Автор: Емельянов В.М. Тимошенко С.Л. Стриханов М.Н.
Теги: ядерная, атомная и молекулярная физика физика ядерная физика
ISBN: 5-9221-0518-3
Год: 2004
Текст
УДК 539.1
ББК 22.38
Е60
Емельянов В. М., Тимошенко С. Л., Стриханов М. Н.
Введение в релятивистскую ядерную физику. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2004. - 184 с. - ISBN 5-9221-0518-3.
Обсуждаются феноменологические модели ядерного вещества при высо-
высоких плотностях энергии и температурах. Представлен обзор моделей, опи-
описывающих пространственно-временную эволюцию ядерного вещества, при-
приведены оценки начальных плотностей энергии в столкновениях релятивист-
релятивистских тяжелых ионов. Обсуждаются эксперименты по измерению сигналов
формирования кварк-глюонной плазмы в столкновениях тяжелых ионов.
Описан метод корреляции тождественных частиц, позволяющий определить
размер области испускания частиц и его временную эволюцию. Содержатся
основные сведения по пособытийному анализу столкновений тяжелых ионов.
Рассмотрены основные идеи ультрапериферической ядерной физики. Содер-
Содержится краткий обзор экспериментальных данных RHIC и их анализ.
Первые пять глав книги основаны на курсе лекций, прочитанных одним
из авторов для студентов пятого курса факультете ЭТФ МИФИ. Их содер-
содержание соответствует программе курса «Введение в релятивистскую ядерную
физику».
Для специалистов-ядерщиков, а также студентов старших курсов и ас-
аспирантов, обучающихся по специальностям <«Физика элементарных ча-
частиц» >, <«Экспериментальные методы ядерной физики»> и «<Микро- и
космофизика» >.
© ФИЗМАТЛИТ, 2004
© В. М. Емельянов, С. Л. Тимошенко,
ISBN 5-9221-0518-3 М. Н. Стриханов, 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Введение 7
Глава 1. Феноменологические модели свойств ядерного вещества
при высоких плотностях энергии 14
1.1. Две проблемы квантовой хромодинамики 14
1.2. Двухфазная модель ядерного вещества 15
1.3. Дебаевское экранирование в кварк-глюонной системе 17
1.4. Непертурбативные методы в КХД 19
1.5. Решёточные калибровочные теории (РКТ) 21
Глава 2. Сжатая и нагретая адронная материя в столкновениях
релятивистских тяжёлых ионов 27
2.1. Модель многократных столкновений Глаубера 27
2.2. Пространственно-временная картина адрон-адронных и ядро-ядер-
ядро-ядерных взаимодействий 30
2.3. Предравновесные процессы и термализация партонов 36
2.4. Гидродинамическая модель расширения ядерной материи 43
2.5. Спектры вторичных частиц, кинетическое и химическое выморажи-
вымораживание 47
2.6. Начальная плотность энергии термализованной ядерной материи. . 51
2.7. Начальная плотность энтропии 53
2.8. Статистическая модель рождения частиц в столкновениях тяжёлых
ионов 55
Глава 3. Корреляции между поперечной энергией и прицельным
параметром в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов . . 58
3.1. «Жёсткая» и «мягкая» компоненты поперечной энергии 58
3.2. Определение прицельного параметра столкновения ядер в экспери-
экспериментах на RHIC 60
Оглавление
Глава 4. Экспериментальные сигналы образования нагретой и
сжатой ядерной материи в столкновениях релятивистских тяжё-
тяжёлых ионов 63
4.1. Экспериментальные сигналы, чувствительные к природе фазового
перехода 63
4.2. Испускание дилептонов в столкновениях релятивистских ядер ... 67
4.3. Интегрирование по пространственно-временному расширению. ... 70
4.4. Свойства дилептонов, рождённых в кварк-глюонной плазме и ад-
ронном газе 72
4.5. Отношение дилептонного и пионного спектров 75
4.6. Неопределённости в сигналах адронного газа и кварк-глюонной
плазмы 75
4.7. Плавление резонансов в термализованной ядерной материи 11
4.8. Испускание фотонов 82
4.9. Сжатие струй (jet quenching) в столкновениях релятивистских тя-
тяжёлых ионов 86
4.10. Коллективное расширение ядерной материи в столкновениях реля-
релятивистских ядер 97
4.11. Рождение странных частиц в КГП и адронной плазме 105
Глава 5. Адронная и фотонная интерферометрия 114
5.1. Метод НВТ интенсивной интерферометрии 114
5.2. Корреляции частиц из пространственно-временных распределений 115
5.3. НВТ в центральных азимутально-симметричных столкновениях ре-
релятивистских ядер 120
5.4. Интерпретация пространственно-временных характеристик 121
5.5. Модельные параметризации функции источника 122
5.6. Фотонная интерферометрия 124
Глава 6. Флуктуации физических величин в столкновениях реля-
релятивистских тяжёлых ионов 126
6.1. Флуктуации плотности, быстроты и температуры 126
6.2. Флуктуации множественности 128
6.3. Рождение заряженных частиц в рр- и рр-взаимодействиях 128
6.4. Флуктуации в модели участников 129
6.5. Флуктуации в температурной модели 131
