/
ISBN: 5—7035—0601—8
Текст
В.С.ПУГАЧЕВ
ЛЕКЦИИ
ПО
ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ
АНАЛИЗУ
Рекомендовано
Государственным комитетом
Российской Федерации
по высшему образованию
в качестве учебного пособия
для студентов высших технических
учебных заведений
Москва
Издательство МАИ
1996
ББК 16.2.8
П88
Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований
Рецензенты:
кафедра высшей математики Военно-воздушной инженерной академии
им. профессора Н.Б. Жуковского;
академик РАН В.А. Ильин;
профессор Е.И. Моисеев
В отличие от многочисленных книг по функциональному анали¬
зу! наших и зарубежных, предлагаемое издание адресовано не матема-
тикам-профессионалам, а широкому кругу специалистов в разных обла¬
стях знаний, не имеющих специальной математической подготовки и
нуждающихся в совершенствовании математических знаний для успеш¬
ной работы в своих профессиональных областях и чтения соответству¬
ющей специальной литературы, а также студентам и аспирантам, спе¬
циализирующимся по прикладной математике. Книга написана про¬
стым, доступным языком и совершенно свободна от формальных труд-
нопонимаемых построений, которыми изобилует современная матема¬
тическая литература. От читателя требуется только обычная подго¬
товка по линейной алгебре и математическому анализу, которую дают
высшие технические учебные заведения. По своему назначению, отбору
материала, охватывающего практически все, что может понадобиться
из функционального анализа работающим в области приложений мате¬
матики, простоте и доступности изложения книга, не имеет аналогов в
мировой литературе.
Пугачев B.C.
П88 Лекции по функциональному анализу. — М.: Изд-во
МАИ, 1996. — 744 с.: ил.
ISBN 5—7035—0601—8
п 1602080000—195 Без объявл.
ББК 16.2.8
ISBN 5—7035—0601—8
©В. С. Пугачев, 1996
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
13
Г л а в а 1. Множества. Пространства. Функции
§ 1.1. Функции и отображения
19
19
1.1.1. Предмет функционального анализа (19). 1.1.2. Множества
(21). 1.1.3. Пространства (21). 1.1.4. Действия над множества¬
ми (22). 1.1.5. Общее определение функции (25). 1.1.6. Образы и
прообразы множеств. Обратные отображения (28). 1.1.7. Свой¬
ства обратных отображений (29). 1.1.8. Отношение порядка (30).
1.1.9. Аксиома выбора (32).
§1.2. Метрические пространства 36
1.2.1. Основные свойства пространств (36). 1.2.2. Определение
метрического пространства (37). 1.2.3. Открытые и замкнутые
множества. Окрестности точек (39). 1.2.4. Сходимость в метри¬
ческом пространстве (41). 1.2.5. Полные метрические простран¬
ства (41). 1.2.6. Сепарабельные метрические пространства (42).
1.2.7. Пополнение метрического пространства (43). 1.2.8. Непре¬
рывные функции в метрических пространствах (46). Задачи
1.3.1. Определение линейного пространства (48). 1.3.2. Линей¬
ная зависимость и независимость векторов (50). 1.3.3. Подпро¬
странства. Линейные оболочки (51). 1.3.4. Фактор-пространства
(52). 1.3.5. Линейные функции (53). 1.3.6. Норма вектора (55).
1.3.7. Нормированные линейные пространства (55). 1.3.8. Ба¬
наховы пространства (56). 1.3.9. Скалярное произведение (56).
1.3.10. Евклидовы и гильбертовы пространства (60). 1.3.11. Ал¬
гебры (62). 1.3.12. Пространства непрерывных функций и про¬
странства ограниченных функций (62). 1.3.13. Пространства
дифференцируемых функций (64). Задачи (65).
2.1.1. Функции множества (67). 2.1.2. Полуалгебры множеств (67).
2.1.3. Алгебры множеств (68). 2.1.4. Построение полуалгебры и
алгебры, порожденных данным классом множеств (70). 2.1.5. По¬
строение (Т-алгебры, порожденной данной алгеброй мно-
48
Г л а е а 2. Теория меры
§ 2.1. Классы множеств...
67
67
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
жеств (73). 2.1.6. Кольца и полукольца множеств (74). 2.1.7. Мо¬
нотонные классы множеств (74). 2.1.8. Произведение двух про¬
странств (77). 2.1.9. Произведение множества пространств (78).
Задачи (80).
$ 2.2. Функции множества и меры
2.2.1. Аддитивные функции множества (82). 2.2.2. Непрерывные
функции множества (86). 2.2.3. Общие свойства мер (86). 2.2.4.
Свойства неотрицательных мер (88). 2.2.5. Представление дей¬
ствительной числовой меры в виде разности неотрицательных
мер (93). 2.2.6. Полная вариация меры (97). Задачи (100).
$ 2.3. Продолжение меры
2.3.1. Продолжение и сужение функции (102). 2.3.2. Задача о
продолжении числовой меры (102). 2.3.3. Внешняя мера (102).
2.3.4. Класс множеств, измеримых по Лебегу (107). 2.3.5. Од¬
но свойство класса измеримых по Лебегу множеств (112). 2.3.6.
Полные (Г-алгебры (112). 2.3.7. Совпадение (Г-алгебры измери¬
мых по Лебегу множеств с минимальной полной (Г-алгеброй, со¬
держащей полуалгебру С (113). 2.3.8. Аппроксимационное свой¬
ство алгебры, порождающей (Г-алгебру (115). 2.3.9. Совпадение
классов множеств Си Cl (1X8). 2.3.10. Общая теорема о про¬
должении числовой меры (119). 2.3.11. Продолжение меры по
Жордану (121). Задачи (122).
Г л а в а 3. Интегралы
$ 3.1. Измеримые функции
3.1.1. Определение измеримой функции (127). 3.1.2. Свойства из¬
меримых функций (128). 3.1.3. Простые и элементарные функ¬
ции (130). 3.1.4. Измеримые функции как пределы последова¬
тельностей элементарных функций (^31). 3.1.5. Сходимость по¬
чти всюду (133). 3.1.6. Измеримые функции в произведениях
пространств (135). 3.1.7. Меры, индуцированные измеримыми
функциями (136). Задачи (136).
§ 3.2. Сходимость по мере. Почти равномерная сходимость ..
3.2.1. Сходимость по мере (139). 3.2.2. Связь сходимости почти
всюду со сходимостью по мере (141). 3.2.3. Достаточность фун¬
даментальности по мере для сходимости по мере (144). 3.2.4. По¬
чти равномерная сходимость (145). 3.2.5. Измеримые функции
как пределы последовательностей простых функций (148). 3.2.6.
Свойство функции, измеримой относительно (Г-алгебры, инду¬
цированной другой функцией (149). Задачи (151).
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3.3. Интеграл Бохнера
3.3.1. Интегрирование простых функций (151). 3.3*2. Свойства
интеграла от простой функции (152). 3.3.3. Интегрирование фун¬
кций со значениями в S-пространстве (155). 3.3.4. Корректность
определения интеграла (157). 3.3.5. Свойства интеграла (160).
3.3.6. Интегрируемость функции, ограниченной по норме инте¬
грируемой функцией (163). 3.3.7. Замена переменных (167). 3.3.8.
Интегралы по комплексной мере (169). 3.3.9. Интегралы от чи¬
словых функций по мере со значениями в ^-пространстве (170).
Задачи (170).
§ 3.4. Интегралы Лебега, Лебега — Стилтьесаи Римана— *
3.4.1. Интеграл Лебега (171). 3.4.2. Интеграл Лебега по лебе¬
говой мере (174). 3.4.3. Связь интеграла Лебега с интегралом
Римана (174). 3.4.4. Случай несобственного интеграла Римана
(177). 3.4.5. Интегралы Лебега — Стилтьеса и Римана — Стил-
тьеса (179). 3.4.6. Интегралы от функций со значениями в В-
пространстве по мере Лебега (181). Задачи (183).
§ 3.5. Переход к пределу под знаком интеграла
3.5.1. Теорема о монотонной сходимости (185). 3.5.2. Почленное
интегрирование рядов (188). 3.5.3. Лемма Фату (189). 3.5.4. Те¬
орема о мажорируемой последовательности (190). 3.5.5. Общая
теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла
(191). 3.5.6. Общая теорема о почленном интегрировании рядов
(193). Задачи (195).
§ З.б. Абсолютная непрерывность и сингулярность мер
3.6.1. Определения (198). 3.6.2. Разложение меры на абсолютно
непрерывную и сингулярную части (200). 3.6.3. Теорема Радона
— Никодима (204). Задачи (206).
§ 3.7. Лебеговы пространства
3.7.1. Определение лебегова пространства (208). 3.7.2. Вспомога¬
тельное неравенство (208). 3.7.3. Норма в лебеговом простран¬
стве (210). 3.7.4. Сходимость в среднем (211). 3.7.5. Плотность
множества простых функций в лебеговом пространстве (214).
3.7.6. Гильбертово пространство скалярных функций с интегри¬
руемым квадратом модуля (215). 3.7.7. Плотность множества
непрерывных функций в пространстве Lp{X) (216). 3.7.8. Про¬
странства Соболева (217). Задачи (219).
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3.8. Меры в произведениях пространств. Кратные интегра¬
лы
3.8.1. Меры в произведении двух пространств (220). 3.8.2. Тео¬
рема Фубини (224). 3.8.3. Кратные и повторные интегралы (226).
3.8.4. Меры в конечных произведениях пространств (227). 3.8.5.
Меры в бесконечных произведениях пространств (228). Задачи
(233).
Г л а в а 4. Топологические пространства
§4.1. Основные понятия топологии
4.1.1. Сходимость и непрерывность в терминах окрестностей
(239). 4.1.2. Топология (240). 4.1.3. Индуцированная топология
(242). 4.1.4. Внутренние точки, точки прикосновения и предель¬
ные точки множеств (242). 4Л.5. Базы и предбазы (244). 4.1.6. Ти¬
хоновское произведение топологических пространств (247). За¬
дачи (247).
§ 4.2. Аксиомы отделимости и счетности
4.2.1. Аксиомы отделимости (248). 4.2.2. База окрестностей точки
(253). 4.2.3. Аксиомы счетности (253). 4.2.4. Плотные множества.
Сепарабельные пространства (254). Задачи (256).
§ 4.3. Сходимость. Непрерывность функции
4.3.1. Сходимость последовательности (257). 4.3.2. Непрерыв¬
ность функции (259). 4.3.3. Основной способ задания топологии
(261). 4.3.4. Измеримые топологические пространства (262). За¬
дачи (263).
§ 4.4. Компактность
4.4.1. Компактные множества и пространства (264). 4.4.2. Цен¬
трированная система замкнутых множеств (265). 4.4.3. Свойства
компактных множеств и пространств (266). 4.4.4, Пред компакт¬
ные множества (270). 4.4.5. Непрерывные отображения компакт¬
ных множеств (270). Задачи (271).
§ 4.5. Компактность в метрических пространствах
4.5.1. Вполне ограниченные множества в метрическом простран¬
стве (272). 4.5.2. Свойства компактных множеств в метрических
пространствах (273). 4.5.3. Непрерывные функции на компакте
(276). 4.5.4. Критерий предкомпактности множества непрерыв¬
ных функций (277).
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
Г л а в а 5. Топологические линейные пространства 282
§ 5.1. Линейные функционалы 282
5.1.1. Операции над множествами в линейном пространстве
(282). 5.1.2. Выпуклые множества (282). 5.1.3. Линейные функци¬
оналы (282). 5.1.4. Продолжение линейного функционала (283).
5.1.5. Выпуклые функционалы (284). 5.1.6. Теорема Хана — Ба¬
наха о продолжении линейного функционала (284). 5.1.7. Ядро
линейного функционала (288). Задачи (290).
§ 5.2. Топологии в линейных пространствах 291
5.2.1. Определение топологического линейного пространства
(291). 5.2.2. Фундаментальность последовательности (292). 5.2.3.
Локальная выпуклость пространства (292). 5.2.4. Способы зада¬
ния топологии в линейном пространстве (293). 5.2.5. Непрерыв¬
ные линейные функции в топологических линейных простран¬
ствах (298). 5.2.6. Ограниченные линейные функции (299). 5.2.7.
Ограниченные линейные функции в нормированных линейных
пространствах (299). 5.2.8. Норма линейной функции (300). 5.2.9.
Теорема Хана—Банаха для нормированных линейных прост¬
ранств (301). Задачи (303).
§ 5.3. Слабые топологии 306
5.3.1. Определение слабой топологии (306). 5.3.2. Слабая сходи¬
мость (308). 5.3.3. Слабо непрерывные функции (309). 5.3.4. Сла¬
бо измеримые функции (310). 5.3.5. Совпадение измеримости и
слабой измеримости функций со значениями в сепарабельном
^-пространстве (312). Задачи (313).
Г л а в а 6. Пространства операторов и функционалов 315
§ 6.1. Общая теория 315
6.1.1. Действия над операторами и функционалами (315). 6.1.2.
Пространства линейных операторов и функционалов (318). 6.1.3.
Сопряженные пространства (320). 6.1.4. Топологии в простран¬
стве ограниченных линейных операторов (324). Задачи (325).
§6.2. Слабые интегралы 326
6.2.1. Определение слабого интеграла (326). 6.2.2. Свойства сла¬
бого интеграла (329). 6.2.3. Связь слабого интеграла с сильным
(331). 6.2.4. Переход к пределу под знаком слабого интеграла
(334). 6.2.5. Теорема Фубини (335). Задачи (337).
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 6.3. Обобщенные функции
6.3.1. Понятие обобщенной функции (338). 6.3.2. Два подхода к
определению обобщенных функций (339). 6.3.3. Пространство
основных функций (340). 6.3.4. Определение обобщенной функ¬
ции (344). 6.3.5. Пространство обобщенных функций (346). 6.3.6.
Регулярные и сингулярные обобщенные функции (348). 6.3.7.
Локальные свойства обобщенных функций (349). 6.3.8. Заме¬
на переменных в обобщенных функциях (351). 6.3.9. Дифферен¬
цирование обобщенных функций (352). 6.3.10. Ряды обобщен¬
ных функций (354). 6.3.11. Произведение обобщенной функции
на основную (356). 6.3.12. Первообразная обобщенной функции
(357). 6.3.13. Представление {-функции интегралом Фурье (360).
6.3.14. Представление производных {-функции интегралом Фу¬
рье (362). 6.3.15. Произведения {-функций и их производных
(363). Задачи (364).
§ 6.4. Сопряженные пространства некоторых функциональных
пространств
6.4.1. Пространство, сопряженное с пространством непрерывных
функций (36й). 6.4.2. {-функция как непрерывный линейный
функционал на пространстве непрерывных функций (380). 6.4.3.
Пространства, сопряженные с пространствами дифференцируе¬
мых функций (381). 6.4.4. {-функция и ее производные как непре¬
рывные линейные функционалы на пространствах дифференци¬
руемых функций (383). 6.4.5. Применение в теории управления
(384). 6.4.6. Пространства, сопряженные с лебеговыми простран¬
ствами (387). Задачи (391).
Г л а в а 7. Линейные операторы
$ 7.1. Основные понятия и теоремы
7.1.1. Замкнутые операторы (393). 7.1.2. Перестановочность инте¬
грала с линейным оператором (394). 7.1.3. Сопряженные опера¬
торы (398). 7.1.4. Существование сопряженного оператора (406).
7.1.5. Положительные операторы (410). 7.1.6. Изометрические
операторы (411). 7.1.7. Унитарные операторы (412). 7.1.8. Уни¬
тарно эквивалентные операторы (413). 7.1.9. Теорема Банаха —
Штейнгауза (413). 7.1.10. Ограниченные линейные операторы
в нормированном линейном пространстве (417). 7.1.11. Теорема
Банаха об обратном операторе (418). Задачи (421).
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
§ 7.2. Операторные уравнения 423
7.2.1. Общий вид операторного уравнения (423). 7.2.2. Произ¬
водные функций со значениями в ^-пространстве по действи¬
тельной переменной (423). 7.2.3. Интегралы от функций со зна¬
чениями в ^-пространстве по действительной переменной (425).
7.2.4. Дифференциальные уравнения в ^-пространстве (426).
7.2.5. Интегральные уравнения (431). 7.2.6. Сжимающие ото¬
бражения (432). 7.2.7. Существование и единственность непо¬
движной точки оператора (432). 7.2.8. Существование и един¬
ственность решения интегрального уравнения (436). 7.2.9. Суще¬
ствование и единственность решения линейного интегрального
уравнения Вольтерры (438). 7.2.10. Существование и единствен¬
ность решения дифференциального уравнения (439). 7.2.11. Су-
ществование и единственность решения линейного интеграль¬
ного уравнения Фредгольма (441). Задачи (442).
§ 7.3. Спектр оператора 443
7.3.1. Собственные значения (443). 7.3.2. Резольвента и спектр
оператора (444). 7.3.3. Свойства резольвенты (447). 7.3.4. Свой¬
ства спектра линейного оператора в ^-пространстве (449). 7.3.5.
Спектр унитарного оператора (451). Задачи (452).
Г л а в а 8. Линейные операторы в гильбертовых прост¬
ранствах 456
§8.1. Гильбертовы пространства 456
8.1.1. Ортогональные подпространства (456). 8.1.2. Линейные
функционалы (458). 8.1.3. Продолжение линейного функциона¬
ла (460). Задачи (462).
§ 8.2. Линейные операторы 462
8.2.1. Ограниченные линейные операторы (462). 8.2.2. Изометри¬
ческие и унитарные операторы в //-пространствах (465). 8.2.3.
Оператор Фурье — Планшереля (467). 8.2.4. Неограниченные ли¬
нейные операторы (472). Задачи (476).
§ 8.3. Самосопряженные операторы 477
8.3.1. Самосопряженные и симметричные операторы (477). 8.3.2.
Формула для нормы самосопряженного оператора (478). 8.3.3.
Спектр самосопряженного оператора (479). Задачи (483).
§ 8.4. Проекторы 484
8.4.1. Проекторы и их свойства (484). 8.4.2. Сходимость последо¬
вательностей операторов (489). 8.4.3. Последовательности про¬
10
ОГЛАВЛЕНИЕ
екторов (490). 8.4.4. Общее определение проектора (491). Задачи
(492).
§8.5. Последовательности векторов и базисы 492
8.5.1. Последовательности векторов (492). 8.5.2. Ортогональные
и ортонормальные последовательности (493). 8.5.3. Разложение
вектора по ортонормальным векторам (494). 8.5.4. Полные по¬
следовательности векторов и базисы (495). 8.5.5. Представле¬
ние функций рядами (496). 8.5.6. Условия существования базиса
в /Г-пространстве (507). 8.5.7. Биортогональные и биортонор-
мальные последовательности (508). 8.5.8. Разложение вектора
по базису, образованному биортонормальной последовательно¬
стью (511). Задачи (514).
§ 8.6. Компактные операторы 519
8.6.1. Определение компактного оператора (519). 8.6.2. Свойства
компактных операторов (519). 8.6.3. Спектр компактного опера¬
тора (524). 8.6.4. Нормальные операторы (530). 8.6.5. Операторы
с конечной абсолютной нормой (531). 8.6.6. Операторы Гильбер¬
та— Шмидта (534). 8.6.7. Ядерные операторы (538). 8.6.8. Линей¬
ные интегральные уравнения Фредгольма (540). Задачи (543).
X л а в а 9. Спектральная теория линейных операторов .. 546
§ 9.1. Спектральное разложение компактного самосопряжен¬
ного оператора 546
9.1.1. Существование собственных значений (546). 9.1.2. Спек¬
тральное разложение (548). 9.1.3. Линейные интегральные
уравнения Фредгольма с симметричным ядром (552). 9.1.4. Ме¬
тод решения интегральных уравнений одного класса (555).
9.1.5. Интегральное представление оператора (569). 9.1.6. Раз¬
ложение единицы (571). Задачи (573).
§ 9.2. Операторы, определяемые разложением единицы 575
9.2.1. Интеграл по операторной мере от простой функции (575).
9.2.2. Интеграл по операторной мере от измеримой функции
(576). 9.2.3. Сопряженный оператор (579). 9.2.4. Коммутатив¬
ность операторов (583). 9.2.5. Нормальные операторы (586). 9.2.6.
Обратный оператор (587). 9.2.7. Спектр (589). 9.2.8. Канониче¬
ские формы операторов, определяемых разложением единицы
(590). Задачи (594).
ОГЛАВЛЕНИЕ
11
§ 9.3. Функции от операторов 596
9.3.1. Операторные полиномы и ряды (596). 9.3.2. Полиномы от¬
носительно унитарного оператора (597). 9.3.3. Функции от уни¬
тарного оператора (599). 9.3.4. Преобразование Коли (604). 9.3.5.
Функции от самосопряженного оператора (605). 9.3.6. Спект¬
ральная мера самосопряженного оператора (606).
§ 9.4. Спектральные разложения линейных операторов 608
9.4.1. Интегральное представление операторных функций класса
С (608). 9.4.2. Спектральное разложение самосопряженного опе¬
ратора (609). 9.4.3. Спектральное разложение унитарного
оператора (613). 9.4.4. Спектральное разложение группы уни¬
тарных операторов (617). 9.4.5. Спектральное разложение нор¬
мального оператора (620). Задачи (622).
Г л а в а 10. Нелинейные задачи функционального ана¬
лиза 624
§ 10.1. Дифференцирование операторов и функционалов 624
10.1.1. Сильные дифференциалы и производные (624). 10.1.2.
Дифференцирование сложной функции (627). 10.1.3. Формула
конечных приращений (628). 10.1.4. Слабые дифференциалы и
производные (629). 10.1.5. Связь слабой дифференцируемости с
сильной (630). 10.1.6. Дифференциалы и производные высших
порядков (633). 10.1.7. Формула и ряд Тейлора (635). Задачи
(639).
§ 10.2. Экстремумы функционалов 642
10.2.1. Необходимое условие экстремума (642). 10.2.2. Второе не¬
обходимое условие экстремума (648). 10.2.3. Достаточное усло¬
вие экстремума (648). 10.2.4. Условные экстремумы (649). Зада¬
чи (652).
§ 10.3. Дифференциальные уравнения в банаховых простран¬
ствах 655
10.3.1. Линейные дифференциальные уравнения (655). 10.3.2.
Эволюционные операторы (658). 10.3.3. Решение линейных диф¬
ференциальных уравнений (663). 10.3.4. Нелинейные дифферен¬
циальные уравнения (667). Задачи (670).
Г л а в а 11. Приближенные методы функционального
анализа 676
§ 11.1. Методы последовательных приближений 676
12
ОГЛАВЛЕНИЕ
11.1.1. Операторные уравнения (676). 11.1.2. Существование фун¬
кции, заданной неявно (677). 11.1.3. Общие замечания о прибли¬
женных методах (677). 11.1.4. Метод Ньютона (679). 11.1.5. Мо¬
дифицированный метод Ньютона (683). Задачи (686).
§ 11.2. Другие приближенные методы
11.2.1. Общие принципы приближенных методов (687). 11.2.2.
Сходимость приближенных решений к точному (695). 11.2.3. Ме¬
тод Рэлея — Ритца (700). 11.2.4. Метод Бубнова — Галеркина
(702). 11.2.5. Метод конечных элементов (711). Задачи (714).
§ 11.3. Некорректные задачи
11.3.1. Два определения ксдеректности (715). 11.3.2. Регуляриза¬
ция некорректных задач (718). 11.3.3. Методы нахождения регу-
ляризирующего оператора (720). 11.3.4. Выбор параметра регу¬
ляризации (727). 11.3.5. Обобщение метода регуляризации (728).
11.3.6. О точности задания исходных данных (728). Задачи (729).
Литература
Предметный указатель
687
715
731
733
Светлой памяти моей жены
ИИ АЛЕКСЕЕВНЫ ЛУГА ЧЕВОЙ,
верной спутницы и помощницы
в течение всей нашей долгой
счастливой совместной жизни
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга написана на основе лекций, которые автор читал в тече¬
ние многих лет студентам факультета прикладной математики Мо¬
сковского Государственного авиационного института а также инже¬
нерам и другим специалистам, работающим в областях приложений
математики. Таким образом, в отличие от многочисленных книг по
функциональному анализу в нашей и зарубежной литературе, пред¬
лагаемая книга адресована не математикам-профессионалам, а ши¬
роким кругам специалистов в разных областях знаний, не имею¬
щих основательной математической подготовки и нуждающихся в
совершенствовании математических знаний для успешной работы в
своих профессиональных областях и чтения соответствующей спе¬
циальной литературы.
Многолетний опыт работы автора в различных областях при¬
ложений математики позволил собрать и систематически изложить
в одной книге практически весь материал по функциональному ана¬
лизу, необходимый для приложений. Основное назначение книги
определило и методику и стиль изложения предмета. Книга написа¬
на простым, доступным языком, с наглядными иллюстрациями. Она
практически совершенно свободна от сложных, чисто формальных
построений, которыми изобилует современная математическая ли¬
тература. Для усвоения написанного в книге от читателя требуется
только обычная подготовка по линейной алгебре, математическому
анализу и дифференциальным уравнениям, которую дают высшие
технические учебные заведения.
В соответствии с назначением книги в ней излагаются общие
основы функционального анализа, необходимые для работающих в
области приложений, без углубления в математические детали. В
частности, оставлены в стороне некоторые традиционные для кур¬
сов функционального анализа вопросы теории функций действи¬
тельной переменной и другие вопросы, интересные только для мате-
матиков-профессионалов.
По своему назначению, отбору материала, включающего прак¬
тически все, что может понадобиться из функционального анализа
14
ПРЕДИСЛОВИЕ
работающим в разных областях приложений математики, простоте
и доступности изложения книга не имеет аналогов в мировой лите¬
ратуре.
В первой главе определен предмет функционального анализа
и даны общие понятия функции и пространства. После краткой
сводки основных понятий теории множеств и изучения свойств пря¬
мых и обратных отображений формулируется аксиома выбора и
доказываются эквивалентные ей теоремы Цермело и Хаусдорфа и
лемма Цорна. Излагаются общие положения теории метрических
пространств: понятия метрики, сходимости последовательностей,
непрерывности функций, полноты и сепарабельности метрических
пространств. В последнем параграфе излагается общая теория ли¬
нейных (векторных) пространств, вводятся понятия линейной функ¬
ции, нормы и скалярного произведения. Определяются нормирован¬
ные и евклидовы пространства, банаховы и гильбертовы простран¬
ства (Б-пространства и Я-пространства).
Во второй главе излагаются элементы теории меры. Опреде¬
ляются классы множеств: полуалгебры, алгебры, сигма-алгебры
(<г-алгебры), монотонные классы — и изучаются их общие свойства.
Лаются общие определения функции множества и меры. При этом
мера определяется как аддитивная или счетно-аддитивная (<г-адди¬
тивная) функция множества со значениями в нормированном линей¬
ном пространстве и изучаются общие свойства таких мер. Число¬
вые, в частности неотрицательные, меры изучаютя как частные слу¬
чаи. Это позволяет с самого начала охватить общим понятием меры
встречающиеся в последующих главах операторные меры и меры со
значениями в функциональных пространствах. После изучения об¬
щих свойств мер, в частности неотрицательных, доказывается об¬
щая теорема о продолжении числоцой меры.
Третья глава посвящена теории интеграла. Вводится понятие
измеримой функции и изучаются общие свойства измеримых функ¬
ций. Рассматриваются основные виды сходимости последователь¬
ностей функций — сходимость почти всюду, сходимость по мере,
почти равномерная сходимость. Лается общее определение инте¬
грала от функции со значениями в сепарабельном ^-пространстве
(интеграла Бохнера) и изучаются основные его свойства. Как част¬
ные случаи рассматриваются абстрактный интеграл Лебега, инте¬
грал Лебега по лебеговой мере, интеграл Лебега — Стилтьеса и
изучается связь их с интегралами Римана и Римана — Стилтье¬
са. Определяется интеграл Римана от функции со значениями в
ПРЕДИСЛОВИЕ
15
сепарабельном Б-пространстве и устанавливается его связь с ин¬
тегралом Бохнера. Доказываются теоремы о предельном переходе
под знаком интеграла. Вводятся понятия абсолютной непрерывно¬
сти и сингулярности мер, производной Радона — Никодима. Ла¬
ется определение и изучаются свойства лебеговых пространств как
одного из важнейших классов функциональных пространств. Опре¬
деляются пространства Соболева. В последнем параграфе главы
излагаются методы построения и исследования мер в произведени¬
ях пространств, теория кратных и повторных интегралов.
Четвертая глава содержит элементы топологии и теории топо¬
логических пространств. Лаются общие определения топологии и
топологического пространства, базы и предбазы топологии. Вво¬
дятся аксиомы отделимости и счетности. Рассматривается общий
метод введения топологии в данном пространстве. Определяются
понятия компактных множеств и пространств и изучаются их об¬
щие свойства. Доказываются теоремы о компактных множествах в
метрических пространствах.
В пятой главе изучаются топологические линейные простран¬
ства. Изучаются линейные функционалы и доказываются теоремы,
определяющие возможность продолжения линейного функционала,
заданного на любом подпространстве, на все пространство.Лаются
определение топологического линейного пространства и общий спо¬
соб задания топологии в линейном пространстве. Вводится понятие
слабой топологии в топологическом линейном пространстве и ис¬
следуется ее связь с сильной топологией.
Шестая глава посвящена пространствам операторов и функци¬
оналов. В первом параграфе вводятся понятия пространств линей¬
ных и ограниченных линейных операторов. Определяются тополо¬
гии в пространстве ограниченных линейных операторов. Дается
определение пространства, сопряженного с данным топологическим
линейным пространством, и изучаются свойства сопряженных про¬
странств. Второй параграф посвящен теории слабых интегралов
(интегралов Петтиса), играющих важную роль в теории вероятно¬
стей. В третьем параграфе излагается теория обобщенных функций:
вводятся понятия пространства основных функций и пространства
обобщенных функций, изучаются действия над обобщенными функ¬
циями и их основные свойства, важные для приложений. В послед¬
нем параграфе изучаются пространства, сопряженные с основны¬
ми видами функциональных пространств: пространством ограни¬
ченных функций, пространством непрерывных функций, простран¬
16
ПРЕДИСЛОВИЕ
ствами дифференцируемых функций и лебеговыми пространствами.
В седьмой главе излагается общая теория линейных операто¬
ров. Дается определение и изучаются основные свойства замкну¬
тых операторов. Вводится понятие сопряженного оператора и уста¬
навливаются условия его существования. Доказываются основные
теоремы об ограниченных операторах. Даются определения и из¬
учаются свойства изометрических и унитарных операторов, уни¬
тарно эквивалентных операторов. Второй параграф немного отхо¬
дит от основной темы главы — теории линейных операторов. В
нем рассматриваются операторные уравнения, как линейные, так и
нелинейные. Излагается метод сжимающих отображений как один
из основных методов доказательства существования и единственно¬
сти решений различных уравнений, необходимый, в частности, для
дальнейшего изложения теории линейных операторов. В последнем
параграфе вводится понятие спектра линейного оператора и изуча¬
ются связанные с этим понятием операторные уравнения. Изуча¬
ются общие свойства спектров линейных операторов, в частности
спектров унитарных операторов.
Восьмая глава содержит теорию линейных операторов в
Я-пространствах. Определяются ортогональные подпространства,
их ортогональные суммы и дополнения. Решается задача о нахо¬
ждении проекции вектора на не содержащее его подпространство,
определяется общий вид непрерывного линейного функционала на
Я-пространстве. Изучаются ограниченные и неограниченные ли¬
нейные операторы, унитарные операторы. Как частный случай уни¬
тарного оператора рассматривается оператор Фурье — Планше-
реля. Изучаются симметричные и самосопряженные операторы и
их спектры. Излагается общая теория операторов ортогонального
проектирования (ортопроекторов). Изучаются ортогональные, ор-
тонормальные, биортогональные и биортонормальные системы век¬
торов. Вводится понятие базиса, устанавливается условие суще¬
ствования базиса в Я-пространстве. Выводятся разложения лю¬
бых векторов по базису. Как частный случай изучаются разложе¬
ния функций по ортонормальным системам функций, образующим
базисы в соответствующих функциональных Я-пространствах. В
последнем параграфе излагается общая теория компактных линей¬
ных операторов и изучаются спектры компактных операторов в Я-
пространствах. Как частные случаи рассматриваются операторы
Гильберта — Шмидта и ядерные операторы. Рассматриваются
также линейные интегральные уравнения Фредгольма и формули¬
ПРЕДИСЛОВИЕ
17
руются основные теоремы теории таких уравнений, вытекающие из
общих теорем теории компактных операторов.
В девятой главе изложена спектральная теория линейных опе¬
раторов в Я-пространствах. Доказана теорема существования соб¬
ственных значений у самосопряженного компактного оператора.
Выведено спектральное разложение такого оператора. Дано приме¬
нение этой теории к интегральным уравнениям Фредгольма с симме¬
тричным ядром. Изложен метод решения интегральных уравнений
одного достаточно широкого класса. Дано определение оператор¬
ной меры, значениями которой служат ортопроекторы — разложе¬
ния единицы. Изложена теория интеграла от числовой функции по
операторной мере и изучены свойства операторов, определяемых
разложением единицы, и их спектры. Определен широкий класс
функций от унитарного и от самосопряженного оператора. На осно¬
ве этой теории дано определение разложения единицы — спектраль¬
ной меры — данного самосопряженного оператора и выведено его
представление в виде интеграла по этой спектральной мере (спек¬
тральное разложение самосопряженного оператор*). Отсюда выве¬
дены спектральные представления унитарного оператора, группы
унитарных операторов и нормального оператора.
Десятаяглавапосвящена теории нелинейных операторов и фун¬
кционалов. Даны определения сильных дифференциала и производ¬
ной оператора и функционала (дифференциала и производной Фре-
ше), слабых дифференциала и производной (дифференциала и про¬
изводной Гато). Изучены связи между этими двумя видами диф¬
ференциалов и производных. Определены сильные и слабые диффе¬
ренциалы и производные высших порядков. Выведены правило диф¬
ференцировать сложной функции, формула конечных приращений,
формула и ряд Тейлора для операторов и функционалов. Получе¬
ны общие необходимые и достаточные условия экстремума функци¬
онала. В последнем параграфе изложены элементы общей теории
дифференциальных уравнений в ^-пространствах.
В последней, одиннадцатой главе изложены приближенные ме¬
тоды функционального анализа. Изложен один из наиболее эффек¬
тивных методов приближенного решения операторных уравнений —
метод Ньютона, а также модифицированный метод Ньютона. Изуче¬
на проблема аппроксимации элементов сложных (как правило, бес¬
конечномерных) пространств элементами более простых, в частно¬
сти конечномерных, пространств. На основе общей теории даны эф¬
фективные приближенные методы решения операторных уравнений
18
ПРЕДИСЛОВИЕ
и связанных с ними экстремальных задач. Изложены метод Рэлея
— Ритца, методы Галеркина — Бубнова, метод конечных элементов.
Последний параграф посвящен приближенным методам решения не¬
корректных задач, основанным на методе регуляризации Тихонова.
Лля облегчения усвоения излагаемой теории и для иллюстра¬
ции ее применений, а также для успешной самостоятельной работы
читателя над курсом в книге приведено около двухсот примеров и
свыше трехсот задач разной степени сложности. Некоторые задачи
снабжены указаниями различной подробности, начиная от намека
на путь решения и кончая подробными указаниями, что надо сде¬
лать, чтобы решить данную задачу. Лля нескольких особо сложных
задач дано их решение. Некоторые из приведенных задач содержат
много дополнительной информации о возможных обобщениях и раз¬
витии изложенных в книге методов.
В список литературы включены лишь книги, пользуясь кото*
рыми читатель может глубже изучить интересующие его разделы
курса или получить дополнительную информацию о приложениях,
рассматриваемых в примерах. Ссылок на первоисточники и жур¬
нальные научные статьи в книге нет.
Считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодар¬
ность В.М.Ипатовой, взявшей на себя труд внимательно прочитать
всю рукопись первоначального варианта моих лекций и сделавшей
много ценных замечаний. Своей объективной и конструктивной кри¬
тикой она дала мне возможность значительно улучшить содержа¬
ние книги и качество изложения материала. Я благодарен также
О.С.Огневой, Б.И.Моисееву, А.Р.Панкову, А.В. Сафонову и
М.У.Хафизову за ценные замечания, способствовавшие улучшению
книги, В.И.Шину за помощь в подготовке к печати первоначального
варианта рукописи лекций, В.И.Синицыну за помощь в редактиро¬
вании и оформлении части рукописи, Н.ТЛрославцевой за неодно¬
кратную перепечатку первоначального варианта рукописи и редак¬
тору книги Е.Л.Мочиной.
Особую благодарность я должен выразить Французско-Россий¬
скому центру Евклид за спонсорскую помощь в изготовлении ком¬
пьютерного оригинал-макета книги и И.Н.Синицыну, организовав¬
шему эту работу. Наконец, я благодарен И.В.Макаренковой и
Е.Н.Федотовой, взявшим на себя труд изготовления оригинала-ма¬
кета книги.
В.С.Пугачев
ГЛАВА 1
МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
$ 1.1. Функции и отображения
1.1.1. Предмет функционального анализа. Функциональный
анализ является одной из важнейших математических дисциплин.
Вместе с абстрактной алгеброй он служит основой многих других
разделов современной математики. Особенно широко функциональ¬
ный анализ применяется в теории вероятностей и в теории случай¬
ных функций (случайных процессов). Он находит примененйе и в
современной теории управления.
В математическом анализе изучаются скалярные и конечномер¬
ные векторные функции скалярного или конечномерного векторно¬
го аргумента. В функциональном анализе изучаются более общие
функции, аргументами и значениями которых могут быть элементы
любых множеств. При изучении функций в математическом анаг
лизе и в линейной алгебре широко пользуются геометрическими
представлениями, рассматривая функцию как отображение одно¬
го конечномерного пространства в другое. Например, скалярная
функция одной скалярной переменной представляет собой отобра¬
жение числовой прямой R в числовую прямую; скалярная функция
двух (трех) скалярных переменных представляет собой отображе¬
ние плоскости R2 (соответственно, трехмерного пространства Я3)
в числовую прямую. При изучении более общих функций, отобра¬
жающих одно множество в другое, обнаруживается удивительное
сходство многих свойств функций с наглядными геометрическими
свойствами более простых функций. Вы уже сталкивались с подоб¬
ными аналогиями в курсе линейной алгебры, где рассматриваются
пространства любого конечного числа измерений (n-мерные про¬
странства Rn при любом конечном п). Свойства линейных функций
в пространстве Rn при любом п абсолютно ничем не отличаются от
свойств линейных функций в одномерном, двумерном и трехмерном
пространствах. Аналогии, о которых идет речь, послужили поводом
для обобщения понятия пространства и для применения геометриче¬
ских представлений и геометрической терминологии при изучении
любых функций.
20
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
Функциональный анализ зародился в работах итальянского ма¬
тематика Вольтерры, который впервые рассматривал функции как
точки некоторого пространства [7, 8]. Чтобы пояснить его идею,
рассмотрим действительную функцию у = x(t) на интервале [а, Ь].
Разобьем интервал [а, Ь] на п — 1
равных частей и обозначим точки
деления через t\ = а, *2, ... >*п-ь
tn = М* = а+(*-1)(6-а)/(п-1), a
значения функции з(£) в этих точ¬
ках через *ь ... ,*п, ** = *(**)
(рис.1). Эти п значений функции
x(t) образуют n-мерный вектор.
Таким образом, любую функцию
можно приближенно представить
n-мерным вектором, т.е. точкой
n-мерного пространства Rn. Яс¬
но, что такое представление фун¬
кции реализуется табличным заданием функции: любая таблица за¬
дает функцию ее значениями в конечном множестве точек. В случае
непрерывной функции з($) представление ее n-мерным вектором мо¬
жет быть сколь угодно точным при достаточно большом п. И чем
больше п, тем точнее будет это представление. В пределе при не¬
ограниченном увеличении п функция g(t) будет точно представле¬
на вектором (точкой) в бесконечномерном пространстве. Простран¬
ства, точками которых служат функции, называется функциональны-
ми пространствами.
Вольтерра дал также определение действительной функции, ар¬
гументом которой служит совокупность всех значений непрерывной
функции g(t) в интервале [а, Ь]. Эту функцию он назвал функциона¬
лом. Отсюда и пошло название предмета — функциональный ана¬
лиз.
Следует заметить, что еще задолго до работ Вольтерры функ¬
ционалы, не называя их так, рассматривал Эйлер, создавший ва¬
риационное исчисление, предметом которого является нахождение
экстремумов функционалов одного класса.
Первоначально функционалы служили основным объектом из¬
учения в функциональном анализе. В дальнейшем понятие функ¬
ции было значительно обобщено. Соответственно расширилась и
область интересов функционального анализа. Таким образом, пред¬
метом современного функционального анализа является изучение
Рис. 1
§ 1.1. ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ
21
функций, аргументами и значениями которых служат элементы лю¬
бых множеств, называемых в этом случае пространствами.
1.1.2. Множества. В математике и ее приложениях мы посто¬
янно встречаемся с множествами. Примерами множеств могут слу¬
жить множество всех действительных чисел (точек числовой прямой
Я1 = Я), множество рациональных чисел, множество всех точек ев¬
клидовой плоскости Я2 или пространства Я3, множество точек неко¬
торой области плоскости или пространства, множество функций од¬
ной или нескольких переменных, обладающих заданным свойством,
множество всех плоских кривых, множество всех возможных вход¬
ных сигналов автоматической системы и т.д. В первом примере
элементами множества служат действительные числа, во втором —
рациональные числа, в третьем — точки плоскости или простран¬
ства и т.д.
В частности, множество может состоять из одного элемента.
Лля общности формулировок целесообразно ввести также пустое
множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество
обозначается 0.
Бесконечное множество называется счетным, если в<се его эле¬
менты можно поставить во взаимно однозначное соответствие с на¬
туральными числами так, что каждому элементу будет соответство¬
вать одно и только одно натуральное число и наоборот, каждому на¬
туральному числу будет соответствовать один и только один эле¬
мент. Иными словами, счетным называется такое множество, все
элементы которого можно перенумеровать. Бели этого сделать не¬
льзя, то множество называется несчетным.
Примерами счетных множеств могут служить множество всех
целых чисел, множество всех рациональных чисел, множество всех
точек плоскости или конечномерного евклидова пространства с ра¬
циональными координатами.
1.1.3. Пространства. Рассматривая множество всех элемен¬
тов, обладающих каким-либо общим свойством, его часто называ¬
ют пространством. Например, множество всех действительных чи¬
сел (числовую прямую Я) обычно называют одномерным простран¬
ством, множество всех точек плоскости Я2 — двумерным простран¬
ством, множество всех точек обычного пространства Я3, изучаемого
в геометрии, называют трехмерным пространством. Обобщая эти
понятия, в линейной алгебре называют п-мерным пространством
Яя множество всех упорядоченных наборов п действительных чи¬
сел. В функциональном анализе множество всех скалярных непре¬
22
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
рывных функций, определенных на интервале [ау 6], называют про¬
странством непрерывных функций.
Однако в некоторых случаях целесообразно рассматривать дан¬
ное пространство как подпространство некоторого ” более широко¬
го” пространства. Например, двумерное пространство R2 (плос¬
кость) можно рассматривать как подпространство трехмерного про¬
странства R3. Пространство всех непрерывных скалярных функ¬
ций на интервале [а, Ь] можно рассматривать как подпространство
пространства всех скалярных функций, определенных на интервале
М].
Пространства мы будем обозначать преимущественно больши¬
ми буквами из конца латинского алфавита, например X, У, Z, U,...,
а их элементы, которые называются также точками этих прост¬
ранств, соответствующими малыми буквами, например х, у, z,
ti, — Множества точек пространства будем обозначать большими
буквами, например А, В> С, D,
Бели элемент (точка) х принадлежит множеству А, то это запи¬
сывается в виде х 6 А. Бели х не принадлежит А, то пишут х£А или
х 0 А.
Бели элементы множества В принадлежат также и множеству А,
то В называется подмножеством множества А и записывается это
в виде В Q А. Очевидно, что если ВсАтлАсВуто множества А и
В совпадают, что записывается в виде равенства А = В. Очевидно
также, что 1лз В С А> С С В следует С С А.
1.1.4. Действия над множествами. Дополнением множества
А в пространстве X называется множество А всех точек простран¬
ства X, не принадлежащих А. Очевидно, что дополнением всего
пространства X является пустое множество 0 и наоборот. Допол¬
нением множества А является А.
Объединением множеств А и В называется множество, каждый
элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств Л, В.
Объединение множеств Ап В обозначается A\JB (рис.2).
Пусть {-Аа} —произвольная совокупность множеств. Бели мно¬
жество значений параметра а конечное, то совокупность {>!<*} со¬
стоит из конечного числа множеств. Бели множество значений а не¬
счетное, то {Д*} представляет собой несчетную совокупность мно¬
жеств. Объединением (J^o совокупности множеств {Аа} называется
а
множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному
из множеств Аа.
§1.1. ФУНКЦИИ и ОТОБРАЖЕНИЯ
23
AUB
ЛВ
Рис. 2
Рис. 3
Пересечением множеств АиВ называется множество элементов,
принадлежащих обоим множествам А и В. Пересечение множеств
А и В обозначается Af]B или АВ (рис.З).
Аналогично пересечением (7|Аа совокупности множеств {-А*}
называется множество элементов, принадлежащих всем множествам
Операции объединения и пересечения множеств обладают сле¬
дующими очевидными свойствами:
1) A\JB = B\JA, АВ = В А (коммутативность),
2) AU(^U^) = C^U*®)U^» А(ВС) = (АВ)С (ассоциативность),
3) (A\JB)C = AC\JBC (дистрибутивность),
4) (^45)^)^= (AUС) ПС® UС) (дистрибутивность).
Разностью А\В множеств АиВ называется множество точек А,
не принадлежащих В (рис.4). Очевидно, что А\В = АВ, а Х\А =
= ХЛ = А.
В некоторых случаях целесообразно рассматривать симмет¬
ричную разность множеств Ан В, определяемую равенством АьВ =
= ЯдЛ = (A\B)U(^\^) (рис.5).
А \В
А^В
Рис. 4
Рис. 5
24
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
Из приведенных определений непосредственно следует, что до¬
полнением объединения множеств является пересечение их допол¬
нений, а дополнением пересечения множеств является объединение
их дополнений:
лив = Af]B, AftB = A\JB , (1.1)
илв = гйо ГИс = ил,. (1.2)
а а а а
Эти формулы выражают так называемый принцип двойственности,
играющий важную роль в теории множеств. На основании это¬
го принципа из любого утверждения автоматически вытекает двой¬
ственное утверждение, получающееся заменой всех множеств их до¬
полнениями, объединений пересечениями и наоборот.
Пусть {л4а} — некоторая совокупность подмножеств множества
С , Аа С С. Если рассматривать С как пространство, то дополне¬
ниями множеств Аа будут разности С\Аа и из принципа двойствен¬
ности (1.2) получим
С\[)Аа = П(С\А«), C\f]Aa = U(С\Аа) • (1.3)
а а а а
Этими формулами нам придется в дальнейшем воспользоваться.
Легко видеть, что объединение конечной или счетной совокуп¬
ности счетных множеств тоже представляет собой счетное множе¬
ство. Действительно, обозначив элементы множества А\ через ац,
<*i2> а13, > - * , элементы множества Аг% не принадлежащие А\} через
<*2Ь а22, <>23, • • • и Т'Д > элементы множества Ап, не принадлежащие
п—1
(J Ли, через ani, an2, апз, ... и расположив их в форме таблицы
к=1
Оц а\2 013 J®14
^21 / .а22/ ®23 «24
«34
«41 <»42 «43 O44
мы можем перенумеровать их в порядке, указанном стрелками, по¬
ложив Xi = ац, Х2 = 021, Хз = в12, Х4 = 031, Хв = 022, *6 = 013,
Х7 = а41, Х& = 032, *9 = 023 1.
§1.1. ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ
25
Как следствие отсюда вытекает, в частности, счетность множе¬
ства всех рациональных чисел, о котором говорилось выше. Дей¬
ствительно, множество всех дробей со знаменателем п счетно, а мно¬
жество всех рациональных чисел представляет собой объединение
множеств всех дробей со знаменателями 1, 2, 3, ..., п,
Множество всех действительных чисел (точек числовой пря¬
мой) несчетно. Очевидно, что достаточно доказать несчетность
множества точек интервала [0, 1]. Допустив, что это множество
счетное, перенумеруем все числа в интервале [0, 1]. В результате
получим числовую последовательность {ап}. Каждое число этой
последовательности может быть записано в виде бесконечной пра¬
вильной десятичной дроби
ап = 0,а(1)а(2).
Определим число
а = 0,
так, чтобы его первый десятичный знак не совпадал с первым зна¬
ком числа вх, а*1) ф а^, второй не совпадал со вторым знаком числа
б2, аф а^ и т. д., Jb-й знак не совпадал с Jb-м знаком числа а*,
ф Ясно, что число а не совпадает ни с одним из чисел
последовательности {ап} (от каждого из них отличается по крайней
мере одним десятичным знаком). Следовательно, никакое счетное
множество чисел не может совпадать с множеством всех действи¬
тельных чисел.
1.1.5. Общее определение функции. Если некоторым точкам
х пространства X поставлены в соответствие точки другого про¬
странства У, так что каждой точке х некоторого множества про¬
странства X соответствует одна и только одна точка у G У *, то это
соответствие называется функцией и обозначается, как и в элемен¬
тарном анализе, у = f(x). При этом говорят, что функция у = f(x)
действует из X в У.
'* В функциональном анализе рассматриваются только однозначные функ¬
ции. Бели некоторым точкам X £ X соответствует конечное или счетное
множество точек у £ У, то это соответствие будет многозначной функцией.
Каждая ’’ветвь” этой многозначной функции рассматривается в функциональ¬
ном анализе как отдельная функция. Например, у = у/х и у = ~у/% рассма¬
триваются как две различные функции.
26
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
Множество точек пространства X, на котором определена функ¬
ция /, называется областью определения этой функции и обознача¬
ется Df. Множество точек пространства У, которые поставлены в
соответствие точкам х 6 Df, называется областью значений функции
у(х) и эбозначается Я/.
Пример 1.1. Обычная функция одной или нескольких переменных
(функция точки на прямой или в конечномерном пространстве).
Пример 1.2. Векторная функция скалярной или ^векторной перемен¬
ной.
Пример 1.3. Площадь у под кривой X = x(t) на интервале [а, 6],
x(t) > 0, у = /(х). Областью определения Df этой функции служит множе¬
ство всех кривых, для которых определена площадь (рис.6). Областью значе¬
ний Rf служит мложество всех положительных чисел, Rf = (0, оо).
Рис. 7
П р и м е р 1.4. Площадь у = f(x) плоской фигуры, ограниченной
замкнутой кривой X (рис.7). Областью определения Df этой функции служит
множество всех замкнутых кривых, для которых можно определить ограничен¬
ные ими площади, а областью значений Rf — множество всех положительных
чисел, Rf = (0, оо).
П р и м е р 1.5. Какой-либо признак X плоской кривой, например чи¬
сло самопересечений ( или вообще любой признак какого-либо образа). В
этом случае Df есть множество всех кривых, для которых определено поня¬
тие самопересечения, a Rf — множество всех целых неотрицательных чисел.
Пример 1.6. Соответствие между входным сигналом (входной функ¬
цией) х(£) и выходным сигналом (выходной функцией) y(t) автоматической
системы.
Каждая функция у = /(х) осуществляет отображение Df на Rf.
Если Df = Ху Rf = У, то говорят, что функция у = /(х) отображает
§ 11. ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ
27
X на У. Если же Dj = Xt Я/ ф У, Я/ С У, то говорят, что функция
у = /(а?) отображает X в У. Мы будем говорить, что функция
у = /(а?) отображает X в У, и в том случае, когда D/ ф X, Dj С Ху
й/ С У. В соответствии с этим функцию называют также отобра¬
жением и пишут / : X —► У вместо у = /(х).
Если функция у = /(х) устанавливает взаимно однозначное ото¬
бражение D/ на Я/, то существует обратная функция х = /_1(у) с
областью определения Я/ и областью значений Dj.
Функция, отображающая все пространство X на все простран¬
ство У, называется сюршективным отображением или сюрзекцией .
Функция, определяющая взаимно однозначное отображение все¬
го пространства X в пространство У, называется инвективным ото¬
бражением или иншекцией» Таким образом, Ътъекция представляет
собой функцию, отображающую все пространство X в У и имею¬
щую обратную функцию.
Функция, осуществляющая взаимно однозначное отображение
всего пространства X на У, называется биективным отображением
или биекцией.
Функция со значениями на числовой прямой или на комплекс¬
ной плоскости (в поле скаляров) называется функционалом. Функ¬
ционалы переменной х мы часто будем коротко обозначать малыми
буквами, не заключая х в скобки, например /х, дх и т.д.
Если пространство У не является числовой прямой йли ком¬
плексной плоскостью, то функция f(x) называется оператором. Опе¬
раторы переменной х мы будем часто обозначать большими буква¬
ми, также не заключая х в скобки, например Ах} Тх и т.д.
Функции приведенных выше примеров 1.1, 1.4 и 1.5 представля¬
ют собой функционалы, а функции примеров 1.2 и 1.6 — операторы.
Функция примера 1.3 представляет собой функционал, если площадь
у определяется на фиксированном интервале (а, 6), и оператор, если
площадь у определяется на переменном интервале (а, £).
Множество всех пар точек {{х, у} : х € Dj, у = /(ж) € Я/^назы¬
вается графиком функции у = /(х).
Функция, равная единице во всех точках множества А и нулю
вне этого множества, называется индикатором множества А и обо-
* Множество точек X, удовлетворяющих условию Р, обозначается
{х : Р}.
28
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
при ж G Ау
при х £ А.
1.1.6. Образы и прообразы множеств. Обратные отображе¬
ния. Значение у Е У функции /(я), соответствующее точке х £ X,
называется образом тонки х.
Совокупность всех точек х 6 О/, которым соответствует одно
и то же значение у функции /(ж), называется прообразом тонки у и
обозначается /”1(у), f~l(y) = {s : /(ж) = у} *. Например, на рис.8
множество точек {жх, Ж2, ®з} представляет собой прообраз точки у,
а у является образом каждой из трех точек жх, Ж2, ®з-
Бели функция у = /(ж) отображает множество А на множество
Bt то множество В называется образом множества At и это записы¬
вается в виде В = f(A). Очевидно, что f(A) = {у : у = /(ж), ж £ А).
Множество А всех точек ж,
для которых у = /(ж) € By назы¬
вается прообразом множества
By что записывается в виде А =
= /-1(2?). Очевидно, что
/-*(£() = {* : /(*) € В). Функ-
ция / 1(5), с помощью которой
для каждого множества В С У
определяется его прообраз, на¬
зывается обратным отображе¬
нием.
Совершенно так же опреде¬
ляются образы и прообразы
классов множеств.
Множество В образов всех множеств класса А называется обра¬
зом класса множеств А и обозначается В = f(A)y В = {В : В =
= f(A),A€A}:
Множество А прообразов всех множеств класса В называет¬
ся прообразом класса множеств В и обозначается А = /“1(В),
А = {А : A = f~1(B), В€В}.
На рис.9 образом интервала‘(а, 6) служит интервал (с, cf), а про¬
образом интервала (с, d) является интервал (а, 6). На рис. 10 интер-
Рис. 8
* Не путать с обратной функцией. Функция, обратная по отношению к у =
= /(*) , может и не существовать, а прообраз точки у, определяемый функцией
у = /(ж), всегда существует и обозначается /”1(у)-
$ 1.1. ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ
29
вал В представляет собой образ каждого из интервалов Лг> Аз
и любых их объединений: В = f(Ai) = /(Л2) = /(Аз) — f(Ai (J Л2) =
= f(Ax\jA3) = f(A2[JA3) = f(A\ и^гО^з), а прообразом интер¬
вала В служит объединение А\ (J А2 (J А$ интервалов А\, А2, А3:
f~x(B) = А\ \JA2[JA3. Последний пример показывает, что если В
представляет собой образ множества А\, то А\ может и не быть
прообразом множества В, так как множество А\ может быть под¬
множеством множества всех точек ж, для которых f(x) € В.
1.1.7. Свойства обратных отображений. Изучим свойства
обратных отображений.
1. Если В\ С В2, то С f~l(B2). Действительно, если
у € В\у то у £ #2 и, следовательно, прообраз точки у £ В\ принад¬
лежит f~l(B2).
2. Прообраз пересечения любой совокупности множеств есть
пересечение прообразов этих множеств:
Г1(С]ва) = ПГ1(ва).
а а
Действительно, если точка у принадлежит всем множествам Вау то
ее прообраз по определению принадлежит прообразам всех мно¬
жеств Ва, т.е. всем множествам Z""1 (£<*), а следовательно, принад¬
лежит пересечению
а
3. Прообраз любого объединения множеств есть объединение про-
образов этих множеств:
Г1(ия«) = иг1(я«).
а а
Действительно, если точка у принадлежит какому-нибудь из мно¬
жеств Вау то ее прообраз по определению принадлежит прообразу
30
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
этого множества Ва, т.е. множеству f~1(Ba), а следовательно, и
множеству U ГЧВа).
а
4. Прообраз дополнения множества В представляет собой раз¬
ность между областью определения D/ функции у = f(x) и прообра¬
зом множества В:
Г\В) = D,\r\B) = f=HB)Df.
5. В частности, если областью определения функции у = f(x)
служит все пространство X, Dj = X, mo прообраз дополнения мно¬
жества В есть дополнение прообраза этого множества:
г1(в) = 7Г7Щ-
I
6. Прообразом пустого множества 0,очевидно, служит допол¬
нение области определения функции, /-1( 0 ) = Dj = X\Df. Если
функция f определена на всем пространстве, Dj = X, mo /“*( 0 ) =
= 0.
Полученные результаты можно сформулировать в виде теоре¬
мы.
Теорема 1.1.1. Все соотношения между множествами при
обратном отображении остаются неизменными.
Легко видеть, что для
прямых отображений это
не верно. Чтобы убедить¬
ся в этом, достаточно рас¬
смотреть числовую функ¬
цию f(x), график которой
показан на рис.11. Множе¬
ства А\ и Аъ не пересека¬
ются, а их образы f(A\)
и f(A2) имеют, непустое
пересечение. Прообразом
пересечения множеств
Bi=f(Ax). и B2 = f(A2)
1.1.8. Отношение порядка. Любое множество пар {а, 6}, где
а — элемент некоторого множества А, а Ь — элемент некоторого
множества В, называется отношением, точнее, бинарным отноше¬
нием. Отношение обычно записывается в виде а Я 6, что означает,
служит интервал Аз ф А\А2.
§1.1 ФУНКЦИИ и ОТОБРАЖЕНИЯ
31
что пара {а, 6} принадлежит отношению R. В частности, множе¬
ство В может совпадать с Л. В этом случае R представляет собой
отношение на множестве А. Примерами отношений могут служить
равенство а = Ь (множество пар элементов множества Л, вторые
элементы которых совпадают с первыми), неравенство а < Ь (мно¬
жество пар действительных чисел, первое из которых меньше вто¬
рого), включение Ас В (множество пар множеств одного и того же
пространства, первое из которых есть подмножество второго). Яс¬
но, что функция представляет собой отношение, в котором нет двух
пар {ху у} с одним и тем же х.
Бели для некоторых пар элементов некоторого множества А
установлено, какой из них предшествует другому, то говорят, что на
А определено отношение порядка (множество пар элементов, пер¬
вый из которых предшествует второму). Если элемент а предше¬
ствует элементу b (b следует за а), то это записывается в виде не¬
равенства а < Ь, так же как для действительных чисел, или в виде
а -< 6. Эти записи означают, что а предшествует Ь или совпадает
с Ь. Если а предшествует 6, но не совпадает с 6, то говорят, что а
строго предшествует Ь, и пишут а < Ь.
Множество называется частично упорядоченным, если на нем
установлено отношение порядка, обладающее свойствами
1) если а < Ь и b < с, то а < с;
2) а < а для любого элемента а;
3) если а < Ь и 6 < а, то а = 6.
Примером частично упорядоченного множества может слу¬
жить множество всех подмножеств некоторого множества А\ отно¬
шением порядка в этом множестве служит включение С. Другим
примером частично упорядоченного множество может служить про¬
странство Rn с данным базисом {ei, ... , еп}, в котором вектор b счи¬
тается следующим за вектором а, если все его координаты &i, ... , 6П
не меньше соответствующих координат вектора а, а\ < 6i, ...
• • • 1 ап ^ Ьп.
Элементы а, 6 частично упорядоченного множества называют¬
ся несравнимыми, если для них несправедливо ни а < 6, ни 6 < а, и
сравнимыми в противном случае. Так, например, в частично упо¬
рядоченном знаком включения множестве веек подмножеств множе¬
ства А несравнимы любые два подмножества, ни одно из которых
не содержится полностью в другом. Частично упорядоченное мно¬
жество называется^упорядоченныму или линейно упорядоченным, или
совершенно упорядоченным, если любые его два элемента сравнимы.
32
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
Примерами упорядоченных множеств могут служить множество
натуральных чисел и множество всех действительных чисел — чи¬
словая прямая R.
Элемент s частично упорядоченного множества 5 называется
мажорантой подмножества А С S, если х < s для любого х £ А.
Элемент а частично упорядоченного множества называется верхней
гранью подмножества А С 5, если х < aVi Е >1 и a < s для любой
можоранты 8 подмножества А, Элемент а множества А называется
максимальным элементом А, если в А нет элементов, следующих за
а. Аналогично определяются миноранта и нижняя грань подмноже¬
ства частично упорядоченного множества и минимальный элемент
множества.
Любое упорядоченное подмножество частично упорядоченного
множества называется цепью.
Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным,
если каждое его подмножество имеет минимальный элемент.
Примером вполне упорядоченного множества может служить
множество натуральных чисел. Примером упорядоченного, но не
вполне упорядоченного множества может служить интервал [а, 6]
числовой прямой. Этот интервал имеет минимальный элемент а,
но его подмножества вида (а, /?), (а, /?], а < а < /3 < 6, не имеют
минимальных элементов.
Отрезком упорядоченного множества А, определяемым элемен¬
том a € Л, называется множество всех элементов Л, строго пред¬
шествующих а. Из этого определения следует, что элемент упо¬
рядоченного множества не принадлежит определяемому им отрезку
этог# множества.
1.1.9. Аксиома выбора. В основе многих построений совре¬
менной математики лежит аксиома выбора: для произвольного се¬
мейства множеств {Xt}, t G Т, можно определить функцию x(t)y
t £ Т, выбрав из каждого множества Xt произвольно один элемент х%
и приняв при каждом t x(t) = xt. Эта аксиома совершенно естествен¬
на. В случае, когда все множества Xt представляют собой ” экзем¬
пляры” одного и того же множества X, соответствующие различным
значениям t € Т, аксиома выбора по существу означает существова¬
ние определенной на множестве Т функции x(t) со значениями в X,
значение которой при каждом t Е Т может быть произвольно задано.
Это кажется совершенно очевидным, особенно в таком привычном
нам случае, когда Т и X представляют собой интервалы числовой
прямой R.
5 1.1. ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ
33
Из аксиомы выбора вытекает ряд теорем, которые часто при¬
меняются в математике, в частности в функциональном анализе.
Теорема 1.1.2. Каждое множество может быть вполне упоря¬
дочено (теорема Цермело).
> Пусть S — произвольное множество. Определим функцию <р,
выбрав произвольно из каждого непустого подмножества множества
S один элемент. Это возможно на основании аксиомы выбора.
Рассмотрим класс С всех упорядоченных подмножеств множе¬
ства S, обладающих следующим свойством: каждый элемент х под¬
множества А 6 С определяется как элемент, который функция <р ста¬
вит в соответствие дополнению в S множества Вх всех элементов
множества А, предшествующих х:
х = <p(S\Bt). (1.4)
Очевидно, что класс С не пуст. В частности, ему принадлежат
все конечные подмножества множества S с первым элементом х\ =
<p(S\ 0 ) = <p(S) и последующими элементами, определяемыми фор-
мулой (1.4): хп = 95(5\{*1, ..'. ,xn_i}).
Докажем сначала, что все множества класса С вполне упорядо¬
чены. Для этого заметим, что в каждом подмножестве множества
Л € С, содержащем некоторый его отрезок, минимальным элементом
служит общий первый элемент <p(S) всех множеств класса С. Для
каждого подмножества В множества А, не содержащего никакого от¬
резка множества А, существует максимальный отрезок С множества
Л, не пересекающийся с В, который, очевидно, представляет собой
объединение всех отрезков множества А> не пересекающихся с В.
Элемент <р(А\С) множества А> определяющий его отрезок С, пред¬
ставляет собой минимальный элемент подмножества В С А. Таким
образом, каждое подмножество множества А £ С имеет минималь¬
ный элемент, что и доказывает полную упорядоченность множества
АеС.
Докажем теперь, что любые два множества класса С или совпа¬
дают, или одно из них служит отрезком другого. Действительно,
любые два множества А, В ЕС имеют общие отрезки, так как у них
общий первый элемент (p(S). Пусть С — максимальный общий от¬
резок А и В. Следующим за С элементом как в Л, так и в В будет
<p(S\C) в соответствии с (1.4). Поэтому С может быть максималь¬
ным общим отрезком А и В} только если С = АсВ, или С = В С А,
или С — А — В.
34
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
Рассмотрим теперь объединение L всех множеств класса С.
Множество L упорядочено, так как любые два элемента х, у £ L
Принадлежат каким-нибудь множествам класса С, х € А, у £ В> А,
В £ Ct и по доказанному ранее оба принадлежат наибольшему из
упорядоченных множеств Ди£и, следовательно, сравнимы. Далее
любой элемент х £ L принадлежит какому-нибудь множеству АеС
и, следовательно, определяется формулой (1.4), х = (p(S\Bx), причем
множество Вж всех строго предшествующих х элементов множества
Ау очевидно, является и множеством всех строго предшествующих х
элементов множества L. Таким образом, множество L принадлежит
классу С и, следовательно, вполне упорядочено. По построению Ь
является максимальным множеством класса С и поэтому совпадает
с 5, так как если Ьф 5, то в соответствии с (1.4) к L можно добавить
элемент <p(S\L)} что противоречит максимальности L. <
Следствие. Любое множество можно вполне упорядочить бес¬
численным множеством способов в зависимости от выбора функции
V-
Теорема 1.1.3. Каждая цепь частично упорядоченного мно¬
жества содержится в некоторой максимальной цепи (теорема
Хаусдорфа).
> Пусть С — любая цепь в частично упорядоченном множествё
Sy В = S\C. По теореме Цермело 1.1.2 множество В может быть
вполне упорядочено. При этой*, конечно, это отношение порядка в
В не будет совпадать с тем отношением порядка, которое определе¬
но в 5. Разобьем все элементы вполне упорядоченного множества
В на два класса следующим образом. Первый (минимальный) эле¬
мент множества В отнесем к первому классу, если он сравним в S
со всеми элементами цепи С, и ко второму классу в противном слу¬
чае. Каждый последующий элемент множества В отнесем к первому
классу, если он сравним в 5 со всеми элементами цепи С и со все¬
ми предшествующими элементами множества By принадлежащими
первому классу, и ко второму классу в противном случае. В ре¬
зультате добавления к цепи С всех элементов множества В = 5\С\
отнесенных к первому классу, получится цепь С\ Э С. Эта цепь мак¬
симальна, так как любой из элементов множества 5\Ci несравним
по крайней мере с одним из элементов цепи С\. <
Теорема 1.1.4. Если каждая цепь частично упорядоченного
множества S имеет мажоранту, то в S существует максималь¬
ный элемент (лемма Порна).
> Пусть С — какая-нибудь максимальная цепь в 5, с — ее ма-
§ 1.1. ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ
35
жоранта. Бели в S существует элемент 8, следующий за с, с < *,
то, добавив к С этот элемент 8, получим большую цепь, чем С. По¬
лученное противоречие убеждает нас в том, что в S нет элемента,
следующего за с, т.е. с есть максимальный элемент множества S. <
Рис. 12
Рис. 13
На рис.12 и 13 дана иллюстрация к теоремам 1.1.3 и 1.1.4. За¬
мкнутый квадрат S с вершинами в точках (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)
на рис. 12 представляет собой частично упорядоченное множество,
в котором точка а предшествует точке Ь, если обе координаты точки
а не больше соответствующих координат точки Ь. Точки 6, 6" на
рис. 12 следуют за точкой а и точки Ь% 6;, 6" несравнимы одна с дру¬
гой. На рис.13 сплошными линиями показаны цепи, а пунктирными
линиями — их возможные продолжения до максимальных цепей. Яс¬
но, что все максимальные цепи оканчиваются точкой (1,1), которая
служит общей мажорантой всех максимальных цепей и одновремен-.
но максимальным элементом квадрата 5.
Оказывается, что каждая из теорем Иермело и Хаусдорфа и
лемма Цорна эквивалентны аксиоме выбора, вследствие чего ка¬
ждая из них может быть принята за аксиому вместо аксиомы выбо¬
ра. Чтобы убедиться в этом, достаточно ”замкнуть круг” — дока¬
зать, что аксиома выбора является следствием леммы Цорна.
> Пусть {Xt}, t 6 Т — любая система множеств. Обозначим че¬
рез S множество всех подсистем множеств {Х<}, t 6 S С Т, для кото¬
рых справедлива аксиома выбора. Такие подсистемы существуют.
К ним относятся, например, подсистемы {Х<}, t 6 5, соответствую¬
щие всем конечным подмножествам S множества Т. Определим на
каждой подсистеме {Х<}, t € 5, множества S функцию a?s(0 так, что
36
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
= xs2 (0 при t е S1S2 для всех Si, S2, которым соответсвуют
подсистемы множества S. Множество S частично упорядочено по
включению соответствующих множеств S. Пусть С — любая цепь
подсистем множества «S, состоящая из подсистем {X*}, t Е Sa, систе¬
мы {^t}, t Е Т. Рассмотрим подсистему {X*}, < Е 5, где S = \JSa-
Определим на этой подсистеме функцию xs(t), совпадающую на ка¬
ждом множестве Sa С функцией £se(*)- Тогда подсистема {^t}, t £ S}
будет максимальным элементом цепи С. Таким образом, каждая
цепь множества S имеет максимальный элемент. Следовательно, со¬
гласно лемме Цорна множество S содержит максимальный элемент
т, t Е So. Этот максимальный элемент не может отличаться от
системы {^t}, < G Т, так как , еслй So ф Т, то взяв произвольный эле¬
мент to Е T\So и определив соответствующее значение zs0(*o) функ¬
ции а?5о(0> продолжим функцию xs0(t) на множество S\ = SoUOo}»
что противоречит максимальности подсистемы {Xt}, t Е So. Таким
образом, So = Т и, положив x(t) = ®so(0 при всех t Е Т1, убеждаемся
в том, что система {At}, t Е Т, принадлежит множеству S подсистем
этой системы, для которых справедлива аксиома выбора. <
Лля более полного изучения теории множеств читатель может
обратиться к [1, 13].
§ 1.2. Метрические пространства
1.2.1. Основные свойства пространств. Называя некоторое
множество пространством, в функциональном анализе обычно наде¬
ляют его одним или несколькими свойствами обычных пространств,
изучаемых в элементарной геометрии. Основными такими свой¬
ствами являются:
1) в пространстве определено расстояние между любыми двумя
точками;
2) из любой точки пространства можно непрерывно (не выхо¬
дя из этого пространства) перейти в любую другую точку; при
этом каждую точку можно заключить в некоторую как угодно ма¬
лую ” окрестность” этой точки, представляющую собой подмноже¬
ство множества всех точек этого пространства;
3) в пространстве определены понятие вектора и операции сло¬
жения векторов и умножения вектора на число.
Наделяя абстрактное пространство каким-нибудь одним, или
любыми Двумя, или всеми тремя из этих свойств, мы получаем раз¬
личные типы пространств, которые изучаются в функциональном
§ 1.2. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
37
анализе.
1.2.2. Определение метрического пространства. Опираясь
на известные свойства расстояния между точками на плоскости или
в трехмерном пространстве, можно определить расстояние между
двумя точками в любом пространстве.
Пусть X — произвольное пространство (множество). Рассто¬
яние между любыми двумя точками пространства X определяется
как числовая функция двух точек пространства d(x, у), d : X х X —*
—► R *, обладающая свойствами:
1) d(x, у) > 0, причем d(x} у) = 0 тогда и только тогда; когда
х = у (неотрицательность),
2) d(s, у) = d(y> х) (симметрия),
3) d(x, z) < d(x, у) + d(y, z) (неравенство треугольника).
Функция, обладающая этими свойствами, называется метрикой
в пространстве X. Пространство с определенной в нем метрикой
называется метрическим пространством. Свойства 1, 2, 3 метрики
называются аксиомами метрики.
Метрическое пространство, т.е. пространство X с метрикой d,
коротко обозначается (X, of). Бели в одном и том же пространстве
X задать две метрики d\ и с/г, то получатся два разных метрических
пространства (X, d\) и (Х} с/г)*
П р и м е р 1.7. Обычная евклидова метрика на плоскости с прямо¬
угольной декартовой системой координат — расстояние между точками X =
= (а?1, Хг), у = (уь Уг) — определяется формулой
d(x, у) = y/(xi - Ух)2 + (Х2-У2)2.
П р и м е р 1.8. Обычная евклидова метрика в 71-мерном пространстве
Rn — расстояние между точками X = (®i, ... , ®п) и у = (yi, . . . }Уп) —
определяется формулой
d(x, у) = “ У*)2-
* Произведением (прямым произведением, декартовым произведением)
А X В множеств А и В называется множество упорядоченных пар {{#, Ь} :
а € А, Ь 6 -В} • Поскольку в данном случае X и у являются элементами одного
и того же пространства X, пара {х, у} принадлежит произведению X X X.
38
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
Пример 1.9. Неевклидову метрику в 91-мерном пространстве Rn-
можно определить формулой
d(x, у) = (ш{ \ хк-ук | }.
Пример 1.10. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского — верхняя
полуплоскость с метрикой
d(x, y)=mij = inf У x/l + [/4«)]2jfe,
X Xj
где нижняя грань берется по всем возможным кривым t*2 = /(wl)t соединяю¬
щим точки Хи у, лежащие в верхней полуплоскости. Прямыми в такой модели
служат дуги окружностей с центрами на оси абсцисс (рис.14). Бесконечно уда¬
ленная прямая при этом моделируется осью абсцисс. Через каждую точку Z,
не принадлежащую "прямой” ахус, проходит бесчисленное множество "пря¬
мых”, не пересекающих ахус (параллельных ахус). Множество этих ”пря¬
мых”, параллельных axyz, ограничено ”прямыми”, показанными на рис.14
пунктиром.
Рис. 14
П р и н ^ р 1.11. В пространстве С([а, Ь]) непрерывных функций, за¬
данных на интервале [а, 6], метрика определяется формулой
d(x, у) = sup | x(t) - y(t) | .
a<t<b
Пример 1.12. В пространстве С*2([сI, Ь]) непрерывных функций на
интервале [а, 6] метрика определяется формулой
f Ь Л 1/2
d(x, ») = {/| x(t) - y(t) |2 Л} .
§ 1.2. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАЙСТВА
39
Представляем читателю самостоятельно проверить, что метри¬
ка во всех приведенных примерах удовлетворяет аксиомам метрики.
1.2.3. Открытые и замкнутые множества. Окрестности то¬
чек. Опираясь на определения окружности и шара в элементарной
геометрии, понятие шара можно распространить на любые метри¬
ческие пространства.
Открытым шаром Sr(x) радиуса г с центром в точке х в ме¬
трическом пространстве (Х> d) называется множество точек у G X,
расстояния которых от точки х меньше г:
Sr(x) = {» : d(x, у) < г}.
Замкнутым шаром радиуса г с центром в точке х 6 X назы¬
вается множество точек у G Ху расстояния которых от точки х не
больше г:
{у : Ф. У) < »•}•
Сферой радиуса г с центром в точке х G X называется множество
точек у G Ху расстояние которых от точки х равны г:
{у : <*(*, У) = »•}.
1
Очевидно, что замкнутый шар представляет собой объединение
открытого шара и сферы того же радиуса с центром в той же точке.
Шаровой окрестностью точки х метрического пространства X
называется любой открытый шар с центром в точке х. Окрестность
Se(x) коротко называется е-окрестностью точки х.
Чтобы найти подход к общему определению открытого множе¬
ства в метрическом пространстве, установим сначала одно важное
свойство открытых шаров.
Пусть Sr(a) = {х : d(x, а) < г} — открытый шар радиуса г с
центром в точке а метрического пространства X. Лля любой точки
х этого шара d(xy а) < г. Но тогда существует такое число 6 > О,
конечно, зависящее от х, 6 = 6Ж) что d(x, а) < г — 6 при этом х. Ша¬
ровал окрестность 5;(х) точки х радиуса 6 полностью принадлежит
шару 5г(а), так как для любой точки у G Ss(x)
d(y>^0 < d{x> а) + d(x, y)<r-6 + £ = r.
Таким образом, всякий открытый шар содержит любую свою точку
вместе с некоторой ее шаровой окрестностью. Это дает основание
40
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
для того, чтобы определить открытое множество в метрическом
пространстве как такое множество, которое вместе с любой своей
точкой содержит и некоторую ее шаровую окрестность.
Предоставляем читателю самостоятельно доказать следующие
почти очевидные теоремы.
Теорема 1.2,1. Любое объединение открытых множеств есть
открытое множество.
Теорема 1.2.2. Любое непустое пересечение конечного числа от¬
крытых множеств есть открытое множество.
Обратите внимание на то, что бесконечное пересечение откры¬
тых множеств может и не быть открытым множеством, в то время
как любое (даже несчетное) объединение открытых множеств явля¬
ется открытым множеством. Так, например, для любой убывающей
последовательности {£п}> £п > 0, еп —► 0 при п —► оо, пересечение
шаров
П £.+*„(«) = {* : Ф. «)<»•}
п=1
является замкнутым шаром, так как любой шар Sr+Cn(a) содержит
все точки сферы {х : of(x, а) = г}. В то же время объединение всех
таких шаров есть открытый шар Sr+Cl(a).>
Перейдем к определению замкнутого множества. Для этого
определим сначала понятие границы множества.
Точка х называется граничной точкой множества А метриче¬
ского пространства, если любая шаровая окрестность этой точки
содержит как точки множества А, так и точки его дополнения А.
Множество всех граничных точек множества А называется границей
множества А. Очевидно, что граница множества А служит и гра¬
ницей его дополнения А. По определению открытое множество не
содержит ни одной своей граничной точки.
Множество метрического пространства X называется замкну-
тыму если оно содержит свою границу (т.е. все свои граничные
точки). Из этого определения и определения открытого множества
с очевидностью следует, что дополнение любого открытого множе¬
ства является замкнутым множеством, а дополнение любого замкну¬
того множества — открытым множеством.
Все метрическое пространство X содержит любую свою точку
вместе со всеми ее окрестностями. Следовательно, все простран¬
ство X естественно считать открытым множеством. Но тогда пу¬
стое множество 0 будет замкнутым. С другой стороны, пустое
§ 1.2. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
41
множество 0 представляет собой пересечение любых двух непере-
секающихся открытых множеств. Чтобы теорема 1.2.2 была спра¬
ведлива для всех открытых множеств, пустое множество 0 следует
считать открытым, а все пространство X как дополнение пустого
множеству 0 — замкнутым. Таким образом, все метрическое про¬
странство и пустое множество являются одновременно открытыми
и замкнутыми множествами.
Понятие открытого множества дает возможность расширить по¬
нятие окрестности точки. Окрестностью точки называется любое
открытое множество, содержащее эту точку.
1.2.4. Сходамость в метрическом пространстве. Последо¬
вательность точек метрического пространства {хп} называется схо-
дящейся к точке х, если при любом е > 0 окрестность 5с(х) точки х
содержит все точки хп, начиная с некоторого номера N(e). Иными
словами, последовательность точек {хп} сходится к точке х, если
для любого е > 0 существует такое натуральное число N = ^(s)»
что d(xn, х) < е для всех п > N. Если последовательность {хп}
сходится к х, то пишут хп —► х. При этом х называют пределом по¬
следовательности {хп} и пишут х = lim хп или, короче, х = limxn.
п-»оо
Последовательность {хп} называется фундаментальной, если
для нее в&полнено условие Коши, d(xni хт) —► 0 при п, т —► оо.
Теорема 1.2.3. Всякая сходящаяся последовательность фунда¬
ментальна.
> Из неравенства треугольника следует
d(xni хт) < d(xn, х) + d(xmf х).
Задав произвольное е > 0 и выбрав N так, чтобы было d(xn, х) < е/2,
d(zm, х) < е/2, при n, т > N> что возможно вследствие сходимости
хп к х, получим d(xny хт) < е, откуда следует, что cf(xn, xm) —* 0 при
n, m —♦ оо. <
На числовой прямой, так же как и в любом конечномерном про¬
странстве Rn, условие Коши является, как известно, не только не¬
обходимым, но и достаточным для сходимости последовательности.
В общем случае это не так. Поэтому приходится ввести новое по¬
нятие.
1.2.5. Полные метрические пространства. Метрическое про¬
странство называется полным, если любая фундаментальная после¬
довательность в нем сходится к некоторой точке этого простран¬
ства.
42
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
В полном метрическом пространстве для сходимости последо¬
вательности необходима и достаточна ее фундаментальность.
Примерами полных метрических пространств могут служить
все конечномерные пространства К1 и пространство С([а, Ь]) непре¬
рывных функций на [а, 6], в котором метрика определяется формулой
примера 1.11 (докажите полноту С([а, 6])).
Примером неполного метрического пространства может слу¬
жить пространство Сз([—2, 2]) непрерывных функций на интервале
[—2, 2] с квадратичной метрикой примера 1.12. Легко убедиться в
том, что последовательность непрерывных функций (рис.15)
{О при 11 |> 1 -I- 1/2п,
п(1— | * |) + 1/2 при 1 - 1/2п <\t |< 1 -I- 1/2п,
1 при 111< 1 — 1/2п (91=1,2...).
Рис. 15
фундаментальна в метрике пространства Сг([—2, 2]) (проверьте).
Однако она сходится (тоже в метрике С2([—2, 2]) к индикатору мно¬
жества [—1, 1], 1[-1д](0» который не принадлежит пространству не¬
прерывных функций —2, 2]). Таким образом, мы имеем пример,
когда'одно и то же пространство непрерывных функций полно в ме¬
трике пространства С7([—2, 2]) примера 1.11 и неполно в метрике про¬
странства С2([—2, 2]) примера 1.12.
1.2.6. Сепарабельные метрические пространства. Множе¬
ство А точек метрического пространства X называется плотным в
§ 1.2. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
43
Ху если любая е-окрестность любой точки пространства X содер*
жит точки множества А, т.е. если при любых е > 0, х 6 X найдутся
такие точки а множества Af что d(x, а) < е.
Метрическое пространство называется сепарабельным, если в
нем существует плотное счетное множество. Иными словами, про¬
странство X сепарабельно, если существует такое счетное множе¬
ство точек {а?п} С Ху что при любом е > 0 для любой точки х € X
найдутся такие точки хпу что d(xy хп) < е.
Примерами сепарабельных пространств могут служить число¬
вая прямая и вообще все конечномерные пространства Я", так как
счетное множество рациональных чисел (точек с рациональными ко¬
ординатами) плотно во множестве всех действительных чисел (со¬
ответственно в Rn).
Понятие сепарабельности пространства играет большую роль
в функциональном анализе.
1.2.7. Пополнение метрического пространства. Во многих
задачах функционального анализа целесообразно иметь дело с пол¬
ными пространствами. Поэтому естественно возникает вопрос о
возможности расширения неполного метрического пространства до
полного. Пример, приведенный в конце п.1.2.5, указывает естествен¬
ный путь, который во многих случаях приводит к цели, — включить
в данное пространство дополнительные элементы, представляющие
собой пределы всех фундаментальных последовательностей, при¬
надлежащие некоторому пространству, содержащему данное про¬
странство, с той же метрикой, что и данное пространство *. Однако
остается неясным, будет ли полученное таким путем расширенное
пространство полным и всегда ли этот способ можно применить.
Ответы на подобные вопросы дают две основные теоремы о попол¬
нении пространств.
Метрическое пространство X называется Пополнением метри¬
ческого пространства X (конечно, с той же метрикой), если X С Ху
X плотно в X тл X полно.
Теорема 1.2.4. Если X С X, X плотно в X и каждая фундамен¬
тальная последовательность точек пространства X имеет в X пре¬
дел, то пространство X представляет собой пополнение простран¬
ства X.
* Это значит, что метрика в этом более широком пространстве являет¬
ся продолжением метрики данного пространства на более широкую область
определения (о продолжении функции см. в п.2.3.1).
44
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
> Так как пространства X и X удовлетворяют первым двум
условиям определения пополнения, то достаточно показать, что в
этом случае пространство X полно. Пусть {хп} — фундаменталь¬
ная последовательность точек пространства X. В силу плотности
X в X при любом 6 > 0 существует такая последовательность точек
{хп} пространства X, что d(xn, хп) < 6/2П. Эта последовательность
фундаментальна, так как
d(xn, хт) < d(xn, хп) + d(xn, xm) + d(xm, хт) -► О при п,т~* оо.
По условию теоремы последовательность {*„} имеет предел х £ X.
Докажем, что х является пределом и для исходной последователь¬
ности {хп}. В самом деле
d(xn,x)<d(xn,xn) + d(xn,x)-*0 при п-юо. <
Теорема 1.2.5. Всякое метрическое пространство допускает
пополнение.
> Пусть X — метрическое пространство. Ясно, что в общей
теории, имеющей дело с абстрактными пространствами, у нас нет
” материала” для пополнения; пределы некоторых фундаментальных
последовательностей из X не существуют. Поэтому необходимо за¬
менить пространство X другим пространством, которое можно ото¬
ждествить с X, и в то же время получить "материал” для его попол¬
нения. Классический сцособ достижения этого состоит в том, что
каждый элемент х £ X отождествляется с множеством всех последо¬
вательностей из Ху сходящихся к х. Это множество всегда содержит
стационарную последовательность, все члены которой равны х. Это
и служит основанием для такогр построения нового пространства X.
Чтобы установить в новом пространстве X метрику, тождественную
с метрикой исходного пространства X, введем понятие расстояния
между двумя последовательностями. Назовем расстоянием между
фундаментальными последовательностями {хп} и {уп} в исходном
пространстве X величину
rf({*n}, {j/n}) = lim d(xn, Jto). (1.5)
n—+oo
Предел здесь существует, так как. в силу фундаментальности после¬
довательностей {хп}, {уп}
I d(xn, Уп) - d(xmi Ут) |< d(xn, хт) + d(yni ут) —» 0 при n, m — оо.
§ 1.2. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
45
Таким образом, числовая последовательность {d(xn, уп)} фундаме»-
тальна и, следовательно, сходится. Расстояние (1.5) между дву¬
мя последовательностями обладает следующими очевидными свой¬
ствами:
1) если две последовательности {хп} и {х'п} сходятся к одной и
той же точке х, то d({xn}, {xj,}) = 0;
2) если хп -*х,уп-+ у, то </({*„}, {Уп}) = d(x, у).
Первое свойство дает основание считать эквивалентными лю¬
бые последовательности, расстояния между которыми равно нулю.
Таким образом, элементами нового пространства X являются клас¬
сы эквивалентных последовательностей. Второе свойство показы¬
вает, что расстояние между классами эквивалентных сходящихся
последовательностей не зависит от выбора конкретных последова¬
тельностей из этих классов и равно расстоянию между пределами
этих последовательностей. Итак, мы заменили исходное простран¬
ство X новым пространсвом X, представляющим собой простран¬
ство классов эквивалентных сходящихся последовательностей, а за¬
одно получили ”материал” для пополнения X — все классы эквиваг
лентных фундаментальных последовательностей, не имеющих пре¬
дела в X. Расширив X путем добавления всех таких классов, полу¬
чим пространство X — пространство всех классов эквивалентных
фундаментальных последовательностей из исходного пространства
X. При этом расстояние между элементами х, у пространства X
определится той же формулой (1.5):
d(x, у) = lim d(x„, у„), (1.6)
п—♦ оо
где {хп}, {уп} — любые последовательности из х, у соответственно.
Ясно, что пространства X и X, построенные таким способом,
удовлетворяют условию X С X. Кроме того, каждая фундаменталь¬
ная последовательность точек {хп} пространства X имеет в X пре¬
дел х, представляющий собой класс всех фундаментальных последо¬
вательностей из первоначального пространства X, эквивалентных
последовательности {хп}. Чтобы применить теорему 1.2.4, остает¬
ся доказать только плотность X в X. Для этого возьмем любой
элемент х Е X и какую-нибудь из фундаментальных последователь¬
ностей {хп} первоначального пространства X, образующих класс х.
Так как {хп} фундаментальна, то при любом е > 0 d(xny xm) < е при
всех достаточно больших n, т. Следовательно, при любом доста¬
точно большом п
lim d(xn, хт) < е.
ТП—+00
46
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
Но левая часть этого неравенства представляет собой по опреде¬
лению (1.5) расстояние между точками х 6 X и хп 6 Хл где хп —
класс эквивалентных последовательностей, содержащий стационар¬
ную последовательность, все элементы которой равны хп. Таким
образом, в любой окрестности любой точки х пространства X со¬
держится некоторая точка хп пространства X, т.е. X плотно в X.
Таким образом, X удовлетворяет всем условиям теоремы 1.2.4 и,
следовательно, является пополнением пространства X. <
Способ пополнения пространства, даваемый теоремой 1.2.5, не¬
льзя считать конструктивным. Он основан на замене исходного
пространства X некоторым более сложным пространством, кото¬
рое можно в некотором смысле отождествить с Х> и расширении
этого нового пространства путем включения новых элементов. В
конкретных ситуациях часто оказывается, что все фундаменталь¬
ные последовательности данного пространства X имеют пределы,
но некоторые из них не принадлежат Х> а являются элементами не¬
которого более широкого пространства с той же метрикой Х\ Э X.
В таких случаях на основании теоремы 1.2.4 пополнение простран¬
ства X можно осуществить простым добавлением к X пределов всех
фундаментальных последовательностей из X. В п.3.7.7 и п.3.7.8 мы
встретимся с такой ситуацией.
1.2.8. Непрерывные функции в метрических пространст¬
вах. Функция у = /(х), отображающая метрическое пространство
(X, d) в другое метрическое пространство (У, г), называется непре¬
рывной в точке х, если для любого е > 0 существует такое 6 = 6(e) >
> 0, что г(/(х), /(х')) < € при всех х', d(x, х') < 6. Таким образом,
в метрическом пространстве функция у = f(x) непрерывна в точке
х, если г(/(х), /(х')) —► 0 при d(x, х1) —► 0. Функция у = /(х) называ¬
ется непрерывной на некотором. множестве, если она непрерывна
в каждой точке этого множества. Бели функция у = /(х) непрерыв¬
на во всей области ее определения Z)/, то она называется просто
непрерывной.
В общем случае число 6 = 6(e) в определении непрерывности
функции зависит не только от е> но и от точки х.
Функция у = /(х) называется равномерно непрерывной на мно¬
жестве А, если при любом е > 0 существует такое S = 6(б:) > 0,
зависящее только от £ и не зависящее от х, что
r(f(x), /(*')) < е
при всех х, х' € А, для которых rf(x, х') < 6.
§ 1.2. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
47
Функции, принадлежащие множеству {/а(я)}, называются рав¬
ностепенно непрерывными, если при любом е > О существует такое
6 = й(е) > 0 (возможно, зависящее от х), что
г(/а(*), /«(*')) < е
при d(x, х') < й сразу для всех функций, принадлежащих множеству
{/«(*)} (в общем случае разным непрерывным функциям соответ¬
ствуют различные 6 = 5(e)).
ЗАДАЧИ
1.2.1. Изобразить шар радиуса Г с центром в точке X с координатами
Х2 на плоскости с метрикой примера 1.9.
1.2.2. Что представляет собой шар радиуса Г с центром в точке X в про¬
странстве Rn с метрикой примера 1.9?
1.2.3. Тот же вопрос для пространства непрерывных функций скалярной
переменной С([а, 6]) с метрикой примера 1.11. Изобразить вТот шар на плос¬
кости с декартовыми координатами 0tx.
1.2.4. Тот же вопрос для пространстЬа С([а, 6]) примера 1.11 непрерыв¬
ных двумерных векторных функций со значениями на плоскости с евклидовой
метрикой примера 1.7. Изобразить этот шар в трехмерном пространстве с
декартовыми координатами 0iXiX2.
1.2.5. Пусть d(xy у) — метрика в некотором пространстве X, <р(и) —
строго возрастающая положительная выпуклая функция (т.е. функция, для
которой <p(lii 4* U2) < ^(wl) + ^(^2) Vtli, «2) скалярной переменной U > О,
у?(0) = 0. Доказать, что функция £(х, у) = (p(d(x) у)) представляет собой
метрику в том же пространстве X.
1.2.6. Доказать, что множество полиномов плотно в пространстве непре¬
рывных функций С([а, 6]) примера 1.11.
1.2.7. Доказать, что пространство С([в, 6]) примера 1.11 сепарабельно.
1.2.8. Доказать, что пространство C^Qa, Ь]) примера 1.12 сепарабельно.
1.2.9. Замкнутый единичный шар в нормированном линейном простран¬
стве X представляет собой полное метрическое пространство с метрикой, по¬
рожденной нормой пространства X. Доказать, что X — В-пространство.
1.2.10. Доказать, что любое открытое множество в сепарабельном ме¬
трическом пространстве представляет собой счетное объединение всех содер¬
жащихся в этом множестве шаровых окрестностей точек плотного счетного
множества с рациональными радиусами.
1.2.11. Пусть у — /(х) — непрерывная функция, отображающая метри¬
ческое пространство X в числовую прямую R. Доказать, что множество
{х : /(х) < с} С X открыто при любом С 6 Л.
48
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
§ 1.3. Линейные пространства
1.3.1. Определение линейного пространства. Важным свой¬
ством конечномерных пространств является возможность опреде¬
лить в них векторы, которые можно складывать и умножать на чи¬
сла, получая в результате другие векторы. При этом каждой точ¬
ке пространства ставится в соответствие вектор, начинающийся в
начале координат и кончающийся в данной точке (радиус-вектор
точки). Это соответствие взаимно однозначно. Вследствие этого
конечномерное пространство можно рассматривать как множество
векторов.
Обобщая свойства операций сложения векторов и умножения
вектора на число, можно определить эти операции и в любом про¬
странстве (конечно, в таком, в каком эти операции имеют смысл;
так, например, если элементами пространства служат множества
точек некоторого другого пространства, которые могут пересекать¬
ся или не пересекаться, то операция сложения элементов вряд ли
имеет смысл).
Пространство X называется линейным или векторным, если
1) для любых двух элементов 2, у Е X однозначно определена
их сумма х + у Е X;
2) для любого элемента х Е X и любого числа а.однозначно
определено произведение ах Е Ху причем 1-2 = 2;
3) существует единственный нулевой элемент О Е X, такой, что
0-2 = 0* для любого х € X (существование нуля);
4) операции сложения векторов и умножения вектора на число
обладают обычными свойствами
х + у = у + 2 (коммутативность),
(я + у) + z = 2 + (у + z), аЦЗх) = (ар)х (ассоциативность),
(а + /?)2 = ах + /?2, а{х + у) = ах + ау (дистрибутивность).
Иными словами, линейным пространством называется прост¬
ранство, в котором определены операции сложения и умножения на
число, обладающие обычными свойствами коммутативности, ассо¬
циативности и дистрибутивности, и существует единственный эле¬
мент, принимаемый за нуль (нулевой элемент, соответствующий на¬
* Здесь 0*2 — произведение числа 0 на элемент 2 пространства X, а в
правой части 0 — нулевой элемент пространства X.
§ 1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
49
чалу координат в геометрии). Условия 1 — 4 представляют со¬
бой аксиомы линейного прдстранства. Элементы (точки) линейного
пространства называются векторами.
В зависимости от того, определена операция умножения век¬
тора на число только для действительных чисел или и для ком¬
плексных чисел, приходится различать действительные линейные
пространства (линейные пространства над полем действительных
чисел R) и комплексные линейные пространства (линейные прост¬
ранства над полем комплексных чисел С). В дальнейшем мы бу¬
дем иметь дело главным образом с комплексными линейными прост¬
ранствами.
Как действительные, так и комплексные числа представляют со¬
бой скаляры. Поэтому в общем случае часто говорят о линейном
пространстве над полем скаляров К, имея в виду, что К предста¬
вляет собой числовую прямую R в случае действительного линей¬
ного пространства и комплексную плоскость С в случае комплекс¬
ного линейного пространства *.
Так как в комплексном линейном пространстве определена опе¬
рация умножения вектора на действительные числа как частный
случай операции умножения на комплексные числа, то любое ком¬
плексное линейное пространство можно рассматривать как действи¬
тельное линейное пространство. Для этого достаточно ограничить
операцию умножения умножением только на действительные числа.
Лействительное же линейное' пространство нельзя рассматривать
как комплексное, так как в действительном линейном пространстве
операция умножения на комплексные числа не определена.
Примерами линейных пространств могут служить все конечно¬
мерные пространства и пространства С([а, 6]), С2([а,Ь]) примеров
1.11 и 1.12.
Из аксиом 1 — 4 непосредственно вытекают следующие свой¬
ства линейного пространства.
1) х + 0 = х для любого х, так как х + 0 = я + 0я = (1 + 0)ж = х.
2) Лля любого х существует единственный противоположный
элемент —х, такой, что х + (—х) = 0. Лействительно, х + (— 1)ж =
= (1 + (—1))х = 0-х = 0 и, следовательно, — х = (—1)х. Предположив,
что существует другой противоположный элемент х\ для которого
* Многие положения теории линейных пространств справедливы и в более
общем случае произвольного (Абстрактного) поля К, которое также называ¬
ется полем скаляров.
50
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
X 4- х' = 0, получим
х' = х' + 0 = х1 + [х 4- (-х)] = (х + х') + (-х) = -X.
3) Лля любых х и а € К
—(ах) = (—1)ах = (—ах) =j*(—1)х = а(—х).
Вектор z = х + (—у) называется разностью векторов х и у и
обозначается х — у.
4) Если z = х — у, то х = у + z, так как х = х + 0 = х + у+ (—у) =
= y + X-y = y + Z.
Понятие разности двух векторов дает возможность переносить
слагаемые из одной части равенства в другую с изменением знака,
так же как и в обычных алгебраических равенствах.
5) х — у = 0 тогда и только тогда, «когда у = х.
Если у = х, то х — у = х + (—1)у = х 4* (—1)х = 0. Наоборот, если
х - у = 0, то
у = у + X 4- (—1)х = X 4 (у - х) = X.
6) ах = 0 тогда и только тогда, когда или а = 0, или х = 0.
Если а = 0, то ах = 0 • х = 0 при любом х. Если х = 0, то
qx = а • 0 = а(0 • х) = (а • 0)х = 0 • х = 0. Если ах = 0 и а ф 0, то
х = (а—)х = —(ах) =—0 = 0.
а а а
Если ах = 0 и х ф 0, то а = 0, так как по только что доказанному из
а ф 0 вытекает х = 0.
1.3.2. Линейная зависимость и независимость векторов.
Векторы xi, ... , хп называются линейно независимыми, если равен-
ство
aixi 4- ••• +anxn = 0 (1.7)
справедливо только при ai = • • = an = 0. Если же это равен¬
ство справедливо при каких-нибудь не равных одновременно нулю
числах ai, ... ,an, то векторы xi, ... ,хп называются линейно зави¬
симыми.
Если в линейном пространстве X существует не больше конеч¬
ного числа п линейно независимых векторов, то пространство X
называется конечномерным, конкретно п-мерным) а число п — раз¬
мерностью пространства X. В этом случае любой вектор х € X
§ 1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
51
выражается через линейно независимые векторы xi, ... ,хп форму¬
лой
Х = СХХ1+ ••• + chxn.
> Из линейной зависимости векторов х, xi, ... ,хп в п-мерном
пространстве X следует, что
ах + a\X\ + • • • + апхп = О,
причем а ф 0 ( в противном случае х%9 ... ,хп были бы линейно
зависимыми). Из этого равенства следует
ах = -aixi - . . - апхп
и
1 / ч «1 <*п
х = —(ах) = х\ — • • хп. <1
а а а
Если при любом натуральном п существует п линейно независи¬
мых векторов, то пространство называется бесконечномерным. При¬
мером бесконечномерного пространства может служить простран¬
ство непрерывных скалярных функций переменной t, определенных
на интервале [а, 6]. В этом пространстве функции *, *2, ... , *п линей¬
но независимы при любом натуральном п, так как
c\t + с2*2 + • • • + сп*л =0 V* € [а, 6]
тогда и только тогда, когда с\ = с2 = • • • = с„ = 0 (никакая сте¬
пень не может быть выражена как линейная комбинация степеней
t, *2, ••• ,tn~1)-
Бесконечное множество векторов {га} (в бесконечномерном
пространстве) называется линейно независимым, если при любых
n, a 1, ... , aa векторы xai, ... , xQn линейно независимы.
1.3.3. Подаространства. Линейные оболочки. Подмноже¬
ство У линейного пространства X называется подпространством
пространства Ху если оно представляет собой линейное простран¬
ство с теми же операциями сложения и умножения на число. Бели
хотят подчеркнуть, что при этом У ф X , то У называют собствен¬
ным подпространством пространства X.
Пересечение любого множества подпространств тоже является
подпространством. Действительно, из х, у 6 f)^« следует, что х, у
52
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
принадлежат всем подпространствам Уа и, следовательно, х + уисх
принадлежат всем подпространствам Уа, т.е. их пересечению f]Уа.
а
Наименьшее подпространство пространства Ху содержащее
данное множество векторов А С X, называется .линейной оболочкой
множества векторов А или подпространством, образованным мно¬
жеством векторов Ау и обозначается L(A). Очевидно, что L{A)
представляет собой пересечение всех подпространств, содержащих
А, и потому всегда существует (так как всегда существует по мень¬
шей мере одно подпространство, содержащее множество А, — само
пространство X).
Теорема 1.3.1. Линейная оболочка L(A) множества векторов А
представляет собой множество La всех конечных линейных комби¬
наций векторов из А.
> Так как L(A) подпространство, то оно содержит все конечные
линейные комбинации всех своих векторов, в частности векторов из
А С Ь(А). Следовательно, L(A) D La- С другой стороны, La оче¬
видно, является линейным пространством и содержит множество
А. Поэтому La является подпространством, содержащим множе¬
ство А. Но L(A) по определению представляет собой наименьшее
подпространство, содержащее А. Следовательно, L(A) С La- Из
полученных двух противоположных включений следует, что La =
= L(A). <
Следствие. Любой вектор х из линейной оболочки L({xa}) ли¬
нейно независимого множества векторов { ха } выражается форму¬
лой
х = С1*в1 + • • • + СпХал (1.8)
при некоторых n, ai, ... ,ап, с\, ... , сп.
Однозначность представления вектора х 6 L({xa}) формулой
(1.8) вытекает непосредственно из линейной независимости векторов
*Gfi > • • • |
Если линейная оболочка линейно независимого множества век¬
торов {ха} совпадает со всем пространством X, L({xa}) = X, то
множество векторов {ха} называется базисом Хамеля пространства
X. В этом случае любой вектор пространства X представляет со¬
бой конечную линейную комбинацию векторов множества {ха}.
1.3.4. Фактор-пространства. Пусть L — подпространство ли¬
нейного пространства X. В некоторых случаях приходится счи¬
тать векторы xi, Х2 G X эквивалентными, если их разность х\ — х2
принадлежит подпространству L. В частном случае вектор х все¬
§ 1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
53
гда эквивалентен сам себе, поскольку нулевой элемент принадле¬
жит любому подпространству. В результате пространство X будет
представлять собой объединение различных классов эквивалентных
элементов (классов смежности). Если рассматривать классы экви¬
валентных векторов пространства X как элементы некоторого про¬
странства У, то пространство У будет линейным пространством,
нулевым элементом которого будет подпространство L всех векто¬
ров х Е Xf эквивалентных нулю. Действительно, если определить
сумму двух классов ж и у как множество сумм ж+у, х € ж, у € у, а про¬
изведение класса ж на число а как множество произведений аж, ж G ж,
то для любых xi, «2 G ж,yi, У2 G у будем иметь по определению клас¬
са эквивалентных элементов si+yi — (Ж2+У2) = (xi —я?г)+(У1 — У2) € L
и аж1 — ажг = а(жх — жг) € L. Таким образом, ж + у и аж предста¬
вляют собой классы эквивалентных элементов, т.е. принадлежат
пространству У.
Пространство У классов эквивалентных элементов простран¬
ства X называется фактор-пространством пространства X по под¬
пространству L и обозначается X/L.
В качестве подпространства L обычно берут подпространство,
все векторы которого обладают каким-нибудь общим свойством, ко¬
торое дает основание считать все эти векторы эквивалентными.
1.3.5. Линейные функции. В линейном пространстве есте¬
ственно определяются линейные функции.
Функция у = /(ж), отображающая линейное пространство X в
линейное пространство У, называется линейной, если при любых
п, жх,..., хп 6 Dj и любых числах <*i,..., ап
/ ) = £<»*/(**)• (1.9)
\* = 1 / *=1
Областью определения!)/ линейной функции / естественно считать
подпространство пространства Ху так как, если она определена при
ж = жь ..., жп, то формула (1.9) определяет ее и для всех линейных
комбинаций векторов Х\}..., жп.
Легко видеть, что область значений Я/ линейной функции /
представляет собой подпространство пространства У, так как для
любых п,ж!,...,жп G Df>afi,...,an из
У1 = /(*i) € Я/,. • •,уп = /(*,») € Rf
54
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
следует
п п / п \
= 53 **/(**) = / (£****)6 Rt-
*=1 \к=1 /
Это показывает, что Rf является линейным пространством и, следо¬
вательно, подпространством пространства У значений функ¬
ции /.
Теорема 1.3.2. Для линейности функции / необходимо и доста¬
точно, чтобы для любых х, xi,x2 G Df и любого числа а были выпол¬
нены условия
1) /(a*) = ог/(*),
2) /(*i + *2) = /(*1) + /(*з).
> Необходимость этих условий вытекает непосредственно из
определения линейной функции. Для доказательства достаточно¬
сти заметим, что из условий 1 — 3 следуют равенства
/(<*1*1 + 0:2*2) = /(<*1*1) + /(<*2*2) = <*i/(*i) + а2/(х2),
/ + ап*п
= / <****^ + ап/(*п),
из которых по индукции вытекает справедливость (1.9) при всех
n,xi,...,xn G jD/,ai,.. .,an. <
Если линейная функция у = f(x) отображает X в числовую пря¬
мую или в комплексную плоскость, то у = /(х) представляет собой
линейный функционал, /(х) = /х.
Линейная функция /(х), отображающая линейное пространство
X в другое линейное пространство У, отличное от множества чисел,
представляет собой линейный оператор, /(х) = Лх.
Естественно, что в комплексном линейном пространстве линей¬
ные функции обладают свойством (1.9) для любых комплексных чи¬
сел ai,...,an, а в действительном — только для действительных
aj,..., an. В действительном линейном пространстве X обычно ог¬
раничиваются действительными линейными функционалами, ото¬
бражающими это пространство в числовую прямую.
Кроме линейных функций, в комплексном линейном простран¬
стве можно определить аналогичные функции, обладающие симме¬
тричными свойствами.
§ 1.3 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 55
Функция у = /(я)> отображающая линейное пространство X
в линейное пространство Y, называется сопряженно линейной или
антилинейной, если для любых n,x€ Dj и любых чисел
\t=i / fc=i
Для сопряженно линейных функций справедлива теорема, ана¬
логичная теореме 1.3.2 (докажите).
1.3.6. Норма вектора. Распространяя понятие модуля вектора
в конечномерном пространстве, в произвольном линейном простран¬
стве можно ввести понятие нормы вектора. При этом естественно
сохранить основные свойства модулей векторов.
Нормой вектора х называется функция || х || (иногда обознача¬
емая так же, как и модуль конечномерного вектора |х|) вектора х,
обладающая свойствами
1) II х ||> 0, причем || х ||= 0 только для х = О,
2) || ах ||= |а| || х || для любого числа а,
3) || х + у ||<|| х || + || у || (неравенство треугольника).
Эти свойства нормы называются аксиомами нормы.
Норма вектора в пространстве X представляет собой функцию,
отображающую X в числовую прямую Я, || х ||: X —► R.
1.3.7. Нормированные линейные пространства. Линейное
пространство X с определенной в нем нормой вектора называется
нормированным линейным пространством.
Нормированное линейное пространство будет метрическим
пространством, если определить в нем метрику с помощью нормы:
<*(*.»)=ii*-v II-
Предоставляем читателю доказать, что эта метрика удовлетво¬
ряет всем аксиомам метрики. /
Пример 1.13. Конечномерное пространство, в котором норма элемен¬
та X = (xi, ..., Хп) определена как модуль вектора
11*11=
у *=1
Пример 1.14. Линейное пространство С*([а,6]) непрерывных функ¬
ций на интервале [а, 6], в котором норма элемента X — x{t) определена фор¬
мулой
II * ||= sup |*(<)|.
t
56
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
Пример 1.15. Линейное пространство ^([а,^]) непрерывных функ¬
ций на интервале [а, 6] с нормой
Г Ь Л 1/2
II* 11= |/И012я|
В пространствах примеров 1.7, 1.8, 1.11 и 1.12 метрика порожде¬
на нормой, определенной для этих пространств в примерах 1.13,1.14
и 1.15.
1.3.8. Банаховы пространства. Нормированное линейное про¬
странство, полное относительно метрики, порожденной нормой, на¬
зывается банаховым пространством или, коротко, В-пространст-
в ом по имени одного из основателей функционального анализа поль¬
ского ученого Банаха.
Пример 1.16. Примером ^-пространства может служить простран¬
ство непрерывных функций С*([а,6]) примера 1.14.
Пример 1.17. Пространство С*2([в, &]) примера 1.15 не является
^-пространством, так как оно не полно (п.1.2.5).
1.3.9. Скалярное произведение. В нормированном линейном
пространстве, в частности в B-пространстве, определены расстоя¬
ния между точками и модули (нормы) векторов, но не определены
углы между векторами и понятие ортогональности. Чтобы ввести
понятие ортогональности в произвольном линейном пространстве,
определяется скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением векторов х и у в линейном простран¬
стве X называется числовая функция этих двух векторов (х, у), обла¬
дающая свойствами:
1) (*,У) = (У,х),
2) (ах, у) = а(х, у),
3) (*i + х2,у) = (х1,у) + (х2,у),
4) (х, х) > 0, причем (х, х) = О только при х = 0.
Из этого определения следует, что при фиксированном у ска¬
лярное произведение (х,у) представляет собой линейный функци¬
онал вектора х, а при фиксированном х — сопряженно линейный
функционал вектора у. Условия 1 — 4 называются аксиомами ска¬
лярного произведения.
Вводя скалярное произведение в действительном линейном про¬
странстве, естественно потребовать, чтобы оно было действитель¬
$ 1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
57
ным числом для любых векторов. Тогда аксиома скалярного произ¬
ведения 1 заменится аксиомой
1') (*.у) = (у>*)-
Пример 1.18. В обычном евклидовом пространстве Rn с прямоу¬
гольными декартовыми координатами скалярное произведение векторов X —
= {xi, . .., Хп} и у = {j/i,. .., Уп} определяется формулой
п
(*>у) = £ хкУк-
к=1
В комплексном П-мерном линейном пространстве Сп ота формула заменяется
такой:
п
(*.у) = Е
*=1
Это определение скалярного произведения распространяется и на простран¬
ства последовательностей R°° и С°°, для которых ряд, определяющий (х,х),
сходится.
Пример 1.19. В линейном пространстве Ь]) непрерывных фун¬
кций на [а, 6] скалярное произведение векторов X = x(t) и У = y(t) определя¬
ется формулой
(х,у) = f *(t)y(t) dt.
а
Пример 1.20. Бели K(ty s) — непрерывная функция при £,$ 6 [в, 6],
обладающая свойствами K(s,t) = K{tys) и
// K(t,s)<p(t)<p(s)dtds > О
аа
для любой непрерывной функции <p{t) ф 0, то скалярное произведение в про¬
странстве непрерывных функций на [а, 6] можно определить формулой
(*. у) = Я К (*> «)*(%(*)л
аа
Пусть xi,..., хп — любые п векторов пространства X, в котором
определено скалярное произведение. Матрица
(*1,*2)
(®1»*п)
(*2,*l)
(*2,*п)
- (*n,*l)
(^П)^п)-
58
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
называется матрицей Грама векторов Si,. . .,£п-
Теорема 1.3.3. Матрица Грама — эрмитова неотрицательно
определенная матрица.
> Из аксиом скалярного произведения следует, что Г* = Г и
Теорема 1.3.4. Определитель матрицы Грама неотрицателен и
равен нулю тогда и только тогда, когда векторы х\,...}хп линейно
зависимы.
> Так как матрица Г эрмитова и неотрицательно определенная,
то она имеет п неотрицательных собственных значений Ai,..., Лп, а
ее определитель равен произведению собственных значений, |Г| =
= Ai,..An.
Если какие-нибудь тп собственных значений равны нулю, то
|Г| = 0, и уравнение
имеет тп независимых решений (р\, представляющих собой
собственные векторы матрицы Г, соответствующие m-кратному ну¬
левому собственному значению:
или
п
^2 > 0 Vab<
к,1=1
Гх = О
Г<рр=0 (р=1,...,т).
Умножив вто равенство слева на = <pj, получим
П
П
•Рр^р = = 51 {VpkZkyVpixi) =
к ,1=1
к,1=1
(р= 1,...,т).
* Звездочка означает операцию транспонирования матрицы с заменой
всех ее комплексных элементов соответствующими сопряженными числами.
§ 1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
59
Отсюда следует, что
П
(1.13)
Таким образом, если т собственных значений матрицы Г равны
нулю, то |Г| = 0 и векторы х\,..., хп связаны m линейными зависи¬
мостями (1.13).
Наоборот, если векторы х\ч.. . ,хп связаны m линейными зави¬
симостями, то существуют такие числа ср\,..., срп, что
Ср\Х\ + • • • + Српх„ = 0 (р = 1,..., тп).
Умножив это равенство слева скалярно на х\,..., х„, получаем ра¬
венства
cpi(xjb, xi) + • • • + срп(хк) хп) = 0 (к = 1,..., n; р = 1,..., т)
или в матричной форме
где ср = [ср\.. .срп]т — линейно независимые векторы (матрицы-
столбцы). Эти векторы, очевидно, представляют собой собственные
векторы матрицы ГрамаГ, соответствующие m-кратному нулевому
собственному значению. Следовательно, |Г| = Ai... Ап = 0. <
Из неотрицательности определителя Г рама следует, в частно¬
сти, что для любых х, у 6 X
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда у =
= ах. Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковско-
го.
\
Пример 1.21. Лля скалярного произведения примера 1.18 неравен¬
ство (1.14) принимает вид
Гср = 0 (р=1,...,т),
(*,*) (х,у)
(У,х) (У, У) ~ ’
откуда
|(*.У)|2 < (*,х)(у,у)
(1.14)
2
<ЕМ2 ЕЫ2-
It k k
60
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
Это неравенство справедливо как для конечных сумм, так и для сходящихся
рядов, причем из сходимости рядов в правой части вытекает сходимость ряда
в левой части.
Пример 1.22. Для скалярного произведения примера 1.19 неравен¬
ство (1.14) принимает вид
Пример 1.23. Для скалярного произведения примера 1.20 неравен¬
ство (1.14) принимает вид
Эти примеры иллюстрируют силу методов функционального
анализа. Непосредственный вывод полученных неравенств очень
сложен, в то время как все они являются простыми следствиями
общего неравенства (1.14), которое выводится достаточно просто.
1.3.10. Евклидовы и гильбертовы пространства. Если в ли¬
нейном пространстве X определено скалярное произведение, то это
пространство можно нормировать, положив
Действительно, при этом будет || х ||> 0, причем || х ||= 0 только
при х = 0, и || ах ||= у/(ах,ах) = |а| || х ||. Далее, из (1.15) и (1.14)
следует, что
II * + » \Ы\ * II2 + II УII2 +(*. У) + (У. *) <11 * II2 +11 » II2 + 2 || * ИИ у ||,
Норма (1.15) называется нормой, порожденной скалярным про¬
изведением.
fx(t)y(t)dt </И0|2Л/|у(<)|2Л.
Ь 2 Ъ Ь
а а а
bb
2
// K(t,s)x(t)y(s)dtds <
аа
bb
bb
< ff K{t, s)x(t)x(s) dt ds • ff K(t, s)y(t)y(s) dt ds.
aa
aa
(1.15)
откуда
Il* + V||<||*|| + Ilv||.
Таким образом, величина || х ||= ^/(х, х) обладает всеми свойствами
нормы.
§ 1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
61
Нормированное линейное пространство с нормой, порожденной
скалярным произведением, называется евклидовым пространством.
Полное (относительно метрики, порожденной нормой) евклидо¬
во пространство называется гильбертовым пространством или, ко¬
ротко, Н-пространством по имени немецкого математика Гильбер¬
та, который впервые исследовал такие пространства. Иными сло¬
вами, гильбертовым пространством называется 5-пространство, в
котором норма порождена скалярным произведением. Таким обра¬
зом, гильбертово пространство представляет собой частный случай
банахова пространства *.
В соответствии с общими определениями п. 1.3.1 евклидовы и
гильбертовы пространства могут быть действительными или ком¬
плексными. При этом в действительном евклидовом или гильбер¬
товом пространстве X скалярное произведение педставляет собой
действительную функцию двух векторов ( отображающую X х X в
Я), а в комплексном евклидовом или гильбертовом пространстве X
скалярное произведение представляет собой в общем случае ком¬
плексную функцию двух векторов ( отображающую X х X в С).
В евклидовом пространстве, так же как и в конечномерных про¬
странствах R71 с евклидовой метрикой, можно ввести понятие орто¬
гональности векторов.
Векторы х и у евклидова, в частности гильбертова простран¬
ства называются ортогональными, если их скалярное произведение
равно нулю, (х, у) = 0.
В действительном евклидовом и, в частности, в действитель¬
ном гильбертовом пространстве можно ввести также понятие угла
между векторами, определив его той же формулой, которой он опре¬
деляется в конечномерных действительных евклидовых простран¬
ствах. А именно, угол 0 между векторами х и у евклидова про¬
странства определяется формулой
Из неравенства (1.14) следует, что, как и в конечномерном простран¬
стве, угол 0 может иметь любое значение в интервале [0,7г], равен
тг/2 тогда и только тогда, когда векторы х и у ортогональны, и
* Иногда в определение //-пространства включают условие, чтобы оно бы¬
ло бесконечномерным. Однако это условие не имеет большого смысла, так как
все пространства, изучаемые в функциональном анализе, бесконечномерны.
62
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
равен 0 или ж тогда и только тогда, когда векторы х и у коллинеар-
нЫ, т.е. когда у = ах (а > 0 при в = 0 и а < 0 при в = ж).
Из аксиом скалярного произведения непосредственно следует,
что в евклидовом и в гильбертовом пространстве норма удовлетво¬
ряет известному из элементарной геометрии тождеству параллело¬
грамма
II * + У ||2 + II * - У ||2 = 2|| х ||2 + 2|| у ||2. (1.16)
Это тождество является специфическим свойством нормы, порож¬
денной скалярным произведением. Никакая норма, не удовлетворя¬
ющая тождеству (1.16), не может быть порождена каким-либо ска¬
лярным произведением. В то же время можно показать, что любая
норма, удовлетворяющая тождеству (1.16), однозначно определяет
порождающее ее скалярное произведение (задача 1.3.9).
1.3.11. Алгебры. Приведенные примеры линейных прост¬
ранств показывают, что в некоторых линейных пространствах, кро¬
ме обычных операций сложения элементов и умножения элемента на
число, имеет смысл и операция произведения элементов. Таковы,
например, все функциональные пространства, элементами которых
служат скалярные функции. В дальнейшем мы встретимся с други¬
ми линейными пространствами, обладающими таким свойством.
Линейное пространство с операцией умножения, когда любым
двум элементам х, у этого пространства соответствует третий эле¬
мент, называемый произведением элементов х и у, z = ху, называ¬
ется алгеброй. Бели операция умножения элементов коммутативна,
то алгебра называется коммутативной. Примером коммутативной
алгебры может служить пространство С([а,6]) примера 1.14. С не¬
коммутативными алгебрами мы встретимся дальше.
Если в алгебре имеется элемент е, для которого ех = хе = х для
любого х, то алгебра называется алгеброй с единицей. Примером
алгебры с единицей может служить то же пространство С([а,6]), в
котором единицей служит функция e(t) = 1.
Нормированной алгеброй называется алгебра с единицей, пред¬
ставляющая собой нормированное линейное пространство, в кото¬
ром норма удовлетворяет дополнительному условию || с ||= 1. Если
нормированная алгебра представляет собой 5-пространство, то
она называется банаховой алгеброй.
Теория банаховых алгебр играет большую роль в современном
функциональном анализе (см., например, [13] или [15]).
1.3.12. "'Пространства непрерывных функций и простран¬
ства ограниченных функций. Пространство С(Т) представляет
§ 1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 63
собой пространство ограниченных непрерывных числовых функций
с областью определения Т С Дп, в котором норма определяется
формулой
II х ||= sup |*(<)|. (1.17)
<€Т
Пространство В(Т) представляет собой пространство ограни¬
ченных числовых функций с областью определения Т С Дп, в ко¬
тором норма определяется той же формулой (1.17). Ясно, что про¬
странство С(Т) является подпространством пространства В(Т).
Сходимость в С(Т) и В(Т) представляет собой равномерную схо¬
димость последовательности функций {хп(0) из или ^(0» так
как при любом е > 0 из
\\хп-х ||= sup )*„(<) - аг(<)| < е
<€Т
вытекает |хп(0 — х(*)| < е при всех t £ Т.
Все пространства ограниченных непрерывных функций С(Т) и
пространства ограниченных функций В(Т) представляют собой нор¬
мированные линейные пространства. Докажем, что они являются
^-пространствами.
Теорема 1.3.5. Пространства С(Т) и В(Т) полны.
> Если {®п(*)} — фундаментальная последовательность функций
из С(Т) или В(Т), то при любом е > 0 из || хп — хт ||< е вытекает
|*п(0 — xm(0l < е W € Т. Следовательно, из фундаментальности
последовательности функций {хп(*)} в С(Т) или В(Т) вытекает фун¬
даментальность числовой последовательности {хп(0) при каждом
t 6 Т. Поэтому числовая последовательность {хп(*)} сходится при
каждом t к некоторой функции x(t). Вследствие фундаментальности
последовательности функций {хп(£)} ПРИ любом е > 0
\xn(t) - xm(t)\ < с/2 V*£T,
если n,m больше некоторого Ne. Взяв любое t £ Т и достаточно
большое m > Ne, получим вследствие сходимости числовой после¬
довательности {жп(0} и х(0
|xm(t) - х(<)| < е/2
при этих t и т. Из полученных двух неравенств находим
|*п(0 - *(*)! < |хп(0 - *m(0l + 1*т(0 - *(<)! < £ при всех п> N€.
64
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА. ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
Вследствие произвольности выбора t € Т это неравенство справед¬
ливо при всех t € Т и при всех п> Ne ( при каждом фиксированном t
выбирается соответствующая функция xm(t), а полученный резуль¬
тат от выбора этой функции не зависит). Это доказывает, что
|| Хп - X ||= sup !*„(<) - *(<)| < s Vn > Nt,
t€T
т.е. что последовательность {xn(J)} равномерно сходится к ж(*).
Ограниченность предельной функции x(t) вытекает из ограничен¬
ности любой фундаментальной последовательности, т.е. в данном
случае из равномерной ограниченности всех функций хп(0- Таким
образом, мы доказали, что любая фундаментальная последователь¬
ность функций из С(Т) или В(Т) сходится к некоторой ограниченной
функции, т.е. к элементу пространства В(Т). Это доказывает пол¬
ноту пространства В(Т).
Лля доказательства полноты пространства С(Т) необходимо
еще доказать непрерывность предельной функции x(J) в случае по¬
следовательности функций {хп(0} из С(Т). Но это следует непо¬
средственно из того, что при любом е > О |xn(J) — x(t)| < е/3 при
всех t G T и при всех достаточно больших п, и из того, что вслед¬
ствие непрерывности xn(t) при любом t Е Т |xn(t') — хп(*)1 < е/3 при
данном п при всех достаточно близких к t. Лействительно, в этом
случае
|х(*') - х(*)| < |х(*') - хп(*')| + 1*п(0 - *п(<)1 + I*п(0 “ *(01 < е
при любом данном t Е Т и при всех достаточно близких к t. <
Теорема 1.3.5 без всяких изменений переносится на простран¬
ства функций, отображающих произвольное метрическое простран¬
ство Г в произвольное полное метрическое пространство.
1.3.13. Пространства дифференцируемых функций. Рас¬
смотрим теперь пространство Сп(Т) непрерывных функций на за¬
мкнутом конечном интервале Т = [а, 6], имеющих непрерывные про¬
изводные до порядка п включительно. Норма элемента x(J) про¬
странства Сп(Т) определяется формулой
||*||=£>р|*М(<)|. (1.18)
Из этой формулы видно, что сходимость последовательности функ¬
ций в пространстве Сп(Т) представляет собой равномерную сходи¬
мость последовательности функций и последовательностей всех их
производных до порядка п включительно.
$ 13 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
65
3АЛАЧИ
1.3.1. Будет ли множество всех целых неотрицательных степеней ска¬
лярной переменной t линейно независимым в пространстве всех скалярных
функций, определенных на интервале [а, 6] ? Найти линейную оболочку этого
множества.
1.3.2. Будет ли множество тригонометрических функций sin Tit, COS Tit
(п — 0, 1,2, .. .) линейно независимым'в пространстве непрерывных функ¬
ций на интервале [-J, 7г] ? Найти подпространство, образованное множеством
тригонометрических функций.
1.3.3. Доказать, что в любом линейном пространстве существует базис
Хамеля.
Указание. Все возможные линейно независимые системы векторов
{ха} и образованные ими подпространства в линейном пространстве X обра¬
зуют частично упорядоченное знаком включения множество. Доказать, что
любая цепь (упорядоченное подмножество) в этом множестве имеет мажоран¬
ту и применить лемму Цорна (теорему 1.1.4).
1.3.4. Определить характер следующих функций в пространстве непре¬
рывных скалярных функций на интервале [—1, 1] (функционал, оператор, ли¬
нейная, нелинейная):
1) у = a\x(ti) + 022(^2) Н 1"вп2(£п), *1 —фиксированные
значения аргумента функции x(t) ;
2) у = [*(<) + *(-<)];
3) у = f<p(t)z(t)dt;
а
4) у = f K(s,t)z(t)dt;
а
Ь
5) У = / vK0x(0 ^ + <*х(а) + 0х(Ь);
а
Ь
6) у = f K(s,t)x2(t)dt.
а
1.3.5. Может ли служить нормой в пространстве непрерывных скалярных
функций на интервале [а, 6]
Я*(0|А?
а
1.3.6. Пусть К — строго положительно определенная (п X п)-матрица.
Доказать, что билинейная форма ХТКу может служить скалярным произведе¬
нием в пространстве Rn. Проверить, что норма, порожденная этим скалярным
произведением, удовлетворяет тождеству параллелограмма.
66
ГЛ. 1. МНОЖЕСТВА ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИИ
1.3.7. Может ли служить нормой в пространстве Rn
max |х*| ?
1 <к<п
1.3.8. Доказать полноту и сепарабельность следующих пространств:
а) 771 — пространство ограниченных числовых последовательностей с нор¬
мой
И* ||= sup |**|; (*)
к
б) С — пространство сходящихся числовых последовательностей с той же
нормой;
в) Со — пространство сходящихся к нулю последовательностей с той же
нормой;
г) пространство последовательностей 1р с нормой
и*нр= 2ыр> р> 1, (**)
i = l
д) пространство непрерывных функций С([а, 6]) с нормой
II * 11= max И<)|. (***)
*€[М]
V..
Убедиться в том, что выражения (*), (**) и (* * *) удовлетворяют аксиомам
нормы.
1.3.9. Доказать, что если норма удовлетворяет тождеству параллелограм¬
ма (1.16), то существует единственное скалярное произведение, порождающее
вту норму.
Указание. Показать, что если норма порождена скалярным произве¬
дением, || X ||2= (х, х), то для любых X, у
(х, у) = (II х + у II2 - II х - у ||2)/4
в случае действительного нормированного пространства и
(*> у) = (II * + У II2 - II х - У II2 +* II х + *у II2 -* II * - *У II2)/4
в случае комплексного нормированного пространства и что для любой нормы,
удовлетворяющей (1.16), правые части этих формул обладают всеми свойства¬
ми скалярного произведения.
ГЛАВА 2
ТЕОРИЯ МЕРЫ
$ 2.1. Классы множеств
2.1.1. Функции множества. В геометрии и в физике постоянно
встречаются функции множества, т.е. функции, аргументами кото¬
рых служат некоторые множества. Так, например, площади или
объемы геометрических фигур зависят от множества точек фигу¬
ры; каждому множеству точек плоскости или пространства (каждой
геометрической фигуре) соответствует число — площадь или объем
фигуры. Масса или электрический заряд, распределенные в про¬
странстве, представляют собой функции множества; каждому мно¬
жеству точек (области пространства) соответствует число — масса
или заряд, находящийся в данной области.
Согласно общему определению функции функция множества
представляет собой соответствие между множествами некоторого
пространства X и элементами некоторого другого пространства У.
Областью определения функции множества служит некоторый
класс С (множество) множеств. Функция множества у = <р(А) ото¬
бражает класс множеств С в пространство У, <р : С —► У. В связи
с этим возникает необходимость изучить различные классы мно¬
жеств.
2.1.2. Полуалгебры множеств. Класс множеств С называет¬
ся полу алгеброй, если он содержит пустое множество 0, все про¬
странство X, конечные пересечения входящих в него множеств и
дополнение любого входящего в него множества представляет со¬
бой конечное объединение попарно непересекающихся входящих в
него множеств. Иными словами, С есть полУалгебра, если 0, X € С,
п
а,в е с => ав е с и а е с => а = (J л*, ... ,л„ е с, AkAh = 0,
*=1
при h ф k.
Важность понятия полуалгебры иллюстрируется следующими
примерами.
Пример 2.1. Множество всех интервалов числовой прямой предста¬
вляет собой полуалгебру (множества (—ОО, оо), (—ОО, а), (6, оо), (—С», а],
[6, оо), (а, а) = 0 также считаются интервалами).
68
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
Пример 2.2. Множество всех прямоугольников конечномерного про¬
странства Rn (в частности, плоскости) представляет собой полуалгебру (пря¬
моугольники могут иметь и бесконечные или пустые стороны).
Теорема 2.1.1. Любое счетное объединение множеств полуал-
гебры С можно представить в виде счетного объединения попарно
непер ссекающихся множеств полуалгебры С.
> Пусть {Сп} — любая последовательность множеств полуалге¬
бры С. Очевидно, что
и cn = c1\jc2c1\j...\jcnc1...cn-1[j ...= U (Сп ПС*У
п=1 п=1 4 *±=1 7
По определению полуалгебры
Ct = U Сы € CkiCkh = 0 при Л ф I.
/=1
Следовательно,
п — 1 _ JVj JV п — 1
П<?* = U ... U clh
t=i *i=i
и
оо оо Nn-i
и Сп = и и • • • U CnCVl • • • Сп-х,^ . (2.1)
п=1 п=1/1=1 /„-1=1
Так как по определению полуалгебры СпСих ... Cn-^Си мно¬
жества CnCi/j ...Сп~ l,!,.-! и CnCifc1 ... Cn-i.fc,,.! не пересекаются,
если хотя бы один из индексов h\% ... , Лп_х не совпадает с соот¬
ветствующим индексом /i, ... ,/п-ь то равенство (2.1) доказывает
теорему. <
2.1.3. Алгебры множеств. Алгеброй множеств (некоторого
пространства X) называется такой класс множеств, который наряду
с любым входящим в него множеством А содержит и его дополнение
А и наряду с любыми двумя входящими в него множествами А и В
содержит их объединение A (J В.
Непосредственно из этого определения вытекают следующие
свойства алгебры множеств.
1. Все пространство X и пустое множество 0 принадлежат ал¬
гебре множеств. Действительно, если множество А принадлежит
алгебре множеств А, то по определению и А € А, а следовательно,
§ 2.1. КЛАССЫ МНОЖЕСТВ
69
и X = A\JA € А. Но 0 = X, и, следовательно, из X € А вытека¬
ет 0 € А.
2. Объединение любого конечного числа множеств А\, ... ,Ап €
€ А принадлежит алгебре А. Это следует из определения по индук¬
ции, так как
(J Ак = ( U ^ •
\ k=i J
3. Из принципа двойственности следует, что алгебра А содер¬
жит и все конечные пересечения входящих в нее множеств, так как
из А\, ... , Ап € А по определению следует А\, ... , Ап € А и, сле¬
довательно,
(J Ak € Ау f| = U Ak € А.
к=1 к=1 k=1
4. Алгебра А содержит вместе с любыми двумя множествами
А и В разности А \ Bt В\А и АдВ, так как из А, В € А вытекает
Ау В € А и, следовательно, А \ В = ЛВ 6 ^4 и В\Л = € .4,
АдВ = (Л \ В) (J(jB \ А) € А. Таким образом, алгебра множеств
замкнута относительно операций дополнения, разности и конечных
объединений и пересечений.
Алгебра множеств А называется а-алгеброй множеств, если она
содержит все счетные объединения входящих в нее множеств, т.е.
00
если из At € А (к = 1, 2, ...) вытекает (J Ak € А *.
*=1
Непосредственно из этого определения и принципа двойствен¬
ности следует, что (т-алгебра содержит все счетные пересечения
входящих в нее множеств. Таким образом, <г-алгебра замкнута от¬
носительно операций дополнения и счетных объединений и пересе¬
чений.
Пространство X с заданной (т-алгеброй его множеств А назы¬
вается измеримым пространством и обозначается (Ху А)у а множе¬
ства, принадлежащие (г-алгебре А, называются измеримыми мно¬
жествами.
Множество всех алгебр (o’-алгебр) данного пространства мож¬
но частично упорядочить, приняв, что алгебра (соответственно
<г-алгебра) А\ меньше алгебры (соответственно (г-алгебры) Аг,
если А\ полностью содержится в *4г, А\ С А^.
* Приставка <Т- всегда связана с понятием счетности.
70
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
Минимальная алгебра, содержащая данный класс множеств С,
называется алгеброй, порожденной классом множеств С, и часто
обозначается А (С).
Минимальная (г-алгебра, содержащая данный класс множеств
С, называется а-алгеброй, порожденной классом множеств С, и ча¬
сто обозначается с(С).
Очевидно, что пересечение любого множества (г-алгебр данно¬
го пространства тоже является ст-алгеброй, так как если множества
Ak (к = 1,2, ...) принадлежат одновременно всем (г-алгебрам Аа,
то по определению (г-алгебры и их объединение (J Л* принадлежит
всем <г-алгебрам Аа, т.е. из Ak € ГМ<* следует (J At € ГМ<*-
Это, очевидно, справедливо и для алгебр множеств: пересече¬
ние любого множества алгебр данного пространства тоже является
алгеброй.
Теорема 2.1.2. Для любого класса множеств С существует по¬
рожденная им а-алгебра <т(С).
> Всегда существуют (г-алгебры, содержащие данный класс
множеств С, например (г-алгебра всех множеств данного прост¬
ранства. Пересечение всех (г-алгебр, содержащих С, и будет ми¬
нимальной (г-алгеброй <т(С), содержащей С. <з
Очевидно, что эта теорема справедлива и для алгебр: для лю¬
бого класса множеств С существует порожденная им алгебра А(С).
Пример 2.3. Класс всех конечных объединений интервалов число¬
вой прямой представляет собой алгебру.
Пример 2.4. Класс всех конечных объединений прямоугольников
пространства Rn (включая прямоугольники с бесконечными сторонами) пред¬
ставляет собой алгебру.
Пример 2.5. Класс всех’ интервалов числовой прямой R (прямоу¬
гольников пространства Rn) порождает (Г-алгебру, называемую <Т-алгеброй
борелевскчх множеств. В случае Дп, П > 1, эта (7-алгебра совпадает с
(Г-алгеброй, порожденной множеством всех шаров.
2.1.4. Построение полуалгебры и алгебры, порожденных
данным классом множеств. Пусть Со — произвольный класс мно¬
жеств пространства X. Поставим задачу найти алгебру множеств,
порожденную классом множеств Со.
Дополним Со пустым множеством 0 и после этого дополним по¬
лученный класс множеств дополнениями всех входящих в него мно¬
жеств. Полученный таким путем класс множеств обозначим С\.
§ 2.1. КЛАССЫ МНОЖЕСТВ
71
Этот класс множеств содержит пустое множество 0 и замкнут от¬
носительно операции дополнения. Кроме того, Со С С\.
Пусть Сг — множество всех конечных пересечений множеств
класса С\. Докажем, что Сг — полуалгебра.
> Очевидно, что любое множество класса С\ входит и в Сг,
С\ С Сг. Следовательно, Сг содержит пустое множество 0 и все
пространство X.
Очевидно также, что любое конечное пересечение конечных пе¬
ресечений множеств класса С\ в свою очередь является конечным
пересечением множеств класса С\. Таким образом, класс множеств
С2 замкнут относительно операции конечного пересечения.
Так как любое множество А класса Сг представимо в виде
А = Р) Ак, А\, ... ,Ап 6 С\,
*=1
то
А = LMfc = ^lU^iU • • -IK^i.. ,Ап.л .
*=1
Но класс множеств С\ замкнут относительно операции дополнения.
Следовательно, А\у Л2, ... , Лп € С\ и А\у ... ,АпА\... Ап-\ 6
€ Сг. Таким образом, дополнение любого множества класса С2
представимо в виде конечного объединения попарно непересекаю-
щихся множеств из С2. <
Определим теперь класс множеств Сз как множество всех конеч¬
ных объединений множеств класса Сг- Докажем, что Сз представля¬
ет собой алгебру множеств. Для этого достаточно показать, что Сз
содержит 0 и замкнут относительно операций конечного пересече¬
ния и дополнения.
> Прежде всего ясно, что любое множество из полуалгебры С2
входит и в Сз, С2 С Сз. Следовательно, 0, X 6 Сз-
Если А, В 6 Сз, то
п т
А = U = U -^1» • • • , А-пу В1, ... , £m 6 Сг
*=i /=1
и, следовательно,
п т
АВ = и и е Сз
fc=i/=i
в силу того, что 6 С2.
72
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
Бели С Е С2 С Сз, то в силу того, что С2 — полуалгебра,
С = (J Ср, Ci, ... , Cn g с2.
Р=1
Таким образом, дополнение любого множества из полуалгебры С2
принадлежит Сз как конечное объединение множеств класса С2. Ес¬
ли Л — произвольное множество класса Сз, то
А = U • • • > £ С2,
/ fc=i
вследствие чего
А = П Л* Е С3 ,
fc=i
так как из А\, ... , Ап Е С2 по доказанному следует, что ... , Лп Е
Е Сз и класс Сз замкнут относительно операции конечного пересече¬
ния. <
Таким образом, построенный класс множеств Сз представляет
собой алгебру. Эта алгебра содержит исходный класс множеств,
так как по построению Со С С\ С С2 С Сз-
Осталось доказать, что алгебра Сз содержится в любой другой
алгебре, содержащей класс множеств Со. Пусть А — произвольная
алгебра, содержащая класс множеств Со.
> В силу свойств алгебры А содержит 0, X и все дополнения
множеств из Со, т.е. С\ С А; А содержит все конечные пересечения
множеств из Ci, т.е. С2 С А; А содержит все конечные объединения
множеств из С2, т.е. Сз С А. <
Таким образом, мы доказали, что построенный изложенным спо¬
собом класс множеств Сз представляет собой алгебру, порожденную
классом множеств Со- Попутно мы доказали, что Сз представляет со¬
бой алгебру множеств, порожденную полуалгеброй С2. Последнее
предложение можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 2.1.3. Алгебра множеств, порожденная полуалгеброй,
представляет собой множество всех конечных объединений мно¬
жеств этой полуалгебры.
Из доказанных предложений следует также
Теорема 2.1.4. Счетный класс множеств порождает счетную
алгебру множеств.
1 > Если Со — счетный класс множеств, то и С\ будет счетным
классом множеств. Полуалгебра £2 как множество всех конечных
s 2.1. КЛАССЫ МНОЖЕСТВ
73
пересечений множеств счетного класса С\ тоже будет счетной. Наг
конец, алгебра Сз как множество всех конечных объединений мно¬
жеств счетного класса С2 тоже будет счетной. <
2.1.5. Построение сг—алгебры, порожденной данной алгеб¬
рой множеств. В п.2.1.4 было показано, как можно, взяв произволь¬
ный класс множеств, построить порожденные этим классом полуал-
гебру и алгебру множеств. При этом была доказана теорема 2.1.3,
утверждающая, что алгебра множеств, порожденная данной полуал-
геброй, представляет собой множество всех конечных объединений
множеств полуалгебры. Естественно возникает вопрос, как постро¬
ить (т-алгебру, порожденную данным классом множеств? Сейчас
мы покажем, как это делается.
> Пусть В — алгебра множеств. Рассмотрим класс множеств
В\, представляющий собой совокупность всех конечных и счетных
объединений и пересечений множеств алгебры В. Этот класс мно¬
жеств еще не является (т-алгеброй, так как он не содержит, напри¬
мер, счетных объединений входящих в него множеств, представля¬
ющих собой счетные пересечения множеств алгебры В. Поэтому мы
построим класс множеств В2, приставляющий собой совокупность
всех конечных и счетных объединений и пересечений множеств клас¬
са В\. Продолжая этот процесс, получим последовательность клас¬
сов множеств {Вп}, причем каждый класс Вп представляет собой
множество всех конечных и счетных объединений и пересечений
множеств класса Вп-1 и, следовательно, содержит Вп-ь Вп Э Вп-\
(n = 1, 2, ... ; Во = В). Полученный в результате предельный класс
множеств Л = \JBn обладает тем свойством, что каждое множество
А € Л получается из множеств исходной алгебры В не более чем
счетным множеством операций объединения и пересечения, и при
этом он содержит все множества, которые можно получить из мно¬
жеств алгебры В конечным или счетным множеством операций объ¬
единения и пересечения. Следовательно, класс множеств Л пред¬
ставляет собой <г-алгебру. А так как любая <г-алгебра, содержащая
алгебру В, содержит и все множества, которые можно получить из
множеств алгебры В конечным или счетным множеством операций
объединения и пересечения, то Л представляет собой минимальную
сг-алгебру, содержащую алгебру В. <
Ясно, что если алгебра В порождена некоторым классом мно¬
жеств С, то построенная <т-алгебра Л будет (т-алгеброй, порожден¬
ной классом множеств С.
74
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
2.1.6. Кольца и полукольца множеств. Кроме алгебр и по-
луалгебр множеств, в теории множеств встречаются другие классы
множеств, в частности кольца и полукольца множеств.
Класс множеств И пространства X называется кольцом, если
вместе с любыми множествами Л, В € И он содержит их пересечение
АВ и симметричную разность ЛдВ.
Так как A\JB = АВь(АдВ), А\В = АдАВ, то из А, В € И
вытекает A\JB ЕИ, А\В А так как А \ А = 0, то всякое коль¬
цо содержит пустое множество. Таким образом, кольцо замкнуто
относительно операций конечных пересечения и объединения и раз¬
ности.
В частном случае, если кольцо содержит все пространство Х>
то оно представляет собой алгебру (п.2.1.3).
Класс множеств С называется полукольцом, если он содержит
пустое множество, пересечение любых двух входящих в него мно¬
жеств и из А, А\ € Су А\ С А следует, что
А= U Ак,
к=1
где А\у ... уАп — попарно непересекающиеся множества класса С,
А\у ... у Ап £ С> AkAi = 0 при к ф /.
В частном случае, если полукольцо содержит все пространство
Ху то оно является полуалгеброй (п.2.1.2).
Таким образом, алгебра и полуалгебра представляют собой
кольцо и полукольцо с единицей ( за единицу принимается все прост¬
ранство X).
Мы не будем изучать здесь кольца и полукольца множеств, так
как они нам дальше нигде не встретятся.
2.1.7. Монотонные классы множеств. Последовательность
множеств {Ап} называется возрастающей (убывающей), если Ар С Aq
(соответственно Ар Э Aq) при любых р и q > р. Возрастающие и
убывающие последовательности называются монотонными.
Пределом возрастающей последовательности множеств {Лп}
называется объединение всех этих множеств:
/ ™
/ оо
lim Ап = U Ап.
П-ТО П = 1
В частном случае lim Ап может совпадать со всем пространст-
п-»оо
ВОМ X.
§ 2.1. КЛАССЫ МНОЖЕСТВ
75
Пределом убывающей последовательности множеств {Лп} на¬
зывается пересечение всех этих множеств:
ОО
lim Ап = Г\Ап.
п-+°° П=1
В частном случае lim Ап может быть пустым множеством 0.
п—*оо
Пусть теперь {Ап} — любая последовательность множеств.
Очевидно, что последовательности {Вп} и {Сп},
Вп = U Сп = f| Ak ,
являются возрастающими, а последовательности {А»} и {-Еп},
А» = U Еп = П ^ >
*=n Jk = X
— убывающими. Таким образом, из любой последовательности
множеств можно построить монотонные последовательности опера¬
циями объединения и пересечения.
Монотонным классом множеств называется такой класс мно¬
жеств, который содержит пределы всех монотонных последователь¬
ностей входящих в него множеств.
Очевидно, что пересечение монотонных классов также является
монотонным'классом. Поэтому для любого класса множеств С су¬
ществует минимальный монотонный класс, содержащий С. Этот ми¬
нимальный класс называется монотонным классом, порожденным
классом множеств С, и обозначается М(С).
Теорема 2.1.5. Всякая <г-алгебра представляет собой монотон¬
ный класс множеств.
о Так как <г-алгебра содержит пределы монотонных последова¬
тельностей входящих в нее множеств как счетные объединения и
пересечения, то любая <г-алгебра является монотонным классом. <
Теорема 2.1.6. Если монотонный класс М является алгеброй,
то он представляет собой а-алгебру.
> Действительно, пусть {Ап} — любая последовательность мно¬
жеств из Му Ап € М. Из того, что М — алгебра, следует, что
п
Вп = (J Ak € Му причем множества Вп образуют монотонно возра-
*=1
стающую последовательность. А так как М — монотонный класс,
76
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
то он содержит и предел последовательности Вп,
lim Вп = U Вп = U At € М .
n->°° n = l Jt = l
Следовательно , все счетные объединения множеств из М принад¬
лежат М, т.е. М — <г-алгебра. <
Теорема 2.1.7. Монотонный класс М, порожденный алгеброй
множеств С, совпадает с а-алгеброй А, порожденный той же ал-
геброй С.
> Так как сг-алгебра является монотонным классом, а М — ми¬
нимальный монотонный класс, содержащий алгебру С, то М С А.
Бели мы докажем, что М представляет собой алгебру, то по тео¬
реме 2.1.6 М будет (г-алгеброй, и из того, что А — минимальная
<г-алгебра, содержащая С, будет следовать А С М. Из полученных
двух включений будет следовать нужный результат А = М. Таким
образом, остается доказать, что М — алгебра.
Так как М содержит алгебру С, то 0 бМ, X £ М и остается
доказать, что из А Е М вытекает А£ М и из Л, В £ М следует, что
АВеМ.
! Положим М! — {А : А Е М, A Е М}. Очевидно, что С С
С? М!. Пусть {Лп} — любая монотонная последовательность мно¬
жеств класса М!. Так как М! С М, то Лп Е М и А = lim Лп. Е М.
Но при этом Ап Е М, и последовательность множеств {Лп} также
монотонная. Следовательно, Л = ИшЛ„ е М и А = ИшЛп Е -М'.
Таким образом, Af' — монотонный класс, содержащий алгебру С.
А так как Л4 — минимальный монотонный класс, содержащий С, то
М! = Л4, т.е. М замкнут относительно операции дополнения.
Чтобы доказать замкнутость М относительно конечных пере¬
сечений, определим для любого множества Л Е М класс множеств
Ма = {В : В Е М, АВ Е Л4}. Совершенно так же, как в случае.М',
доказывается, что Ма — монотонный класс. Очевидно, что если
В Е Ма* то Л 6 Мв- Но если Л € С, то С С Ма и, следовательно,
Ма — М, так как М — минимальный монотонный класс, содержа¬
щий С. Поэтому любое множество В Е М, принадлежит и классу
Ма, В Е Ма, если Л'Е С. А так как при этом А £ Мв, то С С Мв
и, следовательно, Мв = М для любого множества В Е М. Таким
образом, М замкнут относительно операций дополнения и конечно¬
го пересечения и содержит 0 yi X, т.е. представляет собой алгеб-
РУ- <
§2.1. КЛАССЫ МНОЖЕСТВ
77
2.1.8. Произведение даух пространств. Рассмотрим два про¬
странства X и У. Множество Z всех упорядоченных пар z = {я,у},
х е X, у eY называется прямым или декартовым произведением
пространств X и У и обозначается 27 = XxY. При этом точка х € X
называется проекцией тонки z = {х, у} G Z на пространство Ху а
точка у € У — проекцией точки z = {х,у} G Z на пространство У.
Пусть А С X и В С Y — произвольные множества. Совокупность
всех пар z = {я,у}, я € Ау у € В называется прямоугольником со
сторонами А и В в пространстве 27 = X х У и обозначается Ах В.
Так, например, если ХиУ — перпендикулярные числовые пря¬
мые на плоскости, то прямое произведение X хУ представляет собой
плоскость, а прямоугольники в X xY — обычные прямоугольники
на плоскости, если А и В — интервалы на прямых X и У.
Пусть (Ху А) и (У, В) — два измеримых пространства. Сово¬
купность всех прямоугольников А х By А € Ay В Е В — измери¬
мых прямоугольников — представляет собой полуалгебру. Дей¬
ствительно, 0 = 0x0, X х Y — прямоугольники. Пересечение
двух прямоугольников (A xB)(CxD) = AC х BD — прямоугольник.
Дополнение прямоугольника Ах В представляет собой объединение
трех попарно непересекающихся прямоугольников
ТхВ = (Ах В)[)(А х B)\J(A х В) .
Минимальная (т-алгебра С, содержащая все измеримые прямоуголь¬
ники ((т-алгебра, порожденная полуалгеброй измеримых прямо¬
угольников А х By А € Лу В 6 В), называется произведением а-алгебр
А и В и обозначается С = А х В.
Произведением двух измеримых пространств (Ху А) и (У, В) на¬
зывается произведение X х У с (т-алгеброй в нем С = Ах В у (Z} С) =
= (X х У, А х В).
Возьмем произвольное множество С С Z и выберем из него точ¬
ки z = {я, у}у соответствующие некоторому фиксированному х. По¬
лучим сечение Сх множества С в точке х. Это определение сечения
в частном случае, когда X и У — числовые прямые, a Z = X х Y
— плоскость, дает сечение плоской фигуры прямой, параллельной
оси у.
Теорема 2.1.8. Сечения измеримых множеств в произведении
измеримых пространств измеримы.
> Выделим из (т-алгебры С = А х В класс С множеств, все се¬
чения которых измеримы, С' С С, и докажем, что С = С. Для это¬
го заметим, что по определению измеримого прямоугольника все
78
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
его сечения измеримы. Следовательно, С содержит все измеримые
прямоугольники. Далее, С есть <г-алгебра, так как любые счетные
объединения множеств с измеримыми сечениями и любые их счет¬
ные пересечения имеют измеримые сечения вследствие того, что Л
и В — (г-алгебры. Таким образом, С есть а-алгебра, содержащая
все измеримые прямоугольники. Но С — минимальная а-алгебра,
содёржащая все из- меримые прямоугольники. Значит С С С и, сле¬
довательно, С1 = С. <
2.1.9. Произведение множества пространств. Возьмем про¬
извольное множество Т значений некоторого параметра t. Пусть
каждому t 6 Т соответствует пространство Х%. Для каждого t 6 Т
выберем произвольный элемент xt 6 Xt и рассмотрим множество
{xi : t G Т) *. Множество всех множеств {xt : t G Т) называется
произведением (прямым произведением) пространств Х% и обозна¬
чается
При этом элемент xt 6 Xt при данном t называется проекцией точки
х = {xt : t € 71} 6 ХТ на пространство
Пусть, например, Т — интервал (О, Т) числовой прямой Я, a Xt
при каждом t, 0 < t < Т — числовая прямая. Бели для каждого t
выбрать число х% 6 Xty то множество чисел х%, соответствующих
всем t, О < t < Т, т.е. множество {xt : t 6 Т} будет предста¬
влять собой функцию x(J), а произведение пространств Хт будет
представлять собой пространство всех функций, определенных на
интервале (О, Т). Точно так же если Т — множество пространства
Дп, a Xt при каждом t 6 Т представляет собой пространство i2m, то
Хт — пространство всех m-мерных векторных функций п-мерного
векторного аргумента t £Т.
Возьмем произвольное множество S С Т и соответствующее
произведение пространств
*5 = ПХ<
t€S
Полученное пространство Xs называется подпространством про¬
странства Хт, а точки {х* : t Е S) пространства Xs называются
проекциями на Xs соответствующих точек {х* : t G Т) простран¬
ства Хт.
* Это возможно на основании аксиомы выбора (п.1.1.9).
§ 2.1. КЛАССЫ МНОЖЕСТВ
79
Пусть As — произвольное множество пространства Xs, As С
С Xs. Множество точек пространства Хт, проекции которых на Xs
принадлежат множеству As, называется цилиндром в Хт с осно¬
ванием As в Xs. Бели S — конечное подмножество множества Т,
S = {<i, ... ,<п}, то цилиндр буде*г иметь конечномерное основание
As в конечном произведении пространств Xtl х • • • х Xtn. Если
п
= Д , -А* С ,
*=1
то цилиндр с основанием As называется прямоугольником в Хт со
сторонами .Ai, ... , j4n в подпространствах Xtl, ... ,^tn*
Так, например, прямоугольником со сторонами А\> ... ,ЛП в
пространстве Хт всех числовых функций х(<), заданных на интер¬
вале (О, Т), будет совокупность всех функций, значения которых
в точках ti, принадлежат соответственно множествам
А\, ... , «Ап.
Бели в каждом пространстве Xtl t G Т, выбрана (г-алгебра мно¬
жеств .4t» то (г-алгебра, порожденная классом всех измеримых пря¬
моугольников (т.е. прямоугольников с измеримыми сторонами) в
пространстве Хт, называется произведением <т-алгебр At, t £ Т и
обозначается
ит = Па,
t€T
а измеримое пространство (Хт, Ат) называется произведением из¬
меримых пространств (Xti At), t € Т.
Пусть, С — произвольное множество в произведении прост¬
ранств ХТ, 5 — подмножество множества Г, 5 С Т. Множество Cs
всех точек х & С пространства X, соответствующих фиксирован¬
ным значениям xt G Xt, t Е S, называется сечением множества С в
точке х1 = {xt : t € S}.
Пусть 5 — произвольное подмножество множества Г, 5 С Г.
Тогда (г-алгебре в произведении пространств X5 соответствует
в ХТ (г-алгебра цилиндров с основаниями в Xs. Мы будем обо¬
значать эту (г-алгебру As, так же, как и а-алгебру оснований этих
цилиндров. Ясно, что As С Лт.
Так как для любого подмножества 5 множества Т, S С Г, =
= Х5 х XT^S, w4T = As х w4T^5, то из теоремы 2.1.8 следует, что в
произведении любого множества пространств все сечения измери¬
мых множеств измеримы.
80
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
ЗАДАЧИ
2.1.1. Будет ли полу&лгеброй множество всех интервалов числовой пря¬
мой с координатами концов т/п при «фиксированном П? Рассмотреть два
случая: а) когда множество дробей со знаменателем 71 дополняется символа¬
ми —ОО и +.00; б) когда это множество не дополняется символами —ОО и -|-00.
2.1.2. Будет ли полуалгеброй множество всех открытых интервалов чи¬
словой прямой? Тот же вопрос в случае множества замкнутых, множества
полузамкнутых слева и множества полузамкнутых справа интервалов.
2.1.3. Будет ли алгеброй множество всех конечных объединений откры¬
тых интервалов? Тот же вопрос в случае замкнутых, полузамкнутых слева и
полузамкнутых справа интервалов.
2.1.4. Построить полуалГебру и алгебру, порожденные множеством всех
открытых интервалов. Совпадают ли они соответственно с полуалгеброй всех
интервалов и алгеброй всех конечных объединений интервалов?
2.1.5. Будет ли полуалгеброй множество всех шаров в i2n?
2.1.6. Покажите, что алгебру множеств можно определить как класс мно¬
жеств, содержащий дополнения и попарные пересечения принадлежащих ему
множеств.
2.1.7. Докажите, что (7-алгебра борелевских множеств числовой прямой
совпадает с (7-алгеброй, порожденной:
а) множеством всех интервалов с рациональными концами;
б) множеством всех открытых интервалов.
2.1.8. Докажите, что (7-алгебра борелевских множеств в Rn совпадает с
(7-алгеброй, порожденной:
а) множеством всех прямоугольников с рациональными координатами
вершин;
б) множеством всех открытых прямоугольников;
в) множеством всех шаров;
г) множеством всех шаров рациональных радиусов с рациональными ко¬
ординатами центров.
2.1.9. Докажите, что множество всех измеримых по Жордану множеств
пространства Rn [16, т.2] представляет собой алгебру.
Указание. Воспользоваться тем, что из В~ С А С В* вытекает
В^ С А С В~ и В~ \ В^ — В* \ В~, где В~ и В* — объединения
кубов, полностью содержащихся в А и имеющих с А непустые пересечения
соответствен но.
2.1.10. Какая разница между обычными прямоугольниками на плоскости
(в Rn) и измеримыми прямоугольниками, определенными в п.2.1.8? Доказать,
§ 2.x. КЛАССЫ МНОЖЕСТВ
81
что <Т-алгебра борелевских множеств на плоскости ( в Я"), порожденная по-
луалгеброй обычных прямоугольников, совпадает с (Г-алгеброй, порожденной
полуалгеброй более общих прямоугольников, определенных в п.2.1.8.
2.1.11. Доказать, что класс всех измеримых прямоугольников в бесконеч¬
ном произведении пространств
п*.
1€Т
представляет собой полуалгебру.
У Казани е. Воспользоваться тем, что любые два прямоугольника с
основаниями А\ X ••• X Ап и Bk+\ X • • • X Вт в произведениях пространств
Хи х - х Хи и Хи+1 х • •• X Xtmf к < П < Ш, можно рассматривать
как прямоугольники с основаниями А\ X • • • X Ап X Xtn+t X * • • X Xtm и
Xtx X • • • X Xtk X Bk+i X • • • X Bm в одном и том же произведении про¬
странств Xtl X • • • X Xfm, и тем, что дополнение прямоугольника с основани¬
ем А\ X • • • X Ап в произведении пространств Х%х X • • • X Х%щ представляет
собой объединение 2П — 1 попарно непересекающихся прямоугольников с осно¬
ваниями, получающимися из А\ X • • • X Ап заменой множеств Аи...,Ап ИХ
дополнениями по одному, по два, и так далее, всех П.
2.1.12. Доказать, что объединение (Г-алгебр AS в произведении прост¬
ранств Х^ f соответствующих всем конечным подмножествам S множества 7\
представляет собой алгебру, порождающую (Г-алгебру ,
2.1.13. Доказать, что объединение (Г-алгебр AS в произведении про¬
странств хТ, соответствующих всем счетным подмножествам S множества
Т, представляет собой (Г-алгебру, совпадающую с АТ.
2.1.14. Установить характерное свойство множеств функций из (Г-алгебры
АТУ вытекающее из результатов задачи 2.1.13, в случае, когда каждое из про¬
странств Х% представляет собой конечномерное пространство Rn (с одним и
тем же значением 71 при всех t £ Т).
Ответ: все функции x(t) множества A G Ат могут иметь произвольные
значения при всех t, за исключением некоторого не более чем счетного подмно¬
жества S множества Т; иными словами, любое множество А £ АТ предста¬
вляет собой цилиндр с конечномерным или счетном^рным основанием, вслед¬
ствие чего (Г-алгебра А? & произведении пространств Х^* (т.е. в пространстве
всех функций с областью определения Т) называется цилиндрической. В соот¬
ветствии с этим результатом множество функций {х(<) : x{i) £ В 6 5}
принадлежит (Г-алгебре А? в случае не более чем счетного подмножества
S С Т и не принадлежит в случае несчетного S С. Т.
2.1.15. Пусть Х\ — нормированные линейные пространства. По¬
казать, что в произведении пространств X — Х\ X • • • X Хп можно определить
82
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
норму элемента X = {xi, ... , Хп} формулой t
II *11=11*1 11+- + Н*»|| •
Доказать, что в случае, когда Х\у .. . >Хп — /^-пространства, пространство
X с так определенной нормой тоже будет В-пространством.
2.1.16. Пусть Х\у... уХп — Н-пространства. Показать, что в произве¬
дении пространств X = Х\ X • • • X Хп можно определить скалярное произ¬
ведение элементов X = {#1) . .» , ®п} и У = {yi> • • • > Уп} формулой
(*, у) = (*1. yi) + • • • + (*п, У»)
и пространство X с таким скалярным произведением будет Н-пространством.
§ 2.2. Функции множества и меры
2.2.1. Аддитивные функции множества. Все функции множе¬
ства, встречающиеся в геометрии и в физике, обладают одним ха¬
рактерным свойством: при объединении конечного числа попарно
непересекающихся множеств их значения суммируются. Это свой¬
ство функций множеству называется аддитивностью. Поэтому есте¬
ственно при изучении функций множества ограничиться функциями,
Обладающими этим свойством. Но для этого необходимо ограни¬
чить класс возможных пространств значений функций множества
линейными пространствами.
Функция множества р(А), определенная на некотором классе
множеств С и принимающая значения из некоторого линейного про¬
странства, называется аддитивной функцией, если для любых по¬
парно непересекающихся множеств ..., Ап € С, Ak Ah = 0 при
v>(fcu л*) = 5Zp(j4*)- (2-2)
Чтобы подчеркнуть, что-это равенство справедливо для любого ко-
пенного числа слагаемых, аддитивную функцию <р'(А) называют так¬
же конечно-аддитивной.
Теорема 2.2.1. Аддитивная функция <р(А) равна нулю на пустом
множестве:
¥>(0) = 0 (2.3)
(конечно, если ее область определения С содержит 0 ).
$ 2.2 ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА И МЕРЫ
83
> Так как А = A\J 0 для любого множества А, то
V>(A) = У>(Л110) = + V>(0) VA G С,
откуда следует (2.3). «
Бели равенство (2.2) справедливо не только для любого конеч¬
ного числа множеств, но и для любой последовательности попарно
непересекающихся множеств {Лп}, At Ал = 0 при А ф Jfc, \J Ah G С,
то функция ^(А) называется счетно-аддитивной или, короче,
(г-аддитн'вной.
Ясно, что понятие а-аддитивной функции применимо только
к таким функциям, в пространствах значений которых определена
сходимость. В противном случае бесконечная сумма в правой части
формулы (2.4) не имеет смысла. Поэтому в дальнейшем мы будем
рассматривать только функции множества со значениями в норми¬
рованных линейных пространствах.
Аддитивные и (7-аддитивные функции называются мерами. В
дальнейшем, говоря о мерах, мы всегда будем иметь в виду адди¬
тивные меры, если не сказано, что речь идет об аддитивной мере.
Естественной областью определения меры является некоторая
(т-алгебра. Одна из причин этого кроется в свойстве <г-алгебры со¬
держать все счетные объединения входящих в нее множеств. Дру¬
гие причины будут ясны из дальнейшего. Однако задать конкрет¬
ную меру непосредственно на (г-алгебре множеств, как мы скоро
увидим, невозможно. Поэтому приходится сначала определять ме¬
ру на более простом классе множеств, а после этого ”продолжать”
ее на выбранную <г-алгебру.
Пространство X с заданной <т-алгеброй его множеств А и опре¬
деленной на А мерой fi(A)t А 6 А, называется пространством с
мерой и обозначается (X, А, fi).
Особенно важную роль играют числовые меры, т.е. меры со
значениями на числовой прямой или на комплексной плоскости.
Числовая аддитивная функция называется конечной, если она не
принимает бесконечных значений ни на каком множестве из области
ее определения.
Бели допустить, что числовая аддитивная функция <р(А), задан¬
ная на алгебре множеств, может принимать бесконечные значения
(2.4)
84 ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
разных знаков, то придем к неопределенности. Действительно, если
существуют такие множества А и В, что <р(А) = +оо, <р(В) = —оо, а
<р(А) ф —оо, <р(В) ф +оо, то будем иметь
<р(Х) = <р(А) + <р(А) = +оо, (р(Х) = (р(В) + <р(В) = -оо.
Чтобы избежать этой неопределенности, приходится принять, что
<р(А) может принимать бесконечные значения только одного знака.
Для определенности будем считать, что <р(А) не принимает значения
—оо.
Числовая аддитивная функция <р(А) называется <г-конечной, ес¬
ли существует такое разбиение пространства X на попарно непере-
оо
секающиеся множества X = (J XkXt = 0 при к ф /, что (р(А)
fc=i
конечна на всех множествах Xk (t = 1, 2, ...).
Теорема 2.2.2. Если действительная функция (р(А) а-аддитив-
на и
'ОМ
< ОО,
Ь=1 /
AkAh = 0 при Ьф k, то ряд
*=i
сходится абсолютно.
> Действительно, пусть
.+ _ ГЛк при у>(Л*) > 0, _ ( Ак при <р(Ак) < 0,
* \0 при у»(Лк)<0, * \0 при ¥>(Л*)>0.
Тогда
*’(Дд‘)=Ч5л)+1"(5л‘)<о°
и, так как <р{А) не может принимать значение —оо, то
—с» < <р( LM*)
} tzi
и, следовательно,
/ 5» Л ^
* <оо.
о < <p(p_At) = )
§ 2.2. ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА И МЕРЫ
85
Из этих неравенств следует, что ряды с неотрицательными членами
£ | (р(А^) | и J2<p(A%) сходятся, что и доказывает наше утвержде¬
ние. <
Пример 2.6. Вероятность представляет собой неотрицательную
<Г-аддитивную функцию множества, т.е. неотрицательную меру. Эта мера,
очевидно, конечна (она не может быть больше 1).
Пример 2.7. Интеграл Римана
<р(А) = / /(*)<**.
А
распространенный на интервал А числовой оси или на область А конечно¬
мерного пространства (конечно, измеримую по Жордану [16, т.2]), является
аддитивной функцией множества. Если интеграл, распространенный на все
пространство, представляет собой сходящийся несобственный интеграл, то
функция <р(А) конечна.
Пример 2.8. Метра Лебега определяется на интервалах числовой пря¬
мой R (на прямоугольных множествах пространствах Rn) как длина интерва¬
ла (объем прямоугольного множества)
/((а, *)) =/([а, Ь)) = /((а, Ь)) = /([а, Ь)) = Ь-а,
' l(A)=(h-ai)-(bn-an),
где А = {х : хк е (at, &*), * = 1, ... , г»} или любое прямоугольное мно¬
жество, полученное из А заменой совокупности открытых интервалов (а*, &*)
любой комбинацией открытых, замкнутых и полузамкнутых интервалов. Оп¬
ределенная таким способом на полуалгебре интервалов (прямоугольников) ме¬
ра Лебега однозначно определяется по теореме о продолжении меры (пример
2.13) и на всех борелевских множествах числовой прямой R (пространства Дп).
Пример 2.9. Мера Лебега — Стилтьеса определяется на интервалах
числовой прямой формулами
*([<.,&)) =F(6)-F(a),
s([a,b)) =F(b + 0) — F(a),
s((a,b)) =F(b) — F(a + 0),
s((a,b)) =F(b + 0) — F(a + 0),
где F(a?) — непрерывная слева функция. Определенная так на полуалгебре
интервалов мера Лебега — Стилтьеса однозначно определяется по теореме
86
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
о продолжении меры (пример 2.14) и на всех борелевских множествах. Мера
Лебега — Стилтьеса конечна, если функция F(x) ограничена.
Таким же путем можно определить меру Лебега — Стилтьеса и в любом
конечномерном пространстве if*.
2.2.2. Непрерывные функции множества. Функция множе¬
ства <р(А) называется непрерывной сверху, если для любой моно¬
тонно убывающей последовательности множеств {j4„}, Ап+\ С Ап
(п = 1, 2,:..),
р(Шп Ап) = у>(ПД») = Km <р{Ап )
(в случае числовой функции <р должно быть <р(Ап) < оо Vn). Функ¬
ция множества <р(А) называется непрерывной снизу, если для лю¬
бой возрастающей последовательности множеств {Лп}, Ап+\ Э АП}
(n = 1, 2, ...),
(p(l\mAn) = <p((JAn) = limц>(Ап).
Функция множества, непрерывная сверху и снизу, называется непре¬
рывной.
2.2.3. Общие свойства мер. Изучим основные свойства адди¬
тивных функций и мер.
Теорема 2.2.3. Мера р(А)> определенная на а-алгебре множеств
А, непрерывна.
> Пусть {-Ап} — монотонно возрастающая последовательность
множеств, А = lim АПу Ап Е А. Так как НтЛп = 1Ип> а А —
п-+оо
(г-алгебра, то А 6 А. Положим для общности Aq = 0. Тогда будем
иметь
п п
Ап = U ц(Ап) = ^2ii(Ak\Ak-1),
*=i k=i
А= lim А„ = U (Ai\Ak-i),
n-юо t_j
где Ak\Ak-i — попарно непересекающиеся множества. Следова¬
тельно, в силу (т-аддитивности /I
оо п
ц(А) = ^Гр(Ак\Ак-1) = ^lim = Птц(Ап).
к=i n->°° t=i
Таким образом, fi(A) непрерывна снизу.
Пусть теперь {Ап}, Ап € А, — монотонно убывающая пос¬
ледовательность множеств. Тогда последовательность множеств
§ 2.2 ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА И МЕРЫ 87
{-АДАп}, будет монотонно возрастающей п ее пределом будет А\\А.
Из только что доказанной непрерывности р(А) снизу следует
/1(ЛДу4) = lim/i(4iV4n)
или
- МЛ) = - Um/i(j4n).
Отсюда получаем (в случае числовой меры должно быть ц(Ап) <
< оо Vn)
ц(А) = lim/i(A,),
т.е. ц(А) непрерывна сверху.
Таким образом, мера р(А) непрерывна и сверху и снизу, т.е.
непрерывна. <
Следующие две теоремы можно рассматривать как теоремы,
обратные теореме 2.2.3.
Теорема 2.2.4. Если аддитивная функция <р(А), определенная на
некотором классе множеств С, непрерывна снизу, то она а-адди-
тивна на С.
> Пусть {-Ап} — произвольная последовательность попарно не-
пересекающихся множеств из С, Ап € С, АьАн = 0 при Л ф Jb, такая,
что все множества
Вп = U Ak (п = 1,2,...) и UAb
*=1 *=1
принадлежат классу С. Очевидно, что множества Вп образуют мо¬
нотонно возрастающую последовательность, пределом которой яв-
ОО 00
ляется А = (J Ak = JJ Вп. Следовательно, в силу непрерывности
*=1 п=1
функции <р снизу
<р(А) = pQ-M*) = >
а в силу ее аддитивности
откуда вытекает
<р(А) = lim 2 РИ*) = £ ¥>(^t) • <
п—*оо ■ • ■' *
fc=l
88
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
Теорема 2.2.5. Если аддитивная функция <р, определенная на не¬
котором классе множеств С, содержащем пустое множество, не¬
прерывна в нуле, т.е. если lim^(Cn) = 0 для любой монотонно убы¬
вающей последовательности множеств {Сп} С С с пустым пересе-
чением, р)Сп = 0, то она <г-аддитивна на С.
> Пусть {Ап} — произвольная последовательность попарно не-
пересекающихся множеств из С, Ап G С, АкАн = 0 при Ьф Jb, такая,
что все множества
Сп = U M (n = 1, 2, ...) и А= U Ак
k=n+1 fc=l
принадлежат классу С. Очевидно, что множества Сп образуют мо-
нотонно убывающую последовательность с пустым пересечением.
Поэтому в силу непрерывности функции (р в нуле
lim <р(Сп) = <р(0) = 0,
п—*оо \
а в силу ее аддитивности
<р(а)==\]Ср(л*)+^(4_и+1л*) = Х>(^*)+•
Из этих двух равенств вытекает сходимость последовательности
сумм
£>(Л*) (n = 1, 2, ...)
*=1
к (р(А), т.е. формула
оо
<р(А) =
*=1
2.2.4. Свойства неотрицательных мер. Изучим теперь спе¬
цифические свойства неотрицательных аддитивных функций и мер,
имеющих особенно важное значение.
Теорема 2.2.6. Если неотрицательная аддитивная функция [а оп¬
ределена на полуалгебре множеств С, то для любых множеств А,
В е С, АС В
ц{А)<ц{В). (2.5)
§ 2.2 ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА И МЕРЫ 89
> Так как В = A\JAB и А представляет собой конечное объеди¬
нение попарно непересекающихся множеств С\,... , Сдг € С,
N
А= U Ск,
t=i
то
В = AljBCiU ••• .
А так как по определению по луалгебры ВС\, ... , BCV € С, то в силу
аддитивности р на С
N
м(В) = р(А) + ^2р(ВСъ) > КА). <
* = 1
Теорема 2.2.7. Если неотрицательная аддитивная функция /1
определена на полуалгебре множеств С, то для любого множест¬
ва А € С и любых попарно непересекающихся его подмножеств
А\, ... 9 Ап ЕС, АъАь = 0 при к ф h, справедливо неравенство
j2KAk)<KA). (2.6)
* = 1
> Бели объединение множеств ... , Ап принадлежит С, то
(2.6) следует непосредственно из аддитивности /1 и теоремы 2.2.6.
В противном случае
A\\jAt=л( См*) =л(Дд*) .
Лк = UС1м» Cjki € CkiChh = 0 при кф h. (2.7)
/=1
Положив 7V = maxiVt, Сы = 0 при / > N*, получим
A\\JAk = U ACUl---Cnu
к = 1 = 1
90
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
Эта формула выражает множество А £ С в виде конечного, объеди¬
нения попарно непересекающихся множеств полуалгебры С. Следо¬
вательно, в силу аддитивности /I на С
/ф4) = Х>(Л*)+ 2 КЛСиг •••С„,.)>Х>(Лк)- <
* = 1 = l Jb = l
Теорема 2.2.8. £сли неотрицательная аддитивная функция ц оп¬
ределена на полуалгебре множеств С, то для любых множеств
Ап € С, для которых
а= 1М*еС,
*=i
справедливо неравенство
#Ф4)<Х>(Л0- (2.8)
Jfc = l
> Так как
А= VAk=Ai\JA2A1\J---\JAnAl- An-i (2.9)
*=i
и справедлива формула (2.7), то, так же как при доказательстве те¬
оремы 2.2.7, получаем
AkА\ • • • Ak-i = (J AkC\it • • • С*_1,^.! (fc = 2, ... , n). (2.10)
Формулы (2.9) и (2.10) дают представление множества А в виде ко¬
нечного объединения попарно непересекающихся множеств полуал¬
гебры С. Следовательно, в силу аддитивности /I на С
п N
=#«(^1)+5Z £ (2.И)
А так как A*j4i .. .Ak-\ С A* (fc = 2, ... , п), то в силу (2.10) из тео¬
ремы 2.2.7 следует
N
£ MAkClll...Ct_1,,lk.t)</i(il*). (2.12)
lli*-.,/*-1=1
§ 2.2 ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА И МЕРЫ 91
Эта формула вместе с (2.11) приводит к неравенству (2.8). <
Теорема 2.2.9. Если /1 — неотрицательная мера, определенная
на полуалгебре множеств С, то для любой последовательности мно¬
жеств {л4п} С С, для которой
Л= и Акес,
к=1
справедливо неравенство
оо
#|(л)<5;мдк). (213)
*=1
Это свойство неотрицательной меры называется полуаддитивнос-
тью меры.
> В этом случае формулы (2.9) при п = оо и (2.10) дают пред¬
ставление множества А у виде счетного объединения попарно не-
пересекающихся множеств полуалгебры Сив силу а-аддитивности
меры справедлива формула (2.11) при п = оо. Эта формула вместе
с (2.12) дает (2.13). <
Следующая теорема, в некотором смысле обратная теоре¬
ме 2.2.9, часто применяется для доказательства (т-аддитивности нео¬
трицательной аддитивной функции.
Теорема 2.2.10. Если неотрицательная аддитивная функция /1,
определенная на полуалгебре множеств С, полуаддитивна, то она
<т-аддитивна.
> Пусть {Лп} С С — любая последовательность попарно непе-
ресекающихся множеств, такая, что
А= и Акес.
к=1
Так как при любом п
U АЬСАУ
t=i
то по теореме 2.2.7 и в силу полуаддитивности функции /1
£>(УЦ) </ф4) < £>М*) (2.14)
1=1 4=1
92
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
при любом п. Если р(А) < оо, то последовательность сумм в левой
части этих неравенств как неубывающая последовательность поло¬
жительных чисел, ограниченная сверху числом ц(А), имеет предел
*=i *=1
Отсюда и из справедливости (2.14) при всех п следует
/*(Л) = ^2КЛ1с)- 4
к = 1
Теоремы 2.2.6 — 2.2.10 справедливы также в том случае, когда
С — алгебра или <т-алгебра множеств, так как любая алгебра мно¬
жеств представляет собой полуалгебру. Рекомендуем читателю до¬
казать эти теоремы непосредственно для случая, когда С — алгебра
множеств.
