
г —а, — уД<ф<-—Д. Можно так подбирать функции ф, чтобы средняя
величина этого скачка вдоль щели равнялась нулю, или так, чтобы
среднее квадратичное скачка было минимальным.
Эллиптические координаты. Из равенства E.1.15) видно, что преоб-
преобразование w = fi -f- г& = Ar ch Bzfa) приводит к эллиптическим координатам
1 1
х = -7Т- a ch fi cos &, у = -тг- a sh (i sin &,'
=r —й]/ sh2fx -f- sin2& — -— a |/ ch2
= arc tg[thp.tg&], A0.1.23)
-l/V ,1 ,2 , „ 1
гг—Л/(х——аЛ -{-у2 = Ya (chfi —cos&),
где кривые fx = const и & = const представляют собой эллипсы и гиперболы
с фокусами в точках х=±-7г-а. Они показаны на рис. 10.6.
Как и выше, частными решениями уравнения Лапласа являются
[х, &, e^cosS-, ch (пр) sin (гс&) и т. п. Поверхностями, которые удобно рас
сматривать в этой системе координат, являются эллиптические цилин-
цилиндры с большой осью, равной achp, и малой осью a slip (поверхности
р. = const), в частности, их предельный случай р = 0, которому соответ-
соответствует плоская полоса ширины а, симметричная относительно оси z,
или гиперболические цилиндры & = const, в частности, их предельный
случай & = 0, тт, которому соответствует плоскость (х, z) с вырезанной
полосой ширины а, симметричной относительно оси z.
Например," потенциал скоростей несжимаемой идеальной жидкости,
протекающей через щель ширины а в плоской преграде, по обе стороны
от которой пространство заполнено жидкостью, равен
ф = Ар = A Ar ch [(r3 + r2)/a], A0.1.24)
где г1 — расстояние от точки, в которой измеряется потенциал, до одного
1 1
края щели х= —>-к-а, у = 0, а г2 — до другого края х = -^а, г/ = 0.

186
Гл. 10. Решение, уравнений Лапласа и Пуассона
При очень больших значениях г = \^х2 -4- у2 для расстояний гх и л2 имеем
г, ~ г -\- -у а соё ср,
—^- a cos
Таким образом, с точностью до членов второго порядка относительно —
при больших г получаем
d» ~ A In Dr/a), v = grad ty aiA/r.
Очевидно, что функция тока равна
у = Л& = A arc cos [(/-j — г2)/а] с^. А \ ср |.
В этом примере мы заставляем р изменяться от — оэ до+оэ;
ори этом изменение знака fi вызывает изменение знака у. Угол & доста-
Р и с. 10.6. Эллиптические координаты jx и
точно изменять только от 0 до и; мы не нуждаемся в полной непрерыв-
непрерывности, по 9, так как полуплоскости & = 0 и & = тс являются преградами.
Скорость течения жидкости через линию р. = 0 равна
grad d» =
2/e
У ch2 jx — cos2 ft
a
J
J>
= 0, а поток через полосу между х = х{) и
X, < ТГ
равен
&3ci — &ж0) = -4 [arc cos B
— arc cos Bжо/а)].
Следовательно, полный поток чорез щель равен тс А.
В случае определения электростатического потенциала, создаваемого
полосой ширины с, на которой поддерживается- потенциал V по отноше-
отношению к потенциалу заземлённого конфокального эллиптического цилиндра
с большой осью cch[i0, малой осью csh[i0, мы считаем, что Ь меняется
от 0 до 2тс, a [i положительно. Тогда полуплоскость у < 0 соответствует
значениям и < & < 2те, а не отрицательным значениям и. Потенциал
в рассматриваемом случае равен

10.1. Решения в двумерном случае 187
плотность заряда в точке 9 = arc cos Bж/с) на полосе равна
- _
а полный заряд, приходящийся на единицу длины полосы,
2тс
If V
Q = у а \ о | sin & | с?& = ц— .
о
Сюда мы включили заряд «обеих сторон» полосы (верхней 0 < & < it
и нижней it < & < 27с). Следовательно, емкость единицы длины такого
конденсатора равна С = Q/V = 1/2р.о. Если р.о велико, то эллиптический
цилиндр почти не отличается от кругового цилиндра радиуса r0 ca (a/4)ew,
концентричного с полосой. Поэтому емкость системы, состоящей из кру-
кругового цилиндра радиуса г0 и малой полосы ширины а, симметричной
относительно оси цилиндра, в пределе равна
электростатических единиц на единицу длины.
Если полосу, помещенную внутри цилиндра, заменить концентрическим
цилиндром диаметра с, равного ширине полосы, то емкость окажется
равной — [In Bro/c)]~1, т. е. будет несколько большей.
Поток вязкой жидкости через щель. Возвращаясь к уже встреча-
встречавшемуся на стр.176,177 исследованию потока вязкой жидкости, мы,
используя эллиптические координаты, можем провести расчет для случая
несжимаемой вязкой жидкости, протекающей через щель ширины с. Мы
хотим, чтобы в каждой точке скорость была направлена вдоль коорди-
координатной линии & = const, проходящей через эту точку. Тогда функция
тока U, определенная равенством A0.1.15), должна зависеть только от &.
Так как /(fi + i&)= z — -^ achw, то можно добиться, чтобы в выражении
A0.1.15) мнимая часть не зависела от р., положив F (w) = A sh w и Uo = ВЬ
(это есть решение уравнения Лапласа). При вычислении значения ско-
скорости мы можем подобрать А и В так, чтобы v равнялась нулю на гра-
границах (при & = 0 и & = it), а полный поток на единицу длины щели
равнялся бы Q. Окончательный подсчет показывает, что точные выраже-
выражения для F (w) и U при / (w) = у a ch w = z таковы:
F(w)= --^-shw.
v ' таг
таг
гт Q ^a 1 ¦ /o(,v\ 4Q sin2»
U = — ( & — -=- sin BЬ) ), и»— —^=
n \ * У ^ ra /h2+i
r.a
Скорость оказывается наибольшей в центре щели и падает до нуля у ее
краев, а также на больших расстояниях.от щели. В плоскости щели,
на расстоянии х от центральной линии, скорость направлена вверх и вели-
величина ее равна
Это выражение обращается в нуль в точках х— + -у я, соответствующих
краям щели.

188 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Теперь мы используем формулу A0.1.16), чтобы определить ком-
комплексную функцию W, с помощью которой вычислим давление и вихрь:
it, 8Q ,, 4Q —sin 2»
8r,QTo
па* \Г s
ah
sb^i + sin*»
Активное сопротивление щели потоку, т. е. отношение перепада дав-
давления к потоку Q, приходящемуся на единицу длины щели, есть величина
Л = p/Q = 16-rj/^o2,
пропорциональная коэффициенту вязкости и обратно пропорциональная
квадрату ширины щели.
Следует еще раз напомнить, что эти рассуждения обоснованны только
тогда, когда вязкость достаточно велика, так что в формулах B.3.15)
можно пренебречь членом, соответствующим кинетической энергии, по срав-
сравнению с членом, зависящим от вязкости жидкости.
Распределение потенциала вне эллиптического цилиндра р = р.„, при-
принимающего на поверхности цилиндра заданное значение ф0 (&), выражается,
как и ранее, формулой
у Г—
m=l
A0.1.25)
Это выражение остается конечным при fi> [i0, за исключением первого члена.
Аналогично потенциал внутри такой поверхности равен
о
СО 27С
+2 [ -И ¦»т cos (mp) ^ ]cos (m&) жет
о
СО 27t
ч sh|
sin <WP) ^ ]sin
sh I
7П=1 О
Здесь множитель ch (mp.) стоит при cos (т&), a sh (тр) при sin (т&) для
того, чтобы обеспечить непрерывность потенциала при р = 0. Для четных
функций от & (т. е. членов, содержащих косинусы) производная множи-
множителя, содержащего р, должна равняться нулю при р = 0, а для нечетных
функций от & (т. е. членов, содержащих синусы) множитель, зависящий
от р., должен равняться нулю при р = 0.
Например, потенциал и функция тока вне эллиптического цилиндра
[а=Р0, правая половина которого имеет потенциал +1, а левая —1,
равны (после суммирования рядов)
,2 .Г cosft ~] 2 . ., Г sin а ~] ,.Л . о(.ч
'¦> = — arctg\-г—, г . У= Arth -г-; г ; (Ю.1.26)
1 -^ О I сг\ (ij till" *" тт I (ih /м till ^
последняя формула является видоизменением формулы A0.1.14) в новых
координатах.

10.1. Решения в двульерном случае 189
Эллиптические цилиндры в однородных полях. Следуя ранее ¦ наме-
намеченному плану, мы прежде всего рассмотрим случай однородного поля,
имеющего направление у:
— Е(х cos у Л-у sin у) = —=- Ea [ch p cos & cos v + sh fi sin & sin -{].
Другое множество решений, с той же зависимостью от &, но обращающихся
в нуль на бесконечности, образуют функции e~^cos & и e~i*sm&, которые
можно использовать для того, чтобы удовлетворить граничным условиям.
Например, если эллиптический цилиндр с большой осью a ch p0 и ма-
малой осью cshfi0, помещенный в однородное поле, имеет диэлектрическую
постоянную ?, то соответствующий потенциал оказывается равным
х cos f
ch|io+esh|io
*( + ysin-{)
1 г . . . 1 /о ч , Г COS ft COS Т , S1I1 г> SU1 Tf
т?а з- l)e^oshB[i) e~H ^ 1
4
о ч , Г COS ft COS Т , S1I1 г> SU1 Tf 
™/ Lchno+eshjio echixo4-sh[jLoJ'
p
Поле внутри этого эллиптического цилиндра однородно, но по величине
ипо направлению отличается от первоначально имевшегося поля. Вне цилиндра
потенциал дополнительного поля стремится к нулю, когда расстояние
от оси цилиндра стремится к бесконечности, что оказывается как раз доста-
достаточным для того, чтобы при [1 = [i0 полный потенциал был непрерывен,
а производная по внешней нормали равна производной по вну-
внутренней нормали, умноженной на г. Если ф — магнитный потенциал,
а з — магнитная проницаемость, то приведенные здесь выражения дают
потенциал ферромагнитного цилиндра в магнитном поле. Для железа маг-
магнитная проницаемость очень велика и Ь на поверхности практически рав-
равняется нулю.
Другой простой задачей является задача о безвихревом потоке жид-
жидкости, обтекающем эллиптический цилиндр. Для однородного потока в на-
направлении у со скоростью v0 потенциал скоростей, очевидно, равен
a. (x cos у 4- У sin у) =г — av0 [ch p. cos 8- cos ¦[ + sh p. sin & sin y].
К этому выражению следует прибавить такую комбинацию решений
e^cos&, e—^sinS- (стремящихся к нулю при (л—> со), чтобы нормальная
производная ф на поверхности цилиндра р = р0 обращалась в нуль. Таким
образом, потенциал скоростей и функция тока имеют вид
(!)=_. av0 [cos у cos & (ch p + e^»~^ sh p0) -j sin у sin & (sh u +- e^»- v- c,\i p )],
1 ' A0.1.28)
у = -у av0 [cos у sin & (sh p — ем"? sh p0) — sin у cos & (ch u — е^о~^ ch u0)]
и являются соответственно вещественной и мнимой частями функции
F{p + Щ = у av0 [е-*тch(р -и г&) + е™~ ^-if)sh(^ + г{)\-
Если р0 = 0, то эллиптический цилиндр стягивается к полосе ширины а, пер-
перпендикулярной оси у и, следовательно, образующей угол у с направлением
установившегося потока.
Скорость жидкости на поверхности u. = fi0, очевидно, равна

190 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Согласно уравнению Бернулли, давление в точке (jx0, &) этой поверхности
равно
где р0 — давление в жидкости на большом расстоянии от цилиндра.
Мы пренебрегли влиянием гравитационной силы (эта сила должна была бы
порождать слагаемое pg, помноженное на глубину, измеряемую от поверх-
поверхности жидкости).
В следующем параграфе мы рассмотрим более подробно эту задачу
о давлениях и силах, связанных с движением жидкости. Сейчас мы, не-
несколько забегая вперед, сообщим результаты, которые будут получены там.
Оказывается, что результирующая сила, действующая на эллиптический
цилиндр, равна нулю, хотя результирующий момент отличен от нуля. Тот
факт, что результирующая сила равна нулю, сначала кажется уди-
удивительным. Однако в случае безвихревого потока с пренебрежимой вяз-
вязкостью картина потока вокруг цилиндра вполне симметрична; для каждого
малого участка из нижней половины потока, имеющего заданную скорость,
а следовательно, и давление, существует симметрично расположенный
участок в верхней половине с той же скоростью и давлением, так что
все вертикальные силы взаимно уничтожаются; аналогичным образом
уничтожаются и горизонтальные составляющие.
Давление оказывается наименьшим вблизи точек наибольшей кри-
кривизны цилиндра & = 0 или & = it, где скорость наибольшая. Когда эллипс,
являющийся поперечным сечением цилиндра, очень близок к отрезку, т. е.
[i0 мало, скорость в этих точках делается настолько большой, что давле-
давление становится отрицательным. Следовательно, жидкость не «прилипает»
к цилиндру и стационарный безвихревой поток оказывается невозможным.
Происходит следующее: вихри сбегают с острого заднего края, и это
порождает циркуляцию жидкости вокруг цилиндра в обратном направлении,
благодаря чему скорость у этого острого края оказывается конечной.
Здесь мы не будем заниматься детальным рассмотрением движения жид-
жидкости в возникающих вихрях, нам нужно только учесть обратную цир-
циркуляцию жидкости, порождаемую этим движением.
В качестве иллюстрирующего примера рассмотрим плоскую полосу
([10 = 0). В этом случае скорость и давление у поверхности без учета цир-
циркуляции соответственно равны
ц,а1п(т-») 1 .г sin» ft-»)-sin» П
у заднего края полосы (& = 0) скорость бесконечна, а давление равно — ос.
На рис. 10.7,0 изображены линии тока, соответствующие этому (физи-
(физически невозможному) случаю.
Конечно, завихренный поток невозможно представить при помощи одно-
однозначного потенциала, но простую циркуляцию вокруг эллиптического
цилиндра можно описать многозначным потенциалом АЬ, являющимся
решением уравнения Лапласа и соответствующим скорости 2А/а ]/ sh2fi -+- sin2S}
в направлении & в точке (р., Ь). Теперь достаточно к потенциалу, опре-
определяемому формулой A0.1.28), прибавить потенциал АЪ, выбрав
константу А так, чтобы соответствующая их сумме скорость обращалась
в нуль (или по крайней мере была конечной) при & = 0.
В результате получим
Ф = -=- av0 [cos у cos & ch fi 4- sin у sin & ch fi — & sin ¦[],
/ =-yati0 [cosy sin &shu—siny cos &sh[i-fp, sin vj, A0.1 31)

10.1. Решения в двумерном случае
191
IV-U = L'o
Распределение давления на полосе оказывается теперь несколько Р«одно-
боким», имеется избыток давления на нижней стороне полосы (тс < & < 2тс),
что можно заключить из наличия члена tg-y в выражении для давления.
Это происходит потому, что из-за циркуляции скорость у нижней стороны
Рис. 10.7. Линии тока при обтекании полосы;
а) бея циркуляции; б) с циркуляцией, достаточной для гладкого обтекания зал-
пего кран.
, д
пего кран.
полосы, вообще говоря, меньше, чем у верхней, и, следовательно, связан-
связанное со скоростью падение давления там не так велико. Таким образом,
мы получаем результирующую подъемную силу, действующую на полосу
благодаря циркуляции.
Мы умышленно оставили в стороне два трудных вопроса: что происходит
с циркуляцией на больших расстояниях от полосы и что делается у переднего
края полосы при &=7г, где скорость по-прежнему бесконечна. Связанный
с циркуляцией член, пропорциональный Ь, не убывает на бесконечности,
и трудно усмотреть, почему вдали от полосы, где поток должен был бы
оставаться невозмущенным, получается такая циркуляция. По-видимому,
ответ заключается в следующем: вихри, срывающиеся с заднего края
полосы, взаимно уничтожаются с циркуляцией вне круга некоторого радиу-
радиуса, который не слишком велик, но достаточен для того, чтобы искажа-
искажающее влияние этой суперпозиции циркуляции и вихрей на циркуляцию
вблизи полосы было малым. Таким образом, нет необходимости вдаваться
в подробности образования этой суперпозиции вихрей и циркуляции,
и мы можем не отвлекаться от изучения потока вблизи полосы.
Не так легко объяснить, почему мы пренебрегаем бесконечной ско-
скоростью у переднего края. Возможно, только задний край создает вихри,
которые покидают его таким способом, что порождают циркуляцию; вихри
у ведущего края могут налипать на него, образуя значительное разре-
разрежение и изменяя форму линий тока. В обычных расчетах воздушного
потока передний край не острый, а закругленный, поэтому скорость там
не так велика, как вокруг заднего края, и тенденция к образованию вих-
вихрей, возможно, не так сильна. Мы продолжим исследование этой про-
проблемы в следующем параграфе.

192 Гл. 10. Решение уравнении Лапласа и Пуассона
Функция Грина в эллиптических координатах. Потенциал, создавае-
создаваемый линейным зарядом с единичной линейной плотностью в точке (х0, у0),
полученный обычным образом из комплексной функции —21n (z — z0),
может быть также выражен через функцию эллиптических координат
для z = -77- a ch w. Мы имеем
— In [(а*/Щ (ew -f e~№ — e№° — e-™°J] =
= — 2 In -J a sh у (ш ¦ f- w0) sh — (o> — w(
— 2 In (a/4) — 2ш — 2 In A — ew»-w) — 2 In A — e.-™»-™), p > pfl(
- 2 In (a/4) - 2a>0 -j- 2 In A - ew~w<>) - 2 In A - e~w~^)t p < p0.
Поэтому функция Грина равна
Г J I "~ J?j — е Lcn ^^о cos n™ cos "^o "t"
n=l
, ^^„го sin n&sin /!&„], [i > [i0, A0.1.32)
G(u, &|p.o, &„)= -
CO
-2 |in + ln( т ] -+- У, — e r'M fch du cos n& cos n&r —
П
-r shnpsin n&sin n&0], p. < pfl.
Как и во всех подобных разложениях функции Грина, ряд сходится
лишь условно, и его можно дифференцировать только тогда, когда плохо
сходящуюся часть этого ряда удается просуммировать и записать в замк-
замкнутом виде.
Например, емкость тонкого провода радиуса р, помещенного внутрь
полого эллиптического цилиндра с большой осью ach рх и малой осью a sh plt
можпо найти, если удастся определить потенциал, создаваемый зарядом
с линейной плотностью q, помещенным в точку (р0, &0), когда при р =
U.J (pj > р0) поддерживается нулевой потенциал. Распределение потенциала
имеет следующий вид:
-L г"м ^ ~ chnri cos и& -^ ^ sn "f^sm /i& - (lO.l.oo)
l
Если z — Zy — pe1'*, где р намного меньше а, то потенциал на ци-
цилиндрической цоверхности р = const с точностью до членов первого порядка
относительно о/а равен
cos» ^ sh» n^, sin» п»
V ~ 2д In (a/4p) + 2^, - Ад У 1 с-«м Г «*» ^ cos» ^
sh n\xl
Отношение qjV есть емкость единицы длины провода, выраженная в электро-
электростатических единицах.
Можно так видоизменить функцию Грина, чтобы она удовлетворяла
нулевым граничным условиям Неймана на границе fi = p.r Например,
можно рассчитать магнитное поле между двумя проводами, проходящими
через фокусы эллипса и окруженными эллиптическим цилиндром

10.1. Решения в двумерном случае 193
([1 = fij) из железа (с магнитной проницаемостью s), по которым текут
токи силы q в противоположных направлениях. Потенциальная функция
«источников» противоположного знака, расположенных в фокусах, равнн
вещественной части функции, имеющей нужные особенности в точках
, 1
2=+ ус:
F (,ь&) = - 4? In [4=J^] = 8q Arth (e^),
т. е. равна
со
*o (f • &) = 8<7 S 2^1 e~Bn+1)l1 cos K2n
71=0
A0.1.34)
= 4G Ar th —:— ,
а «функция тока» равна мнимой части F, т. е.
4
n=0
Эта функция, конечно, разрывна вдоль линии [i = 0, как и все функции
тока, представляющие циркуляцию вокруг особых точек (например,
функция тока вокруг отрезка (i = 0 пропорциональна углу &, который
терпит разрыв при & = 0,2тс), хотя градиент ^ непрерывен.
Как было отмечено выше, функция % представляет потенциал маг-
магнитного поля двух проводов, а функция <|> — магнитные силовые линии.
Влияние железного цилиндра (fi = fij) выражается в добавлении ряда
с членами вида A sh(mfi)sin(m&), непрерывного при (i = 0 и такого,
что граничные условия при fi = fij удовлетворяются. Внутри цилиндра
(u>jXl) решение представляется рядом с членами вида e~m'Lsinm&, схо-
сходящимся при fi-ч* со (здесь нам не нужна непрерывность при р = 0,
так как fi >¦ fij). Граничные условия заключаются в том, чтобы нормаль-
нормальная производная / изнутри поверхности [1 = [*! равнялась нормальной
производной извне (внутри железа), умноженной на е, а сама функция
? была бы непрерывной при tA = fi1.
Окончательное решение имеет вид
8 у
'
sin»
(e-l)e-<2w+1>Msh[Bn
Если проницаемость е очень велика, то граничное условие сводится
к требованию, чтобы поверхность fi = ;ij соответствовала эквипотен-
эквипотенциальной поверхности % = 0, а линии уровня функции ф (магнитные
силовые линии) были ортогональны к этой поверхности. Тогда магнит-
магнитный потенциал внутри железного эллиптического цилиндра, создаваемый
противоположными токами, проходящими через фокусы, является
13 Ф. М. Моро и Г. Фешбах

194 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
мнимой частью функции (w =
F (w) = 8q Ar th (e~~w) + 8q
«=0
Вещественная часть F, как показано выше, представляет магнитные
силовые линии. Отметим, что поле между двумя проводами приблизи-
приблизительно однородно. Расчеты этого типа применяются при конструировании
больших элсктроядерных машин (ускорителей элементарных частиц
и т. п.).
Ряд A0.1.33) можно использовать также для нахождения распреде-
распределения температуры внутри эллиптического цилиндра при продольном
расположении источников тепла. Например, если источник представляет
собой полосу ширины а из металла, обладающего сопротивлением, окру-
окруженную изоляционным материалом, внешняя граница которого есть
эллиптический цилиндр с фокусами, расположенными по краям полосы, то
можно использовать ряд A0.1.33), считая q равным количеству тепла, выде-
выделяемому единицей площади полосы за единицу времени, a ф — температуре
(мы полагаем, что при р-= р^ поддерживается нулевая температура). Так как
-у-а\ sin& | с?& есть линейный элемент поперечного сечения полосы, то мы
1 1
интегрируем -тг Ф по &0, положив р.0 = 0 (мы приписали множитель -=-, по-
тому что, интегрируя от 0 до 2тс, мы проходим полосу дважды). Следова-
Следовательно, в этом случае распределение температуры имеет вид
где уравнение внешней поверхности имеет вид г, + r2 = cch pt [см. A0.1.23)].
Полезно также рассчитать магнитное поле, порожденное двумя
проводами, симметрично расположенными в точках (fi0, &0) и (р-0, — &0),
с токами q, текущими в противоположных направлениях, при наличии
железного эллиптического цилиндра с внешней поверхностью fi = (i,
(fij^ <r fi0). Мы полагаем проницаемость железа столь большой, что маг-
магнитный потенциал можно принять равным нулю всюду на поверхности fir
Потенциал и функция тока, порожденные «источником»+д в точке
w0 = [J-o+z'&o и «источником»—q в точке w0 = [i0—?&0, равны, согласно A0.1.32),
вещественной и мнимой частям функции
[pW_i_p—W pw0 р — w0 "I
w\ w —-— =
Г1 — ~\ Г 1 — 1
-^-(w-4-i0o) sh -^ (w—ш0)
A J L A j
sh| ^(
sh I 4-1
J sh у — (в>—ш0) j
которую можно разложить в ряд
I о • V
,_|
п=1
со
— 8l*9 Zj ^^Sin
К этому выражению надо прибавить ряд по е nw, для того чтобы при
р, = ^ < р.о мнимая часть получающейся комбинации обращалась в нуль.

10.1. Решения в двумерном случае
195
В результате для вещественной части ф, описывающей магнитные
силовые линии, и для мнимой части х> представляющей магнитный потен-
потенциал, получим
= Re [F (w)]
ch
sin
X = Im [F (w)\ -\-8q
«=•1
или
+ ix = 2g In
p) sin (n&0) ch (n\i^) cos (№
]
sh | у(ш—ffi'o) j sh [Hi — -2-(
Sh |_(ш —byo)J Sh ^p,!—
= 2gin Г ch (t,t-,. )-ch (ш+Ь%-^_11
(Ю.1.35)
yr=c
Рис. 10.8. Магнитные силовые линии ф и эквипо-
эквипотенциальные линии ¦% вокруг эллиптического же-
железного цилиндра.
Если эти два провода расположены на концах малой оси железного эллип-
эллиптического цилиндра (fi0 = fij, &0 = — тс), то предыдущие выражения сводятся
к следующим:
Линии й = const (магнитные силовые линии) и ^ = const (магнитный потен-
потенциал) показаны на рис. 10.8.
Потенциал внутри цилиндра с узкой щелью: Теперь, имея в своем
распоряжении результаты, полученные при помощи эллиптических коор-
координат, мы можем найти более точное решение задачи, исследованной
на стр. 182. Это решение будет получено более простым способом.
Мы начнем с выражения для потенциала около заземленной металлической
13*

196 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
плоскости, в которой имеется щель ширины с. Этот потенциал
ф= —-r-
стремится к величине— yciSshfism&= — Еу для больших положитель-
положительных значений р, т. е. для точек, лежащих над осью ж и на неко-
некотором расстоянии от щели. Иными словами, этот потенциал соответствует
полю с напряженностью Е, нормальному к плоскости (х, z). Этот потен-
потенциал равен нулю на поверхностях металла & = 0, те. Для отрицательных
(а (ниже оси х) потенциал быстро стремится к нулю, как это и должно
быть.
Итак, мы показали, что если в однородное поле, имевшее напряжен-
напряженность Е, поместить плоский заземленный проводник, перпендикулярный
направлению поля и имеющий разрез ширины с, то потенциал внутри
щели окажется равным
ф = --ic?sin&= -~cEYl-cosb= -1-
1 1
для у —0, —т>"С<ж<~2"с (начал0 координат помещено в центр щели).
Для заземленного цилиндра радиуса а, помещенного в однородное
поле напряженности Е, образующее угол а с осью х, потенциал в случае
отсутствия щели в цилиндре равен —Е[г—a2/7-]cos(tp— а). Тогда на
поверхности цилиндра в точке <р = 0 нормальная производная равна
1 1
— 2.Е'cos a, a если при—;>-Д<9<~2"А Е цилиндре имеется щель (шири-
(ширины аД с центром в точке г = а, 9 = 0), то потенциал в щели приближенно
равен
Ecosa |/"ГаАJ(аJ
И-B<р/ДJ
для—2~Д<(р<уА г — а- Приближение будет тем лучше, чем меньше
ширина щели аД по сравнению с диаметром цилиндра 2а.
Возвращаясь теперь к формуле A0.1.22), мы можем подставить полу-
полученные значения непосредственно в выражения для коэффициентов Ат
(коэффициенты Вт для этого приближения равны нулю). Используя
интегральное представление E.3.65) функций Бесселя, получим
1
! cos a, m = 0,
X Л
т > 0,
¦1-
Следовательно, для этого приближения потенциал вдоль оси цилиндра
равен — (Еа/32) Д2 cos а. Когда Д весьма мало, потенциал внутри цилиндра
равен
l-(r/a)el
1 —(г/аJ

10.1. Решения в двумерном случае 197
т. е. равен поверхностной функции Грина для условий Дирихле ']> —О
при г = а, за исключением r = a, tp = 0.
Параболические координаты. Как мы показали на стр. 474—478 тома I,
двумерные координаты, для которых волновое уравнение допускает раз-
разделение переменных, получаются при помощи конформных преобразова-
преобразований, представляющих z — x-\-iy как простую функцию новых координат,
z — / (w), w = $j -f i?2. Для полярных координат z = ew, а для эллиптиче-
эллиптических координат 2 = ^асЬ w. Ясно, что уравнение Лапласа допускает раз-
разделение переменных для каждой координатной системы, связанной с кон-
конформным преобразованием, соответствующим любой аналитической функ-
функции /. Тем ка менее те случаи, для которых волновое уравнение также
допускает разделение переменных, представляют особый интерес, и все эти
случаи будут нами изучены. Мы до сих пор не рассматривали случая
параболических координат, соответствующего z = -^-w2, w = \-\-iy] [см. урав-
уравнение E.1.9)]:
^ АГР1' (Ю.1.36)
Точка z = 0 является точкой ветвления для этого преобразования,
и нужно использовать только одну половину плоскости w для того,
чтобы полностью покрыть плоскость z. Линией разреза, выделяющей одно-
однозначную ветвь, может служить любая линия, идущая от z = 0 до z=oo,
и для удобства решения задачи можно так расположить ее внутри гра-
граничной поверхности, чтобы физические условия запрещали переход через
разрез. Например, попе вне поверхности Х = Х0, на которой потенциал
постоянен, равно
В этом случае нам нужно пользоваться только положительными значе-
значениями X, большими Хо, а т] изменяется в пределах от — со до + со.
Вообще, если в точке (Хо, tj) границы X = Хо потенциал равен % (tj),
то вне этой границы он равен
со со
-П) = 4" \ е" а°~Л) dk ) Фо (Р) cos [к (т] - р)] dp, X > Хо. A0.1.37)
0 —со
Если граница есть полуплоскость, заданная уравнением Хо = 0 (отрица-
(отрицательная ось х), а граничные условия заключаются в том, что полоса от
х = 0 до ж=—а имеет потенциал V, в то время как остальная часть
отрицательной оси х имеет нулевой потенциал, то эта общая формула
приводится к виду
J^^^fe]} (Ю.1.38)
Соответствующая функция ^, определяющая силовые линии, равна
Функция Грина в параболических координатах является, как обычно,
вещественной частью функции
] [| ] . (Ю.1.39)

Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Интересный пример применения метода изображений можно построить,
пользуясь полярными координатами с центром в точке X = т] = 0. Предпо-
Предположим, что на положительной части оси х (поверхность тг] = О) поддержи-
поддерживается нулевой потенциал. Решения в полярных координатах, удовлетво-
удовлетворяющие граничному условию ф = 0 при tp = O и <р = 2тс, образуют систему
гг sin ( у ncp J и г 2 sinf - щ ), п= 1, 2, 3
Функция Грина для зтой системы функций равна [см. уравнение
G.2.63I
тг(гJ sin(тп?°)sin(т0' °'
KJ V J K J A0.1.40)
71=1
Наличие коэффициентов, равных у, в показателях степеней и под
__ j_.
знаками синусов соответствует тому факту, что w = X + й] = i/2z = ]/2re2 ,
а при таком преобразовании лишь одна половина плоскости w соответст-
соответствует всей плоскости z.
В другой половине плоскости w можно расположить фиктивные источ-
источники для того, чтобы удовлетворить граничным условиям при -ц = 0. На-
Например, мы получим всю плоскость z с разрезом, идущим по положитель-
положительной части оси х, при изменении X от' —со до +со, а т]— только от 0 до
+ со. Таким образом, если границей является положительная часть оси ж,
то множитель w + w0 в правой части равенства A0.1.39), соответствующий
«источнику» в точке Х= —Хо, t\— —¦»]„, должен быть исключен, и функция
Грина должна быть действительной частью функции
оо 11.,,
[1 Л г 1 1 хп 2 / г Лг" 21П*'РО~<Р'
-тг- (w — wQ) = — 2 In у (X -|- ?•»]) + 2j — ( ) е '
I со 1 1 .
I — 2 In -у (Хо -f гтг]0) + 5j ~ ( ~" j ^ ' г <го-
у. \_ ? J *—' п ч г0 у
п=1
Фиктивные источники должны располагаться в той части плоскости w,
которая не использовалась для представления плоскости z, иными словами,
в той части, где -ц < 0. Как показано на рис. 10.9, изменение tp от 0 до 2тс
(отмеченное сплошными линиями) происходит в «действительной» части
плоскости z (т. е. там, где находятся действительные источники) и соответст-
соответствует положительным значениям tj; изменение <р от 0 до — 2тг (отмеченное
пунктирными линиями) соответствует отрицательным tj и должно быть ис-
использовано для фиктивных источников.
Для того чтобы поверхность т] = 0 имела нулевой потенциал, мы по-
помещаем отрицательный фиктивный источник в точке X = Хо, -q = — ¦»]„
(в «фиктивной» области), и в результате получаем
ai—ш0
Вещественная часть этой функции совпадает с рядом, данным в формуле
A0.1.40). Таким образом, мы, наконец, нашли «практическое» применение
понятия римановой поверхности в окрестности точки ветвления. Здесь один

10.1. Решения в двумерном случае 199
лист соответствует «действительному пространству», а другой «фиктивному
пространству».
Этим исчерпываются все те системы координат, для которых волновое
уравнение допускает разделение переменных. Однако заслуживают обсу-
обсуждения и другие системы, для которых уравнение Лапласа разделяется, а
Источник
^Изображение
Р и с. 10.9. Изображение источника на втором листе
римановой поверхности около точки ветвления в
конце полупрямой ср = О.
волновое уравнение не разделяется. Одной из таких систем являются
гиперболические координаты, для которых z = \r2w= [/2(л + 2ix, 7-а = 2|ш|,
hv,= hx=l/r. Эта система будет рассмотрена в дальнейшем в связи с не-
некоторыми задачами.
Биполярные координаты. Более полезной системой координат, в кото-
которой волновое уравнение не разделяется (но уравнение Лапласа разделяет-
разделяется), является система, соответствующая случаю двух параллельвых ци-
цилиндров или цилиндра (конечного радиуса), параллельного плоскости.
Эту систему можно получить, рассматривая комплексную функцию, опи-
описывающую поле двух противоположных линейных зарядов, удаленных на
расстояние 2а друг от друга:
w = In [(а + z)/{a — z)} = 2 Ar th (z/a).
Положив ffi/ = ?-M6 и z= x-\-iy = ath(w/2), получим
a sh $ a sin 6 , , a
—
chg+cosO' y ch$4-cos6' ' e ch S+cos 6 '
-l /
= п V
sh2?-|-sin20 Г sin 0
Координата б —угловая координата, изменяющаяся от 0 до 2ъ. Коорди-
Координата ? — «радиальная», ее значениям от 0 до со соответствует положитель-
положительная полуплоскость плоскости (х, у), области отрицательных значений %
соответствует область отрицательных значений х. Часть оси х от х = — а
до х= -f а соответствует линии 6 = 0, — со < ? < со; остальная часть оси
х соответствует 6 = тс (а<ж<оо соответствует 0 < ? < со, а — оо < ж < — а
соответствует — со < ? < 0). Линия ? = const есть окружность радиуса
a/sh? с центром в точке x = actb^, г/ = 0; линия б = const есть окружность
радиуса a cosec 6 с центром в точке х = 0, у = a ctg 6 [все 6-окружности
проходят через точки (±я, 0)]. Эта система координат показана на

200
Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
рис. 10.10. Мы замечаем, что на частях окружностей 6 = const, лежащих выше
оси х, значения 6 отличаются на it от значений, соответствующих частям
тех же окружностей, расположенных ниже оси х. Это происходит по оче-
очевидным причинам.
При помощи этой системы координат можно найти распределение потен-
потенциала вне двух цилиндров. Если один цилиндр соответствует поверхности ?0, то
его радиус равен b = a/sh ?0, а расстояние от его оси до оси у равно acth ?0;
если другой цилиндр соответствует поверхности — ^, то его радиус
равен с = a/sh ?x, а расстояние от его центра до оси у равно a cth ?r Поэтому,
Рис. 10.10. Биполярные координаты ? и G.
если расстояние между осями цилиндров равно d, то расстояние а между
фокусами соответствующей биполярной системы координат можно опреде-
определить из уравнения
d — ]/fc2 + a2 + |/с2 + а2. A0.1.42)
Потенциал пропорционален ?, и, если цилиндр радиуса b (? = ?0) имеет
нулевой потенциал, а цилиндр радиуса с (? = — ?а) имеет потенциал F,
то распределение потенциала дается функцией
Л _ т/ Jkz^l _ т/ Arlh K^lrJ A0.1.43)
Arsh (a/b)-\- Arsh (а/с) "
Электрическая напряженность на первой поверхности равна
р ch $0+cos В V
a ?o + ^i
а полный заряд, приходящийся на единицу длины первого цилиндра,
равен
V/2
V/2
Ar sh(a/b) + Arsh (а/с) •
Емкость цилиндров на единицу длины равна, как обычно, q/V. Если
ибис одновременно малы по сравнению с d, то а ^ d/2 с точностью
до членов первого порядка относительно b/а *и с/а, а емкость на единицу
длины приближенно равна
Т
In (d/b)-\-ln (d/c)

10.1. Решения в двумерном случае 201
электростатических единиц, что совпадает с выражением A0.1.11), когда
d — 2y0, а & = с = р. Формула A0.1.44) дает точные значения емкости для
любых геометрически возможных значений Ь, ежа.
Два цилиндра в однородном поле. Наш метод остается прежним: мы
выражаем решение уравнения Лапласа, записанное в некоторой системе
координат, при помощи элементарных решений в биполярных координатах.
Снова, как и в других случаях двумерных систем, мы пользуемся свойст-
свойствами функций комплексного переменного. На этот раз задача будет не-
несколько более трудной, так как даже выражения для однородного поля
оказываются бесконечными рядами. Имеем
1 Л 1 — e~w 1-е™
j
Для ? > 0 мы разлагаем z в ряд по e~w, а для ? < 0 используем ew. Окон-
Окончательные ряды для z имеют вид
г — x-\-iy —
n~i A0.1.45)
-а-2а 2 ( - 1)"е**+ь*г % < 0.
71=1
Отсюда можно получить ряды для однородного поля, имеющего любое
направление. Ряды сходятся всюду, за исключением ? = 0.
Например, выражение для потенциального поля, напряженность кото-
которого (или скорость) образует угол tp с направлением оси, соединяющей
полюсы биполярной системы, имеет вид
х cos tp + у sin tp =
Ь + 2а 2 (- If e~ni cos (nO + tp), 5 > 0,
?г=:1
A0.1.46)
-b-2a 2 (-l)ne"scos(ne-tp), ? < 0,
n=l
где b= a cos tp.
К этому выражению мы должны прибавить такие решения, остающиеся
конечными вне цилиндров, чтобы сумма удовлетворяла граничным усло-
условиям. Частными решениями, остающимися конечными вне цилиндров
(? < h0 ипи ? > — ?i) и периодическими по 6, являются sh (wi?)sin (mti),
sh (m?)cos (m6), ch (mk) sin (mb) и Т: д.
Если дополнительные члены должны стремиться к нулю на беско-
бесконечности (которой соответствует точка ? = 0, б = it;), to можно пользо-
пользоваться функциями sh (m%) cos (mb) или ch(/n?) sin(wi6), но не функциями
ch(m$)cos (m6).
Для случая несжимаемой идеальной жидкости, обтекающей с постоян-
постоянной скоростью v эти цилиндры, граничные условия заключаются в том,
чтобы 5ф/5? равнялась нулю на границах цилиндров 6 = Ео и ? = — $i, как
указывалось выше. Окончательно получим
n=l
2avv ^ (- 1)" { е2п,0^-2п51 [cos И + T) ~ e~2nEl cos (»e -
[cos (n6 - tp) - e2» cos (пб + tp)]| . A0.1.47)
Добавленный ряд остается конечным на бесконечности (?=0, 6 = тг). Этот
ряд, описывающий дополнительное поле, сходится всюду, за исключением

202 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
случаев, когда ?0 или ?а равны нулю, т. е. когда радиус одного из цилин-
цилиндров становится бесконечным и поверхность этого цилиндра совпадает с
плоскостью у, z. В этом случае следует ожидать, что бесконечная плоская
граница будет искажать поле даже на бесконечности, и нет ничего уди-
удивительного в том, что полученный ряд не является всюду сходящимся.
Если оба цилиндра имеют одинаковые размеры (?1 = ?0), то потенци-
потенциальная функция вблизи правого цилиндра (? = ?0) сводится к выражению
со
о XI / л \п Г cos <в cos (пб) sin cp sin (пб) 
v0 a cos ф — 2v0 а У (— 1) —7 , . ; I, А .
и скорость жидкости вблизи, этого цилиндра равна
ch $0+cos б Эф
71 —:? —— —'
cos cp sin (пб) , sin cp cos (пб)
1У+
Средняя скорость будет наибольшей при 6 = 0, т. е. на той стороне пра-
правого, цилиндра, которая обращена в сторону второго цилиндра. Следова-
Следовательно, давление на этой стороне будет меньше, чем на стороне, удален-
удаленной от второго цилиндра, а результирующая сила будет стремиться столк-
столкнуть (или вернее стянуть) оба цилиндра.
Если диаметр цилиндров мал по сравнению с а, то достаточно рас-
рассматривать один лишь первый член ряда. Кроме того, радиус каждого из
цилиндров приближенно равен 2ае~«°, а угол 6 приближенно равен поляр-
полярному углу относительно оси цилиндра, проходящей через точку х = а,
у — О- Давление в точке (?0, 6) на поверхности ? = ?0 приближенно равно
12 о г/ 1,ь 1 m2 Г cos ф sin б sin ср cos О "I2
Р — Р(\ ~~~ "t\' Р^ /"*v"? Р(\ — "Р^л (Cxi Сл —г" COS О i I j— —— I cn>ri
Lt [_ СП Q,Q Sll 40 J
l + ^coseYsins(e + <p) + p0>
причем sh Eo^ch ?0= d/2b при Ъ < а, а d—расстояние между центрами
цилиндров — приближенно равно 2а. Результирующая сила, действующая
на правый цилиндр, приближенно равна интегралу от
[ар (i cos 6 — j sin 6)/(ch ?0 + cos 6)] db,
следовательно, она равна
F~irP^(&7d)[-i(l + 2sin2<p) + jsin29]. A0.1.48)
Ее составляющая по оси х всегда отрицательна, т. с. толкает правый
цилиндр в сторону левого; это взаимное притяжение оказывается наи-
наибольшим, когда асимптотическое направление потока образует прямой
С 1 3 л
угол с отрезком, соединяющим центры цилиндров ( при ip = yit или -=- is J .
Составляющая результирующей силы по оси у для правого цилиндра направ-
лена вверх, если <р заключено между Ои -yir или между тс и -к-тс, и равна
1 3
нулю при <р = 0, у тс, тс или -у тс. Результирующая сила, действующая на
левый цилиндр, равна. вектору F, определенному формулой A0.1.48), взя-
взятому со знаком минус. Отметим, что величина F уменьшается с увели-
увеличением расстояния d между цилиндрами.
Функция Грина в биполярных координатах. Мы выражаем (так же,
как это делалось для других координатных систем) функцию Грина через

10.1. Решения в двумерном случае 203
элементарные решения в этой системе:
F = -21n(z- z0) = - 2In a-21n[th (-j^) -th (y^o)] =
= -2In 2a— 2In [(e^-e-^l+e-") A + e"»)]. A0.1.49)
Разложение этой функции имеет различный вид в зависимости от знака
величин ?, ?0 и 5 — ?0. Например,
_JL_ J + 2 -=-{еп(№"№0) — (— 1)" [e-n
в случае, когда одновременно ? и ?0 положительны и ?0 превосходит ?: но
n=l
для положительного 5 и отрицательного ?0 и т. д. Эти ряды сходятся,
каждый в своей области, но расходятся в предельных случаях, когда ?
или ?0 —» 0, что соответствует оси у и окружности на бесконечности.
Например, пусть по двум параллельным цилиндрическим проводящим обо-
оболочкам, каждая из которых имеет радиус a/ch?0 и расстояние между
осями которых равно 2a cth ?0, текут токи силы / в противоположных
направлениях. Тогда магнитным силовым линиям и потенциалу поля вне
этих оболочек соответствуют вещественная и мнимая части ряда
2те
/ С
о
aFd%
2те
1С
2я > c
¦ о о
где -F и .?"— вышеприведенные ряды, причем в F wo — ?o-\-iQo, а в F' —
Для этого (и других) расчетов нам надо разложить в ряд Фурье
функцию l/(ch?0-f cos60). Мы имеем
1 - V A cos (пЬ ) А - -21. [ c°s Ио) rf6o
( ZJ я V о/' п 2л J ch|0 + cos60
m=0 ¦ 0
где ео=1, еп = 2 (п>0). К интегралу, выражающему Ап, можно приба-
прибавить интеграл
. en f sm(/i60)d60
2u" i с
о
который равен нулю в силу нечетности подинтегральной функции. Сле-
Следовательно,
Производя подстановку eie° = z, мы переходим к контурному интегралу по z:
л sn X. z uz
и == —г
где контуром интегрирования служит окружность единичного радиуса
с центром в начале координат.
Подинтегральная функция имеет один простой полюс внутри контура
в точке z— —е~чч (если ?0 положительно; если же ?0 отрицательно, то

204 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
лежащий внутри контура полюс находится в точке z = — е5°). Вычет в этом
полюсе равен
Вп Г ( е 0)" "| ? > о или -^ Г ~е ^П i ) ? < 0.
Следовательно, искомый ряд Фурье имеет вид
.. ,*—fr =—Vt+ у. 2(~!)ГГ|т|"'1 cos (тЪ.) A0.1.50)
ch|0+cos60 sh:|0|^^J sh||o| v 0/ v ;
независимо от знака ?0 (однако 50 предполагается вещественным).
Возвращаясь к рядам для F и F', мы комбинируем два ряда, исполь-
используя ортогональность cos(n60) и cos(m6n), sin(n60), и получаем функцию
= -тт- 11п (- eW) +
2/о
A0.1.51)
где ? положительно. Вещественная часть этой функции соответствует маг-
магнитным силовым линиям, а мнимая часть— магнитному потенциалу. Ввиду
наличия множителей е~2г1?° ряд сходится весьма быстро и на самом деле
обычно представляет малый поправочный член, добавляемый к главному
члену
Если ток не распределен равномерно по цилиндру, а его плотность
изменяется вместе с 60 по закону ch ?0 + c°s б„ (так, что ток несколько
слабее на стороне, удаленной от второго цилиндра, чем на обращенной
к нему), то дополнительного ряда не требуется, силовыми линиями
являются линии ? = const, а потенциал пропорционален 6. Таким образом,
наличие второго цилиндра искажает поле вокруг равномерно распределен-
распределенного по поверхности цилиндра тока, и магнитные силовые линии вблизи
цилиндра уже не параллельны его поверхности.
10.2. Комплексные переменные и двумерное уравнение
Лапласа
В предыдущем параграфе мы исследовали решения уравнения Лапласа
в двумерном случае при помощи методов, которые, вообще говоря, годятся
и для трех измерений и для других уравнений. Мы находили решения
с помощью собственных функций для различных систем координат, в кото-
которых переменные разделяются, и составляли ряды для функции Грина в этих
координатах, показывая на примерах, как могут быть удовлетворены
различные граничные условия. Но в процессе исследования выяснилось,
что для уравнения Лапласа с двумя переменными существует весьма эффек-
эффективный специальный аппарат — аппарат функций комплексного перемен-
переменного, позволяющий упростить наши вычисления и получить решения,
недостижимые иными путями. В этом разделе мы отойдем от основного
направления наших исследований, с тем чтобы выяснить, что может дать
нам этот специфический аппарат в случае двумерного уравнения Лапласа.
Мы начнем с функции F (z) = ф + ij. комплексного переменного z = x -+- iy,
где х и у—декартовы координаты для изучаемой двумерной задачи (все
величины, по условию, не зависят от третьей декартовой координаты).
В гл. 4 было показано, что как вещественная часть <1), так и мнимая

10.2. Комплексные переменные и двумерное уравнение Лапласа
205
часть х являются решениями двумерного уравнения Лапласа и связаны
между собой уравнениями Копт — Римана
дф __ дх 9| _ Эх Mf) 9 л,
~дк~~д1}' ~bj дх • (ш.^.1)
Иными словами, функция F (z) является аналитической функцией от z (за
исключением дискретного множества особенностей), но комбинация F(z)
и F (z) или F (z) не является аналитической функцией от z. Однако ком-
бинации -g- (F -j- F) и -^-(F— F) (и вообще любая линейная комбинация
F и F), рассматриваемые как функции жиг/, являются решениями урав-
уравнения Лапласа по х и у.
Можно перейти к новой системе координат при помощи конформного
преобразования, определенного функциональным соотношением z = /(Q,
?=?-|-?т], где ? и т] —новые координаты. Коэффициенты Ламе равны грп
этом друг другу и система ортогональна, так как преобразование конформно:
(Ю.2.2)
Так как / зависит от одного лишь l,, to комплексно сопряженная функция
f — x — iy зависит от одного лишь ? = ? — щ.
Так как F — функция от z, то она также может быть записана как
функция от С. так что любая линейная комбинация ф и х является решением
уравнения Лапласа в координатах ?,tj, а Ф и ]( связаны соотношениями,
такими же, как и A0.2.1), лишь вместо х,у нужно подставить ? и тд.
Аналогично комплексно сопряженная функция F = ф — iy. зависит от одного
лишь l, (не зависит от Q, если F есть функция от z, a z = / есть функ-
функция от С-
Мы, конечно, помним, что комплексные числа могут рассматриваться
как векторы с определенной длиной и направлением. При помощи единич-
единичных векторов i, j, k функция Ф = R + iJ может быть записана какШ + Jj.
Как показано в § 4.1, дифференциальные операторы grad, div, rot для двух
измерений можно записать при помощи комплексных чисел. Например,
для скалярной функции R вектор gradi? можно записать как комплекс-
комплексное число
Vi? = g+^; A0.2.3)
тогда Vi? = dR/dx — idR/dy будет комплексно сопряженным с V/?. Вообще
говоря, если R — произвольная вещественная функция вещественных пере-
переменных х и у, то комплексные величины VR и VR не являются аналитиче-
аналитическими функциями от z.
Если скалярная функция R от х и у есть длина вектора Rk, нормаль-
нормального к плоскости (х, у), то его ротор равен
.,„,. .91? .91? dR .dR ._D ,.n „ ,.
rot (Rk) = 1__л_или^--1^=- iVR. A0.2.4)
Далее, если O = R + iJ есть комплексная функция от х и у (не обяза-
обязательно являющаяся аналитической функцией от z — x-\- iy), представляю-
представляющая вектор Ф в плоскости (ж, у), то мы получим [см. уравнение D.1.6)]
вещественная часть V<D равна дивергенции вектора Ф, а мнимая часть равна
rotz Ф — составляющей его ротора по оси z. Если Ф является аналити-

206 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
ческой функцией F (z), то из уравнений A0.2.1) следует, что Т7?=ТФ = 0
и, следовательно, что V(D=XF — 0 и div<D и rot<D равны нулю (ср.
стр. 334 тома I).
Последнее утверждение станет много понятнее, если мы выразим эти
величины не через вещественную и мнимую части R,J и действительные
аргументы х и у, а (если сможем) через функцию Ф комплексного аргу-
аргумента z и его сопряженного z. Так как x = -^-(z -t- z), a y = -y-i(z—z), то
комплексную функцию <D(z,z) от х и у можно представить как функцию
от z и z или от Z, и Z, [см. уравнение A0.2.2)]:
2^ 4?
dz f dt,
а лапласиан равен
dz f дК, ' v ;
^2 ' ду* ' &a- 1 /' |
В этих уравнениях Ф может быть, в частности, чисто вещественной функ-
функцией (Ф = R), либо чисто мнимой (Ф = iJ). Однако, если Ф является функцией
F от одного только z (т. е. аналитической функцией от z, за исключением
дискретного множества особенностей), то F = i>—iy является функцией
от одного только z, и мы имеем
V^F = V2~F = V26 = V2x = 0 A0.2.7)
всюду, за исключением дискретного множества особенностей F. Тогда
комплексные числа, представляющие векторы, являющиеся градиентами от
вещественной или мнимой частей F (z), равны [согласно равенствам A0.2.6)]
1 A0.2.8)
=-2"tV(.F — F)= — ?grad(J>, z /(?)
где можно брать производные по z или по?, а затем переходить к комплексно
сопряженным числам, либо брать производные от F по z или ^. Имеем
соответственно
rot (k*) = »Тф = ? (^-) ¦= i rot
где F является функцией от z и не является функцией от z.
Поля, граничные условия и аналитические функции. Имея в виду
все сказанное, мы можем легко восстановить в памяти соотношения, суще-
существующие между различными удобными для приложений аналитическими
функциями F (z), их вещественными и мнимыми частями ty и х> их произ-
производными по z (или по другой переменной ? = ? + щ, представляющей дру-
другую систему координат) и физическими величинами, относящимися к раз-
различным задачам, связанным с решениями ураввений Лапласа и Пуассона.
Например, для двумерных электростатических (или гравитационных) задач
мы подбираем аналитическую функцию F (z), такую, что ее вещественная
часть ф (х, у) есть электростатический (или гравитационный) потенциал.
Тогда ее мнимая часть х (х> У) представляет силовые линии. Комплексная
величина —grad<!'= — (dF/dz) представляет вектор напряженности, а вели-
величина A/4тс) | dF/dz | в точке на поверхности проводника равна плотности
заряда в этой точке. Обычно задача заключается в том, чтобы найти такую
функцию F (z), чтобы границы (на которых потенциал постоянен) совпа-
совпадали с одной или несколькими кривыми семейства ф = const.

10.2. Комплексные переменные и двумерное уравнение Лапласа 207
Весьма эффективен метод, состоящий в переходе от данной задачи
теории потенциала с граничными условиями Дирихле на заданном контуре
к другой задаче с аналогичными условиями на контуре, отличающемся
своим видом от первого. Мы находим конформное отображение С = С (z)
[или z-=/(C)], при котором старая граница преобразуется в новую; тогда
новый потенциал будет вещественной частью функции F (С), а ее мнимая
часть будет соответствовать силовым линиям; напряженность будет выра-
выражаться комплексной функцией— (iff) (dF/dQ). а плотность заряда в дан-
данной точке проводящей поверхности в новых координатах будет равна
значению A/4тс | /' |) | dF/dQ \ в этой точке. Некоторые примеры применения
этого метода будут рассмотрены ниже в этом же параграфе.
Для магнитостатического случая мы обычно выбираем х в качестве
магнитного потенциала, а ф соответствует магнитным силовым линиям.
Тогда напряженность магнитного поля равна grad х =l (dF/dz) = (i/f')(dF/dQt
Для установившейся диффузии ф обычно выражает плотность диффундирую-
диффундирующего вещества (или температуру), а плотность потока равна — a2 (dF/dz),
где а—постоянная диффузии [см. уравнение B.4.3)].
Полный поток вещества между двумя линиями тока Хо и Xi и ДВУМЯ
плоскостями, параллельными плоскости х,у, расстояние между которыми
равно единице, можно получить, интегрируя — a2 grad ф = — а2 (dF/dz) вдоль
линии уровня функции <Ь (эта линия всюду ортогональна к потоку) от Хо
до Xi- Интегрирование производится по пути, вдоль которого ф не изме-
изменяется, следовательно, интеграл от — (dF/dz) в точности равен прираще-
приращению х и полный поток равен а2 (у^г — х0). Аналогично полный магнитный
поток между силовыми линиями, ф0 и ф^, приходящийся на единицу высоты,
в точности равен t!>j — ty0.
Для установившегося потока несжимаемой жидкости уравнение B.3.14)
приводится к виду
Y ptJ")-j-27jrotw-2pvxw = 0, A0.2.9)
где р — давление, V—гравитационный потенциал (или другой объемный
потенциал), р—плотность жидкости, ч] — ее коэффициент вязкости, v — ее
скорость, a w = -n-rotv—ее вихрь. Так как жидкость несжимаема, то
divv = 0, а это значит, что v равна сумме градиента скалярного потенци-
потенциала и вихря векторного потенциала.
Для безвихревого потока векторный потенциал равен нулю и v опре-
определяется скалярным потенциалом скоростей, являющимся решением уравне-
уравнения Лапласа. Для двумерного потока этот потенциал равен вещественной
части некоторой аналитической функции от z, F (z) = ф -f- г'х, где х — соот-
соответствующая функция тока. Скорость жидкости определяется комплексной
функцией—Viji = — (dF/dz), а полный поток жидкости между линиями тока
Хо и Xi> приходящийся на единицу толщины слоя, параллельного плоско-
сти х,у, равен Xi~Xo- В этом случае р -\- V -+- -^ pv2 есть величина по-
постоянная, так что давление в каждой точке равно
р = const - V — 4- Р \dF/dz I2, A0.2.10)
что представляет собой двумерную форму уравнения Бернулли. Обычно
задача заключается в отыскании аналитической функции F (z), для кото-
которой функция тока х такова, что граничная поверхность совпадает с одной
или более линиями х= const. Если это сделано, то результирующая сила
на границе может быть вычислена при помощи уравнения A0.2.10).

208 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Если поток не является безвихревым, но настолько медленный, что члены
2pv х w и у ри2 в уравнении A0.2.9) весьма малы по сравнению с остальными
членами, то, как показано на стр. 176, 177, мы находим аналитическую
функцию W(z) с вещественной частью (р + V)/2-q, определяющей давление,
1
и мнимой частью, равной со знаком минус величине вихря w=-=-rotrv,
который в двумерном случае нормален к плоскости х,у. Теперь скорость
уже не может быть только градиентом скалярного потенциала; необходимо
также использовать векторный потенциал, нормальный к плоскости х, у.
Пусть скалярный потенциал скоростей равен <[>, а векторный А = ^4к; тогда
скорость равна
. . , , . Г дА д-Ь \ . f дА дЬ\
v = rotA — grad(b=i( -^ -?- ) —if -^- + ^- ) -
V &У 3х У J \ дх ' ду J
Чтобы выразить скорость при помоши комплексного переменного,
заметим, что скалярный потенциал равен вещественной части аналитиче-
аналитической функции F(z) = ф-ы"х (так как V2([> должен равняться нулю), но А,
вообще говоря, зависит одновременно от z и z (т. е. является произволь-
ной функцией от ж и у). Представим <[> (х, у) в виде функции -y[F (z) -j-F(z)]
от i a z, а затем используем равенства A0.2.4) и A0.2.6), чтобы получить
комплексную запись вектора v:
v = vx + ivv = - (d/dz) \ТЩ + 2iA (z, z)], A0.2.11)
где F (z) — комплексная функция от z = x-\-iy, F— функция от z, a A—
вещественная функция от z и z = x — iy.
Связь между функциями F и А и функцией давления-завихренности
W (z) = [(р + V)/2t]]—iw получается из определения вихря w = -yrotv. Так
как дивергенция v равна нулю, то, используя равенства A0.2.5) и A0.2.6),
получим
• 9v о д2А 1 . 1
12 го1^ и'
Поэтому соотношение между А и W может быть выражено следующим
образом: находим аналитическую функцию U(z), такую, что dU/dz=W(z),
а затем полагаем
A = ±hn[zU(z)]= - ^ifzU(z)-zU(z)], A0.2.12)
откуда следует, что
r = U' (z) _ U' (z) = - 2iw,
z
dzdz
если U'(z)~W(z). Следовательно, при помощи двух аналитических функ-
функций U и F выражения для скорости, вихря и давления для медленного
потока вязкой жидкости записываются в виде
v = -?Щ - 4 U(z) + ~- zTFfzj = vx + iv,,,
A0.2.13)
w=-Im[U'(z)], p=-V + 2-qRe[U'(z)], У '
где V есть гравитационный потенциал жидкости.
Граничным условиям можно удовлетворить, подбирая U и F таким
образом, чтобы функция тока

10.2. Комплексные переменные и двумерное уравнение Лапласа 209
определяла линии тока 2 — const, совпадающие с границами. Нетрудно
показать, что grad й = — iv, так что скорости всюду параллельны линиям
S2 = const, а разность Qx — Qo равняется полному потоку жидкости между
линиями тока 20 и Qlf приходящемуся на единицу толщины слоя, парал-
параллельного плоскости х, у (в этом и состоит определение функции тока).
Оказывается необходимым в каждой координатной системе, заданной
соотношением z = / (Q, найти такую функцию U (z), чтобы мнимая часть
/(?)?/[/(?)] равнялась нулю или постоянной величине на граничной поверх-
поверхности | = ?0 или 7J = 7Jo (CM- СТР- 176).
Наконец, нам желательно найти выражение для силы воздействия
жидкости на граничную поверхность. Она также должна представляться
в комплексной форме; наилучшим образом ее можно выразить при помощи
силы, действующей на элемент поверхности. Рассмотрим элементарную
площадку единичной длины в направлении, перпендикулярном плоскости х ,у.
Пусть ширина этой площадки равна dz = dx-\- idy, причем dz харак-
характеризует ширину площадки не только по ее величине, равной \dz\, но
также и по направлению. Вектор, «представляющий» элементарную пло-
площадку, перпендикулярен dz и равен \dz\ по длине. Если предположить,
что для наблюдателя, стоящего по направлению оси Oz, «внешняя сторона пло-
площадки» расположена справа, то векторный элемент площади равен— idz —
= dy—idx, т. е. вектору, нормальному к dz и равному ему по длине.
На эту элементарную площадку действует сила, порожденная давле-
давлением жидкости и равная ipdz, где р — скаляр, определяемый равенст-
равенством A0.2.10) или A0.2.13). Силу, действующую на эту площадку и порож-
порожденную вязкостью жидкости, можно получить при помощи соотноше-
соотношения B.3.10). Для случая двух измерений в комплексной форме записи
дополнительная сила, вызванная вязкостью, равна
с учетом того факта, что dvx/dx= — (dvy/dy), так как divv = 0. Когда
вектор v задан выражением A0.2.13), можно привести это соотношение
к виду
dP = -rj (dx - idy) (j~-\i§^) (ivx - vv) = li-qdz || =
= - щ [2F" (z) - zU" (z)] dz. [A0.2.14)
Для медленного потока вязкой жидкости это выражение может быть
использовано как в случае безвихревого потока (?/ = 0), так и в случае
завихренного потока (U ф 0). Однако в случае чисто потенциального потока
общая сила, действующая на границу от точки z0 до точки zlt равна
dz
и если границей служит замкнутый цилиндр или призма, то zx = zp
и результирующая сила, порождаемая вязкостью, равна нулю. Так как
потенциальный поток предполагает ничтожно малую вязкость, мы не
должны удивляться тому, что силы, порождаемые вязкостью, взаимно
уничтожаются. Если U не равно нулю, то v не является функцией одного
только z и интеграл по замкнутому контуру не обязательно равен нулю.
Некоторые элементарные решения. Согласно программе, изложенной
на стр. 204, 205, мы должны начать с нескольких особенно простых решений,
соответствующих различным физическим условиям, и подробно разобрать
14 ф. м. Морс и Г. Фешбах

210 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
их. Затем могут быть получены и прочие решения простым (?) процессом
подбора конформных преобразований, переводящих простые границы
в границы, фигурирующие в новых задачах.
Наиболее простым случаем является, конечно, случай параллельных
границ у = у0 и у^=Ух- Здесь потенциал обычно просто пропорционален
самому z. Например, для электростатической задачи, в которой потен-
потенциал на границе у — у0 равен нулю, а на верхней границе у = у1 равен V,
потенциал между пластинами выражается вещественной частью комп-
комплексной функции
Р (у\ — (Ь u iv — 1 ( — /V — it \ — V У~У«"~1аг 10 ? 1 'л
' ' Ух г/о .i/i г/о
Напряженность, электрического поля в точке z между пластинами равна
— F' (z) = — iVl(yx — у0), направлена по оси у и (в простейшем случае) не
зависит от z. На каждом из граничных проводников плотность заряда
равна F/4rc (ух — у0), так что емкость, приходящаяся на единицу площади
пластины, равна l/4ic (y1 — у0) электростатических единиц.
Для потенциала безвихревого потока между пластинами, имеющего
скорость v0, соответствующая аналитическая функция равна
F(z)=—voz, 6=— vox, /= —иау.
Скорость —F' (z) = vQ всюду постоянна, а полный поток между грани-
границами, приходящийся на единицу глубины, равен разности значений х на
границах, т. е. vo(y1 — у0). Если давление на верхней пластине равно
нулю, то на нижней оно равно pg^ — y0), где g— ускорение силы
тяжести.
Для потока вязкой жидкости между параллельными пластинами
функция U (z), введенная на стр. 176, 177, пропорциональна z или z2 в зави-
зависимости от граничных условий. Если верхняя пластина движется со ско-
скоростью v0 в направлении х, а нижняя неподвижна, то мы положим
Ух г/о V * J 2/i ,1/о - Ух — г/о
Так как
- г/1 — г/о
мы видим, что скорость в точке z равна
v = —^— Г ~ Ох + у 2у) I1 (у и) + (у ir) 1 = v у~Уо
= —^— Г ~ Ох + у- 2у0) -г I1 (у - и) + ~ (у - ir) 1 = v..
г/1—г/о L - v у Уо! 4 ку '^ 4 ку > \ "
Аналогично вихрь в давление в точке z равны ц> = —— , и р = og (у. — у),
У\ — .'/о
причем вихрь отрицателен (направлен по часовой стрелке) и не зависит
от положения точки, а давление зависит только от силы тяжести. Исполь-
Используя формулу A0.2.14), найдем, что сила, приходящаяся на единицу пло-
площади дна (неподвижного), равна — 2irtF" = Т°п/(Ух ~~~ У о) и направлена
в положительном направлении по оси х.
С другой стороны, если обе пластины неподвижны, а жидкость про-
прогоняется между пластинами, то, положив
F B) = l~^f I - О* - »/оK + 31{У1 - у0) (z - 1

найдем, что
Ь^Ч? [{У1 ~ Уо) {у ~ Уо) ~{У~ УоГ]
{У ~ Уо) (?/
Плоскость w
A0.2.-17)
i Q — полный поток жидкости между пластинами, приходящийся на
аницу толщины в направлении, перпендикулярном плоскости х, у. Вихрь
вен нулю на средней линии у — — (г/0 -j- yj, положителен (направлен про-
в часовой стрелки) выше средней линии и отрицателен (направлен по часо-
й стрелке) ниже ее. Давление принимается
вным нулю в точке г = хо + гуг. Оно возра-
1ет с убыванием у под действием силы тя-
!Сти, а также возрастает с убыванием х, так
к необходима внешняя сила, чтобы прогонять
зкую жидкость между пластинами.
Получив простые решения физических за-
ч для прямоугольной системы, мы покажем J"
аерь, как перенести эти решения на другие
стемы координат. Одно из простых преобра-
ваний переменных определяется соотноше- Плоскость г
[ями (см. рис. 10.11)
Л
A0.2.18)
[О переводит пару параллельных пластин
1 и СВ в плоскости w в пару пластин, обра-
ющих угол а и пересекающихся в точке z = —а
гаоскости z. При этом преобразовании началу
ординат (ш = 0) соответствует точка z = 1 — а
юскости z. Если пластина С А (<р = 0) имеет
левой потенциал, а пластина С В (о = а) —
тенциал Vo, то потенциал между пластинами
жно получить из A0.2.15), заменив z на ш и положив уо — 0, уг~ а :
F (z) = F (w) = ^ + »х = - iVow/a = (_ iV0/a) In (z - j- a) =
Рис. 10.11. Переход от пря
моугольных координат и по
лирным при помощи конформ
иого преобразования.
:випотенциальными линиями (tp = const) являются лучи, проходящи(
рез точку z= — а под различными углами ср к оси х. Силовыми линия
: (t = const) служат дуги окружностей различных радиусов г=е-с цент
м в точке z = —а. Напряженность в точке z (или w в зависимост!
выбранной системы координат) равна
Г— —
If dw
гследнее выражение явно указывает на то, что напряженность обратн<
опорциональна г = е-, т. о. расстоянию от точки z= — а, образуе-
ямой угол с радиус-вектором и обращена в сторону вещественно!
и. (Направление напряженности характеризуется множителем — ге»
потому получается из направления этого радиус-вектора, характеризуе
iro множителем ei(e, поворотом на — 90°.) Плотность заряда в точке ;
нижней пластине равна A4rc)IF' z)\= V^/Атслг и убьтпавт г.

212 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Если функция F описывает поток, протекающий между пластинами,
то она имеет вид —vow — — v0 In [(z-fa)/а]. Здесь линии тока исходят
из центра z— —а, а линии постоянного потенциала скоростей являются
дугами концентрических окружностей. Скорость равна — F' (z) =
= [voe ~w] = voe~~+l<P, имеет величину vo/r и направлена по радиусу.
В случае потока вязкой жидкости между двумя пересекающимися
пластинами необходимо выбрать комплексные функции F (z) и U (z) так,
чтобы функция тока S, введенная на стр. 208, зависела только от ср.
Оказывается, что в данном случае это осуществить легче, чем в прямо-
прямоугольных координатах. Это было сделано на стр. 177. Так как
г = е5~4?—а, то мы можем выбрать
U = Ce~w, F = — у Ce-W + Bw.
Функция А, определяемая формулой A0.2.12), равна
а скорость, определяемая формулой A0.2.11), равна
v = -- Л- -=- [ — (Те-™ + 2Bw + Cew~w — Ce~w —~Cew-™ + Се-™]
2/' dw
| cos Bcp — C)], где С = |С|еЧ
Для того чтобы получить v = 0 при ср = 0 и ср = а, положим [3 = а,
a B= — |C|cosa. Тогда функция тока будет равна
Q = -77 | С \ sin Bср — а) — | С | ср cos a.
Для завершения решения задачи используются равенства A0.1.17) и сле-
следующие.
Преобразование, пригодное для цилиндрических поверхностей, можно
получить, положив в выражении A0.2.18) а==0. Электростатический слу-
случай получается при F = [Vo/(%1— ?0)] (w— ?0); вещественная часть этой
функции есть потенциал, равный нулю при г = ег° и равный Vo при
г = eSl. Плотность заряда на внутреннем цилиндре равна
i I dF
4л | dz
а площадь поверхности, соответствующая единице длины цилиндра, равна
2тсе;о, так что на единицу длины приходится заряд, равный FO/2E1 —50),
откуда можно вычислить и емкость.
Для вязкой жидкости, находящейся между неподвижным внутренним
цилиндром радиуса г0 = ег° и внешним цилиндром радиуса гг = е51, вра-
вращающимся с угловой скоростью ш, мы можем выбрать функции F и Jj
так, чтобы функция тока
г- Я
зависела только от одного ? (и не зависела от ср). Это означает, что U
может равняться iCz = iCew, а F, возможно, будет равной iBw, где
¦С и В — вещественные числа. Тогда модуль векторного потенциала будет
1 —
равен А= —-Cew+W, а скорость равна по величине
[ C] = ie
/' dw

10.2. Комплексные переменные и двумерное уравнение Лапласа
213
и направлена в сторону положительных <е. Следует так подобрать В и С,
чтобы получить |»| = 0 при ?=?0 = 1пг0 и f0==wri ПРИ ?=61=1пг1. Это
дает B=—Ce2i<> и С = о0е-5»/2 sh (lL — 50), откуда в силу A0.2.3) имеем
Результирующую силу на внутреннем цилиндре можно подсчитать при
помощи формулы A0.2.14). Так как U = iCz, то ?/"=0; так как
F ~ — iCe2*» In z, то F" — 1Се2г°/г2 = iCe~'Mt при ? = ?0 и> наконец,
dz = ie;o+ilP dtp при ? = ?0, откуда находим, что
dP =
при q = 50 и>
и направлен в сторону положительных <р по касательной к поверхности
цилиндра.
Результирующая сила, действующая на внутренний цилиндр, в точ-
точности равна выталкивающей силе перемещающейся жидкости, так как
интеграл от dP равен нулю. Однако момент
на внутреннем цилиндре, порожденный
силой dP, равен г01 dP \ = ег« | dP \, так что Л" Ц
результирующий вращающий момент, \ г
порождаемый вязкостью, равен \
плоскость
Р
\ I /
-7 Т ^~
Преобразование решений. Примене-
Применение последовательных преобразований ча-
часто приводит нас к требуемой граничной
поверхности. Например, преобразование
ш
w = и + iv = c
= x-\-iy, A0.2.19)
Плоскость z
i-
показанное на рис. 10.12, переводит ве-
вещественную ось v = 0 в ломаную линию:
положительная полуось х, отрезок оси у от
нуля до ia, положительная часть прямой
у— а (ниже в этом же параграфе мы по-
покажем, как получать такие преобразова-
преобразования более или менее произвольно). Теперь,
если мы имеем решение, соответствующее
граничным условиям, заданным на веще-
вещественной оси, мы можем при помощи
введенного преобразования перейти к ре-
решению, для которого граничные условия задаются вдоль границы ABCDE,
показанной на рис. 10.12.
Например, потенциал, возникающий, когда часть плоскости v = 0 от
и = 0 до и = + оо имеет нулевой потенциал, а остальная часть этой пло-
плоскости имеет потенциал Vo, равен вещественной части функции
Рис. 10.12. Конформное отображе-
отображение области АСЕ, леягашей в пло-
плоскости и), па плоскость z. Эллипти-
Эллиптические координаты в плоскости w
переходят в прямоугольные коорди-
координаты в плоскости z.
Выполнив замену переменных при помощи формул A0.2.19), мы получим

2:14 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Вещественная часть этой функции равна лотенциалу, возникающему,
когда часть плоскости, обозначенная на рис. 10.12 через ABC, имеет
нулевой потенциал, а часть СОЕ имеет потенциал Vo.
Далее магнитный потенциал вокруг провода, проходящего через
точку w = ib перпендикулярно к плоскости w, по которому течет ток
силы q в направлении к плоскости w, причем плоскость v = 0 является
границей железной плиты с высокой магнитной проницаемостью, распо-
расположенной вниз от этой плоскости, равен [см. A0.2.24)] мнимой части
функции
F = -2g In
Поэтому магнитный потенциал, создаваемый током силы q, текущим
в направлении от читателя по проводу, проходящему через точку
х = (a/iu)Arsh6, расположенную в прорезе, проделанном в массе железа,
как это показано на рис. 10.12, равен мнимой части функции
F = - 2g In [ch2 (rcz/a) + bz].
Например, напряженность магнитного поля вдоль граничной поверхности,
соответствующей положительной части оси х, равна
dF I \dF\
?_ JJ
dz |л=и ! dw | | dz/dw | ~ a
В качестве третьего примера мы можем показать, что установив-
установившаяся температура в верхней полуплоскости w, когда отрезок — 1 < и < + 1
оси и поддерживается при температуре То, а остальная часть оси и имеет
нулевую температуру, оказывается равной вещественной части функции
F— —i —^ In ——f = у Ar cth kj.
я Lf-f-lJ я
Следовательно, распределение температуры в полубесконечной сплошной
плите ширины а, торец которой поддерживается при температуре То,
а стороны при нулевой температуре, выражается вещественной частью
функции
F = BП\1%) Ar cth [ch (%z/a)].
Этот результат был уже получен другими методами [см. A0.1.8.)].
Можно применять преобразования последовательно для получения
новых полезных примеров. Например, если подвергнуть преобразованию
A0.2.19) плоскость C = S + nj вместо плоскости z, где w = ch?, то можно
перейти к преобразованию l, = In (z/a) или z = ае'. При этом точка В
в плоскости Z, (точка С = 0) соответствует точке z=--a, линия BCD на
плоскости ?@<т}<ти) соответствует полуокружности с центром в точке
z = 0 радиуса а, а линия DE соответствует части оси х, лежащей левее
точки х = — а. Следовательно, преобразование w = 2а ch [In (z/a)] = z + azjz
переводит вещественную ось и плоскости w в линию, состоящую из
частей вещественной оси и полуокружности, показанную на рис. 10.13.
Благодаря наличию множителя 2а производная dw/dz —> 1 для больших зна-
значений z (это означает, что плоскости w и z совпадают при больших z).
Если задача заключается в исследовании безвихревого потока
идеальной жидкости, обтекающего цилиндр, то мы можем начать с простого
потенциала F — — vow, соответствующего однородному потоку в плоскости w,
движущемуся вправо со скоростью и0. Совершив преобразование, получим
функцию
вещественная часть которой равна потенциалу скоростей (см. стр. 207).

10.2. Комплексные переменные и двульерное уравнение Лапласа 215
Далее, если часть плоскости z, лежащая выше линии ABCDE, изо-
изображенной на рис. 10.13, заполнена проводящим тепло материалом, на
полуокружности BCD поддерживается температура То, а на остальной
10. ff pl Плоскость иг
I 'l I
-/
IS
\
'—fc—fe""
i /
Ы —"¦
Плоскость z
Рис. 10.13. Преобразование эллиптических
координат в плоскости w в полярные коор-
координаты в плоскости z.
части границы нулевая температура, то распределение температуры
описывается вещественной частью функции
F = Bi7'0/ir) Arcth [z + a2/z]
и т. д.
Циркуляция и подъемная сила. Благодаря компактности комплексных
обозначений вычисление ряда величин, связанных с двумерными полями,
можно осуществить значительно проще, чем в § 10.1. Это видно, в част-
частности, при изучении потока идеальной жидкости вокруг цилиндров раз-
различной формы. На стр. 189, 190 мы разбирали случай, когда наличие
острого заднего края вызывало циркуляцию жидкости вокруг цилиндра
в дополнение к безвихревому потоку, обтекающему цилиндр. Здесь мы
используем преимущества метода комплексного переменного, чтобы более
подробно изучить простейший случай и чтобы показать, как при помощи
конформного отображения могут быть довольно просто разобраны и другие
случаи.
Простейшей задачей является обтекание потоком с циркуляцией кру-
кругового цилиндра радиуса а, перпендикулярного плоскости ?. Как 'указы-
'указывалось на стр. 30 и 426 тома I, потенциал скоростей для такого потока
равен вещественной части функции
где Vq— скорость (вдоль оси ?) жидкости на бесконечности, a- vr—цирку-
vr—циркуляция жидкости вокруг цилиндра.
Скорость жидкости у поверхности цилиндра равна — F' в точке
s=cteie, т. е. равна
v0 — voe2i6 — i (vr/a) eie = — iei6 [2o0'sin 6 + vr/a].
Скорость направлена по касательной к этой поверхности, как и должно
быть. Вдоль верхней части поверхности она направлена по часовой
стрелке (в направлении отрицательных 6), и если vr положительна, то
величина скорости жидкости вдоль верхней части поверхности, вообще
говоря, больше, чем вдоль нижней (другими словами, циркуляция уско-
ускоряет поток у верхней части поверхности и замедляет его у нижней).

216
Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Сила, действующая на цилиндр (если пренебречь силой трения, по-
порожденной вязкостью), вызвана давлением жидкости в соответствии с урав-
уравнением Бернулли B.3.16). Она состоит из двух компонент: вертикальной
выталкивающей силы, равной весу вытесненной жидкости, и силы, равной
интегралу по полной поверхности от падения давления — -^ ри2, вызванного
скоростью жидкости. Эта часть, приходящаяся на элемент цилиндра еди-
единичной длины, параллельной оси цилиндра, ширина которого равна
dz = iaei6dQ, составляет
1 1
pjdz = — у р | dF/dz |2 i dz = -^ pa [2v0 sin 6 -f vjaf eifl dQ,
причем idz перпендикулярно dz и направлено внутрь цилиндра, когда
интегрирование по поверхности цилиндра производится против часовой
стрелки (в направлении возрас-
возрастающих 6). Следовательно, пол-
полная сила Бернулли по величине и
направлению равна
Плоскость
~?а
[4о0 sin2 6 + 4-^- sine
¦Разрез
~ Таким образом, подъемная
сила, действующая на единицу
длины цилиндра и возникающая
в результате совместного действия
скорости потока и циркуляции,
равна
L = 2ispvovr. A0.2.20
Эта формула весьма интересна.
Во-первых, она указывает на то,
что подъемная сила не зависит от
Разрез диаметра цилиндра; очевидно, что
при заданных v0 и vr чем меньше ци-
цилиндр, тем больше сила, действую-
действующая на элемент площади, так что
результирующая сила не зависит от
а. Во-вторых, формула A0.2.20)
показывает, что подъемная сила
пропорциональна произведению
скорости потока на циркуляцию;
если либо v0, либо vr равна нулю,
то подъемная сила равна нулю.
Благодаря сочетанию этих факторов возникает разность значений v2 у
верхней и у нижней поверхности цилиндра.
Теперь мы в состоянии видоизменить линии тока и форму границы
при помощи конформного отображения с тем, чтобы найти подъемную силу
для цилиндров с другими поперечными сечениями. Можно показать, что
если при отображении плоскости ? на плоскость z на большом расстоянии
от цилиндра плоскость z совпадает с плоскостью С, то подъемная сила
для нового цилиндра будет такой же, какой она была для кругового ци-
цилиндра, т. е. будет определяться формулой A0.2.20).
Рис. 10.14. Потенциал скоростей и линии
тока в случае потока с циркуляцией вокруг
цилиндра и полосы (см. рис. 10.7).
Двойной линией показан разрез, выделяющий
однозначную ветвь.

10.2. Комплексные переменные и двумерное уравнение Лапласа 217
Например, отображение z — Z + e2e~2ia/Z преобразует круговой ци-
цилиндр С = aeiB в полосу с поперечным сечением z = 2ae~ia cos F 4- а) шири-
ширины 4а, образующую угол атаки а с осью х, как это показано на рис. 10.14.
Скорость жидкости у поверхности полосы равна | dF/dz | = | dF/dZ, |[1/| dz/dZ, |]
для С = аеш, т. е. равна
__ 2vBsinb-\-vr/a
Vs~~ 2sin(fl-fct) ""
В соответствии со сказанным на стр. 190, 191 следует так подобрать цир-
циркуляцию vr, чтобы скорость vs имела конечное значение у заднего края
6 = — а. Поэтому vr = 2av0 sin а и vs = v0 [sin б + sin a]/sin F + а) на поверх-
поверхности полосы.
Сила Бернулли, действующая на элемент полосы dz, вновь равна
—^- pvHdz, так что результирующая сила равна
"I2 r
ia \.
= 2pavlie~ia \ [cos2 a -f 2 sin a cos a tg <p + sin2 a tg2 <p] sin 9 cos 9 dy,
где 2ip = 6-(-a. Интеграл от первого члена в квадратных скобках равен
нулю. Интеграл от второго члена равен тс sin a cos a. Третий член обра-
обращается в со при tp = y тс в соответствии с тем, что на переднем крае
скорость бесконечна. Предполагая, однако, что в действительности контур
несколько выходит за пределы рассматриваемой полосы, можно проин-
проинтегрировать по контуру, окружающему простой полюс, и после довольно
сложных вычислений получить iit:sin2a. Интеграл равен, таким образом,
¦к sin a (cos a-\-i sin a) -= neia sin a.
Итак, результирующая сила перпендикулярна асимптотической скорости v0
и по модулю равна 2щаь1&ша.
Однако мы могли бы избежать этих хлопот, вспомнив, что результирую-
результирующую силу можно определить, подсчитав силу давления, действующую
поперек линий тока на больших расстояниях от цилиндра. Исследуемое
преобразование выбрано так, что на больших расстояниях поток, соот-
соответствующий полосе, совпадает с потоком для кругового цилиндра. Сле-
Следовательно, подъемная сила будет той же и определяется формулой
A0.2.20). В случае полосы нам достаточно вычислить скорость вокруг нее,
с тем чтобы путем соответствующего подбора циркуляции обеспечить
конечность потока у заднего края. Для этого vr должна равняться 2ayosina.
Подставляя это в формулу A0.2.20), получим значительно более простым
путем тот же результат:
Заметим, что подъемная сила должна возрастать непрерывно вместе
с ростом а вплоть до значения a = тс/2. На практике же, если угол атаки а
слишком велик, то с переднего края начинают «срываться» вихри, линии
тока не следуют за верхней частью поверхности, и полоса полностью
теряет подъемную силу, как говорят «застревает». Когда <р мало отли-
отличается от тс, следует поменять ролями передний и задний края, vr поло-
положить равным — 2av0 sin a и изменить знак у «подъемной силы».
С другой стороны, порожденный силами Бернулли вращающий момент,
приложенный к полосе, приходится вычислять заново для каждого

218 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
профиля. Для случая полосы мы умножаем подинтегральную функцию
в выражении для силы на \z\ = 2acosF + a). После ряда преобразований
получим, что существенную роль играет только средний член, содержащий
sin a cos a. При этом результирующий вращающий момент относительно
центра полосы, рассчитанный на единицу длины, равен
Многие другие преобразования координат приводят к интересным
решениям для различных часто встречающихся граничных контуров.
Некоторые из них будут рассмотрены ниже в этом же параграфе, когда мы
будем использовать метод Шварца — Кристоффеля для построения преоб-
преобразований, соответствующих границам произвольной призматической
формы. Однако до этого мы изучим виды полей, образованных различным
образом распределенными линейными источниками.
Поля, создаваемые распределениями линейных источников. Одно из
основных полей —поле, порожденное единичным линейным источником, -
имеет вид
F=—2\az= — In (х2 + у2) - 2i arc tg (у/х). A0.2.21)
Если это ноле создается линейным единичным электростатическим
зарядом (единица заряда на единицу длины), то ф = — In (ж2 + у2) яв-
является потенциальной функцией, а — F' = 2/z есть вектор напряженности,
направленный вдоль радиус-вектора z, величина которого обратно про-
пропорциональна | z | = г. Если поле порождено единичным током в проводе,
проходящем через начало координат перпендикулярно к плоскости х, у, то
/= —2 arctg {у/х) является магнитным потенциалом, ф = const есть уравнение
магнитных силовых линий, a iF' = —i B/z) есть вектор магнитной напря-
напряженности (перпендикулярный радиус-вектору и направленный по часовой
стрелке, так как положительным мы считаем направление тока от чита-
читателя).
Если ноле порождено единичным линейным источником жидкости,
то ф есть потенциал скоростей, у — функция тока, а вектор скорости равен
— F' = 2/z. С другой стороны, если F описывает завихренный поток жидкости
в окрестности вихревой линии, то ф является функцией тока, ^ — потен-
потенциалом скоростей и — iF' = iB/z) — вектором скорости. Поток такого рода
может возникнуть, если длинный стержень, проходящий через начало
координат перпендикулярно плоскости х, у, вращается против часовой
стрелки с угловой скоростью, равной 2jr\, где г0 — радиус стержня.
(Предполагается, что вязкость достаточна для того, чтобы вблизи поверх-
поверхности стержня жидкость двигалась вместе с этой поверхностью, и что
продолжительность движения достаточна для установления стацио-
стационарного безвихревого потока.)
Нашей задачей теперь является нахождение мероморфной (см. стр. 362
тома I) функции (в нашем случае просто z), имеющей простой нуль в точке
z = 0 и не имеющей никаких других нулей или полюсов в конечной части пло-
плоскости. Тогда, чтобы найти F, мы возьмем умноженный на — 2 натуральный
логарифм этой функции. Если мощность источника равна q, то следует приме-
применить функцию z« с точкой ветвления z = 0. Для того чтобы найти решение
в случае нескольких линейных источников, расположенных в точках
zl, z2, ... и т. д., соответственно мощности qv q2, ... и т. д. следует
взять натуральный логарифм от произведения (z — z1)9l(z— z2)e2 ..., а по-
потенциал, функцию тока, скорость и другие характеристики можно полу-

10.2. Комплексные переменные и двумерное уравнение Лапласа 219
чить посредством функции
F^-2ln[Y[(z~z,)"n] . A0.2.22)
п
Например, функция
A0-2'23)
•соответствует единичному положительному линейному источнику, распо-
расположенному в точке z = а, и единичному отрицательному источнику в точке
z = — а. Из этой же функции можно получить решение и в случае еди-
единичного линейного заряда в точке z = a и проводящей плоскости х — 0,
имеющей нулевой потенциал. Тогда ф является электростатическим потен-
потенциалом, а
-=,22 4а ,
— электростатической напряженностью. Плотность заряда на проводящей
плоскости-х — 0 равна значению
при :f = 0, т. е. равна а/тт (^2 + а2). Если заряд расположен не на бесконечно
тонкой линии, а на тонкой проволоке радиуса р с осью, проходящей через
точку z = а, то потенциал на поверхности проволоки равен вещественной
части функции
2 In - тг,т =21пBа/р)-2?в+21п
L а-\ pel°— a J
причем мы считаем z = a + peie на поверхности проволоки. Благодаря по-
последнему члену эквипотенциальные поверхности несколько отличаются от
окружностей ^ центрами в точке z = а, и, таким образом, вещественная
часть этого выражения не равна в точности постоянной величине при
постоянном р. Но, когда р достаточно мало по сравнению с а, мы можем
пренебречь последним членом. Поэтому с точностью до членов первого порядка
относительно малой величины р/a потенциал на поверхности проволоки
равен 21nBa/p). Отсюда можно вычислить емкость проволоки относительно
проводящей плоскости (см. стр. 173).
Функция F, соответствующая безвихревому потоку вязкой жидкости
вокруг двух вращающихся стержней, отстоящих на расстоянии 2а друг
от друга, равна
F = 2iA In (z2 - а2) =¦ ф + %
ф = —2^4 arc tg Г . 2х2у , 1 , A0.2.24)
L х у —а J
/; = A In [(х2 + y2f — 2а2 (ж2 — г/2) + а4],
если оба стержня вращаются в одном направлении. Вектор скорости
равен
-^7, HzA
caBiA/p)ei6 для z=a-fpeifl, p—э-0,
причем этот предел должен равняться скорости ipwe*" поверхности стержня. На
поверхности одного из стержней (z = a + peiB) сила, вызванная вязкостью

220 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
[как это следует из A0.2.14)], получится, если положить z=a-\-pe~lb
в формуле — 2it]F" = 8-qA (z2 + a2)/(z2 — а2J. С точностью до членов первого
порядка относительно р/а эта величина равна — DщА/р) eie db, так что
результирующий тормозящий момент, приходящийся на единицу длины
стержня, равен 8щА = 4тгр27]ш.
Если оба источника заключены внутрь кругового цилиндра радиуса
Ь > а, то мы можем вновь использовать метод изображений, располагая
изображения на расстоянии Ь2/а от начала. Например, магнитное поле,
возникающее вокруг двух помещенных внутрь железного цилиндра про-
проводов, по которым текут равные по силе, но противоположно направлен-
направленные токи, описывается функцией
= 2g {arctg [-^L] +arctg
Магнитный потенциал у обращается в нуль на окружности х*-\-уг = Ь-,
и на этой поверхности (z = belf) магнитная напряженность равна вектору
е >
(в2+Ь2J_4аг62С08гс?
всюду нормальному к этой поверхности. Эта напряженность достигает
наибольшей величины в точке <р = у ъ, где она имеет значение
8ад (а2 + Ь2)/(Ь2 — а2J. Если бы при r = b не было железного цилиндра,
то напряженность в той же точке имела бы значение iaq/(a2 + й2), зна-
значительно меньшее предыдущего.
Подобным же образом можно построить функцию, описывающую
поток тепла в цилиндре с D-образным поперечным сечением, образованным
осью у и правой половиной окружности радиуса Ь. Если цилиндр нагре-
нагревается трубкой небольшого радиуса р с осью, проходящей через точку
z = а @< а < Ь), каждая единица длины которой излучает q единиц тепла
в единицу времени, то температура внутри цилиндра равна вещественной
части функции
in J
2яК \ [z+a]lz— Ь*/а]
и,- Я Ь Г[^+^Р + Уа [^-Ь«/а1' + »М
2ау
J ~arCtg L *' + /-»/* J }'
где JsT — теплопроводность материала внутри цилиндра. При этом предпола
гается, что на D-образной границе цилиндра температура Т = 0.
На поверхности нагревающей трубки (z = а-\- ре'6) функция F равна
F==
~ **К \Ш L Р (Ь2 + «г) J J ' 2«
Полный поток тепла равен приращению у при изменении б от 0 до 2-к,
умноженному на теплопроводность К, т. е. равен q (как и должно быть).
Температура поверхности нагревающей трубки равна
(q/2vK) In [2a (b2 - а2)/р (b2 + a2)]

10.2. Комплексные, переменные, и двумерное уравнение Лапласа 221
и оказывается тем меньше, чем меньше расстояние от трубки до поверх-
поверхности цилиндра (а мало, либо Ь — а мало) или чем больше теплопроводность
цилиндра, и тем больше, чем меньше радиус нагревающей трубки.
Потенциалы сеток и коэффициенты усиления. Интересное распределе-
распределение потенциала связано с триодной вакуумной радиолампой, состоящем
из анода —полого, проводящего цилиндра с внутренним радиусом Ъ, рас-
расположенной коаксиально внутри него проволочной сетки, отстоящей на
величину а(а<Ь) от оси цилиндра, и катода в виде проволоки, рас-
расположенной по оси цилиндра. Если сетка состоит из п проволок, оси
которых параллельны катоду, то можно считать, что первая проходит
через точку z = a, вторая через точку aei2n/n и т. д., т. е. координата z,
характеризующая положение проволок, принимает значения всех корней
уравнения zn — аи = 0. Тогда потенциал, создаваемый одновременно всеми п
проволоками, заряженными одинаково, равен —Bqg/?i) In (z" — ап), где qg
есть суммарный заряд, приходящийся на единицу длины всех л проволок.
Потенциал, порожденный комбинированным воздействием заряда — qc
на катоде и заряда — qg на сетке, в предположении, что на аноде под-
поддерживается нулевой потенциал, равен вещественной части функции
Если радиус катода равен рс, то с точностью до членов первого порядка отно-
относительно рс/а его потенциал равен
-2gcln(i/Pc)-49|,lnF/o),
а если радиус каждой проволоки сетки равен рр, то потенциал сетки при-
приближенно равен
- 2qc In (b/a) + Bqgln) In [?iPga^/(b2n - a2")].
Предположим теперь, что потенциалы подобраны так, что катод зазем-
заземлен, потенциал сетки равен Vg, а потенциал анода Va. На основании
предыдущих выражений заключаем, что
или
Va~2qeln(a/P<)+{2qB/n)\n [д_
— 2 In (o/pc) In (b/a) + (l/2n) In (Ь/Рс) In {(a/nPg) Ц-(а/Ъ)*"]} '
J_ Faln(a/pc) — FolnF/pc)
4 \
Из этих формул можно вывести несколько свойств этой системы электро-
электродов. Если положить Vg = Va, то емкость катода относительно сетки и анода
будет равна отношению qq к Va; если Va = 0, то емкость сетки относи-
относительно анода и катода равна отношению qg к Vg и т. п.
Напряженность электрического поля у поверхности катода (z = pceifl)
равна с точностью до членов первого порядка относительно малых величин
?Ja и (а/йJП
Е~. Ъс ^. 1 Vgln(b/a) + Va(l/2,i)[\n(a/npg)-(a/b)*"]
Е
' Рс ~~ Рс 1п(а/РсIп(Ь/а) + A/2лIп(Ь/Рс)[1п(а/вРв) —(а/Ь)»"] "
Если п достаточно велико D или больше), то коэффициент при Va в этом
выражении оказывается значительно меньшим коэффициента при V . Это
означает, что сетка экранирует катод, так что воздействие на Е, оказы-

222
Гл. 10. Решение уравнении Лапласа и Пуассона
ваемос некоторым изменением Va, значительно меньше воздействия, оказы-
оказываемого таким же изменением Vд. Отношение воздействия сетки на поле
у катода к воздействию анода называется коэффициентом усиления ваку-
вакуумной радиолампы. В нашем простом случае этот коэффициент равен
2и In (b,a)
A0.2.29)
Одномерные системы линейных источников. Пусть имеется бесконеч-
бесконечное множество равных параллельных линейных источников, расположен-
расположенных вдоль оси х на расстоянии а один от другого. Распределение потен-
потенциала можно получить, взяв логарифм функции, которая в точках 0, ¦? а,
+ 2а, ... обращается в нуль как функции [z— (па)] соответственно. Такой'
Рис. 10.15. Эквипотспцияльныс линии и линии токп около
сетки из заряженных параллельных проволок: пG = ф — In 4
и iz~V~~/, где ф и у определяются выражениями A0.2.30).
функцией, очевидно, является .4 sin (m/a). Поэтому потенциал, порожден-
порожденный однородной сеткой из одинаковых линейных источников, расположен-
расположенных вдоль оси х на расстоянии а один от другого, равен вещественной
части функции
Fs = - 2 In [2 sin {Bzla)\ = % + iz,
•!>B = - In 4 [sin2 (izxja) + sh2 (ъу/а)]
± [Bici/a) z - in], \ у \ -^ oo,
— Bт, I a) \y\, \y\-><x>, A0.2.30)
-TCj, \y\->co,
где знак плюс для предельных значений соответствует положительным
значениям у, а знак минус — отрицательным и большим по абсолютной
величине значениям у.
На большом расстоянии от сетки (при больших значениях \у\) поле
однородно, как если бы оно было образовано заряженной плоскостью
с постоянной поверхностной плотностью зар*яда, равной I/a. На малом
расстоянии р от какого-нибудь из зарядов (например, в точках z — pei6)
функция Fs приближенно равна
~ — 2 In
= 2 In (а/2тср) - 2г.

10.2. Комплексные переменные и двумерное уравнение Лапласа 223
В случае, когда знаки источников чередуются, потенциал можно
получить при помощи функции
Fa = — 2 In [tg (tzz/o)] = 2 In [ctg (izz/a)] ~ ^F m, \y\ —> со,
|-cbB*y/aHcosB**/a)
y.,= -
Если однородно заряженная сетка из параллельных проволок рас-
расположена на расстоянии Ъ от заземленной проводящей плоскости, то потен-
потенциал можно получить при помощи функции
= -2aoln Г-П!!*(а!(/Т-Ш . A0.2.32)
где а — расстояние между проволоками, с — заряд сетки, приходящийся
на единицу площади (так что ас есть величина заряда, приходящаяся
на единицу длины каждой отдельной проволоки); заземленная пластина
расположена вдоль оси х, сетка — вдоль прямой у = Ь, а изображение
сетки — вдоль прямой у = — Ь.
Потенциал проволок сетки (например, в точке z = ib~\~ оегй) приближенно
равен
V са 2аа In (а/2гср) + АъаЪ, р < a f Ь.
Поэтому емкость, рассчитанная на единицу площади, для системы из сетки
и пластины равна
г
Предположим, что сетка заземлена, а пластина, расположенная вдоль
оси ?/ = 0,' имеет потенциал —V; тогда потенциал в точке (.с, у) равен
1Л f Sin4^x/a] + sb4(r./a) (у + Ь)] \ _ „ ш „ .,„.
a \sin2 [пж/aj+sh3 [(те/a) (у — b)] J » ;
> 21n (a/2jcp)-)-47tb/a \sin2 [n:r/a]-j-sh2 [(те/а) (?/ — 6)] j
Над сеткой асимптотическое значение потенциала имеет вид
, 2 In (а/2ир) T_ ,
^"^ 4jcb/a-j-2 In (a/2np) ' •* '
что указывает на экранирующее действие сетки. Если бы сетка была
совершенным экраном, то асимптотический потенциал равнялся бы нулю.
Если расстояние между проволоками сетки а существенно меньше расстоя-
расстояния Ъ от сетки до пластины, то полученное асимптотическое выражение
потенциала весьма мало, хотя и отлично от нуля.
Для случая конечной последовательности одинаково расположенных
и одинаково заряженных проволок можно воспользоваться свойствами
гамма-функции. Например, для последовательности из N +1 проволок,
расположенных в точках z = 0, — a, —2a, ..., — Na и несущих заряд са
на единицу длины каждой проволоки (если бы плоскость, нормальная
оси у, была заряжена с поверхностной плотностью с, то на каждый прямо-
прямоугольный участок этой плоскости, имеющий высоту единица и ограничен-
ограниченный двумя соседними проволоками, приходился бы заряд ас), имеем
F = — 2ca In [z(z + a) ... (z + Na)] = 2caln\ a-N~]
A0.2.34)

224 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Если N мало, то для получения соответствующих результатов можно
использовать представление F в виде произведения, как мы это делали
раньше, но если N достаточно велико, то лучше пользоваться свойст-
свойствами гамма-функции. Согласно гл. 4, мы имеем следующие свойства
гамма-функции:
п=1
~ С w — y ) In w — w + In VZ™ при \w\—» со, A0.2.35)
co;
~1п[Г(ш)]= —У+У, Г —r-x
0
1п[Г(ш)]= —У+У, Г —r-x г—
n=0
dlnw при \w\~» со, y = 0,5772 ...,
причем обе асимптотические формулы перестают быть верными для веще-
вещественных отрицательных значений w.
Например, если источниками являются провода, по которым текут
токи (и аа = 1 есть ток, текущий по каждому из проводов), то напряжен-
напряженность магнитного поля в точке z равна
Для вещественных и положительных z это поле направлено вниз, в то
время как для z с большой мнимой частью поле горизонтально. Если
z = jReie и /? > /Va, то напряженность стремится к величине
Я~ [2 (N+l) I/R] (- ге'в),
соответствующей полю, порожденному одним единственным проводом,
по которому течет ток (N+1I.
Двумерная система линейных источников. Наконец, мы должны изу-
изучить распределение потенциала, создаваемого системой линейных источ-
источников, размещенных по всей плоскости х, у в некотором определенном
порядке. Мы получим этот потенциал, взяв логарифм от эллиптической
функции (см. § 4.5), поскольку нули и полюсы такой функции размещены
на комплексной плоскости в определенном порядке. Как мы видели выше,
эта система периодична, состоит из бесконечно повторяющихся основ-
основных ячеек, являющихся параллелограммами или, в большинстве приложе-
приложений, прямоугольниками со сторонами а (параллельными оси х) и b (парал-
(параллельными оси у). Эллиптические функции двояко-периодичны, вновь
и вновь повторяют одни и те же значения; для каждой конгруэнтной точки,
в каждой основной ячейке, эти значения те же самые.
Е?ак мы установили [см. уравнение D.5.66)], в основной ячейке число
нулей эллиптической функции равно числу ее простых полюсов. Это соот-
соответствует требованию, чтобы суммарный заряд в основной ячейке рав-
равнялся нулю, так как иначе потенциал был бы всюду бесконечным. Выбор
той или иной эллиптической функции определяется распределением линей-
линейных зарядов в отдельной ячейке.
Например, функция sn (и, к) имеет простые нули в точках и = 2тК +
-j- 2inK' (где т, п = 0, ±1, ±2, .. .) и простые полюсы в точках

10.2. Комплексные переменные и двумерное уравнение Лапласа 225
2mK-\~i Bn+ 1)К'; в последовательности нулей, расположенных по веще-
вещественной оси, расстояние между двумя соседними нулями равно 2К, после-
последовательность полюсов расположена вдоль линии у = К', причем каждый
полюс лежит над нулем из предыдущей последовательности, и т. д. Следо-
Следовательно, потенциал, порожденный множеством линейных источников,
показанных на рис. 10.16, а, равен вещественной части функции
c), ft]} =
-г + -
= 2q In {sn (и, к) сп (и, k)/dn (и, к)},
где к выбрано так, что К'/К = b/а из
таблицы на стр. 463 тома I. |+ "*"
Эта таблица содержит лишь те слу- у ± _
чаи, когда К'>К (т. е. Ь > а). Для I
случаев, когда Ъ < а, можно повернуть ^г + +
всю картину на 90° и поменять ролями л !
а и b (а следовательно, ш К и К', к и k'). U-c—I
Тогда, используя преобразования
sn(iu, k') = isn (u, к)/сп (и, к) и т. д.,
получим потенциал в виде веществен-
вещественной части функции
F'a — 2q In {sn (u,k)/cn (u,k) dn (u,k)},
u = Kzla, A0.2.37)
где новое b уже не меньше нового
а, как это было раньше. [Или же можно
поменять ролями а и Ь, К и К', к и к'
в таблице и опять воспользоваться фор-
формулой A0.2.36).]
Далее, если распределение источ-
источников имеет вид, изображенный на
рис. 10.16,6, то потенциал равен вещест-
вещественной части функции
sn (и, к)
и = Kzja,
A0.2.36)
х-
(О)
+
. . | _
¦+—,-=.
U-O-»
1
A0.2.38)
Рис. 10.16. Распределения параллель-
параллельных линейных источников, соответству-
соответствующие различным эллиптическим функ-
функциям.
сп(и, к)
Наконец, если распределение источников имеет вид, указанный на
рис. 10.1б,е, мы можем использовать функцию сп(м, к), имеющую нули
в точках Bm-f- l)K + 2inK' и полюсы в точках 2>пК+iBn + i)K'. Потен-
Потенциал в этом случае определяется вещественной частью функции
Fe = 2q In [en (и, к)], и = Kz/a,
A0.2.39)
В случае (а) (см. рис. 10.16) потенциал на поверхности проволоки
2_реге (р <^ а) можно получить, исходя из свойств эллиптических функций
sn (и, к) си и, сп (и, к) ~ 1, dn (и, к)~1 при и —> 0.
Поэтому потенциал отрицательно заряженных проволок приближенно равен
— 2qln(a/Kp). Для вычисления потенциала на поверхности z= iK"+zei6
положительно заряженной проволоки мы используем соотношения
sn(K + i7f, /с) ~
1 1
К', к)шттг, Ап{п+ iK', к)си— прим—г>0.
Следовательно, приближенное выражение для разности потенциалов
между положительно и отрицательно заряженными проволоками в случае а
15 Ф. м. Морс н Г. Фешбах

226
Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
имеет вид
V а = 2а In (а?/к*К^г р). A0.2.40)
Аналогичными рассуждениями можно показать, что соответствующие раз-
разности потенциалов в случаях (б) и (е), изображенных на рис. 10.16, имеют
вид
7б = 2^1п(а2/Х2ер), Fe= 2qln (a*/kk'Kzep). A0.2.41)
Изучая рис. 10.16, легко понять, почему Vа > Ve > Ve, если Ь > а.
Периодические распределения изображений. Пусть линейные заряды
расположены между двумя проводящими плоскостями, параллельными
друг другу и линиям, несущим заряды. Тогда изображение каждого линей-
линейного заряда в одной из плоскостей порождает изображение в другой
плоскости и т. д. до тех пор, пока мы,
стремясь полностью удовлетворить обоим
граничным условиям, не построим бесконеч-
бесконечную последовательность . симметрично рас-
расположенных изображений. Например, если
две параллельные плоскости перпендикуляр-
перпендикулярны оси ж, причем одна из них проходит че-
через начало, а другая через точку ж = а, и
если линейный заряд расположен в точке ж =
= ж0 (ж0 < а), то должна существовать по-
последовательность изображений, находящихся
в точках ж = ж0 + 2та (т = ± 1, ± 2, ...),
причем все изображения должны иметь тот
же знак, что и действительный источник,
и еще одна последовательность изображений
противоположного знака, расположенных в
точках ж = — жо + 2па (n = 0, ± I, ^ 2,...), как
это показано на рис. 10.17,а.
Потенциал, соответствующий такому рас-
расположению линейного заряда и изображе-
изображений, равен вещественной части логарифма от
функции, имеющей полюсы в точках ж =
= х0 -\- 2та и нули в точках ж = — жр -f 2na, а именно
A0.2.42)
(а)
+
+ г
2Ъ
+
1
-1
|
+
+
+
+
х -
-
Х-
+
+
+
(б)
Рис. 10.17. Периодическое рас-
распределение изображений.
ctg [пхо/а] — ctg [%xo/2a]
о —z)]
подобранной так, чтобы выражение в скобках равнялось единице в точке
ж = 0 (следовательно, в силу периодичности, оно равно ±1 при х = па).
Поэтому потенциал обеих пластин равен нулю, а потенциал проволоки
радиуса р, несущей заряд (z = ж0 -\- peie), приближенно равен
Р«ж0.
A0.2.43)
Следовательно, емкость системы, состоящей из проволоки и двух пластин,
равна
_^
V ~ 2 In [sin (nxo/a)/(np/2a)l '
Далее, мы можем найти потенциал сетки из параллельных проволок,
отстоящих друг от друга на расстоянии 2Ь, расположенной между двумя
параллельными пластинами, как это показано на рис. 10.17,6. Мы ищем

10.2. Комплексные переменные и двумерное уравнение Лапласа 227
эллиптическую функцию, имеющую полюсы в точках х0-{-2ат-{-2ibn;
такой функцией оказывается
сп [(К/а) (z - xo);k]/sn [(К/а) (z - xo),k],
где к подобрано так, чтобы иметь К' =К(Ь/а). Но искомая функция дол-
должна равняться нулю в точках—х0 -f- 2am -f- 2ibn, являющихся изображе-
изображениями указанных выше точек. Функцией, удовлетворяющей этим усло-
условиям, является аналог выражения ctg [%xjd\ -j- ctg [(ir/2a)(z — ж0)], и, следо-
следовательно, искомый потенциал равен вещественной части функции
F = 2q In
en BKxJa) cn[(K/a)(xo — z)]
sn BKxJa) sn [(K/a)(x0 — z)]
A0.2.44)
en BKxo/a) en (Kxo/a)
sn BKxo/a)~~ sn (Kxo/a)
подобранной таким образом, чтобы потенциал пластин равнялся нулю.
На поверхности проводника z = х0 -f peie этот потенциал приближенно
равен
-а/КР
V ~ 2q In { en BКхо/а) cnjKxJa)
sn BKxJa) sn (Kxo/a)
9 , f Bq/jrP) sn (g, fc) en (a, ft) dn (a, fc) ~j
4 \cn^(a,k)[2dn(a,k) — l] -f- sn2(a,fc)dn2(a, /c)J '
где а = Кхо/а. Исходя из этого выражения для потенциала, мы можем
вычислить емкость системы сетка-пластины, приходящуюся на одну прово-
проволоку. Заметим, что когда расстояние 26 между проволоками сетки делается
много большим, чем расстояние а между пластинами, параметр к стре-
стремится к нулю и выражение для V сводится к A0.2.43), так как при
к —> 0 имеем
sn(w, к) ~ sinGCB/2/sT), en (и, к) ~cos (%u/2K), dn(M, &)~1.
Конечно, мы не показали, что потенциал, определяемый формулой
A0.2.44), равен нулю всюду на прямых ж = 0 и х = а. Однако, как мы
видели на стр. 405 тома I, выбор характера и расположения нулей и полю-
полюсов эллиптической функции внутри основной ячейки определяет эллиптиче-
эллиптическую функцию единственным образом с точностью до постоянного множи-
множителя. Подобно этому мы знаем, что раз мы определили положение и ве-
величину действительных и фиктивных линейных зарядов, мы единствен-
единственным образом- определим потенциальное поле. Следовательно, функция,
соответствующая всем фиктивным зарядам, должна удовлетворять тем
граничным условиям, в связи с которыми появились эти фиктивные за-
заряды. Этому соответствует следующее математическое утверждение: для
z = iy (x = 0) функция
en BKxJa, k) en [(K/a)(z0 — z), k] = ^8 A0 2 45}
sn BКхв/а, к) sn[(K/a)(xB — z),k] \ • ¦ )
имеет постоянную амплитуду (т. е. А не зависит от у, когда х = 0). Для
доказательства этого утверждения потребовался бы целый ряд утоми-
утомительных операций.
Теперь можно применить преобразование
z = r^e™, w = In
для того, чтобы перейти от распределения, показанного на рис. 10.17,6
(теперь будем считать, что на нем изображена плоскость w), к распреде-
распределению рис. 10.18, соответствующему сетке из п проволок, расположенной
между двумя цилиндрами, внутренним с радиусом гх и внешним с радиусом г2.

228
Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Для определения к, К и К' мы требуем, чтобы г2 = ггеа и чтобы гв(
соответствовало w = xo-\-2ib. Поэтому
Потенциал равен вещественной части функции
cn[2;rln(ro/ri)] en [f In (ro/z)]
sn
ln
[T
сп [2-у In (fp/rt)] en [Т ]п (гр/т-!)]
A0.2.46)
sn[2f In (го/гг)] sn[fln|
где y = К/а ~ K/ln {r2/r^) и где К, К' и к выбраны так, что
К'/К = Ъ/а = ъ/п In (r2/rj).
Наконец, если внутри прямоугольной призмы, поверхность которой
имеет нулевой потенциал, расположен только один линейный заряд, то,
ty
Рис. 10.18. Распределение изображений ли-
линейных источников, расположенных между
концентрическими цилиндрами.
Рис. 10.19. Распределение изо-
изображений линейного источника,
расположенного внутри прямо-
прямоугольной призмы с размерами а
и Ъ.
как показано на рис. 10.19, изображения этого заряда повторяются
двояко-периодическим образом по всей плоскости z. На основании уже
проделанного нетрудно убедиться, что внутри области 0<ж<а, 0<г/<6
этот потенциал определяется вещественной частью функций
en BKxJa)
sn BKxJa)
cn[(A7q)(zo-z)]
snl(K/a)(zB-z)]
en BKxB/a)
sn BKxB/a)
en [(K/a) (z0 - z)]
sn [(K/a) (z0 - z)]
A0.2.47)
где zo = xo + iyo, a zo = xo — iyo.
При помощи последней формулы можно вычислить емкость проволоки
внутри прямоугольного волновода или же распределение температуры
в прямоугольном брусе, внутри которого источники тепла распределены
произвольным образом.
Потенциал в случае призматических границ. В качестве заключитель-
заключительного примера применения функций комплексного переменного к решению
двумерного уравнения Лапласа рассмотрим распределение потенциала

10.2. Комплексные переменные и двумерное уравнение Лапласа
229
в случае призматических граничных поверхностей, сечение которых плоско-
плоскостью х,у есть многоугольник — обычный или вырожденный — и которые
простираются неограниченно в направлении, перпендикулярном плоско-
плоскости х,у.
Для решения этих задач нужно решить соответствующую задачу для
верхней полуплоскости w, а затем преобразованием Кристоффеля — Шварца
перевести вещественную ось
плоскости w в границу заданного I fy Плоскость z
многоугольника на плоскости z. I 1—.
Как мы видели в § 4.6, '\
если многоугольник имеет внеш-
внешние углы cij, a2 aiV в по-
последовательно расположенных
вершинах, соответствующих точ-
точкам аъ а2 aN-i' °°» лежа-
лежащим на вещественной оси пло-
плоскости w, то преобразование,
переводящее верхнюю полупло-
полуплоскость плоскости w во внут-
внутреннюю область данного мно-
многоугольника в плоскости z,
определяется при помощи диф-
дифференциального уравнения
ЛГ-1
*1 = ТТ А
dw 11 /ш_а )«я/эт
п=1 '
Внутренняя область многоуголь-
многоугольника, остающаяся слева при
обходе периметра, отобража-
отображается на верхнюю полуплоскость
плоскости w, а я„ есть угол по-
поворота налево (против часовой
стрелки) вокруг п-й вершины.
Обычно величины ах, а2, .. .
..., aN_lt А и появляющаяся при
интегрировании произвольная постоянная z0 подбираются, после того как ин-
интегрирование завершено, такими, чтобы вершины многоугольника были нуж-
нужным образом расположены в плоскости z. Это преобразование и некоторые
его применения рассматривались в § 4.6; здесь мы для выяснения некото-
некоторых вопросов рассмотрим еще несколько примеров.
Вырожденная призма изображена на рис. 10.20. Точка А, лежащая
в z= —со, соответствует w= — со. В точке В (z = ia, w= — 1) внешний
угол равен ах = — тс, в точке С (z~ — со, w = 0) соответствующий угол
равен а2=+к ивД (z = 0, w= + 1) угол также равен —к. Поэтому пре-.
образование задается формулой
= А [-|ш2-
и=-7
о=*7
Рис. 10.20. Преобразование Кристоффеля—
Шварца для конденсатора с параллельными
пластинами ABC—CD A.
Обходя в выбранном направлении «многоугольник» ABCDA, мы получим
в качестве его «внутренней области» всю плоскость z (с разрезами), кото-
которая, следовательно, соответствует верхней полуплоскости плоскости w.
Для того чтобы точка w=l соответствовала точке z = 0, мы положим
zo = — у-4. Для того чтобы точка w— —1 = е4те соответствовала z=ia,

230 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
требуется, чтобы — шА = ш, или А = — а/%. Поэтому окончательно искомое
преобразование имеет вид
4] *L = ±(±.-w). A0.2.49)
Конденсатор с параллельными пластинами. Теперь найдем дальней-
дальнейшие преобразования плоскости w, приводящие к интересующим нас рас-
распределениям потенциала. Например, функция
F = ф + г/ = (V0/m) Inw, w = e™F'v°
определяет потенциал ф, который на положительной вещественной полу-
полуоси плоскости w равен нулю, а на отрицательной Fo. Выполним ото-
отображение на плоскость zw Тогда линии Л = const соответствуют эквипотен-
эквипотенциальным линиям в поле конденсатора, образованном двумя параллель-
параллельными полубесконечными пластинами, нижняя из которых имеет нулевой
потенциал, а верхняя потенциал Fo. Соотношение между z и F
имеет вид
) J f |jL = i ?. A _ g
C0S (M/Fo)], A0.2.50)
и дает возможность записать уравнения эквипотенциальных и силовых
линий в параметрической форме.
Область, где | w \ < 1, задается неравенством / > 0 и соответствует
области между пластинами. Здесь экспоненциальный член мал и элек-
электрическая напряженность (F') приближенно равна iVJa, т. е. постоянному
вектору, направленному от нижней пластины к верхней. Величина элек-
электрической напряженности в точке, соответствующей заданным значениям
ф, х, равна
dF VJa
dz
A0.2.51)
V 1 + е~ит-иУо __ 2e-2^/./Vo cos Bлф / Fo)
а плотность заряда на нижней пластине (ф = 0) равна
dF
Jz~
Область, где ^ > 0, есть верхняя сторона этой пластины, а на нижней
стороне ^ < 0.
Для положительных / (во внутренней, заключенной между пластинами
области) плотность заряда с увеличением ^ делается равной величине
F0/4ira, не зависящей от ж. Для отрицательных / наружная плотность а
при уменьшении х делается равной (F0/4ica) e27l'/-/^o <~ _ F0/2a; — величине,
быстро убывающей с удалением от края пластины, где х = 0. На краю
пластины конденсатора плотность заряда бесконечна.
Вспомним, что, используя функцию тока х> можно вычислить пол-
полный заряд на проводящей поверхности. Действительно, заряд (приходя-
(приходящийся на единицу длины конденсатора в направлении, перпендикулярном
плоскости х,у) между точкой, где x = Xi> и точкой, где х = Хг> в точности
равен (fo —XiV^i:. Для того чтобы найти полный заряд, расположенный
на внутренней и внешней сторонах одной из пластин на участке ширины I,

10.2. Комплексные переменные и двумерное уравнение Лапласа 231
считая от края пластины, достаточно найти значения ^ для х = — I на
внутренней и на внешней стороне этой пластины. Если I больше, чем а,
то это сделать нетрудно. Из выражений A0.2.50) мы видим, что для вну-
внутренней стороны, т. е. для положительных %, хорошим приближением
служит /2Cs!V0Z/a + F0/2ir, в то время как для внешней стороны, т. е. для
отрицательных у, Xi— — (F0/2tc) lnBrcZ/a).
Следовательно, полный заряд полосы единичной длины, имеющей
ширину Z, равен
f)!, 1п(в)=1.
V а J J
Второй член является «краевой поправкой», соответствующей дополни-
дополнительному заряду, сосредоточенному вблизи края пластины. Таким обра-
образом, емкость пары длинных полос ширины 21, отстоящих друг от друга
на расстояние а, рассчитанная на единицу длины полосы, приближенно
равняется
Чем больше I по сравнению с а, тем меньше поправочный член.
Между пластинами (где / положительно) вдоль эквипотенциальной
линии, проходящей вблизи нижней пластины (ф мало), электрическая напря-
напряженность постоянна. Она возрастает до максимального значения, достигае-
достигаемого у края пластины (где / равно нулю), а затем быстро падает при
отрицательных значениях ^. Для эквипотенциальных поверхностей, лежа-
13 '
щих между ф = -г Foh ф = -г Fo, не существует максимального значения напря-
напряженности, | dF/dz | является монотонно убывающей функцией ^ для /, изме-
изменяющегося от — оо до +оо. Следовательно, если проводящие поверхно-
1 3
сти расположены вдоль линиий $=-тУ0 и tl)=-r-F0, как показано на
рис. 10.20 (линии CR и СР), то на них нет точки, где напряженность
максимальна pi где мог бы произойти пробой конденсатора благодаря
искрообразованию. Благодаря уменьшению расстояния разность потен-
потенциалов между такими проводниками равна лишь половине разности по-
потенциалов между полубесконечными тонкими пластинами при той же
средней напряженности между пластинами. Однако максимальная поверх-
поверхностная напряженность у острого края в случае тонких пластин зна-
значительно превосходит среднюю напряженность, что способствует пробою
такого конденсатора. Поэтому если проводник закруглен, то пробой
произойдет при более высокой разности потенциалов.
Возможны также иные преобразования, соответствующие другим гра-
граничным условиям. Например, функция Грина для линейного источника
в точке w = и0 -f- iv0 равна
(w—и0)
(Ю.2.52)
Окончательный вид преобразования от ф.^ к х,у может быть получен при
помощи подстановки только что найденного выражения для w в равен-
равенство A0.2.49). Источник перейдет в точку z0, лежащую в плоскости z
и получающуюся при подстановке дао = цо-|-шо в равенство A0.2.49).

232 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Вблизи точки z0 соотношение между z и F имеет вид
или приближенно
Например, если wo = i, то zo = а/ж -\--^-ia. Если проволока радиуса
р (р С a)i проходящая через эту точку, заряжена с линейной плотностью д,
то потенциал ее поверхности приближенно равен
V ~2qln(
а потенциал обеих пластин, очевидно, равен нулю. Плотность заряда,
индуцированного на одной из пластин, в точке, соответствующей точке w
(иа вещественной оси плоскости w), равна
1
qvja
dF \\ dw
dw I I dz
Эта плотность равна нулю на бесконечно удаленном конце пластины
(w = 0 или w = Л-_ со); она возрастает до максимума у края пластины
(w равно +1 или — 1), ближайшего к линейному заряду. Эта плотность,
вообще говоря, меньше вне пластин (при |ш|>1), чем между ними
(при | w | < 1).
Переменный конденсатор. Другим случаем вырожденной призмы яв-
являются две бесконечные пластины, между которыми (посередине) помеще-
помещена полубесконечная пластина, как это показано на рис. 10.21. Мы долж-
должны отобразить область, заключенную между пластинами, на верхнюю
полуплоскость плоскости w. Начиная обход границы с точки А, получим,
что углы многоугольника соответственно равны + ъ в точке В, + тс
в точке Си — ж в точке D. Поэтому формула, задающая преобразова-
преобразование, имеет вид
Так как z = 0 при ш=1, то z0 оказывается равным нулю. Так как при
0 > w^> — 1, z должно равняться — ia + (вещественное число), то мы
получим А =¦ а/%. Поэтому
lnL v^+J ( -2-М
Задачу о распределении потенциала у края пластины в переменном
конденсаторе можно решить, добившись такого соотношения между F и w.
чтобы пластина ABC имела нулевой потенциал, а пластины АВ и ВС
имели потенциал Fo. Для этого положим
dw

10.2. Комплексные переменные и двумерное уравнение Лапласа
233
что в конечном счете дает
¦ <10-2-54»
Эквипотенциальные линии показаны на рис. 10.21; мы вновь замечаем,
что поле однородно в областях, близких к А и С, что оно быстро исче-
исчезает, когда мы идем от D к В и что напряженность поля неограниченно
Плоскость z
О
'///////////////////s У
Рис. 10.21. Преобразование Кристоффеля — Шварца
для конденсатора АВ—ВС—CDA. Наилучшая форма
внутреннего проводника показана сплошной линией
CQ (ф=Ъ
возрастает у края D внутренней пластины. Ясно, что величина электриче-
электрической напряженности равна
dF
dz
VJa
У
-2ъх/а _ 2е-к/а cog („ j,/tt) a
что вновь подчеркивает те же свойства поля: для положительных
х \dF/dz\~(V0/a) при ж —>со, а для отрицательных х \ dF/dz \ ~ (V0/a) ета/а
при х—> — оо, причем последняя величина быстро стремится к нулю.
Плотность заряда на средней пластине (у = 0) равна (учитывая обе
стороны).
2
4я
dF_
dz
у—0
I e—nx/a

234
Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Для бесконечно тонкой пластины, расположенной вдоль вещественной
оси плоскости z, напряженность поля на ее поверхности равна F0/a
вдали от края и возрастает до бесконечности у края. У пластины конечной
толщины с контуром, соответствующим кривой '1» = % (ф0 < Fo), край за-
закругленный, а не острый. На некотором расстоянии от края (для больших | /1)
толщина ее равна 2<!>oa/Fo, так что воздушный промежуток равен величине
a[l — 4*o/^ol' a не а- Напряженность поля у этой поверхности равна
dF
) —sin» (яфо/21/о)
0) + sin2 (лфо/21"о)
A0.2.56)
На некотором расстоянии от края (для больших | /1) эта величина равна Vja,
а при % < у Fo она достигает максимального значения (Vja) ctg (?^0/2F0)
у края х — 0. Если мы желаем выбрать внутреннюю пластину конденса-
! 4"
0.3
0.4
0.6 Q7
I D
\ /'
К
Плоскость z
1i
\
//////////х —^
Плоскость
Р и с. 10.22. Определение на-
наилучшей формы пластины кон-
конденсатора.
А
Рис. 10.23. Преобразование Кристоффеля — Шварца
для «коленообразного изгиба».
тора так, чтобы вероятность пробоя диэлектрика была наименьшей, то
нужно подобрать \ так, чтобы напряженность у края была не больше, чем
вдали от него.
Предположим, что мы испытываем пластины различной формы, соот-
соответствующие различным значениям ф0 [толщина каждой пластины асимп-
асимптотически равна 26 = 2фоа/Уо], с тем чтобы максимальное значение напря-
напряженности на всей пластине было так мало, как это только возможно.
Подберем Fo — потенциал внешних плоскостей - так, чтобы разность потен-
потенциалов Fo —ф0 была для всех пластин равна одной и той же величине V.
Имеем ф0 = Vob/a, и поэтому Vo = aV/(a — b), где а — Ь есть асимпто-
асимптотическое значение ширины промежутка между средним проводником
и верхней или нижней пластиной. Напряженность у края среднего про-
проводника (х = 0) равна [V/(a — b)] ctg (%bj2a), в то время как асимптотическое
значение напряженности на поверхности (для больших|^| ) равно V/(a — b).
На рис. 10.22 показаны эти две предельные напряженности как функции
от Ь/а, т. е. от величины отношения толщины средней пластины к ширине
промежутка. Мы видим, что если средняя пластина очень тонкая, то
поле у края слишком интенсивное, если же толщина этой пластины велика,
то слишком интенсивным оказывается «асимптотическое» поле. Но если пла-
стина заполняет точно половину промежутка, т. с. если % = -=- Fo, то оба поля
одинаковы и напряженность равна 2F/a всюду на поверхности центральной

10.2. Комплексные переменные и двумерное уравнение Лапласа 235
пластины. Это оптимальное сечение показано на рис. 10.21. При такой
конфигурации сводится до минимума возможность пробоя диэлектрика.
Другие прямоугольные границы. Другой «многоугольник», встреча-
встречающийся при расчетах элементов волноводов (например, «колен» волново-
волноводов), показан на рис. 10.23. Начиная обход от точки А и имея, как
всегда, «внутреннюю область» слева, получим, что углы соответственно равны
те/2 при w= —1, те при ю = 0, jit при ш = сг. Тогда преобразование
имеет вид
= - 2Аа Ar thl/^Pf+ 2-4
где ? = ]/(а2 — ш)/(ш+ ')• Подставив сюда да = а2, убеждаемся, что zo=O.
При движении по вещественной оси плоскости w влево от а2 гипербо-
гиперболический ареатангенс принимает вещественные значения и возрастает,
стремясь при (»->0к значению Arth(l) = co. При переходе через точку
w = 0 мнимая часть гиперболического ареатангенса скачком изменя-
ется от 0 до —о" ^ » а веЩественная часть вновь начинает убывать,
и при w= —1 эта функция стремится к значению Arth(oo)= —-г11'
a arc tg(со) =-2 те. Следовательно, в точке w=l, которая предполагается
соответствующей точке z = —Ъ—ia, имеем z= iwAa-\-wA. Поэтому А =
= — й/те и Аа = — а/тс, и наше преобразование имеет вид
2а a *i . /" а2 — и*2 26 . т /" а2 —и)Ь2 //ln o „,
z = —Arthl/ ——-г-,— arc to I/ ,„ .. ,—r , A0.2.57)
dz __ 1 -i /"a2 — wb2
dw ~ nwr l-\-w
Выполним теперь преобразование
F = d» +iy = A In ш, -^ = 1^
соответствующее такому распределению потенциала, при котором поверх-
поверхность ADC имеет нулевой потенциал, а поверхность ABC — потенциал
Fo. Напряженность поля у этой поверхности равна (w берутся вещест-
вещественными)
dF I
dz \"
dF/dw
dz/dw
Например, на достаточном расстоянии от вершины угла в сторону С плот-
плотность заряда равна F0/4i:a, а в сторону А она равна У0/4тей. При w = a2/b2 =
= а2 плотность заряда делается бесконечной, а при w = — 1 (точка В)
плотность заряда равна нулю.
Для безвихревого потока несжимаемой жидкости внутри описанного
канала мы применим вспомогательное преобразование
w = е^/О, F - ф + ix = (<?/л)ln w>
где Q есть полный поток жидкости между граничными поверхностями,

236
Гл. 10 Решение уравнений Лапласа и Пуассона
потенциал скоростей,
х~~~ФУнкп.1Ш тока. Для случая а=Ъ имеем
Ar th
~arc tg
а величина скорости в точке, соответствующей значению F = <1> -\- iy,
равна
v = (Q/a) | j/cth (*F/
Другие физические задачи, связанные с подобными границами, также
могут быть решены, если основное преобразование A0.2.57) известно.
Рис. 10.24. Преобразование Кристоффеля —Шварца
для внутренности прямоугольника.
Наконец, мы можем применить эллиптические функции Якоби, чтобы
получить преобразование внутренней области прямоугольника на верхнюю
полуплоскость плоскости w. В соответствии с рисунком 10.24 мы видим, что
dw = 2ЫФ (Vw, k) i).
0 J
—w) A —
Величина z0 равна нулю, так как, согласно сказанному на стр. 464 тома I,
эллиптический синус равен нулю, когда w равно нулю. Таким же обра-
образом, если w=l, Ф равна К, a z предполагается равным а, следовательно,
А = а/2кК, и преобразование можно записать в виде
w=[sn(Kz/a,
A0.2.59)
При z = a-\-ib w должно быть равным i/kz, но sn(К + iK', k)=l/k, a
следовательно, к должно быть подобрано так, чтобы иметь Kb/a = К', или
К'/К —-b/а, как это дается в таблице, приведенной на стр. 463 тома I.
Как и выше, распределение потенциала внутри прямоугольника
в случае, когда часть АВ его границы имеет потенциал Fo, а остальная
часть границы — нулевой потенциал, задается соотношениями
, ft)]-
A0.2.60)
Силовые линии в этой задаче совпадают с эквипотенциальными линиями
в задаче, когда линейные заряды противоположного знака помещены
в углах А и В. Между прочим, это решение следует сравнить с форму-
формулой A0.1.7).
Далее, потенциал, создаваемый линейным зарядом, находящимся
в точке z0, лежащей внутри прямоугольника, вся граница которого имеет
нулевой потенциал, можно получить при помощи вещественной части
х) Ф обозначает функцию, обратную эллиптическому синусу.—Прим. ред.

10.3. Решения в трехмерном пространстве 237
функции
(.Kz/a, A:) — sn2(Kz0/a, k)
a'*} } . A0.2.61)
a k) J v y
Эту функцию следует сравнить с выражением A0.2.47).
На этом мы закончим интересный экскурс в область специальных
методов решения двумерных задач теории потенциала. Мы должны вер-
вернуться к основному предмету обсуждения—к получению представимых
через собственные функции решений, связанных с различными системами
координат, и к решению частных задач при помощи соответствующих
рядов по этим собственным функциям.
10.3. Решения в трехмерном пространстве
С некоторым сожалением обращаемся мы теперь к решению уравне-
уравнений Лапласа и Пуассона в трехмерном случае. Тот необычайно удобный
путь, которым мы благодаря свойствам функций комплексного перемен-
переменного получали решения в двумерном случае, был, возможно, слишком
легким введением к задачам", стоящим перед нами теперь. Для многих
измерений и для других уравнений .решения почти всегда будут пред-
представляться бесконечными рядами или интегралами, которые лишь в очень
редких случаях хорошо сходятся, да и наши задачи, вообще говоря,
будут более трудными. Как мы видели в гл. 5, даже уравнение Лапласа
допускает разделение переменных только в некоторых трехмерных систе-
системах координат, и в большинстве случаев получение решения, дающего
численный ответ, ограничено выбором этих систем.
В случае трехмерного уравнения Лапласа
разделение переменных осуществимо для всех тех систем координат, пере-
перечисленных на стр. 614—620 тома I, для которых допускает разделение
волновое уравнение, а также для циклидных координат, среди которых
наиболее употребительны бисферические и тороидальные. Эти системы
распадаются на три основных класса: цилиндрические координаты, вра-
вращательные координаты и третий класс, состоящий из менее симметричных
систем. Цилиндрические координаты получаются параллельным пере-
переносом двумерной системы координат в плоскости х,у вдоль оси z.
Таким образом возникают цилиндрические поверхности с осями, рарал-
лельными оси z. He зависящие от z частные решения для таких систем
были изучены в первых двух параграфах этой главы; можно построить
и более общие решения для таких систем, но они лишены особого инте-
интереса. Поэтому мы ограничимся решениями для декартовых и круговых
цилиндрических координат, а прочими системами будем заниматься в даль-
дальнейшем в связи с волновым уравнением, для которого они имеют большее
значение.
Вращательные координаты образуются вращением проходящей через
ось z плоскости, в которой построена двумерная система координат, вокруг
этой оси. Круговые цилиндрические координаты (единственная система,
являющаяся одновременно и цилиндрической и вращательной) образованы
вращением прямоугольных координат, сферические — вращением поляр-
полярных, сфероидальные — вращением эллиптических и т. п. Тороидальные
и бисферические координаты также могут быть включены в этот класс.
Третий, более общий класс, образуют параболоидальные и эллипсои-
эллипсоидальные координаты, не имеющие ни цилиндрической, ни осевой симметрии.

238 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Мы будем, насколько зто возможно, придерживаться комплексных
переменных, приносящих большую пользу. Например, каждая функция
комплексного переменного X, соответствующего плоскости, параллельной
оси z и образующей угол и с осью х,
X = z + i(x cos и+ у sin и) A0.3.1)
является решением уравнения Лапласа, а также и любая комбинация таких
решений
ф (х, y,z)=^ F(X)f (и) du. A0.3.2)
о
Мы могли бы, очевидно, испробовать различные функции в качестве F и / и
выяснить, какого вида решения при этом получаются. Однако мы попытаемся
избежать этого процесса нахождения решения, так сказать, «обратным
ходом», вместо этого мы будем получать решения для различных координат,
позволяющих разделить переменные, решая соответствующие уравнения
с меньшим числом переменных. Во многих случаях мы найдем, что оконча-
окончательное решение можно представить интегралом вида A0.3.2), и это инте-
интегральное представление окажется весьма полезным для суммирования
рядов по собственным функциям и для выражения собственных функций
одной системы через другие.
Интегральная форма A0.3.2) является обобщением интегрального
представления, обсуждавшегося в § 5.3, и является столь же общим
аппаратом. Эта форма особенно проста и полезна в случае вращательных
координатных систем, когда функция / (и) оказывается равной либо
cos (mu), либо sin (m«) с целым т.
В этом случае функции F, соответствующие множеству собственных
функций, связанных с данной координатной системой, образуют последо-
последовательность, удобную для разложения в ряды, как, например, последо-
последовательность степеней X или последовательность одномерных собственных
функций от X и т. д. При помощи соотношений между функциями F,
соответствующих различным координатным системам, можно установить
зависимости между решениями для различных координат.
Интегральная форма функции Грина. В качестве примера примене-
применения интегрального представления A0.3.2), а также для получения несколь-
нескольких формул, которые будут нужны нам на всем протяжении этого пара-
параграфа, мы подвергнем некоторым преобразованиям функцию Грина для
уравнения Лапласа в неограниченном трехмерном пространстве. В гл. 7
было показано, что для этого случая функция Грина имеет вид
G{z,y,z\z0,y0,z0)=l/R, R* = (x-x0r + (y-y0J+(z-z0r. (Ю.3.3)
Однако эта форма весьма неудобна для различных разложений G в ряды
по собственным функциям.
В гл. 7 были уже развиты общие методы получения разложе-
разложения функции Грина по собственным функциям, и, следовательно, иско-
искомые ряды можно было бы получить, просто запустив в ход алгебраиче-
алгебраическую машину. Возможно, что полезнее всего в данном простом (и довольно
частном) случае снова обратиться к этому «сложному агрегату», в осо-
особенности потому, что здесь мы сможем стать на точку зрения, отличную
от изложенной в гл. 7.
Начнем с решения уравнения
^ф = - 4*„ (х - х0) о (у - у0) о (z - z0) A0.3s4)

lu.a. Решения в трехмерном пространстве
в прямоугольном параллелепипеде с ребрами конечной длины, равными
соответственно а, Ъ и с. Если краевые условия состоят лишь в том, что
собственные функции должны быть периодичными на границах (т. е. чтобы
значения ф на одной из граней, перпендикулярных оси х, равнялись
соответствующим значениям ф на другой параллельной грани и т. д.),
то собственные функции представимы в виде
т .-J ¦п1т.пс ' ^Imn a ' b с '
где коэффициенты А должны быть выбраны так, чтобы ф удовлетворяло
уравнению A0.3.4)
Для вычисления коэффициентов А сначала подставим этот ряд
в уравнение:
-« 2 M(t)'+W+(t)'] •""""-
= — 4я8 (х — х0) о (у — у0) о (z — z0).
Умножая обе части равенства на ехр( — 2mQ,mn) и интегрируя по объему
параллелепипеда, получим
= — 4 ire 2lT-s'imn
где Q'lmn= lxo/a-\-myo/b+ nzo/c. Поэтому решение уравнения A0.3.4), удо-
удовлетворяющее требованию периодичности граничных значений, равно
, vi 1/ЛаЪс
Подробным рассмотрением этого решения для конечного параллеле-
параллелепипеда мы займемся несколько позже, теперь же устремим a, b и с к бес-
бесконечности. Положим 2тг//а = кх, 2пт/Ь = ку, 2пп/с = kz. Так как a, b и с
стремятся к бесконечности, то число целых значений I, соответствующих
элементарному промежутку от кх до кх + dkx, равно в среднем (а/2тс) dkx,
аналогично дело обстоит с dky и dkz. Следовательно, в пределе суммы,
входящие в выражение функции Грина A0.3.5), переходят в интеграл
Это вполне удовлетворительное интегральное представление для 1/R,
но значительно более полезные выражения можно получить, выполняя
некоторые из интегрирований в «/с-пространстве». Например, кх, ку, кг
можно считать компонентами вектора К, а (х — х0) и т. д. — компонентами
вектора R. Тогда величина, заключенная в скобки, равна elK"R/isT2, а эле-
элемент объема равен K2dKsm&d&dy, где &—угол между RhK (K-R =
= KR cos &). Интегрируя по углу <р, получим
dw = _|_ ^ Sin (КЯ) 4г = 1Г • w = cosb- (Ю.3.7)
R т
Еще более интересное представление получается применением круго-
круговых цилиндрических координат в «/с-пространстве», если положить

240 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
кх = к cos и и ку = к sin и и проинтегрировать по kz. Интегрируемая функция
имеет простые полюсы в точках kz = ± ik с вычетами (l/2nik) elhG~k<-z~~zo>
в точке kz = ik и — A/2тк)елс+к(г~хо) в точке kz= —ik. Интеграл по к,
с бесконечными пределами можно обычным способом заменить интегралом
по контуру, охватывающему ik, если разность z — z0) положительна, или —ik
(в отрицательном направлении), если z — z0 отрицательна (см. стр. 392 тома I).
Следовательно, другим интегральным представлением для функции Грина
будет
оо оо
i_ = J_ ? dkx ^ dk prk\z-zn\ + ih[(x-xn)cosu+(v~Vn
R 27i
о
/сж = Л" cos и, ky — ksmu, A0.3.8)
где X = z + г (жcos и-\- г/sin ы), Хо = zo + ? (ж0cos M + 2/osinw)> если z <_ z0,
и X = — z + i (ж cos и + г/ sin и), Хо = — z0 + i (х0 cos гг -f у0 sin гг), если z > z0.
В том, что последний интеграл равен 1/R, можно убедиться, осущест-
осуществляя интегрирование по и. В действительности мы могли бы с таким же
успехом получить выражение A0.3.8) удачной догадкой, просматривая
таблицу интегралов, но много полезнее получить эти результаты путем
последовательных рассуждений. Мы могли бы, очевидно, получить первую
строку в равенстве A0.3.8), применяя общие формулы гл. 7, в частности,
формулу G.2.42), но для выяснения вопроса, быть может, было более полезно
повторить еще раз весь вывод в этом особенно важном случае.
Так или иначе мы показали, что функцию Грина 1/R можно пред-
представить в виде A0.3.2) при помощи величин типа A0.3.1). Интеграл
A0.3.8) будет полезен для разложений функции 1/R в ряды по собствен-
собственным функциям, соответствующим различным системам координат.
Решения в прямоугольных координатах. Частные решения, соответ-
соответствующие декартовым координатам, имеют обычный вид: e~hx sin (ъту/а) X
Xsin(mnz/?), sin(ътх/a)sh(ку)sin(nnz/b) и т. д., где /с2 = (mre/aJ+ (mn/?J.
Например, потенциал внутри прямоугольного параллелепипеда с ребрами
а, Ъ, с, у которого грань z = 0 имеет потенциал ф0(ж0, у0), а остальные
пять граней—нулевой потенциал, равен
sb[k n(c-z)]
sb[kmnc]
где ктп— {ът/а)* -\- (it/i/iJ. Для сравнения с формулой A0.1.7) проведем
расчет в случае ф0 = 1 (на нижней грани поддерживается единичный потен-
потенциал, на остальных — нулевой):
,„
, ,. sin Г — Bт+ 1I sin Г^
«m(c — 2I La I L Ъ
' n*2l sb [kmnc]
tn, n
где, на этот раз, ктп = (it/aJ Bm + IJ + (iz/bf Bи +1J. Наконец, .еели с

10.3. Решения в трехмерном пространстве 241
намного больше, чем а и Ь, то этот ряд сводится к ряду
Bm + l)l sin [(гсу/Ь) B>г+1I , -m Ч 1 ¦М
Bт+1)Bв + 1) ' ( }
описывающему распределение температуры в длинном брусе прямоуголь-
прямоугольного поперечного сечения, на торце которого поддерживается единичная
температура, а на боковых гранях — нулевая. Благодаря наличию экспо-
экспоненциального множителя каждый член убывает и стремится к нулю
с ростом z, т. е. с удалением от нагретого конца. Члены, соответствующие
большим значениям тип, убывают много быстрее, и для достаточно
больших значений z температура приближенно равна
b ~ A6/тг2) e^Vaz+M. sin
Ряд A0.3.11) следует сравнить с аналогичным двумерным рядом,
входящим в формулу A0.1.8). В двумерном случае ряд можно просумми-
просуммировать и получить решение в замкнутой форме. В трехмерном случае
благодаря наличию квадратного корня в показателе ряд не представляет
никакой известной простой функции от х, у, z.
Другой пример решения, достаточно просто выражающегося в прямо-
прямоугольных координатах, можно получить, рассчитывая установившееся
течение идеальной жидкости в трубе с прямоугольным сечением. Уста-
Установившийся поток, имеющий скорость v0 (направленную параллельно оси
трубы), определяется потенциалом скоростей
4 = — иср. z.
Однако распределение скоростей может быть неоднородным у начала тру-
трубы (z = 0) и мы должны так исправить формулу для однородного потока,
чтобы эта начальная неоднородность потока была учтена.
Предположим, что составляющая скорости по оси z при z = 0 равна
о0 (ж, у) и является функцией точки (х, у) в плоскости начального попе-
поперечного сечения. Решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее гранич-
граничным условиям
~~ к ~ v° (х'у^ при z = °'
г^ = 0 при ж = 0, х = а,
озс
^=0 при у = 0, у = Ь,
дф
представляется рядом по собственным функциям
Л„ cos() cos
A0.3.12)
где член, соответствующий т = п = 0, равен в точности — Aooz. Этот ряд
удовлетворяет всем граничным условиям, за исключением условия при
z =s 0. Чтобы удовлетворить и этому условию, полагаем
vo(x, y)dy,
0

242 Гл. 10. Решение уравнении. Лапласа и Пуассона
= ^nb \ C°S
о
ь
Лт„=-=р~=\ cos^)dx\ cos^^f )vo(x,y)dy, A0.3.13)
(т/а) -\-(п/ ) ц о
причем формула для ЛОге получается из формулы для Лт0 заменой х на
у и т на. п.
Мы замечаем, что все дополнительные члены, соответствующие зна-
значениям т Ф 0 или п ф 0, содержат экспоненциальный множитель, благо-
благодаря которому они стремятся к нулю, когда z стремится к бесконечности.
Таким образом, неоднородности в потоке, вызванные условиями у начала
трубы, постепенно «сглаживаются», так что вдали от начала поток
в трубе делается однородным, имеющим среднюю скорость иср..
Например, если воздух пропускается в трубу через отверстие в пла-
пластинке, закрывающей конец трубы z = 0, причем отверстие расположено
в точке (х0, у0) пластинки, то v0 = Qt {x — х0) 6 (у — у0) и
Л =— Л = —
00 аЪ ' т0 nmb \ a J '
А = v' COS ( ° ) COS ( —f? ) .
В тех случаях, когда две трубы разных размеров соединяются при
z = 0 (или поперек трубы при z = 0 помещена диафрагма, снабженная
отверстием произвольной формы), задачу можно решить, записав разло-
разложение в ряд для потока при z < 0 и при z > 0 и потребовав, чтобы эти
ряды совпадали при z = 0. Мы откладываем обсуждение такого рода задач
на сопряжение до главы, посвященной распространению колебаний, в ко-
которой мы встретимся с подобными проблемами.
Функция Грина для внутренней области прямоугольного параллелепи-
параллелепипеда с нулевым граничным условием на гранях является трехмерным
аналогом эллиптической функции. Ее выражение в виде ряда можно
получить точно так же, как был получен ряд A0.3.5), только здесь
используются синусы:
1,т,п
X sin
(ъ1х
Рассмотрим сплошной прямоугольный параллелепипед из металла,
по всей внутренней области которого равномерно распределены источники
тепла, а на поверхности поддерживается нулевая температура. Тогда
функция, описывающая распределение температуры, будет пропорциональна
функции G, проинтегрированной по всей внутренней области параллелепи-
параллелепипеда (по переменным х0, у0, z0). Окончательный результат имеет вид
I, m, n
нечетные
64 -кЧтп . / nix \ . f ъпщ ~\ . f iznz \
.,,.„.. ,,,.„ , . . .„Sin I Sin ( —~ ) Sin I I ,
причем ряд сходится настолько быстро, что значение этой функции можно
подсчитать . без особых затруднений (в сумму входят только нечетные
значения I, т, п).

10.3. Решения в трехмерном пространстве 243
Решения в круговых цилиндрических координатах. 15 координатах
г, ср, z уравнение Лапласа имеет вид
AiMV4.n
г дг\ дг ) r2 d<f2 ~^ »&
При разделении переменных получаем
ф = Ф (ср) /? (г) Z (z), (й2Ф/й<р2) + /и2Ф = О,
— 5- ( r-=- L-( /c2 5- ) /? = 0, -r-r — A2Z = 0.
Решение первого уравнения, т. р. множитель, зависящий от ср, есть либо
sinmy, либо cos ту. Если отсутствуют границы, на которых ср = const, и ср
может изменяться от 0 до 2чг, то т должно быть либо нулем, либо целым
числом. Решения уравнения для Z также выражаются через тригонометри-
тригонометрические или гиперболические функции в зависимости от того, является ли
к вещественным или мнимым числом. Если на обеих граничных поверх-
поверхностях, перпендикулярных оси z (на основаниях цилиндра), заданы одно-
однородные граничные условия (например, нулевые значения функции или ее
нормальной производной) и требуется удовлетворить граничным условиям
на боковой поверхности цилиндра, то к должно быть мнимым числом.
Если же граничные условия на одном или обоих основаниях цилиндра
неоднородны, то к должно быть вещественным числом, так как в зтом
случае множитель, зависящий от Z, оказывается гиперболической функ-
функцией.
Уравнение для R есть уравнение Бесселя. При вещественном к его ре-
решениями являются функции Jm (кг) и Nm (кг) [см. формулы E.3.63) и E.3.76),
а также стр. 302]. Функция Бесселя Jm конечна в начале, и потому ее
следует применять в тех случаях, когда ось z находится внутри области,
охватываемой граничной поверхностью, т. е. области, в которой располо-
расположено искомое поле. Функция Неймана Nm является вторым решением
этого уравнения и обращается в бесконечность в начале.
Гиперболические функции Бесселя Кт и 1т (см. стр. 303) применя-
применяются в случае, когда к — мнимое число. Функция 1т конечна в начале,
но бесконечна на бесконечности. Функция Кт бесконечна в начале и
равна нулю на бесконечности.
В качестве примера на применение этих решевий рассмотрим задачу
о стационарном распределении температуры внутри цилиндрического
бруса, на основаниях которого (z = 0 и z = l) поддерживается нулевая
температура, а на боковой поверхности (г —а) задана температура Ta(z).
Представление этого решения в виде ряда выглядит так:
71=1
Если температура на поверхности зависит от ср и z, то ряд содержит
положительные значения тп и в выражения коэффициентов входят как
интегралы по ср, так и интегралы по z.
Если на боковой поверхности (г = а) поддерживается иулеваяТтсмпе-
ратура, а хотя бы на одном из оснований (z = 0, z = /) заданы переменные
граничные условия, то следует применять функции Бесселя с веществен-
вещественными значениями к. Решая уравнение Jm(ka)=^0 при фиксированном тп,
мы находим соответствующую ортогональную систему собственных функ-
функций. Собственные значения, т. е. корни уравнения /т(чг|3) = 0 записы-
записываются в виде $тп. Первый индекс указывает порядок функции Бесселя,
а второй—номер корня, так что наименьший корень соответствует значе-

244 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
нию п=\ и $m,n + i >P,,m- На стр. 523 даны значения нескольких первых
корней.
Последовательность Jm(it$mnr/a) для различных п образует полную
систему собственных функций, обладающую всеми соответствующими свой-
свойствами: ортогональностью и т. н. Например, так как Jm (ъ$тп) = 0, то
и силу формул стр. 302
0, s Ф п,
— 2ГУ (кЗ )Р -
A0.3.15)
Поэтому любую функцию фо(/', ср), заданную в круге (О <><; а;
можно представить в виде ряда
2-я
{ 5 C0S lm (ср ~ 6)] d6 5 в *°(И' 6) У'» Q^f^)du) X
m. n 0 0
где г0 = 1, sm = 2 для т = 1, 2, 3... .
Следовательно, потенциал внутри цилиндра радиуса а и высоты I,
равный нулю на всей поверхности, за исключением основания z = 0, где
он равен \ (г, <р), представляется двойным рядом
2к а
J sm Sh Цп$тп/а) (I — 2I ] 7 /^ Я^тпГ "\
т, п 0
X
Если г устремить к бесконечности, то этот ряд превратится в интег-
интеграл, как зто было показано на стр. 710 тома I. Часто употребляется интеграл
Фурье — Бесселя
оэ -г»
F (г) = \ udu ^ F (w) Jm (ur) Jm (uw) wdw, A0.3.17)
с и
а также его обобщение на случай полярных координат (г, ср), получаю-
получающееся при помощи E.3.66):
оо 'М 2-я
¦!io(r, ср) = ^— \ uda\ wdw \ '^(w, ®)J0(uR)dQ, A0.3.18)
и о о
где
R2 = г2 + w2 ~ 2rw cos (cp - 6).
Пусть, например, на плоскости z = 0 потенциал равен нулю всюду
пне- круговой области @ < г < а), где он равен Vo. Тогда потенциал над
этой плоскостью равен
ф (г, <р, z) = Vo { е2 du \ /0 (иг) /0 (uw) wdw = Voa ^ <Г": Ух (иа) Уо (иг) du.
и о о
A0.3.19)

10.3. Решения в трехмерном пространстве 245
Используя первые члены разложений для /0 и Jv можно получить
приближенное выражение для функции '!> при больших значениях z:
Vna ^eudu^-V^, z » г, а.
При помощи формул
со
* $ ^зЖ (Ю.3.20)
и 'о '
можно получить более общее выражение, дающее хорошее приближение
при z > а и при любых значениях г. Первая из этих формул получена
из интегрального представления функции /0, а вторая — дифференцирова-
дифференцированием первой по z. Используя вторую формулу, можно показать, что
>Ь ~ zV0a2/2 (z3 + rzK/2, z > a.
Решение задачи о безвихревом течении несжимаемой жидкости в
круглой трубе радиуса а сводится к решению задачи Неймана. Для одно-
однородного потока решение, очевидно, имеет вид <Ь = — voz. Для неоднород-
неоднородного потока в такой трубе решения имеют вид
где amn есть и-й корень уравнения
Первые несколько значений а даны на стр. 524. Мы видим, что яоп = $т>
но все прочие а отличаются от всех прочих р.
Если поток начинается у конца трубы z = 0, где составляющая ско-
скорости по z равна v0 (г, <р), то потенциал скоростей вдоль трубы для z > 0
равен
т,п 0
вт ехр [ — (namnz/a)] j f Яатпг\ МО Я 211
Эту формулу следует сравнить с выражением A0.3.16). Для больших
значений z все члены, за исключением члена, соответствующего значе-
значениям т = 0 и п = 0, оказываются пренебрежимо малыми:
2-к а
Например, если весь поток втекает в трубу через малое отверстие, рас-
расположенное в центре пластинки, помещенной при z = 0, то ряд имеет вид
¦ - -
I количество жидкости, протекающее в единицу времени через любое по-
поперечное сечение трубы, равно Q, так как каждый член ряда для п > 0
ортогонален собственной функции наинизшего порядка /0 @) = 1, и по-
поэтому полный поток, представленный рядом, равен нулю независимо <м
значения z.

246 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Интегральное представление собственных функций. Так как собствен-
собственные функции cos (ту) ehz Jm (kr) являются частными решениями уравнения
Лапласа, то их можно выразить при помощи интеграла вида A0.3.2).
Формула E.3.65) и рассуждения, приведенные на стр. 238, подсказывают,
каким должен быть общий вид функций F (X) и f{u). Мы имеем
2тс
Г eifacosucos (mM)du = 2rdmJm (kr).
После замены и = w — <р и умножения обеих частей равенства на ehz пока-
показатель подинтегрального выражения станет равным
& [z -f- ir cos (w — <p)] = к [z -j- г (a; cos w-\-y sin &y)] = /cX
в соответствии с A0.3.1). Поэтому получаем
2т, 2-к
\ efcx cos (mu) du = е'<г \ e°"'cos № [cos тю cos отер -f- sin тю sin пир] tto =
о о
= 2^/"V" cos (mT) Jm (kr); A0.3.22)
интеграл, содержащий sin (mw), равен нулю в силу нечетности синуса.
Аналогично имеет место равенство
2тс
\ екХsin (mu) du — 2штehz sin (/иер) Jm (kr),
о
где в обоих случаях
X = z-\-i(x cos и -\- у sin к).
Эти выражения оказываются чрезвычайно полезными, так как при
их помощи можно выразить через цилиндрические функЦии все остальные
элементарные решения. Например, в соответствии с формулой A0.3.8)
функция Грина
1/Д = [(z - zof + г2 + г; - 2rr0 cos (<p - <ро)Г1/2
равна
со 2-п
1 1 Г ,, Г -;i|z-z0|+ifc0-cos(u-9)-r0cos(u-<p0);|
0 О
Эта функция должна разлагаться в ряд Фурье по cos [m (<р — <р0)] с коэф-
коэффициентами
со 2я 2я
Е Г" С (* —/il?—Г l+t/i [rCCSU! —rnCOS(t + ll!)]
Лт = т-^V \ dk \ dw \ cos (mt) e ° at,
4Яа J Л J
0 0 0
где w=u — <p и ? = <p — <p0. Далее, полагая t-{-w — v, получаем
со 2л 2тс
/lm = |5l С е-''1г-*о1 dk { eihrcosw cos (mw) dw { е~Шгосо*" cos (mv) dv =
о о
-h^Jm(kr)(-l)mJ,n(kr0)dk.

10.3. Решения в трехмерном пространстве 247
Итак, окончательно ряд для функции Грина оказывается равным
оо со
i = 2 *,n cos [т (9 - <р0)] J Jm (кг) /,„ (Ь-о) в-ь"-го' <**. A0.3.23)
т=0 0
.')то выражение оказывается полезным при расчетах нолей, расположен-
расположенных вне цилиндров.
Функция Грина для внутреннего поля. Функция Грина внутри ци-
цилиндра представляется рядом, аналогичным ряду A0.3.14), т. е. пред-
представленным в виде ряда решением уравнения V2(V== — 4т:о, где функция о
равна нулю всюду внутри цилиндра, за исключением точки (г0, <р0, z0),
а интеграл от нее равен 1. Мы положим
m,n,s
,">гот ряд обращается в нуль при z = 0, z — l, r = a, т. е. на границах
цилиндра. Подставляя этот ряд в уравнение для ty, получим
Умножая на одну из собственных функций и интегрируя по объему
цилиндра обе части этого уравнения, получим выражение для внутренней
функции Грина
О (г, ср, z | r0, 9o, z0) - 2i ^A(л?ш)[(«/^+(Р„/вJ] Х
тпа
)J^(^)m(^^s). (Ю.3.24)
Потенциал поля заземленного цилиндра, внутри которого равномерно
распределен заряд единичной плотности, получается при помощи интегри-
интегрирования этого выражения по объему цилиндра по переменным г0, <р0, z0:
n, s
Этот ряд пропорционален также распределению температуры внутри
уранового цилиндра с равномерным распределением источников распада,
на поверхности которого поддерживается нулевая температура.
Решения в сферических координатах. Сферические координаты
<р = arctg (у/х)
являются весьма удобной системой и вполне заслуживают детального
изучения. В уравнении Лапласа
переменные разделяются следующим образом [ф = /?(г) в (&) Ф(<р)]:
= 0,
2d

248 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Решениями первого уравнения являются функции cos(m<p) и sin(m<p),
и если ни одна из плоскостей <р = const не является граничной поверхно-
поверхностью, то из условий непрерывности и периодичности функции Ф следует,
что т должно быть нулем или целым числом. Решениями второго урав-
уравнения являются функции Лежандра
т (cos ft) = sinmft:C_m (cos ft),
о которых говорилось на стр. 564 и 726 тома I. Было показано, что эти
функции, ограничены на отрезке 0<ft< iz только для целых п, больших или
равных т. Решениями третьего уравнения являются функции гп или 1/гп*1.
Поэтому частными решениями уравнения Лапласа в сферических координа-
координатах служат
rnye nyo ri-iye ,,-n-iy0
' 1 ran, ' 1 тп, ' * гпп, > 1 гтъ
где
Ycmn = cos (m<p) Pn (cosft), Ymn = sin (mcp) /*"г (cosft). A0.3.25)
Функции У называются сферическими гармониками. При этом функ-
функции, соответствующие значению /и = 0, называются зональными гармони-
гармониками (так как эти функции зависят только от ft и их узловые линии де-
делят сферу на зоны); если же т равно п, то мы получаем секториалъные
гармоники, так как эти функции зависят только от ср и их узловые линии
делят сферу на «секторы» (сферические двуугольники, образованные мери-
меридианами). Остальные функции, соответствующие значениям 0 < т < п,
называются тессералъными гармониками. Эти функции, являющиеся собствен-
собственными функциями оператора Лапласа на поверхности сферы, взаимно орто-
ортогональны и их норма равна
in (n-\-m)\
em Bn j-1) (га — т)\
и J
где верхний индекс у У может быть либо е (четная), либо о (нечетная)
(исключение составляет У°Оп, не существующая вовсе) и где (как и раньше)
?о= 1. еп = 2 (га=1, 2, 3...). Следовательно, каждая функция V0(<p, &),
заданная на поверхности сферы, может быть представлена рядом
m, n
Vo (<р, ») = 2 [AmnYemn (», т) + BmJ°mn (*>,<?)],
A0.3.26)
\ fhr. \ V V cinftf/ft
(га-(-то)!
B/i4-l)em (re — то)! Г , Г T/ ve .
= - L_^_^.^—. L_ \d<p\ V0Ymn Si
где коэффициенты i5mn выражаются подобно коэффициентам
только разницей, что под интегралом функции Уетп заменены функциями
У°эт; а члены, соответствующие т = 0, опущены.
Мы видим, следовательно, что если на поверхности сферы радиуса а
потенциал равен Vo (<p, ft), то внутри сферы он представляется рядом
ф = 2 [4mBC(», <p) + BmnY°mn (ft, <p)] (^)П, (Ю.3.27).
т,п
где коэффициенты А и Б определяются по формулам A0.3.26). Члены ряда„
соответствующие большим значениям п, выражают «тонкие детали» измене-
изменения функции Vo (<p, ft) в зависимости от углов; эти члены велики только
вблизи г = а. У центра сферы потенциал почти постоянен и равен приближенно

10.3. Решения в трехмерном пространства 24!*
первому члену
представляющему среднее значение функции Vo по поверхности сферы.
Например, если сферическая поверхность имеет потенциал V для зна-
значений &, заключенных между 0 и &0, и нулевой потенциал для значений 3-
между &0 и 1г, то мы применим формулу для интеграла от функции Рп,
данную на стр. 307- Все коэффициенты В, а также все коэффициенты А,
за исключением АОп = Ап, равны нулю. Коэффициенты Ап равны
1
К = 4" <2п + l) [ VPn И te=\v [/Vi (cos \) - Pn+1 (cos &„)],
cos So
где для п = 0 мы положим JP_1 = 1. Поэтому потенциал внутри сферы равен
со
Потенциал вне сферы радиуса а, на поверхности которой он равен
Vo (<p, &), представляется рядом, аналогичным ряду A0.3.27) и отличающим-
отличающимся от него лишь тем, что множители (г/а)п заменены множителями (а/гI1*1,
откуда следует, что потенциал стремится к нулю, когда г стремится к бес-
бесконечности. Отметим, что на очень большом расстоянии от сферы (г > а}
потенциал пропорционален 1/г (кулоновское поле), причем множитель про-
пропорциональности равен радиусу сферы а, умноженному на средний потен-
потенциал по поверхности сферы Fcp. Рассматриваемая с достаточно большого
расстояния, сфера действует так, как если бы она имела суммарный за-
заряд, равный ее емкости а (в элекростатических единицах), умноженной
на средний потенциал.
Поля заряженных дисков и витков тска. Однородное поле, направ-
направленное по оси z, имеет потенциал, пропорциональный —z=—r/>1(cos&).
Если это поле возмущено присутствием сферы радиуса а с центром в на-
начале координат, то к этому потенциалу следует добавить член (l/r2)/>1(cos&)
для того, чтобы удовлетворить граничным условиям при г —а. Например,
если поле представляет поток идеальной несжимаемой жидкости, то
граничные условия заключаются в том, что сМ>/5г = 0 при г = а. В резуль-
результате потенциал скоростей равен
[ 4$] A0.3.28)
Скорость у поверхности сферы имеет ^-направление и равна
з . „
Знак минус указывает на то, что скорость направлена в сторону убывания &.
Таким образом, наибольшая скорость жидкости достигается у экватора,
сферы и равна 3/2 скорости однородного невозмущенного потока. Если
жидкость пребывает в покое на бесконечности, а сфера движется сквозь
жидкость со скоростью v, то жидкость непосредственно перед сферой
будет двигаться вместе с нею со скоростью v, в то время как жидкость
у экватора будет двигаться в противоположном направлении со скоростью
A/2) v, так что вытесняемая жидкость обтекает сферу. Очевидно, что

250 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
наличие вязкости видоизменило бы эту картину. Мы изучим действие
вязкости в последней главе.
Если имеется однородное электрическое поле напряженности Е, в ко-
которое вносится диэлектрическая сфера с диэлектрической постоянной г,
то потенциал следует выбрать так, чтобы его предельные значения из-
изнутри поверхности сферы совпадали бы с его предельными значениями
извне, а его нормальная производная извне равнялась бы нормальной
производной изнутри, умноженной на е. При помощи несложных алгебраи-
алгебраических операций можно показать, что искомая пара функций имеет вид
= J - [ЗЯ/B + е)] г cos ft, r < а,
1 1 - Er cos & + ?[(s-l)/(s + 2)] (a3//-2) cos», r>a.
Эти выражения показывают, что поле однородно на бесконечности, а также
внутри сферы и что напряженность внутри сферы меньше, чем предельное
значение напряженности на бесконечности, если диэлектрическая постоян-
постоянная больше единицы.
Далее мы определим поле плоского однородно заряженного диска
радиуса а, полный заряд которого равен Q, а плотность заряда Q/ъа2.
Поместим центр диска в начало координат, а поверхность диска располо-
расположим перпендикулярно оси z.
В точке оси z, отстоящей от поверхности диска на расстояние г, потен-
потенциал равен
J J г <- а'
ЭДт-КтУ+лСт)"—•]•
Мы знаем, что потенциал симметричен относительно оси z, и поэтому его
можно разложить в ряд по зональным гармоникам rnPn (cos Ь) или
r~n~1Pn (cos &) для значений &, отличных от нуля (т. е. вне оси z). Мы знаем
также, что РпA)=1. Из всего сказанного можно заключить, что разло-
разложение потенциала диска в точке (г, &, <р) имеет вид
<!) =
г>а-
Этот потенциал, как и следовало ожидать, не зависит от <р. На очень
-больших расстояниях искомый потенциал сводится к функции Q/r, как
это и должно быть. Мы замечаем, что имеет место скачок градиента у по-
поверхности диска, вызванный наличием члена BQ/a2) r | cos & | = BQ/a2) \z\ .
Поэтому скачок нормальной производной равен 4Q/a2 = 4iro, где о = Q/ъсг
¦есть поверхностная плотность заряда на диске. Вспоминая, что оба ряда
должны совпадать при г = а, мы замечаем также, что

10.3. Решения в трехмерном пространстве 2о1
Чтобы найти потенциал двойного слоя, расположенного на диске
радиуса а с центром в начале, перпендикулярном оси z, напомним, что,
согласно элементарной теории электромагнетизма, магнитный потенциал,
порожденный витком тока силы /, равен магнитному потенциалу поверх-
поверхности, границей которой служит эта проволока и на которой распределен
магнитный двойной слой с плотностью диполей, равной /. Следовательно,
потенциал диска, несущего двойной слой, равен магнитному потенциалу
кругового витка тока, совпадающего с краем диска. Он равен также телес-
телесному углу, под которым виден диск из данной точки, умноженному на /.
Магнитная напряженность в точке, лежащей на оси диска и отстоящей
¦от его поверхности на расстояние г, равна
Н =
Интегрируя это выражение в пределах от /¦ до бесконечности, получим
магнитный потенциал вдоль оси z
г 1 _ —^=1=2^ г а Г -У -1| Г - Y
L J/V2 + «2J L Н » У 2-4 V г/
, 1-3-5/ г V
Потенциал на отрицательной полуоси z отличается от написанного
только знаком.
Вновь строя ряд по сферическим гармоникам, соответствующий запи-
записанному степенному ряду, мы найдем, что магнитный потенциал, порожден-
порожденный круговым током силы /, или потенциал диска радиуса а с поверх-
поверхностной плотностью диполей /, равен
cos ft
A0.3.30)
r>a-
Первый член в первой скобке представляет собой разрывную функцию,
равную +1 Для Ь < т/2 и — 1 для 8- > т/2. Этот разрыв при переходе
через диск (когда & переходит от тс/2 — г к т:/2 + е при г < а) влечет
за собой разрыв потенциала i со скачком 4ir/. Это как раз тот скачок,
которого следовало ожидать для диска с плотностью диполей /. Причиной
этого разрыва магнитного потенциала витка тока является тот факт, что
ток в витке порождает вихри в поле вблизи провода, и поэтому любая
попытка представить поле с вихрями при помощи потенциальной функции
приводит к разрывному потенциалу (см. рассуждение на стр. 215, 216
о циркуляции вокруг цилиндра).
Из формулы A0.3.30) следует, что на больших расстояниях от диска
( или витка тока) потенциал сводится к функции ira2/(l/r2)cos&, которая,
как мы покажем ниже в этом же параграфе, является потенциалом про-
простого диполя, «сила» которого равна тиа2/. Мы замечаем также, что

252 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
разрывная ступенчатая функция cos &/| cos & [ выражается рядом
7 И
-2-Л(С08&)—J Л (COS &)+^P5 (COS
1
Поля заряженных сферических сегментов. Как показывает преды-
предыдущий пример, при переходе через поверхность двойного слоя с плот-
плотностью диполей / потенциал претерпевает разрыв со скачком, равным 4чг/,
но его нормальная производная остается непрерывной. Используя этот
факт, мы можем вычислить потенциал двойного слоя, расположенного
на поверхности сферы радиуса а. Например, функция
всюду конечна и претерпевает скачок, равный Pn{cos&) при г = а, а ее
нормальная производная при этом остается непрерывной. Чтобы найти
потенциал произвольного поверхностного распределения диполей по поверх-
поверхности г = а, мы строим ряд из функций <Ъп, соответствующий данному
распределению плотности.
Например, двойной слой может покрывать сферический сегмент.
Пусть плотность диполей на поверхности сферы радиуса а равна / для
значений &, лежащих между 0 и &0, и О для Ь, лежащих между &0 и it.
Потенциал такого распределения зарядов должен равняться У] АпРп (cos &),
где
So
Ап = 4*1 ^±1 { 4„ (г, ft) Pn (cos ft) sin & db;
о
поэтому
GO
¦!> = 2tJ ^ [Лг-i (cos »0) - Pntl (cos »„)] Pn (cos ft) X
n=0
j 2,+iU;' r<a' мозз^
I и / a V+1 \
r> a>
является потенциалом двойного слон с постоянной поверхностной плот-
плотностью /, распределенного на сферическом сегменте с угловым радиусом &0.
Эта же функция <Ь является магнитным потенциалом витка тока силы /,
расположенного по окружности г —а, & = ¦&„. Здесь мы заменили виток
тока сферической оболочкой, несущей двойной слой, а не плоским
диском того же периметра, как это было сделано при выводе формулы,
A0.3.30). Обе формулы должны совпадать (различие будет только в положе-
положении поверхности разрыва), когда виток лежит в экваториальной плоско-
плоскости, т. е. когда &0 = ir/2. В этом случае, применяя одну из формул, при-
приведенных на стр. 306, получим
r<a> (W.3.32)
r>a.
[4 iv

10.3. Решения в трехмерном пространстве 253
Заметим, что этот ряд при г > а совпадает с соответствующим рядом
из A0.3.30), в то время как ряды для г < а эквивалентны, но отлича-
отличаются тем, что мы переместили поверхность разрыва с экваториаль-
экваториальной плоскости &==1г/2 на сферическую поверхность г=а, & < it/2.
Так как поверхностный заряд порождает скачок не функции Ф, а ее нор-
нормальной производной, то соответствующий ряд для потенциала однородно
наряженного сферического сегмента
со
•ф = 2irca2 [Pn-i (cos &о) — ^n.i (cos 8о)] Рп (cos &) X
х ^Р >!<„+, ' й' (ю.з.зз)
соответствует (но не эквивалентен) ряду A0.3.29).
Интегральное представление решений. Прежде чем приступить к рас-
рассмотрению других задач, мы займемся разысканием важного для нас
интегрального представления вида A0.3.2) для решений, выражающихся
•через собственные функции в сферических координатах. Так как
X = z + ix cos и -\- iy sin и — г [cos & + i sin & cos (и — <$>)],
то следует ожидать, что решение, содержащее степень г, может быть
«шражено при помощи интеграла, в котором функция F (X) является
простой степенью X. Мы рассмотрим интеграл
2 тс
Л Хп cos (mu) du =
о
= rn \ [cos & -f- i sin & cos w]n cos [m (w + <p)] dw =
0
2tc
= rncos(m<p) \ [cosb-yisinbcoswY1 eimwdw =
и
1 sinm & ф (t2 — l)n (t — cos u)-"-'71-1 dt rn cos (mep) =
r"w!., cos (тиер) sinm& 7T-m (cos &) = ?ni™nl. r"Yemn (&, ш), A0.3.34)
аде мы положили I — cos&-f isin&e11" и использовали формулу E.3.37).
Подобным же образом находим
2тс
\ Хп sin (mu) du = -. ^т rnFm,i (^> <р)-
о
Аналогичными методами легко показать, что
1 1 . (mu)du = 2ш ~ г п 1-{ х
Sin v ' п\ | ЛТо
Г х-п-х COS ^м = 2Td-m(n->n)[ j У^п (ft, <p),
.1 sin v ; n! I v° /я \
I J (w, cp).
Эти формулы окажутся чрезвычайно полезными в наших дальнейших
исследованиях. Благодаря им мы сможем относительно легко переходить
от сферических координат к другим системам. Например, выражая X

2о4 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
через х, у, z и затем осуществляя интегрирование, находим, что
Yoo = 1, Yol = f, F02 = -^ BZ* - ж* _ *Д F03 = ^3 B^
A0.3.36)
ye _ Ч Х' — У- уе _ л с. *2 — у
^2 * 23 г
Здесь r! = .f!|f+z!. Отсюда нетрудно усмотреть, что вес 2п+1 функций
являются однородными рациональными полиномами от х, у, z степени пг
а также что все они являются решениями уравнения Лапласа. Оказы-
Оказывается, что все возможные однородные полиномы степени п от х, у, zr
являющиеся решениями уравнения Лапласа, могут быть образованы
при помощи линейных комбинаций 2п-\-\ построенных таким обра-
образом независимых полиномов. Они образуют полное подмножество во всем
множестве решений. С точки зрения теории групп они являются предста-
представлениями n-кратной группы вращений (для п = 0 полная симметрия вра-
вращения вокруг любой оси; для п — 1 трехкратная симметрия вращения на 90°
вокруг трех декартовых осей; для п — 2 симметрия вращения на 45е
вокруг соответствующих осей и т. д.).
Те же самые функции степени п после деления на r2n+i дают но-
новое множество функций, также являющихся решениями уравнения Лап-
Лапласа.
Решения, определяемые по формуле A0.3.34), могут быть выражены
через решения, соответствующие новому началу координат, при помощи
интегрального представления. Например, одно из решений, соответству-
соответствующее центру в точке @, 0, а), может быть выражено через решения, соот-
соответствующие центру в точке @, 0, 0), следующим образом:
Г X" - паХ"-1 + \ п (п - 1) а2Хп-* - ... ] cos (та) du =
Для решений, содержащих отрицательные степени г, мы, разлагая
(X — а)"", получим бесконечные ряды, и, чтобы добиться сходимости,

10.3. Решения в трехмерном пространстве 25>>
надо пользоваться различными разложениями в зависимости от того,
будет ли г больше или меньше а. Для г, большего а, мы получим
p-my. S
О
imn\
О
со
_-п-1 V (s —m)! A «
Формулы, выражающие потенциал в координатах г, &, ср через коорди-
координаты г', &', <р, получаются заменой в этих уравнениях а на —а.
Например, можно получить приближенное решение следующей задачи.
Заземленная сфера с внешним радиусом b помещена внутрь сферы с вну-
внутренним радиусом с (с > Ь), имеющей потенциал V. Найти распределение
потенциала между сферами, если центр внутренней сферы отстоит от центра
внешней сферы на расстояние а (а < с — Ь). Предположим, что линия цен-
центров лежит на оси z, что координаты, связанные с большей сферой, суть
J', &, <р, а координаты, связанные с малой сферой (с центром в точке г = а.
& = 0), суть г', У ср.
Так как потенциал при г' = Ь должен равняться 0, то наиболее общее
выражение его должно иметь вид
и=0
где мы использовали только гармоники, соответствующие значению пг = О,
так как вся картина симметрична относительно оси z. Заметим, что А0Ь
равно полному заряду Q, расположенному на внутренней сфере (можете ли
вы это доказать?). Используя вышеприведенное разложение и меняя
порядок суммирования, найдем, что тот же потенциал, выраженный в коор-
координатах г, &, соответствующих большей сфере, равен
s=0
(a V
s
+i XI а Г Ъ V+1
1AA)
Так как большая сфера при г = с должна иметь постоянный потенциал I
то уравнения для коэффициентов А имеют вид
71=0
b Л« s! f с Vs+i
71=0

256 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Если а мало по сравнению с b или с, то эта система уравнений
может быть решена методом последовательных приближений. Мы положим
Ап = (а/Ь)п Вп> где Вп не является ни слишком большим, ни слишком
малым. Тогда
Если отношение а/b мало, то, решая уравнения при s > О, получим
Значение i?0 получается из первого уравнения. Если b много меньше,
чем с, то следует сохранить только Въ а коэффициентами В с более
высокими индексами можно пренебречь. В этом случае
cai/b
и емкость данной конфигурации проводников в этом приближении равна
-Мо^_?^_ Г а ™УЬ 1
Более удобные пути исследования этой проблемы будут обсуждаться ниже.
Разложение функции Грина. Решение 1/г является функцией Грина
для -источника, расположенного в начале координат. Если источник нахо-
находится в точке г = г0, & = 0, то функция Грина равна
R
8=0
как это можно показать, исходя из формулы E.3.28). Если источник
находится в произвольной точке (г0, &0, <р0), то лучше всего получить раз-
разложение, исходя из общей формулы G.2.63).
Нормированные собственные функции, зависящие от Э-, имеют вид
Нормированные собственные функции, зависящие от ер, имеют вид либо
_
2я
либо У ?т/2я cos (ту) и Vsm/2wsin («г 9); из-за вырождения приходится
использовать обе эти функции для каждого значения т. Радиальные
функции не являются собственными функциями, но производная функции
Т 1 \rnlrn^\ r<r0,
2n+llrS/r»+S r>r0,
имеет скачок 1/г, при г = г0. Поэтому данная функция является функ-
функцией Грина от переменной г (см. стр. 770 тома I). Следовательно, соответ-

10.3. Решения в трехмерном пространстве 257
ствующие ряды для функции Грина трехмерного уравнения Лапласа
в сферических координатах имеют вид
п=0
со п
2 Е 2m-fe~5г ^n (cos &0Ж (cos &) х A0.3.37)
п=0 т=0
ж
где R2 = г2 -\-г% — 2rr0 cos w, a
cos (о = cos &0 cos 9- -}- sin &0 sin 9- cos (cp — cp0);
углы ш, & и &0 образуют три стороны сферического треугольника.
Благодаря этим формулам мы можем получить некоторые полезные
формулы, представляющие функцию Лежандра от угла ш через функции
от сторон сферического треугольника & и &0 и заключенного между ними угла
ip — хр0. Например, приравнивая коэффициенты при rn/ro+1 в обоих рядах,
мы получим теорему сложения для сферических гармоник
п
Рп (cos ш) = 2 гт j~T~ji рп (cos ft) Р" (cos ft0) cos [m (cp - To)], A0.3.3S)
m=0
где sm — множитель Неймана: ео=1, sn = 2 (n= 1,2,3, ...).
Но мы могли бы получить первый из рядов формулы A0.3.37), исполь-
используя соотношения A0.3.8). Если г0 > г, то
2п со 2-к
' 2j 2я V
п=0 0
ztt; со ^7
/? 2я J ДГ0 — Л: ^-1 2зх.1
^п гП 1 С [cos&4~' sin ^ cos(<p — к)]" »
^ 2j ^nii 3 fcos»0+i sin»0cos(<p0—u)]"*>
n=0 ° 0
Таким образом, мы получаем интегральное представление для поли-
полинома Лежандра от ш:
2т.
г. / ч If [COSft-M sin&COS (tp — М)]П 7 //in о ОГ\\
Р„ (cos to) = 7Г- \ р-Цг ^—s r*- Trfr-;du, A0.3.39)
о
которое следует сравнить с выражениями A0.3.34) и A0.3.35). Интеграль-
Интегральные представления для /)n(cos&) или i3n(cos&0) можно получить, положив
в формуле A0.3.39) либо & = 0, либо &0 — 0.
Функция Грина для внутренней задачи, когда единичный заряд нахо-
находится в точке (го,&о,сро) внутри заземленной сферы радиуса а (а > г0),
имеет вид
Gi (г, &, т I г0, К Фо) =
= Ж~ 2 е- !^+ЗтР" (cos *«)Р" (cos S) CO3 tm (CP - 'о)] fS . (Ю.3.40)
n, m
где разложение для l/R дано равзнствами A0.3.37).

258 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Предположим, что однородно заряженная проволока натянута вдоль
оси z от -{-« до 0 и помещена внутрь полой заземленной сферы. Для по-
положительных z потенциал элемента проволоки длины dz равен
с, ^ Рп (cosft) [An(z,r)- |S+" ]dz, А„ =
/¦"
~^г, r>z,
где g есть заряд, приходящийся на единицу длины. Ряд для отрицатель-
отрицательных значений z содержит дополнительный множитель (— 1)" при п-м члене
[равный Рп(— 1)]. Поэтому потенциал в точке (г, &, <р) внутри заземленной
сферы, создаваемый заряженной проволокой, равен
и=0
=«2
p»<cos9>=
п=0
Первые члены сходятся плохо из-за разрыва потенциала при г = а, & = 0, тс.
Функция Грина для внешней задачи, т. е. потенциал заряда, находя-
находящегося в точке (^о.^о'То) в присутствии заземленной сферы радиуса
а (а < г0), имеет вид
= -jr — 2 sm I^Tmlj ^" ^C°S ^ ^" ^C°S ^ C°S ^ ^ ~~ '°^ "+1 п+1 ' A0-3.41)
т,п
Второй дополнительный член, благодаря которому потенциал обращается
в 0 при г=а, совпадает с тем членом, который возник бы от фиктивного
заряда величины а/г0, помещенного в точке г = а2/г0, 9- = &0, ер = ср0. Срав-
Сравнение с формулой A0.3.40) показывает, что изображением точечного за-
заряда q, находящегося в точке (г0, &0, <р0) заземленной сферической поверх-
поверхности г = а (где а либо больше, либо меньше г0), является заряд qa/ru
в точке (а2/г0, &0) ср0). Если заряд находится вне поверхности (го>а), то
изображение лежит внутри поверхности и меньше оригинала; если же за-
заряд лежит внутри, то изображение лежит вне поверхности и больше ори-
оригинала.
Диполи, квадруполи и мультиполи. Потенциал, порожденный зарядом,
распределенным внутри сферы г = а с объемной плотностью р (г0, &0, ср0),
в точке, лежащей вне этой сферы, определяется рядом
со п
<Ь= 2 2 [AnmYemn ($,<?) + BnmY°mn(b, ^)]~, A0.3.42)
n=0 m=(J
где
2n - a
cos(»№0)d<p0\ ^(cos&Jsina,,^,, \ p(r0, \, cpo)rol+2dro,

10.3. Решения в трехмерном пространстве 2о9
а коэффициент Впт выражается аналогичным объемным интегралом, в ко-
котором cos(mcp0) заменен на sm(mep0) (Z?n0 = 0).
Мы замечаем, что коэффициент Апо равен полному заряду, находяще-
муся внутри сферы г = а, другими словами, вне сферы, в пространстве,,
свободном от зарядов, величина коэффициента при 1/г в A0.3.42) в точ-
точности равна полному заряду внутри сферы ' независимо от его распределе-
распределения. Каждый из остальных членов ряда является определенной характе-
характеристикой распределения заряда, как это показывает соответствующий:
интеграл.
Однако существует иной путь для вычисления этого потенциала. В соот-
соответствии с формулой A.4.8) потенциал в точке (х, у, z) равен
где R2 = (ж — х0J + (у— уо)г + (z — z0J и интегрирование производится по
объему, заключенному внутри сферы г = а, где, по предположению, разме-
размещен весь заряд. Если г больше, чем а, мы можем получить достаточно-
хорошо сходящийся ряд для интеграла, разлагая 1/R в ряд Тейлора по
переменным х0, у0, z0, которые никогда не превосходят а.
Нетрудно видеть, что мы можем символически записать
/
где r2 = x2-\-y2 + z2. Поэтому мы можем разложить 1/7? в ряд, каждый
член которого является произведением a^yjjzjj на некоторый численный
множитель и на множитель (d>-+^+v/dxxdy^dzv) A/г), являющийся функцией
от х, у, z (либо от г, &, ер). Первый из этих сомножителей, умноженный
на р(ж0, у0, z0), следует проинтегрировать по внутренней области сферы г0 = а,
чтобы получить окончательный числовой коэффициент при функции от
х, у, z.
Используя формулу для п-й степени трехчлена
(где суммирование распространяется на все возможные значения X, ji, v,
для которых X-f- (j. —|— v = n), мы можем выписать разложение для ф в явном
виде:
со п п — 1
( \\п I Г Г Г 1
n=0 !=0 fc=0
х д|Дья„-1ь ( — ) для г > а, A0.3.43)
охл ди& f)zn '~к \ г ' v '
где плотность р (и все ее производные) равна 0 на сфере радиуса а и вне
этой сферы. Это согласуется с положениями предыдущего параграфа. Мы
можем, если захотим, взять по частям интеграл в скобках, заменив, таким
образом, множитель, содержащий степени х0, у0, z0, производными от о по>
переменным х0, у0, z0.
Этот ряд (в той или иной его форме) показывает, что, производя из-
измерения потенциала вне сферы, мы можем найти только те характеристики
распределения заряда р внутри сферы радиуса а, которые выражаются
через значения интегралов
~hpdxodyodzo A0.3.44)
Ш(п— г — /

260
либо
Гл. 10. Решение уравнений Лапласа- и Пуассона
к
дп
1-к [Р (жо> Уо, zo)] d4 dVo dzo
в зависимости от того, каким из видов интеграла мы пользуемся при
расчете. В самом деле, если перераспределить о внутри сферы любым
сколь угодно сложным образом, лишь бы значения интегралов A0.3.44) не
изменились, то мы не смогли бы, находясь вне сферы, обнаружить, что
произведено перераспределение. Конечно, при ближайшем рассмотрении
требование, чтобы все интегралы оставались неизменными, теоретически
оказывается достаточно жестким ограничением на произвол перераспреде-
перераспределения р. Действительно, из второй формы интегралов, казалось бы, следует,
что, потребовав, чтобы р выражалось сходящимся степенным рядом по
xv> Уо> zo внутри сферы, мы сделали перераспределение теоретически не-
невозможным, так как, фиксируя значения интегралов, мы тем самым фикси-
фиксируем все коэффициенты этого степенного ряда. Однако, как мы сейчас,
увидим, вопрос решается не так просто.
На практике, кроме того, мы обладаем значительной свободой пере-
перераспределения, ибо если, г существенно больше, чем а, то потенциалы
(заданные при помощи производных от 1/г) для больших значений п
оказываются столь малыми, что не поддаются измерению, и мы можем
получить только значение интегралов A0.3.44) для п, меньших неко-
некоторого. конечного числа, которое будет тем меньше, чем больше г, т. е. чем
больше расстояние, на котором мы измеряем потенциал.
Например, для весьма больших г мы можем измерить только коэф-
коэффициент при члене 1/г, соответствующем значению п = 0. Величина этого
коэффициента в точности равна полному заряду q. Эта величина останется
неизменной, если мы сосредоточим весь заряд в начале, т. с. если мы за-
заменим фактическое распределение р распределением вида аъ(х)Ь(уN(z).
Для несколько меньших г мы смогли бы измерить также величины
Dx= V \ \ хор dxodyodzo и выражаемые аналогичными интегралами Dy и D..
Вектор с компонентами Dx, Dy и Z)z называется диполъным моментом
для распределения заряда р. Его величина останется неизменной, если мы
заменим р диполем, символически обозначаемым при помощи производных
дельта-функции
- [Dxb' (x) 8 (у) 8 (z) + DJ (х) о' (у) 8 (z) + Dzu (x) 8 (у) 8' (z)]
(см. стр. 775 тома I) и соответствующим заряду +D/s (ZJ = D\ -\- D^ 4- D\)
в точке х = eDx/2D, у = sDy/2D, z — sDz/2D и заряду — D/s, расположенному
по другую сторону от начала, где s исчезающе мало. Распределение столь
простого вида даст, конечно, только три члена, соответствующие значе-
значению и=1 в ряде A0.3.43). Все остальные члены будут равны нулю.
Простейшее распределение зарядов, порождающее потенциалы второго
порядка, содержит комбинации из трех или четырех точечных зарядов.
Например, интеграл
может быть истолкован при помощи «диполя из диполей», т. е. диполя,
расположенного вдоль оси ж, элементами которого служат диполи, рас-
расположенные параллельно оси у, с зарядами + Qxy/^2 в точках х = у =
1 1
= ±уг, z = 0 и зарядами — Qxy/^2 в точках х= — у = ± уз, z — 0, где
е исчезающе мало. При помощи дельта-функций это можно записать в виде

10.3. Решения в трехмерном пространстве 261
Далее, интеграл
соответствует тройке зарядов: заряду — 1QzJz%, помещенному в начале
координат, заряду -f- QzJ-* в точке ж = г/ = О, z = г и заряду + Qzzl^
в точке х — у = О, z = — s, причем опять г стремится к нулю. При помощи
дельта-функции это запишется в виде
Qzzo(x)Z(y)o"(z).
Только что описанные распределения трех или четырех зарядов называются
квадруполями1). Мы видим, что потенциалы второго порядка можно с
успехом заменить, подобрав соответствующим образом симметричные
квадрупольные аффиноры с компонентами Qxx, Qxy^Yy* и т> Д-> опреде-
определяемыми шестью интегралами второго порядка.
Мы можем здесь сказать «и так далее». Следующее простейшее рас-
распределение зарядов называется октуполем, а все последующие просто
мультиполями. Теперь мы можем подтвердить положение, высказанное на
стр. 260. Значение потенциала вне сферы радиуса а не изменится, если
заменить действительное распределение заряда р (находящегося внутри
сферы) нижеследующим «упрощенным» распределением:
точечный заряд величины q, помещенный в начале координат;
диполь, помещенный, в начале, величина и направление которого
задаются при помощи компонент Dx, Dy, Dz;
квадруполь, находящийся в начале, с компонентами Qxx, Qxy и т. д.
Поскольку речь идет о значении потенциала вне заряженной части
пространства, любое распределение заряда можно заменить подходящим
набором мулътиполей.
Возможно, в этом месте читатель будет удивлен тем, что мы занима-
занимались разложением по сферическим гармоникам, в то время как разложе;
ние по мультиполям значительно более «наглядно», и тем, что мы занима-
занимались рядом A0.3.42), когда имеется ряд A0.3.43). В ответ заметим, что,
во-первых, ряд по мультиполям содержит излишние члены и, во-вторых,
если оставить в стороне наличие излишних членов, разница между этими
рядами не очень велика.
Сравнивая ряды A0.3.43) и A0.3.42), мы замечаем, что разложение в
ряд Тейлора содержит (n + l)(n-j-2)/2 членов n-го порядка, в то время
как ряд по сферическим гармоникам содержит 2n -j-1 членов n-го по-
порядка. Оба ряда имеют по одному члену «нулевого» порядка и по три
члена первого порядка. Но ряд Тейлора имеет шесть членов второго по-
порядка, в то время как ряд по сферическим гармоникам — только пять 2).
Содержит ли ряд Тейлора излишние члены, или, наоборот, в ряд по сфе-
сферическим гармоникам не включена одна «степень свободы» распределения
заряда р, или имеет место и то, и другое?
х) Для квадруполя характерно наличие четырех зарядов. Случай трех зарядов
является вырожденным и соответствует слиянию двух одноименных зарядов.—Прим.
ред.
2) Обычно аффинор квадрупольного момента записывается в виде
ру
При этом след аффинора ^ Qu = 0, так что имеется только пять независимых компонент
аффинора. Следовательно, и в разложении Тейлора имеется только пять независимых
членов второго порядка. Добавленные члены ( —^-bih \ r2pdxdydz J не изменяют
потенциала, так как соответствующий член в ряде Тейлора пропорционален
V2 i- = 0'. 1 —Прим. ред.

262 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Правильным ответом будет «и то, и другое». Существует «степень сво-
свободы» в распределении заряда, включенная в ряд Тейлора, при которой
не создается потенциала вне сферы и которая опускается в ряде по сфе-
сферическим гармоникам именно потому, что она не создает потенциала-
Симметричное распределение заряда, при котором Qxx = Qm = Qzz = Q и
Qxy = Qxz--~Qyt = O, согласно A0.3.43), порождает потенциал
равный нулю, так как 1/г является региением уравнения Лапласа при г > 0.
Это распределение соответствует помещенному в начало отрицательному
заряду, окруженному симметричной сферической оболочкой, несущей та-
такой же положительный заряд. При этом результирующий потенциал равен
нулю. Ряд по сферическим гармоникам не включает члена, соответствую-
соответствующего такому распределению, и поэтому имеет на один член второго по-
порядка меньше, чем ряд Тейлора.
Дополнительному требованию, чтобы опускались те из «степеней сво-
свободы» в распределении плотности заряда, которые не создают потенциала
вне сферы, значительно легче удовлетворить, если в формуле A0.3.43)
переменные х, у, z заменить переменными w=x-\-iy, w—x—iy и z (см
стр. 333 тома I). Тогда членами второго порядка будут
, , , 5.02
Уо> )ddd { + +
1 Г Г С
~2 ) ) )
где г2 = хюхю + z2. Однако непосредственное дифференцирование показывает,
что
dw
j~i\d г
так как 1/г удовлетворяет уравнению Лапласа. Поэтому четвертый член
создает тот же самый потенциал, что и третий. И мы можем записать
это выражение в виде
Выполнив все дифференцирования и сравнив полученные выражения
с представлениями сферических гармоник, данными в A0.3.36), видим,
что рассматриваемый интеграл в точности равен
о> zo) dxo dVo dzo J {Fo2 (К To) Y
+ й У» (&С Фо) У« (&> Ф) + й F22 (V Фо) ^^2 (», Ф)
что и является совокупностью членов второго порядка в ряде по сфери-
сферическим гармоникам.

10.3. Решения
трехмерном пространстве
263
Чтобы показать весьма тесную связь между обоими рядами для всех
порядков, мы воспользуемся формулой A0.3.35), из которой получим
д V дп~т
)
2-к
du
)
^ = ( - 1)" (" -
К (cos &) г-" =
= (- 1)" (п -т)! г-" [Г,е™ (&, ?) + /Т?.т (», ?)], A0.3.45)
^ —
где X = z J--i(xcos к + ^sin к) = z + y г (И)е~1гб + гг'е1г')- ^та формула совме-
совместно с формулой для смешанных производных
дх ~~ ' ду ) dzn->n~zi У г J ~~^~ ' \_дх +l ду
ду
dzn~m
дает возможность после довольно громоздких алгебраических преобразо-
преобразований показать, что ряд A0.3.43) в точности равен ряду A0.3.42). Таким
Рис. 10,25. Расположение диполэй и квадруполей, создающих поля,
соответствующие указанным сферическим гармоникам.
образом, оправдывается утверждение, высказанное на стр. 261, и, следо-
следовательно, мы можем связать потенциалы мультиполей и сферические гар-
гармоники. Рис. 10.25 показывает распределение диполей и квадруполей,
соответствующее сферическим гармоникам первых двух порядков.
Теперь мы можем вернуться к вопросу о том, в какой мере можно судить
о распределении плотности заряда р(х0, у0, z0) внутри сферы г = a, jjno изме-
измерениям порожденного этим распределением потенциала |'вне сферы г —а.
Коэффициенты при сферических гармониках n-го порядка в ряде A0.3.42)
являются интегралами, взятыми по объему, ограниченному сферой, от той же
п-\\ сферической гармоники с переменными 9-0,ср0, умноженнойjHa г" и на о.
Каждое видоизменение распределения р, при котором эти коэффи-
коэффициенты остаются неизменными, создает тот же потенциал вне сферы

264 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
г = а. В частности, мы можем прибавить или вычесть из р распределение
заряда вида %п (r0) Ymn (&0, ср0) с любым постоянным множителем, если
только выполнено условие
так как легко видеть, что любое такое распределение заряда дает нуле-
нулевой потенциал вне сферы г = а.
При этом удобно пользоваться следующим разложением для р:
Р (го< К Фо) = 2 [?етп (г0) Yemn (&0, ср0) + p°mn(r0) Y°mn (Ь
m n
m, n
где
и р° выражено аналогичным образом. Ввиду полноты системы сферических
гармоник этот ряд полностью соответствует самой функции р, т. е. схо-
сходится к ней в среднем в соответствии с определением § 6.3. Отметим,
что р00 представляет полный заряд внутри сферы г = а и что всем осталь-
остальным pF соответствует полный заряд, равный нулю.
Но, получив радиальные распределения рти, мы можем теперь изме-
изменить р, не меняя потенциала ф, путем произвольного изменения любого ртп.
Для этого надо, чтобы интеграл от измененного pmrj, умноженного на г"+2,
не отличался от такого же интеграла от первоначального рти. В частности,
мы можем заменить каждое ртп (за исключением случая т = п = 0) сле-
следующим выражением:
qemn W = е-" Ртп (го/е), tfmn (г0) = в—-» р°тп (го/а), 0 < е < 1,
поскольку тогда
аналогичное равенство имеет место для q°. Таким образом, мы можем
концентрировать каждое частичное распределение ртп во все меньшей
и меньшей сфере радиуса аг (г стремится к 0), увеличивая в то же время
величину заряда при помощи соответствующего множителя l/sn+3 и нисколько
не меняя потенциала вне сферы г— а. В пределе при г —>• 0 эквива-
эквивалентное распределение заряда сводится к последовательности мультиполеп,
причем мультиполю порядка п соответствует
[2 {q )]
е->0 m=0
Компонентами этих мультиполей действительно ограничиваются все харак-
характеристики распределения р, которые можно определить, измеряя потенциал •¦!»
вне сферы г = а.
Сферическая оболочка с отверстием. Построив функции Грина, мы
можем теперь найти потенциал вокруг металлической сферической оболочки,
в которой имеется круглое отверстие. При этом будет использован тот же
метод, которым была получена формула A0.1.22) в случае цилиндра

10.3. Решения в трехмерном пространстве 265
со щелью. Предположим, что поверхность г = а, Ьг < & < тс сделана из ме-
металла, а область 0 < & < Ъх представляет собой отверстие в этой поверх-
поверхности. Мы хотим найти потенциал внутри и вне этой поверхности, считая,
что разность потенциала металлической оболочки и потенциала на беско-
бесконечности равна V. Положим потенциал на бесконечности равным —F,
тогда потенциал оболочки будет равен нулю.
Если бы не существовало отверстия (&1 — 0), то потенциал вне оболочки
равнялся бы фо = — V + Va/r, а внутри оболочки равнялся бы ф° —0.
При этом разность между нормальными производными при г = а равна V/a.
Интегральное представление потенциала при наличии отверстия в первом
приближении выражается формулой (см. стр. 747 тома I)
(г, &)*|? \ df0 ^ G (г, &, ? | а, »0, Фо) sin &0 d\ - V ~
r<ay
n=0
I n=0
где С есть ряд для 1/Л, заданный формулой A0.3.37), а
Ап=[Рп (cos ft) sin &db = ^4т [/>„_! (cosftj - />„,, (cos ftx)]
0
(для n = 0 vlo= 1 — cos 9-^.
Это выражение, очевидно, равно взятому с обратным знаком потен-
потенциалу, создаваемому той частью сферы, после удаления которой образова-
образовалось отверстие. Оно не равно в точности нулю на металлической оболочке,
но остается непрерывным вместе с первыми производными при пере-
переходе через отверстие. Лучшим приближением является то, для которого
6 (а, &)~
п=0
О,
Этот потенциал легко вычислить. Он равен
1
С оо со
со со
г<а>
^ и=0 тп=0
где
Апт = Bп +1) ^ Р„ (ж) Рт (ж) da;.
cos 8i
Ясно, что производные этого потенциала уже не остаются непрерывными
при переходе через отверстие, но в остальном он хорошо удовлетворяет

266 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
граничным условиям. Потенциал в центре сферы при этом равен
п=0
Г)та величина весьма мала, если &х мало, и равна — F, если &х = и (т. е.
-если вообще не существует металлической оболочки).
Мы могли бы использовать также метод, данный на стр. 195, 196, для
вычисления потенциала в случае, когда его значения в отверстии известны.
Вытянутые сфероидальные координаты. Сферические координаты
образованы вращением полярных координат вокруг оси; вытянутые
сфероидальные координаты образуются при вращении эллиптических коор-
координат, описанных на стр. 185, вокруг большой оси эллипса. Предполо-
Предположим, что фокусы сфероида расположены в точках х = у = 0, z = ±~?~a.
тогда расстояния от точки (х, у, z) до этих фокусов равны
~iаУ
Система вытянутых сфероидальных координат ?, tj, ср определяется следу
ющим образом:
? =-- (гг + г2)/а, г) = (t-j — г2)/а, ср = arc tg {y/x),
1 и 1
где ? изменяется от 1 до со, т] изменяется от — 1 до -f-1, а ср от 0 до2тс.
Поверхность $ = const является вытянутым сфероидом с фокусным
$« и малой осью
расстоянием а, большой осью у $« и малой осью у a j/f;2— 1. Поверхность
•»1 = const является двуполостным гиперболоидом вращения с фокусами
в точках z= + ~2а> образующая асимптотического конуса которого соста-
составляет с осью z yrojf & = arc cos -f\. Поверхность ср = const является плос-
плоскостью, проходящей через ось z и образующей угол ср с плоскостью х, z.
Положив d» = Ф (ср)Х (?) Н (rj, мы после разделения переменных в урав-
уравнении Лапласа получим следующие уравнения:
Допустимыми решениями первого уравнения для граничных условий, пе-
периодических по ср, будут cos (игср), sin(»2cp), где тп есть нуль или целое число.

10.3. Решения в трехмерном пространстве 267
Решениями второго и третьего уравнений служат сферические гармоники i5™
а их вторыми решениями являются функции Q™ (см. стр. 308). Во вто-
втором уравнении переменная tj изменяется от значения — 1 (на отрица-
отрицательной части оси z) до значения +1 (на положительной части оси z).
Для того чтобы Н была конечной в этом промежутке изменения t\, постоян-
постоянная разделения п должна быть нулем или целым положительным числом.
При этом Н пропорциональна присоединенной функции Лежандра первого
рода Р™ (tj) Переменная \ изменяется от +1 (вдоль линии, соединяющей
фокусы) до бесконечности. Для большинства значений типне существует
решений, остающихся конечными во всем этом промежутке изменения ?,
поэтому приходится представлять решение такими комбинациями Р™ (!•)
и (?™ (?), которые остаются конечными внутри области изменения k, опреде-
определенной условиями задачи.
Например, если на вытянутой сфероидальной поверхности !• = ?0 задан
потенциал ty0 (-q, cp), то вне этой поверхности распределение потенциала
имеет вид
т п от (й)
Ф = 2 2 I^mn СОВ AИф) + Бтп Bin (Иф)]/>"(,,)-^-А-, A0.3.47)
п=0т=0 Уп («о)
где
^2
Если ф0 равен постоянной на этой поверхности, то предыдущая формула
принимает вид
На больших расстояниях от сфероида ? = ?0 координата ? стремится к 2г/а,
где г — расстояние от центра сфероида. Поэтому выражение потенциала
на большом расстоянии от вытянутого сфероида 5 = ?0> имеющего посто-
постоянный потенциал ф0, имеет вид
т. е. потенциал вдали от сфероида обратно пропорционален расстоянию
от его центра. При помощи этого выражения можно вычислить заряд
на сфероиде, а следовательно, и его емкость.
Пусть заземленный проводящий сфероид ? = Ео находится в однород-
однородном поле, вектор напряженности которого на большом расстоянии от сфе-
сфероида имеет величину Е, лежит в плоскости x,z и образует угол 6 с на-
направлением оси z. Тогда в выражение потенциала должны входить сла-
слагаемые, соответствующие однородному полю,
- .Ежsin 6 —?zcos 6= —\аЕ[?yj cos 6 + j/^2 - 1) A —-»ja) cos cp sin 6] =
= - -j aE [P° (?) P° (ij) cos 6 + iP\ (g) P\ (-q) cos cp sin 6],
а также исчезающее на бесконечности решение, за счет которого суммар-
суммарный потенциал равен 0 при ? = Ео. Окончательное выражение потенциала

268 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
имеет вид
• (Ю.3.48)
Мы должны были ввести множитель i, так как нами выбрано тако&
определение сферической гармоники
„(z) = (l — z2) Tn_m{z),
что она остается вещественной для z < 1 (эти гармоники обычно назы-
называют сферическими гармониками Феррера). Для переменной Е, которая
всегда больше единицы, нам, быть может, следовало бы дать новое опре-
определение этой функции в виде
/)n (z) = (z2 —I) Tn_m(z) = e Рп (z)
(эти функции обычно называют сферическими гармониками Гобсона)г
с тем чтобы избавиться от мнимых величин в формулах. Однако, вместо-
того чтобы вводить новые символы, мы можем просто запомнить, что
есть вещественная функция от ? для ? > 1.
Вторые решения
(см. определение V на стр. 565, 566 тома I) тоже можно определить так, чтобы
они были вещественными при ? > 1, так как они используются только для
координаты ?.
Плотность распределения заряда, индуцированного на поверхности
сфероида этим полем, равна
2-каУ ^^
Так как в знаменателе имеется множитель "j/f-о—if, поверхностная плот-
плотность о стремится стать у обоих вершин сфероида (^=±1) наибольшей.
Представляет интерес задача о полусфероиде E = ?0 при 0<т)<1),
потенциал которого по сравнению с заземленной плоскостью (tj = 0 для
Ео<?) равняется VQ. В пределе, когда значение ?0 стремится к единице,
этой задаче соответствует случай вертикальной антенны или трубы зонда,
погруженной в грунт для того, чтобы служить источником (или стоком)
тока или фильтрующихся вод. Чтобы удовлетворить граничным усло-
условиям при т) = 0, мы должны использовать зональные гармоники нечетного
порядка, имеющие узлы при tj = 0. Выпишем ряд
71=0
где функции P2n+i образуют полное семейство на отрезке
На основании таблицы, приведенной в конце этой главы, можно заклю-
заключить, что для выполнения условия '!> = Fo при ? = ?„ и положительных

10.3. Решения в трехмерном пространстве 269
значениях tj коэффициенты ряда должны определяться по формуле
i
Ап = Dл ¦+ 3) \ V0P2n+1 (т,) d-q = Vo [Р2п @) - Р2п+2 @)] =
Следовательно,
На больших расстояниях основным является первый член, и
^ (?) = -*-? l
так что
тде 7- — радиус-вектор, идущий от начала координат к точке, где изме-
измеряется d», а в —угол между г и осью полусфероида.
Если полусфероид весьма длинный и узкий, то его высота над зазем-
заземленной плоскостью приблизительно равна - - а, т. е. половине фокусного
La
расстояния. Если его радиус у земли (tj = O) равен р, то о = -„ а|/^ — 1 ,
или !=о = 1 + B?/о-J. Так как
когда ? приближается к единице, то на поверхности полусфероида потен-
потенциал и плотность заряда соответственно равны
e=;0
1-7 D
когда ?§ =
0.
Полный заряд на поверхности полусфероида в этом предельном случае
равен
2т. 1
М
Следовательно, емкость этого длинного полусфероида по отношению
к заземленной.плоскости равна а/41п(а/р), что равно емкости цилиндра
радиуса р высотой -=-а по отношению к заземленному концентрическому
цилиндру радиуса а (см. стр. 174).

270 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Интегральные представления решений в сфероидальных координатах.
Выражение для X в аытянутых сфероидальных координатах имеет вид
Х= z-f ? (ж cos к -f У sin и) = —а[т)? —1^(^2— 1)(т]2 — 1) cos (w — cp)J .
Возвращаясь к формуле A0.3.39), видим, что
2т.
п Г ' чАТТг"—1\ / 9—л~; /п\1 1 V* h + V^1'J— 1 cos F—oj)]t' ,
P \rfi — у E — 1) (tj — 1) cos (o)J = —— V ' ' —5— " aw,
q [ё+Уё2—lcos(sy)]
а также что
cos (mu) du
im (n-fm)!
t, , ; \ cos(»2m) h]2 + y г,2 — Icosm\ du.
0
Отсюда легко показать, что интегральное представление для решений пер-
первого рода имеет вид
2-к
т / 2Х \ cos , . ,
\ ( — ) ¦ (mu)du =
" V a J sin v >
2п
cos
Методами, аналогичными использованным при выводе формул A0.3.34)
и A0.3.39), мы можем также получить
гоо
ш! Г cos (mu) dw
О
Поэтому интегральное представление для решений второго рода имеет вид
2-к
-, /2JST\cos, ч , о (п — m)! cos
i Ч; fe+4
0
= 2, (- irg=^j ^ W t(?2 - 1) A - ЧЧГ2 С. (ч) Пп-т F). A0-3.51}
Эти интегральные представления дают возможность вычислить распре-
распределение потенциала вне вытянутого сфероида с фокусным расстоя-
нием а, большой полуосью -у^о и малой полуосью -уау Eq —1 =р, имею-

10.3. Решения в трехмерном пространстве 271
щего потенциал Vo и помещенного внутрь имеющей тот же центр
полой заземленной сферы с внутренним диаметром 2с, большим чем а?0.
В качестве «нулевого» приближения для потенциала вблизи сфероида
имеем
П
Но для |Х|, больших чем a, имеем
Следовательно, используя формулу A0.3.35), мы можем записать нулевое
приближение для г, больших чем у а, в виде
где г, ft и <р являются сферическими координатами с центром, лежащим
в центре сфероида (и сферы).
На внутренней поверхности сферы (г = с) потенциал должен равняться
нулю. С точностью до членов второго порядка относительно величины а/2с,
которую мы предполагаем меньшей чем единица, мы можем добиться этого,,
вычитая решение уравнения Лапласа
которое взаимно уничтожается с первыми двумя членами нулевого прибли-
приближения при г = с. Мы могли бы также заменить постоянную Vo/Qo (f=0)
неопределенным множителем А, который затем можно было бы подобрать
так, чтобы поверхность сфероида имела потенциал Vo.
Следовательно, если а/2с < -у, то довольно хорошим приближением
к точному решению вблизи сферической поверхности является выражение
равное нулю при г = с и постоянное с точностью до членов второго порядка
относительно а/2с при ? = !•„,
Вблизи сфероидальной поверхности нам нужно вновь вернуться
к сфероидальным решениям. Используя формулу A0.3.34), мы получим.
r2/>2 (cos &) = -^ \ X2 du, а в силу F.3.40)
и мы можем выразить слагаемое г2Р2 через сфереидальные решения при
помощи формулы A0.3.50):
2тс

272 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Поэтому потенциал вблизи сфероида приближенно равен
+1]}.
Это выражение при ? = ?0 отличается от постоянной на величину пятого
порядка относительно малой величины а/2с. Для того чтобы •]> совпадало
с Vo при k = So с точностью до членов четвертого порядка, мы выберем
Следовательно, если диаметр сфероида в его среднем сечении (рав-
(равный 2р) значительно меньше его длины, приближенно равной а, и если а
меньше радиуса полой заземленной сферы, то потенциал между сфероидом
и сферой с точностью до членов четвертого порядка относительно а/2с равен
^ ¦ е; -'+BрА>к A0-3-52)
—l)]-о/с
Полный заряд на внутренней поверхности полой сферы [плотность
равна — A/4тс). (ё?ф/ё?г)при г=-с] оказывается равным
Емко_сть этой системы, очевидно, равна Q/Vo.
Функция Грина для вытянутого сфероида. При помощи выражения
F.3.44) можно получить разложение, удобное для представления функции
Грина. Используя формулу A0.3.8), получим
2т; гс> 2т.
л=0
Каждый член этого ряда в свою очередь является рядом Фурье по
cos (ср — ср0). При вычислении коэффициентов этого разложения мы можем
воспользоваться равенствами A0.3.50) и A0.3.51). Окончательно получим
i = l SB»+D ^ emr[
n=0
E)' ^ > ^°' (Ю.3.53)
E0). 5< Eo-
Потенциал, создаваемый зарядом ^>, находящимся в точке (Su>T.o.?o) пне
заземленного проводящего сфероида ? = %г равен
A0.3.54)
1 — Фп) X
L [n-i-mi: j ' -•
?i=O m^=0
*^n V^O/ Vn \?/
где верхний член в скобках используется, когда % > ?п,. а нижний
когда \ < с0.

10.3. Решения в трехмерном пространстве 273
Плотность заряда, индуцированного на сфероиде, равна
'"tone" (?„)#№:
cos[m(<p—<p0)],
где Д — определитель Вронского функций Р и Q, который легко привести
к простому виду. Интеграл от cl%ri h9dqdy по поверхности ? = ?v очевидно,
в точности равен величине Q.
Сплюснутые сфероиды. Вращая софокусные эллиптические координаты
вокруг их малой оси, мы получим сплюснутые сфероидальные координаты:
s = a?Tj, х = аУ(?+1)A-г?) coscp,
A0.3.55)
где ? изменяется от нуля до бесконечности, а щ от — 1 до -\-1. Поверх-
Поверхностью ? = 0 является диск радиуса а с центром в начале координат, рас-
расположенный в плоскости х, у. Поверхность -ц = 1 есть положительная
полуось z, поверхпость т) = — 1 — отрицательная полуось z, а поверх-
поверхность т) = 0 — плоскость х, у, за исключением ее части, расположенной
внутри круга радиуса а с центром в начале (эта часть есть поверхность
? = 0). Поверхности $ = const являются сплюснутыми сфероидами, у кото-
которых длина оси вращения равна 1\а, а радиус в экваториальной плоско-
плоскости равен а У Е2 -+-1 . Поверхность ij = const является однополостным гипербо-
гиперболоидом вращения, осью которого является ось z, а образующая асимпто-
асимптотического конуса наклонена под углом arc cos т) к этой оси.
После разделения переменных уравнения относительно ср и ¦*] полу-
получаются такими же, что и для вытянутых сфероидальных координат, при-
причем сомножители, на которые распадается решение, равны
sin(mcp), cos(mcp) и -Р™ (""])>
где т и п — целые положительные числа (или нуль). Уравнению для
сомножителя, зависящего от ?, удовлетворяют функции
Если диск радиуса а (? = 0) имеет потенциал Vo по сравнению с бес-
бесконечностью, то потенциал соответствующего поля равен
i) = ?|Laretg(±). A0.3.56)

274 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Если ? очень велико, то она становится приближенно равной
г /о, где г— расстояние от центра диска. Поэтому асимптотическим
выражением, этого потенциала является 2V0a/?;r, откуда явствует, что
полный заряд диска радиуса а равен 2V0a/iz, а емкость его в точности
равна 2а/тс.
Потенциал скоростей установившегося потока, направленного перпен-
перпендикулярно к оси у и под углом 6 к оси z, равен
Ф = — v0 (z cos 6 + х sin 6) =
= — av0 [?•»] cos 6 + Y{? + 1) A - rf) cos <p sin 6] =
= iav0 [cos 6 />J (tj) p» (i?) + i sin 6 cos <pi>J (ij) P\ (i?)].
Если теперь поместить в этот поток сплюснутый сфероид !• = ?0 и потре-
потребовать, чтобы поток на его границе был направлен по касательной
к поверхности, то к первоначальному потенциалу следует прибавить
члены вида
А и В подбираются так, чтобы производная от всей суммы по $ равня-
равнялась нулю при ? = ?0. Для случая плоского диска, ?0 = 0, мы имеем
А = 2avo/K и В = 0, откуда
+ sin 6 cos cp !/"(&* + 1) A - тJ) | . A0.3.57)
На поверхности этого диска в точке (? = 0,т],ф) компоненты скорости
равны соответственно
2vn
Vr> = *_fj^L_ у 1 _ rf cose_n0-^-!-sii
а избыточное давление, появляющееся за счет движения жидкости, равно
— 4-ро2==-4-Руо f-^-cos2ei=^- +sin2.6 — УI - yf cos 6 sin 6 cos ф 1 .
2 ^ 2 r Ч л8 i! n " jit] y ' YJ
Оно, очевидно, равно отрицательной бесконечности у острого края диска
(т) = 0). Не удивительно также, что если 6 = 90°, т. е. если поток парал-
параллелен плоскости тонкого диска, то избыточное давление в точности равно
—«г Рио. т- е- т°й же величине, что и в случае отсутствия диска. Мы заме-
замечаем также, что скорость потока равна нулю на поверхности диска (? = 0)
в точке
Ф = 0, т) = У\ + (тс/4J tg2 6 - (те/4) tg 6,
с оответствующей
Я г /л>,! 1-1/2
z = 2/ = 0, a; = a-^-tgo 1 -\-( — \ tg26
на стороне диска, обращенной к положительной полуоси z, и в точке
ф = ТС, 7) = — [J/1 + (ТС/4J tg26 — (тс/4) tg 6],
соответствующей
-1/2
на отрицательной стороне диска.