6.6. Зависимость от центральности и степень термализации 132
6.7. Усиление флуктуации при фазовом переходе 1-го рода 133
6.8. Зарядовые флуктуации и корреляции 134
6.9. Зарядовые флуктуации в термализованном адронном газе 135
6.10. Зарядовые флуктуации в кварк-глюонной плазме 136
6.11. Флуктуации поперечного импульса 137
6.12. Определение критической точки КХД при пособытийном анализе 138
Оглавление
Глава 7. Разупорядоченный киральный конденсат 140
7.1. Классические пионные поля и разупорядоченный киральный кон-
конденсат 140
7.2. Динамический сценарий образования DCC 141
7.3. События без образования DCC 143
7.4. События с образованием DCC 143
Глава 8. Перемежаемость и фрактальность 146
8.1. Простейшая модель перемежаемого поведения 146
8.2. Перемежаемость и фрактальность в распределениях по множе-
множественности в столкновениях релятивистских ядер 148
Глава 9. Ультрапериферические ядро-ядерные столкновения .... 151
9.1. Ядерные возбуждения и некогерентные фотоядерные взаимодей-
взаимодействия 152
9.2. Двухфотонные взаимодействия 153
9.3. Гамма-померонные взаимодействия 154
9.4. Померон-померонные взаимодействия 157
9.5. Интерференционные эффекты в когерентных ядро-ядерных взаимо-
взаимодействиях 157
Глава 10. Обзор экспериментальных данных RHIC 159
10.1. Множественность 159
10.2. Зависимость множественности от центральности соударения 161
10.3. Распределения множественности по быстротам (псевдобыстротам) 163
10.4. Азимутальные распределения 164
10.5. Выход адронов 165
10.6. Подавление выхода частиц с большими поперечными импульсами 165
10.7. В/тт загадка 167
10.8. Ультрапериферические столкновения тяжёлых ионов 168
10.9. НВТ корреляции на RHIC 171
Приложение. Основы квантовой хромодинамики 173
Список литературы 180
Предисловие
Релятивистская ядерная физика — новое и стремительно разви-
развивающееся направление физики высоких энергий. За последнее деся-
десятилетие на ускорителях SPS (ЦЕРН) и RHIC (Брукхэйвен, США)
получено большое число новых экспериментальных данных по столк-
столкновениям релятивистских тяжёлых ионов. Эти данные позволяют осу-
осуществить проверки как теории возмущений квантовой хромодинамики,
так и предсказанного в этой теории фазового перехода адроны-кварк-
глюонная плазма. Новое состояние ядерного вещества — кварк-глю-
онная плазма, как ожидается, способна формироваться при высоких
плотностях энергии в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов.
Фазовый переход адроны — кварк-глюонная плазма заведомо суще-
существовал в ранней Вселенной, поэтому столкновения релятивистских
ядер, по-видимому, можно рассматривать как модель процессов, проис-
происходивших при эволюции Вселенной.
В книге рассмотрена пространственно-временная картина столкно-
столкновений релятивистских ядер, проблемы термализации ядерного веще-
вещества и сигналов формирования кварк-глюонной и адронной плазмы.
Сигналами формирования термализованного ядерного вещества явля-
являются, в частности, дилептоны, фотоны, частицы, содержащие тяжёлые
кварки, а также струи. Среди методов диагностики кварк-глюонной
плазмы следует отметить адронную и фотонную интерферометрию
и пособытийный анализ флуктуации физических величин, рассмотрен-
рассмотренные в предлагаемой книге. Весьма интересным направлением реляти-
релятивистской ядерной физики представляются ультрапериферические ядро-
ядерные столкновения, связанные с когерентными фотонными и поме-
ронными взаимодействиями. Значительное внимание в книге уделено
анализу экспериментальных данных с RHIC.
Первые пять глав книги основаны на курсе лекций, прочитанных
одним из авторов для студентов пятого курса факультета ЭТФ МИФИ.
Их содержание соответствует программе курса «Введение в реляти-
релятивистскую ядерную физику». Остальные главы выходят за рамки этого
курса, их можно рекомендовать (как и содержащиеся в них ссылки)
для углублённого изучения релятивистской ядерной физики.
Введение
В развитии квантовой хромодинамики как теории сильных взаи-
взаимодействий за последние двадцать лет можно выделить два этапа.
Первый из них связан с изучением жёстких процессов. Как хоро-
хорошо известно, константа связи сильных взаимодействий уменьшается
с ростом квадрата переданного 4-импульса Q2 . Для \Q2\ > Л^хд
(Лкхд « 200 МэВ) константа связи as <C 1, и процессы взаимодействия
кварков, антикварков и глюонов могут быть описаны в рамках теории
возмущений КХД. Такие вычисления начались ещё в 70-е годы, ведут-
ведутся они и в настоящее время. Следует подчеркнуть, что эти вычисления
предсказали существование адронных струй с большими поперечными
импульсами, вскоре обнаруженных экспериментально.