Пример 2.10. Мера Лебега / (Т-аддитивна на полуалгебре интерва¬
лов (прямоугольных множеств в случае пространства Rn) С. Очевидно, что
мера Лебега аддитивна на С: при любом конечном разбиении интервала (пря¬
моугольника) на попарно непересекающиеся интервалы мера Лебега данного
интервала равна сумме мер интервалов, на которые он разбит. Чтобы дока¬
зать (7-аддитивность меры Лебега на С, на основании теоремы 2.2.10 достаточ¬
но доказать ее полуаддитивность на С. Л ля этого возьмем любой конечный
интервал (прямоугольник) А и разобьем его на счетное множество попарно
непересекающихся интервалов (прямоугольников)
А= \J Ап.
П=1
Зададим произвольное € > 0 и возьмем такой замкнутый интервал В€ С А,
что
1(А)<1(Ве) + е/ 2.
Покроем каждый интервал Ап таким открытым интервалом А€п Э Ап, что
1(А'п)<1{Ап) + е/2-+1 (11 = 1,2,...).
Тогда (J А^ будет представлять собой покрытие замкнутого интервала Ве
открытыми интервалами,
В€СА= \JAnC 0*.
*=1 *=1
§ 2.2. ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА И МЕРЫ
93
А так как конечный замкнутый интервал компактен, то множество интервалов
{Аеп} содержит конечное подмножество интервалов, покрывающих весь ин¬
тервал Bg (ото известно из курса математического анализа [16, т.1]; см. также
следствие 3 теоремы 4.5.5 и определение компактности множества в п.4.4.1).
Обозначим эти интервалы А*п , ... , А€Пы:
Ве С U^,-
Р=1
Конечное объединение интервалов (прямоугольников) в правой части этого
включения, так же как и интервалы А и В' , принадлежит алгебре, порожден¬
ной полуалгеброй С (п.2.1.4). Поэтому в силу теорем 2.2.6 и 2.2.8
Отсюда и из определения интервалов В€ и А*п получаем
КА) < Е ЧК,) + § < Е i(K) +1 < Е ЦЛп) + е.
р=1 П=1 П=1
Из этого неравенства в силу произвольности € > 0 следует полуаддитивность
меры Лебега на полуалгебре всех интервалов.
Пример 2.11. Точно так же доказывается (7-аддитивность неотрица¬
тельной меры Лебега — Стилтьеса на полуалгебре интервалов (прямоуголь¬
ников пространства Дп).
2.2.5. Представление действительной числовой меры в ви¬
де разности неотрицательных мер. Всякая действительная мера
/i(A), определенная на (г-алгебре множеств Л пространства X, мо¬
жет быть представлена в виде разности двух неотрицательных мер
li(A) = /1+ (А) - /I" (Л). (2.15)
Это представление действительной числовой меры называется раз¬
ложением Жордана.
Теорема 2.2.11. Если действительная мера /i(A) определена на
<т-алге6ре Л, то она достигает своей тонной нижней грани на не¬
котором множестве D~ 6 А, т.е. существует такое множество
D~ G А, что
KD~) = inf ц(А) * .
* Для неотрицательных мер ета теорема тривиальна. В этом случае 0£
Л и inf ц(А) = /1(0) = 0.
94
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
> По определению нижней грани существует такая последова¬
тельность множеств {Лп}, Ап £ А> что lim^(i4n) = inf /х(^4). Поло¬
жим В = (J Л*. При любом п множество В может быть разложено на
2П попарно непересекающихся множеств, каждое из которых пред¬
ставляет собой пересечение п множеств — некоторых из множеств
А\, ... , Ап и дополнений до В остальных множеств Ai, ... , Ап. Для
иллюстрации на рис. 16 представлен случай п = 2. В этом случае
А\2 = А\Аг, Ап = (i?V4i)A2,
А32^А1(В\А2)) А42 = (В\Аг)(В\А2).
Рис. 16
Рис. 17
Таким образом, при каждом п
2м
В = U ^mn j
m=l
л _ Г ^m,n-l^n (m — 1» . • • t 2Л 1) ,
Лтл - \ (m = 2»"1 + 1, ... , 2"),
(некоторые множества Amn могут быть пустыми). Очевидно, что
каждое множество Атп представляет собой объединение некоторых
множеств Apq, соответствующих q> п, т.е. при увеличении п части,
на которые разбито множество В, в свою очередь делятся на непе-
ресекающиеся части. На рис. 17 это проиллюстрировано для случая
п = 2, q = 3. Выберем теперь при каждом п те множества Атп, для
§ 2.2. ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА И МЕРЫ 95
которых ц(Атп) < 0. Отметим эти множества знаком минус вверху
и положим Вп = LMmn- Тогда будем иметь
т
Р(,,У Вр) - ^Вп^ ^Ап^'
оо
Множества (J Вр образуют при п -+ оо монотонно убывающую по-
Р=п
следбвательность. Обозначим ее предел через D~:
Л- = lim {j£P = П U^p^-4-
n_>0° p—n n=lp=n
Тогда, учитывая, что мера^(А) непрерывна сверху, получим из пре¬
дыдущего неравенства
рф-) = lim р( (J Вр) < lim ц{Ап) = inf «(Л).
n-юо \р-п / n-юо Лб-4
А так как при любом С € А ц(С) > inf |i(A), то
и(°~) = jnf ц{А). <
Следствие. Действительная мера р(А), определенная на <г-ал-
гебре, ограничена снизу.
> Так как значение —оо исключено, то = inf ц(А) > —оо. <з
Теорема 2.2.12. Действительная мера ji, определенная на <т-ал-
гебре А, может быть представлена как разность двух неотрица¬
тельных мер (2.15).
> Пусть fi(A) — мера, определенная на <т-алгебре А , D~ € А
— множество, на котором ц(А) достигает нижней грани, n(D~) =
= inf р(А). Лля любого множества А 6 А
/|(£Г ) = n(AD~) + p{AD-), »(D~[JAD+) = + »{AD+),
где £>+ = D~. По определению множества
H(D~) < fi(AD~), fi(D~[jAD+) > /,(£>").
Следовательно,
/i(AD~) < 0, n(AD+)> 0
96
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
для любого множества А е А. Таким образом, пространство X
делится на две непересекающиеся части, X = D~ (J D+, так, что
на всех подмножествах множества D~ мера ц(А) отрицательна или
равна нулю, а на всех подмножествах множества D+ она неотри¬
цательна. Это разложение пространства называется разложением
Хана.
Положим теперь для любого множества А 6 Л
,х+(А) = fi(AD+), /Г (Л) = -v(AD-). (2.16)
Тогда будем иметь
И(А) = t*(AD+) + n(AD') = fi+(A) - fi~ (А).
Остается доказать, что функции /|+(А) и /*“(>1) — меры. Для это¬
го заметим, что для ‘любых попарно непересекающихся множеств
А\, Аз, ... € Л
*(&+) = ,(0^+) = f>(At£>+) = Х>+Й*).
г ( и = ~4 и AtD~) = (**) •
\*=1 ) \ь=1 ) t^i
Таким образом, р*(А) и Ц~(А) — неотрицательные <т-аддитив¬
ные функции, т.е. неотрицательные меры. <
Заметим, что разложение Хана X = D~ не единственно, в
то время как разложение Жордана (2.15) единственно.
> Действительно, предположив, что
X = D;\JD+ = D;{JD+ , (2.17)
будем иметь Df С D% , вследствие чего
/|ф№)< о.
С другой стороны D* Z?2 С Df, вследствие чего
p(D+D2-)>0.
§ 2.2. ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА И МЕРЫ 97
Эти два противоположных неравенства дают ) = 0 и точно
также = 0. Следовательно, два разложения Хана (2.16)
могут существовать только в том случае, когда
v(DtD;) = rtD;D}) = 0.
Но в этом случае для любого множества АеА
n(ADf) =(i(ADtD;) + n(AD+Dt) = AD+Dt) =
= fi(ADtDt) + fi(AD^Dt) = tx{AD$),
fi(AD~) =p(AD~Dt) + t*(ADi Dj ) = p(AD± D2" ) =
= ,i(ADT Dj) + fi(ADi DJ) = n(AD% ). <
2.2*6. Полная вариация меры. Пусть /i(A) — мера (или адди¬
тивная мера) со значениями в нормированном линейном простран¬
стве Y, определенная на классе множеств А. Действительная нео¬
трицательная функция множества
|/*|(Л) = вир^||А|(^)Н. (2.18)
где верхняя грань берется по всем конечным совокупностям попар¬
но непересекающихся подмножеств А* 6 А множества А, А* С А,
называется полной вариацией меры (аддитивной меры) /1.
Теорема 2,2.13. Если мера или аддитивная мера р определена на
алгебре или <г-алгебре множеств А, то ее полная вариация аддитив¬
на.
> Пусть А\, ... , An — произвольные попарно непересекающи-
еся множества А* € А, А = (J А*. Тогда для любых цопарно непере¬
секающихся множеств В\, ... , Вп, Вр С А, имеем
Е н us ЕЕ н №РАк) ц= ее и н • (219)
р=1 p=ifc=i *=ip=i
А так как BpAt С А*, то по определению полной вариации из (2.19)
следует
IH<*)<£>l(Ak). (2-20)
* = 1
98
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
Бели | /11 (Л) < оо, то для любого е > 0 существуют такие числа ци
и попарно непересекающиеся подмножества Вир множеств Ак, Вкр С
С Ak, что
н+£
p=i
и, следовательно,
£М(^<£Х;1МЯья)11 +е<1И(Л) + е.
*=1 ь=1р=1
Из этого неравенства и (2.20) в силу произвольности е следует
м(|и*)=£>|(Л0'
что и доказывает аддитивность | /1 |. Если | /1 | (Л) = оо, то в
(2.20) имеет место знак равенства. Так что и в этом случае условие
аддитивности | /11 выполнено. <
Рассмотрим теперь частный случай действительной числовой
аддитивной-меры /1. Вводя функции
S(A) = |[М (А) + КА)], j*~{A) = ±[| /I | (А)-КА)] , (2.21)
будем иметь
ц{А) = ц+(А) - ц~(А),
\0\{А) = (л+(А) + »-(А). (2.22)
Очевидно, что функции /i+(j4) и р~(А) представляют собой неотри¬
цательные аддитивные меры. Полученные результаты устанавли¬
вают справедливость следоющей теоремы.
Теорема 2.2.14. Всякая действительная аддитивная мера мо¬
жет быть представлена в виде разности (двух неотрицательных ад¬
дитивных мер. При этом ее полная вариация равна сумме этих нео¬
трицательных аддитивных мер.
Следствие. Любая комплексная аддитивная мера ц может
быть выражена через неотрицательные аддитивные меры формулой
КА) = 1*в.(А) - /1д(Л) + «[tf (А) - nj (j4)] . (2.23)
§ 2.2. ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА И МЕРЫ
99
Теорема 2.2.15. Неотрицательные меры /1+ и /|“ в разложении
Жордана (2.15) действительной меры \х совпадают с неотрицатель¬
ными аддитивными мерами, определяемыми формулами (2.21).
> Достаточно доказать, что полная вариация меры /i, опреде¬
ленной на (7-алгебре множеств Л, выражается через неотрицатель¬
ные меры /1+ и /1“ в ее разложении Жордана (2.15) второй форму¬
лой (2.22). Тогда из (2.22) будут следовать формулы (2.21) для /1+
и /1~. Так как AD С А, AD С А для любых множеств A, D С А, то,
взяв множество D = D+ из разложения Хана X = £>” (J D+, получим
/|+(Л) + »~(А) = /ф4£>+) - /|(Л£Г) = | /ф4£>+) | + | ji(AD~) |,
откуда
р+(А) + Г(А)<\р\(А). (2.24)
С другой стороны, для любых попарно непересекающихся подмно¬
жеств А^ • • • > Ап множеств А по теореме 2.2.7 имеем
М+(Л) > ]Гр+(Ак) = ^2fi(AkD+) = ^2 I р(Л*£>+) |,
Дг=1 *=1 fc=l
|Г(Л) > £|*-(Лк) = - £>(Лк1Г) = 2 I n(AkD~) I
Дг=1 fc=l fc=l
и, следовательно,
#*+(Л) + л-(Л) > £{| I + I KAkD-) |} > Е I №) I >
k=l *=1
откуда
/i+(i4) + /i"(i4)>|p|(i4).
Сравнивая это неравенство с (2.24), получаем
\г\(А) = р+(А) + Г(А).
Это и есть вторая формула (2.22). <
Следствие. Полная вариация действительной меры, определен¬
ной на а-алгебре множеств, а-аддитивна.
Меры /i+ и /1~ называются соответственно положительной и
отрицательной вариациями меры ц(А).
100
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
Очевидно, что полная вариация неотрицательной меры /i совпа¬
дает с этой мерой | /i | (А) =
Пример 2.12. Полная вариация меры Лебега — Стилтьеса на число¬
вой прямой R,
MM)) = F(6)-F(a),
определяется формулой
I И I ([«. Ъ)) = sup £ I F(*k) - F(*k-1) j,
* = 1
где супремум берется по всем конечным разбиениям интервала [а, Ь) на по¬
парно непересекающиеся части
п
[а, Ь) = U [**-1. *fc) •
* = 1
Если I ц I (R) =| ft I ((-оо, оо)) < оо, то функция -Р(ж) = /i((—ОО, ж)) назы¬
вается функцией ограниченной вариации. Построив разложение Жордана (2.15)
для меры Лебега — Стилтьеса, убеждаемся в том, что любая непрерывная
слева функция может быть представлена в виде разности двух неубывающих
функций.
ЗАДАЧИ
2.2.1. Мера Лебега — Стилтьеса на R определена формулой
*(Л) = f f(x)dx,
А
где /(х) — ограниченная интегрируемая по Риману функция. Определить
соответствующую функцию F(x) в формулах примера 2.9.
2.2.2. Мера Лебега — Стилтьеса на R определена формулой
*(л) = //(*)</*+ Е р*„
А {*:хк€Л}
где {*„}и{р*} — последовательности действительных чисел, а f(x) — огра¬
ниченная интегрируемая по Риману функция. Определить соответствующую
функцию F(x) в формулах примера 2.9.
2.2.3. Доказать непосредственно (Г-аддитивность мер задач 2.2.1 и 2.2.2.
§ 2.2. ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА И МЕРЫ
101
2.2.4. Показать явно, как следует выбирать интервалы Bt и Асп в при¬
мере 2.11 с учетом возможных точек разрыва функции F(l), которая должна
быть в этом случае неубывающей.
2.2.5. Найти множества D” и D* теорем 2.2.11 и 2.2.12 для меры Лебега
— Стилтьеса примера 2.2.4 в случае кусочно непрерывной функции f’(aj) с
конечным числом точек разрыва и экстремумов. Найти разложение функции
F(x) соответсвующее разложению Жордана меры Лебега — Стилтьеса.
2.2.6. Найти полнуюу положительную и отрицательную вариации меры
Лебега — Стилтьеса примера 2.11.
2.2.7. Функция множества определяется на интервалах формулой
/*((«» Ь)) = #*([<*» Ч) = МК &)) = /*((<>. Ч) = //(*)<** .
а
где f(x) — ограниченная непрерывная функция, для которой несобственный
интеграл
7 I f{x)\dx
— ОО
сходится. Доказать ее аддитивность и (Г-аддитивность на полуалгебре интер¬
валов. Найти ее полную, положительную и отрицательную вариации.
2.2.8. Функция множества определяется на полуалгебре прямоугольных
множеств пространства iP1 формулой
М-Д) = / dxi • • • //(*х, ... , x„)dxn ,
«1 о*
где f(x 1, ... , Жп) — непрерывная ограниченная функция, для которой схо¬
дится несобственный интеграл
/ dxi ■■■ / | /(*!, ... ,xn)\dxn.
— ОО —ОО
Доказать ее аддитивность и (7-аддитйвность на полуалгебре прямоугольных
множеств. Найти ее полную, положительную и отрицательную вариации.
102
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
§ 2.3. Продолжение меры
2.3.1. Продолжение и сужение функции. Во многих случаях
возникает задача продолжения функции с заданной областью опре¬
деления на более широкую область определения. Типичным приме¬
ром такой задачи является задача определения меры на всех боре-
левских множествах числовой прямой R (или конечномерного про¬
странства Яп), заданной первоначально только на полуалгебре ин¬
тервалов (соответственно прямоугольных множеств — прямоуголь¬
ников). И вообще любая числовая мера обычно естественно опре¬
деляется на некоторой полуалгебре множеств, и возникает задача
продолжения ее на более широкий класс множеств.
Бели функция /(а?) задана в области Dj, а функция fi(x) задана
в области Dfx,Df С -Од, и fi(x) = /(а?) при х G Dj, то функция
fi(x) называется продолжением или расширением функции f(x) на
область Dflt а функция f(x) — сужением функции Л(а?) на область
D*'
2.3.2. Задача о продолжении числовой меры. Предположим,
что неотрицательная (г-аддитивная (г-конечная мера /j задана на
некоторой полуалгебре множеств С, и требуется продолжить ее на
более широкий класс множеств (конечно, содержащий полуалгеб-
ру С).
Для того чтобы найти способ решения этой задачи, можно вос¬
пользоваться методом, примененным основоположником теории ме¬
ры Лебегом ^ля продолжения меры на числовой прямой, заданной
на интервалах. Мы покажем основную идею этого метода на при¬
мере случая продолжения меры на плоскости, заданной на полу¬
алгебре всех; прямоугольников: чтобы определить продолжение ц*
меры /i на к#асс всех множеств точек плоскости, естественно рас¬
смотреть все) возможные покрытия множества А прямоугольниками
и взять нижфою грань сумм мер р прямоугольников по всем этим
покрытиям.
2.3.3. Внешняя мера. Следуя методу Лебега, определим для
любого множества А С X функцию множества
ц*{А) = inf (2.25)
к
где нижняк грань берется по всем возможным счетным покрытиям
множества А множествами класса С : А С \jCk,Ck € С. Эта функ-
к
ция множества называется внешней мерой. В силу теоремы 2.1.1
§ 2 3. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
103
без потери общности можно считать множества С* в (2.25) попарно
непересекающимися, С*С/ = 0 при / ф к.
Изучим основные свойства внешней меры.
Теорема 2.3.1. Если АеС, то р*(А) = ji(A).
> Для любого счетного покрытия множества А попарно непере¬
секающимися множествами из С А = (J АСи и, так как А € С, АСъ G С,
к
то в силу (7-аддитивности меры /1 на С
МЛ) = £МЛСЬ)<Х>(С*)-
к к
Отсюда следует неравенство
ц(А)<^(А).
А так как р*(А) — нижняя грань сумм ]£/*(С*) по всем покрытиям
*
множества А множествами класса С, a A G С, то
И*(А) < ц(А).
Из двух противоположных неравенств следует
f(A)=»(A). <
В частности, отсюда следует, что р*(Х) = р(Х) и /1*(0) =
= /i(0) = о.
Таким образом, внешняя мера fi*(A) формально является про¬
должением меры /I на класс V всех множеств пространства X. Од¬
нако нас интересует лишь продолжение меры с сохранением основ¬
ного свойства меры — (7-аддитивности. Поэтому необходимо найти
такой класс множеств, на котором внешняя мера /1* <г-аддитивна.
Теорема 2.3.2. Если множество А представляет собой счет¬
ное объединение попарно непересекающихся множеств класса С, А =
= Ар € ApAq = 0 при ц^фр, то
р
^*{A) = YL^Ap)-
Р
> Для любого покрытия множества А множествами класса С,
А = [JАр С (JCktCk € C.CkCi = 0 при I ф ку имеем Ар = \JApCk-
Р к к
104
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
Отсюда вследствие (г-аддитивности меры /1 на С (АрСъ £ С> так как
Ар £ Су Сц € С) вытекает
М4г) = ]£ КАрСк) (р = 1,2,...)
к
5>(ло=2>(лс*)-
Р Р»*
Но так как \JApCk С Сь, то ]£/*0АрСь) < /*(С*)- Следовательно,
р р
2 МЛ) < Емс*).
Р *
откуда
5>(Л)<р*(л)-
р
А так как (J^p = ^ тоже представляет собой покрытие множества
р
А множествами класса С, то
/1*04) <£МЛ)-
р
Из полученных двух противоположных включений следует требуе¬
мый результат
Л*(Л) = ]Г>(Л)- < (2.26)
Р
Теорема 2.3.3. Если А С В, то
f(A) < f(B). (2.27)
> Это следует из того, что всякое покрытие множества В явля¬
ется и покрытием множества Ау но не наоборот (т.е. класс покрытий
множества В является частью класса покрытий множества А). <
Теорема 2.3.4. Внешняя мера ц* полуаддитивна.
> Пусть {Ар} — произвольная счетная система множеств. Па
определению внешней меры /к* для любого Ар и любого е > 0 су-
$ 2.3. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
105
шествует такое покрытие множества Ар множествами из С,
Ар С OCpt, Cpk € С, что
5>(ад<т)+£ (р=1,2....)-
к
Отсюда суммированием по р получаем
Х>(сР*)<5>*(Л)+*.
р,* р
С другой стороны, так как \JAP С U то
р р,*
р*(и^)<5>(ед-
р р.*
Следовательно,
/** (U^p) < £р’(А>) + е-
Р Р
А так как е > 0 произвольно, то
(228)
Р Р
что и доказывает полу аддитивность /1*. <
Следствие. Лл* любых множеств A>D GV
f(D) < t**(AD) + fi*(AD). (2.29)
Теорема 2.3.5. Любое <г-аддитивное продолжение <р меры ц на
некоторую а-алгебру Э С удовлетворяет неравенствам
S(D) - fi‘(AD) < у(Л) < f(A), (2.30)
где A G a D — произвольное счетное покрытие множества А по-
парно непер есекающимися множествами из полуалгебры С,
А С D = (JС*, С* € С, C*Ch = 0 при А ^ *.
к
106 ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
t> Так как Ct, D € и у?(С) = ц(С) при С € С, то
<р(А) < <p(D) = 5>(Ct) =
к к
Отсюда и из (2.25) следует
<р(А) < р*(А) для любого А € (2.31)
В частности, так как V^ — (т-алгебра, вследствие чего AyAD 6
то
ip(AD) < fi*(AD). (2.32)
Но <p(AD) = <p(D) — <р(А), поскольку А = AD> и, вследствие того что
D = \JCk>Ck € С, по теореме 2.3.2 ii'(D) = ХХС*) = £^(<30 =
* _ * к
= у>(2>). Следовательно, y>(^4D) = P*(D) — У>(Л) и (2.32) дает
fi*(D) - *>(>!) < iim(AD). (2.33)
Из (2.31) и (2.33) следует (2.30). <
Следствие 1. Для любого множества А Е и счетного объеди¬
нения D множеств из полуалгебры С, имеющего конечную внешнюю
меру,
fim{D) - fi'(AD) < ip(AD) < f{AD). (2.34)
> Это следует непосредственно из (2.30), если учесть, что
AD 6 2\>, AD С D и p*(AD) < n*(D) < оо. <
Следствие 2. Продолжение меры \i будет единственным
а-аддитивным продолжением р, если
Dip С {A : f(D) = S(AD) + f(AD) V£> = \JCk,Ck G C,f(D) < oo}.
*
Из (2.34) и (2.31) следует, что это продолжение меры /4 должно
совпадать с внешней мерой /2*.
На основании этого следствия для нахождения однозначного
продолжения меры /i необходимо изучить класс С множеств А} удо¬
влетворяющих условию
/i*(D) = fi*(AD) + f(AD) (2.35)
$ 2 3 ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
107
для любого множества D, представляющего собой счетное объеди¬
нение множеств из полуалгебры С, для которого p*(D) < оо, и уста¬
новить «г-аддитивность внешней меры ц* на этом классе множеств.
2.3.4. Класс множеств, измеримых по Лебегу. Множества
класса С называются измеримыми по Лебегу*.
Теорема 2.3.6. Класс множеств С содержит полуалгебру С.
> Для любого множества А 6 С по определению полуалгебры
п
А= \JApt АреС, АрАя = 0 при q ф р.
Р=1
Пусть D = \JCkt Ск 6 С, СкС\ = 0 при / ^ Jb. Тогда, учитывая, что
к
Ск = хск = лс*и
и что АСкуАрСк € С, вследствие ^-аддитивности меры /i на С можем
написать
п
/i(Ct) = /|(ЛС4) + 5>( V*) (* = 1,2, • •.)
Р=1
и
#.*(2?)=Емсь> = +ема-оо
* * L р=1
С другой стороны,
ft*(AD) = 5>(ЛСЬ), „*(,4D) =
* к р=1
* Множества класса £ иногда называются множествами, измеримыми по
Каратеодори, а множествами, измеримыми по Лебегу, называются множества
Л, для которых равенство (2.35) удовлетворяется только для D — Хп, где
U*n — счетное разбиение пространства X на попарно непересекающиеся
п
множества Хп € С конечной меры fitfi{Xn) < ОО (я = 1,2,...). Одна-
ко класс множеств, измеримых по Каратбодори £, совпадает с классом мно¬
жеств, измеримых по Лебегу С\ (доказательство см. в п.2.3.9). Повтому можно
не различать эти два класса множеств.
108
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
Сравнивая полученные равенства, убеждаемся в том, что любое
множество А € С удовлетворяет условию (2.35) и, следовательно,
принадлежит классу множеств £, <
Теорема 2.3.7. Множество А принадлежит классу С тогда и
только тогда, когда оно удовлетворяет условию (2.35)дл# любого
множества D С X конечной внешней меры, D £V, p*(D) < оо.
> Достаточность этого условия очевидна. Чтобы доказать его
необходимость, заметим, что по определению внешней меры для лю¬
бого множества D € V, p*(D) < оо, при любом е > 0 существует
такое покрытие множествами из полуалгебры С,
D+ = \jckDD, ckec,
k
что
> Х>с‘) - С = /«*(Я+) - е.
*
Для любого множества А € С условие (2.35) удовлетворяется, если
заменить в нем D на D+ :
f{D+) = f{AD+) + f{AD+).
Подставив это выражение в предыдущее неравенство и имея в виду,
что AD+ Э AD, AD+ Э AD, вследствие чего /i*(AD+) > ja*(AD),
||*(Л/>+) > p*(AD), получим
/i*(£>) > p*(AD) + f(AD) - е.
Так как это неравенство справедливо при любом е > 0, то
Отсюда вследствие полуаддитивности внешней меры ц* получаем
(2.35). <
На основании этой теоремы множества, измеримые по Лебе¬
гу, можно определить как множества А, удовлетворяющие условию
(2.35) для любого множества D С X, < оо.
Теорема 2.3.8. Класс множеств С представляет собой алгебру,
и внешняя мера р* аддитивна на С.
> Вследствие симметрии (2.35) класс С наряду с любым входе-
щим в него множеством А содержит и его дополнение А.
§ 2.3. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ 109
Далее, класс С содержит все пространство X и пустое множе¬
ство 0, так как ja*(XD) = p*(D), /i*( 0 D) = /i*( 0 ) = 0 и, следова¬
тельно,
,!*(£>) =/Л*Л)+/**(0Я)-
Останется доказать, что класс £ наряду с любыми входящими
в него множествами АиВ содержит их пересечение АВ. Бели
А, В € С, то для любого множества D,ii*(D) < оо,
f(D) = ?(AD) + ?{AD),
fi*(AD) = n’(ABD) + fi'(ABD)
и, следовательно,
/i*(£>) = ii*(ABD) +ii*(ABD) + f(AD). (2.36)
С другой стороны из А € С следует
lf(XSD) = /1*(Л ABD) + //(Л АВ£>)
или, так как Л Л В = A(A\JB) = АВУААВ — A(A\JB) = Л, то
//(ЛЯ£>) = /1*(ЛВ£>) + /1*(Л£>).
Отсюда и из (2.36) находим
lf(D) = /1*(ЛВ£>) + if('lBD).
Это равенство показывает, что АВ £ £.
Из установленных свойств класса множеств С'следует, что он
представляет собой алгебру множеств.
Пусть теперь Л — любое множество класса £, В — любое мно¬
жество, не пересекающееся с А, С — любое множество. Положив в
(2.35) D = (A\JB)C, получим
^((A\JB)C) = n'{A{A\JB)C) + n-{A{A\jB)C).
Но A(A\JB) = A, A(A\JB) = В. Следовательно,
S((A[JB)C) = f(AC) + /Г(ЯС). (2.37)
110 ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
Это равенство справедливо для любых непересекающихся множеств
АУВ и любого множества С при единственном условии, что А £ С
(или В 6 С). В частности, оно справедливо при любых Ал В 6 С.
Отсюда по индукции следует, что для любых попарно непересека-
ющихся множеств А\>..., Ап Е С и для любого множества С Е V
f (jjApCj = £>*(ЛРС). (2.38)
Положив в (2.38) С = X, получим
/1*(Дл)=Х>*(л) <2-39)
для любых попарно непересекающихся множеств из £. Таким обра¬
зом, внешняя мера /1* аддитивна на алгебре множеств С. <
Следствие. Из теорем 2.3.6 и 2.3.8 следует, что класс мно¬
жеств С представляет собой алгебру, содержащую полуалгебру С.
Следовательно, С содержит алгебру множеств В, порожденную по-
луалгеброй С, В = -4(C) С С.
Теорема 2.3.9. Класс множеств С представляет собой а-алгебру
и внешняя мера р* <г-аддитивна на С.
> Пусть {Ап} — произвольная последовательность попарно не¬
пересекающихся множеств класса £, Ап £ £, АпАт = 0 при
тфп. Положим
Вп — U Ар, В — lint Вп = (J Ар.
Р=1 П—ЮО р = 1
Так как по доказанному Вп Е £, то при любом конечном п для лю¬
бого множества D справедливо равенство
^(D) = ^(BnD) + txm(BnD).
Но в силу (2.38)
= Х>*(ЛЯ)-
р=1
Далее, *ак как Вп С В и, следовательно, Вп Э -В, то }i*(BnD) >
> n*(BD). Поэтому
f(6)>j2f(APD) + S(BD).
р=Р 1
$ 2.3. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
111
Это неравенство справедливо при любом п. Следовательно, оно
справедливо и в пределе при п —> оо:
y(ApD) + S(BD).
Р=1
ОО
А так как |J APD = BD, то в силу полу аддитивности /I*
p=i
fy^a) >/*•(*£)•
р=1
Поэтому
оо
> Y,f(ApD) + > fi*(BD) + fi*(BD). (2.40)
p=i
Отсюда, учитывая полуаддитивность /I*, получаем
/i*(D) = p*(BD) + /1*(ЯЯ). (2.41)
Следовательно,
В = \JApeC.
р=1
Но любое счетное объединение множеств А^А^,... класса С можно
представить в виде счетного объединения попарно непересекающих-
ся множеств А\ = А[у А2 = А!2А^..., Ап = А^А^ ... Дп-1, принад¬
лежащих классу С в силу того, что по теореме 2.3.8 С — алгебра.
Таким образом, класс множеств С содержит все счетные объедине¬
ния входящих в него множеств, т.е. представляет собой <т-алгебру.
Для доказательства (т-аддитивности внешней меры /i* на С доста¬
точно заметить, что в силу (2.40) и (2.41)
f(BD) = я*( 0 ApD) = f; f(A,D) (2.42)
Для любого множества D 6 < оо. Из (2.42) при D = В =
оо
= (J Ар получаем
112
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
для любых попарно непересекающихся множеств Ар £ С. Заметим,
что ^-аддитивность /i* на С следует также из теоремы 2.2.10, по¬
скольку /I* полуаддитивна и по теореме 2.3.8 аддитивна на £. <
Суммируя все установленные факты, приходим к заключению,
что внешняя мера р* представляет собой единственное (г-аддитив-
ное продолжение меры ji, определенной на полуалгебре множеств С
на ст-алгебру £, содержащую С.
2.3.5. Одно свойство класса измеримых по Лебегу мно¬
жеств. Из того, что (г-алгебра С измеримых по Лебегу множеств
содержит полуалгебру С, С С С> (теорема 2.3.6), следует, что
она содержит <т-алгебру Л = ^(С)» порожденную полу алгеброй
С : Л С С (Л по определению есть минимальная (Г-алгебра, содержа¬
щая С), Естестйенно возникает вопрос, насколько <г-алгебра С шире
(г-алгебры Л, порожденной полуалгеброй С. Чтобы ответить на
этот вопрос, установим еще одно свойство (г-алгебры £.
Теорема 2.3.10. а-алгебра С содержит все подмножества мно¬
жеств нулевой меры р*.
> Внешняя мера р* определена для всех множеств. Поэтому,
если = 0 и N\ С N, то /i*(JVi) = 0 в силу теоремы 2.3.3. Но если
/х*(ЛГ) = 0, то в силу той же теоремы 2.3.3 ia*(ND) = 0 и h*(ND) <
< ц*(В) для любого множества D 6 V. Следовательно, для любого
множества N нулевой меры /I*
fi*(ND) +ti*(ND) < /i* (Я) '
Вместе с по л у аддитивностью (2.29) меры /i* зто дает
S{ND) + S(ND)±S(D),
что и доказывает принадлежность любого множества нулевой меры
/i* <г-алгебре £ измеримых по Лебегу множеств. <
2.3.6. Полные <г-алгебры. Пусть (X, Л, /i) — пространство с
неотрицательной мерой. <г-алгебра Л называется полной относи¬
тельно меры /i, если она содержит все подмножества всех входя¬
щих в нее множеств нулевой меры /i, т.е. если из N € Л, l*(N) =
= 0, N\ С N вытекает N\ € А (и, конечно, /i(Ni) = 0). Теорема 2.3.10
утверждает, что <г-алгебра £ измеримых по Лебегу множеств полна
относительно внешней меры /i*.
Теорема 2.3.11. Всякую а-алгебру можно пополнить.
> Пусть М — класс всех подмножеств множеств из <г-алгебры
Л, имеющих нулевую меру ц (конечно, М содержит пустое множе¬
ство 0, поскольку Л его содержит и /i ( 0 ) = 0). Рассмотрим класс
§ 2.3. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
113
множеств
А* = {С : С = A[JN,A € A,N е АТ).
Ясно, что А С А* и N С Ат, так как из А € А, N € Af вытекает
А = A(J 0 € А* и N = 0 [JN £ А*. Докажем, что А* — «т-алгебра.
Пусть N с No, No 6 A, ft(N0) = 0. Тогда для любого А € А
АЦЛГ = AN = ANo\JA(No\N)
и ANq € A, A(No\N) € Му так как A(No\N) С No- Следователь¬
но, класс множеств А* замкнут относительно операции дополнения.
Взяв произвольную последовательность множеств {С„} из А*,Сп =
= Ап (J Мп, Ап € A, Nn 6 Af, получим
1КАгО„)= (уд,)и(улГп) еА\
так как |J Лп £ Ау \jNn € М. Следовательно, класс множеств А* за-
п п
мкнут относительно операции счетного объединения. Установлен¬
ные свойства класса А* убеждают нас в том, что А* — (7-алгебра,
содержащая все подмножества всех множеств (7-алгебры А нулевой
меры /i, т.е. полная (7-алгебра.,
Положив
//(С) = //(AJtf) = ti(A)
для любых A £ A,N Е N, получим единственное продолжение ме¬
ры /1 на полную (7-алгебру АV Действительно, если Ai(J^i =
= А.2 (J ^2> Ах,Л2бА, N2 Е My ТО Ai\A2 = А1А2 С ^2 И A2\i4i =
= А2А1 С iV'i, вследствие чего ц(А\А2) = fi(A2A\) = 0 и =
= /i(AiЛ2) + Ai(i42Ai) = /i(j4iA2) + ii(AiA2) = p(Ai). <
Мера /i, определенная на полной относительно нее (7-алгебре,
также называется полной мерой, и соответствующее пространство с
мерой (Ху А,/*) называется полным.
2.3.7. Совпадение (7-алгебры измеримых по Лебегу мно¬
жеств с минимальной полной <7-алгеброй, содержащей полу-
алгебру С. Теорема 2.3.10 утверждает, что (7-алгебра С измеримых
по Лебегу множеств полна. В то же время (7-алгебра А, порожден¬
ная полуалгеброй С, может не быть полной. Оказывается, только
этим и различаются <г-алгебры А и С. Если tr-алгебру А, поро¬
жденную полуалгеброй С, пополнить всеми подмножествами всех
ее множеств нулевой меры /i*, то полученная минимальная полная
(7-алгебра А*, содержащая С, совпадает с С.
114
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
Теорема 2.3.12. сг-алгебра С измеримых по Лебегу множеств
совпадает с минимальной полной а-алгеброй А*, содержащей полу-
алгебру С.
► Очевидно, что <г-алгебра А* содержит все счетные объедине¬
ния множеств полуалгебры С. Отсюда, из определения (2.25) меры
/1* и из теоремы 2.3.2 следует, что для любого множества А £ V
конечной меры ii*,fi*(A) < оо, и любого е > 0 в сг-алгебре А* су¬
ществует такая последовательность множеств {Вп},Вп 6 А*, что
А С Вп и
f(Bn) < f(A) + е/2п (п = 1,2,...). (2.44)
При этом без потери общности можно считать последовательность
множеств {2?п} монотонно убьшающей, так как в противном случае
множества ВП}п> 2, можно заменить множествами
в'п = С\вксвп,
1=1
для которых также будут справедливы неравенства (2.44). Из (2.44),
учитывая, что р*(А) < /i*(JBn), получаем
lim ц*(Вп) = /|*(А). (2.45)
п-»оо
С другой стороны, положив
В = lim В„ = П Вп,
. П=1
в силу непрерывности меры /д* на С (теорема 2.2.3) получаем
lim ft*(Bn) = /i* ( lim B„\ = ц*(В). (2.46)
П—*00 \n—*oo J
Из (2.44) и (2.45) в силу того, что А С В, В Е А*, следует, что любое
множество А Е V конечной меры /1* является подмножеством неко¬
торого множества В Е А* той же меры /I*. В частности, любое мно¬
жество А Е V нулевой меры р* является подмножеством некоторого
множества В Е А* нулевой меры /i*. Отсюда вследствие полноты
<г-алгебры А* вытекает, что <г-алгебра А* содержит все множества
нулевой меры /i*. ^
$ 2 3 ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
115
Пусть теперь А — любое множество из <т-алгебры С конечной
меры fi*}fim(A) < оо, В — множество из <г-алгебры А* той же ме¬
ры р*, содержащее АУА С В}р*(В) = Р*(А). Так как А* С £, то в
силу аддитивности р* на С (теорема 2.3.8) р*(В) = ^*(i4|J(B\i4)) =
= /i*(i4)-l-/i*(B\i4). Сравнив это равенство с предыдущим, получаем
ji*(B\A) = 0 и, следовательно, В\А € А*. Из В,В\А € А* следует,
что А = В\(В\А) = Я(£\Л) G А*.
Бели A G C,ia*(A) = оо, то множество А можно представить как
счетное объединение попарно непересекающихся множеств Ап G С
конечной меры р*(Ап) < оо. Это можно сделать, например, положив
оо
Ап = АХп, где X = U Хп — разбиение пространства X на попарно
п=1 #
непересекающиеся множества конечной меры, Хп € С, А*(^п) < оо.
оо
По доказанному Ап € -4* (п = 1, 2 ...) и, следовательно, А = (J Лп €
П = 1
еА*.
Таким образом, любое множество А£ С принадлежит ст-алгеб¬
ре А*. Следовательно, £ С Л*. А так как А* С £, то £ = А*. <
В частности,- сг-алгебра измеримых по Лебегу множеств число¬
вой прямой R или конечномерного пространства Rn представляет
собой (Т-алгебру борелевских множеств, пополненную всеми под¬
множествами всех множеств нулевой лебеговой меры.
2.3.8. Аппроксимадионное свойство алгебры, порождаю¬
щей (г-алгебру. Установим еще одно важное свойство <т-алгебры
измеримых по Лебегу множеств и меры р*.
Теорема 2.3.13. Для того чтобы множество А конечной внеш¬
ней меры fi*(A) < оо было измеримым по Лебегу, необходимо и до¬
статочночтобы для любого е > 0 в алгебре В = А(С), порожденной
полуалгеброй С, нашлось такое множество В, для которого
/Г(Ад£)<е. (2.47)
▻ По определению внешней меры р* при любом е > 0 найдется
такое покрытие множества А 6 £, Ц*(А) < оо, попарно непересекаю-
щимися множествами из полуалгебры С,
г
Ac\JCk, Сь G С, СкС, = 0 при 1фК
к
ЧТО
^(Ск)<ц'(А) + е/ 2.
к
(2.48)
116 ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
Выберем такое натуральное п, чтобы было
5>(<?*)<е/2, (2.49)
к>п
И ПОЛОЖИМ
в= (J Ск,Е= [JCk,D = {JCk = B{JE.
к=1 i>n t
По теореме 2.1.3 В € В. Из А С D следует, что А\В С D\B = Е,
вследствие чего
Р*(А\В) < уГ{Е) = £ /i(Ct) < е/2. (2.50)
к>п
о
С другой стороны, из В С D вытекает В\А = В А С DA, вследствие
чего
/1*(В\А)<*1*(£>Л). (2.51)
Если А € С, то в силу того, что А С D,
H*(D) = /1*(>Ш) + /i*(^^) = + MW) •
Отсюда, из теоремы 2.3.2 и из неравенства (2.48) вытекает
f(AD) = f(D) - f(A) = 52?(Ck) - #i*(A) < e/2.
к
Это неравенство вместе с (2.51) дает
li'(B\A)<e/2. (2.52)
Из (2.50) и (2.52) следует, что
/1*(АдВ) = *1*(Л\Я) + fim(B\A) < е.
Таким образом, условие (2.47) необходимо.
Для доказательства достаточности условия (2.47) заметим, что
из включений
ADbBD С АдВ, ADbBD С Лд5 = АьВ
§ 2.3. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ 117
и из (2.47) следует, что
f(ADbBD) < е, AD&BD) < е (2.53)
для любого1 множества D £Т. Но для любых множеств Е, F Е V,
(im(E) < оо, /i*(F) < оо, вследствие включений Е С F (J(£\F), F С
С Е \J(E\E) и полуаддитивности ft*
f(E) - < fi*(E\F) < f(E*F),
H*(F) - f(E) < f(F\E) < ft*(E&F).
Поэтому неравенства (2.53) дают
| f(AD) - |< p*(ADbBD) < e,
| p*(AD) - f(BD) |< S(ADaBD) < e (2.54)
I
для любого множества D конечной меры /j*, pt*(D) < оо. А так как
В £ В С С, то для любого множества D конечной меры, p*(D) < оо,
f(BD) + fi*(BD) = f(D). (2.55)
Из (2.54) и (2.55) вытекает
| f(AD) + f(AD)-s(D) |<
<| S(AD) - ff(BD) j + | f{AD) - f(BD) |< 2e
А так как это справедливо при любом е > 0, то
S(AD)+S(AD) = S(D),
что и доказывает принадлежность множества А а-алгебре С изме¬
римых по Лебегу множеств. <
Следствие. Если а-алгебра А порождается алгеброй В и на А
задана неотрицательная мера р, то для любого множества А 6 А
конечной меры, р(А) < оо; и любого е > 0 найдется такое множество
В е В, что
ц(АьВ) < е.
> В этом случае внешняя мера ft* совпадает с/х на А, так как
— единственное <г-аддитивное продолжение /1 с алгебры В на
порожденную алгеброй В <т-алгебру А. <з
118
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
2.3.9. Совпадение классов множеств С и С\. Пусть р — нео¬
трицательная <г-конечная мера, определенная на полуалгебре мно¬
жеств С, р* — соответствующая внешняя мера, X = — раз-
к
биение пространства X на попарно непересекающиеся множества
конечной меры, Хп 6 С, 1*(Хп) < оо.
Теорема 2.3.14. Классы множеств
С = {А: fi*{AD) + fi*(AD) = f(D), DzV, f(D) < 00}
u
Cx = {A : S(AXn) + f(AXn) = /i*(Xn) (n = 1, 2 ...)}
совпадают.
о Очевидно, что £ С С\. Чтобы доказать противоположное
включение, достаточно показать, что для любого множества А 6 С\
при любом е > 0 найдется такое множество Вп 6 В = А (С), что
|1*(ЛХпд£п) < е. Тогда из теоремы 2.3.13 будет следовать, что
АХп еСиА = IJАХп е С, т.е. Ci С С.
п
Пусть С = \jCkKD = \JDi — такие покрытия множеств АХп и
к I
АХп множествами из полуалгебры С
АХпСЦРк, AXnC\jDi,
> к I
С*, Dt е С, С*, Di С хп что
EtiCk)<S(AXn)+£-, ^МД)</1*(ЛХп) + £. (2.56)
* /
Выберем такое натуральное Л, чтобы было
5>(сь)<«/з,
k>h
И ПОЛОЖИМ /
*=1 *>л
Тогда из ЛХп С С будет следовать АХп\Вп С С\5п = Еп и
я’ИХДВп) < /(£„) = X) < £/3 • (2-57)
k>h
$ 2.3. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
119
Далее, из АХп С С, АХп С D, D s DC (J DC и С (J D = С U DC = Xn
следует
f(D) = f(DC) + S(D6), fi*(C) + ti •(DC) = f(Xn)
И
#»*(C) + = Я*(С) + + /**(«?) = ?(Х») + Я*(£»С). (2.58)
С другой стороны, из теоремы 2.3.2 и неравенств (2.56) следует
#**(С7) + /1*(2>) = 5>(СЬ) + 5>(А) < /i*№) + /i*№) + 2с/3 =
* J
= /1^(АГл) + 2бг/3.
Отсюда и из (2.58) находим \
fi*(DC)< 2бг/3.
А так как Вп\АХп = ВпАХп С CD вследствие того, что £п С С,
ЛХП С D, то
/i*(Bn\^Xn)</i*(DC)<2^/3.
Это неравенство вместе с (2.57) дает
р*(АХпьВп) = ^(ЛХП\ВП) + /1*(ВП\ЛХП) <-с.*
2.3.10. Общая теорема о продолжении числовой меры. Сум¬
мируя все полученные результаты, можем сформулировать следу¬
ющую общую теорему о продолжении меры.
Теорема 2>3.15. Любую неотрицательную a-конечную а-адди¬
тивную меру, заданную на полуалгебре множеств С (или алгебре
множеств В), можно однозначно продолжить на минимальную по¬
лную а-алгебру Л*, содержащую полуалгебру С (алгебру В).
Пример 2.13. В примере 2.10 было показано, что мера Лебега /
^-аддитивна на цолуалгебре всех интервалов (прямоугольников в случае про¬
странства Rn). По теореме 2.3.15 она может быть однозначно продолжена на
G'-алгебру борелевских множеств, пополненную подмножествами всех боре-
левских множеств нулевой меры.
Пример 2.14. В примере 2.11 было показано, что мера Лебе-
Гй — Стилтьеса на числовой прямой (Г-аддитивна на полуалгебре всех интер¬
валов. По теореме 2.3.15 она может быть однозначно продолжена на (Г-алгебру
120
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
борелевских множеств, пополненную подмножествами всех борелевских мно¬
жеств нулевой меры.
Пример 2.15. Мера Винера в пространстве всех скалярных функ¬
ций скалярного аргумента t £ [0, оо) определяется на полуалгебре изме¬
римых прямоугольников бесконечного произведения измеримых пространств
(X7, АТ) (п.2.1.9),
XT = l[Xu AT = J[At, Xt = R, At = В, Т = [0, оо),
t£T t£T
т.е. пространства всех функций x(t) с областью определения Т = [0, оо),
формулой
Ах Ап
1 (*fc - *fc-l)2 \ . ,
где Лх, . .. , Лп — интервалы числовой прямой, ... у tn £ [0, оо), <х <
< ^2 < * * * < tn> {п = 1» 2, . . .), В — (Г-алгебра борелевских множеств на
R. Ясно, что мера аддитивна на полуалгебре прямоугольников простран¬
ства Х^. Действительно, объединение прямоугольников может быть прямо¬
угольником только в том случае, если их основания лежат в одном и том же
произведении пространств Х%х X • • • X Xfn. При этом они будут непересекаю-
щимися тогда и только тогда, когда их основания не пересекаются. Но тогда
аддивность меры /ijy следует непосредственно из аддитивности интеграла.
Применив прием примера 2.10, который в данном случае можно применить
вследствие непрерывной зависимости интеграла от пределов интегрирования,
легко докажем полуаддитивность меры /ijy на полуалгебре прямоугольников
с основаниями в любом одном и том же конечном произведении пространств
Xtx X • • • X Xtn. Из ее аддитивности и полуаддитивности по теореме 2.2.10
следует ее (Г-аддитивность на (Xtt X • • • X X*n, Atx X • • • X Atn). По теоре¬
ме 2.3.15 мера fl\y однозначно продолжается на (Г-алгебру Ац X • • • хА<п. Та¬
ким образом, мера Hw (Г-аддитивна на любой (Г-алгебре Atx X • • • X Atn С
АТ. Но это не доказывает возможность ее продолжения на (Г-алгебру А^.
Для применения теоремы 2.3.15 необходимо доказать (Г-аддитивность на
полуалгебре всех измеримых прямоугольников пространства (Х^*, А?). Мы
не будем этого здесь делать, а сошлемся на то, что (Г-аддитивность fJLw следу¬
ет из общей теоремы 3.8.4 о (Г-аддитивности мер в бесконечных произведениях
§ 2.3. ПРОЛОЛЖБНИБ МЕРЫ
121
пространств. Заметим, что меру /ijy можно также рассматривать как меру на
любом подпространстве (Х^в’^, пространства Схт, лт).
Мера Винера, имеющая большое значение для современной теории ве¬
роятностей, может служит!» примером меры в бесконечномерном пространст¬
ве.
Пользуясь разложением Жордана, можно распространить тео¬
рему 2.3.15 на любую числовую меру. Таким образом, любая число¬
вая мера (действительная или комплексная), заданная на полуалге¬
бре множеств, может быть однозначно продолжена на порожденную
этой полуалгеброй полную <т-алгебру множеств.
2.3.11. Продолжение меры по Жордану. В'курсе матема¬
тического анализа при обобщении понятия объема области (мно¬
жества), необходимом для определения кратного интеграла Рима-
на, пользуются другим способом продолжения меры (площади, объ¬
ема), первоначально определяемой естественным путем на полуал¬
гебре прямоугольников С, — продолжением по Жордану [16, т.2].
Во-первых, в определении внешней меры по Жордану щюкняя грань
в (2.25) берется только по всем конечным покрытиям множества А
попарно непересекающимися множествами класса С. А так как по
теореме 2.1.3 множество всех конечных объединений множеств из
полуалгебры С представляет собой алгебру В = А (С), порожден¬
ную полуалгеброй С, то это приводит к следующему определению
внешней меры множества А:
j?(A) = inf£(B), (2.59)
N
где нижняя грань берется по всем В 6 В} В Э А> a ji(B) = /*(£*)
*=1
N
при В = U С*, Ci, ... , Cs 6 С. Ясно, что fi*(A) < ii*(A) в силу
*=1
того, что в (2.25) нижняя грань берется по более широкому классу
множеств. Во-вторых, наряду с внешней мерой определяется вну¬
тренняя мера
= sup (2.60)
где верхняя грань берется по всем В G В, В С А. Ясно, что
Д*(Л) < i?(A).
Множество А называется измеримым по Жордану, если /1* =
= А*(А), и это общее значение внешней и внутренней мер называется
мерой Жордана множества А.
122
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
Легко видеть, что класс J множеств, измеримых по Жордану,
содержится в классе С множеств, измеримых по Лебегу, J С С, и
мера Жордана совпадает с /1ф на J. Для доказательства достаточно
заметить, что если А € «7, то при любом € > 0 существует такие мно¬
жества В+ € Ву С А С что
Д(В+\В") = ||(В+)-/|(В-)<в.
А так как Д(В) = /1*(В) для любого В £ В (теорема 2.3.2) и А\В~ у
J8+V4 С £+\£-, а А\В+ = В“\А = 0, то
/|*(Ад£-) < е, ii*(AaB+) < е.
Отсюда на основании теоремы 2.3.13 следует, что А € С. Наконец,
из рт(А) < р*(А) < fi*(A) следует, что мера Жордана совпадает с
внешней мерой /1* на J.
Таким образом, продолжение меры по Лебегу является ее про¬
должением на более широкий класс множеств, чем продолжение по
Жордану. Можно доказать, что класс J множеств, измеримых по
Жордану, представляет собой алгебру множеств. Из совпадения
меры Жордана р с внешней мерой /1* на J и из <г-аддитивности /1*
(теорема 2.3.9) следует ^-аддитивность меры Жордана ft на J.
Читателям, желающим более основательно изучить теорию ме¬
ры, рекомендуем книгу [28].
ЗАДАЧИ
2.3.1. Доказать, что мера Винера (пример 2.15) конечна и ее значение на
всем пространстве хт равно 1, »w{XT) = 1.
Указание. Воспользоваться тем, что все пространство Х'*' пред¬
ставляет собой прямоугольник с бесконечными сторонами основания в любом
конечном произведении пространств Х%х X • • • X Х%п (n = 1, 2, ...), и при¬
менить известную формулу для интеграла Пуассона
/ e~x*dx = у/ж .
—оо
2.3.2. Доказать, что мера Винера fi\y множества функций из ХТ, для ко¬
торых приращение на интервале (t, £ + 7") не меньше данного £ > 0, стремится
ч чулю при Т —►О при любом фиксированном t.
§ 2.3. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
123
У к & з & н и е. Для вычисления меры flw множества функций, для кото¬
рых | x(t + т) — z(f) |> £, воспользоваться функцией
ф(«) = 77fe~‘apdx> ф(°°) = I *(-«) = -*(«). (261)
v о
В результате получим
Hw({x(t) : | x{t + г) - *(0 |> с}) =
= ^7*Т 7 dx' I е*р{-й - {t32rl)3}dx2 =
-ОО \X2-Xl\>C
= 77*7 {ехр{-Й}<**1/expi-ff )dx =
= 1 - 2Ф(е/у/т) — О при г —► О Ve > 0. (2.62)
Таким образом, для любой последовательиости {тп}, Тп > 0, сходящейся к
нулю, последовательность функционалов от функции x(t) Е ХТ
/п(х) = x(t + Тп)-*(<) (п = 1, 2, ...)
сходится по мере /1|у к нулю (п.3.2.1).
2.3.3. Пользуясь результатом задачи 2.3.2, доказать, что меру Винера /ijy
можно считать сосредоточенной на подпространстве С непрерывных функций
пространства X? всех скалярных функций переменной t G [0, оо).
Решение. Обозначим через S множество двоично-рациональных
чисел ш2"р (т = 0, 1, 2, ... ; р = 1, 2, ...). Тогда, пользуясь формулой
(2.62) и легко выводимым неравенством
1 - 2Ф(«) < VV5?, (2.63)
справедливым при любом натуральном к, получим
fiW({x(t) : I x((m + 1)2-*) - x(m2“p) | > е:}) <
< k\22h+l(e2pl2)~2k~l/у/2тг Vp, m. (2.64)
Положим
zp = sup | x((m + l)2~p) — x(m2“p) |, (2.65)
124 ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
где верхняя грань берется по всем Ш, для которых T7l2”p < а, а > 0 —
произвольное число. Тогда получим
[«2']
{*(*) • zp>e} С U {*(0 : | х((т + 1)2-р) - х(т2~р) |> г}
*т»=о
и на основании (2.64)
/иг({г(«) : zp > е}) < (aV + 1)Ы22к+1(2-’,/2е~1)2к+1/л/2^.
Положив с = А2~1>а, 0 < о < 1/2, А > 0, с = (а + \)k\22k+l/у/2*A2k+1,
будем иметь
#!*({«(<) : гр > А2~га}) < с2~^~^, (2.66)
где Р — (1/2 — а)(2к + 1). Определим теперь множества
Ар = {*(*) : *р > А2~р°}, Вп = U ар> N=f)Bn.
р—п п±=1
Ясно, что /1|у(.ЛГ) < f*w(Bn) Vn и на основании (2.66)
l*w(Bn) < £ Яи'Мр) < с £ 2-р^-1).
р=п р=п
Выберем теперь I так, чтобы было /? > 1. Тогда получим
Hw(Bn) < c2-n^-1ty(l — 2~^+l) Vn .
И
pw(N) < nw(Bn) < cf2~n^~1\
где d = c/(l — 2“^+1). А так как вто веравенство справедливо для всех П, то
(tw{N) = 0.
Любая функция x(t) 6 -ЛГ принадлежит какому-нибудь множеству £„,а
следовательно, и всем множествам Ару р > П. Таким образом,
Zp = sup I x((m + 1)2”р) - z(m2-P) |< А2^а (2.67)
m
при всех достаточно больших р. Пусть 5, G S — произвольные двоично-
рационаАьные числа, q — наименьшее натуральное число, для которого
§ 2 3 ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
125
| s' - Я |< 2“*+1. В этом случае между точками S и S* найдется точка
50 = m2~q при некотором ТП и
Р=1
где числа ki равны нулю или единице. Бели осуществить переход из точ¬
ки So в течку S последовательно шагами длины то на
основании (2.67) получим
| QQ
| *(s) - х(«о) |< А £ < А2-<а Е 2~ра = .
Р=1 Р=1
Аналогичное неравенство получим для | l(s') — х(^о) |. Следовательно,
!*(*')-*(*) К 242^1
и
sup | *(s') - *(s) |< •
Отсюда ясно, что Slip | x(s/) —®(s) |—► 0 при —► 5, 5, 5; Е <5(0, а]. Это дока¬
зывает, что все функции x(t) £ X? за исключением принадлежащих множе¬
ству N нулевой меры flw непрерывны на множестве двоично-рациональных
чисел S на любом конечном интервале [0, а]. Возьмем теперь произвольное
t € [0, а) и последовательность двоично-рациональных чисел {$п}» сходящу¬
юся к t и удовлетворяющую условию | Sp — t |< 2~*\ Определим множества
Л„ = {*(0 : | *(0 — x(sp) | > А2~ра} ,
Вп = и N= п вп.
р=п П=1
Совершенно так же, как и раньше, доказываем, что fiw(N) = 0, а вне мно¬
жества N последовательность {я($р)} сходится к x(t). Таким образом, при
каждом фиксированном t 6 (0, а) почти все относительно fi\y функции про¬
странства хт непрерывны в точке t при любом а. Этот результат и резуль¬
таты задач 2.1.13 и 2.1.14, согласно которым любое множество функций из (Т-
алгебры ЛТ ограничивает входящие в него функции не более чем в счетном
126
ГЛ. 2. ТЕОРИЯ МЕРЫ
множестве точек, дает основание для того, чтобы перенести меру на O'-
алгебр у АТС = {В : В = АС, С € .4^} подпространства С непрерыв¬
ных функций пространства всех функций у положив
в е лтс *.
Заметим, что было бы грубейшей ошибкой утверждать, что лебегово про¬
должение меры /ijv, превоначально заданной на прямоугольных множествах
пространства всех функций X?, определено на пространстве непрерывных
функций С.
2.3.4. Доказать, что (7-алгебра С в задаче 2.3.3 совпадает с (7-алгеброй
С пространства С — С([0,00)) ограниченных непрерывных функций с обыч¬
ной eup-нормой (п. 1.3.12), порожденной множеством всех шаров.
У Казани е. Учесть, что любой открытый шар {&(£) : | x(t) — а?о(0 | <
< Г Vt € [0, оо)} представляет собой счетное объединение множеств {х(<) :
I *(« + р/«) - *o(n + p/q) I < г, р = 1 q), соответствующих всем на¬
туральным fl и q, принадлежащих (Г-алгебре АТ С, что дает С С АТС. с
другой стороны, отображение x(t) £ С —► {a?(ti),..., x(tn)} £ непрерыв¬
но и по теореме 4.3.10 (С,В^-измеримо. Следовательно, {l(t) £ С I x(ti) £
£ А\,..., x(tn) £ Ап, Ai}..., Ап £ В) £С, что дает АТС С С.
2.3.5. Показать, что почти все относительно меры Винера fi\y функции
пространства С С ХТ имеют нулевое значение при t = 0.
Указание. Взять последовательность чисел {2”п}, воспользовать¬
ся формулой (2.62) и неравенством (2.63) при к = 1 для оценки fiw({x(t) :
| *(2“р) | > -42“^}), ввести множества
Ap = {x(t) : | х(2“р) | > А2~ар} ,
вп= ил». N* \jBn
р=п П=1
и совершенно так же, как в конце задачи 2.3.3, доказать, что fiw(N) = 0 и,
следовательно, х(2~р) —► 0 почти всюду относительно [1\у •
* В теории вероятностей доказывается, что любую функцию пространства
хт можно, не изменяя значений меры на прямоугольных множествах про¬
странства хт, а следовательно, и на всех множествах порожденной ими O'-
алгебры *4Т, заменить так называемой сепарабельной функцией, т.е. функци¬
ей, значения которой при всех t полностью определяются ее значениями на
некотором счетном множестве, называемом сепарантой [20; вып.8, пп.З й 4]. В
нашем случае сепарантой может служить множество двоично-рациональных
чисел, а сепаребельными функциями — непрерывные функции.
ГЛАВА 3
ИНТЕГРАЛЫ
§ 3.1. Измеримые функции
3.1.1. Определение измеримой функции. Одним из важ¬
нейших понятий для многих разделов математики, особенно для
функционального анализа и теории вероятностей, имеет понятие из¬
меримости функции.
Пусть (Х} А) и (У, В) — два измеримых пространства. Функция
у = /(ж), отображающая пространство X в пространство У, называ¬
ется измеримой относительно а-алгебр А и В или (Л, В)-измеримойу
если прообразы всех множеств В £ В измеримы, т.е. если из В £ В
следует /_1(В) £ А. В тех случаях, когда речь идет об извест¬
ных (г-алгебрах А и В и путаницы быть не может, (А, В)-измеримую
функцию коротко называют измеримой без указания (г-алгебр в про¬
странствах X и У, по отношению к которым она измерима.
Из определения измеримости функции следует, что прообраз
(т-алгебры В, определяемый (А, В)-измеримой функцией у = /(ж),
полностью содержится в (г-алгебре А:
Г\В)сА.
По свойствам обратных отображений класс множеств Z"1 (В) пред¬
ставляет собой (г-алгебру (докажите). Эта (г-алгебра называется
o’-алгеброй, индуцированной в пространстве X функцией /, и обо¬
значается А/уА/ = /-1(В). Таким образом, А/ С А. Однако А/
может и не совпадать с А. Ясно, что разные измеримые функции
индуцируют в пространстве X различные (г-алгебры.
Если функция / не измерима, то индуцированная ею (г-алгебра
Aj не входит в (г-алгебру А.
Теорема 3.1.1. Пусть (ХУА), (У,В) и (ZyC) — измеримые про-
странства. Если функция у = /(ж), / : X —► У, (А, В)-измерима, а
функция z = flf(y), g : У -н► Z, (ВуС)-измерима, то сложная функция
(композиция отображений) gf(x) = g(f(x)) (АуС)-измерима.
> Из измеримости функции g следует, что прообраз любого мно¬
жества С £ С принадлежит (г-алгебре В, g~l(C) £ В, а из измери¬
мости функции / следует, что прообраз любого множества В £ В,
128
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
в частности множества у"1 (С) € В> принадлежит <г-алгебре А,
ГЧ9-1(С)) = Ш)-ЧС)€А.<
Для теории интеграла особенно важны измеримые функции со
значениями в сепарабельном В-пространстве У. В этом случае в
качестве <г-алгебры В в У обычно берут <г-алгебру, порожденную
классом всех открытых шаров, которая называется, так же как и
в случае конечномерного пространства Rn, а-алгеброй борелевских
множеств. При этом измеримое пространство (Х,А) может быть
произвольным.
Пример 3.1. Рассмотрим функцию f(x) =: ^l($)s2(^l) +
где ^2(3) — непрерывные функции на ограниченном замкнутом интер¬
вале 5, т.е. элементы ^-пространства С(5) , a x(f) — скалярная функция,
принадлежащая пространству с (Г-алгеброй А?, Т — [0, оо), примера 2.15.
Функция /(х) отображает измеримое пространство в сепарабельное
D-пространство С(5). Эта функция {А?} Неизмерима, так как прообраз лю¬
бого шара пространства C(S)
/_1(5Г(ф)) = {лс(0 : ф(в) - г < <pi(s)x2(ti) + <p2(s)x2(t2) <
< ф(в) + г, Vs € S }
можно представить как счетное пересечение цилиндров в X? с двумерными
основаниями ф(в) — Г < <pi(s) Xj + (fi2(s) < Ф(в) + Г в произведении
пространств Х%х X Xt3, соответствующих всем рациональным S € S.
Совершенно так же доказывается («4^*, В)-измеримость функции
/(*) = Е (Pk{s)xi{tk),
k=1
отображающей пространство ХТ примера 2.15 в сепарабельное В-прост-
ранство C(S).
3.1.2, Свойства измеримых функций. Изучим основные свой¬
ства измеримых функций со значениями в сепарабельном JB-прост-
ранстве.
Теорема 3.1.2. Чтобы функция f(x) была измеримой, необходимо
и достаточно, чтобы прообразы всех шаров пространства У были
измеримыми множествами, т.е. принадлежали а-алгебре А.
> Необходимость ясна. Если функция /(х) измерима, то вслед¬
ствие того, что все шары принадлежат <г-алгебре В, прообразы всех
§ 3 1 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
129
шаров принадлежат (г-алгебре А. Для доказательства достаточно¬
сти заметим, что в силу свойств обратных отображений и опреде¬
ления (г-алгебры В f~l(B) представляет собой минимальную (г-ал-
гебру, содержащую прообразы всех шаров, которые по условию
принадлежат и (г-алгебре А. Следовательно, f~l(B) С А> т. е.
f~l(B) € А для любого множества В € В, что и доказывает измери¬
мость функции f(x). <
Теорема 3.1.3. Предел последовательности измеримых функций
представляет собой измеримую функцию.
> Пусть {/п(х)} — последовательность измеримых функций, схо¬
дящаяся к функции f(x) , lim fn(z) = f(x). Для доказательства из¬
меримости функции /(ж) на основании теоремы 3.1.2 достаточно по¬
казать, что определяемый функцией f(x) прообраз любого шара из¬
мерим,
s = Г‘(5г(6)) = {* : II /(*) - Ь II < г} 6 Л.
Чтобы сделать это, мы покажем, что S можно получить счетны¬
ми пересечениями и объединениями множеств из А. Возьмем про¬
извольную последовательность положительных чисел {ет}, сходя¬
щуюся к нулю, О < ет < г,£т —► 0. Из измеримости функций /п(х)
следует, что все Множества
AZ = {z:\\fn(x)-b\\<r-em}
измеримы, А™ € А, так как они представляют собой прообразы ша-
ров Sr-tjb), {х : II fn(x) - 6||<r-em} = /-‘(Sг-«га(Ь)). Положим
Bpm = fUn. С = и *pm
п=р р,т=1
Эти множества тоже измеримы, В™УС € Л, так как они получаются
из А™ счетными пересечениями и объединениями- Бели мы дока¬
жем, что S = С, то тем самым будет доказана измеримость множе¬
ства S.
Бели z € С, то х € В™ для некоторых тир. Следователь¬
но, точка х принадлежит всем множествам Л™, пересечением кото¬
рых является данное J3™, и.при всех п > р имеет место неравенство
II /п(х) — Ь || < г — ет. В частности, это неравенство справедливо
при таком п, при котором || /п(х) — f(x) ||< ет. Из неравенства
треугольника получаем, что в таком случае
II /(*) - Ml < II /.(*) - HI + II /«(*) - /(*)-!! < г.
130
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Таким образом, любая точка множества С принадлежит множеству
5, т.е. С С S.
Если х G 5, т.е. || f(x) — 6 || < г, то существует такое 6 > 0,6 < г,
что || /(х) — b || < г — 6. Вследствие сходимости последовательно¬
сти {fn(x)} к /(х) при всех достаточно больших п и при всех т,
при которых ет < 6, имеет место неравенство || fn(x) - /(х) ||<
< 6 — £т> а значит, в силу неравенства треугольника, и неравенство
II fn(x) - 6 || < г — em. Таким образом, любая точка х множества
5 принадлежит всем множествам А™ у соответствующим достаточ¬
но большим п и т, а следовательно, и всем множествам В™ при
достаточно больших р и ш. Но в таком случае х Е С. Следова¬
тельно, любая точка множества 5 принадлежит множеству С' т.е.
5 С С. Из полученных двух включений следует S = С. Таким обра¬
зом прообраз любого шара, определяемый функцией /(х), измерим.
Отсюда по теореме 3.1.2 заключаем, что функция /(х) измерима. <
Итак, мы доказали, что класс измеримых функций со значени¬
ями в сепарабельном ^-пространстве замкнут относительно опера¬
ции предельного перехода. Предел любой последовательности из¬
меримых функций всегда является измеримой функцией.
3.1.3. Простые и элементарные функции. Для теории инте¬
грала особое значение имеют функции, представимые в виде пре¬
делов последовательностей ступенчатых функций, т.е. функций с
конечным или счетным множеством значений.
Если область значений R/ функции /(х) состоит из конечно¬
го числа точек, то функция /(х) называется конечнозначной. Если
Я/ — счетное множество точек, то функция /(х) называется счет¬
нозначной. Примером конечно- или счетнозначной функции может
служить любая ступенчатая функция.
Пусть /(х) — конечнозначная или счетнозначная функция, при¬
нимающая значения уьуг» . •• соответственно на попарно непересе-
кающихся множествах Е\уЕг,... , ЕьЕн = 0 при к ф h:
f(x) = y„ при х€Еп (п= 1,2,...).
Область определения Dj этой функции представляет собой объеди¬
нение а область ее значений Я/ — конечное (соответственно
к
счетное) множество точек {уп}« Легко видеть, что такую функцию
можно выразить формулой
я*) =
п
(3.1)
§ 3.1. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ 131
где 1еп(х) — индикатор множества Еп (п.1.1.5).
Измерим ал конечнозначная функция называется простой. Из¬
меримая счетнозначная функция называется элементарной.
Теорема 3.1.4. Для измеримости конечнозначной или счетно¬
значной функции /(х) необходимо и достаточно, чтобы все множе¬
ства Е\, 1?2, ... в формуле (3.1) были измеримыми, Еп € Л.
> Так как для любого множества В
Г\В) = и Ек
и, в частности, f~l(B) = ЕР) если ур — единственная из точек
у2,...вВ, то f~x(B) G А при всех В G В тогда и только тогда, когда
все множества Е\у i?2, • • • измеримы. <
3.1.4. Измеримые функции как пределы последовательно¬
стей элементарных функций. Продолжим изучение свойств изме¬
римых функций со значениями в сепарабельном Б-пространстве.
Теорема 3.1.5. Функция /(х) измерима тогда и только тогда,
когда она представляет собой предел равномерно сходящейся после-
довательности элементарных функций.
> Достаточность этого условия вытекает непосредственно из те¬
оремы 3.1.3. Для доказательства необходимости предположим, что
функция /(х) измерима. Пусть {уп} — счетное множество, плотное
в У. Возьмем сходящуюся к нулю последовательность положитель¬
ных чисел {£m}>£m > 0, ет -н► 0 при m —► оо. Образуем множества
Ап ={* ■ II /(*) ~ Уп || < Cm} (П = 1, 2, ...) ,
Е?=А?, Е™ = А™"с\А™ (п = 2, 3, ...)
р=1
и построим ступенчатые функции
/т(*) = £ Уп 1в»(*) (т = 1, 2, ...) •
П
Из измеримости функции f(x) следует, что все множества А™ и Е™
измеримы. Следовательно, согласно теореме 3.1.4 {/т(®)} предста¬
вляет собой последовательность элементарный функций. Очевидно,
что при любом х из области определения Dj функции /(х)
II /т(*) /(*) || < £т •
132
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Таким образом, последовательность элементарных функций {/т(*)}
равномерно сходится к функции f(x). <
В частности, для измеримости числовой функции (функциона¬
ла) необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена
как предел равномерно сходящейся последовательности элементар¬
ных функций. Для доказательства достаточно заметить, что число¬
вая прямая R и комплексная плоскость С сепарабельны (множество
рациональных чисел счетно и плотно в R и С).
Следствие 1. Если функции /i(x),..., /п(ж) измеримы, то их сум-
ма
/(*) = £/*(*)
к=1
представляет собой измеримую функцию.
Следствие 2. Если функция f(x) и числовая функция д(х) изме¬
римы, то их произведение f(x)g(x) представляет собой измеримую
функцию.
Следствие 3. Если функция f(x) и числовая функция д(х) изме¬
римы и д(х) нигде не обращается в нуль, то функция f(x)/g(x) изме¬
рима.
Следствие 4. Если функции /i(x), ... ,/«(*) измеримы и множе¬
ства Е\у ... уЕп измеримы, то функция
я*)=Х>(*)1вЛ*)
*=i
измерима.
Следствие 5. Если числовые функции /i(x), ... , /п(ж) измеримы,
то функции
/(*) = гпахД(х), д(х) = пппД(х)
измеримы.
Для доказательства всех этих следствий достаточно предста¬
вить все измеримые функции как пределы равномерно сходящихся
последовательностей элементарных функций и применить общие те¬
оремы о пределах, а для доказательства следствия 5 учесть еще, что
согласно следствию 1 функции Л (а?) — Л(ж) измеримы при всех Аг, Л,
вследствие чего все множества {х : fk(x) > Л (я)} измеримы при
всех fc, h.
Заметим, что следствия 1,4 и 5 распространяются также на счет¬
ные множества измеримых функций {/п(ж)}, только в следствии 5
§ 3.1. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ 133
надо вместо шах и min взять соответственно sup и inf. Для след¬
ствий 1 и 4 это очевидно. Для следствия 5 это вытекает из того,
что
sup /fe(ar) = lim тах{Д(х), ... ,fn(x)} ,
к n—00
inf fk(z) = lim min{/i(z),... , /„(*)},
к n—► oo
и из теоремы 3.1.3.
3.1.5 Сходимость почти всюду. Пусть (X, А, [л) — простран¬
ство с неотрицательной мерой р.
Бели какое-либо утверждение верно во всех точках простран¬
ства X (или множества А С X ) за исключением точек, принадле¬
жащих некоторому множеству Е £ А нулевой меры, /л(Е) = 0, то
говорят, что это утверждение верно почти всюду (соответственно,
почти всюду на множестве А).
Последовательность функций {/п(я)}, отображающих прост¬
ранство X в ^-пространство У, называется сходящейся почти всюду
(или почти всюду на множестве А) к функции /(х), если она сходит¬
ся при всех х (соответственно, при всех х 6 Л), кроме, может быть,
точек множества Е £ А нулевой Меры, р(Е) = 0. Записывается это
в виде /п(х) /(*).
Последовательность функций {/п(я)} называется фундаменталь¬
ной почти всюду (или почти всюд>у на множестве А), если
/п(х)-/т(х) *^0 при я, тп ► оо,
т.е. если для любой точки х, кроме х Е Е} fi(E) = 0, и любого е > 0
существует такое число N = i\T(e), что
||/п(ж)-/т(х)||<е при всех n, т > N.
Теорема 3.1.6. Последовательность функций {/п(я)} со значени¬
ями в В-пространстве сходится почти всюду тогда и только тогда,
когда она фундаментальна почти всюду.
> В силу полноты ^-пространства последовательность {/п(я)}
сходится при данном х тогда и только тогда, когда она фундамен¬
тальна при этом х. Следовательно, множество точек сходимости
последовательности {/п(я)} совпадает с множеством точек ее фун¬
даментальности. <
Теорема 3.1.3 распространяется и на последовательности фун¬
кций {/п(я)}, сходящиеся к функции f(x) почти всюду, если <т-ал-
гебра А полна (п.2.3.6).
134
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Теорема 3.1.7. Если последовательность измеримых функций
{/п(х)} сходится к функции f(x) почти всюду относительно меры
ц и а-алгебра А полна относительно меры /х, то предельная функция
f(x) измерима.
> Локазательство дословно повторяет доказательство теоре¬
мы 3.1.3 с заменой множеств Л™, В™, С и 5 соответственно множест¬
вами Л™ \Еу В™ \Еу С\Е и S\E> где Е — множество точек расхо¬
димости последовательности {/n(*)}, Е е A, fi(E) = 0. Измеримость
S следует из измеримости S\E и SE, поскольку S = (S\E) [J SE и
множество SE измеримо в силу полноты <г-алгебры А. <
Следствие. Если а-алгебра А не полна, а А* — ее пополнение
относительно меры /х, то предел f(x) почти всюду сходящейся по¬
следовательности {/„(*)} (А, В)-измеримых функций представляет
собой (А* у В)-измеримую функцию.
> Для доказательства достаточно заметить, что всякая
(.4, #)-измеримая функция (А* у В)-измерима. <
Понятие измеримости функции не связано с какой-либо ме¬
рой. Однако в случае, когда X является пространством с мерой
(Ху Ay /х), кроме понятия (Л, В)-измернмости, естественно возника¬
ет понятие (А* у В)-измеримости, где А* — пополнение <г-алгебры А
относительно меры /х. Это связывает понятие измеримости с ме¬
рой. Поэтому (А* у В)-измеримые функции называются обычно из¬
меримыми относительно меры /х или, короче, р-измеримыми. Яс¬
но, что всякая (Ау В)-измеримая функция измерима относительно
любой меры fly определенной на <г-алгебре А. Однако не всякая
/i-измеримая функция (Ау В)-измерима, если <г-алгебра А не полна.
Пример 3.2. Рассмотрим функцию
/(*) = ./V(*> t)x?(t)dt,
а
где <p(s}t) — непрерывная функция S, t, S 6 S, S — ограниченное замкнутое
множество. Эта функция отображает пространство всех функций А? перемен¬
ной $ € Г = [0, оо)в сепарабельное S-пространство C(S). Согласно резуль¬
тату задачи 2.3.3 функция f(x) определена почти всюду в хТ относительно
меры Винера /i|y. Поэтому почти для всех функций х($) Е X^ существует
предел
/(*) = lim /„(*) = lim ^ Ё ¥>(М*) *2(<*).
П—ЮО ' П-»00 * £ о
tk = а + (6 — а)/(п !)• Но все функции /п(я) (АТ у в)-измеримы соглас¬
но результату примера 3.1. Следовательно, f(x) представляет собой пре-
§ 3.1. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
135
дел почти всюду относительно меры fiw сходящейся последовательности
(АТ, &)-иэмеримых функций. Согласно следствию теоремы 3.1.7 функция
/(*) «,В) -измерима, где — пополнение (Т-алгебры относительно
меры /iW, т.е. измерима.
Теорема 3.1.8. Пусть (Ху Лу р) — пространство с неотрица¬
тельной мерой, (УуВ)-измеримое пространство. Если функция у =
= f(x) (Лу В)-измерима, у(х) = f(x) почти всюду и <г-алгебра Л пол¬
наf то функция у = д(х) (ЛуВ)-измерима.
о Так как д(х) = f(x) почти всюду, то множества f~l(B) =
= {х : /(х) Е В} и д~г(В) = {х : </(х) G 5} могут отличаться
одно от другого только на подмножество Ев множества нулеврй ме¬
ры /1. Вследствие полноты (r-алгебры Л множество Ев измеримо.
Поэтому множества f~x(B) и д~1(В) измеримы или неизмеримы од¬
новременно. «
Функции, равные одна другой почти всюду, называются экви¬
валентными.
3.1.6. Измеримые функции в произведениях пространств.
Пусть f(z) = /(х,у) — функция, отображающая произведение про¬
странств Z = X х У в некоторое пространство U. Функция fx(y) =
= f(x>y) переменной у при фиксированном значении х называется
сечением функции f(z) в точке х. В частном случае, когда X = У =
= U = Д, сечение /*(у) функции f(z) представляет собой кривую,
сечение поверхности и = /(х,у) плоскостью, параллельной оси ор¬
динат при данном х.
Теорема 3.1.9. Все сечения измеримой функции измеримы.
> Пусть V — «т-алгебра в пространстве U} ti = f(z) — (С, ^-из¬
меримая функция, отображающая пространство Z = X х У в 17.
Из измеримости функции /(*) следует, что f~x(D) Е С при лю¬
бом D £ V. Но прообразом множества D в У при фиксирован¬
ном х, очевидно, является соответствующее сечение f~l(D) множе¬
ства f~x(D). Из измеримости f~l(D) согласно теореме 2.1.8 выте¬
кает измеримость f~l(D)f /“*(£>) Е By что и доказывает (#,^-из¬
меримость функции и = fx(y) при данном х. «
Рассмотрим теперь функции в произведении любого множества
пространств. Пусть и = /(х) — функция, отображающая произ¬
ведение пространств ХТ (п.2.1.9) в некоторое пространство U, S
— любое подмножество множества Т, 5 С Г, х; = {xt : £ Е 5},
х" = {xt : t Е SVT} — проекции точки x = {xt:t£T}£ Хт
на подпространства Xs и XS^T соответственно. Функция fs(x") =
= /(х) = /(х', х") переменной х" при фиксированном значении х' (т.е.
136
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
при фиксированных значениях х% € Х%% t € S) называется сечением
функции /(х) в точке х' = { х% : t £ 5 }.
Из очевидных соотношений Хт = X5 х XT\S и Ат = As х AT\S
и из теоремы 3.1.9 следует, что все сечения измеримой функции в
произведении любого множества пространств измеримы.
3.1.7. Меры, индуцированные измеримыми функциями.
Пусть (Xt А} fi) — пространство с мерой, (У, В )-измеримое про¬
странство, у = /(х) — (.4,В)-измеримая функция. В пространстве
(У, В) естественно определить на <г-алгебре В меру
»(В) = р(Г1(В)). (3.2)
♦
В соответствии с этой формулой измеримая функция f(x) переносит
меру /i в пространство (У, В).
Мера /*, определяемая формулой (3.2), называется мерой, инду¬
цированной в пространстве (У, В) функцией у = /(х).
Заметим, что формула (3.2) определяет в пространстве (У, В)
меру /4 только в том случае, когда функция у = f(x) (Л, В)-измери¬
ма.
3АЛАЧИ
3.1.1. Показать, что числовая функция /(х) измерима тогда и только то¬
гда, когда множество { X : /(х) < с} измеримо при любом С.
3.1.2. Показать, что из измеримости числовой функции f(x) вытекает из¬
меримость функции |/(х)|, но не наоборот (если множество А в X не измери¬
мо, то функция
t(T\ _ / ?(*) "Ри * £ А'
^ — <р(х) при х € А
не измерима при любой измеримой функции (ру в то время как функция
I /(*) 1=1 ¥>(*) I измерима).
3.1.3. Пусть X — сепарабельное метрическое пространство с (Т-алгеброй
Л, порожденной множеством всех шаров. Доказать, что непрерывная фун¬
кция /(х), отображающая все пространство X в числовую прямую R,
(А, В) -измерима.
Указание. Воспользоваться результатами задач 1.2.10 и 1.2.11.
3.1.4. Доказать, что если у = f(x) — (А, Соизмеримая функция, отобра¬
жающая пространство X (любое) в сепарабельное метрическое пространство
У с (7-алгеброй С, порожденной множеством всех шаров, a Z = <7(j/) — не“
прерывная функция, отображающая У в числовую прямую R (с борелевской
§ З.Х. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
137
г
(j-алгеброй В), то сложная функция Z = g(f(x)) (композиция функций / и д
(.4,5)-измерима).
3.1.5. Очевидно, что функция скалярной переменной f(x) — [х] измери¬
ма. Описать (Г-алгебру Af, индуцированную этой функцией. Будет ли функ¬
ция </([ж]) измерима относительно (Т-алгебры А/, если: а) д(у) измерима;
б) д(у) непрерывна?
3.1.6. Для числовых функций скалярного аргумента различают измери¬
мость функцйи по Борелю, т.е. относительно (Г-алгебры борелевских мно¬
жеств В на числовой прямой, и по Лебегу, т.е. относительно ir-алгебры В*
множеств, измеримых по Лебегу. Функции, измеримые по Борелю, называ¬
ются борелевскими функциями. Всякая ли борелевская функция измерима по
Лебегу? Всякая ли функция, измеримая по Лебегу, борелевская? Показать,
что любую функцию, измеримую по Лебегу, можно сделать борелевской, из¬
менив ее значения на множестве нулевой лебеговой меры.
Указание. Воспользоваться теоремой 2.3.12, утверждающей, что
(Т-алгебра измеримых по Лебегу множеств является пополнением относитель¬
но меры Лебега (Г-алгебры борелевских множеств В, и теоремой 2.3.11 о по¬
полнении (7-алгебры. Учесть, что для того, чтобы функция f(x) была боре¬
левской, достаточно, чтобы множества {ж : f(x) < с} были борелевскими
при всех рациональных С.
3.1.7. Доказать (АТ, В)-измеримость функции
/(*) = *"*(«*)
к=1
при любых т ип,(^1, ... , <рп € C{S) ).
3.1.8: Обобщая результаты задачи 3.1.7, доказать (w4^,В)-измеримость
функции
/(ж) = <p(st tu ... ,tn, s(*i), ... ,ж(*п))
при любом П, где <p(syt\, ... ,£n,Xi, ... , Жп) — непрерывная функция
ses,tu ... }tneT = [o, oo), xi,..., xn € я.
3.1.9. Доказать , ^-измеримость функционалов
fi(x) = max x(t), f2(x) = mtoi x(t),
t€[e,b] <€[a,4
определенных на подпространстве непрерывных функций С([а,6]) простран¬
ства .
138
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Указание. Воспользоваться тем, что
fx(x) = sup ж(*п), /2(х) = inf ж(*п)>
где On} — множество рациональных чисел интервала [а, 6], и применить
следствие 5 теоремы 3.1.5 к последовательности функций {^п(х)}, ^п(х) —
= я(*п)-
3.1.10. Доказать (Ауу, £?)-измеримость функций
f(*) = f
а
f(x) = exp {/ <p (s, e) x(t) dt} ,
f(*) = f tt>(s,t,x(t))dt,
a
где (p(s, t) и ф (sf t, ж) — непрерывные функции, S £ S, t £ [0, оо), X £ R.
Указание. Применить рассу>кдения примера 3.2.
3.1.11. Пусть f(x) - (АТ,В) -измеримая функция, отображающая про¬
изведение пространств ХТ с (Т-алгеброй АТ в некоторое пространство Y с
(Т-алгеброй В. Доказать, что если В порождена счетным классом множеств
{£?п}, то существует такое счетное подмножество S множества Т, S С Т, что
/(*) М5,в) -измерима.
Решение. Если (Т-алгебра В порождена счетным классом множеств
то индуцируемая функцией f{x) <Г-алгебра Af — f~l(B) в силу
свойств обратных отображений порождена счетным классом множеств
{/~1(ДП)} С АТ. На основании результата задачи 2.1.13 (Т-алгебра А? пред¬
ставляет собой объединение (7-алгебр ,4^, соответствующих всем счетным
подмножествам S С Т:
лт = LM5.
Следовательно, для любого множества А £ А? существует такое счетное
S С Т\ что А £ AS. Пусть Sn С Т — такие счетные подмножества, что
оо
f~l(Bn) £ .45л, S = U^n. Ясно, что все множества /-1(.ВП) принадле-
п=1
жат (Г-алгебре А**. Следовательно, и (Т-алгебра А/ = /” *(£?), порожденная
классом множеств {/-чад , как минимальная (Г-алгебра, содержащая этот
класс множеств, входит в (7-алгебру AS, Af = f~1(B) С AS. Это и доказы¬
вает (.45, £?)-измеримость функции f{x).
§ 3.2. СХОДИМОСТЬ ПО МЕРЕ. ПОЧТИ РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 139
Этот результат показывает, что любая измеримая функция мо¬
жет зависеть от значений функции ж(<) £ X? не более чем в счетном мно¬
жестве точек. Поэтому интегралы примера 3.2 и задачи 3.1.10 не могут быть
(AF> £?)-измеримыми, так как они зависят от всех значений функции x(t) в
интервале [а, Ь]. Точно так же не могут быть (.4^, £?)-измеримыми интегра¬
лы, полученные заменой функций <р (б, t), ф (б, t} х) функциями <p(t), ф (t, х)
со значениями в любом сепарабельном ^-пространстве, так как (Г-алгебра В
в таком пространстве порождена счетным множеством открытых шаров раци¬
ональных радиусов с центрами во всех точках плотного счетного множества
(относительно интегралов Римана от функций со значениями в сепарабельном
^-пространстве см.п.3.4.6).
§ 3.2. Сходимость по мере. Почти равномерная сходимость
3.2.1. Сходимость по мере. Пусть (Х>А,(а) — пространство
с неотрицательной мерой /*. Без потери общности можно считать
^-алгебру А полной относительно меры /1 (теорема 2.3.11).
Последовательность измеримых функций {/п(я)} со значениями
в сепарабельном В-пространстве У называется сходящейся по мере
ц к измеримой функции f(x) на множестве Л, если при любом е > О
lim fi({x : || /„(*) - f(x) || > <г}А) = 0. (3.3)
п—*>оо
Записывается это в виде /п(х) /(ж).
Последовательность измеримых функций {/п(з)} со значениями
в сепарабельном ^-пространстве У называется фундаментальной по
мере fi на множестве А, если
/„(я) - /т(х) 0, X € А при пу т ► оо,
т.е. если при любых е,6 > 0 существует такое число N = N(e, й),
что
М{* : II /п(«) “ /т(х) II > е}А) < 6 при всех п, т > N. (3.4)
Бели последовательность {/п(я)} сходится к /(х) или фундамен¬
тальна во всей области определения функций /п(х) и /(ж), то (3.3) и
(3.4) записывают в биде
lim р({ х : || /„(я) - /(*) || > е » = 0,
п—*оо
(3.5)
140
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
/*({* :II /п(*;) ~ /т(х) ||> е}) < 6 при всех п,т> N. (3.6)
Эти определения корректны, так как согласно теоремам § 3.1
функции /п(я) — f(x) и /п(а?) — /т(я) измеримы при всех п, т.
Условимся в дальнейшем рассматривать только измеримые
функции со значениями в сепарабельном ^-пространстве.
Теорема 3.2.1. Всякая сходящаяся по мере /1 последовательность
фундаментальна по мере /1.
> Действительно,
II /,(*) - fm(x) II < II /„(*)- /(«) II + II fm(x) - /(*) II,
вследствие чего
:||/n(*)-/m(*) II > е} с
с { * : II /.(*) - /(х) II > Ф) и { * : II /»(*) - /(*) II > Ф )
И
/»({ х : II /»(*) - /•»(*) II > е }) <
< /*({ * : II /•»(*) - /(*) II ^Ф }) + /*({ * : II /т(*) - /(*) II > е/2 })• <
Для доказательства обратного предложения необходимо сна¬
чала сравнить сходимость по мере со сходимостью почти всюду и
выявить связь между этими двумя видами сходимости.
Теорема 3.2.2. Предел последовательности функций по мере
единствен с точностью до эквивалентности.
t> Предположим, что последовательность функций {/п(®)} имеет
два различных предела по мере f(x) и f'(x). Тогда при любых
е,6 > 0
/*({ * : II fn(*) ~ /(*) || > Ф }) < 6/2,
/!({«: || /„(«) - /'(*) || > е/2 }) < 6/2 (3.7)
при всех достаточно больших п. Но
II /(*) - /'(*) II < II/»(*) - /(*) II + II /»(*) - /(*) II
и
{*:||/(*)-/'(*) || > е} С
С { х : || /„(*) - /(*) || > е/2 } U { * : II Ш - f(z) || > е/2 },
§ 3.2. СХОДИМОСТЬ ПО МЕРЕ. ПОЧТИ РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 141
вследствие чего формулы (3.7) дают
М{*:11 /(*)-/'(*) 11>е})<
< Н({ * : II /«(*) - /(*) II > «/2 }) + М{ * : II /.(*) - /'(*) II > Ф }) <
А так как это справедливо при всех 6 > 0, то
/»({х:II /(*)“/'(*) II>«})- 0 Ve>0.
Таким образом, /(х) и /'(х) могут не совпадать лишь на множестве
нулевой меры /1, т.е. эквивалентны. <
3.2.2. Связь сходимости почти всюду со сходимостью по
мере. Интуитивно ясно, что из сходимости почти всюду вытекает
сходимость по мере. А именно справедливо следующее предложе¬
ние.
Теорема 3.2.3: Всякая последовательность измеримых функций
{fn(x)} , сходящаяся почти всюду к функции /(х) на множестве А
конечной меры, сходится к /(х) и по мере.
> Зададим произвольное е>0и определим множества
Ап = {х :||/п(х)-/(х) ||>е}А (п = 1,2,...),
Вп — (J Ар, С = lim Вп — р| Вп.
р=п Л“>0° п=1
В силу измеримости функций fn(x) и f(x) все множества АПу ВП)
С измеримы, AnyBniC € Л. В силу непрерывности меры, задан¬
ной на <г-алгебре, fi(C) = limfi(Bn) (теорема 2.2.3). Легко понять,
что в любой точке х £ С последовательность {fn(x)} расходится.
Действительно, если fn(x) —► /(х), то при любом е > 0 существу¬
ет такое пс, что || /р(х) — /(х) ||< е при всех р > пс, т.е. точка х
не принадлежит ни одному из множеств Ар при р > пе. Следова¬
тельно, точка х не принадлежит и ни одному из множеств Вп при
П > пе, т.е. не принадлежит и С. Таким образом, ни одна точка
сходимости последовательности fn(x) не может принадлежать мно¬
жеству С. Иными словами, С является подмножеством множества
расходимости последовательности {/п(я)}- Но последовательность
ifn(x)} по условию сходится почти всюду. Следовательно, в силу
полноты <г-алгебры Л р(С) = lim/i(iJn) = 0. А та* как при любом
п Ап С Вп и, следовательно, ii(An) < 1*(Вп), то lim/i(^„) = 0, т.е.
последовательность {fn(x)} сходится по мере р к /(х). <
142
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Не всякая по¬
следовательность, сходящаяся по мере, сходится почти всюду. Мы
докажем сначала более общее предложение.
Пример 3.3. Последовательность функций
ПХ
/»(*) =
сходится к нулю при любом X G R (т.е. всюду). Однако она не сходится
по мере Лебега, так как лебегова мера множества {х. : |/п(я)| ^ £}» равная
2п>/1 — 4е2/е —► ОО при П —► ОО. Этот пример показывает, что сходящаяся
почти всюду ( и даже всюду) на множестве бесконечной меры последователь¬
ность функций может не сходится по мере.
Теорема 3.2.4. Всякая последовательность измеримых функций
{/п(х)}; фундаментальная по мере р, содержит подпоследователь¬
ность {/п*(я)}> сходящуюся почти всюду и по мере.
> Возьмем произвольные е > 0 и 6 > 0. Из фундаментальности
последовательности {/п(*)} по мере следует, что для любых г) > 0,
С > 0 существует такое натуральное число N = что
/*({ * : II fn(x) - fm(x) II > т)}) < С при всех п,т> N.
Поэтому можно выбрать такое натуральное число пх, что
Kix -\\ fni(x) - fm(x) || > е/2 }) < 6/2 при всех т > пх.
После этого можно выбрать такое п2 > пх, что
р({ * : II fn3(x) - fm(x) II > е/22 }) < 6/22 при всех m > п2.
И так далее, можно выбрать такое n* > nt-i> что
/*({* :ll fnk(x)-fm(x) Н> е/2* }) < 6/2* при всехт > п* (* = 1,2,...)-
Построим теперь множества
П = { X : II /„*(*) - fnk+1(x) || > е/2* } (* = 1,2,...),
Gp = \JFk) Е = limGp — Q Gp.
k=p P=1
§ 3.2. СХОДИМОСТЬ ПО МЕРЕ. ПОЧТИ РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 143
Все эти множества измеримы вследствие измеримости функций
/Л(х). А так как Е С Gp при всех р и мера /i полуаддитивна, то
№ < p(Gp) < f>(Ft) < f; А = _А_. (3.8)
к=р к=р
Это неравенство справедливо при любом р. Следовательно, пра¬
вая часть полученного неравенства сколь угодно мала. Поэтому
ц(Е) = 0. Докажем, что построенная подпоследовательность функ¬
ций {/п*(я)} сходится всюду вне множества Е. Это и будет озна-
оо
чать, что она сходится почти всюду. Так как Ё = (J (5Р, то доста-
р=1
точно показать, что подпоследовательность {/п*(®)} сходится всю¬
ду вне любого множества Gp. Пусть х — любая точка множества
00
Gp. Так как Gp = f| Fhy то х е Fk при любом к > р. Следовательно,
II /«*(*)-/»*+,(*) ||<г/2‘
и при всех ку1у1 > к > р
н /»»(*) - /»,(*) н < Ё н /-.(*) - /».+i(*) н< Е i < 2^г-
Взяв любое т} > Оищ < г)у получим при всех &,/,/> к > р, е/2к~1 < щ
II/»Л*)-/».(*) II <■»■ (3.9)
Таким образом, подпоследовательность {/п*(х)} фундаментальна на
любом множестве (5Р, а следовательно, ина А так как 5-прост¬
ранство полно, то из фундаментальности {/пк(ж)} следует существо¬
вание предела /(я) (конечно, зависящего от ж). Таким образом,
построенная подпоследовательность {/Пк(х)} сходится к /(я) при
всех х, не принадлежащих множеству Е нулевой меры /*, т.е. схо¬
дится к /(х) почти всюду. По теореме 3.1.7 вследствие полноты
^-алгебры Л предельная функция /(ж) измерима. Чтобы доказать
сходимость построенной последовательности к /(х) и по мере, пе¬
рейдем в (3.9) к пределу при / —► оо. Тогда получим при всех х Е Gp
*к>р,е/2к-1 <т)Х
II/«„(*)-/(*) II < »71 <Ч-
144
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Вместе с (3.8) это дает
/*({* : II ЬЛ*) ~ /(*) II > V)) < KG,) < 6/У1.
Отсюда в силу произвольности р следует сходимость подпоследо¬
вательности {/п*(я)} к /(ж) по мере. <
Следствие. Всякая последовательность {fn(x)}, сходящаяся по
мере к f(x), содержит подпоследовательность, сходящуюся к f(x)
почти всюду.
> По теореме 3.2.1 последовательность {/п(®)} фундаменталь¬
на по мере. По теореме 3.2.4 она содержит подпоследовательность,
сходящуюся почти всюду и по мере к некоторой функции, которая
может отличаться от f(x) только на множестве нулевой меры /i в
силу теоремы 3.2.2 о единственности предела по мере. <1
3.2.3. Достаточность фундаментальности по мере для схо¬
димости по мере. Теперь мы в состоянии доказать следующую
теорему.
Теорема 3.2.5. Всякая последовательность функций со значени¬
ями в сепарабельном В-пространстве, фундаментальная по мере р,
сходится по мере /1 к некоторой функции.
> Из теоремы 3.2.4 следует, что всякая последовательность
{/п(х)}, фундаментальная по мере, содержит подпоследователь¬
ность {/п*(я)}» сходящуюся по мере к некоторой предельной функ¬
ции f(x). А так как
н /»(*) - /(*) н < н /»(*) - /„.(*) н + н /»*(*) - /(*) н
и предельная функция f(x) измерима, то
/*({*: II /»(*)-/(*) ||>е})<
</!({*: || /.(*) - /„,(») || > е/2 }) + /,({*: || /„,(.) - /(«) || > е/2 ».
Первое слагаемое в правой части стремится к нулю при n, к оо
вследствие фундаментальности по мере /i последовательности
{/п(х)}, а второе — вследствйе сходимости по мере /1 подпоследо¬
вательности {/п*(я)}, что и доказывает сходимость по мере /1 всей
последовательности {fn(x)}. <
Из теорем 3.2.1 и 3.2.5 следует, что для сходимости последова¬
тельности функций по мере необходима и достаточна ее фундамен¬
тальность по мере.
§ 3.2. СХОДИМОСТЬ ПО МЕРЕ. ПОЧТИ РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 145
3.2.4. Почти равномерная сходимость. Последовательность
функций {/п(я)}, сходящаяся к некоторой функции f(x) на множестве
А равномерно, за исключением точек х, принадлежащих множеству
сколь угодно малой меры, называется сходящейся почти равномерно
к /(*)•
Теорема 3.2.6. Если последовательность измеримых функций
{fn(x)} сходится к f(x) почти всюду на множестве АеЛ конечной
меры, [i(A) < оо, то она сходится к /(ж) почти равномерно (теорема
Егорова).
> Зададим последовательность положительных чисел {£т}> схо¬
дящуюся к нулю, ет > 0, ет —* 0 при т —► оо, и определим множества
Апт= П{*:||/р(*)-/(*)||<етМ.
р=п
Так как функции f(x) и fP(x}— f(x) по теореме 3.1.7 и следствию 1
теоремы 3.1.5 измеримы, то при любых р и е > 0 множество {х :
|| fp(x) — f(x) || < е} измеримо и,' следовательно, все множества А^
измеримы, т.е. 6 А. При любом фиксированном т множества
Ат образуют монотонно возрастающую последовательность, пре¬
дел которой определяется формулой
Ат = lim = U^m-
П->°° п: 1
Из измеримости всех множеств Aвытекает измеримость множе¬
ства Ат. Кроме того, так как А^ С Л, то и Ат С А. Следовательно,
р(Ат) < р(А) < ОО.
В силу непрерывности меры, заданной на <т-алгебре,
КАт)= Km /1(Л")
П—*00
и, следовательно, для любого 6 > 0 можно найти такое п = пт =
= Пт(й), ЧТО
КАт\А1г) < 6/2т (т = 1,2,...). (3.10)
Определим множества
А* = П-С", Et = A\At
m=l
146
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
и оценим fi(Es):
№,) = ц(А\ n iC-) = М и (Л\А^Г)).
т=1 т=1
Но в силу полуаддитивности неотрицательной меры
ми (*№-))
”>=1 m=l
А так как А\А%~ = (А\Ат) U(^m\^mm)» то
»(А\А1г) = ХА**) + МА»\^5Г)- (311)
Заметим теперь, что последовательность {/п(ж)} расходится во всех
точках множества А\Ат. Действительно, из определения множе¬
ства 4т следует, что если ж € А\Ат, то точка ж не может принадле¬
жать ни одному из множеств AJJ,, соответствующих данному т. Из
определения множества Aвытекает, что в этом случае при любом
п найдется такое р > п, что
II /р(ж) “ /(ж) II >
Отсюда следует, что последовательность {/п(ж)} расходится во всех
точках множества А\Ат. А так как последовательность {/п(ж)} схо¬
дится почти всюду на А, то мера множества <А\Ат не может быть
отличной от нуля, fi(A\Am) = 0. Учитывая (3.10), получаем из (3.11)
р(А\А!г) = »(Ат\Апт») < 6/2т (т = 1,2,...).
Следовательно,
KEf) < f) КЛ\А$г) <«Е^Г = «.
т=Д т=1
Таким образом, при любом 6 > 0 мера соответствующего множества
Ев меньше 6, т.е. может быть сделана как угодно малой. Остается
доказать, что последовательность {/„(ж)} сходится равномерно на
оставшейся части As множества А. Но это ясно из определения мно¬
жества As; если ж 6 As, то ж принадлежит всем А£,"* (т = 1,2,...).
Следовательно, каково бы ни было е > 0, найдется такое т, что
§ 3.2. СХОДИМОСТЬ ПО МЕРЕ. ПОЧТИ РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 147
£т < £, х Е А%" и,следовательно, при всех р > пт будет иметь место
неравенство
Ш*)-/(«) \\<ет<е.
А так как пт не зависит от х, то это и означает, что последователь¬
ность {/п(х)} сходится равномерно на множестве^, отличающемся
от А на множество Es сколь угодно малой меры, о
Справедливо и обратное, несколько более сильное, предложе¬
ние.
Теорема 3.2.7. Всякая последовательность функций {/Л(®)} со
значениями в В-пространстве, почти равномерно сходящаяся к
функции /(х) на множестве А Е А, сходится на А почти всюду.
При этом не обязательно функции fn должны быть измеримыми,
пространство их значений может не быть сепарабельным, а мно¬
жество А может иметь и бесконечную меру.
> Лля доказательства зададим произвольную последователь¬
ность положительных чисел {6m}i сходящуюся к нулю, 6т > О,
6т —► 0 при т —* оо. Так как по условию последовательность {/п(я)}
сходится почти равномерно на Л, то любому 6т соответствует та¬
кое измеримое множество Esm С А, что ц(Ебт) < 6т и последова¬
тельность {/п(*)} сходится равномерно на множестве Авп = А\Евт.
Очевидно, что в этом случае последовательность {/п(х)} сходится
во всех точках множества
оо
Aq U Абт >
т=1
так как любая точка х Е Ао обязательно принадлежит какому-ни¬
будь множеству Asm. Остается доказать, что мера множества Ео =
= j4\j4o равна нулю. Лля этого заметим, что
Ео = Л\Л0 = А\ U Мл = П (Л\Абт) = П ESm.
m=1 т=1 т=1
Следовательно, Ео измеримо, Ео С Еьш при любом т и
КЕо) < •
А так как это справедливо при любом т и 6т —► О при m —► оо,
то /1(Я0) = 0. Таким образом, последовательность {/п(®)} сходится
всюду на Ах кроме точек множества Ео нулевой меры, т.е. сходится
почти всюду. <
148
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
3.2.5. Измеримые функции как пределы последовательно¬
стей простых функций. Теорема 3.1.5 утверждает, что всякая из¬
меримая функция представляет собой предел последовательности
элементарных функций. Лля построения теории интеграла целесо¬
образно рассматривать измеримые функции как пределы последо¬
вательностей простых функций. Возможность этого определяется
следующей теоремой.
Теорема 3.2.8. Всякая измеримая функция f(x) со значениями
в сепарабельном В-пространстве У может бить представлена на
любом множестве конечной меры как предел почти всюду сходящей¬
ся последовательности простых (т.е. измеримых конечнозначных)
функций.
> Пусть А С Dj — множество конечной меры, {у*} — плотное
в У счетное множество. Зададим две последовательности положи¬
тельных чисел {еп} и {£п}, сходящиеся к нулю, епу 6п > 0; еп,6п —* 0
при п —* оо, и образуем множества
А1 = А{ х : || /(*) - щ ||<е„} (М = 1,2,...),
£? = А?, (* = 2,3,...;»»= 1,2,...).
p=i
Все эти множества измеримы вследствие измеримости множества А
и функции f(x). А так как
U Е% = А ц(А) < оо,
*=i
то при любом п и любом 6 > 0 в силу непрерывности меры найдется
такое натуральное число N = N(6), что
/*( и < *.
k=N
Поэтому можно определить такую неограниченно возрастающую
последовательность натуральных чисел {Nn),Nn —► оо, что
/*(0Я*)<*п (п = 1,2,...). (3.12)
h=Nn
Построим простые функции
ЛГ,-1
/"(*) = 52 (n = 1,2,...).
*=1
§ 3.2. СХОДИМОСТЬ ПО МЕРЕ. ПОЧТИ РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 149
По определению множеств Е%
|| /"(а?) - /(ж) || < еп при всех ж 6 U Щ. (3.13)
*=i
Зададим теперь произцольное число 6 > 0 и выберем такое т, чтобы
было 6т < 6. Введем множество
Е6= U Е?.
k=Nm
Тогда в силу (3.12) будем иметь p(Es) < 6. Задав произвольное
е > 0, получим из (3.13) для всех п > т, для которых еп < е,
II /и0е) ~ /0е) II < € ПРИ всех х € A\Es.
Это неравенство доказывает равномерную сходимость последова¬
тельности простых функций {fn(x)} к функции /(ж) на множестве
А\Е$. Отсюда в силу произвольности 6 > О следует почти равно¬
мерная сходимость последовательности {/"(ж)} к /(ж) на А. По тео¬
реме 3.2.7 последовательность {/"(ж)} сходится к /(ж) почти всюду
на А. <
3.2.6. Свойство функции, измеримой относительно сг-ал-
гебры, индуцированной другой функцией. Пусть (X, А, ц) — про¬
странство с неотрицательной <г-конечной мерой, (У, В) и (Zy С) — из¬
меримые пространства, причем Z — сепарабельное В-пространст-
во, а С — как всегда в этом случае, <г-алгебра, порожденная мно¬
жеством всех открытых шаров в Z, у = /(ж) — (А, В)-измеримая
функция, z = д(ж) — (w4,Соизмеримая функция, А/ = f~l(B) С А —
<т-алгебра, индуцированная в X функцией /(ж). Справедлива сле¬
дующая теорема.
Теорема 3.2.9. Функция д(ж) (А/, С)-измерима тогда и только
тогда, когда существует такая (В, С)-измеримая функция z = <р(у),
что
g(x) = <p(f(ж)) почти всюду. (314)
> Бели справедливо (3.14), то (А/,Соизмеримость д(х) следу¬
ет непосредственно из (А/,В)-измеримости функции /(ж), (В,С)~из¬
меримости <р(у) и из теорем 3.1.1 и 3.1.8, причем независимо от того,
является Z сепарабельным ^-пространством или нет.
150
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Предположим теперь, что функция <7(2) (Л/,Соизмерима. До¬
пустим сначала, что д(х) — простая функция:
N
*=1
где En € А/ — попарно непересекающиеся множества. Из
Eh € А/ следует, что в области значений Я/ функции f(x) существу¬
ет множество В* € В, прообраз которого совпадает с Ек) /"^(В*) =
= Ek {к = 1,...,7V). Очевидно, что множества Bi,...,Bj\r попарно
не пересекаются, так как в силу свойств обратных отображений
f~x(BkBh) = EkEh = 0 при к ф Л, что возможно, только если
В*Вд 0 , поскольку В*, В* С Я/. Определим в пространстве (У, В)
простую функцию
N
f{y) =
fc=l
Так как функция у = /(ж) принимает значения из В* при а? € то
<j(ar) = <p(f(x)) Vz. Таким образом, утверждение теоремы справед¬
ливо для всех простых функций.
Пусть теперь д(х) — произвольная (Л/,Соизмеримая функция.
Без потери общности <г-алгебры А/ и В можно считать полными
на основании теоремы 2.3.11. В этом случае по теореме 3.2.8 лю¬
бая (.4/, Соизмеримая функция может быть представлена на любом
множестве конечной меры /х как предел последовательности простых
функций (конечно, (-4/, Соизмеримых). Так как мера /х (т-конечна,
то существует такое разбиение пространства X на попарно непере¬
секающиеся множества
X=U**. Хк€А, (3.15)
*=1
что мера /х конечна на каждом множестве Хк. Пусть (<7л(я)} — по¬
следовательность простых функций, сходящаяся почти всюду к д(х)
на монжестве Я*. По доказанному каждой простой функции дп(х) со¬
ответствует такая простая функция z = у>Л(у), что дп{х) = <pn(f(x)).
Из сходимости последовательности {<7Л(я)} в точке х следует фунда¬
ментальность последовательности (у>п(у)} в соответствующей точ¬
ке у = /(ж). Отсюда в силу полноты В-пространства Z следует
существование предельной функции у?(у) = 1тнрп(у) во всех точ¬
ках у, соответствующих точкам сходимости х последовательно
§ 3.3. ИНТЕГРАЛ БОХНЕРА
151
{рл(ж)}. Ясно, что прообраз множества точек расходимости у по¬
следовательности {^п(у)}, определяемый функцией у = /(х), явля¬
ется подмножеством множества точек расходимости х последова¬
тельности (<7п(ж)}. Следовательно, в силу (3.2) множество точек
расходимости у последовательности (у>п(у)} имеет нулевую меру I/,
индуцированную в пространстве (У, В) функцией у = /(х). Таким
образом, последовательность простых функций {^п(у)} сходится к
<р(у) почти всюду относительно меры I/. По теореме 3.1.7 предель¬
ная функция <р(у) (Ву Соизмерима. Наконец, предельный переход в
равенстве <7n(x) = (pn(f(x)) убеждают нас в справедливости равен¬
ства (3.14) почти всюду относительно меры /1. Остается заметить,
что справедливость теоремы для каждого множества Хк конечной
меры fi в (3.15) означает ее справедливость для всего пространст¬
ва X. <1
ЗАДАЧИ
3.2.1. Доказать, что последовательность функций {sin(x/n)} сходится к
нулю при всех X, сходится по мере Лебега к нулю на любом конечном интер¬
вале (а, Ь) и не сходится по мере Лебега на всей числовой прямой.
3.2.2. Сходится ли последовательность функций {1/пх} почти равномер¬
но ? Если да, то определить для каждого 6 > 0 соответствующее множество
Es, вне которого последовательность сходится равномерно. Сходится ли ота
последовательность по мере Лебега, почти всюду ?
3.2.3. Доказать, что последовательность функций примера 3.3 сходится
по мере Лебега на любом конечном интервале.
3.2.4. Последовательность интегральных сумм примера 3.2 сходится к
интегралу почти всюду относительно меры Винера [JLW • Сходится ли ота
последовательность по мере , почти равномерно ?
§ 3.3. Интеграл Бохнера
3.3.1. Интегрирование простых функций. Пусть X — из¬
меримое пространство с (r-алгеброй множеств А и заданной на Л
неотрицательной мерой /1.
Простая функция со значениями в произвольном линейном про¬
странстве У
N ‘
/(*) =
к=1
152
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
называется ц-интегрируемой, если она отлична от нуля только на
множестве конечной меры, т.е. если ц(Еь) < оо при всех Jb.
Интеграл от простой функции f(x) по множеству А 6 Л опреде¬
ляется формулой
/ f(*Mdx) = f fdf* = ^2укКЕкЛ). (3.16)
А А *=»
В частности, интеграл по всему пространству X определяется фор¬
мулой
/ f(*Mdx) = / /<*/* = X) »*/*(£*) • (3.17)
J t=i
При этом область интегрирования не указывается. Таким образом,
интегралы без указания области интегрирования всегда понимают¬
ся как интегралы по всему пространству X.
3.3.2. Свойства интеграла от простой функции. Непосред¬
ственно из определения (3.16) следует, что при любом комплекс¬
ном а
J afdfi = a Jfdfi. (I)
А А
Сумма двух ji-интегрируемых простых функций
N М
fi(x) = hi*) = ^2^Лг}.(х)
<=1 7=1
представляет собой /i-интегрируемую простую функцию
N М
fi(x) + f2(x) = S(w + zi)le>iFj (*) ■
i=0 j=0
N _ M
где Eq = р) Ei, Fq = p| Fjt yo = z0 = 0. Интеграл от суммы функций
i=i i=i
/i(x) и /г(«) согласно (3.16) определяется формулой
N М
I (/i + = ЁЕ(У. + ZiMEiFjA) =
Д 1=0i=o •
лг м . .
= Y^K^EiA) + Ylzi^FiA^ = / / №1* ■
•=i i=i ^ ^
§ 3.3. ИНТЕГРАЛ БОХНЕРА 153
Таким образом, интеграл от суммы двух простых функций ра¬
вен сумме интегралов от этих функций:
J(fi + = J fidfi + / f2dn. (II)
A A A
Из (I) и (II) следует, что любая конечная линейная комбинация
^-интегрируемых простых функций ^-интегрируема и
J Е • (1П)
Д 4=1 *=1 А
Положив здесь А = \J Ak> Ak € A, AkAh = 0 при Л ф к, а* = 1,
fc=i
/*(*) = /(*)1а»(*), получим
J fdfi = j2j fd»- (IV)
А к=1Ак
Таким образом, интеграл от простой функции представляет собой
аддитивную функцию множества.
Пусть Т — линейный оператор, отображающий линейное про¬
странство У в другое линейное пространство Z. Функция
N
g(x) = Tf(x) = '£TyklEk(x),
* = 1
очевидно, представляет собой ^-интегрируемую простую функцию
со значениями в пространстве Z, и в силу линейности Т
f N N г
/ т/d/i = £ryfcAi(£M) = тЕуМА) — Г! fdfi.
a fc=1 *=1 А
Таким образом, для любой /i-интегрируемой простой функции f(x)
и любого линейного оператора Т простая функция Tf(x) /i-интегри-
Руема и
j Tfdfi ~tJ fdft. (V)
154
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Следующие свойства интеграла от простой функции очевидны:
J fdp = 0, если fi(A) = 0, (VI)
А
j fdfi = j gdn, если f(x) ”= g(x) (VII)
A A
Бели пространство значений У простой функции f(x) нормиро¬
вано, то простая функция || f(x) || ^-интегрируема тогда и только
тогда, когда /i-интегрируема f(x) и из неравенства
||Х;у^(^)|<^||уь||м^)
*=1 к—1
следует
||//^||< j\\f\\dii. (VIII)
Вследствие того, что ^-интегрируемая простая функция всегда
ограничена, || f(x) || < М < оо, из (VIII) следует, что
I /и < Mfi(A). (IX)
А
При этом можно принять М = max || у* ]|.
Отсюда следует, что при любом е > 0 для всех А € А, для
которых fi(A) < 6 = с/М,
\\Jfdfi\\<e. (X)
А
Бели f(x) —/i-интегрируемая простая функция со значениями
на числовой прямой R и f(x) > 0 почти всюду на А> fi(A) > 0, то
jfdfi> 0. (XI)
А
§ 3.3. ИНТЕГРАЛ БОХНЕРА
155
Отсюда видно, что для любой /i-интегрируемой простой функ¬
ции /(*) со значениями в нормированном линейном пространстве
/(х)"= 0, хеА, если J || f\\dfi = 0 и р(Л)>0. (XII)
А
Из (XI) следует также, что если /(х) и д(х) — /i-интегрируемые
простые функции со значениями на числовой прямой R и /(х) < д(х)
почти всюду на Л, то
J fdf* < j gdn, (XIII)
А А
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда
Дх) = д(х) почти всюду.
Бели j4i, А2 € Л, А\ С А2У1 /(х) > 0 почти всюду на Лг, то (XIII)
дает
J fdft < J fdfi, (XIV)
I Ai a2
так как
/ fd» = J flAldfi < J fdfi,
A1 Aa -Aa
поскольку /(х)1ах(х) < /(x). '
Подчеркнем, что свойствами (I)—(VII) обладают интегралы от
простых функций со значениями в любом линейном пространстве,
свойствами (VIII)—(X) и (XII) — интегралы от простых функций со
значениями в нормированном линейном пространстве, а свойства^
ми (XI), (XIII) и (XIV) — только интегралы от простых функций со
значениями на числовой прямой.
3.3.3. Интегрирование функций со значениями в В-прост-
ранстве. Измеримая функция /(х) со значениями в сепарабельном
В-пространстве Y называется /1-интегрируемой, если существует
последовательность ^-интегрируемых простых функций {/п(х)},
сходящаяся почти всюду к /(х), такая, что
J \\r-r\\dfi —*0 при n, m —* оо. (3.18)
Такая последовательность называется определяющей функцию /(х).
156
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Интеграл от функции f(x) по множеству А Е Л определяется
формулой
J f(x)fi(dx) = J fdfi = nlim j rdfi. (3.19)
Л Л A
Этот интеграл называется интегралом Бохнера. В частном случае
действительной числовой измеримой функции f(x) интеграл Бохне¬
ра называется интегралом Лебега (иногда абстрактным интегралом
Лебега, чтобы отличать его от интеграла, впервые введенного Ле¬
бегом).
Покажем, прежде всего, что предел в формуле (3.19) существует.
Для этого заметим, что из неравенств (VIII) и (XIV) вытекает
\\Jrdn-//"Ч'||</||/п-/га ||4i</ \\r-r\\dii. (3.20)
А А А
Отсюда и из (3.18) следует, что последовательность интегралов
{f fdfi} фундаментальна. А так как 5-пространство полно, то эта
А
последовательность имеет в нем предел, к которому она сходится
равномерно относительно А. Чтобы доказать равномерную сходи¬
мость, достаточно заметить, что из (3.18) следует существование
при любом е > 0 такого натурального Ne, что
/ II Г - Г \\dfi < е Vn, т> Nc .
Отсюда и из (3.20) следует
I j fndfi - J f'dfi I < e VAeA,n,m>Ne.
A A
Переходя к пределу при m —► оо, получим
IJ fndfx - J fdfi J < e V4 6 A, n > Nc.
A A
Отсюда вследствие независимости Ne от А вытекает равномерная
относительно А сходимость последовательности интегралов от про¬
стых функций f91 к интегралу от функции /.
§ 3.3. ИНТЕГРАЛ BOXHEPA
157
Обобщал определение /i-интегрируемой функции на случай, ко¬
гда функция не /i-интегрируема по всему пространству X, назовем
функцию /(*) /л-интегрируемой на множестве В С X, В € Л, если
существует такая последовательность /i-интегрируемых на В про¬
стых функций {/л(ж)}, сходящаяся пости всюду к /(х) на J9, что
J II Р “ Г* \\dfi —► 0 при п, т —► оо. (3.21)
в
В этом случае последовательность интегралов f fndp сходится к
А
интегралу / fdp равномерно относительно А £ Л, А С В.
А
3.3.4. Корректность определения интеграла. Остается до¬
казать корректность определения интеграла. Для этого докажем
следующее предложение.
Теорема 3.3.1. Интеграл не зависит от выбора последователь¬
ности простых функций, определяющей подынтегральную функцию.
> Пусть {/"(х)} и {/£(х)} — две последовательности, определя¬
ющие функцию /(ж) со значениями в сепарабельном 5-пространст-
ве: /?(*) /(*), ЯЧ*) ^ /(*),
J II /Г - /Г II <*/*-» 0, J\\fi-f?\\dv-0 (3.22)
при n, m —» оо. Положим
*"(*) = II/?(*)-#(*) II (n = 1, 2, ...).
Так как
|sn - sm| = |ll /Г(*) - #(*) II - II /Г(*) - /?(*) н| <
<11 ff-fi-fT + f? II<11 /Г-/г II + II п-К II
и обе последовательности {/”} и {/"} удовлетворяют условию
(3.22), то и последовательность простых функций {^п(х)}, сходяща¬
яся почти всюду к нулю, удовлетворяет условию (3.22):
J I 9п “ 9т I dp -и► 0 при п, т —► оо .
158
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Следовательно, {ул} определяет нуль, и последовательность инте¬
гралов {/gndfi} сходится равномерно по А Е Л. Наша задача со-
А
стоит в том, чтобы доказать, что она сходится к нулю. Для этого
достаточно показать, что при любом е > О
J gpdft < г (3.23)
при всех достаточно больших р (напомним, что др > О при всех р).
Из сходимости последовательности {/ gndfi} вытекает ее фун-
А
даментальность. Следовательно, при любом tj > О существует такое
натуральное число Nv, что
j J 9pd(i - J 9ndfi | < т) при всех p > n> Nrj (3.24)
A A
и при всех A £ Л. Фиксируем п> Функция дп как ^-интегрируе¬
мая простая функция отлична от нуля только на некотором множе¬
стве В е А конечной меры, р(В) < оо. Из дп(х) = 0 при х Е В
следует
J gndp - 0 .
В
Но тогда из (3.24) вытекает неравенство
Jgpdfi < г] при всех р> п. (3.25)
В
Остается оценить f gpdfi. Сначала мы выберем такое 6 > 0, чтобы
в
было
jgnd(i <r, VC € А, ц(С) < 6. (3.26)
С
Это возможно на основании свойства (X) интеграла от простой
функции. Так как р(В) < оо, то по теореме 3.2.3 последовательность
функций {ур} сходится к нулю по мере на Б, Поэтому при любых
6 > О, С > 0 существует такое натуральное Nsxt что
/i({x : др(х) > С}В) <6 Vp > N6X .
§ 3.3. ИНТЕГРАЛ БОХНЕРА 159
Выбрав какое-нибудь го > max(Nv,Ns,() и положив С = {х : дт(х) >
(}В, будем иметь ц(С) < 6, <jm(a:) < С V* € В\С и
J gmdli<^{B\C)<^{B). (3.27)
в\с
Из (3.24), (3.25), (3.26) и (3.27) следует, что при всехр > тах(ЛГч, Ns,()
О < j gpdfi = J gpdfi+ J gmd/i+( J gpdfi-
6 B\C B\c
~ J 9mdfi) + J gndn +(j gpd(jt - J gndp) <
B\C с с с
<V + + Zrf = 4t] + Сfi(B).
Задав произвольное е>0и положив ц = е/5, С = £/5/*(Я), получим
О < J gpdfi < е.
Отсюда следует, что для любого А € Л
J II /Г - /? II dt* 0 при п -► оо,
А
И
ц/лч*-/#«*/*!< / Н/Г-ЯН^-о.
А А А
Таким образом,
lim j ftdfi = lim J /Jcf/i, (3.28)
A A
что и доказывает независимость предела в определении (3.19) инте¬
грала от выбора последовательности простых функций, определяю¬
щей подынтегральную функцию /(х). «
Пример 3.4. Вычислить интеграл от функции /(х) = <pi (s)x2(<i )+
"Ь^2(5)а?2(^г) 1,0 всему пространству функций X? по мере Винера Ц\у (при¬
мер 2.15), если ^i(s) и ^г(з) — непрерывные функции на ограниченном
замкнутом интервале S числовой прямой.
160
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
В данном случае аргументом функции /(х) служит функция x(t) из про¬
странства X^ скалярных функций t £ [0, оо), на котором определена мера
Винера /ijy > & пространством значений функции /(х) служит ^-пространство
непрерывных функций C(S). Так как функция /(х) зависит только от значе¬
ний функции х(£) в двух фиксированных точках t\y £2» то Апя вычисления
интеграла можно воспользоваться выражением примера 2.15
меры [Aw на прямоугольных множествах при П = 2. В результате получим
/ /www = Г
Лля вычисления интегралов по Х\ и по Х2 воспользуемся формулой (см., на¬
пример, [22, приложение 2])
/ eni~cx2fDdx = \Ще'Ч2е. (*)
— ОО
Дифференцируй эту формулу дважды по Г] и полагая после этого Г} — 0, полу¬
чим
7 xe~cx*!2dx = 0, 7 x2e~ex*l2dx = \\!Ц-■
— ОО —ОО
Пользуясь дтими формулами и формулой (*) при Т] = 0, находим
/ f{*)pw(dx) = + У>2(«)<2 •
3.3.5. Свойства интеграла. Легко убедиться в том, что свой¬
ства (I)—(IV), (VI), (VII), (IX) интеграла от простой функции при¬
сущи и интегралу от измеримой функции со значениями в Б-прост-
ранстве, а Свойства (XI), (XIII) и (XIV) присущи и интегралу от
измеримой функции со значениями на числовой прямой. Мы предо¬
ставляем читателю доказать это. Свойство (III) интеграла
/«*/*<*/* = Eat /fkdft
' i k=i к=г i
для любых ^-интегрируемых функций /ь ... , /п и любых чисел
<*1, ... , а„ показывает, что интеграл представляет собой линейный
§ 3.3. ИНТЕГРАЛ БОХНЕРА
161
оператор, отображающий пространство /i-интегрируемых функций
в пространство их значений. Свойство (IV) интеграла показывает,
что интеграл представляет собой аддитивную меру.
Для доказательства свойства (VIII) достаточно заметить, что
из неравенства ||| /п || - || f™ ||| <|| /п - /"* || следует, что после¬
довательность /i-интегрируемых простых функций {|| /"(ж) ||} опре¬
деляет функцию || /(ж) ||. Таким образом, из /i-интегрируемости
функции /(ж) вытекает /i-интегрируемость || /(ж) ||. Далее, из нера¬
венства (VIII) для всех простых функций,
следует, что неравенство (VIII) справедливо и для предельной функ¬
ции /(ж). Таким образом, для /i-интегрируемости функции /(ж) не¬
обходима /i-интегрируемость ее нормы ||/(ж)||. Достаточность /i-ин¬
тегрируемости нормы ||/(ж)|| для /i-интегрируемости функции /(ж)
мы докажем в п.3.3.6.
Чтобы обобщить на интегралы от измеримых функций свойство
(X), предположим, что /(ж) — /i-интегрируемая функция и {/п(ж)}
— определяющая ее последовательность /i-интегрируемых простых
функций. По доказанному в п.3.3.3 для любого е > 0 существует
такое натуральное N = N(e), что || f /"cf/i — f fdfi ||< | для всех
А A
A £ А и n > N. Выберем какое-нибудь n > N. Так как /п —
/i-интегрируемая простая функция, то на основании неравенства (X)
для интегралов от простых функций f* при любом е > 0 существует
такое 6 > 0, что
||/г^||< / нгн^
А
А
А
Из полученных двух неравенств следует
для всех А € А> fi(A) < 6.
(X)
А
Это и доказывает свойство (X).
Для доказательства свойства (XII) заметим, что для произволь¬
ного е > 0, если || /(ж) ||> € на множестве Ве €А,Ве С А, то из (XIII)
162
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
и (XIV) вытекает
/ II / II «fo > / II / II >*№'). (3-29)
А В.
Поэтому если
J II / II *1* = 0.
А
то fi(Be) = 0. А так как е > 0 произвольно, то /(х) может отличаться
от нуля только на подмножестве нулевой меры множества А, т.е.
/(х) = 0 почти всюду на А.
Из неравенств (3.29) следует, что при любых е > 0 и А 6 А
\
/*({* : II /(*) II > е}А) <lj\\f\\dp. (3.30)
А
Положив здесь, в частности, А = X, получим
/*({* :|| А*)Н> *})<£/ Н/Н^- (3.31)
Неравенства (3.30) и (3.31) называются неравенствами Чебышева.
Установим еще два важных свойства интегралов. Выберем про¬
извольное е > 0 и какое-нибудь натуральное п, для которого
| Jfdp-Jrdfi I < ег для всех А £ А.
А А
Простая функция /п отлична от нуля только на некотором множе¬
стве Ае конечной меры, Ае £ А, р(Ае) < оо. На дополнении этого
множества Ае предыдущее неравенство дает
1/м.
< е. (XV)
Ав
Таким образом, при любом € > 0 существует разделение простран¬
ства X на дополнительные,множества Ае и Ае> одно из которых име¬
ет конечную меру, а на другом норма интеграла меньше е.
§ 3.3. ИНТЕГРАЛ БОХНЕРА
163
При продолжении меры fi на <г-алгебру А\ D А интеграл от
(А у В)-измеримой функции по множеству А € Ане изменяется:
где /ii — продолжение меры р. Для доказательства достаточно за¬
метить, что любая (Л, Неизмеримая функция (А\, В)-измерима и
^(А) = fi(A) для любого множества А 6 А.
3.3.6. Интегрируемость функции, ограниченной по норме
интегрируемой функцией. Продолжим изучение свойств интегра¬
лов и интегрируемых функций. В частности, докажем достаточ¬
ность интегрируемости нормы функции для интегрируемости самой
функции. Фундаментальное значение имеет следующая общая тео-
Теорема 3.3.2. Если функция /(ж) со значениями в сепарабельном
В-пространстве измерима и || /(ж) ||< у(ж), где </(ж) — ц-интегри¬
руемая функция, то функция /(ж) — р-интегрируема.
> Для доказательства ^-интегрируемости функции /(ж) доста¬
точно построить последовательность простых функций, определяю¬
щую /(ж). По теореме 3.2.8 функция /(ж) может быть представлена
на любом множестве конечной меры как предел почти всюду сход*ь
щейся последовательности простых функций. Чтобы доказать тео¬
рему в общем случае (г-конечной меры, построим сначала сходящу¬
юся к /(ж) по мере ц последовательность функций {/т(*)}> каждая
из которых отлична от нуля только на множестве конечной меры.
Затем, применив к каждой функции /т(®) теорему 3.2.8, построим
последовательность простых функций {гт(ж)}, сходящуюся к /(ж)
по мере fi. После этого найдем последовательность простых функ¬
ций {fn(ж)}, определяющую /(ж).
. В силу неравенства Чебышева (3.31) для любой ^-интегрируе¬
мой функции h(ж) и для любого е > 0 мера множества {ж : |[ h(x) ||>
> f} конечна. Поэтому, взяв любую последовательность положи¬
тельных чисел {еш}> схожящуюся к нулю, получим последователь¬
ность множеств конечной меры {Лт},
(XVI)
А
А
рема.
Ат = {ж : д(х) > *т/2} , fi(Am) < ОО .
Тогда будем иметь Ат С <Am+i, НтЛт = (J Ат = X, и
164
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Определив функции
{oW при lit: (”* = *. 2. - - (»■«)
получим сходящуюся к /(х) по мере ц последовательность функций
{/т(х)}. Действительно, из определения функции fm(x) ясно, что
при всех х
|| fm(x) — /(х) || < ет/2 (m = 1,2,...),
вследствие чего
ц({х : II fm{x) - /(*) II > ет/2}) = 0 (m = 1, 2, ...). (3.33)
Следовательно, при любом е > 0
/!({*: || /„(*)-/(*) || > е}) = О
при всех т, при которых ет/2 < е.
Заметим теперь, что каждая функция /т(ж) отлична от нуля
только на множестве Ат конечной меры, вследствие чего по теоре¬
ме 3.2.8 она может быть представлена как предел последовательно¬
сти простых функций {fm(x))k (равных 0 при х 6 Лт), сходящейся
к ней почти всюду, а следовательно, и по мере. Возьмем произ¬
вольную последовательность чисел {£т}, 6т > 0, сходящуюся к 0, и
выберем для каждого т такое натуральное ifcm, что
: II /*-(*) - /т(*) II > Cm/2}) < 6т . (3.34)
В результате получим последовательность простых функций
{zm(x)}, zm(x) = /£т(х), сходящуюся по мере /i к функции /(х).
Действительно, так как
II zm(x) - f(x) II < II zm(x) - fm(x) II + II fm(x) - fix) II,
TO
л({*:|| *"(*)-/(*) ll>Cm})<
<Л({*: I\zmix)-fmix) || > em/2})+
+/*({* : II fm(x) - fix) II > Cm/2}) .
§ 3.3. ИНТЕГРАЛ БОХНЕРА 165
Отсюда вследствие (3.33) и (3.34) получаем при всех m
М({* : || *•»(*) - /(*) || > ст}) < 6т . (3.35)
Поэтому при любых е, 6 > О
»({х :\\zm(x)-f(x) ||>е})<«
при всех т, для которых ет < е, 8т < 6, что и доказывает сходи¬
мость последовательности простых функций {zm(x)} к /(ж) по ме¬
ре /i.
Чтобы получить из {zm(x)} последовательность, определяю¬
щую /(ж), "подправим” каждую функцию zm(ж), заменив ее нулем
на множестве
Ет = {х : || *"*(*)-/(*) || >ет} (3.36)
и на той части множества Ёту где || zm(ж) ||< 2ет. В результате
получим последовательность простых функций {ит(ж)},
ит(х) = ( ) при 1 € Ёт И II гт(*) II > 2ет,
\ 0 прих€£^т ИЛИ II 2т(х) II < 2ет.
Очевидно, что при всех ж £ Ёт
II «"*(*)-/(*) II < Зет ,
так как
|| ит{х) - /(*) || < ет всюду, где um(z) = гт(х),
И
II «-(«) - /(*) II = II /(*) II < II zm(x) II + II *«(.) - fix) II < Зет ,
при всех ж G Ёт, при которых || гт(ж) ||< 2ет. Задав произвольные
£, £ > 0, будем иметь в силу (3.36) и (3.35) при всех т, при которых
/|({*:|| «"*(*)-/(*) ||>е})<М^т)<й-
Следовательно, последовательность {ит(ж)}, как и {^т(ж)}, сходит¬
ся к /(ж) по мере. Однако функции нт(ж) обладают перед zm(ж) тем
166
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
важным преимуществом, что они ограничены по норме интегрируе¬
мой функцией. Действительно, при всех х, при которых ит(х) ф О,
|| иш(х) || > 2ет и || ит(х) - /(х) || < ет, вследствие чего
н «"*(*) н<11/(«) н+ н «"*(*)-./(*) н<
<!!/(*) ll+*m<||/(*) II+| II «"*(*) II,
откуда следует
|| »«(*) || < 2 || /(*) || < 2д(х), (3.37)
при всех х. Неравенство (3.37) показывает, что все простые функции
tim(x) /i-интегрируемы в сйлу /i-интегрируемости у(х). Выделим
теперь из последовательности {tim(x)}, сходящейся к /(х) по мере,
подпоследовательность {/п(я)}, /"(*),= итп(х)) сходящуюся почти
всюду. Тогда в силу (3.37) будем иметь
II Г(х) - Г (*) II < II Л*) II + IIГ (*) II < 4я(х)
и
j \\r-r\\d(i<4j9d^. (3.38)
На основании свойств (X) и (XV) интеграла при любом Т) > 0 суще¬
ствуют такое число 6 > 0 и множество конечной меры J3, fi(B) < оо,
что
Jgdft < т)/4 VC, ц(С) <6, Jgdn<T)/4.
с в
Отсюда й из (3.38) следует I
J\\r-r\\dfi<4 VC, ft(C)<6, V»,m, (3.39)
С
J II Г - f™ II dfi < т) Vn, m. (3.40)
В
Из сходимости последовательности {/п(х)} по мере следует ее фун¬
даментальность по мере (теорема 3.2.1). Поэтому при любых 6 > 0,
С > 0 существует такое натуральное N, что
/*({*: || Г(*)-/"*(*) II ><})<* Vn, m> N.
§ 3.3. ИНТЕГРАЛ BOXHEPA
167
фиксировав какие-нибудь п, т > N и положив С = {* : || /п(х)—
-/"*(*) 11^ О. будем иметь ц(С) < 6, || /"(*) - /”(*) ||< С. V* 6 С и
/ II Г ~ ПМ/i < СМВ\С) < С №. (3.41)
в\с
Из (3.39), (3.40) и (3.41) следует
j\\r-r\\dn = J \\r~r\\d»+ J \\fn-r\\dn+
В вс
+ J \\r-r\\d»<2n + MB).
вс
Задав произвольное е > 0 и положив Т) = е/3, С = €:/3/j(jB), получаем
Г-Г \\dfi<e Vn, m> N.
/'
Таким образом, построенная последовательность /i-интегрируемых
простых функций {/п(х)} определяет /(ж), что и доказывает /i-ин¬
тегрируемость /(я). «
Следствие 1. Из /i-интегрируемости || /(х) || вытекает ^'-ин¬
тегрируемость /(х). Для доказательства достаточно положить
*(*)=н/(*)н-
Вспомнив, что /i-интегрируемость /(х) влечет /i-интегрируе¬
мость || /(х) ||, приходим к заключению, что для /i-интегрируемости
измеримой функции /(х) со значениями в сепарабельном В-прост-
ранстве необходимо и достаточно, чтобы была /i-интегрируемой ее
норма || /(х) ||.
Следствие 2. Из любой последовательности простых функций
{/Г(®)}, определяющей /i-интегрируемую функцию /(х), можно по¬
лучить другую последовательность простых функций {/п(х)}, опре¬
деляющую /(х), удовлетворяющую условию || /п(х) ||< 2 || /(х) ||.
Для доказательства достаточно применить к {/"(х)} тот же при¬
ем, который был применен к последовательности {zm(x)}.
3.3.7. Замена переменных. Во многих задачах важно уметь
переходить в интеграле от одной переменной интегрирования к дру-
Г0Й, как это часто делается в математическом анализе. Пусть
168
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
(X, A, /i) — пространство с неотрицательной мерой, (U, V) — из¬
меримое пространство, и = <р(х) — (А, 2>)-измеримая функция, ото¬
бражающая X в £/,
v{D) = /<(у>-г(Я)). D € V (3.42)
— мера, индуцированная в пространстве U функцией и = <р(х)
(п.3.1.7). Рассмотрим ^/-интегрируемую функцию у = д(и)у отобра¬
жающую U в сепарабельное 5-пространство У.
Теорема 3.3.3. Справедлива следующая формула замены перемен¬
ных в интеграле:
f g(u)v(du) = I g(<p(x))ii(dx). (3.43)
D 4>~X{D)
> Пусть (flfn(ti)} — последовательность «/-интегрируемых про¬
стых функций, определяющая функцию д(и):
дп(и) ^ д(и), J || дп - дт || dv -+ 0 при п, т -► оо . (3.44)
Бели
N
ffn(«) = Y^yklF^>
*=i
то на основании (3.42)
/N N
gndv = '^Tykv(FkD) = ^yt/i(¥,-1(^tV1(£>)) =
D k=1 *=1
= j 9n{<p{*))p(dx) (3.45)
И
/ II II ^ = / II *ПИ*)) - *m(*K*)) II MAO •
D V>-l(D)
Отсюда при D = U и из (3.44) видно, что простые функции
/"(*) = 9П(<Р(*))
§ 3.3. ИНТЕГРАЛ БОХНЕРА
169
^-интегрируемы, и последовательность {/”(«)} определяет функ¬
цию
/(*) = 9(<Р(*)) •
Следовательно, из (3.45) вытекает формула (3.43). <
При д(и) = г/, D = {/, = X формула (3.43) принимает вид
J ui/(du) = J <P(*Mdx) • (3.46)
Эта формула применяется в теории вероятностей.
Вся изложенная в этом параграфе теория интеграла справедли¬
ва и в том случае, когда А — алгебра множеств, a fi — аддитивная
мера. Необходимые изменения сводятся к тому, что к требованию
измеримости функции, для которой определяется интеграл, следует
добавить требование ее представимости на любом множестве конеч¬
ной меры в виде предела сходящейся по мере последовательности
простых функций, а сходимость последовательности простых функ¬
ций {/"(«)} к f(x) почти всюду в определении интеграла в п.3.3.3
заменяется сходимостью по мере. Это избавляет от необходимости
применения теорем 3.2.3 и 3.2.8, доказанных для случая, когда А —
сг-алгебра и мера (г-аддитивна, при доказательстве теорем 3.3.1
и 3.3.2 [9, т.1].
Мы встретимся с интегралами по аддитивной мере в § 6.4.
3.3.8. Интегралы по комплексной мере. Разложение Жорда¬
на (2.15) дает возможность определить интегралы Бохнера и Лебега
по любым действительным и комплексным мерам. Из (2.15) следует,
что любую комплексную меру /1 можно представить в виде
КА) = Ия(А) - Ин(А) + i[f4(Л) - (Л)]. (3.47)
где /*д(Л), fif (А) и nj(А) — неотрицательные меры. Соответ¬
ственно интеграл от функции f(x) со значениями в В-пространстве
(в частности, со значениями в множестве комплексных чисел С) по
множеству А £ А естественно определится формулой
J f(*Mdx) ~ f fdfi = f fdf*R ~ J fdV~R+
A AAA
+«{J fdrf ~ J fdHi } •
A A
(3.48)
170
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
3.3.9. Интегралы от числовых функций по мере со значе¬
ниями в ^-пространстве. Совершенно так же, как в п.3.3.3 был
определен интеграл от функции со значениями в В-пространстве
по неотрицательной мере, можно определить интеграл от числовой
функции /(ж) по мере ц со значениями в 2?-пространстве
J /(«И*5) = J М* •
При этом вся теория, изложенная в пп.3.3.3 — 3.3.6, применима и к
таким интегралам. Только неотрицательные интегралы вида
J н / н = J н я*) н №*)
А А
везде заменяются интегралами вида
J I / I М= J I /(*) 11 ft I №),
а сходимость почти всюду относительно меры /1 заменяется сходи¬
мостью почти всюду относительно полной вариации | /л | меры /1.
ЗАДАЧИ
3.3.1. Обобщал выкладки примера 3.4, вычислить интеграл по мере Вине¬
ра /ify по всему пространству
хт
от функции
/(*)= ЕЫ*)*а(ь),
V Jt = l
где <Рк = C(S) (fc = 1, 2, , n).
3.3.2. Пользуясь формулой (*) примера 3.4 и формулами, полученными из
(*) дифференцированием по Т) и приравниванием после этого Г) нулю, показать,
что интеграл от функции
/(*) = Е <Pk(s)xm{tk)
к=1
по мере Винера, распространенный на все пространство , равен нулю при
нечетном 171 и равен
/ f(*)l*w(dx) = (2г - 1)!! £ <Pk(s)trk
jfc=i
§ 3.4, ИНТЕГРАЛЫ ЛЕБЕГА, ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА И РИМАНА
171
при четном т = 2Г.
3.3.3. Вычислить интеграл по мере Винера fiw от функции
/(*) = ¥>i(«)*(*i) + 2), <Pi, <Ръ € C(S),
распространенный на прямоугольное множество пространства X? с основа-
нием А = (в1, &i) X (в2, 62) в произведении пространств X%t X Xt7.
Указание. Воспользоваться функцией
ф(«) = 7Ь/е'*а/2^
и применить интегрирование по частям.
3.3.4. Вывести формулу
f f(x)fiw(dx) = exр{ J2 <pk(s)<pi(s)min(tk, ti))
4,1=1 J
для интеграла по мере Винера, распространенного на все пространство X^ от
функции
/(*) = ехр{ £>*(*)*(<*)} •
Указание. Воспользоваться формулой [22, приложение 1]
/ ехр{г)Тх - хтСх/2} dx = У^^ехр{г/тС_1»?/2} ,
— ОО
где П-размерность векторов X и Т), а | С | — определитель положительно
определенной матрицы С.
§ 3.4. Интегралы Лебега, Лебега — Стилтьеса и Римана
3.4.1. Интеграл Лебега. В частном случае действительной
числовой функции /(z), / : X —► R интеграл Бохнера (3.19) назы¬
вается интегралом Лебега по имени основоположника современной
теории меры и теории интегрирования французского ученого Лебе¬
га. В этом случае, положив
/+(*) = шах{ 0,/(*)},
/-(*) = -min{ 0,/(*)},
172
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
получим
/(*) = /+(*) “ /"(*)• (3.49)
Таким образом, любая действительная функция может быть пред¬
ставлена как разность двух неотрицательных функций. Это дает
основание определить интеграл Лебега только для неотрицатель¬
ных функций. Тогда из свойства (III) интеграла Бохнера будет сле¬
довать определение интеграла Лебега для любой действительной
функции.
Пусть /(ж) — измеримая неотрицательная функция. Очевидно,
что неубывающая последовательность простых функций {/п(ж)},
fn( ч Г *2"" при к2~п < /(ж) < (* + 1)2-" (к = 0,1,..., 22" - 1)
/W-\2n при /(*) >2” (п = 1,2,...) (3.50)
сходится к /(ж) при всех ж. Измеримость всех функций /п следует
из того, что множества { ж : Аг2“п < /(ж) < (к + 1)2“п } представляют
собой прообразы интервалов [к2~п>(к + 1)2-п).
Теорема 3.4.1. Если последовательность интегралов {f fn dp}
А
ограничена,
/г* < с < оо, (3.51)
А
то последовательность {/"(ж)} '.определяет функцию /(ж).
> Из (3.51) следует, что неубывающая последовательность ин¬
тегралов {f fn dp] сходится и, следовательно, фундаментальна,
А
]гъ-]г* —► 0 при 71, тп —► оо.
А А
Но в силу неотрицательности функций /" и неубывания последова¬
тельности {/п}
J\r -fm\ty=\J Pdfi - J при n, m —► оо.
A A A
В частности, это справедливо при А = X. Остается доказать, что
последовательность {/п(ж)} сходится к /(ж) почти всюду. Л ля этого
заметим, что по определению (3.50) функций /п последовательность
§3 4. ИНТЕГРАЛЫ ЛЕБЕГА, ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА И РИМАНА
173
{fn} сходится к /(ж) равномерно на любом множестве Вп = {х :
Дя) < 2п}. Чтобы оценить меру множества А\Вп = А{ х : /(ж) >
У 2п} = А{х : fn(x) = 2П }, заметим, что согласно (3.50) и (3.51)
2пц(А\Вп) = J f11 dp < j fn dfi < с,
A\Bn А
откуда находим ц(А\Вп) < с2“п. Взяв произвольное 6 > 0 и п, удо¬
влетворяющее неравенству 2П > с/6, получим /л(А\Вп) < 6. Следо¬
вательно, последовательность {/"(ж)} сходится к f(x) почти равно¬
мерно. По теореме 3.2.7 она сходится к /(ж) почти всюду. <
Если последовательность интегралов {f fn dfi} не ограничена,
А
то последовательность простых функций {/п} не определяет функ¬
цию /, и функция / не /х-интегрируема.
Таким образом, условие (3.51) необходимо и достаточно для
/i-интегрируемости неотрицательной функции f(x) (^-интегрируе¬
мость /(ж) в этом случае следует также непосредственно из сходи¬
мости последовательности интегралов {f fn dfi}).
А
Из (3.49) и свойства (III) интеграла следует, что для произволь¬
ной действительной функции /(ж) интеграл Лебега определяется как
разность интегралов от неотрицательных функций /+(ж) и /“(ж) :
/ fd/i = J f+dp - J Г dfi. (3.52)
А А А
Отсюда следует, что для /i-интегрируемости функции /(ж) не¬
обходима и достаточна /i-интегрируемость ее модуля, т.е. суще¬
ствование интеграла
J I /1 d/i = j f+dfi + J f~ dfi.
AAA
Для интегралов Лебега обычно допускаются и бесконечные зна¬
чения, т.е. значения на расширенной числовой прямой [—оо,оо] (за
исключением случая, когда f /+ dfi = оо и //“ dfi = оо). Таким
образом, можно говорить об интегралах Лебега для любых измери¬
мых (не обязательно интегрируемых) функций.
174
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
3.4.2. Интеграл Лебега по лебеговой мере. Определение ин¬
теграла Лебега первоначально было дано для случая, когда про¬
странство X представляет собой числовую прямую Я, а мера ц
— лебегову меру на Я. Это определение тривиальным образом
распространяется на случай любого конечномерного пространства
X = Яп и лебеговой меры /1 в этом пространстве. В этих случаях
интеграл Лебега обозначается так же, как и интеграл Римана:
j f(x)dx.
Л
При этом в случае n-мерного векторного аргумента х интеграл по¬
нимается как кратный интеграл,
Jf(x)dx — J" J f(xi,...,xn)dxi...dxn.
А А
В дальнейшем понятие интеграла Лебега было обобщено на
случай любого пространства с мерой а Бохнер распро¬
странил его и на подынтегральные функции со значениями в
^-пространствах (для случал конечномерного пространства У =
= Rm интеграл Лебега определяется совершенно естественно как
вектор, координатами которого служат интегралы Лебега от соот¬
ветствующих координат векторной подынтегральной функции).
3.4.3. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана. Как
известно, интеграл Римана от ограниченной действительной функ¬
ции f(x) по ограниченной области А n-мерного пространства Rn
определяется формулой
N,
I f(x) dx = lim ^/(^р))ЦЛ(кр)), (3.53)
j р—оо
где {Рр}
Рр:А= U4P) (Р=1,2,...)
* = 1
— такая последовательность разбиений области А} что
§ 3.4. ИНТЕГРАЛЫ ЛЕБЕГА, ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА И РИМАНА 175
^(р) — произвольная точка области А^\ ^ Е a v(A^) — объ¬
ем (в частном случае длина, площадь) области А^ (лебегова мера
области А^ *).
Легко заметить разницу между определением интеграла Рима¬
на и определением интеграла Лебега по лебеговой мере в конечно¬
мерном пространстве. При определении интеграла Римана область
интегрирования разбивается на части, и значение функции в произ¬
вольной точке каждой части умножается на объем этой части. При
определении интеграла Лебега область значений подынтегральной
функции разбивается на части — интервалы [fc2”n,(fc + 1)2“~п] — и
значение подынтегральной функции в левом конце каждого интерва¬
ла умножается на объем прообраза этого интервала. Это дает воз¬
можность определить интеграл для гораздо более широкого класса
функций. Так, например, интеграл Римана от функции Дирихле
/(х), равной 1 в рациональных точках и 0 во всех остальных точках
числовой прямой, по любому конечному интервалу (а, 6) не суще¬
ствует, а интеграл Лебега существует и равен нулю, так как функ¬
ция Дирихле /(х) представляет собой простую функцию с двумя
значениями, причем лебегова мера множества рациональных точек,
на котором /(х) = 1, равна 0, а лебегова мера множества, на котором
f(x) = 0, равна b — а.
Теорема 3.4.2. Если существует интеграл Римана от функции
f(x) по ограниченной области А, то существует и интеграл Лебега
от этой функции, равный интегралу Римана.
> Рассмотрим интегральную сумму Римана
5Р = Е/(^)м4р))-
*=1
Она представляет собой интеграл от интегрируемой (по мере Ле¬
бега) простой функции
Nр
/p(*) = EMp))v>(*)<
1=1 *
ь
SP = j fp(x)dx.
В курсе математического анализа лебегову меру на классе множеств, измеримых по
Йордану [16, т.2], называют мерой Жордана.
176
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Докажем, что последовательность простых функций {fp} определя¬
ет функцию /. Для этого обозначим через и Мсоответствен¬
но нижнюю и верхнюю грани функции /(ж) в области А^ :
< /(ж) < М<р) при ж G
Вследствие интегрируемости функции /(ж) по Риману предел после¬
довательности сумм Sp не зависит от выбора последовательности
разбиений области А. Поэтому всегда можно взять такую последо¬
вательность разбиений, чтобы при любом q > р каждая область А\я*
полностью содержалась в какой-нибудь области Тогда будем
иметь при всех р и q > р
| Р (ж) — fq(ж) | < М^ — т^ при х G А^\
и по свойству (IX) интеграла от простой функции
Nр
| /*•(*) - /Цх) I dx < £(М<р) - тРмлР).
к = 1
Но интеграл Римана от /(ж) существует тогда и только тогда, когда
последовательности верхних и нижних сумм Дарбу
к—\ *=1
сходятся к одному и тому же пределу. Поэтому
УI Я*)-/*(*) Id*- 0 при р> q * оо.
л
Следовательно, функция / интегрируема по лебеговой мере по обла¬
сти А} т.е. существует интеграл Лебега
/
л
§ 3.4. ИНТЕГРАЛЫ ЛЕБЕГА, ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА И РИМАНА
177
Но по определению интеграла Римана (3.53) этот же предел пред¬
ставляет собой интеграл Римана от /(я). <
3.4.4. Случай несобственного интеграла Римана. Покажем
теперь, как теорема 3.4.2 распространяется на несобственные инте¬
гралы. Предположим, что функция f(x) имеет разрывы второго ро¬
да в точках некоторого множества Е С А, когда f(x) неограниченно
возрастает по модулю при х —► £ G Е, а область А не ограниче¬
на. Пусть Аь — область, полученная из А выкидыванием шаровых
окрестностей радиуса 6 всех точек множества Е и той части А> ко¬
торая расположена вне шара радиуса \/8 с центром в начале коор¬
динат. Несобственный интеграл Римана определяется формулой
J /(*) dx = lim J f(x) dx. (3.54)
A As
Теорема 3.4.3. Если существует абсолютно сходящийся несоб¬
ственный интеграл Римана (3.54), т.е. существует интеграл
JI m\dx,
А
то существует и интеграл Лебега от функции f(x) по области А,
совпадающий с интегралом Римана (3.54).
> Очевидно, что достаточно рассмотреть случай неотрицатель¬
ной функции f(x). В этом случае можно взять возрастающую по¬
следовательность (3.50) простых функций {/**}, почти всюду сходя¬
щуюся к /. Однако в соответствии с определением интегрируемо¬
сти простой функции в п.3.3.1 надо будет умножить каждую функ¬
цию /п из (3.50) на индикатор некоторой ограниченной области Вп,
Вп С Вп+1, lim Вп = (J Вп = А. Чтобы различать интегралы Рима¬
на и Лебега до того, как будет установлено их совпадение, будем
временно обозначать их соответственно через
(R) J f(x)dx и (L) J f(x)dx.
А А
Так как интегралы Римана и Лебега от простых функций /п совпа¬
дают, то из свойства (XIII) интеграла, которым обладают и инте¬
гралы Римана, следует
J fn(x)dx < (R) j f(x)dx. (3.55)
А А
178
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Таким образом, все интегралы от простых функций /п ограничены
и, следовательно, по теореме 3.4.1 существует интеграл Лебега
(L) f f(x)dx= lim f fn(x)dx. (3.56)
J n—юо J
A A
Из (3.55) и (3.56) следует неравенство
(L) J /(*) dx < (R) j f{x) dx. (3.57)
A A
С другой стороны, так как интегралы Римана и Лебега по обла¬
сти As по теореме 3.4.2 совпадают, то по свойству (XIV) интеграла
Лебега при всех 6 > О
(L) J f(x)dx > J f{x)dx.
А$
Но согласно (3.54)
(Д) J /(*) dx = ]im I f(x) dx.
As
Следовательно,
(L) J f(x) dx > (R) J f(x)dx. (3.58)
A A
Из (3.57) и (3.58) получаем
(L) J f(x)dx = (R) J f(x) dx = J f(x)dx. «
Таким образом, во всех случаях, когда модуль функции / инте¬
грируем по Риману, функция / интегрируема и по Лебегу, причем
интегралы Римана и Лебега от этой функции совпадают. Однако,
как мы видели, интеграл Лебега может существовать и тогда, когда
§ 3.4. ИНТЕГРАЛЫ ЛЕБЕГА, ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА И РИМАНА 179
интеграл Римана не существует. С другой стороны, если интеграл
римана
/\f{*)\d*
А
не существует, то функция f(x) не интегрируема по Лебегу, в то
время как несобственный интеграл Римана
J /(*) dx
А
может существовать, как показывает известный пример
оо
/sinх ,
dx = тт/2.
о
3.4.5. Интегралы Лебега —- Стилтьеса и Римана — Стил-
тьеса. В случае конечномерного пространства X = Rn общий ин¬
теграл Лебега (3.52) называется интегралом Лебега — Стилтьеса.
В частности, при X = R любой конечной неотрицательной мере р
можно поставить в соответствие ограниченную неубывающую функ¬
цию
^(*) =/*((-<».*))• (3.59)
Эта функция определяет меру Лебега — Стилтьеса на R (при¬
мер 2.9) и для любого юггервала вида [а, /?)
ft([«,l3)) = F(l3)-F(«). (3.60)
Ha основании теоремы 2.2.3 о непрерывности меры, заданной на
<г-алгебре, функция F(x) непрерывна слева (именно поэтому, опре¬
деляя меру Лебега — Стилтьеса на Л в примере 2.9, мы взяли функ¬
цию F(x), непрерывную слева).
Бели мера /I <г-конечна, то, определив функцию F(x) формулой
(я([0, *)) при * > 0,
0 при х = 0,
-р([х, 0)) при X < 0,
снова получим формулу (3.60) для р([а,0)), и F(x) будет непрерыв-
ной слева неубывающей функцией.
180
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Таким образом, любая мера на R представляет собой меру Ле¬
бега — Стилтьеса (формулы примера 2.9 для значений этой меры
на интервалах [а,/?], (а,/?] и (а,/?) получаются на основании теоре¬
мы 2.2.3 о непрерывности меры). № результатов примеров 2.11 и
2.14 следует, что любая непрерывная слева функция F(x) определя¬
ет меру на R.
Аналогично можно показать, что любая мера в Rn может быть
выражена через некоторую функцию F(x). Однако при п > 1 это
вряд ли целесообразно.
На основании установленного взаимно однозначного соответ¬
ствия между мерами на Л и непрерывными слева функциями инте¬
грал Лебега — Стилтьеса по интервалу [а, 6) записывается в виде
Эта же формула определяет интеграл Лебега — Стилтьеса по ин¬
тервалам [а, 6], (а, 6) и (а, 6], если функция F(x) непрерывна в точках
а и 6. Бели же функция F(x) имеет разрывы первого рода со скачка¬
ми F(a+0) — F(a) и F(6+0) — F(6), то интегралы Лебега — Стилтьеса
по интервалам [а, 6], (а, 6) и (а, 6] следует записать соответственно в
виде
Обычно интегралы Лебега — Стилтьеса (3.61) рассматриваются в
случае функции F(x) ограниченной вариации (пример 2.12).
Интеграл Римана — Стилтьеса от функции / по функции F
определяется формулой, аналогичной (3.53):
ь
(3.61)
a
Ь
6+0
j f(x)dF(x), J f(x)dF(x) и j /(*) dF(x)
a
a+0
a+0
a
f(x) dF(x) = lim £ /tfip))[F(4p)) ~ ^(*?2i)], (3 62)
где { Pp } : a = x^ < x^ < < x^.j < x^ = 6 (p = 1,2,...) —
такая последовательность разбиений интервала [a, 6), что
§ 3.4. ИНТЕГРАЛЫ ЛЕБЕГА, ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА И РИМАНА 181
Совершенно так же, как были доказаны теоремы 3.4.2 ?и 3.4.3,
доказывается следующая теорема.
Теорема 3,4.4. Если существует интеграл Римана — Стилтъе-
са 6
J\f(x)\dF{x), (3.63)
а
то существует интеграл Лебега — Стилтьеса от функции f(x) по
F(x) по интервалу [а,6) (а значит, и по интервалам [а, Ь], (а, 6],
(ауЬ)) , совпадающий с интегралом Римана — Стилтьеса (может
быть а = —оо, Ъ = оо).
И совершенно так же, как в случае интегралов Лебега по ле¬
беговой мере, интеграл Лебега — Стилтьеса от функции / может
существовать, в то время как интеграл Римана — Стилтьеса не су¬
ществует. И наоборот, если интеграл (3.63) не существует, то не
существует и интеграл Лебега — Стилтьеса от /(ж), в то время
как интеграл Римана — Стилтьеса может существовать ( как по¬
казывает, в частности, пример интеграла от sin х/х от 0 до оо при
F(x) = х — а ).
Аналогично можно определить интегралы Лебега— Стилтьеса
и Римана — Стилтьеса от скалярной функции f(x) скалярной пере¬
менной х по любой непрерывной слева комплексной функции F(x)y
представив ее в виде ( пример 2.12 )
F(x) = Fx(x) - Р2(х) + i[F3(x) - Д|(*)],
где Fi, F2, F3, F4 — неубывающие непрерывные слева функции.
Пример 3.5. Пользуясь формулой замены переменных (3.46), можно
свести интеграл Лебега к интегралу Лебега — Стилтьеса,
ff(x)dx= / udF(u),
а — оо
положив и = f(x), F(y) = /({ х : f(x) < y)(a,b)) в соответствии с опреде¬
лением (3.59) неубывающей непрерывной слева функции, порождающей меру
Лебега — Стилтьеса ( / — мера Лебега на числовой прямой R). N
3.4.6. Интегралы от функций со значениями в 5-простран¬
стве по мере Лебега. Общее определение интеграла Бохнера
(п.3.3.3) дает, в частности, определение интеграла Бохнера по мере
182
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Лебега в пространстве Яп. Можно также определить интеграл Ри¬
мана от функции со значениями в сепарабельном ^-пространстве.
Рассмотрим, как в обычном анализе, последовательность разбиений
ограниченной замкнутой области ( компакта ) А
{ Р„ } : А = (J А^\ Д„ = max sup \х' — at| —*• О
‘=1 * *.*'ел‘п)
и определим соответствующую последовательность интегральных
сумм
5п = £ /«1П)М4П).) («=1.2,...), (3.64)
* = 1
где — произвольная точка области А^\ a, v(A^) —
лебегова мера области А^\ Интегралом Римана от функции f(x)
со значениями в сепарабельном ^-пространстве называется предел
последовательности интегральных сумм 5П, если он существует :
Г Nn
/ f(x)dx= lim ^/(^п))«(4П))- (3 65)
A
Теорема 3.4.5. Если функция f(x) непрерывна в ограниченной за¬
мкнутой области А, то существуют равные один другому интегралы
Бохнера и Римана от функции /(ж) по области А .
> Доказательство почти дословно повторяет доказательство те¬
оремы 3.4.2 с той лишь разницей, что для интегралов от простых
функций /и теоремы 3.4.2 получается соотношение
Nq
II f(x) - /«(г) II dx < £%up II /(£*°) - Я£|(,)) II
!=1 А,(,)
где одна и та же точка соответствует всем /, для которых
ih[v) = 4p)-
Из непрерывности функции f(x) в ограниченной замкнутой обла¬
сти А следует ее равномерная непрерывность (см.[16, т.1] и теорему
/
л
§ 3.4. ИНТЕГРАЛЫ ЛЕБЕГА, ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА И РИМАНА 183
4.5.6, доказательство которой ни в какой мере не опирается на ма¬
териал этой главы). Поэтому при любом е > 0 существует такое
6>0, что
sup sup || /(^р)) - Д£,(,)) || < е
kkjv,
при Др < 6. Поэтому
/
|| Я*)-/*(*) II d*<et;(A)
Л
при всех достаточно больших р и q > р. Это доказывает, что после¬
довательность простых функций {/п(х)} определяет функцию /(х)
и, следовательно, существует интеграл Бохнера
/ /(х) dx = lim f f1 (ж) dx = lim Sn.
У n—ЮО J n—►<»
>1 A v
Но этот же предел равен интегралу Римана. Совпадение интегра¬
ла Римана с интегралом Бохнера в силу теоремы 3.3.1 доказывает
независимость предела в (3.65) от выбора последовательности раз¬
биений области А. <
Ясно, что интеграл Римана (3.65) от непрерывной функции со
значениями в Б-пространстве обладает всеми свойствами интегра¬
ла Бохнера, установленными в п.3.3.2 и п.3.3.5.
Интегралы Римана от функций со значениями в Б-пространст-
вах имеют большое значение для теории дифференциальных урав¬
нений в ^-пространствах.
ЗАДАЧИ
3.4.1. Доказать существование интеграла Римана — Стйлтьеса в случае
непрерывной функции /(х) и функции ограниченной вариации F(x).
3.4.2. Вычислить интеграл Лебега по интервалу [—1, 1] от функций
Л(*)= {,*2
при иррациональных X/
X при рациональных X ф 0;
j Г 1/(х — а) при рациональных X, а иррационально,
I sin X при иррациональных X;
при рациональных X,
при иррациональных X;
In | X | при X = in"1, (fl = 1,2,...),
Ых) - [ Х/\/(1 - *2)(1 - *2*2)
М } ~ { 1/VT^2
Л(*) — | sjn х Jj.rn при х ф -£п-1
184
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Измеримы ли эти функции?
3.4.3. Вычислить'интеграл Римана — Стилтьеса от функций
fi(x)z=x~2, f2(x) = а*, а€ (0,1), /3(*) = Г(ж + 1)
в случае, когда мера Лебега — Стилтьеса определяется функцией F(x) =
= —[“"*] — 1» по интервалу (0, оо) ( функция “[—х] — 1 совпадает с [х] всюду,
кроме точек X = 0, ±1, ±2,.. ., но в отличие от [х], она непрерывна не справа,
а слева: F(x) = П при X G (п, П + 1] ).
3.4.4. Вычислить интеграл Римана — Стилтьеса по интервалу [—2, 2] по
мере, определяемой функцией
F(») =
-*-2
при
х 6 (-00,-1},
2x3
при
х 6 (-1,0],
x + 5
при
* € (0,1],
e*
при
х е (1, оо),
от функций
МХ) = Т&’ Д(*) = мп*,
{ех при х < “3/2,
х при —3/2 < х < 3/2,
sinx при х > 3/2.
3.4.5. Вычислить интеграл Лебега — Стилтьеса от функций
fl(x) = хп, п натуральное,
Ш = еох
по функции F(x) примера 3.9.
У Казани е. Воспользоваться тем, что в силу конструкции функции
F(x) примера 3.9
оо 1/3 1
/ f(x)dF(x) = f f(x)dF(x)+ f f(x)dF(x)
-oo 0 2/3
И F(ar) = F(3x)/2 при * e (0,1/3), F(x) = [1 + F(3x - 2)]/2 при x €
(2/3, 1), вследствие чего замена переменных X — у/3 в первом интеграле и
X = (2 + у)/3 во втором дает
/ f(x)dF{x) = ff(x)dF(x) = i//(*) dF(y) + Н/(Ц*) dF(y).
— лп n n N ' n N 7
§ 3.5. ПБРВХОЛ К ПРЕДЕЛУ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
185
Это соотношение дает рекуррентные формулы для искомых интегралов. А так
3.4.6. Считая функцию /(ж) непрерывной if точках СК и 6, вывести формулу
интегрирования по частям для интеграла Римана — Стилтьеса :
3.4.7. Доказать, что в случае непрерывной кусочно дифференцируемой
3.4.8. Обобщить определение (3.6$) интеграла Римана от функции со зва¬
ной конечной мере /i и доказать теорему 3.4.5 для этого случая.
§ 3.5. Переход к пре^лу под знаком интеграла
3.5.1. Теорема о монотонной сходимости. Одним из важ¬
нейших вопросов теории интеграла является вопрос о возможности
перехода к пределу под знаком интеграла. Поэтому займемся изу¬
чением этого вопроса, сначала для интегралов от действительных
функций.
Теорема 3.5.1. Если {fn(x)} — неубывающая последовательность
неотрицательных измеримых функций, сходящаяся почти всюду к
функции f(x)} то
> Представим каждую функцию /п(я) как предел неубывающей
последовательности простых функций {/£(ж)}, /п(ж) = Ит /*(ж).
п—♦ оо
Как мы видели в п.3.4.1, это можно сделать, например, приняв
как при ТП = 0, а = 0 эти интегралы равны f dF(x) = 1, то эти рекуррентные
формулы полностью решают задачу.
Ь
Ь
Jf(x)dF(x) = f(b)F(b) - f(a)F(a) -fF(x)df(x).
a
a
функции F(x) интеграл Римана — Стилтьеса сводится к интегралу Римана
Ь
Ь
ff(x)dF(x) = ff(x)F'(x)dx.
а
а
чениями в сепарабельном 2?-пространстве на случай интеграла по произволь-
(3.66)
А
А
/*(*) = Л2“* при Л2“* < /„(*) < (Л + 1)2 *, Л = 0,1,..., 23t - 1,
/*(*) = 2* при /„(*) > 2*.
186
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Определим простые функции
дп(х) = max{ft(x),..,,/£(*)} (п = 1,2,...).
Учитывая, что /£(х) < /т(я) при всех т, п и /т(*) < /п(*) при всех
т < п, получаем
/£(*) < 9п(х) < /«(*) при т < г». (3.67)
Отсюда вследствие свойства (XIII) интеграла вытекает
J dt* < j 9ndP< J fn dft. (3.68)
AAA
Перейдем теперь к пределу при п —* оо. Тогда (3.67) примет вид
• /т(*) < Ит дп(х) < f(x).
П—♦ 00
Здесь предел существует, так как {</п(ж)} — неубывающая после¬
довательность, ограниченная сверху функцией /(ж). Отсюда, при¬
нимая во внимание, что /т(я) —* /(*) при т —► оо, получаем
Ит</п(а?) "= /(ж), т.е. последовательность простых функций {^п(ж)}
сходится почти всюду к /(х). Поэтому, учитывая, что fm(x) — так¬
же простые функции, на основании определения интеграла (3.19) из
(3.68) при п —► оо получаем
А А
Отсюда вследствие того, что
J fmdfi< J fdfi<\iirn^ J fndp.
j fm dfi ► Jiirn^ J fn dn при
m —* oo,
получаем (3.66). <
Это предложение известно как теорема о монотонной сходи¬
мости.
Следствие. Если для неубывающей последовательности fi-ин¬
тегрируемых неотрицательных функций {/п(я)} последователь¬
ность интегралов ограничена, то существует функция
§ 3.5. ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА 187
f(x) "= lim fn(x) и справедлива формула (3.66) предельного перехода
J ' п—*оо
под знаком интеграла (теорема Леви).
> Достаточно доказать существование предельной функции
Дя), к которой последовательность {/п(®)} сходится почти всюду:
/(*) ”= lim /„(*).
п—*оо
Тогда справедливость формулы (3.66) будет следовать из теоремы
о монотонной сходимости. Для доказательства существования пре¬
дела f(x) определим множества
Ah = {* : /»(*) > г]А (п,г = 1,2,...)-
Вследствие неубывания последовательности {/„} при любом г
{* : /„(*) > г} С {х : fn+i(x) > г} (n = 1,2,.. .)•
Следовательно, при любом фиксированном г множества Агп образу¬
ют монотонно возрастающую последовательность, и
Вг = lim Arn= \JArn (г = 1,2,...).
п“>°° п=1
При любом фиксированном п множества Агп образуют монотонно
убывающую последовательность, так как
{х : fn(x) > г+ 1} с {х : /„(*) > г}.
Следовательно,
' С = lim Вг = П Вг.
Г-1
Из неравенства Чебышева (3.30) следует, что при всех п и г
< J U dy.fr < с/г,
А
если
JhdKc при всех п,
А
188
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
и, вследствие непрерывности меры, заданной на (7-алгебре,
ц{Вт) = lim ц{Агп) < с/г,
TI—+OQ
И
< ц(Вг) < с/т при любом г.
Отсюда следует, что р(С) = 0. Но при любом х € С, х 6 Вг при
некотором г и, следовательно, при этом г, х G Ап при всех п. Сле¬
довательно, fn(x) < г при всех п, и существует предел /(х) =
= lim fn(x) при всех х Е С. Таким образом, последовательность
п-юо
{/„(х)} сходится почти всюду к некоторой функции /(х). <J
Бели {/п(х)} — неубывающая последовательность действитель¬
ных функций, почти всюду сходящаяся к /(х) и fn(x) > v(x), где и(х)
— /i-интегрируемая действительная функция, то, применив теорему
о монотонной сходимости к функциям /п(х) —v(x), убеждаемся в том,
что и в этом случае возможен предельный переход под знаком ин¬
теграла. Это распространяет теорему о монотонной сходимости на
любые действительные функции, ограниченные снизу /i-интегрируе¬
мой функцией.
3.5.2. Почленное интегрирование рядов. Из теоремы о мо¬
нотонной сходимости легко выводится теорема о возможности по¬
членного интегрирования почти всюду абсолютно сходящихся ря¬
дов измеримых действительных функций.
Пусть {sfp(s)} — произвольная последовательность действи-
оо
тельных измеримых функций, такая, что ряд др(х) почти всю-
p=i
ду сходится к некоторой функции /(х). Предположим сначала, что
все функции др(х) неотрицательны, и определим функции
/п(*) = Е*р(*) С» = 1,2,...).
Р=1
Эти функции образуют неубывающую последовательность, почти
всюду сходящуюся к функции /(х). Поэтому к ним применима тео¬
рема о монотонной сходимости 3.5.1, которая дает
§ 3.5. ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
189
Для произвольных действительных функций др{х) определим соот¬
ветствующие неотрицательные функции д£{х) = тах(<7р(х), 0) и
д-(х) = -min(flfp(x),0). Тогда будем иметь др(х) = д£(х) - д~(х).
Применив (3.69) отдельно к функциям д£(х) и д~(х), убеждаемся в
том, что формула (3.69) справедлива и в этом случае при условии,
что ряд 52 9р(х) сходится почти всн?ду абсолютно. Таким образом,
справедливо следующее предложение.
Теорема 3.5.2. Абсолютно сходящиеся почти всюду ряды можно
интегрировать почленно.
Пусть теперь /(х) — произвольная /i-интегрируемая действи¬
тельная функция и {Лп} — любая последовательность попарно не^
пересекающихся множеств, Ап Е Л. Положив в (3.69) А = U Ару
Таким образом, интеграл от действительной числовой функции
представляет собой (т-аддитивную функцию множества.
3.5.3. Лемма Фату. Рассмотрим теперь произвольную после¬
довательность неотрицательных измеримых функций {/п(я)}- Опре¬
делим функции
Очевидно, что последовательность (<7п(я)} является неубывающей
последовательностью неотрицательных измеримых функций, сходя-
щейся к Иш/п(х). Поэтому на основании теоремы о монотонной схо¬
димости
оо
оо
дР(х) = f(x)lAf{x), получим
(3.70)
дп{х) = inf fk(x) (n = 1,2,...).
А
А
С другой стороны, дп(х) < /п(х) при всех х и, следовательно,
190
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Отсюда выводим
lim j gndfi< lim J fndfi.
A A
Из этого неравенства и полученного выше равенства вытекает
J lim/n dn<\mj fn dfi. (3-71)
A A
Это неравенство составляет содержание леммы Фату.
Неравенство (3.71) справедливо и для любой последователь¬
ности действительных функций {/п(я)}, ограниченной снизу /i-ин¬
тегрируемой функцией v(x), /п(я) > и(я)- Чтобы убедиться в этом,
достаточно применить (3.71) к последовательности неотрицатель¬
ных функций {/п(я) — и(ж)} и учесть, что Um(an — 6) = Итап — 6
для любой числовой последовательности {an} и любого конечного
числа Ь.
Бели последовательность {Л»(я)} ограничена сверху /i-интег¬
рируемой функцией v(x), то из (3.71) следует
lim J fndfi < j lim/n dfi. (3.72)
A A
Для вывода этого неравенства достаточно применить (3.71) к после¬
довательности неотрицательных функций (v(x)—/п(х)} и учесть, что
Jim (6—an) = 6—liman для любой числовой последовательности {an}
и любого конечного числа Ь.
3.5.4. Теорема о мажорируемой последовательности. Из не¬
равенств (3.71) и (3.72) вытекает основная теорема об интегрирова¬
нии почти всюду сходящихся последовательностей действительных
функций.
Теорема 3.5.3. Если последовательность действительных изме¬
римых функций {/п(я)} сходится почти всюду к функции /(х) и огра¬
ничена снизу и сверху р-интегрируемыми функциями v(x) и w(x) со¬
ответственно,
v(x) < /п(х) < Цх),
то все функции fn(x) « /(я) fi-интегрируемы и справедливо равен¬
ство (3.66):
ton J fn dfi = j fdti.
§ 3.5. ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
191
о Так же как и при доказательстве теоремы о монотонной схо¬
димости, представим каждую из функций /п(ж) как предел неубыва¬
ющей последовательности простых функций {/£(«)} •
fn(x) = lim /*{*), ft(x) < /«(*) < /„(*) при р < q.
к—*00
Тогда получим неубывающую последовательность действительных
чисел {//*<f/i}, ограниченную сверху числом f wdfi. По теореме
3.4.1 последовательность простых функций {/£(х)} при фиксирован¬
ном п определяет функцию /п(я). Следовательно, /п(я) /i-интег¬
рируема.