10.3. Решения в трехмерном пространстве 275
Мы пока не станем рассматривать трехмерный завихренный поток
и потому не будем вычислять циркуляцию вокруг диска, компенсирую-
компенсирующую бесконечную скорость у заднего края в смысле стр. 190. Следова-
Следовательно, мы не можем обсуждать также вопрос о результирующей силе,
действующей на диск.
Поток через отверстие. Другая проблема касается установившегося
бизвихревого потока через круглое отверстие радиуса а. Границей здесь
служит поверхность rt = 0. Решение должно быть непрерывным при !• = 0.
Благодаря наличию осевой симметрии мы пользуемся только решениями,
соответствующими п = 0. Множитель, зависящий от tj, в точности равен
Ро (tj) = 1, в то время как множитель, зависящий от ?, является комбина-
комбинацией функций Pu{i%) и Q0(i?). Тогда решение равно
A0.3.58)
1 • Г 2 f 1 ~\~\
4а ^|_ л V ? / J '
Эта функция равна нулю при ? — 0, а производные ее непрерывны
при переходе через эту поверхность. На больших расстояниях от отвер-
отверстия !• —*¦ г/а и потенциал становится равным
Скорость всюду перпендикулярна поверхности ? = const и равна
Количество жидкости в кубических сантиметрах, притекающей за секунду
к отверстию (оно равно количеству жидкости, вытекающей из отверстия),
равно
2п;
о о
Этим и объясняется, очевидно, наш выбор постоянной Q в формуле A0.3.58).
Если ?0 выбрано достаточно большим, то кинетическая энергия жид-
жидкости вне поверхности ? = ?0 ничтожно мала, и чтобы вычислить полную
кинетическую энергию жидкости, достаточно взять интеграл по объему, огра-
ограниченному этой поверхностью, от функции -у ри2: Т = -^ р \ \ \ | grad <J> |2 dv.
Его можно вычислить непосредственно, но можно использовать и теорему
Грина и заменить его поверхностным интегралом по поверхности S, кото-
которая является поверхностью ? = ?0 для т\ > 0, и по поверхности S', кото-
которая является поверхностью ? == ?0 Для -ц < 0. Таким образом, имеем
Так как поверхности S и S' достаточно удалены от отверстия, то потен-
потенциал Л практически постоянен на этих поверхностях, и кинетическая
энергия в силу A0.3.58) оказывается равной
" Р

276 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Потенциальная энергия потока, протекающего через отверстие, в слу-
случае несжимаемой жидкости может быть выражена при помощи разности
давлений ДР на поверхностях S ш S'. Если весь объем dQ см3 жидкости
прогоняется через отверстие с преодолением этой разности давлений, то
изменение потенциальной энергии равно
dV= -
Используя уравнения Лагранжа C.2.4), мы получим для ускорения потока
выражение
Отношение падения давления в отверстии к ускорению потока, про-
проходящего через отверстие р/2а, может быть названо коэффициентом инерции
(inertance) отверстия. Эта величина связана с эффективной массой той
«пробки» жидкости внутри отверстия и вблизи от него, которая получает
ускорение за счет падения давления.
Так как Q есть полный поток, то Q/nd2 есть выраженное в сантиметрах
среднее перемещение жидкости через отверстие, а тиа2ДР есть выра-
выраженная в динах средняя сила, действующая в отверстии. Поэтому уравнение
4 Ар ^ =
2 г зга2
аналогично уравнению Ньютона, а величина
М = ~ъ2а3р A0.3.60)
является эффективной массой той «пробки» жидкости, которая получает уско-
ускорение, когда мы направляем поток через круглое отверстие в плоскости.
Это выражение окажется полезным, когда мы в следующей главе начнем
изучать прохождение волн через отверстие.
Интегральные представления и функции Грина. Нетрудно видоизме-
видоизменить формулы A0.3.50) и A0.3.51) так, чтобы получить соответствующие
выражения для сплюснутых сфероидальных координат. Новое выражение
для X имеет вид
X = a [^ - V (S2-И) ft2 - 1) cos (в - <p)],
а интегральные представления таковы:
2п
С г, / X Л cos , . ,
\ Рп ( — ) . (ти) du =
j V а J sin v '
2т; 2л
?и+1 Г cos , . , Г h-fjA]2 —I cos (и — в — ш)]п ,
= -тг— \ . (ти) du \ 1 м '._ v— — dw
In J sin x ' J [i|+V'—52—lcos(ai)]n+1
53
-\-т)\ sin *
г — m)! cos
п-\-т)\ sin
и для второго решения
2-п
' Л cos
sin M^ 25^SJfl(9)^W?n^). (Ю.3.62)

10.S. Решения в трехмерном пространстве 277
Подобным же образом сравнивая наш результат с выражением
A0.3.54), мы получим равенство
со
2
7Г-42 <2»+-*> 2
п=0 т=0
при помощи которого можно решать уравнение Пуассона в этих коор-
координатах.
Параболические координаты. Система координат, образованная вра-
вращением двумерных параболических координат вокруг их оси, также назы-
называется параболической:
1 1
z (X2 2) x Xcos # Xsil (x2+2)
A0.3.64)
где ф изменяется от 0 до 2ти, а X и fi от 0 до со. Разделяя переменные,
ф = L(k)M (fi) Ф(<р), получим следующие уравнения:
_
Если tp может изменяться от 0 до 2ти, то т должно быть нулем или
целым числом, причем Ф является либо синусом, либо косинусом wwp.
Уравнениям для L и М удовлетворяют функции Бесселя те-го порядка (см.
стр. 579 тома I). При этом уравнению для L удовлетворяют функции Бесселя
вещественного аргумента, а уравнению для М— функции Бесселя мни-
мнимого аргумента. Эти функции
приведены в таблице в конце этой главы и там же указаны некоторые
их свойства. Соотношения между этим функциями и обычными функци-
функциями Бесселя аналогичны соотношениям между гиперболическими функциями
sh(z), e~z и тригонометрическими функциями sin(z), elz.
Типичным решением уравнения Лапласа в параболических координатах
является выражение
Sin (m& Jm W К W 7» № + Ьш (А) Кт (%)].
где мы взяли гиперболические функции Бесселя от кр, так как мы пред-
предполагаем, что граничные условия заданы на поверхности jj. = const.
Например, если на поверхности ц — jj.o задано осесимметричное рас-
распределение потенциала ф = ф0 (X) и если предполагается, что потенциал
стремится к нулю при fi—> go, то, используя интеграл Фурье—Бесселя,
получим
ф (X, fi) = ^ /0 (Щ [Ко (к?)/К0 (кц0)] [ J фо(М)/о(Л;МIиги ] kdk. A0.3.65)
о о

278 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Если граничной поверхностью служит X = Хо, то мы просто должны поме-
поменять ролями fi и X в этом выражении.
Если речь идет о внутренней задаче, то вместо функций К мы исполь-
используем функции /. Функции / равны нулю при z = 0, за исключением функ-
функции /0, которая равна единице, а производная ее равна нулю. Например,
если областью решения задачи является часть пространства, ограниченная
двумя параболоидами р. = f\, и X = Хо с граничными потенциалами соответ-
соответственно фо(Х) на fi0 и <J)j (fi) на Хо, то, используя ряд Фурье — Бесселя
(стр. 710 тома I), получим
<U)J
n=l 0
2 [д
n=l
A0.3.66)
Получить для этих решений интегральное представление прямым путем
нелегко. Так как координаты X, ;л имеют размерность квадратных корней
из длины, а решениями служат функции Бесселя, то можно ожидать, что
подинтегральное выражение в формуле A0.3.2) равно функции Jn(ky2X),
умноженной на cos (mu) или sin (mu). Опуская длинный ряд второстепен-
второстепенных алгебраических преобразований, мы можем указать на следующие
основные этапы вывода: используя соотношение E.3.65), имеем
2тс
/0 (к У~2Х) = «г- \ exp \ik cos vУ [Xcos (и — tp) + г>]2 + X2sin2 (и — tp)} dv.
о
Но
У[>- cos (м — <р) + г'(х]2 + X2 sin2 (и — tp) cos v = X cos (и — t — tp) + iji cos ?,
где
Поэтому
(ft 1/2X) C0S G?ггг) йгг = ^- С day *i eifeicos w'hv-cos' °?S \m (w +1 + tp)l dt ==
v ' ' sin ' 2л J .) sm l x '
sin
A0.3.67)
Интегральное представление, содержащее функции KmJky) вместо функ-
функций Im (Лр.), имеет под интегралом функцию Но (к ]/2Х) вместо функ-
функции 10(кУ2Х).
Чтобы найти выражение для функции Грина, мы используем интеграл
Фурье - Бесселя и приведенное на стр. 304 интегральное представление
функции

10.3. Решения в трехмерном пространстве 279
Тогда получим
1
о о
oo
= 2тс2? ^ /0 (ft УШ) Но (к У'ЛХ0) kdk
о
и окончательно
GO ОЭ
-д-= 2 2 sm C0S \т (ф — 9оI \ 3т (kty 3т (к\) ^т №^) ^"т (^о) 'с^^>
т=0 О
Fo > F. A0.3.68)
Более детальный разбор этой системы координат не является целесообразным.
Бисферические координаты. Больше применений находит система ко-
координат, получающаяся при вращении биполярной системы вокруг пря-
прямой, соединяющей полюсы:
a sh [л _ a sin rt cos cp
Ch |Л — COSY] ' Ch |Л — COSY] '
a sin f\ sin ф , ,
C/ ^ J # 6lV — lt"f: —
ch [».—cos ri ' ^ ч ch |j.—cosr] '
«sin^__ r=al/ch7±^ A0.3.69)
y ch |j.—cost] V ch |x—cos r, '
где (x изменяется от — oo до -j- oo, tj изменяется от 0 до x, a tp изменя-
изменяется от 0 до 2ти. Поверхность fi = fi0 есть сфера с центром в точке
(z = acthfi0, х=у = 0) радиуса a/|shfio|.
Полюсы получаются при fi = ± oo (z = + а, х = у = 0), а центральная
плоскость z = 0 есть поверхность (х = 0. Поверхность tj = -q0 является поверх-
поверхностью четвертого порядка, образованной вращением вокруг оси Oz дуги
окружности с центром в точке (z = 0, х — a ctg i%) радиуса a cosec tJo, лежа-
лежащей в первом и четвертом квадрантах плоскости х, z. Все эти поверхности, на
которых Y) постоянна, проходят через оба полюса. Те из них, на которых
п п
Y) <С -х , имеют в каждом полюсе «впадину», те же, для которых tj > Т. ,
имеют в полюсах точки заострения. Поверхность yj = 0 состоит из частей
оси z, где [ z | > а, и бесконечно удаленной сферы, поверхность tj = -п- тс
есть сфера радиуса а с центром в начале координат, а поверхность tj = чи
есть та часть оси z, где | z | <в.
Как было указано на стр. 621 тома I, переменные в уравнении Лапласа
разделяются только после замены 4=|/chfi — cost] F. Тогда уравнение
26 = 0 преобразуется к виду
1 д f . dF\ 1 d*F 1 „ _ 0
допускающему разделение на три уравнения [F = М (р) Н (у) Ф
¦—">• З
j-( Sin 7]^- ) г-; = — П(П+1)Я.
j( Sin 7]^ )г;

280 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Мы уже знакомы со всеми этими уравнениями. Для того чтобы Ф была
непрерывной, когда <р изменяется от 0 до 2ти, т должно равняться нулю
или целхжу числу. Для того чтобы // была конечной как при -ц = 0, так
и при т] = чс, п должно быть целым числом, не меньшим т. Поэтому ти-
типичными являются решения
е \П 2^p«(COSY])cosG?i(p sh ГГп + " Jf1! pn (cos-ц)sin(m<$) и т. д.,
а типичными решениями исходного уравнения Лапласа служат функции
l/chu— cosine 2' Р"(cosто) .' (тгр) и т. д.
Множитель |/ch(x —cost] порождает некоторые осложнения при необ-
необходимости удовлетворить граничным условиям. Например, для того чтобы
вычислить потенциал вне сферы радиуса р с центром, находящимся на
расстоянии Ъ от начала [сфера fi = fio = Ar ch F/p), если расстояние между
полюсами 2а = 2]/&2 — р2], имеющей постоянный потенциал Vq, мы должны
найти коэффициенты ряда
п=0
который должен сводиться к постоянной Vo при fi = fi0. Другими словами,
мы должны записать разложение для (chjj. — cos tj)-1/2 по зональным гар-
гармоникам от costq. Это можно осуществить, подставив h = e~v- в разложе-
разложение A + /г2 — 2/icos '(\)~l/2, фигурирующее в формуле E.3.27). Окончательно
получим
A0.3.70)
n=0
При помощи этого результата нетрудно показать, что распределение по-
потенциала между имеющей потенциал Vo сферой ;л. = (х0 [радиус р = a/sh jj,,,
центр в точке (х = у — 0, z=b — a cth jj.o)] и заземленной плоскостью
fi = 0 (z = 0) представляется рядом
«{. = V2V01/chfi-cosrj ^ f4 Г^ Гsh[(n+i\]pn(cosYj).
n=o sh ( "+ ) ^o
A0.3.71)
Поверхностная плотность заряда на плоскости fi = 0 равна
__ 1—cos^] / д<\>\
J
а полный заряд, индуцированный на этой плоскости, равен
Г С oa2 si
J ^ A-
sin I] d-q dtp _
C0S1))»

10.3. Решения е трехмерном пространстве 281
Вновь используя разложение A0.3.70), получим двойную сумму произве-
произведений зональных гармоник и, наконец, используя свойства ортогонально-
ортогональности этих функций, найдем
п=0 п=0
S „„
При помощи этого равенства можно вычислить емкость сферы радиуса р
по отношению к плоскости, удаленной от ее центра на расстояние Ъ.
Дифференцируя выражение A0.3.70) по fi или по т\, получим выраже-
выражения для х, у, z:
«=0
A0.3.73)
f
osinri cos ¦, r~a -i /—i Vi — ("H-slli1! щ / , cos
—г •— . <P = 1/ 8al/ ch(x — cost > e v 2J Р„ (cos tj) . 9.
ch |a—cosy) sinT ' ' r ' .fcJ v ^ sin T
Конечно, эти ряды не сходятся при fi = 0, что явствует из наличия
в них |fi|. Исходя из этих формул, можно показать, что потенциал
вокруг двух заземленных проводящих сфер ц = ± ti0, помещенных
в однородное поле с напряженностью Е, направленной вдоль оси z, равен
n==0
Эта формула сохраняет силу как для положительных, так и для отрица-
отрицательных значений fi, для которых | p. | <C (j-0-
Функцию Грина в этой системе координат можно получить общим ме-
методом, указанным на стр. 825 тома I. Нормированные собственные функции
от тг) и 9 имеют вид
/•
„„ / N cos
»(cos ^ si"
Уравнение, подлежащее решению, имеет вид
d*F 1 д ( . W> ^^jf1 р
Подставляя в это уравнение ряд
[производная по fi члена этого ряда с индексами п,т терпит при fi = (j.o
разрыв, причем скачок равен значению этого же члена при jj. = fi0, умно-
умноженному на 2п+1], умножая обе части на ^„„simr) и интегрируя по 9

282 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
и г\, получим
Km = —
- cos тH 2^i Ч'пт (<р0, yj0).
Следовательно, функция Грина равна
G — —|/(ch(j. — cos 7}) (ch fi0 — cos rH) X
CO П ( l\
A0.3.74)
Это выражение используется при решении многих задач.
Тороидальные координаты. Вращая биполярную систему координат
вокруг перпендикуляра, проходящего через середину отрезка, соединяю-
соединяющего полюсы, получим тороидальные координаты:
a sin т) a sh |J. cos ср a sh |л sin cp
nhti—гъаъ ' Ch [J- — COS Tj ' " Ch |Л — COSY] '
и _ «shl- A0.3.75)
— cosr] 9 chjji—cosr]
где fi изменяется от 0 до oo, ij от 0 до 2х и ip от 0 до 2ти. Поверхность
fi = (j.o есть тор, осевая окружность которого лежит в плоскости х, у, име-
имеет центр в начале координат и радиус acthfi0, а круговое поперечное
сечение имеет радиус a/shfi0. Поверхность г\=-цй (при -q0 < ти) является
'юй частью сферы радиуса a cosec tq0 с центром в точке (х = у = 0, z = a ctg tq0),
которая расположена выше плоскости х, у. Остальная часть той же сфе-
сферы, расположенная ниже плоскости х, у, образует поверхность yj= 2tu—tq0.
Разделяющая их линия есть окружность радиуса а, лежащая в плоскости
х, у, с центром в начале координат. Этой окружности соответствует р, = сю.
Ось z соответствует значению fi = 0. Та часть плоскости х, у, которая ле-
лежит внутри окружности fi=oo, соответствует значению tj=iu, а остальная
часть плоскости х,у, лежащая вне этой окружности, — значению yj = 0 или
7] = 2ТС.
Мы вновь положим
tl> = Vch fi — cos Yj F (p., Tj, tp)
и найдем, что уравнение Лапласа приводится к виду
1 д ( dF^\ . d*F I d*F 1 г. _
Множитель, зависящий от tp, есть cos(m<f), или sin (wwp), и так как tp явля-
является периодической координатой, то из требования непрерывности следует,
что т равно нулю или целому числу. Координата т; также является пери-
периодической. Следовательно, множитель, зависящий от yj, также равняется
cos (щ) либо sin(mq), где п — нуль или натуральное число. Далее, множитель,
зависящий от fi, удовлетворяет уравнению
1 d Г , dMЛ m*Af Г 2 1
г—-,-( shfi-j— ) гт ( П2 г
[л d\x V ' й|л у sh2|x V 4

10.3. Решения в трехмерном пространстве 283
а решением его являются сферические гармоники полуцелого порядка,
т. е. либо
Рт 1 (ch fi) = im sh"V Tm i (ch fi) =
2т,п!г(»-,м4) chn+2(|A)
A0.3.76)
[где использованы формулы E.2.52), E.3.17) и соотношения, указанные
на стр. 623 тома I], либо
Qm j (ch rt = ( — 1Г shma Vm i (ch \й =
^ ch * ix
A0.3.77)
Так как оба числа т + 1 и п 4- 1 являются целыми, то, согласно сказан-
сказанному на стр. 561 тома I и на стр. 309, 310, Р имеет логарифмическую особен-
особенность при р. —э> оо,а(?имеет такую же особенность при jj.—>0. Например, для
изучения поведения функции ()n_i(chfi) при р.—*0 следует вычислить эту
¦функцию для малых значений т, а затем устремить т к нулю. Для зна-
значений т, малых по сравнению с единицей, на основании E.2.49) и A0.3.77)
.имеем
«--
С 1 (chrt = ^-j ^ X
~n~2
v ^ Хх-гт)ГA —w)ch [х v
. n-(-m+-5-

284 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
х
*—i s\T(s-\-i—m)
s=0
em In [th [i] V .
s=0
2ch z|a
2n
2я Г ^ii+l^
x
csi-lnfi, fi—>0, A0.3.78)
где Л — логарифмическая производная от Г, определенная в D.5.43).
Аналогичные выражения применяются для исследования поведения функ-
функции Pn_i(chfi) при fi—»0 (см. таблицу в конце этой главы).
Следовательно, решение уравнения Лапласа в тороидальных коорди-
координатах запишется в виде ряда
-cosTj 2j 2j lemcos(m<p) + ft
m=0 n=0
X [cn cos (m,) + dn sin (щ)] [AmnPm j (ch,») + BmnOm t (ch ^)].
n~2 2
Как и в случае бисферических координат, нам нужно получить разложе-
разложение [chfi — costq]"/2. Его можно вывести из интегрального представления
для сферических гармоник второго рода. Исходя из формулы E.3.29),
после длинного ряда интегрирований по частям можно показать, что
е-(»4) * С si" 6^6 =
О • -[>¦ -2ii\n + 2
1
cos (лб) е 2 dO С cos (ив) d6
_ Г cos (nb)
Следовательно,
•j Ti_2elcose+e1 g >ch [—cos 6
ych[j. —cost,
' i (ch f1)cos (^)- A0-3-79 >
^
Поэтому для потенциала вне тора fi = fi0 ( с осевой окружностью ра-
1 Л
диуса acthfi0 и радиусом поперечного сечения а-г— ), имеющего постоян-
постоянный потенциал Vo, получаем следующий ряд:
, (ch [x0)
4 = — j/2(ch fi- cos yj) У,
n" i. Лр i(chti)cos(nY]). A0.3.80)
n-l/2

10.3. Решения в трехмерном пространстве 285
Много других интересных задач можно решить различными, уже зна-
знакомыми нам методами. Например, методом гл. 7 мы получим разло-
разложение функции Грина:
1 = ^У (ch1A-cosyj) (chfi0-cosтH) У, emSn(_ir_^ f-x
R
m, n=0
Г( H
X cos [т(9-9о)] cos [п(г1-ъ)].< m m A0.3.81)
При помощи этого ряда можно удовлетворить граничным условиям, а
также получить потенциал, создаваемый зарядом, распределенным на торе.
Эллипсоидальные координаты. Наконец, мы переходим к наиболее
общим координатам, позволяющим разделить переменные (наиболее об-
общим для разделения переменных в волновом уравнении; для уравнения
Лапласа общие циклидные координаты являются более общими, но зна-
значительно менее употребительными),—к эллипсоидальным координатам,
для которых основные формулы приведены на стр. 484 и 619 тома I. Коор-
Координата Ех изменяется от а до со. Промежуток изменения ?2 — от b до
-а (Ъ < а), а для ?3 — от — Ъ до -\-Ъ. Поверхностями %х = const являются
¦эллипсоиды, приближающиеся к сферам для больших значений ?х; при этом
ky стремится к г. Поверхности ?2 = const являются однополостными
гиперболоидами, а поверхности ?3 = const — двуполостными гиперболои-
гиперболоидами.
При разделении переменных в уравнении Лапласа отсутствует мно-
множитель, приводивший к осложнениям в случае бисферических или торо-
тороидальных координат:
Уравнения для всех сомножителей оказываются подобными во всем,
за исключением знаков подкоренных выражений:
[ У>2 - %1) {Ц - &) || ] = - [т (т + 1) ?* - х] С,
A0.3.82)
:—— Л Г~ » TJ -ш
I/ (« — 5з) (« — ?g) -г?- |/ (а2 — ?;) (й2 — ?д) -тг- = [те (т -\-1) ?| — -/Л Н.
Эти изменения необходимы для того, чтобы сохранить положительный
знак на соответствующем промежутке изменения каждой переменной.
Параметры т и % являются константами разделения. Отметим, что они
входят во все три уравнения, следовательно, переменные разделяются,
а константы разделения не разделяются (см. стр. 491 и 703 тома I).

286 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Все эти уравнения имеют один и тот же вид
dF , к — т(
[z4 - (а2 + й2) z2 + а2й2] F" + z [2z2 - (а2 + b2)]F' + [у. - т {т + 1) z2] F = 0.
Решения, определенные в области z > а, соответствуют координате ?lf
решения в области а > z > b — координате ?2 и в области fo>z>— й- —
координате ?3. Это уравнение называется уравнением Ламе. Оно имеет
следующие регулярные особые точки:
z = ± й с индексами 0 и -к-,
z= ia с индексами 0 и -~-,
z=co с индексами т-\-1 и —т.
Обращаясь к уравнениям, с которыми нам пришлось столкнуться
в этом разделе, заметим, что все они могут быть получены из уравне-
уравнения Ламе при помощи подходящего совмещения его особых точек.
Для решений, соответствующих граничным условиям, заданным
при z = 0, мы пользуемся разложением по степеням z. Положив
F = 2j dnzn, найдем для коэффициентов d трехчленную рекуррентную
формулу:
а2й*п (п - 1) dn = [(п - 2J (а2 + й*) -х] dn_2 + [т (т +1) - {п - 3) (п - 4)] dn_,
A0.3.84)
(см. стр. 510 тома I), из которой следует, что ряды для F можно разделить
на два рода: содержащие только четные и содержащие только нечетные
степени z. Так как все три сомножителя в решении должны соответ-
соответствовать одним и тем же значениям т и х, то надо выяснить, можем ли
мы найти решения, определенные сразу для всей области 0 < z < со
и применимые для всех трех сомножителей. Для большинства значе-
значений т и к соответствующие ряды оказываются бесконечными, и, прежде
чем ими пользоваться, мы должны проверить, для каких значений z они
сходятся.
Для проверки сходимости найдем предел при п —> со выражения z2yn,
где Yn= " , и выясним, для каких значений z, m их это выражение
меньше единицы. Разделив обе части выражения A0.3.84) на.
п(п— 1)а2й2с?„_4 и отбросив члены порядка 1/п2 (и меньшие), получим
YnY«-2 ^ l „ ) a2b2 Yn-2 + ^ l n ) a2fc2
Так как при п, стремящемся к бесконечности, по предположению
уп —> Yn^2 ~^ Y. т0 Для весьма больших значений п последнее уравнение пре-
превращается в квадратное уравнение относительно у, откуда
3 \ 1 Л 3\ i
Поэтому z2y меньше единицы для z, меньших Ъ или а, и ряд, если он
бесконечен, сходится только до точки z = Ь или точки z — a. Следова-
Следовательно, из такого ряда, соответствующего произвольным значениям к и т,.

10.3. Решения в трехмерном пространстве 287
можно получить сходящиеся выражения только для двух сомножителей,
но не для всех трех одновременно. Если попытаться получить разложение
в окрестности любой другой точки, то возникает то же препятствие: можно
найти ряд, сходящийся в двух особых точках, но не в трех или более.
Тем не менее для целых значепий т и для некоторых определенных
значений у. тот или иной из этих рядов обрывается и дает полиномиаль-
полиномиальное решение, конечное в четырех особых точках из пяти. Например,
из соотношения A0.3.84) явствует, что двумя возможными решениями
уравнения A0.3.83) являются
E\{z) = z для т=1, х = х1 = а2
Эти решения сходятся всюду.
Поэтому частным решением уравнения Лапласа является постоянная
?'°(?1).?'° (?2) jEJKgg). Она является одной из двух эллипсоидальных гармо-
гармоник первого рода (вскоре будет сказано и, об остальных). Подобным же
образом другим решением уравнения Лапласа является функция
— одна из эллипсоидальных гармоник второго рода.
Чтобы получить следующие решения, выражающиеся через степени z,
надо решить квадратное уравнение. Положив т = 2 и d1 = 0 в соотношении
A0.3.84), мы видим, что
2 ~ 2a2p ao
Поэтому если положить dt равным нулю, то и все dn с большими индек-
индексами окажутся нулями и решение будет полиномом второго порядка.
Для этого мы должны иметь
[4а2 + 4й2 - х] (x/2a2fc2) = 6, или
x = 2[a2 + i2:f V(a2+b2J -3a2b2],
а соответствующие решения равны
El = z2 _ i- [a2 + i2 + >V + i2J— 3a2i2],
4 r A0.3.86)
E\ = z2 -4 [a2 -f i2 — "/(a2 + i2J - 3a2i2].
О
Можно было бы продолжить этот процесс для больших целых значе-
значений т, получая полиномы высших порядков. При этом для определе-
определения у. приходится последовательно решать уравнения все более высокого
порядка.
Можно также получить решения, содержащие сомножитель "|/z2 — a2.
Положив F = Vz1 — а2 В (z), получим из уравнения A0.3.83)
[z4 - (a2 + Ъ2) z2 + аЧ2] В" + z [4z2 - (а2 + ЗЬ2)] В' -
_ [*_i_Ь2+ (т + 3) (т -1)]В = 0.
Это уравнение имеет полиномиальные решения, порождающие дальней-

288 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
шие виды сходящихся решений уравнения A0.3.83):
т"~ ' *~ ' A0.3.87)
Решение в общем виде
является другой эллипсоидальной гармоникой второго рода, в то время
как функция
DEI (У Щ (У ?* (У = Dab V a* {а2 - b2) м
есть одна из эллипсоидальных гармоник третьего рода. Заменяя а на b
в формуле A0.3.87), мы получим решения
Е\= У?^7Ь2 и Е*=
Наконец, существуют, решения в виде полиномов от z, умноженных на
^/(z2 — a2) (z2 — &2), первым из которых является
?* (z) = )/(z2 - а2) (z2 -б2), m = 2, х = а2 + й2. A0.3.88)
Произведение E\(%i) Щ(?^ -ЕЦ^з)' пропорциональное ху, является другой
гармоникой третьего рода. Следующее решение z\^(z2 — a2)(z2 — b2), соот-
соответствующее xyz, является эллипсоидальной гармоникой четвертого рода.
Все эти решения обращаются в нуль в точках 0, а и b и имеют
полюс на бесконечности, причем для больших z они ведут себя как z'n.
Часто оказываются полезными и вторые решения, ведущие себя при
-больших z как z"*"". Их можно получить из уже известных решений Е
при помощи соотношения E.2.6). Положим, по определению,
со
Fvm (z) = {2т + 1) El (z) [ лГ d= . A0.3.89)
Функция F?a (z) является решением уравнения A0.3.83) при тех же
значениях х и т, что и Efn (z). Эти решения являются эллиптическими
интегралами разных родов (см. стр. 408 тома I и след.). Первое из них
со
F°0(z) = [ dx = -ФГ- , ^-Л1). A0.3.90)
Например, потенциал вне проводящего эллипсоида ?i = c, потенциал
которого равен Vo, имеет вид
Ф = ^»(У^(У^(У = П[ф(|-,^)/ф(|-,^)]. (Ю.3.91)
Если ?i весьма велико, то F% стремится к 1/?1( а функция Ф, обратная ,sn,
стремится к аДх. Следовательно,
и полный заряд эллипсоида оказывается равным Уоа/Ф. Поэтому емкость
*) См. примечание на стр. 236.—Прим. ред.

10.3. Решения е трехмерном пространстве 286
уединенного эллипсоида ?х = с с полуосями с, }/с2 — а2, \^с2 — Ь2 равна
ф( —, —
V с а
При с = а эллипсоид превращается в плоский эллиптический диск с полу-
полуосями а и "jAz2—h2, а функция Ф, обратная sn, сводится к величине
К(Ь/а), так что емкость в этом случае равна а/К{bid). Если Ь=0, /Сделается
равным -г-жи, следовательно, емкость круглого диска радиуса а равна
2а/п, что согласуется с выводами из A0.3.56).
Применяя эти функции, можно решить и другие, более сложные
задачи. Заметим, что произведения Ер (у ?р (у образуют полную систему
функций, при помощи которой можно удовлетворить граничным условиям,
заданным на поверхности эллипсоида ?г = const. Тогда зависимость от ^
будет выражаться при помощи комбинаций функций ?* (? ) и F? ((¦ ).
Заметим, наконец, что, переходя от координат 1-1г ?2, ?3 к координа-
координатам X, A, v по формулам
El о 53
, Г dt f dt С
X = а \ , , а = а \ —, v = а \
J V{P — a*) («2—62) Г J ]Л(a2_i2)(t2_fc2) J
мы получим уравнения A0.3.82) в особенно простой форме:
и т. д.
Но, возвращаясь к данному в гл. 4 (или в специальных курсах) изложе-
изложению теории эллиптических функций, мы видим, что этим уравнениям
соответствуют
dn (X ft)
] ~ сп (X. ft) ' 2~ ^' '• 3"" ^V> ''
A0.3.92)
Благодаря этому уравнения записываются несколько проще, но упро-
упрощения при вычислениях почти не получается. Можно было бы показать,
что интегральные представления функций Ламе содержат в качестве ядер
функции Лежандра. Например, имеет место равенство
Efn [b sin v] = h \ Pm [k sn v sn и] ?» [b sn u] du,
-2K
эквивалентное A0.3.2). Однако в данном случае это равенство не является
интегральным представлением, выражающим функцию Е при помощи более
простых, уже известных функций. Оно является интегральным уравнением,
представляющим искомую функцию в виде интеграла от этой же функ-
функции- Этот частный пример не столь уж интересен для практики, чтобы
оправдать дальнейшее изучение вопроса, но ссылка на стр. 593 тома I,
где говорится о функциях Матье, и на последующий раздел, посвящен-
посвященный сфероидальным волновым функциям, показывает, что даже интеграль-
интегральные уравнения могут быть полезными, хотя и не столь полезными, как
простые интегральные представления.

290 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Задачи к главе 10
10.1. Дан брус, сечение которого является прямоугольником с высо-
высотой b и шириной а. На трех его гравях у = 0, ж = 0, х — а поддерживается
нулевая температура. Через четвертую грань у=Ь происходит теплообмен
с внешним источником по закону
где Т (х,у) есть температура точки (х, у), лежащей внутри бруса,
То — температура внешнего источника, р — постоянная. Написать удов-
удовлетворяющее граничным условиям разложение Т (х, у) в ряд Фурье.
Показать, что количество тепла, протекающего через сечение г/ = й за
секунду, равно
8Г0 -у
п=0
где ¦/. — коэффициент теплопроводности материала, из которого изготов-
изготовлен брус.
10.2. Показать, что функция Грина единичного линейного источника
внутри прореза, ограниченного плоскостями у — 0, х = 0, х -— а, с одно-
однородными условиями Неймана на границе равна
Go (х, у | х0, у0) =
4яf v 1 хл 8 / ппх0 \ С ппх \
141 ¦_ V _ cos f J cos ( ).
f _
^ V
где верхние члены в скобках следует брать при у>у0, а нижние
при у<*у0- Показать, что эта функция является вещественной частью
функции
где z = x + iy, zo — xo + iyo, zo = xo—iyo. Показать, что мнимая часть
функции F является магнитным потенциалом, создаваемым единичным то-
током, текущим по проходящему через точку (х0, у0) проводу, помещенном}'
в прорез внутри массы железа, имеющего весьма большую магнитную прони-
проницаемость.
10.3. Две параллельные проволоки, расстояние между которыми
равно 1Ь, помещены в изолирующий материал, внешней поверхностью
которого является круговой цилиндр радиуса а(а>Ь). Ось цилиндра
расположена между проволоками и равноудалена от них. Ток в каждой
из проволок создает U единиц тепла в секунду на единицу длины. Пусть
коэффициент теплопроводности изолирующего материала равен х, а радиус
поперечного сечения проволок р значительно меньше Ь. Найти установив-
установившуюся температуру поверхности каждой из проволок, если на внешней
поверхности изолятора поддерживается нулевая температура.
10.4. Внутри области r<jR с магнитной проницаемостью р. = 1 за-
задается магнитное поле при помощи магнитного потенциала
й = Яп [ - х + A/6Д2)

Задачи 291
где Н= —gradijj. В это поле помещается цилиндр радиуса а < R с осью,
проходящей через точку г = 0, причем материал цилиндра имеет магнит-
магнитную проницаемость ц. В результате поле оказывается искаженным. Каков
будет искаженный магнитный потенциал внутри и вне цилиндра?
10.5. Длинная полоса ширины а, изготовленная из проводящего
материала, помещена внутрь изолирующей оболочки, наружная поверх-
поверхность которой есть цилиндр. Поперечным сечением этого цилиндра является
эллипс, фокусы которого расположены на краях полосы, а малая ось
равна 2Ь. Разность потенциалов полосы и наружной поверхности оболочки
равна V. Через оболочку, сопротивление которой равно R, происходит
утечка тока.
Найти утечку тока, приходящуюся на единицу длины полосы, после
того как процесс установился.
10.6. По медной проволоке, поперечное сечение которой есть круг
радиуса а, течет ток высокой частоты. Частота его равна / гц. В этом
случае плотность тока на расстоянии г от оси проволоки приближенно
равна
.^ 3/ 1 — кA — га/аа)
где к = /2а4/ЗЮ00 (для меди), а / есть эффективная сила тока в амперах.
Этим приближением можно пользоваться, пока к меньше единицы. Каким
будет стационарное распределение температуры внутри проволоки, если
на ее поверхности поддерживается нулевая температура? Начертить гра-
график температуры в центре проволоки как функции от частоты /, когда
/ изменяется от / = 0 до /=2000 гц, считая а =1/4 см и 1—10 а.
10.7. Цилиндр из диэлектрика имеет радиус а и диэлектрическую
постоянную s. Параллельно оси цилиндра на расстоянии с от нее (с > а)
расположен линейный заряд с плотностью q (на сантиметр). Найти рас-
распределение потенциала внутри цилиндра и вне его. Найти напряженность
электрического поля в центре цилиндра.
10.8. Даны две поверхности, уравнения которых в эллиптических
координатах имеют вид Ь = 0, U = it. Эти поверхности являются компла-
компланарными полуплоскостями, разделенными щелью ширины а. Показать, что
функция Грина для уравнения Лапласа при нулевых граничных условиях
имеет вид
о. »о) = 2 \ е~ П ' *~V°' sin W sin
n=l
где 0<8, &0<х и — со < fi, р0 < со.
Показать, что эта функция Грина является вещественной частью функции.
sb Г~
L Z
Вычислить емкость проволоки радиуса р с осью, проходящей черева тот-
КУ жо> Уо (р ^ 2/o)i п0 отношению к поверхностям & = 0, & = тс.
10.9. TV проводников изолированы друг от друга. Проводник с номе-
номером п имеет потенциал Vn по отношению к бесконечности, а полный'

292 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
заряд его равен Qn. Показать, что
JV N
Vn = 2лСппУга и ' п — 2janmYm> Cmn=^Cnm
m=l m—t
и получить соотношение между коэффициентами спт и апт. Коэффициент спп
называется коэффициентом емкости или просто емкостью n-го проводника;
коэффициент спт называется коэффициентом (электростатической) индук-
индукции проводников с номерами п и т. Показать, исходя из результатов
гл. 3, что поле этих проводников должно быть таким, чтобы выражение
W = — У V с V =— У О а О
т.п т,п
достигало своего минимума при данных граничных условиях. Получить
коэффициенты спт для случая, соответствующего формулам A0.2.28),
и выразить через них коэффициент усиления.
10.10. Потенциал полуплоскости г/ = 0, ж>0 равен нулю. Две прово-
проволоки, параллельные этой плоскости, с радиусами поперечных сечений р1
и р2 соответственно и осями, проходящими через точки (х1г ух) и (ж2, г/2)
(причем р1 < ух, р2 < у2), имеют потенциалы V1 и V2. Показать, что потен-
потенциал полного поля приближенно равен вещественной части выражения
Получить отсюда значения коэффициентов cllf с22, с01, с02, с12, где полу-
полуплоскость считается проводником с номером 0. (Определение спт см.
в :задаче 10.9.)
10.11. Показать, что функция Грина для уравнения Лапласа в дву-
двумерной системе гиперболических координат, определяемых равенствами
z == х 4- iy = ~\/~2w, w = p. -f- Ы, может быть записана в виде
" ' ^ —CO —CO
Показать, что функция Грина для области положительных значений к
(первый квадрант плоскости х, у), равная нулю на поверхности х = 0 (поло-
(положительная часть оси х, положительная часть оси у), может быть представ-
представлена в системе полярных координат г, <р в виде ряда
п=1
Вычислить емкость поверхности х = 0 относительно проволоки радиуса р
с осью, параллельной оси z и проходящей через точку х0, у0 (р С х0, у0).
10.12. Два цилиндра из материала с диэлектрической постоянной г
(для остального пространства е=1) имеют одинаковые радиусы, равные с,
и параллельные оси, расстояние между которыми равно 2Ь. Вектор на-
напряженности Е однородного электрического поля перпендикулярен осям
этих цилиндров и составляет угол тс/2 — <р с плоскостью, в которой лежат
эти оси. Доказать, что потенциал искаженного поля можно записать

Задачи 263
в биполярных координатах в виде
со
Eacos<? + 2aE Y (-1)"
п=1
Какой вид будут иметь эти выражения при $ < 0? Выразить ?0 через b и с.
Разобрать случай i > с и найти член первого порядка, выражающий
влияние одного из цилиндров на поле внутри второго.
10.13. Два металлических заземленных цилиндра с одинаковыми
радиусами, равными с, и параллельными осями, расстояние между кото-
которыми равно 2й, помещены в однородное электрическое поле, вектор
напряженности Е которого перпендикулярен к осям цилиндров и образует
угол тс/2 — ср с плоскостью, в которой лежат эти оси. Найти распределение
потенциала вне цилиндров в системе биполярных координат б, ?, опреде-
определенных формулами A0.1.41), и подсчитать плотность заряда на поверх-
поверхностях цилиндров. С точностью до членов первого порядка относительно вели-
величины с/Ь определить силу, действующую на каждый элемент поверхности
цилиндров, и получить этим способом годную для J>c и аналогичную
формуле A0.1.48) приближенную формулу, выражающую силу взаимо^
действия между цилиндрами.
10.14. По проводящему цилиндру радиуса с с осью, параллельной
плоскости у, z и отстоящей от нее на расстояние Ь, течет ток /, равномер-
равномерно распределенный по поперечному сечению цилиндра. Полагая, что
теплопроводность этого цилиндра та же, что и у остальной части про-
пространства, и что на плоскости г/, z поддерживается нулевая температура,
найти распределение температуры внутри цилиндра и вне его.
10.15. Сетка из проводов помещена между бесконечной пластиной у = с,
имеющей потенциал Vp, и второй пластиной у= —Ъ, имеющей нулевой
потенциал. Провода сетки имеют один и тот же потенциал Vg, их радиусы
равны р, а их оси проходят через точки у — 0, х = ..., —2а, — а, 0, а, 2а, ...
(перпендикулярно плоскости х, у). Показать, что в области между пласти-
пластинами потенциал приближенно равен
+ 2abVp In
+ y[2«Fe(c-4L 2«
Чему равны коэффициенты cgg, cga, cgp (см. задачу 10.9) для системы,
состоящей из сетки и обеих пластин? Чему равен коэффициент усиления
сетки по отношению к пластине (расположенной в плоскости у = с) и като-
ду (*/=--*)?
10.16. Преобразование z = w-\- iae^f tg ф -\ т= переводит круг
радиуса a sec ф с центром в начале координат, лежащий в плоскости w,

294 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
во внешность дужки некоторой окружностив плоскости z с хордой длины 4а, об-
образующей угол <р с горизонтальной осью. Получить выражение для потока
с циркуляцией вокруг этой дужки. Для того чтобы у заднего края
дужки поток не был турбулентным, циркуляция скорости должна
равняться Vr — 2aFosec ф sin (<p + ф). Доказать это. Показать, что если
рассчитанные на единицу длины подъемная сила и лобовое сопротивление
полосы, профиль которой имеет вид данной дужки, даются формулой
L-\-iD = 2izpV0Vr, то подъемная сила равна L = fapaVlsec ф sin (<p + <li) [см.
формулу A0.2.20)].
10.17. Область i?! лежит вправо от полуплоскости ж = 0, у>0
и выше полуплоскости у = 0, х > 0; область R2 лежит вправо от полу-
полуплоскости х = 0, ?/<!—а и ниже полуплоскости у =—а, х>0. Эти
области заполнены железом, имеющим весьма большую магнитную про-
проницаемость р.. Остальная часть пространства jR0, лежащая влево от
плоскости х = 0 и между «полюсными наконечниками» R1 и R2, имеет
магнитную проницаемость fi=l. При помощи формулы Шварца — Кристоф-
феля показать, что если разность магнитных потенциалов областей jRx и R2
равна V, то линии магнитного потенциала у и магнитные силовые линии
ф задаются при помощи функции
осуществляющей соответствующее конформное отображение. Вычислив
и начертив график изменения напряженности магнитного поля вдоль
средней линии у=—^-а, показать, как это поле убывает вблизи краев
«полюсных наконечников». Показать, что вблизи вершины угла z = 0
напряженность магнитного поля приближенно равна
Н = — i (dF/dz))~ - i {Via) (a/2itzI/3 .
10.18. Помимо двух «полюсных наконечников», описанных в преды-
предыдущей задаче, имеется проволока, величиной радиуса которой можно
пренебречь, проходящая через точку х = Ь, у = —-к- а. По этой проволоке
течет ток /. Предполагая, что в данной задаче единственным источником
магнитного поля является этот ток, показать, что z —x-\-iy и функция маг-
магнитных силовых линий и магнитного потенциала F — 'b+ix связаны соот-
соотношением
z= - {Ar ch [\lVe~Fi»1 - p2] - Yi + p2 - e-Fl*i),
где
Начертить график изменения магнитной напряженности вдоль средней
линии у =—2"а Для Р = 0,5; 2.
10.19. При помощи преобразования Шварца — Кристоффеля отобра-
отобразить внутреннюю область многоугольника, ограниченного линиями
у =г 0, у=— аи частью, оси у между точками у = —Ь и г/ = — а (канал
между г/ = 0 и у— —а, частично закрытый перпендикулярной перегород-
перегородкой, оставляющей щель ширины Ь), на верхнюю полуплоскость w. Показать,

Задачи 265
что потенциал скоростей ф и функция тока / для течевия жидкости по
этому каналу связаны с переменной z — x-\-iy соотношениями
. . 1
а л I 2
z = — In J j
I 2
F = ф + t"x = (a?/>) In да, а = ctg2 (rcfc/4a),
где/7 — скорость жидкости при ж=±оо. Показать: что скорость жидкости
в точке, соответствующей точке w, равна
w+1
по величине и направлению.
10.20. В условиях предыдущей з адачи показать, что если b <C а, то
с точностью до членов третьего порядка относительно малой величины iti/4a
¦функция тока на отрицательной части оси у (т. е. в щели) связана с у
приближенным уравнением
и что скорость жидкости в направлении, нормальном к этой линии,
равна с точностью до членов второго порядка
2aU 1
V ~
nb
10.21. «Канал» переменного сечения ограничен следующими четырьмя
линиями: у = а, положительной частью оси х, частью оси у от у — 0 до
у—а—Ъ и прямой у = а — Ь при ж<;0. При помощи преобразования
Шварца — Кристоффеля показать, что отображение этой области на
верхнюю половину плоскости w имеет вид
a f . , Г 2ш —а —1 "I 1 . , Г (о + 1)и) — 2а "I ^
z — —\ Arch j— — -р^ Arch v У .. ^ ,
Я I L а —1 J J/ а L (а—1)ш Jj '
где a = (a/bJ. Пользуясь вспомогательной формулой F — ф + t'x = (all/re) In to,
показать, что вектор скорости равен
v=U]/r(w-a)/(w—l)
и что вблизи точки z = i(a — b) скорость приблизительно равна
й2]6е 3 (z + га - гй) 3.
10.22. Показать, что функция
z = a/[cos (n arc tg w)]2/n
преобразует вещественную ось плоскости w в п лучей (z = гег"Р) г > а,
<? = 0,1/п, 2/п, ..., (п— 1)/п. Где расположены в плоскости w точки,
соответствующие точкам г = а, ф = rn/n; z = 0? Показать, что если через
точку z = 0 проходит проволока радиуса р с а, то емкость ее единицы
длины относительно системы пластин, пересекающих плоскость х, у по

296 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
этим лучам, приближенно равна
1
C~n/4[lnBa/p)]2".
10.23. Конденсатор состоит из внешней замкнутой оболочки Sn,
имеющей потенциал V, внутри которой помещена оболочка Sit имеющая
нулевой потенциал. Область R, заключенная между этими поверхностями,
заполнена веществом с диэлектрической постоянной г. Показать, что инте-
интегральное уравнение для потенциала в области R имеет вид
где G —¦ функция Грина (для уравнения Лапласа), соответствующая
всей области, ограниченной поверхностью So (когда Si отсутствует),
обращающаяся в нуль на So; rt — радиус-вектор точки, лежащей на
Sit и д/дпг — производная по нормали к St, внешней по отношению к об-
области R [A/4т;) (д^/дпг) есть плотность заряда на <5]. Показать, что реше-
решение этого" интегрального уравнения эквивалентно решению вариационной
задачи для функционала
[С] = [ [ X (rt) dSK ] 7 \\ х (rt) G (г, | ri) х (rl) dS{ dS[ .
Функция распределения заряда х, на которой функционал [С] достигает
стационарного значения, пропорциональна фактическому распределению
заряда на S{ ( а = V% \ Х.^4/ \ \ yfi'l dSi dS'i J, и это стационарное значение
[С] есть значение емкости С = A/F) \ adS^
10.24. Используя вариационный принцип задачи 10.23, вычислить
емкость сферы радиуса Ь, находящейся внутри цилиндрической оболочки
радиуса а с осью I (b <а, -~ I), причем центр сферы лежит на оси
оболочки. Применяя функцию Грина A0.3.24) и формулу
т.
{ cos (a cos &) Jo (P sin &) P2n (cos &) sin
+ П/2*
вычислить соответствующие интегралы. Сначала вычислить С, считая
/ = 1 (однородное распределение заряда на сфере), затем, полагая
^ = 1+• у.Р2 (cos ^) и варьируя у, получить более точное значение мини-
минимума С- Насколько более точным является второй результат?
10.25. Боковая поверхность и одно из оснований цилиндрического
сосуда, имеющего радиус а и высоту Ъ, сделаны из металла, и на них
поддерживается нулевой потенциал. На другом конце сосуд закрыт сет-
сеткой, имеющей потенциал Уо, настолько частой, что потенциал в про-
просветах сетки также равен Fo. Внутри сосуда находится газ под
давлением, достаточно низким для того, чтобы средняя длина свободного
пробега его молекул была велика по сравнению с а и Ъ. В некоторый
момент газ оказывается однородно ионизированным, после чего возник-
возникшие электроны притягиваются к сетке и большинство из них вылетает из
сосуда. Показать, что средняя энергия вылетающих ионов равна
_т/ Г, 4a -^ th ЫЪ/2а) П
п—0

Задачи 297
где vn есть п-й корень уравнения /0(v) = 0, a e — заряд электрона.
Вычислить эту среднюю энергию в случае, когда а — Ь.
10.26. Зонд, изготовленный из проводящего материала и имеющий
форму половины вытянутого сфероида с наибольшим радиусом попереч-
поперечного сечения Ъ и длиной а, погружен в землю так, что ось его перпен-
перпендикулярна поверхности земли, а поперечное сечение касательно к ней.
Потенциал зонда по отношению к весьма удаленной от него части земли
равен Fo. Показать, что если к моменту, когда достигается стационарное
состояние, с зонда стекает ток /, то проводимость земли (которую мы
предполагаем однородной) равна
. f a-\-V a2 — b2 \
In ( —' ) .
г — b2Vn V a — V a2 — ?>а У
10.27. Тело имеет форму, близкую к сферической, так что его
поверхность может быть задана уравнением r = a + F (Ь, <р), где функция
F всюду настолько мала, что величиной F2/a2 можно пренебречь. Пока-
Показать, что если
F (&. <?) = 2 {Апп cos mf + Bnn sin m<p) P™ (cos Ь)
и на поверхности этого тела поддерживается потенциал Vo, то соот-
соответствующий потенциал вне тела с той же степенью точности равен
ф = Vo у + F02 (Л» cos m^ +JSransm т<р) ^ р« (cos &)-
Предположив, что сфера несколько сжата с одной стороны, так что
ее поверхность задается уравнением
( a cos &0/cos & ==: a B - cos &)/B - cos &0), &0 -> 0, & < »0,
г = \
показать, что
71=0
+ 2 Bл + 1) Pn (cos &0) - Bn + 3) Pn_2 (cos &„)].
[В выражениях, соответствующих значениям п = 0 и п = 1, появляются
отрицательные индексы. Здесь мы пользуемся соотношением P_^(z) =
= /\_i(z).] Показать, что емкость сжатой описанным образом сферы
приближенно равна
Чему равна величина поправки, если &0 = 10°? Чему равно приращение
напряженности поля на этой поверхности при & = &0, если &0 = 10°?
10.28. Показать, что если функция ф(г, &, ср) есть решение уравне-
уравнения Лапласа в сферических координатах, то функция (а?/г)Л{аг/г, &, <р)
также удовлетворяет уравнению Лапласа.
Пусть ф удовлетворяет некоторому уравнению Пуассона. Чему равна
плотность заряда в том уравнении Пуассона, которому удовлетворяет
функция (а2/г) О (а2/г, &, <р)'

298 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Это преобразование г-^р = — называется инверсией относительно
сферы радиуса а с центром в начале. Показать, что если центр сферы,
относительно которой производится инверсия, лежит на некоторой другой
сфере, то последняя преобразуется в плоскость. Показать, что при дан-
данной инверсии сферический сегмент с углом Ьо преобразуется в диск.
Используя метод инверсии, вычислить плотность заряда и полный заряд
на сфере, из которой удален сферический сегмент с углом &0, помещенной
в однородное электрическое поле, направленное по оси этого сегмента.
Сравнить ответы с результатами, полученными на стр. 252.
10.29. Плотность распределения электрического заряда р (г, Ь, ср)
равна нулю вне сферы г = а. Показать, что поле вне сферы г = а соот-
соответствует эффективному заряду q = A0Q, эффективному дипольному моменту
с компонентами Dx = Ахх, Dy = Вхх, Dz = Ахо и эффективному квадруполь -
ному моменту с компонентами
Qxx — 2^22 — у AiO> Qxy — 2^22 = Qyx •
Qxz ~ ^21 = QzX' Qyy — ~2i422 — -3- ^20>
2
Qyz = -1 = Vzy xH = " -^20»
если потребовать, чтобы Qxx + Qyy + Qzz = O (определение величин А и В
см. на стр. 258).
10.30. При помощи формул A0.3.22) и A0.3.34) показать, что
и, следовательно,
г" cos (my) Pn (cos ») = lim { ?±pU -^ [eh4m (Ар) cos
где г, Ъ, ср — сферические, ар, z, tp — коаксиальные им круговые цилинд-
цилиндрические координаты. Во внутренней области кругового цилиндра конеч-
конечной длины I ( р<а, | z|<-g- / J распределен заряд с постоянной плот-
плотностью. Используя записанные выше соотношения, вычислить первые
четыре члена (п = 0, 1, 2, 3) в разложении A0.3.42) потенциала по муль-
типолям на большом расстоянии от цилиндра. Чему равны элементы
аффинора квадрупольного момента для этого распределения заряда
(см. задачу 10.29)?
10.31. Пусть двухатомная молекула приближенно представлена при
помощи ядра с зарядом + 3, расположенного в точке z = -^a, ядра с за-
зарядом + 1 в точке z = —2а и распределения отрицательного заряда
16 ()
пРиЕ<? = 0 при
где 5, "Ч, 9 — вытянутые сфероидальные координаты с фокусами в точ-
точках z=4; а/2. Вычислить при ? > ?0 электростатический потенциал, соот-

Задачи 299
ветствующий этому распределению зарядов. Используя формулы A0.3.35)
и A0.3.51), подсчитать эффективные дипольные и квадрупольные моменты
(см. задачу 1029).
10.32. Диск радиуса а, потенциал которого Fo, помещен внутрь
сферы с тем же центром и радиусом с (с > а), имеющей нулевой потен-
потенциал. Используя метод, данный на стр. 270 и след., найти распределе-
распределение потенциала в пространстве между диском и сферой и емкость этой
системы, пренебрегая членами выше четвертого порядка относительно а/с.
10.33. В заземленной проводящей плоскости проделано круглое
отверстие радиуса а. Точечный заряд q помещен на оси этого отверстия
на расстоянии Ь от его центра. Найти соответствующее распределение потен-
потенциала. Как быстро стремится к нулю потенциал в точке на той половине
оси отверстия, на которой нет заряда, если расстояние этой точки от
центра отверстия неограниченно увеличивается?
10.34. При помощи бисферических координат вычислить емкость
сферы с внешним радиусом Ъ, помещенной внутрь сферы с внутренним
радиусом с, причем центр внутренней сферы находится на расстоянии d
от центра внешней (с > b + d). Каково распределение заряда на внутрен-
внутренней сфере? Сравнить эти результаты с результатами, приведенными
на стр. 255,256.
10.35. Расстояние от центра жесткой сферы радиуса р до некоторой
бесконечной плоскости равно Ъ > р. Несжимаемая жидкость обтекает
сферу и плоскость, имея на бесконечности скорость v0, направленную
параллельно плоскости (см. стр. 280). Вычислить составляющие rj и у
скорости жидкости на поверхности сферы (j. = [i0. Получить приближенное
выражение для результирующей силы, действующей на сферу.
10.36. Потенциал поверхности четвертого порядка, заданной пара-
параметрическими уравнениями
__ oshjx a sin (j.o cos cp osinYj0sincf
chjx—cosnjo ' ' ch у.—cos y]0 ' " ch jx—cos yj0 '
где — oo<(i<oo, 0<<p< 2тс, tj0— фиксированное число, превосходит
на величину Fo потенциал на бесконечности. Показать, что вне этой
поверхности потенциал в бисферических координатах можно записать
в виде
dk Г
J
где
1 sin2 -g
10.37. Показать, что в тороидальных координатах [см. A0.3.75)]
z разлагается в ряд
z = —?- a l/chfi-cosir] ^ ^Qn-l (ch ^) sinI(^)-
n=0

300 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
При помощи этого ряда найти выражение для потенциала скоростей- потока
несжимаемой жидкости, обтекающего тор [i = (i0, если известно, что на
бесконечности вектор скорости имеет величину v0 и направлен вдоль оси
этого тора.
10.38. Проводящий эллипсоид с осями Хо, ]ЛХц — Ь2, ]/Х* — с2 поддер-
поддерживается при нулевом потенциале. Эллипсоид помещен в первоначально
однородное поле напряженности Е, причем самая длинная из его осей
параллельна вектору напряженности. Показать, что потенциал вне эллип-
эллипсоида равен
Ъ^!. D(ь/с-агсsiPc/x)
где X, ц. v — эллипсоидальные координаты (см. стр. 289) и
Найти заряд, индуцированный на эллипсоиде. Найти потенциал скоростей
для соответствующей гидродинамической задачи.
Тригонометрические и гиперболические функции
Тригонометрические функции (см. Приложение, табл. I—V).
sinz=z— gj z3 + -gj z5 — ... =2т(е"—e~u)= -ish(iz),
sin2 z + cos2 z = 1, sin (x -f ?/) = sin .x cos ?/ -f cos a; sin г/,
cos (x + y) = cos .x cos у — sin a; sin y,
1 1
COS X COS # = у COS (.X + [#) + у COS (Ж — 2/),
sin x cos г/ = — sin (ж + г/) + Ysin (ж—2/)»
1 i
sin x sin у — —-— cos (ж + 2/) + у cos (ж — j/),
d . d .
3~cosz=—sinz, -r-sin z = cos z,
dz dz '
со oo
eiztdt \ f(u)eitudu = 2Tzf(z)—интеграл Фурье.
Для m = 2,^4, 6, ...
cos'" z =
1
2m-i
cos mz -j- m cos (те — 2) z + w'—- cos (m — 4) 2
2!

Тригонометрические и гиперболические функции
301
Sin Z = 2^=i
cos 2z +...
cos (mz) = cosm z - '"^, ч cosm-2 z sin2 z+ ... + (_ l)sm sin7" z,
m mlm—1) „, „ . o
| — onam т 5 lnnan{—l т cin2
sinj(mz) =
to (to — 1) (to — 2) m-ч ¦ ч ,
Sin Z ~- i-COS 3ZSin3Z + ...
Для m = 1, 3, 5, 7,
^5 I
cos mz + mcos (те —2) z + m ^,—-cos(m —
A 1
у m + "
COS Z
Sin'" 2 =
2m-
sinz —
m ... [ -=- to-4—7Г
sin 6z-\-
cos (mz) = cos z - TO (""^c
sin(mz) = mcos 1zsin z
ob-2 z sin2 z + ... + ( - 1)Ъ
то (m — 1) (to—2) m_, .
— ^-cos dzsi
\т
Гипepбoлиqecкиe функции.
shz==z+4fZ34-iz5+ ••
ch2z —sh2z=l, ^chz-^
= у (ег + e z) = cos (iz),
= T (e? ~ e~2) — —i sin (Jz),

302 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Производящие функции, связывающие гиперболические и тригоно-
тригонометрические функции
СО СО
sh« -^ _„_ , . е~"sin
e-""cos (nz), f Sl = 2 У. e-"usin {nz).
v " ch U—COS 2 ?J ч '
ch u-cos z ~ ZJ -^ -»° v-'-h ch u_cos z ¦
n=0 n=l
Функции Бесселя
[См. формулу E.3.63) и следующие, таблицы X и X] Приложения.]
\\2 ) L 1! (т + 1) + 2!(т+ 1) (m + 2)
m==0
m=l r=l
f J- [In z -0,11593], n = 0, z-»O
! /2V i о q
-Ст;- "=1, 2, 3, .... Z-^
7r(n + 4)j' Roz>°.
(z) = ( - l)mJm (z), N_m (z) = (- l)m/Vm (z),
-i (z) /m (z) - iVm B) /m_x (Z) = Д (/m, ЛГт) = 2
iNm(z) 2_^]/Aei-bi(-+i).
См. также таблицы в конце гл. 11.
Общие формулы, относящиеся к функциям Бесселя. Если Zm(z) =
= aJm(z) + bNn(z) и Ym(z) = cJm(z) + dNm(z), где a, b, c, d не зави-
зависят от тп и z, то
1 dz \^z~dF) + { z* ) Z™=0~ УРавнение Бесселя,
-z-m"ZM_x (z),
(pz) - azZm_1 (az)
[Zo (az)]2 z dz = 1 z* \Z\ (az) + Zl (az)],

Функции Бесселя 303
=±z* [Z*n (az) - Zm_x (az) Zm+1
dj[z 1^m+l(Z)] = Z Zm(Z)> J-AZ Zm-l(Z)]=-Z Zm(Z)-
Соотношения, содержащие разложения в ряды. Если г, г0,
/? = ]Лг2-f Гц — 2rr0cos9 являются сторонами треугольника, причем угол
между г и г0 равен <р, а угол между г0 и R равен Ф, то
где 0 < г < г0, 0< ф< -к-ж, v — вещественное число, e2i*= ^—г-^—г-
г ro—relV
п=0
Г2Й
I Jn (ltr0) /jn (кг), r0 <^ r,
2 (v + т) Т^^ (cos <р) Jv+m (кг) Zv+m (kr0), r0 > г > О,
«=0
где
Гиперболические функции Бесселя.
=,«:_„ B),
2эт t
\ eizcos«cos (тм) du = -j=r—±—Чг^г \ cos (zcosk)
J УягСт+т)о
Определенные интегралы, содержащие функции Бесселя.
eizcos«cos (тм) du = -±
J
0

304 Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
= =i f ^SLdt, Ko{kx)= f
0
0
\ e'atJm (bt) — — —r^i [У^а2 + й2 — a]m , а и й—
J t YtbO
-вещественные и положитель-
О
ные числа,
V е^'/т (й) Г dt =
J
1
m+-
) 2
7t
\ /p.(zsin m) sin1"-"* mcos2v+1 ы с?ы = ^"|~ /^+ч+1 (z);
о г
CO
gn+lsm-я-х Г ДГт (я ^ji + ^i) „>_
S° f 0, i>a> 0;
\ Jm*i (at) Jn (bt) tn"n dt = ^ (rt2_fc2)m-»bn
fl, ?, m, n — вещественные числа, m

Функции Бесселя 305
1
Jm (bt) Jn {a VW+&) (** + ж*)" 2 >*idt =
f 0, 6 > a > 0,
{
a-AxV^^b2), a>b>0,
x, a, b, m, n — вещественные числа, п > m > — 1.
со oo
2
ш
где
2^->
V si
) J
= 2
( —l)ri (z/2)m+an+1
г->оэ т!
1
2)™-i /~2~
2 1
^ Г/, (ж sin б)]2 -^ = [ iZjJgjJi! ^и = 1 _ 1 / Bж).
и О
:ln[0+/^ + fc2J'
v я2+г
а, Ъ—вещественные и положительные.
Jm (tz) tdt \ Jm (lu) F (u)udu = F (z)— интеграл Фурье—Бесселя,
о
\ Jm (z sin &) sin'n+1 & cos2n+1 & d& = 2"Г1"^1) Jm+n*i B).
0
1
/m (a sin 6) Jn (b cos 6) sinm+1 0 cosn+16 dB = ambn m+n+1 K'-
1
2"
\ cos (a cos 6) cos (b sin 0) db = -^ ^^o (.T a2 ~t ^2j.

306
Гл, 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
\ е« cos в cos ujm (z Sin & sin и) Р Г (cos it) sin и du = ir"m |/ ^ P™ (cos &) Jn+ } (z).
Функция Лежандра
[См. E.3.36) и стр. 726 тома I; см. также Приложение, табл. VI—IX
и XIII.]
(Л „2
(
« = 0, 1, 2, 3, ...;m<n
B»)!
n m-n+i
Для z = cos &
i» = l, i>; = z = cos&, 1
P°3 = y Ez3- 3z) = -i Ecos 3& + 3cos &), . ..,
PJ = Y\ - z2 = sin », i>^ =
— 1) = -| (sin & + 5sin 3&) ,
Р2г = 3 A - z2) = -| A - cos 2&),
PI = 15z A - z2) = ~ (cos & - cos 3&), ....
z2J = ^Csin& —sin3&), ....
Bn-
- z2 i>™ (z) = ВД (z) - P^,1 (z) =
= (n + ira) (n + m -1) Pn-Г/ (z) _ (n - ira + 1) (n - m + 2) iC+
1* (z),

Функции Лежандра
307
) 1_Z2
-1
2тГ
-^\ sin™
/ 1 Л
Г f у Hl + Aa —2AcosS]
2 n=0
\
Зональные гармоники: Pn(z) — P^(z) = Tn(z) (см. стр. 695 тома I).
р Г-Л-f луг Bп)! „/- , 1
' +2
Bп
=-- Ро (z)
2n + 3) z— = ЗЛ (z) + ^fi />3 (z) + -^/
A i>n (г) = Bя - 1) Рп_г (z) + Bn - 5) Pn_3 (z) + Bn - 9)
dz
= Po (cos d) + 5 (|J P2 (cos ft) + 9 (^|J Л (cos
когда п = U, P_l
B" + 1) К (z) dz = [Pn+1 (z)- />„_, (z)],
следует считать равным 1;
+1 (cos ft)cos ftdft =
С Р„ (cos &) sin (//?,&) d& =
{
r.im-X-n — 1) (m-4-ra — 3) ... (m — n
2 («+И)(т+в-2)...(т-в)
0 в остальных случаях.
+ sin &sin&0cos (cp
если
/•„[cos
= Р„ (cos &) Ри (cos &0) + 2
m=l
нечетно,
[иг (т -

308
Гл. 10. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
Если Zn{K <ро) = а0-Р„ (cos &0) -г 2 ат cos (тф0 + am) Р™ (cos &0), то
m=l
d<oa ^ Zn (&0, <ри) Pn [cos & cos &0 + sin & sin&0 cos (9— <p0)] sin &0 d&0 =
б b
(l/^cosa-cosp, 0<&<p<^.
Функции Лежандра второго рода [см. формулу E.3.41) и следующие].
= (z2-!J
i +TO+1
^ 2 '
3
2
Для того чтобы функция (? была однозначной, мы проводим разрез
по вещественной оси между точками +1 и — 1.
Для z = ch fi, cth f у р. ^ = j/1±| ,
Q\ = 1 T2"^
i- In
= -| [3 ch B{i) +1 ] In [ cth ( 4 ^ ) ] - |- ch и,
= cth ft - sh H In [ cth (д
= -^7 + 3 sh fi - -| sh Bfi) In J^ cth ( ~ fi^ ] ,

Функции Лемсандра
309
Bп
Для | /г | < 1 мы имеем
Arch /г — cth u
L sh yi r I
2/ichix
7V=0
Для точки z = a;4-i^, лежащей внутри эллипса, проходящего через
точку t п имеющего фокусы в точках + 1, сходится разложе-
разложение
п=0
Если p.>fin, то имеет место разложение
Qn [ch fi ch fi0 + sh [i sh ц0 cos (<p — <p0)] =
+ 2 ^ fa,™}; *m$T (ch pi) i>™ (ch ц0) cos [ m(<p - To)].
m=l
Отметим, что P™(ch[iv) = imsbmp0Tn-.m(chii0),
A (Pm Om) - га~те+1 ГЯт , (z) Пт (z) - Pm lz\ f)m I2W — im ("+m)!
Функции мнимого аргумента.
2?1r! (|1_m),
+ 1) (г„)
?, — r m — R+l
~2~' 2
.1Л
з2 У
n + m + 2
iz) = - i arc tg A/z), QJ (iz) = z arc tg A/z) - 1,
^ (iz) = :~= - 1V + 1 arc tg A/z).
Тороидальные гармоники.
n—m— ¦-
2>пт!Г[ л — m+4-
,1 ,3
|m + l

310 Гл. JO. Решение уравнений Лапласа и Пуассона
\f2n Г ( n — m+y
K+A) ( т-и+у
(n_l)| A_„) B-й) ... (-2) (-1)
Г Гп + m + y
r(s-| 2 -у. ^ , 2
X
ch
2 „s=0
— 'i^y и +ym -1- s + ^ J J soch2s f
(при те = 0 первое слагаемое исчезает),
(
71— 1П ,.-
я Г f n-i-m-)- у
2 2n\ ch
* ' th
X
1
X F \ ъ , ^ I n + 1 I sec" z I
> , ¦ У '2УУ ^2 У / jth
¦ (m-l)l(l-m)B-m)... ( —2) ( — ^J
Г( п-\-т^\--- J 1
( - l)m Ц; ^-~ thm (i sechn+ 2 a ln [th pi] x
2т!Г( и — те-f — j
1 3
XF{ Y-±, j-L ! m 4-1

Литература 311
- -
. ,m 2_ "sech
X
L ¦ \_ i. & ч у ¦ v
-•я
Определитель Вронского для этих решений равен
т Л rn m d
"~2 ^ П~~2 П~~2 ''
' 2 d[X П 2 г( и—/п+-|-") sh |л '
2 ^ _ i_(chp.)cos (n-q).
\/Ch JJ. — COSY) _ ч
ЛИТЕРАТУРА
Книги и статьи, в которых обсуждаются решения уравнения Лапласа:
Г][ю"н т е р Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам матема-
математической физики, Гостехиздат, М., 1953.
ЗоммерфельдА., Уравнения в частных производных математической физики,
Издат. иностр. лит., М., 1951.
Ламб Г., Гидродинамика, Гостехиздат, М. — Л., 1947.
Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. IV, изд. 3, Гостехиздат, М., 1957.
Франк Ф. и Мизес Р., Дифференциальные и интегральные уравнения математи-
математической физики, ГТТИ, М., 1937.
Bateman H., Partial Differential Equations of Mathematical Physics, Cambridge, New-
York, 1932.
Green G., Solution of Problems in Viscous Flow, Phil. Mag. 35, 250 A944).
Jeans J. H., The Mathematical Theory of Electricity and Magnetism, Cambridge, New
York, 1925.
Jeffreys H., Jeffreys B. S., Methods of Mathematical Physics, Cambridge,
New York, 1946, ch. 6.
MacMillan W. D., Theory of the Potential, New York, 1930.
Milne-Thomson L. M., Theoretical Hydrodynamics, London, 1938.
Ramsay A. S, Treatise on Hydromechanics, London, 1920, pt. 2: Hydrodynamics.
Rothe R., Ollendorff F., PohlhausenK., Theory of Functions, Technology
Press, Cambridge, 1933.
S my the W. R., Static and Dynamic Electricity, 2d ed., New York, 1950.
Thomson J. J., Recent Researches in Electricity and Magnetism, Oxford, New York,
1893.

ГЛАВА 11
Волновое уравнение
В гл. 10 имело место известное нарушение логического единства в на-
нашем изложении различных подходов к решению уравнения Лапласа, обу-
обусловленное включением специальных методов теории функций комплекс-
комплексного переменного. Эти методы весьма ценны и не могут быть опущены,
но их применимость ограничивается двумерным случаем, так что подход
к двумерным задачам становится коренным образом отличным от подхода
к задачам трехмерным. Определенная связь этих методов устанавливается
интегральным представлением A0.3.2).
В настоящей главе логическое единство снова будет несколько нару-
нарушено. Специальный случай, когда имеет место простая гармоническая
зависимость от времени, настолько важен, что его следует рассмотреть
детально. Поскольку, однако, многие методы исследования этого специаль-
специального случая неприменимы при отыскании решений с более общими времен-
временными зависимостями, логическое единство изложения в интересах лучшего
понимания сущности явлений будет вновь нарушено. Однако связь между
специальным и общим случаями устанавливается при помощи интеграла
Фурье.
Простое гармоническое колебание «волновой» среды может возникнуть
двояким путем: либо как свободное, либо как вынужденное колебание.
Можно так привести в движение систему, сообщив ей в определенных
местах соответствующие импульсы, что ее последующее свободное движе-
движение будет периодическим, и обычно такое периодическое движение оказывается
простым гармоническим колебанием. Частоты таких свободных колебаний
являются вполне определенными собственными значениями для системы.
С другой стороны, чисто гармонический источник или чисто гармоническое
краевое условие любой частоты вызовет вынужденное движение системы с
той же частотой (если вынуждающая частота равна одной из частот сво-
свободных колебаний, то амплитуда этого движения может быть бесконечной).
Во всех случаях, когда имеет место простая гармоническая зависи-
зависимость от времени, эта временная зависимость может быть выделена:
W — ьк (х, у, z) e~iwt, и получающееся уравнение для фй оказывается урав-
уравнением Гельмгольца V2<tfe + &2<J>fe = O, к = ш/с. Другими словами, если толь-
только все части решения всюду гармонически зависят от времени с одной
и той же частотой, то можно отделить временной сомножитель и изучать
зависящее только от пространственных координат решение уравнения
Гельмгольца. Этот пространственный сомножитель, как мы видели, на гра-
границе должен удовлетворять однородным краевым условиям Дирихле или
Неймана, за исключением тех ее частей, которые служат источниками и на
которых имеют место неоднородные условия.
Если однородные краевые условия выполняются на всей конечной
замкнутой поверхности, то соответствующие решения bh однородного урав-
уравнения Гельмгольца являются собственными функциями, собственные зна-
значения к2 образуют дискретное множество и все свободные двл-

11.1. Волновое движение, одна пространственная координата 313
жепия системы представимы в виде рядов по собственным функциям. Вы-
Вынужденные простые гармонические колебания описываются решениями
неоднородного уравнения Гельмгольца или решениями однородного уравне-
уравнения, удовлетворяющими неоднородным краевым условиям (или и теми,
и другими); неоднородности соответствуют распределению «источников»
в областях, где может происходить обмен энергией между рассматриваемой
системой и некоторой «вынуждающей» системой. Такие решения сущест-
существуют для любого значения к.
Если найдены решения, представляющие собой вынужденные простые
гармонические колебания для всех значений к = ш[с, то при помощи ин-
интеграла Фурье можно вычислить движение системы, вынуждаемое силами,
произвольным образом зависящими от времени.
Поэтому мы в этой главе затратим значительную часть нашего вре-
времени на получение решений уравнения Гельмгольца. Отправляясь от этих
решений, можно будет найти выражения для свободных колебаний системы
либо для реакции, или «отклика» системы (response) на произвольно завися-
зависящие от времени воздействия. Глава содержит прежде всего изложение метода
собственных функций для решения в одном, двух и трех измерениях. Ока-
Оказывается, что этот метод наиболее удобен для низких частот (длинные
волны). Последние параграфы посвящены методу функции Грина, который
оказывается также полезным (если только он применим) в случае предельно
высоких частот (очень коротких волн). В первом параграфе будут рас-
рассмотрены некоторые интересные видоизменения обычного волнового урав-
уравнения.
11.1. Волновое движение, одна пространственная
координата
В §§ 2.1 и 6.3 мы рассматривали движение абсолютно гибкой струны,
натянутой между жесткими опорами. Здесь мы рассмотрим встречающиеся
в физических задачах видоизменения этого простейшего случая. Затем бу-
будет исследовано распространение звука в трубах, причем будут отмечены
полезные аналогии с электропередающими линиями. В обоих случаях мы
будем изучать применение метода преобразования Фурье, связывающего
установившуюся реакцию системы с ее свободными колебаниями и с пере-
переходным процессом.
Углубляя наше изучение простой струны, мы можем исследовать раз-
разнообразные эффекты, отличающие реальную струпу от идеализиро-
идеализированной. Так, например (что уже было отмечено в § 2.1), силы, действую-
действующие на каждый элемент реальной струны, не сводятся только к восста-
восстанавливающему действию натяжения, как это было принято в простейшем
случае, но зависят и от многих других факторов. Струна колеблется в воз-
воздухе или в какой-либо другой среде, которая создает дополнительную на-
нагрузку на струну —как реактивную, так и активную. Реальные струны
имеют некоторую жесткость и внутреннее трение, а концы никогда не бы-
бывают закреплены абсолютно жестко.
Большей частью дополнительные факторы оказывают по сравнению
с натяжением сравнительно малое влияние на движение струны (этим
прежде всего и объясняется то, что задача о простой струне представляет
интерес). Далее оказывается полезным раздельно изучать эффекты, производи-
производимые одним или несколькими из этих усложняющих факторов, ибо
эти эффекты в нервом приближении аддитивны. В большинстве реальных про-
процессов заметное влияние оказывает одновременно только один или два ив
этих дополнительных факторов. Поэтому вместо того, чтобы рассматривать
без разбора все усложнения одновременно и получать неудобоваримо слож-

314 Гл. 11. Волновое уравнение
ный ответ, мы будем раздельно изучать движения струн либо с распреде-
распределенным трением, либо с подвижными закреплениями, либо с дополнитель-
дополнительной жесткостью и т. д.
Преобразование Фурье. Прежде чем последовательно рассматривать
указанные дополнительные усложнения, полезно будет обрисовать связь
между вынужденными и простыми гармоническими колебаниями, переходны-
переходными процессами и свободными колебаниями, устанавливаемую при помощи пре-
преобразования Фурье. Силы могут быть приложены к струне (или к мембра-
мембране, или к упругой среде, или к электромагнитному полю и т. д.) в неко-
некоторой области, лежащей внутри граничной поверхности или на этой по-
поверхности. Если сила изменяется по простому гармоническому закону с часто-
частотой ю /2тг, то уравнение, описывающее процесс, оказывается неоднородным вида
^ (x, У, z)e-il0(
с однородными пространственными краевыми условиями в случае сил, при-
приложенных внутри, или же однородным вида
1 й21!"
V2'F — — — = 0
в случае сил, приложенных на границе, с неоднородными краевыми усло-
условиями aW (re) +pj5(rs) ==F,o(rs) e~im( на соответствующей части границы.
(В, как и прежде, означает нормальную к поверхности составляющую
градиента W.) В обоих случаях решение, описывающее установившийся
режим, можно искать в виде ХТ = &(х, у, г)е~ш, причем функция ф должна
удовлетворять неоднородному уравнению Гельмгольца
к = -^ ,
с однородными краевыми условиями или однородному уравнению
V2iJ) -{- А;2Л = 0
•с неоднородными краевыми условиями <n])(rsL-fW(rs) = i?u>(r!) на части
границы (B = Ne-iwt).
При первом обзоре метода нет необходимости останавливаться па всех
этих деталях. Достаточно сказать, что сила F (го) е~гф{, имеющая характер
простой гармоники, вызывает реакцию системы, «амплитуда» которой
равна произведению «амплитуды» F (<«) вынуждающей силы на функцию
•ф {х, у, z), представляющую собой амплитуду реакции системы на «единич-
«единичную» силу.
Сила F (ш) е~ш вызывает установившуюся реакцию системы вида
у, г\ш)е-ш,
где ф — реакция системы на единичную силу частоты (o/2iu — называется
по аналогии с теорией электрических цепей адмитпапсом {шип проводимостью)
системы.
Если мы интересуемся только установившимися реакциями системы
на чисто гармонические силы, то нет необходимости что-либо добавлять
к сказанному. Flo мы желаем также вычислить реакцию системы на
произвольную непериодическую силу f(t). Естественно, конечно, достигнуть
.этого, разложив f(t) на ее простые гармоники при помоши интеграла
Фурье [см. D.8.2)]:
со со
/@ = ^ \ F H e~imt d@> F(m)= \ f(t)ei№tdt. A1.1.1)

11.1. Волновое движение, одна пространственная координата 31Г>
Тогда, решив задачу об установившемся процессе и найдя адмитанс системы
ф (ж, у, z \ ш), мы собираем отдельные компоненты, соответствующие всем воз-
возможным частотам, и получаем реакцию системы на заданную непериодическую
силу:
со
W (х, у, z\t) — ~ { ф(ж, у, z\w)F(w)e-iwtdw. A1.1.2)
—со
Все это вполне ясно, пока интеграл F (со), содержащий / (t), абсолютно
сходится. Однако может оказаться, если, например, адмитанс ф (ж, у, г|ш)
имеет особенности на действительной оси со, что интеграл в A1.1.2) не
будет абсолютно сходящимся. Можно, конечно, вычислить этот интеграл,
рассматривая его как контурный интеграл и установив определенный
«обход» особенностей. Однако результаты будут существенно различны
в зависимости от того, будем ли мы обходить особенности по дугам окруж-
окружностей, расположенным выше особенностей (в верхней полуплоскости) или
ниже (в нижней полуплоскости). Поэтому мы должны обратиться к физике
явления, чтобы найти правило обхода, соответствующее реальному процессу.
Только недиссипативные системы имеют адмитанс с особенностями на
„действительной ш-оси. В самом деле, как мы вскоре увидим, полюсы адми-
адмитанса, рассматриваемого как функция от комплексной величины со = 2iuv -(- i%,
определяют частоты vn и соответствующие постоянные затухания %п сво-
свободных колебаний системы. Если учитывается трение, то все полюсы
должны быть ниже действительной ш-оси (ш„ = 2iuvn — i*n), ибо временной
множитель для свободных колебаний системы имеет вид ехр ( — iwnt) =
¦= ехр ( —2nwnt — *nt) и амплитуда должна уменьшаться с течением времени.
Так как трение не может быть отрицательным, то выше действительной
to-оси полюсов адмитанса быть не может.
Мы видим теперь, почему затруднительно применять формулу A1.1.2),
когда адмитанс ф имеет полюсы на действительной оси. Это может про-
произойти только в том случае, когда в системе нет трения и, следовательно,
когда собственные колебания не затухают. В этом случае принципиально
нельзя оперировать понятием вынужденного установившегося колебания.
В самом деле, под установившимся колебанием понимают процесс, в кото-
котором неустановившаяся составляющая свободного колебания затухла и ос-
осталось только вынужденное движение; между тем при отсутствии трения
эта неустановившаяся составляющая не может затухнуть. В таких слу-
случаях следует учесть, что не бывает реальных систем, абсолютно лишенных
трения, и даже при исключительно малой постоянной затухания собствен-
собственные колебания по прошествии достаточно большого времени затухнут,
«ставив только установившееся колебание. На этом основании мы должны
считать и в этом предельном случае полюсы адмитанса немного смещенными
вниз от действительной ш-оси. Таким образом, контур интегрирования дол-
должен проходить выше всех полюсов адмитанса ф.
Чтобы избежать необходимости повторять эти длинные рассуждения
каждый раз, когда мы имеем систему с «пренебрежимым» трением, можно
просто предположить, что контур интегрирования в формуле A1.1.2) про-
проходит на бесконечно малом расстоянии выше действительной ш-оси. При
этом можно быть уверенным, что контур пройдет над всеми полюсами
функции ф(ж, у, z|co), даже если предположить, что трением в системе пре-
пренебрегли и полюсы расположены на действительной ш-оси. Такое согла-
соглашение приводит к сходящимся интегралам только при t > 0. Это обстоя-
обстоятельство не всегда является серьезным препятствием, так как вынуждаю-
вынуждающие силы обычно не имеют бесконечной предыстории и их можно считать
равными нулю до определенного момента времени, который следует принять
за t = 0. Если до момента t = 0 система находилась в покое, то такое

316 Гл. 11. Волновое уравнение
упрощающее предположение относительно вынуждающих сил вполне оправ-
оправдано. На ближайших страницах мы покажем его значение.
Струна с трением. В качестве примера применения нашей процедуры
рассмотрим гибкую струну, находящуюся под натяжением Т и колеблю-
колеблющуюся в некоторой среде с малым трением. В соответствии с § 2.1 мы
находим, что уравнение движения струны имеет вид
д*у_тд*у Rdy ... , о,
где р —масса единицы длины струны, /? — сопротивление трения среды на
единицу-длины при единичной скорости этой части струны. Здесь скорость рас-
распространения волны будет равна с = j/7p. Для реальной среды сопротивле-
сопротивление R зависит от частоты, но для упрощения задачи предположим сначала,
что оно постоянно.
Если мы приложим в точке х = х0 чисто гармоническую поперечную
вынуждающую силу, то нужно будет удовлетворить неоднородному урав-
уравнению
сру 2* ду 1 а2у _ . , ,fi. . ш
дх2 с* dt ~c^W t(.c0\m)O(x .го)е
где -/i = jR/2p, c2=71/p, a F (xo\w) представляет собой отношение амплитуды
приложенной силы к натяжению Т струны. Чтобы найти установившуюся
реакцию струны, полагаем у(х, t) = ф (х\ ш)е~ш и получаем неоднородное
уравнение Гельмгольца
%? + ji(«>* + 2i»a>W = -F(xo\wN(x-xo), A1.1.3')
Как мы видели в § 2.1 и 7.2, решение этого уравнения имеет разрыв
производной в точке х = х0 со скачком, равным значению функции F.
Предположим, что концы струны закреплены абсолютно жестко и что
они находятся в точках х = 0 и х — 1, где I — длина струны. Комбинируя
решения однородного уравнения, обращающиеся в нуль при х = 0 и х = 1,
так, чтобы получить единичный разрыв производной при х = х0, находим
функцию Грина
sin (кх) sin [к (I — х0)] х<х
sin (kx0) sin [кA-х
где k = {mjc)\rl-\-2i%/w. Решение уравнения A1.1.3') будет иметь вид
ф = F (ш) G(x\x01 ш). Отношение амплитуды смещения к амплитуде силы,
<!)/jF = G, является адмитпансом струны для пары точек х, х0. Как функция
от ш он имеет полюсы там, где sin(kl) обращается в нуль, т. е. при Ы—пъ
(ге = 0, i 1, ±2, ...), или при ш2+2йш —(итгс//J = 0. Корни этого урав-
уравнения
A1.1.5)
лежат, как мы и предвидели, ниже действительной оси на расстоянии -/.
от нее. Увеличение коэффициента сопротивления jR увеличивает расстоя-
расстояние полюсов от действительной оси.
Решив задачу об установившихся колебаниях струны для частоты
ш/2тс. мы можем, применяя формулы A1.1.1) и A1.1.2), получить реак-
реакцию струны на силу вида Tf{t)b(x—х0), приложенную в точке ж0-

11.1. Волновое движение, одна пространственная координата 317
Пусть, например, сила Tf{f) является односторонним толчком в точке
х = х0, так что функция /(?) = (Роа/2Т) е~а\' I достигает максимума при t = 0
и экспоненциально убывает по обе стороны от точки t = О. Полпый попе-
поперечный импульс, сообщаемый струне в точке х = х0, составит
Т [ f{t)dt~P0 дн-сек
—со
{поскольку F и / даны на единицу натяжения Т, мы умножаем на Т для
получения силы в динах). Преобразование Фурье этой вынуждающей силы
дает
со 0 со
F К ! ш) = \ t if) е""' d* = W" [ \ еа1+Ш dt+\ e-<d+iml dt 1 =
.*У Г 1 ¦ 1 1 - foQ2
2T la + im T a — iu> J T(«>2 + a2) "
Эта функция имеет два простых полюса при ш = + ia.
Чтобы найти сотклик» струны, мы применяем формулу A1.1.2). Инте-
Интеграл, подлежащий вычислению, имеет вид
со .
Р а2 V е~
^у= \ G(x\xo\ ш) с^оз.
—со
Полюсами подынтегральной функции являются ш = + ia [для ^(.го|т)]
ж 2icvm— г/., и = 0, +1, ± 2, . . . (для G). Интеграл с бесконечными пре-
пределами можно заменить интегралом по замкнутому контуру, если подин-
тегральная функция достаточно быстро стремится к нулю па полуокруж-
полуокружности бесконечно большого радиуса, лежащей в верхней или нижней
полуплоскости. Подставляя k= ±iw/c, w=±iw, в формулу A1.1.4),
находим, что G экспоненциально стремится к нулю как на верхней, так
и на нижней полуокружности, за исключением случая х = х0, когда
,?! = О A/2 | А; |) на обеих полуокружностях1'. Экспонента е~ш стремится
к нулю на верхней полуокружности (к бесконечности на нижней) при
отрицательном t и к нулю на нижней (к бесконечности на верхней) при
положительном t. Следовательно, контур интегрирования лежит в верхней
полуплоскости ш при отрицательном t (контур пробегается в положитель-
положительном направлении) и в нижней полуплоскости при положительном t (кон-
(контур пробегается в отрицательном направлении).
Для отрицательных значений t единственный полюс подинтегральной
функции, лежащий внутри контура, находится в точке m = ia. Вычет
в этом полюсе равен
Роа2 г/ . | . , е°*_ __ Poaeat
2лТ U (Х I Хо I Ш> На - ШТк,
где ка — (а/с)У^1 + 2ж/а. Поскольку контурный интеграл (обход против
часовой стрелки) равен вычету, умноженному на 2ш, ыы получаем еле-
г) На самом деле функция G имеет на прямой Im ш = — х полюсы, располо-
расположенные сколь угодно далеко от начала, и поэтому нужно брать дискретную после-
последовательность полуокружностей с неограниченно возрастающими радиусами, про-
проходящих между полюсами. Интегралы по таким полуокружностям будут стремить-
стремиться к нулю.—Прим. перев.

318 Гл. 11. Волноиое уравнение
дующее выражение для формы струны при t < 0:
sh (kal)
Для положительных значений f контур лежит в нижней полуплоскости
со и обходится в отрицательном (по часовой стрелке) направлении. В до-
дополнение к полюсу в точке —ia, дающему член, аналогичный A1.1.6).
имеется еще последовательность полюсов, лежащих в точках wf = 2itvn — ix.
В ге-м из этих полюсов выражение sin(W) стремится к нулю как
(— l)n(kl— niz)—(— l)n Bl\/nc2) (ш — <оп), так что вычет в этом полюсе
равен
Р0а2 sin (nnxll) sin (nnxo/l) гГ
2nT 2n(hn/c2)
где
шп + о,2 --= BicvnJ — у.2 -\- а2 — 2ix
Каждому полюсу с положительным п соответствует полюс с отрицатель-
отрицательным п, причем соответствующие значения vn, а значит, и «р?1 имеют про-
противоположные знаки. Следовательно, вычеты удобно сложить попарно.
Окончательный результат для t > 0 имеет вид
_2Р0а*с* у sin (nnxll) sin (ппхо/1)
т 2ТК
где
Poae-at } *ч\»ач (HI
—)] х->х
А; = (а/с) 1/1-2х/о.
Сопоставляя это выражение с полученным ранее для t < 0, можна
усмотреть интересные свойства, типичные для всех переходных процессов.
Решение состоит из члена, ведущего себя так же, как вынуждающая
функция (член с e±af), и ряда, представляющего свободное колебание,
«вызванное» скачком вынуждающей функции при t = 0. Частоты vn
и постоянная затухания х соответствуют собственной частоте и коэффи-
коэффициенту затухания свободных колебаний струны с трением. Итак, при
помощи преобразования Фурье мы использовали выражение установив-
установившейся реакции системы для нахождения переходного процесса и для изуче-
изучения свойств свободных колебаний системы. Поэтому в этой главе нашей
первой задачей всегда будет нахождение установившейся реакции системы
на] единичную простую гармоническую вынуждающую силу. Мы знаем,
что из решения этой задачи можно получить выражения для переход-
переходного процесса и для свободных колебаний.
Прежде чем покончить с этим примером, мы несколько упростим
рассматриваемую процедуру. Полагая а бесконечно большим, мы сводим в
пределе вынуждающую функцию к мгновенному импульсу Ро, действующему
в момент « = 0 в точке жр. Реакция системы на импульс Ро = 1 является
двойной функцией Грина для силы, сосредоточенной и во времени и в простран-
пространстве. При а—> со второй член исчезает и WnO^a2, <j>n~0. «Импульсная

11.1. Волновое движение, одна пространственная координата 319*
функция» для мгновенного импульса при t = i, сосредоточенного в точке
х—х0, равна
оо
/ I . . •> 2с2 -у sin (nnx/l) sin (nnxn/l) _y(<_.j ¦ у) // \l C11 1 8V
и=1
при t > х, где vn = (пс/21) |/ 1 — (xZ/тшсJ. Если теперь к струне приложена
распределенная сила с плотностью /(ж|г), [произвольно зависящая от вре-
времени, то результирующий «отклик» струны можно найти, вычислив двойной
интеграл
i t
y(x\t)=^ dx0 ^ f(xo\z)g(x\xo\t-^)d-., A1.1.9)-
представляющий собой сумму «откликов», вызванных приложенными при
t — -з и х ¦=¦ х0 единичными импульсами, умноженными на амплитуду силы
при х — х0 и t = ~, для всех -с до момента t.
Эта формула показывает, что решение может быть получено в виде суммы
реакций системы на все силы, приложенные до момента t. Результат
получается в виде ряда Фурье по х как для членов, представляющих
свободное колебание, так и для членов, зависящих от времени как вынуж-
вынуждающая функция f(t). Таким образом, величина, определяемая равен-
равенством A1.1.6) и вторым слагаемым равенства A1.1.7). получается
в виде ряда Фурье, эквивалентного соответствующей части выражения
A1.1.9). Хотя ряд для импульсной функции g сходится только условно,
ряд, получаемый интегрированием в формуле A1.1.9), сходится, если
функция / (х 11) кусочно непрерывна и если сходится интеграл от
|/| по t в пределах от — со до + со.
Преобразование Лапласа. В основе предыдущих рассуждений лежали
некоторые предположения, на которых мы не останавливались. Так, напри-
например, мы предполагали, что если F (<о) является преобразованием Фурье
вынуждающей функции / (t) и ф (ш) — установившееся решение для единичной
гармонической силы, то ф(ш) F(m) должно быть преобразованием Фурье реакции
системы на силу /(?).Это, несомненно правдоподобное, предположение сле-
следует, однако, тщательно исследовать, чтобы выявить пределы применимости
формулы и возможные исключения.
Мы проведем доказательство при некоторых ограничениях, которые,
однако, не будут служить препятствием при дальнейших расчетах. Имен-
Именно, предположим, что к рассматриваемой системе на протяжении неогра-
неограниченного промежутка времени до заданного момента не было приложено
никаких сил, т. е. предположим, что система не подвергалась каким-либо
воздействиям ранее определенного момента времени. Это, конечно, экви-
эквивалентно предположению, что система до этого момента (который может
быть принят за момент t = 0) была в покое или, в некоторых случаях,
что система двигалась с постоянной скоростью. Следовательно, указывая
положение и скорость системы в момент ! = 0 и задавая характер силы,
действующей начиная с момента t = 0, мы определяем тем самым движе-
движение системы.
Коль скоро мы ограничились силой, приложенной при t > 0, можно-
воспользоваться условием, указанным на стр. 315, согласно которому
в интеграле Фурье мнимая часть ш больше нуля (или, лучше ска-
»ать, аргумент ш больше нуля, но меньше it). Интеграл, преобразую-

320 Гл. 11. Волновое уравнение
щий f(t) в F(w), принимает вид
7?(ш)= i eiwtf(t)dt, 0<argw<ic,
о
причем отличная от нуля мнимая часть ш обусловливает наличие экспо-
экспоненциального множителя с действительным отрицательным показателем,
обеспечивающим сходимость интеграла1У. В связи с этим в некоторых
отношениях удобнее ввести вместо ш параметр р, полагая ш = гр, и запи-
записывать интегралы так:
F (ш) = { е~& f (t) dt, р= —ш,
ос A1.1.10)
причем интегрирование во втором интеграле совершается вдоль прямой,
проходящей на расстоянии е (г >• 0) выше действительной оси ш-плоскостл.
Поскольку / (t) равна нулю при t < 0, из первого интеграла A1. 1. 10) вид-
видно, что F(<m) аналитична в полуплоскости, лежащей выше прямой Im ш = е > 0.
В большинстве случаев можно затем при помощи аналитического продол-
продолжения выяснить поведение F(w) в нижней полуплоскости, где F имеет
особенности.
Взаимозависимость между F и /, р и ш, задаваемая соотношениями
A1.1.10), называется преобразованием Лапласа (см. §§ 4.8 и 5.3); функция
jF(uu) также называется преобразованием, или трансформантой Лапласа
функции f(t). Пусть выполнены следующие условия: 1) функция / (t)
определена для всех действительных значений t и равна нулю для t < 0;
2) интеграл
сходится для всех действительных значений с, не меньших чем некоторое
е > 0; 3) функция F (о) аналитична при всех конечных ш, лежащих выше
прямой Im to = г; 4) интеграл
со
| F (x -\- ic) | dx
сходится для всех действительных значений с, не меньших чем г. Тогда,
если имеет место одно из соотношений A1.1.10), то имеют место оба
эти соотношения'1). В частности, соотношение, определяющее F (ш) через
интеграл от / цо t, дает представление, годное для всех значений ш = ip,
для которых lmw>e. В большинстве случаев при помощи аналитическо-
аналитического продолжения можно определить характер F (ш) в нижней ш-полуплос-
кости. где интегральное представление непригодно.
J) Предполагается, что f(t) возрастает пе быстрее некоторой экспоненты.
— Прим. перев.
2) Подробнее см., например, в книге Лаврентьева М. А. и Шабата Б. В,
Методы теории функций комплексного переменного, пзд. 2, М.—Л., 1958, стр.
462 — 469.— Прим. перев.

11.1. Волновое движение, одна пространственная координата 321
В дальнейших выкладках будут играть роль некоторые общие фор-
формулы, касающиеся преобразования Лапласа. Если / и F связаны между
собой так, как указано в A1.1.10) и в предыдущем абзаце, то, интегрируя
по частям, мы получаем
о о
Следовательно, преобразования Лапласа функций df/dt и d2f/dt? опреде-
определяются правилами:
преобразованием Лапласа / (t). является F (ш),'
» » f'(t) » pF(w)-f@), A1.1.11)
» » ПО » P*FH-pf@)-f'@).
Предполагается, что производные удовлетворяют требованиям сходимости,
указанным на стр. 320.
Подобным же образом, меняя порядок интегрирования и полагая
затем t — i = u, получаем [см. D.8.33)]
t СО СО
-Pt dl j fx (x) /2 (t-z)d-.= ^ U Ь) d~ [ e-Pi U (t ~ *) dt =
= ^ e.-v- fx (t) dz ^ е-"" /2 (u) du
и 6
Следовательно, если
преобразованием Лапласа j1(t) является Fl(^)
ТА
преобразованием Лапласа /2@ является Р2(ш),
то A1.1.12)
преобразованием Лапласа \/i(i)/2(? — t)dz является Fx (ш) F% (ш).
о
Струна с трением. Теперь применим этот аппарат к описанной на
стр. 316 задаче о струне с трением, неподвижно закрепленной на обоих
концах. Уравнение колебаний такой струны при силе Tf{t), приложен-
приложенной в точке х = х0 (где / равно нулю для t < 0), согласно A1.1.3),
имеет вид
^ + 2^-c^ = c4(x-x0)f(x0\t), A1.1.13)
где х = /?/2р, с2=7'/р, Т— натяжение в динах, р —масса единицы длины
и R — сопротивление среды, рассчитанное на единицу длины струны, при-
причем fT измеряется в динах. Смещение струны является функцией х и t.
Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения,
умножая их на e~Pt и интегрируя по t от 0 до со; мы получим
2V7
(р* + 2жр) Y-c*%?=<X>(x- x0) F (х0 | со) + (р + 2х) у @) + у' @),
где Y (х, ш) — преобразование Лапласа у (х, t), F — преобразование Лапласа
/ @t У Ф) и У' Ф) ~ начальные смещение и скорость струны (функции от х,
но не от t или ш) и р= — ко. Представляя Y в виде ряда Фурье

322 Гл. 11. Волновое уравнение
2 Ап sin (жпх/l) и предполагая на время, что струна находилась в покое
и равновесии до момента приложения силы, мы найдем, решая получен-
полученные уравнения относительно Ап:
Y(X w)- — Y sin (wisq/Q Bin (row/Op, . .
Однако эта не зависящая от времени амплитуда равна амплитуде
силы TF (х01 ш), умноженной на функцию Грина для приложенной в точке
х = х0 силы единичной амплитуды и частоты а>/2тс,
Г. (х I х I ш\ 2с2 V sin (ппз°о/11>sin (япх11) A1 1 Ш
п=1
Эта величина представляет собой преобразование Лапласа реакции, или
«отклика», струны на единичный импульс, приложенный при t = 0 и х = х0.
Так как
то мы видим, что G оказывается преобразованием Лапласа определенного
в A1.1.8) ряда Фурье функции g (x xo\t). Окончательно получаем, что
Y [являющееся произведением G (х \ х0 со) — преобразования Лапласа функ-
функции g (х | х0 11) — и F (х01 со) — преобразования Лапласа вынуждающей силы
/ (хо I *)] представляет собой преобразование Лапласа функции у (х | х011) —
истинного смещения струны под действием силы f(xo\t). Поэтому, соглас-
согласно A1.1.12),
t
y(x\xo\t)=\f(xo\v)g(x\xo\t-z)di; A1.1.15)
о
если сила распределена вдоль струны, мы получаем выражение A1.1.9)
для y{x\t).
Таким образом, метод преобразования Лапласа позволяет сократить
исследования сходимости и вычисления. Выигрывая в надежности метода,
мы теряем в его гибкости и непосредственности. Чтобы перейти от G к g,
мы должны решить обратную задачу, т. е. найти такое g, чтобы интеграл
оо
\ e-**gdt был равен G. Эта задача очень похожа на задачу об интегри-
о
ровании некоторых конкретных функций, которая решается разысканием
ответа в таблице интегралов. В настоящее время существуют подобные
же таблицы преобразований Лапласа, и нужную функцию часто можно
найти в такой таблице. (Краткая таблица преобразований приведена
в конце этой главы.) Если этого сделать не удается, то можно применить
второе соотношение A1.1.10) с сопутствующими усложнениями, связанны-
связанными с контурными интегралами и вычислением вычетов.
Мы можем теперь резюмировать процедуру вычисления реакции системы,
находившейся вначале в равновесии, на силу f(x\t), приложенную в точ-
точке х0 (находящуюся внутри системы или на ее границе) при t > 0:
Сначала вычисляют функцию Грина G (х \ х0 | со)
для установившейся реакции системы на силу единич-
единичной амплитуды и частоты a>/2it, приложенную в
точке х0, лежащей внутри или на границе. Для

11.1. Волновое движение, одна пространственная координата 323
этого решают неоднородное или однородное с не-
неоднородными краевыми условиями уравнение Гелъм-
еолъца. Либо по второй формуле A1.1.10), либо обра-
обращая первую из этих формул, находят импульс- A1.1.16)
ную функцию g (x | х011), для которой G является
преобразованием Лапласа. Реакция системы на силу
f{x\t) дается тогда формулой A1.1.15).
Это правило применимо, если система находилась в покое и функция
/ (х 11) равнялась нулю при t < 0. Если система не находилась в покое при
t < 0, то при вычислении преобразований Лапласа нужно учесть началь-
начальное положение и скорость, как показано в A1.1.11). В оставшейся части
параграфа будет продемонстрирован ряд приложений этого метода. Между
прочим, интересно проследить тесную связь между преобразованиями Лап-
Лапласа и Фурье и динамически сопряженными переменными квантовой меха-
механики, о которых была речь в § 2.6.
Струна в упругой среде. Чтобы рассмотреть пример системы, возбу-
возбуждаемой на части границы, мы вновь вернемся к случаю гибкой струны
в упругой среде, обсуждавшемуся уже в формуле B.1.27) и далее.
Уравнение движения имеет вид
9SV 292? 2 2 2 Т 2 К 1А<\ Л *П\
a# = c§J^c^' с У' •*¦ т ¦ (И.1.17)
Предположим, что струна бесконечной длины и на нее действует попереч-
поперечная сила, приложенная в ее конце х = 0. Поперечная составляющая силы
натяжения струны, как было показано, равна — Т (ду/дх), где Т — натяже-
натяжение струны. Как видно из уравнения B.1.29), решение, соответствующее
простой гармонической волне, бегущей в положительном направлении оси
х, далеко от точки приложения вынуждающей силы ж = 0 имеет вид
у = А ехр Г — у
Следовательно, решение уравнения Гельмгольца с неоднородным граничным
условием — Т (dty/dxH = 1 (единичная амплитуда силы в точке х = 0) имеет
вид
Обращаясь к таблице преобразований Лапласа, помещенной в конце
настоящей главы, мы находим импульсную функцию, которая соответствует
«отклику» струны на единичный импульс, приложенный поперечно к концу
струны ж = 0:
*(*|0|0 {^ A1119)
Форма этой волны показана на рис. 2.7, где она сравнивается с вол-
волной, вызванной таким же импульсом для простой струны и для струны с
трением. Заметим, что, хотя фронт волны, передвигаясь вперед со скоро-
скоростью с, остается резко выраженным, позади волны остается «след», с тече-
течением времени меняющий форму. В нашем случае фронт волны по мере ее
продвижения становится заостреннее и уже.
Если на конце струны действует поперечная сила / (t), то форма стру-
струны как функция от х и t в соответствии с A1.1.15) выражается инте-

324 Гл. 11. Волновое уравнение
гралом
t-xfc
y(s, 0=4 ] Wo [v-cy(t-^J-(J) *\dz. A1.1.20)
о
В случае необходимости это выражение может быть проинтегрировано
численно.
Струна с нежестким закреплением. Может показаться, что способ
определения свободных колебаний через установившиеся вынужденные
колебания несколько сложен и что значительно легче найти свободные
колебания непосредственно. Следующий пример покажет, что этот кажу-
кажущийся обходным путь иногда является наиболее эффективным, а приме-
применение метода, кажущегося прямым, влечет за собой значительные труд-
трудности.
Предположим, что струна длины I, находящаяся под натяжением Т,
неподвижно закреплена в точке х — 0, а ее конец х = I закреплен неже-
нежестко. Это последнее закрепление имеет продольную сопротивляемость, до-
достаточную, чтобы выдержать натяжение Т, но может несколько смещаться
под влиянием поперечного усилия, передаваемого опоре струной. Предпо-
Предположим, что этому смещению препятствуют трение и упругость закрепле-
закрепления. Таким образом, поперечная составляющая — Т (ду/дх)ь силы натяже-
натяжения • струны в точке х = I равна сумме произведения Rs на поперечную
скорость (dyjdt\ точки закрепления и произведения Ks на смещение у (Г)
точки закрепления:
А Г A1.1.21)
у = 0 ири х = 0. х '
Мы могли бы, конечно, предположить, что конец х = 0 также может
смещаться под влиянием поперечной силы, и включить в рассмотрение
поперечную инерцию закрепления, однако уже введенных трудностей до-
достаточно, чтобы продемонстрировать используемый метод, не запутывая
вместе с тем результат излишними усложнениями; по той же причине мы
пренебрегаем реакцией среды, окружающей струну.
Чтобы непосредственно рассчитать свободные колебания этой системы,
нужно найти собственные функции
у — [ A sin (kx) + В cos (kx)] e~ihct
волнового уравнения, удовлетворяющие граничным условиям A1.1.21). Из
этих условий следует, что В равно нулю и, таким образом,
y~sin(kx)e~ikcl,
где
- Тк cos (Ы) = — ik,cRs sin (Ы) + Ks sin (kl),
или
^и • <11Л-22>
Корни этого трансцендентного уравнения для к являются собственными
значениями кп нашей системы. Наименьшее значение /со==0, но его вклю-
включать не следует, так как соответствующая собственная функция равна

11.1. Волновое движение, одна пространственная координата 32.)
нулю. Остальные корни могут быть с известными трудностями подсчитаны
с любой желаемой точностью.
Трудность этой проблемы состоит не в вычислении собственных зна-
значений, а в применении собственных функций. Беда в том, что собствен-
собственные функции не ортогональны одна другой. Не ортогональны же они по-
потому, что краевые условия зависят от собственных значений к. В гл. 6
мы доказывали ортогональность собственных функций, интегрируя неко-
некоторую комбинацию решений, которая в рассматриваемом случае сводится
к выражению
Поскольку обо собственные функции уг и у2 обращаются в нуль при ж=0,
значение скобки слева при ж = 0, как и прежде, равно нулю. Однако, так
как при х=I
—Ks
T J'
значение при х = I имеет вид
iclL
у \ /.
а это выражение не равно нулю при к^ Ф к2. Следовательно, интеграл справа
в рассматриваемом случае не равен нулю при кх Ф к2 и собственные функции
не ортогональны между собой. (В гл. 6 этот интеграл был равен пулю
при к± Ф /с2, поскольку мы предполагали, что соотношение между у и
dy/dx па границе не зависит от к.) Это не означает, что собственные
функции не образуют полной системы. В действительности эта система
полна. Однако в этом случае не очень просто подсчитать коэффициенты
в разложении заданной в интервале 0 < х < I функции от х по собствен-
собственным функциям.
Попытаемся подойти к задаче с другой стороны, рассматривая вынуж-
вынужденное установившееся движение. Чтобы вычислить функцию Грина для
силы единичной амплитуды и частоты ш/2тс, приложенной в точке х = х0,
мы должны решить уравнение Гельыгольца
Ji>^ i 1,1
—=-<*{Х Хо), IX,— , ^ll.l.^iO^
с граничными условиями A1.1.21), причем зависимость G от времени за-
задается множителем e~iwt. Следовательно, граничные условия принимают
вид
G = 0 при х = О, Т^= [ikcRs-Ks]G при х = I, A1.1.24)
где к = ю/с и ш определяется частотой вынуждающей силы.
Мы можем найти решение уравнения A1.1.23) при помощи собствен-
собственных функций, удовлетворяющих условиям A1.1.24). Эти собственные
функции заведомо взаимно ортогональны, поскольку к и ш в этом уравне-
уравнении определены вынуждающей силой и одинаковы для всех собственных
функций. С другой стороны, мы можем найти решение уравнения A1.1.23)
с соответствующим разрывом при х = х0. Таким образом, методами, уже

326 Гл. 11. Волновое уравнение
применявшимися ранее, мы находим
sin {kx) sin [k(l—х0)—6]
кТ sin (kl—Ь) '
sin(fc?0) sin[fc({—ar)—в]
kTsin(kl — в)
X
где 6 = arc tg [Tk/(ikcHs — Ks)] и pn(ft) —n-й корень уравнения
• A1Л-26)
Собственные функции sin (icpnaj/Z) в разложении G взаимно ортогональны,
поскольку все они удовлетворяют граничным условиям при х = I для одного
и того же значения к = <о/с. Другими словами, граничные условия A1.1.24)
не зависят от собственных значений, так что наше доказательство ортого-
ортогональности, приведенное в гл. 6, остается в силе. Как собственные функ-
функции, так и собственные значения рп, т. е. корни уравнения A1.1.26), явля-
являются функциями к или вынуждающей частоты ю/2тс. См. по этому поводу
также рассуждения на стр. 675, 676 тома I.
Для нахождения импульсной функции g, для которой функция G
является преобразованием Лапласа, мы должны либо вычислить контур-
контурный интеграл, определяемый вторым равенством A1.1.10), либо найти g
в таблице преобразований Лапласа. На этот раз мы изберем первый из
этих методов:
p—ictorlk
—ОС
Простые полюсы подинтегрального выражения являются решениями транс-
трансцендентного* уравнения
1к= ± 1ГРп(^) — "F агс с^
или
^- — icRg + Tctg{kl) = O, A1.1.27)
которое надлежит сравнить с уравнением A1.1.22). Для каждого значе-
значения п в рп имеется пара корней, расположенных ниже действительной
оси и симметрично относительно мнимой ft-оси. Для больших значений п
приближенные значения корней таковы:
"
и для любых значений п и cRjlT корни могут быть представлены в виде
, _ Пап ¦ cRs ,, _ Пап . cRs (.л л о«\
Кп— i txn if » "Vi i lxn if » \1L.1.&O)

11.1. Волновое движение, одна пространственная координата 327
где ап и %п — безразмерные числа, получаемые при решении уравне-
уравнения A1.1.27). Как показано выше, ап~п + 1/2 и хп~1 для очень боль-
больших значений п.
Вычислив вычеты в этих полюсах, получим
g(x\xo\t) =
О, t < О,
со
__ — V Ттп Г s»n (fcW Sin {knx) -ih^ct \ n
T Zj 1Ш\ 2knl — sinBknl) e ) ' l^V'
A1.1.29)
n=l
где kn — n-й корень уравнения A1.1.27), имеющий вид A1.1.28). Это реше-
решение дает форму струны, когда при ( = 0 в точке х = х0 струне сообщается
единичный импульс.
Продолжая анализ, можно определить форму струны, когда сила TF0
внезапно приложена в момент ? = 0в точкеж = х0. Преобразование Лапласа
функции Fou (t) равно FJp = iF0/w. Согласно таблице, помещенной в конце
главы, если G является преобразованием g, то G/p является преобразова-
преобразованием \ gdt. Следовательно, искомая форма струны для силы TFou (t),
приложенной при х = хп, имеет вид
^ 2knl—amBknl) kn
n=l
В этом выражении члены, не зависящие от времени, определяют оконча-
окончательную форму струны, принимаемую после того, как переходный процесс
затухнет. Это соответствует предельной форме при к—>0 установившегося
«отклика» струны, определяемого равенством A1.1.25):
TF0G(x\x0\0) =
A1.1.30)
следовательно, форма струны, оттянутой первоначально в точке х= х°
постоянной силой TF0 и затем отпущенной при t = 0, такова:
j^}. A1.1.31)
n=i lknl—jsmBknl) n J
Этот ряд представляет свободное затухающее колебание струны,
вызванное начальным отклонением вида A1.1.30). Это — ряд по собствен-
собственным функциям sin(knx), которые, как мы указывали на стр. 325, между
собой не ортогональны. Однако мы смогли получить этот ряд, отправляясь
от ортогональной системы собственных функций sin (ъ$пх/1) для вынужден-
вынужденного установившегося движения и применяя преобразование Лапласа для
вычисления переходного процесса.
Отражение от закрепления с трением. Если Ks = 0, то поперечный
импеданс закрепления имеет только активную составляющую и величины 6
и рп, фигурирующие в A1.1.25), не зависят от к. В этом случае значи-
значительно легче найти импульсную функцию g(x\xo\t) при помощи таблицы
преобразований Лапласа, приведенной в конце настоящей главы. Используя

328 Гл. 11. Волновое уравнение
конечную форму решения при х < х0, мы получаем
Г1-г\-г \„Л г Sh (^/с> Sh
b{X\X\w)c
ТрвЪ1(р1/е
-i)-0 I »
= Jh.
PTsb[(pl/c
-J- e(p/c)(x0-3c-i)-b _ е(р/с)(ж+х0-1)-Ь
где b = Arth(T/cRs). Применяя затем таблицу, находим
со
g (ж | ж0 |0 = y-f" { 2 e'2nb \-u (ct-\x—xo\- 2nl) — и (fit-х- хп — 2nl)\ 4-
п=0
n=l
-a;0| -2nl)-u(ct-i x + xo-2nl)]} . A1.1.32)
Это представление импульсной волны весьма интересно. Член
и(ct — \х—х01) (п = 0) соответствует волне с крутым гребнем, распростра-
распространяющейся от точки удара х = х0 со скоростью с. Член — и (ct — х — х0)
соответствует первому отражению этой волны от неподвижной точки закреп-
закрепления х = 0, происходящему без изменения амплитуды,. но с изменением
знака. Член — e~2bu (ct + х + х0 — 21) соответствует первому отражению от
нежесткого закрепления. Здесь амплитуда изменяется, приобретая мно-
множитель
При cRs > Т смещение меняет знак (при cRs < Т нет изменения знака).
Отражения повторяются с последующими изменениями амплитуды каждый
раз, когда волна встречает нежесткое закрепление в точке х = х0.
Если сила, приложенная к струне, распределена по ее длине и по
времени, то нужно интегрировать в соответствии с формулой A1.1.9).
Интересно отметить, что решение представляется через элементарные реше-
решения f(x — ct) и g(x-\-ct), изображающие основные волны противоположных
направлений и их отражения от концов. Для закрепления с трением (Ks = 0)
отраженная волна претерпевает изменение направления и амплитуды, но
остается подобной по форме.
Звуковые волны в трубе. Другим простым примером на одномерное
волновое уравнение является распространение звуковых волн внутри
трубы (см. § 2.3). Если длина волны 2тсс/и> значительно больше периметра
трубы, то любое волновое движение в такой трубе есть движение вдоль
оси. Если поперечное сечение трубы постоянно, то смещение частиц ?,
скорость v, потенциал скоростей Ф и избыточное давление Р являются
функциями только расстояния х вдоль трубы и времени t. Эти величины
связаны следующими соотношениями:
Вместе с потенциалом ф решениями волнового уравнения являются также
6, v и Р.
Дальний конец трубы, х = I, может быть или открыт, или закрыт
поршнем, могущим смещаться под влиянием избыточного давления внутри
трубы. В последнем случае закрывающий поршень для наших целей может
быть полностью охарактеризован заданием его акустического импеданса,

11.1. Волновое движение, одна пространственная координата 329
т. е. отношения z, избыточного давления Р к направленной из трубы ско-
скорости частиц v у поршня при простых гармонических колебаниях давления
с частотой о)/2тс. Следовательно, z, представляет собой функцию от и>, зави-
зависящую от устройства поршня.
Значение комплексной величины z, определяет положение и относи-
относительную величину максимумов и минимумов амплитуды (узлов и пучно-
пучностей) синусоидальной волны давления, идущей вдоль трубы от х = I до
ближайшего конца трубы х = 0.
Одномерные падающая и отраженная синусоидальные волны одновре-
одновременно могут быть записаны так:
[ ]-**, A1.1.34)
где | At | — амплитуда падающей волны, | Ar | — амплитуда отраженной волны,
а отношение Аг/Аг = е-«[2<*—гB&+1)] определяет и отношение амнлитуд и раз-
разность фаз этих волн. Избыточное давление и скорость частиц на расстоя-
расстоянии х от начала трубы (мы употребляем ро для обозначения сдвига фал
при х = 0) выражаются так:
Р=-ipwA sh [ те(a- $0) + i^
а их отношение —
[^] A1.1.35)
Итак, ясно, что, задавая значение z — P/v при х = 1, мы фиксируем
значения а и р
a-#,= —Arth-^-, Pn = Pj+—,
¦ i л рс ' ° г' пс
и, следовательно, задаем отношение амплитуд и относительные фазы падаю-
падающей и отраженной волн в трубе. Если импеданс z, чисто мнимый (чисто
реактивный), то a = 0 и отраженная волна имеет ту же амплитуду, что
и падающая. Если импеданс zt действительный (чисто активный) и равен рс,
то а = со, и отраженной волны вовсе не существует (таков будет, например,
оконечный импеданс, если к нашей трубе в точке х = 1 присоединена дру-
другая труба такого же диаметра и бесконечной длины). Возвращаясь к фор-
формуле для Р, мы видим, что амплитуда давления в точке х равна
| Р | =
рш
[ А | j/sh2 тах 4- sin2 [~(l- х) + пВ( ] .
Таким образом, при (ш/с) (I — х)= — тВ^тг A — р,),ъ B — В,), ... амплитуда дав-
давления достигает минимума, равного pw |^4| sh ma, а при (w/с) (/—х) = ъ( -у — Р, J ,
тт Г -„г — В, J , ... опа достигает максимума, равного pa> | A | ch ma. Положение
этих максимумов и минимумов фиксирует значение р,, а значит, и Ро, отно-
отношение же величины давления в точках минимума и максимума равно thira
и, следовательно, определяет значение а.
Пусть колебания возбуждаются в конце трубы х = 0. Чтобы измерить
возникающий в трубе «отклик» на заданное возбуждение, мы можем пред-
представить себе, что этот конец закрыт плоским поршнем с пренебрежимо малым

330 Гл. 11. Волновое уравнение
импедансом, который может двигаться взад и вперед вдоль оси, генерируя
волны. Чтобы образовать волну описываемого формулой A1.1.34) типа,
смещение, скорость поршня и давление на его поверхности должны быть
таковы:
Ро = — грюЛ sh (тох — ?*$„) е~ш.
Если поршень приводится в движение простой гармонической силой единич-
единичной амплитуды и частоты ш/2тг, то амплитуда волны А должна быть
такова, чтобы давление на поршень, умноженное на площадь поперечного
сечения трубы S, равнялось приложенной силе, т. е. е~ш дин. Следовательно,
А=-
Spto shf яа—iTt^j — i— J
и результирующий потенциал скоростей, т. е. функция Грина, равен
G,(g|O|io)= ifl*a-i**lrjiu'/?)lil-Z)] - (И.1.36)
fy ' ' ' <Spo> sh [яа — utpi — i (o>i/c)] v '
Для нахождения «отклика» на единичный импульс, сообщаемый поршню,
нужно построить импульсную функцию g, преобразованием Лапласа кото-
которой является G.
Если импеданс поршня zt не зависит от ш, то а и р, также не зави-
зависят от ш, и функцию g легко найти при помощи таблицы преобразований
Лапласа:
n=0
-t--^-2(n + l)-^-]} . A1.1.37)
Скорость частиц и давление, будучи производными от g, содержат дельта-
функции. Первый член при п = 0 представляет исходную импульсную волну,
движущуюся вперед от поршня, второй член при и = 0 — первую отражен-
отраженную волну, возвращающуюся к началу координат с амплитудой, умень-
уменьшенной в е~2яо раз и, возможно, с обратным знаком (если zt действи-
действительно, то рг равно либо 0, либо тс/2 ) и т. д., точно так же, как в фор-
формуле A1.1.32) для струны. Как и в формуле для струны, реакция системы
на произвольную силу f(t), приложенную к поршню, может быть получена
интегрированием. Так, если / (t) = О при t < О, то скорость частиц равна
п=0
С другой стороны, если смещение поршня ?0(t) задано как функция
времени, то смещение частиц может быть получено опять-таки по фор-
формуле A1.1.35). Если смещение поршня чисто гармоническое с единичной
амплитудой, то установившееся смещение частиц равно
(a —iPi)~i

11.1. Волновое движение, одна пространственная координата 331
а соответствующая импульсная функция —
п=0
| c-2TC(n+D(a-iP,N/^ | * —2(w+l)Z Л1
Наконец, при смещении поршня ?0 (t) смещение частиц определяется выра-
выражением
жением
п=0
Труба с переменным поперечным сечением. Когда площадь попереч-
поперечного сечения трубы S меняется вместе с расстоянием х вдоль оси, так
что Y$ по-прежнему остается малым по сравнению с длиной звуковой
волны, волна по-прежнему будет одномерной в первом приближении срав-
сравнительно с отношением ~)/~S к длине волны. Уравнение колебаний не будет,
конечно, обыкновенным волновым уравнением. В трубе переменного
сечения скорости частиц v меняются от точки к точке в соответствии
с изменением S. Однако мы должны, разумеется, предположить, что v
постоянна на всем поперечном сечении для каждого х.
Видоизменяя в соответствии с нашими теперешними условиями рас-
рассуждение § 2.3, находим, что ускорение элемента объема среды, как и ранее,
пропорционально градиенту давления:
Далее, при смещении среды на малую величину ? относительное изменение
объема тонкого слоя среды толщиной dx, расположенного поперек трубы,
равно
д
V Sdx S дх '
Из соотношения между упругостью среды и скоростью звука с находим,
что— dV/V = Р/рс2. Дифференцируя по времени, получаем
1 д .<-, . _J_^ (лл л м,
S ox pc ol
Сравнивая это уравнение с A1.1.40), получаем окончательное уравнение
для определения избыточного давления и потенциала скоростей
S дх \ дх J с2 dtz dx r dt v '
Этому модифицированному волновому уравнению, которое приближенно
учитывает изменение величины поперечного сечения в зависимости от х,
удовлетворяет как давление, так и скорость. Уравнение дает хорошее
приближение, пока величина производной \/~S no x много меньше единицы
(т. е. пока труба остается достаточно гладкой). До тех пор пока это усло-
условие выполнено, истинная скорость среды приблизительно параллельна
оси х и приблизительно постоянна в поперечном сечении трубы, так что
поток среды / через сечение трубы может считаться равным w<5\

332 Гл. 11. Волновое уравнение
Нетрудно оценить влияние такого малого изменения поперечного сече-
сечения на амплитуду волны. В соответствии с рассуждениями, приведенными
на стр. 295 тома I, произведение давления и скорости среды равно плотности
потока энергии, или интенсивности звуковой волны. Полный поток энер-
энергии через трубу, усредненный по времени, для установившейся волны не
должен зависеть от расстояния вдоль трубы; в противном случае на неко-
некотором участке трубы энергия будет накапливаться и волна не будет уста-
установившейся. Общее выражение для установившейся волны имеет следую-
следующий вид:
ф=Л(ж)е±*?(*)-*"*г A1.1.43)
где А — амплитуда волны, а ^ обычно называется фазой волны. Поскольку
Ржи пропорциональны А, интенсивность пропорциональна А2. Из сказан-
сказанного выше об общем потоке энергии следует, что SA2 в нашем случае не
зависит от х (с той степенью точности, о которой идет речь), а, значит,
А обратно пропорционально ]/S.
Зависимость А и ^ от х легче всего найти, подставив A1.1.43) в урав-
уравнение A1.1.42) и приравняв нулю действительную и мнимую части отдельно:
Вспоминая, что dS/dx мало по сравнению с \/~S [без чего уравнение A1.1.42)
не имело бы места], мы можем получить решение этих двух уравнений
последовательными приближениями. Для «нулевого» приближения прини-
принимаем А постоянным и df/dx = ю/с. При этом мы совершенно не учитываем
изменения S и получаем известное решение Ае±гМ°)х~ш, справедливое
для трубы постоянного сечения. Следующее приближение дает А = ClV$
и (f = u>x/c. При этом второе уравнение удовлетворяется точно, но в первом
остается малый член — (l/\/~S)(d* fy'S/dx2).
Второе приближение
.1/2
dx
удовлетворяет первому уравнению, но оставляет малый член во втором
и т. д. В этом приближении давление и скорость частиц среды для волн
в обоих направлениях приближенно выражаются так:
Р ~ ^г- [С+е**<*) + C_e-lteW] е~ш ~ — -^ С sh |> (а - ф) + iff (x)] е~ш,
V S V S
е'ш
Случай экспоненциального рожка можно проанализировать детально.
Здесь S = SoeZx/h, так что отношение (l/YS) (d^YSldx2) = l/h? постоянно.
В этом случае для волны, распространяющейся в положительном направ-
направлении (С_ = 0),

11.1. Волновое движение, одна пространственная координата 333
Амплитуда давления в экспоненциальном рожке при смещении поршня
в точке х = 0 с единичной амплитудой и частотой о)/2тг (? = — v/ш) равна
G, , А | . ВСЕ2 Г X ^./^oi/cN2!
Ах 0 (о) = v * ехр V Р +( ~г ) >
= — ги.
Таблица в конце настоящей главы показывает, что волна давления
в рожке, порожденная смещением поршня от единичного импульса,
имеет вид
Наконец, волна давления, порожденная смещением поршня на величину
^о @ (^ -> 0) внутри бесконечного экспоненциального рожка (т. е. настолько
длинного, что волны, отраженные от конца рожка, не возвращаются
к месту наблюдения;, но формуле A1.1.15) будет иметь вид
Р(х, 1) = рсе-*ь ^0(*_,)|l/0[fjA«_(^y]d,. A1-1.47)
х/с
Эта формула показывает, что волна меняет свою форму при продви-
продвижении вдоль экспоненциальной трубы [формула A1.1.39) показывает, что
она не меняет формы в трубе постоянного сечения]. Давление в точке,
отстоящей на расстоянии х от поршня, в момент времени t зависит от
движения поршня в течение времени, протекшего от начала его движения
A = 0) до момента t — x/c. В трубе постоянного сечения это давление зави-
зависело бы только от смещения поршня в момент t — x/c. Поскольку произ-
производная J"u имеет наибольшее значение, когда ее аргумент равен нулю,
привнос от смещения поршня при t — х/с больше, чем привносы от смеще-
смещений в предшествующие моменты времени, особенно когда c/h мало. Однако
этой зависимостью от предшествующих моментов времени в рассматривае-
рассматриваемом случае пренебрегать нельзя.
Элементы акустической цепи. Обычно уравнения A1.1.44) достаточно
точно описывают звуковые волны в трубах, площадь поперечного сечения
которых мало меняется при изменении х. Если же S меняется резко
(т. е. на промежутке, малом по сравнению с длиной волны), то возникает
явление отражения, и отраженную волну можно (приближенно) рассчитать,
приравняв давления и полные потоки по обе стороны от места изменения
сечения.
Для этого подсчета полезно установить аналогию с явлениями
в линиях электропередачи. Давление является аналогом напряжения, а пол-
полный поток Sv — аналогом тока (обозначение / будет напоминать об этой
аналогии). Сопряжение решений в точке соединения может быть осуще-
осуществлено введением эквивалентного импеданса
Z —— — —— — — Ш 1 4Ж
/J- I ~ S v - S • {u.i.wi)
поскольку Р и / непрерывны в окрестности точки соединения.
Например, эквивалентный входной импеданс на одном из концов бес-
бесконечной трубы постоянного сечения, площадь поперечного сечения кото-
которой есть S, равен pc/S, а входной импеданс на конце х = 0 трубы посто-
постоянного сечения длины /, на другом конце которой имеется эквивалентный
импеданс Zt, равен
[^] A1.1.49)

334
Гл. 11. Волновое уравнение
где
A
Изменение размеров поперечного сечения вызывает отражение. Если
площадь поперечного сечения трубы между х = I и х = со равна Su
а между х = 0 и х=1 она равна So, то эквивалентный импеданс (в поло-
положительном направлении) равен pc/Sh а эквивалентный импеданс при х = О
равен
При помощи этой формулы и предыдущих соотношений легко установить,
что отраженная от соединения волна претерпевает изменение знака при
SL > So, не меняет знак при Si < So, а при St — So отраженной волны
вовсе не существует.
Короткий и широкий участок трубы аналогичен емкости в линии
передачи. Дополнительный объем V «накапливает» дополнительное смеще-
смещение среды. Если полный приток в дополнительный объем равен Q= \ Idt,
то соотношение между Q и Р, как обычно, имеет вид P = pc2Q/V и, таким
образом, эквивалентная емкость равна
С- V
A1.1.50)
С другой стороны, короткий и узкий участок трубы подобен индуктив-
индуктивности. Разность давлений по обе стороны сужения вызывает ускорение
vo
ч
A
Передающая
линия
Рис. 11.1. Акустический контур и эквивалентный
электрический контур.
течения в этой суженной части, обратно пропорциональное содержащейся
в ней массе. Сила, действующая на эту «пробку», равна (&P)S, где ДР —
разность давлений, a S — площадь поперечного сечения суженного участка.
Ускоряемая масса равна произведению р на объем «пробки» Sde, где
de — эффективная длина сужения (мы вскоре определим, что значит «эф7
фективная»). Ускорение равно, конечно, dv/dt, a Sv есть объемный
поток / через сужение. Следовательно, уравнение движения среды через

11.1. Волновое движение, одна пространственная координата 335
сужение будет иметь вид
и по аналогии с электрической цепью величину
L = ^ A1.1.51)
можно назвать эквивалентной индуктивностью. Такую индуктивность сле-
следует ввести в эквивалентный электрический контур, чтобы рассчитать
акустический режим. Так, например, акустический контур, изображенный
на рис. 11.1, эквивалентен электрическому контуру, изображенному
в нижней части этого же рисунка, причем передающая линия от А до С{)
(длины /) имеет характеристический, импеданс pc/S0, емкость Со равна
V0/pc2, индуктивность Lx равна \>de/Slt а емкость Сх равна VJpc2. Акусти-
Акустический импеданс (отношение давления к скорости) в точке А будет, сле-
следовательно, равен
Мы использовали эффективную длину сужения вместо его истинной
длины, так как аналогия между влиянием суженной части трубы и индук-
индуктивностью только приближенная и можно улучшить это приближение,
исправляя длину сужения с учетом «концевого эффекта». Сужение можно
рассматривать как индуктивность также и с другой точки зрения. Дело
в том, что в самом сужении и вблизи него среда движется быстрее и по-
поэтому там происходит концентрация кинетической энергии (точно так же,
как в дополнительном объеме концентрируется потенциальная энергия).
Если в широкой части (поперечное сечение So) среда движется со ско-
скоростью v, то в узкой части (поперечное сечение Sx) ее скорость будет
v (S0/Sx). Если отношение S±/So достаточно мало, то кинетическая энергия
на единицу длины в суженной части трубы, равная A/2) pv2S0(S0/S1), будет
значительно больше, чем в остальной части трубы, где она равна
а/2) Pv*s0.
При наличии индуктивности L в электрической цепи магнитная энер-
энергия равна A/2) Ы2. Поэтому в нашем случае эквивалентную индуктив-
индуктивность можно найти, вычисляя полную кинетическую энергию «ускоренной»
части среды. Мы видим, что эта энергия равна A/2) pdJi^SllS^ —
= A/2) (pdjSJ) I2, где / = vS0 — полный поток через трубу. Мы снова
использовали de вместо истинной длины сужения, поскольку среда начи-
начинает ускоряться, прежде чем она входит в суженную часть, и не может
замедлить движения сразу же по выходе из этого сужения. Таким обра-
образом, с повышенной скоростью движется большее количество среды, нежели
то, которое помещается в суженной части. Величина de равна сумме
истинной длины d и поправочного члена, учитывающего наружную (по
отношению к сужению) ускоряющуюся и замедляющуюся часть среды на
обоих концах сужения.
Можно, конечно, поступить так: методами гл. 10 рассчитать безвих-
безвихревой стационарный поток через сужение и вычислить дополнительную
кинетическую энергию, создаваемую сужением. Если эту энергию предста-
представить в виде A/2) Ы2, где / — полный поток через суженную часть, то L
и будет эквивалентной индуктивностью. На стр. 275 был проведен такой
расчет для круглого отверстия радиуса а в пластине пренебрежимой тол-
толщины, и там было показано, что кинетическая энергия равна A/2) (8р/3ъ2а) I2.
Следовательно, для круглого сужения нулевой «длины» эквивалентный
импеданс равен 8р/3тт2о, а «концевая поправка» в формуле A1.1.51) в этом
предельном случае будет равна 8я/3 тс. Мы можем теперь попытаться

336
Гл. 11. Волновое уравнение
использовать эту же поправку для круглого сужения истинной длины d,
и равенство A1.1.51) примет вид
Эта формула дает хорошее приближение, пока а мало по сравнению
с радиусом поперечного сечения остальной части трубы, a d значительно
меньше длины волны. Эти ограничения весьма естественны. Действительно,
во7первых, вывод стр. 275 был проведен для случая отверстия в бесконеч-
бесконечной пластине, и, значит, остальная часть трубы должна быть достаточно
широкой, чтобы можно было считать ее стенки удаленными в бесконеч-
бесконечность по сравнению с радиусом а. Во-вторых, концепция цепи с сосредо-
сосредоточенными постоянными как для акустических, так и для электрических
контуров вообще теряет смысл, если имеется заметная разность фаз на
концах одного элемента.
Изложенный метод сопряжения решений уравнения Лапласа на корот-
коротких участках с решениями волнового уравнения для получения прибли-
приближенных решений, удовлетворяющих краевым условиям, весьма полезен
в тех случаях, когда краевые условия слишком сложны, чтобы можно
было получить точное решение волнового уравнения (но не настолько
сложны, чтобы нельзя было найти решение уравнения Лапласа). В даль^
нейшем мы будем время от времени прибегать к этому методу.
Представление бегущими волнами. В заключение напомним, что общее
решение одномерного волнового уравнения может быть составлено из двух
бегущих волн, распространяющихся в противоположных направлениях:
x). A1.1.53)
Используя бегущие волны, можно также удовлетворить краевым условиям,
не обращаясь к решениям, выраженным через собственные функции [см.,
например, G.3.18)].
В качестве примера рассмотрим простую струну бесконечной дливы,
простирающуюся вдоль положительной части оси х от точки х — О, где
закрепление обладает поперечной упругостью и сопротивлением. Другими
словами, поперечное перемещение у0 точки закрепления связано с попе-
поперечным усилием Т (ду/дхH, передаваемым струной, равенством
^ Tpx, x = 0. A1.1.54)
Подставляя A1.1.53) в A1.1.54), получаем
.{z) = 0. A1.1.55)
Если падающая волна F (ct + x) известна, полученное равенство
является уравнением для определения / и его решением будет
A1.1.56)
где
И
T—cR0
а — произвольная постоянная. Если
только трением, то / (z) = y0F (z) и
К0 — 0,
т. е. закрепление обладает
A1.1.57)

11.1. Волновое движение, одна пространственная координата
337
Отраженная волна при этом тождественна с падающей но форме, но от-
отличается по величине коэффициентом отражения у0. Если Ro бесконечно,
то закрепление жесткое (~@— —1) и отраженная волна отличается от па-
падающей только знаком; если /?0 равно нулю, то закрепление не имеет
поперечного импеданса ("/„ = 1) и отраженная волна равна по величине
и по знаку падающей.
Чтобы удовлетворить начальным условиям, определим / и F из
равенств у = у0 (х) и dy/dt = v0 (х) при t = 0. Это дает
У = y У о (х + cl) + -J Уо (х ~
- у Uo (х - ct)'
+1 UQ (x -i- ct) 4 4 [y0 @) - Uo @)]
cl ¦— a:
Jo.
где 6r0 (z) =—\о0(м)с?ы. Третье слагаемое в выражении для х < ct иред-
о
ставляет влияние начального смещения в закреплении, а четвертое сла-
слагаемое (интеграл) соответствует части волны, отраженной от закрепления.
Этим же методом можно рассчитать колебание струны, закрепленной
с двух сторон на перемещающихся опорах, отстоящих друг от друга на
расстоянии I. Чтобы избежать излишне сложных формул, мы выпишем
решение только для случая закрепления с активным сопротивлением.
Коэффициенты сопротивления в закреплениях х = 0 и х = I пусть будут
соответственно Ro и RL. Учитывая последовательные отражения от обоих
концов, получаем
i Tfr, [yo(-z-2l)
-z- 21)], -2
I > z > 0;
0>z>- Z;
z>-3l;
2 too
l<z< 21;
2l<z< 31;
31 < z < Al;

338
Гл. 11. Волновое уравнение
где
Если 7?0 и jR, бесконечно велики, то оба закрепления жесткие и, по-
поскольку yo = Yj=— 1, каждое отражение приводит к изменению знака,
а движение оказывается периодическим с периодом 21/с
Подвижные закрепления. Еще заслуживает рассмотрения случай,
когда одно или оба закрепления допускают конечное продольное переме-
перемещение Как показано на рис 11.2, а, этот случай может быть реализован,
Рис. 11.2. Отражение поперечных волн от подвижного закрепления
струны в точке R.
Рис. (б) определяет функцию S(x); рис. (в) показывает, как можно построить
отраженную волну.
если струна жестко закреплена в точке М, где создается натяжение,
и, кроме того, пропущена через пару роликов R, которые обеспечивают
равенство нулю смещения струны в той точке, где они находятся. Пред-
Предположим, что ролики передвигаются взад и вперед. Соответствующие
краевые условия иллюстрируются на рис. 11.2, в, где это движение изо-
изображено в (ж.сг)-плоскости. Смещение у равно нулю вдоль указанной
кривой.
Для решения этой задачи в случае, когда закрепление перемещается
по закону x = As\nmt, можно использовать функцию S(x), определенную
уравнением (см. рис. 11.2,6)
S (.x) = A sin к [х + S (ж)]. A1.1.59)
Для малых значений А функцию S (х) можно выразить в виде ряда по
степеням А:
.. Л sinSkx-j- f^ksAi — . . Л si
Изучение рис. 11.2,е показывает, что смещение струны бесконечной
длины с закреплением в точке х = A sin Ы (натяжение Т постоянно),

11.2. Волновое двимсение, две пространственные координаты 339
имеющей начальное смещение у0 (х) и начальную скорость v0 (х), опреде-
определяется равенством
у (х, t) = ±y0 (х + ct) -\- у Уо О- - ct) + ~ Uo (х + ct) - у Uo (х - ct) для .т > ct,
У (¦*, 0 = у % (^; + с0 + 4 ^"о (•'- + ct) + Y Уо И - * + 2^ И - *I -
—2~ ^о [^ ~ x-\-2S(ct — х)] для z<ct.
Отраженные полны здесь искажены благодаря движению точки закрепле-
закрепления. Заметим, что изложенный анализ применим, если скорость роликов
псегда меньше, чем скорость полны с.
Аналогичные формулы могут быть получены для закреплений, находя-
находящихся на конечном расстоянии друг от друга, причем одно или оба за-
закрепления двигаются. Если движение закреплений периодическое, то
результирующее движение струны не будет периодическим, за исключением
случаев, когда частота колебаний закреплений есть целое кратное частоты
izc/l свободного колебания струны. Таким же образом можно получить
формулы для движения ноздуха и трубе, если поршень и точке х = 0 пере-
перемещается на конечное расстояние взад и вперед.
11.2. Волновое движение, две пространственные
координаты
Как только мы начинаем рассматривать волны в случае более чем
одной пространственной координаты, мы встречаемся с новым явлением,
которого не наблюдается у одномерных волн. Решения полнового уравне-
уравнения с одной пространственной координатой, как было показано в преды-
предыдущем параграфе, можно представить общей формулой f(x — ct)-\-F(x -i-ct),
соответствующей наложению двух иолн противоположного направления.
Каждая полна движется в одном из двух направлений со скоростью с
и не меняет своей формы во время движения. Зависимость от времени,
с точностью до коэффициента размерности с, такая же, как зависимость
от пространственной координаты, и каждая отдельная волна в последую-
последующий момент выглядит так же, как и секунду ранее, но она оказывается
сдвинутой на расстояние с. Путь любой точки отдельной волны в пло-
плоскости х и t является характеристикой х + ct = const (см. стр. 636 тома I).
В случае двух и более пространственных измерений направлений рас-
распространения волн бесконечно много. Существуют одномерные решения
вида F (.г cos и-\~ у s\n и — cl), которые нам уже известны, но имеются
и другие, более сложные процессы, когда полна распространяется одно-
одновременно и различных направлениях, меняя свою форму в процессе рас-
распространения [см. рассуждения и связи с формулой F.1.16)]. Эти волны
должны быть изучены прежде, чем мы сможем удовлетворить двумерным
или трехмерным краевым условиям.
Основываясь на формуле A0.3.2), можно ожидать, что интегральное
выражение
у,
2л
, t)=\ Fu(xcosu + ysinu — ct)du A1.2.1)
пригодно для того, чтобы представить любую волну в случае двух про-
пространственных измерений (всего три измерения). В частности, решение
уравнения Гельмгольца (V2-)-fc2)(J) = 0 для волн частоты o)/2ir == kc/2iz,

340 Гл. 11. Волновое уравнение
имеющих временной множитель e~iuit, представимо в виде
ф (х, у | ш) = С Ф (и) eift(* cos u+v s'n «) dK, A1.2.2)
о
что является частным случаем общей интегральной формулы E.8.86).
Показатель в подинтегральном выражении с точностью до множителя i
является скалярным произведением двумерного вектора г = i х 4- jy и век-
вектора к. = каи, имеющего длину & = ш/с и образующего угол и с осью х.
Волна eikr-ilDf —простая гармоническая» а волна Fu(v-au:—ct) является
линейной волной общего вида, движущейся в направлении единичного
вектора аи (образующего угол и с осью х). Комбинация таких волн, рас-
распространяющихся по различным направлениям и с различными амплиту-
амплитудами и фазами для каждого направления, образует наиболее общее реше-
решение волнового уравнения (или уравнения Гельмгольца). {При двух про-
пространственных измерениях бывает иногда необходимо распространить
интегрирование на комплексные значения иг.)
Полезно выразить все собственные функции и функции Грина в этой
форме, так как взаимосвязь между ними станет при этом еще нагляднее.
Преобразование Фурье и функция Грина. Полезным введением к этому
параграфу будет рассмотрение взаимосвязи между представлением решений
в виде интеграла Фурье, функциями Грина и выражениями A1.2.1),
A1.2.2). Предположим, что ищется решение неоднородного уравнения
^Ж У' *) 'И-2-3)
на всей плоскости х,у, причем единственным краевым условием является
требование, чтобы излучение на бесконечности было направлено вовне.
Одним из возможных путей решения этой задачи могло бы явиться
использование функции Грина уравнения Гельмгольца для единичного
источника частоты ю/2тс, находящегося в точке (х0, у0): G (г | г01 ш) = шН™ (kR),
где А = ш/с и В2 = (ж — xof + (y — y0J [см. G.2.18)]. Такое установившееся
решение для единичного чисто гармонического источника является, согласно
правилу A1.1.16), преобразованием Лапласа решения g(r|ro|z) уравнения
A1.2.3) для единичного импульса при t = 0 в точке (х0, у0), т. е. для
(
p( o)(yyo)()
Предположим, однако, что сначала выполнено преобразование Фурье
уравнения A1.2.3) по всем трем переменным. Всегда имеют место соотно-
соотношения (предполагая, что ранее сформулированные условия сходимости
выполняются)
. У\ 0 =
A1.2.4)
где F—преобразование Фурье функции <{». Например, преобразование
Фурье правой части уравнения для единичного импульсного источника
— 4тс5(х — х0)8(у—у0)b(t —10)равно — 4тсе-*;з:о-")!л>+гю'о. Подставляя интеграл
для <}> в уравнение A1.2.3) и приравнивая подинтегральные выражения
в обеих частях, получаем преобразование Фурье решения:

11.2. Волновое двтгжение, две пространственные координаты 341
Общео решение уравнения A1.2.3) для неограниченного пространства
может быть получено из этого элементарного решения интегрированием.
Например, решением неоднородного уравнения Гельмгольца для единич-
единичного чисто гармонического линейного источника в точке (х0, у0) является
преобразование Фурье функции F по пространственным координатам
j1? ^ eikR I? Р eifcficos(u-e)
G(r|rn|u>) = — \ dl \ 75—, , ,„ drt = — \ kdk \ —r^—. , ,2— du,
y ' ol ' 1Я J J k2—(u>/cJ я J J k2 — (ш/сJ
—CO -CO 0 0
где к —вектор с компонентами Ё, tj, составляющий угол и с осью х,
a R —вектор с компонентами х—х0, у—у0, составляющий угол Ь с осью х.
Интегрирование по и, как это следует из формулы E.3.65) или из таблицы
в конце гл. 10, приводит к бесселевой функции 2тс/0 (&/?). Для интегри-
интегрирования по к мы используем следующее соотношение:
Ko (aR) = ^ ~^- k dk, Ko (z) = -f- тЛН? (iz),
о
которое может быть получено при помощи интегральных представлений
цилиндрических функций и которое приведено в конце предыдущей главы.
Полагая w = ip (см. стр. 320), в конце концов получаем
С(г|го|ш) = 215
что совпадает с выражением G.2.18) для функции Грина двумерного
уравнения Гельмгольца.
Окончательное выражение решения уравнения A1.2.3) для импульс-
импульсного источника содержит еще одно интегрирование по ш. Мы можем вместо
этого использовать метод стр. 323 и найти функцию, имеющую G своим
преобразованием Лапласа. Незначительное видоизменение интегрального
представления для функции Но дает
— pRuic
Следовательно, 2K0 (pR/c) является преобразованием Лапласа функции
2/j/^2 — (Я/сJ при t > R/c. Таким образом, решение уравнения A1.2.3)
для импульсного источника в точке (х0, у0) имеет вид [см. G.3.15)]
( 0, t<R'c,
g(rlro|0H г A1.2.6)
1 \2l]fe(R,cr , t>R/c.
Поэтому в двумерном случае смещение на расстоянии R от источника
импульсного возмущения, происшедшего при ? = 0, равно нулю до
момента R/c (время, требующееся для прохождения волновым фронтом
расстояния R); после этого момента оно пропорционально i/j/ ft1—(R/c)'2.
Эта волна имеет крутой передний фронт, но позади себя оставляет йвоз-
мущение», лишь медленно спадающее до нуля, как об этом уже упомина-
упоминалось в связи с формулой F.1.16). Поведение волны, порожденной источ-
источниками, распределение которых задается функцией p(r, cp, t) (предпола-
(предполагается, что эта функция равна нулю при t < 0), легче всего изучить,
положив, что точка наблюдения (г, у) совпадает с началом координат,
и пользуясь полярными координатами jR, 6 для точки источника. При-

342 Гл. 11. Волновое уравнение
меняя формулу A1.1.15), видим, что решение уравнения A1.2.3) имеет вид
2-я; ct t
(Д, 6, I—Q л. _
f ct 2-я;
#Йв- (М.2.7)
Второе выражение показывает, что по прошествии времени t после момента,
когда начинает действовать источник, решение ф зависит только от поведения
функции р тех источников, расстояние которых от точки наблюдения
(начала координат) не превосходит ct. Эффект более далеких источников
сказывается лишь по прошествии более продолжительного времени.
Эти формулы следует сравнить с формулой G.3.19), которая дает
решение для специфического начального условия при t = 0. Взаимосвязь
между ними очевидна.
Мы можем представить наше решение также в другой форме, которая
подчеркивает связь с формулой A1.2.1). Чтобы написать общую формулу
для случая функции плотности источников р(х, у, t)ii(t—10), в первую
очередь напишем преобразование Фурье этой функции плотности:
Р (S. т, 110) е**, где Р = jj \ p (х, у, t0) e-«*-i4» dx dy.
—оо
Уравнение для ,F — преобразования Фурье функции ф—получается под-
подстановкой первого из выражений A1.2.4) в A1.2.3) для случая выше-
вышеуказанной плотности. В результате получим
Преобразование Фурье этого выражения дает
I «о) = гИ $ $
Интеграл по ш имеет форм}', удобную для перехода к контурному инте-
интегрированию. Два полюса подинтегральной функции близки к контуру,
и мы должны выбрать путь интегрирования так/ чтобы удовлетворить
физическим требованиям и краевым условиям. Учитывая вычет в точке
ш = /ее, приходим к расходящейся волне, которая является решением
нашей задачи, но вычет в точке ш = — кс не нужен, так как он дает
сходящуюся волну. Поэтому мы учитываем при t > tn вычет только
в одном полюсе, что приводит к выражению (Tzi/kc) e—ite('-'«). Следова-
Следовательно, выражение для ф при t > t0 принимает вид
'*) dk) ,
и решением уравнения A1.2.3) для произвольной плотности источников р,

11.2. Волновое движение, дер пространственные координаты 343
равной нулю при t < 0 и р (х, у, t) при t > 0, является
га 2я
О (Ж, у, O=(*jU(*', H, /)e«Ucos,,+,,smu-cOrfHl (И.2.8)
О О
где
t
^-Ф(Л, в, 0= \ *>(*. и, to)
О
га t
Эта формула представляет 6 в виде интеграла по к от интегрального
выражения тина A1.2.2) и одновременно является общей формулой
типа A1.2.1).
Прямоугольные координаты. Когда границы прямоугольные, интегралы
в формулах A1.2.1) и A1.2.2) вырождаются в суммы. Например, для
гибкой мембраны, которая удерживается с натяжением Т дн/см на непод-
неподвижном каркасе, расположенном на прямых х — 0, ог = а, у = 0, у = Ъ,
собственными функциями являются sin (nmx/a) sin (icny/b), где m и п —
целые числа; собственные частоты равны штг|/2тс, где
Если краевые условия на том же граничном прямоугольнике таковы, что
нормальная составляющая градиента должна быть равна нулю, то соб-
собственными функциями являются cos {тегах/a) cos (nny/b), а собственные
значения остаются те же, что и в предыдущем случае, и добавляется
0
ш00 = 0.
Функция Грина для чисто гармонической вынуждающей силы, кото-
которая сосредоточена в точке (х0, у0), лежащей внутри области, может быть
найдена теперь хорошо известными методами:
sin 5- Jsinl )sm( —~ Isinf —-S- )
in, п
Отсюда, применяя метод преобразования Лапласа, мы можем получить
выражение для решений при любом распределении источников и при
любой зависимости от времени. Импульсная функция, соответствующая
единичному импульсу, приложенному в точке (.х0, уи) при t0 — 0, такова:
sin ( Чш( sin —~- ) si и ( —~ )
8 (г К *) = -тг- Zi >-, . ./, , ,= sin (w,,,,,/),
яр х_; у (»(/аJ-|-(п/Ь)
A1.2.10)
где ы2тп = {тс cm/aJ + {ъсп/bJ.
Другую форму стационарной функции Грина G можно получить,
применяя, как и выше, ряд Фурье по у и находя решения неоднородных
уравнений по х, имеющие вид одного члена с особенностью при х = .г„.
Полагая

344 Гл. 11. Волновое уравнение
имеем для Fn уравнения
dx*
где кп = (ю/сJ — (izn/by. Решения этих уравнений, обращающиеся в нуль
при х — 0 и х = а, могут быть легко найдены, и мы приходим в конце
концов к формуле для функции Грина
Г/Р,Р |„Л_ 8я ^, V Ь У V Ь )\ sin(A;na;0)sin[A;n(a-a;)], х > х0,
ь ^ Knsm(Kna) I sin(ftna;)sin[A:n(a —ж0)], х < х0.
A1.2.11)
Эта формула эквивалентна, конечно, формуле A1.2.9) и приводит
при помощи преобразования Лапласа или Фурье к выражению A1.2.10).
Мы можем точно так зке получить еще одну формулу для G, заменяя
в A1.2.11) х, х0, а на у, у0, Ъ.
Другие краевые условия. Последняя форма функции Грина особенно
удобна, когда приходится иметь дело с более сложными краевыми
условиями. Так, например, сторона х = а может быть закреплена неже-
нежестко, допуская смещение, пропорциональное поперечной силе, как это
было принято для струны на стр. 324. Поскольку поперечная сила
на единицу длины границы равна Tdty/dn, где п — нормаль к границе
в плоскости (х, у) (— Тд'Ь/дх для х — а), это условие равносильно
требованию, чтобы некоторая линейная комбинация величин ф, ф, ф была
пропорциональна производной, dty/dn на границе; это последнее требова-
требование в свою очередь эквивалентно для простого гармонического колебания
общему однородному краевому условию на границе х = а:
Величина У— комплексное отношение смещения к нормальной производ-
производной смещения в точке границы для простого гармонического колебания
частоты ю/2те — является функцией ю и рассматриваемой точки границы.
Она может быть названа удельным адмитансом границы. Для простейшей
реакции закрепления, порождаемой инерцией, трением и упругостью, Y =
= [ — Мш2—iwR-\-K]~1, но во многих случаях зависимость от <» сложнее;
однако во всех физически осуществимых случаях мнимая часть Y положи-
положительна (поскольку мы принимаем зависимость от времени в виде e~iwt).
Если адмитанс Y постоянен на линии х = а и равен нулю на осталь-
остальной части границы (жесткое закрепление), то функция Грина имеет вид
8я ^ sin (ппУо/Ь) sin (ппу/Ь) (sin (^»жо)sin [К (о - ж) + е»]. ж>ж0,
Ь Ь knSin(kna+bn)mte\sin(knx)sin[kn(a-x0) + Qn], х<х0, ( "" '
где к^ = (tw/cJ — (тси/fcJ и tgbn = Ykn. Фазовый угол 6 является функцией
от ю; это — комплексная функция, если У комплексный.
Как было показано в предыдущем параграфе, чтобы определить
собственные частоты колебаний системы, нужно применить преобразо-
преобразование Фурье (или Лапласа) к функции Грина и получить реакцию
системы на импульс, приложенный при t = 0. Значения ш, при которых
подинтегральная функция имеет полюсы, являются собственными часто-
частотами, а форма «стоячих волн», имеющих эти собственные частоты, опре-
определяется характером зависимости от х вычетов в этих полюсах. Далее,
было показано, что можно рассчитать переходный процесс для системы

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 345
при любых начальных условиях, даже если собственные функции в по-
получаемых рядах не являются взаимно ортогональными. Собственные ча-
частоты—это те значения ю (деленные на 2iz), при которых знаменатели
различных членов ряда A1.2.12) обращаются в нуль:
sin(kna + bn) = O, kna + arc lg (knY) = ът, A1.2.13)
где т — положительное целое число. Так как кп и У —функции <о, то
получается трансцендентное уравнение относительно ш, т, п, аг Ь и тех
физических постоянных участка границы х = а, которые входят в выра-
выражение адмитанса Г. Если адмитанс Y комплексный (т. е. если Y имеет и актив-
активную и реактивную составляющие), то корни ю комплексные, и зависимость
от времени свободных колебаний, e-i<of, включает экспоненциальный множи-
множитель, обусловливающий затухание. Значение ш, удовлетворяющее уравнению
A1.2.13) для данных значений т и п, может быть записано в виде
Отметим, между прочим, что, зная Y, можно вычислить ш, и, наобо-
наоборот, можно вычислить Y, если известны различные корни <omn. Иногда
бывает полезно уметь определить краевые условия по измеренным соб-
собственным частотам и постоянным затухания.
Переменный адмитанс границы. Функция Грина в форме A1.2.11)
может быть использована для определения свободных колебаний также
в тех случаях, когда адмитанс Y границы х = а изменяется от точки
к точке вдоль этой границы, т. е. когда Y является функцией не только ю,
но и у. Чтобы сделать это, обратимся к формуле G.1.15), связывающей
решение ф краевой задачи с функцией Грина.
В качестве примера мы можем вместо мембраны рассмотреть акусти-
акустическую задачу. Пусть часть пространства, ограниченная плоскостями
х = 0 и х — а, г/ = О и у = Ь, заполнена некоторой средой, колеблющейся
только в плоскости х, у. Решение ф (x,y,t) является потенциалом
скоростей, — дгас1ф — скорость частиц среды, pdty/dt — избыточное давление.
Предположим, что три стенки х = 0, у —0, у = Ь жесткие, т. е. что
нормальная составляющая градиента ф у этих стенок равна нулю.
Однако стенка х = а пористая или не совсем жесткая, так что отношение
нормальной составляющей скорости к давлению на этой поверхности не
равно нулю. Мы определяем нормальный акустический импеданс z этой
стенки равенством
Давление ?«>рф
Нормальная составляющая скорости a-i./a_ • >
для простого гармонического колебания с частотой ю/2те, так что зависи-
зависимость ф от времени имеет вид e~i№t. Отношение нормальной составляющей
градиента к величине ф при х = а обозначим через Y(г/, ш), т. е. положим
Y(y< ш)"Ма. У) = дх х=п'
где F = io)p/z может быть названо отклоняющим адмитансом стенки.
(Он пропорционален отношению нормального смещения. к давлению
у стенки.)
Для решения этой краевой задачи (нормальная составляющая гра-
градиента равна нулю у стенок ж = О, у = О, г/ = ?> и равна Уф при х = а)
воспользуемся функцией Грина
G(x,y\xo,yo\w)= A1.2.14)
_ 4я ^. г cos {ппуе/Ь) -| f ппУ Л f cos (к„хп) cos \kr (а — х)], x>xv,
6 ?""l *nsinv. J co '(cos(knx)cos[kn(a-x0)], x<x0,

346
Гл. 11. Волновое уравнение
где, как и выше, кп — (со/сJ — (ъп/ЬJ. Поскольку нормальная производная
этой функции равна нулю на всех граничных поверхностях, формула
G.1.15) дает
п=0
На той части границы, где Y =? 0 (т. е. при ж = а), это равенство пред-
представляет собой интегральное уравнение для ф. Заметим, что функция
G (х, у\ а, у0 | а») разрывна на этой части границы.
Всюду, кроме точек разрыва на части границы х = а, мы можем
представить решение ф в виде ряда
«!>(*, У)=
(*)cos
е-**
A1.2.16)
Подставляя этот ряд в уравнение A1.2.15), приходим к уравнениям
для определения функций Fm
где
— матричный элемент Y в базисе собственных функций cos {iznyjU).
Мы до сих пор еще не определили резонансные частоты и коэффи-
коэффициенты затухания системы. В принципе это можно сделать, полагая
х = а в уравнении A1.2.17):
2
m=0
A1.2.18)
Эта система имеет нетривиальные решения Fn (а), если равен нулю опре-
определитель
Y
02
Как Ymn, так и An tg (kna) являются функциями от ш. Значения ш, для кото-
которых этот определитель равен нулю, являются собственными частотами
системы, и соответствующие величины кп и Fn позволяют вычислить
собственные функции t}>- Импеданс z, конечно, может быть и комплексным;
в этом случае матричные элементы Ymn будут иметь как мнимые, так
и действительные части и корни ш будут комплексными. Действительные
части корней — это собственные частоты (умноженные на 2тг; см. стр. 315
и 318), а мнимые части (которые должны быть отрицательными для погло-
поглощающей стенки) являются коэффициентами затухания.

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 347
Процесс решения и связь между различными факторами станут
яснее, если мы подсчитаем приближенное решение для случая, когда
матричные элементы Ymn малы но сравнению с величиной 1/Ь.
Когда все Ymn равны нулю, собственные функции имеют простой вид:
ф?т = cos (тгсж/а) cos (тгху/й) (с, т — целые числа), и собственные значения
равны
о
Естественно предположить, что при малых Ymn в найденные значения <р
и и) нужно внести малые поправки и этим можно воспользоваться для
расчетов. В гл. 9 указываются детали этого процесса.
Можно, например, положить, что в членах ряда A1.2.16) коэффи-
коэффициент Ft значительно больше всех прочих Fm. В уравнениях A1.2.18)
члены YmnFm (а) при т Ф х будут меньше, чем Y^iFz (а), и они могут
быть отброшены как члены второго порядка. Следовательно, приближенно
малые Fn выражаются через Ft таким образом:
Теперь (в определяется из уравнения A1.2.18), соответствующего п — ъ:
Вспоминая определение кп и величину предельного собственного значе-
значе? мы видим, что к^а должно быть равно по + еаъ, где с —другое
целое число и еот мало по сравнению с тт. Собственное значение ш опре-
определяется, конечно, равенством
а величины кт с достаточной точностью могут быть вычислены по формуле
Поэтому kz tg (&,a) =» (тгсеэт/а) -ь (е%/а) и решение уравнения A1.2.19) с точ-
точностью до членов второго порядка относительно малых величин Ymn дает
Y Y
у у
«и
2j fcm tg
m ^= x
Отсюда можно получить собственные значения ш^ с точностью до членов
первого или второго порядка. С точностью до членов первого порядка
по Ymn собственные функции имеют вид
A1.2.20)
где постоянная F^(a) может быть принята равной единице или выбрана
из условия нормировки \р.

348 Гл. 11. Волновое уравнение
Первый член в этом выражении учитывает краевое условие на гра-
границе x — at в некотором роде усредняя его; второй член (ряд) учитывает
влияние на решение зависимости У от расстояния у вдоль рассматривае-
рассматриваемой стенки. Если стенка имеет однородное покрытие, так что z и У
не зависят от у, то все матричные элементы Упх (п Ф х) равны нулю
вследствие ортогональности cos (nxy/b) и cos (ппу/Ь) и в выражении A1.2.20)
остается только первый член.
При низких частотах стенки часто обладают наряду с активным
также и реактивным сопротивлением, зависящим от их упругости, так что
2 (У, ш) = Рс [ Y (У) + v х (У) J = -у^- > ®<У<Ь,
где рс — характеристический импеданс среды (см. стр. 298 тома I), а зна-
значит у и х/ш безразмерны. Для низких частот х значительно больше,
чем уш. Следовательно, матричные элементы выражаются так:
1 nut ~ ~ °«т "Г { ~~^~ Лта>
где
ь
smn=— С ^
Матрица К может быть названа матрицей активной проводимости,
йликондуктанса, a S — матрицей реактивной проводимости, или сусептанса.
В первом приближении собственная функция определяется формулой
A1.2.20), в которую вместо Ymn нужно подставить полученные значения.
Собственные значения ш0^ в первом приближении имеют вид
где го = 1, е,1 = з2 = г3 = ... =2. Каждая собственная частота, таким обра-
образом, несколько уменьшается пропорционально эффективной реактивной про-
проводимости. Коэффициенты затухания х, определяющие быстроту затухания
стоячей волны, пропорциональны постоянным проводимости К, т. е., как
видно из формулы для Ki%, пропорциональны проводимости, усредненной
по стенке х = а с весом cos2 {r:iy[b).
Полярные координаты. Волновое уравнение разделяется в полярных
координатах г, 9 (см. стр. 478 тома I), причем, если положить ф =
= R (г) Ф (<р)е~ш, разделенные уравнения имеют вид
Решение первого уравнения — это синус или косинус угла ту, и если пере-
переменная 9 периодическая с периодом 2тг, то т должно быть целым числом
(мы в дальнейшем рассмотрим случай, когда т может не быть целым).
Решением второго уравнения является цилиндрическая функция порядка т
с аргументом юг/с, которая может быть представлена в виде линейной

11.2. Волновое движение, dee пространственные координаты 349
комбинации функций Jm(mr/c) и 1\'т(шг/с), рассмотренных в §5.3. Многие
из свойств этих функций указаны в таблицах в конце этой главы и гл. 10.
Мы напомним, что функции Jm конечны при г = 0, а функции Nm при г — 0
имеют особенность.
Соотношение E.3.65) выражает одно из самых важных свойств функ-
функции Бесселя —оно дает ее интегральное представление. Нетрудно видо-
видоизменить это представление так, чтобы получить выражение типа A1.2.2)
для решения волнового уравнения в полярных координатах:
2тс
cos (ту) Jm (kr) = \т V e-ttrcos ^^и~> cos (mu) du,
2nir
L A1.2.21)
sin (m<p) / (kr) = -^-^ \ e~ihrCOS (?-") sin (mu) du,
о
где т — целое- число. Эта формула выражает, очевидно, коэффициенты
ряда Фурье. Отсюда получаем связь между решением волнового уравне-
уравнения в виде плоской волны eik-r = eihrcos? и решениями в полярных коор-
координатах:
gikr cos <р __ «ik • г ___ \^ с /m COS (/?ю} #/" (/crV
тп=0
эта формула уже обсуждалась (см. стр. 581 тома I). Мы также получили
полезную формулу [см. E.3.66)]
оо
/0 (kR) = 2 Jm (kr0) Jm (kr) cos [m (<p - tp0)],
m=0
где R2 = r2 + Го — 2гг0 cos (<p — ф0) — расстояние между двумя точками (г, <р)
Для расходящихся волн мы используем функцию Ганкеля первого
рода
Н(т} (kr) = Jm (kr) + il\m (kr) = ^^y- { e^ces«cos (mH) ^M A1.2.22)
(Во многих случаях, когда нет опасности смешения с функцией Ганкеля
второго рода Н^т —Jm — iNm для сходящихся волн, мы будем опускать
верхний индекс и будем просто писать Нт.) Это интегральное предста-
представление отличается от представления для Jm верхним пределом интегри-
интегрирования (и множителем 2/i). Следовательно, многие из формул, относя-
относящихся к функциям /, могут быть легко преобразованы в формулы
для функций Н. Например, функция Грина для двумерной неограничен-
неограниченной области (см. стр. 752 тома I) может быть записана при помощи ряда
вида E.3.66) [см. формулы G.2.51)]
[ У? Г<Г»' (И.2.23)
m=0 I Jm (kro) Hm (^), Г>Г0,
который, конечно, может быть получен также из общей формулы G.2.63)

350 Гл. 11. Волновое уравнение
Волны внутри круговой области. Для решения волнового уравнения
внутри области, ограниченной окружностью г— а, мы пользуемся функ-
функциями Бесселя /„„ конечными при г = 0.
В случае круглой мембраны (ф = 0 при г = а) воспользуемся комби-
комбинациями вида
cos
(«Pmn r/°)> Jm (*Pmn) = 0-
Величины некоторых корней pmn приведены в конце главы. Функции
Jт GГРти/7а) Для различных п взаимно ортогональны. Их нормирующая
постоянная равна
причем /_! (z) = — /j (z) при т = 0. Функции sin (m<p) и cos (m<p) ортогональны
для различных т, так что приведенные выше произведения образуют
полную ортогональную систему собственных функций, по которым при г < а
может быть разложена любая кусочно гладкая функция г и у. Например,
если круглой мембране, находившейся вначале в покое, при t = 0 сооб-
сообщается начальная скорость v0 (г., ф), то последующие смещения точек
мембраны описываются формулой
= 2 [ilrancos(in ()
2тс a
mnr\ rdr A4 2.24)
C0S
sin
/ ItC Л Q
_ / ItC Л Q
Функция Грина для чисто гармонического источника единичной ампли-
амплитуды, расположенного в точке (/•„, ф0), имеет вид
V »mCOS[roD»-4»o)l
2
(
яЗтпгЧ
a )¦
Интересно сравнить это выражение с разложением A1.2.23) функции Грина
для неограниченного пространства. В рассматриваемом случае функции
Ганкеля не применяются, так как граница г— а отражает расходящиеся
и создает стоячие волны. Поскольку отражение при г=а учтено в фор-
формуле A1.2.25), ее предельная форма при очень больших а дает выраже-
выражение, отличное от ряда A1.2.23). Пользуясь формулой A1.2.25), при по-
помощи преобразования Лапласа можно рассчитать неустановившиеся коле-
колебания мембраны.
Если краевое условие при г = а заключается в равенстве нулю нор-
нормальной составляющей градиента, как в случае звуковых волн, то реше-
решения строятся из произведений
Значения amn также приведены в конце главы. Можно вывести формулы,
аналогичные A1.2.24) и A1.2.25) с amn вместо pmn и с [1 — (т/ъатпJ] х
X [/m(iamn)]2 вместо [Jm-i (t?mn)]2- Например, импульсную функцию потен-

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 351
циала скоростей Ф, соответствующую единичному импульсу давления,
приложенному в момент t = 0 в точке (г0, <р0), можно получить при помощи
преобразования Лапласа. Давление, вызванное таким импульсом, описы-
описывается функцией, для которой функция G, определяемая формулой A1.2.25),
является преобразованием Лапласа (с а вместо р и т. д.). Поскольку пре-
преобразованием Лапласа функции A/<итгг) sin (wmnt) является (р2 4 («У1, где
р — ш, это давление легко подсчитать. Потенциал скоростей равен инте-
интегралу давления от г = 0 до t, умноженному на — 1/р. Поэтому оконча-
окончательно получаем
_ — Y »
Ш2 Z1
COS[m(<{> — сроI j Г патп г0
-(т/латп)Цит(патп)\^ т\ а
где wmn = (¦кс/а) атп. Скорость равна градиенту этой функции.
Случай более общего краевого условия Y(<p, ш) di = d<b/dr при г = а
может быть изучен способом, продемонстрированным на задаче о прямо-
прямоугольной области.
Излучение кругового цилиндра. Имея дело с волнами вне кругового
цилиндра, мы можем пользоваться функциями Бесселя и Неймана в ком-
комбинациях, удовлетворяющих краевым условиям на бесконечности. Напри-
Например, если поверхность кругового цилиндра является «причиной» волно-
волнового движения, то волны должны быть расходящимися и мы должны
пользоваться функциями Ганкеля первого рода Нт (kr) = Jт (кг) + Шт (кг).
Верхний индекс у функции Нт опущен, поскольку функцию Ганкеля
второго рода Н\п (кг) мы не будем употреблять (практически мы никогда
не имеем сходящихся волн). Применяя обозначения, поясняемые в конце
главы, имеем
Нт (z) = - iCm (z) e«m(«), ± Нт (Z) = iC'm (z) e«m(«) ,
и мы можем выразить краевые условия при г = а через функции С и о.
Предположим, например, что длинный круговой цилиндр колеблется
так, что радиальная скорость точек его поверхности равна V (<р) е~1 ю',
где <р—полярный угол [т. е. поверхность в момент t задается уравнением
г = a-f- (iV/u>) e~lu>', причем V/ш мало по сравнению с а]. Очевидно, что
потенциал скоростей точек среды вне цилиндра имеет вид
со
Ф = 2 АтНш (кг) cos (mcp) e-i"t, ю = кс,
если функция V (ф) четна по <р, так что V Bтг — у) = V (<р) (в противном
случае мы добавили бы еще ряд по синусам). Радиальная скорость на по-
поверхности цилиндра равна радиальной составляющей градиента Ф, и,
таким образом, мы получаем выражение V в виде ряда Фурье
т=0
(Конечно, и здесь следовало бы прибавить ряд по синусам, если бы V

352 Гл. 11. Волновое уравнение
не была четной.) Следовательно, коэффициентами ряда для ty являются
На большом расстоянии от цилиндра можно применить асимптотиче-
асимптотические формулы для функций Ганкеля и придать решению следующую про-
простую форму:
cos (mtp). A1.2.26)
Для чисто гармонической звуковой волны интенсивность звука (см. стр. 332)
равна произведению давления на скорость (следует брать и для р и для v
действительные части соответствующих комплексных выражений). Средняя
интенсивность за один период равна половине действительной части про-
произведения комплексного р на величину, комплексно сопряженную с v.
Для больших значений кг поток энергии радиален и определяется фор-
формулами
^ (И.2.27)
F (?) = i 2 5^ C0S [ ''г* ~ *n + Y * (m ~ П) ] C0S (m<?) C°S ("?)'
m, n
где у функций С'т и &m подразумевается аргумент /са. Безразмерная функ-
функция F (tp) называется плотностью углового распределения, ибо она про-
пропорциональна энергии, излучаемой цилиндром в направлении <р. Мы видим,
что, за исключением случая, когда только один из коэффициентов Vm
отличен от нуля, это распределение весьма сложно. Действительно, легко
видеть, что интенсивность имеет одинаковую зависимость от угла для всех
значений г, только если распределение радиальной скорости по цилиндру
пропорционально линейной комбинации функций cos (mtp) и sin (mtp) с оди-
одинаковым целым т.
Общая энергия, излучаемая за секунду единицей длины колеблюще-
колеблющегося цилиндра, равна интегралу по (f от Sr;
т. е. равна величине рс%, умноженной на безразмерную функцию от ка,
вид которой определяется функцией V (у).
Обращаясь к таблице в конце настоящей главы, мы видим, что если
величина ка = та/с = 2тса/Х очень мала (т. е. если длина излучаемой волны X
значительно больше периметра излучающего цилиндра), то С'в и Ц зна-
значительно больше, чем Cm и 8т при т > 0. Следовательно, в области длин-
длинных волн зависимость от угла амплитуды волны, и интенсивности и полная
излучаемая мощность даются формулами A1.2.26) и A1.2.27), где
за исключением только случая F0 = 0. Таким образом, в случае низких
частот излучение распространяется равномерно по всем направлениям
с амплитудой, пропорциональной средней радиальной скорости излуча-
излучающей поверхности.

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 353
Для случая высоких частот величина ка = 2тга/Х велика и длина
волны X много меньше, чем периметр цилиндра 2тса. Теперь в сумме
A1.2.26) для / можно ограничиться числом членов, несколько меньшим
чем ка. Для указанных малых значений т мы имеем
(mi ) и Cm ^ V 2/пка.
Для значений т, близких к ка, эти соотношения теряют силу, а для зна-
значений т, значительно больших чем ка, Ь'т очень мало, a С'т весьма велико.
Следовательно, с довольно хорошим приближением ряд для потенциала
скоростей имеет вид
м
- у
~ eih('-a)-i«" ^ Vm cos (m<f), M с* ка
m=0
Радиальная скорость среды на достаточно большом расстоянии от поверх-
поверхности цилиндра равна
М 1т.
m=0 О
Если V (<р) является произвольной функцией от <р (не обязательно чет-
четной), то приближенная асимптотическая формула для радиальной скоро-
скорости в случае коротких волн имеет вид
2т. М
v (г, <р) ~ у± (ЛЦ.т-а)-ш ^ у (а) { 2 "И"cos tm (a - ?)]} da-
0 rn=O
Как было показано на стр. 694 тома I, зто выражение равно
8ш[Тм+-|Л(а-<р)]
у (я) ^ ^ —i da, M си ка.
[ J
г-
Дробь, стоящая под интегралом, стремится к дельта-функции о (а — 9)
при М, стремящемся к бесконечности (т. е. при ка, неограниченно возра-
возрастающем). Следовательно, когда длина волны X = 2тсс/ш = 2-я/к исчезающс
мала по сравнению с 2тга, скорость среды на большом расстоянии от
цилиндра определяется формулой
v(r, ф) с;
где величина в квадратных скобках является радиальной скоростью
в точке цилиндрической поверхности, находящейся на одном радиусе
с точкой наблюдения.
Следовательно, для очень коротких волн амплитуда скорости среды
в точке (г, ф) равна амплитуде скорости точки цилиндрической поверх-
поверхности (a, tf), уменьшенной в У а/г раз. Если колеблющиеся точки поверх-
поверхности цилиндра сосредоточены вдоль одной образующей [т. с. если
У = 6(<р — <р0)], то излучение распространяется от этой линии радиально,
и ни в каком другом направлении излучения не будет. Подобную картину
можно было бы ожидать скорее при корпускулярном, чем при волновом
характере излучения. Если ка велико, но не бесконечно, то дробь, стоя-
стоящая под интегралом в вышеприведенной формуле, имеет пик при а = ф,
но этот пик уже не бесконечно узкий; его ширина приблизительно равна
iz/ka = X/2a. Поэтому фронт волны на некотором расстоянии от поверхности

354 Гл. 11. Волновое уравнение
не будет в точности воспроизводить все тончайшие детали распределе-
распределения скоростей на поверхности цилиндра; здесь будут «смазываться» детали
с угловыми размерами, меньшими чем Х/2а радиан. Другими словами,
становится заметной диффракция.
Таким образом, меняя соотношение между длиной волны и диаметром
цилиндра, мы переходим от излучения, равномерного во всех направлениях
(очень длинные волны), к излучению, которое воспроизводит распределение
скоростей точек излучающей поверхности (весьма короткие волны, геоме-
геометрическая оптика). В промежуточных случаях, когда X имеет порядок 2izar
излучаемая волна сложна по форме и вычислять ее нужно при помощи
ряда A1.2.27).
Рассеяние плоской волны на цилиндре. Предположим, что волна воз-
возбуждается не на нашей цилиндрической поверхности, а имеет какое-либо
другое происхождение, цилиндр же влияет на структуру поля только
благодаря необходимости соблюдения краевых условий на его поверхно-
поверхности. Простейшим примером этого типа является случай, когда плоская
волна, порожденная бесконечно удаленными источниками, рассеивается
на цилиндре. Типичная плоская волна, распространяющаяся перпенди-
перпендикулярно оси цилиндра, имеет вид
со
ф = Аёкх~ш = Ае~ш Yi emimjm(kr)cos{m<?).
•го=0
Эта волна сама по себе обычно не удовлетворяет краевым условиям
на поверхности цилиндра г = а (если бы она удовлетворяла им, цилиндр
был бы «прозрачным»). Поэтому возникает дополнительная волна, обеспе-
обеспечивающая выполнение краевых условий при г = а. Эта волна, обусловлен-
обусловленная присутствием цилиндра, называется рассеянной волной. Она излу-
излучается от цилиндра и поэтому должна быть составлена из функций Ганкеля
первого рода, представляющих расходящиеся волны.
К каждому члену разложения плоской волны мы должны, следова-
следовательно, присоединить другой член вида ВтНт (кг) cos (ту) так, чтобы сумма
AemfnJm (кг) -[- ВтНт (кг) удовлетворяла краевым условиям при г = а. Если
речь идет о плоской электромагнитной волне с электрическим вектором,
параллельным оси цилиндра, и цилиндр представляет собой идеальный
проводник, то краевое условие состоит в том, что волновая функция должна
быть равна нулю при г—а (см. стр. 212 тома I). Если же параллелен
оси магнитный вектор или если речь идет об акустической волне и поверх-
поверхность цилиндра жесткая, то требуется, чтобы нормальная составляющая
градиента была равна нулю при г==а. Промежуточные случаи, когда значе-
значения функции пропорциональны составляющей градиента, имеют место,
если поверхность не является идеальным проводником или, соответственно,
не абсолютно жесткая.
Чтобы проиллюстрировать ход расчетов, мы рассмотрим случай, когда
волновая функция равна нулю при г=а. Выражая функции Бесселя
и Ганкеля через их амплитуды и фазовые углы по формулам, приведенным
в таблицах в конце этой главы, получаем
О = АетГСт (ка) sin [om (ka)] - iBmCm (ka) е««**»>,
или
причем здесь и в дальнейшем фазовый угол от является функцией аргу-
аргумента ка. Поэтому совокупное поле, удовлетворяющее обоим требованиям
(на далеких расстояниях от цилиндра оно состоит из плоской волны, рас-
распространяющейся в положительном направлении оси х, и расходящейся

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 355
радиальной волны; на поверхности цилиндра оно равно нулю), имеет вид
W = Aeikx~iu>t + ф8 (r, ер) e-iui(,
где
Ф.= ~iA 2 eme^ "**"""¦ sin атЯт(Лг) cos (m?) A1.2.28)
— рассеянная волна. Рассеянная волна интерферирует с плоской волной,
местами усиливая и местами (как, например, на поверхности цилиндра)
ослабляя ее.
Чтобы выделить рассеянную волну, мы должны представить себе
«плоскую волну» ограниченной с боков (например, прошедшей через щель)
так, что она распространяется только в области между у = — b и у = Ь,
покрывая полностью цилиндр, но не занимая все пространство. Конечно,
как нам известно из рассуждений стр. 220 тома I, для того чтобы волна,
пройдя через щель, осталась плоской с существенно параллельными вол-
волновыми фронтами, b должно быть значительно больше длины волны 2тг//с.
Фактически плоская волна не может быть заключена точно между двумя
параллельными линиями у = ± Ъ; она будет слегка расходиться, но угло-
угловая ширина пучка, приблизительно равная Х/2й = ъ/kb, будет мала.
Измерение рассеянной волны tys следует производить в области, лежа-
лежащей за плоскостями у—±Ь, и, таким образом, мы не можем измерить ф3
для ер = 0 или ер = ¦к, т. е. точно в направлении распространения плоской
волны или в противоположном к нему. На достаточно большом расстоя-
расстоянии R от цилиндра угол ер ~ b[R, начиная с которого можно отделить ф8
от плоской волны, сколь угодно мал, но никогда не равен нулю. Следо-
Следовательно, мы никогда не можем полностью сравнить вычисленное фв
с измеренным. Если функция ф5 меняется при изменении ер вблизи ер = 0
достаточно медленно, то с разумной достоверностью ее можно экстраполи-
экстраполировать для значения ер = 0, но если ф8 быстро меняется вблизи ер = 0,
то мы не можем быть уверены, соответствуют ли экстраполированные дан-
данные измерения вычисленным величинам.
Для больших значений г, при которых следует измерять рассеянную
волну, выражение A1.2.28) имеет следующую асимптотическую форму:
со
егкг1> *me-«m(*->sm[5m(fta)]cos(m?), (".2.29)
где ряд выражает зависимость рассеянной волны от угла. Как для электро-
электромагнитной, так и для акустической волны интенсивность пропорциональна
квадрату модуля волновой функции. Интенсивность плоской волны равна
К | А |2 (К — коэффициент пропорциональности) и направлена в положи-
положительном направлении оси х. Подобно этому интенсивность рассеянной
волны для больших г с точностью до множителя К равна квадрату модуля
функции il)s, определенной формулой A1.2.29), и направлена в этом случае
от центра вдоль радиуса. Следовательно, отношение интенсивности рас-
рассеянной волны в точке (г, ер) (г очень велико) к интенсивности падающей
плоской волны равно квадрату модуля функции 4S, разделенному на [ А |а:
). A1.2.30)
т, п
Истинная интенсивность поля в точке (г, ер) (кг > 1) равна функции
б1 (ер), умноженной на интенсивность падающей плоской волны, и направ-
направлена от центра.

356 Гл. 11. Волновое уравнение
Общая энергия, рассеянная за секунду, при единичной интенсивности
падающей волны равна, следовательно, интегралу от S(y)r по <р:
2эт оо
Q = \S (<р) г d<? = ^ 2 sm sin2 Ism (Ao)]. A1.2.31)
О m=0
Эта величина имеет размерность длины (к имеет размерность, обратную
длине), так как она представляет собой отношение потока энергии, излу-
излучаемой вовне единицей длины цилиндра, к потоку энергии падающей
волны через единицу площади. Чтобы получить истинную энергию, рас-
рассеянную за секунду единицей длины цилиндра, мы умножаем Q на интен-
интенсивность (поток энергии через единицу площади) падающей волны. Этот
результат выглядит так, как если бы энергия, падающая на полосу
ширины Q, параллельную оси цилиндра, передавалась от падающей волны
к рассеянной. Поэтому Q часто называют эффективной шириной цилиндра
для рассеяния плоской волны с длиной волны 2%/k.
Рассеянная и отраженная волны. Чтобы понять некоторые аспекты
явления рассеяния, полезно еще несколько перегруппировать слагаемые
в полученных выражениях. Мы только что показали, что наше разделение
решения на чисто плоскую и рассеянную волны может быть сопоставлено
с результатами измерений только для тех углов, которые настолько отли-
отличаются от 0 и it, что для них имеет место только рассеянная волна. В направ-
направлениях, достаточно близких к направлениям 0 и тс, мы можем измерить
только результат наложения плоской и рассеянной волн. В этих областях
указанное наложение вызывает в некоторых местах ослабление, в других
же — усиление поля.
Асимптотическое разложение самой плоской волны дает
„ a j/^ {eifer 2 s<"cos м+ie~ihr 2г-»cos
m=0 m=0
Но мы видели несколькими страницами выше, что
(пи,) =
тп=0
а эта величина при больших М приближается к умноженной на 2тс дельта-
функции 6 (ф). Следовательно, на очень больших расстояниях от начала
¦сходящаяся волна (с e~ihr) целиком приходит слева (<p = it), а расходя-
расходящаяся волна (с eihr) целиком уходит вправо (<р = 0). Такой результат для
плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, можно было заранее
предвидеть.
Посмотрим теперь, как присутствие рассеянной волны влияет на асимп-
асимптотическое поведение суммарного поля плоской и рассеянной волн. Имеем
со
, e-i'ot^A I/ _ ., i ie-lhr~lwt >. a cos [m (ш — it)] +
_ cos(m<p)}, r-^ со. A1.2.32)
m=0

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 357
Мы видим, что сходящаяся волна остается той же самой, но расходя-
расходящаяся волна благодаря появлению множителя e~2lSm в каждом члене из-
изменяется. Поэтому, вообще говоря, разрушается структура плоской
волны, и интенсивность поля в направлении оси х уменьшается, а интен-
интенсивность в некоторых других направлениях возрастает. Интегралы от
квадратов абсолютных величин сумм второго и первого рядов равны
(покуда агп действительны), так что, за исключением случаев, когда
краевые условия обусловливают потери энергии (некоторые 6|П комплекс-
комплексные), энергия расходящейся волны равна энергии сходящейся.
Когда цилиндр становится очень большим, он практически оказы-
оказывается плоским отражателем, и волна отражается обратно влево. В этом
можно убедиться, подставляя во второй ряд A1.2.32) асимптотическое
значение 5m(z)~z— A/2) тс (гп—1/2) для бесконечно больших значений а
(а, однако, не так велико, как Н). Мы получаем тогда
'W\
Ir.lkr jV*l^ [ sin[(cp — 7t)/2]
Угловой множитель показывает, что расходящаяся волна уходит цели-
целиком влево (tp = z).
Предельные случаи коротких и длинных волн. Когда ка велико, по
не бесконечно, не вся падающая волна отражается в обратном направле-
направлении: часть се идет на образование плоской волны, распространяющейся
с ослабленной интенсивностью вправо в области тени позади цилиндра,
а часть ее отражается в других направлениях. Другими словами, в слу-
случае волн, длина волны которых мала по сравнению с 2тш, рассеянная волна >!»8
имеет две части: Одну, идущую вправо, которая, интерферируя с неиз-
неизменной плоской волной егкх, образует тень, и вторую, которая, излучаясь
в других направлениях, образует отраженную волну.
Это разделение рассеянной волны на две части— отраженную солну
и тенеобразующую волну — может быть получено подстановкой асимптоти-
асимптотического выражения для Ьп(ка) в формулы A1.2.31) и A1.2.30). Из фор-
формулы A1.2.31) для эффективной ширины рассеяния Q замечаем, что Ът
приближенно равно ка—A/2) тг (т—1/2) для т, меньших ка, и нулю
для т, больших ка. Следовательно,
ha
0~ * у е «in* \ka+ ~ъ-~гпъ] ~4я, A1.2.33)
m=0
что равно удвоенной ширине Bа) цилиндра. Этот результат мог бы пока-
показаться весьма странным, если бы не наши предыдущие рассмотрения.
Чтобы иолучить рассеянную волну фв» мы отделили абсолютно нетрону-
нетронутую плоскую волну. Такое разделение естественно для больших длин
волн, так как в этом случае плоская волна мало меняется; однако в слу-
случае коротких волн плоская волна не может считаться неизменной: часть
ее позади цилиндра отрезана полностью (тень). Очевидно, часть рассеян-
рассеянной волны используется для того, чтобы, интерферируя с плоской волной,
образовать тень, а остаток отражается в других направлениях. Так как
при действительных значениях от нет потерь энергии, то половина рас-
рассеянной волны должна формировать теиь, уничтожая плоскую волну
и полосе ширины 2а позади цилиндра, а другая половина представляет
собой отраженную волну с эффективной шириной, также равной 2а. Та-
Таким образом, то, что было потеряно плоской волной (тень), прекращается
в отраженную волну.

358 Гл. 11. Волновое уравнение
Чтобы рассчитать детали этого двойственного поведения рассеянной
волны, мы должны подставить асимптотические значения величин Ьт(ка)
в формулу A1.2.30). Оказывается, что при этом требуется больший поря-
порядок точности, чем для подсчета предельной величины эффективной ширины
рассеяния Q. Конечный результат
^() A1.2.34)
для ка > 1 будет получен ниже в этой же главе другим методом. Первый
член представляет интенсивность отраженной волны и совпадает с интен-
интенсивностью, вычисленной по правилам геометрической оптики при упругом
отражении «элементарных волн» от каждого элемента того полуцилиндра,
который «освещен» падающей волной. Второй член имеет очень высокий
пик в направлении распространения плоской волны (<j> = 0) и очень малую
интенсивность в остальных направлениях. Этот член, конечно, соответствует
тенеобразующей части рассеянной волны. По степени приближения и исходным
геометрическим предположениям (г > а > X) рассмотренная ситуация соот-
соответствует так называемой фраунгоферовой диффракции в оптике. Диффрак-
цию Френеля вблизи от цилиндра нужно изучать, используя весь ряд
A1.2.28), без перехода к асимптотическим выражениям для функций
Jm(kr) или Нт{кг).
Вычисления значительно упрощаются в случае предельно длинных
волн /са < 1. Тогда, в соответствии с формулами, приведенными в конце
настоящей главы, 80 т ¦к/21пA/ка) и Зт при т > 0 стремится к нулю как
(каJт. Следовательно, в рядах A1.2.30) и A1.2.31) должны быть оста-
оставлены только первые члены, а потому
A1.2.35)
для случая, когда ф равно нулю на поверхности цилиндра. Здесь рас-
рассеянная волна распространяется равномерно по всем направлениям, нет
резкого формирующего тень пика вблизи <р = 0 и всю рассеянную мощность
легко сравнить с результатами измерения. Мы видим, что эффективная
ширина рассеяния Q велика для больших длин волн. Это происходит
вследствие того, что условие ф = 0 при г = а влияет на поле, как бы
мало ни было а по сравнению с X = 2-к/к, и диаметр области, где сказы-
сказывается это воздействие, имеет порядок длины волны.
Если бы мы исходили из краевого условия, состоящего в равенстве
нулю нормальной составляющей градиента ф при г = а, то при больших
длинах волн влияние цилиндра было бы менее сильным. Решение одной
из задач в конце этой главы показывает, что для случая, когда соста-
составляющая градиента равна нулю при г = а, интенсивность рассеянной волны
и эффективная ширина рассеяния Q даются формулами, подобными A1.2.30)
и A1.2.31), с заменой величины 8т на 8^,. Итак,
S (9) ~ ^(ka)s A-2 cos <p)\
(И.2.36)
Q~^ к*а(каK, ка < 1,
в случае д§/дг = О при г = а. Здесь интенсивность рассеянной волны не
одинакова по различным направлениям и в целом значительно меньше, чем
в случае A1.2.35). С другой стороны, рассеяние очень коротких волн для
обоих случаев в основном одинаково и приближенно описывается формулами
A1.2.33) и A1.2.34). Если, начав с очень длинных волн, постепенно уве-

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 359
личивать частоту (т. е. уменьшать длину волны), то зависимость рассеян-
рассеянной интенсивности S от угла ср постепенно все более усложняется. Посте-
Постепенно развивается пик, направленный вперед, но вначале он настолько
широк, что результаты измерений, произведенных вдали от основного
луча, могут быть экстраполированы для ср = О с точностью, достаточной
для сравнения значений S и Q с экспериментом. Однако при дальнейшем
уменьшении длины волны передний пик все более и более стягивается
к направлению ср = О, где разделение падающей и рассеянной волн нельзя
полностью произвести. Как следствие получаем, что измеренные значе-
значения Q имеют тенденцию быть меньше значений, предсказываемых фор-
формулой A1.2.31), а в пределе измеренные значения будут скорее соответ-
соответствовать полной отраженной интенсивности, равной Q/2, а не полной
рассеянной интенсивности, поскольку передний пик в S не будет измерен
вовсе. Детали этого явления зависят от метода измерения.
Рассеяние плоской волны на крае экрана. Другая задача, при ре-
решении которой используются полярные координаты, относится к рассея-
рассеянию на полуплоскости х = 0, у <С 0. Функциями угла, удовлетворяющими
условиям Дирихле или Неймана, являются синус или косинус от ту/2,
где т—целое число. Таким образом, мы приходим к разложению реше-
решений волнового уравнения но тригонометрическим функциям полуцелых
кратных полярного угла и по функциям Бесселя с полуцелым индексом.
Например, функция, пропорциональная функции Грина,
(b.)t r>foi (HAST)
аналогична функции A0.1.40) для уравнения Лапласа. В обоих случаях
¦<р изменяется от 0 до 4тс (или, если угодно, от — тс/2 до 7тс/2), и мы дол-
должны исследовать поведение функции во всей этой области.
Значительно больший интерес представляет разложение «плоской
волны», получающееся при сро = 0, г0—» оэ:
т=0
A1.2.38)
Эта функция имеет по ср период 4тс, а не 2тс. Поэтому и (г, <р -J-2iu) не
•обязательно равно и (г, ср). Об использовании этого свойства мы уже гово-
говорили в связи с формулой A0.1.40). Для экрана, расположенного вдоль
отрицательной оси у, область — тс/2 < ср < Зтс/2 является «действительным
пространством», а область Зтс/2 < ср < 7тс/2 — «фиктивным пространством»,
необходимым для того, чтобы удовлетворить краевым условиям при
<р = — тс/2 и ср = З-гс/2.
Итак, для того чтобы найти решения, удовлетворяющие краевым
условиям, при помощи отраженных волн или фиктивных источников, нам
нужно «фиктивное пространство» вне области измерения, в которое можно
было бы поместить вспомогательные волны или источники. Если границей
служит вся ось у и рассматривается область х > 0, то область отрица-
отрицательных х представляет собой «фиктивное пространство», и мы удовлетво-
удовлетворяем краевым условиям вдоль оси у, располагая в этом фиктивном про-
пространстве вспомогательные источники так, чтобы обратить в нуль решение
(или градиент решения), порождаемое действительными источниками, рас-
расположенными в «действительном пространстве». Если границей служит
только отрицательная полуось у, то вся область — ти/2 < ср < Зга/2 оказы-
оказывается действительным пространством, и, чтобы разместить вспомогательные

360 Гл. 11. Волновое уравнение
источники, следует ввести в качестве «фиктивного пространства» еще
область Зтс/2 < <f < 7тс/2. Для начала мы, конечно, будем рассматривать
плоские волны (источники в бесконечности), но принцип всегда остается
тот же. «Действительный» источник находится в бесконечности при <р = 0г
фиктивный источник при ср = Зтс.
Нетрудно видеть, что и(г, ^) — это нечто отличное от плоской волны.
Прежде всего, и (г, (p-j-2ir) не равно и(г, ф), но сумма их дает в точности
плоскую волну:
m=0
со
__ X' e / i)n cos (пе>) J (kr) = e~ilir C0S:f A1 2 39Y
71=0
в соответствии с формулой на стр. 349. Теперь находим асимптотическое
поведение и (г, ер) при г—> оо:
где
тп=0
и асимптотическое поведение и (г, tp) — e-ihrco& '¦?= — и (г, tp-^-2ir) таково:
Ряды по косинусам для F (a, tp) B этой формуле не сходятся ни и одной точке;,
они получаются из асимптотических разложений функций Бесселя и
с ними надо обращаться так же осторожно, как с этими последними раз-
разложениями. В частности, нужно ожидать, что при изменении <р от 0 до
4тс обнаружится нечто вроде явления Стокса (см. стр. 571 тома I). Мы, правда,
рассматривали уже несколькими страницами ранее подобные ряды и
нашли, что они связаны с дельта-функциями.
Чтобы просуммировать эти ряды, необходимо прежде всего рассмо-
рассмотреть сумму
где мнимая часть а должна быть положительной, чтобы обеспечить схо-
сходимость. Комбинируя этот ряд с рядом для отрицательных tp, получаем
m=0
|^), Ima>0. A1.2.40)
Полагая я = id и устремляя б к нулю, убеждаемся, что F @, tp) пропор-
пропорциональна периодической дельта-функции, равной нулю всюду, за исклю-
исключением точек <р = 0, 4тс, .. . . Подобно этому, полагая a=ir + io, убежда-
убеждаемся, что F (¦к, <р) равна нулю всюду, за исключением точек <р = — 2ir, 2тс,.
в которых F(w, ф) имеет те же особенности, что и дельта-функция>

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты
36*
другой стороны,
" cos(cp/2)
Возвращаясь к асимптотическим рядам для и, видим, что дельта-
функции представляют невозмущенную плоскую волну, так как и (г, ср)
имеет член, содержащий произведение e~lhr на дельта-функцию с пиком
при ф = 0; это соответствует плоской волне e~lhx, приходящей справа
вдоль оси х. Мы убеждаемся в этом, замечая, что и (г, ср) может быть
представлена в виде суммы e~lhx и ряда, не содержащего дельта-функции
с особенностью при ср = 0 (но имеющего дельта-функцию с особенностью
при ^ — 2тс и т. д.). Выполнив выкладки во всех деталях, в конце кон-
концов найдем, что функция и имеет следующее асимптотическое поведение
для различных интервалов ср:
и(г, <р)~
g—ikr cos <p
--./HI
I/ 8пАг
pihr
8т,кг cos (sp/2)
— it < tp < ти;
Pihr
Лт
I/ 8пкг cos (<p/2)
(Ц.2.41)
— ikr cos
]/&!
Ahr
8izkr cos (tp/2)
и т. д. для г~>со.
Возвращаясь к точным рядам для м(г, ^), мы замечаем, что и само'
по себе не удовлетворяет краевым условиям при ф= —тс/2 и <р = Зтс/2.
Однако, чтобы удовлетворить условиям Неймана или Дирихле где-то
между 0 и Зтс, можно прибавить или вычесть и (г, 3-к— ф). Так, напри-
например, в случае условий Неймана в качестве решения берем сумму, которая
имеет равную нулю нормальную составляющую градиента по обеим сто-
сторонам преграды, т. е. при <р= —тс/2 и ф = Зтс/2. Асимптотическое поведе-
дение этой функции в различных частях «действительного пространства»
дается выражением
<b = u(r, cp)-f и (г, Зтс ¦
Здесь
e-ihr cos <p _[_ eihr cos ? + / (г, ср), — ¦ — тс < ср < 0;
1{г. ?),
0<<?<тс;
< <
- |/ 8яАг el r\ gin(tp/2) cos (a/2)
Поведение в «фиктивном пространстве», т. е. при Зтс/2 < <р < 7^/2, хотя
оно может быть легко найдено, не представляет для нас интереса.
Функция ф обладает всеми свойствами, которые можно было предви-
предвидеть у решения рассматриваемой физической задачи: плоская волна e~llix
приходит справа и встречает экран; в области — тс/2 < <р < 0 падающая
волна отражается от плоскости экрана (eiftrcos г); в области 0 < ср < г плоская
волна продвигается беспрепятственно влево; в области «тени» тс < ср < Зтс/2-

362 Гл. 11. Волновое уравнение
нет вовсе плоской волны. В каждой из этих областей, однако, имеется
рассеянная волна, излучающаяся от края экрана. Асимптотически ее ин-
интенсивность равна произведению выражения
sin(cp/2) г
на интенсивность падающей волны. Это выражение применимо, конечно,
только на очень больших расстояниях от края. Оно показывает, что край
экрана будет казаться светящимся независимо от того, под каким углом
9 он будет рассматриваться (за исключением ф = тс/2).
Диффракция Френеля на крае экрана. Лучшее приближение для функ-
функции и можно получить, исходя из точных рядов A1.2.38). Дифференцируя
по <р, имеем
°° 1
Используя формулы
J l(z) = Y2/-kzcosz, /4 (z) = Y2/-KZ sin z,
~ 2 2
получаем отсюда дифференциальное уравнение
ди ., . 1 . f~2~ ihr . С 1 л
j. ikr sin ф и = —-тгкг у -^г- е% т sin ( т-о ) ,
dtp T 2 f Ttikr \ 2 т J
решением которого является
а—ikr cos 9 г-
и (г, 9) = е v^ Ф [/2*г cos (!«?)] , A1.2.42)
где Ф (z) = \ eiB df — интеграл Френеля (точнее, интегралами Френеля назы-
—оо
ваются действительная и мнимая части Ф). Нижний предел интеграла
выбран так, чтобы в области тени, где cos(<p/2) отрицателен, и стремилось
к нулю при г, стремящемся к бесконечности. Решение, удовлетворяющее
условиям Неймана на границе ^ = — is/2, Зтс/2, имеет, следовательно, вид
ф = и (г, ф) + и (г, Зтс — <р) =
= -у== i e~ihrcos ? Ф Г УМ? cos Гу tp^ 1 + ei/!rcos * Ф Г — j/2Ar sin Г -i <р
Функция Ф (z) равна нулю при z бесконечно большом и отрицательном;
когда z изменяется от — оо до нуля, зта функция колеблется вокруг нуля,
описывая в комплексной плоскости постепенно расширяющуюся спираль,
и при z = 0 переходит на спираль, закручивающуюся вокруг1 точки ]/м"
при z, стремящемся к со. Зная поведение функции Ф(г), определяем область
тени и область отраженной волны для любого значения г.
Для 0 < ф < it и большого г только первый член велик и ф ^ е~гкг cos ?.
Для — it/2 < <р < 0 и больших г оба члена велики, и мы имеем как падаю-
падающую, так и отраженную волны. При изменении ^ от it—8 до т:+& пер-
первый член убывает от величины, приблизительно равной единице, до вели-
величины, близкой к нулю, причем тем быстрее, чем больше кг. Поскольку
«торой член здесь незначителен, линия <р = ^ представляет собой границу

11.2 Волновое движение, две пространственные координаты 363
области тени, ниже которой интенсивность мала, а выше которой она
велика. Вблизи этой линии наблюдаются диффракционные явления.
Формула A1.2.42) иллюстрирует как возможности, так и трудности
метода интегральных представлений. Казалось бы, эта замкнутая форма проще
всего позволяет получить точное решение волнового уравнения для заданных
краевых условий, но эта простота обманчива. Предельное поведение реше-
решения, конечно, легче получить из такой замкнутой формы, нежели из выра-
выражения в виде ряда A1.2.38). Однако трудно указать, каким образом можно
непосредственно найти интегральное представление искомого решения (или,
вообще, любого решения) волнового уравнения. По-видимому, эта форма
решения была первоначально найдена по аналогии с интегралами Фре-
Френеля, которые возникают при изучении интерференции, к чему мы еще
вернемся далее в связи с рассмотрением в параболических координатах.
Если интегральное представление найдено, то обычно нетрудно показать,
что оно действительно является нужным решением волнового уравнения
или доказать его эквивалентность выражению в виде ряда, как зто было
сделано в разобранном случае. Мы осветим этот вопрос более подробно,
когда приступим к систематическому изучению метода интегральных урав-
уравнений (функций Грина) для решения задач диффракции.
Рассеяние на цилиндре со щелью. Приближенные решения для воль,
рассеянных на цилиндрической поверхности с щелью в ней, могут быть
получены методами, использованными при выводе формул A0.1.22) (см.
также стр. 195). Предположим, что в цилиндре радиуса а имеется щель
между <р = — Д/2 и ф = Д/2 и пусть на поверхности цилиндра ф = 0. Реше-
Решение вне цилиндра строим в виде комбинации решения для полного
цилиндра и ряда, нужного для того чтобы удовлетворить условиям на щели;
решение же внутри цилиндра — в виде аналогичного ряда, но только из
стоячих волн (функции Бесселя) вместо расходящихся (функции Ганкеля):
( оо
2 7(г4 [Ат cos (m<?) +-^m sin(ira<p)] e~lu>(, г < а;
m=0
оо
/1 ^m^ I rn V / — ^
m=0
m=0
A1.2.43)
Первый ряд для г > а является суммой плоской и рассеянной волн
{см. A1.2.28)], которая равна нулю при г = а. Следовательно, выражения
для г<а и г>а равны при г = а. Так как при г=а решение ф равно
нулю для Д/2 < ср < 2тс — Д/2 и равно ф (а, ф) для — Д/2 < <р < Д/2, то коэф-
коэффициенты Ат, Вт определяются выражениями
Д/2 Д/2
Е С \ (*
Лт = у1 V ф (a, w)cos(mw)dw, Вт — — \ ф(а, w) sin (mw) dw.
-Д/2 -Д/2
В точной постановке эта задача приводится к решению бесконечной после-
последовательности уравнений с неизвестными Ат,Вт, полученными из усло-
условий, что ф и ду/дг непрерывны на щели. Однако такой путь получения
точного решения слишком сложен; рассмотрим, поэтому, соответствующий
приближенный метод.

364 Гл. 11. Волновое уравнение
На стр. 195 мы решали подобную задачу для уравнения Лапласа.
В этом случае мы подставляли вместо ф (а, ср) точное решение, получен-
полученное для случая щели в плоскости; это приближение оказывалось хорошим
для случая щели в цилиндре, так как ширина щели была мала по срав-
сравнению с окружностью цилиндра. Дело в том, что при статических усло-
условиях поле слабо проникает сквозь щель и не может распространиться очень
далеко «по другую сторону» щели (где г < а для цилиндра и у < 0 для
плоскости).
Применительно к волновому уравнению этот метод нуждается в неко-
некоторых изменениях. Новое осложнение состоит в возможности резонанса.
Статическое попе всегда слабо проникает в закрытое пространство, быстро-
затухая по мере удаления от щели. Однако в случае колебаний в закры-
закрытом пространстве может возникнуть резонанс; при зтом даже весьма сла-
слабая «вынуждающая сила» на щели может вызвать стоячую волну большой,
амплитуды.
Возвращаясь к статическому случаю, напомним, что потенциал в щели
был равен В~\Г\ — B<р/ДJ, где постоянная В определялась из связи с гра-
градиентом приложенного поля. Внутри цилиндра потенциал имел вид.
2Mm(/7a)mcos(m<p), где
1
-1 V A1.2.44)
Другими словами, мы предполагали известными приближенные отношения
между Ат и, таким образом, сводили нашу задачу к определению одной
неизвестной величины В. Найденное выражение для потенциала полу-
получается из формулы для потенциала в эллиптических координатах. Мы рас-
располагали центр щели в точке р = Ь = 0 и предполагали, что цилиндр
вблизи щели практически совпадает с плоскостью. Тогда полярные коор-
координаты выражаются таким образом:
1 1
г — а як^аД sh;j.-sin&, cp =ss 7yAch;j.cos&,
где аД—ширина щели.
Потенциал, экспоненциально убывающий при г < а (\х < 0), равен
Be^smb при г<а и DB/a&)(r — а)-\-Be~v-sin & при г>а (\л > 0). Как мы
видели выше, сумма ряда В ^] Dm (r/a)m cos (ту) равна Be^sinft в щели,
приблизительно равна Ве^ sin & непосредственно у щели и удовлетворяет
краевому условию ф = 0 при г = а вдали от щели, где решение Ве^ sin &
не применимо. Этот ряд дает, следовательно, хорошее приближение к истин-
истинному решению для статического случая, если только выбор В согласован
в щели с радиальной составляющей градиента приложенного поля. Все
это было указано на стр. 182.
В рассматриваемом случае мы вновь воспользуемся выражением
для ф на щели (р = 0), но теперь нельзя считать Vev- sin & близким к реше-
решению вне шели. Потенциал может оказаться большим и внутри цилиндра.
Другими словами, мы должны предположить, что ф = (l/2)(F-h/?)e^sin&-f-
-t-(l/2)(l/ — /?)e~^sin&. Это выражение также равно Fsin^ при р. = 0. Вне
цилиндра на некотором расстоянии от щели это выражение приближенно
равно функции B/а&) (V + R)(г — а), а в точках внутри цилиндра, нахо-
находящихся не слишком близко к щели, но и не слишком далеко от нее

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 365
. е, на расстояниях, больших чем аД, но меньших чем а),—функции
Д(Л7()
<)()()
Два сравниваемых случая можно различить путем вычисления радиаль-
радиальной составляющей градиента потенциала в щели. Для статического слу-
случая имеем
-т-^-й I 4- (Уе* sin &) 1 = -Щ- ъ — у. mDm cos (та).
Этот ряд получен дифференцированием ряда для О при г < а; он очень
плохо сходится, но нам известно из предыдущего рассмотрения, что его
¦сумма приближенно равна 2V/aA для — Д/2 < о < А/2 и нулю для других
значений т.
В исследуемом случае выражение для •!> при г < а содержит, как
видно из формулы A1.2.43), не степени г, а функции Бесселя. Радиаль-
Радиальная производная ф при г = а равна
a **** oft jг 1ка\ L *м
m
и отличается от аналогичной величины для статического случая 2F/aA
¦суммой
^i Am Г^-f teamlcos (mo).
m
Таблицы в конце настоящей главы показывают, что tgamc^ — т. для
ж > ка, так что этот ряд сходится значительно быстрее, чем ряд для про-
производной ф. Итак, радиальную производную ф в щели (г = а, о = 0) удобно
лыразить таким образом:
Эта величина радиальной производной ф на щели была получена исходя
из решения внутри цилиндра, которое мы обозначим ф4. С другой стороны,
«ее можно, конечно, получить в виде суммы радиальной производной V,
«приложенного к щели» поля плоской и рассеянной волн и производной
-v0 последнего ряда формулы A1.2.43). Производная этого приложенного
поля в центре щели равна
7П=0
сое (ma).
где штрихи обозначают дифференцирование по аргументу ка и где &т вновь
выражено через Jm и Нт. Этот ряд можно упростить, используя выраже-
выражение для вронскиана функций Бесселя:
Л (Jn, HJ = Jn (ка) Hm_x (ка) - Jm_x (ка) Нт (ка) = ^ . A1.2.45)
Радиальная составляющая градиента приложенного поля в центре
щели теперь записывается так:
где
^ (*) = 2 *«?"* Ст(ка) C0S ("")• (И .2.46)
«1=0

366 Гл. 11. Волновое уравнение
Отрицательная радиальная составляющая градиента наружного «вынуж-
«вынужденного» поля при г = а, <р = 0 имеет вид
т=0
Условие, выражающее непрерывность производной в щели: vi = vf — v0 или.
^ = t>i + t>0, служит для определения неизвестной константы V, т. е. зна-
значения ф при г— а, <р = 0. Имеем
-Vk V D [J™(ka) H™(fca>] _ _vk
& mLJ{ka) H(ka)j~
Hm(ka)J <?J mJm(ka)Hm(ka)
CO
ну —ib (ha) рт/
m=0
'~ 8 Cg sin So" Zl C^sin8m m
ТП=т1
Этот ряд также сходится плохо. Как видно из таблицы в конце этой
главы, при т > ка мы получаем
так что предельная форма суммы vi-\-vo имеет вид V, %mD Однако-
ЗХС1 ^**
о
мы видели выше, что ^\ rnD ~ —, так что, вычитая и прибавляя А
мы получаем выражение, сходящееся значительно лучше,
Но, для того чтобы обеспечить непрерывность производной в щели»
vi + Vo должна быть равна v.. Поэтому формула
у-Ал -Р»
Y (Д, ка)
выражает амплитуду поля в щели через производную приложенного
поля и «адмитанс» (отношение) У наружного и внутреннего вынужден-
вынужденных полей.
Этот адмитанс становится бесконечным для таких значений ка, при
которых sinom для некоторых т равен нулю. При этом /m(/m) = 0, т. е.
для внутренности цилиндра без щели имел бы место резонанс. При таких
частотах поле V в щели равно нулю, что и должно быть. Следовательно,,
при частотах, резонансных для внутренней области, цилиндр ведет себя,
так, как будто у него нет щели. Непосредственно вблизи одной из этих,
точек резонанса адмитанс У равен
А*
Ст Jm (ка)

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 367
Таким образом, мы нашли приближенное выражение для ty (а, <р),
V ]/1 — B<р/ДJ, где V определено равенством A1.2.47). Для подсчета рас-
рассеянной волны и поля внутри цилиндра это значение ф (а, <р) следует под-
подставить в A1.2.43). Как видно из A1.2.44), коэффициенты Ат равны VDm,
а коэффициенты Вт равны нулю. Таким образом, потенциал волны
в центре цилиндра имеет вид
е
8J0(ka) Y(A,ka)
Эта величина обычно мала благодаря множителю Д2. Если имеется резонанс
для стоячих волн типа т = 0, т. е. если /0(/ш)=0, то <1>@) велико, но
не бесконечно, поскольку Y неограниченно возрастает, когда J0(ka)—>0.
В пределе при Jo (ка) = 0 мы получаем ф @) ~ Шо (ка) AF (а). Эта вели-
величина больше, чем нерезонансная, так как она не содержит множителя А2.
При резонансных частотах правильным решением во внешней области
будет комбинация плоской и рассеянной волн для цилиндра без щели.
Конечно, если частота такова, что Jm(ka) = 0, то функция Y стано-
становится бесконечной и поскольку при этом /0 (ка) не обращается в нуль,
значение потенциала волны при г = 0 оказывается равным нулю. Это
объясняется тем, что все возбуждаемые стоячие волны для тфО имеют
нулевую амплитуду при г = 0; в других точках внутри цилиндра такие
волны могут быть обнаружены. При каждой резонансной частоте, т. е.
каждый р'аз, когда /mBrcva/c) обращается в нуль, стоячая волна внутри
цилиндра имеет форму определенной собственной функции; остальные
стоячие волны при этом отсутствуют.
Рассеянная волна, соответствующая падающей волне единичной ампли-
амплитуды (А = 1), имеет вид
m=0
2me~iSm | sin 8m cos [m i
Эту формулу интересно сравнить с A1.2.29). Эффективная ширина
рассеяния цилиндра со щелью выражается так:
со ,
г\ 4 v . 1 ^ sin 6m соч (/газт/2) Д J1 (mA/2) „ . . , . ,
Q = Т Ъ &rn k о* mCmY(Aka) F ^ C0S ^ +
f*[a)
2
1
j
2тС
где функции F(a) и У(Д, ка) заданы форм^^лами A1.2.46) и A1.2.47). Эти
формулы выведены для краевого условия ф = 0 при г— а, Д/2 < <р < 2тс — Д/2,
и для единичной плоской падающей волны, распространяющейся под углом
а к оси щели (ср = О). Мы считаем, что (Д/m) Ух (тД/2) = Д2/4 при т = 0.
Подчеркнем еще раз, что при Jm (ка) = 0 поле внутри цилиндр велико
и наружные признаки щели отсутствуют. Мы не получили бесконечных
решений, так как приняли во внимание не только резонанс внутри
цилиндра, но и излучение вовне, а адмитанс излучения никогда не бывает
равным нулю.
Цилиндр со щелью; условия Неймана. Случай, когда нормальная
составляющая градиента потенциала равна нулю на цилиндре, отличается

368 Гл. 11. Волновое уравнение
от только что рассмотренного нами в основном тем, что при рассмотрении
предельного статического поля (к —> 0) не получается решения, связан-
связанного с проникновением в цилиндр. Условия Неймана соответствуют дви-
движению жидкости и случай к = 0 — потоку несжимаемой жидкости. Очевидно,
установившийся поток несжимаемой жидкости как внутри, так и вне цилиндра
не может существовать без того, чтобы не наблюдались сложные вихревые
движения, возможность которых мы исключаем, когда собираемся искать
решение в виде потенциального потока. Если же рассматривать осцилли-
осциллирующий поток упругой жидкости, то, конечно, возможны движения внутри
цилиндра, и может иметь место резонанс. Однако здесь мы лишены воз-
возможности найти решение для статического случая.
Тем не менее можно использовать некоторые выводы, полученные
при изучении решения уравнения Лапласа в эллиптических координатах.
Для щели в плоском экране шириной аД установившийся поток через
щель задается потенциалом скоростей ф = х -j- (аД/2) uofi, где эллиптические
координаты ft,& определены на стр. 185.
Потенциал ф постоянен здесь вдоль щели (р. = 0), но скорость движения
жидкости через щель не одинакова вдоль щели:
№1 = -^ = , Vo A1.2.50)
оу. J ^=0 sin» |/1_Bср/ДJ
Эта скорость имеет минимальное значение v0 в середине щели (<р = 0) и воз-
возрастает до бесконечности вблизи обоих концов, где происходит обтекание
острых краев. Пока ширина щели мала по сравнению с окружностью
цилиндра 2чш и по сравнению с длиной волны 2ъ/к = 2ъс/и> можно пред-
предположить распределение потенциала ф и распределение скоростей в щели
совпадающими с указанными выражениями, хотя мы не можем ожидать
такого совпадения вдали от щели.
Соответственно этому' потенциал скоростей для волнового движения
можно представить в виде
ф (г, с?) =
т=0
т=0
т (кг) — Hm (кг) cos [т. (ср — а)] е~Ш1 -j-
оо
A1.2.51)
где, учитывая принятое распределение скоростей в щели, положено
Д/2
л vns.m ( cos (mu) du 1 . т /" i
— Д / 2,
Заметим, между прочим, что ряды A1.2.51) можно рассматривать или
как ряды по собственным функциям, удовлетворяющим краевым условиям
при г = а, или как решение, выраженное через функцию ' Грина и соответ-
соответствующее условию, что dty(r,y)Jdr равна нулю при г = а, Д/2 < <р <
<2тс —Д/2 и равна vJVl — B<р/дJ при —Д/2 < <р < Д/2. Например, для-вну-
для-внутренней функции Грина, удовлетворяющей условиям Неймана при г = а

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 369
из G.2.51) имеем
? (г, <? I го> То) =
m=0 m
Решение внутренней задачи, отвечающее упомянутому условию, в соот-
соответствии с G.2.10) имеет вид
Л/2
ф (г, <р) = —j— у — ° G (г, ср | а, <р0) drp0,
^зх j у 1 — Bсро/ДJ
—л/2
откуда, используя выражение для вронскиана A (Jm, Hm), получаем первую
часть формулы A1.2.51). Таким образом, введенное приближение позво-
позволяет нам избежать определения бесконечного множества неизвестных Ат
и ограничиться определением единственной неизвестной v0, что является,
конечно, более легкой задачей.
Мы находим величину v0 для заданного А, определяя импедансы.
Давление в жидкости связано с потенциалом скоростей ф соотношением
р = — гюрф, а скорость равна — grad ф. Отношение давления к амплитуде ско-
скорости называется акустическим импедансом (см. стр. 296 тома I и стр. 345).
Отношение ф к v может 6*ыть названо импедансом поля. При постоянной
частоте импеданс поля пропорционален акустическому импедансу, и нам
проще употреблять именно эту величину. Амплитуда комбинации плоской
и рассеянной волн, построенных для неразрезанного цилиндра, в центре
щели имеет значение
ф, = А ^ emim [/„ (Ли) HU (to) - J'm (to) Hm (to)] p^ = 2AF' (а),
m=0 m
A1.2.52)
p-ib'm
F'(a)=2 sJn ^-~^ cos (ma).
Ее можно рассматривать как «вынуждающую силу», возбуждающую стоячую
волну внутри цилиндра, а также дополнительную рассеянную волну вне
цилиндра. Для определения амплитуды вынужденного движения (скорости v0)
нам следует в первую очередь найти импеданс поля внутренней и внешней
волн.
Импеданс поля внутренней стоячей волны является отношением вну-
внутреннего 4 в центре щели к v0 — соответствующей составляющей скорости
в той же точке:
со Д/2
Этот ряд очень плохо сходится, и требуются некоторые искусственные
приемы, чтобы упростить вычисления. Мы усматриваем из таблиц в конце
этой главы, что ctg ат ~ — 1/т для т > ка. Но при помощи простой

370 Гл. 11. Волновое уравнение
выкладки легко убедиться, что
m=l
~ In | U | ДЛЯ
Поэтому
a v 1 Т cos(Wu) . аД Г '(J) .
— У — \ •— v ; — du си — тг- \ —ч, - dw =
7C
~2~
аД Г • Aii
\ In ( -tt^Ci
я J \ /
о
/'(д. Ля)] . A1.2.53)
со
/' (A, /m) - cfg a0 + 2 ^ [-^ + ctg «m ] /„ (т тЛ) •
где
m=l
причем ряд для /' сходится довольно быстро. Акустический импеданс
равен, конечно, шргг, т. е. является чисто реактивным. Заметим, что /' есть
функция не только Д, но также и ка, поскольку углы ат являются функ-
функциями ка. Эти углы приведены в таблице в конце книги. Благодаря члену
ctgam импеданс становится бесконечным для тех частот, для которых
Импеданс поля дополнительной внешней волны в центре щели равен
величине дополнительного внешнего поля, разделенной на —v0:
Д/2
Нт (ка) Г cos (той) ^ц __
У
гы
Акустический импеданс iu>pz0 в отличие от iwpZj не является чисто мнимым;
он имеет некоторую действительную часть— сопротивление излучения.
Сумма этих двух импедансов представляет собой полный импеданс системы,
на которую действует «вынуждающая сила» <1у.
т=0
где
1 ^ s e-iS»'J
ка) = —-.—ту-то /I т—
' 4я (ка)г *-1 /Су„\ъ
т=0

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 371
Этот ряд также плохо сходится, и при больших т его члены ведут
себя как члены ряда
2 ) (т\у- 2 у" cos (mu) du =
m=i ""^Tj -A/2
Л/2 oo
1 f лп 1 / \ du ,1, 4
Следовательно, можно написать
_4_
Д
00 Г -i«i. . 1
A1.2.54)
Эта величина пропорциональна импедансу движения среды через щель,
включая реактивную нагрузку, создаваемую средой внутри цилиндра,
и, частично, активную нагрузку поля излучения вне цилиндра. Сравнение
с A1.2.47) показывает, что отношение первого члена к остальным при
малом А здесь больше, чем в предыдущем случае. Это происходит
потому, что условия для проникновения поля через щель много лучше
в случае, когда составляющая градиента равна нулю на границе, нежели
тогда, когда равен нулю сам потенциал.
Мы можем теперь определить скорость среды в щели:
^, Ь _ A F'(a)
&"~- ¦ - ~ ah Z(A,ka) '
Эту величину можно подставить вновь в A1.2:51), чтобы получить потен-
потенциал скоростей внутри и вне цилиндра. В.еличина потенциала скоростей
в щели определяется равенством
при — А/2 < <р < А/2.
Если во внутренней области имеет место резонанс, то Jm(ka) = O для
некоторого т, так что sinSm обращается в нуль и zt бесконечен. Следо-
Следовательно, скорость течения, через щель v0 равна нулю для резонансных
частот (поскольку нет поглощения энергии) и потенциал в щели, конечно,
точно равен ф.
Выражение для рассеянной волны и эффективной ширины рассеяния
цилиндра полностью совпадает с A1.2.49). В этом случае Q также никогда
не становится бесконечной, так как Z(A, ka), будучи комплексным, никогда
не обращается в нуль, хотя два дополнительных члена в ряде для Q могут
обращаться в нуль, когда Z(A, ka) становится бесконечным (при sin 8^=4)).
Соотношение между двумя рассмотренными случаями станет более
ясным, если рассмотреть их с другой точки зрения. Значения потенциала
в щели можно рассматривать как аналоги напряжений, а нормальные
составляющие градиента в щели — как токи. В случае, рассматриваемом
в этом пункте, «вынуждающей силой» служит напряжение fy; комбинация
плоской и рассеянной волн для неразрезанного цилиндра не имеет нормальной

372 Гл. 11. Волновое уравнение
составляющей градиента в щели. Составляющая градиента внутренней
функции ф{ должна быть равна составляющей градиента внешней функ-
функции ф0 и обе они должны быть равны v0. В то же время для того, чтобы
потенциал был непрерывен, должно иметь место равенство tyt = ф, + ф0.
Можно рассматривать .ф{ как падение, напряжения на внутренней нагрузке
и — ф0 как падение напряжения на наружной нагрузке. Тогда уравнения
будут такими же, как при последовательном соединении контуров, и па-
падения напряжения на обеих нагрузках складываются, ток в нагрузках
одинаков и вынуждающее напряжение приложено к обеим нагрузкам.
Если какая-либо из нагрузок обладает бесконечным импедансом, то ток,
естественно, будет равен нулю; но когда импеданс какой-либо нагрузки
равен нулю, ток не бесконечен, и он становится бесконечным только в том
случае, когда при некоторой частоте импедансы обеих нагрузок взаимно
уничтожаются (чего обычно не бывает). Внешняя нагрузка монотонно
меняется с изменением частоты, а внутренняя нагрузка заметно колеблется,
становясь бесконечной при резонансных частотах и обращаясь в нуль при
промежуточных частотах. Максимум величины v0, а значит, и наибольшая
амплитуда дополнительной рассеянной волны достигается при этих про-
промежуточных частотах.
Возвращаясь к ранее рассмотренному случаю условий Дирихле, мы
видим противоположную картину. Здесь «вынуждающей силой» является
источник постоянного тока vf. По условию непрерывности внутренняя
производная (или ток) и$ должна равняться сумме внешних vf — v0, так
что вынуждающий ток Vf разделяется на две части х)г и v0. С другой
стороны, значения внешнего и внутреннего потенциалов (напряжений)
одинаковы на щели и равны V. Ситуация является типичной для парал-
параллельного соединения — источник постоянного тока питает параллельно
внутреннюю и внешнюю нагрузки. Общий адмитанс равен сумме двух
адмитансов, и напряжение V- равно отношению v^ к сумме адмитансов.
Для резонансных частот внутренней области [т. е. при Jm(ka) = O] V равно
нулю и рассеянная волна такая же, как при отсутствии щели. Для
других частот дополнительная волна, порожденная движением среды через
щель, местами усиливает, а местами ослабляет обычную рассеянную волну.
Различие между рассмотренными двумя случаями легко продемон-
продемонстрировать на численных примерах. Пусть ка = 2па/'к весьма мало; тогда
для этих двух случаев получаем следующее.
Случай I (ф = 0 при г —а, Д/2 < ср < 2-к — Д/2; амплитуда первичной
плоской волны, падающей под углом а, равна А).
Потенциал в щели
Радиальная составляющая градиента в щели vi ~ — -^—[—ттрг
Потенциал на оси цилиндра Ф @) — ~ 32 in (fca) '
Эффективная ширина рассеяния
_ зт% Г, . А2 1
g~ teln»(fa) L1+ 16 In (to) ] •
Случай II (дф/dr = 0 при г = a, A/2 < <р < 2тс — Д/2).
Потенциал в щели
пкаА

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 373
Радиальная составляющая градиента в щели
пкаА 1
"*— 2Да1пD/Д) Г1^
Потенциал на оси цилиндра
~2/са1пD/Д) •
Эффективная ширина рассеяния
D/д) J
Эти величины являются функциями двух малых величин /га и Д. Как
функции от А, при А, стремящемся к нулю, в случае I все величины
стремятся к нулю быстрее, чем в случае П. Это происходит потому,
что поле, удовлетворяющее условиям Дирихле, проникает через щель
значительно слабее, чем поле, удовлетворяющее условиям Неймана. Потен-
Потенциал в центре цилиндра ф @) во втором случае стремится к бесконечности при
ка, стремящемся к нулю, но мы видели, что в этом случае статическая
задача имеет свои особенности. При конечном (но малом) ка и малом А
первый член Q (относящийся к цилиндру без щели) меньше для случая
II, чем для случая I, однако второй член в скобках в случае I меньше,
чем в случае II. Цилиндр, на поверхности которого составляющие
градиента равны нулю, деформирует длинные волны меньше, чем
цилиндр, на поверхности которого потенциал равен нулю, но щель
в первом случае производит большее изменение в рассеянии, чем
во втором.
Задачи подобного типа, где решения должны быть сопряжены на
щели в границе, в § 11.4 будут решаться при помощи интегральных
уравнений и вариационных методов.
Волновое уравнение в параболических координатах. Возвращаясь
к формуле E.1.10), мы видим, что в параболических координатах
= |/> —ж,
а уравнение Гельмгольца Т2ф + /с2ф = 0 разделяется следующим образом
H. = Af(,i)L(X)]:
[см. формулу A0.1.36) и следующие, относящиеся к уравнению Лапласа
в этих координатах]. Решения для обоих множителей М и L могут быть
выражены через функции Н(а, \>-Ук) и Н( — а, Х|/7с), где Н (а, ж) —ре-
—решение уравнения
5gf- + (fl + x»)# = 0, 32 = *(x»>fl«). A1.2.56)
Это уравнение имеет иррегулярную особую точку на бесконечности
и не имеет особых точек в конечной части плоскости. Особенность на беско-
бесконечности, однако, иного рода, чем для простой экспоненты от х. Фунда-
Фундаментальная вблизи ж = 0 система решений состоит из четной функции

374 Гл. 11. Волновое уравнение
Не(а,х), представимой рядом по четным (even) степеням х и нечетной
функции Н0{а, х), представимой рядом по нечетным (odd) степеням. Про-
Производя замену г = A/2)ж2, убеждаемся, что уравнение A1.2.56) переходит
в гипергеометрическое уравнение типа E.3.44). В самом деле,
1
Н (а х)= е~~2 гХ" i
1 - • ¦ *'-• — -4(я3-14а)ж6+...,
i_
Ho (а, ж) = же 2
A1.2.57)
Хотя в эти выражения, содержащие вырожденные гипергеометрическис
функция, входят мнимые величины, все коэффициенты при степенях ж в
рядах для Не и Но действительны, так что Не и Но действительны при
действительном ж.
Из E.3.63) видно, что при а —О
неф, *)=г(|)/|/^Aа*), я„(о, Х) = т(^)
A1.2.57')
Решения для а Ф 0 можно получить в виде ряда по функциям Бес-
Бесселя. Так, например, полагая Н (а, ж) = ]/ж G(a, z), где z = A/2)ж2, нахо-
находим, что G удовлетворяет уравнению
dz2 ^ z dz
СО
Полагая Ge = 2 Ьп/ i B), для четной функции получаем
71=0 4
_„( и—т )
Приравнивая коэффициенты при различных / нулю, находим, что фо-\-
+ B/3N1=О, A2/7) 6,4-06, = 0, C0/11N3 + аЬ2 + B/3)Ь1 = 0 и т. д.
Решая последовательно эти рекурсивные соотношения (см. стр. 509 тома I)
и выбирая Ьо таким образом, чтобы новый ряд соответствовал ряду

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 375
A1.2.57), мы, наконец, получаем
Аналогично
Н0{а, *)=rD
Эти ряды удовлетворительно сходятся, когда приблизительно ж2/2<10
и а < 1/2.
Собственные функции для внутренних задач. Полученные в преды-
предыдущем пункте функции могут быть использованы для определения соб-
собственных функций и собственных значений для внутренней области;
ограниченной двумя софокусными и соосными параболами. Как только
мы приступаем к решению указанной задачи, проявляются некоторые
свойства параболических координат,, оказывающие значительное влияние
на выбор функций. Изучение системы координат (см. рис. 5.1)
показывает, что одна из двух координат X или (j. меняется от — со
до + со, но не обе координаты одновременно. Если ц принимает как
отрицательные, так и положительные значения, то границы изменения X
будут 0 и -\- со. Во внешних задачах это обстоятельство не вызывает
осложнений; так, например, для области вне параболы X = Хо значения X
лежат между Хо и со, а значения ц между — со и + со. Но при реше-
решении внутренних задач, скажем, для области, заключенной между парабо-
параболами Х = Х0 и [i = fi0, можно положить, что переменные меняются или
в промежутках 0 < X < Хо, — р0 < у. < fi0 или в промежутках — Хо < X <
<<\> 0 < р < fi0. При этом простое рассмотрение показывает, что если
в решении внутренней задачи множитель, зависящий от X, нечетный,
т. е. имеет при отрицательном X знак, противоположный тому, который
он имеет при положительном X, то множитель, зависящий от fi, должен
также быть нечетным, так как он должен обращаться в нуль при р = 0
(и наоборот). Другими словами, если функция имеет узел при Х = 0
(т, е. вдоль отрицательной полуоси ж), то тот же узел должен быть
и при ft = O (вдоль положительной полуоси ж). Наоборот, если множитель,
зависящий от X, четный и имеет максимум или минимум при X = 0, то
множитель, зависящий от и, для внутренней задачи также должен быть
четным, так что максимум (или минимум) продолжается через ц = 0. Такое
сочетание множителей во внутренней задаче вызвано симметрией границ
ft = fV Х= Хо; вся ось х должна быть либо узлом, либо пучностью для
соответствующей функции.
Если ограниченная область симметрична также относительно оси у,
то Х0 = |л0, и оказывается, что некоторые из собственных функций соот-
соответствуют значению постоянной разделения а = 0. В этих случаях, как
видно из A1.2.57'), решения выражаются через функции Бесселя. Неко-
Некоторые собственные значения к в этом случае выражаются через корни
уравнений
¦fj(r»J = O. ^±(Y2m.i) = 0. m = 0, 1, 2, ..., A1.2.59)

376 Гл. 11. Волновое уравнение
если краевое условие требует равенства собственной функции нулю при
fi = цо = Х = Х0. Четным п соответствуют корни уп (п = 0, 2, ...) четных
решений, нечетным п — корни уп (п= 1 > 3, ...) нечетных решений, причем
множители, зависящие от X и от ц, имеют одинаковую форму. Эти реше-
решения соответствуют решениям sin (ппхх/а) sin (ъпуу/Ь) для квадратной
мембраны, у которой пх = пу. Итак, мы показали, что для симметричного
случая при fi0 = Хо некоторые собственные функции и собственные значения
при Пр = П1 = п имеют следующую форму:
2\Y\~k)\ V1V-Jl\4nT%)J-1\4rbf*)' ^-нечетное;
A1.2.60)
уо = 2,006, Yi = 2,781, у» = 5,123, y3 = 5,906, ...;
собственные значения у являются здесь решениями уравнений A1.2.59).
Для случаев РОФ\ и для несимметричных решений при ц0 = Хо
постоянная атп не равна нулю и задача оказывается более трудной. Урав-
Уравнение Не (а, Хо |//с) = 0 при заданном значении Ко определяет семейство кри-
кривых, связывающих а и к (задающих к как функцию от а). Ближайшая к оси а
кривая может быть снабжена индексом т — 0, следующая т = 2 и т. д. Урав-
Уравнение Не ( — a, fi0 l/7c) = 0 определяет другое семейство кривых на плоскости
а, к, причем нижняя из них может быть снабжена индексом п = 0, следу-
следующая п — 2 и т. д. Точка пересечения любых двух кривых, принадле-
принадлежащих различным семействам, определяет допустимое значение а (обознача-
(обозначаемое атп) и допустимое значение к (обозначаемое ктп),а следовательно,
соответствующую собственную функцию
Ф«т=#еКт> Х VKn) #е ( ~ "-тп, (х Vктп).
Эти функции четные и квантовые числа (п, т) соответственно четные.
Для получения нечетной функции мы выполняем ту же процедуру с не-
нечетными функциями Но. Уравнение Но (a, \ V~k) — 0 определяет семейство
кривых на плоскости а, к, наинизшая из которых соответствует т = 1, сле-
следующая т = 3 и т. д. Другое семейство кривых для п = 1, 3, ... получается
из уравнения Н0( — а, [% }/7с) = 0. Пересечения кривых этих двух семейств
определяют нечетные функции. Таким путем мы получаем все
собственные функции и собственные значения [отсутствие решений с т
нечетным и п четным (или наоборот) просто отражает тот факт, что множитель,
зависящий от X, не может быть нечетным, если множитель, зависящий
от fi, четный, и наоборот].
Для случая Хо = ц0 собственные функции, соответствующие наимень-
наименьшему собственному значению к00 и следующему за ним /с11, даются ра-
равенствами A1.2.60). Последующие функции для к02 (и /с20, которое в дан-
данном случае равно к02) не входят в A1.2.60) и должны быть вычислены
методами, изложенными в двух предыдущих пунктах. Собственные функ-
функции для значений kls и ksl также подлежат вычислению более сложными
методами. Собственная функция для шестого собственного значения /с22
вновь содержится в A1.2.60) и т. д.
В действительности лишь в немногих случаях мы имеем дело с обла-
областями, которые достаточно хорошо соответствуют областям с параболиче-
параболическими границами, и поэтому представляется нецелесообразным продолжать

11.2 Волновое движение, две пространственные координаты 377
дальнейшее рассмотрение вопроса о внутренних решениях. В случае
необходимости к решениям Не и Но без большого труда могут быть при-
применены общие методы гл. 6 и 7.
Волны вне параболических границ. Больше оснований имеется для
продолжения рассмотрения внешней задачи в параболических координа-
координатах. Плоский полубесконечный экран можно рассматривать как границу
Х = Х0, где Хо стремится к нулю. Полезно будет выразить функцию Грина
и ее предел — плоскую волну — через параболические волновые функции.
Мы, правда, решили уже задачу о рассеянии плоской волны на полу-
полуплоскости при помощи цилиндрических волновых функций (см. стр. 359),
но использование новых волновых функций может упростить решение
или может позволить представить решение в другой форме.
Прежде всего необходимо изучить асимптотическое поведение Не
и Но, чтобы выяснить, не будет ли некоторая комбинация этих двух незави-
независимых решений более подходящей для решения внешних задач. Возвра-
Возвращаясь к E.3.51), мы видим, что если ж = |ж|е46 (х = Ук\ или ж = "|//сц),
то асимптотическое поведение функций Н для действительных х и а
имеет вид
Н (а ?Л ~ - V y
¦"в \а' х/ —
г(
2Г
( 3
iia)
A1.2.61)
I " О I ^ г А А О —«
H0(a, *)~-
где
Эти формулы показывают, что наши функции, несмотря на то, что
они действительны при действительных х, с точки зрения их поведения
на бесконечности не вполне удовлетворительны. Неудобство заключается
в наличии члена (а/2) In x в аргументе косинуса. Это обстоятельство не
позволяет, по-видимому, привести A1.2.61) к виду обычных асимптотиче-
асимптотических волновых формул для других координат. Трудность, очевидно, воз-
возникает из-за того, что а предполагается действительным; при а мнимом
множитель xia/2 был бы действительной степенью х и логарифмический
член исчез бы из аргумента косинуса. Конечно, нет никаких оснований
для того, чтобы во внешних задачах считать а действительным. При ре-
решении внутренних задач а должно быть действительным потому, что
функции Н& и Но действительны. Но при решении внешней задачи нет
необходимости, чтобы наши функции были действительными; в полярных
координатах мы пользуемся для внешних задач комплексной функцией
Ганкеля Нт (кг), предпочитая ее действительным функциям Jm (кг) в связи
с ее простым асимптотическим поведением.
Предположим, что а — чисто мнимая величина, и обозначим ее
Bm-\-l)i, где т — действительное число, положительное или отрицатель-
отрицательное. Разделенными решениями уравнения Гельмгольца тогда будут
функции
He[Bm + l)i, -k]/l]He[-Bm+l)i,
или
Но [Bт + 1) i, X Ук] Но [-Bт +1) г, |х У к],

378
Гл. 11. Волновое уравнение
которые выражаются через вырожденные гипергеометрические функции
следующим образом:
He[Bm + l)i, x\ =
Но [Bт +1) i, х] = x
A1.2.62)
^
у - \ т
Асимптотическое поведение этих функций опять можно получить, исполь-
используя E.3.51). Для действительных х и т имеем
He[Bm + l)i, ж]~-
G-)
+
(l>
ia^t
H0[Bm+l)i, ж]~-
(!)
• * i.
e
i.
41)
Г[ -^
i- 2-i
e^ 4lT
Изучение этих выражений показывает, что для внешней задачи было
бы проще вместо комбинаций, представляющих Н, выбрать пару решений,
которые асимптотически вели бы себя как х-т~1 е2 и хте 2 . Таким
образом, мы приходим к рассмотрению вырожденных гипергеометрических
функций третьего рода U1 и 172, определенных в E.3.52). Функция, кото-
которую мы используем, называется функцией Вебера и определяется следую-
следующим образом: для z = | z | е4?, — те/2 < ср < те/2
= 22 e 4
A1.2.63)
Пара решений, подходящих для внешних задач в параболических коор-
координатах, выражается через эти функции так (при действительных х и т):
-1 m -1
1% "т _ 2
—i- m
, A1.2.64)
- | m
2i
.•2
Г ( -^Ч-тг!