Однако теория возмущений КХД не описывает процессы с малыми
(\Q2\ ^ Л^хд) переданными импульсами. Именно эти, мягкие, процес-
процессы представляют основную трудность описания имеющихся данных
в квантовой хромодинамике. Дело в том, что наблюдаемыми частицами
являются не кварки и глюоны КХД, а адроны, образующиеся при
мягкой адронизации кварков и глюонов. В этом отношении КХД каче-
качественно отличается от квантовой электродинамики, где наблюдаемые —
электроны, позитроны и фотоны.
Уже в 80-х годах XX века стало ясно, что пертурбативная КХД
не охватывает всех явлений, которые происходят при столкновениях
адронов и атомных ядер. Такие важнейшие свойства сильных взаи-
взаимодействий как конфайнмент цветовых зарядов, нарушение киральной
инвариантности и, наконец, иерархия масс сильновзаимодействующих
частиц не могут быть описаны в пертурбативном секторе КХД. Как
оказалось, непертурбативные флуктуации кварковых и глюонных по-
полей играют определяющую роль на больших (^1 фм) расстояниях
в КХД. Как описывать эти непертурбативные флуктуации? Следует
отметить, что эта проблема была новой для физики элементарных
частиц в 70-х годах. Однако она была отнюдь не новой для физики
вообще: в физике твёрдого тела, статистической физике, в оптике уже
были развиты методы описания ансамблей сильновзаимодействующих
частиц. Поэтому вполне естественно, что уже в 80-х годах эти мето-
методы были использованы в физике элементарных частиц, в квантовой
хромодинамике. Так в КХД появились решёточные вычисления, метод
правил сумм, квазиклассические (инстантонные) методы.
Ниже будут кратко обсуждены достижения этих подходов. Здесь
же следует подчеркнуть, что эти (статистико-термодинамические) ме-
методы показали, что истинный КХД вакуум значительно отличается от
Введение
вакуума пертурбативной КХД. Но если это так, то возникает вопрос:
как изменяются свойства КХД вакуума с ростом as(Q2) и к каким
наблюдаемым эффектам это изменение может привести? В этой книге
будут сделаны попытки ответить на этот вопрос. К сожалению окон-
окончательного ответа, как обычно в физике, не существует. Для решения
сложной задачи, какой, несомненно, является проблема «больших»
и «малых» расстояний в КХД, постановку задачи следует упростить.
Одно из возможных упрощений — рассмотрение макроскопической
системы кварков и глюонов, описываемой законами статистической
физики и термодинамики. Такой подход подразумевает установление
локального или глобального равновесия в системе сильновзаимодей-
ствующих кварков и глюонов. A priori далеко не очевидно, что эта
гипотеза оправдана в адронных взаимодействиях. Поэтому её следует
рассматривать как гипотезу, требующую экспериментальной проверки.
Одна из важных задач физики высоких энергий — поиск сигналов
установления равновесия при взаимодействии частиц и ядер.
Если локальное термодинамическое равновесие в системе кварков,
антикварков и глюонов действительно устанавливается, то при темпе-
температурах Т ^> Лкхд характерные переданные импульсы Q2 ~ Т2 ^> Л^хд
и «бегущая константа» связи as « 1/ln (Q2/A^XA) <C 1. Тогда кварки
и глюоны образуют газ частиц, распространяющихся на расстояния,
большие 1 фм. Такое состояние кварков, антикварков и глюонов было
названо Э. Шуряком кварк-глюонной плазмой (КГП). Это так назы-
называемая «горячая» КГП. КХД имеет, как мы увидим ниже, и другой,
«холодный» плазменный предел при высоких барионных плотностях.
Концепция нагретой адронной материи обсуждалась в пионерских
работах Э. Ферми, И. Померанчука, Л. Ландау и Е. Фейнберга [1],
в которых статистические и гидродинамические методы применены
к ансамблю сильновзаимодействующих частиц — адронов. Возмож-
Возможность фазового перехода предсказана в работе А. Сахарова [2]. Подоб-
Подобные идеи статистического описания используются и сегодня, только
вместо адронов рассматривается следующий уровень строения веще-
вещества — кварки, антикварки и глюоны КХД. Качественное описание
фазового перехода в КХД содержится в работе А. Полякова [3], позд-
позднее подтверждённое расчётами на пространственно-временных решёт-
решётках [4]. Температура фазового перехода Тс адроны — кварк-глюонная
плазма, по решёточным оценкам, составляет около 200 МэВ. Как мы
увидим ниже, ожидаемые температуры ядерного вещества Т ~ Тс ~
~ Акхд относятся к инфракрасной области КХД («большим» рассто-
расстояниям), поэтому модели микроскопического описания КХД являются
феноменологическими. Далеко не всегда удаётся проследить их связь
с основными положениями КХД (содержащимися в лагранжиане), од-
однако эти модели успешно описывают отдельные предсказания теории.