Применив теперь к функциям /п(я) неравенства (3.71) и (3.72) и
учитывал, что в этом случае 1пп/п(я) = lim/n(s) = Km/n(x) = /(я),
получим
fiin J fn(x)dfi < J f dfi < lim J fndft.
AAA
Отсюда ясно, что существует предел
lim J fndfi- J f dfi.
Таким образом, в этом случае также возможен предельный переход
под знаком интеграла.
Доказанное предложение обычно называется теоремой о мажо¬
рируемой последовательности.
Заметим, что для справедливости всех доказанных здесь теорем
достаточно, чтобы их условия выполнялись почти всюду.
3.5.5. Общая теорема Лебега о предельном переходе под
знаком интеграла. Из теоремы 3.3.2 вытекает общая теорема о
переходе к пределу под знаком интеграла.
Теорема 3.5.4. Если последовательность измеримых функций
{/п(х)} со значениями в сепарабельном В-пространстве сходится по¬
чти всюду к функции f(x), и все функции /л(я) ограничены по норме
Ц-интегрируемой функцией у(х),|| /п(я) ||< 9(х)> то функция f(x) fi-
интегрируема и
j f dfi = lirn^ j fn dfi (3.73)
A A
(теорема Лебега).
192
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
> По теореме 3.3.2 все функции /п(я) /i-интегрируемы. Из того,
что || /п(х) ||< д(х) и /п(х) ^ /(х), следует, что || /(х) ||< </(х) почти
всюду. Поэтому функция /(х) также /i-интегрируема. Кроме того,
так как 0 <|| /п(«) — /(«) ||< 2</(х) почти всюду, то все неотрица¬
тельные функции ||/п(я) — f(x)|| также /i-интегрируемы и по теореме
3.5.3
„lim J II /„ - / II dp = 0.
I
Отсюда вследствие неравенства
J Jfnd»-J fdn ||< J || /„ - / || rf/i,
А А
вытекает (3.73), причем последовательность интегралов {/ /п d/i}
А
сходится к / / rf/i равномерно относительно A G Л. <
А
Следствие. Если последовательность измеримых функций {/п(я)}
со значениями в сепарабельном В-пространстве сходится по мере ц
к функции /(х) и все функции /п(х) ограничены по норме р-интегри-
руемой функцией д{х), || /п(х) ||< д(х), то функция /(х) ц-интегрируе-
ма и справедлива формула (3.73).
> Так как сходящаяся по мере /* к функции /(х) последователь¬
ность {/п(я)} содержит подпоследовательность, сходящуюся к /(х)
почти всюду, то по теореме Лебега 3.5.4 /(х) /i-интегрируема. По¬
ложим
а = I'm J || /„ - / || d(i.
Из определения верхнего предела следует, что из последовательно¬
сти {/п(х)} можно выделить такую подпоследовательность {/п*(я)}>
что
lim [ || fnt -f\\d(i = a.
ОО J
Эта подпоследовательность сходится по мере к той же функции /(х).
Положим для краткости <7*(х) = /п*(х) и выделим из {</*(я)} подпо¬
следовательность {<7*р(я)}, сходящуюся к f(x) почти всюду. Тогда
по теореме 3.5.4 будем иметь
lim / || 9kr ~ f || dp = 0.
> — OO J
P
A
§ 3.5. ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
193
С ДРУг°й стороны, так как подпоследовательность всегда сходит¬
ся к тому же пределу, что и последовательность, из которой она
выделена, то
Отсюда, так же как при доказательстве теоремы 3.5.4, вытекает
Таким образом, мы доказали возможность предельного перехо¬
да под знаком интеграла для любой последовательности функций,
ограниченной по норме ^-интегрируемой функцией и сходящейся к
некоторой функции почти всюду или по мере.
3.5.6. Общая теорема о почленном интегрировании рядов.
Из доказанных теорем легко выводится теорема о возможности по¬
членного интегрирования сходящихся почти всюду или по мере ря¬
дов.
Теорема 3.5.5. Если ряд
сходится почти всюду или по мере к некоторой функции /(ж) и все
его конечные отрезки
ограничены по норме р-интегрируемой функцией д(х), то функция
/(ж) [л-интегрируема и
л
Следовательно, а = 0 и существует предел
л
(3.73). <
оо
Р=1
п
/п(*) = £ 9р(х) (п = 1,2,...)
р=1
(3.74)
> Справедливость этой теоремы немедленно следует из теоремы
3.5.4 и следствия из нее, если заметить, что последовательность
194
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
{/„(г)} сходится почти всюду или по мере к /(а?) и все функции fn(x)
ограничены по норме ^-интегрируемой функцией </(s). <
Таким образом, сходящийся почти всюду иди по мере ряд мож¬
но интегрировать почленно при условии, что все его конечные от¬
резки ограничены по норме интегрируемой функцией.
Следствие. Интеграл от функции со значениями в сепарабель¬
ном В-пространстве представляет собой а-аддитивную функцию
множества, т.е. меру со значениями в том же В-пространстве.
> Пусть f(x) — /i-интегрируемая функция со значениями в се-
оо
парабельном В-пространстве, А = (J АруАр € A}ApAq = 0 при
p=i
q фр. Положив в (3.74) gp(x) = f(x)lлДз), получим
//<*#* = £ //«&»• < (3.75)
л р='а.
Пример З.в. Вычислим интеграл
f /(*) = / <p(a,t)x2(t)dt.
а
В примере 3.2 было доказано, что функция f{x) (Ajy, Неизмерима, а в при¬
мере 3.4 был вычислен интеграл для функции, полученной из f(x) заменой
интеграла суммой. На основании етих результатов, положив, как и в примере
3.2,
*=О
получаем
J/»(*W(<f*) = j£f Ё ¥>(«.<*)**
k=0
и
Ь
lim Jfn(x)fiW(dx) = f<p(s,t)tdt. (*)
n—o° а
Осталось доказать возможность предельного перехода под знаком интеграла.
Л ля ото го заметим, что
II /п(*) ||< 9п(х) = £rf Е 8UP Me,<t)k2(<t).
t=l$€S
§ 3.5. ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
195
Положив
b
д(х) = lim дп(х) = faup |у>(«, f)|*2(t) dt,
n—°° a $€S
получили совершенно так же, как и раньше,
Ъ
lim fg„(x)nw(dx) = /sup |p(e,f)|*<ft.
n-*°° a »€S
Но согласно лемме Фату (п.3.5.3)
f g(x)ftw(dx) < lim /gn(x)nw{dx).
fl-^OO
Таким образом, функция g(x) /1|у-интегрируема и функции fn ограничены по
норме fiw-интегрируемой функцией д(х) + С при некотором С > 0. А так как
/«(*)-*/(*) почти всюду относительно меры pw % то по теореме Лебега 3.5.4
Ь
f f(x)(iw{dx) = lim /f„(x)fiW(dx) = /<p(s,t)tdt.
n-*oo _
ЗАДАЧИ
3.5.1ч Применив прием примера 3.6, доказать, что интеграл от функции
Я*) = /р(м)*3г(0л
a
по мере Винера fiw* распространенный на все пространство ХТ, определяется
формулой
/ f{*)w{dx) = (2г - 1)!! / <p(s, t)tr dt.
a
3.5.2. Доказать, что интеграл от функции
/(*) = ехр|/¥>(«,*)*(<) *}
по мере Винера fiw> распространенный на все пространство
ХТ
, определяется
формулой
/ f(x)nw (dx) = exp jxr ¥>(«, h) min(f i, t2) dti dt2j.
196 ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Решение. Ввода функции
/п(х) = exp Ёо vKMfc)*(<*) j
и пользуясь результатом задачи 3.4, находим совершенно так же, как в примере
3.6,
J|im f fn(x)/iW(dx) = exp|j(/‘y>(s,i1)¥»(s,t2)mm(f1)t2)d<i Лг|- (*)
Остается доказать возможность предельного перехода под знаком интеграла.
Лля етого заметим, что согласно лемме Фату (п.3.5.3), которую можно приме¬
нить вследствие неотрицательности всех функций /»(*) при каждом S £ S,
J f(x)nw(dx) - f lim/„(x)fiw(dx) < lim/ fn(z)fiw(dx).
Отсюда и из (*) ясно, что функция /(х) fJiyy-интегрируема. Поэтому ре¬
интегрируема и ее норма
II /(*) 11= sup exp / / <p(s, t)x(t) dt 1.
*€5 la J
А так как последовательность {/n(®)} сходится к /(l) почти всюду относи¬
тельно меры fiw* то
II fn(x) ||= sup exp (*Ef £ vKMtM**)} < С || /(*) ||
»es L *=o J
при некотором С > 1. Таким образом, сходящаяся почти всюду относи¬
тельно /Л\у последовательность функций {/n(l)J ограничена по норме ре¬
интегрируемой функцией. По теореме Лебега 3.5.4 отсюда следует
//(*W(rf*)= Km f fn{x)nw(dx),
n—* oo
и мы получаем требуемую формулу.
Замечание. Полученные в результате решения задач 3.5.1 и 3.5.2 фор¬
мулы и условия существования интеграла Бохнера показывают, что функции
/,(*) = J>(5, «)**(«) dt,
о
S 3.5. ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА 197
/2( х) = exp j / <p(s, 0*(0 л|
^-интегрируемы тогда и только тогда, когда сходятся несобственные инте¬
гралы Римана
оо оооо
/ sup|p(s,t)M, //sup|v>(«,<i)v>(e,<2)|inm(<i,<2)*irf<2.
О *€$ О О *€S
Заметим, что в примере 3.4 и в задачах 3.3.1-3.3.4, 3.5.1 и 3.5.2 условия
существования интеграла Бохнера — интегрируемость нормы функции* /(х),
рассматриваемой как функции S из пространства (7(S>), — выполнено.
3.5.3. Вычислить интегралы по мере Винера fiWt распространенные на
все пространство хт, от функций
ь
fi (х) = sin / <p{s, t) x(t) dt,
a
b
/2(*) = cos f<p(s,t)x(t)dt,
a
b
fs(x) = sinh / <p(s, t) x(t) dt,
a
6
f4(x) = cosh / <p(s, <) *(<) dt,
a
fs(x) = exp|/y?i(s, t) x(t) <ft j sin f <pi(s, t) x(t) dt,
/6(*) = exp j/y>i(s,t)z(<)<ft j cos f <p2(s,t)x(t)dt,
f7(x) =exp|/y>i(s,<)ir(<)rf<|sinh /
/»(*) = exp | / y>i(s, t) x(t) <ft| cosh / t) x(t) dt,
fg(x) = V>(*)exp|/y»(s,<)*(0*|.
t к
где ф(х) = /.../ip(s,ti)...<p{s,tm):c(f i)...x(tm)dti... dtm,
a a
b
/io(*) = Ф(х) sin / v>(«, t) x(t) dt,
a
b
fn(x) = ^(u)cos / ip(s,t)x(t)dt,
a
198
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
ft
/12 (*) = V’(x) sinh f <p(s,t)x(t)dt,
a
b
/хз(х) = ip(x)cosh f <p(s,t)x(t)dt.
a
Указание. Для вычисления интегралов от /9-/13 заменить в форму¬
лах задачи 3.5.2 и в формулах для интегралов от функций Д,..., /4 функцию
<p(s, t) функцией Of^(s, t), дифференцировать полученные формулы по а 171 раз
и положить после етого Q = 1.
3.5.4. Вычислить интеграл по мере Винера /iw, распространенный на все
пространство, от функции
/(*) = / • • •/ h • •' • *(<m) dti... dtm.
a a
Бели функции <p во всех предыдущих формулах не зависят от S, то все
интегралы в примере 3.4 и в задачах 3.3.1-3.3.4, 3.5.1-3.5.3 представляют собой
абстрактные интегралы Лебега.
Заметим, что все полученные в примерах 3.4 и 3.6 и в задачах 3.3.1—3.3.3 и
3.5.1 формулы справедливы и тогда, когда подынтегральные функции имеют
значения не в C(S), а в любом сепарабельном jB-пространстве, а формулы,
полученные в задачах 3.3.4, 3.5.2 и 3.5.3 справедливы, когда функции ^(s,£),
Ч>\(м) и (p2(s,t) имеют значения в любых сепарабельных ^-пространствах,
элементами которых служат функции переменной 5.
§ 3.6. Абсолютная непрерывность и сингулярность мер
3.6.1. Определения. Пусть (Х,Л) — произвольное измери¬
мое пространство, ц(А) — неотрицательная мера, определенная на
<г-алгебре А> <р(А) — мера со значениями в сепарабельном JB-прост-
ранстве, определенная на <г-алгебре А.
Мера <р(А) называется абсолютно непрерывной по отношению к
мере /i, или, короче, /1-непрерывной, если <р(А) = 0 на любом мно¬
жестве Ае А нулевой меры /1, ц(А) = 0. Иными словами, мера <р(А)
/i-непрерывна, если из ц(А) = 0 следует <р{А) = 0.
Мера (р(А) называется сингулярной по отношению к мере /i или,
короче, р-сингулярной, если она равна нулю всюду вне некоторого
множества А е А нулевой меры, т.е. если <р(В) = 43 при любом
Be А, ВС А, ц(А) = 0.
Очевидно, что мера, одновременно /i-непрерывная и /i-сингу¬
лярная, тождественно равна нулю.
§ 3.6. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И СИНГУЛЯРНОСТЬ МЕР 199
Две неотрицательные меры /*(А) и v(A), определенные на одной
й той же <г-алгебре А, называются эквивалентными, если мера /|(А)
^/-непрерывна и мера и(А) /i-непрерывна.
Две неотрицательные меры fi(A) и и(А) называются ортогональ¬
ными, если /|(А) |/-сингулярна и и(А) /i-сингулярна.
Пример 3.7. Ивтегр&л Лебега
Р(А) = ff(x)dx
А
представляет собой меру, абсолютво непрерывную по отвошевию к лебеговой
мере в соответствующем пространстве Лп, 1(A) = Ьд (объем А).
Пример 3.8. Мера, сосредоточенная на ковечном или счетвом мно¬
жестве точек Хь (k = 1, 2, ...) пространства Дп, определяется на множестве
А формулой
Р(А) = Ей.
**6 А
где Рк — звачевие меры Р ва одвоточечвом множестве {я*}. Она сингулярна
по отношению к лебеговой мере в Дп, так как Р(А) = 0 на любом множестве
А, не пересекающемся с множеством точек {£&}, имеющим нулевую лебегову
меру.
Пример 3.9. Более сложный пример меры, сингулярной по отноше¬
нию к лебеговой мере, представляет собой мера Лебега — Стилтьеса, опреде¬
ляемая формулой
VKM)) = F(6)-F(a),
где F(x) — функция, которая строится по следующему правилу: принимается
F(0) < 0, -F(l) > 1; после этого отрезок [0, 1) делится на три равные части
и всюду на средней части принимается F(x) = оставшиеся два отрезка в
свою очередь делятся на три равные части каждый и на средних частях при¬
нимается F(x) = 4 и F(x) = этот процесс продолжается неограниченно —
каждый отрезок, на котором функция F(l) еще не определена, делится на три
равные части и всюду в средней части F(x) принимается постоянной, рав¬
ной среднему арифметическому ее значений на концах разделенного отрезка
(рис.18). Легко видеть, что функция F(l) непрерывна, так как разность ее
значений в любых двух точках отрезка [0, 1] как угодно мала при достаточно
малом расстоянии между этими точками. С другой стороны, множество Е
точек роста функции F(x) имеет нулевую лебегову меру, так как мера объ¬
единения всех отрезков, на которых F(a?) постоянна, очевидно, равна
2П~1 _ 1 1 _ 1
3 ' 9 ' 27 ' 81 ' ’’ з» ЗТГТ “ 1 *
/ п=1 3
200
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Очевидно, что <р(А) = 0 на любом множестве А, не содержащем ни одной
точки роста функции F(l), т.е. всюду вне множества Е нулевой лебеговой
меры.
V
1
1/9 2/9 1/3
2/3 7/9 8/9 1
Рис. 18
Из свойства (VI) интеграла и его а-аддитивности следует, что
интеграл представляет собой /i-непрерывную меру. Естественно
возникает вопрос, исчерпывается ли множество всех /i-непрерывных
мер интегралами от некоторых функций. Иными словами, всякая
ли /i-непрерывная мера представляет собой интеграл от некоторой
функции. Положительный ответ на этот вопрос для действительных
мер дается теоремами 3.6.1 и 3.6.2.
3.6.2. Разложение меры на абсолютно непрерывную и син¬
гулярную части. Пусть <р(А) —произвольная числовая мера, опре¬
деленная на той же <т-алгебре А> что и неотрицательная мера fi(A).
Тогда справедлива следующая
Теорема 3.6.1. Мера <р(А) представима формулой
<р(А) = а(А) + 0(А), А€Л, (3.76)
где а(А) —/i-непрерывная мера, а Р(Л) — /i-сингулярная мера.
> Предположим сначала, что <р(А) неотрицательна и обе меры
<р и /i конечны. Рассмотрим множество Ф всех /i-интегрируемых
неотрицательных функций /(я), удовлетворяющих условию
j,d“ < tp(A) при всех А € А. (3.77)
А
§ 3.6. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И СИНГУЛЯРНОСТЬ МЕР
201
Положим
а = sup / /d/i.
/6ФУ
По условию а < <р(Х) < оо. Докажем, что в Ф существует функция
z(x), для которой / zdfi = а. По определению верхней грани в Ф
существует такая последовательность функций {/n(s)}, что
lim / f„dfI = а.
"“♦оо У
Определим функции
*„(*) = max{/i(a;), ..., /„(*)} (n = 1, 2, ...).
Эти функции, очевидно, /i-интегрируемы и принадлежат множеству
Ф. Действительно, определив множества
Ек = А{х : *„(*) = /*(*)} (* = 1, ... , п),
*-1 _
А\ = Е\, = Ek П Ёр (t = 1, . -. | п)
p=i
и имея в виду, что множества -Ai,..., Лп попарно не пересекаются и
п
(J Ak = Ау получаем
/;=1
t zndft = £ f Д dp < £ ^4*) = y>(A)r. (3.78)
Таким образом, функции 2n(x) удовлетворяют условию (3.77), т.е.
принадлежат Ф. Заметив теперь, что zn(x) > /п(з), приходим к за-
ключению, что
Jz„dfi > J fndn
и, следовательно,
lim J zndfi =5 а.
Функции zn(x) образуют, очевидно, неубывающую последователь¬
ность, сходящуюся к функции z(x) = sup/n(ar). Поэтому к ним при¬
менима теорема о монотонной сходимости 3.5.1. На основании этой
теоремы
J zdp = lim J znd[A = a.
202
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
А так как неравенство (3.78) справедливо для всех функций zn(x)}
то оно справедливо и для предельной функции z(x). Следовательно,
функция z(x) /i-интегрируема и принадлежит множеству Ф.
Определим теперь на (г-алгебре А /i-непрерывную меру
а(Л) = J гёц (3.79)
л
и изучим разность
0(А) = <р(А)-а(А). (3.80)
В силу условия (3.77), которому удовлетворяет z(x), функция /?(Л)
представляет собой неотрицательную меру. Докажем, что 0(A)
/i-сингулярна. Для этого рассмотрим меры
7„(Л) = 0(A) - i/4(yl) (n = 1, 2, ...).
Пусть X = JO” (J D+ — разложение Хана, соответствующее мере уп.
Тогда будем иметь при любом А Е А
yn(AD~) < 0, Jn(AD+) > 0.
ОО
Определим множество D = р| D~. Так как D С D~, то для всех п
П = 1 ,
и А Е А имеем yn(AD) < 0, откуда следует
P(AD) < ^ji(AD) для всех п и А Е А.
Но это может бщть, только если P(AD) = 0 для всех А Е А. Оста¬
ется доказать, что множество D имеет нулевую меру р. Для этого
рассмотрим функции
«„(*) = z(x) + ^1д+(*) (|» = 1,2,...).
п
Все эти функции принадлежат множеству Ф, так как
J u„dp = а(Л) + ^n(AD+) = а (А) + 0(ADn)-
л
- yn(AD+) < а(А) + 0(A) - jn(AD+) =
= <p{A)-'1n{ADt)<4>{A),
jj 3.6. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И СИНГУЛЯРНОСТЬ МЕР 203
поскольку yn(AD+) > 0. С другой стороны,
/
undp = а + ,
что может быть; только если fi(D+) = 0. Отсюда следует
»Ф) = р (jj АГ) < £ МАО = о •
Таким образом, функция /?(А) равна нулю вне множества D нулевой
меры и, следовательно, /i-сингулярна.
В результате из (3.80) вытекает разложение (3.76):
9(А) = а{А) + р(А)
произвольной неотрицательной меры <р(А) на /i-непрерывную и
//-сингулярную части, причем /i-непрерывная часть представима в
виде интеграла (3.79).
Докажем единственность разложения (3.76). Предположим, что
кроме (3.76) существует другое такое разложение
rtA) = ai(A) + pi(A).
Тогда получим
а(А)-а1(А) = р1(А)-(3(А).
Левая часть здесь /i-непрерывна, а правая /i-сингулярна. Следо¬
вательно, обе они тождественно равны нулю, т.е. ап(-А) = а(А),
h(A) = 13(A).
Чтобы распространить формулу (3.76) на случай, когда <р(А):—
произвольная действительная или комплексная конечная мера, до¬
статочно вспомнить, что всякая действительная мера может быть
представлена в виде разности двух неотрицательных мер. Наконец,
чтобы распространить формулу (3.76) на <т-конечные меры <р(А) и
/*(Л), достаточно разложить пространство X на счетное множество
попарно непересекающихся частей, на каждой из которых (р и /i ко¬
нечны, и представить <р(А) формулой (3.76) на каждой из этих ча¬
стей. <
204 ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
3.6.3. Теорема Радона — Никодима. Из формулы (3.76) вы¬
текает
Теорема 3.6.2. Всякая действительная или комплексная р-неп-
рерывная мера <р(А) представляет собой интеграл от некоторой
(р-интегрируемой) функции z(x):
(р(А) = J zd\i (3.81)
А
(теорема Радона — Никодима).
Функция z(x) в (3.81) называется производной Радона — Никоди¬
ма меры <р(А) по мере ц(А) и обозначается
*(*) = ^(* ) = ^ = ^(*).
Так как интеграл по мере /1 не изменяется при любом изменении
подынтегральной функции на любом множестве нулевой меры р, то
производная Радона — Никодима представляет собой класс экви¬
валентных функций, отличающихся одна от другой на множестве
нулевой меры /1.
Теорема 3.6.3. Если действительная мера А, определенная на
той же а-алгебре множеств Л, что и мера ц, р-непрерывна, а дей¬
ствительная функция /(х) \-интегрируема, то
V(A) = j fd\ = J fXpdp. (3.82)
А А
> Действительно, это равенство справедливо для любой про¬
стой функции
f(x) = ^,yi'1Ek(x)>
' *=1
так как в этом случае
<Р{А) = £>А(£*Л) = ±yk ( А> = f fX’^dfi.
fc=1 4=1 е{а а
Представив любую неотрицательную А-интегрируемую функцию
/(х) как предел неубывающей последовательности простых функ¬
ций, определяющей /(х), и применив теорему о монотонной сходи¬
мости, а затем вспомнив определение (6.4) интеграла Лебега для
§ 3.6. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И СИНГУЛЯРНОСТЬ МЕР
205
любой действительной функции /(я), убеждаемся в том, что форму¬
ла (3.82) справедлива в общем случае. <1
Из (3.82) следует
4, = v'xK • (3-83)
Эта формула представляет собой обобщение правила дифференци¬
рования сложной функции на действительные меры.
Пример ЗЛО. Подынтегральная функция f(x) в примере 3.7 пред¬
ставляет собой производную Радона —'Никодима меры Р(А) по лебеговой
мере /(-/4)»
/(*) = ж(х) •
Пример 3.11. В примере 3.8 функция /(х), равная в каждой точке
Xky представляет собой производную Радона — Никодима меры Р(А) по мере,
значение которой на каждом множестве А равно числу точек множества {я*},
принадлежащих А.
Пример 3.12. Пусть X — <р(tl) — взаимно однозначное дифферен¬
цируемое отображение П-мерного пространства U = IP1 в другое П-мерное
пространство X = Дп, 1и(С) — лебегова мера в {/, а 1х(А) — лебегова мера в
X (конечно, 1и и 1Х определены на соответствующих (Т-алгебрах борелевских
множеств). Из формулы
l,(A) = f-fdx1...dxn = f ••• -
А ч>~1(Л)
которую можно переписать в виде
1,(С) = Ц<р(С)) =
= /••• = / *• • (3-84)
<p(C) c 1 1
следует, что модуль якобиана функций ... , tln), ... , <рп(Ц 1» . • • , Ип)
представляет собой производную Радона — Никодима лебеговой меры в про¬
странстве X, рассматриваемой как функция соответствующего множества в
пространстве (7, по лебеговой мере в пространстве U:
Здесь 1х<р — композиция отображений (р и /*, одно из которых <р ставит в соот¬
ветствие любому множеству С пространства U его образ <р(С) в пространстве
а другое 1Х ставит в соответствие множеству ^(С) С X неотрицательное
206
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
число — лебегову меру множества <р(С). В данном случае производную Ра¬
дона — Никодима можно определить формулой
которая легко выводится применением ко второму интегралу в (3.84) теоре¬
мы о среднем значении с последующим переходом к пределу при стягивании
множества С в точку It. Более подробно об этом см. в [30].
Пример 3.13. Пусть (р — мера на числовой прямой Д, а / — лебегова
мера на R и <р(А) /-непрерывна. Тогда по теореме Радона — Никодима
F(*) = ¥>([<*> *)) = I /(«)<*«, (3.86)
а
где /(if) — производная Радона — Никодима меры <р по лебеговой мере /,
/(it) = ^(it). В этом случае функция F(x) называется абсолютно непрерыв¬
ной, а функция /(х) — ее производной.
Таким образом, из теоремы Радона — Никодима следует, что всякая аб¬
солютно непрерывная функция F(x) имеет производную /(х) = -F;(x), через
которую она выражается обычной формулой (3.86). При этом производная
F'(x) функции F(x) может и не существовать в обычном смысле.
Ясно, что любая кусочно дифференцируемая в обычном смысле непре¬
рывная .функция абсолютно непрерывна. Таким образом, понятие абсолютно
непрерывной функции в некотором смысле обобщает понятие дифференцируе¬
мой функции.
Пример 3.14. Пользуясь введенной в примере 3.18 (п.3.8.5) мерой
1/|(С; х) и соответствующими выражениями примеров 3.18 и 3.19 для меры
Винера fi\y и введенной в примере 3.19 модифицированной меры Винера
заключаем, что меры и эквивалентны, так как они обе равны нулю на
множестве С тогда и только тогда, когда или интеграл по мере Vtx(C\ Х\) ра¬
вен нулю почти при всех или сечение множества С в точке Х$, S = Т\{^}
имеет нулевую лебегову меру на R%. Однако вычисление производных Радо¬
на — Никодима dfiw/dfi\y и dfi'w/dfiyy представляет собой очень трудную
задачу.
ЗАДАЧИ
3.6.1. Будет ли абсолютно непрерывной (или сингулярной) относительно
меры Лебега мера Лебега — Стилтьеса, порожденная функцией ^>(.F(^(x)))»
где F(y) — функция примера 3.9 (канторова лестница), а ^ и ф — непрерывные
функции?
§ 3.6. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И СИНГУЛЯРНОСТЬ МЕР
207
3.6.2. Пусть Е2"ап> а„ > 0 — сходящийся ряд. Показать, что функция
Ф(*) = Е °пК(х) ,
П = 1
где Fn{x) — сумма функций, полученных из функции ^*(х) примера 3.9 ото¬
бражением интервала [0, 1) на каждый из 2П-1 интервалов постоянства F(x)
с координатами концов k3~n, (к + 1)3~п, непрерывна, не постоянна ни на ка¬
ком интервале [а, Ь) С С*(0, 1), сингулярна по отношению к мере Лебега, а ее
производная почти всюду равна нулю.
3.6.3. Абсолютно непрерывна или сингулярна мера
тЬ/е"*а/2л
А
относительно меры Лебега на /2? Эквиваленты ли мера v(A) и мера Лебега
/(Л)? При положительном ответе на последний вопрос найти производные
Радона — Никодима dfi/dl и dl/dfi.
3.6.4. Абсолютно непрерывны или сингулярны по отношению одна к дру¬
гой мера Лебега и мера Лебега — Стилтьеса, порожденная функцией F(x) =
3.6.5. Тот же вопрос в случае мер Лебега — Стилтьеса, порожденных
функциями Fi(x) = “[х2] — 1 и F2(x) = XjFi(x). В случае абсолютной
непрерывности найти соответствующие производные Радона — Никодима.
3.6.6. Тот же вопрос в случае функций -Fi(x) = —*[*] “ 1 и F2(x) =
= -И-1.
3.6.7. При каких условиях одна из мер
Hi(A) = f<pi(x)dx, /л2(А) = f <p2(x)dx
А А
абсолютно непрерывна (сингулярна) относительно другой? При каких усло¬
виях они эквивалентны (ортогональны)?
3.6.8. Тот же вопрос в случае функций jFl(x) = — [х] — 1 и Ы*) =
[х + а] — 1 при 0 < а < 1.
3.6.9. Абсолютно непрерывны или сингулярны по отношению одна к дру¬
гой меры Лебега — Стилтьеса, порожденные функциями i'i(x) = — [х] — 1
и -^2(х) = —[х] — 1 + X? В случае абсолютной непрерывности найти соот¬
ветствующие производные Радона — Никодима. В противном случае найти
разложение Лебега соответствующей меры.
208
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
§ 3.7. Лебеговы пространства
3.7.1. Определение лебегова пространства. Лебеговым про¬
странством Lp, 1 < р < оо, называется множество всех измеримых
функций, отображающих пространство X с неотрицательной мерой
\х в сепарабельное В-пространство У и удовлетворяющих условию
j II / ||> dn = J II /(*) ||Р »(dx) < оо. (3.87)
В случае необходимости это пространство обозначают LP(X> А> /i)
или Lp(X} Ау /1, У), указывая пространство Ху на котором опреде¬
лены функции, (г-алгебру А в X и определенную на ней меру /1 и,
может быть, пространство значений функций У.
Введем обозначение
НЛ1р={/ НЛ1р^}1/Р (3.88)
Мы покажем дальше, что величина ||/||р обладает всеми свойствами
нормы и поэтому ее можно принять за норму функции /(я), рассма¬
триваемой как элемент пространства Ьр (не путать с нормой ||/(я)||
значения функции f(x) при фиксированном х в пространстве У). В
частном случае скалярных функций в пространстве Rn с лебеговой
мерой это пространство обозначается LP(X)} где X — область опре¬
деления функций.
3.7.2. Вспомогательное неравенство. Лля доказательства
нам понадобится одно вспомогательное предложение.
Лемма. Пусть р, q, г > 1 и р”1 + д-1 = г”1. Если f(x) принадле¬
жит Lp, а числовая комплекснозначная функция а(я) принадлежит
Lq, то a(x)f(x) € LT и
Н«/||г<1МЫ1Л1р • (3.89)
> Для доказательства воспользуемся неравенством
справедливым при любых а, Ь > 0 и любых р, д, г > 1, удовлетворяю¬
щих условию р”1 + д-1 = г"1 *. Положив в (3.90) а =|| f(x) || / || / ||р,
* Для доказательства этого неравества рассмотрим функцию
s 3.7. ЛЕБЕГОВЫ ПРОСТРАНСТВА 209
Ь =| а(х) | / || а ||„ получаем
1||/(«)|ГИ«)|г „ 1||/(»)||р , 11 «(х)
г H/ifciMi; -р \\f\\pP % и «иг
или
и *(.)/(«) ir< г II. н;н 1 н; (ilLf&f +11^). смц
Отсюда по теореме 3.3.2 следует, что функция || а(х)/(х) ||г /i-интег¬
рируема, так как || /(х) ||р и | а(х) |* /i-интегрируемы в силу того, что
/ € Lpi а € Lq. Таким образом, а/ € Lr. Интегрируя неравенство
(3.91) и принимая во внимание (3.88), получаем
II <*/ Нг= / II а/ 1Г dp <
<r||a||;||/||;(i + i) HI «11511/II;,
откуда и следует (3.89). <
В частности, при г = 1 из доказанного предложения вытекает,
что если / € Lpi а € Lq> р""1 + g”1 = 1, то произведение ог(х)/(х)
/i-интегрируемо и
ll«/ ||i= / МИ/II «*/*<11 «11,11/II, • (3-92)
Это неравенство называется неравенством Гелъдера.
Следствие 1. Если мера /1 конечна, ц(Х) < оо, то при любых
Р > г > 1
Ч/||г ^ II / Ир
(393)
при t > 0. Так как = то <p(t) убывает при 0 < t < 1
и возрастает при t > 1. Следовательно, <p(t) имеет единственный минимум
^(1) = р”1 + д”* — Г-1 в точке 1 при t > 0 и
^ -f* ~ при всех t > 0 .
Полагая £ = аг^6”г^\ а, 6 > 0, получаем неравенство (3.90).
210 ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
> Для доказательства достаточно положить в (3.89) а(х) = 1 и
учесть, что || 1 ||g= = у}1г~11р(Х). <
Следствие 2. В случае конечной меры р из / G Lp следует / € Lr
при всех г < р.
> Это вытекает непосредственно из (3.93). <
3.7.3. Норма в лебеговом пространстве. Докажем теперь,
что величина || / ||р, определяемая формулой (3.88), может быть
принята за норму в пространстве Lp.
Теорема 3.7.1. Величина || / ||р, определяемая формулой (3.88),
удовлетворяет аксиомам нормы.
> Прежде всего очевидно, что || / ||р> 0, причем || / ||р= 0 тогда
и только тогда, когда /(х) 0. Принимая функцию /(х) "= 0 с
произвольными значениями на множестве нулевой меры \х за нуль
пространства Lp, убеждаемся в том, что || / ||р удовлетворяет пер¬
вой аксиоме нормы *.
Далее, непосредственно из свойств интеграла следует, что
|| af ||р=| а 11| / ||р для любого комплексного числа а и любой функ¬
ции / € Lp. Таким образом, || / ||р удовлетворяет второй аксиоме
нормы.
Из неравенства
II Мх) + Мж) ||Р< (II /х(х) II + II /2(*) IIГ <
<2Р-ЧШ*)||р + Ш*)||р) **
по теореме 3.3.2 следует, что если Д, Д G Lp, то и Д + Д Е Ьр.
Поэтому
II/i+/2||£= / H/l+/2||Pd/i< /(|| /ill+ ||/2 ||) НЛ+МГ1^.
(3.94)
* Принимал за нуль пространства Lp функцию, равную нулю почти всю¬
ду, мы тем самым определяем Lp как пространство классов [Д-эквивалентных
функций, отличающихся одна от другой только на любом множестве нулевой
меры /i. Иными словами, если за Lp принять пространство функций, удовле¬
творяющих условию (3.87), то, обозначив через N множество всех функций из
Lp, еквивалентных нулю, определим лебегово пространство Lp как фактор-
пространство Lp = L°/N.
** Чтобы убедиться в справедливости этого неравенства, достаточно по¬
казать, что функция (1-М)р/(1 ”МР) при t > 0 имеет единственный максимум
2Р_1 при t = 1.
§ 3.7. ЛЕБЕГОВЫ ПРОСТРАНСТВА 211
Очевидно, что числовая функция а(ж) —|| fi(x) + /г(я) ||р-1 принад¬
лежит пространству Lq, q = р/(р — 1), причем р“х + qT1 = 1. Следо¬
вательно, согласно неравенству (3.92)
J ШШЛ+МГ1^ Ja\\fk\\dn<
<1МЫ1/*Нр (* = 1,2).
Но || <* ||»=|| А + /2 ||Р, откуда || а ||,=|| Д + /2 Д + Д И'"1.
Поэтому
J II Д IIII л + /21Г1 dp <11Л Нр II /1 + /2 НГ1 (* = 1.2),
и из (3.94) получаем
||Л+/2||$<(11/г||р + 11/2|1я) II Л + ЛИГ1 •
Отсюда и следует, что || / ||р удовлетворяет третьей аксиоме нормы
II Л + /г Ир<|| Л Ир + II /2 ||р. <
Итак, мы доказали, что величина || / ||р обладает всеми свой¬
ствами нормы. Бели принять || / ||р за норму элемента / = /(а?)
пространства Lp, то Lp будет нормированным линейным простран¬
ством.
Неравенство треугольника для нормы в Lp, в котором нормы за¬
менены соответствующими интегралами, называется неравенством
Минковского.
3.7.4. Сходимость в среднем. Последовательность функций
{/"(я)} С Ьр называется сходящейся в среднем степени р или, со¬
кращенно, в р-среднем к функции f(x) G Lp, /п(я) f(x), если
|| /п — / ||р—► 0 при п —► оо, т.е. если
J II /п - / ||р dp-* 0 при п —■ оо.
Иными словами, последовательность {/п(®)} сходится в р-среднем
к /(ж), если она сходится к / = f(x) в метрике пространства Lpy
порожденной нормой || / ||р.
Последовательность {/n(z)} С Lp называется фундаментальной
s среднем степени р или, сокращенно, в р-среднему если || /п —
Лп ||р—► 0 при п, т —► оо, т.е. если при любом е > О || /п — /т ||р< е
212
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
при всех п, ш, превосходящих некоторое натуральное число N =
= N(e). Иными словами, последовательность {/п(®)} фундаменталь¬
на в р-среднем, если она фундаментальна в метрике пространства
Ьру порожденной нормой || / ||р.
Условие (3.18) в определении интеграла представляет собой не
что иное, как условие фундаментальности последовательности
{/"(х)} в пространстве L\(Xy А, |i), которое, очевидно, является
пространством /i-интегрируемых функций.
Из общей теоремы о фундаментальности сходящейся последо¬
вательности в любом метрическом (в частности, нормированном)
пространстве следует, что всякая сходящаяся в р-среднем последо¬
вательность функций фундаментальна в р-среднем.
Лалее, из неравенства Чебышева (3.31) для функции (/п — /)р,
/*({* :II /«(*) - /(*) Н> е» < / II/»-/IIя ,
непосредственно следует
Теорема 3.7.2. Всякая сходящаяся (фундаментальная) в р-сред¬
нем последовательность функций сходится (фундаментальна) по
мере /1.
По теореме 3.2.4 из всякой последовательности функций, сходя-
щейся (фундаментальной) по мере /1, можно выделить подпоследова¬
тельность, сходящуюся почти всюду относительно меры /л. Из этой
теоремы и только что доказанного предложения следует
Теорема 3.7.3. Всякая последовательность функций, сходящаяся
(фундаментальная) в р-среднем, содержит подпоследовательность,
сходящуюся почти всюду.
Следующая теорема устанавливает достаточность фундамен¬
тальности последовательности в р-среднем для ее сходимости в
р-среднем.
Теорема 3.7.4. Если последовательность {/п(®)} С Lp фунда¬
ментальна в р-среднем, то она сходится в р-среднем к некоторой
функции f(x) G Lp.
> Предположим, что {/п(®)} фундаментальна в р-среднем, и вы¬
делим из нее подпоследовательность {/п*(х)}> сходящуюся почти
всюду. Обозначим предел этой подпоследовательности через /(х).
Докажем, что /(*) € Lp. Из 11| /„ ||р - || /го ||р | <|| /„ - /т ||Р и фун-
даментальности {/п(®)} в р-среднем следует фундаментальность и
сходимость числовой последовательности норм {|| /п ||р}. Следо¬
вательно, существует такое число с > 0, что || /п ||р< с при всех
§ 3.7. ЛЕБЕГОВЫ ПРОСТРАНСТВА
213
л. Поэтому, применив к последовательности функций {|| /пЛ*) in
лемму Фату (п.3.5.3), получим
J Ша || Л,* ||р dp < Шп JII fn„ \\p dn < <?.
Ho limll/n* (ar)llp = limll/n»(a0llp = Il/(*)llp- Следовательно, ||/(x)||p
^-интегрируема, т.е. /(x) 6 Lp. Осталось доказать, что последо¬
вательность {/„(*)} сходится в р-среднем к /(х). Так как /п(х) —
f(x) ”= lim [/„(*) - /„„(х)] = lim [/„(х) - /„»(*)]> то, применив к по-
*“*°° fc-ЮО
следовательности функций {fn(x) -/«л x)}*Li лемму Фату, получим
II/»-/!£< iim II/»-/«. ||р ■
к-*оо
В силу фундаментальности {/п(я)} в р-среднем при любом е > О
II /п “ /п* ||р< е
при всех достаточно больших пип*. Поэтому || /п — / ||р< е при
всех п, больших некоторого натурального N(e), что и доказывает
сходимость последовательности {/п(я)} к /(х) в р-среднем. <
Таким образом, для сходимости последовательности функций в
р-среднем необходима и достаточна ее фундаментальность в р-сред¬
нем. Это значит, что пространство Lp полно.
Итак, мы доказали, что пространство Lp является полным нор¬
мированным линейным пространством, т.е. Б-пространством.
Мы видели, что всякая последовательность функций из Lp, схо¬
дящаяся в р-среднем, сходится и по мере /i и из нее можно выделить
подпоследовательность, сходящуюся почти всюду. Однако не вся¬
кая последовательность функций из Lp> сходящаяся по мере или по¬
чти всюду, сходится в р-среднем. Следующая теорема дает простое
достаточное условие для сходимости й р-среднем последовательно¬
сти, сходящейся почти всюду или по мере.
Теорема 3.7.5. Если последовательность функций {/п(®)} С Lp
сходится почти всюду или по мере р к /(х) и мажорируется по норме
некоторой функцией из Lp, || /п(х) ||<|| ^(х) ||, д(х) 6 Lp, то /(х) 6 Lp
и последовательность {/п(я)} сходится в р-среднем к /(х).
> Так как || /п(х) - /(*) ||р-> 0 и || /п(х) ||£ - || /(х) ||Р-> 0 почти
всюду или по мере /i, то
II/И НР<1Ы*) нр,
214
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
o<ll/n(*)-/(*)ir<y||^(*)ir
Отсюда по теореме Лебега 3.5.4 следует, что функции || /(я) ||р и
|| /п(я) — /(я) ||р ^-интегрируемы и
II fn-f \\р= J Wfn-f \\р dfi-* 0 при п-юо,
что и доказывает наше утверждение. <
3.7.5. Плотность множества простых функций в лебеговом
пространстве. Лля дальнейшего изучения свойств пространств Lp
заметим, что все /i-интегрируемые простые функции принадлежат
Lp при любом р> 1, так как из /i-интегрируемости простой функции
/(я) непосредственно следует и /i-интегрируемость простой функ-
нии || /(*) ||р.
Теорема 3.7.6. Множество fi-интегрируемых простых функций
плотно в Lp.
> Лля любой функции /(я) G Lp на основании неравенства Чебы¬
шева (3.31) при любом е > 0 мера множества {ж : || f(x) ||> е} конеч¬
на, так как функция || /(я) ||р /i-интегрируема. Поэтому совершенно
так же, как при доказательстве теоремы 3.3.2, можно построить по¬
следовательность /i-интегрируемых простых функций {/п(я)}, схо¬
дящуюся почти всюду к /(я) и ограниченную по норме функцией
2/(*)€!„.
По теореме 3.7.5 последовательность {/п(я)} сходится к /(я) и
в р-среднем. Следовательно, при любом е > 0 существует такое
натуральное N = N(e)> что
|| /и — / ||р< е при всех п> N.
Таким образом, в любой окрестности любого элемента / простран¬
ства Lp содержатся элементы /", представляющие собой /i-интег¬
рируемые простые функции. Это и доказывает плотность множества
/i-интегрируемых простых функций в Lp. <
Следствие. Если мера /I на а-алгебре А может быть аппрок¬
симирована ее значениями на счетном классе множеств В = {Вп}>
т.е. если для рюбого е > 0 и любого А 6 А найдется такое множе¬
ство В* € В, что fi(A^Bjg) < е, то пространство Lp сепарабельно.
> Если fi(AbBk) < е, то || 1А - 1 Вк ||Р= /*1/р(ЛдДь) < т.е.
в любой окрестности индикатора любого множества А 6 А в про¬
странстве Lp содержится индикатор некоторого множества В\ь € В
§ 3.7. ЛЕБЕГОВЫ ПРОСТРАНСТВА
215
Пусть {уп} — плотное счетное множество в В-пространстве У. Из
доказанного следует, что любая /i-интегрируемая простая функция
может быть с любой степенью точности аппроксимирована в Lp про¬
стой функцией вида
п
*=i
Следовательно, счетное множество таких функций плотно в множе¬
стве /i-интегрируемых простых функций, которое, в свою очередь,
по теореме 3.7.6 плотно в пространстве Ьр. <
Если (r-алгебра А порождена счетной алгеброй By то соглас¬
но следствию теоремы 2.3.13 значение меры /i на любом множестве
A Е А конечной меры аппроксимируется с любой степенью точности
ее значением на некотором множестве из счетного класса множеств
В. По следствию теоремы 3.7.6 в этом случае лебегово простран¬
ство Lp(Xy Ay /i) сепарабельно. В частности, (т-алгебра борелев¬
ских множеств в любом конечномерном пространстве Rn порожда¬
ется счетным множеством прямоугольников с рациональными коор¬
динатами вершин (интервалами с рациональными концами в случае
п = 1). Поэтому все лебеговы пространства Lp(Xy А, /i) сепарабель¬
ны при X С Rn (п = 1, 2, ...).
3.7.6. Гильбертово пространство скалярных функций с ин¬
тегрируемым квадратом модуля. В частном случае пространств
Ь^{Ху А, у) числовых функций (У = К) норма || / ||г в пространстве
L2(Xy Ay fi) порождается скалярным произведением
(Л. /2) = J ft Л dfi = J f\(x) f2(x)fi(dx), (3.95)
так как
(/,/) = / \f?dv
(проверить, что в этом случае норма || / \\2 в Ь2(ХУ Af /л) удовле¬
творяет тождеству параллелограмма). Таким образом, простран¬
ство L2(Xy Ay fi) скалярных функций (классов эквивалентных функ¬
ций) с интегрируемым квадратом модуля представляет Собой В-
пространетво, в котором норма порождена скалярным произведени¬
ем, т.е. Я-пространство. Это пространство играет большую роль в
современной математике и ее приложениях. В частности, большое
значение имеют пространства L2(X)y X С Rn (п.3.7.1). Согласно
сказанному в конце п.3.7.5 все они сепарабельны.
216
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Пример 3.15. Рассмотрим пространства Lp(X^*, ЛJy} Hw)- Со¬
гласно результату задачи 2.3.3 меру /ку/ можно перенести на пространство
непрерывных функций С С X? с (Г-алгеброй СЛТ. Задав в пространстве С
обычную норму || X ||= sup | x(t) |, получим пространство С(Т). Покажем,
что (Г-алгебра в пространстве С(Т), порожденная множеством всех открытых
шаров, входит в (Г-алгебру С(Т)АТ. Для ©того заметим, что любой откры¬
тый шар в С(Т) представляет собой предел убывающей последовательности
прямоугольников:
{х(<) : | x(t) - <p(t) |< г С Т} =
= lim {*(*) : | x(sk) - <p(sk) |< г (к = 1 .. , п) } ,
П-^ОО '
где К) — множество рациональных чисел интервала [0, оо). Следователь¬
но, любой шар в С(Т) принадлежит (Г-алгебре С(*Г)А^, а значит, и вся (Г-ал¬
гебра С, порожденная множеством шаров в С(Т), входит в С(Т)Ат. Но а-
алгебра С в С(Т) порождена счетным множеством шаров рациональных ради¬
усов с центрами в точках плотного счетного множества (пространство С(Т)
сепарабельно, так как счетное множество непрерывных функций с рациональ¬
ными значениями в рациональных токах плотно в С(Т)). Следовательно, со¬
гласно последнему результату п.3.7.5 все пространства Lp(C[a) Ь], С, Hw) се¬
парабельны. В частности, сепарабельно //-пространство числовых функций
L2(C[a, 6], С, llW)-
3.7.7. Плотность множества непрерывных функций в про¬
странстве Lp(X). Рассмотрим лебегово пространство LP(X) число¬
вых функций в пространстве Дп, с интегрируемой по мере Лебега
р-й степенью модуля, р > 1:
II / Нр= / I/И I” dx<oo. (3.96)
X
Лля приложений функционального анализа имеет значение следую¬
щая теорема.
Теорема 3.7.7. Множество непрерывных функций плотно в
LP(X) при любом X С Rn (в частности, при X = Дп). »
> В силу теоремы 3.7.6 достаточно доказать, что индикатор лю¬
бого борелевского множества В в Rn можно аппроксимировать в
ЬР(Х) с любой степенью точности непрерывной функцией. Возьмем
произвольное е > 0 и выберем такое открытое множество G Э В,
§ 3.7. ЛЕБЕГОВЫ ПРОСТРАНСТВА
217
чтобы лебегова мера разности G\B была меньше е, l(G\B) < е *.
Определим функцию
<*(*, G)
d(x,G) + d( х, В)’
где
d(x, С) = inf | х - у |
УбС-
— расстояние от точки х до множества С. Эта функция непрерывна
и равна 1 на множестве B(d(x, В) = 0 при х Е В) и 0 всюду вне
множества G(d(x} G) = О при х € G). Поэтому /(х) — 1в(х) = 0 при
х £ В vl х € G тл \ /(х) - 1 в(х) | < 1 при х Е G\B. Следовательно,
J I /(*) - 1в(х) |Р < l(G\B) < е.
X
Отсюда вследствие произвольности е > 0 вытекает плотность мно¬
жества непрерывных функций в множестве всех простых функций,
которое в силу теоремы 3.7.6 плотно в ЬР(Х). <
Из этой теоремы следует, что любая функция из LP(X) пред¬
ставляет собой предел последовательности непрерывных функций
из Lp(X)y которые принадлежат также нормированному простран¬
ству непрерывных функций СР(Х) с нормой, определяемой форму¬
лой (3.96), в которой интеграл понимается как интеграл Римана
(см. пример в начале п. 1.2.5). Таким образом, пространство LP(X)
представляет собой пространство СР(Х), пополненное пределами
всех фундаментальных последовательностей функций из СР(Х). В
данном случае операция пополнения пространства формально осу¬
ществляется переходом от интеграла Римана к интегралу Лебега
в (3.96).
3.7.8. Пространства Соболева. Естественным обобщением ле¬
беговых пространств LP(X) являются пространства Соболева, име¬
ющие большое значение в приложениях функционального анализа.
Чтобы подойти к определению пространства Соболева, рассмотрим
линейное пространство скалярных функций, непрерывных вместе со
* Существование такого открытого множества вытекает из определения ме-
Ры Лебега.
218
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
своими производными до порядка N включительно, на ограничен¬
ном замкнутом интервале [а, 6]. Вводя в этом пространстве норму
/ * N \1/Р
ll/ll=|/£l/(t)(*)lP‘**J - Р> 1, (3-97)
где интеграл естественно понимается как интеграл Римана, полу¬
чим нормированное линейное пространство, которое мы обозначим
Ср([а, 6]). Это пространство не полно, что доказывается совершен¬
но так же, как в примере в начале п. 1.2.5, только наклонные прямо¬
линейные отрезки на рис. 15 должны быть заменены отрезками плав¬
ных кривых, чтобы получить функции /п(0> непрерывные вместе со
своими производными до порядка N включительно. Для того что¬
бы пополнить Ср([а, 6]), необходимо обобщить понятие производ¬
ной. Рассмотрим фундаментальную последовательность функций
(/п(х)} С Ср([а, 6]). Для этой последовательности
II /«(*) - fm(x) ||р= I ХЦ/п4)(*) - f£\x)\p dx-> 0 при П, ГО —> 0.
J *=0
Отсюда следует, что каждая из последовательностей {/п*^(я)} (к =
= 0, 1, ... , N) фундаментальна в Lp([ay 6]) и в силу полноты Lp име-
Ът предел f^k\x) (к = 0, 1, ... , N). Предельные функции /'(х),...
..., f(N\x) £ Lp([ay 6]) называются обобщеннми производными пре¬
дельной функции /(х) € Lp([a, 6]) в смысле Соболева.
Множество всех функций из Lp([ay 6]), имеющих обобщенные
производные в смысле Соболева до N-ro порядка включительно, с
нормой, определяемой формулой (3.97), в которой интеграл пони¬
мается как интеграл Лебега, называется пространством Соболева
И^([а. *]).
Совершенно так же определяется пространство Соболева
Wp(X) для любой замкнутой ограниченной области X простран¬
ства Rn с достаточно гладкой границей. В этом случае норма эле¬
мента /(х) € Wp(X) определяется формулой
§ 3.7. ЛЕБЕГОВЫ ПРОСТРАНСТВА
219
В частном случае при р = 2 пространство W2(X) представляет
собой Я-пространство со скалярным произведением
(М -1 (и)
(докажите, что норма в этом случае удовлетворяет тождеству па¬
раллелограмма). Это пространство Соболева обозначается HN(X),
W?(X) = HN(X).
Из определения пространства Соболева непосредственно сле¬
дует, что каждая функция пространства Wp(X) представляет собой
или элемент пространства Ср(Х) *, или предел фундаментальной
последовательности элементов из Ср(Х). Таким образом, множе¬
ство Ср(Х) плотно в Wp (X). Кроме того, каждая фундаменталь¬
ная последовательность из Ср(Х) по определению имеет предел в
Wp(X). Следовательно, по теореме 1.2.2 Wp(X) представляет со¬
бой пополнение пространства С^(Х). Таким образом, мы имеем
второй пример, когда пополнение пространства можно осуществить
непосредственным добавлением к нему пределов всех его фундамен¬
тальных последовательностей. Формально это сводится к замене
производных обобщенными производными и переходом от интегра¬
ла Римана к интегралу Лебега.
3 АЛАЧИ
3.7.1. Сходятся ли последовательности примера 3.3 и задач 3.2.1 и 3.2.2 в
p-среднем при некоторых р > 1?
3.7.2. Принадлежит ли пространству Lp(C(/2), С, f*w) при каком-ни¬
будь р 5 1 функция f(x) задачи 3.5.2 и сходится ли к /(х) в p-среднем по¬
следовательность функций {/п(х)}?
3.7.3. Сходится ли в p-среднем при каком-нибудь р последовательность
{sinx/nxa}, в Lp(R) 0 < а < 1? Сходится ли она почти всюду и по мере
(на всей числовой прямой R; на конечном интервале)? Сходится ли она в
пространстве Соболева Я2?
3.7.4. Будет ли Я-пространством пространство Ь2(Х, *Д,/1,У) функций
СО значениями в ^-пространстве У? Каким условиям должно удовлетворять
пространство У, чтобы L2(X} было Я-пространством? Определить
скалярное произведение в этом случае.
Точнее, класс функций, эквивалентных некоторой функции из С^(^0-
220 ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
§ 3.8. Меры в произведениях пространств. Кратные интегралы
3.8.1. Меры в произведении двух пространств. Пусть (Х,Л)
и (У, В) — два измеримых пространства, /1 — неотрицательная мера,
определенная на <г-алгебре А в X, Аг — семейство неотрицательных
мер, определенных на <т-алгебре В в У, зависящее от параметра
х € X, и такое, что при любом множестве В G В функция \Х(В)
переменной х измерима и /1-интегрируема.
Теорема 3.8.1. Формула
v{A х В) = J A,(B)n(dx) (3.100)
А
определяет неотрицательную меру и на всех измеримых прямоуголь¬
никах А х В, А € А, В £ В произведения измеримых пространств
(X xY, Ах В).
> Неотрицательность функции множества I/, определяемой фор¬
мулой (3.100), очевидна. Чтобы доказать ее (Г-аддитивность, мы
покажем, что она аддитивна и непрерывна в нуле, т.е. что для лю¬
бой убывающей последовательности прямоугольников {Ап х 5П},
Ап £ А, Вп £ В, Л„+1 С Л„, £„+i С Вп (п = 1,2,...), с пустым
пересечением, П(^п х Вп) = 0,
lim v(An х Вп) = 0.
п-юо
Отсюда по теореме 2.2.5 будет следовать (7-аддитивность и на клас¬
се измеримых прямоугольников.
Для любого разбиения прямоугольника Ах В на попарно непе-
п
ресекающиеся прямоугольники, А х В = (J (Ak х В*),
*=1
А х В = U (Ср х Dq),
где Су — ААр\.. • АрП, Dq — BBqi.. .Bqni Apk — или Аь> Bq\ = Bi
или Bi — попарно непересекающиеся множества в пространствах X
и У соответственно,
U Ср = Л, U D4 = Б.
p=i ?=1
jj3S. МЕРЫ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 221
В силу аддитивности меры Ах
2*
j=i
Подставив это выражение в (3.100), получим
2 я 2я
i/(A хВ) = ^ I Xx(Dq)fi(dx) = 531,{AxDq). (3.101)
«=iJA *=i
В силу аддитивности интеграла
2Л
v(A х D,) = 1/(Ср х !>,). (3.102)
p=i
Из (3.101) и (3.102) следует
2*
|/(Л х В) = ^2 и(Ср х I?f). (3.103)
p»f=i
С другой стороны, применив эту формулу к прямоугольникам
А* х Вк у получим
v{AkxBk) = 52 v{CPtxD„,).
{r,s:C9rCAktDq,CBk}
Из этой формулы и из (3.103) следует аддитивность функции I/ на
прямоугольниках;
п
v(AxB) = 52HAk*Bk).
к=1
Пусть {Ап хВп} — монотонно убывающая последовательность
прямоугольников с пустым пересечением. Тогда или р| Ап = 0, или
ПВп =0, или и то и другое. Так как при любом п Ап С А\, то
формулу (3.100) для А = Апу В = Вп можно представить в виде
v(An хВп) = J At(Bn)lA.{x)ti(dx)., (3.104)
222
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Если р|Вп — ИтВп = 0, то по теореме 2.2.1 в силу (т-аддитивности
меры А*
lim А х(Вп) = Ar(lim Вп) — А*( 0 ) = 0.
Если р| Ап = ИтЛп = 0 , то
Иш1лл(ж) =; 0.
В обоих случаях последовательность функций (А*(.Вп)1лп(а?)} схо¬
дится при всех х к нулю. А так как при любом п Ап С А\у Вп С В\ и,
следовательно, Ах(Вп) < A*(i?i), 1 лп(я) < lji^x), то эта последовав
тельность мажорируется /i-интегрируемой функцией Хх(Вх)1а1(х).
Следовательно, по теореме Лебега 3.5.4 в (3.104) можно перейти к
пределу под знаком интеграла. В результате получим
limi/(j4n х Вп) = JYim\x(Bn)lAn(x)n(dx) = 0. <
Лг
Таким образом, и (г-аддитивна на классе измеримых прямоу¬
гольников, представляющем собой полуалгебру. По теореме 2.3.15
мера v имеет единственное продолжение на <г-алгебру С = Л х В,
порожденную классом измеримых прямоугольников.
Теорема 3.8.2. Продолжение меры v на а-алгебру С = Л х В
определяется формулой
1/(0 = J А,(С#М*0 = /К**) / М*. С € С, (3.105)
где Сх/— сечение множества С в точке х.
> Обозначим через Л4 С С класс всех множеств С, для кото¬
рых справедлива формула (3.105). На основании (3.100) Л4 содер¬
жит все измеримые прямоугольники, а, следовательно, и все конеч¬
ное объединения измеримых прямоугольников, т.е. алгебру мно¬
жеств В, порожденную полуалгеброй всех измеримых прямоуголь¬
ников, Л4 D В. На основании теоремы о монотонной сходимости
3.5.1 и теоремы о мажорируемой последовательности 3.5.3 Л4 со¬
держит пределы всех монотонных последовательностей входящих в
него множеств. Действительно, если {Сп} — монотонная последо¬
вательность множеств и С = limC7n, то {1 сп(ж>У)} — монотонная
последовательность функций, сходящаяся к 1с(я,у). При этом если
§ 3.8. МЕРЫ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 223
{С*л} — убывающая последовательность, Сп+\ С Спу и при некото¬
ром натуральном к интеграл
J fi(dx) J lCk(x,y)Xx(dy)
конечен (такое к существует, если v(C) < оо), то функция 1 ск(х,у)
переменной у Аг-интегрируема почти при всех ж, а функция
/lck(xiy)^x(dx) переменной х /i-интегрируема. Вследствие этого
все функции 1сп(хуу)у п > к, почти при всех х ограничены снизу и
сверху А*-интегрируемыми функциями 0 и 1 ск(*> у)> 0 < 1 сп(х> У) <
< 1 с*(з,у), а все функции / 1сп(ж, t/)Ar(<fy), п > к, ограничены снизу
и сверху /i-интегрируемыми функциями 0 и f lck{x1y)Xr(dy):
О < j lc„(*,y)A*(dy) < J1 ck(x, y)Xx(dy).
Применив дважды теорему о монотонной сходимости 3.5.1 в случае
возрастающей последовательности множеств {Сп} и теорему о ма¬
жорируемой последовательности 3.5.3 в случае убывающей после¬
довательности множеств {Сп}, будем иметь
lim J n(dx) j 1Сп(х ,y)K(dy) = J Ai(<te){lim j lc„(x, у)А*(</у)| =
= J f*(dx) J limlCn(x,y)Ax(dy) = [„ml lc(x,y)\x(dy).
С другой стороны, в силу непрерывности меры v
limi/(C'n) = ^(limCn) = v{C).
Следовательно, класс множеств М, для которых справедлива фор¬
мула (3.105), содержит пределы всех монотонных последовательно¬
стей входящих в него множеств. Таким образом, М — монотонный
класс, содержащий алгебру множеств В, образованную всеми ко¬
нечными объединениями измеримых прямоугольников. Но по тео¬
реме 2.1.7 <г-алгебра С представляет собой минимальный монотон¬
ный класс, содержащий алгебру В. Следовательно, С С М. Из двух
противоположных включений получаем М = С. Таким образом,
формула (3.105) справедлива для всех измеримых множеств С £ С
пространства Z = X х У. <
224
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Заметим, что функцию А*(2?) можно рассматривать как меру со
значениями в пространстве /i-интегрируемых функций Li(X}A,pi).
Таким образом мы встретились с примером меры со значениями в
^-пространстве.
3.8,2. Теорема Фубини. Пусть (Х,А) и (У, В) — измеримые
пространства, /i-неотрицательная мера в (Х,.4), Хх — семейство
неотрицательных мер в (У, В), A*(J?) — /i-интегрируемая функция
х при любом В G Ву v — мера в (Z, С) = (X х У, А х В)у определяемая
формулой (3.105).
Заметим, что множество С 6 С имеет нулевую меру и тогда и
только тогда, когда почти при всех х относительно меры /i сечение
Сх множества С в точке х является множеством нулевой меры \х.
Следовательно, если какое-либо утверждение справедливо почти
всюду относительно меры и в X х У, то оно справедливо почти при
всех х относительно /i почти при всех у относительно соответству¬
ющей меры Хх.
Теорема 3.8.3. Пусть /(я, у) и-интегрируемая функция в про¬
изведении пространств Z = X х У со значениями в некотором
В-пространстве U. Тогда сечение fx(y) = /(я,у) функции / А х-ин-
тегрируемо почти при всех х ( относительно меры /i), функция
(теорема Фубини).
> Формула (3.105) показывает, что это утверждение справедливо
в случае, когда /(ж, у) представляет собой индикатор любого изме¬
римого множества С, /(х,у) = 1с(ж,у). Следовательно, оно спра¬
ведливо и для всех 1/-интегрируемых простых функций. А так как
любую 1/-интегрируемую неотрицательную функцию /(я, у) можно
представить как предел почти всюду сходящейся неубывающей по¬
следовательности 1/-интегрируемых простых функций, то по тео¬
реме о монотонной сходимости 3.5.1 утверждение справедливо для
всех неотрицательных 1/-интегрируемых функций. Поэтому, какова
бы ни была ^-интегрируемая функция /(х,у), теорема справедлива
/i-интегрируема и
j fdv = J w dfi = J n(dx) J f(x,y)\x(dy) (3.106)
§ 3.8. МЕРЫ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 225
для соответствующей неотрицательной функции ||/(ж, у)||. Следова¬
тельно, почти при всех ж относительно р функция /(ж, у)
А*-интегрируема; А так как функция
w(x) = J fd\s
мажорируется по норме /i-интегрируемой функцией
•(*) = / WfWdK,
|| w(x) || < v(x), то по теореме 3.3.2 функция w(x) /^-интегрируема.
Следовательно, интеграл в правой части (3.106) существует для
любой |/-интегрируемой функции /(ж, у). Остается доказать, что
этот шггеграл равен интегралу в левой части. Пусть {/"(я,!/)} —
последовательность |/-интегрируемых простых функций, определя¬
ющая функцию /(ж, у). Эта последовательность определяет сече¬
ние f*{v) = /(хуУ) функции / почти при всех ж € X. Действи¬
тельно, как было показано при доказательстве теоремы 3.3.2, функ-
цин f*1 (ж, у) всегда можно выбрать так, чтобы они удовлетворяли
условию \\Г(х,у)\\ < 2||/(ж,у)||. Тогда последовательность функций
ll/n(*»l/)“/m(*»y)|| (п>т = 1>2,...), сходящаяся почти всюду к нулю,
будет ограничена снизу и сверху А*-интегрируемыми функциями О
и 4||/(ж,2/)|| и по теореме о мажорируемой последовательности 3.5.3
получим
Нт / IIГ-Г II [j™j\r-r\\dxr = 0.
п tm—*oo j j п ,ш-^оо
Это доказывает, что последовательность Аг-простых функций
f2(y) = /"(*> у) (n = 1,2,...) определяет сечение fT(y) = /(ж, у) функ¬
ции / почти при всех ж £ X. Следовательно,
wn(x) = J pd\x -* j f dXx = tu(x)
почти при всех ж. А так как все функции wn(ж) мажорируются по
норме /i-интегрируемой фуйкцией 2 / || / || d\Xl то по теореме Ле¬
бега 3.5.4
lim I wn dp =
(w dp = J dp J fd\g,
226
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
т.е.
lim
Jdp J Г*\г = JdpJ fd\x.
Но формула (3.106) справедлива для |/-интегрируемых простых фун¬
кций /"(х,у) и
Следовательно, формула (3.106) справедлива для любой ^-интег¬
рируемой функции /(х,у), чем завершается доказательство тео¬
ремы. <
Заменив в формуле (3.106) функцию /(х,у) произведением
/(х, у)1с(х, у)у С Е С = Л х В} убеждаемся в том, что теорема Фубини
справедлива и для интегралов по любому множеству С ЕС:
где Сх имеет то же значение, что в (3.105).
3.8.3. Кратные и повторные интегралы. Интегралы по про¬
изведению пространств называются кратными интегралами. В час¬
тности, интеграл по произведению двух пространств в левой части
формулы (3.106) представляет собой двойной интеграл.
v Интеграл в правой части формулы (3.106) представляет собой
результат последовательного выполнения двух интегрирований:
сначала интегрирования по пространству У при фиксированном
значении х, а затем интегрирования полученной функции перемен¬
ной х но пространству У. Такие интегралы называются повторны¬
ми интегралами.
Теорема Фубини устанавливает равенство кратного интеграла
повторному.
В частном случае, когда мера \х не зависит от х, A*(jB) = А (В)
при всех В Е В и при всех х, меры /I и А в (3.105) можно поменять
местами и формула (3.105) принимает симметричный вид:
(3.107)
1/(C) = J n(dx) j lc(x,y)X(dy) = j X(dy) j 1 c(x,y)n(dx). (3.108)
Вследствие этого и теорема Фубини симметрична относительно мер
Аи/1,и формула (3.106) принимает вид
Jfdv = j ц (dx) j fix, y)X(dy) = j X (dy) J f{x, y)n(dx). (3.109)
Jj 3.8. МЕРЫ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 227
Отсюда следует, что в рассматриваемом случае кратный интеграл
не зависит от порядка интегрирования.
Мера 2/ в этом случае называется произведением мер Аи/1,1/ =
= А х /*.
Теорема Фубини относится к интегралам Бохнера и, в частно¬
сти, к интегралам Лебега. Однако на основании теорем 3.4.2 и 3.4.3
она применима также к собственным и абсолютно сходящимся не¬
собственным интегралам Римана. В этом случае из теоремы Фуби¬
ни как частный случай вытекает известная теорема математическо¬
го анализа о равенстве кратного интеграла любому из повторных
интегралов.
Пример 3.16. Рассмотрим двойной интеграл
1= SS {с — х* — у*) dx dy.
**+У?<е
Очевидно, что этот интеграл существует, так как подынтегральная функция
ограничена и лебегова мера области интегрирования конечна. Применяя тео¬
рему Фубини, находим I — 7ГС2/2.
Пример 3.17. Точно так же, применяя теорему Фубини, находим
// ’zf+pdxdy = 2\n2.
[o,i]a
Интеграл здесь существует, так как ху/(х2-|-у2) < 1/2 и мера Лебега области
интегрирования конечна и, следовательно, кратный интеграл равен любому
из повторных.
3.8.4. Меры в конечных произведениях пространств. Со¬
вершенно так же определяются меры в любых конечных произведе¬
ниях пространств. Предположим, что в пространстве (Х\,А\) за¬
дана мера Ai(-A), а в пространствах (Xk,Ak) (к = 2, ...,п) заданы
семейства мер A*(j4; xi, ..., x*_i), х/ € Xi (/ = l,...,n — 1), причем
при каждом данном А 6 Ak А*(Л;хх,.. . ,x*_i) представляет собой
^i-1-интегрируемую функцию xi,..., x*_i,
wW = Ai(A), AeAly
Рк(А\ x A2) = J Ak(A2\xi,..., x*_i)/ifc_i(dxi x • • • x dxk-1),
Ax
AxeAix-xAk-i, A2eAk (* = 2, ...,n). (3.110)
228
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
Эта формула определяет каждую меру /1* на прямоугольных множе¬
ствах произведения двух пространств {Х\ х • • ‘ХХъ-\,А\ х • • х Ak-i)
и (Xk,Ak)- Следовательно, по теореме 3.8.1 она <т-аддитивна на
полуалгебре измеримых прямоугольников и по теореме 2.3.15 од¬
нозначно продолжается на <т-алгебру А\ х • •• х Ак- В частности,
при к = п мера /i = /in (т-аддитивна и однозначно определена на
<г-алгебре А\ х •• • х Ап произведения пространств Х\ х ... х Хп.
Заметим теперь, что, выразив меру /i*-i в (3.110) той же фор¬
мулой (3.110) через меры /1*_2 и Л*-ь можем применить к интег¬
ралу в (3.110) теорему Фубини 3.8.3, согласно которой почти
при всех относительно меры /1*-2 значениях xi,...,x*_2 функция
А*(Аг; *1,..., Xfc-i) представляет собой А*_1-интегрируемую функ¬
цию Xfc-i (Jb = 2,..., n).
Согласно теореме 3.8.2 мера /1 = /in определяетсяна любом мно¬
жестве С G А\ х • • • х Ап формулой
fi(C) = J j 1с(*1,...,*п)Л n(cten;*<n_1)) =
= j Ai(rfa?i) J >v(dx2;xi)... J lc(xi,...,xn )A„(<ten;a;(n_1>), (3.111)
где для краткости через х^"1) обозначен элемент {xi,..., xn_i} про¬
изведения пространств Х\ х • • • х Хп-\.
Функция A*(j4; xi, ..., x*_i) (к = 2,..., п) представляет собой ме¬
ру со значениями в В-пространстве /1*-1-интегрируемых функций
Li(Xx х • • • х Xh-UAx х ••• хАк-1,Цк-г)-
Теорема Фубини 3.8.3 распространяется по индукции на инте¬
гралы по любому конечному произведению пространств.
В частном случае, когда меры Л* не зависят от х\у..., x*_i (Jb =
= 2,..., п), мера ji, определяемая формулой (3.111), называется про¬
изведением мер Ai,...,An. В этом случае из формулы (3.109) по
индукции заключаем, что кратный интеграл по любому конечному
произведению мер равен каждому из повторных интегралов и не за¬
висит от порядка интегрирования.
3.8.5. Меры в бесконечных произведениях пространств.
Перейдем теперь к мерам в бесконечных произведениях прост¬
ранств. Пусть (ХТУАТ) — бесконечное произведение измеримых
пространств (Xt}At) (п.2.1.9):
*Т = П*‘- лт = Па.
t€T *€Т
jj 3.8. МЕРЫ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 229
Предположим, что при всех n, t\y..., tn G Т в пространстве , Агг)
определена конечная неотрицательная мера А^Л), а в простран¬
ствах (XtkyAth) (к = 2, ...,п) определены семейства конечшлх нео¬
трицательных мер A|fc;ll>...,х\ G Xtn (/ = 1,...
..., n — 1), причем так же, как в п.3.8.4, каждая функция Atfc;tlf.
/iti,...,1к-1“интегРиРУема при любом A G Ath}
1ИХ(А) = AeAtli
ftu t,(4xA2) = J A,t;ll i,_1(i4a;*i,...l**_i)x
At
x • • • x dxt-i),
A\£Attx—x Atk_iy A2€Atk (fc = 2,..., n). (3.112)
По доказанному в п.3.8.4 все меры <г-аддитивны на соответ¬
ствующий <г-алгебрах Atx х • • • х А%к. Совокупность всех мер
при всех п, t\y..., tn G Т определяет меру /1 на полуалгебре прямо¬
угольников пространства Хт:
ц(Ах х ••• х Ап) = J ■.. J Xtt(dxi)Xta^l(dx2]x1) х • • • х
А.х А.п
xA«e;iI,...,i1,_l(d*n;*b...,*n-i), At£Ati, (3.113)
и эта мера <г-аддитивна на каждой из <т-алгебр Atx х ••• х Atn,
G Т. Для того чтобы продолжить меру /1 на <т-алгебру
Ат пространства Хт, необходимо доказать ее <т-аддитивность на
полуалгебре С измеримых прямоугольников пространства Хт. Мы
воспользуемся для этого теоремой 2.2.5, согласно которой любая
аддитивная функция мнондества, непрерывная в нуле, <г-аддитивна.
Теорема 3.8.4. Мера /1, определяемая формулой (3.113) на полу*
алгебре С измеримых прямоугольников пространства (ХТ, Ат) , а-ад¬
дитивна на С.
> Прежде всего заметим, что /1 аддитивна на С. Действительно,
объединение прямоугольников представляет собой прямоугольник
тогда и только тогда, когда их основания лежат в одном и том же
конечном произведении пространств. Но тогда аддитивность /1 сле¬
дует из аддитивности интеграла. Зададим на полуалгебре прямо¬
угольников С меры
Vkn(At х ••• х Ап;хi,....,xt-i) =
230
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
I I A]]s(dxit] £1,..., £fc_i)... Xn(dxn\ xi,..., xn_i),
Ak An
AkeAtk (fc = 2,..., n; 91 = 2,3,...), (3.114)
где для краткости положено А* = Affc;tli...itfc_l. Ясно, что i/\n = /i,
I'nn = А„ и
Vkn(Ak x •••x>ln;xi,...,xjb_i)= ^fc+ifn(-A*+i x • • • x An; xb . , xk)x
По доказанному в п.3.8.4 все меры икп <т-аддитивны на соответству¬
ющих <7-алгебрах А%к х • • • х Atn (к = 2,..., п; п = 2,3,...).
Возьмем теперь произвольную монотонную убывающую после¬
довательность прямоугольников {Яп} с пустым пересечением и до¬
кажем, что limfi(Rn) = 0. Если основания всех прямоугольников
Rn лежат в одном и том же конечном произведении пространств
Xtx х ••• х XtNi то lim/i(iZn)’= 0, так как непрерывность /1 следует
по теореме 2.2.3 из ее (7-аддитивности на Atx х • • • х А%„. В против¬
ном случае основания всех прямоугольников Rn лежат в некотором
счетном произведении пространств Xs у S = {**}. Предположим, что
основание прямоугольника Rn лежит в произведении пространств
Xtl х • • xXtrn. Ясно, что числа гп образуют неубывающую последо¬
вательность и гп —* оо при п —► оо. Обозначим стороны прямоуголь¬
ника Rn в соответствующих пространствах Xtk через Апь .. •, АпГп и
положим В= Ап,к+1 х • • • х АпГп- Тогда по формуле (3.115) найдем
xA*(dxfc;xi,...,z*-i).
(3.115)
n(Rn) = i/ir.CRn) = J 1Ап1(*1)У2гп(в£']\xi)Xi(dx1), (3.116)
vkrn(Ank x В^ *1, •••.*»-!) =
/1лпЛ Xk)vk+1,гя(-В^; xi,..., Xk+i)\k(dxk; *i,..., *1-1)
(Jfc = 2,...,r„-1; n = 1,2,...). (3.117)
Из монотонного убывания {Дп} следует An+i,k С Апк (к = 1,..., гп;
п = 1,2,...). Последовательности подынтегральных функций в
§ 3.8. МЕРЫ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 231
(3.116) и (3.117) монотонно убывают с ростом п, так как 1лПк(х) <
< 1л»+1.*(*к) и
"*+i,«•„+,(££+!;*ь• • •,*к) < х х«„п+1 х •••
■ X -^И1г„+1 > х1> • • • > хк) = Ук+1,г„(£п х1> • ■ • > хк)|
и ограничены снизу нулем. Поэтому в каждой точке
существует предел
fk(xi,...,xk)= lim 1Апк(хк)1/к+1,гя(Вп)>х1> •••>**)•
п-+оо ,
Таким образом, последовательности подынтегральных функций в
(3.116) и (3.117) сходятся при всех ж*,... ,x*_i и ограничены снизу
и сверху А*-интегрируемыми функциями 0 и ...
..., ж*). Следовательно, по теореме о мажорируемой последователь¬
ности 3.5.3 в (3.116) и (3.117) можно перейти к пределу при п —► оо
под знаком интеграла. В результате получим
lim fi(Rn) = //i(*i)Ai(dxi), (3.118)
П-ЮО J
lim vkrn(Ank x Bik); xi,..., xk-i) =
fl—*00
= j fk(xi,...,xk)\k(dxk,xi,...,xk-i). (3.119)
Если fi(Rn) не стремится к 0 при п —► оо, то существует такое число
е > 0, что fi(Rn) > £ Vn. Следовательно, существует такая точ¬
ка xi G Xtl) что /i(xi) > С\ = e/Ai(j4n). Очевидно, что х\ Е Ап\
при всех п, так как f\(x\) = 0 при х\ £ Ап\. Из полученного не¬
равенства в силу невозрастания последовательности {и2rn(Ba?i)}
следует V2rn(Bn^\®i) > £1 при всех п. Отсюда и из (3.117) при к = 2,
xi = *ь учитывая, что В^ = Ап2 х В$?\ совершенно так же прихо¬
дим к выводу, что существует такая точка Х2 Е Х%2, что Х2 Е Ап2 и
"з гп > 62 = £\/^2{А\2\х\) при всех п. Продолжая таким
образом, находим при любом р такую точку хр Е Х*р, что Е
и */р+1,г„(Яп>);*1, •• • >*р) > £р = £p-i/Ap(j4ip;ici,... ,*p_i) при всех п.
При этом точка х= {®i,...,*p} Е х ••• х будет принад¬
лежать всем прямоугольникам Я* при гп < р. В пределе получим
232
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
точку {х*} в счетном произведении пространств Xs, 5 = {<*}, при¬
надлежащую всем прямоугольникам Яп, что противоречит предпо¬
ложению о том, что пересечение прямоугольников Rn пусто. Это
противоречие доказывает непрерывность меры /1 в нуле, а вместе с
тем и ее (Г-аддитивность на полуалгебре С измеримых прямоуголь¬
ников пространства Хт. <
По теореме о продолжении меры 2.3.15 мера /1 имеет единствен¬
ное продолжение,на минимальную полную (г-алгебру Aсодержа¬
щую все измеримые прямоугольники пространства (Хт,АТ).
Заметим, что попутно мы доказали ^-аддитивность всех мер
1/*Гп, определяемых формулой (3.117), и возможность их однознач¬
ного продолжения на <т-алгебру Ат при всех х\>..., x*_i (к = 2,...
...,гп - 1;п = 1,2,...).
Пример 3.18. Мера Винера /ivy, введенная в примере 2.15, определя¬
ется формулой (3.113) при
Л,»(Л)= тяъ f dxi’
А
• • • • *‘-o=fехрь
(* = 2,...,n). (3.120)
По теореме 3.8.4 /ijy (7-аддитивна на полуалгебре С измеримых прямоугольни¬
ков пространства (Х***, А?) при Х% — R, At = В, Т = [0, оо). Следовательно,
она может быть однозначно продолжена на (Т- алгебру А? и на ее пополнение
Ajiy относительно /1|у. Формула (3.114), определяющая меру 1/2П, в данном
случае дает
■*•<* х • • • х А,;.,) =
х / / ехр(-| £ •■!<«.- (3.121)
А2 Ал к=2
Эта мера согласно последнему замечанию перед этим примером также
<7-аддитивна и однозначно продолжается на (Т-алгебру A?11 Т\ — ($1,Оо),
при любом Х\ G Xtx. Обозначим ото ее продолжение через Vtx{C\ Xi). Тогда,
согласно (3.105), вследствие того что Jfl*1»00) = Xtx X значение меры
/i|V на любом множестве С € выражается формулой
^w(C) = ^-/exp{-|^-}di/lc(a:,y)i/t1(rfy;a!) (3.122)
§ 3 8. МЕРЫ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 233
при любом фиксированном t\. При всех возможных значениях t\ £ [0, оо)
формула (3.122) определяет меру Ц\у на всех множествах С Е .
Пример 3.19. Наряду с мерой Винера /ify часто применяется ме¬
ра /4у» определяемая на прямоугольных множествах пространства ,*4^*)
формулой
х / ••• /ехр{~I Е (дТДп°2}dx1 • • d*n- (3-123)
Лг Ап 1 *=2 >
Мы будем называть эту меру модифицированной мерой Винера, чтобы избе¬
жать путаницы, которая может возникнуть из-за того, что мера часто
тоже называется мерой Винера. Очевидно, что мера /1^ отличается от
только тем, что вместо меры А|1Э определяемой первой формулой (3.120), бе¬
рется лебегова мера на числовой прямой Х%х — R. Поэтому формула (3.122)
заменяется формулой
Pw(c) = f dxf (3.124)
Меры в бесконечных произведениях пространств играют фундамен¬
тальную роль в современной теории вероятностей (см., например,
[20, вып. 7 и 8]).
ЗАЛАМИ
3.8.1. Вычислить интегралы
10,11“ |0.Ч’
Объяснить, почему во втором случае повторные интегралы не совпадают. '
3.8.2. Доказать <7-конечность модифицированной меры Винера при¬
мера 3.19.
3.8.3. Доказать, что модифицированную меру Винера /ijy - можно счи¬
тать полностью сосредоточенной на подпространстве непрерывных функций
С пространства хт.
У казани е. Заменить меру А* (</4.) на R примера 3.18 лебеговой мерой
на интервале [п, П + 1), доказать точно так же, как в задаче 2.3.3, что мера /ijy
множества функций из ХТ, не непрерывных на множестве двоично рациональ¬
ных чисел любого интервала [0, а], равна нулю и учесть, что пространство
хт
234
ГЛ. 3 ИНТЕГРАЛЫ
можно представить как объединение счетного множества попарно непересека-
ющихся пространств! полученных из Х'1' заменой числовой прямой Xt — Rt
интервалами [fl, fl + 1) при любом фиксированном t. После етого закончить
решение задачи так же, как решение задачи 2.3.3.
3.8.4. Доказать, что мера /ijy множества функций, дифференцируемых в
данной точке t, равна нулю. Учитывая результат задачи 3.8.3, сделать отсю¬
да вывод, что почти все относительно'' меры функции пространства С не
дифференцируемы ни в одной точке.
У Казани е. То же, что и в задаче 3.8.3.
3.8.5. Вычислить интегралы по модифицированной мере Винера /ijy по
множеству непрерывных функций, удовлетворяющих условию х(а) € [а,/?],
от функций задач 3.3.2, 3.3.4 при t\ = а и задач 3.5.1 — 3.5.4.
У казани е. Применить теорему Фубини, определив меру fiyy формулой
(3.124), и воспользоваться для вычисления интегралов по мере Vt\ формулами,
оолученными в задачах 3.3.2, 3.3.4, 3.5.1 — 3.5.4.
3.8.6. Пусть (Х^,^) — бесконечное произведение измеримых прост¬
ранств
Хт = П Xt, Лт=и Ли Xt = Rm, At = £Г\ Т = [0, оо),
«ет «ет
где В™ — <Г-алгебр& борелевских множеств пространства Rm. Очевидно, что
хт
представляет собой пространство всех m-мерных векторных функций с
областью определения Т. Определим на полуалгебре измеримых прямоуголь¬
ников пространства СХТ,АТ) меру
li(Ax х • • • х Ап) = / • • I ехр{-*тА:-1а:/2} dxx dx2x
XА«з;ц,«а(<*хз; *2) • • • ...«»_,((/*«; *1. • • • . *п), (3.125)
где
ь-_ [^(<i»*i) K(t\,t2)
л-[к(г2,и) K(t2,t2)J’
K(sus2) — непрерывная матричная функция размера Ш X ГЛ, удовлетворя¬
ющая условиям
1) K(s2,si) = K(sus2)T-,
N
2) £ иТК(ъ,ъ)ч> О для любых N, 5i, ..., Sjsf и 771-мерных векто-
«,;= 1
ров
jj 3.8. МЕРЫ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 235
3)trff(ti,t2) < S|<j ~<2р при некоторых В, у > 0, (3.126)
<r(tl ,*2) = K(h,ti) - K(ti,t2) - K(t2,ti) + K(t2,t2)}
Xtk,ti,..,tk-i{B'> ж1> • • • I l) (t = 3,..., fl) — конечные неотрицательные ме¬
ры в соответствующих пространствах CXtfc>*4tfc), представляющие собой при
каждом В 6 Ath (Att X X > В)-измеримые функции Xi,..., Хъ-l*
Согласно теореме 3.8.4 мера /1 (Т-аддитивна на полуалгебре С прямоугольни¬
ков пространства . По теореме 2.3.15 ее можно однозначно продолжить на
(Т-алгебру А^, полученную пополнением лт относительно /i.,
Доказать, что мера /1 конечна и для нее справедливы утверждения задач
2.3.3 и 2.3.5.
Указание. Воспользоваться формулой*
#*({*(0 : М*а) ~ **(<1)1 > Ч} =
= // ех${-хтK~lx/2} dx\ dx2 =
= 1 - 2*(ti/y/ffkk(ti, h)) (* = l,...,m),
где (Tkh{tlit2) — диагональные элементы матрицы и неравенством
(2.63), учесть, что
I m m
Ix(t2) - *(ti)| = »/ E M<2) - *t(<l)]2 < E Ixk(h) -
у fc=l fc=l
вследствие чего
m \
{x(f) : |x(f2) - *(*i)| > e} С U {*(0 : l**(<2) - > e/m).
b=l
и взять а в интервале (0,7/2). Тогда все дальнейшие выкладки задачи 2.3.3
останутся без всяких изменений.
* 2то-кратный интеграл в этой формуле, так же как и 4т-кратный инте¬
грал в формуле задачи 3.8.9, сводится линейной заменой переменных к инте¬
гралу (2.61). Однако не стоит терять время на эти утомительные выкладки,
так как обе эти формулы, независимо от кратности интеграла, являются пря¬
мым следствием двух теорем теории вероятностей.
236
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
3.8.7. Доказать, что утверждения задач 2.3.3 и 2.3.5 справедливы и для
(7-конечной меры, определенной на измеримых прямоугольниках простран¬
ства (ХТ ,АТ) формулой
/l(Al х-хл„)= -лфрх / • ■ ■ J ехР{-(*2 - *Т)х
' Ai Ап
х<г~1(х2 - x\)dx\ dx2\t3ltllt3(dx3', xi,x2)...
• • • ^*n,ti,- -,tn-i(dxn; Х\,..., Zn-i), (3.127)
где <T — 0"(tiyt2) — положительно определенная непрерывная матричная
функция размера ТП X 771, удовлетворяющая условию (3.126), а меры
те же> что в задаче 3.8.6 ((7-конечность меры /1 надо доказать).
3.8.8. Доказать, что интеграл по мере /1 задачи 3.8.6 от функции
/(*) = £ <Ры(Ь,... ,tn)x(th)x(ti)T,
л,1=1
где (phi (А,/ = 1 ,. .., fi) — непрерывные матричные функции размера
Ш X Ш со значениями в сепарабельном jB-пространстве, распространенный
на все пространство С\ определяется формулой
( п
ff(x)p(dx)= £ <Phi(h,...,tn)K(th,t,).
h,i=i
У Казани е. Дифференцировать формулу, приведенную в задаче 3.3.4,
по компонентам вектора Г) и после этого положить Т) = 0.
3.8.9. В условиях задачи 3.8.6 определим меру
»(At х - хАп)= (2>)аЛ^ / • • • / ехр{-*т#-1*/2} dx 1...
... dx4Ats;ll t4(dxs) *4)... Atn;<1>...1<п_,((/а;„; x\,..., xn-i),
(3.128)
где
'*1'
rK(h,ti)
K(t\,t2)
1
**«a
1* —*
*2
w —
K(t2,t !>
K(t2, <2)
K(i,2,H)
K(t2,U)
Jb
*3
> n —
K(t3,h)
tf(<3,<2)
K(ta, <з)
K(t3, <4)
-*4-
/<(<4, <2)
/£(*4, <3)
/^(<4, <4).
§ 3.8. МЕРЫ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 237
K(tl j ^2) — непрерывная вместе со своими производными до второго яоряд-
ка включительно матричная функция размера Ш X 771, обладающая первыми
двумя свойствами из задачи 3.8.6 и дополнительным свойством
tr<r(tbt2,*3,<4) < ВтУ
При некоторых В > 0, у > 2, Г = max, j |f,- — tj |,
<т(*1,*2>*3>*4) = ^(*l>*l) + K(t2yt2) + K(t 3,^3) + #(*4> *4)““
-K(ti,t2) — K(t2yt\) — K(ti,ts) — #(*3>*l) + K(ti>t4) + K(t4yt\)+
+K(t2>tz) + К (*3, *2) ” ^(*2>*4) — #(*4>*2) - ^(^3,^4) ~ #(*4>*з),
— те же меры, что и в задаче 3.8.6. Доказать,
что почти все относительно меры fi функции пространства X^ непрерывны и
имеют непрерывные первые производные.
У Казани е. Воспользоваться формулой
(2 w)*"y/iK\ ММ «p{-*Tff-1*/2} dx1dx2dx3dx4 =
= 1 -
где t2y <з> ^4) — диагональные элементы матрицы <r(ti, ^3j ^4)
(см. сноску на стр. 217), воспользоваться неравенством (2.63), взять Ос в ин¬
тервале (1,7/2) и буквально повторить выкладки задачи 2.3.3 для величин
y{k2~v) = [х((* + 1)2-р) - х(к2-*>)]2*>.
Полученный результат дает возможность перенести меру fi на <7-алгебру
ЛТСХ = {В : В = АС1, А € АТ} в пространстве функций, непрерывных
вместе со своими первыми производными, положив fi(B) = //(>!), В £ А^С*.
3.8.10. Доказать, что интеграл по мере fi задачи 3.8.9 от функции
/(*) = £ <Phi{ti, ■ ■ •, <п)*(</>М</)т+
h,l=l
+ £ ^м(*ь •••»*!»)*'(** )*(*0Т+
h,l=l
+ £ uM(ti,...,tn)x'(th)x'(ti)T,
h,l= 1
238
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ
распространенный на все пространство С*, где фЫуФни^м — непрерывные
матричные функции со значениями в сепарабельном jB-пространстве, опреде¬
ляется формулой
ff(x)fi(dx)= 22 <Phi(ti,- -,tn)K(th,ti)+
h,l=l
+ £ i, . .., tn) ^ Vhl(tl,"*,tn)L(th,ti),
h,l=l 4,/=l
где
«*(<*.u> _ L(t if) = 92K^ * L(t t) -
au “I e«fc * M1» at at' atat' Jt#=t*
3.8.11. Решить задачи 3.8.6 — 3.8.10 для случая Г-мерного векторного ар¬
гумента t (видоизменив задачу 3.8.10 соответствующим образом).
ГЛАВА 4
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 4.1. Основные понятия топологии
4.1.1. Сходамость и непрерывность в терминах окрестно¬
стей. Данные в § 1.2 определения сходимости последовательности
и непрерывности функции в метрическом пространстве можно сфор¬
мулировать на основе понятия окрестности точки, не пользуясь явно
метрикой.
Ясно, что множество {х9 : d(xt х') < г} представляет собой ша¬
ровую окрестность точки х. Но любая окрестность точки х содер¬
жит эту точку вместе с некоторой ее шаровой окрестностью, и усло¬
вие сходимости d(xni х) < е при всех п > N = Ne означает, что лю¬
бая окрестность точки х содержит все точки хп последовательности
{хп}, начиная с некоторой. Таким образом, последовательность то¬
чек {яп} сходится к
точке х} если любая
окрестность точки х
содержит все точки
хПу начиная с неко¬
торой.
Точно так же ус¬
ловие непрерывнос¬
ти функции f(x),
отображающей мет¬
рическое простран¬
ство (Ху d) в метри¬
ческое пространство
(У, г), в точке х :
г(/(*'). /(*)) < е при
всех х1 у d(x\ х) < 6 =
= 6е означает, что
прообраз любой ок¬
рестности точки у =
Рис. 19
240
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
= f(x) (которая содержит вместе с точкой у и некоторую ее шаро¬
вую окрестность {j/ : r(j/, у) < е}) содержит некоторую окрестность
точки х (в данном случае {х9 : d(x', я) < в}) (рис.19).
Мы видим, что в формировании понятий сходимости (последо¬
вательности) и непрерывности (функции) в метрическом простран¬
стве основную роль играет понятие окрестности точки, а метрика
играет лишь вспомогательную роль, поскольку с помощью метрики
определяются окрестности. Естественно возникает вопрос, а нельзя
ли непосредственно определить окрестности точек пространства, не
вводя в это пространство метрику. Это тем более целесообразно,
что во многих приложениях нет никакой необходимости вводить ме¬
трику. Сейчас мы увидим, как это можно сделать.
4.1.2, Топология. Определить открытые множества в произ¬
вольном пространстве естественным путем, как это делается в слу¬
чае метрического пространства, невозможно. Поэтому в общем слу¬
чае можно произвольно выделить определенный класс множеств и
условиться считать множества этого класса и только множества
этого класса открытыми. Само собой разумеется, при этом необхо¬
димо позаботиться о том, чтобы класс открытых множеств обладал
теми же свойствами, что и класс открытых множеств в метрическом
пространстве, которые определяются теоремам^ п.1.2.3.
На основании приведенных соображений за класс открытых
множеств в пространстве X можно принять произвольно выбранный
класс множеств г, обладающий следующими свойствами':
1) пустое множество 0 и все пространство X являются откры¬
тыми множествами;
2) любое объединение открытых множеств представляет собой
открытое множество;
3) пересечение конечного числа открытых множеств предста¬
вляет собой открытое множество.
Класс г открытых множеств пространства X называется то¬
пологией этого пространства. Пространство X с заданной в нем
топологией г называется топологическим пространством и обозна¬
чается (X, г). Свойства 1 — 3 топологии называются аксиомами
топологии. ->
В силу произвольности выбора класса открытых множеств в
данном пространстве X можно задать сколько угодно различных
топологий. В результате будут получаться различные топологиче¬
ские пространства.
Множество всех возможных топологий в данном пространстве
§4.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ топологии
241
X, как и MHoacecfBo любых классов множеств, частично упорядоче¬
но знаком включения. Бели в пространстве X заданы две топологии
П и т2, причем т\ полностью содержится в тъ (т.е. любое открытое
множество в т\ является открытым множеством в т2)у т\ С т2у то
говорят, что топология т\ слабее топологии т2у а топология т2 силь¬
нее топологии гг. Самой слабой топологией в данном пространстве
X является топология, состоящая из двух множеств — всего про¬
странства X и пустого множества 0. Самой сильной топологией
в пространстве X является топология, содержащая все множества
пространства X. Эту топологию принято называть дискретной то¬
пологией. В слабейшей топологии существуют только два открытых
множества, которые в то же время являются и замкнутыми множе¬
ствами (как дополнения одно другого). В дискретной топологии все
множества являются одновременно открытыми и замкнутыми. Само
собой разумеется, обе эти топологии совершенно бесполезны и вво¬
дить одну из них в пространство равноценно тому, что не вводить
никакой топологии.
Легко доказывается следующая теорема.
Теорема 4.1.1. Пересечение любого множества топологий есть
топология.
Пересечение всех топологий, содержащих данный класс мно¬
жеств С, является слабейшей топологией, содержащей С. Эта то¬
пология называется топологией, порожденной классом множеств
С, и часто обозначается г(С).
Дополнение любого открытого множества называется замкну¬
тым множеством. На основании принципа двойственности класс
замкнутых множеств содержит все пространство X и пустое множе¬
ство 0, все конечные объединения и любые пресечения входящих в
него множеств. Таким образом, пустое множество и все простран¬
ство являются одновременно открытыми и замкнутыми множества¬
ми.
Теорема 4.1.2. В любом топологическом пространстве (Ху г)
топологию г можно заменить более слабой топологией То С т, в ко¬
торой одновременно открытыми и замкнутыми множествами бу¬
дут только пустое множество и все пространство.
> Предположим, что множества / 0, X, (а 6 S), а следо¬
вательно, и их дополнения Ла одновременно открыты и замкнуты
в топологии г. Введем новую, более слабую топологию ть, совпа¬
дающую с г, за исключением того, что каждое множество Аа от¬
крыто в г0, а его дополнение Ла замкнуто. Очевидно, что в тополо¬
242
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
гии го одновременно открытыми и замкнутыми являются только 0
и X. <
Выбрав в данном пространстве топологию, мы разбиваем все
множества этого пространства на три класса: открытые, замкнутые
и все остальные множества.
Всякое открытое множество, содержащее точку ж, называется
окрестностью тонки ж. Всякое открытое множество, содержащее
данное множество А% называется окрестностью множества А.
4.1.3. Индуцированная топология. Пусть (X, г) — тополо¬
гическое пространство, У — произвольное множество в X, У С X.
Очевидно, что класс множеств
ту = {GY : Ger} ,
удовлетворяет всем аксиомам топологии, если дополнительно при¬
нять, что множество У одновременно открыто и замкнуто в ту. То¬
пология ту в У, определенная таким путем, называется топологией,
индуцированной в У топологией т. Множество У с индуцирован¬
ной топологией ту представляет собой топологическое простран¬
ство (У, ту), которое называется подпространством топологическо¬
го пространства (X, г).
Заметим, что множества GY Е ту являются открытыми в топо¬
логии г (в пространстве (X, г)), GY Е г, тогда и только тогда, когда
множество У открыто в топологии г, У Е г.
4.1.4. Внутренние точки, точки прикосновения и предель¬
ные точки множеств. Точка х называется внутренней точкой мно¬
жества А, если существует некоторая окрестность Vx точки ж, цели¬
ком содержащаяся в A, Vx С А.
Точка ж называется тонкой прикосновения множества А, если в
любой окрестности точки ж содержится хотя бы одна точка множе¬
ства Л. Точка прикосновения множества А может принадлежать, а
может и не принадлежать множеству А.
Точка ж называется предельной тонкой множества А> если в лю¬
бой окрестности точки ж содержится хотя бы одна точка множества
А, отличная от ж. Предельная точка множества А может принадле¬
жать, а мржет и не принадлежать множеству А.
Ясно, что любая внутренняя точка множества является его пре¬
дельной точкой, а любая его предельная точка является его точкой
прикосновения. Предельная точка множества может не быть его
внутренней точкой, точка прикосновения может не быть ни предель¬
$ 4.1. ОСНОВНЫЕ понятия топологии
243
ной, ни внутренней точкой. Однако любая точка прикосновения, не
принадлежащая множеству, является его предельной точкой.
Теорема 4.1.3. Множество А открыто тогда и только тогда,
когда каждая его точка является внутренней точкой.
> Бели А — открытое множество, то оно является содержащей¬
ся в -А окрестностью любой своей точки, т.е. любая точка х Е А
является внутренней точкой А. Наоборот, если точка х Е А — вну¬
тренняя точка множества А% то существует окрестность Vx точки х,
целиком содержащаяся в А. Бели все точки множества А являются
внутренними, то А представляет собой объединение содержащихся
в А окрестностей всех точек множества Л,
А= U Va.
*ел
v*c л
Действительно, любая точка х множества А принадлежит своей
окрестности V*, содержащейся в А, т.е. х £ \JVX vi А С \JVX. С
другой стороны, так как все Vx в (J Vs принадлежат А, то (J Vx С А.
Следовательно, А = (J Vx. Но объединение (J Vx открытых множеств
есть открытое множество. <
Теорема 4.1.4. Множество А замкнуто тогда и только тогда,
когда оно содержит все свои точки прикосновения.
> Бели А — замкнутое множество их — его точка прикоснове¬
ния, то х не може! принадлежать открытому множеству А в силу
теоремы 4.1.3. Наоборот, если А содержит все свои точки прикос¬
новения, то ни одна из них не принадлежит дополнению А. Сле¬
довательно, любая точка множества А имеет окрестность, не со¬
держащую точек множества А, т.е. целиком содержащуюся в А.
По теореме 4.1.3 множество А открыто, а А как дополнение А замк¬
нуто. <
Следствие. Множество А, не имеющее предельных точек или
содержащее все свои предельные точки, замкнуто, так как никакая
we принадлежащая ему точка не может быть его точкой прикосно¬
вения; в противном случае она была бы не принадлежащей множе¬
ству А его предельной точкой.
Рассмотрим произвольное множество А. «Наибольшее открытое
множество, содержащееся в А} называется открытым ядром мно¬
жества А и обозначается А0. Наименьшее замкнутое множество, со¬
держащее А} называется замыканием множества А и обозначается
[А].
244
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Легко видеть, что А0 представляет собой объединение всех от¬
крытых множеств, содержащихся в Л, а [А] представляет собой пе¬
ресечение всех замкнутых множеств, содержащих Л.
Ясно, что открытое ядро А0 множества А представляет собой
множество всех внутренних точек множества Л, а замыкание [Л] мно¬
жества Л — множество всех точек прикосновения множества Л.
Множество [Л]\Л° называется границей множества Л. Если
Л — открытое множество, то в силу теоремы 4.1.3 Л° = Л. Если
Л — замкнутое множество, то в силу теоремы 4.1.4 [Л] = Л. Таким
образом, открытое множество не содержит%ни одной точки своей
границы, а замкнутое множество полностью содержит свою грани¬
цу. Все остальные множества содержат часть своей границы.
Множества топологического пространства называются отде¬
ленными, если ни одно из них не пересекается с замыканием друго¬
го. Обратим внимание на то, что для отделенности двух множеств
не достаточно, чтобы они не пересекались. Например, интервалы
(0,1) и [1,2] не пересекаются, но не являются отделенными, в то вре¬
мя как интервалы (0,1) и (1,2) — отделенные интервалы.
Топологическое пространство X (или множество А С X) назы¬
вается связным, если оно не может быть представлено как объеди¬
нение двух отделенных множеств.
Если в пространстве X заданы две топологии Т\ и гг С т\, то в
силу того, что запас открытых, а, следовательно, и запас замкнутых
множеств в гг меньше, чем в т\, Л°3 С Л°х, [Л]Г1 t [Л]Тз для любого
множества Л (индексами т\ и гг отмечены открытые ядра и замы¬
кания' множества Л в топологиях т\ и гг соответственно). Таким
образом, чем слабее топология в пространстве X, тем более ” раз¬
мыты” границы множеств в X. Вследствие этого отделенные мно¬
жества в топологии т\ могут не быть отделенными в более слабой
топологии 7*2 и, соответственно, связное множество (пространство)
в топологии гг может не быть связным в более сильной топологии
т\. Таким образом, понятия открытого ядра, замыкания, границы и
связности множества тесно связаны с топологией пространства и в
пространстве без топологии не имеют никакого смысла.
4.1.5. Базы и предбазы. Чтобы задать топологию в данном
пространстве, нет необходимости определять сразу все открытые
множества. Необходимо задать только такую совокупность откры¬
тых множеств, из которой все открытые множества можно получить
операциями любых объединений и конечных пересечений. В связи
с этим возникает понятие базы топологического пространства.
§ 4.1. ОСНОВНЫЕ понятия топологии
245
Базой топологического пространства или базой топологии это¬
го пространства называется совокупность открытых множеств, объ¬
единением множеств которой можно получить любое открытое мно¬
жество. Таким образом, подкласс В открытых множеств является
базой топологического пространства (X, г), если любое открытое
множество G £ т представляет собой объединение некоторых мно¬
жеств Во, £ Ву G = |JВа.
а
Теорема 4.1.5. Для того чтобы подкласс В открытых множеств
был базой топологического пространства, необходимо и достаточно,
чтобы для любого отгрытого множества G и любой его точки х £ G
существовало такое множество Вх £ В, что х £ Вх С G.
> Бели В — база топологического пространства, то любое от¬
крытое множество G есть объединение некоторых множеств Ва £ By
G = \JBa- Следовательно, любая точка х £ G принадлежит какому-
нибудь Ва £ By и х £ Ва С Gy что доказывает необходимость усло¬
вия. Если для любых G и х £ G существует такое Вх £ By что х £
€ Вх С Gy то G = \J Вху т.е. любое открытое множество G есть
x£G
объединение некоторых множеств из В. Следовательно, В есть ба¬
за топологического пространства, что и доказывает достаточность
условия. <
Легко видеть, что за базу топологического пространства мож¬
но принять множество всех окрестностей всех точек этого простран¬
ства. Действительно, любое открытое множество G содержит вме¬
сте с любой точкой х £ G и некоторую окрестность Vx этой точки,
х £ Vx С G. Следовательно, по доказанной теореме совокупность
всех окрестностей всех точек пространства является базой этого
пространства.
Во многих случаях для определения базы топологического про¬
странства сначала^определяется некоторый вспомогательный класс
множеств, из которого можно получить базу.
Множество С открытых множеств, все конечные пересечения ко¬
торых образуют базу топологического пространства, называется
ъредбазой топологии этого пространства.
Теорема 4.1.6. Любой класс множеств С пространства X, объ¬
единение всех множеств которого совпадает с X, может служить
Щедбазой некоторой топологии в этом пространстве.
> Класс множеств С будет предбазой тогда и только тогда, когда
множество всех конечных пересечений множеств из С
246 ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
В = j-S : В = р| Cky Си ... , Сп G С, п = 1, 2, .. .^
будет базой, т.е. когда множество всех объединений множеств из
В будет удовлетворять аксиомам топологии. Рассмотрим класс А
всех объединений множеств из В. Любое множество класса А имеет
вид я
А = \jBp = U П Срк € С.
Р /**=1
Пусть {Аа} — семейство множеств класса А,
Па/9
Аа = = (J П
Р /**=1
Так как объединение
1и.=иид* = и П<^*
в а р afp fc=l
представляет собой множество из Л, то А удовлетворяет второй
аксиоме топологии. Так как
N N N nafi
пид*= nun<^* = un OCafik
а=1 р а=1 р к=1 р а=1 fc=l
тоже представляет собой множество класса Л, то класс множеств А
удовлетворяет третьей аксиоме топологии. Наконец, так как X =
= \JB £ А и 0 £ А как объединение пустого семейства множеств
из By то класс множеств А удовлетворяет и первой аксиоме тополо¬
гии. Таким образом, множество А всех объединений множеств из В
представляет собой топологию т, базой которой служит В. Следо¬
вательно, класс множеств С служит предбазой топологии т. Очевид¬
но, что топология г, предбазой которой служит С, есть топология
г(С), порожденная предбазой С. Действительно, любая топология,
содержащая С, содержит и все множества
U 0 Саку Сак € С ,
а *=1
т.е. содержит топологию А = т. <
Согласно теореме 4.1.5 базой естественной топологии метри¬
ческого пространства* порожденной метрикой, служит множество
§ 4.1. ОСНОВНЫЕ понятия топологии
247
всех шаровых окрестностей всех точек этого пространства, так как
любое открытое множество содержит любую свою точку вместе с
некоторой ее шаровой окрестностью. Больше того, базой тополо¬
гии метрического пространства служит также множество шаровых
окрестностей всех точек пространства с рациональными радиуса¬
ми, так как любая шаровая окрестность любой точки метрического
пространства содержит шаровую окрестность несколько меньшего
рационального радиуса.
4.1.6. Тихоновское произведение топологических прост¬
ранств. Тихоновским произведением двух топологических прост¬
ранств (X, тх) и (У, гу) называется произведение пространств Z =
= X х У с топологией тг, базой которой служит совокупность мно¬
жеств {В : В = Gx х Gy, Gx £ тх, Gy £ гу}. По индукции опреде¬
ляется тихоновское произведение любого конечного множества про¬
странств.
Рассмотрим теперь произведение любого множества топологи¬
ческих пространств (Xt, г<), t Е Т. Тихоновским произведением то¬
пологических пространств (Xt, rt), t Е Т, называется произведение
пространств
хт=пх<
<€Т
с топологией гт, базой которой служит совокупность множеств
5= П Gt,
t€T
соответствующих всем открытым множествам Gt Е rt при условии
Gt = Xt при всех t за исключением конечного множества значе¬
ний t.
ЗАДАЧИ
4.1.1. Доказать, что базой обычной топологии на плоскости, порожденной
евклидовой метрикой, может служить: а) множество всех открытых прямо¬
угольников со сторонами, параллельными осям координат; б) множество всех
открытых прямоугольников с рациональными координатами вершин. Дока¬
зать, что в обоих случаях можно ограничиться квадратами.
4.1.2. Обобщить результат задачи 4.1.1 на пространство Д” с евклидовой
Метрикой.
248
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
4.1.3. Может ли служить базой обычной топологии на плоскости с евкли¬
довой метрикой множество полос, параллельных осям координат, основани¬
ями которых служат открытые интервалы на соответствующих осях коорди-
нат? Бели нет, то как можно получить из этих полос б*зу?
4.1.4. Обобщить результат задачи 4.1.3 на пространства Я3 и Rn Tl > 3,
заменив полосы слоями, основаниями которых служат открытые интервалы
на соотв^ствующих Ъсях координат.
4.1.5. Пусть (Ху т) — топологическое пространство, У С. X — множе¬
ство в пространстве Ху Ту — топология на У, индуцированная топологией г.
Доказать, что: а) множество А С У замкнуто в топологии Ту тогда и толь¬
ко тогда, когда А = A\Y, где Ai замкнуто b топологии Т; б) точка у Е У
есть предельная точка множества А С У в топологии Ту тогда и только то¬
гда, когда она — предельная точка множества А в топологии Т; в) замыка¬
ние множества А в топологии Ту есть пересечение У с замыканием А в топо¬
логии Т.
4.1.6. Доказать, что любые подмножества В\ С В} С\ С С отделенных
множеств В и С топологического пространства X тоже являются отделенны¬
ми множествами. В частности, для любого множества А С X множества АВ
и АС отделенные.
4.1.7. Л оказать, что отделенные множества А и В топологического про¬
странства не содержат своих общих предельных точек.
4.1.8. Доказать, что любые два непересекающиеся открытые множества
являются отделенными.
4.1.9. Пусть А и В — непересекающиеся множества топологического про¬
странства (Ху г). При каких условиях множества А и В будут открытыми
(замкнутыми) в индуцированной топологии в A[J В?
4.1.10. Доказать, что А и В представляют собой отделенные множества
пространства X тогда и только тогда, когда они замкнуты в индуцированной
топологии в A (J В и не пересекаются.
4.1.11. Доказать, что замыкание связного множества связно.
4.1.12. Доказать, что любое объединение связных множеств, никакие два
из которых не являются отделенными, связно.
§ 4.2. Аксиомы отделимости и счетности
4.2.1. Аксиомы отделимости. Хотя топологию в любом про¬
странстве можно задать в принципе совершенно произвольно (лишь
бы удовлетворялись аксиомы топологии), для построения содержа¬
тельной теории имеет смысл выбирать топологию так, чтобы в из¬
вестной мере сохранить то свойство естественной топологии метри¬
§ 4.2. АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ И СЧЕТНОСТИ
249
ческого пространства, что любая точка имеет стягивающееся к ней
множество окрестностей. В связи с этим принимается одна из че¬
тырех аксиом отделимости.
Первая аксиома отделимости Т\. Каждая из двух различных
точек х, у топологического пространства X имеет окрестность, не
содержащую другую точку. Иными словами, если х ф у, то точка
х имеет окрестность Vx, не содержащую у, а точка у имеет окрест¬
ность Vyj не содержащую х. Топологическое пространство с первой
аксиомой отделимости Т\ называется Т\-про стран cm в ом.
Пример 4.1. Приме¬
ром топологического простран¬
ства, не удовлетворяющего ак¬
сиоме отделимости Т\, может
служить плоскость, на которой
открытыми множествами счи¬
таются полосы, параллельные
оси ординат, пересечения кото¬
рых с осью абсцисс представля¬
ют собой открытые множества
числовой прямой (рис.20). Та¬
кал совокупность открытых
множеств удовлетворяет всем
аксиомам топологии, поскольку
совокупность открытых мно- Рис. 20
жеств числовой прямой им удовлетворяет. Однако ни одна из точек а и 6, ле¬
жащих на одной прямой, параллельной оси ординат, не имеет окрестности,
которая не содержала бы другую точку.
Теорема 4.2.1. Пересечение всех окрестностей любой точки х
Ту-пространства представляет собой множество {х}, состоящее
из одной точки х (одноточечное множество).
> Так как для любой точки у ф х существует окрестность Vx
точки х, не содержащая точку у, то пересечение всех окрестностей
точки х не может содержать никакую другую точку у пространства
X. <з
На основании этой теоремы любая точка Т\-пространства име¬
ет стягивающееся к этой точке множество окрестностей.
Теорема 4.2.2. Любое конечное множество точек Т\-прост-
Ранства замкнуто.
> Пусть х — любая точка 7\-пространства X. В силу аксио¬
250
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
мы Т\ любая точка у дополнения {х} = Х\{х} одноточечного мно¬
жества {х} имеет окрестность Vyt не содержащую х, т.е. входит в
{х} вместе с некоторой своей окрестностью Vy> у € Vv С {х}. Таким
образом, любая точка дополнения {х} одноточечного множества {х}
является его внутренней точкой. По теореме 4.1.3 отсюда следует,
что множество {х} = Х\{х} открыто, а значит, одноточечное мно¬
жество {х} замкнуто. А так как любое конечное объединение за¬
мкнутых множеств замкнуто, то любое конечное множество точек
Т\-пространства X есть замкнутое множество. <
Легко видеть, что и наоборот, любое пространство, в котором
все конечные множества точек замкнуты, является 7\-пространст-
вом. Действительно, в этом случае при х ф у дополнение одно¬
точечного множества {у} представляет собой окрестность точки х,
не содержащую точку у, а дополнение одноточечного множества
{х} — окрестность точки у, не содержащую точку х.
Теорема 4.2.3. В любой окрестности предельной точки множе¬
ства в Т\-пространстве содержится бесконечное множество то¬
чек этого множества.
> Предположим, что окрестность Vx предельной точки х содер¬
жит конечное множество точек {xi, ... , хп} множества А, отличных
от х. Пусть V* — окрестность точки х, не содержащая точку ж*
(k = 1, ... , п). Тогда
у = пи
fc=i
будет окрестностью точки х, не содержащей ни одной из точек
••• > а следовательно, не содержащей ни одной точки мно¬
жества А, кроме, может быть, самой точки х. Следовательно, точка
х не может быть предельной точкой множества А. <
В топологическом пространстве, не удовлетворяющем аксиоме
Ti, предельная точка множества может иметь окрестность, содержа¬
щую только конечное число точек этого множества. В левой части
рис.20 показано конечное множество точек А. Любая точка плос¬
кости, лежащая на одной прямой, параллельной оси ординат, с лю¬
бой точкой множества А, является предельной точкой множества А
(например, точка С, отмеченная крестиком), так как любая окрест¬
ность этой точки (содержащая ее полоса, параллельная оси орди¬
нат) содержит по крайней мере одну точку множества А. А так как
множество А конечно, то ни одна окрестность ни одной его предель¬
ной точки не может содержать больше конечного числа точек мно¬
жества А.
§ 4.2. АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ И СЧЕТНОСТИ
251
Вторая аксиома отделимости Т2. Любые две различные точ¬
ки х, у топологического пространства имеют непересекающиеся ок¬
рестности. Иными словами, если х ф у, то существуют такие ок¬
рестности VXi Vy точек х, у, что Vx Vy = 0. Топологическое про¬
странство со второй аксиомой отделимости Тг называется Т2 -прост¬
ранством или хаусдорфовым пространством, по имени немецкого
математика Хаусдорфа, сыгравшего видную роль в создании совре¬
менной топологии.
Ясно, что всякое 72-пространство является и 71-пространст¬
вом, но не наоборот. 7\-пространство может не быть 72-простран¬
ством.
Пример 4.2. Рассмотрим произвольное пространство X с несчетным
множеством точек, в котором замкнутыми множествами являются только пу¬
стое множество, все пространство и все конечные множества точек. Каждое
открытое множество в таком пространстве, кроме пустого множества и всего
пространства X, представляет собой все пространство с "выколотым” конеч¬
ным множеством точек. Это Ti-пространство, так как для любых двух точек X
и у, X ф у, все пространство с выколотой точкой у представляет собой окрест¬
ность точки Ху не содержащую у, а все пространство с выколотой точкой X —
окрестность точки у, не содержащую X. Однако это не Т^-пространство, так
как любые окрестности двух точек Ху у, X ф у, имеют непустое пересечение.
Третья аксиома отделимости 7*з. Каждые точка х топологи¬
ческого пространства и не содержащее ее замкнутое множество F
имеют непересекающиеся окрестности. Иными словами, если х £ F,
где F — замкнутое множество, то существуют такие окрестности Vx
и Vf точки х и множества F, что Vx Vf = 0. 7\-пространство, удо¬
влетворяющее также третьей аксиоме отделимости Тз, называется
Т3~пространством или регулярным пространством.
Всякое Тз-пространство является Т2-пространством, но не наг
оборот, Тг-пространство может не быть регулярным.
Пример 4.3. Легко видеть, что плоскость примера 4.1 (рис.20) удо¬
влетворяет аксиоме 7з, так как любая точка на ней и любая не содержащая
эту точку замкнутая полоса, параллельная оси ординат, имеют непересекаю*
Щиеся окрестности. Однако, как было показано в примере 4.1, эта плоскость не
является Т\-пространством и, следовательно, не является Тз-пространством.
П р и м е р 4.4. Пусть X — произвольное Т^-пространство ( а значит,
и Т\-пространство), {хп} — произвольная последовательность в Ху имею-
Щая единственную предельную точку Xq. Изменим в этом пространстве то¬
пологию, оставив неизменными окрестности всех точек, кроме точки Xq, а
252
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
за окрестности точки Xq примем все открытые в первоначальной топологии
окрестности точки Xq за вычетом множества {хп}. Иными словами, если Vq
— окрестность точки Xq в первоначальной топологии, то соответствующей
окрестностью точки Xq в новой топологии будет Vo\{xn}. В построенной та¬
ким образом новой топологии точка Xq не будет предельной точкой множества
{Хп}» так как никакая окрестность точки Xq не содержит ни одной точки Хп.
Очевидно, что в новой топологии, как и в первоначальной, любые две различ¬
ные точки имеют непересекающиеся окрестности (от выкалывания точек хп
из окрестности точки Xq эта окрестность не пересечется с окрестностью дру¬
гой точки, с которой она не пересекалась до выкалывания). Следовательно,
пространство X с новой топологией есть 72-пространство. Однако оно не удо¬
влетворяет аксиоме отделимости 7з, так как любая окрестность замкнутого
(по следствию теоремы 4.1.4) множества {хп} пересекается с любой окрестно¬
стью точки Xq.
Четвертая аксиома отделимости Т4. Любые два непересекаю¬
щихся замкнутых множества топологического пространства имеют
непересекающиеся окрестности. Иными словами, если Fi, F2 — два
замкнутых множества и F1F2 = 0, то существуют такие окрестно¬
сти Vi, V2 множеств F\, F2, что V\ V2 = 0. Ti-пространство, удовле¬
творяющее также четвертой аксиоме отделимости Т4, называется
Т^-пространством или нормальным пространством.
Всякое 74-пространство является Тз-пространством, но не на¬
оборот. Тз-пространство может не быть Т4-пространством.
Пример 4.5. Легко видеть, что плоскость примера 4.1 (рис.20) удо¬
влетворяет аксиоме 74, так как две любые непересекающиеся замкнутые по¬
лосы (параллельные оси ординат) имеют непересекающиеся окрестности. Од¬
нако эта плоскость не 74-пространство, так как она не Т\-пространство.
Теорема 4.2.4. Любое метрическое пространство нормально.
> Действительно, пусть Fi и F2 — два непересекающихся за¬
мкнутых множества в метрическом пространстве X. Каждая точка
х € F\ принадлежит дополнению F2 множества F2 и, следователь¬
но, содержится в открытом множестве F2 вместе с некоторой своей
окрестностью. Поэтому любая точка х 6 F\ находится на отличном
от нуля расстоянии от множества F2:
pi(x) = inf <f(x, у) > 0.
Точно так же любая точка у € F$ находится на отличном от нуля
§ 4.2. АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ И СЧЕТНОСТИ
253
расстоянии от множества Fi:
р2(у) = inf d(x, у) > 0.
х£г 1
Открытые множества
Vi = U SPl(ty2(x), V2 = у SP3(v)/2(p)
y£F2
представляют собой непересекающиеся окрестности замкнутых
множеств F\ и Fj. Действительно, если V\ V2 ф 0, то для любой
точки z € V\ V2 найдется такая точка хг £ F\, что z £ SPl(Xt)/2(x2), и
такая точка уг £ -F2, что z £ ^ра(у«)/з(У«)- Следовательно,
<*(**> у») < г) + <*(уг, г) < (/>1(*г)+
+ Рг(Уг)]/2 < тах[/>х(гг), />г(у*)] •
Но по определению pi(x) и рг(у) d(x, у) > тах[/>х(х), р2(у)\ для лю-
бых х £ Fi, у £ -Рг. Полученное противоречие доказывает, что
ViV2 = 0. <1
4.2.2. База окрестностей точки. Множество Вх окрестностей
точки х называется базой окрестностей точки ж, если любая окрест¬
ность Vx точки х содержит некоторую окрестность Вх £ Вх, Вх С Vx.
Из этого определения и теоремы 4.2.1 следует, что в Ti-прост-
ранстве пересечение всех окрестностей базы окрестностей любой
точки х состоит из одной этой точки х:
П В, = {х).
В«€0«
Предоставляем читателю самостоятельно доказать следующую
почти очевидную теорему.
Теорема 4.2.5. Обзединение баз окрестностей всех точек mono-
логического пространства представляет собой базу этого простран-
ства.
Пример 4.6. В метрическом пространстве базой окрестностей ка¬
ждой точки служит счетное множество всех шаровых окрестностей рациональ¬
ных радиусов.
4.2.3. Аксиомы счетности. Предыдущий пример показывает,
что в любом метрическом пространств каждая точка имеет счет¬
ную базу окрестностей. В общем случае произвольного топологи¬
ческого пространства это не так. Поэтому имеет смысл выделить из
254
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
множества всех топологических пространств такие пространства, в
которых точки имеют счетные базы окрестностей. Для этого вводят
аксиомы счетности.
Первая аксиома счетности. Каждая точка топологического про¬
странства имеет счетную базу окрестностей.
Предыдущий пример показывает, что любое метрическое про¬
странство является пространством с первой аксиомой счетности.
Вторая аксиома счетности. Топологическое пространство име¬
ет счетную базу.
Теорема 4.2.6. Любое топологическое пространство со счетной
базой является пространством с первой аксиомой счетности.
> Предположим, что топологическое пространство (X, г) имеет
счетную базу В = {-Вп}* Тогда по теореме 4.1.5 для любой точки х
и любой ее окрестности Vx существует такое множество Bk Е В, что
х G Bk С Vx. Совокупность всех множеств J3*, содержащих точку ж,
представляет собой счетную базу окрестностей точки х:
' Вх = {Bk : Bk 6 Ву х е Bk} . <
Обратное в общем случае неверно. Топологическое простран¬
ство с первой аксиомой счетности может не иметь счетной базы. В
частности, метрическое пространство (которое всегда является про¬
странством с первой аксиомой счетности) может не иметь счетной
базы.
4.2.4. Плотные множества. Сепарабельные пространства.
В п. 1.2.8 были введены понятия плотного множества и сепарабельно¬
сти для метрических пространств. Эти понятия легко* распростра¬
няются на любые топологические пространства.
Множество А называется плотным в множестве В (в простран¬
стве Х), если в любой окрестности любой точки множества В (про¬
странства X) содержатся точки множества А. Иными словами, мно¬
жество А плотно в Ву если любая точка множества В представляет
собой точку прикосновения множества А. Очевидно, что А плот¬
но в В (в X) тогда и только тогда, когда [А] Э В (соответственно
[А] = Х).
Топологическое пространство называется сепарабельным, если
оно содержит счетное плотное множество.
Теорема 4.2.7. Топологическое пространство со счетной базой
сепарабельно.
> Пусть В = {Вп} — счетная база топологического простран¬
ства X. Возьмем в каждом множестве Вп £ В произвольную точку
§ 4.2. АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ И СЧЕТНОСТИ
255
ял. По теореме 4.1.5 для каждой точки х £ X и каждой ее окрестно¬
сти Vx существует такое множество 5* £ В, что х £ Bk С Vx. Сле¬
довательно, окрестность Vi точки х содержит точку х* из счетного
множества {хп}. Таким образом, в любой окрестности любой точки
пространства X содержится по крайней мере одна точка счетного
множества {хп}. Значит, счетное множество точек {хп} плотно в X
и пространство X сепарабельно. <
Обратное утверждение в общем случае не справедливо. Се¬
парабельное топологическое пространство может не иметь счетной
базы.
Пример 4.7. Рассмотрим топологическое пространство X приме¬
ра 4.2, в котором замкнуты только пустое множество, все пространство и все
конечные множества точек. Любая окрестность любой точки этого простран¬
ства представляет собой все пространство с выколотым конечным множеством
точек. Очевидно, что любое счетное множество точек {хп} плотно в этом про¬
странстве, так как любая окрестность любой точки может не содержать лишь
конечное множество точек Хп. Следовательно, пространство X сепарабельно.
Однако оно не имеет счетной базы. Действительно, предположим, что в нем4
существует счетная база В — {Вп}. Тогда по теореме 4.2.6 каждая точка X
пространства X имеет счетную базу окрестностей Вх = {Вк *. Bjc £ В, X £
£ Bjb}. Пересечение всех окрестностей этой базы представляет собой все про¬
странство X с выколотым не более чем счетным множеством точек (каждая
из окрестностей Bk представляет собой все пространство с выколотым конеч¬
ным множество точек). Но это противоречит установленному в примере 4.2
факту, что X является Ti-пространством, вследствие чего пересечение всех
окрестностей базы окрестностей любой точки состоит только из одной этой
точки. Таким образом, сепарабельное пространство X в данном случае не
может иметь счетную базу.
Приведенный пример показывает, что в общем случае сепара¬
бельное топологическое пространство может не иметь счетной базы.
Однако справедлива следующая теорема.
Теорема4.2.8. Сепарабельное метрическое пространство имеет
счетную базу.
> Пусть {хп} — плотное счетное множество в метрическом про¬
странстве X. Множество всех открытых шаров рациональных ра¬
диусов с центрами в точках хп счетно. Докажем, что оно предста¬
вляет собой базу пространства X. Пусть х — произвольная точ¬
ка пространства Ху G — произвольное открытое множество, х £
£ G. По определению открытого множества в метрическом про¬
256
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
странстве множество G содержит точку х вместе с некоторой ее ша¬
ровой окрестностью 5г(ж), 5г(х) С G. Вследствие плотности мно¬
жества {хп} в X шар 5Г/г(я) содержит какую-нибудь из точек хп,
хп 6 Sr/2(x), причем d(xni х) < г/2. Возьмем такое рациональное
число р, чтобы было d(xn, х) < р < г/2. Тогда шар 5р(яп.) ради¬
уса р с центром в точке хп будет содержать точку х, х 6 Sp(xn).
С другой стороны, очевидно 5р(хп) С Sr(x) С G. Таким образом,
х 6 Sp(xn) С G, т.е. для любой точки х и любого содержащего ее
открытого множества G существует шар рационального радиуса с
центром в одной из точек множества {яп}, содержащий точку х и со¬
держащийся в множестве G. По теореме 4.1.5 отсюда следует, что
счетное множество открытых шаров рациональных радиусов с цен¬
трами в точках плотного счетного множества представляет собой
счетную базу метрического пространства X. <1
Таким образом, для того, чтобы метрическое пространство бы¬
ло сепарабельным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело счет¬
ную базу. В общем случае топологического пространства это усло¬
вие в силу теоремы 4.2.7 достаточно, но не необходимо. Пример 4.7
показывает, что топологическое пространство может быть сепара¬
бельным и в том случае, когда оно не имеет счетной базы.
ЗАДАЧИ
4.2.1. Доказать, что в топологическом пространстве, для которого не
справедлива аксиома отделимости Ti, одноточечное множество {х} не замкну¬
то. Привести пример незамкнутого одноточечного множества.
4.2.2. Доказать, что множество окрестностей точек пространства С([а, (])
{*(0 : | x(t) - г0(<) |< То(0. * € [«, 4} ,
соответствующих всем функциям Xo(t) Е ^([а, 6]), 7о(0 > 0, 7о(0 ^ ^([а» Ч)*
представляет собой базу топологии пространства £7([а, 6]). Доказать, что
С([«, 6]) — пространство с первой и второй аксиомами счетности. Обобщить
результат на пространство С(Т), где Т‘— замкнутое ограниченное множество
вД".
4.2.3. Доказать, что множество окрестностей точек пространства функ¬
ций, непрерывных вместе со своими производными до П-го порядка включи¬
тельно Сп([ау Ь])
{*(0 •• I *(0 - *0(<) |< 7о(0. * € [а, 6]} ,
§ 4.3. СХОДИМОСТЬ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
257
{*(<) : | *<*>(«) - «<*>(*) |< yk(t), t G [а, 6]> ,
соответствующих всем функциям Xq(t) 6 Сп([а, b])t *Yk(t) > 0, 7*(0 € С*([а, 6])
и всем к = 1, ... , П, представляет собой предбазу топологии пространства
£7Л([а, 6]), порожденной нормой. Доказать, что для пространства С"([а, 6])
справедливы первая и втора аксиома счетности. Сепарабельно пространство
СЛ([в, Ь]) или нет?
4.2.4. Что представляет собой открытое ядро, замыкание и граница мно¬
жества в топологическом пространстве примера 4.2?
4.2.5. Доказать, что любое пространство с топологией, в которой все одно¬
точечные множества замкнуты, является Т\-пространством. Иными словами,
для любого пространства X существует топология, делающая его 7\-прост-
ранством*
4.2.6. Доказать, что в любом пространстве X пересечение топологий с
аксиомой отделимости Т\ представляет собой топологию с аксиомой отдели¬
мости Т\. Вывести отсюда существование и единственность слабейшей топо¬
логии, с которой X будет Т\-пространством.
4.2.7. Доказать, что в любом пространстве X слабейшей топологией, с
которой X — Xi-пространство, является топология примера 4.2, в которой X
связно и не содержит отделенных множеств.
4.2.8. Доказать, что топология удовлетворяет аксиоме отделимости 7з
тогда и только тогда, когда любая окрестность любой точки етого простран¬
ства содержит замыкание некоторой (меньшей) окрестности етой точки.
4.2.9. Доказать, что топология удовлетворяет аксиоме отделимости Т4
тогда и только тогда, когда любая окрестность любого замкнутого множества
содержит замыкание некоторой окрестности этого множества.
§ 4.3. Сходимость. Непрерывность функции
4.3.1. Сходимость последовательности. Последовательность
точек {г„} топологического пространства называется сходящейся в
точке ху
хп —► х или х = lim хп ,
п—* оо
если любая окрестность точки х содержит все точки xnt начиная
с некоторой. Иными словами последовательность {хп} сходится к
точке ж, если для любой окрестности V* точки х существует такое
натурально N = N(VX), что хп € Vx при всех п> N.
258
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Теорема 4.3.1. Если последовательность {а?п} сходится к х, то
любое замкнутое множество F, не содержащее точку х, может
содержать не более чем конечное множество точек последователь¬
ности {а?п}.
> Пусть F — замкнутое множество, не содержащее точку х =
= limarn. Тогда х € F и в силу того, что F открытое множество,
существует окрестность Vx точки х> полностью содержащаяся в F
и, следовательно, не пересекающаяся с множеством Fy VXF = 0.
Но Vx содержит все точки последовательности {агп}, кроме, может
быть, конечного множества первых точек. Следовательно, множе¬
ство F может содержать не больше конечного числа первых точек
последовательности {а?п}. <з
Теорема 4.3.2. В Т2~пространстве последовательность может
сходиться не более чем к одной точке.
> Бели бы последовательность точек {хп} сходилась одновре¬
менно к двум различным точкам ху у, х ф у, то каждая из непере¬
секающихся окрестностей VXy Vy этих точек VxVy = ©содержала бы
все точки последовательности {а?п}, начиная с некоторой. Но это
невозможно. <з
Теорема 4.3.3. В Т\-пространстве с первой аксиомой счетно¬
сти точка х может быть предельной точкой множества А тогда
и только тогда, когда в множестве А существует последователь¬
ность, сходящаяся к х.
> Бели в А есть последовательность {жп}, сходящаяся к ху то
каждая окрестность точки х содержит точки хп € Ау отличные от
х. Следовательно, х есть предельная точка множества А. Бели х
— предельная точка, то в каждой ее окрестности найдется беско¬
нечное множество точек множества А. Пусть Вх = {Вп} — база
окрестностей точки х. Определим множества
Сп= п Вь (n = 1, 2, .. .)
*=1
и в каждом множестве Сп возьмем точку хп € А. Это возможно,
так как множества Сп тоже представляют собой окрестности точки
х и, следовательно, содержат точки множества А. Так как Сп+1 С
С Сп С Впу то каждая окрестность Вп € Вх содержит все точки хп,
а?п+1, А так как по определению базы любая окрестность Vx
точки х содержит некоторую окрестность ВПу Вп С VXy то любая
окрестность точки х содержит все точки последовательности {а?п}>
§ 4.3. СХОДИМОСТЬ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
259
начиная с некоторой. Следовательно, последовательность {агп} С А
сходится к точке х. <з
4.3.2. Непрерывность функции. Функция у = /(я), отобража¬
ющая топологическое пространство X в топологическое простран¬
ство У, называется непрерывной в точке а?о, если прообраз любой
окрестности W точки уо = /(аго) содержит некоторую окрестность V
точки хоу V С f~x(W). Очевидно, что это определение эквивалент¬
но следующему: функция у = /(а?) называется непрерывной в точке
х0у если любая окрестность W точки уо = /(а?о) содержит образ не¬
которой окрестности V точки а?о, f(V) С W. Эквивалентность этих
двух определений вытекает непосредственно из свойств обратных
отображений.
Функция у = /(аг) называется непрерывнойу если она непрерывна
во всех точках своей области определения Df.
Теорема 4.3.4. Если функция у = /(я), отображающая тополо¬
гическое пространство X в топологическое пространство У, непре¬
рывна в точке xq и функция z = д(у), отображающая У в топологи¬
ческое пространство Z, непрерывна в точке уо = /(аго), то сложная
функция gf(x) = g(f{&)) непрерывна в точке хо.
> Бели д непрерывна в точке уо = /(а?о), то прообраз любой
окрестности W точки zq = .</(уо) содержит некоторую окрестность V
точки уо, V С g~l{W)- Если / непрерывна в точке а?0, то прообраз
любой окрестности точки уо, в частности f~x(V)y содержит неко¬
торую окрестность U точки а?о, U С f~x(V). Из полученных двух
включений следует, что
и с r\v) с ГЪ'ЧЮ) = ШГЧЮ.
Таким образом, прообраз любой окрестности точки zo = <7(/(яо)) =
= fff(xо) содержит некоторую окрестность точки жо- Следователь¬
но, сложная функция gf(x) = д(/(х)) непрерывна. <з
Теорема 4.3.5. Функция у = /(аг), отображающая топологиче¬
ское пространство X в топологическое пространство У и опреде¬
ленная на всем пространстве Х} непрерывна тогда и только тогда,
когда определяемый этой функцией прообраз любого открытого мно¬
жества представляет собой открытое множество.
> Пусть В — открытое множество в У, ж — любая точка про¬
образа множества В, х € f~x(B). Если функция / непрерывна, то в
силу того, что В является окрестностью точки у = /(ж), прообраз
Множества В f~l(B) содержит точку х вместе с некоторой ее окрест¬
260
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
ностью Vx, х £ Vx С / Х(В). А так как это справедливо для любой
точки х £ /”1(5), то по теореме 4.1.3 множество f~x(B) открыто.
Бели прообраз любого открытого множества, определяемый
функцией /, представляет собой открытое множество, то для лю¬
бого х € X прообраз f~l{Vy) любой окрестности Vy точки у = f(x)
представляет собой окрестность точки х и, следовательно, функция
/ непрерывна в точке х. Так как это справедливо для любой точки
х 6 Ху то функция / непрерывна. <
Следствие. Из доказанной теоремы и свойств обратных ото¬
бражений следует, что функция у = f(x), отображающая топологи¬
ческое пространство X в топологическое пространство Y и опреде¬
ленная на всем пространстве X, непрерывна тогда и только тогда,
когда определяемый этой функцией прообраз любого замкнутого мно¬
жества представляет собой замкнутое множество.
Теорема 4.3.5 не справедлива, если Dj ф X, так как множество
/”1(У) = Dj в общем случае может не быть одновременно открытым
и замкнутым, Однако она справедлива и в этом случае, если заме¬
нить топологию тх в X индуцированной топологией txDj в Dj
(п.4.1.3).
Теорема 4.3.6. Если функция /(х) непрерывна, то для любой по¬
следовательности {хп} С Dj, сходящейся к х € D/, последователь¬
ность {yn}, yn = f(xn), сходится к у = f(x).
> Бели /(х) непрерывна в точке х, то любая окрестность Vy
точки у = /(х) содержит образ некоторой окрестности Vx точки х,
f(Vx) С Vy. Из сходимости последовательности {хп} к х следует,
что все точки хп, начиная с некоторой, содержатся в Vx. При этом
соответствующие точки уп = /(хп) содержатся в /(Vx) С Vy. А так
как это справедливо для любой окрестности Vy точки у = /(х), то
последовательность {уп} сходится к у. «
Обратное в общем случае неверно. Однако справедливо следу¬
ющее утверждение.
Теорема 4.3.7. Если X — пространство с первой аксиомой счет-
ности, то из сходимости последовательности {уп}, Уп = /(*п)> к
У = /(*) для любой последовательности {хп} С Dj, сходящейся к
х £ Dj, следует непрерывность функции /(х).
> Бели функция /(х) не непрерывна в точке х, то найдется
окрестность Vy точки у = /(х), прообраз которой /-1(V^) не будет
содержать ни одной окрестности точки х. Пусть {V^} — счетная
база окрестностей точки х. Из того, что ни одна из окрестностей
Vn не содержится в /-1(Vy), следует, что в каждой Vn существует
§ 4.3. СХОДИМОСТЬ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
261
точка хп £ f~l{Vy). Последовательность {жп} сходится к х. Однако
ни одна из точек уп = f(xn) не принадлежит Vy, уп 0 Vyy поскольку
хп <(l f-X(Vy). Следовательно, последовательность {уп}, Уп = f(xn)>
не сходится к у = /(ж), что противоречит условию теоремы. <
Следствие. В пространстве X с первой аксиомой счетности
для непрерывности функции f(x) : X —► У необходимо и достаточ¬
но, чтобы для любой сходящейся последовательности {хп} последо¬
вательность {з/п}, Уп = /(*n), сходилась к соответствующему зна¬
чению функции f(x).
Из теоремы 4.3.5 следует, что функция /(ж), непрерывная в од¬
них топологиях пространств ХиУ, может не быть непрерывной в
других топологиях. В частности, при одной и той же топологии в
пространстве У функция /(х), непрерывная в данной топологии про¬
странства X, может не быть непрерывной в более слабой топологии
пространства X, а при одной и той же топологии в пространстве X
функция f(x)y непрерывная в данной топологии пространства У, не¬
прерывна и в любой более слабой топологии.
4.3.3. Основной способ задания топологии. Простейшим
способом задания топологии в данном пространстве является пере¬
нос топологии из пространства с уже определенной топологией в
данное пространство с помощью прямых или обратных отображе¬
ний. При этом, ввиду того что обратные отображения сохраняют
все соотношения между множествами, чаще пользуются обратными
отображениями.
Пусть X — пространство, в котором нужно задать топологию,
(У, <г) — топологическое пространство с известной топологией <7,
у = f(x) — отображение X —► У. Прообраз г = /”1(<7) тополо¬
гии <т можно принять за топологию в пространстве X, так как в си¬
лу свойств обратных отображений множества из г обладают всеми
свойствами открытых множеств, поскольку ими обладают множе¬
ства ИЗ (7.
Однако топология в сложном пространстве X, перенесенная с
помощью обратного отображения из достаточно простого простран¬
ства У (а только в простых пространствах существуют естественные
топологии), часто оказывается слишком бедной. Поэтому часто не
Довольствуются одним пространством с известной топологией и од¬
ним отображением. Взяв достаточное множество пространств с из¬
вестными топологиями и достаточное множество отображений, мож¬
но определить достаточно сильную топологию в любом простран¬
стве.
262
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Пусть {(Уа, 0а) • <х G А} — множество топологических про¬
странств с известными топологиями аау {fap(x) : — множе¬
ство отображений пространства X в пространство Уа (а € А). То¬
гда, применив изложенный прием, получим в пространстве X мно¬
жество топологий
'Г*0 = fapiva) (а€А,/ЗеВ).
По теореме 4.1.6 объединение всех этих топологий можно принять
за предбазу топологии г в пространстве X:
С= I) Та/} = и/;>*)•
Обычно за пространства Уа принимают числовую прямую, ком¬
плексную плоскость или более общие метрические пространства.
4.3.4. Измеримые топологические пространства. В топо¬
логическом пространстве обычно задают или <т-алгебру, порожден¬
ную топологией, или <г-алгебру, порожденную базой топологии. То¬
пологическое пространство с (т-алгеброй, порожденной топологией,
называется измеримым топологическим пространством.
Предоставляем читателю самостоятельно доказать следующие
теоремы и следствия.
Теорема 4.3.8. В топологическом пространстве а-алгебра, поро¬
жденная топологией, полностью содержит а-алгебру, порожденную
базой топологии.
Следствие. Пусть (X, Л) — произвольное измеримое простран¬
ство, У — топологическое пространство, В — а-алгебра в У, поро¬
жденная топологией, Во — а-алгебра в У, порожденная базой то¬
пологии. Всякая (Л, В)-измеримая функция у = f(x) : X —► У
(.4, Во)-измерима.
Теорема 4.3.9. В топологическом пространстве со счетной ба¬
зой а-алгебра, порожденная топологией, совпадает с а-алгеброй, по¬
рожденной базой топологии.
Следствие. В сепарабельном метрическом пространстве а-ал¬
гебра, порожденная топологией, совпадает с а-алгеброй, порожден¬
ной множеством всех открытых шаров. В частности, в любом ко¬
нечномерном пространстве Rn а-алгебра, порожденная топологи¬
ей, совпадает с а-алгеброй, порожденной классом открытых шаров
(открытых интервалов при п = 1).
§ 4.3. СХОДИМОСТЬ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
263
Теорема 4.3.10. Все непрерывные функции, отображающие из-
меримое топологическое пространство в другое измеримое тополо¬
гическое пространство, измеримы (теорема об измеримости непре¬
рывных функций).
Теорема 4.3.10 имеет большое значение, поскольку она устана¬
вливает измеримость всех непрерывных функций. Именно для того,
чтобы непрерывные функции были измеримыми, <г-алгебра в топо¬
логическом пространстве всегда связывается с топологией.
ЗАДАЧИ
4.3.1. Пусть /(а?, у) — непрерывная функция двух переменных. При каких
условиях она непрерывна в топологии плоскости Ху примера 4.1?
4.3.2. Пусть /(х) — непрерывная двумерная векторная функция, отобра¬
жающая пространство X в Д2. При каких условиях она непрерывна в топо¬
логии плоскости yz примера 4.1?
4.3.3. Определить топологию на плоскости д* с помощью обратных ото¬
бражений, соответствующих скалярным функциям у — (х — Хо) при всех
векторах Хо, / 6 -R2. Построить предбазу и базу такой топологии и опреде¬
лить геометрические образы множеств предбазы и базы. Доказать, что опре¬
деленная таким путем топология совпадает с обычной топологией на плоско¬
сти, порожденной евклидовой метрикой.
4.3.4. Обобщить результат на пространство IVх.
Указание. Для доказательства совпадения такой топологии с топо¬
логией, порожденной метрикой, воспользоваться теоремой 4.1.5.
4.3.5. Определить топологию на числовой прямой с помощью обратных
отображений, определяемых функцией у — [х]. Будет ли функция у = X
непрерывна в такой топологии на оси X и в обычной топологии на оси у?
4.3.6. Доказать, что при непрерывном отображении / всего топологи¬
ческого пространства X в топологическое пространство Y прообраз замы¬
кания любого множество В С Y содержит замыкание прообраза множества
В, Г'№) э [Г\В)\. Эта теорема справедлива также в случае, когда
Df ф Ху если заменить топологию в X индуцированной топологией в Dj. ,
У Казани е. Учесть, что в силу следствия теоремы 4.3.5 и свойств
обратных отображений прообраз замыкания множества В замкнут и предста¬
вляет собой пересечение прообразов всех замкнутых множеств содержащих В,
но множество этих прообразов может не содержать все замкнутые множества,
содержащие
4.3.7. Доказать, что прообразы отделенных множеств при непрерывном
отображении отделенны.
264
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
4.3.8. Доказать, что образ связного множества при непрерывном отобра¬
жении связен.
4.3.9. Доказать, что отображение Рх тихоновского произведения топо-
логических пространств (п.4.1.6) Z = X X Y на пространство X, ставящее
в соответствие каждой точке Z = {х> у} ее проекцию X на пространство X,
PXZ = X, линейно и непрерывно.
4.3.10. Пусть Р% — отображение тихоновского произведения топологиче-
ских пространств (п.4.1.6)
*т = П*<
t ет
на пространство Xt, ставя щеев соответствие каждому элементу X — {х% : t £
G Г} пространства X? соответствующий элемент Х\ пространства Х%
(проекцию X на Xi). Доказать, что это отображение линейно и непрерывно.
У казани е. Учесть, что прообразом любого множества В С Xt в
служит произведение множеств
Pt-\B) = Bx цхт.
Т&
т€Т
4.3.11. Доказать, что топология в тйхоновском произведении пространств
является слабейшей топологией в произведении пространств, в которой непре¬
рывны все операторы Pt(t€T).
§ 4.4. Компактность
4.4*1. Компактные множества и пространства. Объединение
множеств (J Ga называется покрытием множества А (пространства
Х)} если А С \JGa (соответственно, X = (JGa). Если все множества
Ga открыты, то (J Ga называется открытым покрытием множества
А (пространства X).
Множество топологического пространства (в частности, само
пространство) называется компактным, если любое его открытое
покрытие содержит конечное покрытие (подпокрытие). Компактное
множество Т2-пространства называется компактом.
Так как всякое метрическое пространство нормально (теоре¬
ма 4.2.4) и, следовательно, является Тг-пространством, то всякое
компактное множество метрического пространства есть компакт.
Множество топологического пространства (в частности, само
пространство) называется счетно компактным, если любое его
счетное открытое покрытие содержит конечное покрытие.
§ 4.4. КОМПАКТНОСТЬ
265
Множество топологического пространства (в частности, само
пространство) называется секвенциально компактным, если любая
последовательность его точек содержит сходящуюся подпоследова¬
тельность.
4.4.2. Центрированная система замкнутых множеств. Си¬
стема замкнутых множеств называется центрированной, если она
не содержит конечных систем (подсистем) с пустым пересечением.
Непосредственно из определения компактного множества вытекает
следующее предложение.
Теорема 4.4.1. Множество А компактно тогда и только то¬
гда, когда любая центрированная система замкнутых подмножеств
множества А имеет непустое пересечение.
Приведем эквивалентную формулировку этой теоремы: 4лноже-
стйо А компактно тогда и только тогда, когда любая система его
замкнутых подмножеств с пустым пересечением содержит конечную
систему с пустым пересечением (т.е. не может быть центрирован¬
ной).
> Пусть {Fa} — система замкнутых подмножеств множества А
с пустым пресечением f) Fa = 0. Тогда система открытых множеств
{Ga}> Ga = Fay образует открытое покрытие множества Ау \JGa =
= P|Fe = X D А. Бели множество А компактно, то система {Ga}
содержит конечную систему {Gai, ... , Gan}, образующую открытое
покрытие множества А
(J GQkDA. (4.1)
*=1
Но тогда, в силу того, что Fa С А и, следовательно, Ga Э Л,
\JGQkDA. (4.2)
*=i
Из (4.1) и (4.2) следует
\JGak=X и П F<*k = 0•
*=i *=i
Таким образом, система {Fa} не может быть центрированной.
Бели система {-F*} с пустым пересечением центрированна, то
открытое покрытие множества A, |J Ga = П F<* = X Э A, Ga = Fa, не
может содержать конечного покрытия и, следовательно, множество
А не может быть компактным. <
266
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Аналогичная теорема справедлива в случае счетной компакт¬
ности.
Теорема 4.4.2. Множество А счетно компактно тогда и толь¬
ко тогда, когда любая счетная центрированная система замкнутых
подмножеств множества А имеет непустое пересечение.
Эквивалентная формулировка этой теоремы: множество А счет¬
но компактно тогда и только тогда, когда любая счетная система его
замкнутых подмножеств с пустым пересечением содержит конечную
систему с пустым пересечением.
4.4.3. Свойства компактных множеств и пространств. Непо¬
средственно из определений ясно, что всякое компактное множество
(пространство) счетно компактно.
'Теорема4.4.3. Замкнутое подмножество компактного множе¬
ства компактно.
> Пусть А — компактное множество, В — его замкнутое подмно¬
жество, В С A, {Fa} — центрированная систем замкнутых подмно¬
жеств множества jB, Fa С В. Так как Fa = FaB, то множества Fa
являются замкнутыми подмножествами множества А. Из компакт¬
ности А по теореме 4.4.1 следует, что пересечение всех множеств
системы {Fa} не пусто. Отсюда, в свою очередь, следует, что мно¬
жество В компактно. <
Следствие. Замкнутое подмножество компакта есть ком¬
пакт.
Теорема, аналогичная 4.4.3, справедлива и для счетно компакт¬
ного множества.
Теорема 4.4.4. Замкнутое подмножество счетно компактного
множества счетно компактно.
Справедливо также предложение, в известном смысле обратное
следствию теоремы 4.4.3.
Теорема 4.4.5. Компакт замкнут в любом содержащем его
Т2~пространстве.
> Пусть А — компакт в Тг-пространстве X, у — произвольная
точка дополнения А> у G А. Любая точка х G А и точка у имеют
непересекающиеся окрестности Vx Э х, Ux Э у, VXUX — 0. Объеди¬
нение всех таких окрестностей VXt соответствующих всем точкам
х G А} представляет собой открытое покрытие множества Л,
и УХЭА.
х£А
§ 4.4. КОМПАКТНОСТЬ
267
В силу компактности А это покрытие содержит конечное покрытие
и Увкэл.
к=1
п
Но П представляет собой окрестность точки у, не пересекаю-
*=1
п
щуюся с и V.k, а следовательно, и с А. Это значит, что точка
к=1
у является внутренней точкой множества А. А так как у — любая
точка множества Л, то А есть открытое множество и, следовательно,
А — замкнутое множество. <j у
Следствие 1. Компактное множество метрического простран¬
ства замкнуто, так как любое метрическое пространство нормаль¬
но и, следовательно, представляет собой Т2-пространство.
Следствие 2. Любой компакт в Т2-пространстве и любая не
принадлежащая ему точка имеют непересекающиеся окрестности.
п
> В доказательстве теоремы 4.4.5 окрестность (J VXk компакта
*=1
п
А и окрестность f] UXk точки у, не принадлежащей А} не пересека-
*=1
ются. <
Теорема 4.4.6. Любой компакт есть нормальное пространство
(Т^-пространство).
> Пусть А — компакт, F\, F2 — его непересекающиеся замкну¬
тые подмножества, F\, F2 С А> F1F2 = 0. По теореме 4.4.3 F\ и F2 —
компакты. Так как они не пересекаются, то по следствию 2 теоре¬
мы 4.4.5 любая точка х Е F\ и компакт F2 имеют непересекающи¬
еся окрестности Ух и GXy х Е VX) F2 С GXy VXGX = 0. Так как
F\ — компакт, то его открытое покрытие
U Уш Э Fx
*eFi
содержит конечное покрытие
UV^DFt.
k=l
п
При этом открытое множество f) GXk Э F2 будет окрестностью
k=1
п
множества F2, не пересекающейся 9 окрестностью и ъ» множест-
*=1
ва F\. <
268
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Теорема 4.4.7. Для того чтобы множество было счетно ком¬
пактнымнеобходимо и достаточно, чтобы любое его бесконечное
подмножество имело предельные точки.
> Пусть А — множество, В — его бесконечное подмножество,
В С А. Бели В не имеет предельных точек, то никакое его счет¬
ное подмножество {хп} не может иметь предельных точек. Но то¬
гда по следствию теоремы 4.1.4 множества Fn = {хп, xn+i, ...} (п =
= 1, 2, ;..) замкнуты. А так как они образуют счетную центриро¬
ванную систему подмножеств множества А с цустым пересечением,
то по теореме 4.4.2 множество А не может быть счетно компактным.
Это доказывает необходимость условия. Предположим теперь, что
любое бесконечное подмножество множества А имеет предельные
точки. Пусть {Fn} — произвольная счетная центрированная си¬
стема замкнутых подмножеств множества А. Определим замкнутые
множества
#n= r)Fk (п = 1,2,...).
*=1
Очевидно, что Нп+\ С #п С Fn npji любом п и
оо оо
Пя« = П^-
п=1 *=1
*
Бели при некотором N Нр = Hn при всех р > N, то
П**= П #п = # 0 •
*=1 П=1
\
Бели же такого N не существует, то существует бесконечное мно¬
жество непустых множеств #nfc\i/nfc+1. Взяв в каждом множестве
#nfc\tfnfc+1 точку х*, получим бесконечное множество точек {х*},
причем каждое множество Нп при п < п* будет содержать все точки
я*, x*+i , ..., так как Нп Э НПы при п < п*. Пусть хо — предельная
точка множества {х*}. Она будет предельной точкой и всех мно¬
жеств Нп. А так как множества Нп замкнуты, то хо € Нп при всех
п. Следовательно,
ПА = п я„#0.
*=1 п=1
Таким образом, если любое бесконечное подмножество множества
А имеет предельные точки, то любая счетная центрированная си¬
стема его замкнутых подмножеств имеет непустое пересечение. По
5 4.4. КОМПАКТНОСТЬ
269
теореме 4.4.2 множество А счетно компактно. Это доказывает до¬
статочность условия. <
Следствие 1. Любое бесконечное подмножество компактного
множества имеет предельные точки. Это следует из доказанной
теоремы и счетной компактности компактного множества.
Следствие 2. Любое секвенциально компактное множество
(пространство) счетно компактно, так как любое его бесконечное
подмножество содержит последовательность, имеющую предель¬
ную точку — предел ее сходящейся подпоследовательности.
Для Ti-пространств с первой аксиомой счетности верно и
обратное предложение — любое счетно компактное множество се¬
квенциально компактно. Это следует из теоремы 4.3.3, утверждаю¬
щей, что любое множество в таком пространстве, имеющее предель¬
ную точку, содержит последовательность, сходящуюся к этой пре¬
дельной точке. В частности, любая последовательность, имеющая
предельную точку, содержит сходящуюся к этой точке подпоследо¬
вательность.
Таким образом, в Ti-пространствах с первой аксиомой счетно¬
сти понятия счетной компактности и секвенциальной компактности
совпадают.
Теорема 4.4.8. Любое открытое покрытие топологического про-
странства со счетной базой содержит счетное покрытие.
> Пусть (J Ga = X — открытое покрытие пространства X, В =
= {-Вп} — его счетная база. По теореме 4.1.5 для каждого множе¬
ства Ga и каждой его точки х существует такое множество Вк £ В,
что х е Въ С Ga* Выбрав для каждого Вк какое-нибудь одно из со¬
держащих его множеств Ga, скажем Gah, получим счетное покрытие
пространства X:
U GahD [jBk=X. <
*=i *=i
Следствие. Если множество топологического пространства со
счетной базой счетно компактно, то оно компактно.
Таким образом, для топологических пространств со счетной ба¬
зой понятия компактности и счетной компактности совпадают.
Теорема 4.4.9. Всякое Т$-пространство X со счетной базой
представляет собой Т^пространсШво (регулярное пространство со
счетной базой нормально).
> Пусть F\ и i*2 — непересекающиеся замкнутые множества. Ка¬
ждая точка х £ F\ имеет окрестность UXi не пересекающуюся с не¬
которой окрестностью множества F2, и каждая точка у £ F2 имеет
270
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
окрестность, не пересекающуюся с некоторой окрестностью множе¬
ства F\. Объединение всех окрестностей С/*, х £ Fi, Vy> у 6 F2
и дополнения множества F\ |J F2 представляет собой открытое по¬
крытие пространства X. По теореме 4.4.8 оно содержит счетное
покрытие пространства X. Выделим из этого покрытия счетное по¬
крытие (J Un множества F\ и счетное покрытие |J Vm множества F2
и положим
oi = o’n\uw], с = к„\и[^]-
t=i fc=i
Очевидно, что множество U„ не пересекается с Vm> а следовательно,
ис1^ при тп < п, а множество не пересекается с Uny а следова¬
тельно, и с U'n при т > п. Таким образом, ни одно множество U*п не
пересекается ни с одним множеством и объединения (J U*n и (J
представляют собой непересекающиеся окрестности множеств F\ и
F2. <
4.4.4. Предкомпактные множества. Множество топологиче¬
ского пространства называется предкомпактным (счетно предком-
пактным) или относительно компактным (относительно счетно
компактным), если его замыкание компактно (счетно компактно).
Топологическое пространство называется локально компакт¬
ным, если каждая его точка имеет предкомпактную окрестность.
4.4.5. Непрерывные отображения компактных множеств.
Свойство компактности множеств сохраняется при непрерывных
Отображениях. А именно, справедливы следующие предложения.
Теорема 4.4.10. Образ компактного множества при непрерыв¬
ном отображении компактен.
> Пусть у = f(x) — непрерывное отображение топологического
пространства X в топологическое пространство У, А — компакт¬
ное множество в Х> \jHa — открытое покрытие образа В множе¬
ства Ау (J На Э В = f(A). В силу непрерывности функции / и тео¬
ремы 4.3.5 прообразы множеств На представляют собой открытые
множества Ga = /“1(Яа), а в силу свойств обратных отображений
\JGq = (J f~X(Ha) представляет собой открытое покрытие множе-
а
ства А. Так как А компактно, то |J Ga содержит конечное покрытие
\JGakDA.
*=1
п
Но тогда (J Нак будет конечным покрытием множества В = f(A).
*=i
§ 4.4. КОМПАКТНОСТЬ
271
Таким образом, любое открытое покрытие множества В содер¬
жал: конечное покрытие, что и доказывает компактность множества
В = /(<*). 4
Следствие. Образ компакта при непрерывном отображении
есть компакт.
Теорема 4.4.10 очевидным образом распространяется и на счет¬
но компактные множества.
Теорема 4.4.11. Образ счетно компактного множества при не¬
прерывном отображении счетно компактен.
Чтобы сформулировать и доказать следующую теорему, необ¬
ходимо ввести еще одно понятие.
Взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение на¬
зывается гомеоморфизмом. Иными словами, если функция у = /(х)
дает взаимно однозначное отображение топологического простран¬
ства X в топологическое пространство У, причем как функция у =
= /(я), так и обратная функция х = f~l(y) непрерывны, то функция
/ называется гомеоморфизмом.
Теорема 4.4.12. £заил<Н0 однозначное непрерывное отображение
компакта в Т2~пространство есть гомеоморфизм.
> Пусть у = /(а?) — взаимно однозначное непрерывное отобра¬
жение компакта А в Тг-пространство У. Теорема будет доказа¬
на, если мы покажем, что обратная функция х = f~x(y) непрерыв¬
на. Для этого заметим, что в силу следствия теоремы 4.4.3 любое
замкнутое подмножество А\ компакта А есть компакт. По следствию
теоремы 4.4.10 образ В\ = f(A\) компакта А\ есть компакт, а по тео¬
реме 4.4.5 компакт В\ замкнут в содержащем его Тг-пространстве У.
Но В\ есть прообраз множества А\у определяемый обратной функ¬
цией /“*, В\ — (f~1)~1(A\). Таким образом, прообраз любого за¬
мкнутого множества Ai, определяемый функцией /“х, представляет
собой замкнутое множество. Отсюда и из следствия теоремы 4.3.5
следует, что функция /-1 непрерывна. <
Читателям, желающим более основательно изучить основы то¬
пологии, рекомендуем книгу [11].
ЗАДАЧИ
4.4.1. Построить открытое покрытие интервала (0,1), не содержащее ко¬
нечных покрытий. Объяснить, почему каждое открытое покрытие интервала
[0,1] содержит конечное покрытие, в то время как открытое покрытие меньше-
г° интервала (0, 1), [0,1) или (0,1] может не содержать конечных покрытий.
272 ' ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
4.4.2. Доказать, что замкнутый единичный шар в бесконечномерном
/Г-пространстве не компактен.
Указание. Взять произвольную ортогональную последовательность
векторов {хп}, нормы которых равны 1 (существование такой последователь¬
ности в любом Н-пространстве будет доказано в п.8.5.2), и доказать, что эта
последовательность не имеет предельных точек.
4.4.3. Пользуясь результатом задачи 4.3.8, доказать, что если действи¬
тельная функция у = /(l) принимает на связном компакте значения а и Ь > а,
то она принимает и любое промежуточное значение С £ (а, 6).
§ 4.5. Компактность в метрических пространствах
4.5.1. Вполне ограниченные множества в метрическом про¬
странстве. Множество S называется €-сетью для множества Л,
если для любой точки х £ А найдется точка s 6 S, удаленная от
х меньше чем на е, d(x, s) < е. При этом некоторые (или все) точ¬
ки множества S могут и не принадлежать множеству А. Однако
любую е-сеть 5 для множества А можно заменить подмножеством
Т множества А, представляющим собой 2е-сеть для А. Для это¬
го достаточно заменить каждую точку в Е S какой-нибудь точкой
t Е А, для которой d(t, в) < е (если s Е А, то Можно взять t = s;
если же для7данной точки s £ S в А нет такой точки t> для которой
d(tys) < е, то следует эту точку s исключить). Тогда для любой
точки х Е А и любой точки s £ 5, для которой d(x, s) < е, в по¬
лученном множестве Т С А найдется такая точка t, для которой
d(x, <) < d(Xj s) + d(s} t) < 2e.
Очевидно, что плотное в множестве А множество В служит
е-сетью для А при любом е > 0.
Множество А метрического пространства X называется ограни¬
ченным, если существует такое число с > 0, что d(x 1,^2) < с Для
любых точек xi, хг £ А.
Множество А метрического пространства X называется вполне
ограниченным, если для каждого е > 0 существует конечная е-сеть
для А.
Теорема 4.5.1. Всякое вполне ограниченное множество в ме¬
трическом пространстве ограничено.
> Пусть А — вполне ограниченное множество, S = {si,..., sn}
— конечная е-сеть для него при каком-нибудь е > 0,
§ 4.5. КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 273
Возьмем любые две точки множества А, х\,Х2 £ А. Тогда найдутся
такие точки € S, что d(xi,skl) < е, d(x2,sk,) < е. В результате
получим
d(x1,x2) <d(xi,skl) + d(skl,skl) + d(x2,skl)<d + 2e,
что и доказывает ограниченность множества А. <
В конечномерном пространстве Rn верно и обратное утвержде¬
ние: всякое ограниченное множество вполне ограничено. Чтобы
убедиться в этом, достаточно заметить, что при любом е > 0 огра¬
ниченное множество А € Яп можно покрыть N = (dy/n/2e)n кубами,
где
d= sup d(x \>х2).
*1>*а€Л
Вершины этих кубов будут конечной е-сетью для А. В бесконечно¬
мерном пространстве ограниченное множество может не быть впол¬
не ограниченным. Так, например, любой шар в бесконечномерном
5-пространстве ограничен, но не вполне ограничен.
Таким образом, понятия ограниченности и полной ограничен¬
ности множеств совпадают для конечномерных метрических про¬
странств и различны для бесконечномерных пространств.
4.5.2. Свойства компактных множеств в метрических про¬
странствах. Изучим специфические свойства компактных и пред-
компактных множеств в метрических пространствах.
Теорема 4.5.2. Всякое счетно компактное метрическое прост¬
ранство вполне ограничено.
> Если метрическое пространство X не вполне ограничено, то
при каком-нибудь е > 0 в X найдутся такие две точки х\у х2, что
d(x\,x2) > €.
В противном случае любая из точек х\} х2 была бы конечной
е-сетью для X. После этого в X найдется такая точка хз, что
d(x l,x3)>£, d(x 2,Х3)>£.
Продолжая этот процесс, добавим к найденным точкам xi,...,x„
такую точку xn+i € Х> что
d(a;i,xn+i) d(xn,xn+1) > с.
274
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Такал точка существует, так как в противном случае множество
{xi,..., хп} было бы конечной е-сетью для X. Таким образом, если
X не вполне ограничено, то в X существует последовательность то¬
чек {хп}, не имеющая предельной точки, так как для любых точек
*г, х9 d(xr}x$) > е. Но тогда из теоремы 4.4.7 вытекает, что X не
может быть счетно компактным. <
Теорема 4.5.3. Всякое вполне ограниченное метрическое про-
странство имеет счетную базу.
> Пусть X — метрическое пространство. В силу его полной
ограниченности при любом О 0 в нем существуют конечные
е/2п“1-сети Sn (п = 1,2,...). Объединение всех этих сетей (J5n
п
представляет собой счетное плотное множество в X. Следователь¬
но, X сепарабельно. По теореме,4.2.8 всякое сепарабельное метри¬
ческое пространство имеет счетную базу. <
Теорема 4.5.4. Всякое счетно компактное метрическое прос¬
транство компактно.
> Пусть X — счетно компактное метрическое пространство. На
основании теорем 4.5.2 и 4.5.3 оно имеет счетную базу. Следователь¬
но, согласно следствию теоремы 4.4.8 пространство X компактно. <
Так как метрические пространства являются ^-пространства¬
ми с первой аксиомой счетности, то любое счетно компактное ме¬
трическое пространство секвенциально компактно (см. замечание
после следствия 2 теоремы 4.4.7).
Таким образом, для метрических пространств понятия компакт¬
ности, счетной компактности и секвенциальной компактности совпа¬
дают.
На основании теорем 4.3.3 и 4.4.7 компактное метрическое про¬
странство (множество метрического пространства) можно опреде¬
лить как множество, каждое бесконечное подмножество которого
содержит сходящуюся последовательность.
Теорема 4.5.5. Метрическое пространство компактно тогда и
только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.
> Пусть X — метрическое пространство. Если оно не полно,
то в нем существует фундаментальная последовательность {хп}, не
имеющая предела в X. Такая последовательность не имеет пре¬
дельной точки в X. По следствию 2 теоремы 4.4.7 X не может быть
компактным. Следовательно, полнота необходима. Необходимость
полной ограниченности вытекает из теоремы 4.5.2.
Если X вполне ограничено, то при любом е > 0 в X найдутся
§ 4.6. КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 276
конечные е/2п”1-сети 5П (п = 1,2,...). Каждая такая е/2п”1-сеть бу¬
дет конечной е/2п“1-сетью и для любого множества в пространстве
X. Пусть {хп} — любая последовательность точек в X. Для каждой
точки бпк каждой конечной е/2Л“1-сети 5П возьмем шаровую окрест¬
ность радиуса е/2п~х. По меньшей мере в одном из шаров радиуса
е с центрами в точках £-сети Si, скажем в В\у содержится бесконеч¬
ное множество точек хр. Так как шары радиусов е/2 с центрами в
точках s/2-сети S2 полностью покрывают шар то пересечение
шара В\ по крайней мере с одним из этих шаров, скажем с В2у со¬
держит бесконечное множество точек хр. Продолжая этот процесс,
получим бесконечную последовательность шаров {Вп} и соответ¬
ствующую последовательность открытых множеств Сп = В\ . ..Вп,
£7Л+1 С Сп, каждое из которых содержит бесконечное множество
точек хр. Выбрав в каждом множестве Сп точку хРи (п = 1,2,...),
получим подпоследовательность {sp*}. Эта подпоследовательность
фундаментальна, так как все точки хРп, начиная с хР9, содержатся в
множестве С9. В силу полноты пространства X эта подпоследова¬
тельность имеет в X предел, который является предельной точкой
последовательности {а?п}. Таким образом, любая последователь¬
ность точек пространства X имеет предельные точки. По следствию
1 теоремы 4,4.7 пространство X счетно компактно, а в силу теоремы
4.5.4 оно компактно. <
Следствие 1. Множество в полном метрическом пространстве
иредкомпактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено.
Для доказательства достаточно заметить, что замкнутое множество
[А] в полном метрическом пространстве само является полным ме¬
трическим пространством.
Следствие 2. Всякое предкомпактное (компактное)множество
в полном метрическом пространстве ограничено. Это следует из
предыдущего следствия и теоремы 4.5.1.
Следствие 3. В конечномерном пространстве Rn любое ограни¬
ченное множество предкомпактно.
Следствие 4. Объединение конечного множества компактов в
полном метрическом пространстве есть компакт.
> При любом е > 0 объединение конечных £-сетей Si,..., Sn для
компактов А\,..., Ап,
5= (J Sky
*=1
276
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
есть конечная е-сеть для объединения этих компактов
A=\JAk. <
к=1
4.5.3. Непрерывные функции на компакте. Перейдем теперь
к функциям, определенным на компактах в метрическом простран¬
стве.
Теорема 4.5.6. Непрерывная функция, отображающая компакт
метрического пространства в метрическое пространство, равно¬
мерно непрерывна.
> Пусть /(х) — непрерывная функция, отображающая компакт
А метрического пространства (Х,<1) в метрическое пространство
(У, г). Бели /(а?) не равномерно непрерывна, то для любого 6 > О
существует такое число е > 0 и такие пары точек хп,х^ 6 А (п =
= 1,2,...), что d(x„,x'n) < 6/п и r(f(xn),f(x'n)) > е. Так как А —
компакт, то на основании теоремы 4.4.7 множество точек {zn} име-
ет предельную точку xq £ Ау которая, очевидно, является также
предельной точкой множества {х'п}. Следовательно, последователь¬
ности {хп} и {х‘п} содержат подпоследовательности {хПр} и {х^р},
сходящиеся к хо, lim хПв = lim xL = хо. Но при любом р
р—юо р р—юо р
е < r(f(xnr),f(x'„r)) < r{f(xnr),f(xo)) + r(f(x'nr),f(xo)),
вследствие чего по крайней мере одно из чисел г(/(хПр),/(хо)),
г(/(жпр)>/(хо)) больше е/2. Таким образом, при любом 6 > 0 в
окрестности S*(xo) точки Хо найдется такая точка хПр или х^, что
d{xn,,x о) <6, a r(/(xnJ, f(x о)) > е/2
ИЛИ
<*«,.*<>)<*, а г(/(*^),/(*0))>е/2.
Это противоречит непрерывности /(х). <
Теорема 4.5.7. Непрерывная действительная функция на компак¬
те ограничена и достигает своих наименьшего и наибольшего значе¬
ний.
> Пусть /(х) — непрерывная действительная функция, опреде¬
ленная на компакте А. По следствию теоремы 4.4.10 образ f(A)
компакта А в Я, определяемый функцией /(х), есть компакт. А
так как числовая прямая R представляет собой полное метрическое
§ 4.5. КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 277
пространство, то на основании следствия 2 теоремы 4.5.5 компакт
f(A) представляет собой ограниченное множество. Следовательно,
функция /(х) ограничена. А так как по теореме 4.4.5 компакт f(A)
замкнут, то он содержит свою границу. Это доказывает, что функ¬
ция /(х) достигает своих наименьшего и наибольшего значений. <
4.5.4. Критерий предксомпактности множества непрерыв¬
ных функций. Пусть X — пространство непрерывных функций
я(£), отображающих метрический компакт (Г, г) в полное метриче¬
ское пространство (5,р). Вводя в пространство X метрику
d(xi,x2) = sup/>(*!(<), х2(<)), (4.3)
t€T
получим метрическое пространство (X, d).
Теорема 4.5.8. Пространство (X, d) полно.
> Пусть {xn(f)} — фундаментальная последовательность функ¬
ций из (X, d). Возьмем произвольное е > 0. Из d(xn, хш) < е при всех
n, m > N = Ne и из формулы (4.3) следует, что p(xn(t)y xm(<)) < е при
всех п,т > N = Ne, t €Т. Так как метрическое пространство (5,/>)
полное, то при каждом t существует предел x(t) = lim xn(t), причем
ТЪ—КХ)
в силу независимости N = Ne от t сходимость последовательности
функций {яп(0} к х(£) равномерна по t € Т. Теорема будет доказа¬
на, если мы покажем, что предельная функция x(t) непрерывна. При
любом е > 0 выберем натуральное число п так, чтобы было
р(хп(0,*(0)<£/з V*€T. (4.4)
Это возможно в силу равномерной сходимости последовательности
{xn(t)} к х(*) на Г. После этого выберем число 6 = 6е > 0 так, чтобы
было
p(xn(t), xn(t’)) < е/3 V<, r(t, t’) < 6. (4.5)
Это возможно, так как по теореме 4.5.6 всякая непрерывная на ком¬
пакте функция равномерно непрерывна. Из (4.4) и (4.5) следует
p(z(t), ar(t')) < p(z(t), z„(t)) + p(zn(t), *„(<'))+
+p(zn(t'), x(t')) < e Vt, t\ r(t, t’) < 6,
что и доказывает непрерывность функции x(t). <j
Теорема 4.5.8 обобщает теорему 1.3.5 на пространства непре¬
рывных функций со значениями в любых метрических простран¬
ствах. Ограничение области определения функции условием ком¬
пактности легко снимается^ видоизменением доказательства непре¬
278
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
рывности предельной функции x(t) так как это сделано при доказа¬
тельстве теоремы 1.3.5.
Теорема 4.5.9. Множество А = {яа(0) функций пространства
X предкомпактно тогда и только тогда, когда объединение областей
значений всех функций множества А предкомпактно и все функции
множества А равностепенно непрерывны *.
> Бели А предкомпактно, то при любом е>0в нем существует
конечная £-сеть Ф = {^i(i)>”*> где все функции
непрерывны. При этом для любой функции xa(t) 6 А найдется такая
функция <pk(t) € Ф» что
В силу непрерывности функций ..., ^jsr(i) и теоремы 4.4.10 все
множества y>i(T),..., <pn(T) С S компактны, а в силу следствия 4
N
теоремы 4.5.5 их объединение (J <рь(Т) есть компакт. Следователь-
*=1
но, в LMCO существует конечная £-сеть. Эта сеть вследствие (4.6)
является конечной 2£-сетью для объединения В областей значений
всех функций xa(t) 6 А. Таким образом, объединение В областей
значений всех функций xa(t) € А вполне ограничено. Отсюда на
основании следствия 1 теоремы 4.5.5 следует, что В предкомпакт¬
но. Это доказывает необходимость первого условия. Лля доказа¬
тельства необходимости второго условия заметим, что в силу не¬
прерывности функций ^l(t), . .. , для любой функции <pi(t) при
выбранном е > 0 существует такое число 6} > 0, что
Пусть 6 = min(<5i,...,£//). Тогда для любой функции xa(t) 6 А в
силу (4.6) и (4.7)
p(xa{t),xa(t')) < p(xa(t),<pk(t))+
d(xa,<Pk) = sup/>(*„(<), у>|.(<)) < e.
(4.6)
/Kw (<).<«(O) < e VM'>r(M') < h-
(4.7)
+р(Ы0. V*(0) + p(<pk(t'), Xa(t')) < 3e (4.8)
§ 4.». КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 279
\
при всех t,t9 6 Т, удовлетворяющих условию r(tyt9) < 8. Так как
число 6 одно и то же для всех функций xa(t) 6 А, то из (4.8) следу-
ет, что все функции множества А равностепенно непрерывны. Это
доказывает необходимость второго условия.
Для доказательства достаточности условий предположим, что
объединение В областей значений всех функций множества А пред-
компактно и все функции множества А равностепенно непрерывны.