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты, 379
Таким образом, переход от решения с одним поведением на бесконеч-
бесконечности к решению с противоположным поведением осуществляется в этих
обозначениях заменой т на — т — 1 и одновременным переходом к ком-
комплексно сопряженным величинам. Обе функции удовлетворяют дифферен-
дифференциальному уравнению
которое соответствует уравнению A1.2.56) с а = Bт +1) г, как это и должно
быть. Если решение для множителя, зависящего от X, является комбина-
комбинацией Dm (X |/2i&') и D_m_1 (X У — 2ik) с а — Bт +.1) i, то соответствующее ре-
решение для множителя, зависящего от \х, является решением уравнения
для — а:
-Это последнее решение представляет собой комбинацию функций, ком-
комплексно сопряженных с функциями A1.2.64):
x]-
г ( —4-
H0[-Bm + l)i, x] ?N/(-2ia»f e2 , A1.2.65)
(U.2.66)
"Чтобы получить A1.2.65) и A1.2.66), мы произвели соответствующую
-замену в A1.2.64), применяя E.2.62) и A1.2.62).
Поскольку мы хотим, чтобы внешнее решение уравнения Гельмгольца
.в параболических координатах было однозначной функцией на плоскости
X, A, следует ограничиться целыми т, причем допустимы и положитель-
положительные д отрицательные целые значения (отрицательные значения соответ-
соответствуют вторым решениям). Если бы т не было целым, решение было бы
многозначным и нужно было бы выделять определенные ветви. Выраже-
Выражение функции Вебера при -целом т значительно упрощается. Например,
для т = 0
is _1 2s
A1.2.67)

380 Гл. 11. Волновое уравнение
Используя интегральное представление для ?72 и рекуррентные формулы
для вырожденных гипергеометрических функций, убеждаемся, что для
любого целого т
^1 = -I zDn (z) - Dm+1 (z) = -1 *Dn (z) + mDm_Y (z),
или
1 2 1 2 I2C0I2
Пределы интегрирования здесь выбраны так, чтобы получить надлежащее
асимптотическое поведение D.
Следовательно, для целых положительных т имеем
1 2 12 1 12
2 j z m z
1 1ОО с «, 1 2 A1.2.68)
е 2
Функция ^m (z) представляет собой полином Эрмита; о нем см. таблицы
в конце гл. 6. Заметим также, что
1.2 °° _^_ 2
" ^ ~zU° A1.2.69)
Это выражение тесно связано с интегралами Френеля, рассмотренными
на стр. 362.
Разложения функции Грина и плоской волны. Функцию Грина для
свободного пространства двух измерений i%HQ(kR) и плоскую волну
eikr cos (q>-«) можно выразить в виде рядов, содержащих функции Dm и
D_m_1, введенные для решения внешних задач. Эти ряды можно получить
различными способами. Например, применяя общую формулу G.2.63),
имеем
- 2ik) X
XJ m ml ° ' ' A1.2.70)
что, впрочем, не очень легко получить, так как множители зависят от т
и к, притом во многих отношениях одинаковым образом. Чтобы выбрать,,
какой из множителей является «собственной функцией» и какой — «коэф-
«коэффициентом», следует учесть, что переменная в полиномах Эрмита меняется
от —оо до +оо. Следовательно, в формуле A1.2.70)—оо < X < + оз
и 0< fi< оо. Это значит, что «разрез» сделан вдоль положительной полу-
полуоси х. Осложнения возникают, когда мы пересекаем эту линию.
Из формулы A1.2.70) можно получить разложение плоской волны,,
устремляя источник (Хо, ц0) в бесконечность. Но мы можем также получить
искомый ряд, обратившись к одной из формул таблицы в конце этой
главы, а именно к теореме разложения, которая получается (после пре-
преодоления значительных трудностей) из интегрального представления функ-

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 381
ции D. Искомое разложение имеет вид
С _ и
m=0
A1.2.71)
= cosec
причем первый ряд хорошо сходится для и, близких к нулю, а второй —
для и, близких к тс.
Когда и —к, т. е. когда плоская волна распространяется влево
параллельно оси х, формула принимает исключительно простой вид:
A1.2.72)
Мы выбрали направление и = тг для того, чтобы «разрез» ц = 0 оказался
в области падающей волны и не вызывал путаницы при исследовании
области тени. Эта простая формула может служить отправным пунктом
при расчете диффракции плоской волны на крае экрана, перпендикуляр-
лого волновому вектору. Экраном является отрицательная полуось у, или
линия X—— fi. Нам нужно к выражению A1.2.72) для плоской волны
прибавить еще несколько других решений в параболических координатах
так, чтобы образовалась комбинация, обращающаяся в нуль (для условий
Дирихле) вдоль линии Х= —ц (и только вдоль этой линии). Это последнее
требование несколько затрудняет дело, так как прежде всего приходит
в голову мысль использовать разность
Do (X УЩ Do (ц \Г^Ш) - Do (X У~^Щ Do ((х УШ).
Но это выражение (оно равно е-*** — eihx) обращается в нуль также при
X = —j— p. (положительная полуось у), и, следовательно, оно представляет
собой отражение от всей оси у, т. е. не то, что требуется.
Мы поэтому пробуем другие комбинации функций D0(ky±:2ik),
?>_! (X У ± 2ik) и соответствующих множителей, зависящих от ц, используя
при дальнейших вычислениях соотношения
_ ^ _ _
?>-i( — xV — 2i) = - ?>-i (ж У - 2г) + У2% Do (x У21).
В конечном счете получаем выражение
_1(pV^2lk)], A1.2.74)
которое обращается в нуль при X = — ц, но не при X = -j- ji, и является, таким
образом, нужным решением.
Анализ этого решения ведется в основном так же, как это было
только что сделано на стр. 362.

382 Гл. 11. Волновое уравнение
Функция
А_! {w V - 2ik) = V—Ше 2%W { eih**dv A1.2.75)
w
мала для больших положительных значений до и асимптотически стремит-
стремится к требуемой функции е \шУ — 2ik при w—>оо. Для w, больших га>
модулю и отрицательных, D_x не исчезает и имеет асимптотическую форму
"|/2ite 2 — е 2 /до |/ — 2ik. Для до, близких к нулю, Д_х имеет-
осциллирующий характер, типичный для интеграла Френеля. Функция
„2
„
D0(w\' — 2ik) при всех до равна просто е
Имея в виду эти свойства, выясним, что дает формула A1.2.74) на
некотором расстоянии от края экрана, где \х велико, и вблизи края тени,
где X мало. Подставляя выражения функций Do через экспоненты и асим-
асимптотическое выражение функции Б_г (ц ]/ — 2ik), получаем
Y 2/—2inkr
где г = (X2 + (i2)/2 — расстояние от края экрана. Первое слагаемое пред-
представляет падающую волну, второе слагаемое — радиально расходящуюся
волну, рассеянную на крае экрана, и третье слагаемое — это член, описы-
описывающий диффракционную картину и образование тени. Когда X положи-
положительно {у > 0), этот член мал и привносит в рассеянную волну малую-
добавку. С возрастанием X в отрицательном направлении этот член при-
приближается к — е~Шх + eikr/'k У — 2Ык. Первое слагаемое этой последней
суммы уничтожается с падающей волной (образуя тень), а второе слагае-
слагаемое добавляется к рассеянной волне; для X, близких к нулю, второе сла-
слагаемое осциллирует, порождая диффракционные эффекты.
Эллиптические координаты. Более полезна эллиптическая система
координат, определяемая равенствами [см. также A0.1.23)]
1 i
х = у a ch fi cos &, у = у a sh ц sin &,
i| ) |&), A1.2.77)
где г — расстояние точки (ж, у) от начала координат, г% — ее расстояние
от правого фокуса (-х- а, 0 V гг — ее расстояние от левого фокуса
С—р- а, 0). Решения уравнения Лапласа для таких координат были
рассмотрены в § 10.1. Система координат изображена на рис. 5.3. Уравне-
Уравнение Гельмгольца в этих координатах имеет вид
P P 0. A1.2.78)

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 383
В этом уравнении можно разделить переменные, полагая ф = М (ц)Н(&),
причем
**+F-Л«сов«&)Я = 0,
(И.2.79).
0
Первое из этих уравнений—это уравнение Матье, рассмотренное
в гл. 5 [см. E.2.67)]. Второе —также уравнение Матье, но для функций
мнимого аргумента. Если выбрать в качестве независимого переменного
z = cos&, то интервал —l^Cz<l будет соответствовать координате &,
а интервал 1 < z < со — координате \х. Как указано в E.2.77) и E.3.87),
для вычисления коэффициентов разложений решений удобнее использовать
переменные &, \х, однако для изучения общих математических свойств ре-
решений лучше всего воспользоваться переменной
cos&=-^(/•1-
а
l<z<oo.
Если граничной линией является эллипс ц = const и & изменяется в
пределах от 0 до 2 тс (как это обычно бывает), то множитель Н (&) должен
быть периодическим с периодом тс или 2тс. Это возможно только для ди-
дискретного множества значений Ь. В результате получаем собственные функ-
функции Se, So, называемые функциями Матъе и определенные на стр. 530 тома L.
Когда h обращается в нуль, они сводятся к тригонометрическим функ-
функциям, а Ь становится квадратом целого числа:
Sem (h, cos &) —> cos mb, Som (h, cos b) —> sin /ra&,
bem—>m?, Ьот—>т2 при h—>0.
Параметр h = ak/2 = аш/2с = тео/Х пропорционален частоте и равен отноше-
отношению произведения тс на фокальное расстояние а к длине волны X.
В § 5.2 и 5.3 мы обсудили многие свойства этих функций, а в таб-
таблицах в конце книги приведены некоторые их численные значения. Для
координаты &, если только она может изменяться от 0 до 2те, достаточно-
этих функций. Для координаты ц нам потребуются вторые решения, непе-
непериодические по &, но это обстоятельство не является препятствием, ибо
координата ц сама непериодична. Итак, для целей этой главы нам нужны
будут периодические собственные функции от &, а также два решения,,
зависящие от переменной ц: одно — пропорциональное ?е, So и второе —
линейно независимое от ?е, So. Такие решения были определены в
E.3.84) и E.3.91).
Здесь мы ограничимся тем, что приведем лишь непосредственно не-
необходимые формулы. Однако этот минимум не так уж незначителен. Де-
Дело в том, что каждая формула для функций Матье имеет четыре различ-
различные формы в зависимости от того, идет ли речь о четных или нечетных
функциях (относительно & = 0), а также в зависимости от того, равен ли
период те или 2те. Собственные функции для углового множителя таковы:
Se2n (h, cos &) = 2 Я?» (h, 2m) cos Bn&), ^ f?*n = 1;
n n
A1.2.81)
+1 (A, cos &) = 2 i?en+l (h, 2m + 1) cos [Bn + 1) &], 2 Чп.г = 1;

384 Гл. 11. Волновое уравнение
°
So2n (h, cos в) = 2 Кп (К 2т) sin Bn&), J. InB°2n = 1;
n n
2L A1.2.82)
Все эти функции при заданном значении h образуют полную систему
собственных функций, взаимно ортогональных между собой. Функции Sem
четны по отношению к & = 0, тс, а функции Som нечетны. Функции Se
четного порядка 2т четны относительно & = тс/2, Зтг/2, а функции с нечет-
нечетным индексом 2т +1 нечетны. Функции So четного порядка в указанном
смысле нечетны, а нечетного — четны. Например, Se2m (&) = Se2m (тс ;?-&) =
= Se2m (- &) и A>W1 (&) = - So2n+1 (тг - &) = So2m^ (тс + &) = - ,So2m+1 (- &)
« т. д. Нормирующие постоянные для этих функций таковы:
{h),
A1.2.83)
п=0
Как указано на стр. 531 тома I, мы определили коэффициенты В таким
образом, чтобы функция Se и производная от So при & = 0 были равны
единице. Это сделано для того, чтобы некоторые наши формулы выгляде-
выглядели проще и чтобы наши функции возможно больше походили на тригоно-
тригонометрические функции, к которым они сводятся при h—*0. Однако вслед-
вследствие такого выбора получаются некоторые неудобства, так как при уве-
увеличении h значение Sem, например, вблизи & = те/2 становится много боль-
больше, чем при & = 0.
Другой метод нормирования заключается в том, чтобы сохранить
Bm(h, m) равным единице для всех h, что- также приводит к соотношению
Sem —> cos (m&) при h —> 0; но при таком нормировании для некоторых h
получается, что Sem~>co. Еще один «надежный» способ состоит в том,
чтобы определить нормирующую постоянную М так, чтобы интеграл от
квадрата Sem по Ь от 0 до 2тг, так же, как для предельной формы cos(m&),
равнялся 2it/sm. Это нормирование обеспечивает конечность собственных
функций при всех действительных значениях h, но вводит во многие ча-
часто применяемые формулы постоянные, равные значениям Sem при & = 0.
Поэтому лучше всего принять Sem = 1 при & = 0 для всех h. В обычно
применяемой области значений h затруднений при таком соглашении не
возникает. Поскольку нормирующие постоянные М вычислены и внесены
в таблицы, легко получить функцию, нормированную к 2тс/зт, умножая
Sem на [2iz/emMm(h)]i/2; аналогично поступают с нечетными функциями
Все коэффициенты В, постоянные разделения о и нормирующие посто-
постоянные М являются функциями h с индексом т и значком е или о, отли-

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 385
чающим четные и нечетные относительно & = 0 решения. Когда нужно
подчеркнуть эту зависимость, приходится сохранять в записи все индексы,
значки и скобки, как это было сделано в формулах A1.2.82) и A1.2.83);
в противном случае мы будем насколько возможно упрощать обозначения,
записывая, например, bem, i?2m или М.
Радиальные решения. Возвращаясь к решениям для \х, напомним
вновь, что, как это было показано на стр. 594 тома I, коэффициенты разложе-
разложения в ряд по функциям Бесселя те же, что и коэффициенты разло-
разложения в ряд Фурье. Мы могли бы, конечно, в A1.2.82) просто заменить
& на гц. и использовать полученные ряды по гиперболическим функциям.
Можно поступить и более изящно, возвратившись к переменной 2 = cos&==
= chfi и введя соответственно многочлены Чебышева, определенные в
E.3.43) и в таблицах в конце гл. 6. Например, мы имеем
Г i
z) = у * (z«- 1) %В°2П+1Т1П (z),
A1.2.84)
Поведение этих рядов можно выяснить, используя аналитические свойства
многочленов Т, связанных с гипергеометрической функцией.
Но ни один из этих способов не приводит так просто к асимптотиче-
асимптотическим выражениям для функций Se, So при больших значениях z, как
разложение по функциям Бесселя, рассмотренное на стр. 598 тома I и следу-
следующих. Формула E.3.83) показывает, что функция
Je2m (Л, ch р) = у/ I 2 ( - 1)"-т^п(Л, 2т) J2n (h ch ц)
п=0
пропорциональна Seim(h, сЬц). Мы могли бы сделать эти две функции
равными, подобрав множитель пропорциональности, но лучше оставить
найденный выше множитель, поскольку так определенная функция Je2m
имеет простую асимптотическую форму при j*—э- со:
cos /zch w — t; те i 2m + ;
chp L ^ 2 V. ^2
Таблицы в конце этой главы содержат полный набор формул, опреде-
определяющих радиальные функции первого рода Je, Jo. Заметим только, что,
когда h обращается в нуль, эти функции сводятся к функциям Бесселя.
Таким образом, предельная форма разделенного решения уравнения Гельм-
гольца Sem (h, cos &) Jem (h, сЬц) имеет вид ~|At/2cos(m&)/m(Achfi), что и
должно быть (в пределе волна сводится к круговой). Отметим также раз-
разложения по произведениям функций Бесселя; эти разложения сходятся
быстрее, чем приведенные выше ряды. Поскольку Je, Jo и Se, So про-
пропорциональны, они одинаково ведут себя при z = l (f*,& = 0); другими сло-
словами, значение /отприц = 0 и производная от /етпри ц = 0 равны нулю.
Значение Jem и производная Jom при ц = 0 могут быть выражены через
коэффициенты В, как это указано в формулах в конце этой главы.
Для радиальной координаты ц необходимы также и вторые решения
уравнений Матье при значениях Ь, соответствующих собственным функци-
функциям Se, So. Их легче всего получить заменой в выражениях для Je, Jo
функций Бесселя Jm на функции Бесселя второго рода Nm. Например,

386 Гл. 11. Волновое уравнение
радиальная функция второго рода, соответствующая Je2m, имеет вид
71=0
Между функциями Je и Ne имеется, таким образом, весьма простая
связь, а асимптотическое поведение Ne при ц —> со таково:
Neom ca-
Фаза этого выражения на 90° отличается от фазы асимптотического выра-
выражения для Je. Приведенный выше ряд сходится не очень хорошо; он ни
при каком конечном значении р. не сходится абсолютно. Но эквивален-
эквивалентный ряд
0 я=0
(для экономии места мы опустили символы h, 2m у коэффициентов В%„
и Во) сходится удовлетворительно вблизи ^ = 0.
Вронскиан, связывающий решение первого рода с соответствующим
решением второго рода, равен единице (этим, конечно, объясняется сделан-
сделанный выше выбор коэффициентов). Это связано с вопросом о значении
функций Ne, No и их производных при ц = 0. Например, поскольку произ-
производная Jem при fj. = 0 равна нулю, производная Nem (по переменной р) при
A = 0 должна иметь значение, обратное значению Jem при (i = 0. Наоборот,
Nom при р. = 0 должна иметь значение, обратное значению производной
от Jom при н = 0, взятому со знаком минус. Значения функции Nem и
производной Nom могут быть вычислены с помощью рядов по произведе-
произведениям функций Бесселя. Заметим также, что равенство А(/е, Ne) = l упро-
упрощает вычисление функции Грина.
Приближения для малых значений hum. Иногда приближенные вы-
выражения для некоторых собственных функций полезнее, чем более точные
численные, таблицы. Для случая длинных волн, например, разложения по
степеням h позволяют вычислить предельное поведение решения. С другой
стороны, иногда требуется вычислять значения функций для очень боль-
больших значений h и желательно иметь приближенные формулы и для этого
предельного случая.
Для получения приближения в случае длинных ноли мы отправляем-
отправляемся от видоизмененного уравнения Матье
Очевидно, зависимость решения от h всегда может быть представлена и
виде ряда по степеням /г2. В качестве примера этого метода вычислений
мы рассмотрим функцию наинизшего порядка
y = Seo(h, cos^) = B0 + B2co
Поскольку эта функция должна стремиться к 1 при /.—> 0, коэффициенты
В как функции от h должны разлагаться в ряды вида

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 387
Поскольку Ье0 (Л) стремится к нулю при h —» О,
6А2 А2
Пользуясь разложением Se0 в ряд Фурье, получаем
f = - 4В2 cos 2& - .. .,
Сравнение коэффициентов в дифференциальном уравнении дает
Подставляя теперь вместо b—^ h2 и Б степенные ряды, находим: а = 0,
P=jO2,o2=--g,i2=--gfl0-^o4 и т. д., откуда получаем а = 0,
Р = — 32 • а2 = — "g". а4 = 0, ^4 = 512 • Отсюда имеем
Ло = 1 + ао/г2-I- fcofe* -
Так как 6"е0 должна равняться единице при & = 0, тоао = 1/8и Ьо= 7/512.
Следовательно, с точностью до четвертой степени h мы имеем
Постоянная разделения с той же точностью выражается так:
Выполняя те же вычисления для других функций, окончательно по-
получаем с точностью до четвертой степени малой величины h:
So, (h, cos ft) = A + ^ + ^ ) sin 9¦ - (j? + gjg ) si- -v -r 3^..
fcOl (A) -1 + { Л'-^ЛЧ ...; A1.2.85)

388 Гл. 11. Волновое уравнение
Соответствующие нормирующие постоянные таковы:
Из таблиц в конце этой главы видно, что коль скоро коэффициенты
В определены, представляется возможным вычислить все радиальные
функции. Наиболее важны значения этих функций и их производных по
fi при fj. = 0, ибо эти значения нужны для того, чтобы удовлетворить кра-
краевым условиям при A = 0. Соответствующие выражения имеют вид:
Je[(h.l)=O;
1,781,
A1.2.86)
= Т |/ - L4+32+ 1536+ • • • J ;
яри этом формулы для iVe0, iVoj, iVej, iVo2, Л'о^ имеют точность первого
порядка по h2, а остальные — второго порядка.
Приближения для малых Л и больших т. Для получения приближен-
приближенных решений при больших значениях т, в частности при Ь, больших чем
Л2, мы можем использовать метод WKBJ, рассмотренный я § 9.3. Согласно
этому методу, решения уравнений A1.2.79) имеют вид
1 cos «- [• ~1
Н (Ъ) ~\b-h2 cos2 &1~4 \ Vb — Л2 cos2 udu
sin L.) J

11.2. Волновое движение, dee пространственные координаты 389
при условии, что разность Ь — h2 cos2 & нигде на действительной оси не
обращается в нуль. Интеграл в скобках выражается через эллиптические
интегралы второго рода:
о
где
Для того чтобы #(&) была периодической по & с периодом 2тс, необ-
необходимо, чтобы аргумент косинуса или синуса был целым кратным it при
& = ir. Это условие равносильно уравнению
устанавливающему связь между т ш Ь. Используя степенной ряд для
Е(-угъ,к j , мы можем получить приближенные выражения для постоян-
постоянных разделения:
1 1 й
Лр ~ йо ~ т2 4- — /г2 -4- —-
utm — иит — т -f- 2 n -f- 32
В этом приближении нет разницы между значениями be и bo при,
одном и том же номере т. Точные разложения высших собственных
функций по степеням h показывают, что полученное выражение верно
с точностью до степеней h2, меньших чем порядок т собственной функции.
Имеет место общая формула
Щ}^=Т)+..., (И.2.87)
которая верна при т = 1 только с точностью до постоянного члена (та=Н),
при m = 2 с точностью до члеца №, при т = 3 с точностью до члена к*
и т. д. При каждом значении m разность между bem и bom имеет
при малых h порядок h2m. При m > 4 можно использовать все члены,
выписанные в A1.2.87).
Возвращаясь теперь к самим собственным функциям, мы можем
в формуле для Н (Ф) разложить подинтегральное выражение, стоящее
в аргументе косинуса или синуса, по степеням h2 и, используя это раз-
разложение для собственных значений Ь, произвести интегрирование. С той
же степенью точности, что и в A1.2.87), получаем
Г ft4 Т
X cos m&— 8msin2& — 0- sin4d—... ,
i
[Ъот — Л2 п4 г Л2 Л4 I-1
m ^— ^ ! ;—-—• .. . X
COS &) гIT \i^rs
' L бот — h2 cos2 ft J L «m 32m8 J
[^^] A1.2.88)

390 Гл. 11. Волновое уравнение
Правые части, как и в A1.2.85), можно разложить и ряды Фурье. Зная
коэффициенты рядов Фурье, можно, как и ранее, вычислить ряды для
радиальных функций.
Заметим, что чем больше т, тем большим должно быть 1г, для того
чтобы Sem, Som начали заметно отличаться от обычных тригонометри-
тригонометрических функций и для того чтобы Ъет, Ьот начали заметно отличаться
друг от друга. При увеличении h разность Ъет — Ьот возрастает от нуля
(сначала как h2rn), пока, наконец, Ьет не становится почти равным Ьот+1,
что мы вскоре покажем. При малых h величины Ъ возрастают, начиная
с их первоначального значения т2, пропорционально h2; при больших h
они меняются линейно вместе с h, как это будет показано ниже.
Выражения для больших h. Если h очень велико, то, как следует
из теории Штурма — Лиувилля, решения будут велики только при & = те/2
и &= —те/2. Обращаясь к уравнению Лиувилля F.3.12), видим, что для
уравнения Матье р = 1, д= — u2cos2&, г = 1 и \ — Ь. Как было указано
на стр.672 тома I, если разность Ъ—u2cos2& положительна, то решение у
имеет синусоидальный характер, а если Ъ — u2cos2& отрицательна, то
характер у экспоненциальный. Если бы b было отрицательно, то у имело
бы экспоненциальный характер для всей области значений Ь, и поэтому
не могло бы быть периодическим. Если Ъ положительно, но меньше h2,
то у может быть синусоидальным только вблизи точек & = тс/2 и &= —те/2,
где cos2& обращается в нуль. Следовательно, у может принимать боль-
большие значения только вблизи этих точек и у убывает до весьма малых
значений при & = 0 и & = тс, причем кривые в окрестности этих точек
выпуклые, т. е. ведут себя подобно экспоненте.
Для больших значений h функции Se, So должны, следовательно,
иметь свои наибольшие значения вблизи &=±ъ/2 и быстро убывать
с каждой стороны от этих точек, чтобы вблизи & = 0, ic принять срав-
сравнительно малые значения. Быть может, следует попытаться решить
уравнение A1.2.79) вблизи точек & = ±гс/2, потребовав в качестве крае-
краевых условий, чтобы решения экспоненциально убывали (подобно отрица-
отрицательной экспоненте) на границах соответствующих областей.
Для больших значений h вблизи точки & = тг/2 уравнение A1.2.79)
приближенно записывается в виде
hx)y = 0, ж = &те.
Это — уравнение полиномов Эрмита, если только интервал изменения х
совпадает с (—со, +оо). Формулы, касающиеся полиномов Эрмита, даны
в таблицах в конце гл. 6. Собственными функциями, экспоненциально
стремящимися к нулю при больших значениях z, являются <i>n (z) =
--г2
= е 2 Нп (z). Они удовлетворяют дифференциальному уравнению
Если мы потребуем, чтобы у с^ А<Ъп (х \^h) вблизи х — 0 f ** = "о"m J ' Го У
должно удовлетворять уравнению
и экспоненциально убывать при удалении от х = 0.
Истинное решение должно поэтому почти равняться Лфп (х У h) вблизи
х — 0, но для других значений х его поведение должно отличаться
от этой функции, ибо у должно быть периодическим по г с перио-

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 391
дом 2тс, в то время как фп — непериодическая функция, стремящаяся
к нулю по мере увеличения | х |. Все же мы в состоянии приближенно
решить уравнение A1.2.79) в важных областях вблизи & — те/2 и &= —те/2,
составляя линейную комбинацию функций ф. Мы можем использовать одну
из комбинаций А ¦! фп [К^Г & — -g- w ) 1 ±ф» Г Vh( ^ + " те J| Г • пРичем>
комбинация со знаком плюс симметрична по отношению & = 0 и потому
должна соответствовать функциям Se; комбинация со знаком минус
антисимметрична, и потому она должна соответствовать So. Если две
функции ф мало «перекрываются»), то наша комбинация даст, вероятно,
хорошее приближение.
Нам остается еще обеспечить периодичность решения, но это может
быть сделано добавлением функций, подобных выписанным, у которых &
увеличено последовательно на 2те, 4-гс, ..., — 2тс, — 4те, .... Таким образом,
мы получаем, наконец, приближенное решение для больших h:
Sem(h, cosb) c^Am ^ {[уD )]
П=— оо
[^(i )]} , A1.2.89)
где постоянные Ат, Вт определяются из условий, которым должны удов-
удовлетворять Se, So при '0 = 0. Несколько первых собственных функций
можно выразить через эллиптические функции. Так, функция наиниз-
наинизшего порядка имеет вид
°° 1/
Se0 (/1, cosd)»4 2j e 2
-^-innir, e *
где Ф2 — одна из эллиптических тэта-функций, определенная в D.5.70).
Поскольку Seo(h, 1) должна быть равна единице, коэффициент А должен
2 )
иметь вид 1/&2 @, е 2 ). С помощью хорошо известного преобразования
тэта-функций (см. задачу 4.51) можно показать, что
и это доказывает периодичность функции iS"e0.
Итак, мы имеем
@,

3 92 Гл. 11. Волновое уравнение
Аналогично
So,(h, cos&
»2@,
h(*e-2/h)Ml 2 90V
40, e-Z/h) »,@, e
Эти результаты, связывающие решения волнового уравнения в эллипти-
эллиптических координатах с эллиптическими функциями, исключительно инте-
интересны. В нашем приближении функции Selt So2 оказываются связаннымо
с производными Se0, So1 no &.
Чтобы выяснить, в какой области пригодны эти приближения, в
вычислить приближенные значения постоянной разделения Ъ, мы исполь-
используем полученное приближенное выражение для у в качестве функции
сравнения в вариационном методе. В соответствии с F.2.20) величина
1т.
Q=
не меньше чем Ъей и приближается к точному значению Ьей, когда i|> при-
приближается к истинной функции Se0.
Чтобы увидеть, как ведут себя эти интегралы, мы вычислим норми-
нормирующую постоянную для приближенного выражения Se0. Переставляя
знаки суммирования и интегрирования, получаем
—со 71=—СО 71=0
1 2
СО p~i 1 — 42 — ft СО
Числитель упрощаем, используя равенства — г|/' = (h — h2x*) г|) и cos2 & =
~Г1^. Вычисления дают
оо со 1
^ У,/П У, \е
@, e 4 ) n=-co -°°
МО,
»3@,
е
е
1
4
1
4
hit2
h
) ^
ОО
¦2
71=0
„-f h7c2n2
С другой стороны, для постоянной разделения fcj, соответствующей

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 393
имеем
( -4
1 _T
i
-^Ля2гс2е~4 ~ A1.2.91)
h—>oo.
Заметим, что эти выражения отличаются только последними членами.
Оба собственных значения возрастают при больших h пропорционально Л,
Множитель е 4 измеряет «перекрытие» одного из членов ряда с после-
последующим. Если оно мало, то мы можем быть уверены, что приведенные
формулы дают хорошее приближение к точным решениям; пока h > 2
этот «перекрывающий» член меньше 0,01 и мы можем ожидать, что фор-
формула, грубо говоря, будет правильной с точностью до одного процента.
Волны внутри эллиптической области. Для решения внутренних,
задач следует найти значения h, при которых радиальные функции /е,
Jo удовлетворяют заданным краевым условиям на граничном эллипсе
(i = [i0. Функции Je, Jo должны здесь использоваться потому, что функ-
функции Ne, No или их производные имеют особенность при fj. = 0 и приме-
применяются только во внешних задачах.
Для эллиптической мембраны краевое условие имеет вид: я|) = О
на границе. Предположим, что границей служит эллипс с большой
осью А и малой осью В. Возвращаясь к выражениям для координат,
мы видим, что a ch fi0 = А и a sh \i0 = В, так что а2 = А2 — В2 и ц0 = Аг th (В/А).
Следовательно, можно вычислить а и ц0, если заданы А и В или если
заданы фокальное расстояние а и эксцентриситет е = |/1 — (В/АJ =
= 8есЬAщ (или какая-либо другая пара величин А, В, а, е). Краевое
условие, определяющее собственные частоты, имеет вид
Jem (h, ch fi0) = 0 или Jom (h, ch ц0) = О,
где h = шо/2с = nav/c = яа/Х. Мы выбираем и, а вместе с тем и h так
чтобы /е(или Jo) обращалась в нуль при ц = ц0.
Если fj.o велико (т. е. эксцентриситет e = l/ch[i0 мал), то корни этих
уравнений существуют для малых h. В этом случае для определения
собственных частот можно использовать приближенные выражения
A1.2.85). Например, для наинизшей формы колебания (т = 0) радиальная
функция с точностью до величин второго порядка относительно малого h
имеет вид
Если высшие члены отсутствуют, то эта функция обращается в нуль
при ЛсЬ[хо = лРо1 (см. таблицу на стр. 523), т. е. когда uchfi0 равно наи-
наименьшему корню уравнения /0(nj3) = 0. Если h мало, то корень урав-
уравнения Je = 0 мало отличается от этого значения. Вблизи п$01 мы имеем
/о(ж)с^(яро1 — x)J1(n$01), так что уравнение /ео = 0 приближенно сво-
сводится к следующему:
(!+-§- Л2) (яр01 -Л ch ц0) Л (яр01) +1 №J2 (яр01) = 0.

394 Гл. 11. Волновое уравнение
Решение последнего уравнения с точностью до малых второго порядка
относительно e = l/chfi0 равно
Подстанляя численные значения J3O1 = 0,7655, /2(nf!01) = 0,4318,
¦A(wPoi) = l*.5191 и выражая все через непосредственно измеряемые вели-
величины, для наинизшей формы колебаний и для почти круглой мембраны
получаем
\i ^"J [0,7655 + 0,1914е) (В * А),
где с = |/7р — скорость распространения поперечных волн вдоль мембраны,
А— большая ось граничного эллипса, а е = |/1 — (В/А)* — его эксцентри-
эксцентриситет. Первый член представляет собой собственную частоту круглой
мембраны диаметра А. Второй член дает поправку первого порядка,
которую следует внести в эту частоту для учета эффекта эксцентрич-
эксцентричности границы. Эта поправка, очевидно, пригодна только для очень
малых значений эксцентриситета. Соответствующая собственная функция
выражается так:
где величина h определена в A1.2.92).
Когда эксцентриситет велик, ц0 мало и В ъ ац0, А ъ> а С 1-\-^
-с точностью до членов второго порядка относительно ,uu или а *ы А —
— -g- (В2/A), fj.o як (В/А) -f A/3) (ДМK с точностью до членов третьего порядка
относительно В/А. В этом случае даже наинизшее допустимое значение h
велико и мы должны использовать формулы, предшествующие A1.2.90).
Чтобы удовлетворить краевым условиям, подставим ip вместо & в выра-
выражение для 6"е0 через тэта-функции. Приравнивая это выражение нулю,
получаем
Паинизшим корнем является /г(хо = 1, или
, А 1В
h
В этом предельном случае частота точнее выражается не через большую
ось А, а через малую ось В (А > В).
Соответствующее выражение для наинизшей собственной функции
в случае очень эксцентричной эллиптической мембраны имеет вид
г|;01 а* К [ ^ еп (-- 1 )ne~™/h cos 2n» ] X
0
71=0
X
I
ro=O
где величина h определена выше.

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 395
Для промежуточных значений эксцентриситета границы или для
получения более точных результатов приходится пользоваться точными
решениями, помещенными в таблицах в конце этой книги. Эти решения
выражаются в виде Sem(h, cos &)/em (Л, chp.), где h — корень уравнения
Jem(h, chfio) = O, или в виде соответствующей комбинации So и Jo.
Разложения функции Грива и плоской волны. Обычную методику,
приведшую нас к G.2.63), легко применить и здесь для получения раз-
разложения в эллиптических координатах двумерной функции Грина для
всей плоскости:
A1.2.93)
sem(h, COBb)lJer*(bchb>)Hetn(h
I Je (b h ) Hem (ft,
у Son(h, CCS \) f J0m(h, Ch H)H0m(h, chfi),
? MW 1 /o (Л Ch [) Я0т (Л, Ch p.),
где ft = a/e/2 = acu/2c и
Яет = /ет + iNem = - iC^ (ft,
= - iC°m (ft,
— решения, соответствующие расходящимся волнам.
От этого разложения можно непосредственно перейти к разложению
плоской волны, но для рассматриваемого случая мы все же проведем
вычисления. Поместим источник в точке на большом расстоянии от начала
в направлении, образующем угол и-\-ъ с положительной полуосью х.
Тогда величина R будет равна г0 + г cos (и — <р) при г0 > г, &0 *а у + п
ш kr0 «** h ch fv Асимптотическое выражение для ЫНй (кВ) имеет вид
yr2TU/krQeif>r°+ikrC0B <«-*). Пользуясь соотношением
Sem(h, —cos и ) = ( — l)mSem(h, cos и),
в также асимптотическими формулами для Нет и Нот, получаем
cos («—<р) r^s l e^ cfr w> х
X
- I)" e^im7C { ^) Se
m
Произведя возможные сокращения, в конце концов придем к формуле
gihr cos (w — <р) __ gih[x сое w+y stn «3 =
S€m{ht cos &)/е-(Л'chfl)+
Som(h, cos&)/om(ft, chP)}, (И.2.94)
которая представляет собой разложение плоской волны, распространяю-
распространяющейся под углом и к положительной полуоси х (т. е. по отношению
к большой оси эллипса).

396 Гл. 11. Волновое уравнение
Из этой последней формулы можно получить интегральное предста-
представление собственных функций в эллиптических координатах типа A1.2.2)-
2эт
Sem (Л, cos &) Jen (h, ch ц) = * [ e«x Jem (Л, cos в) da,
2°, A1.2.95)
Som(h, cos &)Jom(h, ch^)= ^^.т ^ eikXSom(h, cosu)du,
где X = /-cos(m — <p) = ж cos w + 2/sin и. Из этой формулы в свою очередь
можно извлечь выражение для SemJem через решения в полярных коор-
координатах rmJm. Разложив Sem (h, cos и) в ряд Фурье A1.2.81) и пользуясь
формулой A1.2.21), находим
г— °°
Se2m(h, cos&)Je2m(h, сЬц) = j/ -? 23 B"^h> ^т) cos Bn9) J2n (кг) A1.2.96)
п=0
и аналогично для Se2mi:1 и функций So, Jo.
Так как Sem — собственная функция, то тригонометрическую функ-
функцию от и можно разложить в ряды по Se, So вида
cosBти) — 2тс У\ —ъ— В\т (h,2n)Se2n (h, cos и).
*-* Mvrfim
n=0
Поэтому мы можем написать
со
cos Bm?) J2m(kr) = О=- 2 У'ff?} ^2» (Л, cos &) 7e2n (h,
Это — обращение разложения A1.2.96). Полученные результаты нетрудно
распространить на случаи симметрии иных типов по <р или &.
Излучение колеблющейся полосы. Простейшей внешней задачей
является излучение поверхности, которая представляет собой полосу fi = О
нулевой толщины и ширины а. Если полоса достаточно длинна и каждая
точка любой вертикальной прямой движется одинаково, то задача стано-
новится двумерной, и можно использовать эллиптические координаты,
расположив фокусы эллипса на «краях» полосы. Мы приведем два при-
примера: в одном будет рассмотрено акустическое излучение колеблющейся
полосы, во втором — электромагнитное излучение тока, текущего по полосе.
В случае колеблющейся полосы положим, что в точках ее поверх-
поверхности движение окружающей среды нормально к поверхности и имеет
скорость v0e~ivot на части поверхности от & = 0 до& = тии —voe~iv>t на
части от & = ти до & = 2тс. Поэтому если \р — потенциал скоростей, то
краевое условие при ц = 0 таково:
»„ @ <&<*),
Поскольку gradjiij) при ц = 0 равен [2/<z|sin&|] Eя|з/др), это условие при-
принимает вид
1 - п
Это означает, что ij> должно быть нечетной функцией от &, так что сле-
следует пользоваться функциями So, Jo, No. Краевое условие на бескоцеч-

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 397
еости сводится к требованию-, чтобы решение представлялось расходя-
расходящимися волнами, так что для радиальных решений мы будем пользо-
пользоваться функциями Нот — аналогом функций Ганкеля. Производные этих
•функций имеют вид
~Hom(h, сЬц) = г<^(Л, ^)в^(Л'^= ^[Jon + iNom],
аде величины Ст и от определяются аналогично случаю полярных
координат.
В нашей задаче нужно найти величину производной при р = 0. Обо-
Обозначая значения величин С и о при fi = 0 снова через Ст и о„ и исполь-
зуц формулы, помещенные в конце этой главы, получаем
So^(h.O)
(m — четное),
!где аргументы всех функций Jn, Nn и т. д. равны Л/2. Аналогичная
формула имеет место для нечетного т. Используя формулы A1.2.86), на-
находим, что для малых h
Теперь разложим sin& в ряд по собственным функциям So. В раз-
разложение войдут только нечетные значения т (почему?), и мы в конце
концов получим
^ BUh, 2m -4-1)
m==0 ^2т+1(Л)
•Следовательно, выражение для излученной волны имеет вид
у 2j р,^ S°2m+l(h, COS &)Я02т+1 (Л, Chti).
т_0 M2m+l(h) °2т+1
Пользуясь этим выражением, можно подсчитать обратное воздействие
поля на полосу (а аначжт, акустический импеданс полосы) и количество
анергии, излученной полосой. Чтобы найти импеданс, найдем прежде
лсего давление на поверхности полосы |х = 0. Так как
= 0 -
я давление р в любой точке равно произведению — гсор на потенциал
скоростей -ф, то мы имеем
1 ( +) ie41
р = ¦=- 1сяшру0 2j т — «So^rf (Л> cos
m M2m+1 (°2m+irsm (b2m+l)

398 Гл. 11. Волновое уравнение
Полная сила F, действующая на единицу длины полосы равна
1 С"
-у а \ р sin & d& и направлена в сторону убывания
Щгп+1
Отношение силы F к скорости полосы у0 является акустическим импедансом
излучения единицы длины полосы Z = R— iX, где
J2m+l
A1.2.
причем R— активная, а X — реактивная составляющие импеданса излуче-
излучения единицы длины полосы.
Для низких частот (со < 2с/а), или длинных волн (X > то) h мало по-
сравнению с единицей и можно вычислить приближенные значения состав-
составляющих импеданса, пользуясь формулами A1.2.85) и A1.2.86):
„ л2 , о -712а4ш8 ,. tiah тш2.<о
Я~ас/г3 Рс Лс^с
Таким образом, активная составляющая импеданса излучения при низких
частотах возрастает как третья степень частоты, в то время как реактив-
реактивная составляющая возрастает с частотой линейно. Поэтому при очень низ-
низких частотах обратное воздействие поля излучения подобно реактивной нагру-
нагрузке массой (Х = Ми>), причем эффективная масса единицы длины полосы
равна iupa2/4.
При очень высоких частотах излучение представляет собой плоскую
волну, распространяющуюся от обеих сторон полосы нормально к ее поверх-
поверхности. Так как акустический импеданс для плоской волны, согласно ска-
сказанному на стр. 298 тома I, составляет рс на единицу площади, то предельное
значение R при очень высоких частотах (to > 2с/а) равно 2рса, а предель-
предельное значение X равно нулю. Для средних частот, т. е. для со порядка
величины 2с/а, следует пользоваться таблицами и полными формулами
A1.2.97).
Возвращаясь к уравнению для ф, иидим, что предельное значение' •!>
на больших расстояниях от полосы, где chu,^2г/а, &с^<р (г и у—поляр-
у—полярные координаты с началом в центре полосы), имеет вид
B\(h, 2m-H)«-'<%.n S02r.yl (A cos ).
На таких расстояниях волна практически является плоской, та к что ее интен-
интенсивность (см. стр. 352) Р = —ри = у рс/е2|г)з |2, и
I v B\(h, 2m+I)/,'? (Л,
X C0S[&2m+l — &2п+1 + л (т ~ и)] ^°21ТИ-1 ('*> C0S Т) ^°2п*1 С1' COSCP)- (^
Полная энергия, излучаемая единицей длины полосы, равна этой интен-
интенсивности, умноженной на г и проинтегрированной по q>. Вследствие орто-

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 399-
тональности функций So получаем
m=0
т. е., как и следовало ожидать, эта полная энергия равна произведению-
-n-vl на активную часть R импеданса излучения.
Излучение тока, текущего по полосе. Чтобы определить излучение тока,,
текущего по проводящей полосе, мы должны вернуться к электродинами-
электродинамическим уравнениям из § 2.5. Будем исходить из векторного потенциала'А.
Если отсутствуют свободные заряды, то скалярный потенциал можно поло-
положить равным нулю, приняв, что дивергенция векторного потенциала равна
нулю. Тогда в случае чисто гармонических колебаний (и е = ц, = 1) напряжен-
напряженность электрического поля равна —dA./cdt = icaA/c, а напряженность магнит-
магнитного поля H = rotA. Уравнение для А имеет вид
?2А= -rotrotA- 75--^ = — J,
где J—плотность тока.
Если падение напряжения, вызывающее ток в полосе, равномерно по
всей длине полосы, то вектор А всюду направлен по оси z перпендикуляр-
перпендикулярно к плоскости координат х,у или ц,& и имеет вид а2фе—iui', где ф — ска-
скаляр. Для того чтобы drvA = 0, ф должно быть функцией от х, у или ц,
&, но не от z, и тем самым задача сводится к двумерной. Несмотря на то,
что А и Е направлены по оси z, зависимости ф, А, Е и Н от пространственных
координат включают только х и у, но не z, и можно рассматривать только
скалярную функцию ф. Эта амплитуда векторного потенциала удовлетворяет
уравнению Гельмгольца, однородному вне полосы и неоднородному внутри,
нее.
Краевые условия для ф вытекают из требования, чтобы падение нотен-
циала было равномерным вдоль полосы <и чтобы волна была расходящейся.
Если падение потенциала на единицу длины полосы равно Еое~ш, то первое
из этих условий состоит в том, что ф = —- icE0/a> при fi = 0; из второго-
условия следует, что ф должно выражаться через радиальные функции
Не, Но.
Из краевого условия, которому должна удовлетворять ф при р = 0,
следует симметрия ф относительно & = 0, что сводит допустимые радиаль-
радиальные функции к типу Не, а также симметрия ф относительно & = ic/2 и
& = 3'п;/2, что еще сокращает множество допустимых функций до типа
Не2т. Следовательно,/(&) симметрична относительно & = 0, & = ic, а также
&~1с/2, & = #гс/2. Таким образом, ряд для ф имеет вид.
Полученное решение позволяет вычислить ток вдоль полосы (а сле-
следовательно, и импеданс), а также и интенсивность излучения на больших
расстояниях. Функции Не2т, фигурирующие в решении, указывают на
наличие разрыва производной ф при переходе сквозь полосу с одной ее
стороны на другую. При этом скачок равен удвоенной производной ф при
(х = 0, так что плотность тока в полосе (ц = 0) в точке @, &) равна про-
произведению — l/2ic на производную ф при ц = 0:

400 Гм. 11. Волновое уравнение
Полный ток вдоль полосы в положительном направлении оси z при этом
равен (а/2) С / (&) | sin & | db.
Используя свойство ортогональности функций Se2m, из краевого усло-
условия при fi = 0 вычисляем коэффициенты ряда, и для амплитуды векторного
потенциала в точке (|х, ¦&) получаем выражение
*) = 2* -^ 2j Mfw(fe) Cg, Л«т (Л' C0S *> Яе2т (Л>
m=0 2m
где
HeZm(h, 1)=—iCe2me^e2m = JeZm(h, l) + iNe2m(h, 1).
Плотность тока на поверхности полосы в точках ц = 0 [обе «стороны» счи-
считаются различными и токи на них должны суммироваться; точки 0 < ¦& < тс
считаются отличными от точек тс < ¦& < 2тс, а полная плотность тока в по-
полосе в точке х = (а/2) cos-fr представляется суммой / (¦&) и / Bтс — ¦&)] выра-
выражается таким образом:
4 ' h\ sin <
Мы видим, что плотность тока не постоянна по поперечному сечению
полосы и стремится к бесконечности при приближении к каждому из ее
краев (как это происходит со скоростью потока через щель). Полный ток /,
однако, не бесконечен. Адмитанс единицы длины полосы, т. е. отно-
отношение I/Eo = Y = G — iS, в нашем случае выражается формулой
г/ \ — J!?LV Г Bo(h' 2m) I2 l
bW- h 2л L c%m(Щ J м%т '
A1-2.99)
h 2j I C%m J M%m
m
При очень низких частотах (X > что) предельная зависимость от ш и а
дается формулами
2ш
В этом приближении соответствующие сопротивление R и индуктивность
излучения L, приходящиеся на единицу длины полосы, выражаются
формулами
до тех пор пока ln@,717X/a) > 1 (в обычных обозначениях мы имеем 1/У =
= Z = R—iwL). Таким образом, сопротивление излучения при очень низ-
низких частотах не зависит от размера (или формы) полосы. Для проводника,
поперечное сечение которого мало по сравнению с длиной волны, дейст-
действительная часть импеданса не зависит от формы поперечного сечения
проводника. Эффективная индуктивность при низких частотах зависит от
ширины полосы а, но только логарифмически. Из-за этой логарифмичес-
логарифмической зависимости сходимость делается сравнительно медленной и прибли-
приближенные формулы применимы в значительно более узкой области значений
¦ш, чем это имеет место для акустического излучения.

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 401
Нетрудно вычислить интенсивность излучения полосы на больших
расстояниях, определяя вектор Пойнтинга [см. B.5.28)]. Полная энергия,
излучаемая единицей длины полосы, конечно, равна GE\l1.
Рассеяние волн на полосе. Рассеяние волн на полосе можно исследо-
исследовать методами, аналогичными тем, которыми была получена формула A1.2.28)
для рассеяния на цилиндре. Возможны два предельных случая: случай I,
когда поле равно нулю при fi = 0, что соответствует электромагнитным
волнам с электрическим вектором, направленным вдоль оси полосы, и
случай II, когда нормальная составляющая градиента равна нулю при
fi = 0, что соответствует акустическим волнам, а также электромагнитным
волнам с магнитным вектором, направленным вдоль оси z. В обоих слу-
случаях мы исходим из разложения плоской волны A1.2.94) и, чтобы удов-
удовлетворить краевым условиям, добавляем достаточное количество расходя-
расходящихся волн (с функциями Не, Но).
Для упрощения формул будут полезны следующие соотношения:
iSe
Jen = Cem sin Ъ*т, Nem = - С'т cos Ь*т, Нет = - iC°me m
Jo'm = - С° sin о», No'm = C°m cos 8° , Но'т = iC°,e*m;
Jem = - С sin Ъ« , Ne'mr = СЦ cos ^ , Не'т = iCZ e""; A1.2.100)
Jom = Ст sin &m. Nom = ~ Cm COS O°*f Hom = — iC%/ m.
Здесь штрих у функций Je, Ne и т. д. означает производную по р. При-
Причина отсутствия штриха у С°т и 8°, и наличия двойного штриха у С<? и
ь°п скоро станет ясной. Параметр h опущен для упрощения записи. То
же самое относится к аргументу fi, который может принимать любые по-
положительные значения, хотя в большинстве случаев в наших формулах ц
будет равно нулю. При ц = 0 две из четырех строк этих соотношений
упрощаются:
» - 1
так что в случае ц = 0 мы можем обойтись только амплитудами и фазо-
фазовыми множителями без штрихов. Эти упрощения заслуживают внимания,
поскольку в дальнейшем величины С и 8 будут рассматриваться только
при р. = 0.
Для малых значений h имеем
Г1 _ "У12 1 •
L In2 D/ffc) J '
Так как функции Jom обращаются в нуль при ц = 0, то в случае I
(ф = 0 при р. == 0) в выражении A1.2.94) только члены Je требуют исправ-
исправления. Ряд для рассеянной волны в этом случае получается точно так

402 Гл. 11. Волновое уравнение
же, как это было сделано при выводе выражения A1.2.28):
ОО
XI -т Sevn (h. COS и) Ле
23 » * i {K)
е
м (h) ш Sin {K)Sem(h, cos
m=0 OT v '
A1.2.102)
при единичной амплитуде падающей волны. С другой стороны, рассеян-
рассеянная волна для случая II содержит только функции So, Но, поскольку
функции Je'm равны нулю при ц = 0:
inSOm^U)- е-»ш Sm(o°m)Som(h, cosЬ)Ноп(h,
A1.2.103)
Интенсивность рассеяния на единицу амплитуды падающей волны на боль-
больших расстояниях от полосы совпадает со значением | ф812 для больших р:
sin (8«) cog «в _ ge ) х
m,n m m n
XSem(h, cos u)Sen{h, cos u)Sem(h, cos &)Sen(h, cos &). A1.2.104)
Аналогичное соотношение с М^, 8^, Som имеет место в случае II. Пол-
Полная энергия, рассеянная единицей длины полосы для падающей волны
единичной амплитуды (т. е. эффективная ширина рассеяния полосы), в
случае I равна
со
S 7^г/ш*<№гп(к> cos м)]2- (И.2.105)
т=0
где м — угол падения плоской волны. Ясно, как выглядит аналогичная
формула для случая II.
Из этих формул следуют, многие интересные (хотя и очевидные) фак-
факты. Прежде всего (?п равно нулю, когда м = 0, в то время как Q1 при
этом отлично от нуля. Если плоская волна распространяется параллель-
параллельно поперечному сечению полосы (вдоль оси х), то полоса вовсе не иска-
искажает волну при краевом условии, требующем, чтобы нормальная состав-
составляющая градиента равнялась нулю, но волна искажается при условии,
требующем равенства ф нулю на полосе. Подобно этому, интенсивность
рассеяния в случае II равна нулю при & = 0,тс, независимо от угла па-
падения, что не имеет места в случае I.
При очень низких частотах, т. е. для длин волн X, очень больших
по сравнению с -ка, интенсивность рассеяния и эффективная ширина рас-
рассеяния имеют вид:
A1-2Л06)
in2 M gin2 &,
^^ |^ sin2M (X » тм или h < 1).
Заметим, что если частота стремится к нулю (X—>оо), рассеяние в слу-
случае 1(ф = 0) возрастает, в то время как в случае II (дф/д[л = О) оно убыва-
убывает. Такой же эффект наблюдался для рассеяния на круглом цилиндре.

11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 403
Краевое условие ф = 0 воздействует даже на очень длинные волны, в то
время как длинные волны не реагируют на условие 5ф/д|х = 0.
Диффракцпя на щели; принцип Бабине. Те же самые функции можно
использовать для расчета диффракции плоской волны на щели в плоскости.
Граница здесь состоит из двух полубесконечных плоскостей & = (), & = тс,
края которых отстоят друг от друга на расстояние а (ширина щели).
Рассматриваемая область разделяется на две части 0 < & < тс и л < 8- <
< 2тс, соединенные между собой щелью ц = 0. В щели решение и его гра-
градиент должны быть непрерывны. В первой области тс < & < 2тс существу-
существуют падающая волна, распространяющаяся под углом и к положительной оси х,
волна, отраженная от плоской поверхности и распространяющаяся в на-
направлении— и, и рассеянная волна, порожденная отсутствием границы в
щели. Во второй области 0 <& < тс имеется только диффрагированная вол-
волна, проникшая через щель. В каждой области полную систему собствен-
собственных функций образуют либо функции Sem, либо Som (но не обе).
В случае краевого условия II (нормальней составляющая градиента
равна нулю на поверхностях & = 0,тс) в каждой области следует исполь-
использовать только четные относительно & = 0, тс угловые функции, т. е.
Sem(h, cos&). Суперпозиция падающей и отраженной волн в области
тг<&<2тс, согласно A1.2.94), определяется формулой
ea.rcos (?-«) + eikrcos(?+«) = 2 у8^2) *'m Sem(h'cosu)Sem(h, cos&) Jem(h, ch j»).
К этой комбинации нужно, конечно, прибавить расходящуюся волну
чтобы обеспечить непрерывность на границе ц = 0. В области 0 < & < it
имеется только расходящаяся волна. Итак:
2 ^
m_0 -^m I»)
Sem (h, cos &) DmHem (k,«%), 0 < &
fj imSem^™U)Sem (A, cos ») X
X [2Jem (h, ch ?.) + AmHem (h, ch ц)], ic < & < 2«.
A1.2.107)
При этом коэффициенты Z)m и ^4m для каждого значения т должны быть
подобраны так, чтобы при [л = 0 выполнялись следующие условия:
[Значение в области 0 < & < 1с]р.=о = [Значение в области тс < & < 2iu]j,.=o,
[Производная по ц в области 0 < & < я]ц=о =
= — [Производная по fi в области тс < & < 2тс]р.=0.
Поскольку производная Jem при ц = 0 равна нулю, мы должны иметь
Dm= — Am, и, окончательно, используя соотношения A1.2.100), получаем
Таким образом, диффрагированная волна в области 0 < & < тс для кра-
краевых условий II на поверхности & = 0,тс точно такая же, как волна
— ф? из A1.2.102), рассеянная полосой при краевых условиях I. Этот
интересный результат следует сформулировать отдельно, чтобы оценить
его значение: волна, рассеянная полосой ширины а при краевых услови-
условиях I, такая же (с точностью до знака), как и волна, проникшая череа
щель ширины а при краевых условиях II, причем угол падения и интен-

404 Гл. 11. Волновое уравнение
сивность падающей плоской волны в обоих случаях совпадают. Замена
экранов щелями и наоборот при одновременной замене условий Дирихле
условиями Неймана оставляет диффрагированную волну неизменной.
Иначе можно сказать, что для краевых условий II на поверхности
& = 0,'п; волна в области 0 < & < ти равна волне ф* из A1.2.102), взятой
с обратным знаком; для краевых условий I на поверхности ц = 0 волна
в этой области (позади полосы или щели) равна eikr cos (ч>-«) -j- ф*; сумма
этих двух волн равна неискаженной плоской волне eihr cos (?-«) в области
0 < & < тс. Утверждение, состоящее в том, что сумма волны, диффрагиро-
ванной от некоторой границы, и волны, диффрагированной от «обращенной»
(в указанном выше смысле) границы, есть как раз неискаженная плоская
волна, называется принципом Бобине. Он справедлив, как это будет пока-
показано в § 11.4, для значительно более широкого класса границ, нежели
система полоса — щель, о которой здесь была речь.
Этот принцип верен, конечно, и для обратной системы: краевые ус-
условия II (производная равна нулю) на полосе р = 0 и краевые условия 1
(значение функции равно нулю) на полуплоскостях & = О,тс, ограничиваю-
ограничивающих щель. В области 0 < & < тс волна для случая I равна еЛг cos (?-"> -j- ф11
[см. A1.2.103)], а волна для случая II равна—ф*1. Полная энергия, про-
проникающая через щель, при единичной амплитуде падающей волны равна
половине эффективной ширины Q для «обращенной» полосы [множитель 1/2
получается потому, что в случае проникновения мы интегрируем только
по одной половине плоскости @ < & < тс), а не по всей плоскости @ < Ь <
< 2тс), как это было при подсчете Q].
11.3. Волновое движение, три пространственные
координаты
Трудности, с которыми связано изучение волн в случае двух прост-
пространственных координат, в трехмерном случае проявляются еще в боль-
большей степени. В трехмерном пространстве существуют плоские волны с волно-
волновым фронтом, параллельным плоскости, перпендикулярной направлению дви-
движения. Они имеют функциональную форму / (к - г — со<), где г — радиус-вектор
точки наблюдения и к — волновой вектор х), длина которого равна /с = со/с
и направление совпадает с направлением распространения волны [см. рас-
рассуждения, относящиеся к формуле B.2.4)].
Имеются также цилиндрические волны, волновой фронт которых пред-
представляет собой цилиндрическую поверхность, а направление распростране-
распространения перпендикулярно оси цилиндра. Заметим, кроме того, что существу-
существуют волны более общего вида, у которых пространственные зависимости
не связаны ни с прямыми линиями, ни с плоскостями.
Все эти волны могут быть построены суперпозицией плоских волн
по способу, близкому к примененному в A1.2.1). Если мы выразим на-
направление волнового вектора к через сферические углы и (угол между
вектором к и осью z) и v (угол между плоскостью k, z и плоскостью х, z),
то общее выражение для волны в пространстве трех измерений будет
иметь вид
2то т.
lv \ sin uF (u,v\k-r — kct)du. A1.3.1)
о
*) К сожалению, в соответствии с традицией волновой вектор имеет тот же сим-
символ, что и единичный вектор оси z. В этой и следующих главах мы будем употреб-
употреблять к для обозначения волнового вектора и а^, ау, а2—для обозначения единичных
векторов, когда это понадобится.

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 405
Эта волна при помощи интегрирования по трем прямоугольным составля-
составляющим вектора к может быть представлена в виде тройного интеграла Фурье
,т), С) <#"¦'-*<*>#, A1.3.2)
— СО —СО
где 6, ij, Х> — компоненты вектора к по осям х, у, z.
Для простых гармонических волн W = ^e~iu>t, где ф—решение трех-
трехмерного уравнения Гельмгольца и интегрирование должно быть выполнено
по поверхности сферы в «/е-пространстве», поскольку длина к фиксирована:
2эт
tyh (х, у, z) = { do С sin и А (и, v) eik-rdu, A1.3.3)
о J
где
к ¦ г = х sin и cos v -\- у sin и sin о -J- z cos и =
= г [cos & cos и -J- sin & sin и cos (v — <p)],
причем г, ¦&, <p — сферические координаты точки наблюдения. По к можно
интегрировать от 0 до тс или в комплексной плоскости и. Мы убедимся,
что интегральные представления типа A1.3.3) для собственных функций
в различных трехмерных координатах окажутся весьма полезными [см.,
например, A1.4.49)].
Функция Грина для свободного пространства. Наши рассуждения по
поводу преобразования Фурье и функции Грина (см. стр. 762 тома 1истр. 340)
также переносятся на случай трех измерений. Будем исходить из приве-
приведенного в G.3.8) выражения для излучения единичного точечного импуль-
импульса, сообщаемого системе при (х0, у0, z0, t0),
*(гЫ*-*„) = 7Г3(*-«о- f) , (И.3.4)
где /?2 = (ж — хо)г-{-(у — ^oJ~b(z — zoJ- Излучение единичного чисто гармо-
гармонического источника будет тогда преобразованием Лапласа предыдущего
выражения:
±e,
p=-ia, к = - . A1.3.5)
Полное преобразование Фурье функции g имеет вид
e-ik-ro+iu>fo
/7(г„Л1Ь. «¦>) = *» fc»-(m/c)« ' (И.3.6)
где ?, т], ^ — компоненты к. Тогда
G (г | г01 со) = —^з
g (г | г01 < - «0) =
Эти равенства похожи на квантово-механические соотношения B.6.24)
между волновыми функциями в координатном и импульсном представле-
представлениях.

406 Гл. 11. Волновое уравнение
Решение неоднородного уравнения
t<0,
t), t>0,
не подчиненное никаким краевым условиям, за исключением требования,
чтобы волна по всем направлениям была расходящейся на бесконечности,
может быть представлено в различных формах:
со
Ф(г, t)= ^ J^ ^p(ro,to)g{r\ro\t-to)dxodyodzodto =
где
Р (ro I ">) = \ е-3 Р («"о. «о) dt0 (р = - ш)
оо со
Q (к | о) = ^ J dxodyodzo \ e-ib'o-Pfop (Го, g d«0,
а выражения для g и G те же, что и в A1.3.4) и A1.3.5). Эти решения
пригодны, если не существует границ на конечном расстоянии от объема,
в котором р отлична от нуля.
При наличии границ на конечном расстоянии функции g, G и F из-
изменяются. Для простых типов границ эти измененные функции можно
подсчитать так, как было указано в § 7.3. Мы вернемся к этому в даль-
дальнейшем, когда разовьем соответствующие методы.
Прямоугольный параллелепипед. Собственные функции в случае стоя-
стоячих волн в прямоугольном параллелепипеде со сторонами lx, ly, lz имеют
вид либо
фп (г) е-^т = CoS ( ™*Л cos ( ^0 cos
либо A1.3.8)
фп (г) е-w = sin ( S.^ sin Г 5^ Sin Г ^Л е- ,
где Агж, пу, nz — целые числа. Предполагается, что начало координат на-
находится в одном из углов параллелепипеда. Первая форма дает решение
для однородных краевых условий Неймана, вторвя —для однородных ус-
условий Дирихле. В обоих случаях собственные частоты определяются вы-
выражением
причем во втором случае все п отличны от нуля.
Если краевые условия являются более сложными, то можно найти
выражения собственных функций, собственные частоты и коэффициенты
затухания методами, использованными для получения A1.2.20). Задачу

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты
407
о неустановившихся колебаниях можно решить методами, использованны-
использованными для получения A1.1.29).
В этих и других расчетах используется выражение поля, создаваемо-
создаваемого внутри параллелепипеда чисто гармоническим единичным источником,
помещенным в точке (х0, у0, z0). Знакомыми нам методами легко убедиться,
что функция Грина для случая условий Неймана (нормальная составляю-
составляющая градиента равна нулю) имеет вид
ТЛГ 2 Smen
n
cos
cos (ъпуо/ly)
X
m,
x
—
C0S
A1.3.10)
lz—z)], z>z0,
:-Z0)], Z<Z0
еде n в первой форме заменяет тройку целых чисел п^,, пу, пх; фп —пер-
—первая из функций, определенных в A1.3.8); en = sn sn en и соп задается ра-
равенством A1.3 9). Во второй форме, аналогично A1.2.14), &„„ =(со/сJ —
— (ът/1ху—(izn/lyJ, эта вторая форма может быть, конечно, видоизмене-
видоизменена путем перестановки х, у и z. В функции Грина для условий Дирихле мы
заменяем косинусы на синусы, отбрасываем значения нуль для каждого
индекса в суммах, заменяем еп в первой форме на 8 и smsn во второй
¦форме на 4.
Для случаев, в которых на одной или нескольких стенках задается
краевое условие, более общее чем условия Дирихле или Неймана, можно
перенести на три измерения формулы A1.2.12). В частности, если гра-
граничный импеданс имеет действительную составляющую (активное сопро-
сопротивление), то собственные «частоты» ш представляют собой комплексные
числа с мнимой частью — Ы, которая вызывает экспоненциальное затухание
волн с течением времени.
Искажение стоячей волны полосой. Функция Грина может быть также
применена для вычисления воздействия на стоячие волны и на резонансные
¦частоты малых изменений границы области. Не очень сложный пример
2
А
0
у,—*
1 /
ь
Мчх, /
Рис. 11.3. Искажение7гстоячих волн полосой
ширины а.
такого рода представляет собой случай, когда полоса ширины а поме-
помещена между полом и потолком параллелепипеда (рис. 11.3). Мы предпо-
предполагаем, что центральная линия полосы совпадает с прямой х = хх, у = У\
и что поверхность полосы параллельна плоскости х, z. Если полоса до-
достаточно мала и достаточно удалена от стен, то можно полагать, что она
находится в бесконечной области, и применить функции, рассмотренные
в предыдущем параграфе.
Стоячая волна внутри параллелепипеда без наличия полосы имеет
вид % = cos (itvx/lx) cos (¦коуЦу) cos (kxz/Iz) (v, c, x = 0, 1, 2, 3, ...). Это выра-
выражение может рассматриваться как надлежащим образом составленная
комбинация восьми плоских волн. У одной из них волновой вектор к

408 Гл. 11. Волновое уравнение
имеет компоненты + (w/lx), + (ъо/1у), + (W^), У другой—компоненты
+ (wv/^3c)> + i'lca/ly)t ~~ (W2) и т- Д- Для всех восьми возможных комби-
комбинаций знаков плюс или минус у компонент; для всех восьми волн вектор к
имеет одну и ту же длину
С этой точки зрения стоячая волна является комбинацией всех плоских
волн, отраженных от каждой из шести стен. Все эти волны ударяются
о полосу и рассеиваются на ней.
Возвращаясь к стр. 401, где обсуждалось рассеяние плоских волн
на полосе, мы видим, что z-компоненту решения cos (iccz/lz) можно рассмат-
рассматривать как модулирующий множитель у решения двумерного уравнения
Гельмгольца
что соответствует рассеянию плоских волн на полосе, середина которой
находится в хх, уг. Перенесем начало координат в точку х1,у1(х = х1-\-?,
y = y1 + fi) и перейдем к эллиптическим координатам ? = A/2) a ch [л cos &,
¦kj = (l/2)a shfA sin &. Мы интересуемся вызванным полосой искажением ком-
комбинаций плоских волн
ф = cos (mz/lg) [e<i«v'l*>"i+<i*e/Iv>V2lft/o)l> cos (u~-?)
i e(i«v/l:lcKC1-(imoyl1/)i/leBift/a)p cos (-«-?), g-(i'tv/J3cKC1-(i7tc!/iy)yJeBih/a)p cos (m+ti-P) ,
¦ e-(itv/I3C)a;1+(ino/II/)j;leBift/a)p cos (n-u~f) i ,ц g ^2
где p» = E»+tf, tg9 = i]/6, 1ёи = о1хЫу и W = («e/2)a[(v/Ua + (o/g«].
С помощью формулы A1.2.102) и следующих мы можем вычислить
воздействие, которое полоса произвела бы на эти четыре плоские волны,
если бы они распространялись в открытом пространстве без стен. Наличие
стен существенно изменяет эти результаты на некотором расстоянии от
полосы, но если только полоса не находится вплотную у одной из стен,
они будут мало влиять на значения решения у поверхности полосы.
Следовательно, мы достаточно точно знаем поведение измененной стоячей
волны вблизи полосы. Чтобы найти ее поведение в остальной части парал-
параллелепипеда, можно применить метод функции Грина.
Из G.2.7) имеем выражение
Ф W = - "ИГ $ f * <Го) grado G (Г I Го I w)] dAo
для решения <J>, нормальная составляющая градиента которого на всех
граничных поверхностях обращается в нуль. Если мы применим функцию G
из A1.3.10), то интеграл по границе области исчезнет, так как на этой
границе нормальная составляющая градиента G обращается в нуль; по-
поэтому остается только интеграл по поверхности полосы. Обозначая вели-
величину ф на стороне полосы, обращенной к плоскости х, z, через ф_ (?) и на
обратной стороне через ф+ (?), приведем формулу G.2.7) в конце концов
к виду
h a/2
-а/2
Поэтому, если мы получим хорошее приближение для значений ф на
поверхности полосы, то сможем получить хорошее приближение для ф
и в любом месте внутри области. Как было отмечено выше, значения ф
на поверхности полосы не слишком чувствительны к присутствию или

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 40&
отсутствию границы области, до тех пор пока полоса узка и располо-
расположена не вплотную у стены. Таким образом, мы можем в качестве функ-
функции ф(г?) взять ее величину для свободного пространства и использовать
равенство A1.3.13) для учета влияния стен.
Из A1.2.103) мы видим, что для волны, распространяющейся под углом
и к оси х, суперпозиция плоской и рассеянной волн на поверхности полосы
равна
ф E, в) = V^ 2 im {^m(/t'C0SM)rm(/t'C0S&) Jem(h, 1) +
М
+ Som(h,c<*«)Som(h.c<*b, j !)_*,-«& sin С Hom(h, 1
Mm
Но ряды по четным функциям представляют в точности часть плоской
волны, четную относительно & = 0, тс. Из A1.2.94) следует, что
Член в квадратных скобках в первой сумме пропорционален вронскиану
Д(/от, Hom) = i. Поэтому из приближенного выражения A1.2.101) мыг
наконец, получаем с точностью до членов второго порядка по h
ф E, и) ~ eih cos» cos« + fa sin u gjn § _ 1 h2 sin Bm) sin B&),
где
t = A/2) a cos & и к* = (ъа/2)Ц(ч/1х)* + (о/1уГ].
Обращаясь к равенству A1.3.12), мы видим, что значения ф на по-
поверхности полосы, полученные при суперпозиции волн, распространяю-
распространяющихся в четырех направлениях и, — и, тс — ц и ic -f в, выражаются формулой
C? COS 5-pJ—^ COS ( , I COS ( —j-5
У
Члены порядка h? здесь не выписаны, так как они не нужны для даль-
дальнейшего. Величина ф+(?) является значением 6 при 0<&<тс, когда
sin & = |/1 — B?/аJ , а ф_(Е) — значением при it < & < 2п, когда sin& =
Поэтому
Ф.№) - Ш — ^ cos (^) sin (^) cos
с точностью до членов второго порядка по малому параметру h (h мало,
когда а мало по сравнению с длиной волны).
Чтобы вычислить интеграл A1.3.13), нам необходимо иметь выраже-
выражение для градиента G. Используя вторую форму в A1.3.10) и меняя в ней
ролями у и z, мы имеем
dt\ J tj=o У z
e e сов(тста:0/гж) cos {icnzjlz)
m~n sin (A;mn^)
Jsin(ftmByi)cos[ftinB(Z];-y)], г/>
X COS -r- COS

410 Гл. 11. Волновое уравнение
где жо = ЖL^ и ктп = |/(со/сJ— (i:m/lxJ— (izn/lz)s. Вследствие ортогональ-
ортогональности множителей cos (iztzo/lz) из ф и cos (iznzo/lz) из G интегрирование
выражения A1.3.13) по z0 обращает в нуль все члены суммы по и, кроме
тех, у которых п = т. В интеграле по ? множитель cos (i:mxo/lx) может
быть заменен на cos (^тхг11х), поскольку ширина полосы мала по срав-
сравнению с длиной волны. Следовательно,
а/2
-а/2
Поэтому приближенное решение уравнения Гельмгольца, имеющее равную
нулю нормальную составляющую градиента как на границе области, так
и на полосе, имеет вид
со
sn cos (ътххИх) cos (тс\х1/1х) . / тсзг/j Л
Л zm- -=- /. ~ Sin ( —, ) X
¦m=0
r^Vf-Sin(/Cm^)COS[/C""{^-^' y>y» A1315)
cos(km^y)sm[km^(ly — yx)], у < yu
где А^т = \^kz — (nm/lxJ — (ъъ/1гJ ж к — cu/c, причем со — собственная частота
для искаженной собственной функции.
Вычисление собственных значений. Решение задачи еще не закончено,
поскольку собственное значение к еще не вычислено и в выражение, на-
написанное нами для ф(г), нужно подставить это, пока неизвестное, значе-
значение величины к. Для определения к воспользуемся вновь теоремой Грина.
Умножаем уравнение для % = cos (kvx/Ix) cos (ъоу/1у) cos (^xz/lz) на при-
приближенное выражение A1.3.15), аппроксимирующее решение ф, и вычи-
вычитаем уравнение для ф, умноженное на <!H; в результате получим
где к0 определяется равенством A1.3.11), а к должно быть определено.
Интегрируя обе части этого равенства по всему объему внутри парал-
параллелепипеда и вне полосы, заменим интеграл слева интегралом по поверх-
поверхности с помощью G.2.2). Этот интеграл по поверхности обращается в нуль,
за исключением интеграла от <}>grad<{>0 по поверхности полосы. В конеч-
конечном счете в обозначениях A1.3.13) имеем
—а/2
Но мы можем получить приближенное значение разности t{)+ — ф- из
A1.3.14), a dtyo/dy вычислить легко. Мы предполагаем, что <J» в большей
части области приближенно равно ty0, и поэтому объемный интеграл при-
приближенно равен lxlyljs^e^.
Итак, с точностью до членов второго порядка по а/1у,
Собственная частота, конечно, равна ск/2-к.

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 411
Мы замечаем прежде всего, что собственные частоты уменьшаются
(если они вообще изменяются). Это представляется естественным, так как
наличие полосы замедляет движение воздуха в помещении и тем самым
снижает все резонансные частоты. Далее, мы видим, что это уменьшение
частоты пропорционально квадрату г/-компоненты скорости воздуха в не-
невозмущенной волне в точках, где расположена полоса. Если, например,
полоса установлена там, где скорость параллельна плоскости х, z [т. е.
где sin (boyjly) = 0], то А2 не будет отличаться от к%. Это явление также
легко объяснить, так как «замедление» колебаний вызывается обтеканием
полосы, и величина уменьшения зависит от того, какая часть потока
перпендикулярна поверхности полосы. Поток, параллельный поверхности,
не искажается ею. Возможно, точнее будет сказать, что искажение течения
вблизи полосы увеличивает эффективную массу воздуха по сравнению с его
упругостью, так что резонансные частоты убывают до тех пор, пока а/1у мало.
Вернемся теперь к равенству A1.3.15) и подставим в него величину к,
чтобы получить приближенное выражение для ф. В силу того, что разность
ко — к мала, ее можно учитывать в выражениях для/стт только при т = v.
Поэтому мы можем принять, что/стт = /ст~ \f(™llxJ (v2 — m2) -f (тсс//уJ, тф\.
С другой стороны,
Следовательно, sin (/cvL) оказывается весьма малым, значительно меньшим,
чем sin (kmlv) для тфч. Единственное большое слагаемое для т = v можно
выделить из суммы, и, поскольку
мы получаем в конечном счете
V cos (nmxjlx) cos (nvsi/t«) sin {nayi/lv)
s
¦II *-} т sm(kmly)
У>Ук
\cos(kmy)sm[km(ly-y)], у <уг.
В дополнение к невозмущенной части 60 в этой формуле имеется
небольшой член, представляющий рассеяние на полосе и выражающийся
через другие стоячие волны для различных т. Можно сказать, что из-за
наличия полосы происходит преобразование одних стоячих волн в другие.
До тех пор пока ось полосы параллельна оси z, ни одна волна с заданной
величиной х (квантовое число по z) не преобразуется в волны с другими
значениями х, но волны с различными квантовыми числами по х и у по
большей части преобразуются из-за наличия полосы.
Распространение колебаний в трубах. Целый ряд трехмерных задач,
тесно связанных с некоторыми рассмотренными в предыдущем параграфе
двумерными задачами, возникает при рассмотрении передачи колебаний
по трубам. Предположим, что труба является цилиндром, поперечное сече-
сечение которого имеет такую форму, что волновое уравнение допускает раз-
разделение переменных в соответствующих координатах ^ и Е2. Тогда волно-
волновая функция может быть представлена в виде произведения функции «р
от ^ и {2 и функции F от расстояния z вдоль оси цилиндра:

412 Гл. 11. Волновое уравнение
Краевые условия для <р на границе (например, ?1 = К) определяют
допустимые значения поперечного волнового числа kt. Величина к фиксиро-
фиксирована, коль скоро задана частота со передаваемого колебания. Следова-
Следовательно, продольное волновое число к, фиксируется заданием со и выбором
определяющей значение /с, формы поперечной стоячей волны, исходя из
заданных краевых условий. Решением для F может быть бегущая
волна eiftz*~iu>1 или комбинация из волн противоположных направле-
направлений. Если это простая бегущая волна, то ее фазовая скорость
to/kz никогда не меньше, чем скорость с волны в свободном пространстве.
В самом деле, kz никогда не больше, чем к = со/с, и будет много меньше к,
если kt велико. Для высших типов поперечных колебаний kt может быть
больше, чем к. В этом случае kz оказывается мнимым, и действительное
волновое движение отсутствует; волна, так сказать, настолько «занята»
колебаниями взад и вперед поперек трубы, что она «забывает» продвигаться
вдоль нее.
Если нормальная составляющая градиента обращается в нуль на
внутренней поверхности цилиндрической трубы, то поперечная собственная
функция «р наинизшего типа постоянна и для нее kt = 0. В этом случае
kz — k = со/с, фазовая скорость равна скорости с в свободном пространстве
и дисперсии не происходит. Для всех более высоких типов поперечных
собственных функций kz < к, фазовая скорость больше с и, следовательно,
имеется дисперсия. Если 6 равно нулю на поверхности, то даже для
наинизшего типа поперечной собственной функции /с, больше нуля и все kz
меньше к. В этом случае существует такая определенная частота, пропорцио-
пропорциональная наименьшему значению kt и называемая критической частотой,
что волны с меньшей частотой не могут распространяться вдоль трубы.
Распространение волн вдоль цилиндрических труб — явление весьма
простое, покуда не учитываются эффекты от воздействия одного или дру-
другого конца трубы и поперечное сечение остается постоянным вдоль всей
трубы. Но как раз в этих-то случаях практически важно изучить рас-
распространение волн в трубах, поэтому целесообразно рассмотреть несколько
типичных примеров. Сначала мы будем рассматривать бесконечно длинную
тРубу и изучать исключительно возбуждение волны на входе. Если в этом
случае возникает волновое движение вдоль трубы, то оно направлено
от входа.
Акустические волны в прямоугольной трубе. Если известна продоль-
продольная скорость воздуха у входа в трубу, то можно рассчитать акустические
волны в трубе. Краевые условия сводятся к требованию, чтобы скорость
воздуха на жестких стенках трубы была касательной к поверхности трубы.
Так, для прямоугольной трубы в случае чисто гармонических колебаний
общее выражение для потенциала скоростей волны, распространяющейся
от входа (z = 0), имеет вид
где
ncos ( ^"Vosf ШЛ<*ХЫС*-Ц, A1.3.18)
V lx J V h У
т,п
t = imn=V'L- (ъгпс/ш1хJ — (vnc/wly)* , т, п = 0, 1, 2, .. . ,
для трубы прямоугольного сечения со сторонами 1Х и 1у. Для заданного
значения ш величина ~ при достаточно больших тип будет мнимой. Будем
считать, что мнимая часть i положительна, так что в этом случае

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 413
где х— постоянная затухания для волны высшего типа. В этом случае
множитель, зависящий от z, приобретает вид e~xz, и это показывает, что
вдоль трубы вместо волнового движения наблюдается затухающее.
Если задано давление у входа в трубу р0 (х, у) е~1(О' =—йорф |2=о,
то коэффициенты ряда имеют вид
ixiy
где Fmn — mn-K компонента силы, обусловливающей движение волны вдоль
трубы. Однако обычно у конца z = 0 задается продольная скорость воз-
воздуха, по которой затем определяется давление. Если эта скорость (?>2)г=о =
= (db/dz)z=o = v0 (х, у) е~ш, то
Л
tun
t
о о
где comn = тгс|Л(т//Э(.J + (п/1уJ называется критической частотой тп-й
волны, по причине, которая вскоре выяснится.
Отношение Fmn/Imn может быть названо импедансом тп-й волны
A1.3.20)
Если частота возбуждения со больше критической частоты тп-ш волны,
т0 2Ш и ттп действительны и волна распространяется вдоль трубы
со скоростью с/гтп. Если со уменьшается, то скорость возрастает, пока
при со = ытп она не становится бесконечной, ътп обращается в нуль и Zmn
становится бесконечным. При частотах ниже этой критической тп-я волна
не распространяется, а затухает и импеданс становится мнимым
ZL« = — i ——= —
соответствуя эффективной массе Мтп = рс/|/а)т„ — со2 на единицу площади
поперечного сечения трубы. Следовательно, при данной частоте возбужде-
возбуждения со только волны, у которых критические частоты cumn меньше со,
в действительности распространяются по трубе и привносят некоторую
действительную часть во входной импеданс; все более высокие типы волн
привносят только реактивную часть и не распространяются далеко от источ-
источника, т. е. от z = 0.
Если колебания возбуждаются импульсом, приложенным при z = 0
в момент времени t — 0, то результирующее движение может быть найдено
с помощью преобразования Лапласа. Предположим, что начальная ско-
скорость имеет характер импульса (yzJ=o = v0 (x, y)o(t). Тогда в соответствии
с A1.1.16) волна A1.3.18) является преобразованием Лапласа импульсной
волны. Таблица в конце этой главы показывает, что преобразованием
Лапласа от и (t — Ъ) /0 (а |/*2 — Ьг) является [ехр ( — Ъ [/'
тп-й член ряда A1.3.18) имеет вид
cos ( "Т~ ) cos (

414
Гл. 11. Волновое уравнение
что соответствует выражению, помещенному в таблице. Поэтому рассматри-
рассматриваемая волна имеет потенциал скоростей
| П
-@]. A1.3.21)
Для наинизшей парциальной волны сооо = 0 и множитель, зависящий от вре-
времени, равен просто /0@) = 1; эта волна представляет собой импульс,
продвигающийся вдоль трубы (давление равно — pdty/dt, благодаря чему
вместо ступенчатой функции и мы имеем дельта-функцию, т. е. настоящий
импульс). Чем выше тип парциальной волны, тем больше comn и тем
быстрее осциллирует функция Бесселя. Фазовая скорость волны наиниз-
наинизшего типа равна с; для этой волны дисперсии нет, она возникает от мгно-
мгновенного импульса и продвигается в виде скачка давления вдоль трубы.
Для волн высших типов имеет место дисперсия, ибо их фазовая скорость
c/tm зависит от частоты, так что скачок размазывается по мере продви-
продвижения по трубе, оставляя за собой осциллирующий след (см. рис. 2.7).
Соответствующие исследования распространения электромагнитных
волн в трубах (волноводах) будут проведены в гл. 13.
Преграда со щелью в прямоугольной трубе. Препятствия в трубе вызы-
вызывают частичные отражения проходящей по ней волны. Если препятствие
настолько мало, что вызывает только незначительное изменение невозму-
невозмущенного течения (как, например, узкая полоса, помещенная поперек.
/
л
\
V
Л
V
i
Рис. 11.4. Отражение и распространение волн в трубе
при наличии плоской преграды со щелью.
трубы), то для получения приближенных формул можно пользоваться
методами, использующими формулу A1.3.13). Однако при значительных
относительных размерах препятствия приходится обращаться к другим
методам. Примером может служить прямоугольная труба со сторонами
поперечного сечения 1Х и 1у, в которой при z = 0 помещена жесткая попе-
поперечная диафрагма со щелью ширины а, проделанной посередине диафрагмы,
параллельно оси у [другими словами, щель находится между х = AХ — а)/2
и х = AХ -+- а)/2 при z = 0 и 0<i/<Zy (см. рис. 11.4)]. Волна, идущая
слева (z < 0), ударяясь о преграду, частично отражается влево, а частично
проходит через щель и распространяется далее вправо.
Здесь, как мы уже видели в нескольких местах ранее, до тех пор
пока длина волны значительно больше, чем ширина щели, можно считать,
что движение воздуха в щели и вблизи нее происходит в одной и той же
фазе. Все, что нам требуется знать, это общее выражение потенциала
скоростей, соответствующего установившемуся течению через щель, и его
градиента внутри щели. Сопрягая эти выражения с волновыми решениями
на каждой стороне преграды, находим поток через щель.

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 415
Нет особой нужды производить эти вычисления для волны самого
общего вида, распространяющейся вдоль трубы. Приближенное решение,
которое мы собираемся получить, лучше всего подходит для длинных
волн и процесс отражения описывается достаточно просто только-
при низких частотах. В самом деле, пока частота достаточно низка,
только волна типа т = п = 0 может распространяться вдоль трубы и отра-
отраженная волна вдали от преграды будет того же типа, что и падающая
волна. Воздействие преграды в этом случае можно выразить, указав ампли-
амплитуду и фазу отраженной волны для падающей волны единичной ампли-
амплитуды и стандартной фазы. При частотах, более высоких, чем следующая
самая низкая критическая частота со10 или со01, отражаются по крайней
мере два типа волн и для описания отражения потребуется более двух
величин.
В случае падающей на преграду плоской волны мы можем принять
потенциал скоростей равным
«1» (х, z) =
f
eihz + A _ Ao) e-ikz + 2 Am cos ( = ) ex«nz. z < 0,
rn=l
Z > 0,
m=l
где к — со/с, xm = У (ът/1хJ — к2 (к < ъ/1х), и где коэффициенты рядов выбраны
так, чтобы обеспечить непрерывность составляющей градиента дф/dz-
при z = 0. Задача будет решена, если мы определим коэффициенты А
так, чтобы потенциал ф, выражаемый обоими рядами, был непрерывен
в щели, ибо производная его там уже непрерывна. Вообще говоря, эта
задача сводится к решению бесконечной системы линейных уравнений,
однако мы попытаемся использовать решение задачи об установившемсв
потоке в качестве отправного пункта для получения последовательных
приближений.
Обращаясь к формуле A0.1.24) и следующим, мы видим, что для уста-
установившегося потока потенциал скоростей в щели постоянен, а z-компо-
нента градиента ф в щели равна постоянной, разделенной на sin &, где
х — AХ — a cos &)/2. Следовательно, при к < 2ъ/а имеем
9z y:=u naty
0, 0<ж< (lx — a)/2,
cosec &, {lx — a)/2 <»<(/,, + a)/2,
0, Aх+а)/2<х<С1х,
где(?—полный поток через щель. Но, согласно A1.3.22), разложение вряд.
•I л i V л f icmx\
этой составляющей градиента должно иметь вид ikA0 -f- 2j ""-пАш cos I ~j— ) •
так что коэффициенты А должны иметь вид
Ап ~ . , , , \ cosec & dx = — i ~-r-,
о mkalxly J klxly
Am~ , . \ cos ( —;— ) cosec & dx == —fy- cos ( -*¦ nm ) J (
где для получения последнего выражения мы применили E.3.65). Как
и ранее, мы уменьшили число неизвестных до одной неизвестной (?.
Для того чтобы определить Q, необходимо вычислить потенциал ф-
в середине щели и выбрать Q таким образом, чтобы <Ь оставался непре-

416 Гл. 11. Волновое уравнение
рывным при переходе через щель. Со стороны z > О предельное значение
б середине щели приближенно равно
-1кЦ-у—и-у2 ^
Цуиу
71=1
7С ОО
o^-i-rP-. ^-Д { 2 cos Г w» f i_ « cos &"")]— cos (wi)|rf&.
и «=1
Этот ряд сходится плохо, поэтому было бы желательно найти похожий
ряд, который можно было бы просуммировать, чтобы вычесть и приба-
прибавить его к данному. Мы написали с этой целью вторую формулу, в ко-
которой коэффициенты записаны в интегральной форме. Однако ряд, стоя-
стоящий под знаком интеграла, достаточно прост, и если мы заменим в нем
х2п через 2ъп/1х (обе величины приближенно равны между собой при боль-
больших значениях п), то его можно будет просуммировать:
тг=- COS I -r— COS &
2itn V. lx
n=l
При 1Ш/2/ж < 1 можно считать величину в квадратных скобках пропорцио-
пропорциональной cos2&. Окончательно получаем
cos ( -т— cos & ) d& ~ — — Z In
V ^ У 2 *
Обозначим ряд, входящий в выражение для &(-jlx,0 ), через
г)ИЛ/), где функция
n=l
^-S Г— -7^-1 ЛГ^- х2п=1/Г-^У-АВ. A1-3-23)
тга J ZJ \_ъп /жу.2П J ° V. 'ж У ' Г V ^ У
n=l
действительна, положительна и велика, когда a/lx мало. Ряд, стоящий
в правой части этой формулы, быстро сходится.
Возвращаясь снова к соотношению, выражающему непрерывность ф
в щели, мы видим, что условие, определяющее Q, сводится к требованию,
чтобы два выражения для ф в A1.3.22) были равны при z = 0, x = -^-lx:
ху y Xy y
Отсюда амплитуда и фаза потока через щель для случая падающей волны
единичной амплитуды определяются выражением
п~ Шх1у A1.3.24)
V— l-iklxW(a/lx) ( 1 ° >

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 417
Потенциал скоростей имеет вид
ш iklxW ik2 ,
6 l — iklxW6
n=l
Z>
l — iklxW l — iklxW U v '
t n=l
Оба эти ряда достаточно хорошо сходятся пока z не равно нулю.
Взглянем теперь еще раз на полученные результаты. Если отношение
а/1х мало, то величина W велика, но произведение klxW (а/1х) может
и не быть большим, если klx мало по сравнению с единицей. Тем не менее,
каково бы ни было Ых, мы можем сделать а достаточно малым по сравне-
сравнению с 1Х, так что klxW (a/lx) будет заметно больше единицы. В этом
случае амплитуда отраженной волны почти равна амплитуде падающей
и изменение фазы при отражении близко к нулю. Величины, представлен-
представленные рядами, определяют искажение волны вблизи щели. Благодаря экспо-
экспоненциальным множителям они становятся пренебрежимо малыми, когда | z |
превышает несколько длин волн. За пределами этой области искажения
существуют только плоские волны (пока к < 2ъ/1х): падающая и отра-
отраженная волны слева, прошедшая волна справа. Вдали от щели, потен-
потенциал скоростей имеет вид
¦ С 1 --/.1 *ГХ7 С > ** \ *-N
Если произвести измерения на некотором расстоянии от щели, тц
результат будет таков, как если бы при z = 0 имелась мембрана или
другое препятствие, при проходе через которое давление падает на
ikPc [ф_ - ф+] с* - 2ik9c ^^ .
При этом скорость мембраны равна Qllxlyi так что аффективный импеданс
преграды (какова бы ни была ее природа) имеет значение
Н = - i» BP1XW) - Z.. A1.3.25)
"
Величина в круглых скобках, умноженная на 1х1у (чтобы получить вели-
величину, рассчитанную на все сечение трубы, а не на единицу площади),
может быть названа эффективной массой воздуха в щели. Эта эффектив-
эффективная масса, приближенно равная Balxly) In Blx/na) при k < 2iz/lx (или X > lx),
под влиянием падающей волны движется взад и вперед в щели, образуя
при этом отлаженную и проходящую волны. Полный импеданс для пада-
падающей волны складывается из импеданса препятствия и импеданса части
трубы позади препятствия.
В соответствии с формулами B.1.13) и B.1.15), если волна elkz
(без дисперсии) встречает границу при z = 0 с импедансом Zo, то отра-
отраженная волна отличается от падающей по амплитуде и фазе множителем
Л+)=—е—2я(а—»3)t связанным с Zo соотношениями
В нашем случае А+ = 1, А_ = iklxW/(l — iklxW), так что импеданс для

418 Гл. 11. Волновое уравнение
падающей волны равен
Zo ~ Рс A - 2iklxW) = рс + Zs,
где Zs — эффективный импеданс преграды со щелью. Поскольку рс —импе-
—импеданс открытой трубы, это равенство показывает, что Zo получается сло-
сложением импеданса преграды и импеданса участка трубы, лежащего
за щелью.
Когда частота возбуждения ш становится больше, чем критическая
частота ш10, отраженные и проходящие волны не будут более простыми
плоскими волнами и одного комплексного импеданса будет недостаточно
для описания связи с падающей волной.
Конечно, наше решение не точно; мы обеспечили непрерывность
только в центре щели, а в других местах ty будет разрывным. Этот дефект
может быть исправлен с помощью дополнительных рядов, которые введут
малый разрыв градиента и т. д. Однако найденное первое приближение
обычно оказывается достаточно точным.
Волны в трубе, изогнутой под прямым углом. Иногда бывает полезно
уметь рассчитать распространение волн внутри изогнутого участка трубы.
В качестве примера расчета такого типа мы рассмотрим трубу прямо-
прямоугольного поперечного сечения с размерами 1у и lz, изогнутую под пря-
прямым углом, ось которой находится в плоскости х, у. В § 10.2 мы рассма-
рассматривали установившееся течение внутри такого колена. Потенциал ско-
скоростей, задаваемый формулой A0.2.57), и преобразование, показанное
на рис. 10.23, могут быть применены и здесь, если мы положим а = Ъ = 1у,
так что а = 1. Потенциал скоростей ф связан с w уравнением w = e~nFlJ^,
где F = ty + ix. Здесь через Q обозначен полный поток в колене, так что
Q/lz равно Q в формуле A0.2.57), т. е. потоку на единицу размера /2,
перпендикулярного плоскости чертежа.
В этих обозначениях соотношение между z = х + iy и F имеет вид
\v\ =
dF
dz
Qflvh
th GtFlz/2Q)
(Ц.3.26>
где | v | — величина установившейся скорости в точке F (или z). Теперь
мы будем рассматривать течение в квадратной области BP'DP (рис. 11.5)
как течение несжимаемой жидкости, а течение на участках от А до P'D
и от DP до С — как волновое движение сжимаемой жидкости. До тех пор
пока длина волны больше 1у, пренебрежение сжатием в колене несуще-
несущественно, и оно дает нам возможность использовать формулы A1.3.26)
для сопряжения решений на границах P'D и DP.
Когда мы рассматриваем волновые решения, можно считать, что две
полубесконечные трубы связаны своего рода преобразователем, который
создает некоторое распределение скоростей по линии P'D и то же самое
распределение по PD. Трубу от А до P'D можно рассматривать отдельно
от трубы от PD до С и для изучения движения в каждой из них можно
считать ось х направленной вдоль обеих труб, причем положительная
полуось направлена от PD к С и отрицательная — от А к P'D. За исклю-
исключением области BP'DP, волна вдоль трубы при к < тс//у имеет обычную форму
( со
-А0) е-»* + 2 Ат c
•)> (х, у) =
A1.3.27)
- 2
т=.\

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты
где xm=l/(irm/ZyJ —/с2 и где начало координат х, у для ж<0 располо-
расположено в Р', а для х > 0 в Р. Чтобы найти начальную зависимость нор-
нормальной составляющей градиента от у при ж = 0, мы рассчитываем вели-
величину v вдоль линий DP и DP', используя стационарное решение A1.3.26).
В первую очередь нам нужно найти образы линий DP и DP' на плос-
плоскости F. Точке D, очевидно, соответствует начало F = 0, но образ точки Р
(— И на плоскости z) не так легко найти. Ей должшэ соответствовать
на плоскости F число с положительной действительной частью и мнимой
частью, равной — i(Q/lz).Robh[(iz'}flj2Q) —
— Ы/2] = cth (-k^LJIQ), и эта величина боль-
больше единицы. Поэтому вдоль линии ВС
и чтобы z равнялось — ily, мы должны,
полагая th(iuJH/2/2<2) = Ys> иметь ArthY =
= arc tg A/у)- Это уравнение имеет корень
у = 0,7341; ArthY = 0,9376, th(<z%lz/2Q) = A
= Y2 = 0,5389, t$0IJ2Q = 0,6026, так что точ- —
ке Р на плоскости F соответствует F =
= (<?/У [0,3836 — г], а точке Р' соответ-
соответствует F' = (Q/lz) [ — 0,3836 — i]. В обеих _
точках плоскости z скорость жидкости па-
параллельна границе на плоскости z и имеет А
в точке ж = 0, у = 0 на первом чертеже
рис. 11.5 значение -*
(Q/lyh)
Р1
н
А
У
> Плоскость w
\
1
J.4.
р'
и
Плоскость F
i
'.
р в р
Рис. 11.5. Распространение волн
в трубе, изогнутой под прямым
углом.
Два нижних чертежа поясняют кон-
конформные преобразования, которые нуж-
нужно осуществить, чтобы вычислить уста-
установившийся поток в сечениях P'D и DP.
Из симметрии решения (можно добавить
вторую трубу с изгибом в противопо-
противоположном направлении и рассматривать по-
поток через Т-образную трубу) видно, что dvo/dy = O в точке Р.
По мере продвижения вдоль пунктирных линий PD на любом из
трех чертежей рис. 11.5, ж-компонента скорости vo(y) монотонно возра-
возрастает, стремясь к бесконечности при приближении к D. Если бы мы знали
точное направление пунктирной линии на плоскости F, мы могли бы
определить точное поведение v0 как функции от у; но эта функция от у
будет, очевидно, настолько сложной, что мы никак не сумеем использо-
использовать ее. Однако нам известно значение v0 при у — 0 и известно, что
Kvody — Q/lz. Поэтому естественно предположить, что изучение поведе-
поведения v0 вблизи точки D(y = ly) позволит найти более простую функцию
от у, которая удовлетворит всем требованиям достаточно точно.
Формула A1.3.26) показывает, что вблизи точки F =0 разложение
z в ряд по степеням th (icFlj2Q) = о2 имеет вид
откуда
8 =
Для того чтобы z перемещалась вдоль пунктирной линии от D к Р, она
должна быть равна —й[ = Се~"*/2, где Z = ly — У (первый чертеж рис. 11.5).

420 Г.л. П. Волновое уравнение
Это означает, что F приближенно равно {2Q/-kIz) e-»*/3 Cir?/4ZvJ/s и пунк-
пунктирная линия выходит из D на плоскости F под углом —60° к оси ф
Скорость v0 по величине и направлению является величиной, комплексно
сопряженной к dF/dz, которая вдоль DP вблизи точки D приближенно
равна (Q/lylz)Dly/S^I/3 е~ы'6 и направлена книзу под углом 30° к гори-
горизонтали. Поэтому вдоль DP вблизи D (у = 1у) горизонтальная компонента
скорости равна
/ \ Q f Ъ \ Г 8/3я 1 1/3 А
v0 (у) ~ -рь- cos ( -д- ) о ' ,;— = 0,
»™> iviz V6/L г—zyiiy J
СОЛ
821
Итак, все предельные условия для v0 (у) получены и остается найти
простую функцию, которая будет аппроксимировать поведение vo(y).
Простейшей функцией, имеющей требуемый характер зависимости от у как
вблизи г/= 0 (точка Р), так и при ?/ = ?„( точка D), является г\, = С/{^1 — (уДуJ-
Для того чтобы эта функция была точным решением, С должно быть
равно 0,734(Q/lylz) при г/ = 0 и 0,821 (Q/lylz) при у = 1у, так что при
С = const это выражение не может быть точным. Однако если для С при-
принять некоторое промежуточное значение, то найденная функция оказы-
оказывается вполне пригодным приближенным решением. Посмотрим, какое
значение должно иметь С для того, чтобы интеграл от v0 по сечению
трубы был равен полному потоку Q. Имеем
2_ 14_g_
Это значение действительно является промежуточным между приведен-
приведенными выше.
Итак, мы предполагаем, что вдоль линии PD (а также линии P'D)
я-компонента градиента ty приближенно равна С [1 —(y/LJ]~1/3, где зна-
значение С указано выше. Теперь можно вернуться к A1.3.27) и преобразо-
преобразовать соответственно ряд Фурье для градиента <}>. Согласно E.3.63), коэф-
коэффициенты Фурье определяются следующим образом:
1У 1
1 / A v -Г С cos (nmy/ly) ,. Г Г cos (яти) ,
„, V"^ Г B/3)
= ^2l^i^
_2rG/6)J1/6Gtm) Q q_
»m (тгт/2I/6 У« ' ° ~ Mvh '
Чтобы вычислить поток Q и тем самым решить задачу (по крайней
мере в том приближении, которое мы здесь рассматриваем), мы долж ы
связать значение потенциала ^ на входе в колено с его значением на
выходе. Мы получили бы, возможно, более точный результат, если бы
нам удалось достигнуть сопряжения значений ty для всех у в данном
поперечном сечении. Однако мы не будем к этому стремиться, зная,
что в рассматриваемом приближении прц к < ic/ly достаточно установить
надлежащую связь значений ty в одной точке, чтобы обеспечить доста-
достаточно хорошее соответствие во всех точках. Парой точек, в которых это
легче всего сделать, являются у = 1 (точка D), где требование состоит

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 421
в том, чтобы ф_=(}|+, и у = 0 (точки Р и Р'), где требуется, как эт©
показало предыдущее рассмотрение, чтобы ty+ =.ф_+0,7672 (Q/lz). Конечно,
результаты сопряжения в этих точках будут несколько разниться.
Мы выбираем соответствие в точке D, ибо оно проще, а также
и потому, что это точка максимальной скорости. В этой точке сумма
ряда для волн высших типов равна (Q/lz)G{kly), где
G (Ыу) = 2Г (-Л У GirJl/6(T/e • ("-3.28)
так что искомое соотношение имеет вид 2 = 2(Q/lz)[{l/ikly) — G], т. е.
~ _ 2iklvlz
V- l — iklyG(kly) -
Поскольку это выражение вычислено как функция от kly (при kly < я), все
остальные искомые величины могут быть лолучены точно так же, как
это было сделано в случае преграды со щелью. В частности, мы видим,
что импеданс колена вместе с полубесконечной трубой позади него для
плоской падающей волны равен
Zo ~ 9с + Ze, Ze=-Pc BiklyG) = - т Bр/„С), A1.3.29)
где Ze — аффективный импеданс отдельно взятого колена, а рс—импеданс
полубесконечной трубы.
При низких частотах Ze имеет реактивный характер; эффективная
масса (для всей трубы) при этом равна 2plHzG(kly). Для очень малых
значений kly функция G стремится к постоянной
Для несколько больших значений kly < 1 мы можем разложить G (kly)
в степенной ряд
где
Gx = 0,01306, G2 = 0,001217,
Ряды для Gn сходятся абсолютно, но вычисления можно упростить
следующим, образом. Для больших т функции Бесселя имеют асимптоти-
асимптотическую форму
Поэтому ряды для Gn могут быть переписаны следующим образом:
G _ 22/3ГG/6) [г( 2 4-—^)— У 1 г. .уп
m=l m
Здесь С Г 2n + -g- j — дзета-функция Римана

422 Гл. 11. Волновое уравнение
где произведение берется по всем положительным простым числам
{р — 2, 3, 5, 7, И, 13, ...). Ряды, которые следует прибавлять к дзета-
функции для получения Gn, сходятся очень быстро. Действительно, для
п > 2 последняя формула при одном члене
г 0,12343,
дает лучшую точность, чем первый ряд для Gn со значительно большим
количеством членов.
Мембрана в круглой трубе. Следующим примером, связанным с рас-
распространением волн в трубах, нам послужит задача об упругой мембране,
натянутой поперек круглой трубы, радиус сечения которой равен а.
Задача включает в себя расчет волны, отраженной от мембраны, и волны,
прошедшей сквозь нее. Если падающая волна симметрична относи-
относительно оси трубы, то весь процесс будет симметричным, т. е. возникают
лишь парциальные колебания вида
j Г
0 \ а у
где постоянная а71 при краевых условиях, соответствующих акустическим вол-
волнам (условия Неймана), является п-м корнем j равнения J'o (ira) = — J1(nx) — O.
Эти корни приведены в таблице в конце настоящей главы, где они обоз-
обозначены аоп. Далее, г, как обычно, —радиальная координата, z —рас-
—расстояние вдоль трубы и к = ш/с (с — скорость акустических волн в воздухе).
С другой стороны, если упругая мембрана характеризуется поверх-
поверхностной плотностью М и натяжением Т и если ее край (г = а) непод-
неподвижно закреплен, то форма свободных колебаний при симметричном
возбуждении имеет вид
где С — перемещение точки (г, <р) мембраны в направлении z, отсчитывае-
отсчитываемое от положения равновесия, С = \^Т/М — скорость поперечных волн на
мембране, wn/2ir — n-я резонансная частота и рп- п-й корень уравнения
/о(яР) = О (обозначенный Р071 в таблице в конце этой главы).
Теперь предположим, что плоская волна (п = 0) с частотой, меньшей asc/2a,
возбуждается в левой части трубы на некотором расстоянии от мембраны,
расположенной в плоскости z = 0, и распространяется вправо. Волна
ударяется о мембрану, частично отражается и частично проходит сквозь
нее, вызывая при этом колебания и самой мембраны. Мы можем принять,
что акустическая волна имеет потенциал скоростей
)
* = ¦> n=1 A1.3.30)
Aeikz— V A T ('™nT\ ,.-»«* z > 0
\ 71=1
где xn = ]/(тса„/<хJ — к2. Экспоненты и коэффициенты А выбраны так, что
z-компонента скорости при z = 0 одинакова по обе стороны от мембраны
(и, конечно, равна z-компоненте скорости мембраны), а на больших рас-
расстояниях от мембраны (|z| велико) справа имеется прошедшая волна,
а слева — падающая и отраженная волны.
Коэффициенты А определяются путем подстановки полученных выра-
выражений в уравнение колебаний мембраны. При колебаниях, симметричных

U.S. Волновое движение, три пространственные координаты 423
относительно центра мембраны, уравнение для перемещения имеет вид
причем, согласно A1.3.30), вынуждающее давление равно
где р — плотность воздуха в трубе и кп = тсап/<х не равно и>п/с.
Мы можем решить уравнение A1.3.31) двумя способами (хотя, ко-
конечно, независимо от примененного способа результаты должны полу-
получиться одни и те же). Первый способ — разложение С и р по собственным
¦функциям /0 (ж$тг/а), обращающимся в нуль при г = а; второй способ
состоит в том, что A1.3.31) рассматривается как обыкновенное линейное
неоднородное уравнение, подлежащее решению по методу E.2.19). Так
как у нас рядов и без того достаточно, то мы избираем последний способ,
не ведущий непосредственно к двойным рядам. Независимыми решениями
однородного уравнения являются /0 (Кг) и No (Кг), где К = ш/С ^ш^М/Т,
с вронскианом
д (Л- #„) = Л (Кг) N'o (Кг) - No (Кг) J'o (Кг) = 2/«Я>,
причем /р, /Vp обозначают производные по аргументу Кг. Решение урав-
уравнения A1.3.31) сводится, таким образом, к применению формулы E.2.19)
и к такому выбору пределов интегрирования и постоянных, чтобы ? обраща-
обращалось в нуль при г=йине было бы бесконечным при /- = 0. Используя фор-
формулы для интегрирования произведений функций Бесселя, приведенные
в конце гл. 10, мы получаем следующие результаты:
+ No (Кг) [ Jo (Кх) р (х) х dx\ =
Это выражение стремится к .нулю при г—> а.
Коэффициенты А и, следовательно, форма мембраны и звуковой волны
могут быть определены из условия, чтобы скорость движения мембраны
— ш^ была равна 2-компоненте скорости воздуха при z = 0:
- ш? = ikA0 + 2 *,АЛ (Кг), *п
Это условие приводит к бесконечной системе линейных уравнений
« бесконечным числом неизвестных Ап. Для их решения лучше всего
пользоваться последовательными приближениями. Обычно отношение ар/М
для мембраны мало; если это так, то все А также малы по сравнению с еди-
единицей (если только частота возбуждения не совпадает с резонансной
частотой мембраны).
Если нет резонанса, если ар/М < 1 и если частота меньше, чем пер-
яая критическая частота трубы (к < кг), то в нулевом приближении

Гл. 11. Волновое уравнение
скорость мембраны равна
оо
Коэффициенты А в первом приближении по р/М можно получить, умно-
умножая обе части на /0 (knr) r = J0 (nanr/a) г и интегрируя по г от нуля
до а:
А ~.' 2pJ2(Ka) ^t . pea3 „ „
0 ~ ikMJn (Ка)-\-2рJ^(Ka) ~ № 4Г ' Л<х—>и>
4 -2р ЛГ« Г/,(Яа)/,(МЧМЛ(^I>,
" "~ rg(fcn'j)^ К2— к,2г L Л(ЛГо) + Bр/1/сЛ/)/2(Л:о) J —
лр J2(kna) „ , ...
Здесь важно отметить, что, используя множитель A — Ао) вместо 1,
мы добились того, что формулы A1.3.33) остаются в первом приближении
по р/М правильными даже при наличии резонанса. Резонанс имеет
место, если К таково, что /0 {Ка) = 0. При этом
Ао ~ 1 и Ап ~ - i (ft/
Эти значения Лп много больше тех, которые получаются при других К,
но они не бесконечны. Точно так же ни один из А не стремится к беско-
бесконечности, когда К близко к кп [следует иметь в виду, что при К—>кпг
id —> Съап/а резонанса нет; резонанс наступает при ш = Сп$п/а, когда
/о(ЛГа) = О].
Возвращаясь к формуле A1.3.25) и последующим, мы видим, что
отношение амплитуды отраженной волны к амплитуде падающей равно
А_/А+= — A — Ао), так что эффективный импеданс мембраны и части
трубы позади нее для плоской волны, ударяющейся о мембрану с левой
стороны, равен
Активный член рс является акустическим импедансом части трубы поза-
позади мембраны; к нему мембрана добавляет реактивную часть. При очень
низких частотах этот реактивный импеданс мембраны обращается в
а это реактивный импеданс упругости, порожденной натяжением Т в мем-
мембране. При резонансе /0 {Ка) = 0, импеданс* мембраны обращается в нуль
и импеданс системы сводится к импедансу трубы рс. При Jz(Ka) = 0
мембрана в процессе колебаний одинаково воздействует на воздух как
по одну сторону от нее, так и по другую, и полный импеданс бесконе-
бесконечен. Для частот, больших чем кхс/а-к = агс/2а, по трубе могут переда-
передаваться волны и более высоких типов, и явление усложняется, так что
для его описания уже недостаточно единственного импеданса.
Излучение из открытого конца трубы. Другим примером расчетов,
используемых в акустических задачах, является вычисление волны, вы-
выходящей из открытого конца круглой трубы. Характер излучения и его
обратное влияние на волну внутри трубы зависят от выбранного вида
окончания трубы. Простейшим с точки зрения вычислений окончанием
трубы является бесконечный фланец. При этом конец трубы представля-
представляет собой отверстие в плоской стене, размеры которой велики по сравнению-

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты
425
с длиной волны X. Случай: бесфланцевого окончания будет рассмот-
рассмотрен в § 11.4. Здесь мы рассматриваем случай круглой трубы радиуса ау
осью которой служит отрицательная часть z-оси и которая кончается
при z = 0. Плоскость х, у— это жесткая стена с круглым отверстием, яв-
являющимся концом трубы.
Когда плоекдя волна, распространяющаяся вправо вдоль трубы,
достигает отверстия, часть ее переходит во внешнее свободное-
пространство, вправо от стены, а часть отражается обратно в трубу.
Если частота возбуждения ниже первой критической частоты (к < /^ =
= ъа^а), то поле в трубе, как и ранее, имеет вид
n=l
, z<0,
A1.3.34).
где х„ = У кп — к2 . В нулевом приближении по (предполагаемо) малым вели-
величинам Ап скорость воздуха у открытого конца трубы равна
A -\-А0), г < а,
О, г > а.
Для вычисления излучения вправо из открытого конца мы можем-
использовать метод функции Грина. Здесь применима функция Грина,
нормальная производная которой при z = 0 равна нулю:
где
"" \* I *о/ - л -г д/ .
к = (о/с. Л2 = (х - xof +(y-y0)* + (z- zof
{R'f = (x-
+ zo)\
что соответствует единичным источникам в точке (х0, у0, z0) и в симмет-
симметричной точке (х0, у0, —z0). Используя выражение для скорости при z = 0
Рис. 11.6. Углы и расстояния для случая излучения из
открытого конца трубы.
(которая равна нормальной производной потенциала со знаком минус) в
формулу G.2.10), получим для поля излучения выражение
\ eihh j
r0) -jT dro'
где № = г2 + r% —2rr0 sin & cos (q>—q>0) (см. рис. 11.6). Точка Ро находится
в плоскости z = 0 и определена полярными координатами г0, ср0, точ-
точка Р— в конце вектора г и определена сферическими координатами г,
&, ср (ось этой системы координат является продолжением оси трубь»

426 Гл. 11. Волновое уравнение
и начало находится в центре отверстия); h — расстояние между точ-
точками Ро и Р.
Чтобы определить коэффициенты Ап и тем самым распределение
давления и скоростей в отверстии, нам следует приравнять, хотя бы
приближенно, выражения для давления при z = 0. Используя интеграль-
интегральное представление, мы выразим давление в точке (г, <р) плоскости z —
= 0 в виде
°
Но, как показывает таблица в конце гл. 10,
со
pihh
где
-ж2,
когда х и /с положительны и ж < /с (другими словами, путь интегрирова-
интегрирования по х проходит ниже точки к). Заметим также, что
2 Em C0S
m=0
Эти подстановки кажутся уводящими от цели, так как добавляется новое
интегрирование к двум первоначальным. Однако они дадут нам возмож-
возможность продвинуться вперед, так как мы можем теперь интегрировать по ф0:
m=0
X dx \ Vo (Го) -
В эту формулу можно уже подставить выражение для vu(r0).
Если мы допустим, что коэффициенты Ап ряда в выражении для я)з
внутри трубы малы, то можно будет подставить приближенное выражение
vn^ ik(l+A0) в интеграл для р; приравнивая результат ряду, получен-
полученному из A1.3.34), получаем
п=1
Из этого соотношения можно получить приближенные выражения для Ап.
Так, умножая обе части равенства на г и интегрируя по г от нуля до а,
мы видим, что с левой стороны вследствие ортогональности собственных
функций J0(kna) исчезают все члены, за исключением одного, содержащего
множитель 1 — Ао. В результате имеем
о
,где и = ха и (j, = /ад = соа/с = 2яаД.

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 427
Оба эти интеграла приведены в таблице на стр. 305. Первый оказы-
оказывается равным 1—A/A)^B^), а второй — произведению 1/р. на функцию
Струве St Bu,), определенную на стр. 305. Заметим, что в этом приближении
эффективный акустический импеданс отверстия для плоской волны, распро-
распространяющейся вдоль трубы слева, равен произведению рс на A — Ао)/A -\-А0):
покуда /с <зта1/а, т. е. покуда только наинизша'я гармоника может распро-
распространяться вдоль трубы. Из этих предельных формул следует, что при низ-
низких частотах открытый конец имеет меньший импеданс, чем продолжение
той же трубы в бесконечность.
Мы можем теперь найти другие Ап, умножая уравнение для давле-
давления на J<t(knr)r и интегрируя по г от нуля до а(кп = паОп/а). При этом
^ Jo (xr) Jo (knr) rdr= Jlk*n [ Л (Ко) Л (ха) - -^г Л> (ха) Л (кпа)
где второй член в квадратных скобках обращается в нуль, поскольку
^i(^na) — ^i{naon) = 0. Интегрирование в конечном счете дает
^ = ка =
udu у 2а{ [J'{u)? u du
где ип = кпа = яаоп. При [i < ui эти величины быстро убывают с возраста-
возрастанием п, тем самым оправдывая наш приближенный метод. Существуют
таблицы этих функций1). Предельные значения для низших частот таковы:
gi = 0,0920; g2== 0,0356; g3 = 0,0194, ....
Функции для п = 0 были указаны выше:
Мы можем теперь вернуться к A1.3.35), чтобы подсчитать в первом
приближении по малым величинам Ап излучение из открытого конца трубы.
На больших по сравнению с длиной волны расстояниях от отверстия
можно положить hear — r0 sin¦&cos(ф—ф0) и, используя выражение
n=l
где кп = яайп/а и хи = Vk?n — к2, мы получаем
a
t
X
Г dr l'ik-i-Ух (& —IV ) •7°(/СпГ») ] С e-iftro sin 8 cos (сро-?) d<
о о
Интегрирование по ф0 дает 2n/o(/crosmi&), где ¦& —угол между вектором
См., например, Морз Ф., Колебания и звук, ГТТИ, М., 1949.

428 Гл. 11. Волновое уравнение
г и осью трубы, продолженной за отверстие в плоской стене при z = О
(т. е. сферический угол между г и осью z). Теперь можно выполнить ин-
интегрирование по /•„, откуда получаем
A1.3.37)
где
л , , 2s/, (s) М> П —О,
u = ka, Ф„ (s) = ^-^— са {
' *1-(яаоп)« { -(s/naonf, n>0, s~^O.
Из этого выражения можно определить давление и интенсивность излуче-
излучения на больших расстояниях от отверстия при единичной амцлитуде плос-
плоской волны, распространяющейся вдоль трубы по направлению к отверстию.
Эти выводы справедливы для частот, удовлетворяющих условию к < kit т. е.
для частот ниже первой критической частоты трубы.
Мы могли бы, конечно, изучить случаи распространения волн внутри
и вне других цилиндров —эллиптических или параболических,— но подоб-
подобные случаи практически очень редки и ничего существенно нового при
их изучении мы не узнаем. (Несколько подобных задач приведено в кон-
конце главы.) Вместо этого, прежде чем перейти ь нецилиндрическим коор-
координатам, мы займемся задачей другого типа.
Распространение волн в упругих трубах. Имеются случаи, когда
изменения давления в звуковой волне, распространяющейся в круглой
трубе, производят заметное растяжевие стенок трубы. Это обстоятельство
особенно существенно, когда труба содержит сравнительно мало сжимае-
сжимаемую жидкость (например, воду), а сама находится в воздухе, так что
внешнее давление на стенки трубы сравнительно мало. Реакция стенок
трубы на асимметричные типы волн (для т > 0) резко отличается от реак-
реакции на симметричные (т = 0). волны; в первом случае существенную роль
играет сопротивляемость стенок изгибу, в то время как во втором доста-
достаточно знать только простой модуль Юнга для растяжения. Таким обра-
образом, симметричный случай проще; к тому же он чаще встречается.
Пусть в определенном поперечном сечении (для определенного зна-
значения z) избыток давления сверх равновесного равен р (z, t). Можно пред-
предположить, что радиус поперечного сечения трубы в этом месте на неко-
некоторую величину, пропорциональную р, будет больше, чем в состоянии
равновесия. Приращение внутреннего давления р должно компенсировать-
компенсироваться увеличением напряжения растяжения в стенке трубы ap/h, где h —
толщина стенки. Поэтому радиус трубы будет больше на величину a?p/hEtt
где Et— модуль Юнга материала стенок трубы. Таким образом, ори мед-
медленных колебаниях давления радиус трубы должен меняться от равно-
равновесного значения а до значения а~\- p(a?/hEt), если только стенки трубы
достаточно гибки, так что растяжение в одной точке не вызывает растя-
растяжения в ближайших точках.
Однако если изменения происходят быстро, то следует принять
в расчет и эффективную массу стенки трубы. Если обозначить прираще-
приращение радиуса через б, то уравнение, связывающее б с приращением внут-
внутреннего давления, принимает вид
где р, — плотность материала стенки трубы. Следовательно, если можно
пренебречь внутренним трением в стенке трубы, то радиальная скорость

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 429
этой стенки vr (являющаяся также радиальной скоростью жидкости на
внутренней поверхности) при колебании давления 7?(z)e"~iioi равна
„ = Е?> e-toi, z, = - i(o (PfЛ) - ^2 .
Величина Z( может быть названа поперечным механическим импедан-
импедансом стенки трубы. Мы исходим из того, что реакцией внешнего воздуха
на трубу можно пренебречь и что стенки трубы гибкие (подобно резине),
а не жесткие (подобно стали).
Симметричная звуковая волна внутри круглой трубы задается потен-
потенциалом скоростей
я|з = Aexp(ikz У1 — с2)/0{kor)е~ш, к=-~ , A1.3 38)
где значение параметра а определяется импедансом Zt. Избыточное дав-
давление на стенку трубы в точке (z, а) равно
5t А ехР {^z j/l — а2) /0 (коа) е~ш,
где р—плотность жидкости. Радиальная скорость Жидкости у стенки в
той же точке равна
vr = ^ = — ко A exp (ikz j/l — a2) Jx (коа) е~ш,
и о определяется уравнением
р . , hEi icop Jo (kaa)
vr rl ?Q)a2 ka J1(kaa)
Для низких частот, когда ш2 <С Et/pta?, наинизший корень а оказы-
оказывается мнимым, так что я)з следует выражать через гиперболическую функ-
функцию Бесселя I0(krr)~J0(ikrr), где o = ix. На практике, кроме того, hEtla%
достаточно велико, так что т значительно меньше, чем 1/ка, и можно
ограничиться только несколькими первыми членами разложения 10 в ряд.
Следовательно, потенциал скоростей можно выразить так:
ф ~ А [ 1 + i- (kirf J exp (ikz V'l^* — Ш), 2рш2а3 С /г?(,
и уравнение для т принимает вид
ihE,
то есть
2 2рс2в/А ^^ 2рс2а Г .
Е, J •
Поэтому потенциал скоростей (с рассматриваемой степенью точности)
принимает вид
где с( — скорость волны при ее распространении вдоль трубы:
hE, hE\
что меньше, чем скорость звука с в свободном пространстве, заполненном
такой же жидкостью. Для жестких труб (hEt > pc2a) скорость уменьша-
уменьшается мало. Имеет место дисперсия рассматриваемых волн, поскольку с,
зависит от ш.

430 Гл. 11. Волновое уравнение
Высшие формы симметричных волн могут быть выражены через угол
. (z)
значения которого приведены в таблицах в конце этой главы и в ковце
книги. Предельные значения таковы:
а0 (z) ~ arc tg
а0 (z) ~ — arc tg y, z= iy —> ico.
Уравнение для с можно при этом записать в виде
ctg К (каа)] = - ?У*±- +?^ .
6L0V n (Аеа)я ре
Значения с для высших типов волн можно вычислить при помощи табли-
таблицы углов а0 в конце книги. Для этих высших типов волн о действитель-
действительно и скорость распространения с4 = с/|/1—с2 больше с.
Для волны наинизшего типа и для очень эластичных труб или для
высоких частот число каа чисто мнимое и по модулю велико, а значит
рСЙ)в2/Л
x
и скорость распространения равна
с
Эта величина при большом х может быть мала. Наконец, если р,ш2а2 > Е1Т.
то о действительно также и для наинизшего типа волн и ct больше с-
для всех типов волн. В этом предельном случае стенки трубы «управля-
«управляемы массой» и они, двигаясь противоположно по фазе давлению, «толкают»
волны вперед быстрее, чем они двигались бы в свободном пространстве.
Конечно, рассмотренный нами здесь пример сильно упрощен. В действи-
действительности обычно приходится учитывать реакцию внешней среды и же-
жесткость самой трубы. Наши формулы, однако, дают удовлетворительные-
результаты для движения воды внутри тонкой резиновой трубки или
для движения крови в артериях.
Сферические координаты. Мы рассматривали сферические координаты,
г, &, <р в связи с уравнением Лапласа [см. формулу A0.3.25) и следую-
следующие]. Выражения для коэффициентов Ламе (hr = 1, А» и h9 зависят от г) по-
показывают, что в уравнении Гельмгольца только r-множитель зависит от
к, и поэтому множители, зависящие от & и <р, для уравнений Лапласа и
Гельмгольца одинаковы. Разделяя переменные в уравнении Гельмгольца,
получаем <|» = R (г) в (&) Ф (tp) и
Это разделение в отношении постоянных га, п, к почти полное: в и Ф не-
независят от к, Ф не зависит от п и Л не зависит от тп.

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 431
Если <р может свободно меняться от нуля до 2к, то множитель Ф"
должен быть периодическим с периодом 2тс относительно <р и т должно
быть либо целым числом, либо нулем. Соответствующими собственными
функциями являются sin (m«p) и cos (mq>), или e±im<?. Если & может меняться
от 0 до it, то постоянная п также должна быть целой и множитель G является
присоединенной функцией Лежандра, определенной в E.3.36) и A0.3.25).
Чтобы освежить в памяти определения этих функций углов, уже рассма-
рассматривавшихся в гл. 10, мы приведем их вновь:
Н = Р% (cos &) = sin™& T™_m (cos &) =
Свойства этих функций были подробно изучены в § 10.3 и функции,
табулированы в конце гл. 10. Полные угловые функции для сферических
координат называются сферическими гармониками.
Yemn (&,?) = COS (ту) Р% (COS&), П = 0, 1, 2, 3, . . . ,
Yomn (ft, <Р) = sin {nuf) Р™ (cos &), т = 1, 2, .. ., п - 1, п;
Функции при m = 0 называются зональными гармониками, при т — п —
секториалъными гармониками, а остальные — тессералъными гармониками.
На стр. 262 мы видели, как они связаны с производными функции
1/"|/жа+г/2-|-22 по ж, г/ и z. На стр. 253 были также приведены интеграль-
интегральные представления этих функций.
Рассмотрим некоторые свойства симметрии сферических гармоник.
Эти вопросы могли бы быть разобраны в гл. 10, но мы отложили их до этой
главы, чтобы внести в нее некоторое разнообразие. Мы несколько раз
подчеркивали, что оператор г X V есть оператор вращения. Этим утвер-
утверждением мы хотели сказать, что изменение функции ty(r) в результате
вращения по часовой стрелке на угол |tZo)| вокруг оси, проходящей че-
через начало в направлении db>, равно dto-г х V<l>(r). Перемещение точки
г при подобном вращении равно dm X г и разность между значениями ф-
при г -t dv> X г и г имеет вид
(db> X г) • V<}> = dm ¦ (г х Уф).
Интересное замечание по поводу сферических гармоник, которое мы хоте-
хотели бы здесь сделать, состоит в том, что оператор вращения г X V оказы-
оказывает на них весьма простое воздействие. Это легко показать, исполь-
используя комплексную сферическую гармонику
Х- (&, *) = Yemn + iYomn = e^PS (cos ft).
Вектор гхУф = И(ф) в сферических координатах выражается так:
Компонента этого вектора по оси z, определяющая эффект вращения во-
вокруг сферической оси, имеет вид
как это и должно быть. Вместо рассмотрения х- и у компонент вектора
R, мы введем комплексную величину
что легче приведет нас к желаемым результатам:

432 Гл. 11. Волновое уравнение
Используя рекуррентные формулы для сферических гармоник, приве-
приведенные на стр. 307, мы получаем
Rx (X™) + iRy (О = - iX™+i, A1.3.40)
Следовательно, вращение Х% вокруг оси z просто меняет фазу этой фун-
функции—весьма очевидное утверждение, поскольку вращение вокруг оси z
сводится к изменению переменной «р. Менее очевидный результат состоит,
однако, в том, что вращение вокруг оси х или у переводит Х^ в комби-
комбинацию не любых функций, а только двух соседних: X™+i и X^~i. Рас-
Распространение этих правил на действительные операторы Rx и Ry и дей-
действительные гармоники У не вызывает затруднений. Между прочим, суще-
существует очень тесная связь между этими результатами и формулой A.6.42)
и следующими, касающимися момента количества движения.
Если рассматривать операторы Rx, Ry, Rz как компоненты вектор-
векторного оператора вращения, то возникает вопрос, что получится в резуль-
результате применения к сферической гармонике квадрата абсолютной величины
этого оператора. Имеет место формула
= [RI +1 (Rx + Шу) (Rx-iRy) +1(Л, - *у) (Дх + iRv)
так что сферическая гармоника оказывается собственной функцией опе-
оператора jRs. Это обстоятельство не имеет большого значения в классиче-
классической физике, но для волновой механики оно очень важно, ибо векторный
оператор R пропорционален моменту количества движения поля относи-
относительно начала, и квадрат оператора R совпадает с квадратом момента ко-
количества движения1).
Таким образом, сферические гармоники являются собственными фун-
функциями вращения вокруг сферической оси z и связаны очень простыми
рекуррентными соотношениями для вращений вокруг осей х и у. Посколь-
Поскольку сферическая граница инвариантна относительно вращения вокруг
любой оси, проходящей через ее центр, вполне естественно, что приспо-
приспособленные к таким границам решения в сферических координатах обла-
обладают простыми свойствами по отношению к таким вращениям.
Совокупность сферических гармоник образует полную ортогональную
систему собственных функций для кооординат &, «р. Нормирующий мно-
множитель имеет вид
2эт v. 2тс те
\
0
так что для кусочно-непрерывной в области 0<&<7е, 0<<р<2тс функ-
функции F от &, <р имеет место равенство
со п 2т. тъ
n=0 m=0 0
X {Yenn (&, <р) Yemn (и, v) + У omn (&, <р) Уотп (и, v)} du. (И .3.41)
Радиальные множители связаны с функциями Бесселя, рассмотрен-
рассмотренными в § 5.3 и 10.3 и табулированными в конце гл. 10. Полагая
1) С точностью до множителя — ft2. —Прим. ред.

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 433
В = / {г)/\^г , имеем
Этому уравнению удовлетворяют функции
(И, ^_, 1М, н , 1 (И
Чтобы упростить асимптотические разложения, мы определяем радиаль-
радиальные решения следующим образом:
= у -^г •/ri+i_(A:/") — b;Si
— JT cos (ftr-gwft ), Аг/--*со; (И.3.42)
К {kr) = \f-^r Я^1 (Лг) ~?е^, Лг-> со,
Эти функции можно назвать сферическими функциями Бесселя соответ-
соответственно первого, второго и третьего рода [см.E.3.67)].
Сферические функции Бесселя. Специфической особенностью этих
функций является то, что их разложения в ряды вблизи z = со оказы-
оказываются не асимптотическими, а точными. Причина этого заключается и
том, что после выделения члена с существенной особенностью остается
не бесконечный (расходящийся) ряд, а многочлен. Это легче всего пока-
показать для hn; две другие функции /„ и пп являются соответственно дейст-
действительной и мнимой частью hn {kr).
Из уравнения для hn видно, что эта функция имеет полюс порядка
п + 1 при г = 0 и существенную особенность при г = со. Чтобы явно вы-
выделить эту особенность, мы сначала положим г = u/ik в уравнении для
функции /, а затем произведем замену J=euS(u)/u. В получившемся
уравнении для S положим и = 1/w, чтобы изучить поведение S при г —» со.
В конце концов имеем
d*S /¦ 2 2\dS n
2 Jdw
Это уравнение допускает решение в виде ряда
— Zl ml (п — т)\ \ 2
который обрывается на члене с n-й степенью w. Следовательно, наша
сферическая функция Ганкеля, удовлетворяющая требуемым предельным
соотношениям при г~>со, имеет вид
^-1 т!(и—m)l
т=0
.3 43)

434 Гл. 11. Волновое уравнение
Это выражение применимо при всех z > 0. Действительная часть этой
функции равна jn(z), а мнимая часть nn(z). Другие свойства этих функ-
функций указаны в таблице в конце настоящей главы. В частности, там та-
табулированы корни уравнений /п (тир) = 0 и djn (iza)/da — 0, которые исполь-
используются при решении внутренних задач для условий Дирихле или Нейма-
Неймана на сферической поверхности.
Функция Грина и разложение плоской волны. Исходя из формулы
G.2.63) или из свойств функций Бесселя, указанных в конце гл. 10, мы
находим, что функция Грина свободного пространства для расходящейся
волны с частотой ш/2и; имеет вид
n=0 m=0
1п(.кгъ)К{Щ, r>r0,
{in
In
Предполагая, что точка, где расположен источник, стремится к бес-
бесконечности, г0—»со, так, что &0 = 7с, мы получаем разложение плоской
волны eihz, как в G.2.52),
со
eihrcos» = ^ Bп + 1) inPn (cosft) jn (kr). A1.3.45)
n=0
Для плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении
u,v, получаем
щ!щ cos И (Т - оI ^ (cos к) ЛГ (cos ») /„ (Лг),
A1.3.46)
где вектор г имеет длину г и сферические углы &, «р. а вектор к —длину к
и сферические углы и, о.
Это последнее разложение дает возможность получить интегральное
представление разделенных решений в сферических координатах. Умножая
обе части последнего равенства на Yemn или Yomn и интегрируя по и, v,
получаем
2т. тс
е1к'гУе"'"(к> у) sin k du>
A1.3.47)
(u, v) sin udu.
Эти формулы связаны с интегральными представлениями E.3.67). Подоб-
Подобные же интегральные формулы для функций Бесселя второго или третьего
рода могут быть получены изменением контура интегрирования по и.
Например, используя контур В рис. 5.10 Г идя от ico — е до — ioo + г,

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 435
О < s < —- it; j и п раз интегрируя по частям, получаем
2/а ^ eihrc°s иРп (cos и) sin и du = ~ С eift« [^ (z2 -1)"] dz =
В i
К (kr),
"Т2
а отсюда
[ eikrPn(cosu)sinu du A1.3.48)
о в
и т. д.
Эти представления будут многократно использованы на последующих
страницах. Здесь с их помощью мы установим связь между волновыми
решениями в цилиндрических [тг) = Ух2-\-у2, ф = arc tg (y/x), z] и сферических
[г = "|/ж2 + у% -\- z2, & = arc cos (z/r), <p = arc tg (y/x)] координатах. С помощью
соотношений 7) = г sin 0, z = rcos&,
tk- г = ikr [cos & cos и -\- sin & sin и cos (<p — v)] = ik [z cos и + к) sin и cos (<p — v)}
и соотношения A1.2.21) для соответствующего интегрального представ-
представления функции cos (mtp) Jm(kp) формула A1.3.47) дает
¦к
Р% (cos &) /„ (kr) = ~ im~n \ eihz C0SUJm (kt] sin u)P% (cos u) sin и du. A1.3.49)
о
Аналогично решение cos (тм<р) Jm (Щ)' может быть представлено в виде
ряда ^ВпР% (cos ft), коэффициенты Вп которого являются коэффициен-
коэффициентами разложения по сферическим гармоникам:
те
Вп = ¦ n~J ,~7Л\ \ cos (пир) Jn (kr sin и) Р™ (cos и) sin udu =
2я т.
= v^fer т~тЩ \dz>[ eihr sln u COS (9~") cos (mv) P™ (cos u) sin
0 0
= г"- Bn+ 1) jj==$ cos (nut) PZ @) /n C*r),
гдеР^@)=0, когдаn- mнечетно, ni»«@)=(- lj! [Bm + 2Z)!/2mt2iZ! (m + Z)!J,
когда n — m — 2l четно. Следовательно,
S 2It^+o? (cos &) /--'(Ar) A4 -3'50>
и, в частности,
= 2
р2« (cos &) А2» (>"•)¦

436 Гл. 11. Волновое уравнение
Вторая формула получена методами, аналогичными примененным для вы-
вывода A1.3.48).
Возникает естественный вопрос, достаточно ли хорошо сходятся вы-
вышеприведенные ряды. Ряд A1.3.45), например, не выглядит многообещаю-
многообещающим в этом отношении. Однако изучение ряда для /„ (кг) (который схо-
сходится абсолютно для всех конечных значений кг) показывает, что
Следовательно, остаток ряда для п, больших чем N~^>-~-kr, ведет себя
так же, как
а этот ряд сходится абсолютно. Конечно, если кг велико, приходится
брать много членов ряда, прежде чем их величина начнет уменьшаться,
но в конце концов она будет уменьшаться, и мы сможем пренебречь
остатком ряда.
Собственные колебания внутри сферы. Резонансные частоты для ко-
колебаний внутри сферы определяются корнями функций /„ (кг). Если, на-
например, краевые условия соответствуют звуковым волнам внутри сферы
радиуса а, то следует пользоваться функцией первого рода /„ (izansr/a),
ограниченной при г = 0, и величины а следует подобрать так, чтобы
djn (¦rca)/da = 0. Величина ans является s-m корнем этого уравнения; значения
нескольких первых корней этого уравнения даны в таблице в конце главы.
Собственными функциями для внутренности сферы при краевых условиях
Неймана служат функции
() A1.3.52)
а также аналогичные функции с sin (гщ) вместо cos (гщ) и с буквой о (не-
(нечетная) в качестве верхнего ипдекса. Эти собственные функции взаимно
ортогональны между собой. Их нормирующие постоянные имеют вид
2nas(n-Jrm)\
и точно так же для нечетных функций. Все эти волны для заданной пары
значений п, s при всех допустимых значениях т (от 0 до п), как четные
[cos(my)], так и нечетные [sin(ту)], соответствуют одной и той же резо-
резонансной частоте a)ns/2ji, где wns = iccans/c.
Стоячие волны для т и п, меньших чем s, соответствуют почти нор-
нормальному отражению от сферической поверхности и поэтому они фокуси-
фокусируются в центре сферы. Первый максимум находится примерно на рас-
расстоянии na/izans ~ na/ns от центра, а затем до наружной сферической
границы амплитуда уменьшается приблизительно обратно пропорционально
расстоянию от центра. С другой стороны, амплитуды волн, у которых т
или п много больше чем s, очень малы в центре сферы и становятся
большими приблизительно для тех г, которые превосходят а(п — s — l)/n.
Заметим, что в этом случае (при s < п) тсаП8 ~ п -\- izs/2, так что множитель

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 437
[(¦rcansJ — п(п-\- 1)]/(тсаП8J немного меньше единицы. Это показывает, что
амплитуда волны подобного типа весьма мала почти во всей области
внутри сферы.
Функция Грина для области, ограниченной сферой, имеет вид
Gk (г I Го) = У\ —г г [Фтш (Го) Фтпв О1") + фтпа (l) tymns (г)]. A1.3.53)
Лтт (kns — k2)
т, n,s
где kns = Tcans/a. Она, конечно, не равна функции Грина A1.3.44), так как
функция A1.3.53) удовлетворяет условиям Неймана при г = а, в то время
как функция A1.3.44) удовлетворяет условию для расходящегося излучения
при г —> оо.
Следующие два примера волновых процессов внутри сферы должны
быть изучены не потому, что звуковые волны в областях, ограниченных
сферой, часто встречаются, а потому что навыки в применении методов,
приобретенные при решении этих задач, могут оказаться полезными в дру-
других, практически более интересных случаях.
Колебания полой гибкой сферы. Интересная во многих отношениях
задача связана со свободными колебаниями сферической оболочки, наду-
надутой воздухом (сферической мембраны). Избыточное воздушное давление
внутри сферы создает в мембране равномерное натяжение Т (дин на санти-
сантиметр). В состоянии равновесия мембрана представляет собой полую сферу
радиуса а и равновесное избыточное внутреннее давление равно Р — 2Т/а
(ибо 2тсс21 = тсс2/>). В первом приближении мы пренебрегаем реакцией воз-
воздуха вне сферы; влияние излучения будет рассмотрено ниже, в этом па-
параграфе.
Очень важно разделить колебания нашей сферы на различные типы,
зависимость которых от угловых сферических кооординат имеет вид раз-
различных сферических гармоник, так как сферическим гармоникам различ-
различных порядков соответствуют различные собственные частоты. Кроме того,
восстанавливающая сила, возвращающая мембрану в ее состояние рав-
равновесия, различва для гармоник нулевого или более высоких порядков.
Рассмотрим в первую очередь случай нулевого порядка, когда коле-
колебания сферически симметричны. В этом случае движение воздуха внутри
сферы определяется потенциалом скоростей <|> = Af0 (кг)е~ш, где частота
ш = кс подлежит определению. Избыточное давление р на внутренней сто-
стороне мембраны и радиальная скорость мембраны выражаются формулами
ра = шрА/0 (ка) е~ш, vr = — kAj\ (ka) е~ш,
и их отношение должно быть равно акустическому импедансу мембраны
для сферически симметричных колебаний. Если плотность мембраны равна ps
и ее толщина равна h, то масса мембраны, приходящаяся на единицу
площади, составляет hps, так что нагрузка, создаваемая массой, равна
— imhps. Если радиус сферы увеличится сверх равновесного значения
а на ij, то напряжение в мембране увеличится сверх равновесного
на величину 2-tihE/a, где .Е —модуль упругости мембраны для растяжения.
Приращение сверх равновесного значения избыточного давления
у мембраны при этом составит Ау/гЕ/а2. Таким образом, импеданс
упругости равен i (AEh/wa?).
Следовательно, для свободных симметричных колебаний
Ра ¦ /о (ка) . , . . AEh

438 Гл. П. Волновое уравнение
ИЛИ
- /I \ = J-L- ^а ?r-5 • A1.3.54)
Различные значения тсу08 величины /еа, которые удовлетворяют этому урав-
уравнению, определяют собственные частоты симметричных колебаний to0s =
= ny6sc/a.Если определяющим фактором является масса мембраны, то самая
низкая собственная частота равна
Зрс2с » 2Eh. A1.3.55)
Высшие частоты для симметрии такого типа следует определить из таблиц
сферических функций Бесселя.
Чтобы найти резонансные частоты для других типов симметрии, мы
должны вернуться к § 1.3 и рассмотреть вопрос о кривизне мембраны.
Восстанавливающая сила мембраны для высших типов колебаний создается
изменением соотношения между давлением и натяжением, вызванным из-
изменением кривизны мембраны. Обращаясь к A.3.6) и к рассуждениям
начала § 2.1 о кривизне струны и мембраны, мы видим, что кривизна
(или «выпученность») поверхности %г = const равна С = — A/hjh^hs) {dhji^d^.
Отсюда можно найти восстанавливающую силу мембраны. Сила на единицу
площади, возникающая в мембране с натяжением Т при изгибании ее до
совпадения с поверхностью ?х = const, равна ТС и давление, необходимое,
чтобы удержать мембрану в этом положении, равно — ТС. Для сферы
в состоянии равновесия (hr=l, h$, = r, /i9 = rsin&) C= —2/с и давление
равно 2Т/а, как и было указано выше.
Но, поскольку мы интересуемся кривизной и полной силой для случая
мембраны, выведенной из состояния равновесия, мы должны пойти дальше.
Это нетрудно сделать, если смещение невелико. Предположим, что истин-
истинная поверхность имеет уравнение ?1 = ti (?2, ?з) + const, где смещение t\
достаточно мало, так что угол между нормалью к ^-поверхности и
нормалью к истинной поверхности мал. Тогда единичный вектор, нормаль-
нормальный к истинной деформированной поверхности, с достаточной точностью
выражается формулой
_ _ а2 дт] а3 дг{
Чтобы получить кривизну деформированной поверхности, сложим состав-
составляющую вектора де/д?2 вдоль ?2 и составляющую вектора де/д?а вдоль ?3:
1 Я Л
/~1. A w 1 1 1 \ 1
где первый член взят при
Поэтому, когда мембрана с натяжением Т, бывшая первоначально
сферической, совпадает с поверхностью г = а -\--»} (?2, ?3), сила реакции на
единицу поверхности мембраны равна ТС-ц, а приращение сверх равновес-
равновесного значения силы реакции равно
2Г , 2Г . Т д
д С • ьдт\\ , 1 дЧ, Л . 2Tfi
a2sin$
Если смещение равно т) = ri0Yemn (&, ip) е~Ы1, то приращение силы реакции
на единицу поверхности составит
_р = _ (п — 1) (п + 2)-^ ri0Yemn (&, <р) е~ш. (И.3.57)

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 439
Это любопытный результат: функции углов У оказываются собственными
функциями оператора, измеряющего кривизну. Акустический импеданс
мембраны для этого типа колебаний равен — iwpsh -\- i (п — 1) (и + 2) (Т/юа2).
Тот же результат получается для нечетных функций Yomn. Заметим, что
при смещениях типа п — 1 (например, Y = cos &) в мембране не возникает
восстанавливающей силы, что вполне естественно, так как подобное дви-
движение представляет собой смещение сферы как целого в ту или другую
сторону и не вызывает изменения ее кривизны.
Если смещение -ц мембраны пропорционально определенной сферической
гармонике Yemn или Yomn, то волновое движение внутри сферы должно
«меть такую же зависимость от угла, как и это смещение:
Отношение давления к радиальной скорости при г = с для этого типа
колебаний равно
z (fl> =
где, как указано в таблице в конце этой главы, tgan= —zj'n(z)fjn(z).
Собственные частоты колебаний мембраны и заключенного внутри нее
«оздуха получим, потребовав, чтобы импеданс мембраны равнялся импе-
импедансу заключенного внутри воздуха вблизи мембраны:
ctg [aw(fca)] д М - {п~]1 ("+2> -*L , п>1. A1.3.58)
о i п\ /1 ра (каJ рас2 ' К '
Значения ка, полученные при решении этого уравнения, можно обозна-
обозначить тсупв- Они могут быть использованы для определения резонансных
частот системы wns = Tcynsc/c при п > 1. Для случая полной симметрии,
когда п = 0, эти частоты получаются из уравнения A1.3.54); в случае
п~1, как уже отмечалось, нет вовсе восстанавливающей силы.
Колеблющаяся струна внутри сферы. В качестве второго примера
рассмотрим гибкую струну, натянутую вдоль диаметра полой сферы. Этот
диаметр будем считать совпадающим со сферической осью (& = 0 и & = it).
Радиус поперечного сечения струны % много меньше радиуса сферы а.
Пусть, далее, струна характеризуется натяжением Т и массой на единицу
длины ps, а скорость распространения поперечных волн вдоль нее пусть
равна cs (скорость распространения акустических волн в воздухе внутри
сферы обозначена через с). Предположим, что каким-нибудь образом эта
струна приведена в колебание, соответствующее ее основному тону, так,
что точки струны остаются в плоскости х, z. При этом струна взаимодей-
взаимодействует с воздухом, заключенным внутри сферы, и задача состоит в вычи-
вычислении результирующего акустического поля.
При изучении звуковой волны вблизи наружных стенок лучше всего
использовать сферические координаты г, &, ip, но когда мы имеем дело
с явлениями вблизи поверхности струны, удобнее применить цилиндриче-
цилиндрические координаты ij = rsin&, z = rcos& и <р (то же ip, что и для сферических
координат). Мы рассматриваем колебания системы, состоящей из струны
и воздуха, заключенного внутри сферы. Струна колеблется, «возбуждая»
звуковые волны в воздухе, которые в свою очередь воздействуют на
струну, «возбуждая» ее колебания. Взаимодействие колебаний происходит
на поверхности струны.
Так как мы не можем решить эту задачу точно, то придется начать
с некоторого приближения; мы задаемся некоторым колебанием или
вынуждающей силой и определяем последующие колебания и силы, пока
не возвратимся к первоначальному колебанию и не выясним, насколько оно
соответствует выбранному приближению. Мы начинаем с задания силы,

440 Гл. 11. Волновое уравнение
воздействующей на струну, предполагая, что она не зависит от положения
точки на струне и равна Foe-iu>t на единицу длины струны. В этом случае
смещение точки струны, находящейся на расстоянии z от середины, со-
составит
t Fo Г cos fez) .-i k -Л. e*-2L
? kfT Lcos(ftsa) J ' s~ cs ' Cs~ ps •
Так как движение происходит в плоскости х, z, то ж-компонента ско-
скорости точки струны с координатой z равна — ш?, а радиальная компонента
скорости воздуха у поверхности струны (tj = tjj) равна
a)
Если бы струна была бесконечной и колебалась в свободном пространство,
то потенциал скоростей звуковой волны, излучаемой струной, был бы равен
Г cos (ksz) I Zi (tj Y №— kl) Z,
-Isl. cos
io>ps y^ \ (aVl)
где к—ш/с, Z1 — некоторая линейная комбинация J1 и Nl7 удовлетворяю-
удовлетворяющая краевым условиям в бесконечности, a Z[ — ее производная. Если
радиус струны много меньше, чем длина волны 2тс//е, то вблизи струны
главным членом в Z является функция Неймана (за исключением того
маловероятного случая, когда краевые условия могут быть удовлетворены
вовсе без привлечения функции Неймана). Поэтому вблизи поверхности
струны Хг{х)!^А/х и Z[(x)~ —А/х2, а значит,
^, 41<-ч«|. A1.3.59)
Предположим далее, что радиус струны т^ достаточно мал по срав-
сравнению с радиусом сферической оболочки с, так что присутствие сферы
заметно не изменяет потенциал вблизи струны, хотя вблизи сферической
стенки он изменяется значительно. Следовательно, в формуле Грина
Aо G - G grado Ф (го)]^о
на поверхности струны с незначительной погрешностью можно использо-
использовать функцию G и ее производную из A1.3.53). В рассматриваемом случае
следует, конечно, взять функцию Грина, нормальная составляющая гра-
градиента которой при го = а равна нулю [т. е. функцию фтш иа
A1.3.52)]. Таким образом, решение, удовлетворяющее краевым условиям
Неймана при г = а, может быть представлено в виде интеграла по поверх-
поверхности струны
2я а
где G определяется формулой A1.3.53), а фа —формулой A1.3.59).
При интегрировании по у0 все члены ряда для G дают нуль, за исклю-
исключением тех, которые содержат ф„пз при т — 1. Собрав все такие члены^
мы получим
п, s
а 2я

U.S. Волновое движение, три пространственные координаты 441
Здесь мы воспользовались формулой A1.3.49), чтобы превратить
Pln (cos 8-0) /„ (тса„8г0/а) в функцию от тH и z0, которую удобно дифференци-
дифференцировать по -»}0. В интегральном выражении A1.3.49) мы также поло-
положили J1 (тса„8тI sin и/а) равным тсаП8% sin u/2a, поскольку ijx значительно
меньше а (это приближение непригодно для больших п или s, но соот-
соответствующие члены во всех случаях малы). Используем затем таблицу
в конце гл. 10, чтобы выразить Р\ через производные и произвести инте-
интегрирование по и по частям (производим замену ж = cos и). В результате
получаем
-1
Здесь мы воспользовались одним из интегральных представлений
функций Бесселя.
Чтобы вычислить коэффициенты разложения для ф, следует получен-
полученное выражение проинтегрировать по z0. Поскольку мы изучаем только
те силы, действующие на струну (и тем самым движения струны), которые
симметричны по отношению к центру струны и сферы, в разложение войдут
только звуковые волны, обладающие соответствующей симметрией и, зна-
значит, все члены с четными значениями п исчезнут. Интегралы для нечет-
нечетных п не могут быть выражены в конечной форме и обычно их приходится
подсчитывать численно. Мы можем положить
) sin2 u du =
о
О, п = О, 2, 4
где
l
^n (a; P) = ^ Icos (aay) ~cos (a)l [^ir /V» (РИ -2/n*i (Рц
—i
— безразмерная функция параметров а, р, конечная для конечных дейст-
действительных значений а, В.
Теперь можно написать
• /о \ ¦ For? v< (яаП8J Bn-fl) An(ksa; itans) cos ? jP^ (cos в) /n(nansr/o)
О (г. th ф) ^^ t — > —— -5 7 =—"' „ ¦ .„ ,
*-> «[("«ns) -"(" + 1I [("«ns) " « 1 cos (ftsa)/4Gions)
A1.3.60)

¦442 Гл. 11. Волновое уравнение
где суммирование производится по нечетным значениям п. Сила, с которой
звуковые волны действуют на единицу длины струны в направлении поло-
положительных ж, равна интегралу от ^-компоненты давления при "») = ¦%¦ Так,
при z = 0 (середина струны) эта сила равна
Fa=—i(op-ril ^ ФК.угс- <?)cos<pdy,
о
где параметр к, входящий в члены ка и ksa = kca/cs, пока остается не-
неопределенным.
Эта сила Fs, вообще говоря, не равна первоначальной силе Fo.
Во-первых, она зависит от z, что не имеет места для Fo. Во-вторых,
она обычно значительно меньше, чем Fo, благодаря безразмерному
множителю ?т\\/?аа, который весьма мал, поскольку ijx значительно
меньше, чем с, и плотность воздуха р много меньше, чем р8/т?. Однако
в знаменателе каждого члена имеются два множителя [(^ansJ — (каJ]
и cos (ksa) — cos (kac/cs); за счет этих множителей, которые могут быть
весьма малыми, можно добиться равенства Fs и Fo в каждой точке
«труны. Если приравнять Fs и Fo во всех точках, то, мы, конечно,
получим точное решение для одного из свободных колебаний системы
струна — воздух.. Для получения этого точного решения следовало бы
использовать Fs вместо Fo в нашем уравнении. В формуле для F0An мы
получили бы вместо Fo \ cos * .— 1 | выражение
L cos (/cso) J
ft.a ft a
ft S
cos *dt ~ ] F> A) sin
cos (kszu) [ tg (ksa) $ ^ (¦§")
0
- sin (ksz0)\ Fs (|
0
В результате получилось бы интегральное уравнение для Fs, которое,
однако, слишком сложно для решения. Вместо этого мы предположим,
что Fs для некоторых свободных колебаний почти постоянна и равна Fo.
Для некоторых из низших частот это почти верно, и мы можем полу-
получить приближенное решение, приняв Fs равным Fo при z0 = 0.
Резонансные частоты системы. Резонанс системы имеет место только
в тех случаях, когда струна находится вблизи своего резонанса, т. е.
при cos (kac/cs)c±i 0, или когда близки к резонансу колебания воздуха
внутри сферы, т. е. при ка си ъапз. В первом случае энергия колебаний сосре-
сосредоточена главным образом в струне и струна «вынуждает» колебания воздуха
внутри сферы; во втором случае стоячая звуковая волна внутри сферы, обладая
основной частью энергии, «вынуждает» колебания струны. В каждом из
этих случаев, поскольку р^/р8а мало, взаимодействие между воздухом
и струной слабое, и собственные частоты системы близки к собственным
частотам либо струны, либо воздуха внутри сферы. Для нескольких первых
собственных колебаний струны или воздуха внутри сферы, симметричных
относительно z = 0, Fs почти не зависит от z, и Fs, полученная при по-
помощи A1.3.60), приближенно равна Fo.
Например, вблизи наинизшего звукового резонанса рассматриваемого
типа симметрии имеем к = ¦ка11/а—е, где е мало. В первом приближении по s
мы в ряде A1.3.60) ограничиваемся только членом в = 1,«=1и получаем
Ax (тсацс/с8;
-2] /J («аи) COS

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты
443
При этом мы учли, что Р\ @) = 1 и j\ (TCXuih/a) ^ тт('Kaiifli/a)- Это выраже-
выражение служит для определения резонансной частоты по формуле
^,юи ess»
11 2а 2п '
Для вычисления ф при этом следует подставить в A1.3.60) Aua = тац — eua
и kuac/es соответственно вместо ка и ква. В первом приближении следует
рассмотреть только член п = 1, s = 1.
Тогда f
где i?0 теперь постоянная, которую
следует выбрать так, чтобы решение
согласовывалось с заданной амплиту-
амплитудой колебаний струны или воздуха.
Заметим, что если vu ниже наиниз-
наинизшей собственной частоты струны, то vu
также ниже собственной частоты сфери-
сферической полости без струны. В области
частот ниже своей наинизшей собствен-
собственной частоты струна действует как дополнительная нагрузка массой для
колебаний воздуха.
Для наинизшего резонанса, для которого большая часть энергии
сосредоточена в струне, мы принимаем к = izcjlac — о и получаем
О AV —
Рис. 11.7. Поведение резонансных
частот вблизи точки вырождения
Av = 0 [см. формулу A1.3.63)]; ЛГ-по-
стоянная связи.
—тс;
s, )
Зная Ь, мы можем рассчитать колебания и струны и воздуха.
Случай, когда собственные частоты струны и сферы близки друг
к другу, является случаем вырождения, и его следует рассмотреть отдельно.
Когда наинизшая собственная частота полости сап/2а отличается от наи-
наинизшей собственной частоты струны cs/4a на малую величину Av, т. е.
когда ircg/2c = тохц + BtcoAv/c) и 2itcAv/c <g 1, мы полагаем ка = irau — у Два
допустимых значения ка, определяющих две резонансные частоты, при
этом равны
... -паАч тЛ/теаА^Л2 „
(А"а)рез~тса11 + -з-± у (^—) + К,
где A1.3.63)
К:
(пац)8
тсац)
2psa2c
Как показано на рис. 11.7, когда |Av| больше чем (с/тсс)\ПК, две
допустимые частоты резко отличаются друг от друга; одна из них при-
приближается к горизонтальной линии, соответствующей решению A1.3.61),
а другая —к решению A1.3.62). Когда собственная частота отдельно взятой
струны приближается к собственной частоте резонатора без струны (Av—> 0),
две резонансные частоты не сливаются, а остаются разделенными некоторым
расстоянием, которое при Av = 0 пропорционально ~\ПК. Поэтому,когда Av ме-
меняет знак, тип колебания с концентрацией энергии в струне (диагональная
линия) переходит в тип колебания с концентрацией энергии в звуковой вол-
волне (горизонтальная линия), и наоборот. Очевидна аналогия между этим
фактом и известными свойствами простых связанных осцилляторов.

444 Гл. 11. Волновое уравнение
Излучение сферы. Для решения внешних задач введем фазовые углы,
аналогичные тем, которые уже применялись в задачах об излучении и
рассеянии на цилиндре (см. стр. 351 и таблицы в конце этой главы):
/„ (z) = Д, (z) sin [8„ (z)], ± /„ (z) =-D'n (z) sin [g; (z)];
nn{z)= -Dncoson, %-nn(z) = D'ncoson; A1.3.64)
hn (z) = - iDj\ ± hn (z) = iD'J'n.
Потенциал скоростей звуковых волн вне сферы радиуса с, радиальная
скорость на поверхности которой равна vQ{%, у)е~ш, имеет вид
_-. (п т\\
т, п
о (*>о. То) cos [т (ф — 9а)] Р% (cos &0) sin &0 dba. A1.3.65)
Потенциал скоростей, радиальная скорость и давление на больших рас-
расстояниях от сферы при этом равны
.т)=^- 2
n, m
X
Ро С) "о (К То) cos [т (<р - ?0)] Р? (cos &0) sin &0 dfte.
о
Средняя интенсивность 6" излучаемого звука в точке (г, &, <р) (г > а)
равна -rr\pv I, так что
9 pcV2
О — "Vi I
и полная мощность излучения колеблющейся сферы выражается формулой
со 2те 2тс те л
& S B«+1)^То5^
n=0 0 0
o-cPl)]. A1.3.67)
Для очень длинных волн (ка С 1), как и при излучении ци-
цилиндрических волн, формула упрощается. Приближенные формулы пока-
показывают, что при этом l/D'0(ka)c^i(kaJ и i/D'n для и>0 убывают как
высшие степени ка; Ъ'0(ка)а^. A/3) (каK и 8^ при и>0 является также вели-
величиной более высокого порядка малости. Поэтому, если интеграл от &0(&, <р)
по у и & не равен нулю, то
2-к -к
d?« S и« (&о- То) sin &0 d&0, Ла -> 0.

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 445
Излучаемая волна сферически симметрична, как если бы сфера расши-
расширялась и сжималась равномерно по всей поверхности. Величина Q, равная
2т. т.
{ v0 (&0, ?1)) sin Ьо rf&0, / (», <р) ~ - ?L
называется эквивалентной производительностью колеблющейся сферы как
источника излучения. Интенсивность излучения на расстоянии г от центра
сферы для предельного случая длинных волн равна
а предельное выражение для полной излучаемой сферой мощности
имеет вид
Р с* 4л6У2 ~ pfQ* , ka -> 0.
ояс
Очень короткие волны стремятся распространяться вовне радиально
от каждой точки сферы, так что угловая зависимость на любом расстоянии
такая же, как угловая зависимость движения точек поверхности сферы.
Как показывают таблицы в конце этой главы, при ka > 1 фазовый угол
<t'n(ka) для n<.N = '\/^ka приближенно равен ka — ir(n+l)/2, а амплитуды
В'п (ka) равны 1//сс, в то время как для п> N амплитуды D'n при п —> со
неограниченно возрастают. Поэтому функция углового распределения
A1.3.66) приобретает вид
т, п
Р%(cos&0) />™ (cos Ь) cos [т(<р — (р0)] sin
так что для очень коротких волн иг ?~ [ау„ ($,<p)/r] eife<r-cf) и /? = pcvr; отсюда
S СУ (pcoV2) | с0 (*» ?) I2 ПРИ Ла—>• оо. Этот результат аналогичен получен-
полученному на стр. 353 для полярных координат.
Излучение диполя. Сфера, сжимающаяся и расширяющаяся равномерно
по всей поверхности, представляет собой пример источника простейшего
типа; следующим по простоте является случай, когда сфера колеблется
как целое взад и вперед вдоль оси z. Если смещение вдоль оси z равно
Ае~ш, то радиальная скорость поверхности сферы в точке (с, &, ^) равна
— тА cos Ье~ш, и функция углового распределения / имеет вид
а излучаемая мощность равна
3 [D{ (ka)\*
о
-- izpcsk2a21 Л I2, ka —> со.
о
Избыточное давление волны, вызванной движением сферы, вблизи
сферической поверхности равно
где — in>A явлйется, очевидно, амплитудой скорости движения сферы.
Полная сила реакции поля излучения, препятствующая движению сферы,

446 Гл. 11. Волновое уравнение
равна интегралу по сфере от z-компоненты вектора рп0, где п0 —единич-
—единичный вектор нормали к поверхности сферы. Опуская временной множитель
е~ш, мы получаем
\ /
4 - о A1!(ш-)-[11)л) . с
=г та ?с-,—; .. , ' '—^—Т.—тгг A, f n = — •
Вместо h1 и h[ мы подставили их выражения через ка = ш/ш0, имеющиеся
в таблицах в конце этой главы. Импеданс излучения сферы для колеба-
колебательного движения такого типа поэтому равен
/j = = М !Li ! 41
г —шА а o>2-J-2iuH<u—2<ojj '
где Ма = D/3) па3р — масса воздуха в объеме сферы. При низких частотах
(со с соо = с/а) имеем чисто реактивный импеданс — A/2) шМа, эквивалент-
эквивалентный нагрузке массой MJ2; при высоких частотах (ш > соо) имеем чиста
активный импеданс D/3)тса2рс.
Предположим теперь, что сфера имеет массу Мо. Тогда комбинирован-
комбинированный импеданс механической массы и излучения равен Zr — iwM0, и если
сила Рюе-Ш приложена к сфере в направлении оси z, то скорость сферы
и потенциал скоростей звуковой волны на больших расстояниях от сферы
выражаются формулами
[ о+ Ма/2) + ш0 VЩ—МЦЩ
X [Л/0<о+1«>о(Л/о + Ма/2)-т<У Ml— Л/2/4]-'
(FwMoac/r) ехр { ш Г1=^ — 11 } COS Ь
X
Теперь при помощи метода преобразования Фурье или Лапласа можно<
рассмотреть неустановившиеся колебания сферы и излучение сферы при
воздействии на нее силы, приложенной в направлении оси z. Если, на-
например, сообщить сфере единичный импульс при < = 0, то потенциал
скоростей в момент t в точке (г, Ь, <р) будет равен
О, ct < г —а,
e
I
Колебание существенно затухает; оно заметно только на первой полови-
половине длины волны. Отметим, между прочим, что если масса сферы значи-
значительно больше, чем масса воздуха в объеме сферы, то длина излучаемой
волны равна 2па.
Излучение при неустановившемся движении сферы, вызванном про-
произвольной силой f(t), приложенной к сфере, можно определить по фор-
формуле A1.1.15).
Излучение группы источников. Если излучение создается не колеба-
колебаниями поверхности сферы, а группой источников, находящихся внутри

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 447
сферической области радиуса а, то для расчета поля излучения можно
воспользоваться функцией Грина A1.3.44). Предположим, что плотность
источников в единице объема равна q (r, &, <р) е~ш, причем q обращается
в нуль при г > а. Тогда потенциал скоростей при г > а имеет вид
где
= 2 V-"
m,n
¦к а
X \ cos [m («p — ?„)] d(p0 \ P™ (cos &0) sin &0d&0 \ q (rQ, $0, ф0) /n (Ax0) rMrr
Й о tf
A1.3.68)
Сравним эти формулы с аналогичными формулами A0.3.42) и
A0.3.44) для статического случая. Разложение по сферическим гармони-
гармоникам мало отличается от A0.3.42), ибо при п > ка интегралы в этих
двух выражениях мало отличаются друг от друга. Однако в нашем слу-
случае все члены, соответствующие различным сферическим гармоникам,
умножаются на одну и ту же функцию от г, а именно на eihr/r, а не на
различные степени l/rn+1. Поле излучения для всех высших типов сфе-
сферических гармоник убывает с расстоянием значительно медленнее, чем
статическое поле. Интеграл, на который умножается сферическая гармо-
гармоника Yemn или Yomn, представляет собой тп-ю компоненту плотности
распределения источников.
Интеграл по х, у, z, однако, в большей мере отличается от своего
статического аналога. Прежде всего зависимость от х0, уй, z0, фигуриру-
фигурирующая под интегралом, выражается через показательную функцию, а не
через алгебраическую.
Если ка больше единицы, то разложение экспоненты по степеням
х, у, z сходится медленно и непосредственное интегрирование экспонен-
экспоненты возвращает нас ко второй формуле, содержащей сферические гармо-
гармоники.
Если, однако, ка < 1, то разложение экспоненты в ряд сходится быстро.
При этом нулевой член представляет собой полную производительность
источников \\\ qdV. Первые члены разложения / (&, ф) по х, у, z равны
— ikx/r \ \ V xog(xo, y{), zo)dVo и аналогично для у и z. Интеграл, входя-
входящий в это выражение, называется ж-компонентой диполъного момента
распределения источников (см. стр. 260). Члены второго порядка содер-
содержат интегралы, называемые квадруполъными моментами, и т. д. Соотно-
Соотношения между этими мулътиполъными моментами и интегралами по сфе-
сферическим гармоникам такое же, как и в рассмотренном на стр. 263 ста-
статическом случае.
Излучение поршня, являющегося частью сферы. Пусть часть
сферы (радиуса а) 0< & < \ представляет собой поршень, движущийся
с радиальной скоростью Ue~lwl, а остальная часть сферы неподвижна.
Тогда, вычисляя интеграл A1.3.65), получаем выражение для потенциала

448
Гл. 11. Волновое уравнение
скоростей вне сферы
, Ue~iuit °°
2 IW7kE)-^P^^cos^)-Pn,l
2ik ^J Dn (ka)
n=0
). A1.3.69)
Коэффициент в скобках при п = 0 равен 1 — cos &0.
II
S
г, о
1
II
I I | |
f
Z BзсаЖ) * 6 8
Отношение периме/лра поршня к длине волны
Рис. 11.8. Активная и реактивная составляющие акус-
акустического импеданса для случая поршня, являющегося
частью сферы.
Полный импеданс поршня ранен рс Dэш2) sins (So/2) (9 — i/ ).
На больших расстояниях от сферы это выражение переходит в сле-
следующее:
__GeiHr-ct) °° .-it'-inn/2
* ~ W 2 D^
<>) - P«+1 (C0S &«I Pn
На поверхности сферы давление равно (ikpc&)r=a; интегрируя по поверх-
поверхности поршня @ < & < &0), получаем
^ (cos &(() _ pn+i (cos W =
| &0 ) [6p - iZp].

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 449
где
со
fi L__ V lpn-i (cos 8o)— Pn*i (cos »o)]2 ... о 7m
L__ V
4 sin2 (&0/2) ^
n=0
n=0
>А^а) cos К (.««)-
На рис. 11.8 изображены графики величин 6р и %р, как функций от-
отношения эквивалентного периметра поршня к длине волны 2ъар/~к =
= 2fajsin(&0/2). Заметим, что для длинных волн (по сравнению с 2тгар)
активная часть импеданса меньше реактивной; последняя представляет
собой реактивный импеданс эквивалентной механической массы, пропор-
пропорциональный к. Для коротких волн 8ри1и Хр^0» так чт0 полный им-
импеданс действителен и равен произведению рс на площадь поршня
Рассеяние плоской волны на сфере. На стр. 354 — 359 в связи с за-
задачей о рассеянии на круглом цилиндре были рассмотрены общие методы
и принципы расчета рассеяния плоских волн. При изучении рассеяния
на сфере мы исходим из разложения плоской волны A1.3.45). Если в си-
силу краевых условий ф равно нулю при г = а, то решение принимает вид
со
*=2
п=0
п (cos &) e-iS«(fto> [cos Ьп /п (кг) + sin 8n nn(kr)] е~ш =
n=0
ф8 = - 2 Bn + 1) i"*^-**"^)sin [bn(ka)] Pn (cos&)/гп(кг). A1.3.71)
n
Амплитуда рассеянной волны на больших расстояниях от сферы, отноше-
отношение S интенсивности рассеянной волны к интенсивности падающей и от-
отношение Q полной рассеянной мощности к интенсивности падающей вол-
волны (эффективное поперечное сечение рассеяния сферы) выражаются фор-
формулами
ф, ~ — ^- 2 Bп + !) e~iSn sin К Pn(cos &),
•S = 1^г- 2 Bm+ !) Bn + l)cos(Sm -ojsin 8msin8n/>m (cos &.) Pn (cos &),
со
v-i 2n 4- 1
Q — 4%cr 2j -jTrxrsin[^n (Att)J- A1.3./2)
Эффективное поперечное сечение () можно вычислить и иным путем,
который окажется полезным позднее, когда мы будем изучать поглощение
сферой. Мы найдем Q, вычислив работу, произведенную давлением па-
падающей волны на поверхности сферы за единицу времени, и разделив ее

450 Гл. 11. Волновое уравнение
1
на интенсивность падающей волны — рек2. Давление падающей волны
гсор^ на поверхности сферы равно
р0 = ipek ^ in Bn + 1) Рп (cos ft) /„ (ка),
а истинная скорость (мы имеем в виду составляющую скорости по
внутренней нормали) при г = а равна
— vr= — к 2 i" Bя + 1) /*„ (cos &) ^-^ [ — пп (ка) /„(ка) + Пп(ка) jn(ka)] =
Здесь мы воспользовались выражением для вронскиана Л(/и, пп)=1/(каJ.
Мощность, отбираемая у волны на поверхности сферы, равна интегралу
от Re(— p0vr)/2 по поверхности сферы:
Re {2
Частное от деления этой мощности на интенсивность падающей волны
A/2) рек2 как раз равно Q. Мощность, передаваемая падающей волной
сфере, переходит в этом случае целиком в рассеянную волну. Для слу-
случая краевых условий Неймана, когда в формулу A1.3.72) вместо оп под-
подставляется 6п, величина vr равна нулю при г = а; в зтом случае нужно
сосчитать произведение истинного давления на радиальную скорость
падающей волны, которое может быть представлено в виде Re(—jWOr)/2.
Для длинных волн (ка <С lNd^ika, 61c^.(ka)s/'S и т. д., так что в
первом приближении при условиях Дирихле
ка—>0.
В этом предельном случае рассеяние сферически симметрично, и предель-
предельное эффективное поперечное сечение Q больше, чем геометрическое по-
поперечное сечение ъа2. В случае условий Неймана выражение для Q со-
содержит 6^ вместо оп, и асимптотическое выражение для Q при ка—>0
равно D/9) та2 (/саL. Эта величина значительно меньше, чем та2, поскольку
ка с 1- Как уже упоминалось в связи с изучением рассеяния на цилиндре,
длинные волны в случае условий Дирихле рассеиваются сильнее, чем
при условиях Неймана.
В случае очень коротких волн рассеянная волна распадается на
две части: на тенеобразующую волну, распространяющуюся в направле-
направлении плоской волны, и отраженную волну, распространяющуюся по всем
направлениям. При ка большом оп(ка) велико при п < ка и мало при
п > ка. Следовательно, приближенное выражение для эффективного по-
поперечного сечения рассеяния имеет вид
ha
гг=О
где вместо sin28w подставлено его среднее значение 1/2 для п<.ка, а
быстро сходящаяся часть ряда при п > ка отброшена. Это эффективное
поперечное сечение равно удвоенному геометрическому поперечному сече-
сечению ¦ка2. Это объясняется тем, что оно заключает в себе части, соответ-

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты
451
ствующие и тенеобразующей и отраженной волне. Для каждой из них
поперечное сечение равняется ъа2.
Ниже в этой главе мы покажем, что если ка очень велико, то интен-
интенсивность рассеяния приобретает вид
S ~ ? + ? ctg2 (| &) J\ (ka sin ft).
Первый член этой формулы соответствует равномерно распределенной по
всем направлениям отраженной волне, полная мощность которой равна
%а2. Второй член соответствует
тенеобразующей волне: для под-
подсчета интенсивности полного поля
ее следует скомбинировать с па-
падающей волной. Тенеобразующая
волна имеет пик, направлен-
направленный вперед (& = 0), величина ко-
которого в ка/2 раз больше, чем
в других направлениях; по мере
удаления от направления рас-
распространения падающей волны
тенеобразующая волна быстро убы-
убывает и скоро становится мень-
меньше первого слагаемого. Зависи-
Зависимость интенсивности рассеянной
волны от частоты для краевых
условий Неймана (vT = 0 при г = а)
показана на рис. 11.9. В этом
случае диаграмма рассеяния иска-
искажена даже для длинных волн, а ха-
характер ее для коротких волн, ког-
когда впереди пик, такой же, как и
в случае условий Дирихле.
Представляют определенный „ .. _ „
Рис. 11.9. Интенсивность рассеянной вол-
интерес случаи, когда краевые ны и эффективное поперечное сечение рас-
условия при г = а не сводятся ни сеянияQ для случая рассеяния плоской волны
к условиям Дирихле, ни к ус- с длиной волныЛ на сфере радиуса а [с/г(а)=О].
ловиям Неймана. Иногда вол-
волны могут распространяться внутри сферы, но со скоростью, отличной
от скорости распространения в воздухе, и, возможно, с поглощением.
В таких задачах возникают два, несколько отличных друг от друга вари-
варианта краевых условий: в первом появляются общие однородные краевые
условия при г = а, а во втором используется при г < а эффективный по-
показатель преломления. Первый вариант возникает, когда воздух не про-
проникает глубоко внутрь сферы и поверхность лишь слегка деформируется
под влиянием давления, но настоящего волнового движения внутри сфе-
сферы не возникает. В этом случае мы можем принять с разумной степенью
точности, что имеется акустический импеданс поверхности
V Vr Ja V d
Ja '
более или менее независимый от угла падения волны, но изменяющийся
с изменением ш.
Второй вариант более пригоден в тех случаях, когда колебания дей-
действительно проникают внутрь сферы г = а и когда среда внутри сферы
более или менее однородна, хотя ее свойства могут быть совершенно ины-
иными, нежели свойства окружающего сферу воздуха. В этом случае мы

452 Гл. 11. Волновое уравнение
можем рассматривать также колебания внутри (при г <С а) сферы г = а и
согласовывать оба решения при г = а. Внутри сферы волновое уравнение
имеет вид
где п + iq — комплексный показатель преломления среды внутри сферы.
В обоих этих случаях энергия поглощается сферой (если только Ra или q
не равно нулю) в противоположность случаям простых условий Дирихле
или Неймана, где вся приходящая энергия вновь излучается вовне, ча-
частично в виде неискаженной плоской, а частично в виде рассеянной волны.
Рассеяние на сфере с комплексным показателем преломления. Рас-
Рассмотрим здесь второй случай, когда колебания проникают внутрь сферы,
причем среда внутри нее имеет показатель преломления n-\-iq и эффек-
эффективную плотность ps, отличную от плотности воздуха р. Потенциал ско-
скоростей, давление и скорость плоской волны в этой среде соответственно
равны
где, как и ранее, к = и>/с. Средняя интенсивность этой волны в точке х
равна A/2) pscn/c21A |2e.~2fte* , что указывает на затухание колебаний во
внутренней среде.
Конечные при г < а решения для рассматриваемого показателя пре-
преломления, которыми удобно пользоваться для того, чтобы удовлетворить
краевым условиям при г = а, имеют вид
sin (™?)РТ <cos &) h I* (n + *"?) Г1-
Чтобы удовлетворить краевым условиям, нужно определить отношение
радиальной составляющей градиента к величине потенциала при г = о.
Как и при решении других задач, мы вводим углы
значения которых приведены в таблицах в конце этой главы. Для внут-
внутренних функций нам нужны только углы ап для комплексного аргумента
k{n-\-iq)a. Чтобы упростить запись, будем обозначать этот угол
ajl = an[/c(n + ig)a]. Далее потенциалы скоростей внутри и вне сферы
должны сопрягаться при г = а и потенциал вне сферы должен быть ком-
комбинацией плоской и рассеянной волны. Поэтому мы ищем эти потен-
потенциалы в виде
2 Bm + 1) imAmPm (cos b) /m [ft (n + iq) г] е-**, r < a,
тл=0
CO
2 Bm + 1) im/»m (cos ») е-*»т [cos (ijj /m (ftr) + sin (Чп1) nra (ftr)] e-*->',
»n=0
г >a,
где коэффициенты -4ТО и фазовые углы 7)т должны быть определены таким
образом, чтобы давление и радиальная скорость оставались непрерыв-

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 453
ными при г = а. Соответствующие равенства для т-х членов имеют вид
Amiu>PsJm [& (п + Ч) а] = море-*»» [cos (ijj jm (ka) + sin (ij J nm (ka)],
Amk (n + iq) aj'm [k (n + iq) a] = кае~"т [Cos (ij J j'm (ka) + sin (ij J < (Ля)].
Разделив одно равенство на другое, мы получаем
k(n+iq)a .
1
или
tg Чт = tg [Sm (ka)] РУ7~РВТ} > A1.3.73)
где
«i = am[k(n + iq)a], a°m = am(ka) и P^=Pm(fta).
Отсюда можно получить оба предельных случая, а также и все промежу-
промежуточные. Например, если р > ps, то ч\т~от(ка), но если р <С ps, то Т1т~о'т(ка).
Если q > 0, то углы -цт комплексные, и мы их обозначаем
Значения i и % находим из равенства A1.3.73).
Выражение для рассеянной волны приобретает вид
Bп + 1) Pn (cos 8-) е-11)" sin т]п, г -> сю.
kr -6J
n=0
Интенсивность рассеянной волны при единичной интенсивности падаю-
падающей составляет
S = W 2 Bт + 4) BП + !) Pm (COS ») Pn (COS &) X
m, n
X [1 + cos [2 (Xm- Xn)] e~z ^m+^ - e-2*m cos BXm) - e-2"ncos BXn)],
и, наконец, эффективное поперечное сечение рассеяния, т. е. полная рас-
рассеянная мощность, приходящаяся на единицу интенсивности падающей
волны, равна
^ 2 n]. A1.3.74)
n=0
Однако при наличии поглощения это не единственное эффективное попе-
поперечное сечение. Часть мощности теряется внутри сферы, не создавая из-
излучения. Комбинация падающей плоской волны и рассеянной может быть
представлена следующим образом:
со
Bп + 1) Pn(cos &) [( - l)ne-ito- е^-ггзд ]; г~^- оз.
Первые члены соответствуют падающей плоской волне: поглощения или
изменения фазы этой волны нет. С другой стороны, вторые члены, пред-
представляющие уходящие волны, искажены введением угла рассеяния i\n.
Пока у\п действительно (пока -%п — 0), из сферы излучается вовне столько
же мощности, сколько ее поступает. Но если т\п — Хи — ixn их„>0, то

454 Гл. 11. Волновое уравнение
излучаемая мощность меньше поступающей. Часть волны, которая погло-
поглощается внутри сферы и вовсе не выходит вовне, равна уменьшению пол-
полного излучения вовне. Мы составляем разность между излучаемой мощ-
мощностью при отсутствии поглощения (*„ = 0) -т^ Bи+1) и излучаемой
мощностью при наличии поглощения -^ "у. Bп-\-1) е~1%п. Эта разность,
равная
n=0
представляет собой мощность, поглощаемую сферой на единицу интенсив-
интенсивности падающей волны, и называется эффективным сечением поглощения.
Сумма двух названных эффективных сечений является полным эффек-
эффективным сечением, т. е. частью энергии, потерянной плоской волной как
на рассеяние, так и на поглощение:
f^2 J. A1.3.75)
Это последнее выражение для полного эффективного сечения можно
также получить вычислением мощности, потерянной падающей плоской
волной на поверхности сферы. Мы умножаем давление плоской волны
на радиальную составляющую скорости у поверхности сферы, взятую со
знаком минус, и складываем результат с произведением радиальной
составляющей скорости плоской волны, взятой со знаком минус, на
истинное давление у поверхности; в итоге получаем
у Re [ — povr — pvOr] dA~ — pck2 4na2 2 B« + 1) Ai (^a) ^« ft0) e~*n x
71=0
X {ch y.n sin xn [sin 8n sin (Zn - o'n) + sin 6; sin (dn - Zn)] +
+ sh хи cos Xn [sin ои cos (х„ — К) — sin 6^ cos (о„ — x«)]}>
что после некоторой перестановки членов и элементарных преобразований
приводит к формуле A1.3.75).
Формулы, до некоторой степени подобные этим, можно получить, ис-
исходя из акустического импеданса материала. Если этот импеданс равен
Z = R — iX, то краевое условие имеет вид
Р
Выражение для ф вне сферы, а также и формулы для эффективного по-
поперечного сечения рассеяния, поглощения и полного эффективного сечения
остаются те же самые, что и вышеприведенные. Единственное отличие
представляет формула для фазового угла i\n = xn — i"*-n, которая теперь имеет
вид
При Z—> оо требуется, чтобы радиальная скорость равнялась нулю при
г = а, и т]п~6^; при Z-^О имеем т]п~ои.
Иногда для конкретных вычислений легче использовать вместо фазо-
фазового угла t]m коэффициент отражения Rm = e~2ir'm, выражая через него
результат. Полное поле и поле рассеянной волны на больших расстояниях

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 455
от сферы имеют при этом вид
m=0
со
Bт + 1) Рт (cos &) A - Rm).
7П=0
Эффективные сечения рассеяния и поглощения и полное эффективное сече-
сечение в этом случае выражаются значительно проще по формулам:
1^2 A1.3.76)
Формулы, выражающие коэффициент отражения Rm через внутреннее
поле или импеданс поверхности, таковы:
_ kapshm(ka) + p tg (a'm)<im (fea) _ pchm(ka) — iZhU (ka)
m
3
Заметим, что если iZ или tg (a^) действительны, то |-ftm| = l и Qa = 0.
Поскольку
cos (S^-
значения fta, обращающие в нуль квадратную скобку, приводят к
Rm = — 1 и при этом полное эффективное сечение достигает наибольшего
значения. Подобные резонансные пики встречаются как при рассеянии
звуковых волн, так и при рассеянии нейтронов.
Рассеяние на резонаторе Гельмгольца. Другая весьма интересная за-
задача, которую следует рассмотреть детально, — диффракция звуковой вол-
волны на полой сфере, снабженной круглым отверстием, диаметр которого
мал по сравнению с диаметром сферы. Подобная сфера с отверстием
является простейшим возможным видом резонатора Гельмголъца, и ее по-
поведение в звуковом поле представляет значительный интерес. Обозначим
радиус сферы через а и предположим, что центр отверстия расположен
на оси z, так что отверстие находится между & = 0 и & = &г (радиус
отверстия при этом равен a sin &i), а твердая сферическая оболочка нахо-
находится между & = &j и & = я.
Избыток давления в отверстии вызывает поток воздуха, входящего
или выходящего через отверстие. Если радиус отверстия меньше длины
волны, то поток вблизи отверстия будет подобен стационарному, описы-
описываемому формулой A0.3.58) и рассмотренному на страницах, следующих
за этой формулой. Для дальнейшего нам достаточно только знать, что
давление равномерно вдоль всего отверстия и что нормальная к плоско-
плоскости отверстия составляющая скорости равна C/Yah — tf, где а,, —радиус
отверстия (в данном случае a sin &г) и tj — расстояние в плоскости отвер-
отверстия от его центра. В рассматриваемом здесь случае, когда ah значительно
меньше чем а, мы получим хорошее приближение, предположив, что в
отверстии р постоянно и
v~ V

456 Гл. 11. Волновое уравнение
причем vT = 0 при &х ^ & < я. Соотношение между постоянной V и давле-
давлением подлежит определению.
Предположим, что, каково бы ни было избыточное давление падающей
волны вдоль площади отверстия, его среднее равно рое~ш. Это давление
действует как вынуждающая сила на воздух в отверстии, толкая его
внутрь или вовне и вызывая колебания внутри и вне сферы. Потенциал
скоростей этого вынужденного движения можно написать в виде
п=°
A1.3.78)
№=0
так что радиальная составляющая скорости при г = а равна
СО
ar = 2 AnPn (cos Ь) е-™.
Для определения точного решения нужно решить бесконечную систему
уравнений для коэффициентов Ап. Как и на стр. 364, мы получим при-
приближенное решение, задаваясь определенными соотношениями между Ап и
решая уравнение относительно единственного оставшегося неизвестного V.
Чтобы аппроксимировать установившееся распределение скоростей
в отверстии, радиальная составляющая скорости должна равняться (при-
(приближенно) [F/"j/cos ¦& — cos Фх ] е~~ш при 0 < Ф < #! и нулю при fl^ < Ф < я.
Таблицы в конце гл. 10 содержат нужный ряд. Мы находим, что
так что Ап ~ V ]/2 sin Г/г + -^)'б'1|» а значит, все Ап выражаются через
одно неизвестное V.
В приближении, которое мы ищем, давление в отверстии должно
быть равномерным. Но давление, вычисленное из ряда для г < а, не равно
вычисленному из ряда для г > а; разность должна быть равна вынуж-
вынуждающему давлению poe~iu*, и это соотношение дает возможность опреде-
определить величину V. Ряды для давления при Ф = 0, г = а не сходятся, но
разность между ними, как легко убедиться, сходится. Таким образом,
уравнение для определения V имеет вид
71=0
^y, sinlYn + i-V
n=0
где у &п и D'n подразумевается аргумент ка.
Сходимость может быть улучшена путем прибавления и вычитания
ряда, ведущего себя при больших п подобно рассматриваемому. Для
п > ка мы имеем
~e~lS" r^jh 2re + 1 fca ka
(каJ (r>L\* *\г\ (&L\ n(n+l) n

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 457
так что рядом сравнения будет
СО СО
а{2 >[0+т>1]+ 2 -i**[0-4>]Ь
171—1
= l/8A;acos('-i#1>)lm Г 2 4"ein8lJ = - У**в cos f-§#0 Im tln (I —e**1)l=
= j/2fca (я — ¦&,) cos f y #Л , т = и + 1.
Следовательно, для вынуждающего давления мы получаем
где величина
A1.3.79)
может быть названа, по соображениям, которые вскоре станут ясными,
удельным импедансом отверстия. Величина V не равна средней скорости
по отверстию. Действительно, амплитуда полного потока выражается
формулой
1
С . d
/cose— cos dx cose
Но эта амплитуда равна амплитуде средней скорости, умноженной на
площадь отверстия 4na2sin2(#x/2). Поэтому соотношение между V и ампли-
амплитудой средней скорости v0 имеет вид V = (V'2/2)sin(i&1/2)u0. Следовательно,
po = pcvQ?,(ka, #j) и ^ (/ca, ftj) является акустическим импедансом отвер-
отверстия (с учетом и внешних и внутренних колебаний), выраженным в еди-
единицах рс.
Для длинных волн (ка < 1) этот импеданс принимает вид
~-i*a [(я-Gj) cos
A sin2 (|- *i) + (Щ* sin2 (± «x), /ca -> 0,
Для небольших значений Фх и ка механический импеданс воздуха в отвер-
отверстии, т. е. отношение л (aftj^Po к v0, равен
где ah c^i adj. Первый член этого выражения дает реактивную часть импе-
импеданса, связанную с определяемой формулой A0.3.60) эффективной массой
воздуха в отверстии. Второй член представляет собой реактивную часть
импеданса, связанную с упругостью воздуха внутри сферы и опреде-
определяемую отношением удельной упругости воздуха рс2 к объему шара.
Последний член—это активное сопротивление излучения, создаваемое

458 Гл. 11. Волновое уравнение
уходящими волнами. Резонанс имеет место при ш = оо0 ~:
а также и при больших частотах, близких к тем, для которых sin 6^
обращается в нуль. Для учета вязкости воздуха приходится добавлять
четвертый член, соответствующий сопротивлению трения при движении
через отверстие.
Далее, нам следует согласовать это вынужденное движение с падаю-
падающей волной. Пусть падающая плоская волна распространяется
в направлении Ф = а, ф = 0 по отношению к оси отверстия. Комбинация
плоской и рассеянной волн, удовлетворяющая' краевому условию vr = 0
при г = а (в нулевом приближении отверстие отсутствует), имеет вид
Ф = 2 sm Bn + 1) in {"Т"?', cos (пир) Р% (cos a) P% (cos Ь) X
X Г /„ (кг) — 7" (Ы) hn (кг) 1 e-iu" = eifc(zcosa+:tsjna)-iu>i _
L /гп (fca) J
— i 2 Bи -+-1) inPn [cos a cos ft + sin a sin ¦& cos ф] X
n
X e-i6"(fea)sin[6^(/ca)]An(^)e-iu". A1.3.80)
Среднее по площади отверстия давление при этом равно
СО /
Ро = 2sin* Я/2) 2 ^«(C0S«) [Pn-i (COS#0 -Pn+1 (COS «,)
п=0
1+ -g-i/ca cosa cos2 ^у
Чтобы получить ту часть волны, которая порождается движением воз-
воздуха в отверстии, это среднее давление нужно подставить в выражения
для коэффициентов ряда A1.3.78):
Полное выражение для рассеянной волны, включая волну, обусловлен-
обусловленную движением в отверстии, на больших расстояниях от резонатора при-
принимает вид
aeihr—iu>t
(каJ I -ц- — [cos а cos Ф + sin а sin & cos <p ] —
( 1 + -^- ika cos о ) ( 1—;j- ifca cos ft )
ka -* 0, Sx -> 0.
A1.3.81)
Отсюда можно получить выражения для интенсивности рассеянной волны
и эффективного поперечного сечения рассеяния.
При очень большой длине волны часть волны, порождаемая отвер-
отверстием, уничтожает сферически симметричную часть волны, рассеянную
сферической оболочкой. Отверстие как бы «замыкает накоротко» сферу,
уничтожая сферически симметричное и оставляя только «дипольное» рас-

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 459
сеяние. Единственным членом, содержащим &j (в этом приближении),
является реактивкая часть импеданса, связанная с массой. Чем меньше
отверстие, тем ниже резонансная частота резонатора (kaH ~ ~|/3&j/27t .
При резонансе часть волны, порождаемая отверстием, сильнее, чем часть,
рассеянная оболочкой, приблизительно в Bir/3&jK/2 раз, что значительно
больше единицы:
аегкг-Ш
В первом приближении по ка и по Ьх эффективное сечение рассея-
рассеяния равно
j VW&r+WW ] A1 3 82)
Оно много меньше площади сферы 4тш2 (покуда ка < 1), за исключением
случая резонансной частоты резонатора, когда
24л
При этой частоте эффективное поперечное сечение рассеяния значительно
больше, чем геометрическое поперечное сечение тса2.
Выражения для tyg и Q при резонансе существенно изменятся, если
мы будем учитывать влияние вязкости. В основном влияние вязкости
приводит к появлению дополнительного активного члена импеданса, воз-
возникающего вследствие течения через отверстие. Если амплитуды скоро-
скоростей достаточно малы, так что отсутствуют завихрения, то эффект
заключается в прибавлении действительного слагаемого к импедансу ?,
что приводит к появлению дополнительного слагаемого в знаменателе
последней строки формулы A1.3.81) и превращает его в 1 — BтсА;2а2/3&1) —
— i(kaK/3 — г'8. Знаменатель формулы A1.3.82) принимает при этом вид
[1 — Bic/c2a2/3&1)]2+[(/caK/3 + 6]2. Член 8 зависит от частоты не так, как
(каK/3, и превосходит эту величину, хотя обычно в области частот, для
которых наши формулы применимы, он меньше единицы. Поэтому выра-
выражения tyg, S и Q меняются незначительно, за исключением случая частот,
близких к резонансным, когда ка са |/ЗЬу2тс. При учете вязкости пик
резонанса оказывается не столь высоким, как было ранее. Например, Q
при резонансе приближенно равно тса2 (Зв^/тсБJ вместо ira2 B4ic/ft1); поскольку
в большинстве случаев B4^/8^) > C&1;%оJ > 1, пик все еще высок, хотя
и не настолько, как при отсутствии вязкости.
Рассеяние на совокупности рассеивателей. К изучению диффракции
волн на совокупности рассеивателей сводится широкий круг вопросов,
начиная от голубизны неба до электропроводности металлов, от ревер-
реверберации звука в морской воде до диффракции рентгеновских лучей. Деталь-
Детальное рассмотрение всего комплекса относящихся сюда задач увело бы нас
слишком далеко и потребовало бы по меньшей мере дополнительной главы
в книге. Вместо этого мы коснемся лишь некоторых простейших концеп-
концепций и примеров.
Степень сложности подобных задач в значительной мере зависит от
интенсивности рассеяния. Если эффективное поперечное сечение рассея-
рассеяния составляет незначительную часть площади, облучаемой падающей
волной, как это имеет место с рентгеновскими лучами или звуковыми
волнами в «пузырящейся» воде, то с хорошим приближением можно счи-
считать, что рассеяние на каком-либо отдельном центре не зависит от нали-

460
Гл. 11. Волновое уравнение
чия других рассеивателей (множественностью рассеяния можно пренебречь).
С другой стороны, для электронных волн в металле и для некоторых
акустических случаев волна на каждом рассеивателе в значительной
степени подвержена влиянию других рассеивателей и разделение на одно-
однократно или множественно рассеянные волны теряет свой смысл. Мы
начнем рассмотрение вопроса с простого случая слабого рассеяния.
Обращаясь к рис. 11.10, допустим, что имеется N рассеивателей,
и все они расположены внутри сферы радиуса а, причем n-й рассеива-
тель находится в точке, положение которой относительно центра сферы
Рис. 11.10. Углы и векторы положения и распростра-
распространения для случая рассеяния плоской волны на совокуп-
совокупности рассеивателей.
определяется вектором тп. Падающая плоская волна единичной интенсив-
интенсивности имеет вид $>г = eiftr cos ь (мы определили потенциал волны так, чтобы
ее интенсивность равнялась | ф |2). Если полное рассеяние мало, то каж-
каждый рассеиватель ведет себя так, как если бы он был единственным;
рассеянная им волна характеризуется функцией углового распределения
/(&). Следовательно, рассеянная волна в точке Р имеет вид
N
n=l
причем фаза в центре сферы положена равной нулю. При г > а эта волна
в первом приближении по а/г может быть представлена в виде
fiiftr
г
N
ехр
A1.3.83)
п==1
где
= к0 — k, p. =
1 ч\
TV-
Каждая составляющая волна в точке Р имеет свою собственную
фазу; в некоторых случаях все или почти все волны находятся в одина-
одинаковых фазах и тогда рассеянный пучек интенсивен. В других случаях
совпадения фаз вовсе нет или же только немногие из составляющих волн
имеют одинаковые фазы и тогда рассеянная волна заметно слабее. В пер-
первом случае рассеяние называется когерентным, во втором случае — неко-

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 461
герентшлм. Относительное количество и когерентных и некогерентных
волн в рассеянной волне в какой-то мере зависит от степени равномер-
равномерности расположения рассеивателей.
Чтобы получить экстремальный случай, предположим сначала, что
все рассеиватели расположены в равноотстоящих друг от друга плоско-
плоскостях, перпендикулярных вектору ji = к — к0. Предположим, что имеется М
плоскостей на расстоянии d друг от друга и в каждой из этих плоско-
плоскостей L рассеивателей, так что LM = N и d < 2а. Направим ось х парал-
параллельно вектору ji; тогда ж-координата п-й плоскости рассеивателей равна
л; = жх + (п— l)d. Формула A1.3.83) приобретает тогда вид
M
sin
^ с- - ' =д — /v.v;c - - -г-j — .
„-1 М sin I kd sin ( у * J
A1.3.84)
Для & —» 0, т. е. в направлении распространения падающей волны,
рассеянная волна <bs = Nf (b)(eihr/r) интерферирует с падающей и образует
тень. Если величина Mkd = 2^Mdl\ значительно меньше, чем единица,
то это предельное выражение пригодно для всех значений &, и полная
рассеянная волна точно равна произведению Лт на волну, рассеянную од-
одним рассеивателем. В этом случае, т. е. если 2ъа меньше, чем длина волны,
все рассеянные волны когерентны и вся совокупность рассеивателей дей-
действует подобно единому рассеивателю с «силой» в N раз большей, чем
у отдельного рассеивателя.
Если, однако, Mkd > 1 > kd Dтса > X > 2t:d), то выражение для ф8, со-
соответствующее отдельному рассеивателю, умножается на {sin[M/cdsin(8/2)]:
:МЫ sin (8/2)}. Если ось х (перпендикулярная к плоскостям рассеивателей)
остается при изменении & параллельной вектору ц, то амплитуда рассеян-
рассеянной волны быстро убывает с ростом & и, за исключением резко выражен-
выраженного тенеобразующего луча, амплитуда рассеянной волны значительно
меньше, чем N раз взятая амплитуда, соответствующая одному рассеи-
рассеивателю.
Наконец, когда длина волны X меньше, чем 2та/, мы должны вос-
воспользоваться точной формулой A1.3.84). В этом случае, если Мsin (8/2) =
= Bitd/X) sin (8/2) равно произведению целого числа т на тг, то знамена-
знаменатель пновь обращается в нуль и образуется сильный луч. Другими
словами, сильный луч возникает, когда угол 8 таков, что 2dsin(8/2) = /?iX
(и когда jj. остается перпендикулярным к плоскостям рассеивателей). Это
и есть углы Брэгга для диффракции рентгеновских лучей на кристал-
кристаллической решетке.
Когда {J, не перпендикулярен к правильно расположенным плоскостям
рассеивателей или когда рассеиватели не расположены в каком-либо
регулярном порядке, разобраться в происходящем явлении легче не при
помощи амплитуды ф8, а путем подсчета интенсивности рассеяния | ф812
(при единичной интенсивности падающей волны). (Бесспорно, обычно
легче экспериментально измерить | <})s |2, чем <bs.) Из A1.3.83) мы имеем
N
т, п=1
где [t = 2/csin (8/2), {i, = k0 —k и Rmn = rm— г„ представляет собой вектор,
проведенный от п-то к /тг-му рассеивателю. В этой сумме выделим члены

462 Гл. 11. Волновое уравнение
С т = п:
n=f~m
Первый член представляет интенсивность, которая получилась бы,
если бы N рассеивателей посылали свои волны независимо друг от друга,
так что складывались бы не амплитуды, а интенсивности этих волн.
Это — некогерентная часть рассеяния. Второй член является когерентной
частью. В нем учтены соотношения между фазами различных рассеянных
волн. Если рассеиватели в среднем достаточно удалены друг от друга,
т. е. если fx = 2A;sin(&/2) достаточно велико, так что ц ¦ Rmn > тс/2 для
большинства та п, и если рассеиватели так распределены, что величины
ji-Rmn распределяются случайно (т. е. если вектор р, не перпендикулярен
к плоскостям регулярно размещенных рассеивателей, как это было выше),
то экспоненты в двойной сумме взаимно уничтожаются и остается только
некогерентный член.
Однако для достаточно малого р. все же сохраняется и когерентная
часть, которая доминирует в направлении распространения падающей
волны. Если, например, рассеиватели случайно распределены внутри сферы
радиуса а, так что средняя плотность их постоянна и равна 3N/4%a3, то
наша сумма будет приблизительно равна
^^ f4t at Й ш ш -мм \
r2dr =
Г л С л f ,w sj 3iV(iV — 1) С si
J T J J а3 )
0 0 0 0
= 37УGУ-1)
где множитель N(N — 1) появляется, несмотря на суммирование по т от 1
до N, потому что при суммировании по п мы опускаем член п — т.
Эта формула показывает, что при р.а С 1 [2тса sin (&/2) < X] полная
интенсивность рассеянной волны имеет резко выраженный пик
пропорциональный квадрату числа рассеивателей. Здесь амплитуды всех
рассеянных волн складываются и когерентное рассеяние преобладает.
С другой стороны, при 4а sin (&/2) > X когерентное рассеяние относительно'
мало (в особенности, если N велико) и преобладает некогерентное рас-
рассеяние
пропорциональное первой степени числа рассеивателей.
Рассеяние звука на пузырьках воздуха в воде. В предыдущих рас-
рассуждениях мы предполагали рассеяние «слабым», так что можно было прене-
пренебречь воздействием рассеянных волн на волны, падающие на рассеива-
рассеиватели. Для иллюстрации многократного рассеяния мы рассмотрим случай
рассеяния звуковых волн на распределенных в воде малых пузырьках
воздуха. Чтобы провести эти вычисления до конца, мы предположим, что
радиус пузырьков мал по сравнению с длиной волны, так что рассеяние
единственным пузырьком сферически симметрично. Прежде всего следует
выяснить, что представляет собой рассеяние от одного единственного
пузырька.

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 463
Поскольку размер пузырька значительно меньше длины волны, избы-
избыточное давление р падающей звуковой волны (по сравнению со средним
давлением Р) практически одинаково по всей поверхности пузырька.
Пусть р = рое~~ш. Отношение избыточного давления р к изменению объема
пузырька, если расширение воздуха в пузырьке происходит адиабатически,
равно р/Р = —"[(dV/V), а так как для воздуха у/* — рас?, то
dt
где у —отношение удельных теплоемкостей (для воздуха 1,4), a vr — ради-
радиальная скорость поверхности пузырька.
Возникающее колебание поверхности пузырька вызывает в воде ради-
ально расходящуюся звуковую волну
А
где р.„, и cw— соответственно плотность и скорость звука для воды, а ра и са —
соответствующие величины для воздуха при среднем давлении Р. Избы-
Избыточное давление падающей и рассеянной волн вне пузырька у его поверх-
поверхности должно быть равно избыточному давлению внутри него. Радиальная
скорость также должна оставаться непрерывной при г = а:
здесь принято ка <С 1, так что eifta~l. Наконец, потенциал скоростей
рассеянной волны в этом приближении имеет вид
's ~~ («о»2— 1 — i (B/w) r
где a>o = 3paCa/a2pw — резонансная частота воздушного пузырька, а В=
= 3pa— Ca/apwcw — активное сопротивление излучения сферической поверхно-
поверхности. Практически имеются также активные потери, связанные с вязкостью,
и другие потери, связанные с тем, что изменение давления в малых пузырь-
пузырьках происходит не точно адиабатически, а потому и не вполне обратимо.
Таким образом, последний член знаменателя должен быть заменен функ-
функцией — ia (со), зависящей от частоты более сложным образом, нежели — i (.В/со),
при этом 8 (со) несколько больше, чем В/ш. Функция 8 (со) в общем случае
также несколько больше единицы при со = соо.
Следовательно, если потенциал скоростей падающей волны на пузырьке
имеет вид ([^е—iuJt, то рассеянный потенциал скоростей, «порожденный»
падающей волной, равен
Zk
где Ro— коэффициент отражения из A1.3.76). Эффективные поперечные
сечения рассеяния и поглощения и полное эффективное поперечное сечение
пузырька при этом равны
О ~
П Ька*Ъ1ка
"о r/m./m\S 112.
Все это указывает на наличие при со = о>0 резонанса между упругостью
воздуха в пузырьке и эффективной массой воды непосредственно у пузырька.
Как а>0, так и В являются функциями радиуса пузырька а.

464 Гл. 11. Волновое уравнение
Теперь рассмотрим действие нескольких пузырьков. Предположим,
что внутри сферы с радиусом Ро мы имеем N пузырьков. Они различны
по размеру и распределены в пространстве случайно, но можно полагать,
что существует функция плотности распределения n(r,a)da, которая
дает среднюю плотность пузырьков, имеющих радиус между а и a-\-da
и находящихся в точке г. Тогда полное количество пузырьков равно
ат ат
N=[ da \ С { п (r,a) dV, а п (г) = { n(r,a)da
о о
является средней плотностью пузырьков всех размеров в точке г. Мы
предполагаем, что максимальный радиус пузырька равен ат и что область
интегрирования по сфере радиуса Ро заключает в себе все пузырьки
какого-либо размера. Чтобы предыдущие расчеты рассеяния оставались
в силе, мы должны предположить, что длина звуковой волны в свободной
воде значительно больше чем 2%ат.
Если cw/w > am, то мы можем представить потенциал скоростей в неко-
некоторой точке г = xi -j- УЗ + zk в виде суммы падающей волны <1>; и сфери-
сферически симметричных волн, рассеянных от N пузырьков, причем и-й пузы-
пузырек находится в точке тп:
N
где к = (o/cw и Rn = | г — тп [—расстояние от n-го пузырька до точки Р.
Величина Ап связана с потенциалом скоростей в точке расположения п-го
пузырька.
При этом ф не является еще истинным потенциалом, так как ф заклю-
заключает в себе эффект рассеянной волны от самого п-го пузырька, а «вынуж-
«вынуждающая сила» должна быть комбинацией первичной волны и волн, рас-
рассеянных на других пузырьках. Другими словами,
тфп
где Rrhn = | rm — rn |. Эта формула учитывает действие на п-й пузырек рас-
рассеяния на всех других пузырьках.
Формулы, необходимые для дальнейшей выкладки, могут быть запи-
записаны следующим образом:
N
п=1
Фп = Ф Ю —J2- фпе№Кпп = ф{ (г„
-
[юо(а)/ш]2 — 1 — гВ(ш, а) '
О =Атг\р
Vsn ^^ I 61
Поля для конкретных конфигураций пузырьков, даже если они могут
быть рассчитаны, не представляют особого интереса. Более интересным
является среднее поле, получаемое при усреднении по всем конфигурациям
пузырьков внутри сферы радиуса Ро. Такое усреднение мы будем обозна-
обозначать скобками { ). Усреднение потенциала ф4 не меняет его, так как это —
первичное поле, не зависящее от конфигурации пузырьков; следовательно,

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 465
(<]>i (r)) = <!)j (r). Конфигурационное среднее для ф выражается формулой
<ф (г)) = ф* (г) + ^ \ \ G (r J <фп(гп)> ^- dVn,
где (фп (г)) — среднее внешнее поле, действующее на п-й пузырек и являю-
являющееся комбинацией поля падающей волны и поля рассеяния на всех пузырь-
пузырьках, за исключением n-го. Величина G(r) представляет среднюю плотность
рассеяния на пузырьках, находящихся в точке г, усредненную в этой
точке по всем размерам пузырьков:
G(t)= \ и (г, a)g(a)da.
Она равна средней «силе» рассеяния, умноженной на среднюю плотность
пузырьков в точке г.
Среднее от ф)г — наружного поля, воздействующего на п-ю частицу,—
приближенно равно среднему от всего поля ф в той же точке. Если имеется
только один рассеиватель, то это среднее равно ф{; для большого коли-
количества пузырьков оно отличается от (ф) на величину порядка 1/7V. Следо-
Следовательно, для больших N мы имеем
Это интегральное уравнение относительно (ф(г)) равносильно дифферев-
циальному уравнению в частных производных
V2 <ф> + кЩ) = — 4«С<ф> или Т
где
1/2
0
, 2п i n(r, a) ada
о
Таким образом, конфигурационное среднее потенциала скоростей
является решением волнового уравнения, в котором показатель преломле-
преломления |^l + 4icG//c2 меняется вместе с плотностью пузырьков. Благодаря на-
наличию члена с 6 этот показатель преломления оказывается комплексным,
и присутствие этого члена указывает на затухание волны по мере ее про-
прохождения через область, заполненную пузырьками. Функция Грина для
нашего среднего удовлетворяет уравнению
V*K (г I г„) + kl (г) АГ(г|го)= — Ш (г - г0).
Она ведет себя как 1/R при /? = | г — го|^О, а для больших R представ-
представляет расходящуюся волну.
Точно так же можно вычислить конфигурационное среднее квадрата
потенциала скоростей |ф(г)|2. Интегральное уравнение, аналогичное полу-
полученному для (ф(г)), имеет вид
(|ф(гI2)~|(ф(г))|2 + ^- \{{ ^ (г.) <| Ф (г.) 12> I AT (г I го)|2 rfFA,
где
S (г) = 4- \ и (г, а) | g (а) |2 da = \ п (г, а) Qs (а) da
— полное эффективное поперечное сечение рассеяния пузырьков на еди-
единицу объема в точке, определяемой нектором г. Это уравнение показывает,

466 Гл. 11. Волновое уравнение
что когерентная часть рассеянной волны определяется квадратом конфи-
конфигурационного среднего ф (г); пузырьки влияют на эту часть через пока-
показатель преломления \^1 — 4пС/к2. В дополнение к когерентной волне
| (ф (г)) |2 имеется также некогерентное рассеяние (определяемое интегра-
интегралом), пропорциональное плотности S эффективного сечения рассеяния,
причем излучение от каждого элемента объема пропорционально (| ф (г) |2).
Это рассеяние затухает при прохождении через область, заполненную
пузырьками, как квадрат модуля функции Грина К(г'гп).
Сфероидальные координаты. Вытянутые сфероидальные координаты
были определены формулами A0.3.46). Их можно также выразить через
переменные a=Archc, S = arc cost):
1 , Q z• l , . Q cos
z = -тг-аch(xcos&, =-rflshfismu . <p,
^ TJ ? о 111
=——\ ch2ix —cos2&,
J/g
т ~ ,.v,2,, ,.nc2 a el,,, "яГГ V sil t1 "яГГ
A1.3.85)
Г 1 д f -. d'l> \
I __z ( cb .. т \j_
— cos2» _.
1 _9_/ . „ d\> \ shV + sin2» а2ф -j
sin ft й!} \. 3ft у sh2 (л sin2 Й dy2 J
Исходя из этих формул, можно произвести разделение переменных. Сплю-
Сплющенные сфероидальные координаты определены формулами A0.3.55). Они
могут быть получены из вытянутых сфероидальных координат заменой а
на — га и одновременно 5 на г? или же заменой ch jx на i sh jx в формулах
A1.3.85). Следовательно, решения, полученные для случая вытянутых
сфероидальных координат, допускают весьма простое продолжение на
мнимые значения параметров и координат.
Сомножителями решения уравнения Гельмгольца Т2ф -f- А2ф — 0 в вытяну-
вытянутых сфероидальных координатах являются тригонометрические функции угло-
угловой координаты <р а именно c?s (ту), т = 0, 1, 2, ... , если допустимы нее
L Sin
значения 9 от 0 до 2?t и решения следующих уравнений (и координатах
,„.(8т
где h = ak/2 = wa/2c = тса/Х и ^4 — постоянная разделения. При этом
Заметим, что уравнения для / и S в действительности совершенно одина-
одинаковы. Одно из них — для S — рассматривается на интервале между особыми
точками —1 и -f 1, а второе —для J— на интервале от + 1 до ю. По-
Поэтому мы можем изучать решения одного уравнения для z, причем -q
пробегает интервал от —1 до +1, а ? — интервал от +1 до оо.
Вопрос о свойствах этих решений был уже затронут в гл. 5 [см.
E.3.95)]. Мы выяснили, что для данного уравнения точки ±1 регуляр-
регулярные особые с индексами + т/2, а бесконечность — иррегулярная особая
точка. Мы показали также, что функция S (-q) может быть представлена

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 467
в виде ряда по присоединенным функциям Лежандра
где последовательные коэффициенты связаны рекурсивной формулой
я(п-1) fe2 , _j_ , 2 (* + 2m+l)(n+2m+2) ,
-2m — 3) n a ' Bn+2m + 3) Bn + 2m-\-5) n+a Г
L Bn + 2»n-|-3) Bn + 2m — 1) ' v y v y J "
Решение S, конечное при -q = 1 для большинства значений Л, будет бес-
бесконечным при к) = — 1 Однако рекурсивные уравнения могут быть ре-
решены методом непрерывных дробей, изученным в § 5.2 (в связи с урав-
уравнением Матье), и сходимость рядов может быть обеспечена для дискретного
ряда значений постоянной разделения Л. Имеются две последовательности
конечных решений, одна с четными значениями п, другая с нечетными.
Мы нумеруем каждую последовательность по возрастающим значениям А
и окончательно получаем
n=0
l = m, m-\-2, m-j-4, . ..,
(II .З.-х)
(\ „Ц '2 m V /7 Ih \m Л Tm (тЛ
V1 'I / ^J U2n + 1 \rt | '"> t7 J 2П + 1 \ i/>
n=0
Z= ire+1, те4-3, .. .,
где Лт((/г) < Лт(г + 1)(/г). Для данного т наименьшее значение Л имеет
номер 1 = т (т. с. обозначается Атт), следующее — номер 1 = т,-г\ и т. д.
Соответствующие функции Sml являются собственными функциями, и при
данном т и различных I они взаимно ортогональны.
Когда h —> 0, уравнение для Л" сводится к уравнению для простой
сферической гармоники /)Г(т]) = A— ¦»!2)т"/271Г-т('ч) и Лт( ~ г (i-j-1). Мы
можем нормировать функцию 6" таким образом, чтобы ее поведение вблизи
т) = 1 было при любом значении h таким же, как и у функции Р.
Другими словами, поскольку 7Tlm(l) = [{l->rm)\/2mm\ A — т)\\, мы требуем,
чтобы
2'(п+2го)! , ,, | А A+тI ...
i-—i-i—Ld,, (А | m, I) — fj-±-—^ , A1,
где штрих над знаком суммирования показывает, что в сумму включаются
только члены с четными номерами п, если I — т четно, и только с нечет-
нечетными номерами п, если I — т нечетно. Это позволяет объединить в одной
формуле как четные, так и нечетные функции. Легко также получить
разложения в степенные ряды коэффициентов d и других постоянных при
малом k. Например, полагая
= d0P0 Ы + dzP2 (-q) + dtPt (-4)+
Ao = «2^ I" aihi + ¦ ¦ ¦ .