Некоторые из этих моделей рассмотрены в первой главе.
Интерес к квантовой хромодинамике при конечных температурах
и плотностях связан также с космологическими и астрофизическими
Введение
проблемами. Согласно современным представлениям об эволюции ве-
вещества после Большого Взрыва, фазовый переход кварки (глюоны) —>
адроны ядерное вещество испытывало в первые микросекунды. Кроме
того «холодное» плазменное состояние, возможно, существует в недрах
нейтронных звёзд.
Замечательная возможность воспроизвести поведение ядерного ве-
вещества после Большого Взрыва в лабораторных условиях появилась за
последние 10 лет в связи с экспериментальными возможностями созда-
создания сильно сжатой адронной материи в столкновениях релятивистских
тяжёлых ионов. В табл. 1 приведены имеющиеся и планируемые уско-
ускорители тяжёлых ионов, их энергии и время работы.
Таблица 1
Период
времени
1986-1993
1993-1998
2000-2007
Ускоритель
BNL-AGS
CERN-SPS
AGS-booster
SPS-Pb booster
RHIC
LHC
Ядра
до 28Si
ЯО32Б
все А
все А
Аи
Pb
Энергия в с.ц.м.,
ГэВ/нуклон
5
20
4 (Pb)
17 (Pb)
200
6300
Как видно из этой таблицы, релятивистская ядерная физика —
сравнительно молодая наука, однако уже за этот небольшой (меньше
20 лет) срок накоплен значительный экспериментальный и теоретиче-
теоретический материал, который позволяет говорить о релятивистской ядерной
физике как о самостоятельном направлении в физике высоких энергий.
Термин «релятивистская ядерная физика» был впервые введён акаде-
академиком А. М. Балдиным для описания столкновения ядер с энергиями
в несколько ГэВ на нуклон [5, 6].
В настоящей книге мы ограничимся рассмотрением столкновений
ядер с энергиями, как правило, в несколько сотен и тысяч ГэВ на
нуклон, имея в виду энергии имеющихся и строящихся ионных коллай-
деров. Задачей этой книги является попытка систематизировать име-
имеющиеся представления о взаимодействиях ядер при высоких энергиях,
ознакомить читателя с основными теоретическими и эксперименталь-
экспериментальными методами анализа данных с ускорителей и, возможно, привлечь
его интерес к этой области ядерной физики.
Ядро-ядерные взаимодействия предоставляют уникальную возмож-
возможность исследования ядерного вещества в экстремальных (сильно на-
нагретых и сжатых) состояниях. В этих состояниях, как будет видно
ниже, ядерное вещество кардинально меняет свои свойства по срав-
сравнению с обычным ядерным веществом: изменяются характеристики
адронов, возникают коллективные взаимодействия, проявляется кварк-
глюонная структура адронов и т. д. Поэтому релятивистская ядер-
10 Введение
ная физика является лабораторией для проверки современной теории
сильных взаимодействий — квантовой хромодинамики. Особенно важ-
важно, что, в отличие от адрон-адронных взаимодействий, ядро-ядерные
взаимодействия позволяют исследовать КХД на значительно больших
пространственно-временных масштабах и плотностях энергии. Следует
ожидать, что статистико-термодинамическое описание ансамблей силь-
новзаимодействующих частиц, о котором говорилось выше, может быть
применимо к описанию ядро-ядерных взаимодействий. Интересно от-
отметить, что такие сложные события, как столкновения релятивистских
тяжёлых ионов при использовании статистических и термодинамиче-
термодинамических методов могут описываться гораздо проще, чем нуклон-нуклонные
взаимодействия. Однако далеко не очевидно, что предсказанный в КХД
фазовый переход действительно может быть реализован в столкновени-
столкновениях релятивистских ядер. Устанавливается ли локальное термодинами-
термодинамическое равновесие в столкновениях тяжёлых ионов и применим ли во-
вообще статистико-термодинамических подход к этим взаимодействиям?
Положительный ответ на этот вопрос зависит от соотношения между
характеристическим временем т^ установления локального термоди-
термодинамического равновесия и характерным временем реакции треак- Обе
величины, Ti и Треак, определяются динамикой взаимодействия ядер
и должны вычисляться, исходя из «первых принципов» теории сильных
взаимодействий. Однако, как уже отмечалось выше, КХД в инфракрас-
инфракрасной области не даёт устойчивых предсказаний для наблюдаемых вели-
величин, в том числе и для времён п и треак- Таким образом, в настоящее
время теоретически невозможно доказать наличие термодинамического
равновесия в столкновениях релятивистских ядер, и применимость
статистико-термодинамического описания следует рассматривать как
гипотезу, допускающую экспериментальную проверку. Эксперименты
на RHIC и LHC должны дать ответ на вопрос о границах термоди-
термодинамического описания. Если в этих экспериментах можно получить
высокие начальные температуры или начальные плотности энергии, то
возможно формирование нового состояния адронной материи-кварк-
глюонной плазмы. Если же Ti < Тс или е^ < гс (Тс и гс — критические
температуры и плотности энергии), то возможно образование адронной
плазмы, изучение свойств которой, пожалуй, столь же интересно, как
и КГП. Очень важный и интересный вопрос: при каких энергиях и мас-
массах ядер столкновение можно описывать на языке адронных степеней
свободы и когда такое описание становится неадекватным и нужно
привлекать кварк-глюонные степени свободы?