Тогда при любом е > 0 существует такое число 6 = 6€ > 0, что для
всех функций xa(t) € А
p(xa(t), xa(t')) < е V*, r(t, О < 6. (4.9)
В силу компактности Т в нем существует конечная £-сеть
{*1,..., tm}, а в силу предкомпактности В в нем существует конечная
£-сеть «п}. Определим множества
С* = {t € Т : r(t, <*)<*} (к = 1,..., т),
Di = Ci> Dt = C*Ci.. .C*-i = Z?*-iC*-i (t = 2,...,m)
и nm конечнозначных функций
m
= (0ь • • •»9m = 1, • • •, Ti). (410)
*=1
Тогда для любой функции xa(t) £ А найдутся такие «Г1,..., $Гт в
е-сети {вь...,вп}, что
p(*a(tk), 8Гк)<е (к = 1,..., т), (4.11)
и при любом t 6 Dh соответствующая функция ^n,...#rm(0 в силу
(4.9) — (4.11) будет удовлетворять условию
p(*o(0>^i,...,rm(0) = p(xa(t)) srk) <
< p(M0> *«(<*)) + р(*а(**)> «г* ) < 2е.
m
А так как (J £>* = Г, то неравенство
*=1
р(М0»^г1,...|гж(0)<2с
280
ГЛ. 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
справедливо при всех t Е Т и, следовательно,
d(xa,ip n,.,rm) = sup/)(a:e(i), V>r,,... »** m (<)) < 2c. (4.12)
teT
Отсюда в силу произвольности выбора функции яа(0 Е -4 следует,
что функции образуют конечную 2е-сеть для множест¬
ва А.
На этом можно было бы доказательство закончить. Однако
функции не принадлежат не только множеству А, но и
пространству X, в то время как теорема 4.5.5 и ее следствие 1 были
доказаны только для случая, когда соответствующие е-сети явля¬
ются множествами пространства X. Поэтому применим прием, ука¬
занный в начале п.4.5.1, чтобы заменить функции i/>qlt...,qm(t) некото¬
рыми функциями множества А.
Любую функцию фЯ1}...,$т(0 заменим какой-нибудь функцией
Xaqi Е А, для которой
(413)
Бели такой функции xaqi qm (tf в множестве А нет, то соответству-
ющую функцию i>qlt...tqm(t) отбросим*. Установив для полученно¬
го таким путем конечного множества функций xaqi qm(t) единую
нумерацию, обозначим их через Тогда для любой
функции xa(i) Е Ау взяв соответствующую функцию удо¬
влетворяющую условию (4.12), и функцию <pk(t) = яаг1 rm(*), УД°‘
влетворяющую условию (4.13), получим
d(xQi(pk) < 4е.
Это доказывает, что множество функций {y>i(0> • • •»Wv(0) С ^ пред¬
ставляет собой конечную 4е-сеть для множества А. Отсюда в силу
произвольности е > 0 следует, что множество А вполне ограниче¬
но. На основании следствия 1 теоремы 4.5.5 множество функций
А = (яа(*)} предкомпактно. <
* Очевидно, что далеко не для всякой функции ipqсуществует функ¬
ция Ха € А, удовлетворяющая условию (4.13). Предоставляем читателю са¬
мостоятельно показать, что функции £a(tf) Е А, удовлетворяющие условию
(4.13), существуют только для таких функций Vv»•••>$»» (0» значения которых
на. соседних множествах Dk различаются не больше чем на 4£, т.е. для кото¬
рых выполнено условие р(5&,5/) < Аб для любых к и I, к < I, для которых
DkCk+l • • • Ci-iCt ф 0.
§ 4.5. КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 281
В частном случае конечномерного пространства 5 = Rn или
5 = Сп любое предкомпактное множество в S можно заключить в
шар конечного радиуса Sm(0) = {s : | s | < М} и теорема 4.5.9 может
быть сформулирована следующим образом.
Теорема 4.5.10. Множество А = {а?Л(£)} функций пространства
С(Т, Кп) непрерывных функций, отображающих компакт Т в про¬
странство Кп, прредкомпактно тогда и только тогда, когда все
функции множества А равномерно ограничены (т.е. ограничены по
модулю одним и тем же числом М) и равностепенно непрерывны
(теорема Лрцела — Асколи).
ГЛАВА 5
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 5.1. Линейные функционалы
5.1.1. Операции над множествами в линейном простран¬
стве. Кроме обычных операций над множествами, в линейном про¬
странстве целесообразно ввести операции сложения множеств и
умножения множества на число.
Суммой вектора х и множества В в линейном пространстве на¬
зывается множество всех векторов вида х+у, где у — любой вектор,
принадлежащий множеству В> х + В = {z : z = х + у, у £ В}.
Суммой множеств А и В в линейном пространстве называет¬
ся множество всех векторов вида х + у, где х — любой вектор из
множества Л, а у — любой вектор из множества В, А + В = {z :
z = х + у, х £ А, у е В].
Произведением множества А на число с в линейном простран¬
стве называется множество всех векторов вида сх, где х — любой
вектор множества А, сА = {z : z = сх, х £ А}.
Легко понять, что сумма подпространств L\ и Ь2 линейного
пространства X тоже представляет собой подпространство, а имен¬
но минимальное подпространство, содержащее подпространства Ь\
и Ь2.
5.1.2. Выпуклые множества. Множество А линейного про¬
странства называется выпуклым, если оно содержит наряду с любы¬
ми двумя векторами х, у их линейную комбинацию ах + (1 — а)у при
любом а £ (0, 1). Иными словами, множество А выпукло, если оно
содержит прямолинейные отрезки, соединяющие любые его точки.
Очевидно, что сумма любых выпуклых множеств и произведе¬
ние любого выпуклого множества на любое число являются выпу¬
клыми множествами.
5.1.3. Линейные функционалы. В функциональном анализе
большую роль играет понятие линейного функционала, т.е. линей¬
ного отображения линейного пространства в поле скаляров (п. 1.3.5).
В частности, большое значение имеет вопрос о существовании ли¬
нейных функционалов, обладающих определенными свойствами.
§ 5.1. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
283
Теорема 5.1.1. В любом линейном пространстве существует ли-
нейный функционал, принимающий заданные значения на любом ко¬
нечном множестве линейно независимых векторов.
> Пусть a?i, ... , хп — линейно независимые векторы линейного
пространства X, у\% ... , уп — произвольные числа (действительные
в случае действительного пространства X и комплексные в случае
комплексного пространства X). Обозначим через L подпростран¬
ство, порожденное векторами xi, ... , хп (т.е. линейную оболочку
векторов a?i, ... , хп, см. п.1.3.3). Любой вектор х подпространства
L представляет собой линейную комбинацию векторов xi, ... , хп:
X = <*!«! + . .. +ХП. (5.1)
Определим на L функционал
/(*) = <*1У1, + ...+ Ofn»n • (5.2)
Очевидно, что этот функционал линеен, так как любой линейной
комбинации векторов вида (5.1) формула (5.2) ставит в соответствие
такую же линейную комбинацию * значений функционала f(x). Даг
лее f(xk) = Ук (к = 1, ... , п), так как х = х* тогда и только тогда,
когда а* = 1, а* = 0 при / ф к. <
5.1.4. Продолжение линейного функционала. Теорема 5.1.1
устанавливает существование в любом линейном пространстве ли¬
нейного функционала, принимающего заданные значения в любом
конечном множестве точек. Этот функционал определен на соот¬
ветствующем конечномерном продпространстве данного линейного
пространства X. Однако для 1юстроения дальнейшей теории не¬
обходимы линейные функционалы, определенные на всем простран¬
стве X. Поэтому возникает задача продолжения линейного функ¬
ционала, определенного на некотором подпространстве, на все про¬
странство X.
Теорема 5.1.2. Любой линейный функционал, определенный на
подпространстве линейного пространства, можно продолжить на
более широкое продпространство.
> Пусть fo(x) — линейный функционал, определенный на под¬
пространстве Lo линейного пространства X, z\ — любой вектор, не
принадлежащий подпространству Lo, L\ — подпространство, обра¬
зованное подпространством Lo и вектором z\:
L\ = {х : х = 2/ + azlt у в L0, а в К} .
* Т.е. линейную комбинацию с теми же коэффициентами.
284
ГЛ. 5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Определим на Li линейный функционал
М*) = Му + <**х) = fo(y) + afi(zi), (5.3)
где f\(z\) — произвольно заданное значение функционала f\ в точке
z\. Очевидно, что fi(x) = /о(«) для любого х Е £о* Действительно,
х = у + az\ Е Lo при у Е Lq тогда и только тогда, когда а = 0, х = у.
Следовательно, формула (5.3) определяет продолжение функциона¬
ла /о с подпространства Lo на подпространство L\ Э Lo* <
Доказанная теорема устанавливает принципиальную возмож¬
ность неограниченного расширения области определения линейно¬
го функционала. Остается решить вопрос, можно лй расширить
область определения функционала до всего пространства? Одна¬
ко при продолжении линейного функциионала на все пространство
целесообразно наложить на него некоторые ограничения, которые
ограничат, в частности, возможности выбора значения функциона¬
ла в каждой новой точке z\.
5.1.5. Выпуклые функционалы. Неотрицательный функцио¬
нал р(х), определенный на всем линейном пространстве Х> называ¬
ется выпуклым, если он удовлетворяет условиям
1) р(* + у) < р(х) + р(у) V*. у;
2) р(ах) =| а | р(х) Vx, а Е К .
Из определения нормы вектора в линейном нормированном про¬
странстве (п.1.3.6) следует, что норма представляет собой выпуклый
функционал. Очевидно, что произведение нормы вектора на любое
положительное число тоже представляет собой выпуклый функци¬
онал. Поэтому выпуклый функционал часто называют преднормой
или полунормой.
5.1.6. Теорема Хана — Банаха о продолжении линейного
функционала. Одной из фундаментальных теорем функционально¬
го анализа, устанавливающей возможность продолжения линейного
функционала на все пространство, является
Теорема 5.1.3. Любой линейный функционал /о(х), определенный
на подпространстве Lo линейного пространства X и удовлетворя¬
ющий условию
I fo(x) |<р(х) Ух € Lo, (5.4)
где р(х) — некоторый выпуклый функционал, может быть продол¬
жен на все пространство X с сохранением этого условия (теорема
Хана — Банаха).
§ 5.1. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
285
Мы докажем эту теорему сначала для действительного линей¬
ного пространства X и, соответственно, действительного линейного
функционала /о(я), а потом распространим ее на случай комплекс¬
ного линейного пространства X и комплексного линейного функци¬
онала fo(x).
> Покажем, что в теореме 5.1.2 число /i(zi), т.е. значение про¬
должения функционала fo(x) в точке z\ £ Lq всегда можно выбрать
так, чтобы функционал fi(x) удовлетворял условию (5.4) на подпро¬
странстве L\. Очевидно, что условие (5.4) будет удовлетворяться
на Ь\у если при всех х 6 L\ будет fi(x) < р(х). Действительно, тогда
при всех х Е L\ будет также
fl(x) = - А(-х) > -р(-х) = -р(х).
Таким образом, задача сводится к такому выбору /1(21), чтобы при
всех у 6 Lq и а было
/l(s) = fi(y + <*zi) < р(у + az\)
или
/о(у) + afi(zi) < I а I р(¥- + Zi) .
Отсюда следует
/о(“) + Mzi) <p(^ + *i) при а > 0,
f°(D+Mzi)>-p(l + *i) ПРИ “<0
или, так как у/а — произвольный вектор из Lq,
/о(«) + /l(*l) < p(u + Zi),
/о(«) + /l(*l) > -p(v + Zi)
при любых и, v G Lq. Докажем, что fi(z\) всегда можно выбрать
так, чтобы эти неравенства удовлетворялись при любых и, v 6 Lq.
Для этого оценим разность
[—/о(«) + ?(« + Zl)] - [~fo{v) - p(v + Zi)] =
= p(u + Zl) + p(v + Zi)~ fo{u - v).
286
ГЛ. 5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
На основании определения выпуклого функционала
р(и + zi) +p(v + zi) = р(и + z{) + р(-v -zi)>p(u-v).
Следовательно, в силу (5.4)
[—/о(м) + р(« + Zi)] - [—/o(v) - p(v + Zl)] >
> p(u — v) — /o(u —1>) > 0 Vti, v € Lo •
Отсюда следует, что
h/o(«) + P(« + *i)] > «up [-/o(t>) - p(v + zi)].
Таким образом, при любом значении fx(zi)t удовлетворяющем не¬
равенствам
sup [-/o(v) - p(v + Zi)] < fi(zi) < inf [-/o(«) + p(u + Zi)],
veL о w€X,0
формула (5.3) определяет продолжение функционала /о на подпро¬
странство L\ с сохранением условия подчинения (5.4). Очевидно,
что это продолжение в общем случае не будет единственным.
Если в X существует счетное множество векторов {zn}, поро¬
ждающее вместе с подпространством Хо все пространство X, то,
продолжая процесс расширения области определения линейного
функционала, описанный при доказательстве теоремы 5.1.2, убежда¬
емся в том, что этот функционал можно продолжить на все про¬
странство X. Если же такого счетного множества векторов нет,
то для завершения доказательства придется применить лемму Цор¬
на, вытекающую из аксиомы выбора (п.1.1.9). Будем называть про¬
должения функционала /о на два различные пространства согласо¬
ванными, если они совпадают на пересечении этих двух подпро¬
странств, т.е. если продолжения Д и /2 функционала /о на под¬
пространства L\ и L2 удовлетворяют условию fi(x) = /2(я) при
х 6 L\L2. Рассмотрим множество М всех согласованных продолже¬
ний функционала /о на различные подпространства с сохранением
условия подчинения (5.4). На основании доказанной части теоремы
множество М не пусто. Оно частично упорядочено знаком включе¬
ния областей определения продолжений. Пусть Мо — упорядочен¬
ное подмножество (цепь) множестваМ, {Ьа} — множество областей
§ 5.1. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
287
определения всех продолжений функционала /о из Мо, Lai С ^ва
при любых а\ < аз, /а — продолжение функционала /о с Lo на La*
Ясно, что функционал /д40, определенный на объединении всех под¬
пространств La
LMo = IM'*
а
формулой
/мо(*) = /«(*) при *€•£.«,
представляет собой продолжение функционала /о с Lo на Ьм0 с со¬
хранением условия (5.4), т.е. принадлежит множеству М. Ясно так¬
же, что этот функционал /м0 представляет собой верхнюю грань
множества Мо- Таким образом, каждая цепь частично упорядочен¬
ного множества М имеет верхнюю грань. По лемме Порна в мно¬
жестве М существует максимальный элемент, т.е. продолжение /
функционала /о с‘максимальной областью определения. Эта мак¬
симальная область определения совпадает со всем пространством
Ху так как в противном случае ее можно было бы расширить в си¬
лу доказанной первой части теоремы, т.е. она не могла бы быть
максимальной. <
Перейдем к доказательству теоремы Хана — Банаха в случае
комплексного линейного пространства X.
> Пусть X — комплексное линейное пространство, Lo — его под¬
пространство, fo(x) — линейный функционал, определенный на Lo и
удовлетворяющий условию (5.4). Пусть Xr и Lr — пространство X
и подпространство Lo, рассматриваемые как действительные линей¬
ные пространства, /д(х) и //(х) — действительная и мнимая части
комплексного функционала fo(x):
+ /?W=«£kJS. (5.5)
Из этих равенств следует fj(x) = *-Уд(*а;). Следовательно,
/о(*) = /н(*)-*/&(»*)'• м
Из (5.4) и (5.5) следует, что /r(x) представляет собой линейный
функционал на Lr (но не на Lo !!), удовлетворяющий условию (5.4),
I 1< Р(х)- По теореме Хана — Банаха для действительного ли¬
нейного пространства функционал /д можно продолжить на все про¬
странство Xr с сохранением условия (5.4). В результате получим
288 ГЛ. 5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
линейный функционал /л(я)> определенный на всем пространстве
Xr и удовлетворяющий условию | /л(х) |< р(х). В соответствии с
формулой (5.6) этот функционал определяет линейный функционал
/(*) = /я(*) - *Уя(**) (5.7)
на всем пространстве X. Действительно, для любых хх, х? G X и
« = «л + *’«/, Р = /?л + ifii
f(axx + /?х2) = aRfR(xi) + а//л(*х i) + /?л/л(*2)+ /?//л(<*2)-
-*«л/л(**1) + *«//л(*l) ~ </?л/л(*®2) + *А/л(®2) =
= »/r(*i) - iafR(ixi) + ^/л(х2) - г&/н{гх2) =± ar/(*i) + /J/(x2).
Остается убедиться в том, что функционал /(х) удовлетворяет усло¬
вию (5.4):
|/(*)1<Р(*) VxGX.
Предположив, что существует вектор хо, для которого | /(хо) ]= р >
> р(х0), положим /(хо) = ре1^, уо = хое”*^. Тогда будем иметь
/(Уо) = = р > р(*о), Р(Уо) = р(*о) и /я(Уо) = Р > р(2/о), т.е.
действительный линейный функционал /л не удовлетворяет усло¬
вию (5.4) в точке уо. Полученное противоречие доказывает, что
линейный функционал /(х), определяемый формулой (5.7), предста¬
вляет собой продолжение функционала /о(я) на все пространство Ху
удовлетворяющее условию (5.4). <
Следствие. Для любых двух различных точек х\, х2 линейного
пространства X существует линейный функционал, определенный
на всем X, принимающий в этих точках различные значения f(x\) ф
Ф /(яг)* Это следует непосредственно из теорем 5.1.1 и 5.1.3.
5.1.7. Ядро линейного функционала. Множество всех векто¬
ров линейного пространства X, для которых значение линейного
функционала / равно нулю, называется ядром функционала / и обо¬
значается кег /: 1
кег / = {х : /(х) = 0} . (5.8)
Очевидно, что ядро линейного функционала представляет собой
подпространство, так как из /(хi) = ... = /(яп) = 0 вытекает
п
/(«1*1 + • • • + ап*п) = ^2 otkf(xk) = 0.
fc=i
§ 5.1. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 289
Теорема 5.1.4. Подпространство, образованное ядром линейного
функционала и любым не принадлежащим ему вектором, совпадает
со всем пространством X.
> Пусть хо — любой вектор, не принадлежащий ядру линейного
функционала /, /(х0) ф 0. Без потери общности можно предполо¬
жить, что /(хо) = 1, так как если /(хо) ф 1, то вместо хо можно взять
вектор Xq = xo/f(xo) и получить /(xq) = 1. Возьмем любой вектор
z Е X и образуем вектор
y = z-x0f(x).
Этот вектор принадлежит ядру функционала /, у Е кег /, так как
f(y) = /(*) - /(*о) /(*) = о.
Таким образом, любой вектор пространства X можно представить
в виде
х = у + ах0, у Е кег /.
Следовательно,
{х : х = у + ах0, у Е кег/} = X. <з
Следствие 1. Фактор-пространство Х/кет/ одномерно для лю¬
бого линейного функционала /. '
> Элементами фактор-пространства X/ кег / служат множества
векторов, для которых функционал / имеет одно и то же значение,
у = {х : /(х) = *}. Ясно, что у = fcy0, где у0 = {х : /(х) = 1}. <з
Следствие 2. Лл* любого подпространства L, не совпадающего
со всем пространством X, существует линейный функционал, ядро
которого содержит L.
> Пусть хо 0 L. Определим на подпространстве L\ = {х :
ж = у + ахо, У Е X} линейный функционал
/(*) = af(x о).
Из
/(*) = /(у) + <*/(* о)
следует, что /(у) = 0 для любого вектора у Е L. По теореме Хана —
Банаха 5.1.3 функционал / можно продолжить на все пространство
X. При этом будет L С кег /. <з
290
ГЛ. 5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ЗАДАЧИ
5.1.1. Лок*эа.ть, что люби линейная комбинация CiAi + ... + СпАп
выпуклых множеств Ai + ... + Ап выпукла.
5.1.2. Доказать, что любое пересечение выпуклых множеств выпукло.
5.1.3. Выпукло ли объединение выпуклых множеств?
5.1.4. Доказать, что прямое произведение А X В (.А\ X ... X Ап) выпуклых
множеств А и В (А\, ... , Ап) является выпуклым множеством.
5.1.5. Доказать, что для любых точек Х\9 .. . , Хп выпуклого множества
А и для любых чисел а\, ... , Осп G (0, 1), Qfi ... + 0tn = 1, OfiXi -f* ... -f
+апхп G А.^,
Указание. Написать условие выпуклости А при П = 2 в виде
(ai*! + аг2*2)/(«1 + а2) € А, аи аг2 > 0, и применить метод индукции.
5.1.6. В пространстве непрерывных функций £?([(), 1]) найти линейный
функционал /о(х), принимающий значения 1/к на функциях (к = 1, ...
. . . , п). Какова область определения этого функционала Lo? Доказать, что
фукнционал fo(x) удовлетворяет на Lo условию | fo(x) |<|| X ||= sup | x(t) |.
Добавив функцию <п, не принадлежащую Lo» найти продолжение функциона¬
ла /о(*) на L\ = {®(0 : У(0 + odn* y(t) G lo} с сохранением условия
| fo(x) |<|| X ||. Продолжить функционал fo(x) на все пространство (?([(), 1])
с сохранением условия | fo(x) |<|| X || (написать явное выражение получен-
ного функционала).
5.1.7. Пусть X — Н-пространство, Х\, ... , Хп G X — векторы, удо¬
влетворяющие условию (х*, Xj) = Sjcj. Найти линейный функционал /о(я)«
принимающий в точках Xj, ... , Хп значения . . . , ,уп. Показать, что он
удовлетворяет условию !/о(*)1 < \/у\ + ••• + Уп II х II* Указать область
его определения Lq. Представить его в виде скалярного произведения векто¬
ра X на некоторый вектор f € Lq. Написать явное выражение продолжения
/о(х) на все пространство X с сохранением приведенного неравенства.
Указание. Учесть, что любой вектор X € Lo определяется формулой
X = (X, Xi) Xi + . . . + (X, Хп) Хп.
5.1.8. Доказать выпуклость функционала | </(х) | при любом линейном
функционале д, определенном на всем пространстве X. Провести доказатель¬
ство теоремы Хана — Банаха 5.1.3, приняв р(х) = | </(х) |.
5.1.9. Возьмем П линейных функционалов /i, . . . , fn на пространстве X
с различными ядрами N\ — кег/х, . . . , Nn = кег/п. Доказать, что фактор-
пространство X/N, где N = N\ . .. Nn, fl-мерно.
У Казани е. Применить П раз теорему 5.1.4.
§ 5.2. ТОПОЛОГИИ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
291
§ 5.2. Топологии в линейных пространствах
5.2.1. Определение топологического линейного простран¬
ства. В линейном пространстве топология обычно определяется
так, чтобы операции сложения векторов и умножения вектора на чи¬
сло были непрерывными. Из определения непрерывности функции
(п.4.3.2) следует, что при таком определении топологии для любых
двух векторов х и у и для любой окрестности Vz точки z = х + у
существуют такие окрестности VXt Vy точек х, у, что Vx -I- Vy С Vz. В
частности, для любой окрестности нуля V существует такая окрест¬
ность нуля 17, что U -f U С V. Кроме того, при таком опреде¬
лении топологии для любого вектора х, любого числа А и любой
окрестности Vu точки и = Ах существуют такие окрестности VXf
V\ = {А' : | А' — А | < е} точек х и А, что ь! = А'х' € Vu при любых
x'evXf А'екА.
Линейное пространство с топологией, в которой операции сло¬
жения векторов и умножения вектора на число непрерывны, назы¬
вается топологическим линейным пространством.
Бели топологическое линейное пространство есть Ti-прост-
ранство, то оно называется отделимым.
Теорема 5.2.1. Если А — открытое множество топологического
линейного пространства X, то для любого вектора у, любого мно¬
жества В пространства X и любого числа А ф 0 множества -А-f у,
А + В и ХА открыты.
> При любом фиксированном у отображение z = а? — у простран¬
ства X на себя непрерывно по определению, причем из z 6 А следует
х G А + у, т.е. Л + у служит прообразом множества А. Следователь¬
но, по теореме 4.3.5 множество А 4* у открыто. А так как при лю¬
бом В
Л + В= U (Л + у),
то множество А + В тоже открыто. Точно так же при любом фикси¬
рованном А множество АЛ открыто как прообраз открытого множе¬
ства А при непрерывном отображении z = х/А пространства X на
себя. <
Следствие. В топологическом линейном пространстве X лю¬
бая окрестность Vx любой точки х получается сдвигом некоторой
окрестности нуля Vo на вектор х.
> По доказанной теореме множество Vo = Vx — х открыто. А так
как оно содержит нуль (поскольку х 6 Vx), то оно является окрест¬
292
ГЛ. 5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ностью нуля. Следовательно, Vx = Vo + х, где Vo — окрестность
нуля. <
Множество А топологического линейного пространства X на¬
зывается ограниченным, если для любой окрестности нуля V суще-
ствует такое число с > 0, что А С XV при всех А, | А | > с. Лю¬
бое конечное множество {xi, ... , ограничено, так как в силу
непрерывности операции умножения вектора на число для любой
окрестности нуля V существует такое 6 > О, что {arxi, ... , arxjv} С V
при всех а, | а |< 6, откуда следует {xi, ... , хм} С XV при всех А,
| А | > 6~1.
5.2.2. Фундаментальность последовательности. В отличие
от общего топологического пространства в топологическом линей-
ном пространстве можно ввести понятие фундаментальности после¬
довательности.
Последовательность точек {хп} топологического линейного
пространства X называется фундаментальной, если любая окрест¬
ность нуля содержит все точки хп — хт при п, т > N, где N — не¬
которое натуральное число, зависящее от выбранной окрестности
нуля. Другими словами, последовательность {хп} фундаментальна,
если последовательность {хп — хт] сходится к нулю.
Теорема 5.2.2. Всякая сходящаяся последовательность в mono-
логическом линейном пространстве фундаментальна.
> Бели последовательность {хп} сходится к хо, то любая окрест¬
ность нуля содержит все точки хп — хо, начиная с некоторой. В силу
непрерывности операции сложения (а значит, и вычитания) в топо¬
логическом линейном пространстве для любой окрестности нуля V
существует такая окрестность нуля 17, что U — U С V. Так как U
содержит все точки хп — хо при п > N, где N — некоторое число,
зависящее от 17, а следовательно, и от V, то V содержит все точки
Xfi — Xffi при n, m > ЛГ, что и доказывает фундаментальность после¬
довательности {хп}. <
Обратное в общем случае неверно, так же как и в метрическом
пространстве; фундаментальная последовательность в топологиче¬
ском линейном пространстве может не сходиться ни к какому пре¬
делу (ни к какой точке этого пространства).
Топологическое линейное пространство называется полным,
если любая фундаментальная последовательность имеет в нем пре¬
дел.
5.2.3* Локальная выпуклость пространства. Лля теории то¬
пологических линейных пространств большое значение имеет поня¬
§ 5.2. ТОПОЛОГИИ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
293
тие локальной выпуклости пространства.
Топологическое линейное пространство называется локально
выпуклым, если любая окрестность нуля содержит выпуклую ок¬
рестность нуля. Из этого определения и следствия теоремы 5.2.1
вытекает, что любая окрестность любой точки локально выпукло¬
го топологического линейного пространства содержит выпуклую
окрестность этой точки. Отсюда следует, что любое непустое от¬
крытое множество локально выпуклого топологического линейно¬
го пространства содержит непустое выпуклое открытое множество.
Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что любое непустое
открытое множество G есть окрестность любой его точки х. Содер¬
жащаяся в G выпуклая окрестность Vx точки х представляет собой
непустое выпуклое открытое множество, содержащееся в G.
5.2.4. Способы задания топологии в линейном простран¬
стве. На основании следствия теоремы 5.2.1 для определения то¬
пологии в линейном пространстве достаточно задать базу окрест¬
ностей нуля. Тогда база окрестностей любой точки х получится
сдвигом базы окрестностей нуля на вектор х.
В нормированном линейном пространстве X база окрестностей
нуля представляет собой множество всех открытых шаров с центром
в нуле:
5е(0) = {х :||*||<£} Ve > 0. (5.9)
Нормированное линейное пространство с такой топологией, как и
всякое метрическое пространство, являетсяпространством с первой
аксиомой счетности.
Легко проверить, что операции сложения векторов и умножения
вектора на число непрерывны в топологии, определяемой окрестно¬
стями нуля (5.9). Таким образом, всякое нормированное линейное
пространство представляет собой топологическое линейное прост¬
ранство.
Топология, порождаемая нормой, определяется одним обрат¬
ным отображением, соответствующим отображению z = ||х|| про¬
странства X в числовую прямую R. Согласно общему методу вве¬
дения топологии в данном пространстве можно пользоваться мно¬
жеством обратных отображений из разных пространств. В частно¬
сти, можно определить топологию в X с помощью множества норм.
Важным классом топологических линейных пространств являются
счетно-нормированные пространства, в которых топология опре¬
деляется счетным множеством норм, удовлетворяющим некоторым
Условиям (см., например, [13]).
294
ГЛ. 5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В произвольном линейном пространстве базу окрестностей ну¬
ля можно определить с помощью множества линейных функциона¬
лов путем переноса базы окрестностей нуля поля скаляров | z | < е
в пространство X обратными отображениями (п.4.3.3). Пусть F —
любое множество линейных функционалов на X. Тогда база окрест¬
ностей нуля в X может быть определена как совокупность окрест¬
ностей нуля
{х :\fix I |/„х |<е}, (5.10)
соответствующих всем п, е > 0, Д , ... , /„ Е F. Каждая такая
окрестность нуля представляет собой пересечение прообразов ок¬
рестностей нуля | z | < е при отображениях z = Дат (к = 1, ... , п) X
в К.
На основании теоремы 4.3.5 все функционалы / Е F непрерывны
в топологии тр, порожденной базой окрестностей нуля (5.10).
Теорема 5.2.3. Топология тр является слабейшей топологией,
в которой непрерывны все функционалы множества F. Если F —
линейное пространство, то любой непрерывный в топологии тр ли¬
нейный функционал принадлежит F.
> Пусть г — любая топология, в которой непрерывны все функ¬
ционалы множества F. По теореме 4.3.5 все множества {х : | fx | <
< £}» / € открыты в г как прообразы открытых множеств при не¬
прерывном отображении z = /х, т.е. принадлежат г. Следователь¬
но, и все множества (5.10) открыты в г как конечные пересечения
открытых множеств, т.е. г содержит базу окрестностей нуля (5.10)
топологии тру а значит, и любое открытое множество из тр. Таким
образом, тр С т.
Пусть (р — любой линейный функционал, непрерывный в топо¬
логии тр. По теореме 4.3.5 содержаще^ нуль множество {х :\<рх\<
< 1} открыто в топологии тр и, следовательно, представляет собой
окрестность нуля в X как прообраз окрестности нуля {z : | z \ <
< 1} при непрерывном отображении z = <рх. Но любал окрестность
нуля содержит некоторую окрестность нуля, принадлежащую базе
окрестностей нуля. Поэтому существуют такое е > 0 и такие линей¬
но независимые функционалы Д , ... , /п Е F> что
{х : | f\x | | fnx | < е} С {* : | <рх | < 1} .
В частности, пересечение А ядер всех функционалов Д, ... , fn со¬
держится в {х : \<рх\ < 1}. Таким образом, из х Е А следует \(рх\ < 1-
А так как А представляет собой подпространство пространства X,
§ 6.2. ТОПОЛОГИИ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 295
то при любом 6 > 0 из х 6 А следует х/6 6 А и \<рх/6\ < 1, откуда
получаем \(рх\ < 6. Отсюда вследствие произвольности 6 > 0 вы¬
текает <рх = 0 для любого х € А, т.е. А С kerv?. Заметим теперь,
что основании теоремы 5.1.4 любой вектор х пространства X можно
представить в виде
х = х0 + otixi + ... + апхп ,
где хо 6 А, а ... , хп — линейно независимые векторы, не при¬
надлежащие А. Следовательно, для любого х G X
(рх = ati<pxi + ... + ап(рхп ,
fkX = aifai + ... + anfkxn (к = 1, ... ,п).
Но не равные одновременно нулю числа —1, <*i, ... , ап могут удо¬
влетворять системе п + 1 однородных линейных уравнений
-<рх + ati<pxi + ... + ап(рхп = 0,
-fox + aiftxi + ... + otnfkXn = 0 {к = 1, ... , n)
только в том случае, когда определитель этой системы равен нулю:
(рх (рх 1 (рхп
fix flXi fiXn
= 0.
fnX fnX l fnxn
Разложив определитель по элементам первого столбца, получим
с0(рх + ci fix + ... + cnfnx = 0,
где числа со, ci, ...., сп не зависят от х. Из того, что это равенство
справедливо при любом х, вытекает
со(р+ Ci/i + ... +с„/„ = 0,
причем из линейной независимости функционалов /х, ... , /п сле¬
дует, что со не может быть равным нулю. Таким образом, функ¬
ционал (р представляет собой линейную комбинацию функционал
Лов /ь • • , /п € F. А так как F — линейное пространство, то
Ч> € F. <
296
ГЛ. S. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Таким образом, множество всех непрерывных в топологии тр
линейных функционалов на^Х совпадает с F.
Теорема 5.2.4. Операции сложения векторов и умножения век*
тора на число непрерывны в топологии Тр.
> Пусть Vz — любая окрестность точки z =’я + у. Она содержит
некоторую базовую окрестность точки z:
Vz D {z' :\fiz'-fxz\<e,... , | /„*' - fnz \ < e}.
Определим окрестности точек x и у:
V* = {*' :| Дх'-Дх |<е/2, ..., | /„*' - f„x | < е/2),
Уу = У : | fit/ - fiV | < e/2, ..., | f„t/ - fny | < e/2}.
Тогда для любых x9 € Vg} у* G Vy и z' = x9 + у* будем иметь
I fkZ' - fkZ I = I Дх' + M - h* - Ду I <
< I fk*' - fkX I + I fktf -fky I <
<e/2 + e/2 = e (fc = l,
т.е. z' € {*' : | Дг/ - Дг | < e, ... , | fnz' — fnz | < e} С Vt и, следова-
тельно, Vs + Vy С Vg,
Пусть ж, A — любой вектор и любое число, Vu — любая окрест¬
ность точки и = \х. Она содержит некоторую базовую окрестность
этой точки и,
К. Э {«' : I Дм' - Д« I < е, ..., I /„«' - /„« I < е).
Определим окрестности точек х и А:
V, = {х’ : I Дх' - fix I < е/2Ах, ... , | Дх' - fnx \ < e/2\i) ,
Vx = {У : | А' - А | < с/2 [ max | fmx | +e/2Ai ]},
1 <m<n
где Ai = max(l, | А |). Тогда будем иметь для любых х' € Vx, A' G Vx,
«' = А'х'
I I /*«' - Д« I < I А 11 Дх' - Дх | + | А' - А 11 Дх' | <
< с/2 + с | Дх' | /2 [ max | /тх | +с/2Ах ] < е/2 + с [ | Дх | +
§ 6.2. ТОПОЛОГИИ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
297
+e/2Ai]/2[ max | fmz | +е/2Ах ] < е (к = 1,...,п),
1<т<п
т.е. «' £ {«' : | \< е,..., \ /„u'-/„u |< е) С Vu и А'*' = u' € Vu
при любых х' € V„, А' е V*. •о
Теорема 5.2.5. Дл* того чтобы топологическое линейное про-
странство X с топологией Тр было Т2-пространством, необходимо
и достаточно, чтобы для любых двух различных точек х, у, х ф у, в
F нашелся такой функционал /, что fx ф /у.
> Бели Vs, Vy — непересекающиеся окрестности точек х, у, х ф у,
то существует содержащаяся в Vx базовая окрестность точки х
{*' : | fix' - fix\<e, ... ,\ fnx' - fnx\ < е} С V* .
Эта окрестность тоже не пересекается с Vy и, следовательно, не со-
держит точку у, т.е. | fry - Да: | > е, и /** ф fry (к = 1, ... , п).
Бели для любых точек х, у, х ф у, существует такой функционал
/ G Fy что /х / /у, то окрестности
Vx = {*' :| /*' - /* |< е), Vy = У :\Ы -fy\< е}
точек х, у не пересекаются при любом е < \ fx — /у | /2. <
На основании этой теоремы множество линейных функциона¬
лов F, удовлетворяющее условию теоремы, называется разделяю-
цшм точки пространства X.
Теорема 5.2.6. Дл* того чтобы множество линейных функцио¬
налов F разделяло точки пространства X, необходимо и достаточ¬
но, чтобы из fx = 0 при всех f £ F следовало х = 0 (т.е. чтобы
пересечение ядер всех функционалов f Е F представляло собой одно¬
точечное множество {0}).
> Л ля доказательства достаточно заметить, что если х / 0 и
/х = 0 для всех / G F, то для двух различных точек х\ и хг = х\ 4- х
/хх = /хг для всех / G F, т.е. условие необходимо. Бели /х = 0 для
всех / € F только при х = 0/ то для любых xi, хг, х\ ф хг, найдется
такой функционал f € F, что f(x\ — х2) Ф 0 и, следовательно, fx\ ф
ф fx2\ т.е. условие достаточно. <
В дальнейшем всегда будем предполагать, что множество F ли¬
нейных функционалов разделяет точки пространства и, кроме того,
само является линейным пространством.
Теорема 5.2.7. Топологическое линейное пространство X с то¬
пологией гр локально выпукло.
298 ГЛ. 5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
▻ Достаточно доказать, что все базовые окрестности нуля вы¬
пуклы. Тогда из определения базы окрестностей точки будет следо¬
вать, что любая окрестность нуля содержит выпуклую окрестность
нуля. Пусть х и у, х ф у, — точки базовой окрестности нуля
V = {z : | f\z | <£,..., | fnz | < £} .
Из | fkx | < e, | fky |< € (ft = 1, ... , n) следует при любом a £ (0, 1)
| fk(<*x + (1 - ar)y) | = | a/tx + (1 - <*)fkV |< « I /** I +
+(1 - a) | fky | < ae + (1 - a)e = e (ft = 1, ... , n),
т.е. ax + (1 - a)y £ V. <
Теорема 5.2.8. Последовательность {xn} сходится к x в тр тогда
и только тогда, когда числовая последовательность {fxn} сходится
к fx при любом / £ F.
> Из сходимости {хп} к х следует, что любая окрестность V* <Е
£ tf точки х содержит все точки хп, начиная с некоторой. В част¬
ности, при любых е > 0, / £ F окрестность Vx = {х' : | fx1 — fx | < е}
точки х содержит все точки хп, начиная с некоторой, т.е. | /хп-
—/х \ < е при всех достаточно больших п. Это доказывает сходи¬
мость последовательности {/хп} к /х при любом / £ F. Следова¬
тельно , условие необходимо.
Для доказательства достаточности заметим, что Любая окрест¬
ность Vg £тр точки х содержит некоторую базовую окрестность:
V* Э {х' : | /ix' - fix | < t, ... , | fNx' - fNx | < e} .
Из сходимости последовательности {fxn} к fx при любом f £ F сле¬
дует сходимость всех последовательностей {/*xn} (ft = 1, ... , N),
т.е. неравенства | /*хп — /*х | < е при всех достаточно больших
п. Следовательно, Vx содержит все точки хп, начиная с некоторой.
Это доказывает достаточность условия. <
5.2.5. Непрерывные линейные функции в топологических
линейных пространствах. Изучим специфические свойства непре¬
рывных линейных функций в топологических линейных простран¬
ствах.
Теорема 5.2.9. Линейная функция у = /(х), отображающая то¬
пологическое линейное пространство X в другое топологическое ли¬
нейное пространство Y, непрерывна всюду, если она непрерывна хо¬
тя бы в одной точке.
§ 5.2 ТОПОЛОГИИ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
299
> Предположим, что линейная функция у = /(х) непрерывна в
точке хо- Пусть х — любая точка пространства X, Vy — любая
окрестность точки у = /(х). Множество Vyo = Vy + уо — У представля¬
ет собой окрестность точки уо = /(хо). Вследствие непрерывности
f в точке хо существует окрестность VXo точки хо, образ которой
содержится в Vyo, f(VXo) С Vyo. Но тогда Vx = VXo + х - х0 будет
окрестностью точки х, образ которой содержится в Vy:
№) = f(VX0) + /(*) - /(хо) С VVo + у — уо = Vy . <
5.2.6. Ограниченные линейные функции. Линейная функция
у = /(х), отображающая топологическое линейное пространство X
в нормированное линейное пространство У, называется ограничен-
ной, если она ограничена в некоторой окрестности нуля Vq:
|| /(*)||<с Vx € Vo . (5.11)
Теорема 5.2.10. Для того чтобы линейная функция у = /(я),
отображающая топологическое линейное пространство X в норми¬
рованное линейное пространство Y, была непрерывной, необходимо
и достаточно, чтобы она была ограниченной.
> Если функция / непрерывна, то для любого е > 0 существует
такая окрестность нуля V€, что
\\f(x)\\<e VxGK,
т.е. функция / ограничена в Ve.
Наоборот, если функция / ограничена, то существуют такое
число с > 0 и такая окрестность нуля Vo, что справедливо (5.11).
Но тогда при любых £>0 и х € Vo, z — (е/с)х G (е/с) Vo = Vt и
|| f(z) ||= (е/с) || f(x) || < е. Следовательно, при любом е > 0 суще¬
ствует такая окрестность нуля Vt, что || f(z) \\< е при всех г G К,
что и доказывает непрерывность функции / в нуле. По теореме 5.2.9
она непрерывна всюду. <з
Таким образом, линейная функция со значениями в нормирован¬
ном линейном пространстве непрерывна тогда и только тогда, когда
она ограничена.
5.2.7. Ограниченные линейные функции в нормированных
линейных пространствах. Ограниченные (непрерывные) линей¬
ные функции в нормированных линейных пространствах обладают
особыми свойствами.
300
ГЛ. Б. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Теорема 5.2.11. Линейная функция у = f(x), отображающая нор¬
мированное линейное Пространство X в нормированное линейное
пространство Y, ограничена тогда и только тогда, когда существу¬
ет такое число С > 0, что
\\f(x)\\<C\\x\\ V*€X. (5.12)
> Из определения ограниченности линейной функции следует,
что в случае нормированного линейного пространства X
||/(*)||<с V*. II as II< Г, (5.13)
где с > 0, г > 0 — некоторые числа. Действительно, в этом случае
любая окрестность нуля в X содержит некоторую базовую (т.е. ша¬
ровую) окрестность нуля. Так как при любом х Е X и любом е > О
норма вектора у = (г — е)х/ || х || меньше г, || у || = г — е < г, то из
(5.13) следует
ll/(y)ll=pi,l/(x) ||<с>
II /(*) II<СII * II> С = с/(г-е)
при врех х. Таким образом, условие (5.12) необходимо.
Для доказательства достаточности условия (5.12) заметим, что
из (5.12) следует
|| /(*) || < Ст = с V*, || х || < г,
т.е. (5.13), что и доказывает ограниченность функции /. <
5.2.8. Норма линейной функции. Ясно, что если условие
(5.12) выполнено при каком-нибудь С > 0, то оно выполнено и при
всех больших С. Из (5.12) следует
SUD 11 11 < С
“Р II>11 ~С-
Величина
H/ll = supnCTi= sup II /С*) II (514)
* II * II ||*||=1
называется нормой непрерывной функции /.
§ 5.2. ТОПОЛОГИИ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
301
В частности, если функция /(х) представляет собой непрерыв¬
ный линейный функционал f(x) = /х, формула (5.14) определяет
норму непрерывного линейного функционала:
II / II = sup 1Дг = eup I /аг I . (5.15)
* II х II ||*||=1
Бели функция /(х) представляет собой непрерывный линейный
оператор, /(х) = Ах, формула (5.14) определяет норму непрерывно¬
го линейного оператора:
IMII = sup tttf = sup IIЛх Н • (5Л6)
* II * II ||*ц=1
Легко видеть, что норма линейной функции у = /(х) предста¬
вляет собой точную нижнюю грань чисел С > 0, для которых спра-
ведливо неравенство (5.12). Действительно, по определению супре¬
мума из (5.14) следует, что для любого е > 0 существует такое х,
для которого
£г>11/11-‘.
II /(*) II > (II / II ~£) II1II •
Отсюда видно, что при С, сколь угодно близком к || / ||, но меньшем,
чем ||/||, неравенство (5.12) нарушается.
5.2.9. Теорема Хана — Банаха для нормированных линей¬
ных пространств. Норма вектора в нормированном линейном про¬
странстве || х || представляет собой выпуклый функционал (п.5.1.5).
Произведение нормы || х || на любое число а > 0 также представляет
собой выпуклый функционал. Поэтому неравенство (5.12) в случае
линейного функционала / представляет собой условие подчинения
I /(*) 1< Р(ж) Щ>и Р(х) =|| / IIII х II- Из общей теоремы Хана —
Банаха о продолжении линейного функционала 5.1.3 вытекает
Теорема 5.2.12. Любой непрерывный линейный функционал, за¬
данный на подпространстве нормированного линейного простран¬
стваможет быть продолжен на все пространство с сохранением
нормы (теорема Хана — Банаха для нормированных пространств).
Следствие. В нормированном линейном пространстве суще¬
ствует непрерывный линейный функционал, имеющий данное значе¬
ние уо в любой данной точке xq, норма которого равна | уо | / || хо ||-
302 ГЛ. 5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
> По теореме 5.1.1 существует линейный функционал
/(*) = ауо,
определенный на одномерном подпространстве L = {х : х = аа?0},
принимающий данное значение уо в точке х = хо. Из ||х|| =
=1 « III *0 II, | /(*) 1=1 a 11 Уо | следует
I /(*) 1=
Уо
Отсюда видно, что || /1| = | Уо | / || х0 ||. Остается заметить, что по
теореме Хана — Банаха функционал / можно продолжить на все
пространство с сохранением нормы. <
Заметим, что в топологическом л]инейном пространстве ядро
отличного от нуля непрерывного функционала не может содержать
плотное в X множество. Поэтому следствие 2 теоремы 5.1.4 сле¬
дует соответствующим образом изменить: для любого замкнутого
подпространства L, не совпадающего со всем пространством X, су¬
ществует непрерывный линейный функционал, ядро которого содер¬
жит L .
Читателям, желающим глубже изучить теорию топологических
линейных пространств, можно рекомендовать книгу [29].
Пример 5.1.
1])
Рассмотрим линейный функционал на пространстве
fx = f x(t)dt — cx(0)tc > 0.
-1
Определить, непрерывен он
или нет. Бели непрерывен,
найти его норму.
Для ответа на поставлен¬
ный вопрос достаточно найти
sup|/x| при ||i||=sup |х(*)|=
= 1. Ясно, ЧТО I fx | < 2 + С
при всех x(t), ||*|| = 1. Следо¬
вательно, функционал fx ог¬
раничен и его норма не больше
2 + С. Чтобы найти ||/||, рас¬
смотрим последовательность
непрерывных функций
s 5.2. ТОПОЛОГИИ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
303
{1 при t < —П”1 и f > П"1,
—2nt — 1 при t € [—1, —п-1),
2nt — 1 при t G (п**1, 1].
На рио.21 показан график функции 2n(t). Для этой последовательности fxn =
= 2(1 — П"1) + С. бтсюда и из || / || < 2 + С следует
11/11= sup | /* |= 2 + с.
11*11=1
Заметим, что примененный для решения ©той задачи прием является стан¬
дартным приемом построения последовательности, дающей приближение с
любой степенью точности к sup | fx \ / || X ||.
Пример 5.2. Решить ту же задачу для линейного функционала
/* = /*(0?
О
на пространстве Со([0, 1]) непрерывных функций имеющих нулевое значение
при < = 0.
Рассмотрим последовательность непрерывных функций
. — / п< при * ^ [0, п-1],
XnW"\l при t € (п“1, 1].
Для етих функций fxn = 1 +1пП. Следовательно, функционал fx не ограни¬
чен.
Таким образом, мы имеем пример не непрерывного линейного функцио¬
нала.
ЗАДАЧИ
5.2.1. Доказать, что всякое топологическое линейное пространство удо¬
влетворяет аксиоме отделимости 7з.
У казани е. Воспользоваться результатом задачи 4.2.8 и учесть, что
вследствие непрерывности операции вычитания векторов для любой окрест¬
ности нуля V существует такая окрестность нуля W, что W — W С Vу а так
как W — W представляет собой объединение окрестностей нуля W — Ж, соот¬
ветствующих всем X 6 W, toW-W содержит замыкание [W] окрестности
нуля W.
304
ГЛ. 5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
5.2.2. Доказать, что функционал
fz = f f(t)z(t)dt
а
на пространстве С([а, 6]), /(<) е С([а, Ъ}) , является непрерывным линейным
функционалом и его норма равна
11/11= ЛЯОI л.
а
5.2.3. Тот же вопрос для функционала
fz = f f(t) z(t) dt - x(a) - z(b).
a
5.2.4. Определить, непрерывен или не непрерывен линейный функционал
f* = fz(t)g
0
/
на пространстве Со([0, 1]), и, если непрерывен, найти его норму. Рассмотреть
случаи S € (0, 1) и S > 1.
5.2.5. Доказать, что линейный функционал
fz = f f(t) z(t) dt
a
на пространстве L2([a, 6]) непрерывен тогда и только тогда, когда т €
€12(М]), и найти его норму.
Указание. Лля доказательства достаточности условия и нахождения
нормы применить неравенство Коши — * Буняковского. Лля доказательства
необходимости условия предположить, что оно не выполнено, и, взяв после-
довательность функций
- (л - f /(О "ри I /(01 < п>
*nW \ 0 при | f(t) | > П
и применив теорему о монотонной сходимости, доказать, что | fxn | / || Хп ||—+
—► ОО при П —► ОО.
§ S.2. ТОПОЛОГИИ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 305
5.2.6. Обобщить результаты задачи 5.2.5 на линейный функционал
/* = //(0 *(*)#»(*)
т
в пространстве скалярных функций 12(Т, Л, /л) с неотрицательной конечной
мерой р(А), А 6 А. Взяв, в частности, Т = (—00, оо),
ft(A) = fe'^dt,
А
привести пример функции /(£)» Для которой функционал / не ограничен.
5.2.7. Доказать, что если отделимое топологическое линейное простран¬
ство X локально выпукло, то множество непрерывных линейных функциона¬
лов на X разделяет точки пространства X.
Решение. Пусть V — выпуклая окрестность нуля, удовлетворяющая
условию Ах € V => | А | X € V. Такая окрестность нуля всегда существует,
так как для произвольной выпуклой окрестности нуля U
v= и »и
M=i
является такой окрестностью нуля. Поставим множеству V в соответствие
функционал
pv(x) = inf (А : А > 0, х 6 XV).
Этот функционал называется функционалом Мчнковскогоу соответствующим
множеству V. Это выпуклый функционал, так как
pv{ax) = inf (А : А > 0, | а | х G XV) =
= inf (| а | /I : /I > 0, х € pV) = | а | pv(x),
и для любых Xi, Х2, Х\ G AiV\ Х2 € X2V при Ai = Pv(xl), А2 = Pv(x2)t
вследствие чего Х\ + Х2 € (Ai + Аг)!^ и pv(x\ + Х2) < Ai + А2 = Pv(x 1)+
+Pv{x2). Очевидно, что pv(x) < 1 для любого X € и Pv(x) > 1 ПРИ
X V. Определим линейный функционал /оХ = От на одномерном подпро¬
странстве Lo = {х : X = агХо}, где Хо — любой вектор, не принадлежащий
V. Тогда будем иметь /0X0 = 1 < Pv(x0) и | /оХ | = | Of | < | а \ pv{x0) =
= Pv(x). Таким образом, функционал /о подчинен условию | /оХ |< pv(x) на
Lq. По теореме Хана — Банаха 5.1.3 его можно продолжить на все простран¬
ство X с сохранением этого условия. Полученный функционал / ограничен,
306 ГЛ. 6. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
так как I /* I < pv(z) < 1 для любого Ж € V. По теореме 5.2.10 он непреры¬
вен. А так как любая точка Хо ф 0 не содержится в некоторой окрестности
нуля V, то для любого Хо существует такой непрерывный линейный функ¬
ционал /, что fxо ф 0. По теореме 5.2.6 множество непрерывных линейных
функционалов разделяет точки пространства X.
Доказанная теорема устанавливает тесную связь между локальной выпу¬
клостью топологического лилейного пространства и существованием на нем
множества непрерывных линейных функционалов, разделяющего его точки.
Из нее, в частности, следует, что в любом нормированном линейном простран¬
стве множество непрерывных линейных функционалов разделяет его точки.
Если пространство не локально выпукло, то в нем может не существовать ни
одного непрерывного линейного функционала, кроме нулевого (см. задачу 321
В [12]).
5.2.8. Доказать, что при непрерывном линейном отображении одного то¬
пологического линейного пространства в другое образ выпуклого множества
является'выпуклым множеством.
5.2.9. Предположим, что в линейном пространстве X задана метрика, ин¬
вариантная относительно сдвигов, d(x + а, у+а) = d(x, у) Vx, у, а. Такая
метрика полностью определяется расстояниями всех точек от нуля: <f(x, у) =
= d(x — у, 0). Положив d(x, 0) = | X |, из аксиом метрики получаем следу¬
ющие свойства функции | X |: | X | > 0, причем | X | = 0 только при X = 0,
|* + У|<|*| + |уИ ~х I = I * I* Таким образом, функция | X | обладает
всеми свойствами нормы, кроме второго (п.1.3.6). Полное линейное простран¬
ство X с такой метрикой, удовлетворяющей дополнительному условию непре¬
рывности умножения вектора на число, называется Р-пространством. Ясно,
что F-пространство является метрическим, но не нормированным линейным
пространством. F-пространство с топологией, порожденной метрикой, пред¬
ставляет собой топологическое линейное пространство (сложение векторов не¬
прерывно в силу неравенства треугольника). Можно ли утверждать, что за¬
мкнутый шар в F-nространстве является выпуклым множеством?
§ 5.3. Слабые топологии
5.3.1. Определение слабой топологии. Пусть (.X, г) — то¬
пологическое линейное пространство, F — множество всех непре¬
рывных линейных функционалов на нем. Согласно теореме 5.2.2 то¬
пология тр, определяемая множеством линейных функционалов F,
является слабейшей топологией, в которой все функционалы из F
непрерывны. Следовательно, гр С т. Это дает основание ввести по¬
нятие слабой топологии в топологическом линейном пространстве.
§ 5.3. СЛАБЫЕ ТОПОЛОГИИ
307
Слабой топологией в топологическом линейном пространстве
(X, т) называется топология гр, определяемая множеством F все*
непрерывных (в топологии т) линейных функционалов этого про¬
странства с помощью окрестностей нуля
{* : | fix | < е | /„* | < е> Ve > 0, Vn, Д F. (5.17)
В противовес этому, если в X не определена никакая третья топо¬
логия, топология г называется сильной топологией пространства X.
В частности, в нормированном линейном пространстве X с то¬
пологией т, порожденной нормой, топология тр> определяемая мно¬
жеством F всех непрерывных линейных функционалов пространства
X, будет слабой топологией.
В отличие от топологических понятий, связанных с топологией
г, все топологические понятия, связанные со слабой топологией тр,
вводятся с добавлешем слова ” слабо”, или ” слабый”, или ” слабая”.
Так, последовательность точек {а?п} линейного пространства X,
сходящаяся к х (фундаментальная) в слабой топологии гр, называ¬
ется слабо сходящейся к х (слабо фундаментальной). В соответствии
с этим точка х называется слабым пределом слабо сходящейся к х
последовательности {a?n}, х = w lim а?л, хп х.
Пространство X называется слабо полным, если любая слабо
фундаментальная последовательность имеет в нем слабый предел.
Множество А топологического линейного пространства X (или
все пространство X) называется слабо компактным (слабо счетно
компактным), если любое (любое счетное) покрытие его открыты¬
ми в слабой топологии множествами содержит конечное покрытие.
Лля слабой счетной компактности множества А в топологическом
линейн ом пространстве, согласно общей теореме 4.4.7, необходимо
и достаточно, чтобы любое бесконечное подмножество этого мно¬
жества имело предельные точки в слабой топологии. Множество А
топологического линейного пространства X (все пространство X)
называется слабо секвенциально компактным, если любая последо¬
вательность его точек содержит слабо сходящуюся подпоследова¬
тельность.
Функция у = <р(х)у отображающая топологическое пространство
X (не обязательно линейное) в Топологическое линейное простран¬
ство У, называется слабо непрерывной, если она непрерывна в сла¬
бой топологии пространства У.
Функция у = (р(х)у отображающая измеримое пространство
(Ху А) в топологическое линейное пространство У с (r-алгеброй Bf,
308
ГЛ. 6. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
порожденной слабой топологией гр, называется слабо измеримой,
если она {Л, в^)-измерима, т.е. если определяемый функцией <р про¬
образ любого множества из <г-алгебры Bf принадлежит <г-алгебре
А (п.3.1.1): }
<Р~НВ) € A VB 6 BF
(иначе, если прообраз <г-алгебры Bf содержится в A, <p~1(Bf) С Л).
5.3.2. Слабая сходимость. Понятие слабой сходимости рас¬
ширяет понятие сходимости. Это определяется следующей теоре¬
мой.
Теорема 5.3.1. Всякая сходящаяся последовательность в топо¬
логическом линейном пространстве слабо сходится к тому же пре¬
делу.
Бели последовательность {хп} сходится к х, то любая окрест¬
ность Vg точки х содержит все точки хп, начиная с некоторой. А так
как любая окрестность точки х в слабой топологии тр является в то
же время и окрестностью точки х в сильной топологии т, то любая
окрестность точки х в слабой топологии тр содержит все тороси хп,
начиная с некоторой. Это и доказывает слабую сходимость после¬
довательности {хп} к х. <
Из этой теоремы, в силу того что фундаментальность последо¬
вательности {хп} представляет собой сходимость к нулю последо¬
вательности {хп — хт}, вытекает
Теорема 5.3.2. Всякая фундаментальная последовательность в
топологическом линейном пространстве слабо фундаментальна.
Таким образом, в топологическом линейном пространстве лю¬
бая сходящаяся (фундаментальная) последовательность слабо схо¬
дится к тому же пределу (слабо фундаментальна). Однако обратное
в общем случае неверно. Слабо сходящаяся последовательность мо¬
жет не быть сходящейся. В дальнейшем мы приведем пример такой
последовательности (задача 5.3.3). Слабо фундаментальная после¬
довательность может не быть фундаментальной.
Теорема 5.3.3. Для слабой сходимости последовательности {хп}
к х в топологическом линейном пространстве X необходима и до¬
статочна сходимость числовой последовательности {fxn} к /х для
любого функционала / G F.
Эта теорема является прямым следствием общей теоремы 5.2.8
о сходимости последовательности в топологии гр.
Из этой теоремы, в силу того что фундаментальность последо¬
вательности {хп} представляет собой сходимость последовательно¬
сти {хп — хт} к нулю, вытекает
§ 5.3. СЛАБЫЕ ТОПОЛОГИИ
309
Теорема 5.3.4. Последовательность {&„} в топологическом ли¬
нейном пространстве слабо фундаментальна тогда и только тогда,
когда числовая последовательность {fxn} фундаментальна при лю¬
бом feF.
Теорема 5.3.5. Всякая слабо сходящаяся последовательность сла¬
бо фундаментальна.
> По теореме 5.3.3 из слабой сходимости последовательности
{яп} вытекает сходимость числовой последовательности {fxn} при
любом / € F. Но всякая сходящаяся числовая последовательность
фундаментальна, а из фундаментальности числовой последователь-
яости {fxn} при любом / € F в силу теоремы 5.3.4 вытекает слабая
фундаментальность последовательности {хп}. <
Таким образом, в слабо полном топологическом линейном про¬
странстве для слабой сходимости последовательности необходима
и достаточна ее слабая фундаментальность.
5.3.3. Слабо непрерывные функции. Будем рассматривать
функции, отображающие топологическое пространство (X, а) в то¬
пологическое линейное пространство (У, т), в котором определена
слабая топология тр с помощью множества всех непрерывных ли¬
нейных функционалов F.
Теорема 5.3.6. Функция у = <р(х) слабо непрерывна тогда и толь¬
ко тогда, когда числовая функция z = f<p(x) непрерывна при любом
feF.
> Лля доказательства заметим, что множество
А = {х : | ftp(x) - f<p(x') | < е}
при любых е>0, f Е F к х' € X представляет собой одновремен¬
но прообраз открытого множества {у : | /у — /у* | < £}, у* =
пространства У, определяемый функцией у = <р(х), и прообраз от¬
крытого множества {z : \ z — z* \ < е}, z' = f(p(x'), поля скаляров К,
определяемый функцией z = f<p(x). Бели функция у = tp(x) слабо не¬
прерывна, то по теореме 4.3.5 множество А открыто при всех е > 0,
/ € F, х$ € X. Но тогда и прообраз любого открытого множества Н
поля скаляров К, определяемый функцией z = f<p(x), будет откры¬
тым множеством пространства X, (f<p)~l(H) € <г, так как множества
{z : | z — z* | < г}, соответствующие всем е > 0, z* € К образуют базу
топологии поля скаляров К. Следовательно, по той же теореме 4.3.5
функция z = f(p(x) непрерывна при любом / € F, что и доказывает
необходимость условия.
310
ГЛ. 5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Бели функция z = f(p(x) непрерывна при любом / € F, то мно¬
жество А открыто при всех е > 0, / € F, а/ 6 X. А так как конечные
пересечения множеств {у : | /у — /у* | < е}, соответствующих всем
е > 0, у* 6 У, / 6 F, образуют базу слабой топологии тр простран¬
ства У, то и прообраз любого открытого множества G слабой то¬
пологии тру определяемый функцией у = <р(х), является открытым
множеством пространства X, <p~l(G) 6 <т. Следовательно, по тео¬
реме 4.3.5 функция у = <р(х) слабо нецрерывна, что и доказывает
достаточность условия. <
Теорема 5.3.7. Любая непрерывная функция слабо непрерывна.
> Бели функция у = <р(х) непрерывна, то по теореме 4.3.4 о не¬
прерывности сложной функции функция z = f(p(x) непрерывна для
любого непрерывного функционала /, в частности для / Е F. От¬
сюда в силу теоремы 5.3.6 следует слабая непрерывность функции
у = <р(х). <
Заметим, что эта теорема легко доказывается независимо от
теоремы 5.3.6.
Таким образом, понятие слабой непрерывности функции рас¬
ширяет понятие непрерывности. Все непрерывные функции слабо
непрерывны. Однако слабо непрерывная функция может и не быть
непрерывной.
5.3.4. Слабо измеримые функции. Пусть BvlBf — <г-алгебры
в линейном пространстве У, порожденные топологией г и слабой
топологией тр. Будет рассматривать функции, отображающие из¬
меримое пространство (X, А) в У. Функция у = (р(х) измерима, если
она (Ау В)-измерима, т.е. если <р~г(В) С А. Функция у = <р(х) слабо
измерима, если она (.4, В*»)“измерима, т.е. если <p~x(Bf) С А. Оче¬
видно, что любая измеримая функция слабо измерима, так как из
соотношений Bf С В, <р~г(В) С А следует (p~x(Bf) С <р~1(В) С А.
Однако слабо измеримая функция может не быть измеримой.
Теорема 5.3.8. Функция у = <р(х) слабо измерима тогда и только
тогда, когда числовая функция z = f<p(x) измерима при любом / € F.
о Пусть тк и С — топология и (порожденная ею) (г-алгебра бо¬
релевских множеств в поле скаляров К. Из определения слабой
топологии тр в пространстве У следует, что она является слабей¬
шей топологией, содержащей все прообразы /~хтк топологии тк>
определяемые функционалами / € F. Отсюда и из определения
<г-алгебр С и Bf следует, что Bf является минимальной <г-алгеброй,
содержащей все прообразы /-1С <г-алгебры С, определяемые функ¬
ционалами / € Fy f~lC С Bf V/ € F. Но в таком случае все функ¬
S 6 3 СЛАБЫЕ ТОПОЛОГИИ
311
ционалы / 6 F не только (В, Соизмеримы, но и (Bf, Соизмеримы,
f-Ч С BF С В.
Из (А, В^)-измеримости функции у = <р(х) и (Вр, (^-измери¬
мости функционала / € F в силу теоремы 3.1.1 об измеримости
сложной функции вытекает (А, Соизмеримость функции z ~ f<p(x)
при любом / 6 F, что доказывает необходимость условия.
Бели функция z = f<p(x) измерима при любом / 6 F, то
Ц<р)-\С) = <р-\Г1С)сА.
А так как Bf есть минимальная <г-алгебра, содержащая все /“1С, / €
£ F, то в силу свойств обратных отображений есть мини¬
мальная <г-алгебра, содержащая все прообразы ^~1(/"1С) <г-алгеб¬
ры С, / € F. Следовательно,
т.е. функция у = р(я) (,4, £р)~измерима (слабо измерима), что до¬
казывает достаточность условия. <
Теорема 5.3.9. Слабый предел слабо сходящейся последователь¬
ности слабо измеримых функций представляет собой слабо измери¬
мую функцию.
> Пусть функция <р(х) представляет собой слабый предел слабо
сходящейся последовательности {^п(&)} слабо измеримых функций.
По теореме 5.3.3 из слабой сходимости последовательности {у>п(я)}
к <р(х) вытекает сходимость последовательности скалярных функций
{fPnix)} к f<p(x) при любом / 6 F. Из слабой измеримости функ¬
ций <рп(х) по теореме 5.3.8 вытекает измеримость скалярных функций
f<pn(x) при всех / € F. На основании теоремы 3.1.3 функция f<p(x)
измерима при любом f € F. По теореме 5.3.8 отсюда следует слабая
измеримость функции <р(х). <
На основании теоремы 5.3.8 и следствий 1-3 теоремы 3.1.5 сумма
слабо измеримых функций, произведение слабо измеримой функции
на измеримую числовую функцию и частное от деления слабо из¬
меримой функции на измеримую числовую функцию, нигде не обра¬
щающуюся в нуль, слабо измеримы.
Точно так же на основании теоремы 5.3.8 и следствия 4 теоре¬
мы 3.1.5 функция
п
Ф)=£
*=i
312
ГЛ. 5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
слабо измерима, если функции ^i(x), ... , <рп(я) слабо измеримы и
множества Е\ , ... , Еп измеримы, Е\, ... , Еп € Л.
5*3.5. Совпадение измеримости и слабой измеримости
функций со значениями в сепарабельном ^-пространстве. В
общем случае слабо измеримая функция может не быть измери¬
мой. Однако для функций со значениями в сепарабельном 27-прост¬
ранстве понятия измеримости и слабой измеримости совпадают.
Теорема 5.3.10. Всякая слабо измеримая функция со значениями
в сепарабельном В-пространстве У измерима.
> Лля доказательства достаточно показать, что в этом случае
<г-алгебры В и Bf, порожденные в пространстве У сильной и слабой
топологиями, совпадают. Так как всегда Вр С В и любое открытое
множество в сепарабельном ^-пространстве может быть получено
не более чем счетным объединением шаров, то достаточно показать,
что любой шар 5Г(0) = {у :|| у ||< г} принадлежит <г-алгебре Bf,
порожденной слабой топологией. Отсюда будет следовать, что лю¬
бое открытое множество из В принадлежит также и Bf. А так как
В — минимальная <г-алгебра, содержащая все открытые множества
сильной топологии, то В С Bf , т.е. В = Bf•
Пусть S = Sr(0) = {у :|| у || < г} и {уп} — плотное счет¬
ное множество в S = Y\S. Каждой точке уп поставим в соответ¬
ствие такой линейный функционал /п с нормой, равной единице, что
| fnyn |=|| уп ||. По следствию теоремы 5.2.12 такой функционал
существует. Зададим сходящуюся к нулю последовательность по¬
ложительных чисел {еш}, ет > 0, ет -* 0 при m —► оо, и образуем
множества
Вт = {у И /»У I < г - Cm}, Cm = П Вт,
П = 1
\
С = lim Ст = U Cm • (5.18)
m=l
Докажем, что 5 = С. Пусть у — произвольная точка шара 5, у G 5.
Тогда || у || < г и существует такое rj > 0, что || у || < г — if. А так как
нормы всех линейных функционалов /п равны 1, то | fny |<|| у ||<
<г — г)<г — ет Для всех ет < rf. А это значит, что точка у принад¬
лежит всем множествам В^у для которых ет < Т}> а следовательно,
и всем множествам Ст, для которых em < iy, т.е. у ЕС. Таким обра¬
зом, любая точка шара S принадлежит множеству С и, следователь¬
но, 5 С С. Пусть у — любая точка множества С, у € С. Предполо¬
жим, что она не принадлежит множеству 5, у £ 5. Тогда у € S и при
$ 6.3. СЛАБЫЕ ТОПОЛОГИИ
313
любом m найдется такая точка у*т, что || укт — у ||< ет- Для этой
точки укш | /ктУкт |=|| Укт ||> г и | /*ж(у*„ - у) |<|| fkm || || Укт - У ||<
< ет и, следовательно,
I fkmy |=| 1ктУкт ~ /*т(у*т - У) |>
>1 /ктУкт | - I - у) |> Г - ет.
Отсюда и из (5.18) следует, что у 0 У £ Cm, У $£ С. Полу-
ченное противоречие доказывает, что С С S. Из этого включения
и полученного ранее включения S С С следует, что S = С. Те¬
перь остается только заметить, что все множества принадлежат
^-алгебре Bf, порожденной слабой топологией г**, вследствие че¬
го и шар S = Sr(0) = С, получаемый из множеств счетными
пересечениями и объединениями, принадлежит (7-алгебре Bf- <
Итак, мы доказали, что для измеримости функции <р(х) со значе¬
ниями в сепарабельном ^-пространстве необходимо и достаточно,
чтобы она была слабо измеримой. Иными словами, класс слабо из¬
меримых функций со значениями в сепарабельном В-пространстве
совпадает с классом измеримых таких функций.
ЗАДАЧИ
5.3.1. Доказать теорему 5.3.7, не опираясь на теорему 5.3.6.
5.3.2. Определим на пространстве непрерывных функций С([а, Ь]) мно¬
жество линейных функционалов F формулой
/* = //(0*(0л.
а
где /(£) — непрерывная функция. Определить окрестности нуля, порождаю¬
щие слабую топологию Тр в С([в, (]). Что представляет собой слабая сходи-
мость в ©том пространстве?
5.3.3. В условиях предыдущей задачи при а = —7Г, Ь = 1Г показать, что
последовательности функций {sin fit} и {cos fit} слабо сходятся. Найти их
слабые пределы.
Указание. 'Представить интеграл для каждой функции £n(2) = sin Tit
или COS Tit как сумму интегралов по полупериодам, на каждом из которых
Xn(t) не меняет знак, применить к каждому интегралу теорему о среднем и
учесть непрерывность функции f(t).
Эта задача дает примеры не сходящихся, но слабо сходящихся последо¬
вательностей.
314
ГЛ. б. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
5.3.4. Будет ли сходящейся или слабо сходящейся в С([—7Г, тг]) последо¬
вательность функций
{(1 + flt)n при t € (—П"1, 0),
(1 - nt)n при t € (0, п-1),
0 при t € [—jt, — п-1] и tE [п-1. я-]?
5.3.5. Рассмотрим функцию
тМ-f М*)№) при t < 0,
I 4>г(*) чКО при t > 0,
где y>i(e) = 92(e) = Ip(e) при в Ф 0 и ¥>i(0) = О, <р2(0) = ь ф а,
<p(s) — непрерывная функция S на интервале [—1, 1]» а — непрерыв¬
ная функция t на интервале [—1, 1], ^(0) ф 0. Ясно, что x(t) является
ограниченной функцией 8 при каждом t. Следовательно, x(t) отображает
интервал [—1) 1] в пространство ограниченных функций 2?([—1, 1]) с нор¬
мой || у || = 8Up|y(s)|. Определим множество линейных функционалов F
на Д([—1, 1]) формулой
/у = / /(*) у(«) da, /(*) € С([—1,1]).
-1
Непрерывна или нет функция l(t)? Если нет, найти ее точки разрыва и скач¬
ки. Является ли функция x(t) слабо непрерывной?
5.3.6. Определим на ^-пространстве непрерывных скалярных функций
С(Т), где Т — ограниченное замкнутое множество в Дп, слабую топологию
Tf множеством линейных функционалов
fx = j2U *(*.). (*)
•=1
соответствующих всем конечным наборам t\ , ... , tjy 6 Т и чисел /1 , ... ,
, ... , Iff, Будет ли пространство С(Т) с топологией Тр отделимым, локаль¬
но выпуклым? Будут ли операции сложения векторов и умножения вектора
на число непрерывными в топологии Tf? Доказать, что последовательность
функций {Xfc(t)} слабо сходится тогда и только тогда, когда она сходится при
каждом J.
Обобщить полученные результаты на пространство С(Т) непрерывных
векторных функций. В этом случае x(fj) в (*) представляет собой матри¬
цу-столбец, a /j — матрицу-строку с тем же числом элементов.
ГЛАВА 6
ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
§ 6.1. Общая теория
6.1.1. Действия над операторами и функционалами. Q
дальнейшем будем писать, как это часто делают в функциональном
анализе, аргумент оператора или функционала без скобок.
Пусть А — оператор, отображающий некоторое пространство
X в линейное пространство У. Равенство у = at(Ax)> где а — ком¬
плексное число, определяет некоторый оператор С, также отобра¬
жающий X в У, у = Сх. Этот оператор называется произведением
оператора А на число а: С = аА.
Бели А и В — два оператора, отображающие пространство X
в линейное пространство У, то равенство у = Ах + Вх определяет
некоторый оператор С, также отображающий X в У, у = Сх. Этот
оператор называется суммой операторов А и В: С = А + В.
Из этих двух определений вытекает определение линейной ком¬
бинации операторов:
п
А =
i=i
если
п
Ах = У^акАкх.
k=l
В частном случае, когда У — поле скаляров (числовая прямая
или комплексная плоскость), предыдущие определения дают про¬
изведение функционала на число, сумму и линейную комбинацию
функционалов.
Если оператор А отображает пространство X в У, а оператор
В отображает пространство У в Z и область определения Дв опе¬
ратора В пересекается с областью значений Ra оператора А, то
равенство z = В(Ах) определяет оператор С, отображающий X в
Z\ z = Сх. Этот оператор называется произведением оператора А
на оператор В: С = В А. Областью определения оператора С = В А
служит множество Dc = {х : х G Da, Лх € а его областью
316
ГЛ. б. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
значений — множество Rc = {z : z = By, у € DbRa}• Из это¬
го определения вытекает определение произведения любого числа
операторов.
Бели Z — поле скаляров, то из этого определения вытекает
определение произведения оператора А на функционал /, которое,
очевидно, представляет собой функционал g = fA.
В частном случае, когда У = Z = X, кроме произведения ВА
оператора А на В, можно определить произведение АВ операто¬
ра В на А. Очевидно, что в общем случае АВ ф ВА. Областью
определения оператора АВ служит Дв П{* : &х € Аа}> а областью
определения оператора ВА служит Da П {* : Ах £ Db}.
Бели У = Z = X, Db{\{x : Вх € Da} = Д*Р|{х : Лх € Дв} и
АВх = 2?Лх при любом х в области определения операторов АВ и
ВА, то операторы Avl В называются коммутативными или пере-
станов очными.
Из приведенных определений вытекает определение любой це¬
лой положительной степени оператора Л, отображающего X в Х% а
также определение полинома от оператора Л, отображающего ли¬
нейное пространство X в X.
Бели оператор А устанавливает взаимно однозначное соответ¬
ствие между точками области определения Da С X и области значе¬
ний Ra С У, то существует обратный оператор Л”1, отображающий
Ra на Da, х 6 А~1уу у € Ra• Областью определения обратного опе¬
ратора Л”1 служит область значений Rд оператора Л, а областью
значений Л”1 — область определения Da оператора Л, DA-* = Да»
Яд-i = Д*.
Очевидно, что оператор Л является обратным для Л-1, Л =
= (Л-*1)-1, и что произведение оператора на обратный оператор
представляет собой единичный оператор /, оставляющий неизмен¬
ными элементы пространства. Действительно, из у = Ах их = А~гу
следует Л-1Лх = хи ЛЛ~*у = у, откуда видно, что Л“*Л = / пред¬
ставляет собой единичный оператор в пространстве Ху а ЛЛ-1 = I
— единичный оператор в пространстве У.
Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что
сумма, линейная комбинация, произведение и степени линейных опе¬
раторов, а также оператор, обратный по отношению к линейному
оператору, представляют собой линейные операторы.
Пусть Л — оператор, взаимно однозначно отображающий про¬
странство X в У у я В — оператор, взаимно однозначно отобража¬
ющий пространство У в Z, причем RaDb ф 0 , и С = ВА. Тогда
§ 6.1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
317
существует обратный оператор С”1 = Л”1!?-1. Действительно, из
у = Ах, z = By следует у = B~lz, х = A~ly = (A~lB~l)z. Следова¬
тельно, С*1 =
Таким образом, оператор, обратный по отношению к произведе¬
нию операторов, равен произведению обратных операторов, взятых
в обратном порядке.
Пример 6.1. Линейный оператор А, отображающий конечномерное
евклидово пространство X в конечномерное евклидово пространство У, опре¬
деляется матрицей соответствующего преобразования. В этом случае преды¬
дущие определения дают известные из линейной алгебры понятия произведе¬
ния матрицы на число, суммы, линейной комбинации и произведения матриц.
Пример 6.2. Бели определитель матрицы линеййого преобразова¬
ния отличен от нуля, то, как известно из алгебры, существует обратное ли¬
нейное преобразование, которое определяет соответствующий обратный опе¬
ратор. Таким образом, если X и У — конечномерные евклидовы пространства
одинаковой размерностиу то взаимно обратные линейные операторы опреде¬
ляются соответствующими взаимно обратными матрицами.
Пример 6.3. Оператор параллельного соединения автоматичес¬
ких систем с подключенными к их выходам безынерционными усилителями
(рис. 22) представляет собой линейную комбинацию операторов этих систем.
Рис. 22
В частности, параллельное соединение П линейных систем с весовыми функ-
циями gi(4, г),..., gn(t, т) с подключенными к их выходам усилителями с
коэффициентами усиления arj.,., Qfn представляет собой линейную систему
с весовой функцией
318
ГЛ. в. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
9(t>r)= £ <*k9k(t,r)S
к=1
Это непосредственно следует из соотношения между входным сигналом x(t)
и выходным сигналом y(t) линейной системы:
у(<) = f g(t, г) х(т) dr.
Пример 6.4. Оператор последовательного соединения автоматиче¬
ских систем с операторами АиВ (рис. 23) представляет собой произведение
оператора А на оператор В: В А.
Г "а | у( V Г"о"~| z( V Ш
Рис. 23
6.1.2. Пространства линейных операторов и функциона¬
лов. Из предыдущих определений следует, что операции сложения
операторов и умножения оператора на число обладают всеми свой¬
ствами операций сложения векторов и умножения вектора на число
(п.1.3.1). Поэтому множество всех операторов, отображающих про¬
странство X в линейное пространство У, как линейных, так и не¬
линейных, можно рассматривать как линейное пространство. Осо¬
бенно важны для функционального анализа пространства линейных
операторов и функционалов.
Будем обозначать пространство всех линейных операторов,
отображающих линейное пространство X в линейное пространство
У, через C(X>Y). В частности, пространство всех линейных опе¬
раторов, отображающих пространство X в X, будем обозначать
С(Х), С(Х) = С(ХУХ). Пространство всех непрерывных линейных
операторов, отображающих топологическое линейное пространство
X в топологическое лйнейное пространство У, будем обозначать
В(Х, У). В частности, пространство всех непрерывных линейных
операторов, отображающих X в Ху будем обозначать B(X)t В(Х) =
* Относительно операторов автоматических систем и весовых функций
линейных систем см. книгу [21].
$ 6.1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
319
В(Х,Х). Ясно, что если все операторы пространства С(Х) или
В(Х) обратимы, то вследствие того, что в С(Х) и В(Х) определе¬
на операция умножения операторов, это пространство представля¬
ет собой алгебру с единицей (п.1.3.11). Если X — нормированное
пространство, то В(Х) — нормированная алгебра.
В частном случае, когда X и У — нормированные линейные
пространства, пространство непрерывных линейных операторов
B(X,Y) само является нормированным линейным пространством, в
котором норма определена как норма линейного оператора. В част¬
ности, пространство В(Х) в случае нормированного пространства
X представляет собой нормированную алгебру.
Теорема 6.1.1. Пространство непрерывных (ограниченных) ли¬
нейных операторов B(X)Y), отображающих нормированное линей¬
ное пространство X в В-пространство Y, полно (т.е. является
В-пространством).
> Пусть {Тп} — фундаментальная последовательность в В(Х, У).
Тогда для любого е > 0 || Тп — Тт || < е при всех n, т > Ne, где Ne —
некоторое число (зависящее от е), и из || Тпх—Ттх || < || Тп— Тт || || х ||
следует
II ТпХ — Ттх || < е || х ||. (6.1)
Отсюда видно, что последовательность {Тпх} фундаментальна при
любом х € X. А так как пространство У значений оператора Т
есть ^-пространство, т.е. полно, то при каждом х 6 X существует
предел
Тх = lim Тпх}
п—►оо
где Т — некоторый оператор. Очевидно, что оператор Т линеен,
так как в
р р р р
Т= lim Г„ V'orfcX* = lim V]ar*Tnx* = Тх*.
^ n-юо n-юо ^
k=l fc=l *=1 fc=l
Чтобы доказать, что он непрерывен, т.е. что Т € #(Х,У)), перейдем
в (6.1) к пределу при m —► оо, заменив предварительно е числом
£i < е. Тогда получим
\\Тпх-Тх\\<ег \\х\\<е\\х\\.
Отсюда видно, что оператор Тп — Г ограничен и его норма меньше
е. Следовательно, и оператор Г = Тп —{Тп — Т) ограничен, причем
320
ГЛ. б. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИбНАЛОВ
|| Тп — Т || —► 0 при п —► оо. Таким образом, любая фундаменталь-
ная последовательность операторов из B(X,Y) имеет в B(XfY) пре¬
дел Т. Это и доказывает полноту пространства B(X,Y). <
Обратим внимание на то, что В(Х, У) полно независимо от того,
полно или не полно X, лишь бы У было полным. B(XfY) является
^-пространством, если У — В-пространство.
6.1.3. Сопряженные пространства. Пространство всех непре¬
рывных линейных функционалов на топологическом линейном про¬
странстве X называется пространством, сопряженным с Х,и обо¬
значается X*.
Бели задать в сопряженном пространстве X* топологию, то
можно определить второе сопряженное с X пространство X** как
сопряженное с X* пространство непрерывных линейных функциона¬
лов на X*.
Бели X — нормированное линейное пространство, то сопряжен¬
ное пространство X* также будет нормированным линейным про¬
странством. Действительно, любой непрерывный линейный функ¬
ционал в нормированном линейном пространстве ограничен и его
норму можно принять за норму в сопряженном пространстве X*.
Предоставляем читателю самостоятельно проверить, что норма ли¬
нейного функционала удовлетворяет всем аксиомам нормы (п.1.3.6).
Ясно, что и второе сопряженное пространство X** будет в этом слу¬
чае нормированным линейным пространством.
> Заметим теперь, что равенство z = fx при любом фиксирован¬
ном х определяет отображение пространства X* в поле скаляров К,
т.е. функционал на X*. Таким образом, при фиксированном х fx
представляет собой линейный функционал на X*. Этот функционал
непрерывен, так как при всех /
и, следовательно, определяет некоторый элемент (рх второго сопря¬
женного пространства Хтф :
Из (6.2) и (6.3) следует, что норма функционала <рх не превосходит
|| х ||, ||v?*|| < || х ||. С другой стороны, по следствию теоремы Хана —
Банаха в нормированном линейном пространстве 5.2.12 при любом
данном х £ X в X* существует такой функционал /о, что
|/*|<и/н н*||,
(6.2)
<fixf = fx.
(6.3)
I <Pxfo | = | fox I = II /о IIII X II .
§ 6.1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
321
Отсюда и из неравенства
1*/|<||«. II11/11
при всех / следует || х || < || <рх ||. Полученные два противоположных
неравенства дают || (рх || = || х ||.
Таким образом, каждому элементу х пространства X равенство
(6.3) ставит в соответствие элемент <рх второго сопряженного про¬
странства X**. Это соответствие взаимно однозначно, так как если
одному и тому же функционалу <р9 G X** соответствуют два элемен¬
та ху х1 пространства Ху то из <pxf = fx = fx1 следует f(x — х') = О
при всех / € Х*у т.е. х' = х. <
Изложенное показывает, что равенство (6.3) устанавливает вза¬
имно однозначное отображение всего пространства X во второе со¬
пряженное пространство X** с сохранением нормы.
В частном случае, когда не только каждому х £ X соответствует
функционал (рх £ Х**у но и наоборот, каждому (р G X** соответству¬
ет некоторый элемент х Е X (т.е. когда (6.3) определяет взаимно
однозначное отображение X на все X**), можно отождествлять вто¬
рое сопряженное пространство X** с Xt X** = X. В этом случае
пространство X называется рефлексивным.
На основании соответствия (6.3) между элементами прост¬
ранств X и X** слабую топологию в сопряженном пространстве X*
можно задать двумя способами: окрестностями нуля
{f-\<Pif\<e \<Pnf\<e], (6.4)
соответствующими всем п, е > 0 и <р\,..., (рп € X** (обычный спо¬
соб определения слабой топологии в нормированном линейном про¬
странстве, когда F = X**), или окрестностями нуля
{/: l/*i I < e,...,\fxn | < е), (6.5)
соответсвующими всем п, е > 0 и xi,..., х„ € X (когда за множество
линейных функционалов F принимается пространство X С X**).
Очевидно, что вторая топология в общем случае слабее первой.
Чтобы различать эти две слабые топологии, вторую называют
*-слабой топологией, в то время как первую называют просто ела-
бой топологией. В частном случае рефлексивного пространства X
s-слабая топология в X* совпадает со слабой.
Из теоремы 6.1.1 немедленно следует
322
ГЛ. б. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
Теорема 6.1.2. Пространство X*, сопряженное с нормирован¬
ным линейным пространством X, полно, т.е. является В-прост¬
ранством (независимо от того, полно или не полно X).
> Для доказательства достаточно заметить, что в этом случае
У представляет собой поле скаляров К, которое является полным
нормированным линейным пространством, т.е. ^-пространством. <з
Покажем теперь, как обобщаются полученные результаты на
случай топологического линейного пространства X. В этом случае
сильная топология в сопряженном пространстве X* определяется
окрестностями нуля
{ / : l/*l < s V* € j4}, (6.6)
соответствующими всем е > 0 и всем ограниченным множествам
А *. Ясно, что в случае, когда X — нормированное линейное про¬
странство, топология, определяемая окрестностями нуля (6.6), со¬
впадает с топологией, определяемой нормой. Слабая и *-слабая
топологии в X* определяются в этом случае так же, как в случае
нормированного пространства X.
Равенство (6.3), как и в случае нормированного пространства
X, определяет взаимно однозначное отображение X в X**. В част¬
ном случае, когда это отображение X на все X**, пространство X
называется полурефлексивным. Бели отображение X на Х**} опре¬
деляемое формулой (6.3), непрерывно в сильных топологиях про¬
странств X и X** **, полурефлексивное пространство X называется
рефлексивным. Ясно, что в случае нормированного пространства X
понятия полурефлексивности и рефлексивности совпадают, так как
в этом случае отображение X в X*ф, определяемое равенством (6.3),
всегда непрерывно как сохраняющее норму (норма этого линейного
отображения всегда равна единице).
Аналогично в случае комплексного линейного пространства X
можно определить сопряженное пространство X* сопряженно ли¬
нейных функционалов на X.
Пример 6.5. Пусть X — П-мерное действительное евклидово про¬
странство. Линейный функционал в X, как легко видеть, определяется фор¬
* Множество А топологического линейного пространства называется огра¬
ниченном, если для любой окрестности нуля V существует такое число С > О,
что А С А К при всех А, |А| > С (п.5.2.1).
** Сильная топология в X** определяется так же, как в X*, окрестностями
нуля вида (6.6).
§ 6.1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
323
мулой /х = /i®i + * • *+/п®п» где Д,..., /п — произвольные действительные
числа. При втом любой линейный функционал / в конечномерном простран¬
стве ограничен и его норма || / || определяется формулой
Н/11=л/Л2+-+/’.
Таким образом, линейный функционал в П-мерном пространстве полностью
определяется П-мерным вектором / с координатами f\,..., /п. Каждому ли¬
нейному функционалу соответствует единственный вектор /, и наоборот, ка¬
ждому вектору / соответствует единственный линейный функционал, причем
норма функционала совпадает с нормой соответствующего вектора. Это вза¬
имно однозначное соответствие между елемертами пространства X и линей¬
ными функционалами с сохранением нормы дает основание отождествить со¬
пряженное пространство X* с самим пространством X. Тогда результат дей¬
ствия любого линейного функционала / на вектор X € X можно будет пред¬
ставить как скалярное произведение вектора X на фиксированный вектор /,
/* = (*,/).
Пример 6.6. Если X — комплексное П-мерное евклидово простран¬
ство, то, написав линейный функционал в виде fx — /1X1 + •••-!■ /п^п» мы
снова можем представить его как скалярное произведение fx = (l,/) и ото¬
ждествить сопряженное пространство X* с пространством X. При этом норма
функционала также совпадает с нормой соответствующего вектора /:
11/11= Vl/l|2+ -+l/n|2-
В ©том случае также можно принять X* = X *.
Пример 6.7. Результаты предыдущих примеров легко обобщаются
на случай П = ОО. В ©том случае элементами пространства X являются все
бесконечные последовательности X — {х*}, для которых ряд |^fc|2 сходит¬
ся, а норма элемента X = {£&} определяется формулой
1М1=^Е1**12-
Это пространство обычно называется пространством /2. В этом случае также
любому линейному функционалу соответствует вектор / G X и
fx = (*,/) = £ /***.
k=l
* Следует иметь в виду, что в случае комплексного пространства X скаляр¬
ное произведение (х, /) при фиксированном / представляет собой линейный
функционал от X, а при фиксированном X — сопряженно линейный функционал
от /.
324
ГЛ. б. ПРОСТРАНСТВА рПБРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
Таким образом, и в этом случае можно принять X* =• X (см. сноску к примеру
6.6).
Пример 6.8. На основании теоремы 5.2.3 пространством, сопряжен¬
ным с топологическим линейным пространством X с топологией Tpt опреде¬
ляемой окрестностями нуля (5.10), служит F: X* = F.
6.1.4. Топологии в пространстве ограниченных линейных
операторов. В пространстве B(XyY) ограниченных линейных опе¬
раторов, отображающих нормированное линейное пространство X
в нормированное линейное пространство У, естественная топология
определяется нормой. Однако эта топология иногда оказывается
черезчур сильной. Поэтому в пространстве B(XyY) обычно опреде¬
ляют еще две топологии. Одна топология определяется окрестно¬
стями нуля
{ Т: || Txi || < е,..., || Тхп || < е }, (6.7)
соответствующими всем е > 0, п и xi,..., хп EX. Вторая топология
определяется множеством линейных функционалов вида /Т = дТх,
где д — непрерывный линейный функционал на пространстве У, т.е.
элемент сопряженного с У пространства У*. Вследствие непрерыв¬
ности функционала д и оператора Т
I fT1 < || f || || Тх || < || ff || || * || || Т || .
Следовательно, функционал / является непрерывным линейным
функционалом на нормированном линейном пространстве В(Х} У) и
его норма не превышает || д || || х ||. В соответствии с общим спосо¬
бом определения топологии с помощью множества линейных функ¬
ционалов вторая топология в B(X,Y) определяется окрестностями
нуля
{ Т : | giTxi | < с, —, | дпТхп | < е }, (6:8)
соответствующими всем е > 0, n, xi,... ,xn G X, д\у..., дп € У*.
Установим соотношения между тремя топологиями в B(X,Y).
Каждый вектор х € X определяет отображение <рх пространства
B(XtY) в У : <Рх(Т) = Тх.-Это отображение линейно и непрерывно,
так как
IIМГ) 11 = 11 Г«||<||Г||||*||.
Окрестность нуля (6.7) при п = 1, х\ = х представляет собой про¬
образ в В(Х} У) окрестности нуля {у:||у||<е} вУ :
{Т : || Та: || < е} = • || 3/ II < £})•
§ 6.1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
325
Поэтому в силу непрерывности (рх множество {Т : || Тх || < е}, а
вместе с ним и все окрестности нуля (6.7) по теореме 4.3.5 являются
открытыми множествами в топологии пространства 2?(Х,У), поро¬
жденной нормой. Следовательно, топология в В(Х, У), порожденная
окрестностями нуля (6.7), не сильнее топологии, определяемой нор¬
мой. 4
По теореме 5.2.3 топология в У, определяемая множеством ли¬
нейных функционалов У*, не сильнее топологии, порожденной нор¬
мой. Отсюда следует, что топология в B(X,Y)} определяемая ок¬
рестностями нуля (6.8), не сильнее топологии, определяемой окрест¬
ностями нуля (6.7).
В соответствии с установленными соотношениями между тремя
топологиями в пространстве операторов В(Х, У) топология, опреде¬
ляемая нормой, называется равномерной, топология, определяемая
окрестностями нуля (6.7), — сильной, а топология, определяемая
окрестностями нуля (6.8), — слабой.
ЗАДАЧИ
6.1.1. Доказать, что пространством, сопряженным с пространством после¬
довательностей 1р с нормой
(°° \ 1/Р
ЕМ')
при р > J, служит lqt J”1 = 1 -р”1. Рефлексивно 1р или нет?
У Казани е. Воспользоваться неравенством (3.89), справедливым и для
пространств /р, /9, /г (докажите), при Г = 1.
6.1.2. Доказать, что пространством, сопряженным с 1\, служит простран¬
ство ограниченных последовательностей Ш с нормой (пример 1.3.8)
||* || = 6Up |*t |.
к
6.1.3. Найти пространство, сопряженное с пространстром C([fl, (]) с топо¬
логией Гр задачи 5.3.2. Будет ли С7([а,6]) с топологией Гр рефлексивным?
6.1.4. Найти пространство, сопряженное с пространством С(Т) с тополо¬
гией Гр задачи 5.3.6.
6.1.5. Найти пространство, сопряженное с пространством В(Х, У) огра¬
ниченных линейных операторов, отображающих нормированное линейное
пространство X в нормированное линейное пространство У.
326
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
6.1.6. Линейные операторы А\,. .., Лп> отображающие пространство X
конечномерных векторных функций переменной t в пространство У конечно¬
мерных векторных функций переменной в, определяются формулами
АрХ = fgp(s,t)x(t)dt (р= 1 я), (*)
где - i 9n(s> 0 — некоторые матричные функции, в общем случае пря¬
моугольные. Найти сумму операторов ... >Ап.
6.1.7. Линейный оператор А% отображающий пространство X функций
переменной t в пространство Y функций переменной £, определяется форму-
лой вида (*), а линейный оператор В, отображающий Y в пространство Z
функций, переменной ti, определяется такой же формулой
By = / h(u,s)y(s)ds.
I
Найти произведение операторов А и В и выразить его формулой вида (*)
(найти ядро соответствующего интегрального оператора).
6.1.8. Доказать, что линейный оператор Т имеет обратный тогда и только
тогда, когда его ядро {а? : Тх = 0} представляет собой одноточечное множе¬
ство {0}.
§ 6.2. Слабые интегралы
6.2.1. Определение слабого интеграла. Рассмотрим про¬
странство с мерой (X,w4,/i), fi(A) > 0 VA € А, и топологическое ли¬
нейное пространство У с топологией т<?, порожденной множеством
линейных функционалов G (п.5.2.4). Эта топология определяется
окрестностями нуля
{»: Itfiifl <£»•••.|0пУ| <е}, (6-9)
соответствующими всем п, £ > 0, </i,...,</n 6 С, Относительно
множества линейных функционалов G будем предполагать, как и в
§ 5.2, что оно представляет собой линейное пространство и разделя¬
ет точки пространства У (п.5.2.4). В силу теоремы 5.2.*3 множество
линейных функционалов G совпадает с пространством У*, сопря¬
женным с У : G = У*. Пусть Bq <т-алгебра множеств пространства
У, порождаемая топологией tq-
(.4,£?с)-измеримая функция у = f(x) (п.3.1.1), отображающая
пространство X в топологическое лине|(ное пространство У, назы¬
вается слабо ^-интегрируемой, если
§ 6.2. СЛАБЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 327
1) числовая функция gf(x) /i-интегрируема при любом д € У*;
2) существует такой вектор у/ пространства У, что
9У/= J9f(*)H(dx) = J9fdp (6.10)
В этом случае вектор у/ называется слабым интегралом (интегра¬
лом Петтиса) от функции / по мере р:
Vf=J f(x)/i(dx) = J fdfi. (6.11)
Теорема 6.2.1. Если пространство У полно и существует та¬
кая последовательность простых функций {/”(«)}, сходящаяся почти
всюду (в топологии та) к функции f(x), что
J\gr-ar\dp —► 0 при п, т —► оо
при любом g € У*, то функция f(x) слабо р-интегрируема и
J fdfi = JBm J Г dft. (6.12)
> В этом случае все числовые функции <//, g € У* /i-интегриру-
емы вследствие того, что по теореме 5.2.8 gf1 gf при любом
Jgrdfi^Jgf dp 4g€Y\ (6.13)
Но по свойству (V) интеграла от простой функции
/ gf1 dfi = g J r dfi (n = 1,2,...). (6.14)
Из (6.13) и (6.14) вытекает сходимость последовательности
{g f f* dp}у а следовательно, и ее фундаментальность. Таким обра¬
зом, последовательность интегралов {/ /" dp} фундаментальна (в
топологии та пространства У). Вследствие полноты пространства
Y она сходится к Некоторому пределу
J f* dfi—^tff.
328
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
По теореме 5.2.8 отсюда следует
ajf'ty-'ayf VjreY*. (6.15)
Из (6.13), (6.14) и (6.15) вытекает (6.10) и (6.11). Таким образом,
в этом случае предел последовательности интегралов {/ /п dp} от
простых функций представляет собой слабый интеграл от функции
/, что и доказывает формулу (6.12). <1
Бели в пространстве У определена топология г, в которой не¬
прерывны все функционалы д £ G, то топология tq будет слабой
топологией в пространстве У (п. 5.3.1). В условиях теоремы 6.2.1 по¬
следовательность простых функций {/"} будет почти всюду слабо
сходящейся к функции /, а интеграл (6.11) от функции / будет сла¬
бым пределом последовательности интегралов от простых функций
/". Поэтому интеграл Петтиса и называется слабым интегралом.
Слабый интеграл от функции у = f(x) со значениями з топо¬
логическом линейном пространстве У с топологией tq по Любому
множеству А £ А определяется как слабый интеграл от функции
У = /(*) 1а(х):
J /(*И*0 = J f(x)lA(x)fi(dx). (6.16)
А
Очевидно, что в условиях теоремы 6.2.1
jrdn-+ jfdp
А А
равномерно относительно А £ А.
Теорема 6.2.1 дает достаточное условие существования инте¬
грала. Однако это условие далеко не необходимо. Интеграл (6.11)
может существовать и в том случае, когда не существует после¬
довательности простых функций {/”}, сходящейся почти всюду к
/. Условие существования слабого интеграла, даваемое теоремой
6.2.1, слишком ограничительно. Более общее условие существова¬
ния слабого интеграла дает следующая теорема.
Теорема 6.2.2. Если все функции gf(x), д £ У* /i-интегрируемы и
Y* — пространство с первой аксиомой счетности, то слабый инте¬
грал существует как элемент второго сопряженного пространст¬
ва Y”.
§ 6.2. СЛАБЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
329
> Ясно, что интеграл f gf dfi представляет собой значение неко¬
торого линейного функционала <р в точке д пространства Y*. Чтобы
убедиться в том, что этот функционал принадлежит Y**, достаточ¬
но доказать, что он непрерывен в нуле (теорема 5.2.9). Лля этого
возьмем любую последовательность функционалов {уп}> 9п € У*,
сходящуюся к нулю. Лля этой последовательности дпу —► 0 Vy 6 У.
На основании леммы Фату (п.3.5.3)
lim J \gnfW< j \im\gnf\dfi = J lim | gnf \dfi = 0.
Следовательно, существует
lim / 9nfdn = 0,
что и доказывает непрерывность функционала <р — f f dfi. <
Следствие. Если пространство У рефлексивно, а У* — про¬
странство с первой аксиомой счетности, то для существования сла¬
бого интеграла (6.11) необходимо и достаточно, чтобы все функции
9f(x)> 9 € У*, были /i-интегрируемы.
6.2.2. Свойства слабого интеграла. Из линейности функцио¬
налов g £ У* и формулы (6.10) непосредственно следует, что инте¬
грал Петтиса обладает свойствами (I)—(IV), (VI) и (VII) интеграла
Бохнера (п.3.3.5).
Из свойства (X) интеграла Бохнера следует, что для любого
е>0и любых функционалов g\t..., gn € Y* существует такое 6 > 0,
что
IJ 9ifdn\ < j 9nfdn\
< t
при всех А £ A, /i(A) < 6, при данной функции у = f(x). На основа¬
нии (6.10) эти неравенства можно переписать в виде
|ji J f dfi | <е,...,|у„ j fdfi\<e.
A A
Таким образом, для любой базовой окрестности нуля
Vo = {у: |$1у| < е,...,\япУ \ < с}
330
ГЛ. б. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
существует такое 6 > 0, что
J /d/i € Vо для всех А е А, р(А) < 6. (X)
л
Это включение представляет собой распространение свойства (X)
интеграла на слабые интегралы.
Совершенно так же распространяется на слабые интегралы
свойство (XV). На основании свойства (XV) интеграла Бохнера для
любых функционалов дп,..., дп Е У* и любого е > 0 существует та¬
кое множество А” Е А, что fi(Ag) < оо и
| J 9if | <£>•••» | У 9nf | < е. (
На основании (6.10) это значит, что для любой базовой окрестности
нуля
= { У : 191УI < с, • • • > 19пУ I < £ }
существует такое множество А™ € А, что р(А^) < оо и
j fdtievо. (xv)
т.
Пример 6.9. Пусть Y — пространство всех скалярных или конеч¬
номерных векторных функций переменной t (скалярной или конечномерной
векторной) с областью определения Г, G = Y* — множество линейных функ¬
ционалов на Yу определяемых формулой
9V(t) = Е 9ь уМ (б-17)
*=1
при всех натуральных N, всех конечных наборах . .. ,t]\f 6 Т значений ар¬
гумента t и всех векторах (в общем случае комплексных) ..., gjsf. В этой
формуле векторы дь и y(tk) представлены в виде матриц-столбцов. Рассмо¬
трим функцию f(x) со значениями в пространстве Y, у = f(x) —
t Е Г. Согласно (6.10) слабый интеграл от функции / существует тогда и
§ 6.2. СЛАБЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
331
только тогда, когда функция рассматриваемая как функция двух пе¬
ременных X и t, /1-интегрируема при любом t £ Т. Лля доказательства до¬
статочно взять функционал (6.17) при N = 1, gj = [1 ... 1]. В ©том случае
интеграл
/А*.*Mdx) = у/(0. * € т,
представляет собой функцию переменной t.
6.2.3. Связь слабого интеграла с сильным. Бели У — сепа¬
рабельное ^-пространство, то в нем обычным путем определяется
слабая топология. В этою случае можно определить как сильные
интегралы (интегралы Бохнера) от функций cq значениями в У, так
и слабые интегралы (интегралы Петтиса). Возникает вопрос, как
связаны между собой эти два вида интегралов. Ответ на этот во¬
прос дается следующей теоремой.
Теорема 6.2.3. Если существует интеграл Бохнера от функции
f(x), то существует и интеграл Петтиса, совпадающий с интегра¬
лом Бохнера.
> Бели существует интеграл Бохнера от функции f(x), то су¬
ществует определяющая ее последовательность простых функций
{fn(x)} (п. 3.5.3). Поэтому для любого функционала g £Y* в силу
его непрерывности
I */"(*) - */(*) I < II я IIII Л*) - /(*) 11^ о
И
]\яГ-яГ№<\\я\\ j \\r-r\\dn^о.
Таким образом, последовательность простых функций {gfn(x)} оп¬
ределяет функцию gf(x)} и, следовательно, функция gf(x) /i-интег¬
рируема. Далее, на основании свойства (V) интеграла от простой
функции
*//-4м = /*Г4ц-/#/4и Vflfgy*.
С другой стороны, по теореме 5.3.1 из сходимости последовательно¬
сти интегралов {/ /" cfyi} к интегралу Бохнера f f dp вытекает сла¬
бая сходимость этой последовательности к интегралу Бохнера:
gJrdv^gjfdfi V5er
332
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
Следовательно,
j 9fdfi = g j f dfi.
Отсюда на основании (6.10) и (6.11) заключаем, что существует ин¬
теграл Петтиса, совпадающий с интегралом Бохнера. <
Доказанная теорема устанавливает существование интеграла
Петтиса во всех случаях, когда существует интеграл Бохнера. Од¬
нако интеграл Петтиса от функции со значениями в сепарабельном
^-пространстве может существовать и тогда, когда интеграл Бох¬
нера не существует.
Пример 6.10. Пусть X = (0,1),/1 — лебегова мера. Функция/(х) =
= sin(t/x) отображает (0,1) в пространство дифференцируемых функций
С*([0,1]) переменной t. Очевидно, что функция /(х) интегрируема при лю¬
бом t 6 [0,1], так как она мажорируется по модулю интегрируемой функцией
/о(*) = 1 и
Однако ее норма (п. 1.3.13)
и, следовательно, не интегрируема. Таким образом, функция /(х) может слу¬
жить примером слабо интегрируемой, но не интегрируемой функции со значе¬
ниями в ^-пространстве С*([0,1]) со слабой топологией, определяемой мно¬
жеством линейных функционалов (6.17).
Интеграл Петтиса имеет особенно важное значение для теории
вероятностей.
Пример 6.11. В теории вероятностей встречаются случайные'вели¬
чины со значениями в линейных пространствах. Такими случайными вели¬
чинами являются, например, случайные функции — случайные величины со
значениями в функциональных пространствах. Пусть (О, 5, Р) — вероятност¬
ное пространство, т.е. пространство элементарных событий R с СГ-алгебро#
множеств S и определенной на ней вероятностью Р (представляющей собой
неотрицательную меру). Как известно, случайной величиной со значения¬
ми в измеримом пространстве (X, «4) называется (S,A) -измеримая функция
х(ы) элементарного события Ш с областью определения Q\Et где Е — мно¬
жество элементарных событий t нулевой вероятностью, Е £ S, Р{Е) = О
§ 6.2. СЛАБЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
333
(см., например, [20; вып.7, п.2]). Чтобы определить математическое ожида¬
ние (среднее значение) случайной величины х{ш) со значениями в линейном
пространстве Х% в этом пространстве вводят топологию Тр с помощью мно¬
жества линейных функционалов F (слабую топологию, если X уже наделено
какой-нибудь топологией Т; в этом случае за F принимается множество всех
непрерывных в топологии Т линейных функционалов, F — X* п.5.3.1). Тогда
математическим ооюиЭамием случайной величины х(ш) называется слабый
интеграл (интеграл Петтиса) от функции х(ы) по вероятностной мере Р [20;
вып.9, п.2]
тх = Мх(и>) = f х(ш)Р(ёш) = f х dP,
если он существует, т.е. если функция fx(uf) Р-интегрируема при любом
f € F и существует такой элемент ТПХ пространства Х% что
fm. = f fx(w)P(du) V/€F.
В частности, если случайная величина представляет собой действитель¬
ную скалярную случайную функцию переменной t £ Т, х(и) представляет
собой функцию U) со значениями в пространстве всех функций переменной
t £ Г, т.е. фактически функцию двух переменных t и ы, х(и) =
Если каждому t £ Т поставить в соответствие числовую прямую Rt — про¬
странство значений случайной функции при данном t, то пространство всех
действительных скалярных функций переменной t G Т будет представлять
собой прямое произведение всех пространств Rt (п.2.1.9)
лт=П^
ter
Чтобы определить топологию на обычно берут то же множество линей¬
ных функционалов (6.17), что и в примере 6.9. Тогда, в соответствии с ре¬
зультатом примера 6.9, математическое ожидание случайной функции х(£,и;)
определится формулой
mx(t) = Mx(tyu) = / x(t,u)P(dcj).
Интеграл здесь представляет собой обычный интеграл Лебега, который суще¬
ствует тогда и только тогда, когда функция | x(tyu) | Р-интегрируема при ка¬
ждом t (п.3.4.1). К такому определению математического ожидания случайной
функции приводит общее определение математического ожидания как слабого
интеграла.
Заметим, что если бы мы попытались определить, например, математи¬
ческое ожидание случайной функции x(t, и) со значениями в сепарабельном
334
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
jB-пространстве непрерывных функций С(Т) как сильный интеграл (интеграл
Бохнера), то P-интегрируемости функции | x(t, ы) | было бы недостаточно для
существования математического ожидания. В соответствии с условием суще.
ствования интеграла Бохнера пришлось бы потребовать Р-интегрируемости
нормы Slip |х(£,0/)| функции x(t,U>), что, как показывает пример 6.10, является
<€Т
существенно более жестким требованием.
Таким образом, для определения математического ожидания случайной
величины со значениями в ^-пространстве интеграла Бохнера недостаточно.
Приходится пользоваться интегралом Петтиса.
6.2.4. Переход к пределу под знаком слабого интеграла.
Возможность предельного перехода под знаком интеграла опреде¬
ляется следующей теоремой, аналогичной теореме Лебега 3.5.4.
Теорема 6.2.4. Если пространство Y полно, последовательность
слабо /I-интегрируемых функций {fn(x)} со значениями в Y сходится
почти всюду (в топологии г&) к функции f(x) и все последователь¬
ности {gfn(*)}, 9 € Y*, ограничены по модулю /1-интегрируемыми
функциями vg(x), \gfn(x) I < vg(x)> mo функция f(x) слабо р-интегри-
руема и
fndp = Jfdp. (6.18)
> Вследствие теоремы 5.2.8 из сходимости последовательности {/п}
почти всюду к / вытекает сходимость почти всюду последователь¬
ности {gfn} к gf при любом у € У*. Следовательно, по теореме
Лебега 3.5.4 функция gf /i-интегрируема при любом (/ЕУ*,и
ton j 9fn dp = J gf dp Vjer. (6.19)
Таким образом, первое условие слабой /i-интегрируемости функции
/ выполнено. Из слабой /i-интегрируемости функции /„ при любом
п вытекает равенство
j 9 fndp = gj fn dp Vg € Y*. (6.20)
Из (6.19) и (6.20) следует, что последовательность интегралов
{f fndfi] фундаментальна (в топологии т<з). Вследствие полноты
пространства У эта последовательность имеет предел у/:
§ 6.2. СЛАБЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
335
Наконец, из (6.19)—(6.21) следует, что второе условие слабой
^-интегрируемости функции / также выполнено. Таким образом,
функция / слабо /i-интегрируема, и
где {/*(я)} — последовательность слабо ^-интегрируемых функций,
ограничены по модулю р-интегрируемой функцией vg(x) (конечно, за-
висящей от g € У*), то ряд (6.22) можно интегрировать почленно:
6.2.5. Теорема Фубини. Распространим теперь теорему Фу-
бини 3.8.3 на интегралы Петтиса.
Рассмотрим, как и в п.3.8.1, два измеримых пространства (X, *4),
(У, В) и их произведение (Z, С) = (X хУ, ЛхВ). Пусть А* — семейство
неотрицательных мер в пространстве (У, В), таких, что при любом
В € В функция АХ(В) переменной х измерима, /i — неотрицательная
мера в пространстве (ХУА). Определим, как и в п.3.8.1, неотрица¬
тельную меру v в произведении пространств (Z, С). По теореме 3.8.2
она определяется формулой (3.105):
Рассмотрим функцию /(ж, у) со значениями в топологическом ли¬
нейном пространстве U с топологией Т£, определяемой, как и в
п.6.2.1, множеством линейных функционалов G = 17*, и (т-алгеброй
T>G} порожденной топологией т£.
Следствие. Если ряд
V
оо
(6.22)
сходится (в .топологии tq) почти всюду к некоторой функции f(x) и
при любом g G У* все числовые функции
п
£«*(*) = (п = 1,2,...)
(6.23)
336 ГЛ. б. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
Теорема 6.2.5. Если функция f(z) = /(ж, у) слабо v-интегрируе¬
ма, ее сечение fx(y) = /0е, 3/) почти при всех х относительно меры
/1 представляет собой слабо Хх-интегрируемую функцию у, и слабый
интеграл
w(x) = J fx(y)Xx(dy) = J fd\x
является слабо ц-интегрируемой функцией х, то
J fdv = J wdfi = j dfi J fdXx. (6.24)
> Из слабой ^/-интегрируемости функции /(ж, у) следует ^-ин¬
тегрируемость числовой функции gf(x} у) при любом g G 17*. По те¬
ореме Фубини для интеграла Бохнера (в частности, для интеграла
Лебега)
J gfdv= J dp J gf dXx. (6.25)
Далее, по определению слабого интеграла (6.10)
J gfdXx=g j fd\x = gw(x)
для любого у G Y*. Подставив это выражение в (6.25), получим
J gfdi/ = j gwdfi.
Наконец, вследствие слабой ^-интегрируемости функции /(ж, у)
Jgfdv = gjfdv Vg€lT,
а вследствие слабой /^-интегрируемости функции w(ж)
J gwdfi = g J tvdfi Vg GU*.
Следов ате льно,
g J f dv — g J wdp = g J dp J f dXx VgeU\
§ 6.2. СЛАБЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
337
Это доказывает справедливость формулы (6.24) для слабых инте¬
гралов от функций /(*, у), удовлетворяющих условиям теоремы. <
ЗАДАЧИ
6.2.1. Все интегралы по мере Винера, вычисленные в примерах 3.4 и 3.6
Vi в задачах 3.3.1—3.3.4 и 3.5.1—3.5.3 существуют как интегралы Бохнера, если
подынтегральные функции имеют значения в пространстве С(5) непрерыв¬
ных функций. Однако они могут существовать только как слабые интегралы,
если подынтегральные функции имеют значения в других ^-пространствах
или в топологических линейных пространствах. Опираясь на результат при¬
мера 6.10, привести примеры, когда интегралы примера 3.6 и задач 3.5.1—3.5.3
существуют только как слабые интегралы.
6.2.2. Доказать, что если X — компактное Тг-пространство с неотрица¬
тельной нормированной мерой /i, р(Х) = 1, f(x) — непрерывная функция,
отображающая X в топологическое линейное пространство У с топологией
Тс, порожденной множеством линейных функционалов G, и выпуклая оболоч¬
ка Н множества f(X) (т.е. минимальное выпуклое множество, содержащее
f(X)) предкомпактна в У (п.4.4.4), то слабый интеграл yj от функции f(x)
существует и У/ € [Н] ([25], теорема 3.27).
Указание. Рассмотреть всевозможные наборы функционалов да =
= {<7х,..., </п} Vflfi,..., дп G У* и определить соответствующие множества
Еа = { у : у G [Я], giy = / gif dp,..., дпу = / gnf dfi}.
Эти множества замкнуты как прообразы в У одноточечных множеств про¬
странства Кп (К = R или С) при непрерывном отображении да : У —► Кп.
Ни одно из них не пусто, так как при любом X 9af(x) € 9<*f(X) С 9а[И\
и в силу выпуклости множества уа[Я] (задача 5.2.8) и равенства К*) = 1
/ 9а f dp € 9а\Н\ (задача 5.1.5), откуда следует существование таких у £ [я],
что дау — J gaf dp. Не пусты и все конечные пересечения множеств Еа как
множества того же типа Еа. Таким образом, совокупность всех множеств Еа
представляет собой центрированную систему замкнутых подмножеств ком¬
пактного множества [Н] (п .4.4.2). Остается применить теорему 4.4.1.
6.2.3. В условиях задачи 6.2.2 предположим, что У — локально выпу¬
клое топологическое линейное пространство с топологией Т. В этом случае
топология Tq» порожденная множеством непрерывных линейных функциона¬
лов G — У*, будет слабой топологией, а топология Т — сильной топологией
в пространстве У. Доказать, что в этом случае для любой окрестности нуля
V £ т пространства У существует такое конечное разбиение компакта X на
попарно непересекающиеся множества, X = |J2£|, что
338
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНЩИОНАЛОВ
V*< € Ei,
•=1
т.е. что слабый интеграл представляет собой в ©том случае сильный предел
последовательности римановых интегральных сумм ([25], кл.З, упражнение 23).
Указание. Предположив, что окрестность нуля V выпукла (что в
силу определения локально выпуклого пространства не ведет к потере общно¬
сти), выделить из покрытия компакта f{X) открытыми множествами Vx =
= /(*) + V конечное покрытие (jV^b Э f{X) и сконструировать из прообра¬
зов множеств Vi,..., Vn попарно непёресекающиеся множества Е\уЕп.
На этих множествах будет /(*) ~ f{xi) € V Vx € i?i, и в силу выпуклости V
и результата задачи 5.1.5 будет
И
Ifdfi-t f(*iMEi) = t №i) /[/(*) " /(*•)]$#! € V.
i=l «=1 И\г'*)
6.2.4. При любой слабо /i-интегрируемой функции /(зс) равенство Z =
= 47/(2) определяет линейный оператор, отображающий Y* в пространство
Li = L\(X fi). Что представляет собой норма элемента Z € L\l
§ 6.3. Обобщенные функции
6.3.1. Понятие обобщенной функции. Для математического
описания таких физических явлений, как массы, или электрические
заряды, или силы, или другие физические величины, сосредоточен¬
ные в точках, на линиях и на поверхностях, мгновенно действующие
силы, английский физик Дирак ввел понятие импульсной дельта-
функции (S-функции), которая не является функцией с точки зрения
общепринятого определения функции. С точки зрения физики эта
функция представляет собой плотность вещества или какой-либо
физич€ ской величины в той точке, в которой это вещество (физиче¬
ская величина) сосредоточено, или в точке той линии или поверхно¬
сти, на которой это вещество (физическая величина) сосредоточено.
Ясно, что если отличная от нуля масс$ь сосредоточена вся в одной
точке, то плотность вещества в этой точке бесконечна и равна ну¬
лю на любом множестве, не содержащем эту точку. Точно так же,
если мгновенно действующая сила приводит к мгновенному измене¬
нию скорости тела (например, при ударе двух идеальных твердых
тел), т.е. имеет конечный импульс, то сила должна быть бесконеч¬
ной в момент ее действия. Поэтому, вводя 6-функцию в качестве
s 6.3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
339
математической модели явлений, сосредоточенных в точках, на ли¬
ниях или поверхностях и, в частности, мгновенных явлений, Лирак
определил й-функцию как такую функцию, которая имеет бесконеч¬
но большое значение в начале координат, равна нулю всюду, кроме
начала координат, и интеграл от которой (по лебеговой мере) по
любому множеству, содержащему начало координат, равен 1:
6(0) = оо, 6(t) = О W/0,
js(t)dt = 1 УЛЭО.
А
Ясно, что обычной функции, обладающей такими свойствами, не
существует. Как мы знаем, интеграл от обычной функции как абсо¬
лютно непрерывная функция множества относительно той меры, по
которой производится интегрирование (в данном случае меры Ле¬
бега), стремится к нулю при стремлении к нулю меры множества А,
на которое распространяется интегрирование. Поэтому интеграл
от обычной функции не может оставаться равным 1 для всех мно¬
жеств, содержащих начало координат. Таким образом, й-функция
является особой функцией, отличающейся по своим свойствам от
обычных функций. Вследствие этого возникла необходимость обоб¬
щить понятие функции и распространить его на такие функции, как
6-функция и ее производные. Настоятельная необходимость вве¬
дения и строгого математического обоснования применения таких
обобщенных функций диктовалась огромной пользой от применения
6-функции и ее производных в физических и инженерных приложе¬
ниях математики.
6.3.2. Два подхода к определению обобщенных функций.
6-функция является всего лишь математической моделью сосредо¬
точенных явлений. В природе нет масс, электрических зарядов и
сил, сосредоточенных в точках, на линиях или поверхностях в том
смысле, в котором эти термины понимаются в математике, точно
так же, как нет и мгновенных явлений. В действительности массы,
заряды и силы могут быть распределенными в некоторых областях,
объемы которых можно считать пренебрежимо малыми. Точно так
же мгновенными принято считать явления, происходящие в течение
пренебрежимо малых интервалов времени. Так, например, при со¬
ударении двух реальных тел они сначала деформируются под дей¬
ствием сил инерции. В то же время под действием сил упругости
тела получают ускорения (отнюдь не бесконечные), йод действием
340
ГЛ. б. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
которых они расходятся, изменив направления движения и скоро¬
сти. Все это происходит в течение очень малого интервала времени,
длительностью которого можно пренебречь.
Такая картина реальных явлений указывает один подход к опре¬
делению и изучению обобщенных функций — предельный переход
от обычных функций, описывающих распределение масс, зарядов и
т.д. в малых объемах и явления, происходящие в течение малых
интервалов времени, при неограниченном уменьшении объемов и
интервалов времени (см., например, [22, приложение 1]).
Второй подход к определению и изучению обобщенных функ¬
ций основан на том факте, что в результате всех операций над
^-функциями и их производными в приложениях они всегда входят
в итоговые формулы в виде множителей под знаками интеграла. А
так как интеграл от произведения двух функций всегда представля¬
ет собой линейный функционал от любой из них, то ^-функцию и
ее производные можно отождествить с определенными линейными
функционалами. Такой подход приводит к определению обобщен¬
ной функции как линейного функционала, действующего на некото¬
ром функциональном пространстве.
Второй подход естествен для функционального анализа, в то
время как первый подход более характерен для математического
анализа. С математической точки зрения оба эти подхода эквива¬
лентны.
6.3.3. Пространство основных функций. В современной те¬
ории обобщенных функций рассматриваются различные простран¬
ства основных функций, с помощью которых/определяются обоб¬
щенные функции.
Функция (p(t) скалярного или конечномерного векторного аргу¬
мента t G Rn называется финитной, если она отлична от нуля только
на некотором ограниченном множестве. Замыкание множества, на
котором функция <p(t) отлична от нудя, называется носителем функ¬
ции (p(t) и обозначается саггу> или supp^.
Множество Ф всех скалярных финитных функций, непрерывных
вместе со своими производными всех порядков, называется прост-
ранством основных функций. Топология г в этом пространстве
обычно определяется окрестностями нуля
{ V ■ I <p(t) I < To(t), • •., I <P(m)(t) I < 7m(<) }, (6.26)
соответствующими всем неотрицательным целым m и всем наборам
§ 6.3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
341
7о(0> 7i(0> • • • > 7т(0 непрерывных положительных функций' *. Наде¬
ленное такой топологией г пространство основных функций Ф пред¬
ставляет собой топологическое линейное пространство. Изучим то¬
пологию т.
Прежде всего заметим, что операции сложения векторов и умно¬
жения вектора на число непрерывны в топологии г и что простран¬
ство Ф с топологией г локально выпукло. Эти утверждения дока¬
зываются совершенно так же, как они были доказаны в п.5.2.4 для
топологии тр. Ответ на вопрос о том, что представляет собой схо¬
димость в топологии т, дает следующая
Теорема 6.3.1. Для того чтобы последовательность функций
{<рп} С Ф сходилась к функции <p(t) Е Ф, необходимо и достаточно,
чтобы
1) носители всех функций содержались в каком-нибудь
компакте К\
2) последовательности {у>п^(0} равномерно сходились к соот¬
ветствующим функциям p(k\t) (к = 0,1,2,.. .).^
> Без потери общности можно предположить, что (p(t) = 0.
Предположим, что (pn(t) —► 0. Если носители всех функций <pn(t)
не содержатся ни в каком компакте, то существует такая подпосле¬
довательность {у?п*(0} и неограниченно возрастающая по модулю
последовательность значений {t*} аргумента t, что <pnh(tk) Ф 0. Яс¬
но, что окрестность нуля (6.26), соответствующая m = 0 и любой
положительной функции 7о(0> удовлетворяющей условию 7о(**) <
< \(Pnk(tk)\/2 (к = 1,2,...), не содержит ни одной функции <pnk(t)-
Следовательно, подпоследовательность {у\»к(0}> а вместе с ней и
вся последовательность {у?п(*)} не может сходиться к нулю. Полу¬
ченное противоречие доказывает необходимость первого условия.
Если это условие выполнено, то из сходимости последовательности
{<рп} к нулю следует, что при любых положительных функциях 7о(0>
7i (0* • • •
I^WI<*»(*), V*e* (* = 0,1,2,...)
для всех достаточно больших п. Но по теореме 4.5.7 любая непре¬
рывная на компакте действительная функция достигает на нем своих
наибольшего и наименьшего значений. Поэтому при всех тех же п
1^к)(01<г* V* (* = 0,1,2,...),
* В случае векторного аргумента t каждая производная ^*^(2) заменяется
множеством всех производных порядка к функции
342
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
где €к —наибольшее значение функции уk(t) на К. Отсюда, в си¬
лу произвольности функций 7*(*) в (6.26), а следовательно, и чисел
ей > 0 вытекает равномерная сходимость к нулю всех последова¬
тельностей {^п*^(0} = 0,1,2,...), что доказывает необходимость
второго условия.
Лля доказательства достаточности условий заметим, что для
любой окрестности нуля (6.26)
{ 9 ■ I ¥>(t)(0 I < 7к(0 V* (* = 0,1,..., m)} D
Э { 9 : 1I < 7*0) V* € К, сагг <р С К (к = 0,1,..., тп)} Э
Э {9 : I V?(fc)(01 < e* V«, сагг р С К (к = 0,1,..., ш)},
где 60,61,... >ет — наименьшие значения функций 7o(0>Ti(0> • ••
• • •, 7m(0 на компакте К. Из этих включений и из равномерной схо¬
димости к нулю всех последовательностей {^4* V)} следует, что лю¬
бая окрестность нул^ в пространстве Ф содержит все функции у>п(0>
начиная с некоторой. Таким образом, <рп —► 0 в топологии т. <
Ясно, что множество всех функций <р 6 Ф, носители которых со¬
держатся в одном и том же компакте К> представляет собой подпро¬
странство Фк пространства Ф. Теорема 6.3.1 показывает, что любая
сходящаяся последовательность функций из Ф содержится в под¬
пространстве Ф^, соответствующем некоторому компакту К. Рав¬
номерная сходимость последовательностей соответствует
топологии в Ф#, определяемой окрестностями нуля
{ 9 ■ тадс |y>(t)(<)l < е}. (6-27)
0<к<т
соответствующими всем неотрицательным целым т и всем € > 0.
Связь этой топологии с топологией г пространства Ф устанавлива¬
ется следующей теоремой.
Теорема 6.3.2. Топология т в Ф индуцирует в Фк топологию тк,
определяемую базой окрестностей нуля (6.27).
> Топология г в Ф индуцирует в Фк топологию тк, определяе¬
мую базой окрестностей нуля
{9 - 19{t) I < 7о(<). • • •. I¥>(m)(0 I < 7т(<) Vt}Пфл- =
= { 9 : 19{01 < 7о(<). • • •. 19<'m\t) I < 7m(t) Vt G К, carry) С К }•
§ 6.3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
343
Эта база окрестностей нуля содержит все окрестности нуля (6.27)
в Фк- Чтобы убедиться в этом, достаточно взять функции 7о(0>
7i(0>--->7m(<)» удовлетворяющие условию y0(t) = 71 (0 = •••
... = 7т(<) = е при t € К. С другой стороны, при любых т,
{ Ч>: I ¥>(*) I < 7о(<), • • •, I ¥>(т)(0 I < 7т(О Vt € К, сагг <р С К } Э
Следовательно, окрестности нуля (6.27) образуют базу окрестно¬
стей нуля топологии тк• <
Теорема 6.3.3. Пространство основных функций Ф с топологией
Т полно.
> Пусть {(рп} — произвольная фундаментальная последователь¬
ность в Ф. Совершенно так же, как при доказательстве необходимо¬
сти первого условия в теореме 6.3.1, доказывается, что все функции
\рп принадлежат одному и тому же подпространству Фк, соответ¬
ствующему некоторому компакту К, и что последовательность {<Ру}
фундаментальна в топологии тк подпространства Фк- Но подпро¬
странство Фк' является полным пространством (это доказывается
совершенно так же, как теорема 4.5.8 о полноте пространства непре¬
рывных функций на компакте). Следовательно, последовательность
{<Рп} имеет в Фк С Ф предел. <з
Пространство основных функций,-определенное таким образом,
принимается для решения большей части задач теории обобщенных
функций. Однако для построения некоторых разделов теории обоб¬
щенных функций приходится пользоваться другими пространствами
основных функций. При этом получаются другие виды обобщенных
функций. В некоторых случаях можно ослабить требование бес*
конечной дифференцируемости основных функций и ограничиться
ния их непрерывных производных до некоторого порядка N. В таких
случаях топология в пространстве основных функций определяется
окрестностями нуля (6.26), соответствующими m = 0,1,..., N.
где
требованием их непрерывности или непрерывности и существова-
344
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
Примером основной функции, принадлежащей пространству ф,
т.е. финитной функции, непрерывной вместе со своими производны¬
ми всех порядков, может служить функция
<p{t) = <*ехр{[(< - a)TC(t - а) - *2J-1}l>t(<).
где а — некоторое число, а — вектор, С — положительно опре¬
деленная матрица, к — действительное число, 1а(0 — индикатор
множества
A={t : (tT ~aT)C(t-a)<k2},
т.е. множества внутренних точек эллипсоида,
(tT — aT)C(t — а) = к2.
Легко проверить, что на границе этого эллипсоида все производные
функции <p(t) обращаются в нуль. Действительно, все производные
этой функции представляют собой линейные комбинации степеней
величины [(*т — aT)C(t — a) — fe2]”1, умноженных на ехр{[(*т — aT)C(t-
—a)—t2]-1}. При (tT—aT)C(t—а) —► к2 все эти произведения стремят¬
ся к нулю, так как показательная функция e”w убывает при и —► оо
быстрее, чем возрастает любая степень переменной и.
6.3.4. Определение обобщенной функции. Обобщенной функ¬
цией или распределением называется непрерывный линейный функ¬
ционал на пространстве основных функций. В соответствии с этим
определением множество Ф* всех непрерывных линейных функци¬
оналов на пространстве основных функций Ф, т.е. пространство,
сопряженное с Ф, называется пространством обобщенных функций.
Теорема 6.3.4. Функционал / на пространстве основных функ¬
ций Ф с областью определения Dj = Ф непрерывен тогда и только
тогда, когда для любой последовательности {<рп} С Ф, сходящейся к
некоторой функции (р € Ф, последовательность {f<pn} сходится к f<p.
> Необходимость условия следует из общей теоремы 4.3.6. Для
доказательства достаточности заметим, что вследствие того, что
любая сходящаяся последовательность {у>п} принадлежит некото¬
рому подпространству Фк и что Фк является пространством с пер¬
вой аксиомой счетности (базой окрестностей нуля топологии тк в
Фк может служить множество окрестностей нуля (6.27) с рациональ¬
ными е > 0), сужение функционала / на любое подпространство Фк
в силу теоремы 4.3.7 представляет собой непрерывный функционал.
Поэтому прообраз любого открытого множества G поля скаляров
§ 6.3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
345
в Ф/с> равный (/~1G)р|Ф/^, является открытым множеством. Но в
топологии тк, индуцированной в Фк топологией г пространства Ф,
множество U р| Фк открыто тогда и только тогда, когда множество
U открыто. Следовательно, множество f~lG открыто. По теореме
4.3.5 отсюда следует непрерывность функционала /. <
Пример 6.12. Пусть f(t) — интегрируемая функция по мере Лебега
на любом ограниченном множестве. Такие функции называются локально ин¬
тегрируемыми. Эта функция определяет непрерывный линейный функционал
на Ф по формуле
f<P = If(t)<P(t)dt, у?€Ф, (6.28)
где, как всегда, интеграл без указания области интегрирования понимается
как интеграл по всему пространству Rn. Чтобы убедиться в непрерывности
функционала /, достаточно показать, что он'непрерывен в нуле (теорема 5.2.9).
Пусть {<рп} — сходящаяся к нулю последовательность функций из Ф. В си¬
лу ограниченности сходящейся последовательности существует такое число
М > О, что IM0I < м при всех 71 во всех точках объединения носите¬
лей функции y?n(t). Поэтому все функции ограничены по модулю
на объединении их носителей интегрируемой функцией М\ f(t) |. По теореме
Лебега 3.5.4 в этом случае возможен предельный переход под знаком инте¬
грала, что дает lim fipn = 0. Это и доказывает наше утверждение. Таким
п—*- оо
образом, любая локально интегрируемая функция /(£), в частности любая
основная функция <p(t) £ Ф, порождает обобщенную функцию / £ Ф*.
Пример 6.13. Обобщенная ^-функция, сосредоточенная в точке 5,
определяется равенством
6,<p = <p(s), <р£ Ф. (6.29)
Ясно, что это непрерывный линейный функционал, который каждой основной
функции <р £ Ф ставит в соответствие ее значение при t = S.
Производная порядка р обобщенной ^-функции, сосредоточенной в точке
S, определяется равенством
6^(р = (—l)*y(p)(s), <р £ Ф. (6.30)
Аналогичной формулой определяются частные производные ^-функции
векторного аргумента.
Ясно, что не существует локально интегрируемой функции /(<), для ко¬
торой интеграл (6.28) равен ^(s) или для всех функций <р £ Ф.
346
ГЛ. в. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
Тем не менее по установившейся в приложениях традиции равенства (6.29) и
(6.30) записываются в виде
6,<р = JS(t - s)<p(t)dt = <p(s),
= / $(»>)(* - s)<p(t) dt = (-l)*yp)(*), (6.31)
где 6(t-s) «fr)(t - s) понимаются как функции, порождающие функционал
69 и его производные . Эти функции {(£ —5) и 6(P\t — s) также называются
обобщенными функциями, т.е. отождествляются с функционалами 6S и *<р>.
Заметим, что вторую формулу (6.31) можно получить формальным диф¬
ференцированием по S первой формулы (6.31). Этим и оправдывается опреде¬
ление производных ^-функции формулой (6.30).
Чтобы избежать множителя (-tol)p во второй формуле (6.31), обычно счи¬
тают {-функцию четной, 6(t — 5) = {(5 — t) и записывают формулы (6.31) в
виде
f 6(3 — t)<p(t) dt = y>(s), f {W(« — t)<p(t) dt = (6.32)
И здесь вторая формула получается из первой формальным дифференцирова¬
нием по 5. При этом, как и для обычной функции, производные {-функции
нечетных порядков оказываются нечетными, а производные четных порядков
— четными функциями.
Пример 6.14. Примером обобщенной функции может служить функ¬
ционал f(p = J <p(t)[i(dt)f где /i любая <Т-конечная мера. Ясно, что
{-функция 69 служит частным случаем втой обобщенной функции, когда /i
равна единице и полностью сосредоточена в точке S.
6.3.5. Пространство обобщенных функций. Изучим прост¬
ранство Ф* обобщенных функций. Чтобы ввести топологию в Ф*,
заметим, что каждая функция (р £ Ф порождает линейный функци¬
онал f(p на Ф* (при фиксированном / Е Ф* f<p представляет собой
отображение пространства основных функций Ф в поле скаляров К,
а при фиксированной функции (р € Ф f<p представляет собой отобра¬
жение пространства обобщенных функций Ф* в поле скаляров К). В
соответствии с этим определим топологию в Ф* окрестностями нуля
{/•• IM I \f<PN I < е}, (6.33)
соответствующими всем О 0 и всем € Ф. Иными сло¬
вами, за топологию в Ф* принимается *-слабая топология (п.6.1.3)-
§ 6.3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 347
Эта топология — слабейшая, в которой непрерывны все функцио¬
налы на Ф*, определяемые функциями <р € Ф (теорема 5.2.3). По
теореме 5.2.8 сходимость последовательности обобщенных функций
{fn} в этой топологии представляет собой сходимость числовых по¬
следовательностей {fn<p} при всех (р € Ф. Пространство Ф* обобщен¬
ных функций с топологией, определяемой окрестностями нуля (6.33),
представляет собой топологическое линейное пространство.
В современной литературе пространство основных функций Ф
часто обозначается 2>(ДП), а пространство обобщенных функций —
Р'(ЛП).
Пример 6.15. Пусть {/п} — любая последовательность неотрица¬
тельных интегрируемых финитных функций, носители которых образуют убы¬
вающую последовательность множеств, имеющую пределом одну точку 0, и
интегралы от которых равны 1:
//„(<) Л = 1 Vn.
По интегральной теореме о среднем для любой основной функции (р Е Ф
fn<p = / f„(t)<p(t)dt = <р(тп),
где Тп — некоторая точка, принадлежащая носителю функции /п(0» тп €
сагг/п. Так как Р)сагг/п = {0}> то Тп —► 0 при П —► ОО и, следовательно,
п
<р(тп) —► у>(0). Поэтому
lim fn<p = у?(0) = 60<р.
п—+оо
Таким образом, последовательность обобщенных функций, порождаемых
функциями /п,'сходится к 6-функции, сосредоточенной в нуле 6о- Очевид¬
но, что в качестве функций /п можно взять, в частности, основные функции
с требуемыми свойствами. Сдвигом аргумента t на- 5, т.е. заменой функций
fn(t) функциями fn(t — s)t получим 6-функцию, сосредоточенную в точке 5,
как предел последовательности обобщенных функций, порождаемых функция-
ми fn(t - «).
Пример 6.16. Пусть {/п} — последовательность основных функций
скалярной переменной t с теми же свойствами, что и в примере 6.15. Тогда
можно определить функционалы
fn<p = f fn(t)v>(t)dt.
выполнив интегрирование по частям и учитывая, что <р(—оо) = ^(+00) = О,
получим
348
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
fn<p = -//пОМОЛ =
где т'п € сагг /„. Отсюда предельным переходом получаем
lim f'n<p = = -60<р’
п—юо *
и по индукции
lim fip)<p = (-1)VP)(0) = (—1)р«50у>(р).
n—*оо
Таким образом, и производные 6-функции можно определить как пределы
последовательностей обобщенных функций, порождаемых соответствующими
производными функций /п.
Аналогично можно определить частные производные 6-функции вектор¬
ного аргумента как пределы последовательностей обобщенных функций, поро¬
ждаемых соответствующими производными основных функций, обладающих
требуемыми свойствами.
Легко видеть, что для определения 6-функции достаточно взять
в качестве пространства основных функций Ф пространство непре¬
рывных финитных функций, а для определения производных 6-функ¬
ции до порядка N включительно достаточно взять в качестве Ф про¬
странство непрерывных финитных функций, имеющих производные
до порядка N включительно.
6.3.6. Регулярные и сингулярные обобщенные функции. В
примере 6.12 было показано, что любая локально интегрируемая
функция порождает соответствующую обобщенную функцию. Од¬
нако не всякая обобщенная функция порождается некоторой локаль¬
но интегрируемой функцией. Примерами таких обобщенных функ¬
ций могут служить 6-функции и их производные. В связи с этим
обобщенные функции разбиваются на два класса — регулярные и
сингулярные.
Обобщенная функция называется регулярной, если она порожда¬
ется некоторой локально интегрируемой функцией. Множество всех
регулярных обобщенных функций представляет собой подпростран¬
ство пространства обобщенных функций. Обобщенная функция на¬
зывается сингулярной, если не существует порождающей ее локаль¬
но интегрируемой функции.
Примеры 6.15 и 6.16 показали, что некоторые сингулярные об¬
общенные функции можно представить как пределы последователь¬
ностей регулярных обобщенных функций, порождаемых основны¬
ми функциями. Можно показать, что и вообще любая сингуляр¬
ная обобщенная функция представляет собой предел последователь¬
ности регулярных обобщенных функций, порождаемых основными
функциями, или, что одно и то же, множество регулярных обобщен¬
§ 6.3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
349
ных функций, порождаемых локально интегрируемыми функциями,
плотно в пространстве обобщенных функций. Это утверждение мы
приводим здесь без доказательства (доказательство читатель может
найти в [6]; см. также задачу 6.3.3).
6.3.7. Локальные свойства обобщенных функций. Ясно, что
для любой функции <р Е Ф, носитель которой це содержит точку s,
6,<р = <p(s) = 0, = (-l)py>(p)(s) = 0.
Это свойство 6-функции и ее производной дает основание считать
6-функцию, сосредоточенную в точке s, и все ее производные равны¬
ми нулю на любом множестве, не содержащем точку s. Это соответ¬
ствует приведенному в п.6.3.1 определению 6-функции, принятому в
приложениях. Одноточечное множество {«} в этом случае предста¬
вляет собой носитель 6-функции и ее производных. В соответствии
с этим определяется носитель для любой обобщенной функции.
Носителем обобщенной функции / называется минимальное за¬
мкнутое множество F, для которого ftp = 0 для любой функции
<р Е Ф, носитель которой не пересекается с F. Ясно, что такое мно¬
жество F не пусто, так как для любой обобщенной функции, кроме
/ = 0, существует такая функция <р Е Ф, что f(p ф 0. Носитель
этой функции обязательно будет пересекаться с F, так как в про¬
тивном случае было бы f<p = 0. На основании этого определения
обобщенная функция считается равной нулю на любом множестве,
не пересекающемся с ее носителем. Обобщенные функции с ограни¬
ченным носителем представляют собой важный класс обобщенных
функций.
Пример 6.17. Из определения 6-функций и их производных (при¬
мер 6.13) следует, что носитель всех функций 65, 6,Р^ представляет собой од¬
ноточечное множество {з}. Носитель любой регулярной обобщенной функции
совпадает с замыканием области определения Dj соответствующей локально
интегрируемой функции. Бели эта функция определена на всем пространстве
#п, то носителем соответствующей регулярной обобщенной функции служит
все пространство Rn.
Пример 6.18. Чтобы дать пример сингулярной обобщенной функ¬
ции, носитель которой представляет собой все пространство, рассмотрим ин¬
теграл
350
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
Функция lft не локально интегрируема, и поэтому интеграл существует толь¬
ко как главное значение в смысле Коши [16, т.1]. Действительно, если
carr^(t) гг
= [а, Ь], а < 0, Ь > 0, то
/¥> = f!dibmdt+v>(0)f^
а а
Первый интеграл здесь представляет собой регулярную обобщенную функ¬
цию, а второй существует только как главное значение интеграла
Пример 6.19. Из теории рядов Фурье известно, что интеграл Лири-
хле [16, т.2, § 56]
/трёгМо*
а '
для любой функции <р 6 Ф сходится при 171 —► ОО к <p(s)t если S £ (а, Ь), и к
нулю, если S *М):
Следовательно, предел последовательности регулярных обобщенных функ¬
ций, порождаемых функциями sinm(£ — s)/flr($ — 5) (ш = 1,2,...), пред¬
ставляет собой ^-функцию 68, что можно записать в виде
‘('-'I'JsItS!?!?- <°5>
Предел в правой части этой формулы не существует ни при каком t. Его сле¬
дует понимать как слабый предел, т.е. как предел последовательности соот¬
ветствующих обобщенных функций в топологии пространства Ф*. Это иллю¬
стрирует тот факт, что обобщенная функция не является функцией точки, она
может не иметь никакого конкретного значения ни при каком значении аргу¬
мента. Ее равенство нулю вне ее носителя следует понимать только в смысле
данного выше определения носителя обобщенной функции.
Пример 6.20. Точно так же j-функцию П-мерного векторного аргу¬
мента можно представить как предел
§ 6.3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 351
Пример 6.21. Пусть /(<) — локально интегрируемая функция t €
£ Rm. Найдем предел последовательности регулярных обобщенных функций
/п = nmf(n(t — «)) (п = 1, 2,.. .*). Имеем
fn<f> = пт J f(n(t - s))<p(t) dt = f f{u)<p{s + u/n) du -* <p(b) f /(u) du.
Следовательно, lim fn = a6Sf a = f f(u) du или
lim nmf(n(t — s)) = a6(t — s).
П—ЮО
Эту формулу можно также записать в виде
Ите”т/(б~1(< — s)) = a6(t — 5).
Обратите внимание на то, что носители всех функций /п в этом и преды¬
дущих двух примерах совпадают со всем пространством, в то время как носи¬
тель предельной функции представляет собой одноточечное множест¬
во {$}.
6.3.8. Замена переменных в обобщенных функциях. Так как
для любой локально интегрируемой функции /(и) и любого взаимно
однозначного непрерывного и дифференцируемого отображения и =
= k(t) пространства Rn в Rn
J f(k(t))<p(t)dt = ^ /(«)v?(*_1(w)) |./(«) | (0.36)
гдej(ti) — якобиан координат векторной функции к~х(и) по коорди¬
натам вектора к, то для порождаемой функцией f(k(t)) регулярной
обобщенной функции справедлива формула
/(*(*))*> = /(rt*_1(«))U(«) |). (6.37)
Этой формулой обычно и определяется обобщенная функция f(k(t))
для любой данной обобщенной функции / = f(t). В частности, по¬
ложив / = 6Sy получаем формулу
S.(i(t))p = Шк~1(и))) I J(«) I = ф-'М) I J(s) |. (6.38)
Переписав эту формулу в интегральной форме,
J 6(k(t) - s)<p(t) dt = <p(k-'(s)) I /(*) I,
352
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
приходим к выводу, что для вычисления интегралов, содержащих
6-функции, аргументами которых служат любые функции, следует
выполнить по обычным правилам замену переменных, приняв за но¬
вую переменную ту часть аргумента 6-функции, которая зависит от
переменной интегрирования.
В случае многозначной обратной функции к“1(0 следует раз¬
бить область интегрирования в (6.36) на части, соответствующие
различным ветвям обратной функции jfc~1(tf). В этом случае выра¬
жения в правых частях формул (6.37) и (6.38) заменятся суммами
таких же выражений, соответствующих всем ветвям обратной функ¬
ции &_1(<) (задача 6.3.9).
Необходимость замены переменных в аргументе 6-функции воз¬
никает в некоторых задачах теории вероятностей.
6.3.9. Дифференцирование обобщенных функций. Пусть f(t)
— дифференцируемая локально интегрируемая вместе со своей про¬
изводной функция. Рассмотрим регулярную обобщенную функцию,
порождаемую ее производной f'(t) *:
f'<P = J
Интегрируя по частям и принимая во внимание, что <p(t) — финитная
функция, получаем
/V = - J = -f<p'-
Эта формула дает основание определить производную любой обоб¬
щенной функции / формулой
= (6.39)
Отсюда по индукции получаем формулу для производной любого
порядка р обобщенной функции /:
/(pV = (~l)pf<P(p) (Р= 1,2,...). (6.40)
Точно так же из (6.39) получаем формулу для производных обоб¬
щенной функции / векторного аргумента t = {*i,..., tfn}
Ь<6-41>
* В случае векторного аргумента t штрих означает дифференцирование по
любой координате вектора.
§ 6.3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
353
где |р| = Pi Н hPn-
Формулы (6.40) и (6.41) показывают, что любая обобщенная
функция, в частности любая регулярная обобщенная функция, име¬
ет производные всех порядков, представляющие собой обобщенные
функции. Из формул (6.40) и (6.41) следует также, что в рамках
теории обобщенных функций любая обычная локально интегрируе¬
мая функция имеет производные всех порядков, которые могут быть
сингулярными обобщенными функциями.
Пример 6.22. Найдем производную единичной ступенчатой функции
,<( *’ «<«>-{5 <642>
Обозначив соответствующую регулярную обобщенную функцию через Л5, бу¬
дем иметь
А,<р = /1(< - «МО л = / <p(t) dt.
*
По формуле (6.39) находим
Д',<р - -Д,<р' = - / <p'(t)dt = <p(s) - 6,<р.
Ш
Таким образом, производная функции 1(£ —з) представляет собой 6-функцию
S(t - s).
Пример 6.23. Пусть f(t) — кусочно непрерывная и кусочно диф¬
ференцируемая функция скалярной переменной с разрывами первого рода в
точках 11,...,ts» имеющая в точках левые и правые производные.
Обозначим через <Ji,..., О/у скачки функции f(t) в точках t\%..., tpf. Оче¬
видно, что функция
= /(*)- £
fc=l
непрерывна и имеет кусочно непрерывную производную с разрывами
первого рода в точках ti,...На основании результатов предыдущего
примера производная функции f(t) выражается формулой
= jrak6(t-tk).
t=l
Пример 6.24. Аналогично, если функция f(t) кусочно непрерыв¬
на и имеет кусочно непрерывные производные до порядка р включительно
354
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
с разрывами первого рода в точках ti, • • • ,t/y, то ее производная порядка р
определяется формулой
/<Р)(<) = g(P)(t) +£ £ - tk),
1=0 *=1
где Q>i \ ..., — скачки производной в точках t\,. .., In (/ = 0, 1,...
- 1), a g(t) — непрерывная функция с непрерывными производными
..., и кусочно непрерывной производной определяемая
формулой
9(t)=m-PzE4)Mt-u),
1=0 *=1
где
1>o(t-ti) = l(t-tk), -tk)= J (/= 1).
— OO
6.3.10. Ряде* обобщенных функций. Ряд, членами которого
служат обобщенные функции,
сю
5>»Л (6.43)
*=1
/
сходится (в топологии пространства обобщенных функций Ф*) к об¬
общенной функции /, если числовой ряд
оо
52 “*/*¥> (6-44)
1=1
сходится к f<p для любой основной функции (р Е Ф. При этом да¬
же в том случае, когда члены ряда представляют собой регулярные
обобщенные функции, сумма ряда может быть сингулярной обоб¬
щенной функцией.
На основании определения производных обобщенных функций
(6.39)—(6.41) сходящиеся ряды обобщенных функций можно дифферен¬
цировать почленно сколько угодно раз, и в результате всегда полу¬
чаются сходящиеся ряды обобщенных функций.
Пример 6.25. Пусть {фк} — полная ортонормальная система функ¬
ций в пространстве /^(Д11) скалярных функций с интегрируемым квадратом
§ 6.3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
355
модуля (п.8.5.5). В 0ТОМ случае любая функция с интегрируемым квадратом
модуля, в частности любая основная функция <р € Ф, может быть представле¬
на обобщенным рядом Фурье
= Ё СкФкЦ),
* = 1
коэффициенты которого определяются формулой
с* = 1<Р{т)Фк(т) <*т = Фк<Р-
Подставив это выражение в предыдущую формулу, получим
<p(t) = Е 1pk(t) f <р(т)фк(т)(1т =
1=1
= lim / £ <Ы*)^»(ГМТ) <*т- (6.45)
N-юо k=l
Отсюда видно, что ряд (6.45), составленный из регулярных обобщенных функ¬
ций переменной Т, порождаемых функциями ^(т), с коэффициентами фк^)
сходится к сингулярной обобщенной функции 6%:
52 Фк^)фк(т) = 6(г - 0- (6.46)
*=1
Пример 6.26. Точно так же, представив производную обоб¬
щенным рядом Фурье
у>(р)(<) = £ ФкУ)Фк№ = (-i)p Е Фк(ЩкР)>р =
1=1 i=i
= (—i)p / Е Ы*)Фк,)(тЫт)dr =
4=1
= (—1)р j™ / Е lMW*’)(rMT)<*r. (6.47)
N-юо i=1
видим, что ряд (6.47), составленный из обобщенных функций ф^ перемен¬
ной Г (не обязательно регулярных), с коэффициентами фк{1) сходится к р-й
производной 6-функции 6^:
Е ФкШ(кР\т) = ЬЩт -1). (6.48)
fcssl
356
ГЛ. в. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
Пример 6.27. Периодическая функция f(t), определяемая в интер.
вале (—7Г, п) формулой
f(t) = t/2 при t в (-*, 7Г),
может быть представлена рядом Фурье
/(<)= Е(-1)п+1г*Г*- (6-49)
П=1
Этот ряд сходится при всех t к функции
fit) = t/2 - * Е [1(* - (2* + 1)*г) - 1(-< - (2Jfc + 1)п) ],
fc=°
если принять, как ото обычно делается, 1(0) = 1/2. Таким образом, ряд (6.49),
составленный из регулярных обобщенных функций, порождаемых функциями
sinnt, сходится к регулярной обобщенной функции f(t).
Дифференцируя формулу (6.49) и учитывая четность 6-функции, получа¬
ем
/'(*) = 1/2 - тг £ [6(t - (2к + 1)ж) + 6(-t - (2к + 1)п)] =
*=о
= 1/2-» £ 6(t — (2к + 1)тг) = £ (—l)n+1 cos nt. (6.50)
*=-оо n=l
Функция f'{t) сингулярна, и ряд в правой части расходится при любом t.
Однако ряд (6.50), составленный из регулярных обобщенных функций, поро¬
ждаемых функциями,COS nty сходится к сингулярной обобщенной функции
/40 = 1/2-* £ *(*-(2* + 1)тг).
* = -00
6.3.11. Произведение обобщенной функции на основную.
Пусть f(t) — локально интегрируемая функция, ip(t) € Ф — основная
функция. Рассмотрим регулярную обобщенную функцию, порожда¬
емую произведением
(М)<Р = J = f(if><p).
Обобщая этот результат, назовем произведением обобщенной функ¬
ции / на основную функцию ф обобщенную функцию /ф, определяе¬
мую формулой
(fil>)<p = (6.51)
§ 6.3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
357
Найдем производные произведения обобщенной функции / на
основную функцию ip. На основании формул (6.40), (6.41) и (6.51)
(/*)«? = (-1)W)*>(P) = (-1 )Р/(УР)) (6-52)
в случае скалярного аргумента t и
= <6К"
в случае векторного аргумента t.
В частности, производные произведения 6-функции 68 на основ¬
ную функцию ф определяются формулами
(*,V0(pV = (-1 yw<p(p)) = (-1 )р^)?(р)(«) = (6-54)
<6-55)
Эти формулы показывают, что при дифференцировании произведе¬
ния 6-функции на основную функцию множитель при S-функции не
дифференцируется, а заменяется его значением в точке в, в кото¬
рой сосредоточена 6-функция. Этот результат можно было пред¬
видеть, так как носителем функций 6^ (р = 0,1,2,...) служит од¬
ноточечное множество {«}, вследствие чего значения функции tp(t)
при t ф s никак не влияют на результат операций над 5-функциями.
Правило дифференцирования произведения 5-функции на основную
функцию (6.54), (6.55) многократно упрощает дифференцирование
сложных выражений, содержащих 5-функции и их производные, и
поэтому всегда применяется на практике. Впрочем, ошибки не бу¬
дет, если применять обычное правило дифференцирования произве¬
дения, только выкладки будут значительно сложнее (задача 6.3.7).
Заметим, что из выведенного правила дифференцирования про¬
изведения 69ф есть важное исключение. Если 6-функция замещает в
какой-либо формуле обычную дифференцируемую функцию, напри¬
мер входной сигнал линейной системы в формулах теории управле¬
ния, то произведения б^ф обязательно надо дифференцировать по
обычной формуле дифференцирования произведения функций.
6.3.12. Первообразная обобщенной функции. Пусть / — об¬
общенная функция скалярной переменной t. Согласно общему опре¬
делению первообразной обобщенной функции / называется такал об¬
общенная функция F, производная которой есть обобщенная функ¬
ция /. В соответствии с (6.39) F определяется формулой
F<p' = -М (6.56)
356
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
Однако эта формула определяет F как непрерывный линейный функ¬
ционал не на всем пространстве основных функций Ф, а только на
подпространстве Ф' С Ф производных основных функций. Чтобы
убедиться в том, что Ф' не совпадает с Ф, достаточно заметить, что
в силу финитности функций (р € Ф
оо
j <p'(t) dt = у>(оо) - y>(—оо) = О,
— ОО
т.е. интеграл от производной любой основной функции равен нулю.
Чтобы продолжить функционал F на все пространство Ф, возь¬
мем произвольную основную функцию (ро, интеграл от которой ра¬
вен 1:
оо
J <p0(t)dt=l. (6.57)
— ОО
Очевидно, что (ро не принадлежит подпространству Ф' и, следова¬
тельно, функционал F не определен для функции <ро. Пусть (р € Ф —
прЬизвольная основная функция. Покажем, что функция
ОО
V>(<) = <p(t) - <Po(t) J <p(r)dr (6.58)
—oo
принадлежит подпространству Ф'. Очевидно, что в силу (6.57)
оо оо оо оо
/ Hr)dr= J ф)dr- J <ро(т) dr / (р(т) dr = 0.
— оо —оо — Ьо —оо
На основании этой формулы функция
t
«(*) = / ф(т) dr (6.59)
—оо
является финитной неограниченно дифференцируемой функцией,
т.е. основной функцией, и € Ф, производная которой равна u/(t) =
= ^(0* Следовательно, ф € Ф' и в силу (6.56)
*V = -/w. (6.60)
§ 6.3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
359
Таким образом, любая основная функция <р € Ф может быть
представлена формулой
ОО
<p(t) = V-(<) + <Po(t) J <p(r)dT, (6.61)
— oo
где i>(t) — производная некоторой основной функции w(t). Чтобы
продолжить функционал F на все пространство основных функций,
теперь достаточно произвольно задать его значение в точке (ро £ Ф.
Положив F(fo = С, получим для любой основной функции <р G Ф
оо
Ftp = -fw + С J <р(т) dr. (6.62)
Пример 6.28. Найдем первообразную ^-функции 6в. Обозначив ее
Д5, по формуле (6.62) находим
оо оо
А*<р = — 63ш + С f (р(т) dr = — cj(s) + С f <р(т) dr.
— 00 —оо
Отсюда, учитывая (6.58) и (6.59), получаем
А,<р = — J ф(г)йт + С / <р(т)ёт =
— ОО —ОО
= ~ / <p(r)dT+( f <p0(r)dT + C) / <p(r)dT =
— ОО — ОО —ОО
= f<p(r)dr+( / ¥>o(r)dr + C- l) / y>(r)dr.
5 -00 / -oo
Но в силу произвольности С величина
/ <Ро(г) dr -f С - 1
— ОО
при фиксированном 5 является произвольной постоянной. Обозначив ее Ci,
можем переписать предыдущую формулу в виде
- *) + Ci]y>(r) dr.
360
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
Отсюда видно, что первообразная {-функции 83 представляет собой регуляр¬
ную обобщенную функцию, равную сумме единичной ступенчатой функции и
произвольной постоянной.
Формула (6.62) и приведенный пример показывают, что, так же
как и обычная интегрируемая функция, обобщенная функция име¬
ет бесчисленное множество первообразных, отличающихся одна от
другой произвольной постоянной.
6.3.13. Представление {-функции интегралом Фурье. На
основании результатов примеров 6.19 и 6.20, учитывал, что
т т
?Шm(I -») = I
ir(t — в) 27Г J 2?г J
N —m —m
\
приходим к выводу, что {-функция 63 может быть представлена ин¬
тегралом Фурье
т т
6<t -s) = -J— lim / e<AT(‘-*>dA = lim [
V ' (2jr)n rn-voo J (2ff)n m-voo J
—m —m
(6.63)
где интеграл понимается как интеграл в пределах от — т до m по
всем координатам вектора Л и все векторы представлены в виде
матриц-столбцов.
Формулу (6.63) обычно коротко записывают в виде
оо оо
6(t -а) = —f e'^O—) dX = —V [ еат(-*их. (6.64)
v ’ (2тг)п J (2я-)п J v '
—oo —oo
Интеграл в этой формуле, естественно, расходится, и предел в фор¬
муле (6.63) не существует в обычном смысле, так как любой сходя¬
щийся интеграл от функции, зависящей от параметра, представляет
собой обычную функцию этого параметра и, следовательно, не мо¬
жет быть {-функцией. Однако этот интеграл сходится, и предел в
(6.63) существует в смысле сходимости обобщенных функций, т.е.
в топологии пространства обобщенных функций Ф*. Действитель¬
но, по теореме об интеграле Дирихле для любой основной функции
<р € Ф
lim / ?
m-oo J v(t -*) ’
— ОО
§ 6.3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 361
оо m
^lim, J [ip J e<A<*-'>dA]?>(*)<** = ?(*)• (6 65)
—oo —m
Аналогичная формула справедлива и в случае векторного аргумен¬
та s.
Вследствие того, что предел внутреннего интеграла в средней
части формулы (6.65) и аналогичной формулы в случае векторного
аргумента t в рамках обычного математического анализа не суще¬
ствует, перед переходом к пределу при т —► оо изменяют порядок
интегрирования, пользуясь теоремой Фубини 3.8.3. В результате
получают представление функции <p(t) интегралом Фурье
т оо
^ = (2^ Л / / е<АТ(‘" V(0 dt dX.
—m — оо
Для дальнейшего, во избежание путаницы, нам удобно изменить
обозначение переменной интегрирования t на г, а переменную s за¬
менить переменной t. Тогда приведем предыдущую формулу к виду
т оо
^(<) = / / e<AT(T"‘V(i-)*-dA. (6.66)
—m — оо
Функция
оо
£(А) = J е*хТт(р(т)<1т (6.67)
—оо
называется преобразованием Фурье функции (p(t). При этом формула
(6.66) определяет обратное преобразование Фурье функции £(А):
т
^=(2/ е-аТ,^А) dA- (б-б8>
—т
Эту формулу обычно записывают короче в виде
оо
= J e~ixTtmdX, (6.69)
— ОО
362
ГЛ. б. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
имея в виду, что в случае, когда функция £(А) не абсолютно интегри¬
руема, интеграл следует понимать как главное значение интеграла
в смысле Коши.
Сравнив последнюю часть формулы (6.64) с (6.69), приходим к
заключению, что преобразование Фурье 6-функции 68 можно опре¬
делить формулой
6.3.14. Представление производных 6-функции интегралом
Фурье. Так как любая обобщенная функция имеет производные
всех порядков, то формулы (6.63) и (6.64) можно дифференцировать
сколько угодно раз. В результате получим представление интегра¬
лом Фурье производных 6-функции
в случае п-мерного векторного аргумента t. Эти формулы можно
записать в более компактной форме
*.(А) = e<A4
(6.70)
m
««(< -s) = ^~ lim / (.А)ре,А(‘-*> dX =
2ТГ m—юо J
-m
m
—m
в случае скалярного аргумента t и
—m
= /(«Г ^ dX (6.72)
—m
5(p)(t - s) = ^ J dX = j dX (6.73)
°o oo
—oo —oo
в случае скалярного аргумента t и
§ 6.3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
363
\
оо
= ^rF / W, - (^»)p"e*AT(*-,)rfA
(6.74)
— ОО
в случае n-мерного векторного аргумента t.
Сравнив последнюю часть формулы (6.73) и формулы (6.74) с
(6.69), приходим к выводу, что преобразования Фурье производных
6-функции следует определять формулой
в случае векторного аргумента t.
Заметим, что формулы (6.70), (6.75) и (6.76) не вытекают непо¬
средственно из (6.67), так как они определяют преобразования Фу¬
рье обобщенных функций, в то время как формула (6.67) определяет
преобразование Фурье основной функции. Тем не менее формулы
(6.70), (6.75) и (6.76) можно вывести формальным применением фор¬
мулы (6.67).
6.3.15. Произведения 6-функций и их производных. Бели
рассматривать результат действия функционала 6^ на основную
функцию <р 6 Ф как функцию переменной s, то это будет тоже основ¬
ная функция. Поэтому результат действия производной 6-функции
6ip) на любую основную функцию <р Е Ф можно снова преобразо¬
вать любым функционалом / из пространства обобщенных функций
Ф*. В результате получаем определение произведения производной
6-функции 6^ на любую обобщенную функцию /:
#>>(А) = (—l)p(iA)pe'A*
(6.75)
в случае скалярного аргумента t и
(^рГ-^;-)(А) = (6.76)
Таким образом,
(ftWyp = #+,V
(6.78)
364
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
и 6il)sip) = #+*>.
Написав формулу (6.77) в интегральной форме, получим
= J /(.) ds J №(t - s)<p(t) dt =
= /(/ /(«)*<">(*-«) <fc^(*) Л = J f<p\t)<p(t)dt.
Отсюда следует
J f(s)6(p\t -s)d8 = (-l)p J f(s)6^(a -t)ds = /W(«). (6.79)
Сравнив эту формулу с (6.31), видим, что формула (6.31) для инте¬
грала от произведения 6-функции или ее производной на основную
функцию верна и для интеграла от произведения 6-функции или ее
производной на любую обобщенную функцию.
В частности, при f(s) = 6^9\s — ti) формула (6.79) дает
j - s)6^(e -u)ds = Sb>+<)(t - u). (6,80)
✓
Заметим, что формулы (6.71) и (6.72) можно вывести и без непо¬
средственного дифференцирования формул (6.63) и (6.64). А именно,
написав формулу (6.65) для функции <p(p\t) и применив к интегралу
под знаком предела р раз интегрирование по частям, получим (6.71).
Точно так же выводится формула (6.72).
ЗАДАЧИ
6.3.1. При каких S > 0 функционалы
fi<P= f ^<p(t)dt,
h<P= f ~ <p(0)]dt,
—oo
/Э(С=
§ 6.3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
365
где /(*) — локально интегрируемая функция, /(0) ф 0, являются регулярны¬
ми обобщенными функциями, сингулярными обобщенными функциями? Опре¬
делить их носители. В случае, когда они сингулярны, представить их в виде
суммы регулярной обобщенной функции и слагаемого, пропорционального
6-функции или ее производной.
Напоминание. Пространства Ф.и Ф* — комплексные линейные
пространства. Поэтому как основные функции, так и множители при них под
знаком интеграла могут быть комплексными. В частности, t9 = Itj'e1"* при
t <0.
6.3.2. Найти пределы последовательностей обобщенных функций, полу¬
ченных из обобщенных функций задачи 6.3.1 заменой f(t) на
6.3.3. Доказать, что множество регулярных обобщенных функций плотно
а пространстве всех обобщенных функций Ф*.
Эта теорема- устанавливает эквивалентность двух подходов к построе¬
нию теории обобщенных функций, о которых говорилось в п.6.3.2. Читателям,
желающим познакомится с теорией обобщенных функций, рассматривающей
их как пределы обычных функций, можно рекомендовать книгу [2].
У Казани е. Достаточно доказать, что любая базовая окрестность (6.33)
любой обобщенной функции /
{д f<Pi \ <£,■■■. 19<PN - f<PN | < е} (*)
содержит регулярные обобщенные функции. Для этого достаточно взять лю¬
бые N локально интегрируемых функций gi(t),. .., положить д =
= CiflfiH \~CjvgN и определить С\,. .., Cjy из уравнений g<pk = f<pk +0*, где
|fll |,..., |fljv| < £. Полученная в результате регулярная обобщенная функция
определена в виде интеграла на всем пространстве Ф и содержится в окрест¬
ности (*) обобщенной функции /.
6.3.4. Доказать, что 6-функция скалярного аргумента может быть пред¬
ставлена как предел при £ —►О любой из перечисленных регулярных обоб¬
щенных функций
6(* — s) = lim
6(t-s) = Umljspjl-j,,
6(t — s) = lim -75—
4 ' c—0 v2irc
6.3.5. Доказать, что 6-функция m-мерного векторного аргумента может
быть представлена формулой
6(t - s) = (2тг)-т/2|я:|-1/2 lime-"1 ехр{-(*Т - sT)K-x(t - s)/2е2},
366
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
где К — любая положительно определенная симметричная матрица, |/С|
ее определитель.
Указание. Лля вычисления интеграла применить формулу, приве¬
денную в задаче 3.3.4. ^
6.3.6. Найти производные различных порядков обобщенных функций \t\t
Sgnt, [£], [*г], [f]r (Г — натуральное), |sin<|, |cOS<|, sign(sinf), sgn(cosj) и
всевозможных их произведений.
6.3.7. Проверить, что для любой основной функции <p(t)
( £ С?ф<*-тЧ1т1)<р = iP(s)6ip)^,
Vm=0 J
где ф{Ь) — данная основная функция. ф
6.3.8. Вычислить интегралы
h9= / 6(t3 - s)<p(t)dt,
— ОО
f2<p= f 6(t2 - s)<p(t)dt,
— OO
OO
h<P= f 6(sint - s)<p(t)dt,
— OO
f4<p= f 6(tgt - s)<p(t) dt.
— OO
У казани e. В случае многозначной обратной функции в п.6.3.8
разбить числовую прямую на интервалы, в каждом из которых функция
однозначна.
6.3.9. Локазать, что в общем случае, когда функция k~\(t) в п.6.3.8 мно¬
гозначна, формулы (6.37) и (6.38) заменяются формулами
/т)¥> = Е/(Фу1(«))1м«)\),
V
b№))9 = ll4>{K\sWAs)\),
и
где Ji/(u) — якобиан координат 1/-Й ветви функции по коорди¬
натам вектора 14.
6.3.10. Вывести формулу (6.70) для преобразования Фурье 6-функции 6S
предельным переходом при £ —► 0 в формуле, полученной из формулы задачи
6.3.5 преобразованием Фурье.
§ 6.3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
367
6.3.11. Пусть
*=0
линейный дифференциальный оператор, v(t) — функция, непрерывная в
точке t = Of вместе со своими производными t/($),.. •, t/m~1)(£), производ¬
ные которой v(m)(0,. *., vln-l\t) имеют в точке Ot разрывы первого рода со
скачками (к — Ш,..., П — 1). В теории управления возникает зада¬
ча вычисления величины Lv. Эта величина вследствие разрывов производ¬
ных 1)(т\ содержит линейную комбинацию обобщенных функций
8{t — ft), 6'(t — Of),..., — а). Вывести формулу
n—m—1
Lv = Lu + ^2 Ak6(k\t — a),
fc=o
где u(t) — функция, непрерывная вместе со своими производными ti/(^), . . .
ЛЧ*) , получающаяся из v(t) вычитанием функции, порождаемой скач¬
ками ее производных V
* = "if11 (-О**»*1 («)Д-»'<,) ■
Л=т 1-т
У Казани е. Сначала вывести формулу для случая, когда одна только
производная V^ имеет разрыв в точке t = Of, введя производные ^-функции
отрицательных порядков
— a) = f 6(s — a) ds = l(t — г),
—оо
*<-')(< - а) = / tf(-'+1)(5 - a) ds (/ = 2,3,...)
— ОО
и вычислив порождаемую разрывом производной часть функции 1>(£):
i;f(j) = — a)Aav^.
Тогда будем иметь
v(f) = u(t) + — a)Aav(^,
где u(t) — функция, непрерывная вместе со своими производными И;(^), . . .
• • •, И^п-1^(<). При дифференцировании произведений — От) по¬
мнить, что при к — / —■ 1 > 0 множитель при (-функции или ее производной
не дифференцируется. Это значительно сократит выкладки. i
368
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
6.3.12. Доказать, что линейное дифференциальное уравнение с й-функцц-
ей в правой части
Е акЦЫк) = 6(t - т)
к=О
эквивалентно задаче Коши
£>*(%<*> = О,
*=О
У(г) = т/(т) = ••• = У("_2)(т) = 0, у(п_1)(т) = 1 /а«(т).
Решение этой задачи Коши y{t) равно нулю при всех t < Т.
6.3.13. Доказать, что дифференциальное уравнение
п ш
Е ak(t)^k) = Е - г) (*)
4=0 4=0
эквивалентно задаче Коши ,
Е = 0, m < п,
к=0
y(r) = i/(r) = ... = y("-m-2)(r) = О,
y(n-m-i)(r) = y(n-1)(r) = am+i,
где ai, . . ., Qfm+1 выражаются через значения коэффициентов а&, при £ =
= Т. Решение этой задачи Коши y(t) равно нулю при всех t < Т.
У казани е. Из (*) видно, что содержит линейную комбинацию
обобщенных функций 6(t — т), . . ., 6^m\t — г), которая соответствует скачко¬
образному изменению } . .., (или, что то же, начальным зна¬
чениям этих производных при t = Т). Эти же разрывы вызовут появление
линейной комбинации функций 6(t — т),..., —г) в выражении про¬
изводной j/*) (к — Л— 171,. . ., П — 1). Добавив к . .., у<п> в уравнении
(*) эти линейные комбинации 6-функции и ее производных и сравнив коэффи¬
циенты при одинаковых производных 6-функции в левой и правой частях по¬
лученного равенства, придем к системе линейных алгебраических уравнений
с треугольной матрицей для начальных значений ai,. . . , &т+1 производных
y(n”m—1), . . ., j/”-1) при t — Т.
§ 6.4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 369
§ 6.4. Сопряженные пространства
некоторых функциональных пространств
6.4.1. Пространство, сопряженное с пространством непре¬
рывных функций. Найдем пространство, сопряженное с простран¬
ством ограниченных непрерывных функций С(Т) (п. 1.3.12). Для это¬
го установим общий вид непрерывного линейного функционала на
С(Т). Однако непосредственно решить эту задачу для С(Т) трудно.
Поэтому будем рассматривать С(Т) как подпространство простран¬
ства В(Т). По теореме Хана — Банаха 5.2.12 любой непрерывный
линейный функционал на С(Т) можно продолжить с сохранением
нормы на все пространство В(Т). Установив общий вид непрерыв¬
ного линейного функционала на В(Т), можно, сузив его на С(Т),
найти общий вид непрерывного линейного функционала на С(Т).
Теорема 6.4.1. Любой непрерывный линейный функционал на про¬
странстве ограниченных функций В(Т) определяется формулой
fx = J x(t)<p(dt) = J х d<p, (6.81)
где <p(A) — конечная аддитивная мера.
> Пусть / — непрерывный линейный функционал на В(Т)У / 6
Е В*(Т). Рассмотрим сначала значения функционала / на индика¬
торах множеств пространства Г. Ясно, что /1а представляет собой
конечную аддитивную функцию множества
<p(A) = flA, (6.82)
так как для любых попарно непересекающихся множеств А\,..., Ап,
AkAh = 0 при к ф Л,
<р( U At) = /^2lyu = X) fU„ = ^2
к~Х *=1 *=1 к=1
и для любого множества А величина (р(А) = /1 а конечна. Опреде¬
лим теперь значения функционала / на множестве простых функций
370
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
П
*(0 = EkEh= ® при кфИ*.
к=1
В силу линейности функционала /
п п
fx = Y^xkflEk = ^2хк<р{Ек).
kzzl k=l
Последняя часть этой формулы представляет собой интеграл от
простой функции x(t) по аддитивной мере <р. Поэтому
fx = J = J х &Ч>'
Таким образом, любой непрерывный линейный функционал на В(Т)
определяется на множестве простых функций формулой (6.81). Что¬
бы распространить эту формулу на все функции из В(Т), достаточ¬
но показать, что множество простых функций плотно в пространстве
В(Т). Пусть x(t) — любая функция из В(Т). Область ее значений
Rx целиком расположена внутри круга радиуса || х || с центром в на¬
чале координат комплексной плоскости. Поэтому при любом е > О
область Rx можно покрыть конечным числом кругов А\,..., An ра¬
диуса е/2. Определим множества
Вг=Аи Bk=Akkf]Ah (* = 2,...,ЛГ)
Л=1
и обозначим их прообразы через 2?i,..., Ек = х~г(Вк). В каждом
множестве Вк возьмем произвольную точку хк и определим простую
функцию
N
х’(г) =
*=i
Очевидно, что |я(<) — х'(<) | < е при всех t и, следовательно, || х -
—х11| < е. Таким образом, любая окрестность любого элемента из
* Любая конечнозначная функция измерима относительно (Т-алгебры
всех множеств пространства Т и, следовательно, может считаться простой
функцией.
S 6.4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 371
В(Т) содержит простые функции. Это и значит, что множество
простых функций плотно в В(Т) и любая функция из В(Т) может
быть представлена как предел равномерно сходящейся последова¬
тельности простых функций (т.е. сходящейся в метрике простран¬
ства В(Т)). Отсюда и из непрерывности функционала / следует, что
формула (6.81) справедлива для любой функции x{t) из В(Т). <
Установим теперь связь между нормой функционала / и полной
вариацией аддитивной меры <р.
Теорема 6.4.2. Норма функционала', определяемого формулой
(6.81), равна значению полной вариации аддитивной меры <р ма всем
пространстве Т.
> Введем нормированное пространство конечных аддитивных
мерс нормой, равной значению полной вариации \<р\ меры (р на
всем пространстве Т (п.2.2.6):
1И1=М(П (6.83)
Это пространство часто обозначается Ьа(Т). Тогда будем иметь
\fx\< J\x\dW\<\\x\\ M(T) = H*|j|M|.
Отсюда следует, что норма функционала / не превосходит норму
меры <р, || / || < || (р ||. С другой стороны, по определению полной
вариации меры при любом е > 0 существует такой конечный набор
множеств А\,..., Ап, A* Ah Ф 0 при к ф А, что
1>(Л*)|>М(Т)-£.
k=1
Определив простую функцию
к=1
получим
/* = £>-“*^(л*)=х>м*)| >|И|
к=1 к=1
372
ГЛ. б. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
Отсюда, имея в виду, что ||х|| = 1, вследствие произвольности е > о
получаем ||/|| > ||^||. Сопоставив это с предыдущим неравенством,
приходим к выводу, что ||/|| = ||^||=|^ |(Т). <з
Таким образом, мы доказали, что каждому непрерывному ли¬
нейному функционалу / на В(Т) соответствует единственная .конеч¬
ная аддитивная мера <р(А) и наоборот, каждой такой мере соот¬
ветствует единственный непрерывный линейный функционал / на
В(Т)> определяемый формулой (6.81), причем норма функционала /
равна полной вариации соответствующей аддитивной меры <р (т.е.
ее норме в пространстве 6а(Т)). Это дает основание отождествить
пространство В*(Т) непрерывных линейных функционалов, сопря¬
женное с В(Т), с пространством Ьа(Т) конечных аддитивных мер,
определенных на <т-алгебре всех множеств пространства Т.
Так как С(Т) является подпространством пространства В(Т) и
любой непрерывный линейный функционал на С(Т) продолжается
на В(Т) с сохранением нормы, то из полученных результатов следу¬
ет, что любой непрерывный линейный функционал на С(Т) опреде¬
ляется формулой (6.81). Однако вследствие неоднозначности про¬
должения функционала (теорема 5.1.3) при сужении функционалов с
В(Т) на С(Т) нарушается взаимная однозначность соответствия ме¬
жду непрерывными линейными функционалами и конечными адди¬
тивными мерами. Каждой аддитивной мере <р 6 Ьа(Т) по-прежнему
соответствует один непрерывный линейный функционал / на С(Т).
Однако каждому непрерывному линейному функционалу / на С(Т)
соответствует некоторое множество различных конечных аддитив¬
ных мер. Оказывается, что, взяв любую аддитивную меру ip этого
множества, можно определить единственную такую меру, облада¬
ющую одним важным свойством. Чтобы сформулировать соответ¬
ствующую теорему, необходимо ввести одно определение.