468 Гл. 11. Волновое уравнение
мы получаем
-i h40+A h*dt - Ad0 ]Р0
-§ h40 + ~
~ h42 +1 h4i -
... =0.
Полагая rf2 = [Л2а2 + Л4д4 + ... ] d0 и dt = [й*р4 + .. . ] rf0 и приравнивая
коэффициенты при jP0, P2, ... нулю, получаем
«2=т
«4= —
Следовательно,
, а
2
_ 2
517' 2°{
1
, -«А
12 а -0
11
= 0,
Так как при tq = 1 эта величина должна равняться единице, то мы полу-
получаем
или
Таким образом можно найти приближенные формулы для малых зна-
значений h:
я
величины Лт( являются нормирующими постоянными
-i
Вторые решения могут быть получены в виде рядов по функциям
Лежандра второго рода Q™, причем эти ряды следует распространить
и на отрицательные значения п; однако вторые решения для угловых
функций требуются очень редко.

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 46Й
Радиальные функции. Функция
Fml ft) = A - ^rn'2Snl (h, 1J) = ^ ' dnTn -П)
n
(где штрих над знаком суммирования показывает, что в сумму включаются
члены только с четными п, когда I — т четно, и с нечетными п, когда
1 — т нечетно) является решением дифференциального уравнения (tj = z)
Lz(f)=(z*-l)f" + 2{m+l)zf' + [m(m+l)-A + hzzz]f = 0, A1.3.90)
которое мы рассматривали в гл. 5 [см. E.3.95)J. Было показано, что для
решения этого уравнения имеет место интегральное представление
™(l-t*)mF t)dt, ?д/) = 0,
-1
где F — решение уравнения Lt (F) = 0. Используя это соотношение как
интегральное преобразование, мы можем подставить Fml под знак инте-
интеграла и снова получить решение уравнения A1.3.90), которое оказывается
удобным для координаты $,. Используя одно из указанных в конце этой главы
соотношений между Т™ и сферическими функциями Бесселя /п, мы получаем
i
\ pihztlA /2\m/2C //, t\ At 'V »™ A (n "T
-1 n
и, следовательно, радиальная функция первого рода
/emI(A,z)=i-i"
hz~>oo, A1.3.91)
является решением первого из уравнений A1.3.86). Мы нормировали эту
функцию так, чтобы она имела при любом h такое же асимптотическое
поведение, как и предельное решение при h —> 0 {jeml ~ /г).
Отнюдь не очевидно, что jeml ведет себя при z= 1 так же, как Sml (h, z).
Несколькими страницами выше было упомянуто, что индексы обеих особых
точек ± 1 равны ±т/2, и мы видим, что функции <5" (для указанных
значений А) выбраны таким образом, что они соответствуют только индексу
-{-т/2 как при +1, так и при —1 (т. е. они конечны в обеих точках).
При z— ±1 функции Бесселя /n+m(^z) аналитичны, и, поскольку ряды схо-
сходятся, их суммы аналитичны при z= ±1. Таким образом, индекс при
z-4=±l определяется множителем (z2 — 1)*"/2 и, значит, он равен т/2, как
и для функции S. Следовательно, feml(h, z) пропорциональна Sml(h,z).
Может показаться, что множитель z~m в формуле для feml указывает на
наличие полюса в точке z = 0, но оказывается, что функции jn+m(hz)
стремятся к нулю при z-^О как (hz)n*m, так что для неотрицательных
значений п функция /n+Tn/zm аналитична при z = 0.
Коэффициент пропорциональности между ]'ет1 и Sml можно найти из
соотношения между ними при z = 0. Для четных значений 1 — т в сумме
со штрихом для /е имеется член im~ldoBm)\/m(hz), который не исчезает

470
Гл. 11. Волновое уравнение
при z = 0:
)! Ь3.5 .
Но для четных 1 — т
п=0
Для нечетных значений I — т в сумме фигурируют только нечетные зна-
значения п и
jeml (n, z) on .
Bm+3) '
•О-
Все 71™ стремятся к нулю при z-^-О, если п нечетное, и, следова-
следовательно, нам предстоит сравнить производные. Поскольку dT™/dz = T™+1,
мы имеем
Tm+40)-z
n=0
2n(n)l
Следовательно, мы можем положить Sml(h, z) = ~kml(h) jeml(h, z), где
2m-fl
:Smi(h,O), l = m, m + 2, m + 4, ... ;
il (f+та)! 22m+1
izhm (I —m)l Bm)!
vf i _L *
"" Zj ^ ' dn (n)\
(f+ro)I 2*"*»
(Z — m)\ B«i+
5
J "*" 2
)"
v V I i\n 2"+' ___S
A1.3-92)
— m = l, 3, ... ;
Для радиальной координаты 5 необходимо найти также и второе ре-
решение. Это решение должно иметь особенность при ?=±1/ а именно
оно должно содержать сумму члена с логарифмической особенностью и
члена вида (kz — I)-/2. Мы можем нормировать это решение так, чтобы
его асимптотическое поведение было просто связано с поведением /е.
Один из возможных способов для получения искомого решения состоит
в том, чтобы подставить в ряд A1.3.91) вместо функций Jn+m(hz) соот-
соответствующие сферические функции Неймана nntm(hz), так что
A1.3.93)

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты ill
К сожалению, эти ряды плохо сходятся при малых hz; на самом деле
это — асимптотические ряды, которые не сходятся абсолютно ни для ка-
какого конечного значения hz. Другие разложения будут рассмотрены ниже.
Однако из асимптотического поведения мы видим, что вронскиан имеет вид
A(/emi. ^Нтт^Щ)- A1-3.94)
Функция Грина и другие разложения. Уже привычными нам мето-
методами мы получаем разложение функции Грина в вытянутых сфероидаль-
сфероидальных координатах
т = 2Ш 2 ^7Sml {lh cos &о) Sml {h'cos &) cos [m (<p ~ ?o)] х
m, I
x f Jemi (h> ch H) heml (A, ch (i), (t > Ht з
где heml = /em( + i«em( — радиальная функция, которая сводится к функ-
функции Ганксля при h —> 0, и
ch (x0 cos & cos &„ —
— 2shpshjj.jSin&sin &fJ cos(<p —
Аналогично разложение плоской волны имеет вид
к 22 5(А »[()]S(ft&)/(A h
где A1.3.96)
к• г = k [z cos &() -f ж sin &(l cos % + ?/ sin &0 sin <p0] =
= h [ch (x cos & cos &„ -f sh (x sin & sin &0 cos (9 — %)].
Эти разложения могут быть использованы, в частности, для вывода
некоторых интегральных соотношений между различными функциями.
Например, умножая обе части равенства A1.3.96) на cos [т (ф — <р0)] >ч
xSml(h, cos©) и интегрируя по ф и по cos в, мы получаем
271 Т.
\ cos [яг(<р—%)] df \ eikr Sml (h, cos ft) sin ¦&did~4nilSml (h,uos®n)feml (A,ch«).
о и
Выделив из eikr множитель ei/l sh •*sin 9 sin ®ocos <?-«>) и выполнив интегри-
интегрирование по <р, приведем это равенство к виду
4ni'Sml{h, cos¦00)/em, (Л, chjx) =
= 2nim С eihch ^cos 8 cos "o /,„ (Л sh (xsin & sin ¦fi-0) 5ml (Л, cos ¦&) sin ¦& d*.
0
Разделив теперь обе части равенства на sinm'&0 и устремляя ®0 к нулю,
получим
l (/+ )' ^ (ft,cos О) sinm+1*d*.
и
и
Эту формулу полезно сопоставить с A1.3.91).

472 Гл. 11. Волновое уравнение
Другое интегральное представление получается умножением обеих
частей равенства A1.3.95) на cos [те (ф — фо)]Лт( (Л, cos©) и интегрирова-
интегрированием по cos ft и ф:
Sml (ft, cos 00) /em( (ft, ch ц0) ftemI (ft, ch ц) =
2u тс
= 4^ cos[m(?-<p0)]rf<p J ho(kR)Sml(h, cosfl) shifts. A1.3.97)
о о
При ¦fl'o —* л/2 и |л„ —> 0 левая часть этого равенства стремится к
если ? = те,те + 2, /л + 4,... , или же к
m + 2Htm+S) COS *<>
если 1 = т-\-1, т-\-3, ....
Далее мы рассмотрим правую часть равенства A1.3.97) при 00 —» л/2
и [х0 —> 0. Обращаясь сначала к случаю I = те, т-\-2, т + 4..., мы предпо-
предположим, что ¦&(, —> л/2 и |л0 мало. При этом с точностью до величин первого
порядка малости относительно sh|x0
kR « ft 1/p2 + -г]2 - 2Pyj cos (9 - ср0) ,
где
Р2 = ch« Ц - sin2 ф и т]2 = chV1sin2ft sh2 (l
Используя разложение, данное на стр. 303, мы можем представить функ-
функцию ho(kR) в виде ряда
ipo)
j/lip- 2 eim<*-*o>/m(/»j)tfm+1/2(ftp)
^ 2 ei« (9-9о) /m (ftrj) ftm (ftp) [ 1 + i- i e-i (9-9o
m=—oo
Подставим это выражение в A1.3.97), проинтегрируем по ф и разделим
обе части полученного равенства на shm|x0; переходя затем к пределу при
Ио —* 0» мы в конце концов получим формулу для heml при 1 = т, т + 2,
т + 4,...:
heml (ft, ch & = il~m Bте + 1) 2^; \^[
о
] A1.3.98)
где
p2 = ch2n— sin2 & = ych 2ц+ y cos 2& = u2 + v* + 2uv cos 2&,
1 1 „-o

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 473
Отсюда с помощью еще одного преобразования можно получить разложе-
разложение в ряд he. При т. = 0 величина в скобках под знаком интеграла обра-
обращается в (см. стр. 532)
со
2*о (Лр) = 2 (- 1>" <2дг +
так что для J = 0, 2, 4,..,
/гео((/г, спц) =
оо
n=0
Из этой формулы, используя A1.3.87), мы можем получить новое разло-
разложение для he, удовлетворительно сходящееся при ц = 0. Поскольку
Р1 (cos 2&) = 4 Pz (cos &) - 4- Л, (cos &),
О О
jP2 (cos 2») = -Ц- Р4 (cos &) - у Р2 (cos &) + -1 Ро (cos &)
и т. д., мы имеем
heot (Л, ch ^ = il {/о A /ге-^) Ло (| he* ) -
для г = 0, 2, 4 ....
Эти ряды хорошо сходятся при малых h и часто их можно непосред-
непосредственно суммировать. Так, используя A1.3.89), разложения в ряд для / и
h и формулу
мы получаем при he* < 1
При т — 1 величина в скобках под знаком интеграла в A1.3.98) рав-
равна 2h% (hp), и мы в конце концов получаем
X
о
heu(k, ch у) = ^^ ^ ( - 4)П Bп + 3) /n*i (т ^ А»*1 (т ^ ) Х
П
It
1» (cos 2ft) 5lt (/г, cos&) sin2 &rf& = ^ i'^1 sh (i [^ ^|- Ле-»1 )fti(-|

474 Гл. 11. Волновое уравнение
Тем же путем находим, что при he^ < 1
-2sh2(x[(l + Jj
Возвращаясь теперь к случаю l = m-\-l, m-\-'S, ..., замечаем, что,
прежде чем положить |00 = я/2, следует взять производную no cos^ от
правой части равенства A1.3.97). Для этого надо взять производную от
ho(kR):
R) И
#0 jt
dh0 (kR)
d cos
2 — 2p4cos((p — ф0)
CO
= h ch [i ch [i0 cos & ^ Лп (^П) ^m+i(^P) Г1 + ~т ~ ег* (^~Фо)
Wi:=:—со
Полагая теперь sh[xo-^-O и используя разложения Jm и hm+1, мы, нако-
наконец, получаем для I — т -\~ 1, т -t- 3, ...
Лет( (Л,
_( _ \\т3HL h //ф) 1 sml (h, cos¦&) cos &sinm+1
P J
При m = 0 величина в квадратных скобках равна 2/гх (Лр), так что
n=0
X
о
а при /ге^ <С 1 мы имеем
^) 1 ] Ar
А { [ ( 1 +^jA) ch^-1
Эти приближенные формулы вместе с соответствующими формулами для

11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 475
решений первого рода:
je00 (h, ch Ц) ~ 1 - 1 Л2 -1 Л2 sh* р,
(Л, chfx)~ ^A + lft»)chn, A1.3.99)
(A, ^ ^
при /ге^ <С 1 служат для вычисления излучения и рассеяния в случае
предельно длинных волн.
Сплющенные сфероидальные координаты. Эти координаты, опреде-
определенные формулами A0.3.55), через р = Аг sh |, ft = arc cos т] выражаются так:
z = bsh p cos в, = &chosinft ю,
г 'у ¦ cos т
ftp = hb = Ъ /sh2 p + cos2 ft = -5= j/ch 2P + cos 20, A1.3.100)
h4>= bch p sin ft,
причем при р = 0 получаем диск радиуса Ъ, перпендикулярный к оси г.
Эти формулы могут быть получены из формул для вытянутых сферо-
сфероидальных координат A1.3.81), если координату |л заменить на р — Ы/2 и
одновременно параметр а заменить на 2ib. Следовательно, все формулы,
полученные для волновых функций в вытянутых сфероидальных коор-
координатах, можно преобразовать в соответствующие формулы для сплющен-
сплющенных сфероидальных координат заменой \х на p—ni/2 и h = ka/2 на ig = ikb
(здесь к = а/с, как обычно).
Через эти функции можно, например, выразить излучение колеблю-
колеблющегося диска. Предположим', что диск радиуса b колеблется как целое
взад и вперед перпендикулярно к своей плоскости (которую можно для
удобства предположить параллельной ж,г/-плоскости). В сплющенных сфе-
сфероидальных координатах нормальная скорость поверхности диска р = 0
равна иое-"°' при 0 < ft < л/2 и — voe-iwt при л/2 < ft < л. Волна, по-
порожденная колебаниями диска, может быть представлена рядом
¦ф= Ц Л^о, (ig, cos ft)/ге0( (ig, — ishp),
где
l
Л,А01С, = Ьо0е-ь* [ Sol (ig, Л) ц drj =
-i
0, 1 = 0, 2, 4
¦f bvoe~™t dx (ig 101), /=1, 3, 5
/~< I u 7 /* • 1_ \ 
Lr, = —j— nen, (ig, — i sh p) ,
L op J p=o
При этом давление на задней стороне диска выражается формулой
ЛгШОП S (igf COS1&)

476 Гл. П. Волновое уравнение
(штрих означает, что в сумму включены только члены с нечетными I), a
отношение полной силы к скорости диска, т. е. акустический импеданс
свободного диска, равно
8 . ,o , 16 ,,й .
~ --lpcgP + mpcg4fi = -ко
Эта формула дает для волн большой длины волны X эффективную массу
воздушной нагрузки 8fc3p/3 и сопротивление излучения.
С помощью выписанных функций можно выполнить многие другие
расчеты. Некоторые из них будут указаны в качестве задач.
Мы не останавливались здесь на других системах координат, в которых
волновое уравнение разделяется, таких, как параболические, конические
и т. п., ибо, по-видимому, отсутствуют достаточно важные физические
приложения этих координат. Общие методы вычисления решений, разло-
разложения плоской волны, нахождения функции Грина и формул рассеяния —
все это остается таким же, как в уже описанных случаях.
11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы
Читателю давно должно было стать очевидным, что задачи с простыми
краевыми условиями на простых, допускающих разделение переменных
поверхностях, хотя и легко разрешимы, но не очень интересны. Для сфер
и круглых цилиндров решения хорошо изучены, и даже в задачах о рас-
рассеянии для этих поверхностей получаются результаты, давно известные
и потому могущие вызвать пренебрежительное отношение. Конечно, при
решении методами фундаментальных собственных функций задач для бо-
более необычных, допускающих разделение поверхностей, таких, как полоса,
диск или расплющенный конус, имеются еще элементы новизны, и поэтому
эти задачи продолжают привлекать интерес по крайней мере до тех пор,
пока не будут опубликованы соответствующие численные таблицы; однако
в основном они представляют собой «добавление того же самого». Посколь-
Поскольку в «реальной жизни» редко встречаются столь регулярные поверхности,
эти задачи практически мало полезны.
С другой стороны, задачи, в которых граничные поверхности не «пол-
«полностью разделяются», труднее, интереснее и более соответствуют дей-
действительности. Задачи о рассеянии волн на не точно сферическом теле
и о распространении волн в трубе, которая имеет не везде одидако-
вое поперечное сечение или на поверхности которой не везде одинаковы
краевые условия, уже были рассмотрены в § 9.3, и мы встречались с ними
также и в этой главе (см. стр. 418 и 455). Обычно такие задачи не мо-
могут быть решены точно, но важно уметь найти для них приближенные
решения, компактные по форме и имеющие по возможности малую по-
погрешность.
Для подобных задач весьма полезны и весьма важны методы, осно-
основанные на применении функций Грина, интегральных уравнений и вариа-
вариационных принципов. В настоящем параграфе мы имеем в виду рассмот-
рассмотреть несколько типичных задач этого рода и показать, как к этим задачам
могут быть применены методы, изученные в гл. 7, 8 и 9. Некоторые из
наших примеров касаются проникновения волн через отверстия в регу-

11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы 477
лярных поверхностях, в других же имеются иррегулярности в краевых
условиях; только в немногих случаях эти задачи допускают точные ре-
решения в форме, пригодной для практического применения.
Некоторое количество подобных задач уже было рассмотрено нами
к качестве примеров в § 9.3 и 9.4 и в настоящей главе. Например, мы
анализировали случай диафрагмы в регулярной трубе. Метод решения
сводился к тому, чтобы найти решения для каждой половины трубы,
удовлетворяющие условиям вдали от диафрагмы (уходящая прошедшая
волна по одну сторону, падающая и отраженная волны — по другую сто-
сторону), и затем произвести гладкое сопряжение найденных решений и их
производных на отверстии в диафрагме. При этом получалась бесконеч-
бесконечная система уравнений для неизвестных коэффициентов разложений по
собственным функциям на каждой стороне диафрагмы, не допускавшая
точного решения. Поэтому мы задавались приближенной формой решения
непосредственно в отверстии (в большинстве случаев этой формой служило
решение уравнения Лапласа для соответствующей границы), из которого
можно было определить приближенные соотношения между коэффициента-
коэффициентами неизвестного разложения и в принятом приближении свести число
неизвестных к одному или двум. Эти последние неизвестные мы опреде-
определяли, приравнивая решения в одной или двух точках отверстия; если
выбранная приближенная форма была близка к точной, то решения при-
приближенно совпадали в остальных точках отверстия.
Однако этот метод, несмотря на простоту концепции и легкость при-
применения, имеет ряд недостатков. Отсутствует простой способ повышения
точности приближенного решения и даже установления степени его при-
приближения к точному решению. Поэтому мы позволим себе вновь рассмот-
рассмотреть задачу указанного типа, чтобы выяснить, что можно позаимствовать
из методов гл. 7, 8 и 9.
Диафрагма в трубе. В первую очередь мы рассмотрим задачу о рас-
распространении звука в трубе с жесткими стенками круглого поперечного
сечения радиуса а, в которой при z = 0 помещена неподвижная диафраг-
диафрагма с концентрическим отверстием радиуса Ъ. Мы уже рассматривали
подобную задачу (см. стр. 414) для случая щели в диафрагме, помещен-
помещенной в прямоугольной трубе. Мы предполагали, что решение при z > О
представляет собой волну, движущуюся в положительном направлении
(для высших типов волн зависимость от z выражалась убывающей экспо-
нентой), а решение при z < О — комбинацию падающей и отраженной воли
(и более высоких типов волн, экспоненциально убывающих при z—> — со).
Эти два решения подбирались так, чтобы они имели равную нулю со-
составляющую градиента на закрытой части диафрагмы и одинаковые гра-
градиенты в открытом отверстии или щели. Для получения точного решения
нам нужно было бы добиться, чтобы потенциал скоростей ty был также
непрерывен в щели, однако достигнуть здесь полной точности было слиш-
слишком трудно и мы удовлетворялись приближенным выражением для состав-
составляющей градиента в отверстии, содержащим одну произвольную постоянную.
Эта постоянная была выбрана так, чтобы обеспечить непрерывность вели-
величины 1]) вдоль оси трубы. Если выбор составляющей градиента в отверстии
был сделан удачно, то разрыв -ф в других точках отверстия представлялся
незначительным; однако провести обратный расчет, чтобы установить, каков
этот разрыв на самом деле, было затруднительно.
Воспроизведем теперь наш процесс с помощью функции Грина; резуль-
результаты помогут нам увидеть, какие улучшения могут быть сделаны. Функ-
Функцию Грина, имеющую равную нулю составляющую градиента на поверх-
поверхности трубы, а также при z = 0 и соответствующую уходящим волнам при
z—* +оо, мы обозначим через С?(г|г0), и, соответственно, при z—» — со —

478 Гл. 11. Волновое уравнение
через Gk (r | г0). Для круглой трубы обычная процедура дает
Gk(r, Ф, z\r0, Фо, zo)=-^-2 sm cos [/п (ф -Фо)] X
т, п
v Jm(namnr/a)Jm(namnr0/a) { COS (kmnZ,) e*W, z > Zo,
• ftmn[l-(m/namJ2JJ^(namn) \ COS (kmnz) е*тп*о, z < Z|)j ( ^ '
где amn —n-й корень уравнения dJm(na)/da = Q и к%т = к2 — (патп/аJ.
Для m и п больших ктп — i Y(namn/af — /с2 ~ inn/a. Функция G& получает-
получается отсюда изменением знаков при z и z0.
Нетрудно видеть, что задача будет решена, если мы найдем распре-
распределение скорости воздушного потока, обозначаемой и% (г), по отверстию z = О,
г < Ь. Действительно, тогда нормальная составляющая градиента потенциа-
потенциала скоростей я]; будет равна —и" в открытом отверстии, нулю во всех
остальных точках границы, и из теоремы Грина [см. G.2.10)] следует, что
потенциал скоростей внутри трубы будет, опуская множитель е~гШ, равен
r, ф, z\r0, ф0, 0)dr0, z > 0,
2я
2А cos (kz) - -^ \ йф0 \ rou°z(ro) Gk (г, ф, z | г0, ф0, 0) dr(), z < 0,
A1.4.2)
где, как обычно, к = со/с = 2яД. В области z < 0 мы имеем комбинацию
падающей плоской волны амплитуды А с такой же отраженной волной,
фаза которой выбрана так, чтобы для этой комбинации составляющая
градиента при z == 0 равнялась нулю. Такая комбинация была бы решением
задачи, если бы в диафрагме не было отверстия; изменение отраженной
волны, порожденное отверстием, учитывается интегралом от G~u°z, который
также представляет волну, распространяющуюся к — со. В области z > О
имеется только прошедшая волна, представленная интегралом от G*ul и
распространяющаяся в положительном направлении.
Если волновой вектор к меньше критического значения лаО1/а, то в
функции Грина при z—* со сохраняется только плоская волна, для кото-
которой т = п = 0, и предельная формула для прошедшей волны имеет вид
где
ь
l\2(ro)rodro A1.4.3)
о
— отношение амплитуды потока воздуха через отверстие в диафрагме к
амплитуде падающей волны. Отношение квадрата амплитуды потенциала
•ф при z —» со к квадрату амплитуды А падающей волны Т = \ т/яка212 пред-
представляет собой коэффициент прохождения через отверстие, т; е. отношение
интенсивности прошедшей волны к интенсивности падающей. Этот коэф-
коэффициент прохождения (и отражения) можно легко вычислить, если извест-
известна и°.
В § 11.3 мы предполагали, что и° выражается приблизительно так же,
как и в случае установившегося потока через отверстие (решение при к ==
= 0), и соответственно проводили вычисления, выбирая амплитуду u°z так,
чтобы обеспечить приближенную непрерывность "ф при z == 0. Здесь мы
хотим получить интегральное уравнение для определения и\, которое мо-

11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы 47!)
жет быть решено последовательными приближениями и с помощью которого
мы сможем оценить степень точности приближения, полученного ранее.
Практически, во многих задачах не требуется знать детально поведение
и~ или ty вблизи диафрагмы, если только мы в состоянии получить доста-
достаточно точное значение для величины т, определенной в A1.4.3). Не вычи-
вычисляя непосредственно и?, мы можем вычислить коэффициенты прохожде-
прохождения и отражения
R=\~T. A1.4.4)
Яка2
Эти величины определяют, какая часть мощности, падающей на диафраг-
диафрагму, проходит через отверстие и какая часть отражается. Часто эти вели-
величины составляют все то, что нужно знать в данной задаче.
Интегральное уравнение для и° получается из условия непрерывно-
непрерывности aj; в отверстии, другими словами, из условия равенства значений т['
при z = 0, полученных из выражений для z > О и для z < 0 по формуле
A1.4.2). Поскольку G* — G~~—>0 при |z|—>0, мы получаем искомое инте-
интегральное уравнение в виде
(ro)Gh(r, ф, 0|г0, ф0, 0)d>0, r<b.
Если это уравнение будет решено точно, то, как мы показали, задача бу-
будет решена полностью.
Вариационный принцип. Решить это уравнение непосредственно не так-
то просто, но оно имеет форму, удобную для получения вариационного
принципа для и% и т (см. § 9.4). Умножая обе части на u°z(r) и интегри-
интегрируя по ф и г, мы получаем
-,— \ \ \ \ Щ. (г) щ (гг.) rrn Gh dw d(pn dr dra = A \\ u"i
или
t* г* л л г г* л
A1.4.5)
Если мы теперь изменим и\, отправляясь от его истинного значения, на
малую величину 6м, то получим
а это и дает уравнение для А, если положить 6т = 0. Итак, истинное зна-
значение и% дает стационарное значение интегралу из A1.4.5). Сначала мы
варьируем только амплитуду и°, полагая и% = В%(г), где В подлежит варь-
варьированию для определения экстремума:
Отсюда определяем значение
ЫА \\trdydr
В.
X (г) % (г0)
Пользуясь формулой A1.4.3), можно исключить из этого соотношения А —
амплитуду падающей волны. Получим вариационный принцип, связываю-
связывающий амплитуду потока т с распределением потока %, соответствующим

11.4 Интегральные уравнения и вариационные методы 481
следует прибавить и вычесть из данного ряда, имеет вид
a J
n—i
где
1 X
/(ж) = — \ - ам = In ж In A — ж)- \ ——rdt =
X "l
= In ж In A — ж) — In ж— -r (In жJ — [ряд по нечетным степеням In ж],
| In ж | < 2тг.
При этом последние соотношения получены заменой переменных интегри-
интегрирования и интегрированием по частям. Окончательно
и ряд B) в A1.4.7) может быть записан так:
.„. пка2 1
Ь2
/
п=1 21м«Gсао„)« у 1-^J
A1.4.8)
где новый ряд быстро сходится и его можно рассматривать как поправку
к первым двум членам.
Когда b/а мало (отверстие мало по сравнению с поперечным сечением
трубы), в выражении B) наибольшим является первый член и коэффи-
коэффициент прохождения равен
1 16
Часть падающей волны, проходящая через очень малое отверстие, про-
пропорциональна отношению площади отверстия к площади поперечного се-
сечения трубы и обратно пропорциональна квадрату частоты (если частота
не слишком мала). С другой стороны, если частота стремится к нулю
(ка < b/а), то Т стремится к единице; если частота достаточно низка
(т. е. если каждый период колебания длится достаточно долго), то звук
проходит через отверстие практически беспрепятственно.
Из этой формулы ничего нельзя узнать относительно предельно высо-
высоких частот, ибо при ее выводе мы предположили, что частота меньше,
чем частота первой парциальной волны, так что по трубе передается
только наинизший тип волн. Нельзя также ожидать, что эта формула
будет пригодной для значений Ъ, близких к а (радиус отверстия при-
примерно равен радиусу трубы), так как использованная нами функция
сравнения для % не является в этом случае хорошим приближением.
Если бы мы использовали метод §11.3, мы бы получили для Т близ-
близкое выражение, отличающееся только тем, что при его выводе требовалась
непрерывность лишь вдоль оси трубы, в то время как в изложенном
здесь выводе мы требуем, так сказать, непрерывности в среднем по всему
отверстию.

482 Гл. 11. Волновое уравнение
Лучшее приближение, которое может дать удовлетворительные резуль-
результаты даже при Ъ—>а (но не при ка—> со), получим, если положим
и, варьируя у> будем искать стационарное значение выражения A1.4.6).
Положив (с?/йу)AЛ) = О, получаем простую формулу: | значение у|Для
стационарного х равно
Ъ
Y~ ~"a~
A1.4.9)
/а (""*/)
Отсюда находим значение коэффициента прохождения
где у определяется формулой A1.4.9). Этот ряд можно просуммировать
методом, аналогичным тому, который привел к A1.4.8).
Отверстие в бесконечной плоскости. Этот же общий метод может
быть применен в предельном случае при а, стремящемся к бесконечности,
когда выражение для G в виде ряда переходит в интегральное пред-
представление
h (z0 J/m2 - A;2) exp (- z /и2 - /с2) и du, z> z0,
ch (z ]/m2 — /c2) exp ( — z8 ^м2 — ft2)
z < z0.
Полагая / = C/|^l — (r/bJ, мы имеем, как и ранее, \ \ yrdy dr = 2кЬ2С,
но
Gh rr0 d9 d9o dr dr0 =
Эти два интеграла можно подсчитать численно для любого значения kb.
Если kb мало, то их можно представить следующим образом:
J t,jAt,2_i J u2 TV y J L^u2-!
1 l
ikb A2b2 + /262

11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы 483
Отсюда получаем приближенное значение для полного потока через
отверстие
xc^2ir/ci2 ii (k*b2— тг&4Ь*'^ + тт- r:kb\ .
Вместо коэффициента прохождения Т теперь требуется определить
эффективную площадь отверстия, т. е. отношение полной мощности, про-
проходящей через отверстие, к интенсивности падающей волны. Эту величи-
величину можно выразить через z при помощи следующего полезного приема.
Интенсивность падающей волны фг = Аеш~ш равна
в то время как полная мощность, проходящая через отверстие, равна
интегралу от интенсивности полного решения при z > 0 по площади
отверстия
Эффективная площадь отверстия для прохождения волны поэтому равна
Но из A1.4.2) или из интегрального уравнения для и°г заключаем, что-
для обеспечения непрерывности <]>+ в отверстии должно быть §*(го) — А..
Поэтому
{±W} [] A1.4.12)
где -с —амплитуда потока, определенная в A1.4.3) (поскольку z имеет
размерность длины, a Q — размерность площади).
Используя выражение для х, полученное из вариационного принципа,
мы находим эффективную площадь отверстия для прохождения плоской
волны, падающей нормально на круглое отверстие в бесконечной плоскости,
A1.4.13.)
(для условий Неймана). Эффективное отверстие для длинных волн оказы
вается немного меньшим, чем истинное. Первый члев этого выражения
может быть получен также при помощи следующих соображений. Можно
рассматривать воздух в круглом отверстии как эффективную массу
ir2fc3p/2 [см. A0.3.60)], на которую воздействует вынуждающая сила 2isbPP0,.
где Ро — амплитуда давления падающей волны и РУ$с — ее интенсивность.
Тогда амплитуда скорости воздуха равна 4P0/wkbpc и, поскольку сопро-
сопротивление излучения волны вправо приближенно равно A/2) pck2bz [см. рас-
рассмотрение, предшествующее A1.3.36)], проникающая через отверстие
мощность составляет
4Р°
1 v \ nkbpc J яре
Отношение этой мощности к интенсивности падающей волны как ра»
равно 8nba/iza, т. е. первому члену A1.4.13).
Более точное выражение можно получить, взяв более точно выраже-
выражение для и?. В соответствии с принципом Бабине (см. стр. 403) 2Qt пред-
представляет собой также поперечное сечение рассеяния волны, падающей
нормально на диск радиуса Ъ, причем <j> равно нулю на диске.

484 Гл. 11. Волновое уравнение
Расчет проникновения волн через круглое отверстие в диафрагме
в случае однородных условий Дирихле на границе может быть произве-
произведен тем же способом. Функцию Грина нужно изменить таким образом,
чтобы она равнялась нулю при z = 0, и вариационное выражение для t
принимает вид
L -J —
га2 1
(Го) фо (г) L 9i^ Gh (r'Го) J z=orr°rfcp dcp°dr dr°
причем теперь мы задаемся не производной потенциала скоростей в от-
отверстии, а самим потенциалом <J>0. Для ф можно принять выражение
С \^1 — (г/ЬJ, прибавляя для большей точности член с [1 — (r/fcJ]3'2.
Используя один член для «J», мы получаем для поперечного сечения
в случае условий Дирихле приближенную формулу
Q, ~*й« JL.(*fc)*[l+o,32(kbf + 0,049(ЛЬ)* 4-...]. A1.4.15)
Этот результат достаточно точен при &fc<l. Действительно, численный
подсчет интегралов в A1.4.14) показывает, что выражение для Q, вычи-
вычисленное с помощью простейшего одночленного выражения для %, дает
разумную точность до кЪ <=^ 3, а уточненная двучленная формула — до
/с&~ 5. По принципу Бабине, эти результаты применимы также для случая
рассеяния акустических волн, падающих нормально на жесткий диск
(условия Неймана).
Отражение в облицованной трубе. Мы переходим теперь к другой
задаче о распространении волн, для решения которой следует применить
интегральные уравнения, а именно к задаче о распространении звука
в трубе, облицованной звукопоглощающим материалом. Предположим, что
поперечное сечение трубы представляет собой прямоугольник со сторона-
сторонами а и b (ось вдоль оси z) и что внутренняя поверхность при z < 0
абсолютно жесткая. При z > 0 стенки трубы ж = 0, у —0, у~Ь также
жесткие, а стенка х = а покрыта материалом, который допускает некото-
некоторое нормальное к поверхности смещение воздуха. Предположим, далее,
что истинные краевые условия при х = а, z>0 сводятся к требованию,
чтобы нормальная составляющая градиента потенциала скоростей на
стенке была пропорциональна ф:
Ц = г7и]<1> при х=а, z > 0. A1.4.16)
Коэффициент пропорциональности -ц называется удельным акустическим
адмитансом стенки.
Поскольку ipftcty— давление, а д§/дх — скорость в направлении х,
наше краевое условие можно сформулировать и так: нормальный удель-
удельный акустический импеданс, т. е. отношение давления на поверхности
к нормальной составляющей скорости воздуха на поверхности, равен
zn = ikpcty/(ty/dx). Таким образом,
где v_ активная (всегда положительная), а о —реактивная составляющие
акустического адмитанса материала поверхности [о может быть положи-
положительной (инерционная реакция) и отрицательной (упругая реакция)].
Решения волнового уравнения внутри трубы содержат множитель
cos(irra//fc); так как парциальные волны для различных п не взаимодей-

11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы 485
ствуют между собой, то этот множитель одинаков как для положитель-
положительных, так и для отрицательных значений z. Нам, таким образом, незачем
говорить об ^-множителе, и п можно при желании считать равным нулю.
Множитель, соответствующий координате х, при z > 0 несколько более
сложен. Возьмем этот множитель в виде cos (щ±тх/а) при z >0, где зна-
значение |хт определяется из краевого условия при х = а (для z > 0)
(«ftJ tg (^J = - ika-ц (к) = ka (о - iy). A1.4.17)
Это уравнение было рассмотрено в § 4.7; его корни комплексные, и если
ка-ц меньше m-f-1, то приближенные выражения для корней имеют вид
г/сатп ка\ , „
= m —* Ц т—L- + . .., m > 0.
Для больших значений ка-ц имеются таблицы корней.
Таким образом, возможные типы волн, распространяющихся вдоль
части трубы z > 0, имеют форму
,„,„ e*W = cos
где
Поскольку ц комплексное, /cmn тоже комплексное и волна затухает по мере
продвижения в направлении возрастания z. Когда действительная часть
суммы (тс{*т/яJ + (лп/Ьу становится больше к2, мнимая часть ктп стано-
становится очень большой и соответствующие типы волн сильно затухают;
для меньших значений тип также имеет место затухание (если только
т] не чисто мнимое), но оно значительно менее заметно. Следовательно,
в этом случае нет столь резкого различия в поведении типов волн выше
и ниже критической частоты, какое мы наблюдали для непоглощающих
границ. Это различие только количественное, но в большинстве случаев
оно достаточно ясно выражено, чтобы говорить о реальном разделении.
При заданном значении к и при т, лежащем ниже некоторого значения
т0 (для /г = 0), поглощение весьма мало по сравнению с поглощением
при значениях т, лежащих выше тп. Для небольших значений к только
к00 имеет относительно небольшую мнимую часть; более высокие типы
волн затухают гораздо быстрее.
Для решения рассматриваемой задачи мы пользуемся функцией Грина,
соответствующей краевым условиям на жестких стенках при z < 0,
и получаем интегральное уравнение на части границы с видоизмененным
краевым условием (при z > 0). Функция Грина для п = 0 (нам нет нужды
учитывать зависимость от у и потому можно рассматривать задачу как
двумерную) имеет вид
A1.4.18)
где Km = {izmlaf — №. (Мы предполагаем, что частота меньше, чем наи-
наинизшая критическая.)
Применяя теорему Грина, мы находим, что потенциал ф(ж, z) равен
сумме интегралов по двум стенкам трубы х — 0, х — а от произведения G
на составляющую градиента db/дх и интегралов по сечениям трубы при

Гл. 11. Волновое уравнение
2 = ± °° от G (дф/dz) — ф (dG/dz). Интеграл по сечению z = + оо равен
нулю, ибо ф —>0 при г—>оо (вследствие поглощения энергии стенкой).
Однако интеграл по сечению z = — оо не равен нулю, что весьма ослож-
осложняет дальнейшие рассмотрения. Тут следует заметить, что мы не обязаны
пользоваться только простой функцией Грина A1.4.18). Всегда можно
прибавить к ней некоторое решение однородного уравнения с теми же
краевыми условиями на стенках и получить таким путем другую функ-
функцию Грина. Поскольку только первый член Gh не исчезает при z0—>— оо,
мы введем дополнительное слагаемое, которое уничтожит этот член при
z0 —> — оо. Таким образом получаем
(х, z | х0, z0) = ^ [eift I *-* I
^(^)(^)e-K«lMo1 . A1.4.19)
Интеграл от уь (dty/dz) — ф (ду^/дг) по обоим граничным сечениям z = ± °°
исчезает и интеграл в формуле Грина сводится к интегралу от произ-
произведения (йф/йжц)зс0=о на yh(a;, z|a, z0) по z0 в пределах от 0 до оо. Но эта
поверхность х0 = a, z0 > 0 покрыта таким материалом, что на ней дф/дя„
связано с ф соотношением A1.4.16), так что мы в конце концов прихо-
приходим к равенству
оо
ф(х, z) = ig^ ф(а, z,)lh(x,z\a, zo)dzo. A1.4.20)
о
Полагая здесь х = а, мы получаем интегральное уравнение для ty(a, z);
его решение можно вновь подставить в A1.4.20) и получить ф(ж, z).
Это—интегральное уравнение типа Винера — Хопфа (см. стр. 906 тома I);
поскольку yh — функция от z — z0, чтобы вычислить ф (a, z), мы восполь-
воспользуемся, поэтому, методом преобразования Фурье. Фактически функция ф (a, z)
((или, вернее, ее преобразование Фурье)—это все, что требуется, чтобы
вычислить относительную амплитуду волны, отраженной поглощающим
материалом. При z—>—оо <{» должна иметь вид
ф ~ aeihz 4- $e~ihz, z-> — со,
а из A1.4.20), применив асимптотическую формулу для у, мы получаем
со со
ф ~ -^ | eihz { ф (a, z0) e-ihz« dzu — e~ihz { ф (a, z0) eihz° dz0 \ .
о о
Сравнивая эти две формулы, мы видим, что отношение амплитуды отра-
отраженной волны к амплитуде падающей пропорционально отношению между
двумя преобразованиями Фурье функции ф(а,г0). Если
ф+ (о))=tW 5ф (а> Zo) eiua° dz°'
то отношение амплитуды отраженной волны к амплитуде падающей опре-
определяется выражением
Преобразование Фурье интегрального уравнения. Согласно § 4.8, сле-
следует разбить ф(а, z) на две функции: <p+(z), равную я]; (a, z) при z > 0,

11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы 487
я <p_(z), равную ф(а, z) при z < 0:
ф(а, z), z>0: I 0, z > О,
0, z<0; ^-(Z) = ( ф («,«), z<0.
Запишем их преобразования Фурье:
со 0
ФДш) = -р^ $ ф(а, zo)ei-«rfzo, Ф_(ш) = 7^ J ф(с, 2у)е
Вследствие асимптотического поведения ф интеграл, выражающий Ф+,
сходится при Im ш > — Im к0 [где Л§ == /с2 — (тс|ло/аJ, f»0 определено в A1.4.17);
так как Re-ц > 0, то Im к0 > 0],а интеграл для Ф_ сходится при 1тш < 0.
Таким образом области сходимости перекрываются по полосе
-1тЛ0<1тш<0, А| = Л«-(^У«Л» + ^.
В соответствии с (8.5.6) двойное преобразование Фурье функции от z — z0
равно произведению о(ш — ш0) на функпию от ш, являющуюся преобразо-
преобразованием Фурье по z — z0. Другими словами, поскольку yfc = у (z — z0), ее
двойное преобразование Фурье имеет вид Г6 (ш — ш0), где
Г (ш | х, х0) = -±= ^ у (С) е** «, С = а - z0,
— OD
при условии, что интеграл сходится. Мы теперь видим другую причину
(а может быть ту же самую?) для перехода от G к у путем добавления
члена, содержащего eik (z-*o). Если не добавлять этот член, то интеграл
от функции Грина по области ? = (z — zn) > 0 будет сходиться только при
Im ш > 0, интеграл по области С < 0 — только при Im ш < 0 и общей
области аналитичности вовсе не будет. Благодаря введению дополнитель-
дополнительного слагаемого у при Z,—> оо асимптотически ведет себя как е~К^, где
Кг = Y{b/af — к2 > 0. Поведение у при ?-^— оо то же, что и ранее, но
теперь можно выбрать ш так, чтобы его мнимая часть заключалась между
0 и —/Гц и при этом интеграл, выражающий Г, будет сходиться.
В результате (при 0 > 1тш > — Кг) мы получаем
2 I/O" Г —i io V cos
1/2| + 2 ^
?n=l
(Timxja) cos (nnuc/a)\
.w/a)i_(fti_Mip J
~ |/2it ctg (oa), x, x0 —> a,
О
где о2=/с2—ш2. При суммировании ряда мы поступили так же, как при
выводе D.3.7).
Однако Г можно получить более изящным приемом, решая преобра-
преобразованное по Фурье уравнение для у. Это уравнение (такое же, как
и уравнение для G) имеет вид
так что для Г получаем уравнение
~ ш2) г = ~~

488 Гл. 11. Волновое, уравнение
Решение этого уравнения, имеющее равную нулю нормальную составляю-
составляющую градиента при х = 0 и х = а, таково:
—iVi^l cos (ахЛ) cos a (x-a), x > х0,
Хо)~~™ШТм)\ cos (ax) cos а (х0-а), х<х0, (Ц 4 22)
Г (ш | х, х0) ~ — — j/2ie ctg (оа), ж, х0 -> а,
где с — ]/!?2—ш2. Естественно поставить вопрос, является ли эта функ-
функция преобразованием у или G или какой-либо другой функции, получен-
полученной добавлением к G какого-либо другого решения однородного уравнения.
Ответ заключается в том, что она представляет любую из этих функций
(дающую сходящееся преобразование Фурье), но только в определенных
интервалах изменения мнимой части ш. Она представляет у, как мы это
видели, при 0 > 1тш > — Кх. Если же кС добавить—е-»ь(ч>-г), так что
«свободная волна» будет существовать не при z < О, а при z > О, то
получающееся при этом сходящееся преобразование Фурье будет соответ-
соответствовать Г из A1.4.22) в области 0<Ima)</sT1 и т. д.
Мы решили использовать у именно потому, что его преобразованием
Фурье является Г в области 0>1тш>—Kv которая перекрывает
области аналитичности функций Ф+ и Ф_, т. е. преобразований i|» соответ-
соответственно при z > 0 и z < 0. Теперь мы можем сделать следующий шаг
в процессе Винера — Хопфа. Преобразование Фурье интегрального урав-
уравнения
о
согласно (8.5.5) и (8.5.51), имеет вид
т. е.
Ф (ш) = - -8Si°(8g) ф (ш). A1.4.23)
Факторизация преобразованного уравнения. Если теперь отношение
Ф+ к Ф_ будет факторизовано, т. е. будут получены две функции Г+ и Г_
[см. (8.5.52)], такие, что Г+ (а) регулярна (т. е. не имеет ни нулей, ни полю-
полюсов) при Im о > — Im (i0 и Г_ (о) регулярна при Im а < 0, то функции
Ф+ и Ф_ можно будет найти и наша задача будет полностью решена.
Выражение в скобках имеет нули при a —niz/a (n= ..., — 1, 0, 1, 2, ...).
Его полюсы совпадают с корнями уравнения ctg(oc)= —iki\\ другими
словами, эти полюсы связаны с корнями уравнения A1.4.17) соотноше-
соотношением
A1.4.24)
где m может быть как отрицательным, так и положительным целым чис-
числом. При этом корни для отрицательных m отличаются только знаком от
корней для положительных т. Мы можем теперь выразить отношение, подле-

11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы 489
жащее факторизации, через бесконечные произведения [см. D.3.9)]:
со
.(*•—)П [*-
о sin (aa) и=1
(on)-(-a sin (сто) "*-
¦* П [•-(?
= а (А + ю) (Л — ю) X
X —
—Г—Т+ — 1 П
1 П Г i/ л / te V | . «и» I тт fl/. / ка z\ . <аа Л
Для улучшения сходимости можно умножать и делить отдельные члены
на eiwa/rut. Чтобы добиться большей симметрии, обозначим V(icpo/a)*— к2 =
= — ik0 с^ — Ц/к2 + i (ki}/a) и представим первые множители двух бесконеч-
бесконечных произведений в знаменателе в виде — (o/icfimJ (к0 + ш) (к0 — ш). Произведе-
Произведение (к + ш) (к — ш) на первое бесконечное произведение в числителе, а также
и первое произведение в знаменателе регулярны при Im ш < 0. В то же
время вторые произведения (как в числителе, так и в знаменателе дроби)
регулярны при 1тш > — Im/c0, — Im/c0<0. Следовательно, в равенстве
ф+ (ев) -±
п=1
it
11 L F \™
п
11
m=l
левая часть регулярна в верхней полуплоскости шив полосе
0>1шш > — Im/c0, а правая часть регулярна в нижней полуплоскости.
Таким образом, эти области перекрываются и можно утверждать, что одна
часть равенства является аналитическим продолжением другой. Следова-
Следовательно, каждая часть является целой функцией (см. стр. 361 тома I). Изучение
асимптотической зависимости обеих частей показывает, что на бесконечности
они не имеют никаких особенностей. Итак, особенностей нет нигде, и поэтому
каждая часть должна быть постоянной С.
Таким образом, мы получили выражение для преобразований Фурье
функции ']» при z > 0 и при z < 0. Первое преобразование важнее: мы за-
запишем его в виде
ГТ
J-J. |_ \ J J
^L. _____ A1.4.25)
П flAf
*™Vm J Щхт

490 Гл. 11. Волновое уравнение
в соответствующей области регулярности. Отсюда с помощью обратного
преобразования Фурье можно найти ty(a,z) при z > 0 и далее с помощью
A1.4.20) вычислить ф(ж>2)- Однако если мы желаем вычислить только
амплитуду волны, отраженной от неоднородности при z = 0, нет необхо-
необходимости заниматься такой сложной работой. На основании A1.4.21) коэф-
коэффициент отражения можно получить непосредственно из только что нами
найденных преобразований Фурье:
n=l
Г / /kV .М
x TT L Г V Я1Д.Щ / Я1Д.т | e._2iafi/7cm _
11 I .A { ka \2 . ka "I
m=l I 1/ 1 —( ) —i
д "
0
¦П
2
CO
, ka<n. A1.4.26)
Второе выражение здесь получено умножением и делением на дополни-
дополнительные бесконечные произведения с последующим использованием фор-
формулы
со
limlJ
m=l
I
Формула A1.4.26) выражает отношение амплитуды отраженной волны
« амплитуде падающей. Множитель (к — ко)/(к -f- к0) [где kl = № — (я(хо/а)а ~
~ к2 + i (kti/a)] можно получить в качестве первого приближения, учиты-
учитывая при вычислении затухания среднюю величину потери энергии. Беско-
Бесконечное произведение служит поправкой к этому первому приближению;
чтобы получить требуемую точность, достаточно вычислить несколько
членов этого произведения, так как множители с ростом т быстро при-
приближаются к единице. Заметим также, что г—^0 при -ц—>0 или при
¦a-чюо. Укажем еще, что задачу о распространении волн (см. гл. 13)
вдоль прямоугольного волновода, проводимость одной из стенок кото-
которого меняется при z = 0, можно решить почти аналогичным образом.
Излучение из конца круглой трубы. В качестве другого примера при-
применения метода Винера-Хопфа мы рассмотрим случай полубесконечной
трубы с жесткими стенками круглого поперечного сечения радиуса а;
осью трубы пусть является ось z, и труба простирается от z= — оо до
z = 0. Другими словами, единственная (жесткая) граничная поверхность
в цилиндрических координатах р, ср, z имеет вид p = a, z < 0. Нужная
здесь функция Грина является, пожалуй, простейшей из функций этого
рода:
где R — расстояние от точки наблюдения (р, ср. z) [или (г, &, ср) в сфериче-
сферических координатах с началом в центре отверстия трубы] до точки источ-
источника (q0, ср0, z0) [или (г0, &0, ср0)]. Эта функция Грина не удовлетворяет

11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы 491
краевым условиям на стенках трубы, но она является решением неодно-
неоднородного уравнения
изображающим расходящуюся волну при г—>оо.
Физически интересны два возможных решения. Одно из них пред-
представляет волну, которая порождается внутри трубы при z= — оо, и, дойдя
до открытого конца трубы, частично отражается обратно вдоль трубы
по направлению к z= — оо, а частично выходит наружу, имея при
г—> оо амплитуду /(&)//•, где & — угол между радиус-вектором точки наблю-
наблюдения (г, &, <р) и продолжением оси трубы; при этом
(Aeihz + Be~ihz внутри трубы при z —-> — оо,
A1.4.27)
^—у-^-^-егкг вне трубы при г-^-оо.
Заметим, что угол Ь может меняться от нуля до величины, сколь угодно
близкой к п, если г достаточно велико. Другая интересная ситуация
обратна только что рассмотренной: источник, находящийся вне трубы в
точке (г0, &0, ср0) (/•„—>оо), излучает волну, достигающую отверстия трубы;
часть этой падающей волны проникает в трубу, порождая внутри нее
волну, распространяющуюся к z= — оо, а остальная ее часть отражается
от отверстия назад к г = оо. В этом случае
(Je-ikz внутри Трубы при Z—>— ОО,
cos &о + si" & sin&o cos (<Р - «РоШ + (ц.4.28)
' eihr вне трубы при г —> оо.
Прежде чем изучать соотношения между этими функциями и их па-
параметрами А, В, С, /, /г, мы покажем, как можно получить интегральное
уравнение, например для ф> решая которое мы и найдем эти полезные
соотношения. Обычная формула Грина G.27) имеет вид
В рассматриваемом случае поверхность интегрирования состоит из части
Аг — сферы радиуса L (L—» оо), лежащей вне трубы, части А2 — плоского
кругового сечения трубы при z0—>—оо и части As — внутренней и внеш-
внешней поверхности стенок самой трубы. Поскольку и g и ij) стремятся к
нулю как 1/L на поверхности Av произведение одной из них на радиаль-
радиальную составляющую градиента второй стремится к нулю как 1/L8 и инте-
интеграл от этого произведения по Ах стремится к нулю. Аналогично, посколь-
поскольку g внутри трубы также стремится к нулю как l/|z| при z—> — со
{хотя ij) не стремится к нулю), интеграл по А2 также исчезает. Посколь-
Поскольку grad p ij) равен нулю на внутренней и внешней поверхности стенок
трубы, один из интегралов по А3 обращается в нуль, и для случая
A1.4.27) мы имеем
= —йг 5 * (г«} [grad°8 (г
А
Если мы ограничимся случаем аксиально симметричного решения ij)
(т. е. предположим, что при z = — оо внутри трубы возбуждается только
простая плоская волна), то интегрирование по ц> даст просто 2я и все
интегрирование по А3 сводится к интегрированию по z (при р = а) от
— оо до 0 для внутренней поверхности стенок и от 0 до — оо для

492 Гл. 11. Волновое уравнение
наружной поверхности. Нормальная составляющая градиента g на внутрен-
внутренней поверхности равна dg/dp0, на наружной поверхности—( — dg/dp0).
Следовательно, интегральное уравнение для ij) принимает вид
+(a'zo)-*""(«. zo)][^gs(p, zja, zo)]rfzo, A1.4.30)
где ij)+— значение ij) на наружной поверхности стенок трубы, г|?~ —значе-
—значение на внутренней поверхности, а g8 — часть g, не зависящая от ц> — (р0.
Позднее из этого уравнения (точнее, из несколько видоизмененного урав-
уравнения) мы получим решение для -ф"*" — -ф .
Формулы для излученной и отраженной мощности. Прежде чем ре-
решать. интегральное уравнение, целесообразно установить, какие величины
имеют физический интерес и как они связаны с разностью -ф* — -ф . Так,
в случае A1.4.27), т. е. в случае волны, возникающей в трубе при z =
= —со, желательно знать величину амплитуды отражения R = B/A,
т. е. отношение амплитуды В волны, отраженной в трубу от открытого
конца, к амплитуде падающей волны, распространяющейся из — со; так-
также желательно иметь возможность вычислить угловое распределение / (ft)
волны, излученной из конца трубы вовне. Эти величины можно получить
иным способом, применяя теорему Грина, либо же из формулы A1.4.29),
полагая в ней г достаточно большим, для того чтобы можно было восполь
зоваться асимптотическим выражением [/ (ft)/r] eihr для ij) и асимптотическим
выражением (eihr/r) e-ihr<>cosd для g, где ft — угол между г и г0.
Радиус L внешней сферической поверхности Аг можно сделать зна-
значительно большим, чем г, так что интеграл по этой поверхности по-преж-
по-прежнему исчезает, но интегралом по сечению трубы z = — L, р < а пренебречь
уже нельзя. Этот последний интеграл имеет вид
C<7<t I*
\ d^o \ (exP [ — ikz0 cos & — i/cp0 sin & cos (<p0 — cp)] — (Aeihz» + i?e-ihzo) —
0 0
2tc
4ЯГ
— (Ае№г<> + Be~ihz°) -z— exp f — ikzQ cos & — i/cp0 sin ft cos (<p0 — <p)]}z =_l Po ^Po =
a
= ** ^-Г \ P0Jo (Лро s^ О) И A + cos ft) e-utd-coe») -
- В A - COS ft) e«b(l+ooe*)] rfp() =
]-[A A + cos ft) e-ifti-d-cos») _БA — cos ft).
Для получения этого выражения мы использовали интегральное представ-
представление функции Бесселя.
Интеграл по внутренней и внешней поверхности стенок трубы при
помощи асимптотического выражения для g может быть преобразован к виду
2тс О
Т7~ \ ^?о \ \ X (zo) я~ ехР [ ~ ^zo cos * ~~ г^° sin ^ cos (To ~~ 9
О —L
^ x(z0) e~ihzocosb dz0,

11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы 493
где x(zo)= [4>+ (а> zo) — Ф~(а» zo)]— разность значений ф У наружной и у внут-
внутренней поверхности стенок трубы, которая входит в интегральное урав-
уравнение A1.4.30). В итоге получаем выражение для углового распределения
волны, выходящей из конца трубы:
о
/(&)= Нт{|а/рЗГ2Л(а1//с^"?) \
[А (к + С) е-*Ц»-г-> -B{k-Q e"-<fc+r»>] | , A1.4.31)
где С = /с cos &.
Рассматриваемые как функции комплексной переменной ч члены,
содержащие А я В, исчезают при ImC > Im/c>0 (мы на время предпо-
предполагаем, что /с имеет малую положительную мнимую часть, которая в конце
вычислений может быть положена равной нулю). С другой стороны, со-
содержащий х интеграл, который является преобразованием Фурье функции
x(zo)> определяющей разрыв ф на поверхности стенок, имеет вид
*(*) = ( °' Z>°' A1.4.32)
Согласно асимптотическому выражению для ty~(a, z) [см. A1.4.27)] этот
интеграл имеет смысл только при ImC>Im/c. Следовательно, A1.4.31)
в действительности означает, что / (&) равна первому члену (содержа-
(содержащему Е) при 1тч>1т/с и второму члену (содержащему А и В) при
ImC<Im/c. Эти два члена должны быть равны при ?=±&. Поскольку
/j z сш-trz, z—>0, мы получаем
A1.4.33)
Величины Q* и Q~ являются вычетами преобразования S (С) в его по-
полюсах ± к.
Следовательно, амплитуда отражения, отношение амплитуд отраженной
и падающей волн внутри трубы, будет определяться поведением преобра-
преобразования Фурье от разности значений ф на поверхности стенок трубы
вблизи полюсов этого преобразования Z, = ± к:
В
В
A1.4.34)
где I — «концевая поправка» трубы, координата кажущегося места отра-
отражения волны. Квадрат величины | В/А | представляет собой коэффициент
отражения. Интенсивность падающей волны пропорциональна | А |2 (мно-
(множитель пропорциональности обозначим D; в дальнейшем он сокращается);
мощность, излученная вовне из открытого конца, равна
. - ™W (| А |« -1В |2) = ъаЮ | А |2 A - Я2).
Если бы эта мощность распределялась равномерно по всем направлениям,
то интенсивность на больших расстояниях от открытого конца была бы
равна (a?D/4r2) | A |a(l — R2), в действительности же интенсивность равна

494 Гл. 11. Волновое уравнение
D | / (&) |2/га. Отношение этих двух величин можно назвать фактором
углового распределения:
" v ' I A |2 A-й2) a2 ~~ A-i?2) | / @) I*" v.**.-*.^;
Формально функцию /(&) можно выразить через преобразование Фурье
разности значений ф на поверхностях стенок [в соответствии с обсужде-
обсуждением формулы A1.4.31)]:
/(&) = -|/casin bJ^kasin&)S (кcos&), A1.4.36>
где под S (ft cos ft) понимается аналитическое продолжение S (С) из области
Im ? > Im /с на действительную ось.
Дальнейшее использование только что выписанных формул приводит
к соотношению между коэффициентом отражения и фактором углового
распределения
а-
и к явному выражению для а (&) через S и 2
а (ft) = [A sin ft/^а sin ft)]» /s^!?, у-',* • A1.4.38).
Наконец, мы можем связать эти результаты с решением обратной за-
задачи A1.4.28) о плоской волне, падающей на открытый конец трубы и
частично отражающейся от него, а частично входящей в трубу. Для этого-
надо применить теорему Грина G.2.2) к ф и фг. Для отношения интенсив-
интенсивности волны, проникающей в трубу, к интенсивности падающей волны
получаем значение
|С|2 = -^-, A1.4.39)
а эффективное поперечное сечение поглощения звука открытым концом,
трубы, т. е. отношение полной мощности волны, проникающей в трубу,
к интенсивности падающей волны, равно
<U&) = ™2|C|2 = ™2^|, A1.4.40).
где а(&) определяется формулой A1.4.38) (мы опустили индекс 0 при &,
так как он более не нужен). Таким образом, часть падающей под углом &•
к оси трубы плоской волны, которая поглощается трубой, пропорциональна
той части возбуждаемой внутри трубы волны, которая выходит из конца
трубы под углом & к оси трубы (в этом для нашей задачи проявляется,
очевидно, принцип взаимности).
Преобразование Фурье интегрального уравнения. Однако ни одна из
полученных формул не дает непосредственного ответа, пока не вычислено-
преобразование Фурье E(Q, определенное в A1.4.32). Мы найдем эту функ-
функцию, решив преобразованное по Фурье интегральное уравнение A1.4.30).
Однако это уравнение по своей форме не приспособлено для применения
метода Винера —Хопфа. Прежде всего (d/da)gs (p, z\a, z0) не является сим-
симметричной функцией z и z0 (из-за входящей в это выражение частной про-
производной). Кроме того, потенциал ф (a, z) не связан непосредственно cx(z) =
= ф*(а, z) —ф~(а, z).
Если взять производную по р от обеих частей уравнения A1.4.30) и
затем положить р = а, то производная функции Грина оказывается сим-
симметричной по z и zn, а производная от ф благодаря краевым условиям при.

11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы 495
z < О будет равна нулю. Следовательно, интегральное уравнение, с которым
придется иметь дело, принимает вид
где у определяется формулой A1.4.32), v9 (z) = B/а) [дф/др]р=а и
2т.
[^(P, z,
Проинтегрировав по ср0, мы получим умноженную на 2it часть функции g,.
не зависящую от у — ср0.
Построим преобразования Фурье нужных нам величин. Преобразование
S(?) функции x(zo) было только что определено в A1.4.32); произведение
(/с2 — С2) S (Q регулярно при Im С> — Im к. Можно показать, используя асимп-
асимптотическую формулу для ф и Дифференцируя ее по р, что и преобразование
Фурье функции v? (z)
регулярно в области Im С < Im к.
Двойное преобразование Фурье функции t(z — z0) [см. (8.5.6)] равно
Г(чN(С — ?0), где Г (С) — преобразование Фурье функции 7 (z). Эта функция Г
может быть получена непосредственно применением преобразования Фурье
по z —z0 к уравнению для g [см. A1.4.22)]:
д / д
(здесь G — преобразование Фурье функции g). Разлагая G в ряд Фурье по-
9—ср0 и решая уравнения для радиальных компонент, мы найдем, что пре-
преобразование Фурье g по z—z0 имеет вид
со
G (р, «р | р0, <Ро I С) = Т7Т= У, em cos [т (<р -»р0)] X
X
где Нт— функция Ганкеля первого рода, Нт. Взяв производные от этого
выражения по р и р0, полагая как р, так и р0, равным а и затем интегрируя
по ср, мы приходим в конечном счете к искомому преобразованию Фурье-
Г (С, = ™у^« [2/0 [aVW^)\ I [JD(a
которое регулярно в области |ImC|<Im/c.
Поэтому [см. (8.5.5)] преобразование Фурье интегрального уравнения
A1.4.41) имеет вид
2я2г (/с2 - С2) Н1 (a VkF^l?) Jx [aVk*-?) S (Q = V (С), A1.4.43)

496 Гл. 11. Волновое уравнение
где все члены регулярны в полосе |Im С | < Im к. Теперь уравнение готово
для факторизации.
Факторизация преобразованного уравнения. Произведение 2и (/с2—!?) S (С)
регулярно в «верхней» полуплоскости 1т?> — 1т к, в то время как V (t)
регулярна в «нижней» полуплоскости Im ч < Im к (мы предполагаем в даль-
дальнейших рассуждениях, что Im к > 0). Если мы сможем факторизовать остав-
оставшуюся часть
гЛНх {а 1/А^С5) J1 [a VW^}),
представив ее в виде Г+/Г_, где Г+ регулярна в верхней, а Г_— в нижней
полуплоскости, то мы получим искомый ответ. Наличие логарифмической
особенности у Нг лишает нас возможности представить Н1 в виде бесконеч-
бесконечного произведения, хотя /х представить таким образом можно. Поэтому мы
вынуждены вернуться к использованию контурных интегралов, как об этом
говорилось в конце гл. 8.
Функция In [rdHj (а }//с2 — С2) Jx [а У к2 — С2)] регулярна в полосе | Im С | <
<Im к, а следовательно, она может быть представлена интегралом Коши,
контур которого можно деформировать так, чтобы он почти полностью охва-
охватил полосу регулярности:
1
-oo+te
Поскольку первый интеграл регулярен при Imtl> — e (где 0<е<1т/с),
он может быть принят за In Г+, а второй интеграл, регулярный при Im С <
<+е, может быть принят за In Г_. Когда к становится действительным
(е—=>0), интеграл для In Г_ отличается от In Г+ только способом обхода
точки t = t; для Г_ контур обходит точку ? = ? сверху, а для Г+ —снизу.
Поэтому мы получаем
5 In [ыЩ (a VWHt*) Jx (a Vk^I^)] dt
h {a V*=
где Кх и II — гиперболические функции Бесселя, определенные в конце
гл. 10, и Г_(С) = 1/Г+(—С). Если С находится на действительной оси и
| С | < к, то первый интеграл сингулярен. Его зпачоние равно сумме умно-
умноженного на ш вычета подинтегральной функции в точке г = [ и главного
значения интеграла [см. D.2.9)]:
Г+(/с cos &) = у izih1 i
ka
v ovn J," fca cos ft 45 С a;ln[migi(a;) Ji(a;)lda:
L J [37*—(ha Sin w) I V i/cfl) —x
0
ika cos ft 7 ж In [l/21i (x) Кг (х)\ dx
¦ ifca cos» С
где #° — символ главного значения интеграла (для Г_ берется сумма
вычета, умноженного на —иг, и главного значения). При ?=+/с никаких

11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы 497
особенностей нет и
I — Г
Возвратимся к преобразованному уравнению
левая часть которого регулярна в полуплоскости Im ?> —s @<e<Im/c),
а правая часть — в полуплоскости ImC<s. Можно показать, что левая
часть (а следовательно, и правая) остается конечной при Re ? —> со
в полосе |Im?|<e. Следовательно, одна часть является аналитическим
продолжением другой и обе равны некоторой постоянной С. Поэтому
щг\ с
2А;1\(—/с) ~ 2А "
С помощью этих соотношений мы можем выразить величины, имеющие
физическое значение для нашей задачи, через функцию Г+ (С). Функция Г+,
конечно, не выражается через известные табулированные функции, но
она определена через пару интегралов, которые могут быть численно
найдены с любой степенью точности. В частности, формулы для отноше-
отношения амплитуд падающей и отраженной волн и коэффициента отражения
R имеют вид
X
11 1 T In \WJ1 (x) Yj\ (х) + Щ (x)]
11 _ 1 T
а. л J
J
Кривые изменения квадратного корня из коэффициента отражения Y
и концевой поправки l/а показаны на рис. 11.11. Практически при малом
ка вся падающая волна отражается обратно в трубу (|i?|—> 1); при боль-
большом ка падающая волна практически вся выходит через отверстие (| R | —>0).
Наконец, функция углового распределения
„/« _ __i J. (ка sin ») |Д|
а^/~" я sin2» [Jl (ка sin b)+JYi(ka sin %)] 1 — \Е\2 А
2fe" cos fr ^о С ж arc tg [ -Л («)/JM»
j
х ехр
выражается через главное значение интеграла. Зависимость этой функ-
функции от угла & для различных значений ка показана на рис. 11.12. Мы
видим, что с увеличением ка выходящая из трубы волна все более и бо-
более концентрируется в направлении оси трубы.

498
Гл. 11. Волновое уравнение
Все эти решения становятся непригодными, если значения ка настоль-
настолько велики, что по трубе могут передаваться волны высших типов, но
Рис. 11.11. Кривые изменения коэффициента отраже-
отражения Л и концевой поправки для случая излучения из
открытого конца круглой трубы без фланца.
пока ка < техо1 = 3,832 результаты будут точны настолько, насколько
хватит терпения точно вычислить все входящие в формулы интегралы.
ка=О
2а
Рис. 11.12. Полярная диаграмма функции углового распределения
интенсивности а(Щ для случая волны, излученной из открытого конца
круглой трубы без фланца.
Излучение колеблющегося тела. Следующая задача, подлежащая
рассмотрению, — это задача о расходящемся излучении объемного источ-
источника конечных размеров. Положим, что начало координат находится
внутри источника, а на его поверхности А задается либо само поле
излучения, либо нормальная составляющая градиента этого поля. Эта
замкнутая граничная поверхность источника задается уравнением в сфе-
сферических координатах
причем, поскольку начало находится внутри поверхности, эта функция
для любой пары значений &, ф из области 0 < <р < 2и, 0 < $¦ < m имеет
конечные значения. Мы не очень существенно ограничим наши исследова-
исследования, если исключим из рассмотрения те поверхности, для которых а
имеет при некоторых &, <р несколько значений. В действительности ради
упрощения мы введем еще большее ограничение, предположив, что поверх-

11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы 499
ность А всюду выпуклая и что не существует плоскостей, которые каса-
касались бы А в двух различных точках.
Если мы применим теорему Грина к полю излучения ф и к функции
Грина для свободного пространства gh (r\ro) = eihR/R [см. G.2.7)], то
получим
i$ [^^], A1.4.48)
где д/дп0 — составляющая градиента по направлению внешней нормали
к поверхности А в точке с координатой г0. (Знак минус объясняется тем,
что область, в которой задано ф, находится вне поверхности А, так что
составляющая градиента из G.2.7) равна — д/дп0.) Затем мы вводим
преобразование Фурье функции gh [см. формулу A1.3.6) и следующие]
где волновой вектор р имеет компоненты рх, р , рг и модуль р, а направ-
направление его задается полярными углами и и v.
Интегрирование производится по всему /7-пространству и, чтобы
получить расходящиеся волны, мы обходим в комплексной плоскости р
полюс р = —к сверху, а плюс р = к—снизу.
Подставляя это выражение в A1.4.48), получаем
ф(г) =
где п0—единичный вектор внешней нормали к поверхности А. Величина
в фигурных скобках является функцией от р, но не от г0. Далее мы
интегрируем по pz, обходя (в комплексной плоскости pz) полюс pz =
= — l/A2 — рх — р'у сверху, а полюс рг = -f ]//е2 — р\ — р\ снизу. Когда z боль-
гае любого z на поверхности А, интеграл сводится к умноженному на 2га
вычету подинтегральной функции в точке рZ — \T№ — р\—р\.
Теперь преобразуем прямоугольные координаты рх, ру в /7-пространстве
к сферическим координатам р, и и v, полагая рх — /с sin u cos t>
и ру = ksmu siim Для того чтобы рх ж ру могли изменяться до беско-
бесконечности, и должно быть комплексным. Элемент площади dpx dpy равен
к2 cosu siim du dv, и выражение для ф после интегрирования по pz при-
принимает вид
2тс ico
ik С С
ф (г) = т— \ dv \ sin и F (и, v,k) exp {ikr [cos и cos '; -j- sin u sin 8- cos (v — <p)]} du,
0 —ioo
A1.4.49)
где Ь и tp — сферические углы для г и где
F (и, v,k) = ^-§ \j K-k) ф (iS) +уп-оФК) ]e-ik-so dA0,
причем k~axksmucosv + ayksmusinv-]-azkcosu. Интегрирование по и
производится вдоль контура, который обеспечивает сходимость интеграла.
Это выражение, конечно, применимо, только если г находится вне по-
поверхности А.
Таким образом, мы нашли связь менаду выражением решения через
функцию Грина и разложением его по плоским волнам, как об этом уже
говорилось в начале § 11.3 [см. A1.3.3)]. Мы не намерены вычислять

500 Гл. 11. Волновое уравнение
приведенный выше интеграл для F. Вместо этого мы изложим другие
методы определения F через краевые условия; здесь мы хотели только
показать, что формула A1.4.49) представляет расходящуюся волну, излу-
излучаемую источником конечных размеров.
Угловое распределение излучения. Функция F имеет простое и важное
физическое значение, которое можно продемонстрировать, устремив в A1.4.49)
г к бесконечности и найдя методом перевала асимптотическую формулу
для ф (см. § 4.6). Прежде всего заменим переменные интегрирования, т. е.
углы и и v, характеризующие положение переменной точки интегрирова-
интегрирования по отношению соответственно к осям z и ж, на углы в и (S, харак-
характеризующие положение точки интегрирования относительно вектора г.
При этом
s'mududv = sin
cos 6 = cos и cos & -f sin и sin & cos (v — ф),
cos и = cos 6 cos & -f- sin 6 sin & cos ф,
sin 6 sin ф = sin и sin (v — <p).
Так как и изменяется в пределах ^ гоо, то такие же пределы будут
и для 6, а поэтому
dф [ sinQF(u,v,k)eih>-™s»db.
i
При этом контур интегрирования по 6 выбран так, чтобы мнимая часть
cos6 была положительной при 6—>+гоо, так что подинтегральная функ-
функция обращается в нуль в обоих концах контура.
Показатель экспоненты имеет стационарную точку при 6 = 0 (гг=&,и=<р),
так что фаза экспоненты остается постоянной, а ее абсолютная величина
стремится к нулю по мере удаления от 6 = 0 вдоль одной из линий,
определенных уравнениями
cos 0 = 1 + г?, 6 = ? + щ,
cos ? = sech т],
где к] положительно или отрицательно. Интеграл тогда приобретает вид
со
ф (г) = keikr { F (и, v, к) e-fer"- dQ.
о
Если кг—> os, то существенный привнос дает интегрирование только по
участку, где С очень близко к нулю, т. е. и очень близко к & и v очень
близко к <р. Таким образом, асимптотическая форма решения при кг—> оо
имеет вид
Лкг
ф (г) ~ F (&, <р, к) -Z— , кг-> со. A1.4.50)
Итак, амплитуда плоской волны, входящей в интегральное представле-
представление ф через плоские волны, пропорциональна фактору углового рас-
распределения излучения /?(&, <j>, к) на больших расстояниях от источника.
(Это верно только для случая, когда контур интеграла по и проходит
от —гоо до -I-*00? что исключает все приходящие из бесконечности волны.)
Это соотношение не является неожиданным, однако его стоило доказать
и, заодно, вычислить коэффициент пропорциональности, равный г'/с/4я.

11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы 501
Применение краевых условий. Нам остается еще определить фак*-
тор углового распределения при помощи краевых условий, заданных
на границе излучателя г = а (Ь, tp). Предположим, что на граничной по-
поверхности задаются значения ф при г = а(&, <р), равные фо(&, tp). Эта функ-
функция связана с фактором углового распределения формулой A1.4.49),
которая представляет собой интегральное уравнение для определения
F(&, <p, к) через известные функпии ф0 и а:
2тъ гсо
\ dv \
0 -i«
s'muF(u, v)X
X ехр{г7с« (&, <р) [cosu cos 9 -\ sin и sin & cos (v — <p)]}du. A1.4.51)
Это уравнение, вообще говоря, нелегко решить; если а (9-, <р)— коор-
координатная поверхность в некоторой разделяющейся системе координат и если
ка не слишком велико, то лучше всего применить разложение по собствен-
собственным функциям, уже рассмотренное в § 11.3. Но если ка велико (грубо
говоря, больше 10), то-мы можем использовать метод перевала (см. § 4.6),
чтобы найти приближенное соотношение между F и ф0. Выделим прежде
всего в функции F амплитуду и фазу
F(u, v) = f(u, v)e-W-v\ A1.4.52)
а затем рассмотрим поведение фазы подинтегральной функции в форму-
формуле A1.4.51).
Мы выбрали контур в плоскости и так, что основная часть интеграла
приходится на участок, близкий к действительной оси и; на самом деле,
выше было показано, что контур можно выбрать так, что существенным
оказывается лишь интегрирование по участку, близкому к и = 9-, v — <р.
Теперь этот результат несколько изменяется вследствие того, что а яв-
является функцией 9- и <р. Полный показатель экспоненты у подинтеграль-
ного выражения из A1.4.51) равен
t {и, v\ Ь, <р) = ika (Ь, <р) cos 6 — ??$(и, v),
cos 6 = cos u cos 0-f sin гг sin & cos (у — <p). A1.4.53)
Если ка велико по сравнению с единицей (> 10), то экспонента
меняется значительно быстрее, чем амплитуда /. Поэтому для того, чтобы
выяснить, где подинтегральная функция имеет наибольшее значение, мож-
можно ограничиться рассмотрением только t и можно выбрать [3 так, чтобы
в соответствующей точке t было равно нулю, так же как dt/du и dt/dv.
Величина а (&, ^)cos6 является проекцией вектора а (9-, <р) на направ-
направление и, v, и если бы в выражение для t не входило р, то величина ка cos G
имела бы максимальное значение ка при 6 = 0 (на рис. 11.3 единичный
вектор и, направление которого определяется углами и, v, совпадает
с вектором а, направление которого определяется углами 91, <р в точке,
в которой задано граничное значение ф0). Но если положить $ = ка, то
Р оказывается функцией 9 и tp, а не аи к. Правильный способ выбора
соответствующего седловой точке t направления и0, при котором (В может
быть определено как функция от и и v, обращающая в этой точке t в нуль,
излагается ниже.
Для каждого направления и, v вектора и мы определяем на поверхности
излучателя точку, в которой пормаль параллельна и (вследствие ограничений,
наложенных на форму поверхности, такая точка определяется единствен-
единственным образом). Обозначим радиус-вектор этой точки через h и его сфериче-
сферические углы через о, % (они, конечно, являются функциями гг, >:¦). Проекция Ь
на и есть не что иное, как расстояние от начала до пересечения и с пло-
плоскостью, касательной к поверхности и перпендикулярной к и. При этом,

502
Гл. 11. Волновое уравнение
если фиксировать и, v и изменять 9, <р, то значения 9, <р, при которых
величина a-u = a(&, <p)cos6 будет наибольшей, равны соответственно о, х,
а значит а (с, x) = h (это, конечно, функция и, v).
Мы выбираем теперь в качеств {3 величину
kh(u, и).u = ka(a, x) cost],
где
cos т] = cos в cos о + sin гг sin о cos (d — х).
Тогда, очевидно, показатель
t = ik [a (9, <р) — h (гг, v)] ¦ и
равен нулю и имеет стационарное значение, когда вектор и направлен так,
что h (гг, v) совпадает с а (9-, <р). Таким образом, удается так выбрать функ-
функцию р, зависящую только от и и у, что t для некоторых гг, v будет равно
нулю и стационарно при любых значениях 9- и <р.
Для заданных &, <р примем теперь за ось сферической системы коор-
координат для интегрирования по гг, v направление и0 (&, <р) (направление нор-
Рис. 11.13. Углы и направления, необходимые для вычисления
излучения поверхности а (8, ср).
мали к поверхности в точке 9-, <р, характеризуемое углами гг0, v0). Когда и
отклоняется от направления и0, вектор h отклоняется от направления
а (9-, <р). Соотношение между соответствующими углами ш (угол между и
и и0) и С (угол между h и а) зависит от кривизны поверхности в точке
(91, <р). Вблизи точки (9, tp) поверхность имеет форму, близкую к соприкаса-
соприкасающемуся эллипсоиду с главными радиусами кривизны i?x и i?2, как пока-
показано на рис. 11.13. Если мы будем отсчитывать второй угол интегрирова-
интегрирования а (который вместе с ш определяет ориентацию и относительно и0)
от осевой плоскости с радиусом кривизны Rlt то сможем сразу увидеть,
что отношение угла поворота вектора h к углу поворота вектора и равно
отношению а(&, <р) к радиусу кривизны сечения поверхности в направле-
направлении а:
~sm 6°cos (tt-
cos С = cos 8- cos о 4- sin & sin о cos (<p — x),
cos со = cos гг cos u0 + sin гг sin гг0 cos (v — v0),
где a0 —угол между плоскостью векторов а и u0 и осевой плоскостью
с радиусом кривизны Rlt являющейся начальной плоскостью для отсчета
угла поворота а. (Корень появляется потому, что поверхность в точке (&, <р)
нормальна не к а, а к и0, так что поворот вектора а на угол С вызывает
различные линейные перемещения, зависящие от величины угла а —я0.)

11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы 503
Если С мало, то оказывается, что t ~ у ikS2 [A//?х) cos2a -i (l//?2) sin2a]
и S c^'Ca/y'l — sin260 cos2 (а — а0) . Поэтому для малых значений угла
Мы можем выбрать контур для гг (или, скорее, ш) от —too до -fico таким
образом, чтобы х оставался действительным и менялся от нуля до беско-
бесконечности в обоих направлениях, и от и0 до +гоо и от и0 до —гсо. Сле-
Следовательно, наше интегральное представление приобретает вид (учитывая,
что sin ш du> ~ ш du>, если ш мало)
271 СО
¦ /а \ ik С 7 Г jR2 cos2 о4-A sin2 а х,
е
Теперь мы должны выразить амплитуду f(u, v) таким образом, чтобы
связать ее с заданными значениями ф0 на поверхности. Для этого лучше
всего разложить / в ряд Тейлора вблизи и0, v0, выражая смещения, отсчи-
отсчитываемые от и0, через угловые компоненты: шх в осевой плоскости с радиу-
радиусом кривизны lij (точнее, такие угловые смещения вектора и, которые
вызывают угловые смещения вектора h в плоскости с радиусом кривиз-
кривизны Rt) и шу в плоскости с радиусом кривизны R2. Получаем
/(ы, о) = /(Ио. v0) ±fxu+fu> + f(o* +
1'де <*>х = ш cos я, а>у = ш sin а и индексы при / обозначают производные от /
по и>х, шу, вычисленные при шх = шу = 0 (т. е. при и0, v0).
Выполняя интегрирования, получаем
11 5
шщщ
Эти ряды хорошо сходятся, пока kRlRz/(R1\- R2) достаточно велико. Чтобы
получить формулу для асимптотической амплитуды / поля излучения через
амплитуду полного поля ф0 в точках на поверхности источника, этот ряд
нужно обратить. Первое приближение, годное при kR—> со (т. е. годное
для случая «геометрической оптики»), имеет вид
^^»о(«^). A1.4.55)
где (а, т) — точка на поверхности источника, в которой нормаль имеет
направление и, v. Другими словами, в случае предельно коротких волн,
волны излучаются нормально из каждой точки поверхности, причем отно-
относительная амплитуда пропорциональна гармоническому среднему радиусов
кривизны поверхности 2R1R2/(R1 + R2) в соответствующей точке.
Следующее приближение получается подстановкой первого приближе-
приближения в последующие члены ряда в правой части разложения, причем учи-
учитываются соотношения между ш и С- Окончательный результат можно
сформулировать следующим образом: находим на поверхности точку (о, х),
в которой нормаль имеет направление и, v, и определяем плоскости глав-
главных радиусов кривизны поверхности в этой точке. Обозначаем через &х
угловое смещение от (о, х) в плоскости R1 и через &2 — в перпендикуляр-
перпендикулярном к этой плоскости направлении. Тогда фактор углового распределения

504 Гл. 11. Волновое уравнение
f (и, v), дающий асимптотическую амплитуду волны в направлений
и, v, равен
-sm 6»сов
A1.4.56)
где а = а(в, х), Go—угол между направлением и (и, v) и направлением
h (о, х), т. е. направлением от начала координат к точке на поверхности,
в которой нормаль имеет направление и; а0—угол между плоскостью,
содержащей и и h, и плоскостью главного радиуса Rr. Все производные
в этой формуле берутся в точке (о, х).
Наша формула показывает в первом приближении по малой величине
1/ка, как конечная длина волны «стирает» четкие формы геометрической
оптики, определенные в A1.4.55). Эта формула дает удовлетворительное
приближение, если граничные значения ф (9-, <р) не слишком быстро меня-
меняются с изменением 8^ и 9-2. Подробное изучение случая, когда ф0 раз-
разрывно, показывает, что в / возникают диффракционные полосы обычного
френелевского типа, а в случае геометрической оптики A1.4.55) разрыв-
разрывность сохраняется.
Тот же анализ можно провести с теми же общими результатами, если
на поверхности г = а (&, <р) задать вместо величины ф0 нормальную состав-
составляющую ее градиента. Последующие члены ряда, первые два члена кото-
которого даны в A1.4.56), можно найти, рассматривая высшие члены разложе-
разложения t и /. При этом возникают, однако, значительные алгебраические труд-
трудности, и мы не будем их здесь исследовать. Для двумерной задачи, кото-
которая, конечно, значительно проще, были найдены приближения всех поряд-
порядков, а также был исследован л случай разрывной функции ф (см. в биб-
библиографии в конце этой главы работу Лакса и Фешбаха).
Рассеяние волн, вариационный принцип. Задачи рассеяния, так же
как и задачи излучения, могут быть решены методом: функция Грина —
интегральное уравнение — вариационный принцип. Полезно рассмотреть
случай рассеяния плоской волны на объекте конечных размеров (поверх-
(поверхность, объем) с определенными краевыми условиями на его границе
(Дирихле, Неймана или смешанными). Воспользуемся функцией Грина
gfe(rlrn) = ^-e1'
для расходящихся волн в свободном пространстве. Мы ищем решение,
которое должно иметь, например, равную нулю составляющую градиента
на рассеивающей поверхности и которое соответствует падающей плоской
волне Ceiki'r, распространяющейся в направлении z с волновым числом к
и волновым вектором kt = kaz. Используя наши обычные методы, легко
показать, что это решение удовлетворяет интегральному уравнению
A1.4.57)
где интеграл берется по поверхности рассеивателя, а пп — вектор внешней
нормали к этой поверхности (его направление, следовательно, противо-
противоположно тому, которое было принято в гл. 7).

11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы 505
Постоянная С представляет собой амплитуду падающей волны;
интенсивность этой волны равна некоторой постоянной D, умноженной
на | С |2. Асимптотическую форму рассеянной волны можно найти, исполь-
используя асимптотическую форму (егкг/г)е~гк/*'го функции gk, где ks =/саг — вол-
волновой вектор рассеянной волны, имеющий направление г точки наблю-
наблюдения в бесконечности. Эта рассеянная волна пропорциональна, конечно,
амплитуде падающей волны:
_ A1.4.58)
/ (к, | к8) = ^ ф (к8- ( 4v r A
где / — амплитуда рассеянной волны при единичной амплитуде падающей.
Квадрат функции / дает интенсивность рассеянной волны в направлении,
составляющем с направлением распространения падающей волны углы ¦&, tp,
а интеграл от | /12 по Ф и <р есть эффективное поперечное сечение рассеяния
плоской волны с волновым вектором к4 (т. е. волны, имеющей длину волны
2ж/к и направление распространения а2).
Для применения вариационного принципа необходимо, чтобы функ-
функция углового распределения / (kt | ks) явно входила в интегральное урав-
уравнение A1.4.57). Этого можно достигнуть, умножая и деля на / первый
член правой части (при этом заодно исключается произвольная амплитуда
падающей волны С):
A1.4.59)
Из этой формулы можно определить ф (г), если будет известно ф (г*) на
поверхности рассеивателя. Чтобы получить интегральное уравнение только
для ф (г*), предыдущее уравнение можно рассматривать для значений г,
соответствующих точкам поверхности; однако таким образом мы получаем
слишком сложное уравнение, содержащее несимметричную функцию
dgjjdnQ. Значительно более простая форма уравнения получится, если
взять от обеих частей равенства A1.4.59) нормальную производную на
поверхности. Левая часть тогда обращается в нуль, так как нормальная
составляющая градиента ф на поверхности равна нулю, и мы получаем
ik -rs
A1.4.60)
Теперь можно применить вариационный принцип. Для этого умно-
умножим обе части на ф (rs) и проинтегрируем по поверхности рассеивателя
в координатах г8; получим
dA ф ф (г») ф (rj) [ ^j- gft (Н | rg) J dA0
Истинные фиф дают стационарное значение величине [/], равное функ-
функции углового распределения f(ki\ks). В справедливости этого утвержде-
утверждения можно убедиться, варьируя ф и приравнивая нулю коэффициент при
оф. Получающееся соотношение содержит, однако, функцию ф, и мы не
м ожем его использовать, пока не выясним характер этой функции. Это

506 Гл. 11. Волновое уравнение
можно сделать, приравнивая нулю коэффициент при 6&, что приводит
к уравнению
dA,.
Сравнение этого уравнения с уравнением A1.4.60) показывает, что <Ь
является решением сопряженной задачи: плоская волна с волновым векто-
вектором — ks посылается из точки (г, &, <р), которая для ф служит точкой наблю-
наблюдения; и после встречи с препятствием возвращается как рассеянная
волна с волновым вектором — kj к отрицательной бесконечности на
оси z, соответствующей источнику для ф. Приведенное доказательство
того, что функция углового распределения / для основной и взаимной задач
одинакова, представляет собой только другой способ обоснования прин-
принципа взаимности. Как указано на стр. 807 тома I, переход к сопряженному
решению ф связан с процессом перемены местами источника и наблю-
наблюдателя.
Функция углового распределения и полное эффективное поперечное
сечение рассеяния. Теперь мы можем следующим образом формулиро-
формулировать наш вариационный принцип для рассеяния. Берем достаточно общее
выражение величины ф на поверхности для случая падающей плоской
волны, распространяющейся в направлении ki? и соответствующее выра-
выражение для волны ф, распространяющейся в направлении — ks. Затем
вычисляем по формуле A1.4.61) функцию /, как функцию параметров,
входящих в ф и ф. Выражение ф (и соответственно ф), для которого
обращаются в нуль все первые производные от / по параметрам <li
(а также ф), будет наилучшим, а получающаяся при этом функция / будет
ближе всего к истинной функции углового распределения / (k41 ks).
В пределе, если семейства функций, определяемых выбранными выраже-
выражениями Фиф полны, функции, дающие стационарное значение величине /,
представляют собой истинные значения ф и ф на граничной поверхности,
а соответствующая величина / равна истинной функции углового распре-
распределения /(к| | ks).
Если нужно определить значения ¦ вне граничной поверхности,
подставляем найденные значения ф на поверхности в формулу A1.4.59).
Но делать это приходится редко, так как обычно требуется только угло-
угловое распределение и полное эффективное поперечное сечение рассеяния
ks) ^sin-O-d-O. A1.4.62)
Эту последнюю величину можно найти, исходя из /, интегрированием по
углам ¦&, <р, определяющим направление ks по отношению к к|. Однако
нет необходимости непосредственно производить это интегрирование, так как
величину Q можно найти непосредственно из / на основании следующих
соображений.
Интенсивность рассеянной волны в направлении ks при единичной
интенсивности падающей выражается формулой
где ф8 — рассеянная волна [эту волну представляет, очевидно, второй член
правой части формулы A1.4.57), стремящийся к (Cf/r)elkr при г—> оо].
Интеграл от этого выражения по сфере бесконечного радиуса дает эффек-

11.4. И нтегралъные уравнения и вариационные методы 507
тивное сечение Q. Однако нет необходимости интегрировать по бесконечно
большой сфере; интеграл от A//с| С |2) Im [ф8 (дф8/дп)] по любой замкнутой
поверхности, внешней по отношению к рассеивателю, даст тот же резуль-
результат. В частности, можно интегрировать по поверхности, отстоящей от рас-
сеивателя на бесконечно малое расстояние:
§]} A1.4.63)
В любой точке вне рассеивателя полное поле ф равно сумме падающей
плоской волны Сегк»г и рассеянной волны ф6. Поскольку нормальная произ-
производная ty на поверхности рассеивателя равна нулю, нормальная производ-
производная- фв на этой поверхности равна взятой со знаком минус нормальной
производной плоской волны:
Следовательно,
Интеграл от второго слагаемого в квадратных скобках равен нулю,
поскольку поток постоянного вектора 1ц равен нулю. Интеграл от первого
слагаемого, согласно A1.4.58), пропорционален предельному значению /
при к5, равном к|. Поэтому
<2(к4) = 4^1т[/(к,|к,)]. A1.4.64)
Вместо того чтобы интегрировать |/|2 по всем направлениям ks, мы полу-
получаем Q, определяя мнимую часть предельного значения функции / при
ks-^kt [см. (9.3.23)].
Если рассеивающей поверхностью является сфера радиуса а, то функ-
функция Грина может быть разложена по сферическим гармоникам [см. A1.3.44)].
Чтобы найти составляющие градиента, которые теперь являются производ-
производными по г и г0, мы вспоминаем, что сначала на поверхность была поме-
помещена точка г0, и, следовательно, нужно пользоваться выражением, при-
пригодным для г > г0,
и=0 яг=С
X PZ (cos &0) К (cos Ь) /; (kr0) h'n(kr), A1.4.65)
причем вместо г0 и г должно быть подставлено значение а.
Рассеяние на сфере. Если рассеивающей поверхностью является сфера
и если ф и Ф на поверхности разложены по сферическим гармоникам, то
изложенный метод приводит к результатам, аналогичным A1.3.72) для
dty/dn = O (как это, конечно, и должно быть). Если мы направим 1ц вдоль
сферической оси, то ф не будет зависить от <р и
»i=:0

508 Гл. 11. Волновое уравнение
где Ап—произвольные параметры, подлежащие варьированию. Тогда если
&s, <ps —Углы> связывающие ks с кг, то
со п
ф(rs) =2 (-1)"^2 е™ ~m'j P'n (cos &s)Р% (cos Ь) cos [m (<p — <ps)].
n=0 m=;0
Подобно этому разложения плоских волн, умноженные на k-n, соответ-
соответственно равны
со
(к; • n) eiki •г = к 2 i" [«^-! (cos &) + (п + 1) Рп+1 (cos &)] /п (Аи),
П:=0
)].cos[ira(«p —«ps)].
Комбинируя все эти формулы и производя интегрирование в соотношении
A1.4.61), мы получаем
со
= 2 ( ~~ l)n-4n/n('(;a)^>n(c0S&s),
п=0
где
n (Aa) = y^/n (Ла) = 2^y /n-i (Ae) - ^L /n+1 (te) = - D'n sin a
Приравнивая нулю частные производные от [/] по всем Ап, мы получаем
бесконечную систему уравнений
— ( — 1 Уг 2ге+1 М
п-\ Ч К(ка) -N
Поскольку М и N содержат все Ап, эта система однородных уравнений
на первый взгляд кажется сложной. Заметим, однако, что если уравнения
решены, то М = Nх), так что получается простая последовательность
*) Авторы выражаются не точно. Дело в том, что вариационный принцип опреде-
определяет ф и ф, а значит, и все Ап с точностью до множителя. Множитель зависит о
амплитуды падающей волны и не влияет на величины / и Q. Так как M/N—одно-
M/N—однородная функция первой степени от Ап, то она тоже определяется с точностью до
несущественного для наших целей множителя, а потому может быть принята равной
единице. —Прим. перев.

Гл. 11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы 509
соотношений
h'n{ka) iD'n
СО
/ (к{ | к.) = - i- 2 B» + 4) е~К sin Ь'п рп (cos »,),
п=0
со
= — У Bn+ l)sin'ion A1.4.6b)
[используя для (^ фоРмУлУ (И.4.14)]. Эти формулы аналогичны формулам
A1.3.72) для условий Неймана.
Таким образом, вариационный принцип при разложении по сфериче-
сферическим гармоникам приводит к тому же точному решению, что и вычисле-
вычисления § 11.3. Конечно, в этом нет ничего удивительного; оба результата
должны совпадать. Но изложенный здесь метод более пригоден для опре-
определения физически интересных величин с меньшей затратой труда. На-
Например, коль скоро найдены Ап можно непосредственно определить значе-
значения ф на поверхности сферы (с точностью до коэффициента пропорциональ-
пропорциональности)
ф (rs) = - iA ^ (- If ^±A- e-«n (ВД Pn (cos »). A1.4.67)
п=0
Легко также видеть, что если воспользоваться функцией сравнения ф,
составленной из конечного числа сферических гармоник, то наилучшие
возможные результаты для /, Q и ф (rs) должны совпасть с n-ми частич-
частичными суммами полученных ранее рядов. Но, за исключением исследования
предельного случая коротких волн, о котором речь будет в дальнейшем,
использование этого метода для сферической рассеивающей поверхности
лишь повторяет то, что может быть сделано методом собственных функций.
Вариационный метод полностью оправдывает себя, когда рассеивающая
поверхность имеет более сложную форму и собственные функции или не
полностью табулированы, или вовсе не могут быть получены (если поверх-
поверхность не совпадает с координатной поверхностью системы координат,
допускающей разделение).
Рассеяние на .полосе. Хотя решение задачи рассеяния на полосе, вы-
выраженное через функции Матье, известно, вариационный метод имеет в этом
случае некоторые преимущества, ибо результаты, получаемые этим методом,
не будучи точными, имеют форму более компактную, чем выражение
A1.2.102) и следующие. Чтобы получить хорошее приближение для рас-
рассеяния, мы воспользуемся, как мы это неоднократно делали ранее, при-
приближенными значениями ф на поверхности, получаемыми из рассмотрения
установившегося потока, и затем применим уравнение A1.4.61).
Интегралы в формуле A1.4.61) нужно брать по обеим сторонам поло-
полосы, что сводится к интегралу по одной стороне от разности значений <li
на обеих сторонах полосы. Предположим, что полоса находится в плос-
плоскости у, z, ось ее направлена вдоль оси z, а ширина равна а (полоса за-
занимает область х = 0, | у | < а/2). Пусть направление распространения падаю-
падающей волны лежит в плоскости х, у, образуя угол <pi c осью х, и что тре-
требуется определить рассеянную волну в направлении, образующем угол <ps
с осью х. Из формулы A0.1.28) следует, что при обтекании полосы уста-
установившимся потоком жидкости, скорость которого составляет угол <р;
с нормалью к полосе, разность между значениями Ф в точках @+, у)

510 Гл. 11. Волновое уравнение
и @", у) (для | у\ < а/2) равна В |/"l — Bу/аJ cos <рг. Здесь В —постоянная,
которая исключается при вариационных рассмотрениях и, значит, не под-
подлежит вычислению. Аналогичная разность для потока, направленного под
углом — <ps, равна — 2? j/1 — Bу/аJcos<ps.
Подставляя принятые выражения в A1.4.61), мы получаем для одного
из интегралов числителя выражение
а/2
- кВ cos ?, cos 9s ^
-а/2
= -4- ?i cos ?, ^ A - cos* и) el(fea/2)sin *icoeМЛ =
о
= —_- Я&я-В cos <pt cos <ps JQ(-^ka sin <pt j + /2 Г — ka sin <pt j =
= "" siF^ cos ^ cos ?в yi ^ Y Ла sin
Второй интеграл числителя равен
cos q>,- cos ш/, ( — ka sin <p_ ) .
Чтобы вычислить интеграл в знаменателе, необходимо [подходящим
образом выразить g. Это достигается при помощи интегрального представ-
представления Фурье
где мнимая часть радикала положительна при ш > /с. Таким образом, мы
имеем
со
i \
и интеграл в знаменателе можно преобразовать так:
dA & Z(f) Ф (rg) [ ^ gk (ts 11-) ] dA0 =
; cos <р4 cos <ps \
— CO
a/2
X \
-a/2
cos <р4 cos <p, ^ ]//c2 -
о
;2Б2 cos 9i cos <ps (R — iX),

11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы 511
где
1 я/2
/1 "^
! к Л2 ( — /са sin к '
о
я/2
л = \ |/х — 1У J ( -тг /саж 1 —? = \ sin и tg и /^ ( -тг ка sec
1 О
Эти интегралы можно подсчитать численно. Они конечны для всех
действительных значений ка.
Соответствующие выражения для функции углового распределения
/ ж эффективной ширины рассеяния Q могут быть представлены так:
A1.4.68)
Интенсивность рассеянной волны обращается в нуль, когда направле-
направление распространения падающей волны или направление распространения
раессяной находится в плоскости полосы (^ или <f>s равно ic/2); если же
направление распространения падающей волны составляет с полосой пря-
прямой угол (<Pi = 0), то эффективная ширина равна ie/cg2X/8 (R2 -f- X2).
Подобные (но значительно более трудные) вычисления были произве-
произведены для случая диска (см. в библиографии работы Левина и Швингера;
фактически вычисления были произведены для круглого отверстия в пло-
плоскости, но, по принципу Бабине, эти задачи равносильны).
Рассеяние коротких волн. В качестве последнего примера использо-
использования метода интегральных уравнений мы рассмотрим рассеяние плоской
волны на жесткой сфере в предельном случае, когда длина волны 2-iz/k
очень мала по сравнению с радиусом сферы а. Здесь удобнее всего вос-
воспользоваться формулой Грина для рассеянной волны ф8 с функцией Грина
для свободного пространства gh = (l/R)eikR
(г?) ^ gu. (г I rg) -gh{r\ rg) ±-о ф8 (rj|)] dA0,
где снова п0—вектор внешней нормали к поверхности рассеивателя.
Поскольку нормальная составляющая градиента полного решения •!»
должна обращаться в нуль на рассеивающей поверхности, нормальная
составляющая градиента ф8 должна там совпадать с составляющей гра-
градиента падающей плоской волны <]>4, взятой со знаком минус. Таким образом,
^]A*, (И.4.69)
где Ф = Фг + '^8 и ф4 —плоская волна Celki'T.
Мы знаем, что для очень коротких волн часть поверхности, на кото-
которой произведение п-к4 положительно (если поверхность всюду выпуклая)
находится в «тени», в то время как та часть, для которой п-к4 отрица-
отрицательно, «освещена» падающей волной. Под «тенью» мы понимаем область,
где ф6 почти полностью уничтожает ф4 как по величине, так и по градиен-
градиенту. В «освещенной» же части dtyjdn уничтожает dtyjbn, а фв на поверх-
поверхности приблизительно равно ф^. Поэтому наша рассеянная волна может
быть приближенно представлена в виде суммы интегралов по обеим частям

512 Гл. 11. Волновое уравнение
поверхности от произведений, составленных при помощи функции Грина
и падающей волны
A0, A1.4.70)
где значки / и S указывают, что интегрирование производится соответ-
соответственно по освещенной (illuminated) и по теневой (shadow) части.
Эти два интеграла ведут себя совершенно различно. Первый представ-
представляет «отраженную волну», рассмотренную на стр. 356; второй—это «тене-
образующая» волна, подавляющая падающую волну. Если бы второй
интеграл был взят по замкнутой поверхности, он в точности уничтожал
бы падающую волну; поскольку интегрирование производится лишь по
части поверхности, падающая волна уничтожается только позади предмета.
Так называемое преобразование Маджи значительно упрощает вычи-
вычисление интеграла для тенеобразующей волны. Заметим, что вектор
А = gh grad0 ф4 - ф4 grad0 gh,
рассматриваемый как функция г*, имеет равную нулю дивергенцию (за
исключением случая, когда г также находится на поверхности). Действи-
Действительно,
div A = gkV^t - ф4Т; gh = 4«ф< (г*) б (г - г°),
что равно нулю, пока точка г не лежит на поверхности. Поэтому А можно
рассматривать как ротор некоторого вектора В (см. стр. 59 тома I) и,
используя теорему Стокса (стр. 51 тома I), мы получаем
A1.4.71)
где контурный интеграл от В берется вдоль линии на поверхности, от-
отделяющей теневую часть от освещенной (назовем ее теневой линией). Пре-
Преобразование Маджи выражает В через gk и ty4. Это дает возможность заме-
заменить интеграл по поверхности эквивалентными линейными источниками,
расположенными вдоль теневой линии.
Однако фактически нам нет надобности вычислять вектор В; доста-
достаточно заметить тот очевидный факт, что он зависит только от функции
Грина и падающей волны и не зависит от формы поверхности рассеива-
теля (зависит только от формы теневой линии). Таким образом, мы пока-
показали, что тенеобразующая волна одинакова для всех поверхностей, имею-
имеющих одну и ту же теневую линию [по крайней мере в том прибли-
приближении, которое соответствует формуле A1.4.70)]. В частности, эта волна
будет такой же для непрозрачной пленки, край которой совпадает
с теневой линией первоначального рассеивателя.
Чтобы показать, как применяется этот прием, мы вернемся к сфере
радиуса а. Эквивалентной поверхностью, производящей такую же тене-
образующую волну, будет диск радиуса а, концентрический со сферой
и перпендикулярный к направлению распространения падающей волны
Таким образом, тенеобразующая волна обратна по знаку волне, излу-
излучаемой диском, колеблющимся с такой же фазой и амплитудой, что и у
падающей плоской волны. Вблизи диска эта волна создает вокруг его
края обычные френелевские диффракционные кольца; вдали от диска наблю-
наблюдается обычная фраунгоферова картина. Если мы найдем асимптотическое

11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы 513
выражение для фв, то мы сможем рассчитать случай диффракции Фраун-
гофера.
Итак, при вычислении второго интеграла в формуле A1.4.70) можно
интегрировать по поверхности диска в полярных координатах ср0, г0; ф4
равно Ceikz, а асимптотическая форма для gk имеет вид (eifer/r)e~tks'r°, где
ks— вектор, характеризуемый углами &, <р и направленный к точке наблю-
наблюдения. Для тенеобразующей волны получаем приближенное выражение
271 а
A + cos &) |^ { dcp0 ^ r0 e-ihro stn» cos (9о-ч>) dr0 =
о о
a
= у ikC A + COS &) ^ ^Jo (kr0 Sin &) Г0 dr0 =
0
1 •; 2^ 1 + COS» T ., . a4eihr
= -7Г- ika*C , . „ Л (ka sin &) — .
2 /ca sin & x v ' r
Величина в квадратных скобках равна единице при & = 0, т. е. прямо
позади диска, в центре тени; она убывает до нуля при возрастании & при-
приблизительно до значения, для которого sin & = 3,8/ка (этот угол мал, когда
\ка\ > 1), и для больших & остается малой. Этот член существенен только
непосредственно позади предмета (в чем нет ничего удивительного,
поскольку он образует тень).
С первым интегралом формулы A1.4.70), представляющим отражен-
отраженную волну, нельзя обращаться столь же бесцеремонно. Ввиду того что
в нем вместо знака минус фигурирует знак плюс, он не может быть
представлен контурным интегралом, и для коротких волн его приходится
вычислять методом перевала. Это вычисление очень похоже на проведен-
проведенное на стр. 500. Мы рассмотрим здесь только случай сферы. Пусть еди-
единичный вектор нормали к поверхности в точке (&0, <р0) по-прежнему обозна-
обозначается n0, kj = /caz является волновым вектором падающей волны, а век-
вектор ks = kar направлен к точке наблюдения. Тогда первый интеграл A1.4.70)
принимает вид
ia2C Г Г -г ¦ eihr аЮ dF eik>
4л j'uJ о г о 4тс да г '
0 я/2
где
2т. т.
F = \ d<p0 \ е»(к1—ks) • noa sin &0 d&0.
0 п/2
Седловая точка для &0 в интеграле F — это та точка на сфере, где вектор
п0 параллелен вектору—(к{ —ks), расположенному «между» kj и ks. Он
соответствует точке на сфере, в которой первичная волна зеркально
отражается в направлении ks. Поскольку вектор (k| —ks) имеет дли-
длину 2/csin(&/2) и направление его определяется углами (тс —&)/2, «p-j-711» мы
принимаем единичный вектор ns, характеризуемый этими углами, за поляр-
полярную ось для интегрирования по сфере и вместо &0, <р0 вводим соответст-
соответствующие углы и, v. Наш интеграл принимает вид
f=U»\ ema slnW2> cos" sin и du,
причем пределы интегрирования соответствуют тс/2 < &а <; тс и довольно
сложно выражаются для переменной и.

514 Гл. 11. Волновое уравнение
Так как мы рассчитываем найти асимптотическое выражение для F,
то мы будем интегрировать по и в комплексной плоскости и выберем кон-
контур интегрирования так, чтобы вблизи и — тг показатель экспоненты имел
постоянную фазу и достигал своего максимума при и = тс. Если это будет
сделано, то точное выражение пределов интегрирования по и и v не будет
иметь значения, за исключением случая, когда ans очень близко к теневой
линии, т. е. когда &-^0. Следовательно,
too
F~ -2я
т.
™ nie-Ziha aln (Ь/2)
sln W2) \ e~2ka sin (8/2)* dx =
/CO Sin (©/2) *
и
так что первый интеграл в A1.4.70) приближенно равен
и фаза отраженной волны отстает на величину 2ак sin (&/2), как того и
требует «геометрическая оптика».
В принятом приближении для значений ф8 на сфере асимптотическое
выражение для ф3 имеет вид
ф,~С/(»)^Г, •?"»<». A1.4.72)
где
при /ca —*¦ с». Амплитуда отраженной волны в этом приближении не зави-
зависит от ¦&. Тенеобразующая волна имеет острый пик в направлении ¦б' = 0;
в других направлениях она пренебрежимо мала.
Выражение для отраженной волны непригодно при ¦&—>0 и поэтому
формулу (ll.-i.64) применять нельзя. Чтобы найти Q, мы должны проин-
проинтегрировать | /12 по всем направлениям. Но поскольку отраженная часть
/ не зависит от &, мы можем получить соответствующую часть эффектив-
эффективного поперечного сечения, умножая квадрат абсолютной величины этой
части на 4тс. Таким образом, для отраженной мощности при единичной
интенсивности падающей волны мы получаем значение тса2. Интегрируя
|/|2 для тенеобразующей части, мы находим, что соответствующее эффек-
эффективное поперечное сечение также равно ita2. Следовательно, полное эф-
эффективное поперечное сечение рассеяния очень коротких волн равно 2тга2,
т. е. удвоенному геометрическому сечению сферы, как это уже было уста-
установлено на стр. 357 и 450. Половина этого сечения приходится на отра-
отраженную часть волны, а другая половина—на тенеобразующую часть.
Задачи к главе 11
11.1. Струна переменной линейной плотности р = ро[1-{-Ь (х)] г/см на-
натянута между неподвижными закреплениями с натяжением Т (координаты
закреплений х = 0 и х = I). Применяя метод возмущений гл. 9, найти при-
приближения первого порядка для формы струны и частот собственных коле-
колебаний.

Задачи 515
11.2. Полубесконечная однородная струна плотности р с натяжением
Т простирается от х = 0 до х = со. Сила трения R (dy/dt) дин/см оказы-
оказывает сопротивление поперечным колебаниям струны. Показать, что если
в точке ж = 0 приложена поперечная сила Foe-imf, то смещение имеет вид
у = -^- е - <-ахЮ ~ш, а2 = — ш2 — ш —
" рса р
Показать, пользуясь таблицей преобразований Лапласа (приведенной в кон-
конце этой главы), что если поперечная сила, приложенная в точке ж=0,
имеет характер единичного импульса при t = 0, то смещение струны равно
11.3. Полость, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда, внут-
внутренними гранями которого служат плоскости х = 0, х = а, у = 0, у — Ь,
z = 0, z = I, является акустическим резонатором и наполнена воздухом при
нормальном давлении и температуре. Полоса стенки z=0, заключенная
между ж = ж0 —Д/2 и ж=жо + Д/2, колеблется со скоростью vz = Ue^ia>t;
остальная часть границы неподвижна. Показать, что средний акустический
импеданс на поверхности возбуждающей аолосы, т. е. отношение среднего
давления к скорости полосы, равен
С 2, SI11 ( ~К~ ) C0S ( ~
Л 8а2к -^ V. 2й J \. a
«tg(fc/) «¦ ^J
где к = ш/с, г„ = 1 — ( — ) , причем предполагается, что ш < тгс/а. Найти
предельное значение Z при ш —> 0. Показать, что импеданс ведет себя так,
как если бы полоса была упругой и была нагружена массой, и найти
предельные значения эффективной массы и упругости полосы.
11.4. Прямоугольная полубесконечная труба с неподвижными стенка-
стенками ж = 0, х = а, у = 0, у = Ь простирается отг = 0дог= — со. Акустический
импеданс конца z = 0, Z(x)= [г'шрф/(бф/бг)];=о, зависит только от х [см.
рассуждения, предшествующие A1.2.14)]. Показать, что интегральное
уравнение для потенциала скоростей внутри трубы, вдоль которой от
— со распространяется плоская чисто гармоническая волна, имеет вид
о
где ш — кс, А — амплитуда падающей волны. Функция Грина имеет вид
гйг + > — cos ( I cos I ) ех"г, z < 0,
s Zj аъп К a J \ a J ' ^'
п=1
где y-n = (тси/аJ — /с2 (если предполагается, что ш < тсс/a). Показать, что в пер-
первом приближении по малой величине tq (?) = pc/Z (a?) волновая функция
при z = 0 имеет вид
ri=l
Показать, что отраженная волна при z<0 имеет форму А{\ — T)e~ikl,
где Т можно назвать коэффициентом поглощения (если Т действителен.

S16 Гл. 11. Волновое уравнение
то он равен доле первичной энергии, поглощенной преградой при z = 0).
Подсчитать Т с точностью до малых второго порядка по ч\. Действителен
пи Т при действительном -»]? Если нет, то почему?
11.5. Установить вариационный принцип для задачи 11.4. Показать,
что если функция сравнения <рA|) выбрана так, что величина
, 0 I oS, 0) ¦»; (I
стационарна, то <j> пропорционально ф (ж, 0) (подсчитать коэффициент про-
пропорциональности) и стационарное значение [Т] равно коэффициенту погло-
поглощения из предыдущей задачи.
11.6. Импеданс преграды при z = 0 из задач 11.4 и 11.5 равен Юре
при 0<ж<а/2 и со при а/2<ж<а. Вычислить приближение первого
порядка для ф(ж, 0) и начертить его график при /b = iu|/2a. Используя фор-
формулы задачи 11.4, вычислить Т при том же значении к с точностью до
величин второго порядка. Вычислить Т по формуле задачи 11.5, при-
приняв «р = 1, и сравнить полученные результаты.
11.7. Круглая мембрана радиуса а с поверхностной плотностью о и
натяжением Т неподвижно закреплена вдоль своего края. Мембрана гер-
герметически закрывает одну сторону сосуда, наполненного воздухом (пусть,
например, это диафрагма литавры). Скорость звука в воздухе много боль-
больше, чем скорость волн на мембране, и, значит, можно считать, что изме-
изменение давления воздуха в сосуде пропорционально среднему смещению
мембраны от состояния равновесия, р = — pc2irca27j/V, где р — плотность воз-
воздуха, со—скорость звука в воздухе, V — объем сосуда и -ц—среднее сме-
смещение мембраны. Доказать, что уравнение колебаний мембраны имеет вид
а 2-п
_„ 1 д\ pel С Г , ,
о о
где с2=Т/а. Доказать, что собственные частоты свободных колебаний си-
системы мембрана — сосуд являются корнями уравнения
если колебания не зависят от <р, и уравнения Jm (wa/c) = 0, если колебания
зависят от угла.
11.8. Круглая мембрана радиуса а с плотностью о и натяжением Т,
закрепленная по краю, приведена в движение импульсом давления o(t),
равномерно распределенным по одной стороне. Доказать, что, пренебрегая
воздействием на мембрану воздуха, можно записать последующие колебания
мембраны в виде
Zj (Ы^МРт) V « У'
где рт — m-VL корень уравнения /0 (тсрт) = 0.

Задачи 517
11.9. Как скажется на собственных частотах колебаний круглой мем-
мембраны небольшой дополнительный груз, прикрепленный к ее центру?
11.10. Цилиндрическая волна Ae~imtHf\kR) (кс = w) испускается линией
у' =0, г' = Ь, где R2 = г2 + б2 — 2rb cos ср. Эта волна рассеивается цилиндром
радиуса а (а < 6), ось которого проходит через точку г = 0. Показать, что
если краевое условие требует, чтобы потенциал скоростей равнялся нулю
при г= а, то на больших расстояниях волна описывается формулой
со
Ч~А /A; eW-r-ct) ^ B - 60J cos (mcp) *-"*-«/«/„, (kb) ЦЩ
m=0 *"
где к = ш/с. Какова формула для углового распределения интенсивности?
11.11. Цилиндр радиуса а колеблется так, что радиальная скорость
на поверхности равна C/coscpe~ll°'. Вычислить потенциал скоростей окру-
окружающего цилиндр воздуха, асимптотическое выражение для интенсивности
и полную излучаемую единицей длины цилиндра мощность. Показать,
что полная сила реакции, действующая на цилиндр вследствие его движе-
движения в воздухе, выражается формулой
&о ТС«2Р ие~ш, ка С 1,
с, {ка) е _ | ^а2рсие-Ш} fca » 1.
11.12. Получить формулы, подобные A1.3.76), для рассеяния и погло-
поглощения звука длинным цилиндром радиуса а, покрытым таким звукопогло-
звукопоглощающим материалом, что отношение давления к радиальной скорости при
г — а равно — 2рс. Начертить график эффективных поперечных сечений
рассеяния и поглощения как функций от ка в интервале 0<Ла<2. Ка»
ково угловое распределение рассеянной волны при ка = 2?
11.13. Вычислить постоянные разделения Ье2 и йе4 и ряды Фурье для
Se2 (h, cos &) и Se^ (h, cos &) с точностью до малых четвертого порядка по
h при помощи метода стр. 386, а также при помощи соотношений A1.2.87),
A1.2.88) и сравнить результаты.
11.14. Гибкая мембрана с поверхностной плотностью о и натяжением
Т жестко закреплена вдоль эллиптической границы с большой осью
(а/2) ch [i0 и малой осью (а/2) sh (v,. На одну сторону мембраны действует
периодически меняющееся избыточное давление Рое~ш, амплитуда кото-
которого одинакова во всех точках мембраны. Показать, что смещение мембра-
мембраны <1> в точке (ц, &) (эллиптические координаты) описывается формулой
= P0e (! _ V 2^(h,2m) h
где h = aw/2c и с2 = Т/о. Используя A1.2.85) и A1.2.88), вычислить ампли-
амплитуду Л как функцию от |л для & = 0, & = тс/2 при Л=1, 2 и начертить
график. (Использовать таблицу XVI Приложения.)
11.15. Выразить, как указано на стр. 391, функцию Sex(h, cos6) для
больших h через производные по 6 от тета-функций &2 или &4. Исходя из
этого результата, вычислить частоту собственного колебания эллиптической
мембраны с большим эксцентриситетом, соответствующего Se^.

518
Гл. 11. Волновое уравнение
11.16. Поперечное сечение пустотелой трубы имеет форму эллипса с
большой осью А и малой осью В. Изучить распространение вдоль трубы
акустических волн типов, соответствующих функциям Se0, Sox и Sex.
Вычислить критические частоты для этих типов волн (см. стр. 413) как
функции от В в интервале 0 < В < А, считая А постоянной, и начертить
в подходящем масштабе график.
11.17. Электромагнитная волна с длиной волны 2п/к падает на длинную
проводящую полосу ширины а = А/к. Направление распространения волны
перпендикулярно оси полосы и образует угол в 30° с ее плоскостью. Вы-
Вычислить угловое распределение рассеянной волны как функцию угла рас-
рассеяния для каждого направления поляризации волны и начертить график.
11.18. Вычислить активную и реактивную составляющие акустическо-
акустического импеданса излучения колеблющейся полосы ширины а [см. A1.2.97)]
как функцию от h = ак/2 в интервале 0 < h < 3 и начертить график. Значения
B°(h, m) таковы:
h 2=
то=1
m=3
1
0
1
,0981
,0103
1,
0.
2
2051
0202
1,
0,
3
3215
0299
1,
0.
4
4480
0394
1
0
5
,5850
,0486
1
0
7
,8929
,0668
2,2504
0,0855
ской
A1.2.
график
11.19. Вычислить активную и реактивную составляющие электриче-
проводимости полосы ширины а, проводящей переменный ток [см.
99)], как функции от h^=ak/2 в интервале 0 </г<3 и начертить
Значения
таковы:
m=0
m=2
m=4
1
0
0
l
,1393
,0596
,0003
1
0
0
2
,3090
,1128
,0013
1
1
0
3
,5117
,1594
,0029
1
0
0
4
,7488
,1998
,0050
2
0
0
5
,0219
,2349
,0078
2,
0,
0,
7
6818
2938
0150
3
0
0
9
,5061
,3428
,0243
11.20. Звуковая волна с длиной волны 2-к/к и амплитудой давления Ро па-
падает на длинную жесткую полосу ширины а. Направление распространения
волны перпендикулярно оси полосы и образует угол и с ее плоскостью.
Показать, что полная сила, с которой звуковая волна воздействует на
единицу длины полосы, описывается выражением
F = lPoiza 2ти
( - 1)
ВЧ (h, 2m+i)elu
S°2m,l ih>
n=0
Найти выражение для F, пригодное для малых значений h = ak/2 с точ-
точностью до малых второго порядка по h. Вычислить амплитуду и фазу
F/aP для и = 90° при 0</г<3. Использовать таблицы в конце книги и зна-
значения, приведенные в задаче 11.18.
11.21. Обе стороны бесконечной мембраны с поверхностной плотно-
плотностью о и натяжением Т соприкасаются со средой бесконечной протя-

Задачи
519
женности, характеризуемой плотностью р и скоростью звука с0. Показать,
поперечных колебаний мембраны
что уравнение чисто гармонических
частоты ш/2ти имеет вид
27С
(х, у) + KU (х,
-n (х0, у0)
где К\ = (со/соJ, Кт = (ш/стJ = аш2/Т, -ц (х, у) — поперечное смещение
точки (ж, у) мембраны, R2 = (x—хоJ-\-(у — у0J и / (х, у) е~ш — плотность
распределения поперечной вынуждающей силы. Показать, что вдоль мем-
мембраны могут распространяться свободные плоские волны вида eikri
чем величина к волнового вектора к удовлетворяет уравнению
iu"
при-
приВыяснить физическое значение двух типов волн, одного с А;, близким к Ко,
и второго с к, близким к Кт (если р/с мало). Показать, что при с0 < ст
волны последнего типа затухают, но при с0 > ст не затухают волны ника-
никакого типа. Каково физическое объяснение этого явления?
11.22. Мембрана задачи 11.21 приводится в движение силой о (х — ж1)е"'и",
приложенной вдоль линии х = хг. Показать, что смещения точек мембраны
описываются функцией
= ^=1_ Г ещ^ Г
J
dk.
Найти приближенные формулы для t\ при с0
лагая в обоих случаях, что р/с С 1.
ст и при с0 < ст, предпо-
предпо11.23. В бесконечной трубе с круглым поперечным сечением радиуса а
и осью z при z = 0 вставлена жесткая диафрагма с круглым отверстием
радиуса Ь. Показать, что если на диафрагму падает плоская волна Aeihz,
распространяющаяся из — со, то потенциал скоростей звуковых волн
в трубе имеет вид
<1> (г, <р, z) =
2А cos (ftz) —
0, 0)
(r0) Gft (г,
0)
0,
0.
Здесь и0 — амплитуда скорости в круглом отверстии, G* — функция Грина
для области z > 0, нормальная производная которой при г = а и z = О
равна нулю, a G~ — соответствующая функция Грина для области z < 0.
Найти разложение функций G по функциям Бесселя ~ и показать, что инте-
интегральное уравнение для м0 имеет вид
ь
причем при к < т:о(о1/а
4/0 (тсаопг/а)

520 Гл. 11. Волновое уравнение
Показать, что доля падающей волны, проходящая через отверстие в сто-
сторону + со, равна | Q/na2k |2, причем \ \ uordyo rodro = AQ. Показать, что, при-
принимая м0 = AQ/2-nb2 |/l — (rjbf, полагая г = 0 в G и используя соотношение
я/2
I Jo (z sin w) sin w dw = /„ (z),
о
можно получить приближенное решение
11.24. Показать, что для решения интегрального уравнения задачи
11.23 может быть использован вариационный принцип
Ь -.
Jcp(ro)r0dr0
9
| r0) cp (r0)r0dr0
Взяв функцию сравнения в виде ср = 1/|/ — (z"/^J, подсчитать (^ и сравнить
с результатом задачи 11.23.
11.25. Прямоугольная труба бесконечной протяженности вдоль оси z
имеет в направлении оси у постоянную ширину Ь, а ее ширина в направ-
направлении оси х при z = 0 увеличивается скачком от а_ до а+ (другими сло-
словами, труба ограничена поверхностями у~± Ь/2, х = ± aj2 при z < 0,
х = ± aj2 при z > 0, a+ > a_, и частью плоскости z — 0 между | ж | = а_/2
и |ж| = а+/2). Предполагая, что скорость в плоскости z = 0 (|ж| < aj2,
|г/|<6/2) приближенно равна Vo [1 — Bж/а_J]~1/3, рассчитать отраженную
и проходящую волны, возникающие, когда вдоль трубы от z — — со рас-
распространяется плоская волна.
11.26. Методом задачи 11.22 решить задачу об акустическом излуче-
излучении из круглой трубы, вделанной в плоскую стену, уже рассмотренную
в формуле A1.3.34) и следующих. Пусть труба имеет радиус а, ее ось
совпадает с отрицательной полуосью z<0, фланец z= 0, г > а жесткий и об-
область % > 0 совершенно свободна. Волна с амплитудой А распространяется из
z = — оо и частично излучается из открытого конца трубы, а частично отра-
отражается обратно к z=—со. Показать, что для области z>0 соответ-
соответствующая функция Грина имеет вид
где К = \/к2 — Х2= i\/ X2— к2. Предполагая, что z-составляющая скорости
воздуха в отверстии z = 0 равна vz = U[l — (r/aJ]~t/3, найти U, приравни-
приравнивая значения ф при г = 0, вычисленные с помощью функций Грина для
z > 0 и для z < 0 при z —> 0. Использовать формулу
(94 /" 9 -\
— ) Г [ — 1
ЗУ 1 V 3 у
» ^1^шш;ВшшшВ-шиш= ^ /2/3 (z) ~ ^ _ г 5 л . Z->0,
5 Bz2K

Задачи 521
чтобы показать, что U при к < тсао1/а приближенно равно
J СО
U ~ 2АгкЩг) \ i + 23 iaaAT E/3) [ J2/s (ка) Ы2л +
> L J (ав) к
где К„ = (irao?l/aJ — к2. Выразить через U/A полную мощность, излучаемую-
из открытого конца трубы при падающей волне единичной интенсивности.
11.27. Сфера радиуса а и массы М совершает колебания внутри
полой сферы с внутренним радиусом Ь = 2а. В положении равновесия
центры сфер совпадают. Вычислить механический импеданс воздуха, нахо-
находящегося между сферами, для колеблющейся сферы.. Каково будет дви-
движение внутренней сферы, если ей при t = 0 сообщен начальный импульс?
11.28. Акустический импеданс поверхности сферы радиуса а равен
Z = 2рс (активный и не зависящий от ш). Вычислить эффективные попе-
поперечные сечения рассеяния и поглощения [см. A1.3.76)] сферы как функ-
функции ка. Вычислить отношение полной силы, действующей на сферу,
к давлению падающей волны как функцию от ка и начертить график.
11.29. Установить вариационный принцип для резонатора Гольмгольца,
рассмотренного в формуле A1.3.78) и следующих.
11.30. Сравнить с точностью до величин третьего норядка малости
по h = ka/2 результаты вычислений по формулам A1.2.103) и A1.4.68).
11.31. Диск радиуса а, так расположенный в плоскости х, у, что его-
центр совпадает с началом координат, рассеивает плоскую звуковую волну.
Направление распространения волны лежит в илоскости x,z и составляет
угол Ьг с осью z. Рассеянная волна измеряется на некотором расстоянии
от диска в точке, направление на которую образует угол Ьь с осью z,
причем плоскость, проходящая через это направление и ось z, образует
угол 9S с плоскостью х, у. Применяя формулу A1.4.61), в которой
оо со
Sh = * 2 S™ C°S И (T - To)] 5 Jm (ХГ) Jm M 7^f=^ '
m=0 0
подсчитать рассеяние. В качестве функций сравнения использовать
9+ — ?" = 1 + ar sin &t cos <pi; cp* — <jT = 1 + ar sin &s cos (9 — tps). Варьируя пара-
параметр a, получить наилучшие выражения для у и <р. Показать, что для
получения исправленной формы функции ty при помощи интеграла A1.4.57)
лучше всего взять
11.32. Падающая плоская волна Celki'r рассеивается телом с показа-
показателем преломления п по отношению к окружающему пространству. Дока-
Доказать, что вариационный принцип для функции углового распре-

522 Гл. 11. Волновое уравнение
деления / Aц | ks) имеет вид
(wa-l)fe25 !j (r0) eikfro dv0 $ <((r)e~iks'r dv
<P @ dw-(n«-l) fc2 J <Z0 J ? (r) gft (r 1 r0) cp (r0)
где все интегралы берутся по объему рассеивающего тела и gh = eikR/R
{./? = |r —r0 |). Вычислить функцию /, когда рассеивающее тело имеет
форму шара радиуса а и когда в качестве функций сравнения взяты
cp = elki"rn (р — е~гке'т. Использовать разложения gh и eik-r по сфериче-
сферическим гармоникам.
Цилиндрические функции Бесселя
[См. формулу E.3.63) и таблицу из гл. 10.]
N0(z)~ — [In z —0,11593];
(Z) = Jm (Z) + iNm (Z)
Jl"^
Амплитуды и фазовые углы (m = 0, 1, 2, . . .) (см. табл. XIV
Приложения).
Jm (*) = Cm (Z) Sin [0m (*)], ^^- = - C^ (Z) Sin [8^ (Z)].
^m (*) - - ^m (Z) COS [6m (Z)], ^%^ = C'm (Z) COS [.^ (Z)]-
tg [C (z)] = tg [om (z)] tg [am (z)] ctg [pm B)].
. r , N1 Л COS pm in^
Л" J = |i = <^m (z) C^ (z) sin [8m (z) - b'm (z)].
Асимптотические значения.
~ztgd;n, tgpm~ztg8
При z<<2m-fl имеем Co~ j/ 1 + ^- In z ) , C~— ,

Цилиндрические функции Бесселя
523
При
С'т = C°rk.c* 0,8217т-2/з + 0,0895»г-4/з + ... ,
8m = 8^~-i«-
При т > 1, |z —
z — т имеем
tg am = *g С <=* - 0,9185т2/з + 0,2000 + .. . ,
tg Pm = tg Pm csi 0,9185т2/з + 0,2000 + ... .
с точностью до членов первого порядка во
При z<m, jp = l/l — ( ~ Y > 0,6 /иг1'3
имеем
При z>m, 9=y (^J— 1> 0,6т-
х/з имеем
tg pm ~ mq tg 8m,
Корни. Ртп — п-й корень уравнения /m(iuP) = O.
^+0,5907т1/з, m>l.
m=0
m=l
m=2
m=3
/ra=4
n=l
0,7655
1,2197
1,6348
2,0308
2,4153
1,7571
2,2331
2,6792
3,1070
3,5221
2,7546
3,2383
3,6988
4,1428
4,5748
3,7535
4,2411
4,7097
5,1639
5,6073
4,7527
5,2429
5,7168
6,1781
6,6294
I, n > in.

524
Гл. 11. Волновое уравнение
атп — п-ш корень уравнения "У =0-
"тп
т=0
то=1
т=2
то=3
т=4
0,0000
0,5861
0,9722
1,3373
1,6926
п=2
1,2197
1,6970
2,1346
2,5513
2,9547
п=3
2,2331
2,7140
3,1734
3,6115
4,0368
эт=4
3,2383
3,7261
4,1923
4,6428
5,0815
тг=5
4,2411
4,7312
5,2036
5,6624
6,1103
, т
у»г--^)] , п > 1,
т.
Функции Вебера
[Параболические волновые функции. См. формулы A1.2.63) и следующие.)
Dm (z) = 2/2
D (z\ 2т/2с~г2/4
С„И-2
^
?
? Re z > 0.
2z
г ( —.
p^ 1 1
где t/ и F — вырожденные гипергеометрические функции, определенные
в таблицах гл. 5. Функции Dm(z), Dm( — z$ и .D^^iz) удовлетворяют
уравнению
где
- z) + Т^) e-t^+MD^ (iz),
- ^m (z) + mDm_x (z) = 0,
^ (z) + 4 ^ra (z) - mDm_x (Z) = 0,
^- Дт (z) - 1 ZjDm (z) + Дт+1 (z) = 0,
(u)du =
m) cos Г1 m« Y Re m > 0,
X
?
п=0

Функции Вебера 525
Для целых т
со со
2 Hi Kfflrl
1 1
?>0 (z) = e~ * z2 , D_x (z) = б*
Уравнение для одного из множителей при разделении переменных
а уравнении Гельмгольца в параболических координатах имеет вид
я его решениями служат Dm(x\f2i) и D_m_l[x'\f—2i). Уравнение для
второго множителя имеет вид
¦а решениями служат Dm [х ]/ — 2i) и D_m_1{x\r2i).
Эти решения связаны между собою следующими соотношениями:
' ~i
- х ГЦ + ^ с »W)D_n^ (- х V^2i) =
вронскиан A [Dm (x УШ\ D_m_Y (x \Г^Щ = Г?п//27 .
Для внешних задач т целое и тогда
(j^)Dm{z УЩ
Теоремы сложения.
-2i x
4Q2 = (к2 + у2 + х2 + 2/2J - 4 (uv + ж?/J = (м2 — vz - х2 + у2J + 4 (их - vyf
scc 9 2] -^р Dn (X У - 2i) Д, (,. У 2fJ.
71=0

526
Гл. 11. Волновое уравнение
Для внутренних задач т комплексное, и мы применяем решения
5 1 1
Re |e4
где
1 .2
и?) =
3
2*
l
r(l
1
-Tta
г ix(a) + yialn2 / -.ЛТГЛТ
Re [е 4 /) 1 1. (жу2г)],
где
Эти функции удовлетворяют уравнению
Их асимптотические разложения при действительных ж и а и приз
х —> со имеют вид
Яе (а, х) ~
(а, ж) ~
D)
2Г 4 1 .
cos
уж2 + уа1пж —-g-it —o(a)J ,
cos
ГуЖ2 + -2-а lnx —-g-it —t (a) J .
Функции Матье
(См. стр. 52^ тома I и 383, а также табл. XVI, XVII Приложения.)/
Эти функции являются решениями уравнения Матье

Функции Матъе 527
ИЛИ
при z = cos ср.
Собственные функции. Периодические по ср решения, пригодные дл»
действительных ср.
Решения, четные относительно ср = 0; b = be2m или be2m+l.
Seim(h, cos ср) = 2 В2п cos B/wp), 2 ЯЯп = 1,
0
«S<Wi (/г, cos cp) = 2 52n+1 cos [Bn + 1) cp], 2 Я2I+1 = 1.
Если необходимо подчеркнуть, что это коэффициенты данных (четных)
рядов, то их обозначают Веп (h, m).
\ {$ет\2 ^Т = Mm — нормирующая постоянная.
Sem (/г, 1) = 1, [dSeJdy\9=o = 0, Sem @, cos cp) = cos (mcp),
Se2m (h, 0) - I (- 1)"B2n, Se'2m (h, 0) = ^2m+1 (h, 0) = 0
Решения, нечетные относительно cp = 0; b = &o2m или &o2
^o2m (/*, cos cp) = 2 B2n sin Bncp), 2 Bn) B2n = 1,
i
^2т+1(Л, coscp)= 2 Б2п+18
n=0 n
Если необходимо подчеркнуть, что это коэффициенты данных (нечетных)
рядов, то их обозначают В„ (h, m).
2,-п.
д [^°т]2 ^9 ^ -^т ~ нормирующая постоянная,
о
Лт(/г, 1) = 0, [^]9=0=1' Jom@, cosy) = sin(/и?),
So'2m (h, 0) = 2 ( - If BrcM2n) So2m {h, 0) = 0,
n
^o2m+i (^, 0) = 2 (- l)n52n+1, JoSm+i (h, 0) = 0.
Соответствующие радиальные решения при ц = г<р и при значениях В
и Ь, соответствующих угловым функциям Se, So.
Четные функции:
Je2m(h, chP)= / | ic ^ (-
п=0

;>28 Гл. 11. Волновое уравнение
/т
Setm (A, ch p.) = ^(д.О) |/ у те Zj 58.Лп (A sh p) =
Sp lh 0\ "°!nH"' ШП — ce iu 0\ V у
п=0
сй г cos /г ch р. - -тг тс ( 2т + тг ) •
/е2т+1 (A, ch р) = |/| « 23 (- 1Гт В2п^ /2n+1 (/I ch u) =
71=0
Se'2m+l(h,0)
4^
n=0
=C
n=0
c^ r cos /г ch fi —7Г тс ( 1m + -^- )
fc ch ц
Значения функций и производных при [х = 0:
Нечетные функции:
Joim (/г, ch p.) = j/i «th р. ^ (-1)""2nBin J.ln (A ch P) =
гг=1
So,m (A, ch p.) =
n=l
n=l

Функции Матъе 529
n=0
. /"яГ
71=0
n=0
где штрих в Se' и Jo' означает дифференцирование по <р-
Значения функций и производных при р = 0: Jom(h, l) = 0,
Г dJo.2m
L
2So'2m(h,0)'
Г Moznuil —X
L ^ J 2
—Xh( IV I.
L ^ J^=0 2 'M l; К 2 Л')
Вторые решения для тех же значений Ъ. Второе решение для угло-
иых функций можно получить, подставляя (A=i"y n последующие фор-
формулы, пели сходимость ряда это допускает.
Ne2m (h, ch ?) = j/1 TC ^ (-1ГтЯ2„N2n {h ch p) =
n=0
CO
у « / До) 2 (-1 Г"'" ^«Л-п A Ле^) /„ (| he-^ ~
~ sin Г/г clip — —- тс( 2mt^- ) [ .
-i« 2 (-
и=0
= i /12 (-iriiw
и=0
—ь*" ] Jx I hc^~ ) I ^n-j —_ sin
Вронскиан Д (Jem, Nem) = 1.
НрОИЗВОДНаЯ при a = U ¦ =-y rj—
L "I1 J |i=0 Jem (ft,

530 Гл. 11. Волновое уравнение
Значения при р. = 0:
со
Ne2m(h, 1) = -1 / f ^ (-1Гт/„(у h)Nn (j
п=0
оо
n=0
[CO
-Vo,m (A, ch p.) = j/1 TC th p 2 (- l)"-m 2nBinN2n (h ch p) =
n=0
Vo2irwl (Л, ch(i) = |/i ic thp ^ (-l)""m Bn + 1) 52n+1iV2n+1 (Й chp) =
=(/утс / Б
n=-0
o^ . sin I /г ch w —s-« Г 2m + -^- )
Вронскиан A(/orn, Wom) = l.
Значение при ,л = 0: Nom(h, 1)= - l/ f^
Производные при ц = 0:
)
71=1
n=0

Сферические функции Бесселя 531
Разложения в ряды [см. A1.2.93)].
со
ШЯ<" (kR) = Am Г ^ —V" Sem (A, cos ft0) Sem (A, cos ft) X
| Jem(h, ch p.o) Яет (A, chfi), p. > p.
1 Jem(h> chp.)#em(A, ch^), p. < fi,,,
oo
+ 2 -?rS°™(h' сов»0»т(Л, сов ft) x
m=l
Jom (A, ch po) Hom (A, ch p) |, p > fx,, -i
X 1 Tom (A, ch p)ЯОгп (A, chprt) J , p < p()) J
где
/?2 = f i- a Y [ch2 p + ch2 p0 — sin2 & — sin2 &0 —
— 2 ch p ch fi0 cos & cos &0 — 2 sh p. sh Pq sin & sin ft0], h = ^ a/c;
ехр [г'А (ch p cos ft cos к + sh p sin & sin к)] =
[л
Sem(h, cos к)Sem(A, cos&)/em(A, chp) +
1 ~l
-1 So (h, cosu)Som(h, cos&)/om (A, chp)
Амплитуды и фазовые углы [см. A1.2.100)].
Jem (A, 1) = Сет sin С, ЛЧ„ (А, 1) = - С cos С, Яет (А, 1) = - iCei8^,
/е^ (А, 1) = 0, Ne'm (А, 1) = 1//ет (А, 1), Яе^ (А, 1) = i/Jem (A, 1),
/от (А, 1) = 0, Nom (А, 1) = - i/Jo'n (А, 1), Яот (А, 1) = - i/Jo'm (A, 1),
/о^ (А, 1) = — Cm sin С. №'т (h, 1) = Cm cos С, Но'т (А, 1) = гСте10™,
где штрих означает дифференцирование по \i и
Яет = /ет + i/V ет, Яот = /от + iWom.
Сферические функции Бесселя
(См. стр. 433 и следующие, а также табл. XII и XV Приложения.)
~ — cos \ z — -^ъ(п-\-1) 1 , п —
2^СО Z L ^ J
целое.
~ — sin z — — тг (п +
z-кю z L ^
/;т> (z) == /n (z) + inn (z) c^ — i-n~leiz, A_n (z) = i (— I)" An_x (z).
г->со
/ n B) «„_! B) - /„_! (Z) Яп (Z) = A (/n, П„ ) = -i- ,

532 Гл. 11. Волновое уравнение
/о (z) = т sin z, п0 (z) = — — cos z, h0 (z) = —±- eiz,
. sin; cos г . . cos г sin г , . . z-\-i
/(z)^(Z)= «B)=
Если /„ (z) — некоторая линейная комбинация /n (z) и пп (z) с коэф-
коэффициентами, не зависящими от п и z, то имеем:
= 1 z3 [/- (z) - /n_x (z) /n+1 (z)],
/n M gn (N O» da = "^fEpT [P/n («») gn-1 (N - «/n-1 M gn (P«)],
где gm (z) — другая линейная комбинация /m(z) и nm(z).
Разложения в ряды.
n=0
I locF«o;ibKy h0 (kR) = ^ ei/iR (i?2 = r2 + r% - 2rr0 cos ft), то
eihR
Bл + 1) Pn (cos ft) /„ (ftr) hn (kr0), r0 > г > 0.
Устремляя г0 к бесконечности и используя асимптотическую формулу
для hnttm(kr0), получаем
*'"¦ cos &
= TbW 2 С2" + 2т + !) ГГ« (COS &) /n»m (И

Сферические функции Бесселя 533
Определенные интегралы.
1
/п (*) = гИ е"
-1
e'at /
О *
2„+1г/ +_3_
п-\-1 — т I 2ге + 3
Ь2
2 ' 2 | 2
е" cos»cos" Jm (z sin & sin к) P% (cos и) sin и da = 2in"M P™ (cos &) /„ (z),
Другие интегралы можно получить, выражая /п через / i и применяя
затем формулы стр. 303 и следующих.
Амплитуды и фазовые углы.
1п (z) = Dn sin &„, пп (z) = - Dn cos 8n, /in (z) = - Wn (z) в^г>,
?=-D'n sin &;,
| ^ (z/n) = - En sin sn, | J^ BЛ„) = i?ne»»,
D0{z)=-, oo(z) = z, ?r0(z)=T, eo(z) = z—2-я,
D6 (z) = Z», (z), 8o (z) = 8, (z), sin (on - C) =
Асимптотические значения.
Прп z»«fz»1: Dn(z)~^~D'n(z),
1 1
on(z)~z — уйи, o4(z)~z—
tgotn~ztg[z—утс(ге+1
При z <C | 2/г — 11:
Г1 1-1-3-5 ... Bre—1)

534
Гл. 11. Волновое уравнение
~l+2«; V~-=±!dn, п > 0;
tgan'~-#i, tgpn'~(n + l); En~(j?)Dn4 n > 0.
Корни. ptn—n-й корень уравнения /, (ЦЗ) = 0.
1=0
1=1
1=2
1=3
/=4
71=1
1,0000
1,4303
1,8346
2,2243
2,6046
71=2
2,0000
2,4590
2,8950
3,3159
3,7258
71=3
3,0000
3,4709
3,9226
4,3602
4,7873
п=4
4,0000
4,4775
4,9385
5,3870
5,8255
тг=5
5,0000
5,4816
5,9489
6,4050
6,8518
a,n—п-й корень уравнения [dj\ (тгд)/йа] = 0.
1=0
1=1
1=2
1=3
/=4
и=1
0
0,6626
1,0638
1,4369
1,7974
п=2
1,4303
1,8909
2,3205
2,7323
3,1323
71=3
2,4590
2,9303
3,3785
3,8111
4,2321
71=4
3,4709
3,9485
4,4074
4,8525
5,2869
71=5
4,4775
4,9591
5,4250
5,8786
6,3224
-п-а корень уравнения (tZ/rfy) [тсу/,[(тсу)] = 0.
1=0
1=1
1=2
1=Ъ
1=Ь
71=1
0,5000
0,8734
1,2319
1,5831
1,9296
71=2
1,5000
1,9470
2,3692
2,7762
3,1728
71=3
2,5000
2,9656
3,4101
3,8400
4,2591
71=4
3,5000
3,9744
4,4311
4,8745
5,3076
71=5
4,5000
4,9796
5.4440
5,8965
6,3393
Сфероидальные функции
(См. стр. 466 и следующие.)
Угловые функции. Функция
dnT™ (z)
(штрих означает, что при четном I — т в сумму входят только члены
с четными п, а при нечетном I — т только с нечетными п) является

Сферические функции Бесселя 535
решением уравнения
которое при различных допустимых значениях постоянной разделения
Aml (Z = m, m+1, ли + 2, ...), где Лт1 < Ami ,+1, конечно и непрерывно
-в промежутке — 1<z<1. Мы требуем, чтобы при z—*0
1
—-m
(A, z) ~ A^Йй = TYLm A),
так что
у'(п+2тУ , f (f+m)l
п
Функции 6" образуют ортогональную систему собственных функций. Норми-
Нормирующая постоянная равна
1
\ \ Sml j2 dz = ^' К (Л I m, l)
— 1 п.
•Значения для отдельных значений z и А:
Лт« (Л, 0) = 2 ( - 1)" 2"(иI " d^ l~m~четное.
п=0
= ? (-1)" 1'3-5-2i2;)t2B+1Un.1, /-m-нечетное.
n=0
Если Л -* 0, то Sml (h, z) ~ PT (z), Лт1 ~ / (/ + 1).
Радиальные функции. Решения первого рода, конечные при z= ± 1-
Здесь d — те же коэффициенты, что и в разложениях функций Sml (h, z), и
l
|Srm (h, 0) при / = iB,
M- ^'^ Bm+2)Bm+3) (f+nt)l Г^ „ ,, .
; ~ di (Л | mi) B/i)m+i m! (l — m)\ I dz Om' ^ ' ;
при l = m+l, m-j-3, ...,
причем /m(/iz) —сферическая функция Бесселя первого рода.
Решения второго рода:
2— 1 Дт/2 „' .n+m , (n_)_2m)! , ... ,. .. .
^r->) ^j г п\ dn(h\ml)nntm(hz)~
п
А (/е, ne) = /emI Л- neml - ne
1 Г 1 П
-г— sin /iz — у тг (Z -f 1) , Az —» оо v
Л- neml - neml ± jem = h(J_l) .

536 Гл. 11. Волновое уравнение
Решения третьего рода:
heml {h, z) = jeml (h, z) + ineml (h, z) ~ -^ eihz, hz~> со,
heol (h, ch P) = il [/0 (B) /i0 (v) - (y-^~ 1) Л («) К (о) +
= 1, 3,...,
-(^-g—3)/8(В)ЛЯ(О) +
при /==1' ;з'---
1 1
где м= — he~v-, v = —-
Li Li
Теоремы сложения.
JkR
=2ik 2 -а^щ Smi (/г> cos &о) ^(/г'cos &) cos [т {(?" *о)] х
т, I
Jemi (A. ch Ро) /гетг (Л. ch t1). f1 > Ни»
/eml С2' ch И) ^m! (Л> ch Но)- Н < Но»
где
/г/? = Л* [ch2 (i + ch2 Pn - sin2 & - sin* &0 -
— 2 cli [i ch [i0 cos 9- cos &0 — 2 sh p. sh fi0 sin 9- sin &0 cos (cp — <po)J»
eik'r = 2 2 ^Щ Smi (h> cos &o) Smi (A. cos &) cos [m (cp - cp„)] /em, (Л, ch P),
m. I
к • r = h [ch p. cos 9- cos &0 -f- sh [i sin 9 sin &0 cos (cp — fo)]-!
Для вытянутых сфероидальных координат, в которых jj. = 0 является от-
отрезком х = у = 0, — a/2<z<a/2, для получения угловых и радиальных
решений полагаем соответственно h = /са/2 и z = cos 9 или z = ch p. Для
сплющенных сфероидальных координат, в которых р = 0 является круглым
диском радиуса Ь, лежащим в плоскости х, у, с центром в начале коор-
координат, полагаем h = ikb и z = cos 9 для угловых функций и z = — i sh f>
(u = p —гтг/2) для радиальных функций.
Краткая таблица преобразований Лапласа
Функции / (?) и F (to) (и = ф), удовлетворяющие условиям сходимости
указанным на стр. 320, связаны между собой соотношениями
со оо+гз
j -^(со)?/
— co+is
в которых з действительно я положительно.

Краткая таблица преобразований Лапласа
53"
Оригинал / (t)
Преобразование Лапласа
Р(Р) (р=-т)
Af(t)
f(at)
df/dt
AF(p)
PF(p)-f@)
P*F(p)-pf@)-f'{0)
tnf(t)
(-l)n(dnF/dpn)
Г f(t — a), t>a,
1 0, t<a,
eatf(t)
F1(P)F2(p)
F(p-a)
V nt-
CO
\ M-v/2/v B Yut) f (u)
du
у- KV Г)
F(\/p), Rev> — ~,
(Mp)F (In p)
\r^)du
Если /(t) — периодическая функция с периодом а, /(г + а) = /(г) при f>
о
и Fo (р) = V / (г) e~vtdt, то преобразование Лапласа функции / (г) имеет вид
Преобразования Лапласа некоторых конкретных функций. Пусть
функция /(t) равна нулю при (<0 и равна указанной ниже функции при
t>0.
lit)
F(P)
\ Re v > —
sin (at)
cos (at)

538
Гл. 11. Волновое уравнение
fit)
e ы sin (at -\- <p)
A/t) sin (at)
V sin (at)
F cos(at)
е~ы [A sh (at) -\-B ch (a?)]
W, Rev> —1,
(вырожденная гипергеометрическая
функция)
| (t*-a*)\ t>a 1
i 0, t<a, KeV> 2'
i
1 Bat-t2) 2, 0<<<2a,
1 0, t>2a,
n>0,
e-btJy(at), Rev>—1,
| J0(ayt2 — b2), t>b,
10, t<b,
м(г_й) = | ' "'= ^ 8(f)d<
1 1, t > a, ^
8 (* — a) = lim \ i- fм (f — a) —
д-»о ^
CO
2 b(t — na)
CO
2 ( - l)n5 (< - no)
F(p)
a cos <?-\-(p-\-b) sin cp
arc tg (a//?)
1 r(v+l) ^^v+i taf+1l
a^4 ! В (р-\-Ъ)
(j5 + bJ— a2 (jo+6J —ns
(гипергеометрическая функция)
fl/Si-2T(v + l)c|-*(v+4)Jj<l,
1 V 2P (ар? е v+i ШР
у!гГ^п+т)х
(l/jt?)e~ap
g-ap
sh (ap + b)
1/A — e-°p)

Краткая таблица преобразований Лапласа
R39
/@
2 (-i)nu(t — na)
n=0
CO
2 2 8(< -a — 2na)
n=0
oo
2 2 (— l)no(<-a-2na)
n=0
CO
о (t) + 2 2 (- l)no («- %na)
n=l
»@ + 2 2 (-1)пм(<-2на)
СО
2 2 / (^ — 2na — a)u(t — a — 2na)
CO
2 2 (-l)n/(«-2na-a)x
n=0
X и (t — a — 2na)
oo
/@ + 2 2 (-lO(*-2na)B(«-2na)
OO
?г=0
oo
2 2 e*-<2n+*)be(«-c-a-2wa)
— e~d5 (< — с — a — 2na)]
F(p)
1/sh (ap)
1/ch (ap)
th (ap)
(l/p)th(ap)
F(p)/sh(ap)
F(p)/ch(ap)
F(p)th(ap)
1/sh (ар + й)
e-czysh (ap + b)
sh (cp + d)/sh (ap + &)
Для 9 =
oo # .
e rfc(z) = -Д=т ^ e-w2dw ~ I . ~
erf с (ж/2а"
, z->0,
z-»oo.
g-QX

540 Гл. 11. Волновое уравнение
/@
1С*/ |/ JliV ) С *
га с СГ С V 2а VI п 1 )
a2eta+a2'erfc ( х + аЛ1/Л
V 2я К i r У
A/А) erf с (ж/2а j/1) -
л V2aV У
9 + Л
ЛИТЕРАТУРА
Работы, в которых рассматривается общая задача о решении уравнения Гельм—
гольца и волновою уравнения:
Вебстер А. и Сёге Г., Дифференциальные уравнения в частных производных.
математической физики, Гостехиздат, М.—Л., 1934.
Веку а И. Н., Новые методы решения эллиптических уравнений, Гостехиздат,.
М.—Л., 1948.
Зоммерфельд А., Уравнения в частных производных математической физики,
Издат. Иностр. лит., М., 1951.
Купрадзе В. Д., Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения^
Гостехиздат, М.—JL, 1950.
Курант Р. и Гильберт Д., Методы математической физики, т. 2, изд. 2.
Гостехиздат, М.—Л., 1951.
Морз Ф., Колебания и звук, Гостехиздат, М., 1949.
Рэлей Дж. В., Теория звука, Гостехиздат, М., 1955.
Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. IV, изд. 3, Гостехиздат, М., 1957.
Тихонов А. Н. и Самарский А. А., Уравнения математической физики,
Гостохиздат, М.—Л., 1951.
Франк П. и Мизес Р., Дифференциальные и интегральные уравнения матема-
математической физики, Гостехиздат, М.—Л., 1937.
Baker В. В. and С ops on E. Т., Mathematical Theory of Huygen's Principle,.
Oxford —New York, 1939.
Bateman H., Partial Differential Equations of Mathematical Physics, Cambridge —
New York, 1932.
Coulsou C. A., Waves, a Mathematical Account of the Common Types of Wave-
Motion, Edinburgh, 1941.
Hadamard J. S., Lecons sur la propagation des ondes et les equations de 1'hydro-
dynamique, Paris, 1903.
Jeffreys H. and Jeffreys 13. S., Methods of Mathematical Physics, Cambrid-
Cambridge—New York, 1946.
Pockels F., Ueber die partielle Diffcrentialglcichung A2u-\-k2u = 0, Leipzig, 1891.
Slater J. C. and Frank N. II., Introduction to Theoretical Physics, New York,
1933.
Работы, в которых рассматриваются специальные функции, использованные
в этой главе, или же специальные методы решения волнового уравнения:
Вате о н Г. П., Теория бесселевых функций, Издат. иностр. лит., М., 1949.
Карслоу X. и Егер Д., Операционные методы в прикладной математике,
Гостехиздат, М., 1948.
К о чин II. Е., К и бе ль И. А. и Розе П. В., Теоретическая гидромеханика,.
изд. 5, Гостехиздат, М., 1955.
Ламб Г., Гидродинамика, Гостехиздат, М., 1947.
Лурье А. Н., Операционное исчисление, Гостохиздат, М., 19оО.
Мак-Лахлан II. В., Теория и приложение функций Матье, Издат. иностр. лит.,.
Минусинский Я., Операторное исчисление, Издат. иностр. лит., М., 1956.
Стретт М. Дж. О., Функции Ламе, Матье и родственные им в физике и технике,
Харьков —Киев, 1935.

Литература 541
Buchholz H., Die konfluente hypergeometrische Funktion mit besonderer Berfick-
sichtigung ihrer Bedeutung fur die Integration der Wellengleichung in den Koor-
dinaten eines Rotationsparaboloides, Z. angev. Math. Mech., 23, 47—101
A943).
Campbell G. A. and Foster R. M., Fourier Integrals for Practical Application,
Bell System Techn. Monograph B-584, 1931.
Churchill R. V., Modern Operational Mathematics in Engineering, New York,
1944.
Doetsch G., Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation, Beriiri, 1937.
Fold у L. L., Multiple Scattering of Waves, Phys. Rev., 67, 107 A945).
Hoins A. E. and Feshbach H., The Coupling of Two Acoustical Ducts, J. Math.
Phys., 26, 143 A947).
Lax M. and Feshhach H., On the Radiation Problem at high Frequencies, J. Aco-
ust. Soc. Amer., 19, 682 A947).
Levine H. and Schwinger J., On the Radiation of Sound from an Unflanged
Circular Pipe, Phys. Rev., 73, 383 A948).
Levine H- and Schwinger J., On the Theory of Diffraction by an Aperture in an
Infinite Plane, Phys. Rev., 75, 1423 A949).
Lrachlan N. W., Bessel Functions for Engineers, Oxford—New York, 1934.
S-tratton J. A., Morse P. M., ChuL. J., Hutner R. A., Elliptic Cylinder
and Spheroidal Wave Functions, New York, 1941.

ГЛАВА 12
Диффузия. Волновая механика
Эта глава содержит смешанный материал: в ной наряду с рассмотре-
рассмотрением некоторых дальнейших аспектов теории диффузии и кинетической
теории дается обзор методов решения выведенного в § 2.6 простейшего»
уравнения Шредингера. Эти две темы логически мало связаны между
собой, но их нам нужно изучить, прежде чем перейти к рассмотрению»
векторных полей.
Мы уже рассматривали в гл. 10 некоторые стационарные задачи,
диффузии, поскольку эти задачи сводятся к решению уравнений Лап-
Лапласа или Пуассона. В первом параграфе этой главы мы займемся неста-
нестационарными задачами Диффузии. При этом выявится различие между
свойствами решений параболических (см. стр. 644 тома I) и эллиптических,
(или волновых) уравнений. Во многих интересных задачах кинетической
теории уравнение диффузии уже не является достаточно хорошим прибли-
приближением. В этих случаях нам приходится вычислять функцию распреде-
распределения, определяющую вероятность нахождения частицы в заданном эле-
элементе фазового пространства. Второй параграф этой главы содержит
несколько типичных примеров подсчета функций распределения.
Последний параграф главы посвящен основным решениям нереляти-
нерелятивистского волнового уравнения для элементарных частиц, таких, каге
электрон или протон. Мы не пытаемся дать в этом параграфе исчерпы-
исчерпывающее изложение волновой механики; для этого имеются другие руко-
руководства. Мы приведем лишь ряд примеров, достаточных для того, чтобьв
проиллюстрировать наиболее распространенные методы вычислений:,
расчет уровней энергии в связанных состояниях, исследование стационар-
стационарного рассеяния частиц силовым полем и несколько случаев задач, содер-
содержащих зависимости от времени.
12.1. Решения уравнения диффузии
В § 2.4 было указано на различие между решениями уравнении
диффузии
(где а2 = х/рС, * — коэффициент теплопроводности, р — плотность и С —
удельная теплоемкость среды) и решениями волнового уравнения. Первая
производная по времени, фигурирующая в уравнении A2.1.1), приводиг
к необратимости процессов в противоположность процессам обратимым,
на которые указывает вторая производная по времени в волновом урав-
уравнении. Например, струна длины I, которая до момента t = 0 удержива-
удерживалась в покое в положении $й(х), а затем была освобождена, будет совер-
совершать колебания, описываемые формулой (с — скорость распространения

12.1. Решения уравнения диффузии 543.
колебаний вдоль струны):
I
nnct "\ . 2 f , i . . / ппх
J л ^%(a!)sll
n=l
С другой стороны, для пластины из теплопроводящего материала толщины I,
в которой при 2 = 0 температура распределена по закону %(ж) (ж — рас-
расстояние от одной из граней пластины, отсчитываемое по нормали к этой
грани; х = I соответствует второй грани) и грани которой поддерживаются
при нулевой температуре, последующее распределение температуры описы-
описывается формулой
\%{x)^{^)dx. A2.1.2)
о
Множители, зависящие от пространственных координат, в членах
этих рядов одинаковы; однако зависимость от времени в последнем слу-
случае характеризуется экспоненциальным множителем, в то время как
в случае волновой задачи появляются тригонометрические множители.
В решении волнового уравнения обращение времени не влияет на харак-
характер решения (в приведенном примере решение совершенно не изменится);
в решении уравнения диффузии изменение знака времени существенно
изменяет решение (в самом деле: решение становится расходящимся при
отрицательных значениях времени).
Неустановившийся процесс в случае поверхностного нагревания
пластины. Несколько простых примеров в дальнейшем еще больше под-
подчеркнут различие между решениями уравнения диффузии и волнового
уравнения. Предположим, что одна грань х = 0 пластины толщины I под-
поддерживается при нулевой температуре [поскольку к решению уравнения
A2.1.1) можно прибавить постоянную, за «нулевую температуру» следует
принять некоторую подходящую температуру, не зависящую от вре-
времени], а на второй грани х = 1 поддерживается температура, изменяющая-
изменяющаяся по закону
Зависимость от времени установившегося решения 6 имеет вид e~iwl
(истинная температура есть действительная часть ф), причем простран-
пространственно зависящая часть решения должна удовлетворять уравнению
и краевым условиям: ф = 0 при ж = 0 и ь — е-"'4 при х~1. Решением
этой задачи является функция
ф(ш, х)=:иул'и''Це~^. A2.1.3)
Если ф —температура, то — *grad4> = J есть поток тепла через еди-
единицу площади, так что поток тепла через поверхность х — О будет равен
/ (ш, 0) = — \/ipCY.w cosec [(I/a) )/гш] е~ш —
V^sin2 [V (ш/2) i/a] + sh2 [У(^Щ На]

544 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
где
tg о = ctg [У (ш/2) I/a] th [У(ш/2) //а].
Если |/ (ш/2) //а очень мало, то поток тепла велик и совпадает но
фазе с температурой. При малых частотах поток тепла успевает ста-
стабилизироваться, пока он проходит сквозь пластину, и распределение
температуры получается умножением выражения для стационарного
потока на медленно меняющийся временной множитель. Для вы-
высоких частот [у (ш/2) 1/а — велико] поток тепла не успевает выравнивать-
выравниваться; температура на поверхности х = 1 изменит знак на противополож-
противоположный до того, как предыдущий максимум успеет проникнуть достаточно
глубоко в плиту, и, таким образом, сквозь плиту распространяется подо-
подобие «тепловой волны». Для больших 1/A0/2) 1/а амплитуда потока тепла
па противоположной грани пластины равна произведению
2 УрС-мо ехр [ — |/"(ш/2) I/a]
на амплитуду температуры на нагреваемой грани, а отставание по фазе
равно |/(ш/2) I/a — тс/4 радиан. Следовательно, в этом случае наблюдает-
наблюдается передача сквозь пластину колебаний тепловой энергии, хотя и свя-
связанная с большим затуханием и значительной дисперсией (отставание
фазы пропорционально I и аргумент экспоненты может быть записан
в виде i (|/"(ш/2)/а) (I — |/2ш at) — гтс/4, так что фазовая скорость равна
а ]/2оо = у 2шх/рС , т. е. зависит от частоты).
Теперь мы можем применить преобразование Лапдаса для вычисления
потока тепла через поверхность х = 0, если поверхности х = I мгновенно
сообщается тепловой импульс ty(l) = b(t). В соответствии с A1.1.16) этот
ноток тепла должен быть равен
со-Не
^ /К 0)А».
Чтобы вычислить этот интеграл, нужно подсчитать вычеты в полюсах
У/(ш, 0). При со = 0 полюса нет. Член sin [(//а)У^ш] в знаменателе обра-
обращается в нуль при со =—i (¦wia/lJ, где п — целое положительное число:
дальнейшее исследование показывает, что других особенностей в конеч-
конечной части плоскости ш нет. Чтобы найти вычеты, положим
(о = — i (тспа/ZJ + е,
откуда
sin [(I/a) Уп») ~ -|-ie ( - If
и таким образом вычет в n-м полюсе равен
Поскольку все эти полюсы находятся на или под действительной осью ш,
ноток тепла при отрицательных t оказывается равным нулю (в чем
нет ничего неожиданного). Таким образом,- поток тепла, исходящий из
грани х = 0, описывается функцией
(tfi) = ^ 2 (- 1)п/АГ<«"о/1>"( и (t).
п=\
Этот ряд сходится при t > 0, но при t = 0 ведет себя плохо. Однако его
можно проинтегрировать, чтобы получить поток тепла, исходящий

12.1. Решения уравнения диффузии 545
из грани х = 0, если грань х = I поддерживается при температуре T(t) u(t).
При этом
n=l
J(t) = u (t) 10- ^ ( - i)"n2 [ Т (х) е-<*™/<>2 <«-о их. A2.1.5)
?
Этот ряд удовлетворительно сходится при t > 0. В дальнейшем мы уви-
увидим, что делать при t, близких к нулю.
Конечно, можно было бы вычислить направленный влево поток
тепла или температуру не только при х — О, но и для любой точки х
внутри пластины. Например, распределение температуры дается функцией:
A2Л-6)
где функция &3 —одна из тета-функций, определенных в формуле D.5.70).
Это соотношение дает возможность использовать некоторые известные
псевдопериодические свойства этих функций. Например, используя пра-
правило суммирования Пуассона [см. также формулу A1.2.90) и следующие],
можно получить полезные формулы
. __ a d -у Г _ (x — 2nl—IJ
V *'*"=— ^ ~ A2.1.7)
oo
n==—oo
из которых мы впоследствии выведем интересные свойства фи/.
Функции Грина и фиктивные источники. Полученные формулы
показывают, что рассматриваемое распределение температуры соответ-
соответствует последовательности функций Грина уравнения теплопроводности
(для диполей, возникающих при слиянии на каждой грани источника
и его изображения; математическим выражением диполя является произ-
производная) вида G.4.10), расположенных в точках x = l-\-2nl. Эту же после-
последовательность функций фиктивных источников можно получить непо-
непосредственно, если с самого начала решать нашу задачу методом функ-
функции Грина. В зависимости от математического или физического аспекта
исследования предыдущий экскурс можно рассматривать как окольный
метод либо для получения функции Грина, либо для доказательства
соответствующего разложения в ряд тета-функции.
Ряд в формулах A2.1.7) (выражающих распределение через источ-
источники и их изображения) весьма удобен для изучения распространения
теплового импульса в особенности при t~»0, где ряды A2.1.6) сходятся
плохо. Для малых значений времени температура всюду крайне мала,
за исключением непосредственной окрестности грани х = I. Так как здесь
не учитывается конечная скорость распространения тепла, рассмотренная на
стр. 800 тома I, то некоторое количество тепла начинает выходить через грань
х = 0 уже при сколь угодно малых (положительных) t. Поскольку, однако,

546 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
это количество тепла при малом t весьма мало, то вряд ли стоит услож-
усложнять, решение введением в рассмотрение конечной скорости. В более
общих случаях, когда поверхность х — 1 поддерживается при темпера-
температуре T0(t)u(t), в формулах
1
T(t, ж)=^ T0{t-*)$t(v, x)di
A2.1.8)
обычно бывает удобнее использовать ряд A2.1.6), хотя, если по
каким-либо соображениям это более целесообразно, можно использовать
и ряды A2.1.7). Следует вновь подчеркнуть, что если То есть простая
функция от t (например, ступенчатая функция), то окончательный резуль-
результат легче получить, видоизменяя ряды A2.1.2); только для сложных То
необходимо применять метод преобразования Лапласа.
Нагревание излучением. К другому краевому условию при х = 1 мы
приходим, если пластина нагревается за счет теплообмена с внешним источ-
источником. В этом случае поток тепла пропорционален разности между темпе-
температурой Tr(t) источника и температурой на грани пластины при х = 1.
Если температура источника изменяется по закону е~ш по сравнению
с некоторой «нулевой температурой», то краевое условие имеет вид
или
^ + /гф = /ге-1ш' при х-1.
Соответствующее решение для случая ф = 0 при ж = 0 равно
*(»,*)- «*81пК,/,I^1,-^ _
ha sin Ц1/а) у iu>]-\-Yio> cos \{l/a) \ *Ч
Сдвиг фаз температур, получающийся в этом случае, больше, чем в слу-
случае A2.1.3). Этот сдвиг тем больше, чем больше частота.
Чтобы получить отсюда нестационарное распределение, соответ-
соответствующее зависимости Тг от времени в форме дельта-функции, мы должвы
прежде всего найти нули знаменателя и затем вычислить вычеты функции
ф(ш, х) от ш. Нули определяются корнями -vn уравнения tg (irv) + чп/KL = О,
причем имеют место следующие асимптотические выражения:
vnc^ п [ 1 — ъ/hl], Ы < 1/и,
Промежуточные значения vn должны быть вычислены как функции от hi
Полюсы подинтегральной функции расположены в ш= — i(icvna/ZJ и,
подсчитав вычеты, мы получим окончательно
Sin
++yi cos(jtvn)
71=1
поведение этого решения похоже на A2.1.6).
Если бы толщина пластины была бесконечна, то решение, конечно,
было бы проще. Если теплопроводящая среда находится в области х > 0, то

12.1. Решения уравнения диффузии J>47
фундаментальное решение для случая чисто гармонического краевого
режима будет иметь вид
ф(ш, х) = ехр [ — (х/а) Vp + pt], p= — т.
Теперь для вычисления распределения температуры внутри области х > О
для любых разумных краевых условий при х = 0, t > 0 мы можем при-
применить метод преобразования Лапласа.
Предположим, например, что температура грани ж = 0 равна ср0 (^МО-
Преобразование Лапласа этой величины равно
A2.1.11)
Тогда преобразованием Лапласа распределения температуры ty (ж, t) вхреде
будет
W (ж, р) = Фо (р) е-«х, q = VpM*.
Соответствующие функции ty(x, t) [для некоторых простейших форм
Фо (р)] могут быть найдены в таблицах в конце гл. 11. Если, например,
температура при ж = 0 равняется нулю до момента t = 0, а начиная
с этого момента линейно возрастает как At, то преобразование Лапласа
есть Фо (р) = А/р2, и соответствующее распределение температуры в сре-
среде будет иметь вид
где
СО
erfc(z) = -M e-widw.
у я О
При распределении температуры, соответствующем случаю, когда темпе-
температура грани задается дельта-функцией, Фо = 1 и, следовательно, со-
согласно A1.1.16) и A2.1.8),
И Ь- A2.1.12)
С другой стороны, если грань ж = 0 нагревается благодаря теплообмену
с внешними источниками, так что — db/dx + hty = h<p0 (t), то соответ-
соответствующее краевое условие приводит для преобразования Лапласа к формуле
W(x, p) = [M>0(p)/(q + h)]e-9'.
откуда можно опять-таки определить распределение температуры ф (х, if).
Оба °ти результата можно, конечно, получить и с помощью метода
функции Грина, использовав функции Грина из § 7.4.
Нестационарное внутреннее нагревание пластины. Температура
•!>(ж, t) в пластине толщины I (между ж=0 и ж=/), которая нагревается
внутренними источниками, распределенными с объемной плотностью
P(xt t) кал/сек-см3 определяется решением неоднородного уравневия
(ж, t), A2.1.13)
где а2 = х/рС и s =

548 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
Простой метод вычисления ф для почти произвольного Р заключается
в том, чтобы вычислить ф для Р, имеющего характер простой гармоники,
и применить затем преобразование Лапласа. В соответствии с этим мы
прежде всего найдем решение уравнения A2.1.13) для s = o(x — xo)e~pt.
Оно является решением уравнения a2V2$-t- рф = О всюду, кроме точки
х — х0, где имеется разрыв производной со скачком — 4%. Если ф должно
быть равно нулю на обеих гранях пластины, то ф = G (р \ х \ х0), где
A2.1.14)
и распределение температуры для s = {l/4w%) P (х, р) e~pt имеет вид
t
Ф (х> & = iL] Р (жо - Р) G (Р | х | ж0) е-"' йж0.
В частном случае однородного нагревания, когда выделяющаяся
в единице объема мощность равна действительной части Poe~~pi, где Ро
не зависит от х, распределение температуры имеет вид
Эта формула находит интересное применение в задаче о металлической
полосе, нагреваемой переменным током частоты ш/2т: и погруженной
в среду (например, в жидкий гелий) с большой теплопроводностью. Посколь-
Поскольку в любой момент получаемое полосой количество тепла пропорционально
квадрату тока, мощность источников тепла Р в единице объема равна
Ро—Re {Р0е~2ш), где Ро есть средняя плотность мощности источников
тепла; колебания мощности имеют по сравнению с нагревающим током
удвоенную частоту. При этом распределение температуры вдоль полосы,
толщина которой I, а ширина значительно больше чем I, будет иметь, вид
l X
2/2)
Поток тепла через единицу площади грани ж = 0 равен
IPO sin2 (Ы), l У2ш/2а < 1,
При этом предполагается, что выделяющаяся мощность равна 2Р0 sin2 (<ol).
Для низких частот поток энергии из полосы совпадает по фазе с током:
он иадает до нуля (приблизительно) в течение каждой половины цикла. Для
высоких частот колебания потока не столь резки и не совпадают по
фазе с источником тепла.
Если выделение тепла происходит непериодически, то температура
среды может быть пайдена методом преобразования Лапласа. Например,

12.1. Решения уравнения диффуаии 549
если в каждой единице объема мгновенно ^выделяется единичное количе-
количество тепла о (t), то температура будет равна
п=0
A2.1.17)
Здесь мы вновь использовали свойства тета-функции, указанные в таблице
в конце гл. 4. Распределение температуры и поток тепла через поверх-
поверхность х = 0, если плотность распределения источников тепла по всей
полосе равна P(t), как и ранее, вычисляются по формулам
Т(х, t)=
u u
Диффузия и поглощение частиц. Уравнение диффузии приближенно
описывает диффузию частиц (например, электронов в газе или нейтронов
в веществе) постольку, поскольку рассматриваемые расстояния велики
по сравнению со средней длиной свободного пробега частиц и поскольку
рассматриваемое время велико по сравнению со средним временем между
столкновениями. При выводе уравнения B.4.42) было указано, что постоянная
диффузии а2 равна произведению одной трети средней скорости va частицы
на среднюю длину свободного пробега Ха и что, кроме членов, содержа-
содержащих производные по времени и по пространственным координатам, в уравне-
уравнении имеются члены, учитывающие поглощение и возникновение частиц.
Если скорости всех частиц в данной области достаточно мало отличаются
друг от друга по величине и вместе с тем достаточно равномерно распре-
распределены по всем направлениям, т. е. если поведение частиц мало отли-
отличается от среднего поведения, то уравнение для плотности частиц р как
функции пространственных координат и времени будет иметь вид
dp/dt = a2V2p — xp+q, A1.1.18)
где а* — A/3) ?>аХа (va — средняя скорость и Ха — средняя длина свободного
пробега частиц), х есть средняя частота поглощения частиц в среде,
ад — среднее число частиц, возникающих в единице объема среды, как
это было принято при выводе B.4.42).
Для наших рассмотрений существенны следующие характеристики
частиц и среды, через которую они проходят: средняя скорость va и сред-
средняя длина свободного пробега Ха частиц; доля столкновений %, при кото-
которых частица поглощается, а также q— скорость, с которой увеличивается
число частиц, участвующих в рассматриваемом процессе — либо в резуль-
результате возникновения в среде (как, например, при распаде или радио-
радиоактивности), либо в результате первичного рассеяния какого-либо одно-
однородного падающего пучка, часть частиц которого достаточно глубоко
проникает в среду прежде, чем они испытывают свое первое столкновение.
(Мы, естественно, считаем местом их возникновения точку, в которой они

550 Гл. 12. Диффузия. Волнован механика
включаются в р при своем первом столкновении.) Через эти физиче-
физические величины, как уже было упомянуто, постоянная диффузии выра-
выражается так: а2 = A/3) \va; vjka есть частота столкновений для некоторой
средней частицы, а хуа/Ха — частота столкновений этой средней частицы,
при которых происходит ее поглощение, которая должна быть равна частоте
поглощения ?.
Следующий пример иллюстрирует некоторые свойства решений этого
уравнения. Внезапный ливень частиц падает на поверхность х — 0 вещества,
заполняющего полубесконечную область х > 0. Эти частицы можно рас-
рассматривать как возникающие в среде в том месте, где они впервые под-
подвергаются рассеянию. Но если поверхность х = 0 пересекает N частиц, то
(VAi) е~ж/х* dx частиц будет рассеяно и включено в распределение за по-
поверхностью на участке между х и x-\-dx. Таким образом, в случае ливня
в форме дельта-функции плотность источников убудет равна (lAi)e~*/i*8(t).
Чтобы найти последующее поведение р, нужно решить уравнение A2.1.18) при
этом д. Конечно, в действительности, вследствие конечной скорости vt частиц
падающего- пучка первые столкновения в глубине среды будут иметь место
позднее, чем столкновения вблизи поверхности. Следовательно, для q правиль-
правильнее было бы пользоваться формулой (l/ki)e~XJXi^(t — x/vi). Но этим эффектом
можно пренебречь, если vt велико по сравнению со средней скоростью диф-
диффундирующих частиц va или если изменение плотности во времени происходит
медленно по сравнению с частотой столкновений vj^. В дальнейшем
мы опускаем член x/vi в 6, хотя в случае надобности его можно учесть.
Постоянная Х4 есть, конечно, средняя длина свободного пробега падающих
частиц.
Если область ж<0 есть свободное пространство, так что все частицы,
вылетающие из вещества, никогда не возвращаются обратно, то, согласно
B.4.34), р удовлетворяет краевому условию р = у (dp/дх) при х = 0 (где
Y = 0,71Ха). Однако вначале мы займемся решением задачи со значительно
более простым краевым условием р = 0 при х = 0. Из формулы B.4.43)
можно получить функцию Грина для рассматриваемого здесь одномерного
случая и условия р = 0 при х = 0
G (t | X | Жо) = ^^L [e-(*-*0)«/4e»l _ g-(*+*e)«/4a»l] „ (f). A2.1.19)
Если при t = 0 внезапно «впрыскиваются» частицы, то для I > 0 плотность
распределения частиц определяется выражением
9« (х, 0 = ? 5 е~Х0'4G(t\z\x0) dx0 =
о
erfc (^ + -^) ] и (t), A2.1.20)
где
erfc (w) = -= \ e~u du ~
Множитель e~Lt соответствует потерям из-за поглощения частиц, множитель
еа2<А4 _ ВОЗрастанию плотности вследствие притока в точку х частиц из
областей, где ранее создались большие плотности.

12.1. Решения уравнения диффуаии 551
Для t малого по сравнению с (ж/аJ первый член в прямых скобках
в A2.1.20) много больше второго, и все выражение сводится к A/Х{)е~х/х»
для всех ж, за исключением ж, весьма близких к нулю. Для t большого
сравнительно с (Х?/аJ оба члена в скобках почти взаимно уничтожаются,
я гогда получается
J °>xf/fl2-
При t = 0 cps = A/Xi)e~*''li; с ростом t пик, близкий к ж = 0, быстро «тает»
до нуля; с течением времени значение функции распределения в области,
лежащей ниже поверхности, уменьшается до тех пор, пока, наконец, остается
лишь невысокий максимум, расположенный внутри материала.
Если вместо мгновенного «впрыскивания» частиц при t = 0 задается по-
постоянный поток, то процесс в конце концов становится стационарным, причем
за каждую секунду на плоскости х = 0 поглощается и оставляет ее столько же
частиц, сколько их попадает на эту плоскость. Соответствующее уравнение
a2S-XP=-^-x/xi A2.1.21)
ямеет стационарное решение
•обращающееся в нуль при ж = 0. Для больших значений ж это решение ведет
•себя как экспонента с показателем ж/Xj или х ]/х/я в зависимости от того,
какой показатель меньше.
Однако, как указывалось ранее, х/°3 = (*vaft-a) C/^aPa) ~ 3*Л1? где
х — доля столкновений, при которых происходит поглощение частиц,—
•обычно величина небольшая. Поэтому ~\fxla обычно меньше чем 1/Х4, если
только средний свободный пробег частиц падающего пучка не превышает
значительно средний свободный пробег Ха частиц, описываемых функцией
распределения р. Поэтому глубокое проникновение частиц (поведение р для
больших ж) обычно определяется главным образом процессом поглощения
¦и диффузии (первая экспонента), а не проникновением падающего пучка
(вторая экспонента).
Неустановившееся решение, соответствующее единичному потоку ча-
частиц, возникающему при ( = 0 и затем продолжающемуся, имеет вид
б (жо) G (l Ix I xo) dxo =
. A2.1.22)
Эти и другие решения были получены для краевого условия р = 0 при
х = 0. Однако, как было уже упомянуто ранее, более точное краевое усло-
условие для плотности частиц р имеет вид р = у (др/дх) при ж = 0, где у *« 0,71Ха
Мы можем, однако, превратить полученные решения ср в решения для р,
удовлетворяющие более точным краевым условиям, полагая
Р— 1(др/дх) = <р(х, t),
яли
х со
р(ж, t)= — (e*/Vr) \ e-u/Y«p(M, t)du = —\ e~w^ <?(x + w,t)dw. A2.1.23)

552 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
Если р удовлетворяет уравнению A2.1.18), то ср удовлетворяет уравнению
Если 9 = 0 при х = 0, то р =* у (др/дх) при х = 0.
Например, стационарное решение уравнения A2.1.21) для р соответст-
соответствует «р, удовлетворяющему (при Ха = Х{) уравнению
т. е. 9— l,71cps (x), где <fs найдено выше. Выполнив интегрирование для р,
мы получим
Ps(g)= Г» Г- 7=~ 1 ¦ 1 • A2.1.24)
Это решение удовлетворяет надлежащим краевым условиям для р. Другие
нестационарные решения могут быть в случав надобности также вычислены
при помощи A2.1.23).
Краевое условие с у = 0,71Ха дает, конечно, достаточно хорошее при-
приближение только тогда, когда на расстоянии Ха от границы нет источников.
В рассмотренном случае таких источников действительно нет. В других
случаях значение постоянной 1,71 в A2.1.24) должно быть несколько
изменено.
Деление и диффузия. Если среда, в которой диффундируют нейтроны,
частично состоит из делящегося вещества, то нейтроны не только погло-
поглощаются этой средой, но и возникают в ней. Возникающие нейтроны
обладают двумя свойствами, которые существенно влияют на ход цепной,
реакции. Во-первых, не все эти нейтроны появляются одновременно, не-
некоторые выделяются с заметным запаздыванием. Во-вторых, нейтроны, воз-
возникающие в процессе деления, обычно обладают энергией более высокойг
чем средняя энергия нейтронов, и потому они должны быть замедлены, прежде
чем смогут вызвать дальнейшие деления. Чтобы изучить, как эти свойства
воздействуют на ход явления, мы их рассмотрим порознь. Сначала учтем
запаздывание, а затем замедление.
Для начала пренебрежем как запаздыванием, так и замедлением и пред-
предположим, что в заданном объеме каждую секунду определенный процент
нейтронов вызывает акты деления и что в результате этих актов немед-
немедленно «создается» большое количество нейтронов с той же средней энер-
энергией. В этом случае величина q в уравнении A2.1.18) прямо пропорцио-
пропорциональна р; коэффициент пропорциональности В постоянен. Единственное
изменение, которое это обстоятельство вносит в полученные ранее решения
уравнения, заключается в том, что вместо коэффициента поглощения %
теперь следует во всех формулах ввести y — JR, что равносильно умень-
уменьшению частоты поглощения частиц. В том случае, когда скорость раз-
размножения Л существенно превышает частоту поглощения у, плотность
нейтронов постепенно возрастает, и будет развиваться цепная реакция.
Насколько именно Я должно превышать у, зависит от конфигурации мате-
материала, как это будет показано ниже.
Как было указано ранее, величина у выражается через среднюю ско-
скорость va нейтронов и их средний свободный пробег Ха следующим образом:
? = тоа/Ха, где х есть доля столкновений, приводящих к поглощению'
ударяющихся нейтронов. Аналогично этому мы можем ввести долю С
столкновений, вызывающих деление, и среднее количество v нейтронов,
«создаваемых» при одном делении; тогда

12.1. Решения уравнения диффузии 553-
Поэтому мы можем сделать следующее предварительное замечание: цепная
реакция невозможна ни при какой конфигурации, если только не выпол-
выполнено неравенство vd > х, т. е. для развития цепной реакции доля нейт-
нейтронов деления, создаваемых при одном столкновении, должна быть больше
доли поглощенных нейтронов.
Если нейтроны, создаваемые при делении, испускаются с некоторым
запаздыванием, то член q не точно пропорционален р (ж, t). Если мы пренеб-
пренебрегаем эффектом замедления, то q выражается через значение р в той же
точке ж, но в другой, более ранний чем t момент времени т. Предположим,
что нейтроны, создаваемые при делении, испускаются в результате единого
радиоактивного процесса. Тогда доля испускаемых нейтронов есть пока-
показательная функция времени e~at (хорошее приближение даже для случая,
когда имеет место несколько процессов) и уравнение, которому должно'
удовлетворять р, имеет вид
оо
±, 0 = а2?р(ж, t)-XP(x,t) + aR ^ e—P(x,t-x)dz + q. A2.1.25)
о
Интегральный член этого уравнения учитывает (приближенно) запаздыва-
запаздывание, но не учитывает эффекта замедления. 1/а есть среднее время запазды-
запаздывания испускания нейтронов. Последний член q соответствует внешним
нейтронам, вводимым в рассматриваемую область извне. Заметим, что-
если р не зависит от времени, то интегральный член сводится к Rp(x).
Влияние запаздывания испускания нейтронов сказывается, таким образом,
только при нестационарных процессах в системе.
Решение при помощи преобразования Лапласа. Мы изложим сейчас
решение этого уравнения методом преобразования Лапласа. Рассмотрим
случай пластины толщины I с гранями ж = 0 и х — 1 и предположим, что
в любой момент времени р = О при х = 0 и х — 1. Если q зависит от вре-
времени, то разложим его в интеграл Фурье, и прежде всего решим задачу для»
q ~ 8 (ж — ж0) е-'.
Выберем стационарное решение в форме
m=l
Подставив его в A2.1.25), умножая на sin(tcnx/l) и интегрируя по х, по-
получим уравнения для коэффициентов Ап
l У
где р„ = (ъпа/lJ, так же как х и /?, имеет размерность частоты.
Решение <р (х | ж01 ш) в дальнейшем будет выражено через корни уравнения
ш2 + ?ш (а + л + р„) + а (Я — рп — /) = 0, которые запишем в виде — ш« и — i
где
n =, у (а + X + Р„) - 4 Уфп + L ~ <*J + 4аЯ
~a-ai?/pn, р„>Х, Я, а.

554 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
Полезно выразить эти корни непосредственно через физические кон-
константы, упомянутые выше:
?} =?{
где х, как ранее было указано, есть вероятность поглощения при столк-
столкновении, 1/8 есть среднее запаздывание испускания нейтронов, выраженное
в единицах среднего времени свободного пробега (а = 8иа/Ха или 1/8 =
= ?>а/Хаа) и v? есть среднее количество нейтронов, создаваемых при одном
столкновении (v — среднее количество нейтронов, получающихся при рас-
распаде, и ? —вероятность деления при столкновении).
Через эти величины (р выразится так:
о(т\х 1цЛ- 2ia)-2a у sin (iBi»c/f) sin (nnx/l) ili>t
и неустановившийся процесс в случае частиц, вводимых в рассматриваемую
область в точке ж0 в момент t = 0, q = 8 (ж — ж0) 8 (f), описывается, как и ра-
ранее, формулой
f Г АХ _ s I
а
@. A2.1.26)
Если плотность нейтронов, вводимых за секунду в рассматриваемую об-
область в момент t в точке х, есть q (ж, t) (нейтроны вводятся извне, а не
возникают в результате деления, так как процесс деления учтен в самом
уравнении), то в приближении, указанном в связи с A2.1.25), плотность
.распределения частиц в рассматриваемой области будет иметь вид
р(ж, t)= ^dz{ q(x0, х) срв (ж | ж0 j« — z)dx0.
о о
Более точными являются краевые условия, согласно которым
на обеих гранях пластины. Эти условия можно (если i > X) приближенно
учесть, располагая грани истинной пластины в плоскостях ж = 0,71Х и
ж = I — 0,71Х так, что длина I в A2.1.26) на 1,42Х больше толщины пластины.
При рассмотрении уравнения A2.1.26) можно обнаружить много инте-
интересного. Прежде всего если R=0 (? = 0), то вторая экспонента исчезает
¦и решение принимает вид
2 -^
р=т 2
где * есть средняя доля столкновений, приводящих к потере нейтронов вслед-
вследствие поглощения (т. е. отношение поперечного сечения поглощения к полному
.поперечному сечению). Отметим, что члены вида A/3) (imXa/ZJ соответствуют
потере частиц вследствие диффузии из пластины. Чтобы число нейтронов,
участвующих в процессе, не уменьшалось, оба члена должны быть доста-
достаточно малыми; материал среды должен быть таким, чтобы основную долю
всех столкновений составляли упругие столкновения: толщина пластины

12.1. Решения уравнения диффузии 555
должна равняться нескольким длинам свободного пробега, так чтобы потеря
яейтронов при диффузии из пластины за среднее время свободного пробега
-A/3) (imXa/ZJ также была весьма мала. Это предельное выражение для р при
Я —О, естественно, является решением уравнения A2.1.18).
Если теперь немного увеличить Я (или v?), то вторая экспонента
в A2.1.26) при г = 0 будет по величине меньше, чем первая. До тех пор
пока v? мало, быстрота убывания второго члена определяется величиной
a (= §0aAa), т. е. степенью запаздывания при испускании нейтронов. Если
запаздывание мало, т. е. если а велико, то уже при значениях t, близких
к нулю, вторым членом можно пренебречь, Если, однако, а мало, т. е.
если нейтроны, образующиеся при делении, появляются медленно, то вто-
второй член будет затухать медленно с течением времени. Поэтому после до-
достаточно продолжительного промежутка времени останется только этот
второй член. Плотность будет определяться не постоянной диффузии а*,
а оставшимися запаздывающими нейтронами.
Если Я достаточно велико, то гг>~ становится отрицательным, и цепная
реакция, оказывается неустойчивой — плотность будет неограниченно воз-
возрастать. Это происходит, когда
т. е. когда Я > x + Pi = X + ('n;a/02' или
A2.1.27)
Это требование совершенно очевидно: для развития цепной реакции необ-
необходимо, чтобы среднее количество нейтронов, возникающих в результате деле-
деления при одном столкновении, было больше, чем среднее количество ней-
нейтронов, поглощаемых при столкновении, плюс соответствующее количество
нейтронов, потерянных при диффузии из пластины. Поскольку нейтроны
теряются при поглощении и при вылете за пределы пластины, постольку
для осуществления цепной реакции нужно, чтобы коэффициент Я превышал
коэффициент поглощения х на величину (l/3)(ira/ZJ. Чем тоньше пластина
или чем больше постоянная диффузии а2, тем более «обогащенным» дол-
должен быть материал, чтобы могла развиваться цепная реакция. [Следует
заметить, что если бы на обеих гранях пластины имелись идеальные
отражатели нейтронов, то разложение решения производилось бы по коси-
косинусам, а не по синусам, в ряд входил бы член с п — 0, и развитие цепной
реакции начиналось бы при /? > х (при v? > %); потерь при диффузии не
было бы вовсе.]
Следует также отметить, что если все нейтроны возникают без запазды-
запаздывания (т. е. если а бесконечно), то решение принимает вид
п , / ппа VII
п=1
т. е. является решением уравнения A2.1.18) при g = i?p. В этом предель-
предельном случае, если Я больше критического значения, то р начинает сразу
возрастать. С другой стороны, если 8 мало (длительное запаздывание), то
A2.1.26) показывает, что р может первоначально убывать, даже если w\
отрицательно. Дело в том, что первое слагаемое в скобках есть величина,
убывающая по экспоненциальному закону, которая, однако, при малых t
•больше второго слагаемого, если только 8 достаточно мало. Плотность р
сначала убывает, пока второе возрастающее слагаемое не достигнет тре-
требуемого значения, т. е. пока запаздывающие нейтроны не накопятся в ко-
количестве, достаточном для осуществления цепной реакции.

556 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
Замедление частиц. Чтобы учесть тот факт, что нейтроны, возникаю-
возникающие при делении, должны быть замедлены, для того чтобы они в свою-
очередь вызвали возможно больше новых делений, мы должны рассмотреть
решения уравнения диффузии B.4.54). Это уравнение выводится из сле-
следующих соображений: частицы с большими скоростями вводятся в среду,
которая вызывает их замедление, причем каждое столкновение вызывает
частичное уменьшение их энергии. При этом интенсивность процесса диф-
диффузии частиц из вещества наружу можно характеризовать средним коли-
количеством столкновений, испытываемых частицей с момента ее появления.
Если, например, частицы, обладающие большой энергией, будут вводиться.
в заданной точке среды, то более медленные частицы будут обнаружены
в других местах; чем медленнее частицы, тем больше будет область их
распределения. Формула B.4.54) выражает именно такое поведение; оно-
будет вновь рассмотрено в § 12.2.
Безразмерный параметр, называемый возрастом частицы
^1П 1П, v ve
mQm v т, v г
(где mQnJMQ = i\ есть средняя относительная потеря скорости при одном
столкновении), характеризует среднее число столкновений, испытанных ча-
частицей скорости v, если она была введена в среду со скоростью vx. [Мы предпо-
предполагаем для простоты изложения, что MQ/mQm в. нашем случае не зависит
от v,- хотя B.4.53) показывает, что рассмотрение может быть подобным же
способом проведено, если это условие и не выполнено.] Величина, которая
соответствует здесь плотности распределения,
Ф = "tQmP'p/M = PSV p(o)
есть полное число частиц, находящихся в единице объема, скорость кото-
которых больше чем v (возраст меньше х или импульс больше чем p = mv)
в начале данной секунды и меньше v (возраст больше чем х) в конце
той же секунды. Поэтому пространственное распределение вводимых частиц
с большими скоростями соответствует начальному условию для ф. Как мы
скоро увидим, х пропорционально времени, когда X постоянно (Х = l/ntQ).
Уравнение для определения пространственного распределения ty и за-
зависимости его от возрастного параметра т, согласно B.4.54), имеет вид
^==^.Х»Т«ф-х,ф, A2.1.28)
где X есть средний свободный пробег частиц с большой скоростью (пред-
(предполагаемый здесь постоянным, что, однако, необязательно для того, чтобы
уравнение удовлетворялось), а безразмерная постоянная %{ равна доле-
частиц, поглощаемых средой при каждом столкновении. Решения этого
уравнения, конечно, совершенно аналогичны полученным нами ранее;.интер-
ранее;.интерпретация их, однако, несколько иная. Например, если частицы «создаются»
на глубине xi внутри пластины толщины 2, так что количество вводимых
в секунду в единице объема частиц с начальной скоростью ьг есть 8 (х— ж{),.
то величина ф для скорости v определяется формулой
(
71=1
а плотность распределения частиц, имеющих скорость между v и v-\-dvr
определяется из соотношения тр\ {v) dv = P (v) dv, где
п=1

12.1. Решения уравнения диффузии 557
Если 2kj > A/3) (-гсХДJ + *{, то в соответствии с полученным решением должно
быть бесконечно много частиц, скорость которых равна нулю; в этом случае
частицы замедляются так быстро, что они не могут достаточно интенсивно
диффундировать из пластины. Фактически, по различным причинам, этого
никогда не случается: прежде всего условия, при которых выведено уравнение
A2.1.28), не выполнены в предельном случае исчезающего v; кроме того, tj
обычно достаточно мало, так что данное условие никогда не реализуется.
Деление, диффузия и замедление. Возвратимся к пластине из делящегося
материала. Если плотность распределения частиц, обладающих скоростью,
достаточно низкой для того, чтобы они могли вызвать деление, равна
р (ж, t), то в соответствии с определением R в одну секунду в единице
объема в результате деления возникает Up(х, t) нейтронов. Эти нейтроны
должны быть замедлены до того, как они смогут вызвать дальнейшее
деление, и при этом замедлении некоторые из них диффундируют, погло-
поглощаются или уходят за пределы пластины. Таким образом, под р мы будем
донимать плотность распределения только тех нейтронов, которые способны
вызвать деление. Обычно, сюда включаются только медленные нейтроны,
т. е. нейтроны, скорость которых меньше, чем некоторая предельная ско-
скорость Dp. (Фактический критерий не так резок, но в первом приближении
мы предположим, что все нейтроны, скорость которых меньше чем v9,
могут произвести деление, а нейтроны с большей скоростью —не могут
и в р не включены.) Из проведенного выше рассмотрения процесса замед-
замедления мы заключаем, что если плотность возникающих при делении
быстрых нейтронов (со средней скоростью vt) есть Rp(xif 1г), то в одну
-секунду в точке х в распределение р включается количество нейтронов,
¦равное
я
тг=1
sin - '' ° ' 1
. Г ППХ \ Г V
т. е. столько нейтронов получают скорость, меньшую чем ve.
Средний промежуток времени, потребный для замедления нейтронов
от скорости vt до »р, получается при использовании выражения %/v для
среднего времени свободного пробега — среднего промежутка времени между
двумя столкновениями. Бесконечно малый промежуток времени dt связан
с соответствующим числом столкновений dt соотношением
dt = (k/v) di = - (Vrp2) dv,
>и среднее запаздывание во времени будет равно
,_, -AfJ 1Л „-mQ™
li ~ т] L vf vi J ' ц~ MQ
(пока Я совершенно не зависит от v). Если v^ > v9, то приближенное зна-
значение этого среднего запаздывания %/r\ve значительно больше, чем сред-
среднее время между столкновениями %/vp замедленных нейтронов, но обычно оно
меньше, чем среднее запаздывание вновь возникающих нейтронов. Если мы
предположим, что среднее запаздывание (которое по крайней мере так же ве-
велико, как Vil^p) есть 1/а, то приближенное выражение для числа нейтро-
(нов, входящих после их замедления в распределение р (х, t), имеет вид

558 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
[см. A2.1.25)]
2 {«Кп ] е—*4 \ p(«l,i-.)ein(J^-)cfal
1 О О
71=1
где
a = бУрД < т]УрА-
Эта величина Rn меньше R, потому что некоторые нейтроны были погло-
поглощены или диффундировали из пластины прежде, чем они успели настолько»
замедлиться, чтобы войти в распределение р (х, t).
Если теперь вновь применить метод преобразования Лапласа, подста-
подставив в A2.1.25) вышеприведенное выражение на место предпоследнего-
члена и приняв q = б {х — х0) e~pt, то мы сможем, как и ранее, получить-
решение A2.1.25), положив
m=l
причем коэффициенты Ап определяются из соотношений
отличающегося от ранее полученного уравнения только тем, что вместо-
R в нем фигурирует Rn. Следовательно, мы можем целиком использовать-
метод, приведший к A2.1.26), заменив в окончательной формуле R на Rn
(Rt в первом члене ряда, i?2 во втором члене и т. д.).
Решение для нейтронов, мгновенно введенных при t = 0 в точке х0*
когда учитывается (приближенно) эффект замедления, определяется рядом
A2.1.26) после подстановки Rn в п-й член (а также в Wn и wu) вместо/?.
Изучение поведения решения ведется так же, как и ранее. Цепная реак-
реакция может начаться только при ^?i > X + Pi или
v > A/0
причем R = vZ,v9/'k, а2 = A/3)урЯ и % = y.v9/K. При этом мы допускаем, что-
х может быть различным для медленных (v < v?) и быстрых (v > ve) ней-
нейтронов. Таким образом, нейтроны, полученные в результате деления, могут
потеряться двумя способами до того, как они получат возможность вызвать,
дальнейшее деление: некоторые нейтроны теряются вследствие поглощения
или диффузии из пластины в процессе замедления (эти потери описываются
множителем vt/v9, являющимся преобладающим множителем, если vt > ve),
другие теряются уже будучи замедленными, так как даже тогда, когда
замедление достаточно для того, чтобы вызвать деление, только малая доля ч
всех столкновений фактически приводит к делению. [Эти потери описыва-
описываются множителем Хр/? + A/ЗС)(пХДJв нашем неравенстве.] Так как добычно
значительно больше, чем ve, то и4/т] должно быть весьма малым и I \^у\ должно-
быть несколько большим чем %; в противном случае, чтобы цепная реак-
реакция могла начаться, потребовались бы чересчур большие значения v.
Поскольку т] — часть энергии, теряющаяся при каждом столкновении, —

12.1. Решения уравнения диффузии 559
приблизительно пропорциональна отношению масс соударяющихся нейтрона
и атома-мишени, материал пластины должен содержать в большом количестве-
легкие атомы, причем эти атомы не должны поглощать нейтроны (и мало).
Во всяком случае, чтобы цепная реакция могла начаться при осущест-
осуществимых v, толщина пластины I должна быть значительно большей, чем сред-
средний свободный пробег Я.
Общий случай, диффузионное приближение. Мы можем теперь обоб-
обобщить полученные результаты и рассчитать цепную реакцию в куске одно-
однородного материала любого размера и формы. Решим уравнение Гельмгольца
при краевом условии, согласно которому р равно нулю на поверхности,
отстоящей на расстоянии, равном 0,71 среднего свободного пробега ней-
нейтрона, от истинной границы материала (во внешнюю сторону). Найдем после-
последовательность собственных значений кп (соответствующих пп/1 для пластины),
последовательность собственных функций ф„(г) [sin (nnx/l) для пластины]
и их нормирующие постоянные Лп. Для характеристики рассматривае-
рассматриваемого процесса существенны следующие свойства материала (мы повторяем^
наши определения): средняя длина свободного пробега нейтронов К (пред-
(предполагаемая независимой от v), средняя скорость vt нейтронов, возникающих
при делении, средняя скорость v9, ниже которой нейтроны могут вызвать
деление, относительная потеря скорости т] при каждом столкновении в про-
процессе замедления (т] ~ т/М), доля столкновений х, при которых нейтрон
поглощается без деления (xt для быстрых нейтронов и *9 для тех, у кото-
которых скорость меньше чем v?), среднее запаздывание l/a = %/v98 F < ц)
появления остающихся в распределении замедленных нейтронов и, наконец,
частота возникновения R нейтронов при делении, вызванном нейтроном, имею-
имеющим скорость, меньшую v9. [Эта частота равна произведению v9/K на долю
X, столкновений, вызывающих деление, и на среднее количество v нейтро-
нбв, полученных при каждом делении (В = viv9/K).]
Плотность вызывающих деление нейтронов в точке г в момент t > 0,
образующихся при введении в точке г0 при t—О одного медленного ней-
нейтрона, равна при этом
(Г°)К(г)/^
Х [(-^ш"-б)е~ш"'+ F~-^w~n)e~wilt ]• A2.1.31)
причем учтены (приближенно) эффекты диффузии, поглощения, деления,
запаздывающего испускания и замедления. При этом
где 6 = ak/v9 есть отношение среднего времени между столкновениями к
среднему запаздыванию нейтронов деления (б < г\) (см. выше) и
— vtv д,\AЛ1) '*"
есть среднее количество нейтронов, возникающих при делении, которые
избегают поглощения или потери от диффузии из реактора и, замедлив-
замедлившись, присоединяются к распределению медленных нейтронов соответст-
соответственно n-й парциальной волне.
Если второй показатель деления w\ для самой низкой формы волны
"W (^1 < ^n» n > 1) окажется отрицательным, то функция распределения
в конце концов достигнет значений, необходимых для развития цепной

560 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
реакции. Это будет иметь место при
5 w*I+-i) . A2.1.32)
Если и выбрано так, что гю\ точно равно нулю, то установившаяся
плотность р соответствует первой собственной функции tylt так как все
остальные слагаемые ряда A2.1.31) быстро затухают со временем. Посколь-
Поскольку кх обратно пропорционально наименьшему диаметру реактора, то, для
того чтобы неравенство A2.1.32) могло быть выполнено, размеры реактора
должны быть значительно больше среднего свободного пробега К.
Нагревание шара. Решение задач диффузии для конфигураций, отлич-
отличных от пластины с параллельными гранями, осуществляется уже зна-
знакомым нам способом. Мы рассмотрим здесь только один случай —шар
радиуса R. Рассмотрим, например, теплопроводящий шар, медленно
вращающийся перед источником тепла (Земля и Солнце). В этом случае
краевое условие состоит в задании потока энергии, поглощаемого
поверхностью. Если ось вращения совпадает с осью z (z = r cos ft), а излу-
излучение исходит из точки, находящейся на большом расстоянии в положи-
положительном направлении оси х (x = r sin ¦& cos <p), то поток тепла через граничную
поверхность будет равен /0 sin ¦& cos <p. Однако если оси координат жестко
связаны с шаром, вращающимся вокруг оси z с угловой скоростью со, то
поток тепла через поверхность r = R равен /0 sin ft cos {mt — <p). Распределение
температуры внутри шара дается решением уравнения A2.1.1), при усло-
условии, что произведение * на радиальную составляющую градиента решения
при r=R равно заданному потоку тепла. Это решение есть действитель-
действительная часть функции
tCD r/aj sin ft fH*-**\ A2.1.33)
где j\ — сферическая функция Бесселя, /[—ее производная и С —удель-
—удельная теплоемкость материала (а2 = х/рС). При этом, очевидно, предполагает-
предполагается, что тепло, поглощенное на нагреваемой стороне шара, вновь излуча-
излучается другой стороной. Всякий избыток поглощения или отдачи тепла должен
быть связан с наличием в решении непериодического члена, о чем будет
«ще речь ниже.
Если со мало по сравнению с a2/i?2 = ж/pCR2, то при г < Л аргумент
/j мал, а для таких значений аргумента ]\(z)~ A/3)z и /',(z)~l/3.
Следовательно, для со/?2<о2
Re [ф (г, о)] ~ (/0/х) г sin Ф cos (<р — wt) — (/0/и) [х cos Ы + у sin wt].
При этом градиент температуры постоянен вдоль радиуса шара и на-
направлен в сторону источника. С другой стороны, если угловая скорость ш
велика по сравнению с a?/R2, то j\(z) ~ — A/z) cosz~ —(l/2z)e~iz для
= \fiu>(r/a), и г, близкого к Л, а Ц j(z) ca (z'/2z) e~iz. Следовательно, если
^ а и R — г <? R, то распределение температуры определяется как
-1/
е
|ш(Д-г)/а
Это выражение можно интерпретировать как волну, распространяющуюся
с фазовой скоростью |/2х(о/рС и с длиной волны |/8iAt/pCto . Эта волна быстро
затухает по мере удаления от поверхности: ее амплитуда уменьшается
в е~2п раз при смещении на каждую длину волны. Фронт волны вращается
вместе с шаром, отставая от него по фазе на 45°.

12.2. Функции распределения для задач диффузии 561
Если, с другой стороны, весь шар облучается равномерно, т. е.
поток энергии пропорционален разности между температурой окружающей
среды и температурой поверхности шара, то можно воспользоваться сфе-
сферически симметричным решением уравнения A2.1.1). Если краевое усло-
условие имеет вид д^/дг = h (e-i<ot — ty) при 7=R, то температура внутри шара
равна действительной части функции
ф/г щ) = •**** sui (Vi^г/a)/sin (У1^Rfa) ^_.m, A2 134)
Y ' г (у iwR/a)ag(yia>R/a)—l+Rh ' К
Если облучение начинается, с момента t = 0 так, что до этого момента
шар имел нулевую температуру, а после этого момента обогреватель имеет
температуру, равную единице, то последующая температура шара в точке
г в момент t будет выражаться формулой
Этот интеграл можно, как обычно, вычислить при помощи вычетов.
Наконец, если каким-нибудь образом сферическая поверхность г = г0
нагревается периодически, так что плотность поглощенной энергии равна
о (г — r0) e'~i№t, то соответствующая функция Грина
ara
Uo R/a)
A2.1.35)
может быть использована для вычисления распределения температуры
при переменном внутреннем нагреве и нулевом граничном условии. Методами,
которые мы считаем теперь уже известными, мы вычисляем нестационарную
температуру, обусловленную мгновенным поглощением энергии 8 (г — r0) S (t)
поверхностью г = г0 при t = 0:
^) в-<«™»/я>\ t> 0. A2.1.36)
Тогда температура в точке г в момент t, вызванная поглощением энергии
с плотностью P(r, t)u{t), при нулевых начальных и граничных усло-
условиях равна
t R
T(r,t)=\dx[p (/¦„, х) 94 (г | г0 | г- -с) dr0.
6 о
Отсюда можно, например, получить распределение температуры внутри
Земли при нагревании радиоактивными источниками, распределенными
любым образом по радиусу и во времени.
12.2. Функции распределения для задач диффузии
Во многих случаях приближение, описываемое уравнением диффузии,
бывает недостаточным; по этой причине мы постараемся проанализировать
атомистические детали процесса диффузии глубже, чем это было возможно
сделать в предыдущем параграфе. Для этого мы должны вернуться к

562 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
рассмотрению функции распределения / (r,p,Z), описывающей плотность
частиц в элементе фазового пространства, соответствующем положению г,
импульсу р и времени t, т. е. поля в шестимерном (не считая времени)
фазовом пространстве. Общие свойства этой функции были рассмотрены
в § 2.4. Мы исследуем сейчас некоторые методы, с успехом применяемые
для вычисления функции /, и укажем решения нескольких типичных
и практически интересных задач.
Сосредоточим внимание в первую очередь на одномерных задачах,
соответствующих задаче о «пластине» из предыдущего параграфа. Многие
важные примеры мало отличаются от такой схемы, причем, ограничиваясь
Рис. 12.1. Углы и векторы скоростей, входящие в урав-
уравнение переноса.
ею, мы избегаем чрезмерного количества индексов и алгебраических труд-
трудностей, которые могли бы только заслонить суть дела. Мы не будем также
учитывать обмен энергией при столкновениях и влияние на частицы элек-
электрических, магнитных и тому подобных сил. Таким образом, для начала
мы можем считать, что все частицы имеют одинаковую (по абсолютной
величине) скорость, а в результате столкновений меняется только направ-
направление их движения.
При всех этих ограничениях получающаяся функция распределения
зависит только от одной координаты х, времени t и угла & между направ-
направлением движения частицы и осью ж и не зависит ни от каких других
возможных переменных. Другими словами, величина / {x,p,t) dx d\x есть
число частиц, находящихся в момент времени t внутри призматической
пластинки с площадью поперечного сечения, равной единице, расположен-
расположенной между плоскостями х и х + dx, и движущихся в направлении, обра-
образующем с осью х угол &, косинус которого заключен между р. и ц-fdu.
В соответствии с B.4.16) и B.4.35) и рис. 12.1 уравнение для / будет
иметь вид
-^-/(Ж, fi, t)+p.V-^f(x, fX, t) =
(»', 0 dQ'+S(x, ?, t), A2.2.1)
где п, есть среднее число атомов-мишеней (или молекул, или ядер)
в 1 см3, ?—средняя плотность частиц, возникающих в одну секунду
в 1 см3 с направлениями движения, заключенными между jj. и fi + ^fi,
v — средняя скорость частиц и f» = cos&. Величина о описывает угловое
распределение упруго рассеиваемых частиц, так что
<?e = 2,c^o(#)sin
о
есть поперечное сечение упругого рассеяния на атомах-мишенях частиц,
имеющих скорость v. Величина Qt = Qj% есть полное поперечное сечение,

12.2. Функции распределения для задач диффузии 563
включая возможное поперечное сечение поглощения, так что х <; 1 есть
средняя доля оставшихся частиц, а 1-х —доля частиц, поглощенных
при столкновениях. Коэффициент % иногда называют коэффициентом
альбедо, так как он определяет отражательную способность (называемую
альбедо) слоя материала.
Мы можем теперь принять среднюю длину свободного пробега l/ntQt
[см. уравнение B.4.12)] за единицу длины, а среднее время свободного
пробега l/ntQtv— за единицу времени и выразить длину и время в этих
единицах. Положив 5 = ntQtx и т = ntQtvt, получим
а F') /(g, [/, х) dQ' + s(?, fx, x), A2.2.2)
где s =S/ntQtv, a а F') = о F')/(?е — фактор углового распределения, нор-
нормированный к единице так, что
Определим теперь вид функции /, получающейся при различных предпо-
предположениях относительно а и вида функций источника s для различных
краевых условий.
Однородное пространственное распределение. Для начала предположим,
что границы рассматриваемой области настолько удалены, что их влиянием
можно пренебречь и что функция источника s не зависит от х (однородное
пространственное распределение источников). Тогда / также не зависит
от х. Если, кроме того, характер возникновения частиц изотропен, так что s
не зависит от р., то / не будет зависеть и от р., и задача станет тривиаль-
тривиальной. Уравнение переноса A2.2.2) принимает вид
% + (!-*) f=s(x).
Его решением является
[^] A2.2.3)
где начало отсчета % выбрано так, что s (т) = О при z < 0.
Характер решения существенно зависит от величины 1 — к, т. е. от
доли частиц, поглощаемых при столкновениях. Если эта величина больше
нуля, то / остается ограниченным при всех значениях -с (если только s не
возрастает до бесконечности). До тех пор пока некоторые частицы погло-
поглощаются, будет существовать конечное значение /, достаточно большое
для того, чтобы количество частиц, поглощаемых за единицу времени,
A — *)/, могло бы уравновесить s — количество частиц, вводимых за
единицу времени. Если, с другой стороны, ни одна частица не поглощается
(коэффициент альбедо % = 1), то
и, поскольку s неотрицательно, / стремится к бесконечности. Частицы не
поглощаются, и все вводимые частицы остаются в среде бесконечно долго.
Если непрерывно вводятся все новые частицы, то плотность неограниченно
возрастает.