Очевидно, что максимальная начальная плотность энергии реализу-
реализуется при центральных столкновениях ядер, когда величина прицельно-
прицельного параметра много меньше радиуса сталкивающихся ядер (для золота
и свинца R « 6 -!- 7 фм). Так как центральные столкновения ядер
являются достаточно редкими событиями, подавляющее большинство
взаимодействий — периферические с прицельным параметром Ъ > 1 фм.
Среди периферических взаимодействий особое место занимают уль-
Введение 11
трапериферические с прицельным параметром Ь > 2R (R — радиус
сталкивающихся ядер), т.е. такие взаимодействия, при которых ядра
практически не перекрываются. При таких прицельных параметрах
сильные взаимодействия уже не являются доминирующими, поскольку
ядерная плотность уже достаточно мала. Конкуренцию сильным вза-
взаимодействиям в данном случае могут составить когерентные фотон-
фотонные, фотон-померонные и померон-померонные взаимодействия
ядер. Это новое и перспективное направление в релятивистской ядер-
ядерной физике за последние два года получило развитие в эксперименте
STAR на RHIC и будет обсуждаться нами в настоящей книге.
Если кварк-глюонная или адронная плазма формируются в процес-
процессах столкновений релятивистских ядер, то каковы экспериментальные
сигналы этих состояний? К сожалению, до сих пор не найден такой
экспериментальный сигнал, который однозначно бы свидетельствовал
в пользу образования КГП или адронной плазмы. Одна из основных
трудностей состоит в том, что при статистико-термодинамическом опи-
описании ансамбля частиц, участвующих во взаимодействии, вводятся
температура, давление, энтропия и другие переменные, однако экспе-
экспериментально измеряются обычно импульсные спектры вторичных ча-
частиц. И далеко не всегда удаётся установить однозначное соответствие
между этими наборами переменных. В частности проявление фазово-
фазового перехода в системе взаимодействующих частиц (адронов, кварков
и глюонов) в спектрах вторичных частиц далеко не очевидно. Другая
трудность состоит в том, что фоны от распадов частиц, как правило,
сопоставимы с сигналами нагретой ядерной материи.
Среди кандидатов на сигналы нагретой ядерной материи, обра-
образующейся в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов, следует
отметить:
1. немонотонности в импульсном распределении вторичных частиц,
отражающие свойства фазового перехода адроны — кварк-глюонная
плазма [7];
2. отношение выходов странных частиц к нестранным (К/тг), различ-
различное для адронизации адронного газа и КГП [8];
3. образование дроплетов странной материи, барионных состояний с
малым отношением заряда к массе [9].
Все эти сигналы, называемые адронными пробами, имеют очевид-
очевидный недостаток — мягкие процессы адронизации могут существенно
исказить информацию о начальном состоянии ядерной системы. Обыч-
Обычно адронные пробы несут информацию о свойствах системы вблизи её
развала на невзаимодействующие частицы. Для анализа состояния си-
системы вблизи развала применяется метод адронной интерферометрии,
рассматриваемый в книге. Различные сценарии адронизации приводят
к интересным флуктуациям множественностей вторичных частиц (пе-
(перемежаемость, фрактальность), эти флуктуации, как ожидается, могут
отражать динамику взаимодействия адронов.
12 Введение
Жёсткие пробы — лептоны и фотоны — имеют малое (по сравнению
с адронными пробами) сечение взаимодействия с ядерной материей, их
средняя длина пробега гораздо больше поперечного размера ядерной
материи, создаваемой в столкновениях релятивистских ионов. Поэтому
лептоны и фотоны, образованные внутри объёма ядерной материи,
покидают этот объём практически без взаимодействия с окружающей
материей и несут информацию о её состоянии непосредственно в детек-
детектор. Отмеченное свойство лептонов и фотонов позволяет рассматривать
их в качестве основного инструмента в исследовании свойств ядерной
материи, формируемой в столкновениях релятивистских ионов.
К жёстким пробам нагретого ядерного вещества относится также
образование струй с большими (р± > 2 ГэВ) поперечными импуль-
импульсами. Источниками этих струй являются частицы, возникающие при
адронизации кварков и глюонов. Кварки и глюоны до своей адрониза-
ции распространяются в ядерной среде, которая может включать как
адронную, так и кварковую составляющую. Оказывается, что потери
энергии кварка в процессе столкновения с частицами среды и при
тормозном излучении зависят от свойств среды (это явление названо
«jet quenching»), поэтому выход струй с большими р± в ядро-ядерных
взаимодействиях ожидается значительно подавленным по сравнению
с адрон-адронными взаимодействиями. Этот эффект обнаружен в экс-
экспериментальных данных по выходам адронов на ускорителе RHIC.