Мера или аддитивная мера /i, определенная на некотором клас¬
се множеств Л топологического пространства, содержащем тополо¬
гию, называется регулярной, если для любого О 0 и любого мно¬
жества A G Л существуют такие открытое множество G и замкнутое
множество F, что F С А С G и
\H(G)~ ц(А)\<е, \fi(A)-fi(F)\<e.
Теорема 6.4.3. Каждому непрерывному линейному функционалу
f на пространстве ограниченных непрерывных функций С(Т)к опре¬
деленных на метрическом пространстве Т, соответствует един¬
ственная регулярная конечная аддитивная мера /i/ на алгебре мно-
§ 6.4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 373
ofcecme В, порожденной топологией пространства Т, через которую
f выражается интегралом
fx = Jx(t)nf(dt) = J xdN Vx € C(T), (6.84)
и наоборот, каждой регулярной конечной аддитивной мере l*j на ал¬
гебре В соответствует единственный непрерывный линейный функ¬
ционал /, определяемый формулой (6.84), причем норма функциона¬
ла f совпадает со значением полной вариации аддитивной меры pj
на Т:
Н/Н = 1Ы1 = МСО (6-85)
(обобщенная теорема Рисса).
Доказательство теоремы 6.4.3 довольно сложно. Поэтому от
читателя требуется большое терпение.
> Так как любая числовая аддитивная мера (р может быть пред¬
ставлена в виде <р = <р\ — у>2+«(у>з“^4), где <р\, ц>2, у>з, ^4 — неотрица¬
тельные аддитивные меры (следствие теоремы 2.2.14), то достаточно
рассмотреть случай неотрицательной <р.
Условимся временно обозначать буквой G с различными индек¬
сами открытые множества пространства Т, а буквой F с различ¬
ными индексами замкнутые множества пространства Т. Определим
функцию множества ф(А) на всех множествах пространства Т фор¬
мулами
r!>{F) = inf_<p(G), Ф(А) = sup iZ’(F). (6.86)
gdf fqa
Изучим эту функцию. Прежде всего ясно, что ф(О) = О, Ф(Т) =
= <р(Т) и ф(А) < ф(В), если А С В. В силу неотрицательности адди¬
тивной меры (р для любых двух множеств, в частности для открытых
множеств G и Gi, имеем <p{G\JGi) < <p{G) + <p(G\). Если F\ — любое
замкнутое множество и G Э F\G\, то G(JGi Э F\ и из (6.86) следует,
что VK^i) < y?(G(JGi) и, следовательно,
i) < ^(G) + v?(Gi).
Так как это неравенство справедливо для любого G Э F\G\, то в
силу (6.86)
iKFi^^GO + tfG!)
для любых замкнутого множества F\ и открытого множества G\.
Возьмем теперь произвольное замкнутое множество F. Тогда для
374
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
любого G\ Э F\F будем иметь G\ С Fi\jF, F\G\ С ^i(AU^) ==
= F\F и il)(F\G\) < i/>(FiF). Поэтому предыдущее неравенство толь¬
ко усилится от замены ^(-FiGi) на \I>(F\F):
А так как это неравенство справедливо для любого Gi Э F\Ff то на
основании (6.86)
да) < дал+дал
для любых замкнутых множеств F и fi. Пусть теперь D — про¬
извольное множество. Тогда для любого F\ С D tp(FiF) < ф(ОР),
il>(F\F) < iJ>(DF) и предыдущее неравенство дает
WFt)<1>(DF) + iKDP). j
А так как это справедливо для любого Fi С D, то (6.86) дает
i{>(D) < fp(DF) -I- fP(DF)9 (6.87)
для любого множества D и любого замкнутого множества F. С
другой стороны, взяв произвольные непересекающиеся замкнутые
множества Fi, F2 и непересекающиеся открытые множества Gi Э F\,
G2 D F2, получим для любого G D Fi\JF2 <p(G) > <p(GG\) + <p(GG2}>
Вследствие того, что GG\ D F\, GG2 D ^2, отсюда на основании
(6.86) вытекает (p(G) > ip(F\) + ^(^2)- А так как это справедливо для
любого G Э F\ (J i*2> то в силу (6.86)
даи^)>да)+да)
для любых непересекающихся множеств F\ и F2. Взяв произвольное
множество D и произвольное замкнутое множество F, получим для
любых Fi С DFy F2 С DF
Ф(о) > даил) > да)+да).
Отсюда в силу произвольности F\ С DF> F2 С DF по, определению
(6.86) функции следует
$ 6.4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
375
Сравнивал с (6.87), приходим к выводу, что для любого множества
D и любого замкнутого множества F
1>{D) = 1>{DF) + tf>{DF).
* •
Это значит, что все замкнутые множества измеримы по Лебегу от¬
носительно функции ф (п.2.3.4), определенной на всех множествах
пространства Т, т.е. принадлежат классу множеств
С = {А : ф(Б) = ф(ИА) + ф(ОА\ VD С Г}.
Повторив буквально доказательство теоремы 2.3.8, убеждаемся
в том, что класс множеств С представляет собой алгебру, содержа¬
щую все открытые и замкнутые множества, и функция ф аддитивна
на С.
Таким образом, каждому непрерывному линейному функциона¬
лу / на С(Т) соответствует конечная аддитивная мера /1/ на алгебре
множеств В С С пространства Т, представляющая собой сужение на
В функции ф, определяемой формулами (6.86).
Докажем, что аддитивная мера pj регулярна. Из определения
(6.86) функций ф и ц/ следует, что для любого множества А 6 В и
для любого е > О существуют такие замкнутые множества F С А и
F* С А} что
ftf (Л) - f*f(F) < е, fif (Л) - /1/ (F') < е.
Но в силу аддитивности /1/
ц,{А) - n,{F') = N{AF') = N(F') - nf(A).
Отсюда и из предыдущих неравенств следует, что для любого мно¬
жества A G В и любого е > 0 существуют такие замкнутое множе¬
ство F С А и открытое множество G = F1 D А, что
М/(А) - M/(F) < е, tif(G)-ttf(A)<e. (6.88)
Эти неравенства доказывают регулярность /1/.
Итак, по данному непрерывному линейному функционалу / на
С(Т) мы определили соответствующую регулярную конечную ад¬
дитивную меру fif (А). Докажем, что
xd(p= I xdpj
(6.89)
376
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
для любой ограниченной непрерывной функции x(f).
Так как любая числовая функция х(*) может быть представлена
в виде х = х\ — Х2 + *(«з — £4)* где х2> яз> ®4 — неотрицательные
функции, и fx =|| х || /(х/ || ж ||), то можно ограничиться доказатель¬
ством равенства (6.89) для случая 0 < x(f) < 1 и неотрицательной
аддитивной меры /1/. Зададим е > 0 и аппроксимируем функцию
x(t) снизу такой простой функцией
В силу регулярности /i/ существуют такие замкнутые множества
F\, ...,Fn, Ft С Ak, что pj(Ak) < Pf(Fk) + e/3n. На основании этих
неравенств, вследствие того, что хк < 1,
В силу непрерывности x(t) существуют такие непересекающиеся от¬
крытые множества G\y..., Gn, что
FkCGk и гк= inf x(t) >хк- е/Ъц}(Т) (к = 1,..., п).
Вследствие этого, учитывая, что f*f(Fk) < t*f(Gk), неравенство (6.90)
можно заменить неравенством
Далее, из определения (6.86) функции ф следует, что для любого
открытого множества G
п
ЧТО
*'(0 = Е ** W0. ** = inf *(«),
*=1 к
Тогда будем иметь
п
(6.90)
п
§ 6.4 СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
377
Поэтому
xdfif <^2zk<p(Gk) + e < I xd<p + e.
J к=1 ^
Отсюда ввиду произвольности е > 0 следует
х dip:
Но это же неравенство справедливо и для функции 1 — х(<)‘
J(1 -x)dtiJ < j(l-x)d<p,
откуда
xd(p.
J X dpif> J.
Полученные противоположные неравенства доказывают справедли¬
вость формулы (6.89) для любой ограниченной непрерывной функ¬
ции х(*)-
Осталось доказать единственность такой аддитивной меры /i/ и
показать, что норма функционала / на С(Т) равна полной вариации
этой меры |/1/ |(Г) =11/1/II.
Предположим, что одному непрерывному линейному функцио¬
налу / на С(Т) соответствуют две регулярные конечные аддитивные
меры fij и /iy, и положим а = щ . Тогда
/
х da = О
для любой непрерывной функции x(t). Пусть А — произвольное
множество алгебры В. Вследствие регулярности <т при любом е > О
существуют такие открытое и замкнутое множества G и F, что F С
С А С G,
| <т(А) - <r(F) | < г/3, | <r(G) - <т{А) | < ф.
Пусть xi(t) — непрерывная функция, 0 < xi(f) < 1, xi(f) = 0 при
t Е G, xi(t) = 1 при t Е F *. Тогда, взяв
* В метрическом пространстве такая функция всегда существует. Ее можно
°пределить, например, формулой
x.(t) =
Х1'1' d(ttC)+d(t,F) ’
где <f(/, А) = inf d(t, s) — расстояние от точки t до множества А.
s£A
378
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
будем иметь
| j х do | = | j x do + J x da j =|W)i+ J x da | >
F G\F G\F
>\*(F}\-\*(G\F)\>\*(A)\-e
или, вследствие произвольности e > О,
0=| / * do | > | <r(A) I,
что возможно только при <т(А) = 0. Таким образом, iij(A) = fij(A)
при любом А € В, что и доказывает единственность функции /4/.
Пусть теперь Ai,...9An — такие попарно непересекающиеся
множества, Ак € В, АкАн = 0 при к ф Л, что
Х>/(401>МСП-е/4,
fc = l
FktoGk (к = 1,..., п) — такие замкнутые и открытые множества, что
Ft С Аъ С Gky \fif(Ak) -/i/CF*)| < е/4n, |/i/(G*) -/!/(>!*) | < e/4n,
.. .,жп(0 — непрерывные функции, 0 < Xk(t) < 1, Xk(t) = 0 при
t € (j*, = 1 при t € Ft. Возьмем функцию
*(<) = £e-
fc=l
Эта функция непрерывна и
|/*| = l^ard/i/l = |]Г(|/*/(П)|+ j *<*/*/) |>
fc=1 Gh\Fk
> EI w(F‘) I - EI **/«?» W I > EI MAt) I - 3e/4 >
k=l kzz 1 fc=l
>|^|(T)-£.
Отсюда в силу произвольности е>0и того, что ||х|| = 1, получаем
II / II > I /*/ ICO, что в соединении с очевидным неравенством || /1| <
<|/1/ |(Т) доказывает равенство ||/||= |/i/ |(Т). <
§ 6.4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
379
Таким образом, пространство С*(Т), сопряженное с простран¬
ством ограниченных непрерывных функций С(Т), заданных на ме¬
трическом пространстве Т, можно отождествить с пространством
регулярных конечных аддитивных мер, заданных на алгебре мно¬
жеств В пространства Т, порожденной топологией. Это простран¬
ство, в котором нормой служит полная вариация соответствующей
аддитивной меры, часто обозначают rba(T).
В частном случае, когда Т представляет собой компакт неко¬
торого метрического пространства, мера pj оказывается не только
аддитивной, но и <г-аддитивной.
Теорема 6.4.4. Каждому непрерывному линейному функциона¬
лу f на пространстве непрерывных функций С(Т), определенных на
компакте Т, соответствует единственная регулярная конечная ме¬
ра [Л/ на а-алгебре множеств Л, порожденной топологией компак¬
та Т, через которую f выражается формулой (6.84), и наоборот, ка¬
ждой регулярной конечной мере р/ на <г-алгебре Л соответствует
единственный непрерывный линейный функционал f, определяемый
формулой (6.84), причем норма функционала f равна значению полной
вариации меры /1/ на Т (теорема Рисса).
> На основании теоремы 2.2.10 для доказательства <г-аддитив-
ности меры /i/ достаточно доказать ее полу аддитивность. Очевид¬
но, что это достаточно доказать для неотрицательной jij.
Пусть {Ап} — произвольная последовательность попарно не¬
пер есекающихся множеств алгебры #, такая, что А = \JAn & В.
Вследствие регулярности /i/ на В при любом е > 0 для каждого
Ап существует такое открытое множество Gn Э АП1 что Pf(Gn)—
-fif(A) < е/2п+}> и такое замкнутое множество F С А = \JAn, что
lif(F) > l*f(A) — е/2. С другой стороны, вследствие компактности Т
из того, что
Fc\JGn,
п=1
вытекает
FC \JGn
П = 1
при некотором конечном тп. Следовательно,
оо оо m
52 ц,{ап) > 52 -ф>52 м<?п) - ф >
П=1 П=1 П=1
> N ( U С„) - ф > /i/(F) - ф > n(A) - е.
' П = 1 '
380
ГЛ б ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
А так как это справедливо при любом е > 0, то
что и доказывает полу аддитивность /i/ на В. По теореме 2.2.10 из ад¬
дитивности и полу аддитивности /1/ на В следует ее <7-адцитивность
на В. Согласно теореме 2.3.15, меру /i/ можно однозначно продол¬
жить на сг-алгебру множеств компакта Т, порожденную топологи¬
ей. При этом продолжении меры /i/ интеграл в (6.84) не изменится
(свойство (XVI) интеграла, п.3.3.5). «
Итак, пространство С*(Т), сопряженное с пространством непре¬
рывных функций С(Т), определенных на компакте Т, можно отожде¬
ствить с пространством регулярных конечных мер, которое часто
обозначается гса(Т).
На основании теоремы Рисса 6.4.4 конечную меру иногда опре¬
деляют как непрерывный линейный функционал на пространстве не¬
прерывных функций (мера Радона).
6.4.2. 5-функция как непрерывный линейный функционал
на пространстве непрерывных функций. Рассмотрим частный
случай конечномерного пространства Т = Rn и аддитивной меры
/1/, сосредоточенной в одной точке s пространства Яп, /*/({«}) =
= 1. В этом случае формула (6.84) определит непрерывный линей¬
ный функционал на С(ЯП) вида
Согласно определению 5-функции (6.29) этот функционал предста¬
вляет собой 5-функцию, сосредоточенную в точке s:
Таким образом, 5-функция представляет собой непрерывный линей¬
ный функционал на пространстве непрерывных функций'С(Дп) (про¬
должение 5, с пространства Ф на С(ДП)), вследствие чего все опера¬
ции с 5-функциями можно распространить на любые непрерывные
функции. Этим широко пользуются в приложениях.
оо
— оо
§ 6.4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
381
6.4.3. Пространства, сопряженные с пространствами диф¬
ференцируемых функций. Найдем сопряженное с пространством
п раз дифференцируемых функций Сп(Т) пространство Сп*(Т). Для
этого надо определить общий вид непрерывного линейного функци¬
онала на Сп(Т). При этом мы ограничимся случаем, когда Т — за¬
мкнутый интервал числовой прямой Т = [а, Ь]. Заметим, что любая
функция x(t) из Сп(Т) представляет собой решение дифференциаль¬
ного уравнения
X<"> = z(t), (6.91)
где z(t) — непрерывная функция на Т. Для полного определения
функции x(f) необходимо еще задать начальные условия — значе¬
ния x(t) и ее производных х'(*),... ,х(Л-1)(<) в какой-нибудь точке,
например при t = а, х(а) = хо, х'(а) = Xq,..., а?(л”1)(а) = x^1"”1^, Та¬
ким образом, уравнение (6.91) устанавливает взаимно однозначное
соответствие между элементами пространства Сп(Т) с одной сто¬
роны и парами "непрерывная функция и n-мерный вектор” с дру¬
гой стороны. Иными словами, уравнение (6.91) определяет взаимно
однозначное отображение пространства Сп(Т) на прямое произве¬
дение Кп х С(Т) п-мерного пространства Кп и пространства С(Т).
Это отображение, очевидно, линейно.
Определим в произведении пространств Кп х С(Т) норму эле¬
мента и = {хо, Xq, ..., 4n"1}, *(0) формулой
IMI=El*oP)l+IMI- (6.92)
р=0
Докажем, что оператор Ау осуществляющий отображение Кп х С(Т)
на СЛ(Т), и обратный оператор Л”1 ограничены. Для этого заме¬
тим, что из уравнения (6.91) вытекают формулы
,(*) _ Ар) (* ~ а)р~
0 (Р-*)!
p=fc
t
+ (n-1- 1)! ~ т)П~*~1г(т)dT (* = 0,1,...,n-1), (6.93)
из которых следует
382
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
где
Следовательно, оператор А ограничен и норма его меньше числа с.
Ограниченность обратного оператора Л-1 очевидна, так как ||и||<
Таким образом, уравнение (6.91) определяет взаимно однознач¬
ное и взаимно непрерывное линейное отображение пространства
Сп(Т) на произведение пространств Кп х С(Т), в котором норма
определяется формулой (6.92).
Перейдем к установлению общего вида непрерывного линейного
функционала на Сп(Т).
Пусть / — непрерывный линейный функционал на Сп(Т). Вслед¬
ствие непрерывности оператора А произведение fA представляет
собой непрерывный линейный функционал g на произведении про¬
странств Кп х С(Т), fA = д. Следовательно,
Таким образом, любой непрерывный линейный функционал на Сп(Т)
представляет собой сумму непрерывного линейного функционала f\
где <*о, ai,..., ап_1 — некоторые в общем случае комплексные числа,
и по тебреме Рисса 6.4.4
fx = fAu = gii = д{хо,х'0,..., 4" Х).0} + я{0,0, • • •, 0, *(<)}•
в n-мерном пространстве Кп с элементами v = {х0, х'0,..., Xq"-1'*} и
непрерывного линейного функционала /2 на С{Т):
fx = /iv + f2z.
Но вследствие того, что х$ я(р)(а) (р = 0,1,..., п - 1),
п—1
fiv = $3 аРх(Р)(а)>
р=0
ь
ь
§ 6.4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 383
где /i/ — некоторая конечная регулярная мера, заданная на <г-алгеб-
ре А борелевских множеств интервала [а, 6]. Следовательно,
п-1 *
fx = ^2 otpx(p\a) + I x^n\r)fif(dr). (6.94)
p=o {
Таким образом, доказана
Теорема 6.4.5. Любой непрерывный линейный функционал на про-
странстве Сп(Т) непрерывных вместе со своими производными до
порядка п включительно функций выражается формулой (6.94), при¬
чем соответствие между непрерывными линейными функционала¬
ми на Сп(Т), с одной стороны, и наборами чисел ао, сц,..., а?п-1 и
регулярными конечными мерами /*/, с другой стороны, взаимно од¬
нозначно.
6.4.4. 6-функция и ее производные как непрерывные линей¬
ные функционалы на пространствах дифференцируемых функ¬
ций. Рассмотрим частный случай линейного непрерывного функци¬
онала / на пространстве дифференцируемых функций СП(Т), когда
<*о = «1 = • • • = <**_1 = 0, 0Гр = (s - ау~к/{р - *)!, (р = к,..., п - 1), a
мера /I/ полностью сосредоточена на интервале [a, s] и определяется
при a<t\<t2<s<b формулой
t2 1
А*/([*1.Ы) = М(*Ь*2]) = /i/([*l,<2)) = /*/((«.&)) = J ^ _ ц; dL
В этом случае формула (6.94) принимает вид
”'1 (* - «)р~* , f (s- t)"-1"1
р=к
Сравнив это выражение с (6.93) и приняв во внимание (6.91), полу¬
чаем
fx = x('k\s) (fc = 0,1,..., п — 1).
В другом частном случае, когда ао = ах = ... = ап_х = 0, а
мера /// сосредоточена в точке s и /i({s}) = 1, формула (6.94) дает
fx = x(n)(s).
384
ГЛ. б. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
Сравнив полученные формулы с определениями (6.29) и (6.30)
й-функции и ее производных, видим, что 6-функция и ее производ¬
ные до порядка п включительно представляют собой непрерывные
линейные функционалы ка пространстве дифференцируемых функ¬
ций Сп(Т) (продолжения функционалов 63,6',..., 6^ с Ф на Сп(Т)):
ь
б^х = j x(t)S^k\t — 5) dt = (—1 )kx^k\s) (к = 0,1,, n).
а
Это дает возможность распространить операции с 6-функциями и
их производными на все функции, непрерывные вместе со своими
производными до соответствующего порядка, что обычно и делает¬
ся в приложениях.
6.4.5. Применение в теории управления. В теории управле¬
ния большую роль играют линейные системы, входные и выходные
сигналы которых представляют собой непрерывные функции време¬
ни или времени и координат точки пространства. У таких систем
значение выходного сигнала y(t) на каждом выходе в каждый мо¬
мент времени (или в каждый момент времени в каждой точке про¬
странства) представляет собой линейный функционал от входного
сигнала x(t). Для устойчивости системы необходимо, чтобы этот
функционал был непрерывным. По теореме Рисса 6.4.3 выходной
сигнал системы в каждый момент t определяется формулой
y(t) - Jx(r)nt(dT). (6.95)
где /it — некоторая регулярная конечная аддитивная мера, завися¬
щая от t (разным моментам i соответствуют различные непрерыв¬
ные линейные функционалы). Формула (6.95) справедлива и в том
случае, когда t (и, соответственно, переменная интегрирования г)
представляет собой вектор, координатами которого служат время
и координаты точки пространства. По теореме Лебега 3.6.1 лю¬
бая конечная или (т-конечная мера в конечномерном пространстве
может быть разложена на абсолютно непрерывную по отношению
к мере Лебега и сингулярную составляющие, причем абсолютно
непрерывная составляющая представляет собой интеграл по мере
Лебега от некоторой функции. Применив эту теорему к /1/, можем
§ 6.4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 385
написать*
/*<(Л) = J w(t,T)dT + fist(A).
А
Сингулярная же часть в задачах практики всегда сосредоточена на
некотором конечном множестве точек {<i,..., tfr}:
rf(A)= £ *({«*}).
{*:U€*}
Поэтому в задачах практики мера /1* в (6.95) всегда может быть
выражена формулой
ЛN
«’(*.т) + $ЗМ{<*}Жг-<*)]dr-
А *=1
Вследствие этого формула (6.95) принимает вид
»(0 = J 9{t, т)х(т) dr, (6.96)
где
N
g(t, т) = w(t, т) + '£ nt{hЩт -tk). (6.97)
k=1
Таким образом, в задачах теории управления выходной сигнал ли¬
нейной системы y(t) выражается через ее входной сигнал x(t) фор¬
мулой (6.96). Функция g(t, г) принимается за характеристику линей¬
ной системы и называется ее весовой функцией. Теорема Рисса дает
строгое математическое обоснование понятию весовой функции ли¬
нейной системы.
Весовая функция линейной системы имеет простой физический
смысл. Она представляет собой реакцию системы в момент t на
мгновенный единичный импульс, действующий на входе системы в
момент г (в случае, когда t ит представляют собой четырехмерные
векторы, координатами которых служат время и координаты точки
* Теорема Лебега 3.6.1 была доказана для (7-аддитивных мер. Однако,
имея в виду, что в задачах практики встречаются только ограниченные интер¬
валы времени и ограниченные области пространства, можно вместо теоремы
6.4.3 применить теорему 6.4.4 и считать fit <Х-аддитивной мерой.
386
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
пространства, g(t, г) представляет собой реакцию системы в точке
t на единичный импульс, сосредоточенный в точке г). Чтобы убе¬
диться в этом, достаточно изменить в (6.96) обозначение переменной
интегрирования г на <т и положить х(а) = 6(а — г).
В задачах теории управления приходится также рассматривать
системы, обладающие дифференцирующими свойствами. Выход¬
ные сигналы таких систем могут содержать производные входного
сигнала. Ясно, что соотношение между входным и выходным сигна¬
лом для линейных систем такого рода не может описываться форму¬
лой (6.96) даже в том случае, когда весовая функция g(t> т) содержит
й-функции.
Чтобы распространить формулу (6.96) на такие линейные си¬
стемы, необходимо рассматривать входной сигнал системы как эле¬
мент соответствующего пространства Сп(Т). Тогда выходной сиг¬
нал системы y(t) выразится формулой
(так же как и в предыдущем случае, функционал, формирующий зна¬
чение выходного сигнала в момент t при данном входном сигнале,
зависит от t). На том же основании, что и раньше, меру мож¬
но разложить на абсолютно непрерывную и сингулярную части от¬
носительно меры Лебега и предположить, что сингулярная часть
сосредоточена на конечном множестве точек. Тогда предыдущая
формула перепишется в виде
При этом всегда можно предположить, что функция h(t}r) кусочно
непрерывна и имеет кусочно непрерывные производные до порядка
п включительно. Так всегда бывает, если h(t} т) получается тео¬
ретически на основе принятой математической модели изучаемой
системы. Если же она определяется экспериментально, с неизбеж¬
ными погрешностями, то ее всегда можно с достаточной точностью
аппроксимировать такой функцией. Тогда можно будет выполнить
n-кратное интегрирование по частям, разбив предварительно об¬
ласть интегрирования на части точками разрыва функции h(t, т) и
§ 6.4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
387
ее производных. Тогда получим формулу (6.96), где весовая функ¬
ция д(1ут) содержит линейную комбинацию 6-функций и их произ¬
водных до порядка п включительно (само собой разумеется, в g(tf т)
следует включить и слагаемое
2(-1)РМ0«(р)(г-а)).
р=О
Приведенные рассуждения обосновывают применение формулы
(6.96) в теории управления в случае дифференцируемых входных
сигналов.
6.4.6. Пространства, сопряженные с лебеговыми простран¬
ствами. Определим пространства, сопряженные с лебеговыми про¬
странствами Lp, изученными в § 3.7. По доказанному в п.3.7.4 все
пространства Lp> 1 < р < оо, являются ^-пространствами, причем
норма элемента х пространства Lp(T,B,/i) (т.е. норма функции x(t)
из Ьр(Т,В>ц)) определяется формулой
IMIp= {J II *(0 IIя Р(Л)} /Р = {J 11* IIя dv} 1р- (6-98)
По теореме 6.1.2 пространство L*, сопряженное с ЬР) тоже предста¬
вляет собой В-пространство.
Чтобы найти общий вид непрерывного линейного функциона¬
ла на пространстве LP(T, В,/i) числовых функций при 1 < р < оо,
заметим, что согласно лемме п.3.7.2 для любых числовых функций
x(t) £ Lp и f(t) € Lq, р”1 -fg"1 = 1, функция f(t)x(t) /i-интегрируема.
Теорема 6.4.6. Для любой функции f(t) 6 Lq формула
fx = J f(t)x(t)n(dt) = J fxdp (6.99)
определяет непрерывный линейный функционал на Lp, норма кото¬
рого равна норме функции f(t) в пространстве Lq.
> Вследствие неравенства Гельдера (3.92)
1/*1 <11/11* 1М1я-
А это значит, что функционал / ограничен и
н/н< ll/ll*
(6.100)
388
ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
С другой стороны, положив
x(t) = \f(t) |«-1€—“TS/(0
и имея в виду, что x(t) 6 Lp, так как
NO lp = I ДО 1/(01*
и, следовательно, ||®||p = ||/||J, получим из (6.99)
I /* I = II /II? < II /INI * Ия = 11/11II/Н|/р = 11/11II/ИГ1 •
Отсюда видно, что \\f\\q < ||/||. Вместе с (6.100) это дает ||/|| = \\f\\q.
Таким образом, любой функции f(t) € Lq соответствует непре¬
рывный линейный функционал / на пространстве Lp, определяемый
формулой (6.99), норма которого || / || равна норме || / \\я функции
f(t) в пространстве Lq. <
Доказанная теорема дает основание предположить, что любой
непрерывный линейный функционал на Lp определяется формулой
(6.99). Это мы сейчас и докажем.
Теорема 6.4.7. Любой непрерывный линейный функционал на про-
странстве Lp(T,B,/i), 1 < р < оо, выражается формулой (6.99), где
f(t) — некоторая функция из пространства Lq(T, В, /i), = 1,
причем норма этого функционала равна норме \\f\\q функции f(t) в
пространстве Lg(T,B,/i).
> Предположим сначала, что мера /i конечна, /i(T) < оо, и рас¬
смотрим значения функционала / на индикаторах измеримых мно¬
жеств *. Очевидно, что /!>* представляет собой аддитивную функ¬
цию множества <р(А) = /1 а- Для любой монотонной последова¬
тельности множеств {>!„}, А = ИшЛ„, имеем || 1 ап — 1 а Цр—*’ 0 и
<р(Ап) —► <р(А) вследствие непрерывности функционала /. Следова¬
тельно, аддитивная функция <р(А) непрерывна. По теореме 2.2.4 она
(r-аддитивна. А так как || 1а ||р = 0 при ц(А) = 0, то <р(А) = 0 при
р(А) = 0, т.е. функция <р(А) /i-непрерывна (п.3.6.1). По теореме Ра¬
дона — Никодима 3.6.2 существует такая /i-интегрируемая функция
/(*), что
<р(а)=/и = j fd» = j munMdt).
A
* Конечность меры /i необходима для того, чтобы индикаторы всех изме¬
римых множеств, включая 1т(0» принадлежали Lp.
§ 6.4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 389
Отсюда следует, что для любой /i-интегрируемой простой функции
x(t) значение функционала / выражается формулой (6.99). А так как
множество /i-интегрируемых простых функций плотно в Ьр (теорема
з.7.6), а функционал / непрерывен, то формула ((5.99) справедлива и
для всех функций x(t) € Lp.
Остается доказать, что f(t) € Lq и \\f\\q = ||/||. Пусть {vn(*)} —
неубывающая последовательность неотрицательных простых функ¬
ций, определяющая | f(t) | (п.3.4.1). Тогда
[»”(*)]* < К(01,-1| /(О I = bn(<)],-1/(0e"<arg/(<)- (6101)
Функция
z(t) = (6.102)
принадлежит LPi так как все функции vn принадлежат Lq:
I z|P = (vn)p(,_1) = (vn)1,
и, следовательно, ||z||{| = ||vn ||J. Поэтому в силу неравенства (6.101)
и формулы (6.102)
IKI|*<//*^ = /*<ll/llll*llp = ll/IIIKIIJ/,, = ll/IIIKIir1.
откуда || vn ||9 <||/|| при всех п. А так как по теореме о монотонной
сходимости 3.5.1
JI /1* <*/« = I™ J(yn)9 dfi = lim || vn ||«,
T° f(t) € Lq и || / ||q <|| /1|. Сопоставляя это неравенство с (6.100),
получаем Н/||? = ||/1|.
Если мера /i <т-конечна, то пространство Т можно представить
как предел возрастающей последовательности пространств {Т„}, на
каждом из которых мера /1 конечна, fi(Tn) < оо. В этом случае
для любого п сужение /п функционала / на подпространство Lp =
= Lp(Tn,Bn) fi) функций из Lp, равных нулю вне ТПу выражается
формулой (6.99), причем, норма || / ||^ функции f(t) в L” равна
II/п || < ||/ ||- В силу единственности функции f(t) в каждом L" функ¬
ция f(t) в L™ при тп > п является продолжением функции f(t) в L"
с Тп на Тт Э Тп. Таким образом, функция f(t) определена на всем
390
ГЛ. б. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
пространстве Т. Докажем, что она принадлежит пространству Lq.
Для этого определим функции
/ и\ _ / АО при teTn,
Jn(t)-\0 при t#T„.
Очевидно, что функции | fn(t) | образуют неубывающую последова¬
тельность, сходящуюся почти всюду к |/(01- Следовательно, на
основании теоремы о монотонной сходимости 3.5.1
J\f\qdti = \imj\fn |4 dn = lim( || /||<п))*.
А так как ||/||^ < ||/|| при всех п, то интеграл в левой части этого
равенства сходится и, следовательно, f(t) Е Lq и \\f\\q < ||/||. Срав¬
нив с (6.100), приходим к выводу, что || /\\я = || /1|. Следовательно,
формула (6.99) определяет функционал / на всем пространстве Lp,
и теорема верна в общем случае <т-конечной меры р. <
' Таким образом, мы доказали, что между непрерывными линей¬
ными функционалами на Ьр и элементами пространства Lqi р~1 +
Ч-д”1 = 1, 1 < р, q < оо, существует взаимно однозначное соот¬
ветствие, сохраняющее норму. Это дает основание отождествлять
пространство L*> сопряженное с Lpi 1 < р < оо, с пространством Lq.
Следствие. Пространство Lp, 1 < р < оо, рефлексивно, по¬
скольку второе сопряженное пространство L**, как сопряженное
с Lp — Lq, p~l + q~l = 1, совпадает с Lp, L** = Lp.
Теорема 6.4.7 верна и для пространства L\. Однако для дока¬
зательства ее в этом случае необходимо изучить пространство Loo
(q = оо при р = 1). Мы не будем здесь делать это, а ограничимся
замечанием, что пространство L\ не рефлексивно.
Заметим еще, что теоремы 6.4.6 и 6.4.7 верны и в более общем
случае, когда Lp = LP(T} В, //, S) представляет собой лебегово про¬
странство функций со значениями в сепарабельном ^-пространстве
5, a Lq = Lq(T, Ву — лебегово пространство функций со значе¬
ниями в сепарабельном сопряженном с S пространстве S*. В этом
случае произведение f(t)x(t), х Е Lp, f Е Lq, представляет собой
числовую функцию.
§ 6.4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ЗАДАЧИ
391
6.4.1. Представить в виде (6.84) линейные функционалы на пространстве
N
f\X = &kx{tk)y ^1 > • • • j E [ 1, 1],
fc=l
/2*= //(<)*(*)Л»
hx = I /(0l*(0 “ *(0)] *1
/4® = / /(0*(0 dt + E <**(**)>
-1 *=1
/5®= /[/(<)*(*) + E £*(*)*(**)] л>
-i *=i
где /(£), <7l(0) • • • > 6 C([—1,1]), и найти их нормы как полные вариации
соответствующих мер flj.
6.4.2. Можно ли представить в виде (6.84) функционал
/*= / x%<°) dt
-1
в случаях 5 Е (0, 1), 5=1и5>1?
6.4.3. Доказать, что норма функционала (6.94) на пространстве Cn([ci, 6])
равна
||/|| = М = шах(| а0 |, •... | a„_i |, | fif |([о, 6])).
У Казани е. Сначала доказать неравенство || / || < М, а затем рас¬
смотреть случаи М = | Qtp | и л/ = Ы(М]).в первом случае определить
Функцию x(t) Е Сп([а, 6]), ||х|| = 1, для которой fx = | Qp |, а во втором по¬
строить последовательность функций {®п(0}’ хп
(<) € С"([а,6]), || *„ ||=1,
для которой sup fxn = I Hj |([я,&])-
6.4.4. Привести к виду (6.94) следующие функционалы на соответствую¬
392 ГЛ. 6. ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
щих пространствах дифференцируемых функций на интервале [—1,1]:
fix = *(0) + сх'(1) + / (а + 6<)ar"(<) dt,
-1
f2x=fx(t)dt, x(t)ecn([-1,1]),
-i
/з*= 52[*kx(tk) + bkx'(tk)],
к=1
fax = х(—1) + х(1) — Зх'(О) -I- / t2x"(t) dt,
-i
1 N
fax = f x'(t)sintdt + 52[akx(tk) + bkx‘(tk) + ckx"(tk) + dkx'"(tk)],
-1 Jk=l
*i,...,t*€[-l,l], x(t)ec3([-1,1])
и найти их нормы.
ГЛАВА 7
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 7.1. Основные понятия и теоремы
7.1.1. Замкнутые операторы. В § 5.2 мы изучили общие свой*
ства непрерывных линейных функционалов и операторов. В част¬
ности, установили, что линейный функционал или оператор, ото¬
бражающий одно нормированное линейное пространство в другое,
непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен. Наряду с
ограниченными линейными операторами в функциональном анали¬
зе важную роль играют неограниченные линейные операторы.
Пусть Т — оператор, отображающий топологическое линей¬
ное пространство X в топологическое линейное пространство У,
Z = X х У — прямое произведение пространств X и У. Множе¬
ство пар {{х, у} : у = Тх} называется графиком оператора Т и обо¬
значается Gr(T). Предположим, что в произведении пространств
Z = X х У обычным образом определена топология, в которой ка¬
ждая окрестность нуля W представляет собой произведение некото¬
рой окрестности нуля U пространства X и некоторой окрестности
нуля V пространства У:
W = UxV = {{*, у} : xeU.yeV] (7.1)
(топология тихоновского произведения пространств (п.4.1.6)). Гра¬
фик линейного оператора Т содержится в некотором подпростран¬
стве пространства Z = X х У, так как из {х*, у*} € Gr(Т) (к =
= 1, ... , п) следует {c\Xi + ... + спхп, сц/i + ... + с„у„} € Gr(Т).
Оператор Т называется замкнутым, если его график Gr(T)
представляет собой замкнутое множество в произведении прост¬
ранств Z = X х У.
Теорема 7.1.1. Если пространства X и У представляют со¬
бой Т\-пространства с первой аксиомой счетности, то оператор Т
замкнут тогда и только тогда, когда из сходимости последова¬
тельностей {хп} С X и {Тхп} С У следует, что х = limxn Е Dt
и у = limTxn = Тх.
394
ГЛ 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
> В случае Ti-пространств X и У с первой аксиомой счетно-
стй Z = X х У тоже представляет собой Ту-пространство с первой
аксиомой счетности. По теореме 4.3.3 точка {х, у) служит предель¬
ной точкой множества Gr(T) тогда и только тогда, когда Gr(T) со¬
держит сходящуюся к этой точке последовательность {{яп> Тх,,}}^
хп —► х, Тхп —► у. При этом {х, у} 6 Gr(T) тогда и только тогда,
когда х G Dt, у = Тх. Следовательно, для замкнутости оператора
Т необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности
{хп}, для которой хп я, Тхп —► у, было X G -Dr, У = Тх. <
Теорема 7.1.1 верна, в частности, для нормированных прост¬
ранств X и У.
Бели оператор Т замкнут и имеет обратный оператор Т”1, то
он также замкнут, так как его график совпадает с графиком Т.
Теорема 7.1.2. Непрерывный оператор замкнут тогда и только
тогда, когда его область определения замкнута.
> Если непрерывный оператор Т замкнут, то его область опре¬
деления Dt замкнута как прообраз замкнутого множества Gr(Т) при
непрерывном отображении z = {х, Тх} пространства X в Z = X хУ
(следствие теоремы 4.3.5). Если Dt замкнута, то для любой пре¬
дельной точки {х, у} графика Gr(Т) оператора Т точка х как пре¬
дельная точка Dt принадлежит Dt и, следовательно, у = Тх, т.е.
{х, у} = {х, Тх} € Gr(T), что свидетельствует о замкнутости графи¬
ка Gr(T) оператора Т. <
Следствие. Непрерывный оператор, определенный на всем про¬
странстве, замкнут.
Если X и У — ^-пространства, то справедливо и обратное
утверждение: замкнутый оператор, определенный на всем прост¬
ранстве, непрерывен (задача 7.1.1).
Если оператор Т не замкнут, но каждая точка замыкания его
графика [Gr(T)] однозначно определяется первым элементом пары
{х, у}, т.е. когда из {хь yi}, {х2, уг} € [Gr(T)], xi = х2 следует,
У1 = У2> то оператор Т может быть продолжен до замкнутого опера¬
тора Т путем добавления к его графику всех не принадлежащих ему
его предельных точек. Замкнутый оператор Т, полученный таким
путем, называется замыканием оператора Т.
7.1.2. Перестановочность интеграла с лртнейным операто¬
ром. Покажем теперь, как свойство (V) интеграла от простой функ¬
ции (перестановочность интеграла с линейным оператором) распро¬
страняется на интегралы от функций со значениями в сепарабель¬
ном ^-пространстве или в топологическом линейном пространстве.
§ 7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
395
Пусть Т — линейный оператор, отображающий линейное про¬
странство У в линейное пространство Z. Сначала докажем свойство
(V) интеграла для непрерывного оператора Т, а потом покажем, что
оно справедливо с некоторым видоизменением и для любого замкну¬
того оператора.
Теорема 7.1.3. Если Т — непрерывный линейный оператор, опре¬
деленный на всем пространстве У, и функция f(x) ц-интегрируема,
то функция <р(х) = Tf(x) /1-интегрируема и
Сначала докажем теорему для интеграла Бохнера.
> Бели У и Z — сепарабельные S-пространства, то из непре¬
рывности оператора Т следует
где || Т || — норма оператора Т. Из этого неравенства и сходимости
последовательности {/п(х)} почти всюду к f(x) вытекает, что по¬
следовательность простых функций {Т/П(ж)} сходится почти всюду
к функции Т/(х). Далее, из
следует, что последовательность {Tfn(x) определяет Tf(x). Таким
образом, функция Tf(x) /i-интегрируема. Наконец, из равенства (V)
для интегралов от простых функций следует
(У)
л
А
А
II гг(*)-т/(*) || <|| т || || г (*)-/(*) II
j НГ/**- 77"* II dfi<\\T II j\\r-r II dft
J Tfdfi = lim J Tf'dfi = limT J Г dp,.
A
A
A
А так как оператор T непрерывен, то
А
А
А
что и доказывает (V). <
Докажем теперь теорему для интеграла Петтиса.
396
ГЛ 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
> Бели У и Z — топологические линейные пространства с топо¬
логиями tq и т#, определяемыми множествами линейных функцио¬
налов G и Н соответственно (п.5.2.4), то из непрерывности операто¬
ра Т в топологиях т£, тн следует, что hT при любом h € Я = Z*
представляет собой непрерывный линейный функционал на У (тео¬
рема 4.3.4), т.е. hT € G = У*. Из определения интеграла Петтиса
(6.10) и (6.11) следует при д = ЛТ
J hTfdn = hT J fdfi.
A A
Эта формула показывает, что интеграл Петтиса от функции у>(х) =
= Tf(x) существует и определяется формулой
J Tfdfi ~tJ fdfi,
А А
что и доказывает теорему. « <
Теорема 7.1.4. Если Т — замкнутый линейный оператор с обла¬
стью определения Dt, отображающий сепарабельное В-пространст-
во Y в сепарабельное В-пространство Z, функция /(ж) имеет значе¬
ния в Dt « функции f(x) и <р(х) = Tf(x) fi-интегрируемы, то
J fdfi eDT И J (fdfi = J Tfdfi = T j fdfi. (V)
A AAA
> Рассмотрим произведение пространств V = У х Z. Бели опре¬
делить в нем норму элемента и = {у, z}, у € У, z € Z, формулой
|| ti ||=|| У || + || г || (задача 2.1.15), то оно будет сепарабельным
В-пространством. График оператора Т, U = Gr(T) = {{у, Ту} :
у € Дг}> представляет собой подпространство пространства V, так
как в силу линейности оператора Т, он сам является нормирован¬
ным линейным пространством. В силу замкнутости оператора Т
любая фундаментальная последовательность {уп, Туп} в U имеет
в U предел {у, Ту}. Следовательно, U является полным нормиро¬
ванным линейным пространством, т.е. В-пространством. Это про¬
странство сепарабельно, как подпространство сепарабельного про¬
странства V.
§7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
397
Поставим теперь в соответствие каждому х € X точку и(х) =
г: {/(х), Tf(x)} в пространстве U С V. Этим мы определим функ¬
цию и(х) со значениями в V. Пусть к — непрерывный линейный
функционал на V. Тогда
ки = *{/, Г/} = *{/, 0} + *{0, Г/} .
Но к{у} 0} = ду, очевидно, представляет собой значение некоторого
непрерывного линейного функционала д в точке у € У, a i{0, z} =
= Az — значение некоторого непрерывного линейного функционала
в точке z € Z. Поэтому любой непрерывный линейный функционал
к в V представим в виде
*{у> z) = 9У + hz
и, следовательно,
ku = k{fiTf}=gf + hTf,
где у и Л — непрерывные линейные функционалы соответственно на
У и Z. По условию функции f(x) и Tf(x) //-интегрируемы, а сле¬
довательно, измеримы. А так как любая измеримая функция слабо
измерима (п.5.3.4), то по теореме 5.3.8 числовые функции gf(x) и
hTf(x), а вместе с ними и их сумма
ku(x) = gf(x) + hTf(x)
измеримы для любого непрерывного линейного функционала к в
пространстве V. Это показывает, что функция и(х) слабо измери¬
ма (теорема 5.3.8). Но слабо измеримые функции со значениями в
сепарабельном 5-пространстве по теореме 5.3.10 измеримы. Следо¬
вательно, функция ti(x) измерима.
Из /i-инегрируемости функций f(x) и Tf(x) вытекает, что норма
функции и(х)
IN*) 11 = 11 /(*) II+ 11 г/00 II
/^-интегрируема. На основании следствия 1 теоремы 3.3.2 из изме¬
римости функции ti(x) и /i-интегрируемости ее нормы следует, что
она /i-интегрируема и
judfi=\j fdfi, J Tfdp
A \A A
398
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
А так как интеграл от функции со значениями в ^-пространстве
всегда имеет значение в том же ^-пространстве, то f udfi является
элементом пространства U = Gr(Т). Отсюда следует (V). <
7.1.3. Сопряженные операторы. Пусть Т — линейный опе¬
ратор, отображающий топологическое линейное пространство X в
топологическое линейное пространство У, X* и У* — пространства,
сопряженные соответственно с X и У. Произведение оператора Т
на функционал д Е Y* представляет собой функционал / = дТ в
пространстве X. Этот функционал линеен вследствие линейности
оператора Т и функционала д:
/(<* 1*1 + «2*2) = g(aiTxi + а2Тх2) = otxfx\ + a2fx2
Область определения этого функционала совпадает с областью оп¬
ределения Dt оператора Т. Если для каждого функционала д из
некоторого множества G С Y* в X* существует единственный функ¬
ционал /, совпадающий с дТ на Дг, то наряду с соответствием
у = Тх линейный оператор Т ставит в соответствие каждому ли¬
нейному функционалу д Е G определенный непрерывный линейный
функционал / Е X*. Иными^словами, линейный оператор Т, отобра¬
жающий ХвУ, индуцирует в этом случае некоторый оператор Т*,
отображающий сопряженное с У пространство Y* в сопряженное с
X пространство X*,
У = Тх, f = T'g.
Этот оператор Т* называется сопряженным с оператором Т. Обла¬
стью определения Дг* сопряженного оператора Т* служит множе¬
ство G тех непрерывных линейных функционалов д, для каждого из
которых функционал дТ непрерывен, т.е. принадлежит простран¬
ству X* у и в X* существует единственный функционал /, совпада¬
ющий :: дТ на Дг. Оператор Т имеет сопряженный тогда и только
тогда, когда в Y* существуют функционалы д> каждому из которых
соответствует единственный функционал / Е X*, совпадающий с дТ
на Дг.
Таким образом, если существует оператор Тф, сопряженный с
данным линейным оператором Т, то он определяется соотношением
(Т*д)х = д(Тх) при всех х Е Dt и д Е -Dt* (7.2)
или символическим равенством = дТ.
Сопряженный оператор линеен, так как если д = ос\д\ + <*202> т0
Т*д = дТ = ari</iX + ^д^Т = c*iT*0i -f агТ*<72 •
§ 7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
399
формула (7.2) определяет сопряженный оператор Т* как функцию
оператора Т, отображающую пространство С(Х} У) в пространство
£(У*, X*) : Т* = <р(Т). Это функция линейна, так как из Т = ciTi-f
+С2Т2 вытекает
Теорема 7.1.5. Если линейный оператор Т отображает тополо¬
гическое линейное пространство X в топологическое линейное про¬
странство У, а линейный оператор S отображает У в топологи¬
ческое линейное пространство Z и существуют сопряженные опе¬
раторы Т* и S* и при этом Rr С Dsf Dt*Rs* , то и оператор
ST, отображающий X в Z, имеет сопряженный оператор, который
определяется соотношением
> Пусть X*, У* и Z* — пространства, сопряженные соответ¬
ственно с X, У и Z. Лля любого А £ Ds• в У* существует един¬
ственный функционал g = S'* А, для которого
В частности, если у £ Rj С Ds, то у — Тх при некотором х и,
следовательно,
С другой стороны, любому g £ Dt• соответствует единственный
функционал / = Т*д в X*, для которого
Следовательно, любому А £ Ds*, для которого д = 5*А £ Dt*, соот¬
ветствует единственный функционал / £ X*, для которого
Т*д = £(ciTi + С2З2) = (ciTj + С2Т2 )# .
(ST)* = T*S*.
(7.3)
ду = A(Sy) при всех у е Ds -
д(Тх) = A(STx) при всех а: £ Dt .
/х = д(Тх) при всех х £ Dt .
/ж = A(STx) при всех х £ Dt .
400
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
с областью определения {Л : h 6 Ds*y S*h 6 Дг•}. А так как / =
= T*g, а д = то
/ = T*S*h.
Сравнивая полученные два выражения функционала /, полу¬
чаем (7.3). «
П р и м е р 7.1. Пусть X — П-мерное евклидово пространство, Т —
линейный оператор, отображающий X в m-мерное евклидово пространство
Y. Этот оператор полностью определяется матрицей А соответствующего
линейного преобразования у = Ах. Так как сопряженные с X и Y простран¬
ства X* и Y* в данном случае совпадают соответственно с X и Y (примеры
6.5 и 6.6), то сопряженный оператор Т* отображает Y в X и определяется
матрицей соответствующего линейного преобразования X = А*у. Уравнение
(7.2), определяющее сопряженный оператор, принимает в данном случае вид
(Аху д) = (х, А*д) или в скалярной форме
m m / п \ n / ~т \ п
Ё (Ах)ТдТ = Ё ( Ё а*>х>) 9т = Ё х> ( Ё 9т ) = Ё х, (А* д) .
Г=1 Г = 1 \в = 1 / 5 = 1 \Г = 1 J 5 = 1
Отсюда видно, что для определения матрицы сопряженного оператора А* на¬
до транспонировать матрицу данного оператора А и заменить в полученной
матрице все элементы соответствующими сопряженными числами. Таким
образом, А* представляет собой матрицу, полученную из А транспонирова¬
нием и заменой всех элементов соответствующими сопряженными числами,
А* = Ат. В частном случае действительных пространств X и Y матрица А*
сопряженного оператора представляет собой транспонированную матрицу А
оператора Т, А* = А?.
Пример 7.2. Пусть Т —; оператор на пространстве С(К) непрерыв¬
ных на компакте К пространства Rn функций x(t), определяемый формулой
Тх = J w(sy t) x(J) dt у s £ L у
где ttf(s, t) — непрерывная функция, L — компакт пространства Rm. Опера¬
тор T отображает пространство X = С(К) непрерывных функций перемен¬
ной t £ К в пространство Y = C(L) непрерывных функций переменной S Е L.
Возьмем множество непрерывных линейных функционалов д на Y = C(L),
представимых в виде
9y = fg(s)y(s)ds. (*)
На основании теоремы Рисса 6.4.4 множество (7 таких линейных функционалов
представляет собой подпространство сопряженного сУ = C(L) пространства
§ 7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
401
Y* = C*(L), G С С*(£). Для всех функционалов д € G
д(Тх) = Jg(8)d8 f w(s, t)x(t)dt =
= /{/«>(*> *(<)*•
Сравнив ото равенство с (7.2), приходим к выводу, что сопряженный оператор
Т* определяется в данном случае как оператор, отображающий множество
G С Y* функционалов д вида (*) в множество F С X* функционалов /
аналогичного вида
fz = ff(t)z(t) dt,
причем
/(0 = /«'(*»
Поэтому можно принять
Т*д = t)g(s)ds.
Отсюда видно, что оператор, сопряженный с линейным интегральным опе¬
ратором, представляет собой интегральный оператор, ядро которого t0*(t, l)
получается из ядра данного оператора ttf(s, t) изменением ролей аргументов,
ltf*(t, s) = w(s, t).
Пример 7.3. Тот же результат получается в случае интегрально¬
го оператора Т, отображающего пространство С^(К) функций переменной
непрерывных вместе со своими производными до порядка N включительно,
в пространство C**(L) функций переменной S, непрерывных вместе со сво¬
ими производными до порядка М включительно. В этом случае F и G —
пространства функций, представляющих собой суммы кусочно непрерывных
функций и линейных комбинаций j-функций и их производных до соответ¬
ствующего порядка.
В соответствии с этим результатом в теории автоматического упрафле?
ния системой, сопряженной с данной линейной системой, называется линейная
система, весовая функция которой получается из весовой функции данной си¬
стемы изменением ролей аргументов [21, § 4.3].
Пример 7.4. Рассмотрим пространство X = Lp(&, С, /1, У) функ¬
ций x(t) со значениями в ^-пространстве У. Линейный оператор
Тх = f a(t) x(t) p(dt) ,
где a(a?) — числовая функция из пространства £' = С» /*» «К*)» +
+5*1 = 1, отображает Lp в У. Пусть g — непрерывный линейный функционал
402
ГЛ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
в У, д £ Y*. Тогда на основании свойства (V) интеграла (перестановочность
интеграла с непрерывным линейным оператором или функционалом, теорема
7.1.3)
g(Tx) = fa(t)gx(t)ii(dt) = (T*g)x.
Отсюда видно, что сопряженный оператор Т* в данном случае определяется
формулой
г** = /«(*)*(•)/*(*),
где точкой, как всегда в подобных случаях, указано Место, на котором должен
находиться аргумент функционала Т*д.
На основании последнего замечания в Н.6.4.6 пространством, сопряжен¬
ным с Ьр, является пространство Lq = ^(д, С, /i, У*) функций со значе¬
ниями в пространстве У*. Если предположить, что У и У* сепарабельны, то
оператор Т* будет ставить в соответствие каждому функционалу д £ У * функ¬
цию Ck(t) д Е Lq. Следовательно, сопряженный оператор Т* в данном случае
представляет собой оператор умножения на числовую функцию Ot(t) £ L'q.
Пример 7.5. Рассмотрим оператор
Тх = _/>(«, t)x(t)n(dt)
в пространстве Lp(A,C, /i), 1 < р < ОО, числовых функций переменной t,
Предполагая, что числовая функция t) обладает следующими свойства¬
ми:
1),при каждом S принадлежит пространству Ьф(д, С, /i), Р”1 + = 1»
а ее норма в С, /i) (конечно, зависящая от 5) || (р ||g(s) принадлежит
пространству Lh{St «S, I/), 1 < Л < ОО, функций переменной S в пространстве
с мерой (5, 5, I/);
2) при каждом t принадлежит пространству <$, 2/), а ее норма в
©том пространстве || <р ||л(0 принадлежит пространству ^(л, С, fi).
Оператор Т отображает Ьр(д, С, /l) в <S, I/). На основании теоре¬
мы 6.4.6 и теоремы Фубини 3.8.3 для любого непрерывного линейного функци¬
онала д на Lh(S, «S, /i)
9(Тх) = fg(s)i/(ds) f<p(s, t)x(t)fi(dt) =
= I *(0 Kdt) f t) g(s) i/(ds),
где g(s) € Lk{S, S, и), Л-1 + fc-1 = 1. При сделанных предположениях
функция
/(*) = fv>(s> t)g(s)i/(ds)
§ 7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ 403
принадлежит пространству 2>д(д, С, fi) и, следовательно, определяет непре¬
рывный л нейный функционал на £р(д, С) fi). Таким образом, сопряженный
оператор Т* определяется в данном случае формулой
Т*д = f<p(s, t)g(s)v(ds).
Он отображает пространство Lk{S, S> I/), сопряженное с S, I/), /*”* +
+JT1 = 1, в пространство С, fi), р”1 + g_1 = 1, сопряженное с <£/р(л,
С, /i).
Пример 7.6. Оператор дифференцирования Z) в пространстве
Ь]) дифференцируемых функций в интервале [а, Ь] отображает
(^([а, Ь]) в пространство непрерывных функций С([я, 6]). Этот оператор
ограничен, и норма его не превосходит единицу, так как элементу x(t) 6
£ Cl(\cL, 6]) с нормой || X || = sup I х(<) | + sup I x*(t) | он ставит в со¬
ответствие элемент X1 (*)€С(М]) с нормой || X* ||= sup I Xf(t) |<|| X ||.
На основании теоремы Рисса 6.4.4 пространством, сопряженным с
с([«, Ч) , служит пространство конечных регулярных мер и любой непрерыв¬
ный линейный функционал на Ь]) выражается через такую функцию fi
формулой (6.84). Следовательно,
y(Dx) = /*'(0/*(*)>
а
где fi — конечная регулярная мера. Но эта формула определяет, согласно
(6.94), непрерывный линейный функционал на С1 ([а, 6]). Принимая во вни¬
мание, что пространством, сопряженным с С1 ([а, 6]), является пространство
пар {«о, А*}, где (*о — комплексное число, a fi — конечная регулярная мера,
(теорема 6.4.5), приходим к выводу, что оператором D*, сопряженным с опе¬
ратором дифференцирования D в С1 ([а, 6]), служит оператор, который ста¬
вит в соответствие мере fi пару {0, /l}, состоящую из нуля и той же меры fi.
Областью определения сопряженного оператора D* служит все пространство,
сопряженное с С([а> 6]).
Бели сузить сопряженный оператор D* на класс функций /i, абсолютно
непрерывная часть которых имеет кусочно-дифференцируемую производную
Радона — Никодима по мере Лебега, а сингулярная часть сосредоточена на
дискретном множестве точек, то предыдущую формулу можно представить в
виде (6.96):
Ъ
g(Dx) = f гv(t)x'(t)dt.
а
Выполнив интегрирование по частям, будем иметь
Ъ
g(Dx) = w(b — 0) х(Ь) — w(a + 0) х(а) — / wf(t) x(t) dt =
а
404
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
»
= — /[ttf(a + 0) 6(t — а) — w(b — 0)6(t — 6) + u>'(t)] x(t) dt,
a
где tv'(t) — обобщенная производная функции w(t) без учета возможных раз¬
рывов ее на концах интервала [а, 6]. Бели теперь положить U/(a) = w(b) = 0
для всех функций w(t) рассматриваемого класса (что всегда возможно вслед¬
ствие того, что производная Радона — Никодима по мере Лебега определена
только с точностью до значений на множестве нулевой меры Лебега), то выра¬
жение в квадратных скобках в последнем интеграле будет представлять собой
производную функции w(t) с учетом ее разрывов на концах интервала
[а, 6], и мы получим
ъ ь
g(Dx) = / w(J) x'(t) dt = - f w'(t) x(t) dt.
a a
Это значит, что рассматриваемое сужение оператора D* t сопряженного с опе¬
ратором дифференцирования D в С1 ([а, 6]), ставит в соответствие функции
w(t) в пространстве, сопряженном с С([а, 6]), функцию — u/(t) в простран¬
стве, сопряженном с СЦ[а, Ь]):
D*w(t) = —w'(t).
Таким образом, рассматриваемое сужение оператора D*, сор ряже иного с
оператором дифференцирования D по t в С\[а, 6]), представляет собой опе¬
ратор дифференцирования по — t (т.е. по отрицательному аргументу).
Рассмотрим теперь пространство L\ функций /(х) в пространстве с ме¬
рой (X, «4,1/) со значениями в пространстве С\[а, 6]) (т.е. пространство
числовых функций двух переменных /(£, х), а < t < Ь, принадлежащих
С\[а, Ь]) при каждом фиксированном Ж, интегралы от которых по мере /1
в X тоже принадлежат С1 ([а, &])). Так как оператор дифференцирования D
в СХ([а, t]) непрерывен, то по теореме 7.1.3 о перестановочности интеграла с
непрерывным линейным оператором
DI /(*) Кdx) = / Df(x) i/(dx),
т.е.
щ I /(*» *) *'(***) = / v№) •
Таким образом, оператор дифференцирования в С1 ([а, 6]) перестановочен с
интегралом Бохнера со значениями в С*1 ([а, Ь]). Иными словами, дифферен¬
цирование интеграла Лебега * по параметру можно производить под знаком
* Интеграл Бохнера в этом случае представляет собой интеграл Лебега от
числовой функции /(£, х), зависящей от параметра t и дифференцируемой по
этому параметру.
§ 7 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
405
интеграла, если подынтегральная функция и интеграл дифференцируемы по
параметру.
Пример 7*7. Оператор дифференцирования D в пространстве непре¬
рывных функций С([а, Ь]) сопоставляет элементу x(t) = ^([а, 6]) с нормой
sup I x(t) I элемент Xf(t) £ С([а, 6]) с нормой sup | X*(t) |. Областью его
определения служит множество функций из С([в, 6]), имеющих непрерывную
производную. Очевидно, что область определения оператора дифференциро¬
вания плотна в С ([а у 6]), так как на основании известной теоремы Вейерштрас-
са [16; т.2] любая функция из С([а, Ь]) может быть с любой степенью точности
равномерно аппроксимирована полиномом, т.е. дифференцируемой функцией.
Ясно, что оператор дифференцирования D в С([а, (]) неограничен, так
как величина || X1 || / || X ||= Slip | X*{i) | /вир | х(<) | может быть как
угодно велика. Так, например, функция x{t) = asinurf принадлежит С{\ау 6])
при любых а>0иа;>0и для нее величина || X1 || / || X ||= U) может иметь
любое положительное значение.
Так как согласно (6.84)
a(Dx) = f Dx(t)n(dt) = f x'(t) fi(dt),
то областью определения сопряженого оператора D* служит множество тех
конечных регулярных мер /I, для которых
/ *'(*) /*(Л) = I *(0 <P(dt),
где (р — тоже некоторая конечная регулярная мера,
Ясно, что функции /1, для которых справедливо предыдущее соотношение, су¬
ществуют. Так, например, для любой функции /i, имеющей кусочно непрерыв¬
ную и кусочно дифференцируемую производную Радона — Никодима w(t) по
мере Лебега,
/ *'(0 /*(л) = I *»(<) *'(0 dt = - / “>'(0 *(0 dt,
а а
где, как и в предыдущем примере считается, что ю(а) = w(b) = 0 и произ¬
водная Wf(t) берется с учетом разрывов функции ty(<). Таким образом, любой
Функции /I вида
м(А) = f w(t)dt,
А
406
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
где функция w(t) кусочно непрерывна и кусочно дифференцируема, соответ¬
ствует единственная мера
9(а) = “ / «>'(0 dt.
1 А
для которой
Jx'(t)n(dt) = /*(<) ip(dt).
Бели сузить оператор D* на меры /i рассматриваемого класса, то, как и в
предыдущем примере, его можно считать оператором дифференцирования по
отрицательному аргументу (по —t).
Оператор дифференцирования в С([а, 6]) замкнут, так как вследствие
полноты пространства дифференцируемых функций С*([а, 6]) из Xn(t) —*
—► х(^), Х*п{{) —► z(t) следует, что функция x(t) дифференцируема и z(t) =
= Поэтому из теоремы 7.1.4 о перестановочности замкнутого оператора
с интегралом, как и в предыдущем примере, следует, что для интегралов Ле¬
бега от функции со значениями в пространстве С1 ([в, 6]) дифференцирование
по параметру можно производить под знаком интеграла (оператор диффере-
цирования перестановочен с интегралом), если производная подынтегральной
функции /i-интегрируема.
Пример 7.8. Оператор дифференцирования D в пространстве основ¬
ных функций Ф (п.6.3.3) ставит в соответствие каждой основной функции ip Е Ф
ее производную <р*. Сопряженный оператор D* согласно (7.2) определяется
формулой
f{D<p) = {D*f)<p,
где / — обобщенная функция. Но на основании (6.39)
f{D<p) = /у?' = -/V.
Сравнив это равенство с предыдущим, получаем
Таким образов, и в этом случае сопряженный оператор D*, определенный
на всем пространстве обобщенных функций Ф*, представляет собой оператор
дифференцирования по отрицательной переменной (по —t).
7.1.4. Существование сопряженного оператора. Приведен¬
ные примеры показывают, что существуют операторы, имеющие со¬
пряженные операторы. Сейчас мы установим общие условия суще¬
ствования сопряженного оператора.
§7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
407
Теорема 7.1.6. Для того чтобы непрерывный линейный оператор
Т имел сопряженный оператор Т*, необходимо и достаточно, чтобы
он был определен на всем пространстве X, Dt = X. В этом случае
сопряженный оператор Т* определен на всем пространстве Y*.
> Бели оператор Т непрерывен, то по теореме 4.3.4 о непрерыв¬
ности сложной функции функционал дТ непрерывен (функционал д
непрерывен по определению сопряженного пространства). Однако,
если оператор Т определен не на всем пространстве Х> Dt Ф X, то
продолжение дТ на все пространство X может быть не единствен¬
ным. Иными словами, в X* может существовать множество функци¬
оналов /, для которых
fx = д(Тх) при x£DT. (7.4)
В этом случае сопряженный оператор Т* не существует. Действи¬
тельно, при Dt Ф X можно считать, что Dt не плотна в X, [Dt] Ф X,
так как при [Dt] = X оператор Т можно продолжить на все X по не¬
прерывности. Взяв любой функционал f\ £ X*, f\ ф 0, для которого
Dt С кег Д, получим fix =' 0 и (/ + Д)х = fx при всех х £ Dt *.
Следовательно, условие jОт — X необходимо. Оно, очевидно, и до¬
статочно, так как из равенства fx = fx при всех х следует /' =
= /•«
Теорема 7.1.7. Если оператор Т не непрерывен, то для суще-
ствования сопряженного оператора Т* необходимо и достаточно,
чтобы область определения Dt оператора Т была плотна в X, т.е.
чтобы замыкание [Dt] области определения оператора Т совпадало
cX,[DT] = X.
> Бели оператор Т не непрерывен, то функционал дТ может
не быть непрерывным. Если в этом случае существует множество
G С Y* функционалов д> для которых функционал дТ непрерывен, то
для существования сопряженного оператора Т* необходимо, чтобы
при каждом д £ G в X* существовал единственный функционал /,
совпадающий с дТ на Dt. Если [Dt] Ф X, то для любого функцио¬
нала fi £ X*, для которого [Dt] С кег /i, f\x = 0 и (/ + /i)z = fx при
всех х £ [Dt] и, следовательно, в X* существует бесконечное мно¬
жество функционалов /, совпадающих с дТ на Dt. Это доказывает
необходимость условия [Dt] = X.
* Бели \Dt] Ф X, то всегда существуют такие функционалы Д £ X*, что
Dt С кег Д, так как Dt — подпространство (следствие 2 теоремы 5.1.4).
408
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Для доказательства достаточности прежде всего заметим, что
если функционалы /, /' G X* совпадают на Dt, то они будут совпа¬
дать и на [Dt] в силу их непрерывности. Поэтому при [Dt] = X в
X* существует при каждом ^ ё G единственный функционал /, со¬
впадающий с дТ на Dt. Остается доказать, что в этом случае мно¬
жество G функционалов д> для которых функционал дТ непрерывен,
не пусто. Для этого рассмотрим график Gr(Т) оператора Т в произ¬
ведении пространств Z = Xx7. Так как для любого непрерывного
линейного функционала А на Z = X х У, A G
hz = Л{х, у} = Л{х, 0} + Л{0, у} == /х + ду, (7.5)
Ч
где /ид — некоторые непрерывные линейные функционалы на X и
У соответственно, / G X*, д G У*, то Z* = X* х У*, т.е. А = {/, $},
f € X*, д € Y*. Таким образом, пространством, сопряженным
с произведением пространств, служит произведение соответствую¬
щих сопряженных пространств. Переписав (7.4) в виде
fx-g(Tx) = 0
и сравнив с (7.5), видим, что для каждой пары {/, </}, удовлетворя¬
ющей (7.4), все точки {х, —Та?}, х G Дг> принадлежат ядру функ¬
ционала Л = {/, $}. Но множество точек {х, — Тх) G х G Dt,
представляет собой график оператора Т, преобразованный опера¬
тором U, отображающим каждую точку {х, у} € Z в точку {х, —у},
У} “ {я, —у}. Таким образом, каждому непрерывному линей¬
ному функционалу Л, ядро которого содержит график оператора Т,
преобразованный оператором U,
UGr(T) С ker Л, (7.6)
соответствует пара {/, (/}, удовлетворяющая,(7.4). А так как для
любого подпространства существуют линейные функционалы, ядра
которых содержат его (следствие 2 теоремы 5.1.4), то непрерывные
линейные функционалы А, ядра которых содержат преобразованный
оператором U график оператора Т, всегда существуют. Для любого
такого функционала пара {/, ^} удовлетворяет условию (7.4). Если
[Dt] = Ху то по доказанному раньше каждому такому д соответству¬
ет единственный функционал / G Х*} т.е. каждая пара {/, ^}, удо¬
влетворяющая условию (7.4), однозначно определяется ее вторым
§ 7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
409
элементом. Это и доказывает существование сопряженного опера¬
тора Г*,
/ = TV (7.7)
Областью определения Dt* оператора Т* служит множество G всех
функционалов д £ Y*, для каждого из которых существует такой
функционал / € X*, что ядро функционала h = {f,g} содержит гра¬
фик оператора Т, преобразованный оператором U. Таким образом,
условие [Dt] = X достаточно для существования сопряженного опе¬
ратора Т*. <
Из доказанной теоремы следует, что при продолжении опера¬
тора Т область определения сопряженного оператора Т* не может
расширяться, так как множество линейный функционалов Л, удовле¬
творяющих условию (7.6), может при этом только суживаться.
Теорема 7.1.8. Сопряженный оператор всегда замкнут.
^ > Заметим прежде всего, что при каждом х £ Dr равенство
<pxh = h{xy -Тх} = fx - g(Tx)
определяет непрерывный линейный функционал tpx на пространстве
Z* = X* х Y* (п.6.1.3). Ядро этого функционала
ker Va = {{/, *}:/*- g(Tx) = 0} (7.8)
замкнуто как прообраз замкнутого одноточечного множества {0}.
График сопряженного оператора Т* представляет собой пересече¬
ние множеств (7.8), соответствующих всем х £ Dt'
Gr (Г*) = П {{/.*} = /* - 9(Тх) = 0} . (7.9)
x£Dt
Но пересечение замкнутых множеств всегда замкнуто. Следова¬
тельно, график оператора Т* представляет собой замкнутое мно¬
жество, что и доказывает замкнутость оператора Г*. <
Теорема 7.1.9. Если оператор Т допускает замыкание и [Dt] =
= X, то его замыкание Т имеет сопряженный оператор Т*, совпа¬
дающий с Т*.
> Если оператор Т допускает замыкание, то график его замыка¬
ния Т по определению представляет собой замыкание графика опе¬
ратора Т, Gr(?) = [Gr(T)]. А так как ядро любого непрерывного
линейного функционала замкнуто как прообраз одноточечного за¬
мкнутого множества {0} и любое замкнутое множество содержит
410
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
замыкания всех его подмножеств, то из того, что ядро функционала
Л 6 Z* содержит преобразованный оператором U график оператора
Т, следует, что оно содержит и его замыкание [U Gr(T)] = (7[Gr(T)]
= UGt(T), и наоборот. Следовательно, множество пар {/, у}, удо¬
влетворяющих условию (7.4) для оператора Т, совпадает с множе¬
ством пар, удовлетворяющих условию (7.4) для оператора Т.
Иными словами, графики операторов Г и Г совпадают, т.е.
Г* = Г*. <
7.1.5. Положительные операторы. Пусть X — топологиче¬
ское линейное пространство, X* — соответствующее сопряженное
пространство. Линейный оператор Т, отображающий пространство
X в сопряженное пространство Х*} называется положительным,
если для любого х Е X
(Тх)х > 0. (7.10)
Точно так же линейный оператор Т, отображающий сопряженное
пространство X* в X, называется положительным, если для любого
функционала / Е X*
/Г/ = /(Т/)> 0. (7.11)
Аналогично определяются отрицательные операторы, отобра¬
жающие X в X* или X* в X. Оператор Т отрицателен тогда и
только тогда, когда оператор — Т положителен.
Понятие положительного оператора дает возможность частич¬
но упорядочить множество всех линейных операторов, отображаю¬
щих X в X* или X* в X, и писать знаки неравенства между неко¬
торыми операторами. Так, например, запись Т > 0 означает, что
оператор Т положителен (больше ”нулевого” оператора, отобража¬
ющего X или X* в нулевой элемент пространства X* или, соответ¬
ственно, X). Запись > Т\ означает, что ТЬ — Т\ > 0. При этом
знак равенства отбрасывается, если в X (соответственно в X*) нет
элемента, для которого достигается равенство.
Линейный оператор Т, отображающий нормированное линей¬
ное пространство X в сопряженное пространство X*, называется
положительно определенным, если
(Тх)х > с || х ||
при всех х Е X для некоторого с > 0.
Пример 7.9. Линейный оператор Т с эрмитовой неотрицательно
определенной матрицей А, отображающий П-мерное евклидово пространство
$ 7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
411
X в себя, положителен, так как
(Г*)* = (*, Ах) = £ xt £ auxi - aktxkx, > О
i=l (=1 1,/=1
при всех Xi , .. . , Хп в силу неотрицательной определенности матрицы А.
Пример 7.10. Линейный оператор Т примера 7.5 при S' = А, V =
=: fi,h = q отображает пространство .£р(Д, С, /i) в сопряженное пространство
С р). Он положителен, если
(Г*)* = f x(s)fi(ds) f<p(s, t)x(t)n(dt) =
/ / Ф, 0 *(0 *(*) Мл) /*(<*«) > 0 (*)
при любой функции x(t) Е ^р(Д) £) А1)*
Пример 7.11. Рассмотрим линейные операторы 7i и Т2 того же типа,
что оператор Т в примере 7.10. Оператор Т\ меньше оператора Г2, Tj < Т2,
если их ядра <pi(sy t) и <p2(s, t) таковы, что их разность ^(s, t) = ^г($> 0"“
t) удовлетворяет условию (*).
7.1.6. Изометрические операторы. Линейный оператор V,
определенный на всем 2?-пространстве X и отображающий его на
все В-пространство У с сохранением нормы,
11^*11 = 11*11, хех, Rv = Y,
называется изометрическим.
Очевидно, что любой изометрический оператор ограничен и его
норма равна единице: || К ||= 1.
Теорема 7.1.10. Изометрический оператор V всегда имеет об-
ратный оператор V~l, который также изометричен.
> Если К* = Vx' = у, то 0 =|| Кх - Кх' ||=|| К(х - х') ||=|| х - х' ||,
т.е. х; = х. Таким образом, изометрический оператор V устана¬
вливает взаимно однозначное соответствие между векторами про¬
странств X и У с сохранением нормы. Значит, обратный оператор
существует и, как легко видеть, линеен. А так как Dy-i = Ry = У,
Rv-i = Dv = X, то он изометричен. <
Теорема 7.1.11. Изометрический оперётор V имеет сопряжен¬
ный оператор V*, определенный на всем сопряженном cY простран¬
стве У*. Этот оператор также изометричен и (V*)~x = (Vr~1)*.
> Так как Dy = X, то по теореме 7.1.6 сопряженный оператор V*
существует и Dy* = У*. Определяющее его уравнение (7.2) имеет
вид
(V*g)x = g(Vx). (7.12)
412 ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Так как || Vx ||=|| х ||, то
I (У*д)х | = | g(Vx) | < || 0 || || х ||, (7.13)
причем по определению нормы функционала при любом е > 0 в X
существует вектор хо, Для которого
I (Vg)xо | = | g(Vx„) | > (|| д || -е) || *„ || . (7.14)
С другой стороны, при любом х € X
l(V#)*l<l|V*|||M| . (7.15)
Из (7.13) следует || V*g ||<|| д ||, а из сравнения (7.14) с (7.15) при
х = хо вследствие произвольности е > 0 получаем || д ||<|| V*g ||.
Полученные противоположные неравенства дают || V*g ||=|| д || при
любом у € У*.
Пусть теперь / — любой непрерывный линейный функционал
в X, / 6 Г. Тогда, поскольку по теореме 7.1.10 существует изо¬
метрический оператор К"1, также имеющий сопряженный (V^1)*,
определенный на всем пространстве X*, для любого х £ X
fx = flV-'iVx)] = [(V-'MiVx) = (Vg)x,
где g = (V'”1)*/. Следовательно, любому / € X* соответствует та¬
кой функционал д € У*, что / = V*g. Это значит, что V* отображает
У* на все пространство X*. Установленные свойства оператора V*
доказывают, что он изометричен. Наконец, из соотношений / = V*g
и д = (V~x)*f следует (V*)”1 = (V'"1)*. <
Пример 7.12. Из рассуждений п.6.1.3 следует, что отображение вто¬
рого сопряженного пространства X** в пространство X, определяемое фор¬
мулой <pxf = ft, X 6 X, / € X*, <fiс € X**, представляет собой изометрию,
если X — рефлексивное 27-пространство.
Пример 7.13. Оператор Vt ставящий в соответствие непрерывному
линейному функционалу / в Ьр, 1 < р < ОО, елемент д{х) пространства Ly,
— 1 изометричен, так как он устанавливает взаимно однозначное
соответствие между всеми непрерывными линейными функционалами в Ьр и
всеми элементами пространства Lq с сохранением нормы.
7.1.7. Унитарные операторы. Линейный оператор {/, отобра¬
жающий ^-пространство X на то же пространство X с сохранени¬
ем нормы, Du = Ru = X, || Ux ||=|| х || Vx, называется унитарным.
§ 7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
413
Иными словами, унитарным называется изометрический оператор,
отображающий В-пространство X на то же пространство X.
Из общих свойств изометрических операторов следует, что
унитарный оператор U ограничен, его норма равна единице, || U ||=
г: 1, и что существуют обратный оператор U~l и сопряженный опе¬
ратор U*у которые также унитарны, причем*(17ф)“1 = (С/'“1)*.
Пример 7.14. Оператор U с ортогональной матрицей в й” унитарен,
так как в силу ортогональности матрицы А ее определитель отличен от нуля
И { \2
1М*||3=Е(Лх)’=Е (£<.„*, =
Р=1 р=1 \«=1 /
п п I п \
= 2 apqQprxqXr = I !С =
р,*,г=1 *,г=1 \рз:1 у
= Е bqrXqXr = Е ** = II Х IP *
f,r=1 fl=l
7.1.8. Унитарно эквивалентные операторы. Пусть 7\ — опе¬
ратор, отображающий В-пространство ЛГ в X, а Т2 — оператор, ото¬
бражающий ^--пространство У в У. Операторы Т\ иТ2 называются
унитарно эквивалентными, если существует такой изометрический
оператор V, оторажающий X на У, что из а? € Dtx , у € Дг* и у = Кж
следует Тгу = VT\x. Из этого определения следует, что операторы
Т\ и Тг унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда суще¬
ствует такой изометрический оператор К, отображающий X на У,
что
T2 = VTiK“1, Ti = КТ1=Г2К. (7.16)
7.1.9. Теорема Банаха — Ште&нгауза. Рассмотрим мно¬
жество непрерывных (а следовательно, и ограниченных по теоре¬
ме 5.2.10) операторов {Та}, отображающих в В-пространство X в
^-пространство У и определенных на всем пространстве X.
Теорема 7.1.12. Если множество {Тах} ограничено при каждом
а? Е X, то множество норм {||Та||} операторов Та ограничено (тео¬
рема Банаха — Штейнгауза).
> Для доказательства рассмотрим функционал
<р(х) = sup II Тах |( .
а
(7.17)
414
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Из определения супремума следует, что при любых х 6 X и t > О
можно найти тако# оператор Та, что
ф)~ || Тах ||< е/2.
В силу непрерывности Зтого оператора Та при любом е > 0 можно
найти такое 6 > 0, что
11| Тах' || - || Тах || | < || Тах' - Тах ||< е/2
при всех х', || х1 — х ||< 6. Из полученные двух неравенств и опреде¬
ления (р(х) следует, что
<р(х) - <р(х') < <р(х)~ II Тах II + II Тах II - II Тах' ||< е,
т.е.
(р(х') > (р(х) - е при всех х', || х' - х ||< 6. (7.18)
Функционалы, обладающие таким свойством при всех х 6 X, назы¬
ваются полунепрерывными снизу. Таким образом, функционал <р(х),
определяемый формулой (7.17), полунепрерывен снизу. Далее, из
свойств нормы и верхней грани непосредственно следует, что <р(х)
является выпуклым функционалом (п. 5.1.5), так как
<р(я 1 + z2) < <р(яl) + <р(х2), (7.19)
ф(у х) = I 7 I Ф) (7.20)
при всех xi, Х2, х, у. Таким образом, <р(х) представляет собой полу¬
непрерывный снизу выпуклый функционал.
Чтобы доказать теорему, достаточно показать, что функционал
<р(х) ограничен в единичном шаре £i(0) (шаре с центром в точке
х = 0 радиуса единица). Действительно, если существует такое
число с > 0, что
(р(х) < с при всех х, || х ||< 1, (7.21)
то на основании (7.20) при любых х £ X и е > 0
<р(х) = (II X и +е) <р (||д. jj+c) < с(111II +е) •
§ 7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
415
Отсюда вследствие произвольности е > 0 получаем
<р(х) = SUP || ТаХ ||< Cl || * ||, Cl > с,
а
т.е. || Та ||< ci при всех а, что и требуется доказать.
Лля доказательства ограниченности <р(х) в единичном шаре
51(0) предположим противное и заметим, что в таком случае <р(х) не
может быть огращ<ченным ни в каком другом шаре 5г(*о) (радиуса
г с центром в точке хо). Лействительно, если (р(х) ограничен в шаре
5г(хо), <р{х) < о, при всех х, || х — хо ||< г, то, положив z = (х — хо)/г,
из (7.19) и (7.20) получаем
. (х-хЛ 1 ф(х) + <р(х0) 2а
Ф) = 9 ( —— ) = ~ *о) < < — ■
\ Г / г г г
Таким образом, <p(z) < с = 2а/г при всех z, || z ||< 1. Следовательно,
если функционал <р(х) ограничен в каком-нибудь шаре 5г(х0), то он
ограничен и в единичном шаре Si(0).
Итак, предположим, что ^(х) не ограничен в Si(0). Возьмем про¬
извольную неограниченно возрастающую последовательность чи¬
сел {f7n}j fa > 0> т)п —> оо при п —► оо, и выберем в Si(0) такую
точку xi, что (р(хi) > 171. Вследствие полунепрерывностй у?(х) снизу
(7.18) при любом е > 0 существует окрестность S^x 1) точки хь во
всех точках которой (р(х) > щ — е. Взяв произвольное 6 > 0, можем
выбрать Si, так, чтобы было Si < 6/2 и чтобы шар 5^(xi) лежал
целиком внутри единичного шара, Ssx(x 1) С Si(0). Так как (р(х) не
может быть ограниченным в Ss1(x 1), то существует такая точка х% Е
Е 5^x(xi), что у?(хг) > rj2 и, следовательно, в силу (7.18) <р(х) > щ — е
при всех х в некотором шаре £$2(х2). При этом радиус 62 можно вы¬
брать так, что Ss2(хг) С S^(x 1), 62 < S/22. Продолжая этот процесс,
получим последовательность точек {хп} С Si(0), <р(хп) > Чп, убыва¬
ющую последовательность шаров (S*„(xn)}, Stn(xn) С S^.^Xn-i),
6п < 6/2п, <р(х) > J]n — е при всех х 6 Ssn(xn). Последовательность
{^п}) очевидно, фундаментальна, так как при любых тп и п > тп
хп € S*m{xm) и, следовательно,
II хп ~ xm ||< 6т < S/2m .
В силу полноты ^-пространства X последовательность {хп} схо¬
дится к некоторой точке xq. Эта точка принадлежит всем шарам
416
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
&т(жп), хо Е Ssn(xn) при всех п, так как все точки последовательно¬
сти {хп}, начиная с хП) лежат внутри шара 5^ft(xn). Но <р(х) > г)п
при х Е Ssn(xn)- Следовательно, <р(х0) > т)п — £ при всех п. А так как
г)п —► оо при п —► оо, то <р(хо) = оо. Но это противоречит условию те¬
оремы, согласно которому множество {Тах} ограничено при любом
х. Полученное противоречие доказывает ограниченность функцио¬
нала (р(х) в единичном шаре (7.21), а вместе с тем и справедливость
теоремы. <
Следствие 1. Если последовательность {Тпх} сходится при ка-
ждом х Е X, Тпх —► Тх, то предельный оператор Т является огра¬
ниченным линейным оператором.
> Линейность Т следует из линейности всех Т„. Из сходимости
последовательности {Тпх} при каждом х следует ее ограниченность.
По доказанной теореме последовательность норм {|| Тп ||} ограни¬
чена. Следовательно, существует такое с > 0, что
1i?if=lim^IRT■ 8»р 11 т"!|<с’ те- ||т||<с- 4
Следствие 2. Любая слабо сходящаяся последовательность в нор¬
мированном линейном пространстве ограничена.
> Для доказательства достаточно заметить, что каждому хп со¬
ответствует непрерывный линейный функционал fxn на сопряжен¬
ном пространстве Х*} которое по теореме 6.1.2 является В-прост-
ранством, причем норма этого функционала равна || хп || (п.6.1.3).
Поэтому {fxn} представляет собой последовательность значений
функционалов хп в точке / Е X*. В силу слабой сходимости {хп}
к х последовательность {fxn} сходится к fx при всех / и, следо¬
вательно, ограничена при каждом / Е X*. По доказанной теореме
последовательность норм {|| хп ||} ограничена. <
Следствие 3. Сопряженное с рефлексивным В-пространст-
вом X пространство непрерывных линейных функционалов X* слабо
полно.
> Предположим, что последовательность {/п} С X* слабо фун¬
даментальна. По теореме 5.3.4 числовая последовательность {/п*}
при любом х Е X фундаментальна, а следовательно, и сходится к
некоторому (зависящему от х) пределу fx = lim /пх. На основании
следствия 1 / — ограниченный линейный функционал, / Е X*. Та¬
ким образом, в X* существует такой функционал /, что fnx —►
при любом х Е X. На основании теоремы 5.3.3 это значит, что
любая слабо фундаментальная последовательность {/п} в X* слабо
§ 7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
417
сходится к некоторому пределу / Е X*} т.е. что пространство X*
обладает слабой полнотой. <1
Теорему Банаха — Штейнгауза 7.1.12 называют также принци¬
пом равномерной ограниченности.
7.1.10. Ограниченные линейные операторы в нормирован¬
ном линейном пространстве. Теорема 7.1.6 устанавливает суще¬
ствование сопряженного оператора Т* для любого непрерывного
оператора Т, определенного на всем топологическом линейном про¬
странстве X. Продолжим изучение оператора Т* в случае норми¬
рованных линейных пространств X и У и непрерывного оператора
Т.
Теорема 7.1.13. Если X и У — нормированные линейные про¬
странства, то оператор Т*, сопряженный с оператором Т, ограни-
чем « || Т* ||=|| Т ||.
> Так как оператор Т ограничен, то
|(Г^*М^*|<|ЫМ|Г|||М|.
Отсюда следует
II Т*д || < || flt || || Т || и ||Т*||<||Т|| . (7.22)
С другой стороны, на основании следствия теоремы 5.2.12 в У* су¬
ществует такой функционал д с единичной нормой, который прини¬
мает значение || у0 || при данном у0 : II 9 11= 1 > 9Уо =11 Уо ||- Положив
2/о = Тх, получим дТх =|| Тх ||. А так как дТх = (Т*д)х, то
1|Г*||<||Г || || 0 IIII * ||=|| Тл || || х || .
Отсюда следует || Т ||<|| Т* ||. Вместе с (7.22) это дает || Т* || =
= ||гц.«
Теорема 7.1.14. Если X —рефлексивное В-пространство и огра¬
ниченный линейный оператор Т определен не на всем пространстве
X, то его можно продолжить на все пространство X с сохранением
нормы.
> Если Dt Ф X, то из доказательства теоремы 7.1.6 следует,
что в X* существует бесконечное множество функционалов /, удо¬
влетворяющих при данном g Е У* условию (7.4):
fx = g(Tx) при х Е Dt
418
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Однако все эти функционалы совпадают на Dt. Поэтому, взяв при
каждом д какой-нибудь один из них /, можно и в этом случае опре¬
делить сопряженный оператор Т*, положив Т*д = /. Этот опера¬
тор определен на всем пространстве У* и в силу (7.22) ограничен и
II Т* ||<|| Т ||. Следовательно, существует сопряженный с Т* опера¬
тор Т** = (Т*)*, определенный на всем пространстве X = X**. По
теореме 7.1.13 оператор Т** ограничен и || Т** ||=|| Т* ||. Так как в
данном случае любые непрерывные линейные функционалы <р на X*
и ^ на У* определяются формулами <pf = /а:, фд = при некото¬
рых х € X и у G У, то формула (7.2), определяющая сопряженный
оператор, принимает вид
^(Т**а?) = (Т*£)а? при всех я 6 X .
Сравнив эту формулу с (7.2), видим, что оператор Т** представляет
собой продолжение оператора Т на все пространство X. Следова¬
тельно, || Т** ||>|| Т ||. Отсюда и из ранее полученного соотношения
IIТ** 11=11 Г* ||<|| Т II следует || Т» ||=|| Т || <.
Та?<им образом, область определения ограниченного линейного
оператора в рефлексивном В-пространстве всегда можно считать
совпадающей со всем пространством.
Теорема 7.1.15. Если X и У — нормированные линейные про¬
странства, оператор Т определен на всем пространстве X, а со¬
пряженный оператор Т* определен на всем пространстве У*, то
оператор Т ограничен.
> Предположим, что Т неограничен. Тогда в X существует та¬
кая последовательность {zn}, что || Тхп || > п || хп || при всех п.
Положив zn = хп/ || хп ||, получим || Tzn || > п. С другой стороны
g(Tzn) = (T*g)zn и, следовательно, | g(Tzn) | < || T"g || || z„ || = ||'Т~у ||
при всех д G Y*. Таким образом, последовательность непрерыв¬
ных линейных функционалов {Tzn} в пространстве У* обладает тем
свойством, что последовательность {| g(Tzn) |} ограничена при лю¬
бом д G У*. По теореме 6.1.2 У* является В-пространством. Поэто¬
му из теоремы Банаха — Штейнгауза 7.1.12 следует, что и после¬
довательность норм этих функционалов {|| Tzn ||) ограничена, т.е.
существует такое число с < оо, что || Tzn ||< с при всех п. Но это
противоречит неравенству || Tzn ||> п. Это противоречие доказы¬
вает ограниченность оператора Т. <
7.1.11. Теорема Банаха об обратном операторе. Большую
роль в функциональном анализе играет теорема Банаха об ограни-
§ 7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
419
ценности обратного оператора. Доказательство этой теоремы опи¬
рается на ряд других теорем, которые мы сейчас докажем.
Теорема 7.1.16. Если В-пространство представляет собой
счетное оббединение замкнутых множеств, то по крайней мере одно
из них содержит непустое открытое множество (теорема Бэра).
> Предположим, что В-пространство X представляет собой
счетное объединение замкнутых множеств {Fn}:
X=\JFni (7.23)
*=i
и что ни одно из множеств Fn не содержит непустого открытого
множества. Бели F\ не содержит непустого открытого множества,
то F\ ф X. Следовательно, открытое множество F\ не пусто. Пусть
х\ — произвольная точка множества F\y 5ri(a?i) — шаровая окрест¬
ность точки a?i, содержащаяся в F\> S\ = Sri(zi) С F\. Если F2 не со¬
держит непустого открытого множества,.то оно не может содержать
шар Sri/2(xi). Поэтому пересечение An^ri/^i) представляет со¬
бой непустое открытое множество. Пусть х2 — произвольная точка
множества F2 П-^/гОрО» Sr3(*2) — шаровая окрестность точки х2,
содержащаяся в F2Г|5Г1 /2(хх), S2 = Sr2(x2) С F2f]Sri/2(xi). Ради¬
ус т2 шара S2 всегда можно выбрать меньшим, чем г\/2,'г2 < ri/2.
Продолжая так, получим после п — 1 шагов точки х\, ... , жп-1 и
вложенные один в другой шары S\, ... , 5n-i, S* С S*-i с центра¬
ми в точках х\у ... , zn_i и радиусами ri, ... , rn_i, г* < r*_i/2.
Так как множество Fn не содержит непустого открытого множе¬
ства, то оно не содержит шар 5rw_1/2(a?n-i)* Поэтому пересече¬
ние Fnf]Srn_l/2(xn-\) представляет собой непустое открытое мно¬
жество. Взяв в этом множестве произвольную точку хп с содер¬
жащейся в нем шаровой окрестностью Sn = 5Гп(хп), rn < rn_i/2,
получим п точек х\, ... , хп и п вложенных один в другой шаров
Si, ... , 5П. Продолжая этот процесс, получим последовательность
точек {а?п} и последовательность вложенных один в другой шаров
{£„}, причем || - хп-1 ||< г„_i/2, г„ < г„_х/2 < п/2" Vn. Так как
при любом m все точки жп, п > т, принадлежат шару Sm , то при
любом натуральном р
|| xm ~ ^т+р ||< гт < Г\/2т . .
Поэтому последовательность {хп} фундаментальна и в силу полно¬
ты В-пространства X имеет предел х = lim хп. Так как при любых
420
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
п и т > п
|| Ж — Хп || < || X — Xffi || + || хп || < || х хт || “Н**п >
то, переходя к пределу при m —► оо, получаем || ж — хп ||< гп. Следо¬
вательно, х £ 5П, т.е. предельная точка ж принадлежит всем шарам
5„ (п = 1,2,...). А так как при любом п 5П С Fni то точка ж не мо¬
жет принадлежать ни одному из замкнутых множеств Fn. Из (7.23)
следует, что ж £ X, что невозможно. Полученное противоречие до¬
казывает теорему. «
Теорема 7.1.17. Если Т — ограниченный линейный оператор,
отображающий все В-пространство X на все В-пространств о Y,
ТХ = У, то образ любой шаровой окрестности нуля пространства
X содержит шаровую окрестность нуля пространства У.
> Пусть S = 5Г(0) — шаровая окрестность нуля в пространстве
Xf А = 5/2 = 5г/г(0). Очевидно, что для любых двух точек xi,
ж2 € Л, Ж1 - ж2 £ 5, так как || х\ - ж2 ||<|| жх || + || ж2 ||< г/2 + г/2 = г
и, следовательно, у\ — у2 £ TS для любых двух точек У\у У2 £ ТА.
Заметим теперь, что любая точка х £ X принадлежит всем мно¬
жествам пАу соответствующим п > 2 || ж || /г. Поэтому любая точка
у £ У как образ некоторой точки ж £ Ху у = Тж, принадлежит всем
множествам пТАу начинал с некоторого, у £ пТА С [пТА] = п[ТА\.
Следовательно,
У = 0[”ТЛ],
п=1
т.е. В-пространство У представляет собой счетное объединение
замкнутых множеств. По теореме Бэра 7.1.16 хотя бы одно из мно¬
жеств [пТА] = п[ТА] содержит непустое открытое множество. А так
как отображение z = у/п взаимно однозначно и взаимно непрерывно
(т.е. представляет собой гомеоморфизм, п.4.4.5), то множество [ТА],
а следовательно, и множество ТА содержит некоторое непустое от¬
крытое множество G. Пусть у — любая точка множества G и Sp(y)
— ее шаровая окрестность, содержащаяся в G. Так как для любой
точки z £ Sp( 0) точки уи: + у принадлежат Sp(y) С G С ТАу то по
доказанному выше точка z = (z + у) — у принадлежит множеству TS.
Но z — любая точка шара 5Р(0). Следовательно, 5Р(0) С TS} что и
доказывает теорему. <1
Теорема 7.1.18. При непрерывном линейном отображении все¬
го В-пространства X на все В-пространство У образы открытых
множеств открыты (принцип открытости отображения).
§ 7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
421
> Пусть Т — ограниченный линейный оператор, отображаю¬
щий все ^-пространство X на все В-пространство У, G — любое
открытое множество в X, у — любая точка образа TG множества
Gy У € TGy х 6 G — точка множества G, для которой у = Тх, Sr(x)
— окрестность точки х, содержащаяся в G, Sr(x) С G. По теоре¬
ме 7.1.17 образ шаровой окрестности нуля 5Г(0) содержит некоторую
шаровую окрестность нуля 5Р(0) пространства У, Т5Г(0) Э 5Р(0).
Отсюда, учитывая, что Sr(x) = 5Г(0) -I- х С G, Sp(y) = Sp(0) + у,
у = Тя, получаем 5р(у) С TSr(x) С TG. Таким образом, любая точ¬
ка множества TG входит в него вместе с некоторой ее окрестностью,
т.е. TG — открытое множество. <
Теорема 7.1.19. Если ограниченный линейный оператор Т, ото¬
бражающий все В-пространство X на все В-пространство У, име¬
ет обратный оператор Т~г, то этот обратный оператор ограничен
(теорема Банаха).
> По теореме 7.1.18 образы открытых множеств при отображе¬
нии Т являются открытыми множествами. Но образ В множества
А, В = ТАу при отображении Т служит прообразом множества А
при обратном отображении Г"1 (при переходе к обратным отобра¬
жениям образы и прообразы меняются ролями). Следовательно,
прообразы всех открытых множеств при отображении Т'1 являют¬
ся открытыми множествами. По теореме 4.3.5 отображение Г"1 не¬
прерывно, что и доказывает ограниченность оператора Т"1. <
ЗАЛАМИ
7.1.1. Доказать теорему: замкнутый оператор Т, определенный на
всем ^-пространстве X и отображающий X в ^-пространство У, непрерывен
(п.7.1.1).
У Казани е. График оператора Т представляет собой замкнутое подпро¬
странство V В-пространства Z — X хУ, т.е. сам является ^-пространством.
Между пространствами X и V существует взаимно однозначное соответствие,
причем оператор проектирования Рх пространства V на X непрерывен (зада¬
ча 4.3.9); впрочем, ото легко доказывается непосредственно — норма элемента
v = {x,Tx}ev. равна II * II + II Тх II, а норма его образа X = PXV равна
|| X ||). Остается применить теорему Банаха об обратном операторе 7.1.19.
7.1.2. Доказать существование оператора А*, сопряженного с оператором
Ax = fK(Sy t)x(t)dty
т
отображающим Lz(T) в себя, Т С Й”, и найти А*.
422 ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
7.1.3. Доказать существование оператора L", сопряженного с дифферен-
ци&льным оператором
L =£>(*) Л», D=f
*=о аг
в пространстве Z/2([c*, /?]) И найти L* (а > —оо, (3 < оо).
Указание. Вспомнить теорему 3.7.7 и теорему Вейерштрасса об
аппроксимации непрерывной функции полиномом [16, т.2].
7.1.4. Та же задача для дифференциального оператора
1 = £at(zi ’ • • • ’ 2п)ш; + 2 М* - • • • >
в пространстве 2^2(^)» гДе ^ — компакт в пространстве Дп.
7.1.5. Обобщить результат задачи 7.1.4 на случай оператора
/
£ = «»(*)+£ £ a-MgrApr,
*=l|r|=k У*1 •"а*п
где Z Е 2 и Г — П-мерные векторы 2 = [zj ... Г = [t*i ... а | Г |=
= Гх + . .. + Г„.
7.1.6. Доказать теорему Банаха — Штейнгауза 7.1.12, применив теорему
Бэра 7.1.16.
Указание. Определить множества
F„ = {* : || Тах || < n Va}.
Эти множества замкнуты в силу непрерывности операторов Та и
\JFn=X.
П = 1
По теореме 7.1.16 по крайней мере одно множество Fn содержит непустое от¬
крытое множество G. Взяв в этом множестве произвольную точку Хо и ее
шаровую окрестность Sr(xo) С G, доказать, что для любой точки X € X
II ТаХ || < 2n || X || Va, т.е. || Та II < С, Vc > 2П для всех а. Это дока¬
зательство значительно проще приведенного в п.7.1.9. Преимущество доказа¬
тельства, приведенного в п.7.1.9, заключается в его независимости от теоремы
Бэра.
§ 7.2. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
423
§ 7.2. Операторные уравнения
7.2.1. Общий вид операторного уравнения. Лля дальнейше¬
го изложения теории линейных операторов необходимо уметь дока¬
зывать существование и единственность решений некоторых опера¬
торных уравнений. Поэтому мы сейчас изучим один общий метод
доказательства таких теорем, который во многих случаях успешно
применяется, — метод сжимающих отображений (он называется
также принципом сжимающих отображений). Этот метод приме¬
ним к операторным уравнениям общего вида, как линейным, так и
нелинейным.
Многие уравнения, встречающиеся в различных областях ма¬
тематики, можно записать в общей форме
Ах = у (7.24)
или
Ах = х, (7.25)
где А — некоторый оператор, в общем случае нелинейный, ото¬
бражающий некоторое пространство X в другое пространство У
в случае уравнения (7.24) и в то же самое пространство X в случае
уравнения (7.25). Однако уравнение (7.24) всегда можно привести к
(7.25). Лля этого достаточно взять любой оператор В, отображаю¬
щий взаимно однозначно все пространство У на некоторое линейное
пространство Z, и любой оператор С, отображающий взаимно одно¬
значно Z на пространство X, положить х = Cz и записать уравнение
(7.24) в виде
BACz + z — By = z.
Это — уравнение вида (7.25) с оператором Dz = BACz + z — By
(зависящим от у). Поэтому будем дальше изучать только уравне¬
ние (7.25). Предварительно рассмотрим некоторые важные классы
задач, приводящих к уравнению (7.25). Для этого необходимо опре¬
делить производные функций действительной переменной со значе¬
ниями в ^-пространствах.
7.2.2. Производные функций со значениями в 5-прост¬
ранстве по действительной переменной. Для функций скалярной
действительной переменной со значениями в Д-пространстве можно
обычным путем определить производные. Пусть у = f(t) — функ¬
ция действительной переменной t со значениями в Б-пространстве
424
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
У. Бе производные по t определяются обычными формулами
s'") =/Ы(0 = (р = 2,3,...). (Т.26)
В силу полноты 5-пространства У для существования производной
f(t0) функции f(t) в точке to необходимо и достаточно, чтобы для
любой последовательности действительных чисел {Ап}, сходящейся
к нулю, hn —► 0, последовательность
/я(<0) = %*? +.Ч - /(*<>) („ = 1,2,...) (7.27)
«П
была фундаментальной. При этом сходимость и фундаменталь¬
ность, конечно, понимаются как сходимость и фундаментальность
в метрике пространства У, порожденной нормой,
/(<о + л*)-/(*о)_//(,о)
О при д* —► 0, (7.28)
Д<
H/n(<o) - /т(<о)|| -*■ о при п, т —юо. (7.29)
Функция f(t) дифференцируема в некотором интервале, если она
имеет производную f'(t) в каждой точке t этого интервала.
Очевидно, что производные по действительной переменной
функций со значениями в В-пространстве обладают всеми свой¬
ствами производных обычных фуцкций
1) ^ [/(*) -I- с] = f(t) при любом с 6 У, не зависящем от
2) $[/i(0+ /»(<)] = Л(0 + Я(0;
3) ^ [“(0/(0] = “40/(0 + “(0/40 для любой скалярной функ-
ции а(<);
4) ^/(^(0) = /4^(0) ^(0 для любой действительной функции
Ясно, что производная функции f(t) со значениями в В-прост-
ранстве представляет собой элемент того же В-пространства.
Пример 7.15. Пусть f(t) — функция действительной переменной t £
G Т со значениями в пространстве С(Х) непрерывных функций переменной
§ 7.2. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 425
X определенных на множестве X. Это значит, что при любом фиксированном
значении t значение функции /(£) представляет собой непрерывную функцию
переменной X £ X
f(t) = v(x,t), z € X.
Производим функции f(t) по t определяется формулой
т= Цт +
' ' Л,—О «п
где {Ап} — любая последовательность действительных чисел, сходящаяся к 0.
Сходимость в отой формуле в соответствии с (7.28) понимается как сходимость
в метрике пространства С(Х),
8Up
sex
u(x,t + h„)-u(x,t) _
0,
т.е. как равномерная сходимость относительно X,
Пример 7.16. Пусть f(t) — функция действительной переменной t 6
£ Т со значениями в пространстве Ьр(Х1Л, fi). Значение функции f(t) при
каждом фиксированном t представляет собой некоторую функцию из
LP(X,A,r)
f(t) = u(x,t) u{x,t)eLp{X,A,n) VteT.
Сходимость в (7.28) и фундаментальность последовательности функций (7.29) в
этом случае представляют собой сходимость и фундаментальность в метрике
пространства Lp, порожденной нормой,
u(x,t + hn)-u(x,t) ,,,J| _
Ь* Up
7.2.3. Интегралы от функций со значениями в 5-прост-
ранстве по действительной переменной. В п.3.4.6 были рассмо¬
трены интегралы Бохнера и Римана от функций со значениями в
В-пространстве по лебеговой мере, в частности по действительной
426
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
переменной. Рассмотрим интеграл Римана от функции со значе¬
ниями в Д-пространстве по мере Лебега на числовой прямой R с
переменным верхним пределом:
т
F (0 = J Ar)*■
(7.30)
Теорема 7.2.1 .Если функция /(г) непрерывна в точке tr то f(t)
представляет собой производную интеграла F(t) по t.
> Пусть {Лп} — произвольная последовательность чисел, схо¬
дящаяся к 0, In = [М + Лп) при Лп > 0 и 7„ = (t + hnit] при hn < 0.
Имеем
F(t + hn)-F(t)
hn
■/(<)=nb//(r)d(r)_/(<)=
In
= \hJWT)-mdr-
В силу непрерывности /(г) в точке t при любом е > 0 существует
такое 6 = 6е > О, что
||/(т) - /(<)|| < t при всех г, | г — t \< S.
Поэтому
F(t + hn)F(i)
hn
-т
< е при всех Лп, | Лп |< 6 .
Отсюда следует, что
= 0,
т.е.
/(<) = lim Щ - F>(t). <,
n—оо hn
7.2.4. Дифференциальные уравнения в 5-пространстве.
Многие задачи современной математики и ее приложений приводят
к дифференциальным уравнениям вида
У = /(<> у),
(7.31)
§ 7.2. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
427
где у — элемент некоторого ^--пространства У, a f{t,y) — функ¬
ция со значениями в S-пространстве У, определенная в некоторой
области Df произведения пространств Я х У.
Так как производная %/ не изменяется от прибавления к функции
у = (p(t) произвольного постоянного элемента пространства У, то
уравнение (7.31) определяет функцию у = (p(t) не однозначно. Чтобы
получить при достаточно общих условиях однозначное (единствен¬
ное) решение уравнения (7.24), следует добавить к нему начальное
условие у = уо при t = to, {^о,Уо} £ Df- В результате, так же как
в обычной теории дифференциальных уравнений в конечномерных
пространствах, приходим к задаче Коши
Решением дифференциального уравнения (7.32) удовлетворяю¬
щим данному начальному условию, называется функция у = <p(t),
: R—+ Y, обладающая свойствами
1) <p(t) — непрерывная функция t> <p(t) € Dj(t) при всех t ЕТ *;
2) <p(t) имеет производную <p'(t) при всех t € Т;
3) (pf{t) = f(ty<p{t)) при каждом t G Т;
4) (p(t0) = уо.
Проинтегрировав уравнение (7.32) в пределах от to до t} полу¬
чим интегральное уравнение
Это уравнение имеет вид (7.25). Здесь х = y(t) — непрерывная функ¬
ция t со значениями в ^-пространстве У, а правая часть уравнения
представляет собой образ х, опеделяемый соответствующим опера¬
тором.
Так как функция /(£, у) при каждом фиксированном значении t
отображает В-пространство У само в себя, то она представляет
собой в общем случае оператор. Бели этот оператор линейный,
f(t,y) = A(t)y> то уравнение (7.32) принимает вид
(7.32)
t
(7.33)
dy
— = A(t)y, y = yo при t = t0 .
(7.34)
* Через D/(t) мы обозначаем сечение области определения Dj функции /
в точке ty а через Т — множество значений t, для которых Df(t) не пусто.
428
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Это линейное дифференциальное уравнение в D-пространстве У.
Пример 7.17. Если У = Кп.(К = R или С, как всегда), то урав.
нение (7.32) представляет собой обычную систему обыкновенных дифференци¬
альных уравнений:
Ж = fk(t,У1 Уп) , Ук = УкО при t = to (к = 1, ... ,п).
К этому случаю сводится, как известно, и случай одного дифференциального
уравнения П-го порядка, решенного относительно П-й производной:
У<п) = /(<, У,
I/ = I/O , у' = у&,.., У*"-1* = Уо"~1) "Р" < = <0 •
Пример 7.18. Рассмотрим уравнение теплопроводности
Здесь у — <p(ty х) при каждом фиксированном t представляет собой непрерыв¬
ную функцию переменной X, т.е. елемент ^-пространства С(Х), где X =
= [а, Ь] — некоторый интервал числовой прямой R. Поэтому уравнение (7.35)
можно записать в виде
1/ = Ау, (7.36)
где А — оператор, пропорциональный оператору двойного дифференцирова¬
ния по переменной X,
Областью определения оператора А служит множество всех функций перемен¬
ной £, определенных на интервале X = [а, 6], непрерывных вместе со свои¬
ми производными первого и второго порядков, и удовлетворяющих заданным
граничным условиям, например у(^а) = ф\(f), y(t>b) = ^2(0* Начальное
условие для уравнения имеет вид
У — Уо(аО при t = to .
Пример 7.19. Уравнение теплопроводности в пространстве RI3
dt \Щ + Щ + дх*)
§ 7.2. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
429
также можно записать в виде (7.36):
У' =Лу,
Переменная у при каждом данном t представляет собой непрерывную функ¬
цию вектора Z, определенную в области X, занимаемой телом, т.е. элемент
^-пространства С(Х). Область X определяется неравенством вида Ф(х) >
> 0. Областью определения оператора А служит множество всех функций
вектора X = {х1,Х2,Хз}, определенных в области Ф(21,22)2з) ^ 0, непре¬
рывных вместе со своими первыми и вторыми производными, удовлетворяю¬
щих заданному граничному условию, например
y = V(0 при Ф(*) = Ф(*ь*2,*з) = 0.
Начальное условие имеет вид
У = Уо(*) = й>(*1,*2,*з) при < = <0.
Пример 7.20. Точно так же волновое уравнение
(7.37)
можно записать в виде (7.36), если положить
У = [«1 «г]т, «1 = и, «2 = ^.
Тогда уравнение (7.37) заменится системой уравнений
= tl2 > t*2 = Au\
или уравнением вида (7.36)
где оператор А имеет то же значение, что и в примере 7.19.
430
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
• Пример 7.21. Интегро-дифференциалъное уравнение
= /(<>*> У) + / 9(t, *. £, y(t, О) , (7.38)
х
где X, £ € Д”, а у € Дт, /(<, *, у) € Rm при всех t, х, у, g(t, X, у) G Ят при
всех t, Х,£, у, можно записать в виде (7.25), где у при каждом t представляет
собой непрерывную 771-мерную векторную функцию П-мерной векторной пе¬
ременной X, определенную в области X С Rn •
Пример 7.22. В теории вероятностей и ее многочисленных приложе¬
ниях встречаются дифференциальные уравнения со случайными функциями.
Случайная функция по определению представляет собой такую функцию, зна¬
чение которой при любом данном значении аргумента является случайной ве¬
личиной, т.е. измеримой функцией элементарного события UJ, X{t) = х(£,ц>),
Ш G fi. Эта функция переменной U часто принадлежит гильбертову простран¬
ству L2(ilyS9 Ру R?) П-мерных векторных (при П = 1 скалярных) функций с
интегрируемым по мере Р квадратном модуля:
f | х(1,и>) |2 P(du>) < ОО .
Мера Р представляет собой вероятность, заданную на <Т-алгебре S множеств
пространства элементарных событий Q.
Дифференциальное уравнение, определяющее случайную функцию
Y(t) = y(t,w), y(t,w) G Rn при фиксированных t и Ы, обычно имеет вид
У' = F(t,Y)y У = У0.при t = t0.
где F(ty у) = /(£,у, U>) — случайная функция переменных t, у, F i£x
Х^2(0, «S, Ру R71) —► L2(Sly Sy Ру Я11); при любом фиксированном t F(tyy)
представляет собой оператор, отображающий пространство L2(Sly S, Р} Rn)
само в себя. При этом чаще всего встречаются случаи, когда F(t} у) является
детерминированной функцией £, у, зависящей от некоторой другой случайной
функции X(t) = x(t,U/), которая при каждом фиксированном t представля¬
ет собой функцию переменной Ш, принадлежащую гильбертову пространству
L2(QySyPyRm)-
Приведенные примеры показывают, что общее уравнение (7.32)
или в Частном случае (7.34) охватывает множество различных урав¬
нений, встречающихся в математике и ее приложениях. Поэтому
теория дифференциальных уравнений в абстрактных пространствах
(в частности, в ^-пространствах) играет большую роль в современ¬
ной математике. Она представляет собой общую теорию, которая
§ 7.2. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
431
охватывает большое количество самых разнообразных уравнений и
устанавливает общие свойства всех таких уравнений. Элементы те¬
ории дифференциальных уравнений в В-пространствах изложены в
§ 10.3.
7.2.5. Интегральные уравнения. Многие задачи математики
и ее приложений приводят к интегральным уравнениям. Интеграль¬
ное уравнение в ^-пространстве в общем случае имеет вид
J f(*,t,y(t))f*№) + <p(x) = y(x)> (7-39)
В
где у(х), ф(х) — функции переменной х, которая может иметь зна¬
чения в любом пространстве X, со значениями в сепарабельном
В-пространстве У, /(х,£, у) — функция, отображающая X хХ xY в
У, /i — произвольная (г-конечная числовая мера, а интеграл пред¬
ставляет собой интеграл Бохнера. Ясно, что уравнение (7.39) имеет
вид (7.25).
Уравнение (7.33), эквивалентное задаче Коши (7.32), предста¬
вляет собой частный случай интегрального уравнения (7.39), когда
х — действительная переменная f, функция f(t, г, у) равна нулю при
всех t < т и при г < to и не зависит от t при t > г, функция <p(t)
постоянна, а /л — лебегова мера на R.
Пример 7.23. JIuntiLnoе интегральное уравнение Фредгольма
f К(t, s) x(s) ds — Ax(t) = ip(t), (7.40)
в
где x(t) и ¥>(i) — скалярные или конечномерные векторные функции скаляр¬
ной или конечномерной векторной переменной, K(tyS) — соотвественно ска¬
лярная или матричная функция двух переменных, Л — параметр, в общем
случае комплексный. Функции X, <р и К могут быть действительными' или
комплексными (мы называем матрицу, в частности матрицу-столбец, действи¬
тельной, если все ее элементы — действительные числа, и комплексной, если
некоторые ее элементы комплексные). Функции K{ty s) и <p(t) предполагаются
заданными.
Пример 7.24. Линейное интегральное уравнение Вольтерры
f K(t,s)x(s)ds- A*(f) = ip(t), (7.41)
О
представляет собой частный случай уравнения Фредгольма (7.40), когда t (и
соответстг^нно S) — действительная переменная и K(t, s) = 0 при S > t.
432
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Пример 7.25. Нелинейное интегральное уравнение Гаммерштейна
/ K{t, в) f(a, *(«)) da + <p(t) = x(t), (7.42)
в
где f{s, х) — также данная функция. Интегральный оператор в левой части
уравнения называется оператором Гаммерштейна.
7.2.6. Сжимающие отображения. Пусть X — полное метри¬
ческое пространство (в частности, В-пространство), А — оператор,
отображающий пространство X само в себя, А : X —* X. Оператор
А называется сжимающим оператором (сжимающим отображени¬
ем), если для любых элементов х, у пространства X
d(Az, Ay) < а d(x, у), (7.43)
где а — некоторое положительное число, меньшее 1, а 6 (0,1). Ясно,
что сжимающий оператор всегда непрерывен.
Точка х пространства X называется неподвижной тонкой ото¬
бражения А, если Ах = х. Очевидно, что неподвижная точка х ото¬
бражения А представляет собой решение уравнения
х = Ах. (7.44)
Степени оператора А определяются, как обычно, рекуррентной
формулой
Арх = А{Ар~1х) (р = 2,3,...). (7.45)
7.2.7. Существование и единственность неподвижной точ¬
ки оператора. Существование и единственность решения уравне¬
ния (7.44) устанавливаются следующей теоремой.
Теорема 7.2.2. Если при каком-нибудь натуральном р оператор
Ар является сжимающим оператором, то существует единствен¬
ная неподвижная тонка оператора А.
> Пусть хо — произвольная точка пространства X. Определим
последовательность точек {хп}:
хп+1=АГ*п (» = 0,1,2,...). (7.46)
Так как Ар — сжимающий оператор, то
d(Apx, Ару) < аd(x, у), а € (0,1),
§ 7.2. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
433
для всех x,ySX. Положив здесь х = **_i, у = **, будем иметь
d(xk,xt+i) < ad(xk-i,xk) (к = 1,2,...).
Отсюда следует
d(Xk,Xlc+1) < a* d(x0, Xi)
и при всех п и m > n
m—1 m—1
d(*t,*H-l) < <xkd(x0,xi) <
k=n k—n
00 an
< 53 0(4 *0 = Xl) •
k=n
Таким образом,
при n, m —* оо,
т.е. последовательность {zn} фундаментальна. А так как простран¬
ство X полно, то существует предел х = lim хп € X, и в силу
11—+OQ
непрерывности оператора Ар Арх = lim Архп. Следовательно,
п—►оо
d(x,Apx)= lim d(x„,Apxn)= lim d(xn, a:n+x) = 0.
n—ЮО fl-^OO
Таким образом, x — неподвижная точка оператора Ар. Отсюда сле¬
дует
d(x, Ах) = d(Apx, Ap+lx) < ad(x,Ax).
А так как а < 1, то d(x, Ах) = 0, т.е. х — неподвижная точка опера¬
тора А.
Чтобы доказать единственность найденной неподвижной точки
оператора А, достаточно заметить, что любая неподвижная точка
оператора А является и неподвижной точкой оператора Ар и если
бы существовали две неподвижные точки х и у, то было бы Арх = х *
Ару = у, что невозможно вследствие того, что Ар — сжимающий
оператор. <
Доказанная теорема лежит в основе метода сжимающих отобра¬
жений, позволяющего доказывать существование решений различ¬
ных уравнений.
434
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Теорема 7.2.2 справедлива и в том случае, когда оператор Ар
является сжимающим* не на всем пространстве X, а только на не¬
котором замкнутом множестве £>, которое он отображает в себя:
APD С D.
В некоторых случаях процесс последовательных приближений к
неподвижной точке, примененный при доказательстве теоремы 7.2.2,
можно применять для приближенного решения уравнений в задачах
практики.
Теорема 7.2.2 устанавливает существование неподвижной точ¬
ки оператора А в случае сжимающего оператора Ар при некотором
р. Однако неподвижная точка может существовать и в том случае,
когда оператор АР ни при каком р не является сжимающим. Так,
например, если оператор при некотором р расширяющий,
d(Apx, Ару) > /М(х, у), /? > 1,
но существует обратный оператор А”1, то оператор А~р будет сжи¬
мающим, так как, положив и = Арху v = Ару, получим
d(A~pu,A~pv) < d(u, v)/p.
Как и в теореме 7.2.2, неподвижная точка оператора А в этом случае
существует и единственна, если оператор Ар расширяющий только
яа некотором множестве С, содержащемся в замыкании своего обра¬
за: С С [АРС]. Однако процесс последовательных приближений тео¬
ремы 7.2.2 в случае расширяющего оператора Ар. будет расходящим¬
ся (неподвижная точка будет неустойчивой). Переход к обратному
оператору дает сходящийся процесс последовательных приближе¬
ний. Этим приемом широко пользуются на практике (конечно, толь¬
ко в тех случаях, когда обратный оператор легко находится). При
этом достаточно существования обратного оператора А"1 только в
той области С, в которой оператор Ар расширяющий и С С [АРС\.
Пример 7.26. Рассмотрим уравнение
X = /(х), (*)
где X — скалярная переменная. Решение уравнения (*), очевидно, предста¬
вляет собой абсциссу точки пересечения графика у = f(x) функции / и бис¬
сектрисы координатного угла у = X (рис.24 и 25). Интуитивно ясно, что по¬
следовательность {xn} Х\ = f(xо) , . . . , Хп = /(xn_i), . . . будет сходиться
к точке X, если при любых числах £, Г)
I Ж) - /(•?) I < a U ~ Ч I.
(**)
§ 7.2. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
435
где а € (0,1). Приближение точки Хп к неподвижной токе X оператора
Ах = /(*) в этом случае осуществляется по пунктирной ” лестнице”, показан¬
ной на рис.24, где изображен случай возрастающей функции f(x). В случае
убывающей функции /(х) приближение точки Хп к X будет происходить по
прямоугольной спирали (рис.25).
Рис.24 Рис.25
Уравнение F(x) — 0 можно привести к виду (*), положив /(*) = *+
+kF(x). Условие (**) того, что оператор Ах = /(х) будет сжимающим,
принимает в этом случае вид
К + |< от | е - v I
-Пч)
< а
при всех £, Т) в некоторой достаточно большой окрестности неподвижной точ¬
ки X.
Результаты этого примера легко обобщаются на случай конечномерной
векторной переменной X.
В данном случае принцип сжимающих отображений не только доказыва¬
ет существование решений уравнений X — f(x) и F(x) = 0. но и дает прак¬
тический метод приближенного решения этих уравнений. Этот метод обычно
называется методом последовательных приближений или методом итераций.
Практически процесс итераций заканчивается, когда два последовательных
приближения Хп и £п+1 совпадут в пределах принятой точности вычислений
(после этого при продолжении процесса итераций величина Хп не будет изме¬
няться при дальнейшем увеличении п).
436
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Пример 7.27. Результаты предыдущего примера могут быть приме¬
нены для доказательства существования функции X = заданной неявно
уравнением
F(l,*) = 0
ори t 6 1, ^2]» £ € [в)Ь]. Применив метод итераций, докажем существование
при каждом t решения уравнения X, конечно зависящего от 2, т.е. являюще¬
гося функцией tt X = vKO с областью определения D^ и областью
значений С [а, Ь].
Т.2.8. Существование и единственность решения интег¬
рального уравнения. Применим метод сжимающих отображений
для доказательства существования и единственности решения инте¬
грального уравнения (7.39) в Д-пространстве У в случае, когда х = t
— действительная переменная, /1 — мера Лебега на R, а областью
интегрирования В служит интервал [to,*]'
t
y(t) = <p(t) + J f(t, T, y(r))dT, '■ (7.47)
<0
где <p(t) — функция действительной переменной t со значениями в
jB-пространстве У, /(t,r, у) — функция, отображающая произведе¬
ние пространств R х R х У в У, т.е. оператор в пространстве У,
зависящий от двух действительных переменных t и т.
Теорема 7.2.3. Если существуют такие положительные числа
а, Ь, с, М, аМ < Ь, что
1) II /(*. Г, у) II < М при 11 - to I < а, I т - to I < a, || у - <p(t) || < 6,
2) || f(t, r, yi)-/(*, r, y2) || < с || У1-У2 || при | t-t0 | < a, | r-t0 | < a,
II У1 — <p(t) ||> || У2 — <p(t) || < b, то уравнение (7'.47) имеет единствен-
мое решение y(t), представляющее собой непрерывную функцию t на
интервале 11 — to | < а, удовлетворяющую условию
II У(0 - <Р(!) II < Ь при 11 - t0 | < а.
> Определим оператор
t
Ли(<) = ¥>(<) + j f(t,T,u(r))dT, (7.48)
<0
§ 7.2. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
437
отображающий пространство C([to — a, to+а], У) непрерывных функ¬
ций ti(*) переменной t на интервале 11 — *о | < а со значениями в
^-пространстве У само в себя.
Докажем, что при достаточно большом натуральном р опера¬
тор Ар будет сжимающим. Для этого заметим, что из условия 1 и
неравенств || и\ (t) — <p(t) ||, || ti2(f) — <p(t) || < 6 вытекает
II /(*, т, Ul(r)) II, II /(*, г, u2(r) II < М,
вследствие чего
|| Aui(t) - <p{t) || < M\t -101 < Ma <b (i = 1,2) ,
и в силу условия 2
|| /(*, г, Atii(r)) - /(*, т, j4ti2(r)) || < с || Atii(r) - Лг12(т) || . (7.49)
Таким образом, повторное применение оператора А не выводит из
области, где выполнены условия 1 и 2. Из условия 2 и формулы
(7.48) следует, что
|| Aui{t) - Au2{t) ||< с
%
j II «lOO - Мт) II dr
< с sup II «1 (t) - u2(t) II1t - to |=
|t-<o|=a
\
= c || tii — «2 llcl t - to |, (7.50)
где || x ||с — норма функции x(t) в пространстве С([<о — a, to 4* а], У).
После этого из (7.48) — (7.50) находим '
|| ЛЧЮ-Л’иаЮ ||<с
t
J II All! (г) - Аи2(т) II dr
t
< С2 II til - u2 ||c J \r-to \dr = с2 II «1 - u2 ||c| t - to |2 /2
<o
438
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
при всех t, 1t — to | < а. Продолжал этот процесс, приходим к нера¬
венству
II A'mit) - Apu2(t) ||< С? II щ - ч2 \\с\ t - to Y/p\,
откуда находим
|| Apui - Ари2 ||с< ср II «1 - ti2 ||с ар/р!. (7.51)
Взяв достаточно большое ру будем иметь с?ар /р\ < а < 1 и
|| Ари 1 - Ари2 ||с< а || ui - «г ||с • (7.52)
Таким образом, оператор Ар сжимающий и по теореме 7.2.2 урав¬
нение у = Ау имеет единственное решение, представляющее собой
непрерывную функцию t в интервале | t — to I < а со значениями в
В-пространстве У, удовлетворяющую условию || y(t) — <p(t) ||< 6 при
всех t, 11 — to |< a. <
Бели условие 2 теоремы 7.2.3 выполнено при всех yi, уг € У, то
необходимость в условии 1 отпадает. Таким образом, приходим к
следующей теореме.
Теорема 7.2.4. Если существуют такие положительные числа а
и с, что
|| /(*, Ту уi) - /(<, Т, у2) || < С || У! - У2 ||
при 11—to I, | r—to | < а и при всех yi, уг 6 У, то уравнение (7.47) име¬
ет единственное решение y(t), представляющее собой непрерывную
функцию t в интервале 11 — *о | <
> В этом случае из доказательства теоремы 7.2.3 следует, что
при достаточно большом р оператор Ар будет сжимающим при лю¬
бых 111 и ti2. <
7.2.9: Существование и единственность решения линейно¬
го интегрального уравнения Вольтерры. В современной мате¬
матической физике и в технических науках большую роль играют
линейные интегральные уравнения.
Линейное интегральное уравнение с переменным верхним пре¬
делом
t
J K(t,T)y(r)dT-\y(t) = <p(t) (7.53)
to
§ 7.2. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
439
называется уравнением Волътерры (пример 7.24). Функция K(tyr)
называется ядром интегрального оператора в левой части уравне¬
ния (7.53).
После деления на число Л уравнение (7.53) принимает вид (7.47)
с /(*,г,у) = К(1,т)у/А. Ясно, что условие теоремы 7.2.4 в данном
случае выполнено при любом Л ф 0, если ядро K(t, г) ограничено на
квадрате 1t — to |, | г — to |< а, | #(t,r) |< С. Действительно, в этом
случае
\K{t,T)y1(r)/X- КЦ,т)у2{т)/\\ <
< С I yi(r) - у2(т) I / I А I .
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 7.2.5. Линейное интегральное уравнение Вольтерры
(7.53) при любом значении параметра А ф 0 имеет единственное
решение, если функция <p(t) непрерывна и \ K(t}r) |< С при 0 < t — to,
г — to < а.
Эта теорема легко обобщается на случай функций y(t) и <p(t)
со значениями в Яп. Только условие | K(tyr) |< С в этом случае
заменяется аналогичным условием, ограничивающим элементы ма-
трицы K(t, т), I Kp1(t, т) \< С (р, q = 1, ... , п).
7.2.10. Существование и единственность решения диффе-
рециального уравнения. Дифференциальное уравнение с началь¬
ным условием в ^-пространстве (7.32) эквивалентно интегральному
уравнению (7.33). Это уравнение представляет собой частный слу¬
чай уравнения (7.47). Поэтому к нему применимы теоремы 7.2.3 и
7.2.4, которые в этом случае формулируются следующим образом.
Теорема 7.2.6. Если существуют такие положительные числа
а, Ь, с, М, аМ < Ь, что
1) Ц/(<,У)||< М при |t-t0|<a, ||у-уо||< Ь,
2) ||/(t,yi) - /(t, у2) || < c||yi — у2 || при 11 - t0| < а, || ух - у0 ||,
II Уг — Уо || < Ъ, то уравнение (7.33), а следовательно, и задача Коши
(7.32) имеют единственное решение y(t), представляющее собой не¬
прерывную функцию t на интервале | t — to |< а, удовлетворяющую
условию || y(t) - уо || < Ь.
Теорема 7.2.7. Если существуют такие положительные числа а
и с, что
II /0. У1) - /(*, Ы II < с || г/i — у2 ||
при | t — to |< а и при всех у\, У2 £ У, то уравнение (7.33), а следо¬
вательно, и задача Коши (7.32) имеют единственное решение, пред¬
ставляющее собой непрерывную функцию t на интервале 11 — to | < a.
440
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Условие 2 обычно называется условием Липшица.
Пример 7.28. Теоремы.7.2.6 и 7.2.7 устанавливают достаточные уело-
вия существования и единственности решения обыкновенных дифференциаль¬
ных уравнений примера 7.17.
Пример 7.29. На основании теоремы 7.2.6 интегро-дифференциаль-
ное уравнение примера 7.21 имеет единственное решение y(t) представляющее
собой непрерывную функцию t на интервале [fo,^o “I" а] со значениями в про¬
странстве С(Х) Ш-мерных векторных функций 2, если выполнены условия 1
и 2, которые в данном случае принимают вид
li)sup f(t,z,y(z)) + f g(t,x,t,y({))dt < м при 0 < t - to < а,
*€ДГ х
sup I у(х) - уо(х) \< Ь,
*€Х
2i) sup |/(t, a?, 3ft(a?)) - /(*,*, У2(®)) + f[g(t, *,f,yi(£)) - g{t,x,£,
x
< с sup I yi(x) - уг(х) | при 11 -10 \< a, sup | yx(z) - y0(®) |,
x£X г€ X
SUp | J/2(^?) "* Vo(x) |< Ь* По теореме 7.2.7 интегро-дифференциальное урав-
х€Х
нение примера 7.21 имеет единственное решение, если условие 2\ выполнено
при 0 < t — to < Л при всех Ух(*) и у2(х).
Пример 7.30. Уравнение со случайными функциями примера 7.22
имеет единственное решение, представляющее собой непрерывную функцию t
со значениями в пространстве £2({2, <£> -Р» if1), если выполнены условия
h)f II/(*.!/("),«) ||2 P(du) < М2 при 0 < t - t0 < а,
J IIУ0*0 ~ Уо(")||2 P(dw) < Ь2, аМ <Ь,
2г) / II /(<> У1("),«) ~ /(*> УгИ, w) ||2 P(dw) <
< с2 J || yi(w) - y2(w) ||2 P(dw) приО <t-t0<a,
J || yi(w) - yo(w) ||2 P(du) < 62 , j || y2(w) - y0(w) ||2 P(dw) < 62
или же если выполнено условие 22 при 0 < t — to < А при всех у\(ы) и у2(с*>)*
В отличие от примеров 7.17, 7.21 и 7.22 теоремы 7.2.6 и 7.2.7
не устанавливают существование и единственность решений диф¬
ференциальных уравнений в частных производных примеров 7.18,
7.19 и 7.20. Причина этого кроется в том, что дифференциальный
§ 7.2. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
441
оператор А не удовлетворяет условию Липшица (он неограничен),
которое в теоремах 7.2.6 и 7.2.7 достаточно для существования ре¬
шения. Но оно не необходимо. Уравнение (7.32) может иметь реше¬
ние и в тех случаях, когда условие Липшица не выполнено. Поэто¬
му для доказательства существования решений дифферециальных
уравнений при более слабых ограничениях на класс функций f(t,y)
в теории диффернциальных уравнений в конечномерных и абстракт¬
ных пространствах применяются другие,методы. Для уравнений в
^-пространствах такие методы изложены в § 10.3.
7.2.11. Существование и единственность решения линейно¬
го интегрального уравнения Фредгольма. Другим важным типом
интегральных уравнений, встречающихся в математической физике
и в технических науках, является линейное интегральное уравнение
Фредгольма (пример 7.23)
где х, £ — векторные переменные ж, £ € R9, а X — некоторая область
в пространстве Rq.
Уравнение Вольтерры (7.53) можно, конечно, считать частным
случаем уравнения Фредгольма (7.54), когда q = 1, X = [*о,<о + а] и
K(tyr) = 0 при г > t. Однако, в отличие от уравнения Вольтерры,
уравнение Фредгольма имеет решение не при всех значениях пара¬
метра А.
Теорема 7.2.8. Интегральное уравнение фредгольма (7.54) име¬
ет единственное решение у(х), представляющее собой непрерывную
функцию х в области X, если ядро К(х,£) ограниченно, \ К(х,£) |< С,
функция <р(х) непрерывна в области X и | А | > Cv(X)/a, где v(X) —
объем области X,
> Для доказательства достаточно показать, что при выполнении
условий теоремы оператор
(7.54)
х
х
а а € (0,1).
(7.55)
х
442
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
сжимающий. В силу (7.55)
| Ащ(х) - Аич{х) |< щ J | щ(£) - и2(£) | <Ц <
< С sup | «1(1) - xt2(x) I v(X)/ I A I
*€X
И
|| Au\ — AU2 IIc= sup I Au\(x) - Au2(x) |<
*ex
< С || щ - ti2 ||c v(X)/ I A I .
При | A I > Cv(X)/a, Cv(X)/ | A | < a < 1 и, следовательно, опе¬
ратор А сжимающий. По теореме 7.2.2 уравнение у = Ау имеет в
этом случае единственное решение у(х), представляющее собой не¬
прерывную функцию х в области X. «
Доказанная теорема распространяется на случай векторных
функций у(х), (р(х) со значениями в Rn и п х п матричной функ¬
ции К(х,£)> только условие | #(£,() |< С заменяется в этом случае
условием | Кря(х>£) \ < С/п (р, q = 1, ... , п).
Условие | А |> Cv(X)/a достаточно для существования решения
уравнения Фредгольма (7.54). Однако оно может иметь решения и
при меньших по модулю значениях параметра А.
ЗАДАЧИ
7.2.1. Функция f(x) дифферецируема и | f'(x) | < a < 1 в интервале
[а, 6]. Будет ли у = /(х) сжимающим отображением? При каких условиях
уравнение X = /(х) будет иметь решение на [а, 6]? Те же вопросы в случае
| f(x) | > /? > 1. Во втором случае проиллюстрировать графически рас¬
ходимость последовательных приближений и сходимость последовательных
приближений при переходе к обратной функции.
7.2.2. При каких ограничениях на непрерывную функцию f(s,t), £, t 6
€[0,1] , операторы
1
Aix = f f(s,t)x(t)dt,
О
1
A^X = f f(s,t) Xn(t) dt (n — натуральное) ,
0
1
Азх = f f(s,t) sin z(t)dt
0
будут сжимающими? Построить процесс итераций теоремы 7.2.2 для решения
уравнения X = A%X (t = 1,2,3) в случае сжимающего оператора А%.
§ 7.3. СПЕКТР ОПЕРАТОРА
443
7.2.3. Доказать, что в примере 7.26 в случае уравнения F(x) = 0 число
к всегда можно выбрать так, чтобы оператор Ах = /(х) был сжимающим,
если функция F(x) монотонна в достаточно большой окрестности неподвиж~
ной точки.
7.2.4. Доказать теорему, аналогичную теореме 7.2.2, для системы двух
операторных уравнений Ах = у, By = X, где А — оператор, отображающий
полное метрическое пространство X в полное метрическое пространство У,
а В — оператор, отображающий У в X. Построить соответствующий про¬
цесс последовательных приближений. Должны ли оба оператора А, В быть
сжимающими? Должны ли оба пространства Х% У быть полными?
7.2.5. Применить последовательные приближения задачи 7.2.4 для при¬
ближенного решения системы скалярных уравнений /(х) = у, д(у) = X. Лать
графическую иллюстрацию приближения к решению этой системы уравнений
и сформулировать условия, при которых приближения сходятся. Дать графи¬
ческую иллюстрацию расходящегося процесса итераций в случае, когда усло¬
вия теоремы задачи 7.2.4 не выполнены.
S 7.3. Спектр оператора
7.3.1. Собственные значения. В теории линейных операторов
большую роль играет уравнение
Тх — Ах = у, (7.56)
где Т — линейный оператор, отображающий топологическое линей¬
ное пространство X в себя, А — комплексный параметр, у — дан¬
ный элемент пространства Х} х — неизвестный элемент того же
пространства, и соответствующее однородное уравнение, получаю¬
щееся из (7.56) при у = 0:
Тх = Ах. (7.57)
Это уравнение при любом значении А имеет тривиальное решение
х = 0. Однако при некоторых значения А оно может иметь и отлич¬
ные от нуля решения х ф 0. Такие значения А играют особую роль
в теории линейных операторов.
Значения параметра А, при которых уравнение (7.57) имеет от¬
личное от нуля решение х ф 0, называются собственными значени¬
ями оператора Т. Соответствующие собственному значению реше¬
ния уравнения (7.57) называются собственными векторами опера¬
тора Т.
444
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Бели одному собственному значению А соответствует множе¬
ство линейно независимых собственных векторов {ха}, то линейная
оболочка этих векторов, т.е. множество всех их конечных линей¬
ных комбинаций, называется собственным подпространством опе¬
ратора Ту соответствующим собственному значению А. В частно¬
сти, если данному собственному значению А соответствует только
один собственный вектор (определенный с точностью до числового
множителя), то соответствующее собственное подпространство од¬
номерно. В случае бесконечного множества {х<*} собственное под¬
пространство бесконечномерно.
Очевидно, что любой элемент собственного подпространства
является собственным вектором, соответствующим данному собст¬
венному значению А.
Ясно, что собственные подпространства G\ и G2} соответству¬
ющие двум различным собственным значениям Ai и Х2 оператора Т,
имеют только одну общую точку 0. Действительно, если в подпро¬
странстве G\G2 есть вектор х ф 0, то для этого вектора Тх = Aiz и
Тх = Х2Ху что невозможно.
Подпространство X* С X называется инвариантным подпро¬
странством оператора Т, если Тх 6 X1 при любом х Е X*.
Очевидно, что всякое собственное подпространство оператора
Т является его инвариантным подпространством. Однако инвари¬
антное подпространство может и не быть собственным подпростран¬
ством. Больше того, инвариантное подпространство может не со¬
держать ни одного собственного вектора.
Теорема 7.3.1. Если А — собственное значение оператора Т, то
уравнение (7.56) не имеет однозначного решения.
> Предположим, что (7.56) имеет решение ®о,
Тх о — Аа?о = у.
Пусть х — собственный вектор, соответствующий собственному зна¬
чению А. Тогда х\ = хо + сх будет решением уравнения (7.56) при
любом значении с. Таким образом, в случае, когда А — собственное
значение, уравнение (7.56) или совсем не имеет решения, или име¬
ет их бесконечное множество. Иными словами, оператор Т — XI не
имеет обратного, если А — собственное значение. <
7.3.2. Резольвента и спектр оператора. Бели при данном
значении А существует обратный оператор
Дл = (7’-Л7)-1,
§ 7.3. СПЕКТР ОПЕРАТОРА
445
то он называется резольвентой оператора Т. Областью определе¬
ния резольвенты R\ служит область значений оператора Т — А/,
которая обычно обозначается Дт(А), чтобы в явной форме указать
ее зависимость от Л.
Значения параметра Л, при которых существует определенная
на всем пространстве X непрерывная резольвента Яд, называются
регулярными точками оператора Т. Множество регулярных точек
оператора Т называется его резольвентным множеством и обозна¬
чается р(Т).
Множество значений А, при которых резольвента не существует
или существует, но не является непрерывной или определена не на
всем пространстве X, называется спектром оператора Т и обозна¬
чается сг(Т)у а все значения А, принадлежащие спектру, называются
точками спектра.
Очевидно; что спектр оператора и множество его регулярных
точек являются взаимно дополнительными множествами.
Непосредственно из этих определений следует, что значение А
может быть регулярной точкой только тогда, когда Яг(А) = X. Од¬
нако в общем случае этого недостаточно, нужно еще, чтобы резоль¬
вента Яд была непрерывна. В частном случае замкнутого оператора
Т в ^-пространстве X условие Rt(А) = X необходимо и достаточно
для регулярности точки А, так как в этом случае резольвента R\
— замкнутый оператор как обратный по отношению к замкнутому
оператору Т — XI (п.7.1.1), а замкнутый оператор, определенный на
всем пространстве X, непрерывен (задача 7.1.1). Все собственные
значения оператора Т принадлежат его спектру.
Принято различать три вида точек спектра замкнутого опера¬
тора в ^-пространстве, и, соответственно, спектр делится на три
части.
Множество собственных значений оператора Т называется то-
чечным спектром Т и обозначается <тр(Т). Для точек А Е <?р(Т)
резольвента не существует.
Множество точек спектра оператора Г, для которых резольвен¬
та существует и определена на плотном в X множестве, т.е. Ят(А) ф
Ф X, [Дт(А)] = Ху называется непрерывным спектром Т и обознача¬
ется <ге(Т).
Множество точек спектра оператора Т, для которых резоль¬
вента существует, но ее область определения не плотна в Х} т.е.
[Ят(А)] ф Ху называется остаточным спектром Т и обозначает¬
ся <тг{Т).
446
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Таким образом, <т(Т) = ap(T)\Jcre(T)\J<Tr(T).
Пример 7.31. Из линейной алгебры известно, что система однород¬
ных линейных алгебраических уравнений
Ах = Ах
в fl-мерном пространстве имеет отличное от нуля решение тогда и только
тогда, когда определитель матрицы коэффициентов А — XI равен нулю:
\A-\I |=
ац - А а\2 ain
021 <*22 — A d2n
<*nl ап2 <*пп — А
= 0. (*)
Это алгебраическое уравнение 91-й степени всегда имеет П корней Х\ , . . . , Ап.
Следовательно, линейный оператор в П-мерном пространстве всегда имеет
П собственных значений, причем некоторые из них могут совпадать (случай
кратных корней уравнения (*)). Все остальные значения А являются регуляр¬
ными точками, так как при любом значении А ф A* (k = 1 , ... , п) неодно¬
родная система уравнений
Ах — Ах = у
имеет единственное решение при любом у. Таким образом, любой линейный
оператор в П-мерном пространстве имеет П собственных значений и его спектр
состоит только из собственных значений. Резольвента в этом случае предста¬
вляет собой линейный оператор с матрицей (А — А/)”1.
Пример 7.32. Рассмотрим оператор умножения на независимую пе¬
ременную в пространстве непрерывных функций С([в, Ь]):
Qx = tx(t).
Этот оператор не имеет собственных значений, так как ни при каком значении
А не существует функции x(t), удовлетворяющей уравнению
tx(t) =■ Ах(<) (при всех t Е [а, 6]) .
С другой стороны, все значения А, принадлежащие интервалу [а, 6], являются
точками спектра, так как уравнение
tx(t) - Ах(*) = y(t)
s 7.3. СПЕКТР ОПЕРАТОРА
447
ори О < А <6 имеет в пространстве С([а,6]) решение (т.е. непрерывное в
интервале [а, 6] решение)
*> = $[
только для тех функций y(f), которые представимы в виде у(<) = (t - А)*(<),
где z(t) непрерывна (резольвента существует, но определена не на всем про¬
странстве С([а, 6]), если А 6 [о, 6]). Все значения А, не принадлежащие ин¬
тервалу [а, 6], как действительные, так и комплексные, являются регулярными
точками. Резольвента в этом случае представляет собой оператор умножения
на функцию (t — А)-1.
Пример 7.33. Рассмотрим оператор дифференцирования D в про¬
странстве непрерывных функций С([а, 6]). Все значения А являются собствен¬
ными значениями оператора дифференцирования J3, так как уравнение
x'(t) = Аж(<)
при любом значении А имеет в С7([а, Ь]) решение
x(t) = ceXt,
где С — произвольная постоянная. Следовательно, оператор дифференцирова¬
ния в С ([а, 6]) не имеет регулярных точек. Вся комплексная плоскость явля¬
ется его спектром. В соответствии с общей теоремой 7.3.1 неоднородное урав¬
нение (7.56)
z'(t)— А *(<) = y(t),
при любых А и y(t) G С*([а, 6]) имеет бесчисленное множество решений, опре¬
деляемых хорошо известной формулой
х(*) — ceXi + eXi J y(r)e“"ATdr.
а
7.3.3. Свойства резольвенты. Пусть Аи/i — две регулярные
точки оператора Т. На основании определения резольвенты
R\ — Rfi(T — iiI)R\y Rp — Rp(T — AI)R\ ,
откуда, принимая во внимание, что любой линейный оператор пере¬
становочен с единичным оператором /, получаем
R\ Rfi — (A p)Rn R\ •
(7.58)
448
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Это соотношение между резольвентами, соответствующими двум
разным значениям параметра А, обычно называется формулой Гиль¬
берта.
Написав (7.58) в виде
= (7.59)
и поменяв местами А и /I, приходим к выводу, что резольвенты R\ и
Дм, соответствующие различным значениям параметра А, коммута¬
тивны,
Д/i Йа = Да Д/4 •
Теорема*7.3.2. Любой оператор коммутативен со своей резоль¬
вентой в каждой регулярной точке.
> Это следует ^епосредствещго из равенств
TR\ = I + АДд, ДаТ = I + А Да . <
Теорема 7.3.3. Оператор S коммутативен с оператором Т то¬
гда и только тогда, когда он коммутативен с его резольвентой в
каждой регулярной точке.
> Бели ST = TS, то
(Г - XI)SR\ = S(T - XI)Rx = 5.
Умножив это равенство слева на Да, получим SR\ = R\S. Наобо¬
рот, если SR\ = R\S} то
(Г - XI)SR\ = (Г - XI)R\S = S.
Умножив это равенство справа на Т — А/, получим
(Г- XI)S = S(T - XI)}
т.е. TS = ST. <
Следствие. Операторы Т и S коммутативны тогда и толь¬
ко тогда, когда коммутативны их резольвенты в любых регулярных
точках.
> Бели ST = TS, то по доказанному SRx = RxS. Но из того, что
оператор Да коммутативен с оператором 5, следует, что он комму¬
тативен с его резольвентой т.е. Q^R\ = R\Qp. Те же рассужде*
ния в обратном порядке убеждают нас в том, что из Q^Rx = RxQp
следует ST = TS. <
5 7.3. СПЕКТР ОПЕРАТОРА
449
7.3.4. Свойства спектра линейного оператора в В-прост-
раястве. Продолжим изучение спектра линейного оператора, огра¬
ничиваясь операторами в ^-пространстве. Для этого нам понадо¬
бится одно вспомогательное предложение.
Лемма. Если линейный оператор А, отображающий В-прост-
ранство X на все В-пространство У (Яд = У), имеет ограничен¬
ный обратный оператор Л-1, то для любого ограниченного линейного
оператора В, отображающего X в У и определенного на всем X, с
нормой меныией, чем || Л“* Ц*"1, || В || <|| Л-1 Ц”1, оператор А + В
имеет ограниченный обратный оператор (А + В)”1, определенный
на всем пространстве Y, причем (КЛ-НВ)*”11| < (ЦЛ”1!!-1 — ЦВЦ)"1.
> Для доказательства рассмотрим уравнение
(Л + В)х = у. (7.60)
Так как Л имеет обратный оператор Л”1, определенный на всем про¬
странстве У, то это уравнение можно представить в виде
х = Л~*(у- Вх).
Докажем, что оператор С, Сх = Л-1(у—Вх) — сжимающий (п. 7.2.6).
Взяв произвольные х\у х2 Е Ху х\ ф х2у будем иметь
Сх 1 — Схз = А~1В(х2 - Xi)
НСхх-СхгН^НЛ'ЧШВННхг-хзН . (7.61)
По условию теоремы ||В|| <|| Л"1!!”1, вследствие чего || Л-11| ||В||< 1
и (7.61) принимает вид
||С*1-Сх2||< or ||xi -х2||, ||Л-11| ||В|| < а < 1.
Отсюда видно, что оператор С — сжимающий. Следовательно, по
теореме 7.2.2 уравнение (7.60) имеет единственное решение при лю¬
бом у. Остается доказать ограниченность оператора (Л + В)”1 и
оценить его норму. Заметив, что при любом х £ X х = А~1Ах и,
следовательно, || х ||<|| Л”1 || || Ах || и || Ах ||>|| Л"1 Ц"1!! х ||, нахо¬
дим
||у|| = ||(Л + В)х||>||Лх||-||Вх||>
> II-4-11Г Ml * II - II ^ IIII х II=(II 1Г1 -11*11) 11*11.
450
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Отсюда следует, что при любом у € У
11*11=ИМ+<(1И~' Г1 - ЦВ11Г1 Ill'll •
Это и доказывает, что оператор (А + В)”1 ограничен и
НИ+ВГМ^ОИ-ЧГ-НВН)-1. <.
Заметим, что оператор А в этой лемме может быть неограни¬
ченным. Важно лишь, чтобы обратный оператор Л"1 был ограни¬
ченным.
Теорема 7.3.4. Спектр ограниченного линейного оператора Т,
определенного на всем В-пространстве X, целиком расположен в
замкнутом круге радиуса || Т || с центром в нуле.
> Для доказательства достаточно воспользоваться леммой, по¬
ложив | А | > || Т ||, А = —А/, В = Т и приняв во внимание, что
А~1 = -А”1/, || А~х ||=| А I”1, || В ||=|| Т ||. Тогда придем к за¬
ключению, что уравнение (7.56) при | А | > || Т || имеет единствен¬
ное решение х = Яд у, определенное на всем пространстве X, и
II Да || < (1^1 ~ II Т К)”1. Это доказывает, что любая точка А вне
круга |А|<||Т|| регулярна. <1
Теорема 7.3.5! Спектр линейного оператора Т представляет со¬
бой замкнутое множество.
> Пусть Ао — регулярная точка оператора Т. Применив лемму
к случаю А = Т — Ао/, В = (Ао — А)/ и приняв во внимание, что
А~1 = Яд0, || В ||=| А — Ао |, приводим к выводу, что при любом А в
круге | А — Ао | < || Яд0 II-1 существует ограниченная, определенная
на всем пространстве резольвента Яд. Следовательно, любая ре¬
гулярная точка имеет окрестность, все точки которой регулярны.
Это значит, что множество регулярных точек линейного оператора
является открытым множеством, а спектр, как дополнение множе¬
ства регулярных точек, является замкнутым множеством. <
В силу того, что множество регулярных точек открыто, форму¬
ла (7.59) справедлива при всех /i, как угодно близких к А. Поэтому
в ней можно перейти к пределу при /1 —► А. Тогда придем к заключе¬
нию, что резольвента Яд, рассматриваемая как функция параметра
А, дифференцируема в любой регулярной точке, и
Rl • (7-62)
§ 7.3. СПЕКТР ОПЕРАТОРА
451
Читателям, желающим больше узнать о спектрах операторов в
5-пространствах, можно рекомендовать превосходную книгу [10].
7*3.5. Спектр унитарного оператора. Установим теперь не¬
которые свойства спектра унитарного оператора.
Теорема 7.3.6. Все собственные значения унитарного оператора
равны по модулю единице.
> Действительно, если А — собственное значение U} а х — со¬
ответствующий собственный вектор, то
Ux = Ах, (7.63)
а так как || Ux || = || * ||, || Аж ||=| А 11| х ||, то | А |= 1. «
Теорема 7.3.7. Если А и х — собственное значение и соответ¬
ствующий собственный вектор унитарного оператора U,mo\ = А"1
их — собственное значение и соответствующий собственный век¬
тор обратного оператора I/”1.
> Разделив уравнение (7.63) на А и имея в виду, что А”1 = А,
перепишем его в виде
U~lx = \x. <
Теорема 7.3.8. Если А ф 0 — регулярная точка унитарного опе¬
ратора U, то А"1 — регулярная точка обратного оператора U~l.
> Бели X — регулярная точка унитарного оператора 17, то урав¬
нение
Ux — Хх = у (7.64)
при любом у G X имеет единственное решение х и при этом || х ||<
< с II У ||) гДе с — некоторое число. Положив z = Uxy и = —А~ху,
можем переписать уравнение (7.62) в виде
U^z-X-'zzzu. (7.65)
Вектор z = Ux является единственным решением этого уравнения
при данном векторе и = — А"1у, и при этом || z || = || х || < с || у || =
= c|A|||«|f. А так как и £ X произвольно в силу произвольности у,
то А-1 — регулярная точка оператора U~l. <
Теорема 7.3.9. Спектр унитарного оператора расположен цели¬
ком на окружности | А |= 1.
> Так как || U ||= 1, то из теоремы 7.3.4 следует, что все точ¬
ка А вне круга | А | < 1 являются регулярными точками* унитарно¬
го оператора. Возьмем теперь любую точку А ф 0 внутри круга
452
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
| А |< 1. Так как обратный оператор U~l унитарен, то А"1 является
его регулярной точкой, так как | А”11 > 1. Но по теореме 7.3.8 в таком
случае А является регулярной точкой U. Таким образом, все точки
А внутри круга | А | < 1 являются регулярными точками унитарного
оператора *. Следовательно, спектру унитарного оператора могут
принадлежать только точки окружности | А | = 1. <з
ЗАДАЧИ
7.3.1. Найти спектр оператора умножения на непрерывную функцию в
пространстве £?([(!, Ь]): Ах = <p(t)x(t). Что представляют собой точечный
непрерывный и остаточный спектры в этом случае?
7.3.2. Найти спектр оператора умножения на элементарную функцию в
пространстве ограниченных функций В([а, 6]). Что представляют собой то¬
чечный, непрерывный и остаточный спектры в этом случае?
7.3.3. Найти спектр оператора умножения М на "канторову лестницу*'
(функцию F(x) примера 3.9) в пространстве ограниченных функций В([а, 6]),
а < О, b > 1. Описать <Тр(М), <ТС(М), <ТГ(М) в этом случае.
7.3.4. Найти спектр оператора умножения В на функцию <p(t) Е В(Т)
в пространстве ограниченных функций В(Т), Т С Дп. Какой должна быть
функция <p(t) для того, чтобы точечный спектр <Тр(В) не был пустым?
7.3.5. Доказать, что оператор умножения на непрерывную функцию <p(t),
^>(0) ф 0, в пространстве Со([0,1]) непрерывных функций x(t)t удовлетворя¬
ющих условию х(0) = 0, имеет непустой непрерывный спектр. Что он собой
представляет?
7.3.6. Найти спектр оператора
1
Ах f t8x(8) da, a?(t) 6 C7([—1,1]).
-l
7.3.7. Найти спектр оператора
ж
Вх = / sinu/(t — s) x(s) ds, x(f) E C([—7г, 7г]).
— ж
7.3.8. Найти спектр оператора
Tx = fZ <Pn(t)Ms)*(s)ds, x(t) € С(Т), Г СД".
Т п=1
* Точка А = 0 регулярная, так как оператор ограничен и определен
на всем пространстве X.
§ 7.3. СПЕКТР ОПЕРАТОРА
453
7.3.9. Найти спектры операторов
Aix, = [*(0 + *(-*)]/2 >
А2х = [*(<) - *(-*)]/2 •
7.3.10. Пусть Т — ограниченный линейный оператор, действующий в
5-пространстве Ху Т Е В(Х). Показать, что спектр сопряженного оператора
Т* совпадает со спектром оператора Т.
У казани е. Покажите, что если существует ограниченная резоль¬
вента R\ оператора Т, определенная на всем пространстве Ху R\ Е В(Х),
то существует резольвента оператора Г*, представляющая собой оператор
RJ Е В(Х*), сопряженный с резольвентой R\ оператора Т. Наоборот, если
существует ограниченная резольвента оператора Т*, определенная на всем
пространстве, (Т* — А/*)”1 Е В(Х*) (I* — единичный оператор в X*), то
из доказанного будет следовать существование резольвенты оператора Т**,
принадлежащей пррстранству В(Х**). Но оператор ТФФ служит продолже¬
нием оператора Т с X С X** на X**. Поэтому существует ограниченная
резольвента R\ оператора Т. А так как оператор Т замкнут как непрерыв¬
ный оператор, определенный на всем пространстве (следствие теоремы 7.1.2),
то область определения его резольвенты замкнута [Дт(А)] = Rt(А) (теоре¬
ма 7.1.2). При этом если Ду(А) ф Ху то согласно следствию 2 теоремы 5.1.4
существует функционал / Е X*, / ф 0, ядро которого содержит подпро¬
странство Дт(А), т.е. [(Т* — AI*)f\x = f(T — А 1)х = 0 Уж, откуда следует
(Г* — А/*)/ = 0, что противоречит существованию резольвенты оператора
Т* [10, предложение 1.12].
7.3.11. Пусть Т Е В(Х). Доказать включения
<гр(Т) С ep(T*)\J<Tr(T*), <тг{Т) С <тР{Т') С <гр(Л1ЫЛ .
У казани е. Доказательство первого включения основано на том, что
для любого X ф 0 существует такой функционал / Е X*, что /ж ф 0. Доказа¬
тельство второго включения основано на следствии 2 теоремы 5.1.4, согласно
которому с учетом замечания в конце п.5.2.9 для любого замкнутого подпро¬
странства L С Ху L ф X существует функционал / Е X*, ядро которого
содержит L. Для доказательства третьего включения вспомните, что ядро
функционала / ф 0 — замкнутое множество, которое не может совпадать со
всем пространством.
7.3.12. Формула (7.62) показывает, что резольвента R\ оператора Т име¬
ет производную по А во всех регулярных точках, т.е. является аналитической
функцией комплексной переменной А (со значениями в 5-пространстве X) на
454
ГЛ. 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
резольвентном множестве р(Т). Показать, что все точки Ъпектра Сг(Т) опера,
тора Т являются особыми точками его резольвенты%R\.
Указание. Пусть cf(A) — расстояние jg>T точки А до спектра <т(Т)
оператора Т, cf(А) = inf(| А — /4 |, /4 € (г(Т)). В ходе доказательства теоремы
7.3.5 было показано, что для любой точки А £ р(Т) все точки А; внутри круга
| А' — А |<|| R\ К”1 регулярны. Следовательно, cf(А) >|| R\ Ц""1.
7.3.13. Доказать, что спектр ограниченного оператора Т в 22-прост¬
ранстве X не пуст.
Решение. Для любой аналитической функции, представимой степен¬
ным рядом f(z) = 52 avZv с радиусом сходимости Г, и для любого оператора
Г, || Т ||< Г, ряд ^2fOLvTv сходится в равномерной топологии пространства
В(Х) (п.6.1.4), так как || Tv ||<|| Т Ц* и при любых П, р > О
п+р
Е
п+р
< 12 |а*/11|Т*|||/—► 0 при п-+ оо.
В частности, из сходимости ряда ^Zv A v 1 = —(z — А)-1 при | Z | <
< А вытекает сходимость в равномерной топологии пространства В(Х) ряда
£Т„ А-„-1
при || Т || < А. Умножив сумму S этого ряда слева и cnpafea на
Т — А/, получим (Т — А/)5 = S(T — XI) — —откуда следует S' = — R\.
Таким образом, резольвента R\ оператора Т представима рядом
оо
дА = - £ т-'А-'-1, (♦)
|/=0
сходящимся в равномерной трпологии при всех А, | А |>|| Т ||. Но сходимость
в равномерной топологии влечет сходимость в слабой топологии пространства
В(Х) (п.6.1.4). Следовательно, при любых X 6 X, / Е X* функция fR\x
комплексной переменной А представима рядом Лорана [19, 26]
/ЯА* = - £ fTvxА"""1 = -4 Е fTvx\~v ,
|/=0 Л |/=0
сходящимся вне "Круга радиуса || Т ||. Бели спектр оператора Т пуст, то
его резольвента Дд не имеет особых точек и, следовательно, fR\X — целая
функция, равная нулю на бесконечности. По теореме Лиувилля такая функция
тождественно равна нулю [19, 26]. Таким образом, fR\X = 0 при всех Ж, А.
Отсюда следует R\ = 0, что невозможно [10, теорема 1.6].
7.3.14. Локазать, что спектр оператора дифференцирования D — d/dt
в пространстве С*о([0, 1]) непрерывных функций, удовлетворяющих условию
§ 7.3. СПЕКТР ОПЕРАТОРА
455
^(0) = О, пуст. Этот результат показывает, что в противоположность ограни¬
ченным операторам (задача 7.3.13) спектр неограниченного оператора в
^-пространстве может быть пустым.
7.3.15. Найти спектр оператора дифференцирования в пространстве не¬
прерывных функций на [0,1], удовлетворяющих условию #(0) — ^(1)-
7.3.16. Обратимый оператор U Е В(Х) обладает свойством || Uu || < С
при всех целых 1/ при некотором С < ОО. Доказать, что спектр оператора
U лежит на окружности | А |= 1. Следует ли отсюда, что U — унитарный
оператор?
Указание. Разложив резольвенту оператора U по положительным
степеням А, доказать, что все А, | А | < 1, регулярны. Точно так же, разло¬
жив ее по отрицательным степеням А, доказать, что все точки А, | А | > 1,
регулярны [10, предложение 1.31].
7.3.17. Доказать, что спектры унитарно эквивалентных операторов 7\ и
Т2 полностью совпадают:
ffp{Tl) = <Гр(Т2), O’e(Ti) = <Ге(Т2), = <тг(Т?).
7.3.18. Найти оператор, сопряженный с Г = С\Т\ + . . . + СПТП, если
каждый из операторов 7* имеет сопряженный Х£.
ГЛАВА 8
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
§ 8.1. Гильбертовы пространства
8.1.1. Ортогональные подпространства. В теории Я-прост-
ранств рассматриваются только замкнутые подпространства. В
этом случае любое подпространство G Я-пространства X содержит
пределы всех фундаментальных последовательностей своих элемен¬
тов (эти пределы существуют и принадлежат X в силу полноты X).
Таким образом, все подпространства Я-пространства являются Я-
пространствами.
Подпространства G\ и Gi Я-пространства X называются орто¬
гональными, если любой вектор х\ € G\ ортогонален любому векто¬
ру х2 € G2, (*i,x2) = 0.
Ортогональной суммой ортогональных подпространств Gi, G4
называется множество векторов х Е X, представимых в виде х =
= xi+x2, х\ 6 Gi, х2 6 G2. Ортогональная сумма подпространств G\
и G2 обозначается Gi0 G2. Ортогональная сумма подпространств,
очевидно, тоже представляет собой подпространство. Каждое из
подпространств G\ и G2 называется ортогональной разностью под¬
пространства G = Giф G2 и G2 или Gi соответственно, Gi = G©C?2>
G2 = G © Gi.
Ортогональным дополнением подпространства G в Я-прост-
ранстве X называется множество всех векторов х € X, ортогональ¬
ных G, (х, у) = 0 для всех у 6 G. Ортогональное дополнение G в X
обозначается G-1 или XOG. Очевидно, что ортогональное дополне¬
ние подпространства тоже является подпространством.
Пусть G — подпространство Я-пространства X, а х Е X "
любой вектор, не принадлежащий G. Величина
р= н у-*11 (81)
представляет собой расстояние точки х от подпростраства G.
§ 8.1. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
457
Теорема 8.1.1. Для любой тонки х, не принадлежащей подпро-
стрянству G Н-пространства X, в G существует точка уо, рас-
стояние которой от х равно расстоянию х от G:
/> = ||уо-*|| • (8.2)
> Для доказательства возьмем любую последовательность {уп}
векторов подпространства G, для которой
p = lim||yn -*|| .
Тогда при любом е > 0 и любом достаточно большом п будем иметь
|| уп — х ||< р + е. С другой стороны, из тождества параллелограм¬
ма (116)
\\а + Ь\? + \\а-Ь\\*=2\\а\\>+2\\Ь\\>,
справедливого для любых элементов tf-пространства, следует
||У» - Ут ||2 + || Уп + Ут ~ 2х||2= 2 ||у„ - *||2 +2 ||ут - *||2 .
Отсюда, принимая во внимание, что вследствие определения под¬
пространства
Уп+Ут
2
и, следовательно,
I Уп “f* Ут
EG
2 -Ч >Р.
получаем при всех достаточно больших n, m
|| Уп - Ут ||2< 4(р + е)2 - 4Р2 = 8ре + 4е2 .
Это значит, в силу произвольности е > 0, что последовательность
{Уп} фундаментальна. А так как подпространство G полно, то в нем
существует предел уо = limyn и lim || уп — х || = || уо — х ||. Таким
образом, мы доказали существование точки уо G G, для которой
справедливо (8.2). <
Теорема 8.1.2. В условиях теоремы 8.1.1 вектор z = х — уо орто¬
гонален подпространству G:
(а: — уо, у) = 0 для всех yeG.
(8.3)
458 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
> Предположим, что существует вектор yi G G, для которого
(*-yo,yi) = афО.
Тогда, взяв вектор
У = уо + cayi Е Gy с > О
и пользуясь формулой
1|у-*1|2=Цуо-*||2 + ||У-У0||2 +(У0-*,У-У0) + (У-У0,У0-*), (8.4)
справедливой для всех у, получим
IIУ ~ х l|2= II Уо — * ||2 —с | а |2(2 — с || yi ||2).
Отсюда видно, что \\у-х\\ < ||у0-х|| = Р при любом с Е (0,2/ ||yi||2),
что невозможно в силу определения р.
Таким образом, (х — уо, у) = 0 для любого вектора у Е G и фор¬
мула (8.4) дает
IIУ — * II2 = II Уо — Я? II2 + ||У-У0||2, у € G. (8.5)
Эта формула показывает, что точка уо Е б, расстояние которой от
х равно расстоянию х от G, единственна. <
Следствие 1. Любой вектор Н-пространства X может быть
однозначно представлен в виде суммы х = у + z, где у — проекция
вектора х на любое подпространство G пространства X, у Е G, а
z Е G1.
> Чтобы убедиться в этом, достаточно взять у = у0, z = г — у0и
принять во внимание (8.3) и единственность уо. <
Следствие 2. Любое Н-пространство X есть ортогональная
сумма любого своего подпространства G С X и ортогонального до¬
полнения этого подпространства, X = G&GX.
> Это вытекает из предыдущего следствия и определения орто¬
гональной суммы подпространств. <
8.1.2. Линейные функционалы. Общий вид непрерывного ли¬
нейного функционала в Я-пространстве устанавливает следующая
теорема.
Теорема 8.1.3. Любому непрерывному линейному функционалу
/ Е X* в Н-пространстве X соответствует единственный вектор
§ 8.1. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
459
xj Е Dj, такой, что fx = (*,£/) при всех х и || xj ||=|| / || (теорема
рисса).
о Пусть / — непрерывный линейный функционал в Я-прост-
ранстве Х> f Е X*, G — его ядро, G = кег/, Dj — его область опре¬
деления *. Очевидно, что G — подпространство, так как оно явля¬
ется замкнутым множеством как прообраз замкнутого одноточечно¬
го множества {0} (следствие теоремы 4.3.5). Область определения
Df функционала / также можно считать подпространством, так как,
если Dj является незамкнутым подпространством, то функционал /
можно по непрерывности продолжить и таким образом расширить
Dj до замкнутого подпространства.
Возьмем какую-нибудь точку xq Е G1 р| Dj. Такая точка всегда
существует, если функционал / не нулевой. При любом х Е Dj
вектор у = ®/xq — xq fx принадлежит G, так как
fy = /(*/*о - х0fx) = fx0 • fx - fx • fx0 = 0.
Следовательно, (у, я о) = 0, т.е. (xfx о — xofxtxo) = 0. Отсюда в силу
свойств скалярного произведения вытекает
Таким образом, любой непрерывный линейный функционал / в
Я-пространстве X представляет собой скалярное произведение век¬
тора х Е Dj на некоторый вектор х/ Е Dj.
стр&нств 5.2.12 любой непрерывный линейный функционал можно продолжить
с сохранением нормы с подпространства на все пространство. Здесь мы полу¬
чим явное выражение этого продолжения для Я-пространств. Поэтому пред¬
полагаем, что Dj ф X.
(fx0)(*,*о) - (fx)(x0,x0) = о
и
Вводя вектор
fx о
X/ =
Xq ,
перепишем полученное равенство в виде
fx = (*,*/).
(8.6)
* Мы знаем, что в силу теоремы Хана — Банаха для нормированных про-
460 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Предположив, что в Df существуют два вектора ж/ и Жу, для
которых
fx = (ж, xf) = (ж,ж'у),
получим (ж, ж у — Жу) = 0 при всех ж Е -D/. А так как Dj — под¬
пространство, то из ж/, Жу 6 -D/ следует xj — Жу 6 Положив
ж = ж/ — Жу, получим || ж/ — Жу ||= 0, т.е. ж у = жу.
Наконец, так как при любом ж Е Dj согласно неравенству Коши
— Буняковского (1.14)
\fz\ = \(x,zf)\<||*/||||*|| (8.7)
и |/*/| = ||*/ II2, то || /||=||*/ II-
Таким образом, каждому непрерывному линейному функциона¬
лу/в Я-пространстве X соотвествует единственный вектор ж/ Е
€ Dj, для которого справедливо (8.6), и при этом ||/||=||х/1|-
Наоборот, каждому вектору жу Е X соответствует непрерыв¬
ный линейный функционал /, определяемый формулой (8.6) на всем
пространстве X, и при этом || / ||=|| жу ||. <
8.1.3. Продолжение линейного функционала. Заметим те¬
перь, что правая часть (8:6) определена при всех ж Е X. Следо¬
вательно, формула (8.6) определяет продолжение функционала /,
заданного на подпространстве Z>y, на все пространство X с сохра¬
нением нормы, так как неравенство (8.7) справедливо при всех ж Е X.
Бели отказаться от требования ж/ Е -D/, то элемент ж у, при
котором функционал /, заданный на подпространстве Df ф X, вы¬
ражается формулой (8.6), не будет единственным, так как из (ж, ж/-
—Жу) = 0 при всех х £ Dj следует в этом случае только ж/ — Жу Е Dj.
Поэтому для любого у Е Df, положив z = жу + у, жу Е .D/pIG1, на¬
ряду с формулой (8.6) будем иметь
fx = (*,*).
Эта формула тоже дает продолжение / на все пространство X. Од¬
нако норма функционала / при этом увеличивается, так как из того,
что жу Е Df и (ж,ж у — z) = 0 при всех ж Е Df, следует (жу,ж/ — z) =
= 0 и
н *н*=н*/н2 + Ik-*/н2 -(*/»*/-*)-(*/-*.*/) =
=n*/ii2 + n*-*/ii2.
§ 8.1. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
461
т.е. |М|>||*/ II, если гфх}.
Таким образом, формула (8.6) дает единственное продолжение
f на все пространство с сохранением нормы.
Пример 8.1. В примерах 6.5 и 6.6 мы видели, что любой линейный
функционал в конечномерном евклидовом пространстве может быть предста¬
влен в виде скалярного произведения. Это частный случай доказанной общей
теоремы.
Пример 8.2. По теореме 6.4.7 любой непрерывный линейный функци¬
онал в пространстве L% выражается формулой (6.99), где /(ж) £ L2. Написав
ее в виде
fx = / x(t) f(t) ft(dt),
где /(z) G представим функционал / в L2 в виде скалярного произведения
элементов x(t) и f(t) пространства L2.
Установленное взаимно однозначное соответствие между эле¬
ментами Я-пространства X и его сопряженного пространства X*
с сохранением нормы дает основание отождествлять пространства,
сопряженные с Я-пространствами, с соответствующими Я-прост-
ранствами. Поэтому везде в дальнейшем мы будем считать X* = X
и писать в (8.6) / вместо х/. Это соглашение вполне соответствует
общему определению сопряженного пространства, данному в п.6.1.3,
в случае действительного Я-пространства, так как в этом случае
скалярное произведение линейно как по первому множителю, так и
по второму. Однако в случае комплексного Я-пространства скаляр¬
ное произведение сопряженно линейно по второму множителю и это
соглашение представляет собой отход от общей теории, который
ведет к другому, отличному от общего, определению сопряженного
оператора в теории Я-пространств. Чтобы остаться в рамках об¬
щей теории, надо заменить формулу (8.6) формулой fx = (х, Vf), где
V — сопряженно линейный изометрический оператор, устанавлива¬
ющий взаимно однозначное соответствие между пространствами X*
иХ.
Из того, что X* = X, следует, что и второе сопряженное про¬
странство Х*т совпадает с X. Таким образом, любое Я-пространст-
во рефлексивно (п.6.1.3). Это утверждение справедливо и в том слу¬
чае, когда не считается, что X* = Ху а в соответствии с теоремой
8.1.3 считается, что X* и X связаны взаимно однозначным сопряжен¬
но линейным изометрическим отображением. В этом случае норма
в X* определяет скалярное произведение и на основании той же те¬
оремы 8.1.3 пространства X** и X* связаны взаимно однозначным
462 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
сопряженно линейным изометрическим отображением. Композиция
этих двух отображений представляет собой взаимно однозначное
линейное изометрическое отображение X** на X, что и доказывает
рефлексивность пространства X.
На основании следствия 3 теоремы Банаха — Штейнгауза 7.1.12
и теоремы Рисса 8.1.3 любое Я-пространство слабо полно, т.е. лю¬
бая слабо фундаментальная последовательность имеет в нем слабый
предел.
3АЛАЧИ
8.1.1. В п.8.1.3 доказано, что формула (8.6) дает единственное продол¬
жение непрерывного линейного функционала на все //-пространство X, в то
время как общая теорема Хана — Банаха 5.1.3 и теорема Хана — Банаха для
нормированных линейных пространств 5.2.12 устанавливают в общем случае
неоднозначность продолжения линейного функционала. Доказать, что нера¬
венства теоремы 5.1.3, для значения функционала в каждой новой точке при
его продолжении в случае Я-простарнства X превращаются в строгие равен¬
ства.
У Казани е. Учесть, что в случае нормированного пространства X
Р(х) =11 / II II * II2 (теорема 5.2.12).
8.1.2. Учитывая замечание в конце п.6.4.6 и пользуясь теоремой Рисса
8.1.3, найти общий вид непрерывного линейного функционала на пространстве
L2 конечномерных векторных функций.
§ 8.2. Линейные операторы
8.2.1. Ограниченные линейные операторы. Пусть Т — не-
прерывный (а следовательно, и ограниченный по теореме 5.2.10) ли¬
нейный оператор, отображающий Я-пространство X в Я-прост-
ранство У. Соответствующие сопряженные пространства X* и У*
можно считать совпадающими с X и У соответственно. По теореме
7.1.6 оператор Т имеет сопряженный Т* тогда и только тогда, когда
Dt = X. Соотношение (7.2), определяющее сопряженный оператор,
в силу теоремы Рисса 8.1.3 принимает в этом случае вид
(* ,'Гд) = (Тх,д). (8.8)
Область определения сопряженного оператора Т* в силу теоремы
7.1.6 совпадает со всем пространством У, Дг* = У.
$ 8.2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
463
В случае комплексного /^-пространства X определение сопря¬
женного оператора (8.8) отличается от общего определения (7.2).
формула (7.2) определяет Т* как линейную функцию оператора Т,
а формула (8.8) — как сопряженно линейную функцию Т. Согласно
замечанию в конце п.8.1.3 оператор 7\*, сопряженный с оператором
Т в смысле определения (7.2), следует определить формулой
(x,vT;9l) = (Tx,wgi),
где V — сопряженно линейный изометрический оператор, отобра¬
жающий X* на Ху a W — сопряженно линейный изометрический
оператор, отображающий Y* на У. Чтобы подчеркнуть отличие
оператора Т* = VTf W~lt определяемого формулой (8.8), от сопря¬
женного оператора 7\ф, даваемого общей теорией, оператор Т* назы¬
вают гильбертовым сопряженным с оператором Т. Имея в виду,что
в теории Я-пространств рассматриваются только гильбертовы со¬
пряженные операторы, их называют для краткости просто сопря¬
женными.
Заметим, что левая часть равенства (8.8) представляет собой
скалярное произведение в Я-пространстве Х> в то время как пра¬
вая часть является скалярным произведением в Я-пространстве У.
Это различие мы никак не отмечаем, чтобы не усложнять обозначе¬
ний. Это не может привести к путанице, потому что по характеру
множителей всегда ясно, к какому пространству относится скаляр¬
ное произведение.
Если Dt ф Ху то при каждом д Е У существует бесконечное
множество векторов / Е Ху удовлетворяющих условию (7.4), кото¬
рое имеет в данном случае вид
(*,/) = (Г*,*). (8.9)
Однако в силу теоремы Рисса 8.1.3 в области определения Dt опе¬
ратора Ту а следовательно, и функционала (Тхуд) от ж, всегда суще¬
ствует единственный вектор /, / Е От у удовлетворяющий условию
(8.9). Взяв этот единственный вектор /, можно определить на всем
пространстве У сопряженный оператор Тф, положив Т*д = /, д Е У,
/ € Dt. После этого в соответствии с теоремой 7.1.14, учитывая
Рефлексивность Я-пространства, можно определить на всем про¬
странстве X второй сопряженный оператор T**t который служит
пРодолжением оператора Т на все пространство X с сохранением
464 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
нормы. Поэтому в дальнейшем всегда будем считать, что ограни¬
ченные линейные операторы определены на всем Я-пространстве.
На основании теоремы 7.1.14 операторы Г и Г* являются вза¬
имно сопряженными и их нормы совпадают, ||Т|| = ||Т* ||.