564 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
Если s не изотропно по отношению к направлениям вводимых частиц,
то следует принять во внимание угловую зависимость частиц, рассеянных
при столкновении (зависимость а от &). Наиболее естественный метод
решения таких задач состоит в разложении функции распределения в ряд
по сферическим гармоникам. Если, например, функция источника симме-
симметрична относительно некоторой оси, которую можно принять за ось х, то
эта ось будет также осью симметрии для распределения /. Следовательно,
мы можем положить
со со
/ (Ш *) = 2 Fn (х) Рп fa), * fa, X) = ^ Sn (х) Рп fa),
п=0 п=0
где fi = cos 9- (см. рис. 12.1). В этих формулах коэффициенты Sn (х) изве-
с тны, а функции Fn (х) подлежат определению. Функция рассеяния а также
может бить разложена по сферическим гармоникам угла 6', образованного
векторами v' и v (см. рис. 12.1):
и=0
n=0 m=0
1
An = 2tz ^ а (arc cos \i) Pn (H) p
Чтобы удовлетворить нормировочному условию 2я\ acffi=l, следует при-
принять Ао равным единице.
Подстановка всех этих рядов в уравнение A2.2.2) (если можно пре-
пренебречь членом с д/д^) приводит к последовательности уравнений
Fn + (i-*An)Fn = Sn(*), n>0.
Эти уравнения могут быть решены аналогично уравнению A2.2.3). Напри-
Например, для случая, когда и / и s равны нулю при х^О, мы имеем
/ (щ -с) = е- ^ еУ ^ e^n^-v) Sn (у) Рп fa) dy =
n=0
т т со
= е- ^ e*s fa, у) dy + е-* J ё» 2 [e^'-M - 1] Sn {у) Рп fa) dy. A2.2.5)
О 6 n=0
Если х мало по сравнению с единицей (т. е. если при столкновениях
большинство частиц поглощается), то вторая форма решения является более
удобной, ибо в этом случае второй член в ней мал и
/ fa, х) ~ е-* \ evs fa, y)dy + xet \ е* 2, (х - У) AnSn (у) К Ы dy, Aa = l.
О 0 п=0
Тем самым в том случае, когда только немногие частицы рассеиваются
упруго, функция распределения / в любой момент времени есть своего
рода усредненная по величине и направлению функция источника s.
Усреднение проведено по времени предшествующего свободного пробега
(единичный интервал х) и еще добавляется поправочный член, зависящий

12.2. Функции распределения для задач диффузии 565
от углового распределения упругого рассеяния (т. е от Ап). Таким
образом, среднее время свободного пробега играет роль времени релак-
релаксации для функции распределения.
Если коэффициент альбедо х не очень мал, но функция углового рас-
распределения а F') не сильно зависит от угла рассеяния 6', то все Ап, за
исключением первого, будут малы, и хорошим приближением для функции
распределения служит выражение
/(fi, t)~e<-«>* ^ eU-*vS0(y)dy + e-' $e«[*(f*. У) ~^0{у)]Aу,
о о
1
1 С
где So (х) = -х- \ s (fi, t) rfp. есть среднее значение s по всем углам в момент
-1
времени ъ. Время релаксации для составляющей, зависящей от угла, сов-
совпадает со средним временем свободного пробега. В этом случае состав-
составляющая, зависящая от угла, приходит в равновесие с распределением
источника значительно быстрее, чем изотропная часть.
Если s(fi, -с) имеет некоторую асимптотическую форму, которая, начи-
начиная с ъ = Т, не зависит от -с, то функция распределения достигает уста-
установившегося состояния по прошествии времени, несколько более длитель-
длительного, чем !Г + A—х). Это установившееся распределение может быть
представлено в виде
со
:s(fi, Г) + *2 ДА» (Г)/\,
п=0
Вторая формула показывает, что если большинство частиц при столкно-
столкновениях поглощаются, то асимптотическая форма для / почти та же, что
для распределения вводимых частиц s. С другой стороны, если поглоще-
поглощение мало A —х< 1), то третья формула показывает, что когда рассеяние
почти изотропно, то и установившееся распределение почти изотропно.
Заметим, что если поглощения вовсе нет (к=1), то не может быть уста-
установившегося состояния, так как, по мере того как вводятся частицы,
количество их неограниченно возрастает.
Приближения для рассеяния вперед. В следующем параграфе
[см. A2.3.60) и след.] будет показано, что при больших скоростях угловое
распределение заряженных частиц, рассеянных атомами, приблизительно
пропорционально [1 + A/2) (с/иJ sin2 (&/2)]", где v есть скорость падающей
частицы, 9- — угол ее упругого, рассеяния и и— постоянная, определяемая
свойствами частицы и атома-мишени. Когда v много больше чем
и, почти все рассеяние сосредоточено в направлении «вперед», т. е.
в телесном угле &<(l/2)iu. В таких случаях полезно сконцентрировать
внимание на области, близкой к & = 0, и, следовательно, производить вы-
вычисления в плоскости, касательной к единичной сфере при 9- = 0. Другими
словами, вместо интегрирования по &' и <р' можно интегрировать по р'
и ф', где p' = 2tg(&'/2). Ошибка такого представления будет велика
в области р > 2, но если боковое рассеяние и рассеяние назад незначи-
незначительны, то общая ошибка будет незначительной. Критерием применимости

566 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
указанного приближения служит следующее условие: при р > 2 (& > т/2)
значения / должны быть пренебрежимо малы по сравнению со значениями /
при р < 2 (при &, близких к нулю).
Когда это условие выполнено, можно ввести в касательной плоскости
прямоугольные координаты р = р cos 9 и -ц = р sin <p и разложить соответ-
соответствующие функции по полиномам Эрмита от р и ij. Так, например, очень
хорошим приближением для фактора углового распределения рассеяния
при больших скоростях может служить
"V"'— Пи* " — ЯМ2 "
где ж = Bо/гг) tg (&/2) cos 9 и у = Bо/гг) tg (&/2) sin 9. Элемент площади на
касательной плоскости, соответствующий dQ = sin 8- d& с&р на единичной
сфере, приближенно равен (u/vJ dx dy, так что интеграл от произведения а
на (u/vJ dx dy по касательной плоскости будет равен единице.
Чтобы провести интегрирование в A2.2.2), выразим координаты &, ср
и &', <р' через прямоугольные координаты х, у и х', у'; тогда относитель-
относительные координаты, соответствующие 6', будут х — х' и у—у'. Представим
далее / и s через полиномы Эрмита
/ = 2 e~(^v*Wmn (т, ?)Н2т(х)Н2п (у),
s = ^ e-(-2+^mn (т, ?)
т,
Мы использовали только четные полиномы, ибо и / и s предполагаются
симметричными относительно начала (по той же причине Fmn = Fnm и
с с \
Если теперь мы сможем выразить функцию а F') под знаком интегра-
интеграла через полиномы Эрмита от х', то получим соотношения, связывающие
коэффициенты Fmn с коэффициентами Smn. Функция а F'), выраженная
через координаты х', у' начального и х, у конечного направления скорости
частицы, имеет вид
а F') = (vVnu2) e-(x-x-J-(v-v')\
Необходимые соотношения вытекают из рассмотрения производящей функ-
функции полиномов Эрмита
~в 2л т\ Пт(х)
т m,s
Подставим в интеграл это соотношение и аналогичное соотношение для
у, у'. После интегрирования по х', у' в вышеуказанной сумме останутся
только члены с четными значениями т. Приравнивая коэффициенты при
многочленах Эрмита с одинаковыми индексами в обеих частях равенства, мы
получим в конце концов (приближенные) уравнения
TzFmn + ~Fmn + (l-*)Fmn~* % ^ш +Smn, A2.2.6)
s,t
где суммирование производится по всем s, меньшим чем /ге+1, и по всем
/, меньшим чем и + 1, за исключением члена с s = t = O, который перенесен
в левую часть уравнения.
Мы предположили, что v достаточно велико по сравнению с и, так
что fi = cos & ~ 1 — A/2) (u/iif1 (ж2 + ?/2) может считаться приближенно равным

12.2. Функции распределения для задач диффузии 567
единице в той части плоскости х, у, где F заметно отличны от нуля. Та-
Таким образом, для распределений, при которых рассеяние происходит
лишь на малые углы, расстояние внутри пластины ? и время t равнозначны
друг другу [уравнение A2.2.6) симметрично относительно ? и х].
В качестве примера рассмотрим установившийся пучок частиц, пада-
падающих на грань ? = 0 пластины, проникающих в нее и рассеивающих-
рассеивающихся при проникновении. В этом случае / зависит только от ?, х и у и не
зависит от т. Чтобы не вводить сложных краевых условий, можно считать,
что частицы вступают в распределение лишь после первого столкновения.
Если в падающем пучке имеется /0 частиц в секунду на единицу площа-
площади (в единицах квадрата среднего свободного пробега), движущихся в
направлений !• (по нормали к грани пластины), то интенсивность неоткло-
ненных частиц на расстоянии ? свободных пробегов от поверхности равна
/ое~4. Распределение частиц сразу же после первого рассеяния (в соответ-
соответствии с нашей договоренностью это «возникающие» частицы) будет равно
s (Е, х, у) = /ое- =<х (&) = {v
ЕЛИ
Выражение для Foo тогда имеет вид
Эта величина линейно возрастает от нуля при ? = О, проходит через макси-
максимум и затем убывает до нуля пропорционально экспоненте е-^~'^, кото-
которая убывает медленно, если коэффициент захвата 1 — v. мал.
Можно вычислить также и другие члены ряда для /. Приведем не-
несколько следующих членов:
VI
о о
;i - 1 1 Щ
ио
X
х \ rf«- \ \ Л^ р-
VI V2 V3
о О L384° 3 1.128е +32 Г , ^ и тд_
Все Fmn с одинаковым значением т, -\-п пропорциональны друг другу
(это соответствует требованию, чтобы / была функцией только от х2-\-у2,
а не от х2 или у2 в отдельности). Все эти Fmn, за исключением Foo, при
малых 5 возрастают пропорционально ?2, а при больших 5 пропорциональны
Если поглощения нет (у. = 1), то эти ряды расходятся, ибо каждый
член неограниченно возрастает вместе с возрастанием ?. В этом случае
для каждой частицы после некоторого числа столкновений вероятность
движения под большими углами & станет большой, и первоначальное пред-
предположение, согласно которому большинство частиц движутся почти парал-
параллельно оси z (чем оправдывается рассматриваемое приближение), не вы-
выполняется. Если же, однако, имеется заметное поглощение (v. < 1), то

568 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
ряды не расходятся, так как большинство частиц поглощаются ранее, чем
они успевают в результате рассеяния заметно отклониться от направления
оси ?. (Сравнить с задачами 12.14—12.16.)
Тот же способ решения может быть применен и в случае нестацио-
нестационарного процесса, когда приг = 0в пластину вводятся частицы, первоначаль-
первоначально двигавшиеся параллельно оси ? в положительном направлении. Рас-
Распределение расплывается и среднее отклонение от направления | неогра-
неограниченно возрастает, если у. = 1 (поглощения нет), но остается ограничен-
ограниченным, если х < 1. Однако мы затратили уже достаточно времени на рас-
рассмотрение слишком схематизированных задач; теперь следует перейти к
более общим функциям распределения.
Общие рассмотрения, стационарные случаи. Стационарное уравнение
для функции распределения в случае, когда / зависит только от одной
пространственной координаты и когда внутри области нет источников, по-
получается из A2.2.2) и имеет вид
V- (д№) f (?, ц, 9) + / E, tb 9) = ^ «. V-, ?)• A2.2.7)
Расстояние ? измеряется в единицах среднего свободного пробега \/ntQlr
8- = arc cos fi есть угол между вектором скорости и осью л (т. е. осью ?),
а ср —угол между плоскостью v, х и плоскостью х, у. Функция
R (&, fx, ср) =
есть число частиц, включающихся в распределение при (?, р, ср) за среднее
время свободного пробега вследствие столкновений, и может быть названа
восстанавливающей функцией столкновений. Постоянная х = QjQt есть ко-
коэффициент альбедо, а а — фактор углового распределения упруго рассеянных
частиц, нормированный так, чтобы
a(&)sin»d&=l.
Через 6' обозначен угол между направлениями скорости до (соответству-
(соответствующей &', ср') и после столкновения (соответствующей &, ср):
cos 6' = cos 8-' cos & + sin &' sin 8- cos (cp — cp').
Когда а выражен через сферические гармоники [аналогично A2.2.4)]:
71=0
то для обеспечения нормировки а коэффициент Ао должен быть равен
единице. Для изотропного рассеяния все Ап равны нулю, за исключением
Интеграл от /, распространенный на все направления, р (?) =
= \ \ / (?> fb ф) dy dp, дает плотность частиц на расстоянии 5 от границы.
Средний поток частиц в направлении I в любой точке пропорционален
Интегрируя равенство A2.2.7) по ц и <р, мы получим [используя A2.2.4)
и интегрируя сначала по р, ср]
= - A - *Л0) р F) = - A - х) р (?), A2.2.8)

12.2. Функции распределения для задач диффузии 569
т. е. уравнение непрерывности для частиц. Если 1 — * = 0, то частицы не
поглощаются, и поток J не зависит от ?. Если частицы поглощаются
(у- < 1), то (при отсутствии источников) поток / убывает с возрастанием ?.
Другим интегральным инвариантом движения частиц является второй,
момент распределения
Если средний поток / аналогичен дипольному моменту распределения,
то К аналогичен квадрулольному моменту. Если все частицы движутся
под прямыми углами к оси х, то К равно нулю; если все они двужутся
параллельно оси х (безразлично в положительном или отрицательном на-
направлении), то К достигает своей максимальной величины для данного р.
Уравнение для К можно получить, умножая A2.2.7) на р и интегри-
интегрируя:
Разложив а F') в ряд по сферическим гармоникам [см. A2.2.4)] и инте-
интегрируя сначала по р и ср, приводим интеграл к виду
так что уравнение для второго момента распределения примет форму
(d/dl) К E) = - A - %AJ J (Е). A2.2.9)
Если нужно, то можно продолжить эти рассуждения и построить после-
последовательность уравнений для высших моментов, причем каждый следую-
следующий момент будет выражен через предшествующий момент, коэффициент
альбедо у. и коэффициент в разложении углового распределения а F).
Обычно, хотя и не всегда, коэффициенты Ап меньше единицы, так что ни
один из высших моментов не оказывается независимым от ?.
Можно представить себе метод решения, основанный на следующей
процедуре. Разложим / по сферическим гармоникам:
/ E, &, ?) = 2 [Fmn cos (mcp) + F°mn sin (m<p)] P% (cos &),
m,n
P (E) = 4*Fm, J(*) = y «Fol, К (?) = A- *F00 + ^ *F02 и т. д.
Подставив эти ряды в уравнение A2.2.7), используя разложение A2.2.4)
и соотношение
рт , ) = п-т + 1 _п+т
" п "' 2и4-1 "+ " ' 2n-|-l «-1 "''
мы в конце концов придем к системе совместных уравнений для коэффи-
коэффициентов Fmn{$)
d F I 2и + 3 ,, . ,p i 2n + 3 и —m d „ ,.? ? 4f).
и к аналогичной системе для коэффициентов .fmn-
.Ложно пытаться найти /, вычисляя последовательно Fmn. К сожалению,
однако, обычно бывает не легко выразить через Fmn краевые условия на
граничной поверхности. Пусть, например, пластина полубесконечна и
представляет собой среду, заполняющую все полупространство ? > 0.
Предположим, что на поверхность S = 0 падает поток частиц, движущихся
в положительном ^-направлении. Распределение / при ? = 0 имеет следую-

570 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
щую сложную форму: для fi > 0 оно описывается выражением /ойA — р-)
(представляющим распределение падающих частиц), но при р < 0 оно не
равно нулю и неизвестно (в него входят частицы, претерпевшие в среде одно
или больше столкновений и выброшенные из нее). Фактически во многих
задачах желательно изучить именно поведение / @, р, <р) для р- < 0, так
как оно дает угловое распределение частиц, диффузно отраженных от по-
поверхности среды. Тем не менее указанные выше решения полезны при
описании предельного случая в области, находящейся на большом расстоя-
расстояний от границ (см. также задачи 12.8—12.13).
Предполагая, что зависимость Fmn от ? выражается показательными
функциями e~hi, мы сведем систему A2.2.10) к системе совместных алгеб-
алгебраических уравнений, из которых можно в принципе определить допусти-
допустимые значения к и соответствующие значения Fmn.
Однако из рекуррентных формул для Fmn замкнутое выражение для
к получить достаточно сложно, так что этот метод решения в дальнейшем
не будет рассматриваться.
Заметим, что подстановка выражения / = e~Kg (fi) в интегро-дифферен-
циальное уравнение A2.2.7) приводит к некоторым возможным решениям
в случае изотропного рассеяния (<х= 1/4я), так как в этом случае i?(?, fi,<j>)
не зависит от [л и
Подстановка g = G/(l — рк) в интеграл для jR дает
1
и для к получается уравнение
Пф. ' Arthfc * (IZ.Z.llj
Это уравнение совпадает с уравнением D.4.4), которое было изучено
для всех комплексных значений к/ж. На рисунках в гл. 4 можно увидеть
общие свойства корней к и характер их зависимости от х. Так, например,
при *=1 к равно нулю, или ± 4,493 i, или ± 7,725 г, или ± 10,904 i и
т. д.; при у. = 0,5 к равно ±0,9575, или ± 2,138 i, или ±3,798 г, или
± 5,406 i, но при v. = 0 к равно единице. Следовательно, решением A2.2.7)
для изотропного рассеяния при v. = 0,5 должно быть
^~0'66' Ce+°^6Z p cos B,14 6)-f 2,14^ sin B,146) ,
^ "f" l 1 + B14[лJ "Г---!
если только это выражение удовлетворяет краевым условиям при ? = 0.
Для у. = 1 (отсутствие поглощения) возможно другое простое решение,
даже если а зависит от 6. Подставив в уравнение A2.2.7) / = G(fi — к%),
можно показать, что к должно быть равно 1— Аг. Выразив G через пол-
полный поток / (который не зависит от ?, если у. = 1), мы получим
/ = C/4я)/[A-A-^N]. A2.2.12)
Это выражение также есть решение, которое не удовлетворяет обычным
краевым условиям. Мы, однако, увидим на стр. 576, что оно пригодно
как асимптотическая форма решения.
Интегральные соотношения между переменными. Можно, конечно, полу-
получить формальное решение уравнения A2.2.7), рассматривая R как известную

12.2. Функции распределения для задач диффузии 571
•функцию от ?, fi и <р и обращаясь с этим уравнением, как с неоднородным
уравнением по ?. В решение входит в качестве слагаемого решение однород-
однородного уравнения /0 (fi, ср) e~~~/v-. Эта часть при f* > 0 представляет те падаю-
падающие частицы, которые поступают в среду извне через левую грань, а при
fi < 0 —через правую грань. Так, например, для пластины, расположенной
между плоскостями ? = 0и^ = «, формальным решением уравнения A2.2.7)
является
/ (Е, - ц, ?) = / К - fb 9) е^/н- + A2.2.13)
(т], — fi, <p) е<г-^ dij, 0 < (i < 1,
Это решение пришлось, конечно, разбить на две части, соответствующие ча-
частицам с положительной и отрицательной ^-компонентой скорости. Это
необходимо потому, что мы можем задавать на поверхности только рас-
распределение входящих, но никак не выходящих частиц. Здесь, например,
мы задаем /@, ц, ср) и стремимся найти /@, — jj., ср).
Пара выражений A2.2.13), однако, не дает решения, поскольку само
R зависит от /. Эти соотношения дают интегральные уравнения для /, из
которых можно получить более простое интегральное уравнение для сред-
средней плотности р. Для изотропного рассеяния (<х= 1/4тс), например, R равно
4 так что / можно определить из соотношений
O<1*<1,
которые подобны B.4.19). Как упоминалось в § 2.4, первый член в верх-
верхнем выражении описывает остаток первоначального пучка, который про-
проник под углом arc cos jx через поверхность & = 0 и без столкновений прошел
?/[х средних свободных пробегов. Второй интегральный член описывает
привнос в функцию распределения тех частиц, которые имели свое послед-
последнее столкновение на некоторой глубине г, [поскольку они движутся вправо
([л > 0), т] должно быть меньше чем ?] и достигли глубины ? без даль-
дальнейших столкновений.
Наконец, зная, что функция распределения / может быть вычислена
(по крайней мере для изотропного рассеяния), если известна плотность,
мы можем составить интегральное уравнение для р. Это было уже сдела-
сделано в § 2.4 [см. B.4.20)]. Чтобы получить искомое уравнение нужно
только проинтегрировать равенства A2.2.13) по [л. Поскольку р(?) =
4 5 A2.2.14)
о
где

572 Гл. 12 Диффузия. Волновая механика
И
Это уравнение Фредгольма второго рода (см. гл. 8); если Ф = 0, оно
однородно, а если а—>оо, то получающееся уравнение B.4.20) назы-
называется уравнением Милна. Мы рассмотрим это уравнение несколькими
страницами ниже, а сейчас рассмотрим различные способы решения
уравнения A2.2.7).
Большая часть задач диффузий [типа, описываемого уравнением A2.2.7)],
которые мы будем рассматривать, сводится- к двум общим случаям. Один
случай—это случай очень толстой пластины (а—> со), в которую частицы
или вводятся с дальней стороны или образуются в пластине на некотором
расстоянии от поверхности ? = 0, так что в области ? < 0 нет других час-
частиц, кроме вышедших из пластины. К этому случаю сводится диффузия
света, возникающего внутри звезды, достигающего ее поверхности и
излучаемого вовне; в эту схему укладывается также задача о нейт-
нейтронах, проникающих сквозь защитный слой; эти нейтроны приходят с внут-
внутренней стороны слоя, причем некоторые из них достигают внешней поверх-
поверхности и выходят через нее наружу. Фактически к этой схеме приближен-
приближенно сводится любая задача о материале со свободной поверхностью, содер-
содержащем диффундирующие частицы, если только поверхность материала близка
к плоскости и плотность частиц зависит главным образом от глубины под
поверхностью (по крайней мере на участке, сравнимом с длиной несколь-
нескольких средних свободных пробегов) и если на эту поверхность извне не па-
падают никакие частицы. Такие задачи могут быть названы задачами о
диффузной эмиссии.
В этом случае мы принимаем а—» со, и, поскольку частиц, падающих
на поверхность Е = 0, нет, функция / @, fx, <р) (р > 0) в A2.2.13) равна
нулю. Вебь процесс симметричен относительно оси ?, так что / и R не
зависят от ср. В этих задачах нас обычно мало интересует поглощение ча-
частиц внутри материала; главным образом мы желаем выяснить угловое
распределение частиц, покидающих поверхность ? — 0. Поэтому мы пола-
полагаем к = 1 и выражение A2.2.13) принимает вид
<12-2Л5>
O>fx>-1.
Если рассеяние изотропно [R' (ij, ц.) — р(-»])/4тс], то функция распределения
/ просто связана с плотностью р(?), и интегральное уравнение для р прев-
превращается в стандартное уравнение Милна
— -ч| ) d-ц. A2.2.16)
Краевое условие для / имеет вид /@, t*) = 0 при 0<р<1. Подлежит вы-
вычислению величина / @, fi) при 0 > f*> — 1, дающая угловое распределение
излучения во внешней области.
Другой случай, представляющий интерес, — это случай достаточно тол-
толстой или достаточно сильно поглощающей пластины, когда можно прене-
пренебречь частицами, выходящими с другой стороны (или теми, которые воз-

12.2. Функции распределения для задач диффузии 573
никают в глубине пластины) й можно ограничиться рассмотрением пове-
поведения частиц, падающих на поверхность ? = 0. Рассмотрим однородный
пучок, падающий на поверхность ? = 0 по направлению, определяемому
углами ср0, arc cos {i0, так что
/@, (i, 9) = 70&(р- цо)8 (9-?0), 0
Требуется найти угловое распределение / @, р., ср) @ > р > — 1) частиц,
диффузно отраженных от пластины. Такие задачи могут быть названы
задачами о диффузном отражении.
В этом случае, поскольку падающий пучок зависит от ср, диффузно
отраженное излучение, вообще говоря, зависит от ср и от р. Но при изо-
изотропном рассеянии частица после первого столкновения «забывает» перво-
первоначальное направление своего движения. Таким образом, функцию рас-
распределения можно расчленить на еще не отклоненную часть падающего
пучка /o<Kf*~fio)D(P~(Po)e~E/W) и не зависящий от ср остаток распреде-
распределения fd (?, р), учитывающий частицы, претерпевшие хотя бы одно
столкновение. В этом случае формула A2.2.13) для /d принимает вид
A2.2.17)
I 5
причем зависимость от if в пункции / сохраняется лишь в части, соот-
соответствующей падающим частицам, не претерпевшим еще ни одного
столкновения.
Найденное угловое распределение диффузно отраженных частиц дает
возможность получить еще одно интегральное соотношение, которое ока-
окажется полезным в дальнейшем. Предположим, что диффузно отраженное
распределение для пучка, падающего под углом arc cos fi0 к оси ?, имеет вид
(I0/p)S (р, ^0) = /@, — fi). Функция S (fi, fit1) есть ^-компонента интенсив-
интенсивности отраженного под углом arc cos (—fi) пучка при единичной интенсив-
интенсивности направленного под углом arccosfi0 падающего пучка; она определена
только для fi, fi,>0. Если мы имеем дело с изотропным рассеянием, то
S не зависит от ср — ср0, иначе мы должны были бы писать S(p, ср; fi0, cp0).
Нетрудно показать, что S (ц, р0) = S fa, р).
Функция 6" (p., fj.o), очевидно, дает все, что нужно для решения задачи
о диффузном отражении. Выведем интегральное соотношение, содержа-
содержащее S. Для этого заметим, что на глубине ? под поверхностью частицы,
движущиеся вглубь пластины, можно рассматривать как «падающие» на
плоскость ? = const, проникающие сквозь нее и вновь диффузно отражаемые
обратно. На глубине ? такими частицами оказываются, во-первых, те из
падающих частиц, которые еще ни разу не испытали соударения,
jT03 (t«. — р,,) 6 (^р — ср0) e~~ivo, и, во-вторых, частицы, входящие в остаток распре-
распределения, /d (?, fi), при fi > 0. Для каждого направления движения рассматри-
рассматриваемых частиц мы получаем распределение S (fi, po)/p рассеянных частиц,
возвращающихся к ? = 0 из части пластины справа от плоскости ? = const.
Поэтому для изотропного рассеяния мы можем вычислить распределение
частиц, движущихся наружу, через функцию рассеяния S и функцию
распределения частиц, движущихся вглубь пластины,
1
/(?, -tO=4/0e-5'w.y(ti, Po) + ^ \ S(V, tO/dtf, fO<V- A2.2.18)
Это интегральное соотношение окажется весьма полезным в дальнейшем.

574 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
Подобно этому, для случая диффузной эмиссии единственное обстоя-
обстоятельство, вызывающее различие между величиной /(?, — fx) и внешним
излучением /@, —(л.), состоит в том, что влево от плоскости ? имеется
участок, где возникают частицы, движущиеся внутрь пластины. Они
отражаются обратно в соответствии с функцией S:
A2.2.19)
6
Это замечание также окажется полезным.
Расчет диффузного рассеяния. Функция S (p, f*0), определяющая
S-компоненту интенсивности диффузно отраженного под углом arc cos ( — fx)
излучения, вызванного падающим под углом arc cos ^ единичным пучком,
представляет собой своего рода функцию Грина для функции распределе-
распределения. Через эту функцию могут быть выражены решения задачи о диф-
диффузной эмиссии и диффузном отражении. Однако для получения оконча-
окончательного результата приходится преодолеть немало трудностей, заключаю-
заключающихся в уже написанных уравнениях.
Прежде всего продифференцируем A2.2.18) по ? и положим ? = 0:
1
t1/' @, — fx) = - — I0S (fx, fx0) + 2n\S (fi, fx') fd @, |
где /' (?, fi) = dj (?, fx)/d?. Теперь можно вновь использовать уравнение A2.2.7)
(для изотропного рассеяния):
fx/i @, ,х) = - fd @, ,х) + R @), tf' @, - fx) = / @, fx) - R @).
Но величина R@) есть общее количество всех частиц, рассеянных во-
всех направлениях атомами-мишенями, находящимися вблизи поверхно-
поверхности ? = 0. Тем самым количество падающих и диффундирующих частиц,
рассеянных при ? = 0, будет равно
. *Р @)
Используем также тот факт, что /@, — fi) = (I0/p) S (p, fx0) и /d@, ^) = О
([1 > 0), и соотношение симметрии S(\x', fxo) = S (\\„ fx'). Тогда из уравнения
для \xf @, — fx) мы получим для функции рассеяния S уравнение простого
вида
4
или
^ноИ^г^^МЯЫ, A2-2-20>
где
Функция Н есть стандартное угловое распределение, через которое
можно выразить функцию рассеяния S. Для определения И мы с по-

12.2. Функции распределения для задач диффузии
575
мощью A2.2.20) составим для нее интегральное уравнение
1
A2.2.21)
Нетрудно показать, что Н(р) нормирована так, что
и что функция Н удовлетворяет также интегральному уравнению
A2.2.23)
Для последнего уравнения можно получить достаточно точное решение
методом последовательных приближений. Результаты можно проверить,
используя A2.2.22). Несколько значений Н для различных значений к и (i
приведены в нижеследующей таблице. В дополнение к таблице заметим,
что #({*)=! при х = 0ий@)=1.
ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ Н (у.)
A=
х=0,2
х=0,4
х=0,6
х=0,8
х=1,0
0,2
1,0389
1,0858
1,1452
1,2286
1,4503
0,4
1,0555
1,1252
1,2186
1,3611
1,8293
0,6
1,0659
1,1509
1,2689
1,4590
2,1941
0,8
1,0732
1,1694
1,3063
1,5358
2,5527
1,0
1,0786
1,1834
1,3354
1,5982
2,9078
С помощью функции Н (fi) можно найти угловое распределение частиц
на поверхности ?=0 для падающего пучка, направленного под углом
arc cos fi0 к оси ?,
КО и\-
(/„/4*) [«Mb
) Я( -
0 > р >
1.{l ¦ •* >
Заметим, что влияние коэффициента альбедо х сказывается на величине
полного отражения и непосредственно и косвенно через изменение углового
распределения диффузного отражения; чем ближе к к нулю, тем равно-
равномернее распределение.
Решение для более общего распределения падающих частиц можно
получить, интегрируя приведенное выражение по fi0. Если это распреде-
распределение не аксиально-симметрично, так что количество частиц (все они
имеют одинаковую по величине скорость), косинус угла падения которых
лежит между \х0 и fi0 + dp0, равно 2m/0 (fi0) dp0, то угловое распределение
на поверхности ? = 0 будет иметь вид
(Ы Н (ц0)
0
0 > jx > — 1.
A2.2.25)

576 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
После того как угловое распределение при 5 = 0 получено, функцию
распределения при ? > 0 можно найти, непосредственно решая уравне-
уравнение A2.2.7). Например, функцию / можно разложить по сферическим
гармоникам, как указано в A2.2.10). Зависимость коэффициентов от ?
можно легко найти, поскольку известны их значения при ? = 0. Кроме
этого, можно, как это будет показано ниже, произвести преобразование
Лапласа функции распределения.
Расчет диффузной эмиссии. Если поглощения нет (к = 1) и если
нет частиц, падающих на поверхность ? = 0, то частицы из полубеско-
полубесконечной пластины постепенно диффундируют вовне через поверхность ? = 0.
Так как при к = 1 полный поток / всюду одинаков [см. A2.2.8)], то
естественно предположить, что он всюду отрицателен, поскольку поток,
выходящий через поверхность ? = 0, отрицателен. Соотношение между
угловым распределением испускаемых частиц /@, — ц) и функцией рассе-
рассеяния aS" ({л, f*0) определяется формулой A2.2.19); из этого соотношения
можно определить /@, — ц) через функцию Н.
Как и ранее, продифференцируем A2.2.19) и положим ? = 0:
но {л'/'@, jj.') = /? @) и [х/'@, — {л) = / @, — {л) — /? @), причем для изотроп-
изотропного рассеяния при отсутствии поглощения /?(?) = р (?)/4тс. Следовательно,
, A2.2.26)
и мы получили распределение испускаемых частиц, выраженное через
ту же функцию Н(р), что и в случае диффузного отражения.
При отсутствии поглощения асимптотическая зависимость / от ?, f*
и полный поток описываются формулой A2.2.12). Если / отрицателен
и рассеяние изотропно, можно утверждать, что
где /г—>0 при $—>оо. Можно также получить соотношение, между /2
и функцией рассеяния S([i, f*'). Поскольку C/4ir)(fx — ?)/ есть точное
решение уравнения A2.2.7), рассеяние поправочного члена /х должно
давать в точности /х; другими словами,
С другой стороны, так как / @, f/) = 0 для ^ > 0, то мы должны иметь
/х @, fx') = C/4ir)fx'. В конце концов получим
1
/@, -^-^[Н-"!1^^')^']. A2.2.27)
Эта формула представляет распределение излучения через / и функцию
рассеяния S.

12.2. Функции распределения для задач диффузии ЬП
Умножая A2.2.26) на 2тс(х и интегрируя по fx от —1 до 0 (/ = 0 при
fx > 0), а также умножая A2.2.27) на 2тс и опять интегрируя по fx, полу-
получим
1 1
Р@)=—?• ^
оо
Отсюда следует интересное соотношение между средним потоком и плот-
плотностью частиц на поверхности ? = 0 для консервативного случая (к = 1)
и изотропного рассеяния:
р @) = - 1/3/. A2.2,28)
В этом случае диффузная эмиссия выражается в виде
A2.2.29)
где / — отрицательная величина.
Такой же метод может быть применен и в том случае, когда постоян-
постоянная к отлична от единицы. В этом случае [см. A2.2.11)] асимптотическое
представление функции распределения имеет вид Gehi/(l + l>-k), где к—поло-
к—положительный, действительный корень уравнения k — th(k/-x.). Так как ника-
никакие дополнительные частицы не вступают в среду через поверхность ? = О
(фактически они только выходят через эту поверхность) и так как имеется
поглощение (у. < 1), то и функция распределения /(?, р) и плотность р(?)
должны экспоненциально возрастать с возрастанием $ для того, чтобы,,
несмотря на поглощение, все еще оставалось достаточно частиц, уходя-
уходящих через поверхность ? = 0. Поэтому мы полагаем
Тогда
о
или, поскольку /j @, р.') = — G/(l + р'к),
1X'H
После дальнейших преобразований мы приходим в конце концов к выводу,
что для случая х < 1 в отсутствии падающего на поверхность ? = 0 пучка
диффузное излучение, испускаемое поверхностью 5=0, равно
Ш- A2-30)
При решении более сложных задач, как, например, задач о проник-
проникновении через пластину конечной толщины, или при изучении влияния неизо-
неизотропного рассеяния при диффузном отражении или эмиссии приходится
включать в рассмотрение значительно большее число деталей. Однако
и эти задачи можно решить методами, сходными с уже рассмотренными,

578 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
но выкладки окажутся более утомительными. С ними можно ознакомиться
по книгам или статьям, посвященным этой теме.
Решение методом преобразования Лапласа. Другим способом можно
прийти к решению задачи о диффузной эмиссии, применяя преобразование
Лапласа. Эта возможность становится очевидной из анализа выраже-
выражения A2.2.15), связывающего функцию распределения (для случая
изотропного рассеяния и отсутствия поглощения и падающего пучка)
с плотностью частиц р(?), а также интегрального уравнения A2.2.16)
для р. Ядро Ег (| ? — 7) |) интегрального уравнения для р [Ех определено
в A2.2.14)] есть функция от |$ — tj|; в § 8.4 мы видели, что подоб-
подобные ядра особенно удобны для применения метода преобразования Лап-
Лапласа или Фурье. Другие преимущества этого метода выяснятся в ходе
решения.
Преобразования Лапласа функции распределения и плотности частиц
определяются так:
0 A2.2.31)
со 1 '
Р (Р) = \ Р F) e-p"s # = 2* ] F (р,
о —1
Отметим также одно полезное обстоятельство: преобразование Лапласа
для плотности связано с угловым распределением испускаемого излучения.
Из формул A2.2.15), выражающих / через р (для изотропного рассеяния
без поглощения R = р/4тг), следует, что распределение испускаемого излу-
излучения имеет вид
оо
^$|(|) - A2-2.32)
Это одна из дополнительных «прибылей», приносимых методом преобра-
преобразования Лапласа; если мы ищем только угловое распределение испускае-
испускаемого излучения, то нет необходимости производить обратное преобразова-
преобразование и находить р по Р; можно использовать само Р. Это обстоятельство
косвенно связано с тем, что, как мы заметили ранее, / @, — р) значи-
значительно легче вычислить, чем / (?, [>.). Мы могли бы при желании остано-
остановиться на этом, ибо величину /@, — ц) мы нашли еще раньше [см. A2.2.29)],
и теперь могли бы, используя A2.2.32) при помощи обратного преобразо-
преобразования, получить р (?), а отсюда и / (?, fx).
Однако этот метод приносит и другие «прибыли», и поэтому мы
продолжим наше рассмотрение. Например, преобразование Лапласа
уравнения переноса для данного случая
дает
F (Р. V) - т^ [ -й- Р (Р) + Р/ @, р) ] • A2.2.33)
Мы получаем простое алгебраическое соотношение между преобразованиями
Лапласа / и р и функции распределения на поверхности. Умножая на
2w(Zfx и интегрируя по (а, мы наконец получаем уравнение для преобра-
преобразования Лапласа плотности
i>(p) [l_±Arth/>]=2^ l^tldfx. A2.2.34)
— 1

12.2. Функции распределения для задач диффузии 579
Теперь еще попробуем «поднять самого себя за волосы», используя метод
Винера — Хопфа. Этот метод был уже рассмотрен в § 8.4 в связи с той
же задачей. Чтобы не разрывать нити рассуждения, мы воспроизведем
здесь основные результаты. В A2.2.34) входят три функции: P(p)i
l-(l/p)Arthp и
Функция Р (р) должна быть аналитической во всей области Re p > О,
ибо ее обратное преобразование равно нулю при ? < 0. Функция
1 — A/р) Аг thp оказывается аналитической в полосе — l<Rep<l.
Функция j (р) аналитична во всей области Rep<l, ибо ;х/@, fx) ограни-
ограничена в области 0 > fx >• — 1 и равна нулю при fx > 0. (Если бы / не было
равно нулю при fx > 0, то область интегрирования не могла бы быть
сведена к интервалу 0 > fx > — 1, интеграл имел бы полюсы в области
Re p < 1 и рассматриваемый метод был бы неприменим.) Но если нет
падающего на поверхность ? = 0 излучения, т. е. если /@, fx) равно нулю при
[1 > 0, то / (р) аналитична во всей области Re р < 1 и при р —»со стре-
стремится к нулю как 1/р.
Если теперь мы сможем представить 1 — (l/p) Arthp в виде отношения
двух функций, одна из которых аналитична в области Re p > 0, а другая
в области Re p < 1, то можно будет, умножив исходное выражение на
некоторую функцию, получить равенство, одна часть которого аналитична
в области Rep > 0, а другая в области Rep < 1. Они равны между собою
в полосе 0 < Re p < 1 и при аналитическом продолжении оказываются
равными всюду, а тем самым представляют функцию, аналитическую
всюду (и потому равную постоянной).
Как в § 8.4, возьмем логарифм величины 1 — {1/р) Arthp и попы-
попытаемся представить его в виде разности двух функций, аналитических
в соответствующих областях. Но мы не можем использовать непосред-
непосредственно 1 — A/р) Arthp, так как это выражение обращается в нуль при
р = 0 (как р2) и логарифм при этом имеет особенность. Если мы возьмем
A/р2) [1— A/р) Arthp], то логарифм будет бесконечно возрастать при
р—>оо, но если положим
то логарифмы обеих частей равенства будут аналитичны в полосе
l>Rep > — 1 и будут стремиться к нулю при | р [ —> оо. Чтобы найти функции
х±, удовлетворяющие этому равенству и аналитические в нужных областях,
мы воспользуемся интегральной формулой Коши D.2.8), выбрав контур
интегрирования вдоль границы полосы, внутри которой 1 — A/р) Аг th p
аналитична:
ln[(l--^)(l-AArthp)]=lnx+(p)-lnx_(p), A2.2.35)
B+ioo
Р—ioo
— 0—too
Первый интеграл (который дает t+) аналитичен при Re p < {3, а второй
(который дает %_) аналитичен при Re р > — р. Следовательно, преобра-

580 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
зовав A2.2.34) к виду
мы видим, что левая часть равенства аналитична в области Re p > 0,
а правая часть аналитична в области Re p < C. Более того, поскольку
при большом р х+ стремится к постоянной, деленной на р, величина справа
(а следовательно, и величина слева) при р-~>со стремится к постоянной.
Так как обе части при аналитическом продолжении аналитичны
всюду и ограничены на бесконечности, то они всюду равны постоянной С.
Поэтому
_(р). A2.2.36)
Чтобы вычислить значение постоянной С, мы найдем предельное значение
обеих частей при р~>0. При р = 0 функция j (р) из A2.2.34) равна /,
т. е. постоянному полному потоку частиц, движущихся в отрицательном
направлении к поверхности ? = 0 и сквозь нее. Когда р —> 0, функция
1 — A/р) ArthjD—> — jD2/3; следовательно (дю — постоянная),
p~>0. A2.2.37)
Заметим, что отсюда можно получить асимптотическую формулу для
преобразования Р, т. е. для плотности р: р ~ — 3/(доо + Е+ . ..) при Е—>.оо,
что соответствует асимптотической форме A2.2.12).
Возвращаясь к A2.2.35), при помощи некоторой деформации контура
можно показать, что т_—^?..]/3 при р—*0. В результате находим, что
С — — \^Ъ J, где / — полный поток в направлении положительных ?
(и поэтому в нашей задаче величина отрицательная), и что
A2.2.38)
(для 1 > р > 0) с асимптотическим поведением, указанным в A2.2.37).
Появляющуюся здесь постоянную дт можно вычислить, разлагая инте-
интеграл в A2.2.38) по степеням р; при этом найдем
вгя = 0,7104461... . A2.2.39)
Сопоставление формул A2.2.9), A2.2.32) и A2.2.37) показывает, что
Сравнивая A2.2.38) с A2.2.32) и A2.2.29), мы видим, что
A2.2.40)
что дает возможность вычислить и диффузное отражение и диффузную
эмиссию. Заметим, что эта формула пригодна только для к = 1, в то время
как прежнее выражение для Н было пригодно при 0 < * < 1. Угловое
распределение частиц, испускаемых из поверхности, можно найти либо
вычисляя интеграл в A2.2.40), либо решая интегральное уравнение A2.2.23).

12.2. Функции распределения для задач диффузии 581
Результат получится, конечно, один и тот же. После этого можно будет,
если это окажется необходимым, вычислить плотность частиц как функцию
от ? и далее, используя A2.2.15), найти функцию распределения для
любого значения ?.
Вычисление плотности вариационным методом. Функция плотности
Р(?) = 2ТС \
1
-1
может быть найдена из A2.2.38) с помощью обратного преобразования
Лапласа по формуле
e+ioo
5 P(P)**dP> A2.2.41)
хотя соответствующие выкладки весьма утомительны. Результаты были
воспроизведены на рис. 2.20, где было рассмотрено соотношение между
точным решением и приближением, полученным из уравнения диффузии.
Было отмечено, что в толще пластины на глубине, многим большей чем
средний свободный пробег, плотность почти точно равна своему асимпто-
асимптотическому выражению
р(У~- ЗУ @,710446 + ?+...), $>1 A2.2.42)
[см. B.4.31) и B.4.34)]. Из A2.2.15) видно, что асимптотическое представ-
представление функции распределения имеет вид
/($, fx)~-~/@,710446+ ?-;х+...), ?>1. A2.2.43)
В этой области / можно с большой точностью считать сферически
симметричной функцией (? > ц), так что диффузионное приближение
(см. § 2.4) оказывается удовлетворительным. Однако вблизи поверхности
(? < 1) это диффузионное приближение для точных вычислений уже недо-
недостаточно, хотя, как показано на фиг. 2.21, «приближение 2/3» в B.4.31)
довольно удовлетворительно.
Функция, определяющая плотность, может быть также найдена вариа-
вариационным методом. Подлежащее решению интегральное уравнение имеет вид
[см. A2.2.16)]. Но из асимптотической формулы для р мы можем устано-
установить, что
р $)= -ЗУ [$ + q(Z)]t A2.2.44)
где
со 0
Последнее следует из A2.2.15) и определения Еп:

582 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
Выражая р через <7(?), мы наконец получим
] E-*co. A2.2.45)
С другой стороны, подставляя в обе части интегрального уравнения
вместо р его выражение через q (и интегрируя вновь по частям в некоторых
слагаемых), мы получаем интегральное уравнение для q
A2.2.46)
0
Чтобы получить вариационный принцип, положим
оо оо
\ Ч* E) [ Q* E)- у ^ ?* (Ч) ^i ( I 5 - Ч I) *Ч ] «
Д = _* 2 . A2.2.47)
Можно показать (см. гл. 9), что минимальное значение D достигается при
<7*(?) = <7(?) и что это минимальное значение равно [см. A2.2.45)]
Апш = Y^y У°° ~ 

Следовательно, выбрав в качестве q* подходящую функцию (стремящуюся
к нулю при k—> со), зависящую от параметров, и варьируя эти пара-
параметры так, чтобы минимизировать D, мы получим одновременно и наилучшую
форму для q и значение qx. Это значение можно сравнить с точным зна-
значением из A2.2.39) и проверить, таким образом, степень совпадения.
Например, если в качестве q взять постоянную q = a, то D окажется
равным 9/4 и, таким образом, qJO = a = 17/24 = 0,7083, что отличается
от точного значения меньше чем на 1%. С другой стороны, полагая
q* (?) = qm [I — АЕ2 {%)+BES (?)], A2.2.48)
мы получим для минимального значения D = 2,235831, причем А =
= 0,3428949 и В = 0,3158704. Получающееся при этом значение qx будет
равно 0,7104457, что совпадает с точным значением до шестого десятич-
десятичного знака, так что соответствующее по A2.2.44) выражение для р оказы-
оказывается весьма близким к точному. При желании можно отсюда получить
также /У((л) и /($, р).
Этими вычислениями мы заканчиваем рассмотрение классической за-
задачи Милна о диффузии частиц (или света) через рассеивающую среду,
когда рассеяние изотропно и когда частицы при каждом столкновении
не теряют энергии. Это последнее ограничение оказывается самым суще-
существенным. В самом деле, мы многократно указывали, каким образом можно
было бы распространить проведенные вычисления на случай анизотроп-
анизотропного рассеяния и как можно было бы включить в рассмотрение аннигиляцию
и возникновение частиц в среде. Мы могли бы провести вычисления и для
других пространственных случаев, отличных от рассмотренного одномер-
одномерного. Например, уравнение переноса для излучения, распространяющегося

12.2. Функции распределения для задач диффузии 583
от источника сферически симметрично по всем направлениям, имеет вид
аF')/(г, ц', T)dQ' + s(r, fx,T), A2.2.49)
где угол между направлением движения и радиусом-вектором, соответст-
соответствующим г, равен arc cos jx. Сравнение с A2.2.2) показывает, что трехмерная
формулировка задачи приводит к появлению в уравнении члена с df/dp.
Решение делается более затруднительным, но оно может быть проведено
приближенно (если нужно, то вариационным методом).
Но если нужно учесть и тот факт, что при столкновениях частицы
не только меняют направление своего движения, но и замедляются, то
приходится вводить в задачу новое качество, существенно меняющее ее
характер. Если атомы-мишени много тяжелее, чем диффундирующие частицы
(в обычных задачах это имеет место для электронов и не имеет места для
нейтронов), то эти частицы претерпевают много столкновений прежде, чем
их скорость значительно уменьшается, другими словами, длина замедле-
замедления значительно больше, чем длина свободного пробега. И пока мы
имеем дело с областью, отстоящей от границы на расстоянии, меньшем
длины замедления, можно пользоваться приведенными в этом разделе
решениями, ибо частицы, находящиеся в наружном слое, не успевают, до
того как они покинут среду, заметно изменить свою скорость. Для тяжелых
атомов этот наружный слой достаточно толст, а иногда он охватывает всю
среду; но для легких атомов этот слой тонок и при вычислении функции
распределения глубоко под поверхностью приходится учитывать потери
энергии.
Потери энергии при столкновениях. Влияние потерь энергии при столк-
столкновениях было изучено в § 2.4; мы рассмотрим сейчас лишь несколько
примеров, чтобы показать как некоторые методы, о которых уже шла речь
в предыдущих главах, дают возможность получить решения новых задач.
Мы ограничимся случаем, когда- столкновения упруги, т. е. потерянная
частицами энергия превращается в кинетическую энергию атомов-мишеней,
и когда рассеяние частиц атомом-мишенью (в системе координат, движу-
движущейся вместе с центром масс частицы и атома) изотропное.
В большинстве случаев имеется некоторая максимальная энергия
частиц; это либо энергия частиц, падающих на материал, либо начальная
энергия частиц, возникающих в материале. Обычно бывает удобно выра-
выражать кинетическую энергию частиц Е (и, таким образом, их скорость)
через эту начальную энергию Ео. Наиболее удобным оказывается логариф-
логарифмический параметр и = In (Еа/Е). Энергетический параметр и меняется при
этом от нуля (максимум энергии Е = Е0) до бесконечности (минимум
энергии Е = 0). Функция распределения / оказывается, таким образом,
функцией положения, задаваемого вектором г, кинетической энергии, за-
задаваемой параметром и, направления скорости частицы, задаваемого еди-
единичным вектором аи, и времени. Величина и пропорциональна «возрастной»
переменной, встречавшейся в B.4.54) и A2.1.28).
Функция рассеяния а есть функция угла между первичным направле-
направлением частицы а'и и ее конечным направлением ам. Так как частица
теряет энергию, то начальная и конечная энергии различны, и так как
атом-мишень после столкновения движется, то угловое распределение
рассеянных частиц в координатах, неподвижных относительно боль-
большинства атомов, не будет равномерным, даже если рассеяние изотропно
в системе центра масс. Более того, имеется определенная зависимость
между углом рассеяния 6' и отношением начальной кинетической энергии Е' к

584 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
конечной энергии частицы Е. Если в есть угол рассеяния в системе центра
масс и если отношение массы атома-мишени к массе частицы равно М,
то зависимость между 6', в и начальным и конечным значениями энергети-
энергетического параметра и' и и имеет вид
cos 6 = 1 - [(M + 1O2M] A - e~w), A2.2.50)
cos6' = 1 (M- 1) ew'2-~{M-\-1) e-w'2,
где w—u— и'. Заметим еще, что наибольшая потеря энергии возможна при
6' = п, когда Wn = 21n[(M-f 1)/(M — 1)], за исключением случая М=1
(мишени имеют такую же массу, как и частицы), когда wn = оо и бтах = я/2.
Интеграл R для полного числа частиц, рассеянных в заданную область
фазового пространства, есть интеграл по и' и по элементарному углуйй!'.
Но вследствие соотношения между углом и энергией в функцию рассея-
рассеяния а в качестве множителя входит дельта-функция (для рассеяния, изо-
изотропного в системе центра масс), т. е.
(АГ-ИJ _ю
8л М
a(b',w)=.
0, w>
При этом а нормирована так, что
Средняя потеря энергии при каждом столкновении (в логарифмической
шкале) и средний косинус угла отклонения будут равны
. = [in ^ %?)
" A2.2.51)
Прежде чем написать вместо A2.2.1) новое уравнение переноса, сде-
сделаем для упрощения еще одну замену. Мы не можем более полагать
ntQtx = ?, ибо число столкновений ntQt на единицу расстояния, проходи-
проходимого частицей со скоростью v, меняется вместе с v, а v нельзя более
считать постоянной. Можно, однако, добиться некоторого упрощения заме-
заменой зависимого переменного на
4» (г, и, ам) = ntQtvf (г, и, а J,
где tydudQ есть число столкновений за секунду в единице объема, испытан-
испытанных частицами, находящимися в энергетическом интервале du, направление
скорости которых заключено в телесном угле rfQ. Обозначим еще через
Я, (и) = VntQt ДЛИНУ среднего свободного пробега для частиц с энергией,
соответствующей и = In (vl/xf), а отношение поперечного сечения рассеяния
без захвата @s к полному поперечному сечению Qt обозначим через к (и)
й будем называть коэффициентом альбедо для энергии, соответствующей и.

12.2. Функции распределения для задач диффузии 585
После всех этих замен уравнение переноса принимает вид
^-ф(г, и, att)-t-a,(B)au-gradH>(r, и, аи) + ф(г, и, а„) =
J J ^ г, в', ai)dfi' + 5(r, B.aJ, A2.2.52)
о
где б1 (как и прежде) означает количество частиц, возникающих за секунду
в единице объема, энергия которых лежит в интервале, соответствующем
значению и, а направление движения задается вектором аи.
Однородное пространственное распределение. Во многих случаях внутри
среды, в которой происходит диффузия, где воздействие границ не сказывается
(характер этого воздействия был только что подробно рассмотрен), ф и S более
или менее не зависят от г. В этом случае можно отбросить усложняющий
уравнение член с grad(|> и, кроме того, исключить из рассмотрения на-
направление движения частиц, проинтегрировав A2.2.52) по всем направле-
направлениям. Даже если ф и зависит от г и аш но среда, в которой происходит диффузия,
простирается настолько далеко, что за секунду теряется лишь пренебрежимо
малая долч всех частиц, выходящих из среды, то можно проинтегрировать
уравнение A2.2.52) по пространству и всем направлениям аи. В результате
мы получим ( т] = \ ... \ ф d VdQ J
A2.2.53)
где Tjdu есть среднее количество столкновений, испытанных за единицу
времени частицами из энергетического интервала, заданного величиной du;
qdu — общее количество частиц из того же интервала, возникающих
за секунду, и
-.-,- П \ -е.
0, и — и' > Wn,
есть соответствующая функция рассеяния.
Рассмотрим прежде всего установившееся состояние, когда q, а значит,
и tj не зависят от времени. Достаточно решить задачу для случая, когда
в среду ежесекундно вводится единичное количество частиц одинаковой
энергии Ео, так что q = б (и). Используя это решение, мы сможем спра-
справиться и с другими случаями. Опуская зависимость от времени, мы сводим
уравнение A2.2.53) к простому интегральному уравнению Вольтерра, кото-
которое может быть превращено в дифференциальное уравнение, если только и
меньше чем wn = 21п[(М+ 1)/(М — 1)],
Если, например, М — 1 (нейтроны в водороде), то wn—> со, и дифферен-
дифференциальное уравнение для tj (и) имеет вид
Решение, не учитывающее частиц, не испытавших ни одного столкновения
после своего возникновения, имеет вид
и
7j (к) = 7j @) ехр { - J [1 - х (у)] dy}, и > 0 A2.2.55)
[его следует сравнить с B.4.55)].

586 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
Множитель 1 — х (у) есть доля столкновений, которые приводят к по-
поглощению частиц. При отсутствии поглощения х для всех значений и равно
единице, а tj (и) = 1 при и > 0. В этом случае функция распределения /
пропорциональна l/vntQt. Это означает, что число частиц возрастает при
переходе к все более медленным частицам (если только ntQt не стремится
к Av~t с ч>1). Чтобы при отсутствии поглощения было достигнуто устой-
устойчивое состояние, источник должен действовать достаточно продолжительное
время и, таким образом, должно накопиться достаточно большое количество
медленных частиц.
Случай М = 1 оказывается более простым, чем случай М > 1, потому
что при М = 1 в результате одного столкновения частицы с энергией Ео
с атомом-мишенью могут возникать частицы с любой энергией от Ео до 0.
Если М > 1, то существует определенная энергия
Ятш = Ейе~™« = Ео [(М - 1)/ (М + I)]2,
такая, что более низкие энергии не могут быть достигнуты в результате
одного столкновения частицы, имеющей энергию Ео. Как и можно было
ожидать, функция -ц имеет разрыв при соответствующем значении и, который
усложняет весь процесс.
Так как ядро уравнения A2.2.53) при отсутствии захвата [х(и') = 1]
является функцией от и — и', можно попытаться использовать преобразо-
преобразование Лапласа. Интегральный член в A2.2.53) может быть преобразован
при помощи теоремы о свертке: преобразование Лапласа функции
и
\ tj (и1) а (и— и') du' есть Н (р) А (р),
о
где Н и А — преобразования Лапласа для т\(и) и а(и). Преобразова-
Преобразованием Лапласа для а является
о
Следовательно, преобразование Лапласа уравнения
т}(и)=
и
о
имеет вид
где
H(p) = H(p)A(p) + Q(p),
()(/?) —преобразование q(u); если q(u) ==8 (и), то Q (/>) = 1.
Таким образом, преобразованием Лапласа для т\{и) в случае устано-
установившегося процесса без поглощения, когда функция ирточника д(и) = 8(и),
является
Н(р) = 4JM4P+1) ^^ т A2.2.57)
V" (M+lJU4M(p+l)/(M+lJ]l + [(Ml)/(M+l)]2(p+1)}
Обратным преобразованием отсюда можно получить среднее количество
столкновений в секунду tj как функцию от и при отсутствии захвата:
)
р—гсо
где Р > 0. Большая часть полюсов подинтегрального выражения располо-

12.2. Функции распределения для задач диффузии 587
жена слева от мнимой оси р, но один полюс находится в точке р = О,
и вычет в этом полюсе равен [(М + 1J/4Мшср.], где величина wcv., опре-
определенная в A2.2.51), есть средняя потеря энергии при одном столкнове-
столкновении. Поэтому для больших и (частицы с малой энергией) асимптотическая
форма для функции столкновений tj имеет вид
7j~l/j0cp., и-» со, A2.2.59)
для стационарного процесса без захвата. Этот результат является обобще-
обобщением A2.2.55) для х=1.
Решение при малых значениях и можно получить, прибавляя
к A2.2.59) сумму вычетов во всех других полюсах подинтегрального выра-
выражения из A2.2.58). Соответствующие результаты изложены во многих
статьях, посвященных настоящему вопросу, и повторять их здесь нет ника-
никакой надобности. Точно так же, нет смысла рассматривать здесь более слож-
сложный случай, когда имеет место захват [х (и) < 1].
Задачи с временной зависимостью без захвата также могут быть решены
методом преобразования Лапласа, хотя в самом общем случае сделать это
не так просто. В случае, если М=1 (атомы-мишени имеют ту же массу,
что и частицы), уравнение A2.2.53) упрощается и принимает вид
$ + S(«)8(Q. A2.2.60)
о
Производя преобразование Лапласа по времени, мы получаем
и
0 4~^
где
Дифференцируя равенство по и, мы приходим к дифференциальному
уравнению, решая которое относительно Z, в конце концов получим пре-
преобразование Лапласа функции tj:
exp{-s Cdu'/[s+f'A(u')]}
H(u,s)= . , , , -| 1,,,/,,,,,,,.)/,,»,,, • A2.2.61)
Если предварительно выяснить характер зависимости от и среднего сво-
свободного пробега Х(и), то, произведя обратное преобразование, можно будет
найти tj. Если, например, Х(и) пропорционально скорости v, то обращение
осуществляется просто. С другой стороны, если X постоянная, то урав-
уравнение A2.2.53) можно решить и для случая М > 1 См. по этому поводу
задачи 12.12 и 12.16.
Возрастная теория. Если нельзя пренебречь изменением в простран-
пространстве функции распределения /, а поэтому и функции частоты столкнове-
столкновений ty = ntQtvf, то следует вернуться к уравнению A2.2.52). Как указыва-
указывалось в §2.4 и 12.1, при большом М, когда при столкновениях теряется
лишь незначительная часть энергии и когда достигнуто устойчивое состоя-
состояние, приближение возрастной теории оказывается применимым, за исклю-
исключением случая, когда плотность частиц заметно меняется на протяжении
одного среднего свободного пробега (и когда приходится прибегать к методу,

588 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
изложенному в начале этого параграфа). Мы уже нашли [см. B.4.56) и A2.1.29)]
некоторые решения для такого приближения; здесь мы только еще раз
выведем основное уравнение, для того чтобы установить связь между ранее
полученными результатами и материалом, рассмотренным в настоящем
параграфе.
Если предположить, что ф мало меняется в пространстве, то естественно
считать, что оно почти одинаково для разных направлений (почти не
зависит от аи) и что его малая асимметрия направлена в сторону наи-
наибольшего изменения ф в пространстве. Другими словами, можно предполо-
предположить, что
ф (г, и, аи) ~ -± [% (г, u) + g (и) а„ -grad ф0 (г, и)), A2.2.62)
где
a g(u) предполагается малым. Если теперь подставить это выражение
в уравнение A2.2.52) (опуская зависимость от времени) и взять среднее
по всем направлениям аи (что сводится к интегрированию по Q), то полу-
получим уравнение [см. рассуждение, предшествующее B.4.41)]
и
i-X(«)g(w)v2<i>0(r' «) + «!>„ (г, »)= J a(u-u')%(r, u')*(u')du'+ Sq (г, и),
о
A2.2.63)
где So (г, и)= \ \ S(r, и, ац)йй есть «нулевой момент» функции источника,
а а (и—и') —функция, определенная формулой A2.2.54).
В случае большого М величина w^ мала и область и', в которой под-
интегральное выражение заметно отличается от нуля, мала. Если с измене-
изменением и величина % меняется постепенно и относительно медленно, то
ф0 (г, и — wn) не будет заметно отличаться от Фо (г, и) и ф0 (г, и') можно
разложить в ряд Тейлора
х (и') ф0 (г, и') = х (и) % (г, и) + (и' - и) (д/ди) [х (и) ф0 (г, «)]+....
Подставляя это в A2.2.63) и используя соотношения
и
\ а (и— и'Lи' = 1,
U — W
•к
\ (a-M')a(«-«')^'=^, = l-^^l
U—W
n
мы получим наконец (для и > w-r)
3
дп
|V 2ф0 (г, и) =
= - В>ор. * (») -д- ф0 (Г. U) - [1 - X (U)] ф0 (Г, U) + SQ (Г, И),
где g(u) еще подлежит определению.
Чтобы найти g(u) и оценить точность, с которой A2.2.62) опре-
определяет ф, умножим A2.2.52) на косинус угла & между а„ и grad^0 и про-

12.2. Функции распределения для вадач диффузии 589
интегрируем по всем направлениям аи. В результате получим
-д- X (и) grad фо + у g (и) grad ф0 - St (г, и) =
U
^ и) grad ф0 ^ cos&dQ { du' \\ cos &'aF', u-u')dQ'-] =
U—W
Т.
где iSx (г, и) = \ \ cos & S (г, и, au) dQ есть первый момент распределения
источников. Отсюда, ограничиваясь принятой нами степенью точности,
в случае, когда можно пренебречь величиной Slt получим
g (и) = - X (в)/[1 - B/3 М) х (и)],
откуда окончательно «возрастное» уравнение приобретает вид
V2 ф0 (г, Т) - (д/дТ) ф0 (г, Т) — (Т) ф0 (г, Т) = - с (г, Г), A2.2.64)
где «возраст» частиц
l*(u')du-
1 Г
~3 J
J ср.*(и')[1 —B/ЗДГ)*(и')]
2 65)
0.
«Возраст» Т имеет размерность площади и пропорционален квадрату
среднего расстояния, пройденного частицей за время, в течение которого
она достигает энергии Е = Еое~и. Напомним, что функция распределения
равна /(г, и, &и) = [X(u)/v]ф(г, и, &и) и что ф определяется через ф0 фор-
формулой A2.2.62).
Эта приближенная формула для / и соответствующее уравнение для
<i0 пригодно, если X|gradJH| значительно меньше, чем ф0. Это приближе-
приближение не является достаточно хорошим для частиц, энергии которых близки
к Ео (когда и меньше чем шж); оно непригодно, еслиX(и) или*(и) заметно
меняются, когда и близко к wn.
Сравнение с уравнением B.4.54) показывает, что выбранная здесь
шкала для возраста Т частиц отличается от выбранной ранее шкалы.
Этим было достигнуто упрощение формы уравнения. Новая переменная Т,
грубо говоря, пропорциональна произведению квадрата среднего свобод-
свободного пробега X на старую переменную т, которая обозначала среднее коли-
количество столкновений, требующееся для уменьшения первоначальной энер-
энергии частицы Ео до энергии Е = Еоё~и. Прежняя переменная х имела пре-
преимущество большей физической наглядности; новая переменная Т облег-
облегчает решение уравнения, когда X (и) меняется вместе с и. Сравнение
с уравнением A2.1.28) обнаруживает то же обстоятельство, с тем допол-
дополнительным отличием, что новое у. (и) есть доля частиц, не поглощенных
при столкновении, в то время как старое >ц обозначало долю поглощен-
поглощенных частиц.
Поскольку в этом параграфе мы показали, как получить решение,
когда уравнение диффузии не может быть использовано, и поскольку в § 2.4
и 12.1 уже были рассмотрены примеры методов решения задач «возраст-
«возрастной» разновидности уравнения диффузии, мы не станем разбирать даль-
дальнейшие детали этой теории.
Сейчас подходящий момент, чтобы закончить этот параграф. Мы пока-
показали, как решается задача диффузии в двух важных случаях, когда
обыкновенное уравнение диффузии и уравнение в возрастной форме ока-

590 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
зываются неадекватными. Вблизи границ диффузионной среды мы оказа-
оказались в состоянии исправить обычное диффузионное приближение как
в отношении углового распределения частиц, испускаемых с поверхности
в свободное пространство, так и в отношении распределения плотности
частиц на глубине под поверхностью, не превосходящей среднего свобод-
свободного пробега, если только на этом участке можно пренебречь эффектом
замедления частиц. Внутри среды мы оказались в состоянии получить
улучшение результатов вычислений, основанных на простой «возрастной»
теории, для случаев, где значительная доля энергии теряется при столкнове-
столкновениях (легкие атомы-мишени), если только можно пренебречь пространствен-
пространственным изменением плотности частиц и если доля 1 — х частиц, поглощаемых
при столкновениях, мала. В других случаях обычная теория диффузии или
«возрастная» теория, рассмотренные в § 12.1, оказываются адэкватными.
Теперь мы переходим к изучению уравнения совершенно другого типа.
12.3. Решение уравнения Шредингера
Движение частицы массы М в поле с потенциалом V(r, р), где г и р—
ее положение и импульс, определяется уравнением Шредингера
3&{t, p)? = ifc4j, A2.3.1)
где е%? — оператор Гамильтона. Он может быть представлен в виде суммы
кинетической и потенциальной энергий частицы
Уравнение ГA2.3.1), конечно, не учитывает релятивистских и спиновых
эффектов. В § 2.6 мы достаточно подробно выяснили происхождение и физи-
физическую интерпретацию уравнения Шредингера [см. B.6.38)] и потому
ограничимся здесь кратким обзором соответствующих фактов.
Определения. Рассмотрим сначала уравнения, которым удовлетворяет Т.
Следует напомнить, что для превращения A2.3.1) в дифференциальное
уравнение, необходимо либо г, либо р представить как дифференциальный
оператор. В последнем случае
так что уравнение A2.3.1) может быть представлено в виде
\ 2М ' L ' » Jj ~ ^t '
или
где
В этих уравнениях волновая функция W есть функция от г и Л
Полностью эквивалентное этому уравнение Шредингера в импульсном
представлении можно получить, заменяя г оператором
г_ 5.^

12.3. Решение уравнения Шредингера 591
где ж-компонентой Vp служит д/дрх. Обозначив соответствующую волно-
волновую функцию Ф(р, t), т. е. заменив W через Ф в A2.3.1), получаем урав-
уравнение Шредингера в импульсном представлении
Функции Фи? являются взаимными преобразованиями Фурье
Обратимся теперь к физической интерпретации волновой функции W.
(Чтобы получить интерпретацию для Ф, требуется только видоизменить
приводимое ниже рассуждение, проведя его в терминах пространства им-
импульсов.) Ключом для понимания смысла W служит основное положение,
согласно которому | Ч1 |2 dv есть относительная вероятность найти части-
частицу в элементе объема dv в точке г в момент времени t. Это положение
дает возможность вычислить среднее значение любой динамической
величины F. (Напомним, что в квантовой механике эти величины не обя-
обязательно имеют определенные значения.) Среднее значение F(r, p) есть
A2.3.2)
Если рассматриваемая система состоит из многих одинаковых не взаимо-
взаимодействующих частиц1), то | W | 2 представляет плотность частиц в точке г.
Соответственно этой плотности определяется плотность тока J, удовлетво-
удовлетворяющая уравнению непрерывности
Исходя из этого и из уравнения Щредингера, для J получаем
J [Y
J = 2a2lm[?grad4f]. A2.3.3)
В этом параграфе мы будем преимущественно интересоваться состояния-
состояниями, в которых энергия имеет определенное значение Е; оно является соб-
собственным значением уравнения
Сравнивая это уравнение с уравнением Шредингера, мы видим, что вре-
временная зависимость W для таких состояний определяется из соотношения
i%^- = EW; |?|2 не зависит от t.
Поэтому состояния с определенными значениями энергии стационарны. Ре-
Решение для Чг (t) имеет вид
Функция ф удовлетворяет также уравнению J??tJ> = Е'Ь или, подробнее,
?2ф + [е -?/]<!> = О, A2.3.4)
где
Мы предполагаем, что принцип Паули не играет здесь большой роли.

592 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
В качестве примера рассмотрим плоскую волну
Плотность | W |2 = 1, и это означает, что относительная вероятность найти
частицу в элементе объема dv не зависит от ее положения, т. е. она
одинакова повсюду. Плотность тока J = р/М, т. е. совпадает со скоростью
частицы. Для плоской волны импульс имеет определенное значение и ра-
ранен р, поскольку
рф = рф.
Эта определенность р сопутствует, как мы убедились выше, полной не-
неопределенности положения, как оно и должно быть в силу соотношения
неопределенности.
С другой стороны, волновая функция е~$г ф = const), описывающая
основное состояние электрона в атоме водорода, приводит к току, равному
нулю, так как она действительна в этом состоянии; импульс не будет иметь
определенного значения. Волновая функция в импульсном представлении
для этого состояния имеет вид
Этот интеграл можно легко вычислить:
(P) h)*<*] r/h
Величина | Ф (р) | zdpx dpy dp2 представляет собой относительную вероятность
обнаружить электрон с импульсом, заключенным между р и p + dp.
В этом параграфе мы на нескольких примерах покажем методы решения
уравнений A2.3.1) и A2.3.4). В дальнейшем имеется в виду главным обра-
образом разъяснить методы решения, и потому мы, например, вовсе не будем
пытаться провести связный разбор строения атома. Многие методы
мы продемонстрируем на одномерных примерах; однако будут также
рассмотрены некоторые задачи, многомерные по своей природе.
Гармонический осциллятор. Одной из простейших и наиболее часто
встречающихся динамических задач является задача о частице в поле уп-
упругой силы, соответствующей одномерной потенциальной функции -~-Кхг.
В классической физике такая частица может либо находиться в покое при
нулевой энергии в положении равновесия х = 0, либо совершать простое
гармоническое колебание с частотой co/2it = ~\/ К/Ап%М и амплитудой \Г2Е/К,
где Е — ве энергия. Поскольку вероятность присутствия классической ча-
частицы обратно пропорциональна ее скорости, эта вероятность равна
1/я . ^ 2Е
УBЕ/К) —
2Д
К
и, х > к .
Интересно сравнить эту величину с соответствующей | W | 2.
В волновой механике волновая функция ^? для стационарного состоя-
состояния должна иметь показательную зависимость от времени, W = ty(x)e~iEtin =
= ф (х) e~Ua2t, где Е — стационарная энергия частицы и е = BМ/Ъ?) Е.
В этом состоянии любое измерение энергии частицы даст значение Е.

12.3. Решение уравнения Шредингера 593
В рассматриваемой задаче уравнение для пространственного множителя
Ь имеет вид [см. B.6.28)]
где Р = Mw/h и о2 = К/М. Это уравнение имеет нерегулярную особую
точку на бесконечности. Замена независимой переменной на 2= Рж? пока-
показывает, что ф может быть выражена через вырожденную гипергеометри-
гипергеометрическую функцию от z. Точнее, ф должна быть пропорциональна функции
Вебера
Dn (х VW) =
Re a; > О,
определенной в A1.2.63), со свойствами, приведенными в таблице в кон-
конце гл. И. В нашем случае п = (е/2Р) — 1/2 = (?Д(о) — 1/2.
Функция Z>n выбрана так, что она исчезает при ж —» + оо, но она,
вообще говоря, не обязана исчезать при х —¦> — оо. Используя соотноше-
соотношение между -?>п(ж), Dn( — x) и ?>_„_! (ix), мы находим, что
е- е*2/2, ж -» со ,
г(-и) (-^/гр)^1 '
если только п не нуль или не целое положительное число. В последнем
случае Dn(z) = (— 1)" Dn( — z). Волновая функция, интегрируемая вместе
с квадратом, получается, следоватзльно, только если и = 0, 1, 2,..., что
ограничивает допустимые значения энергии частицы дискретным рядом
значений
е„ = 2P/1-F Р, или Еп = ш(п +4Л • A2.3.6)
Чтобы состояние, описываемое функцией ^?, было стационарным при опре-
определенном значении энергии, пространственный множитель ф должен
быть стоячей волной. Это требование ограничивает допустимые значения
энергии точно так же, как обычно ограничиваются значения частоты сво-
свободных колебаний струны. Недопустимо, чтобы частица обладала нулевой
энергией [это связано с соотношением неопределенности B.6.2), так как
невозможно, чтобы частица с точно нулевым импульсом достоверно нахо-
находилась в точке ж = 0]. Допустимые энергетические уровни распределены
равномерно с интервалом hio. Этот результат следует сравнить с B.6.31),
где гармонический осциллятор был рассчитан операторным методом.
Когда п — целое число, функции Вебера становятся пропорциональ-
пропорциональными полиномам Эрмита, рассмотренным в таблице в конце гл. 6. Ис-
Используя интегральные соотношения для вычисления нормирующих множи-
множителей, убеждаемся, что допустимая волновая функция, соответствующая
энергии ftcofn-f--^- J, есть n-я нормированная собственная функция
4 A2-3-7)
где
есть полином n-й степени от z, содержащий либо только четные степени
z (если п четное), либо только нечетные степени (если п нечетное), причем

594 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
знаки последовательных коэффициентов чередуются. Отсюда следует, что
все п корней уравнения Нп (z) = 0 действительны и симметрично располо-
расположены относительно z = 0.
Среднее поведение гармонического осциллятора может быть изучено
путем вычисления среднего от смещения и от квадрата смещения. Из A2.3.2) и
рекуррентной формулы, приведенной в таблице в конце гл. 6, видно, что
ф „(ж) = у \ п уп_х (х) + у ~ (п + 1)Фп+1 (х),
п (х) = ~ Vn(n-\) Фгг_2 (х) + (п + 4-) Ф„ (х) +
Из первого из этих соотношений и взаимной ортогональности <рп следует,
что среднее смещение частицы в п-м состоянии равно нулю:
Таким образом, колебания симметричны относительно положения равнове-
равновесия х = 0. Среднее значение квадрата смещения
00 п4——
' 9 W
гфп (х) ах — —р— — —g-
составляет половину квадрата максимального смещения классической
частицы, имеющей энергию Еп = h(o ( п + -^ j . Поэтому, покуда речь идет
о поведении в среднем, квантовый осциллятор соответствует классиче-
классическому осциллятору с той только разницей, что для него допустимы толь-
только дискретные значения энергии Еп.
В качестве упражнения на применение метода перевала и для срав-
сравнения с классическими результатами найдем асимптотическое выражение для
Ф при больших п. Полагая, А^ = |3/2™n! |/я и используя E.3.53), мы полу-
получаем
Фп = -<V
где контур, показанный на рис. 5.12, проходит от —оо, обходит точку
( = 0в положительном направлении и идет обратно к —со. Седловая
точка для экспоненты в интеграле находится там, где производная от
/@ = zH- (In + l)ln« + (i-n - j)ln(l -t)
равна нулю, т. с. совпадает с корнем уравнения
1 , , 3
/'(*) = «'- 2 ,A-|) °0.
Когда, приблизительно, г2<2и+1, две седловые точки расположены сим-
симметрично над и под действительной осью t; получающийся интеграл имеет мно-
множителем косинус. Когда z2 > In +1, корни находятся на действительной оси
t и контур должен пройти только через один из них, ближайший к t = 0.

12.3. Решение уравнения Шредингера 595
Действуя, как в § 4.6, мы в конце концов получим для п > 1
-V/4zne~Zt , z*>2n,
где z2=pV и Р = Ми/А.
Квадрат модуля первого выражения может быть записан в более
простой форме:
где а1 = {2п+1)/$ = 2Еп/Ми>* = 2Еп/К и Z = Mwa. Среднее значение1) |фп|2
при п > 1 в большей части классически допустимой области изменения х
равно поэтому (среднее значение квадрата косинуса есть 1/2) классической
вероятности Р, вычисленной в начале этого пункта.
Таким образом, различие между квантовой и классической механи-
механикой заключается, с одной стороны, в спектре допустимых энергий и, с
другой стороны, в плотности вероятности нахождения частицы. В кванто-
квантовой механике допускаются только значения энергии Еп = ftwf п -\--j- ) ,
в то время как в классическом случае допускаются все положительные
значения. Когда ftco мало по сравнению с рассматриваемыми значения-
значениями энергии, эта разница не столь значительна, но когда Ьы не мало,
различие становится заметным. В квантовой механике вероятность обна-
обнаружения частицы | Тп | 2 (в состоянии с энергией Еп) имеет вблизи начала
координат серию узлов, отстоящих друг от друга на расстояние примерно
2л/$ап. Для малых значений п \ Тп | 2 значительно отличается от класси-
классического Р, вычисленного в начале этого пункта; для больших значений
п среднее от | гР„ |2, взятое по интервалу в несколько длин волн, стре-
стремится к Р для х < ап. Если энергия не известна точно, так что W полу-
получается суперпозицией состояний для соседних энергий, то узлы различ-
различных состояний не будут совпадать и выражение для | W \2 будет полно-
полностью совпадать с Р для больших сравнительно с йю значений Е. Однако
независимо от того, велико ли Aw по сравнению с Е или мало, | W |2 не
стремится к бесконечности при х=^ап (как это имеет место для Р) и не
равно нулю при х > ап (Р при этом равно нулю). В квантовой механике
имеется отличная от нуля (хотя обычно малая) вероятность того, что ча-
частица будет обнаружена в области, где потенциальная энергия больше,
чем полная энергия. Это обстоятельство следует из волновых свойств
функции Y.
Короткодействующие силы. Другим простым примером потен-
потенциальной функции, полезным при изучении ядерных сил, служит пре-
предельный случай сил притяжения, действующих только на очень корот-
коротком отрезке оси х. Соответствующая потенциальная энергия равна нулю
почти на всей оси х, но вблизи нуля она имеет глубокую узкую впадину,
обычно называемую «потенциальной ямой». В предельном случае V рав-
равно — V08 (x), и соответствующее уравнение Шредингера для состояния с
определенной энергией имеет вид
0 )]ф, = О A2.318)
Речь идет об усреднении по малому интервалу оси. х—Прим. перев.

596 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
где a~MV0/h2, z = 2ME/h2. Интегрируя это уравнение на малом интерва-
интервале х вблизи нуля, мы видим, что при ж = 0 производная О должна иметь
разрыв со скачком, равным — 2аф @):
Т t / (/ф д <-\ , //"Л\
Я/у» / л V riir / i л Т \ '
При таком потенциале существует только одно «связанное» состояние
(с отрицательной энергией), а именно:
~е-*1*1 е=_а2 Е= МУ°
Функция ф0 (ж) имеет максимум при г = 0и становится исчезающе малой
при больших | х |.
Состояния с положительной энергией соответствуют свободным части-
частицам, движущимся с постоянной скоростью v всюду, кроме узкой
области, близкой к ж = 0, где действует сила. Мы используем вол-
волновые функции свободной частицы e±ihx (е = /с2, k = Mv/h) и сопрягаем их
при ж = 0 так, чтобы обеспечить требуемый разрыв производной. Напри-
Например, одним из возможных решений будет функция
(pihx л—ikx qr. <--¦ Q
a+ik
Формула A2.3.3) показывает, что эта функция описывает поток частиц!
которые движутся из — оо и, столкнувшись с потенциальной ямой при
ж = 0, частично отражаются обратно к —с», а частично продолжают дви-
движение к +оо. Приведенные ранее рассуждения показывают, что квадра-
квадраты коэффициентов различных членов найденной функции соответствуют
отношению R плотности отраженного потока к начальной плотности и отно-
отношению Т плотности потока продолжающих движение частиц к начальной
плотности. Таким образом,
Чем глубже яма, тем больше отражение; чем больше скорость частиц
(к = Mv/h), тем меньше отражение. Дальнейшее рассмотрение физических
выводов, проистекающих из этих формул, ми оставим до разбора формул
A2.3.29) и A2.3.31).
Влияние возмущения. В квантовой механике часто встречается сле-
следующая задача. К системе в определенном стационарном состоянии при-
прилагается при t = 0 дополнительная возмущающая сила; требуется найти
последующее поведение системы. Одна из простейших задач этого типа
допускает точное решение для гармонического осциллятора, и это реше-
решение послужит нам образцом для других более сложных задач. Предполо-
Предположим, что при tA< 0 система, описываемая A2.3.5), находилась в w-м состоя-
нии с энергией bn = hv)(n + -^-) и волновой функцией q>ne v г > , где
фп определяется A2.3.7); при t = 0 включается возмущающий потенциал
+ Fxu(t). Следовательно, после t = 0 уравнение для пространственной
части волновой функции будет иметь вид
или

12.3. Решение уравнения Щредингера
597
где b = F/MdJ = F/K есть смещение положения равновесия, вызванное
возмущающей силой F.
Новое решение, которое всюду ограничено, является, конечно, линей-
линейной комбинацией смещенных собственных функций:
т=0
где Еь = F2/2Mg>2 = -~- (F2/K) — снижение минимума потенциальной знер-
гии, вызванное возмущающей силой. Чтобы получить полное решение, нам
следует найти ту линейную комбинацию ц>т(х + Ь), которая равна ф„(а)
при f = 0.
Чтобы получить этот результат, мы используем соотношение, вытекаю-
вытекающее из формул, приведенных в конце гл. 6,
/—Г /¦
A2.3.10)
где у2 = фЬ2 = MviFz/tiK2. Из этого соотношения мы получим окончательное
решение
(s, t) =
A2.3.11)
т=0
где ?b = 4
и где
Если возмущающая сила мала по сравнению с K\f$, to •/ есть малая
величина и в первом приближении по у решение имеет вид
?п (х) е
-по („+-!)«

598 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
Плотность частиц в этом приближении равна
*<0,
n+1- A2.3.12)
Следовательно, плотность частиц до момента ? = 0 была стационарна
и характеризовалась собственной функцией <рп; после включения при ? = 0
возмущающей силы состояние становится комбинацией различных соб-
собственных функций и плотность осциллирует с течением времени. Так как для
собственных функций, определенных в A2.3.7), справедливо соотношение
то приближенно выражение для плотности частиц после момента времени
t = 0 может быть преобразовано к виду
— [?п (х + Ь — b cos №t)]2> * > 0.
Это показывает, что возмущение нарушает симметричное относительно
х — 0 распределение (<р„J и создает новое распределение, симметричное
в среднем относительно нового положения равновесия х — — Ъ, но имеющее
небольшую антисимметрическую осциллирующую часть. При t = 0 центр
распределения все еще находится в точке ж = 0, но через промежуток
времени t = iu/ш он переместится в точку х = — 26, в момент времени
t — 2tz/w центр снова будет находиться в ж = 0 и т. д.; центр распреде-
распределения колеблется с частотой ш/2ти и амплитудой Ь. Это колебание, очевидно,
совпадает с тем колебанием, которое совершала бы классическая частица
под воздействием подобной возмущающей силы, так что, по крайней мере
в этом простом случае, мы имеем отдаленное сходство между поведением
плотности вероятности |W|2 и соответствующей классической частицы.
Приближенные формулы для возмущения общего вида. Для расчета ста-
стационарных состояний систем, которые только незначительно отличаются
от гармонического осциллятора, или для расчета поведения гармониче-
гармонического осциллятора, возмущенного какой-либо небольшой дополнительной
силой, можно применять методы, рассмотренные в гл. 9. Предположим,
что возмущающий потенциал есть V'(x), так что уравнение Шредингера
для стационарного состояния [соответствующее A2.3.5)] будет иметь вид
0 + (?_pVH = ^F'(*H, A2.3.13)
где г = 2МЕ/К2. Методом гл. 9 это уравнение можно преобразовать в ин-
интегральное уравнение для «j> и в:
со
* B(x\x0)V'(x0)^(x0)dx0. A2.3.14)
Ядро G — это функция Грина для гармонического осциллятора, удовле-
удовлетворяющая уравнению
где е = 2ME/h2 и р = Mw/%, и краевому условию: G стремится к нулю
при \х\—>оо.

12.3. Региение уравнения Шредингера 599
В данном случае удобнее всего выразить функцию Грина в виде ряда
ио собственным функциям
со
G.(ajao)=2 *"<*>*"<**>> , A2.3.15)
где срп — собственные функции для невозмущенного гармонического осцил-
лятора* приведенные в A2.3.7), а еп — соответствующие значения вели-
величины 2МЕ/Ъ?, т. е. еп = 2р ( п + -^ J . Подставляя это разложение в
A2.3.14), мы получаем
со
Мы ищем решение, которое при стремлении V к нулю приближается
к какой-нибудь собственной функции, например к <рп. Поэтому мы прежде
всего нормируем ф так, чтобы коэффициент при <рп был равен единице.
Таким образом,
, ЛИ 4- V 9т(Х>
П \л/ I ^^ с1 FT
ПФ\ т~~ A2.3.16)
Е = Еп+ [ ?n(xo)V'(xo)t?(xo)dxo,
где ?п = Ш ( п -\-у j . Эту пару точных уравнений можно решить так,
как решают в большинстве случаев интегральные уравнения, т. е. после-
последовательными итерациями. Подставим сначала в правую часть равен-
равенства A2.3.16) ф = <рп и вычислим следующее приближение, которое затем
вновь подставим в правую часть, и т. д. Соответствующее значение энер-
энергии можно тогда определить, подставляя ф, полученное из первого урав-
уравнения, во второе (см. в § 9.1 дальнейшие детали).
Первым приближением будет s = en -f- BМ/Ь2) Vnn так что
, Ф1 = ?„(а:)+ 2 ;Й?Г*«(*). A2-3.17)
тфп
где числа
|/™= ^ ?m(x0)V'{x0)<pn(x0)dx0
—со
называют матричными элементами V по отношению к невозмущенным
состояниям т и п. В выражение для ф1 вместо Е можно подставить Е1.
Второе приближение будет тогда получено подстановкой ф1 в правую
часть уравнения A2.3.16):
тфп
Рфп
Чтобы вычислить энергию с точностью до членов второго порядка, в сумму
первой формулы нужно подставить вместо Е величину Еп. В выражении

600 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика ^
для ф2 в первой сумме Е должно быть заменено величиной Е1, но во
второй сумме для получения второго приближения достаточно взять
вместо Е величину Еп. Теперь можно написать полное разложение
¦ "
(E— Ev) (E—Em)
V V V V
nm mp pq qn
(E-Ep) {E-EQ)(E-Em)
дфп
Для получения приближения заданного порядка (скажем v-ro) в последо-
последовательных суммах выражения для Е A2.3.18) Е должно быть заменено
значениями Е"*-2, Е^~3, ... и т. д., а в последовательных суммах выра-
выражения для ф —значениями ?>-!, Еу~2, .... Например,
¦рфп
Условия, при которых эти ряды сходятся, были рассмотрены в гл. 9.
Другие формулы теории возмущений, полезные, когда эти ряды плохо
сходятся, также указаны в гл. 9.
Для иллюстрации метода возмущений мы вычислим энергию и вол-
волновые функции линейного возмущения Fx, для которого точное решение*
приведено в A2.3.11). Из соотношения
получаются следующие выражения для матричных элементов V'en;
0, s — любое другое.
Следовательно, согласно A2.3.18), во втором приближении возмущенные
энергии выражаются формулой

12.3. Решение уравнения Шредингера 601
Возмущенная волновая функция в первом приближении имеет вид
- у [ |/у
что совпадает с решением A2.3.9).
Волновые функции в импульсном представлении. В § 2.6 [см. рас-
рассуждение после B.6.28)] было показано, что если оператор энергии
сфв для стационарного состояния выражен через импульс р и положение
частицы q, то уравнение для пространственно-зависящей волновой функ-
функции ф получается заменой рвНпа — Ы (d/dq) и воздействием оператора <Ш
на <J>. Для гармонического осциллятора такая волновая функция приве-
приведена в A2.3.7). Уравнение для волновой функции в импульсном пред-
представлении, квадрат модуля которой представляет вероятность того, что
частица имеет соответствующий импульс, получается заменой х в М-
на hi(d/dp) и применением полученного оператора к волновой функ-
функции. В случае гармонического осциллятора после отделения временного
множителя e—iEtln для волновой функции получается уравнение
\d\ г IE р* и 0
dp* -г L
Это уравнение имеет ту же форму, что A2.3.5), и оно должно иметь
решения такого же типа. Допустимые значения энергии, для которых у
конечно при всех значениях р, будут
, 1
так же, как и в A2.3.6) (как оно, конечно, и должно быть,
поскольку речь идет о тех же стационарных состояниях, представленных
только не через положение частицы, а через ее импульс). Соответ-
Соответствующие волновые функции в импульсном представлении имеют вид
Эти функции вновь должны быть нормированы к единице, поскольку
интеграл от у8 по всем значениям р соответствует достоверности того,
что импульс частицы находится в области —оо </?<оо.
Средний импульс равен нулю, и, используя рекуррентные соотно
шения для полиномов Эрмита Нп, можно показать, что среднее значение
квадрата импульса частицы в п-ш состоянии равно
^)= МЕ
п,
т. е. среднему значению квадрата импульса классической частицы, имеющей
энергию Еп.
Волновые функции в импульсном представлении полезны для иссле-
исследования поведения импульса квантового осциллятора или, например, для
вычисления возмущения, вызванного членами, зависящими от р. Согласно
B.6.24), волновые функции в координатном и импульсном представлениях
тесно связаны между собой, будучи преобразованиями Фурье друг друга:
со
Хп (р) = —== ) е-^т9п {х) dx. A2.3.21)
— СХ)
Это равенство легко проверить, обратившись к интегральному представ-

602
Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
лению функций Вебера (с другой стороны, оно само немедленно приводит
к интересному интегральному уравнению, которому удовлетворяют поли-
полиномы Эрмита).
Связанные и свободные состояния. Если потенциальная энергия
имеет минимум, но стремится асимптотически к конечному значению при
ж—> + со или — оо, то некоторые допустимые значения энергии будут
дискретны — они соответствуют состояниям, в которых частица связана
в потенциальной долине. Для области значений энергии, более высоких, чем
асимптотическое значение потенциала, допустимы все энергии, поскольку
ЖЖЖ2ШШШЖ
Состояния отражения
Рис. 12.2. Потенциальная энергия для одномерного случая
и уровни энергии связанных состояний, состояний отражения и
свободных состояний.
частица при этом свободна и может перемещаться бесконечно далеко.
В качестве примера мы вычислим волновые функции и допустимые энер-
энергии для частицы массы т в потенциальном поле
показанном на рис. 12.2. Если Vo положительно, то этот потенциал поло-
положителен и достигает наименьшего значения (F = 0) при х = 0. При поло-
положительном х потенциал возрастает с возрастанием х и асимптотически
стремится к V0e2v- при х —> 4- оо; если же х отрицательно и возрастает
по абсолютной величине, то V также возрастает, асимптотически стремясь
к Voe~2^ при х~> — со.
Классическая частица не может иметь отрицательной энергии; для
энергий, лежащих между нулем и Voe~2^ (p. > 0), частица совершает
колебания в потенциальной долине, для энергий, лежащих между Voe~2^
и V0e2v~, частица, приходящая из —оо, отражается от потенциального барь-
барьера, находящегося правее минимума, и уходит обратно к —со; при энер-
энергиях больших чем Уое2^ частица может двигаться от — со до 4- со или
от 4- со до — со.
Чтобы найти соответствующее квантово-механическое поведение частицы,
выразим расстояние в единицах d, а энергию в единицах %2/2mdz. Для
состояния с энергией Е уравнение для пространственного множителя
(W = (j>e~iE'/n) будет иметь вид
^] ф = 0, A2.3.22)

12.3. Решение уравнения Шредингера 603
где
z = {x-i>d)/d, s = Bmd*/h*)E, v = Bmd2/%2)V0.
Довольно неожиданным представляется тот факт, что это уравнение ока-
оказывается связанным с гипергеометрическим уравнением. Положим сначала
Тогда, если параметры а и Ъ определяются соотношениями
или
Yve^v \/ve-2v *->
A2.3.23)
а = -тг Yvev _ з — \/veve = у
\b = j jA^Ef 1 yve-^s +
{¦*.%. — это разность между энергией частицы и потенциальной энергией
ири ж= +оо, а х^ —такая же разность при х= — со), то уравнение для
F принимает вид
р" _ 2 [а + Ь th z] F' + {[v ch2 ц - b (b + l)]/ch2 z} F = 0,
что сводится к гипергеометрическому уравнению заменой независимой
переменной м^ = у [ 1 — th (z)] = e~7(ez + e~z):
Сравнение с E.2.42) показывает, что решением, конечным при
м = 0 (ж—> + с»), является гипергеометрическая функция
Поскольку при s < De2*1 величина a 4-6 действительна, функция ф для
таких энергий исчезает при х—>со. Вторым решением служит произве-
произведение к~а~ь на другое F, что приводит к ф, которое при х—> со ведет
себя как е(а+ь)г и стремится к бесконечности, если з < ve2^-. Следова-
Следовательно, до тех пор пока s (т. е. энергия частицы в единицах h?/2md2)
меньше чем ve2v- (асимптотическое значение потенциальной энергии при
z—> со) — это второе решение следует отбросить, чтобы было выполнено
условие интегрируемости с квадратом.
Поэтому решением уравнения Шредингера, конечным при х—>со,
будет
^1х A2.3.24)
X
где z — x/d — р., а и b определяются по формуле A2.3.23) и N — норми-
нормирующий множитель.

604 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
Согласно E.2.49), предельное поведение этого решения при z—> — со
будет следующим:
Г(а + Ч-1)ГF-а)е<°-Ь>г |
Г (а+Ъ + 1) Г (a-b)
Если в последнем выражении один из членов не обращается в нуль, то оно бу-
будет стремиться к бесконечности независимо от того, будет лиа>6 или Ь > а.
В силу симметрии членов, содержащих а и Ь, а также симметрии опре-
определений а и Ь [см. уравнение A2.3.23)], мы получим всевозможные слу-
случаи, выбрав b > а; при а > b получим простое повторение результатов.
Для того чтобы при Ь > а <Ь было конечным при z —> — оо, нужно, чтобы
аргумент одной из гамма-функций, стоящих в знаменателе первого члена,
был целым отрицательным числом и чтобы, таким образом, первый член
был равен нулю. Это означает, что при s < ve~^ допустимы только те
энергии, для которых
_ 1
1
A2.3.24')
где п — нуль или целое положительное число, такое, что fcn > ап. Дру-
Другими словами, п должно быть меньше чем
ch2 {х +1 - -1 - j/i-t; sh 2,х.
4 2
Отметим, что дискретные связанные уровни не могут существовать.
/"I Г Г 1
если 1/ yDsh2n больше чем I/ uch2f* + -T ^; иначе говоря, если не
выполняется неравенство
v > е2^ th {х, ц > О,
то связанных уровней нет вовсе. Если потенциальная энергия становится
слишком асимметричной (ц слишком велико), то минимум уже не
сможет «поддерживать» связанное состояние . Однако внутри этих
границ для v и ц возможны одно или несколько состояний, волновые
функции которых исчезают и при х = -(- со и при х = — оо и которые
соответствуют классическим связанным состояниям, где частица ко-
колеблется с конечной амплитудой около положения минимума потенциала,
совершая периодическое (но не чисто гармоническое) движение. В классиче-
классическом случае частота колебания зависит от амплитуды движения и равна
|/F0/2ic2md2 ch2 ц для малых амплитуд, но для больших амплитуд эта
частота уменьшается. В волновой механике признаком того, что движение
не будет чисто гармоническим, является отличие друг от друга промежут-
промежутков между допустимыми уровнями энергии, тогда как в случае простого
параболического потенциала эти промежутки были одинаковы.
Существование связанных состояний. Мы уже видели, что внутри
определенных границ для величин ци» допустимые уровни энергии при

12.3. Решение уравнения Шредингера 605
< ve~2^ являются дискретными величинами
sb'fr3.25)
где
я = 0, 1, 2, ... <,[ |АсЬц + 4 -I
Соответствующие волновые функции имеют вид
^) . A2-3.26)
где величины ап и Ьп определены равенствами A2.3.24').
При малых значениях v существует только один связанный уровень.
Например, при fi = 0 (потенциальная долина, симметричная относительно
х = 0) и при v < -г существует только одно связанное состояние для
/г = 0. Допустимая энергия с точностью до величин второго порядка отно-
относительно малой величины v равна:
Этот уровень только немного ниже асимптотического значения Vo нотен-
циальной энергии, и соответствующее состояние является «едва связанным».
Вообще, можно показать, что в случае, когда V равно нулю для всех
значений х от — оо до +оо, кроме малого промежутка, где имеется
очень неглубокая «долина», всегда существует по крайней мере один
связанный уровень. В случае когда Е меньше нуля, но больше мини-
минимума V в этой долине, в области, где Е > V, волновая функция будет
изогнута вниз, и мы можем добиться того, что она будет опускаться
к оси в обоих концах промежутка изменения х, где Е > V. В области,
где V = 0, Е будет меньше чем V, и решение ведет себя там как е~ах
при ж—>оо и как еах при х~> — оо с тем, чтобы ф было конечным:
а2= —BmE/h2) (E < 0). Как бы ни были «мелки» значения V и как бы
низко ни проходила соответствующая кривая графика ty в этой области,
всегда можно сделать а достаточно малым [взяв — Е малым, т. е. взяв
«едва связанное» состояние], для того чтобы две экспоненты, дающие ре-
решения для больших значений х, соединялись достаточно гладко.
Таким образом, как бы мелка ни была потенциальная долина, в этом
случае существует всегда по крайней мере один связанный уровень. Этот
вывод, однако, перестает быть правильным, если асимптотическое значе-
чение V при х —> со отличается от асимптотического значения при
ж—> — со. В этом случае мы не можем подправить Е таким образом,
чтобы разность производных показательных членов, представляющих <Ь
при больших значениях |ж|, была достаточно малой. Эти общие вы-
выводы иллюстрируются в настоящем примере, где мы видели, что при ц = 0
и F( + oo) = F( — оо) всегда существует один связанный уровень, как бы
мало ни было v; в то же время при ц^О и V( + оо) Ф V( — оо) не суще-
существует связанного уровня, если v меньше, чем e^thp..
Нужно попутно отметить, что эти выводы сохраняют силу только для
одномерных задач. В случае двух или трех измерений, когда V равно
нулю всюду, кроме малой области вблизи начала, где V имеет численно
небольшой минимум, можно сделать эту область настолько малой или

606 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
выбрать минимум численно настолько малым (или и то и другое вместе),
что не будет существовать ни одного связанного уровня х).
С другой стороны, при больших значениях i>ch2fi существует не-
несколько связанных уровней. Вблизи минимума потенциала, находящегося
в точке х — 0, потенциальная энергия имеет параболический характер:
так что классическая частота малых колебаний около положения равно-
равновесия равна ш/2тс, где ш = ]/2F0/md2 ch2 ft. Следовательно, постоянная о
связана с ш соотношением
Если i>chafi значительно [превышает -г, правая часть уравнения A2.3.25)
для энергии может быть разложена в ряд при малых значениях п, что
дает нам
для нижних уровней. Таким образом, несколько первых связанных
уровней соответствуют формуле A2.3.6) для гармонического осциллятора
с поправочным членом, соответствующим отклонению рассматриваемой
потенциальной энергии от простой параболической формы.
Отражение и прохождение. Если энергия е больше чем ve~2v-, но
меньше чем ve2v; то оба решения конечны при х—> — со, но только одно
из них конечно при х—> + со. Функция, данная в равенстве A2.3.24),
конечна всюду для всякой энергии в промежутке ve~2^ < е < ve2^. В этом
промежутке величина х+ = У ve2v- — е будет действительной, а величина
\fve~2v- — е= — ik_ мнимой; №_ дает асимптотическое значение кинетической
энергии частицы в единицах %2/2md2 при х~> — со. Точное выражение
волновой функции при ve2v- > s > ve~2^ имеет тогда вид
*++11?Т^)' A2-3-27>
где
и Y =
Воспользовавшись уравнением E.2.49), мы найдем асимптотическое пове-
поведение функции ф при х—> — со:
{Г I -ik \ />ih_i
_ _ Г (tfc_) e-ift-~
Первый член соответствует стационарному потоку частиц с импуль
сом р_= ]/2ти(? — V0e~2v-), движущихся в положительном направлении.
Как показывает равенство A2.3.3), этот поток с точки зрения волновой
*) Для двумерного случая это последнее утверждение не справедливо. См.
Ландау Л., Лифшиц Е., Квантовая механика, ч. I, ГИТТЛ, М.—Л., 1948,
стр. 183—186. - Прим. ред.

12.3. Решение уравнения Шредингера 607
механики изображается чисто гармонической волной
ехр (-^) = exp [i (z + |х) j/e-ue-2^ = exp [ik_ (z + |x)];
квадрат модуля коэффициента при этой показательной функции пропор-
пропорционален плотности потока частиц в положительном направлении. Вто-
Второй член, очевидно, соответствует волне (а следовательно, и потоку
частиц), движущейся в отрицательном направлении. Так как коэффи-
коэффициент при втором члене является комплексным числом, сопряженным
коэффициенту при первом члене, оба потока равны по величине, и результи-
результирующий поток равен нулю. Как и в случае классических частиц, поток,
распространяющийся вправо, не может достигнуть + со, так как потев-
циальная энергия V0e2v- там больше, чем энергия частицы, так что все
частицы отражаются обратно к — со.
Если энергия s больше чем ve2^ (в единицах h2/2md2), то величина
|/ ve2»- — з = — iA+ будет также мнимой и все решения уравнения A2.3.22)
конечны и при ж=со, и при х—— со. Решение A2.3.24) в этом
промежутке (з > ve2^),
+co, A2.3.28)
Г (ik_) e~ik-z
где у = 1/ у ch2 (л + -г- и k_= |/"e — t»e~2^, представляет поток частиц,
одни из которых движутся вправо, а другие—влево при z—> — оо; но
при z—> + °° частицы движутся только вправо. Это не согласуется
с классической механикой, так как в классической механике все ча-
частицы, движущиеся из — со с энергией, большей потенциальной энергии
в любой точке промежутка — со < х < + со, будут продолжать двигаться
только вправо. Однако это согласуется с движением волны в среде, коэф-
коэффициент преломления которой пропорционален E — V; если коэффициент
преломления меняется с изменением х в промежутке — со<а:< + оо, то
часть волны, движущейся из — со вправо, отразится назад к — со и
только часть волны будет проходить к +со.
Сравнительные амплитуды проходящей и отраженной волн получаются
с помощью формулы Г(г)ГA — z) = ir/sin icz. Например, квадрат модуля
коэффициента при -eih-z содержит множитель ГA — ikt) ГA + г7с4) =
= тск^/ьЪ'кк^, а также и множитель Г (ikj) Г (— ik_) = к/к_ sh кк_. Посту-
Поступая аналогично с гамма-функциями в знаменателе и помня, что плот-
плотность тока пропорциональна произведению величины к на квадрат ампли-
амплитуды экспоненты, мы найдем, что падающий поток (движущийся вправо
из х= — со), отраженный поток (влево к х=-со) и проходящий поток
(вправо к ?=4-со) соответственно пропорциональны величинам /,, 1Г

608 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
и /,, где:
I _ A k I N I2 ch ["(/с++ *;-)]+cos Bя?)
* 2 *' ' sh(nk.)sh(nk_)
T -Ik- | Ar|2ch[jt(fe_-fcO]+cosBJtT)
r 2 +l I sb(nk+)sh{nk_)
Нетрудно видеть, что Ii — I'r = /„ как и должно быть, для того чтобы
удовлетворялось уравнение непрерывности.
Поэтому, если из точки х = — со выходит поток, плотность которого
равна 1, то отраженный поток В и проходящий поток Г имеют плотности
о _ ch[ji (fe_—fe+)
cos
у, _ 2sh(jifc+)sh(jifc_) _ . п
~ с\1{п(кь+к_)}-\-совBщ)
где
у = |/у ch2(x + -|-, Л+ = /е-^е2^ и /с_ = /е-ае^.
Когда энергия з приближается к асимптотическому значению
стремится к нулю, Т стремится к нулю, a R стремится к единице. Когда
v приближается к нулю, так что потенциал становится независимым от х,
R стремится к нулю, а Т стремится к единице (для положительного s).
Другое интересное явление лучше всего показать, рассматривая
симметричный случай (х = 0. Здесь допустимые связанные уровни имеют вид:
и «коэффициент отражения» от потенциальной долины падающей частицы
с энергией з > 0 равен
R = Ь ! -y =1-7.
Заметим, что этот коэффициент меняется периодически с изменением
1/ v + -г , достигая своего максимума, когда I/ v-\--r является целым
числом, я обращаясь в нуль при 1/ v-\--j- = у, у, ..., Л^ + у- В этом
последнем случае отдельные волны, отраженные от различных частей
потенциальной долины, интерферируя, разрушают отраженную волну
и приводят, к полному прохождению. Это полностью аналогично действию
пленки, толщина которой равна четверти длины волны; такая пленка,
нанесенная на поверхность линзы, уменьшает до минимума свет, отражае-
отражаемый от этой поверхности.
Но, как и во всех квантовых явлениях, здесь мы имеем лишь частич-
1~ 1
v + -т- несколько больше чем N + у , то
существует связанный уровень з^, несколько более низкий чем высшая
точка склона долины, и при уменьшении v до значений, несколько мень-
/" »г 1 Л2 1
ших чем ( N-]— ) —>-, этот верхний связанный уровень «выталкивается»
в континуум свободных уровней, лежащих выше e — v. Ьсли v

12.3. Решение уравнения Шредингера 609
приближенно равно ( ^ + у J ~ Т > т0 оказывается, что волновая функ-
функция (при е, несколько большем чем v) в потенциальной долине имеет зна-
значения, во много раз большие чем при | х| == со; в то же время при v ^N2 — -r
амплитуда этой функции в долине мало отличается от ее амплитуды
при |ж|-^со. Медленно движущаяся частица, подходя к долине, входит
в нее с энергией, очень близкой к энергии связанного состояния; даже
в случае, когда она находится в свободном состоянии, она пребывает
в долине сравнительно долгое время и, очевидно, «забывает» отразиться.
A Л2 1
N -\-~2 ) —-г и связан-
связанный уровень «выталкивается», кажется, что существует «виртуальный уро-
уровень», который задерживает приходящие медленные частицы на некоторое
время и лишь некоторые из них отбрасывает назад к — со.
Это влияние «виртуальных уровней» на отражающую способность
потенциальной ямы встречается также и в задачах двух и трех из-
измерений.
Мы рассмотрели поведение волновой функции для потенциала, фигу-
фигурирующего в уравнении A2.3.22), при всех значениях энергии. Мы видели,
что не существует допустимых состояний энергии, меньших чем минимум
потенциальной энергии, что согласуется с классической динамикой.
Для энергий, лежащих между минимумом потенциала и наинизшим асимп-
асимптотическим значением У_, допустимые состояния являются связанными,
волновая функция обращается в нуль при х= ±со, что согласуется
с классическими результатами; но в этом промежутке допустима только
дискретная совокупность значений энергии, что не согласуется с класси-
классическим случаем, где допустимы все значения энергии, превышающие
минимум. Для частиц с энергией, большей чем У_, но меньшей чем
асимптотическое значение У+ потенциала при х= + оэ, допустимы все
значения энергии; волновая функция равна нулю при х — -j- со, но про-
простирается до — оэ.где она соответствует падающей волне (распространяю-
(распространяющейся вдоль оси х) и отраженной волне равной амплитуды, что нахо-
находится в соответствии с классическим описанием потока частиц, отражаю-
отражающихся от склона потенциальной долины. Наконец, для частиц с энергиями,
превышающими V+, допустимы все энергии в согласии с классическим
случаем, но здесь встречается отражение волны от склонов долины, что
противоречит поведению классической частицы, для которой при такой
большой энергии отражение невозможно. Волновыми функциями такого
рода являются функпии, указанные в равенстве A2.3.28) и соответствующие
пучку, падающему из —оэ, пучку, проходящему к + со, и пучку, отра-
отраженному назад к — со, или, наоборот, соответствующие пучку, падающему
из +оо, пучку, проходящему к —со, и пучку, отраженному назад к -|-со.
Обе эти волновые функции конечны во всем промежутке — оэ < х < + со,
но не стремятся к нулю в его обеих граничных точках.
Проникновение через потенциальный барьер. Ту же самую потен-
потенциальную энергию можно «перевернуть», переменив знаки Уо и щ тогда
получим поле с асимптотическим значением — ve2^ (в единицах %2/2md2)
при х—> — со, имеющее значение нуль при i = 0e асимптотическое зна-
значение — ve~2^ при х—>оо. В классической теории частицы, имеющие
энергию, большую чем вершина барьера (s > 0), все будут проходить
над барьером, двигаясь от —со к +<эо, а частицы, двигающиеся от —со
к + со с энергией, меньшей чем это высшее значение, все будут отражаться
назад к — со. Основываясь на наших прежних рассуждениях, мы можем
ожидать, что в квантовой механике при г >• 0 произойдет частичное отра-

610
Гл. 12. Диффуаия. Волновая механика
жение. Интересно посмотреть, происходит ли прохождение через потен-
потенциальный барьер частиц с отрицательной энергией.
Уравнение, определяющее волновую функцию в случае, когда потен-
потенциальная энергия имеет вид — vch*p(thz — thjiJ и при z^x/d-]-^,^ при-
принимает форму
-^ + [в + v ch 2fi — v sh 2fi th z - v ch2 fi ch~2z] ф = 0,
что можно сравнить с A2.3.22). Методами, подобными рассмотренным
ранее, мы получаем при з > — vc2^ решение, которое представляет
пучок, проходящий к +оо, а также падающий пучок и пучок, отра-
отраженный к — с»:
Свободные состояния
N Состояния
отражения
Рис. 12.3. Потенциальная функция, допускающая прохождение
волн через потенциальный барьер.
ф = Ne2'
X
Г(
NT(l-iK)
f 1 . a++*l.+[j
^2 l 2
ivr(l — ife+) Г (i/c_)
|Г( —i/c_)
\ /" 1
eift_z
f/f_— p Л
2 У
-Г
. — со, A2.3.30)
где
= l/4t; ch2 ft —
= У г
Величина /с^ является кинетической энергией частицы, когда она нахо-
находится в х = + со, /с? является ее кинетической энергией в х = — со. Обе
эти величины положительны (к+ и ^-действительны), если только е
больше чем —ve~2^. Это решение всюду конечно, если только к+ и к-
действительны.
Оперируя с гамма-функциями так же, как и раньше, мы видим,
что в случае, когда решение нормировано и представляет падаю-
падающий поток частиц, движущихся из — со, причем интенсивность потока
равна единице, поток Т, проходящий к + с», и поток R, отраженный

12.3. Решение уравнения Шрединеера
611
назад к —со, для всех значений е, для которых^/с+ и к_ действительны,
имеют вид:
ch[n(k_-\-k+))+ch(np)
=i_T
A2.3.31)
Эти выражения указывают на то, что при каждом значении г, большем
чем — ve~2i\ некоторая часть потока проходит к +оэ, а некоторая часть
отражается к —оэ. Это не согласуется с результатами классической
механики, где при s > 0 не будет отражения, а при е < 0 (в случае, когда
частица «проникает» через потенциальный барьер при а" = 0, направляясь
I
«I
I
ё
Е
ас
(и
3"
I
vio)
Энергия
Рис. 12.4. Прохождение частиц через потенциальный барьер,
изображенный на рис. 12.3.
к я=со), не будет прохождения. В предельных случаях результаты кван-
квантовой механики приближаются к классическим: при е > v k+ и А_
велики и приблизительно равны друг другу; в этом случае Т близко к
единице, а И близко к нулю. С другой стороны, если v и (или) fi велики,
a s отрицательно (меньше, чем высшая точка барьера), то к+, хотя
и действительно, но значительно меньше чем Л_ или Р; в этом случае
Т мало, a R близко к единице. Чем выше и «шире» потенциальный
барьер, тем меньше частиц проходит через него. Тем не менее наши
результаты показывают, что потенциальный барьер конечной высоты
и ширины не препятствует небольшой части ударяющихся об него частиц
проникать через него и появляться с другой его стороны. Это поведение
существенно, например, для объяснения явления радиоактивности. График
коэффициента прохождения Т как функции от энергии частицы з дан
на рис. 12.4 и указывает общие результаты.
При з < — ve~2v- величина А+ мнимая, и мы можем ее обозначить
через гк+ . В этом случае ф обращается в нуль при х = + с», и коэффи-
коэффициенты падающей и отраженной к х = — со волн имеют одну и ту же
величину, что указывает на полное отражение. Потенциальный барьер
для этих значений энергии простирается до + со, так что отражение
будет полным. Наконец, при s<— ve2^ нельзя найти всюду конечные
решения, так что такие энергии не являются допустимыми.
Центральные силовые поля, момент количества движения. Если
частица массы М находится в потенциальном поле V (г), являющемся

Гл. 12. Диффуаия. Волновая механика
центрально-симметричным относительно некоторой точки (которая может
быть принята за начало), соответствующее уравнение Шредингера при
постоянной энергии Е имеет вид:
где s = 2МЕ/%2 и v = 2MV/hz; в этом уравнении переменные разделяются,
если перейти к сферическим координатам г, 8-, <р. Множитель, зависящий
от углов, является обычной сферической гармоникой:
хГ(, т)Л(г), ХГе^Г(cos»), A2 3 32)
m=-Z, -Z+l, .... l-l, I, / = 0,1,2,...,
где собственные функции Р™ приведены в таблице, помещенной в конце
гл. 10. Уравнение для радиального множителя имеет вид
+ [*-l-^)--v(r)]R = O, A2.3.33)
где, для того чтобы ф всюду было конечным, /? должно стремиться к нулю
при г —> 0 и должно оставаться конечным при г —> со.
Мы видим, что энергия не зависит от квантового числа т, так как
это число не содержится в уравнении для R и е. Это вырождение соот-
соответствует симметрии потенциального поля, а различные комбинации вол-
волновых функций при различных значениях т определяют различные ориен-
ориентации волны относительно полярной оси [см., например, рассуждения по
поводу формулы A0.3.36)]. В классическом случае эта симметрия приводит,
очевидно, к постоянству момента количества движения частицы относи-
относительно силового центра и к постоянству направления момента количества
движения. Это постоянство может быть переведено и на язык квантовой
механики.
Момент количества движения г X р частицы относительно начала
соответствует оператору [см. равенства, предшествующие A.6.42), и B.6.17),
а также стр. 432]
% г а
[а^ а(sin* ж+cos* cts &-ц) + av(cos ? ж -sin
Компонента вдоль полярной оси <MZ = (fe/0 (d/dy) является компонентой,
для которой ф служит собственной функцией, так как
если множитель функции ф, зависящий от <р, имеет вид eimf. Волновая
функция не является собственной функцией для с?х или для аШу, так как
ни один из этих операторов, действуя на ф, не приводит к произведе-
произведению ф на постоянную. Как мы видели в A.6.43) и как можно доказать
с помощью свойств сферических гармоник,
(aSx + i^y)Xr = hXr+i, (c?x-ia<%y)X? = n(l + m){l-m+l)X?-\ A2.3.34)
так что операторы в#х + 1<Лу и c$x — iJty повышают или понижают кван-
квантовое число т и своим действием изменяют волновую функцию.
Наконец, для оператора, соответствующего квадрату момента коли-

12.3. Решение уравнения Шрединеера 613
чества движения, ф является собственной функцией:
Таким образом, можно сказать, что, перейдя к сферическим коорди-
координатам и выразив в них волновую функцию, а также считая, что
зависимость от углов имеет вид X™, мы тем самым удовлетворяем требо-
требованию, чтобы волновые функции были собственными функциями квадрата
момента количества движения и составляющей момента количества дви-
движения вдоль полярной оси, помимо того, что они являются собственными
функциями оператора цолной энергии. Мы могли бы, конечно, восполь-
воспользоваться и другими комбинациями сферических гармоник, такими, напри-
например, как Ymi = cos (m<p) Р™ или Т^г = sin (m<p) P™, но эти комбинации
не являются собственными функциями компоненты оператора &# по оси z,
а поэтому мы предпочитаем комплексные функции Хр.
Центральные силовые поля, радиальное уравнение. Так как очень
многие задачи квантовой механики связаны с центральными силовыми
полями или с полями, очень мало отличающимися от центральных, то
полезно рассмотреть некоторые случаи, в которых можно найти точные
решения, чтобы потом использовать их как основу для вычисления
возмущений в других задачах. Один из случаев, когда можно найти точ-
ное решение, соответствует гармоническому осциллятору F =
где ш/2я — классическая частота колебаний. Соответствующее уравнение
для R показывает, что R пропорционально вырожденной гипергеометри-
гипергеометрической функции от г2, которая стремится к бесконечности при г —>оэ,
если только ни один из индексов не равен целому отрицательному числу;
в последнем случае решением является один из полиномов Лагерра, таблица
которых дана в конце гл. 6,
R (г) = M-'+ie-^'X** (Pr2)' * = 0, 1, 2, .. .,
где р, как и раньше, равно Мш/Я, а полином Лагерра L"(z) обладает
следующими свойствами:
7 о jL/n -+• [ 1 J —-.— Ju-n -\ Ljn = U, 1 l^.o.oOl
'Itn (z) Ы (z) dz =
z) Lan (z) dz = Ьтп [Г (n + a + I)]3 2"+°+1 -
Только для значений п = 0, 1,2, ... вырожденный гипергеометрический
ряд имеет конечное число членов, а R остается конечным при г—>со.
Это ограничивает допустимые значения энергии Е = (h2/2M) e только
следующими дискретными уровнями:
l = l,2,3, ... . A2.3.36)

614
Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
Расстояния между этими уровнями равны Ьш, как и в случае линейного
гармонического осциллятора, описываемого формулой A2.3.6); но в данном
случае наинизший уровень на -^-Ьш больше минимума потенциала, тогда
1 ,
как в одномерном случае наинизшии уровень только на -rrhw выше мини-
мума (для двумерного гармонического осциллятора этот уровень будет на
Яш больше минимума).
Соответствующей нормированной собственной функцией в случае потен-
потенциала гармонического осциллятора является
г
X
= п—1, п —3, п —
ш = 0, 1, 2, ... ,
), A2.3.37)
1 или О,
или функция, ей комплексно сопряженная. Мы видим, что каждый уро-
уровень вырожден; здесь т для каждого значения I принимает 21 + 1 раз-
различных значений, каждое из которых соответствует одному и тому же
значению энергии. Кроме того, для данного значения п несколько состоя-
состояний, соответствующих различным допустимым значениям I (которые будут
все нечетными, если п четно, и четными, если п нечетно), имеют одну и ту
же энергию. Если п нечетно, то существуют п/2 +1/2 таких различных
значений I, если п четно, то их будет п/2. Следовательно, число состоя-
состояний, имеющих энергию Тш>(п-\-1/2), равно 1 при п = 1, 3 при п = 2, 6 при
п = 3, 10 при в = 4ит. д., вообще кратность вырождения равна п(п + 1)/2.
Кулонорсний потенциал. Другим потенциалом, для которого может
быть найдено точное решение, является кулоновскии потенциал V = — rf/r.
Как указано в E.2.55) и в предыдущих уравнениях, уравнение для ради-
радиального множителя в случае этого потенциала имеет вид
С другой стороны, уравнение для функции zbe~zl2F ( — с | а + 11 z) = / (z)
имеет вид
tff о+1-2Ь df , Г 1 2С + С+1 Ъ(Ъ-а) П ,
_ + _ __+ [ -т + ^— + ? j / =
Мы можем перейти от одного уравнения к другому, положив z =
a—2l-\~l, b = l-\-l и v. — Mti2/[%2(с +1 + 1)]. Следовательно, решение ради-
радиального уравнения, конечное при г = 0, имеет вид
-^-\ 21+ 2 \ 2хтЛ ~
expfxr—
exp —i
, г-
оо.

12.3. Решение уравнения Шредингера 615
Эта функция конечна при г —» оо для всех положительных значений
энергии частицы (% = ik, /c2 = s), но для отрицательных значений энергии
{* действительно]) она конечна лишь в случае равенства нулю первого
члена, т. е. в случае, когда JHf/A является целым числом, равным
/ +1 или большим. Другими словами, допустимые отрицательные значения
энергии определяются равенствами
Эти значения являются, очевидно, связанными уровнями атома водорода,
дающими бальмеровские серии для разностей энергий. Нормированная
волновая функция, соответствующая квантовым числам п, I, т, в случае
кулоновского потенциала равна
__l/f
mr?\s2l+l(l-m)\(n-l-iy.
h*n j 8лп ! !
(cos «) (^г)' eHM^ir^V., (^r) A2.3.40)
X
или равна функции, комплексно сопряженной с данной.
Эта система является сильно вырожденной: все состояния для одного
и того же значения п имеют одну и ту же энергию. Так как т может
принимать здесь 21-\-1 различных значений для каждого значения I и так
как здесь допустимы все значения I от нуля до п — 1 для каждого зна-
значения п, то существуют и2 различных состояний, имеющих допустимую
энергию Еп. Состояние при 1 = 0 называется s-состоянием (ls-состоянием
при п=1, 2s-cocTOHHHeM при п = 2 и т. д.), три состояния (для данного п)
при 1=1 называются р-состояниями, пять состояний при 1 = 2 называются
d-состояниями и т. д.; последовательность, обычно употребляемая в атом-
атомных задачах, имеет вид s, p, d, /, g, /г, ... с числом, стоящим впереди
буквы и указывающим значение п. Как было сказано раньше, значение
т указывает только ориентацию момента количества движения в про-
пространстве и представляет интерес в случае, когда на электрон воздейст-
воздействует как электрическое поле ядра, так и однородное магнитное поле.
Если Е положительна, волновая функция, конечная всюду, имеет для
данных значений т и I вид
«К*, I, m\r, ft, ?) =
у е^РГ (cos ») F (j, + 1 + ij[5? I 2/ + 2 | 2ikr
сй e^Pf (cos ») -j^-sin [kr+-^ In Bкг)-~гЛ-Q^], kr -> oo, A2.3.41)
где k2 = e = 2ME/h2 и
Из наличия логарифмического члена в аргументе синуса в асимптотиче-
асимптотическом выражении ф, очевидно, вытекает, что кулоновский потенциал if/г
продолжает оказывать влияние на частицу даже при очень больших зна-
значениях г. Даже на очень больших расстояниях длина волны не стано-
становится в точности равной 2ъ/к.

616 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
Сила, обратно пропорциональная кубу расстояния1). В классической
динамике в случаях сил, обратно пропорциональных кубу или пятой сте-
степени расстояния (V — A/ru или V = A/rA), также имеются решения, выра-
выражаемые в элементарных функциях. Это оказывается неверным в кван-
квантовой механике. Например, радиальное уравнение в случае силы притяже-
притяжения, обратно пропорциональной кубу расстояния, имеет вид
где I (I +1) должно быть меньше силовой константы у2 Для того, чтобы
частица, имеющая момент количества движения, соответствующий кванто-
квантовому числу I, была связанной. Легко видеть, что случаи I > 0 сводятся
к случаю 1 = 0, если вместо у2 взять у2 —1A + 1); поэтому мы ограничимся
изучением только случая 1 = 0. Решением уравнения для возможного
связанного состояния (з = — х2)
конечным при г —> со, является сферическая функция Ганкеля мнимого
аргумента комплексного порядка
Л V(fr)
[ l -xr~ - in (ip+s-l
|I^e 2 xr-»co,
где p = 1/ у2 —j- и Г A + ip) = | Г A -j- ip) | e Фр. Заметим, что при г —» О,
если р действительно (у > 1/2), эта функция не стремится ни к нулю,
ни к бесконечности, но колеблется с постоянно возрастающей частотой
как синус логарифма г.
Если интенсивность потенциала невелика (у < 1/2), хотя вызываемые им
силы и являются силами притяжения (у действительно), тор — мнимое число
и порядок функций Бесселя действителен. Если это имеет место, то ни
для какой отрицательной энергии нельзя найти волновую функцию, кото-
которая была бы конечной одновременно и при г = Ои при г = со. Приведен-
Приведенная выше функция Ганкеля (при действительном ip) стремится к нулю
при г —» со, но становится бесконечной при г = 0; функция Бесселя Jip (iv.r)
стремится к нулю при г —-> 0 и к бесконечности при г —> со. Таким обра-
образом, для незначительных сил притяжения, обратно пропорциональных кубу
расстояния, не существует связанных уровней, хотя и существуют конеч-
конечные волновые функции для положительных энергий. Функция Ганкеля,
хотя и стремится к бесконечности, но интегрируема вместе со своим
квадратом в окрестности г = 0; если поэтому граничные условия требуют
интегрируемости, а не конечности, то допустимы все отрицательные энергии.
При у > 1/2 порядок функций Бесселя, ip, будет мнимым и выписан-
выписанная функция будет конечной для всех значений г, какое бы отрицатель-
отрицательное значение для энергии мы ни выбрали. Этот результат кажется совер-
совершенно неожиданным. Возможно, что особенность силового поля достаточно
велика для того, чтобы разрушить дискретность связанных состояний.
Другая точка зрения сводится к тому, что условиями для стационарных
х) См. также § 35 цитированной на стр. 606 книги Л. Ландау и Е. Лифшица.—
Прим. ред.

12.3. Решение уравнения Шредингера 617
состояний не обязательно должны быть конечность (или интегрируемость).
Исследуем интеграл от произведения двух функций, приведенных выше
и соответствующих двум различным значениям х. Для этого умножим
уравнение для одной из них на другую; вычтя из полученного обратную
комбинацию и интегрируя по ?•, получим [как в F.3.16) и последующих
равенствах]
2Ыр
Следовательно, две функции ортогональны только тогда, когда pin Bi)
является целочисленным кратным (положительным или отрицательным)
числа ¦гг.
Таким образом, выполнение требования, чтобы волновые функции
для связанных состояний при у > 1/2 образовывали ортогональную систему,
вызывает квантование энергии. Но это не обычное квантование, так как
оно определяет не сами уровни, а только связь одних уровней с другими.
Если энергия Ео= — xjj является допустимой, то волновые функции для
бесконечной совокупности энергий Еп = — х? связанных состояний будут
все взаимно ортогональны:
п= ... ,-2, -1, 0, 1, 2, ... .
Если эти состояния соответствуют «допустимым» связанным уровням, то они
простираются до — со и имеют точку накопления при нулевой энергии.
Для положительных энергий (х мнимое) все решения конечны при
у > 1/2, так что на фазовый угол для радиального решения при г ^> со
не налагается никаких ограничений и, следовательно, рассеяние может иметь
место только в том случае, если мы потребуем, чтобы решения были
взаимно ортогональны, что определяет их фазу при г=0и соответственно
при г —» cos
Центральные поля с «концентрацией», большей чем 1/г2 вблизи начала,
также могут быть формально изучены, но трудности, встретившиеся нам
в случае сил, обратно пропорциональных кубу расстояния, и нами уже
рассмотренные, здесь возникают в значительно больших размерах. Радиаль-
Радиальное уравнение имеет иррегулярную особую точку как при г = 0, так и при
г —> со, так что асимптотические ряды должны применяться в обоих кон-
концах промежутка изменения г. Как и в случае 1/г2, оба решения при
малых г интегрируемы, но колеблются со все возрастающей частотой при
г —> 0. Решения для больших значений г имеют асимптотические выраже-
выражения е^*г и е+хг, так что одно из них конечно (или интегрируемо) на всем
промежутке изменения г для всех значений х. Квантование связанных
состояний происходит только тогда, когда применяется фазовое условие
для ортогональности, рассмотренное выше.
Однако такие потенциальные поля, если и встречаются в физике,
представляют очень малый интерес. Мы переходим теперь к другим, более
полезным вопросам.
Кулоновское поле в параболических координатах. Обе разрешимые
задачи с центральными силами приводят к вырожденным связанным
уровням, когда несколько состояний имеют одну и ту же допустимую
энергию. Соответствующее свойство решения заключается в том, что
в уравнении Шредингера переменные разделяются в нескольких различных
системах координат. В уравнении, соответствующем потенциалу гармони-
гармонического осциллятора V = Мш2г2/2 = Мсо2 (z2 + iy2+z2)/2, переменные могут быть

618 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
разделены в прямоугольных координатах х, у, z и в круговых цилиндрических
координатах р, 6, z, а также и в сферических координатах г, &, ср. В уравне-
уравнении, соответствующем кулоновскому потенциалу V= — rf/r, переменные могут
быть разделены в параболических и в вытянутых сфероидальных коорди-
координатах, так же как и в сферических координатах. Решения в этих
различных координатах соответствуют одной и той же совокупности допу-
допустимых энергий; действительно, новые решения должны быть линейными
комбинациями сферических решений для вырожденных состояний, соот-
соответствующих данному уровню.
Чтобы иллюстрировать эти положения, рассмотрим задачу с кулонов-
ским потенциалом в параболических координатах (см. стр. 277), опреде-
определенных равенствами
У = V^Psin?i z= X^^ ' г= 2 '
В этих координатах переменные в уравнении Шредингера (при постоянной
энергии Е) разделяются следующим образом:
где
х2 = — е = — 2ME/h2 и о + х
являются константами разделения. Сравнение с уравнением A2.3.38)
показывает, что решение, конечное при X = 0, имеет вид
Подобное же выражение, но с заменой X на р и с на х, получаем для
множителя М. Множитель С является, очевидно, тригонометрической
функцией или мнимой экспонентой; т должно быть целым числом, для
того чтобы С была периодической функцией ср.
Как и раньше, при действительном х (отрицательном Е) ф будет
конечной в бесконечности только тогда, когда (т/2)+ A/2) —с и (т/2) +
+ A/2) — х равны нулю или отрицательным целым числам, т. е.
11 11
c = Ym + 2~ + 5> x=Tm+T + *> s,t = O, 1, 2, ...,
o + i;=n = s + < + JW+l = l, 2, 3, ...=Mrf/h4,
что совпадает с A2.3.39) для допустимых значений энергии связан-
связанных состояний (как это и должно быть). Выразив вырожденные гипергео-
гипергеометрические функции через соответствующие связанным состояниям
полиномы Лагерра Z^l(xX) и L/'(x(x), мы будем в состоянии подсчитать
нормирующий множитель. Для этого придется интегрировать произведе-
произведение |ф|2 на элемент объема A/4) (X + fj.)dXdpdcp; для достижения оконча-
окончательного результата потребуется несколько больше вычислений, чем
прежде. Окончательно для связанного состояния п, s, m получим норми-
нормированную волновую функцию
CS t1. «PJ- y n{wn ) n[(S+m)!(n-s-l)!pe X
W ^"rWtv-oa+rii;^)!-^.,^). A2.3.42)

12.3. Решение уравнения Шредингера 619
•Сравнивая эту систему волновых функций с системой функций для того
же потенциала в сферических координатах, данных равенствами A2.3.40),
мы видим, что
= |/у №002
- IS Т) И Т- Д-
1}ообще любая из сферических функций при данных тип равна линей-
линейной комбинации параболических функций при тех же самых значениях
т и п, но различных значениях s. Конечно, и каждая параболическая
функция может быть составлена из сферических функций для тех же
самых т и п, но различных значений I.
Формула Резерфорда. Решения в параболических координатах могут
быть также использованы для представления решений в случае поло-
положительных энергий, когда v. = ik, к2 = е = (Mv/hJ, где М — масса частицы,
a v — ее скорость при г —> оо. Имеем
X
х F (
где о + х = — iMtf/h2k. Величину о можно выбрать так, чтобы получен-
полученное решение при т = 0 соответствовало плоской волне, распространяю-
распространяющейся слева вдоль оси z, «натыкающейся» на кулоновское поле, сосредо-
сосредоточенное вблизи начала, и частично рассеивающейся по всем направле-
направлениям от начала. Волна, распространяющаяся слева, должна в своем
выражении содержать множитель etf» = gifta-ii)/2j так чт0 нужно потребовать,
чтобы
было равно eihk. Чтобы достигнуть этого, мы используем решение с т = О
(решение, симметричное относительно оси z). Нужно также положить
о =—1/2, так как F A111 ik\) = eihx. Тогда \/2~%=iMif/%2k = itf/%v
и решение в этом случае принимает вид
12 i(Tj2/Rt))ln(l— cos»)—2i8~
IL? f,ihr+Ur^/nv)ln(kT) /4 9 Ч /Ч\
.с , (li.u.iu;
2Mb2 sin2 [ — d ) r
где
/с = Mv/h, Г [1 + (i-rjVto)] = | Г [1 + (itf/hv)] \ ei&
и & = arc cos (z/r) — угол рассеяния. Эта асимптотическая форма пригодна
при г — z > h/Mv. Постоянная if — интенсивность кулоновского поля — по-
положительна для поля притяжения и отрицательна в случае поля отталкива-
отталкивания. (В последнем случае нет связанных состояний, а встречаются только
свободные состояния с положительной энергией.)
Мы видим, что достаточно далеко от положительной оси z (линии,
идущей через центр поля в направлении падающего пучка) волновая
функция распадается на две части: первый член определяет падающую волну,
расгфостраняющуюся (вообще говоря) в направлении оси z, хотя и с некоторым

620 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
искажением (логарифмический член в показателе), вызванным тем, что
кулоновское поле «искривляет» плоскую волну даже на очень большом
расстоянии; второй член соответствует радиально расходящейся «рассеян-
«рассеянной» волне, амплитуда которой зависит от угла рассеяния & благодаря
наличию фактора (ri2/2Mv2r) cosec2(&/2). Квадрат этой амплитуды дает
интенсивность рассеяния для угла &; эта величина соответствует формуле
Резерфорда для рассеяния, классическому выражению для рассеяния
в случае кулоновского поля. Рассеяние тем больше, чем меньше угол
рассеяния ¦&, чем меньше скорость v падающей частицы и чем больше потен-
потенциальный параметр -q.
Если r = z (т. е. вдоль положительной оси z), координата р. равна
нулю и
т I/ sh (nif/nv)
Заметим, что в случае, когда кулоновская сила невелика, или когда
скорость частицы велика (icif/tiv мало), амплитуда волны вблизи центра
силы приближенно равна амплитуде падающей волны (единице). Для
полей притяжения {if положительно), когда кулоновская сила велика
или скорость частицы мала, амплитуда волны вблизи начала равна произ-
произведению ~[/r2rcTf/hv на амплитуду падающей волны. С другой стороны, для
полей отталкивания (tj2 отрицательно), если — %if/b,v велико, амплитуда
вблизи начала равна произведению малой величины e^i2/n»-|/_ 2it-q2/tiv
на амплитуду падающей волны. Иначе говоря, быстрые частицы нахо-
находятся с одинаковой вероятностью как вблизи начала, так и где угодно
в другом месте; медленные частицы стремятся сосредоточиться вблизи
начала, если действуют силы притяжения, и, наоборот, стремятся избе-
избегать начала при силах отталкивания; результат вполне естественный.
Другие разрешимые системы центральных сил. Уравнение A2.3.33)
для множителя волновой функции, зависящего от г, не разрешимо
в известных функциях для случая потенциала, зависящего от степени г,
за исключением случаев, когда показатель равен 2 [см. A2.3.37)] или — 1
[см. A2.3.40)]. Решение можно также получить при F = Br, но это не
имеет особого интереса. Решение также может быть получено для силы
отталкивания, обратно пропорциональной кубу расстояния (V = -f- f2/r2), но,
как было указано на стр. 616, решение для силы притяжения, об-
обратно пропорциональной кубу расстояния, не является удовлетворительным.
Центральные поля с потенциалом, пропорциональным более высокой
положительной степени г, чем 2, имеют такие неправильности в особой точке
в бесконечности, которые нельзя исследовать с помощью гипергеометрической
функции; поля со степенями г, меньшими чем —2, содержат дополни-
дополнительные неправильности в особой точке г = 0, которые не изучены пол-
полностью (такие поля к тому же не представляют большого практического
интереса).
Точные решения в случае 1 = 0 могут быть иногда получены и для
потенциалов, имеющих более сложный вид, чем простые степени г.
Достигнутые результаты были получены заменой независимого перемен-
переменного г другим переменным z, являющимся функцией г; при этом преобра-
преобразованное уравнение для R может оказаться простым. Например, уравне-
уравнение для Л в случае экспоненциального потенциала притяжения V =
= -Be~r'd

12.3. Решение уравнения Шредингера 621
преобразуется в уравнение Бесселя
dz* ^ z dz
если положить z = 2bde~rl2d. Следовательно, функция от г, стремящаяся
к нулю при г —» со (z —» 0), имеет вид /2(jx B6 de~rl2d). Чтобы заставить
ту же функцию стремиться к нулю при г —» 0, нужно подобрать х, а сле-
следовательно, и порядок функции / так, чтобы
J2drBbd) = 0.
Наибольшее значение х, для которого это имеет место, даст наименьшую
допустимую энергию —х2, так что оно может быть обозначено через
хх (d, 6) и т. д. Если 2bd велико сравнительно с единицей, можно вос-
воспользоваться асимптотическим выражением для первого нуля функции
Бесселя высокого порядка, приведенным на стр. 523. Тогда получаем
2bd ~ 2dx + 1,8558 Bdx)V8,
или
х, (d, b) ~ 6 - 1,8558 (_4^У/3 , A2.3.44)
или
, 2М>1.
Наинизший уровень, когда потенциальная яма глубока, будет таким об-
образом расположен выше дна ямы (Е= —В) на величину, которая изме-
изменяется обратно пропорционально «протяженности» d потенциальной ямы
в степени две трети.
Это решение пригодно только для состояний с моментом количества
движения, равным нулю A — 0); при Z>0 входит «член центробежной
силы» — I (I + 1)/г2 и, так как он не может быть преобразован в простую сте-
степень переменного z, полученное уравнение не имеет решений, выража-
выражаемых через известные функции. Если d или Ь достаточно мало, то член
— 2/г2 может быть больше, чем b2e~r'd для всех значений г; в этом слу-
случае при I > 0 для рассматриваемого потенциала нет связанных состояний.
Чтобы найти другие разрешимые при 1 = 0 случаи, можно взять
известные многочлены, являющиеся собственными функциями, и преобра-
преобразовать их уравнения, стремясь получить члены, соответствующие членам
уравнения A2.3.33): член, содержащий вторую производную, и член, со-
содержащий R, множитель при котором является суммой постоянной вели-
величины (допустимая энергия), зависящей от квантового числа, и перемен-
переменного слагаемого (потенциальная энергия), не зависящего от квантового
числа. Если мы найдем такой случай, волновая функция будет нам уже
известна.
Например, если /? = A'z(a + 1>/2e-I/2L?(z)/j/z', где z = z(r) и z' = dz/dr,
то уравнение для R, рассматриваемого как функция от г, имеет вид
тУ-К$У+*Яя-0- <12А45>
При z = brv-' уравнение принимает вид
и имеет постоянный член в скобках только при р — 1 или \± = 2 [эти
случаи уже были рассмотрены раньше, см. равенства A2.3.37) и A2.3.40)].

622 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
С другой стороны, при z = be~r'd уравнение для R, выраженное через rt
имеет в скобках постоянный, член, который может быть отождествлен
с энергией. На первый взгляд кажется, что один из членов, соответству-
соответствующих потенциальной энергии, зависит от квантового числа п, но мы
скоро увидим, что а можно подобрать так, чтобы (п -\- а/2 +1/2) не зави-
зависело ни от п, ни от а.
Таким образом, уравнение A2.3.33) при потенциальной энергии
2MV
V = De2f-ro~rVd — 2De^r°~r^d, v =
зоответствс
равным
Л2 »
будет соответствовать уравнению, написанному выше, если Ъ положить
а а считать равным
^УШБ - 2 (п +1/2).
Записанная потенциальная энергия имеет минимум, равный —D, при
г = г0, и такую вторую производную, что классическая частота (или ско-
скорее угловая скорость со = 2irv) малых колебаний около этого минимума
будет равна со = \r2D/d2M. Эта потенциальная энергия стремится к нулю
при г —»со, а при достаточно больших D и г0 она становится очень
большой и положительной при г = 0. Функция R подобрана так, что она
принимает значение нуль при z = 0(r=-(-co) и при z=oo (r= —со),
в то время как радиальный множитель волновой функции должен стре-
стремиться к нулю при г —> 0, ze = (d/Ti) Y8MD erold. Во всяком случае, если
z0 велико, функция R при z = z0 очень мала благодаря наличию показа-
показательного множителя е^г°/2, так что достаточно произвести незначительное
изменение энергии г, для того чтобы при z = z0 R стало равным нулю;
последнее важнее, чем обращение в нуль при z — со; это малое измене-
изменение энергии вызовет незначительное изменение значений R при z<Czot
где R велико. Следовательно, если только er°'d значительно больше еди-
единицы, допустимые энергии связанных состояний и волновые функции имеют
приближенные выражения:
1 (z),
где со = }/^2D/d2M, z — 2ae^o~r)/d, a = (d/ft)V 2MD. Мы видим, что п может
быть равно нулю или целому положительному числу, меньшему чем а — у .
Для получения нормирующего множителя (интеграла от <]>?) в пределах
нашего приближения (er«'d велико) можно интегрировать от z = 0 до z=oo.
Еще одна потенциальная функция, для которой возможно точное реше-
решение при I = 0, имеет вид
что представляет собой симметричный случай потенциала, рассмотренного
на стр. 602 и следующих. Решения для этого потенциала, обращающиеся
в нуль при ж=±со, были даны в A2.3.26). В данном случае, однако,

12.3. Решение уравнения Шредингера 623
мы должны иметь ф = 0 при г = 0. Это налагает ограничения на допустимые
состояния и требует, чтобы квантовое число было нечетным, так как в этом
случае волновые функции антисимметричны относительно начала; поскольку
потенциал симметричен, волновые функции через одну должны обращать-
обращаться в нуль при г — 0. Следовательно, волновые функции и допустимые
уровни энергии имеют вид
здесь мы оставили только нечетные уровни из семейства A2.3.25) (взяв 2п4-1
вместо п), так как только нечетные собственные функции обращаются в нуль
при г = 6. Для более общего потенциала в уравнении A2.3.22) также может
быть найдено точное решение для радиальной координаты, если мы под-
подберем нашу энергию так, чтобы решение, стремящееся к нулю при г—^со,
обращалось также в нуль и при г — 0 (вместо г—>—со).
Это приблизительно указывает, как далеко мы можем идти в полу-
получении точных решений задач с центральными силами с помощью известных
функций. Другие решения и допустимые энергии для других потенциаль-
потенциальных полей могут быть получены приближенными методами, разобранными
в гл. 9. Метод факторизации [см. уравнение F.3.18) и таблицы в конце
гл. 6] не позволяет найти другие случаи, хотя и может упростить вычи-
вычисление R.
Возмущения вырожденных систем. Приемы вычисления энергий
и собственных функций в случаях, когда потенциалы незначительно
отличаются от тех, для которых известно точное решение, совпадают
с приемами, данными в формуле A2.3.15) и следующих. Здесь, однако,
появляется дополнительное осложнение, вызванное пространственной сим-
симметрией решений задачи с центральными силами. Как мы уже видели, эта
симметрия влечет за собой вырождение, при котором несколько состояний
имеют одну и ту же допустимую энергию. Следовательно, когда мы
составляем возмущенную волновую функцию, считая ее равной невозму-
невозмущенной функции <рп, сложенной с поправочной суммой, содержащей функ-
функции 9ш ПРИ mi отличном от п, мы сталкиваемся с дополнительной про-
проблемой: какую из нескольких функций <р, имеющих данную невозмущен-
невозмущенную энергию, взять за <рп? Естественно в качестве невозмущенной волно-
волновой функции взять линейную комбинацию всех функций <р для рассматри-
рассматриваемой нами энергии, а потом предоставить возмущению подобрать под-
подходящую комбинацию.
Чтобы показать, как это делается, рассмотрим случай уравнения
Шредингера
Если теперь потенциальная энергия V может быть заменена суммой потен-
потенциала Fo, для которого существуют точные решения, и возмущающего
потенциала Vv малого по сравнению с Vo, то можно применить метод

624
Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
итераций. Полагаем
где
причем уравнение
может быть точно решено относительно допустимых энергий Е°п и собствен-
собственных функций Хтп невозмущенной системы. В наших обозначениях мы
приняли во внимание возможность вырождения, для чего применили два
индекса у % и только один у Е°. Совокупность %тп при различных воз-
возможных значениях т (одном или нескольких) соответствует одной и той же
энергии Е°п. Функция Грина для невозмущенной системы является реше-
решением уравнения
и имеет вид
= 1, 2, ..., Мп, п = 0, 1, 2,
т, п
Интегральное уравнение, соответствующее уравнению
имеет вид
= 2
i (Го) *(Го) dv°-
A2-3-46)
m, n
До сих пор это рассуждение в основном совпадало с рассуждением на
стр. 599. Однако теперь мы предположим, что ф не обязательно стремится
к какому-либо одному ^mn при стремлении Vx к нулю; ф может стремить-
стремиться к некоторой линейной комбинации всех Хтм соответствующих опре-
определенной энергии Е%,. Полагаем
Подставляя это в выражение A2.3.46), получаем сначала для коэффи-
коэффициентов Ст соотношения
(Е — Е°п) Cm—Z* CTurnn.
тп + Zj Aspumn..spi
s, рфп
где
Здесь в соответствии с первым равенством A2.3.16) первая сумма
должна свестись к одному члену. Другими словами, коэффициенты Ст
линейной комбинации нужно выбрать так, чтобы
2j CTumn> rn = EnCm.
Для того чтобы это могло иметь место, нужно, чтобы определитель, состав-
составленный из коэффициентов при Ст, был равен нулю:
(Mln,ln-?n)
K2n, In
7П>
Mln, 2n •••
'., 2п — Еп) . . .
UIn, Mnn
^2n, Мпп
uMnn, In
uMnn, 2n
n, Mnn —
= 0; A2.3.47)

12.3. Решение уравнения Шрединеера 625
это ,дает уравнение степени Мп для Еп с коэффициентами, зависящими
от элементов матрицы игп, тп. Таким образом получаем Мп корней, которые
можно упорядочить; обозначим их через Е\п (некоторые из этих корней
могут оказаться равными; возмущение, конечно, может и не снять
все вырождение). Корню Еап соответствуют коэффициенты Сат (которые
могут быть нормированы так, чтобы 2 I Сат |2 = 1) и линейные комбинации
т
волновых функций
?<т = 2 CsmXmn, \ \ \ I ?°" \*dV = 1.
т
Для каждого допустимого значения Е%. существует Мп таких линей-
линейных комбинаций <р> являющихся решениями невозмущенного уравнения
-3&0<рт — Еп'т'зп. пРи одном и том же значении Еп. Эти комбинации ортого-
ортогональны друг другу (см. стр. 65 тома I) и нормированы. Таким образом, они
являются такими же подходящими волновыми функциями для невозму-
невозмущенного волнового уравнения, как и функции ^. На самом же деле, для
рассматриваемой задачи они удобнее, чем функции х» так как, пользуясь
ими, получаем при данном гг для Vx диагональную матрицу (что следует
из самого способа их построения)
J J J ЪгУ1Ъп^ = Ъ„Е\п,
хотя матричные элементы для других значений п
<1ь = иаРг тп, рф п,
\ \ \ Ъ
могут быть отличны от нуля даже при о Ф %.
Если мы теперь начнем вычисление возмущений, отправляясь от соб-
собственных функций ш, «приспособленных» к возмущению Vх, то рассу-
рассуждения будут протекать почти так же легко, как и в случае невырожден-
невырожденных состояний. Так как возмущение не «перемешивает» функции ср, мы
должны иметь только одну из них для данного Еп в качестве основного
члена в выражении
2
Подставляя невозмущенную совокупность <р=п вместо хтп в выраже-
выражение A2.3.46), мы можем теперь получить систему уравнений, аналогич-
аналогичных A2.3.16); из этих уравнений можно найти последовательные прибли-
приближения решения
ф-1(г)^О, ф°(*) = ?«.(*).
' ^^^+ilb"-^-2^ ' A2.3.48)
с помощью которых можно вычислить допустимые энергии и волновые
функции для возмущенного состояния способом, совершенно аналогичным
содержащемуся в равенствах A2.3.17). и A2.3.18). Функции <!>v и энергии Ev
приближаются к истинным решениям при v —> со в пределах радиуса
сходимости, найденного в § 9.1.
Резюмируем: чтобы подсчитать влияние возмущения Fj на вырожденную
систему, мы сначала находим ту определенную систему собственных

626 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
функций <роп, для которой матрица, соответствующая Vx, является диаго-
диагональной для всех состояний, имеющих одну и ту же невозмущенную энергию
Еп- С помощью этой «заранее подобранной» системы функций вычисление
влияния возмущения Fx на систему может быть выполнено так же, как
если бы система была невырожденной.
Эффект Штарка. В качестве примера вычислений такого рода рас-
рассчитаем влияние однородного поля (например, однородного электрического
поля, если частица заряжена) на различные системы с центральными силами.
Возмущающий потенциал имеет вид
Fz = Fr cos & = у F (X — ц).
Если волновая функция распадается на множители в сферических коор-
координатах (волновые функции являются собственными функциями для ком-
компоненты z и для квадрата момента количества движения, так же как
и для энергии), то множители, зависящие от углов, являются сфериче-
сферическими гармониками, как указано в равенстве A2.3.32). И для гар-
гармонического осциллятора и для случая кулоновского потенциала энер-
энергия не зависит ни от I, ни от т, так что эти состояния будут вырожден-
вырожденными. Чтобы выяснить, будут ли сферические состояния, характеризуемые
квантовыми числами I и т, подходящими для возмущения, вызванного
однородным полем, нужно только посмотреть, будет ли матрица, составлен-
составленная для Fz, диагональной по квантовым числам т и I. Но эти квантовые
числа «включают» интегрирование множителей Хт1, зависящих от углов,
так что мы можем провести это исследование прежде, чем решим вопрос
о том, какая радиальная функция должна рассматриваться в качестве
невозмущенного состояния.
Так как возмущающий потенциал Fx = Fr cos & не зависит от угла <р,
мы можем быть уверены, что матрица с элементами U будет диагональной
относительно квантового числа т. Другими словами,
2п т. оо
^ cos & РГР?' sin & db ^ rRlnRt.n. r* dr =
со
- NN' \ cos & РГР?' sin & d& [ rRinRVn. r2 dr.
Прежде всего отметим, что выражение для Уг содержало бы <р, если бы
полярная ось в сферических координатах не была направлена вдоль
возмущающей силы; поэтому U не была бы диагональной по т. Благо-
Благодаря нашему выбору ориентации мы диагонализировали часть матрицы.
Однако матрица не будет диагональной по квантовому числу I, так
как интеграл по & равен нулю при т — т', I = V (дополнительный мно-
множитель cos& делает подинтегральную функцию антисимметричной отно-
относительно & = тс/2). Так как
cos & РТ (cos &) = *~f™t+1 РГ+ i (cos &) +1±3- Pili (cos &),
то отличными от нуля будут только те элементы U, для которых I' = 1 ± 1.
Бесполезно идти дальше в этом направлении; мы уточнили ориентацию
системы сферических координат требованием, чтобы матрица U была
диагональной по гп; чтобы сделать ее диагональной по I, нужно выбрать
волновые функции и квантовые числа в соответствии с другой системой
координат.

12.3. Решение уравнения Шредингера 627
Для изучения возмущения однородным полем трехмерного гармони-
гармонического осциллятора удобна система прямоугольных координат х, у, z.
Волновая функция, распавшаяся на три множителя вида, указанного
в A2.3.7),
X Hk {х j/p) Hs {у VV) Hn_k_s_, [zVA
дает решение уравнения Шредингера для центральной силы с потенцма-
1 1
лом Vo = 2 МшЬ* = g Mw2 (x*-{-y2-{-z2) и является линейной комбинацией реше-
решений, данных в равенстве A2.3.37), для различных т и I, но при одном и том
же п. Энергия для всех этих вырожденных состояний равна, конечно,
hwf п + y ) • Тем не менее приведенные выше решения <р более удобны для-.
возмущения однородной силой, так как матричные элементы Fz диаго-
нальны относительно обоих индексов к и s в силу ортогональности поли-
полиномов Hk и Hs. В действительности, как мы знаем из равенства A2.3.9),
возмущенная волновая функция имеет вид <{>fesn (x, у, z-\- b), где b = F/Mwi
(множители, зависящие от х и у, вовсе не подвергаются возмущению)
и возмущенные уровни энергии даются равенством
1
Волновые функции кулоновского поля не могут быть разделены на
множители в прямоугольных координатах, но в параболических коорди-
координатах они соответствуют функциям, определенным равенствами A2.3.42).
I
Возмущение -д-^Ч^ —fO не зависит от <р (если мы выберем параболическую
ось параллельно возмущающей силе), так что U диагональна относи-
относительно т. Остаток интеграла содержит
(ТХ) С-в-,п-, iiv) Ln-s'-m-i (yix) (X2 -
JoJ
что равно нулю, если s' не равно s (хотя, если мы выпишем интеграл
для п' и п, то увидим, что не все члены Un'S'm't nsm вне диагонали равпы
нулю; если п' Ф п, то члены, для которых n'-\-s' Ф п -\-s, не обра-
обращаются в нуль). Следовательно, параболические волновые функции могут
быть использованы для этого возмущения. Для параболического состояния
с квантовыми числами п, s и т в случае системы, имеющей потенциальную
энергию (— if/r) + Fz, поправка первого порядка для подсчета энергии
имеет вид (см. стр. 728 тома I)
Нужно заметить, что если однородное поле простирается до беско-
бесконечности, то существует некоторое большое по абсолютной величине отри-
отрицательное значение z, для которого потенциальная энергия равна Е; при
больших значениях абсолютной величины z частица может свободно дви-
двигаться к —со. Как мы видели на стр. 611, в волновой механике
частица может в конце концов преодолеть потенциальный барьер, хотя
при высоком или широком барьере для этого потребуется очень много
времени; однородное поле вызывает появление барьера, через который
частица может просачиваться из области, близкой к началу координат,
в область, близкую к z= —со. Здесь, строго говоря, допустимы все со-

628 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
стояния с отрицательной энергией и квантованные состояния вблизи на-
начала не являются истинно стационарными, так как частица может в конце
концов оказаться вне влияния силового центра. Тем не менее если F
сравнительно мало, потенциальный барьер будет очень широким; потре-
потребуется чрезвычайно много времени для того, чтобы частица могла про-
просочиться; состояния с энергиями, приведенными в равенстве A2.3.49),
будут в сущности стационарными состояниями.
Собственные функции в импульсном представлении. Иногда, напри-
например при изучении рассеяния атомами рентгеновских лучей, более сущест-
существенно подсчитать плотность вероятности в пространстве импульсов, чем
в пространстве конфигураций. Как показано в § 2.6, волновая функция
в импульсном представлении является решением соответствующего урав-
уравнения Шредингера, получающегося из уравнения для обычных собствен-
собственных функций заменой х через ih (д/дрх) и — ih (д/дх) через рх. Но прежде
чем решать новое уравнение, мы можем воспользоваться тем фактом, что
эти две волновые функции являются преобразованиями Фурье одна для
другой. Волновая функция в импульсном представлении х^ квадрат кото-
которой дает плотность вероятности для импульсов, удовлетворяющая уравнению
1 ' 1О ' "'¦" ' sx = EJ. A2.3.50)
где tftgradp должно быть подставлено вместо г в потенциальную функ-
функцию V) связана с собственной функцией в координатном представлении ф,
удовлетворяющей обычному уравнению
соотношениями (N — число измерений)
A2:3.51)
Эта интегральная связь имеет место также для более общих, зависящих
от времени волновых функций W и В, но члены Е-Ъ и Еу^ в соответствую-
соответствующих уравнениях должны быть заменены через ih (dW/dt) и i% (dB/dt).
Простым примером является одномерный гармонический осцил-
осциллятор. Волновое уравнение для х дано в A2.3.19) и решения, являющиеся
собственными функциями, как видно из равенств A2.3.20), имеют вид
что следует сравнить с выражением A2.3.7). Чтобы показать, что это
решение удовлетворяет соотношениям A2.3.51), мы воспользуемся произво-
производящей функцией для полиномов Эрмита, приведенной в таблице в конце
гл. 6:
2* ?°
е 2
= У. tnl/?2xn(p). A2.3.52)
п=0 У П]

12.3. Решение уравнения Шредингера 629
где z = х |/р и р = р/Ь У$. Приравнивая коэффициенты при tn, мы видим
что ф„ и Хп удовлетворяют соотношениям A2.3.51) и A2.3.21).
Мы, конечно, можем построить волновую функцию для трехмерного
гармонического осциллятора с потенциальной функцией yAfwV. Под-
Подставив p/h\^ в выражение A2.3.37) и сделав необходимые изменения ф
в нормирующем множителе, получим
1 / 2J + 1
| —- ¦ /
в. Ф) - I/ Ш> SfeSf r^l" \ Ч\. *»Ф РТ (COS 6) х
), A2.3.53)
что является (за исключением ¦ степени i, которая может быть опущена)
преобразованием Фурье функции фт,„, определенной равенством A2.3.37).
Если п — целое положительное число, если (п — I) — целое положительное
нечетное число и если тп равно нулю или целому числу, не превышаю-
превышающему I, то х или комплексно сопряженная с ней функция определяет
стационарное состояние, соответствующее допустимой энергии Ьш( п-\--^-) .
Таким образом, мы разбили на множители нашу волновую функцию
в сферических импульсных координатах р (модуль р), 6 (угол между р
и осью z) и ф (угол между плоскостью z, р и плоскостью х, z).
Вычисление интеграла A2.3.51) в случае кулоновского потенциала
притяжения — (тB/7-) для собственной функции в импульсном представле-
представлении, соответствующей координатной функции, приведенной в равенстве
A2.3.40), не очень просто. Показатель экспоненты, стоящей под знаком
интеграла Фурье, ip-r/ft, в сферических пространственных и импульсных
координатах принимает вид
i ~ = i Щ- [sin & sin 6 cos (<j> — ф) -f cos i> cos 6].
Часть интеграла, соответствующая координате <{>, может быть вычислена
с помощью интегрального представления функций Бесселя. Имеем
Следующий интеграл по переменному & также может быть выражен
через функции Бесселя
п
С e-t(pr/ft)cos» cos e jm fE. gin & sin 6^ P (cos &) sin
0
Интеграл в первом из равенств A2.3.51) принимает вид
у = - ( _ iY У Ш' 2/+1 (*-")' (»-/-1)Г
Ыпр (l+m)}
1 3 __\_
X ^ы 2е 2
^

630 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
где и = 2Mtfr/h2n и w = hnp/Mif. Пользуясь интегральным соотношением
между полиномами Лагерра и Гегенбаузра, приведенным в таблице
в конце гл. 6, мы имеем окончательно (пренебрегая множителями типа ?'),
6 ,ЛУ-
2fc" Y
X е*^/>Г(со8в)^Ц^)' (l-Z*fVLXi(z), A2.3.54)
где z — [(hnp/MrfJ — l]/[{hnp/M-rf)z + 1]. Переменное z изменяется от —\
до +1, когда /? меняется от нуля до бесконечности. Допустимые энергии
для связанных состояний совпадают с приведенными в A2.3.39J).
Волновые функции в импульсном представлении для некоторых
низших состояний имеют вид
1 Г 2ft V1Y **Т... iV2
г -1-8 fi
J cos6'
_ /J_ / 2hP
эти функции убывают при больших значениях р. Вторая из них имеет
узел в плоскости х, у, а третья имеет сферический узел при р = Mt?/2h.
С помощью этих волновых функций можно найти средний квадрат
импульса частицы, когда система находится в состоянии, характеризуемом
квантовыми числами п, I, т. Этот средний квадрат равен
он будет наибольшим для наинизшего связанного состояния (п = 1), убы-
убывает при возрастании п и не зависит от квантовых чисел I и т.
Момент количества движения частицы может быть подсчитан методом,
аналогичным методу, примененному для получения уравнений A2.3.34):
,^ = rxp= - lib p X gradp = -ih [аг ^- a^sin ф~ + соьф ctg6 ~
Как и раньше, мы находим, что Хты является собственной функцией
для аМг с собственным значением тЬ (или — тЪ. для комплексно сопря-
сопряженной функции), а также и собственной функцией для | <М |2 с собствен-
собственным значением %Ч (I +1).
Рассеяние в центральном поле. В теории несвязанных состояний
с положительной энергией представляет интерес изучение частицы, дви-
движущейся по некоторому направлению, наталкивающейся на центральное
поле и рассеиваемой им. На очень больших расстояниях волновая функция
падающей частицы представляет собой плоскую волну (распространяю-
(распространяющуюся в положительном направлении оси z, например, вида eipz/n), соответ-
соответствующую известному начальному импульсу р в направлении оси z. Pac-
') Чрезвычайно изящный метод нахождения волновых функций в импульсном
представлении для атома водорода был дан В. Фоком [Foe k V., Z. f. Phvs., 98,
145 A935)].— Прим. ред.

12.3. Решение уравнения Шредингера 631
сеянная волна на большом расстоянии является радиально расходящейся
волной eipr'n/r с амплитудой, зависящей от угла рассеяния &. Если падаю-
падающая плоская волна имеет единичную амплитуду и представляет собой
поток частиц с единичной плотпостью тока, то квадрат амплитуды рас-
рассеянной волны представляет собой плотность потока, рассеянного под
соответствующим углом; интеграл зтого квадрата по всем значениям угла
есть полный рассеянный поток, приходящийся на единичную плотность
падающего потока. Этот интеграл имеет размерность площади; он пред-
представляет собой эффективную площадь силового поля при рассеянии частиц
и называется эффективным сечением упругого рассеяния падающих частиц
в данном поле.
Мы изучали рассеяние волн в § 9.3, а в гл. 11 рассмотрели несколько
иримеров; здесь приемы изучения остаются прежними. Решаем радиальное
уравнение A2.3.33) при положительной энергии е = к2 и берем решение R,
равное нулю при г = 0, которое мало отличается от (l/k)sin (кг — т]г — n;Z/2)
для значений г, достаточно больших для того, чтобы величиной v(r) можно
было бы пренебречь (мы предполагаем, что v стремится к нулю при г—>оо).
Распределение по углам рассеянной волны и полное эффективное сечение
рассеяния выражаются тогда через фазовые углы t\l, как показано
и A1.3.72). (Мы здесь пишем тг)г вместо 6,, употреблявшегося там.)
Не все потенциальные поля могут быть рассчитаны этим простым
способом. Например, равенство A2.3.41) показывает, что для кулоновского
поля фазовые углы не приближаются к асимптотическому значению, но
благодаря наличию в асимптотическом выражении логарифмического члена
продолжают изменяться, как бы велико ни было г. Кулоновское поле не
приближается к нулю достаточно быстро для того, чтобы радиальные
функции могли принять такую же простую форму как A//с) sin (кг — тг)г — tzl/2)
при г—>оо. Конечно, мы смогли вычислить рассеяние кулоновским
нолем при помощи параболических координат, и результат показывает,
почему нужно осторожно обращаться с рядами: эффективное сечение бес-
бесконечно, кулоновское поле влияет на движение частиц даже на бесконеч-
бесконечности.
Однако для потенциальных полей, стремящихся к нулю быстрее чем
1/г, фазовый угол в решении имеет некоторое предельное значение, с по-
помощью которого и может быть рассчитано рассеяние, как указано в урав-
уравнениях (9.3.18) и A1.3.72). Как пример подобных вычислений, рассчитаем
рассеяние электронов с энергией Е = %2к2/2М, вызванное полем
V{r)=\ * '
{ 0, г > а,
которое соответствует заряженному ядру с зарядом Ze, помещенному
и начале координат и окруженному нейтрализующей сферической оболоч-
оболочкой при г = а. Внутри этой сферы множитель, полученный при решении
уравнения
0 Kz __ 2MZe* 2ME
имеет вид
у Rt (г) = N BKr)le~KrF (j, + 1 - ^f \2l+2\2Kr^, r < a.
Для зтих внутренних функций большую роль играет отношение гра-
градиента функции Rjr к ее значению при г = а. Пользуясь свойствами вы-

632 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
рожденных гипергеометрических функций (см. стр. 626 тома I), получаем
Вне сферы г = а мы пользуемся комбинацией со8т)г/;(Ат)-|-5ттг)Gг((йт), где
7], подобрано так, чтобы отношение производной этой комбинации к ее
значению при г = а было равно аналогичному отношению для внутренних
функций. Пользуясь фазовыми углами, определенными в конце гл. И,
имеем х)
tp-П -tab
g ^ ~ g
/1
ИЛИ
Sin(<&(+at)
sin (Ф, + fc) '
где углы a, p, y> 8 зависят от ka, причем А;2 = s = 2ME/h2.
Мы пользуемся комбинацией внешних и внутренних функций для ра.ч-
личных значений I так, чтобы падающая волна при больших г соответ-
соответствовала плоской волне [см. уравнение (9.3.15)]
со
eihz = У il B1 + 1) Pt (cos &) /, (кг).
1=0
Следовательно, при г > а падающая волна, сложенная с рассеянной вол-
волной, имеет вид
со
2 BZ + 1) ilPt (cos &) e~"'i [cos t\l j\ (kr) + sin т),иг (А;/-)],
го
как и в уравнении A1.3.71). Рассеянная волна, интенсивность рассеяния
и эффективное сечение рассеяния при кг > 1 имеют тогда вид
со
^-ПЕГИ Bf+l)e~iiJ'sin71,P1(cos&),
г=о
1 xi
S = tj-j У B14-1) Bn 4-1) cos (if); — 7jn) sin тг)г sin ?)„ X
i.n A2.3.55)
xP,(cas&)Pn(cos&),
Можно отметить, что здесь связь между полным эффективным сече-
сечением Q и асимптотической амплитудой рассеянной волны аналогична урав-
уравнению A1.4.64), и о ней упоминалось на стр. 69. Так как равенства
A2.3.55) имеют место для любого центрального поля разумного вида,
') Определение фазы yji, примененное здесь, соответствует асимптотическому
поведению величины Ri=sm(kr—1к/2—га). В квантовой механике, где потенциалы
обычно соответствуют притяжению и где волны чаще «притягиваются», чем «отго-
«отгоняются», как это бывает при наличии препятствия в акустике, более принято это т
сдвиг фаз обозначать через —Yj(.

12.3. Решение уравнения Шредингера 633
где фазовые углы tj, определяются этим полем, то разложение фактора угло-
углового распределения (амплитуды рассеяния) / (&), определенного соотношением
а /*</ e*'ir СС8 ® -4- — / (&) г > со
по фазовым углам тг),
оэ
(=0
а также предельное соотношение между / и Q, полученное с помощью
сравнения двух рядов,
Q = ~lm[f@)], A2.3.56)
будут верны и в общем случае. В частности, последнее соотноше-
соотношение будет иметь место как в том случае, когда / и Q заданы в виде
рядов сферических функций, так и при задании их в конечном виде.
В главе 9 на стр. 69 было показано, что равенство A2.3.56') выра-
выражает собой не что иное, как закон сохранения числа падающих частиц.
Интенсивность первоначального пучка позади рассеивающего центра
(& = 0) должна быть уменьшена на величину, соответствующую полному
числу рассеянных частиц. Рассеянная волна при & = 0 является как
раз тенеобразующей волной (см. стр. 357), поэтому полное эффективное
сечение должно быть пропорционально той части /@), которая не совпа-
совпадает по фазе с падающей волной.
Эффект Рамзауера и другие резонансные эффекты. В рассмотренном
здесь примере фазовые углы зависят от двух безразмерных параметрон:
ка = (а/Ь)\/~2МЕ = Mva/h, пропорционального скорости падающей ча-
частицы, и р = \fMaZez/2h2, который является мерой «интенсивности» поля
притяжения и пропорционален квадратному корню из «зарядного фактора»
Z и из радиуса а поверхности, вне которой V = 0. Оказывается, что при
к = 0 все фазовые углы -ц при малом |3 равны нулю, затем при
возрастании [3 скачком изменяются до — тс, — 2т: и т. д. При к > 0
углы — т] также возрастают вместе с р, но без разрывов, как пока-
показано на рис. 12.5. Разрывность при к = 0 объясняется поведением связан-
связанных уровней для потенциала V. При очень малых значениях р связанных
уровней нет; первый связанный уровень (при Z = 0), расположенный очень
близко от края потенциальной ямы, появляется при значении [3, чуть
большем значения, при котором т]0 сразу перескакивает от 0 к — те при
/с = 0; для данного I каждый новый уровень появляется при значении р,
чуть большем того значения, при котором тг), совершает подобный скачок.
Поведение фазовых углов, рассматриваемых как функции о? ка при
различных значениях р, показано на рис. 12.6. При малых значениях ка
угол — 7j0 изменяется в зависимости от ка линейно; для других значений /
при ка < 1 имеем — тг), (ка) ~ ms -f pt (каI +1, где постоянная (л, стремится
к -jz со, когда р приближается к одному из значений, соответствующих
точкам разрыва тг)( @). Следовательно, в выражении Q остается постоянным
при ка —> 0 только член с I = 0, все остальные члены стремятся к нулю,
за исключением тех случаев, когда |3 имеет значение, при котором р,—^оо:
в этом последнем случае эффективное сечение стремится к бесконечности,
когда к приближается к нулю. С другой стороны, для значений р, немного
меньших указанных (иначе говоря, когда уровень немного «вытеснен»),
| sin tj, | при убывании ка сначала растет, а потом уменьшается, и эффектив-

634
Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
ное сечение также сначала растет, а потом при ка —=> 0 становится очень
малым (см. кривые при [3 = 1,75 на рис. 12.6).
Рассмотрим эти утверждения в более общей форме, когда при г = а
отношение производной к значению функции для внутренней функции Rjr
равно отношению производной Ц к значению /,; тогда tg<t>, равен —tg a,
360
Р и с. 12.5. Фазовые углы к)г для рассеяния экра-
экранированным кулоновским полем как функции па-
параметра C, характеризующего интенсивность поля
при различных значениях скоростного парамет-
параметра ка.
и т}( = 0. Это было бы приблизительно верно для энергий, соответствующих
допустимому связанному состоянию, если бы кулоновское поле не обры-
обрывалось при г = а, а простиралось бы до бесконечности. Если это происходит
при малом s (т. е. если «виртуальный уровень» немного больше нуля),
полное эффективное сечение убывает до очень малых значений при е—>0.
Это явление в случае рассеяния электронов на атомах называется эффек-
эффектом Рамзауера.
Максимумы (называемые резонансными пиками) эффективного сечения
могут достигаться, когда т]4 = тс/2, что имеет место, как только Фг = — Рг.
При максимумах парциальное эффективное сечение
является наибольшим возможным эффективным сечением. Предположим,
что этот максимум достигается при е = зг. В окрестности этого пика
Ctg 6, ^7 Г1 . ,, ( -г1 )
S ' tga, — tgfr V (is Л=е
Ctg 71,
где углы a, и рг для функций Бесселя даны на стр. 533.
Пользуясь выражением вронскиана
/' - ni]\ = i-a,

12-3. Решение уравнения Шредингера
635
получаем
ctg т)г ~ nf (s - er) sec2 p, Г -^7_)s=er •
<?
¦ \
A
1 \
• 1 \
v3
Скоростной параметр ко
Рис. 12.6. Фазовые углы —щ и парциальные
эффективные сечения дг= BZ+l)sin2 (Г)г)/Л2аг как
функции от ка для различных значений ! и р, ил-
иллюстрирующие влияние «виртуальных уровней».
\
._. i
Парциальное эффективное сечение принимает теперь вид типичной резо-
резонансной кривой:
я 4cos4
— fc2^ ^ Me-ef
2 cos2 Р;
ширина Г резонанса равна
nf (йФ(/Л)е=Е
Резонанс будет особенно узким и очень заметным при малых энер-
энергиях, так как тогда п^ка) особенно велико. Это заключение, конечно,
обусловлено чувствительностью величины (d0,/de)e==Ef к изменениям энергии
и имеет силу только в том случае, когда эта производная не стремится
быстро к нулю при е—> 0. Поскольку Ф( описывает состояние во внутрен-
внутренней области г<а, Ф, будет нечувствительным к изменениям в при малых е
только в том случае, когда потенциальная энергия во внутренней области
значительно превышает s (это имеет место только в случае, когда кинети-
кинетическая энергия велика при г < а, г—>0). Это условие не встречается
в рассматриваемой задаче, но играет роль при рассеянии медленных ней-
нейтронов ядрами и проявляется в явлениях резонансного рассеяния. Заметим,

E36 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
что, когда I возрастает при постоянном ка, ширина быстро убывает
и резонанс становится более резким; в то же время для постоянного I
при возрастании энергии ширина возрастает, так что в конечном итоге
сильная флуктуация в Q, которая приводит к резонансу, исчезает при
достаточно большой энергии. Некоторые из этих явлений видны на
рис. 12.6, они более заметны при расчетах ядерного рассеяния.
Приближенные вычисления в случае медленных бомбардирующих частиц,.
Если энергия бомбардирующей частицы очень мала (т. е. если ка <с 1),
то т], —> 0 при I > 0 и большая часть рассеянной волны соответствует
значению / = 0, т. е. сферически симметричной части. Это имеет место
для медленных нейтронов (с энергией, меньшей чем несколько тысяч
электрон-вольт), а также для очень медленных электронов (с энергией
меньшей чем один электрон-вольт при рассеянии на атомах). В этой
области энергий мы должны рассматривать радиальную функцию только
при 1 — 0:
О, г->0,
с этим уравнением проще иметь дело, чем с уравнениями при I > 0.
(В обоих случаях мы пренебрегаем влиянием обмена, усложняющим
сычисления; но этим влиянием можно пренебречь для тяжелых атомов
и ядер.)
Например, мы можем найти точные решения в нескольких случаях
потенциальных функций, для которых при наличии члена Z(Z + l)/r2 реше-
решение не может быть найдено. В случае, рассмотренном, например, на
стр. 620 для . потенциала V = — Be~rld при 1 = 0 и для положительной
энергии Е = (%2/2М) к2, решение является линейной комбинацией
о лгГ J"iM Bbde~r/2d) J-<nhd Bbde~r/2d) 1 ,s 2MB
L Jiikd Bbd) J—ъгЫ Bbd) J ' ft2 '
и стремится к 0 при г—>0, как и должно быть. Постоянная N подбирается
так, чтобы Ra имело нужное асимптотическое поведение. Но
7 ¦ Bbde~r/2d) су * р.2Ш 1п (ь<*)-«н-_
а так как
Г A + 2ikd) =
i о A; можно записать в сиде
г ,2 2nkd
' shBnkd)
и асимптотическая форма JRa имеет вид
y , г—> оо,
что определяет фазовый угол т]0. Для достаточно малых значений энергии
только тот член, в котором 1 — 0, заметно отличается от функции Бесселя
/; (кг) невозмущенной плоской волны, интенсивность рассеяния
S ~ ~ sin2 [Q + Ф - Ikd In (bd)\

12.3. Решение уравнения Шредингера 637
не зависит от угла и эффективное сечение рассеяния
Qc^ijj- sin2 [Q + Ф — 2kd In (bd)]
равно точно 4irr2<S'.
Если энергия достаточно мала, так что kd <C 1. то и гамма-функция
в функция Бесселя могут быть упрощены. Например, так как
= _ Y = - 0,5772
то
Г A +¦ 2ikd) ~ 1 -1,1544 ikd, й ~ - 1,1544 Ы,
/2ifed BМ) ~ /0 BW) + mkdN0 Bbd), Ф ~ - «Ari ctg [80 BM)],
где tg[8j(a;)]= — [/0 (x)/N0(x)]. Следовательно, фазовый угол, соответству-
соответствующий значению I ¦== 0, в предельном случае малых энергий равен
¦Чо ~ Ы {In (ЬЧ2) + ъ ctg [d0 {2bd)] + 1,1544},
а полное эффективное сечение принимает вид
Q ca 4itd2{l,1544 + In (ЬЧ*) + ъ ctg [80 BM)]}2. A2.3.57)
Наконец, если 26с? много меньше единицы (потенциальная яма мелка
о
или узка или и то и другое вместе), то ctg8,~ [\n{bd)-\-^ —
Фазовый угол т]0 тогда равен
Q ~ 16та
Этот результат, очевидно, согласуется со значением щ, полученным
с помощью теории возмущений, когда влияние взаимодействия пред-
предполагается малым. Полученный с помощью теории возмущений резуль-
результат называется борновским приближением и рассматривается непосред-
непосредственно ниже.
Приближение Борна. При достаточно слабых полях или при доста-
достаточно больших скоростях частиц все рассеивающее поле можно представ-
представлять себе как возмущение, видоизменяющее падающую плоскую волну,
рассматривая правую часть уравнения
2МЕ Mv
-^-^—,
как неоднородный член и «решая» его с помощью функции Грина. Если
падающая волна является плоской волной с амплитудой, равной единице,
e'hz, то соответствующее интегральное уравнение для ф имеет вид
?
где R = ]/r2 + ro ~ 2rr(l cos Q — расстояние между г и r0, Q — угол между
этими векторами. Конечно", elhz можно заменить любым другим решением
однородного уравнения Гельмгольца, которое, как мы знаем, будет соот-
соответствовать другим возможным падающим волнам.

638 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
Это интегральное уравнение в случае сходимости интеграла может
быть решено методом последовательных приближений. Если интеграл схо-
сходится абсолютно, т. е. если \ | V | dv конечен, то полученный ряд итера-
итераций может сходиться (см. стр.. 72), но даже в случае расходимости
несколько первых членов последовательности иногда дают чрезвычайно
хорошее приближение. Подробное изучение интеграла показывает, что
критерий быстроты сходимости итераций может быть выражен через длину
волны де Бройля К ~ %/Mv = 2n/k и расстояние гс, на которое может при-
приблизиться частица к силовому центру в поле отталкивания | V (г) \ (гс есть
корень уравнения |F(r)| = Zs). Первое приближение решения уравнения
A2.3.58), как оказывается, будет достаточным при К > гс; оно часто
будет достаточным также и тогда, когда это условие не выполняется.
Изучение значения ф при г — О часто позволяет решить вопрос о том,
будут ли несколько первых приближений достаточно близки к решению.
Первое приближение для ф получается, если подставить etkz вместо ф под
знак интеграла в уравнение A2.3.58). При г = 0 первым приближением
является
sin (kr) dr\
если фх @) мало сравнительно с единичной амплитудой падающей плоской
волны, то Ьх (г) будет, вероятно, малым и при г > 0. Если теперь
V (г) с^. А/га при г —s- 0 и V с^ В/г$ при г —» оо, то для того, чтобы интег-
интеграл сходился для любого значения /с, а должно быть меньше 2 (сила
вблизи начала не может быть обратной кубу расстояния), а для того,
чтобы интеграл оставался конечным и при к—>0, Р должно быть больше 1
на больших расстояниях сила должна убывать быстрее, чем величина,
(обратная квадрату расстояния).
Если эти предельные требования удовлетворены и если BМ/Л2) \ V (г) г dt
мало по сравнению с единицей, то первое приближение будет малым для
всех значений к (и дальнейшие приближения будут соответственно меньше).
Если к возрастает, интеграл по величине убывает, так как подинтеграль-
ная функция колеблется все быстрее и быстрее благодаря наличию мно-
множителя elhr sin (кг). Если V при возрастании г стремится к нулю моно-
монотонно, то ф^О) будет, вообще говоря, меньше интеграла по г в пределах
от 0 до первого корня функции sin kr:
¦n/h
Ш С V{r)rdr.
Если V(r)c^A/r при г-^0 и У^А/г^ф>1) при г—»оо, то ф1@)<
<2irMA/kh2 — 2ъA/vh. Но расстояние наибольшего приближения гс, упомя-
упомянутое выше на этой странице, приближенно определяется приравнива-
л
нием кинетической энергии -^- Mv2 значению | V \ при г = гс. Для
высоких энергий \V\c^A/r, так что rc~2A/Mv*, или A~Mv2rc/2; поэтому
признак того, что фх @) мало, заключается в том, чтобы nMvrJh = 2тс2гс/Х
было мало; здесь X = 2жЬ/Мю — длина волны де Бройля падающей
частицы. Таким образом, в этом примере мы пришли к нашему требованию,
что итерации приближений сходятся при гс < Х/2-гс и чт0 первое при-

12.3. Решение уравнения Шредингера 639
ближение будет достаточным, когда гс значительно меньше чем Х/2тс (см.
рассуждение на стр. 90).
Если первое приближение достаточно, нам не потребуется вычислять d>
вблизи центра сил. Для подсчета рассеяния нужна только асимптоти-
асимптотическая форма ф. Если г много больше чем г{), то
ihR ikr
. с^ g— iftrocoss Г ~Ъ Г
Если ke — вектор величины к, направленный параллельно г — направлению
движения рассматриваемой нами части рассеянного пучка, то кг0 cos Q =
= ks • г0. Также и падающая плоская волна может быть записана в виде
e'k»'r, где к{ —вектор, характеризующий падающий пучок. Тогда
асимптотическая форма первого приближения для ф имеет вид
ilk*^'"oF(ro)*o. A2.3.58')
Эта формула известна как приближение Борна. В области ее приме-
применимости она замечательно проста и полезна. Она устанавливает, что
рассеянная волна на очень большом расстоянии от рассеивателя
имеет амплитуду, равную произведению ~[/~2ъМ/%2г на преобразование
Фурье рассеивающего потенциала V относительно разности векторов
K = kt —к^. Так как величина и kt и ks равна k = Mv/h, то величина
вектора К равна [i = 2/csin (&/2), где& — угол рассеяния, угол между ks и kj.
Мы также видим, что К есть произведение i/h на импульс, сообщаемый
частицей центру сил в течение процесса рассеяния.
Так как V (г) сферически симметричен, то можно проинтегрировать
по углам, что дает
A2'ЗИ)
Функция / является относительной амплитудой той части пучка, которая
рассеивается на угол &. Интеграл от ее квадрата по всем углам равен пол-
полному эффективному сечению Q. Заметим, что в этом приближении функ-
функция / (а также и |/|2 = i5T—функция углового распределения) зависит от
скорости бомбардирующей частицы v и от угла рассеяния & только через
величину fi = BMw/u)sin(&/2). Как указано выше, эта формула для / при-
пригодна для достаточно больших К. Например, для потенциала, рассмотрен-
рассмотренного на стр. 631, мы найдем, что выводы, полученные из A2.3.59), очень
мало отличаются от точного решения, полученного на стр. 632, если
только [L несколько больше чем 2Ze2/Mh2.
Во многих случаях потенциальное поле, вызывающее рассеяние,
порождено атомным ядром с зарядом Ze, окруженным сферически-симмет-
сферически-симметричным распределением электронов р (г) в количестве, достаточном для
того, чтобы сделать атом нейтральным. В этом случае потенциальная
функция имеет вид
V(r)= -^ J Р(г)гЫг + ^ ^ P{r)rdr, 4тс
г г
Подставляя это в выражение для амплитуды рассеяния и интегрируя

640 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
по частям, получим
СО
/ 00 - 2-|§? [F @) - F Ы], F (ц) = ? ^ Р W ^ i* Л", A2.3.60)
где Z*1 @) = 1 согласно определению заряда электронов для нейтрального
атома. Функция F ([>¦) называется структурным фактором распределе-
распределения зарядов *).
Если fi достаточно велико, так что 1/р мало сравнительно с «радиу-
«радиусом» атома (значением г, внутри которого находится около трех четвертей
заряда электронов), то F (р) мало сравнительно с F@) = l. В этой обла-
области амплитуда рассеяния имеет вид
квадрат этой величины есть, согласно формуле Резерфорда, угловое рас-
распределение рассеяния заряженных частиц кулоновским полем ядра с за-
зарядом Ze. В этом первом приближении, если только бомбардирующие
частицы достаточно быстры (v велико) и проходят достаточно близко для
того, чтобы быть рассеянными на значительный угол (¦& достаточно ве-
велико), частицы практически не реагируют на распределение заряда элек-
электронов р, а рассеиваются преимущественно центральным ядром.
С другой стороны, если произведение р. на «радиус» атома мало
сравнительно с единицей (для медленных бомбардирующих частиц или
для скользящих столкновений), мы можем sin (|лг)/(лг под знаком инте-
интеграла для F (ц) разложить в ряд, что дает
и предельные значения функции / (|л) и эффективного сечения рассеяния О
{приближенно равного 4тс |/|2 при малом (л) принимают вид
есть средний квадрат расстояния электронов от ядра и где а0 =
= h2/Me2 = 0,532 • 10~~8 см есть «радиус первой боровской орбиты» для
атома водорода. Предельное эффективное сеченио для очень медленных
бомбардирующих частиц таким образом пропорционально квадрату заряда
ядра и четвертой степени «среднего квадратичного радиуса атома» га,
если приближение Борна пригодно в этом предельном случае. Заметим,
что в этом приближении рассеяние будет одним и тем же как для
полей отталкивания, так и для равных по величине, но противоположных
по Ънаку полей притяжения.
Величина 1 — F (jj.) = / (p)//R (ц) является, следовательно, отношением
истинной амплитуды рассеяния к резерфордовской амплитуде при
одном и том же угле рассеяния и одном и том же заряде ядра. Если
применимо приближение Борна, то 1 - F является функцией только от
Функцию ZF ((J.) называют обычно атомным фактором рассеяния.— Прим. ред.

J2.3. Решение уравнения Шредингера 641
(л = BMv/h) sin ft/2 и от распределения электронного заряда по радиусу.
Эта величина возрастает как fi2 при малых ц и довольно гладко воз-
возрастает, стремясь к асимптотическому значению — единице, когда р. очень
велико. Эта функция может быть найдена экспериментально с помощью
измерения рассеяния на данном атоме электронов (или протонов) с высо-
высокими скоростями. И так как F является преобразованием Фурье плот-
плотности заряда электронов, то мы можем получить р и V, пользуясь извест-
известной из эксперимента F ([х). Имеем
PW = S \ F ^ sin <Г) Р dp, F (p) = 1 - ^gy ,
! R A2-3.61)
V(r) = - ? -^ ^
где /((л)—амплитуда рассеянной волны, определенная в равенстве
A2.3.59), a /R ((л) = 2MZe2/^V2~ амплитуда резерфордовского рассеяния.
Следовательно, зная амплитуду рассеяния / при всех значениях ц и зная Z,
мы можем подсчитать и р и V (с точностью, присущей приближению
Борна).
Приближение Борна для фазовых углов. В некоторых случаях по-
потенциальная функция слишком велика для того, чтобы ее можно было
рассматривать с помощью приближения Борна первого порядка, тем не менее
только фазовый угол ч;0, соответствующий значению, I = 0, является
большим членом в точном решении уравнения A2.3.56). Это часто имеет
место в задачах ядерного рассеяния, когда потенциальная яма доста-
достаточно узка и глубока. В этом случае мы решаем радиальное уравнение
A2.3.33) для каждого I настолько точно, насколько это возможно. На-
Например, при / = 0 мы могли бы начать с невозмущенной формы, соответ-
соответствующей одному из потенциалов, для которых мы имеем точные реше-
решения и которые были рассмотрены на стр. 620 и следующих, тогда как
при других значениях I можно использовать сферические функции Бес-
Бесселя. Если V (г) мало отличается от V()(r), для которого при ^ = 0 можно
найти точное выражение радиальной функции из уравнения
то можно положить V (г) = Vo (г) + Vx (г). Обозначим через у01 (г) то реше-
решение этого уравнения, которое стремится к нулю при г—>0 и имеет асимп-
асимптотическую форму
через у02 {г) обозначим второе решение, независимое от первого, имеющее
асимптотическую форму
Уо2 (г) ^ - cos (кг - Фо), г -> оо,
и обычно расходящееся при г = 0. Заметим, что определитель Вронского
этих решений равен к.
Уравнение, которое мы желаем решить при I = 0, имеет, таким об-
образом, вид
d2B0, Г,2 2МТ/ . . "I д 2ЛГ т/ , . р
Если это уравнение истолковать как неоднородное, то формула

642 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
E.2.19) показывает, что интегральное уравнение для JR0 имеет вид
г
Rq Н = аоУог (г) — ^ К о {г | г0) Но (r0) dr0,
где
X ( \г)- — \ ( )V (r) (r)— (r)V (г) (г)]
Решаем это уравнение методом последовательных итераций, принимая
за «нулевое» приближение o,0Y00 = a0yul; тогда сг^дующее приближение
имеет вид a0Y01 = — а0 \ K^Ymdr0 и, вообще,
^о {г) = «о Д (- 1)т^от (г), Yoo (г) = у01 (г),
г
от \r) — ^ л0 (r | r0) r0; m_! (r0) ar0,
0
или
оо оо
d / ч 2М
т1 (г) - ^«2 и 2 ^2 (
п=1
^ И (!)т J Vi (го) 2/о2 (''о) Yo. т_, (r0) dr0,
(г) = ( - 1)" \ Fx (г0) у01 (г0) FOj n-i (г0) dr0.
Когда г—> оо , Fi(r0) достаточно быстро стремится к нулю, так что все
функции /? стремятся асимптотически к постоянным величинам (в противном
случае последовательные приближения вообще расходятся) и при г—> сю
где
Угол1) т]0 —фазовый угол, который должен быть подставлен в первый
член правой части A2.3.56). Если V1 достаточно мало по сравнению с Fo,
необходимо вычислить только ^12(°°); членами высшего порядка можно
пренебречь; в этом случае уравнения для /70 и т]0 принимают вид
A2.3.62)
~ Фо + arc ^{ш] )
См. примечание на стр. 632.

12.3. Решение уравнения Шредингера 643
что может быть подсчитано, если только известны Фо и первое решение
У01 (г)-
Члены равенства A2.3.56), соответствующие значениям / > О, также
могут быть вычислены аналогичным способом. Однако во многих случаях
высшие фазовые углы могут быть подсчитаны с достаточной точностью,
если считать возмущением всё V. Другими словами, мы полагаем V() = 0;
тогда два решения радиального уравнения при I > 0 имеют вид
Уп (г) = kr Ji ikr) ^ sin [kr — -Jln
= kr ni (kr) ^ — cos (jtr — у In ^.
У12
В этом случае способом, аналогичным тому, который привел нас к урав-
уравнениям A2.3.62), и ограничиваясь при решении интегрального уравнения
для Rl последовательными приближениями первого порядка, получим
Rt (r)c^at sin f kr — у Ы — т], J /• —¦» сю,
A2.3.63)
~ arctg {2-g^ j V (rrt) [/, (kro)f ]
Если величина потенциальной энергии V (г) при г > rv значительно
меньше чем Ла/с2/2Л/, то для всех значений /, больших чем krv, сферические
функции Бесселя в интеграле для т]( могут быть заменены первыми чле-
членами их разложений в ряды:
,- (kr \ ~ • (fcrp)i
JiK^'o) — 1-3-5---B/+ 1)"
Эхо можно сделать во всей части промежутка интегрирования, где V (г0)
велико. В этом случае имеет место даже более простая формула
„ BM/M)fc«'« ?v/ , 21+2 ,
Для обычно встречающихся форм V это выражение численно очень быстро
убывает при возрастании I.
Можно показать, что приближение Борна A2.3.59) и амплитуда рас-
рассеяния, полученная из формулы A2.3.63) для rj,, тождественны. Для этой
цели нам потребуется разложение функции (sin pr)/pr по полиномам Лежан-
дра от угла ¦& между kt и ks; это разложение можно получить, взяв мни-
мнимую часть разложения функции е^Ург (см. таблицу в конце гл. 11):
sinp,r
р i (cos &)Я
Подставляя это в равенство A2.3.59), получаем
] B1 + 1) Pl (cos ft) \ ft (кг,) V (r0) rl dr0.
I О
Сравним это с A2.3.55), где положим щ С 1, т. е. с выражением
I

<844 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
При подстановке в это равенство вместо т], его выражения из A2.3.63),
полученного в предположении, что т], < 1, мы найдем выражение, в точности
равное результату, полученному из разложения приближения Борна
по функциям Лежандра, приведенному выше.
В качестве примера рассмотрим рассеивающий потенциал
V (г) = — Be~r'd.
Здесь применение приближения Борна A2.3.63) требуется только при / > О,
так как для / = 0 на стр. 636 было получено точное решение:
^ [2kd {In (bd) + 0,5772 +1 л ctg [80 Bbd)]}. hi < 1,
1-0,2319М, Ы « 1, M«l.
Для того чтобы получить приближенные формулы для фазовых углов
(см. стр. 533) при значениях I > 0, мы применяем равенства A2.3.63):
.
1-3-5-•-
Последняя формула обеспечивает достаточную сходимость рядов в равен-
равенствах A2.3.55) для интенсивности рассеяния и эффективного сечения, если
только М< 1/2. Если kd много больше единицы, рассеяние может быть подт
считано с помощью формул приближения Борна A2.3.59). При промежуточных
значениях kd точное выражение для i\Q и формулы, выражающие цг через
функции Лежандра второго рода, приводят к весьма точным рядам для S
и Q. Так как применение равенства A2.3.63) ко всем т], равносильно
приближению Борна A2.3.59), эффективное сечение может быть записано
в виде Qb-\- (/4n//c2)(sin2r]0 —sin2Tjf), где Qb — приближение Борна для эффек-
эффективного сечения, a t\B дается равенством A2.3.63) при / = 0.
Вариационный метод. Метод вариации параметров, рассмотренный
¦в гл. 9, может быть использован для подсчета с произвольной точностью
«олновых функций и энергий для связанных состояний или рассеяния сво-
свободных частиц, если мы выберем пробную функцию с достаточным коли-
•чеством параметров. В качестве примера применения этого метода мы
¦выполним вариационные расчеты для центральной силы притяжения вида
V (г) = — Be~rld, для которой мы уже произвели некоторые вычисления.
Для связанных состояний мы обычно ищем минимум энергии. Пред-
Предположим, что нормированная волновая функция <р (а, р, .. ., г) обладает
/нужными общими свойствами (нормирована, конечна, симметрична отно-
'Сительно начала для наинизшего состояния и т. д.), и в пределах, допу-
>скаемых общими требованиями, подробности ее формы определены пара-
параметрами а, Р, .. . . Подсчитаем интеграл
J (^ р, ...) = \ \\ [(grad if +^F?2 ] dv =
—S SS L -

12.3. Решение уравнения Шредингера 645
являющийся функцией параметров а, р, ... . Минимальное значение J
дает тогда наилучшее возможное при выбранной форме ср значение про-
произведения 2M/ft2 на допустимую энергию связанного состояния BМЕ/%2 — е).
Это наилучшее значение всегда больше точного значения. Так как форма
функции ср становится более гибкой при прибавлении новых вариационных
параметров, то приближенное значение энергии, полученное вариационным
методом, приближается к точному, рассмотренному выше. Таким образом,
значения параметров, для которых / достигает минимума, делают ср
настолько близкой к точному решению тр уравнения Шредингера
насколько это возможно в пределах выбранной формы функции ср.
Ряд соображений оказывает влияние на выбор формы ср. Довольно
важным фактором является симметрия; если V — поле центральной силы,
ср для наинизшего состояния должна быть симметрична относительно
начала, функции ср для более высоких состояний должны быть к ней
ортогональны и т. д. Эта функция должна также иметь асимптотическое
поведение, очень близкое к поведению тр; если V при г > rv настолько
мало по сравнению с \Е\ = | h2e/2M|, что им можно пренебречь, то
tyc^.A ехр( — \f — ег) при г > rv. Наконец (и это не наименее важно),
ср должна быть выбрана по форме такой, чтобы необходимые вычисления
не вызывали слишком больших трудностей.
Простейшей формой волновой функции основного состояния является
простая экспонента
ср (а, г) =
В этом случае мы жертвуем нужным нам асимптотическим поведением
ради простоты формы. Если V = — Ве~г1й, то интеграл, минимум которого
мы ищем, имеет вид
т/^ 2 Ь2а3 ,2 _ 2MB s_J^
Я2 ' d
Решение уравнения dJ/da = 0 приводится тогда к разысканию действи-
действительных положительных корней уравнения четвертой степени
которое может быть решено графически, алгебраически или приближенными
методами. Например, если 6 > б (глубокая и широкая потенциальная яма), то
б /~ b2 + 3F
или
что можно сравнить с приближением к точному решению, данному равен-
равенством A2.3.44). Энергия, подсчитанная вариационным методом при исполь-
использовании этой пробной функции, дает слишком высокое значение энергии
наинизшего состояния, превышающее примерно на 5% расстояние уровня
от дна ямы —В.
Другая форма функции ср, несколько более гибкая, имеет вид

646 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
где, не нарушая общности, можно предположить, что |3 > а. Соответству-
Соответствующий интеграл
Jla BV пВ 4Ь«ар(а+р)
•/(a'W-aP Ba + 6)(a+p+6)BP+6)
должен достигать минимума, конечно, относительно обеих величин а и 0;
приравняв нулю частные производные / по а и по 0 и решив получен-
полученную систему уравнений относительно а и 0, мы найдем допустимую
энергию, подставив найденные значения снова в /. Это требует решения
системы уравнений
Bа + 8J (а + 0 + ЗJ B0 + 8J = 4fc2o Bа + 8) [302 + 20 (а + 8) + а (а + 6)] =
= U4 B0 + 8) [За2 + 2а @ + о) + 0 C + 8)];
выписанная система может быть решена численно; более трудно алгебраи-
алгебраическое решение
Другая возможность заключается в варьировании только параметра 0,
используя параметр а для обеспечения надлежащего асимптотического
поведения. Другими словами, мы требуем, чтобы а было равно ~\f — e
или в первом приближении корню квадратному из взятого со знаком
минус минимального значения интеграла /. Таким образом, мы для опре-
определения а и 0 снова получаем два совместных уравнения. Первое полу-
получается из требования, чтобы / достигал минимума относительно 0 (д//50 = 0)
Bа + 8) (а + 0 + SJ B0 + 8J = 4628 [302 + 20 (а + 8) + а (а + 8)],
второе — из требования, чтобы / был равен — а2 при условии, что удовле-
удовлетворяется первое уравнение,
Bа + о) (а + 0 + 8) B0 + 8) = 4620.
Эту систему совместных уравнений иногда проще решить, чем первую;
она дает результаты, близкие к точным. Кроме того, закончив вычисление
а и 0, мы будем иметь лучшее значение для /, в точности равное — а2.
Решение имеет вид 0 = 1/ -у 8 (а + 8) . Соответствующее соотношение
между энергией связи и глубиной, если вспомнить, что б = 1/d,
имеет вид
-ad)]2, a = \T^l.
Сравнивая это с точным соотношением /2nd Bfcd) = 0, находим, что полу-
полученное равенство дает превосходные результаты при ad < 1, так как
ошибка при ad = 4 составляет 3%, а при ad = 0 — только 2/3%. Для боль-
больших значений ad предпочтительнее выражение A2.3.44).
Как можно улучшить этот результат? Можно, конечно, прибавить
дополнительные члены вида A/г) [е~аг— e~$r], а также можно, напри-
например, воспользоваться выражением
l-{[e-*r_e-iir] + С [e-ar_ e-tr]},
где С и y так же,, как и 0, являются варьируемыми параметрами. Однако
эта процедура быстро становится очень громоздкой; прибавление нескольких
членов такого рода требует решения вековых уравнений для различных
групп значений нелинейных параметров 0, у и других, входящих в допол-
дополнительные члены. Другой способ, вариационно-итерационный метод,
излагаемый ниже, более экономичен и имеет дополнительное преимущество,
состоящее в том, что, кроме верхних границ, даваемых обычно вариацион-
вариационным методом, он дает также и нижнюю границу для (fedJ.

12.3. Решение уравнения Шрединеера 647
Вариационно-итерационный метод. Мы вернемся к методу, описан-
описанному в гл. 9, стр. 133, приспосабливая обозначения к уравнению Шредин-
гера для связанного состояния в поле центрального потенциала притяже-
притяжения. Пусть при 1 — 0, ф=Д/г, где R удовлетворяет уравнению
Первым шагом является превращение этого уравнения в интегральное
Уравнение с помощью функции Грина:
^G,(r|r')-x2Gx(/-|r')= -8 (г -г'),
G _j_ sh (xr) e-*r', r<r',
*~~ x sh(Y.r')e-yr, r>r'.
Интегральное уравнение, которому удовлетворяет R, имеет вид
R (г) = Ь2 ^ G, (г | г') и (/•') R (г') dr'.
о
Мы можем рассматривать зто уравневие как задачу о собственных
значениях с собственным значением, равным Ь2. Нужно напомнить,
что Ъ2 есть глубина потенциальной ямы, тогда как х2 пропорционально
энергии. Таким образом, определение Ъ2, которым мы теперь и займемся,
соответствует нахождению интенсивности потенциала при данной форме
его и, которая определит уровень с заданной энергией. Эта схема вполне
•соответствует положению в ядерной физике, когда энергия известна
из эксперимента и желательно найти соответствующую потенциальную
энергию. Конечно, если вычисление, определяющее Ь2, может быть выпол-
выполнено аналитически, то получаем соотношение между Ъ2 и х2, из которого
можно выразить х2 через Ъ2.
Мы теперь можем изложить итерационную часть метода. Пусть Ro —
начальное, предположительное значение R, которое может быть получено
разными способами (например, вариационным методом, отправляясь от про-
простой пробной функции). Тогда первая итерация Rx дается равенством
со
R1(r)=\jGy.(r\r')u(r')R0(r')dr'
и
и вообще
Заметим, что собственное значение Ь2 не должно входить в эти рекур-
рекуррентные соотношения, так как здесь играет роль только форма волновых
функций, а не их нормировка. Эти волновые функции Rn должны быть
теперь подставлены в вариационные выражения A2.3.65), а также в выра-
выражение, которое может быть получено прямо из интегрального уравнения,
определяющего R [см. уравнение (9.4.42)]. Здесь выражение /, подлежа-
подлежащее варьированию, имеет вид
A2.3.65)
J \R (г) и (r) Gx (i-1 !•') в (!•') Л (г')] drl

648 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
Приближения для собственного значения Ъ2 будем' обозначать через (Ь2)ш\
где п может быть либо целым, либо полуцелым числом; (Ь2)@> получается
с помощью подстановки Rjr в выражение вариационного принципа A2.3.64I).
Дальнейшие приближения даются равенствами:
Ш _ @. 0)
@, 1)
\") - (n+l>n+l)>
где элемент {р, q) определяется следующим образом:
RpuRQ dr.
и
Можно показать (см. гл. 9, стр. 134), что
(Ь2)@) > A?у2) > (Ь2)A) > .. . > B>2)(п) > (№у 2> > Ь2,
так что последовательные приближения для Ь2 образуют монотонную
последовательность, приближающуюся к Ъ2 сверху.
Из рассуждений гл. 9, стр. 139 мы можем получить также нижнюю
границу для Ъ2:
Здесь Ъ\ — второе собственное значение интегрального уравнения для R.
Это соответствует глубине потенциала, для которой —к2 является
не наименьшим, а вторым собственным значением. Нет необходимости
точно знать Ь\; подстановка в предыдущее неравенство вместо Ь\ его нижней
грани не нарушает неравенства.
Такая нижняя грань может быть получена из разложения [см. (9.4.113)]:
СО СО СО
S = ^dr ^ [и (г) G% (г | г') G, (г' | г) и (г)] dr' = ^ -^ '
и о п=о
где Ьд — первое собственное значение, рассмотренное выше, Ъ\ — следующее
со
и т. д. Мы видим, что — = ?_-А-_.2 -1-, или -1-<61--^-,
схэ со
!) Выражение для (fc2) <01 имеет вид (Ь2)№'=-! у.2 \ i?2dr+ \ Г"^ J dr\ (°.°)-
с и
—Прим. ред.

12.3. Решение уравнения Шрединеера 649>
(п+1)
так как ф2у 2- > Ь20. Таким образом, мы имеем нижнюю грань для Ъ\,
которая может быть получена с помощью непосредственного интегрирова-
интегрирования выражения для S и применения приближенного значения Ъ2 для
наименьшего собственного значения. Подставляя выражение для Gx, дан-
данное выше, в равенство, определяющее S, получим
со со
S = ~ ^ и (г) sh%*r)dr { и (/•') е-2"' dr',
О г
что может быть без труда вычислено для любой данной формы потен-
потенциала и (г).
Как пример мы снова рассмотрим экспоненциальный потенциал
и = е~6г, воспользовавшись пробной функцией <р (а, {3; г), определенной
на стр. 645, и полагая, как и раньше, а2 = — е = к2. Следовательно, эта
функция при р= 1/ — ?(а + 6) и есть начальная функция Ro; для получе-
получения итераций мы применяем Gy., где * заменено через а. Таким образом,.
Отсюда можно определить (b2) 2
rW\(l)/7* = 4
K ' B
тогда как
Можно также определить F2)A). При ad = 0, F2)@)d2= 1,4571, B>2)V2;d2 =
= 1,4466. Точное значение равно четверти квадрата первого корня функ-
функции Бесселя, т. е. равно 1,4458. Мы видим, что в результате итерации
ошибка уменьшилась с 2/3% до 1/20%. Значение (fc2)A) (которое может
быть вычислено, так как Rr найдено) будет еще ближе к точному резуль-
результату. Значение (fc2)^2 , приведенное выше, является верхней гранью для Ь2.
Чтобы получить нижнюю грань, мы сначала заметим, что b\d% > 6,78,
так что
1,4466 [1-
Следовательно, 1,4466 > №d2 > 1,4437; точное значение равно 1,4458.
Мы видим, что точное значение (bdJ определено с ошибкой, меньшей 0,3%.
Как правило, нижняя грань не так близка к истинному значению (bdJ,
как верхняя.
Нет необходимости в том, чтобы отправляться от такой хорошей проб-
пробной начальной функции, как данная выше. Конечно, придется сделать
больше итераций, чтобы достигнуть точности, полученной выше после
одной итерации. Однако во многих случаях, в частности когда требуется
численный результат, бывает выгоднее не производить сложные вариацион-
вариационные операции, а применить несколько раз процесс итерации.
Высшие связанные состояния (если они существуют) могут быть рас-
рассчитаны с помощью пробных функций, ортогональных к функции ср, полу-
полученной для наинизшего состояния. Например, приближенное наинизшее
состояние с моментом количества движения, равным %, может быть полу-
получено при помощи
Ф (у; г) = N cos 8 re~tr

•650 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
ИЛИ
9 (а, у; r) = N'cosb(e-ar — e—>r),
где N и N' — нормирующие множители, такие, что \ \ \ <p~dv=i.
Вариационные принципы для задач рассеяния. Рассеяние частиц
силовым полем может быть также изучено вариационным методом. Здесь
мы находим стационарные значения ftctg-»], с фазовыми углами т](
(см. стр. 631) вместо того, чтобы разыскивать минимум энергии. Для различ-
различных форм вариационного принципа, рассмотренных ниже, характерно, что
вид волновой функции важен только в той области, где силовое поле
отлично от нуля.
Мы ограничимся рассмотрением медленных бомбардирующих частиц,
когда только те функции, для которых I = 0, сильно отличаются от соот-
соответствующих функций Бесселя, так что для. расчета рассеяния требуется
только фазовый угол тH при 1 = 0. Радиальное уравнение, которое тре-
требуется решить, имеет вид (<]> = R/r)
Мы знаем, что при больших значениях г R c^>S == С sin (kr — Tj,)/sin7]a
(С— произвольная постоянная), так что S удовлетворяет уравнению
Вариационные принципы выражаются через R и S или через S — R = w.
Функция w заметно отличается от нуля только в области, где U Ф 0, как
видно из уравнения, которому она удовлетворяет,
Следуя результатам гл. 9, мы можем получить два вариационных принципа,
совершенно аналогичных тому, ¦ который записан с помощью выражения
A2.3.65). В первом требуется найти стационарное значение выражения
со
[К]== \ [(^J-DгJ-^Я2 + /^2-Я2)]^. A2.3.66)
Если S нормировано так, что <5"@) = 1 (т. е. С=— 1), то К = [ftctgT]0]
(по поводу смысла скобок см. стр. 106).
Этот вариационный принцип может быть применен для установления
зависимости k ctg тH от к2. Пусть точное решение при к2 = к\ равно Ro,
а его соответствующее асимптотическое выражение равно So. Они могут быть
подставлены как варьируемые волновые функции в A2.3.66). Тогда
со
г
и
что дает непосредственно производную выражения к ctg т]0, рассматриваемого
как функция от к2, т. е. от энергии, при k" = kl.
Также ясно, что эта производная зависит только от поведении Ro
в области, где U велико (где Ro не совпадает со своим асимптоти-
асимптотическим значением So). Если в этой области | U | > к2, т. е. величина по-
потенциальной энергии много больше чем к2, изменение волновой функции
при изменении к2 будет малым, и можно ожидать, что приведенное выше

12.3. Решение уравнения Шредингера 651
выражение для производной будет точным для некоторого промежутка зна-
значений к0. Или, другими словами, при малых значениях к2, т. е. для частиц
малых энергий, функция к ctg 7j0 будет линейной функцией от к2. Эта ли-
линейная зависимость сохраняет силу до тех пор, пока к2 < IUI, т. е.
?«|F|.
Так как данная выше производная не зависит от асимптотических
значений i?0, которые компенсирует So, мы можем подставить очень грубое
приближение для Ro и все же получить достаточно хорошие результаты.
Например, в случае показательного потенциала, рассмотренного в преды-
предыдущем пункте, было найдено, что Л0 = е-Кг— е~®т и, следовательно1), S0=e~ar,
$d — I/ y(l+ad), было очень хорошей волновой функцией [еше лучшая
дается выражением R1 на стр. 649)]. Если %2а?/2М — энергия связи си-
системы—много меньше чем V, то значение интеграла для d (к ctg "»]0)/d (к2)
не слишком меняется при переходе от энергии — %2а2/2М к энергии + Е,
так что мы можем подставить эту волновую функцию вместо Ro в инте-
интеграл, даже несмотря на то, что ее поведение при г—> со далеко от пра-
правильного. Тогда
Однако нам требуется знать больше, чем только значение производной, нам
нужно знать значение самой функции при к = к0. Для нахождения его мы
можем подставить в A2.3.66) пробную функцию R с одним или несколькими
параметрами и соответствующее S и варьировать параметры, чтобы опре-
определить лучшее возможное и и соответствующее к ctg т]0. Однако вариацион-
вариационный принцип A2.3.66) не является наиболее удобным для этой цели, так
как S явно зависит от неизвестного сдвига фаз -ц. Если мы требуем, чтобы
1 было выбрано как точный сдвиг фаз, и не хотим его истолковывать как
параметр, подлежащий варьированию, то применяем второй вариационный
принцип [см. уравнение (9.4.57)], в котором не участвует S. Выражение,
подлежащее варьированию с целью получения стационарного значения.,
имеет вид
в+ Vb2-
L= га
где
о_ , С U sin Bкг) 9 Г U sin (kr
J к J к
О О
оо оо со
С== \ [С"^"У~ ^2~ С/)йу21 dr~2 \ Uw cos (kr) dr+ ^ U cos2 (kr) dr,
и 0 0
где по-прежнему w = S — R. Если положить w@) равным 1, то L для точ-
точного выражения w дает как раз kcig-ц^. Мы снова подчеркнем тот факт,
что w, будучи разностью между R и его асимптотическим выражением S,
будет отличаться от нуля только в области, где U не слишком мало по
сравнению с к2.
Из этого вариационного принципа может быть получено приближение
Борна A2.3.63), если взять w = cos (kr) в качестве пробной функции. Этот
выбор соответствует предположению, что R пропорционально sin (kr), что
Предполагается, что (J > а (см. стр. 645, 646).— Прим. ред.

652 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
дает неискаженную падающую плоскую волну. Тогда С = 0, В = 1 п.
L = \/А или
tgifcC-fX tf sin* (*r)dr,
0
что при малом т]0 является приближением Борна.
Вторым употребительным видом приближенного выражения для R
является тот, который мы применяли при вычислении производной. Снова
мы говорим, что при U % к2 изменение энергии от -\-Ъ,2к2/2М до
— %2л2/2М сильно не отражается на изменении w, так что мы можем
в L положить w = e~$r и таким образом получить постоянное значение
[/cctgT]0]; производная как функция от к2 была рассмотрена раньше. Так
как мы имеем дело с малыми значениями к, мы положим 1с=0 и найдем
A;ctgi]0 для этого значения. А, В шВ2 — ^АС будут иметь значения:
А = - 2ЬЧ3,
Мы можем, если пожелаем, исключить b2d2, воспользовавшись результатом,
полученным на стр. 646 для Bbd)°, который может быть представлен в виде
так что окончательное выражение для к ctg т]0 при к = 0 зависит только от
комбинации рй (и, следовательно, от ad), если пренебречь множителем
пропорциональности для d.
Если значение энергии лежит между областями применимости при-
приближения Борна и приближения, приведенного выше (которое может быть
названо приближением.сильного поля), то нужно практически проделать
все вычисления, связанные с процессом варьирования. В случае медлен-
медленных бомбардирующих частиц употребительной пробной функцией является
w = e~'tT, где у —параметр варьирования.
Вариационно-итерационный метод для задач рассеяния. Как
и в случае связанных состояний, мы можем для решения задач рассеяния
составить интегральное уравнение. К интегральному уравнению может быть
применен метод итераций; оно допускает также применение вариационного
принципа для A;ctgT](.
Мы снова ограничиваемся случаем 1 = 0. Интегральное уравнение,
записанное в форме, наиболее удобной для итераций, имеет вид
где
г /VI г \ — tcrtrv-n sin (кг) sin (Ах0) 1 (sin (кг) cos (kr0); r < ro,\ _
A h (r\rJ- * ctg iH F2 T- |cos(fer)sin (to.o)f r>roJ~
, . sin (kr) sin (kr0)
= k ctg iJ\
Схема итераций дается рекуррентным соотношением между п-й и(<гс-}-1)-й
итерациями
со
\(r\ro)U(ro)Rn(ro)dro.

12.3. Решение уравнения Шредингера 653
Вычисление i?n+1 требует подстановки приближенного значения к ctg ц0,
которое может быть получено с помощью вариационного принципа, ука-
указанного ниже; наилучшее возможное при данной форме R решение полу-
получается при стационарном значении /—выражения, подлежащего варьиро-
варьированию. Если мы в выражение / подставим точные волновые функции, оно
¦сделается равным к ctg •*]„, так что мы имеем дело с вариационным прин-
принципом для к ctg т]0. [/] равно
^ ДЧ7 dr-^ ^R (г) U (г) Gh (г | r0) U (!•„) R (r0) dr dr0
[/]=-" °-° = — . A2.3.67)
Гу { URsm(kr)dr~\2
О
Итерационная схема комбинируется с вариационным принципом посредст-
посредством подстановки В.п в выражение A2.3.67), что дает и-е приближение для
¦к. ctg т]0, которое мы обозначим через /(п)
RnU [Rn-Rn+1] dr
Г -j { URn sin (kr) dr 1'
tl уншо отметить, что теория сходимости процесса итерации для задач этого
типа не разработана так полно, как в случае процессов итерации для
задачи связанного состояния, рассмотренной раньше. Удачные применения
этой схемы, данной Швингером, можно найти в литературе, причем ока-
оказывается, что метод дает прекрасные результаты в случаях, когда С/>А;2,
т. е. при малых энергиях, единственных случаях, в которых метод широко
орименялся.
В заключение заметим, что введя в выражение A2.3.67) пробную функ-
функцию R — sin (kr), получим несколько улучшенное приближение Борна
И5'
о о
к ctg т,0 ~ к ctg T,J*> - ctg2 т]№) \ [ sin (kr) U (г) Gh (г | г0) U (r0) sin (kr0) drdr0
или
etg^B) с , 1
к ctg т]0 ~ к ctg т](в) + 2 ——— \ Usin2 (kr) dr \ U sin (kr(t) cos (kr0) dr0,
0
где У1^в~> — борновское приближение для фазового сдвига, данное в равенстве
A2.3.63).
Вариационный принцип для амплитуды рассеяния. С помощью трех-
трехмерной функции Грина может быть получен вариационный принцип, ана-
аналогичный выведенному из A1.4.57), в применении к амплитуде рассеяния
/ (8) дающий то же самое, что и выражение A2.3.67) дает для фазовых
углов. Мы преобразуем уравнение Шредингера

654 Гл 12. Диффузия. Волновая механика
в интегральное уравнение для ф
где kj — вектор длины к, проведенный в направлении падающего пучка
частиц. Асимптотическое поведение ф тогда имеет вид
где /(8) — амплитуда рассеяния, |/(8) |2—дифференциальное эффективное
сечение (см. стр. 65), его интеграл по всем направлениям есть полное
эффективное сечение Q для упругого рассеяния, вызванного потенциальным
полем V (г). Мы умножили и разделили на С —амплитуду падающего-
пучка — для того, чтобы наши результаты отнести к единице интенсивности
падающего пучка.
Вектор ks имеет длину к и направлен к наблюдателю, образуя угол 8-
с вектором к4. Подставим теперь в интегральное уравнение вместо С его-
выражение через /(8),что позволит сделать уравнение однородным:
Чтобы получить вариационный принцип для / (8), мы поступаем так, как
было указано в параграфах 9.4 и 11.4, т. е. умножаем на ф (г) ?/(/•), где
ф — решение для падающей волны, распространяющейся в направлении — к6
и рассеиваемой в направлении — kj (сопряженный случай, где источник
и наблюдатель поменялись местами), и интегрируем по dv. Окончательное-
выражение для вариационного принципа имеет вид
~* ei4"U {r) ^{r)dv * e~iksr°u Ы * (f°> dv° A2 3 68V
(гI7 {r)(eiMt/R)V (r0) <], (т0) dv dv0'
Величина [/] становится стационарной, если использованы точные выра-
выражения для ф и ф, и тогда [/(8)] равно /(8); значения параметров в вы-
выбранной нами форме функции ф (и соответственно ф), дающие минимум дляь
/, соответствуют наилучшему выбору ф и <1* среди всех выражений
выбранного типа, а соответствующее минимальное значение [/] является
наилучшим выражением для / (&), возможным при использованных видах
функций ф и ф. Найденный «наилучший вид» функции ф может быть под-
подставлен в правую часть интегрального уравнения для ф с тем, чтобы с по-
помощью последовательных итераций найти еще лучший вид, подстановка
которого в A2.3.68) позволит улучшить выражение для /. Связь между
этой процедурой и процедурой, рассмотренной в предыдущем пункте, оче-
очевидна; формулировка здесь в принципе проще, однако осуществление ее
обычно более трудно, так как здесь мы имеем дело с трехмерными инте-
интегралами вместо одномерных.
Если выбранной для ф формой является плоская волна (что дает не-
неплохое приближение при больших значениях к), полученное выражение
для [/] тесно связано с приближением Борна для упругого рассеяния,
данным в равенствах A2.3.58) и A2.3.59). Трехмерное преобразование
Фурье потенциальной функции имеет вид
и (К) = Bл)-3/2 \ eiK'rU{r)dv,

12.3. Решение уравнения Шредингерп 65¦>
а преобразование Фурье функции Грина eihR/4TcR имеет вид
[см. A1.3.6)]. Если теперь мы подставим в A2.3.68) пробные функции ф~
и 6~e-iks-r и воспользуемся теоремой о свертке D.8.25) в двойном
интеграле, то окончательно получим
I^
2" . к), 1 ГИAч-К)В(К-Ь.)
(t з)+7й^ K2~k2 K
где интегрирование распространено на весь трехмерный объем «.йГ-про-
странства».
Если пренебречь интегралом, получим приближение Борна
^M(ki-ke)= -±
Приближения Борна высших порядков (см. § 9.3) получаются, если раз-
разложить знаменатель в выражении A2.3.68) и воспользоваться итерациями
для последовательного получения лучших приближений для <]>. Однако
легко видеть, что в случае, когда вышеприведенный интеграл по К-про-
странству не является малым сравнительно с к(к4 — к8), ряд Борна не будет
очень хорошо сходиться и в этом случае будет целесообразнее исполь-
использовать данную выше формулу, не разлагая знаменатель.
Чтобы видеть, как протекают вычисления, рассмотрим потенциал
С/(г) = — уе~хт/г или V (г) — — ife-XrJr (if = %2y/2M), мало отличающийся
от кулоновского вблизи центра сил, но убывающий значительно
быстрее кулоновского потенциала при больших значениях г. Если бы этот
потенциал относился к электрону с зарядом — е, он соответствовал бы
полю точечного заряда rf/e, помещенного в точке г = 0 и окруженного
распределением зарядов с плотностью—r^k2e~lT/iizer и с общим зарядом
— т]/е, которое полностью уничтожает влияние центрального заряда при
больших значениях г (этот потенциал предложил Юкава в качестве воз-
возможного потенциала взаимодействия нуклонов). Преобразование Фурье этого
потенциала имеет вид
так что приближение Борна дает выражение
которое следует сравнить с формулой Резерфорда на стр. 620
(k = Mv/h, T]2 = Ze2).
Интегральная свертка, соответствующая двойному интегралу в знаме-
знаменателе A2.3.68), может быть вычислена методом, изложенным в § 9.3
[см. (9.3.55)]:
/~~2
УШ \ (**-*¦) [ | K-kj \*+КЦ [ | K-ks |» + X«] = \

656
Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
ОД =
*
2ft sin (у» Л I/ Xa+4fca Г X2 + Л;2 sina ^ -1-& А 1
X
|
X arctg
(
Xk sin
in ( 4"»
I/ ^+4Л2 X2+A-*sin2f Y
I
I X2 |-A:2sma ( -А-«Л
\r ........ ^ "* * -^
f ~b\ 1—
Мнимая часть // получается вследствие того, что мы должны идти вокруг
полюсов подинтегральной функции при К = ± к выше полюса в точке — к
и ниже полюса в точке + /с, что соответствует требованию, чтобы преоб-
преобразование Фурье функции eihR/4idt изображало расходящуюся волну [см.
анализ уравнения G.2.31)]. Выражение для амплитуды рассеяния
/(&) в предположении, что пробные функции для тр и я)з в A2.3.68) соот-
соответствуют плоским волнам, имеет тогда вид
у»)] j -
-i» JJH(»)
что отличается от приближения Борна fB множителем, стоящим в скобках.
Если у мало, этот множитель вносит лишь малую поправку; если •[ велико,
изменение может быть заметным. Бообще измененная амплитуда рассеяния
ближе подходит к точному решению, чем простое приближение Борна.
Предельные значения поправочного члена для малых значений пере-
переменных имеют вид
4/с2 sin2 Г ~
ЩЬ) ~
что приводит к нескольким интересным следствиям. Прежде всего отме-
отметим, что в пределе при X —> 0 приближение Борна fB ^ X/4&2 sin2 ( у & )
является точным, поскольку речь идет о модуле / [см., например,
A2.3.43)]. В этом предельном случае поправочный множитель в фигур-
фигурных скобках будет мнимым; в самом деле он связан со вторым членом
разложения экспоненты с г в показателе, содержащейся в точном выражении
для/, приведенном в равенстве A2.3.43). Здесь поправочный член Н изменяет
только фазу / настолько, насколько это вообще может сделать аддитивный
поправочный член, но не модуль функции /.
Можно было бы попытаться рассчитать полное эффективное сечение,
соответствующее /, с помощью равенства A2.3.56'). Это равенство спра-
справедливо для точного решения, но полностью непригодно для приближения
Борна, так как /в действительно. Тем не менее в настоящем случае
можно проинтегрировать | /в |2 по всем углам рассеяния, чтобы полу-

12.3. Решение уравнения Шредингера 657
чить «борновское поперечное сечение»
Qb = 2v\ 1 /в |а sin & a!U
о
Здесь, однако, мнимая часть // не равна нулю, так что в следующих
приближениях применение A2.3.56') приводит к результату, отличному
от нуля:
который достаточно близок к борновскому поперечному сечению, особенно,
если у меньше чем X. Таким образом, действительно, выражение второго
порядка для /(&) может быть использовано для получения выражения
первого порядка для Q, что согласуется с рассуждением на стр. 73.
Выражение второго порядка для Q может быть получено с помощью
интегрирования по всем углам выражения /(&) предыдущей страницы,
содержащего поправку с Н (однако это интегрирование нелегко выполнить).
Возвращаясь к первоначальному интегральному уравнению для <]>, мы
можем теперь с помощью итераций получить уточненное выражение ф:
ihR-%r0 „ г e~iK'Tdvv
Piki-ro//7i z>iki¦ г L I \
e ave + ^
—
А2) j i K__k. |
Каждое из этих выражений может быть вычислено с помощью разложе-
разложения по сферическим гармоникам.
Две частицы, одномерный случай. Задача о взаимодействии двух
одинаковых частиц с фиксированным потенциальным полем, а также
между самими частицами в основном эквивалентна классической задаче
трех тел. Фиксированное потенциальное поле, действующее одинаково
на обе частицы, можно рассматривать как поле третьего тела, настолько
тяжелого, что центр тяжести системы совпадает с его положением (в на-
начале координат). Классическая задача трех тел не разрешима по существу,
частично из-за возможных столкновений частиц. Задача квантовой меха-
механики также по существу не разрешима и в значительной степени по тем же
причинам.
Чтобы видеть возникающие здесь трудности и желая избежать излиш-
излишних математических осложнений, мы рассмотрим чрезвычайно простой
случай двух одномерных частиц, находящихся под действием очень про-
простого потенциального поля. Смещение частицы 1 относительно центра
силового поля обозначим через х, а смещение частицы 2—через у. Вна-
Вначале предположим, что потенциальное поле, действующее на каждую час-
частицу, представляет собой очень глубокую и очень узкую потенциальную
яму в начале координат—дельта-функцию, подобную рассмотренной на
стр. 595. В этом случае поле действует на каждую частицу, так что урав-
уравнение для общей волновой функции двух частиц для стационарного состоя-
состояния с энергией %Ъ/2М, если пренебречь полем, действующим между части-
частицами, имеет вид
Постоянная М есть масса каждой частицы, а постоянная a = MV0/ti2— па-
параметр потенциальной функции, Vo — «интенсивность» ямы, описываемой
дельта-функцией.

658
Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
Наиболее важный факт, на который указывает это уравнение, состоит
в том, что волновая функция для системы двух частиц зависит от двух
переменных и что уравнение и система могут быть изображены нагляднее
в плоскости, как показывает рис. 12.7. Потенциальный центр порождает
глубокие, узкие долины, расположенные вдоль осей х и у; в других точ-
точках потенциал равен нулю. С другой
стороны, это уравнение показывает,
что ф является решением двумерного
// уравнения Гельмгольца при е = /с2 всю-
' ду, кроме точек, расположенных на
осях координат. Вдоль х — 0 и у = О
находятся полуотражающие зеркала,
вызывающие разрывы в наклоне волны,
причем разрыв, нормальный к зеркалу,
равен произведению —2а на величину
волны у зеркала. Если две частицы
свободны и обе начинают движение от
+ оо соответственно со скоростями v1
и v2, то волновая функция будет со-
состоять из падающей плоской волны
ii i 1 fo ' 2 ^ т
4
\
4
Щ
IIIa
/
Па
\
/
/
4
\
4
4
/
/
/
k
(x.y)
/ /
y/\
ч
ч
\ <
\
rva .
/<
la
7* •*
Рис. 12.7. Координаты и обозначения
квадрантов для системы двух одномер-
одномерных частиц.
сложенной со всеми отражениями этой
волны от «зеркал», расположенных вдоль
осей хну.
Отражения изменяются с изменением угла падения; например, для
волны ф4, ударяющейся о зеркало х = 0, падающая, отраженная и прошед-
прошедшая сквозь зеркало волны имеют вид
o—ik (ж cos u+y sin u)
ik cos и
a-\-ik COS и
e—ih (ж cos и+у sin»
gift (ж cos u—y sin u) x ~~> 0
x<0,
a-\-ikcos и
где А2 = k\ + k\ = s, k1 = kcosu, k2 = k sin и. Падающая волна образует
с осью у угол падения и —arc tg(A2/A;1). Амплитуды отраженной и прошед-
прошедшей через зеркало волн зависят от этого угла падения. Падающая волна <Ьг
отражается от обоих зеркал, и волна, получившаяся в результате объеди-
объединения отраженной, прошедшей через зеркало и падающей волн, прини-
принимает вид (для каждого из квадрантов, указанных на рис. 12.7)
С а2е ihr cos (-f-u)
I g-lfcr COS ('f-U) i
= .
(a-|- ik cos u) (a-\-ik sin u)
„„ihr cos (<p+u) -
-iftrcos
(a-\-ikcos u) a-j-ifcsinu
ik cos ue~ikr " JS <¦¦*-"¦ iak cos ue ~*г cos <?+">
(a-{-ikcosu) (a-\-ikcos u) (a-\-iksinu) '
-k*siaucosue-ihrcos <Ф~">
(a-|-iA;cos u) (a-j-i/c sin u) '
ik sin ue-ikrcos (?-") iak sin ие*г cos
(o-(-iA; sin и)
(a-{-ik cos и) (a-\-ik sin и) '
I квадрант;
II квадрант;
III квадрант;
IVквадрант; A2.3.69)
здесь г = ~[^х2-+¦ у2 и <р= arc tg(?//a;) —полярные координаты в плоскости х,у.
Две частицы, приходящие справа, частично отражаются потенциальными
долинами, а частично проходят через них. Каждая частица сохраняет свою

12.3. Решение уравнения Шрединеера
659
кинетическую энергию, но имеет возможность изменить направление своего
движения на противоположное. Относительные интенсивности отраженного
и прошедшего пучков даются квадратами величин коэффициентов.
Функция Грина. Функция Грина для этой системы может быть полу-
получена из A1.2.22). Умножим ф на eik(x«cos U+Vo sln u> и проинтегрируем по и
от — гсо до +гоо. Так как условия сопряжения (являющиеся однородными)
удовлетворяются для каждого значения и, то весь интеграл также будет
удовлетворять этим условиям. Первый член в I квадранте будет равен
тН™(кЩ, где № = (ж — жоJ + (у — У0У", он определяет волну, излучаемую
точечным источником, находящимся с точке (ж0, у0) первого квадранта.
Третий член соответствует волне, которая кажется приходящей из зеркально
отраженной точки (— х0, у0); она не является симметричной, так как содер-
содержит в себе все функции Ганкеля высших порядков. С помощью производя-
производящей функции для тригонометрических функций, данной в таблице в конце
гл. 10, мы можем получить разложение
a-\-ik cos и
¦v-i . ГУ а?Л-к2 — а~\п
¦ZjSnl~nlr ^ J cos(nu)'
71=0
и, следовательно, третий член в выражении для первого квадранта при-
принимает вид
nia
V
т=0
а-]
J
(кВ2) cos (m 92
х + х0 = /?2 cos <p2, y — yo = R2 sin <p2.
и определяет волну, отраженную от «зеркала» ж = 0, которая кажется при-
приходящей из изображения точки во втором квадранте; эта волна содержит
угловые зависимости, необходимые
/С
для того, чтобы можно было удов-
удовлетворить условиям сопряжения
при ж = 0 и у = 0. Все другие ин-
интегралы подобным же образом
могут быть разложены на зави-
зависящие от угла волны, исходящие
из источника или из одного из трех
его изображений. Количество необ-
необходимых членов зависит от квад-
квадранта, в котором определяется ф;
например, в III квадранте нужна
только волна, исходящая из само-
самого источника (х0, у0), но ее угловая
зависимость не является равно-
равномерной; она искажается благодаря
прохождению через «зеркала».
Функция Грина символически
изображена на рис. 12.8. Здесь
представлена симметричная волна,
выходящая из источника (ж0, у0)
(волновые фронты изображены
сплошными линиями), а также от-
отраженные волны и волны, про-
прошедшие через зеркала, амплиту-
амплитуды которых зависят от угла (вол-
Рис. 12.8. Набросок волновых фронтов для
функции Грина при источнике в (х0, у0).
Волновые фронты, изббраженные в I квадранте
сплошными линиями, имеют одинаковую амплитуду.
Амплитуды волновых фронтов, изображенных пунк-
пунктиром, меняются с изменением угла.

660 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
новые фронты изображены пунктирными линиями). Выражение, опи-
описанное здесь и полученное интегрированием равенства A2.3.69) по и,
пригодно почти всюду в плоскости х,у. Например, если источник (х0, у0)
находится в другом квадранте, мы просто поворачиваем чертеж и заново
перенумеровываем квадранты. Однако введенное нами выражение не будет
пригодным, когда источник лежит точно на оси х или на оси у. На пер-
первый взгляд кажется, что из соображений симметрии должна существовать
симметричная волна, выходящая из источника [в точке (хй, 0), например],
и отраженная волна, идущая из его изображения ( — х0, 0). Но такая волна
не удовлетворяет требованию разрыва наклона на оси х; она слишком
симметрична.
Мы при этом забываем, что наша задача, если ее рассматривать с точки
зрения отражения волны, является одной из задач, в которых возникают
поверхностные волны; если эту задачу рассматривать с точки зрения ча-
частиц, она имеет связанные состояния. Для того чтобы увидеть, что здесь
происходит, нужно рассмотреть эти поверхностные волны.
Только связанные состояния системы (без учета взаимодействия час-
частиц) могут быть легко выражены через простые показательные функции,
как это было сделано для уравнения A2.3.8). Имеем
дге-ох-ау — Ne~ai, I квадрант;
jyeax-ay —туе01), II квадрант;
Neal, III квадрант; A2.3.70)
' = Ne-"v, IV квадрант;
здесь ж = A/)/2) E + т)), у = A/]/~2) (? — ">)) и <х = ~|/2а. Волновая функция
напоминает «крышу пагоды», достигая высшей точки при г = 0, и опускаясь
вниз по всем направлениям, причем склон становится все более пологим
при больших г. Горизонталями1) для ф (можно продолжить сравнение и наз-
назвать их «линиями черепицы») являются квадраты со сторонами, парал-
параллельными осям ? и tj; крыша имеет гребни вдоль осей хну, где располо-
расположены потенциальные долины. Допустимая энергия системы, очевидно, равна
Кстати, волновая функция этого связанного состояния, если перейти
к полярным координатам г и <р> может быть выражена через полуцилин-
полуцилиндрические функции, определенные в таблице в конце этой главы. Мы
видим, что ряд
) A2.3.71)
m=0
выражает ф для всех значений <р от 0 до 2те и что здесь приняты во вни-
внимание разрывы градиента ф при ср = 0, те/2, те и Зте/2. В самом деле, поль-
пользуясь свойствами функций /im(z), мы можем показать непосредственно, что
D|иу)
г дг V/ дг
То есть линиями ф = const.—Прим. ред.