К этой же категории — жёстким пробам — относится выход частиц,
содержащих тяжёлые (с и 6)-кварки. Дело в том, что экранирова-
экранирование в ядерной среде может привести к подавлению выхода частиц,
содержащих скрытый чарм. Это явление, названное плавлением J/ф,
предсказано впервые Т. Matsui и Н. Satz [10] в 1986 году и сейчас
рассматриваются как один из главных сигналов образования нагретой
ядерной материи в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов.
В первой главе будут сформулированы некоторые проблемы кван-
квантовой хромодинамики, которые в принципе могут решаться в реля-
релятивистской ядерной физике, приведены простые оценки критических
температур и плотностей энергии, при которых возможен фазовый
переход «адроны — кварк-глюонная плазма. В этой же главе рассмот-
рассмотрены предсказания феноменологических моделей относительно свойств
ядерного вещества при высоких температурах и плотностях энергии.
Во второй главе рассматриваются геометрическая и простран-
пространственно-временная картины адрон-адронных и ядро-ядерных взаимо-
взаимодействий, способы описания предравновесной стадии, а также одномер-
одномерная гидродинамическая модель расширения ядерного вещества. В этой
модели приводятся оценки начальной плотности энергии и плотности
энтропии в столкновениях релятивистских ионов. Кратко обсуждаются
идеи о новом состоянии адронной материи — конденсате цветового
стекла (color glass condensates).
Третья глава посвящена экспериментальному изучению корреля-
корреляций между поперечной энергией, множественностью и прицельным па-
Введение 13
раметром в столкновениях тяжёлых ионов. Эти корреляции позволяют
выделять центральные столкновения релятивистских ядер.
В четвёртой главе рассматриваются экспериментальные сигналы
образования нагретой ядерной материи в столкновениях релятивист-
релятивистских тяжёлых ионов. К ним относятся дилептоны и фотоны, а также
векторные мезоны и струи, испускаемые нагретой ядерной материей.
В этой же главе обсуждается рождение странных частиц в адронной
и кварк-глюонной плазме, а также вопросы коллективного течения
ядерной материи.
В пятой главе обсуждается метод адронной интерферометрии, поз-
позволяющей определить размеры источника испускания адронов и его
временную эволюцию.
В последние годы большое внимание уделяется пособытийному
анализу (event-by-event) столкновений релятивистских тяжёлых ионов.
Этот анализ позволяет, в принципе, выделить динамические флукту-
флуктуации физических величин на фоне статистических флуктуации. Эти
вопросы рассматриваются в шестой главе.
В седьмой главе описывается интересный пример флуктуации
в изоспиновом пространстве, приводящих к образованию разупорядо-
ченного кирального конденсата.
Восьмая глава посвящена перемежаемости и фрактальности. В при-
применении к физике высоких энергий перемежаемость — это крупномас-
крупномасштабные флуктуации зарядовой плотности частиц в малых областях
фазового пространства.
В девятой главе рассматривается, пожалуй, самая молодая область
релятивистской ядерной физики — ультрапериферические ядро-ядер-
ядро-ядерные взаимодействия.
В десятой главе приведён краткий обзор первых эксперименталь-
экспериментальных данных с RHIC и их анализ. К моменту выхода книги этих
экспериментальных данных, безусловно, будет гораздо больше, однако
уже имеющиеся данные позволяют извлечь важную информацию о ха-
характере взаимодействия ядер при высоких энергиях.
В книге неоднократно используется современная теория сильных
взаимодействий — квантовая хромодинамика. Поэтому авторы сочли
уместным сформулировать основные положения теории в приложении.
Важные аспекты релятивистской ядерной физики содержатся в ссыл-
ссылках, собранных в списке литературы, к которым может обратиться
заинтересованный читатель.
Глава 1
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СВОЙСТВ
ЯДЕРНОГО ВЕЩЕСТВА ПРИ ВЫСОКИХ
ПЛОТНОСТЯХ ЭНЕРГИИ
1.1. Две проблемы квантовой хромодинамики
В КХД существуют две основные проблемы, связанные со струк-
структурой вакуума, прояснить которые может релятивистская ядерная фи-
физика: конфайнмент цветовых зарядов и спонтанное нарушение кираль-
ной симметрии. Конфайнмент означает отсутствие цветных объектов
в спектре наблюдаемых адронных состояний. С точки зрения кварк-
глюонных представлений о структуре адронов, конфайнмент подразу-
подразумевает невозможность распространения кварков и глюонов на рассто-
расстояния, большие 1 фм (типичного размера адрона). Но это утверждение
оказывается справедливым лишь при нормальных ядерных плотностях.