Пример 8.3. Оператор Т примера 7.5 при р = h = 2 отображает
Я-пространство /-0 в Я-пространство 1/2£, 2/). Он ограничен, так
как вследствие неравенства Коши — Буняковского
IIТх\\l = / I / р(*. О *(0 Мл) I2 *(*) < IMIa / {1И1з («)}2 К*),
а функция ||^||2 ($) по условию принадлежит £*2(8, Су I/). А так как
/{Mb («ИЧ*) = /»'(*)/ Мм)|2 #•(*) =
= // lv>(M)l2
то условие ^(х,5) G /i), || ^ Ц2 (5) 6 •^2(5, £, I/) равносильно усло¬
вию принадлежности функции двух переменных ^(s, t) пространству L2(ax
xS,C X CyfiX l/). Сопряженный оператор T* для этого случая определяется
согласно (8.8) формулой
Т*д = / y>(s, t) g(s) v(ds).
Объяснить различие с результатом примера 7.5.
Пример 8.4. Оператор умножения на независимую переменную Q^ в
пространстве Х*2([а, b]y[i) функций действительной переменной t на интервале
[а, Ь] с конечной мерой /1 ограничен при конечных а, 6, так как для любой
функции x(t) € £2([<>1 (],/*)
||д,*||»=/1аИ*)|2МЛ)<^1М1а,
а
где С = шах{| а |, \Ь\}. Так как
(Q„x, z) = ft x(t) z(t) p(dt) = (x, Q„z),
a
то сопряженный оператор Q* совпадает с
Пример 8.5. Соответствие между функцией x(t) из пространства
J^2([—*]) и ее коэффициентами Фурье
§ 8.2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
465
представляет собой линейный оператор Т, отображающий //-пространство
Ь2([-1Т, f]) в /f-пространство 12 векторов 11 с компонентами U„ V — (0, ±1,
и = Тх.
Так как
цг*|р=|М12= £ 1«,12=^/ |*(012л = ^Н*112
1/ = — ОО — ж
для всех x(t) € Ь2([-1г,ж]), то оператор Т ограничен и его норма равна
1/>/2тг. Представление функции z(t) ее рядом Фурье
x(t) = £ V*eivt
|/ = —ОО
определяет обратный оператор
* = Т~1и.
Этот оператор тоже ограничен, и его норма равна %/2я\ Наконец, из соотно-
шения
(Тх, г) = (и, г) = £ u„z„ = Д_ f *(*) £ zve~ivtdt = (*, v),
|/ = —OO —ж i/ = —oo
l/ = —oo
следует, что сопряженный оператор Г* определяется формулой
v = Tz = TfrT-'z.
Таким образом, в данном случае Г* = Т_1/27Г.
Легко видеть, что в данном случае оператор У = у/*1тгТ изометричен
(п.7.1.6).
8.2.2. Изометрические и унитарные операторы в Я-прост-
ранствах. Кроме общих свойств, изученных в пп.7.1.6, 7.1.7 и 7.3.5,
изометрические и унитарные операторы в Я-пространствах обла¬
дают еще рядом специфических свойств.
Из тождества
(*.у) = ^{|1* + У||2 - Н*-У||2 + *Н* + *»Н2 -* Н*-*»Н2}»
466 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
справедливого для любых векторов х, у Я-пространства, непосред¬
ственно следует, что линейный оператор, отображающий Я-прост-
ранство X в Я-пространство У с сохранением Кормы, сохраняет и
скалярное произведение:
(Vx, Vy) = (х,у) для всех х,у£Х. (8.10)
Следовательно, изометрические и унитарные операторы в Я-прост-
ранствах сохраняют скалярные произведения.
Вспомнив, что у изометрического оператора V всегда существу¬
ет обратный У"1 (определенный на всем пространстве У), возьмем
произвольный вектор и Е У и положим в (8.10) у = V~lu. Тогда
получим
(Vx, и) = (х, y-1ti) для всех х Е X , «ЕУ.
Отсюда видно, что оператор V*, сопряженный с изометрическим
оператором У, совпадает с обратным оператором V* = У”1.
Теорема 8.2.1. Если линейный оператор V определен на всем
Н-пространстве X и имеет сопряженный, определенный на всем
Н-пространстве У, и (Уа?1,Ух2) = (жъж2) для всех х\, х% Е X,
(V*yi}V*y2) = (УьУг) А** всех yi, уг Е У, то операторы V и V*
изометринны (и, следовательно, взаимно обратны).
> Достаточно доказать, что оператор V отображает X на все
пространство У. По определению сопряженного оператора (Ух, у) =
= (x,V*y) при любых х Е X и у Е У. Взяв произвольный вектор
г Е X и положив у = Vz, получим (Ух, Vz) = (х, V*Vz) для всех х, г Е
£ X. С другой стороны, (VxfVz) = (я,*). Следовательно, У* У — /.
Точно так же, взяв произвольный вектор и Е Y и положив х = У*и,
получим (УУ*и,у) = (У*н,У*у). С другой стороны, (V*u,V*y) =
= (и, у). Следовательно, У У* = I. Таким образом, операторы У и
У* взаимно обратны и, следовательно, Ry = = У, iJv = =
= Х} что й требовалось доказать. <
Переходим к унитарным операторам. В п.7.3.5 мы показали, что
спектр унитарного оператора целиком расположен на окружности
| А |= 1 и, в частности, все собственные значения равны по модулю
единице.
Теорема 8.2.2. В Н-пространстве собственные векторы уни¬
тарного оператора U, соответствующие двум различным собствен¬
ным значениям Ai, А2, ортогональны.
§ 8.2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
467
> Действительно, из Ux\ = Aijci, Ux2 = A2jc2 и унитарности U
следует, (xi,x2) = (Ux\}Ux2) = AiA2(jci,x2), что в силу А2 ф \\ воз¬
можно только при (a?i,x2) = 0. <
Пример 8.6. Из результатов примера 8.5 следует, что оператор V =
у/2жТ, отображающий i2([—Л', Я’]) на /2, изометричен.
8.2.3. Оператор Фурье — Планшереля. Одним из наиболее
важных для приложений изометрических операторов является опе¬
ратор Фурье — Планшереля
ОО
*м-л-зв=/гтг1'('>*- (8'11>
— ОО
который отображает пространство Ь2(Л) функций переменной t на
пространство £2(i2) функций переменной и с сохранением нормы.
Теорема 8.2.3. Оператор Фурье — Планшереля представляет со¬
бой изометрический оператор *.
> Для доказательства возьмем интегрируемую простую функ¬
цию
п
*ft) = Т..g*)ft) •
*=1
Тогда будем иметь
1 JL _ piak-iu
y(u) = Fx=-±= V>*- А .
Так как функции
ргаки> _ р\аъ-\1л>
Vh^ = 1Z (* = 1 , • • • , п)
tCJ
* С математической точки зрения t и U можно считать различными обо¬
значениями одной и той же переменной. В этом случае оператор Фурье —
Планшереля отображает пространство L2(iJ) на то же пространство L2(iZ)
с сохранением нормы и, следовательно, является унитарным. Однако в при¬
ложениях переменные t и LJ часто имеют различный физический смысл (на¬
пример, время и круговая частота), вследствие чего целесообразно простран¬
ство функций t и пространство функций W рассматривать как два различных
пространства.
468 ГЛ. в. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
принадлежат Li(R), ортогональны и
J I¥>*0*012 = 4 J -—"™aj2—du> = 2ir(a* - a»-!),
—oo 0
то функция y(w) принадлежит £-г(Д) и
00 П °°
/ |y(w)|sdw = 5^|arfc|2(afc-efc_i)= / |*(*)|2Л.
-оо *=1 -оо
Вспомним теперь, что множество интегрируемых простых функций
плотно в Ь2 (п.3.7.5). Следовательно, для любой функции x(t) 6
6 L2(R) можно найти последовательность интегрируемых простых
функций {sn(t)}» сходящуюся в среднем квадратическом (т.е. по
норме пространства Ь2) к x(t), xn(t) —► x(i). Пусть yn(u) = Fxn. Так
как при любых n, m функция sn(t) — a?m(t) является интегрируемой
прострой функцией, то по доказанному
оо оо
J |yn(w)-ym(w)|2dw= J |12<й-
-ОО —00
Отсюда следует, что последовательность {уп (<*>)} фундаментальна
в Ь2 вместе с {хп(0}- В силу полноты Ь2 существует предельная
2
функция у(ш) € LiiR), Уп(ш) —► y(w)> причем
Ш UI
J yn(<r)d<r - J y(<r)d<r < jd<r j \yn(<r) - y(<r)\2d<r <w ||y„ -y||2
о o-
Следов ате льно,
00
О
Так как
/г if _ j
y(<r)d<r — lim j yn(<r)d<r = lim -j= j ———xn(t) dt.
e-M _ i ! _ e-wt
^-^ЛН—ЛНГ6^' (8,2)
§ 8.2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
469
70 последний интеграл представляет собой скалярное произведение
элементов zn(t) и zw(t) пространства L2(R). Таким образом,
Отсюда следует, что у(ш) = Fz.
Итак, мы доказали, что любой функции x(t) € L2(R) оператор
F ставит в соответствие функцию у(ы) € L2(R)- Таким образом,
областью определения Df оператора F является все пространство
Наконец, из того, что оператор F сохраняет норму в Ь2 при
преобразовании простой функции, и очевидных равенств || z ||=
= lim || хп ||, || у ||= lim || уп || следует
Таким образом, оператор F отображает пространство L2(R)
функций переменной t в пространство L2(R) функций переменной
w с сохранением нормы. Остается доказать, что область значений
Rf оператора F представляет собой все пространство L2(R).
Так как любой линейный оператор в Я-пространстве, сохраня¬
ющий норму, сохраняет и скалярное произведение, то для любых
функций xi(t), z2(i) е L2(R) и yi(w) = Fzu Уг(^) = Fz2
J y(<r)d<r = lim(*n, zu) = (*, гш) = -д= J c- -■-?■«(<) dt.
0 — oo
OO
oo
IMIa= j |!/H|Jdu, = lim j |y„(w)|2du; =
— OO
00 00
00
00
= lim J \xn(t)\2dt= j |*(*)|2* = |M|2 •
— OO
-00
oo
00
—oo
— 00
Взяв x\(r) = x(r), X2(r) = l[0,t](r) и, соответственно,
, ч „ / ч eitu-l
У1H = y(w) = Fx, yz(w)= ^ ,
470 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
получим
t
оо
h{r)dT=wJ
y(w)dw.
О
—оо
Отсюда следует, что почти при всех t
— ОО
Эта формула определяет обратный оператор F-1, который, очевид¬
но, обладает теми же свойствами, что и F. В частности, областью
определения Dp-\ обратного оператора F~x является все простран¬
ство Хг(Л). А так как область определения обратного операто¬
ра всегда совпадает с областью значений данного оператора, то
Rf = Dp-1 = L2(R). Это доказывает, что оператор Фурье — План-
шереля F отображает все пространство L2(R) на все пространство
Бели х(*) принадлежит Li(R) (т.е. интегрируема в смысле Ле¬
бега), то функция
принадлежит пространству Li(R) функций переменной t со значени¬
ями в пространстве СХ(Д) дифференцируемых функций переменной
и. Поэтому в (8.11) можно выполнить дифференцирование по и под
знаком интеграла (пример 7.6). В результате получим
Эта формула показывает, что оператор Фурье — Планшереля со¬
впадает на подпространстве интегрируемых функций из L2(R), т.е.
на Li(R)f]L2(R) с оператором Фурье. Так как L\(R) содержит, в
частности, все интегрируемые простые функции, то область опре¬
деления оператора Фурье плотна в L2(R). Таким образом, оператор
Фурье — Планшереля является продолжением оператора Фурье по
непрерывности с Li(R)f]L2(R) на все L2(R).
Будем теперь рассматривать t и ш как различные обозначения
одной и той же независимой переменной. Тогда оператор Фурье
L2(R). <
ОО
§ 8.2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 471
— Планшереля F будет отображать пространство Хг(Д) на то же
пространство 12(Д), т.е. будет унитарным. Из формулы *
7 e«r+r*,>£flrfr = 1
J drn dtn
—oo
следует, что функции Эрмита (см. дальше пример 8.16)
, Jnp-ta
*,„(*) = (-!)"«* /2£^й- = Яп(«)е"‘ 12 (« = 0,1,2,...)
удовлетворяют уравнению
оо
F<pn = -±= j е“>„(г) dr = ,>„(<)•
— ОО
Отсюда, учитывая, что ^n(0 € ii(/2), видим, что числа 1, i, —1, —*
являются собственными значениями оператора Фурье — Планше¬
реля, а функции <p4n(t), y>4n+l(0> ^4п+2(0» У>4п+з(*) (п = 0, 1, 2, . . .)
соответствующими собственными функциями. Таким образом, опе¬
ратор Фурье — Планшереля имеет четыре собственных значения
бесконечной кратности 1, t, —1, —i. В дальнейшем (пример 8.16)
мы увидим, что подпространство, образованное всеми линейными
комбинациями функций Эрмита, совпадает со всем пространством
1/г(Д)- Отсюда на основании теоремы 8.2.2 следует, что оператор
Фурье — Планшереля не имеет никаких других собственных значе¬
ний.
Совершенно так же доказывается, что оператор Фурье — План¬
шереля
оо оо
*"• и') = Рх = -Щ^ЖГп J " ! -
—оо —оо
* Эта формула легко выводится по индукции дифференцированием по t и
последующим интегрированием по частям с учетом, что при 71 = 0 она совпа¬
дает с известной формулой, часто применяемой в теории вероятностей,
/ е,<т-т3/2</г = >/2те-<а/2
— ОО
(см., например, [22, приложение 2]).
472 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
...zWu(tn)z(t\ , ... , tn)dt\ .. Лп , (8.13)
где zw(t) — функция, определяемая формулой (8.12), является изоме¬
трическим оператором, отображающим пространство L2(Rn) функ¬
ций n-мерного вектора t на пространство L,2(Rn) функций п-мерного
вектора ы.
Бели считать t и и различными обозначениями одной и той
же векторной переменной, то F будет унитарным оператором, соб¬
ственными значениями которого являются только числа 1, t, —1, -t\
Соответствующими собственными векторами служат произведения
функций Эрмита переменных t\, ... , tn, суммы индексов которых
сравнимы по модулю 4 соответственно с 0, 1, 2, 3.
8.2.4. Неограниченные линейные операторы. На основании
теоремы 7.1.7 оператор Г*, сопряженный с неограниченным линей¬
ным оператором Т, существует тогда и только тогда, когда область
определения оператора Т плотна в пространстве X, [Dt] = X. В
случае Я-пространств X и У, ТХ С У, сопряженный оператор Т*,
так же как и в случае ограниченного оператора Т, определяется
равенством (8.8):
(х,Тд) = (Тх,д), xeDr. (8.14)
Областью определения оператора Т* в пространстве У (с которым
в случае Я-пространства У совпадает У*) на основании теоремы
7.1.7 служит множество G векторов д Е У, для каждого из кото¬
рых существует такой вектор / Е X, что ядро линейного функци¬
онала h = {/,0} на произведении пространств Z = X х У содер¬
жит график Gr(T) оператора Т, преобразованный оператором U,
U{xyy} = {ж,—у}, и при этом Т*д = / (п.7.1.4). Легко видеть, что
в случае Я-пространств X и У это множество представляет собой
множество всех тех д, для которых пара {/,у} = 0} € Z ортого¬
нальна паре {ж,—Тж} Е Z, т.е. принадлежит ортогональному допол¬
нению замыкания графика оператора Г, преобразованного операто¬
ром £/, в произведении пространств Z = X х У; {/,у} Е [{/Gr(T)]1.
Таким образом, подпространство [{/Gr(T)]-1- служит графиком со¬
пряженного оператора Т*.
Оператор U в случае Я-пространств (в частном случае
Я-пространств) X и У унитарен, так как для любых ж Е X, у Е У,
{ж,у}ехху = г,
1|{*,у}|| = 1М1 + 1М1 = 1И*>-1/}||-
§ 8.2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
473
Бели существует второй сопряженный оператор Т** (т.е. если
Dt• плотна в У), то он является продолжением Т, Dt С > Т**х =
= Тх при всех х £ Дг. Это ясно из равенства (8.8), справедливо¬
го в данном случае при любых х € Дг, 9 £ Dt•, и аналогичного
равенства, определяющего второй сопряженный оператор Г**:
(ж, Т*д) = (Т**х, </), </ € -Dt* .
Но по теореме 7.1.8 оператор Т** замкнут как сопряженный с Т*. А
замкнутый оператор Т*ф может быть продолжением Т только в том
случае, когда Т допускает замыкание.
Следовательно, для существования второго сопряженного опе¬
ратора Т** необходимо, чтобы оператор Т допускал замыкание.
Теорема 8.2.4. Если Т — замкнутый оператор, то второй со¬
пряженный оператор Т** существует и совпадает с Т, Т** = Т.
> Чтобы доказать это, заметим, что в этом случае график Gr(Г)
оператора Т замкнут и в силу непрерывности унитарного оператора
17“1 множество t7Gr(T) также замкнуто и, следовательно, [t7Gr(T)] =
= СДдг(Г), Gr (Г*) = J7Gr(T)x. Таким образом, в случае замкнутого
оператора Т пространство Z является ортогональной суммой гра¬
фика сопряженного оператора Т* и графика оператора Т, преобра¬
зованного оператором U:
Z = Gr(T") 0 UGt(T). (8.15)
Заметим теперь, что оператор 17, как унитарный, отображает про¬
странство Z на все пространство Z (он просто меняет знак второго
элемента каждой пары {я, у} £ Z). Множество Gr(T*) он преобраг
зует B'l7Gr(T*), а множество UGt(T) — в Gr(Т), так как U2 = I.
Ортогональная сумма преобразованных подпространств UGt(T*) и
Gr(T) совпадает со всем пространством £. Поэтому при преобразо¬
вании пространства Z оператором U равенство (8.15) перейдет в
Z = UGt(T*)&Gi(T). (8.16)
Из доказанного ранее следует, что второй сопряженный опера¬
тор Т** существует' тогда и только тогда, когда подпространство
t^Gr(TN,)*L может служить графиком замкнутого оператора, т.е. ко¬
гда каждая пара {х, у} £ UGi(T*)'l вполне определяется вектором х.
В данном случае это условие выполнено, так как из (8.16) следует,
474 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
что l/Gr(T*)*L = Gr(Г), т.е. является графиком замкнутого опера-
тора Г. Таким образом, в данном случае оператор Т** существует
и его график l/Gr(T*)x совпадает с графиком Gr(Т) оператора Т.
Следовательно, Т** = Т. <
Следствие. Если оператор Т допускает замыкание Т, то второй
сопряженный оператор Т** существует и совпадает с Т.
> Лействительно, из доказанной теоремы следует, что в данном
случае существует Т** = Г. Но по теореме 7.1.9 Т* = Г*. Следо¬
вательно, оператор Т* имеет сопряженный T**t совпадающий с Т**у
Т** = Т** =Т.<
Таким образом, для существования второго сопряженного опе¬
ратора Т** необходимо и достаточно существование замыкания Т
оператора Т, и при этом Т** = Г.
Из (8.8) следует, что если существует Т*, то для любого вектора
9 G [.Вт]Х
(*,Г%,) = (Т*,0) = О
при всех х G Dt. А так как Dt плотна в X, то это возможно только
при Т*д = 0. Наоборот, если Т*д = 0, то (Га?, д) = 0, т.е. д € [Дт]х.
Следовательно, подпространство [Rt]'L является ядром оператора
Т*. Иными словами, область значений Rt оператора Т ортогональ¬
на ядру сопряженного оператора Т*.
Теорема 8.2.5. Если оператор Т имеет плотную в X область
определения Dt и плотную в Y область значений Rt и существу-
ет обратный оператор Т”1, то сопряженный оператор Т* имеет
обратный (Г*)”1 и (Т*)"1 = (Т”1)*.
> В этом случае в силу плотности областей определения опера¬
торов ТиТ"1 существуют сопряженные операторы Т* и (Т"1)* и
при любых х G Dt у у = Тх, g Е Dt•, / = T*g
(*,/) = (у. ff)-
При этом в силу плотности Dt каждому g G Дг* соответствует един¬
ственный вектор / G Вт»- А так как то же равенство справедливо
для любого у G Dt-i = Rt и я = Т~1у, то в силу плотности Rt
каждому / G соответствует единственный вектор g G -От* • Сле¬
довательно, сопряженный оператор Т* имеет обратный (Г*)"*1. На¬
писав (8.14) в виде
(Тх,g) = (Т хТх,Т*д) = (Тх,(Т~1)*Т*д) при всех д € Dt-,
§ 8.2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
475
в силу плотности Rr получим (т~1ут* = I. С другой стороны,
написав (8.14) с помощью х = Т~1у в виде
СT~ly,f) = (ТТ~1у, (Т-1)*/) = (Т-1у,Т*(Т-1)*/) при всех / € Ят-,
в силу плотности Ду-i получаем Т^Т-1)* = /. Полученные два
равенства показывают, что (Т*)”1 = (71-1)*. <
Таким образом, если оператор Т имеет обратный Т-1 и суще¬
ствуют сопряженные операторы Т* И (Т”1)*, то и оператор Т* имеет
обратный (Г*)"1, и при этом (Т*)”1 = (Т"1)*.
Пример 8.7. Рассмотрим оператор умножения на независимую
переменную t в пространстве Z*2(2J, /|) в случае, когда мера /4 конечна на лю¬
бом конечном интервале числовой оси 2?, а для любого бесконечного интер¬
вала бесконечна, /i((—ОО, 6)) = /*((а’ °°)) = 00 ПРИ всех а и Область
определения оператора Qp, очевидно, содержит все финитные функции из 2/2»
т.е. функции с ограниченным носителем. В частности , Dqсодержит все
/i-интегрируемые простые функции. А так как по теореме 3.7.6 множество
/i-интегрируемых простых функций плотно в 2/2, то область определения Dq
оператора плотна в 1/2* Оператор неограничен, так как при любом
О > 0 в Dqm найдется финитная функция x(t), равная нулю при | t |< С, и
для этой функции
||QM*|I2= ft2 МОI2 /*(*) > С2Л*(<)I2 M(dt) = с2 IMI2.
Из плотности DQp в 2/2 (2i, И) следует, что существует сопряженный оператор
Q*. Определяющее его уравнение (8.14) в данном случае имеет вид
(Qh*,9) = f*x(t)g(t )fi(dt) = (z,Q*ff).
Интеграл здесь представляет собой скалярное произведение #(£) на некото¬
рую функцию из Хг(22, /i) только в том случае, когда tg(t) 6 L^R, /i), и, сле¬
довательно, g(t) 6 Dq^ . Таким образом, область определения Q* совпадает
с областью определения Qp и Q^g — £у($) при всех g(t) £ 2}qm . Следова¬
тельно, Q* = т.е. оператор умножения на независимую переменную в
■^2(R, (l) совпадает со своим сопряженном (является самосопряженным).
Пример 8.8. Рассмотрим оператор дифференцирования D в Z/2(2J).
Его область определения содержит функции Эрмита (см. п.8.2.3), а следова¬
тельно, и все их конечные линейные комбинации. В п.8.5.5 мы узнаем, что
множество конечных линейных комбинаций функций Эрмита плотно в 2/2(22).
Следовательно, область определения оператора дифференцирования плотна в
476 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
1з(Л). Значит, существует сопряженный оператор D*. Определяющее его
уравнение (8.14) имеет вид
(Dx,g) = / x'(t)g(t)dt = (х, D*g).
— ОО
Интеграл здесь может быть представлен как скалярное произведение x(t) на
некоторую функцию из 1>2(^) только в том случае, когда д(£) дифференци¬
руема и g'(t) € L2(R), т.е. когда принадлежит области определения
оператора D. В ©том случае, интегрируя по частям и принимая во внимание,
что любая дифференцируемая функция z(t) Е L2(R) удовлетворяет условиям
z(—ОО) = z(oo) = 0, получаем
(Dx,g) = / x'(t)g(t)dt = - f х(<)7(0л-
— 00 —ОО
Сравнив эту формулу с предыдущей, приходим к выводу, что область опре¬
деления оператора D* совпадает с областью определения оператора D и что
D*д — -у;(<), т.е. D* = —D. Таким образом, оператор D*, сопряжен¬
ный с оператором дифференцирования по независимой переменной t в L2(R),
представляет собой оператор дифференцирования по соответствующей отри¬
цательной переменной (т.е. по -<).
ЗАДАЧИ
8.2.1. В условиях примера 8.4 найти оператор, сопряженный с оператором
умножения на ограниченную функцию.
8.2.2. Найти оператор, сопряженный с оператором
Д{®1,*2, •••} = •••}
п-1
в пространстве 12.
8.2.3. Найти оператор, сопряженный с оператором
< оо
А{х\, Х2у . . .} = {j/l* У2,»• •}, Уп —- 53 апт Хт
т=1
в 12 при условии
£ |аПт|2<оо Vn.
т=1
8.2.4. При каких условиях оператор задачи 8.2.3 будет унитарным?
8.2.5. В условиях примера 8.7 найти оператор, сопряженный с оператором
умножения на ограниченную функцию из L2(Rtfi).
8.2.6. Найти оператор, сопряженный сТ= CiTi + * • --hcn7^, если каждый
из операторов Тк имеет сопряженный Tj. Объяснить расхождение получен¬
ного результата с результатом задачи 7.3Л8.
§ 8.3. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
477
$ 8.3. Самосопряженные операторы
8*3.1. Самосопряженные и симметричные операторы. Ли¬
нейный оператор А, отображающий Я-пространство X в X, называ¬
ется самосопряженным, если он совпадает со своим сопряженным,
А = А*. Из этого определения следует, что оператор А является
самосопряженным тогда и только тогда, когда
1) существует сопряженный оператор А*\
2) область определения сопряженного оператора А* совпадает
с областью определения оператора А> Da• = Да;
3) А*х = Ах при всех х Е Da-
Если выполнены только первое и третье из этих условий, то опера-
тор А называется симметричным. Таким образом, самосопряжен¬
ный оператор является частным случаем симметричного оператора,
когда, кроме первого и третьего условий, выполнено и второе.
Из (8.14) следует, что симметричный оператор А удовлетворяет
условию
(Ах,у) = (х,Ау) при всех x,yeDj*. (817)
Область определения оператора А*, сопряженного с симмет¬
ричным оператором А, не может быть уже области определения опе¬
ратора А, Da• Э Da- Это следует из третьего условия, согласно ко¬
торому оператор А* определен и совпадает с А всюду в Da• Таким
образом, сопряженный оператор А* служит продолжением симме¬
тричного оператора А. Однако в общем случае это продолжение
может не быть симметричным. Бели А* — симметричный оператор,
то он самосопряженный, так как согласно замечанию после теоремы
7.1.7 для любого, в том числе и для симметричного, продолжения В
оператора А из Дв D Da следует Db• С Da• • В этом случае симме
тричный оператор А может быть продолжен до самосопряженного
оператора, и продолжением его служит оператор А*.
Так как по теореме 7.1.8 сопряженный оператор любого линей¬
ного оператора замкнут, то самосопряженный оператор всегда за¬
мкнут.
Бели самосопряженный оператор А ограничен, то он определен
на всем пространстве, Da = X (теорема 7.1.6). Наоборот, если само¬
сопряженный оператор А определен на всем пространстве, Da = Х>
то на основании теоремы 7.1.15 он ограничен.
Область определения неограниченного самосопряженного опе¬
ратора на основании теоремы 7.1.7 плотна в X.
478 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Теорема 8.3.1. Если самосопряженный оператор А имеет об¬
ратный А~х, то оператор Л”1 тоже самосопряженный.
> Сначала покажем, что область определения Da-i = Ra обрат¬
ного оператора плотна в X. Если Ra не плотна, то в X существует
вектор z ф О, ортогональный к Ra, (Ax,z) = 0 при всех х 6 А*. От¬
сюда видно, что функционал от х (Ax}z) ограничен на Da- Следо¬
вательно, z принадлежит области определения сопряженного опера¬
тора А*, совпадающего в данном случае с А (п.7.1.3), z Е Da• = Da
и (Ax}z) = (x,Az) = 0 при всех х G Da- А так как Da плотна в
X, то Az =г 0. Но это невозможно при z ф 0, так как существует
обратный оператор Л”1. Таким образом, в X не существует векто¬
ра z ф 0, ортогонального к Ra, что и доказывает плотность Дд в
X. Но тогда обратный оператор имеет сопряженный (Л"1)*, кото¬
рый по теореме 8.2.5 совпадает с (Л*)”1 = А~г. Это и доказывает
самосопряженность оператора Л”1. <
Теорема 8.3.2. Если область значений Ra симметричного опе¬
ратора А совпадает со всем пространством X, то А — самосопря¬
женный оператор.
> Действительно, для любых х € Da, у € Da•
А так как Ra = Ху то существует такой вектор z G Da,'что Az = А*у
и в силу симметричности А
Но в силу того, что Ra = Х> это возможно только при у = z. Сле¬
довательно, у £ Da, т.е. Da• С Da, что в соединении с включением
Da• Э А*, вытекающим из определения симметричного оператора,
дает Da• = А*.
8.3.2. Формула для нормы самосопряженного оператора.
Для изучения спектра самосопряженного оператора полезна следу¬
ющая
Теорема 8.3.3. Если самосопряженный оператор А ограничен,
то его норма определяется формулой
(Ах, у) = (х,А*у).
(Ax,y) = (x,Az) = (Ax,z).
(8.18)
> Так как | (Ах, х) \ < || Ах || || * || < || А || || * ||2, то
(8.19)
§ 8.3. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 479
С другой стороны, из тождества
{Аи, v) + {Av, и) = + Av, u + v)- {Аи - Av, и - t>)},
справедливого для любых u, v G X и любого оператора А, отобра¬
жающего X в X, ню того, что | {Аг, г) \ < с || z ||2 для любого z Е X,
следует
|(А«»+(Лг;,«)|<|(||и+«||2 + ||и-«||2) = с(||«||2 + ||г,||2). (8.20)
Пусть х, у произвольные векторы, х, у G X. Представив комплексное
число (Ах, у) в показательной форме, (Ах, у) = re,0f, г > 0, и положив
« xe~ia _ JL
11*11 ’ *~1МГ
получим
(^ti,V) = (At;,«) = pp^|j, ||«|| = ||«||=1.
Подставив эти выражения в (8.20), будем иметь
<2с
IMIIMI “
откуда г = | (-Ах, у) | < с || х || || у ||. При у = Ах отсюда вытекает
II Ах II2 < с II х IIII Ах || и || Ах || < с || х || при всех х. Следовательно,
1М||< с. Отсюда и из (8.19) следует, что ||А||= с, т.е. равенство
(8.18). <
8.3.3. Спектр самосопряженного оператора. Исследуем те¬
перь спектр самосопряженного оператора А.
Teopetoa 8.3.4. Все собственные значения самосопряженного
оператора действительны.
> Предположим, что А — собственное значение, ах — соответ¬
ствующий собственный вектор. Тогда Ах = Ах и (Ах, х) = А || х ||2,
откуда
(Ах,х)
~ 11*11* ‘
Отсюда в силу (8.17) следует, что А — действительное число, о
480 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Следствие. Если самосопряженный оператор А положителен
т.е. (АХуХ) > 0 при всех х € Дд, то все собственные значения опе¬
ратора А неотрицательны.
Теорема 8.3.5. Собственные векторы самосопряженного опера-
тора, соответствующие различным собственным значениям} орто¬
гональны.
> Пусть Ai и Аг — различные собственные значения самосо¬
пряженного оператора А, Ai ф А2, а х\ и хг — соответствующие
собственные векторы. Тогда Ах\ = AiXi, Ах2 = А2Я2 и (Ах 1,Хг) =
= Ai(xi,x2), (xi,Ax2) = A2(xbx2). А так как (Лхх,х2) = (xi,j4x2), то
(Ai - А2)(х1,х2) = 0, откуда (хьх2) = 0. <
Эта теорема верна и в том случае, когда А — симметричный
оператор.
Теорема 8.3.6. Для того чтобы А было собственным значением
самосопряженного оператора А, необходимо и достаточно, чтобы
замыкание области значений Ra(А) оператора А — XI не совпадало
со всем пространством X, [#л(А)] ф X.
> Бели А — собственное значение, ах — соответствующий соб¬
ственный вектор, то так как А действительно, то 0 = (Ах — Ах, у) =
= (х, Ау — Ху) при всех у € Da. Отсюда следует, что собственный
вектор х ортогонален области значений Дл(А) оператора А — А/,
т.е. х € [Да(А)]х, и, следовательно, [Дл(А)] ф X. Наоборот, если
[Яа(А)] ф Ху то для любого х из ортогонального дополнения [Дл(А)],
х € [Ял(А)]-1" (хуАу— Ху) = 0 при любом у € Da- Написав это ра¬
венство в виде (ХуАу) — (Ах,у) = 0, видим, что пара {у, — Ау} при¬
надлежит ядру функционала h = {х, Ах}. По теореме_7.1.7 отсюда в
силу самосопряженности А следует х € Da• = Da и Ах = А*х = Ах.
Это доказывает, что А — собственное значение оператора А, ах-
соответствующий собственный вектор. Но тогда по теореме 8.3.4 А
— действительное число и А = А; Следовательно, А — собственное
значение оператора А. <
Следствие 1. Собственное подпространство самосопряженно¬
го оператора А, соответствующее собственному значению X, пред¬
ставляет собой ортогональное дополнение подпространства [Дд(А)]
в X.
Следствие 2. Остаточный спектр самосопряженного оператора
пуст, <тг(А) = 0, так как для любого X £ <гр(А) [Д>|(А)] = X.
Теорема 8.3.7. Любое комплексное значение X с отличной от
нуля мнимой частью является регулярной точкой самосопряженного
оператора А.
§ 8.3. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
481
> Возьмем любое комплексное значение параметра А, А = /1 +
\iv, v ф 0. Это значение А не может быть собственным значением.
Поэтому [Ял(А)] = X и существует резольвента R\ = (А — А/)"1.
Возьмем произвольный вектор х 6 Da и положим у = А® — А® =
zz Ах — fix — ivx. Тогда будем иметь вследствие (8.17)
IIУII2 = (у. у) = IM*-/i*||2 -»i/(x,Ax-*ix) + ii/(4*-/i*,a:) + i/2 ||®||2^
= ||Л*-/1*||2 +«/2|М|2>«'2||*||2,
откуда || х|| < || у|| /| I/1 при всех у € Яд(А). Следовательно, оператор
Яд ограничен. Но вследствие замкнутости оператора А оператор
А — А/ тоже замкнут. Поэтому и обратный оператор Яд замкнут
(п.7.1.1). Таким образом, оператор Яд непрерывен и замкнут. Но
это может быть лишь в том случае, когда его область определения
Ra(А) замкнута (теорема 7.1.2). Следовательно, Ял(А) = [Ял(А)] =
= Ху т.е. ограниченный оператор Яд определен на всем простран¬
стве X. Отсюда следует, что А — регулярная точка операто¬
ра А. <
Следствие. Спектр самосопряженного оператора расположен
целиком на действительной оси.
Теорема 8.3.8. Спектр положительного самосопряженного one-
ратора А расположен целиком на положительной части действи¬
тельной оси.
> Достаточно показать, что любое действительное А < 0 явля¬
ется регулярной точкой. Так как по следствию теоремы 8.3.4 А < 0
не может быть собственным значением, то [Яд(А)] = Хи существует
резольвента Яд = (А — А/)"1. Взяв произвольное х 6 Da и положив
у = Ах — Ах, будем иметь
II уII2 = II Л* II2 —2A(j4a?, х) + А2 ||х||2> А2 || * ||2,
вследствие того что (Ах}х) > 0 при всех х £ Da, а А < 0. Сле¬
довательно, || х || < || у || /| А | при всех у Е Яд(А), т.е. резольвента
Яд ограниченна на Яд(А). При доказательстве теоремы 8.3.7 было
показано, что Яд — замкнутый оператор. Следовательно, Яд(А) =
= [Ял(А)] = Ху т.е. ограниченная резольвента Яд определена на
всем пространстве X. <
Теорема 8.3.9. Если Яд(А) = X, то А является регулярной точ¬
кой самосопряженного оператора А.
482 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
> Так как самосопряженный оператор замкнут (п.8.3.1), то усло¬
вие Дл(А) = X Необходимо и достаточно для регулярности А
(п.7.3.2). <1
Итак, мы доказали, что для самосопряженного оператора А все
значения А, для которых Ra(А) = X, являются регулярными точка¬
ми, все значения А, для которых [Я>|(А)] ф Х> являются собствен¬
ными значениями и все значения А, для которых Ra(X) Ф X, но
[Дд(А)] = Ху являются точками спектра, отличными от собственных
значений (точками непрерывного спектра).
Пример 8.9. В примерах 8.4 и 8.7 было показано, что оператор
умножения на независимую переменную t в пространстве L2(ii, Ji) является
самосопряженным. Если мера fi вся сосредоточена на конечном интервале
М. то Qn — ограниченный самосопряженный оператор, определенный на
всем пространстве L2(A, ^i). Если же fi конечна на любом конечном интерва¬
ле и бесконечна на любом бесконечном интервале, то — неограниченный
самосопряженный оператор с плотной в ^(Л, /i) областью определения.
Так же как в примере 7.32, приходим к выводу, что оператор умноже¬
ния на независимую переменную в пространстве //2(Л, /i) не имеет собствен¬
ных значений, и его спектром служит вся действительная ось, если мера fi
не сосредоточена ни на каком конечном интервале, и при этом согласно след¬
ствию 2 теоремы 8.3.6 весь спектр оператора непрерывен, (T(Q^) = <Te{Qfi)-
Пример 8.10. Из результатов примера 8.8 следует, что оператор D%
дифференцирования по мнимому аргументу it в L2(JJ) представляет собой не¬
ограниченный самосопряженный оператор. Его область определения плотна
В L2{R).
Оператор D% в Х2(Л) унитарно эквивалентен оператору умножения на
независимую переменную Q в L2(i£) (п.7.1.8). Лля доказательства заметим,
что любая функция х(£) 6 Х2(Д), принадлежащая области определения Dq
оператора Q, принадлежит и L\(R). Действительно, выделив из числдеой оси
конечный интервал А — (—а, а), можем представить функцию x(t) в L2(j4)
в виде произведения функций y(t) Е 1 и *(0. принадлежащих L2(j4), а в
L2(i2\i4) в виде произведения функций z(t) = 1/t и tx(t), принадлежащих
£2(Д\Л). Тогда на основании леммы п.3.7.1 придем к выводу, что x{t) инте¬
грируема как на интервале А = (—й,а), так и на оставшейся части числовой
прямой R\Ay что и доказывает интегрируемость x(t) на всей числовой пря¬
мой Д, т.е. ее принадлежность пространству L\(R). Отсюда и из результатов
п.8.2.3 следует, что, если *(0 ^ А? , то
"Ю = л = vM I ‘V1''<r> jT = vl7.1 е"’*(г) dT■
§ 8.3. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
483
Подынтегральная функция здесь принадлежит пространству L\(R) функций
переменной Г со значениями в пространстве C*(i2) дифференцируемых функ¬
ций переменной t. По доказанному в примере 7.7 в ©том случае интеграл при¬
надлежит С1 (Л) и дифференцирование по it можно выполнить под знаком
интеграла. Тогда получим
Ду = д* У(<) = ^ 7 eiiTTz(r) dr = FQz.
Таким образом, унитарный оператор F преобразует любую функцию x(t) £
£ Dq в y(t) £ Dd{, а функцию Qx преобразует в D%y. Это и значит, что
операторы Q и Д в L2(R) унитарно эквивалентны.
Из полученных формул следует, что D%F — FQ и D{ — XI = F(Q' —
—XI)F~X. Отсюда легко заключить (задача 7.3.17), что спектры операто¬
ров Q и Di в L2(R) полностью совпадают. В примере 8.9 мы видели, что
оператор Q не имеет собственных значений и все действительные значения
А являются точками его непрерывного спектра. Следовательно, и оператор
дифференцирования по мнимому аргументу Д не имеет собственных значе¬
ний и все действительные значения А принадлежат его непрерывному спектру,
<т(Д) = <re(Di).
ЗАДАЧИ
8.3.1. При каких условиях дифференциальный оператор
L=J2akDk, D = d/dt
*=о
в пространстве L2(R) будет самосопряженным? Рассмотреть отдельно случай
постоянных коэффициентов CLk и случай, когда они являются функциями t.
8.3.2. Доказать, что известный в теории дифференциальных уравнений
оператор Штурма—Лиувилля
Sz = D(p(t)Dz) - q(t)z, D = d/dt, p(t) € ^([a, b]), q(t) € C{[a, b])
в пространстве L2{\fLy Ь]) симметричен, если его областью определения счи¬
тать множество дважды дифференцируемых функций x(t) £ Ь2(\а,Ь]), удо¬
влетворяющих граничным условиям
сцх(а) + С{2х(Ь) + с,зя'(а) + сцх‘(Ь) = 0 (г = 1,2).
Можно ли продолжить его до самосопряженного оператора?
484 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
8.3.3. Доказать, что для любого дифференциального оператора
L = (*2 + a\D + ао, D = d/dt
в произведение этого оператора и оператора М умножения на функцию
dr},
ML, представляет собой самосопряженный оператор.
8.3.4. Доказать, что оператор Лапласа
А =
в L2(Rn) — самосопряженный неограниченный оператор.
8.3.5. Пусть Т — произвольный оператор, отображающий Н-пространст¬
во X в //-пространство У, Т* — его сопряженный оператор. Показ&ть, что
ТТ* и Т*Т — положительные самосопряженные операторы.
8.3.6. Пусть Т — произвольный оператор, отображающий /^-пространст¬
во X в X, Т* — его сопряженный оператор. Показать, что операторы Г+Г*
и *(Т — Т* ) — самосопряженные.
8.3.7. На основании результатов задачи 8.3.6 представить любой оператор
Т : X —► Ху имеющий сопряженный оператор, в виде линейной комбинации
двух самосопряженных операторов.
§ 8.4. Проекторы
8.4.1. Проекторы и их свойства. Пусть G — подпространство
tf-пространства X. Согласно следствию 1 теоремы 8.1.2 любой век¬
тор х £ X можно однозначно представить в виде суммы х = и 4* v,
ti 6 Gy v 6 GL. Вектор и представляет собой проекцию вектора х на
подпространство G.
Оператор Р, сопоставляющий каждому вектору х Е X его про¬
екцию и на Gy и = Рху называется оператором проектирования на G
или, коротко, проектором на G. Если хотят подчеркнуть, что речь
идет об ортогональном проектировании, т.е. о нахождении такого
вектора ti € G, что (и,х — и) = 0, то оператор Р называют ортопро¬
ектором на G. В дальнейшем мы будем рассматривать преимуще¬
ственно ортопроекторы и поэтому, не опасаясь неточностей, можем
называть их просто проекторами.
Очевидно, что проектор Р представляет собой ограниченный
линейный оператор и его норма равна единице.
§ 8.4. ПРОЕКТОРЫ
485
Из того, что PxEG для любого х Е X и Ру = у для любого у € G
следует, что Р2х = Рх для любого а? 6 X. Это значит, что Р2 = Ри
вообще Рп = Р при любом натуральном п. Операторы, обладающие
таким свойством, называются идемпотентными. Таким образом,
любой проектор представляет собой идемпотентный оператор.
Так как (Рх, у - Ру) = (х - Рх, Ру) = 0 для любых х, у, то
(Рх, у) = (Рх, Ру) + (Рх, у - Ру) = (Рх, Ру) =
= (Рх, Ру) + (х - Рх, Ру) = (х, Ру)
для всех Х,уех. Следовательно, любой проектор является само¬
сопряженным оператором.
Из этих двух свойств проекторов следует, что для любого х Е X
||Рх||2=(Рх,Рх) = (Р2х,х) = (Рх,х).
Отсюда ясно, что (Рх, х) > 0 для всех х £ X. Это значит, что лю¬
бой проектор является положительным операторм (см. п.7.1.5; напо¬
мним, что в случае Я-пространства X сопряженное пространство
X* по доказанному в п.8.1.2 и п.8.1.3 можно отождествить с X).
Ясно, что подпространство G, на которое проектирует опера¬
тор Р, является его областью значений, G = Rp, а ортогональ¬
ное дополнение G^ подпространства G служит ядром проектора Р,
GL = ker Р, так как Р(х — Рх) = 0 для любого х.
Теорема 8.4.1. Любой идемпотентный самосопряженный линей¬
ный оператор Р является проектором.
> Если Р2 = Р и Р* = Р, то || Рх ||2 = (Рх,Рх) = (Р2х,х) =
= (Рх, х) < || Рх || || х ||, откуда || Рх || < || х ||. Следовательно, Р явля¬
ется ограниченным оператором с нормой, не превосходящей едини¬
цу. Рассмотрим множество G всех векторов, которые оператор Р
оставляет неизменными, G = {и : Ри = ti}. Очевидно, что G пред¬
ставляет собой подпространство, так как оно является линейным
пространством и для любой сходящейся последовательности {tin},
Е Gy и = lim tin, Ptin = tin —* «, а с другой стороны, Pun —► Pu
вследствие непрерывности P, т.е. Ри = « и « 6 G. Обозначим через
Pg проектор на G. Тогда будем иметь для любого у Е G
(Рх-Рах,у) = (Рх,у)-(Рсх,у) = (х,Ру)-(х,Рсу) = (х,у)-(х,у) = 0.
486 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
С другой стороны, Pgx € G и Рх € G для любого х, так как Р(Рх)
= Р2х = Рх. Поэтому Px—Pgx € G и полученное равенство справед¬
ливо при у = Рх — Р^х. Следовательно, || Рх — Pgx || = 0 и Рх = PGx
при всех х, т.е. Р совпадает с проектором Р^. «
В теории линейных операторов часто встречаются суммы, про¬
изведения и разности проекторов. Поэтому необходимо выяснить
условия, при которых сложение, умножение и вычитание проекто¬
ров дают в результате проекторы. Эти условия определяются сле¬
дующими тремя теоремами.
Теорема 8.4.2. Если Р\ и Р2 — проекторы на подпространства
G\ и G2 соответственно, то произведение Р\Р2 представляет со¬
бой проектор тогда и только тогда, когда Р\ и Р2 перестановочны,
PiP2 = Р2Р\. В этом случае Р\Р2 есть проектор на подпростран¬
ство G = G\ £\G2.
> Действительно, если Р1Р2 — проектор, то вследствие его са¬
мосопряженности (Р\Р2у = Р\Р2. С другой стороны, по общему
свойству (7.3) сопряженных операторов (теорема 7.1.5) (Р\Р2)* =
= Р2Рх = Р2Р1. Следовательно, условие Р\Р2 = Р2Р1 необходи¬
мо. Если PiP2 = P2Pi, то (Р1Р2)2 = Р1Р2Р1Р2 = Р\Р2 = Р1Р2 и
(Р\Р2)Ф = Р2Р\ = Р2Р\ = Р\Р2, т.е. оператор Р = Р\Р2 являет¬
ся идемпотентным самосопряженным оператором. Следовательно,
Р\Ръ является проектором. Обозначим через G' подпространство,
на которое проектирует Р = Р1Р2. Так как Рх = Р1Р2Х 6 Gi,
Рх = Р2Р\х € G2 и, следовательно, Рх € G = G\{\G2 при всех х,
то G' С G. С другой стороны, для любых х € G,x, у € G = G\ f]G2
(х, у) = (х, Рху) = (Pi®, у) = (Pi*, Р2у) =
= (Р2Р1Х, у) = (Р«, у) = (о, у) = 0.
Следовательно, х 6 Gx, т.е. G'x С G1 и G' Э G. Из двух противо¬
положных включений следует, что G' = G = Gi р|<?2. <
Теорема 8.4.3. Если Р\ и Р2 — проекторы на подпространства
Gi и G2 соответственно, то сумма Р\ + Р2 является проектором
тогда и только тогда, когда подпространства G\ и G2 ортогональны.
В этом случае Р = Pi + Р2 есть проектор на ортогональную сумму
G = Gi ф G2 подпространств G\ и G2.
> Действительно, если Р = Pi + Р2 — проектор, то || Рх ||2 =
= (Рх,х) = (Pix,x) + (Ргх/х) =||Pix||2 + ЦРг^Ц2 и, следовательно,
§ $.4. проекторы 487
II* ||2 >11 Plx II2 + II ^2* ||2 при любом х. В частности, ВЗЯВ X = Р\У,
получим
над2 > над2 + нлад2
i
при всех у, что возможно только при Р2Р\у = 0 для любого у, т.е.
при P2Pi = 0. А это и значит, что подпространства G\ и G2 ортого¬
нальны и Р\Р2 = 0. Наоборот, если Р2Р\ = Р\Р2 = 0, то
(Л + Pi? = (Pi+Wi + (Pi+Pi)P2 = Pi2 + Pi = Pi + p2
(Р1+Р2Г = РГ+Р2’ = ^1+^2.
Следовательно, в этом случае Р = Pi + Р2 — проектор. Обозначим
через G' подпространство, на которое проектирует Р. Так как Р\х Е
€ Gi, Р2х Е G2 и, следовательно, (Pi + Р2)х Е Gi 0 G2 = G при всех
х, то G' С G. С другой стороны, для любого х Е G/_L
0=||Рх||2=(Р*,*) = (Р1*,х) + (Р2*,х)=||Р1а;||2 + ||ад2 .
Поэтому Pix = Р2х = 0 для любого х Е G/-L. Это значит, что вектор
х ортогонален подпространствам Gi и G2, т.е. х Е (Gi 0 G2)+ =
= Gx. Следовательно, G,x С G-1, т.е. Gx = G, чем и завершается
доказательство. <
Следствие. Если Pi,...,Pn — проекторы на подпространства
и
Gi,...,Gn соответственно, то Р = Р* — проектор тогда и
fc=±i
только тогда, когда G1,..., Gn попарно ортогональны. В этом случае
п •
Р — проектор на ортогональную сумму G = ф G* подпространств
*=1
Gi,...,Gn.
Теорема 8.4.4. Ясли Pi « Р2 — проекторы на подпространства
Gi и G2 соответственно, то разность Р — Р\ — Р2 является про¬
ектором тогда и только тогда, когда G2 С G\. В этом случае Р —
проектор на ортогональное дополнение G = Gi 0 G2 подпростран¬
ства G2 в G\.
> Предположим, что Р — проектор на некоторое подпростран¬
ство G'. Так как Pi = Р2 + Р — проектор, то по предыдущей теореме
подпространства G2 и G; ортогональны и Pi — проектор на G2 0 G'.
Следовательно, Gi = G2 0 G', откуда G2 С Gi и G' = Gi © G2 = G.
Для доказательства достаточности условия предположим, что G2 С
488 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
С (?1 и обозначим через Pq проектор на G = G\ © G2. Тогда по пре¬
дыдущей теореме будем иметь Pi = Р2 + Pg, откуда Р = Pi — Р2 =
= Pg- <
Следствие 1. Если G2 С Gi, mo ||Р2® || < ||Pi® ||.
> Действительно, в этом случае Pi = Р2 + Р и для любого *
II Л* II2 = (Л®, *) = (Р2Х, х) + (Рх, I) = IIР2х II2 + ||Рх||2.
Докажем, что и обратно из || Р2х ||<|| Р\х || следует G2 С Gb
Действительно, если ® € G^, то Pi® = 0. А так как || Р2х ||<
< || Pi® ||, то и Р2® = 0, т.е. х € G2 . Следовательно, Gi“ С G2 , откуда
G2 С Gi. <
Следствие 2. Если G2 С (?i, mo Р1Р2 = Р2Р\ — Р2-
> Действительно, Р2х € Gi, откуда следует, что Р\Р2х = Р2®
для всех ®. С другой стороны, Рх = Pi® — Р2® € Gi ©G2, вследствие
чего Р2Рх = 0 и Р2Р\х = Р2 ® = Р2® для всех ®. <
Пример 8.11. Изученные свойства проекторов хорошо иллюстри¬
руются на примере проекторов I» трехмерном евклидовом пространстве. Если
Gi и G2 — плоскости, то PiP2 преобразуют любую точку ® в некоторую точ¬
ку плоскости G\t а Р2Р\ — в некоторую точку плоскости G2. Эти точки в
общем случае не совпадают. И лишь в том случае, когда плоскости Gi и G2
ортогональны, PiP2 й Р2Р\ преобразуют ® в одну и ту же точку на линии
пересечения Gi и G2 — проекцию точки ® на эту прямую. Если Gi и G2
две ортогональные прямые (проходящие через начало координат), то Pi + Р2
является оператором проектирования на плоскость Gi0 G2. Если Gi и G2
не ортогональны, то Pi® + Р2Х не является проекцией точки ®. Разность
Pi — Р2 является проектором, только если G2 — прямая, a Gi — содержа¬
щая ее плоскость или все пространство или если G2 — плоскость, a Gi — все
пространство.
Пример 8.12. Оператор Ра в пространстве L2(X)t сопоставляющий
любой функции у(х) G Ь2(Х) функцию *
«•о-.мм.)ziii
где А — любое измеримое множество, представляет собой проектор на под¬
пространство L2{A). Л ля любых измеримых множеств А, В С X имеем
РдРв = РвРа = Рлв, сумма Ра + Рв = PaxjB тогда и только тогда,
когда АВ является множеством нулевой меры, т.е. когда любая функция из
§ 8.4. ПРОЕКТОРЫ
489
8.4.2. Сходимость последовательностей операторов. В те¬
ории линейных операторов приходится встречаться с последова¬
тельностями проекторов. Рассмотрим пространство В(Х) ограни¬
ченных линейных операторов, отображающих Я-пространство X в
X. Любой ограниченный линейный оператор представляет собой
точку этого пространства, которое, очевидно, является нормиро¬
ванным линейным пространством (а именно Я-пространством, в со¬
ответствии с общей теоремой 6.1.1). Лля исследования сходимости
последовательностей операторов в пространстве В(Х) служат три
топологии, введенные в п.6.1.4: равномерная топология, порожден¬
ная нормой, сильная топология, определяемая окрестностями нуля
соответствующими всем п, е > 0 и xi,..., хп Е X, и слабая тополо¬
гия, определяемая окрестностями нуля
соответствующими всем п, е > 0 и всем парам xi, у\\...; хп, уп Е
€ X х X.
Эти три топологии определяют три вида сходимости последо¬
вательности операторов {Тп}: равномерную сходимость ||ТП — Т||—►
—► 0, сильную сходимость, или просто сходимость, ||Тпх — Тх|| —► О
Vx и слабую сходимость (Тпх — Тх, у) —> 0 Vx, у.
В п.6.1.4 было показано, что из равномерной сходимости после¬
довательности операторов вытекают ее сходимость и слабая схо¬
димость, а из сходимости вытекает слабая сходимость. Обратные
утверждения в общем случае неверны. В частности, из слабой схо¬
димости последовательности операторов в общем случае не следует
ее сходимость. Однако в частном случае для проекторов это утвер¬
ждение, как мы увидим, иногда верно.
* Под Ь2{Х) здесь можно понимать пространство Ь2 скалярных функций,
определенных на произвольном пространстве X с неотрицательной мерой.
{Т:\\Тхг\\< е,..., \\Тхп\\<е},
(8.21)
{Т : | (Тх 1, yi) | <£,..., | (Тхп,уп) | < е},
(8.22)
490 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
8.4.3. Последовательности проекторов. Пусть {Gn} — мо¬
нотонная последовательность подпространств Я-пространства X,
{Рп} — последовательность соответствующих проекторов.
Теорема 8.4.5. Если последовательность {Рп} слабо сходится к
проектору Р, то она сходится к Р.
о Бели последовательность {Рп} слабо сходится к некоторому
проектору Р, то в силу соотношения ||Р'х||2 = (Р'х,х), справедливо¬
го для любого проектора Р', и того, что в данном случае или Р — Рп,
или Рп — Р по теореме 8.4.4 является проектором, {Рп} сходится к
Р. Таким образом, из слабой сходимости монотонной последова¬
тельности проекторов {Рп} к проектору Р вытекает сходимость {Pn J
к Р. <
Теорема 8.4.6. Всякая монотонная последовательность проек¬
торов {Рп} сходится к проектору Р на подпространство G = limGn
(UGn в случае возрастающей {Gn} ti П®п в случае убывающей {Gn}).
> Так как Рш — Рп — проектор при любых, т, п, т > п в случае
возрастающей {Gn}, т<п в случае убывающей {Gn}, то
II Ртх - Рпх II2 = (Рт* - Рпх, х) = (Ртх, х) - (Рпх, х).
Правая часть здесь сколь угодно мала при всех достаточно боль¬
ших шип, поскольку монотонная последовательность положитель¬
ных чисел {(Рпх,х)}, ограниченная сверху числом ||ж||2, сходится.
Следовательно, последовательность {Р„х} фундаментальна и в си¬
лу полноты Я-пространства сходится к некоторому пределу (зави¬
сящему от х), limPnx = Рх. Оператор Р линеен и, так как (Рпж, у) —>
-* (Рх,у), (х, Рпу) -» (х,Ру), (РпХ,Р„у) -*• (Рх, Ру) и (Рпх,у) =
= (*. Рпу) = (Рпх,Р„у) при всех X, у, то (Рх,у) = (х,Ру) = (Рх,Ру)
при всех х, у. Отсюда следует, что Р — самосопряженный идем-
потентный оператор, Р* = Р2 = Р. Поэтому Р — проектор. Обо¬
значим через G' подпространство, на которое проектирует Р. Бели
G* С G, G © G' / {0}, то G' С Gn, Gn © G' / {0} для всех п в случае
убывающей {Gn} и для всех п, не меньших некоторого JV, в случае
возрастающей {Gn}. Взяв в первом случае х € G© G', а во втором
х € Gjv © G', получим Рх = 0, Рпх = х для всех п> N, что противо¬
речит доказанной сходимости {Рпх} к Рх при всех х. Бели G С G',
G'©G ^ {0}, то Gn С G', G' © Gn / {0} для всех п в случае воз¬
растающей {Gn} и для всех п, не меньших некоторого N, в случае
убывающей {Gn}. Взяв в первом случае х € G' © G, а во втором
x6G'© Gn, получим Рх = х, Рпх =: 0 для всех п > N, что также
§ 8.4. ПРОЕКТОРЫ
491
противоречит сходимости {Рпх} к Рх при всех х. Полученные про¬
тиворечия доказывают, что G' — G, и, Таким образом, завершают
доказательство теоремы. <
8.4.4. Общее определение проектора. Ортогональное про¬
ектирование имеет смысл только для Я-пространств. И даже для
Я-пространств иногда приходится рассматривать неортогональное
проектирование. Мы встретимся с этим в п.8.5.7 и п.8.5.8. Поэто¬
му возникает необходимость изучения операторов проектирования
в любых пространствах и операторов неортогонального проектиро¬
вания в Я-пространствах. Мы уже встречались с понятием про¬
екции точки в любых произведениях пространств (п.2.1.8 и п.2.1.9).
Отображение точки произведения множества пространств на какое-
нибудь %одно из этих пространств или на произведение некоторого
подмножества этих пространств и есть оператор проектирования,
или проектор. В задачах 4.3.9 и 4.3.10 доказывается линейность
проекторов в произведениях линейных пространств и их непрерыв¬
ность в тихоновских произведениях топологических пространств.
Из определения проекции точки в п.2.1.8 и п.2.1.9 следует, что любой
проектор представляет собой идемпотентный оператор. Это приво¬
дит нас к следующему общему определению проектора.
Оператором проектирования или, коротко, проектором в лю¬
бом линейном пространстве X называется любой не нулевой идем¬
потентный линейный оператор.
Области значений проектора Р не может быть пустой и служит
множеством, на которое он проектирует Точки пространства. Дей¬
ствительно, положив и = Рх для любого х, получим Ри = Р2х =
= Рх = и, и наоборот из Ри = и вытекает и 6 Rp. Таким образом,
Ри = и тогда и только тогда, когда и 6 Rp- С другой стороны,
Р(х — Рх) = Рх — Р2х = Рх — Рх = 0 для любого х. Следователь¬
но, любой проектор Р дает представление любого вектора х в виде
суммы.х = и + v, где и 6 Яр, a v 6 кегР. Соответственно про¬
странство X представляется в виде суммы двух непересекающихся
подпространств
X = Gi + G2, Gi = RP, G2 = ker P.
Сумма здесь понимается как сумма множеств (п.5.1.1), а под непе-
ресекающимися подпространствами понимаются подпространства,
единственной точкой пересечения которых является 0 (это соответ¬
ствует ортогональным подпространствам в Я-пространстве).
492 ГЛ 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
ЗАДАЧИ
8.4.1. Обобщить пример 8.12 на случай пространства скалярных функций
L2(X,A,ri.
8.4.2. Пусть Х\9 . .., Хп —1 векторы в /Г-пространстве X, удовлетворяю¬
щие условиям (££,£;) = бы. Будет ли проектором оператор
Рх = ]T(x,xik)xt?
t=i
Если да, то на какое подпространство он проектирует векторы X £ X?
8.4.3. Обобщить теоремы 8.4.2, 8.4.3 и 8.4.4 на проекторы в любом линей¬
ном пространстве.
8.4.4. Пусть Xif . .., Хп — линейно независимые векторы линейного про¬
странства X. Показать, что существуют функционалы /х,..., /п, удовлетво¬
ряющие условиям fkXj — бы- Будут ли функционалы /i,. .. >/п линейно
независимыми? Будет ли проектором оператор
Рх = Е (/**)**?
4=1
Если да, то на какое подпространство он проектирует векторы X G X?
Указание. Вспомните следствие 2 теоремы 5.1.4.
8.4.5. Показать, что оператор^ умножения на индикатор множества А в
пространстве скалярных функций Lp(X,Ayfi) является проектором на под¬
пространство Ьр(А,Ау ц)‘
§ 8.5/Последовательности векторов и базисы
8.5.1. Последовательности векторов. Пусть {я*} — любая
последовательность векторов в Я-пространстве X. Без потери общ¬
ности можно считать эти векторы линейно независимыми, так как
это всегда может быть достигнуто выбрасыванием из последова¬
тельности каждого вектора, представляющего собой линейную ком¬
бинацию предыдущих. Обозначим через Gn подпространство, обра¬
зованное первыми п векторами нашей последовательности х\,.
По следствию 1 теоремы 8.1.2 любой вектор х 6 X может
быть однозначно представлен в виде суммы х = un + zn, где и„ —
проекция х на Gn, a zn € Gx. Таким образом, любой вектор х € X
может быть представлен в виде
§8 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВЕКТОРОВ И БАЗИСЫ
493
п
* = ]C4n)**+*«- (8-23)
*=1
Для определения коэффициентов , ... , умножим (8.23) ска-
лярно на хр. Тогда, принимая во внимание, что вектор zn ортогона¬
лен всем векторам х\, ... , хп, получим систему уравнений
п
(*< хр) = ^2 акп)(*‘» хр) (р -1 п) • (8-24)
i=i
Эта система уравнений всегда имеет единственное решение, так как
по теореме 1.3.4 определитель матрицы Грама линейно независимых
векторов строго положителен. Мы не будем здесь решать уравнения
(8.24) в общем случае, а ограничимся замечанием, что для любой
последовательности векторов {хп} любой вектор х Н-пространства
X может быть представлен последовательностью разложений (8.23),
в каждом из которых вектор zn ортогонален векторам х\ , ... , хп.
8.5.2. Ортогональные и ортонормальные последовательно¬
сти. Последовательность векторов {х*} называется ортогональной,
если все векторы этой последовательности попарно ортогональны,
(xpi xq) = 0 при р ф q. Последовательность векторов {х*} называется
ортонормальной} если она ортогональна и нормы всех ее векторов
равны единице (хр, хя) = 6рд.
Теорема 8.5.1. Любую последовательность линейно независимых
векторов {и*} можно ортонормировать, а именно заменить такой
ортонормальной последовательностью {х*}, что каждый вектор ип
будет линейной комбинацией векторов х\, ... , хп.
> Положим
*1 = «г/ II «XII. *2 = 72(021*1 + и2)
и выберем a2i из условия (x2,xi) = 0, а 72 из условия || х2 ||= 1. В
результате получим a2i = — (u2,xi), 72 =||ar2ixi+«2 Ц”1. После этого
положим
Хп = Jn(otniXi -f ... + аП)п-1Хп-1 + ип)
при любом п > 2 и определим ап\, ... , an,n-i последовательно из
условий (хп,х*) = 0 (k = 1, ... , п — 1), а 7п из условия || xn ||= 1.
Тогда получим апр = -(ип, хр)у (р = 1, ... , п - 1), уп =|| <*п\Х\ + ..
• + arn>n_lXn_ 1 + || * (n = 3, 4, . . .). <
494 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Бели принять в предыдущих формулах х\ = tii, 72 = Тз = ...
... = 1, то изложенный способ даст ортогональную последователь¬
ность векторов, которая в общем случае не будет ортонормальной.
Таким образом, взяв любую последовательность линейно неза¬
висимых векторов {«*}, можно построить такую ортонормальную
последовательность {*„}, что
п
«1 =11 “111*1. «О = (п = 2,3,...). (8.25)
к=1
Отсюда следует, что при изложенном способе ортонормализации
последовательности векторов подпространство, образованное век¬
торами х\, жп, совпадает с подпространством Gn, образован¬
ным векторами и\, ... , ип. Поэтому без потери общности можно
считать последовательность векторов {х*} в (8.23) ортонормальной.
8.5.3. Разложение вектора по ортонормальным векторам.
В случае ортонормальной последовательности векторов {х*} урав¬
нения (8.24) дают \
= (х,хр) (р = 1, ... , п), (8.26)
и формула (8.23) принимает вид
п
X = 53(*. *fc)*k + Zn . (8.27)
к=1
Умножив это равенство скалярно на ху находим
II *ll2=Sl(*.**)l2+(*»,*)•
fc=l
Подставив в последнее слагаемое выражение (8.27) вектора полу¬
чим в силу ортогональности вектора zn к х\, ... , хп (znt х) =|| zn ||2,
и предыдущее равенство прумет вид
|М|>=£|(*,**)|2 + ||*„||2 • (8.28)
*=1
Отсюда получаем неравенство, справедливое при всех п:
Ек*.**)12<11*н2
*=1
(8.29)
§ 8.5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВЕКТОРОВ И БАЗИСЫ
495
Это неравенство обычно называется неравенством Бесселя.
Вектор zn в (8.27) представляет собой остаточный член прибли¬
жения вектора х его проекцией на подпространство Gn. Формула
(8.28) может служить для оценки нормы остаточного члена zn.
Из неравенства Бесселя (8.29) следует, что ряд
!>,**) I2 (8-3°)
к=1
сходится для любого вектора х.
Так как
m+# ||* m+5
= £ |(*,*fc)l2
k=m II k=m
при всех натуральных m и s, то из сходимости ряда (8.30) вытекает
сходимость ряда
^{х,хк)хк. (8.31)
1 = 1
Следовательно, любой вектор х € X однозначно выражается разло¬
жением
оо
* = 5^(*. *t)*t + *00 > (8-32)
к=1
где г» = limz„ и, следовательно, (zoo,*t) = 0 при всех к, т.е. вектор
Zqo ортогонален всем векторам последовательности {х*}.
Из сходимости ряда (8.30) следует (х, хп) —► 0 при п —► оо при
всех х. На основании теоремы Рисса 8.1.3 это значит, что любая ор-
тонормальная последовательность векторов {ха} в Я-пространстве
слабо сходится к нулю (п.5.3.2). Таким образом, мы имеем пример
слабо сходящейся, но не сходящейся последовательности.
Пусть Рп — проектор на подпространство Gn. Последователь¬
ность пространств {Gn} является монотонно возрастающей. Сле¬
довательно, по теореме 8.4.6 последовательность проекторов {Рп}
сходится к проектору Р на подпространство G = limGn = U^n-
Поэтому ряд в (8.32) сходится к проекции Рх вектора х на подпро¬
странство G, a Zoo принадлежит ортогональному дополнению G1
подпространства G.
8.5.4. Полные последовательности векторов и базисы. По¬
следовательность векторов {х*} называется полной, если в X не су¬
ществует вектора, ортогонального ко всем векторам этой последо¬
вательности. Бели ортонормальная последовательность векторов
496 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
{х*} полна, то ортогональное дополнение подпространства G,
образованного последовательностью {я*}, состоит из одного нуля и
Zoo = 0 в (8.32). В этом случае любой вектор х Я-пространства X
выражается разложением
оо
-Ее >Хк)*к, (8.33)
fc=i
и формула (8.28) в пределе при п —► оо дает
1М|2=£|(*.**)|2- (8.34)
,к=1
Это равенство обычно называется равенством Парсеваля.
Полученные результаты сформулируем в виде теоремы.
Теорема 8.5.2. Если {х*} — полная ортонормалъная последова¬
тельность векторов в Н-пространстве X, то любой вектор х Е X
представим разложением (8.33) и при этом справедливо равенство
Парсеваля (8.34).
Пусть х, у — два вектора Я-пространства Х} {хп} — полная ор-
тонормальная последовательность векторов. Представив х, у раз¬
ложениями (8.33), получаем следующую формулу для скалярного
произведения векторов х, у:
(*>у) - **)(**>у) • (8-35)
4=1
Последовательность векторов {х*} топологического линейного
пространства X называется базисом, если любой вектор х Е X од¬
нозначно выражается разложением
оо
* = otkXk,
* = 1
сходящимся в топологии этого пространства.
Таким образом, любая полная ортогональная последователь-
ность векторов в Я-пространстве X представляет собой базис. В
дальнейшем мы встретимся с неортогональными базисами (п.8.5.8)-
8.5.5. Представление функций рядами. Применим изложен-
ную теорию для изучения разложений функций в ряды. Рассмотрим
§ 8.5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВЕКТОРОВ И БАЗИСЫ
497
Я-пространство Ь2(Т) функций с интегрируемым квадратом модуля
по мере Лебега цо области Т. Пусть {хп(*)} — полная ортонормаль-
ная последовательность функций в Ь2(Т),
L
xn(t)xm(t)dt = 6п
Такую последовательность можно получить ортонормированием
любой полной последовательности функций {ип(*)} ** Если область
Т конечная, за функции un(f) можно принять, например, степени не¬
зависимой переменной un(t) = tn~l (n = 0,1,2,...) в случае скаляр¬
ной переменной t и все степенные одночлены относительно коорди¬
нат вектора t в случае векторной переменной t. Бели область Т
бесконечная, за функции ип(0 обычно принимают степенные одно¬
члены, умноженные на некоторую достаточно быстро убывающую
функцию ty когда хотя бы одна из координат вектора t неограничен¬
но возрастает по модулю.
Из общей теории п.8.5.4 следует, что любая функция ж(*) £ Ь2(Т)
может быть представлена рядом (8.33):
x(t) = J2akxk(t),
* = 1
где
«t = (*. *к) = J x(t) xk(t) dt (к= 1,2,...).
(8.36)
(8.37)
Ряд (8.36) сходится к x(t) по норме пространства Ь2(Т) (т.е. в сред¬
нем квадратическом):
/
*=1
dt —► 0 при п —► оо.
Норма остаточного члена ряда (8.36) на основании (8.28) может быть
оценена по формуле
Н*п||2= J
*(о-]Са* **(<)
*=1
dt= f \x(t)\2dt-J2\ak\2 . (8.38)
I Jfc = l
* Полные последовательности функций L2(T) существуют вследствие се¬
парабельности пространства Ь2(Т) (п.3.7.6 и п.8.5.6).
498 ГЛ 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Этой формулой можно пользоваться для оценки точности прибли¬
жения функции x(t) отрезком ряда (8.36).
Наибольшие трудности при применении разложений функций
по ортогональным базисам представляет доказательство полноты
выбранной последовательности функций. Для доказательства пол¬
ноты последовательности функций в пространствах Ь2 функций век¬
торной переменной полезно применять следующее легко доказыва¬
емое предложение: если (яр*(<р)} — полные ортонормальные после¬
довательности в пространствах Ь2(ТР) (р = 1, ... , п), то все воз¬
можные произведения a?Hj(ti)... xnkn(tn) образуют полную ортонор-
мальную последовательность в пространстве L2(Ti х ... х Тп) функ¬
ций п-мерной векторной переменной t = {t\ , ... , tn}. Эта теорема
во многих случаях дает возможность ограничиваться доказатель¬
ством полноты систем функций скалярной переменной.
Для установления полноты систем функций в пространствах Ь2
полезна следующая
Теорема 8.5.3. Если не равная почти всюду нулю функция <p(t)
убывает при | t |—► оо быстрее, чем показательная функция
rv > 0, то л оследовательность функций tk<p(t) (к = 0,1,2,...) полна в
1MR)
> Для доказательства предположим, что существует функция
*(0 € L2(R), ортогональная всем функциям tkip(t):
оо
j tk<p(t)z(t)dt = 0 (к = 0,1,2,...). (8.39)
-ОО
Так как <p(t)z(t) Е L\(R) в силу неравенства (3.89) при р = q = 2, то
функция
оо
u(w) = ^^ J <p(t)z(t)eiw*dt
— оо
является аналитической функцией комплексной переменной и при
| Imu; | < а. А так как все ее производные равны нулю при и = 0 в
силу (8.39), то ti(w) = 0. Отсюда в силу унитарности оператора Фу¬
рье (п.8.2.3) следует, что <p(t) z(t) = 0 почти всюду. А так как <p(t) не
равна почти всюду нулю, то z{t) = 0 почти всюду. Таким образом,
в L2(R) нет отличной от нуля функции, ортогональной всем функ¬
циям th<p(t), что и доказывает полноту последовательности функций
tk<p(t) (к = 0,1,2,...). <
§ 8.5 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВЕКТОРОВ И БАЗИСЫ
499
Эта теорема верна также и для пространств £г(Яп) при лю¬
бом натуральном п; при п > 1 tk следует понимать как t*l .. .
(к\, • • ■ , = 0,1,2,...), a ut — как скалярное произведение wTt век¬
торов ш = [u>i .. .ып]т и t = [*i.. .t„]T.
Положив, в частности, <p(t) = 0 всюду вне конечной области
Т и <p(t) = 1 при t GT, придем на основании доказанной теоремы к
выводу, что система функций tk (А: = 0,1,2,...) полна в пространстве
L2CO Для любой конечной области Т С й”.
Если функция <p(t) удовлетворяет условиям теоремы и равна
нулю при t < 0, то из теоремы следует полнота системы функций
tk (p(t) в пространстве L2([0,oo)).
Пример 8.13. Ортогонализ&цией системы функций tk (к = 0, 1,
2,. ..) на интервале [а, 6] получается последовательность полиномов Лежан¬
дра
pk(t) = ск£- [(t -a)*(f -Ь)к] (А: = 0,1,2, .. .).
На основании теоремы 8.5.3 последовательность полиномов Лежандра полна и,
следовательно, является базисом в Z/2([a,6]). Поэтому любая функция z(2) Е
£ ^2([а,6]) может быть представлена разложением по полиномами Лежандра
*(0 = £ <*kPk(t) ,
к=О
.•
сходящимся в среднем квадратическом. Коэффициенты этого разложения со¬
гласно (8.37) определяются формулой
/
ак = / x(t) Pk(t) dt / f P*(t) dt (k = 0,1,2,...).
a a
Точность приближения функции x(t) отрезком разложения по полиномам Ле¬
жандра можно оценить по формуле (8.38).
Обычно применяются полиномы Лежандра на интервале [—1, 1]- В этом
случае коэффициент С& берется равным 2*it!.
Пример 8.14. Ортонормальная последовательность тригономериче-
ских функций eikt/у/Тя (к = 0, ±1, ±2,. . .) полна и, следовательно, является
базисом в L2([~7r, Я*]). Действительно, предположив, что существует функция
z(t), ортогональная ко всем функциям eikt /получаем
f eik1z(t)dt = 0 (к = 0,±1, ±2,...). (8.40)
500 гл. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Отсюда интегрированием по частям при к ф 0 находим
/ e‘“u(0<ft = 0 (* = ±1,±2,...), (8.41)
— Ж
где
«(0 = / z(r)dr.
— Ж
Согласно (8.41) функция ti(2) ортогональна ко всем функциям е1**/л/2ж} кроме
\/у/2ъ. Чтобы получить функцию, ортогональную и к 1/у/2тгу положим
v(<) = «(0-^p / u(r)dT.
— Ж
Тогда будем иметь в силу (8.41)
/ e'*‘v(*) dt = 0 (Jb = 0, ±1, ±2,...). (8.42)
— Ж
Так как функция v(£) непрерывна и в силу (8.40) при к = 0 ti(7r) = tl(—7г) = О,
вследствие чего »(*) = «(-»). то по теореме Вейерштрасса она может быть
с любой степенью точности равномерно аппроксимирована тригонометриче¬
ским полиномом на интервале [— 7Г, 1г] [16, т.2]. Пусть p(t) — такой полином,
что I v(t) - p(t) |< € при всех t G [—7Г, тг]. Тогда в силу (8.42) и неравенства
Коши — Буняковского (1.14)
/ |»(01ал= /К0К0-Р(0]Л<
— ж —ж
<е J \v{t)\dt<eJ2ir f |t»(<)|2d<
— Ж у — X
или
IMI= ^ / И0Рл < £у/2к-
Отсюда вследствие произвольности € > 0 заключаем, что || V ||= 0 и, сле¬
довательно, v(t) = 0 почти всюду. Из определения функции v(£) следует,
что тогда и z(t) = 0 почти всюду, т.е. || Z ||= 0, что и доказывает полноту
последовательности функций e*kt (it = 0, ±1, ±2,...).
§ 8.5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВЕКТОРОВ И БАЗИСЫ 501
Таким образом, последовательность вв***/‘^2тг = 0, ±1,±2, .. .) пред¬
ставляет собой базис и любая функция x(t) € Я*]) может быть пред¬
ставлена рядом Фурье
где в соответствии с общей формулой (8.37)
ак = vb ^х^ e~tki^ ^ = ^ *
причем етот ряд сходится к $(£) в среднем квадратическом.
Пример 8.15. На основании замечания перед теоремой 8.5.3 последо¬
вательность функций (2я*)”п/2ев* * (&1* ... , кп = 0, dhl, ±2,. ..) П-мерной
векторной переменной t представляет собой ортонорм ал ьный базис в про¬
странстве Ml-*, Я*]п), и любая функция я(^) £ Я*]п) представима
сходящимся в среднем квадратическом рядом Фурье
x(t) = (2ir)~n/2. Е Е а*е<*Т‘,
Р=-ОО |Jb|=p
коэффициенты которого согласно (8.37) определяются формулой
ajc = (2я*)“п/2 / ж(*) e~*kTidt.
[-*,»]"
Пример 8.16. Путем ортогон ал изаци и последовательности функций
в пространстве /»2(Д) получается ортогональная
последовательность функций Эрмчта
М*) = = e~t3/2Hk(t) (к = 0,1,2,...),
где
[*/2] х
Hk{t) = 2*<* + Е (—1)р(2р — 1)!! ClP2k~Ptk~2p
Р = 1
— полиномы Эрмчта,
/ v>m(0^n(0*= / е i3Hm(t)Hn(t)dt = 0 при тфп,
— ОО —оо
502 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
/ <р£(0л = 7 е ** #n(0dt = 2n nly/if.
— ОО —ОО
На основании доказанных теорем последовательность функций Эрмита пред.
ставляет собой базис в Ij2(R) и любая функция x(t) £ Ij2(R) может быть
представлена сходящимся в среднем квадратическом рядом
*(*) = Е«* МО = Ё <** е-*3/2 я*(<),
Jk=0 Дг=0
где в соответствии с общей формулой (8.37)
<ч=7 7 *>»(<)* = 7 *(o<»(o<* =
= ?и^гХ'"’'М')Л(‘)Л-
Лля оценки точности приближения функции х(£) отрезком разложения по
функциям Эрмита можно пользоваться формулой (8.38).
Пример 8.17. Ортогонализацией последовательности функций
f*+,/2e-t/2 (jfe = 0,1,2,...) при данном действительном V > -1-в простран¬
стве L2([0, оо)) получается последовательность функций Лагерра
*£\*) = £r‘'/V/2$F(<‘'+*e-*) = ,
где
rW(t\ - V' V+ ^ tl
Lk fc0l\ (к-l)\T{l + v + l)
— полиномы Лагерра,
74^(0 $\t) dt = 7<‘,e-,L^)(<) L(n\t) dt = 0,
0 0
f [№«)?* = 7 t"e~t[Ln'\t)]2dt = 4Г(« + I/+ 1).
0 О
На основании доказанных теорем последовательность функций Лагерра пред¬
ставляет собой базис в Z/2([0,00]) и любая функция x(t) Е I/2([0,00)) может
быть представлена рядом
*(«) = Е OktPit) = Е atr/2e-4*l£\t),
к=О it=0
§ 8.5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВЕКТОРОВ И БАЗИСЫ
503
У
т-, СО
1
1
f
о
t
-1
- /
СО
где ОО
at=t(k+i+i)ixw*‘)Mdi=
причем ряд сходится к функции x(t) в среднем квадратическом. Для оцен¬
ки точности приближения функции x(t) отрезком разложения по функциям
Лагерра можно вычислить норму остаточного члена по формуле (8.38).
Обычно пользуются полиномами Лагерра, соответствующими I/ = 0, ко¬
торые обозначаются просто Lk(t).
Пример 8.18. Для вычислений
на ЭВМ удобна ортонормальная после¬
довательность функций Уолша {^п(^)}о°
в пространстве Ь2([0, 1]). Эти функции
определяются следующим образом. Пе¬
рвая функция ДОо(£) принимается равной
единице. Вторая функция U?i(£) прини¬
мается равной единице на интервале [0,
1/2] и —1 на интервале [1/2, 1]. Затем
интервал [0, 1] делится на четыре части
и на каждой из них функция принимает¬
ся равной -|-1 или —1с таким расчетом,
чтобы произведение каждой вновь вво¬
димой функции на каждую из предыду¬
щих было равно +1 на интервалах сум¬
марной длины 1/2 и —1 на оставшихся
интервалах суммарной длины 1/2. Это
условие необходимо для того, чтобы ка¬
ждая вновь вводимая функция была ор¬
тогональна ко всем предыдущим. При
этом квадрат любой функции Wn(t) то¬
ждественно равен 1, вследствие чего но¬
рмы всех функций в Z/2([0, 1]) равны 1.
Чтобы дать общую формулу, определяющую функции Уолша, введем по¬
следовательность функций {f*n(0}n=0> графики которых представляют собой
’гребенки” с прямоугольными зубцами шириной 1/2* (& = 1,2, .. .) (рис.26):
к +
~2п
< i< -jk-
- 1
СО
Рис.26
(+1
Г»(0 = | 1
при
при
< t < 2L±1
504 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
(Аг = 0,1,... , 2"-1 — 1; п = 1,2,...).
Это так называемые функции Радсмахсра. Очевидно, что ети функции образу,
ют ортонормальную последовательность. Однако эта последовательность не
полна.
Рис.27
§ 8.5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВЕКТОРОВ И БАЗИСЫ
505
Функция Уолша Wn(t) при П > 1 определяется так. Номер П представля-
ется в двоичной форме:
п = 2°i/i + 2г1/г + . ■. + 2p~1i/p , (8.43)
где каждое из чисел l/i , ... , Vp представляет собой соответствующий двоич¬
ный разряд числа ft, т.е. равно 0 или 1. После этого функция Wn(t) опреде¬
ляется как произведение функций Радемахера, номера которых совпадают с
номерами тех чисел I/*, которые равны 1, т.е.
«*»(*)= (8-44)
кт=:1
Пользуясь этой формулой и двоичным представлением номеров функций, вы¬
пишем первые восемь функций Уолша:
w0(t) = 1 ,
t»i(<) = «>001(0 = ГХ(<) (= г}(<) г§(<) г§(<)),
tu2(0 = Woio(t) = г2(0 (= г?(<) г£(<) г§(<)),
w3(t) = ш0и(<) = ГХ(<)г2(0 (= г}(<)г|(*) г§(<)),
W4(t) = W10o(t) = r3(t),
Ws(t) = Wioi(t) = ri(t)r3(t),
w6(t) = wuo(t) = r2(t) r3(i),
w7(t) = Wm(t) = ri(t)r2(t)r3(t).
На рис.27 даны графики этих функций. Мы видим, что для определения u;n(t)
следует каждой единице двоичного числа П поставить в соответствие множи¬
тель номер которого к представляет собой номер того разряда двоич¬
ного числа ft, в котором ст^цт эта единица: если единица в первом разряде,
то берется множитель п(0» если единица во втором разряде, то берется мно¬
житель 1*2(£), и вообще, если единица в к-м разряде, то берется множитель
г*(0-
Лля доказательства полноты системы функций Уолша разделим интер¬
вал [0, 1] на 2N равных интервалов (к = 1 , . . . , 2^) длины 2“^. Чи¬
сло функций Уолша, каждая из которых сохраняет постоянное значение на
каждом из интервалов Д&, равно 2^. Множество Xtf всех ступенчатых функ¬
ций, сохраняющих постоянные значения на интервалах Д* (fc = 1 , . . . , 2^),
очевидно, является -мерным линейным пространством. В силу линейной
независимости функций Уолша Wo(t), tVi(l) , . .. , l^2N-l(0 они образуют ба¬
зис в Xff. Поэтому каждая ступенчатая функция множества Xtf представляет
506 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
собой линейную комбинацию функций Wo(t), W\(t) , .. . , U>2^_ i(£). На ос но-
вании следствия теоремы 3.7.6 множество линейных комбинаций индикаторов
интервалов с двоично рациональными концами плотно в Z/2([0, 1]). Но это
оо
множество совпадает с множеством (J Х/у, т.е. с множеством всех конец-
N=1
ных линейных комбинаций функций Уолша. Следовательно, множество всех
конечных линейных комбинаций функций Уолша плотно в Ь2{[0,1]). Это и
доказывает полноту последовательности функций Уолша {Шп(0}о°* Следо¬
вательно, ортонормальная последовательность функций Уолша представляет
собой базис в L2([0,1])* Поэтому любая функция X^t) 6 Ь2([0У 1]) может быть
представлена разложением по функциям Уолша
*(*) = 13 . (8.45)
где
к=0
1
atk = / x(t) Wk(t) dt. (8.46)
о
Это разложение сходится в среднем квадратическом.
Очевидно, что интеграл в (8.46) представляет собой сумму интегралов от
функции x(t) по тем интервалам, на которых U/fc(t) = 1, минус сумма инте¬
гралов по тем интервалам, на которых 10fc(£) = —1.
Ясно, что любой отрезок ряда (8.45) приближает функцию x(t) ступенча¬
той кривой.
Функции Уолша и разложения функций по ним широко применяются в
современных технических приложениях. Так как любой конечный интервал
[а, Ь] может быть приведен заменой переменных s = (t — Cl)/(b — а) к ин¬
тервалу [ОД] , то разложениями по функциям Уолша можно пользоваться для
любых функций с интегрируемым квадратом модуля по любому конечному
интервалу.
Пример 8.19. Вместо функций Уолша иногда удобнее пользоваться
функциями Хаара, которые определяются на интервале [0, 1] формулами
Лоо (0 = 1 ,
'/Я' "Р" * € PyTl2’ ^l1].
М*>=<-,/5=- „р„
> 0 в остальных точках t
(р=1,2,...,2"; 11 = 0,1,2,...).
§ 8.5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВЕКТОРОВ И БАЗИСЫ
507
На рис.28 дан график Лгз(0*
Очевидно, что функции Радемахе-
ра, а следовательно, и функции Уолша
можно выразить через функции Хаара:
гп(*) = X) ЛП-1,Р(<)
(п = 1,2,...).
Совершенно так же, как в примере
8.18, можно доказать, что последователь¬
ность функций Хаара /*оо(0’ а»р(<) (р =
= 1 , .. . , 2П; П = 0,1,2,.. .) ортонор-
мальна и полна в 0,1]). Поэтому лю¬
бую функцию 0?(£) G ^г([0,1]) можно
представить разложением по функциям
Хаара
оо 2*
x(t) = аоо + £ 12 &nphnp(t) У
п=0р=1
Рис.28
где
<* оо = fx(t)dt,
о
<кПр — f hnp(t) dt —
о
Ясно, что отрезок ряда
fSrr
f z(t) dt — f x(t) dt
29-2
2*Tl
y/T* .
n 2
x(t) » aoo + 52 S Gkphkp(t),
fc=0p=l-
как и соответствующий отрезок разложения по функциям Уолша, приближает
функцию x(t) ступенчатой кривой с длинами ступенек 1/2п~*'1 (той же самой,
которую дает соответствующий отрезок разложения по функциям Уолша).
8.5.6. Условия существования базиса в Я—пространстве.
Установим теперь необходимое и достаточное условие существова¬
ния базиса в Я-пространстве.
Теорема 8.5.4. Базис в Н-пространстве существует тогда и
только тогда, когда оно сепарабельно.
508 ГЛ. 8 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
> Если {**} — ортонормальный базис, то для любого вектора х
при любом е > 0 существует такое натуральное число п, что
п и
х-У2<хкхк <», ак = (х,хк).
*=1 II
С другой стороны, существуют такие рациональные числа г*, что
|а*-Пь|<е/2п (* = 1,...,п).
При этом
|П П II €
^2<*кхк - Y^rtxk
4=1 4=1 ||
и, следовательно,
n II
х-^2 гкхк < е.
к=1 ||
Таким образом, счетное множество векторов
ШЧ ■
соответствующих всем натуральным п и всем рациональным г\...
...,гп, плотно в X. Следовательно, X сепарабельно. Наоборот,
если {&} — плотное счетное множество, то, выбросив из него ка¬
ждый вектор, представляющий собой линейную комбинацию пре¬
дыдущих векторов, получим полную последовательность векторов
{х*}, так как в этом случае G = (JGn — подпространство, плот¬
ное в Ху и, следовательно, совпадающее с X. Ортонормируя {ж*},
получим ортонормальный базис. <з
8.5.7. Биортогональные и биортонормальные последова¬
тельности. Последовательность пар векторов {х*,у*} называется
биортогональнойу если (х*,У/) = 0 при всех к> /, к ф I. Последова¬
тельность пар векторов {х*, у*} называется биортонормалъной, если
(*ЬУ/) = hi при всех к, /.
Теорема 8.5.5. Для любой последовательности линейно незави¬
симых векторов {х*} существует такая последовательность линей-
но независимых векторов {у*}, что последовательность пар {х*,у*}
биорКгонормальна.
§ 8.5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВЕКТОРОВ И БАЗИСЫ
509
> Обозначим через Lp подпространство, образованное вектора¬
ми xi, ... , хр-1, xp+i, ... , хп,... (р = 1,2,...). В силу линейной
независимости векторов {х*} подпространство Ьр не содержит хр
и, следовательно, не совпадает со всем пространством X. В силу
следствия 2 теоремы 5.1.4 существует непрерывный линейный функ¬
ционал, ядро которого содержит Lp. Но согласно теореме Рисса
8.1.3 любой непрерывный линейный функционал на X представляет
собой скалярное произведение х на некоторый вектор пространства
X. Поэтому в X существует такой вектор zp, что (х,гр) = 0 при
всех х € Lp и, следовательно, (x*,zp) = 0 при всех к ф р. Положив
ур = 2р/(хр,2р), будем иметь (х*, ур) = 6*р. Для доказательства ли¬
нейной независимости вёкторов {у*} достаточно заметить, что если
хотя бы один из них, скажем ур, выражается через предыдущие, то
в силу того, что (хр,уд) = 0 при всех q ф р> (хр,ур) = 0, что противо¬
речит равенству (хр,ур) = 1. <з
Следствие. Если последовательность {xk} полна, то последова¬
тельность {у*} единственна.
> В этом случае подпространство, образованное подпростран¬
ством L* и вектором х*, совпадает с X. Поэтому ортогональное
дополнение подпространства L* одномерно. <з
Теорема 8.5.5 устанавливает существование последовательно¬
сти векторов, дополняющей данную последовательность линейно
независимых векторов до биортогональной и до биортонормальной
последовательности пар векторов, но не дает конструктивного спо¬
соба нахождения такой последовательности. Следующие две тео¬
ремы дают эффективные способы построения биортогональных и
биортонормальных последовательностей.
Теорема 8.5.6. Любые две последовательности линейно незави¬
симых векторов {и*}, {и*}, удовлетворяющие условию: для каждого
вектора щ найдется вектор щ, для которого ф 0, можно
биортонормировать, т.е. заменить такой биортонормальной после¬
довательностью пар векторов {х*,у*}; что каждый вектор ип будет
линейной комбинацией векторов х\, ... , хп, а каждый вектор vn —
линейной комбинацией векторов у\, ... , уп.
> Пусть {и*}, {vjb} —произвольные последовательности линейно
независимых векторов, удовлетворяющие условию теоремы. Без
потери общности можно предположить, что (tii,vi) ф 0. Положим
= pL\U\, у\ = vi и определим и v\ из условия (xi,yi) = 1.
Получим ii\V\ = l/(«i,i;i). После этого положим
= A*2(Of2lXi + иъ) , У2 = Ы021У1 + V2)
510 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
и определим a2i, /?2i, /12, «'г из условий (х2, ух) = (хь у2) = 0, (х2, у2) =
= 1. Получим
Предположим, что, продолжая таким образом, мы нашли п — 1 пар
векторов {х*,у*}, удовлетворяющих условию биортонормальности
(х*, yi) = Ski (i, / = 1, ... , n — 1). Положим
Умножив первое из.этих равенств скалярно на у*, а второе — на
находим апк = -(tin,y*), Рпк = ~(vnixk) (к = 1, ... , п - 1). После
этого из условия (х„, уп) = 1 находим
Продолжая этот процесс, получим биортонормальную последова¬
тельность пар векторов {х*,у*}, причем каждый вектор ип будет
представлять собой линейную комбинацию векторов х\ , ... , хп, а
каждый вектор vn — линейную комбинацию векторов у\ , ... , уп.
Очевидно, что из двух чисел /in и ип одно можно выбрать произ¬
вольно. В частности, /1П и ип можно выбрать так, чтобы нормы всех
векторов хп или уп были равны единице. <1
Теорема 8.5.7. Если А — положительный самосопряженный
оператор, отображающий взаимно однозначно все Н-пространство
X на все X, и (Ахк, хк) —► 0 только при хк —► 0, то из любой последо¬
вательности векторав можно полупить такую последовательность
{х*}, что последовательность nap*\xk,yk), yk = Axk, будет биорто-
нормальной.
> Введем в пространстве X второе скалярное произведение
Так как по теореме 7.1.15 оператор А ограничен, то из условия те¬
оремы вытекает, что последовательность {zk} сходится (фундамен¬
тальна) в пространстве X со скалярным произведением (х, у)а тогда
СХ21 - -(«2,yi), /?21 = -(t>2,*l), Ц2*2 = [(«2, V2) - a2l/?2l] 1 •
*n = /in(«nl®l + • • • + arn,n-l*n-l + Un) ,
Уп = •'(((Ail У1 + • • • + Рп,п—1Уп—\
xt (jfc < n) и приравняв левые части полученных равенств нулю,
Цп»п = (Un.Vn)-
(*, у)а = (*, Ay) = (Ах, у).
§ 8.5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВЕКТОРОВ И БАЗИСЫ
511
yi только тогда, когда она сходится (фундаментальна) в X со скаляр¬
ным произведением (х,у). Следовательно, пространство X со скат
лярным произведением (х,у)д тоже представляет собой
Я-пространство. Поэтому любую последовательность линейно не¬
зависимых векторов {щ} по теореме 8.5.1 можно ортонормировать
относительно скалярного произведения (х,у)д. Полученная пос¬
ледовательность векторов {х*} будет удовлетворять условию
(xpixq)A = (xpiAxq) = 6pq. При этом последовательность пар век¬
торов {х*,у*}, у* =Ахъ, будет биортонормальной. <
Понятие биортогональности и биортонормальности последова¬
тельности векторов можно обобщить и на топологические, в част¬
ности нормированные, линейные пространства. Пусть X — топо¬
логическое линейное пространство, X* — сопряженное с ним про¬
странство непрерывных линейных функционалов на X. Вектор х
пространства^ называется ортогональным вектору / пространства
X*, если fx = 0. Последовательность пар векторов {х*,/*}, х* € X,
fk £ X* у называется биортогональной, если Дх/ = 0 при к ф /, и
биортонормальной, если Дх/ = бы. Теоремы 8.5.5, 8.5.6 и 8.5.7 спра¬
ведливы и в этом случае. Единственным изменением в их доказа¬
тельстве будет замена всех скалярных произведений (х, у) соответ¬
ствующими выражениями fx. При этом последовательность векто¬
ров {х*} называется полной, если в X* не существует отличного от
нуля функционала, ортогонального ко всем векторам хп.
Биортонормальные последовательности в нормированных ли¬
нейных пространствах имеют такое же большое значение для ре¬
шения различных задач, связанных с ^-пространствами, как орто-
нормальные последовательности для решения задач, связанных с
Я-пространствами.
8.5.8. Разложение вектора но базису, образованному биор-
тонормальнной последовательностью. Теория п.8.5.3 легко обоб¬
щается на биортонормальные базисы. Пусть {х*,у*} — биортонор-
мальная последовательность пар векторов.
Теорема 8.5.8. Если существует оператор А, удовлетворяющий
условиям теоремы 8.5.7, и у* = Ахъ (Аг = 1,2,...), то последователь¬
ность {х*} полна в пространстве X со скалярным произведением
(х)У)а тогда и только тогда, когда она полна в X со скалярным
произведением (х,у). При этом последовательность векторов {у*},
Ук = Axk, также полна.
> Так как Ra = X, то для любого z £ X существует такое у € X,
что z = Ау. Поэтому (xyz) = (х,Ау) = (х,у)д и (x*,z) = 0 при всех
512 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
х* тогда и только тогда, когда (х*,у)д = 0 при всех х*. А так как
z = Ау = 0 только при у = 0, то из полноты последовательности
{х*} в X с (а?, у) вытекает ее полнота в X с (х,у)д и наоборот. На¬
конец, из равенств (я*,*) = (х*,Ау) = (Ах*,у) = (у*,у) следует, что
последовательность {х*} полна тогда и только тогда, когда полна
последовательность {у*}. <
Теорема 8.5.9. Если существует такой оператор А, удовлетво¬
ряющий условиям теоремы 8.5.7, что у* = Ах* (Л: = 1,2,...) и после¬
довательность векторов {х*} полна, то любой вектор х Н-прост-
ранства X может быть представлен разложением
оо
х = ^(х’Ук)хк (8-47)
* = 1
и при этом
оо оо
Ах = 5^(1, ук)ук, А~1у = ]Г(у, хк)хк . (8.48)
к=1 *=1
> Согласно (8.27) любой вектор х 6 X может быть представлен
формулой
п
* = Хк^л Хк+’ (8-49)
*=1
причем норма остаточного члена £п определяется формулой
iicii^Mfi-Ei(*.**bi2 • (8-5°)
*=1
Бели последовательность {х*} полна, то ||Соо |U= lini ||Cn |U= 0 и в
силу условия теоремы 8.5.7 || Coo ||= Нт ||Сп ||= 0. Отсюда следует,
что любой вектор х 6 X может быть представлен разложением
оо оо
X = ^(*, хк)лхк = ^2(х, Ахк)хк (8.51)
*=i fc=i
и при этом
оо
Ах = в*. Ахк)ук. (8.52)
к=1
§ 8.5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВЕКТОРОВ И БАЗИСЫ
513
Положив в (8.51) х = А~1у и учитывая, что (x,Axk) = (Ах,хц) =
= (у, хк), получаем
ОО
х = А~1у = ^2(у, хк)хк. (8.53)
А так как Ахи = У*, то (8.51) совпадает с (8.47), а (8.52) и (8.53)
совпадают с (8.48). <
Пример 8.20. Последовательность пар функций Эрмита П-мерного
векторного аргумента £, {^(0» Vv(0)
*>„(*) = = (-l^le^-1^^^1^ е-Гк-'ф,
где I/ — П-мерный векторный индекс, V — {|/1 , ... , 1/п}у | l/|= l/i + ... 4* ^п»
К — произвольная обратимая положительно определенная матрица, a Hy(t)
И Gv{t) — полиномы Эрмита П-мерного векторного аргумента t, биортого-
нальна в пространстве Li2(Rn) функций П-мерного веторного аргумента *.
На основании теоремы 8.5.3 последовательность {^i/(t)} полна * L2(Rn), так
как она связана с последовательностью функций ff1 ^ (к =
= 0,1,2,...) взаимно однозначной зависимостью. Поэтому любая функция
x(t) G L/2(Rn) представима сходящимся в среднем квадратическом рядом
*(0= Е Е (8-54)
Р=° М=р
коэффициенты которого определяются формулой
а„ = / x(t)il>v(t)dt/ / <p„(t)rl>v{t)dt =
Я* Яп
= f x(t)il>v(t)dt/ (у{2'х)п \K\v\\..
41 Относительно полиномов Эрмита векторного аргумента см.книгу [4] или
[23, приложение 1].
514 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
(I* J — определитель матрицы К). Точность приближения функции
отрезком разложения по функциям Эрмита можно оценить, вычислив норму
остаточного члена Сп В (8.54):
N
НСаг||2= *-£<>*** =/
м
*=1 II я»
где N = С"+м - 1 = (п + M)!/n! Ml - 1.
ЗАДАЧИ
*(0 “ЕЕ
Р=° М=р
dt,
8.5.1. Вывести формулу
(*.*)
(*>*i)
(*l»*l)
(*, x„)
(xi,xn)
(xn,xi) ..
i,XntXn)
(*1, *l)
(*2,*l)
(x\,Xi) .
(X2,X2)
• ■ (xt,xn)
(X2,Xn)
(*n,*l)
(*n,*2)
(Xni Xn)
для нормы остаточного члена формулы (8.23).
Указание. Умножить формулу (8.23) скалярно на X, Х\у..., Хп и, имея
в виду, что (zn) х) = (х, Zn) =|| Zn ||2, получить систему П + 1 уравнений
1 М (»»)
относительно величин 1,0^ ,..., &п , которая имеет единственное решение
ввиду линейной независимости векторов X,Xi, .. ., Хп (определители Грама
в (*) в этом случае строго положительны). Выразив из этих уравнений 1,
получим формулу (*).
8.5.2. Лля действительного Н-пространства доказать, что определитель
Грама линейно независимых векторов равен квадрату объема параллелепипе¬
да (в общем случае многомерного), построенного на этих векторах.
Указание. Вывести это для параллелограмма, построенного на
двух векторах, а затем применить метод индукции, учитывая, что величина
|| Zn || в (*) представляет собой высоту (п + 1)-мерного параллелепипеда, по¬
строенного на векторах X, Xi, .. ., Хп, основанием которого служит П-мерныЙ
параллелепипед, построенный на векторах Xi, . .., Хп.
8.5.3. Разложить в ряд по полиномам Лежандра в Ь2{[— 1, 1]) (пример
8.13) функции 6а*, sillft, COSTrt, sht, сЫ, Ы; найти нормы остаточных членов
разложений.
§ 8.5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВЕКТОРОВ И БАЗИСЫ
515
8.5.4. Разложить в ряд Фурье (комплексный) функции l(_Ti»](<), t, t2, t3
В lad-"-, w]) и оценить остаточные члены.
8.5.5. Разложить в ряд Фурье (комплексный) функции t\t2t t\t^ t\ -f* t2 в
и оценить остаточные члены.
8.5.6. Доказать, что функция Эрмита (пример 8.16) ^n(0 =
в L2(R) ортогональна функции !^tm при Ш < П.
8.5.7. Разложить в ряд по функциям Эрмита в L2(R) функции е~% !2tm
(jyi = 0,1,2,...), l[-ir,ir](0 и оценить ^остаточные члены.
8.5.8. Доказать, что функция Лагерра (пример 8.17)»^n^(0 = ^^2e"t/2X
® ^2([0,Оо)) ортогональна функции ^|//2+те“</2 При т < П.
8.5.9. Разложить в ряд по функциям Лагерра в Z/2([0,OC>)) функции
^/2+me-t/2
(ш = 0,1, 2,...) и оценить остаточные члены.
8.5.10. Найти первые 8 членов разложения в ряд по функциям Уолша
(пример 8.18) в Z/2([0, 1]) функций tn, sin7rt, COSTrt, вЫ, сЫ, eat, Ini и оценить
остаточные члены.
8.5.11. Доказать, что любое сепарабельное Н-пространство изоморфно
пространству 12у причем етот изоморфизм изометрический.
Указание. Воспользоваться формулой (8.33), равенством Парсеваля
(8.34) и теоремой Рисса — Фишера (задача 8.5.16).
8.5.12. В условиях примера 8.20 доказать, что функция Эрмита <Pv(t) =
= е”* ^ xfAHv{t) ортогональна функциям tj1 .. ^ при |/4 |<
<М- ' \
У казаки е. Представить t±l .. Л^п как линейную комбинацию поли¬
номов Эрмита G\(t),
8.5.13. В условиях примера 8.20 доказать, что функция Эрмита фи($) —
= е~% ^ X^Gy{t) ортогональна функциям t^1 . . Л£пе~* ^ при
1И<М-
8.5.14. В условиях примера 8.20 найти разложение любой функции x(t) G
£ L2(Rn) по функциям Эрмита — Z~X К X^Gv(i) и написать формулу
для нормы остаточного члена.
8.5.15. Доказать, что в условиях примера 8.20 оператор А теоремы 8.5.7
определяется формулой
Ах = f a(t,s)x(s)ds,
Rn
где
a(t, s) = [(2тг)п \K\\I - K2\]-1/2exp{-tTK~1t/4-
- sTK~1s/4 - (tT + sT)(I + К)~г^ + s)/4+
+ (tT - sT)(I - K)~l{t - s)/4}.
516 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Указание. Воспользоваться первой формулой (8.48) и форму,
лой [4, т.2]
£ Е =U - *2I'1/2 ехр{-(<т + ST)(I + K)-l(t + s)/4+
p=o|</|=p 1
+(tT - sT)(J - Я)-1(< - e)/4} ,
справедливой при условии, что матрица I — К положительно определенна.
8.5.16. Доказать теорему Рисса — Фишера: если ряд ^ | Сп |2 сходится, то
в сепарабельном /f-пространстве для любого ортонормального базиса {хп}
найдется такой вектор X, для которого Сп = (х, хп).
Указание. Взять последовательность векторов
т
ит — Х2 *
п=1
учесть, что (tlm, Хп) = Сп при 71 < 971 и что ряд сходится к некоторому
вектору X в силу сходимости ряда | сп |2» вследствие чего || tim — X ||—► О
ори 171 —► ОО.
8.5.17. Теорема 8.5.4 устанавливает существование базиса в любом се¬
парабельном //-пространстве. Легко понять, что доказательство необходи¬
мости сепарабельности пространства для существования базиса без всяких
изменений переносится и на случай Я-пространства. Таким образом, для су¬
ществования базиса в /^-пространстве необходима его сепарабельность. Од¬
нако ото условие не достаточно. Вопрос о существовании базиса в сепарабель¬
ном /^-пространстве в течение нескольких десятилетий оставался без ответа.
Лишь в 1972 году он получил отрицательный ответ. Был найден пример сепа¬
рабельного Я-пространства без базиса. Однако в любом сепарабельном Я-
пространстве X существуют полные системы векторов (см. последнюю часть
п.8.5.7). Докажите, что любое счетное плотное множество векторов предста¬
вляет собой полную систему. Однако для того, чтобы получить базис, если
ото возможно, полноты системы не достаточно. Необходимо еще, чтобы пол¬
ная система была минимальной, т.е. чтобы ни один вектор етой системы не
принадлежал замкнутой линейной оболочке остальных векторов. Докажите,
что замкнутая линейная оболочка полной системы векторов совпадает со всем
Я-пространством X (вспомните следствие 2 теоремы 5.1.4).
8.5.18. Доказать, что для любой полной минимальной системы векторов
{ХП} в сепарабельном Я-пространстве X существует единственная сопряжен¬
ная система функционалов {/п} С X*, образующая вместе с {хп} биортонор-
мальную систему, Дх/ = Ski•
§ 8.5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВЕКТОРОВ И БАЗИСЫ
517
8.5.19. Пусть X — сепарабельное 5-пространство, {хп} — полная мини¬
мальная система векторов в Ху {/п} — соответствующая сопряженная систе¬
ма функционалов в X*. Доказать, что действующий в X оператор
Рп*= £(/**)**
*=i
представляет собой проектор на подпространство Ln, образованное векторами
Х\ , . . . , Хп (достаточно доказать, что РпХ = X Vx Е Ln и РпХ = 0 при X, не
принадлежащем £п, п.8.4.4).
8.5.20. Доказать теорему: для того чтобы система векторов {хп} задачи
8.5.19 была базисом в X, необходимо и достаточно, чтобы проекторы Рп были
равномерно ограниченными: ||Рп||< С < ОО.
Указание. Для доказательства необходимости условия примени¬
те теорему Банаха — Штейнгауза 7.1.12. Для доказательства достаточности
условия воспользуйтейсь тем, что линейная оболочка системы векторов {хп}
плотна в Ху вследствие чего для любого вектора X Е X и любого £ > О
существуют такие числа С\ , . .. , Сп, что
п
X - Y, СЬ*Ъ
к=1
<е,
вследствие чего
рпх - 53с*** I < Се •
8.5.21. Докажите, что если 5-пространство X задач 8.5.19 и 8.5.20 рефлек¬
сивно и {хп} — базис в Ху то замкнутая линейная оболочка системы векторов
{fn} совпадает с пространством X* и система {/п} представляет собой базис
в Х\
8.5.22. Пусть {хп} — минимальная полная система векторов в 5-прост¬
ранстве X. Найти сопряженную с ней систему функционалов {/n}> fn Е X*
(удовлетворяющую условиям /пХт = 6пт).
У казани е. Возьмите произвольную систему линейно независимых
линейных функционалов удовлетворяющую условию дп^п ф О» и опре¬
делите функционалы
п—1
= $3 ankhk + апп9п) (**)
jfc = l
выбрав ап 1, . . ., an>n_ 1 из условий hnxm = 0 (т = 1,...,П — 1), а апп из
Условия hnXn ф 0. После этого определите функционалы
00
fn = (* * *)
1—П
518 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
удовлетворяющие условиям /пХт = 6пт. В силу определения функционалов
Л/ эти условия автоматически выполняются при Ш < П, а при ТП > П дают
уравнения для 6nj
т
£ bnihixm = 6пт (т = п,п + 1,...; п=1,2,...).
/=П
Напишите явные формулы для коэффициентов ап& в (**) и 6П/ в (* * *).
8.5.23. Построим в пространстве £?([(),1]) систему функций £i(t) = 1,
x2(t) = *, x3(t) = 1 - 11 - 2t I, остальные функции Xn(t) изображаются
графически равнобедренными треугольниками с высотой 1 на каждом из 2Г“1
интервалов длины 2“г"*’1, на которые разделен интервал [0,1], и равны нулю
вне этих интервалов. Эти функции, начиная с £3(t), определяются формулой
xn(f) = max(0,1 — 12к — 1 — 2rt |), к = п — 1 — 2Г_1
(п = 2 + 2Г-1,..1 + 2Г; г= 1,2,...).
Докажите, что эта система функций представляет собой базис в пространстве
С([0, 1]). Найдите сопряженную систему функционалов {/п}» представив раз¬
ложение функции x(t) G С([0,1]) в виде
*(0 = £ (fnX)xn(t) .
п=1
8.5.24. Распространите результаты задачи 8.5.23 на пространство С(Т)
для любого интервала Т С Д, включая бесконечные интервалы.
Указание. Воспользуйтесь любым непрерывным строго монотонным
отображением интервала Т на интервал [0,1].
8.5.25. Докажите, что система функций Хаара (пример 8.18) представляет
собой базис в любом пространстве Lp([0, 1]), р > 1, причем та же система
функций Хаара в сопряженном пространстве -^([О, 1]), р”1 + = 1, пред¬
ставляет собой сопряженный базис в {/п}.
Тем же способом, что в задаче 8.5.24, определите базис и сопряженный
базис линейных функционалов для пространства Lp(T), р > 1, в случае про-
изволЬного интервала Т С R (включая бесконечные интервалы).
Пользуясь замечаниями перед теоремой 8.5.3 в п.8.5.5, постройте базис и
сопряженный базис линейных функционалов в пространстве Lp(T\ X * * -хХдг)»
Ti,..., Tjq С Л» р > 1» функций N-мерного векторного аргумента.
§ 8.6. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
519
§ 8.6. Компактные операторы
8.6.1. Определение компактного оператора. Оператор Т,
отображающий топологическое пространство X в топологическое
пространство У, называется компактным, если определяемый им
образ ТМ любого ограниченного множества М предкомпактен.
Непрерывный компактный оператор называется вполне непре¬
рывным.
В частном случае, когда У — Т\-пространство с первой акси¬
омой счетности, оператор Т компактен тогда и только тогда, когда
определяемый им образ {Тхп} любой ограниченной последователь¬
ности {жп} содержит сходящуюся подпоследовательность (теоре¬
мы 4.3.3 и 4.4.7) ♦.
Любой линейный оператор в конечномерном пространстве ком¬
пактен, так как образ любого ограниченного множества ограничен,
а ограниченное множество в конечномерном пространстве всегда
предкомпактно.
В бесконечномерных пространствах не всякий, даже ограничен¬
ный, линейный оператор компактен, так как не всякое ограниченное
множество в таком пространстве предкомпактно.
8.6.2. Свойства компактных операторов.
Теорема 8.6.1. Компактный линейный оператор, отображаю¬
щий В-пространство X в В-пространств о У, ограничен, а следова¬
тельно, и непрерывен.
> Бели оператор Т неограничен, то существует такая последо¬
вательность {хп}, что || Тхп || > п || хп ||. Положив zn = хп/ || хп ||,
получим такое ограниченное множество {zn}, что || Tzn || > п при
всех п. Последовательность {Tzn}, очевидно, не содержит ни одной
сходящейся подпоследовательности. Следовательно, образ {Tzn}
ограниченного множества {zn} не предкомпактен и оператор Т не
может быть компактным. <
Следствие 1. Если X и Y — В-пространства, то любой ком¬
пактный линейный оператор вполне непрерывен.
Таким образом, для линейных операторов в ^-пространствах
понятия компактности и полной непрерывности совпадают.
Следствие 2. Неограниченный линейный оператор не может
быть компактным.
* Бели множество предкомпактно, то предел содержащейся в нем сходя-
Щейся последовательности может не принадлежать этому множеству.
520 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Следствие 3. Компактный линейный оператор Т, отображав
щий рефлексивное В-пространство X в В-пространство У, опре¬
делен на всем пространстве X, имеет ограниченный сопряженный
оператор Т*, определенный на всем пространстве X*, и ||Т*||-
= 11711 (п.7.1.10).
Следствие 4. Компактный линейный оператор замкнут ка*
ограниченный линейный оператор, определенный на всем простран¬
стве (следствие теоремы 7.1.2).
Теорема 8.6.2. Если линейный оператор Т компактен, то опре¬
деляемый им образ любой слабо сходящейся последовательности
представляет собой сходящуюся последовательность.
> Действительно, если fxn —*• fx при всех / € X*, то в силу след-
ствия 2 теоремы Банаха — Штейнгауза 7.1.12 множество {яп} огра¬
ничено. Вследствие компактности оператора Т множество {Тжп}
предкомпактно. Выделив из него сходящуюся подпоследователь¬
ность {ТхПк)у получим
д(ТхПк) = (Т*д)хПк - (Т~д)х = д(Тх)
при любому € Y*. Отсюда следует, что limTxnfc = Тх. Остается до¬
казать, что и вся последовательность {Тяп} сходится к Тх. Предпо¬
ложив противное, можем выбрать такое е > 0 и такую неограничен¬
но возрастающую последовательность натуральных чисел {т;}, что
II г*«, —Тх || > е при всех /. Последовательность {Txmi} не содержит
ни одной сходящейся подпоследовательности, так как по доказанно¬
му любая сходящаяся подпоследовательность из {Тяп} сходится к
Тх. Это противоречит компактности оператора Т. Следовательно,
Тхп —► Тх. <
Верно и обратное предложение. Если оператор Т (не обяза¬
тельно линейный) отображает любую слабо сходящуюся последо¬
вательность в сходящуюся последовательность, то он компактен.
Предварительно мы докажем вспомогательное предложение, ог¬
раничиваясь случаем Я-пространства X.
Лемма. Любое ограниченное множество в Н-пространстве
слабо предкомпактно, т.е. из него можно выделить слабо сходя¬
щуюся последовательность.
> Пусть М — ограниченное множество в Я-пространстве X•
Возьмем любую последовательность {яп} С М и обозначим через
G образованное этой последовательностью подпространство. Вы¬
делим из {хп} такую подпоследовательность {sin}, чтобы числовая
§ 8.6. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
521
последовательность {(®i,®in)} была сходящейся. Из {xin} выде¬
лим такую подпоследовательность {х2Л}, чтобы последовательность
{(^2, х2п)} была сходящейся. Продолжая этот процесс, выделим из
{хг-1,п} такую подпоследовательность {хгп}, чтобы последователь¬
ность {(хг, хгп)} была сходящейся (г = 3,4,...). Очевидно, что диа¬
гональная последовательность {хпп} обладает тем свойством, что
все последовательности {(хг, xnn)} (г = 1,2,...) сходятся.
Так как. последовательность {хп} полна в G по определению G,
то любой вектор у Е G можно представить формулой (8.23) как пре¬
дел последовательности {yjy} конечных линейных комбинаций век¬
торов хг, и норма остаточного члена zn = У — yN будет стремиться
к нулю при N —► оо. Для доказательства сходимости последова¬
тельности {(у, хпп)} при любом у € G достаточно доказать ее фун¬
даментальность. Для этого зададим произвольное е > 0 и выберем
конечную линейную комбинацию ун векторов хг из последователь¬
ности {улг}, yN -+ У, так, чтобы в равенстве
(У) Хпп ®mm) — (уTV > хпп Хтт) “Ь (У VN j ®nn ^mm)
было | (у-улг,хпп-хтт) | < е/2. Это возможно, так как | (у-улг>япп-
-Хтт) | < IIУ - Улг II sup || хпп - хтт || —► 0 при N ► оо. После этого,
n,m
имея в виду, что последовательность {(улг,жпп)} сходится, а следо¬
вательно, и фундаментальна при любом yw, выберем пе так, чтобы
было | (yjy, хпп — утт) | < е/2 при всех п, т > пе. Тогда будем иметь
|(у» Хпп — хтт) | < £ при всех п, т > пе. Это и доказывает фундамен¬
тальность последовательности {(у, хпп)} при любом у Е G. Следо¬
вательно, для любого вектора у € G последовательность {(у, жпп)}
сходится, С другой стороны, (z,xnn) = 0 для любого z Е Gx. А
так как любой вектор х Е X может быть однозначно представлен
в виде суммы х = у + z, у Е G, z Е GLt то последовательность
{(я>япп)} сходится при любом х Е X. Таким образом, выделен¬
ная из М последовательность {хпп} слабо фундаментальна. Из-за
слабой полноты Я-пространства (следствие 3 теоремы Банаха —
Штейнгауза 7.1.12) последовательность {хпп} слабо сходится к не¬
которому вектору х Е Ху что и доказывает слабую секвенциальную
предкомпактность множества М. <
Теорема 8.6.3. Если оператор Т отображает Н-пространство
X в В-пространство Y и определяемый им образ любой слабо сходя¬
щейся последовательности представляет собой сходящуюся последо¬
вательность, то оператор Т компактен.
522 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
> Пусть {хп} — любая ограниченная последовательность в про-
странствие X. По доказанной лемме она содержит слабо сходящуюся
подпоследовательность {хп*}- По условию теоремы соответствую¬
щая подпоследовательность {ТхПк} последовательности {Тхп} схо¬
дится. Таким образом, образ любой ограниченной последователь¬
ности содержит сходящуюся подпоследовательность. Следователь¬
но, оператор Т компактен. <1
Теорема 8.6.4. Если S — непрерывный оператор, отображаю¬
щий В-пространств о X в В-пространство Y, а Т — компактный
оператор, отображающий Y в В-пространство Z, то оператор TS,
отображающий X в Z, компактен.
> Это следует из того, что образ SM ограниченного множества
М С X в У ограничен и, следовательно, образ TSM множества М
в Z предкомпактен. <
Теорема 8.6.5. Если Т — компактный оператор, отображаю¬
щий В-пространство X в В-пространство У, a S — непрерывный
оператор, отображающий Y в В-пространство Z, то оператор ST,
отображающий X в Z, компактен.
~ > Достаточно доказать предкомпактность в Z образа STM лю¬
бого ограниченного множества М С X. Для этого возьмем произ¬
вольную последовательность {zn} С STM. Ее прообраз {уп} С ТМ
в У содержит сходящуюся подпоследовательность {уПк} вследствие
Вредкомпактности ТМ. Образ {znk} этой подпоследовательности
в STM С Z представляет собой сходящуюся последовательность
в силу непрерывности оператора S. Следовательно, любая после¬
довательность точек множества STM содержит сходящуюся подпо¬
следовательность, что и доказывает предкомпактность множества
STM и компактность оператора ST. <
Из теорем 8.6.4 и 8.6.5 следует, что оператор, обратный по отно¬
шению к компактному оператору, не может быть непрерывным, так
как единичный оператор I не компактен.
Заметим, что теоремы 8.6.3—8.6.5 справедливы и для нелиней¬
ных операторов.
Теорема 8.6.6. Если линейный оператор Т, отображающий
Н-пространство в другое Н-пространство, ограничен, а оператор
Т*Т компактен, то оператор Т компактен.
> Бели последовательность {хп} слабо сходится к я, то после¬
довательность {Т*Тхп} сходится к Т*Тх и, следовательно,
||Тх„ - Тх ||2 = (Тхп - Тх, Тхп - Тх) = (хп - z, ТТхп - Т*Тх) <
§ 8.6. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
523
< ||хп — х|| \\Т*Тхп — Т*Тх|| —► 0 при п-оо
в силу ограниченности {хп} (следствие 2 теоремы 7.1.12). Таким
образом, оператор Г отображает любую слабо сходящуюся после¬
довательность в сходящуюся и, следовательно, компактен. <
Следствие. Компактный линейный оператор, отображающий
одно Н-пространство в другое, имеет компактный сопряженный
оператор.
> Бели Т — компактный линейный оператор, то по следст¬
вию 3 теоремы 8.6.1 он имеет ограниченный сопряженный оператор
Г*. Следовательно, по теореме 8.6.4 оператор ТТ* = Т**Т* ком¬
пактен. По теореме 8.6.6 отсюда следует, что оператор Т* компак¬
тен. <
Отметим еще очевидный факт: если операторы 7\,..., Тп ком¬
пактны, то и оператор а\Т\ + • • • + апТп при любых комплексных
«1,..., ап компактен. Таким образом, любая конечная линейная ком¬
бинация компактных операторов представляет собой компактный
оператор.
Чтобы установить компактность оператора Т, отображающего
Я-пространство в ^-пространство, можно пользоваться следующей
теоремой, дающей достаточное условие компактности.
Теорема 8.6.7. Если существует такое множество компактных
операторов {Та}, что для любого е > 0 в атом множестве найдется
оператор Тас, удовлетворяющий условию \\Тае — Т|| < е, то оператор
Т компактен.
, > Для доказательства возьмем произвольную слабо сходящу¬
юся последовательность {хр}, хр Д- ж, и докажем, что оператор Г
отображает ее в сходящуюся последовательность {Тхр}, Тхр —► Тх.
Пусть {еп} —произвольная последовательность положительных чи¬
сел, сходящаяся к нулю, еп > 0, еп —► 0 при п —► оо. Для ка¬
ждого п выберем из {Та} оператор Тая, удовлетворяющий условию
|| TQn — Т* || < £п. В силу ограниченности слабо сходящейся последо¬
вательности имеем || || < с при некотором с > 0 для всех р и
||Тхр - Тх || = ||(Г - Тап)хр + Тспхр -Тапх + (То,. - Т)х || <
< || Т - Тап || || хр - х || + ||Тапхр - Тапх\\ <
< 2сеп+ ||ТЛлХр — Тапх || .
Зададим теперь произвольное е > 0 и выберем п так, чтобы бы¬
ло 2сеп < е/2. После этого выберем ре так, чтобы было ||Тапхр —
524 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
—Тапх || < е/2 при всех р > ре. Это возможно, так как последователь*
НОСТЬ {ТапХр) СХОДИТСЯ К ТаяХ в силу компактности всех операторов
ТЛп. Тогда будем иметь
что и доказывает сходимость последовательности {Тхр} к Тх, а сле¬
довательно, и компактность оператора Т. <
8.6.3. Спектр компактного оператора. Изучим теперь свой-
ства спектров компактных линейных операторов, ограничиваясь
операторами в Я-пространствах.
Из общих свойств спектров замкнутых линейных операторов в
В-пространствах вытекает (п.7.3.2)
Теорема 8.6.8. Если Т — компактный оператор, то любое зна¬
чение X, для которого Дг(А) = X, регулярно, X £ р(Т).
Теорема 8.6.9. Компактный оператор может иметь только ко¬
нечное число собственных значений, превосходящих по модулю дан¬
ное число 6 > 0.
> Пусть {Аа} — множество собственных значений компактного
оператора Т, превосходящих по модулю 6. Предположив, что это
множество бесконечно, выделим цз него последовательность соб¬
ственных значений {Ап}, расположенных в порядке невозрастания
модулей, и ортонормируем способом п.8.5.2 соответствующую по¬
следовательность линейно независимых собственных векторов {хп},
Тхп = Апхп. В результате получим ортонормальную последова¬
тельность {уп},
п
Уп = (п = 1,2,...).
i=l
Тогда будем иметь
п
Туп АпУп ~ ^ ^ апД:(Ад: An)Xfc (л = 2, 3,. . .).
*=1
Заменив здесь векторы xi,...,xn_i их выражениями через yi,.«
...,yn-1, получим
п-1
Туп = Y^bnkyk + КУп (п = 2,3,...). (8.55)
*=1
§ 8.6. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
525
Отсюда, учитывая ортонормальность системы векторов {уп}> по
формуле (8.33) находим при любых т и п > т
т-1
|| Туп - Тут ||2= 53 I Ьпк- Ьтк I2 + I Ьпт- Ат |2+
к=1
п-1 '
+ £ | Ьпк |2 + | А„ |2 > | Ап |2 > 82.
Л:=т+1
Это неравенство показывает, что никакая подпоследовательность
последовательности {Туп} не может быть сходящейся, что противо¬
речит компактности оператора Т. Это доказывает, что множество
{Ла} не может быть бесконечным. <
Следствие 1. Множество собственных значений компактно-
го оператора конечно или счетно, причем во втором случае имеет
единственную предельную точку 0.
Следствие 2. Каждому отличному от нуля собственному зна¬
чению компактного оператора может соответствовать лишь ко¬
нечномерное собственное подпространство (конечное число линейно
независимых собственных векторов).
> Предположив, что собственному значению А ф 0 соответству¬
ет бесконечномерное собственное подпространство, выбрав из не¬
го последовательность линейно независимых собственных векторов
{хп} и приняв An = А (п = 1,2,...), придем к противоречию с дока¬
занной теоремой. <
Теорема 8.6.10. Если Хф 0 не собственное значение компактно¬
го оператора Т, що резольвента R\ является ограниченным опера¬
тором на Rt(X).
▻ Допустив противное, возьмем такую последовательность
{&•} С Ят(А), что || Да Уп II / II Уп ||-» оо при п —► оо. Положим
*П = ЯаУп, 2„ = Хп/ II *„ II, «„ = Уп/1| *n II- Тогда вследствие того,
что Тхп — Ххп = уп, будем иметь Tzn — Xzn = ип. Из последова¬
тельности {Tzn} в силу компактности Т можно выбрать сходящу¬
юся подпоследовательность {Tznk}, limT2:nk = v. Так как ип —► 0
и znk = X~x(Tznk — tinfc), то подпоследовательность {znk} сходится
и limznfc = А-1!;. Отсюда следует, что limTznk = X~lTv. Сравнив
полученные два выражения limTznfc и положив limznfc = A“!v = z,
будем иметь || z || = 1 и Tz = Аг,что невозможно, так как по успо-
вию А не есть собственное значение оператора Т. Следовательно,
526 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
существует такое число с > 0, что решениё х уравнения •
Тх - Хх = у (8.56)
удовлетворяет условию || х || < с || у || при всех у € Ят(А). Это и
доказывает ограниченность резольвенты на Rt(А). <
Теорема 8.6.11. Если X ф 0 не собственное значение компактно¬
го оператора Т, то область определения Rt(X) его резольвенты Rx
представляет собой замкнутое множество и, следовательно, явля¬
ется подпространством.
> В силу замкнутости оператора Т оператор Т — XI замкнут,
вследствие чего и обратный оператор R\ замкнут (п.7.1.1). По тео¬
реме 8.6.10 он непрерывен, а по теореме 7.1.2 область определения
непрерывного замкнутого оператора замкнута. <
Область значений Дт(А) оператора Т—XI в случае компактного
Т оказывается замкнутой и тогда, когда А ф 0 — собственное зна¬
чение оператора Т, хотя резольвента в этом случае не существует.
Чтобы доказать это, нам понадобится следующее вспомогательное
предложение.
Лемма. Если X ф 0 есть собственное значение компактного опе¬
ратора Ту то существует такое число с и такое решение х уравнения
(8.56), что || х || С с || у || при всех у 6 Дт(А).
> Возьмем в собственном подпространстве оператора Т, соот¬
ветствующем собственному значению А, полную систему линейно
независимых векторов ж^1),.. Тогда все решения уравнения
(8.56) определятся формулой х = + с^1) + ••• + стх^т\ где
ci,..., ст — произвольные комплексные числа, а х^ — какое-нибудь
решение уравнения (8.56). Выберем из этих решений при каждом
У £ Rt(X) решение х9 с минимальной нормой || х' || = min || +
+Cix<1) -f h cmx<m) ||. Тогда z = (х<°) + схх+ • • • + стх<т))/1| х' ||
будет общим решением уравнения
Tz-Xz = u, и = у/||ж'||, (8.57)
а г' = х'/ || х' || — решением с минимальной нормой || z* || = 1. Пред¬
положив, что при любом с > 0 найдется такой вектор у G Дт(^)>
что || х1 || > с || у || (xf — решение (8.56) с минимальной нормой),
возьмем такую последовательность векторов {уп} и соответствую¬
щую последовательность решений {жп} с минимальной нормой, что
II ХП || / II Уп II —> ОО. Тогда zn = хп/ || хп || будет решением уравне¬
ния (8.57) при и = ип = уп/ || хп || с минимальной нормой || zn || = 1*
§ 8.6. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
527
После этого, учитывая, что по предположению —► 0 при п —► оо,
совершенно так же, как при доказательстве теоремы 8.6.10, дока¬
жем существование сходящейся подпоследовательности при¬
чем z = limznk, ||z||= 1, является собственным вектором оператора
Т, соответствующим собственному значению Л. Взяв произвольное
е > 0 и такое п*, что || zUk — z || < г, видим, что znk — z является
решением уравнения (8.57) при и = иПк. Но это невозможно, так как
по построению znk является решением уравнения (8.57) при и = иПк
с минимальной нормой, равной 1. Полученное противоречие дока¬
зывает лемму. <
Теорема 8.6.12. Если А ф 0 есть собственное значение компакт¬
ного оператора Т, то область значений Дт(А) оператора T—XI явля¬
ется замкнутым множеством.
> Пусть у — предельная точка #т(А), {уп} С Дт(А) — сходя¬
щаяся к у подпоследовательность, у = limyn. Согласно доказан¬
ной' лемме при каждом уп существует такое решение хп уравнения
Тхп — Ахп = Ут что || хп || < с || уп || при некотором с < оо. За¬
дав произвольное е > 0 и взяв достаточно большое п, получим
|| хп || < с(|| у || +£). Это значит, что множество {хп} ограничено
и в силу компактности Т существует такая подпоследовательность
{*ПЬ}, что {Тхпк} сходится. Так как хПк = А”1(ТхПк - уПк), то и под¬
последовательность {хПк} сходится. Поэтому, положив х = ИтхПк1
v = ИтТхПк будем иметь х = A-1(v — у). Но НтТхПк = Тх в силу
непрерывности Т. Следовательно, Тх = v = Ах + у и Тх — Ах = у,
т.е. у Е Дт(А). Таким образом, множество Ят(А) содержит все свои
предельные точки, т.е. замкнуто, [Лт(А)] = Лт(А). Значит, Rt(А)
представляет собой подпространство. <1 *
Заметим, что, доказывая эту теорему, мы попутно доказали
другим способом и теорему 8.6.11.
Теорема 8.6.13. Если А ф 0 есть собственное значение компакт¬
ного оператора Т, то А есть собственное значение сопряженного
оператора Т* и соответствующее ему собственное подпростран¬
ство представляет собой ортогональное дополнение подпростран¬
ства Rr( А).
> Бели А ф 0 — собственное значение оператора Т, то по теоре¬
ме 8.6.8 Ят(А) Ф X. Взяв любой вектор z из ортогонального допол¬
нения Лт(А), z Е Rr(X)±, получим (Тх — Ах, z) = 0 для любого х Е X.
Отсюда следует, что_(х,Т*2г — Az) = 0 при всех х Е X, что возмож¬
но только при T*z = Az. Следовательно, А — собственное значение
оператора Т* и любой вектор z Е Дт(А)х служит соответствующим
528 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
собственным вектором. С другой стороны, для любого собственного
вектора z оператора Г*, соответствующего собственному значению
А, и любого вектора у € Дт(^) существует такой вектор х Е X, что
(у, z) = (Тх - Ах, z) = (х, Гг - Az) = 0.
Следовательно, вектор z ортогонален Ят»(А), т.е. z Е Ят(^)'1'- <
Следствие 1. Если А / 0 есть собственное значение компакт¬
ного оператора Т, то его собственное подпространство, соответ¬
ствующее этому собственному значению, представляет собой орто¬
гональное дополнение подпространства Rt*(X).
> Это следует из того, что операторы Т нТ* взаимно сопряжен¬
ные. <
Следствие 2. Если А ф 0 есть собственное значение компактно¬
го оператора Т} то уравнение (8.56) имеет решение тогда и только
тогда, когда вектор у ортогонален собственному подпространству
оператора Т*, соответствующему собственному значению А.
Теорема 8.6.14. Если А ф 0 не собственное значение компактно¬
го оператора Т, то точка А регулярна.
> Согласно теореме 8.6.8 достаточно доказать, что в этом случае
Ят(А) = X. Предположив, что Rt(X) ф X, возьмем любой вектор
z € Rt(X)1. Тогда для любого вектора х € X будем иметь (Тх -
—Ах, z) = 0, откуда следует (х, T*z—Xz) = 0 при всех х. Это возможно
только при z = 0, так как А в этом случае не может быть собственным
значением оператора Т*. Следовательно, Rt(X)1 = {0} и Ят(^) =
= Х.<
Следствие. Если X ф 0 не собственное значение компактного
оператора Т, то уравнение (8.56) имеет решение при любом у € X.
Теорема 8.6.15. Собственные подпространства Y и Z компакт¬
ных операторов Т и Т*, соответствующие собственным значениям
X ф 0 и А, имеют одну и ту же конечную размерность.
о Конечность размерностей собственных подпространств Y и Z
вытекает из следствия 2 теоремы 8.6.9. Предположим, что У име¬
ет размерность m, a Z — размерность п > т. Пусть xi,...,xm и
2/1, • • , Уп — ортонормальные базисы в У и Z соответственно. Опре¬
делим оператор
т
Sx = Тх + ^2(x,xk)yk.
Jfc=i
Ясно, что это компактный оператор. Докажем, что А не является
§ 8.6. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
529
собственным значением оператора 5. Лля этого умножим уравнение
т
Тх - Ах + х*)у* = О
*=1
скалярно на Тх—Ах, уь..., ym- Принимая во внимание, что Тх—Axv6
в Дт(А), а У1,..., ут е Дг(А)1, получим уравнения
Тх — Ах = 0, (x,x*) = 0 (fc = 1, • • •»m).
Первое из этих уравнений показывает, что х = с\Х\ Н |- стхт при
любых ci,..., cm, а остальные дают ci = ••= ст = 0. Следователь¬
но, уравнение 5х = Ах имеет единственное решение х = 0, и А не
может быть собственным значением оператора 5. Но тогда соглас¬
но следствию теоремы 8.6.13 уравнение Sx — Ах = у имеет решение
при любом у, в частности при у = у/, / > т. Однако это ведет к
противоречию. Действительно, умножив уравнение
т
Тх- Аж + £)(*, Хк)ук — Уи 1>т,
4=1
скалярно на у/, получим слева 0, а справа 1. Таким образом,
п< т. А так как операторы ТиТ# Взаимно сопряженные, то m < п.
Следовательно, т — п. <
Из установленных фактов следует, что спектр компактного опе¬
ратора Т представляет собой конечное или счетное множество соб¬
ственных значений и единственной точкой спектра, не являющейся
собственным значением, может быть только 0.
Собственное значение называется простым, если ему соответ¬
ствует одномерное собственное подпространство, и т-кратным, ес¬
ли ему соответствует m-мерное собственное подпространство.
Собственные значения компактного оператора нумеруются в
порядке невозрастания их модулей, причем m-кратное собственное
значение принимается за т совпадающих собственных значений.
Таким образом, точечный спектр <гр(Т) компактного оператора
Т представляет собой конечное или счетное множество. Это множе¬
ство содержит точку А = 0, если обратный оператор Т”1 не суще¬
ствует. Если же обратный оператор Т-1 существует, то он не может
быть ограниченным (п.8.6.2), а следовательно, не может быть опре¬
делен на всем пространстве X. Поэтому Ят(0) ф X. Это значит, что
530 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
точка А = 0 всегда принадлежит спектру компактного оператора, не¬
зависимо от того, является А = 0 предельной точкой множества соб¬
ственных значений или нет. При этом если [Ят(0)] = Х} то 0 явля¬
ется единственной точкой непрерывного спектра <те(Т) оператора Т,
а если [Ят(0)] ф X, то 0 является единственной точкой остаточного
спектра <тг(Т). Таким образом, 0 может быть собственным значени¬
ем компактного оператора Т (в этом случае <те(Т) = <тг(Т) = 0 )}
точкой непрерывного спектра (в этом случае <тг(Т) = 0 ) или точ¬
кой остаточного спектра (в этом случае <те(Т) = 0 ).
8.6.4. Нормальные операторы. Линейный оператор Т, дей¬
ствующий в Я-пространстве, называется нормальным, если он пе¬
рестановочен со своим сопряжениям оператором, ТТ* = Т*Т. Само¬
сопряженные и унитарные операторы представляют собой частные
виды нормальных операторов.
Теорема 8.6.16. Нормальный оператор Т в сепарабельном
Н-пространстве и его сопряженный оператор Т* имеют одну и ту
же ортонормальную систему собственных векторов.
> Пусть А — собственное значение, 5 — соответствующее соб¬
ственное подпространство оператора Т. Лля любого вектора х £ S
Тх = Ах.
Отсюда вследствие коммутативности операторов Т иТ* получаем
ТТх = ТГх = А Т*х.
Таким образом, Т*х 6 5. Пусть {tin} — ортонормальный базис в 5.
На основании (8.33)
i=
к
Т*х = ^Г{Т*х,хъ)хъ - ^2(х,Тхк)хь = Ах.
к к
Следовательно, любой собственный вектор оператора Т является
собственным вектором сопряженного оператора Т*. Пусть теперь
Ai и А2 ф Ai — два собственных значения оператора Т, х\ и х2
соответствующие собственные векторы. По доказанному
Тх % = Aio?i, Т* Х2 — А2Х2.
§ 8.6. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
531
Умножив скалярно первое из этих равенств справа на х2у а второе
слева на x\t получим
(ТХ\,Х2) = Ai(a?i,X2), (*i, Т*х2) = Х2(х\}х2).
Но (Тхifx2) = (х\уТ*х2). Следовательно, Xi(xifx2) = Х2(хг,х2), что
возможно только при (21,22) = 0. «
Доказанная теорема справедлива для любых нормальных опе¬
раторов, в том числе и для неограниченных. Для компактных опе¬
раторов она устанавливает еще одно свойство спектра, присущее
спектрам нормальных операторов.
8.6.5. Операторы с конечной абсолютной нормой. Для огра¬
ниченных линейных операторов в сепарабельном Я-пространстве
целесообразно, кроме обычной нормы, ввести еще понятие абсолют¬
ной нормы. Пусть Г — ограниченный линейный оператор, отобра¬
жающий сепарабельное Я-пространство X в сепарабельное
Я-пространство У, {хп} и {уп} — ортонормальные базисы в X и
Y соответственно. Величина Nt, определяемая формулой
£ Кг*я.»«)1*. (8-58)
Р,Я=1
называется абсолютной нормой или нормой Шмидта оператора Т.
Теорема 8.6.17. Абсолютная норма не зависит от выбора базисов
в X uY и полностью определяется оператором Т.
> Для доказательства разложим векторы Тхр Е У по базису
{Уп}. По формуле (8.33) получаем
оо
ТХр = (Fxp,yq)yq,
<7=1
причем условие полноты последовательности {у^} (8.34) дает
н^р112=Ек^р,%)|2.
<7=1
Подставив это выражение суммы по q в (8.58), будем иметь
М} = '£\\ТХр ||2. (8.59)
Р = 1
532 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Эта формула убеждает нас в том, что абсолютная норма не зави¬
сит от выбора базиса {уп}* С другой стороны, представив векторы
T*yq £ X разложением по базису {яп}, получим
оо
Т*Уд = (Т* Уд, Хр)Хр}
Р=1
причем
00 оо
wry, г=ЕI (г у**I2 = ЕI »«) I2-
р=1 Р=1
Из этой формулы и из (8.58) следует
^ = Е1Гу,1Г (8.60)
9=1
Эта формула показывает, что Nt не зависит от выбора бази-
са {*„}. о
Теорема 8.6.18. Абсолютная норма оператора не может быть
меньше его нормы, Nt >||Г||-
▻ Задав произвольное е > 0 и выбрав базис {х„} так, чтобы
было ||T®i||> (||Т|| -e) ||xi || = ||Т|| -е, получим из (8.59)
М>='Е\\Тхр\\*>\\Тх1Г>(\\Т\\ -е)\
р=1
Отсюда в силу произвольности е > 0 следует Nj, > ||Т||2. <
Теорема 8.6.19. Абсолютная норма обладает всеми свойствами
нормы : NaT = \<*\Nt, Nt+s < Nt -I- Ns, Nt > 0, причем Nt = 0
только при T = 0.
> В доказательстве нуждается только второе утверждение. Так
как
оо оо
tf^Ell^p + ^II^Dll7^!! + Н5*рН)2 =
р=1 р=1
= Е нТх* II2 + Е нн2 +2 Е н Тхр н н н
р=1 p=i р=1
и
ЕНГ*,||||5*р||<
р=1
\
S 11^,11' 52iisi„ip = wr«Sl
Р=1 Р=1
§ 8.6. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
533
Nt+s <N$ + N1+ 2NTNs = (NT + Ns)2. <
Теорема 8.6.20. Если абсолютная норма оператора Т конечна,
то ом компактен.
> Для доказательства определим множество операторов
п
Т„ = 5>\у?)у, (п = 1,2,...),
g=1
где точкой указано место вектора, на который действуют Tn, a {j/^}
— любой ортонормальный базис в У. Все эти операторы компакт¬
ны, так как их области значений Дтп являются конечномерными про¬
странствами. С другой стороны, так как
'г=|>\у,)у„
q=1
то при любом х G X
оо 2 о®
||ГП*-Г*||2=|| £ (Г*,у,)у,| = 5; |(Т*,У,)|2 =
0=n +1 Я=П+1
ОО оо
= j; к*,7"у«)|2 <н*н2 £ нг%112 •
Я=п+1 q=n+l
Если Nt < оо, то на основании (8.59) при любом е > 0 и достаточно
большом п будем иметь || Тпх — Тх || < е || х ||, откуда || Тп — Т || < е.
Отсюда по теореме 8.6.7 следует, что оператор Т компактен. <
Таким образом, конечность абсолютной нормы достаточна для
компактности линейного оператора. Однако не всякий компактный
линейный оператор Т в сепарабельном Я-пространстве имеет ко¬
нечную абсолютную норму. Поэтому класс операторов с конечной
абсолютной нормой представляет собой часть класса компактных
линейных операторов.
Пример 8.21. Возьмем ортонормальный базис {яп} в сепарабель¬
ном Н-пространстве X и такую сходящуюся к нулю последовательность ком¬
плексных чисел {Ап}, что ряд 53 | Ап |2 расходится. Образуем оператор
Т = 53 \(* ixq)xq-
q=1
534 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Так как ТХр = ХрХр, то
N}= £ I Ар I2 = оо,
р=1
т.е. абсолютная норма оператора Т бесконечна. Между тем он компактен
Действительно, определив множество компактных операторов
TJ» = ^q{’»xq)xq (n = 1» 2,...),
q=l
получим
\\Тпх-Тх\\*= £ |А,П(*,*,)|а<|Ап+1|*||«|р
g=n+1
при всех X. Отсюда следует || 7}, — Т || < | An+i |. Поэтому || Тп — Т || <
< £ при всех достаточно больших П, каково бы ни было £ > 0. По теореме
8.6.7 отсюда вытекает компактность оператора Т. Таким образом, мы имеем
пример компактного оператора с бесконечной абсолютной нормой.
8.6.6. Операторы Гильберта — Шмидта. Пусть X =
= Ь2(А,А,ц), У = L2(Sy В, и) — два пространства числовых функ¬
ций, заданных на пространствах с неотрицательной мерой (A, *4,/i)
и (5, Ву I/) соответственно. Рассмотрим интегральный оператор
Тх = J K(s,t)x(t)n(dt), (8.61)
отображающий X в У, с ядром /£($,*), удовлетворяющим условию
JJ | K(sy t) \2ti(dt)i/(ds) < оо (8.62)
(K(syt) £ L2(A x SyA x ВуЦ x i/), п.2.1.8 и п.3.8.3). Если меры /i и v
обладают аппроксимационным свойством следствия теоремы 3.7.6,
то пространства X и У сепарабельны. В этом случае оператор Т
называется оператором Гильберта — Шмидта.
Теорема 8.6.21. Абсолютная норма Гильберта — Шмидта опре¬
деляется формулой
Nt = Jj \K(s,t) 12n(dt)v(ds).
(8.63)
§ 8.6. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 535
с> Для доказательства возьмем в X и Y ортонормальные базисы
{яп(0) и соответственно. Из (8.62) и теоремы Фубини 3.8.3
следует, что почти при всех 8 € S
< ОО,
т.е. #(М)> рассматриваемая как функция t} принадлежит X почти
при всех 8. Следовательно, почти при всех s она может быть пред¬
ставлена разложением
р=1
где
K(s,t) = '%2ap(s)xp(t),
p=i
«р(*) = J K(s,t)xp(t)n(dt)=:Txp
При этом
/оо
| К(8> *) 12/i(<ft) = ^ | ар(в) |2 почти при всех s. (8.64)
p=i
Далее
,t)*P(tMdt) \ p(ds) <
< jJ\KM \2n(dt)v{ds) < оо,
так как
\j K(s, t)xp(t)n(dt) |2< J \K(s,t)Md*)- J \*P(t)\2n{dt),
a /I *p(0 |2/*(^0 = 1- Следовательно, <*p(s) 6 Y и может быть пред¬
ставлена разложением по базису {уп}«
ар(5) —
f=i
536 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
где
jМ*)У«(вМ*) = JJK{s,t)xp(t)yq(s)n(dt)v(ds) = (Tzp,yt).
При этом
|«,(.) I »„(*) = Х>|2 = £|(Г*р,у,)|2.
*=i g=i
Отсюда и из (8.64) следует *
= £ I (Тхр, у,) |2 = I £ | ttp(s) I2t/(ds) =
p,i=i J Р=1
= JI \K(s,t)\*p(dtMds). <
Таким образом, абсолютная норма оператора Гильберта —
Шмидта равна норме его ядра, рассматриваемого как элемент про¬
странства 1>2(Д x5,^xfi,/ixi/). Так как эта норма вследствие (8.62)
конечна, то оператор Гильберта — Шмидта компактен. ,
Теорема 8.6.22. Любой оператор Т с конечной абсолютной нор¬
мой, отображающий X = = «/), есть оператор
Гильберта — Шмидта.
> Для доказательства возьмем произвольные ортонормальные
базисы {яп(0} и (Уп(«)} в!иУ соответственно и положим
оо
аря.~ 0^хр>Уя)> K(syt) = ар?жр(0у?($)-
р,0=1
Пусть If — линейный интегральный оператор с ядром K(s>t). .Оче¬
видно, что
оо
Кхр = 13 “и %(*)• (^ХР> У») =
9=1
* Почленное интегрирование ряда здесь возможно потому, что ряд сходит¬
ся почти при всех S и его конечные суммы мажорируются сверху {/-интегриру¬
емой функцией J | K(s,t) |2^х(Л) (теорема Лебега 3.5.4).
$ 8.6. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
537
NK= ff | K(s,t) \2n(dt)i/(ds) = ^2 I ap112 = NT < oo.
JJ p,i=i
Следовательно, /if — оператор Гильберта — Шмидта. Далее, для
любого вектора х 6 X
оо
X =
г=1
и, следовательно,
оо оо
(Гх,у*) = 5^(а?,Хр)(Тхр,^) = ]Гар*(х,хр),
р=1 р=1
оо оо
(Я*, у,) =
Р=1 р=1
Поэтому (Тх — КхуУд) = 0 при всех q для любого х 6 X. В силу
полноты базиса {уп} отсюда следует Т = К} что и доказывает наше
утверждение. «
Таким образом, в сепарабельных пространствах Ь2 класс опе¬
раторов с конечной абсолютной нормой совпадает с классом опера¬
торов Гильберта — Шмидта.
Все изложенное здесь распространяется с небольшими измене¬
ниями на операторы Гильберта — Шмидта (8.61) в пространстве
L,2(AyA}fi) конечномерных векторных функций.
Рассмотрим частный случай оператора Гильберта — Шмидта,
когда пространство Y совпадает с пространством X = Z/2(A,v4,/i).
В этом случае оператор Гильберта — Шмидта, как и всякий ком¬
пактный оператор, имеет спектр, состоящий не более чем из счет¬
ного множества собственных значений и точки 0. Мы будем рас¬
сматривать случай нормального оператора Гильберта — Шмидта,
имеющего счетное множество собственных значений {Ап} и соот¬
ветствующее множество собственных векторов {яп(0}> представ ля-'
ющее собой ортонормальный базис. Представим функцию K(s,t)
разложением (8.33) по базису
538 ГЛ. в. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
\
Н0 Г
J К{в,т)хр(т)(л(ёт) = ХрХр(в).
Следовательно,
оо
я(м) = 52 VpOOMO-
Р=1
Умножив это равенство на K(sy t) и интегрируя сначала по t, а потом
по 8, получим
| К(8, t) MdtMds) = f) I A, I2 /1 xp(s) \2fi(ds) = f) I A„ I2.
P=1 ^ p=l-
Сравнив это равенство с (8.63), видим, что абсолютная норма рас¬
сматриваемого оператора Гильберта — Шмидта равна сумме ква¬
дратов модулей его собственных значений. Таким образом, харак¬
терной особенностью операторов Гильберта — Шмидта, действую¬
щих в пространствах Ь2> является сходимость ряда, членами кото¬
рого служат квадраты модулей собственных значений.
Эта особенность операторов Гильберта — Шмидта дает осно¬
вание для обобщения понятия оператора Гильберта — Шмидта.
Компактный оператор, действующий в сепарабельном Я-простран¬
стве, называется оператором Гильберта — Шмидта, если ряд, чле¬
нами которого служат квадраты модулей его собственных значений,
сходится.
8.6.7. Ядерные операторы. Компактный оператор Т, действу¬
ющий в сепарабельном Я-пространстве, называется ядерным или
оператором со следом, если ряд, членами которого служат его соб¬
ственные значения, абсолютно сходится. Сумма этого ряда назы¬
вается следом оператора Т и обозначается
оо
tr Т = 52 Ар • (865)
p=i
Это определение следа оператора вполне согласуется с известной
теоремой линейной алгебры, утверждающей, что след симметрич¬
ной матрицы в Rn равен сумме ее собственных значений.
Мы будем рассматривать только нормальные ядерные операто¬
ры, собственные векторы которых образуют ортонормальный базис
в X.
§ 8.6. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 539
Теорема 8.6.23. След нормального ядерного оператора Т опреде¬
ляется формулой
00
trT = 53(Tti„,ti„), (8.66)
П = 1
где {tin} — произвольный ортонормальный базис в X.
> Пусть {жп} — ортонормальный базис собственных векторов
оператора Т. Тогда
оо оо
tr Т = ^2 ^р (*р»*р) = , а?я).
p=i p=i
Выразив векторы л?р разложением (8.33) по базису {tin}, получим
оо оо оо
= ^(Гхр, а?р) = ^ (Tum , tin) YXzPi vm)(un, хр).
р—1 т,м=1 р=1
v
Но согласно (8.34) и (8.35) £(tin,Sp)(*p,tim) = (tin,nm) = 6nm. Вслед-
v
ствие этого предыдущая формула принимает вид (8.66). <
Формула (8.66) дает возможность легко вывести следующие
свойства ядерных операторов и их следов:
1) след является линейной функцией оператора:
п п
tr Y.ckTk = y^cjfctrTt
Ь=1 t = i
для любых ядерных операторов 71,..., Тп и любых чисел с\9..., сп;
2) trТ* = trT;
3) если Т — ядерный оператор, а А — ограниченный оператор,
действующий в X, то АТ и ТА — ядерные операторы, и it АТ =
= tr ТА, причем | tr АТ | = | tr7\A | < || А\\ | trT |.
Свойство 1 очевидно. Свойство 2 следует непосредственно из
определения (8.65). Лля доказательства свойства 3 достаточно
взять в качестве базиса {wn} базис собственных векторов {хр} опе¬
ратора Т и учесть, что он является и базисом собственных векторов
сопряженного оператора Т‘\
Интересно заметить, что операторы АТ иТА могут быть ядер-
ными и в случае неограниченного оператора А. Все зависит от бы¬
строты убывания модулей собственных значений оператора Т.
540 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Пример 8.22. Пусть {а?п} — ортонормальный базис. Рассмотрим
лдерный оператор
Тх = An(x, хп)хп
п=1
и неограниченный оператор
оо
Ах = Цп(х,хп)хп,
п=1
где {/in} — неограниченно возрастающая последовательность положитель¬
ных чисел. Ясно, что Хп — собственные векторы операторов Г и Л, соответ¬
ствующие собственным значениям Ап и /1п» вследствие чего
АТх = TAX =
П = 1
Отсюда видно, что операторы АТ и ТА будут ядерными, если ряд £3 I \Цп
сходится.
Ядерные операторы играют большую роль в теории вероятно¬
стей.
8.6.8. Линейные интегральные уравнения Фредгольма. Ес¬
ли в условиях п.8.6.6 S = A, v = /1 и, следовательно, У = Х} то
уравнения
j К(syt)x(t)fi(dt) = Ax(s), (8.67)
J K(s, t)x(t)n(dt) - Ax(s) = y(s), (8.68)
ядро которых K(Syt) удовлетворяет условию (8.62), представляют
собой линейные интегральные уравнения Фредгольма второго рода.
В теории интегральных уравнений обычно изучаются уравне¬
ния (8.67) и (8.68) в случае, когда мера ц представляет собой меру
Лебега в конечномерном пространстве и, соответственно, t и s явля¬
ются конечномерными векторными (в частном случае скалярными)
переменными.
Уравнения (8.68) и (8.67) представляют собой уравнение вида
(8.56) и соответствующее однородное уравнение в случае, когда Т
— оператор Гильберта — Шмидта.
Из общих теорем п.8.6.3 вытекают как частные случаи основные
теоремы теории линейных интегральных уравнений Фредгольма (те¬
оремы Фредгольма).
§ 8.6. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
541
1) Бели Л ф 0 — собственное значение интегрального уравнения
(8.67), то А — собственное значение сопряженного интегрального
уравнения
и при этом уравнения (8.67) и (8.69) имеют одно и то же конечное
число линейно независимых решений.
2) Уравнение (8.68) при А ф 0 имеет решение, и притом един¬
ственное, для любой функции у(«) Е X тогда и только тогда, когда
А не есть собственное значение.
Таким образом, или уравнение (8.68) имеет единственное реше¬
ние при любой функции y(s) £ ^г(А, Л, /i), или однородное уравнение
(8.67) имеет нетривиальное решение (альтернатива Фредгольма).
3) Если А ф 0 есть собственное значение,то уравнение (8.68) име¬
ет решение тогда и только тогда, когда функция y(s) ортогональна
всем собственным векторам сопряженного уравнения (8.69).
Совершенно так же из общих теорем п.8.6.3 вытекают теоремы
Фредгольма для уравнений с операторами Гильберта — Шмидта в
пространстве Z/2(A,*4,/i) конечномерных векторных функций.
В заключение заметим, что общая теория п.8.6.3 распространя¬
ется на интегральные уравнения Фредгольма в //-пространствах,
которые играют особенно важную роль в современной математи¬
ческой физики. Однако в теории интегральных уравнений изуча¬
ются также интегральные уравнения в пространствах непрерывных
функций. В п.7.2.9 и п.7.2.11 было доказано при определенных усло¬
виях существование единственного решения интегрального уравне¬
ния Вольтерры и интегрального уравнения Фредгольма (8.68) в про¬
странстве непрерывных функций. Условие, которому было подчине¬
но значение параметра А при этом, по существу, является условием
регулярности значения А.
Пэ и м е р 8.23. Найти собственные значения и собственные векторы
(функции) интегрального уравнения
(8.69)
1Г
f eai cos(s — t)x(t) dt = Xx(s)
(*)
и решить уравнение
1Г
f ea1 cos(s — t)x(t) dt — Ax(s) = y(s).
(**)
— IT
542 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Переписав уравнение (*) в виде
V * »
cos8 J eat cos t a?(J) dt + sins f eai sint x(t) dt = Ая(«),
— w — *
видим, что его решением может быть только линейнал комбинация COS t и sin t.
Поэтому положим
x{t) = ci cos t + C2 sin t. (* * *)
Тогда будем иметь
* ж
f eai cos t x(t) dt = A(a2 + 2)ci — Aac2,
ж
J eat sin t x(t) dt = —Ласх + 2Ac2,
— IT
где A = (eaT — e“a,r)/ar(ar2 4), и уравнение (*) примет вид
А{[(а2 -f 2)ci — ас2] cos s — (aci — 2c2) sin s} = Aci cos s + Ac2 sin 5.
Отсюда получаем уравнения для Сх и С2 (напомним, что уравнение (4е) должно
удовлетворяться при всех S 6 [—‘ЗГ, зг]):
[А(а2 + 2) — A] ci — Аас2 = О,
—Aaci + (2 А — А)с2 = 0.
Приравняв нулю определитель этой системы уравнений и решив полученное
квадратное уравнение, найдем два значения А, при которых эти уравнения
имеют нетривиальное решение. Эти значения А и будут собственными значе¬
ниями уравнения (4с), а формула (* * *) при соответствующих ненулевых С\
и С2 определит соответствующие собственные векторы. Значение А = 0 тоже
является собственным значением, а все функции #(£) £ Ь2([— 7Г, тг]), ортого¬
нальные функциям ea1 COS t и eat sint, являются соответствующими собствен¬
ными векторами.
Решение уравнения (**), очевидно, выражается формулой
x(J) = а\ cos t + а2 sin t — y(t)/X-
Для коэффициентов d\ и а2 совершенно так же, как раньше, получим уравне-
ния
[А(а2 + 2) — A]ai - Ааа2 = j f eat cos t y(t) dt,
§ 8.6. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
543
—Aaai + (2j4 — А)аг = j / sin< y(<) dt.
— 1Г
Эта система уравнений имеет решение при любой функции y(t) Е Х/2([—ТГ, 7г]),
если Л — не собственное значение.
ЗАДАЧИ
8.6.1. Оператор Т называется конечномерным, если его область значений
Е/г представляет собой крнечномерное пространство. Будем называть такой
оператор П-мерным, если Rr — П-мерное пространство. Доказать, что лю¬
бой П-мерный линейный оператор, действующий в /f-пространстве, имеет
П отличных от нуля собственных значений (некоторые из них могут совпа¬
дать), причем нуль является собственным значением бесконечной кратности,
и собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям,
линейно независимы.
8.6.2. Пусть АЬ...,АП — отличные от нуля собственные значения
71-мерного линейного оператора Т, J/i,..., уп — соответствующие собствен¬
ные векторы, || уъ || = 1. Доказать, что
Т = AiPi Ч Ь АпРп,
где Pjg — проектор на собственный вектор уь : Р*Х ■= Cfct/fc Для любого X
(Pk в общем случае не ортопроектор, см. п.8.4.4).
8.6.3. Доказать, что любой конечномерный оператор компактен (а следо¬
вательно, и ограничен).
8.6.4. Доказать, что если последовательность конечномерных операторов
сходится к некоторому оператору Т в равномерной топологии простран¬
ства В(Х, У) (п.6.1.4), то оператор Т компактен.
8.6.5. Найти абсолютную норму конечномерного оператора.
8.6.6. Пусть Т — П-мерный оператор в Н-пространстве X. Решить урав¬
нение
Тх — Ах = у.
Найти условие существования единственного решения этого уравнения при
любом у G X\
8.6.7. Найти собственные значения интегрального уравнения
f (st2 + s2t3 + s3t)x(t) dt = Ax(s).
-1
544 ГЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Решить уравнение
f (st2 + s2t3 + $3<)s(<) dt — As(s) = y(s).
-1
Установить условия, при которых ото уравнение имеет решение при любой
функции J/(t) G ^г([—1) 1])« Является ли оператор в этом уравнении конечно-
мерным? Описать пространство значений этого оператора.
8.6.8. Найти собственные значения и собственные векторы (функции) ин¬
тегрального уравнения
/ £ Pk(s)fa(t)z(t)dt = Az(s)
. Т *=1
и решить уравнение
/ Е <pk(s)t/>k(t)x(t)dt - Aar(s) = j/(s).
т *=i
Установить условия, при которых это уравнение имеет решение при любой
функции y(t) £ L*(T). Описать пространство значений оператора в этом
уравнении.
8.6.9. Пусть {яп} —ортонормальный базис в /f-пространстве X, а {Ап}
— последовательность комплексных чисел. Доказать, что действующий в X
оператор
оо
Тх = ^ Ар(я, Хр)хр
Р=1
нормален. Найти его собственные значения и собственные векторы.
8.6.10. Доказать, что если собственные векторы линейного оператора Т
в Я-пространстве образуют ортонормальный базис, то оператор Т нормален.
Таким образом, нормальность оператора — необходимое условие того, что¬
бы множество его собственных векторов представляло собой ортонормальный
базис.
8.6.11. Рассмотрим ядерный оператор, действующий в пространстве
Ь2([-Г,П),
Т
Ах = f K(t,T)x(r)dr,
-т
ГДе оо
K(t, г) = \ 1+ An [cos nut cos пит 4- sin nut sin пит] >,
^ n=l '
S 8.6. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
545
j = Тг/T. Найти спектр оператора А. Каким условиям должны удовлетворять
числа Лп» чтобы оператор AD2, D = d/dt, был ядерным?
8.6.12. Пусть Т — ядерный нормальный оператор, А — неограниченный
замкнутый линейный оператор. При каких условиях операторы АТ и ТА
будут ядерными?
Указание. Применить формулу (8.66), взяв в качестве базиса {tin}
базис собственных векторов оператора Т.
8.6.13. Какому условию должно удовлетворять ядро K{s}t) интеграль¬
ного оператора Гильберта — Шмидта, действующего в пространстве Ьч> для
того чтобы он был нормальным?
ГЛАВА 9
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
§ 9.1. Спектральное разложение компактного
самосопряженного оператора
9.1.1. Существование собственных значений. В п.8.6.3 бы¬
ло показано, что спектр любого компактного оператора состоит из
одних только собственных значений и только 0 может принадле¬
жать спектру, не будучи собственным значением. При этом остал¬
ся открытым вопрос о существовании собственных значений. Этот
вопрос решается положительно для самосопряженных компактных
операторов.
Теорема 9.1.1. Любой компактный самосопряженный оператор
имеет по меньшей мере одно собственное значение.
> Пусть А — компактный самосопряженный оператор в
/Г-пространстве X. Для доказательства существования у А соб¬
ственного значения воспользуемся формулой (8.18), выведенной в
п.8.3.2:
IIА ||= sup = sup КЛ*,х)|. (9.1)
11*11 ||*||=1
На основании свойств верхней грани существует такая последова¬
тельность {яп}, || хп || = 1, что
lim | (Ах„, хп) | = || Л ||. (9.2)
Так как вследствие самосопряженности оператора А все числа
(Ахп,хп) действительны, то числовая последовательность
{(Ахпухп)} или сходится к || А ||, или сходится к — || А ||, или имеет
две предельные точки ||А\\ и —1|А\\. В последнем случае, выбросив
из нее все отрицательные (или все положительные) члены, получим
последовательность, сходящуюся к \\А\\ (соответственно к — || А ||).
Таким образом, последовательность {(Ахп)хп)} всегда можно счи¬
тать сходящейся. Положим
А = Иш( Ахп,хп)
(9.3)
§ 9.1. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРА
547
и докажем, что А есть собственное значение оператора* А. В силу
компактности А и ограниченности последовательности {хп} из нее
можно выделить такую подпоследовательность {хПк}, что последо¬
вательность {АхПк} будет сходиться к некоторому пределу z. Тогда,
принимая во внимание, что вследствие самосопряженности А число
А действительное, будем иметь *
|| АхПк -\х„„ ||2= \\АхПк ||2 -2\(АхПк,х„к) + А2
и на основании (9.3)
lim ||Лг„„ - ХхПк ||2=|М|2 -А2. (9.4)
Но || £ || = lim || АхПк || < || А || = | А |. Это неравенство и формула (9.4)
показывают, что || z || = | А | и уПк = АхПк — ХхПк —► 0 при к оо.
Отсюда следует, что последовательность {хП||} сходится и
х = limxnfc = lim(Arnfc - уПк)/А = z/А.
Из сходимости {хПк} к х вытекает сходимость {АхПк} к Ах. Таким
образом, с одной стороны lim.Axnfc — z — Ах, а с другой ИшАхПк =
= Ах. Следовательно, Ах = Ах. Это и доказывает, что А — соб¬
ственное значение оператора А, а х = limx„k, ||х||= 1, — соответ¬
ствующий собственный вектор. <
Следствие 1. Наибольший из модулей собственных значений ком¬
пактного самосопряженного оператора А равен его норме | А |тах =
чин-
> По теореме 7.3.4 собственные значения ограниченного опера¬
тора не могут превышать по модулю его норму, а модуль собствен¬
ного значения, определяемого формулой (9.3), равен норме операто¬
ра А. <
Следствие 2. Наибольший из модулей собственных значений ком¬
пактного самосопряженного оператора А равен максимуму функци-
онала | (Ах, х) |/ ||аг||2:
,х, I (Ах, х) |
I A (max - max || £ ||2 1
а вектор х, для которого этот максимум достигается, является
соответствующим собственным вектором.
548
ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Эю экстремальное свойство собственных значений указывает
практический способ нахождения собственных значений компакт¬
ных самосопряженных операторов. Этим способом можно последо¬
вательно находить собственные значения в порядке невозрастания
их модулей и соответствующие собственные векторы.
9.1.2. Спектральное разложение. Пусть Ai — наибольшее по
модулю собственное значение, а xi, ||xi || = 1, — соответствующий
собственный вектор. Обозначим через G\ одномерное подпростран¬
ство, образованное вектором xi, |f положим Ях = X, Яз = G*-. Сузим
оператор А на подпространство Яг- По теореме существования 9.1.1
оператор А на подпространстве Яг имеет собственные значения.
Пусть Аг — наибольшее по модулю из них (очевидно, | Аг | < | Аг |).
Оно может быть найдено тем же способом, который был приме¬
нен при доказательстве теоремы существования 9.1.1. Для этого
согласно следствию 2 надо найти условный максимум функциона¬
ла | (Лх, х) | / || х ||2 при дополнительном условии (х, xi) = 0. В ре¬
зультате найдем собственное значение Аг и соответствующий соб¬
ственный вектор Х2, || Х2 ||= 1. Обозначим через G2 подпростран¬
ство, образованное векторами xi, Х2, и сузим А на подпростран¬
ство Яз = Gf . Продолжая этот процесс, обозначим через Gn_ 1
подпространство, образованное найденными первыми п — 1 орто-
нормальными собственными векторами xi,..., xn_i, и сузим опера¬
тор А на подпространство Яп = Определив условный мак¬
симум функционала | (Ах, х) | / || х ||2 при дополнительных услови¬
ях (x,xi) = ••• = (x,xn_i) = 0, найдем следующее по модулю соб¬
ственное значение Ап и соответствующий собственный вектор хп,
II «п 11=1.
Этот процесс закончится после конечного числа п шагов, если
max = 0. (9.5)
*€Я.+. ||* ||2
В этом случае Ах = 0 при всех х G Яп+1, так как левая часть равен¬
ства (9.5) представляет собой норму оператора А в Яп+х. Следова¬
тельно, в этом случае 0 является собственным значением, а Яп+1 —
соответствующим собственным подпространством.
Если равенство (9.5) не достигается ни при каком п, то процесс
будет продолжаться неограниченно и даст в результате счетное
множество собственных значений {Ап} и соответствующую ортонор-
мальную последовательность собственных векторов {хп}. При этом
§ 9.1. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРА
549
(9.6)
п
x = ^2(x,xt)zk + Zn, zn€Hn+1,
*=i
П
Ax = ^2\k(x,xk)xk + Azn,
*=l
причем на основании (9.6)
(9.7)
П
I Ав ““ ^*(ж> хк)хк I < | Ап+1 | || Zn || < | Ап+1 | || х || •
А так как по теореме 8.6.9 An+i —► 0 при п —♦ оо, то ряд ^к(х, хк)хк
сходится к Ах при любом х 6 X:
Отсюда следует, что последовательность собственшлх векторов
{жп} полна в Ra = Goo- Если при этом Goo ф X, то Ах = 0 при
всех х 6 #оо = <?£>• Таким образом, и в случае счетного множества
собственных значений 0 служит собственным значением, а #оо —
соответствующим собственным подпространством, если Goo ф X. В
частности, это всегда имеет место, если X несепарабельно, так как
подпространство Goo всегда сепарабельно. И лишь в том случае, ко¬
гда X сепарабельно и Goo = X, точка 0 может не быть собственным
значением (но принадлежит спектру как предельная точка множе¬
ства собственных значений).
Переходя в первой формуле (9.7) к пределу при п —* оо, получим
В частном случае, когда X сепарабельно и система векторов {х*п}
полна в Ху Goo = X и подпространство Hqq состоит только из одной
точки 0 и, следовательно, xq = 0. Таким образом доказана
оо
(9.8)
ОО
(9.9)
550 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Теорема 9.1.2. Любой компактный самосопряженный оператор
имеет непустое конечное или счетное множество действительных
собственных значений и при этом для любого х 6 X справедливы
разложения (9.8) и (9.9).
Заметим, что в полученной изложенным способом последова¬
тельности собственных значений {Ап} каждое собственное значение
повторяется столько раз, сколько линейно независимых собствен¬
ных векторов ему соответствует. Если данному собственному зна¬
чению соответствует одномерное собственное подпространство, т.е.
один собственный вектор, то оно называется простым \ Если же
размерность собственного подпространства больше 1, то собствен¬
ное значение называется кратным, а размерность собственного под¬
пространства — его кратностью. Таким образом, в полученной по¬
следовательности {Ап} каждое кратное собственное значение пред¬
ставлено соответствующим числом совпадающих собственных зна¬
чений.
Формула (9.8) дает спектральное разложение компактного са¬
мосопряженного оператора. Она показывает, что такой оператор
полностью определяется своим спектром и соответствующим мно¬
жеством собственных подпрострацств.
В дальнейшем будем рассматривать только случай, когда
//-пространство X сепарабельно и система собственных векторов
{хп} оператора А полна, т.е. представляет собой базис в X. В этом
случае разложение (9.9) любого вектора х £ X имеет вид
оо
* = (91°)
t=l
Рассмотрим операторное уравнение
Лх - Ах = у. (9.11)
Представив у разложением (9.10):
оо
У = ^2(y>*k)*k (9.12)
*=1
и подставив выражения (9.8), (9.10) и (9.12) в (9.11), получаем урав¬
нение
оо оо
52 (А* - Ам*» xk)xk - 51 (у’ **)**>
1=1 к=1
§ 9.1. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРА 551
которое дает (я, я*) = (у>я*)/(А* — А). Подставив это выражение в
формулу (9.10), получим решение уравнения (9.11)
• = <9ЛЗ)
*=1Лк -А
Ряд здесь сходится для любой регулярной точки А, так как
£|^т1дгЪГ!>'-)|!
fc=l К К К i=1
и ряд 52 I (2/> хк) |2 сходится в силу формулы Парсеваля (8.34). Из
(9.13) вытекает спектральное разложение резольвенты R\ операто¬
ра А:
*=1
Норма резольвенты определяется формулой
|| ЛА || = sup | А — Ajb I”1. (9.15)
к
Рассмотрим теперь операторное уравнение первого рода
Ах = у. (9.16)
Это уравнение представляет собой уравнение (9.11), соответ¬
ствующее точке спектра А = 0 (уравнение (9.11) при А ф 0 называ¬
ется операторным уравнением второго рода). Ясно, что уравнение
(9.16) может иметь решение только в том случае, когда А = 0 — не
собственное значение. В этом случае резольвента R\ = Я0 = Т~1
неограниченна (п.8.6.3) и уравнение (9.16) не может иметь решения
при любом у. Однако формула (9.13) при А = 0 формально опреде¬
ляет решение уравнения (9.16)
* = (У> **)Х*/Аь (9-17)
к=1
Ряд здесь сходится только при условии сходимости ряда
f;i(y,**)/A*|a- (9.18)
Jfe = l
552 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Следовательно, уравнение (9.16) имеет решение только для таких у}
для которых сходится ряд (9.18).
Выясним, как связана абсолютная норма компактного самосо¬
пряженного оператора с его спектром. Лля этого примем за базис
{&„} в X базис, образованный ортонормальными собственными век¬
торами оператора А} включал собственные векторы, соответствую¬
щие нулевому собственному значению (если 0 является собственным
значением). Так как Ахп = Хпхп для любого собственного вектора
хп € Goo и Ах'п = 0 для любого собственного вектора х'п 6 #оо, то
согласно (8.59) .абсолютная норма оператора А определяется фор¬
мулой
n2a = E 1М*«Н2+£ И*»Н2= Еап 1М12= XX
П = 1 П = 1 П = 1 П = 1
Таким образом, квадрат абсолютной нормы компактного самосо¬
пряженного оператора А равен сумме квадратов всех его собствен¬
ных значений
Л^ = Х>«- (9-19)
П = 1
Отсюда следует, что абсолютная норма компактнбго самосопряжен¬
ного оператора конечна тогда и только тогда, когда ряд квадратов
модулей его собственных значений сходится, т.е. когда он является
оператором Гильберта — Шмидта (п.8.6.6).
9.1.3. Линейные интегральные уравнения Фредгольма с
симметричным ядром. Интегральный оператор Гильберта —
Шмидта, действующий в пространстве будет самосопряженным,
если его ядро симметрично, K(t,s) = K(stt) (см. примеры 7.2 и 7.5).
В п.8.6.6 было показано, что оператор Гильберта — Шмидта ком¬
пактен. Следовательно, самосопряженный оператор Гильберта —
Шмидта А имеет непустое конечное или счетное множество соб¬
ственных значений {Ап} и соответствующую ортонормальную по¬
следовательность собственных функций {жп(*)},
(хр,Х,) = J Xp(t)2,(t)/«(<ft) = V
При этом для любой функции i(t) £ L2 справедливы разложения
(9.9) и (9.8):
оо
*(t) = x0 (t) + ^2(x,xv)xv(t), (9.20)
i/ = l
§ 9.1. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРА 553
/оо
K(t, s)x(s)n(ds) = ЕМх»*»')М0> (9.21)
i/=i
где яо(0 — функция, принадлежащая ядру оператора Ау
J K(t,s)xo(8)fi(d8) = 0.
Вследствие конечности абсолютной нормы оператора Гильберта —
Шмидта (п.8.6.6) и формул (8.63) и (9.19) ряд квадратов собственных
значений самосопряженного интегрального оператора Гильберта —
Шмидта сходится и
52 А" = // I К&> *) lV(*M*)- (9.22)
п=1 *'•'
Переписав (9.21) формально в виде
/ K(tys)x(s)p(ds) = / ^A„x,,(t)x^s):r(s)/i(<fs)
^ ^ i/=i
и учитывая, что эта формула справедлива для любой функции я(*) G
G ^2> приходим к мысли, что
00
K(t, s) = 52 Kxv{t)7js). (9.23)
I/=l
Эта формула определяет спектральное разложение ядра операто¬
ра Гильберта — Шмидта. В теории интегральных уравнений эта
формула известна как формула Мерсера.
Однако приведенный вывод формулы (9.23) нельзя считать стро¬
гим, так как он основан на формальном изменении порядка сумми¬
рования ряда и интегрирования.
Лля строгого доказательства формулы (9.23) вычислим норму
остаточного члена ряда (9.23):
ff\K(t,s) - ^xvxv(t)x^(8) \ fi(ds)fi(dt) =
K = 1
= // \K(t,B)\*rt*Md*)-
554 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
/ MOM*) / #(м)МО/*(*)--
|/=1 ^ ^
~mxv! мом<*о /
|/=1 ^ ^ 1/=1
Отсюда, принимая во внимание, что f K(tfs)xl/(s)p(ds) = Xuxt,(t),
находим
|2
A vxv(t)xu(s) fi(d$)fi(dt) =
//К‘>-£-
1/=1
= Jf\K(t,s) \2fi(dt)n(ds)
1/ = 1
Вследствие (9.22) правая часть этого равенства стремится к нулю
при п —► оо, что и доказывает формулу (9.23).