12.3. Решение уравнения Шредингера
и, таким образом, доказать, что ряд A2.3.71) является решением уравне-
уравнения с потенциалами в виде дельта-функции.
Поверхностные волны. Имеются также состояния, частично связанные
и частично свободные, как, например, в случае, когда частица 2 нахо-
находится в связанном состоянии, а частица 1 движется справа со скоростью vt.
Волновая функция тогда имеет вид
e-a\i,\-ikax JL^-ali/l+ifc^ Х>0,
а+ а A2.3.72)
1ка в_а|и|_а,оЯ X<Q
а+1ка
где ka = Mv1/% и г = к%— а2. Хотя частица 1 может отразиться от долины
при х = 0, но при отсутствии взаимодействия между частицами они не мо-
могут обменяться местами. Чтобы получить частицу 1 в связанном состоянии,
нужно и начинать со связанной частицей 1 и свободной частицей 2.
Это и есть поверхностные волны, упомянутые выше, которые стано-
становятся заметными в функции Грина, если только источник помещается
на одной из осей координат. В самом деле, подробное исследование при-
природы этой функции Грина (в детали которого здесь нет надобности вхо-
входить; мы не пытаемся просчитать эту задачу, а хотим только осмотреть все
возможные случаи, чтобы понять их общие особенности, которые, как мы
надеемся, помогут в понимании подобных особенностей в других задачах
с несколькими частицами) показывает, что мы здесь имеем дело с расхо-
расходящейся круговой волной, зависящей от угла и стремящейся к нулю
вдоль оси (являющейся пределом первичной волны и соответствую-
соответствующего ей отражения в случае слияния источника и изображения), и се
отражением, зависящим от угла и идущим из точки (— х0, 0); кроме того,
здесь имеется также поверхностная волна вида, указанного в равенстве
A2.3.72), распространяющаяся от источника и отраженная от х = 0. Если
источник расположен на оси х, требуется, чтобы обе эти волны вдоль
оси х удовлетворяли некоторым условиям. Отметим, что длина волны
у поверхностной волны равна 2п/ка, т. е. меньше длины волны свободных
волн 2п/к, так как к% = к2+а2, если е = к2.
Поведение этих волн становится ясным, если воспользоваться пред-
представлением функции Грина в виде ряда и интеграла от произведений
собственных функций однородного уравнения, составленных для источ-
источника и наблюдателя [см. G.2.39), G.2.41) и G.2.42)]. В данном случав
функция Грина состоит из двойного интеграла от выражений для свобод-
свободных волн, взятого по всем значениям волновых чисел кг и kit сложенного
с отдельными интегралами от поверхностных волн, распространенными
на все значения соответствующих величин к; к сумме добавляется еще
член, соответствующий связанному состоянию. Если источник или наблю-
наблюдатель помещаются далеко от оси х или от оси г/, то членами, соответству-
соответствующими поверхностным волнам и связанному состоянию, можно пренебречь;
вблизи осей становятся существенными члены, соответствующие поверхно-
поверхностным волнам; вблизи начала координат важен член, зависящий от свя-
связанного состояния.
Следовательно, если имеем некоторое распределение источников на плос-
плоскости, решение неоднородного уравнения будет содержать интеграл от обыч-
обычной функции Грина, распространенный, на всю область распределения
источников, и интеграл от той части функции Грина, которая соответствует
поверхностным волнам; последний интеграл распространяется на всю сово-
совокупность источников, лежащих на осях координат.
Влияние взаимодействия между частицами. Посмотрим теперь, как
будет обстоять дело, если мы примем во внимание взаимодействие между

662 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
двумя частицами. Предположим, что это взаимодействие описывается
короткодействующей силой отталкивания с потенциалом в виде дельта-функ-
дельта-функции от х^у, имеющей разрыв вдоль оси ?, являющейся биссектрисой угла
между осями жиг/ рис. 12.7. Здесь волновая функция, вместо того чтобы
иметь гребень вдоль осей ж и г/, как это было для поля притяжения, имеет
«желоб», причем разрыв нормальной производной положителен. Добавление
этого потенциала взаимодействия сразу значительно усложняет задачу.
Прежде всего несколько искажается симметрия системы; здесь имеется
потенциальный гребень или «зеркало» вдоль оси ?, но его нет вдоль
оси т]. Это зеркало вызывает обмен энергиями между частицами; если
мы посылаем теперь волну, в которой частица 1 имеет скорость v1 = %kt/M,
а частица 2 — скорость и2 = bk.jM, то для части отраженной волны хну
обменяются ролями и, таким образом, частица 1 будет двигаться со ско-
скоростью f2, а частица 2 — со скоростью юг.
Даже в случае, когда обе частицы свободны, дополнительное зеркало
вызывает в начале координат осложнения, которые нельзя обойти, поль-
пользуясь простой суммой плоских волн. Можно, например, попытаться рас-'
смотреть случай, когда частица 1 движется справа со скоростью v1 (вол-
(волновое число kt), а частица 2 —слева с меньшей скоростью v2 (волновое
число —к2). Направление распространения падающей волны составляет
с осью ж угол, меньший it/4, и эта волна приходит из бесконечности в IV квад-
квадрант. Часть этой волны отразится от оси ж (частица 2 отразится от начала
координат), а часть—от оси у (частица 1 отразится от начала координат),
но некоторая часть пройдет через эти «зеркала» и натолкнется на новое-
зеркало вдоль оси ?, от которого и отразится. Это соответствует отраже-
отражению частицы 1 от частицы 2 и обмену кинетическими энергиями; напра-
направление отраженной волны будет теперь те/2 — и в соответствии с тем,
что частица 1 имеет волновое число к2, а частица 2 — волновое чис-
число — кг.
До сих пор все ясно; но если мы будем в том же духе продолжать,
добавляя в каждой части плоскости различные волны, отраженные от каж-
каждого зеркала, а также и прошедшие через эти зеркала, и требуя, чтобы раз-
разрывы производных по нормали к ж = 0 или к у —0 были равны —2аф,
как и раньше, а разрывы производных по нормали к tj = 0 были равны
+ 2frl>, то мы найдем, что нельзя сделать задачу «замкнутой», что мы
имеем либо недостаточно составляющих волн, либо слишком много усло-
условий сопряжения. Если Ь — 0, некоторые из этих дополнительных условий
исчезают, и задачу можно решить с помощью комбинаций плоских волн,
но это случай, рассмотренный выше, когда нет взаимодействия между
частицами. Как только мы примем во внимание взаимодействие, конечная
сумма плоских волн окажется недостаточной для того, чтобы удовлетво-
удовлетворить всем условиям сопряжения, а также и требованию периодично-
периодичности относительно полярного угла <р (т. е. требованию, чтобы волна во
II квадранте, полученная при переходе из IV квадранта через
I квадрант, должна быть такой же, как и при переходе через III ква
дрант).
Очевидно, что начало координат, где сходятся все зеркала, само по
себе дает некоторое количество отражений и посылает волну, содер-
содержащую в себе как поверхностные, так и «свободные» волны. Новое
зеркало при tj = 0 не дает поверхностных волн вдоль него самого: этому
препятствует знак Ь, но присутствие этого зеркала превращает часть волны
в поверхностные волны. На «языке частиц» сила взаимодействия вызы-
вызывает возможный обмен энергией между частицами; в частности, если обе
частицы вначале были свободны, то одна частица может отдать энергию
и перейти в связанное состояние, а другая частица уйдет с остальной
энергией.

12.3. Решение уравнения Шредингера 663
Некоторые из этих фактов становятся более ясными, если заменить
дифференциальное уравнение движения пары частиц
3 + Ш + [3 + 2аЬ (Ж) + Ш {У)] ф = Ш {Х - у) * A2-3.73)
интегральным уравнением
1» (ж, У) = ^ J ^ S (Ж° ~~ У°) * (Ж°' Уо) Gfe ^ У I Ж
СО
= ~ 2S J * (жо* жо) Gfe (ж' 2/1 жо> жо) d«o' A2.3.74)
— со
где Gfe — функция Грина для источника в точке (х0, у0), полученная инте-
интегрированием выражения A2.3.69) по и при е = /с2. Это уравнение выра-
выражает решение ф в точке (ж, г/) через значения его вдоль оси $ (ж = у), где
расположен «гребень» возмущающего потенциала. Решение образовано
•с помощью умноженного на — 6/2тг значения ф в каждой точке оси %,
являющейся источником, порождающим волны в остальной части простран-
пространства. Если в это уравнение подставить точное выражение ф для точек,
лежащих вдоль оси ?, то получим точное решение ф; но даже в случае,
когда ф на оси | точно неизвестно, приближенное выражение, будучи под-
подставлено под знак интеграла, дает очень хорошее приближение для ф
в остальной части плоскости.
Интегральное уравнение для ф (ж, у) вдоль оси ? получается, если
положить г/ = ж = ?/|/г2. Если <р0 ($) = ф(?/"|/Л2, S/l/2) есть значение ф
в точке (?,0) оси 5 и если Gk{$ \ ?0) = Gk [VV% E/^IWV^ VV2)
есть значение функции Грина в точке (Е, 0) для единичного источника,
находящегося в точке (?0,0), то интегральное уравнение принимает вид
A2.3.75)
Решив это уравнение, мы можем решение для (р0 подставить в уравнение
{12.3.74), чтобы получить общее решение ф для энергии е = А2.
Ядро Gk ($ 150) при действительном к является комбинацией расходя-
расходящихся волн, если $ > ?0; оно представляет собой комбинацию волн обоих
направлений при 0 < $ < ?0 и комбинацию волн, идущих к ?—>— оо,
если $ < 0; кроме того, при ?0 = 0 это ядро является сингулярной
•функцией, интегрирование которой по ?0 дает значение <р0 при ? = 0, умно-
умноженное на функцию, соответствующую поверхностным волнам — комби-
комбинацию действительной и мнимой экспоненциальных функций. Мы не со-
собираемся подсчитывать <р0 или даже Gk (? | ?0). Из общих свойств функции
Грина Gh(x, у |ж0, у0), которые мы уже обрисовали, а также из вида уравне-
уравнения A2.3.74) можно видеть без вычислений, какого типа будет функция
Ф (ж' У)-
Рассмотрим прежде всего случай двух свободных частиц. Точное
решение уравнения A2.3.73), как мы видели, не может быть выра-
выражено с помощью падающей плоской волны и отраженных плоских
волн. Тем не менее значения ф вдоль оси ? не слишком отличаются
•от значений вдоль оси ? функции ф, определенной равенствами A2.3.69)
(решение без учета взаимодействия). Если эти значения подставить в урав-
уравнение A2.3.74), то результат интегрирования даст достаточно хорошее
приближение к решению уравнения A2.3.73).
Интегрирование по большей части промежутка изменения ?0 (=
¦соответствует дополнительным отражениям плоской волны, определенной

664 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
в A2.3.69), от добавочного «зеркала» вдоль оси ?. Однако в дополнение
к этим отраженным волнам имеется еще член, зависящий от сингулярной
части G, который порождает поверхностные волны, распространяющиеся
от начала координат вдоль обеих осей жиг/, плюс известное количество
круговых волн, расходящихся по радиусам из начала координат; амплитуда
этих волн пропорциональна значению функции Ф в начале координат.
Смысл результатов. Сформулируем теперь зтот результат на языке
частиц. Мы рассматриваем движение двух частиц из бесконечности—одной
со скоростью vlt другой со скоростью v2. Здесь могут представиться
следующие возможности: во-первых, обе частицы могут пройти через потен-
потенциальную долину в начале координат с их первоначальными скоростями
(волна, прошедшая сквозь «зеркала»); во-вторых, одна частица может отра-
отразиться от начала координат и, возвращаясь оттуда, двигаться с перво-
первоначальной скоростью, в то время как другая проходит через начало коор-
координат с ее первоначальной скоростью (волны, отраженные от «зеркала»,
расположенного вдоль оси ж или вдоль оси у); наконец, обе частицы
могут отразиться от начала координат, но сохранить при этом их перво-
первоначальные скорости (волна, отраженная от обоих «зеркал», расположенных
по осям жиг/). Таковы возможности, если не учитывать влияния взаимо-
взаимодействия частиц, т. е. «зеркала», расположенного вдоль оси ?.
При наличии взаимодействия между частицами здесь дополнительно
могут представиться следующие возможности: во-первых, обе частицы,
покидая линию ж = у в любом направлении, могут обменяться своими ско-
скоростями (плоские волны, отраженные от «зеркала», расположенного вдоль
оси ?); во-вторых, в начале координат, где действуют одновременно все три
потенциала, одна частица может перейти в связанное состояние, а дру-
другая—уйти из начала в том или другом направлении со скоростью, соответ-
соответствующей энергии, полученной там (поверхностные волны); наконец, может
случиться (со сравнительно малой вероятностью), что в начале координат
одна частица отдает часть своей кинетической энергии другой частице
и обе они уходят со скоростями, отличными от их начальных скоростей,
но такими, что сумма их кинетических энергий равна первоначальной
сумме (круговые волны, расходящиеся по радиусам из начала координат).
Все возможности, указанные в последнем предложении, получаются
благодаря наличию взаимодействия между частицами, которое приводит
к задаче, в которой разделение невозможно, и порождает разнообразные
усложнения (и возможности) в случае систем, состоящих из нескольких
частиц.
Если взаимодействие было бы притяжением, вместо предполагавше-
предполагавшегося здесь отталкивания, то возникла бы еще одна дополнительная рас-
расходящаяся поверхностная волна вдоль оси ?, соответствующая частицам,
которые покидают начало координат, будучи связанными друг с другом;
оставшаяся энергия будет их общей кинетической энергией.
Прежде чем перейти к задачам, более тесно связанным с действи-
действительностью, выскажем еще одно последнее соображение; мы должны ука-
указать, как сила взаимодействия изменяет волновую функцию для случая,
когда обе частицы связаны. Мы могли бы рассчитать это из уравнения
A2.3.74), воспользовавшись функцией Грина, составленной из убывающих
по экспоненциальному закону функций Ганкеля мнимого аргумента, но
здесь будет достаточно показать, придерживаясь нашего картинного изло-
изложения, как изменяется функция, имевшая форму «крыши пагоды», рас-
рассмотренная на стр. 660. Если сила взаимодействия является силой оттал-
отталкивания, то энергия связи частиц уменьшается и ф на больших расстояниях
будет стремиться к нулю медленнее, чем ф, определенное в A2.3.70).
По-видимому, «гребни крыши» вдоль осей жиг/ спускаются вниз от вер-

12.3. Решение уравнения Шредингера 665
шины в начале координат по экспоненциальному закону с показателем,
меньшим чем а в A2.3.70). «Угол крыши» на этих гребнях должен быть
таким же, как и раньше, так как он определяется потенциальными доли-
долинами, расположенными вдоль осей жиг/.
Однако в дополнение к гребням при отталкивающей силе взаимодей-
взаимодействия на крыше появляется V-образный «желоб» вдоль оси ?. Мы можем
получить его, заставив крышу в квадрантах II и IV немного «выпучиться»,
так что горизонтали функции С/ («линии черепицы») становятся кривыми,
обращенными вогнутостью к началу координат. В квадрантах I и III крыша
тогда опускается вниз более круто вдали от гребней, идущих вдоль осей ж
и у с небольшим дополнительным уменьшением кривизны, дающим воз-
возможность двум частям соединиться вдоль оси ? с образованием V-образного
«желоба». Если отталкивающее взаимодействие очень велико, желоб нельзя
сделать V-образным с нужной крутизной, не «сморщив» крышу где-либо
в другом месте; это равносильно утверждению, что при очень большой
силе отталкивающего взаимодействия не может быть связанного состояния,
одна частица или обе должны быть свободны. Если сила взаимодействия
является силой притяжения, то вдоль оси ? появляется новый «гребень»,
и крыша должна немного «осесть» между гребнями (вместо того, чтобы
выпучиться) для того, чтобы это компенсировать. Оседание или выпучи-
выпучивание дополнительно указывают на то, что простые показательные функции
не достаточны для представления решения; таким образом, решение суще-
существенно не разделимо.
Связанные гармонические осцилляторы. Только связанные гармони-
гармонические осцилляторы представляют собой допускающий разделение пере-
переменных случай взаимодействующих частиц; этот случай не демонстри-
демонстрирует многих результатов, выведенных в предшествующем пункте, так как
здесь нет свободных состояний. Если частота колебаний каждой частицы
самой по себе в силовом поле равна со/2тг и если две частицы притяги-
притягивают друг друга с силой С(х — у), то уравнение Шредингера, аналогичное
уравнению A2.3.5) для системы, имеет вид
где е = 2МЕ/%2, р = Mv>/h = (I/ft) "|/KM и ^ = {1/%)УСМ. Это уравнение
удобнее выразить в нормальных координатах ?, т), где
Йг "* = ?=&-у)-
Уравнение тогда приобретает форму, допускающую разделение переменных,.
W + l$ + li~ ^2-МФ = 0' A2.3.76)
где
Решение, согласно формуле A2.3.7), имеет вид
^^^ A2-3-77)|

€66 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
с соответствующими энергиями
Заметим, что мы не можем сказать, что частица 1 имеет определенную
энергию и частица 2 имеет некоторую определенную энергию, как мы могли
бы это сделать, если бы константа взаимодействия С была равна нулю.
Здесь квантовые числа т и п оба относятся к обеим частицам.
Все уровни поднимаются при взаимодействии на величину, равную
разности между %ю+{п-\-1/2) и Ью{п-\-1/2) (последняя величина являлась
бы значением уровня, если бы здесь не было взаимного притяжения).
Наименее измененными состояниями являются те, в которых п = О, что
соответствует малой амплитуде движения в направлении оси tj; частицы
при своих колебаниях движутся более или менее вместе. Взаимодействие
уничтожает вырождение уровней. ПриС = 0 n-ik уровень имеет(лг+ 1)-кратное
вырождение; при малом, но не равном нулю С, уровни больше не налага-
налагаются друг на друга, но распределяются равномерно между наинизшим из
них %ш{п +1/2)" + fao+/2 и наивысшим hw/2-\-%w+(n+ 1/2).
Заметим (это будет иметь значение в дальнейшем), что состояния могут
различаться по их симметрии относительно перестановки частиц. Состоя-
Состояния с четными значениями п не изменяются, когда х и у меняются местами
(т) меняет знак), в то время как при нечетном целочисленном п от пере-
перестановки х ж у функция ф меняет знак. Говорят, что первые состояния
имеют четную симметрию, вторые—нечетную симметрию. Заметим
также, что взаимодействие не оказывает влияния на функцию или энер-
энергии для координаты ?.
Поля центральных сил, несколько частиц, момент количества движе-
движения. Поведение нескольких одинаковых частиц в поле центральных сил
при наличии сил взаимодействия между частицами является наиболее
интересной проблемой этого рода, так как решение этой проблемы обри-
обрисовывает нам с очень хорошим приближением положение дел в атоме со
многими электронами и с полезным (хотя и не очень точным) приближе-
приближением положение дел в ядре со многими частицами. Уравнение Шредингера
без учета потенциалов взаимодействия имеет вид
N N
[2 V'4-e- ^ о(гп)]ф = 0. A2.3.78)
тг=1 и=1
Если нет взаимодействия, то можно указать определенную энергию для
каждой частицы, причем полная энергия системы равна сумме энергий
отдельных частиц, а волновая функция равна произведению функций ф для
отдельных частиц.
Последнее, однако, не обязательно; если мы обменяем между собой
энергии и функции ^ какой-либо пары частиц, полная энергия остается
прежней; система имеет (./У!)-кратноё вырождение, связанное с обменом
состояниями между частицами. Но, как и в случае любого вырожденного
состояния (см. стр. 623), мы не обязаны выбирать именно эти фактори-
зованные функции в качестве собственных функций; собственной функцией
будет также любая линейная комбинация iV! функций для одного и того
же значения г; эти комбинации желательно выбрать так, чтобы они были
«подходящими» для сил взаимодействия, которые в конечном итоге будут
приложены. Если мы принимаем во внимание взаимодействие, мы, конечно,
не можем сказать, что частица с номером п имеет определенную энергию;
псе, что здесь можно сказать, это то, что система как целое имеет энер-
энергию s. (Заметим, хотя входить в детали вопроса мы здесь не можем, что

12.3. Решение уравнения Щредингера
667
для некоторых частиц принцип Паули значительно уменьшает это вырожде-
вырождение добавлением требования, чтобы ф меняло знак при перестановке час-
частиц.)
Те же замечания можно сделать относительно моментов количества
движения. Факторизованные решения уравнения A2.3.78) соответствуют
тому, что каждая частица имеет определенный полный момент количества
движения, отмеченный квантовым числом 1г (см. стр. 612), и определенную
составляющую этого момента вдоль полярной оси, соответствующую кван-
квантовому числу т-г. Однако в действительности, если принять во внима-
внимание взаимодействие, отдельные частицы не имеют определенных моментов
количества движения; в этом случае можно сказать только, что N частиц,
рассматриваемые как целое, имеют суммарный момент количества движения,
Рис. 12.9. Углы, встречающиеся при вычислении суммар-
суммарного момента количества движения системы.
заданный квантовым числом /, и что составляющая вдоль полярной оси
этого момента равна hm. Интересно найти, какие комбинации факторизо-
ванных функций Л соответствуют данным 1шт или, что равносильно (см.
стр. 627), в каких системах координат мы можем отделить оператор сум-
суммарного момента количества движения.
Одна из возможных систем координат, правда, не такая симметричная,
как хотелось бы, но в данный момент удовлетворяющая нас, определяется
следующим образом. Направление радиуса-вектора гг одной из частиц при-
принимается за новое направление полярной оси. Это направление опреде-
определяется углом 0 = &г между гх и прежней полярной осью z и углом Ф = <pj
между плоскостью (rl7 z) и плоскостью (х, z) (см. рис. 12.9). Направление
радиусов-векторов ги остальных частиц определяется относительно радиу-
радиуса-вектора тг и плоскости (г1? г2) (г2 — радиус-вектор второй выбранной
нами частицы); угол между плоскостью (г15 г2) и плоскостью (гх, z), обо-
обозначаемый через W, определяет вместе с углами 0 и Ф общую ориентацию
новой системы в пространстве. Три угла 0, Ф и W являются эйлеровыми
углами системы [см. A.3.8)].
Ориентация радиуса-вектора гп определяется углом 6П между г„ и г1
и углом фп между плоскостью (г2, ту) и плоскостью (г„, г2). Соотношения
между этими углами и обычными сферическими углами &п, <рп, определяю-
определяющими ориентацию г„ относительно оси z и плоскости (х, z), имеют вид
cos &2 = cos в cos 62 -f- sin В sin 62 cos W,
sin &2 sin (cp2 — Ф) = sin 62 sin W,
A2.3.79)
cos b-n = cos в cos Ьп -\- sin fc> sin bn cos (W + фп),
sin &„ sin (cpn - Ф) = sin 6n sin {W + фп), п > 2.
После довольно сложных вычислений все координаты rn, &n, tpn могут быть

ё()8 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика.
выражены через новые координаты гг, г2, ..., rN, Ф, в, ЧГ, Ь2, в3, ф3, ...
.... ®n, ^n и волновое уравнение A2.3.78) может быть преобразовано к этим
координатам. К сожалению, новые координаты не будут взаимно ортого-
ортогональными, так что полученное уравнение будет несколько громоздким.
Однако является существенным, что часть его, содержащая углы Эйлера
в, Ф, W, отделяется и может быть решена сама по себе.
Однако более простой путь получения уравнения для множителя вол-
волновой функции, зависящего от углов Эйлера, состоит в том, чтобы выра-
выразить компоненты суммарного момента количества движения в виде опера-
операторов относительно новых координат (см. стр. 612). Окончательно получим
Уравнение для собственных значений В и собственных функций Г опера-
оператора сМ2/Ь.2 имеет тогда вид
A2.3.80)
Углы Ф и W циклические и множители, соответствующие им, являются
тригонометрическими функциями целочисленных кратных Ф и W. Как при-
принято в квантовой механике, мы предпочитаем ввести комплексную экспо-
экспоненту и положим
где т,к — любые целые, положительные или отрицательные числа.
Уравнение, остающееся для Н, может быть переведено в гипергеометри-
гипергеометрическое уравнение, если положить
где d — абсолютная величина разности квантовых чисел \т — к\, а s — абсо-
абсолютная величина суммы |лга + А:|. Тогда, если положить z = (l/2)(l—cos6) =
= sin2 (в/2), уравнение для F принимает вид
где
d—\m — k\, s = \m + k\.
Это — обычное гипергеометрическое уравнение. Решение, конечное при в = 0,
дается рядом F (a, b\l + d\z); второе решение тогда бесконечно. Однако этот
ряд обращается в бесконечность при в = тс (z = 1), если ни одно из чисел о
или b не равно целому отрицательному числу —v; следовательно, конеч-
конечными решениями уравнения A2.3.80) являются только
-|-^JF [-v, l + d + s + v| l + d\ sin2(-|-

12.3. Решение уравнения Шредингера 669
при соответствующих значениях В — собственных значениях оператора
= O, 1, 2, ...,
что доказывает, что квадрат суммарного момента количества движения
всех частиц в случае центральной силы (с учетом взаимодействий, если
они имеются) равен Ъ,ЧA + 1), а проекция его на ось z равна Km. Вели-
Величина (d + s)/2 является большим из целых чисел \т\ и |А|.
Чтобы свойства этих собственных функций сделать более ясными, вы-
выразим их через число I. Сначала мы предположим, что т положительно:
при отрицательных значениях т мы можем рассматривать функцию, ком-
комплексно сопряженную полученной. Тогда при данных т и I будем иметь
21 +1 различных собственных функций, так как к может принимать зна-
значения от +1 до —I. Если |&|<те, функции имеют форму
При I > к > m они принимают вид
r(mh = iTnO+ifeirsinft(e)ctgm(|-)F[/c-i, I + fc+ilfc-m+llsm
A2.3.81)
в то время как при — I < к < — т имеем
Г 1пЛ = 幫л- sin-fe (в) tgm (!) F[-k-l,l-k+l\m-k+l\ sin* A) ] .
Для получения полного решения урайнения A2.3.78) нужно составить ли-
линейную комбинацию произведений этих функций от Ф, в и W на функ-
функции от гх, г2, .. . , rN, 62, 63, ... , 6^,, фъ, фА, ... , <}>N. Если даже доба-
добавить в уравнение A2.3.78) потенциалы взаимодействия, чтобы получить
полное уравнение Шредингера для системы, эти взаимодействия будут
зависеть только от значений гп и от углов относительного положения
°2' ¦ ¦ • > &v> н0 не от *• ®i 1Р> так что множители Г остаются прежними,
хотя другие множители изменяются под влиянием взаимодействий. Тем не
менее множители Г не являются вполне правильными множителями, вхо-
входящими в окончательное решение, если «включается» взаимодействие.
Правильными множителями, входящими в это решение, будут линей-
линейные комбинации функций Г, классифицированных относительно 1) их
поведения при инверсии системы координат и 2) их симметричности или
антисимметричности при перестановке какой-либо пары частиц. Так как
потенциалы взаимодействия инвариантны относительно инверсии и сим
метричны при перестановке какой-либо пары частиц, окончательная вол-
волновая функция <J> всегда может быть выражена через собственные функции,
которые будут четными или нечетными относительно инверсии и сим-
симметричными или антисимметричными относительно перестановки частиц1).
*) Утверждение авторов, что собственная функция обязательно будет симме-
симметричной или антисимметричной относительно перестановки частиц, справедливо
только для систем из двух одинаковых частиц. В случае большего числа одинаковых
частиц возможные типы симметрии волновой функции не исчерпываются симметрией
или антисимметрией. Возможные типы симметрии описываются так называемыми
схемами Юнга. Принпип Паули, требующий антисимметрии, полной (включающей и
спиновые переменные) волновой функции системы, ограничивает типы симметрии ко-
координатной части волновой функции (допуская только схемы Юнга не более чом
с двумя столбцами). —Прим. ред.

670 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
Инверсия и четность. Операция инверсии определяется как замена всех
координат каждой частицы противоположными им по знаку величинами, т. е.
Операция инверсии равносильна переходу от обычной правой системы
координат к левой системе. Взаимодействия, которые зависят только от
расстояний между частицами, будут, конечно, инвариантными при таком
преобразовании, так что, если ф (г1; г2, .. .) является решением уравнения
Шредингера, тоф(—г1} —г2, ...) будет также решением с той же энергией
и с теми же квантовыми числами момента количества движения. Так как
существует только одно такое решение, то обе функции ф должны быть,
пропорциональны друг другу:
ф(г1; г2, ...) = оф(-г1, -г2, ...).
Применяя операцию инверсии к обеим частям этого равенства, найдем:
а2 = 1, так что а= ±1. Если
ф(г17 г2, ...)= — Ф(—ri. —г2, .-,.),
то говорят, что волновая функция является нечетной, в то время как
в случае сохранения знака при инверсии функция является четной.
Волновая функция ф состоит из суммы произведений функций Г ш
функций от расстояний между частицами. Таким образом, выбор правиль-
правильных линейных комбинаций функций Г фиксирует четность. Для опреде-
определения их следует отметить поведение углов Эйлера при инверсии
Примеры подходящих линейных комбинаций в случае, когда 1 = 1, будут
даны ниже.
Симметризация для систем, состоящих из двух частиц. Процесс сим-
симметризации обычно довольно утомителен. Как он протекает, можно иллю-
иллюстрировать рассмотрением случая двух частиц. Здесь обмен частиц 1 и 2
заменяет в через &2 и Ф через <р2, где г2, &2 и ср2 — координаты частицы 2:
в сферической системе координат. Решение уравнения
должно быть выражено как линейная комбинация произведений функций
Г и функций / от гх, г2 и 62 = &12. Так как г\г — г\ -+- г\ — 2/у2 cos &12, мы
видим, что полная потенциальная энергия совершенно не зависит от Ф, f)
и W. Мы должны найти дифференциальное уравнение для множителей /,
для каждой надлежащей комбинации функций Г.
Наиболее легкий способ достигнуть этого состоит в том, чтобы рас-
рассмотреть, что происходит, когда w стремится к нулю, и сравнить резуль-
результаты с формой функций Г. В этом случае решение должно быть линейной*
комбинацией произведений одночастичных волновых функций, имеющих
общую форму
в = eimm+imew/*»! (cos »i) Р™* (cos Ьг) Rnih (n) R^h (Га),
т. е. выражений типа, рассмотренного на стр. 666 и следующих. Рас-
Рассмотрим сначала случай I = 0 (суммарный момент количества движения
равен нулю). Здесь функция Т является постоянной и не зависит от Ф, в*
и 'Г, так что полное решение, которое является линейной комбинацией
функций и при w = 0, должно быть функцией только от 02 = &12, rt и г2..

12.3. Решение уравнения Шредингера 671
Такая функция имеет вид
и» = 0, A2.3.82)
и соответствует двум частицам, имеющим равные, но направленные в про-
противоположные стороны моменты (I2 = h', ma — ~mx)> так что суммарный
момент количества движения равен нулю. Конечно, мы могли бы вос-
воспользоваться комбинацией таких функций для различных значений ix,
но различные значения lt соответствуют различным энергиям даже в слу-
случае отсутствия взаимодействия.
Следовательно, только функция, приведенная в равенстве A2.3.82) для
данной невозмущенной энергии smiin&i имеет суммарный момент количе-
количества движения, равный нулю; это имеет место только для тех невозмущен-
невозмущенных энергий, для которых I2 = lv Отправляясь от формы функции /°, мы
видим, что дифференциальное уравнение для / в случае, когда I = т — 0
(Г постоянно, ф = /°), имеет вид
п»12 т™ (sinSl2 aw +
+ [e-v{r1)-v(ra)-w{rvt)]f° = O; A2.3.83)
это уравнение остается в силе даже в случае, когда w не равно нулю.
Конечно, при иифО /° не будет больше пропорциональной i3j1(cos&12);
зависимость от 812 является более сложной, так как w(r12) зависит от Я12.
У нас ф° оказывается симметричной по отношению к перестановке ча-
частиц 1 и 2 для всех состояний; она не зависит от угла 9г~9и измене-
изменение которого на противоположный меняет местами частицы пары.
Обращаясь теперь к случаю 1=1, мы имеем девять возможностей
m== 1 е4ф+«'A + со8 0) e^sin© е{ф-{чг A — c(
ra = 0 eivi'sin0 cos© e~
m = — 1 e-M'+i* (l _ Cos 0) е~1Ф sin 0 e-«*-i
Вместо того чтобы классифицировать решения по значениям к, мы
будем различать их в соответствии с их четностью и абсолютной величи-
величиной к. Такими решениями будут:
|&| = 1, четные |/с| = 1, нечетные /с = 0, нечетные
т = 1 е1ф [cos I* + i sin W cos 0] е1Ф [i sin ? + eie> sin 0
+ cos W cos 0]
m = 0 sin W sin 0 cos W sin 0 cos 0
m——\ e-i*[cos4r — isin Wcos©] e-i*[isin43'— e-^sin©.
— cos ll" cos 0]
Для данного т окончательное выражение для симметричных и анти-
антисимметричных волновых функций может содержать линейные комбинации
волновых функций только одинаковой четности. Заметим также, что, так
как мы имеем девять независимых состояний, мы должны после симмет-

672 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
ризации иметь точно девять независимых волновых функций. Возвращаясь
к векторному описанию, мы можем сказать, что эти девять состояний (или
их линейные комбинации) соответствуют моментам количества движения
двух электронов, которые ориентированы друг относительно друга так,
что для суммы векторов 1 — 1. Это может произойти в трех случаях: от-
отдельные значения I равны и не антипараллельны; lt = Z2 + 1 и два вектора
антипараллельны; наконец, lt = 12 - 1 и два вектора антипараллельны.
Для каждого из этих трех случаев имеем три ориентации суммарного
момента количества движения относительно оси z.
Начиная с тройки, соответствующей случаю т — 0, мы сначала берем
четную волновую функцию sin W sin в. Мы смотрим, можно ли найти ре-
решение вида ф = sin Ч?" sin в / (в2, гг, г2), которое может быть разложено
(при w = 0) на множители типа и. Соответствующая комбинация имеет вид
ф° = sin W sin в P}t (cos 62) Rnill fa) #nill fa) =
= sin &x sin &2 sin (<р2 — <рх) Д_j (cos 62) Rnih fa) R^Jl fa).
Но, согласно формуле сложения полиномов Гегенбауэра, имеем
h
Sin(<P.2-«p1)ni_1(cos62) = 2 ^ "
X T^_mi (cos &,) ymifni (cos »a) sin [mx (9i -
Следовательно, подходящая комбинация для w — 0 имеет вид
sin W sin 6/° = sin W sin вР\г (cos &12) i?niJl fa) RnJl fa) =
=2 S ^й^^1(СО8&1)^1(СОй^^
и соответствующее уравнение для / (&12, ги г2) (даже при w Ф 0) имеет вид
"¦ v r\ + rj у L sin »„ a»12 V 12 a»12 у
[e ~ v (ri) ~ щ {г*] ~ w (/2)] f = °' A2-3-84)
что отличается от уравнения A2.3.83) при 1 = 0 членом, содержащим
sin~2&12. Эти функции соответствуют случаю, когда обе частицы имеют
одно и то же 1, с суммой векторов, равной единице, и с нулевой состав-
составляющей вдоль оси z. Так как функция меняет знак при перемене знака
<р2 — «рг, то она антисимметрична относительно перестановки частиц.
Другая пара функций при т = 0 более сложна, почему мы особо рас-
рассмотрим функцию, соответствующую перестановке частиц / = /(&i2. гг, гх).
Чтобы сократить уже достаточно длинное рассуждение, мы указываем ре-
результаты без подробных доказательств. Составляем комбинацию, являю-
являющуюся нечетной:
2, rlt r2)'+cos912/(&12, r2, rj] + sin 0 cos W sin &12/ (&12, rt, гг).
В случае когда w=0, можно положить /° (812, г1( га) =
= Рц (cos &12) i?j (rx) i?2 (г2); в этом случае после небольших преобразований
получаем
ф° = cos V>i, (cos »iaJ R, fa) R2 fa) + cos 02Р,а (cos 012) R2 fa) Rt fa) =
= FA, 2) + F B,1),

12.3. Решение уравнения Шредингера 673
где
h
l, 2)= ^ -лгГХТГ008 К (*i-?2)] ^ (COS 8г) X
mi=o ^~г^
х [ ^iSrar1 *&«(cos &^ + d,(+^i)i ^(cos ^
a F B, 1) получается отсюда заменой &1? <рх и /-j через d2> <p2 и г2. Это,
очевидно, является комбинацией состояний с антипараллельными момен-
моментами количества движения частиц, где одна или другая частица имеет I
на единицу больше или на единицу меньше, чем другая; требования сим-
симметрии перемешивают обе возможности. Очевидно также, что эти функции
не изменяются при перестановке частиц. Уравнение для /(&,2, >Ч,'г) B этом
случае содержит член с обращенной функцией / = /(Ф12, г2, гг):
1 д(г*д*Л+( i + 4 ^ 1 — fsin
п дГ2 V*dFj+ l7f +7f )sm»12а»,Л
й+[—о(Г1)-|'(г-)-в'1/!=0- A2-3-85)
Третья комбинация, антисимметричная относительно перестановки
частиц и снова нечетная, имеет вид
<J> = cos в [/ — cos &12/] — sin в cos Ч?" sin &12/
и при w = 0 сводится к
COS &J /»12 (COS &1а) /?х (Гх) /?„ (Г2) — COS &2 Ph (COS &l2) i?2 (rj /?! (r2).
Уравнение для / (при гюфО) имеет теперь вид
JL д
df^ 4- Г 1
sin
A2.3.86)
что снова соответствует состоянию, в котором одна частица имеет момент,
на единицу больший или на единицу меньший чем другая'; проекция
суммарного момента количества движения на ось z равна нулю. Уравне-
Уравнение для / отличается от уравнения A2.3.85) только знаком перед чле-
членом, содержащим df/db12.
Остальные шесть состояний могут быть скомбинированы подобным
же образом; ниже мы выписываем сводку результатов
<]>llg =е4ф[/118 sin в +/не (sin0cos.8lg4-ishi\Psin&la_|-cosecos tPsin&12)] =
= e*« sin bjlu + e^ sin в JUl,
Фив = ein sin Vila - eitp2 sin &2/]la,
'Kio = e** (cos M" —l cos 0 sin W) /no =
_ _ (eiw sjn g.^ cos §2 _ ein cos &x sin &2) cosec 912 /110,
*ios = /ioscos9 + 7ios (cos 0 c°s &i2 + sin 0 sin &i2 cos 40 = c°s »i/iOi + cos 92710s,
Фюа = COS &l/loa - COS &27ioai
Фюо =sinWsine/l00,
Ь. -и = Фив. Ф1,-ю = Фиа. Фь-io = Фио". A2.3.87)

674 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
первый индекс у ф дает значение суммарного момента количества движе-
движения I, второй—его компоненту т вдоль оси z, а последний—свойства симмет-
симметрии ф. Множители / с последним индексом 0 являются решениями урав-
уравнения A2.3.84), а с индексом а—удовлетворяют уравнению A2.3.86);
соответствующие функции ф антисимметричны относительно перестановки
частиц. Множители / с последним индексом s удовлетворяют уравнению
A2.3.85), а соответствующие ф симметричны относительно перестановки
частиц. Однако эти функции видоизменяются, если частицы имеют спины,
которые также взаимодействуют.
Исследование при I > 1 остается в основном тем же, но становится
несколько более утомительным. При 1 = 2 имеем 25 различных функций,
соответствующих случаю, когда сумма векторов моментов количества
движения одной частицы равна 2 с пятью различными ориентациями сум-
суммарного момента относительно оси z. Такая результирующая может полу-
получиться, если частица 2 имеет 12, лежащее между 1г—2 и ^ + 2, что и дает
5x5 состояний. Истинные решения являются различными их линей-
линейными комбинациями, а уравнения для соответствующих / (812, i\, r2) все не-
неразделимы, если взаимодействие w (r12) ф 0. Соответствующее исследование
для более чем двух частиц будет утомительнее.
Связанные, свободные и «поверхностные» состояния. Во многих слу-
случаях, представляющих интерес, члены, содержащие потенциальную энер-
энергию v(rn) и w(rmn), стремятся к нулю при больших значениях радиаль-
радиального аргумента. Положение подобно рассмотренному на стр. 657 и следу-
следующих, но только пространство конфигураций, соответствующее функциям
ф, будет ЗЛ^-мерным. Для положительных энергий допустимы все значе-
значения, и большая часть состояний соответствует тому, что все частицы
являются свободными, движутся из бесконечности, отражаются от по-
потенциальной «ямы» вблизи начала координат и удаляются обратно
к бесконечности. Возможные состояния соответствуют «плоской» волне
ехрB *k«"rn) Для падающей части при энергии г = ^_к%. Если члены вза-
взаимодействий w равны нулю, каждая частица подвергается действию только
своего собственного потенциала v(rn), что отвечает отражению пло-
плоской волны от каждой из 3/V —3 гиперповерхностей, соответствующих
тому, что каждая из частиц по очереди проходит через начало. Эти гипер-
гиперповерхности занимают место «зеркал» в прежнем примере.
В дополнение к «наклонным» волнам, когда каждая частица свободна,
здесь встречаются «поверхностные» волны, соответствующие случаям, когда
одна или несколько частиц находятся в связанном состоянии; эти волны
сосредоточены вблизи того или другого гиперповерхностного «зеркала» из
числа упомянутых в предыдущем абзаце. Энергия е этих поверхностных
волн может быть положительной, а также и отрицательной, когда энергия
связи связанных частиц (являющаяся отрицательной) численно больше
суммы кинетических энергий свободных частиц. Следовательно, для части
отрицательной области энергия имеет непрерывные допустимые значения.
Эти состояния поверхностных волн всегда вырождены, так как связанной
может быть какая-либо одна частица, а остальные свободны. Однако до
тех пор, пока мы пренебрегаем взаимодействиями, эти состояния «не пере-
перемешиваются»; если одна из частиц вначале была связанной, она остается
связанной. Наконец, существуют строго дискретные уровни энергии, соответ-
соответствующие состояниям, в которых все частицы связаны. [Иногда этих состояний
нет, как, например, для кулоновского поля Ze2/r с несколько большим коли-
количеством электронов, чем значение Zrhh поля.] Эти связанные состояния имеют
волновые функции, которые велики только вблизи начала координат;
значения энергии этих состояний отрицательны, хотя некоторые из этих
дискретных уровней (для нескольких частиц в высших связанных состоя-

12.3. Решение уравнения Шредингера
675
ниях) могут быть выше возможных непрерывных уровней для некоторых
из поверхностных волн. До тех пор пока нет взаимодействий, ни одно из
этих состояний не «смешивается» с другими.
Введение членов, содержащих взаимодействие w, добавляет дополни-
дополнительные «зеркала», расположенные вдоль тех гиперповерхностей, которые
соответствуют двум частицам, совпадающим по своему положению. Как
и в случае простой задачи, рассмотренной раньше, эти дополнительные
члены сразу «перемешивают» предыдущие состояния. Такое «перемешива-
«перемешивание» может произойти либо благодаря новым отражениям от этих допол-
дополнительных зеркал (одна частица обменивается состоянием с другой), либо
благодаря возможности перехода «наклонных» волн в «поверхностные» (одна
частица переходит в связанное состояние, отдавая излишнюю энергию дру-
другой частице) или наоборот, либо, наконец, благодаря возникновению допол-
дополнительных «гиперсферических расходящихся» волн, идущих от ЗЛ"-мерного
Рис. 12.10. Геометрическое построение, связывающее
R и а с г1у г2 и в12.
начала координат [все частицы перераспределяют свои кинетические энер-
энергии, приобретая новые волновые числа к'п, подчиненные только условию
2 (*»Т= 2 (*»)¦ = *]¦
Это характерное поведение может быть иллюстрировано с помощью
модели из двух частиц, рассмотренной в двух предыдущих пунктах. Часть
функции Л, зависящая от углов Эйлера, может быть отделена, так как она
определяет ориентацию системы в пространстве, а не относительную ориен-
ориентацию двух радиус-векторов. Этот множитель у является линейной ком-
комбинацией функций, определенных в A2.3.82). Множитель /, зависящий от
длин радиус-векторов rt и г2 и угла между ними &12, изменяется, когда
«включаются» силы, действующие между частицами. Отметим, что если
пренебречь членом взаимодействия w, то этот множитель превращается в про-
произведение сферической функции от cos&12 и радиальных функций от гх и г2.
Волновую функцию можно описать несколько лучше, если перейти
к гиперсферическим координатам R и а, таким, что r1=i?cosa, r2 = i?sina.
Множитель / будет тогда функцией от R, 2a и &12. Геометрическая связь
символически изображена на рис. 12.10, где 2а изменяется от 0 до ¦к, как
и &12, так что нам достаточно только четырех октантов. Построение, нужное
для получения г1 и г2, показано на рисунке: если один из них расположен
на линии ОР, а другой на 00, то расстояние между их концами равно гЛ2.
В этой геометрической схеме связанные состояния имеют множители /, оста-
остающиеся малыми везде, кроме точек, близких к началу координат; «поверх-
«поверхностные» волны сосредоточены вблизи полярных осей 2а = 0, 2а = тс; силы
взаимодействия велики вблизи линии 2а = тт/2, &12 = 0 (линия ОР). Однако
геометрическая схема только символична, так как масштабные множители для
этих координат не соответствуют действительным масштабным множителям.

676 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
Функция Грина для системы двух частиц. Для того чтобы продолжить
изучение поведения системы двух частиц в центральном силовом поле
при наличии взаимодействия, необходимо найти функцию Грина для двух
частиц при отсутствии центрального поля и взаимодействия. Для этой
цели нужно решить шестимерное неоднородное уравнение Гельмгольца
[Vl + Vl + k*]G= _6(ri-r08(r2-r;).
Наиболее «физической» системой координат для выражения G будет
система Ф, в, W, &12, а и i?, содержащая углы Эйлера, рассмотренные
несколькими страницами раньше. Но эти координаты не ортогональны;
лучше сначала разложить G в ортогональных координатах, а после разло-
разложения, если нужно, изменить полученные ряды.
Наиболее употребительной ортогональной системой, не слишком отли-
отличающейся от системы с углами Эйлера, а также не слишком отличающейся
от системы, применяемой в случае, когда частицы рассматриваются отдельно,
будет гиперсферическая система для двух частиц, определенная следующим
образом:
х1 = г cos a sin Ьг cos 9ц хг = г sin а sin &2 cos <p2,
y1 = r cos а sin &2 sin <рг, yz = r sin а sin &2 sin <p2,
z1 = rcosacos&1, z2 = г sin a cos &2,
hr = l, ha = r, As =r cos a, h9 = r cos a sin &lf
/г8 = r sin а, /гФг = r sin a sin &2, rt = r cos a, r2 = r sin a,
r12 = r \/ 1 — sin 2a [cos bx cos &2 -f sin &2 sin &2 cos (<pj — <p2)].
A2.3.88)
Элемент объема d этих координатах имеет вид
г5 sin2 a cos2 a sin ffx sin Ф2 dffx dfs% dyx d®2 da. dr,
площадь поверхности гиперсферы радиуса г равна ъ3г5, а уравнение Гельм-
Гельмгольца преобразуется к виду
1 Г 1 д f . йф Ч 1 дЦ -1
г2 cos2 a L sin»! 3»! V.Sm * 5»x ) + sin2 »x d?? J
Зависимость функции ф от величин <р и & хорошо известна; соответст-
соответствующие множители являются сферическими функциями с квантовыми чис-
числами 1г, тх, 12, т%, и результаты операций в квадратных скобках равны
соответственно ?1(?1i-l)tl' и ?2(?2+1)Ф. Уравнение для множителя, зави-
зависящего от о, имеет вид
что может быть преобразовано в уравнение для гипергеометрической функ-
функции от sin2a. Решение, конечное при а = 0, а также соответствующее зна-
значение постоянной разделения В имеют вид
A = cos*iasin*2aF С — п, l1 + li + n-{-2 Iz + y sin2aj, M2 3 90t
B={l1 + la + 2n){l1 + li + 2n + 4),
где п должно быть равно нулю или положительному целому числу, так

12.3. Решение уравнения Щредингера
677
как А должно быть конечным при а = тс/2; в этом случае F является ко-
конечным полиномом {полиномом Якоби) с п -\-1 членами.
Окончательное уравнение для радиального множителя функции ф имеет
вид
и его решения выражаются через функции Бесселя г-2 Ji1+i2+2n+2 {kr)
или r~2 Ni1+i2+2n+2 {kr). Следовательно, полное решение уравнения A2.3.89),
конечное при г = 0, имеет вид
COS
sin
?x (cos &,) LOb (то, ф„) РГ (cos &.,) cos'i a sin1* a x
1 " sinч 2 rl 2 v "
(
— п,
+ /г + 2
]
sin2 а J -?
Для расходящихся волн мы пользуемся функцией Ганкеля 7/г"+г2+2п+2 {кг)
вместо функции J; в этом случае 6, очевидно, бесконечна при г = 0.
Функция Грина может быть выражена через шестимерное расстояние i?
между источником и наблюдателем, определенное равенством
— 2rr' cos a cos а' [cos Ь1 cos 8-^ + sin &2 sin &x' cos (yx — 9^
— 2rr' sin a sin a' [cos 82cos&2+sin &2sin^2C0S (9a
Очевидно, что
ik°-
A2.3.91)
Нас интересует также выражение G в координатах наблюдателя г, а, ...
...,*р2 и координатах источника г', а', . .., <р2 относительно произвольного
начала и произвольной полярной оси. Это выражение может быть полу-
получено методом, намеченным в гл. 7. Оно имеет вид
77:
16я
X
X
B^ +
X cosJi a si
+ 1)
X
п, 1г + 1г -f n + 2
sin2 a j X
— п,
X
cos
- ^)] cos
X
— 9^I X
X Pi? (COS &x) Pi? (COS &{) P^2 (COS &,
4
cos &„;)} X
Г < 7-'
Отсюда можно получить выражение для «плоской волны»; пусть, напри-
например, частица 1 движется вдоль оси zx из — со с волновым числом

678
Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
kt = Mv^h = k cos p, а частица 2-е волновым числом &2 = Mv.2/h = /с sin p
в направлении 6 в плоскости х2, z2. Поместим источник в точке г'—¦» со,
а' = р, &i = — те, &2' = — 6, <р2' = тг и сравним выражения A2.3.91) и A2.3.92):
exp [ikr cos p cos a cos Ь1 -f ikr sin p sin a (cos 6 cos &2 + sin 6 sin &2 cos ©2)] =
(- -1)" *I
+
f i) x
)! Г
X
X
X cos*1 a' sin'* a'/? ( — n, l±+l2 + n-{-2 l2r-y sin2^ j
cos'i я sin's a
x
. A2.3.93)
Пользуясь функциями Грина в каком-либо интегральном уравнении, мы
часто имеем дело только с решениями данной симметрии или данной
ориентации; в таких случаях следует пользоваться только той частью G,
которая имеет сама соответствующую симметрию или ориентацию. Так как
все собственные функции в формуле A2.3.92) принадлежат ортогональной
системе, другие члены входить не должны. Это свойство рядов полезно
в частности, когда мы имеем дело с функциями данного суммарного мо-
момента количества движения; мы можем тогда отобрать только часть ряда,
соответствующую данным I и т и пользоваться ею одною.
Например, из равенства A2.3.82) видно, что функция, для которой
суммарный момент количества движения равен нулю, имеет форму
PJl(cos&12)i?1G-1)/?2G-2). Поэтому часть G, для которой 1 = 0, соответствует
той части суммы при 1^ = 1^, т2==т1, которая симметрична относительно
X (sin a' cos a')'i F ( -n,2lj4n-f2
X F
lt -f -—
sin2a' . (sinacosa)*i X
.
п,211 + п + 2 /х + -f | sin2a ) Ph (cos&x'2) Ph (cos &;
X
X
_x ч / __x v /ш r ,
здесь частная сумма не зависит от углов Эйлера Ф, в и W. Заметим, что
г
г
F
С—п, п
21
Л-—
sin2a j =
(п+И+1)!
-Тп 2 (cos 2a).
Подобные частные- суммы можно составить для других значений I и пг, вос-
воспользовавшись, например, комбинациями A2.3.87). Каждая из этих част-
частных сумм является комбинацией фУнкций от Ф, в, XV, умноженных на
функции от a, a', &12, &j2, r и г'. В некоторых случаях мы должны поль-
пользоваться функциями для переставленных частиц. Это достигается переста-
переста& 2
новкой
j,
р
с &2, <рг и заменой а на тс/2 — а, что переставляет rt и

12.3. Решение уравнения Шредингера 679
В таких случаях мы можем воспользоваться соотношением
F ( — п, 1Х +12 -f n + 2 lz +
3
2+
чтобы найти правильную комбинацию.
Иногда применяется также несколько иное представление функции
Грина, а именно представление с помощью интеграла Фурье. Методами,
уже хорошо нам знакомыми, находим
q-tf ^...а:2, A2.3.94)
где шестикратное интегрирование производится по составляющим ?lt %, d,
?2, т]2, С2 волновых векторов по прямоугольным осям. Этот интеграл, если не-
необходимо, можно преобразовать к гиперсферическим координатам с помощью
равенств A2.3.88); в этом случае обычно удобно преобразовать также и
пространство волновых векторов к гиперсферическим координатам с «радиу-
«радиусом» •/. и пятью углами.
Связанные состояния. Для связанных состояний мы должны найти
и допустимую энергию и соответствующую волновую функцию. Для рас-
расчета энергии можно воспользоваться вариационным методом. Мы можем
тогда улучшить форму волновой функции, воспользовавшись результатами
вариационных расчетов в интегральном уравнении для <1>, применяя функ-
функцию Грина (см. гл. 9). Интеграл, минимум которого мы ищем, для двух
частиц имеет вид
Минимальное значение Н для нормированной волновой функции <р равно
допустимому значению энергии.
В качестве простого примера можно рассмотреть атом с зарядом ядра,
равным Ze, имеющий два связанных электрона в их наинизших состоя-
состояниях. В этом случае v(r)— Zq2/r и w (r12) = ф/гхг, где g2 = 2Me2A2,
е — заряд электрона. Очень простая волновая функция для этого состояния
имеет вид
Y я
Эта функция уже нормирована. Так как f симметрична, часть интеграла,
соответствующая кинетической энергии, равна
Т = - 2 С ... \ ©V*<p dv1 dvz = 2^2.
Среднее потенциала ядра равно
V = -2Zqz ^ ... ^j- <p2 dv1 dvz = - 2nZq2.
Интеграл для потенциала взаимодействия получается с помощью разложе-
разложения 1/г12 в ряд по сферическим функциям
Поскольку волновая функция не зависит от &12, в интеграле играет роль

680 Г— 12. Диффузия. Волновая механика
только первый член этого ряда, так что имеем
Следовательно, Я = 2^.2 —2p-g2(Z —5/16); наилучшее значение ц является
корнем уравнения dH/dp = O и оно равно р-= A/2)#2(Z —5/16); наилучшее
значение энергии наинизшего связанного состояния, которое может, быть
получено при этой простой форме пробной функции, равно
Это действительно дает достаточно хорошее приближенное значение энер-
энергии, несмотря на явную недостаточность пробной функции. Измеренные
значения энергии для наинизших состояний системы с двумя электронами
при Z = 2, 3, 4, 5, 6 (Не, Li*, Ве++, В+++, С++++) в единицах - Ме*/К* равны
-2еэксп. =5,807; 14,560; 27,313; 44,065; 64,813,
в то время, как соответствующие значения из выражения A2.3.95) равны
-2s = 5,695; 14,445; 27,195; 43,945; 64,695;
почти постоянная разность дает ошибку меньше двух процентов для
Z = 2 и меньше 0,2% для Z = 6. В действительности чрезвычайно хорошим
выражением для а было бы —A/2) (Z—5/16J - 0,120.
Мы можем теперь подставить это приближенное выражение для ф
в правую часть интегрального уравнения, образованного с помощью функ-
функции Грина, полученной в предыдущем пункте,
ф (г) = - J • • • [ [v (К) + v К) + w (г;,)] ф (г') GV7 (г | г') dv[ dv'v
где г, г' — шестимерные векторы в пространстве конфигураций двух ча-
частиц. Выбираем /с2 в функции Грина в соответствии с энергией связанного
состояния s (отрицательной, так что к мнимое), предполагая, что энергию
мы определили достаточно точно [как, например, в равенстве A2.3.95)].
Подставляя приближенное выражение <р в интеграл и выполняя интегри-
интегрирование, получим улучшенное выражение для ф.
Пробная волновая функция является функцией только от г и а [см.
равенства A2.3.88)] и не зависит от &х, &2, ^г и <р2- Так как функции v
также зависят только от г и а, то первые два члена интеграла содержат
только тот член ряда A2.3.92), в котором 1Х — 1г — т1 = тг = 0. Так
как
sec a tea, O^a^-v-n;,
1=0
cosecactg'a, -тггс< a< — те,
то третий член интеграла будет содержать только те члены, у которых
l-i = 1г, m1 = mi — 0, т. е. члены, выписанные для Gz=o.
Члены интеграла, не зависящие от &12, получить очень легко. Часть
функции G, нужная здесь, имеет вид
sin I2 (n+l) a1 sin I2 (rc+1) a'1 v
г',
sin a COS a Sin a'COS a'
71=0
Я2п+2 (г 1/2 pr') /2n+2 (i 1/2 нг), т- <

12.3. Решение уравнения Шредингера 681
где мы полагаем &2 = г = —2\х2 = —(l/2)g*(Z—5/16J, как и в равенстве
A2.3.95). Функция v (г[)-)-v (г?) принимает вид — (qzZ/r') (cosec a' + sec а') и
приближенная волновая функция равна
Iх f>-V-r> (sin a'+COS a') _ P_ g —l^2iir' COS ?
где [3 = а' —тс/4. Первый член ряда для а;(г12), также не зависящий от
&12, равен ( — ) а, где секанс берется при 0 < a < тс/4, а косеканс —
\ f у COSCC
при тс/4 < a < тс/2.
Сопоставляя все эти множители и пользуясь полуцилиндрическими
функциями, определенными в конце этой главы, мы получаем выражение
для той части функции ф, которая не зависит от &12 (т. е. используется
только первый член а;):
тс/4
J c
-я/4
о
4mSirH2Bm+l)a]
+Я (й') [ С z - Т ) ^ yi»+2 (й') -
где {} в первом интеграле заменяет комбинации //2и+2 и ^2n+2i входящие
в G, и где z= |/2(j.7-, z'— У~2рг'• Эта часть интеграла аналогична ряду
A2.3.71); она не зависит от угла &12; следовательно, она немногим лучше
пробной функции, с которой мы начали.
Однако несколько следующих членов разложения w дают некоторое
улучшение. Интегралы подобны тем, которые выписаны для первого члена,
а интегралы по г могут быть в случае необходимости выписаны явно, если
воспользоваться интегральными представлениями функции Бесселя.
Вариационные методы. Во многих случаях, однако, чтобы улучшить
выражение волновой функции, удобнее пользоваться вариационными ме-
методами. Если желают иметь волновую функцию для наинизшего состоя-
состояния, в которой было бы принято во внимание взаимодействие между ча-
частицами, можно испытать функцию, принимающую малые значения при
малом г12, но не зависящую от г12, когда г12 велико, такую, например, как
<р (р., X) = е-Мъ+т) [1 _ Хе- ^2]
с двумя параметрами ^ и X. Эта функция не нормирована, так что инте-
интеграл для Н нужно будет разделить на интеграл от квадрата <р-

682 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
Даже не прибегая к подробным расчетам, можно получить некоторые
общие свойства интегралов, подлежащих варьированию. Например, заме-
заметив, что (j. является масштабным множителем, можно видеть, что
5 ¦ • ¦
где величины N, Т, V и W не зависят от [*. Мы можем теперь фор-
формально искать минимум энергии
относительно р.. При ^— = О
r-7f)' «w=—2-9vCzr—2f; ' A2-3-96)
что является очевидным обобщением выражения A2.3.95). Наилучшее зна-
значение X и соответствующее наилучшее выражение энергии получаются
при достижении функцией з (X) минимума. (Нужно, однако, заметить, что
такое простое выполнение варьирования возможно только в том случае,
когда все потенциальные энергии являются кулоновскими потенциалами,
т. е. обратно пропорциональны расстояниям.)
Для расчета только что определенных интегралов более удобными
координатами являются координаты Хиллерааса и = r12, s = г1-\- г2,
t = гг — rv Обычный элемент объема
dvx dv2 = d(p1 sin &x d^-^ di\ dtp2 sin &2 d&2 r| dr2
может быть видоизменен, если направление вектора г2 отнести к вектору
гх (см. рис. 12.9):
dv1 dv% = d(^1 sin Ьг db1 dW sin &12 d&12 r\ dr1 r| dr2.
Если подинтегральные функции зависят только от rlt r2 и г12, интегри-
интегрирование по углам 9ц &i и '^ может быть выполнено и дает множитель
8-п;2, так что весь интеграл будет равен
где
tfo = 8m2 sin &12 d812 7-j drx r| dr2.
Так как
r?2 = rl + rl — Zr-j-^ cos &12, то гггй sin &1S d
а следовательно
dv = 8тс2т'127'1г2 drlz drt dr% = и;2гг (s2 — г2)
где гг = 7-12, s = r1-|-rg, t = r^—r% и — гг<г<гг
Если подинтегральное выражение F симметрично относительно t, то
весь интеграл может быть записан следующим образом:
со 8 U
. . . { Fdv-^dv^^ 2тс2 [ ds i udu i (s^—t^Fdt,

12.3. Решение уравнения Шредипгвра 683
и, если положить а = (is, г = pi и т] = (Ш, интегралы от потенциалов для
пробной функции е~аA — Хе~г') будут равны
сю о г,
W (X) = 2тс2 ^ е-23 йсД A -2Хе-'. + Х2е-2т<) йт] ^ (о2 - х2) dx,
0 0 0
V (Х) = 4гс2 ^ а е-2"da С т]A - 2Хе-т< + Х2е~2'<) d-ц \ dx.
0 0 0
Интеграл кинетической энергии более сложен. Мы предпочитаем пе-
перейти от интеграла, содержащего лапласианы, к интегралу от квадратов
градиентов <р- Применяя формулы
дхг~дгхГ1 + dr12 rl2 ' 5?! ~~ ds^ dt
можно убедиться в том, что
если ^ зависит только от г1г г2 и г12. Таким образом, для выбранной
пробной функции
Подставив эти интегралы в A2.3.96), можно получить более точное
значение з. Применяя несколько более гпбкую пробную функцию, зави-
зависящую от большего числа параметров, можно подойти как угодно близко
к истинному результату.
Рассеяние электронов на атоме водорода. Как пример другого ис-
использования многомерной функции Грина укажем процесс расчета резуль-
результатов столкновения между электроном и атомом водорода (Z = 1, один свя-
связанный электрон, один свободный; мы пренебрегаем спином электрона и
эффектом симметрии, как мы это делали до сих пор). Интегральное урав-
уравнение системы имеет вид
где для функции Грина мы применяем ее представление через интеграл
Фурье A2.3.94) и где, как и раньше, ф = 2Me2/ft2.
Изучаемое состояние является состоянием, в котором частица 1, пер-
первоначально свободная, движется к началу координат с кинетической энер-
энергией к\, а частица 2 связана в наинизшем состоянии с энергией — q*/A.
Часть соответствующей волновой функции дает «поверхностную» волну
(см. стр. 661), близко примыкающую к гиперповерхности г2 = 0. Однако
здесь имеются и «отраженные» волны, вызванные потенциалом взаимодей-

684 Гл . 12. Диффузия. Волновая механика
ствия; некоторые из них будут также поверхностными волнами, что соот-
соответствует тому, что та или другая частица осталась в связанном состоя-
состоянии, но, если k\ - q^/A положительно, здесь будет также некоторое ко-
количество «свободных» волн, соответствующих случаю, когда обе частицы
покидают притягивающий центр.
Первое приближение к решению интегрального уравнения может быть
получено, если вместо Л под знак интеграла подставить «поверхностную»
волну, соответствующую первоначальному состоянию. [Это эквивалентно
приближению Борна для одной частицы, см. равенство A2.3.58) и сле-
следующие.] Полагаем
[здесь «fool является наинизшей из собственных функций фт1„, данных
в равенстве A2.3.40)] и применяем интегральное уравнение для подсчета
следующего приближения. Непосредственно выясняется один полезный
факт: если бы в квадратных скобках в интегральном уравнении стоял
единственный член 1/г2, то фг было бы точным решением интегрального
уравнения. Следовательно, интеграл от произведения <bxG на ф/гг должен
быть равен ф* и
\{^)Gh{x\T')dv\dv^ A2.3.97)
где Л2 = к\ — д4/4- Функция Грина G имеет амплитуду, отличную от нуля,
если rt велико или rz велико, что соответствует тому факту, что или
частица 1 или частица 2 может удаляться от начала координат после
столкновения. Чтобы подробнее видеть, что здесь происходит, мы должны
преобразовать это уравнение в более наглядные формы. Например, мы
можем интересоваться поведением частицы 1, когда она отскакивает от
центра сил, оставляя частицу 2 в связанном состоянии (не обязательно
в наинизшем). В этом случае удобно разложить интеграл в ряд по соб-
собственным функциям для частицы 2, умноженным на функции от ги
Ф ~ ф* + ^ 9тщ (г,) fmln (rj, A2.3.98)
nlm
mln ы «e-jjj ?mln (r2) л, s... 5 Cj-,tJ x
Функции fmln определяют, таким образом, поведение частицы 1 в том
случае, когда частица 2 остается в состоянии mln. В этой сумме, конечно,
встречаются и волновые функции свободных состояний частицы 2, так
как здесь содержится полный комплект функций <р, но в силу сохране-
сохранения энергии для некоторых из них частица 1 не будет свободной. Это,
однако, не должно нас смущать; мы представили разложение в этой
форме специально для того, чтобы рассчитать поведение частицы 1, когда
частица 2 остается связанной, поэтому мы должны сосредоточиться на
коэффициентах при наинизших членах ряда, а для выяснения других
фактов придется воспользоваться другими типами разложений.
Подставляя в равенство для / выражение G через интеграл Фурье,
получим
„2 Г Л gUlta—»l')+ ...+tfs(Z2-Z2')_
fmln (Г1) = йЬ \ • - • V 1 9ш1« (гг) «Pool W X
X e

12.3. Решение уравнения Шредингера 685
Интегрирование по dv2 может быть легко выполнено. В результате полу-
получаем преобразование Фурье функции 9mm> T- е- функцию хт1п, определен-
определенную равенством A2.3.54). Это—функция от компонент ?2, tj2, С2 волно-
волнового вектора х2 с полюсами в точках у2 = + г(д^/2п), соответствующих
энергии а = — (g4/4n2) для п-ro связанного состояния частицы 2.
Интегрирование по ?2, Чъ С2 не так просто. Если бы не было знаме-
знаменателя ?J + ... -f Q — Щ + <?*/4, мы получили бы в итоге опять omln (t'z),
умноженное на 8тг3, так как интегрирование по <fo2, а также по с??2 ehj2 dQ2
привело бы просто к интегральной теореме Фурье. С другой стороны,
интеграл по пространству *2 может быть приведен к контурным интегралам
вокруг полюсов функции х и множителя (xj + xl — &i + <74/4)-1. Вычеты
относительно полюсов функции х пропорциональны функции <рт1п — пре-
преобразованию Фурье функции у. Вычеты относительно полюсов другого
множителя соответствуют искажению волновой функции частицы 2, выз-
вызванному присутствием частицы 1, и они становятся малыми при достаточ-
достаточно больших значениях rv Здесь мы пренебрегаем этими членами.
Упругое и неупругое рассеяние. Рассматривая вычеты относительно
полюсов функции х и пользуясь A1.2.5), имеем
„2 с с
Xj- V ... \
У
/'\ ( '\ ( л 1 ' 1 f
где kt = ftja2 — вектор, равный произведению M/h на скорость падающей
частицы 1, a kn пропорционален скорости частицы 1, если после соударе-
соударения атом оказывается в состоянии п. Направление кп образует с осью zx
угол рассеяния &15 а величина kn выражается через кг и энергии началь-
начального и конечного связанных состояний — д4/4 и — д4/4/г2 с помощью равенства
Заметим, что вектор klf соответствующий случаю, когда состояние атома
не изменяется (упругое рассеяние), имеет ту же величину кх, что и век-
вектор ki? но иное направление. Отметим также, что для всех состояний,
кроме начального, интеграл, содержащий 1/т\, равен нулю из-за ортого-
ортогональности собственных функций 9.
Интегрирование по cLv'2 приводит к функции от г^, которая представ-
представляет собою разность поля ядра и поля плотности заряда | <pOoi |2 (для наи-
наинизшего /) или поля «обменной плотности заряда» «PmrnTooi Для fmin- Сле-
Следовательно, можно сказать, что вероятность того, что частица 1 упруго рас-
рассеяна системой, состоящей из частицы 2 и ядра, равна преобразованию
Фурье потенциального поля системы для частицы 1, составленного для
волнового Бектора (кх — kj, соответствующего изменению импульса частицы
1, вызванному столкновением. Аналогично вероятность неупругого рассея-
рассеяния, при котором частица 2 оказывается в состоянии mln, равна преобразо-
преобразованию Фурье потенциала частицы 1, порожденного обменной плотностью
заряда «PminTooi' Для волнового вектора (kn — к{), пропорционального изме-

686 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
нению импульса, произошедшему в результате неупругого столкновения.
Величину этого волнового вектора можно обозначить через р.„, где
К = | К - К |2 = К + К- 21hkn cos &х~ ( 2k1 sin
Для того чтобы рассчитать упругое и неупругое рассеяние частицы 1,
можно воспользоваться аппаратом приближения Борна [см. равенства
A2.3.59) и A2.3.60)]. Для упругого рассеяния потенциал, вызывающий
рассеяние, является разностью между потенциалом ядра и потенциалом
плотности заряда р (г) = | <роо1 (г) [2; для неупругого рассеяния (для состоя-
состояния mlri) потенциал является потенциалом обменной плотности заряда
TmmTooi [здесь равенства A2.3.59) и A2.3.60) должны быть видоизменены,
так как р, а следовательно, и V не являются сферически симметричными].
Если к\ очень велико по сравнению с величиной энергии связи <?4/4,
мы можем получить несколько упрощенную формулу, интегрируя сначала
по dv[ и пользуясь равенством
полученным с помощью преобразования Фурье. Имеем
где fj. = | к | ~ 2kr sin (-n^iji что пригодно всегда, если угол рассеяния
&х не слишком мал. Так как при кг > ф/к импульс частиц, рассеянных не-
неупруго, немногим меньше импульса упруго-рассеянных частиц, то мы здесь
интересуемся полным рассеянным потоком для частицы 1, учитывая упру-
упругое и неупругое рассеяние. Выражение для него мы можем получить,
суммируя квадраты абсолютных величин всех членов ряда A2.3.98):
/ I2
Imln I >
nlm
где б" — полный рассеянный поток для частицы 1 на единицу телесного
угла для угла рассеяния &х и на единицу плотности падающего потока.
Из полноты системы собственных функций следует, что для суммы,
распространенной на все возможные состояния, имеет место равенство
mln
которое называется правилом матричных сумм. Следовательно,
J(»1)^2gUCi001(l-cos(k-r;))?001do~2g[F@)-F
где F — структурный фактор для состояния 001, определенный в
A2.3.60). Сравнивая равенство A2.3.60) с только что выведенным, мы ви-
видим, что поток упруго-рассеянных частиц равен (<?4/^4) [F @) — F (р)]2, в то
время как полный рассеянный поток (упругий и неупругий) равен
2 (<?4Д*4) [^@) — F (р)], если импульс падающей частицы достаточно велик
(если атом-мишень имеет более одной частицы, то последняя формула
несколько видоизменяется).
Обмен частиц. Рассмотрев различные возможности для случая отска-
отскакивания частицы 1 от атома, мы должны рассмотреть теперь вероятность
того, что частицы обмениваются местами; частица 2 удаляется, а частица 1

12.3. Решение уравнения Шредингера 687
остается. (Это соответствует отражению от оси ? в простом примере стр.
657.) Здесь более удобны разложения по собственным функциям частицы 1.
Вместо равенства A2.3.98) мы пишем
ф ~ f + 2 U (*i) ётт (га), A2.3.99)
K=^2 S S S ~9min (ri) ^ 5 • ¦ ¦ Кт ~ 4;)ettiii %о1 (r;) Gft (r
dv[ dv'2-
Этот ряд полностью дублирует ряд A2.3.98), и мы подвергаемся опасности
некоторых повторений, если будем учитывать все функции g так же, как
и все функции /. Однако, если мы рассматриваем только те функции /, для
которых <pm|ri(ri) представляет связанное состояние, то первая совокупность
соответствует связанной частице 2, а вторая — связанной частице 1 и дуб-
дублирования не будет. (Здесь могут быть, кроме того, некоторые состояния,
в которых ни одна частица не будет связанной; мы их рассмотрим позже.)
Применяя к этому интегралу те же приближенные приемы, которые
мы применяли для функций /min, найдем, что
это соотношение может быть использовано в различных частных случаях,
подобно аналогичным соотношениям для функций /.
Если кинетическая энергия к\ падающей частицы меньше энергии свя-
связи <74/4 первоначального состояния, то обе частицы не могут быть одновре-
одновременно свободными, и если измеряются только те частицы, которые поки-
покидают атом, то для большого г1 или г2 (г велико) можно написать
Ф ^ ? + 2 Vmln (*Я) /min (rl) + 2 ?mln (*i) gmln (*Я).
Обе суммы распространены только на те состояния, для которых
кп= к\ — A/4) <?4 A — 1/п2) положительно. Мы пренебрегаем здесь возможными
состояниями, в которых обе частицы связаны (отрицательный ион). Эти
состояния входят в интеграл для ty, но исчезают, когда г становится
большим.
Наконец, если к\ больше чем д4/4, то обе частицы могут быть свободны-
свободными. Чтобы рассчитать вероятность этого, вернемся к равенству A2.3.97)
и исследуем поведение интеграла при больших значениях г, когда а от-
отлично от 0 и т:/2 (оба /•1 и г2 велики). Чтобы провести это исследование,
легче всего воспользоваться функцией Грина в форме A2.3.91). При боль-
большом г и малом г' можно написать
R с^ г2 — r[ cos a cos 6Х — r'2 sin а cos б2,
cos 6}. = cos 9-у cos &j -г sin &3- sin &j cos (cp;- — cpj).
Если мы обозначим волновой вектор частицы 1 через Кг и волновой век-
вектор частицы 2 через К2 и предположим, что их величины равны соответ-
соответственно к cos а и к sin а (/с2 = к\~ <?4/4), а направлены они соответственно
под углами Э-j и &2 к оси z (под углами 6Х и 62 соответственно к направ-
направлениям т[ и г^), то

688 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
и для части волновой функции при больших значениях и гх и г2 можно
написать
C) а, &ij o2), A2.3.100)
где
v = | kj—Kx | = j/"A^ + /c2 cos2 a — 2kjt cos a cos »х
|K2| = /csina, /c2 = ^ — -i-^.
Эта часть волновой функции выражена в гиперсферических координа-
координатах и для получения полной интенсивности | Q |2 следует проинтегрировать,
умножив на элемент поверхности r5sin2acos2adasin&1d&1d-f1sin&2d&2d<j>2.
Эта функция дает амплитуду волны в направлениях, определяемых
углами 8-j и %г, для энергии, определенной углом а. Если к\ меньше чем
<7*/4, то к мнимое, и волнового движения этого типа не будет.
Окончательный результат совершенно аналогичен результату для слу-
случая двух измерений, рассмотренному на стр. 664. Посылается поверхно-
поверхностная волна ф1 и появляется некоторое количество поверхностных волн
с амплитудами |/mm|, примыкающих к поверхности г2 = 0 (частица 2 связа-
связана); кроме того, существуют другие поверхностные волны с амплитудами
| gmln |, примыкающие к поверхности гх = 0 (частица 1 связана); и, нако-
наконец, если к\ достаточно велико, существует свободная волна (обе частицы
свободны) с непрерывным распределением избытка энергии между двумя
частицами (угол а) с соответствующей амплитудой |-2 |. (Заметим, что эта
амплитуда равна нулю при а = 0 или т:/2; волны в этих направлениях
являются поверхностными волнами, скорее с волновы-л числом кп, чем с
волновым числом к.) Собирая члены, мы видим, что часть ty, остающаяся
конечной при большом г (гх или г2 или оба они велики), имеет вид
ф со е*1-п%01 (г2) + ^ 9mm (r2) 1mm (ri) +
rnln
+ 2?mlnWuW + ^5'«(^, К »«). A2.3.101)
пйп
где суммирование по mln распространяется на все связанные состояния,
для которых к\ — A/4) <74A — 1/и2) положительно, и где член, содержащий
Q, входит, только тогда, когда к\^> д*/4 (в последнем случае в суммы вхо-
входят все связанные состояния).
Эта формула является, конечно, только приближенной. Точное решение
должно иметь асимптотически тот же вид, что и данное, но значения
функций /, g и Q должны быть несколько иными. Область применимости
приближения может быть определена тем же способом, который разобран
на стр. 638. Вообще формулы пригодны для высоких кинетических энер-
энергий падающих частиц и становятся менее точными для медленных падающих
частиц. Здесь нет удовлетворительного решения для неупругих столкнове-
столкновений (и обмена) при очень малых скоростях падающих частиц (напри-
(например, при энергиях, чуть-чуть больших энергии возбуждения).

Задачи
Заключение. Мы заканчиваем параграф, посвященный волновой меха-
механике. Здесь не могли быть упомянуты важные вопросы, связанные со спи-
спином частиц или с принципом запрета Паули, а также и другой существен-
существенный материал. Эти вопросы рассматриваются во многих других книгах,
специально посвященных квантовой теории; наша же книга имеет дело
прежде всего с аналитическими приемами решения задач теории поля,
а не с физическим истолкованием уравнений. Мы уже касались большин-
большинства приемов, используемых в квантовой механике: определения связан-
связанных и свободных состояний, применения теории возмущений, вариационных
методов и применения интегральных уравнений в связи с приближением
Борна. Были рассмотрены трудности, возникающие в проблеме нескольких
частиц, в объеме достаточном для того, чтобы показать сложность этой про-
проблемы; были указаны некоторые приемы,, применяемые для преодоления
этих трудностей. Дальнейшее рассмотрение этих вопросов завело бы нас
слишком далеко от нашей основной задачи. Мы должны перейти к наше-
нашему последнему важному вопросу, к вычислению чисто векторных полей.
Задачи к главе 12
12.1. Проволока радиуса Л помещена в среду, температура которой
колеблется по закону Т — Тп-\- АТе~~ш. Сопротивление материала проволоки
при температуре, близкой к То, равно р = р0 -Ьр1(Г— То). Вычислить со-
сопротивление единицы длины проволоки как функцию времени. Вычислить
сопротивление как функцию времени, если температура при г = Л равна
Tn + ATu(t).
12.2. Найти ряд, выражающий поток тепла, идущий внутрь парал-
параллелепипеда задачи 10.1, как функцию времени, если нагреватель вклю-
включается при ( = 0 и его температура равна Tou(t).
12.3. Если ускоренный ион ударяется с металлическую поверхность,
то он отдает свою кинетическую энергию eV0 малой области поверхности
металла. Температура металла в точке (х, у, z) по прошествии времени t после
столкновения дается приближенно функцией Грина
J u
где a — постоянная диффузии металла, х = у = z — 0 в точке удара иона,
область ж>0 заполнена металлом, область ж<:0 является свободным
пространством, а А подобрана так, чтобы интеграл от дополнительной
тепловой энергии рСТ, распространенный по металлу, был равен eV0.
Скорость улетучивания металла с его поверхности х = 0 в зависимости от
температуры на его поверхности Ts равна
где Ео — средняя энергия, необходимая для выбивания атома металла
с поверхности. Подсчитать полное количество металла, улетучившегося
с поверхности (разбрызганного с нее), вследствие удара одного иона, вы-
выразив это количество как функцию от В, Ео, Vo и тепловых свойств
металла.
12.4. В жидком гелии II связь между потоком тепла J калорий в се-
секунду на квадратный сантиметр и относительной температурой х состоит
не в том, что J пропорционален градиенту х, а в том, что производная дЗ/dt

690 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
пропорциональна градиенту t
аГ= -p2C2c|gradx,
где действительная температура равна Т0-\-х, р2С2— удельная тепло-
теплоемкость гелия на кубический сантиметр и с2 — величина, имеющая
размерность скорости. Показать, что температура подчиняется точному
волновому уравнению, причем с2 является скоростью волны (и называется
скоростью второго звука или скоростью тепловых волн). Пластинка из про-
проводящего материала с обычными тепловыми и электрическими свойствами
толщины I погружена в ванну, наполненную жидким гелием II; ванна
берется достаточно большой, так что можно предполагать, что она про-
простирается безгранично. Показать, что граничные условия на обеих поверх-
поверхностях пластинки (взять их при ж= ±1/2) сводятся к тому, чтобы соотно-
соотношение между потоком тепла J внутрь гелия и относительной темпера-
температурой t имело вид /=р2С2с2х для тех частей / и t, которые изменяются
с течением времени. Предположим, что электропроводность пластинки
есть с, ее плотность р удельная теплоемкость С и теплопроводность -/.
и что через каждую часть пластинки проходит электрический ток плотности
I cos(u>t/2). Показать, что распределение температуры в пластинке (х < 1/2)
и в гелии (х > 1/2) определяется действительными частями следующих
выражений:
Т =
cos(T//2)—r(x/p2C2c2)sin(TJ/2) ° ' Х ^ 2
где у2 = ioopC/x, a R — термический эквивалент работы, выраженный
в кал/дж.
12.5. Экран для защиты от нейтронов, расположенный между плоско-
плоскостями х = 0 и х = I, состоит из материала, в котором средний свободный
пробег нейтронов равен Ха(< I); доля, выражаемая числом х, всех столкно-
столкновений в этом материале приводит к поглощению нейтронов. При t = 0
«ливень» нейтронов плотности 6 (t) падает на поверхность х = I. Показать,
что приближенные выражения плотности нейтронов внутри пластинки
@<х</, 0 < t) имеют вид (воспользоваться приближенными граничными
условиями р = 0 при х = 0; I)
со
() 'Г* S
2тса2
i л\гп ¦ (ътх\ (
(-1Гвгап(^—Jexpj
l
m=l
где а2 = Хаиа/3 и X = *va/'ka. Вывести выражения для потока нейтронов
внутрь пластинки при х = 1 и из пластинки при х == 0; рассмотреть зависи-
зависимость этих выражений от 1/\, у. и t. Каковы соответствующие выражения
в случае, когда р (I) = u (t)?
12.6. Пучок интенсивности / электронов в секунду с начальной скоростью иг
вводится в полый цилиндрический сосуд, ограниченный поверхностями z = 0;
z = l; r=a. Пучок вводится через малое отверстие в начале координат и на-

Задачи 691
правлен вдоль оси цилиндра. Средний свободный пробег электрона в Разе
внутри сосуда равен X (<С /), а доля кинетической энергии, теряемая при
столкновении с атомом газа, равна i\. Предположим что здесь нет неупру-
неупругих столкновений и что все электроны, ударяющиеся о стенки сосуда,
иыбывают из распределения. Показать, что в этом случае стационарная
плотность заряда электронов внутри сосуда равна
fry т Jo (яC0„/7а) sin (imz/l)
Ь J\ (Дроп) Г , пгпк у | Г / ътк
если только З/tj меньше чем (^Х//J-f (т:Х8О1/аJ. [Числа роп являются кор-
корнями уравнения, /о(тср) = О.]
12.7. Рассчитать начальное поведение однородного сферического ре-
реактора, воспользовавшись формулой A2.1.31) и выбирая подходящие
значения содержащихся там постоянных. Взять эффективный радиус
сферы а равным десятикратному среднему свободному пробегу X; предпо-
предположить, что 6 = 1/10 их; = х?=1/5; пусть 7j=l/3 и vjvf = 10, и подобрать
v? так, чтобы wl для наинизшего члена было равно нулю. Построить
график плотности нейтронов в точке г = 0, рассматривая эту плотность
как функцию от щ/к, если при t = 0 в начале координат находился
единственный нейтрон. Построить также график потока нейтронов через
поверхность во внешнее пространство, рассматривая этот поток как функ-
функцию от top/X.
12.8. Неограниченно простирающаяся среда состоит из атомов, которые
рассеивают проникающие частицы равномерно во всех направлениях [т. е.
в A2.2.2) а=1/4т:] с ничтожно малой потерей энергии при столкновениях.
Найти с помощью преобразования Фурье функцию распределения для
стационарного состояния /(г, а„) [а„ — единичный вектор, имеющий направ-
направление скорости v частицы, иг— вектор положения в единицах расстояния,
использованных в A2.2.2)], порожденного распределением источников
частиц s(r, a,,) = (l/4rc) s(r) (каждый элементарный источник испускает
новые частицы одинаково во всех направлениях). Положить
F (к, а„) = Bт:)-з/2 I eik-r/ (Г, uj dv и S (к) = B«)-з/2 J eik-r s (r) dv
и показать, что A2.2.2) принимает вид (для стационарного состояния)
Использовать F.3.44) для получения разложения функции F по сфериче-
сферическим гармоникам от akatt (aft — единичный вектор в направлении к, так
что k = kak)
12.9. Составить функцию распределения в условиях задачи 12.8 в слу-
случае точечного источника частиц в начало координат, <5" = Bт:)^3/2. Вычислить
обращение интеграла Фурье для / с помощью разложения показательной
функции е~гкТ под знаком интеграла в ряд по сферическим гармоникам
от afe-ar и, воспользовавшись формулой iQ0 (i/к) = arc tg к, получить
«=0

Ш2 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
Показать, что это выражение может быть формально вычислено как кон-
контурный интеграл вокруг полюса k=ia, где а — положительный корень
уравнения c = th(c/x), что дает
оо
/ (г, а„) = ? 1-1=^г ^ ( - i)nPn (а, ¦ ав) <?„ ( у ) К (for).
Исследовать сходимость этого ряда для малых ¦/. и для малых 1 — х,
12.10. Выразить функцию стационарного распределения как функцию
от ? и (л [см. A2.2.2)], если источником является постоянный поток плот-
плотности /0, направленный вдоль оси % из начала ? == 0, в случае, когда
функция рассеяния а (в') имеет резко выраженный передний максимум
аГб'<утс)>а(б'> ~2Ж ) ¦ Показать, что в этом случае приемлемым
приближением к функции распределения при малом 1 — ц является реше-
решение видоизмененного уравнения
n=0 -1
числа Ап определены в A2.2.4). Показать, что решением этого уравнения,
удовлетворяющим соответствующему граничному условию, а именно усло-
условию / @, fi) = Aп/2ъ) о A — р.), является
п=0
Рассмотреть подробно решение в случае, когда а F)=[(Л;+1)/4т:] соБ^Г-^-б J,
где iV > 1. Что происходит при iV—> со? Почему?
12.11. Предположим, что при каждом столкновении падающая
частица (например, нейтрон) поглощается ядром-мишенью, а затем снова
испускается одинаково во всех направлениях, но с уменьшенной кинетиче-
кинетической энергией; часть частиц, испускаемых с энергией, лежащей между Е
и E + dE, выражается числом a(E/E')a(dE/E), где Е' — кинетическая
энергия бомбардирующей частицы (Е'~>Е). Составить уравнение, аналогич-
аналогичное A2.2.2), для функции распределения /(?, ц, е), указывающей коли-
количество частиц, находящихся в единичном объеме, расположенном на рас-
расстоянии ? средних свободных пробегов от поверхности рассеивающей среды,
движущихся в направлении, образующем угол & = arc cos ц с осью 5.
и имеющих кинетическую энергию, определяемую параметром s = In {Eo/E).
Показать, что для распределения, не зависящего от 5, уравнение для /
имеет вид
где /?(з) = 2т: |/dfj., a s — функция источников, дающих частицы с началь-
начальной энергией Ео. С помощью преобразования Лапласа относительно е
показать, что
1
8) = |вз \
Каково общее решение, если функция источников имеет вид s(fi, г)(з>0)?

Задачи 693
12.12. Предположим, что доля частиц, испускаемых с энергиями,
лежащими в промежутке между ьи а + ds [г = 1п( Ео/Е)] в условиях задачи
оо
12.11, естьш(з) (е>0), причем ? ю(г)с?8< 1. Показать, что уравнение для
о
преобразования Лапласа /—><р A~~> ~ч) и решение для преобразования /?—>р
имеют вид
о
1
Р ^ = I—I) (if) ' а = 2т: ^ s
-1
Показать, что при да = у.о (е) -+ ах'и (е — ео)е~а F~ео) (к + у.'<1) имеем
n=l
Рассмотреть физическое значение ступенчатых функций и в ответе.
12.13. Применить обратное преобразование Лапласа относительно I
к A2.2.2) в случае полубесконечной среды (гс>0) при равномерном рас-
рассеянии частиц, пренебрегая потерей энергии при столкновениях. Показать,
что при s(?, fi) = (//2т:) S (?) 6 A — fj.) (что соответствует пучку, падающему
нормально к поверхности ?=0) уравнение для преобразования Лапласа
функции f{f—>F, %—>p) имеет вид
С помощью интегрирования относительно ц и перестановки членов по-
показать, что
о
Рассмотреть вычисление В (Е) — 2т:1 J / dp. и вывести отсюда /.
12.14. Предположим, что угол рассеяния имеет преимущественно
малое значение, так что можно пренебречь рассеянием назад. Тогда под
знаком интеграла в A2.2.2) функцию /(^') можно разложить в ряд Тей-
Тейлора, полагая fi' ~ ^ Г 1 - у б'2^) + О' \Г\ - р2 cos p, если dQ'~6'c№'dp.
Показать, что с точностью до членов второго порядка относительно Ь
A2.2.2) принимает вид
71
где [1 = cos 9- ~ 1 — ~&2 и А2 = 2гЛ а (б') (б'K d6' <С 1 (постоянная Д может
о
быть названа средним углом рассеяния). Показать, что если пучок s (&)
падает на плоскость х = 0, то решение этого приближенного уравне-

694 Гл. 12. Диффузия. Волновая Механика
ния имеет вид
со
/ (&, ?) ~ ^ Jo (Щ expf-^l-x + l Д2/.Х2^) ? ] X dX ^ s F) /0 (Х6) 6 db =
о
(
12.15. Скомбинировать прием, предложенный в задаче 12.14, с первой
частью задачи 12.12. Предположить, что Д = Д0 A — e~YE), но что oy(s) не
зависит от &. Рассчитать /(в, ?, s).
12.16. Предположим, что частица, рассеянная под углом б', теряет
часть своей кинетической энергии, выражаемую числом Bт/М) (I — cos б')
[см. B.4.45)]. Воспользовавшись приближениями, рассмотренными в задаче
12.14 для рассеяния под малыми углами, показать, что уравнение для /
имеет вид
df , .„то df хА2 д
где з = 1п(?0/Е), а Д2 определено в задаче 12.14. Показать, что при
s (&, 5) = e~i 8 A — (j.) (падающий нормально пучок, ослабленный благодаря
проникновению) функция распределения имеет вид
кА2т \ 
OJ-
ir
(Указание: применить преобразование Лапласа для ? и е и преобразова-
преобразование Ганкеля для &.)
12.17. Потенциальная энергия частицы с массой М равна со при
х < 0, равна Uohz/2M (постоянна) при а < ж < b и нулю при всех прочих
значениях х. Показать, что решение уравнения Шредингера для энергии
kzh2/2M имеет вид
ф (к, х) =
А
Л
— sin (кх), 0 < х < а,
sin (/от) ch х (ж — я) -)- — cos (ka) sh [х (х — а)], а < ж < й,
sin [Л (ж-6)+ Q], Ь<х,
где
Л2 = cosec2 <p {sin2 (Аа + <р) e2x(h-a) + sin2 (/ca — <р) е-2х(ь-а) —
— 2 cos B<p) sin (/ш + ф) sin (Ла — <?)},
sin <р = к/ ]/U0, х = "j/f/0 cos <p
Показать, что при к~ < Uo и большом хF— с)ф в интервале 0<х<а может
оказаться большой только в узкой полосе значений энергии. Найти эти
«виртуальные уровни энергии» и выяснить их физический смысл.
12.18. Показать, что для задачи 12.17 последующее решение уравне-
уравнения Шредингера с временной зависимостью, соответствующее начальному

Задачи 695
значению <li, равному Фо (х), дает
где г = М/2М пропорционально времени. Предположим, что первоначально
частица достоверно находится внутри «долинной области» 0 < х < а, так
что, например, $ = ~У 2/а sin (ъпх/а) и (а— х), х > 0. Показать, что если
(ъп/аJ < Uo и ехр [|/?/0(й —а)] > 1, то хорошее приближение для W
в «долине» определяется формулой
У Та gg- ехр [ - 2 УТГО (Ъ - а)] \ ^L^±LM ехр [ - flfc* - 2j/
0 < х < а, г > 0,
где
Показать, что это выражение приближенно равно
О < х < а, 1 > 0.
Каков физический смысл действительной части показательной функции?
12.19. Одномерная потенциальная энергия частицы с массой М равна
— (U0h.2/2M) при — а < х < а и нулю при | х | > а. Каковы энергии свя-
связанных состояний и волновые функции? Сколько связанных состояний
имеется при очень малом Uo? Трехмерная потенциальная энергия той же
частицы равна — {Un%2/2M) для радиуса г < а и нулю для г > а. Каковы
энергии связанных состояний и волновые функции? Сколько связанных
состояний имеется при очень малом f/0?
12.20. Система до момента ? = 0 имеет оператор Гамильтона ?%?0
и находится в стационарном состоянии, характеризуемом решением <рп
уравнения Ш^п~Еп^рп. При Z = 0 внезапно прилагается возмущающая
энергия .W-l- Формально, применяя преобразование Лапласа, показать, что
последующее после t = 0 решение уравнения Шредингера с временной
зависимостью будет иметь вид
са+гз
2я
—со-fi
С oxp(-.7ft/ft)
ехр ; —
п=0

696 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
где оператор Sbn определен в рассуждениях, предшествовавших (9.1.43).
Исходя из последней формулы, получить разложение W(t) в ряд по
собственным функциям ут, аналогичный рядам теории возмущений (9.1.12).
Перегруппировкой членов получить ряды, аналогичные рядам Финберга
и Фредгольма из § 9.1.
12.21. Показать, что уравнение Шредингера для атома водорода
(V = — е2/г) допускает разделение переменных в вытянутых сфероидаль-
сфероидальных координатах с ядром, помещенным в одном из фокусов. Подсчитать
энергии и волновые функции для четырех наинизших связанных состоя-
состояний.
12.22. Рассчитать амплитуду рассеяния для рассеяния в потен-
потенциальном поле и = Аехтр(—а2/-2). Применить вариационный принцип
A2.3.68), используя в качестве пробной функции падающую волну
exp (ikz). (Указание: двойное интегрирование в знаменателе провести не
в импульсном, или if-пространстве, а в координатном пространстве.)
В какой области изменения к полученный результат будет отличаться от
борновского приближения меньше чем на 10%?
12.23. Частица массы М находится в потенциальном поле
Показать, что допустимые энергии даются равенством
?n + -|-+-ia), n~0, 1, 2, ...,
где а2 = 2МЬг/Ь? + -г , а соответствующие волновые функции имеют вид
-iz2 a|-I
Чп—1У/пе Z 1^71+a (Z ),
где z — x~\fMv>lh. Выразить нормирующий множительЛг„ через п, a, M, со и Ь.
12.24. Частица массы М движется в центральном поле
„ А2 Ъ F 4-1) „с, Ze2
Показать, что допустимые энергии связанных состояний имеют вид
Wn= -%??¦, c = b+l, fc + 2, ..., b + n, ...,
и соответствующие волновые функции определяются равенством
ф = Neimv cosb+1 Ь sinm& X
Каково должно быть значение I, чтобы ф было конечно?
12.25. Гармонический осциллятор возмущается потенциалом Ьхг, при-
причем Ъ мало по сравнению с Мш2/2. Рассчитать возмущение уровней энер-
энергии с точностью до членов второго порядка относительно Ь.

Задачи 697
12.26. На частицу действует центральная сила с потенциалом
гм
Найти наинизшую допустимую энергию как функцию от 1/bd для
О < 1/bd < 2, используя таблицы функций Бесселя (см. стр. 620, 621). Найти
эту энергию также вариационным методом, используя в качестве пробной
функции волновую функцию Ne~ar. Сравнить результаты.
12.27. Подсчитать фазовый угол рассеяния тH для потенциального
поля задачи 12.26 при bd= 1/2 как функцию от kd для 0<Ы<1
(см. стр. 637). Подсчитать т)э также на основе борновского приближения
и вариационным методом (см. стр. 641 и 650). Сравнить результаты.
12.28. Получить функцию Грина стр. 659 для точечного источника,
расположенного на оси х. Что произойдет, если источник будет нахо-
находиться в начале координат?
12.29. Воспроизвести детали вывода A2.3.85).
12.30. Подсчитать следующее приближение для волновой функции
основного состояния гелия. Использовать для этого в равенстве стр. 680
вариационную волновую функцию со стр. 679 и функцию Грина A2.3.94).
12.31. До момента t — О система характеризуется оператором Гамиль-
Гамильтона о%?0 и имеет двукратно вырожденное основное состояние: ¦Шо<^1 = Е<рг
и .W0<p2 = Еу2 (причем 9Х ортогонально к <j>2). После момента ( = 0 в гамиль-
гамильтониане имеется дополнительный член 3@г со свойствами
= К {а?1 + Р?2), Ж&г = Ь (fo - 092).
Показать, что если до момента t = 0 система находилась в состоянии 1,.
то при t > 0 волновая функция будет иметь вид
W= {[cos(Y0- ysi
где Y2 = a-2-br2- Выяснить физический смысл этого результата.
12.32. Даны две системы, одна из которых имеет два дискретных
уровня энергии:
ЗС19п = Еп9п (« = 0,1, ?0 = 0, Ег = Е),
а другая один дискретный уровень (ири нулевой энергии) и континуум
уровней (излученные частицы):
Начиная с момента t = 0, обе эти системы связаны энергетическим чле-
членом й5%?12, имеющим свойства
где dvh — элемент объема трехмерного «^-пространства» и где г0 можно-
считать равным радиус-вектору центра тяжести системы 1. Полагая
? = %(t)?lXoe-««/»+ ^ ah(t)Шье-tW» dvh
в зависящем от времени уравнении Шредингера и решая полученные урав-

698 Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
нения относительно ah, показать, что если ? зависит только от модуля к
и если М мало по сравнению с Е, то
-VI
____
где у = тс | М (kj) | 2k\/hz' (ftj)], кг — корень уравнения г(к) = Е и s' — произ-
производная от s по к. Показать далее, что волновая функция при t > 0 будет
иметь вид
где г'2 = |г2 — г0 |. Предполагая, что <р представляет атом или ядро и что Хо>
ум представляют частицы (фотоны, позитроны и т. д.) в их «скрытом» или
имитированном состоянии соответственно, выяснить физическое значение
этого результата.
Полиномы Якоби
Полиномы F(-n, n + a\c\z) называются полиномами Якоби п-то по-
порядка для параметров а я с (п = 0,1, 2, ...; с ф 0,1, 2, ..., п— 1).
Эти полиномы ортогональны между собой в интервале 0<!«<1 с весовой
функцией zc~l (I — z)a~c:
i
{ zc-^ A — zf-c F( — m, m+a \c\z)F{ — n, n + a \ с \ z) dz =
Общие соотношения.
с (c-)-l) ... (c-f-и
a\c\z)= ^a [F(-n, n + a-l\c - l\z)-
— F( — n—l, n-\-a\c — 11z),
Пс)Т(с-а) р / _ я „_,_„¦
Г (г) Г Bп 4- а) -
Г (с)
Г(га+°)Г(с
L_! С B _ rtc-n-
; — и—a) J

Полуцилиндрические функции
699
Специальные случаи.
F { — n, n
F( — n, n + 2
F(O,a\c\z)=l,
z) = cosBnarc sin]/z),
sin [2 (re+1) arc sinV
п!Г(с)Г(а+п+«) -
n=0
'(— n, n + 2m
sin2 a) =
И +
X
[-l)sn! Bs)! (H
J- cosBma).
Полуцилиндрические функции
cos
1
mn L
+
г2_4-Т (m2_4)(m2_16)
^, m = 0, 2,4, ... ,
—2-, m= 1, o, O, . . . ,
—J6J+ ... J . m-1,3,5, ....

700
Гл. 12. Диффузия. Волновая механика
1 d_f dJ%>\ Г. т*\Ты_
z dz V. ~~dz~ ) + V ~ ~F~ ) ~~
If « = 0,2,4....,
2mi
_ 1 ч -
, wi=- 1, о, О, . . . ;
dz-
J-' (z); -г-
A2,
Г*Л\ I v J. ™- ink
eiz |cos ?1=2 ( - 1)" COS Bп?) Лп (z);
п=0
? 4 4" ^'+1 (z), m = 1, 2
0, иг = 2, 4, 6, ... ,
1
I|r,™-1,3,5,... .
Аналогично для и > 2 можно определить /^' (z) так, что в интервале
тс/п будет справедливо равенство
eizcos<f= 2 sm inm COS (Ш <f>) /ЙЙ (Z).
7П=0
Значения суммы ряда повторяются п раз на интервале <j> длины 2тс. Дру-
Другими словами,
jn=0
Эти функции имеют следующие общие, свойства:
7С/-П 7С/П
\ » cos " cos imu) du = ^A- V eiz °°a u+imu dn =
•к/п
s=0
" ia
ns!
zs \ coss м cos (mu) du, m = 0, 1, 2, 3, ...;
Т(т
m l2)-y
псов(ии1/и)
Ягт-» sin (я/n)
'B)
(re)
>, z-^co;
7 /{? (z) = 4 /{Si i (z) + 4 /Г+1 (z) - ^ e" cos <«'"> sin (^) ;
С указанными функциями тесно связана функция

Литература 701
ЛИТЕРАТУРА
Книги и статьи, в которых рассматриваются вопросы диффузии тепла и различ-
различных частиц:
Снеддон И., Преобразования Фурье, Издат. иностр. лит., М., 1955.
Франк Ф., Мизес Р., Дифференциальные и интегральные уравнения математи-
математической физики, ОНТИ, М., 1937.
liateman h., Partial Differential Equations of Mathematical Physics, Cambridge,
New York, 1932-
Bet he H. A., Nuclear Physics, Sec. 59, Diffusion of Neutrons, Rev. Modern Phys.,
9, 130A937).
Carslaw H. S., Jaeger J. C, Conduction of Heat in Solids, Oxford, New York, 1947.
Morse P. M., A His W. P., La mar E. S., Velocity Distributions for Elastically
Colliding Electrons, Phys. Rev., 48, 412 A935).
Вопросы, связанные с функциями распределения и их применениями:
Лоренц Г. А., Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового
излучения, Гостехиздат, ivi., 1953.
Чандрасекар С, Перенос лучистой энергии, Издат. иностр. лит., М., 1953.
Fermi E., Sul Moto dei Neutroni nelle Sostanze Idrogenate, Ricerca sci., 7, 13A936).
Ho pf E., Mathematical Problems of Radiative Equilibrium, Cambridge, New Yorki 1934.
Marsbak R. E., Theory of the Slowing Down of Neutrons, Rev. Modern Phys.,
19, 185A947).
Placzek G., Seidel W., Mark C, Le Caine J., Milne's Problem for Diffusing
Neutrons, Phys. Rev., 72, 550—566A947).
Spencer L. V., Fano U., Penetration and Diffusion of X-Rays, Nat. Bur. Stan-
Standards, i. Research, 46, 446A951).
Книги и статьи по волновой механике, затрагивающие вопросы, рассматривае-
рассматриваемые в § 12.3:
Бете Г. А., Квантовая механика простейших систем, Гостехиздат, М., 1935.
Ландау Л. и Лифшиц Е., Квантовая механика, ч. 1., ГИТ1Л, М.—Л., 1948.
Мотт Н., Месси Г., Теория атомных столкновений, Издат. иностр. лит., М., 1951.
Шифф Л., Квантовая механика, Издат. иностр. лит., М., 1957.
Blatt J. ML, Jackson i. D., On the Interpretation of Neutron-proton Scattering Data
by the Schwinger Variational Method, Phys. Rev., 76, 18A949).
Bohm D., Quantum Theory, Prentice-Hall, New York, 1951.
Breit G., Separation of Angles in the Two-electron Problem, Phys. Rev., 35, 569A930).
Condon E. U., Morse f. M., Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1929.
Feshbach H., Peaslee D. G., Weisskopf V. F., Scattering and Absorption of
Particles by Atomic Nuclei, Phys. Rev., 71, 145A947).
Hylleraas E. A., New Calculation of the Energy of Helium in the Ground State,
Z. Physik, 54, 347A929).
Kemble ti. C, Fundamental Principles of Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New
York, 1937.
Kramers H. A., Die Grundlagen der Quantentheorie, Akademische Verlagsgesell-
schaft, Leipzig, 1938.
Mott N. F., Sneddon 1. N., Quantum Mechanics and Its Applications, Oxford, New
York, 1948.
Schwinger J., On the Charge Independence of Nuclear Force, Appendix, Phys. Rev.,
78, 138A950).

ГЛАВА 13
Векторные поля
В трех предыдущих главах подробно рассматривались скалярные поля;
при этом физическое явление в каждой точке пространства описывалось
значением только одной числовой величины. Конечно, в большинстве
случаев эта величина была вектором (например, напряженность электри-
электрического поля или скорость жидкости). Однако положение было таково,
что этот вектор можно было непосредственно получить как градиент
скалярного поля. Обычно подобное упрощение достигалось за счет зна-
значительной идеализации задачи; например, приходилось считать электри-
электрические заряды неподвижными, пренебрегать вязкостью текущей жидкости
и т. д. Но сравнительное удобство применения скалярных полей настолько-
велико, что ими пользуются всегда, когда только возможно.
Естественно, что вычисление векторного поля, которое нельзя выра-
выразить как градиент некоторого скаляра, является более трудоемкой зада-
задачей, чем вычисление скалярного поля, поскольку в каждой точке про-
пространства вместо одной числовой величины надо вычислить три. Эти три
величины можно определить различным образом в зависимости от выбран-
выбранного способа задания вектора. Конечно, наиболее очевидным способом
является задание в каждой точке декартовых составляющих вектора;
в этом случае приходится определять три скалярных поля, удовлетворяю-
удовлетворяющих граничным условиям. Другим способом является задание компонент
векторного поля вдоль направлений координатных линий криволинейной
системы координат, соответствующей изучаемой задаче. Это также сводит
задачу к вычислению трех скалярных полей, величин этих трех компонент.
Однако обычно более согласованной с физикой явления бывает про-
процедура построения векторного поля по трем скалярным полям при помощи
более общих векторных операций. Как мы видели в гл. 1 [см. фор-
формулу A.5.15)], любое векторное поле можно представить в виде суммы
градиента скалярного потенциала и ротора векторного потенциала.
Поэтому одной из скалярных величин, определяющих поле, может быть
скалярный потенциал; две других величины должны единственным обра-
образом определить векторный потенциал. Для определения векторного потен-
потенциала в каждой точке достаточно задать лишь две величины, а не три,
так как дополнительное условие равенства нулю дивергенции векторного
потенциала сокращает до двух число независимых величин, необходимых
для полного определения векторного потенциала.
Преимущества последнего метода будут ясны при рассмотрении спо-
способов удовлетворения граничным условиям для векторных полей. «Основ-
«Основными» граничными условиями для скалярных полей являются однород-
однородные условия Дирихле (равенство нулю поля на границе области) или
однородные условия Неймана (равенство нулю нормальной составляющей
градиента поля на границе, области). В векторном случае нужно каким-
либо образом задать на границе области значения всех трех основных

ль 13. Векторные поля 703
скалярных функций, указанных в предыдущем абзаце, или их нормаль-
нормальных производных. При неудачном выборе скалярных функций, задающих
векторное поле, задача составления граничных условий становится исклю-
исключительно сложной; при удачном выборе эта задача оказывается сравни-
сравнительно простой.
В гл. 2 и 3 изучены различные векторные поля,. которые нельзя
выразить через градиент одной скалярной функции (например, электро-
электромагнитное поле, скорость вязкой жидкости или смещение упругого тела).
Рассмотрение этих полей показывает, что «естественные» граничные усло-
условия заключаются в задании значений нормальных или тангенциальных
компонент (или их производных) векторного поля на границе области.
Если Fn й F( — соответствующие компоненты, то одним из возможных
граничных условий является Fn = 0, другим F, = 0 и т. д. Конечно,
F( является двумерным вектором, получающимся проектированием вектора
F на граничную поверхность; в случае неоднородного граничного усло-
условия необходимо задать и величину и направление этой проекции. Если
п — единичный вектор нормали к граничной поверхности, то тангенциаль-
тангенциальная проекция содержится в n X F, так что граничное условие Дирихле заклю-
заключается в задании скалярной величины Fn = nF и двумерного вектора
nxF.
В других случаях физически интересным может быть ротор век-
векторного потенциала F; в этих случаях мы имеем обобщение гра-
граничного условия Неймана, заключающееся в задании величин n-(rotF)
ипХ (rotF).
Чтобы показать, как важно правильно выбрать три скалярные функ-
функции, задающие векторное поле, рассмотрим удовлетворение граничных
условий на поверхности сферы. Если в качестве скалярных функций
выбрать декартовы компоненты вектора Fx, Fy, Fz, то уравнения для
этих функций будут весьма схожи с уравнениями для обычных скаляр-
скалярных полей. Например, если вектор F удовлетворяет векторному уравне-
уравнению Гельмгольца V2F + A:2F = 0, то уравнения для всех трех декартовых
компонент вектора F будут скалярными уравнениями Гельмгольца, методы
решения которых были изучены в гл. 11. Однако подчинение найденных
решений граничным условиям будет затруднено, так как вектор выражен
декартовыми компонентами, которые сложным образом связаны со сфери-
сферической граничной поверхностью. Если даже найти Fx, Fy, Fz как реше-
решения уравнения Гельмгольца в сферической системе координат г, &, <j>, то
для удовлетворения, скажем, условия, требующего, чтобы вектор F был
касателен к поверхности сферы во всех ее точках, придется составить
выражения, в которых все три полученных решения «переплетаются»
сложным образом. Эту задачу в принципе можно разрешить, но при этом
мы встретимся с трудностями того же порядка, что и рассмотренные
в начале гл. 5, которые привели нас к задаче отыскания решения скаляр-
скалярного уравнения, разделяющегося в системе координат, соответствующей
границе области. Таким образом, мы приходим к необходимости выраже-
выражения компонент нашего векторного поля в виде скалярных полей, доста-
достаточно просто связанных с граничной поверхностью.
Решение, которое сразу приходит на ум, заключается в том, чтобы
выразить наш вектор через его компоненты в системе координат, соответ-
соответствующей границе. В рассматриваемом примере естественно выбрать
за три скалярные функции, через которые выражается наш вектор,
Fr, Рь, F9— величины компонент вектора в сферической системе коорди-
координат. Но здесь мы сталкиваемся с другой трудностью, которую- легко
усмотреть, обращаясь к выражению V2F через Fr, Ffh F9, данному в конце
гл. 1. Мы видим, что соответствующие векторному уравнению Гельмгольца
скалярные уравнения не распадаются на три уравнения, содержащие

704 Гл. 13. Векторные поля
каждое соответственно только Fr, F& и F9. Приходится иметь дело с систе-
системой трех однородных уравнений, каждое из которых содержит все три
функции. Разрешить их не невозможно; однако в общем случае это сопря-
сопряжено с решением дифференциального уравнения шестого порядка, чего
конечно, нужно постараться избежать. Это затруднение возникает для
всех криволинейных координатных систем. Если даже в уравнении ска-
скалярного поля в данной системе координат переменные разделяются, то
в уравнениях для соответствующих компонент вектора F переменные
могут уже не разделяться, и даже если они разделяются и в этих урав-
уравнениях, то компоненты так «перемешаны», что каждая входит во все три
уравнения.
Однако не нужно слепо подходить к задаче, не пользуясь наводя-
наводящими соображениями, подсказываемыми ее физическими аналогиями.
Во всех случаях, рассмотренных в гл. 2, мы имели веские основания
для разделения векторного поля на две части: одна получается как
градиент скалярного потенциала, другая — как ротор векторного по-
потенциала. Первое из этих полей обычно называется продольной ком-
компонентой, поскольку градиент определяет направление наибыстрей-
наибыстрейшего изменения скалярного потенциала. (Например, градиент потен-
потенциала указывает направление распространения плоской волны.) Второе
называется поперечной (или соленоидальной) компонентой, поскольку
направление ротора вектора обычно является поперечным по отношению
к направлению его наибыстрейшего изменения. (Например, оно перпенди-
перпендикулярно направлению распространения плоской волны.) Во многих слу-
случаях эти компоненты несколько различаются в своем поведении; скорость
поперечных волн в упругой среде, например, отличается от скорости
продольных. Но и в других случаях, если даже обе компоненты удовле-
удовлетворяют одному и тому же уравнению (как в случае электромагнитного
поля), нет препятствий для такого разделения.
Разделение на продольную и поперечную компоненты F = F, 4- F(
имеет ряд преимуществ. Во-первых, продольная компонента, как было
отмечено, является градиентом скалярного поля, и следовательно, для ее
нахождения можно пользоваться методами трех предыдущих глав. Напри-
Например, известно, как получить решение методом разделения переменных
и удовлетворить граничным условиям для скалярного потенциала. Поэтому
наше внимание в этой главе будет сосредоточено на поперечной компо-
компоненте, получающейся в виде ротора векторного потенциала. Эта компо-
компонента всегда может быть получена из пары скалярных полей. Обычно
векторное поле определяется через три скалярных величины, но требованиетео-
леноидальности, т. е. равенства нулю дивергенции поля, накладывает одно
линейное соотношение на эти три скалярных функции, которое сводит
число независимых скаляров к двум.
В первом параграфе этой главы будет показано, как разделепие век-
векторного поля на продольную и поперечную части дает возможность упро-
упростить способы удовлетворения граничным условиям. Будут исследованы
ограничения, накладываемые на различные координатные системы, при
которых поперечное решение связано с координатными поверхностями
так же, как и разделяющийся скалярный потенциал. (Другими словами,
будет обобщено понятие разделимости для того, чтобы включить в него
поперечные векторные поля и их уравнения.) Затем будет дано резюме
результатов 6 и 7 глав для того, чтобы рассмотреть основные свойства
поперечных векторных собственных функций и векторных функций Грина,
а также их использование при удовлетворении граничным условиям.
В § 13.2 и 13.3 будут разобраны решения векторных уравнений Лапласа,
Гельмгольца и волнового уравнения для различных координатных систем
и граничных условий.

13.1. Векторные граничные условия 705
13.1. Векторные граничные условия, собственные функции
и функции Грина
Нашей первой задачей в этом параграфе будет проверка некоторых
утверждений, высказанных во введении. Уравнением, на котором мы
проиллюстрируем наши результаты, будет векторное уравнение Гельмгольца
V2F + /c2F = grad (div F) - rot (rot F) -f k2F = 0. A3.1.1)
Это уравнение при &=0 переходит в векторное уравнение Лапласа,
а решения векторного волнового уравнения получаются из решений урав-
уравнения A3.1.1) применением преобразования Лапласа, как это показано
в § 11.1. Соответствующее неоднородное уравнение получим, добавляя
слагаемые в правой части A3.1.1).
Как было отмечено в § 1.5 [см. уравнение A.5.15)], векторное реше-
решение F всегда можно разделить на продольную и поперечную части:
F = F, + FI, F^grad?, Ft = rotA, A3.1.2)
rotF, = 0, divFt = 0,
где <j> — скалярный потенциал и А — векторный потенциал. Продольная
часть (или, скорее, соответствующий скалярный потенциал) была рассмо-
рассмотрена в предыдущих главах, и нет необходимости в подробном ее рассмо-
рассмотрении; такое рассмотрение будет производиться, лишь если это потре-
потребуется для полноты изложения.
Векторный потенциал А также имеет продольную и поперечную части,
но его продольная часть не имеет физического смысла, так как при
вычислении rot А для получения вектора F продольная часть дает нуль.
Поэтому мы обычно принимаем, что дивергенция векторного потенциала А
равна нулю. Будет сделано лишь несколько исключений, в частности,
в случае векторного уравнения Лапласа.
Высказанное утверждение требует дополнительных пояснений в слу-
случае электромагнитного поля, так как оно связано с выбором калибровки
потенциалов электромагнитного поля, не являющейся релятивистски инва-
инвариантной, как это было вт. I на стр. 206. Уравнения для определенных
такой калибровкой электромагнитных потенциалов имеют вид
_2 4яр
r-^f grad^, A3.1.3)
Л Л А
B = rotA, E=-grad?- —-gj-.
В некоторых случаях рекомендуется к выбранному таким образом вектор-
векторному потенциалу добавить произвольный градиент, подбирая его так, чтобы
div А была равна некоторой произвольно заданной функции U, а не
нулю. Тогда уравнениями для преобразованных потенциалов Аи и <$>„ будут
_2 4яр 1 8U
При этом, для того чтобы электрическое и магнитное поля не изменились
при данном преобразовании потенциалов, необходимо, чтобы

706 Гл. 13. Векторные поля
В частности, если мы хотим так выбрать потенциалы А и <р, чтобы они
являлись компонентами четырехмерного вектора, то надо положить
divA= — (ер/с) (dy/dt), т. е. Ar = A-gradXr; <pr = <p + (l/c) (dxJdt), где
V2Xr = (s(i/c) (dyr/dt), a Ar и срг должны удовлетворять уравнениям B.5.15).
Поэтому можно вычислить А и 9 из уравнений A3.1.3), а затем перейти
при помощи указанного выше преобразования к новой системе потенциа-
потенциалов. Другая система потенциалов, иногда удобная, дается уравне-
уравнениями C.4.20).
Поперечное поле в криволинейных координатах. Предположим, что
заданной граничной поверхности соответствуют криволинейные координаты
?i» ?2, ^з с коэффициентами Ламе hx, Л2, hs. Например, пусть рассматри-
рассматривается поверхность 1г = С. Пусть продольная часть поля равна grad<p.
Если, скажем, уравнение Гельмгольца в этих координатах разделяется,
то к продольной части поля можно применять граничные условия таким
же образом, как это делалось в предыдущих главах. Как было указано
несколькими страницами раньше, поперечная часть зависит от двух ска-
скалярных функций. Удобно выбрать эти скалярные функции и способ опре-
определения через них поперечного поля так, чтобы часть поля, определяемая
при помощи одной функции, была касательной к поверхности %г = С, а дру-
другая часть — нормальной к ней.
Вектор, нормальный к поверхности ?г, записывается в виде а,/, где
/—некоторая подлежащая определению скалярная функция от ?lf Е2, is.
Однако этот вектор не всегда дает поперечное поле, так как его дивер-
дивергенция (l/h^hg) [д (h^hgO/d^] далеко не всегда равна нулю, даже если /
не зависит от Ех.
Вектор
м=rot Ы) = й;-^ ^^
касателен к поверхности ?г = С, и поскольку дивергенция М равна нулю,
его можно взять в качестве решения, если только / выбрана так, чтобы М
удовлетворял заданному уравнению. Если таковым является векторное
уравнение Гельмгольца, т. е.
_ V2M = — grad div M + rot rot M = rot rot M = /c2M
(поскольку divM = 0), то остается лишь удовлетворить требованию, чтобы
rot М = rot rot (ах/) равнялся A;2ax/ плюс градиент некоторого скаляра.
В этом случае уравнение будет удовлетворено. Но
rotM= -J^-Г-А f л« д ьЛ, д С
+ hlhs 9Sx \.hth2 dt2 nJ)~^hxhb д%
Это выражение", конечно, не очень похоже на /с2ах/ + grad и, но при более
внимательном рассмотрении становится ясно, что коэффициенты при а2 и а3
могут быть представлены как соответствующие компоненты градиента в том
и только в том случае, если функции h^hxh% и h2/hxha обе не зависят от
?17 т. е. если и Иг и hjhs не зависят от ?1. Действительно, в этом случае
можно изменить порядок дифференцирования, а также преобразовать пер-
первый член так, чтобы окончательно получить
л»' J + h2h8 dk8 Khth8 dt8 niJ J\ ¦

13.1. Векторные граничные условия 707
Ротор первого члена равен нулю лишь тогда, когда hx не зависит ни
от ?2. ни от ?3; другими словами, hx должно быть постоянной и, следо-
следовательно, может быть положено равной единице. Тогда два последних чле-
члена соответствуют двум последним слагаемым в выражении для V2/, так как
при/г1=1 V^2 Равно yy^V^g^i, У/ЛУ и M*s PaBHO MsV^3 =
= gs(bv У /3(У. где функции gn и /„ те же, что и на стр. 484 в т. I. Выра-
Выражение в фигурных скобках отлично от V2/ лишь из-за первого слагаемого.
Однако его можно так преобразовать, чтобы это выражение было равно
w (?х) Т2ф, где / = w (EJ ф. Это возможно, если первое слагаемое, которое
можно записать как д2 (шф)/<9?* равно (ш//л) [<9 (/хдф/ду/^х], где /г2/г3 =
($h)fi (Si)- Этим путем окончательно получим
г, dw 9ф d2au _ ш d/t Эф
z Ж"' Ж~+* бГ "" 7Г' Ж"' "Ж"'
что должно иметь место для любой функции ф.
Это уравнение удовлетворяется при любой функции ф, если cPw/d$l — 0
и если 21пш = 1п/1. Первое уравнение удовлетворяется, если w равно ^1
или ?t, а второе —если /г равно 1 или соответственно i\. При выполнении
этих условий окончательно получим
rot М = grad ( . wb j —
и если ф является решением скалярного уравнения Гельмгольца, Т2ф = — А?ф,
то
rot М = grad (-Ц- ) + /с2а1/, / -
следовательно,
rot (rot M) = /с2М.
Таким образом, дивергенция вектора М = rot (агшф) равна нулю, и этот
вектор является решением векторного уравнения Гельмгольца.
Просматривая приведенную в конце гл. 5 таблицу различных систем
координат, в которых переменные разделяются, мы видим, что из один-
одиннадцати таких координатных систем лишь в шести один из коэффициен-
коэффициентов Ламе равен единице, а отношение двух других не зависит от соответ-
соответствующей этому коэффициенту координаты. Это: прямоугольные координаты,
в которых за ?j можно выбрать х, у или z, три цилиндрические системы
координат, в которых за ?г надо выбрать координату z, и, наконец, сфери-
сферическая и коническая системы координат, в которых роль координаты ?х
играет радиус. В первых четырех случаях функция /г равна 1, поэтому
и ш=1; в двух последних случаях /t = r2 и, следовательно, w=r.
Мы показали тем самым, что в шести из одиннадцати координатных
систем, в которых разделяются переменные в скалярном уравнении Гельм-
Гельмгольца, можно получить решение векторного уравнения Гельмгольца,
поперечная часть которого касательна к одной из координатных поверхно-
поверхностей. Общий вид этого решения есть
М = rot [ajW (?х) ф] = grad (шф) х ах, A3.1.4)
где ф — решение скалярного уравнения Гельмгольца, ?х = z и w=l для
цилиндрических координат (включая и декартовы), а для сферических
и конических ?г = г и w=r.
Этим получено одно из двух скалярных полей, определяющих попе-
поперечную часть общего решения, и показано, как из этого скалярного поля
получается соответствующая часть поперечного поля. Остается построить

708 Гл. 13. Векторные поля
второе скалярное поле, определяющее остальную часть поперечного поля,
входящего в общее решение, именно, часть, нормальную к координатной
поверхности ?х = const, или, проще говоря, часть, ротор которой касателен
к этой координатной поверхности.
Как мы видели, вектор at/, вообще говоря, не является поперечным
решением (для многих координатных систем он даже не удовлетворяет
уравнению). Однако
N = ^rotrot[a1^E1)x] = te1^x + xSrad(-air^) , A3Л.5)
где х — решение скалярного уравнения Гельмгольца [a w — то же, что
и в A3.1.4)], является поперечным решением векторного уравнения Гельм-
Гельмгольца в указанных выше шести системах координат. При этом вектор
rot N = k grad (wy) x at
касателен к поверхностям ?х. Вектор N не совпадает с вектором М даже
при х = ф. В самом деле, при х = ф вектор N часто ортогонален М.
Таким образом, мы ввели три решения скалярного уравнения Гельм-
Гельмгольца, функции <р, ф и х. и построили из них решения векторного урав-
уравнения Гельмгольца, из которых можно линейно скомбинировать наиболее
общее его решение:
L = grad <j>, М = rot (а1г^ф) = grad (&уф) X а1?
Форма этих решений допускает достаточно простое применение граничных
условий. Первый из этих векторов представляет продольную часть, два
других — поперечную часть решения. Вектор N записан с множителем 1/к,
чтобы размерность <р, w% и шф была одинаковой.
Для остальных пяти координатных систем можно получить решения,
выбирая в качестве' прямоугольных компонент вектора три решения ска-
скалярного уравнения Гельмгольца. Однако при этом удовлетворение гранич-
граничным условиям представляет почти неразрешимую задачу. Итак, мы уточ-
уточнили определение разделимости векторного решения, понимая под этим
возможность разложения решения на компоненты вдоль векторов L, M, N,
определенных формулами A3.1.6), причем входящие в них скалярные
функции разделены на множители, зависящие каждый лишь от одной
переменной, согласно изложенному в § 5.1. Поэтому в смысле данного
определения лишь шесть координатных систем допускают разделение
решения векторного уравнения Гельмгольца. Для остальных векторных
уравнений разделение в этом смысле связано с еще большими ограниче-
ограничениями. Например, уравнение задач статической теории упругости раз-
разделяется лишь в сферических и полярных координатах; даже в прямо-
прямоугольных координатах удовлетворить граничным условиям нелегко.
Векторные теоремы Грина. Чтобы показать связь между решениями
и граничными условиями и получить векторные функции Грина для про-
продольных и поперечных векторных полей, необходимо вывести векторный
аналог теоремы Грина G.2.2). Эта теорема устанавливает связь между
поведением скалярных полей на граничной поверхности и их общим пове-
поведением внутри области, подсказывает нам характер граничных условий,
необходимых для определения поля внутри области, а также служит
основой в методе решения краевых задач при помощи функции Грина.
Эта теорема основана, конечно, на теореме Гаусса A.4.7), связывающей
дивергенцию векторного поля с полным потоком вектора.

13.1. Векторные граничные условия 709
Формула Грина связывает две скалярные функции. Теперь мы уста-
установим соотношение между двумя векторами Е и F, причем в качестве
одного из них мы возьмем затем функцию Грина, а в качестве другого —
искомое решение. Вместо одной величины, как это было в скалярном
случае, на граничной поверхности теперь надо задать две: одну — связан-
связанную с ротором, а другую—с дивергенцией вектора. Запишем сначала
теорему Гаусса для двух векторов, образованных из Е и F:
div [Е X rot F] dv = ф [Е х rot F] -n dA =
= §> [nxE].rotF<L4=^E-[rotFXn]d4,
где для простоты выкладок положено, что аксиальный вектор dA совпа-
совпадает с единичным вектором п внешней нормали к поверхности и что его
величина равна элементу dA площади поверхности.
Пользуясь таблицей векторных операций, приведенной в конце гл. 1,
мы видим, что
div (E div F) = E-grad (div F) + (div F)-(div E),
div [E x rot F] = (rot E) • (rot F) - E ¦ rot (rot F).
Меняя местами Е и F и вычитая получаемые соотношения из исходных,
окончательно получим аналог теоремы Грина для векторов:
\ И {E-grad div F — F-grad div E} dv = & {(div F) E - (div E) F}-n dA —
— \\\ [E-rotrotF —F-rotrotE]du=?{[nxE]-rotF+[nXrotE]-F}dA,
откуда
-F-V2E] dv =
= & {E x rot F -+- E (div F) - F x rot E — F (div E)} • n dA =
= ф {(E div F- F div E)-n - (Е- [п х rot F] + rot E- [n x F])} dA, A3.1.7)
С С {
где, конечно, V2F = graddivF— rot rot F. Наконец, будем считать вектор Е.
искомым векторным полем, которое надо определить через граничные усло-
условия, а вектор F функцией Грина.
Из A3.1.7) мы видим, что граничные условия задачи распадаются на
граничные условия для поперечного и продольного полей. Если на гра~
нице дивергенция решения равна нулю, то мы можем пользоваться попе-
поперечной функцией Грина и всюду внутри области решение представляется
поперечным полем (с немногими особыми исключениями, которые будут
отмечены ниже). Аналогично, если ротор решения обращается в нуль на
границе, то можно пользоваться продольной функцией Грина и решение
всюду внутри области является продольным; в этом случае можно вер-
вернуться к скалярному потенциалу — первое из соотношений A3.1.7) экви-
эквивалентно соотношению G.2.2).
Из полученных уравнений легко усмотреть типы граничных условий,
которым можно подчинить векторные поля. Во-первых, возможно задание
двух величин En и п X Е, то есть задание на границе нормальной

710 Гл. IS. Векторное поля
и тангенциальной компонент самого поля; для этих граничных условий
применяется функция Грина F, обращающаяся в нуль на границе. Напри-
Например, если искомый вектор представляет смещение в упругой среде, то
эти условия употребляются при задании смещений точек граничной
поверхности среды. В случае векторного электромагнитного потенциала
[с добавочным условием, например, C.4.20)] нормальная компонента А
определяется интегралом по времени от поверхностного заряда на гранич-
граничной поверхности, а тангенциальная компонента А определяется поверх-
поверхностным током.
Во-вторых, возможна другая группа граничных условий, которая
в некотором смысле соответствует заданию нормальной производной
в скалярном случае и состоит в задании величины divE и nXrotE.
При применении этих граничных условий надо пользоваться функцией
Грина, дивергенция и ротор которой равны нулю на границе. В случае
упругого тела эти граничные условия для вектора Е соответствуют зада-
заданию давления и касательного (тангенциального) напряжения на границе.
В аналогичном случае для электромагнитного векторного потенциала зада-
задаются напряженности электрического и магнитного поля на граничной
поверхности (rot А пропорционален Н).
Кроме того, если физическая постановка задачи (или в граничных
условиях, или в самом уравнении) указывает, что поле всюду в рас-
рассматриваемой области является либо чисто продольным, либо чисто попе-
поперечным, то можно использовать это обстоятельство, выбирая соответ-
соответствующую функцию Грина. При этом граничные условия упрощаются.
Например, если поле всюду поперечное, то на границе достаточно задать
лишь проекцию [п X Е] или проекцию [n x rot E]. Функцию Грина выбираем
так, чтобы ее дивергенция была равна нулю и, кроме того, чтобы на границе
касательная компонента либо самой функции Грина, либо ее ротора
обращалась в нуль. С другой стороны, если поле всюду продольное, то
на.границе достаточно задать лишь нормальную компоненту Е или ее
дивергенцию, а для соответствующей продольной функции Грина потре-
потребовать выполнения на границе аналогичных нулевых условий.
Аффинорная функция Грина. В последней части гл. 7 было отмечено,
что функция Грина, вообще говоря, является ядром интегрального опера-
оператора, который преобразует в решение граничные условия и (или) плот-
плотность распределения внешних источников. В случае скалярного решения
это ядро также может быть скалярным. Если же граничные условия и функ-
функция распределения внешних источников являются векторными, то это
ядро должно быть векторным оператором, аффинором типа, рассмотрен-
рассмотренного в § 1.6. Можно сказать, что это является естественным распростра-
распространением теоретико-функциональной точки зрения на собственные функции
и функции Грина, развитой в гл. 6 и 7. Там было указано, что гранич-
граничные условия можно рассматривать как вектор в абстрактном векторном
пространстве, определяемом единичными векторами e(xs), а функция Грина
является векторным оператором, преобразующим граничные значения
в решение. До тех пор пока граничные условия и функции внешних
источников являются скалярными, G представляет собой оператор в век-
векторном пространстве, но скаляр в «реальном» пространстве. Если гра-
граничные условия и плотность источников являются векторами в обычном
смысле, то функция Грина должна быть векторным оператором не только
в функциональном, но и в реальном пространстве. Она преобразует
векторные граничные условия и плотность внешних источников в вектор-
векторное решение. Другими словами, функция Грина для векторного случая
является аффинорной (тензорной) функцией положения источника и наблю-
наблюдателя.

13.1. Векторные граничные условия 711
Эта аффинорная функция Грина @ (г | г0) имеет общие свойства, анало-
аналогичные перечисленным в т. I на стр. 746—747 свойствам скалярной функции
Грина: 1) она должна обладать свойством симметрии; 2) при ее помощи
можно получить решение как для неоднородных граничных условий, так
и для неоднородного уравнения; 3) полученное с ее помощью решение
граничной задачи имеет особенности вне рассматриваемой области. Для
уравнения Гельмгольца эта функция должна удовлетворять неоднородному
аффинорному уравнению
(r|r0) = _4«Зв(г-г0), A3.1.8)
где 3 — идемфактор, аффинорный аналог единицы (^-F = F для любого F).
Оператор V2 применяется к ® по г (оператор VI применяется к & по гп)
ко всем ее девяти компонентам. Девять декартовых компонент аффи-
аффинора V2® являются результатом действия оператора Лапласа на соответ-
соответствующие девять декартовых компонент &. Выраженная в компонентах
криволинейной системы координат, эта функция имеет более сложный вид,
однако соответствующее выражение можно получить методом § 1.5. Ниже
будут приведены некоторые примеры.
Методами, аналогичными рассмотренным в т. I на стр. 749, можно пока-
показать, что аффинор @ удовлетворяет соотношению взаимности
Можно также показать, что © является симметричным аффинором, други-
другими словами, что ®-F = F-© для любого F.
Введенную аффинерную функцию Грина можно использовать для
определения решения неоднородного векторного уравнения, например урав-
уравнения Гельмгольца
, A3.1.9)
удовлетворяющего заданным условиям на граничной поверхности S. Так
же, как и раньше, умножим уравнение A3.1.8) слева на F, а A3.1.9)
справа на © и вычтем первое из второго. Проинтегрировав результат по
области внутри S, получим векторное уравнение
Так как © является симметричным аффинором, то F и © в этом выраже-
выражении можно поменять местами.
В силу уравнения A3.1.7), меняя местами г0 иг, получим, что внутри
области, ограниченной поверхностью S, и на самой поверхности
где различные векторные операции над векторами и аффинорами, входя-
входящими в подинтегральную функцию в поверхностном интеграле, производятся
по правилам, разобранным в гл. 1. Для некоторых случаев эти операции
вскоре будут подробно рассмотрены. Член (Vo-F) является скаляром, в то
время как (@-п)— вектор; член (Vo-©) является вектором, a (F-n)—скаля-
(F-n)—скаляром; член [п X rot F] — вектор, а C — аффинор; член [n X F] — вектор,
а [V х Щ —аффинор, так что полное выражение в фигурных скобках
представляет собой вектор. Объемный интеграл берется по всему объему,
ограниченному поверхностью S, а поверхностный интеграл — по всей по-

712. Гл. 13. Векторные поля
верхности S (по координатам г0). Это выражение эквивалентно формуле
G.2.7) и является исходным для различных методов получения векторных
решений с помощью функции Грина.
Например, если краевая задача состоит в задании на граничной поверх-
поверхности как касательной, так и нормальной составляющих F (Ff и Fn), то
надо выбрать аффинерную функцию Грина, обращающуюся в нуль на
границе области (© равно нулю, когда г лежит на S, а г0 не лежит на S,
или наоборот). Тогда
где © (Vs | г0) = @ (г | г*) = 0. В это выражение нормальная к поверхности
компонента вектора F входит отдельно от касательных компонент, которые
образуют касательный вектор F, (F< есть касательный вектор, который по-
получается проектированием вектора F на плоскость, касательную к поверх-
поверхности; nXF = nxFt является касательным вектором, который получается
из вектора Ft поворотом на тс/2 вокруг вектора п как оси по часовой стрел-
стрелке, если смотреть в направлении вектора п). Если F окажется поперечным
решением (что может иметь место лишь при div Q = 0), то аффинор © можно
выбрать поперечным (т. е. V-©= —^о'^^О) и на граничной поверхности
достаточно задать лишь касательную составляющую вектора F, не задавая
его нормальной составляющей. Это и не удивительно, так как требование
равенства divF нулю накладывает условие на три скалярные функции,
определяющие вектор F, поэтому для определения этих трех функций до-
достаточно двух граничных условий для касательных компонент F. Наобо-
Наоборот, если F является продольным, то и аффинор @ можно выбрать про-
продольным (V х&= — Vo х © = 0) и для определения вектора F на граничной
поверхности достаточно задать лишь его нормальную компоненту.
С другой стороны, если в граничном условии на поверхности задаются
дивергенция и касательная компонента ротора F, то аффинор (# надо выб-
выбрать так, чтобы на S были равны нулю его дивергенция и касательная
составляющая ротора. Тогда
A3.1.12)
где div [C (rs | г0)] = div0 [& (г | г?)] = 0 и соответственно п X rot [@5 (i^ | г0)] =
= п X rot0 [*4}(г| 1^)] = 0. В этом случае дивергенция F входит отдельно от
касательной компоненты его ротора. Если вектор F поперечный (т. е. кек-
тор Q поперечный, a div F равна нулю на S), то в граничных условиях
должны быть заданы лишь две касательные компоненты ротора F.
Общие неоднородные граничные условия для векторных решений со-
состоят в задании значений линейной комбинации нормальной компоненты F
и его дивергенции
[div F 4- а (п ¦ F)] |r=re = Н (г8)
и линейной комбинации касательных компонент самого вектора и его
ротора
[п X rot F] + Р [п X F] |r=rs = К (г') X п,
где а и р могут быть функциями от rs. Этот случай соответствует формуле
G.2.11). При этом следует выбрать функцию @, удовлетворяющую гранич-

13.1. Векторные граничные условия 713
ным условиям
V.@+a(n-©) = 0 и nX[Vx®
Тогда
0, A3.1.13)
что является векторным аналогом формулы G.2.12).
Векторные собственные функции. Прежде чем перейти к вычислению
аффинерных функций Грина для различных случаев, полезно сделать не-
некоторые замечания о собственных функциях векторного уравнения Гельм-
гольца (как примера векторного уравнения). Разобранным выше методом
их можно получать из собственных функций соответствующего скалярного
уравнения. Проще всего искать их либо в виде
либо в виде
где
L = grad<p, М= гоЦа^ф), N = -^ rot rot (s^wy), A3.1.14)
a U, V, W или <р, ф, / — собственные функции скалярных уравнений вида
V2cp -f- A;2tp = 0 и т. д. Задача заключается в выборе к и соответствующих
функций U, V, W или ср, ф и х таким образом, чтобы удовлетворялись
все заданные граничные условия.
Это делается сравнительно просто, если граничным условиям можно
удовлетворить, используя лишь одну из функций, например U или ф, без
использования функций V, W или у, /. Если такое упрощение невозмож-
невозможно, то определение допустимых значений к достаточно сложно. Нетрудно
показать, что указанное упрощение возможно лишь при определенной гео-
геометрии границы области и что такое ограничение равносильно дополнитель-
дополнительным требованиям на координатную систему, которые накладывались вве-
введенным ранее понятием разделимости векторного решения. Ниже будут
даны практические примеры использования указанных положений.
Обычными однородными граничными условиями для векторной собст-
собственной функции являются или условия Дирихле F — О, или условия
Неймана nXrotF = 0 и divF=O. Можно также требовать, чтобы на гра-
границе вектор F являлся поперечным (div F = 0 на границе) и в то же вре-
время удовлетворял условиям Дирихле; в этом случае правильным граничным
условием является n x F = 0 (задание и Fn переопределяет задачу в слу-
случае дополнительного требования на границе divF = O). Оказывается, что
требование равенства div F нулю на границе обычно эквивалентно требо-
требованию поперечности F внутри области. Действительно, взяв дивергенцию
от V2F + A:2F = 0, легко видеть, что скалярная функция divF яшьчется
решением скалярного уравнения Гельмгольца. Лишь для дискретного
множества значений к существуют отличные от нуля решения скалярного
уравнения V2/ + Щ = 0, обращающиеся в нуль на границе замкнутой об-
области. Поэтому, если только собственные значения векторного уравнения
Гельмгольца не совпадают с собственными значениями скалярного уравне-
уравнения при граничном условии / = 0, то из условия div F = 0 на гюанице вы-
вытекает, что divF = O тождественно внутри всей области, т. _. вектор F
поперечный.

714 Гл. 13. Векторные поля
Разберем теперь несколько примеров простых векторных собственных
функций; это поможет почувствовать связанные с ними усложнения и по-
поможет научиться их преодолевать. Простейший случай — прямоугольная
область со сторонами lx, ly, lz, в одном из углов которой находится на-
начало координат. Если заданы условия Дирихле, то собственные функции
можно записать в виде
mBy)], A3.1.15)
пх, пу, nz=l, 2, 3, ...; F = 0 на границе.
Таким образом, для каждой тройки значений пх, пу, nz имеются три вза-
взаимно ортогональные векторные функции. Ни один из этих векторов не
является ни продольным, ни поперечным, причем из каждой тройки полу-
полученных решений нельзя составить такие комбинации, которые давали бы
продольную и две поперечные собственные функции. Как было указано
ранее, решения, удовлетворяющие граничным условиям, задающим на гра-
границе все три компоненты решения, вообще говоря, не являются ни про-
продольными, ни поперечными (т.е. ни их дивергенция, ни ротор не равны
нулю). Отметим то очевидное обстоятельство, что система A3.1.15) является
полной системой векторных собственных функций, при помощи которой
внутри области может быть представлено любое кусочно-гладкое векторное
поле.
Ослабим теперь слегка наши требования, оставив лишь условие ра-
равенства нулю на границе касательных компонент F. Этому условию, ко-
конечно, удовлетворяет система A3.1.15), а также любая линейная комби-
комбинация этих векторов вида F=U, или V, или W, где
A3.1.16)
(-
Ч
которые соответствуют тем же собственным значениям к, что и система
A3.1.15). Система векторов A3.1.16) также является полной системой соб-
собственных функций: (Соответствующая каждой компоненте система скаляр-
скалярных собственных функций является полной для данной области.) Следо-
Следовательно, двух систем A3.1.15) и A3.1.16) слишком много; нужно еще
одно граничное условие для выбора наших собственных функций. Таким
условием может быть требование равенства нулю нормальной компоненты
F на границе, которому удовлетворяет лишь система A3.1.15). Другим
условием может быть требование равенства нулю на границе divF; в этом
случае мы используем лишь систему A3.1.16). Однако эта система не яв-
является поперечной, так как для рассматриваемой области собственные
значения скалярного уравнения для divF при нулевых условиях на гра-
границе совпадают с собственными значениями векторного уравнения. В дей-
действительности в каждый из векторов системы A3.1.16) оказалась непред-
непреднамеренно включенной некоторая продольная часть.
Однако в рассматриваемом случае с граничными условиями равен-
равенства нулю на границе касательной составляющей F и дивергенции F можно
составить из системы A3.1.16) такие тройки линейных комбинаций, что
один вектор окажется продольным, а два других поперечными, с равными

13.1. Векторные граничные условия 715
нулю дивергенциями во всей области, чего нельзя сделать в случае систе-
системы A3.1.15),. Такими комбинациями будут
L =
X
М- —bib v + ii W= rot l"i slnf-^i аЛсоз ( JSL 5,ЛСЮ! С^
, A3.1.17)
divF = 0, nxF = 0 на границе,
где L — продольный вектор, а М и N — поперечные.
Отметим некоторые интересные моменты в полученном результате.
Во-первых, функции <р, Ф, х» через которые L, М и N выражаются согласно
A3.1.14), являются различными и удовлетворяют различным граничным
условиям. На границе равны нулю у, нормальная компонента it}» и каса-
касательная компонента i/. Каждая из них определяет полную систему ска-
скалярных собственных функций, соответствующих одним и тем же собствен-
собственным значениям. Наконец, для заданной тройки чисел пх, пу, nz векторы
L, М и N взаимно ортогональны. Оказывается, что это свойство векто-
векторов L, М и N, определенных формулами A3.1.14), выполняется почти
всегда при «разумных» граничных условиях.
Рассмотрим теперь другую граничную задачу. Найдем решения,
у которых касательные составляющие ротора равны нулю на границе.
Нетрудно указать три таких решения, имеющих вид iU, jF, kW:
A3.1.18)
W = К COS I —j— X ) • COS f —j— у ) ¦ Sin I —j— Z ) .
Кроме того, ротор функции L A3.1.17) (или вообще градиента любого
решения скалярного уравнения Гельмгольца) равен нулю на границе,
так что мы получаем больше, чем требуется. Но этого и следовало ожи-
ожидать, так как полным граничным условием Неймана является требова-
требование равенства нулю не только касательной составляющей ротора, но
и дивергенции. Комбинирование различных компонент дает искомую
систему в виде:
cos (^L.) sin
sin( «g
= 4- rot rot [i sin (-=f *) cos (^L 2/) cos (-=?
divF = 0 и [nxrotF] = 0 на границе. A3.1.19)

716 Гл. 13. Векторные поля
Как и раньше, L — продольный, а М и N —поперечные векторы. Опять
соответствующие ф, •]) и ^ являются различными скалярными функциями,
причем каждая определяет полную систему собственных функций.
Наконец, построим тройную последовательность собственных векторов
с равными нулю на границе нормальной компонентой и касательной
компонентой ротора (четвертая .возможная комбинация однородных гранич-
граничных условий). Такой системой как раз является система A3.1.18).
Из троек этих векторов можно составить один продольный и два попереч-
поперечных вектора, взяв
A3.1.20)
М и N—такими же, как в A3.1.19),
n-F = 0 и nXrotF = 0 на границе.
Таким образом, построены системы векторных собственных функций для
любой из четырех возможных комбинаций однородных граничных усло-
условий. Нетрудно видеть, как удовлетворить и более общим граничным
условиям, использованным в формуле A3.1.13).
Другие системы собственных функций в различных координатах
будут рассмотрены ниже. Проведенных рассмотрений все же достаточно,
чтобы разобраться в сути дела. Если граничное условие заключается
в равенстве нулю вектора F, то наиболее простым решением является
разложение F на его прямоугольные компоненты U, V и W, которые
являются решениями скалярных уравнений с однородными граничными
условиями Дирихле. Естественно, собственные значения для U, V и W
совпадают, так что любое собственное колебание имеет три степени
свободы в соответствии с трехкратным вырождением, имеющим место
в этом случае.
Если граничное условие является одним из остальных трех одно-
однородных граничных условий или какой-либо их комбинацией, то обычно
лучше всего разложить F на продольный собственный вектор L и два по-
поперечных собственных вектора М и N. Они1 также являются взаимно орто-
ортогональными. Для простого уравнения Гельмгольца в случае прямоуголь-
прямоугольных границ собственные значения для всех трех систем собственных
векторов одни и те же, что опять соответствует трехкратному вырожде-
вырождению. В некоторых других случаях это не имеет места и допустимые час-
частоты для волн различного типа оказываются различными.
Примером может служить уравнение колебаний изотропной упругой
среды
(X + 2fi) grad div F — fi rot rot F + pa>2F = 0.
Если граничное условие таково, что перемещение можно разложить на про-
продольную и поперечную части [так же, как в формулах A3.1.17)> A3.1.19)
и A3.1.20)], то уравнение разделяется и собственные функции определя-
определяются указанными выражениями, хотя собственные частоты продольных
колебаний отличаются от частот поперечных колебаний множителем
W/(*- -f 2fi), что легко видно из приведенного выше уравнения. С другой
стороны, для граничного условия F = 0, при котором решение нельзя
разложить на продольную и поперечную части, уравнение не разделя-
разделяется даже в прямоугольных координатах. Трудность при этом граничшш
условии состоит в том, что продольная волна при отражении дает
и поперечные волны и наоборот. Так как эти колебания распространя-
распространяются с различной скоростью, то нелегко составить комбинацию, дающую
периодическое движение, и этого нельзя достичь, пользуясь только
несколькими произведениями синусов и косинусов.

13.1. Векторные граничные условия 717
Однако если граничные условия допускают разделение, то каждому
собственному вектору Fn(r) можно приписать четыре числа, обозначен-
обозначенных здесь условно через п. Первое из этих чисел показывает, какой из
трех систем L, М и N (или, если это более удобно, Ш, jV, кИ7) принад-
принадлежит вектор; три остальных являются номерами производящих скаляр-
скалярных собственных функций ф, ф или ^ (или U, V и W). Можно пока-
показать, что Fn для всех возможных значений п образуют полную ортого-
ортогональную систему функций, т. е.
с с с — @ при т Ф п,
\\ \JVFmdo = {A A3.1.21)
J J J т [Ап при т = п, к '
где интегрирование производится по всей области внутри границы.
Поэтому кусочно-гладкая векторная функция Е, удовлетворяющая тем
же граничным условиям, может быть представлена в этой области
рядом
^rS§S A3.1.22)
Способ доказательства этого утверждения полностью аналогичен приме-
примененному в § 6.3 для скалярных собственных функций. В гл. 3 было
показано, что все рассматриваемые нами векторные уравнения являются
уравнениями Лагранжа—Эйлера, соответствующими такому распределению
плотности лагранжиана в данной области, что каждое из решений Fn
доставляет стационарное значению интегралу от плотности лагранжиана
по полному объему данной области. Отсюда нетрудно доказать ортогональ-
ортогональность и полноту этой системы функций методом, намеченным в § 6.3.
Функция Грина для векторного уравнения Гельмгольца. Продолжая
наше рассмотрение аналогично проведенному ранее рассмотрению для
скалярных собственных функций, нетрудно показать, что аффинорную
•функцию Грина можно разложить по собственным векторам замкну-
замкнутой области. Функция Грина уравнения Гельмгольца должна удовле-
удовлетворять уравнению A3.1.8). Используя операцию аффинорного умножения
двух векторов [см. A.6.7)], легко убедиться, что
где Fn — собственная функция уравнения V2Fn + кп?п = 0, удовлетворяю-
удовлетворяющая тем же однородным граничным условиям, что и @, к„ — соответ-
соответствующее собственное значение. Если Fn — комплексный вектор, то
в разложение входит и сопряженный ему вектор, так что C является
эрмитовым аффинором. Также очевидно, что @ — симметричный аффинор
и обладает симметрией в отношении г и г0. Аффинорное произведение
двух векторов Fn и Fn (а не скалярное или векторное произведение) дает
в результате аффинор [см. формулу A.6.7)].
Отметим, что аффинор @, рассматриваемый как функция от А", имеет
полюсы во всех собственных значениях кп, причем вычет в n-м полюсе
равен — 2nFn (г) ?п (то)/Лпкп. Это соответствует бесконечной амплитуде
колебаний при резонансной частоте вынуждающей силы (если отсут-
отсутствует затухание). Заметим, что в этом случае @ можно сделать попе-
поперечным аффинором, опуская при суммировании продольные собственные
векторы L. Сумма одних только L дает продольную функцию Грина.

718 Гл. 13. Векторные поля
Для внешних граничных задач, когда область определения решения не-
ограничена, спектр собственных значений непрерывен. Соответствующую
функцию Грина можно получить, заменяя ряд A3.1.23) на интеграл и выбирая
путь интегрирования так, чтобы получить расходящиеся волны, как это сде-
сделано в формуле G.2.42). Можно также ряд разбить на ряды по «угловым
координатам», умноженным на разрывные функции «радиальной» коорди-
координаты, как было сделано для скалярного случая в формулах G.2.51)
и G.2.63). Это будет проведено позже для некоторых координатных систем.
Функцию Грина для неограниченной области, так же как и в скаляр-
скалярном случае, можно получить в замкнутой форме. Однако здесь имеет места
новое положение, когда для того, чтобы получить векторное решение
задачи, надо найти аффинорное решение неоднородного уравнения для
функции Грина. При этом надо быть осторожным в употреблении нашегс-
векторно-аффинорного символизма, в частности по отношению к 6-функ-
ции. Однако, поскольку в случае неограниченной области мы ищем лишь
простейшее радиальное аффинорное решение, будем смело действоватьг
выражая результаты в прямоугольных компонентах для того, чтобы наш
символизм выглядел как можно проще. Для сокращения, где это возможно,
написания формул сделаем (только для этого раздела) следующую замену:
х = хх; 2/ = ж2; z = x3; i-e^, j = e2; k = e3.
Оказывается, что вычисления для векторного уравнения Гельмгольца
проводятся проще, чем для векторного уравнения Лапласа, поэтому начнем
с первого.
Аффинорная функция Грина для уравнения Гельмгольца должна удов-
удовлетворять уравнению
3 3
+ ?]G + k*G} 45(r-roJ enen, A3.1.24)
п, m=l
где1) ©= 2 emenGmn (r I r01 Л); а) = kc, Gmn— компоненты @ вдоль прямо-
угольных осей. Это дает девять скалярных уравнений для девяти компо-
компонент, и, обращаясь к уравнению G.2.17), мы находим, что решение
A3.1.24) в неограниченной области, ведущее себя на бесконечности как
расходящаяся волна, должно иметь вид
* JhR JhR
®(*Ы*)=2 enenV = V3- A3.1.25)
n=l
Соответствующей функцией для двух измерений (если она нужна) является
2
©= 23 епеп№#0(/с#).
п=1
Для одного измерения соответствующая функция будет скалярной;
векторы и аффиноры не отличаются от скаляров в случае одного изме-
измерения.
Если все встречающиеся уравнения были бы просто уравнениями
Гельмгольца, то к сказанному нужно было бы добавить немного. Оста-
Осталось бы только дать еще выражение @ в различных системах координат.
г) Напомним, что здесь ете„ означает аффинорное произведение векторов; напри-
МП 1 О
.10 10
мер, e!ej= 0 0 0
000
.—Прим. пере в.

13.1. Векторные граничные условия 719
Однако большинство векторных решений значительно сложнее. Во многих
физических приложениях дивергенция результирующего векторного поля
равна нулю: например, для поля скоростей вязкой несжимаемой жидкости,
а также для электромагнитного векторного потенциала при калибровке ф = О
в случае отсутствия свободных зарядов р. Уравнение простых гармони-
гармонических колебаний упругой изотропной среды имеет вид
(К + 2fi) grad div s — ц rot rot s + pa>2 s = 0, A3.1.26)
откуда следует, что скорость распространения продольных волн отли-
отличается от скорости распространения поперечных, как было отмечено
в гл. 2. В этом случае опять надо разделить продольную и поперечную
части s, искать их независимо друг от друга, а затем взять их линейную
комбинацию с коэффициентами, зависящими от X и (л. В этих более слож-
сложных случаях необходимо разделить аффинорную функцию Грина, опреде-
определяемую формулой A3.1.25), на продольную и поперечную части.
Продольные и поперечные аффинорные функции Грина. Задача за-
заключается в определении одного аффинорного поля, ротор которого равен
нулю, и другого, с равной нулю дивергенцией, — таких, что их сумма
дает аффинор, удовлетворяющий уравнению A3.1.24). По-видимому, задачу
можно решить прямо «в лоб», но, как это часто бывает, легче угадать
решение, а затем проверить, что это действительно есть решение. Конечно,
такой способ не доказывает единственности найденного решения, но в гл. 1
уже была доказана единственность разделения вектора на продольную
и поперечную части.
Естественно ожидать, что продольная часть окажется градиентом не-
некоторой функции, зависящей от г и г0. Требуемая условиями взаимности
симметрия функции Грина означает, что если эта функция является
градиентом по координатам г, то она должна быть градиентом и по коор-
координатам г0 (иногда г0 мы будем заменять на г'). Таким образом, простей-
простейшей формой этой функции является
S(r|r'^) = p2emenA-Ag(r|r'|A)==J:2Vg(r|r'|/c)V', A3.1.27)
где g (г | г' | к) — обычная скалярная функция Грина eihR/R для неограни-
неограниченного пространства, а R2 = (хг — x[f + (х2 — х'2J + (х3 — x'sJ. Легко видеть,
что dg/dxm— —dg/dx'm. Множитель l/k2 введен для того, чтобы размер-
размерность у й была той же, что и у g, например, длиной в степени —1.
Как показывает символическая запись VgV этой функции, и rot 2
и rot'S равны нулю; отсюда видно, что произведение аффинора ? на любой
вектор дает продольный вектор. Для построения решения надо некоторую
векторную функцию F от г' умножить на аффинорную функцию Грина и затем
проинтегрировать полученное выражение по г'. Умножив F на аффинор
VgV, найдем, что надо взять интеграл от вектора
Fx (r') grad |? + Fy (г') grad ^ + Fz (r') grad g,
по г'. Ротор полученного выражения по координатам без штрихов равен
нулю при любой зависимости компонент Fx, Fy и Fz от г'.
Перейдем к построению поперечной части аффинорной функции Грина
для свободного пространства. Естественно предположить, что аффинор,
соответствующий поперечным волнам, связан с ротором некоторой вектор-
векторной функции от скалярной функции Грина g. Требование симметрии под-
подсказывает выбор простейшей функции такого вида, которую мы символи-

720 Гл. 13. Векторные поля
чески записываем в форме V X ($g) X V. Положим поэтому
Поскольку dg/dx' = — dg/dx и т. д., первый член в последнем выраже-
выражении может быть переписан в виде
ii r
L
+ e>2* J k*~ k* L g дхдх'
а второй член заменен на —(ij/k2)(d*g/dxdy') и т. д. Следовательно,
m, n
Ho V2g= — k2g — 4я6(г — г'), так что окончательно
Однако это разложение аффинорной функции Грина для свободного
пространства не является наиболее удобным, так как в полученное выра-
выражение входит 6-функция, имеющая как продольную, так и поперечную
части. Хотя мы получили разложение функции $eillR/R на продольную
и поперечную части всюду, за исключением точки г = г', в этой точке
все же остается 6-функция. Из выражения A3.1.23) следует, что f$eihR/R
можно разложить в сходящийся ряд по собственным функциям бесконеч-
бесконечной области, в то время как разложение б-функции
со
о.:»/г г'\ VI *п (г) гп (г )
¦о0 v г ) — Zj л
п=1
дается очень плохо сходящимся рядом; следовательно, разложения для
й и % также будут плохо сходящимися. Очевидно, надо объединить
«продольную часть» 8-функции ей, а «поперечную часть» с %, тогда функ-
функция %g (г | г' | к) выразится просто как сумма продольного и поперечного
аффиноров.
Получить явное выражение для продольной и поперечной частей
сингулярного аффинора 3$(г— г') не просто, но легко можно определить
их интегральные свойства и найти разложения по собственным векторам.
Определим аффинорную функцию ®г(г — г') как функцию, которая после
умножения на любой вектор F(r') и интегрирования по г' дает именно
продольную часть F(r). Аналогично определим ф, (г —г'): интегрируя
по г' произведение Ф,(г — г') на вектор F(r'), получим поперечную часть
F(r). Если для заданной области получены системы продольных собствен-
собственных векторов Ln (г) [см. формулу A3.1.14)] и поперечных собственных
векторов Мп (г) и Nn (r) данного уравнения, то
3Ur-r')=2^-Ln(r)Ln(r') A3.1.30)

13.1. Векторные граничные условия 721
И
где /г означает тройку индексов, принадлежащих скалярным собственным
функциям фп, ij;n и Xn> a нормирующие коэффициенты для Ln, Мп и Nn
различаются при помощи одного и двух штрихов у Лп.
Мы можем поэтому определить две функции Грина, продольную ®г
и поперечную ©(, для неограниченного пространства так, что
38 (г - г') = Ф, (г - г') + Ф, (г - г'),
где g(r |r' | k) = eikR/R — функция Грина трехмерного скалярного уравне-
уравнения Гельмгольца для неограниченного пространства. Всюду, за исклю-
исключением точки г = г', (У, совпадает с S, а @, с S, так что они могут быть
подсчитаны в замкнутой форме. Например, для g = eikR/R
1 — ikJR RR S—ikR—ktR2 -] eihR
J
i?2 fc2i?2 J i?
, RR 3-t
+
ж—шг^ J~ir
Однако разложения по собственным функциям для ©( и @( сходятся
лучше по сравнению с разложениями для S и %, так как сингулярность
при R = 0 у функций @ значительно более простая, чем у ? и %. Напри-
Например, разложение по собственным векторам Ln, Mn и Nn для неограничен-
неограниченной области будет иметь вид
&. (г I г' I к) = 4* У Xn()nft)
= 4« У i Mn(')BIn(r*) Nn(r)Nn(r') I A3.1.33)
©, (г I г'
Итак, функция Грина окончательно разложена на продольную и попе-
поперечную части, для которых получены достаточно хорошо сходящиеся
разложения. Как будет показано ниже, можно получить подобные разло-
разложения и в случае внешних краевых задач в виде, аналогичном форму-
формулам G.2.51) и G.2.63).
Для того чтобы с помощью теоремы Грина можно было находить
продольные и поперечные решения граничных задач, важно знать неодно-
неоднородные уравнения, которым удовлетворяют продольные и поперечные
функции Грина. Поскольку rot@,=0, имее*м
(grad div+ /с2) ©г (г | г' | к) = ±
т, п
-^-graddiv[S8(r-r')]-4ic®,(r-r')=-4ic®?(r-r');

722 Гл. 13. Векторные поля
вычитая этот результат из уравнения A3.1.24) для ©, получим
(-rotrot + /c2)@,(r|r'|/c)= _4яф,(г-г')> A3.1.34)
так как div©( = 0.
Следовательно, решение Ft уравнения
grad div ?г + /c2F( = — 4tcQ,,
где Qj — продольное поле, также будет продольным. Из формулы A3.1.7)
следует, что это решение имеет вид
'n)] dA>- A3.1.35)
Наоборот, решение F, уравнения
— rot rot F, + /c2F, = — 4mQ(,
где divQ, = 0, является поперечным вектором. Оно имеет вид
A3.1.36)
•ЦТ
Обе эти формулы справедливы как внутри, так и на границе S.
Если в уравнении
— rot rot
Q не является поперечным вектором, то F также не является полностью
поперечным. В качестве функции Грина возьмем
В этом случае легко показать, что поперечная часть функции F выра-
выражается формулой A3.1.36), в которой @j надо заменить на (Зс и исполь-
использовать лишь поперечную часть Qt вектора Q. Продольной частью F будет
просто
F.= --§-0.. A3.1.37)
где Q, — продольная часть Q. Это можно проверить непосредственной
подстановкой в уравнение для F. В этом случае формула, выражающая
Ft через &с, верна внутри области, но не имеет места на границе, так
как в поверхностный интеграл войдет дополнительно 6-функция.
Аффинорные функции Грина для упругих колебаний. Уравнение
упругих колебаний изотропной среды можно записать в виде
c?graddivF-c?rotrotF + o2F= -4uQ, A3.1.38)
где Cj = |/"(Х + 2fi)/p —скорость распространения продольных, a cl = \\^
скорость распространения поперечных волн, р — плотность среды; Q = f/p,
где f — плотность объемных сил, и а>/2тс — частота вынужденных колебаний.

13.1. Векторные граничные условия 723
Функция Грина для этого случая имеет вид
(l''|-j). A3-1.39)
где ©j и ©(—аффиноры, определенные формулами A3.1.31). Отметим,
что для двух частей аффинорной функции Грина исходные скалярные
функции Грина g различны, что соответствует различным скоростям
распространения двух типов волн. Они совпадают при R —> 0 и оказы-
оказываются в разных фазах для больших R. Решение уравнения A3.1.38)
в таком случае можно представить в форме
П)] dA> ~
-(nxF)]cL4\ A3.1.40)
где div©e = (l/c?)div©( и rot©e = (l/c?)rot@t взяты для значений г' на
границе S.
Подчеркнем еще раз, что для определения решений неоднородного
уравнения Гельмгольца нет необходимости в сложных построениях этого
раздела; для этого достаточно простой аффинорной функции Грина,
например, определенной формулой A3.1.25). Если поле источников Q
является поперечным, то решение [выражаемое формулами A3.1.10),
A3.1.11), A3.1.12) или A3.1.13)] автоматически окажется поперечным;
для продольного поля Q решение соответственно будет продольным. Лишь
при решении уравнения
a grad div F — Ъ rot rot F + k2F = — 4tcQ
для а Ф b приходится разлагать функцию Грина на продольную и попе-
поперечную части, как было сделано в настоящем разделе.
Наконец, полезно отметить поведение аффиноров ©( и ©, для боль-
больших и малых, но отличных от нуля, значений kR. Это будет показано
на примере векторного поля, получающегося применением каждого
из операторов © к единичному вектору i = ех (результаты применения
операторов к векторам j или к полностью аналогичны, поскольку аффи-
аффиноры являются сферически симметричными относительно /? = 0). Для
сравнения приведены результаты для простого аффинора © = Qg-
При kR—> оо имеем
gihR eihR
© • i —» i —s- ; ©, ¦ i —» ай cos 8 —^- ,
R R
A3.1.41)
e eihR
, • i —> (i — ай cos &) —д- = ae sin 8
eihR eihR
где ад — единичный вектор, направленный из точки источника г' к точке
наблюдения г, 8—угол между ай и осью х (cos& = i-aB), а ае—единич-
ае—единичный вектор, перпендикулярный ад, компланарный с i и ад и состав-
составляющий острый угол с осью х. Из этих формул следует, что
(i) = ©D-©,, а также видно, почему ©t названа продольной, а @, — попе-
поперечной функцией.

724 Гл. 13. Векторные поля
Для 1 > kR > 0 имеем
= — [2i7>a (cos в) + P\ (cos ft) (j cos ф + к sin 9)
где ф—угол между плоскостью (i, ад) и плоскостью (х, у). Отметим, что
для этого интервала значении kR величины ©, и ©, значительно больше
@, но противоположны по знаку, так что они почти полностью компенси-
компенсируют друг друга, оставляя лишь C. Из первого выражения для ©(-i сле-
следует, что для aR, совпадающего с осью х, вектор (y(-i составляет с осью
х тупой угол, в то время как для aR, перпендикулярного оси х, этот век-
вектор составляет острый угол с осью х. Для промежуточных направлений
рассматриваемый вектор всегда лежит в плоскости (i, aR) и составляет
угол m + arcctg((l/3) cosec 2& + ctg 28) с осью х. Из второго выражения
для ©,-i следует, что, проинтегрировав эти весьма большие значения вели-
величины поля для малых kR по всем направлениям, мы получим нуль (надо
помножить на sin & do d<p и интегрировать по 8 и ф при постоянном зна-
значении kR). Движение среды в окрестности г = г' аналогично «дымовому
Е{ольцу» или вихревому кольцу с осью кольца, совпадающей с осью х (или
направлением любого другого постоянного вектора, на который действуют
операторы ©).
Решения векторного уравнения Лапласа. В пределе при к—>0 неко-
некоторые части решений расходятся или обращаются в нуль. Если это допу-
допускается граничными условиями, то выражение iU -+- jV -f kW и в этом слу-
случае определяет искомые решения. При этом решение векторного уравнения
сводится к решению трех скалярных уравнений типа, рассмотренного в
гл. 10. Но при попытке разложить решение на систему продольных и две
системы поперечных полей [определяемых формулами A3.1.6)] возникают
затруднения. Эти затруднения связаны с продольным решением, хотя на
первый взгляд кажется, что все дело во втором поперечном решении N,
содержащем множитель 1/к. Чтобы получить конечный результат при
к—>0, умножим N на к. Однакочлегко видеть, что AN при А—>0 стремит-
стремится к продольному вектору, так как это выражение переходит в
grad[d{w~/)/dki\, где % — решение уравнения Лапласа.
Дальнейшее исследование показывает, что в пределе при А—»0 систе-
система решений N оказывается линейной комбинацией системы решений L,
определенных в A3.1.6). Эти функции уже не являются независимыми, и
тем самым потеряна одна из искомых систем решений в разложении об-
общего решения на продольное и два поперечных. Обращаясь к L, нетруд-
нетрудно видеть, что в пределе при к—>0 система L (а следовательно, и N, так
как эти системы эквивалентны) либо является и продольной и поперечной,
либо не является ни продольной, ни поперечной, в зависимости от точки
зрения. Действительно, в пределе ф является решением скалярного урав-
уравнения Лапласа, так что div(gradcp) = divL = O; и divL и rotL равны ну-
нулю (аналогично и для N).
Итак, получены две системы решений, N (или L) и М, у одной из ко-
которых, М, дивергенция равна нулю, а ротор отличен от нуля, а у другой,
N^h дивергенция и ротор равны нулю. Этого достаточно, если рассматри-
рассматриваются только поперечные решения, например, для определения векторных
потенциалов. В окончательном ответе при вычислении ротора векторного
потенциала будет использоваться лишь система М. Однако система N мо-
может понадобиться для удовлетворения граничным условиям.

13.1. Векторные граничные условия 725
Особые трудности возникают при определении чисто продольных реше-
решений векторного уравнения Лапласа, т. е. векторного поля F, удовлетворя-
удовлетворяющего уравнению graddivF = O, у которого ротор равен нулю, а диверген-
дивергенция отлична от нуля. Если ротор вектора F равен нулю, то его можно
представить в виде градиента некоторого скаляра %, и grad div grad }( =
= grad V2^ = 0. Следовательно, если выбрать в качестве % решение урав-
уравнения V2^ = 0, то дивергенция вектора F = grad^ будет равна нулю; мож-
можно взять в качестве ^ решение уравнения V2^ = const, но при таком вы-
выборе у^ мы не получим полной системы продольных полей.
Однако векторное поле а^, где ^ — решение уравнения V2^ = 0, а ах —
единичный вектор вдоль оси х, у или z, является решением векторного
уравнения Лапласа, дивергенция которого, вообще говоря, отлична от нуля.
Но это поле не является продольным, так как его ротор, вообще говоря, от-
отличен от нуля. Можно попытаться выделить из а^ продольную часть при
помощи соотношения A.5.16):
Исследование различных возможных решений ^ скалярного уравнения
Лапласа показывает, что если интеграл в фигурных скобках отличен от
постоянной, то он расходится. Поэтому не существует чисто продольных
решений векторного уравнения Лапласа, дивергенция которых отлична от
нуля. При рассмотрении решений с отличной от нуля дивергенцией надо
использовать либо систему ill j-jF + kFF, либо смешанную систему
M N
Задача оказывается еще более сложной в случае статического смеще-
смещения изотропной упругой среды, так как при этом выражение а^ обычно
не является решением соответствующего уравнения. Кроме того, попереч-
поперечные части решения, М и N, в задачах статической теории упругости ока-
оказываются несущественными по сравнению с продольной частью; они опи-
описывают неизбежное скручивание среды, необходимое, чтобы удовлетворить
граничным условиям для смещений. Продольная же часть играет главную
роль по отношению к внутренним напряжениям и массовым силам, таким,
как сила тяжести.
Уравнение, которое нужно решить, имеет вид
V -!? = (X + 2ц) grad div s — ц rot rot s = (X -f ji) grad div s + [tV2s = — F,
где s—смещение среды, !?—аффинор напряжений, F — массовая сила. В
уравнении отсутствует член A2s, и дивергенция %, если она отлична от
нуля, будет продольным вектором, так как в случаях, представляющих
практический интерес, вектор F, являющийся градиентом потенциальной
энергии (F = — grad V), оказывается продольным. Следовательно, часть ди-
дивергенции !?, определяемая поперечной компонентой вектора s, в точности
равна нулю, а тем самым поперечная составляющая s не участвует в урав-
уравновешивании массовых сил. Независимо от вида F (до тех пор пока F яв-
является консервативным полем) rot rot от частей смещения s, определяемых
векторами М и N, должен равняться нулю.
Однако требуемое уравнение для продольной части s можно получить
из приведенного выше уравнения. Положив s = L = grad cp, получим
(X -f fi) grad (V2^) -f (J.V2 (grad ф) = (X -f 2ц) grad (V2?) = grad V, A3.1.42)
и чтобы быть уверенным, что в это выражение не вошли поперечные реше-
решения, возьмем дивергенцию полученного выражения. Это даст
= div grad (div grad <p) = * VW. A3.1.43)

726 Гл. 13. Векторные поля
Если потенциал массовых сил удовлетворяет уравнению Лапласа, то
функция 9 должна быть решением бигармонического уравнения V4<j> = 0.
Отсюда получим продольную часть смещения. Конечно, надо так выбрать
решение уравнения A3.1.43), чтобы выполнялось и уравнение A3.1.42),
а затем достаточно добавить поперечное решение для удовлетворения гра-
граничным условиям.
Во многих случаях определение смещения не является настолько по-
полезным, чтобы отыскивать его первым. Из-за наличия сравнительно несу-
несущественных частей М и N решение оказывается загроможденным ненужными
подробностями. Кроме того, в практических задачах на границе области
часто задаются напряжения, а не смещения. Поэтому в статическом слу-
случае часто рекомендуется считать основным полем поле напряжений, а не
смещений. В силу симметрии аффинора напряжений его можно выразить
через симметричные дифференциальные операции над скалярной функцией
напряжений Q:
где Q выбрана так, что V-S? = grad (V2Q) = grad F. (Три соотношения для
трех компонент этого выражения часто называются уравнениями совмест-
совместности.) Таким образом, функция напряжений Q удовлетворяет тому же урав-
уравнению, что и ср. Скалярная функция Q связана со смещением s уравнением
VQ V = ХЗ div s + }i (Vs + sV).
Если Q известна, то s можно определить, интегрируя это уравнение.
При использовании метода функции Грина для определения решения
возникают те же затруднения, что и раньше. Пока не надо разделять про-
продольную и поперечную части решения, задача решается несложно. Можно
пользоваться формулой A3.1.10), где аффинорная функция Грина для
неограниченного пространства имеет вид
@(г|го) = 3/Д. A3.1.44)
При этом не появляется никаких расходимостей. Затруднения возникают,
если нужно разделить влияние продольной и поперечной частей, что, на-
например, важно в случае равновесия упругого твердого тела. Уравнения
для & имеют вид
rot rot © = 4*36 + grad div ©,
так что @ не является решением статического уравнения упругости
(X + 2ji) grad div ©e —f* rot rot @e= —4тс^б(г-г') A3.1.45)
Хотя не всегда можно разложить векторное решение уравнения Лап-
Лапласа на конечные продольную и поперечную части, оказывается, что это
можно сделать для аффинора @. Применим формулу
и выберем / так, чтобы V2/ = 1/R. Для неограниченного пространства надо
взять / (R) — R/2. Поэтому положим
grad div © = — grad div @.

13.1. Векторные граничные условия 727
Решение уравнения A3.1.45) можно получить в виде линейной комби-
комбинации ($ и ©. Подставляя эту комбинацию в уравнение A3.1.45) и исполь-
используя для определения коэффициентов соотношение A3.1.46), найдем, что
в неограниченном пространстве
и решение уравнения
(X -f 2[i) grad div F — [i rot rot F = — 4tcQ
имеет вид
e)-(nxF)]cM' A3.1.48)
внутри и на граничной поверхности, по которой берутся два последних
интеграла.
Для ограниченных областей функцию @е следует преобразовать, при-
прибавив решение однородного уравнения, аналитическое внутри граничной
поверхности. При этом получим соответствующую аффинорную функцию
Грина, удовлетворяющую одному из четырех однородных граничных усло-
условий, рассмотренных в этом разделе ранее. Аналогичный метод для скаляр-
скалярного случая был разобран в гл. 7; ниже он будет еще раз проиллюстри-
проиллюстрирован на примерах. Как мы увидим ниже, в некоторых случаях выгоднее
определять напряжения, а не смещения.
Последним интересным случаем является решение неоднородного
уравнения
rotrotF=4itQ, A3.1.49)
где Q—поперечный вектор. Это, например, имеет место в случае электро-
электромагнитного поля при отсутствии свободных зарядов q и неизменной во
времени плотности тока J (для того, чтобы выполнялось div J = 0). Поло-
Положим Q = J/c; F = A — векторный потенциал, напряженность магнитного поля
Н= (l/fi)rot А. Тогда А связан с J соотношением A3.1.49).
Так как представляют интерес лишь поперечные части векторов А и J
и в особенности rot А, то можно непосредственно искать вектор rot F. Это
исключит неприятную продольную часть и упростит вычисления. В качестве
функции Грина возьмем ©(г|г') = rot@(r|r'), а не саму функцию ®. Эта
функция обладает большей частью свойств функции Грина, однако меняет
знак при замене г на г'. Она должна удовлетворять уравнению
rot rot <? = 4u rot [3 S (r- r')]. A3.1.50)
Комбинируя это уравнение с A3.1.49), получаем
{{ { {(rot'rot'©)-F —©-(rot' rot'F)}cfo' =
= _<?{©.[nxrot' F] +(rot'

728 Гл. 18. Векторные поля
Но
$5$ div' [F
или
-\[ \ F-rot'(S'8)dv' = — rotF(r) +
{О для г внутри S,
[F X n] для г на S,
так что окончательно
rot F (г)=
~~Ш§
rot' F) + (rot' 6)' (n x F)]«W для г внутри 5. A3.1.51)
Однако так как © является ротором аффинорной функции Грина @,
удовлетворяющей уравнению V2@= — 4ic§u(r — г'), то можно проинтегри-
проинтегрировать уравнение A3.1.51), чтобы получить выражение векторного потен-
потенциала через обычную аффинорную функцию Грина.
В результат может войти произвольное продольное поле, но это не
существенно при вычислении ротора F, определяющего напряженность маг-
магнитного поля (или поля скоростей в задаче о течении несжимаемой вязкой
жидкости). Итак, формула
F(r)= 55$ ©-Q ('')*'-
~"Ш $ {® 'fn X rot' F] + (rot'©)-[n X F]}dA' A3.1.52)
дает выражение для вычисления векторного потенциала, причем нас инте-
интересует только его ротор.
Функции Грина волнового уравнения. Решение волнового уравнения
можно искать либо непосредственно методом, которым получены выражения
G.3.5) и G.3.8), либо при помощи преобразования Лапласа. Например,
чтобы из решения уравнения Гельмгольца для заданной частоты <о = ip
получить решение для мгновенного импульса, приложенного в момент t= t0>
надо решение уравнения Гельмгольца умножить на е-"°('-'о) (йш/2я) и про-
проинтегрировать результат по а» от — oo+ie до + со + ге. С другой стороны,
можно в таблице преобразований Лапласа, приведенной в конце гл. 11,
найти функцию f(t), которая, будучи умножена на e~pt и проинтегриро-
проинтегрирована по t от 0 до оо, дает нужное решение уравнения Гельмгольца как
функцию от р— —ice.
Будем искать аффинорную функцию Грина для единичного импульса,
приложенного в точке г = г0. Для бесконечного пространства этот аффинор
удовлетворяет уравнению
Так как правая часть этого уравнения представляет преобразование Ла-
Лапласа для функции — 4w^yu(r —г0), то искомый аффинор является преоб-
преобразованием Лапласа определяемой выражением A3.1.25) аффинорной функ-

13.1. Векторные граничные условия 729
ции Грина уравнения Гельмгольца для неограниченного пространства:
A3.1.53)
Если область определения решения ограничена и функция Грина уравнения
Гельмгольца имеет вид @0 (г | г01 ip/c) + g, где g — некоторый аналитический
внутри области аффинор, добавляемый для того, чтобы удовлетворялись гра-
граничные условия, то соответствующая функция Грина, зависящая от времени,
определяется формулой
@ (г, 11 г0) /0) = @0 (г, 11 г„, t0) + g0 (г, 11 г0, t0),
где
т. е. g — преобразование Лапласа для g0.
Этих функций достаточно, чтобы получить формулы, соответствующие
формулам A3.1.10) и A3.1.12). Выражение, аналогичное G.3.5), имеет вид
+
F(r, I)* $ А» § $ J ® (г, 11 г0, O-Q (г0, г0) dvo +
о
+ -5Г S d«o $ Udivo F) (®.n)- (div0 @) (F-n) -
- @-[n x rot0 F] -(rot0@).[n X F]} d^0-
последний интеграл берется от начальных значений F и скорости их изме-
изменения в начальный момент.
Если рассматриваются продольные или поперечные колебания, то надо
воспользоваться преобразованием Лапласа функций Грина, определенных
выражениями A3.1.31):
A3.1.55)
где z = ^—<0— (R/c), а м(г) и у(г) являются последовательными интегра-
интегралами от 8-функции:
. . f w ч , [ 0 при z < 0, г f О при z < 0,
м (z) = \ о (гс) аа; = ^ у (z) = \ и(х) ах— (
К X 1 1 при Z > 0, 'X I z при Z > 0.
Ьа больших расстояниях заметен только импульс, продольные и попе-
поперечные колебания взаимно ортогональны, их сумма равна (Q//?) 8 (г). На
малых расстояниях (R < ct) заметно, как, начиная с момента t = 0, посте-
постепенно возникает вихревое кольцо, описанное выше на стр. 724; его вре-
временная зависимость выражается функцией v [t— t0 — R/c].

730 Гл. 13. Векторные поля
Используя эти импульсные продольную и поперечную волны, можно
распространить формулы A3.1.35), A3.1.36) и A3.1.40) на случай времен-
временной зависимости, интегрируя объемные и поверхностные интегралы в этих
формулах по t0 от 0 до t -\¦ е и добавляя дополнительный объемный инте-
интеграл от начальных значений функции F и ее производной по времени,
аналогичный последнему члену в формуле A3.1,54). Например, аффинор
смещений изотропной упругой среды является комбинацией продольного
аффинора со скоростью распространения волн ct — ~[f {К-\-2р)/р и попереч-
поперечного аффинора со скоростью распространения волп ct = j/V/p; эта комби-
комбинация подобна выражению A3.1.39). Приложения многих из этих формул
будут даны в последующих параграфах.
13.2. Статические и стационарные решения
Статические и стационарные векторные поля приходится рассматривать
в трех случаях, представляющих физический интерес: магнитных полей,
обусловленных постоянным током, статических деформаций упругой среды
и стационарного потока вязкой жидкости. Для каждых двух из этих трех
случаев решение и граничные условия несколько различаются. Другие
физически интересные случаи, как, например, статическое электрическое
поле или поток идеальной жидкости, можно получить из скалярного поля
методом, рассмотренным в гл. 10; поэтому здесь их рассматривать излишне.
Основное внимание в этой главе будет сосредоточено на векторных полях,
которые нельзя выразить через одну скалярную функцию.
В случае магнитного поля Н будем искать векторный потенциал А,
связанный с Н соотношением Н = rot А. При наличии тока J имеет место
уравнение
rotrotA = ^J. A3.2.1)
Магнитная проницаемость р обычно равна единице, за исключением фер-
ферромагнитных материалов. В первом приближении можно принять, что
магнитная проницаемость железа бесконечно велика; в этом случае вектор Н
должен быть нормален к поверхности железного образца. Поэтому нор-
нормальная компонента А равна нулю на этой поверхности, так же как и
нормальная составляющая градиента касательной компоненты А.
Поскольку для статического случая div J = 0, мы можем считать,
что А является решением векторного уравнения Пуассона
V2A=-^J. A3.2.2)
При этом обычно А полезно считать имеющим и продольную часть, что
облегчает вычисления. Наличие продольной части А не влияет на распре-
распределение магнитного поля, которое зависит только от поперечной части А.
Смещение s изотропной упругой среды под действием объемной силы
дин/см3 определяется уравнением
(X + 2[i)graddivs —p. rot rots = (X + [i)grad div s + [iV2s= — 4wF. A3.2.3)
Как было отмечено выше, точно удовлетворить граничным условиям,
разделяя переменные в уравнении, можно лишь в случае полярных (плоских)
и сферических координат; в других системах координат были получены лишь
приближенные решения. Здесь также удобно, хотя и не всегда, разложить
поле на продольную и поперечную части. Граничные условия задают либо
смещения, либо напряжения на границе. Если граничная поверхность
нормальна оси z, то вектор напряжения Т зависит от степени изменения s

13.2. Статические и стационарные решения 731
у границы по закону
^-: A3.2.4)
Применение этих граничных условий будет рассмотрено несколько позднее.
Как было показано [соотношение A3.1.42)], решение s может быть пред-
представлено в виде s = grady+-M + N, где М и N —поперечные решения век-
векторного уравнения Лапласа, а 9 — скалярное решение уравнения V4<p = О,
удовлетворяющее условиям совместности.
Наконец, соотношение между давлением и скоростью в стационарном
потоке несжимаемой жидкости имеет вид [см. формулу B.3.14)]
grad P + r\ rot rot v = pv X rot v;
здесь v —скорость потока, р —плотность, ^ — коэффициент вязкости, Р —
«динамическое давление», входящее в уравнение Бернулли
где р — истинное давление, а V — потенциал объемных сил, например
силы тяжести. (Сила, действующая на единицу объема, равна гра-
градиенту потенциала с обратным знаком.) Граничные условия обычно заклю-
заключаются в равенстве нулю скорости на границе, и, конечно, предполагается,
что divv = O во всей области решения.
Приведенное уравнение не является линейным, и поэтому метод этой
главы непосредственно к нему не применим. Однако при малых v, прене-
пренебрегая нелинейным членом pv x rot v, мы- получим линейное уравнение
— rotrotv = V2v= — 4icQ, divv = O, A3.2.5)
где Q= — (l/4w7j) gradP — продольный вектор и, в первом приближении
по v, /*~ P + V. С другой стороны, если скорость потока близка к постоян-
постоянному вектору U, так что v = U + и, где и достаточно мало, то можно
использовать другую форму уравнения стационарного потока:
grad(jD + F) + pv(Vv) -)-т] rot rot v = 0.
Если постоянный вектор U направлен по оси z, то с точностью до членов
первого порядка относительно малой величины и получим
- 7j rot rot u = 7jV2u = grad (p + V) + pU ~ . A3.2.6)
Это уравнение опять является линеаризованным.
Нашей задачей является развитие методов решения этих уравнений
в различных координатных системах и для различных граничных условий.
Плоские задачи. В случае двух переменных не нужно всей сложной
техники, развитой в этом параграфе; в самом деле, некоторые случаи были
уже разобраны в гл. 10. Решение этих задач бывает двух типов: вектор,
направленный по оси z, величина которого зависит только от х и у, и
вектор, лежащий в плоскости (х, у), направление и величина которого
не зависят от z. Рассмотрим несколько простых случаев, чтобы напомнить
общие методы решения и подготовиться к решению более сложных задач.
В случае магнитного поля, создаваемого током, направленным парал-
параллельно оси z, направление векторного потенциала А также совпадает с осью z,
а его величина является решением двумерного уравнения Пуассона в пере-
переменных х и у, причем плотность тока играет роль плотности источников.
Например, в случае, указанном на рис. 13.1, провод, по которому течет
ток /, проходит через точку х = а, у = 0 внутри щели в массе железа.

732
Гл. 13. Векторные поля
Щель занимает область х > О, | у | < /г/2. Все, что здесь требуется, — это
преобразовать двумерную функцию Грина — 2lnR так, чтобы нормальная
производная Аг на поверхности железа равнялась нулю. Для этого до-
достаточно воспользоваться разложением функции Грина в ряд Фурье по у
или конформным преобразованием, определяемым выражением D.7.7).
, z-плоскость
'///////Л
w-плоскость
о в
У/,
Рис. 13.1. Конформное преобразование для магнитного поля провода
в щели-
Конформным преобразованием на цьплоскости будет
w— — (
Точка Р(х = а, у = 0) переходит в w= i sh(ъа/h). Помещенный в эту точку
источник при соответствующих граничных условиях на действительной
оси w имеет вид
А.- -
При обратном переходе к переменным (х, у) получим
Поэтому магнитное поле выражается формулами
(ch a ch 5—cos yj) sin yj
h (cha—ch?cosY)J-|-sh2 ?sin2Y)
4я/ (cha cosy)—ch?)sh?
h (ch a — ch ? cos yjJ-(- sh2 ? sin2 yj '
A3.2.7)
где a = 2-Ka/h, ? = 2izx/h, tj = 2ny/h. Это выражение, конечно, можно раз-
разложить в ряд Фурье по у. Для 5, значительно больших, чем -ц,
4л/ ch a
~h
¦О,
т. е. мы получаем однородное магнитное поле между верхней и нижней
сторонами щели.
В качестве простого примера для случая вязкой жидкости рассмотрим
поток в прямоугольной трубе ширины 1Х и высоты 1у, ось которой парал-
параллельна оси z. Примем, что давление равномерно падает по трубе:
Р= -Fz,

13.2. Статические и стационарные решения 733
где F — падение давления на единицу длины вдоль трубы. Используя A3.2.5),
получаем
с граничными условиями v = 0 при х = О, 1Х и у = 0, 1у. Очевидно, ско-
скорость потока направлена по оси z, так что амплитуда vz должна удовле-
удовлетворять уравнению Пуассона с постоянной плотностью F/t\. Решение
выражается рядом
16/V -^ sm[(nx/lx) Bто-|-1)] sin[(ny/lv) Brc-j-l)] ..„„,
JX 71 ^"" ill ^•'i —r~ -I )/ tr
m, n
а полный поток вдоль трубы равен
Эта формула остается справедливой, пока безразмерное отношение
v^y^lj.y/ii меньше некоторой универсальной постоянной, называемой
критическим числом Рейнолъдса. Если падение давления достигает значе-
значений, при которых это отношение превосходит предельное значение, то
в потоке возникают разрывы; появляется турбулентность, падение давле-
давления для данного потока значительно возрастает и распределение скоростей
существенно отличается от выражения A3.2.8). Очевидно, это связано
с тем, что нелинейные члены достигли значительной величины, в резуль-
результате чего возник турбулентный поток. Отметим, что чем меньше -ц, тем меньше
предельная скорость, при которой возникает турбулентность.
На стр. 735 приведен другой пример потока через щель ширины а
в плоскости (х, z). В эллиптических координатах р. и & скорость, давле-
давление и вихрь w = (l/2) rot v имеют вид
V —a 4Q sin2 &
Vsh* [л-f sin2 Ь '
, , 4Q sin 2»
a2
где Q — объемный поток через единицу длины щели в направлении оси z.
Выражение, аналогичное A3.2.8), получается при решении задачи
теории упругости для вертикальной прямоугольной трубы, заполненной,
например, резиной, оседающей под действием силы тяжести pgk. В этом
случае смещение направлено по оси z и является чистой деформацией
сдвига. Надо решить уравнение
?V\= -pg
с условиями обращения sz в нуль при х = 0, 1хку — 0, 1у. Выражение
для s то же самое, что и для v в A3.2.8), только F/i\ надо заменить
на pg/[i.
Полярные координаты. Простым примером двумерного решения в ко-
координатах г, 6, z является задача о потоке вязкой жидкости в трубе
круглого поперечного сечения радиуса а. Опять падение давления обозна-
обозначим через F, так что Р= — Fz. Из A3.2.5) получим
k j )

734 Гл. 13. Векторные поля
при условии, что. v направлена по z, а величина ее зависит лишь от г.
Решение, обращающееся в нуль при г = а, имеет вид
v = k?(a2-r2), A3.2.10)
а полный поток, равный т:РаЛ/8-ц, выражается через падение давления,
радиус и коэффициент вязкости в случае достаточно медленного потока,
при котором не возникает турбулентность.
В качестве примера из теории упругости рассмотрим длинную трубу
с внутренним радиусом а и внешним радиусом Ъ с различными давлениями
на внутренней и внешней сторонах. Положим s = grad <p, где 9— решение
уравнения V*<p = 0, зависящее лишь от г:
Следовательно,
? = dr2 + C2 In г + С3 Н- C4r2 In r,
где постоянные выбираются так, чтобы удовлетворялись граничные усло-
условия и уравнения совместности. Очевидно, можно сразу положить С4 = 0,
гак как г2 In r не обращает в нуль соответствующий член в выражении
для grad(V2<p), которое является частью уравнения совместности V •!?=().
Тогда смещение s и тензор напряжений % равны
?=X$divs + (i(Vs-
= arar [ 4CX (X + }i) - 2^ ] + aeae [ 46^ (X + }i) + 2^'
Если давление внутри цилиндра равно Р, а вне цилиндра —нулю, то 5?аг
равно — агР при г—а и нулю при г = 6. Поэтому мы имеем
/>а2
Радиальное напряжение является сжимающим (отрицательным) для
а < г < Ъ, а касательное напряжение — закручивающим с максимальной
величиной /)F2 + а2)/(Ь2 — а2) при г = а. Независимо от того, насколько Ъ
больше а, это закручивающее усилие не может быть меньше, чем Р.
Поэтому, если Р больше напряжения на разрыв, то цилиндр сломается,
как бы ни была толста стенка. Заметим, что напряжение расширения
| % | = 2/*а2/(Ь2 — а2) не зависит от г, а радиальное расширение внешней
поверхности цилиндра равно Ра2Ь (X + 2р.)/2 (Ь2 — а2) (X + ji) р.. Это выраже-
выражение тем больше, чем меньше модуль сдвига р. по сравнению с модулем X.
В этом случае вектор смещения не имеет поперечной части, поскольку
все движение является радиальным и вращение элементов среды отсут-
отсутствует.
Круговые цилиндрические координаты. Три системы решений вектор-
векторного уравнения Лапласа в круговых цилиндрических координатах опре-

13.2. Статические и стационарные решения 735
деляются выражениями
Msfem (r, 6, z) = \ rot [ а2 ^
т а' ~ els (m6)ehz ['•п-Л
Nsfem(r, 6, z) = ygrad [g°^(w6) ehzJm{kr)~^ = A3.2.13)
= -5- ar c?s (m6) ehz [Jm^Akj) — ^m+1(A"r)] + az c?s (m6
^ sin sin
тa" "S
В последнем выражении вектора Gshm добавлен вектор — N, благодаря
чему \ \ N • Gr dr db = 0. Индекс s надо заменить на е, когда используется
верхняя система тригонометрических функций, и на о, когда используется
нижняя система. Дивергенции функций Ми N равны нулю, так же как
и ротор N. Дивергенция и ротор G отличны от нуля. Дифференциальные
соотношения между функциями для одноименных индексов имеют вид
A-N, rotN = 0,
rot rot G = 2A-2N = grad div G, div M = div N = 0.
Обращаясь к соотношению A0.3.22), легко видеть, что указанные
решения можно выразить через двумерные векторные решения в плоскости,
Рис. 13.2. Углы и координаты при повороте
комплексной плоскости на угол и вокруг оси z.
составляющей угол и с плоскостью z, x, проинтегрированные по и. Поль-
Пользуясь рис. 13.2, определим вектор
аи = — i sin и + j cos и,
нормальный к плоскости и, и ортогональные единичные векторы
а„ = i cos и + j sin и, az = k,
лежащие в этой плоскости. Через эти единичные векторы наши решения

736 Гл. 13. Векторные поля
запишутся в виде
2п
mB>dH. A3.2.14)
cos
о
где
X — z + i (x cos и + у sin и) = z -f i> cos F — u).
Аффинорная функция Грина для этого случая, получаемая из фор-
формулы A0.3.23), имеет вид
т=0
Это выражение можно переписать в виде интегралов от М, N, G по к.
Тогда векторный потенциал, создаваемый током /, текущим по одиночной
круговой петле тонкой проволоки (г = a, z = 0, 0 < 6 < 2тс), определяется
интегралом от (/@-аео) o(ro — aM(z0) по /•„, 60, z0, где
аво = аг sin F — 60) + ав cos F - 60).
Поэтому векторный потенциал, создаваемый одиночной петлей тока, равен
оо
А = 2тс/аае \ e~h Iz 1/х (кг) Jx (ka) dk =
ОО СО
= Ia\dk\ Meh0 (г, 6, Z) [аео • Mek0 (a, 60, 0)] dQ0, z < 0,
о о
где интегрирование по полному контуру дает комбинацию только попереч-
поперечных решений М (см. стр. 730). Результирующее магнитное поле имеет вид
Н = rot А = 2ъ1а Г а Д e-ft I * 1/х (кг) J1 (ka) kdk +
о
оо
4-аД e-h\zW0(kr)J1(ka)kdkl . A3.2.15)
Преобразуя контурный интеграл, получим
А_ р ( 3 5 ¦ о. 4а2/-2
А~ав (a^+,2 + z2K/2 V4 ' 4 I ^I(a»+r4
Для (а2 + г2 -Ь z2) > 2аг гипергеометрическая функция F становится равной
единице, и формулы упрощаются. Например, для г и z > a
А ~
Н ~ , "'*' [3rzar + Bz2 - т-2) az] = - */а2 grad

13.2. Статические и стационарные решения 737
что аналогично магнитному полю, создаваемому находящимся в начале
координат магнитным диполем с моментом та2/, ориентированным по оси z.
Сферические координаты. 13 сферической системе координат можно
получить довольно общие решения всех трех основных векторных уравне-
уравнений эллиптического типа (магнитного поля, потока вязкой жидкости,
упругого смещения). Решение можно выразить через постоянные векторы
(i, j, k или их комбинации), умноженные на сферические гармоники
и функции от радиуса г (гп или г~п~* для уравнения Лапласа). Но, как
было показано, при этом трудно удовлетворить граничным условиям
на сферической поверхности и приходится пользоваться методом, уже
изложенным в -этой главе. Например, для векторного уравнения Лапласа
возьмем ротор от г, умноженного на решение скалярного уравнения Лапласа
rnY% (&, <р) (где Y — сферическая функция п-то порядка) или т—n-lY% (&, <р).
Это дает поперечное решение М. Для решений N, ротор и дивергенция
которых равны нулю, можно использовать градиент rnY% или r~n~iY^.
Эти решения можно выразить через взаимно ортогональные векторные
сферические функции Р, В и С, рассмотренные в § 13.3, таблица которых
приведена в конце этой главы. Отметим, что эти три вектора при задан-
заданных значениях m, n и s (четных или нечетных) взаимно ортогональны для
всех значений & и у, их интегральные свойства указаны в таблице.
Проще всего получить развернутые выражения для М и N через i,
j, k, используя соотношения A0.3.34). Пользуясь комплексной формой
сферических гармоник,
X™ (&, ?) = <^К (cos &) = Yemn (&, 9) + iY°mn (&, <р), A3.2.16)
где тп > 0, можно упростить вспомогательные вычисления. Введем также
обозначение для комплексно сопряженных величин
X™ (&, <р) = е-™<е/С (cos &) = X~m (&, <р).
Тогда формулы принимают вид
j (г, &, ?) = rot [«**? (&, T)]=-rX grad [т»Х% (&, <р)] =
NL (г, &, т) = grad [rn+ ix?+i (&, 9)] =
A3.2.17)
где для m = 0 используется лишь действительная часть М и N. Действи-
Действительная часть Mmn есть Mlmn, а его мнимая часть равна Mlmn. Заметим,
что для М1 индекс т изменяется от 0 до п, а для N1 — от 0 до п + 1.
Обращаясь к таблицам в конце этой главы, мы видим, что Msmn =
= У^п (п + 1) /""CJnn (&i <р)> гДе s может быть или е (четным) или о (нечетным).
Существуют также решения, стремящиеся к нулю на бесконечности, но

738 Гл. 13. Векторные поля
расходящиеся при г—>0:
М*тп(г, &, <р) = -г х grad [г^-ЧГтп(Ъ, <р)] =
-n-1C.(», т). A3.2.18)
Соответствующие решения с нулевыми ротором и дивергенцией являются
действительной и мнимой частью от
L(/-, &, <p) = grad [r-»X^_i (&, ?)] =
= /-"-J {у i [ - A + o0m) X;n+1 + (n - m) (n - w + 1) A - 8Om) XT']
-k(n-m)Xn}. A3.2.19)
Здесь опять для М2 индекс т изменяется от 0 до п, а для N2 от 0 до п— 1;
при этом п не может равняться нулю, а для т = 0 используется лишь
действительная часть соответствующих выражений.
Угловую зависимость N1 и N2 можно выразить через векторные гар-
гармоники Р и В, выражения которых приведены в конце главы. Имеем
Bsm, n
откуда следует их ортогональность к системам М1 и М2.
Нужны еще системы векторных решений, ортогональных М1 и N1 или
М2 и N2. Их можно получить, меняя угловую зависимость N1 и N2:
A3 2 21)
;
и==1, 2, 3, .. .; m = 0, I, 2, . . ., /г—1; s = e, о.
i- i [ - A + 6Om) ХГJ + (/г + m) (n + m + 1) A - 8Om) X
#г = 0, 1, 2,...; /ra = 0, 1? 2..., n+1; s = e, o.

13.2. Статические и стационарные решения 739
У этой системы решений ни ротор, ни дивергенция не обращаются в нуль..
Дифференциальные соотношения между этими тремя функциями имеют вид
rot N^mn = rot N2OTIl = 0 = div NJ,™ = div N2rnri;
div Msmn = div M2mri = 0; rot М^ = (n + 1) Nsm, „_i;
-1F?n,rl-i(&,<p); (l3-2-22)
div G2m» - -
rot Gi»n = - Bn + 1) M.m. n-i; rot Gfmn = Bn + 1) Ms2m, n+1.
Для т~0 функции имеют простой вид, остаются лишь четные функции
(s = e) и
Мео„ = М^.= Iя [ - i sin ? + j cos <p] Pi (cos 9-) = s^rnPn;
Me20n = M2 = a9/-"- J,P i (cos ft);
= r"[(n + 1) arJPn+1 - a»i>i+i] = -r"(arri_t - k^A);
~ » . A3.2.23)
N2on = N2 = r-»-» [ - (i cos <p + j sin cp) PA - knPn] =
G20n = G2==/-"-1[(«4-
Наконец, для м = 0 М1, М2, N2 и G1 равны нулю, и две системы трех
элементарных решений имеют вид
G200 = k/Г, Gei 0 = 'Ф, Go] 0 = j/r.
Используя формулы в конце главы, можно выразить обычные сферические
функции, умноженные на постоянные векторы, через функции М, N и G.
Например, при т = 0
iAi ^ ± [N2-G2];
Ne2in+ nGe2in]; A3.2.24)
j грп = n(n+lH2B+l)["
j 7^ = B(B+1H2>.+ 1)[
Аффинорная функция Грина для векторного уравнения Лапласа-
Аффинорная функция Грина, являющаяся решением уравнения
-та»8(''-'-о)а(»-»о)8(т-<РоK, A3.2.25)

740 Гл. 13. Векторные поля
разлагается в ряд по функциям М, N и G. Угловые функции
A3.2.26)
Dmn = У П [у П — 1 Bm, n-1 — V И Pm, n-l]
образуют полную ортогональную систему векторных функций, зависящих
от углов & и <р. По ним можно разложить аффинор @:
© = 2 F;v (г; /-0, &о, <р0) D;v (&, ?), A3.2.27)
где функции F определяются методом, изложенным при получении выраже-
выражения G.2.63). Применение векторного оператора Лапласа дает
Подставляя это выражение в A3.2.25), умножая обе части на
DJnri(&, <p)-sin&d&d9 и интегрируя по & и «р, получаем уравнение для F^n
... I гп. п+1
1 — ?™ (п—те)! t I ^/^о
тп ~ п (п+1) (n+m)! итг1 ^о. То^ | rn/7.n+i
Cffln |
^L D1 8 (г - г )
Решение этого уравнения, конечное при г = 0 и г = со, имеет вид
при г < г0,
при г > /•„.
Аналогично получаются решения для F при других значениях
индекса s. Например, умножив на ?)„„(&, <р) и проинтегрировав по & и у»
получим
при г < /•„,
при /• > /•„.
Наконец, учитывая соотношение между функциями D и функциями
М, N и G, получим разложение аффинорной функции Грина
= 1=2 ?m g
. »о, То)} . A3-2.28)
где s = e, о, /м = 0, 1, 2, .. ., /г, /г = 0, 1, 2,... и г < /•„. Для г > г0
надо поменять местами /•, &, <р и /•„, &0, <р0.
Это разложение имеет несколько интересных свойств. Оно, конечно,
удовлетворяет требованию взаимности © (г |r0) = ©(ro|r). В нем автомати-
автоматически отделяются поперечные части, М1, М2, от остальных. Но здесь
также проявляется и любопытное переплетение функций N и G; есте-
естественно было ожидать, что два последних члена будут NXN2 и G'G2.

13.2. Статические и стационарные решения 741
но это не так. Это последнее свойство тесно связано с особым поведением
функции Грина уравнения Лапласа по сравнению с функцией Грина
векторного уравнения Гельмгольца (т. е. при к —>0), что было рассмотрено
на стр. 724. Функции М и N являются пределами соответствующих
решений для к Ф 0, а функция G не является. В результате наличия
произведений вида КЧл2 и т. д. поперечная по г часть @ не является
поперечной по г0, что, по-видимому, связано с отмеченным выше особым
поведением функции Грина.
Решения в случае магнитного поля. Использование аффинорной функ-
функции Грина A3.2.28) для магнитного поля, создаваемого распределением
токов, показывает, что при стационарном распределении токов с равной
нулю дивергенцией векторный потенциал А является поперечным, что было
отмечено на стр. 727. Первым, наиболее простым примером является поле,
возникающее при вращении равномерно заряженной сферы радиуса а вокруг
оси z с угловой скоростью ш. Полный заряд сферы равен Q. Тогда поверх-
поверхностная плотность тока равна
и созданный ею векторный потенциал (для р. = 1) есть
2-ге те
А = Vn(n+1) ^g- $ d?0 $ © • С
Со1
sin
о о
oQa f(l/a2) MJ при г < а) _ „q ( г/а при г < а,
\М? при г>аГ Зс**sin» { а*/г* при г > а.
Магнитное поле получается отсюда при помощи A3.2.22):
B/a)NJnpE/-<a,
B/a)k при г<а,
3c \ (a2//-3) (За,, cos ft-2k) при r > a. K >
Это поле однородно внутри сферы и имеет характер поля диполя вне сферы.
Другим, несколько более сложным примером является поле лежащей
в плоскости ху петли тока с г = а, & = тс/2. Сила текущего по петле тока
равна /. В этом случае плотность тока есть
а векторный потенциал при р. = 1 равен
а _ *J а V ( *)п Bя)! пх ,роч ^ I (а/г)™*2 при
г > а, | _
х при г > а,
4mi ПРИ Г < а>
и магнитное поле
ее Zj
п=0
f Bп + 2)(г/а)«л [kT^-a^^] при г < а,
\ B/г + 1) (а/г)*™ [ar^ml - kTJJ при г > a,

742 Гл. 13. Векторные поля
где Т\п — многочлен Гегенбауера от cos#, определенный в таблице в конце
гл. 6. Эти ряды сходятся всюду, за исключением г = а.
Если внутри петли помещен железный шар радиуса Ь < а, концен-
концентрический с петлей, то поле изменяется так, что нормальная производ-
производная касательной составляющей А становится равной нулю при г = Ь.
Поскольку все векторы М являются касательными, достаточно добавить
лишь поле, исчезающее на бесконечности и имеющее нормальную состав-
составляющую градиента, обратную по величине соответствующему выражению
для А при г = Ь. Это дает
А - Т Э*
п=0
( — ) 4- ., То ( — ) -г- при г < а,
и; J при г>а-
X
Соответствующее выражение получается и для Н. Железный шар увели-
увеличивает значение п-то члена в выражении A3.2.31) для г > а в
раз. На больших расстояниях от петли поле переходит в поле диполя
г»а-
Таким образом, железный шар увеличил напряженность поля
в 1 + (Ь/аK/2 раз.
Поток вязкой жидкости, обтекающий сферу. Расчет потока вязкой не-
несжимаемой жидкости у сферической границы также можно провести с помощью
аффинорной функции Грина. До тех пор, пока отсутствует градиент давле-
давления, соотношения A3.2.5) означают, что уравнение для v является одно-
однородным. Поле скоростей получается как комбинация решений с нулевой
дивергенцией MJmn, Mfmri, Nj-mn и Nfmn, удовлетворяющая граничным усло-
условиям. Например, для поля между двумя концентрическими сферами
радиусов а и fc;(a<6), из которых внутренняя неподвижная, а внешняя
вращается с угловой скоростью ш вокруг оси z, выберем линейную ком-
комбинацию MJ и Mi, соответствующую нулевой скорости при г = а и скорости
a9bw sin & при г = b. Получим
v = ^з [Ml - «ЛИД = ^Б^-«, ^п ». A3.2.32)
Из выражения B.3.10), используя формулы для векторных операторов
в конце гл. 1, получим, что аффинор напряжений в потоке при нулевом
давлении имеет вид
% = 7J (Vv + vV) = гз^ • J- (а^а,, + а^а,,) sin 9-.
Окончательно вращающий момент для внутренней сферы равен
¦к
/ = 2ma3 \ | % ¦ a<p | sin2 9- db = 8m ¦' ^-.

13.2. Статические и стационарные решения 743
С другой стороны, когда движение жидкости вызывает перепад давле-
давлений в потоке, уравнение для скорости оказывается неоднородным A3.2.5).
Ротор вектора Q= — A/4tctj) grad P равен нулю, а для несжимаемой жид-
жидкости дивергенция Q также равна нулю; следовательно, этот вектор
является линейной комбинацией решений N. В качестве примера такого
решения возьмем распределение давления в виде рп = Anr~nPn_l (cos &).
При этом вне сферы радиуса г = а
grad рп = AJil (г, &, <р) = Anr-n~i [к П-2 (cos &) - ъгГп^ (cos Щ.
Тогда распределение скоростей дается решением неоднородного уравнения
A3.2.5), к которому достаточно добавить решение однородного уравнения,
чтобы удовлетворить граничным условиям.
Частное решение для такого распределения давления имеет вид
X
U
Ап
Однако дивергенция этого выражения отлична от нуля; как можно
показать, используя таблицу в конце этой главы, она равна
[nAn/rnriBn — l)]Pn_1(cosd-). Поэтому надо добавить решение однородного
уравнения, чтобы дивергенция полного решения была равна нулю. Со-
Согласно A3.2.22), единственным решением, имеющим требуемое выражение
дивергенции, является функция G?_2; поэтому функция
[nAj-ц (п - 1) B/г - 1) Bл - 3)] G?_2
имеет дивергенцию, противоположную v4. Следовательно, скорость потока
вне сферы будет равна
где С является комбинацией решений М и N, удовлетворяющей граничным
условиям.
Если граничные условия заключаются в равенстве v нулю при г = а
п Вп_2 N«-2 (г, &, <р) при г, больших по сравнению с а, то Ап выбирается
так, чтобы лри г = а член G2 взаимно уничтожался с N1. При этом для
удовлетворения условия v = 0 при г — а можно добавить член, содержа-
содержащий N2. Окончательный результат имеет вид
а2"*! {п+1^+1) (/-22)^| A3.2.33)
где произведена замена п на п-\-2. Давление равно
- >] [Вп/(п + 2)] (п + 1) B/г + 1) B/г + 3) (a2n+Vn+2) Pntl (cos &).

744 Гл. 13. Векторные поля
Если поведение у для г > а дается рядом 2 BnNn, то решение V, удов-
п
летворяющее граничному условию у = 0 при г = а, выражается рядом,
составленным из решений A3.2.33).
Наибольший интерес представляет случай стационарного потока, обте-
обтекающего неподвижную сферу радиуса а, когда вектор скорости для г > а
равен kZ7 = Z7NJ, так что п = 0 и Bo — U. Тогда выражение для скорости,
верное для малых значений U, при которых выполняется уравнение A3.2.5),
имеет вид
v = U [NJ -aGl + -I а (т-2 - a») N22 ] =
i-^—l)Barcos& + aesin»)] , A3.2.34)
и избыточное давление равно
3 Ui\
Р= -y-^
Аффинор напряжений, согласно B.3.10), имеет вид
= Т ^ 7* S cos & + у
- ^ cos & -1- Z/tj (агай + а*аг) ?¦ sin &.
Ввиду симметрии сила, действующая на сферу (г = а), направлена по оси z
ii по величине равна
\ \ si
sin bdbd^ = 6izaUi\, A3.2.35)
что является выражением закона Стокса для силы сопротивления сферы,
медленно движущейся в вязкой жидкости.
Заметим, что компонента по оси z лобового сопротивления одна и та
же для любого элемента поверхности сферы. В рассматриваемом приближе-
приближении лобовое сопротивление пропорционально относительной скорости
сферы по отношению к жидкости, а также радиусу сферы. Отметим,
наконец, что результаты A3.2.34) и A3.2.35) относятся к случаю стацио-
стационарных условий, когда относительное движение продолжалось достаточно-
долго. Искажение поля скоростей захватывает значительную область вокруг
сферы, главным образом из-за наличия члена k(aU/r). Если относительное*
движение начинается при t = 0, требуется определенный промежуток вре-
времени для установления стационарного режима.
Упругое деформирование сферы. Однородное уравнение статического
деформирования сферы
(X -f 2jj.) grad div s — jj. rot rot s = 0
имеет в качестве двух систем поперечных решений системы М и N, уже
определенные выражениями A3.2.17) —A3.2.20). При этом продольная
система G, определенная выражением A3.2.21), не является решением,
и надо искать новую комбинацию полиномов от г п угловых функ-
функций В и Р, удовлетворяющую данному уравнению.

13.2. Статические и стационарные решения 745
Этого можно достичь, используя уравнения, приведенные в конце главы.
Например, чтобы найти решение, аналогичное Gmn, положим
^т = ^гпЪт.г^1 + ВгпТт,п_1
и применим к этому выражению дифференциальные операторы
grad divE = [(n + 2)B—Vn(n — 1) A]
rot rot E = l/-^r [Vn (n-l)B-(n + l) A] NJn,
откуда можно определить соотношение между А и В, при котором удовле-
удовлетворяется уравнение упругости. Таким же образом составим комбинацию-
К* из r~n-iBm, п+1 и г-"-1Рт. ntl. Итак,
Е?тп = r-»-i [ V(n+l)(n +
it?Xt>i (i3-2-36>
Эти выражения переходят в функции G1 и G2 из A3.2.21) при Х= — jx
(в этом случае и уравнение упругости переходит в векторное уравнение
Лапласа). Однако при X Ф—jx функции, определяющие угловую за-
зависимость Е, не ортогональны соответствующим частям М и N. Это
осложняет представление аффинорнои функции Грина в форме, аналогич-
аналогичной A3.2.28); более удобной оказывается другая форма.
Кроме того, нужно иметь выражение для напряжения на поверхности
сферы (!?-аг)г==а. Для этого надо подсчитать радиальное напряжение
для каждой из функций М, N, Е при г —а. Из формул, приведенных
в конце главы, можно получить для аксиально-симметричного случая тм=О
следующие полезные формулы:
Для s = гпСОп : 2- вг = р. (п - 1) гп^Соп.
Для s = r"B0>ritl:?-ar= -
Для s = /-"Bo,ri_1:?-ar=-(Oiri1
+ р(п-1)гп-1В0,п_1.
n + 2) + 2l,n]r^PO1+ A3 2 38)
Для s = гп Ро, „_!: X ¦ ar = [X ( п + 2) + 2^/г] т-" Ро, п-1
Для s = MJl:?.ar = ^(n-l)i-Aft.
Для в = ^:Ж-аг=:2Aл1-^.

746 Гл. 13. Векторные поли
Если задано смещение поверхности упругой сферы, то используются
системы решений, являющихся взаимно ортогональными функциями
углов & и ср при г = а. Две из трех необходимых систем имеют вид
^п = Уп(п + 1)гпСтп(&,
n + 2) rn Bm, n+1 (&,
Третья система получается как комбинация Emn и Nmi n_2, ортогональная
к N при г = а. Такая комбинация при г = а должна иметь вид
Vn(n-1) ап Вт, п_, - пап Рт, п_17
т. е.
д™ = м*.-1)+-И&.-з){п Bп + J) (Х + р) °2N^-2- A3-29)
- Bп - 1) [X (п - 1) + {1 (п - 3)] Е^„}-
Через эти три системы можно выразить решение, соответствующее
любым смещениям граничной поверхности. Пусть, например, часть поверх-
поверхности сферы уплощается. Смещение поверхности в этом случае
s_ = f-«k(cos&-cos&0) при 0<&<&0, Н3 2 40)
Sr=a i 0 при &{)<&<'п:. ( '
Но, как указано в A3.2.24), можно составить функцию
Ni -.Hi] = ^ [/(п + 1)(п + 2) Вп+1 + (п + 1) Рп+1]
), A3.2.41)
а из таблицы в конце гл. 10 следует, что
— a (cos & — cos &0) при 0<&<&01
0 при &„ j
Bn+3)Bn-l)
n=0
2B11+1) р /гп.о ч ,.
где положено Р_г = 1, Р_2 (cos &) = РЛ (cos &). Из этих двух выражений легко
составить функцию смещений, удовлетворяющую граничным уело-

13.2. Статические и стационарные решения 747
*шям A3.2.40) и ограниченную всюду внутри сферы:
±"V „д-п Г Р™ 2 (cos »0)
2 ZJ LBn+1) Bn+3)
0
4=_±"V „д-п Г Р™ 2 (cos »0) 2Рп (cos »0)
2 Z L
A3.2.42)
= ~ T fl { [I" ^ C0S &o+4 ^ (cos &o)l к+
+ [ 1 —§- cos &0 + i Ps (cos &0) ] ± кРг (cos &) +
")то и есть искомое решение. Так как члены для п > 2 не параллельны
оси z, то смещение s не направлено по к.
Используя A3.2.42), можно подсчитать напряжения в сфере
A3.2.43)
•Этот ряд сходится абсолютно при г < а.
Задание на поверхности вектора напряжения. В некоторых случаях
на поверхности сферы задается вектор напряжения, а не смещение,
однако искомой величиной по-прежнему остается смещение. Пусть, на-
например, вектор напряжения при г = а имеет вид
|aa9sin& при 0<&<&0,
0 при &«,<&< гс-&0,
— aa9sin& при ¦к — &0 < & < те,
что соответствует закручиванию областей у полюсов сферы (до широты
& = &0) в противоположных направлениях при помощи прикрепленных
к ним жестких стержней, к которым приложен вращающий момент Т.
Постоянная а связана с Т соотношением
Т = -| ъаЧ A - cos &0J B + cos &0).
О
В этом случае используются только решения М?, (г, &, о) = &^гпРп (cos &)
и притом лишь для четных индексов п > 0, так как ищется решение,
меняющее знак при замене & на тс — &. Поэтому положим
S =- 7j -finiii+2i JL-cij. = a^[i ^J убп -f- L) ЛпГ ^2п+2 уьиа W),
где ^2^+2 — присоединенная функция Лежандра, рассмотренная в гл. 10.
Для определения постоянных Ап умножим обе части выражения для

748 Гл. 13. Векторные тюля
^а на P\m+2 sin & d& и проинтегрируем по &:
1
о Bя+1)B|»+2)Bя + 3) . 2п+1
= г* 7ГР Ла ~
1
= 2а J
cos 80
(cos »0).
Следовательно, смещение s части сферы в точке (г, &, <р) равно
ЗГ/2ЯН»
а* (l-cos»0)=B+cose0) X
X 2 (^tM^^)» ^ &о />L+2 (cos»0) (Г J"+2 P|w+2 (cos
п=0
тг=0
что означает значительное скручивание в области приложения враща-
вращающего момента и уменьшение скручивания при удалении от точек
приложения нагрузки. При помощи таблиц в конце гл. 10 получаем
v;] dx>
откуда можно получить явное аналитическое выражение для s при &0—>0.
Можно рассмотреть много других примеров, относящихся к упругой
сфере, но при этом не выявятся новые принципы. К функции Грина
можно также прийти предельным переходом в решениях задач об упру-
упругих колебаниях, но это будет рассмотрено в следующем параграфе.
13.3. Векторные волновые поля
Как было показано в § 13.1, решения векторного уравнения Гельм-
гольца V2A + А2 А = 0 не имеют таких особенностей, как разобранные
в § 13.2 решения векторного уравнения Лапласа, соответствующего к = 0.
Многие волновые решения полностью аналогичны скалярным волновым'
решениям, рассмотренным в гл. И. Мы попытаемся выявить их общность,
но главным образом будем подчеркивать различающие их свойства.
В основном мы будем рассматривать только электромагнитные поля,
упругую среду и движение вязкой жидкости, хотя в природе встречаются
векторные поля и другого типа. Уравнения этих полей и граничные
условия для них уже были приведены в гл. 2 и повторены в § 13.1.
По мере необходимости мы будем их приводить снова.

13.3. Векторные волновые поля 749
Единственное дополнительное замечание, которое здесь уместно сде-
сделать, касается временной зависимости в уравнении для потока вязкой
жидкости. При достаточно малой скорости потока (см. стр. 159 в т. I и
стр. 731 в настоящем томе) уравнение B.3.14) переходит в
V«v-i5- = |gradi>, A3.3.1)
где divv = 0 и P = p-{-V. Это не неоднородное волновое уравнение, а век-
векторное уравнение диффузии, поэтому его решения не имеют волнового
характера. Однако решения этого уравнения рассматриваются здесь из-за
их векторных свойств, а также и потому, что, отделяя временную зави-
зависимость (в виде экспоненциального множителя), мы получим векторное
уравнение Гельмгольца для зависящей от пространственных координат
части решения. Это уравнение аналогично уравнениям для электромаг-
электромагнитных и упругих колебаний. Таким образом, общие методы решения
заставляют рассматривать это уравнение в данном параграфе, а не
где-либо в другой части книги.
Отражение плоской волны от плоскости. В вакууме плоская электро-
электромагнитная волна частоты ш/2тг = кс/2к, распространяющаяся в направ-
направлении, параллельном единичному вектору а4 = i cos 6 + jsinO, задается
в виде
1 9А j-, ift(a,- -r-ct)
ТЖ = ?оаее ' A3.3.2)
где1) ait
ае = — ах sin б sin ф + ау cos б sin <li + az cos ф = a,, x a{
и
ali — ai '< ae = аж Sin ^ C0S Ф ~~ ay C0S ^ C0S Ф + az SiR Ф
образуют правую тройку ортонормированных векторов, составляющих
углы Эйлера в и ф с осями х, у и z. Если отражающая плоскость совпа-
совпадает с плоскостью (у, z), то угол б является углом падения и (поскольку
направление поляризации волны определяется вектором Н) угол 6 изме-
измеряет угол между направлением поляризации ah и плоскостью (ж, у), кото-
которая называется плоскостью падения. Это показано на рис. 13.3.
Если граничная поверхность при х — 0 является практически идеаль-
идеальным проводником, то необходимо, чтобы Ехаж = О при х — 0, и поэтому
Ахазс = 0. Поскольку div А также равна нулю, этого граничного условия
для обеих компонент касательной составляющей А достаточно для пол-
полного определения решения. К падающей волне надо добавить отраженную
с направлением распространения а? = — i cos б -f- j sin бис таким углом у
между направлением поляризации и плоскостью падения (и отражения),
чтобы касательные составляющие электрического поля падающей и отра-
отраженной волны взаимно уничтожались. Для идеального проводника при
х — 0 это имеет место при х== Ф» и полное поле определяется выражением
х) В этом параграфе опять употребляются аж, ау, аг вместо i, j, k, чтобы не
¦спутать их с i = \r — 1 и& = ю/е.