Как мы увидим ниже, при высоких плотностях, создаваемых в столкно-
столкновениях релятивистских ядер, ядерное вещество может оказаться в фазе
деконфайнмента, когда происходит обобществление кварков и глюонов,
принадлежавших отдельным нуклонам, и партоны способны распро-
распространяться на расстояния, сравнимые с размером сталкивающихся
ядер. Спонтанное нарушение киральной симметрии означает следую-
следующее. В пределе нулевых масс кварков, а этот предел в КХД вполне
оправдан для токовых и и d кварков (mUfd <C т^ < шдг), их правые
и левые компоненты состояний в лагранжиане КХД разделяются,
поскольку не смешиваются взаимодействием с векторными глюонами.
Но это неизбежно должно было привести к вырождению по чётно-
чётности физических состояний, т. е. к их удвоению, чего не наблюдается
экспериментально. КХД вакуум кирально асимметричен, поскольку
существует практически безмассовый (по сравнению с другими адро-
нами) тг-мезон с отрицательной внутренней чётностью. Таким образом,
при нулевых температурах и нормальных ядерных плотностях КХД
вакуум обладает свойством конфайнмента и находится в состоянии
с нарушенной киральной симметрией.
В этой главе будут рассмотрены теоретические модели, в которых
с повышением температуры и плотности КХД теряет свойство кон-
конфайнмента цветных зарядов и восстанавливается киральная инвари-
инвариантность. Существуют некоторые интервалы температур и барионных
1.2. Двухфазная модель ядерного вещества 15
плотностей, определённые ниже, в которых ядерная материя может
существовать в фазах адронного газа и кварк-глюонной плазмы. Одна
из целей этой главы состоит в том, чтобы получить фазовую диа-
диаграмму в переменных Т и пв (температура и барионная плотность)
и определить критические значения Тс и пс для перехода в фазу кварк-
глюонной плазмы.
1.2. Двухфазная модель ядерного вещества
Рассмотрим двухфазную систему частиц, состоящую из тг-мезонов,
и, d кварков (антикварков) и глюонов. Термодинамическими перемен-
переменными в системе являются: температура Т, барионный химический
потенциал \± и объём V. При описании адронного газа, как и кварк-
глюонной плазмы, будем для простоты пренебрегать взаимодействием
между частицами (газовое приближение). Разность энергий в основ-
основном состоянии кварк-глюонной плазмы и адронного газа определим
путём введения феноменологической константы В, численное значение
которой известно в модели мешков [11]. Рассмотрим сначала два пре-
предельных случая /i = 0 и Т = 0.
При нулевом химическом потенциале и низких температурах ад-
ронная система будет находиться в состоянии пионного газа. Давление
такого газа определяется формулами релятивистского газа невзаимо-
невзаимодействующих безмассовых бозонов:
A1)
где с учётом трёх зарядовых состояний пиона
?я = 3. A.2)
Согласно уравнению состояния ультрарелятивистского газа
Р=§, A.3)
плотность энергии этого газа
2
A.4)
При высоких температурах ожидается образование кварк-глюонной
плазмы. Давление КГП определяется суммой релятивистского глюон-
ного бозе-газа и кваркового ферми-газа:
Q ^Q. A.5)
Отрицательное вакуумное давление учтено параметром В, а величина
37 A.6)
16
Гл. 1. Феноменологические модели свойств ядерного вещества
учитывает спиновые и цветовые состояния глюонов, кварков и анти-
антикварков. Плотность энергии в фазе кварк-глюонной плазмы
t = {)) = so^q1 + #• (i-0
Как обычно в статистической физике, условие равенства давлений двух
фаз (адронов и КГП) позволяет найти критическую температуру:
рн(Т = Тс, IX = 0) = pQ(T = ТС,М = 0).
A.8)
Из формулы A.8) и A.1)-A.5) можно получить выражение для крити-
критической температуры:
1/4
тс =
45
17тг2
:0,72Б'/4.
A.9)
10
8
6
4
2
1
0,8
0,6
0,4
Г
/Р
I
1 1 1 1 1 1 III
Сравнение адронных масс с массами, рассчитанными в модели мешков,
даёт для постоянной В « 0,17 ГэВ/фм3. Тогда из A.9) имеем оценку
критической температуры Тс « 140 МэВ. При этой температуре про-
происходит фазовый переход адроны — кварк-глюонная плазма, причём
это фазовый переход 1-го рода, поскольку в критической точке скачок
испытывает плотность энергии sq(Tc, 0) — гн(Тс, 0) = АВ. Критическое
значение плотности энергии
е/Т4,р/Т4
?с = & — БТ ?> =
Sq ~ gH 34
= 0,045 ГэВ/фм3. A.10)
Соответственно при плотно-
плотностях энергии, превышающих г =
= гс + АВ = 0,73 ГэВ/фм3, адронная
материя находится в фазе кварк-
глюонной плазмы. На рис. 1.1 в па-
параметрической форме представлено
уравнение состояния р = р(Т), г =
= s(T) в рассматриваемой модели.
Перейдём к другому предельно-
предельному случаю модели — нулевым тем-
температурам и ненулевому барионному
химическому потенциалу /i = З/iQ, где [iq — кварковый химический
потенциал.