Формула (9.13) определяет решение интегрального уравнения
второго рода
j K(t, s)x(s)fi(ds) - Az(*) = y(t). (9 24)
Согласно (9.13) решение уравнения (9.24) определяется формулой
= X) д^л Jy(s)zk(s)ft(ds). (9.25)
Отсюда видно, что резольвента оператора Гильберта — Шмидта с
симметричным ядром представляет собой интегральный оператор
с ядром
оо
Д(М,А) = (9.26)
Jb=l к
Решение интегрального уравнения первого рода
J K(t, s)x(s)ft(ds) = y(t) (9.27)
§ 9.1. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРА
555
согласно (9.17) определяется формулой
(9.28)
причем решение уравнения (9.27) существует тогда и только тогда,
когда сходится ряд
Если это условие не выполнено, то уравнение первого рода (9.27) не
имеет решения в пространстве или в плотных в пространствах
непрерывных или дифференцируемых функций (п.3.7.7). Однако оно
может иметь решение, как мы увидим в п.9.1.4, в более широком
пространстве обобщенных функций.
Таким образом, из общих теорем о спектре компактного опе¬
ратора вытекают основные теоремы и формулы теории линейных
интегральных уравнений Фредгольма с симметричным ядром в про¬
странствах 1/2»
9.1.4. Метод решения интегральных уравнений одного
класса. В приложениях часто встречаются интегральные уравне¬
ния с действительным симметричным ядром, которое можно выра¬
зить формулой
где функция tu(t,s) удовлетворяет линейному дифференциальному
уравнению
(о дифференциальных уравнениях с tf-функциями см. задачи 6.3.12 и
6.3.13). В таких случаях решение интегральных уравнений первого
Рода
(9.29)
(9.30)
а
Fw(t, т) = H6(t - г),
(9.31)
П
(9.32)
(9.33)
55$
ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
и второго рода
<3
j 1{(t, s)x(s)p(s) ds =s Az(*) (9.34)
<3
j K(t, s)x(s)p(a) ds - Ax(*) = y(t) (9.35)
11
при t\ > a, ti < (3 сводится к интегрированию линейных дифферен¬
циальных уравнений. В (9.33), (9.34) и (9.35) p(t) — произвольная
строго положительная функция. Мера /i в этом случае выражается
формулой
wy,dt.
А
Изложим этот метод сначала для уравнения первого рода (9.33).
На основании (9.30)
<3 <2 / Р \
/*(« , s)x(s)p(s) ds = J IJ w(t,T)w(s,r) dr j x(s)p(s) ds =
ti 'a '
ti
Положив r
P «2
= J w(tyr) dr J w(sfr)x(s)p(s)ds.
*3
u(t) = J w(sit)x(s)p(s)ds1 (9.36)
ti
приведем уравнение (9.33) к виду
J хv(t, т)и(т) dr =»'у(0-
a
§ 9.1. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРА 557
Подействовав на обе части этого уравнения оператором F и учиты¬
вая (9.31), получим
Р
J Ht6(t - r)ti(r) dr = Fy(t)
a
или, вычислив интегралы, содержащие 6-функции,
Ни = Fy. (9.37)
I
Это — линейное дифференциальное уравнение с неизвестной функ¬
цией u(f), которая связана с подлежащей определению функцией x(t)
формулой (9.36). Чтобы выразить x(t) через ti(J), введем интеграль¬
ный оператор W с ядром w(tf,s). Из (9.31), учитывая, что £(* — s)
представляет собой ядро единичного оператора, получаем для опе¬
ратора W формулу
W = F~lH, (9.38)
где F~l — обратный оператор по отношению к F, т.е. оператор
решения дифференциального уравнения Fx = у. Вспомнив, что ядро
сопряженного интегрального оператора W* представляет собой ту
же функцию w(tf,s)*c измененными ролями аргументов (пример 7.5),
можем переписать формулу (9.36) в виде
и — W*xp.
Но оператор, сопряженный с произведением операторов, равен про¬
изведению соответствующих сопряженных операторов, взятых в об¬
ратном порядке (теорема 7.1.5). Поэтому на основании (9.38) полу¬
чаем для и формулу
и = H*F*~1xp.
Из этой формулы, положив
z = F-lxp,
получаем дифференциальное уравнение для функции z{t)
H*z = и (9.39)
558 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
и формулу для решения уравнения (9.33)
х = F'z/p.
(9.40)
Таким образом, решение интегрального уравнения (9.33) сводится
в данном случае к интегрированию линейных дифференциальных
уравнений (9.37) и (9.39) и к применению формулы (9.40). Однако не
всякое решение уравнений (9.37) и (9.39) дает решение интегрально¬
го уравнения (9.33).
Чтобы найти условия, при которых решение уравнений (9.37),
(9.39) и формула (9.40) определяют решение интегрального уравне¬
ния (9.33), заметим, во-первых, что функция «(*), определяемая фор¬
мулой (9.36), не должна содержать 5-функции и их производные, хо¬
тя и может иметь разрывы первого рода. Но это может быть только
в том случае, когда решение x(t) уравнения (9.33) содержит лишь
производные 5-функций порядка не выше п — т — 1, так как в силу
(9.31) производная w[n~m\t, г) содержит 5-функцию и, следователь¬
но, функция u(t) содержала бы 5-функцию, если x(t) содержало бы
6(n~m)(t—r). Формула (9.40) показывает, что х(£) не будет содержать
производных 5-функции выше порядка п — т — 1 тогда и только то¬
гда, когда функция z(t) непрерывна вместе со своими производными
*'(*)>..., 2г(т“1)(<). Это дает условия
(при t < t\ и t > *2 естественно считать функцию y(t) и определя¬
емые уравнениями (9.37) и (9.39) функции u(t) и z(t) тождественно
равными нулю).
Во-вторых, чтобы обеспечить в (9.33) равенство интеграла в
заданных пределах правой части этого уравнения, необходимо про¬
должить функцию y(t) на интервал (c*,£i) таким образом, чтобы ре¬
шение x{t) уравнения (9.33) было равно нулю при t < t\. На основа¬
нии (9.40) для этого необходимо определить функцию z(t) в интер¬
вале (a,*i) уравнением
z(*2) = *'(*2) = '-- = *(m-1)(<2) = 0
(9.41)
(9.42)
П
г—1
§ 9.1. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРА
559
где z\(t)}..., zn(t) — любые линейно независимые решения уравне¬
ния (9.43). Подставив это выражение z(t) в уравнение (9.39), найдем
функцию ti(f) в интервале (<Mi):
п
«(о=52 сгиЛ*)> «г(о = H*zr(t).
Г-1
Подставив это выражение функции ti(£) в уравнение (9.37) и интегри¬
руя это уравнение, найдем продолжение функции y(t) на интервале
П
у(0 = 52°гуг(*)>
Г=1
где yr(t) — решение уравнения (9.37) при и = ur(t) (г = 1,...,п),
тождественно равное нулю при ur(t) = 0.
Чтобы найти уравнения для определения постоянных с\у..., сп
и тп постоянных интегрирования в решении уравнения (9.37) относи¬
тельно ti, заметим, что условия (9.41) обеспечивают непрерывность
функции z(t) и ее производных */(£),..., z(m~x\t) в точке t2. При
этом определяемая формулой (9.40) функция x(t) будет содержать
<$-функцию и ее производные до порядка п — m — 1 включительно
с носителем в точке t2. Чтобы и в точке t\ порядок производных
6-функции был не выше п — m — 1, естественно потребовать непре¬
рывности в точке t\ функции z(t)y определяемой уравнением (9.39) в
интервале (£1,^2) и уравнением (9.42) при t < $1, и ее производных
до порядка тп — 1 включительно:
п
z^k\ti) = 52cr4k4ti) (* = 0,l,...,m-l). (9.43)
Г=1 ^
Формула для решения z(t) уравнения (9.42), очевидно, опреде¬
ляет функцию z(t) в интервале (a, *i) как решение уравнения (9.39).
Однако это решение не совпадает с решением уравнения (9.39) при
граничных условиях (9.41). Чтобы найти решение уравнения (9.39) в
интервале (a,*i), удовлетворяющее условиям (9.41) при найденной
в интервале (a,*i) функции u(t)t необходимо продолжить функции
ur(J) (г = 1,..., п) на интервал pi, £2] путем интегрирования уравне¬
ния (9.37) при у = yr(t) в интервале (a,ti), у = 0 при t > t\. При
определении начальных значений tir(*i) необходимо учитывать, что
560 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
решение уравнения (9.37) относительно и содержит линейную ком¬
бинацию функций у(<), т/(<)>..., j/n”m)(<). Метод выделения этой ли¬
нейной комбинации изложен в [23, п. 1.3.5]. Эта линейная комбинация
обращается скачком в нуль при переходе через точку t\. Поэто¬
му соответствующие линейные комбинации функций yr(t), у£($),...
..., 2/гП”т^(0 определяют скачки функций ur(t) (г = 1,..., п) в точ¬
ке *i, а следовательно, и начальные значения ur(ti) для интегри¬
рования уравнения Ниг = 0 в интервале После нахождения
функций tir(f) интегрирование уравнения (9.39) дает
п
zW = 5ZcrCr(0 + 2o(0.
г-1
где Сг(0 (г = 1,..., п) — удовлетворяющие условиям (9.41) решения
уравнений H*(r = ur(t), zo(t) — удовлетворяющее условиям (9.41)
решение уравнения (9.39) при ti = 0 в интервале (<*,fi)> и = uo(t) в
интервале [<i, $2], а, мо(2) — решение уравнения (9.37), обращающееся
тождественно в нуль при у = 0. Начальное значение tio(*i) опреде¬
ляется так же, как и начальные значения ttr(*i)- Таким образом, мы
получаем два решения уравнения (9.39) в интервале (<Mi]. Для их
совпадения необходимо, чтобы эти два решения совпадали в точке
ti вместе со своими производными до порядка т — 1 включительно.
Это дает уравнения
^cr[4k)(«i)-C^)(<i)] = 4‘)(0 (fc = 0,1,..., m — 1). (9.44)
Г = 1
Наконец, из (9.37) и (9.39) ясно, что для обеспечения непрерыв¬
ности в точке t\ функций z(t)y z'(t)>..., z(n_1)(f) необходимо потребо¬
вать, чтобы функция y(t), заданная в интервале [*1,^2] и определяе¬
мая уравнениями (9.42), (9.39) и (9.37) при t < ti, была непрерывна
вместе со своими производными до порядка п — т — 1 включительно
в точке t\:
У(к)(<1) = 5>^>(<1) .(* = 0,1,...,П-Ш-1). (9.45)
Г = 1
Уравнения (9.43)—(9.45) представляют собой систему n + m ли¬
нейных алгебраических уравнений, определяющую постоянные
§ 9.1. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРА
561
Сь..., сг и т произвольных постоянных, возникающих при интегри¬
ровании уравнения (9.37) при t > t\. От этих постоянных зависит
функция z(t) в (9.43).
Определением всех неизвестных постоянных путем решения
уравнений (9.43)—(9.45) завершается решение уравнения (9.33).
Определяемое формулой (9.40) решение x(t) уравнения (9.33) со¬
держит линейную комбинацию j-функций и их производных
£ [Ль#ь\г-ь) + вк№ц-ь)]. (9.46)
*=0
Для определения коэффициентов Ak и В* можно воспользоваться
формулой, полученной в задаче 6.3.11:
Ли = "Е1 X>l)*+k+1^4V&(MA*(,)(<i).
h=m f=m
Bk = "if Е(-1)к+л+1С1а(Д-л'|1(<2)А^)(<2). (9.47)
Л=т /=т
Изложенный метод решения интегральных уравнений первого
рода разработан американским ученым Лэнингом. Здесь дано изло¬
жение этого метода с исправлением допущенной Лэнингом ошибки.
Пример 9.1. Решить уравнение (9.33) для случая р = 1, F = d\D +
-fa0» Я = 1. В ©том случае ядро уравнения (9.33) определяется формулой
K(t ! 91(*)Я2(s) при S < t,
’ l9l(«)92(<) при S > t,
где
’■(‘>=4-/^4 ,г(|)=,1(|)/.;(г)Дг)-
Чтобы убедиться в этом, достаточно проинтегрировать для данного случая
Уравнение (9.31) и вычислить lf(t,s) по формуле (9.30), учитывая, что
w(t,T) = 0 при Т > t. Наоборот, задав ядро уравнения (9.33) предыдущей
формулой, убеждаемся в том, что оно определяется формулой (9.30) и уравне¬
нием (9.31) при
~a'i$) = (9192 ~ 9i92)“1/2, a0(<) = -ai(<)9i/9i-
562 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Уравнения (9.39) и (9.37) в данном случае дают
u(<) = z(t) = an/(t) + a0y(t).
Уравнение (9.43) имеет вид
-aiz' + (a0 — a[)z = 0.
Проинтегрировав это уравнение, находим z(t) = c/ai(t)qi(t). Подставив это
выражение в уравнение (9.39), получим
ail/ + «оУ = c/ax(i)?i(<)-
Проинтегрировав это уравнение, находим у(£) — cqг(0# Лля определения
единственной постоянной С имеем одно уравнение (9.45): 3/(^1) — С?2(^1 )• От¬
сюда находим С = y(t 1)/^2(^1 )• Лля определения коэффициентов Aq и Bq
при 6-функциях по формулам (9.47) находим разрывы функции z{t) в точках
^1 и f2:
Дг(*х) = ai(<i)!/(<i) + ao(<i)y(*i) - l/(<i)/«г(<i)<*i(<i)«i(*i) =
= ei(<i)[!/(<i) - fla(<iM*i)/«2(*i)].
Дz(t2) = -ai(t2)j/(t2) - a0(t2)y(t2) = -oi(<i)[y'(<2) - «1 (<2)y(<2)/«i(<2)]•
После этого формулы (9.40), (9.46) и (9.47) дают решение уравнения (9.33):
*(*) - - 2ai(0ei(0»'(0 + (ao(*) ~ ao(0ai(0 “ во(Ов1 (<)]»(<)-
—ai(4i)ls^(#x) ~ “ <i)+
+a?(f2)[l/'(<2) - Qi(h)y(t2)/qi(h)]f>(t - h).
Полученные результаты показывают, что рассмотренные здесь
интегральные уравнения первого рода не имеют решения в про¬
странстве £2([а, Ч) ни при каких a, Ь > а, но имеют решение в про¬
странстве обобщенных функций.
Применим теперь изложенный метод для нахождения собствен¬
ных значений и собственных функций уравнения (9.34). Учитывая,
что уравнение (9.34) получается из (9.33) заменой функции y(t) функ¬
цией Ax(t), подставим в уравнение (9.37) выражение функции ti(t) из
§ 9.1. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРА
563
(9.39) и заменим в нем функцию y(t) функцией As(f). Тогда получим
для функции z(t) линейное дифференциальное уравнение
F{F'z!p{t)) - HH*z/\ = 0. (9.48)
Общее решение этого уравнения содержит 2п произвольных посто¬
янных. Еще п произвольных постоянных содержит решение уравне¬
ния (9.43), которое приходится решать при нахождении продолже¬
ния y(t) правой части интегрального уравнения на интервале (a, fi).
Для определения всех этих постоянных имеем условия отсутствия
j-функций и их производных в выражении (9.40) собственных функ¬
ций, из которых вытекают условия непрерывности функции z(t) и ее
производных до порядка п — 1 включительно на концах интервала
интегрирования в уравнении (9.34) к согласованное с ними условие
непрерывности в точке t\ функции, равной Az(t) в интервале (*1,^2)
и ее продолжению у(£) в соответствии с изложенным методом при
t < ti, и ее производных до порядка п — 1 включительно. Эти усло¬
вия дают систему однородных линейных алгебраических уравнений
2 п п
А) - = °.
Л=1 г=1
2п
Е^4*)(<2.А) = 0,
Л=1
^Е^хл‘)(<ьА)-Есгу(‘)(<1) = 0 (fc = 0,1,.. .,п — 1), (9.49)
Л=1 г=1
где *i(t, А),..,, Z2n(t> ^) — какие-нибудь линейно независимые реше¬
ния уравнения (9.48),
**(«, А) = F'zh{t> A)/p(t) (А = 1,..., 2п),
а z\(0> • •->*п(0> * »Уп(0 —\ те же функции, что и в (9.44) и
(9.45). Приравняв нулю определитель системы уравнений (9.49),
получим уравнение для собственных значений. После нахождения
собственных значений уравнения (9.49) определят для каждого соб¬
ственного значения все постоянные, кроме одной, которая опреде¬
лится из условия равенства единице нормы соответствующей соб¬
ственной функции x(t).
564
ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Пример 9.2. .Найти собственные значения и собственные функции
интегрального уравнения (9.34) с ядром примера 9.1.
Уравнение (9.48) имеет в данном случае вид
~ («о+aoai ~ a°ai ~ aiai ~ 1/А)г = °-
Его общее решение определяется формулой
z(t) = 7iZi(t, А) + 72*2(t, А),
где Z\(ty Л) и Z2(ty А) — какие-нибудь линейно независимые частные решения.
Формула (9.40) дает соответствующие функции
А) = —^[ai(t)zh(t, Л)] + a0(0*fc(*> А) (Л = 1,2)
и определяет собственную функцию
x(t) = 7i*i(t, А) + y2X2(t, А).
При t < 11 функции Z и у определяются, как и в примере 9.1, формулами
z(t) = c/ai(t)qi(t), y(t) = cq2(i).
Уравнения (9.49) для определения постоянных 71* 72 и с имеют вид
7i*i(<i,A) + 72Z2(<i,A)-c/ai(fi)g1(<i) = 0.
7l*l(*2. А) + 72*2^2, А) = 0,
A[7i*i(<i, А) + 72*2(<i, А)] - cq2(ti) = 0.
Приравняв нулю определитель этой системы уравнений, получим уравнение,
определяющее собственные значения 1
Д(А) =
*i(<i,A) *2(^1 > A) l/ai(<i)gi(<i)
*1(^21 A) *2(<2,A) О
Axi(fx,A) Xx2(ti, A) q2(ti)
= 0.
Определив собственные значения, выразим для каждого собственного значе¬
ния две из постоянных 71, 72, С через третью, которая потом определится из
условия равенства единице нормы соответствующей собственной функции.
§ 9.1. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРА
565
Пример 9.3. В частном случае примера 9.2, когда ао = —
где Ot — некоторая положительная постоянная,
9i(0 = 1/92(0 = е-"*
и ядро уравнения (9.34) выражается формулой
ЛГ(М) = е-а1‘-*1.
Уравнение (9.48) имеет вид
z" + (2а/А - a2)z = 0.
Интегрируя ото уравнение, находим его общее решение
z(t) = 7iefart + 7ie"fart,
после чего неизвестная функция x(t) определится формулой
1(0=-тЬг'(,)+\/1*(,)=+**$£'<*>
где Ы — yjla/x — Op. Уравнение для собственных значений при 11 = 0,
ti — T имеет вид
Д(Д) =
1 1 у/2а
eiuT е~'шТ 0
A(a — iw) A(a + iw) y/2a
= 0.
Раскрывал определитель, после элементарных преобразований получим урав¬
нение
<♦*>
Это уравнение определяет неограниченную возрастающую последователь¬
ность значений Ш = • • •• На рис.29 изображено графическое решение
этого уравнения для случая Ос = 7тп/4Т\ После нахождения решения урав¬
нения (**) соответствующее собственное значение \и определится формулой
Эта формула дает неограниченную убывающую последовательность собствен¬
ных значений. Система уравнений для 7l> 72 и с имеет вид
71 + 72 - у/2ас = 0, jie,wT + у2е шТ = 0,
566 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Х[(а - iw)y 1 + (а + - л/2ас = 0.
Второе из этих уравнений дает 72 — —7ie2,w^\ Подставив это выражение
в любое Из двух оставшихся уравнений, можем также выразить С через 7j.
Однако в этом нет необходимости, поскольку постоянная С является вспомога¬
тельной и в решение задачи непосредственно не входит. Подставив найденное
выражение 72 в формулу (*), произведя элементарные преобразования и опре¬
делив после этого 71 из условия нормирования, найдем собственные функции:
xv(t) = \J7*+'%" s*n[W|/ (* ~ y) ^ Tr] = 2, . . .).
Рис.29
Осталось показать, как изложенный метод применяется для ре¬
шения неоднородного интегрального уравнения второго рода (9.35).
Учитывая, что уравнение (9.35) получается из (9.33) заменой функ¬
ции y(t) функцией у(0 + ^*(0> совершенно так же, как в случае одно¬
родного уравнения (9.34), получаем для функции z(t) линейное диф¬
ференциальное уравнение
F(F*z/p(t)) - HH*z/\ = -Fy(t)/\. (9.50)
Общее решение этого уравнения определяется формулой
2 п
z(0 = $37fc*fc(M) + »(t,A), (9.51)
Ь=1
§ 9.1. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРА 567
где в дополнение к предыдущим обозначениям v(f, А) — частное ре¬
шение уравнения (9.50), обращающееся в тождественный нуль при
у{1) = 0. Чтобы найти это решение, достаточно интегрировать урав¬
нение (9.50) при начальных условиях z(t\) = z'(ti) = • • • = z^2n~l^(t\) =
= 0. Соответственно уравнения (9.49) заменятся уравнениями
2 n п
^2т[к)(Ь,А) - £сг4Ь)(<1) = 0,
Л=1 Г—1
2п
х;7лг^2,А)=-«(‘)о2>л),
Л=1
- £cry(fc)(<i) = -Au>(fc)(<i, А) {к = 0,1,.. .,п - 1),
h=l r=1
(9.52)
где ги(£,А) = F*v(t, \)/p(t). После решения этой системы алгебра¬
ических уравнений формулы (9.51) и (9.40) полностью определят
решение уравнения (9.35). Само собой разумеется, определитель
системы уравнений (9.52) должен быть отличен от нуля, т.е. А не
может быть собственным значением.
Пример 9.4. Решить уравнение (9.35) с ядром примера 9.1.
Уравнение (9.50) имеет в данном случае вид
тМш) - (a§ + a/0a1-aoai-a1ai'-|)z = -^[a1y'(0 + aoy(<)].
Его общее решение определяется формулой
z(t) = 71*1 (t, А) + Т2*2(<. А) + А),
где
Уравнения (9.52) имеют вид
7i*i(<i.A) + 72*2(<i,A)-c/ai(fi)gi(«i) = 0,
7l*l(<2. А) + 72*2(<2, А) = -»(*2, А),
568 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
A[7i®i(*i,A) + 72iC2(<i,A)] -cq2(h) = -Au»(<i,A),
где
iv(t, A) = —ai(t)v'(t, A) + [a0(t) - ai(<)]v(t, A).
После нахождения коэффициентов 7i, 72 и С формула (9.40) определит решение
уравнения (^.35)
ar(f) = yixi(t, А) + 72®2(<, А) + w(t, А).
Изложенный метод с несущественными изменениями распрост¬
раняется на системы интегральных уравнений. В этом случае функ¬
ции K(tys)y w(tyr) и коэффициенты а* и 6* операторных полиномов
F и Н представляют собой квадратные матрицы, а все постоянные
интегрирования и функции x(t), y(t)y z(t) и u(t) — векторы.
Самым трудным в применении изложенного метода является
установление принадлежности ядра уравнения классу ядер, пред¬
ставимых формулой (9.30) и уравнением (9.31). В задачах теории
управления и радиофизики формула (9.30) и уравнение (9.31) часто
получаются непосредственно из физического смысла задачи.
Широко распространенным классом ядер такого рода является
класс ядер, представляющих собой четные функции разности аргу¬
ментов K(ty 5) = к(т)у т = t — s, преобразования Фурье которых явля¬
ются рациональными функциями. Все такие ядра выражаются фор¬
мулами (9.30) и (9.31), причем коэффициенты а* и Ь* операторов F*h
Н постоянны. Поэтому решение изложенным методом интегральных
уравнений с такими ядрами сводится к интегрированию линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, что
дает возможность получать аналитическое решение задачи. При¬
ведем несколько типичных ядер, для которых известны уравнения
вида (9.31).
Ядру
к(т) = De~alrl(coswor+ 7sinuJo|r |), a,и о > 0,
соответствует дифференциальное уравнение (9.31) вида
w"(t, г) -f 2 aw'(ty т) + b2w(t,r) = у/2Ща^~ушо) [6'(* — г) + bi6(t — г)],
где Ь2 = а2 + Ь? = Ь2(а + уи;0)(а — 7Ы0)"1.
§ 9.1. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРА
569
Ядру
к(т) = De~alт 1(1 + /?| т |), а > О,
соответствует дифференциальное уравнение (9.31) вида
w"(ty г) + 2atv'(t, т) -f a2w(t, т) = V2D [ у/а — (3 6'(t — г)+
+aty/a + /36(t - г)].
Ядра этих двух типов при различных значениях числовых па¬
раметров часто встречаются в задачах практики.
В [23, пп.5.1.5—5.1.7] изложены некоторые методы нахождения
дифференциального уравнения (9.31) по данному ядру интегрально¬
го уравнения.
При применении ЭВМ для интегрирования дифференциальных
уравнений целесообразно приводить все дифференциальные урав¬
нения и системы дифференциальных уравнений к системам диффе¬
ренциальных уравнений первого порядка. Общий метод приведения
линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений вида
Ftj = Н£ с дифференциальным оператором в правой части к урав¬
нениям в форме Коши изложен в [23, п.1.3.4].
9.1.5. Интегральное представление оператора. Проанализи¬
руем полученное спектральное разложение (9.8) оператора А. Яс¬
но, что вектор (х, х*)х* представляет собой проекцию вектора х на
собственный вектор х*, т.е. на одномерное подпространство G* 0
Gjt-i, образованное вектором х*. Таким образом, формула (9.8)
представляет результат действия оператора А на вектор х в виде
суммы произведений собственных значений на проекции вектора х
на соответствующие собственные векторы оператора А. В случае
m-кратного собственного значения An = An+i = • • • = An+m_i сумма
представляет собой проекцию вектора х на соответствующее
m-мерное собственное подпространство. Поэтому если изменить
нумерацию собственных значений так, чтобы кратные собственные
значения не повторялись, то формулу (9.8) можно переписать в виде
п4-т— 1
/
оо
(9.53)
к=0
570
ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
где Р* — проектор на собственное подпространство, соответствую¬
щее собственному значению А*, Ро — проектор на ядро #«> = G^ -
= Нд оператора Ау а Ао = 0. На основании этой формулы оператор
А можно представить разложением по семейству проекторов {Р*}
оо
л4 = ]Ра*Р*. (9.54)
*=о
Естественно попытаться обобщить этот результат на более ши¬
рокий класс линейных операторов. Для этого заметим, что множе¬
ство проекторов {Рк} определяет на числовой прямой операторную
меру, т.е. меру со значениями в пространстве ограниченных линей¬
ных операторов В(Х). Действительно, определив значения опера¬
торной функции множества Е на любом борелевском множестве В
формулой
Е(В)= £ Рк, I (9.55)
{к:Хк€В}
на основании теорем 8.4.2—8.4.4 и 8.4.6 об ортопроекторах убежда¬
емся в том, что эта функция аддитивна и непрерывна (п.2.2.2), а
следовательно, по теореме 2.2.4 и (г-аддитивна на <г-алгебре боре¬
левских множеств числовой прямой R. Ее значение на любом мно¬
жестве В представляет собой проектор на ортогональную сумму
собственных подпространств, соответствующих всем собственным
значениям, принадлежещим В. В частности, E(R) представляет
собой проектор на все пространство X, т.е. единичный оператор,
E(R) = /, а Е( 0 ) представляет собой проектор в точку 0, Е( 0 ) = 0.
Таким образом, формула (9.55) при В = R определяет разложение
единичного оператора I на проекторы, соответствующие всем соб¬
ственным подпространствам оператора А. Поэтому операторная
мера Е обычно называется разложением единицы. Принимая во
внимание, что мера Е сосредоточена полностью на дискретном мно¬
жестве точек {А*} (она равна нулю на любом множестве, не содер¬
жащем ни одной из этих точек), можем переписать формулу (9.54) в
виде
оо
А= J tE(dt). (9.56)
— ОО
Эта формула указывает путь обобщения спектральной теории ли¬
нейных операторов. Рассматривая более общие операторные меры,
§ 9.1. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРА
571
надо сначала выявить класс операторов, представимых в виде ин¬
тегралов по операторной мере, а затем решить задачу нахождения
операторной меры, соответствующей данному оператору, через ко¬
торую этот оператор может быть выражен в форме интеграла.
9.1.6. Разложение единицы. Пусть (Д, Л) — произвольное
измеримое пространство. Определим на (т-алгебре А операторную
функцию множества Е(А), обладающую свойствами:
1) значение Е{А) на любом множестве А £ А представляет собой
проектор на некоторое подпространство Ga Н-пространства Х\
2) Я(0) = О, Я(Д) = J;
3) если А С В, А, В £ Ау то Е(А) < Е(В) (т.е. (Е(А)х,х) <
< (Е(В)хух) при всех х)\
4) для любых попарно непересекающихся множеств Ai,...
...>АпеА
E(\JAk)=j2E(A>')’
fc=1 k=l
т.е. функция Е(А) аддитивна;
5) Е(А)Е(В) = Е(В)Е(А) = Е(АВ) для любых At В 6 Л.
Операторная функция множества Е(А)} обладающая этими
свойствами, Называется разложением единицы.
На основании общих теорем 8.4.2—8.4.4 о проекторах второе
свойство разложения единицы означает, что Е( 0) представляет со¬
бой проектор в точку О, G0 = 0, а 2?(Д) — проектор на все про¬
странство Ху G& = X. Третье свойство означает, что Ga С Gb
для любых множеств А, В 6 Л, А С В. Четвертое свойство озна¬
чает, что подпространства Gax, • • •, £мп, соответствующие попарно
непересекающимся множествам А\,..., Ап 6 Л, ортогональны и под¬
пространство Ga, А = представляет собой ортогональную
к=1
сумму подпространств Gaj> • • • ^Ga*- В частности, отсюда следует
Ga Ф Ga = X и Е(А) + Е(А) = I для любого А £ А. Пятое свойство
означает, что Gab = Ga C\Gb для любых множеств Ау В £ А.
Из теоремы 8.4.6 о монотонныхчпоследовательностях проекто¬
ров вытекает непрерывность функции Е(А) (п.2.2.2) — для любой
монотонной последовательности множеств {Лп} С А, А = НшЛп,
lim^(An)x = Е{\\тАп)х = Е(А)х для всех х.
Из аддитивности и непрерывности разложения единицы в силу
теоремы 2.2.4 вытекает его (г-аддитивность.
572 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Таким образом, разложение единицы Е(А) представляет собой
операторную меру, т.е. меру со значениями в пространстве огра¬
ниченных линейных операторов В(Х).
Рассмотренное в п.9.1.5 разложение единицы, порожденное ком¬
пактным самосопряженным оператором А, получается в частном
случае, когда А представляет собой числовую прямую R с <т-алгеб-
рой борелевских множеств Л, a Gb — ортогональную сумму соб¬
ственных подпространств оператора А, соответствующих всем соб¬
ственным значениям, принадлежащим множеству В. Это разложе¬
ние единицы называется также спектральной мерой оператора А.
Естественно предположить, что не только компактный, но и лю¬
бой самосопряженный оператор порождает некоторое разложение
единицы — его спектральную меру, через которую он выражается
формулой (9.56). Доказательство этого факта и вытекающих из него
положений и составляет содержание спектральной теории линейных
операторов.
Операторной мере Е можно поставить в соответствие семейство
комплекснозначных мер
Иг,у(А) = (Е(А)Х> У)> (9.57)
соответствующих всем я, у 6 X. В частности, при у = х получаем
Семейство неотрицательных мер
рх(А) = (Е(А)х, х) = || Е(А)х ||2 . (9.58)
Все эти меры конечны, так как в силу второго свойства разложения
единицы /1Х|У(Д) = (ж, у), А) = ||х||2 и из тождества
(Рх, у) =, i{(Р(х + у),х + у)~ (Р(х -у),х- у)+
+ i(P(x + iy), х + iy) - i(P(x - iy), х - iy)},
справедливого для любого оператора Р и любых я, у Е X, следует
А»*,у(Л) = ^{fix+9(A) - fix-y(A) + inx+iy(A) - У(Л)}, А £ Л.
§ 9.1. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРА
573
ЗАДАЧИ
9.1.1. Доказать, что если А = О — не собственное значение компактного
самосопряженного оператора -Л, то А = 0 — точка непрерывного спектра А.
Указание. Достаточно, пользуясь формулой (9.17), доказать плотность
области определения обратного оператора Л"”1 в X.
9.1.2. Доказать, что любой компактный нормальный оператор Т (п.8.6.4)
имеет конечное или счетное множество собственных значений {Ап} и соответ¬
ствующую ортонормальную систему собственных векторов {хп} и для него
справедливо разложение (9.8):
оо
Тх = Yl \k(XyXk)Xk.
*=1
У казан.е. Воспользоваться очевидным равенством
т + т_т*
т- Y +* "2»' ”" ’
которое выражает любой оператор, действующий в Н-пространстве, через
самосопряженные операторы (Т + Т*)/2 и (T — T*)/2i. Из свойств нормаль¬
ного оператора ясно, что любой собственный вектор оператора Т является
собственным вектором операторов (Т-\-Т*)/2 и (Т — T*)/2i. Лля доказатель¬
ства предложенной теоремы достаточно показать, что операторы (Т-\-Т*)/2 и
(Т — Т*)/2г имеют одну и ту же ортонормальную систему собственных векто¬
ров. Пусть /i — собственное значение оператора (T.-\~T*)/2j S —(соответству¬
ющее Ш-мерное собственное подпространство. Из нормальности {оператора Т
следует, что операторы (Т + Т*)/2 и (Т — T*)/2i перестановочны. Отсюда
следует, что [(Г—-T*)/2i]x Е S для любого вектора X Е S. Поэтому решение
уравнения [(Т — T*)/2i]x = VX следует искать в виде
га
* = £ cwu
i=i
где {j/i, . . . ,2/т} — любой ортонормальный базис в 5. В результате найдем
Ш собственных значений 1/ц, . .. , l/m оператора (Т — T*)/2i и соответствую¬
щие ортонормальные собственные векторы Х\9 . .. , Хт, которые будут и соб¬
ственными векторами оператора (Т+T*)/2t соответствующими собственному
значению Ц.
574 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
9.1.3. Доказать, что для компактного нормального оператора Т справед¬
ливы формулы (9.13)—(9.15) для решения уравнения
Тх — Ах = у,
резольвенты R\ и ее нормы и формула (9.17) для решения уравнения первого
рода Тх = у.
9.1.4. Доказать, что если А = 0 — не собственное значение компактного
нормального оператора Т, то А = 0 — точка непрерывного спектра Т.
9.1.5. Доказать, что для любых перестановочных самосопряженных опе¬
раторов А и В оператор Т = А + iB нормален.
9.1.6. Доказать, что любые два перестановочных компактных самосопря¬
женных оператора имеют одну и ту же ортонормальную систему собственных
векторов.
9.1.7. Решить интегральные уравнения (9.33), (9.34) и (9.35) для ядер
K(t, s) = De~aI I cos w0(< — s), a> 0,
K(t,s) = De-el,-*l[coswo(f — «) + 7sinwoH — s|], a > 0,
K(t, s) = De~a• *"» 1(1 + «I t - s I), a > 0,
K(t,s) = .De-®!*-* 1(1 — a|< — sI), a > 0,
K(t,s) = De-°'l<-‘l(l + /0|<-s|), a > 0.
9.1.8. Решить интегральные уравнения (9.33), (9.34) и (9.35) для случая
F = D2 + 2aD + 62, Я = kt*{D + 6), y(t) = eat, 0 < a < 6. В етом случае
(докажите)
гu(t, г) - 2^с_а* + °ir[(& “ ai + iwo)e‘u'o(*-T)-
—(6 — ai — %ио)е~ш°(*~т)], &о = Vb2 — а2, а\ = а + у
и формула (9.30) дает (докажите, приняв = — ОО)
K(i,s) = £>ехр{—a| t — s | -f 27min(t, s)}[cosu>o(* — s) + i/sinu>o| t — s |],
где постоянные D > 0 и 1/ выражаются через a, 6, ку у.
§ 9.2. ОПЕРАТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЕМ ЕДИНИЦЫ 575
§ 9.2. Операторы, определяемые разложением единицы
9.2.1. Интеграл по операторной мере от простой функции.
Интеграл по операторной мере от простой функции определяется
совершенно так же, как в п.3.3.1, так как в формулах (3.16) и (3.17)
безразлично, является ли простая функция / функцией со значени¬
ями в линейном пространстве, а мера р числовой или наоборот,
функция / числовой, а мера /i имеет* значения в линейном простран¬
стве.
Пусть
г>
¥>(*) = (959)
* = 1
где ai,..., ап — любые комплексные числа, а А\у..., Ап — любые
попарно непересекающиеся измеримые множества.
В соответствии с общим определением п*3.3.1 интеграл от про¬
стой функции (p(t) по операторной мере Е по множеству А £ Л опре¬
деляется формулой
[ <p(t)E(dt) = [<pdE = £ акЕ(ААк). (9.60)
л л *=»
В частности, интеграл по всему пространству А получается при
А = Д и пишется без указания области интегрирования,
[ <p(t)E(dt) = f <р dE = ^2 акЕ(Ак). (9.61)
J J к-1
Очевидно, что интеграл (9.61) представляет собой линейный
оператор •
т= I <pdE = Y/akE(Ak).
J Jk = l
(9.62)
Вследствие свойства проекторов и разложения единицы при лю¬
бом х
п
||Т*||2= £ акан(Е(Ак)х,Е(Ан)х) =
k,h=1
п п
= Ok^h(E(AkAh)x, х) = £ I а* \2Цх(Ак)
k,h=l к=1
576 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
ИЛИ
||Г*||2= J\<p\2d»x. (9.63)
Отсюда, положив с = max{v?(*)} — тах{|а*|}, получаем || Тх ||2<
< с2 ||х||2. Таким образом, оператор Т ограничен.
Далее, так как
п п п
(Тх,у) = ^2ак(Е(Ак)х,у) = ^2°к(х, Е(Ак)у) = (х,^2акЕ(Ак)у),
fc=l к=1 к=1
то сопряженный оператор Т* определяется формулой
п
Т* = ^акЕ(Ак) =
к=1
Таким образом, разложение единицы Е ставит в соответствие
любой простой функции <p(t) ограниченный линейный оператор Т и
соответствующий сопряженный оператор Т*, определяемые форму¬
лами (9.62) и (9.64).
9.2.2. Интеграл по операторной мере от измеримой функ¬
ции. Пусть теперь <p(t) — произвольная измеримая (относитель¬
но Л и (т-алгебры борелевских множеств комплексной плоскости)
функция. Видоизменив соответствующим образом прием п.3.1.4, по¬
строим последовательность простых функций {^п(0)> сходящуюся
к <p(t). Для этого введем множества Вп = {< : | <p(t) | < n} (n = 1,2,...)
и возьмем произвольную последовательность положительных чисел
{€nh сходящуюся к нулю. Покроем круг Сп = {z • | z | < п} комплекс¬
ной плоскости кругами радиуса еп и обозначим их число через Nn,
а их центры через aj. Очевидно, что все точки aj можно взять вну¬
три круга Сп или на его границе, | aj | < п. Определив дЛя каждого
п множества
*»= О :|Р(«)-«*!<«»} (k = l,...,Nn),
АЧ = BnF?, Л2 = BnF? Г\П (к = 2,..., Nn),
m—1
построим простые функции
y>n(0 = Ea?4(<)-
к = 1
/
<pdE.
(9.64)
§ 9.2. ОПЕРАТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЕМ ЕДИНИЦЫ 577
Очевидно, что
| <pn(t) — <£>(t) I < еп при всех t G [ М£ = ВПу (9.65)
и при любом ty при котором | (p(t) | < оо, последовательность {v?n(0)
сходится к v?(0> причем эта сходимость равнрмерна на любом мно¬
жестве Вт. Кроме того, | <pn(t) | < п при всех t и <pn(t) = 0 при t £ Вп.
Положив Тп = f (рп dE, получим последовательность ограничен¬
ных линейных операторов {Тп}. По теореме 3.7.5 для любого я, для
которого
т.е. <p(t) Е L2(A)A}fix), последовательность {v?n(0} сходится к <p(t)
и в среднем квадратическом,
так как все функции (pn(t) в силу (9.65) ограничены по модулю функ¬
цией <p(t) + £i, принадлежащей 1,2(АУАУ fix)- Следовательно, после¬
довательность {(pn(t)} фундаментальна в среднем квадратическом,
и для любого ж, удовлетворяющего условию (9.66),
Таким образом, для любого я, удовлетворяющего условию (9.66),
последовательность {Тпх} фундаментальна. В силу полноты
Я-пространства она сходится к некоторому пределу (конечно, за¬
висящему от х): limТпх = Тх. Следовательно, последовательность
операторов {Тп} сходится к некоторому линейному оператору Т.
Этот оператор естественно назвать интегралом от функции <p(t) по
операторной мере Е:
Областью определения Дг оператора Т служит множество векторов
х, удовлетворяющих условию (9.66):
(9,66)
Тшх\ 1= [J |v>n-^m|2d/ix]1/2=|kn-y-m||2-0
при п,тп—*
00.
(9.67)
(9.68)
578 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Теорема 9.2.1. Интеграл по операторной мере не зависит от
выбора последовательности простых функций, сходящейся к <p(t).
> Действительно, если {^п(0} — любая другая последователь¬
ность простых функций, сходящаяся к ^>(<)> Т„ = / фп dE, Т* = ИтТ^,
то в силу теоремы 3.7.5 {^п(0) также сходится к <p(t) в Ь2(А,Ауцх)
при любом х £ Dt. Следовательно, при любом х Е Dt
|| Т'х -Тх || = lim || Гпх - Тпх || = lim || фп - <рп ||2 <
< lim{||V>n -<p\\i + ||v>n-¥>l|2} = 0. <
Заметим, что на основании (9.63)
||Tx||2 = lim||Tnx||2 = lim J \<рп\2йцх = J \<p\2d/is.
Таким образом, формула (9.63) справедлива и для любой измеримой
функции <p(t).
Точно так же получаем для любого х £ Dt и любого у
(Тх,у) = lim(T„x, у) = lim J <pn(t)(E(dt)x,y) =
= J v{t){E{dt)xty) = J y(dt). (9.69)
Теорема 9.2.2. Оператор T, определяемый разложением едини¬
цы Е, ограничен тогда и только тогда, когда функция <p(t) ограничена
почти всюду относительно меры Е, т.е. когда существует такое
число с> 0, что E({t : \ <p(t) | > с}) = 0.
> В случае ограниченной почти всюду относительно Е функции
^(0) МО I < с> из (9.63) следует || Тх \\< с \\ х ||. Таким образом,
ограниченной функции <p(t) соответствует ограниченный линейный
оператор, определяемый формулой (9.67).
Наоборот, если оператор Г, определяемый формулой (9.67), ог¬
раничен, то функция <p(t) ограничена (за исключением, может быть,
множества точек t нулевой меры Е). Действительно, если <p{t) не
ограничена, то множество Вп = {t : | <p(t) | > п} имеет отличную
от нуля меру Е при любом п, Е(Вп) ф 0. Взяв в каждом подпро¬
странстве Ggn точку хП1 получим Е(Вп)хп = хп и, следовательно,
§ 9.2. ОПЕРАТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЕМ ЕДИНИЦЫ
579
Цхп(А) = О для ЛК)бого множества А £ *4, не пересекающегося с Вп.
Поэтому
Следовательно, оператор Т не может быть ограниченным, если фун¬
кция <p(t) не ограничена. <
Следствие. Если оператор Т, определяемый формулой (9.67), ог¬
раничен, то он определен на всем пространстве X. Это следует
непосредственно из (9.68).
Формула
вытекающая из (9.67), определяет элемент Тх Я-пространства X
как интеграл от числовой функции <p(t) по мере Е(А)х со значения¬
ми в том же Я-пространстве X. Однако этот интеграл не существу¬
ет как интеграл по мере со значениями в Я-пространстве в смысле
п.3.3.9, так как полная вариация меры Е(А)х бесконечна на любом
множестве А £ Л. Поэтому нам пришлось дать определение инте¬
грала по операторной мере, независимое от теории п.3.3.9.
Полученные результаты показывают, что в случае ограничен¬
ной почти всюду относительно Е функции <p(t), когда оператор, оп¬
ределяемый формулой (9.67), ограничен, интеграл в (9.67) существу¬
ет как предел последовательности интегралов от простых функций
в сильной и в слабой топологиях пространства В(Х). В случае же
неограниченной функции (p(t) существует лишь интеграл (9.70) при
каждом х £ Dt как сильный предел последовательности интегралов
от простых функций в топологии Я-пространства X.
9.2.3. Сопряженный оператор. Установим условие существо¬
вания оператора Т*, сопряженного с оператором Т, определяемым
формулой (9.67), и найдем его.
Теорема 9.2.3. Оператор, сопряженный с оператором Т, опреде¬
ляемым разложением единицы, существует тогда и только тогда,
когда функция <p(t) почти всюду конечна относительно меры Еу
> Чтобы оператор Т имел сопряженный Т*, необходимо и до¬
статочно, чтобы его область определения Dt была плотной в про¬
странстве X (теорема 7.1.7). Для этого необходимо и достаточно,
||Tin||2= j\<р\= J M2d/i*„>n2 Il*n||2
(9.70)
lim E({t : \ <p(t) | > n}) = 0.
(9.71)
580 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
чтобы функция (p(t) была почти всюду конечна относительно опера¬
торной меры Е. В самом деле, если условие (9.71) выполнено, то,
положив В = \jBn = lim£п, будем иметь G$ = 0 и Gb = X. В силу
непрерывности Е при любом х и любом е > 0 можно найти такое
натуральное п, что
IIх - Е(Вп)хII = \\Е(В)х - Е(Вп)х II < е.
Положив у = Е(Вп)х, получим ру(А) = 0 для любого множества
А С Вп и
j\<p\2dfiy = J | <р |2d/iv < п2 ||у||2<оо.
вп
Таким образом, в любой окрестности любого вектора х существуют
векторы у Е Dt- Следовательно, Dt плотно в X и условие (9.71)
достаточно. Бели условие (9.71) не выполнено, то Gg ф {0} и для
любого х, для которого Е(В)х ф 0,
J \<p\2ty* > J \<p\2dpx > п2 \\Е(В)х\\2 при любом п,
В
т.е. f | (р |2 dpx = оо и, следовательно, х £ Dt. Поэтому если у Е Dt,
то Е(В)у = 0 и || х — у || > || Е(В)х ||. Следовательно, Dt не может
быть плотной в X и сопряженный оператор не существует. Это
доказывает необходимость условия (9.71). <
Теорема 9.2.4. Если функция (p(t) измерима и почти всюду ко¬
нечна относительно Е, то существует сопряжемный оператор Т*,
определяемый формулой
г* = J rft)E(dt) = J <pdE. (9.72)
> Существование сопряженного оператора Т* следует из тео¬
ремы 9.2.3. Чтобы вывести формулу (9.72), заметим, что последо¬
вательность простых функций (V>n(*)}, сходящаяся к <p(t)y определя¬
ет, наряду с последовательностью ограниченных линейных операто¬
ров {Тп}, последовательность сопряженных операторов {Т£}, Т* =
= f <рп dE, сходящуюся на Dt к оператору S = f (pdE, = lim7^ я
при х Е Dt. При этом для любых х, у Е -Dt
(Тх,у) = Нт(Т„*, у) = lim(a;, Т*у) = (z,5y).
§ 9.2, ОПЕРАТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЕМ ЕДИНИЦЫ
581
Следовательно, Sy = Т*у при у Е Дг- Это значит, что Dt С Dt*-
Чтобы доказать равенство S = Т*} остается показать, что Dt* = Дг-
Для этого возьмем произвольное z £ Dt* - Положив хп = T*zy будем
иметь
Я(Л)*П =
Р*»,у(л) = = J ^*(dEz,y) = (9.73)
А А
В частности, при у = z получаем
Рхя,г(А) = (Е(А)хп,г) = J#*(dEz,z) = J ^ dfiz (9.74)
А А
и
t*z,*n(A) = (E(A)z,xn) = (z,E(A)xn) = j<рп duz. (9.75)
A
Таким образом, функции ЦХп,г и fiz,xn /i*-непрерывны и их производ¬
ные Радона — Никодима по мере цг равны соответственно <pn(t) и
<pn(t) (п.3.6.1 и п.3.6.3). Поэтому, положив в (9.73) у = жп, на основа¬
нии правила (3.82) замены меры в интеграле получим
Р*п(А) = (Е(А)хп,хп) = J р*dfit>Xn =
А
-Jr&b-fvr*.
А А
И
j I Ч> I2 <*/**» = J IV I2 <*/** = J I Wn I2 •
Отсюда, учитывал, что <рп = 0 на Множестве Вп и | |, | <рп | < тг на
£п, получаем
/ М* = j\<Р?\<Рп \2 dfiz < п4 ||г||2< оо.
вп
Nn .
У^а^Е(А^А)г= r^dEz, А € Л,
582 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Таким образом, хп Е Dt при всех п. Поэтому
(*п,Т z) = (ТхП} z) = J (pdfiXntZ.
Заменив меру ЦхП)г ее выражением (9.74), будем иметь
(xn,T*z) = J j |у?п| 2dfi, + J\<p - v?")^5r dftt.
Отсюда, пользуясь формулой (9.63) и снова учитывая, что <рп = О
на Вп, находим
(xn,T*z) = ||х„||2 + J(<p-<pn)?*diiz. (9.76)
вп
Функции (р и (рпу очевидно, принадлежат пространству Х2(Яп,-Вп-4,
fiz)y причем нормы функций ^>-^пи/в Ь2(ВП} ВпА, fiz) на основа¬
нии (9.65) и (9.63) удовлетворяют соотношениям
\\<Р~<Рп III = /\<Р-<Рп ?dpz<el\\E{Bn)z\\2<el ||z||2,
Bn
\Wn II2 = / k"|2^ = / |у>П|2^=|Ю||2 = ||хп||2
Bn
Поэтому-из неравенства Гельдера (3,92) вытекает
| J(<P-<pnWdfit | <||V? — 1Ь||¥>”Ц2< IMI||*n|| •
Bn
Таким образом, из (9.76) следует
11Ы12 -|(*п,Г**)|| < I IIa:nII2 -(*„,7-*)| < e„ \\z\\\\x„\\ .
Отсюда, принимая во внимание, что | (xn,T*z) | < ||яп || ||Тфг||, нахо¬
дим
Н*»11а<11*п||||Г**||+е„ |М|||*„||
или
IMI<l|T*z|l +«»11*11-
§ 9.2. ОПЕРАТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЕМ ЕДИНИЦЫ 583
Учитывая, что еп <£\ < 2ei, и положив с = \\T*z\\ + 2ei|| z\\, получаем
||*n|| < с и
Таким образом, любой вектор z Е Дг* удовлетворяет условию
(9.66), т.е. принадлежит Dt- Поэтому Dt* С Dt- В соединении
с ранее полученным включением Dt С Dt* это дает Dt* = Dt, что
и доказывает равенство S = limT* = Т*, а вместе с ним и формулу
Из доказанной теоремы по симметрии следует S* = Т** = Т.
Отсюда на основании теоремы 7.1.8 заключаем, что оператор Т за¬
мкнут. Таким образом, все операторы с плотной областью опреде¬
ления, порождаемые разложением единицы, являются замкнутыми
операторами.
Итак, разложение единицы Е ставит в соответствие измеримой
почти всюду относительно Е конечной функции (p(t) замкнутый ли¬
нейный оператор Г и соответствующий сопряженный оператор Г*,
определяемые формулами
9.2.4. Коммутативность операторов. Интеграл по оператор¬
ной мере представляет собой линейный оператор. Таким образом,
разложение единицы определяет множество линейных операторов в
Я-пространстве. Изучим свойства этих операторов.
Теорема 9.2.5. Любой оператор, определяемый разложением еди¬
ницы, коммутирует с этим разложением единицы.
> Если (p(t) — простая функция и Т = f (pdE, то вследствие
пятого свойства разложения единицы для любого х
11*п||2=11Гп*Ц2= JI ¥>"№/** < с2 при всех п.
Следовательно,
JI <Р 1= <рп 1< с2
с < оо.
(9.72). <
584 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Для любой измеримой функции <p(t), определив сходящуюся к ней
последовательность простых функций {^п(01 и соответствующие
операторы Тп = f <рп dE> получим вследствие ограниченности Е(Л)
для любого х € Dt и любого А € А
Е(А)Тх = E(A)limTnx = lim Е(А)Тпх = lim J <pndEx = j <pdEx,
A A
Т77(Л)х = limTnE(A)x = lim J <pndEx — J (pdEx.
A A
Областью определения этих операторных функций множества на
основании (9.68) служит Dt. Это и доказывает, что
ТЕ{А) = Е(А)Т = J <pdE. < (9.77)
Возьмем теперь две измеримые функции (p(t) и ^>(<) и соответ¬
ствующие им операторы
Т = J <pdE, S = J $dE.
Теорема 9.2.6. Операторы Т и S, определяемые одним и тПем же
разложением единицы Е, коммутативны на пересечении областей
определения операторов ST и TS.
> Пусть {<pn(t)} и {фп(г)} — последовательности простых функ¬
ций,/сходящиеся соответственно к <p(t) и ф(1),
Тп = J <рп dE, Sn = J фп dE.
Очевидно, что
TnS„ = SnTu = J <рпфп dE.
Последовательность этих операторов определяет оператор
§ 9.2. ОПЕРАТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЕМ ЕДИНИЦЫ 585
с областью определения
Dq = {x:J | <рф \2djix < 00}.
Произведение операторов ST имеет область определения
Ast = {х : х £ Dt, Тх £ Ds} =
= ix: J < °°’ / < °°}-
Легко понять, что Dst С Dq. Действительно, из (9.77) следует для
любых А, В £ А
цтЛА)=\\Е(А)Тх\\2= (Е(А)ТхуТх) =
= j vmw)* уТх) = J (pdnxTxj
А А
= (Е(В)х,Тх) = (Е(В)Тх,х) = Jq>dfix..
в
Выполнив замену меры в первом интеграле (п.З.б.З), получим
РТг(Л) = j<p~j£-d(ix = J \<p\2dfix. (9.78)
A A
Следовательно,
j\i>\2dfiTx = J l^|2^p^r = J \<рф\ 2dfix. (9.79)
Эта формула показывает, что если х £ Dst, то х Е .Dq, т.е. С
С Dq.
Далее, для любого х £ и любого у
(STx,y) = j ip(dETx,y) = J ll>dliTx,y
Но согласно (9.77)
t*Tx,y(A) = (Е(А)Тх>У) = J<p(dEx,y) = j <pdfix>y.
586
ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Следовательно,
(STx,у) = JФ dj*X'y fyx.v = J<РФd(ix,у = (Qx,у)
или (STx — Qx, у) = 0 для любого х G Dst и любого у. Таким обра¬
зом, STx = Qx при всех х 6 Dst• Это значит, что оператор ST явля¬
ется сужением Q на Dst • По симметрии заключаем, что Dts С Dq
и TSx = Qx при всех х € Дг5, т.е. оператор TS является сужением
Q на Dts* Следовательно, на пересечении Dst Dts операторы ST и
TS совпадают с Q, ST = TS = Q. <
В частном случае ограниченной функции ^(0 оператор S огра¬
ничен и из предыдущих выкладок следует, что Dst = Dt С Dq,
Дг5 = Дг С -Dq. Таким образом, если хотя бы один из операторов
Г и 5 ограничен, то при всех х G Дг
т.е. операторы Ги5 коммутативны.
9.2.5. Нормальные операторы. Рассмотрим теперь случай
почти всюду относительно Е конечной функции <p(t) и положим
= <p(t) и, следовательно, S = Г*. По теореме 9.2.6 операторы
ТТ* иГТ являются сужениями оператора
Теорема 9.2.7. Операторы Т и Т* коммутативны и ТТ* = Т*Т =
= А
> Достаточно показать, что Dtt• = Дгт = А** Но это непо¬
средственно вытекает из неравенства (3.89) при г = 2, р = q = 4,
согласно которому
STx = TSx =
J <рф dEx = J (p(t)ij>(t)E(dt)x, (9.80)
имеющего область определения
J W?dn* < 1(Д)IM*dp. =||«|| J/ Ы4 <*/**•
§ 9.2. ОПЕРАТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЕМ ЕДИНИЦЫ 587
Из этого неравенства и формулы (9.79) при ip(t) = (p(t) следует, что
если х £ Da, то х £ Dt и Тх £ Dt = Dt•, т.е. х £ Dt*t• Это
значит, что Da С Дгт и, следовательно, Dt*t = Da• По симметрии
Таким образом, любой оператор, определяемый разложением
единицы, коммутативен со своим сопряженным, т.е. является нор¬
мальным (п.8.6.4).
Из теоремы 9.2.7 следует, что все операторы, с плотной обла¬
стью определения, определяемые разложением единицы, относятся
к классу нормальных операторов.
9.2.6. Обратный оператор. Установим теперь условия, при
которых оператор Т, определяемый разложением единицы, имеет
обратный Т”1.
Теорема 9.2.8. Для того чтобы оператор Т} определяемый разло¬
жением единицы, имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы
функции (p(t) и 1 f<p(t) были почти всюду конечны относительно опе¬
раторной м$ры Е. В этом случае
> Бели Т”1 существует, то Тх = 0 только при х = 0. Но из
Тх = 0 на основании формулы (9.63) следует f\<p\2djix = 0, т.е.
Hx({t * р(0 ф 0}) = 0 и E({t : (p(t) ф 0})ж = 0. Этому условию
удовлетворяет любой вектор х £ G{t:v>(i)=o}- Следовательно, если
Тх = 0 только при х = 0, то G{t:tp(t)=o} = {0}* Отсюда вследствие
непрерывности разложения единицы вытекает
Таким образом, функция 1 /<p(t) почти всюду конечна относительно
Е и, следовательно, существует оператор
Dtt* — Da • <
/
ад : 0(0 = 0}) = „Inn E({l: > »}) = 0.
с плотной областью определения
588
ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Докажем, что 5 = Т г. На основании теоремы 9.2.6
TSx = j ч> ^ = J dEx — х
для любого х £ Dts• Поэтому достаточно показать, что Ds = Rt =
2= Dt>- \ , Rs — Dt — Rt-i- Возьмем любой вектор у £ Rt. Ему
соответствует такой вектор х £ Dt, что у = Тх. Из (9.78) следует,
что
= Мтг(Л) = j\<p\2dpx-
А
Поэтому
т.е. у £ Ds. Значит, Rt С Д$. Наоборот, для любого вектора
у £ Ds, положив х = Sy, имеем в силу (9.78)
цх(А) = „3у(А) = j &L
А
И7 следовательно,
J\'P?dnt = j\<p\2^dfiy = Jdfiy =||y||2< oo,
т.е. x = Sy € Dt. Это значит, что у Е Dts и Тх = TSy = у. Таким
образом, из у Е следует у Е Rt, т.е. £>5 С Лт- Из получен¬
ных противоположных включений следует, что D5 = Rt. Попутно
доказано, что Rs С Dt. А так как у = Тх £ Rt = для любого
х Е Dt, вследствие чего Sy = STx = х, то Dt С Я5 и, следовательно,
Rs — Dt.
Применив те же рассуждения,* оператору S = Т"1, приходим к
выводу, что функция <p(t) почти всюду конечна относительно Е.
Наоборот, если функции <p(t)ju 1 /<p(t) почти всюду конечны отно¬
сительно Е, то из предыдущих рассуждений следует, что оператор
Т имеет обратный Т”1 = S. <
Следствие. Резольвента R\ оператора Т с плотной областью
определения, определяемого разложением единицыг выражается
формулой
= <ми
§ 9.2. ОПЕРАТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЕМ ЕДИНИЦЫ
589
> Действительно, так как
Т — XI = I <pdE — XI = (<p-X)dE,
то из доказанной теоремы вытекает (9.81). <
9,2.7. Спектр. Исследуем теперь спектр оператора, определя¬
емого разложением единицы.
Теорема 9.2.9. А является собственным значением оператора Т,
определяемого разложением единицы, тогда и только тогда, когда
ф {0}. В этом случае G{*:v,(t)=A} является соответству¬
ющим собственным подпространством.
> Если А — собственное значение Тих — соответствующий
собственный вектор, то Тх = Ах и, следовательно,
Следовательно, х е <3{«:^(«)=А} и G{<:v(<)=A} Ф {0}, E({t : <p(t) = А}) ф
Ф 0. Наоборот, если G{t:v?(*)=A} ф {0}, то для любого вектора
х € G{t;v,(t)=A} справедлива формула (9.82) и ни для какого х £
£ она не может быть справедливой. <
Теорема 9.2.10. А является регулярной точкой оператора Т, оп¬
ределяемого разложением единицы, тогда и только тогда, когда су¬
ществует такое е > 0, что C?{t:|^(t)—л|<е} = {0}.
> Если А — регулярная точка Т, то резольвента R\ ограничена
и определена на всем пространстве X. На основании формулы (9.81)
и теоремы 9.2.2 в этом случае функция [у?(^) — А]~1 ограничена почти
всюду относительно Е} т.е. существует такое е > 0, что E({t : | <p(t) —
-А| < г}) = 0, G{t:|v,(t)_A|<e} = {0}. Наоборот, если существует та-
кое£ > 0, что С{*;|у,(*)_А|<е} = {0}, то функция [^(£) — А]-1 ограничена
и формула (9.81) определяет на всем пространстве X ограниченный
оператор R\ = (Т — А/)”1. Следовательно, А — регулярная то*чка. <
Тх — Ах = I (р dEx - Ах = I (<р — A) dEx — 0.
Формула (9.63) показывает, что в этом случае
и, значит,
М{<: Ж) # А}) = || E({t: <p{t) ф А})* ||2 = 0. (9.82)
590 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Следствие. А является тонкой спектра оператора Т, определя¬
емого разложением единицы, отличной от собственных значений,
тогда и только тогда, когда = {0} и G{t:|^m-A|<c} Ф {0}
при любом е > 0. При этом если функция [(p(t) — А]~* почти всю¬
ду конечна относительно Еу то согласно теореме 9.2.3 и формуле
(9.81) область определения резольвенты R\, совпадающая с областью
значений Дт(А) оператора Т — XI, плотна в X и X является точ¬
кой непрерывного спектра. В противном случае X является точкой
дискретного спектра.
Мы видим, что при данной функции (p(t) разложение единицы
полностью определяет спектр оператора Г, порождаемого этим раз¬
ложением единицы.
9.2.8. Канонические формы операторов, определяемых раз¬
ложением единицы. На основании теоремы 9.2.4 для любой дей¬
ствительной измеримой почти всюду конечной относительно Е фун¬
кции <p(t) разложение единицы Е определяет самосопряженный опе¬
ратор
Сделав замену переменных s = <p(t), определим на <т-алгебре В боре¬
левских множеств числовой прямой R разложение единицы F(B) =
= Е(<р~г(В))у В € В. При этом формула, определяющая оператор Л,
принимает вид
Таким образом, любой самосопряженный оператор А, опреде¬
ляемый разложением единицы, приводится к виду (9.83). Поэтому
формула (9.83) дает каноническую форму самосопряженного опера¬
тора, определяемого разложением единицы.
В частном случае ограниченного оператора А все значения А,
для которых | А | > || А ||, на основании теоремы 7.3.4 являются ре¬
гулярными точками. Поэтому вследствие теоремы 9.2.10 разложе¬
ние единицы F отлично от нуля только в конечном интервале (а, 6),
а = inf<p(J), b = sup<p(t), а > — || А ||, Ъ < || А91| и формула (9.83)
принимает вид
00
(9.83)
— ОО
§ 9.2. ОПЕРАТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЕМ ЕДИНИЦЫ
591
Бели оператор, определяемый разложением единицы, унитарен,
Т = U, то на основании теоремы 7.3.9 его спектр целиком лежит на
единичной окружности комплексной плоскости. А так как у лю¬
бой регулярной точки А существует окрестность, прообраз которой
{*: I ^(0 ~ ^ I < с} имеет нулевую операторную меру Е, то Ga = {0}
и Е(А) = 0 для любого множества А Е А, не пересекающегося с
{t : | <p(t) | = 1}. Таким образом, | (p(t) | = 1 почти всюду относитель¬
но Е. Вследствие этого можно положить (p(t) = ев^*), где t) —
измеримая действительная функция. Тогда унитарный оператор 17,
определяемый разложением единицы, выразится формулой
U = J е4**>Е(А) = j е'* dE.
Легко видеть, что и наоборот, любой оператор, определяемый этой
формулой, унитарен. Действительно, из (9.63) следует, что для лю¬
бого х
\\Uxf= J | |2 d/ix = /1г(А) = Ц ж ||2 .
Далее, так как функции и еконечны, то существует обрат¬
ный оператор
U'1 = J e-Wi'>E(dt) = J e-^dE.
А так как он определен на всем пространстве X, то Ru = X. Та¬
ким образом, оператор U отображает X на все пространство X с
сохранением нормы. Следовательно, он унитарен.
Сделав замену переменных 8 = определим на <г-алгебре В
борелевских множеств числовой оси разложение единицы F(B) =
= Е(ф'‘1(В))} В Е В. При этом формула, определяющая оператор
U, примет вид
оо
U= J euF(ds). (9.85)
— ОО
Заметим теперь, что вследствие периодичности функции ets
формулу (9.85) можно преобразовать к виду
г*
ч
2*
iaFi(ds), (9.86)
592 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
где Fi(B) — разложение единицы, определяемое на (т-алгебре
борелевских множеств интервала [0,2тг] формулой
Ы&)= Ц f(b + 2H), вевх.
fc=-оо
Ряд в этой формуле сходится в силу теоремы 8.4.6 о монотонных
последовательностях проекторов.
Таким образом, любой унитарный оператор, определяемый раз¬
ложением единицы, приводится к виду (9.85) и (9.86). Поэтому фор¬
мулы (9.85) и (9.86) дают каноническую форму унитарного оператора,
определяемого разложением единицы.
Для любого оператора Т, порождаемого разложением едини¬
цы Еу замена переменных z = (p(t) определяет на <т-алгебре В бо¬
релевских множеств комплексной плоскости разложение единицы
F(B) = E(if~'1(B))y В £ By и формула (9.67) принимает вид
Т = J zF(ds) = JJ(U + iv)F(dudv)y (9.87)
где интегрирование распространяется на всю комплексную плос¬
кость. В частном случае, когда функция <p(t) ограничена, т.е. R^
представляет собой ограниченное множество комплексных чисел,
операторная мера F равна нулю всюду вне Rv и интеграл (9.87)
приводится к интегралу по области R<p.
Таким образом, любой оператор, определяемый разложением
единицы, приводится к виду (9.87). По теореме 9.2.7 этот оператор
нормален. Поэтому формула (9.87) дает каноническую форму нор¬
мального оператора, определяемого разложением единицы.
Пример 9.5. Пусть Е(В)—разложение единицы, определяемое ком¬
пактным самосопряженным оператором, построенное в п.9.1.6. Так как для, лю¬
бой точки Ап подпространство G\n = G{f:<=An} отлично от {0}, G{<:<-a„} ф
*{0} , то все точки Ап являются собственными значениями. Так как для лю¬
бого интервала (а, 6), не содержащего собственных значений, G(a,6) = {0}» то
любое действительное А, не являющееся собственным значением, так же как
и любое А с отличной от нуля мнимой частью, является регулярной точкой.
Поэтому спектр оператора А состоит из одних только собственных значений
и точки 0. Таким образом, все полученные в п.9.1.6 результаты вытекают из
только что построенной более общей теории.
§ 9.2. ОПЕРАТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЕМ ЕДИНИЦЫ
593
Пример 9.6. Пусть f(s) — монотонное отображение числовой пря¬
мой R в себя, Gb — подпространство функций из L2(R), равных нулю вне мно¬
жества ГНВ), Е(В) — разложение единицы, представляющее собой проек¬
тор на Gb Для любого борелевского множества В. Тогда для любой функции
х = x(s) € Li(R)
Е(В)х = x(s)lf-4B)(s). (*)
Следовательно, оператор Е(В) представляет собой оператор умножения на
индикатор множества /”*(5).
Рассмотрим самосопряженный оператор
А= f tE(dt) = / «+*))(«)•
— ОО —ОО
Очевидно, что для любой функции х(з) Е Da
ОО
Ах= f tl/-i([,,t+dt))(*)x(s) = /(s)x(s),
— ОО
так как функция X/—отлична от нуля при бесконечно малом £ > О
только при S = /' -ЧО.-е. при t = /($)• Таким образом, оператор А предста¬
вляет собой оператор умножения на функцию /(s). В частности, при /(s) = S,
оператор А представляет собой оператор умножения на независимую перемен¬
ную.
Бели функция f(s) постоянна на интервале (а, 6), f(s) = С, то /-1(с) =
= (а, 6) и £({с}) = l[a>&](s) ф 0. Следовательно, А = С является соб¬
ственным значением и любая функция #($)» равная нулю вне интервала (а, 6),
является соответствующим собственным вектором. В силу сепарабельности
L2(R) (п.3.7.5) подпространство Gfcj — L2((dfb)) содержит счетное множе¬
ство линейно независимых функций. Поэтому собственное значение А = С
имеет бесконечную кратность.
Бели функция f(s) не имеет значений в интервале (а, /?), например имеет
разрыв первого рода в некоторой точке So и /(«о *■“ 0) = Of, f(so *+■ 0) = /?, то
все точки интервала (а,/?) являются регулярными, так как
при любых о! > а, (У < /3 и, следовательно, для любого А Е (Ос,/3) можно
найти такое £ > 0, что
:|t-A| <б:}) = 0 и £({*:|*-А|<е}) = 0.
Бели функция f(s) непрерывна в интервале (а, 6) и ни в какой части этого
интервала не постоянна, то при любом S Е (я,^) точка А = /(s) не является
собственным значением, но принадлежит спектру оператора А, так как
/-!({< : 11 — f(s) | < е}) ф 0 и E({t :\t- f(s) | < e}) ф 0
594 ГЛ. 9 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
при S Е (а, 6) для всех 6 > 0. В соответствии с общей теорией точка А = f(s)
является точкой непрерывного спектра, если функция ^(0 = /(5)]~1
почти всюду конечна относительно меры £, определяемой формулой (*), и
точкой дискретного спектра в противном случае.
ЗАДАЧИ
9.2.1. Доказать, что прообраз резольвентного множества /)(Т^оператора
Ту определяемого формулой (9.67), даваемый функцией ^(<), имеет нулевую
меру Е : Е(<р~1(р(Т))) = 0. Соответственно Я(^“1((т(Т'))) = 7. В част¬
ности, если пространство А представляет собой комплексную плоскость С и
<p(t) = t, Е(р(Т)) = 0, Е(<т(Т)) = I, т.е. операторная мера Е полностью со¬
средоточена на спектре оператора Т. Соответственно интегрирование в (9.87)
фактически производится по спектру оператора Т.
У Казани е. Теорема 9.2.10 устанавливает существование у любой ре¬
гулярной точки окрестности, прообраз которой имеет нулевую меру Е. Ком¬
плексная плоскость С как сепарабельное метрическое пространство имеет сче¬
тную базу.
9.2.2. Так как Е(А)х = X для любого X Е Gai то правая часть формулы
(9.77) определяет сужение оператора Т на подпространство Ga ~ Е(А)Х.
Пользуясь этим и учитывая последний результат задачи 9.2.1, доказать, что
спектр сужения Т | Ga оператора Т на подпространство Ga удовлетворяет
соотношению <т(Т\Са)С[А].
9.2.3. Разложение единицы можно определить в любом 22-пространстве
X. Конечно, нормы проекторов 2?(j4), А Е *4, в ©том случае не будут равны
1, и к определению операторной меры Е в п.9.1.6 нужно будет добавить тре¬
бование равномерной ограниченности норм проекторов Е(А) :|| Е(А) || < М
Vj4 Е А. Докажите, что в этом случае Е(А)* представляет собой разложение
единицы в сопряженном пространстве X*, причем || Е(А)* || < М УЛ Е А-
Так же как в случае Н-пространства X, операторная мера Е порождает семей¬
ство числовых мер jixj(A) = fE(A)xt Va? Е X, f Е X*. Эти меры конечны,
так как | fixj(A) | < М || / || || X ||. Но fE(A)x = (Е(А)* f)x. Поэтому эти
же меры порождаются разложением единицы Е*.
9.2.4. Определить интеграл от простой функции по операторной мере Е
в .B-пространстве X и доказать, что он представляет собой ограниченный
линейный оператор.
У Казани е. Интеграл от простой функции определяется теми же фор¬
мулами (9.60) и (9.61), что и в случае .//-пространства X. Однако доказать
ограниченность полученного оператора в случае S-пространства X значи-
§ 9.2. ОПЕРАТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЕМ ЕДИНИЦЫ 595
тельно сложнее. Для этого придется воспользоваться неравенством
sup|ajt|. (*)
Для вывода етого неравенства положим a& = ajfc + l/?* и заметим, что функция
vKu) = I 12 икЕ(Ак) |, R,
является непрерывным выпуклым линейным функционалом вектора U 6 Rn
(п.5.1.5), вследствие чего при любом t G (0, 1)
<p(tu + (1 - t)v) < t<p(u) + (1 - t)(p(v) < max(v?(ti), <p(v)). (**)
Поэтому ^(ti) достигает максимума на П-мерном кубе | ti* | < I (к — 1, . .., п)
в одной из его вершин 1*1,. . ., Un = ±1, так как предположение о том, что
точка максимума лежит внутри куба или на его грани, ведет к противоречию
с неравенством (**). Объединив члены суммы, соответствующие 12*, равным
+1, получим 12икЕ(Ак) = 12Е{Ак) = -E(U-At) и ||£«k^(j4i)|| < м. И
точно такое же неравенство получим для части суммы, соответствующей 14*,
равным *—1. Следовательно, <р(и) < 2М при | U\ |, .. ., | tin | < 1. Применив
это неравенство к случаям It* = Of*/ max | а\ | и ti* = /?*/ max | а\ |, получим
(*) [ю].
9.2.5. Определить интеграл по операторной мере Е в ^-пространстве X
от измеримой функции, почти всюду ограниченной относительно меры Е, и
доказать, что он представляет собой ограниченный линейный оператор [10].
9.2.6. Пусть Т — оператор, определяемый разложением единицы в
S-пространстве X:
Т = f <p(t)E(dt).
Доказать, что сопряженный оператор определяется формулой
Г* = frft)E(dty.
Объяснить расхождение этой формулы с формулой (9.72) для случая Н-прост¬
ранства X.
596 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
§ 9.3. Функции от операторов
9.3.1. Операторные полиномы и ряды. Степени операто¬
ра в любом линейном пространстве определяются естественно как
произведения, Т2 = ТТ, Т71 = ТП~1Т (п = 2,3,.. .)• Линейные комби¬
нации степеней определяют полиномы от оператора Т
Рп(Т) = йо + а\Т + • • • + dnTn. (9.88)
Для ограниченных линейных операторов в нормированном линей¬
ном пространстве X можно определить аналитические функции.
Пусть f(z) — аналитическая функция комплексной переменной г,
не имеющая особых точек в некоторой области, содержащей нача¬
ло координат. Такая функция представима в окрестности начала
координат степенным рядом
/со =
fc=0
Тогда для любого линейного оператора Т, норма которого меньше
радиуса сходимости ряда, можно определить функцию
/(Г) = £>*7*. (9.89)
к=0
Этот ряд сходится в равномерной топологии пространства В(Х)
ограниченных линейных операторов, действующих в X (п.6.1.4).
Если оператор Т определяется разложением единицы Е, то в
соответствии с последним результатом п.9.2.4 формулы (9.88) и (9.89)
принимают вйд
Рп(Т) = j p„((p(t))E(dt),
f(T) = J f(<p(t))E(dt).
В частности, для ограниченного самосопряженного оператора А
формула (9.83) дает
f(A) = J f(s)F(ds). (9.90)
§'9.3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ
597
Однако для построения спектральной теории линейных опера¬
торов необходимо расширить класс функций от операторов.
9.3.2. Полиномы относительно унитарного оператора. Так
как любой унитарный оператор U определен на всем Я-пространст-
ве и имеет обратный оператор I/”1, также определенный на всем
Я-пространстве, то естественным образом определяются все целые
степени унитарного оператора и полиномы вида
п
р(и)= £>[/*, (9.91)
к=т
где 171,71 — любые целые числа, а ст,..., сп — любые комплексные
числа.
Очевидно, что p(U) представляет собой ограниченный линей¬
ный оператор, и поэтому существует сопряженный оператор p(U)*.
А так как U* = U~l (п.8.2.2), то при любых х и у
п п п
(p(U)x,y) = 52 °к(икх,у) = 52 Ск{х,и~ку) = (х, 52 CkU~kyj.
к=т к=т к=т
Отсюда видно, что сопряженный оператор p(U)* определяется фор¬
мулой
п
|**о* = 52 ~CkU~k• (9-92)
к—т
Этот результат наводит на мысль, что существует определенное со¬
ответствие между полиномами от унитарного оператора U и триго¬
нометрическими полиномами, т.е. полиномами от ets, s £ [0,27г].
Действительно, тригонометрическому полиному
р(е“) = 52 CkeikS
к—т
формула (9.91) ставит в соответствие операторный полином p(U), а
сопряженному полиному
р(е”) = 52 ё*е_,Ь
к—т
598 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
согласно (9.92) соответствует сопряженный оператор p(U)*. Это со¬
ответствие мы и используем для определения функций от унитарно¬
го оператора {/. Предварительно изучим это соответствие подроб¬
нее.
Очевидно, что если полином р(е*8) представляет собой сумму
или произведение полиномов pi(e*5) и рг(е,д), то операторный поли¬
ном p(U) является соответственно суммой или произведением опе¬
раторных полиномов pi(U) и p2(U):
р(е") = Pi(e") + р2(е”) ~ p(U) = Pl(U) + p2(U), . (9.93)
Р(е") =Pi(e,’*)P2(e<,> ~ p(U) = Pi(U)p2(U). (9.94)
Из (9.91) и (9.92) видно, что оператор p(U) является самосопря¬
женным, р(и)* = p(U)y тогда и только тогда, когда т = —п, с* = с_*,
т.е. когда полином р(е%8) имеет действительные значения при всех
s, р(е“) = р(е”).
Предположим теперь, что полином р(е%3) неотрицателен,
р(е*3) > 0. В этом случае существует такой полином д(е*5), что
p(ets) = |g(e,5)|2 = q(e*s)q(eis) *. Этому соотношению соответству¬
ет операторное соотношение р( 17) = q(U)q(U)* = q(U)mq(U). Поэтому
для любого х
(p(U)x, х) = (q(U)*q(U)x, х) = (q(U)x, q(U)x) = || q(U)x II2 > 0.
* Действительно, так как в этом случае для любого комплексного Z
p(z~1)= £ c*z“*= £ ckzk=p(z),
jfc = — n fc = —П
то каждому нулю Zp полинома p(z) соответствует нуль Яр”1» расположенный
симметрично Zp относительно единичной окружности. Поэтому алгебраиче¬
ские полиномы znp(z) и
и(*>=(1-£-)---(1-£)(*-£)•••(*-•*;)
имеют одни и те же нули и, следовательно, отношение их постоянно. Отсюда
вытекает равенство
к.) = W = .(, ■- X)... (,.-1) (,.- ci).... (г. £).
Из неравенства р(вгз) > 0 следует, что постоянная а положительна. Поэтому,
положив
получим требуемое равенство
р(е*3)= q(ei>)q(e<t) — 19(е’*) I2-
§ 9.3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ
599
Следовательно, неотрицательному тригонометрическому полиному
p(eis) соответствует неотрицательный операторный полином p(U).
Отсюда следует, что если Pi(e*') < рг^*')» то pi(U) < p2(U) *. В
частном случае, при pi(e15) = р(е%8)} р2(е%$) = с неравенству р(е%3) <
< с соответствует операторное неравенство p(U) < cl. А так как
неравенство |p(ef,)| < с равноценно p(ets)p(eia) = |р(е,5)|2 < с2, то
из |р(е,5)| < с вытекает операторное неравенство p(U)*p(U) < с21.
Отсюда следует, что при любом х
\\p(U)x||2 = (р(и)*р(и)х,х) < (с21х,х) = с2(х,х) = с21|х||2
и, значит, || р(U) || < с. Таким образом,
|р(е”)1 < с~||р(^)||<с- (9-95)
9.3.3. Функции от унитарного оператора. Рассмотрим.те¬
перь класс Со действительных ограниченных функций переменной
е*5, каждая из которых или непрерывна, или представляет собой
предел невозрастающей последовательности непрерывных функций.
Любую функцию этого класса можно представить как предел невоз¬
растающей последовательности тригонометрических полиномов.
Действительно, если /(е,в) непрерывна, то на основании известной
теоремы Вейерштрасса ее можно с любой степенью точности равно¬
мерно аппроксимировать тригонометрическим полиномом в интер¬
вале [0,27г]. Поэтому, взяв произвольную последовательность поло¬
жительных чисел {еп}> сходящуюся к нулю, и построив для каждого
еп полином рп(е*5), аппроксимирующий функцию /(е,5)+(еп+£п +0/2
с точностью до {еп — £n+i)/2, получим при каждом п
£n+i < Рп(е“) - f(e's) < еп.
Отсюда и из такого же неравенства, полученного заменой пнап-1,
следует
Pn(eis) < /(e“)+en <Pn-i(e*5).
Таким образом, мы получили невозрастающую последовательность
тригонометрических полиномов {рп(е*5)}, сходящуюся к f(ets) рав¬
номерно на интервале [0,27г]. Если /(е*5) = lim/n(e15), где {/п(е*5)}
* Согласно определению п.7.1.5 неравенство между операторами А < В
в случае Н-пространства X следует понимать как неравенство (Ах, X) <
S {Вх, х) при всех X.
600 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
— невозрастающая последовательность непрерывных функций, то,
построив для каждого еп полином рп(е*5), аппроксимирующий функ¬
цию fn(ets) + (en + en+i)/2 с точностью до (еп -en+i)/2, получим при
каждом п
Cn+i <Pn(eia)-fn(ei9)<en.
Отсюда и из такого же неравенства, полученного заменой п на п —1}
следует
Pn(e's) < fn(ets)+£n < fn-i(et8) + £n <Pn-i(e*5).
Таким образом, {рп(е**)} представляет собой невозрастающую по¬
следовательность тригонометрических полиномов, сходящуюся к
/(е**) в каждой точке s € [0,2л-].
Рассмотрим теперь соответствующую убывающую последова¬
тельность операторных полиномов {рп(£0}. Так как рп(егз) >
> /(е*5) > 7 = inf/(e*5), то pn(U) >71 при любом п. Таким образом,
(Pn(U)x,x) > (7/х,х) = 7 || х ||2 при любом п, т.е. невозрастающая
последовательность {(рп({7)х, х)} ограничена снизу числом 7 || х ||2
и, следовательно, сходится. Так как pn(U) — pm(U) > 0 при любых п
и т > п, то функция (х,у) = (pn(U)x—pm(U)x,y) переменных х,у € X
обладает всеми свойствами скалярного произведения, кроме свой¬
ства (х, х) = 0 только при х = 0. Поэтому на основании неравенства
Коши — Буняковского (1.14)
I (Pn(U)x Pm(U)x, у) I2 < (Pn(U)x - pm(U)x, x)(pn(U)y-
~Pm(U)y, у) < (pn(U)x - Pm(U)x, x)(pi(U)y, y) <
< [(Pn(U)x,x)-(pm(U)x,x)] ||pi(t/)||||j/||2 .
В силу сходимости последовательности (pn(U)x}x) (pn(U)x,x) -
—(Pm(U)x,x) < e2/ || Pi(U) || при любом e > 0 при всех достаточ¬
но больших п и т > п. Поэтому
I (Pn(U)x - pm(U)x, у) I2 < е2 II у II2
при достаточно большом п и всех у и т > п. Положив здесь у =
= Pn(U)x — pm(U)xy получим после сокращения \\pn(U)x — pm(U)x\\ <
< е. Таким образом, последовательность {pn(U)x} фундаментальна
и в силу полноты Я-пространства имеет предел (конечно, завися¬
щий от х) limpn((7)x = Тх. Следовательно, последовательность опе¬
раторных полиномов {pn(U)} сходится к некоторому оператору Т.
§ 9.3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ
601
Этот оператор, зависящий от U, естественно принять за функцию
f(U) от унитарного оператора U,
f(U) = f=limPn(U). (9.96)
Чтобы определение функции f(U) было корректным, остается
показать, что оператор Т не зависит от выбора последовательности
полиномов (рп(е,в)}, сходящейся к f(ets). Взяв любую другую не¬
возрастающую последовательность полиномов {^(е*5)}, сходящую¬
ся к /(е*5), положим 5 = limgn({7). Вследствие монотонной сходимо¬
сти последовательностей {рп(е*5)} и {gn(e*5)} к одной и той же функ¬
ции f(ets) при любом п в любой точке s Е [0,2тг] при всех достаточно
больших тп будет выполнено неравенство qm{ets) < Pn(ets) + £п* В
силу непрерывности полиномов qm и рп это неравенство будет вы¬
полнено и в некоторой окрестности точки s. Вследствие компакт¬
ности интервала [0,2тг] существует конечное число таких окрест¬
ностей (соответствующих различным s), покрывающих весь интер¬
вал [0,2л-]. Поэтому при всех достаточно больших тп неравенство
Qm(ets) < Pn(ets) + еп будет выполнено при всех s Е [0,2тг] для любо¬
го натурального п. Точно так же при любом тп и всех достаточно
больших / неравенство pi(exs) < qm(ets) + em будет выполнено при
всех s Е [0,27г]. Из этих неравенств следует, что при любом п для
любых достаточно больших m и /
Pi(e's)-em < qm(ets) < Pn(ets) + en,
т.е.
0 < Pn(ets) — 9m(e*5) + en < Pn(eta) — Pi(ets) + en + em
всюду на интервале [0,2тг]. Этим неравенствам соответствуют опе¬
раторные неравенства
0 < Pn(U) - qm(U) + €п I < Pn(U) - pi(U) + (еп + €m)I.
Отсюда совершенно так же, как мы доказали фундаментальность
последовательности {pn(U)x}) приходим к выводу, что для любого
ООи любого заданного вектора х Е X при всех достаточно боль¬
ших пит будет \\pn(U)x — qm(U)x || < е. Заметив теперь, что при
любых п и тп
\\Tz-Sx\\<\\Tx-pn(U)x\\ + \\pn(U)x - qm(U)x\\ + ||9m({/)* - S*||,
602 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
можем для любого е > 0 выбрать сначала п, а потом т так, чтобы
было
||Тх - pn(U)x\\ < е/3, \\pn(U)x - qm(U)x\\ < е/3,
II 4m(U)x — || < е/3.
Тогда получим ||Тх — Sx || < е. Отсюда в силу произвольности е > 0
следует, что Т = 5, что и доказывает единственность предела в
определении функции f(U).
Приведенное определение операторной функции легко распро¬
страняется на любые линейные комбинации функций класса Со. Лля
этого достаточно каждой линейной комбинации
до = !>/*(*•')
*=1
функций /i,..., /п класса Со поставить в соответствие операторную
функцию
*=1
В частности, так определяются операторные функции /({/), соот¬
ветствующие комплексным f(et9).
Легко видеть, что для определенных таким образом оператор¬
ных функций и соответствующих функций переменной е15 сохраняют
силу все соотношения, которыми связаны полиномы от унитарного
оператора с тригонометрическими полиномами. В частности, спра¬
ведливы соответствия (9.93), (9.94) и (9.95):
Де”) = /г(е") + /2(е“) ~ f(U) = h(U) + f2(U), (9.97)
/(е**) = /i(eis)/2(e») ~ f(U) = h(U)f2(U), (9.98)
1/(е")1<с~Ц/(*0Н<«- (в-»»)
Справедливо также, что действительной функции f(ets) соответст¬
вует самосопряженный оператор /(17).
Таким образом, функции от унитарного оператора определены
для всех функций класса С, представляющих собой множество ко¬
нечных линейных комбинаций функций класса Со. Ясно, что класс
С содержит пределы неубывающих последовательностей непрерыв¬
ных функций.
$ 9 3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ
603
Из (9.98) следует, что любые функции одного и того же унитар¬
ного оператора коммутативны.
Совершенно так же определяются функции двух (или большего
числа) коммутативных унитарных операторов U\> {/г* В этом случае
тригонометрическому полиному
p(e”,ert) = £ewert*+"*
*.1
соответствует операторный полином
F(UuUi) = J2auU*U*
и, так как любые степени коммутативных операторов коммутатив¬
ны, то остаются в силе соответствия (9.93)—(9.95), а вместе с ними
и (9.97)—(9.99).
Из (9.98) для двух операторов,
/(*",«") = /i(e,',ei‘)/2(e,\e<‘) ~ f(UuU2) = fi{Ui,U7)WuV*),
в частном случае, когда Д зависит только от первого аргумента, а
/2 — только от второго, следует, что любые функции fi(Ui) и /2(^2)
коммутативных унитарных операторов U\ и U2 коммутативны.
Пример 9.7. Функция /(е13) = 1пе'* = 15 непрерывна. Поэтому
она определяет функцию Т = f(U) = In U унитарного оператора U. Так
как Inе15 = -W = — lne*J, то сопряженный оператор (1п17)Ф равен — In 17,
Т* — — In U — —Г. Так как | In б ** | < 2тг в интервале [0,2тг], то In U —
ограниченный линейный оператор.
Пример 9.8. Бели унитарный оператор U определен некоторым раз¬
ложением единицы Е,
U = / е*‘£(Л),
о
то любая функция f{U) рассмотренного класса выражается через соответ¬
ствующую функцию /(ew) формулой
f{U) = / f(eu)E(dt).
о
604
ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Действительно, это равенство очевидно для случая, когда /(е*5) — поли¬
ном. Для любой функции /(е**) рассматриваемого класса С оно справедливо
вследствие теоремы 3.7.5 о сходимости последовательности функций из Z,2,
мажорируемой некоторой функцией из так как любая такая функция пред.
ставляет собой линейную комбинацию пределов невозрастающих последова¬
тельностей полиномов.
9.3.4. Преобразование Коли. Пусть А — произвольный са¬
мосопряженный оператор. Так как числа г и — i не могут быть
собственными значениями А, то области значений Дд(*) и Дд(-г)
операторов А — И и А + И совпадают со всем пространством Х}
Rji(i) = Дд(—t) = X (п.8.3.3). Поэтому каждая из формул
у=(А + И)х, z = (A-H)x (9.100)
дает отображение Da на все пространство X. В силу существования
определенной на всем X ограниченной резольвенты = (A+i J)”1
любому у £ X соответствует такое х £ Da9 что
х = R-iy = (А + И)~1у
и, следовательно, формула
z = (A-H)(A + iI)-1y
определяет отображение X на все X. При этом формулы (9.100)
дают при любом х £ Da
1М12 = 1М12 = 1И*||2 + |М|2.
Таким образом, оператор
U = (A-il)(A + iI)-1 (9.101)
линеен, отображает X на все X и сохраняет норму. Следовательно,
U — унитарный оператор.
Унитарный оператор Г/, определяемый формулой (9.101), назы¬
вается преобразованием Кэли самосопряженного оператора А.
Из (9.100) и равенства z = Uy следует
* = Чг =Ti{1 - и)у' Ах = Ч1 = ^1 + и^у- (9102)
§ 9.3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ
605
Сравнивая первую из этих формул с первой формулой (9.100), ви¬
дим, что операторы A+i I и (I-U)/2i являются взаимно обратными.
Иными словами, первое уравнение (9.102) имеет единственное реше¬
ние относительно у, определяемое первой формулой (9.100). Следо¬
вательно, 1 не может быть собственным значением преобразования
Кэли U самосопряженного оператора А и существует обратный опе¬
ратор (7 — U)~l с областью определения Da- При этом из (9.102)
получаем у = 2г( I - U)~lx и Ах = *( I + U)( I — U)~lx, т.е.
Формулы (9.101) и (9.103) устанавливают взаимно однозначное
соответствие между оператором А и его преобразованием Кэли —
унитарным оператором U. Каждому самосопряженному оператору
А соответствует унитарный оператор U, определяемый формулой
(9.101). Наоборот, каждому унитарному оператору U, для которого
1 не является собственным значением, соответствует самосопряжен¬
ный оператор А, определяемый формулой (9.103).
Так как на основании теоремы 7.3.2 любой оператор коммута¬
тивен со своей резольвентой в любой регулярной точке, то опера¬
торные множители в формулах (9.101) и (9.103) можно переставить.
9.3.5. Функции от самосопряженного оператора. Пусть
д(е'8) — функция класса С, т.е. непрерывная функция или конеч¬
ная линейная комбинация функций, представляющих собой пределы
невозрастающих последовательностей непрерывных функций. Для
таких функций в п.9.3.3 были определены соответствующие функ¬
ции от унитарного оператора. Поэтому для любого унитарного
оператора U определена функция g(U). Пусть теперь А — произ¬
вольный самосопряженный оператор, U — его преобразование Кэли,
U = (А — 11)(А -I- i J)”1. Тогда формула
определит функцию от самосопряженного оператора А. Таким обра¬
зом, любая функция д(е%3) рассмотренного в п.9.3.3 класса С опреде¬
ляет соответствующую функцию f(A) самосопряженного оператора
А, причем функция действительной переменной t = i(l + e,5)/( 1 —е*5)
(9.103)
f(A) = д((А - i I)(A + il) x)
(9.104)
/(<) = fl((< - »)/(< + »)), t G R,
606 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
очевидно, принадлежит тому же классу С. Наоборот, любая функ¬
ция f(t) этого класса определяет функцию
д(еи) = /(«(1 + е“)/(1 - «“)), s е [0,2ir]
того же класса. Таким образом, преобразование Кэли позволяет
определить широкий класс функций от самосопряженного операто¬
ра. При этом соответствия (9.97)—(9.99) обобщаются на функции от
самосопряженного оператора:
/(О = /ж(0 + Л(0 ~ № = fi(A) + НА), (9.105)
т = тт) ~ т=ма)ма), (влов)
1/(01 < с ~||/(А)|| < с. (9.107)
Из (9.106) следует, что любые функции одного и того же опера¬
тора коммутативны.
Совершенно так же определяются функции двух (или большего
числа) коммутативных самосопряженных операторов. Чтобы при¬
менить для этого теорию конца п.9.3.3, достаточно показать, что
если два самосопряженных оператора А\, А2 коммутативны, то и их
преобразования Кэли
Ui = (Ах - 11)(АХ + г/)-1, U2 = (А2 - И)(А2 + г/)"1
коммутативны. Но это следует непосредственно из теоремы 7.3.3
и ее следствия, согласно которым каждый из двух коммутативных
операторов коммутативен с резольвентой другого и их резольвен¬
ты также коммутативны. Определив функции двух (или большего
числа) коммутативных самосопряженных операторов, можно из со¬
ответствия (9.106) для функций двух самосопряженных операторов
Ai, А2
< f(t 1J2) = /i(*i,<2)/2(*b*2) ~ /(Л1-А2) = fi(A\,A2)f2(A\,A2),
в частном случае, когда Д зависит только от первого аргумента, а
/2 — только от второго, вывести заключение, что любые функции
Ь(А\)> f2(A2) коммутативных операторов А\ и А2 коммутативны.
9.3.6. Спектральная мера самосопряженного оператора.
Класс функций С, для которых определены функции от самосопря¬
женного оператора, включает индикаторы борелевских множеств.
§ 9.3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ
607
Действительно, в силу очевидной регулярности лебеговой меры /
на R (определение регулярной меры см. в п.6.4.1) для любого боре-
левского множества В и любого е > 0 существует такая убывающая
последовательность открытых множеств {Gn}, В С Gnt что
— расстояние от точки t до множества С. Ясно, что функции /п(0
непрерывны, равны единице на множестве В, нулю вне соответству¬
ющих множеств Gn и образуют убывающую последовательность,
сходящуюся к индикатору множества В, fn(t) —► 1 в(*)> ПРИ каждом
t. Таким образом, индикаторы борелевских множеств принадлежат
классу Со С С. Следовательно, для любого борелевского множества
В определена функция 1 в(А) от самосопряженного оператора А.
Теорема 9.3.1. Для любого самосопряженного оператора А, ото-
бражающего Н-пространство X в X, и любого борелевского множе¬
ства В оператор 1 в(А) представляет собой проектор на некоторое
подпространство пространства X.
> Так к!ак 1%(t) = 1в(0» то в силу (9.106) 1 \(А) = 1в{А), т.е.
1b(j4) — идемпотентный оператор. А так как функция 1 s(t) дей¬
ствительная, то 1 в(А) — самосопряженный оператор. Следователь¬
но, по теореме 8.4.1 он представляет собой проектор на некоторое
подпространство Я-пространства X. <
Теорема 9.3.2. Для любого самосопряженного оператора А опе¬
раторная функция множества 1 в(А) представляет собой разложе¬
ние единицы.
> Из соотношений
l(Gn\B) < е/2".
Построим последовательность функций
(* = 1,2,...)
где
d(t,C)= inf |f-s
10(0 = 0, 1я(0 = 1,
1bi(0 S 1вЛ*)> если В\ с в2,
\|в*(0 = если BtBh = & при к ф h,
608 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
WOWO = llfeWllhW = 1
следует, что операторнал функция множества 1в(А) при любом фик¬
сированном операторе А обладает всеми свойствами разложения
единицы:
10(А) = 0, 1Я(А) = I,
1В1(Л) < 1 вАА)> если Bi с в2,
lyB(t(A) = ^1в»(А), если ВкВн = 0 при к ф h,
1в,(А)1в2(А) = = 1Bib3(A). <
Таким образом, любой самосопряженный оператор А определя¬
ет на (Т-алгебре В борелевских множеств числовой прямой R разло¬
жение единицы
Еа(В) = 1В(Л), Be В. (9.108)
Это разложение единицы называется спектральной мерой оператора
А. Функция
FA(t) = ЕлЦ-ж, 0) (9.109)
называется спектральной функцией оператора А.
§ 9.4. Спектральные разложения линейных операторов
9.4.1. Интегральное представление операторных функций
класса С. Определив спектральную меру самосопряженного опе¬
ратора, можно представить любую функцию этого оператора, при¬
надлежащую рассмотренному в п.9.3.5 классу С, в виде интеграла
по спектральной мере.
Теорема 9.4.1. Пусть А —самосопряженный оператор в Н-прос¬
транстве X, f(t) — функция класса С. Тогда операторная функция
f(A) выражается формулой
оо
f(A) = J f(t)EA(dt), (9.1Ю)
— ОО
где Еа(В), В £ В — спектральная’мера оператора А} определяемая
формулой (9.108).
> Положив в (9.110) /(£) = 1в(0> на основании (9.108) получаем
оо
j 1 s(t)EA(dt) = j EA(dt) = ЕЛ(В) = 1в(А).
— ОО В
§ 9.4. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 609
Таким образом, формула (9.110) справедлива для индикаторов бо-
релевских множеств. Следовательно, она справедлива для всех про¬
стых функций. Но любую неотрицательную функцию f(t) класса С
как измеримую функцию можно ^представить в виде предела неубы¬
вающей последовательности простых функций {/”(<)} (п.3.4.1). Со¬
ответствующая последовательность операторных функций {/п(А)}
сходится к операторной функции f(A). Чтобы убедиться в этом,
достаточно заметить, что вследствие ограниченности f(t) последо¬
вательность {/"(*)} сходится к f(t) равномерно на всей числовой
прямой R. Поэтому для любого е > 0 при всех t и при всех до¬
статочно больших п справедливо неравенство !/"(<) — f(t) | < £, из
которого в силу (9.107) вытекает неравенство \\fn(A) — f(A) || < е при
всех достаточно больших п. Следовательно, формула (9.110) спра¬
ведлива для всех неотрицательных функций f(t) класса С. А так как
любая функция класса С выражается формулой
/(0 = /дМ - fR (0 + *■[//(<) - //"(<)].
где /д, /д, fj , fj — неотрицательные функции класса С, то формула
(9.110) справедлива для всех функций класса С. <
9.4.2. Спектральное разложение самосопряженного опера¬
тора. С помощью формулы (9.110) легко доказывается
Теорема 9.4.2. Любой самосопряженный оператор А допускает
интегральное представление
оо
А= j tEA(dt). (9.111)
— ОО
> Рассмотрим преобразование Кэли (9.101) оператора А
U = (A-iI)(A + НУ1.
Так как функция f(t) = (t — i)/(t + i) принадлежит классу С, то для
нее справедлива формула (9.110). Следовательно,
оо
U^iA-il^A + il)-1^ J EA(dt).
— ОО
Отсюда вытекают формулы
ОО ОО
1 + и = 2 / J-EA(dt), I — U = 2i / -L-EA(dt). (9.112)
J t + 1 J t + t
— OO —oo
610 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Так как существует обратный оператор (/ — [/) *, то на основании
теоремы 9.2.8 он определяется формулой
00
(J" и)~1 = h J(<+<9113)
— оо
Из формул (9.112), (9.113), (9.80) и (9.103), вследствие того, что опе¬
ратор I + U ограничен, получаем
оо оо
А = i(I + {/)(/ — U)~l = J j±-.(t + i)EA(dt)= J tEA(dt),
-OO -oo
что и доказывает справедливость формулы (9.111). <
Формула (9.111) дает спектральное разложение (интегральное
представление) самосопряженного оператора А.
Следствие 1. Спектр самосопряженного оператора полностью
определяется его спектральной мерой.
> Из формулы (9.111) и теоремы 9.2.9 следует, что А являет¬
ся собственным значением оператора А тогда и только тогда, ко¬
гда G{x} Ф {0}, т.е. когда значение спектральной меры операто¬
ра А на одноточечном множестве {А} отлично от нулевого опера¬
тора, £л({А}) ф 0. Из формулы (9.111) и теоремы 9.2.10, следу¬
ет, что А является регулярной точкой оператора А тогда и толь¬
ко тогда, когда существует такое е > 0, что С?{*:|*-А|<е} = {0}, т.е.
EA({t: \ t — X | < £}) = 0. Из этих двух фактов следует, что А являет¬
ся точкой спектра оператора Ау отличной от собственных значений,
тогда и только тогда, когда при любом е > 0 G{t jt-A|<*} Ф {0}, т.е.
Ял({*:|*-А|<е})/0. <■
Следствие 2. Если оператор А ограничен, то Еа(В) = 0 для лю¬
бого борелевского множества В, не пересекающегося с интервалом
(— || А ||, || А ||), и формула (9.111) принимает вид
\\М\
I tEA(dt) (9.114)
ЧИН
(см. также задачу 9.2.1).
I 9.4. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
611
Следствие 3. Для любого х € Дд
ОО ОО
t2jAx(dt) < оо. (9.115)
— оо —оо
> Это следует из формулы (9.63), согласно которой последний
интеграл равен ЦАжЦ2. <
Пользуясь спектральной функцией -Fa(J), определяемой форму¬
лой (9.109), можно написать интегральное представление (9.111) опе¬
ратора А в виде интеграла типа Лебега — Стилтьеса
оо
А= J tdFA(t). (9.116)
J -ОО
Так как интеграл в (9.110) существует для любой измеримой
функции /(*), то формулой (9.110) можно определить операторную
функцию f(A) для любой измеримой функции /(*), для которой мно¬
жество {х : f(t) 6 Хг(Л, B,/ix)} не пусто.
Пример 9.9. В примере 9.6 было показано, что оператору умножения
на функцию f{s) в пространстве L2(R) (с лебеговой мерой) соответствует раз¬
ложение единицы Е(В), представляющее собой оператор умножения на инди¬
катор множества /—1(5). В частности, при /($) — 8 получаем /”*(i?) = В и
рассмотренный в примере 9.6 оператор представляет собой оператор Q умно¬
жения на независимую переменную 8 в пространстве L2(R). Таким образом,
оператор Q умножения на независимую переменную в Ь2(К) порождает раз¬
ложение единицы jE/Q, определяемое формулой
Eq(B)x = x(s)1b(«), x(s) £ L2(R), В £ В,
и при етом
Q = f tEq(dt) = / *l[t>i+<ft)(s).
— oo —оо
Из результатов исследования спектра оператора умножения на функцию
/(s), произведенного в примере 9.6, следует, что оператор Q не имеет соб¬
ственных значений и любое действительное Л является точкой его спектра.
Пример 9.10. Легко видеть, что оператор умножения Qц на незави¬
симую переменную в пространстве L2(R, В, /l), соответствующем произволь¬
ной неотрицательной мере /i, определяется той же формулой, что и Q:
Q» = / tEq(dt) = f <l[*,t+di)(s),
— оо —оо
612
ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
и, следовательно, соответствует тому же разложению единицы Eq(B)x =:
= £(s)lf?(s). Исследуем спектр оператора
Если Sq — точка сосредоточения меры /i, /i(so) > 0, то индикатор lj0(s)
одноточечного множества {$о} отличен от нуля в L2(R, В, II), так как его нор.
ма равна >Ш. 1|1{».}(*)112 = = К*о), и. следовательно,
Eq({t : t = So}) = 1{«о}(5) Ф 0* Поэтому А = 5о является собственным зна¬
чением оператора Qp. Соответствующее собственное подпространство Сг{3о)
представляет собой множество всех функций, отличных от нуля только в точ¬
ке So, и, следовательно, одномерно. Таким образом, все точки сосредоточения
меры /I являются собственными значениями оператора Qp и соответствую¬
щие им собственные йодпространства одномерны.
Если действительное А не является точкой сосредоточения меры но
fi({t : 11 — А | < £}) ф 0 при любом € > 0, то это А является точкой спектра
оператора Q^.
Бели существует такое € > О, что fi{{t I | ^ — А | < £}) = 0, то точка А
является регулярной точкой оператора Qp.
Пример 9.11. В примере 8.10 мы показали, что оператор дифферен¬
цирования по мнимому аргументу Д в L2(-R) унитарно эквивалентен опера¬
тору умножения на независимую переменную Q:
Di = FQF~\
где F — оператор Фурье — Планшереля. Отсюда следует, что оператор D(
имеет тот же спектр, что и оператор Q. Таким образом, оператор Di в Ь^{К)
не имеет собственных значений и любое действительное А принадлежит спек¬
тру Di. Все же комплексные А являются регулярными точками Д-. Чтобы
найти разложение единицы Ер., соответствующее оператору D{, подставим
в предыдущую формулу спектральное разложение Q из примера 9.9:
Di = 7 tFEQ(dt)F~l.
—оо
Отсюда приходим к выводу, что для любого множества В Е В
Ed.(B) = FEq(B)F-1.
Легко проверить, что эта операторная функция множества обладает всеми
свойствами разложения единицы и, следовательно, является спектральной ме¬
рой оператора Д. Чтобы получить явное выражение Ejy. (В), возьмем любую
функцию X = х(в) Е L^R) и преобразуем ее оператором F”1:
^ = F"I = 7гЛ11^1г{т)(‘г
§ 9.4. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 613
Тогда, принимая во внимание, что Eq(B)y = lj}(s)y(s), получим
FEo(B)F-',= jL£ j
— OO
x{1b^^ 71-Гт z(r) drW=
— 00
£ -oo
Таким образом, разложение единицы Ej).t соответствующее оператору диф¬
ференцирования по мнимому аргументу определяется формулой
В -оо '
9.4.3. Спектральное разложение унитарного оператора. Со¬
вершенно так же можно определить спектральную меру унитарного
оператора U и вывести его интегральное представление (9.86). Од¬
нако мы придем к этому другим путем.
Теорема 9.4.3. Любой унитарный оператор U в Н-пространстве
X определяет ограниченный самосопряженный оператор А =
= — i\nU, через который он выражается формулой
U = eiA. (9.117)
> Функции —ilne15 = s, s 6 [0,27г], соответствует операторная
функция — ilnU. Из (9.99) следует, что оператор А = —ilnU огра¬
ничен, так как | — i\nets | = s < 2я при s £ [0,27т] и, следовательно,
|| А || < 2тг. А так как функция —line15 = s действительная, то А
— самосопряженный оператор. Наконец, из ets = ехр{г(—line15)}
следует, что
U = exp{i(—ilnf/)} = е%А. <
Следствие. Любой унитарный оператор U допускает интеграль¬
ное представление
оо
U= J еиЕл(Л), (9.118)
— ОО
614 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
где Еа(В) — спектральная мера самосопряженного оператора А =
= —iln U .
> Это следует непосредственно из формул (9.110) и (9.117). <з
Напомним теперь, что оператор А ограничен и \\А\\ < 2w. Кроме
того, оператор А неотрицателен в силу того, что — line1* = 8 > 0 при
s £ [0,2тг], и в силу соответствия между функциями f(ets) и операто¬
рами /({/), установленного в п.9.3.3. Следовательно, на основании
теоремы 7.3.4 об ограниченности спектра ограниченного оператора
и теоремы 8.3.8 спектр оператора А сосредоточен целиком на ин¬
тервале [0,2тг]. По теореме 9.2.10 отсюда следует, что Ел(В) = 0 на
любом множестве В £ 5, не пересекающемся с интервалом [0,2тг].
Поэтому формула (9.118) может быть переписана в виде
2ж
U = J euEA{dt). (9.119)
О
Однако на основании (9.110) и результатов § 9.2.8 форму¬
лы (9.117) и (9.118) определяют унитарный оператор U при любом
самосопряженном операторе А. В этом случае для приведения фор¬
мулы (9.118) к виду (9.119) следует воспользоваться тем, что функ¬
ция е15 имеет период 2тг, и разбить область интегрирования на ин¬
тервалы длины 2тг. Тогда, вводя разложение единицы
I ОО
X) &а{В + 2кп), (9.120)
Jk=-oo
определенное на (Г-алгебре В\ борелевских множеств интервала [0,
2тг], представим формулу (9.118) в виде
2ir
U = J ei*Eu(dt). (9.121)
О
Ряд в (9.120) сходится в силу теоремы 8.4.6 о монотонных последо¬
вательностях проекторов.
Формулы (9.118) и (9.121) дают спектральное разложение (ин¬
тегральное представление) унитарного оператора U.
Разложение единицы Еи(В) называется спектральной мерой
унитарного оператора U. Операторная функция
Fu(t) = Eu([ 0,0)
(9.122)
§ 9.4. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
615
называется спектральной функцией унитарного оператора U.
Пользуясь спектральной функцией, можно переписать формулу
(9.121) в виде
2*
U = J e^dFvit). (9.123)
О
Из формулы (9.121) и результатов п.9.2.7 следует, что спект¬
ральная мера унитарного оператора полностью определяет его
спектр. Действительно, из (9.121) и теоремы 9.2.9 следует, что А
является собственным значением оператора U тогда и только то¬
гда, когда G{_j in л} ф {0}, т.е. значение спектральной меры опера¬
тора U на одноточечном множестве {—tinА} отлично от нулевого
оператора: Еи({—* In А}) ф 0. Из (9.121) и теоремы 9.2.10 следу¬
ет, что А является регулярной точкой оператора U тогда и только
тогда, когда существует такое е > 0, что = {0}, т.е.
Eu({t : | еet—А | < е}) = 0. Из этих двух фактов следует, что А являет¬
ся точкой спектра оператора U, отличной от собственных значений,
тогда и только тогда, когда при любом е > 0 G^i:| е •* —А |<е} Ф W’ Т е‘
Яс,({*:|ей-А|<е})*0.
Заметим теперь, что на основании результатов п.9.2.7 формула
2т
А\ = J tEu(dt)
о
определяет ограниченный самосопряженный оператор со спект¬
ральной мерой Ец(В), спектр которого полностью сосредоточен на
интервале [0,27т]. На основании формул (9.110) и (9.121) U = etAl. С
другой стороны, из (9.110) и (9.118) следует, что U = егЛ при любом
самосопряженном операторе А со спектральной мерой Ел• Таким
образом, доказана
Теорема 9.4.4. Оператор А в представлении унитарного опера¬
тора V (9.117) определен не однозначно. Формула (9.117) справедлива
для любого самосопряженного оператора А, спектральная мера ко-
торого Еа(В) связана со спектральной мерой Еи(В) оператора U
соотношением (9.120).
В частности, этому условию удовлетворяют все операторы, по¬
лучающиеся из А сдвигом спектра на 2Д:7Г (к = ±1,±2,...), так как
спектральная мера Ец(В) не изменяется при таких сдвигах. А так
616
ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
как
оо
оо
Ak = J tEA(dt + 2Jfejr) = J (t + 2kir)EA(dt + 2for)
— OO —OO
oo oo
—oo
oo
—oo
oo
—oo
— oo
= A - 2*тг/,
то формула (9.117) остается справедливой при прибавлении к опе¬
ратору А оператора 2kirl в полном соответствии с тем, что функция
е ** не изменяется при замене t на t + 2кп.
Так как для любой функции д(егХ) класса С функция g(U) = y(e#t)
представляет собой функцию класса С самосопряженного оператора
Л, то из формулы(9.110) вытекает формула
для любой функции g(elt) класса С.
Правая часть формулы (9.124) имеет смысл для любой измери¬
мой функции д(и). Поэтому естественно определить функцию g(U)
унитарного оператора для любой измеримой функции </(и) форму¬
лой (9.124).
Пример 9.12. В п.8.2.3 было показано, что оператор Фурье — План-
шерелл в L2(R) имеет собственные значения 1,1, —1,—t бесконечной крат¬
ности и им соответствуют собственные подпространства Gi, Gi, G_i, G-i,
образованные соответственно функциями Эрмита ОДг(0> ^4r+l(0* ^4г+2(0»
^4г+з(0 (** = 0, 1,2, . ..). Так как последовательность функций {^*(0} 1,0 д0'
казанному в примере 8.16 полна в L2(R), то ортогональная сумма собственных
подпространств Gi, Gi, G_i, G_i совпадает с L2(R), G\ ф Gi Ф
®G_i ф G—i = L2(R). Отсюда следует, что разложение единицы; соответ¬
ствующее оператору Фурье — Планшереля, полностью сосредоточено в точках
1, Z, —1, —i и определяется проекторами P\t Pi% P—i, -P-i на подпространства
Gi, Gi, G_i, G_, соответственно. Поэтому спектральное разложение (9.121)
для оператора Фурье — Планшереля принимает вид
оо
2ж
g(U)= j д{е“)Ел{М) = jg(eH)Eu{dt). (9.124)
—со О
F = Pi.+ iPi - P-i - iP-i.
§ 9.4. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
617
Таким образом, спектр оператора Фурье — Планшереля состоит из четы¬
рех точек 1, t, —1, —I. Все остальные значения А являются его регулярными
точками.
Любая функция £($) 6 Ь2(И) выражается разложением по функциям
Эрмита:
ОО 1 оо
*(«) = = 2кк\уД_10 *(•)»»*(*)*•
Ее проекции нк подпространства G1, G*, 1, равны соответственно
Ef(1)x = Pix(s) = £ a4r<p4r(s),
r=0
00
EF{i)x = Pix(s) = £ ar4r+ip4r+i(s),
r=0
00
£f(“1)* = = £ «4r+2y>4r+2(s),
r=0
00
EF(~i)x = P-ix(s) = 22 »4г+з¥’4г+з(«)-
r=0
Преобразование Фурье — Планшереля функции *p(s) согласно полученному
результату определяется формулой
оо
F*(8) = Е [«4rV>4r(s) + m4r+1^4r+i(s)-
r=0
-<*4г+2^4г+2(«) “ Н*4г+ЗУ>4г+з(«)]-
9.4.4. Спектральное разложение группы унитарных опера¬
торов. Рассмотрим множество унитарных операторов {UT}, т Е R>
обладающее следующими свойствами:
l)UQ = l;
2 )UTUa = UT+*;
3) числовая функция (UTxyy) переменной г непрерывна при лю¬
бых ху у £ X.
Это множество операторов представляет собой однопараметри¬
ческую непрерывную коммутативную (абелеву) группу.
618 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Теорема 9.4.5. Все операторы группы {UT} представляют собой
степени оператора U = U\i
UT = VT. (9.125)
> Положив в 2 <т = г, будем иметь U2t = U2. После этого по
индукции получаем (7ПТ = (/” при любых натуральных п. Положив
п = д, г = 1/д, получаем ?7i/g = i/У* = t/1^ для любого натурально¬
го q. Положив после этого п = р, г = 1/д, находим C/p/g =
для любых натуральных р и q. Таким образом, формула (9.125)
справедлива для всех рациональных г. Заметим теперь, что вслед¬
ствие непрерывности функции (UTx,y) для любой последовательно¬
сти {гп}, сходящейся к г, [UTnx,y) —► (UTx,y) при любых ж,у € X и
поэтому
|| UTmx - UTx||2 = ||иТшх||2 ~(UTnх, VTx) - (UTx, UTnx)+
+ \\UTx\\2= 2 ||*||2 ~{UTux, UTx) - (VTx, UTnx) ->О,
поскольку (UTnx, UTx) —► ||UTx||2 = ||х||2. Следовательно, {/Гла: —► UTx
при любом х £ X. Взяв произвольную последовательность раци¬
ональных чисел {гп}, сходящуюся к г, получим UTn = UTn —► UT в
сильней топологии пространства В(Х) ограниченных линейных опе¬
раторов на X. С другой стороны, в силу непрерывности функции
е*т* и формулы (9.124) UTn = UTn —► t/T. Следовательно, UT = t/T для
любого г. «
Следствие. Любая непрерывная однопараметрическая коммута¬
тивная группа унитарных операторов допускает интегральное пред¬
ставление
00
Ur = J eiTtEA(dt), (9.126)
— 00
где Еа(В) — спектральная мера оператора А в представлении (91117)
оператора U = U\ (теорема Стоуна).
> Поскольку UT = t/r, формула (9.126) следует непосредственно
из (9.124). <з
Фсрмула (9.126) дает спектральное разложение (интегральное
представление) однопараметрической группы унитарных операто¬
ров.
§ 9.4. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
619
Пользуясь спектральной функцией ^U(t), определяемой форму¬
лой (9.109), можно переписать формулу (9.126) в виде
00
Ur= j eiTidFA{t). (9.127)
-00
Пример 9.13. Рассмотрим оператор сдвига UT в пространстве
L2(-R)i сопоставляющий любой функции s(s) G Ь2(Д) функцию a?(s-f-r). Оче¬
видно, что UT — унитарный оператор. Множество операторов {UT}, соответ¬
ствующих всем сдвигам Г, образует коммутативную группу, так как Uq = /,
Ur+o ~ UTU<j. При этом для любой непрерывной функции я($) G L2(R)
|| UTx — х ||2 = /| a:(s + г) — a:(s) |2rfs —► 0 при г —► 0.
— 00
Вспомнив, что множество непрерывных функций плотно в L2(R)t приходим к
выводу, что для любой функции 2(5) G Ь2(Д) и любого С > 0 можно найти
такую непрерывную функцию y(s) G L2(R), что || X — у || < е/3. Тогда, в
силу неравенства
\\итх-х\\<\\итх-UTy\\ + \\UTy-y\\ + || У — *||>
будем иметь || UTX — X || < € при всех Г, при которых || UTУ *"* У || < е/3. При
этом для любых функций я(б), y(s) G L2(R) будет
I (UT.x, у) - (UTXt у) I = I (Ut(Ut'-tX - X), у) I <
<\\Ur'-Tx - х\\\\у\\< е \\у\\
при всех т\ достаточно близких к г. Следовательно-, при любых X, у функция
(UTX,y) переменной Г непрерывна.
Таким образом, группа сдвигов {UT} является непрерывной однопараме¬
трической коммутативной группой. Поэтому все операторы сдвига t/r могут
быть представлены спектральным разложением (9.126). Чтобы определить
разложение единицы Ед, соответствующее группе сдвигов {UT}, заметим,
что для любой неограниченно дифференцируемой функции x(s), принадлежа¬
щей вместе со всеми своими производными пространству L2(R),
UTx = z(s + г) = £ £}• *(")(«) =
п=0
620 ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
= Ё &F-D?x(s) = *<tD‘*-
n=0
Отсюда видно, что оператор сдвига UT представляет собой функцию е irDi от
оператора дифференцирования Di по мнимому аргументу. Поэтому разложе¬
ние единицы Ejсоответствующее группе сдвигов, совпадает с разложением
единицы Ej). оператора Z?i, полученным в примере 9.11, и
, Ur = eirDi = erD = / eiTtED.(dt).
— оо
При этом, несмотря на то, что равенство UTX = eirD*X получено не на всем
пространстве Ь2(К), оно справедливо вследствие ограниченности оператора
еirD* для.всех X (продолжается по непрерывности на все L2(R)).
Полученное выражение всех операторов сдвига через оператор дифферен¬
цирования часто используется в теории уоравления.
9.4.5. Спектральное разложение нормального оператора.
Нам осталось получить спектральное разложение произвольного
нормального оператора.
Пусть Т — нормальный оператор. Очевидно, что операторы
Т + Т* л Т — Т*
Al = —2~’ М = ——
являются самосопряженными операторами и поэтому могут быть
представлены спектральными разложениями (9.111):
оо оо
А\ = J tEi(dt), А2 = J tE2(dt)y
— оо —оо
где Ei и Е2 — соответствующие спектральные меры. Заметив, что
Т ^ А\ + iA2f получаем
оо оо
Т= J tEi(dt) + i J tE2(dt). (9.128)
Так как операторы А\ и А2 коммутативны, то по доказанному в кон¬
це п.9.3.5 любые функции операторов А\ и А2 коммутативны. В
частности, коммутативны их спектральные меры Е\(В\) = 1 вх (-Ai) и
§ 9.4. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
621
#2(^2) = 1jB3(^2)- Следовательно, имея в виду, что E\(R) = ^(Д) =
= /, и изменив обозначение переменной интегрирования во втором
интеграле, можем переписать (9.128) в виде
00 оо
т= j tEi(dt)E2(R) + i J sE2(ds)Ei(R) =
— ОО —ОО
ОО ОО ОО ОО
-// tE\{dt)E2{ds) *4* i II sE\(ds)E2(ds) =
00 00
-//
{t + is)Ei{dt)E2(d8). (9.129)
В силу коммутативности E\ и E2 произведение Ei(B)E2(B) при лю¬
бых множествах Bi%B2 G В представляет собой проектор. Легко
убедиться в том, что операторная функция множества, определен¬
ная формулой
Ет(Вг) = Е1{В1)Е2(В2) (9.130)
на полуалгебре прямоугольников комплексной плоскости С, обла¬
дает и всеми другими свойствами разложения единицы. Бе можно
продолжить до операторной меры Et(F) на <т-алгебре С борелев-
ских множеств комплексной плоскости С. Для этого заметим, что
для любых непересекающихся множеств В\УС\ € й и £ В
Ei(Bi)E2(B2) и Ei(Ci)E2(C2) представляют собой проекторы на ор¬
тогональные подпространства. Следовательно, на основании тео¬
ремы 8.4.3 о сумме проекторов можно продолжить меру Ет на алге¬
бру Во конечных объединений прямоугольных множеств комплекс¬
ной плоскости С. После этого, применяя теорему 8.4.6 о монотон¬
ных последовательностях проекторов, можно продолжить меру Ет
последовательно на класс В\ счетных объединений и пересечений
множеств алгебры Во, затем на класс В2 счетных объединений и пе¬
ресечений множеств алгебры В\ и так далее (п.2.1.5). В результате
мера Ет будет продолжена на (г-алгебру С борелевских множеств
комплексной плоскости С, и формула (9.129) примет в^ид
оо оо
г-// (t + is)ET(dtds) = J zET(dz)y (9.131)
622
ГЛ. 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
где dz следует понимать как Элемент площади комплексной плоско¬
сти С.
Впрочем, нет никакой необходимости в том, чтобы мера Ет бы¬
ла определена на (Т-алгебре С борелевских множеств комплексной
плоскости С\ Достаточно рассматривать интеграл в (9.131) как ин¬
теграл по аддитивной операторной мере Ет, определенной на алге¬
бре множеств Во.
Таким образом, доказана
Теорема 9.4.6. Каждому нормальному оператору Т соответ¬
ствует разложение единицы Ет, через которое этот оператор вы¬
ражается спектральным разложением (9.131).
Разложение единицы Et(F) естественно назвать спектральной
мерой нормального оператора Т.
ЗАДАЧИ
9.4.1. Написать в явном виде разложение единицы для компактного нор¬
мального оператора задачи 9.1.2.
9.4.2. Рассмотрим самосопряженный интегральный оператор в простран-
стве L2(X), X С Я":
Ах = f K(s, u)x(u)du, K(u,s) = K(s, u). -
Написав разложение единицы для этого оператора формально в виде
/ 1
Ел (В)х = feA(B;s, u)x(u)du, (*)
где ед(2); £, и) — мера со значениями в пространстве функций двух перемен¬
ных 5, tl, найти условия, которым должна удовлетворять мера ед(2?; 5, tl) для
того, чтобы формула (*) определяла разложение единицы. Показать, что этим
условиям удовлетворяет мера
eg(S; 5, ti) = j(u - s)
примера 9.9 и мера
eDi(B-,8,u)= ^feie^da
В
примера 9.11. Первый из этих примеров показывает, что мера ед в (*) может
быть мерой со значениями в пространстве обобщенных функций.
§ 9.4. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
623
9.4.3. В условиях задачи 9.4.2 найти спектральное разложение ядра
K(sfu) самосопряженного интегрального оператора А, соответствующее
спектральному разложению (9.111) этого оператора.
9.4.4. Обобщить результаты задач 9.4.2 и 9.4.3 на нормальные интеграль¬
ные операторы.
9.4.5. Найти меры е и соответствующие спектральные разложения ядер
компактных самосопряженных операторов.
ГЛАВА 10
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
§ 10.1. Дифференцирование операторов и функционалов
10.1.1. Сильные дифференциалы и производные. Пусть
f(x) — функция (оператор), отображающая нормированное линей¬
ное пространство X в нормированное линейное пространство У.
Если разность f(x + 6х) — f(x) допускает в некоторой окрестности
точки х представление
f(x + 6х) - f(x) = Тбх + о(|| 6х ||),
где Т — ограниченный линейный оператор, Т G В(Х, У), то вели¬
чина df(x) = Тбх называется сильным дифференциалом или диффе¬
ренциалом Фреше функции /, а оператор Т — сильной производной
или производной Фреше функции / в точке х и обозначается /'(х).
При этом функция / называется сильно дифференцируемой или диф¬
ференцируемой по Фреше в точке х. Функция / называется сильно
дифференцируемой на множестве А, если она сильно дифференци¬
руема в каждой точке множества А.
В частном случае, когда функция f(x) представляет собой огра¬
ниченный линейный оператор, f(x) = Тх, ее сильная производная
совпадает с оператором Т, /;(х) = Т.
Пример 10.1. Сильный дифференциал функции у = /(я), отобража¬
ющей П-мерное пространство Rn в m-мерное пространство Rm, определяется
формулой
df(x) = /'(*) Ьх ,
где /;(х) — матрица производных координат векторной функции /(х) по ко¬
ординатам вектора X< Функция /(х) сильно дифференцируема (в точке X, в
области А), если существуют первые производные всех ее координат по всем
координатам вектора X.
Пример 10.2. Пусть-А — ограниченный линейный оператор, отобра¬
жающий нормированное линейное пространство X в пространство В(Х, У)
линейных операторов, отображающих X в нормированное линейное простран¬
ство У. В этом случае при любом X Е X величина Ах представляет собой
§ 10.1 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
625
оператор, отображающий X в У, а величина (Ali)x2 при любых Xi, Х2 € X
представляет собой элемент пространства Y. Оператор А можно рассматри-
вать как ограниченный билинейный оператор, отображающий произведение
пространств X2 = X X X в У. Рассмотрим функцию /(х) = (Лх)х. Без
потери общности можно считать оператор А симметричным в том смысле,
что
(Ах2)xi = (Axi)x2 х2 € X .
Действительно, величина (Ах2)х\ при фиксированном Х\ представляет собой
результат действия некоторого линейного (ограниченного) оператора на век¬
тор х2 Е X. Этот оператор, конечно, зависит от Х\, причем эта зависимость
линейна. Поэтому его можно обозначить через Вх\. Тогда получим
(Ах2)х 1 = (Вхi)x2 •
Положив С — (А + В)/2, будем иметь при любых Х\ и х2
(Сх\)х2 = [(i4xi)x2 + (Вх\)х2] /2 = [(i4®i)x2 -I- (Ах2)х{\ /2,
(Ca?2)*i = [(Ах2)х\ + (Bx2)a?i] /2 = [(j4x2)xi + (Axi)x2] /2.
Таким образом, оператор С имметричен и
(Сх)х = (Ах)х.
Этот результат является обобщением известного положения о возможности
приведения матрицы квадратичной формы в пространстве Rn к симметричной
матрице.
Считая оператор А симметричным, в силу его ограниченности получаем
(А(х -I- йх))(х + 6х) = (Ах)х + 2(Ах)6х + о(|| 6х ||).
Отсюда видно, что функция f(x) = (Ах)х дифференцируема и ее производная
равна 2Ах Е В(ХУ У).
В частном случае ограниченного самосопряженного оператора А в
//-пространстве производная квадратичного функционала (Лх, х) определя¬
ется формулой (Лх,х)' = 2Лх.
Пример 10.3. Рассмотрим нелинейный интегральный оператор
F(x) = //(<»г. *(r)) ,
626
ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
где f(t, Т, х) — непрерывная функция, имеющая непрерывную производную
/,(*, Т, х) no X при любых t, Т, а Ц — конечная мера. Так как
F(x + 6х) - F(x) = /[/(<, г, х(т) + 6х(т)) - f(t, т, *(г))] ц{<1т) =
= //*(<, т, *(т)) 6х{т) n(dr) + о(| 6х{т) |),
то оператор F(x) дифференцируем в точке X = x(t), если функция /г(£,Т,
а?(г)) 6х(т) переменной Г /i-интегрируема при любом t. В случае, когда X
есть пространство С(Т) непрерывных функций на компакте Т, для этого до¬
статочно, чтобы функция fx(tt Т, х) переменной Т при любых t и X была огра¬
ничена почти всюду на Т относительно меры fi. В случае, когда X есть ле¬
бегово пространство Lp(AtAtfi), р > 1, для этого достаточно, чтобы функ¬
ция /*(£, Т, х(т)) при любом t была элементом пространства (д,«4, /i), где
g = р/(р — 1) (п.3.7.2). Само собой разумеется, в обоих случаях необходимо,
чтобы функция /(£, Т, х) была дифференцируемой по X. При этом в обоих1 слу¬
чаях производная оператора (отображения) F представляет собой линейный
интегральный оператор
F'(x) = //*(<. т>*(г)) • . (Ю-1)
с ядром K{t,r) = /*(£, Т, х(т)) (точкой показано место функции-аргумента
оператора — в данном случае 6х(т)).
В случае векторных функций х(т) и /(£,Т, х) /х(£,Т, х) представляет
собой матрицу первых производных координат векторной функции / по коор¬
динатам вектора X.
Пример 10.4. Бели функционал /(х) на пространстве С(Т) непре¬
рывных на компакте Т скалярных функций дифференцируем в точке X = х(£),
то на основании теоремы Рисса 6.4.4 его производная /*(х) как непрерывный
линейный функционал определяется формулой
f (*) = f •/*№;*), (10.2)
Т
где ц(В') х) — конечная регулярная мера, определенная на (Т-алгебре борелев¬
ских множеств В компакта Т (конечно, зависящая от X в случае нелинейного
функционала /).
В частном случае, когда Т представляет собой компакт пространства Rn
и мера fi абсолютно непрерывна относительно меры Лебега в Rn в точке X —
= x(t), формула (10.2) принимает вид
f'{x) = fmx)dt,
т
(10.3)
§ 10.1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ 627
где /;(t; X) — производная Радона — Никодима меры ц(В] х), В £ В, по мере
Лебега в Rn (п.3.6.3). При этом дифференциал (сильный) функционала /(х)
определяется формулой
df(x) = /'(я) 6х = //'(*; х) 6x(t) dt. (10.4)
т
Сравнив эту формулу с известной формулой в случае ГП-мерного вектора X,
т
*=1
видим, что функция /7(£; х) при каждом фиксированном t играет роль частной
производной функционала /(х) по значению функции x(t) в данной точке t.
При этом t играет роль индекса к (номера координаты вектора х).
Функция /'(£; х) в (10.3) и (10.4) называется функциональной производной
функционала /(х). Это понятие ввел Вольтерра в качестве аналога понятия
частной производной функции конечномерного векторного аргумента по коор¬
динате этого векторного аргумента.
10.1.2. Дифференцирование сложной функции. Известная
в математическом анализе формула дифференцирования сложной
функции обобщается на сильные производные функционалов и опе¬
раторов.
Теорема 10.1.1. Если функция у = /(х), отображающая норми¬
рованное линейное пространство X в нормированное линейное про¬
странство Y, дифференцируема в точке хо, а функция z = g(y), ото¬
бражающая Y в нормированное линейное пространство Z, диффе¬
ренцируема в точке уо = /(хо), то функция gf(x) = g(f(x)) (компо¬
зиция отображений fug) дифференцируема в точке хо и
о) = g'(f(x о)) /'(хо) • (Ю.5)
> Из дифференцируемости / следует
Уо + 6у = f(x о + 6х) = /(lo) + f'(xo) Ьх + о(|| 6х II),
а из дифференцируемости g следует
д(уо + 6у) = д(уо) + д'(уо) бу + 411 h II) •
Подставив сюда предыдущее выражение уо + Sy и учитывая ограни¬
ченность операторов /'(хо) и </;(уо), получаем
g(f(x о + 6х)) = g{f(x о)) + g\f(x о))[/'(*о) 6х + о({| 6 х ||)]+
628 ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
+°(11 /'(*0) 6х + о(|| 6х II) II) = g(f(x0)) + g'(f(x 0)> f'(x 0) Ьх + о(|| 6 х ||).
Отсюда следуют существование производной (gf)* (а:) в точке х0 и
формула (10.5). <
Пример 10.5. Если пространство У в примере 10.2 и в задаче 10.1.1
представляет собой поле скаляров К, то для любой дифференцируемой функ¬
ции <?(s) скалярной переменной 5 производная функции A(x) = g(f(x)) r=
= д(Ахп) определяется формулой
h'(x) = ng'(Axn)Axn-1.
Эта формула верна и в случае произвольного нормированного линейного про¬
странства Y и произвольного дифференцируемого отображения д простран¬
ства Y в нормированное линейное пространство X.
В частном случае квадратичного функционала (Ах, х) в действительном
/Г-пространстве X предыдущая формула дает
Л'(х) = 2д'((Ах, х)) Ах.
При А = I и 0(e) = получаем А(х) = ||^||Р= (я> х)р/2 и
л'(*) = р(*. *)р/2-1* = р II * IIя-2 * •
10.1.3. Формула конечных приращений. Следующая теоре¬
ма дает обобщение известной формулы конечных приращений Ла¬
гранжа.
Теорема 10.1.2. Если функция /(х) имеет непрерывную произ¬
водную /'(х) во всех точках некоторого выпуклого множества S, то
для любых хо, х G S справедлива формула
1
/(х) - /(хо) = J /'(хо + t(x - х0))(х - Хо) dt. (10.6)
о
> Для доказательства рассмотрим функцию ip(t) = /(хо + *(х—
—хо)) действительной переменной t € [0,1]. Вследствие выпуклости
множества S xq + t(x — Хо) Е S при всех t Е [0,1]. Поэтому функция
f(z) имеет непрерывную производную при z = хо + t(x — хо) при
§ 10.1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ 629
всех t 6 [0,1]. Вследствие этого и функция <p(t) имеет непрерывную
производную при t € [0,1]. На основании формулы (10.5)
= /4*0 + <(* - *о))(я - *о) •
Интегрируя эту формулу по t и пользуясь формулой Ньютона —
Лейбница (7.23), получаем
/(*о + 1 • (а: - хо)) - Л*0 + 0 • (* — *<>)) = /(*) - /(*о) =
х
= J f'(xо + t{x - *о))(* - *о) dt,
О
т.е. формулу (10.6). <
В частном случае, когда /(а?) представляет собой функционал,
/;(аго -h^(a?—хо))(а?—а?о) есть числовая функция. Поэтому к интегралу
в (10.6) можно применить теорему о среднем. В результате формула
(10.6) примет вид
/(ж) — /(so) = /'(*(> + 0(х ~ *о))(* — х0) , (Ю.7)
где в — некоторое число из интервала (0,1). Таким образом, для
функционалов на нормированных линейных пространствах справед¬
лива обычная формула конечных приращений Лагранжа. В общем
случае оператора /(ж) теорема о среднем неприменима к интегралу
в (10.6).
10.1.4. Слабые дифференциалы и производные. Пусть X и
У — топологические линейные пространства, у = f(x) — функция,
отображающая X в У. Если существует предел
[jtf{x+tSx)
_ lim f(x + t6x) - f(x)
1=0 ‘-0 *
в топологии пространства У, то он называется слабым дифференциа¬
лом или дифференциалом Гато функции /(ж) в точке ж по направле¬
нию 6х и обозначается 6/(ж,6ж):
6f(xy6x) = [df(x + t6x)/dt\iz:0 . (10.8)
В частном случае, когда при всех 6х существует такой непрерыв¬
ный линейный оператор Т, что 6f(xy6x) = Тбх, этот оператор Т
630 ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
называется слабой производной или производной Гато функции /(я)
в точке х и обозначается /'(я). Функция f(x) в таком случае назы¬
вается слабо дифференцируемой или дифференцируемой по Гато. В
общем случае слабый дифференциал 6f(xy 6х) может не быть линей¬
ной функцией 6х. Таким образом, из существования слабого диффе¬
ренциала функции не следует ее слабая дифференцируемость.
10.1.5. Связь слабой дифференцируемости с сильной. В
частном случае нормированных пространств X и У можно говорить
и о слабой и о сильной дифференцируемости функции. Естественно
возникает вопрос, как связаны эти два вида дифференцируемости.
Терема 10.1.3. Всякая сильно дифференцируемая функция слабо
дифференцируема, и ее сильная и слабая производные совпадают. '
> Если функция f(x) сильно дифференцируема в точке х, то
где ff(x) — сильная производная функции f(x). Отсюда при любом
фиксированном 6х находим
Эта формула показывает, что функция f(x) слабо дифференцируема
и ее слабая производная равна f(x). <
Обратное заключение неверно: слабо дифференцируемая функ¬
ция может не быть сильно дифференцируемой.
Пример 10.6. Рассмотрим интегральный оператор примера 10.3 в
случае двумерной векторной функции х(<) = [®l(0 ®2(0Р* и лебеговой ме-
/(х + 6х) = /(х) + /'(х) Ьх + о(|| 6х II)
[/(х + tSx) - /(х)] ft - /'(х) Ьх + o(t),
и, следовательно* существует слабый дифференциал
6/(ж, 6х) = f'(x) 6х.
1
Нх) = / /(s.г. Мт). *2(1-)) dr,
о
где
§ 10.1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ 631
и С ф 0. В этом случае функционал F(x) слабо дифференцируем в точке
X = 0, так как
F(t6x)~ F( 0) _ f f(s, т, tSxijr), t6x2(r)) - f(s, r, 0,0) _
* J t
0
1
= J[ch6xi(t) + а26х2(т)] dr
о
при любых $Xi(r)y 6х2(т) и при всех достаточно малых t. Слабая производ¬
ная функционала ^(х) представляет собой линейный интегральный оператор,
ядром которого служит постоянная матрица-строка [diСКг]* Однако функцио¬
нал F(x) не имеет сильной производной, так при сколь угодно малых 6х\(т)
И 6х2(т) = [£xi(t)]2
1
F{6x) - F(0) = J[aiSxi(r) + а26х2(т) -f c] dr =
о
l
= J[ai6a?i(r) + а26х2(т)) dr + c.
Приведенный пример показывает, что для сильной дифференци¬
руемости функции в данной точке ее слабая дифференцируемость в
этой точке недостаточна. Однако справедлива
Теорема 10.1.4. Если функция f(x) слабо дифференцируема в не¬
которой выпуклой окрестности S точки х и ее слабая производная
непрерывна в точке ху то существует сильная производная функции
f(x) в точке х, совпадающая с ее слабой производной.
> Пусть f'{x) — слабая производная функции f(x). Рассмотрим
разность
а(х} 6х) = f(x + 6х) — f(x) — f*(x) 6х .
Выберем 6х настолько малым, чтобы точка х + t6x принадлежала
окрестности S точки х при всех t Е [0,1]. *В этом случае числовая
функция (p(t) = gf(x + t6x) переменной t дифференцируема при всех
t Е [0,1] при любом функционале g Е У*, так как
lim <Р(* + ~ ¥>(*) = lim 9[f(* + (t + *t)Sx) - /(ж + t6x)\ _
0 At Д<—0 At
632 ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
= gf'(x + t6x)6x
вследствие слабой дифференцируемости функции /(ж) в окрестно¬
сти S точки х и ограниченности функционала д. Таким образом,
<p'(t) = gf'(x + tSx)Sx. Применив к функции <p(t) формулу конечных
приращений Лагранжа, будем иметь
Р(1) - ¥>(0) = <р'(!о)
при некотором to € [0,1], или
g[f(x + 6х) - /(а?)] = gf'{x + t06x)6x
и
да(х, 6х) = g[f'(x + t06x) - f'(x)] 6х.
Отсюда следует
1ММ*)|<1Ы111/'(* + *оЯ*)-/'(*)||||И1 . (10.9)
Будем теперь рассматривать да(ху6х) при фиксированных х и 6х
как линейный функционал от д. Норма этого функционала равна
|| ог(аг9 || (п.6.1.3). По определению (5.14)
Из этой формулы следует, что существует функционал д G У*, для
которого \да(х,6х)\ / ||^|| как угодно близко к ||с*(ж, 6ж)|| и, следова¬
тельно,
||Qr(sc,баг)|| < с\да(х,6х)\/ ||^||
при некотором с > 1. Отсюда и из (10.9) находим
|| а(х, 6х)|| < с || f\x + t0Sx) - f(x) || || Sx || = o(|| 6x ||)
вследствие непрерывности f(x) в точке x. Таким образом,
f(x + Sx) = f(x) + f'(x)Sx + a(x, Sx) = f{x) + f(x)6x + o(|| Sx ||),
что и доказывает сильную дифференцируемость функции /(ж) в точ¬
ке х и совпадение ее сильной производной со слабой. <
§ 10.1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ 633
Заметим еще, что формула (10.5) дифференцирования сложной
функции в общем случае неверна для слабых производных. Однако
справедлива
Теорема 10.1.5. Если /(ж) — непрерывная линейная функция,
/(ж) = Ах и функция д(у) слабо дифференцируема в точке уо = Ах о,
то функция gf(x) = g(Ax) слабо дифференцируема в точке хо и ее
слабая производная в этой точке определяется формулой 10.5):
($Л'(* о) = д'(Ах0)А. (10.10)
> Действительно, в этом случае слабый и сильный дифференци¬
алы функции /(ж) = Ах совпадают и 6у = 6/(ж) = ASx. Поэтому
[tf(yo + t6y) - g(yo)]/t = [g{Ax0 + tASx) - g(Ax0)]/t.
Переходя к пределу при t —+ 0, пблучаем
6д(уо, 6у) = д,(Ах0)А6х.
Отсюда видно, что функция д(Ах) слабо дифференцируема в точке
хо и ее слабая производная определяется формулой (10.10). <
10.1.6. Дифференциалы и производные высших порядков.
Дифференциалы и производные высших порядков определяются
обычным путем. Дифференциалом второго порядка функции у = /(ж)
называется дифференциал ее дифференциала
d2f(x) = d[df(x)].
Производной второго порядка или второй производной функции /(ж)
называется производная ее производной
/"(*) = [/'(*)]'•
Дифференциалом порядка р функции /(ж) называется дифференциал
ее дифференциала (р — 1)-го порядка
d>f(x) = d[cr-1f(x)).
Производной порядка р или р-й производной функции /(ж) называется
производная ее (р — 1)-й производной
/(р)(*) = [/(р-1)(*)Г-
634 ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
, Ясно, что р-я производная представляет собой р-линейный опе¬
ратор, все аргументы которого совпадают с 6х> т.е. оператор р-й
степени, так что
d?f(x) = fb\x)6xr. (10.11)
При этом мы применяем то же обозначение для результата действия
р-линейного оператора на совпадающие значения всех его р аргу¬
ментов, что и в примере 10.3 и в задаче 10.1.2.
Все приведенные определения относятся как к сильным диффе¬
ренциалам и производным, так и к слабым. В частности, слабый
дифференциал р-го порядка функции /(х) определяется формулой
6pf(x, 6х) = [^/(* + •
Пример 10.7. Рассмотрим функционал /(х) примера 10.4 в случае,
когда его производная определяется формулой (10.3). Предположив, что про¬
изводная функционала /;(£', х) тоже выражается формулой вида (10.3), нахо¬
дим
/'(*, х + 6х) - /'(*, х) = / /"(*, s; х) £x(s) ds + о(| 6х |)
т
и,следовательно,
[/'(* + 6х) - f'(x)]6x = /[/ /"(<, s; х) Sx(s) ds + о(| 6х |)] 6x(t) dt.
т т
Отсюда находим
d2f(x) = f"(x)bx2 = f f f,,(tis;x)6x(t) 6x(s)dtds.
TT
Таким образом, вторая производная функционала f(x) представляет собой
квадратичный функционал вида
/"(*) = / / /"(<> *;*)••dt ds.
тт
где точки означают места, где должны быть подставлены значения функции
6х при значениях t и S аргументов. Функционал fN{t,S\x) от X, зависящий
от t и S как параметров, называется второй функциональной производной функ¬
ционала /(х).
По индукции находим р-й дифференциал функционала /(х)
(Pf(x) = fb\x)6x? =
§ 10.1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
635
= /••/ f(p4h,...,tp\x)6x(t1)...6x(tp)dtl...dtp, (10.12)
т т
где функционал t\,.. . ,tpjx) от X называется р-й функциональной произ¬
водной функционала /(х).
Легко доказывается, что в случае, когда функциональная производная
р-го порядка при любой функции x(t) является непрерывной функцией пара¬
метров ti, . . ., tpy она симметрична относительно t\y . .., <р. Достаточно дока¬
зать это для р = 2. В этом случае, очевидно,
I = / /[/"(*>я) — /;/(5> я)] 6x(t) 6x(s) dt ds = О
T Т
для любой непрерывной функции 6x(t). Предположив, что fH(tо,5о>я)“”
—fH(sо, ^0i х) > О при некоторых tо, «о» будем иметь /;,(/, х) —//;(s, х) >
> 0 в некоторой окрестности точки tо, $0» И “ ^0 |< | 5 — So |< Взяв
бх(^) > 0 при | t — to |< 6 и при | t — 5о |< i и 6х(£) = 0 вне интервалов
\t — ^о |< в* | ^ ^0 |< будем иметь I > О, что невозможно. Точно так же
доказывается, что /"(<>*, *)-/"(м,*) не может быть нигде отрицательной
на множестве (компакте) X*2 ~ Г X Г.
Это свойство функциональных производных вполне аналогично незави¬
симости смешанных производных функции конечномерного векторного аргу¬
мента от порядка дифференцирования.
10.1.7. Формула и ряд Тейлора. Обобщение формулы Тей¬
лора на функции (отображения) в линейных пространствах дается
следующей теоремой.
Теорема 10.1^. Если функция у = /(х), отображающая норми¬
рованное линейное пространство X в нормированное линейное про¬
странство Y, имеет во всех точках некоторого выпуклого множе¬
ства S непрерывные производные до порядка п-f-l включительно, то
при всех х, х + 6х € S справедлива формула Тейлора
f{x + it) = /(х) + f'(x)6x + . . • + ^/<п)(*)6хП + Д„ • (10-13)
п\
где остаточный член Rn определяется формулой
1
Rn = Rn{x,6x)=^j(l-t)nf(n+l\x + t6x)6xn+ldt. (10.14)
о
636 ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
> При п = 0 формулы (10.13) и (10.14) дают выведенную ранее
формулу конечных приращений (10.6). Поэтому для доказательства
теоремы можно применить метод индукции. Предположив, что она
верна для п — 1, будем иметь
/'(*+**) = f(z)+f'\x)6x+-+7—!-T::f(nHx)6zn-1+Rn-i, (10.15)
(п - 1)!
где
1
Дп.г = *„_,(*,**) = ^4т)Т j(1 -t)"-lfin+1\x + t6x)6xndt. (10.16)
о
Подставив (10.15) в формулу конечных приращений (10.6), находим
1
/(х + 6х) — /(х) = J /'(х + t6x) 6xdt =
0
1
= f(x)6x + i/"(ar) 6х2 + ■ ■ ■ + ^/(п)(*) Ьхп + J Rn-xix, tSx) Ьх dt.
О
Таким образом, доказана формула (10.13) с
1
Rn = Rn(x1 6х) = J Rn-\{xytbx)bxdt. (10.17)
о
Чтобы дрказать формулу (10.14), изменим в (10.16) обозначение пе¬
ременной интегрирования и заменим 6х на tSx. Тогда получим
\
1
Rn-x{xytbx) = j-l—J(l-a)n-1f<n+lXx + ts6x)tr Ьхп ds =
О
i
= 7 ^-ггт [(t — u)n-»/("+l)(x 4. ubx) Ьхп du.
(n - 1)! J
§ 10.1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ 637
Подставив это выражение в (10.17), будем иметь
1
Rn = J Rn-i(x, tSx) 6х dt =
о
i t
= -—~\у. J ^ ti)n”1/^n+1^(a? -|- ибх) 6xn+xdu =
о о
1 1
= -—J f^n+1\x + u6x)6xn+1du J(* — u)n~xdt =
0 и
1
= ^jj( 1 ~ «)"/(п+1)(* + vSx) 6xn+1du.
о
Эта формула отличается от (10.14) лишь обозначением переменной
интегрирования. <
Следствие. В частном случае, когда f(x) представляет собой
функционал, формула (10.14) для остаточного члена может быть пе-
реписана в виде
Rn = Rn(x, 6х) = —L-/(n+1)(* + вЬх) 6хп+1, (10.18)
(п + 1)!
где в £ (1,0).
> Так как в этом случае /(n+1)(a?-H6x)6sn+1 — числовая функция
и 1 — t > 0 при t G [0,1], то к интегралу в (10.14) можно применить
теорему о среднем. Тогда получаем
1
j( 1 - 0n/(n+1)(* + t6x)6xn+1dt =
»zn+1
1
= /("+1>(* + 06x)6xn+1 f(\ - t)n dt = —Ц-/(n+1)(j; + e6x)6i
J n -f 1
0
Подставив это выражение интеграла в (10.14), получим (10.18). <з
Если функция f(x) бесконечно дифференцируема и Rn —► 0 при
п —► оо, то (10.13) дает разложение функции f(x) в.ряд Тейлора
f{x + 6z) = 'j>2±ifikHx)6xk. (10.19)
*=о к•
638
ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Заметим, что в условиях теорем 10.1.2 и 10.1.6 вследствие тео¬
рем 10.1.3 и 10.1.4 требование существования сильных производных
и требование существования слабых производных полностью экви¬
валентны.
На основании формулы (10.11) для дифференциалов различных
порядков формулу Тейлора (10.13) можно переписать в виде
f(x + 6x) = f(x) + '£lidkn*) + Rn,
* = 1
где
1
Rn = Rn(x, 6x) = ±J( I- t)n<f*+1/(x + tSx) dt.
Пример 10.8. В случае конечномерного пространства X = Rm лю¬
бой П-линейный оператор А при одинаковых значениях его П аргументов
определяется формулой
Ахп= £ в*!,.-.*»**1”-*™"»
*1 + •+*т=П
где . .., Хт — коордйнаты вектора £, а суммирование распространяется
на все неотрицательные целые числа к\у .. ., кт, сумма которых равна 71. В
этом случае общий член формулы и ряда Тейлора определяется формулой
Л/(р)(*) 6ХР = X у; э*»+ +kmf{x)6xk 1
dxks...dxi" 1 ’
и формулы (10.13) и (10.19) превращаются в обычные формулы математическо¬
го анализа для функций конечномерных векторных аргументов. *
Пример 10.9. В случае функционала f{x) на пространстве С(Т) не¬
прерывных на компакте Т скалярных функций, рассмотренного в примере 10.7,
формула Тейлора (10.13) с остаточным членом в форме (10.18) на основании
(10.12) принимает вид
f(x + 6х) = f{x) + / /'(t; х) 6x(t) dt н
т
+ /■■ ff(n4ti, --,tn;x)6x(t1)...6x(tn)dti ...dtn+
т т
§ 10.1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ 639
- I/(П+1)(<1 ’ • • • ’tn+1]X + в6х)6x{tl) ■ •'
... 6x(tn+i) dt\.. .
Это обобщение формулы Тейлора и соответствующее обобщение ряда Тейло¬
ра на функционалы на С(Т) в случае, когда Т = [а, 6], было впервые дано
Вольтеррой. Поэтому степенные ряды в пространстве С(Т) вида
*о + / dt + •••+/•• / М*ъ • ••>*«) *(*i) • • *(<n) dti...dtn+--
т т т
обычно называются рядами Вольтерры. Эти ряды и их конечные отрезки часто
применяются в теории управления для описания нелинейных систем.
Бели отказаться от явного выражения остаточного члена Rn в
(10.13), то теорему 10.1.6 можно усилить.
Теорема 10.1.7. Если функция у = f(x) имеет непрерывные про¬
изводные до порядка п включительно во всех точках некоторого вы¬
пуклого множества S, то при всех х, х+бх Е S справедлива формула
Тейлора (10.13), в которой Rn = о(||£ж||п).
> Доказательство буквально повторяет доказательство теоремы
10.1.6, причем из Ял-i ='о(|| йжЦ0”1) и формулы (10.17) следует
1
1|Д"!1< / II Rn-i(x, t6x) И IISxII dt < o(|| Sx II"-1) II fell,
0
т.е. Rn = ofllfo ||n). <i
ЗАДАЧИ
10.1.1. Пусть A — оператор, отображающий пространство X в простран¬
ство ограниченных линейных операторов B(XyZ), где Z = В(Х, В(Х>У)).
Как и в примере 10.2, можно рассматривать А как билинейный оператор,
отображающий X2 в В(ХУ У), (Ах \)х2 = Ах\х2 6 B(XyY). При этом
(Ах\, х2)хз = Ax\X2Xa G У. Следовательно, А можно рассматривать ка
трилинейный оператор (линейный по каждой из трех переменных Х\у_Х2у £3,
отображающий X3 в Y). Обобщая эту конструкцию, рассмотрим ограничен¬
ный линейный оператор Ау отображающий X в пространство ограниченных
линейных операторов В(ХУ Z\)% где Zk = В(ХУ Zjg+i) (к = 1,...,п — 2),
Zn —1 = B(XyY). Оператор А можно рассматривать как П-линейный опе¬
ратор, отображающий произведение пространств Хп = X X • • • X X в У,
640 ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
поскольку Ах\ . . .хп е у. Очевидно, что этот оператор линеен по каждой
ив переменных 2i,...,£n при фиксированных значениях остальных. Дока¬
зать, что без потери общности можно считать оператор А симметричным в
том смысле, что
Ах п...*,» =Ах 1...х„
при всех перестановках чисел 1, ..., П.
У кдзание. Применить метод индукции. При Х\ — • • • = Хп = х
оператор А будет представлять собой степенной оператор П-й степени, ото¬
бражающий X в У, что можно коротко записать в виде Ахп.
10.1.2. Доказать, что функция f(x) = Ахп дифференцируема и ее произ¬
водная равна
Г(х) = пАхп~1. (10.20)
Эта формула обобщает известную формулу дифференцирования степенной
функции на нормированные линейные пространства.
Указание. Пользуясь симметрией оператора А, доказать, что
\
А(х И- 6х)п = Ахп -|- пАхп~16х + о(|| 6х ||).
10.1.3. Доказать, что производная F'(x) нелинейного интегрального опе¬
ратора
Нх) = f-ff(t,Ti,--,T„,x(T1),...,x(Tn))fi(dTi)...ti(dTn) (10.21)
представляет собой линейный интегральный оператор
F'(x) = fK(t,r) •/*(*■), (10.22)
ядро которого определяется формулой
Я(*,т) = {t,T,<r1,...,<Tn.itx(T),x(<Ti),...,x(an-i)) + •••
V fk(t, <Ti, • • •, o-t-i, г, <r„-i, x(<ri),..., z(<r*_i), x(t),
x(<Tk), ..., x(<rn-l)) + • • • + /„(<, 0-1, ..., <Г„_ь T, x(ffi), . . .
...,Jt(«r„-i),*(т))]fi(dai).. .fi{d<rn-i),
где fk(t, Ti,. .., Tn,Xi, .. .,Xn) — первая производная функции f(t,T\,. .. ,Tn,
X\, . . .,Xn) no Xfc (матрица первых производных координат векторной функ-
ции / по координатам вектора X*). Сформулировать достаточное условие
§ 10.1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ
641
дифференцируемости оператора F(x) в случаях X = С(Т) И X = Lp{a,a,
ft), р > 1-
10.1.4. Доказать, что в случае, когда каждая из функций /(#) = F(x)
и 9{у) = G(y) представляет собой нелинейный интегральный оператор при*
мера 10.3 или задачи 10.1.3, производная их композиции GF(x) представляет
собой линейный интегральный оператор вида (10.22), ядро которого t)
представляет собой композицию ядер K(s, t) и L(uy S), соответствующих опе¬
раторам i^(x) и G(y):
tf(ti, t) = f L(u, s) K(s, *) I/(ds),
где I/ — мера, по которой производится интегрирование в выражении (10.1)
или (10.21) оператора G(y).
10.1.5. Показать, что решение задачи Коши
У + ay + fcy3 = x(t), у(0) = 0,
в пространстве С1([0,1]) определяется рядом
У(*) = f 91(*>т)х(т)+
О
t t t
+1 f f 93{t, П,т2) r3) x(ti)x(t2) x(t3) dTidT2dr3 + ■■■
0 0 0
t t
•• + /•• -fg2n-i(t, П,..., r2„-i) x(ri).. .x(r2„_i) dn ... rfr2„_i + • • • ,
о о
где
gi(t,r) = exp{-a(t - т)} ,
93(t, П,т2, т3) = (к/2a) exp{-a(< - n - r2 - r3)} [exp{-2a<}~
- exp{—2 max(rb r2, r3)}],
У казани e. Определить последовательные приближения к решению
y(t) линейными уравнениями у^ + 0>У\ = Я» ]/п + ауп =■ X — Aryn_i (71 =
= 2,3,...), которые легко решаются.
642
ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
§ 10.2. Экстремумы функционалов
10.2.1. Необходимое условие экстремума. Во многих за¬
дачах практики возникают задачи отыскания значений аргументов
действительной функции, при которых она достигает экстремаль¬
ных значений. В случае функций скалярного или конечномерно¬
го векторного аргумента методы решения таких задач изучаются в
математическом анализе. В более сложном случае функционалов
от непрерывных дифференцируемых функций такие задачи соста¬
вляют предмет вариационного исчисления. В функциональном ана¬
лизе естественно рассматривать самые общие экстремальные зада¬
чи для действительных функционалов на линейных пространствах.
Мы ограничимся здесь функционалами на нормированных линейных
пространствах.
Пусть /(х) — действительный функционал на нормированном
линейном пространстве X. Точка х называется точкой максимума
(минимума) функционала /(х), если существует такая окрестность
V точки х, что /(х + 8х) — /(х) < 0 (> 0) при всех х + 6х € V (т.е.
при всех достаточно малых по норме 6х). Точки максимума и точ¬
ки минимума функционала образуют множество точек экстремума
функционала /(х).
Теорема 10.2.1. Если функционал /(х) достигает экстремума
в точке х и имеет в этой точке непрерывную слабую производную
/;(х), то в этой точке
f'(x) = 0. (10.23)
> На основании известной теоремы математического анализа
необходимым условием экстремума функции /(х + tSx) скалярной
переменной t в точке t = 0 является равенство нулю производной
этой функции:
Jtf(x + t6x)
= 0.
t=О
Но эта производная есть слабый дифференциал функции /(х)
(п.10.1.4). Поэтому ввиду слабой дифференцируемости /(х) преды¬
дущее равенство принимает вид
/;(х)£х = 0 Vtfx,
откуда и следует (10.23). <
Таким образом, уравнение (10.23) является необходимым усло¬
вием экстремума функционала /(х).
§ 10 2 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИОНАЛОВ
643
Пример 10.10. Рассмотрим простейший функционал, изучаемый в
вариационном исчислении,
F(x) = ff(t,x(t),x'(t))df (10.24)
а
на пространстве С1([а,Ь]) функций, непрерывных вместе со своими первыми
производными. Дифференциал этого функционала на основании результатов
примера 10.3 определяется формулой (х($) и х'(£) можно рассматривать как
координаты двумерной векторной функции [x(t) Х/(^)]^>) *
F’(x) 6х - /[/,(*, х(<), *'(<)) 6x(t) + f,.(t, x(t), x'(t)) 6x'(t)] dt,
a
где fg(t, X, x') и /*'(£, X, x') — частные производные функции f(ty X, X;) по X
и Xf. Выполнив во втором слагаемом интегрирование по частям, получим
F'(z)6x = fXi(bt х(Ь), x'(fc)) 6x(b) - /*/(а, x(a), x'(a)) tfx(a)+
+ Ш*, *(*), *'(<)) - &/.'(*, *(*), *40)] «*(*) dt. (10.25)
a
Для того чтобы функция x(t) реализовала экстремум функционала F(x) (бы¬
ла его точкой экстремума), необходимо, чтобы правая часть (10.25) была рав¬
на нулю для всех непрерывных вместе со своей первой производной функций
бх(£). В частности, при Ьх(а) = 6х(Ь) = 0 интеграл в правой части (10.25)
должен быть равен нулю при всех Sx(t). Но для этого необходимо и достаточ¬
но, чтобы выражение в квадратных скобках под знаком интеграла было равно
нулю **:
fx(t, аit), x'(t)) - £ /.,(*, x(t), x'(t)) = 0 (10.26)
* Слабый дифференциал функционала F(x) в вариационном исчислении
называется вариацией этого функционала. Однако практически во всех зада¬
чах вариационного исчисления существуют сильные дифференциалы рассма¬
триваемых функционалов, которые на основании теоремы 10.1.3 совпадают со
слабыми.
** Для доказательства достаточно взять 6x(t) > 0 в области, в которой вы¬
ражение в квадратных скобках положительно (или отрицательно), и 6x(t) =
= 0 вне этой области. Для такой функции £х(£) интеграл в (10.25) не будет
равен нулю.
644 ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
или, сокращенно,
f* ~ = 0 •
Это дифференциальное уравнение называется в вариационном исчислении
уравнением Эйлера.
Что касается слагаемых в правой части (10.25), соответствующих концам
интервала интегрирования а, 6, в вариационном исчислении различают два
класса задач: задачи с неподвижными концами, когда а, #(а), Ь, %(Ь) имеют
заданные значения, и задачи с подвижными концами, когда а, #(а), Ьу х(Ь) под¬
чиняются некоторым условиям. В первом случае всегда б#(а) = 6х(Ь) = О
и дифференциальное уравнение второго порядка (10.26) с заданными х(а) и
х(Ь) образует краевую задачу. Во втором случае должны быть заданы усло¬
вия, которым должны удовлетворять а, #(а), Ь, х(Ь). Как правило, требуют,
чтобы концы (а, #(а)) и (6, я(&)) отрезка кривой у = x(t), по которому бе¬
рется интеграл (10.24), лежали на данных кривых <p(t, х) = 0, 1p(t,x) = 0. В
этом случае при заданных а и Ь ( точки (а, #(<*)) и (6, х(Ь)) должны лежать
на прямых t = а и t = Ь) коэффициенты при £х(а) и 6х(Ь) в (10.25) должны
быть равны нулю,
/г'(а> х(а), х'(а)) = /*.(&, х(Ь), х'(Ь)) = 0. (10.27)
Эти равенства представляют собой краевые условия для уравнения (10.26).
Бели а и Ь не заданы, то в правой части (10.25) добавится слагаемое
-/(а, *(«),*'(«)) 6а + f (b,x(b), х'(Ь)) 6Ь,
представляющее собой полный дифференциал функционала (10.24) при фикси¬
рованной функции x(t), и условия (10.27) заменяются условиями
/(а, х(а), х'(а))6а + /х»(а, х(а), х'(а))6х(а) = 0 ,
/(6, х(Ь), х'(Ь)) 6Ь + fx,{b, х(Ь), х'(Ь)) 6х(Ь) = 0. (10.28)
Условия на концах ^>(<1, х(а)) = О, Ф(Ь, х(Ь)) — 0 при этом дают
<pt(a,x(a))Sa + <px(a,x(a))bx(a) = 0,
х(Ь))6Ь + фх(Ь, ~(6)) лх(Ь) = 0,
где индексами отмечены производные по соответствующим аргументам, а
Дх(а) и Ах(Ь) — полные приращения ординат концов, вызванные как измене¬
ниями абсцисс концов а, 6, так и значениями приращения 6х(а), 6х(Ь) функции
x(t) на концах,
дх(а) = х'(а) 6а + 6х(а) ,
§ 10.2. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИОНАЛОВ
645
д х(Ь) = х'(Ь) ЬЬ + Ьх{Ь).
Таким образом, условия на концах дают уравнения связи, которым должны
быть подчинены приращения координат концов. Выразив из них £ж(а) через
6а и 6х(Ь) через 6Ь и подставив в уравнения (10.28), получаем вместо (10.27)
краевые условия
/(а, х(а), *'(а))у?*(а, *(а))-
-/*'(«, *(а))®/(а))[у»«(а,»(а)) + у»*(а,*(а))ж;(а)] = 0,
/(Ь,х(Ь),АЬ))ФЛЬ,х(Ь))-
-fx'(b,x(b),x'(b))[ipt(b,x(b)) + фх(Ь,х(Ь))х'(Ь)] = 0,
<р(а,х(а)) = 0 ф(Ь, х(Ь)) = 0. (10.29)
Возможны также смешанные задачи, когда один из концов отрезка кривой
у — x{t) фиксирован.
Все сказанное относится и к случаю p-мерной векторной функции x(t).
В этом случае fx{t, X, X*) и fxf (t, X, X*) представляют собой матрицы-строки
производных функции /(£,Х,Х;) по координатам векторов X и Х;. При этом
в случае Ш-мерной векторной функции <р, 171 < р, дифференцирование урав¬
нения свАзи ^(а, я(о)) = 0 дает ТП скалярных уравнений для р координат
вектора 6х{а) и 6а. Выразив из них ТП через оставшиеся р — ТП и 6а, под¬
ставив полученные выражения в (10.28) и приравняв нулю коэффициенты при
6а и оставшихся произвольными координатах вектора йх(а), получим вместе
с уравнениями <р(а, х(а)) = 0 р + 1 скалярных краевых условий для урав¬
нения (10.26). Другие р -1-1 краевых условий получатся из уравнения связи
*(6, *(*)) = о на другом конце,
Пример 10.11. В более общем случае функционала
F(x) = ff(t,x(t),...,x(n'>(t))dt (10.30)
а
на пространстве Сп([а, 6]) функций, непрерывных вместе со своими производ¬
ными до порядка П включительно, совершенно так же получаем
F'(x) Ьх = £ (-1)' £(-!*(<),..., ^(О)^'-1^)^
+ /J2 (~l^jyF/*<*)(<> *(<)> • • • > a^"H0)^x(0 di. (10.31)
а к=0 at
646
ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Отсюда вытекает при 6х(а) = ••• = 6х^п ^(в) “ 6х(Ь) — ■ ■ • = 6х^п~*^(6) г
= 0 уравнение Эйлера
£ С-1)* *(п)) = о. (10.32)
*=0
Это дифференциальное уравнение 2п-го порядка вместе с данными значени¬
ями ж(а),...,х(п“1)(а), ж(6),..., Ж^П”1^(Ь) (краевыми условиями) являет¬
ся необходимым условием экстремума функционала (10.30) в задаче с фик¬
сированными а, *(а) *(п_1)(а), Ъ, х(Ь),... г\Ь). Есл и величины
х(а),х(п-1)(а), х(Ь),я(п-1>(Ь) не заданы, то при заданных а и 6 ко¬
эффициенты при 6х(а)у... >£а?(п”1)(а), &с(6),..., £а?(п“1)(Ь) в (10.31) должны
быть равны нулю:
52(~1)к (<»*(<) *(п)(*)) = °
при t = а и при f = b (/ = 1,...,п). (10.33)
Эти равенства представляют собой краевые условия для уравнения (10.32).
Если а и (не заданы, то совершенно так жемкак в предыдущем примере, по¬
лучим вместо условий (10.33) при / = 1 условия
f(a, х(а),х(п\а)) <pt(a, х(а))~
- [£(-!)* W*.*(0.• • •.*(п)№)
х [ipt{a, *(а)) + <рх(а, ®(а)) х'(“)] = О
/(М(&),.м*(п)(*)ЖЬ,*(Ь))-
" [E(-l)‘£S-/.w(*,*(0,--.,*(n)W)]
х №<(&, х(Ъ)) + фх(Ь, х(Ь)) х'(6)] = О
4>{а, х(а)) = 0, ф(Ь, х(Ь)) = 0. (10.34)
Остальные условия (10.33) (/ = 2, . . ., п) не изменяются.
Все полученные формулы и уравнения остаются в силе и в случае век¬
торной функции x(t). В этом случае /Х(к)(/,Ж, .. ., а?^п^) представляет собой
матрицу-строку производных функции f(ty X,..., Х^п)) по координатам век¬
тора Краевые условия для уравнения (10.32) в задаче с подвижными
X
t=a
X
=6
s 10.2. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИОНАЛОВ
647
концами, заменяющие условия (10.33) при / = 1, получаются так же, как и в
примере 10.10.
Пример 10.12. В приложениях большую роль играет задача интер¬
поляции функции, заданной своими значениями в дискретном ряде точек (т.е.
заданной таблицей). При этом желательно, чтобы интерполирующая кривая
была как можно более плавной, особенно в тех случаях, когда она использу¬
ется для нахождения производных данной функции. Бели принять за меру
отклонения кривой от прямой вторую производную интерполирующей функ¬
ции x(t), то естественно потребовать, чтобы среднее значение квадрата второй
производной было минимальным. Таким образом, задача нахождения наибо¬
лее гладкой интерполирующей функции для функции, принимающей задан¬
ные значения 2о, ®1> • • • > хп в данных точках а = £о» ^1» • • •»in — Ь, сводится
к нахождению функции x(t), минимизирующей функционал
F(x) = fz"2(t)dt
а
и удовлетворяющей условиям (к ~ 0,1,..., п). При этом есте¬
ственно искать функцию x(t) в классе функций, непрерывных вместе со свои¬
ми производными первого и второго порядков (т.е. в пространстве С2([а,6])
в соответствии с общей постановкой задачи в примере 10.11. Уравнение Эй¬
лера в этом случае имеет вид Хпп = 0, и его общее решение представляет
собой кубический полином. Краевые условия (10.33) имеют в данном случае
вид £;/(а) — £/;(Ь) = 0* Остальные два условия (10.33) выполняются автома¬
тически при любой функции #(£). Таким образом, необходимое условие мини¬
мума функционала F(x) подчиняет функцию x(t) П + 3 условиям x(tk) — %k
(к = 0, 1, ,..., fl), Xw(a) = = 0. Но кубический полином может удовле¬
творять только-четырем произвольно заданным условиям. Следовательно, он
является решением задачи только при Tl = 1, и в этом случае он представля¬
ет собой линейную функцию. Чтобы решить задачу при любом П, обратим
внимание на то, что решением уравнения Хпп ~ 0 является любая функция,
составленная йз кубических полиномов. Поэтому примем
x(t) = ajto + dh\t + ak2t2 + в*зt3 при t G [<*-ъ h] (к = 1,..., n).
Тогда получаем для определения 4П неизвестных постоянных а*о» QJc 1» aJfc2>
aJk3 (t = 1, ►. ., fl) 4fl условий: П + 1 условий x(tfc) = Xjc (к = 0, 1, .. ., п),
3П — 3 условий непрерывности x(t), x'(t), x"(t) в точках 11, . . ., ^п-1 и два
Условия Xм{tо) = IW(tn) = 0. Таким образом, мы получаем единственное
решение поставленной задачи.
648
ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Кусочно полиномиальная функция, представляющая собой полином р-й
степени на каждом интервале и непрерывная вместе со своими производными
до порядка р — q включительно, называется сплайном р-й степени дефекта q.
Ясно, что дефект сплайна не может быть меньше 1, так как сплайн р-й степени
имеет кусочно постоянную производную р-го порядка. Таким образом, реше¬
ние поставленной задачи представляет собой кубический сплайн дефекта 1.
Сплайны (сплайн-функции) находят широкое применение для приближенного
представления функций.
10.2.2. Второе необходимое условие экстремума. Как из¬
вестно, для того чтобы функция конечномерного вектора имела в
данной точке экстремум, кроме равенства нулю первых производ¬
ных в этой точке необходима еще неотрицательность (в случае ми¬
нимума) или неположительность (в случае максимума) второго диф¬
ференциала в окрестности этой точки. Аналогичная теорема спра¬
ведлива для функционалов.
Теорема 10.2.2. Если функционал f(x) имеет минимум {мак¬
симум) в точке х и имеет в некоторой выпуклой окрестности
этой точки непрерывную отличную от нуля врпорую производную}
то f"{x)6x2 > 0 (f"(x)6x2 < 0) при всех достаточно малых по норме
6х.
> Для доказательства достаточно воспользоваться формулой
Тейлора (10.13) и теоремой 10.1.7 для остаточного члена. Учиты¬
вая, что в точке экстремума х f'(x) т= 0, получим
f{x + 6х) - Дх) = ^f"(x)6x2 + о(||£х||2). (10.35)
Предположив, что условие f"(x)6x2 > 0 не выполнено для некоторых
сколь угодно малых по норме 6х, и учитывая, что знак разности
f(x + Sx) — f(x) совпадает со знаком fn(x)Sx2 при всех достаточно
малых по норме 6х, будем иметь при некоторых сколь угодно малых
по норме Sx f(x -f Sx) — f(x) < 0, что противоречит условию, что
функционал f(x) достигает в точке х минимума. <
10.2.3. Достаточное условие экстремума. Лля существо¬
вания минимума (максимума) функции конечномерного вектора в
точке, в которой ее первый дифференциал равен нулю, достаточно
строгой положительности (отрицательности) ее второго дифферен¬
циала в этой точке. В общем случае для экстремума функционала
это условие недостаточно. Следующая теорема дает более сильное
достаточное условие экстремума функционала.
§ 10.2. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИОНАЛОВ 649
Теорема 10.2.3. Если в точке х f*(x)6x = 0 и f”(x)6x2 > с || 6х \\2
при всех 6х при некотором с > 0, то функционал /(х) имеет в точке
х минимум.
> Бели f(x)6x = 0, f"(x)6x2 > с || 6х ||2, то при всех £х, при
которых | о(|| 6х ||2) | < е || 6х ||2 в (10.35), 0 < е < с, формула (10.35)
дает
f(x + ёх) - /(*) > (с - £) II ёх ||2> 0 .
Так как это неравенство справедливо при всех достаточно малых
6х, то функционал /(х) имеет в точке х минимум. <
Следствие. Если в точке х /'(х) 6х = 0 и /"(х) 6х2 < —с || 6х \\2
при всех 6х при некотором с > 0, то функционал /(х) имеет в точке
х максимум.
> Для доказательства достаточно рассмотреть функционал
—/(х). Поскольку он удовлетворяет условиям теоремы, он имеет
в точке х минимум. Следовательно, f(x) имеет в точке х макси¬
мума
Теорема 10.2.3 дает общее достаточное условие экстремума.
Однако его выполнение очень трудно проверить в практических за¬
дачах. Поэтому в вариационном исчислении выводятся более тон¬
кие и легко проверяемые достаточные условия для тех частных ви¬
дов функционалов, которые там изучаются.
10.2.4. Условные экстремумы. В приложениях часто встре¬
чаются задачи нахождения экстремума функционала f(x) при дан¬
ных значениях некоторых других функционалов /i(x),..., /т(я).
Точка х называется точкой условного максимума (минимума)
функционала /(х) при условиях
Д(х) = 0 (* = 1,...,т), (10.36)
если /(х + £х) — /(х) < 0 (> 0) при х, удовлетворяющем условиям
(10.36), и при всех 6х, удовлетворяющих условиям
dfk(x) = fk(x) 6х = 0 (t=l m). (10.37)
Задачи на условный экстремум функционалов решаются совер¬
шенно так же, как в математическом анализе решаются задачи на
условный экстремум функций конечномерной векторной перемен¬
ной.
Учитывая, что согласно необходимому условию экстремума
(теорема 10.2.1) /'(х)£х = 0 при всех 8х, удовлетворяющих условиям
650 ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
(10.37), получаем при всех таких 6х
т
/'(*) +£а*/*(*)
и при всех действительных Ai,..., Am. Это наводит на мысль, что
задача отыскания условного экстремума функционала при условиях
(10.36) может быть сведена к задаче нахождения экстремума (без¬
условного) функционала
зависящего от m-мерного действительного вектора А = [Ai,..., Am]T.
Теорема 10.2.4. Если функционал <р(х, А) достигает минимума
(максимума) в точке х\ при некоторых значениях А к А можно вы¬
брать так, чтобы точка х\ принадлежала множеству S значений х,
удовлетворяющих условиям (10.36), то в этой точке х\ функционал
/(л?) достигает условного экстремума при условиях (10.36).
> Если <р(х, А) достигает экстремума в точке х\ при данном А,
то
Это уравнение определяет точку экстремума х\ как функцию А.