750
Гл. 13. Векторные поля
(для х < 0)
= Е \а eihx cos* a'e~~ihx cos 61
= 2?0 [ — ax sin 6 sin ф cos (kx cos 6) -f-
+ (ay cos б sin ф + az cos ф) i sin (te cos 6)] e^vsin в-гш^ A3.3.3^
H = 2E0 [a.x sin 6 cos 6 г sin (kx cos 6) —
— (ay cos б cos ф — az sin 4) cos (kx cos 6)] e№l/ sln e-i№(,
где
ae = аж sin б sin ф + ay cos б sin ф + az сой 4 и а^ = a[ X a^.
Вектор Н всюду ортогонален к Е.
Отложим рассмотрение более сложных граничных условий для электро-
электромагнитного поля, пока не рассмотрено простое отражение упругих волн.
v У
1\
Рис. 13.3. Векторы, используемые при описании
отражения поперечной волны от плоскости (у, z).
В случае упругих колебаний имеют место как продольные волны (сжатия),,
так и поперечные волны (сдвига)
ss =
A3.3.4)
где две различные скорости распространения волн сс и cs определяются»
формулами B.2.2) и B.2.3). Соответствующие аффиноры напряжений выра-
выражаются формулами B.2.14) и B.2.16):
?0 = ikc
Если среда занимает полупространство х < 0 и граница х = 0 свобод-
свободна, то граничное условие имеет вид 2-3^ = 0. Чтобы ему удовлетворить,,
надо добавить отраженную волну; при этом даже для чисто продольной-
падающей волны в отраженную волну будет входить поперечная часть,
если только угол падения отличен от нуля. Например, для падающей
волны сжатия полное поле имеет вид
s =
i X
Здесь направления распространения отраженных поперечной и продольной
волн не совпадают, так как кс Ф ks и должно выполняться условие
/?tfsin6 = /essin6' для того, чтобы при х=0 зависимость всех волн от у~
была одинакова. Здесь также положено <Ъ' = 0, поскольку задача является
симметричной. Поэтому аЛ = а'|Ха2, где а!= — ах cos б' + вувтб'. Вектор-
напряжения на плоскости х = 0 равен тогда
% ¦ ахH = i {кс [Хах + 2ра{ cos 6] ?. + кс [\ах — 2[ia- cos б] S' +
+ /es(x [a'- sin б' — [а? X aj cos б'] S"} eifec«sln 6~ш.

13.S. Векторные волновые поля 751
Соответствующим выбором S' и S" это выражение надо обратить в нуль..
Отсюда вытекает, что sin б'= cs/ccsin б и
<-,, _ „ X-|-2ncos26 — [a sin 26-tg 26'
~ "" * l+2\i. cos2 e+p. sin 26- tg 26' '
sin 26- tg 26'
<-,„ _ 9 <-, >.+2p.cos26 sin 26
- zoi \+2- cos2 B+ix sin26-tg 26'' cos 26'
для амплитуд отраженных волн сжатия и сдвига. Угол б' отраженной волны
сдвига меньше тс/4 для 0<б<тс/2, так как (cs/ccJ = [i/(X-|-2fj.), что всегда
меньше 1/2. Следовательно, tg B6') никогда не достигает бесконечности.
Для нормального падения S" = 0 и отраженная волна является волной чи-
чистого сжатия.
Граничный импеданс. Если материал отражающей плоскости не является
идеально отражающим, то составление граничных условий оказывается
более трудной задачей. Чтобы придать им возможно более удобную форму,
используем идею импеданса, развитую в гл. 3.
Начиная с электромагнитного поля, отметим, что поскольку потенциа-
потенциалы выбраны так, что div А = 0, для определения поля достаточно за-
задать лишь два граничных условия. В качестве таковых выберем соотно-
соотношение между касательными составляющими Е и Н, так как эти компо-
компоненты непрерывны при переходе через границу, в то время как нормаль-
нормальные составляющие поля терпят разрыв. При этом из непрерывности каса-
касательных составляющих поля автоматически следует и удовлетворение гра-
граничных условий для нормальных составляющих, поскольку по обе стороны
границы определены дивергенции Е и Н.
Можно еще больше сузить требования, если вспомнить, что для моно-
монохроматической волны в каждой точке пространства можно задать аффинор,,
определяющий «отношение» между сН и— 4тсЕ, как это следует из выра-
выражения C.4.23). Это «отношение» было названо аффинором импеданса волны
в данной точке. При этом рассматривается двумерный аффинор, преобра-
преобразующий тангенциальные составляющие Н в тангенциальные компоненты
Е, а не полный вектор Н в вектор Е. Это не обычный трехмерный аффинор,,
поскольку он не инвариантен относительно преобразования поворота осей
координат в трехмерном пространстве, но в пространстве двух измерений
на граничной поверхности этот аффинор ведет себя обычным образом (а это-
все, что в данном случае требуется).
Определим аффинор $,, нормальный импеданс рассматриваемой гра-
граничной поверхности, при помощи соотношения
4л[пхЕ] = сЗг[Н-п(п.Н)], A3.3.5)
где п — единичный вектор внутренней нормали к поверхности [п = аж в при-
примере A3.3.3)], а выражение в квадратных скобках в правой части дает ка-
касательную составляющую вектора Н. Двумерный аффинор Qt выражается
через аффинор импеданса трехмерного поля 3, определяемый выражением
C.4.23), сложным образом. Но как вскоре будет показано, это можно сде-
сделать для каждого конкретного случая.
Определив компоненты нормального импеданса Qt с внутренней сторо-
стороны поверхности (х = -|- 6), надо так выбрать отношение касательных со-
составляющих Е и Н с наружной стороны поверхности (х= —8), чтобы 3;
был непрерывным при переходе через поверхность. Если определение поля
внутри поверхности не представляет интереса, то единственным искомым
граничным условием и является это требование непрерывности аффинора
нормального импеданса.
Чтобы лучше почувствовать излагаемый метод, выведем выражение
аффинора нормального импеданса с внутренней стороны граничной плоско-

752 Гл. 13. Векторные поля
сти х — 0 для плоской волны, распространяющейся от этой плоскости
(х возрастает). Это соответствует появлению преломленной волны, когда
падающая волна приходит с внешней стороны поверхности (х < 0). Пусть
в' —угол между направлением преломления и нормалью к поверхности i.
Позже будет установлена связь между углом б' и углом падения 6. Харак-
Характеристики среды — диэлектрическая постоянная г, магнитная проницаемость
{л и проводимость а —пусть имеют произвольные значения. Уравнение
B.5.19) и последующие мы используем как уравнения движения для А.
Комплексную постоянную п, где
9
п =
назовем коэффициентом преломления среды. Выбирая различные значения
амплитуд для случая, когда магнитный вектор параллелен плоскости па-
падения (х, у), и случая, когда Н нормален к ней, получим для х > 0
А = -^ [Е± (- ах sin б' sin ф' + ау cos 6' sin ф') +
-f- Е'па cos'!/]eiftn(:x:cose'+'-;sinB')-iu>!
и
4иах х Е = 4тс (- ауЕ\ + azE'± cos 6') eihn<ж cos 6'+vsln e')-i«*,
с [H — ax (ax • H)] = ™ (— &yE\ cos 6' + azE'±) eihn (*cos «'+»sin B')-i^(
k = ш/с.
Эти векторы не параллельны, но аффинор нормального импеданса
имеет достаточно простой вид
3f =-^[a^vsece' + aAcos6'], x > 0, A3.3.6)
который не зависит от значений Е\ и Е'± и остается постоянным на всей
площади поверхности, освещенной падающей волной. Остается лишь так
подобрать значения падающей и отраженной волн, чтобы соответствующее
значение Q с внешней стороны поверхности (х < О) было равно этому аф-
аффинору при х = 0.
Отметим, что лишь плоская волна дает такой простой импеданс.
Между прочим, отметим также, что если коэффициент преломления п ве-
велик (или из-за большого fie, или из-за большого (ла/со), то аффинор нор-
нормального импеданса поверхности мал.
Поле плоской волны единичной амплитуды с углом падения 6 и углом
поляризации ф' и отраженной волной с неизвестными амплитудами Л| и Rj_,
соответствующих поляризаций, для х < 0 дается выражением
А = -^ {[— аж sin 6 sin ф + ау cos б sin ф + az cos ф] eikx cos e +
+ №± (а* sin е + ау cos е) + RIIаJ e~ikx СОБ 6} eihv 8ln вш •
и при х — 0
4^аж X Е = 4те[ — ау (cos ф + R и) + аг cos б (sin ф + R±)]eihv 8ln 6~ш,
с [Н - ах (ах ¦ Н)] = с [ — ау cos б (cos ф — R „) + az (sin ф - R±)] eihvsln e-i<0',
так что импеданс при ж = 0 равен
sin tb + i?_L I
8шф-д1 j •

13.3. Векторные волновые поля 753
Заметим, что этот импеданс для падающей и отраженной волн зависит от
х (формула для х ф 0 получается умножением каждого из R в формуле для
^i для х = 0 на e~2thxcOBl>), в то время как импеданс для единичной пло-
плоской волны не зависит ни от х, ни от у, ни от z.
Сначала надо связать угол преломления б' с углом падения (и отра-
отражения) б. Это можно сделать, заметив, что касательные составляющие полей
непрерывны при переходе через границу и поэтому зависимость от у (а также
ги() одинакова с обеих сторон границы. Зависимость от t исключена, от z
зависимости нет, а зависимость от у будет требуемой, если угол падения б
и угол преломления б' удовлетворяют закону Снеллиуса
п sin б' = sin б, cos 6' = У\ — A/nf sin2 6.
Далее, для того чтобы Qj при х=0 равнялось ЗГ> надо выбрать от-
отраженную амплитуду в виде
„ _ , [ 1 — 0*/и) (cos6/cos6') 1
Лц - - cos i? |_ 1Ч_ (^./„j (cos 0/cos в*) J '
R±= -sin,) [ /^И?(С°8В//С0В
(cos6'/cos6)
что дает отраженные амплитуды для обеих поляризаций. Отметим, что
при этом способе решения для определения величин R не нужно значение
преломленной амплитуды, а нужна лишь величина импеданса. Эти фор-
формулы дают хорошо известные выражения для интенсивности при отражении
поляризованных лучей.
Если п велико из-за большого значения eji или |лс/а>, то угол прелом-
преломления б' всегда мал. Так как проводимость с большинства металлов по-
порядка 1017 CGSE, то величина (ла/ш велика даже при частотах порядка тысяч
мегагерц и значения cos б'и sec б' в A3.3.6) отличаются от единицы меньше,
чем на 0,01%. Поэтому аффинор нормального импеданса для металлической
поверхности, перпендикулярной оси х, равен 3< ~Dп:[л/сп) (ayay7|-aza,). Ис-
Используя приближенную формулу
п са Y~2v:p.a/w (I -f i), [ю > а>,
и обобщая форму аффинора для единичной нормали п к произвольно
ориентированной поверхности, получим окончательно для аффинора нор-
нормального импеданса металлической поверхности
A3.3.8)
где п —внутренняя нормаль к поверхности (составляющая острый угол с
направлением падения). В дальнейшем это выражение будет существенно
использовано.
Оно особенно полезно в том случае, когда можно разложить наше ре-
решение на векторы М и N, определенные в § 13.1, из которых один каса-
телен к поверхности, а другой имеет касательный к поверхности ротор.
Решения вида М соответствуют А и Е, касательным к поверхности,
и Н = rot А; решения типа N соответствуют Н, касательным к поверхности.
Для решений типа М можно положить Е = (iw/c) A = &JE (х, у), если
направление х выбрано по нормали к поверхности, а направление z — по
направлению Е, ортогональному аж. Поскольку divE = 0, в рассматривае-
рассматриваемой точке производная Е по z должна быть равна нулю. Из уравнений
B.5.18) для монохроматического поля в вакууме
н _ с Г дЕ дЕ 

754 Гл. 13. Векторные поля
так что нормальный импеданс равен
Е
t =
Сравнивая это выражение с A3.3.8), заключаем, что если векторный
потенциал А касателен к поверхности, то граничные условия на поверхно-
поверхности металла дают для решений типа М следующее соотношение между
граничным значением векторного потенциала и нормальной производной (по
внутренней нормали) его величины:
дп
Величины (л и а берутся, конечно, для среды вне граничной поверхности
(ж>0). Соответствующее отношение для решений типа N(rotA = H каса-
касателен) имеет вид
U-— I/ — e^ ^
Когда а очень велико (как для металлов), А очень мало по сравнению
с дА/дп, если А и Е параллельны поверхности, а дН/дп должно быть
очень мало по сравнению с Н, если H = rotA параллельно поверхности.
Отражение упругих волн. В случае электромагнитного поля считается,
что условие нулевой дивергенции (divA = 0) выполняется не только на гра-
границе, но и во всем пространстве. Поэтому надо задать лишь два гранич-
граничных условия. Были выбраны касательные составляющие поля, что позво-
позволило выразить граничное условие через двумерный аффинор Qt. Требования,
накладываемые на упругое смещение, не полностью аналогичны, поэтому
на граничной поверхности ж = 0 надо задать три граничных условия. Часть
условий выражается через импеданс вида, приведенного на стр. 752, но
это не всегда приводит к упрощениям. Столь же удобно пользоваться
сопряжением смещений и напряжений на граничной поверхности.
В качестве примера рассмотрим отражение плоской упругой волны от
границы раздела двух сред, одна из которых (х < 0) характеризуется
уПруГИМИ ПОСТОЯННЫМИ Х_ И (Л_, Другая (Х > 0) — ПОСТОЯННЫМИ Х+ И (Л,..
Если направление распространения падающей слева продольной волны (чи-
(чистого сжатия) параллельно вектору at = icos6-|- jsin6, то угол отражения
волны сжатия также равен б, а угол отражения поперечной волны сдвига
равен б'. Соответствующие углы 6+ и 6^ преломленных волн во второй
среде связаны требованием, чтобы зависимость всех волн от у при х = 0
удовлетворяла обобщенному закону Снеллиуса
A/Сс) sin б = A/с;) sin 6' = A/с^)sin б+ = (l/cs+) sin б^;
Выражения для смещений и напряжений имеют вид
l-{-alCe °t&i + [&ly.az]De *т&г]е-ш при х < 0,
Л + ?[а;хаг]е"*"'1'']г'в| при х > 0,
ift-r-я ih-r-я' (Л*Х *Х \С\\
_ \ r i i /^ / С*> i о ' '\ r i i I.IO.O.1UI
1-Я-) б -j- С (*^_ p -^~ '¦**¦ Я;Я-» fi -J- ^
+ Dp_ (cc7cs-) [аГ [a;' x az] + [a-' x az] a-'] e''s Га*} е~ш при х < 0,
hBiit (c?/c*) [a'r [a'r X ez] -f [a'; x aj a"\ e 's Г dr} е~ш при х > 0

13.3. Векторные волновые поля 755
для падающей волны сжатия единичной амплитуды, где
ксСс=и> и т. д.; Э{ = —icos6-|-jsin6; а[= —icos6' -f- jsin6';
6+ + jsin6+; a'r = i
Приравнивая выражения для х- и ^-компонент вектора s и компонент ах ¦ St,
вектора напряжения на поверхности,
A— С) cos 6-f Dsin6' = A cos б+ + Вsin6'+ и т. д.,
получим систему четырех уравнений, которую можно разрешить относи-
относительно А, В, С, D— амплитуд двух отраженных и двух преломленных
волн, порожденных падающей волной единичной амплитуды.
Волны в волноводе. Следующей по сложности конфигурации границ
является внутренность волновода прямоугольного поперечного сечения
ширины а (в направлении оси х) и высоты Ь (в направлении оси у). При-
Приняв вначале, что волновод является бесконечным в направлении z, иссле-
исследуем волну, распространяющуюся в положительном направлении z.
В случае электромагнитных колебаний, когда среда внутри волновода
в отношении распространения эквивалентна вакууму, можно применить
граничные условия A3.3.9) и последующие, если волновод имеет металли-
металлические стенки. Начнем со случая идеальной проводимости, при котором
для касательного вектора Е на границе А, равно 0, а для касательного
вектора Н на границе дН/дп равно 0. Функция М не может быть каса-
касательной ко всей боковой поверхности волновода, но может быть ортогональна
оси z, касательна к одной паре стенок волновода и ортогональна к другой.
Этого вполне достаточно.
Соответственно назовем решения типа М поперечно-электрическими
волнами, положив
где ф — решение двумерного скалярного уравнения Гельмгольца Т^ф -|- kfy = 0
и где с2 (&| + kf) = с%2 = со2. Граничные условия для ф таковы, что каса-
касательные составляющие А и Е обращаются в нуль на боковой поверхности.
Это имеет место, если dty/dn = 0 всюду на боковой поверхности; другими
словами, для поперечно-электрических волн
А = 4- Е =
= ± rot [ аг cos (^ ,) cos (jf у) е- - ] =
nn
—
H. ,лт . Г г Г
= rot (Mmn) =\-kz [ ax
тп ¦
-^ sin
Для волн, распространяющихся в противоположном направлении оси z,
нужно просто изменить знак у кг.

756
Гл. 13. Векторные поля
Имеет место дисперсия этих волн, причем фазовая скорость cz = (a/kz
больше с; в самом деле, если т и п достаточно велики, то cz мнимое
и соответствующая волна затухает по z. Сравнение с выражением A1.3.18)
показывает, что для электромагнитных волн граничные условия не допу-
допускают чисто продольной волны (m, n = 0), которая в скалярном (акусти-
(акустическом) случае соответствует распространению плоской волны вдоль оси
шолновода. В чисто продольной волне касательные составляющие напря-
напряженности электрического поля не могут одновременно обращаться в нуль
на всех стенках волновода, так что все волны должны содержать опреде-
определенное количество всевозможных отражений от боковых стенок. Это при-
приводит к возникновению дисперсии. Все волны имеют критическую частоту
comn = cA:mn, ниже которой колебания затухают, а не распространяются.
Отметим также, что, хотя Е ортогонально оси волновода, Н имеет
составляющую вдоль оси z. Это не означает, что волна не является
поперечной, так как дивергенция ее равна нулю .и Н всюду ортогонально Е.
Волна является суперпозицией плоских волн, распространяющихся под
различными углами к оси z, поэтому нет оснований ожидать, что и Е
и Н ортогональны а2.
Исследование поля и распределения плотностей токов и зарядов на
стенках волновода для наинизшей гармоники m. = 0, п = 1 при Ъ > а (отме-
(отметим, что или т, или п может быть нулем, по оба индекса одновременно
в нуль не обращаются) показывает, как распространяется эта волна. Поля
имеют вид [берем действительные части е A3.3.11)]:
Е = —
~ sin {
cos (kzz — wt),
H= -a
v кЪ
для to > cool = яс/Ь. Это показано на рис. 13.4 для значений 0< kzz — cot < я/2,
где электрические силовые линии изображены штрихами, а магнитные —
сплошными линиями.
nmff
н
Направление
распространения
Направление
распространения
Рис. 13.4. Поля, поверхностные токи и заряды для наинизшей
поперечно-электрической волны в прямоугольном волноводе.
Плотность зарядов Q на стенке х = 0 равна {\/^л)лх-Щх=й; аналогич-
аналогичные выражения имеют место и на трех остальных стенках. Согласно рас-
рассуждениям, предшествовавшим выводу соотношения C.4.24), плотность
тока на стенке я = 0 равна (с/4я) [ажхН |х=0]. Поэтому при х — 0 плотности
поверхностных зарядов и токов равны
= - wsin ( ?)cos

13.3. Векторные волновые поля 757
При х = а знаки Q и J надо переменить на обратные. На стенках у = 0
п у = Ъ мы имеем Q = 0, а
При кл — <x>t = O две вертикальные стенки (ж = 0, а) имеют макси-
максимальный заряд и напряженность электрического поля между ними имеет
максимальное значение; направление тока на этих стенках совпадает
с направлением распространения (осью z), так что вектор Н вертикален.
Вектор S = (с/4-*) Е х Н, равный (тс/4) a, (kzc/kb2) sin2 (ъу/b), имеет максималь-
максимальное значение, вдвое превосходящее его среднее значение, и направлен по
оси z. Заряд равен нулю при k,z — wt = тс/2 (т. е. на четверть длины
волны опережает нулевую фазу в пространстве, или на четверть периода
по времени). При этом ток на горизонтальных стенках максимален; элек-
электрическое поле равно нулю, а магнитное направлено по оси z. Эта волна
по существу представляет собой двукратное за период перемещение заряда
с одной вертикальной стенки на другую, сопровождаемое токами и полями,
вызываемыми потоком зарядов (также и вызывающими поток зарядов).
Поперечно-электрические волны более высоких номеров соответствуют
более сложным колебаниям поверхностных зарядов.
Выражения тока и электрического поля позволяют определить эквива-
эквивалентный импеданс наинизшей волны. Полный ток, текущий в направле-
направлении z по стенке х = 0, при z = 0 равен
и средняя разность потенциалов между стенками х = 0 и х = а равна
V = - 2ае~ш.
Их отношение можно назвать импедансом наинизшей гармоники, а поде-
поделив на а, получим импеданс единицы ширины волновода
4яш
Тем самым можно измерить импеданс aZ, возбуждая волновод токомт
заданным на стенках х = 0 и х = а при z = 0.
Оказывается, что это значение импеданса, определенного просто как
отношение падения потенциала (на единицу ширины) к полному току,
совпадает с импедансом поля в направлении z, определенного выражением
C.4.28). Вектор -с[а2хН]= — аж (izckjkb) sin (ъу/b) е~ш эквивалентен
току, и вектор 4тсЕ эквивалентен напряжению. Их отношение совпадает
с приведенным выше. При этом по C.4.23) импеданс волны (т, п), опре-
определенной в A3.3.11), равен
4 A3.3.12)
ск, с Via» — (пст/аJ—(псп/Ъ)*
Если со > ч>тп, импеданс оказывается активным; при со < ютп — реактив-
реактивным, соответствующим индуктивному реактансу.
Волны типа N можно выразить в виде (используя те же значения
для ктп и к,, что и ранее)
ih.z-Ш
пп . / тп
as4

758
Гл. 13. Векторные поля
ik 2— tint
e
ПЯ
тт Г ПЯ . / ТОЯ
н = 1> ~гsm Ст
cos
ife ?-iu>(
e;
они называются поперечно-магнитными волнами. (Здесь также при поре-
мене направления распространения на обратное надо изменить знак
у кг.) Наинизшая волна соответствует п = т = \ (отметим, что для этого
типа ни п, ни т не могут равняться нулю), как показано на рис. 13.5.
Токи и заряды совершают продольные колебания, вектор Е направлен от
кольца положительных зарядов к кольцу отрицательных, а Н образует
поперечные петли в областях наибольшего поверхностного тока. Отметим,
Направление
распространения-
Направление
распространения
Р и с. 13.5. Поля, поверхностные токи и заряды для наиниз-
наинизшей поперечно-магнитной волны в прямоугольном волноводе.
что ни одна из функций системы М не соответствует функциям системы N.
Кроме того, продольный импеданс этих волн, отношение между 4тгс [а, X Е]
и —Н, в точности равен выражению A3.3.12).
Функция Грина. Для решения многих задач, связанных с практиче-
практическим расчетом волноводов, нужно иметь простое выражение аффинорной
функции Грина. Начнем с замечания, что системы М и N можно записать
в следующем простом виде:
„ = 4г rot [az<bmn exp (iz V& - С - ikct)] =
ik
= Bmn (x, y) exp {iz У к2 — k%mn — ikct),
nn = -drrot rDt Kx*
- k2mn- ikct)] =
= Cmn (x, y) exp (iz
— ikct),
где
_ Kmn „ It
v
Xmn
и где 4>т„ и Xmn — взаимно ортогональные скалярные собственные функции
двумерного уравнения
s |
Т \п
dx2
(собственное значение для X есть /с^п, что равно к^п в случае прямоугольного
волновода, но отлично от к^пп в других случаях). Для прямоугольного

13.3. Векторные волновые поля 759
волновода
f тп Л f пп Л . / тп Л . f пр.
= COS (^— X) COS ^-р у J и Хж« = Sin ( 3 J Sin^
(на проводящей границе
Кроме этого, имеется продольная система
Lmn = -^grad [утп exp (iz Ук2-к^п- ikct)] =
= Vmn (х, у) охр {iz У к2 — к2тп — ikct),
Dmn = 4" УЛ'-ЛАп azZmn - 4" g^d XmB,
ортогональная системам М и N. Заметим, что пространственные части L и N
содержат различные линейные комбинации двух членов &гутп и gradxmn-
Конечно, если не нужно разлагать решение на продольную и поперечную
части, можно использовать a.xmn и (l/iA;)gradXmn. ортогональные системе
Мтп и друг другу.
Предположим теперь, что надо решить уравнение
V2® + к2(В = — 4тг8 (х — х„)Ь(у—уо)Ь (z— z,,) e~ih« g
при соответствующих граничных условиях на стенках волновода и на бес-
бесконечности. Вначале можно принять, что полное разложение (включая
и продольную часть) имеет вид
<У (г | г„ | Л) = 2 (К X grad <!>„„] Fmn (r0, z) + a2xmnGmn (r0, z) +
Подстдвив это разложение в уравнение для ©, умножив поочередно на
(a. xgradq»mn], a2xmn и gradxmn и проинтегрировав по х и у, получим
выражение для F, G и Н. Положим \ \ Xmndx dy = Л^п (для прямоуголь-
прямоугольного волновода эта величина равна o,b/smsn) и, согласно теореме Грина, получим
а. X grad фтп |2 dx dy = ^ (grad ->„„) • (grad 4>mJ da; dy =
= § 4»mn gradn фтп «W - ^ ^ ^шгУ^тп dx dy = А:^„Л^П,
где Л4„ = \ \ &тП dx dy (для прямоугольного волновода это тоже ab/smen).
Например, мы найдем, что
Fmn = ь^ПАе [а, X grad фт„ (ж0, у0)] /mn (z, z0) e~ihcl,
где / удовлетворяет уравнению
и соответствующим граничным условиям. В рассматриваемом случае, когда
волны распространяются в обе стороны от источника, получим
-1
Аналогично
s-л *±jl * \ / \
fmn = ,. .Та д-- ехр (г | z - z01У к2 - к^п) ¦
а ( )?( )

760 Гл. 13. Векторные поля
где для уходящих волн g то ше самое, что и /. (Если труба ограничена
при заданной паре значений z, то g отличается от /, так как G направ-
направлено вдоль трубы, a F и Н — поперек.)
В конечном счете получим
® (Г0 I Г I к) = 47Г2 {"^ Xmn («о, Уо) Xmn (X, У) gmn +
m, n mn
+ к2 де К Х grad Фтп К, Уо)] К Х grad Фтп (ж, у)] /т„ +
mn mn
jt [grad Xmn К, у0)] [grad Хт„ (х, 2/)] fmn \ e~ihct. A3.3.14)
mn
+ tA
*mn mn
Эта функция Грина содержит и продольную и поперечную части, которые
можно использовать для определения поперечных решений, как указано
на стр. 723. Однако если желательно, чтобы @ содержала только попе-
поперечную часть, то надо перейти к векторам В и С и опустить члены D.
Для разложения по В, С и D умножим обе части, например, на Втп и про-
проинтегрируем по х и у, что определит соответствующие коэффициенты
нового разложения. Окончательно можно записать
г (к/ке J
05 (г | г01 А:) = 4тг ^ { АГ Bmn (x0, yu)Bmn (x, y)fmn +
тп
НТЕ
Xmn (Жо, У о) fmn ] Cmn (X, у) +
"" mn
+ 4" erad0 Xmn (Жо, У«) fmn ] Dmn (ж,
Подчеркнем, что это разложение удобно лишь при fmn — gmn.
Переходя к частному случаю бесконечного прямоугольного волновода,
для которого
gmn = /mn = - r,2 ' . , ехР (j|z-Z0|l/A-2-A-mn),
'f" — %»
(лт„; —\Kmn) —Kmn— I — I i
и выписывая лишь поперечную часть, получим окончательно
К, у0) Стп (х, у)] е**™*-^ -
- ik 2 fc^" [Вт„ {хЛ, Ул)Ътп (х, у) +
+ Стп К, у0) Спт (.г, у)] е~ '.™1г-го1} e-^(j A3.3.15)
где т„п = 1 — (kmjkf и х?т = /стп — ^2 и гЯе векторы В и С являются коэф-
коэффициентами при exp (ikzz—mt) в выражениях для А в формулах A3.3.11)

13.3. Векторные волновые поля 761
и A3.3.13) соответственно. Первый ряд в этом выражении содержит все
члены, определяющие волны, распространяющиеся вдоль волновода; второй
содержит все волны, быстро затухающие, поскольку они возбуждаются
с частотой ниже критической. Как будет показано ниже, первый ряд дает
активную часть волнового импеданса, второй ряд — реактивную. Так
как @, является симметричным аффинором, то можно поменять местами
В и В и т. д. Для других граничных условий на концах волновода обычно
лучше пользоваться выражением A3.3.14).
Возбуждение волновода током. Чтобы отчетливо представить себе,
как используется эта функция Грина для решения практических задач,
подсчитаем поле, возникающее в бесконечном прямоугольном волноводе
с внутренними размерами а по оси х и b по оси у, возбуждаемом прямо-
прямолинейным током /, направленным по прямой z = 0, у=Ь/2. Так как ищется
только поперечная часть поля, то воспользуемся равенством A3.1.52), где
вместо @, содержащей и продольную часть, взято <3t.. В рассматриваемом
случае (fi = s=l) неоднородный вектор Q равен Q = (l/c)axlb(y — b/2)o(z),
где опущен временной множитель е~ш, поскольку решается уравнение
Гельмгольца для пространственной части полного решения.
Единственной сложной частью вычислений является интегрирование
по х0 и у0 различных векторных функций Втп (хЛ, у0) и Стп(ж0, у0), умно-
умноженных на Q:
О, если т>0 или п = 2, 4,6, . ..,
если т = 0, п=\, 3, 5, ...;
Cmn ¦ Q dy = 0 для всех допустимых значений тип.
Однако если предположить, что ток течет по бесконечно тонкому про-
проводу, то электрическое поле на проводе должно быть бесконечным (во
всяком случае часть его, вызывающая реактанс). Будем считать, что ток
течет по полоске ширины Д, помещенной в центре волновода. Это соот-
соответствует «размазыванию» 8-функции по у. Отличие в интегралах при зтом
будет заключаться лишь в том, что интегралы от В для т = 0 и
п=1, 3, 5, ... дадут -гB//Д/сс)(-1)("~1)/2 sin (пгсД/2&), сводясь к
— i {пъ1/Ькс){ — 1)(п~1)/2 для малых п. Для достаточно больших п. эти инте-
интегралы отличаются от последнего выражения, причем так, что ряд сходится.
Теперь можно подсчитать интеграл от ©(-Q [поверхностный интеграл
в выражении A3.1.52) равен нулю в силу граничных условий]. При частоте
возбуждения, большей критической (п = 1), но меньшей следующей (п = 3),
для z > 0 получим
. . 8
А = гаж—
8я/ sin(лу/b)
ехр г 1/А:2 ( — ) z
~ хас ^ 2и + 1 у (я/Ь)аBи-1-1)я—ft2 L Л ^

762 Гл. 13. Векторные поля
где влияние конечной ширины Д полоски включено в еумму (п > 0), но
не в первый член. Напряженность электрического поля при у = b/2, z = 0
в центре провода тогда равна
Р 8я/ш/аЬс , 16/Ь v sin[(nA/2b)Bn+l)]
* /Ш2 (яс/6J х
— (яс/6J х яаДс2 ^J Bn-fl)/Bn+l)s — (fcfc/яJ '
П= 1
Второй ряд сходится плохо, поэтому рекомендуется добавить и вычесть
близкий к данному ряд, который можно просуммировать. При помощи ана-
аналитического продолжения (взяв вначале комплексное Z, в первой четверти,
а затем переходя к малым вещественным значениям Z) получим
у sinBn + l)C Г Г у ir,B»+l)
у
(+) ^ 2j e 2n+
n=l I) 0
т] =
Поэтому падение потенциала вдоль провода — напряжение, которое надо
приложить к проводу, чтобы создать ток, возбуждающий поле, — равно
V= -aEx~y?^==.-iw^L [inf-g^ + 2 2] , A3.3.16)
где
является малым поправочным членом в окончательной формуле, дающей
логарифмическое приближение ряда.
Отношение V/I представляет входной импеданс провода в волноводе
для волн, уходящих в обе стороны в бесконечность, частота которых лежит
между ш01 и шо3. Если один или оба конца волновода закрыты, так что
возникают отраженные волны, то первый член в A3.3.16) существенно
изменяется, но реактивный член меняется очень слабо, если только провод
не очень близок к концу волновода, так как' волны, определяющие этот
член, не распространяются далеко от провода. Первый член, деленный
на /, конечно, определяет активное сопротивление, а второй член —
реактанс, являющийся индуктивным, пока выражение в скобках положи-
положительно (т. е. если Д достаточно мало). Вблизи ш = ш01 = тгс/Ь активное
сопротивление велико и стремится к бесконечности при ш—>ш01. Для ш,
меньших ш01, импеданс является чисто реактивным и действительные волны,
распространяющиеся по волноводу, отсутствуют. Отметим также, что актив-
активная частъ V/I равна импедансу Z01, умноженному на 2/6, приведенному
в A3.3.12) для гармоники @,1). По первому активному члену R импеданса
можно подсчитать энергию, излучаемую проводом, P = -~-RI2.
Потери в стенках волновода. На неидеально проводящих стенках вол-
волновода касательная составляющая напряженности электрического поля не
полностью обращается в нуль. При этом продольное волновое число к,
становится комплексным, что соответствует затуханию волн из-за погло-
поглощения энергии в стенках. Согласно A3.3.5) и A3.3.8), вектор n x E равен

13.3. Векторные волновые поля 763
касательной составляющей вектора Н, умноженной на — y"(io>/4rcc e~ir;/4
«(малая величина). Поскольку множители ттс/а и rnz/b в Мтп и Nmrv выбраны
так, что п х Е обращается в нуль на границе, их надо теперь так пре-
преобразовать, чтобы п х Е было малой величиной, но не нулем. Это можно
достичь, например, для системы М, заменяя тъх/а на (пх/а) [т — Bсртж/тг)] +
+ Фт;с = 2гш., где сртж мало по'сравнению с х/2. В этом случае множитель
sin (тъх/а) в ^-компоненте Мтп переходит в sin отх при х — О и ( — I)™ sin cpmx
при х=а. (Мы молчаливо предположили, что проводимость всех стенок
одна и та же, так что граничные условия на обеих параллельных стенках
одинаковы.)
Тогда в случае поперечно-электрической волны касательная состаи-
ляющая электрического вектора на стенке х = 0 равна
[п X Е]жг=0 = - а, ? [ /и - **=*] sin <fmx cos Qny
(где учтено, что п — внешняя нормаль, в этом случае равная —ах). Однако
в решении типа Мтп касательная составляющая магнитного поля имеет
не только компоненту по х, но и компоненту по у, тем самым только
поперечно-электрическая волна не удовлетворяет новым граничным
условиям. Нужно добавить слабое поле типа Nmrv. Поэтому положим
А = Мтп + amnNmn и определим а, <ртж и оПу, удовлетворяя граничным
условиям на стенках волновода х = 0 и у = 0. Например, на стенке х = 0
- ах х Е ~ - а2 у — - а -у - J cpmx cos Qny ч- a^a-^ <ртж sin Qny =
Z sin Qn]<,
«где Z = y"fico/47ra ете^4 и где принято, что ф и Z настолько малы, что
можно пренебречь членами ф2, cpZ и т. д.
Аналогичная система уравнений имеет место и для стенки у = 0.
При помощи этих уравнений можно определить поправочные коэффициенты
<ртх, <рпу и а. При этом поля для малых Z не сильно отличаются от полей
для Z = 0, за исключением того, что имеется небольшая остаточная каса-
касательная составляющая поля Е на боковой поверхности, пропорциональ-
пропорциональная Н. Это происходит из-за того, что нули функций sin Qmx и т. д.
не лежат точно на стенках волновода. Единственная область, где имеется
-заметное отличие от выражений для Z = 0, это область у границ для
ноля Е. Закончив вычисления, мы найдем, что функции ср пропорциональ-
пропорциональны малой величине Z = y [ко/втга A-f г) и что постоянная распространения
Аг теперь имеет вид
(где const определяется из решения уравнений для ф. При этом множитель
у Е и Н, зависящий от Z, имеет вид ег/!°г"*г, где (А5J = А:2 — /ст„ и х —
малая величина, характеризующая затухание волны из-за потерь энергии
в стенках и пропорциональная
Для определения х в первом приближении можно предложить и более
простой метод вместо утомительного решения уравнений для а и <р. Он
основан на использовании уравнений A3.3.5), A3.3.8) и том обстоятель-

764 Гл. 13. Векторные поля
стве, что при потере энергии в стенках поток энергии вдоль волновода
должен затухать. Полный поток энергии вдоль волновода, очевидно,
определяется средним по времени значением интеграла от S =¦¦ с [Е х Н]/4гс
по поперечному сечению трубы. При потерях энергии в стенках и Е и Н
должны содержать множители вида е~%г, определяющие затухание, так
что «Sep. = S0e~2xz и потери энергии за секунду в стенках на единице-
длины волновода равны
2х J J ?ср. dA.
С точностью до первого порядка относительно малой величины
]/(лш/4тга потери энергии можно подсчитать следующим образом. Пред-
Предположим, что значения Н у стенки не меняются существенно при малых
потерях энергии в стенках (приведенная выше формула для — tZHt
подтверждает это), и тем самым можно пользоваться выражением для Н,
полученным для идеальной проводимости, например выражениями A3.3.11)
и A3.3.13). Поверхностный ток, порождающий (или порождаемый) Н,
в таком случае на основании рассуждений, предшествовавших C.4.23),
равен — с [п х Н]/4тг, где п — внешняя нормаль к поверхности, а Н — на-
напряженность магнитного поля на поверхности. Если касательная состав-
составляющая электрического поля на поверхности или равна нулю, или нахо-
находится не в фазе с n x H, то потери энергии в стенках отсутствуют, но
если — с [п х Н] • Е/4тг имеет действительную часть, то эта действительная
часть, проинтегрированная по периметру поперечного сечения волновода „
должна быть равна потере энергии. Поскольку
- (с/4тг) [п X Н] Е = п (с/4тг) [Ё X Н]),
легко видеть, что данное выражение соответствует составляющей потока
энергии, направленной в стенку волновода. Поэтому
где интеграл ф ds берется по периметру поперечного сечения, а интеграл
\ \ dA — по полной площади поперечного сечения. При подсчете «Scp. и
поля Ht можно пользоваться полями для идеальной проводимости, но при
определении n x E нужно брать поле для конечной проводимости. Од-
Однако выражения A3.3.5) и A3.3.8) позволяют выразить это поле через
Ht. На границе имеет место равенство п X Е = [/[лш/4тга e~i7C''4 Ht, и,
следовательно,
л / (f JC|H 12
v _Ll/ " J ' t I ,ЛО О ЛП\
*-2F 8^ |Re|JdA.(ExH)|- A3.3.1/)
Это соотношение точное, если поля строго удовлетворяют граничным усло-
условиям, и приближенное с точностью до членов первого порядка по
w/8ira, если поля удовлетворяют идеальным граничным условиям.
С помощью этого соотношения подсчитаем теперь затухание электро-
электромагнитной волны, распространяющейся в волноводе произвольного попе-
поперечного сечения. К специальному случаю прямоугольного поперечного
сечения мы вернемся позже. Как было показано ранее, поперечно-
электрические волны можно получить из скалярных решений фтп (ж, у)

13.3. Векторные волновые поля 765
уравнения ^Цтп + ^етп^тп = О ПРИ помощи соотношений
А = 1Е = Мтп = ± rot [а2фт„ exp (izl/A2-
= - ^[а2 X grad фтп] exp (izVk2-k2emn- ikct), A3.3.18)
Н = ~ [azklmntymn + i \f kz — ktrrm grad фтп] exp [iz V~k2 — Л|тп — ikct],
где в случае идеальной проводимости д*Ьтп/дп = О на границе. Действи-
Действительная часть произведения Е х Н равна
- y 1/А-2 - klmn [az х grad <!>тп] X gradфтп = -^ Vk2 - k2emn а21 grad фтп |s
и направлена, как и следовало ожидать, по оси волновода. Используя
теорему Грина и граничное условие dty/dn = 0, подсчитаем поверхностный
интеграл
где А^,п = \ \ | фтп |2 d^4 — нормирующий множитель для скалярных соб-
собственных функций фтп.
Квадрат касательной составляющей Н на границе равен
Hie
етп , Г л е
![i
етп
¦n'] I Цтп
ds
где dty/ds — касательная составляющая градиента ф на границе. Поэтому
коэффициент затухания для поперечно-электрической волны с номером
j[m, n) равен
Зфтп 2 ,
Если частота возбуждения ниже критической для этой волны (к < кетп),
то \rk% — klmn—iYlunm — lii\ \mn является чисто мнимым и эта формула
не имеет места. Однако гармоники с частотой ниже критической вообще
не распространяются по волноводу, результат их поглощении в стенках
незаметен, если только поглощение невелико.
Поэтому можно считать, что более правильная формула для А, Е и Н
получается при умножении выражения A3.3.18) на e~*emnZ, что в первом
приближении воспроизводит затухание. Для поперечно-электрической
волны с номером (т, п) энергия, переносимая вдоль трубы, равна
•С = ^ к2етп ]/ ( 1 - ^РJ Km е-2У?тп\ A3.3.20)
пока к больше чем кетп.
В случае поперечно-магнитной волны используется другое скалярное
решение хтп(х, у) двумерного уравнения Гельмгольца V2Xmn + к%тп хтп = 0,

766 Гл. 13. Векторные поля
обращающееся в нуль на границе. Тогда
А = ^ Е = Nmn = p- rot rot [a2xmn exp i (z |/ /c2 - k%mn - kct) ] =
[а/с? +
p [а2/с?т„ Xmn + г K^ &hmn grad xmn] exp г (z |//c2 — &;?„,„ — kct),
H = — [a2 x grad xmn] exp г (z ]//c2 — &?„,„ — kct).
Теми же методами, что и в предыдущих случаях, найдем коэффициент-
затухания и энергию, переносимую поперечно-магнитной волной:
%hmn 2
Khmn
..„ о 21V,
где Лтп — нормирующий множитель для Хтп-> дХтп/дп — нормальная компо-
компонента градиента хтп на границе. Обе эти формулы справедливы лишь
при к > khmn. Отметим, что для обеих волн затухание особенно велик»
при частотах, близких к критической, затем падает до минимума, а потомг
при очень больших частотах, опять возрастает пропорционально квадрат-
квадратному корню из частоты. Это возрастание происходит из-за наличия мно-
множителя j/o) в выражении для импеданса проводящей поверхности. Если с
само изменяется с частотой, то коэффициент затухания при больших часто-
частотах зависит от частоты, как j/ш/о.
Применяя эти формулы к волнам в прямоугольном волноводе, опре-
определенным в A3.3.11) и A3.3.13), где
для поперечно-электрической волны получим
f плк
/4яо (ет [утя
а для поперечно-магнитной волны
_ 2Vy.w/ina [ 1 /тя/с VI/ плк )
где
1.2 _л2 _л2 _/тяу /n^V
n-emn — Khmn — %n — I ~^~ J ' V ~6~ / '
Отражение волн от конца волновода. Расчет отражения электромаг-
электромагнитных волн от преграды в конце волновода легче всего провести, исполь-
используя понятие импеданса. Пусть преграда находится в плоскости z = 0, так
что падающая волна распространяется слева направо (из z < 0), а отра-
отраженная — справа налево. Потребуем, чтобы отношение а, х Е к Н —
— а, (аг-Н) оставалось непрерывным при переходе через преграду. Если это
отношение постоянно вдоль сечения трубы z = 0, то волна данной сим-
симметрии (заданы значения тип) отражается с сохранением симметрии;
если же это отношение в поперечном сечении изменяется, то симметрия
отраженной волны отличается от падающей.
Предположим сначала, что среда справа от преграды характеризуется
диэлектрической постоянной з и (или) магнитной проницаемостью ц, отлич-

13.3. Векторные волновые поля 767
ными от единицы, и (или) проводимостью, отличной от нуля. Тогда импе-
импеданс, вообще говоря, зависит от типа распространяющейся волны. Когда волна
данного типа (заданные тип) падает на плоскость z = 0, часть волны,
проходящая через преграду, должна зависеть от х и у, так же как и пада-
падающая волна (чтобы удовлетворить условиям при z = 0), хотя ее зависи-
зависимость от z может быть и другой. В среде (z > 0) векторный потенциал удов-
удовлетворяет уравнению rot rot A = к\гА, где if = [is -)- 4таиа/ш и к = ш/с.
Поэтому выражения для различных гармоник, распространяющихся в среде
направо, такие же, как и в A3.3.18) и A3.3.21), за исключением того,
что корень |//с2 — кт„ всюду надо заменить на "J//c2tj2 — к^п и выражение
для Н поделить на р..
Выражения для а2 X Е, Ht и их отношение С в случае поперечно-
электрической волны имеют вид
а, X Е = gradфтп exp (iz Vk*if -k\mn- ikct), A3.3.22)
Ht = -rV k2if — klmn grad <]>mn exp (
*=errm A~5~
и соответствующие выражения для поперечно-магнитных волн записы-
записываются в виде
а;хЕ=-{ Vk2r?-klmn[a2 X gradXnn] exp (iz V^-klnm- ikct),
Ht = — — [a2 X grad xmn] exp (iz |/7cV — klmn —. ikct),
A3.3.23)
В открытой части волновода (z < 0) имеется падающая волна единич-
единичной амплитуды, заданная одной из функций М или N, определенных
в A3.3.18) или A3.3.21), и отраженная волна амплитуды R, также зави-
зависящая от (ж, у) (за исключением того, что у ]/ к2 — ктп всюду надо изме-
изменить знак). Выражения для az X Е и Ht при z = 0 и для их отношения
в этом случае имеют вид
[а2 х Е]о = A + Л) grad фти е~™,
для поперечно-электрических волн,
К X Е]о = - A -R) /l - (^рJ [а2 X gradZmn] e~^>,
(Ht),, = - A + Я) [а2 X grad Xmn] e -™,
1-Я
для поперечно-магнитных волн. Отраженная амплитуда R для различ-
различных волн может быть получена из требования, чтобы X, в этих послед-

768 Гл. 13. Векторные поля
них соотношениях равнялось соответствующему ? в A3.3.22) и A3.3.23),
В результате получим
R = _
для поперечно-электрических волн,
R - ^V?ZL(khmn/ky—\/"l-(khmn/k)i A3 3 24)
для поперечно-магнитных волн, где tj2 = p.s + Ашрс/ш и p., s и о соответ-
соответствуют области z > 0. При [i=i и tj = 1 все R равны, конечно, нулю,
так как в этом случае при z = 0 нет неоднородности, отражающей волны.
При очень большом tj величина R приблизительно равна единице; имеет
место почти полное отражение. При tj, несколько большем единицы, и А",
весьма близком к его критическому значению ктп, также имеет место
значительное отражение. Конечно, формулы теряют силу при к < ктп,
поскольку колебания не распространяются при частоте ниже критической.
Влияние изменения размеров волновода. Тот же метод импеданса
можно использовать для расчета отражения волн от сужения в волноводе.
Пусть, например, при z < 0 имеется прямоугольный волновод с размера-
размерами поперечного сечения а и Ь, тогда как для z > 0 высота &+ меньше Ь,
ширина а остается той же, причем сопряжение симметричное. Если слева
падает низшая гармоника МцХ (по-прежнему считаем Ъ > а), то волна,
распространяющаяся по узкой части волновода (z > 0), представляет собой
совокупность нескольких гармоник типа М*п, но если сужение незначительно,
доминирующее значение будет иметь наинизшая гармоника для узкой трубы
М*15 характеризуемая импедансным отношением ?*01 = l/j^l — {%/Ъ^кJ в по-
поперечном сечении узкой части волновода.
Поэтому в первом приближении импедансное отношение при z = 0 для
широкой части волновода (z < 0) равно
0 при 0 < у < —, ;f ,
0 при Y'^'Y*
где Ъ > Ь+ и Ъ > а. Это соотношение, конечно, имеет место, когда пада-
падающая волна является найнизшей гармоникой и когда разность b — b+ зна-
значительно меньше, чем /; (т. е. когда сужение незначительно).
Даже когда падающая волна представляется наинизшей гармоникой,
отраженная от стыка волна состоит не из одной гармоники, она содержит
и некоторое число гармоник Моп. Это необходимо для удовлетворения
граничным условиям (не нужно включать гармоники Mmn для т, отлич-
отличных от нуля, так как электрическое поле всюду направлено по оси х). Колеба-
Колебания в широкой части волновода (z < 0) определяются при этом выражением
+ 2 -^паг х grad cos Г-т^ ) ехР Г — iz у к2 — (-?¦) — ikct I | ,
п—1

13.3. Векторные волновые поля 769
где амплитуды Вп отраженных волн подсчитываются из условия сопря-
сопряжения импедансов.
Коэффициенты Вп можно подсчитать, если известна зависимость Ht
от х и у при z = 0. В первом приближении можно принять, что наличие
стыка меньше влияет на Ht, чем на Е, и взять приближенное выраже-
выражение для Ht в виде Ht падающей волны и наинизшей отраженной гармоники
Следовательно, граничное условие для определения Вт имеет вид
п=2
ГО для 0<г/<|-|
ГО для 0<г/<|-|,
( ag||/ iZ/wfcfe ^aSin 1T^~Bi)e~ikct Для открытой области,
I 0 для у + -^ <
Умножая обе части на sm(nmy/b) и интегрируя по у, получаем значения Вт.
Оказывается, что В2п = 0 и
о л , 1 . лЬ.
* 'я b
Если 6+ близко к Ь, так что изменение высоты мало, то т+ близко к тх,
*9+ почти равно единице и амплитуда наинизшей отраженной гармоники
мала. Если к меньше я/&+ (к должно быть больше п/Ь, чтобы волны рас-
распространялись в широкой части волновода), то энергия в узкую часть вол-
волновода не передается, вся энергия отражается (т+ в этом случае мнимое).
Этот расчет можно усовершенствовать, подсчитывая по найденной
волне поле в узкой части волновода, а по нему вычисляя новое, несколько
более точное значение магнитного поля в области стыка. Отсюда можно
опять определить ?Ht и получить лучшее выражение для Е и т. д. При
этом оказывается, что Вг имеет небольшую мнимую часть, указывающую
на наличие определенной реактивной части в полном импедансе стыка.
Если при z = 0 меняются горизонтальные, а не вертикальные размеры
трубы волновода, так что фланец появляется на сторонах, несущих сво-
свободные заряды, а не на сторонах, параллельных электрическому полю,
то искажение электрического поля несколько больше, чем в предыдущем
случае. При этом уже нельзя предполагать, что колебания в узкой части
трубы почти полностью определяются наинизшей гармоникой. Свободные
заряды стремятся сконцентрироваться в углах, и электрическое поле уже
зависит от х и возрастает у фланца при х = а/2 — a J2 и а/2 + aj2. Иссле-
Исследование статического поля у такого фланца (см. § 10.2) показывает,

770 Гл. 13. Лгкторнш; /пил
что касательное электрическое поле при z = О имеет общую форму
Е, . «А. с (Ь. Л,я1„ (») {1 +2 [?*$=? ]"•} »—,
-at/2<?<a+/2, A3.3.2.",)
где ? = z — a/2. Чем больше фланец, тем больше а/а^ и все более выражен-
ной становится особенность при % = ^ а^/2. Это соответствует колебаниям
и узкой части волновода (z > 0), имеющим вид
со
711=---1
где функции М", N+ соотвотствуют области z > 0 (с х — a/2-jpa+/2 вместо х
и а+ вместо а в формулах A3.3.11) и A3.3.13).
Коэффициенты В* и С4" вычисляются приравниванием Et при z = О
соответствующему ряду. Например, умножая обе части на М^т, i и инте-
интегрируя по поперечному сечению узкой трубы, мы получим (см. стр. 420)
где (/C2m, iJ = Bлди/а+J + (л/йJ и где использовано разложение
[l-BS/«+)s]J/3 "~^ ^ ~2 (лта,/2а)х1<> Уе К " J С°" Ч. « )
в области — aj'l < ? < a+/2. Отметим, что коэффициент в скобках при /и = О
равен ]/яГ B/3)/Г G/6). Коэффициенты С для поперечно-магнитных
волн можно подсчитать тем же способом, умножая на поперечную часть
N2m, 1 обе части исходного соотношения и затем интегрируя результат.
Подсчитаем затем значение Щ при z = 0, чтобы получить значение-
импеданса в сечении стыка (z = 0). При ? = 0 и z>0 имеем
Н,=а„«А
где Q==2[(a/a+J—1]'/з и где принято, что (п/bJ < к2 <(n/
При а <СЪ ряд упрощается, так как он приблизительно равен
V[;1,tW
Zj m L (тя/2)'/« V
=l
oo
rf6 ^ -~ e-™ cos e-Bltm-'«.) sin Г^ ) e~i/!C' =
sin1/» 6 db In A - e-*« cos e-2«/a,) J sin ( w
771=1

13.3. Векторные волновые поля 771
где 50 = (а+/2я) [k2 — (n/bJ] QA0. Теперь положим z = U (аналитическое
продолжение) и покажем, что интеграл в скобках равш
^ sin1''3 6 db In Г 2i sin Г-|- я cos б") 1 ~
о
те/2 те/2
~ In 4 ^ sin1/3 6 db + 2 С sin 6 йб In Г sin Г у тс cos G ") 1
о
те,'2
5
о
= 1п2- [у^-Щ|._ 2] = Q.4O696,
так что для данного приближения адмитанс l/Z = Ht/[a2 X Е] в центре
трубы равен
[0,2936+ 0,
Следующим шагом добьемся, чтобы касательное электрическое поле для
z < 0 удовлетворяло условиям при z = 0. Имеется падающая волна типа
М01 и целая последовательность отраженных волн типов Мгш, i и Щт>ь
где М~ и N~ получены по формулам A3.3.11) и A3.3.13), в которых .кг
заменено на —kz. Легко видеть, что на границе поведение касательной
составляющей выражения
А = Мо1 + [•? -^- - 1 + 1,2936#Q ^-'
¦/1/6 I - ' I I - I |л
2тоЬ/а „- *|
'l2m, i
определяется формулой A3.3.25) (с AQ = iBn/bk при z = 0) для а/2 — а+/2 <
< х < а/2 + а+/2. Касательные составляющие А на фланцах 0 < х < а/2 —
— aj2 и а/2 + ач/2<ж<а равны нулю. Чтобы найти значение В, под-
подсчитаем Ht при г = 0 и приравняем его адмитансу в центре трубы.
Утомительные алгебраические вычисления в конечном счете дают значение
отраженной амплитуды
р /1 i в а-г I л опое юг) а+
+,2936?
а ' а
наинизшей гармоники в виде
ГДР
(a — a+)(l-fl,2936Q) + i (kaa,QG/n) У1 — (л/kbJ Мо о оа\
G= [1,58724 ±^1п(^)]1п2

772 Гл. 13. Векторные поля
Конечно, при а^—а отражение отсутствует. Если ширина а+ узкой части
аюлновода очень мала, R близко к — 1.
Отражение от штыря в волноводе. В качестве другого примера рас-
рассмотрим отражение от непостоянного по поперечному сечению препятствия.
Пусть в прямоугольном волноводе с Ъ > а на металлический штырь
ширины Д с центральной линией y = b/2, z = O(cm. стр. 761) падает волна
наинизшего типа Мо1. Частота возбуждения заключена между низшей
критической ш01 и следующей за ней критической частотой. Падающая
волна имеет вид
и результирующее электрическое поле в центре штыря было бы равно
g _ а — e~ihct
если имелась бы только падающая волна. В идеально проводящем штыре
наведется ток, создающий напряжение, компенсирующее напряжение
в падающей волне на поверхности штыря. Если сопротивление единицы
длины штыря равно R, то наведенный ток таков, что произведение RJ
равно разности между падающим и наведенным полями.
Согласно A3.3.16), электрическое поле в центре штыря, создаваемое
током /, равно
^ 8я/ ( 1 Ь г, f 46
Е;= — а,. —-г— \ — ш -.—
1 х abc \у\ — (itr.lmh\* ^лс
Поскольку IR — EQ-\-Ei, мы получаем соотношение, определяющее / и Е{:
где L = D/ас2) [In DЬ/яе2Д) + 2У|]—эффективная индуктивность провода.
Этот наведенный ток создает волну [определяемую первым членом
в A3.3.15)], частично компенсирующую падающую волну в области (z > 0)
за штырем, и порождает местное искажение поля [определяемое вторым
членом в A3.3.15)], которое не распространяется по трубе. На достаточно
больших расстояниях от штыря, так что можно пренебречь местным
искажением, поле имеет вид
z>>b
г A3 3 27)
Я — ЫЬ) VI- (лс/tob)*
где
Ао = (iu/bk) ax sin (ъу/b) exp [iz \fk2—(u/bJ — ikct] -
падающая волна. В области z < 0, кроме этого, имеется отраженная
волна, находящаяся несколько не в фазе с падающей волной (если только
L не равно нулю). Штырь действует так, как будто его импеданс равен
R — iu>L. Взаимодействие штыря с волной в волноводе определяется кон-
константой связи 8я/аЬс.
Можно привести много Других конкретных расчетов для определения
нолей и коэффициентов отражения в волноводах различной формы и кон-
конфигурации. Читатель, интересующийся другими примерами, может найти
их в специальной литературе по этому вопросу.

13.3. Векторные волновые поля 773
Упругие волны в брусе. Волны, распространяющиеся по брусу
из упругого материала постоянного поперечного сечения (в плоскости
х, у), имеют в основном тот же вид, что и волны, определенные на стр. 759,
и электромагнитные волны в волноводе. Имеется продольная волна, соот
ветствующая скорости распространения сс = V^(^ + 2(х)/р в неограниченном
пространстве,
L = — erad Г со (х и) eikz] е~ш =
*-4"", A3.3.28)
где кс== p<i>2/(X-f-2[i) и 9„т —решенле скалярного уравнения V2cpm?1 +
+ а1тпп?тп — О (и к2 = к1 — а^ти), удовлетворяющее соответствующим гранич-
граничным условиям на контуре поперечного сечения.
Отметим, что скорость распространения волн вдоль бруса ш/к, вообше
говоря, не равна сс = ш/кс. Обычно в силу граничных условий cpmn отлично
от постоянной, следовательно, almn отлично от нуля, и тем самым ско-
скорость вдоль стержня отлична от сс. Лишь в том случае, когда из гранич-
граничных условий следует, что смещение s касательно к границе, 9 может
быть постоянной. При этом колебания являются чисто продольными.
В большинстве же случаев граничные условия не удовлетворяются только
продольной волной; надо добавить еще и поперечную волну. Так же, как и
в случае отражения от плоскости (рассмотренного на стр. 750—751), волна
сжатия, отражаясь от боковой поверхности бруса, при своем распростра-
распространении порождает и волну сдвига и наоборот.
Две поперечные волны имеют вид
1
М„т = ~пг~ rot [а,фтп (х, у) elkz] е~ш =
n = -щ- rot rot [BzXmn (x, у) е**] е-*«" = A' . . 29)
Xmn + ^p- azXmn
где /с| = pw2/(i, а у, <|> — решения уравнений
VV" + afmnXmn = 0 (к2 = к! - о|тт|)
т + а|тпфтпп = 0 {к2 = А:| — а|,71П),
удовлетворяющие заданным граничным условиям на контуре поперечного
сечения. Волны типа М являются волнами кручения, вызывающими дви-
движение, ортогональное оси z. Волны типа N в комбинации с волнами
типа L дают волны растяжения вдоль стержня.
Пусть выбраны две ортогональные криволинейные координаты ?х и ?2
вместо хну, такие, что $г=Х является границей поперечного сечения,
a Sj, ?2, z образуют правую цилиндрическую координатную систему (напри-
(например, круговые или эллиптические цилиндрические координаты). В этих
координатах с единичными векторами а^ а2, а. и коэффициентами Ламр

774 Гл. IS. Векторные, поля
t, h2 и- 1 три типа волн имеют вид
М- Г _-^!--^Л-_^?_
L М, Я* ' ksht
вер ias
Если граничное условие заключается в задании смещений, то этого
вполне достаточно для определения к для заданной волны. Часто удается
выбрать ф так, что граничные условия удовлетворяются чистой волной
кручения. Например, в круговых цилиндрических координатах г, 9. z
для s = 0 при г=а (как будет, скажем, для резинового заполнения
жесткого полого цилиндра) можно положить ф = /0 (а?-) независимо от
<р( = $2) и затем выбрать а так, что dJQ/dr — 0 при г —а. С другой сто-
стороны, обычно нельзя удовлетворить таким граничным условиям двумя
другими типами волн, если только не используется комбинация L и N.
Так как к одно и то же для L и N, то при использовании их как соста-
составляющих одной волны мы получим соотношение между alnin и а.3тп, кото-
которое вместе с граничными условиями служит для определения к.
Однако в большинстве интересных случаев граничные условия заклю-
заключаются в задании граничного напряжения %-яг при %1 = Х, где % — аффи-
аффинор напряжений A^divs + ^Vs + sV). Следовательно, нужны выражения
аффинора напряжений для волн всех типов. Они имеют вид
для М 2-1 -аа ?^Г- —Г1 ^ _L.^
её, J Ml^esJ
для N Ж= {аЛ -^
— (^-gi) +_^j J +
A3.3.31)
для L 2=1-8,8^1 ^a^^^ajj+vriei;ij~
22 /c0 L К a?2 V. а, «э?, у f Afa2 ее, ее,
- _ ^ д, ^ ^ -^ ^ ^ ^ ft? ^ j j ,
— [a2 grad cp + grad cp a J j- е1кг~ш.

13.3. Векторные волновые поля. 775
Для большинства цилиндрических координат из этих соотношений
можно получить немного, становится лишь ясной сложность удовлетво-
удовлетворения граничным условиям. Можно рассчитать некоторые типы колеба-
колебаний в случае круговых цилиндрических координат. Например, для сим-
симметричной относительно оси волны имеем
или x = Jo{rV%-k*).
Для полны кручения напряжение на границе стержня (?• = а) равно
B-аг)г=й = 1Ц^(« - ?2) J2 {a VW^2) е**-™', A3.3.32)
и для того, чтобы эта граница была свободной (напряжение на ней равно
нулю), а |//с| — к2 должно быть одним иа корней п$2п уравнения /2 {п$2п) = 0.
Другими словами, продольное волновое число к является следующей функ-
функцией от со и и:
J^(bQ2J1/s, n-н волна кручений, A3.3.33)
пока со больше критического значения (яр2п/а) W/P •
Конечно, наинизшая гармоника является предельной при р —> 0, при-
причем ф —> — г>2/2 и !?-аг = 0 длн всех г, хотя ?-а2 не равно нулю. В этом
случае к как раз равно ks; скорость распространения этой волны в точ-
точности равна скорости распространения волны сдвига в неограниченном
пространстве.
С другой стороны, наинизшей волной удлинения является комбинация
L и N. Для волн типа N при / 1= /0 ('' j/"Af — /с2) вектор напряжения на
поверхности г = а равен
где Ps=a|/A/c|—/с2, в то время как для L при ® = /0 (/• \^к\—/с2) он равен
Л (Ре) - аг ^ VW^ J1 (Pc)
где рс= а ]//с? —/с2 . Нужная комбинация, исключающая z-составляющую
вектора напряжения при ?• = а, имеет вид
Д*| N Г a Jo фсг/а) д(**-^) Л (З^/а) 1 .
"Г у. BA«-fc|) М, (Р8) - L 2(х ^СЛ (рс) ^ Bfc«-fcf) {5S/, (p.) J ^
A3.3.34)
Для бруса с диаметром, значительно меньшим длины волны 2лс6/ш,
или для частот, намного меньших с8, деленной на диаметр бруса (эти две
фразы эквивалентны), уравнение, соответствующее требованию обращения
в нуль г-компоненты поверхностного напряжения, из которого опреде-
определяются допустимые значения к, значительно упрощается. В этом случае
aks и акс значительно меньше единицы. Для ¦ наинизшей гармоники ак
также мало, так что Рс настолько мало, что можно пренебречь его степе-
степенями выше первой. Например, Jt (Р) ~ р/2 и /0 (Р) — /2 (Р) с^ 1 и т. д.
Тогда в первом приближении выражение вектора напряжения на
поверхности ?- = а для комбинации, определяемой формулой A3.3.34),
имеет вид
J-Tl ?-
Чак L ;* (к%~к2) 2fc2 — /ef

776 Гл. 13. Векторные поля
Этот вектор, конечно, имеет только r-компоненту, так как соответствую-
соответствующая комбинация была получена исключением напряжений по z. Чтобы это
выражение равнялось нулю в первом порядке по Рс и ps, должно иметь
место соотношение
С BА-2 - ft,1) (ft* - /с2) + U! Bк* - ft?) - 2fi/c2 (/сс2 - /с2) = О,
к = т;+^;=рю\(зи-ад' рл2«^- A3.з.3о>
или
Отношение ft (ЗХ + 2р.)/(Х -|- ft) называется модулем Юнга. Оно играет
роль модуля, когда упругий материал вытягивается в одном направлении
и не нагружается в направлениях, нормальных к вытягиванию, так что
материал несколько сокращается в нормальных направлениях. Отношение
напряжения к деформации в этом случае оказывается равным модулю
Юнга. Из проведенного расчета следует, что для бруса, диаметр которого
мал по сравнению с длиной волны, можно пренебречь поперечным ускоре-
ускорением по сравнению с продольным движением и рассматривать волну как
чистую волну растяжений со скоростью распространения
-.-У1
не зависящей от частоты (пока диаметр бруса мал по сравнению с длиной
волны). Для более высоких частот или больших поперечных сечений при-
приближение, конечно, не справедливо.
В первом приближении вектор смещения для этой наинизшей гармо-
гармоники равен
откуда, отделяя действительную часть и умножая ее на произвольную
постоянную, получим
s ~ -A az cos (kz — mt) -f ar r~rj kr sin (kz - wt) .
Отсюда следует, что в тех поперечных сечениях балки (для тех значений
kz — Ы), где z-компонента смещения наибольшая, г-компонента будет наи-
наименьшей, и наоборот. Однако наибольшее удлинение в направлении z
имеет место в плоскости, определяемой соотношением kz — wt = Bn—1/2) тс,
которая является местом наибольшего сокращения по г. В этих областях
сокращение в направлении г (минус градиент sr по г) равно удлинению
по z (градиенту sz по z), умноженному на Х/2(Х + ц). Отношение Х/2(Х + ^>
называется коэффициентом Пуассона. Заметим, что это соотношение имеет
смысл лишь для колебаний вдоль бруса, диаметр которого значительно
меньше длины волны.
Для высшей гармоники симметричной волны, распространяющейся по
тонкому брусу (ksa < 1), р„ и рс не могут быть малыми по сравнению с еди-
единицей, и следовательно, к должно быть мнимым. Используя соотношение
A3.3.34), исключающее z-компоненту поверхностного напряжения, а затем
выбирая значение k/i так, чтобы г-компонента равнялась нулю, получим
довольно сложное уравнение, содержащее функции Бесселя /0, Jx и /2 от
а\/~к\ — к2 и а\Акс — А;2. Его решения здесь рассматриваться не будут.
Не будем мы рассматривать также и поперечные колебания бруса, при
которых направление вектора s близко к осям х или у, возвращающая
сила возникает при изгибании бруса и скорость распространения с, = ш/к
намного меньше са
¦-S-

13.3. Векторные волновые поля 777
Вынужденные крутильные колебания бруса. Мы несколько продол-
продолжим рассмотрение крутильных колебаний цилиндрического бруса. Пусть
вращающий момент Те~1<л1 приложен к кольцу ширины Д между
z— —Д/2 и г = Д/2, по боковой поверхности бруса радиуса а, простираю-
простирающегося в бесконечность в обе стороны вдоль оси z. Тогда вектор напряже-
напряжения при г— а равен
О при z < —т-,
О при z > -у .
Очевидно, чтобы напряжение, определяемое формулой A3.3.32), удовле-
удовлетворяло этому разрывному условию, надо использовать разложение в инте-
интеграл Фурье по к.
Интеграл Фурье этого вынуждающего усилия имеет вид
A3.3.36)
Чтобы интеграл от выражения вида A3.3.32) сводился к данному, функ-
функцию <|>elftz надо заменить интегралом Фурье. Поле смещений, согласно
A3.3.30), получим в виде
2я*цв2Д ^ ft/*fft* 7(/*|ft*)
Все особенности подинтегральной функции являются простыми полю-
полюсами. Два из них, ± ks, лежат на действительной оси. Остальные — на
мнимой оси при ± i У (¦к$2П/аJ—к'?, где тс?!2П является п-и корнем уравнения
/2 (rcfJ2n) = 0. (Это означает, что ка < тф21/а, т. е. полюсы для нескольких
первых корней /2 лежат на действительной оси.) Для больших комплекс-
комплексных к главной частью подинтегральной функции будет множитель
sin (/сД/2) eihz, отношение JjJ^ стремится к конечной постоянной при Ач
стремящемся к бесконечности в любом направлении, за исключением мни-
мнимой оси.
Пусть а < 7cP21//cs, так что из всех волн кручения незатухающей
является лишь наинизшая гармоника, отмеченная в связи с уравнением
A3.3.32) (для k = ks). Вычисляя интеграл для значений z, много больших
Д/2, найдем, что заметное влияние оказывают лишь полюсы ± ks. Для этих
значений z замкнем контур интегрирования дугой полуокружности очень
большого радиуса в верхней полуплоскости, чтобы все полюсы попали
внутрь. Чтобы определить, какой из двух полюсов на действительной оси
должен попасть внутрь контура, вспомним, что направо для z > Д/2 должна
быть уходящая волна. Поэтому контур интегрирования должен проходить
над всеми полюсами, лежащими на отрицательной части действительной
оси к, и под всеми полюсами на положительной части действительной
оси /с; тем самым полюс к= +ks должен быть заключен внутри контура
интегрирования (см. рассуждения на стр. 762 в томе I).
Поскольку J1 (з) —> г/2 и /2 (s) —» е2/8, вычет в этом полюсе таков, что
IT sin (ks Д/2) г jkz-uot Mo ,} 4RV
iasks /с8Д/2 а \ г
а

7 78 Гл. 13. Векторные поля
где ks = to |/ р/р. и где z достаточно велико (z > а/тср21), чтобы вычетами
и полюсах на мнимой оси можно было пренебречь.
Эти вычеты определяют высшие гармоники крутильных колебаний,
которые, как мы приняли, при данной частоте все затухают, а не рас-
распространяются, и их влияние заметно лишь у кольца, к которому прило-
приложено внешнее воздействие. Следовательно, энергия, подаваемая в это
кольцо, излучается в виде простых волн кручения, распространяющихся
в обе стороны (поскольку выражение для больших отрицательных z отли-
отличается от выражения для положительных z лишь знаком перед z в экспо-
экспоненте). Амплитуда этих волн на некотором расстоянии от кольца равна
амплитуде Т вращающего момента, умноженной на 1/тса3ш ]/p-fi, при
условии, что ширина Д кольца значительно меньше длины волны.
Чтобы подсчитать импеданс возбуждения, надо вычислить s при
z = Д/2. Для этого надо найти вычеты для других полюсов при z > Д/2,
а затем получить значение при z=A/2 при помощи аналитического про-
продолжения. Положение n-го полюса на мнимой оси определяется из равенства
я Vkt — &2 = тс|32гг, где ъ$2п — п-й корень уравнения /2(тс?!) = 0. Положим
k — iKn-\-e, где Кп=(п$2п/аJ — к1; в этом случае Yk't — к2 = п$2п/а —
— ы (аКп/ъ$2п) Для достаточно малых з. Пользуясь выражениями для про-
производных функций Бесселя, применим разложение в ряд Тейлора для опре-
определения зависимости /2 от s:
/2 (а> "#=**) ^ - we ^ A («&„),
откуда следует порядок полюса при к =ь iKn.
Собирая все множители и вычисляя вычеты, оковчательно получим
полное выражение для вектора смещения
naato
iMt f r_ sin (fc
Ряд надо преобразовать, чтобы с ним можно было оперировать. Интересны
значения s при г = а и z = Д/2; в этом случае функции Бесселя выпадают.
При акв, достаточно малых, Кп очень близко к ¦к$2п/а. Далее, в первую
очередь представляет интерес крутильный адмитанс бруса при коль-
кольцевом возбуждении, отношение между угловым смещением s/c кольца
и вращающим моментом Т. Когда aks < 1, этот адмитанс равен
у ^ 1 Г
sin (fcsA/2) iftg4/2
Если А/а не мало, но /с6А мало, то величина в скобках в первом члене
стремится к единице, а экспоненциальная часть ряда быстро сходится;
имеет значение лишь первый член. Различными способами можно показать,
что ^1 1/(тсвтпJ= 1/4 (т+1). Поэтому для /с8Д С 1, но при Д^а крутиль-
п=1
лый адмитанс равен
Г( ^ i-F=-m ... \ . \ 1- 0,455е-5.»4Д/а_ .. .] A3.3.40)

13.3. Векторные волновые поля 779
что соответствует активному сопротивлению ita4|/rpfi, включенному парал-
параллельно «упругости», приблизительно равной 24rca2fiA.
Однако более интересен тот случай, когда Д мало по сравнению с а,
так что ftsA тем более мало. Используем соотношение
оо Д оо
п=! О п=1
Но j32n~n + 3/4, так что ряд под знаком интеграла приближенно равен
_J_e-37ix/4a "V i g-Ttnx/a или _!_ ея*/4а V _-
яа •'—I n-j-3/4 яа -^-l m —1/4
1 т=2
Для достаточно малых Д/a среднее значение для этих рядов стремится к
—L+v±r^!v— Lin(?\ ^<a>
ая ' ±-> лап ал ла \ a J ' '
где постоянная g близка к единице. Выполняя интегрирование, получим
1 * ла УлЬ
Поэтому для Д < а С 1/A;S адмитанс оказывается приблизительно равным
-^ A3.3.41)
и соответствует активному сопротивлению ira4 |/ pfi, включенному параллель-
параллельно «упругости» 2тс2а3[л/1п (а/п:Д).
Эти два предельных приближения иллюстрируют природу взаимодей-
взаимодействия возбуждающего кольца и бруса. Когда второй член в Y мал по срав-
сравнению с первым или из-за большого Д, или из-за малой ш, связь с брусом
хорошая и колебания возбуждающего кольца происходят с амплитудой,
лишь немногим большей, чем амплитуда крутильных волн, распространяю-
распространяющихся от кольца [как показано в A3.3.38)], так как в этом случае высшие
гармоники почти не возбуждаются.
С другой стороны, при несколько большей частоте или меньшей ширине
кольца Д высшие гармоники возбуждаются заметным образом, вторым чле-
членом в Y уже нельзя пренебречь и связь между кольцом и брусом менее
эффективна. Высшие гармоники соответствуют движению кольца, которое
не вызывает волнового движения, что тем самым уменьшает эффективную
связь между кольцом и волной. Эти высшие гармоники соответствуют скру-
скручиванию бруса, не постоянному по г. Если представить себе брус состоящим
из концентрических цилиндрических оболочек, то низшая крутильная гар-
гармоника соответствует повороту всех оболочек на один и тот же угол при
любом заданном значении z, в то время как высшие гармоники соответ-
соответствуют закручиванию оболочек друг относительно друга, каждая оболочка
поворачивается на свой угол. Наличие второго члена в У отражает тот факт,
что кольцо и внешние оболочки бруса, ближайшие к кольцу, поворачи-
поворачиваются на больший угол, чем внутренние оболочки при г < а.
Это же влияние высших гармоник объясняет и то, что кольцо ширины Д,
приваренное к брусу и удерживаемое неподвижно, не полностью гасит
крутильные колебания. Оно демпфирует часть волн, которые несут внеш-
внешние оболочки, но внутренний сердечник бруса, не будучи жестко связан
с неподвижным кольцом, пропускает часть волн за кольцо. Предположим,
например, что идущая слева волна

780 Гл. 13. Векторные поля
падает на неподвижное кольцо ширины Д, приваренное к брусу при z —0.
Кольцо должно вызвать действие на поверхность бруса противоположного
вращающего момента. Этот момент в отсутствии падающей волны вы-
вызовет движение, равное и противоположное производимому падающей волной
в месте нахождения кольца. При этом возникнут расходящиеся от кольца
волны. Если связь хорошая (вторым членом в Y можно пренебречь), то
амплитуды этих волн близки к амплитуде падающей волны, так что при
z > 0 две волны взаимно уничтожаются (нет проходящей волны), а при
z < 0 имеет место полное отражение. Если связь плохая, но присутствуют
некоторые высшие гармоники, что уменьшает связь между сердечником
бруса и его поверхностью, то амплитуда отраженной волны равна не А, л
что близко к -4, а амплитуда проходящей волны равна величине
ДA3.3.42)
1+ Bзп7юа)/н-/р [1/1п
которая обычно очень мала, но не равна нулю. Если Д немногим меньше аг
то это последнее выражение ближе к
А
Поскольку ]/р/р порядка 105 единиц CGS, из полученных результатов
следует, что волна кручения, проходящая за демпфирующее кольцо, весьма
мала, если только произведение ша не больше, чем 1.000.000 см/сек.
Нестационарный вязкий поток в трубе. Если в трубе, содержащей
вязкую несжимаемую жидкость, падение давления является периодической
функцией времени, — gTadP = azFoe~i'i't, то поток также периодический.
Пока скорости не превосходят скорости, соответствующей критическому
числу Рейнольдса, поток параллелен оси трубы, оси z. Изменение потока
в поперечном сечении трубы можно выразить через систему скалярных
двумерных собственных функций tynm(x, у), решений уравнения ^2фпгп-Ь
+ &rmi<|>nm = 0, обращающихся в нуль на контуре а поперечного сечения
трубы:
П, 771
где значения коэффициентов А можно определить из требования, чтобы v
удовлетворяло уравнению A3.3.1):
^2V _Р_ ._5__ == a c—i4>t
¦ц dt z г]
Подставляя ряд в это уравнение, умножая обе части на <|>nm и инте-
интегрируя по поперечному сечению, получаем
v№= — г"аге~г№(— 2j "^рт^Гг Т7л > 13.3.43)
п, т
где
Таким образом, движение не полностью находится в фазе с падением дав-
давления, отставание по фазе гармоники (п, т) равно arctg (шр/Tjftnm)-
Подсчитав лгш, можно определить поток для любого неустановившегося
падения давления, используя преобразование Лапласа. Например, для паде-

13.3. Векторные волновые поля
яия давления, внезапно приложенного в момент t — 0,
1ЙГ j J | ^ 2 *
где и (t) = 0 (t < 0), и (?) = 1 (? > 0), получим решение
[ 0 для t < 0,
A3.3.44)
Скорость равна нулю при t < 0, высшие гармоники первыми возбуждаются
полностью, и, наконец, при t > р/т^, (где /с01 — наинизшее собственное
значение) движение представляет собой установившийся поток, рассмотрен-
рассмотренный в § 13.2.
Электромагнитные резонаторы. Если оба конца прямоугольного вол-
волновода закрыты, так что образуется прямоугольный параллелепипед со
сторонами lx, l и /2, то внутри этой области могут существовать стоячие
электромагнитные волны. Двумя основными типами стоячих волн, удовле-
удовлетворяющих граничному условию Et = O на поверхности и имеющих равную
нулю дивергенцию внутри области, являются
^-cosl
lyKm К lx У \ ly
, A3.3.45)
, my, тг),
«; ОТд.
и I2«m tj, Ч 'ж > V «у У
где для Mm mz > 0, a mx и /rew не могут одновременно обращаться в нуль;
для Nm mz может равняться нулю, а тх и ту оба должны быть отличны
-от нуля.
Функции обоих типов удовлетворяют одному и тому же уравнению:
rot rot Mm = ктМт и rot rot Nm = k%nNm. Они не полностью симметричны,
а «оказывают предпочтение» оси z, поскольку они образованы умножением
на аг скалярных решений уравнения Гельмгольца. Однако эти функции
составляют полную систему векторных собственных функций данной области,
и их удобно использовать, когда граничные условия выделяют зависимость
от z. Другая полностью эквивалентная система получается умножением ал
на скалярные волновые решения, а третья — умножением ау на другие
функции. Однако будет показано, что любая из функций двух последних
систем является простой линейной комбинацией функций системы A3.3.28),
так что достаточно лишь одной системы из трех; какую из трех выбрать,
зависит от граничных условий.

782 Гл. 13. Векторные поля
Отметим, что решения для прямоугольных областей являются вырож-
вырожденными в том смысле, что Мт и Nm соответствуют одни и те же соб-
собственные частоты шт/2т: (это, вообще говоря, не имеет места для областей
другой формы). Функции этих систем, конечно, взаимно ортогональны. Нор-
Нормирующие константы равны
и iy г_ ix i\i
Mmfdz= \ dx \ dy
Г^J] = [1-
Как и для других собственных решений в ограниченных областях,
функция Грина при вынуждающей частоте (о/2т: = kc/Ък мож"ет быть запи-
записана в двух видах. Во-первых, в виде симметричной суммы
(г' г°'к)=^JntX^n[М-(Го) Мт (г)+Nm (Го) Nm(r)]- A3-3-46)
Эта формула удобна для расчета многих задач о вынужденных колебаниях.
Другой вид получается из формулы A3.3.14) для полной аффинорной
функции Грина для волновода. В рассматриваемом случае функция /
отличается от функции g, так как введено дополнительное граничное
условие равенства нулю Et при г = 0 и z — lz. Имеем
_ i \ sin (Kmnz) sin [Ктп (I, - z0)] при z < z0,
/mn
Kmn sin (Kmnlz) \ sin {KnnzJ sin [Kmn (L - z)] при z > z0
[cos (/rmriz) cos [Kmn(lz — z,j)l при z < z0,
[ cos (Kmnza) cos [Kmn A2— z)] при z>z0,
где K%nn-—k2 — k;nn. (При Amn > А ЛГтГ1 будет положительным и мнимым.)
В этом случае полная аффинорная функция Грина имеет вид
тп (г0) grad xmtl (г) /гап}. A3.3.47)
Это выражение эквивалентно ряду A3.3.46) плюс продольная часть. Этот
ряд также «выделяет» ось z; эквивалентный ряд можно получить цикли-
циклической перестановкой .т, у ад z в приведенной формуле.
Потери энергии в стенках, Q полости. В случае резонаторов, так же
как и в случае бесконечных волноводов, конечная проводимость стенок
вызывает потери энергии. В случае резонаторов это сказывается в зату-
затухании колебаний не по координатам вдоль трубы, а во времени.
Обычной количественной характеристикой затухания колебаний является
«(? системы» х) — число, периодов, за которое амплитуда колебаний умень-
уменьшается в ете раз (для простого контура Q = coL//?), Другими словами,
экспоненциальный множитель определяющий затухание амплитуды, равен
е-«х/2с^ а множитель, определяющий затухание средней плотности энергии
волны, равен е—фЧ^. Чем больше Q, тем меньше потери энергии и острее
резонансная кривая вблизи резонансной частоты.
х) «Добротность системы». — Прим. ред.

13.3. Векторные волновые поля 78о
Обращаясь к выводу формулы A3.3.17), мы видим, что уравнение
для Q получается приравнением w/Q отношению потерь энергии в стенках
к полной энергии поля, интегралу от (Е2 + Н2)/8я по объему всей области.
Поэтому в обозначениях формулы A3.3.17) мы имеем
Q-W
( }
Поскольку величина Q безразмерна, величина |/ [«.с2/8тссш имеет размер-
размерность длины; это —среднее расстояние, на которое поле проникает внутрь
проводящей поверхности. Оно называется глубиной скин-слоя проводника.
Для цилиндрической полости, ограниченной при z=0 и' z = lz, с попе-
поперечным сечением, соответствующим любой из разделяющих цилиндриче-
цилиндрических систем координат, стоячие волны типа М имеют вид
мт= ~у К х ^rad фт(х, у)] sin (nmzz/lz) = -^- ,
"m lKm
где ф —решение уравнения ^xy^m+\km—f^j--) ]фт=0, нормальная
производная которого на границе равна нулю. Соответствующее поле равно
где
так что числитель в формуле A3.3.48) как раз вдвое больше этого выра-
выражения.
Касательная составляющая Ht на части границы полости, параллель-
параллельной оси z, имеет z-компоненту A//ст) [/с„— (т2я//гJ] §msin(mznz/lz), где!фт
берется на границе, и ортогональную ей компоненту (mzn/kmlz) (d§m/ds) >
X cos (mznz/lz), где dtym/ds—касательная составляющая grad<|>m на границе.
Касательная составляющая Н на граничных плоскостях z = 0 и z = l.
равна (тс2л/А;т/2) grad фоти(— l)mz(mzn/kmlz)gTad фт соответственно. Поэтому
интеграл от [ Ht |2 по поверхности полости в случае волны типа М равен
где интегрирование производится по периметру поперечного сечения. Сле-
Следовательно, значение Q для т-й поперечно-электрической гармоники равно

784 Гл. 13. Векторные поля
Аналогичные вычисления дают значение Q для т-й поперечно-магнитной
гармоники
магнитное поле которой
Н = - [аг X grad Xm] cos (J^-
где xm— решение двумерного уравнения Гельмгольца, обращающееся в нуль
на контуре поперечного сечения. В результате вычислений получим
Qhn= A/2) гг
Несколько ниже будет рассчитана чувствительность резонатора
к внешнему возбуждению. При использовании функции Грина в форме
{13.3.46) различные члены имеют резонансные знаменатели кт— А2, обра-
обращающиеся в нуль при частоте возбуждения ш/2п, совпадающей с резо-
резонансной частотой шт/2п = ктс/2п (в приближений, предполагающем идеаль-
идеальную проводимость стенок). Проведенные вычисления Q показывают, что
при большой, но конечной проводимости стенок эти резонансные знаме-
знаменатели переходят в
/&[l-(;/2(?eJ]2-/c2 в случае волн Мт, A3 3 51)
k2m[l-(i/2Qhm)Y-k* в случае волн Nm,
с точностью до первого порядка относительно малой величины \/Гц,с*/8'кша.
Величина, обратная этим множителям, не обращается в бесконечность
при k—>km, а достигает максимальных значений iQem/k'm или iQhm/k%n
при к = кт у\ — A/2(?етJ или к = кт j/l — (l/2^hmJ соответственно.
Другое выражение функции Грина также содержит резонансные мно-
множители, которые вблизи резонанса приблизительно равны А/(к^ — к2).
Чтобы учесть влияние конечной проводимости стенок в первом прибли-
приближении по 1/Q., эти множители также надо заменить на -4/{/с„ [1 — i/2Qm]2 — /с2}.
Возбуждение резонатора током. В качестве первого примера выну-
вынужденных колебаний электромагнитного резонатора рассмотрим возбужде-
возбуждение прямоугольной полости со сторонами 1Х, 1у, 1Х [стоячие волны в кото-
которой определяются по формуле A3.3.45)] при помощи тока ах1е~ш, кото-
который течет по проводу шириной AtJ, параллельному оси х и отстоящему
на Д2 от центра стенки z = 0. (Другими словами, провод лежит между
прямыми z = ^z, y = ly/2 — &y/2 и 2 = Дг, у = 1у/2+&у/2.) Такой ток не мо-
может возбудить колебание типа N, поскольку ни одна из волн N не имеет
постоянной компоненты по оси х, тогда как волны М при тх = 0 обла-
обладают таким свойством. Поэтому, используя функцию Грина из A3.3.46),
достаточно взять лишь волны типа М, для которых тх — 0, а ту нечетно.
(Чтобы упростить обозначения, мы в этом пункте положим т^ = 2т +1
и mz = n.)
Тогда выражение для вынужденных колебаний в резонаторе можно
получить из выражения A3.1.52), где Q равно ax8(z — Д2)/е-»ш'/сДу для
1у/2 — йу/2 < у < 1у/2 + Д,у2 и нулю для других значений у. При этом все
поверхностные интегралы равны нулю, поскольку мы начали с предполо-

13.3. Векторные волновые поля 785
жения, что стенки резонатора идеально проводящие. Выражение для век-
векторного потенциала имеет вид
Л _ V I6nkmn/lxlvlz »,г / \ v
Л— Zl /t? Mh l J
lx 1и/2+Ду/2 Ij
\ rl'y \ f$4l \ tt G Д I IVT II* 1 /77 • Я
^д— ^ ax0 \ ay0 \ о ^z0 — ^г) aimn ^r0; azp • a
" 0 1и/2—Ау/2 0
Xi i A\msm(nnAz/lz) 2ly
clyl
ylz
m, n
k
x sm["Bw+1)Ag] sin [."Bw<B+4)y] sin [^] e-*-t A3.3.52)
где
/c^n = [я Bm + l)/y2
Вблизи резонанса, когда всеми членами, за исключением резониру-
резонирующего, можно пренебречь, этот ряд представляет удобную форму решения.
Например, для ш, близкой к сктп, напряжение 1ХЕ, противоположное
току в проводе, равно
у _\.%nllxr лпАг\2 io) A3 3 53)
где в знаменатель включен член с Q и где принято, что Д, < Ijn
и &у < ly/BmJr 1). Вблизи этой резонансной частоты возбуждающий ток
эквивалентен току в цепи параллельно соединенных активного сопротивле-
сопротивления Rmn, индуктивности Lmn и емкости Стп, где
Wnlx
Однако для вычисления реактивного напряжения при частоте, дале-
далекой от резонанса, лучше использовать другую форму функции Грина,
а именно данную в A3.3.47). Здесь опять лишь члены в а2 X grad Фтгг
отличны от нуля, причем только те, у которых т = 0 и п нечетно. При
к<2л/1у, когда (при п > 0) У[п Bп + l)/lyf — /с2 ~ я Bп +1)//^, можно
из суммы выделить первый член, содержащий резонансный знаменатель
(для низких частот). Остальные члены воспроизводят концентрацию поля
у провода и стремятся уменьшить связь между током и полем в резона-
резонаторе. Интегрирование функции Грина дает
sin ( ^У.Л sin tz ^^^(nttv)] ,
CO
V / _ 1 Vi sh[^Bra+!) Az/^zi sin [лB/г-{-1) Ду/гг^]
гг=1
sh [л B/г+1) (гг—а)/ги] sin [я Bгс+ l)y/fw]

786 Гл. 13. Векторные поля
Это выражение не похоже на формулу A3.3.52), однако оно эквивалентно
ей. Резонансным является член, содержащий тангенс. Величина к огра-
ограничена, но и при этом член, содержащий тангенс, обращается в бесконеч-
бесконечность при j/&2 — (n/lyJ = n/lz, т. е. при k^ = kl1 в обозначениях, принятых
в A3.3^52). Разложение по к вблизи к01 показывает, что этот член анало-
аналогичен первому члену в формуле A3.3.52).
Обратная электродвижущая сила в проводе для этих значений к
равна
1Ш
[лBп+1)Д„/2^1
n=l
где принято, что Ду и Д2 малы по сравнению с 1у/ъ и lz/iz соответственно,
но lz/ly достаточно велико, так что
sh[Bn+l)n(lz~z)/ly] _Bп+ „ м/.
При Дщ>0,1/и и Az>0,liz ряд достаточно быстро сходится и можно
ограничиться несколькими первыми членами. Но если все Д малы, то
нужно взять большое число членов и приближенный результат можно
получить интегрированием. Мы видим, что
4яД2
Поэтому, беря разность этого выражения и выражения с Д2 = 0 и затем
устремляя а к нулю, получаем
v ~ {х^/у) 1.у(/„) g [2 ^(^и)] +
^ri^il^r^ill. A3.3.55)
Таким образом, для тех значений ш, для которых
получено явное выражение для V и импеданса F//, которое является
приемлемым в этой области частот, но не вблизи резонанса. Поскольку
сумма в A3.3.54) берется по одному индексу, вычисление ее проще, чем
вычисление двойного ряда A3.3.52).
Возбуждение при помощи волновода. Пусть резонатор связан с гене-
генератором при помощи волновода, соединенного с резонатором на входе
z = 0, причем волновод и резонатор имеют параллельные и прямоугольные
поперечные сечения. Предположим, что поперечные размеры волновода

13.3. Векторные волновые поля 787
а и Ъ значительно меньше, чем поперечные размеры 1Х и 1у резонатора,
и что центр поперечного сечения волновода в плоскости стыка z = 0
имеет координаты х = хх и у = У\. Начало координат х, у, z для резонатора
находится в одном из его углов. Внутри волновода удобно ввести коорди-
координаты ? = ж —ж1? -i\ — y — ух и z (считая центр поперечного сечения стыка
за начало координат).
Если волновод возбуждается так, что распространяется лишь наиниз-
наинизшая поперечно-электрическая гармоника (Е вдоль аж при Ъ > о), то
касательная составляющая электрического поля в плоскости поперечного
сечения стыка приблизительно равна (см. рассмотрения на стр. 768)
Ete±ikAt = axf°™^ym> 0 < Ш <ф- 0<h|<i-6,
v/b<k< ъ/а. A3.3.56)
Для подсчета поля внутри резонатора используем функцию Грина в форме
A3.3.47) и A3.1.10).
При этом в формуле A3.1.10) Q надо считать равным нулю, так как
в полости резонатора нет ни токов, ни зарядов. Аналогично div F всюду
равна нулю, так что первый член в поверхностном интеграле обращается
в нуль. Нетрудно показать, что для функции Грина ($, определяемой
формулой A3.3.47), divo@ равна нулю в плоскости z = 0, а на боковой
поверхности нормальна к ней (и поэтому ортогональна к nx rot F). Сле-
Следовательно, второй и третий члены в поверхностном интеграле тоже
обращаются в нуль и
А(г) = ш \\ (rot°®)• fa*xE*ldx°аУо¦
Но для прямоугольной полости (Атп = lxly/2msn) rot© по координатам
х0 при z0 = 0 равен
(rot0 @К=0 = 4. 2
т, п
^ S'n^i;^*" \ .
где индекс 0 означает, что функция зависит от координат х0, уи. Так как
a2,xEt = asrEt, tmn = cos{j~jr %) cos l^-j- yj и xmn = sin {^-j-xjsi {~yj-.
то для поля внутри резонатора получим выражение
Tfc 2j .2 , i 1 1 lazXgraa YmnJ 4-n ,K П ¦"
о
шГ^™ сов[^тп(г-—z)] --„j.. sin [.?•„,„ (t2—z)] -I 1 ,
¦ " L «™^ Й27-тп sin(JCmniz) + g 7-wn sin (JCWz) J I "
X ^ ?tcos
Интеграл в этом выражении переходит в
2аЪ v sin (nnyjly) cos (nnb/2lu) f ЛтХу
Й coS

788
Гл. 13. Векторные поля
где (см. стр. 420)
а \ * л,— ГB/3)
«ив
Окончательно «/-компонента И в центре стыка (ж = хи у = ylt z = 0) равна
х-, етВт cos (nnb/2lv) 1 — (яп/kly)*
у ~
nlxl
xlv
X
Г,,
A3.3.57)
где Уг — проводимость резонатора по отношению к волноводу. Член
с номером (т, п) в этом выражении стремится к бесконечности при
ki—>(mtz/lxJ-\-(n/R/ly)i + (s/R/lzY(s — 0, 1, ...) (за исключением членов, со-
соответствующих тп = « = 0, п > 0, k-^-ntz/ly). Этим, конечно, определяются
резонансные частоты резонатора.
Поле волноводд состоит из падающей на стык волны с индексами
т = 0 и п=\ и последовательности отраженных волн с индексами п = 1
и любым четным те. При этом тангенциальная составляющая поля при
z = 0 соответствует выражению, определенному формулой A3.3.56),
А = аг х gr ad cos (-J5-
-772 1 T"Яг x grad
l ' ™ *
2rt/n ,
~ ~^~ grad X2
m=l
, + (те/feJ, 4>-m_ t = cos Bm«?/a) sin («ij/Ь) и x-m> 1 =-
= sinB7nir^/a) cos (тет]/Ь), а.постоянные В —те же, что и раньше, с 1 вместо
а/1х. Компонента поля Н по оси у при 5 = tj = z = 0 в этом случае равна
m=1
2m, 1
B'-1)|n4- <13-3-59)
Приближенное значение Ео напряженности электрического поля
в центре стыка получается приравниванием Щ и Ну, поскольку обе эти
величины определяют напряженность магнитного поля в центре стыка
при единичной амплитуде падающей из волновода волны. Формула A3.3.58)
означает, что амплитуда отраженной волны равна

13.3. Векторные волновые поля 789
где
a Yr определяется формулой A3.3.57). Это выражение надо сравнить
с формулой A3.3.24) для отражения поперечно-электрической волны
от конца трубы. Величина Ye01 является проводимостью волны с номером
@,1) в волноводе, Yo — проводимость самого стыка и Yr — проводимость
резонатора. Формула для R означает, что волновод заканчивается парал-
параллельно соединенными проводимостями Yr и Yo, связанными с волноводом
константой связи 1/В0.
Отметим, что поскольку и Yo и* Yr являются чисто реактивными
(Ну/Е0 чисто мнимое), в то время как Ye01 — действительное при к, боль-
больших п/Ъ, амплитуда R отраженной волны равна единице для частот воз-
возбуждения выше критической. Это неудивительно, так как в выражении
для Yr еще не учтено поглощение энергии. Тем самым вся падающая
на резонатор энергия должна отражаться обратно в волновод. При Yr = — Yu
отражение происходит без изменения фазы; при Yr = со отраженная волна
смещена по фазе на 180°.
Электрическая напряженность в центре стыка при единичной ампли-
амплитуде падающей волны (Е в падающей волне = 1 в центре волновода) равна
ink ~ B0Ye01 — Y0—Yr "
Это выражение никогда не может обращаться в бесконечность, так как
Ye01 действительно, а Г„ и Г,- чисто мнимые, но может равняться нулю
при бесконечной проводимости резонатора Yr, что имеет место при сов-
совпадении частоты падающей волны с одной из резонансных частот полости
резонатора. В этом случае стык ведет себя так, как будто он -закрыт
идеально проводящим экраном.
Резонансные частоты полости клистрона. Для расчета клистронов
известный интерес представляет рассмотрение полости, получающейся при
вращении вокруг центральной линии фигуры, изображенной на рис. 13.6.
В этом случае наинизшей гармоникой является поперечно-магнитная
волна, при которой свободные заряды располагаются на сторонах щели Д,
ток колеблется вдоль цилиндра радиуса Ъ, а магнитные силовые линии
окружают внутренний цилиндр. Для подсчета этой гармоники и ее резо-
резонансной частоты надо рассчитать поле в области внутри щели (г < Ъ,
z < Д) и в области вне щели F < г < a, z<i lz), а затем осуществить
сопряжение этих полей по кольцевой поверхности (г=Ь, 2<Д). Условие
сопряжения и определит допустимые частоты.
Для Д, малых по сравнению с Ъ, поле при г = Ъ имеет почти пол-
полностью статическую структуру у «угла» r = b, г = Д
Е, ~ {Ео/[\ - B/ДJ]1/3} е~ш, г = Ъ, 0 < z < Д. A3.3.61)
Для поперечно-магнитного поля в качестве векторного потенциала исполь-
используется функция N = (l/A;2)rotrot(az3(;)e-ihcf, где х удовлетворяет гранично-
граничному условию равенства нулю нормальной производной на плоских грани-
границах, ортогональных z, и обращается в нуль на цилиндрических границах,
нормальных г (и, конечно, удовлетворяет уравнению V2X + A:2X = 0).
В области внутри щели (г < Ь, 0 <: z <; Д) надо использовать лишь
функции Бесселя 1-го рода, ограниченные при г = 0. В рассматриваемом
случае интерес представляют лишь аксиально симметричные гармоники,

790
Гл. 13. Векторные поля
для которых у не зависит от полярного угла <р. Следовательно, / являет-
является комбинацией функций
cos(i:mz/&)J0(Kmr), где К^ = к2 — (тетп/ДJ.
Р и с. 13.6. Осевое поперечное сечение электромаг-
электромагнитного резонатора.
При А, значительно меньших, чем Ъ или тс/А;, мы для те > 0 получим
Кт ~ ircm/Д и
/0 (г
Поэтому при 0<2<Д, 0<г<Ь имеем
m=i
и
107
А~
V A J J
Чтобы Ez==ikAz равнялось выражению A3.3.61) при r — b, должны иметь
место равенства
AY7V
ikJ0(kb) '
где
«/2
Г B/3)

13.3. Векторные волновые поля 791
Магнитное поле внутри щели равно
оо
Н = -с а^АА/, (Ar) + гаф У, -г- АЛ, ( —— ) cos ( —-— ) } e~twt,
а при z = 0, г = fe «р-компонента равна
7t/2 со
Hz, c^i — iEa < В., , ;,,; + 2k \ da sin Iя a >, — cos (mn cos ф) ^ е~1№( ~:
0 m=l
,—iu>( При r = b, Z = 0,
что должно совпадать со значением i/0, полученным при расчете колеба-
колебаний во внешней полости.
Выражение для х во внешней области имеет вид
т=0
cos ^ z J [Лт0 (Ama) /0 (Amr) -No (kmr) Jo (kma)],
где km — A2 — (izm/l^f. Это выражение автоматически обращается ¦ в нуль
при г —а; значения С надо выбрать так, чтобы % равнялось нулю при
г~Ъ, за исключением области 0 < z < Д. Компонента Е по направлению z
при г = Ъ равна
X [iV0 (/,mG) /0 (/cTOfe) - Лг0 (ЛтА) Jo {kma)] e-™,
что должно равняться выражению A3.3.61) при 0<z<A и обращаться
в нуль при A<z<J2. Это имеет место, если
г =Чп& Е0Ват
где величины Вт(о) определены на стр. 420 и 790. Аналогично величина
Н9 при г = b, z = 0 равна
¦XI ?m^2m (А/гг) Г А^р (fcma) Л (kmb) — Nj (kmb) Jo (kma) T .
ZJ fcm L Wo (kma) Jo (kmb) -No (kmb) JB (kma) J '
m=0
ikAE0
соответствующим выбором кт=^кг — (ir/w/Z2J, а следовательно, к, ее
нужно сделать равной величине Н^, определенной ранее.
Первый член в Н^ не содержит множителя А, и если размеры щели А
малы по сравнению с а, Ъ и lz, то этот первый член значительно больше
второго. Следовательно, чтобы Н^ равнялось Н^, по крайней мере один
член ряда для Н^ должен быть достаточно большим. Это может иметь
место, когда величина N0(kma)J0(kmb) — N0(kmb)J0(kma) очень мала.
Приравнивая это выражение нулю, получим корни
*«. = ;?%• и=1' 2' 3 A3.3.62)
При этом в области а > Ъ > 0,1а, полагая уп = /г, мы сделаем ошиб-
ошибку, не превышающую 3%. Следовательно, можно принять, что допустимые

792 Гл. 13. Векторные поля
резонансные частоты (для поперечно-магнитных гармоник) получаются
при k = ksn + bsn, где
Для о <? ksn члены ряда Щ, содержащие функции Бесселя и Неймана,
при т = s значительно больше остальных и приблизительно равны
Щп/кт(а-Ь) г ./„ (ksb) Nl (М)-Л (ksa) NB (ksb)
) ' A sn Л(
и где ks определяется по формуле A3.3.62). Окончательно, приравнивая
Ну и Ну, получим, что резонансные частоты приблизительно равны
кс/Ък, где
blzB0 In (а/Ь) Л
Для наинизшей гармоники к само мало и в выражении для Н^ можно
воспользоваться разложением /0 и J\ в ряд. Это приводит к соотношению
к ~V'2b/lzb2 In (а/Ь), тп = п = 0, A3.3.63)
где резонансные частоты опять равны kc/2tz. Если щель закрыта (Д—>0),
этот резонанс не имеет места и резонанс появляется при более высоких
частотах, соответствующих кольцевой полости между цилиндрами г = Ъ
и г = а (к = ктп). Можно считать, что наинизшая гармоника соответствует
резонансу в контуре из последовательно соединенных индуктивности
и емкости, причем емкость 62/4Д соответствует емкости щели, а индуктив-
индуктивность B^/с2) In (a/b) — индуктивности кольцевой полости, так что
J_ _ _c^ . / 2Д
LC ~2я
в соответствии с формулой A3.3.63).
Здесь можно было бы рассмотреть также численные примеры расчета
стоячих упругих волн в различных цилиндрических телах, однако те при-
примеры, которые доводятся до конца, являются тривиальными, а в приме-
примерах, представляющих практический интерес, обычно невозможно дать
точное решение из-за общей сложности граничных условий в случае коле-
колебаний упругой среды.
Рассеяние на цилиндре. Вместо этого будем рассматривать задачи,
связанные с колебаниями вне цилиндра. Многие из этих задач можно
решить незначительным обобщением скалярных формул. Например, задача
рассеяния круговым цилиндром плоской электромагнитной волны, падающей
нормально к оси цилиндра, может быть сведена к двум скалярным задачам
для двух различных поляризаций волны. В случае электрической напря-
напряженности, параллельной оси цилиндра (оси z), используется очевидное
разложение в цилиндрических координатах г, «р, z
со
a/te = az ^ «mim cos ("*?) Jm (*г); A3.3.64)
при этом для другой поляризации имеем
оо
а/** - ^ rot (B2eihx) = 1 ^ em*m а* X
m=0

13.3. Векторные волновые поля 793
При идеально проводящей боковой поверхности цилиндра граничным
условием для первого случая (Е вдоль z) является обращение в нуль
амплитуды при г = а. В этом случае решение, согласно формуле A1.2.28),
имеет вид
АИ = Ш {eihX ~ * 2 zJme-idm sin ЬпНт (kr) cos mT
m
Углы 8 определены на стр. 522.
С другой стороны, для второй поляризации (Е нормально а2) при
идеальной проводимости боковой поверхности цилиндра касательная
составляющая az x grad Ф равняется нулю при г = а, если обращается
в нуль нормальная производная скалярной функции ф (через которую
выражается решение). Поэтому
А1=-^агх grad {eihx - i 2 *J"e~iVm sin ьтHm (kr) cos гщj е~ш,
m
где углы о' также определены на стр. 522. Следовательно, волны различ-
различной поляризации рассеиваются по-разному, что связано с разницей между
фазовыми углами 8 и 8'.
Если цилиндр обладает конечной проводимостью а (обычно большой),
некоторое количество энергии теряется на поверхности цилиндра. При
этом можно говорить об эффективной ширине поглощения и эффективной
ширине рассеяния, аналогично случаю, разобранному на стр. 455. Для
параллельной поляризации касательная составляющая магнитного поля
при г = а равна
Согласно выводу формулы A3.3.17), конечность проводимости не изменяет
в первом приближении это магнитное поле, однако электрическое поле на
поверхности имеет z-компоненту, равную У^рю/^тюе-™^ Яц9, а не нулю.
Таким образом, энергия, поглощенная единицей длины цилиндра, равна
2
Падающая волна имеет интенсивность (с/4тг) Re[E x Н] = (с/4те)аж, и отно-
отношение потери энергии к падающей интенсивности, эффективная ширина
поглощения цилиндра, для электромагнитной волны равно
^о Яка ¦?-} C%, (ka)
m
где xs = l/fic2/8iroto — эффективная глубина скин-слоя поверхности цилиндра.
Обращаясь к формуле A1.3.76), легко видеть, что влияние конечной
проводимости цилиндра сказывается в образовании комплексного фазового
угла 81П — Нт, где
(ka) •
а Sm = Ьт (ka) определено на стр. 522. Таблица для от приведена в конце
книги. При этом коэффициент отражения Rm равен e-2xm~2i6m, а эффек-
эффективная ширина рассеяния, эффективная ширина поглощения и полная эффек-

'94 Гл. IS. Векторные поля
гивная ширина цилиндра для электромагнитных волн равны
<?. = 4 Ц V2*™ [ch B*J - cos Bdm)],
<?« = T 2 s»eXrn sh Bx»)' A3.3.65)
<?' = 4 2 sm[! -e-2x-cos BoJ] = Qa + <?„
для случая поляризации электрического вектора, параллельного оси ци-
цилиндра.
Несложные вычисления показывают, что для поляризации, при кото-
которой магнитное поле параллельно оси цилиндра, коэффициент поглощения
равен
*т — яа [C'm(ka)Y '
а три типа эффективных ширин для этой поляризации определяются
формулами, аналогичными формулам A3.3.65), за исключением того, что
вместо хт, Зт и Ст надо подставить к'т, 3™ и С'т. Рассеянные волны на
больших расстояниях от цилиндра имеют вид
«*""**
jl eihr-™t ^ sm cos m? A — e~2*'m~~2Vj'm), A3.3.66)
откуда можно получить интенсивность рассеянной волны.
Сферические волны. Весьма важной системой разделяющихся решений
являются решения в сферических координатах г, Ь, <р. Основные скаляр-
скалярные функции, из которых строятся векторные функции, в этом случае
представляют собой произведения cos/n<p или s'v&mp (или е±гтч), сфери-
сферических гармоник Р™ (cos &) и сферических функций Бесселя /п (кг) или
пп(кг). Векторные функции, конечно, получаются применением к этим
функциям операции градиента для продольных решений и операций rot и
rot rot для поперечных решений. Обращение к формулам A3.1.4) и A3.1.5)
показывает, что операция rot применяется к вектору г, умноженному на
скалярное решение. Полученные векторы проще всего выразить через век-
векторные гармонические функции, введенные в A3.2.18), A3.2.20) и после-
последующих формулах. Таблицы этих функций приведены в конце главы.
Векторные решения имеют также поучительные интегральные пред-
представления. Как и в гл. 11, наши решения можно выразить в форме
интеграла от плоской, волны еш-г по всем возможным направлениям к.
(Здесь положено
г = г (ах sin 8- cos <p + ау sin 8 sin <j> -j- a2 cos &)
и
к = к (ax sin и cos v + ay sin и sin v -f- az cos и),
a eikr, умноженное на sin и dudv и амплитудный множитель, интегрирует-
интегрируется по v от 0 до 2те и по и от 0 до тт.) В рассматриваемом случае ампли-
амплитудные множители — это векторные функции и и v, и, что весьма удачно,
эти множители оказываются векторными гармоническими функциями, таб-
таблицы которых приведены в конце главы.

13.3. Векторные волновые поля
795
К сожалению, чтобы различать функции, соответствующие различным
решениям, приходится прибегать к большому числу нижних и верхних
индексов. Нижние индексы тип обозначают порядок производящей сфери-
сферической гармоники;' нижние индексы е или о указывают на использование
cos гщ или sin гщ в сферической гармонике. (Этого можно избежать, при-
применяя е*"»9; только в этом случае нужен специальный символ для обозна-
обозначения комплексно сопряженной величины.) Наконец, нужен символ, кото-
который бы отличал функции, регулярные в начале координат, от имеющих
там полюс, а также символ, отличающий функции, соответствующие лишь
расходящимся волнам.
Три системы решений первого рода, конечных при г = О, имеют прп
этом вид
(г) = y gfad [Yvmn (й, <р) /„ (kr)] =
= Pmn(», 9) -Ц[/n (kr)] +Vn(n+\)
(», ?)± [/„ (kr)] =
2n-\-i
n^»-i ( ) [_ mn "I" |/ n mn \
2я Я
A3.3.6?)
5 S
о о
M\mn (r) = rot [r7amn (9, T) /n (Ay)] =
n (n
2я я
\ dv S
о о
^ Jra,, (r)]
- w) sin в do;
= n (n
1 /„
A3.3.68)
I ± \rjn (kr)]
sin и dB.
A3.3.69)
Эти определения надо сравнить с формулой A1.3.47). Индекс п принимает
значения от 0 до со; т изменяется от 0 до п; а — или е, или о (четное
или нечетное). Можно, конечно, применять комплексную форму
Имеются также функции второго рода ljmn и т. д., которые полу-
получаются при использовании обращающихся в бесконечность при г = 0 сфе-

796 Гл. 13. Векторные поля
рических функций Неймана nn(kr) вместо jn(kr). Контур интегрирования
по и в интегральных представлениях в этом случае преобразуется ана-
аналогично тому, как это сделано в формуле A1.3.48). Кроме этого, имеются
и функции третьего рода М%тп и т. д., получающиеся при использовании
сферических функций Ганкеля hn (kr) = /n (kr) -\- inn (кг) вместо /п (кг). Эти
решения описывают расходящиеся волны.
Из интегральных представлений ясно видно, что L является продоль-
продольной волной, так как направление Ртп(м, v) совпадает с направлением вол-
волнового вектора к для любой волны, по которому производится интегриро-
интегрирование. Две другие волны являются поперечными, потому что В и С нор-
нормальны к. Поскольку угловые функции Р, В и С взаимно ортогональны,
можно использовать интегральные представления для получения разло-
разложения в ряд плоской векторной волны. Например, аффинор ?jeik-r является
функцией углов и, v вектора к и углов &, <р вектора г. Разлагая его
по функциям, зависящим от и, v, и используя полную систему Р, В, С,
получим
а, т, п
+ г / Л [Стп (U, V) Mlmn (Г) - iB°mn (U, V) Jilmn (Г)] } .
При м = 0 (к направлен по z) все функции Р, С и В обращаются в нуль,
за исключением случая т = 0 для Р и т = 1 для С и В. Поэтому имеем
(см. стр. 737)
n=0
+ ay [Mi^ (r) + iNjln(r)] - in(n + 1) a2L*on(r)}, A3.3.70)
откуда умножением слева на постоянный вектор можно получить разло-
разложение любой плоской волны. Легко видеть, что продольная волна azelftz
выражается исключительно через L, в то время как и axelfez и &yevkz пред-
представляются обоими поперечными решениями М и N.
Излучение диполей и мультиполей. Для несколько более детального
исследования свойств этих сравнительно сложно выглядящих векторных
решений рассчитаем электромагнитную волну, излучаемую сферой, на ко-
которой задано (способом, который нас здесь не интересует) простое распре-
распределение осциллирующих поверхностных токов. Для подсчета излучения,
вызываемого распределением токов, обычно используется весь аппарат,
связанный с функцией Грина. Однако в случае только поверхностных
токов можно использовать применявшееся неоднократно соотношение между
поверхностным током Js и напряженностью магнитного поля Hs у поверх-
поверхности
где п — внутренняя нормаль к поверхности. В рассматриваемом случае
поверхность является сферой г = а и нормаль п совпадает с — аг (рас-
(рассматриваются колебания вне сферы), так что
J-< = — 4я tar X Нг=«1-

13.3. Векторные волновые поля 797
Сравнивая магнитное поле расходящейся волны и поверхностный ток,
можно подсчитать излучение, обусловленное током.
Предположим на момент, что рассматривается обратная задача опре-
определения распределения тока по поверхности сферы, вызывающего данное
поле излучения. При этом не будет продольных волн, поэтому не надо
рассматривать волны типа L. Не будет также и волн типов М и N при п = 0.
Простейшая волна типа М имеет вид
А = ML = а„ sin & /г, (kr) е~110' = -—-,
з 1 1 , , A3-71)
Н = A;Noi = \ 2kar cos & ¦ ~ ¦ hx (kr) — Ла» sin & ~ ~ [rhx (kr)] J е~ш,
а соответствующий ток на поверхности сферы равен
Jol = — а? -т^— sin
sin Ь
~7^Р J
Ток такого рода колеблется параллельно экватору сферы, как будто
сама сфера вращается вокруг оси z сначала по часовой стрелке, а затем
против. Естественно ожидать, что при этом свободные заряды нигде
не будут накапливаться. Это предположение подтверждается тем, что
электрическое поле нигде не имеет нормальной (радиальной) компоненты.
Такой замкнутый ток без свободных зарядов образует то, что назы-
называется магнитным диполем, а волна А = М\г называется излучением
магнитного диполя. Петля переменного тока образует осциллирующий
магнитный диполь, который, можно сказать, порождает эту волну.
Рассматривая обратную задачу, видим, что если ток paBeH/-a?sin&e-'ID(,
то электрическое поле на поверхности имеет вид
— ш
Величина в квадратных скобках (или, вернее, ее предельное значение
при ка < 1) является эффективной индуктивностью единицы длины эква-
экватора сферы при распределении тока, соответствующем магнитному диполю.
При возрастании частоты, когда взличиной ка уже нельзя пренебречь,
импеданс единицы длины экватора (величина в скобках, умноженная на — ш>)
уже не является чисто реактивным. Действительно, для ка > 1 импеданс
уже чисто активный, равный 4я/с, т. е. сопротивлению излучения вакуума.
Взяв первую волну типа N, получим
A3.3.72)
В этом случае ток колеблется от полюса к полюсу, попеременно накапли-
накапливая положительные и отрицательные заряды на полюсах. Это легко видеть
подсчитывая поверхностные заряды по радиальной составляющей электри-
электрического поля Q = (l/An) (ar-E). Имеем
1 1 — ika „ .. . ,

798 Гл. 13. Векторные поля
что на 90° смещено по фазе по сравнению с током и имеет максимум
на полюсах (множитель cos&), а не на экваторе (множитель sin& в выра-
выражении для J). Это простое колебание зарядов от полюса к полюсу пол-
полностью эквивалентно распределению зарядов и токов, возникающему при
колебании заряженной сферы (нейтрализованной отрицательным точечным
зарядом в центре сферы) вдоль оси z. Оба способа описывают то, что
называется колеблющимся электрическим диполем (см. стр. 447).
Отношение поверхностного тока к касательной составляющей напря-
напряженности электрического поля является адмитансом единицы длины
периметра электрического диполя:
Y _ .Го 1—ika ~j
*eoi- -"° |_4я l-(fca)* —iftaj '
Величина в скобках при ка < 1 представляет собой емкость — эффектив-
эффективную емкость двух полюсов сферы для тока, образующего диполь электри-
электрического типа. При больших значениях ка адмитанс является действитель-
действительным и стремится к величине, обратной 4я/с (сопротивлению излучения сво-
свободного пространства).
Поэтому поле излучения, вообще говоря, бывает двух различных
типов, соответствующих двум различным типам распределения по поверх-
поверхности сферы тока возбуждения. При одном типе магнитное поле всюду
ортогонально г и имеются свободные заряды и ток на поверхности сферы,
определяемые формулами
Et=-ik -2
Q = i?n%t+i) Y°™ (&' V) [Лп*1 (Щ + К_х (ка)] е-*
j = ~уп(п + 1)В™„ (&, ц) К (ка) е-»*; A3.3.73)
ка < 1,
у_ L__L —?Bл-+-1) At.
Et 4я п/гп+, — (п
~ при ка > 1.
Такое распределение токов и зарядов для случая (т, п) соответствует элек-
электрическому мультиполю порядка 2". Его импеданс 1/F равен импедансу
вакуума 4я/с для высоких частот, а для очень низких частот является
емкостным реактансом, соответствующим емкости a/Ann CGSE.
Случай п — 2 называется электрическим квадруполем. Распределение
тока при т — 0, п = 2 имеет вид
в соответствует попеременному движению зарядов от экватора к обоим
полюсам, а затем от полюсов к экватору. При этом заряды одного знака
накапливаются на полюсах, а заряды другого знака — на экваторе; знаки
зарядов меняются через полпериода. Излучение такого типа возбуждается
реформирующейся заряженной сферой, которая принимает форму то вытя-
вытянутого, то сплющенного сфероида; расстояние между полюсами сокращается
ж экватор увеличивается, а через полпериода — наоборот.

13.3.. Векторные волновые поля 799
В излучении другого типа электрическое поле нормально г, и поэтому на
поверхности сферы нет свободных зарядов, а есть лишь поверхностный ток:
А = M.Ln, Et = ik Vn(n+l) С (», ?) К (кг) е~™*,
3 = Ш У1
— по—г при ка < 1,
пс A3.3.74)
— при ка > 1.
Такое распределение токов при фиксированных (т, п) соответствует магнит-
магнитному мулътиполю порядка 2п. Его импеданс Z при высоких частотах равен
импедансу вакуума, а при низких частотах является реактивным, соответ-
соответствующим индуктивности 4na/ncz CGSM.
Магнитный квадруполь при т — 0 имеет распределение тока (т = 0, п = 2)
Зс/с
j — ¦-¦. flm bill ?лТ \?vil"n л.Л yfbtt ) \*^'" I J- ) *"tx_i ( /btt 11 _
J.U3T
что соответствует току, текущему параллельно экватору в течение одной
половины периода по часовой стрелке в северном и против часовой стрелки
в южном полушарии и в обратных направлениях в течение другой поло-
половины периода. Мультиполи высших порядков, конечно, представляют более
сложную картину распределения токов и зарядов для электрических
мультиполей и одних токов для магнитных мультиполей.
Поскольку функции В и С на поверхности сферы образуют полную
ортогональную систему, можно получить решение для излучения произ-
произвольно заданного на поверхности сферы распределения тока или для про-
произвольного распределения напряженности электрического поля. Получа-
Получающееся при этом разложение решения в ряд автоматически дает разлон-.е-
ние полного поля излучения на члены, соответствующие системе мульти-
мультиполей, эквивалентной действительному распределению тока. (См. также
рассуждения на стр. 260 и последующих, относящихся к. аналогичному
разложению статического распределения зарядов.) Как будет показано
ниже, простой способ расчета излучения от колеблющейся совокупности
зарядов и токов на некотором расстоянии от этой совокупности заклю-
заключается в представлении этих вибраторов эквивалентными электрическими
и магнитными диполями, парой квадруполей и т. д., таким же образом,
как и при разложении статической совокупности зарядов, данном в фор-
формулах A0.3.42) и A0.3.43). Поле излучения при этом естественным обра-
образом оказывается выраженным через функции М и N.
Стоячие волны в сферической полости. Функции М и N можно исполь-
использовать и для расчета стоячих электромагнитных волн внутри сферической
полости. В случае идеально проводящей сферы радиуса а стоячие волны,
образованные векторным потенциалом А, и допустимые частоты определяются
выражениями
2а '
=щ+1) ^'«С ^ >-< <»' 9)+
VJT^ [г/,(^)] Ка(Ь, 9). A3-3.75)
~r [г/,
2а

800 Гл. 13. Векторные поля
гДе Pin — я-й корень уравнения /, (я[3) = 0, а у1п — п-ж корень уравнения
d ЪЧ ii (ЯТ)]/^Т = 0. В обоих случаях k (а тем самым v) выбрано так, что
касательные составляющие А и Е равны нулю при г = а.
Нормирующие постоянные для этих собственных функций не такие
сложные, как может показаться. Для магнитного случая интеграл от квад-
квадрата М равен
.h 2па3
Л
_ 2^2B+1)
Так как /i(np,n) = O, то /(+1 (яВ(п) = — /i_i(np,n). Проинтегрировать квад-
квадрат функции N несколько сложнее, но, используя уравнение для сфери-
сферических функций Бесселя в форме
I (I + 1) /, {кг) -^[r^rj\ (кг) ] = /cV-/( (кг),
легко получить простой результат
, I г/ ¦ ]
Интегрируя по частям второй член в скобках, получаем
о
поскольку при /са = яу,п имеем d (r]\)/dr = 0. Поэтому
.е [2яо3 2B+1)
АтЫ
22+1 (l-m
2B+1) (t+m)l Г. /B + 1)
22+1 (Z-m)l L^TSS-
Можно также показать, что интеграл от Е2 по внутренней области равен
интегралу от Н2 и равен к2Лт1п, где к = n$ln/a для волн типа М и А; = я;1п/а
для волн типа N.
Если проводимость внутренней поверхности сферы является большой,
но конечной, то потери энергии можно выразить через безразмерную харак-
характеристику Q, определенную по формуле A3.3.48). Используя выражения
для Л" и Ah и соответствующие выражения Ht для волн типа М и N, полу-
получим величину Q для различных стоячих волн:
для волн типа N»"»
<?11п = о--Для волн типа Mmin, is =
Это чрезвычайно простой результат.

13.3. Векторные волновые поля 801
Функция Грина внутри сферы с почти идеально проводящей поверх-
поверхностью при частоте возбуждения кс/2п в таком случае имеет вид
что позволяет рассчитать многие задачи^возбуждения колебаний различными
внешними силами.
Колебания упругого шара. Колебания упругого шара также можно
выразить через функции L, М и N, определенные по формулам A3.3.67) —
A3.3.69). Значение к для продольной функции L равно кс = co]/p/(X-f 2ц),
что соответствует волне чистого сжатия; для обеих поперечных волн к рав-
равно ks = со j/p/fx, что соответствует волнам сдвига. Чтобы подсчитать часто-
частоты и форму свободных колебаний, надо сначала вычислить вектор напря-
напряжения Tr = Xardivs + fiar (Vs + sV) на поверхности г = а. Он равен
для Vaml: Тг = ±Па [ -Ы2с}\ (кса) + 2
для MjmI: Tr = |х УЦ1+1) С [-^-Z, (Л,а)- -1/. (Л.о)] ; A3.3.78)
для NU: Tr = 2,Za + l)±P^^
Если внешняя поверхность шара (г = а) свободна, то значения к бе-
берутся такими, чтобы Т обращалось в нуль. Простейший тип волн дает сис-
система волн кручения s = MJmn(r), где к= ks — со }/"р/р. . Допустимые значения
кв и, следовательно, собственные частоты A/2я) ks ]/p./p определяются из
условия jl(ksa) = (l/ksa) j\(ksa), где штрих означает дифференцирование
по полному аргументу. Собственные колебания оказываются вырожденными,
не зависящими от т, так что для определения частот свободных колебаний
достаточно рассмотреть только случай т = 0. Применяя формулы для dj\/dz
и j\/z, приведенные в конце гл. 11, легко видеть, что уравнение для ks
переходит в
Имеется наинизшая гармоника для ks = 0, соответствующая
s = a?^sin&,
представляющая свободное вращение вокруг оси z. (Гармоника CJ, для
&s = 0 представляет вращение вокруг оси х; С^ — вращение вокруг оси у.)
Конечно, надо учесть эти гармоники при рассмотрении свободных движе-
движений упругого шара, хотя они и не представляют упругих колебаний.

802 Гл. 13. Векторные поля
Колебательные гармоники с простейшей угловой зависимостью полу-
получаются при 1 = 1 (Ст1 = 0 при 1 = 0), и для этих гармоник уравнение для
ks имеет вид /2 (ksa) = 0, откуда
^s= —^^ > резонансная частота = ^ 1/ — , 1 = 1,
где Р2п — корни, приведенные на стр. 534. Смещение точки (г, Ь, <р) шара
для наинизшей из этих гармоник имеет вид
= а9 sin бД f ^il ) e-i («
, cs =
внутренняя часть шара вращается вокруг оси z в одну сторону, а внеш-
внешняя часть—в противоположную сторону.
Гармоники для 1 = 2 имеют другую последовательность собственных
частот, наименьшее допустимое значение ks, как показывает исследование
уравнения для ка, несколько меньше п$1Х/а. Соответствующее выражение
для смещения имеет вид
s = -| а? sin B&)/я
где 231 — наинизший корень Д (яб) ¦= 3/8 (яб), несколько меньший ри. Для
этой гармоники северное полушарие вращается в одном направлении во-
вокруг оси z, а южное полушарие — в противоположном направлении. Через
полпериода направления вращений меняются на противоположные.
Гармониками чистого сжатия являются лишь полностью симметрич-
симметричные гармоники типа L, для которых т = 1 = 0. Чтобы поверхность г — а
была свободной, необходимо
/о (кса) = 2Н7о (Ка) = Н7а (кса) — Н7о (кса)>
или
К = -^f- . гДе /о (яеоп) = згС+
Соответствующие смещения равны
это — гармоники, соответствующие чисто радиальным колебаниям.
Никакие другие гармоники не представляют чистого сжатия; при
I > 0 граничному условию Тг = 0 удовлетворяет лишь комбинация L' и N.
Чтобы получить ее, положим
и выберем Л и со так, чтобы Тг = 0. Это приводит к паре однородных
уравнений относительно /, (кса), /, (А;8а) и их производных, а также К, |д.
и ^4, которые можно разрешить в любом конкретном случае, но общее
решение которых нельзя выписать в явном виде. Для гармоник, соответ-
соответствующих т = 0, 1 — 1, колебания представляют собой изменение формы
сферы из вытянутого сфероида в сплюснутый за период колебаний.
Функция Грина для свободного пространства. Возвращаясь к слу-
случаю электромагнитных колебаний и сравнивая формулы A3.3.77'), A3.3.67),
A3.3.69) и A1.3.53), мы видим, что поперечную аффинорную функцию
Грина сферической полости можно выразить через скалярную функцию
Грина той же полости. Для этого к данной функции надо применить

13.3. Векторные волновые поля 803
векторные операторы как по г, так и по г0. Для части М формулы
A3.3.77') мы исходим из скалярной функции Грина, обращающейся в нуль
при г — а. Эту функцию можно представить в виде суммы сферических
гармоник различных порядков:
G»(T\t\k\-y е°(т\т \к) г"- У 4я*™/п('.)Фып(')
где &in = n^ln/a, фт[п=Утп/, и где Лт[11 равно нормирующему множителю,
входящему в A3.3.77'), умноженному на 1/1A-\-1). Поэтому часть М фор-
формулы A3.3.77') можно символически записать (опуская малые члены в Q,
что соответствует идеальной проводимости сферы) в виде
со
2 rotorot?
1=0
Аналогично часть N аффинорной функции Грина запишем в виде
со
¦fcT 2 t(t+i) (rotoroto) (rot rot) [rorgi],
1=0
где gf есть 1-й член ряда для скалярной функции Грина, для которой нор-
нормальная производная rg обращается в нуль при г = а. В операторном
выражении продольной части используются операторы grado-grad и сле-
следует опустить множитель 1/1 (I + 1).
При рассмотрении аффинорной функции Грина для неограниченного
пространства разница между g° и g1 исчезает, но операторные обозначения
сохраняют свой смысл. Согласно A1.3.44),
JkR
1=0
где
Фот! = Yaml (», <р) /, (/с;-), *?ml = У^1 (», ?) Ы (kr).
Применяя операторы, как было намечено выше, можно немедленно полу-
получить аффинорную функцию Грина для неограниченного пространства:
щ^7
1=0 m, о
+ NLi (г0) NLi (г) + Z (Л-1) LLi К) Цш (г)}. A3.3.79)
где т изменяется от 0 до I, а есть или е или о, а векторные функ-
функции определены по формулам A3.3.67)—A3.3.69), функции с верхним
индексом 3 соответствуют расходящимся волнам и принято, что
г > г0. При г < г0 в приведенном ряде надо поменять местами г и г0.
Этот ряд можно получить и обычным способом вычисления функции
Грина, но, поскольку уже имелась в распоряжении скалярная форма,
желательно было показать, как операторный символизм позволяет перейти
от скалярной формы к аффинорной. При этом была включена и продольная
часть, хотя она в электромагнитном случае при вычислении полей обычно
исчезает..
Излучение переменного тока. Задача определения электромагнитного
поля излучения, создаваемого в неограниченном пространстве заданным

804 Гл. 13. Векторные поля
внутри сферы радиуса а распределением осциллирующих токов, включает,
в себя многие важные случаи, начиная от излучения атома и кончая
возбуждением радиоволн. Вначале примем, что колебания являются моно-
монохроматическими с частотой v = со/2тг = kc/2v. В дальнейшем, используя
метод преобразования Лапласа, можно будет рассчитать излучение неуста-
неустановившегося движения зарядов. Поэтому примем, что распределение заря-
зарядов и токов задается функциями р (г, &, <р) е~i№( и J (г, &, <р) е~ш, где
и р и J равны нулю при г > а. Эти две величины не полностью незави-
независимы, поскольку продольная часть J связана с р уравнением непрерыв-
непрерывности
Исследуемая задача хороша тем, что здесь еще раз можно рассмо-
рассмотреть следствия выбора калибровки потенциалов и соответствующие
соотношения между продольной и поперечной функциями Грина. При
такой калибровке потенциалов, когда используются и векторный и ска-
скалярный потенциалы, уравнение для А имеет вид
с2 dt2 с
В этом случае используется полная аффинорная функция Грина. Дли
неограниченного пространства потенциалы определяются выражениями
JhR С Г Г t>ihR
J
V J(ro)^o. 9
Векторный потенциал имеет продольную часть (выражающуюся рядом по
функциям l^ni), которая исчезает при подсчете поля. Для определения Н надо
взять rot А, что, конечно, уничтожает продольную часть А; для опреде-
определения Е используется комбинация — grad cp + ikA, и соответствующая
часть от ср взаимно уничтожается с продольной частью ikA в области
г > а. Чтобы проверить это последнее утверждение, возьмем дивергенцию
от —gradcp + i&A. Она должна обратиться в нуль, если отсутствует про-
продольная часть данного выражения. Имеем
ikdiv А = iu>e-*№i ^ ^ [grad -^- J .J(г0)dv0 =
Но
Г eiftH П Г eikR ~\ eihR
I grad0 -д- J • J (r0) = div0 [ -g- J (r0) J ^- div0 J (r0),
и интеграл от первого члена по неограниченному пространству равен
поверхностному интегралу по бесконечной сфере. Последний равен нулю
Тем самым остается лишь интеграл от второго члена:
ik div А = по {{ ^ ~— div0 J (г0) dv0 ¦ е~ш =
— —от \\ \ —jr— р (гп) dv,
= — со29 = div grad 9 + 4тгр = V2<p при г > а.
Здесь использованы уравнения непрерывности для р и уравнение для <р.
При г > а отсюда следует, что grad<p равен продольной части А( векторного
потенциала, умноженной на ik. Поэтому Е определяется лишь поперечной
частью А, за исключением случая г < а.

13.3. Векторные волновые поля 805
Если, с другой стороны, калибровка потенциалов такова, что ф = 0,
то векторный потенциал удовлетворяет уравнению
rotrotA+-^-^ = — J,
которое отличается от предыдущего отсутствием члена grad div А в V2A.
Как следует из рассуждений, предшествовавших формуле A3.1.37), реше-
решение этого уравнения представляется через поперечную аффинорную функцию
Грина
А = т \ S 5 ®'(г' г°'k)'J (Го) dv° е~'ш ~^h (г)' A3-3-8°)
где Jt —продольная часть тока (часть, порождающая свободные заряды).
Это выражение при г > а является как раз поперечной частью векторного
потенциала при предыдущей калибровке потенциалов. В рассматривае-
рассматриваемом случае Е равно ikA, что опять при г > а совпадает с поперечной
частью предыдущего А, умноженной на ik. В предыдущем случае продоль-
продольная часть оказалась несущественной при подсчете Е в свободной от заря-
зарядов области г > а, поскольку продольная часть ikA взаимно уничтожа-
уничтожалась с членом — grad <p. В рассматриваемом случае при подсчете Е также
можно избавиться от продольной части, применяя поперечную функцию
Грина. Благодаря этому А вообще не имеет продольной части. Последний
способ, видимо, более эффективен, если можно получить явное выражение
для ©,.
В случае разложения функции Грина в сферических координатах,
приведенного в формуле A3.3.79), легко получить поперечную функцию
Грина; достаточно просто опустить члены с L. Поэтому полное выражение
для векторного потенциала при такой калибровке потенциалов, когда ф = 0,
для г > а равно
А (Г> = "Г" 2 jfnjilj- 2 *т g^j! {m^M"ml (?) + nml^Ll (г)} е~"*, A3.3.81)
где постоянные
dv°
можно назвать (т, ^-компонентами распределения тока.
При ка <^1 (когда длина волны X значительно больше произведения
1/1 на радиус области, вне которой J = 0) достаточно взять лишь первый
член в разложении сферической функции Бесселя, входящей в М1 и N1:
так, что, например,
I~1 Ч S S
Но
rl J- grad Y = div (rlYJ) - l^-^Ya,. J-r^Y div J.
Интеграл от первого члена является поверхностным интегралом, равным
нулю. Второй член взаимно уничтожается с первым членом в подинтеграль-
ном выражении для nmi, а третий член в силу уравнения непрерывности,
связывающего J и р, равен mrlYp, так что
ПП1 = — lklC

806 Гл. 13. Векторные поля
! S 55
где
/са с г. A3.3.82)
Постоянные /? для заданного значения I называются параметрами элек-
электрического мулътиполя порядка I, создаваемого данным распределением
заряда. В пределе при длине волны, значительно большей а, они пред-
представляют комбинации моментов мультиполей для статического поля, рас-
рассмотренных в формуле A0.3.42) и последующих. Для более коротких
длин волн постоянные р отличаются от этих предельных значений, но их
все же можно называть параметрами мультиполей.
Из формулы A0.3.36) и задачи 10.29 для ка < I имеем
= S \ Szpdv=D"pti=-0*' р ^ в°у-
Аи = Q~-tQ'**~T Q™> РЪ = 3^L' P°» = 3^ ' A3.3.83)
где вектор De является электрическим диполъным моментом \ \ \ гр dv для
данного распределения зарядов, a D."—аффинор электрического квадруполъного
момента \\\ (гг) р dv. To обстоятельство, что для описания поля необходимо
лишь пять квадрупольных параметров pmz, в то время как аффинор квадру-
поля имеет шесть независимых компонент, объяснено на стр. 261.
Чтобы найти выражение параметров более высоких мультиполей через
компоненты моментов мультиполей высших порядков, применим фор-
формулу A0.3.34):
rlXnl = г' [У^ + iY»ml] = e^PT (cos Ь) г1 =
так что
Для постоянных т°т1 при ка < I -+- 1 имеем
—24\hl
B/+1)!
/Д [г Х J]
где гх J-вектор циркуляции тока, порождающий магнитные мульти-
поли. Свойства этих магнитных мультиполей можно проанализировать
совершенно таким же образом, как и свойства электрических мульти-
мультиполей. Положим
„ _ 24! ft' иа
тт1~ B1+ 1)!Йгг.1»

13.3. Векторные волновые ноли аи/
где константы
\\\h (И [г X J] • grad Ynldv ~
~T S § ] grad G"'7"")'[г x J] dv' ka « Z' A3-3-84)
можно назвать параметрами магнитных мулътиполей для заданного рас-
распределения токов и зарядов. Они являются комбинациями моментов маг-
магнитных мулътиполей, определенных по аналогии с моментами электриче-
электрических^ мультиполей. Например, при ka < I
/^ = Dhx, h°n = Dl D" = ^ ^ [r x J] do,
здесь D'1 — вектор магнитного диполъпого момента \\\ [г X J] dvy a Q—компо-
центы симметричного аффинора ?1 —магнитного квадруполъного момента
~> \ \ \ ^г [г X J] + [г X J] r} df. Соотношение между h и моментами магнит-
магнитных мультиполей высших порядков можно получить из соотношения между
Хт1 и полиномами от х, уш z, имеющими место для случая электрических
мультиполей.
Собирая все эти члены, получим для электрических и магнитных
полей, излучаемых заданным распределением колеблющихся зарядов и токов,
при г > а
со
2л ~™ (I-|-m)! \"rnll -ml\ '<
Tfl, О
2'(*-!)!
h~^t"" r Zl B0! v ""' ^ -m (H m)!
l—i m, с
1=1
x
m, j

Гл. 13. Векторные поля
Действительная часть от (с/4зт) [Е х Н] представляет интенсивность излу-
излучения, а интеграл от этого выражения по поверхности сферы радиуса,
значительно большего, чем а,
оо
к ZJ e
ь=1
со
v „ ('—m)!
7h,
является полной мощностью, излучаемой совокупностью зарядов и токов.
Поскольку величины р и h при ka < Z не зависят от /с, будучи равными
статическим параметрам, легко видеть, что излучение l-то эквивалентного
мультиполя при низких частотах пропорционально частоте в степени
2A+1). Далее, поскольку, как можно показать, | p^i | меньше alQ, где
(? —некоторая постоянная, имеющая размерность заряда, не зависящая от
m и I, и поскольку | h"mi \ меньше alJriI, где постоянная / имеет размерность
тока, то ряд сходится достаточно хорошо, пока ка = ша/с значительно
меньше единицы. Член электрического диполя для р°т1 обычно является
наибольшим; следующие члены, меньшие на порядок (каJ, представляют
электрический квадруполь и магнитный диполь и т. д. Существенно отме-
отметить, однако, что этот общий порядок величин имеет место, лишь когда
продольная часть тока—того же порядка, что и поперечная. Например
это может и не иметь места для атомного ядра, в котором поперечная
часть тока часто является преобладающей.
Излучение полуволновой антенны. В качестве примера излучения
объекта тех же размеров, что и длина волны, подсчитаем компоненты
поля и полную энергию излучения прямого провода длины 2а, который
используется как полуволновая антенна в свободном пространстве. Поме-
Поместив начало координат в центре провода и направив ось z по проводу,
в первом приближении получим
J = a/0S (х) 5 (у) cos (kz)e-ihct (| z \ < а).
Для резонанса должно быть к = я/2а, т. е. частота v = c/4a. Мы ска-
сказали, что это верно лишь в первом приближении, поскольку нет уверен-
уверенности, что действительное распределение тока в резонирующей антенне
определяется именно этим выражением; для точного решения задачи надо
рассмотреть свободные колебания системы, состоящей из тока в антенне
и поля излучения. Приведенное распределение тока имеет место для сво-
свободных колебаний в проводе, не связанных с полем излучения. Естественно
предположить, что взаимодействие с полем излучения не приводит к зна-
значительному изменению распределения тока.
Исследование получающихся при этом интегралов rrimi и /г^г показы-
показывает, что все т равны нулю (следовательно, поля эквивалентных магнит-
магнитных мультиполей отсутствуют) и что п отличны от нуля лишь при т — О
и / = 2и+1, т. е. I нечетном. Имеем
«/2
«о, 2n+i = — Bга + 1) Bга + 2) Ц^- ^ га0 (z) /2n+i (z) dz = alaj2n+i (-?-
так что ряд, определяющий поле, имеет вид

13.3. Векторные волновые поля 809
Амплитуда эффективного диполя равна 12а2/0/тг3с, амплитуда квадруполя
равна нулю, а амплитуды мультиполей высших порядков достаточно малы,
чтобы ими пренебречь при подсчете энергии излучения, хотя четвертый
член оказывает заметное влияние на угловое распределение поля излуче-
излучения. Мощность, излучаемая диполем, равна 6Ц/п2с, что приблизительно
равно мощности излучения полуволновой антенны.
В приближении до четвертого порядка поле на больших расстояниях
от антенны (г > а) имеет вид
i J*o_ ei («/2o) (r-c<) Яф Sin & Г 1 ^r A0 - ТГ2) E COS2 & -
ТГГГ T I tt8 \ / \
ncr ? L л3
поля Е и Н взаимно ортогональны и ортогональны радиус-вектору. Поля
достигают наибольших значений в плоскости, нормальной оси (& = ic/2), и
равны нулю вдоль оси антенны (& = 0).
Излучение петли тока. Представляет интерес также и излучение
в случае постоянного тока, текущего по петле радиуса а вокруг оси г.
Ток в этом случае равен
(Г_а) _й(^&-т
так что параметры пт1 все равны нулю, а магнитные параметры тт1
равны нулю, за исключением тех случаев, когда m = 0, l нечетно. Исполь-
Используя формулу A3.3.81), получаем
• A л (— 1)"Bга+2I
/2n+i \'са) 22«+ire! (п-\-1)\ '
где использовано выражение для -РА(О), приведенное в конце гл. 10. При
малых ка, т. е. при периметре петли, малом по сравнению с длиной волны,
величины нескольких первых эффективных магнитных мультиполей равны
fcoi ~ ъаЧ0, hos ~ - -?¦ ica4/0, h05 ~ -|-
Тогда векторный потенциал равен (для г > а)
. _ 2niklo v ,vn Dn+3)Bn)\
X 8,^+1 (cos Ь) /2n+1 (ftc) /г2п+] (кг) е-««, A3.3.88)
и поле на больших 1>асстоявиях от петли имеет вид
iM-co 2 ^ЩА^ j2n+Aka)П
Б~--
п=0
а полная энергия, излучаемая петлей, определяется выражением
о
п=0

810 Гл. IS. Векторные поля
При ка < 1 можно использовать разложение функции /2п+1 в ряд, и,
сохраняя первые два члена, получим
E = a,,Ft H=—
F ~ -^ eih c-c') sin » [ 1 +1 (kaf E cos2 & - 1) +...],
ка < 1, г > а.
Угловая зависимость полей во многом такая же, как в случае линейной
антенны, за исключением того, что электрическое и магнитное поля поме-
поменялись ролями, силовые линии Е представляют замкнутые кривые вокруг
оси z, a H расположено в аксиальной плоскости. Для этих длинных волн
полная энергия излучения почти полностью определяется магнитным дипо-
диполем тс2/с2/;|а2/3с. Эта величина отличается от соответствующего выражения
для линейной антенны при том же значении /0 множителем (каJ. Таким
образом, антенна в форме петли оказывается менее эффективным излучате-
излучателем, чем линейная антенна тех же общих размеров и при том же токе
возбуждения. (Дело в том, что при низких частотах необходимо большее
напряжение возбуждения, чтобы создать заданный ток в линейной антенне
по сравнению с петлевой.)
Рассеяние на сфере. Наконец, можно подсчитать рассеяние плоской
электромагнитной волны на идеально проводящей сфере радиуса а. Если
электрический вектор в плоской волне направлен по оси х, то, умножая
формулу A3.3.70) на аж, получаем
[Mlin(r) — Ш*1„(г)]. A3.3.90)
-" у'" I '¦I
n=0
К этому выражению надо добавить такую комбинацию расходящихся волн
MjJin и N|in, чтобы At обратилось в нуль при г = а. Отраженная волна и
ее асимптотическое выражение при кг > 1 имеют вид
[е~iS»sin8rlMoin(r) — ie—1*11 sin e.nNlln(r)] ~ A3.3.91)
eik(,—ct)
кг 2л ~
n=l
SinK C°in(&) 9) + e~Un sin
где углы 3n и еп определяются из соотношений
/п (ка) = Dn sin 6n, hn (ka) = — iDneib»,
Величины б рассмотрены в конце гл. 10, их таблицы даны в конце книги.
Асимптотическое выражение ряда показывает, как А (а следовательно,
и Е) зависит от угла рассеяния. Поле оказывается полностью поперечным
при кг > 1 и.г>а. Из-за разницы между йп и гп амплитуда рассеянной
волны в плоскости электрического вектора падающей волны (<р = 0, ic) от-
отличается от соответствующего значения в ортогональной плоскости
('?— ± "/2). При <р = 0, it электрический вектор лежит в плоскости <р = 0, it
(Ag пропорционально а&); при ц>= ± it/2 E опять-таки параллелен плоскости
(х, z) (As пропорционален as). Для промежуточных углов ср электрический
вектор рассеянной волны не всюду параллелен плоскости (х, у), но всегда
ортогонален радиус-вектору г.

13.3. Векторные волновые поля 8!1
Полное поперечное сечение рассеяния электромагнитной волны идеаль-
идеально проводящей сферой радиуса а, т. е. отношение рассеянной мощности к
интенсивности падающей волны, равно квадрату ] As |, проинтегрированному
по сфере большого радиуса г:
СО
Q. = 2*с» ^ W" <sin2 ^ + sin2 s«)" A3.3.92)
тг=1
Разница между этим выражением и определенным формулой A1.3.72) вы-
выражением для рассеяния на сфере скалярной волны определяется влиянием
поляризации векторной волны. Векторная волна, падающая на поверхность
сферы, разделяется на две части: поперечно-электрическая часть (волны
типа М) рассеивается с фазовым углом Ьп, а поперечно-магнитная часть
(волны типа IN) рассеивается с фазовым углом зп. Полное поперечное се-
сечение определяется как среднее из двух различных поперечных сечений,
соответствующих этим волнам.
Угловое распределение интенсивности рассеянной волны при единичной
интенсивности падающей волны, конечно, определяется величиной | As |2
для больших значений г.
Для длинных волн, когда ка < 1, углы Ьп и еп быстро стремятся к
нулю при увеличении и, и в выражении A3.3.91) нужно оставить лишь
член с п = 1. Рассеянная волна и поперечное сечение рассеяния при пада-
падающей волне
Е = axEaeik <2-c<>
(Е == ikA) для ка < 1 (к > 2тш) равны
А. ~?Ра3 [ N§
Es ~ Eo~ eih (r-c() -1/C2a2 [ae B cos & — 1) cos cp + аф (cos ft— 2) sin 9], r > a,
(?s~^a2(A-aL = !^7r5a6 A3.3.93)
в случае идеально проводящей сферы радиуса а. Этот предельный случай
называется рэлеевским рассеянием по имени первого его исследователя.
Интенсивность рассеяния изменяется как четвертая степень частоты падаю-
падающей волны.
Можно сделать несколько представляющих интерес замечаний относи-
относительно этих предельных формул для больших длин волн. Во-первых, срав-
сравнение с A3.3.81) и A3.3.84) показывает, что рассеянную волну можно счи-
считать порожденной индуцированными электрическим и магнитным диполями:
Ha рис. 13.7 изображена мгновенная картина расположения электрических
силовых линий на сфере радиуса, значительно большего длины волны.
Комбинация электрического и магнитного диполей дает поле типа накло-
наклоненного диполя с полюсами при cos &= 1/2, ф = 0, те. В рассматриваемом
приближении в этих направлениях интенсивность рассеянного поля равна
нулю. В других направлениях поляризация рассеянного электрического
вектора идет по силовым линиям, показанным на чертеже. В этом прибли-
приближении больше энергии рассеивается назад (& = тс), чем вперед (& = 0). Ко-
Конечно, эти результаты имеют место лишь для идеально проводящей сферы.
В случае диэлектрической сферы результаты совершенно другие, хотя во
многих случаях поперечное сечение рассеяния при низких частотах изме-
изменяется, как четвертая степень частоты.

812
Гл. 13. Векторные поля
Поглощение энергии сферой. Для определения потери энергии из-за
поверхностных токов на сфере надо подсчитать поверхностные токи, обус-
обусловленные касательной составляющей магнитного поля, как было сделано
Рис. 13.7. Электрические силовые линии электромагнитной
волны, рассеянной проводящей сферой, на большом расстоянии
от сферы X > а (рэлеевское рассеяние).
на стр. 793. Одновременно легко подсчитать и .электрические заряды, ин-
индуцированные на поверхности. По формуле A3.3.91) подсчитывается нор-
нормальная составляющая электрического поля на поверхности сферы при
г = а для падающей волны Е = axEQ eik <2-c0 (здесь учтены и падающее поле
и рассеянное поле):
(?г)г=а =
Bп 4-1) inDne-"n sin (8n - en) cos ? i>i (cos &) е~*«* ~
71=1
~ SE0 cos «p sin »e-ifec', ka < 1, A3.3.94)
где коэффициенты Dn определены формулой, следующей за A3.3.91). В
области длинных волн плотность поверхностного заряда Ег/4п соответству-
соответствует электрическому диполю De = axEoas, как было отмечено выше. Касательное
магнитное поле при г = а равно
(йп - en) В°1п (&, <р)] его* ~
~ -j каЕ0 [а8 sin «р A + i cos &) -f а? cos ? (cos & + i)] e~ik«. A3.3.95)
Как было уже отмечено, для длинных волн поверхностный ток 7/
отвечает и электрическому и магнитному диполям. Согласно рассуждениям
на стр. 764, потери энергии на поверхности равны
Ht |2 dA
в первом приближении по малому параметру Урю/вяс. Поскольку интен-
интенсивность падающей волны равна (с/4тс) Е\, отношение поглощенной мощности

13.3. Векторные волновые поля 813
к интенсивности падающей волны, поперечное сечение поглощения, равно
/| Ла«1. A3.3.96)
Чтобы привести это в соответствие с формулой A3.3.65), введем коэф-
коэффициенты отражения для электрической и магнитной волн порядка п
t f>h _ g—2(
где
| |/|^ Z? sin* (8n -
En sin* (on - en).
Таким образом, поперечные сечения рассеяния и поглощения и полное
поперечное сечение определяются выражениями
п=1
аналогичными формуле A1.3.76), за исключением того, что в рассматри-
рассматриваемом случае имеются волны двух типов, поперечно-электрические и по-
поперечно-магнитные. Поперечное сечение является средним из поперечных
сечений для каждого типа волн.
Искажение поля малыми объектами. На любом объекте, диэлектриче-
диэлектрическом или проводящем, падающим электрическим полем индуцируются
электрические и магнитные мультиполи. Если размеры объекта достаточно
малы по сравнению с длиной волны падающего поля, то индуцированное
поле можно с удовлетворительной степенью точности выразить лишь через
электрический и магнитный диполи. Эти диполи обычно можно рассчитать
в терминах падающего электрического и-магнитного полей.
Например, электрическое поле на объекте, размеры которого значитель-
значительно меньше длины волны, может быть задано в виде Е (г„) е~ш, где г0 —
радиус-вектор центра тяжести тела. Это поле порождает электрический
диполь. Последний с хорошей степенью точности аппроксимируется произ-
произведением е~ш на электрический диполь, индуцируемый на данном объек-
объекте статическим электрическим полем ? (г0). Диполь, индуцированный стати-
статическим полем, всегда можно записать в виде
где Ъе — аффинор, определенный формой и электрическими свойствами
объекта диффракции. Например, если объектом диффракции является про-
проводящая сфера радиуса а, то Ъе = a3g; если это тонкая проволока (длина

814 Гл. 13. Векторные поля
которой I мала по сравнению с X, а диаметр 2р значительно меньше дли-
длины), направленная по ad, то
®е= 1бЫA/р)
Аналогично магнитное поле на объекте диффракции, равное Н(го)е-{<°'>
индуцирует магнитный диполь, противодействующий изменению Н:
D"=-®h.H(r0),
где %h также является симметричным аффинором, зависящим от характе-
характеристик тела. Соответствующий аффинор для проводящей сферы радиуса а
равен cas^s; для других случаев аффинор может быть более направленным.
(Для кольца или диска с осью по ad он равен cls&d&d, где I — характерный
размер диска или кольца.)
Переставляя члены формулы A3.3.93), легко видеть, что поле, рас-
рассеянное на малом объекте, с индуцированными диполями Dee~iu>' и Dhe~ilD'
равно
ik(r-ct)
Поэтому, если падающее электрическое и магнитное поля на объекте имеют
вид Eoe~ilD( и Hoe~ilD', то векторный потенциал рассеянного поля на расстоянии
нескольких длин волн от объекта диффракции в первом приближении по к,
умноженному на наибольший размер объекта, равен
} A3.3.97)
Другим способом выражения индуцированного поля является опреде-
определение простого выражения эквивалентного тока, индуцированного в теле
падающим полем. Рассматривая определения параметров т и п и опреде-
определения эквивалентных диполей [формулы A3.3.82) и A3.3.84)], мы видим,
что рассеянное поле, порождаемое диполями De и 1У1, такое же, как
и порождаемое током
J = - шШ (г0 - г) - Dh X grad0 [Ь (г0 - г)].
Здесь мы считаем, что объект помещен в г0. Другими словами, вне тела
в точке г рассеянное поле согласно формуле A3.3.80) равно
АДг)= -f {iAcDe-@l(r|r0|A:)+Dh.rot0@f(r|r0|ft)}e-*»', A3.3.98)
где диполи индуцированы падающим полем. Это уравнение имеет место для
падающего поля любого вида, порождающего любые диполи.
Применим это соотношение к задаче диффракции на малом объекте,
помещенном в точке г0 (г0, &0, <р0) внутри полой проводящей сферы внутрен-
внутреннего радиуса а. Не ограничивая общности, можно поместить объект диф-
диффракции на оси z (&0 = 0). При этом очень много членов в выражении
функции Грина в формуле A3.3.79) обратится в нуль. Поскольку исполь-
используется поперечная функция Грина, можно, конечно, опустить члены L.
Единственными не обращающимися в нуль на оси z при & —> 0 функциями
М и N являются

13.3. Векторные волновые поля 81
Поэтому поле, рассеянное индуцированными диполями при г = г0, 9- = О,
равно
-2л
2л 7G+1)"
+к ik{rJl) т°11 (г)+• • • -il {кГ
+к \^^
-г
Но это выражение не определяет поля внутри сферы по двум причинам:
1) касательная составляющая этого поля при г — а отлична от нуля и
2) не указано, какое падающее поле вызывает индуцированные диполи.
Оба эти затруднения можно одновременно устранить следующим приемом.
Прежде всего к полю As надо добавить поле, регулярное всюду внут-
внутри /' = а, отраженное от внутренней поверхности сферы и такое, чтобы
касательная составляющая полного поля при г = а равнялась нулю.
Например, к первому члену As надо добавить член
— — B1 + 1) ike11, r°' D% Г — ietei cosec e,] Neci (r),
где, как и выше,
Из членов М вычитается аналогичное отраженное поле, за исключением
того, что используется фазовый угол б,, определенный соотношением
- iZ),ei6' = fc, (ka).
Далее, заметим, что эту отраженную волну можно рассматривать
как падающую волну, индуцирующую диполи в отсутствии всяких других
возбуждающих полей. Для резонанса внутри сферы поле должно возбудить
индуцированный диполь, который в свою очередь возбуждает поле. Отра-
Отраженная электрическая волна при г = г0, 9- = 0 равна
[=1
1
+ -2U1.
Отраженная магнитная волна имеет аналогичный вид, за исключением
того, что 5 и е надо поменять местами, так же как De и D'1. По этим
полям можно рассчитать индуцированные диполи и, приравнивая обе
части, определить резонансные частоты сферической полости, содержащей
малое включение в точке г0 внутри полости.
Чтобы провести вычисление, надо определить компоненты аффиноров
диполей ©е и ®h, введенных раньше. Чтобы продемонстрировать процесс-
вычисления, примем, что включение представляет собой проводящую сферу
радиуса Ъ, значительно меньшего а. В этом случае ®е = 633 и <S)h=cbs^i.

816 Гл. 13. Векторные поля
Теперь можно приравнять компоненты De и D'\ Например, приравнивая
компоненты для Dez, получим
со {е
Это уравнение служит для определения тех гармоник, для которых Dh
равно нулю, a De направлено по z.
Поскольку k3b3 очень мало, один из членов ряда должен быть доста-
достаточно большим, что может иметь место лишь при з(, близком тис (/г = 1, 2,...),
другими словами, при (l/ka) (d/da) [a/, {ka)\, очень близком к нулю (но
отличном от нуля). Как указано в гл. 11, ка = тсут при ег = тс, так
что можно положить ка = тсу(Г1 4- е1п, где е1п мало. Разлагая -чмалые вели-
величины, в первом приближении получим, что при
имеет место соотношение
Sins, ^ —
1
г
п) L
7i (wY/n).
Следовательно, допустимые частоты колебаний в сфере, при которых воз-
возбуждается лишь z-компонента электрического диполя, равны C3/2ii, где
и стоячая волна имеет общий вид Weui (r)e~iu>' всюду, кроме непосредствен-
непосредственной близости диполя.
Частоты, при которых возбуждается z-компонента магнитного диполя,
определяются выражением
~ a ~1
a
1 (Я&;пг0/а) ~]
где /[(^Р[„) = 0. Стоячая волна приближенно равна М|м (г) e~"i<o1, всюду,
за исключением окрестности диполя.
Другие гармоники содержат одновременно и электрические и магнитные
диполи. Связывающие их уравнения имеют вид
sin J( sine;
(De
J v
где jl = }l(kr0) и 9( (Zcr0) = (l//cr0) (J/rfr0) [rQjt (kr0)]. Их можно разрешить,
полагая 8, и s( близкими к /гтс и беря комбинацию электрических и магнит-

1-3.3. Векторные волновые поля 817
ных диполей. Например, если
то 6, олизко к да:, допустимые частоты в точности равны
(О = —
а
и стоячая волна приближенно равна Ш\ц (г) -)- iMlu (г) всюду, кроме малой
окрестности объекта. С другой стороны, другая система допустимых частот
имеет вид
п , cdin
а а
где
что соответствует
Форма волны опять приблизительно равна М\ц ч- iMJ^. Наконец, имеется подоб-
подобная пара систем собственных функций и частот вблизи ка~ icyIn (з, ~тг),
включающая комбинации D* -f Ш^ и D^ + ii)|). Эти функции соответствуют
стоячим волнам, приближенно равным N|« -\- Ш1ц. [Можно, конечно, полу-
получить стоячую волну определенной поляризации N\u или М?ц и т. д. вместо
волн круговой поляризации (Ne + iNo), (Me + ?M0)].
Таким образом, наличие малой сферы частично снимает вырождение
системы собственных функций полой сферы. При отсутствии включения
каждому значению I отвечают две различные системы частот ш = тгср(п/а
и со = ж-{1п/а, соответствующие 2 B1 -j-1) различным системам собственных
функций MJmz и Njmz. При наличии малой сферы каждому значению I отве-
отвечает лишь пять различных систем собственных частот.
Резюме. Мы пришли к концу нашего рассмотрения векторных решений
уравнения Лапласа и волнового уравнения. Без сомнения, можно разобрать
много еще более поучительных .примеров, и многие методы, изученные ранее
в применении к скалярным полям, могут быть видоизменены для Применения
к векторным полям. Но нам кажется, что нет большой необходимости в под-
подробном обсуждении оставшихся возможностей и что утке разобранные при-
примеры дают достаточно для того, чтобы читатель сам при необходимости про-
проделал переход от скалярной задачи к векторной. Поэтому мы заканчиваем
этот раздел, как должны кончаться все книги, точкой.
Задачи к главе 13
13.1. Показать, что функция Мтп = rot [azSmn (h, -rj) hemn (h, E)] каса-
тельна к сфероиду ? = const лишь при т = 0 и что ротор функции Nmn =
= rotMmn касателен к этому сфероиду только при т=0 [функции S и he

818 Гл. 13. Векторные поля
определены в A1.3.83) и A1.3.91)]. Используя функцию Nol, рассмотреть
излучение электрического диполя, рассматриваемого как предельный случай
вытянутого сфероида. Распределение тока и угловую зависимость асимп-
асимптотического излучения от 8- взять в виде 9- = arccos т) при h = 0, 1/4, 1/2. Вос-
Воспользоваться разложениями, приведенными на стр. 468 и 473.
13.2. Уравнения Прока, аналогичные уравнениям Клейна —Гордона и
Дирака, для частиц со спином единица устанавливают между векторным
потенциалом А и скалярным потенциалом <р соотношения
— rot rot A - х*А + (к - VJ A=(k-V) grad <p,
где V — потенциальная энергия частицы, А; — ее полная энергия в соответ-
соответствующих единицах; х пропорционально массе покоя. Рассмотреть разде-
разделение этой системы уравнений при V = 0, при V = V(z) и при V = V (г). Пока-
Показать, что для решений типа М[см. A3.1.4)] <р можно положить равным
нулю. Получить уравнение для скалярной функции г|). Рассмотреть также
решения типа L и N.
13.3. Написать системы собственных векторных функций, соответ-
соответствующих формулам A3.1.15), A3.1.17), A3.1.19) и A3.1.20), для областей
внутри кругового цилиндра (ограниченного поверхностями r = a, z = 0, z = b)
и внутри сферы (г = а).
13.4. Векторная функция источника
2)]ihc', r<a,
равная нулю при г > а, излучает в свободном пространстве. Используя
формулы A3.1.31), A3.1.32) и A3.1.39), вычислить решения уравнений
-rotrotA-f/c2A= -
c\ grad div A — с\ rot rot A + u>2A = — 4irQ
при г > а и при ак < 1. Чем отличаются решения при г, немного боль-
большем а? При г, меньшем а? (В каждом случае принять ка <С 1.)
13.5. Несжимаемая жидкость с вязкостью т) находится в состоянии
покоя в круглой трубе с внутренним радиусом а. Начиная с момента t = О,
вдоль трубы поддерживается постоянное падение давления F. Используя
преобразования Лапласа, показать, что скорость жидкости в момент I
в точке г, ф, z (цилиндрические координаты) равна
оо
, 2Fa2 vi
Сравнить со стационарным решением A3.2.10).
13.6. Упругий диск толщины h и радиуса а закреплен во втулке на
неподвижной оси радиуса. Ь; По диску радиально от оси течет ток /,
который на внешнем периметре снимается щетками, не оказывающими
никакого механического воздействия на диск. Диск закручивается под
действием постоянного магнитного поля В, параллельного оси диска.

Задачи 819
Показать, что смещение точки диска, находящейся па расстоянии г от
оси, равно
Определить напряжение как функцию от г. Найти усилие во втулке.
13.7. Показать, что —rot rot [а9г|) (?х, ?2)] = а9 [V2i|? —A/г2)г|)], где ?17 ?2,
» — криволинейные координаты вращения, определенные соотношениями
x = r(?j, ?2)costp, y = r(t;1, ?2)sincp, z = z(h), ?2). Затем показать, что решение
векторного уравнения — rot rot F -j- /c2F = 0 имеет вид F = а9 г|7п (?г, f2), i-де
¦фп (^ii 52) cos cp — решение скалярного уравнения Гельмгольца. Используя
этот результат, получить «крутильную* часть» функции Грина в вытянутых
сфероидальных координатах ?, т), ср [см. A0.3.53)], т. е. показать, что реше-
решение уравнения
rot rot G9 (I, rt | ?0, 7H) = д8.^_ a) 8 (? — У о (ii - ты) а?
имеет вид
G -a —
* * ш ^—I «2(n-|-lJ
Получить соответствующее выражение для сплюснутых сфероидальных
координат.
13.8. Используя результаты задачи 13.7, решить следующие задачи:
а) Сплюснутый сфероид, равномерно заряженный по поверхности | = |0,
вращается вокруг своей оси с угловой скоростью со. Найти создающееся
при этом магнитное поле.
б) На проводящем сплюснутом сфероиде заряд распределен так, что
поверхность ? = ?0 является эквипотенциальной. Какое магнитное поле
возникает при вращении сфероида?
в) Наружная поверхность ? = ?0 вытянутого сфероида прикреплена
у концов 1>т)^1 — т)ои —1<т)<—1 + т]ок двум жестким коаксиальным
стержням. Какое нужно приложить усилие, чтобы повернуть один стержень
на угол а по отношению к другому? Найти смещение различных частей
сфероида.
13.9. На свободную (напряжение на поверхности равно нулю) плоскую
поверхность падает плоская поперечная волна (волна сдвига). Найти углы
отражения и амплитуды отраженных продольной и поперечной волн как
функции угла падения для двух поляризаций: s в плоскости падения;
s ортогонально плоскости падения. Рассмотреть случай, когда угол паде-
падения настолько велик, что угол отражения продольной волны комплексный.
13.10. Показать, что ряд A3.3.14) определяет аффинорную функцию
Грина для цилиндрического волновода, удовлетворяющую граничным усло-
условиям п X @ = 0 на боковой поверхности волновода и при z = 0, если функ-
функции /„ и gn имеют вид
_ 1 I sin fz-eiyz° при z0 > z,
sin fzo-eivz при z0 < z,
cos yz • eiyz° при z0 > z,
cos Yoz • е{?г при zo<z.

820 Гл. 13. Векторные поля
Полученное выражение представляет аффинорную функцию Грина для
области волновода z > 0, поэтому его можно обозначить через Щ*. Какой
вид имеют функции /„ и gn для ©""? Используя эти функции Грина, решить
следующую задачу. Из — со по волноводу распространяется наинизшая
гармоника; в сечении z = 0 стоит диафрагма, частично отражающая и
частично пропускающая волну. Показать, что уравнение для векторного
потенциала имеет вид
§orot°[(Г (rlr«)] • Ia*х А (r°)] dS° для z> °-
[
[ Bdl sin[z /Л" - к201 ]-~ фо rot0 ®-.[ах X A] dS0 для z<0,
где интеграл берется по площади отверстия в диафрагме z = 0. Каково
асимптотическое выражение амплитуды прошедшей волны, если к больше
к01, но меньше /с10? Для касательной компоненты А в отверстии диафрагмы
получить интегральное уравнение
\ 1 - (nf-У gradiftu [х, у) =-2^ <^>0 %(xy\xoyo)-\&z X А (хоуо)] dx0 dy0,
z, zo = O,
где ^ = rot rot0 @°. Найти вариационный принцип, из которого получаются
наилучшие значения А и амплитуды прошедшей волны.
13.11. Используя вариационный принцип задачи 13.10, рассчитать про-
прохождение . волны через щель ширины Д, параллельную оси х в центре
диафрагмы, помещенной в сечении z = 0 прямоугольного волновода со сто-
сторонами а и Ъ (Ь > а). В качестве функции сравнения для А в отверстии
использовать ^а.,. ]/1 — [2 (у— b/2)/&f.
13.12. Рассчитать излучение провода, помещенного по диаметру попе-
поперечного сечения круглого волновода, если по нему течет ток 1е~Ы1. Полу-
Получить формулу, аналогичную A1.3.16), для возбуждающего напряжения
в проводе.
13.13. Рассчитать и построить график коэффициента затухания х (в соот-
соответствующих единицах) из A1.3.17) как функции от а> или к (в соответ-
соответствующих единицах) для трех низших гармоник прямоугольного волновода
(Ь = 1,5а). Для трех низших гармоник круглого волновода.
13.14. Рассмотреть типы волн, распространяющихся внутри волновода
эллиптического поперечного сечения. Найти выражения гармоник типа М
и N и затухание трех низших гармоник.
13.15. Для передачи колебаний высокой частоты используется коак-
коаксиальная линия, образованная двумя концентрическими круговыми цилин-
цилиндрами. Показать, что наинизшая гармоника в этом волноводе имеет крити-
критическую частоту^, равную нулю (см. стр. 756). Чему равна постоянная
затухания для этой волны?
13.16. Рассмотреть парциальные волны, распространяющиеся в «эллип-
«эллиптической концентрической линии» (провод внутри эллиптического цилиндра).
Выписать выражения трех низших гармоник, их критические частоты и по-
постоянные затухания.

Задачи 82!
13.17. Графическим или численным методом найти значение к для нан
низшей волны удлинения в круглом брусе [см. A3.3.34)] при ksa = 2
и /сса=1. Построить амплитуды г и z компонент s как функции от г/а.
13.18. Рассчитать волны кручения и удлинения в упругой среде,
заполняющей внутренность жесткой круглой трубы с внутренним радиу-
радиусом а.
13.19. Сфера радиуса а, первоначально находившаяся в состоянии
.покоя в неограниченном пространстве, заполненном вязкой жидкостью,
в момент t = О внезапно приводится во вращение вокруг оси z с угловой
скоростью со. Показать, что установившееся движение жидкости (для /—> оо)
имеет вид
v = a^tea ( — ) sin &, г > а.
При помощи преобразования Лапласа рассчитать неустановившееся дпп-
жение.
13.20. Выписать выражения для стоячих волн типа М и N внутри электро-
электромагнитного резонатора, имеющего форму цилиндрической коробки с внут-
внутренним радиусом а и расстоянием между крышками Ь. Найти выражение
Q резонатора для этих волн, если проводимость металлических стенок
резонатора равна о. Написать аффинерную функцию Грина для этого
резонатора в форме, аналогичной A3.3.46) и A3.3.47).
13.21. Прямоугольный электромагнитный резонатор возбуждается 1>об-
разной петлей тока' /e~iu". (Стороны петли лежат на прямых х — \
y=ly/2, 0<z<A; y = ly/2, z = A, lx/2 — &/2^x<lx/2 + A/2; ж = ,
у = ly/2, 0<!z<^-) Найти возбужденное поле. Какие гармоники отсут-
отсутствуют? Найти резонансные частоты.
13.22. Стоячие волны Fn(r)( = Mn, Nn) внутри электромагнитного резо-
резонатора являются решениями уравнения
Внутрь резонатора помещен маленький проводящий объект с боковой поверх-
поверхностью SQ. Показать, что интегральное выражение для возмущенной волны,
ближайшей по форме к Fm, имеет вид
для г на 50 и вне So внутри резонатора. Аффинор &т определен в A3.3.46),
где надо опустить член Fm(r)Fm(r0); вектор К представляет поверхностный
ток их rot А, индуцированный на So возмущенной стоячей волной А.
Показать, что вариационный принцип, из которого можно определить
наилучшую форму К (тем самым А получается из интегрального выраже-
выражения), записывается в виде
U(i«)-©m(re|rj).U('|;)dSrf,y0
где «наилучшая» форма U пропорциональна истинному поверхностному
току К, а стационарное значение J равно ф K-Fmd^. Показать, что это
«наилучшее» значение J приблизительно равно разности А:2 — kft между

822 Гл. 13. Векторные поля
истинным собственным значением к2 и к^, деленной на интеграл от Fn • Fn
по объему резонатора.
13.23. В прямоугольном резонаторе (lz > ly > 1Х) наинизшая гармоника
электромагнитных колебаний имеет вид
ли 1 \ Л . / Я1/ Л . / Яг
Моп(х, у, z)=*-bxV—.8m{-JL)Sia^ —
В точке (Xj, yx, Zj) внутри резонатора помещена маленькая проводящая
сфера радиуса а (а <С 1Х). Используя вариационный принцип предыдущей
задачи, рассчитать частоту возмущенных колебаний для наинизшей гар-
гармоники. В качестве функции сравнения использовать U = a&sin&, где
/•, 8-, <р—сферические координаты с началом в центре сферы и полярной
осью, параллельной оси х. Приближенно найти изменение А., вызванное
сферой, используя интегральное выражение для А.
13.24. Атом водорода, волновая функция фтт которого имеет вид
A2.3.40), переходит из состояния m = 0, l-i, п = 2 в состояние пг = 1=0,
п = 1, излучая электромагнитную волну. При этом эквивалентные осцилли-
осциллирующие заряд и ток даются выражениями
Р = Ф001Ф012 ехр [ - i (Е2 - Ег) \ ] ;
J = ~М Im (Ф°<й grad ^ ехр [ ~г (J&2""Е^ Т ] •
Используя формулы A3.3.83) и A3.3.87), подсчитать эффективный диполь-
ный момент перехода и полную мощность излучения. (Можно принять,
что средний радиус атома значительно меньше длины волны, так что
можно пользоваться A3.3.83).) Рассчитать квадрупольный момент для
перехода из состояния т = 0, 1 = 2, /г = 3 и состояние тм=0, 1 = 0, п=1
и соответствующую мощность излучения. Меньше или больше эта мощ-
мощность, чем мощность излучения при переходе 012—» 001? При каком пере-
переходе появляется магнитный диполь?
13.25. Найти комбинацию LJX и NJX [см. A3.3.78)], для которой вектор
напряжения на поверхности сферы (/* = а) равен нулю (т. е. найти акси-
аксиально симметричную волну сжатия в свободной сфере). Каковы допусти-
допустимые частоты трех низших гармоник? Как меняется форма сферы и какой
вид имеют внутренние смещения на этих трех гармониках?
13.26. Жесткая сфера массы М и радиуса а колеблется в неограни-
неограниченной упругой среде по закону a.zDe~iat. Показать, что пока длина воз-
возбуждаемых упругих волн велика по сравнению с 2тш, смещение упругой
среды в точке г, &, <р (г > а) равно
cos а ~ а« (/>:*аJ eift"rsin eJ' '¦ -*
где с L [см. A3.3.67)] к = кс = ш Vp/(^ + 2ц), а в N [см. A3.3.69)]
к — ks = со |/"p/(i.. Показать, что сила, перемещающая сферу на расстояние
a,z со скоростью a.z и ускорением a.z, равна

Задачи 823
пока все частоты, входящие в разложение Фурье z, малы по сравнению
12) VV
с
13.27. Плоская поперечная волна
s = sQa.x ехр (iksz — imt)
падает на сферу радиуса а, рассмотренную в предыдущей задаче. Показать,
что сила давления падающей волны равна D/3) i:pkta3soa.x. Используя
полученные в задаче 13.26 результаты, подсчитать амплитуду колебаний
сферы и асимптотическое выражение рассеянной волны при ksa < 1- Пока-
Показать, что плоская продольная волна
s = soaz ехр (ikcz — iu>t)
действует на сферу с силой Dтг/3) (X -f- 2р.) klassua.z. Рассчитать соответствую-
соответствующую амплитуду колебаний и асимптотическое выражение рассеянной волны.
Вызывает ли поперечная падающая волна рассеянную продольную волну
и наоборот? Почему?
13.28. На диэлектрическую сферу с коэффициентом преломления п > 1
надает плоская электромагнитная волна, распространяющаяся по напра-
направлению z. Вектор Е направлен по оси х. Выписать ряды, определяющие
рассеянную волну. Рассчитать рассеянное поле и поперечное сечение рас-
рассеяния при радиусе сферы, малом по сравнению с. длиной волны.
13.29. Результаты предыдущей задачи для различных поляризаций
падающей плоской волны можно записать в аффинориой форме
П (г) = 3i ехр (iki • г) + 91 g (г) -^ & ехр Aкг ¦ г) + -^- ft (ks | k{), /• -» со,
где ^i=S~aiat> aL —единичный вектор, направленный по ki(ki = /cai).
Полное поле для падающей волны а.еА0 ¦ ехр (ik • г) при этом можно полу-
получить, умножая обе части уравнения на в.еА0 (где ае—единичный вектор,
ортогональный а,). 'М-аеЛ, дает A, a 3ts.ae>4()—рассеянную волну. Аффи-
Аффинор ft в асимптотическом выражении является обобщением функции угло-
углового распределения / формулы A1.4.58), направление и амплитуда рассеян-
рассеянной волны при больших г определяются выражением ft-ae40. С другой
•стороны, as является единичным вектором в направлении рассеяния
ks = as/c. Показать, что для диэлектрического объекта рассеяния с коэффи-
коэффициентом преломления п (отличным от единицы лишь внутри области,
заключенной в сфере радиуса а) интегральное уравнение для Л имеет вид
« (г) = ^; охр (ik, .r) + ?-^®t(r\T0)- % (r0) U (r0) dv0,
где U = п2—1 отлично oi нули лишь внутри* объекта рассеяния, а (#,—
поперечная функция Грина для электромагнитного поля. Показать, что
? = "ЁГ ) U (Го) & •« К) ОХР ( - 1К ¦ ro) dz>0-
где ?vs = S ~ asas- Показать, что вариационный принцип для ft можно
записать в виде
4л . >л J U (г0) 3s - * (го) е' 'ks"Г» dv0 \' | * (г) ¦ & I U (г) eikir civ
где | 93 | — след аффинора 93 (см. стр. 65 л т. f), 53 — функция сравнения для 1>(,

824 Гл. 13. Векторные поля
а S3—функция сравнения для 31, сопряженной к 91 (см. стр. 506).
13.30. Вариационным методом предыдущей задачи рассчитать аффи-
аффинор рассеяния g (ks | k4) для сферы радиуса а с коэффициентом преломле-
преломления п. В качестве функций сравнения использовать 58 = 3iexp(iki-r);
93 = 3s exp(— ks-r). (Обе эти функции поперечные, поэтому для упрощения
вычислений в знаменателе в интеграле можно писать @ вместо ©,.) Под-
Подсчитать рассеянные поля Es и Hs, а также Q для X > 2тта и сравнить их
с соответствующими выражениями для рассеяния на проводящей сфере.
Таблица сферических векторных гармоник
Решения векторных уравнений Лапласа и Гельмгольца в сферических
координатах г, &, ^ представляются произведениями амплитудных функ-
функций радиуса на одну из следующих трех систем векторных функций
углов ft и f : Р, В или С. Эти функции выражаются через скалярные
сферические гармоники
Х%(%, «) = «*»*/? (cos ft);
= [cos my + isin my] sinm & T1™-™ (cos 6), m = 0, 1,2, .. ., п.
Действительную часть векторной функции обозначим индексом е (для
четных по <р), а мнимую часть индексом о (для нечетных по <р), т. е.
Эти функции следующие:
'" grad (r"X™) - r"+2 grad
- A - С) (п -1» + 1) (п - in + 2) Х?+\ + A + 6От
+1 j [A - *,J (и + m) (n+ m - 1) гХГ J + A + od1
- A - йот) (п - /n+ 1) (n - in + 2) гХГ+i1 - A + %m)
где omn = 0 при m Ф п и 1 при т = /г;
(ft, <P) = v-^—.. grad ДО (ft, <?)] = ar x Cmn =
Yn{n-\-\)
1 .
^ { /Ч1 Г J

Таблица сферических векторных гармоник 825
4т
- ?'<ш) (» - '« + 1) (» - /и + 2) iXZ?\ + A + %m)
Cmn (ft, Ф) = -p===- rot [rX™ (ft, 9I = - ar >. Bmn ==
^ ±i[(l - o)m) (и + m) {a - m + 1) iXV1 i A + ''Om) ВД) -
¦ - у J К1" Sm) (» + m) (n - iw + 1) 1Г1 - A + oom) XJT*'] - kmiX™ } ;
Заметим, что Pon = Pon- Поэтому в случае т = 0 достаточно взять лишь
действительные части коэффициентов при i, j, k.
Частные случаи:
Р00 = аг; P0l = arcosft; Р„ = arc*?sin &;
»оо = 0; Boi = - у l/2ae sin ft; Bn = y VTe* (aB cos » + m.f);
C00 = 0; C01 = l>/Tatpsin&; Cn = i-V 2'«>i* ('a»—a,cos 8).
Зональные векторные гармоники (то = 0, п > 0):
{f i cos <p + j sin <p] [/>^+1 (cos ft) - P1^ i (cos ft)] +
4
V [nK+i (cos&) +(" +j)K-•(cos
+ k Vn(n-rl) [/>„*! (cos ft) - Pn_, (cos ft)]} ;

S26 Гл. 13. Векторные ппля
- (— i sin cp +.j cos 9) Z5^ (cos &).
Интегральные и дифференциальные соотношения:
^-C'vdQ = 0;
_ f f rs p3 ,o _ 4n/s,,t (n+Ht)! „ . „
где dQ = sin & c?& c?<p, а пределы интегрирования
0<&<я, 0<(р<2ти
(s, o = e, 0; v, ra= 1. 2, 3, ...; (х, т = 0, 1 v, n);
div (г" Pmn) = (и + 1) r"-*Z"; div (r-"PmJ = - (и - 2) г-»-
div (r-"-2PmJ = - /гг-и-3Х";
div (/'"-B^) = -
di v (r-nBmn) = -
div (Гп-2Втп) =
iv (/•" rlC1HJ = div (r»-4]mi,) = div (r-Cmn) = div (r-»-«Cmn) =
rot (r» "P^) = ^/г(/г+1)гйСти;
rot (i-»-^») = Vn(n
rot (i-"Pmn) = |An („
rot (г-'-Фт1,) = lA
rot(r"+1Bmn)=-(n + 2)r»Cmn
rot(r»-1Bfnn)= -nr"-2Cmn;
го1(#-»Вт11) = (Я-1)г-п-'Ст1,;
го1(г-''-8ВЛ„) = (|г+1)|-»-яС,я
rot (/•"€,„„) = (л + 1) /•"-1Bmil t
rot (/—-lCinn) = - /M--"-*Bm)l + |/n (n f

.'lumcpaniypa 827
ЛИТЕРАТУРА
Кыиги по электромагнитной теории:
Абрагам М. и Беккер Р., Теория электричества, М. — Л., 1936.
Борн М., Оптика, Харьков — Киев, 1937.
Зо ммерфе л ь д А., Электродинамика, Издатинлит, М., 1958.
Ландау Л. Д., Лифт иц Е. М., Электродинамика сплошных сред, Гостехиздат, М.,
1957.
Слэтер Дж. К., Передача ультракоротких волн, М. — Л., 1946-
•Стрэттон Дж. А., Теория* злектромагнетизма, М. —Л., 1948.
Франк Ф. и Мизес Р., Дифференциальные и интегральные уравнения математи-
математической физики, М. — Л., 1937.
Hansen W. W. A New Type of Expansion in Radiation Problems, Phys. Rev., 47,
139 A935).
Jeans J. H., Mathematical Theory of Electricity and Magnetism, New York, 1925.
Livens G. H., The Theory of Electricity/New'York, 1918.
Mason M. and We a we г W., The Electromagnetic Field, Chicago, 1929.
Shelkunof f S. A., Electromagnetic Waves, New York, 1943.
Silver S. editor, Microwave Antenna Theory and Design, New York, 1949.
Книги по теории упругости:
Ландау Л. Д., ЛифшицЕ. М., Механика сплошных сред, Гостехиздат, М., 1!.'5'>.
Ляв А., Математическая теория упругости, М.—Л., 1935.
Тимошенко С. II., Теория упругости, М.—Л., 1934.
Sokolnikoff Г. S-, Mathematical Theory of Elasticity, New York, 1946.
Книги по гидродинамике вязкой жидкости:
Лам б Г., Гидродинамика, М. — Л., 1947.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных <'.рсд, Гостехиздат, М., 19-~>-"'.
Milne-Thomson L. M., Theoretical Hydrodynamics, London, 1938.

Приложение
К нашему изложению методов вычисления потенциальных, волновых
II диффузионных полей, скалярных и векторных, остается теперь добавить
только некоторые данные справочного характера.
Не удивительно, если учесть большое количество рассмотренных вели-
величин, что мы вынуждены были применять некоторые символы в различных
значениях. Для обозначения величин, упоминаемых только в одном пара-
параграфе, мы старались пользоваться символами, которые представляются-
нам наиболее употребительными; однако в отношении величин, с которыми
приходится иметь дело на протяжении всей книги, мы старались быть
последовательными в наших обозначениях. Повторения обозначений неиз-
неизбежны, но мы старались, чтобы они не могли привести к недоразумениям.
Чтобы еще уменьшить возможность недоразумений, мы перечисляем в Ука-
Указателе обозначений все то символы, которые используются в нескольких
параграфах, приводя их определение, либо, если это удобнее, отсылай
к формуле или странице, где этот символ впервые определяется. В неко-
некоторых случаях наша символика не согласуется с принятой в других источ-
источниках (либо же имеется несколько различных символов). Все эти различия
указаны в Указателе обозначений; там же объясняется, где применены
другие обозначения, или же другие обозначения сравниваются с нашими.
Конечной целью всех вычислений, описанных в этой книге, являете»
получение численных значений, предназначенных для проверки или пред-
предсказания результатов измерений. Следовательно, представляется целе-
целесообразным включить в книгу численные таблицы, позволяющие пре-
превратить выведенные формулы в числа. Конечно, мы вынуждены были
произвести отбор; чтобы иметь таблицы всех упомянутых функций,
пришлось бы добавить еще один такой или примерно такой том. Выбран-
Выбранные функции встречаются у нас чаще всего и почти без исключений
являются решениями дифференциальных уравнений различных типов,
рассмотренных в гл. 5; почти все эти функции являются решениями
какого-либо из разделенных уравнений в частных производных математи-
математической физики. Тригонометрические и гиперболические функции имеют
особенность в бесконечности; они появляются как угловые множители
во всех вращательных системах координат и как 2-множители во всех
цилиндрических системах. Функции Лежандра имеют особенности в ± 1
и оо; они появляются как угловые множители в сферической системе
координат и для уравнения Лапласа как множители в сфероидальной,
бисферической и тороидальной системах. Функции Еесселя, имеющие осо-
особенности в нуле и бесконечности, используются в сферической системе
и в круговых цилиндрических координатах. Функции Матье используются
для получения решений в эллиптических цилиндрических координатах.
Мы не включили таблицу функций Вебера и таблицы сфероидальных вол-
волновых функций, а также отказались от табулирования решений уравнения
Шредингера. Мы не считаем, что труд, который необходимо затратить

Указатель обозначении 829
для табулирования этих функций, а также функций, зависящих от боль-
большого числа параметров и требующих для своего эффективного использо-
использования громоздких таблиц, будет в достаточной мере вознагражден их зна-
значением для основного предмета этой книги.
Указатель обозначений
Вообще говоря, латинские или греческие светлые буквы используются
для обозначения скалярных величин (действительных или комплексных),
лолужирный прямой шрифт используется для обозначения векторов в обыч-
«ом или в абстрактном пространстве,, готический шрифт — для обозначе-
обозначения линейных векторных операторов (аффиноров или абстрактных вектор-
векторных операторов), рукописные буквы—для обозначения дифференциальных
¦операторов и, наконец, еврейские буквы — для обозначения аффинерных
операторов (тетрадиков).
Черта над символом обозначает комплексную сопряженность;/= и—iv,
•если j = u-\-iv\ А — это вектор, комплексно сопряженный вектору А, т. е.
имеющий компоненты Ап, комплексно сопряженные компонентам Ап век-
вектора А. Оператору SC соответствует оператор "ii, компоненты матрицы кото-
которого комплексно сопряжены компонентам оператора ''Л. Сопряженный опе-
оператор 31 для оператора ЭД имеет матрицу, которая получается из матрицы
(действительного) оператора Ж посредством поворота на 180° относительно
•главной диагонали (т. е. Атп =Апт); эрмитовски сопряженный оператор У\
для оператора 21 определяется равенством §1* = Ч{ (т. е. А„п = Апт) (см.
¦стр. 717, 718 и 814 тома I). Сопряженный оператор ¦# для дифференциального
оператора ,# определен формулами E.2.11) и G.5.4). Символ | |, вообще
говоря, означает «абсолютную величину» или «модуль» или «длину вектора»;
| А | = А — это корень квадратный из суммы произведений соответственных
•компонент векторов А и А; | /1 — это корень квадратный из суммы квадра-
квадратов действительной и мнимой частей комплексного числа / = и +¦ iv; | S2( | — это
¦след оператора ЭД, равный сумме диагональных элементов (действитель-
(действительной) матрицы оператора ЭД (см., однако, стр. 24).
Символ ф обозначает интегрирование по замкнутому контуру или
¦но замкнутой поверхности; ф/rfz —это интеграл по замкнутому контуру
и комплексной плоскости; <T)F-<fe — это интеграл циркуляции (см.
стр. 29 тома I);«>F-dA — это интеграл потока сквозь замкнутую поверх-
поверхность (см. стр. 27 тома I).
Перечень, приводимый пиже, включает символы, используемые более
чем в одном разделе. Указывается обычное значение или значения символа,
а также формула или страница, где этот символ определяется. Перечислим,
наконец, несколько книг, в которых либо имеются другие формулы, содер-
содержащие использованные нами символы, либо применены другие символы
для обозначения однотипных величин, либо же применены символы, кото-
которые стоит сравнить с нашими. Здесь же поясним сокращения, принятые
в Указателе.
УВ — Уиттекер Е. Т. и Ват сон Г. П., Курс современного анали-
анализа, Гостехиздат, М. — Л., ч. I, 1933; ч. II, 1934.

830 Приложение
ЯЭ —Янке Е. и Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кри-
кривыми, Гостехиздат, М. — Л., 1949.
BS — N В S Computation Laboratory, Tables Relating to Mathieu
Functions, New York, 1951.
MO — Magnus W. and О b e r h e 11 i n g e г F., Special Functions of
Mathematical Physics, New York, 1949.
a — Постоянная диффузии [B.4.3)].
a — Единичный вектор в обычном простран-
пространстве (аг — единичный вектор направления г
и т. д.).
А —Векторный потенциал [стр. 197 тома Ц
A3.2.1)].
dA — Векторный элемент поверхности, направлен-
направленный наружу, если поверхность замкнутая
[стр. 27 тома Г].
/>' (р, д) = Г (р) Г (д)/Г (р + д) - Бета-функция [D.5.54)].
В = rot А — Магнитная индукция [B.5.3)].
Вгш, (&, <j>) — Векторная сферическая гармоника второго
рода [стр. 824, 825].
с — Скорость света [A.7.1)] или скорость волно-
волнового движения вообще [B.1.9)].
сп (г, к) — Эллиптическая функция [D.5.75)].
cos z —Косинус [стр. 300].
ch z — Гиперболический косинус [стр. 301].
Ст, Cm — Амплитуды функции Ганкеля и ее производ-
производной [стр. 522].
Стп (&, <р) — Векторная сферическая гармоника третьего-
рода [стр. 825].
dn (z, к) — Эллиптическая функция [D.5.75)].
Dm (z) — Функция Вебера [A1.2.63) и стр. 524].
Dm, D'm — Амплитуды сферической функции Ганкеля и ее>
производной [стр. 533].
D — Электрическая индукция [B.5.1)].
® —Аффинор деформации [(i.6.20)].
е = 2,71828 ... — Основание натуральных логарифмов.
е— Электрический заряд элементарной частицы
(для электрона е = 4,80-10~10 абс. эл. ст. ед.).
Е — Энергия.
Е(т (z) — Полуцилиндрическая функция [стр. 699].
Ei (z) — Интегральная показательная функция [стр.
411 тома I].
Еп (х) — Обобщенная интегральная показательная
функция [A2.2.14)].
е—Единичный вектор в абстрактном векторном
пространстве [A.6.31)].
Е — Электрическая напряженность [B.5.1)].

Указатель обозначении 831
/ — Функции распределении [стр. 171 тома I
и "A2.2.1)].
п) — Множитель, появляющийся при разделении
переменных в случае оператора Лапласа
|()]
/ (&) - - Фактор углового распределения (амплитуда
рассеяния) [(У.3.2), A1.4.58) и стр. 633].
F (а | с | z) — Вырожденная гипергеометрическая функция
1E.2.59) и E.3.47)]. Она равна
Z-c/2e:/2Mc 2_a>(c_1)/2(z),
где функция Mhm (z) определена в УВ, гл. 16.
F(a, b | с | z) - Гипергеометрический ряд [E.2.44) и E.3.14)].
F-Сила.-
гу — 4-аффинор электромагнитного поля [B.5.20)].
"ii (г I го) ~~ Функция Грина для свободного пространства
Ц7.2.18)].
g (г | г0 11) — Импульсная функция, преобразование Лапласа
функции Грина [G.3.8) и A1.1.15)].
Gfe (г | г0) — Функция Грина общего вида.
G (а | с | z) — Вырожденная гипергеометрическая функция
второго рода [E.3.59)].
G,, — Третье поле собственных векторов (не попереч-
поперечное и не продольное) для векторного уравне-
уравнения Лапласа A3.2.13) (см. Ln и Мп).
(У (г | г0) — Аффинерная функция Грина для векторных ре-
шений[A3.1.8)].
fj — Дифференциальный оператор, появляющийся
при факторизации [стр. 678, 679 тома ]].
hn — Коэффициент Ламе для криволинейных коор-
координат [A.3.4)].
h = 1,054 • КГ27 эрг - сек — Постоянная Планка, деленная на 2тг.
/гп (z) = |^я/2г //[/+1,2 (z) — Сферическая функция Ганкеля [A1.3.42)].
// — Плотность функции Гамильтона [C.2.7)].
нт (z) - Функция Гчнкеля [E.3.69)]; Н% = Jm + iNmr
Ji™ = Jm—iNm. Если верхний индекс отсут-
отсутствует, то подразумевается функция Н™ =
IIт(>;)— Полином Эрмита [стр. 729 тома I].
Н — Магнитная напряженность [B.5.8) и A3.2.1)].
§ — Гамильтониан — оператор [B.6.27)].
Щ! — Гамильтониан — дифференциальный оператор
[A2.3.1)].
г= |/'_ ] = -_/_См. формулу [D.1.1)].
г, /, к — Единичные кватернионы (стр. 78 тома I).
\n\i~v, если / = и -j- iv. — Мнимая часть комплексного числа /.
/п (-с) = г~"/п (гя) — Гиперболическая функция Бесселя (стр. 303).
i, j, k—Единичные векторы соответственно вдоль осей
х, у, z [A.2.1)].
3• — Идемфактор. Единичный аффинор [(стр. 63
тома I)].

832 Приложение
/= —t —См. стр. 127 тома I.
/„ (х) = У v/2xJn+ i/2 (х) — Сферическая функция Бесселя [E.3 67) и
[11.3.42)].
/ет (h, z) — Сфероидальная радиальная функция [E.3.96),
A1.3.91)].
Jn (х) — Функция Бесселя первого, рода [E.3.63)].
/nm) (z) — Полуцилиндрическая функция [(стр. 699, 700)].
Jem(h, z), Jom(h, z) — Радиальные функции Матье [E.3.90)]. Относи-
Относительно соотношений и других обозначений
см. BS, стр. XXXVIII.
J — Плотность тока или вектор плотности потока
массы [B.4.1) и A3.2.1)].
к — 2тс/Х — Волновое число.
Кп (г) = A/2) шеп1п/2Н™ {iz)~— Гиперболическая функция Бесселя [(стр. 303)].
К (х 11) — Ядро интегрального представления общего
вида [E.3.1)] или интегрального уравнения
[(8.1.16)].
к — Волновой вектор, величина его равна 2ir//.,
а направлен он по нормали к фронту волны
[(9.4.69)].
[ Длина.
/ — \ Квантовое число для орбитального момента
I [A2.3.3Э)].
In 2 — Натуральный логарифм г.
L — T — V — Плотность функции Лагранжа [C.1.1)].
Ln (x) — Полином Лагерра [стр. 728 тома I и A2.3.35)].
Ln = grad ^n — Продольное поле собственных векторов
[A3.1.14)].
X — Дифференциальный оператор Лагранжа или
функция Лагранжа системы [C.1.1)].
{Масса частицы.
Квантовое число для z-компоненты орби-
орбитального момента [(стр. 612)].
I Масса частицы [A2.3.1)].
М~{ Число Маха [B.3.23)].
Mm, Mm — Нормирующие множители для функции Матье
[(стр. 384)].
М — Плотность момента количества движения
[(стр. 305 тома I)].
М = rot (а,ид1>„) — Первое поперечное поле собственных векто-
векторов [A3.1.14)].
S0J—Оператор момента количества движения
[A.6.42)].
эд, (К) = X, (К) — Дифференциальный оператор, связанный с опе-
оператором Хг{К) при интегральных преобразо-
преобразованиях [E.3.7)].
f Целое число.
[ Радиальное квантовое число [A2.3.36) и
A2.3.39)].
п (х) = \/~ic/2xiVm+i/2 (х) — Сферическая функция Неймана [E.3.67),
A1.3.42)].
Nm(z) -Функция Неймана [E.3.75)]. Она равна функ-
функции Ym(z), используемой УВ, гл. 17.

Указатель обозначений
833
Nem{h, z), Nom{li, z) —Радиальные функции Матье второго рода
[E.3.91)]. Относительно соотношений и дру-
других обозначений см. BS, стр. XXXVIII.
— Второе поперечное поле собственных векто-
векторов [A3.1.14)].
п — Единичный вектор нормали к поверхности
[стр. 22 тома I].
Nn = {ifk) rot rot
р- Давление [B.3.10)].
рп — Обобщенный импульс, сопряженный коорди-
нате qn [B.6.3)].
Р (и, ^ — Присоединенная билинейная форма [E.2.12)].
Р™ (z) — Функция Лешандра первого рода [E.2.47)
и E.3.36)]. Эта функция отличается только
множителем (— 1)т от той, которая опре-
определена у МО, стр. 60.
Р
ь
W
— Символ Римана [@.2.37)].
р —Вектор импульса.
Р — Векторное поле плотности импульса
[C.4.5)].
Pmn (&, <р) — Векторная сферическая гармоника первого
рода [стр. 824].
р, $ — Оператор импульса [A.6.42) и A.6.32)].
f Оператор дифференцирования [F.3.67)].
\ Главное значение интеграла [D.2.9)].
g — Плотность источников.
qn — Координата, сопряженная обобщенному им-
импульсу рп [B.6.3)].
Величина заряда [B.5.25)].
Полный поток жидкости в см3/сек [стр. 177].
Эффективное сечение рассеяния [B.4.12),
A1.3.72) и A1.4.62)].
Q™ (z) — Функция Лежандра второго рода [стр. 308].
Она отличается только множителем (— I)
от определенной у УВ, стр. 109, II, и от
функции Sjm, определенной у МО, стр. 60.
q — Оператор положения [стр. 227 тома I].
(I -Оператор интегрирования [F.3.67)].
г — Радиус, расстояние от начала координат.
Коэффициент отражения [(9.3.10)].
Сопротивление (резистанс).
Расстояние от точки (х, у, z) до точки
R-
' = и, если / = и -г iv. —Действительная часть комплексного числа /.
г = rar = ix -f '\y + kz — Радиус-вектор.
R = г — г0 — Вектор расстояния точки {х, у, z) от точки
(Жо,?/о, z0) [G.2.13)].
9t — Оператор вращения [A.6.21)].

834 Приложение
sin z— Синус z [стр. 301].
sh2 — Гиперболический синус z [стр. 301].
sn B,/с) — Эллиптическая функция [D.5.75)].
ds — Элемент длины дуги кривой.
S1 _ [ Площадь поперечного сечения.
~ \ Определитель Штеккеля [E.1.25)].
dS — Элемент площади поверхности.
Sem(h, z), Som(h, z) — Периодические функции Матье [E.2.73)].
Пропорциональны функциям сет и sem из УВ,
но нормированы иначе; относительно коэф-
коэффициента пропорциональности см. BS,
стр. XXXVIII.
Sml (h, z) — Сфероидальная функция [E.3.95*)].
s — Вектор смещения в упругом теле [A.6.20)
и A3.2.3)].
ds — Элемент кривой при криволинейном интегри-
интегрировании в пространстве.
S —Вектор плотности потока энергии (вектор
Пойнтинга) [B.2.20) и C.3.15)].
©—Аффинор деформации [A.6.21)].
(У— Функция Матье общего вида [E.2.72)].
I — Время,
tn (z, к) — Эллиптическая функция [стр. 462 тома I ].
t Коэффициент прохождения.
Т—\ Натяжение [B.1.1)].
I Кинетическая энергия [C.2.1)].
Т (ks | kj) = — 4тс/ (&) — Фактор углового распределения при рас-
рассеянии волн [(9.3.44) и A2.3.56)].
7™ (г) —Функция Гегенбауэра [E.2.52) и E.3.35)]. Она
равна {2mlVv) Г (т + 1/2) С+1/2 (z), где Cl -
полином Гегенбауэра; см. УВ, стр. 127, II,
и МО, стр. 76.
( Аффинор напряжений [стр. 74, 75 тома I я
%- A3.2.4)].
I Оператор кинетической энергии.
и, v, w— Компоненты скорости.
и (х) — 0 при х < 0 и и (х]) — 1 при х > 0. Функция еди-
единичного скачка [B.1.6)].
U (а | с | z) — Функция Уиттекера; вырожденная гипергео-
гипергеометрическая функция третьего рода [E.3.52)].
С функциями Wh, m(z) из УВ, стр. 139, II,
связана соотношениями
w-u, m (— z) = e-z/zzm
I Часть аффинора напряжений-энергий, соот-
л* I ветствующая напряжениям [C.4.6)].
] Скорость изменения деформации [стр. 156
I тома! ].
V — Скорость.
dv—Элемент объема.

Указатель обозначении 835
[ Разность потенциалов, напряжение [стр. 213
V— { тома I].
I Потенциальная энергия [C.2.2)].
V™(z)-~ Функция Гегенбауэра второго рода [E.3.41)].
v — Вектор скорости.
w = ?х + ^2 ~ Обобщенные двумерные координа ты [E.1.5)].
W — Энергия [B.1.11)]. Плотность энергии.
w = (l/2)rolv — Вихревой вектор [B.3.3) и A3.2.9)].
958 — Аффинор напряжений-энергий [C.3.7)].
х, у, z — Ортогональные координаты.
X — Реактивное сопротивление (реактанс) [D.2.20)].
? — Квантовомеханический оператор положения
[A.6.32)].
1 = 1/Z — Полная проводимость (адмитанс) [C.3.16)].
9) = (З) — Аффинор адмитанса [C.4.24)],
z = x + iy — Комплексное число
z — Акустический импеданс [A1.1.35)].
Z = R -f iX — Импеданс.
3 —Аффинор импеданса [C.4.24)].
я—Угол в преобразовании Лоренца [A.7.2)].
а, р, у ~ Направляющие косинусы,
а —Оператор Дирака [B.6.53)].
f Второй коэффициент вязкости [B.3.10)].
1 [ Отношение удельных теплоемкостей [B.3.22)].
Г (х) - Гамма-функция [D.5.29)].
о —Символ вариации [C.1.2)].
от — Фазовый угол функции Ганкеля [(стр. 522 и
533)].
''mn — Q ПРИ ТПфП VL йтп = 1 при ТП = П.
Символ Кронекера [A.3.1)].
о (х) — Дельта-функция Дирака [B.1.4), B.6.23) в
F.3.58)].
д — Символ частного дифференцирования.
Д — Определитель.
Л(Уи Уг) = У&'г — У&'1 -Вронскиан решений у1 и у2 [E.2.2)].
з—Диэлектрическая постоянная [B.5.1)].
зт=1 при т = 0 и ет=2 при тп > 0. Множитель
Неймана [A0.1.13)].
^—Коэффициент вязкости [B.3.10) и A3.2.5)].
6, & — Угол в сферической системе координат.
8„ (и. q) (и = 1, 2, 3, 4) -Тета-функции D.5.68).
X = c/v — Длина волны.
Х- Модуль упругости [A.6.28) и A3.2.3)].
кп — Собственное значение интегрального опера-
оператора [(8.2.24)].
А — Нормирующая постоянная.

¦S3fi Приложение
[ Магнитная проницаемость [B.5.5) и A3.2.1)].
11~\ Модуль сдвига [A.6.28) и A3.2.3)].
v = ш/2- = с/Х - Частота [B.1.10)].
? — Криволинейная координата [A.3.4)].
л = 3,14159 . .. —Отношение длины окружности
к диаметру.
J]—Символ произведения:
Л'
п=0
р— Плотность [B.4.6) и B.5.1)].
р—Оператор Дирака [B.6.53)].
{Проводимость [B.5.19)].
Действительная часть переменной к пре-
преобразования Фурье [стр. 436 тома I ].
а —Спиновый оператор [A.7.17)].
2 — Символ суммирования:
JV
I Собственное время [A.7.1)].
х — I Мнимая часть переменной к преобразования
I Фурье [D.8.18) и (8.5.13)].
Г - Угловой множитель для волновой функции
двух частиц [A2.3.81)].
<р ф,— Угол.
, ( Угол в сферической системе координат.
^ *'~( Фазовый угол (аргумент) комплексного числа.
tfn — Собственная функция для невозмущенно] о
состояния [(9.1.2)].
Фтп — Элемент определителя Штеккеля [EЛ.25)].
¦ф — Скалярное поле, волновая функция.
4>т (z) ~~ Полигамма-функция [D.5.46)].
¦ф„ — Собственная функция [F.3.16)].
; ^e-iEt/h _ Зависящая от времени волновая функция
[стр. 591].
ш = 2.iv— Угловая частота [B.1.10)].
to — Вектор вращения [A.4.4)].
V — Оператор градиента, читается ;<набла»
[A.4.1)].
V2 — Оператор Лапласа [A.1.4)].
Q — Четырехмерный градиент.
О2— Даламбертиан —оператор [A.7.6)].
X —Векторное умножение [A.2.3)].
- —Скалярное умножение векторов [A.2.2)].
Также знак обычного умножения.

Указатель обозначений 83/
1 [-—Символы Кристоффеля [A.5.4)].
/ft )
[X] — Функция одного или нескольких варьируемых
параметров, стационарным значением которой
является собственное значение X [(9.4.6) и
A1.4.6)].
[п, т\ — Матрица, элементами которой служат инте-
интегралы \ фич#фт dv, где <рГ1 и <рт — п-е и т-е
приближения точного решения ij) [(9.4.96)].
| Л | — Абсолютная величина (модуль) комплексного
числа.
I ^пт I ~ Определитель с элементами Апт.
„ х I [Г(и+ l)/m\U(n — m+ 1)] при п > О,
т )^\[( - 1ГI1 (т—п)/т\ Г ( - п)] при п < 0.
Биномиальные коэффициенты разложения
(читается «гимель»)
~ (читается «далет») ""JfP^1 обще,го ^
тома I].
— (читается «иод») — Единичный тетрадик
[стр. 76 тома I].
— (читается «айн») — Диагонализирующий тетра-
тетрадик [стр. 76 тома I].

Таблицы
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5,
5
5,
5,
6,
со
со
СО
6,
7,
7,
7,
7,
7,
8,
X
,0
,2
,4
,6
,8
,0
,2
,4
,6
,8
,0
,2
,4
,6
,8
,0
,2
4
6
8
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
0
Таблица
sin х
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+0
-0
—0
-0
~0
-0
-о
-0
-о,
—0,
—0,
—о,
-о,
-о,
-о,
-о,
—о,
+0,
0,
о,
0,
0,
0,
0,
о,
0,
,0000
,1987
,3894
,5646
,7174
,8415
,9320
,9854
,9996
,9738
,9093
,8085
,6755
5155
3350
1411
0584
2555
4425
6119
7568
8716
9516
9937
9962
9589
8835
7728
6313
4646
2794
0831
1165
3115
4941
6570
7937
8987
9679
9985
9894
'. Тригонометрические и
cos х
1
0
0
0
0
0
0
+0
—0
—0
—0
—0
—0
—0
—0
—0
-0
—0
—0
—0
-0
—0
-0
-0
+0,
о,
о,
0,
0,
0,
о,
о,
о,
0,
0,
0,
о,
0,
0,
+0,
—о,
,0000
,9801
,9211
,8253
,6967
,5403
,3624
,1700
,0292
,2272
,4161
,5885
,7374
8569
9422
9900
9983
9668
8968
7910
6536
4903
3073
1122
0875
2837
4685
6347
7756
8855
9602
9965
9932
9502
8694
7539
6084
4385
2513
0540
1455
(см
IS х
0
0
0
0
1
1
2
+5
—34
—4
—2
—1
—0
—0
—0
—0
+0
0
0
0
1
1
з
+8
-И
-з,
—1,
—1
—0
—о,
—о,
-о,
+0,
0,
о,
о,
1,
2,
,0000
,2027
,4228
,6841
,0296
,5574
,5722
,7979
,233
,2863
,1850
,3738
,9160
,6016
,3555
1425
0585
2643
4935
7736
1578
7778
0963
8602
385
3805
8856
2175
8139
5247
2910
0834
1173
3279
5683
8714
3046
0493
3,8523
+18,-307
-6,
7997
. стр
. 300
sh х
0
0
0
0
0
1
1
1
2
2
3
4
5
6
8
10
12
14
18
22
27
33
40
49
60
74,
90,
110,
135,
165,
201,
246,
300,
367,
448,
548,
669,
817,
999,
220,
490,
,0000
,2013
,4108
,6367
,8881
,1752
,5095
,9043
,3756
,9422
,6269
,4571
,4662
6947
,1919
018
,246
965
285
339
290
335
719
737
751
203
633
70
21
15
71
37
92
55
92
32
72
99
10
3
5
гиперболические
301
oh х
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
5
6
8
10
12
14
18
22
27
33
40
49
60
74
90
110
135
165,
201,
246,
300
367,
448,
548,
669,
817,
999,
220,
490,
,0000
,0201
,0811
,1855
,3374
,5431
,8106
,1509
,5775
,1075
,7622
,5679
,5569
,7690
,2527
068
,287
999
,313
362
308
351
732
747
759
210
639
71
22
15
71
37
92
55
92
32
72
99
10
3
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о
0
0
1
1,
1
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
th x
,0000
,1974
,3799
,5370
,6640
,7616
,8337
,8854
,9217
,9468
,9640
,9757
9837
,9890
9926
9951
9967
9978
9985
9990
9993
9996
9997
9998
9999
9999
9999
0000
0000
0000
0000
0000 ¦
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
функции
(
1
1
1
1
2
2
3
4
4
6
7
9
11
13
16
20
24
29
36
44
54
66
81
99
121
148
181
221
270
330
403
492
601,
735
897,
1096,
1339,
1636,
1998,
2440,
2981,
X
,0000
,2214
,4918
,«221
,2255
,7183
,3201
,0552
,9530
,0496
,3891
,0250
,023
,464
,445
,086
,533
,964
,598
701
598
686
451
484
51
41
27
41
43
30
43
75
85
10
85
6
4
0
2
6
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о
0
0
0
0
0
о
о
0
0,
о,
0,
0,
0,
о,
е х
,0000
,8187
,6703
,5488
,4493
,3679
,3012
,2466
,2019
,1653
,1353
,1108
,0907
,0742
,0608
,0498
,0407
,0331
,0273
,0223
,0183
0150
0123
0100
0082
0067
0055
0045
0037
0030
0025
0020
0016
0013
ООН
0009
0007
0006
1H05
0004
0003

Таблицы
839
Таблица II. Тригонометрические и гиперболические функции
(см. стр. 300, 301).
Л'
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20 ".
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
•0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
sin izx
и,0000
0,1564
0,3090
0,4540
0,5878
0,7071
0,8090
0,8910
0,9511
0,9877
1,0000
0,9877
0,9511
0,8910
0,8090
0,7071
0,5878
0,4540
0,3090
+0,1564
0,0000
—0,1564
—0,3090
—0,4540
—0,5878
—0,7071
—0,8090
—0,8910
—0,9511
—0,9877
—1,0000
—0,9877
—0,9511
—0,8910
—0,8090
—0,7071
—0,5878
—0,4540
—0,3090
—0,1564
0,0000
COS 7СЖ
1,и000
0,9877
0,9511
0,8910
0,8090
0,7071
0,5878
0,4540
0,3090
-0,1564
0,0000
—0,1564
—0,3090
—0,4540
—0,5878
—0,7071
—0,8090
—0,8910
—0,9511
—0,9877
—1,0000
—0..9877
—0,9511
—0,8910
—0,8090
—0,7071
—0,5878
—0,4540
—0,3090
—0,1564
0,0000
+0,1564
0,3090
0,4540
0,5878
0,7071
0,8090
0,8910
0,9511
0,9877
1,0000
tg 7СЛ-
0,0000
0,1584
0,3249
0,5095
0,7265
1,0000
1,3764
1,9626
3,0777
6,3137
со
-6,3137
—3,0777
—1,9626
—1,3764
—1,0000
—0,7265
—0,5095
—0,3249
—0,1584
0,0000
0,1584
0,3249
0,5095
0,7265
1,0000
1,3764
1,9626
3,0777
A,3137
со
-6,3137
3,0777
—1,9626
—1,3764
—1,0000
—0,7265
-0,5095
—0,3249
—0,1584
0,0000
Stl 7СД
0,0000
0,1577
0,3194
0,4889
0,6705
0,8687
1,0883
1,3349
1,6145
1,9340
2,3013
2,7255
3,2171
3,7883
4,4531
5,2280
6,1321
7,1879
8,4214
9,9632
11,549
13,520
15,845
18,522
21,677
25,367
29,685
34,737
40,647
47,563
55,654
65,122
76,200
89,161
104,32
122,07
142,84
167,13
195,56
228,82
267,75
ch т.х
1,0000
1,0124
1,0498
1,1131
1,2040
1,3246
1,4780
1,6679
1,8991
2,1772
2,5092
2,9032
3,3689
3,9180
4,5640
5,3228
6,2131
7,2572
8,4806
9,8137
11,592
13,557
15,857
18,549
21,700
25,387
29,702
34,751
40,660
47,573
55,663
65,130
76,206
89,167
104,33
122,08
142,84
167,13
195,56
228,82
267,75
th та
0,0000
0,1558
0,3042 1
0,4392
0,5569
0,6558
0,7363
0,8003
0,8502
0,8883
0,9171
0,9388
0,9549
0,9669
0,9757
0,9822
0,9870
0,9905
0,9930
и,9949
0,9962
0,9973
0,9980
0,9985
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9998
1,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
е7СХ
1,0000
1,1701
1,3691
1,6019
1,8745
2,1933
2,5663
3,0028
3,5136
4,1111
4,8105
5,6287
6,5861
7,7062
9,0170
10,551
12,345
14,445
16,902
19,777
23,141
27,077
31,682
37,070
43,376
50,753
59,387
69,488
81,307
95,137
111,32
130,25
152,41
178,33
208,66
244,15
285,68
334,27
391,12
457,65
535,49
е ~™
1,0000
0,8546
0,7304
0,6242
0,5335
0,4559
0,3897
0,3330
0,2846
0,2432
0,2079
0,1777
0.1518
0,1298
0,1109
0,09478
0,08100
0,06922
0,05916
0,05050
0,04321
0,03693
0,03156
0,02697
0,02305
0,01970
0,01683
0,01438
0,01230
0,01051
0,00898
0,00767
0,00656
0,00561
0,00479
0,00409
0,00350
0,00299
0,00256
0,00219
0,00187

840
Приложение
Таблица III. Гиперболический тангенс комплексного аргумента
th [л (a— iP)]=6—iX= |?| е-1?
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о
0
о,
0.
о,
о,
о,
о,
0,
0,
0,
о,
о,
о,
о,
о,
0,
a
,0000
,0159
,0319
,0481
,0645
,0813
,0985
,1163
,1349
,1543
,1748
,1968
,2207
2468
,2761
,3097
3497
3999
4686
5831
0000
0159
0319
0481
0645
0813
0985
1163
1349
1533
1748
1968
2207
2468
2761
3097
3497
3999
4686
5831
и
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о,
0,
0,
0,
о,
о,
0,
о,
0,
0,
о,
0,
0,
о,
0,
,00
,05
,10
,15
,20
,25
,30
,35
,40
,45
,50
,55
,60
,65
,70
75
80
85
90
95
00
05
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,
0,
о,
о,
о,
0,
о,
0,
0,
0,
о,
0,
0,
о,
0,
0,
0,
о,
0,
0,
e
,0000
,0500
,1000
,1500
,2000
,2500
,3000
,3500
,4000
,4500
,5000
,5500
-6000
6500
7000
7500
8000
8500
9000
9500
0000
0553
1104
1655
2202
2746
3286
3820
4349
4871
5386
5893
6390
6880
7358
7827
8285
8731
9166
9589
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,
0,
0,
0,
о,
0,
о,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
о,
0,
0,
0,
о,
о,
0,
г
е-
,0000
,0000
,0000
,0000
,0000
,0000
,0000
,0000
,0000
,0000
,0000
,0000
,0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0,00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6=0,1С
3249
3240
3213
3169
3106
3027
2929
2815
2684
2537
2374
2196
2003
1796
1576
1342
1096
0838,
0569'
0289
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
о,
0,
0,
0,
0,
о,
0,
0,
о,
0,
0,
ю
,0000
,0500
,1000
,1500
,2000
,2500
,3000
,350.0
,4000
,4500
,5000
,5500
6000
6500
7000
7500
8000
8500
9000
9500
3249
3286
3398
3575
3808
4087
4402
4745
5110
5492
5886
6289
6697
7110
7525
7941
8357
8771
9184
9594
0—90°
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
90,
80,
71,
62
54,
47
41,
36,
31,
27,
23,
20,
17,
14,
12,
9,
7,
5,
3,
1,
,00
,00
,00
,00
,00
,00
,00
,00
,00
,00
,00
,00
,00
,00
,00
00
00
00
00
00°
32
03
43
67
78
72
39
68
51
79
44
41
63
08
73
54
48,
56
73
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о
о,
0,
о,
0
0
0
0,
о,
0,
о,
0
о,
0,
о,
о,
0,
о,
0,
0,
о,
п
,0000
,0512
,1025
,1537
,2048
,2558
,3068
,3577
,4084
,4589
,5093
,5596
,6095
,6593
,7088
7581
8070
8558
9041
9523
0000
0629
1256
1878
2493
3099
3692
4273
4838.
5385
5914
6423
6911
7378
7822
8243
8642
9015
9367
9695
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о
0
о,
о,
0
0
0,
о,
0,
о,
0,
0,
о,
о,
•-
IEI
?.=0,05
,1584
,1580
,1567
,1547
,1519
,1482
,1438
,1386
,1325
,1256
,1181
,1096
,1005
,0905
,0798
0683
0561
0432
0295
0151
р=с
5095
5079
5031
4951
4841
4700
4531
4333
4110
3860
3589
3295
2982
2652
2305
1945
1573
1191
0800
0403
0,1584
0,1660
0,1872
0,2180
0,2549
0,2956
0,3388
0,3836
0,4293
0,4758
0,5228
0,5702
0,6177
0,6654
0,7133
0,7612
0,8090
0,8569
0,9047
0,9524
,15
0,5095
0,5118
0,5186
0,5296
0,5445
0,5629
0,5845
0,6085
0,6347
0,6626
0,6917
0,7219
0,7527
0,7840
0,8155
0,8469
0,8783
0,9094
0,9401
0,9704
90
72
56
45
36
30
25
21
17
15
13
И
9
7
6
5
3
2
1
0
90
82
75
69
62
56
50
45
40,
35
31
27
23,
19,
16,
13
10,
7,
4,
2,
ч
,00°
,03
,82.
,20
,56
,09
,12
,18
,98
,32
,05
,08
,36
,82
43
,15
97
,88
,87
,91
00°
93
98
22
75
61
82
40
35
63
25
16
34
76
43
28
32
52
88
38

Таблицы
841
Таблица III. Гиперболический тангенс комплексного аргумента
(продолжение)
а
0,0000
0,0159
0,0319
0,0481
0,0645
0,0813
0,0985
0,1163
0,1349
0,1543
0,1748
0,1968
0,2207
0,2468
0,2761
0,3097
0,3497
0,3999
0,4686
0,5831
0,0000
0,0159
0,0319
0,0481
0,0645
0,0813
0,0985
0,1163
0,1349
0,1543
0,1748
0,1968
0,2207
0,2468
0,2761
0,3097
0,3497
0,3999
0,4686
0,5831
th тса
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
е
0,0000
0,0763
0,1520
0,2265
0,2993
0,3698
0,4376
0,5023
0,5635
0,6212
0,6749
0,7247
0,7703
0,8120
0,8497
0,8835
0,9136
0,9401
0,9632
0,9831
7.
0,7265
0,7238
0,7155
0,7019
0,6831
0,6593
0,6312
0,5989
0,5627
0,5235
0,4814
0,4370
0,3907
0,3430
0,2943
0,2451
0,1955
0,1459
0,0967
0,0480
ICI
,20
0,7265
0,7278
0,7315
0,7375
0,7458
0,7560
0,7680
0,7816
0,7964
0,8123
0,8290
0,8462
0,8637
0,8815
0,8992
0,9169
0,9343
0,9514
0,9681
0,9843
ч
90,00°
83,98
78,01
72,12
66,34
60,72
55,27
50,01
44,96
40,12
35,50
31,09
26,89
22,91
19,11
15,51
12,08
8,82
5,73
2,79
р=о,зо
0,0000
0,1440
0,2841
0,4164
0,5382
0,6470
0,7419
0,8223
0,8885
0,9413
0,9820
1,0120
1,0326
1,0449
1,0507
1,0509
1,0465
1,0387
1,0278
1,0148
1,3764
1,3664
1,3373
1,2904
1,2282
1,1537
1,0701
0,9803
0,8873
0,7933
0,7005
0,6102
0,5237
0,4415
0,3640
0,2916
0,2240
0,1612
0,1032
0,0494
1,3764
1,3740
1,3671
1,3559
1,3410
1,3228
1,3021
1,2794
1,2556
1,2311
1,2063
1,1819
1,1578
1,1344
1,1121
1,0906
1,0703
1,0511
1,0330
1,0160
90,00°
83,98
78,01
72,12
66,34
60,72
55,27
50,01
44,96
40,12
35,50
31,09
26,89
22,91
19,11
15,51
12,08
8,82
5,73
2,79
0
0,0000
0,0998
0,1980
0,2934
0,3846
0,4706
0,5504
0,6236
0,6896
0,7484
0,8000
0,8446
0,8824
0,9139
0,9395
0,9600
0,9757
0,9869
0,9945
0,9986
/.
1,0000
0,9950
0,9802
0,9560
0,9230
0,8824
0,8348
0,7818
0,7241
0,6632
0,6000
0,5355
0,4706
0,4060
0,3423
0,2800
0,2195
0,1611
0,1050
0,0512
,25
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,00.00
1,0000
I,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
?
90,00°
84,28
78,58
72,93
67,38
61,93
56,60
51,42
46,40
41,55
36,87
32,38
28,07
23,95
20,02
16,27
12,68
9,27
6,03
2,93
Р=0,35
0,0000
0,2403
0,4672
0,6697
0,8408
0,9776
1,0809
1,1538
1,2007
0,2267
1,2359
1,2324
1,2198
1,2002
J.1762
1,1493
1,1202
1,0902
1,0599
1,0296
1,9626
1,9391
1,8708
1,7653
1,6326
1,4829
1,3261
1,1701
1,0200
0,8793
0,7500
0,6323
0,5263
0,4313
0,3467
0,2713
0,2039
0,1440
0,0905
0,0428
1,9626
1,9539
1,9283
1,8882
1,8365
1,7762
i ,7109
1,6432
1,5755
1,5092
1,4457
1,3852
1,3284
1,2755
1,2262
1,1808
1,1386
1,0996
1,0637
1,0305
90,00°
82,93
75,98
69,22
62,75
56,61
50,82
45,40
40,35
35,03
31,25
27,16
23,34
19,76
16,43
13,28
10,32
7,52
4,88
2,38

842
Приложение
Таблица III. Гиперболический таигеис комплексного аргумента
(продолжение)
0,
о,
о,
о,
о,
0,
0,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
0,
0,
о
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
а
0000
0159
0319
0481
0645
0813
0985
1163
1349
1543
1748
1968
2207
2468
2761
3097
3497
3999
4686
5831
0000
0159
0319
0481
0645
0813
,0985
,1163
,1349
,1543
,1748
,1968
,2207
,2468
,2761
,3097
,3497
,3999
,4686
,5831
th
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
о,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
о,
0
0
о
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
00
05
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
00
05
10
15
20
,25
,30
,35
,40
,45
,50
,55
,60
,65
,70
,75
,80
,85
,90
,95
е
0,0000
0,5115
0,9565
1,2948
1,5189
1,6444
1,6960
1,6966
1,6652
1,6149
1,5547
1,4901
1,4247
1,3609
1,2994
1,2412
1,1862
1,1349
1,0867
1,0418
0,0000
5,787
6,213
5,260
4,356
3,662
3,138
2,736
2,422
2,170
1,9638
1,7927
1,6486
1,5257
1,4194
1,3269
1,2458
1,1737
1,1095
1,0518
7.
0=0
3,0777
2,9990
2,7833
2,4799
2,1427
1,8124
1,5119
1,2501
1,0277
0,8411
0,6853
0,5554
0,4466
0,3553
0,2781
0,2129
0,1569
0,1090
0,0674
0,0314
40
3,0777
3,0423
2,9431
2,7976
2,6265
2,4473
2,2720
2,1074
1,9569
1,8208
1,6989
1,5901
1,4932
1,4065
1,3289
1,2593
1,1966
1,1401
1,0888
1,0423
Р=0,475
12,706
9,030
4,811
2,682
1,636
1,075
0,7445
0,5367
0,3979
0,3008
0,2304
0,1778
0,1375
0,1060
0,0809
0,0605
0.0438
0,0300
0,0183
0,0085
12,706
10,725
7,859
5,905
4,653
3,817
3,225
2,789
2,454
2,190
1,9773
1,8014
1,6543
1,5293
1,4217
1,3284
1,2465
1,1741
1,1097
1,0519
ч
90,
80,
71,
62,
54,
47,
41,
36,
31,
27,
23,
20,
17,
14,
12,
9,
7
5,
3,
1
90
57
37
27
20
16
13
11
9
7
6
5
4
3
3
2
2
1
С
С
00°
32
03
43
67
78
72
39
68
51
79
44
41
63
08
73
54
48
56
73
00°
35
75
,01
,58
,35
,35
ДО
,33
,90
,70
,67
,76
,97
,27
,61
,02
,46
,94
,46
е
0,0000
1,8580
2,9217
3,2313
3,1500
2,9260
2,6722
2,4310
2,2154
2,0269
1,8633
1,7210
1,5972
1,4887
1,3931
1,3083
1,2331
1,1655
1,1047
1,0499
оо
20,000
10,000
6,6667
5,0000
4,0000
3,3333
2,8571
2,5000
2,2222
2,0000
1,8182
1,6667
1,5385
1,4286
1,3333
1,2500
1,1765
1,1111
1,0526
7.
0=0,
6,3138
5,7272
4,4691
3,2535
2,3362
1,6953
1,2524
0,9417
0,7188
0,5550
0,4319
0,3371
0,2632
0,2044
0,1568
0,1180
0,0857
0,0587
0,0360
0,0167
р=о
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
45
6
6
5
4
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
50
ю
3138
0211
,3394
,5855
,9217
^3816
,9511-
,6070
,3291
,1015
,9126
,7538
,6187
,5026
,4019
,3137
,2361
,1670
,1053
,0500
оо
20,000
10,000
6,6667
5,0000
4,0000
3,3333
2,8571
2,5000
2,2222
2,0000
1,8182
1,6667
1,5385
1,4286
1,3333
1,2500
1,1765
1,1111
1,0526
т
90,00э
72,03
56,82
45,20
36,56
30,09
25,12
21,18
17,98
15,32
13,05
11,08
9,36
7,82
6,43
5,15
3,97
2,88
1,87
0,9:1
0—90°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,0<>
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00

Таблицы
843
Таблица IV. Обратная гиперболическая функция Ar thg
(см. стр. 129 тома I)
Ar th I = Ar th F—гХ) = я(а-гР)
е
0,0
0,2
0,4
•0,6
•0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
¦2,2
.2,4
2,6
2,8
3,0
¦3,2
3,4
3,6
-3,8
4,0
0,0
•0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
-1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
-3,4
-3,6
3,8
4,0
а
/=.0
0,0000
0,0645
0,1349
0,2206
0,3497
оо
0,3816
0,2852
0,2334
0,1994
0,1748
0,1561
0,1412
0,1291
0,1188
о,иш
0,1029
0,0965
0,0908
0,0858
0,0813
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0—0,5
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
/.= 1,0
0,0000
0,0316
0,0619
0,0892
0,1118
0,1281
0,1373
0,1403
0,1386
0,1341
0,1281
0,1216
0,1150
0,1087
0,1027
0,0974
0., 0924
0,0877
0,0835
0,0796
0,0760
0,2500
0,2532
0,2627
0,2783
0,2993
0,3238
0,3493
0,3734
0,3944
0,4120
0,4262
0,4376
0,4468
0,4542
0,4602
0,4652
0,4693
0,4727
0,4756
0,4781
0,4802
п
7=0,2
0,0000
0,0619
0,1281
0,2041
0,2955
0,3672
0,3271
0,2681
0,2255
0,1950
0,1721
0,1542
0,1399
0,1281
0,1181
0,1097
0,1025
0,0961
0,0905
0,0855
0,0812
0,0628
0,0653
0,0738
0,0936
0,1426
0,2659
0,3894
0,4394
0,4610
0,4723
0,4792
0,4837
0,4868
0,4890
0,4908
0,4921
0,4931
0,4940
0,4947
0,4953
0,4958
7=1,2
0,0000
0,0259
0,0506
0,0729
0,0916
0,1058
0,1150
0,1197
0,1207
0,1190
0,1157
0,1114
0,1067
0,1019
0,0973
0,0927
0,0884
0,0844
0,0807
0,0773
0,0739
0,2789
0,2814
0,2890
0,3012
0,3173
0,3360
0,3558
0,3750
0,3926
0,4080
0,4211
0,4321
0,4412
0,4488
0,4551
0,4604
0,4648
0,4686
0,4718
0,4746
0,4769
G
•>
/.=0,4
0,0000
0,0552
0,1118
0,1703
0,2255
0,2503
0,2562
0,2322
0,2060
0,1832
0,1644
0,1490
0,1361
0,1252
0,1159
0,1080
0,1010
0,0950
0,0895
0,0847
0,0804
0,1211
0,1250
0,1379
0,1640
0,2110
0,2814
0,3524
0,4013
0,4307
0,4488
0,4605
0,4686
0,4743
0,4786
0,4819
0,4845
0,4865
0,4881
0,4895
0,4906
0,4916
/=1,4
0,0000
0,0213
0,0417
0,0602
0,0760
0,0885
0,0974
0,1028
0,1054
0,1056
0,1042
0,1017
0,0985
0,0950
0,0913
0,0878
0,0843
0,0808
0,0776
0,0745
0,0716
0,3026
0,3046
0,3106
0,3201
0,3326
0,3472
0,3628
0,3783
0,3930
0,4064
0,4182
0,4284
0,4372
0,4446
0,4510
0,4564
0,4610
0,4650
0,4650
0,4714
0,4740
а
/.=0,6
0,0000
0,0468
0,0931
0,1373
0,1749
0,1985
0,2041
0,1962
0,1823
0,1674
0,1536
0,1411
0,1302
0,1208
0,1124
0,1052
0,0988
0,0931
0,0880
0,0834
0,0793
0,1720
0,1762
0,1894
0,2135
0,2500
0,2964
0,3436
0,3826
0,4111
0,4312
0,4454
0,4557
0,4634
0,4692
0,4737
0,4773
0,4802
0,4826
0,4845
0,4862
0,4876
7=1,6
0,0000
0,0178
0,0348
0,0503
0,0639
0,0749
0,0832
0,0890
0,0924
0,0938
0,0937
0,0926
0,0906
0,0883
0,0855
0,0828
0,0799
0,0771
0,0743
0,0717
0,0691
0,3222
0,3238
0,3285
0,3360
0,3459
0,3574
0,3699
0,3826
0,3949
0,4064
0,4169
0,4262
0,4344
0,4416
0,4478
0,4531
0,4579
0,4619
0,4655
0,4686
0,4713
а
в
7=0,8
0,0000
0,0386
0,0760
0,1103
0,1386
0,1576
0,1661
0,1655
0,1593
0,1505
0,1409
0,1317
0,1230
0,1151
0,1079
0,1016
0,0959
0,0907
0,0860
0,0817
0,0778
0,2148
0,2186
0,2302
0,2500
0,2776
0,3106
0,3445
0,3750
0,3999
0,4198
0,4341
0,4454
0,4541
0,4610
0,4665
0,4709
0,4744
0,4774
0,4799
0,4820
0,4838
7=2,0
0,0000
0,0127
0,0249
0,0362
0,0464
0,0552
0,0623
0,0679
0,0719
0,0745
0,0760
0,0766
0,0764
0,0756
0,0743
0,0729
0,0712
0,0695
0,0676
0,0657
0,0639
0,3524
0,3534
0,3564
0,3612
0,3675
0,3750
0,3833
0,3920
0,4008
0,4093
0,4174
0,4249
0,4318
0,4381
0,4437
0,4488
0,4533
0,4573
0,4609
0,4641
0,4670

Приложение
Таблица V. Натуральный логарифм и обратные гиперболические функции
In х
Аг shx
Аг ch х
In х
Аг sh x
Аг ch x
—оо
-2,3026
-1,6094
-1,2040
-0,9163
-0,6931
-0,5108
-0,3567
-0,2231
-0,1054
0,0000
0,0953
0,1823
0,2624
0,3365
0,4055
0,4700
0,5306
0,5878
0,6419
0,6931
0,7419
0,7885
0,8329
0,8755
0,9163
0,9555
0,9933
1,0296
1,0647
1,0986
1,1314
1,1632
1,1939
1,2238
,2528
,2809
,3083
,3350
1,3610
1,3863
0,0000
0,0998
0,1987
0,2957
0,3900
0,4812
0,5688
0,6527
0,7327
0,8089
0,8814
0,9503
1,0160
1,0785
1,1380
1,1948
1,2490
1,3008
1,3504
1,3980
1,4436
1,4875
1,5297
1,5703
1,6094
1,6472
1,6837
7191
7532
1,7863
1,8184
1,8496
1,8799
1,9093
1,9379
1,9657
1,9928
2,0193
2,0450
2,0702
2,0947
0,0000
0,4436
0,6224
0,7564
0,8670
0,9624
1,0470
1,1232
1,1929
1,2572
1,3170
1,3729
1,4254
1,4750
1,5221
1,5668
1,6094
1,6502
1,6892
1,7267
1,7627
1,7975
1,8309
1,8633
1,8946
1,9248
1,9542
1,9827
2,0104
2,0373
2,0634
4,
4,
4,
4,
4,
5,
5,
5,
5,
5,
6,
6,
6,
6,
6,
7,
7
7
7
7
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
10
10
10
10
10
11
11
11
11
11
12
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
0
2
4
6
0
2
4
6
,8
,0
,2
Л
,6
,8
,0
,2
,4
,6
,8
,0
,3863
,4351
1,4816
5261
5686
6094
6487
6864
7228
1,7579
1,7918
1,8245
1,8563
1,8871
1,9169
1,9459
1,9741
2,0015
2,0281
2,0541
2,0794
1041
1282
1518
1748
1972
2,2192
2,2407
2,2618
2,2824
2,3026
2,3224
2,3418
2,3609
2,3795
2,3979
2,4159
2,4336
2,4510
2,4681
2,4849
2,0947
2,1421
2,1874
2,2308
2,2724
2,3124
2,3509
2,3880
2,4238
2,4584
2,4918
2,5241
2,5555
2,5859
2,6154
2,6441
2,6720
2,6992
2,7256
2,7514
2,7765
2,8010
2,8249
2,8483
2,8711
2,8934
2,9153
2,9367
2,9576
2,9781
2,9982
3,0179
3,0373
3,0562
3,0748
3,0931
3,1110
3,1287
3,1460
3,1630
3,1798
2,0634
2,1137
2,1616
2,2072
2,2507
2,2924
2,3324
2,3709
2,4078
2,4435
2,4779
2,5111
2,5433
2,5744
2,6046
2,6339
2,6624
2,6900
2,7169-
2,7431
2,7687
2,7935
2,8178
2,8415
2,8647
2,8873
2,9094
2,9310-
2,9522
2,972»:
2,9932'
3,0131
3,0326
3,0518
3,0705
3,0890-
3,1071
3,1248
3,1423
3,1594
3,1763.