Если х\ 6 S при некоторых А, то из (10.38) следует <р{х\> А) = f(x\)
при этих А и
при всех 6х, удовлетворяющих условиям (10.37). Отсюда видно, что
при всех достаточно малых по норме удовлетворяющих услови¬
ям (10.37), знаки разностей f(x\ + 5я) — f(x\) и <р(х\ + 6ху А) — <р(х\, А)
совпадают, что и доказывает теорему. <
Теорема 10.2.4 обобщает на функционалы известный метод
неопределенных множителей Лагранжа для нахождения условного
экстремума. Лля нахождения условного экстремума функционала
т
(10.38)
т
/(*А, А) = /'(хА) + £ А*Л(*а) = о. (10.39)
<р{хх + 6х, А) - Ip(xх, А) = fixх + Ьх) - /(ха)+
т
+ 53 **[/*(* А + 6х) ~ /*(**)] = /(** + 6х) ~ /(**) + °(Н Sx II)
§ 10.2. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИОНАЛОВ
651
f(x) при условиях (10.36) следует найти безусловный экстремум
функционала (р(ху А), определяемого формулой (10.38), где Ai,..., Am
— неопределенные множители Лагранжа, а затем определить
Ai,...,Am так, чтобы найденная точка экстремума удовлетворяла
условиям (10.36).
Пример 10.13. Пусть А — компактный самосопряженный оператор
в /Г-пространстве (п.9.1.1). Поставим задачу нахождения экстремума квадра¬
тичного функционала f(x) = (Ах} х) при условиях
|М|»=(*,*) = 1, (*ь*) = 0 (*= 1), (10.40)
где Xi,..., Хп~\ — ортонормальные собственные векторы оператора А, соот¬
ветствующие первым Я — 1 собственным значениям А*,..., Ап-х, расположен¬
ным в порядке невозрастания их модулей. Согласно теореме 10.2.4 для етого
надо найти безусловный максимум функционала
п-1
¥>(*. р) = (Л*. *) + Е *) + А*«[(*. *) - 1].
1=1
где /li,...,/1п — множители Лагранжа. Необходимое условие экстремума в
соответствии с результатами примера 10.2 дает уравнение
п—1
2Ах + Е /***» + = 0 • (10.41)
1=1
Решение этого уравнения будет удовлетворять условиям (10.40), если
2(Ах,хр) + /1р = 0 (р=1 ,П-1).
Но в силу самосопряженности оператора А и условий (10.40) (Ах,Хр) =
= {ХуАХр) = Ар(х,Хр) — 0. Следовательно, решение X уравнения (10.41)
будет удовлетворять условиям (10.40) при /ij = • • • = /Хп_ i =0. Тогда урав¬
нение (10.41) примет вид
Ах = — рпх .
Отсюда видно, что —/in следует принять равным одному из собственных зна¬
чений An, Ап+1, * •. оператора А. Тогда X будет собственным вектором, ор¬
тогональным собственным векторам . .., Хп-1- При этом будет (Ах, х) —
= А*, где к равно одному из чисел П, fl -f- 1, . . .. А так как Ап — наибольшее
по модулю из собственных значений An, An+i, .. ., то задача будет решена,
если принять /1п = — Ап. Тогда X = Хп будет собственным вектором опе¬
ратора А, соответствующим собственному значению Ап. Таким образом, мы
652
ГЛ. 10 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
пришли другим путем к результату, полученному в п.9.1.1: П-е собственное
значение Лп оператора А в' порядке невозрастания модулей представляет со-
ствующий собственный вектор Хп реализует этот экстремум при условии ор¬
тогональности X всем собственным векторам Х\}. .., £П-Ь соответствующим
предшествующим собственным значениям Ai,..., Лп-1*
10.2.1. Задача нахождения кратчайшего расстояния между точками (а, с)
Найти функцию #(£), реализующую минимум f (я).
10.2.2. Совершенно так же кратчайшее расстояние между двумя точка-
Доказать, что уравнение Эйлера в этом случае представляет собой си¬
стему двух дифференциальных уравнений
которые вместе с краевыми условиями определяют отрезок прямой, соединя¬
ющий данные точки.
10.2.3. В модели Пуанкаре плоскости Лобачевского (пример 1.10) крат¬
чайшее расстояние между точками (а, с) и (6, </), С, d > 0 определяется мини¬
мизацией функционала
бой экстремальное значение квадратичного функционала (Axfx)f а соответ-
3АЛАЧИ
и (6, d) евклидовой плоскости сводится к нахождению минимума функционала
ми (в, Ci, С2) и (6, diyd^) трехмерного евклидова пространства определяется
минимизацией функционала
а
а
Доказать, что уравнение Эйлера (10.26) приводится в этом случае к виду
§ 10.2. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИОНАЛОВ
653
и решение этого уравнения дается формулой
(t - с2)2 + х2 = С1 , (**)
где постоянные интегрирования Ci и С2 выражаются через координаты а, С, 6,
d данных точек формулами
_ (Ь - а)2 , с2 + d2 , (d2 - с2)2
Cl~ 4 + 2 + 4(6 - а)2 ’
а + 6 d2-с2
°2 ~ 2 + 2(6 - а) '
Уравнение (*♦) представляет собой уравнение окружности на плоскости tx
радиуса у/с\ с центром в точке (сг,0) на оси абсцисс. Таким образом, пря¬
мыми в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского служат полуокружности с
центрами на оси абсцисс t, как и утверждалось в примере 1.10.
Указание. Уравнение (*) не содержит явно независимой переменной
t. Поэтому оно приводится стандартной подстановкой X1 — у, Xй — (dyfdx)y
к уравнению первого порядка
dx, ydy Q
* + 1+7 ’
решение которого определяется формулой
х' = у = у/е\ - х2/х,
где С\ — произвольная постоянная (конечно, С\ >0). Эта формула дает диф¬
ференциальное уравнение для функции х(£):
xdx и
TZT^xS-
Решение этого уравнения дается формулой у/С\ — < + с2, где С2 —
вторая произвольная постоянная. Эта формула эквивалентна (**).
10.2.4. Найти кратчайшее и наибольшее расстояния от данной точки (а, с)
до кривой
У = <p(t).
где <p{t) —дифференцируемая функция.
654
ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Указание. В этом случае к уравнению Эйлера Хп = 0 и его решению
Подставив в полученные уравнения х'(Ь) = С2, найдем 6х(Ь) = [^(Ь) ~ С2]6Ь
Это — условие нормальности прямой у = С\ + C2t к кривой у = <p(t) в точке
Таким образом, кратчайшее и наибольшее расстояния от данной токи до дан¬
ной кривой равны длинам отрезков соответствующих нормалей к кривой, про¬
ходящих через данную точку.
10.2.5. Найти кривую в вертикальной плоскости, двигаясь по которой под
действием силы тяжести материальная точка Лерейдет из одной данной точки
в другую в кратчайшее время (задана о брахистохроне).
Указание. Поместив в верхнюю из данных точек начало координат и
направив ось ординат вертикально вниз, выразим время перемещения матери¬
альной точки из начала координат в точку (а, 6) криволинейным интегралом
x(t) = С\ + C2t добавится условие
i + х'2(Ь) 6Ь + ■ х'(ь) 6х(Ь) = о,
Ф + Х'2(Ь) •
и
(1 + 4)6Ъ + с2[<р'(Ь) - с2]*6 = 0,
откуда находим
с2 = -1 /<р'(Ь).
t = Ь. После нахождения С2 постоянная С\ определится из условия на другом
конце
ci = с — с2а = с + а/<р'(Ъ).
Что касается величины 6, то она находится из уравнения связи
Ci + С2Ъ = <р(Ь) .
(*)
где V = t;(x, у) — скорость точки вдоль кривой, a ds — элемент дуги кривой.
Скорость точки V легко находится из закона сохранения энергии: работа силы
§ 10.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В В-ПРОСТРАНСТВАХ 655
тяжести при перемещении точки переходит в кинетическую энергию: ТПду =
= mv2/2 (предполагается, что начальная скорость точки равна нулю). От*
сюда находим V = у/^ЯУ и интеграл (*) принимает вид
Г = /V'i + y'2 dx.
о у/^9У
10.2.6. Найти кривую, полностью расположенную над осью абсцисс, при
вращении которой вокруг оси абсцисс получается тело с наименьшей поверх¬
ностью. Функционал, который надо минимизировать, имеет в данном случае
вид
S = / 2iry\/l + l/2dx.
о
10.2.7. Найти кратчайшее расстояния между данной точкой на плоскости
и не проходящей через эту точку окружностью.
10.2.8. Найти кратчайшее расстояния между данной точкой в Я3 и не
проходящей через эту точку сферой.
10.2.9. Найти кратчайшее расстояние между двумя непересекающимися
окружностями на плоскости.
10.2.10. Найти кратчайшее расстояние между двумя непересекающимися
сферами в Д3.
§ 10.3. Дифференциальные уравнения в банаховых
пространствах
10.3.1. Линейные дифференциальные уравнения. В п.7.2.4
было дано определение дифференциального уравнения в В-прост-
ранстве и приведен ряд примеров таких уравнений. В п.7.2.10 бы¬
ли доказаны теоремы 7.2.6 и 7.2.7, устанавливающие достаточные
условия существования единственного решения дифференциально¬
го уравнения в ^-пространстве. Однако эти условия, как было
сказанр в п.7.2.10, накладывают слишком сильные ограничения на
функцию в правой части уравнения, вследствие чего теоремы 7.2.6
и 7.2.7 неприменимы к важному широкому классу линейных и нели¬
нейных уравнений. Поэтому необходимо более основательное из¬
учение дифференциальных уравнений в 5-пространствах. Начнем
с линейных уравнений.
Рассмотрим задачу Коши для линейного уравнения
-^ = A(t)x + y(t), x(to) = xQ,
(10.42)
656
ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
где Л(<) — замкнутый линейный оператор, действующий в S-прост¬
ранстве Ху с плотной в X областью определения Д*, не зависящей
от t Е [О, Т], в общем случае представляющий собой функцию незави¬
симой переменной f, a y(f) — известная функция со значениями в X.
Теорема 7.2.7 устанавливает существование единственного решения
уравнения (10.42) и соответствующего однородного уравнения
только в случае ограниченного оператора A(t) (только в этом слу¬
чае правая часть уравнения (10.42) удовлетворяет условию Липши¬
ца п.7.2.10). Однако большое значение имеют уравнения с неогра¬
ниченным оператором (в частности, с дифференциальным операто¬
ром, как мы видели на примерах уравнений математической физи¬
ки в п.7.2.4). Чтобы найти подход к уравнениям с неограниченным
оператором, рассмотрим частный случай уравнения (10.42) с посто¬
янным оператором:
Предположив, что оператор А ограничен, будем искать решение
уравнения (10.44) методом последовательных приближений, взяв в
качестве нулевого приближения начальное значение х0-
Сначала решим однородное уравнение
= А(<) *, *(<о) = хо
(10.43)
^ = А* + у(<), *(0) = *о,
(10.44)
— = Ах, *(0) = хр.
Определив последовательные приближения уравнением
(10.45)
будем иметь
t
о
t
x2(t) = хо + J Ах\(т) dr = (I + At + A2t2/2) хо
о
$ 10.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В В-ПРОСТРАНСТВАХ 657
и вообще
*»(*) = S Т\лк*кх° (п = *> 2, • • •) •
4=0 *•
В пределе при п —♦> оо получим решение однородного уравнения
в виде ряда, который в силу неравенства || Ак \\<\\А ||* сходится в
равномерной топологии пространства В(Х) (п.6.1.4) при всех t. Сум¬
ма этого ряда на основании определения функции от ограниченного
оператора в п.9.3.1 представляет собой показательную функцию eAt.
Поэтому найденное решение однородного уравнения (10.45) опреде¬
ляется формулой
x(t) = eAt хо .
Непосредственным дифференцированием ряда легко убедиться в
том, что оператор еАХ удовлетворяет однородному уравнению
(10.45).
Перейдем к решению неоднородного уравнения (10.44). Опре¬
делив последовательные приближения к решению при начальном
условии х(0) = 0 уравнением
^ = Ахп. 1 + y(f), (n = 1,2,...),
получим
«
*i(<) = J y(r)dT,
о
t t to t
*2(<) = J Azi(a)da + J y(r)dr = j da j Ay(r)dT + J y(r)dr =
о о oo о
it t <
= J dr j Ау(т) da + J y(r) dr = J[I + A{t - t)] у(т) dr
и вообще
658
ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Переходя к пределу, находим искомое решение уравнения (10.44):
Анализируя полученные результаты, видим, что ключевую
роль в построении решения уравнений (10.43) и (10.42) с постоянным
ограниченным оператором играют операторы eAt и ei4(t~r). Есте¬
ственно думать, что и в общем случае уравнения (10.42) с неограни¬
ченным переменным оператором существуют подобные операторы,
аналогичные фундаментальной матрице решений линейного уравне¬
ния в конечномерном пространстве.
10.3.2. Эволюционные операторы. Рассмотрим функцию
U(tyr) двух переменных со значениями в пространстве ограничен¬
ных линейных операторов В(Х). Значения этой функции при раз¬
личных значения t и г называются эволюционными операторами
уравнения (10.43), если функция U(t, т) обладает следующими свой¬
ствами:
1) U(tyr) — непрерывная функция t и г в сильной топологии
пространства В(Х) (т.е. функция U(t> т)х непрерывна при каждом я,
п.6.1.4) в треугольнике 0 < г < t < Т\
2 )U(t,t) = I V*, U(t)r) = U(t1s)U(s,T) 4r<s<t; (10.46)
3) область определения Da оператора A(t) служит инвариант¬
ным прдпространством (п.7.3.1) операторов f/(<,r), соответствую¬
щих всем t ит <t\
4) функция U(tyr) удовлетворяет дифференциальным уравнени¬
ям
t
о
(10.47)
(10.48)
здесь производные понимаются в смысле равенств
0U(t, т)х _ U(t + Л, т)х - U(t, т)х
dt л™ Л
(10.49)
§ 10.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ^-ПРОСТРАНСТВАХ 659
при всех х, при которых U(t, т)х 6 Da, и аналогично
Щт), _ |im U(t,т + h)x -U(t,т)ж
дг л-о Л
при всех х € Да- Это свойство функции {/(*,г) означает, что опера¬
торная функция U(t, г) представляет собой решение двух задач Ко¬
ши, получаемых добавлением начального условия {/(г, г) = / к урав¬
нению (10.47) и конечного условия [/(<,<)= I к уравнению (10.48).
Из (10.47) следует, что при любом ®, для которого U(<r, т)х £ Дд
при всех <т Е [М], справедливо равенство
t
{/(t,r)x — {/(в, r)ar = j А(<г)и(сг,т)х(1сг. (10.51)
Точно так же из (10.48) следует, что при всех х Е Да справедливо
равенство
8
U(t, т)х - U(t, s)x = J U(t, <т)А(<т)х da.. (10.52)
\ Т
Теорема 10.3.1. Функция U(t,r)f обладающая свойствами 1-3,
образует семейство эволюционных операторов уравнения (10.43) то¬
гда и только тогда, когда при всех х Е Da существует совпадающий
с оператором A(t) предел
Нт В1±.Ьг}*~х. - A(t)x. (10.53)
л-о Л 4 7
> На основании (10.49) уравнение (10.47) можно переписать в
виде
lim = Л(,)Р(1, г),.
Положив г = t, в силу (10.46) получаем (10.53). Если справедливо
равенство (10.53), то, заменив в нем х на {7(J,r)x, получим на осно¬
вании (10.46) и (10.49) уравнение (10.47). Заменив в (10.53) t на г,
получим равенство
660 ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Умножив правую часть этого равенства слева на Г/(*,т), а левую
часть -
(10.46)
часть — на ту же величину lim U(t, т + ft) = U(t, г), получим в силу
h—*0
U(,,T),-U(l,T + h): =
Л-0 Л \ » / \ /
или
^дг = UТ^Л^ Х'
т.е. уравнение (10.48). <
Если все эволюционные операторы U(t, т) имеют ограниченные
обратные операторы £/(*,г)-1, то операторная функция {/(^г)”1 то¬
же удовлетворяет некоторым линейным дифференциальным уравне¬
ниям. Чтобы получить эти уравнения, достаточно продифференци¬
ровать функцию U(t, г)”1 по t и по г и воспользоваться уравнениями
(10.47) и (10.48):
dU{t£-- = = -СГ(«,г)-М(<),
дЩ£):' = = A(T)U(t,T)-' .
Таким образом, операторная функция U(f, г)”1 удовлетворяет урав¬
нениям
=-U(t,r)-lA{t), 9U^~l = A(r)U(t,r)-1. (10.54)
Вводя сопряженные операторы V(t>r) = [U(t, т)"1]*, получим для
них уравнения, вполне аналогичные соответствующим уравнениям
для дифференциальных уравнений в конечномерных пространствах:
= -A(tyV(t, т), = V(t, т)А(тГ (10.55)
Первое уравнение (10.55), как и в случае дифференциальных урав¬
нений в конечномерных пространствах, называется сопряженными
с уравнением (10.43).
Теорема 10.3.2. Эволюционные операторы уравнения (10.43)
имеющ ограниченные обратные операторы l/(t, т)"1, для которых об-
ласть оперделения Da оператора A(t) служит инвариантным под¬
пространством, тогда и только тогда, когда
§ 10.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ^-ПРОСТРАНСТВАХ 661
1) при каждом t существует ограниченный линейный оператор
Ф($) с ограниченным обратным оператором Ф(*)-1;
2) операторы Ф(£) и Ф(*)-1 представляют собой непрерывные
функции в сильной топологии пространства &(Х);
3) существует производная Ф'(f) оператора Ф(*)> представляю¬
щая собой замкнутый оператор с постоянной плотной в X областью
определения D, служащей инвариантным подпространством всех
операторов Ф{1) и Ф(^)"1;
4) коэффициент A(t) уравнения (10.43) выражается формулой
Л(*) = Ф'(<)Ф(0-1 • (10.56)
> Если существуют ограниченные операторы U(t, т)~1, для ко-
торых область определения Da служит инвариантным подпростран¬
ством, то, положив в (10.47) г = 0, получим
(10.57)
Положив Ф(*) = U(ty 0), придем к равенству (10.56). При этом об¬
ласть определения D оператора Ф'(£) совпадает с областью опре¬
деления Da оператора A(t), так как в силу свойства 3 операторов
U(t>r) и U{tyT)-1 х € Da тогда и только тогда, когда Ф(*)х Е Da.
Наоборот, если оператор A(t) выражается формулой (10.56) и опе¬
раторы Ф(*) и Ф'(*) удовлетворяют условиям 1 — 3, то области опре¬
деления операторов A(t) и Ф(<) совпадают и операторы
U(t,r) = 9(t)9(r)~1 (10.58)
обладают свойствами 1 — 3 эволюционных операторов и удовле¬
творяют уравнению (10.47). Дифференцируя формулу (10.58) по т,
получаем
= -Ф0)Ф(Т')"1Ф/(Г)Ф(Г)"1
В силу (10.58) и (10.56) это равенство совпадает с уравнением
(10.48). <
В случае уравнения (10.43) с постоянным оператором A(t) = А
его решения инвариантны по отношению к сдвигам независимой пе¬
ременной t: решение уравнения (10.43) при данном t при начальном
условии x(to) = хо совпадает с его решением при t + а при началь¬
ном условии x(to 4* а) = xq. Поэтому U(tyr) = U(t 4* а, т + а) при
662
ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
любом а. Положив а = —г, получим U(t,r) = U(t — г, 0). Таким
образом, в случае постоянного оператора А эволюционные опера¬
торы зависят только от разности аргументов и можно положить
U(tyT) = V(t — г). В случае ограниченного оператора А, как мы
видели в п.10.3.1, U(t,r) = и все условия теоремы 10.3.2 удо¬
влетворяются. Убедиться в существовании обратных операторов
можно непосредственным перемножением рядов для функций еА(*~т)
и е~А(*~т\ а вычислить производную оператора еА(*~т) можно диф¬
ференцированием соответствующего ряда.
П р к м е р 10.14. Рассмотрим уравнение теплопроводности примера
7.18
Ж = ’ ^<0’ Х) = V°(X)' (10.59)
описывающее распространение тепла вдоль тонкого однородного стержня,
имеющего в начальный момент to температуру 1>о(я). Это уравнение мож¬
но рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение в 5-прост¬
ранстве непрерывных ограниченных функций C(R) переменной X.
Непосредственной подстановкой легко убедиться в том, что при любой
функции v(z) оператор
Р(|’г)с="‘в* (10'60)
удовлетворяет уравнению (10.47), которое в данном случае имеет вид
dU(t,T)v _ 2 d2U{t, t)v
dt ~a
Ясно также, что он обладает свойствами 1 и 3 эволюционных операторов.
Чтобы убедиться в том, что для него справедливо первое равенство (10.46),
достаточно вспомнить, что согласно результату задачи 6.3.4 показательная
функция при Т —► t превращается в ^-функцию £(£ — х). Чтобы доказать,
что для оператора (10.60) справедливо и второе равенство (10.46), положим в
(10.60) t = 5 и подставим полученную функцию w(x) = U(s} t)v в (10.60) при
Т = 5 вместо функции v(aj). В результате получим
§ 10.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В В-ПРОСТРАНСТВАХ 663
*/“Р{-4?^}
— ОО
ч
Сделав в двойном интеграле замену переменных £' = ( — Т), оставив при этом
переменную TJ неизменной, и выполнив интегрирование по £ по формуле (*)
примера 3.4, получим
U(t,s)U(s)T)v =
=2«v4»-r)2“i>{~^^} ni’r)"’
т.е. второе равенство (10.46).
10.3.3. Решение линейных дифференциальных уравнений.
Из уравнения (10.47) следует, что формула
z(t) = U(t}t0)x о (10.61)
при любом хо, U(tу to)zo G Да Vf, дает решение задачи Коши для од¬
нородного уравнения (10.43). Докажем, что это решение единствен¬
но. Пусть z(t) — какое-нибудь другое решение задачи Коши (10.43),
z'(t) = A(t)z(t), z(tо) = хо. Определим функцию f(s) = {/(*, s)z(s).
Дифференцируя эту функцию, будем иметь в силу (10.48)
ris)=dU^s)2{s) + u{ts)zl{s) =
= —U(t, s)A(s)z(s) -f U(t, s)j4(s)*(s) = 0.
Таким образомм, f(s) = const и f(t) — /(*о) при любом t. Но f(t) =
= z(t), /(to) = Z7(Mo)*(to) = {7(Mo)&o = a?(0- Следовательно, z(t) =
= x(f), что и доказывает единственность решения (10.61). Таким
образом, справедлива
Теорема 10.3.3. Если U(t,to)xo € Da, mo формула (10.61) опреде¬
ляет едиственное решение задачи Коши для однородного уравнения
(10.43).
Легко видеть, что справедлива в некотором смысле обратная
теорема: если задача Коши (10.43) при любом xq Е Da имеет един-
ственное решение x(t), представляющее собой непрерывную функцию
t и непрерывно зависящее от xq, то существует семейство эволюци¬
онных операторов {U(t,r)} уравнения (10.43), обладающее свойства¬
ми I — 4 п.10,3.2.
664
ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Пример 10.15. На основании результата примера 10.14 единственное
решение уравнения теплопроводности (10.59) при начальном условии v(to) =
= ^о(х) определяется формулой
(10 62)
Перейдем к неоднородному уравнению (10.42). Сначала дока¬
жем одно вспомогательное предложение.
Лемма. Для любой непрерывной функции f(t) со значениями в X
t+h
limi J f(s)ds = f(t). (10.63)
t
> Определим функцию переменной v
F(v) = J f(*)ds.
t
Вследствие непрерывности подынтегральной функции эта функция
дифференцируема и ее производная вследствие теоремы 7.2.1 равна
F'(v) = f(t + v).
Положив v = 0, находим /’'(О) = f(t). С другой стороны, F'(0) пред¬
ставляет собой левую часть формулы (10.63). <
Теорема 10.3.4. Если Е/(*,*о)яо € Да, A(t)x представляет собой
непрерывную функцию t при любом х Е Da, функция y(f) в правой ча¬
сти уравнения (10.42) непрерывна и при любых t и т ее область зна¬
чений Ry отображается оператором U(t,T) в область определения
Da оператора A(t), то формула
t
x(t) = U(t, to)xo + J U(t,r) y(r) dr (10.64)
to
определяет единственное решение задачи Коши для уравнения
(10.42).
§ 10.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В В-ПРОСТРАНСТВАХ 665
> Единственность решения следует из теоремы 10.3.3, посколь¬
ку разность двух решений удовлетворяет однородному уравнению
(10.43) при xq = 0. Таким образом, доказывать нужно только то, что
второе слагаемое в правой части формулы (10.64) удовлетворяет
уравнению (10.42). Для этого находим
Предел второго слагаемого легко находится по формуле (10 03):
Для вычисления предела первого слагаемого введем оператор
(пределом которого на основании (10.53) служит оператор A(t)). То¬
гда в силу (10.46) получим
t
i J U(t + h, т) у(т) dr — J U(t,r) y(r)dT =
= ^ J № + h, t) - U(t, г)] у(т) dr + i j U(t + Л, r) y(r) dr. (10.65)
limf U(t + h,T)y(r)dT = U(t,t)y(t)=y(t). (10.66)
h—*Q fl J
(10.66)
t
Ah(t)x = [U(t + h,t)x — x]/h
t
t
j[U(t + h,T) - U(t,T)]y(T)dT = Ah(t) J U(t,r)y(T)dr. (10.67)
«0 <0
С другой стороны,, формула (10.51) дает
t
t t+Л <+Л t
= U‘‘TJ = S / ‘‘"j A(<r)U(<r, т) у(т) dr .
t0 t t t0
666 ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Интеграл по г представляет собой непрерывную функцию а. Поэто¬
му для вычисления предела при h —*• 0 можно применить формулу
(10.63). В результате, учитывая (10.67), получим
t t
Y\mAh(t) J U(tt т) y(r) dr = j A(t)U(t,T)y(r)dT. (10.68)
<0 <0
Отсюда следует
t
J U{t,r)y{r)dT G Da ,
to
t t
A(t) j U(t,r)y(r)dT = J A(t)U(t,T)y(r)dT. (10.69)
to to
На основании (10.66) — (10.69) переход к пределу при h -+ 0 в (10.65)
дает
t t
£ J U(t, T)y(r)dT = A(<) J U(i, r)y(r)dr + y(t). <
to to
Отметим, что в противоположность уравнениям в конечномер¬
ных пространствах формула (10.64) справедлива не для любого хо
и не для любой непрерывной функции y(t).
Пример 10.16. Единственное решение неоднородного уравнения те¬
плопроводности
= a2f~7 + /(*>*). 4*0, я) = flo(z) (10.70)
с непрерывной функцией f(t, х) определяется на основании (10.64) формулой
г)=w»(< -«.) 2ехр (~ }М() *+
+ 2^,{тг=7„1 exp{'4§ir^)}<10-71>
Условия теоремы 10.3.4 в данном случае выполнены, так как согласно резуль¬
тату примера 10.14 оператор С/(£,т) отображает область значений функции
S 10.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ^-ПРОСТРАНСТВАХ 667
/(т, х) — пространство ограниченных непрерывных функций C(i£) перемен¬
ной X — в пространство дважды дифференцируемых функций С72(Д), предста¬
вляющее собой область определения оператора А = 32/3х2.
10.3.4. Нелинейные дифференциальные уравнения. Рассмо¬
трим задачу Коши для нелинейного дифференциального уравнения
= /(*>*)> *(<о) = го- (10.72)
Будем предполагать, что функция f(t, х) выражается формулой
/(*, х) = A(t)x + g(t, х), (10.73)
где Л(<) — замкнутый линейный оператор с плотной в X областью
определения Da, не зависящей от t Е [0,7*], представляющий собой
непрерывную функцию t в том смысле, что функция A(t)x непрерыв¬
на при любом х Е Da, и обладающий семейством эволюционных
операторов {{/(<, т)}. Написав уравнение (10.72) в виде
^ = A(t)x + g(t, х), x(to) = хо) (10.74)
можем формально решить его как линейное уравнение, не обращая
внимания на то, что функция g(t> х) зависит от неизвестной функции
x(t). В результате формула (10.64) даст интегральное уравнение
t
x(t) = U(t>t о)х0 + J U (t, т) д(т, x(r)) dr. (10.75)
to
Эквивалентность дифференциального уравнения (10.74) и интег¬
рального уравнения (10.75) устанавливает следующая
Теорема 10.3.5. Если область значений Rg функции g(t>x) ото¬
бражается оператором U(t>r) в область определения Da оператора
A(t) при всех t, т и функция {/(<, г)у(г, х) непрерывна по т и х при
любом tj mo любое решение дифференциального уравнения (10.74) удо¬
влетворяет интегральному уравнению (10.75) и наоборот, любое ре¬
шение интегрального уравнения (10.75) удовлетворяет дифференци¬
альному уравнению (10.74).
> Учитывая, что в соответствии с теоремой 10.3.3 dU(t} to)xo/dt =
= A(t)U(tyto)xo, и почти буквально повторив выкладки доказатель¬
ства теоремы 10.3.4, убеждаемся в том, что любое решение инте¬
грального уравнения (10.75) удовлетворяет дифференциальному
668
ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
уравнению (10.74). Для доказательства обратного утверждения под¬
ставим в правую часть (10.75) какое-нибудь решение x(t) дифферен¬
циального уравнения (10.74) и положим
t
y(t) = и(t, to)xo + j U(t, т) д(т, sc(r)) dr.
t0
Дифференцируя это уравнение и повторив выкладки доказательства
первой части теоремы, приходим к уравнению
= Л(*)У + 9(t, *) •
Вычтем из этого уравнения почленно уравнение (10.74). В резуль¬
тате получим для разности z(t) = y(t) — x(t) однородное линейное
уравнение dz/dt = A(t)z с нулевым начальным условием zq = 0. По
теореме 10.3.3 это уравнение имеет единственное решение z(t) = 0.
Следовательно, y(t) = x(t). Это доказывает, что любое решение
дифференциального уравнения (10.74) удовлетворяет интегрально¬
му уравнению (10.75). <
Уравнение (10.75) представляет собой уравнение вида (7.47).
Поэтому к уравнению (10.75) применимы теоремы существования
единственного решения, доказанные в п.7.2.8. Из теоремы 7.2.3 вы¬
текает
Теорема 10.3.6. Если существуют такие числа М > 0, 6 > ТМ,
с > 0, что
1) || С/(^,г)у(г, х) || < М при всех to, т, t е [0,Т\, t0 < т < t,
\\х- U(tyt0)x0\\< Ь;
2) IIU(ty т)д(ту xi) - U(t, т)д(Ту х2) || < с || х\ - х21| (условие Липши¬
ца) при t, т £ [0, Т], т <t, ||х* — U(t,to)xo\\ < Ь (г = 1,2), mo уравнение
(10.75), а следовательно, и задача Коши (10.72) имеют единственное
решение x{i), представляющее собой непрерывную функцию, удовле¬
творяющую условию || х($) — U(t} <о)яо || < Ь,
Из теоремы 7.2.4 вытекает
Теорема 10.3.7. Если условие Липшица 2 теоремы 10.3.6 выпол¬
нено при всех xi, х2 £ X, то уравнение (10.75), а следовательно,и
задача Коши (10.72) имеют единственное решение x(t), представля¬
ющее собой непрерывную функцию.
Пример 10.17. Нелинейное уравнение теплопроводности, которое по¬
лучается заменой в уравнении (10.70) функции /(£,х) функцией g(ty X, v), за¬
висящей от неизвестной функции v(t, х) (подвод тепла к стержню зависит не
§ 10.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ^-ПРОСТРАНСТВАХ 669
только от времени и координаты, но и от температуры в данной точке стерж¬
ня), приводится к интегральному уравнению, которое получается из формулы
(10.71) заменой функции /(т, £) функцией </(т, £, v(t} £)) под знаком интеграла.
Теоремы 10.3.6 и 10.3.7 не накладывают жестких ограничений на
функцию g(t,x). Она не только не должна удовлетворять какому-
нибудь условию типа условия Липшица, но может даже содержать
слагаемые в виде линейной комбинации неограниченных линейных
операторов.
Пример 10.18. Рассмотрим нелинейное уравнение теплопроводности
&=*’0+Н£- <10-76>
В этом случае функция g(t, X, v) = kvdv/dx содержит неограниченный ли¬
нейный оператор д/дх. Вычислим по формуле (10.60) результат действия на
эту функцию оператора U(t,T). Интегрируя по частям, получаем
U(t>r)g(T,x,v) =
= 2 аМ-*)! “Р {-&0Г)} * =
= - т? JJ( - ,)е>Р {-4^)}
Рассматривая уравнение (10.76) как уравнение в ^-пространстве ограничен¬
ных непрерывных функций C(R) переменной X, убеждаемся в том, что функ¬
ция U(t,r)g(r,x, v) удовлетворяет условию Липшица, так как функция V2
удовлетворяет ему на любом конечном интервале изменения V. Поэтому урав¬
нение (10.76) удовлетворяет условиям теоремы 10.3.6.
Таким образом, изложенная теория обладает большой степе¬
нью общности и охватывает широкий класс различных уравнений,
которые можно представить как обыкновенные дифференциальные
уравнения в 5-пространствах, в частности все уравнения матема¬
тической физики.
Читателям, желающим подробнее познакомиться с дифференци¬
альными уравнениями в ^-пространствах, рекомендуем обратиться
к книгам [18] и [15] (только линейные уравнения).
670
ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
ЗАДАЧИ
10.3.1. Рассмотренное в примерах 10.14— 10.18 уравнение теплопроводно¬
сти описывает распространение тепла в бесконечном стержне. Сейчас мы рас¬
смотрим уравнение теплопроводности для полубесконечного стержня с гра¬
ничным условием на одном конце, который без ущерба для общности можно
считать точкой X = 0:
|^ = а2|р, v'x(t, 0) = hv(t, 0), t>(0, х) = uo(sr) • (10.77)
Это граничное условие означает, что к концу стержня подводится тепло (от¬
водится при h < 0, причем скорость изменения температуры конца пропорци¬
ональна его температуре. Уравнение (10.77) с граничным условием предста¬
вляет собой дифференциальное уравнение в ^-пространстве С|([0,00)) диф¬
ференцируемых функций, удовлетворяющих граничному условию.
Формула (10.61) показывает, что для нахождения эволюционных операто¬
ров необходимо решить однородное уравнение при начальном условии х(т) =
= X, в данном случае v(t, х) = v(x). Формула (10.60) определяет решение
уравнения (10.77) на всей числовой прямой R. Нам же нужно решение для
функции v(x), определенной только при X > 0 и удовлетворяющей гранично¬
му условию v'(0) = ftv(O), причем само решение тоже должно удовлетворять
этому граничному условию. Мы покажем здесь стандартный прием, с помо¬
щью которого часто удается перейти от решения данного уравнения в частных
производных, рассматриваемого как дифференциальное уравнение в одном
^-пространстве, к решению того же уравнения, рассматриваемого как диффе¬
ренциальное уравнение в другом ^-пространстве. Напишем формулу (10.60)
в виде
U(,-T)v= 2^ЬТ)[Г'ХР{'5&^} »«>«+
Чтобы применить эту формулу для нахождения решения уравнения (10.77) на
интервале [О, оо), надо продолжить функцию v(x), заданную только для по¬
ложительных X, в область отрицательных X так, чтобы определяемая преды¬
дущей формулой функция переменной X удовлетворяла граничному условию.
Положив £) = перепишем предыдущую формулу в виде
U(,-T)v=
§ 10.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ^-ПРОСТРАНСТВАХ 671
Граничное условие для этой функции переменной X дает уравнение для функ¬
ции ^(£). Решив это уравнение, выразим функцию ^(£) через функцию v(£).
В результате определим эволюционные операторы для уравнения (10.77) с гра¬
ничным условием:
u{,-r)v = if1"!-+ ехр{~ Дг^)} *
1 - ah^2w(t - г) + 2акФ (-^±JL= + ahsJ2{t - т))] |«(0 # .
Читателю предоставляется самому проделать все необходимые выкладки,
пользуясь формулой (2.61) задачи 2.3.2, а также найти решение задачи Ко¬
ши для однородного уравнения (10.77) и для соответствующего неоднородного
уравнения.
10.3.2. Уравнение теплопроводности для ограниченного стержня с гра¬
ничными условиями на двух концах X = 0 и X = /,
т~а2д**’ v*(<>°)= ,
v'x(t,l) = h2v(t,l), w(0,x) = w0(x). (10.78)
можно рассматривать как дифференциальное уравнение в ^-пространстве
С2Ч[0,/]) дифференцируемых функций, удовлетворяющих на концах интерва¬
ла данным граничным условиям.
Показать, что эволюционные операторы для этого уравнения выражают¬
ся формулой
Z
U(t,r)v = f £ Вп ехр{—/*2а2(< _r)} <f>n(x)<f>n(£) v(() d£,
0 n= —оо
где функции <Рп(х) определяются формулой
<рп(х) = ехр{г>„х} + .
Они удовлетворяют дифференциальным уравнениям и граничным условиям
<Рп = -£<Рп(х). ¥>п(0) = Aiy>„(0), = h2<Pn(l),
672 ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
из которых следует, что они ортогональны:
I /
f <p„(x)ipm(x)dx = 0 при пфт, Вп 1 = / | <рп(х) |2 dx
о
о
а /Лп — значения параметра /1, при которых возможно выполнение граничных
условий. Они определяются трансцендентным уравнением
соответствующего неоднородного уравнения.
У Казани е. При проверке первого равенства (10.46) воспользоваться
формулой (6.46) примера 6.25.
10.3.3. Уравнение теплопроводности в трехмерном пространстве приме¬
ра 7.19
определяет эволюционные операторы уравнения (10.79). Найти решение зада¬
чи Коши для уравнения (10.79) и решение задачи Коши для соответствующего
неоднородного уравнения.
10.3.4. Так же как в задаче 10.3.1, найти эволюционные операторы и реше¬
ния задач Коши для однородного уравнения (10.79) и соответствующего неод¬
нородного уравнения, для уравнения (10.79) с соответствующими граничными
условиями для задач распространения тепла в полупространстве X > 0, в ква¬
дранте Ху у > 0 и в октанте Ж, у, Z > 0.
10.3.5. Та же задача для двусторонних граничных условий по координат¬
ным осям, т.е. для задач распространения тепла в слое, в брусе и в паралле-
(ц2 + hih2)tgfil = (h2 - hi)fi.
Найти решение задачи Коши для однородного уравнения (10.78) и для
можно рассматривать как дифференцианальное уравнение в jB-пространстве
непрерывных функций С(Д3). Доказать, так же как в примере 10.14, что фор¬
мула
U(t}r)v =
xv(t,4,0<%,<h),dC
лепипеде.
§ 10.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В В-ПРОСТРАНСТВАХ 673
10.3.6. Рассмотрим теперь волновое уравнение примера 7.20, описываю¬
щее колебания натянутой струны с закрепленными концами х = 0их = (:
1$ ~ ^Ъх* ’ v(*’°) = =
v(0, х) = t»o(x). (0, х) = ь>о(х). (10.80)
Положив W = dv/dt, приведем уравнение (10.80) к системе двух уравнений
dv _ в|1 dw 2d2v
W~w' Ж~адР- (1081)
Эту систему уравнений можно рассматривать как уравнение вида (10.43) в
27-пространстве непрерывных двумерных векторных функций С([0, /]) с по¬
стоянным оператором
Л - \а2д2/дх2 о] •
Эволюционные операторы в этом случае представляют собой матрицы
TJU тч_ \Un(t,T) U\2(t,r)
UV'T>- [tf21(<,r) V22{t,r)_ •
Доказать, что эти эволюционные операторы определяются формулами
t)v = - f 22 cosn™(*. ~ ^sin^^sin^T^t;^) d£,
* о n=i 1 1
Ui2(t, t)w= —f 22 ^smnira^, ~ тКтЩ^9\п^-ю(^) d(,
в* о n=l ‘ ‘ 1
U21(t, t)v = / 22 nsinsing^sin^t;(fl df,
• 0 n=l 1 1 *
t^22(*, f )ti; = T / 52 cosn7rfl(;—.
« о n=l 1 II
Найти решение задачи Коши для однородного уравнения (10.80) й для соот¬
ветствующего неоднородного уравнения.
10.3.7. Волновое уравнение, описывающее колебания тонкой прямоуголь¬
ной мембраны, закрепленной по периметру, имеет вид
674
ГЛ. 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
о, у) = v(t, I, у) = t>(f, *, 0) = v(t, х,к) = 0,
t»(0,*,y) = v0(*,y), ««(0,*,у) = и>о(*»У)- (10.82)
Так же как и уравнение струны, ото уравнение приводится к системе двух
уравнений вида (10.81). Эту систему уравнений можно рассматривать как
уравнение вида (10.43) с постоянным оператором
А- Г 0 Ч
л~ [a2(d2/dt2 + d2/dy2) о
в 27-пространс?ве непрерывных функций (?([(), i] X [0, к]), удовлетворяющих
граничным условиям. Доказать, что эволюционные операторы уравнения
(10.82) определяются формулами
Un(t, t)v = Tjf f £ cos/inma(t - r)sinsinx
0 0 n,m=1 e
xsin^sin^^p v(£, T))dtdr),
Unit, r)w= jfaff £ Ti^-8m/inma(t - rjsin^sin^^p x
0 0 fl ,171—1
xsin^j^sin^^ tu(£, r))d£dr),
&21&,т)у= -jgff E ^nm8in/4nma(<-r)sin^sin^^nPx
ls0 0 n,m=l 1 *
xsin^^sin^y^ v(£, iy) d£ dr],
CM*, r)w= ]т/f E COSJInma(t - rjsin^psin^np X
**0 0 n,m=l 4 *
X8in^^sin~^ rj)d£dr)y
где /inm = ^Г^(п//)2 + (m/fc)2. Найти решение задачи Коши для уравнения
(10.82) и для соответствующего неоднородного уравнения *.
* Мы предлагаем читателю только проверить, что приведенные формулы
для эволюционных операторов справедливы, но не предлагаем их вывести,
так как их вывод требует применения методов решения уравнений математи¬
ческой физики, знание которых выходит за рамки предполагаемой математи¬
ческой подготовки читателя.
§ 10.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В В-ПРОСТРАНСТВАХ 675
10.3.8. Доказать теорему о непрерывной зависимости решения задачи Ко¬
ши для уравнения (10.72) от начального условия и правой части. Для этого
взять два уравнения вида (10.72) с функциями f\(t}x) и /г(<, *). определяе¬
мыми формулой (10.73) с одним и тем же оператором A(t) и с разными функ¬
циями *)и *). и доказать, что при любом € > О существует такое
число 6 = 6е > 0, что норма разности решений Xi(£) — 1t2(t) этих двух
уравнений будет меньше £ при всех t £ ,CZ^], если || Xi(<o) “ ^2(^0) || <
II U(t, r^r, х) - U(t, т)д2(т, х) || < 6 при всех ty Г, X.
10.3.9. Рассмотреть как частные случаи уравнения (10.42), (10.43) и (10 72)
в сепарабельных Н-пространствах. Формулы (8.33) — (8.35) п.8.5.4 и теоре¬
ма Рисса — Фишера (задача 8.5.14) показывают, что любое сепарабельное
//-пространство X изометрически изоморфно пространству последователь¬
ностей 12: каждому X € X соответствует последовательность коэффициентов
Cjg = (х,х&) разложения (8.33), и наоборот, каждой последовательности {с*}
соответствует вектор X Е X, для которого (х, X*) = С* и справедливо разло¬
жение (8.33), причем согласно (8.34) и (8.35) норма и скалярное произведение
при переходе от пространства X к пространству /2 сохраняются. Доказать,
что на основании этого изометрического изоморфизма любого сепарабельно¬
го /f-пространства пространству /2 любое дифференциальное уравнение в се¬
парабельном /f-пространстве может быть приведено к дифференциальному
уравнению в пространстве /2 (т.е. к бесконечной системе скалярных диффе¬
ренциальных уравнений).
10.3.10. Уравнения примеров 10.14 — 10.18 и задач 10.3.1 — 10.3.7 можно
также рассматривать как дифференциальные уравнения в соответствующих
Н-пространствах: L2(R) в примерах 10.14 — 10.18, Х^2([0, оо)) с соответству¬
ющими граничным условием в задаче 10.3.1, Х>2([0, /]) с соответствующими
граничными условиями в задаче 10.3.2, L2(R3) в задаче 10.3.3; соответству¬
ющие Н-пространства для уравнений задач 10.3.4 — 10.3.7 предоставляется
определить читателю, которому предлагается также вывести бесконечные си¬
стемы скалярных дифференциальных уравнений, эквивалентные уравнениям
примеров 10.14 — 10.18 и задач 10.3.1 — 10.3.7.
10.3.11. Доказать, что если задача Коши (10.43) имеет единственное реше¬
ние x(t) при любом Хо £ Da, представляющее собой непрерывную функцию
t и непрерывно зависящее от Хо, то существует семейство эволюционных опе¬
раторов {U(t, г)}.
10.3.12. Доказать, что если область значений Ru(ttr) любого операто¬
ра U(t, т) содержится в области определения Da оператора A(t)% Ru{i т) С
С Da , то формула (10.64) справедлива для любого Хо и Для любой непрерыв¬
ной функции y{t).
ГЛАВА И
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
§ 11.1. Методы последовательных приближений
11.1.1. Операторные уравнения. В приложениях встречается
много различных операторных уравнений вида
/(*) = У» (И.1)
где / '— функция (оператор), отображающая некоторое простран¬
ство X в пространство У (в частном случае может быть У = X).
Несколько примеров таких уравнений было дано в § 7.2. Решени¬
ем операторного уравнения (11.1) при данном у называется любой
элемент ж, принадлежащий области определения Dj функции /, для
которого справедливо равенство (11.1). Само собой разумеется, ре¬
шение уравнения (11.1) может существовать только в том случае,
когда у принадлежит области значений Rj функции /.
Найти точное решение операторного уравнения удается лишь в
очень редких случаях. Точные решения, конечно, очень удобны и
полезны для аналитических исследований. Однако они часто оказы¬
ваются совершенно непригодными для вычислений. Так, например,
мы умеем находить точные решения любых линейных дифференци¬
альных уравнений с постоянными коэффициентами. Однако полу¬
чающиеся в результате формулы пригодны для вычислений лишь в
простейших частных случаях, как правило, для уравнений первого,
второго, третьего порядков. В случае уравнений высоких поряд¬
ков эти формулы практически непригодны для вычислений. Тем не
менее решать операторные уравнения в задачах практики нужно, и
при этом необходимо доводить решение до численных результатов.
Поэтому еще в давние времена возникли и получили развитие раз¬
личные приближенные методы. Особенно бурно стали развиваться
приближенные методы после появления ЭВМ, которые сделали воз¬
можным в короткие сроки производить такие сложные вычисления,
которые раньше были совершенно невыполнимыми. Возникло вели¬
кое множество приближенных методов решения раличных конкрет¬
ных задач.
§ 11.1. МЕТОДЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
677
* Само собой разумеется, изучение специфических приближен¬
ных методов, разработанных для решения различных частных за¬
дач, не относится к функциональному анализу. Однако развитие
основ общей теории приближенных методов и изучение общих ме¬
тодов, пригодных для решения широких классов задач из различ¬
ных областей науки и техники, является предметом функционально¬
го анализа.
11.1.2. Существование функции, заданной неявно. Лля ре¬
шения простейших уравнений издавна применяются различные ме¬
тоды последовательных приближений (итераций). С одним таким
методом, который стал общим методом доказательства существова¬
ния решений операторных уравнений, — методом сжимающих ото¬
бражений — мы познакомились в п.7.2.6.
Одним из важнейших применений метода сжимающих отобра¬
жений является доказательство существования функции, заданной
неявно.
Пусть X — произвольное пространство, У, Z — В-пространст-
ва, z = F(xy у) — непрерывная функция у, отображающая X х У в Z,
Dp и Rf — ее область определения и область значений.
Теорема 11.1.1. Если 0 6 Rf и существует такое натуральное
число р и такой ограниченный линейный оператор В : Z —► У, что
оператор Ар, где
Ау = у + BF(x,y)>
осуществляет сжимающее отображение У в У при всех х Е 5 С {х :
{а?,у} € DFjF(x,y) = 0}, то уравнение
F(x,y) = 0
определяет единственную функцию у = f(x) с областью определения
Dj = S и областью значений Rf = {у : {ж, у} Е Dp,F(xyy) = 0}.
Справедливость этой теоремы вытекает непосредственно из те¬
оремы 7.2.2.
11.1.3. Общие замечания о приближенных методах. Кро¬
ме метода сжимающих отображений, существуют и другие методы
последовательных приближений, например методы касательных и
метод секущих Ньютона, первоначально предназначенные для отыс¬
кания корней уравнений вида (11.1) в случае скалярных ж, у. Однако
кроме итерационных методов существуют и другие приближенные
методы, основанные на упрощении задачи, на сведении ее прямо или
косвенно к конечномерной задаче, так как вычисления, необходимые
678 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
для нахождения решения, выполнимы, только если они содержат ко¬
нечное (хотя, может быть, и очень большое) число арифметических
и логических операций. Само собой разумеется, при упрощении за¬
дачи следует стремиться к тому, чтобы решение упрощенной зада¬
чи было как можно ближе к решению исходной задачи. Лля теории
приближенных методов важен вопрос о возможности получить реше¬
ние исходной задачи с любой степенью точности. Чтобы ответить
на этот вопрос, обычно рассматривают не одну, а последователь¬
ность упрощенных задач, каждая из которых дает большую точ¬
ность приближения к решению исходной задачи, чем предыдущая,
и исследуют сходимость последовательности решений упрощенных
задач к решению исходной задачи. Однако для практики гораздо
более важен вопрос об оценке точности приближения к решению ис¬
ходной задачи, который в подавляющей части задач практики не
поддается теоретическому исследованию и может быть решен толь¬
ко с помощью эксперимента. И при этом применение расходящихся
рядов и последовательностей часто дает достаточную для практи¬
ки точность и значительно более простые алгоритмы, чем примене¬
ние сходящихся процедур. Правда, остается неясным, какал имен¬
но точность достаточна для практики. Очевидно, что этот вопрос
невозможно решить средствами математики. На практике требу¬
емая точность определяется, с одной стороны, точностью измери¬
тельных приборов, применяемых при экспериментальных исследо¬
ваниях, а с другой стороны, точностью исходных данных, прежде
всего принятой математической модели изучаемого явления. Во-
первых, все математические соотношения, применяемые для иссле¬
дования различных явлений окружающего нас мира, представляют
собой лишь математические модели реальных явлений — абстрак¬
ции, и никакая модель не может полностью соответствовать опи¬
сываемому ею явлению. Во-вторых, исходные данные для изуче¬
ния любого явления с помощью принятой модели всегда бывают
известны лишь приближенно, так как они получаются, как правило,
путем статистической обработки результатов экспериментов. По¬
этому требование чрезмерно высокой точности расчетов, не только
бессмысленно, но и вредно, так как может привести к значитель¬
ному усложнению алгоритмов и вычислений, а следовательно, и к
повышению затрат времени и стоимости исследований без фактиче¬
ского повышения точности. Поэтому на практике обычно говорят о
рациональной точности, согласованной с доступной информацией об
изучаемом явлении. А вопрос о сходимости приближенных проце¬
§ 11 1. МЕТОДЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
679
дур имеет для практики второстепенное значение. Он важен лишь
для теоретического обоснования приближенных методов.
11.1.4. Метод Ньютона. Будучи эффективным методом до¬
казательства существования решений различных уравнений, метод
сжимающих отображений пригоден для практического применения
лишь в простейших частных случаях. В более сложных задачах,
например в задаче решения дифференциального уравнения перво¬
го порядка, этот метод может дать удовлетворительную точность
только после очень большого числа шагов.
Самым практичным
из методов последова¬
тельных приближений
оказался метод, перво¬
начально предложен¬
ный Ньютоном для
отыскания корней урав¬
нения f(x) = у, где f(x)
— действительная функ¬
ция действительной пе¬
ременной. Этот метод
основан на том, что,
взяв в нулевом прибли¬
жении какое-нибудь
значение хо (достаточно
близкое к искомому кор¬
ню), заменяют кривую
у = f(x) касательной к
ней в точке аго, У —
= /(*о) + /'(*о)(* - *о).
Решив полученное ли¬
нейное уравнение, полу¬
чают первое приближе¬
ние Х\ к искомому кор¬
ню. После этого замена
ют кривую у = f(x) ка¬
сательной к ней в точке
х\. Решив полученное
линейное уравнение^ на- Рис. 31
ходят второе приближе¬
ние а?2. Из рис.30 видно, что при удачном выборе xq последова¬
Рис. 30
680 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
тельные приближения xi, х2}..., хп,... неизбежно сходятся к корню
уравнения /(х) = 0. Однако при неудачном выборе хо процесс после¬
довательных приближений может "зациклиться”. На рис.31 показан
такой случай, когда хп = х„+2 = хп+4 = ..., xn+i = хп+3 = .... По¬
этому вопрос об удачном выборе нулевого приближения хо имеет
первостепенное значение. Быстрота сходимости последовательных
приближений при удачном выборе хо привела к тому, что метод
Ньютона был распространен на системы уравнений и на. более об¬
щие уравнения и сейчас стал одним из наиболее эффективных общих
приближенных методов решения нелинейных операторных уравне¬
ний.
Везде в дальнейшем будем изучать уравнение (11.1), предпола¬
гая, что X и У — Б-пространства. Предположив, что функция /(х)
имеет сильную производную в некоторой окрестности ^искомого ре¬
шения уравнения (11.1), перепишем его в виде
/О») + /'(«К* - а) + о(|| * - а II) = у. (11.2)
Бели производная /'(х) представляет собой обратимый оператор в
точке а, то, отбросив в (11.2) слагаемое о(||х — а\\) и решив получен¬
ное линейное уравнение, будем иметь
х = а + /Ча)-1[У г /(“)]•
Эта формула дает приближенное решение уравнение (11.1), точ¬
ность которого будет тем выше, чем ближе а к точному решению.
Это дает основание определить последовательные приближения
{хп} к точному решению х уравнения (11.1) формулой
Xn+i = Хп+f'(xn)~l[y-f(xn)} (n = 0,1,2,...), (11.3)
где хо — произвольное достаточно близкое к искомому решению
значение х.
Метод Ньютона сводит решение нелинейного уравнения (11.1)
к решению последовательности линейных уравнений.
Ответ на вопрос о сходимости последовательности приближе¬
ний Ньютона {хп} дает
Теорема 11.1.2. Если функция f(x) дифференцируема в шаре
Sr(xо), ее производная /'(х) удовлетворяет в этом шаре условию
Липшица
||/'(*')-/'(*) II <М1*'-* II (11-4)
§ 11.1. МЕТОДЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 681
и представляет собой оператор с ограниченным обратным операто¬
ром, норма которого не превосходит с > 0, q = c2L || у — /(а?о)|| /2 =
= с2Ьк/2 < 1 « сумма ряда
|/=0
не превосходит г, то уравнение (11.1) имеет решение х в замкнутом
шаре [5р(хо)] и последовательность {хп} сходится к х, причем
II*»-*11 (п-5)
> Сначала установим одно вспомогательное неравенство. Поль¬
зуясь формулой конечных приращений (10.6), находим при' любых
х,х' е Sr(xо)
1
/(*') - /(*) - /'(*)(*' - *) = J l/ч*+<(*' - *)) - /'(*)](*' - *)dt-
о
Отсюда и из (11.4) следует
1
н /(*о - л*) - /'(*)(*' - *) н <L н *' - * н2 J1 dt
о
или
II/(*') - /(*) - /'(*)(*' - *)|| <L \\х' - *||2 /2. (11.6)
Оценим теперь норму вектора у — /(xn+i)- Имея в виду, что
вследствие (11.3) у = f(xn) + f'(xn)(xn+i — хп), и пользуясь неравен¬
ством (11.6), будем иметь
|| У - /(*n+l)|| = II /(*») - /(*n+l) + f'(xn)(xn+1 - Хп) || <
<1||*п+1-*п||2/2. (11.7)
Применяя это неравенство при п = 0,1,2,... и учитывая, что || у —
—/(хо)|| = к, последовательно находим
||*i-*o||<||/'(*or1HII»-/(*o)||<cfc,
682 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
II *2 - *1II < II /4*i)-1 II || У - /(*1) II < CL || XI - х0 II2 /2 <
< c3k2L/2 = ckq,
|| хз - х21| < cL || Х2 - хг ||2 /2 < c3k2q2L/2 = ckq3
И вообще
||ar„+i -*„||< с*?2"-1 (п = 0,1,2,...). (11.8)
Для доказательства этой формулы при любом п можно применить
метод индукции. Предположив, что (11.8) справедливо при п = р, из
(11.3) и (11.7) находим при п = р + 1
||*Р+2 - *Р+1 II < || [/'(*p+i)]_11I Ну - /(*p+i) Н<
< cL ||a:p+i — хр ||2 /2 < c3k2Lq2T+l~2/2 = ckq2P+*~x.
Из (11.8) следует фундаментальность последовательности {хп},
так как при любом натуральном р
п+р-1 00
||*п+р-*п||< 52 ||x„+i-x„||<cfc53g2‘'-1 (11.9)
I/=п U—П
и, следовательно, хп+р — хп —► 0 при п —► оо равномерно относитель¬
но р. Вследствие полноты 5-пространства X существует предел
Ъ = limxn. Переходя в (11.7) к пределу при п —► оо и учитывая
непрерывность /(ж), получаем у = /(«), т.е. х = limxn является
решением уравнения (11.1).
Лалее, положив в (11.9) п = 0, находим при всех р
II *р - *оII < ск 52 = Р,
*=0
т.е. все точки хп принадлежат шару 5р(х0). Следовательно, х =
= limxn G [Sp(xo)].
Наконец, переходя в (11.9) к пределу при р —► оо, получаем
н*« - *н < ск y, я2"-1 = с*,2"-1 fy^-2" =
i/=n /j=О
= dt,2"-1 fy**2"-1).
/1=0
§ 11 1. МЕТОДЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
683
Отсюда, учитывая, что 2** — 1 > /1 при всех целых /1, находим
11.1.5. Модифицированный метод Ньютона. Наибольшую
трудность при практическом применении метода Ньютона предста¬
вляет обращение операторов /;(хп), или, что то же, решение линей¬
ных уравнений
Поэтому на практике часто применяют модифицированный метод
Ньютона, основанный на замене всех операторов /'(хп) в уравнени¬
ях (11.3) одним оператором /'(хо). При этом сходимость прибли¬
жений к решению уравнения (11.1), конечно, замедлится. Однако
увеличение числа итераций окупается тем, что вместо обращения
последовательности операторов {/'(хп)} достаточно обратить один
оператор /'(хо). Ответ на вопрос о сходимости модифицированного
процесса итераций Ньютона дает
Теорема 11.1.3. Если функция /(х) дифференцируема в шаре
Sr(xо), ее производная удовлетворяет в этом шаре условию Липши¬
ца (11.4), /'(хо) представляет собой оператор с ограниченным обрат¬
ным оператором /'(хо)”1, наименьший корень квадратного уравне¬
ния
где с =|| /'(хо)”1 ||, А =|| Г(хо)~1[у — /(хо)] ||, не превосходит г и
2cLh < 1, то уравнение (11.1) имеет единственное решение в за¬
мкнутом шаре [5р(хо)] « последовательность {хп},
/i=0
/(*») + /'(*„)(*„+1 - Хп) = у.
(11.10)
cLp2 — 2/> + 2Л = 0,
(11.11)
*п+1 = Хп + /'(*о) - /(*п)],
(11.12)
сходится к х и при этом
(11.13)
> Докажем сначала, что оператор Ах = х + /'(хо) 1[y — f(x)] ото¬
бражает шар Sp(xo) в себя. Отсюда будет следовать, что все точки
684 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
последовательности {хп} принадлежат Sp(xо). Пользуясь неравен¬
ством (11.6), находим
|| Ах - *о || = || * - *о + /'(*о)-1[У - /(*)] || =
=11 [/'(a;o)]'1[/,(a!o)(* - *о) + У - /(*о) + f(xо) - /(*)] || <
< cL || х — хо ||2 /2 + Л.
При || а: —хо|| < р в силу (11.11) будем иметь || Ах—хо|| < cLp2/2+h = р.
Докажем теперь, что Ах ;— сжимающее отображение. Поскольку
оно дифференцируемо, для этого достаточно показать, что норма
его производной меньше единицы в замкнутом шаре [£Дхо)]. Поль¬
зуясь неравенством (11.4), получаем при любом х 6 Sp(xо)
|| (л*у || = || / - /'(*оГ7'(*) II = II /'Ы-Ч/'Ы - /'(*)) Н<
< cL || я — хо || < С^Р = 1 ~ VI — 2cLh < 1.
А так как из (11.12) следует, что xn+i = АхПу то по теореме 7.2.2
о сжимающих отображениях уравнение Ах = х имеет единственное
решение х € [Sp(xo)] и последовательность {хп} сходится к этому
решению. Но Ах = х + /'(хо)-1^ — /(*)]• Поэтому Ах — х тогда и
только тогда, когда /(х) = у, т.е. х является решением уравнения
(11.1). А так как последовательность {хп}, определяемая методом
сжимающих отображений, по теореме 7.2.2 сходится не медленнее,
чем геометрическая прогрессия, знаменатель которой а в данном
случае равен q = cLpy и ||xi - х0|| = ll/'fco)"1^ - f(xo)] II = А, то
h(cLp)n _ (1 - VI-2cLh)»
что и доказывает неравенство (10.13). <
Пример 11.1. Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение
/ f(t,T,x{r)) dr + g{t,x(t)) = y(t), (1114)
a
где f(ty Ty x) и g(tyx) — непрерывные функции, имеющие непрерывные про¬
изводные по X. Производная оператора
Ь
F(x) = / /(*.т. х{т)) dr + g(t, x(t))
§ 11.x. МЕТОДЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
685
согласно (10.1) определяется формулой
F'(x) = I /*(<> т> х(т)) • dr + 9x(t> *(*))•
а
Применив для решения интегрального уравнения метод Ньютона, на основа¬
нии (11.10) получим последовательность линейных интегральных уравнений
Ь
S /*(*, т, xn(r))[arn+i(r) - *n(r)] dr + gx(t, arn(<))[a:n+i(0 - *n(0] =
a
= y(t) - I /(<» T, Xn(r)') dr - g(t, *„(«))• (11.15)
a
Модифицированный метод Ньютона дает на основании (11.12) те же уравне¬
ния (11.15) с заменой функций fz{ty Т, Хп(т)) и Xn(t)) функциями /?(£> Т,
хо(т)) и gx(t,x0(t)) соответственно. \
Все написанные уравнения справедливы и в случае 71-мерных векторных
функций х($), /($,Г, х), g(tyx) и y(t). В этом случае х) и gx(tt х)
представляют собой матрицы Якоби производных функций /(£, Г, х) и g{ty х)
по координатам вектора X.
Более того, все написанные формулы и уравнения справедливы в более
общем случае, когда X является элементом 5-пространства X, у — элементом
В -пространства У, a f(ty Т, х) и g(ty х) — операторы, отображающие X в Y
(при этом / зависит от /, Т, а д — от t как от параметров). В этом случае
fx(t,r,x) и gx(t, х) представляют собой сильные производные операторов /
и д соответственно (п.10.1.1).
П .р и м е р 11.2. Чтобы решить дифференциальное уравнение (систему
уравнений, записанную в векторной форме)
%£=f(t,x), x(to) = а (11.16)
методом Ньютона, напишем это уравнение в интегральной форме
x(t) = a +f f(T,x(T))dr. (1117)
<0
Это уравнение — частный случай уравнения примера 11.1 при f{tyTyx) =
= /(т, х)1(£ — 7"), g(tyx) = —X, y[t) = —Я. Поэтому уравнения, определяю¬
щие последовательные приближения к искомому решению, имеют вид
t
/ fs(r, *n(T))[ar„+i(r) - *n(r)] dr - xn+i(<) + *n(<) =
<0
686 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
t
= -а - / /(г, *„(г)) dr + х„(<)•
<0
Дифференцируя ото уравнение, получим последовательность линейных диф¬
ференциальных уравнений
^ = fx{t> xn)(a?n+i — Хп) + f(ty Хп). (11.18)
Модифицированный метод Ньютона в отом случае дает последовательность
уравнений
""ffi1, =/*(<,*o)(*n+i-*«) + /(*,*„)• (11.19)
Эти уравнения имеют большое преимущество перед (11.18), так как у них у
всех одна и та же матрица коэффициентов. Это дает возможность найти фун¬
даментальную матрицу решений ti(<,r), tl(r, 7") = I соответствующего одно¬
родного уравнения сразу для всех уравнений. Тогда для определения прибли¬
жений Xn(t) к искомому решению #(£) исходного уравнения достаточно будет
применить метод вариации постоянных. В результате получим
*n+i(0 = u(t,to)a + f u(t, r)[f(r, x„(r)) — /х(т,хо(т))хп(г)] dr. (11.20)
<0
В случае обычного метода Ньютона приходится находить фундаментальную
матрицу решений однородного уравнения для каждого уравнения (11.18) (в
отом случае вместо ti(£, т) придется написать u(t, Т,Хп(г)), отметив третьим
аргументом зависимость фундаментальной матрицы решений от 2П(£)).
ЗАД АЧИ
11.1.1. Применить метод Ньютона и модифицированный метод Ньютона
для приближенного решения дифференциального уравнения (10.72) в
22-пространстве:
Tjf =f(t,x), x(t0) = X0,
предполагая, что функция f(t,x) имеет производную Фреше fx{t, х) по X (по
определению представляющую собой ограниченный линейный оператор).
11.1.2. Решить ту же задачу, не предполагая /(£, х) сильно дифференци¬
руемой по X.
Указание. Предположить, что функция f(t,x) выражается фор¬
мулой (10,73), где g(ty х) сильно дифференцируема по X, и учесть эквивалент¬
ность дифференциального уравнения (10.74) и интегрального уравнения (10.75)
в отом случае.
§11.2. ДРУГИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
687
§ 11.2. Другие приближенные методы
11.2.1. Общие принципы приближенных методов. Лля опи¬
сания общей схемы приближенных методов удобно написать опера¬
торное уравнение (11.1) в виде
где А — в общем случае нелинейный оператор, Ах = /(х). При
этом будем, как и в п.11.1.4, считать, что оператор А отображает
S-пространство X в S-пространство У (в частном случае может
быть У = X).
Лля приближенного решения уравнения (11.21) оно заменяется
более простым уравнением
которое поддается непосредственному решению. Чтобы получить
такое упрощенное уравнение, необходимо, во-первых, аппроксими¬
ровать известную правую часть уравнения (11.21) некоторой вели¬
чиной уп, а во-вторых, аппроксимировать оператор А оператором
Ап. И это надо сделать так, чтобы, с одной стороны, уравнение
(11.22) можно было сравнительно легко решить, а с другой сторо¬
ны, решение хп уравнения (11.22) аппроксимировало с достаточной
точностью решение х уравнения (11.21). Ясно, что при этом величи¬
ны хп, уп и оператор Ап должны быть в какой-то мере проще, чем х,
у и А, и, в частности, должны допускать "конечное” описание, т.е.
описание конечным набором чисел или обычных скалярных функ¬
ций. Иными словами, хп, уп должны принадлежать более простым
пространствам, чем X и У. Поэтому возникает вопрос о приближе¬
нии элементов одного пространства элементами другого простран¬
ства. Этот вопрос не возникает в других разделах функционального
анализа.
Пусть Хп — S-пространство, векторами которого аппроксими¬
руются векторы пространства X, аУп — S-пространство, вектора¬
ми которого аппроксимируются векторы пространства У. Оператор
Ап будет в этом случае отображать Хп в Уп. Обычно берутся ко¬
нечномерные пространства Хп и Уп. Однако в некоторых случаях
целесообразно брать бесконечномерные пространства, чаще всего
функциональные. В обоих случаях Хп и Уп могут быть, а могут и не
быть подпространствами пространств X и У соответственно. Лля
Ах = у,
(11.21)
Апхп = уп
(11.22)
688 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
установления необходимых соответствий между хп и ж, уп и у введем
оператор проектирования Рп из X в Хп и оператор проектирования
Qn из У в Уп. Ясно, что если Хп — подпространство пространства
Ху то Рп будет идемпотентным оператором. И также Qn будет идем-
потентным оператором, если Уп есть подпространство пространст¬
ва У.
Обозначим через || • ||п нормы в пространствах Хп и У„. Мы обо¬
значаем их одинаково, так как из самих формул всегда будет видно,
к какому пространству относится та или иная норма. В частном
случае, когда Хп и Уп — подпространства пространств X и У со¬
ответственно, нормы || ||п совпадают с нормами в пространствах X
и У.
В качестве меры приближения вектора хп £ Хп к вектору х £ X
целесообразно взять норму разности между вектором хп и проек¬
цией Рпх вектора х на Хп> || хп — Рпх ||п. В качестве меры прибли¬
жения оператора Ап к оператору А при данном х £ X можно взять
\\АпРпх - QnAx\\n.
Мы отмечаем все величины и пространства, участвующие в ап¬
проксимации хууиА, индексом п, имея в виду, что в дальнейшем при
исследовании сходимости приближенных решений к точному будем
рассматривать последовательность упрощенных задач.
Пример 11.3. Рассмотрим линейное интегральное уравнение в про¬
странстве непрерывных действительных скалярных функций С([а, Ь])
/ K(t,r)x(T)dT + <p(t)x(t) = y(t), *€[а,6], (11.23)
а
где K(tyT) — непрерывная функция. В этом случае X = У = (7([а,Ь]). Бу¬
дем аппроксимировать функции из С([а, 6]) кусочно линейными функциями с
точками сопряжения (узлами) to = a, t\} . .., t/V—1» tN — Ь- За пространство
Xn=Yn в ©том случае можно принять (N + 1)-мерное пространство R»*1.
Но можно также принять за *п = Кп ЛГ-|-1-мерное подпространство простран¬
ства с(М]) , состоящее из всех кусочно линейных функций с узлами to — а»
t\y . .., tpi— i, tjsf = b. В первом случае оператором Рп = Qn будет оператор,
ставящий в соответствие каждой функции x(t) £ ^([<1,6]) (N -f- 1)-мерный
вектор [х0^1 •• Xtf]T, Xk = x(<jb). Во втором случае оператор Рп = Qn
будет ставить в соответствие каждой функции x(t) £ C*([ci,&]) кусочно линей¬
ную функцию с теми же значениями в узлах to — ^i, . . ., tjy — Ь. В
обоих случаях нормой в Хп — Уп будет служить \\хп ||п = max | Xk |, причем
во втором случае эта норма совпадает с обычной нормой в С([а, 6]).
§11.2. ДРУГИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
689
Для определения оператор» Лп естественно заменить в интегральном
уравнении функцию x(t) кусочно линейной функцией и ограничиться требо¬
ванием, чтобы уравнение удовлетворялось при t = £о» ^1> • • • у Тогда инте¬
гральное уравнение заменится системой линейных алгебраических уравнений
Eahkxk = yh (h = 0,l,...,N), (11.24)
1=0
а оператором Ап будет служить линейный оператор в с матрицей, эле¬
менты которой определяются формулами
°h0 = J K(th,т) dr + rtth)6M (h = 0,1,..., N),
a 1
a tfc i
ahk= f tkti -tk K^T)dT+ S ik-tkZ\ K(tk,r)dT+
tk *k-l
+<p(th)6hk (h = 0,l,...,N; *=1,...,AT-1),
а*" = f т^4*гт K(th,r) dr + <p(th)6hN (h = 0,1,..., N). (11.25)
t*-i 0 1лг~1
Бели за Хп — Yn принять подпространство кусочно линейных функций с уз¬
лами to, t\y. . ., ttf, то оператором Ап будет служить линейный интегральный
оператор с ядром К(г,т) + б(т-г)<р(т) при t Е {^0» ^1» • • •) tN}• Интеграль¬
ное уравнение при этом преобразуется в систему алгебраических уравнений
(11.24), определяющую значения кусочно линейной функции Xn(t) в узлах по
данным значениям кусочно линейной функции Уп(0*
Пример 11.4. Для приближенного решения линейного дифференци¬
ального уравнения в 5-пространстве S
= Вх + у, х(1о) = *о (11.26)
возьмем в пространстве S систему линейно независимых векторов (р\ , . . .,
принадлежащих области определения Db оператора В при всех t Е [в, 6], и
будем аппроксимировать векторы X и у линейными комбинациями векторов
^1> • • • > (pNi которые будут, конечно, зависеть от t:
X « £ ak(t)<pk, y&'52 0k(t)<Pk- (11.27)
Jk = l Аг = 1
690 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
В этом случае пространство X = Y представляет собой В-пространство не¬
прерывных на некотором интервале [d-, Ь], to £ [d, 6] функций со значениями
в ^-пространстве S. Это пространство будем обозначать CQa, 6], S)> ука¬
зывая не только область определения функций, но и пространство их зна¬
чений. Пространство Хп = Yn в данном случае представляет собой про¬
странство ЛГ-мерных векторных непрерывных функций £, которое будем обо¬
значать С([а, 6], С^), имея в виду, что координаты векторов а = [ai . . . О?
и Р = \fli . . . в (11.27) могут быть в общем случае комплексными. Таким
образом, пространство Хп = Yn в данном случае бесконечномерное. Опе¬
ратором проектирования Рп — Qn служит оператор, ставящий в соответ¬
ствие каждой функции x(t) N-мерную векторную функцию Xn(t) = <*(£) =
= [<*l(0 • • «лг(0]т- ПРИ 0ТОМ будет y„(t) = /?(*) = \Pl{t) .. .0N(t)}T.
Чтобы определить оператор Ап — Ind/dt — ВПу аппроксимирующий
оператор А = Id/dt — Ву где /п — единичный оператор в пространстве хп,
а / — единичный оператор в пространстве X, подставим выражения (11.27) в
уравнение (11.26):
Z) * Y^(,akB<Pk +fik<pk)-
*=i к=г
Векторы В<р\} . .. , В<рн в общем случае не принадлежат подпространству,
образованному векторами <р\у . . ., <ppj. Поэтому их естественно аппроксими¬
ровать линейными комбинациями векторов <р\, . . ., <£>дг:
(*= 1,...,ЛГ). (11.28)
1=1
г
Подставив это выражение в предыдущее уравнение, получаем
N , N , N ч N
£ -дз* Vk « £ ( Ё bik<xk)<pi + 53
к=1 “1 1=14=1 ' *=1
Изменив обозначение индексов суммирования в двойной сумме / на к, а к на
/, будем иметь
^ ^§tL<fik= ^ + (11.29)
*=i 1 t=i'»=i '
Отсюда вытекают уравнения для коэффициентов Qfj, . . ., Ofjy:
SЬыа1 + Pk (k = l,...,N).
ai 1=1
(11.30)
§11.2. ДРУГИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
691
Таким образом, определив коэффициенты уравнениями (11.30),
можно обеспечить точное равенство в (11.29). Следовательно, за оператор 5П,
аппроксимирующий оператор S, целесообразно принять линейный оператор
в CN с матрицей, элементами которой служат величины bkl (к, / = 1, . . ., N),
в общем случае зависящие от t. Чтобы получить начальные условия для урав¬
нений (11.30), следует аппроксимировать вектор Хо в (11.26) линейной комби¬
нацией векторов .. .,
N
Хо » £ “to<Рк-
*=1
Тогда начальным условием для (11.30) будет служить
<*k(to) = <*k0 = (11.32)
Для нахождения /?*, bkl и ОДо можно ввести в пространстве S*, сопря¬
женном с S} такую систему линейно независимых функционалов ф\%.. .,фм,
чтобы ни один из них не был ортогонален всем векторам <р\, . . ., <р^, т.е. что¬
бы для каждого фр нашелся вектор <Рд, для которого Фрфд ф 0. Тогда из
(11.27), (11.28) и (11.32) получим системы линейных алгебраических уравне-
аий для /?*, bkl, «to:
Т,{Фь9к)Рк = ФкУ =
1=1
Е(Фк<Рк)Ьк1 = ФкВ<р, (h = l,...,N; 1 = 1 N),
к=1
N
£ (Фк<рк)<*ко = фк*о (Л = 1 N).
к=\
Эти уравнения мгновенно решаются, если взять биортогональную систему пар
векторов из S и S*, Фкфк = (п.8.5.7). Тогда получим
0к = ФкУ, bkl = ФкВ<р1, аю = ФкХо.
Уравнения (11.30) легко решаются любым методом численного интегри¬
рования обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, реше¬
ние задачи Коши для линейного дифференциального уравнения в S-простран¬
стве сводится изложенным методом к решению задачи Коши для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Для приближенного решения уравнения (11.26) можно также принять за
Хп — У„ подпространство пространства К — Y — С(М],5), состоящее
(11.31)
692 ГЛ. П. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
из всех линейных комбинаций векторов (р\}.. ., <Pn> коэффициентами которых
служат непрерывные скалярные функции t. Иными словами, Хп = Уп в этом
случае представляет собой подпространство функций из С7([а, 6], S) со значе¬
ниями в iNT-мерном подпространстве пространства S, в котором базисом слу¬
жат векторы <р\}..., <ppf. В этом случае оператором Рп — Qn будет служить
оператор, ставящий в соответствие каждой функции x(t) ее проекцию
*п(0 = Pn*(t) = Е OCk(t)<Pk
к-1
на подпространство линейных комбинаций векторов <р\, . . ., (fjsf с зависящими
от t коэффициентами. При этом будет
Уп(0 = Е Рк(*)<Рк-
к=1
Оператором Ап, аппроксимирующим Л, будет в этом случае служить РпА,
Ап = РпАу и уравнение (11.22) будет иметь вид
^ =РпВхп + уп, xn(t0) = Pnx0. (11.33)
Комбинируя метод Ньютона (или модифицированный метод Ньютона) с
изложенным методом, можно приближенно решать нелинейные дифференци¬
альные уравнения в /^-пространствах.
Пример 11.5. В некоторых случаях для приведения уравнения
(11.26) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений целесообразно
аппроксимировать векторы пространства S нелинейными функциями конеч¬
ного множества параметров, например функцией <р(ос)У где а — Димерный
вектор параметров, X W ^(а). В этом случае оператор "проектирования”
Рп = Qn> сопоставляющий вектору X 6 S ЛГ-мерный вектор Хп = Of, нелине¬
ен. Преобразуя уравнение (11.26) оператором Рп и имея в виду, что Рп2? = СК,
получаем дифференциальное уравнение для вектора ОС
^ =РпВ<р(а) + Р, о(<0) = «о = Рпхо, (11-34)
где /? = РпУ — значение аргумента функции при котором она аппроксими¬
рует у, у « В этом случае Хп = а, уп = /?, Вп = РпВ<р( ).
Векторное уравнение (11.34) представляет собой систему N нелинейных
скалярных дифференциальных уравнений, которая легко интегрируется лю¬
бым методом численного интегрирования обыкновенных дифференциальных
§ 11.2. ДРУГИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
693
уравнений. Функция ^(ск) не обязательно нелинейна относительно всех ко¬
ординат вектора а. Она может быть линейной функцией одних координат
вектора Ос с коэффициентами, зависящими от других координат вектора а.
Иными словами, функция <р(са) можёт иметь вид
тп
<р(а) = <p(oci,...>ocn) = ]£ <**Р*(<*т+Ъ . . .,aw), (11.35)
*=1
где y>i(am+i, . .., ocjsr), . .. , ^m(ttfn+1, • • • > <*7v) — линейно независимые век¬
торы (piy ... у <pm G S при любых значениях параметров Q?m+1 » • • • > &N- Такая
аппроксимация часто позволяет существенно уменьшить число N параметров.
Изложенный в этом примере метод решения дифференциальных уравне¬
ний в ^-пространстве S при аппроксимации векторов пространства S функ¬
циями вида (11.35) применяется в современной теории управления для иссле¬
дования процессов в стохастических дифференциальных системах [23, гл.5 и 6].
Пример 11.6. Применим метод примера 11.4 для решения волнового
уравнения
due)
Оно описывает многие колебательные процессы, в частности колебания на¬
тянутой струны. В этом случае постоянная а представляет собой скорость
распространения волны вдоль струны. Уравнение (11.36) приводится заменой
переменных Zi = Z, Z4 — dz/dt к виду (11.26):
d
ш
Г1
к»
.*2.
О 1
а2д2/дх2 0.
' Zi
.*2.
Пространством S в этом случае служит пространство двумерных векторных
функций скалярной переменной £, областью определения которых служит ин¬
тервал [о,/], где I — длина натянутой струны. К полученному уравнению
надо добавить граничные условия Zi(0,<) = Zi{lyt) = *2(0» t) = ^2(^1 0 = 0,
которые получаются из условия неподвижности концов струны, и начальные
условия
Zi(x, 0) = /„(*), z2(x, 0) = = fi(x), (11.37)
где /о(я) и /1(2) — произвольные непрерывные функции, удовлетворяющие
граничным условиям /о(0) = fo(l) — /l(0) = /l(0 — 0.
Так как по известной теореме Вейерштрасса любую функцию, непрерыв¬
ную на конечном замкнутом интервале, можно равномерно аппроксимировать
тригонометрическим полиномом [16, т.2], то в качестве базисных функций в
694 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
пространстве S целесообразно взять удовлетворяющие граничным условиям
(двумерные векторные) функции
<Pkh(x) = [sin(Аг7гх//) sin(hirx/l)]T (Jfe, h = 1,..., n).
Согласно общей теории примера 11.4 решение уравнения следует искать в виде
[*i(*.0l _ у' atkftJsin(br:c/Z)l
U(*.oJ ~khi“‘fcWl“(woJ-
Очевидно, что результат будет тот же, если вместо этого непосредственно
искать решение уравнения (11.36) в виде
*(*,<) = £ a*(«)sin^ff •
t=i
Подставив это выражение в (11.36), получим для коэффициентов a&(t) урав¬
нения
= —к2и2ак (к = 1,..., п), и = ^ .
Чтобы получить начальные условия для этих уравнений, следует представить
функции /о(я) и fi(x) соответствующими отрезками ряда Фурье, продолжив
их на интервал [-/, 0] как нечетные функции (чтобы избежать появления ко¬
синусов, что привело бы к нарушению граничных условий). Тогда получим
= т / /о (я) sin dx,,
4 0
ako-lfMx)sin^rdx =
о
Интегрируя уравнения для ОД при этих начальных условиях, получаем
а9
<**(0 = ако cos ku)t + sin ku)t (к = 1,..., n).
В результате приближенное решение волнового уравнения (11.36) при началь¬
ных условиях (11.37) и граничных условиях z(0,£) = Z(i,t) = 0 определится
формулой
§ 112. ДРУГИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
695
Совершенно так же приближенно решается волновое уравнение на плос¬
кости и в пространстве.
11.2.2. Сходимость приближенных решений к точному.
Рассмотрим последовательность S-пространств {Хп} с соответст¬
вующей последовательностью операторов проектирования {Рп}
S-пространства X в ХП} последовательность 5-пространств {Уп}
с соответствующей последовательностью операторов проектирова¬
ния {Qn} 5-пространства У в Уп и последовательность решений
{хп} приближенных уравнений (11.22) при п = 1,2, Пусть х —
точное решение уравнения (11.21). Прежде чем говорить о сходи¬
мости последовательности приближенных решений к точному, за¬
метим, что все точки х, хп принадлежат разным пространствам.
Поэтому необходимо сначала обобщить понятие сходимости на по¬
следовательности точек, принадлежащих разным 5-пространствам.
Чтобы подойти к такому обобщенному понятию сходимости, вспо¬
мним, что за меру близости точки хп Е Хп к х Е X мы услови¬
лись принять норму разности хп — Рпх в пространстве Хп. Поэтому
естественно считать последовательность {хп} сходящейся к х, если
|| хп — Рпх||п-> 0 при п —► оо. Лля обеспечения единственности пре¬
дела необходимо определить нормы в пространствах Хп так, чтобы
из || Рпх — Рпх' ||п—► 0 следовало х = х;. Семейство норм в про¬
странствах Хп, удовлетворяющее этому условию, называется невы¬
рожденным. Предоставляем читателю самостоятельно убедиться
в том, что невырожденность семейства норм в пространствах Хп
обеспечивает единственность предела последовательности. Соот¬
ветственно будем считать последовательность точек {уп}, Уп Е Уп,
сходящейся к точке у Е У, если ||у„ - Qn2/||n—► 0 при п —► оо.
Чтобы определить сходимость последовательности операторов
{Ап} к оператору Л, заметим, что при любом х точка АпРпх принад¬
лежит пространству Уп, а точка Ах принадлежит пространству У.
Поэтому для определения сходимости последовательности операто¬
ров {Лп} естественно использовать сходимость последовательности
точек пространства Уп к точке пространства У. В соответствии с
этим назовем последовательность операторов {Лп}, Ап : Хп —► Уп,
сходящейся к оператору А : X -+Y ъ точке х Е Ху если последова¬
тельность {АпРпх} сходится к Ах, т.е. если || АпРпх - QnAx ||п—► О
при п —► оо.
Теорема 11.2.1. Если уравнения (11.21) и (11.22) имеют реше¬
ния х, хп, семейство норм в пространствах Хп невырожденное, по¬
следовательность {уп} сходится к у, последовательность операто¬
696 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
ров {Ап} сходится к оператору А на каждом решении х уравнения
(11.21) и существует такая непрерывная строго возрастающая функ¬
ция w(s), w(0) = 0, и>(оо) = оо, что
|| хп — х9п ||п< о;(||у1пяп — Апх9п ||п) (11.38)
при всех п, xnt х'п € Хп, то решения х, хп уравнений (11.21) и (11.22)
единственны непоследовательность {яп} сходится к решению х урав¬
нения (11.21).
> Единственность решения уравнения (11.22) вытекает немедлен¬
но из (11.38) при Апхп = Апх'п = уп. Чтобы доказать единствен¬
ность решения уравнения (11.21), заметим, что если Ах = Ах' = у,
то Ах — Ах1 = 0 и (11.38) дает
|| Рпх - Pnxf ||п< ы(|| АпРпх - АпРпх91|„) =
= и>(\\ АпРпх - QnAx + QnAx9 - АпРпх9\\п) <
< cj(|| Anpnx - QnAx ||n + II QnAx9 - AnPnx' ||n) -> Ц0) = 0
при n —► оо, поскольку последовательность операторов {An} сходит¬
ся к оператору А и функция ш строго возрастает и непрерывна. А
так как семейство норм в пространстве Хп невырожденное, то х = х9.
Наконец, при любом п из (11.38) следует
|| Хп РпХ ||п< ^(|| Апхп АпРпХ ||п) =
4 = Щ|Уп - АпРпх]\п) < ы(\\Уп -<ЭпУ||п +
+ II QnAx - АпРпх ||n) о при п —► оо,
поскольку последовательность {уп} сходится к у и последователь¬
ность операторов Ап сходится к оператору А. <
В случае линейных операторов Ап условие (11.38), часто на¬
зываемое условием устойчивости приближений, будет выполнено,
если множество норм обратных операторов Л”1 ограничено, т.е.
если существует такое с > 0, что Ц-A”1 ||п< с при всех п. При этом
cj(t) — ct.
Пример 11.7. В примере 11.3, взяв такую последовательность си¬
стем узлов {4n) = а < t^ < • • • < = 6}, что Дп = max(tjj.*+i — ^”^)
л г (n) (n) (n)lT
—► U при П —► ОО, будем иметь уп = [у0 . . . у^ J —►у, если при любом
—► 0 при П —► ОО. Последовательность операторов {Ап}
в этом случае сходится к оператору А. Действительно, так как для любой
§ 11.2. ДРУГИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
697
функции x(t) Е 6]) то» обозначив через Xn{t) кусочно
линейную функцию с теми же значениями в узлах, будем иметь
|| Апхп - Q„Ax ||„= maxf K(t^\ r)[*„(r) - x(r)] dr -► О
h а
при П —► ОО, так как Slip | Хп(т) — х(т) | —► 0 при П —► ОО. Условие ограни-
^€[«,4
ченности норм обратных операторов А~* будет выполнено, если существует
такая постоянная С > 0, что
Пример 11.8. В примере 11.4 уп —► у, если
гл л(п) (п)
£ <Рк у при п “*■ °°*
*=1
Это условие будет, в частности, выполнено в случае сепарабельного Н-прост¬
ранства £, если = <рк при всех 71 и последовательность {(рк} ортонор-
мальна и полна. В этом случае = (у, (рк) (п.8.5.4). Это условие выполня¬
ется также в случае базиса {v?fc}> порожденного биортонормальной системой
пар векторов WkAiь}- в этом случае = (y.V’fc) (п.8.5.8).
Последовательность операторов {Лп}, Ап = Ind/dt — Вп будет сходить¬
ся к оператору А = Id/dt — В на решении X уравнения (11.26), если последова¬
тельность операторов {*»} сходится к оператору В. Действительно, так как
любой ограниченный линейный оператор коммутативен с оператором диффе¬
ренцирования по скалярной переменной (проверьте, пользуясь определением
производной в п.7.2.2), то
А„Рпх - Р„Ах = -ffiiPnx) - В„Рпх—
-рп ^ + РпВх = ~(ВпР„х - Р„Вх).
Обозначим через коэффициенты при <р^ (к = 1, . .. , Nn) в приближен-
ной формуле
Nn
698 ГЛ. И. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Тогда, имея в виду, что РпХ = ап = [<*1^ • • •<*дг^]^» получаем
W=1 /=1 J
РпВх = [Т<п) • • InIY
ВпРпх - РпВх = [ £ 6&>*}»> - т{")... Е *ЙМП) - ТЙ]Т
1/=1 /=1 J
Отсюда видно, что при любом определении нормы в пространстве С^п по¬
следовательность операторов {Вп} будет сходиться к оператору В, если
sup max I J2 7*^ I 0 при п —► оо.
t€[a,b] l<k<Nn'l=l 1
В частности, если S есть //-пространство, а {<Рк} — базис в нем, порожденный
биортонормальной системой {^Jt, Фк}> ото условие принимает вид
I Nn I
sup шах ^(В<рьфк)(хуф1) - (Вх.фк) —► 0.
<€[М] 1 <k<Nn' 1=1 1
Оно всегда выполняется, так как в этом случае (п.8.5.8)
оо оо
х = Е(*>^/)Рь Вх = £)(*, i/ji)B<pi. S
i=i i=i
Бели {<fk} — ортонормальный базис, то во всех предыдущих формулах фк =
= <Рк-
Бели принять за пространство Хп = Yn подпространство пространства
X = У, образованное линейными комбинациями векторов то
Вп = РпВ и условие сходимости последовательности операторов {Вп} к
оператору В на решении X уравнения (11.26) принимает вид
|| ВпРпХ — РпВх Цп— || Рп&(РпХ “ х) || ►О при П —► ОО.
Это условие выполняется, если РпХ —► X для решения X уравнения (11.26). В
случае сепарабельного //-пространства S и базиса в нем {^jfc} это условие
всегда выполняется.
§ 11.2. ДРУГИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
699
Наиболее трудно проверяемым условием теоремы 11.2.1 является условие
(11.38), которое в случае линейных задач практически сводится к требованию
ограниченности множества норм обратных операторов А^ Чтобы проверить
его в нашем случае, воспользуемся для решения уравнения (11.33) формулой
(10.64). В результате получим
Xn(t) = Un(t,tQ)xn + / ^n(*,r)yn(r)dr, (11.39)
to
где Unit, т).— эволюционные операторы уравнения (11.33) (п.10.3.2). Если все
операторы Un(t} т) ограничены и множество их норм ограничено в интервале
[а, 6], || Un(t, т) || < С при всех П и t, Т Е [а, 6], то из (11.39) следует
sup ||*„(011< sup ||^n(^,r)|| {||хп0|| +(Ь-а) sup ||уп(011}<
*€[а,Ь] t,r€[a,6] <€[М]
<с{||*„о|| +(Ь -a) sup || Vn(t) П} - (11.40)
<€[а,Ч
Отсюда видно, что для ограниченности множества норм обратных операторов
А^* в нашем случае достаточно, чтобы множество норм операторов UnityT)
было ограниченным в интервале [а, 6]. Если это условие выполнено, то со¬
гласно теореме 11.2.1 последовательность найденных приближенных решений
сходится к точному решению уравнения (11.26).
Условие (11.40) всегда выполнено в случае ограниченного оператора В в
уравнении (11.26), так как в этом случае
Un(t,r) = ехр|р„/£(т)<*т| (11.41)
(в этом можно убедиться непосредственной подстановкой в уравнение (11.33)).
Действительно, из (11.41) следует
II Un(t, т) || < ехр{|| Рп f| sup ||£(t)|| (6-а)}. (П-42)
Пример 11.9. В примере 11.6 функции sin(Ат7ГД7//) (& = 1,2,...)
образуют ортогональный базис в пространстве непрерывных функций, удо¬
влетворяющих граничным условиям, которое можно рассматривать как под¬
пространство пространства -^>2([0, /]). Поэтому из общих результатов примера
11.8 следует, что условие сходимости последовательности операторов {.Вп} к
оператору В выполнено.
700 ГЛ. П. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Изложенный метод решения волнового уравнения дает точное решение в
виде ряда Фурье. Таким образом, мы пришли к известному из теории урав¬
нений математической физики методу Фурье решения линейных уравнений в
частных производных.
11.2.3. Метод Рэлея — Ритца. Этот метод был впервые при¬
менен Рэлеем для решения некоторых задач на собственные значе¬
ния, а затем развит Ритцем как общий метод нахождения экстре¬
мумов функционалов, положивший начало так называемым прямым
методам вариационного исчисления. Как было показано в п.9.1.1 и
примере 10.8, собственные векторы компактного самосопряженного
оператора А реализуют экстремум функционала (Ах, х) в соответ¬
ствующих подпространствах, а значения экстремумов равны соот¬
ветствующим собственным значениям. Это экстремальное свойство
собственных значений и было использовано Рэлеем. Но отыскание
собственных векторов связано с решением некоторых уравнений ви¬
да (11.21). Как мы видели на примерах в § 10.2, решение задач
вариационного исчисления тоже сводится к решению операторных
(дифференциальных) уравнений. Эта связь между задачами на экс¬
тремум и операторными уравнениями дает возможность применять
метод Рэлея — Ритца для решения операторных уравнений.
Пусть F(x) — ограниченный снизу действительный функцио¬
нал на В-пространстве X. Любая последовательность векторов
{хп}, сходящаяся к inf F(x), называется минимизирующей для функ¬
ционала F(x) (задача нахождения максимума ограниченного сверху
функционала F(x) эквивалентна задаче минимизации функционала
—F(x)). Идея метода нахождения минимизирующей последователь¬
ности Рэлея — Ритца состоит в следующем. В пространстве X бе¬
рется последовательность конечномерных подпространств {Хп}, в
каждом из которых берется базис {^1П\ • • •, и в каждом подпро¬
странстве Хп находится вектор хп, реализующий минимум функцио¬
нала F(x) на этом подпространстве. Последняя задача, естественно,
сводится к нахождению минимума функции конечного числа Nn пе¬
ременных, так как любой вектор х Е Хп представляет собой линей¬
ную комбинацию базисных векторов ^п\ ..., Таким образом,
положив
(11.43)
*=i
§ 11.2. ДРУГИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ 701
находят коэффициенты ..., из условия минимума функции
/(*»<">,..., afc>) = F(£4"Vi")). (11.44)
fc = l
Чтобы свести решение уравнения (11.21) к экстремальной зада¬
че, достаточно взять за функционал F(x) норму || Ах — у ||. Тогда
метод Рэлея — Ритца определит приближенное решение уравнения
(11.21) формулой (11.43), в которой коэффициенты а^п\...,а^ на¬
ходятся минимизацией функции
/(агП) > • • •. о© = IIА £ 4nVjfcn) - 0II* (11.45)
к = 1
В таком виде метод Рэлея — Ритца сводится в случае Я-простран¬
ства X к известному методу наименьших квадратов.
Метод Рэлея — Ритца позволяет эффективно решать линейные
задачи в Я-пространств ах, которые сводятся к минимизации ква¬
дратичных функционалов.
Пусть в (11.21) А — положительный (п.7.1.5) ограниченный са¬
мосопряженный оператор в Я-пространстве X (п.8.5.7), у € X.
Теорема 11.2.2. Решение уравнения (11.21) реализует минимум
квадратичного функционала
F(x) = (Ах,х) - (х,у) - (у,х). (11.46)
> Так как А — ограниченный оператор, то Da = X (п.8.3.1). Если
х* — решение уравнения (11.21), то у = Ах* и для любого х 6 X
F(x) = (Ах,х) — (х, Ах*) — (Ах* ,х) + (Ах*,х*)—
-(Ах*, х*) = (Ах -Ах*,х- х*) - (Ах*, х*).
Отсюда, принимая во внимание, что А — положительный оператор,
заключаем, что функционал F(x) достигает минимального значения
—(Ах*,х*) при х = х*. <з
Условие минимума функции, полученной путем подстановки в
(11.46) выражения (11.43), дает уравнения для коэффициентов
а(") Лп).
702 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Е(МП)^|П))4") = (!/.«’|П)) (/= 1,...,ЛГП). * (11.47)
* = 1
Эти уравнения решаются очень просто, если в качестве базиса
^1П\* •4(PnI 3 Хп взять ортонормальные векторы по отношению к
скалярному произведению (х,у)а = [Ах, у) (п.8.5.7). В этом слу¬
чае <р^) = Ski и уравнения (11.47) дают = (у, (р^) (к =
Теорема 11.2.2 легко обобщается на случай неограниченного по¬
ложительного самосопряженного оператора А. В этом случае, вво¬
дя э его области определения Da скалярное произведение (х,у)а =
= (Ах, у) и пополнив Da пределами всех фундаментальных последо¬
вательностей относительно нормы ||®||л» получим Я-пространство
На• Тогда теорема 11.2.2 будет верна, если рассматривать F(x) как
функционал на Яд.
Метод Рэлея — Ритца в общем случае не сводится к общей схе¬
ме приближенных методов, рассмотренной в п. 11.2.1, так как он осно¬
ван на минимизации функционалов, а не на замене уравнения (11.21)
приближенными уравнениями (11.22) при различных п. Однако в
частном случае решения линейного уравнения (11.21) путем мини¬
мизации функционала (11.46) метод Рэлея — Ритца можно связать
с общей схемой п.11.2.1. Действительно, уравнения (10.47) предста¬
вляют собой условие ортогональности невязки Ахп — у подпростран¬
ству Хп. Следовательно, проекция невязки на Хп представляет со¬
бой нулевой элемент и уравнения (11.47) эквивалентны уравнению
РпАхп = Рпу,
где Рп — оператор ортогонального проектирования наХп. Положив
Ап = РпА, уп = Рпу, приведем это уравнение к виду (11.22). При
этом Уп = Хп, Qn = Рп-
11.2.4. Метод Бубнова — Галеркина. К методу Рэлея — Рит¬
ца тесно примыкает метод решения операторных уравнений Бубно¬
ва — Галеркина, который они применили для решения задач тео¬
рии упругости. Этот метод основан на том, что невязка, т.е. раз¬
ность Ах—у между левой и правой частями операторного уравнения
* Для вывода уравнений (11.47) в случае комплексного Я-пространства
X следует положить = Рк “Ь ijk и рассматривать функционал (11.46) как
функцию действительных переменных /?&* 7к-
§11.2. ДРУГИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
703
(11.21), в iZ-пространстве X равна нулю тогда и только тогда, когда
она ортогональна всем векторам любой полной системы. Поэтому
для отыскания приближенного решения уравнения (11.21) в данном
конечномерном подпространстве Хп Н-пространства X достаточно
записать условие ортогональности невязки всем базисным векторам
подпространства Хп. В случае линейного оператора А это приво¬
дит к тем же уравнениям (11.47), которые дает метод Рэлея — Ритца.
Однако в этом случае оператор А не должен быть обязательно са¬
мосопряженным и положительным, а может быть любым линейным
оператором. Уравнение (11.21) при этом может не быть связанным с
задачей нахождения экстремума какого-либо функционала. Таким
образом, метод Бубнова — Галеркина является значительно более
общим, чем метод Рэлея — Ритца, и применим к широкому классу
линейных и нелинейных задач.
Принцип ортогональности невязки всем базисным векторам пре¬
дставляет собой не что иное, как известный в механике принцип
возможных перемещений: в состоянии равновесия суммарная рабо¬
та всех действующих на систему сил на возможных перемещениях
равна нулю, т.е. равнодействующая действующих на систему сил
ортогональна всем возможным перемещениям. Невязка в механи¬
ческом уравнении обычно представляет собой равнодействующую
всех сил, а независимыми возможными перемещениями служат ба¬
зисные векторы в соответствующем функциональном пространстве.
Это и привело Бубнова и Галеркина к открытию их метода.
В Современной общей форме метод Бубнова — Галеркина со¬
стоит в том, что для приближенного решения уравнения (11.21) бе¬
рутся две системы базисных векторов, одна {^п^} в конечномерном
подпространстве Хп С Da С X (координатная система), а другая
в конечномерном подпространстве Y* пространства У*, со¬
пряженного с У (проекционная система), и коэффициенты ...
..., ав (11.43) определяются из условия ортогональности невязки
Лхп — у всем базисным векторам пространства Y* :
Nn
№ [А ^2 <*["\4П) - У) = 0 (m= (11.48)
* = 1
В случае линейного оператора А уравнения (11.48) имеют вид
Nn
> V*n))<4n) = №у (т = 1,..., Nn).. (11.49),
* = 1
704 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
В частном случае Я-пространства У У* = У и
^П)МП) = (Лр£в), = (у, Ф^)-
Если X Я-пространство И У = Х> ТО МОЖНО ВЗЯТЬ фт^ = фт)
и уравнения (11.49) совпадут с уравнениями (11.47) метода Рэлея
— Ритца. В этом случае проекционная система отличная от
координатной системы была впервые введена Г.И.Петровым.
Уравнения (11.48) могут в общем случае не иметь решения, и
даже в тех случаях, когда они имеют единственное решение, после¬
довательность приближенных решений (11.43) может не сходиться к
точному решению уравнения (11.21). Несмотря на это, метод Буб¬
нова — Галеркина, так же как и более ранний метод Рэлея — Ритца,
дает эффективное решение многих задач практики. Для успешного
применения этих методов решающее значение имеет’йыбор систем
базисных векторов. При удачном выборе этих систем первое или
второе приближение часто оказывается достаточно точным. Одна¬
ко задачу выбора систем базисных векторов нельзя решить чисто
математическими средствами. Поэтому для успешного практиче¬
ского применения методов Рэлея — Ритца и Бубнова — Галерки¬
на недостаточно формальных математических знаний, необходимо
обладать также хорошим знанием соответствующей области прило¬
жений и инженерной интуицией.
Метод Бубнова — Галеркина сводится к общей схеме прибли¬
женных методов п.11.2.2. Чтобы показать это, определим в про¬
странстве X* векторы /1П\- -,ЛГп\ образующие вместе с вектора¬
ми <pi1\ .. • биортонормальную систему, fpn^<Pqn^ = 6pq, а в про¬
странстве Уп определим векторы д^\ .. • ,0дгп\ образующие вместе с
векторами ф^\ ..., ф^ биортонормальную систему, фрп^д% ^ — 6pq.
После этого определим операторы проектирования Рп и Qn на Хп и
Уп соответственно:
Nn Nn
Рпх = Q*y = ^2(Фк')у)д(к>)- (11.50)
к=1 к=1
Тогда условие ортогональности невязки Ахп — у векторам ф^\...
..., ф^ с учетом,(11.48) даст
QnAxn = ^(^п)Лхп)^п) = У^(ф[п)у)д^г) = Qny,
k=l к=1
§ 11.2. ДРУГИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
705
т.е.
QnAxn = Qny.
Положив Ап = QnA, уп = Qny, приведем это уравнение к (11.22).
Выясним теперь достаточные условия для выполнения условий
теоремы 11.2.1 о сходимости последовательности решений {жп} при¬
ближенных уравнений (11.22) к решению х уравнения (11.21).
Условия сходимости последовательности {уп} к у и последо¬
вательности операторов {Лп}, Ап = QnA, к оператору А в случае
непрерывного оператора А сводятся к требованию, чтобы базисы в
подпространствах Хп и Yn удовлетворяли условиям
рпх-+х Vxex, Qny^y Vy еУ. (n.5i)
Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что в данном случае
AnPnX QnAx — QnAPnx QnAx = Qn(APnx Ax)
и условие сходимости последовательности операторов {Ап} к А при¬
нимает вид
\[Qn(APnz-Az)\\^>0. (11.52)
В случае непрерывного оператора А это условие выполняется, если
РпХ ► X.
В случае сепарабельных Я-пространств X и У условия (11.51)
будут выполнены, если за базис в каждом из подпространств Хп
и Yn принять первые Nn векторов базиса в* X (соответственно в
У), образованного биортонормальной системой, удовлетворяющей
условиям теоремы 8.5.8, в частности ортонормальной системой.
Что касается условия (11.38), то проверить его выполнение в
конкретных задачах трудно. Бели оператор А обладает тем свой¬
ством, что при любых xf х1 £ Da
||*-^||<х(||А*-А*'||), (И-53)
где х(5) — непрерывная строго возрастающая функция, х(0) == 0>
х(оо) = оо, а проекторы Qn удовлетворяют условию
||<г«у||>с||уц
(11.54)
706 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
при всех у € АХп при некотором с > 0, то условие (11.38) выполнено,
так как
Таким образом, для сходимости приближений метода Бубнова
— Галеркина и, в частности, приближений метода Рэлея— Ритца, к
решению уравнения (11.21) достаточно выполнения условий (11.51)
— (11.54). В частном случае непрерывного оператора А условие
(11.52) является следствием первого условия (11.51).
В случае линейного оператора А для выполнения условия
(11.53) достаточно существования ограниченного обратного опера¬
тора А~1. Само собой разумеется, что вместо условий (11.53) и
(11.54) можно пользоваться условием (11.38), которое в случае ли¬
нейного оператора А выполняется, если последовательность норм
обратных операторов А~г ограничена. В случае линейного операто¬
ра А, //-пространств X и У и ортонормальных базисов <Рх*\ ...,
и условие ограниченности множества норм обратных операторов
\\хп-х'п\\<х(\\Ахп-Ах'п\\)<
< X(c_1 IIQnAxn - QnAx'n ||) = x(c_1 I\Anxn - Anx'n ||).
д»1/=£(у,^"Мп),
xn = Рпх = ^a*"Vtn). AnXn = QnAxn = ^ Jjn\A<p\n\ V’fcn))V’i")
*,1=1
An 1 сводится к неравенствам
/,m=l fc=1
(11.55)
§ 11.2. ДРУГИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
707
при некотором а > 0. Это условие заменяет в данном случае условия
(11.53) и (11.54). Таким образом, проверка ограниченности множе¬
ства норм обратных операторов А~г сводится в данном случае к
установлению положительной определенности ряда квадратичных
форм.
Условие ограниченности последовательности норм обратных
операторов А~1 всегда выполняется в случае положительно опреде¬
ленного (п.7.1.5) линейного оператора А (не обязательно самосопря¬
женного) в if-пространстве X и ортопроекторов Рп. Действительно,
в этом случае вследствие самосопряженности оператора Qn = Рп
для любого хп € Хп
(Апхп1хп) — (РпАхп,хп) — (Ахп, Рпхп) = (Ахп,хп) > а ||хп||2
при некотором а > 0. С другой стороны,
(Апхп, хп) = | (Апхп, хп) | ^ || Апхп || || хп || •
Из сравнения двух полученных неравенств следует
1Ип*п||>а||*п||,
а это и есть условие ограниченности множества норм обратных опе¬
раторов А~1. Условие положительной определенности оператора А
заменяет в этом случае условия (11.53) и (11.54).
Заметим, что метод, примененный в примерах 11.4 и 11.8, пред¬
ставляет собой распространение методов Рэлея— Ритца и Бубнова
— Галеркина на случай, когда коэффициенты ..., а^ в (11.43)
представляют собой не числа, а функции переменной t.
Пример 11.10. Классическим примером задачи, которая легко реша¬
ется методом Рэлея — Ритца, может служить краевая задача для линейного
дифференциального уравнения
ш(9^ж) + = = = °- (11.66)
где /, д и А — непрерывные функции в интервале [а, 6], причем
708 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Очевидно, что достаточно рассмотреть случай g(t) = 1, так как общий случай
приводится к этому заменой переменных
Поэтому ограничимся решением краевой задачи
1l" + Л(<)и = /(0> и(а) = и(Ь) = 0. (11.57)
В данном случае А = (d2/dt2)+h(t). Область определения Da этого операто¬
ра в //-пространстве Z/2([a, 6]) представляет собой множество дважды диффе¬
ренцируемых функций, удовлетворяющих краевым условиям. Таким образом,
X = Y = L2([a,b]).
Докажем, что при Л($) < С < 2/(6 — а)2 оператор —-А представляет собой
положительно определенный самосопряженный оператор. Интегрированием
по частям получаем
Ь Ь
—(Ли, v) = — f (и" -f hu)v dt = /(tiV — huv) dt =
a a
b
= — f(v" + hv)udt = —(uyAv).
a
Отсюда, учитывая, что h(t) < С, находим
—(Aw, ti) = f(и'2 — Ли2)dt > f u,2dt — с/м2Л.
a a a
Ho
v(t) = f u'(r) dr
a
и вследствие неравенства Коши — Буняковского
“а(0 < /1 • dr / «'V) dr < (t-a) f t*'2(r) dr,
а а а
fu2(t)dt<%(b-a)2fu'2(t)dt,
а а
что и дает
-(Ли,«) > [ 2/(6 - а)2 - с ] || и ||2 .
§ 11.2. ДРУГИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
709
Из положительной определенности оператора —А на основании теоремы
11.2.2 следует, что рассматриваемая задача равноценна задаче нахождения
максимума функционала
Ь
F(u) = /(«" + hu - 2f)udt. * (11.58)
а
Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что уравнение с
краевыми условиями (11.57) — уравнение Эйлера (пример 10.11) для задачи
нахождения экстремума функционала (11.58).
Взяв любую последовательность подпространств {-Хц} в X = L2([a,b])
и любые базисные функции • • • > Удовлетворяющие краевым
условиям, в каждом из них, получим уравнения (11.47) с
(А,р(к)> f\n)) = /(^п)//+v!tnVjn) dt>
a
(У, V»jn)) = (/. ¥>jn)) = / f<p\n) dt.
a
Так как в данном случае функции
<Pk(t) = sinku(t — a), uj = ir/(b — а) (к = 1,2,...)
образуют ортогональный базис в Da* то целесообразно принять при всех 91
Nn = П, = ^Jk(0 = sin ku){i — а). В результате получим
(А(р^\ <р\П^) = /[Л(0 — к2ш2] sin — a) sin lu(t — а) dt =
а
6
= f h(t) sin ku(t — a)sin/u>(£ — a)dt — ки>[ 1 — (—l)*]£*j,
a
(/.¥>jn)) = f f(t) sin lu(t - a)dt.
a
Так как — -A — положительно определенный оператор, то для доказатель¬
ства сходимости приближений {t*n(0} к решению задачи (11.57) остается по¬
казать, что оператор А и проекторы Рп удовлетворяют условию (11.52). При
этом вследствие ограниченности оператора умножения на функцию h доста¬
точно показать, что
Pn{d2Jdt2)Pnu - Pn(d2/dt2)u - 0
710 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
для любой функции U € Da- Для этого заметим, что функции
^*(0 = л/2/(* “ а)<Рк(*) = \/2/(6 - а) sinJbcj(t — а)
представляю^ собой ортонорм ал ьные собственные векторы оператора d?/dt2,
соответствующие собственным значениям А& = —к2Ш2. Поэтому для любой
функции И G -Да
оо п
«= EKV’tJV’t, Д>«=
jt=i t=i
Рпи = Е(“»^*Ж' = _w2 Е к2(и,фк)фк,
“* fc=l fc=l
■jrzu = E («".&№» = Е(«>^кЖ' = -"2 E к2(и,фк)фк
al 4=1 fc=l Jfe=l
и
“ ^ndt?U ~ ^ ^2(м» Фк)Фк»
Следовательно, Pn(d?/dt2)PnU — Pn(d2/dt2)u = 0 для любой функции ti E
eDA.
Таким образом, достаточные условия сходимости приближений выпол¬
нены.
Пример 11.11. В качестве второго примера рассмотрим известную
задачу математической физики — задачу Дирихле. Это задача решения урав¬
нения в частных производных
А2и + h(x, у)и = f{x, у), А2 = ^ , (11.59)
в некоторой области Г с заданным граничным условием, обычно tl = 0 при
{*£» У} € (через 9Г обозначается граница области Г). Мы решим эту
задачу для квадратной области Г, Г = [О,/]2. Заметив, что система функций
у) = sin hi/ sin mvy, v — ж/I (к, m = 1,2,...)
образует ортогональный базис в Da (Da представляет собой множество два¬
жды дифференцируемых функций, удовлетворяющих граничному условию, в
//-пространстве X = ^([О, I]2))» примем при каждом П Nn = П2,
V’jfcmfa. у) = <Ркт(х, у) (к,т= 1,2,...).
$ 112 ДРУГИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
711
Тогда получим уравнения (11.47) с
(Л<4т> Гр?) = / ЛА(*> у) - (*2 + m2)l/2]v’fcm(x, у)<рря(х, у) dx dy,
о о
(у. Гр?) = (/. 9pt) = / / /(*> v)<Ppt(x> у)dx dy-
О о
Так как
-A = -a?-W~h(x’y)
— положительно определенный самосопряженный оператор при Л(а?,у) <
< /2/4, х,у е [0,1] (ото доказывается совершенно так же, как в примере
11.10), то рассматриваемая задача Дирихле на основании теоремы 11.2.2 экви¬
валентна задаче нахождения максимума функционала
для которой уравнение (11.59) служит уравнением Эйлера.
Учитывал, что функция <Ркт{х)У) представляет собой собственный век¬
тор оператора Лапласа Д2, соответствующий собственному значению — (fc2 +
Н-f7l2)l/2, совершенно так же, как в примере 11.10, докажем, что последова¬
тельность операторов Ап = РпА сходится к оператору А. Таким образом,
достаточные условия сходимости приближений выполнены.
Аналогично решается задача Дирихле в пространстве.
11.2.5. Метод конечных элементов. Уравнения метода Рэлея
— Ритца (11.47), так же как и уравнения (11.49) метода Бубнова —
Галеркина, обычно требуют большого объема вычислений при чи¬
сленном их решении, так как матрица коэффициентов обычно быва¬
ет полной (т.е. не содержит нулевых элементов), а иногда и плохо
обусловленной (т.е. имеет определитель, близкий к нулю). Орто-
(п)
нормализация же векторов (р\ 9 относительно скалярного произведе¬
ния (х, у)л в случае положительного самосопряженного оператора А
(п.8.5.7) также требует большого объема вычислений. Поэтому для
решения задач практики в случае функциональных пространств X и
У целесообразно брать в качестве базисных функций <р^ финитные
функции с минимальными носителями. Чаще всего в качестве таких
базисных функций берут сплайны (пример 10.12) с минимальным но¬
сителем.
712 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
При применении сплайнов область изменения аргумента функ¬
ций разбивается на конечное число попарно непересекающихся ча¬
стей достаточно простой формы (интервалы, прямоугольники, тре¬
угольники, параллелепипеды и т.д.), называемых конечными элемен¬
тами. Определив на полученной сетке конечных элементов сплай¬
ны с минимальными носителями, принимают эти сплайны за базис¬
ные функции. Тогда за счет равенства нулю каждой из базисных
функций вне сравнительно малой области матрица коэффициентов
системы уравнений метода Рэлея — Ритца (11.47) содержит много
нулевых элементов, и объем вычислений, необходимых для решения
уравнений (11.47), резко сокращается. Такой метод решения линей¬
ных операторных уравнений называется методом конечных элемен¬
тов.
Призер 11.12. В
задаче примера 11.10 разо¬
бьем интервал [а, Ь] на П
интервал LMJ на П
1
А
равных частей длины А =
= (6 — о)/л и примем за
базисные функции кусочно
линейные сплайны дефекта
1 с минимальными носите¬
лями (рис.32). Эти сплай¬
ны выражаются формулой
О OL
t
k
ь t
Рис. 32
(k = 1),
где
ф(в) = (1 - I S |)l[_1(1](e).
Тогда коэффициенты уравнений (11.47) определятся формулами
Ь
Ь
(Afk, <Pk) = ~f fl'dt + / h<p2kdt =
a
a
(Л<рк, ^ + j/r(l - 2+ T)dr,
§ 11.2. ДРУГИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
713
(A<pk,<pk-i) = ^ + i/r(l ~ ~ г)dr,
(А<рк, <Pi) = 0 при | к - /1 > 1,
(/> <pl) = / (i - ^)/(<* + т) dr-
Таким образом, мы пришли к уравнениям (11.47) с трехдиагональной матрицей
коэффициентов, (п — 2)(п — 3) из (п-1)2 элементов которой равны нулю.
Пример 11.13. В за¬
даче примера 11.11 разобьем
квадрат [О,/]2 на П2 равных
квадратов с длинами сторон
А = l/п и примем за базисные
функции линейные сплайны
дефекта 1 (рис.33). Эти сплай¬
ны определяются формулой
<Ркт(х,у) = ф(^р-,и^)
(к,т = l,...,n- 1),
где
Рис. 33
Ф(£, Ч) = [1 - тах(| £|,| t) |)]l[_i,i]a((, V)-
Тогда только 9п2 — ЗОп + 29 из (n — I)4 коэффициентов уравнений (11.47)
отличны от нуля.
Пример 11.14. Бели разделить все прямоугольники предыдущего
примера пополам прямыми, параллельными какой-нибудь одной из биссек¬
трис координатного угла, и принять за конечные элементы полученные пря¬
моугольные треугольники, то линейные сплайны дефекта 1 с минимальными
носителями определятся формулой (рис.34)
<Ркт(х, у) = и ( Х д**, У ) (t, m = 1,..., п — 1),
где
.»?) = {[1 - max(l £ 1.1 п 1)]Ц£»?) + (1 -1(I -1»? .»?).
714 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
где, как всегда, 1 (z) — еди¬
ничная ступенчатая функ¬
ция, равная 1 при Z > О
и 0 при Z < О, а 1в(£, 7j)
— индикатор шестиуголь¬
ника с вершинами в точках
{0,1}, {-1,0}, {-1,-1},
{0,-1}, {1,0}, {1,1}. В
этом случае только 7п2 -
—24П + 21 из (n — I)4 ко¬
эффициентов уравнений
(11.47) отличны от нуля.
Рис. 34
ЗАДАЧИ
11.2.1. В задаче 10.3.9 было показано, что любое дифференциальное урав¬
нение в сепарабельном //-пространстве эквивалентно некоторой бесконечной
системе скалярных уравнений. "Урезав” эту систему, т.е. отбросив все урав¬
нения системы, начиная сП + 1-го, и одновременно исключив из числа аргу¬
ментов функций в правых частях все члены неизвестной последовательности,
начиная с П -+• 1-го, получим конечную систему обыкновенных дифференци¬
альных уравнений, которую можно интегрировать обычными методами те¬
ории обыкновенных дифференциальных уравнений. На этом основан метод
конечномерной аппроксимации дифференциальных уравнений в пространстве
12. Пользуясь результатом задачи 10.3.8, доказать, что последовательность
решений уравнений, полученных путем конечномерной аппроксимации, схо¬
дится при Я —► ОО к точному решению данного дифференциального уравнения
в пространстве 12. Этим будет доказано, что любое дифференциальное урав¬
нение в любом сепарабельном //-пространстве может быть решено с любой
степенью точности приведением его к уравнению в пространстве 12 и после¬
дующей конечномерной аппроксимацией. Найти оценки.точности приближен¬
ного решения при различных П.
11.2.2. При практическом применении метода конечномерной аппрокси¬
мации важнейшую роль играет выбор базиса в исходном .//-пространстве.
Решить этим методом уравнение (10.76) примера 10.18, выбрав в качестве ба¬
зисных функций конечные элементы.
§ 11.3. НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ
715
11.2.3. Пусть {in} базис в 5-пространстве X, Т— линейный оператор,
действующий из пространства X в В-пространство У. Найти приближенное
решение уравнения первого рода
Тх = у
в виде конечного отрезка разложения по базису {хп}.
У казани е. Найти линейные функционалы д\у.. ., дп £ Y*, образу¬
ющие вместе с векторами Тхi, . . ,,Тхп биортонормальную систему (п.8.5.7).
При любом конечном П такие функционалы легко находятся методом задачи
8.5.22.
§ 11.3. Некорректные задачи
11.3.1. Два определения корректности. При решении прак¬
тических задач важно уметь найти такое приближенное решение,
которое было бы достаточно близким к точному при неточно из¬
вестных исходных данных. В случае операторного уравнения
Ах —у (11.60)
при неточно заданном у это возможно только в том случае, когда
обратный оператор А~г непрерывен. В противном случае решение
х может значительно изменяться при сколь угодно малых изменени¬
ях у. И даже при точно известном у приближенное решение может
оказаться как угодно далеким от точного за счет неизбежных оши¬
бок округления при вычислениях. В результате ошибок округле¬
ния в этом случае процесс вычислений становится неустойчивым.
Ведь недаром во всех теоремах о сходимости приближенных реше¬
ний к точному фигурирует условие устойчивости вычислений, для
выполнения которого необходима непрерывность обратного опера¬
тора А”1. В связи с этим возникает необходимость разделения за¬
дач на два класса — корректные и некорректные.
Пусть А в (11.60) — оператор, отображающий полное метриче¬
ское пространство (Ху d) в полное метрическое пространство (У, г).
В частности, X и У могут быть ^-пространствами.
Задача решения операторного уравнения (11.60) называется
корректной или корректно поставленной по Адамару, если
1) при любом у £ У уравнение (11.60) имеет единственное реше¬
ние х £ Da (в этом случае предполагается, что Ra = У);
716 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
2) обратный оператор Л-1 непрерывен. При этом задача на¬
зывается равномерно корректной, если оператор А~г равномерно
непрерывен на У. Если оператор А”1 не непрерывен, то задача на¬
зывается некорректной или некорректно поставленной по Адамару.
Это определение корректности, впервые данное Адамаром, бы¬
ло уточнено и обобщено Тихоновым. Дело в том, что согласно
определению Адамара задача решения уравнения (11.60) коррект¬
на только в том случае, когда оператор Л-1 непрерывен на всем
пространстве У. Между тем область непрерывности оператора А~г
может и не совпадать со всем пространством У. Кроме того, условие
существования и единственности решения имеет одинаковое значе¬
ние как для корректных, так и для некорректных задач. Поэтому це¬
лесообразно не включать его в определение корректности. Этим и
вызвана необходимость видоизменения определения корректности.
Задача решения операторного уравнения (11.60), имеющего
единственное решение при у 6 С С Ra> называется корректной по
Тихонову, если обратный оператор А~г непрерывен на множестве
С. При этом прообраз В = А~1С множества С в пространстве X
называется множеством корректности. Если множества С С У, на
котором оператор Л”1 непрерывен, не существует, то задача назы¬
вается некорректной по Тихонову.
Типичной некорректной по Адамару задачей является задача
решения уравнения (11.60) с компактным оператором А (п.8.6.1). Та¬
кие уравнения называются операторными уравнениями первого рода,
если никакой шар в пространстве X не компактен *.
Теорема 11.3.1. Оператор, обратный компактному, не может
быть непрерывным на всем пространстве, если никакой шар в про¬
странстве X не компактен.
> Если оператор А компактен, то определяемый им образ лю¬
бого шара предкомпактен, вследствие чего любая последователь¬
ность точек {жп} любого шара в пространстве X содержит такую
подпоследовательность {хПр}, что последовательность {АхПр} точек
пространства У сходится. Возьмем такую последовательность {хп}
в шаре 5Г(0), что для любых пит cf(xn,xm) > S > 0. Это воз¬
можно, так как шар 5Г(0) некомпактен. Пусть {хПр} — подпосле¬
довательность, для которой последовательность {АхПр) сходится.
Положив уп = АхП1 у = ИтуПр, получим сходящуюся последова-
* Это определение обобщает определение линейного уравнения первого ро¬
да, данное в п.9.1.2.
§11.3. НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ
717
тельность {упр}» Для которой соответствующая последовательность
хПр = А-гуПр, не сходится ни к какому пределу. Отсюда по
теореме 4.3.6 следует, что оператор А"1 не непрерывен в точке у. <
Эта теорема показывает, что задача решения уравнения (11.60)
с компактным оператором А некорректна по Адамару.
П р и м е р 11.15. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма
f K(s,t)x(t)dt = y(s) , SES, (11.61)
T
ядро которого K^Sjt) принадлежит пространству Ь2{Т X S). В п.8.6.6 было
показано, что интегральный оператор в этом уравнении, представляющий со¬
бой оператор Гильберта — Шмидта, имеет конечную абсолютную норму и,
следовательно, компактен. А так как никакой шар в //-пространстве L2(T)
не компактен, то уравнение (11.61) представляет собой интегральное уравнение
Фредгольма первого рода. По теореме 11.3.1 задача решения уравнения (11.61)
некорректна по Адамару.
Пример 11.16. Поскольку оператор дифференцирования на прост¬
ранстве непрерывных функций неограничен (пример 7.7), задача дифференци¬
рования непрерывной функции некорректна по Адамару. Бе можно рассма¬
тривать как частный случай задачи решения интегрального уравнения (11.61)
в случае скалярных аргументов t, S, S=[a,b),K(s,t) = l(s-t).
Стоит заметить, что, поскольку оператор дифференцирования непреры¬
вен на пространстве непрерывных функций, имеющих непрерывную первую
производную (пример 7.6), задача дифференцирования такой функции кор¬
ректна.
Пример 11.16 показывает, что одна и та же задача может быть
корректной при одних метриках d, г пространств X, Y и некоррект¬
ной при других. Таким образом, понятие корректности задачи тес¬
ным образом связано с выбором метрик в пространствах X и У.
Критерий корректности задачи решения уравнения (11.60) по
Тихонову дает
Теорема 11.3.2. Если оператор А в (11.60) непрерывен, уравне¬
ние (11.60) имеет единственное решение при у Е С и множество
В = А~1С компактно, то оператор А~1 равномерно непрерывен на
С и, следовательно, задана решения ^уравнения (11.60) корректна по
Тихонову (теорема Тихонова).
> Если оператор А"1 не равномерно непрерывен на С, то при
любом 6 > 0 в В = А~1С найдутся такие пары точек Хп*\ \ что
d(*n *п2)) > 6. Ах^) < еп (11.62)
718 ГЛ. И. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
для любой последовательности положительных чисел {£п}> сходя¬
щейся к нулю. Вследствие компактности В можно без потери общно¬
сти считать последовательности {#п^} и {хп2^} сходящимися. Если
бы они не были сходящимися, то мы выбрали бы из {х£^} сходя¬
щуюся подпоследовательность {хп*} и после этого выбрали бы из
{хп2*} сходящуюся подпоследовательность {хп2*?л}. При этом после¬
довательность {^nVp} сходилась бы к тому же пределу, что и {xnV }•
Пусть Xi = limx^, х2 = limx^. Переходив (11.62) к пределу, вслед¬
ствие непрерывности оператора А будем иметь
d(x\, х2) > 6 , r(Ax 1, Ах2) = 0 .
Следовательно, Ах\ = Ах2 = у, т.е. уравнение (11.60) имеет два
различных решения, что противоречит условию теоремы. <
11.3.2. Регуляризация некорректных задач. Л ля прибли¬
женного решения некорректных задач Тихонов предложил метод
регуляризации. Основная идея этого метода состоит в замене опера¬
тора А в уравнении (11.60) таким зависящим от неотрицательного
параметра ос оператором А(ос), Л(0) = А, чтобы при всех а > 0 этот
оператор имел непрерывный обратный оператор Л(а)”1 и чтобы ре¬
шение ха уравнения
А(а)х = у (11.63)
было сколь угодно близким к решению х уравнения (11.60) при до¬
статочно малом а. Так как основное значение при этом имеет обрат¬
ный оператор Л(а)-1, преобразующий у в х, то можно оператор Л(а)
не рассматривать. Таким образом, мы приходим к определению ре-
гуляризирующего оператора.
Как заметил Тихонов, идея регуляризации некорректных за¬
дач восходит к Ньютону; замена производной отношением конеч¬
ных приращений, по существу, представляет собой регуляризацию
некорректной задачи дифференцирования функции.
Оператор R(y, а), зависящий от скалярного параметра а, назы¬
вается регул яри зирующим для уравнения (11.60) в окрестности тон¬
ки уо = Ах о, если
1) он определен при всех а, у, а £ (0, ао], г(у, уо) < <$о при неко¬
торых а0, So > 0;
2) при любом е > 0 найдутся такие числа 6е £ (0,8о), а€ £ (0, ао),
что
d(xc,x0) < е
§ 11.3. НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 719
при всех у, г(у, j/о) < 6е, где
x€ = R(y^£). (11.64)
Параметр а называется параметром регуляризации.
Оператор Д(у, а) называется регуляризирующим для уравнения
(11.60) на множестве С С Ra, если он регуляризирующий в окрест¬
ности каждой точки уо £ С.
Оператор Я(у, а) называется равномерно регуляризирующим для
уравнения (11.60) ма множестве С С если числа и ас при
данном е > 0 не зависят от уо 6 С.
Следующая теорема дает критерий для того, чтобы данный опе¬
ратор был регуляризирующим для уравнения (11.60).
Теорема 11.3.3. Если оператор Д(у, а) определен при всех а £
£ (0,ао] и У £ W : КзЛуо) < ^о} при некоторых ао, So, непрерывен в
точке уо = Ах о и
lim Д(уо,а) = х0 , (11.65)
сг—►О
то он является регуляризирующим для уравнения (11.60) в окрестно¬
сти точки уо.
Если условия теоремы выполнены при всех уо £ С, то оператор
Д(у, а) — регуляризирующий для уравнений (11.60) на множестве С.
Если оператор R(y,a) при всех ос £ (0,ао] равномерно непрерывен
на множестве С и сходимость в (11.65) равномерна относительно
Уо на С, то оператор Д(у, а) — равномерно регуляризирующий для
уравнения (11.60) на множестве С.
> Из непрерывности оператора Д(у, а) в точке уо следует, что
для любого е > 0 при любом а £ (0, ао] существует такое число
£с(а), что
Л(Я(у,а),Я(у0,а))<£/2 (11.66)
при всех у, г(у, уо) < 6£(а). Из (11.65) следует, что при том же е > 0
найдется такое ас, что
d(R(y0, а), х0) < е/2 (11.67)
при всех а < ае. Из (11.66) и (11.67), положив 6С = бс(ас), получаем
d(R(yy O'*), Хо) < С?(Д(у, <*е), Я(у0, <**)) + d(R(y0, <*е), *о) < £
при всех у, г(у, уо) < 6е. Отсюда следует, что оператор Я(у, а) —
регуляризирующий для уравнения (11.60) в окрестности точки уо-
Второе и третье утверждения теоремы вытекают из первого. <
720 ГЛ. И. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
11.3.3. Методы нахождения регуляризирующего операто¬
ра. В п.11.2.3 было отмечено, что для нахождения приближенного
решения операторного уравнения в данном множестве можно мини¬
мизировать невязку, т.е. расстояние между левой и правой частями
уравнения. При этом в частном случае, когда данное множество со¬
впадает с областью определения оператора, этот способ дает точ¬
ное решение. Однако в случае некорректной задачи процесс вы¬
числений будет неустойчивым. Поэтому, чтобы сгладить процесс
вычислений и сделать его устойчивым, Тихонов предложил доба¬
вить к величине, служащей мерой невязки, некоторый функционал,
а именно вместо меры невязки минимизировать функционал
ф(х, у, а) = у(г(Ах, у)) + а<р(х), (11.68)
где 7(5) — строго возрастающая непрерывная функция, равная ну¬
лю при s = 0, а — положительный параметр регуляризации, <р(х) —
неотрицательный функционал с плотной в X областью определения
Vy. Тихонов показал, что при соответствующем выборе функциона¬
ла (р(х) и параметра регуляризации а можно получить приближен¬
ное решение уравнения (11.60), близкое к точному.
В дальнейшем ограничимся случаем 5-пространств X и У. Бу¬
дем говорить, что неотрицательный функционал <р(х), у?(0) = 0, опре¬
деленный на подпространстве Х\ С X, порождает на Х\ простран-
ство с мажорантной метрикой, если у/(р(х) удовлетворяет аксио¬
мам нормы (п. 1.3.6) и
\\xi-X2\\t= у/<р(Х1-Х2)>\\Х1-Х2\\ . (11.69)
Лемма. Если неотрицательный функционал (р(х) порождает на
подпространстве Х\ С X действительное Н-пространство Х\ с
мажорантной метрикой и множество Ке = {х : х £ Х\,(р(х) < с}
предкомпактно при любом с > 0, то для любого непрерывного нео¬
трицательного функционала f(x), определенного на всем простран¬
стве X, при любом а > 0 существует элемент ха С [Х\] реализую¬
щий минимум функционала g(x) = f(x) + огу?(х),
д(ха) = inf д(х).
> Пусть {хп} С Х\ — последовательность, для которой
limo(zn)= inf д(х) = а.
„ n—оо z£[Xi]
(11.70)
§ 11.3. НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 721
Без потери общности можно считать, что д(хп+\) < д(хп) при всех
п. Тогда д(хп) < <j(xi) и, следовательно, а<р(хп) < д(хi) при всех п,
т.е. все точки хп принадлежат предкомпактному множеству Ке при
с = д(х\)/а. Отсюда следует, что последовательность {хп} содер¬
жит подпоследовательность {хПя}, сходящуюся к некоторой точке
ха G [Х\]. Вследствие непрерывности функционала /(х) /(хПр) —►
—► /(ха). Остается доказать, что <р(хПр) —► (р(ха). Лля этого доста¬
точно показать, что хПр —► ха и в метрике Я-пространства Х\> т.е.
что || хПр — ха ||i—► 0 при р —► оо. Докажем сначала, что последо¬
вательность {хПр} фундаментальна в метрике Я-пространства Х\.
Положив
zpq = (хПр — хПд)/2, upq = (хПр + xnq)/2 ,
будем иметь
иРЯ = Хпр ~~ ZPQ = Хпя гРЯ (И*^)
И
»(«Р«) = /(%?) + « II «Р« 111 = Я*",) + в II *n, 111 +
+/(upj) — f(xnr) + <*[—2(*nri *pf)l+ ||zpj 111] =
= я(*п,) + /(«и) - /(*n,) + tt[-2(*n„ *p,)i+ ||«p« II?] •
А так как
> inf 9(x) = <*.
XfcA i
TO
<*[2(хПр, Zpq)i— 11^ ||f] < д(хПр) -|- f(upq) — f(xnp) — a .
Аналогично, пользуясь вторым выражением в (11.71), получаем
a[“2(xnfl, Zpq)\— || Zpq llJ] < g(xnq) -f f(upq) — f(xnq) — d .
Сложив полученные неравенства и имея в виду, что хПр — хПд = 2*рд>
находим
2<* ||*Р« Hi < <K*np) + д(*пщ) - 2a + 2f(upq) - /(хПр) - /(xnJ.
Заметим теперь, что хПр, xn<j1 upq —► xa и в силу (11.70) £(хПр),
д(хПя) —* а при р, q —► оо. А так как функционал /(х) непрерывен, то
Я*п,), /(®nf), /(«я*) “► /(*а) при p,q->oo. Следовательно,
ll*P«lli = ll*n, — 111 /2 —^ 0 при р, g —► оо .
722 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Это доказывает фундаментальность последовательности {хПя} в ме¬
трике Я-пространства Х\. Отсюда в силу полноты Я-пространства
следует существование предела хау к которому сходится последова¬
тельность {хПр} в метрике Я-пространства Х\. Остается заметить,
что в силу (11.69) последовательность {яПр} сходится к ха и в метри¬
ке пространства X. А так как хПр —► xai то ха = ха. Следовательно,
д(ха)= lim [f(xn ) + or || хп Ц2] =
р—*00
= /(*«) + aip(xa) = а. <
Теорема 11.3.4. Для существования при любом а > 0 элемента
ха в подпространстве [Х\] С Ху реализующего минимум функциона¬
ла (11.68), достаточно, чтобы множество Кс = {х : х Е Х\,(р(х) <
< с} было предкомпактно при любом с > 0 и чтобы функционал <р(х)
порождал на Х\ Н-пространство Х\ с мажорантной метрикой *.
> Л ля доказательства достаточно применить доказанную лемму
при f(x) = у(г(Ах, у)) = 7(II Лх - J/II). <
Теорема. 11.3.5. Пусть хо Е Х\ — точное решение уравнения
(11.60) при у = уо, -4*0 = уо, ха Е [Х\] — элемент, реализующий ми¬
нимум функционала (11.68) при выполнении условий тецремы 11.3.4.
Тогда если оператор А непрерывен} то для любого £ > 0 и любых
строго возрастающих функций Pi(S) и 02(6), удовлетворяющих усло¬
виям
&(0)*0, А(0) = 0, /?!(«)&(«) >7(«) при 6> 0,
существует такое 6е > 0 (зависящее от функций /3\, fo), что для
любых у Е Ял, 6, а у удовлетворяющих условиям
Kj/.ifo)=||y-2/o||<6 <6е 7(г)//?х(6) < or < fo(6), (11.72)
справедливо неравенство d(xai Хо) =|| ха — жо || < £•
> Так как функционал (11.68) удовлетворяет неравенству
Ф(*а,У,а) < ф(х0,у, а), то
<х<р(ха) < Ф(ха,у,а) < 7(||уо - у||) + а<р(х0) < у(6) + а<р(х0) (11.73)
* Ясно, что элемент Ха G P^l]i реализующий минимум функционала
(11.68), может существовать только при [Xj] С Da-
§11.3. НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ
723
и точно так же
7(1М**-у||) < ф(ха,у,а) < у(6) + онр(х0). (11.74)
Из (11.72) и (11.73) получаем
<х<р(*а) < Ot[Pl(6) + ¥?(*<>)]
и
VK*or) < Pl(6) + <р(х0) .
Положив Pl(6) + <р(хо) = Со, приходим К выводу, ЧТО ТОЧКИ Хо и ха
принадлежат предкомпактному множеству Кс при любом с > со. По
теореме 11.3.2 непрерывный оператор Ас, представляющий собой су¬
жение оператора А на компакт [Кс]} имеет равномерно непрерывный
обратный оператор на образе А[КС] компакта [Кс]. Следовательно,
для любого е > 0 существует такое rjc > 0, что
||*х - *г||< £ Varbx2 G [Ке], \\Axx - Ax2\\<i}t. (11.75)
Из (11.74) и (11.72) получаем
7(|\Аха - у\\) < [рх(6) + фоШ*) = соА(в)
и
1И*о,-у||<Т-1(с0/?2(й)).
Отсюда, пользуясь неравенством треугольника, находим с помощью
первого неравенства (11.72)
\\Аха — Ахо || < \\Аха — у || + || у — j4x0|| =
= 1М*в-у|| + Ну-уо||<7-1(соД2(£)) + 6.
Выберем теперь настолько малое 6еу чтобы при всех 6 < 6е было
7"'1(с0^2(й)) + 6 < г)е. Это возможно, так как 7(0) = /?г(0) = 0 и
функции 7 и /?2 строго возрастающие. Тогда в силу (11.75) будем
иметь || ха — а?01| < е. <
Следствие. Оператор R(y,a), ставящий в соответствие любым
у, а элемент G [Х\]г реализующий минимум функционала (11.68),
является регуляризирующим для уравнения (11.60) на образе А[КС] за¬
мыкания пред компактного множества Ке = {х : х 6 Х\, (р(х) < с}
при любом с > 0.
724 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
В соответствии с его ролью стабилизатора процесса вычисле¬
ний неотрицательный функционал <р(х), определенный на множестве
Х\у для которого множество {х : <р(х) < с} предкомпактно при лю¬
бом с> О, называется стабилизирующим функционалом. Функционал
а), определяемый формулой (11.68) при любом стабилизиру¬
ющем функционале у?(х), называется сглаживающим функционалом,
так как он сглаживает колебания процесса вычислений при прибли¬
женном решении уравнения (11.60).
Лля минимизации сглаживающего функционала ф(х, у, а) мож¬
но применить любой из приближенных методов нахождения экстре¬
мумов функционалов, например метод Рэлея - Ритца (п. 11.2.3) или
метод конечных элементов (п.11.2.5).
Пример 11.17. Рассмотрим интегральное уравнение первого рода
(11.61) в случае скалярных переменных t, 5, Т = [а, 6], S = [с, d]. В этом слу¬
чае пространствами X и Y служат соответственно действительные
//-пространства а за подпространство Х\ примем про¬
странство действительных непрерывных функций С^([а, &]), имеющих непре¬
рывные производные до порядка N включительно. Покажем, что функционал
¥>(*) = / Е p*(0[*(t)(0]2<ft. (11.76)
а к=0
еде p0(t), pi(t), .. .,pjv(0 — положительные функции, ро(0 ^ 00 > 0, pi(t) >
> 41 > 0, является стабилизирующим и, следовательно, функционал
Ъ
ф(х, у, а) = /
а
f K(s,t)x(t)dt - y(s)
а
2
ds + a<p(x) * (11.77)
является сглаживающим. Для этого достаточно показать, что множество
функций {я(0 : x(t) € CN([a,fc]), (р(х) < с} предкомпактно при любом
С > 0. Из <р{х) < С следует
f po(t) x2(t) dt < с, f pi(t) [x'(t)]2 dt < с. (11.78)
a a
Первое из этих неравенств показывает, что в интервале [а, 6] существует такая
точка to* что
И*о)1< Vс/9о(ь — о), (11.79)
* В метрике пространства Ьг([с» <fl) Ф(х> У у а) = IIАх ““ У |Р +<Х(р(ху.
§11.3 НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ
725
где qo > 0 — нижняя грань функции Ро(0 на [а> Ч* Так как при любых t\y
h е [а, 6]
x(t2) = *(<i) + / x'(t)dt,
и
то неравенство Коши — Буняковского и второе неравенство (11.78) дают
/*'(<) л
< / 1 • Л ■ /[х'(0]2 dt < fPl(t) [x'(t)]*dt < - h), (11.80)
<1 *1 <1
где q\ > 0 — нижняя грань функции P\(t) на [a, 6]. Это неравенство пока¬
зывает, что все непрерывные функции x(t), удовлетворяющие неравенствам
(11.78), равностепенно непрерывны (см. сноску к теореме 4.5.9). Из (11.79) и
(11.80) следует
| x(t) I < I x(t0) | + |*(0-*(<о)|< \Л/?0(ь - а) + >/(c/qi)(b - а).
Это неравенство показывает, что множество всех функций 3?(t), удовлетворя¬
ющих неравенствам (11.78), равномерно ограничено. По теореме Арцела —
Асколи 4.5.10 множество непрерывных функций x{t), для которых <р(х) < С,
предкомпактно, что и доказывает наше утверждение.
Предоставляем читателю самостоятельно проверить, что функционал
\J^?(х), определяемый формулой (11.76), обладает всеми свойствами нормы
и что эта норма удовлетворяет тождеству параллелограмма и является ма¬
жорантной по отношению к норме //-пространства X = />2([а, 6]). Следова¬
тельно, к данной задаче применима теорема 11.3.4.
Подпространство пространства /^([а,^]) с нормой, порожденной функ¬
ционалом (11.76) при Po(t) = P\(t) = • • • = PN(t) = li представляет собой
действительное //-пространство, а именно пространство Соболева //^([а, &])
(п.3.7.8).
Таким образом, применив метод регуляризации, мы сведем задачу реше¬
ния интегрального уравнения первого рода (11.61) к минимизации сглажива¬
ющего функционала
ф(х,у,а) = /
f K(s,t)x(t)dt - y(s)
+ «/ЕМ0[*(‘)(0]аА-
a k=0
726 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Совершенно так же регуляризируется задача решения интегрального
уравнения (11.61) в случае векторных переменных t} S и произвольных обла¬
стей Т и S. При ©том в (11.76) следует взять с соответствующими положи¬
тельными коэффициентами квадраты всех производных до порядка N вклю¬
чительно.
Заметим, что задача минимизации функционала (11.68) родст¬
венна задаче нахождения условного минимума стабилизирующего
функционала (р(х) при условии || Ах — у || < а. Согласно методу
Лагранжа эта задача сводится к минимизации функционала
Р(*) + Л7(1М*-У||) (11.81)
с последующим определением А из условия || Ах — у II = <*• Соглас¬
но лемме в этом случае существует вектор ха> реализующий мини¬
мум функционала (11.81). Дальше мы покажем, что и в этом случае
оператор Д(у, а), ставящий в соответствие вектор ха данным у> а,
является регуляризирующим для уравнения (11.60).
Изложенные методы нахождения регуляризирующих операто¬
ров легко обобщаются на случай любых полных метрических про¬
странств X, Y и любого стабилизирующего функционала (р(х). Од¬
нако в этом случае элемента ха' реализующего минимум функцио¬
нала (11.68) или (11.81), может не существовать. Тогда задачу мини¬
мизации функционала (11.68) можно заменить задачей нахождения
такого элемента ха £ [Х\\, для которого
1P(xa,y,a)<q inf ip(x,y,a) (11.82)
x€[Xi]
при некотором q > 1. При q > 1, но сколь угодно близком к 1, такой
элемент ха £ X всегда существует по определению инфимума. В
этом случае справедлива
Теорема 11.3.6. Пусть xq € Х\ — тонное решение уравнения
(11.60) при у = уо, Ах о = г/о, ха £ Х\ — элемент, удовлетворяющий
соотношению (11.82) (такой элемент, очевидно, определен неодноз¬
начно). Тогда если оператор А непрерывен, то для любого е > 0 и
любых строго возрастающих функций Р\(6) и /?г(£), удовлетворяющих
условиям
ШФО, /?2(0) = 0, Pi№(6)>7(6) при 6>’ 0,
существует такое 6£ > 0 (зависящее от функций /3\, /?г), что для
любых у £ Ra, 6, ос, удовлетворяющих условиям
r(y,yo)<6 <6С , y(S)f/3i(6) < а < , (11.83)
§11.3. НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ
727
справедливо неравенство d(xayxo) < е. Оператор R(y, а), сопоста¬
вляющий элемент ха данным у, а, является регуляризирующим для
уравнения (11.60) на образе предкомпактного множества Кс = {х :
х Е Xi, <р(х) < с} при любом с > 0.
Доказательство этой теоремы дословно повторяет доказатель¬
ство теоремы 11.3.5 с заменой норм соответствующими расстояния¬
ми.
Точно так же задача условной минимизации функционала <р(х)
при г(Ах, у) < а заменяется задачей нахождения такого элемента
ха Е Ху для которого
vK^a) < Ч ^(х) (11.84)
г(Ах,у)<а
при некотором q > 1. При q > 1, но сколь угодно близком к 1, такой
элемент всегда существует.
Теорема 11.3.7. Если уравнение (11.60) имеет единственное ре¬
шение при у £ АХ 1 и оператор А непрерывен} то оператор R(y, а), со¬
поставляющий элемент ха, удовлетворяющий соотношению (11.84),
данным уу а (такой элемент, очевидно, определен неоднозначно),
является регуляризирующим для уравнения (11.60) на множест¬
ве АХ\.
> Пусть уо — произвольный элемент множества АХi, хо £ Х\ —
решение уравнения Ах о = уо. Предположим, что оператор #(у, а) не
является регуляризирующим. Тогда существуют такие последова¬
тельности {у*}, {a*}, ак —► 0 при к —► оо, для которых г(у*,уо) < а*,
d(xak> хо) > е при некотором е > 0, хак = Л(у*,а*). Из (11.84) выте¬
кает (р(хак) < q(p(xо), откуда следует, что последовательность {яа*}
принадлежит предкомпактному множеству Ке при с = q<p(xо). Обо¬
значив через х предел сходящейся подпоследовательности после¬
довательности {£<»*}, будем иметь вследствие непрерывности опе¬
ратора А и неравенств r(AxaJciyk) < otk, r(yk,yo) < при всех
к г(Ах,уо) = 0 *. Отсюда вследствие единственности решения
уравнения (11.60) получаем х = xq, что противоречит неравенству
d(xakyxо) > е при всех к. <
11.3.4. Выбор параметра регуляризации. Из теории п. 11.3.3
следует, что параметр регуляризации а должен быть достаточно
малым для того, чтобы приближенное решение было близким к точ¬
ному, а с другой стороны, он должен быть достаточно большим для
* Неравенство r(Axak, ук) < Otk вытекает из определения (11.84) элемента
ха при у = уь а = ак.
728 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
того, чтобы процесс вычислений был устойчивым и гладким. Пре¬
делы допустимых, значений а устанавливаются условиями (11.72)
и (11.83) теорем 11.3.5 и 11.3.6. Таким образом, при выборе а не¬
обходим компромисс между требованиями близости приближенно¬
го решения к точному и устойчивости и гладкости процесса вы¬
числений. Практически этот вопрос решается подбором. Выбрав
какое-нибудь значение а, находят для этого а приближенное ре¬
шение. Если процесс вычислений получается устойчивым и глад¬
ким, то пробуют уменьшить это значение а, обычно уменьшают его
вдвое. Это продолжают до тех пор, пока процесс вычислений не на¬
чнет ” разбалтываться”. Получив такой эффект, берут предыдущее
значение а, при котором процесс вычислений достаточно устойчив
и гладок. Бели же при выбранном вначале а процесс вычислений
неустойчив, это значение а увеличивают (обычно вдвое). Это про¬
должают до получения достаточной устойчивости и гладкости про¬
цесса вычислений.
11.3.5. Обобщение метода регуляризации. Вся изложенная
теория некорректных задач распространяется на случай, когда не¬
корректность получается за счет малых изменений оператора А в
(11.60). Взяв соответствующую меру изменений оператора Л, на¬
пример норму его приращения в случае Я-пространств X и У и
непрерывных линейных операторов А, можно включить в опреде¬
ление корректности задачи требование непрерывной зависимости
решения уравнения (11.60) от оператора А и правой части у. Со¬
ответствующие изменения придется внести и в определение регу-
ляризирующего оператора. При этом будут справедливы лемма и
теоремы 11.3.4 и 11.3.5 с соответствующими изменениями.
Для более глубокого изучения методов решения некорректных
задач рекомендуем книги [27] и [17].
11.3.6. О точности задания исходных данных. Обычно регу¬
ляризацию некорректных задач связывают с неточностью задания
исходных данных. Однако с этим нельзя согласиться. Регуляриза¬
ция необходима и при точном задании исходных данных, так как без
нее процесс вычислений на ЭВМ при решении некорректных задач
будет расходящимся и в результате станет невозможным. Регуля¬
ризация же сводит некорректные задачи к корректным и тем самым
распространяет на них все методы приближенного решения коррект¬
ных задач, в том числе и все методы, изложенные в § 11.1 и 11.2.
Вопрос о точности задания исходных данных имеет одинаковое зна¬
чение как для корректных, так и для некорректных задач. Однако
§ 11.3. НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ
729
он имеет и гораздо более глубокое философское и математическое
значение, особенно когда речь идет о неточном задании оператора
А в (11.60). Дело в том, что никаких математических зависимостей
в окружающем нас внешнем мире нет. Все математические зависи¬
мости, применяемые для изучения явлений внешнего мира, предста¬
вляют собой не что иное, как абстрактные математические модели,
с помощью которых человек познает этот мир. Поэтому ”точного”
оператора не существует, вследствие чего говорить о точности его
задания бессмысленно *.
Все явления внешнего мира не вполне детерминированны, все¬
гда содержат некоторую неопределенность. Для изучения не вполне
определенных явлений обычно применяют математическую модель
случайных явлений, на которой основана теория вероятностей. В
этой модели все не вполне определенные величины рассматривают¬
ся как случайные и их разброс характеризуется соответствующи¬
ми распределениями вероятностей. При применении этой модели
вопрос о точности задания исходных данных для решения той или
иной математической задачи и зависимости точности решения этой
задачи от точности задания исходных данных сводится к нахожде¬
нию распределения решения по известным распределениям исход¬
ных данных. Тем самым этот вопрос выводит нас за рамки функцио¬
нального анализа в область теории вероятностей. И в теории веро¬
ятностей такие задачи решаются. Методами теории вероятностей,
в частности, пользуются при построении математических моделей
и при оценке их адекватности тем явлениям, для изучения которых
они предназначены.
ЗАДАЧИ
11.3.1. Рассмотрим общее операторное уравнение первого рода
Тх = у,
где Т — линейный оператор, отображающий действительное ^-пространство
X в действительное /^-пространство У, с неограниченным обратным операто¬
ром Т”1. Пусть {а?п} — базис в X, {/п} — сопряженный базис в X* (задачи
8.5.16 — 8.5.18). Покажите, что функционал у/9?дг(ж), где
<рц{х) = к £ (Л>*)2. *>0,
П = 1
* ’’Точный” оператор может существовать лишь в модельных задачах, ил¬
люстрирующих применяемые математические методы.
730 ГЛ. 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
удовлетворяет всем аксиомам нормы и тождеству параллелограмма. Поэтому
при любом N функционал <Pn(x) порождает на подпространстве Хц, обра¬
зованном векторами а?х,..., a?#, if-пространство с мажорантной метрикой.
Доказать, что множество Кс = {х : X G Хм,<рм{х) ^ с} предкомпактно
при любом Nt вследствие чего функционал <Pn(x) — стабилизирующий, и
минимизация функционала Фм{х1ууОк) =|| Тх — у ||2 +Gr^jv(x) при доста¬
точно большом N дает приближенное решение, как угодно близкое к точному
(теорема 11.3.5 с учетом того, что {яп} — базис в X).
11.3.2. Распространить результат на нелинейное уравнение вида
Г/(х) = у,
где /(х) — заданная непрерывная функция.
11.3.3. Примените стабилизирующий функционал задачи 11.3.1 для реше¬
ния интегрального уравнения примера 11.17.
11.3.4. Показать, чтр стабилизирующий функционал примера 11.17 можно
применить и для решения нелинейного интегрального уравнения с оператором
Г аммерштейна
Ь
f K(s,t)f(t,x(t))dt = y(s), «€[c,d],
а
где f(tyx) — непрерывная функция t и X.
11.3.5. Применить для приближенного решения интегрального уравне¬
ния Гаммерштейна задачи 11.3.4 стабилизирующий функционал <Pn(x) задачи
11.3.1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. —
М.: Гостехиздат, 1948. — 412 с.
2. Антосик П., Микусинский Л., С и коре кий P. (Antosik P., Mikusinski J.,
Sikorski R.) Theory of Distributions. — Amsterdam — Warszawa.: Elsevier Publ. Co.,
PWN, 1973. Русский перевод: Теория обобщенных функций. Секвенциальный
подход. — М.: Мир, 1976.
3. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов. — М.:
Наука, 1976. — 544 с.
4. Бейтмен Г., Эрдейи A. (Bateman Н., Erdelyi A.) Higher Transcendental
Functions. — NewYork: McGraw Hill, v.l, v.2 (1953), v.3 (1955). Русский перевод:
Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, т.1, т.2, 1966; т.З, 1967.
5. Василенко В.А. Сплайн-функции. — Новосибирск.: Наука, Сибир.
отд., 1983. — 216 с.
6. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. —
М.: Наука, 1979. — 320 с.
7. Вольтерра В. (Vito Volterra). Lemons sur les fonctions de lignes. — Paris:
Gauthier — Vi liars, 1913.
8. Вольтерра В., Пере Ж. (Vito Volterra, Joseph Рёгёэ). Theorie general des
fonctionelles. — Paris: Gauthier — Vi liars, 1936.
9. Ланфорд H., Шварц Лж.Т. (N.Dunford, J.T.Schwarz). Linear Operators.
Part I: General Theory (1958). Part II: Spectral Theory. Self Adjoint Operators in
Hilbert Space (1963). — N.Y.: Interscience Publishers. Part III: Spectral Operators
(1971). — N.Y.: Wiley — Interscience. Русский перевод: Линейные операторы.
Часть 1: Общая теория. — М.: ИЛ, 1962. Часть II: Спектральная теория.
Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. — М.: Мир, 1966.
Часть III: Спектральные операторы. — М.: Мир, 1974.
10. Лаусон Х.Р. (H.R.Dowson). Spectral Theory of Linear Operators. —London:
Academio Press, 1978.
11. Келли Лж.Л. (Kelley J.L.). General Topology. — N.Y.: D.Van Nostrand,
1957. Русский перевод: Общая топология. — М.: Наука, 1981.
12. Кириллов А.А., Гвишиани А.Л. Теоремы и задачи функционального
анализа. — М.: Наука, 1988. — 398 с.
13. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функцио¬
нального анализа. — М.: Наука, 1972. — 496 с.
14. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом про¬
странстве. — М.: Наука, 1967. — 450 с.
15. Крейн С.Г. (ред.). Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972. --
544 с.
732
ЛИТЕРАТУРА
16. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. — М.; Высшая шко¬
ла, 1981
17. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные за¬
дачи математической физики и анализа. — М.: Наука, 1980. — 288 с.
18. Ладаш Г.Е., Лакшмикантам В. (Ladas G.E., Lakshmikantham V.). Diffe¬
rential Equations in Abstract Spaces. — New York, London: Academic Press, 1972.
19. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. —
М.: Наука, 1978. — 416 с.
20. Пугачев B.C. Стохастические системы. — М.: Наука, 1973 (вып. 7-9);
1974 (вып. 11, 12); 1975 (вып. 10).
21. Пугачев B.C. (ред.). Основы автоматического управления. — М.:
Наука, 1974. — 720 с.
22. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. —
М.: Наука, 1979. — 496 с.
23. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные си¬
стемы. Анализ и фильтрация. — М.: Наука, 1990. — 632 с.
24. Рид М., Саймон Б. (М.Reed, В.Simon). Methods of Modem Mathematical
Physics. 1.Functional Analysis. — N.Y.: Academic Press, 1972. Русский перевод:
Методы современной математической физики. ^Функциональный анализ. —
М.: Мир, 1977.
25. Рудин У. (Rudin W.). Functional Analysis. — N.Y.: McGraw-Hill, 1973.
Русский перевод: Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.
26. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной пере¬
менной. — М.: Наука, 1979. — 320 с.
27. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. —
М.: Наука, 1986. — 340 с.
28. Халмош П.P. (Halmos P.R.) Measure Theory. — New Jersey: Van Nostrand-
Reinhold, Princeton, 1950. Русский перевод: Теория меры. — М.: ИЛ, 1953.
29. Шефер X. (Н.Н.Schaefer). Topological Vector Spaces. — N.Y.: Macmillan,
1966. Русский перевод: Топологические векторные пространства. — М.: Мир,
1971.
30. Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л. Интеграл, мера и производная. — М.:
Наука, 1967. — 219 с.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
£-окрестность точки 39
£-сеть 272
-В-пространство 56
i^-йространство 306
//-пространство 61
p-я производная 633
p-я функциональная производ¬
ная функционала 635
<Т—алгебра 69
— борелевских множеств 71, 128
— индуцированная в пространст¬
ве X функцией / 127
— полная относительно меры 112
— порожденная классом мно¬
жеств 70
Т\-пространство 249
Х*2-пространство 251
Тз-пространство 251
74-пространство 252
Аддитивность 82
Аксиома выбора 32
— отделимости вторая 251
первая Т\ 249
третья Т3 251
четвертая Т4 252
— счетьости вторая 254
первая 254
Аксиомы линейного пространс¬
тва 49
— нормы 55
— отделимости 249
— скалярного произведения 56
— счетности 254
— топологии 240
Алгебра 62, 68
— банахова 62
— коммутативная 62
Алгебра нормированная 62
— порожденная классом мно¬
жеств 70
— с единицей 62
Ассоциативность 48
База окрестностей точки 253
— топологии 245
— топологического пространс¬
тва 245
Базис 496
— Хамеля 52
Биекция 27
Вариационное исчисление 20, 642
Вариация меры отрицательная 99
полная 97
положительная 99
— функционала 641
Вектор 48, 49
Векторы линейно зависимые 50
независимые 50
— ортогональные 61
Величина случайная 332, 430
Вероятность 430
Весовая функция 317
Вторая производная 633
— функциональная производ¬
ная 634
Второе необходимое условие экс¬
тремума 648
Гильбертово пространство Ь2 215
Гомеоморфизм 271
Граница множества 40, 244
Грань верхняя 32
— нижняя 32
График оператора 393
734
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
График функции 27
Группа абелева 617
— однопараметрическая непре¬
рывная коммутативная 617
Дельта-функция импульсная 338
Дистрибутивность 48
Дифференциал второгб поряд¬
ка 633
— Гато 629
— порядка р 633
— сильный 624
— слабый 629
— Фреше 624
Дополнение множества 22
— подпространства ортогональ¬
ное 456
Достаточное условие экстрему¬
ма 648
Задача Дирихле 711
— корректная по Тихонову 716
— корректно поставленная по
Адам ару 715
— Коши 427, 655
— некорректная по Тихонову 716
— некорректно поставленная по
Адам ару 716
— о брахистохроне 654
— равномерно корректная 716
Задачи корректные 715
— некорректные 715
Замена переменных в обобщен¬
ных функциях 351
Замыкание множества 243
— оператора 394
Мнвариантное подпространство
оператора 444
Индикатор множества 27
Интеграл 156
— Бохнера 156
— двойной 226
— кратный 226
— Лебега 156, 171
абстрактный 156
— Лебега — Стилтьеса 179
— от простой функции 152
— Петтиса 327
— по операторной мере от измери¬
мой функции 576
от простой функции 575
— повторный 226
— слабый 327
Интегральное представление од¬
нопараметрической группы
унитарных операторов 618
самосопряженного операто¬
ра 610
унитарного оператора 614
Интегральное уравнение Фред¬
гольма второго рода 540
первого рода 717
Инъекция 27
Каноническая форма нормально¬
го оператора 592
самосопряженного операто¬
ра 590
унитарного оператора 592
Канторова лестница 206
Класс множеств, измеримых по
Лебегу 107
монотонный 75
порожденный данным
классом множеств 75
— открытых множеств 240
— смежности 53
Кольцо 74
Коммутативность 48
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
735
Компакт 264
Конечные элементы 713
Координатная система 704
Кратность собственного значе¬
ния 550
Лебегово пространство 208
Лемма Фату 190
— Цорна 34
Линейная комбинация операто¬
ров 315
— система 384
Мажоранта 32
Математическое ожидание слу¬
чайной величины 333
Матрица Грама 58
Мера 83
— //-непрерывная 198
— /i-сингулярная 198
— абсолютно непрерывная по от¬
ношению к мере {Л 198
— Винера 120, 122, 123, 126, 232
модифицированная 233
— внешняя 102
— Жордана 121, 175
— индуцированная функцией 136
— Лебега 85
— Лебега-Стилтьеса 85
— операторная 572
— полная 113
— Радона 380
— регулярная 372
— сингулярная по отношению к
мере Ц 198
Меры ортогональные 199
— эквивалентные 199
Метод итераций 435, 677
— конечных элементов 713
Метод неопределенных множите¬
лей Лагранжа 650
— Ньютона 679
модифицированный 683
— последовательных приближе¬
ний 435, 677
— регуляризации 718
— сжимающих отображений 423
Метрика 37
— евклидова 37
— неевклидова 38
Миноранта 32
Множества, измеримые по Жор¬
дану 175
— отделенные 244
Множество 21
— векторов линейно независи¬
мое 51
— вполне ограниченное 272
упорядоченное 32
— выпуклое 282
— замкнутое 40, 241
— измеримое 69
по Жордану 121
по Каратеодори 107
по Лебегу 107
— компактное 264
— корректности 716
— линейно упорядоченное 31
— линейных функционалов, раз¬
деляющее точки пространст¬
ва 297
— несчетное 21
— ограниченное 272, 292
— открытое 40
— относительно компактное 270
счетно компактное 270
— плотное 42
в множестве 254
в пространстве 254
736
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Множество предкомпактное 270
— пустое 21
— резольвентное 445
— связное 244
— секвенциально компактное 265
— слабо компактное 307
секвенциально компакт¬
ное 307
счетно компактное 307
— совершенно упорядоченное 31
— счетно компактное 264
предкомпактное 270
— счетное 21
— упорядоченное 31
— частично упорядоченное 31
Модель Пуанкаре плоскости Ло¬
бачевского 38
Невязка 703
Необходимое условие экстрему¬
ма 642
Неподвижная точка отображе¬
ния 432
Неравенство Бесселя 495
— Гельдера 209
— Коши — Буняковского 59
— Минковского 211
— треугольника 37, 55
— Чебь шева 162
Норма абсолютная 531
— вектора 55
— непрерывной функции 300
— порожденная скалярным произ¬
ведением 60
— Шмидта 531
Носитель обобщенной функ¬
ции 349
Область значений функции 26
— определения функции 26
Оболочка линейная множества
векторов 52
Образ класса множеств 28
Образ множества 28
— точки 28
Объединение множеств 22
— совокупности множеств 22
Окрестность множества 242
— точки 41, 242
шаровая 39
Оператор 27
— 71-линейный 637
— 72-мерный 543
— .билинейный 623
— вполне непрерывный 519
— Гаммерштейна 432, 728
— Гильберта — Шмидта 534, 538
— гильбертов сопряженный 463
— единичный 316
— замкнутый 393
— идемпотентный 485
— изометрический 411
— компактный 519
— конечномерный 543
— линейный 54
— нормальный 530
— обратный 316
— отрицательный 410
— параллельного соединения ав¬
томатических систем с усили¬
телями 317
— положительно определен¬
ный 410
— положительный 410
— проектирования 484, 491
на подпространство 484
— равномерно регуляризирую-
щий на множестве 719
— расширяющий 434
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
737
Оператор регуляризирующий
в окрестности точки 718
на множестве 719
— самосопряженный 477
— сжимающий 432
— симметричный 477
— со следом 538
— сопряженный 398
— степенной П-й степени 640
— трилинейный 637
— унитарный 412
— Фурье 470
— Фурье — Планшереля 467, 471
— ядерный 538
Операторное уравнение второго
рода 551
первого рода 551, 716
Операторные полиномы 597
— уравнения 423, 676
Операторы коммутативные 316
— перестановочные 316
— унитарно эквивалентные 413
— эволюционные 658
Ортогональное проектирова¬
ние 484
Ортогональность векторов прост¬
ранства и сопряженного прост¬
ранства 511
Ортопроектор на G 484
Остаточный член 635
Открытое ядро множества 243
Отношение 30
— бинарное 30
— порядка 31
Отображение 26, 27
— биективное 27
— инъективное 27
— обратное 28
— сюръективное 27
Отображения сжимающие 432
Отрезок упорядоченного мно¬
жества, определяемый элемен¬
том 32
Параметр регуляризации 719
Первообразная обобщенной функ¬
ции 357
Пересечение множеств 23
— совокупности множеств 23
Подмножество 22
Подпространства замкнутые 456
— ортогональные 456
Подпространство 22, 51, 78
— образованное множеством век¬
торов 52
— собственное 51
— топологического пространс¬
тва 242
Покрытие множества 264
открытое 264
— пространства 264
открытое 264
Поле скаляров 49
Полиномы Jlareppa 502
— Лежандра 499
— Эрмита 502
векторного аргумента 513
Полу аддитивность меры 91
Полуалгебра 67
Полукольцо 74
Полунорма 284
Пополнение метрического прост¬
ранства 43
Последовательность биортого-
нальн&я 508, 511
— биортонормальная 508, 511
— векторов ортогональная 493
ортонормальная 493
полная 496, 511
— минимизирующая 701
738
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Последовательность множеств
возрастающая 74
убывающая 74
— монотонная 74
— операторов сходящаяся 695
— определяющая функцию 155
— полная 511
— слабо сходящаяся 307
фундаментальная 307
— стационарная 44
— сходящаяся 41, 695
в точке 257
— фундаментальная 41, 292
— функций сходящаяся в р-сред¬
нем 211
в среднем степени р 211
по мере 139
почти всюду 133
на множестве 133
почти равномерно 145
фундаментальная по мере 139
в р-среднем 211
в среднем степени р 211
почти всюду 133
на множестве 133
Почти всюду 133
на множестве А 133
Предбаза топологии 245
Предел возрастающей последова¬
тельности множеств 74
— последовательности 41
— убывающей последовательнос¬
ти множеств 75
Преднорма 284
Преобразование Кэли 604
— Фурье 361
обратное 361
Приближенные методы 676
Принцип двойственности 24
Принцип равномерной ограничен¬
ности 417
—. сжимающих отображений 423
Продолжение линейного функцио¬
нала 283
— меры по Жордану 121
по Лебегу 122
Продолжения функционала согла¬
сованные 286
Проектор 484, 491
Проекционная система 704
Проекция вектора на подпрост¬
ранство 484
— точки на подпространство 78
на пространство X 77
У 77
Произведение <Г-алгебр 77, 79
— двух измеримых прост¬
ранств 77
топологических пространств
тихоновское 247
— измеримых пространств 79
— мер 227, 228
— множеств 37
декартово 37
прямое 37
— множества на число 282
— обобщенной функции на основ¬
ную функцию 356
— оператора на оператор 315
на функционал 316
на число 315
— производной j-функции на об¬
общенную функцию 363
— пространств декартово 77
прямое 77
— (прямое произведение) прост¬
ранств 78
— скалярное 56
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
739
Произведение топологических
пространств тихоновское 247
Производная второго порядка 633
— Гато 630
— обобщенной функции 352
— обобщенная в смысле Соболе¬
ва 218
— порядка р 633
— Радона-Никодима 204
— сильная 624
— слабая 630
— Фреше 624
Прообраз класса множеств 28
— множества 28
— точки 28
Пространства, сопряженные с ле¬
беговыми пространствами 387
с пространствами дифферен¬
циальных функций 381
Пространство 21
— Ъа(Т) 371, 372
— В(Т) 63
— В*(Т), сопряженное с В(Т) 372
-С([в,Ч)8в
— Сг([«, 6]) 38
— С(Т) 62
— Сп(Т) 64
, сопряженное с прост¬
ранством ограниченных непре¬
рывных функций С(Т) 379
— П-мерное 21, 50
— rba(T) 379
— гса(Т) 380
— банахово 56
— бесконечномерное 20, 51
— векторное 48
— вероятностное 332
— гильбертово 61
скалярных функций 215
— двумерное 21
Пространство евклидово 61
— измеримое 69
— компактное 264
— конечномерное 50
— конечных аддитивных мер 371
— линейное 48
действительное 49
комплексное 49
— линейное над полем действи¬
тельных чисел 49
комплексных чисел 49
скаляров 49
нормированное 55
— метрическое 37
полное 41
— непрерывных функций 22
— нормальное 252
— обобщенных функций 344, 346
— одномерное 21
— основных функций 340
— полурефлексивное 322
— регулярное 251
— регулярных конечных аддитив¬
ных мер 379
мер 380
— рефлексивное 321, 322
— с мерой 83
полное 113
— связное 244
— секвенциально компактное 265
— сепарабельное 43, 254
— слабо полное 307
—' Соболева 218
— сопряженное 320
второе 320
с пространством дифферен¬
цируемых функций 381
с лебеговым пространст¬
вом 387
740
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Пространство сопряженное с про¬
странством непрерывных функ¬
ций 369
— счет» о компактное 264
нормированное 293
— топологическое измеримое 262
линейное 291
локально выпуклое 293
отделимое 291
полное 292
локально компактное 270
— трехмерное 21
— функциональное 20
— хаусдорфово 251
Пространство элементарных со*
бытий 332
Прямоугольник 77, 79
— измеримый 77
Равенство Парсеваля 496
Радиус-вектор точки 48
Разложение единицы 571
— Жордана 93
— Хана 96
Размерность пространства 50
Разность множеств 23
— ортогональная подпрост¬
ранств 456
Распределение 344
Расстояние между фундаменталь¬
ными последовательностями 44
— точйи от подпространства 456
Резольвента оператора 445
Решение дифференциального
уравнения 427
— опере.торного уравнения 676
— уравнения тривиальное 443
Ряд Вольтерры 639
— Тейлора 637
— Фурье обобщенный 355
Ряды обобщенных функций 354
Сглаживающий функционал 724
Семейство норм невырожден¬
ное 695
Сепаранта 125
Сечение множества 77
в точке 79
— функции 135, 136
Сигналы входные 384
— выходные 384
Симметричная разность мно¬
жеств 23
Симметрия 37
Система множеств центрирован¬
ная 265
— полная минимальная 516
— сопряженная с данной линей¬
ной системой 401
— функционалов сопряженная 517
Системы линейные 384
Слабый предел 307
След оператора 538
Собственное значение крат¬
ное 529, 550
простое 529, 550
— подпространство оператора 444
Собственные векторы операто¬
ра 443
— значения оператора 443
Спектр непрерывный 445
— оператора 445
— остаточный 445
— точечный 445
Спектральная мера нормального
оператора 622
самосопряженного операто¬
ра 572, 608
унитарного оператора 614
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
741
Спектральная функция самосо¬
пряженного оператора 608
— унитарного оператора 615
Спектральное разложение нор¬
мального оператора 620
однопараметрической груп¬
пы унитарных операторов 618
самосопряженного операто¬
ра 610
унитарного оператора 614
Сплайн р-й степени дефек¬
та q 648
Сплайн-функции 648
Стабилизирующий функцио¬
нал 724
Степень оператора 432
Сумма вектора и множества 282
— множеств 282
— операторов 315
— ортогональная ортогональных
подпространств 456
Суммы Дарбу 176
Сфера 39
Сюръекция 27
Теорема Банаха — Штейнгау-
за 413
— Лебега о предельном пере¬
ходе под знаком интегра¬
ла 191, 192
— о мажорируемой последова¬
тельности 191
— о монотонной сходимос¬
ти 185, 186
— Радона-Никодима 204
— Рисса о непрерывном линейном
функционале в 7/-пространст-
ве 458
— Тихонова 717
— Фубини 224
Теорема Хана — Банаха 284, 301
— Хаусдорфа 34
— Цермело 33
Теория вероятностей 332
— управления 384
Тождество параллелограмма 62
Топологическое пространство 20
Топология 240
— *-с лабая 321
— дискретная 241
— индуцированная в Y топологи¬
ей Г 242
— порожденная классом мно¬
жеств 241
предбазой 246
— равномерная 325
Топология сильная 307, 325
— слабая 307, 321, 325
Точка максимума функциона¬
ла 642
— минимума функционала 642
— множества внутренняя 242
граничная 40
предельная 242
— прикосновения множества 242
— условного максимума 649
минимума 649
— экстремума функционала 642
Точки пространств 22
— спектра 445
Уравнение волновое 429, 673
— интегральное в .В-пространст-
ве 431
— интегро-дифференциальное 429
— линейное дифференциальное в
^-пространстве 428, 655
интегральное Вольтер-
ры 431, 439
Фредгольма 431, 441
742
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Уравнение линейное интег¬
ральное Фредгольма второго
рода 540
первого рода 717
— нелинейное интегральное Гам-
мерштейна 431
— сопряженное 660
— теплопроводности 428, 662
нелинейное 669
— Эйлера 644
Уравнения дифференциальные в
5-пространстве 426, 655
— операторные 423
первого рода 716
Условие Коши 41
— Липшица 439
— устойчивости приближений 696
Фактор -пространство простран¬
ства X по подпространству
L 53
Формула Гильберта 447
— конечных приращений 628
— Мерсера 553
— Тейлора 635
Функции /i-измеримые 134
— борелевские 137
— измеримые относительно меры
/i 134
— конечномерные векторные 19
— Лагерра 502
— от самосопряженного операто¬
ра 605
унитарного оператора 599
— равностепенно непрерывные 47
— Радемахера 504
— скалярные 19
— Уолша 503
—г Хаара 506
— эквивалентные 135
Функции Эрмита 501
векторного аргумента 513
Функционал 20, 27
— выпуклый 284
— линейный 54
Функционалы, полунепрерывные
снизу 414
Функциональная производная 627
Функция 25, 46
— (Ау В)-измеримая 127
— /i-интегрируемая на множест¬
ве 157
— (7-аддитивная 83
— абсолютно непрерывная 206
— аддитивная 82
(Т-конечная 84
конечная 83
— антилинейная 55
— весовая линейной систе¬
мы 316,385
— дифференцируемая по Гато 630
по Фреше 624
— измеримая 127
/i-интегрируемая 155
относительно (Т-алгебр А и
В 127
— конечно аддитивная 82
— конечнозначная 130
— линейная 53
ограниченная 299
— локально интегрируемая 345
— множества 67, 86
непрерывная 86
сверху 86
снизу 86
— непрерывная 46, 259
в точке 46, 259
на множестве 46
— обобщенная 344
регулярная 348
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
743
Функция обобщенная сингу¬
лярная 348
— ограниченной вариации 100
— простая 131, 151
/i-интегрируемая 152
— равномерно непрерывная 46
— сепарабельная 125
— сильно дифференцируемая 624
на множестве 624
— слабо дифференцируемая 630
— слабо измеримая 308
/i-интегрируемая 326
непрерывная 307
— случайная 332
— сопряженно линейная 55
— счетно аддитивная 83
— счетнозначная 130
— элементарная 131
Цепь 32
Цепь максимальная 34
Цилиндр 79
Числовая прямая расширен¬
ная 173
Шар замкнутый 39
— открытый 39
Элемент множества 21
максимальный 32
минимальный 32
Элемент противоположный 49
Элементы несравнимые 31
— пространств 22
— сравнимые 31
Ядро интегрального операто¬
ра 439
— функционала 288
Учебное издание
Пугачев Владимир Семенович
ЛЕКЦИИ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ
Редактор Е.Л.Мочина
Технический редактор Е.А.Смирнова
Оригинал-макет изготовили
И.В.Макаренкова u Е.Н.Федотова
ИБ №168
Лицензия JIP №040211 от 15.01.92
Подписано в печать 21.06.96. Формат 60x84 1/16.
Печать офсетная. Бумага офсетная.
Гарнитура Computer Modem. Уел. печ. л. 43,25.
Уч.-изд. л. 40,76. Тираж 5000 ©кз.
Заказ 2163. С. 76.
Издательство МАИ, 125871, Москва, Волоколамское шоссе, 4
Типография Издательства МАИ, 125871, Москва, Волоколамское шоссе, 4