Таблицы
Таблица VI. Сферические гармоники (см. стр. 726 тома 1 и стр. 306)
P^(x) = l, 0000; Р^х) == х.
845
1,
0,
0,
0,
о,
0
0
о
0
0
0
0
0
0
¦0
0
0
•о
0
0
0
00
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
,40
,35
,30
,25
,20
.15
,10
,05
,00
p
0,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
0
о,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1 (x)
0000
3122
4359
5208
6000
0614
7141
7599
8000
8352
8660
8930
9165
,9367
,9539
,9682
,9798
,9887
,9950
,9987
,0000
0
1.
0,
о,
о,
0,
о,
0,
о,
4 0,
-0
—0
—0
—0
—0
-0
—0
—0
-0
—0
—0
—0
<x>
0000
8538
7150
5838
4600
3438
2350
1338
0400
0462
1250
1962
2600
3162
,3650
,4062
,4400
,4662
,4850
,4962
,5000
p
0,
0,
1,
1,
1,
1,
1,
t,
1.
1,
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
>>
0000
8899
1769
3433
4400
4882
4997
4819
4400
3780
2990
2056
0998
9836
,8585
,7262
,5879
,4449
,2985
,1498
,0000
P
0,
0,
0,
0,
1,
1,
1,
1,
1,
2,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
>
0000
2925
5700
8325
0800
3125
5300
7325
9200
0925
2500
3925
5200
6325
,7300
,8125
,8800
,9325
,9700
,9925
,0000
z
1,
0,
o,
0,
0,
-o,
—o,
-o,
—o,
—0.
—0
—0
—0
—0
—0
—0
—0
—0
—0
—0
0
w
0000
7184
4725
2603
0800
0703
1925
2884
3600
4091
4375
4472
4400
4178
3825
,3359
,2800
,2166
,1475
,0747
,0000
j
o,
1,
1,
2,
1.
1
1
1
0
0
0
+ 0
-0
—0
—0
-0
—1
—1
—1
—1
j
w
0000
0452
9942
0643
9800
7983
5533
2681
9600
0420
3248
0167
,2750
,5445
,7870
,9985
,1758
,3162
,4179
,4794
,5000
i
''I <x)
0,0000
1,3894
2,5650
3,5381
4,3200
4,9219
5,3550
5,6306
5,7600
5,7544
5,6250
5,3831
5,0400
4,6069
4,0950
3,5156
2,8800
2,1994
1,4850
0,7481
0,0000
l\
0,
0,
1,
2,
3,
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13
14
14
14
14
IE
0004
4567
2423
1927
2400
3407
4632
5829
0800
7379
742S
,083
,548
,330
,021
,616
,109
,497
,776
,944
,000

846
Приложение
Таблица VII. Функции Лежандра для больших значений аргумента
(см. стр. 268 и 306, 308)
X
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
X
1,1
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,5
4,0
4,5.
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1.0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
q: w
1,5223
1,1990
0,8959
0,7332
0,6264
0,5493
0,4904
0,4437
0,4055
0,3736
0,3466
0,2939
0,2554
0,2260
0,2027
0,1839
0,1682
0,1551
0,1438
0,1341
0,1257
р] w
1,0000
1,2000
1,4000
1,6000
1,8000
2,0000
2,2000
2,4000
2,6000
2,8000
3,0000
3,5000
4,0000
4,5000
5,0000
5,5000
6,0000
6,5000
7,0000
7,5000
8,0000
*;<*>
0,6745
0,4387
0,2542
0,17307
0,12749
0,09861
0,07891
0,06476
0,05421
0,04610
0,03972
0,02863
0,02165
0,01697
0,01366
0,01124
0,00942
0,00800
0,00689
0,00599
0,00526
iP\ <*)
0,0000
0,6633
0,9798
1,2490
1,4967
1,7321
1,9596
2,1817
2,4000
2,6153
2,8284
3,3541
3,8730
4,3875
4,8990
5,4083
5,9161
6,4226
6,9282
7;4330
7,9372
Q\ <*)
1,7028
1,0138
0,5511
0,3653
0,2652
0,2033
0,16167
0,13210
0,11022
0,09350
0,08040
0,05775
0,04359
0,03411
0,02744
0,02256
0,01889
0,01605
0,01380
0,01200
0,01053
pl w
1,0000
1,6600
2,4400
3,3400
4,3600
5,5000
6,7600
8,1400
9,6400
11,260
13,000
17,875
23,500
29,875
37,000
44,875
53,500
62,875
73,000
83,875
95,500
0,3518
0,19025
0,08595
0,04878
0,03102
0,02118
0,01520
0,01132
0,00868
0,00682
0,00546
0,00334
0,00220
0,00153
0,00110
0,00082
0,00063
0,00050
0,00040
0,00032
0,00026
ip\ (x)
0,0000
2,3880
4,1151
5,9952
8,0820
10,392
12,933
15,708
18,720
21,969
25,456
35,218
46,476
59,231
73,485
89,237
106,49
125., 24
145,49
167,24
190,49
Q\ <*>
1,2549
0,6345
0,2733
0,15215
0,09574
0,06495
0,04640
0,03446
0,02636
0,02066
0,01651
0,01009
0,00663
0,00460
0,00332
0,00248
0,00190
0,00149
0,00119
0,00096
0,00079
-p\ tx)
0,0000
1,3200
2,8800
4,6800
6,7200
9,0000
11,520
14,280
17,280
20,520
24,000
33,750-
45,000
57,750
72,000
87,750
105,00
123,75
144,00
165,75
189,00
oj <*>
8,1352
3,4372
1,2968
0,6825
0,4164
0,2771
0,19541
0,14375
0,10922
0,08513
0,06777
0,04112
0,02691
0,01860
0,01341
0,00999
0,00765
0,00599
0,00478
0,00387
0,00318

Таблицы
847
Таблица VIII'. Функции Лежандра чисто мнимого аргумента
(см. стр. 273 и 309)
X
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
С, 5
7,0
7,5
X
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
¦6,0
6,5
7,0
7,5
р«ал-,
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
iQjJ(iar)
1,5708
1,3734
1,1903
1,0304
.0,8961
0,7854
0,6947
0,6202
0,5586
0,5071
0,4636
0,3805
0,3218
0,2783
0,2450
0,2187
0,19740
0,17985
0,16515
0,15265
0,14190
1,13255
0,0000
0,2000
0,4000
0,6000
0,8000
1,0000
1,2000
1,4000
1,6000
1,8000
2,0000
2,5000
3,0000
3,5000
4,0000
4,5000
5,0000
5,5000
6,0000
6,5000
7,0000
7,5000
-Cj(i*)
1,0000
0,7253
0,5239
0,3818
0,2832
0,2146
0,1663
0,13165
0,10624
0,08722
0,07270
0,04873
0,03475
0,02595
0,02009
0,01599
0,01302
0,01081
0,00911
0,00778
0,00672
0,00586
1,0000
1,0198
1,0770
1,1662
1,2806
1,4142
1,5621
1,7205
1,8868
2,0591
2,2361
2,6926
3,1623
3,6401
4,1231
4,6098
5,0990
5,5902
6,0828
6,5765
7,0711
7,5664
1,5708
1,2045
0,9106
0,6871
0,5228
0,4036
0,3170
0,2534
0,2060
0,1700
0,14232
0,09607
0,06878
0,05150
0,03993
0,03183
0,02594
0,02154
0,01816
0,01552
0,01341
0,01171
0,5000
0,5600
0,7400
1,0400
1,4600
2,0000
2,6600
3,4400
4,3400
5,3600
6,5000
9,8750
14,000
18,875
24,500
30,875
38,000
45,875
54,500
63,875
74,000
84,875
-iC»(i.v)
0,7854
0,4691
0,2808
0,17159
0,10824
0,07079
0,04800
0,03366
0,02432
0,01805
0,01371
0,00750
0,00451
0,00291
0,00198
0,00140
0,00103
0,00078
0,00060
0,00047
0,00038
0,00031
-iP^(K)
0,0000
0,6119
1,2924
2,0991
3,0735
4,2426
5,6234
7,2260
9,0566
11,119
13,416
20,194
28,461
38,221
49,477
62,232
76,485
92,238
109,49
128,24
148,49
170,24
—tQ'(ix)
2,0000
1,2385
0,7642
0,4782
0,3070
0,20337
0,13919
0,09826
0,07137
0,05316
0,04050
0,02227
0,01342
0,00867
0,00591
0,00420
0,00309
0,00233
0,00180
0,00143
0,00114
0,00093
P2B(ix)
3,0000
3,1200
3,4800
4,0800
4,9200
6,0000
7,3200
8,8800
10,680
12,720
15,000
21,750
30,000
39,750
51,000
63,750
78,000
93,750
111,00
129,75
150,00
171,75
-iQ*(i*)
4,7124
3,3004
2,2526
1,5216
1,0330
0,7124
0,5019
0,3619
0,2670
0,2012
0,15471
0,08636
0,05251
0,03411
0,02332
0,01662
0,01224
0,00927
0,00718
0,00567
0,00456
0,00372

848
Приложение
Таблица IX. Функции Лежандра порядков 1/2, — 1/2 и 3/2
(см. стр. 283 и 309, 310)
X
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2.6
2,8
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
X
1,1
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
Р« 1 (X)
2
1,0000
0,9763
0,9549
0,9355
0,9177
0,9013
0,8861
0,8719
0,8587
0,8463
0,8346
0,8082
0,7850
0,7643
0,7457
0,7289
0,7136
0,6995
0,6864
0,6743
0,6631
G° 1 (*)
2
2,8612
2,5010
2,1366
1,9229
1,7723
1,6566
1,5634
1,4856
1,4193
1,3617
1,3110
1,2064
1,1242
1,0572
1,0011
0,9532
0,9117
0,87524
0,84288
0,81389
0,78772
-iPl i (х)
2
0,0000
0,07447
0,09968
0,11603
0,12778
0,1367
0,1436
0,1491
0,1536
0,1572
0,1602
0,1657
0,1692
0,1715
0,1728
0,1736
0,1739
0,1739
0,1737
0,1734
0,1729
2
2,3661
1,7349
1,2918
1,0943
0,9748
0,8918
0,8293
0,7798
0,7391
0,7048
0,6753
0,6163
0,5713
0,5353
0,5057
0,4806
0,4591
0,44025
0,42362.
0,40877
0,39542
-Р2 ! (.х)
2
0,0000
0,02536
0,04613
0,06340
0,07794
0,0903
0,1009
0,1101
0,1181
0,1251
0,1313
0,1438
0,1533
0,1606
0,1663
0,1708
0,1744
0,1772
0,1795
0,1813
0,1828
Q2 ! (X)
2
10,644
5,6518
3,1575
2,3230
1,9018
1,6454
1,4712
1,3441
1,2465
1,1687
1,1048
0,9846
0,8990
0,8339
0,7820
0,7393
0,7033
0,67231
0,64530
0,62144
0,60015
Р0г (х)
2
1,0000
1,0728
1,1416
1,2070
1,2694
1,3291
1,3866
1,4419
1,4954
1,5472
1,5974
1,7169
1,8290
1,9349
2,0356
2,1316
2,2237
2,3122
2,3975
2,4799
2,5598
tl (X)
2
0,9788
0,6996
0,4598
0,3430
0,2720
0,2240
0,18932
0,16312
0,14266
0,12628
0,11289
0,08824
0,07154
0,05S57
0,05063
0,04374
0,03829
0.03389
0,03028
0,02727
0,02473
ip\ (х)
в
0,0000
0,2344
0,3283
0,3986
0,4567
0,5072
0,5523
0,5933
0,6311
0,6664
0,6996
0,7753
0,8432
0,9052
0,9627
1,0165
1,0673
1,1156
1,1616
1,2058
1,2482
0 1 (X)
2
1,9471
1,2524
0,7618
0,5501
0,4285
0,3489
0,29263
0,25076
0,21842
0,19274
0,17189
0,13380
0,10819
0,08993
0,07634
0,06588
0,05764
0,05099
0,04553
0,04099
0,03716
Р% <*>
2
1,0000
1,3910
1,8126
2,2630
2,7406
3,2439
3,7719
4,3236
4,8979
5,4941
6,1113
7,7427
9,4930
11,355
13,322
15,389
17,552
19,806
22,148
24,575
27,083
2
0,4818
0,2856
0,14609
0,09080
0,06214
0,04516
0,03422
0,02676
0,02143
0,01751
0,01454
0,00966
'0,00682
0,00503
0,00384
0,00301
0,00241
0,00197
0,00163
0,00137
0,00116

Таблицы
849
Таблица X. Функции Бесселя для цилиндрических координат
(см. стр. 302 и 522)
X
0,0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1.6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
С,2
6,4
6,6
6,8
7,0
7,2
7,4
7,6
7,8
8,0
Jo (*)
1,0000
0,9975
0,9900
0,9604
0,9120
0,8463
0,7652
0,6711
0,5669
0,4554
0,3400
0,2239
0,1104
+0,0025
—0,0968
-0,1850
—0,2601
-0,3202
—0,3643
—0,3918
-0,4026
—0,3971
-0,3766
—0,3423
-0,2961
—0,2404
—0,1776
-0,1103
—0,0412
+0,0270
0,0917
0,1507
0,2017
0,2433
0,2740
0,2931
0,3001
0,2951
0,2786
0,2516
0,2154
0,1716
Л'о W
—оо
—1,5342
—1,0811
—0,6060
—0,3085
-0,0868
+0,0883
0,2281
0,3379
0,4204
0,4774
0,5104
0,5208
0,5104
0,4813
0,4359
0,3768
0,3071
0,2296
0,1477
+0,0645
—0,0169
—0,0938
—0,1633
—0,2235
—0,2723
—0,3085
— 0,3312
—0,3402
-0,3354
—0,3177
-0,2882
—0,2483
-0,2000
—0,1452
-0,0864
—0,0259
+0,0339
0,0907
0,1424
0,1872
0,2235
Ji (*)
0,0000
0,0499
0.0995
0,1960
0,2867
0,36«8
0,4401
0,4983
0,5419
0,5699
0,5815
0,5767
0,5560
0,5202
0,4708
0,4097
0,3391
0,2613
0,1792
0,0955
+0,0128
—0,0660
—0,1386
-0,2028
-0,2566
—0,2985
-0,3276
—0,3432
-0,3453
—0,3343
-0,3110
-0,2767
-0,2329
-0,1816
—0,1250
—0,0652
-0,0047
+0,0543
0,1096
0,1592
0,2014
0,2346
Л'1 (х)
—со
-6,4590
-3,3238
-1,7809
—1,2604
—0,9781
-0,7812
—0,6211
-0,4791
-0,3476
—0,2237
—0,1070
+0,0015
0,1005
0,1884
0,2635
0,3247
0,3707
0,4010
0,4154
0,4141
0,3979
0,3680
0,3260
0,2737
0,2136
0,1479
0,0792
+0,0101
-0,0568
—0,1192
-0,1750
-0,2223
-0,2596
—0,2858
—0,3002
—0,3027
—0,2934
-0,2731
—0,2428
—0,2039
-0,1581
0,0000
0,0012
0,0050
0,0197
0,0437
0,0758
0,1149
0,1593
0,2074
0,2570
0,3061
0,3528
0,3951
0,4310
0,4590
0,4777
0,4861
0,4835
0.4697
0,4448
0,4093
0,3641
0,3105
0,2501
0,1846
0,1161
+0,0466
—0,0217
-0,0867
-0,1464
-0,1989
—0,2429
—0,2769
—0,3001
—0,3119
—0,3123
—0,3014
—0,2800
-0,2490
-0,2097
—0,1638
—0,1130
ЛГ2 (х)
—оо
—127,64
-32,157
-8,2983
—3,8928
—2,3586
—1,6507
—1,2633
-1,0224
-0,8549
—0,7259
-0,6174
-0,5194
—0,4267
—0,3364
-0,2477
-0,1604
-0,0754
+0,0063
0,0831
0,1535
0,2159
0,2690
0.3115
0,3425
0,3613
0,3677
0,3617
0,3439
0,3152
0,2766
0,2299
0,1766
0,1188
+0,0586
-0,0019
—0,0605
—0,1154
—0,1645
-0,2063
—0,2395
-0,2630

850
Приложение
Таблица XI. Гиперболические функции Бесселя
(см. стр. 303)
z
0,0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
6,2
6,4
6,6
6,8
7,0
7,2
7,4
7,6
7,8
8,0
/m(z) = i-
1,0000
1,0025
1,0100
1,0404
1,0921
1,1665
1,2661
1,3937
1,5534
1,7500
1,9895
2,2796
2,6292
3,0492
3,5532
4,1574
4,8808
5,7472
6,7848
8,0278
9,5169
11,302
13,443
16,010
19,093
22,794
27,240
32,584
39,010
46,738
56,039
67,235
80,717
96,963
116,54
140,14
168,59
202,92
244,34
29Д.ЗЗ
354,68
427,57
mJm(iz).
„,,
0,0000
0,0501
0,1005
0,2040
0,3137
0,4329
0,5652
0,7147
0,8861
1,0848
1,3172
1,5906
1,9141
2,2981
2,7554
3,3011
3,9534
4,7343
5,6701
6,7926
8,1405
9,7594
11,705
14,046
16,863
20,253
24,335
29,254
35,181
42,327
50,945
61,341
73,888
89,025
107,31
129,38
156,04
188,25
227,17
274,22
331,10
399,87
Ыг)
0,0000
0,0012
0,0050
0,0203
0,0464
0,0843
0,1358
0,2026
0,2876
0,3940
0,5260
0,6890
0,8891
1,1342
1,4338
1,7994
2,2452
2,7884
3,4495
4,2540
5,2325
6,4222
7,8683
9,6259
11,761
14,355
17,505
21,332
25,978
31,621
38,470
46,788
56,884
69,141
84,021
102,08
124,01
150,63
182,94
222,17
269,79
327,60

Таблицы
851
Таблица XII. Функции Бесселя для сферических координат
(см. стр. 582 тома I и стр. 531)
X
0.0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
6,2
6,4
6,6
6,8
7,0
7,2
7,4
7,6
7,8
8,0
1,0000
0,9983
0,9933
0,9735
0,9411
0,8967
0,8415
0,7767
0,7039
0,6247
0,5410
0,4546
0,3675
0,2814
0,1983
0,1196
+0,0470
-0,0182
-0,0752
-0,1229
-0,1610
-0,1892
-0,2075
-0,2163
-0,2160
-0,2075
-0,1918
-0,1699
-0,1431
-0,1127
-0,0801
-0,0466
-0,0134
+0,0182
0,0472
0,0727
0,0939
0,1102
0,1215
0,1274
0,1280
0,1237
по(х)
—со
-9,9500
-4,9003
-2,3027
-1,3756
-0,8709
-0,5403
-0,3020
-0,1214
+0,0183
0,1262
0,2081
0,2675
0,3072
0,3296
0,3365
0,3300
0.Я120
0,2844
0,2491
0,2082
0,1634
0,1167
0,0699
+0,0244
-0,0182
-0,0567
-0,0901
-0,1175
-0,1385
-0,1527
-0,1600
-0,1607
-0,1552
-0,1440
-0,1278
-0,1077
-0,0845
-0,0593
-0,0331
-0,0069
+0,0182
ix(*)
0,0000
0,0333
0,0664
0,1342
0,1929
0,2500
0,3012
0,3453
0,3814
0,4087
0,4268
0,4354
0,4346
0,4245
0,4058
0,3792
0,3457
0,3063
0,2623
0,2150
0,1658
0,1161
0,0673
+0,0207
-0,0226
-0,0615
-0,0951
-0,1228
-0,1440
-0,1586
-0,1665
-0,1678
-0,1629
-0,1523
-0,1368
—0,1172
-0,0943
-0,0692
-0,0429
-0,0163
+0,0095
0,0336
—со
-100,50
-25,495
-6,7302
-3,2337
-1,9853
-1,3818
-1,0283
-0,7906
-0,6133
-1,4709
-0,3506
-0,2459
-0,1534
-0,0715
+0,0005
0,0630
0,1157
0,1588
0,1921
0,2158
0,2300
0,2353
0,2321
0,2213
0,2037
0,1804
0,1526
0,1213
0,0880
0,0538
+0,0199
-0,0124
-0,0425
-0,0690
-0,0915
-0,1092
-0,1220
-0,1294
-0,1317
-0,1289
-0,1214
0,0000
0,0007
0,0027
0,0105
0,0234
0,0408
0,0620
0,0865
0,1133
0,1416
0,1703
0,1985
0,2251
0,2492
0,2700
0,2867
0,2986
0,3054
0,3066
0,3021
0,2919
0,2763
0,2556
0,2304
0,2013
0,1691
0,1347
0,0991
0,0631
+0,0278
-0,0060
-0,0373
-0,0654
-0,0896
-0,1094
-0,1243
-0,1343
-0,1391
-0,1388
-0,1338
-0,1244
-0,1111
пфс\
—оо
-3005,0
-377,52
-48,174
-14,793
-6,5740
-3,6050
-2,2689
-1,5728
-1,1682
-0,9111
-0,7340
-0,6028
-0,4990
-0,4121
-0,3359
-0,2670
-0,2035
-0,1442
-0,0890
-0,0378
+0,0091
0,0514
0,0884
0,1200
0,1456
0,1650
0,1781
0,1850
0,1856
0,1805
0,1700
0,1547
0,1353
0,1126
0,0875
0,0609
0,0337
+0,0068
-0,0189
-0,0427
-0,0637

852
Приложение
Таблица XIII. Функции Лежандра для сферических координат
(см. стр. 726 тома I и стр. 306)
9
0°
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
8
0°
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
P-i=p0
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
i.oopo
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
P5(COS»)
1,0000
0,9437
0,7840
0,5471
0,2715
0,0009
-0,2233
-0,3691
-0,4197
-0,3757
-0,2545
-0,0868
+0,0898
0,2381
0,3281
0,3427
0,2810
0,1577
0,0000
Pi(cos 8)
1,0000
0,9962
0,9848
0,9659
0,9397
0,9063
0,8660
0,8192
0,7660
0,7071
0,6428
0,5736
0,5000
0,4226
0,3420
0,2588
0,1736
0,0872
0,0000
JVcos»)
1,0000
0,9216
0,7045
0,3983
0,0719
-0,2040
-0,3740
-0,4114
—0,3236
-0,1484
+0,0564
0,2297
0,3232
0,3138
0,2089
0,0431
-0,1321
-0,2638
-0,3125
P2(C0S 8)
1,0000
0,9886
0,9548
0,8995
0,8245
0,7321
0,6250
0,5065
0,3802
0,2500
0,1198
-0,0065
-0,1250
-0,2321
-0,3245
-0,3995
-0,4548
-0,4886
-0,5000
iMcos 8)
1,0000
0,8962
0,6164
0,2455
-0,1072
-0,3441
-0,4102
-0,3096
-0,1006
+0,1271
0,2854
0,3191
0,2231
0,0422
-0,1485
-0,2731
-0,2835
-0,1778
0,0000
Ps(cos «¦)
1,0000
0,9773
0,9106
0,8042
0,6649
0,5016
0,3248
0,1454
-0,0252
-0,1768
-0,3002
-0,3886
-0,4375
-0,4452
-0,4130
-0,3449
-0,2474
-0,1291
0,0000
P8(cos Щ
1,0000
0,8675
0,5218
0,0962
-0,2518
-0,40.62
-0,3388
-0,1154
+0,1386
0,2983
0,2947
0,1422
-0,0736
-0,2411
-0,2780
-0,1702
+0,0233
0,2017
0,2734
P4(cos 8)
1,0000
0,9623
0,8532
0,6847
0,4750
0,2465
0,0234
-0,x/14
-0,3190
-0,4063
-0,4275
-0,3852
-0,2891
-0,1552
-0,0038
+0,1434
0,2659
0,3468
0,3750
P9 (cos »)
1,0000
0,8358
0,4228
-0,0428
-0,3517
-0,3896
-0,1896
+0,0965
0,2900
0,2855
0,1041
-0,1296
-0,2679
-0,2300
—0,0476
+0,1595
0,2596
0,1913
0,0000

Таблицы
853
Таблица XIV. Амплитуды и фазы цилиндрических функций Бесселя
(см. стр. 522)
При т>0 х -> О
C'm - A/2) Cm+1« 0,1592m! B/a)m+1,
180m f x \2m
-^- 1 градусов,
80 =а — 90/1п ж, Вд
, CJ = 0,6366/*,
градусов.
При х —> оо
1
-г-пBт — 1),
1
-г- лBт-\-1) радиан.
X
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
Со (*)
оо
1,8300
1,4659
1,2679
1,1356
1,0384
0,9628
0,9016
0,8507
0,8075
0,7703
0,7088
0,6599
0,6198
0,5861
0,5573
0,5323
0,5104
0,4910
0,4736
0,4579
0,4436
0,4306
0,4187
0,4077
0,3975
0,3881
0,2792
0,3710
0,3633
0,3560
So (х)
00,00°
33,03
42,48
50,45
57,75
64,65
71,31
77,79
84,14
90,40
96,58
108,77
120,80
132,71
144,54
156,31
168,04
179,72
191,37
203,00
214,61
226,20
237,78
249,34
260,90
272,44
283,98
295,51
307,04
318,56
330,07
со М
оо
6,4591
3,3253
2,2979
1,7916
1,4913
1,2926
1,1513
1,0454
0,9629
0,8966
0,7963
0,7234
0,6675
0,6230
0,5866
0,5560
0,5298
0,5071
0,4872
0,4694
0,4536
0,4392
0,4262
0,4143
0,4034
0,3933
0,3839
0,3752
0,3670
0,3594
00,00°
0,44
1,71
3,70
6,28
9,35
12,82
16,60
20,66
24,94
29,39
38,74
48,52
58,62
68,96
79,49
90,15
100,93
111,81
122,75
133,76
144,82
155,92
167,06
178,23
189,42
200,64
211,88
223,14
234,42
245,71
С! (Ж)
со
6,4591
3,3253
2,2979
1,7916
1,4913
1,2926
1,1513
1,0454
0,9629
0,8966
0,7963
0,7234
0,6675
0,6230
0,5866
0,5560
0,5298
0,5071
0,4872
0,4694
0,4536
0,4392
0,4262
0,4143
0,4034
0,3933
0,3839
0,3752
0,3670
0,3594
«1 (х)
00,00°
0,44
1,71
3,70
6,28
9,35
12,82
16,60
20,66
24,94
29,39
38,74
48,52
58,62
68,96
79,49
90,15
100,93
111,81
122,75
133,76
144,82
155,92
167,06
178,23
189,42
200,64
211,88
223,14
234,42
245,71
CJ (х)
оо
63,057
15,546
6,8535
3,8748
2,5393
1,8440
1,4451
1,1994
1,0388
0,9283
0,7884
0,7035
0,6453
0,6019
0,5676
0,5392
0,5152
0,4944
0,4760
0,4597
0,4450
0,4317
0,4195
0,4084
0,3980
0,3885
0,3796
0,3713
0,3635
0,3562
si M
00,00°
—0,45
1,82
4,04
6,97
—10,30
13,62
16,53
18,73
20,07
-20,50
18,94
14,80
8,84
—1,61
+6,52
15,31
24,57
34,20
44,11
54,24
64,55
75,01
85,58
96,25
107,01
117,83
128,72
139,65
150,64
161,66

854
Приложение
Таблица XIV. Амплитуды и фазы цилиндрических функций Бесселя
(продолжение)
Ж
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
X
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
С2(х)
127,65
32,157
8,2984
3,8930
2,3598
1,6547
1,2733
1,0432
0,8927
0,7879
0,7111
0,6526
0,6065
0,5691
0,5381
0,5119
0,4894
0,4698
0,4525
0,4371
0,4233
0,4108
0,3995
0,3891
0,3795
0,3706
С8 (ж)
10 485
4 188,9
1 853,9
891,96
460,04
251,68
144,86
87,150
54,522
35,320
23,612
16,243
11,471
8,3005
6,1442
4,6463
3,5855
2,8209
62 (Ж)
00,00°
0,01
0,14
0,64
1,84
3,98
7,19
11,46
16,73
22,87
29,75
37,26
45,29
53,76
62,59
71,74
81,14
90,77
100,58
110.55
120,67
130,90
141,24
151,68
162,19
172,78
6 8 (ж)
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,04
0,07
0,13
0,22
0,37
С2 (ж)
2 546,4
318,25
39,711
11,716
4,9215
2,5289
1,5025
1,0117
0,7627
0,6309
0,5573
0,5130
0,4836
0,4624
0,4457
0,4319
0,4198
0,4090
0,3992.
0,3901
0,3816
0,3737
0,3662
0,3592
0,3525
0,3462
сё (х)
51 209
18 068
7 144,1
3 099,0
1 451,6
725,56
383,37
212,56
122,93
73,802
45,804
29,287
19,236
12,946
8,9967
6,2524
4,4705
3,2506
82(х)
00,00°
—0,01
0,14
0,69
2,09
-4,77
8,91
14,06
19,03
22,49
—23,69
22,56
19,45
14,75
8,84
-1,99
+5,59
13,73
22,33
31,29
40,55
50,06
59,77
69,66
79,70
89,87
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
-0,01
-0,02
0,04
0,08
0,14
0,25
-0,42
Сз (ж)
5 099,3
639,82
81,203
24,692
10,815
5,8216
3,5901
2,4425
1,7911
1,3931
1,1351
0,9597
0,8354
0,7441
0,6749
0,6209
0,5778
0,5426
0,5132
0,4884
0,4671
0,4486
0,4322
0,4178
0,4048
0,3931
С8 (ж)
103 635
36 685
14 560
6 342,5
2 985,1
1 500,0
797,25
444,96
259,24
156,91
98,275
63,483
42,178
28,756
20,078
14,333
10,446
7,7639
8з(ж)
00,00°
0,00
0,00
0,01
0,05
0,19
0,52
1,18
2,32
4,07
6,52
9,74
13,72
18,43
23,83
29,85
36,42
43,49
50,98
58,86
67,06
75,56
84,32
93,30
102,49
111,85
«9 (Ж)
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,02
0,04
Сз (ж)
152 852
9 565,1
600,72
119,57
38,196
15,814
7,7118
4,2116
2,5037
1,5963
1,0860
0,7898
0,6158
0,5136
0,4535
0,4175
0,3952
0,3804
0,3698
0,3617
0,3549
0,3489
0,3434
0,3383
0,3334
0,3287
Св (х)
572 462
179 235
63 665
25 055
10 734
4 940,5
2 417,7
1 247,7
674,59
380,03
222,08
134,11
83,430
53,319
• 34,924
23,396
16,001
11,154
8з (*)
00,00°
0,00
0,00
—0,01
0,06
-0,20
0,57
1,35
2,77
5,08
-8,44
12,71
17,32
21,41
24,15
-25,09
24,19
21,64
17,71
12,66
—6,72
-0,04
+7,22
14,97
23,13
31,62
8 в (ж)
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
-0,01
0,01
0,02
-0,04

Таблицы
855
Таблица XIV. Амплитуды и фазы цилиндрических функций Бесселя
(продолжение)
X
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
X
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
С4 (*)
1209,7
243,02
78,751
33,278
16,686
9,4432
5,8564
3,9060
2,7662
2,0609
1,6037
1,2954
1,0805
0,9261
0,8122
0,7260
0,6593
0,6065
0,5640
0,5291
0,5000
0,4753
0,4542
0,4359
С6 (х)
2 570,8
880,41
358,55
165,97
84,816
46,914
27,695
17,271
11,290
7,6918
5,4365
3,9723
2,9921
2,3179
1,8431
1,5015
1,2510
1,0640
0,9220
0,8127
0,7272
84 (*)
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,02
0,05
0,15
0,34
0,70
1,32
2,30
3,72
5,67
8,20
11,34
15,11
19,47
24,42
29,90
35,87
42,29
49,12
56,32
63,84
бе (*)
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,03
0,06
0,12
0,23
0,42
0,72
1,19
1,87
2,83
4,11
5,77
7,85
10,38
с;<х)
12016
1 595,5
382,94
127,29
52,031
24,539
12,851
7,2904
4,4045
2,8012
1,8612
1,2872
0,9265
0,6965
0,5496
0,4566
0,3987
0,3631
0,3412
0,3275
0.3187
0,3126
0,3081
0,3044
с>>
15 164
4 294,4
1 485,4
594,89
266,75
130,81
68,986
38,648
22,783
14,028
8,9670
5,9221
4,0245
2,8051
2,0001
1,4564
1,0822
0,8211
0,6374
0,5081
0,4177
Vx)
00,00°
0,00
0,00
0,00
-0,02
0,06
0,16
0,37
-0,79
1,55
2,80
4,73
7,46
—11,01
15,13
19,29
22,81
25,11
-25,90
25,14
22,95
19,54
15,10
-9,81
00,00°
0,00
0,00
ОД)
0,00
0,00
0,00
-0,01
0,03
0,06
-0,13
0,25
0,47
0,83
1,41
-2,30
3,60
5,42
7,85
10,88
—14,40
С6 (ж)
24114
3 215,6
776,70
260,41
107,65
51,519
27,492
15,970
9,9360
6,5462
4,5296
3,2717
2,4550
1,9064
1,5270
1,2576
1,0619
0,9167
0,8067
0,7219
0,6553
0,6022
0,5590
0,5235
С7 (х)
30 589
8 696,4
3 021,8
1 217,3
549,47
271,55
144,52
81,825
48,837
30,510
19,840
13,370
9,3044
6,6677
4,9090
3,7063
2,8650
2,2647
1,8284
1,5059
1,2640
О5 (X)
да, оо°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,04
0,10
0,21
0,41
0,75
1,29
2,11
3,27
4,84
6,88
9,42
12,49
16,09
20,21
24,83
29,92
S, (я)
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,03
0,07
0,13
0,23
0,40
0,67
1,06
1,63
2,42
С (х)
о
300 210
26 554
4 775,6
1 268,8
431,86
174,55
80,057
40,455
22,074
12,817
7,8343
4,9989
3,3086
2,2607
1,5896
1,1486
0,8534
0,6539
0,5190
0,4287
0,3693
0,3312
0,3071
0,2921
С7{х)
211 552
49 849
14 750
5159,6
2 052,0
903,50
432,13
221,39
120,20
68,583
40.857
25,275
16,164
10,647
7,2002
4,9853
3,5256
2,5417
1,8649
1,3911
1,0543
о
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
-0,01
0,02
-0,04
0,10
0,22
0,45
0,86
-1,53
2,59
4,18
6,41
9,35
-12,92
16.83
20,62
23,74
25,76
-26,44
%(*>
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,00
—0,01
0,02
0,04
0,07
0,15
-0,26
0,46
0,77
1,26
2,00
—3,06

856
Пр иломсени е
Таблица XV- Амплитуды и фазы сферических функций Бесселя
(см. стр. 444 и 533)
При х -*• О
_ 1-1-3--- Bт—1) _ т+1
JJm „пи., , An An,
57,30a;2m+1
т 1-3-5 ••• Bт+1)-1-1-3 •¦• Bт—1)
D0—l/x, 60 = 57,296а; градусов, бц
При х —> со
градусов, Ь'т =- —
г+1
6т.
c —A/2)тя,
зс—A/2)(иг+1)я радиан.
X
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
*.(.,
10,000
5,0000
3,3333
2,5000
2,0000
1,6667
1,4285
1,2500
1,1111
1,0000
0,8333
0,7143
0,6250
0,5556
0,5000
0,4545
0,4167
0,3846
0,3571
0,3333
0,3125
0,2941
0,2778
0,2632
0,2500
0,2081
0,2273
0,2174
0,2083
0,2000
.05
11
17
22
28
34
40
45
51
57
68
80
91
103
114
126
137
148
160
171
183
194
206,
217,
229,
240,
252,
263,
275,
286,
.С,
,73°
,46
,19
,92
,65
,38
,11
,84
,57
,30
,75
,21
,67
,13
59
05
51
97
43
89
35
81
25
72
18
64
10
56
02
48
*>>
100,50
25,495
11,600
6,7315
4,4721
3,2394
2,4911
2,0010
1,6609
1,4142
1,0848
0,8778
0,7370
0,6355
0,5590
0,4993
0,4514
0,4121
0,3792
0,3514
0,3274
0,3066
0,2883
0,2721
0,2577
0,2448
0,2331
0,2225
0,2128
0,2040
г'
0
00
0
0
1
2
3
5
7
9
12
18
25
33
42
51
60
70
80
90
100
110,
121,
131,
142,
153,
164",
174,
185,
196,
207,
<*>
,02°
,15
,49
,12
,08
,41
,10
,18
,58
,30
,56
,75
,68
,19
16
49
13
01
08
32
70
20
79
47
22
03
91
83
78
79
J
Di (х)
100,50
25,495
11,600
6
4
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
о
о
о
о
о,
о,
0,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
,7315
,4721
,2394
,4911
,0010
,6609
,4142
,0848
,8778
,7370
,6355
5590
4993
4514
4121
3792
3514
3274
3066
2883
2721
2577
2448
2331
2225
2128
2040
00
0
0
1
2
3
5
7
9
12
18
25
33
42
51
60
70
80
90
100
110,
121
131
142,
153,
164,
174,
185,
196,
207,
,02°
,15
,49
,12
,08
,41
,И
,18
,58
,30
,56
,75
,68
,19
16
49
13
01
08
32
70
20
79
47
22
03
91
83
78
79
d'x(x)
2000,0
250,05
74,149
31,350
16,125
9,4081
6,0034
4,1014
2,9599
2,2361
1,4262
1,0205
0,7931
0,6529
0,5590
0,4918
0,4411
0,4011
0,3686
0,3415
0,3184
0,2985
0,2811
0,2657
0,2519
0,2396
0,2285
0,2184
0,2091
0,2006
\
—00
0
0
0
1
1
2
3
4
-6
8
8
8
5
—1
+3
9
16
24
32
41
50
59,
69
78,
88,
98,
109,
119,
129,
(*>
,01°
,08
,25
,58
,10
,82
,73
,80
,96
,14
,11
,97
,25
,87
97
21
44
50
23
49
18
23
57
15
92
88
97
20
55
98

Таблицы
857
Таблица XV. Амплитуды и фазы сферических функций Бесселя
(продолжение)
X
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1.4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
X
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
D2(x)
3 005,0
377,53
48,174
14,793
6,5741
3,6056
2,2705
1,5768
1,1768
0,9268
0,7603
0,6434
0,5578
0.4927
0,4416
0,4006
0,3669
0,3388
0,3149
0,2943
0,2764
0,2607
0,2468
0,2343
0,2231
0,2130
Г>8 (X)
4 530,1
1 977,1
932,47
469,63
250,25
140,06
81,850
49,707
31,246
20,265
13,523
9,2642
6,5027
4,6692
3,4251
2,5638
«я (ж)
00,00°
0,00
0,01
0,09
0,36
0,99
2,18
4,12
6,91
10,59
15,13
20,47
26,54
33,23
40,48
48,20
56,32
64,80
73,59
82,62
91,89
101,36
111,00
120,79
130,72
140,77
«8 (*)
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,02
0,04
0,07
0,13
90 050
5637,4
354,57
70,730
22,667
9,4340
4,6457
2,5833
1,5836
1,0572
0,7629
0,5901
0,4837
0,4148
0,3676
0,3333
0,3071
0,2862
0,2688
0,2540
0,2411
0,2296
0,2194
0,2101
0,2016
0,1939
D>>
19 768
7 790,5
3 342,8
1 541,1
755,58
390,70
211,68
119,52
70,012
42,388
26,440
16,944
11,131
7,4788
5,1305
3,5874
00,00°
0,00
—0,01
0,06
0,25
-0,70
1,39
3,07
5,19
7,77
-10,40
12,49
13,51
13,14
11,31
-8,11
-3,73
+1,65
7,86
14,75
22,20
30,12
38,44
47,08
56,00
65,16
6>>
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
-0,00
-0,01
0,02
0,04
0,07
—0,12
150150
9 412,6
595,44
120,04
39,102
16,643
8,4253
4,8265
3,0376
2,0603
1,4856
1,1268
0,8913
0,7298
0,6149
0,5303
0,4661
0,4161
0,3762
0,3437
0,3168
0,2941
0,2747
0,2579
0,2433
0,2303
37 889
14 980
6 451,1
2 986,2
1 470,6
764,20
416,31
236,48
139,45
85-, 051
53,485
34,591
22,954
15,599
10,839
7,6895
«3 (ж)
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,01
0,03
0,10
0,28
0,64
1,29
2,34
3,92
6,10
8,94
12,46
16,66
21,52
26,95
32,94
39,43
46,36
53,68
61,36
69,36
77.63
86,16
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
6 003 000
187 875
5 906,2
785,47
188,94
62,968
25,816
12,217
6,4256
3,6669
2,2361
1,4436
0,9823
0,7036
0,5308
0,4214
0,3508
0,3042
0,2723
0,2496
0,2326
0,2193
0,2084
0,1992
0,1912
0,1840
d's(x)
184 915
66113
25 947
11016
5 001,8
2 407,3
1 219,1
645,82
356,11
203,55
120,19
73,094
45,665
29,242
19,156
12,815
00,00°
0,00
0,00
0,00
—0,01
-0,02
0,08
0,22
0,51
1,05
- 1,97
3,38
5,34
7,80
10,54
-13,16
15,17
16,17
15,94
14,41
-11,67
7,84
—3,08
+2,47
8,70
15,48
V*>
00,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0.00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
-0,01

858
Приложение
Таблица XV. Амплитуды и фазы сферических функций Бесселя
(продолжение)
X
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1.6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
X
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
п Q
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
?>4 (х)
1 385,7
335,57
112,90
46,879
22,559
12,121
7,0994
4,4613
2,9741
2,0859
1,5294
1,1660
0,9201
0,7483
0,6248
0,5336
0,4646
0,4112
0,3690
0,3350
0,3071
0,2838
0,2642
V» {х)
10881
3 098,8
1 079,0
435,72
197,24
97,792
52,238
29,702
17,812
11,189
7,3207
4,9682
3,4852
2,5202
1,8743
1,4311
1,1198
0,8967
0,7336
0,6124
0,5206
64 (Ж)
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,01
0,03
0,08
0,18
0,38
0,74
1,32
2,22
3,50
5,25
7,51
10,33
13,72
17,68
22,19
27,22
32,73
38,69
45,06
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,03
0,06
0,13
0,23
0,41
0,70
1,13
1,75
2,62
3,78
5,29
11427
2 058,2
547,85
186,90
75,742
34,839
17,661
9,6689
5,6351
3,4594
2,2198
1,4811
1,0242
0,7334
0,5443
0,4195
0,3364
0,2807
0,2432
0,2174
0,1994
0,1863
0,1764
d\ (*)
75167
17 733
5 254,7
1 841,1
733,60
323,68
155,17
79,694
43,385
24,827
14,835
9,2059
5,9066
3,9037
2,6493
1,8415
1,3083
0,9486
О»7О15_
0,5290
0,4072
V*)
00,00°
0,00
0,00
0,00
-0,01
0,02
0,06
-0,15
0,32
0,64
1,18
2,02
-3,27
5,00
7,23
9,83
12,58
-15,10
17,00
17,95
17,79
16,47
-14,04
«;(»
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
-0,01
0,01
-0,03
0,06
0,11
0,21
0,38
-0,66
1,09
1,73
2,65
3,92
-5,58
20 665
3 736,1
999,44
343,17
140,20
65,140
33,437
18,591
11,042
6,9354
4,5716
3,1446
2,2471
1,6622
1,2690
0,9972
0,8045
0,6648
0,5613
0,4831
0,4228
0,3755
0,3378
?>7 (X)
140 453
33227
9 879,0
3475,1
1 391,1
617,05
297,64
153,95
84,491
48,802
29,476
18,521
12,057
8,1040
5,6086
3,9878
2,9075
2,1704
1,6567
2,2916
1,0276
00,00°
00,0
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,05
0,11
0,22
0,42
0,74
1,25
1,99
3,05
4,47
6,30
8,60
11,38
14,66
18,43
S? (х)
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,04
0,07
0,13
0,23
0,39
0,64
1,00
205 264
27 685
5 883,7
1 668,9
578,29
232,16
104,36
51,313
27,141
15,253
9,0209
5,5733
3,5758
2,3714
1,6198
1,1367
0,8183
0,6043
0,4583
0,3577
0,2881
0,2399
0,2065
г/ (х)
1112 740
218 416
55 372
16 940
5 985,2
2 370,4
1 030,1
483,46
242,16
128,25
71,282
41,335
24,884
15,489
9,9334
6,5446
4,4184
3,0499
2,1483
1,5417
1,1256
s>>
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
-0,01
0,02
0,04
0,10
0,20
—0,37
0,68
1,16
1,91
2,99
-4,48
6,43
8,79
11,45
14,15
-16,56
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
-0,01
0,02
0,03
-0,06
0,12
0,22
0,37
0,61
-0,98

Таблицы
859
Таблица XVI. Периодические функции Матье
(см. стр. 383, 384 и стр. 526)
ж=0°
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
90°
Seo(h, cos х)
/г2=0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0080
1,0170
1,0268
1,0373
1,0485
1,0601
1,0721
1,0845
1,0972
1,0000
1,0313
1,0666
1,1057
1,1481
1,1935
1,2415
1,2917
1,3439
1,3979
1,0000
1,0674
1,1448
1,2319
1,3279
1,4323
1,5445
1,6638
1,7899
1,9226
1,0000
1,1126
1,2445
1,3956
1,5657
1,7542
1,9604
2,1840
2,4248
2,6828
1,0000
1,1617
1,3550
1,5812
1,8408
2,1340
2,4610
2,8222
3,2183
3,6501
1,0000
1,2089
1,4633
1,7667
2,1212
2,5286
2,9906
3,5092
4,0870
4,7268
1,0000
1,2480
1,5549
1,9262
2,3663
2,8789
3,4679
4,1376
4,8927
5,7387
1,0000
1,2739
1,6162
2,0344
2,5345
3,1221
3,8029
4,5831
5,4696
6,4701
1,0000
1,2829
1,6379
2,0728
2,5946
3,2094
3,9238
4,7447
5,6799
6,7379
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
0,9848
0,9886
0,9927
0,9971
1,0018
1,0069
1,0123
1,0180
1,0242
1,0307
0,9397
0,9539
0,9693
0,9858
1,0037
1,0230
1,0438
1,0662
1,0902
1,1160
0,8660
0,8943
0,9250
0,9585
0,9951
1,0351
0786
1261
1777
2335
0,7660
0,8076
0,8535
0,9042
0,9603
1,0224
1,0910
1,1668
1,2503
1,3419
0,6428
0,6927
0,7486
0,8112
0,8815
0,9604
1,0489
1,1479
1,2584
1,3815
0,5000
0,5499
0,6066
0,6711
0,7443
0,8275
0,9220
1,0292
1,1502
1,2866
0,3420
0,3825
0,4289
0,4822
0,5434
0,6138
0,6944
0,7867
0,8921
1,0119
0,1736
0,1963
0,2225
0,2527
0,2877
0,3282
0,3748
0,4286
0,4904
0,5610
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Se2 (h, сое x)
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
0,9397
0,9467
0,9530
0,9586
0,9638
0,9686
0,9731
0,9774
0,9816
0,9857
0,7660
0,7917
0,8147
0,8355
0,8544
0,8720
0,8885
0,9044
0,9200
0,9355
0,5000
0,5496
0,5944
0,6348
0,6716
0,7057
0,7379
0,7689
0,7992
0,8294
0,1736
0,2451
0,3098
0,3681
0,4209
0,4696
0,5154
0,5593
0,6023
0,6450
-0,1736
-0,0882
-0,0110
+0,0581
0,1200
0,1764
0,2285
0,2779
0,3256
0,3727
-0,5000
-0,4103
-0,3298
-0,2589
-0,1968
-0,1420
-0,0929
-0,0481
—0,0062
+0,0338
-0,7660
-0,6794
-0,6026
-0,5366
-0,4810
-0,4345
-0,3955
-0,3627
-0,3346
-0,3103
—0,9397
-0,8582
-0,7869
-0,7275
-0,6797
-0,6424
-0,6142
—0,5937
-0,5798
-•0,5715
-1,0000
—0,9208
-0,8522
0,7956
-0,7512
—0,7178
-0,6942
-0,6790
-0,6710
-0,6695
Se3 (h, cos x)
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
0,8660
0,8732
0,8802
0,8871
0,8938
0,9004
0,9067
0,9128
0,9187
0,9244
0,5000
0,5242
0,5481
0,5717
0,5949
0,6176
0,6398
0,6612
0,6820
0,7020
0,0000
+0,0407
0,0815
0,1221
0,1625
0,2023
0,2415
0,2798
0,3171
0,3533
-0,5000
-0,4530
-0,4052
-0,3566
-0,3078
-0,2590
-0,2104
-0,162o
-0,1154
-0,0694
-0,8660
-0,8261
-0,7842
-0,7410
-0,6965
-0,6513
-0,6057
-0,5602
-0,5151
-0,4709
-1,0000
-0,9753
-0,9484
-0,9195
-0,8891
-0,8572
-0,8245
-0,7916
-0,7587
-0,7263
0,8660
0,8562
0,8443
0,8307
0,8155
0,7991
0,7820
0,7643
0,7467
0,7295
-0,5000
-0,4981
-0,4952
-0,4912
-0,4863
-0,4807
-0,4747
-0,4683
-0,4620
-0,4558
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
(h, cos x)
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
0,7660
0,7730
0,7798
0,7867
0,7935
0,8002
0,8069
0,8136
0,8201
0,8267
0,1736
0,1944
0,2153
0,2361
0,2570
0,2779
0,2988
0,3197
0,3405
0,3613
-0,5000
-0,4727
-0,4448
-0,4165
-0,3876
-0,3584
-0,3287
-0,2986
-0,2681
-0,2374
-0,9397
-0,9214
-0,9019
-0,8813
-0,8595
-0,8367
-0,8127
-0,7877
-0,7617
-0,7348
-0,9397
—0,9410
—0,9407
-0,9390
-0,9358
—0,9311
-0,9249
—0,9173
-0,9083
—0,8979
-0,5000
-0,5181
-0,5349
-0,5505
-0,5648
-0,5778
-0,5895
-0,6000
-0,6093
-0,6173
0,1736
0,1504
0,1279
0,1061
0,0851
0,0648
0,0451
0,0262
+0,0080
-0,0096
0,7660
0,7465
0,7274
0,7085
0,6900
0,6716
0,6535
0,6356
0,6179
0,6004
1,0000
0,9835
0,9671
0,9510
0,9350
0,9190
0,9031
0,8872
0,8714
0,8555

860
Таблица
oc=O°
10°
20°
Приложение
XVI. Периодические функции Матье
(продолжение)
30"
4 0е
50°
60°
70°
80°
90°
Soi (h, cos x)
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,1736
0,1743
0,1750
0,1757
0,1764
0,1771
0,1778
0,1785
0,1793
0,1800
0,3420
0,3471
0,3523
0,3577
0,3632
0,3688
0,3745
0,3804
0,3864
0,3925
0,5000
0,5159
0,5325
0,5498
0,5676
0,5861
0,6051
0,6248
0,6451
0,6660
0,6428
0,6769
0,7129
0,7507
0,7905
0,8321
0,8757
0,9213
0,9688
1,0184
0,7660
0,8242
0,8864
0,9528
1,0235,
1,0985'
1,1782
1,2625
1,3517
1,4460
0,8660
0,9507
1,0424
1,1415,
1,2484
1,36341
1,4869
1,6192
1,7609
1,9122
0,9397!
1,0484
1,1675
1,2976
1,4393
1,5933
1,7602
1,9409
2,1360
2,3464
0,9848
1,1104
1,2490
1,4013
1,5684
1,9505
2,1675
2,4033
2,6590
1,0000
1,1317
1,2773
1,4378
1,6141
1,8075
2,0188
2,2494
2,5005
2,7733
S02 (h, cos х)
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,1710
0,1714
0,1719
0,1723
0,1728
0,1733
0,1738
0,1743
0,1748
0,1753
0,3214
0,3246
0,3278
0,3312
0,3346
0,3382
0,3418
0,3455
0,3494
0,3533
0,4330
0,4422
0,4517
0,4616
0,4718
0,4824
0,4934
0,5047
0,5164
0,5285
0,4924
0,5098
0,5279
0,5470
0,5669
0,5877
0,6095
0,6322
0,6560
0,6807
0,4924
0,5172|
0,5434
0,5712
0,6006
0,631б|
0,6644
0,6990
0,7356
0,7741
0,4330
О,461О1
0,4910
0,5230
0,5572
0,5937
0,6326
0,6741
0,7183
0,7654
0,3214
0,34601
0,3725|
0,4010
0,4318
0,4648
0,5004;
0,5386
0,5796
0,6236
0,1710
0,1854
0,2010
0,2179
0,2362
0,2560|
0,2774
0,3005
0,3254
0,3523
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
So3 (h, cos x)
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,1667
0,1671
0,1675
0,1679
0,1683
0,1687
0,16Э1
0,1695
0,1699
0,1704
0,2887
0,2916
0,2945
0,2974
0,3003
0,3032
0,3060
0,3089
0,3118
0,3148
0,3333
0,3411
0,3489
0,3567
0,3644
0,3722
0,3801
0,3881
0,3961
0,4042
0,2887
0,3017
0,3147
0,3277
0,3409
0,3542
0,3676
0,3813
0,3953
0,4095
0,1667
0,1822
0,1977
0,2134
0,2292
0,2452
0,2615
0,2781
0,2951
0,3126
0,0000
+0,0135
0,0270|
0,0404
0,0540
0,0676
0,0814
0,0955
0,1098
0,1246
-0,1667
-0,1587
-0,1511
-0,1438
-0,1368
-0,1300
-0,1233
-0,1168
-0,1104
-0,1040
-0,2887
-0,2866
-0,2852
-0,2844
-0,2843
-0,2848
-0,2859
-0,2876
-0,2900
-0,2929
-0,3333
-0,3337
-0,3349
-0,3369
-0,3398
-0,3434
-0,3479
-0,3532
-0,3593
-0,3662
(h, cos x)
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,1607
0,1611
0,1615
0,1619
0,1623
0,1627
0,1631
0,1635
0,1639
0,1643
0,2462
0,2489
0,2516
0,2542
0,2569
0,2596
0,2622
0,2649
0,2675
0,2701
0,2165
0,2228
0,2292
0,2355
0,2419
0,2483
0,2547
0,2612*|
0,2676
0,2741
0,0855
0,0941
0,1028
0,1116
0,1205
0,1294
0,1385
0,1476
0,1569
0,1662
-0,0855
-0,0783
-0,0709
-0,0634
-0,0558
-0,0480
-0,0401
-0,0320
-0,0238
г-0,0155
-0,2165
-0,2137
-0,2108
-0,2079
-0,2048
-0,2016
-0,1983|
-0,1950
-0,1915;
-0,1881
-0,2462
-0,2476
-0,2490
-0,2504
-0,2517
-0,2532
-0,2546
-0,2561
-0,2576
-0,2593
-0,1607
-0,1630
-0,1653
-0,1677
-0,1701
-0,1726|
-0,1751
-0,1778
—0,1805
-0,18341
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000

Таблицы
861
Таблица XVII. Нормирующие постоянные для периодических функций Матье
и предельные значения радиальных функций Матье
(см. стр. 530 тома I и стр. 527, 528)
ft2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
hi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
M*(ft)
6,2832
8,2179
11,086
15,262
21,214-
29,521
40,896
56,211
76,524
103,12
3,1416
2,9205
2,7755
2,6945
2,6639
2,6720
2,7101
2,7725
2,8559
2,9585
m\ (ft)
3,1416
3,0893
3,0369
2,9845
2,9319
2,8793
2,8266
2,7740
2,7216
2,6696
Jeo
1,
1,
1,
o,
o,
o,
0
o,
0,
o,
Je2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(ft, 1)
2533
1130
0017
9140
8448
7896
7450
7084
6779
6522
(ft, 1)
0000
08116
1660
2510
3333
4102
4802
5423
5961
6418
(ft, i)
,0000
,00041
,00166
,00377
,00675
01064
,01544
,02120
,02793
03564
Ce (ft)
0
CO
1,2544
1,0497
0,9331
0,8530
0,7933
0,7468
0,7093
0,6784
0,6524
CO
6,7431
3,6093
2,5874
2,0862
1,7892
1,5921
1,4508
1,3435
1,2585
C\ (ft)
CO
618,07
155,94
69,992
39,786
25,751
18,099
13,470
10,457
8,3864
¦>
00,00
62,53
72,60
78,39
82,Q4
84,43
86,03
87,13
87,89
88,44
00,00°
0,69
2,64
5,57
9,19
13,26
17,55
21,95
26,34
30,66
00,00°
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,05
0,09
0,15
0,24
Me (ft)
3,1416
3,3555
3,6100
3,9146
4,2815
4,7254
5,2646
5,9216
6,7233
7,7022
»»
3,1416
3,0431
2,9451
2,8495
2,7582
2,6729
2,5953
2,5266
2,4679
2,4197
0,
0,
o,
o,
o,
0
о
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0000
5705
7345
8192
8619
8791
8798
8698
8532
8325
(ft, i)
0000
00663
01906
03557
05560
07882
1049
1337
1648
1978
(f (ft)
CO
2,0043
1,5528
1,3429
1,2106
1,1152
1,0407
0,9798
0,9283
0,8838
cl (h)
CO
51,926
18,717
10,418
6,9408
5,1101
4,0117
3,2943
2,7970
2,4364
l
00,
16,
28,
37,
45,
52,
57,
62,
66,
70,
8
00,
0
0
0
о
0
1
2
3
4
m
00°
54
23
59
40
03
71
59
79
38
00°
01
06
20
46
88
50
33
38
66

862
П рилоокение
Таблица XVII.. Нормирующие постоянные для периодических функций Матье
и предельные значения радиальных функций Матье
(продолжение)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
W
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3,1416
3,7914
4,5780
5,5267
6,6672
8,0336
9,6652
11,608
13,913
16,641
0
M3 (h)
0,3491
0,3607
0,3739
0,3887
0,4050
0,4231
0,4429
0,4645
0,4882
0,5139
Jo'i (h, 1)
0,0000
0,6081
0,8361
0,9977
1,1243
1,2288
1,3177
1,3952
1,4639
1,5255
Jo's 01, 1)
0,0000
0,01926
0,05349
0,09635
0,1452
0,1985
0,2548
0,3134
0,3734
0,4342
CO
1,1995
0,9903
1,0493
1,1448
1,2378
1,3221
1,3974
1,4651
1,5262
CO
150,76
52,391
27,983
17.800
12,448
9,2346
7,1324
5,6718
4,6125
8?0i)
00,00°
—30,46
—57,60
—71,95
—79,15
—83,06
—85,35
—86,78
—87,71
—88,33
о
00,00°
—0,01
—0,06
—0,20
—0,47
—0,91
—1,58
—2,52
—3,77
—5,40
0
0,7854
0,8547
0,9322
1,0190
1,1164
1,2255
1,3480
1,4854
1,6395
1,8125
MS*,
0,1963
0,1997
0,2033
0,2072
0,2113
0,2158
0,2205
0,2256
0,2310
0,2368
Jo'% (h, 1)
0,0000
0,1503
0,2887
0,4162
0,5338
0,6424
0,7428
0,8357
0,9218
1,0018
Jo'i (h, 1)
0,0000
0,00162
0,00641
0,01429
0,02514
0,03885
0,05530
0,07436
0,09588
0,1197
<*«
oo
12,096
5,6559
3,5103
2,4623
1.872J
1,5281
1,3336
1,2360
1,2003
ci (h)
CO
2430,8
602,64
265,59
148,12
93,974
64,675
47,075
35,693
27,916
02 (ft)
00,00°
—0,70
—2,93
—6,81
—12,52
—20,06
—29,08
—38,80
—48,23
—56,58
84 (h)
00,00°
—0,00
—0,00
—0,00
—0,01
—0,02
—0,05
—0,09
—0,15
—0,25
, Jem(h, l) + iNem(h, 1)= ~C°Je
27t
f'm(h)=\[Sem(h,
0
e'm(h, l) = [(d/dx)Jem(h, сойж)]ж=0 = 0, Nen(h, l) = [l//era(A, 1)],
M°m(A) = \ [Som(A, cosx)fdx, Jo'm(h, 1) + iNom(A, 1) = iC°me<,
Ah, 1)].
/om(A, l) = 0, Jo'm(h, l) = [(d/dx)Jom(h,
При А -> 0
I cs> - l/*4- л Г1 + ( — Y In2 @.4453A) 1T,
При m > 0 и А —> 0
г). /em(^. 1)^
4m(/re —1)! «
^^ — , О„
градусов.
-j^ градусов.
М^~(я/т2), /о^(А, 1)~|/2я[А7Гг/4?гг(т—1I],
4mm! «„ —360й2т
^~ - 6« =* 4^m!H-l)! градусов.
C°m~No'm(h, 1)~

Литература 863
ЛИТЕРАТУРА
Таблицы функций, рассматриваемых в этой книге, в которых эти функции пред-
представлены с большей полнотой или с большим числом значащих цифр, чем в настоя-
настоящем Приложении:
Янке Е. и Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми, Физматгиз,
изд. 3, М., 1959.
Mathematical Tables, vol. I, British Association for the Advancement of Science, London,
1931 (также последующие тома).
Полезны следующие таблицы часто встречающихся функций.
Функции Бесселя:
В а тс он Г. Н., Теория бесселевых функций, ч-. 2, Издат. иностр. лит., М., 1949.
Cambi E., Bessel Functions, New York, 1948.
Harvard University Computation Laboratory, Tables of Bessel
Functions, Cambridge, Mass., 1947 (только функции первого рода).
NBS Mathematical Tables Project, Tables of Spherical Bessel Functions, of Jo and Ju
No and Ni for Complex Argument, New York, 1947—1950.
Показательная функция:
NBS Mathematical Tables Project, Tahles of ex, New York, 1939.
Гиперболические и тригонометрические функции:
NBS Mathematical Tahles Project, Tables of Circular and Hyperbolic Sines and Cosines,
New York, 1940.
NBS Mathematical Tables Project, Tables of Tangents and Cotangents, New York, 1943.
Функции Лежандра:
Tallquist H. J., Tafeln der 32 ersten Kugelfunktionen Pn(cos8), Acta Soc. Sci.
Fennicae, ser. A, torn II, No 11, 1938.
NBS Mathematical Tables Project, Tahles of Associated Legendre Functions, New York,
1945.
Функции Матъе:
NBS Mathematical Tables Project, Tables Relating to Mathleu Functions, New York,
1951.
St rat ton J. A., Morse P. M., Chu L. J. and Hutner R. A., Elliptic
Cylinder and Spheroidal Wave Functions, New York, 1941.
Натуральный логарифм:
NBS Mathematical Tables Project, Tables of Natural Logarithms, 4 vols., New York,
1941.
Относительно других таблиц смотри выпуски журнала «Mathematical Tables
and other Aids to Computation», а также справочники:
Лебедев А. В. и Федорова Р. М., Справочник по математическим таблицам,
изд. АН СССР, М., 1956;
Fletcher A., Miller J. С. P. and Rosenhead L., An Index of Mathematical
Tahles, London, 1946.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Этот указатель относится к обоим томам. К номерам страниц второго тома услов-
условно прибавлена 1000.
Абсолютная величина комплексного числа 332.
Абстрактное векторное пространство 80—95; и интегральные уравнения 838; и квантовая
теория 82, 223—254; итерционно-пертурбационная формула 1022; комплексное
а. в. п. 84; неравенство Бесселя 85; неравенство Шварца 85; операторы 85, 86; опе-
операторы вращения 93; преобразование операторов 88—90; собственные векторы 81,
716; собственные значения 81, 716; собственные функции 666; спиновые операторы 91;
теория возмущений 1022; унитарные операторы 87; функции Грина 735—827; эрмитовы
операторы 86.
Адмитанс, или полная проводимость 274, 287, 1314, 1316; акустический а. 296; аффинор
а. 274, 317; граничный а. 1342; диссипативной системы а. 285; и проводимость, или
кондуктанс 287; и реактивная проводимость, или сусептанс 287; и резонанс 274;
излучения диполя а. 1798; крутильный а. 1778; отклоняющий а. границы 1345.
Аксиальные векторы 21, 39, 50, 54.
Активное сопротивление, или резистанс 287; и реактивное сопротивление, или реак-
реактанс 353; излучения а. с. 831, 1370, 1398, 1400.
Акустический адмитанс 296.
Акустический импеданс 296, 1328, 1329, 1343; для колеблющегося диска 1476; для колеб-
колеблющейся полосы 1398.
Акустический контур 1333, 1334.
Альбедо 1563; при диффузном отражении 1575.
Ампера закон 199.
Амплитуда комплексного числа 332.
Амплитуда рассеяния 1064, 1069, 1070, 1160; вариационный принцип 1127, ИЗО, 1161,
1650, 1652; и полное эффективное сечение 1069, см. также фактор углового распре-
распределения; интегральное уравнение 1076.
Амплитуда скорости 128.
Аналитические функции 337—385; аналитическое продолжение 357, 367; действительная
и мнимая части 350; и импеданс 352; и электростатика 334, 335; интегральная фор-
формула Коши 347; обратная функция 342; особые точки 339; производные 354, 355;
ряд Лорана 357, 358; ряд Тейлора 355; теорема Коши 344; условия Коши—Римана 334.
Аналитическое продолжение 357, 368; для гамма-функции 372; для гипергеометрической
функции 376, 514, 546, 554; естественная граница 368; и область существования 368;
и точки ветвления 370; метод Эйлера 373, 375, 457; основные теоремы 369; приемы
370; принцип Шварца 372.
Антенна полуволновая, излучение 1808.
Антиэрмитов оператор 842, 849.
Асимптотическая формула для собственных значений и собственных функций 687; в слу-
случае уравнения Бесселя 689, 690.
Асимптотический ряд 410—418, 457, 358; для вырожденной гипергеометрической функ-
функции 521, 522, 569, 570, 572, 573; для гамма-функции 418; для интегральной показа
тельной функций 411; для кулоновской волновой функции 592, 593; для функций
Бесселя 583 (для ф. Б. высших порядков 587—591); единственность 413; и метод пере-
перевала 414; и явление Стокса 413, 571, 573.
Асимптотическое поведение преобразования Фурье 437.
Атом экранированный, рассеяние на нем 1631; борновское приближение 1639; структур-
структурный фактор, или атомный фактор рассеяния 1640; эффект Рамзауера 1633, 1634.
Аффинор 60—77; адмитанса а. 274, 317; главные оси 64; деформации а. 72; и тензор 60,
61; импеданса а. 273, 309, 316, 317, 1751; как векторный оператор 61; кососимметри-

Предметный указатель 865
ческий 66; напряжений а. 74; рассеяния а. 1823; симметрический а. 64 (собственные
значения 65); теорема Гаусса 71; теорема Стокса 71.
Аффинерная функция Грина 1710; для диполей 1813, 1814.
Аффинерный оператор 76.
Б
Бабине принцип 1404.
Безвихревые поля 29.
Безвихревые течения 150.
Бернулли уравнение 158.
Бесконечное произведение для гамма-функции 399; для целых функций 363, 364.
Бесселя неравенство 85.
Бесселя уравнение 518, 521, 579, 580; функция Грина 821.
Бесселя функции 538, 579—591; асимптотическое поведение 583, 590, 591; высших поряд-
порядков Б. ф. 587—591; и интеграл Фурье—Бесселя 711; и полиномы Гегенбауера 582;
и уравнение Лапласа 1243, 1277; и функции Ганкеля 583; 584; и функции Матье 594;
интегральное представл ние 580, 581, 589, 584; интегральное уравнение 835; орто-
гонализация 710; производящая функция 581; рекуррентные формулы 580; сфери-
сферические Б. ф. 582, 583, 1433, 1444 (и сфероидальные функции 602; интегральное пред-
представление 583; рекуррентные формулы 582; таблицы значений 1851, 1856—1858;
таблицы корней 1534; формулы и таблицы 1531—1534); таблицы значений 1849—
1851, 1853—1858; таблицы корней 1523, 1524; фазы и амплитуды 1522; чисто мнимого
аргумента Б. ф. 1243, 1277, 1303 (таблицы 1850); явление Стокса 690.
Бета-функция 401.
Бигармоническое уравнение 1726; и функция напряжений 1726; пример 1734.
Биортогональные ряды 861; и полиномы Неймана 864.
Биоргогональные функции 818, 823.
Биполярные координаты 1171; два цилиндра в однородном поле 1201; и метод изобра-
изображений 1171; потенциал вне двух цилиндров 1199; уравнение Лапласа в б. к. 1199;
функция Грина в б. к. 1202, 1203.
Бисферические координаты 495, 621, 622; потенциал между плоскостью и сферой 1280;
собственные функции 1281; уравнение Лапласа в б. к. 495, 1279; функция Грина
в в. к. 1281, 1282.
Борна приближения 1072, 1160, 1673; высших порядков Б. п. 1075, 1641; для потенциала
Юкава 1081; для прохождения через потенциальный барьер 1079; для рассеяния
на атомах 1639; для рассеяния на атомах водорода 1684; для фазовых углов 1641;
для экспоненциального потенциала] 1644; сходимость 1073.
В
Вариационно-итерационный метод 1029—1035, 1133—1141, 1143—1147, 1158; в кван-
квантовой механике 1647 (для рассеяния 1652; Зля экспоненциального потенциала 1649);
для круглой мембраны 1143; для неортогональных функций 1039, 1040; для урав-
уравнения Шредингера, см. Шредингера уравнение; и метод минимизированных итераций
1149; и уравнение Матье 1033; и экстраполяционный метод 1138; неравенства для
собственных значений 1134, 1145; нижние границы для собственных значений 1139,
1147; сходимость 1031, 1135.
Вариациовные методы в задаче двух частиц 1679; в электростатике 1105; для волн в тру-
трубах 1479 (коэффициент прохождения 1125, 1480); для звуковых волн 1504 (диф-
фракция на отверстии в плоскости 1483; рассеяние на полосе 1509); для излучения
1131; для неоднородных уравнений 1108, 1109; для рассеяния 1120, 1126 (амплитуда
рассеяния 1127, 1131, 1161; в квантовой механике 1120—1127, 1131, 1161, 1163, 1644,
1650, 1652; в случае экспоненциального потенциала 1651; коэффициент прохождения
1125, 1151; фазовые углы 1120—1125, 1153, 1650; электромагнитных волн р. 1823);
для собственных значений 1104—1152 (е случае высших с. з. 1147; в случае наимень-
наименьшего с. з. 685; и граничные возмущения 1127—ИЗО, 1158; и связанные состояния 1112,
1114; и связанные состояния атома гелия 1679; и связанные состояния для экспонен-
экспоненциального потенциала 1644; и теория возмущений 1116; интегральных уравнений
с. з. 843, 845, 920, 1117; метод Рэлея—Ритца 1115; с. з. с линейными параметрами
1113, 1116; с. з. с нелинейными параметрами 1114; с. з. уравнения Гельмголъца 1110;
с. з. электромагнитного резонатора 1821; с. з. эрмитовых операторов 1107); для урав-
уравнения Гельмгольца, см. Гельмгольца уравнение; для уравнения Лапласа 1105: для
уравнения Шредингера, см. Шредингера уравнение; для функций распределения 1581.
Вариационные параметры 1105, 1113—1116; и вековой определитель 1116; линейные
в. п. 1113; нелинейные в. п. 1114.
Вариационный принцип 264—328; для векторного поля 303; для интегральных уравне-
уравнений 843, 845, 920, 1117; для колеблющейся струны 288, 325; для упругой среды 306,
309; для уравнения Гельмгольца 292, 1110; для уравнения Дирака 318; для уравне-
уравнения диффузии 298; для уравнения Клейна—Гордона 301; для уравнения Лапласа 293;

866 Предметный указатель
для уравнения Шредингера 299, 326; для уравнения Штурма—Лиувилля 684; для
функций распределения 1581; для электромагнитного поля 310; и уравнения связи
267; сводка результатов 324—328.
Вариация интеграла Лагранжа 265, 324; и плотность функции Лагранжа 265; и уравне-
уравнения Эйлера 266.
Вебера функции 1378; и гармонический осциллятор 1593; и интегралы Френеля 1380;
и полиномы Эрмита 1380; таблица свойств 1524.
Вейерштрасса эллиптические функции 406.
Вековой определитель 65, 1016, 1037; вариационный метод 116; для возмущений гранич-
граничных условий 1042, 1046; для возмущений формы границы 1054; для объемных воз-
возмущений 1016, 1037.
Векторная теорема Грина 1708.
Векторное волновое уравнение 200, 1705—1724, 1728—1730, 1748—1817; аффинор импе-
импеданса 1751; граничные условия 1702, 1703, 1709, 1750, 1751; интегральное предста-
представление решений 146; функция Грина 1728; см. также Векторное уравнение Гельм-
гольца, Упругие волны, Электромагнитные волны.
Векторное пространство комплексное 84; см. также Абстрактное векторное пространство.
Векторное уравнение Гельмгольца 1705—1724, 1748—1817; аффинорная функция Грина
1710, 1717, 1802 (продольная и поперечная а. ф. Г. 1719); в прямоугольных коорди-
координатах 1713, 1714, 1781; в сферических координатах 1794—1817; в сфероидальных
координатах 1819; в цилиндрических координатах 1758, 1759; вариационный прин-
принцип 1821, 1823; волны в волноводах 1755—1772; излучение 1400, 1796, 1803—1810;
неоднородное в. у. Г. 1711; отражение плоской волны 1749; разделимость 1706; рас-
рассеяние 1792—1794, 1810—1814, 1823; собственные функции 1713; электромагнитные
резонаторы 1781—1792, 1799—1801, 1814.
Векторное уравнение диффузии 160, 1749; и нестационарное течение вязкой жидкости 1780.
Векторное уравнение Лапласа 1724; аффинорная функция Грина 1736; в полярных коор-
координатах 1733; в сферических координатах 1737; и бигармоническое уравнение 1726;
плоские задачи 1731; поля токов 1730; течение несжимаемой вязкой жидкости 1731;
функция Грина, см. Грина функция.
Векторное уравнение Пуассона 1730; течение несжимаемой вязкой жидкости 1731.
Векторные гармоники зональные, таблица 1825; сферические в. г., таблица 1824.
Векторные поля, вариационный принцип 303; интенсивность 305; плотность импульса 305;
плотность момента количества движения 305; сводка результатов 324—326; тензор
напряжений-энергий 304 (симметризация 321); уравнения Эйлера 303.
Векторные собственные функции, см. Собственные функции векторные.
Векторный оператор как аффинор 61.
Векторный потенциал 59; в теории упругости 142, 145; для движения жидкости 160;
для магнитного поля 198,1705,1730,1736,1741; для электромагнитного поля 200,1705.
Векторы 19; аксиальные в. 21, 39, 50, 54; векторное произведение 21; и комплексные
числа 332; ковариантные в. 39, 52; контравариантные в. 39, 52; преобразование в. 38;
скалярное произведение 20; смешанное тройное произведение 22; 4-векторные по-
потенциалы 203, 310; 4-векторы 98 (и спиноры 103; 4-е. импульса 99; 4-е. тока 203).
Венцеля—Крамерса—Бриллюэна—Джеффриза (WKBJ) метод 1090—1104; для ограни-
ограниченных систем 1096; для прохождения через потенциальный барьер 1097; для
радиальных уравнений 1090; для функций Матье 1388; и интегральные уравнения
1092; и классические точки поворота 1091 (близко расположенные т. п. 1101; изоли-
изолированные т. п. 1093); обобщение Имаи 1155, формулы связи 1093—1096.
Вероятность в квантовой теории 83, 84, 224.
Весомая идеализированная струна 130—133.
Ветвления линии 377.
Ветвления точки 370, 377; и аналитическое продолжение 370; и интегралы 388; и римановы
поверхности 379; многозначных функций в. т. 370, 377.
Взаимности принцип в абстрактном векторном пространстве 816; для векторного волно-
волнового уравнения 1710, 1711; для разностного уравнения 653; для рассеяния 1127;
для скалярного волнового уравнения 773; для уравнения Гельмгольца 746, 749;
для уравнения диффузии 793; для уравнения Клейна—Гордона 790; для уравнения
Лапласа 742; и причинность 793; обобщенный в. п. 806, 807, 823.
Взаимные функции 846.
Винера—Хопфа метод 906; для неоднородного уравнения 917; и задача Милна 179, 913,
1578, 1579; излучение из конца трубы 1490; отражение в облицованной трубе 1484;
примеры применения 908—917; факторизация 907, 915.
Виртуальные уровни 1074, 1609, 1634; и сходимость метода возмущений для рассея-
рассеяния 1073.
Вихревая линия 30, 1218.
Вихревой вектор 49, 150, 1175^1178.
Вихрь 48, 57; в ортогональных координатах 50; в тензорных обозначениях 57.
Внутреннее нестационарное нагревание пластины 1547.
Водорода атом 259, 592, 1615, 1683.
Возбуждение волновода током 1761; входной импеданс 1762.

Предметный указатель 867
Возбуждение резонатора при помощи волновода 1786; в. р. током 1784.
Возмущения в граничных условиях 1041—1053; вековой определитель 1042, 1047; при-
приближенные условия Дирихле 1044—1048; приближенные условия Неймана 1041—
1044; пример 1048, 1343, резюме 1047, 1048; таблица 1158.
Возмущения объемные 1005—1040.
Возмущения поверхностные 1005, 1040—1063.
Возмущения формы границы 1053—1063; вековой определитель 1054; примеры 1062,
1363, 1367, 1407, 1414, 1418, 1439, 1455; резонансные частоты 1054, 1410; сходимость
1056; таблица 1158; условия Дирихле 1060, 1061; условия Неймана 1053—1055.
Возраст 192, 1556, 1589; возрастная теория 1587; возрастная функция Грина 194; воз-
возрастное уравнение 192, 1556, 1589.
Волновая функция сопряженная 1125, 1127, 1131.
Волнового импульса плотность 292; см. также Плотность импульса поля.
Волноводы (электромагнитные волны в них) 1755—1772; влияние изменения размеров
сечения 1768; возбуждение резонатора 1786; возбуждение в. током 1761; дисперсия
волн 1756; затухание волн 1762—1766; отражение волн от конца в. 1766; отражение
волн от штыря в в. 1772; поперечно-магнитные волны 1758; поперечно-электри-
поперечно-электрические волны 1755; функция Грина 1758; эффективный импеданс 1757, 1766.
Волновое напряжение 292.
Волновое уравнение 100; для звуковых волн 159; для линии передачи 212; для струны 123,
135, 137; для упругих волн 140; для электромагнитных волн 200.
Волновое уравнение векторное, см. Векторное волновое уравнение.
Волновое уравнение скалярное 1312—1541; в параболических координатах 1373; в поляр-
полярных координатах 1348; в прямоугольных координатах 1341, 1406; в сферических
координатах 1430; в сфероидальных координатах 1466, 1475; в эллиптических коор-
координатах 1382; вариационный принцип 292, 294; запаздывающий потенциал 201, 778,
808; и гиперболические уравнения 638; импедапс 295; разностное уравнение 647,
654; решение начальной задачи 781—784; условия Дирихле 639, 656; условия Ко-
ши 637, 655; функция Грина 772—792; см. также Гельмгольца уравнение, Мембрана,
Струна.
Волновое число 218.
Волновой вектор 1404.
Волновой импеданс 127, 139, 214, 296.
Волны в пространстве нескольких измерений 640; в трехмерном пространстве 143; изме-
изменение формы в. 143, 640, 781—784; см. также Звуковые волны, Плоские волны,
Продольные волны, Упругие волны, Электромагнитные волны.
Волны кручения в шаре 1801; вдоль стержня 1775.
Волны сжатия в жидкости 294, 325, 326; акустический адмитанс 296; волновое уравне-
уравнение 159; плоские в. 297; плотность импульса 295; плотность функции Лагранжа 294;
тензор напряжений-энергий 294, 295, 297; см. также Продольные волны.
Волны скорость, см. Скорость волны.
Волны ударные 165.
Волны фронт 143.
Вольтерра интегральные уравнения 837, 838, 851, 900, 919, 922, 923; и преобразование
Лапласа 900.
Вращения координаты и разделимость 605.
Вращения оператор 42, 43; в квантовой механике 93; в спинорной форме 106; для спино-
спиноров 104; как кватернион 79.
Время в квантовой механике 238—245; как параметр 238, 239; соотношение неопределен-
неопределенности 238; собственное в. 95.
Вронского определитель 496; для вырожденных гипергеометрических функций 574; для
радиальных функций Матье 599, 600, 1529, 1530; для сферических функций Бесселя
1450; для сфероидальных функций 1535; для тороидальных гармоник 1311; для
функций Бесселя 1522; для функций Вебера 1525; для функций Лежандра 562, 1309;
оценка 766.
Всестороннего сжатия модуль 76.
Входной импеданс 273.
Вынужденное движение и преобразование Фурье 130, 1314; струны в. д. 129; упруго под-
подкрепленной струны в. д. 138.
Вынужденные крутильные колебания бруса 1777.
Вырождение 83, 674, 1443, 1623; и вариационный принцип 686; и эффект Штарка 1626.
Вырожденная гипергеометрическая функция 519—524, 566—580; асимптотическое пове-
поведение 520, 569—573; в. г. ф. второго рода 576 (и функции третьего рода 574; инте-
интегральное представление 575, 577; ряд 578); и кулоновская волновая функция 592;
и полиномы Лагерра 728; и полиномы Эрмкта 730; и функпии Бесселя 579; инте-
интегральное представление 567, 569; ряд 520; явление Стокса 571, 573.
Вытянутые сфероидальные координаты 487, 617; и векторное волновое уравнение 1817,
1818; и скалярное волновое уравнение 1466—1475 (разложение плоской волны 1471;
решение 1466; функция Грина 1471); и уравнение Лапласа 1266—1273 (интегральное
представление решений 1270; потенциал вытянутого полусфероида, помещенного-

Предметный указатель
на заземленной плоскости 1269; потенциал вытянутого сфероида 1268; потенциал
сфероида, помещенного внутрь сферы 1271; сфероид в однородном поле 1267; функция
Грина 1272); и уравнение Шредингера для электрона в двухатомной молекуле 604;
разделение переменных 487.
Вычетов теория 386—395, 457.
Вязкой жидкости течение двумерное 1175; и условия Коши—Римана 1176; между двумя
цилиндрами 1212, 1219, 1220; между наклоненными плоскостями 1178; между парал-
параллельными плоскостями 1176; через щель 1187, 1733.
Вязкой жидкости течение трехмерное 1731; в круглой трубе 1773 (нестационарное т. 1780);
в трубе прямоугольного сечения 1732; за сферой 1744; и закон Стокса 1744.
Вязкость 156—160; и векторное уравнение диффузии 160; и волновое уравнение 157, 158;
и трение расширения 156; и число Рейнольдса 1733; коэффициент в. 156, 157.
Гамильтона канонические уравнения 271; для полей 304; для струны 290, 291; для урав-
уравнения Шредингера 300, 301; для электромагнитного поля 312; и импеданс 271, 272-
Гамильтона принцип 269; и уравнения Лагранжа 269.
Гамильтона функция 270; зависящая от времени Г. ф. 242—245; и канонические урав-
уравнения 271; и квантовая механика 233—236, 241, 242, 1590; и энергия 270.
Гамильтона—Якоби уравнение 279; и переменные угловая и действия 281; и уравнение
Шредингера 1104.
Гамма-функция 372, 396—401; аналитическое продолжение 372; бесконечное произведе-
произведение 399; и бета-функция 401; интегральное представление 372; контурные инте-
интегралы 397; особые точки 396, 397; производные 399; рекуррентные соотношения 396;
таблица свойств 461, 462; формула Стирлинга 400, 418; формула удвоения 401.
Ганкеля преобразование 873, 891, 921.
Ганкеля функция второго рода 584; асимптотические формулы 584, 590, 591; и функция
Бесселя первого рода 585; интегральное представление 584.
Ганкеля функция первого рода 583, 584; асимптотические формулы 583, 590, 591; и функ-
функции Бесселя первого рода 585; и функции Грина 762, 763, 766, 767; интегральное
представление 583; сферическая Г. ф. п. р. 582.
Гармоники зональные 1248, 1307, 1431; зональные векторные г. 1825; секториальные
г. 1248; сферические г. 1248, 1431 (векторные с. г. 1824; Гобсона с. г. 1268;, комплекс-
комплексные с. г. 1431; Феррера с. г. 1268); тессеральные г. 1248, 1431; тороидальные г. 1283,
1309; эллипсоидальные г. 1287.
Гармонические осцилляторы квантовые связанные 1665.
Гармонический осциллятор квантовый одномерный 236—238, 1592—1595; возмуще-
возмущения 1600; импульсное представление 1601; собственные функции 238; факторизация
уравнения 678; энергетические уровни 237.
Гармонический осциллятор квантовый трехмерный 1613; в однородном поле 1627;
импульсное представление 1628.
Гармонический осциллятор классический двумерный 279.
Гаусса теорема 46; для аффиноров 70, 71.
Гегенбауера полиномы 726.
Гегенбауера функции 516—518, 563—566; граничное условие конечности 664, 665; и вто-
второе решение уравнения 565; и гипергеометрическая функция 563, 564, 727; и инте-
интегральные уравнения 867; и полиномы Чебышева 566; и присоединенные полиномы
Лежапдра 564; и сфероидальные функции 541, 601; и факторизация оператора Штур-
Штурма—Лиувилля 680, 682; и функции Бесселя 582; и функции Матье 594; производя-
производящая функция 564, 726; собственные значения 682; таблица свойств 726, 727; формула
сложения 727; функция плотности 726.
Гейзенберга уравнение движения 90.
Гелий жидкий 1689.
Гелия атом 1679.
Гельмгольца векторное уравнение, см. Векторное уравнение Гельмгольца.
Гельмгольца резонатор, рассеяние на нем 1454.
Гельмгольца скалярное уравнение 125, 292, 1339—1541; вариационный принцип 1110—
1112, 1128, ИЗО, 1131; для струны 125; плотность функции Лагранжа 292; раздели-
разделимость 470—492, 604, 605; таблица разделяющих координат 612—622; функция Грина,
см. Грина функция.
Геометрическая оптика и коротковолновое приближение 1104.
Геометрия систем координат 478.
Гиббса явление 693.
Гильберта преобразования 352, 874.
Гиперболическая система координат и уравнение Лапласа 1199.
Гиперболические уравнения 635; краевые условия Дирихле 638, 639, 655, 656; краевые
условия Коши 637, 655; краевые условия Неймана 638, 639, 655, 656; нормальная
форма 636; разностное уравнение 648, 654; решение 638, 639.
Гиперболические функции 1301.

Предметный указатель 869
Гипергеометрическая функция 511—516, 551—557; аналитическое продолжение 514,
546, 554; вырожденные формы 519, см. также Вырожденная гипергеометрическая
функция; дифференциальное уравнение 511; интегральные представления 545, 551,
552, 554—556, 624—627; интегральные представления второго решения 555; обобщен-
обобщенная г. ф. 449; преобразование Эйлера 551; таблица свойств 622—628; уравнение связи
515, 546, 554, 555; формула удвоения 516.
Гипергеометрический ряд 367, 511, 512; поведение на границе круга сходимости 367;
представление полиномов Гегенбауера 516, 563, 727; представление полиномов
Чебышева 613; представление полиномов Якоби 724; представление функций Лежан-
дра 513, 514, 517, 557, 560, 564; представление функций этими рядами 513; пре-
преобразование Эйлера 376.
Главное значение Коши несобственного интеграла 348, 448.
Главные напряжения 75.
Главные оси аффинора 64.
Главные удлинения 72.
Градиент 40, 52, 115.
Граница естественная и область существования 368.
Границы возмущения 1053—1063, 1159; вариационный принцип 1129; вековой опреде-
определитель 1054; для амплитуды рассеяния 1070; для условий Дирихле 1060; для усло-
условий Неймана 1053—1060; и интегральное уравнение для рассеяния 1070; нижние
границы для собственных значений 1139, 1142; приближение Кирхгофа 1073; сходи-
сходимость 1056, 1061.
Граничные условия, см. Краевые условия.
Граничный адмитанс 1344, 1345.
Граничный импеданс 1345; для векторных волн 1751; для отражения от стенок трубы
1484; для рассеяния на сфере 1455; металлической поверхности г. и. 1753.
Грина оператор 815, 843; разложение по собственным функциям 817, 819.
Грина теорема 745; векторная Г. т. 1708; обобщение 805.
Грина функция п35—827; в абстрактном векторном пространстве 812—819; для беско-
бесконечной области 762; для векторного волнового уравнения 1728; для векторного урав-
уравнения Гельмгольца 1711, 1717 (в сферических координатах 1803; для волноводов 1758;
для неограниченной области 1718; для резонатора 1782; для упругих колебаний 1722;
и неоднородные задачи 1712; поперечная Г. ф. 1719; продольная Г. ф. 1719; разложе-
разложение по собственным функциям 1717); для векторного уравнения Лапласа 1727 (в по-
полярных координатах 1736; в сферических координатах 1739); для границы 653, 661,
741—743, 749; для неоднородного интегрального уравнения 920; для разностного
уравнения 652 (для границы 653, 661; и случайные блуждания 654; принцип взаим-
взаимности 653); для скалярного волнового уравнения 772—792 (граничные условия 772,
773; для бесконечной области 774—785; метод изображений 785; начальные усло-
условия 772, 773; принцип взаимности 773; разложение по собственным функциям 786;
таблица свойств 825, 826); для скалярного уравнения Гельмгольца 745—772, 820,
821 (в параболических координатах 1380; в полярных координатах 765, 767, 1348;
в прямоугольных координатах 762, 1343, 1344, 1406," в сферических координатах 820,
1434, 1437; в сфероидальных координатах 1471; в цилиндрических координатах 821,
1482; в эллиптических координатах 1395; граничные условия 751; для задачи о диа-
диафрагме в трубе 1478; для колеблющейся струны 125, 771, 1323, 1326; для круга 1350;
для параллельных плоскостей 755; для переменного адмитанса границы 1345; и не-
неоднородная задача 747—749; и преобразование Лапласа 1322, 1323; и преобразование
Фурье 1340, 1510; и разложение плоской волны 767; метод изображений 753—757;
разложение по собственным функциям 760—772, 825; таблица свойств 824, 825); для
скалярного уравнения Лапласа 741, 742 (в биполярных координатах 1202; в вытя-
вытянутых сфероидальных координатах 1272; е декартовых координатах 1167, 1171, 1240;
в круговых цилиндрических координатах 1247; в параболических координатах 1197,
1279; в полярных координатах 1179; в сплющенных сфероидальных координатах 1277;
в сферических координатах 1256; в тороидальных координатах 1285; в эллиптических
координатах 1192; для бесконечной области 762; для неподвижной струны 123; для
параллелепипеда 1242; и интегральная формула Пуассона 755; метод изображений
753—757); для телеграфного уравнения 801; для уравнения диффузии 752, 793—
804, 1545, 1550, 1554 (возрастное у. д. 194; для бесконечной области 795, 796; для
неравномерного рассеяния 186; метод изображений 798; разложение по собственным
функциям 799; решение неоднородной задачи 795; таблица свойств 826, 827); для
уравнения Клейна—Гордона 138, 790; для уравнения Лапласа 741, 824, 1167, 1171,
1179; для уравнения Штурма—Лиувилля 770; зависимость от собственных значений
760, 761, 770, 771; и интегральные уравнения 869, 881; и неоднородные задачи 747;
и неэрмитовы операторы 818; и оператор Грина 815; и плоские волны 766, 767; и про-
производящие функции 745; и эрмитовы операторы 817; интегральное представление
392, 761; интегральное уравнение 823, 845, принцип взаимности 653, 742, 746, 774,
790, 793, 801, 807, 816, 823; природа особенностей 750, 751; разложение по собствен-
собственным функциям 760—772, 823, 824; разрывы 743, 744, 747; таблица свойств 826, 827.
Гюйгенса принцип 784.

870 Предметный указатель
д
Давление 156, 172, 1175.
Даламбера оператор 100, 202.
Даламбера признак сходимости 365.
Даламбера решение волнового уравнения 781.
Двоякопериодические функции 404.
Двух частиц задача в квантовой механике 1657—1689; и четность 1670; обмен частиц 1686;
одномерный случай 1657—1666 (и связанные гармонические осцилляторы 1665; и час-
частично связанные состояния 1661; функция Грина 1659); рассеяние 1683; рассеяние
неупругое 1685; симметризация волновой функции 1670; трехмерный случай 1666—
1689 {и момент количества двизкения 1666—1669; координаты Хиллерааса 1682;
связанные, свободные и поверхностные состояния 1674, 1679; функция Грина 1676).
Действительная и мнимая части аналитической функции 351; и импеданс 352; и метод
изображений 350; и преобразование Гильберта 352.
Действия интеграл 278; и уравнение Гамильтона—Якоби 279.
Действия переменная 281; и момент количества движения 281; и угловая переменная 281.
Декартовы координаты в пространстве 1240; и уравнение Лапласа 1167; конформное
преобразование к полярным координатам 1211; потенциал между двумя плоскостями
1167; поток тепла внутри призмы 1169; функция Грина 1167; 1171, 1240, 1242; см.
также Прямоугольные координаты.
Деление и диффузия 1552—1560.
Дельта-функция Дирака, см. Дирака дельта-функция.
Деформация 71, 72; для волн в упругой среде 147; однородная д. 73; связь с напряже-
напряжением 75.
Деформирование контура интегрирования 346.
Диагональные матрицы 722.
Диагональные ядра 880, 881, 890.
Диафрагма в трубе круглого сечения, аппроксимация 1480; вариационный метод 1479;
звуковые волны 1477; интегральное уравнение 1479; коэффициент прохождения 1478.
Диафрагма в трубе прямоугольного сечения 1414.
Дивергенция 43; тензорное обозначение 57.
Динамика, см. Классическая динамика.
Диполи 1258; излучение д. 1445; магнитные д. 1797 (и индуцированные токи 1814; излу-
излучение м. д. 1797, 1807, 1808; индуцированные м. д. 1814); электрические д. 1798
(и индуцированные токи 1814; излучение э. д. 1798, 1806, 1808; индуцированные в. д.
1813).
Дирака дельта -функция 122, 232, 754; в обобщенных координатах 769; в полярных коор-
координатах 765; и нормировка собственных функций 709; производная д. ф. 775, 777;
разложение по собственным функциям 668, 677.
Дирака уравнение 250—254, 318, 319; и преобразование Лоренца 252; и спиновые опе-
операторы 250; и уравнение Лагранжа—Эйлера 319; интенсивность поля 319; плот-
плотность заряда и тока 251, 319; плотность функции Лагранжа 318; плотность энер-
энергии 319; полный момент количества движения 253; решение типа плоской волны 254;
таблица 328; тензор напряжений-энергий 319.
Дирихле краевые условия 471, 633, 659, 748, 809; вариационный принцип 1111, 1128;
и гиперболические уравнения 638, 640, 656; и граничные возмущения 1044, 1060;
и эллиптические уравнения 648, 654; метод изображений 753; функции Грина 747, 748.
Диск, рассеяние на нем 1483.
Диск колеблющийся, акустический импеданс 1476; излучение 1475.
Дисперсия и уравнение Клейна—Гордона 138, 139; д. электромагнитных волн в волно-
волноводах 1756.
Диссипативные системы 284—288; вариационный принцип 285; и уравнение диффузии
298; импеданс 285- 288.
Дифференциальное поперечное сечение рассеяния 1065, 1654.
Дифференциальные уравнения с частными производными теоретической физики 119—263.
Диффракция, методы теории возмущений 1072—1104; на крае экрана 1362,1381 (интеграль-
(интегральное уравнение 832); на отверстии в плоскости 1482; на щели 1403; Фраунгофера д. 820;
Френеля д. 1362.
Диффузии уравнение 136, 168—195, 1542—1561; вариационный принцип 298, 299; вектор-
векторное д. у. 160, 1749; для неизотропного рассеяния 185, 186; для частиц 1549—1560;
и возрастное уравнение 1556; и параболические уравнения 170; метод изображений
798, 1545; неоднородное д. у. 795; плотность функции Лагранжа 298; принцип взаим-
взаимности 793; функция Грина, см. Грина функция.
Диффузия 168—195, 1542—1561; действие внешних сил 190; и возрастной параметр 1556;
и деление 1552—1560; и конформное отображение 1207; и уравнение непрерывности
169; и функция распределения 170; нейтронов д. 169, 1552—1560, 1568—1590; по-
постоянная д. 170; света д. 177.
зная эмиссия 1572; и преобразование Лапласа 1578.
отражение 1573.

Предметный указатель 871
Диэлектрик, граничные условия на поверхности 210.
Диэлектрическая постоянная 196.
Длинноволновое приближение 1083,1084; для излучения 1352,1805; для рассеяния 1357,
1402, 1450, 1792, 1811; для уравнения Шредингера 1086, 1635 (и длина рассеяния
1085, 1087; и эффективный радиус взаимодействия 1090); сходимость 1089.
Добротность электромагнитного резонатора 1783, 1784, 1800.
Дозвуковой поток 162.
Е
Единичная ступенчатая функция 122, 778; интегральное представление 392.
Единичного сдвига оператор 131.
Единичный аффинор, или идемфактор 63.
Емкость в триоде 1221; вариационный принцип 1106; е. вытянутого полусфероида, помещен-
помещенного на заземленной плоскости 1269; е. вытянутого сфероида 1267; с. двух цилиндров
1200; е. пары длинных полос 1231; е. пары эксцентричных сфер 1255; е. переменного кон-
денсатора1232; е. проволоки вблизи заземленной плоскости 1173; е. проволоки внутри
эллиптического цилиндра 1192; е. проволоки между двумя заземленными плоскостями
1226; е. системы сетка—плоскость 1223; е. сферы вблизи заземленной плоскости 1281;
е. эллипсоида 1288, 1289; эквивалентная е. для звуковых волн в трубах 1334.
Естественная граница функции 368.
3
Зависимость операторов от времени 88, 240, 241.
Зависящая от времени функция Гамильтона 242.
Зависящее от времени уравнение Шредингера 242.
Замедление частиц 192, 1556—1559, 1583—1590.
Закрепление струны нежесткое 1324; подвижное з. с. 1338.
Запаздывающий потенциал 201, 778, 808.
Заряд, поле движущегося з. 206, 778, 779; сила, действующая на з. 199; функция
Лагранжа для з. 282.
Затухание в волноводах 1762, 1763; в трубах 1413.
Звуковые волны в трубах 1328—1336; 1411—1430; вариациопный принцип 1125, 1479;
затухание 1413; и конформное отображение 1418; излучение из конца трубы 1424,
1490—1498; интегральное уравнение 1479; т. изогнутая 1418; т. облицованная 1484;
т. переменного поперечного сечения 1331; т. с диафрагмой 1414, 1477; т. с мембраной
1422; т. с упругими стенками 1428.
Зональные векторные гармоники, таблица свойств 1825.
Зональные гармоники 1248; таблица значений 1845; таблица свойств 1307.
И
Идемфактор, или единичный аффинор 63.
Излучение звуковое диполя 1445; из открытого конца трубы 1424, 1490; импеданс и. 831;
колеблющегося диска 1475; колеблющейся полосы 1396; кругового цилиндра 1351;
поршня, являющегося частью сферы 1447; реактивное сопротивление и. 1370, 1398,
1400; системы источников 1446; случай длинных волн 1352, 1444; случай коротких
волн 1353, 1445, 1497, 1498; сопротивление и. 1370, 1398, 1400; сферы 1444.
Излучение электромагнитное мультиполей 1796, 1805, 1808; петли тока 1809; полуволно-
полуволновой антенны 1808; тока, текущего по полосе 1399; токов 1803.
Изменение формы волны 143, 640, 641, 781—784.
Измерение в квантовой механике 223; и вероятность 224; и операторы 224.
Изображений метод 753—757; для концентрических цилиндров 1227, 1228; для парал-
параллельных плоскостей 755—757,1226; для прямоугольной призмы 1228; для сферы 1258,
1297, 1298; для уравнения диффузии 793, 1545, 1550; для условий Дирихле 753; для
условий Неймана 754; для цилипдра 1220; и аналитические функции 350, 351; и бипо-
биполярные координаты 1171; и интегральная формула Пуассона 353, 755; и краевые
условия 639; и параболические координаты 1198; и полярные координаты 1179;
и функция Грина 753—757, 785; и эллиптические функции 1226.
Изотропная упругая среда 306, 327.
Изотропное рассеяние, интегральное уравнение 1571.
Импеданс акустический 296, 1328, 1329, 1345 (для резонатора Гелъмголъца 1457); аффинор
и. 273, 317 (для векторных волн 1751; для упругой среды 308, 309); волновой и. 128, 139;
входной и. 273 (для волновода 1762); главные значения и. 273; граничный и. 1344, 1751,
1753 (для облицованной трубы 1484; для рассеяния на сфере 1454); и аналитические
функции 352; и канонические уравнения 272, 273; и реактанс 287; и резистанс 287;
и резонансные частоты 274; излучения и. 831; излучения диполей и. 1798; механи-
механический и. 128, 129; переносный и. 273; поля и. 1369; поперечный механический и.
129 (п. м. и. стенок трубы 1429); среды и. 149; точки приложения силы и. 130; харак-
характеристический и. 214 (для диссипативных систем. 285—288); эквивалентный и. для

872 Предметный указатель
волн в трубе 1333; эффективный и. 1417 (для клистрона 1792; для колеблющейся сферы
1446; для колена трубы 1421; для мембраны в трубе 1424; для отверстия в резонатор
Гелъмголъца 1457; для поперечно-магнитной волны 1757, 1758, 1767; для попереч-
поперечно-электрической волны 1757, 1758, 1767; для преграды в прямоугольной трубе 1417;
для сферического поршня 1448, 1449).
Импульс 270; волновой и. 292 (для звуковой волны 297; для колеблющейся струны 292;
для уравнения Шредингера 301); и функция Гамильтона 271; плотность и., см. Плот-
Плотность импульса; оператор и. 82, 224 (и координатный оператор 233); сопряженный
и. 222; средний и. 172; 4-вектор и. 99.
Импульсная функция 1318; для волн в трубе 1330; для волн внутри круговой области 1350;
для струны с нежестким закреплением 1326; для струны в упругой среде 1323; и функ-
функция Грина 1322.
Инвариантность 16, 44, 53, 54, 61, 97; в классической механике 277, 278; калибровочная
и. 201, 204—206; Лоренца и. 97.
Инверсия и четность 1670.
Инверсия относительно окружности 427, 428; относительно сферы 1297, 1»298.
Индукция магнитная 197; электрическая 196.
Инерции коэффициент и эффективная масса 1276.
Интеграл потока вектора 27, 43.
Интеграл циркуляции 29.
Интегралы, вычисление при помощи вычетов 386; и. от функций, имеющих точки ветвле-
ветвления 388, 447; криволинейные и. 28; поверхностные и. 26.
Интегральная показательная функция 411; обобщенная и. п. ф. 1571, 1572.
Интегральные представления 542—604; вырожденной гипергеометрической функции 567,
627; гипергеометрической функции 545, 552, 554—556, 624, 625; решений векторного
уравнения 1795; решений волнового уравнения 146 (в сферических координатах 1435;
в сфероидальных координатах 1469); решений дифференциальных уравнений 542—
604 (и преобразование Эйлера 549; и сопряженный оператор 548; и степенные ряды
543; и функциональные ряды 541; модуляционный множитель 547; таблица 624, 625,
627; ядро 546—549); решений уравнения Лапласа 246 (в вытянутых сфероидальных
координатах 1270; в круговых цилиндрических координатах 1246; в параболических
координатах 1278; в сплющенных сфероидальных координатах 1276; в сферических
координатах 1253; и функции Лежандра 1257); сферических функций Бесселя 582;
сфероидальных функций 1469; функций Бесселя 580, 581; функций Ганкеля 583, 584;
функций Лежандра 557—560; функций Матье 593.
Интегральные уравнения 828—923; в абстрактном векторном пространстве 838, 839; ва-
вариационный принцип 843, 844, 1117; Вольтерра и. у. 837, 851, 900; для амплитуды
рассеяния 1076; для излучения 1501; для излучения из круглой трубы 1490; для рас-
распространения волн в трубах 1479,1484; для рассеяния 1068, 1071 (Борна приближение
1072; граничные возмущения 1070; ряд Фредголъма 1077); для уравнения Шредингера
1070; и преобразование Лапласа 873, 900; и преобразование Меллина 871, 873, 904;
и преобразование Фурье 871, 888—919; метод Винера—Хопфа 906—919; Милна
и. у. 179, 913—917, 1572, 1577—1581; общие свойства 838—855; проблемы момен-
моментов и. у. 876; собственных функций и. у. 834; сопряженные и. у. 848, 850; таблица
свойств 919—923; Фредгольма и. у. второго рода 836, 879—888; Фредгопьма и. у.
первого рода 837, 856—879; функций Матье и. у. 593; функций распределения и. у.
1571, 1572 (для диффузной эмиссии и отражения 177—179, 1574, 1576; и уравнение
Милна 179, 913—917, 1572, 1577); эллипсоидальных гармоник и. у. 1289.
Интегрирование в комплексной плоскости 342; и теория вычетов 386; теорема Коши 344;
теорема Морера 347; формула Коши 348.
Интегрирующий множитель и сопряженные уравнения 498.
Интенсивность звуковой волны 1352.
Интенсивность поля 305; для жидкости 295, 297, 326; для струны 125, 12G, 291, 325; для
упругой среды 149, 306, 309, 327; для уравнения Дирака 319, 328; для уравнения
. диффузии 326; для уравнения Клейна—Гордона 302, 327 для уравнения Шредингера
301, 326; таблицы 325—328; электромагнитного поля и., см. Пойнтинга вектор.
Иррегулярная особая точка 505, 507; уравнения с и. о. т. 507, 518, 523; см. также Особые
точки дифференциальных уравнений.
Источник 27; мощность и. 27; несжимаемой жидкости и. 154; подвижный и. 206, 778.
Итерации 1133.
Итерационно-пертурбационный метод 1006—1015; в абстрактном векторном простран-
пространстве 1022; для неортогональных функций 1037; для рассеяния, см. Борна приближе-
приближение; для уравнения Матье 1013; и вариационный метод 1116; модифицированный и.-п.
м. 1036; сходимость 1011, 1023, 1029; таблица 1156.
Итерированные ядра 846, 847.
К
Кавитация 158.
Калибровочная инвариантность 201.
Калибровочное преобразование 204—206.

Предметный указатель 873
Канонические формы дифференциальных уравнений, таблица 622—628.
Канонического импульса плотность 311, 326, 327.
Каноническое преобразование 89, 274; и интеграл действия 277; и сопряженные пере-
переменные 275.
Квадруполи электрические 1258; излучение к. э. 1798, 1806, 1808.
Квантовая механика 215—254; вероятность в к. м. 83, 84, 224; время в к. м. 238, 239, 242;
и абстрактное векторное пространство 82, 223 и ел.; и классическая механика 215,
279; измерение в к. м. 223, 224; инвариантность относительно преобразования Ло-
Лоренца 246; момент количества движения 1611,1668; наблюдаемые величины в к. м.
82, 83; независимые переменные 225; операторы 82, 224; операторы вращения 93;
постоянная Планка 217; правила коммутации 229; принцип соответствия 241; про-
пространство импульсов, см. Пространство импульсов; свободные состояния 1602, 1674;
система двух частиц, см. Двух частиц задача; системы нескольких частиц 1666—
1689; скобки Пуассона 222; соотношение неопределенности 83, 90; 220; соотношения
де Бройля 218; средние значения 224, 1591; уравнение Шредингера 233; уравнение
Шредингера, зависящее от времени 242; функции преобразования 228; центральные
поля, см. Центральные поля в квантовой механике; экспоненциальный потенциал,
см. Экспоненциальный потенциал в квантовой механике.
Кватернионы 77, 92, 106; верзор 79; обратный к. 93; оператор вращения 79; тензор 79.
Кинетическая энергия жидкости 293; струны к. э. 125; полная к. э. 172.
Кинетический потенциал 269.
Кирхгофа приближение 1072, 1073; сходимость 1073.
Классификация дифференциальных уравнений 505.
Классификация функций комплексного переменного 360.
Классическая динамика 268—288; диссипативные системы 284; для релятивистских
частиц 284; и квантовая механика 215,216,279; канонические преобразования 274;
принцип Гамильтона 269; скобки Пуассона 277; сопряженные переменные 275; угло-
угловые переменные и переменные действия 281; уравнение Гамильтона—Якоби 279;
уравнения Лагранжа 269; функция Лаграижа 269.
Классические точки поворота 1091, 1093, 1101.
Клейна—Гордона уравнение 137, 301,1323; и диспергирующая среда 139; и квантовая
механика 247; и уравнение Прока 214, 215; импульсная функция 1323; плотность
импульса поля 302; плотность тока и заряда 302; плотность функции Лагранжа 301;
плотность энергии 302; принцип взаимности 790; функция Грина 138, 790—792,
1323.
Клистрон 1789; резонансные частоты 1792; эффективный импеданс 1792.
Ковариантная производная 55.
Ковариантный вектор 39, 52.
Ковариантный тензор 53, 61.
Когерентное рассеяние 1460.
Колебания, см. Векторное волновое уравнение, Векторное уравнение Гельмгольца,
Волновое уравнение, Гельмгольца уравнение, Мембрана, Струна.
Коммутационные правила в квантовой механике 229; и наблюдаемые величины 82; и прин-
принцип соответствия 241.
Комплексно сопряженная величина 77, 332.
Комплексного переменного функции, см. Функции комплексного переменного.
Комплексное векторное пространство 84; см. также Абстрактное векторное простран-
пространство.
Комплексные числа 332; и векторы 332, 333; как операторы 77.
Конгруэнтные точки для двоякопериодических функций 404.
Конденсатор с параллельными пластинами 1230; переменный к. 1232.
Кондуктанс, или активная проводимость 287.
Конические координаты 616.
Константы движения, классические и квантовые 241.
Контактные преобразования 275.
Контравариантный вектор 39, 52.
Контравариантный тензор 53, 61.
Контур в методе перевала 415; гладкий к. 343; деформация к. 346.
Контурные интегралы 342; и электростатика 335.
Конформное отображение 339, 419—428, 1732; и волны в трубах 1418; и разделение пере-
переменных 474; и уравнение Лапласа 1166; 1204; и электростатика 419; метод инверсии
427: многоугольника к. о. 420; формула Шварца—Кристоффеля 420, 1229.
Концентрации точка и геометрия систем координат 479; и конформное отображение 474.
Координат преобразование 16, 34.
Координатные системы разделяющие 470—495, 604—606; таблица 612—622.
Координатный оператор 227; и оператор импульса 229, 233; собственные векторы 227.
Координаты в связи с волновым уравнением параболические 1373; полярные 1348; пря-
прямоугольные 1343; сферические 1430; сфероидальные 1466, 1475; эллиптические 1382.
Координаты в связи с уравнением Лапласа биполярные 1199; декартовы 1167; круговые
цилиндрические 1243; параболические 1197; полярные 1174; эллиптические 1185

874 Предметный указатель
Коротковолновое приближение для излучения 1353, 1436, 1437, 1445, 1497, 1498; для
рассеяния 1090, 1100, 1103, 1357, 1450, 1511; для уравнения Шредингера 1090—
1104; и геометрическая оптика 1104; и преобразование Маджи 1512; см. также Вен-
целя—Крамерса—Бриллюэна—Джеффриза метод.
Короткодействующие силы 1595.
Косинус-преобразование Фурье 431.
Кососимметрический аффинор 66.
Коши задача471, 633; и гиперболические уравнения 637, 655; и параболические уравнения
657; и характеристики 634; и эллиптические уравнения 643, 654.
Коши интегральная формула 347, 348; и производные аналитической функции 355.
Коши—Римана условия 338, 1176; и конформное отображение 340; и особенности анали-
аналитических функций 339; и течение жидкости 153; и электростатика 334.
Коши теорема 344; и деформирование контура 346; и многосвязные области 345; и фор-
формула Коти 347; и электростатика 335; следствия 346.
Краевые условия 631—658; вариационные принципы 1110; Дирихле к. у., см. Дирихле
краевые условия; для векторных полей 1703, 1709, 1751; для гиперболического
уравнения 637, 639, 640, 655; для параболического уравнения 644; 645, 657; для попе-
поперечно-магнитных волн 1757, 1758; для поперечно-электрических волн 1755; для
рассеяния 1064; для течения жидкости 154; для функций Грина 741, 751, 752, 772;
для эллиптического уравнения 642, 643, 648, 650, 654; и константы разделения 481;
и поверхностные заряды 738; и разделимость 1705; и собственные функции 652, 661,
662; и типы уравнений 631, 657, 658; конечности к. у. 663, 664; Коши к. у., см. Коши
задача; Неймана к. у., см. Неймана краевые условия; неоднородные к. у. 634; непре-
непрерывности к. у. 663; однородные к. у. 633, 736 (и собственные функции 663); периодич-
периодичности к. у. 663; сопряженные к. у. 808; типы к. у. 632 (и собственные функции 661).
Краевых условий возмущения 1041—1053, 1158; вариационный принцип 1128; вековой
определитель 1042, 1046; пример 1048.
Край экрана, диффракция Френеля на к. э. 1362, 1382.
Кривизна координатных линий 35, 54.
Криволинейные интегралы 28; см. также Интегрирование в комплексной плоскости.
Криволинейные координаты 31—40; и поперечное поле 1706; и упругие волны 1773; и
упругие напряжения 1774; таблица свойств 116; см. также Ортогональные координаты.
Кристоффеля символы 54.
Критическая частота 1413.
Кронекера символ 33.
Круг сходимости 356.
Круглая труба, излучение из конца 1490; мембрана внутри к. т. 1422.
Круговой цилиндр, волны внутри к. ц. 1350; излучение к. ц. 1351.
Круговые цилиндрические координаты и векторное волновое уравнение 1734 (аффинор-
ная функция Грина 1736; векторные собственные функции 1735; поле петли тока 1736;
упругие волны в брусе 1775); и волновое уравнение 1422 (мембрана в трубе 1422; рас-
рассеяние на цилиндре со щелью 1363, 1367; упругая труба 1328); и уравнение Лапласа
1243 (и функции Бесселя 1243; поток жидкости в цилиндре 1245; поток тепла в ци-
цилиндре 1243; функция Грина 1247); разделение переменных 487 (таблица 614).
Крутильные колебания бруса вынужденные 1777.
Крутильный адмитанс 1777.
Кулоновские волновые функции 518, 521, 592,1615; асимптотическое поведение 593, 1615;
в импульсном представлении 1628; второе решение 593; и вырожденная гипергео-
гипергеометрическая функция 592; и параболические координаты 1617; и энергетические уров-
уровни атома водорода 592, 1615; формула Резерфорда 1619; эффект Штарка 1626.
Л
Лагерра полиномы 728; и интегральные уравнения 867; и кулоновский потенциал 1615,
1618; и метод факторизации 733; и трехмерный осциллятор 1613; интегральное урав-
уравнение 835; присоединенные Л. п. 728; таблица 728.
Лагранжа множители 267.
Лагранжа функции плотность 265, 303; для векторных полей 303; для волнового урав-
уравнения 290, 294, 326; для струны 289, 325; для течения жидкости 293, 326; для упру-
упругой изотропной среды 306, 327; для упругой неизотропной среды 308, 327; для урав-
уравнения Дирака 318, 328; для уравнения диффузии 298, 326; для уравнения Клейна—
Гордона 301, 326; для уравнения Лапласа 293; для уравнения Шредингера 299; для
уравнения Эйлера 289, 324: для электромагнитного поля 311, 328; инвариантность
321; таблица 324—328.
Лагранжа функция 221, 269; для диссипативных систем 286; для заряженной частицы 281;
для релятивистской частицы 284; и количество движения 270; и принцип Гамильтона
269; и сопряженные переменные 221, 222; и уравнения движения Лагранжа 269.
Лагранжа—Эйлера уравнение 265—268, 303, 324.
Ламе коэффициенты 34, 478; и точки концентрации 479.

Предметный указатель 875
Ламе уравнение 606; и уравнение Лапласа 1286; и эллипсоидальные гармоники 1287.
Лапласа оператор 17; в криволинейных координатах 116, 117, 320; для векторов 58, 116,
117.
Лапласа преобразование 443; и вынужденные колебания 1319; и диффузия 1553—1559;
и интегральные представления 549, 568, 594; и интегральные уравнения 873, 921;
и неортогональные собственные функции 1327; и уравнение Вольтерра 900; и функции
распределения 1578; таблица 1536; таблица свойств 460; теорема о свертке 444, 460;
формула обращения 443.
Лапласа уравнение 18, 1167—1311; в биполярных координатах 1199; в бисферических
координатах 495; 1279; в вытянутых сфероидальных координатах 1266; в гиперболи-
гиперболических координатах 1199; в двух измерениях 1166—1237; в декартовых координатах
660, 1166, 1240; в круговых цилиндрических координатах 1243; в параболических
координатах 1197, 1277; в полярных координатах 1174; в сплющенных сферои-
сфероидальных координатах 1273; в сферических координатах, см. Сферические координа-
координаты; в тороидальных координатах 495,1282; в трех измерениях 1237—1289; в эллип-
эллипсоидальных координатах 1285; в эллиптических координатах 1185; вариационный
принцип 1106; векторное Л. у., см. Векторное уравнение Лапласа; граничные усло-
условия Дирихле 654; граничные условия Неймана 654; и комплексные переменные 1204;
1237; и конформное отображение 1166, 1205, 1228—1237; и функции Бесселя 1243;
плотность функции Лагранжа 293; принцип максимума 18, 654; разделимость в двух
измерениях 474; разделимость в трех измерениях 491, 492; разностное уравнение
647; течение несжимаемой жидкости 153; функция Грина, см. Грина функция.
Лежандра полиномы 518, 695, 697; и ортогонализация 724; и полиномы Гегенбауера
726; интегральное уравнение 835; нормировка 698; полнота 538; производные 564;
производящая функция 560, 695; разложение сфероидальных функций 539, 1467;
рекуррентные формулы 696, 726; таблица значений 697; таблица формул 727, 1306—
1308; формулы 696, 697.
Лежандра уравнение 557; определитель Вронского 562; решение второго рода 514, 560;
решение первого рода 514, 559.
Лежандра функции 514; асимптотическое поведение 559; и гармоники 1248; и мультиполи
1258; и уравнение Лапласа 1247, 1248; интегральное представление 559, 560, 1257;
как гипергеометрические функции 559; мнимого аргумента Л. ф. 1273, 1309; обоб-
обобщенные Л. ф. 517; определитель Вронского 562; таблицы значений 1845—1847, 1852;
таблицы формул 1306- -1311; теорема сложения 1257.
Лежандра функции второго рода 514, 610; асимптотическое поведение 561; и гипергеомет-
гипергеометрическая функция 561; и полиномы Лежандра 699; интегральное представление
560; определитель Вронского 562; производящая функция 699; рекуррентные соот-
соотношения 563; таблица значений 1846—1848; таблица формул 1308, 1309.
Лежандра функции присоединенные 517, 564; для полиномов 564; и второе решение 565;
и гипергеометрическая функция 564; граничные условия конечности 665; и поли-
полиномы Чебышева 566; и собственные значения 682; и сферические гармоники Гоб-
сона 1268; и сферические гармоники Феррера 1268; и тессеральные гармоники 517;
и уравнение Лапласа 1247, 1248, 1267, 1273, 1280; и функции Гегенбауера 726; нор-
нормировка 727; полуцелого порядка Л. ф. п. 1283; производные 564; рекуррентные
формулы 684, 726; таблица значений 727; таблица формул 1306—1311; теорема сложе-
сложения 727; формула связи 565; функция плотности 726.
Линейные дифференциальные уравнения 468.
Линейные источники, поля, создаваемые ими 1218; двумерная система л. и. 1224; л. и. па
окружности 1220; одномерная система л. и. 1222.
Линии ветвления, см. Ветвления линии.
Линии передачи 211; характеристический импеданс 214.
Линии тока 22.
Лиувилля теорема 360.
Лиувилля уравнение, см. Штурма—Лиувилля уравнение.
Лорана ряд 357; и изолированные особые точки 359; и мультиполи 359.
Лоренца преобразование 96—101; для магнитных полей 204; для спиноров 103; для элек-
электрических полей 204; и движение релятивистской частицы 284; и калибровочное
преобразование 204; и уравнение Дирака 252; и уравнение Клейна—Гордона 247; и
4-вектор тока 202; и четырехмерный векторный потенциал 202; и электромагнитное
поле 202.
Лоренц-инвариантность 97; в квантовой механике 246, 247; для электромагнитного поля
202; и уравнение Клейна—Гордона 247; оператора Даламбера Л.-и. 202; плотности
функции Лагранжа Л.-и. 321.
М
Магнитная индукция 197.
Магнитная проницаемость 197.
Магнитное поле 197; векторный потенциал 198; вращающегося заряженного шара м. п.
1741; и векторное уравнение Лапласа 1730, 1731; и токи 197, 198, 1736, 1741; магнит-
магнитная индукция и проницаемость 197; преобразование Лоренца 204.

876 Предметный указатель
Магнитные диполи индуцированные 1813; излучение м. д. 1797, 1807.
Магнитные мультшюли, излучение 1799, 1807, 1808.
Магнитные силовые линии 1172.
Магнитный потенциал 1172, 1188, 1189, 1193, 1195; вне двух цилиндров 1203; и конформ-
конформное отображение 1207; м. п. линейных источников 1218, 1220, 1224; м. п. провода
в прорези 1214; м. п. токов 1249.
Магнитостатика, см. Магнитное полз, Магнитный потенциал.
Маджи преобразование 1512.
Максвелла уравнения 199.
Малый объект внутри проводящей сферы, рассеяние на нем 1814.
Масса эффективная для диафрагмы в круглой трубе 1276; для диафрагмы в трубе прямо-
прямоугольного сечения 1417.
Массы поток 168.
Матрицы и операторы 716; диагональные м. 722.
Матричные элементы 1599.
Матричных сумм правило 1686.
Матье функции 523—535, 593—601, 1383—1395; и волновое уравнение 1383—1404; и не-
непрерывные дроби 525, 532; и определитель Хилла 527; и ряды Фурье 524; и функции
Эрмита 1391; и эллиптические интегралы 1389; и эллиптические функции 1392; инте-
интегральное уравнение 593, 594; нечетные М. ф. 530—532; нормировка 531; определи-
определитель Вронского 534; периодические М. ф. 530, 538, 539; приближения 1386—1393
(вариационно-итерационное п. 1033; WKBJ п. 1388; итерационно-пертурбационное п.
1013; Финберга п. 1021; Фредголъма п. 1028); радиальные второго рода М. ф. 533,
595, 599, 1385, 1386 (асимптотическое поведение 1386; значения и производные 599, 600;
определитель Вронского 600; приближения 1388; разложение в произведение 599;
разложение по функциям^ Неймана 595; таблица .формул 1526—1531); радиальные
первого рода М. ф. 595, 599,1385 (асимптотическое поведение 1385; значения и производ-
производные 599, 600; и волновое уравнение 1385; приближения 1388; разложение в произведе-
произведение 599; разломсение по функциям Бесселя 595; таблица формул 1526—1531); ра-
радиальные третьего рода М. ф. 601; разложение в произведение 598; рекурсивные фор-
формулы 524; собственные значения 524; таблица значений 1859—1862; таблипа формул
628, 1526-1531; четные М. ф. 530, 531.
Маха линии 163; и ударные волны 165.
Маха угол 163, 166.
Маха число 162.
Медленные частицы, рассеяние 1636.
Меллина преобразование 444; и итегральные представления 549; и интегральные урав-
уравнения 873, 905, 921; и преобразование Фурье 445; таблица 460; теорема о свертке
446, 460.
Мембрана в круглой трубе, прохождение звуковых волн 1422.
Мембраны колебания, вариационно-итерационный метод 1143; вариационный прин-
принцип 325, 1112; нестационарные м. к. 788; прямоугольной м. к. 701; треугольной м. к.
701; эллиптической м. к. 703.
Мероморфные функции 361, 456; 457; разложение на элементарные дроби 362.
Механика, см. Квантовая механика, Классическая механика.
Механический импеданс 129.
Милна уравнение 179, 183, 913, 1571, 1572; вариационный метод 1581; метод Винера—
Хопфа 913—917, 1578—1581.
Минимакс 415.
Минимизированных итераций метод 1149; трехчленная рекуррентная формула 1150.
Мировая линия 96.
Многозначные функции 376—385; аналитическое продолжение 370; линии ветвления 377;
точки ветвления 370, 377.
Многосвязные области 343; теорема Коши 345.
Многоугольника отображение 420; ограниченного дугами окружностей м. о. 427; см.
также Шварца—Кристоффеля формула.
Модуль всестороннего сжатия 76.
Модуль сжатия 160.
Модуль эллиптической функции 409.
Модуляционный множитель для гипергеометрического уравнения 551; для интегрального
представления 547; для преобразования Эйлера 551; при разделении перемен-
переменных 492.
Момент инерции 62.
Момент количества движения 281; в квантовой механике 1612; для нескольких частиц
1668; оператор м. к. д. 91; плотность м. к. д. 305, 306, 325; плотность м. к. д. для
электромагнитного поля 314; полный м. к. д. для уравнения Дирака 253.
Моментов проблема 876.
Моменты функции распределения 1569.
Мощность источника 27.
Мультиполи 1258—1264; излучение м. 1798, 1799, 1805—1808.

Предметный указатель 877
н
Иабла-оператор 18, 40—53; таблица 115, 116.
Наблюдаемые величины в квантовой механике 83.
Навье—Стокса уравнение 158.
Нагревание излучением 1546.
Направляющие косинусы 32.
Напряжений функция 1726; уравнения совместности 1726.
Напряжений-энергий тензор 100, 291, 304, 324; для векторного поля 304; для звуковых
волн 297,325; для струны 291; для упругой среды 306, 309; для уравнения Дирака 319;
для уравнения Клейна—Гордона 302; для уравнения Шредингера 300; и волновой им-
импульс 292; и интенсивность поля 305; и плотность импульса поля 305; и теоремы со-
сохранения 291; симметризация 321.
Напряжения 74; в жидкостях 155; в колеблющемся шаре 1745, 1747; волновые н. 292; выра-
выражения для н. в круговых цилиндрических координатах 1735; выражения для н. в
сферических координатах 1742,1743; выражения для н. в цилиндрических координатах
1744; главные н. 75; для упругих волн 147, 1750; и бигармоническое уравнение 1725,
1726; н. на поверхности цилиндра 1775; н. на поверхности шара 1745, 1747; 1801; рас-
растягивающие н. 75; связь с деформацией 75; срезывающие н. 75.
Начальная задача для скалярного волнового уравнения 781—784 (двумерная н. з. 782;
решение Даламбера 781; решение Пуассона 784); для телеграфного уравнения 803, 804.
Не положительно определенные операторы 840, 847—852; вариационно-итерационный
метод 1144—1149.
Независимые решения дифференциальных уравнений 496.
Неизотропная упругая среда 77, 308, 327.
Неймана краевые условия 471, 657, 809; вариационный принцип 1110,1111, 1128; для ги-
гиперболического уравнения 638—640; для параболического уравнения 657; для эллип-
эллиптического уравнения 650, 654; и граничные возмущения 1041, 1060; мегод изобра-
изображений 754; функция Грина 748, 749.
Неймана множитель 691.
Неймана полиномы 864.
Неймана ряды 864.
Неймана функции 585—591; асимптотическая формула 586 (для Н. ф. высших порядков
590); и вырожденная гипергеометрическая функция 585; и радиальная функция
Матье второго рода 595, 1385; 1386; и функции Ганкеля 585; разложение в ряд 587,
1303; сферические Н. ф. 582, 1433 (асимптотическое поведение 1433; и радиальные
сфероидальные функции 1470; ряды 1433; таблица значений 1851; таблица свойств
1531—1534); таблица значений 1849; таблица свойств 1302—1306, 1522—1524; см.
также Бесселя функции, Ганкеля функции.
Нейтронов диффузия 169, 1552—1560, 1568—1590; замедленней. 1552, 1556; запаздывание
н. 1552; постоянная диффузии 170; см. также Возрастная теория, Милна уравнение.
Иекогерентное излучение 1460, 1461.
Неоднородное векторное уравнение Гельмгольца 1711.
Неоднородные дифференциальные уравнения с частными производными 736: решение
747—749, 774, 795.
Неоднородные интегральные уравнения Фредгольма 887, 920; и преобразование Лапласа
900; и преобразование Меллина 905; и преобразование Фурье 892—894; метод Ви-
Винера—Хопфа 917, 918.
Неоднородные краевые условия 633, 634.
Неоднородные обыкновенные дифференциальные уравнения 469; вариационный прин-
принцип 1108, 1109; решение 500.
Неопределенности соотношение в квантовой теории 83, 90, 220; для гармонического ос-
осциллятора 238; для сопряженных переменных 222, 223; для энергии и времени 238,
239.
Неопределенные ядра 836, 847.
Неортогональные собственные функции 1325, 1343; метод возмущений 1036—1040.
Непрерывное распределение собственных значений 780—711; для уравнения Шредпнгера
712—714.
Непрерывности уравнение 101; для потока жидкости 151; для тензора напряжений-энергий
295, 304; для уравнения Шредингера 1591; для функции распределения 172; для
частиц 1568, 1569; и диффузия 169.
Непрерывные дроби 525.
Неравенства вариационно-итерационного метода 1134, 1135; Бесселя н. 85; Шварца н. 85.
Несжимаемой вязкой жидкости течение 158.
Несжимаемой жидкости течение 150, 151; источники и стоки 151, 159; уравнение Бер-
нулли 158; уравнение Лапласа 153.
Несущая кривая 632.
Неупругое рассеяние 1685.
Неустановившиеся малые колебания мембраны 788.
Неустановившийся процесс нагревания пластины 1543, 1547.

878 Предметный указатель
Неэрмитовы операторы 818.
Нормальная форма гиперболического уравнения 636; н. ф. параболического уравнения
644; н. ф. эллиптического уравнения 642.
Нормальные формы колебаний идеализированной весомой струны 133.
Нормальные координаты 80.
Нормальный акустической импеданс 296.
Нормировка 677; вычисление нормирующего множителя 1055; н. полиномов Гегенбауера
727; н. полиномов Лагерра 728; н. полиномов Лежандра 698; н. полиномов Эрмита 730;
н. при непрерывном спектре собственных значений 231, 709; н. собственных векторов
228; н. собственных функций 677, 709; н. функций Матье 531, 1384 (таблица
1861, 1862).
Нули эллиптических функций 405; н. функций Бесселя 1523, 1524, 1534.
О
Область многосвяаная 343; о. односвязная 343.
Облицованная труба, распространение вопи в ней 1484.
Обменная плотность зарядов 1685.
Обменное рассеяние 1686.
Обратная функция 341.
Обратно пропорциональные кубу расстояния силы в квантовой механике 1616.
Обратный оператор, единственность 1108.
Обращение рядов 389.
Обращения формула Лапласа 443; о. ф. Фурье 429.
Объема элемент 37.-
Объемного расширения коэффициент 72, 73.
Объемные возмущения 1005; см. также Вариационные методы, Пертурбационные методы.
Обыкновенная точка дифференциального уравнения 501.
Обыкновенные дифференциальные уравнения 468—630; Весселя о. д. у. 518, 521, 579, 580;
в случае кулоновского поля 518, 521, 592, 1614; вырожденной гипергеометрической
функции о. д. у. 519, 567; Гегенбауера о. д. у. 516, 563, 726; гипергеометрическое
о. д. у. 511, 552, 626; и интегральные уравнения 874; интегральные представления
решений 542—604; классификация 505; Лежандра о. д. у. 513, 557; линейные о. д. у.
468; Матье о. д. у. 523; независимые решения 496; неоднородные о. д.у. 500; обык-
обыкновенные точки 501; однородные о. д. у. 468; определитель Вронского 496; опреде-
определяющее уравнение 503; особые точки 489, 503; Папперица о. д. у. 509; рекурсивные
формулы 509, 535; сопряженные о. д.у. 498, 806; стандартные формы 505, 622—629;
сферических функций Бесселя о. д.у. 582, 1444; таблица 622—629; функциональные
ряды 537—542.
Однозначные функции 370.
Однородное поле, вытянутый сфероид в о. п. 1267; два цилиндра в о. п. 1201; две сферы
в о. п. 1281; круговой цилиндр в о. п. 1175; сплющенный сфероид в о. п. 1244; сфера
в о. п. 1249, 1250; эллиптический цилиндр в о. п. 1189.
Однородные дифференциальные уравнения 468.
Однородные интегральные уравнения 836, 838, 879, 887; Вольтерра о. и. у. 851; и преобра-
преобразование Меллина 905; и преобразование Фурье 894; 906; Фредгольма о. и. у. 836.
Однородные краевые условия 633; и собственные функции 663.
Операторное уравнение для собственных значений 82, 667, 718—722, 1022.
Операторные вариационные принципы 1106—1110.
Операторы 80—83, 85—92, 714—722, 812—819; антиэрмитовы о. 842, 849; аффинор-
ные о. 61; в квантовой механике 82—84, 85—92; вращения о. 93 (е кеатернионной
форме 79; в спинорной форме 106); Грина о. 815, 817, 819, 843; для уравнения Дирака
249, 250; единичного сдвига о. 131; зависимость о. от времени 88, 240; и измерение
в квантовой механике 223, 224; и матрицы 716; импульса о. 83, 224, 231, 1590, 1592;
интегральные о. 804; интегрирования о. 714; комплексно сопряженные о. 814; комму-
коммутирующие о. 83: координатные о. 83, 227; момента количества движения о. 91; не
положительно определенные о. 1144; неэрмитовы о. 818; обратный о. 1108; положения
о. 83; положительно определенные о. 719; правила перестановочности 229; преобра-
преобразования о. 88; проекционные о. 113, 1022; самосопряженные о. 805, 1110; след о.
844, 847, 1026, 1139; сопряженные о. 499, 548,805, 809, 811, 814; спиновые о. 91, 106;
среднее значение о. 224; унитарные о. 87; функции от о. 225, 719; эрмитовы о. 86, 717,
814; эрмитово сопряженные о. 717, 814, 1107.
Опережающий потенциал 201, 808.
Определенное ядро 840, 841, 919; преобразование к о. я. 841.
Определяющее уравнение для дифференциального уравнения 503.
Ортогонализация 858—864; метод Шмидта 725, 858—860.
Ортогональность собственных функций 668, 675, 702; случай непрерывного спектра-709.
Ортогональные координаты 32—38; выражение для градиента 41; выражение для диверген-
дивергенции 45; выражение для производной по направлению 42; выражение для элемента

Предметный указатель 879
объема 37; и тензоры 52—60; коэффициенты Ламе 34; таблица разделяющих коорди-
координат 612—622; таблица свойств 116, 117.
Ортогональные полиномы 725—731; Гегенбауера о.п. 726; и факторизация 678, 731;
Лагерра о.п., см. Лагерра полиномы; Лежандра о.п. 1306, 1311; ортогонализация
725, 858—864; производящие функции 695; тессеральные о.п. 517; Чебышева о.п.
724, 726; Эрмита о.п. 729; Якоби о.п., см. Якоби полиномы.
Ортонормированные собственные функции 677.
Основной параллелограмм для двоякопериодической функции 404.
Особенности полей 30.
Особые точки дифференциального уравнения 489; иррегулярные о.т. 503; определяющее-
уравнение 503; регулярные о.т. 503; слияние о.т. 489; случай двух регулярных о.т.
506, 623; случай двух регулярных о.т. и одной иррегулярной 523; случай одной регу-
регулярной о.т. 506, 622; случай одной регулярной о.т. и одной иррегулярной 518—522Г
626 (вырожденное гипергеометрическое уравнение 519; кулоновская волновая функция
519, 521; уравнение Бесселя 521); случай трех регулярных о.т. 508—518, 623 {гипер-
{гипергеометрическая функция 511; стандартная форма 509; уравнение Папперица 509);
таблица формул 622—629.
Особые точки функций комплексного переменного 339, 456; и классификация функций
360; и конформное отображение 341; и обратная фукция 342; и точки ветвления 378;
изолированные о.т. 359; полюсы 359; существенно особые точки 359, 456.
Осциллятор, см. Гармонический осциллятор.
Осцилляционные теоремы для задачи Штурма—Лиувилля 670, 673.
Отверстие в плоскости, диффракция на нем 1482; течение жидкости через о. 1275, 1276.
Отклоняющий адмитанс границы 1345.
Относительность, см. Лоренца преобразование.
Отражение, вариационный принцип 1125, 1479; диффузное о. 1573; для уравнения Шре-
дингера 1071, 1074, 1092, 1606. 1611; звуковых воли в трубе о. 1414 (случай круглой
трубы с диафрагмой 1477; случай облицованной трубы 1484; случай о. от конца трубы
1490, 1491; случай прямоугольной трубы с диафрагмой 1414; случай трубы с коленом
1418); упругих волн о. 1750, 1754; электромагнитных волн о. от конца волновода 1766;
электромагнитных волн о. от плоскости 1749, 1750; электромагнитных воли о. от по-
полосы 1400; электромагнитных волн о. от штыря в волноводе 1772.
Отражения коэффициент 129, 1066, 1071, 1454; WKBJ-приближение 1099; приближепие
Ворна 1079; ряд Фредгольма 1080.
П
Падения плоскость 1749.
Папперица уравнение 509.
Параболические координаты 476, 488, 615, 617; и волновое уравнение 1373—1382 (диф-
(диффракция на крае экрана 1381; и функции Вебера 1378; разделение переменных 476,
477, 488; разложение плоской волны 1381; собственные функции для внутренних задач
1375; функция Грина 1380); и двумерное уравнение Лапласа 1197 (функция Грина
1197, 1198); и кулоновский потенциал 1618; и трехмерное уравнение Лапласа 1277
(интегральное представление решений 1278; и функции Бесселя мнимого аргумента
1277; функция Грина 1279).
Параболические уравнения 170, 644; краевые условия 657, 658; нормальная форма 644;
разностное уравнение 656, 722.
Параболические цилиндрические координаты 521; см. также Параболические коордипаты.
Параболоидальные координаты, разделение переменных 488, 620, 621.
Парсеваля формула 432.
Паули спиновый оператор 106.
Перевала метод 414, 453; для гамма-функции 418; для функций Бесселя 587; и коротковол-
коротковолновое приближение 1501.
Передачи импульса эффективное сечение 184, 189.
Переменные квантовые независимые 225; правила перестановочности 229, 230; сопряжен-
сопряженные к.п. 221; среднее значение 224, 230.
Переменные сопряженные 275.
Перенос, вызванный силовым полем 190.
Переноса уравнение 183, 829, 1562, 1563, 1585, 1587; см. также Диффузия, Распределения
функции.
Переносный импеданс 273.
Переходные процессы 1314—1323; для звуковых волн в трубах 1412, 1413; для колеблю-
колеблющейся струны 130; и интеграл Фурье 130, 1314.
Периодические краевые условия и собственные функции 663.
Периодические функции 402—410; таблица 462—466.
Пертурбационные методы в абстрактном векторном пространстве 1022; вариационно-
итерационный м. 1029—1035 ( и уравнение Матъе 1033); вековой определитель 1016;
WKBJ-метод, см. Венцеля—Крамерса—Бриллюэпа—Джеффриза метод; для неортого-
неортогональных функций 1036; для рассеяния 1063—1104 (WKBJ-метод 1090—1104; длинно-
длинноволновое приближение 1083—1089; коротковолновое приближение 1090—1104,

Предметный указатель
1498—1504, 1511—1514; метод Фредголъма 1077; приближение Кирхгофа 1073; при-
приближение Борна 1072—1075, 1637; примеры 1074, 1079, 1081, 1639); итерационный м.
1006—1015 (для вырожденных систем 1623; и гармонический осциллятор 1598; и урав-
уравнение Матъе 1013; матричные алементы 1699; модифицированный и.м. 1035, 1036;
сходимость 1011, 1023, 1029); Финберга м. 1015—1022 (и уравнение Матье 1020;
сходимость 1019); Фредгольма м. 1022—1029 (и уравнение Матъе 1028; модифици-
модифицированный Ф.м. 1035, 1036); таблица формул 1155—1157.
Петля тока, излучение 1809.
Планка постоянная 217; и соотношение неопределенности 220.
Плоские волны 143; в параболических координатах 1381; в полярных координатах 767,
1354; в сферических координатах 1434; в сфероидальных координатах 1471; в упругой
среде 307, 1750 (отражение от плоскости 4, 1754; тензор напряжений-анергий 308);
в эллиптических координатах 1395; для уравнения Дирака 254; для уравнения Шре-
дингера для двух частиц 1678; звуковые п.в. 297 (тензор напряжений-анергий 297);
и интегральные представления 767; и функции Грина 767; электромагнитные п.в.
317, 1748 (в сферических координатах 1796; импеданс 318; отражение от плоскости
1749; тензор напряжений-энергий 318).
Плоскость падения 1749.
Плотности функция для полиномов Гегенбауера 726; для полиномов Лагерра 728; для
полиномов Чебышева 726; для полиномов Эрмита 729; для присоединенных функций
Лежандра 726; для собственных функций 677, 725.
Плотность заряда в квантовой механике 246, 326, 1591; для уравнения Дирака 251; для
уравнения Клейна—Гордона 302; на поверхности 211; обменная п. з. 1685.
Плотность импульса поля 305; для жидкости 297, 326; для струны 290, 325; для упругой
среды 307, 308, 327; для уравнения Дирака 319, 328; для уравнения диффузии 326;
для уравнения Клейна—Гордона 302, 327; для уравнения Шредингера 301, 326;
для электромагнитного поля 314, 328; таблицы 325—328.
Плотность скорости для уравнения Дирака 251.
Плотность собственных значений 705—707; для уравнения Шредингера 711, 712; при не-
непрерывном распределении 709.
Плотность тока 197; для уравнения Дирака 251, 319; для уравнения Клейна—Гордона
302; для уравнения Шредингера 245, 326, 1591; и магнитное поле 197; как 4-вектор
202; продольная составляющая п. т. 205.
Плотность функции Гамильтона 290; для изотропной упругой среды 327; для неизотропной
упругой среды 309, 327; для сжимаемой жидкости 297, 326; для струны 290, 325;
для уравнения Клейна—Гордона 302, 327; для уравнения Прока 215; для электромаг-
электромагнитного поля 312, 328; таблицы 324—328.
Плотность функции Лагранжа, см. Лагранжа функции плотность.
Плотность частиц 1568.
Плотность энергии 290; для векторного поля 304; для звука 297; для струны 125, 126, 290;
для упругой среды 148, 306, 309; для уравнения Дирака 319; для уравнения диффузии
326; для уравнения Клейна—Гордона 302; для уравнения Шредингера 300, 326;
для электромагнитного поля 311, 312.
Поверхности римановы 379; п. уровня 16; эквипотенциальные п. 25.
Поверхностная плотность заряда 211.
Поверхностное нагревание пластины 1543.
Поверхностные возмущения 1005, 1040—1063; см. также Возмущения граничных условий.
Поверхностные волны для уравнения Шредингера системы двух частиц 1660, 1673,1674.
Поверхностные заряды и граничные условия 738, 748, 749.
Поверхностные интегралы 26.
Поворот элементарный 42.
Поглощения эффективная ширина 1793; п. эффективное сечение 177, 1454, 1813.
Подъемная сила 1215—1218; и аналитические функции 1215; и циркуляция вокруг кру-
кругового цилиндра 1215; при обтекании полосы 1217; при обтекании эллиптического
цилиндра 1216.
Пойнтинга вектор 209, 314.
Поле 13—15; аффинорное п. 69; безвихревое п. 29; вариационные принципы 288—319;
векторное п. 19—31, 303—319, 1705—1827; завихренность п. 49; магнитное п. 197,
1730, 1736, 1741; общие свойства 303—306; особенности 30; скалярное п. 15—19,
288—303; электромагнитное п., см. Электромагнитное поле; электростатическое п. 195.
Полигамма -функции 399, 400.
Полная проводимость, или адмитанс 287; см. также Адмитанс.
Полпое эффективное сечение 177, 1454; и рассеяние вперед 1069, 1506.
Полнота 659, 660, 675; в случае нескольких измерений 701; вариационный принцип 686;
п. системы полиномов Лешандра 537, 538; п. системы собственных векторов 666, 667,
721; п. системы собственных,.функций 659, 660, 675; п. системы тригонометрических
функций 537; п. системы функций Бесселя 538.
Положепия оператор 83.
Положительно определенное ядро 836, 840, 919.
Положительно определенный оператор 719.

Предметный указатель 88i
Полоса внутри параллелепипеда, искажение стоячих волн 1407; излучение колеблющейся
п. 1396; излучение тока, текущего по п. 1399; рассеяние звука на п. 1401, 1509.
Полудиагоналыюго типа ядра 882, 883; и производящие функции 883.
Полуопределенные ядра 840, 847.
Полуцилиндрическне функции 1699.
Полюсы 359, 456; п. гамма-функции 396; п. эллиптической функции 405, 406.
Полярные координаты 477, 614; и векторное уравнение Лапласа 1733 (статика упругого
тела 1734; течение вязкой жидкости в трубах 1733); и волновое уравнение 1348-—
1373 {излучение кругового цилиндра 1351; колебания круглой мембраны 1350; рассеяние
на крае экрана 1359; рассеяние на цилиндре 1354; рассеяние на цилиндре со щелью
1363; функция Грина 1349); и уравнение Лапласа 1174—1185 (внутреннее нагревание
цилиндра 1181; поле вблизи цилиндра со щелью 1182; поле между концентрическими
цилиндрами 1174; функция Грина 1179; цилиндры в однородном поле 1175); раздели-
разделимость 477; разложение плоской волны 767, 1354.
Полярные ядра 836, 840, 842, 919.
Поперечная аффинерная функция Грина 1719, 1803; разложение 1721.
Поперечная компонента векторного поля 1704,*1705; в криволинейных координатах 1706.
Поперечно-магнитные волны в волноводах 1758; затухание 1766; эффективный импеданс
1757, 1767, 1768.
Поперечно-электрические волны в волноводах 1755; добротность 1783; затухание 1765;
рассеяние 1756; эффективный импеданс 1757, 1767, 1768.
Поперечные собственные функции векторные в круговых цилиндрических координатах
1735; в прямоугольных координатах 1715; в сферических координатах 1739, 1795,
1796.
Поперечные упругие волны 141, 145, 1750; в криволинейных координатах 1773, 1774,
импеданс среды 149; напряжения 147, 1750—1751; отражение п.у.в. 1750, 1751.
Поперечные электромагнитные волны 200, 205, 1749, 1755.
Потенциал векторный, см. Векторный потенциал; запаздывающий п. 201, 778, 808; кинети-
кинетический п. 269; опережающий п. 201, 808; скалярный п., см. Скалярный потенциал;
скоростей п. 150, 293; электростатический п., см. Электростатика.
Потенциальная функция 25.
Потенциальная энергия жидкости 293; п. э. струны 126.
Потенциальный барьер, см. Проникновение через потенциальный барьер.
Поток вектора 27, 44.
Поток массы 168.
Поток тепла 168, 169; в D-образном цилиндре 1226; в круговом цилиндре 1181; в прямо-
прямоугольной призме 1169, 1240, 1241; в шаре 1560; в эллиптическом цилиндре 1194;
и аналитические функции 1207, 1213; неустановившийся п.т. 1543, 1547; при распро-
распространении звука 257; постоянная диффузии 170.
Поток частиц 1568.
Поток энергии, см. Интенсивность поля.
Правая система координат 20, 33.
Преломления показатель 1752; и закон Снеллиуса 1753; и рассеяние на сфере 1452.
Преобразования и сопряженные переменные 274; канонические п. 274; конформные п.,
см. Конформное отображение; операторов п. 88; прикосновения п. 275; унитарные
п. 89.
Преобразования функции в квантовой теории 228^230; для колеблющейся струны 134;
уравнения 230.
Присоединенная билинейная форма 499, 548, 604, 805, 809; для вырожденного гипергее
метрического уравнения 569; для преобразования Эйлера 551; для уравнения Лап-
Лапласа 557.
Присоединенные функции Лезкандра, см. Лежандра функции.
Причинность 773, 808; и взаимность. 793.
Пробные функции, или функции сравнения 1105, 1114.
Проводимости матричные элементы 1346.
Проводимость (активная), или кондуктанс 287.
Проводимость стенок волновода 1762; и добротность 1782; н затухание 1765; и рассеяние
1793, 1812.
Проводники 202; граничные условия на" поверхности п. 210, 1753; релаксационные коле-
колебания тока внутри п. 202.
Продольная компонента векторного поля 1704, 1705.
Продольные аффинорные функции Грина 1719; разложение 1721; уравнение 1722.
Продольные векторные собственные функции в круговых цилиндрических координатах
1735; в прямоугольных координатах 1715; в сферических координатах 1739, 1745,
1795.
Продольные упругие волны 141, 1750; в криволинейных координатах 1773; в шаре 1802;
импеданс 149; напряжения и деформации 147, 1750; отражение 1750, 1751.
Продольные электромагнитные волны 200, 205.
Продольный ток 205.
Проекционный оператор 113, 1022.

882 Предметный указатель
Произведение векторов 20, 21.
Производные аналитической функции 355; п. по направлению 41, 57.
Производящие функции 695—699; 864; и интегральные уравнения 864—869, 883; п.ф.
полиномов Гегенбауера 564, 720; п.ф. полиномов Лагерра 728; п.ф. полиномов Ле-
жандра 560, 695—699; п.ф. полиномов Эрмита 729; п.ф., связывающие гиперболи-
гиперболические и тригонометрические функции 1302; п.ф. функций Бесселя 581; п.ф. функций
Лезкандра второго рода 699.
Прока уравнение 215, 261, 1818.
Проникновение через потенциальный барьер 1075, 1610; WKBJ-метод 1097; приближение
Борна 1079; ряд Фредгольма 1080.
Просачивание жидкости через пористое твердое тело 169.
Пространство импульсов в квантовой механике 231, 1076, 1590, 1601, 1628; и гармониче-
гармонический осциллятор 1601, 1628, 1629; и интегральная теорема Фурье 232; и координат-
координатное пространство 233; и кулоновская волновая функция 1629; и уравнение Шредин-
гера 234, 235; функция преобразования 231.
Прямоугольного сечения волноводы 1755; функция Грина 1758.
Прямоугольного сечения трубы, звуковые волны в них 1411, 1412; случай диафрагмы
в трубе 1414; случай изогнутой трубы 1418; эффективный импеданс 1417.
Прямоугольные координаты 476, 487, 614; и волновое уравнение 1341, 1406 (векторные
волны 1714, 1758, 1759, 1781; искажение стоячих волн полосой 1407; разделение пере-
переменных 476, 487; функция Грина для внутренних задач 1341, 1407); см. также Декар-
Декартовы координаты.
Псевдовектор 204.
Псевдопериодический ряд 407.
Псевдопотенциачьная функция 25.
Пуассона интегральная формула 353, 755.
Пуассона коэффициент 76, 1776.
Пуассона решение начальной задачи 784.
Пуассона скобки 221, 278; и квантовая механика 222.
Пуассона уравнение 19, 47, 1167—1311; в электростатике 196; векторное П.у. 1730; гра-
граничные условия 654; для струны 121; разностное уравнение 648; функция Грина 741.
Пуассона формула суммирования 442, 459.
Пузырьки воздуха в воде, рассеяние звука на них 1462.
Пучок частиц, диффузия 1549.
Пьезоэлектричество 257, 323.
Радиальное уравнение Шредингера 1612; вариационно-итерационный метод 1647; вариа-
вариационный метод 1114, 1115, 1644 (для фазовых углов 1120); WKBJ-метод 1099; длинно-
длинноволновое приближение 1086—1090; для кулоновского потенциала 1614; для силы,,
обратно пропорциональной кубу расстояния 1616; для трехмерного осциллятора
1613, 1614; для экспоненциального потенциала 1620; и рассеяние 1066, 1072, 1630;
интегральное уравнение 1071; разрешимые случаи 1620.
Радиус сходимости ряда Тейлора 356; аналитическое продолжение 357.
Разделения константы 473; и граничные условия 481; и разделимость 489, 703.
Разделимость векторного уравнения •Гельмгольца 1706; и граничные условия 470, 471;
и софокусные поверхности второго порядка 484; констант разделения р. 489, 703;
константы разделения 473, 703; определитель Штеккеля 484; таблица формул 612^
622; трехмерного уравнения Лапласа р. 491 (координаты вращения 605; софокусные
циклиды 492; таблица 612); уравнений Гельмгольца и Шредингера р. 470—495;
условие Робертсона 484.
Разделяющие координаты 470—495, 604—606; таблица 612—622.
Разложения ядер интегральных уравнений 879; второго класса 881; конечные р. 885;
первого класса 880; третьего класса 885.
Разностные уравнения 645—658; для гиперболического уравнения 654; для параболиче-
параболического уравнения 656, 722, 723; для уравнения Лапласа 647; для уравнения Пуассона
648; и рекурсивные формулы 510; функция Грина, см. Грина функция.
Рамзауера эффект 1633.
Распределения функции 170—195, 1561—1590; в случае потери энергии при столкновениях
191, 1588; вариационный принцип 1581; возрастная теория 192, 1587; граничные усло-
условия 181; диффузия света 177—184, 1571—1581 (приближение 180; уравнение Милна
179, 183, 1578—1581); диффузная эмиссия и отражение 1572, 1573; для рассеяния впе-
вперед 1565, 1692, 1693; и внешние силы 190; и кинетическая энергия 172; и уравнение-
состояния 172; моменты р.ф. Д569; неизотропное рассеяние 184; средняя длина ¦ сво-
свободного пробега 174; стационарные р.ф. 1568; уравнение для р.ф. 1562, 1563, 1571;
уравнение непрерывности 172.
Распространение тепла 170, 1543—1549, 1560, 1561; см. также Поток тепла.
Рассеяние в центральном поле 1630 (вариационно-итерационный метод 1652; вариацион-
вариационный метод 1120, 1126, 1153, 1650, 1652; WKBJ-метод 1100; длинноволновое приближе-

Предметный указатель 883
ние 1086, 1635; приближение Борна 1072, 1637; резонансные эффекты 1633; случай
экранированного атома 1631; фазовые углы 1067, 1068, 1072, 1631; экспоненциальный
потенциал 1636, 1644, 1651; эффект Рамзауера 1633); вариационный принцип 1126,
ИЗО, 1153, 1161, 1504, 1650, 1652; WKBJ-метод 1100; граничные условия 1064; длинно-
длинноволновое приближение 1083—1090, 1636; для уравнения Шредингера 1630 (вариа-
(вариационно-итерационный метод 1652; вариационный метод 1120, 1126, ИЗО, 1153, 1161,
1650, 1652; задача двух частиц 1683; обменное р. 1686; структурный фактор 1640,
1686; упругое и неупругое р. 1685; формула Резерфюрда 1619, 1640); интегральное
уравнение, см. Интегральные уравнения; коротковолновое приближение 1100—1103,
1357, 1450, 1511; медленных частиц р. 1636; методы теории возмущений 1063—1104;
неиаотропное р. 184; приближение Борна 1072, 1075, 1642; приближение Кирхгофа
1073; р. вперед и полное эффективное сечение 1069, 1506; р. вперед, функция распре-
распределения 1565, 1566, 1692—1694; р. звука 1354 (вариационный принцип 1504; когерент-
когерентное р. з. 1460; на диске 1484; на параболических границах 1377; на полосе 1401, 1509;
на пузырьках воздуха в воде 1462; на резонаторе Гелъмгольца 1455; на совокупности
рассеивателей 1459; на сфере 1449, 1451, 1452, 1454, 1511; на цилиндре 1354, 1356,
1357; на цилиндре со щелью 1363; некогерентное р. з. 1460, 1461); р. на экранирован-
экранированном атоме, см. Атом; рэлеевское р. 1811; ряд Фредгольма 1077; электромагнитных
волн р. 1792 (вариационный принцип 1823; на малом объекте 1814; на сфере 1810;
на цилиндре 1792).
Рассеяния амплитуда 1064, 1069, 1070, 1159, 1160; вариационный принцин 1127, ИЗО,
1161, 1650, 1652; интегральное уравнение 1076.
Рассеяния аффинор 1823.
Рассеяния длина 1085, 1087.
Рассеяния эффективное сечение 174, 1065, 150й, 1811; дифференциальное э.с. 1065; и рас-
рассеяние вперед 1069, 1507.
Растягивающие напряжения 75.
Растяжение простое 73; р. с сохранением объема 73.
Расходящиеся волны 144, 1064.
Расширения коэффициент для аффинора 61, 65.
Реактанс, или реактивное сопротивление 287; см. также Реактивное сопротивление.
Реактивная проводимость, или сусептанс 287; матрица р.п. 1348.
Реактивное сопротивление, или реактане 287; и активное сопротивление 353; излучения
р.с. 831, 1398, 1400.
Резерфорда формула 1619, 1640.
Резистанс, или активное сопротивление 287.
Резольвента 845.
Резонанса явление при рассеянии 1367, 1455, 1633.
Резонансные частоты 274; вариационный принцип 1110; см. также Резонаторы, Собствен-
Собственные значения.
Резонаторы акустические 1368; Гельмгольца р.а. 1455; параллелепипед с полосой внутри
1407; сфера 1436; сфера с колеблющейся струной внутри 1439; сфера с отверстием 1455;
цилиндр со щелью 1367.
Резонаторы электромагнитные 1781; вариационный принцип 1821; возбуждение р. при
помощи волновода 1786; возбуждение р. током 1784; добротность 1782, 1800; клистрон
1789; потери энергии в р. 1782, 1800; прямоугольный параллелепипед 1781; сфериче-
сферическая полость 1799; сферическая полость, содержащая малый объект 1814.
Рейнольдса число критическое 1733.
Рекуррентные формулы для вырожденной гипергеометрической функции 626; для гамма-
функции 396; для гипергеометрической функции 623; для полигамма-функций 400;
для полиномов Гегенбауера 726; для полиномов Лагерра 728; для полиномов Лежандра
696, 726, 1307; для полиномов Эрмита 729; для полипомов Якоби 1698; для полуци-
полуцилиндрических функций 1700; для сферических комплексных гармоник 1612; для сфе-
сферических функций Весселя 582; для функций Весселя 580, 1302; для функций Вебера
1524, 1525; для функций Лежандра 563, 683, 726, 1306.
Рекурсивные формулы двучленные 511, 536; для дифференциального уравнения 510, 535;
для разностного уравнения 510; трехчленные р.ф. 523, 524.
Релаксационные колебания и проводимость 202.
Релятивистская частица, функция Лагранжа 284.
Релятивистская энергия 99.
Римановы поверхности 379.
Робертсона условие и разделимость 484.
Рожок экспоненциальный, излучение звука 1332.
Ротор, или вихрь 49.
Рэлеевское рассеяние 1811.
Рэлея—Ритца метод 1115; и вековой определитель 1116.
Ряды 365, 675; вырожденный гипергеометрический р. 520, 522, 578; гипергеометрический
р., см. Гипергеометрическая функция; и иптегральные представления 543; и реше-
решение дифференциальных уравнений 501—542; обращение р. 389; р. по собственным
функциям 675, 691, 693, 695; степенные р. 364; суммирование р. 390.

884 Предметный указатель
Самосопряженные интегральные уравнения 919.
Самосопряженные операторы 86, 805, 1410; вариационный принцип 1110; дифференциаль-
дифференциальные со. 869; и симметричные ядра 840.
Свернутый тепзор 53, 61.
Свертки теорема для преобразования Лапласа 444, 460; для преобразования Меллина
446, 460; для преобразования Фурье 440, 458, 459; и ядра вида v(x—х0) 892, 900.
Света диффузия 177.
Сверхзвуковой поток 159, 162—168.
Свободные состояния в квантовой механике 1602; для систем нескольких частиц 1674.
Связанные осцилляторы 79, 80, 1665.
Связанные состояния в квантовой механике 1602; вариационно-итерационный метод
1158; вариационный метод 1112, 1157, 1679; WKBJ-метод 1096, 1099; для двух частиц
1679; для нескольких частиц 1673; методы теории возмущений 1006—1040, 1155.
Связи уравнение для дифференциальных уравнений 542, -543; для вырожденной гипергео-
гипергеометрической функции 570; для гипергеометрической функции -515, 546, 5^4, -555, 623;
для присоединенных функций Лежандра 564; для функций Гегенбауера 565.
Связи уравнения для интеграла Лагранжа 267.
Связность области 343.
Сдвиг простой 73; модуль с. 76; чистый с. 73.
Сдвига волны, см. Поперечные волны.
Седловая точка 415; см. также Перевала метод.
Сетки потенциал в триоде 1221.
Сжатая модуль 159, 160.
Сжимаемой жидкости течение 159—168; безвихревое т.. 161; дозвуковое и сверхзвуковое
т. 162; и волновое уравнение 159; линейное приближение 164; линии Маха 165; удар-
ударные волны 165; число Маха 162.
Сила, действующая на заряды и токи 199.
Сила, действующая на тело, погруженное в поток жидкости 1209.
Симметризация тензора напряжений-энергий 321.
Симметричные аффиноры 64; задача о собственных значениях 65.
Симметричные ядра 840, 843, 919; и самосопряженные операторы 840.
Сингулярные ядра 852, 920.
Синус-преобразование Фурье 431.
Системы координат правые и левые 20, 33.
Системы нескольких частиц в квантовой механике 1657—1674.
Скаляр 53, 61.
Скалярное волновое уравнение, см. Волновое уравнение.
Скалярное произведение векторов 20.
Скалярные поля 15; вариационный принцип 288—303; общие свойства 288—303; сводка
результатов 325—327.
Скалярный потенциал 59, 143, 1705; волновое уравнение 200.
Скин-слоя глубина 1783; эффективная1 с.-с. г. 1793.
Скорейшего спуска метод, см. Перевала метод.
Скоростей потенциал 160, 293; для волнового уравнения 159; для сжимаемой жидкости
164; для уравнения Лапласа 153.
Скорости амплитуда 128.
Скорости плотность для уравнения Дирака 251.
Скорость волны 124; дисперсия 138, 1756; для звуковых волн 161; для струны 124; для
упругих волн 141; для уравнения Клейна—Гордона 138; для электромагнитных волн
200.
След аффинора 61, 65; с. оператора 844, 847, 1027; с. функции Грина 921.
Слияние особых точек 489; и вырожденное гипергеометрическое уравнение 519.
Сложения формула для полиномов Лагерра 729; для полиномов Лежандра 727, 1257.
Случайные блуждания и функция Грина 654.
Смешанное тройное произведение векторов 22.
Смешанный тензор 53, 61.
Снеллиуса закон 1753.
Собственная длина 98.
Собственное время 95.
Собственные векторы 82; вариационный принцип 719; для гармонического осциллятора
237; для координатного оператора 227; для оператора единичного сдвига 132; для
оператора импульса 231; для эрмитова оператора 718, 719; и собственные функции
666, 667; и функции преобразования 228; нормировка 228; операторное уравнение
82, 667, 718; полнота 667, 721;,рдаложение оператора Грина по св. 817.
¦Собственные значения 82; асимптотические формулы 687; в абстрактном векторном про-
пространстве 716; вариационно-итерационный метод 1029—1035, 1133—1141; вариацион-
вариационный метод 684, 1106—1120, 1147; действительные с. з. 676; для атома водорода 592;
для гармонического осциллятора 237; для прямоугольной мембраны 701; для треуголь-

Предметный указатель 885
ной мембраны 701; для уравнения Матье 525—527, 532; для эллиптической мембраны
703; и вырождение 674; и задача Штурма—Лиувилля 669, 678, 682, 683; и собственные
векторы 666, 718; итерационно-пертурбационный метод 1006—1015, 1156; метод
Финберга 1015—1022; метод Фробениуса 1022— 1029; наименьшие с.з. 670, 673, 719;
непрерывное распределение с.з. 708; нижние границы 1139, 1141, 1147; операторное
уравнение 82, 667, 834; плотность с.з. 705; распределение с.з. 670, 671, 673; симме-
симметрического аффинора с.з. 65.
Собственные функции 658—722; асимптотические формулы 687; в абстрактном векторном
пространстве 666; в нескольких измерениях 700; вариационный принцип 684; вырож-
вырождение 83, 674, 1443, 1623; для волнового уравнения 1326—1466 (е параболических
координатах 1375; в полярных координатах 1349; в прямоугольных координатах 1343,
1406; в сферических координатах 1434; в сфероидальных координатах 1466; в эллипти-
эллиптических координатах 1383, 1384; и преобразование Лапласа 1326); для уравнения Лап-
Лапласа 1174—1287 (в биполярных координатах 1199; в бисферических координатах
1281; в вытянутых сфероидальных координатах 1269; в декартовых координатах
1167; в круговых цилиндрических координатах 1243, 1246; в параболических координатах
1197, 1277; в полярных координатах 1174; в сплющенных сфероидальных координатах
1243, 1276; в сферических координатах 1252; в эллипсоидальных координатах 1287;
в эллиптических координатах 1185); и дельта-функция Дирака 668, 677; и произво-
производящие функции 695; и ряды Фурье 658, 691, 693; и функция плотности 677, 726—731;
интегральное уравнение 834; краевые условия 650, 659, 662—666; метод факториза-
факторизации 677—684, 731—733; неортогональные с.ф. 1036—1040, 1325, 1344, 1345; нор-
нормировка 677, 709, 771; операторное уравнение 82, 667; ортогональность с.ф. 65, 666,
675, 702, 709; ортонормированные с.ф. 677; полнота с.ф. 659, 675—677, 686, 687;
разложение функции Грина по с.ф. 760—770, 786, 799, 824, 825 (метод изображений
755, 756); ряды по с.ф. 675 (сравнение с рядами Фурье 691, 693; явление Гиббса 693);
случай непрерывного распределения собственных значений 708.
Совместности уравнения в теории упругости 1726.
Совокупность рассеивателей 1459; пузырьки воздуха как рассеиватели 1462.
Соответствия принцип 241.
Сопротивление (активное), или резистанс 287.
Сопряженная задача 808.
Сопряженная функция в вариационных принципах 1125, 1127, 1131.
Сопряженная функция Грина 793, 794.
Сопряженное операторное уравнение 806.
Сопряженные краевые условия 808.
Сопряженные операторы 499, 805, 814; со. дифференциальные 499, 541, 548, 603, 809;
со. интегральные 811.
Сопряженные переменные 221, 275.
Сопряженный аффинор 61, 65.
Сопряженный импульс 222.
Сосредоточенная сила для струны 122.
Состояния системы 80, 82; в квантовой механике 223; связанные с.с 1602; свободные с.с.
1602; стационарные ее 1591.
Состояния уравнение 172—174.
Софокусные поверхности второго порядка и разделимость 484; и эллипсоидальпые коорди-
координаты 484.
Сохранения теоремы 291, 292, 305.
Спиновый оператор 91, 105, 249; Паули со. 106; преобразование Лоренца 252.
Спиноры 102—108; и 4-векторы 103; преобразование Лоренца 103, 104.
Сплющенные сфероидальные координаты487, 618; и волновое уравнение 1475; и течение
за сплющенным сфероидом 1274; и течение через круглое отверстие 1275; и уравнение
Лапласа 1273 (интегральное представление решений 1276; функция Грина 1276);
и функции Лежандра мнимого аргумента 1273; разделение переменных 487, 618,
619.
Сравнения функции, или пробные функции 1105, 1114.
Средние значения в квантовой механике 224, 1591; и функции преобразования 230.
Средняя длина свободного пробега 174; и эффективное сечение рассеяния 174.
Срезывающие напряжения 75.
Статика упругого тела, см. Упругого тела статика.
Степенной ряд 364; см. также Ряды, Тейлора ряд.
Сток 151.
Стокса закон 1744.
Стокса теорема 51; для аффиноров 71.
Стикса явление 413, 690; и вырожденная гипергеометрическая функция 571, 573, 575.
Столкновения, возрастное уравнение 192, 1556; потеря энергии 188; уменьшение ско-
скорости частиц 192.
Стоячих волн отношение 129.
Струве функции 1305.
Структурный фактор 1640, 1686.

886 Предметный указатель
Струна гибкая 119—140, 288—292, 1316—1328; колеблющаяся с.г. 123—140, 288—292;
1316—1328 (в упругой среде 137, 138, 1323; вариационный принцип 288, 325; волновое
напряжение 292; волновой импульс 292; вынужденное движение 129; и ряды Фурье 134;
коэффициент отражения 129; отношение стоячих волн 129; переходная характери-
характеристика 130, 1314—1323; плотность канонического импульса 290; плотность функции
Лагранжа 289; поток энергии 127, 292; скорость волны 124; с. внутри сферы 1439;
с. с нежесткими закреплениями 132,4, 1338; с. с подвижными закреплениями 1338;
с. с трением 135, 1316, 1321; тензор напряжений-энергий 291; уравнение колебаний
124, 125, 290; функция Грина 125, 1316; энергия 125, 291, 292; эффективный импе-
импеданс 127, 128); статика 119, 123 (уравнение 121; функция Грина 123).
Струна идеализированная весомая 130, 131; нормальные формы колебаний 133; оператор-
операторное уравнение 131; предельный случай непрерывной струны 133.
Ступенчатая функция 122, 392, 778.
Сужение в волноводе 1768.
Суммирование рядов 390.
Сусептанс, или реактивная проводимость 287.
Существенно особые точки 359, 456.
Существенно сингулярные ядра 855, 920.
Сфера, излучение звука колеблющейся с. 1444; колебания с. 1437; колеблющаяся струна
внутри с. 1439; рассеяние звука на с, см. Рассеяние; электромагнитные волны внутри
с. 1799, 1801.
Сферические волны расходящиеся 144, 1064; сходящиеся св. 144; электромагнитные св.
1794, 1795.
Сферические гармоники 1248, 1431; векторные с г. 1824; Гобсона с. г. 1268; комплексные
с. г. 1431; таблица формул 1306—1308; теорема сложения 1257; Феррера с.г. 1268.
Сферические координаты 487, 615; и векторное волновое уравнение 1794 (и мулътиполи
1796; излучение 1796, 1803; продольные волны 1795; разложение плоской волны 1796;
рассеяние 1810; резонатор 1799; функция Грина 1802); и векторное уравнение Лапласа
1737 (векторные собственные функции 1737; поле заряженной вращающейся сферы
1741; поле петли тока 1741; течение вязкой жидкости за сферой 1742; упругие де-
деформации угара 1744—1747; функция Грина 1739); и рассеяние 1449—1459 (коротко-
(коротковолновое приближение 1511; на резонаторе Гелъмгольца 1455; на сфере 1449, 1452,
1454); и скалярное волновое уравнение 1430—1466 (излучение поршня, являющегося
частью сферы 1447; излучение сферы 1444; разложение плоской волны 1434; резонатор
Гельмголъца 1455; функция Грина 1434, 1437); и скалярное уравнение Лапласа 1247—
1266 (диэлектрическая сфера в однородном поле 1250; заряженная проволока внутри
сферы 1258; заряженная сфера с отверстием 1264; заряженный сферический сегмент
1252; и мулътиполи 1258—1264; интегральное представление решений 1253; магнит-
магнитное поле петли тока 1251; поле между эксцентричными сферами 1255; потенциал
сферы 1249; течение за сферой 1249, 1250; функция Грина 1256); колебания воздуха
внутри сферы 1436; колебания гибкой сферы 1436; колебания струны внутри сферы
1439; упругие волны в шаре 1801.
Сферические функции Бесселя, см. Бесселя функции.
Сфероидальные волновые функции 601, 1467—1475; асимптотическое поведение 1469;
и полиномы Гегенбауера 601, 1467; и сферические функции Бесселя 602, 1469; инте-
интегральные представления 1471, 1472; нормировка 1467; приближенные формулы 1468;
радиальные с.в.ф. 602, 1469—1475; разложение в произведение 1472; таблица формул
1534.
Сфероидальные координаты 487, 617, 618; см. также Вытянутые сфероидальные коорди-
координаты, Сплющенные сфероидальные координаты.
Сходимости круг 355, 356; и аналитическое продолжение 357; поведение функции на гра-
границе ск. 364.
Сходимости радиус 356.
Сходимость в среднем 433; с. вариационно-итерационного метода 1031, 1137; с. гипергео-
гипергеометрического ряда 367; с. длинноволнового приближения 1089; с. итерационно-пер-
итерационно-пертурбационного метода 1011, 1023, 1029; с пертурбационных рядов для возмущений
границы 1056, 1061; с. пертурбационных рядов для рассеяния 1073—1075; с. формулы
Финберга 1019.
Сходящиеся волны 144.
Тейлора ряд 355; и аналитическое продолжение 357; радиус сходимости 356.
Телеграфное уравнение 800; начальная задача 804; функция Грина 801.
Тензоры 52—60; для электромагнитного поля 203; и аффиноры 61; как векторные опера-
операторы 57, 58; типы т. 53, 61.
Тень 1357, 1512.
Тетрадики 76.
Течение вязкой жидкости 156—158, 1175; напряжения 155, 156; нестационарное т.в.ж.
в трубе 1780; т.в.ж. в трубе 1732, 1733; уравнение т.в.ж. 158.

Предметный указатель 887
Точение жидкости 149—168, 293—299; безвихревое т.ж. 150; вариационный принцип.293;
вихревой вектор 150, 1175; граничные условия 154; дозвуковое и сверхзвуковое т.ж.
162; и аналитические функции 1206, 1213; источники и стоки 151; кинетическая
энергия 293; линии Маха 165; потенциал скоростей 293; потенциальная энергия 294;
силы, действующие на погруженные тела 1209; т.ж. в трубах 1241, 1245; т. ж. за
двумя цилиндрами 1201; т.ж. за круговым цилиндром 1175; т.ж. за сплющенным
сфероидом 1274; т.ж. за сферой 1249; т.ж. за эллиптическим цилиндром 1180; т.ж.
через отверстие 1275; т.ж. через щель 1185, 1733; ударные волны 165; уравнениеБер-
нулли 158; уравнение Лапласа 153, 293; уравнение непрерывности 151; число Маха
164.
Тока линии 22.
Тока функция 153, 1171, 1207; и комплексное переменное 337.
Токи, излучение т. 1803, 1804; индуцированные диполи и т. 1814; поля, создаваемые
т. 1727, 1730, 1736, 1741; силы, действующие на т. 198, 199.
Точки ветвления, см. Ветвления точки.
Трение, колеблющаяся струна с т. 135, 1316.
Трение расширения 156.
Треугольная мембрана 701, 702.
Тригонометрические функции 1300; таблица значений 1838.
Триоды 1221.
Тороидальные гармоники 1282, 1283, 1309; таблица значений 1848; таблица формул 1309.
Тороидальные координаты 495, 622; и уравнение Лапласа 1282 (функция Грина 1285);
разделимость 495.
Тэта-функции 407—410; и функции Матье 1391; таблица свойств 465.
У
Угловая переменная 281.
Угловая скорость 125.
Ударные волны 165.
Удвоения формула для гамма-функции 401.
Удлинения волны 1775.
Уиттекера функции 574, 627; см. также Вырожденная гипергеометрическая функция
третьего рода.
Унитарный аффинор 67.
Унитарный оператор 87.
Упругая среда, вариационный принцип 306; таблица 327.
Упругие волны 140—149; в брусе 1773, 1775, 1777; векторные у.в. 145; импеданс среды 149;
интенсивность 149; кручения у.в. 1775; напряжения и деформации 147; отражение
1749, 1754; плоские у.в. 307, 309, 1749; поперечные у.в. 141, 145; продольные у.в.
141; сдвига у.в. 142, 145; удлинения у.в. 1775; функция Грина 1722.
Упругие деформации 71—77; и напряжения 74, 75.
Упругие константы 77.
Упругие стенки трубы 1328.
Упругого тела статика 1725; бигармоническое уравнение 1726; деформации шара 1744
уравнения 1730, 1731; уравнения совместности 1726; функция напряжений 1726.
.Упруго-подкрепленная струна (струна в упругой среде) 137; волновой импеданс 139;
вынужденное движение 138; функция Грина 1323; см. также Клейна—Гордона
уравнение.
Усиления коэффициент 1222.
Условие на дивергенцию электромагнитного поля 310.
Ф
Фазовое пространство 170.
•Фазовые сдвиги 1067, 1072, 1631; вариационный принцип 1120—1125, 1153, 1650—1653;
WKBJ-метод 1100; приближение Борна 1072, 1641.
Фазовые углы, см. Фазовые сдвиги.
Фазовый угол комплексного числа 332.
Фактор углового распределения 1064, 1069,1070, 1160, 1352, 1793, 1810, 1811; вариацион-
вариационный принцип 1127, 1131, 1161, 1650, 1652; и фазовые углы 1632, 1633; интегральное
уравнение 1076; см. также Амплитуда рассеяния.
Факторизация в методе Винера—Хопфа 907; общий метод 915; примеры 908—915, 1488,
1496.
Факторизация оператора Штурма—Лиувилля 677—684; и гармонический осциллятор 237,
238, 678; и полиномы Гегенбауера 680; и рекуррентные соотношения 683; таблица
731—733.
Факторизуемые ядра 885.
Фарадея закон электрической индукции 199.

888 Предметный указатель
Фиктивное пространство при рассеянии 1359.
Финберга пертурбационная формула 1015—1022; и уравнение Матье 1020; неортогональ-
неортогональные функции 1038; сходимость 1019; таблица !156.
Флоке теорема 524.
Фотоны 216; импульс 218; энергия 217.
Фраунгофера диффракция 820.
Фредгольма пертурбационный метод 1022—1029; модифицированный Ф.п.м. 1036; приме-
применение к уравнению Матье 1028; случай неортогональных функций 1038.
Фредгольма ряд для задач рассеяния 1077; для проникновения через потенциальный барьер
1080.
Фредгольма уравнение второго рода 879—888, 919, 922; и преобразование Ганкеля 891;
и преобразование Фурье 888—919; и производящие функции 883; и функции Грина
881; классификация 880; неоднородное Ф.у.в.р. 887, 896, 917; однородное Ф.у.в.р.
894.
Фредгольма уравнение первого рода 837, 856—879, 919, 921; и дифференциальные уравне-
уравнения 874; и интегральные преобразования 871; и проблема моментов $76; и произво-
производящие функции 864; и функции Грина 869; метод Винера—Хопфа 917; решение в виде
ряда 856.
Френеля диффракция на крае экрана 1362.
Френеля интегралы 756, 1362.
Фронт волны 143.
Функции комплексного переменного 330—467; аналитические ф.к.п. 334, 337—410; асим-
асимптотические ряды 410; гамма-функция 396; двоякопериодические ф.к.п. 404; и кон-
конформное отображение 339, 419; и электростатика 334; и эллиптические уравнения
641; интегрирование 335, 344; классификация 360; особые точки 339, 456;.периодиче-
456;.периодические ф.к.п. 402; преобразование Фурье 435; таблица свойств 455; условия Копта—
Римана 334, 339; эллиптические ф:к.п. 404.
Функциональные ряды 537—542; и интегральные представления 541; полнота 537;
рекуррентные формулы 537, 540; рекурсивные формулы 510, 540, 541.
Фурье—Бесселя интеграл 711.
Фурье интеграл 428; и квантовая механика 232; и переходные процессы 130, 1314.
Фурье интегральная теорема 429, 433; и непрерывное распределение собственных значений
708.
Фурье преобразование 428—446; аналитические свойства 435; асимптотическое поведение
437, 438; и интегральные уравнения 872, 888—919; и переходные процессы 1314;
и преобразование Лапласа 443; и преобразование Меллина 444; и ряды Фурье 429;
и функция Грина 1340; интегральная теорема Фурье 429, 433; таблица 458, 459;
теорема свертки 440, 458, 459, 892, 900; Ф.п. по косинусам 430; Ф.п. по синусам 429;
формула обращения Фурье 429; формула Парсеваля 432; формула суммирования
Пуассона 441.
Фурье ряды 134; и колебания струны 134; и преобразование Фурье 429; и ряды по соб-
собственным функциям 691, 693; и функции Матье 530—532, 539; и функция Грина 661;
полнота 537; явление Гиббса 693.
X
Характеристики 635.
Характеристический импеданс 214.
Хилла определитель 527.
Хиллерааса координаты 1682.
ц
Целые функции 361, 456; разложение в бесконечное произведение 364.
Центральные поля в квантовой механике, кулоновский потенциал 1614; момент импульса
1611, 1612; радиальное уравнение 1613; разрешимые случаи 1621; рассеяние 1630;
сила, обратно пропорциональная кубу расстояния 1616; трехмерный осциллятор
1613; экспоненциальный потенциал 1620.
Цепная реакция 1552; общий случай, диффузионное приближение 1559.
Циклиды софокусные и разделение переменных 492.
Цилиндр в электростатическом поле 1175; заземленный ц. и линейный источник 1179;
концентрические ц., поле между ними 1174; поле вне двух ц. 1200; рассеяние на ц.
1354, 1792; рассеяние на ц. со щелью 1363, 1367, 1368; эллиптические ц. в однородном
поле 1189.
Цилиндрические координаты, разделение переменных 487.
Цилиндрические функции Бесселя, см. Бесселя функции.
Циркуляция 1190, 1191, 1215; ц. интеграл 29.
ч
Частиц диффузия 170—195, 1549—1590; вариационный метод 1581; возрастное уравне-
уравнение 193, 1556—1559, 1587—1590; действие внешней силы 190; диффузионное прибли-

Предметный указатель
жение 179, 1549—1555, 1559; диффузная эмиссия 1576; диффузное отражение 1573;
диффузное рассеяние 1574; замедление частиц при столкновениях 192, 1556—1559,
1583—1590; и плотность частиц 1568; и фазовое пространство 170; изотропное рассея-
рассеяние 1571—1583; интегральное уравнение 1571, 1584, 1585; мгновенный ливень ча-
частиц 1550; неизотропное рассеяние 185; однородное пространственное распределение
1563, 1585; рассеяние вперед 1565, 1691—1693; стационарный случай 1568; уравнение
Милна 183, 913, 1572, 1578—1583; уравнение непрерывности 1568, 1569; функция
распределения 171, 1561—1590.
Частица в электромагнитном поле 245.
Частота 125; критическая ч. 1413; резонансная ч., см. Резонансные частоты.
Чебышева функции 513, 518; и присоединенные функции Лежандра 566; и функции Геген-
бауера 566, 726; таблица формул 724—727.
Четность и инверсия в квантовой механике 1670.
4-векторы, см. Векторы; 4-в. потенциал 203, 310.
Ш
Шар, нагревание вращающегося ш. 1560; упругие волны в ш. 1801, 1?02; электромагнит
ное поле вращающегося заряженного ш. 1741.
Шварца—Кристоффеля преобразование 420, 421, 1229; примеры 422—426, 1229—1236.
Шварца неравенство 85.
Шварца принцип отражения 372.
Ширина эффективная 1356; поглощения ш. э. 1793; полная ш. э. 1793, 1794; рассеяния
ш.э. 1793, 1794.
Шмидта метод 725, 858, 859.
Шредингера уравнение 1590—1689; в параболических координатах 611, 1617; в простран-
пространстве импульсов 231, 1076, 1590, 1628; вариационно-итерационный метод 1029—1035,
1133—1141, 1158, 1647; вариационный метод 1111, 1120—1127,1131,1153:1154, 1161,
1163, 1644, 1680; WKBJ-метод 1090—1104; возмущения, зависящие от времени 242,
1596; возмущения общего вида 1106—1040, 1598; вырожденные системы 1623; длинно-
длинноволновое приближение 1086; для короткодействующих сил 1595; для электрона в двух-
двухатомной молекуле 604; зависящее от времени Ш.у. 242; и геометрическая оптика 1104;
и проникновение через потенциальный барьер 1097, 1609; и уравнение Гамильтона—
Якоби 1104; инверсия и четность 1670; интегральное уравнение 235, 1071, 1076, 1092;
момент количества движения 1612, 1668; отражение и прохождение 1074, 1079, 1092,
1606; плотность тока и заряда 1591; плотность функции Лагранжа 299; приближение
Борна 1072, 1075, 1637, 1641, 1683; радиальное Ш.у., см. Радиальное уравнение
Шредингера; разделимость 470, 486, 487, 613—620; рассеяние, см. Рассеяние; ряд
Финберга 1015; ряд Фредгольма 1022; сводка результатов 326; система двух частиц
1657; система нескольких частиц 1657; собственные значения 711—713; стационарные
состояния 1591; тензор напряжений-энергий 300; центральные силовые поля 1611—
1630.
Шгарка эффект 1626.
Штеккеля определитель и разделимость 484; таблицы 613—622.
Штурма—Лиувилля уравнение 668—695; асимптотические формулы 687; вариационный
принцип 684; нормировка собственных функций 677; ортогональность собственных
функций 676; осцилляционные теоремы 670, 673; ряды по собственным функциям
675, 691; самосопряженность 669; собственные значения 670—674; факторизация 677,
731—733; функция Грина 770; функция плотности 677.
щ
Щель, диффракция на щ. 1403; течение жидкости через щ. 1186, 1187, 1733.
Эйлера интегральное преобразование 549—554; для гипергеометрической функции 551;
для функций Лежандра 558; модуляционный множитель 551; присоединенная били-
билинейная форма 550.
Эйлера—Маскерони постоянная 399.
Эйлера преобразование рядов 373, 457; обобщения 375; приложение к гипергеометри-
гипергеометрическому ряду 376.
Эйлера углы 38, 68.
Эйлера уравнения 265—268, 303, 324.
Эквипотенциальная поверхность 25.
Экранированный атом, см. Атом.
Экспоненциальный потенциал в квантовой механике 1620; вариационно-итерационный
метод 1649; вариационный метод 1644,1651; приближение Борна 1644; рассеяние 1636.
Экспоненциальный рожок, излучение звука 1332.

890 Предметный указатель
Экстраполяционный метод в вариационно-итерационном метрде 1138.
Электрические диполи и мультиполи, излучение 1797, 1798; создаваемые колеблющимися
зарядами д. и м. 1806, 1808; статические д. и м. 1258—1264.
Электрической индукции поле 196.
Электромагнитное излучение, см. Излучение.
Электромагнитное поле 195—215, 310—318; аффинор адмитанса 317; вариационный прин-
принцип 310, 311; вектор Пойнтинга 209, 314; граничные условия 210; движущегося заряда
э.п. 206, 778; закон магнитной индукции 199; закон электрической индукции 199;
и преобразование Лоренца 202, 203; калибровка 201, 204, 315; канонические уравне-
уравнения Гамильтона 312; канонический импульс 312; плотность импульса 313, 314; плот-
плотность момента количества движения 314; плотность функции Лагранжа 311; потен-
потенциалы 198, 200, 202, 310; таблица свойств 261, 328; тензор напряжений-энергий 209,
311, 321; уравнения Максвелла 199; условие на дивергенцию 310; 4-вектор плотности
тока 202; энергия 209, 312.
Электромагнитные волны 200, 201, 1748—1827; в прямоугольных координатах 1714,
1755, 1781; в сферических координатах 1795—1817; в сфероидальных координатах
1817, 1818; влияние конечной проводимости 1762, 1782; возбуждение э.в. 1761, 1797,
1807; длинноволновое приближение 1792, 1805, 1811—1817; запаздывание 200, 201;
и импеданс 1751, 1757, 1768, 1798; и мультиполи 1796—1809; поперечные э.в. 200,
1755—1768; рассеяние 1792, 1810, 1813; резонаторы 1781, 1789, 1799; функция Грина
1758, 1782, 1801, 1803.
Электромагнитные плоские волны 317,1749; аффинор адмитанса 318; отражение от плоско-
плоскости 1749; рассеяние на полосе 1401; рассеяние на сфере 1810; рассеяние на цилиндре
1792.
Электромагнитные резонаторы, см. Резонаторы.
Электромагнитные сферические волны 1794—1796; разложение функции Грина 1803;
таблицы 1824.
Электростатическое поле 195—197; в прямоугольном колене 1235; в триоде 1221; вариа-
вариационный принцип 1106; вне вытянутого сфероида 1267; вне диска 1249; вне сферического
сегмента 1252; вне сферы 1248; вне тора 1284; вне эллипсоида 1288; внутри прямоуголь-
прямоугольника 1236; для сферы с отверстием 1264; для цилиндра со щелью 1182, 1195; и функ-
функции комплексного переменного 334—337, 358, 359, 419, 1206; между двумя проводами
и эллиптическим цилиндром 1193; между двумя цилиндрами 1200; между пластинами
конденсатора 1230; между плоскостями 1167, 1226; между полосой и полуплоскостью
1197; между полосой и эллиптическим цилиндром 1186; между проводами и цилин-
цилиндрами 1227; между проводом и круговым цилиндром 1179; между проводом и пло-
плоскостью 1171; между проводом и призмой 1128; между сфероидом и сферой 1270;
между сферой и плоскостью 1280; между эксцентричными сферами 1255; плоское э.п.
753; э.п. между проволокой и сферой 1258; э.п., создаваемое двумерной системой
линейных источников 1224; э.п., создаваемое линейными источниками 1218—
1228; э.п., создаваемое одномерной системой линейных источников 1222.
Элементарные дроби, разложение мероморфной функции на э.д. 362, 363.
Эллипсоидальные гармоники 1287—1289; интегральное уравнение 1289.
Эллипсоидальные координаты 485; вырожденные формы 487; и уравнение Ламе 1286;
и уравнение Лапласа 1285—1289; разделимость 485, 486; таблица 619.
Эллипс, волны внутри э. 700, 1393.
Эллиптические интегралы 408, 409; и функции Матье 1389.
Эллиптические координаты и волновое уравнение 1382—1404 (волны внутри эллипса
1393; диффракция на щели 1403; и функции Матье 1383; излучение полосы 1396, 1399;
радиальные решения 1385; разделимость 478, 487; разложение плоской волны 1395;
рассеяние на полосе 1401; функция Грина); и уравнение Лапласа 1185—1195 (течение
за эллиптическим цилиндром 1189; течение через щель 1185; функция Грина 1192;
электростатическое поле между полосой и эллиптическим цилиндром 1186; эллиптиче-
эллиптический цилиндр в однородном поле 1189).
Эллиптические уравнения 641; и комплексные переменные 641; и условия Дирихле 648,
654; и условия Коши 643, 654; и условия Неймана 650, 654; нормальная форма 642;
разностное уравнение 648.
Эллиптические функции 404—410; и двумерная система линейных источников 1224;
и метод изображений 1226; и функции Матье 1392; поле внутри прямоугольника 1236;
таблица свойств 462—-465.
Эмиссия диффузная 1572, 1576, 1578.
Энергетические уровни, вариационный принцип 1111, 1112; для кулоновского потенциала
592, 1614; для одномерного гармонического осциллятора 237, 1593; для трехмерного
гармонического осциллятора 1613; см. также Собственные значения.
Энергии потери в волноводах 1766; в резонаторах 1782; при рассеянии 1793, 1812; при
столкновениях, см. Столкновения.
Энергия и соотношение неопределенности 239; релятивистская э. 99.
Эрмита функции 729; и гармонический осциллятор 237, 238, 1592; и интегральные урав-
уравнения 864, 865, 877; и функции Вебера 1390; и функции Матье 1383; интегральное
уравнение 835; факторизация уравнения 733.

Предметный указатель 891
Эрмитово сопряженное уравнение 850.
Эрмитово сопряженный оператор 86, 717, 814.
Эрмитовы операторы 86, 717, 814; вариационный принцип 1107; положительно определен-
определенные э.о. 718; собственные векторы 718; собственные значения 676, 718.
Эрмитовы ядра 920.
"ективная площадь отверстия 1483.
явная ширина цилиндра 1356.
активное поперечное сечение 175, 1505, 1632; дифференциальное э.п.с. 1065, 1654;
"передачиимпульса э.п.с. 184, 189; поглощения э.п.с. 177, 1454, 1813; полное э.п.с.
177 (и рассеяние вперед 1069, 1506); рассеяния э.п.с. 175, 1065, 1632.
Эффективный радиус взаимодействия 1090.
ю
Юкава потенциал, приближение Борна для рассеяния 1081, 1655.
Юнга модуль 76, 1776.
Я
Ядра интегральных представлений 546—549; вида f(zt) 602; и преобразование Лапласа
549; и преобразование Эйлера 549; и решения волнового уравнения 595—599.
Ядра интегральных уравнений 836, 842, 843; взаимные функции 846; вида v(x—х0) 864-
866, 889, 890, 892, 923 (и преобразование Лапласа 900—904; и преобразование Фурье
889, 892—897; и теорема свертки 892; метод Винера—Хопфа 906—919); вида v(x-\-x0)
898; вида v(x/x0) 904; итерированные я. 846, 847; классификация 880—887; не-
неопределенные я. 836, 847; положительно и отрицательно определенные я. 836, 840,
841; полудиагональные я. 881; полуопределенные я. 840, 847; полярные я. 836, 840;
резольвента 845; симметричные я. 840, 843; сингулярные я. 852; существенно сингу-
сингулярные я. 855; таблица типов 919—923; факторизуемые я. 885.
Якоби полиномы 724; в задаче о двух частицах 1677; нормировка 725; рекуррентная
формула 725; 1699; таблица формул 1698.
Якоби эллиптические функции 406.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 9. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
9.1. Теория возмущений <>
Обычная формула теории возмущений. Сходимость рядов. Многомерные
задачи. Пример. Пертурбационная формула Финберга; вековой определи-
определитель. Пример. Пертурбационная формула Фредгольма. Пример. Вариацион-
Вариационно-итерационный метод. Сходимость метода. Пример. Улучшение пертур-
пертурбационных формул. Неортогональные функции.
9.2. Поверхностные возмущения 40
Возмущения в граничных условиях, / мало. Возмущения в граничных
условиях, / велико. Пример. Формулы для малого а>. Длинный узкий
прямоугольник. Возмущение формы границы. Вычисление интегралов.
Сходимость. Улучшение сходимости. Возмущения границ для условий
Дирихле. Специальный класс граничных возмущений.
9.3. Приложение методов теории возмущений к изучению рассеяния и диф-
фракции 63
Граничные условия для рассеяния. Поперечное сечение рассеяния. Рас-
Рассеяние сферически симметричной областью. Сдвиги фаз. Интегральное
уравнение для рассеяния. Интегральное уравнение для одномерных задач.
Интегральное уравнение в трехмерном случае. Приближение Борна. Бор-
новские приближения высших порядков. Ряд Фредгольма. Пример. Трех-
Трехмерный пример. Длинноволновое приближение. Длинноволновое при-
приближение для уравнения Шредингера. Сходимость. Коротковолновое
приближение; WKB J-метод. Связь с интегральным уравнением. Случай изо-
изолированных классических точек поворота. WKBJ-метод для связан-
связанных состояний. Проникновение сквозь потенциальный барьер. WKBJ-ме-
WKBJ-метод для радиальных уравнений. Метод WKBJ для сдвига фаз. Случай
близко расположенных классических точек поворота. Коротковолновое
приближение в трехмерном случае.
9.4. Вариационные методы 104
Вариационный принцип для задачи на собственные значения. Вариацион-
Вариационные принципы для резонансных частот и энергетических уровней. Колеба-
Колебания круглой мембраны. Нелинейные вариационные параметры. Метод
Рэлея—Ритца. Приложения к теории возмущений. Интегральное уравнение
и соответствующий вариационный принцип. Пример. Вариационный
принцип для сдвигов фаз. Вариационный принцип для сдвига фазы,
основанный на интегральном уравнении. Вариационный принцип для
амплитуды прохождения. Вариационный принцип для трехмерных задач
рассеяния. Вариационные принципы для поверхностных возмущений.
Вариационный принцип, основанный на интегральном уравнении для
граничных возмущений. Рассеяние поверхностями. Вариационный прин-
принцип для задач излучения. Вариационно-итерационный метод. Экстра-
поляционный метод. Нижние границы для Хо. Метод сравнения для ниж-
нижних границ. Пример. Не положительно определенный оператор J&. Вариа-
Вариационные методы для высших собственных значений. Метод минимизиро-
минимизированных итераций.
Задачи к главе 9 152
Таблица приближенных методов 155
Связанные состояния. Объемные возмущения. Итерационно-пертурбацион-
Итерационно-пертурбационные ряды. Ряды Финберга. Формула Фредгольма. Вариационный принцип
для связанных состояний. Вариационно-итерационный метод. Возмущения
граничных условий. Вйзмущения формы границы. Пертурбационные
формулы для рассеяния. Вариационные принципы для задач рассеяния.
Рассеяние на сферически симметричных объектах.
Литература 163

Оглавление 893
/ л а ей 10. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 165
ЮЛ. Решения в двумерном случае 166
Декартовы координаты. Прямоугольная призма, нагреваемая с одной
стороны. Функция Грина. Полярные координаты. Цилиндры, помещенные
в поля. Поток вязкой жидкости. Функция Грина в полярных координатах.
Внутреннее нагревание цилиндров. Потенциал вблизи цилиндра с щелью.
Эллиптические координаты. Поток вязкой жидкости через щель. Эллип-
Эллиптические цилиндры в однородных полях. Функция Грина в эллиптических
координатах. Потенциал внутри цилиндра с узкой щелью. Параболи-
Параболические координаты. Биполярные координаты. Два цилиндра в однородном
поле. Функция Грина в биполярных координатах.
10.2. Комплексные переменные и двумерное уравнение Лапласа 204
Поля, граничные условия и аналитические функции. Некоторые элемен-
элементарные решения. Преобразование рещений. Циркуляция и подъемная сила.
Поля, создаваемые распределением линейных источников. Потенциалы
сеток и коэффициенты усиления. Одномерные системы линейных источ-
источников. Двумерная система линейных источников. Периодические распре-
распределения изображений. Потенциал в случае призматических гранип.
Конденсатор с параллельными пластинами. Переменный конденсатор.
Другие прямоугольные границы.
10.3. Решения в трехмерном пространстве 237
Интегральная форма функции Грина. Решения в прямоугольных коорди-
координатах. Решения в круговых цилиндрических координатах. Интегральное
представление собственных функций. Функция Грина для внутреннего
поля. Решения в сферических координатах. Поля заряженных дисков
и витков тока. Поля заряженных сферических сегментов. Интегральное
представление решений. Разложение функции Грина. Диполи, квадру-
поли и мультиполи. Сферическая оболочка с отверстием. Вытянутые сферои-
сфероидальные координаты. Интегральные представления решений в сферо-
сфероидальных координатах. Функция Грина для вытянутого сфероида.
Сплюснутые сфероиды. Поток через отверстие. Интегральные пред-
представления и функции Грина. Параболические координаты. Бисферические
координаты. Тороидальные координаты. Эллипсоидальные координаты.
Задачи к главе 10 290
1^>игонометрические и гиперболические функции 300
Тригонометрические функции. Гиперболические функции. Производя-
Производящие функции, связывающие гиперболические и тригонометрические функ-
функции.
Функции Бесселя 302
Общие формулы, относящиеся к функциям Бесселя. Соотношения, содер-
содержащие разложения в ряды. Гиперболические функции Бесселя. Определен-
Определенные интегралы, содержащие функции Бесселя.
Функции Лежандра 306
Зональные гармоники. Функции Лежандра второго рода. Функции мнимого
аргумента. Тороидальные гармоники.
Литература 311
Глава 11. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 312
11.1. Волновое движение, одна пространственная координата 313
Преобразование Фурье. Струна с трением. Преобразование Лапласа.
Струна с трением. Струна в упругой среде. Струна с нежестким закреп-
закреплением. Отражение от закрепления с трением. Звуковые волны в трубе.
Труба с переменным поперечным сечением. Элементы акустической цепи.
Представление бегущими волнами. Подвижные закрепления.
11.2. Волновое движение, две пространственные координаты 339
Преобразование Фурье и функция Грина. Прямоугольные координаты.
Другие краевые условия. Переменный адмитанс границы. Полярные коорди-
координаты. Волны внутри круговой области. Излучение кругового цилиндра.
Рассеяние плоской волны на цилиндре. Рассеянная и отраженная волны.
Предельные случаи коротких и длинных волн. Рассеяние плоской волны
на крае экрана. Диффракция Френеля на крае экрана. Рассеяние на цилин-
цилиндре со щелью. Цилиндр со щелью; условия Неймана. Волновое уравнение
в параболических координатах. Собственные функции для внутренних

894 Оглавление
задач. Волны вне параболических границ. Разложения функции Грина
и плоской волны. Эллиптические координаты. Радиальные решения.
Приближения для малых значений h и т. Приближения для малых h
и больших т. Выражения для больших h. Волны внутри эллиптической
области. Разложения функции Грина и плоской волны. Излучение колеблю-
колеблющейся полосы. Излучение тока, текущего по полосе. Рассеяние волн
на полосе. Диффракция на щели; принцип Бабине.
11.3. Волновое движение, три пространственные координаты 404
Функция Грина для свободного пространства. Прямоугольный паралле-
параллелепипед. Искажение стоячей волны полосой. Вычисление собственных
значений. Распространение колебаний в трубах. Акустические волны
в прямоугольной трубе. Преграда со щелью в прямоугольной трубе. Волны
в трубе, изогнутой под прямым углом. Мембрана в круглой трубе. Излу-
Излучение ив открытого конца трубы. Распространение волн в упругих тру-
трубах. Сферические координаты. Сферические функции Бесселя. ^Функция
Грина и разложение плоской волны. Собственные колебания внутри
сферы. Колебания полой гибкой сферы. Колеблющаяся струна внутри
сферы. Резонансные частоты системы. Излучение сферы. Излучение диполя.
Излучение группы источников. Излучение поршня, являющегося частью
сферы. Рассеяние плоской волны на сфере. Рассеяние на сфере с комп-
комплексным показателем преломления. Рассеяние на резонаторе Гельмгольца.
Рассеяние на совокупности рассеивателей. Рассеивание звука на пузырь-
пузырьках воздуха в воде. Сфероидальные координаты. Радиальные функции.
Функция Грина и другие разложения. Сплющенные сфероидальные
координаты.
11.4. Интегральные уравнения и вариационные методы 476
Диафрагма в трубе. Вариационный принцип. Вычисление коэффициента
прохождения. Отверстие в бесконечной плоскости. Отражение в облицован-
облицованной трубе. Преобразование Фурье интегрального уравнения. Факторизация
преобразованного уравнения. Излучение из конца круглой трубы. Форму-
Формулы для излученной и отраженной мощности. Преобразование Фурье инте-
интегрального уравнения. Факторизация преобразованного уравнения. Излу-
Излучение колеблющегося тела. Угловое распределение излучения. Приме-
Применение краевых условий. Рассеяние волн, вариационный принцип. Функция
углового распределения и полное эффективное поперечное сечение рас-
рассеяния. Рассеяние на сфере. Рассеяние на полосе. Рассеяние коротких
волн.
Задачи к главе 11 514
Цилиндрические функции Бесселя 522
Амплитуды и фазовые углы. Асимптотические значения. Корни.
Функции Вебера 524
Теоремы сложения.
Функции Матье 526
Собственные функции. Соответствующие радиальные решения. Вторые
решения. Разложения в ряды. Амплитуды и фазовые углы.
Сферические функция Бесселя 531
Разложения в ряды. Определенные интегралы. Амплитуды и фазовые углы.
Асимптотические значения. Корни.
Сфероидальные функции 534
Угловые функции. Радиальные функции. Теоремы сложения.
Краткая таблица преобразований Лапласа 536
Преобразования Лапласа некоторых конкретных функций.
¦Литература 540
Глава 12. ДИФФУЗИЯ. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА 542
12.1 Решения уравнения диффузии 542
Неустановившийся процесс в случае поверхностного нагревания пласти-
пластины. Функции Грина и фиктивные источники. Нагревание излучением.
Нестационарное внутреннее нагревание пластины. Диффузия и погло-

Оглавление 895
щение частиц. Деление и диффузия. Решение при помощи преобразования
Лапласа. Замедление частиц. Деление, диффузия и замедление. Общий
случай, диффузионное приближение. Нагревание шара.
12.2. Функции распределения для задач диффузии 561
Однородное пространственное распределение. Приближения для рассея-
рассеяния вперед. Общие рассмотрения, стационарные случаи. Интегральные
соотношения между переменными. Расчет диффузного рассеяния. Расчет
диффузной эмиссии. Решение методом преобразования Лапласа. Вычис-
Вычисление плотности вариационным методом. Потери энергии при столкнове-
столкновениях. Однородное пространственное распределение. Возрастная теория.
12.3. Решение уравнения Шредингера 590
Определения. Гармонический осциллятор. Короткодействующие силы.
Влияние возмущения. Приближенные формулы для возмущения об-
общего вида. Волновые функции в импульсном представлении. Связанные и
свободные состояния. Существование связанных состояний. Отражение и
прохождение. Проникновение через потенциальный барьер. Центральные
силовые поля, момент количества движения. Центральные силовые поля,
радиальное уравнение. Кулоновский потенциал. Сила, обратно про-
пропорциональная кубу расстояния. Кулоновское поле в параболических
координатах. Формула Резерфорда. Другие разрешимые системы цент-
центральных сил. Возмущения вырожденных систем. Эффект Штарка. Соб-
Собственные функции в импульсном представлении. Рассеяние в цент-
центральном поле. Эффект Рамзауера и другие резонансные эффекты.
Приближенные вычисления в случае медленных бомбардирующих
частиц. Приближение Борна. Приближение Борна для фазовых углов.
Вариационный метод. Вариационно-итерационный метод. Вариационные
принципы для задач рассеяния. Вариационно-итерационный метод для
задач рассеяния. Вариационный принцип для амплитуды рассеяния.
Две частицы, одномерный случай. Функция Грина. Поверхностные волны.
Влияние взаимодействия между частицами. Смысл результатов. Связанные
гармонические осцилляторы. Поля центральных сил, несколько частиц,
момент количества движения. Инверсия и четность. Симметризация для
систем, состоящих из двух частиц. Связанные, свободные и «поверх-
«поверхностные» состояния. Функция Грина для системы двух частиц. Связан-
Связанные состояния. Вариационные методы. Рассеяние электронов на атоме
водорода. Упругое и неупругое рассеяние. Обмен частиц. Заключение.
Задачи к главе 12 <589
Полиномы Якоби 698
Общие соотношения. Специальные случаи.
Полуцилиндрические функции . .... 699
Литература .. , 701
Глава 13. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 702
13.1 Векторные граничные условия, собственные функции и функции Грина. 705
Поперечное ноле в криволинейных координатах. Векторные теоремы Гри-
Грина. Аффинорная функция Грина. Векторные собственные функции. Функ-
Функция Грина для векторного уравнения Гельмгольца. Продольные и попе-
поперечные аффинорные функции Грина. Аффинерные функции Грина
для упругих колебаний. Решения векторного уравнения Лапласа,
функции Грина волнового уравнения.
13.2. Статические и стационарные решения 730
Плоские задачи. Полярные координаты. Круговые цилиндрические коор-
координаты. Сферические координаты. Аффинорная функция Грина для век-
векторного уравнения Лапласа. Решения в случае магнитного поля. Поток
вязкой жидкости, обтекающий сферу. Упругое деформирование сферы.
Задание на поверхности вектора напряжения.
13.3. Векторные волновые поля 748
Отражение плоской волны от плоскости. Граничный импеданс. Отражение
упругих волн. Волны в волноводе. Функция Грина. Возбуждение волно-
волновода током. Потери в стенках волновода. Отражение волн от конца вол-
волновода. Влияние изменения размеров волновода. Отражение от штыря
в волноводе. Упругие волны в брусе. Вынужденные крутильные колеба-

886 Оглавление
ния бруса. Нестационарный вязкий поток в трубе. Электромагнитные
резонаторы. Потери энергии в стенках, Q полости. Возбуждение резона-
резонатора током. Возбуждение при помощи волновода. Резонансные частоты
полости клистрона. Рассеяние на цилиндре. Сферические волны. Излу-
Излучение диполей и мультиполей. Стоячие волны в сферической полости.
Колебания упругой сферы. Функция Грина для свободного пространства.
Излучение переменного тока. Излучение полуволновой антенны. Излуче-
Излучение петли тока. Рассеяние на сфере. Поглощение энергии сферой. Искаже-
Искажение поля малыми объектами. Резюме.
Задачи к главе 13 817
Таблица сферических векторных гармоник * 824
Частные случаи. Зональные векторные гармоники. Интегральные
и дифференциальные соотношения.
Литература 827
ПРИЛОЖЕНИЕ 828
Указатель обозначений 829
Таблицы 838
I. Тригонометрические и гиперболические функции 838
II. Тригонометрические и гиперболические функции 839
III. Гиперболический тангенс комплексного аргумента 840
IV. Обратная гиперболическая функция Аг thg 843
V. Натуральный логарифм и обратные гиперболические функции . . . 844
VI. Сферические гармоники 845
VII. Функции Лежандра для больших значений аргумента ...... 846
VIII. Функции Лежандра чисто мнимого аргумента 847
IX. Функции Лежандра порядков 1/2,—1/2 и 3/2 848
X. Функции Бесселя для цилиндрических координат 849
XI. Гиперболические функции Бесселя 850
XII. Функции Бесселя для сферических координат 851
XIII. Функции Лежандра для сферических координат 852
XIV. Амплитуды и фазы цилиндрических функций Бесселя 853
XV. Амплитуды и фазы сферических функций Бесселя 856
XVI. Периодические функции Матье 859
XVII. Нормирующие постоянные для периодических функций Матье
и предельные значения радиальных функций Матье 861
Литература 863
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 864
Ф. М. Морс и Г. Фсшбах
МЕТОДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Том II
Редакторы М. С. Агранович и К. Д. Соломепцев
Художник Н. А. Личин. Технический редактор Е. С. Потапенкоеа
Сдано б производство 7/JV 1969 г. Подписано к печати 18/1 1960 г.
Бумага 70Xl(!8i/ie>38,0. бум. л 76,7 печ. л. Уч.-изд. л. 74,1
Изд. № 1/4587 Цена 53 р. 85 к. Зак. 948
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. Москва, Ново-Алексеевская, 52
Московская типография № Ь Мосгорсовнархоза. Москва, Трехпрудный пер., Я.

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стр.
8
9
15
109
137
248
277
280
290
350
472
473
550
550
629
700
781
809
Строка
11 СЯ.
2 ся.
5 св.
6 св.
7 сн.
6 св.
3 св.
6 св.
12 св.
18 св.
12 св.
7 св.
8 св.
9 св.
7 св.
Зев.
5 св.
1 сн.
Напечатано
Сбит шрифт
Сбит шрифт
я
6"
Х-вЛР
т(cos »)
Ж
cos(m<p
87\,"
2
B»+1) „
ег1Н
е-*/м
ехтф
Сбит шрифт
Сбит шрифт
2m*/J
Следует читать
\ "Рр (аг0) tA (аг„) фп (аг0) da;,,
V
s*
16
Х~*аЯ
Я» (COS»)
1
ж
cos (пир).
8Г,х
2
т.»
[p*-fn»_2p4cos(«p—T.)|I/4
(&l+l)/n
е-хЛ.
eUcoeusin(mu)du
2w*/J
с