Тогда в адронной фазе имеется вырожденный ферми-газ барионов
с давлением, плотностью энергии и барионной плотностью соответ-
соответственно равными [12]
0 100 200 300 400 Г, МэВ
Рис. 1.1
= Ц-. A.11)
Зтг
1.3. Дебаевское экранирование в кварк-глюонной системе 17
При высоких плотностях система находится в фазе кварк-глюонной
плазмы с давлением и плотностью энергии
= ^!+Б. A.12)
Z7T
Из условия равновесия ря@,/ic) — Pq(O> аО получаем критическое
значение химического потенциала
A.13)
Критическая барионная плотность в этом случае
пс = 2(Зтг2I/4Б3/4 « 0,86Б3/4 « 5п0, A.14)
где по = 0,17 фм~3 — нормальная ядерная плотность. Более детальное
исследование модели для произвольных
температур и химических потенциалов
приводит к фазовой диаграмме, изобра-
изображённой на рис. 1.2. Как видно из этого 1I4XV кгп
рисунка, существует несколько экспери-
экспериментальных возможностей формирова-
формирования кварк-глюонной плазмы в столкно-
столкновениях релятивистских тяжёлых ионов:
1. повышение температуры адронно-
го вещества;
2. повышение барионной плотности;
3. комбинацией этих факторов.
В последующих главах мы рассмотрим, как эти возможности могут
быть реализованы на современных ускорителях тяжёлых ионов.
1.3. Дебаевское экранирование
в кварк-глюонной системе
Идея фазового перехода, обсуждавшаяся выше, сравнительно новая
для ядерной физики и физики элементарных частиц, однако она отнюдь
не нова для физики твёрдого тела и молекулярной физики. Поэтому
вполне естественным представляется использование уже имеющихся
методов анализа фазовых переходов в физике. Для качественного по-
понимания характера фазового перехода в кварк-глюонной системе при
плотностях п ^> щ рассмотрим пример из молекулярной физики.
При нормальном давлении, как известно, водород является изолято-
изолятором. Однако при высоких плотностях у водорода появляется ненулевая
электрическая проводимость. Этот переход в проводящее состояние
связан с тем, что с ростом плотности электрический заряд протона
практически не влияет на заряд связанного с ним электрона из-за
экранирования другими зарядами. При этом радиус дебаевского экра-
экранирования Xjj достигает атомных размеров. Экранирование ослабляет
18 Гл. 1. Феноменологические модели свойств ядерного вещества
кулоновское взаимодействие между протоном и электроном, электроны
становятся квазисвободными, и водород переходит в металлическую
фазу. Условие А# = Хв (Ав — радиус атома) определяет параметры
перехода «изолятор-проводник» для водорода.
Используя эту аналогию, оценим критическую температуру пере-
перехода адронной материи (которая является изолятором для цветных
зарядов) в состояние проводника цветных зарядов — кварк-глюонную
плазму. В присутствии других зарядов термодинамический потенциал
для данного заряда g можно представить в виде
по = ^п\^Т-]1-, A.15)
где п — полная зарядовая плотность цветных зарядов. Плотность КГП
где число степеней свободы gQ КГП задаётся соотношением A.6).
В первом порядке теории возмущений КХД термодинамический потен-
потенциал системы кварков и глюонов [13]
A.17)
4:71 /
Приравнивая A.15) и A.17), получим
2 \ 1/2
Эффективный цветовой заряд g связан с температурой КХД
KL — — (\ ]Q)
4тт 291пDТ/Лт)' V ;
где Лт « 100 МэВ.
Полагая параметр дебаевского экранирования Ад « 1 фм — типич-
типичному размеру адрона, получаем уравнение
200 МэВ, A.20)
1,8 (
из которого следует оценка критической температуры Тс « 170 МэВ.
Заметим, что эта оценка была получена из термодинамического потен-
потенциала, вычисленного в теории возмущений КХД. Очевидно, однако,
что фазовый переход — существенно коллективное явление, описать
которое только в рамках теории возмущений невозможно.
1.4. Непертурбативные методы в КХД 19
1.4. Непертурбативные методы в КХД
Среди непертурбативных методов КХД одним из самых ярких
является открытие в 1975 году инстантонов [14]. Оказывается, что
основное состояние КХД (вакуум) имеет сложную структуру, опре-
определяемую флуктуациями, несущими топологические квантовые числа.
Более того, вакуумов может быть несколько, и кварк-глюонная систе-
система переходит из одного вакуума в другой посредством инстантонных
флуктуации. При этом инстантоны взаимодействуют между собой, об-
образуя «инстантонную жидкость» [15]. Сначала были серьёзные надеж-
надежды на то, что идея инстантонов способна объяснить конфайнмент КХД.
К сожалению вскоре было показано, что инстантонные флуктуации
не дают линейно растущего с расстоянием потенциала взаимодействия
кварков. Однако инстантоны оказались весьма плодотворной идеей для
объяснения другой, уже упоминавшейся проблемы КХД, — спонтанно-
спонтанного нарушения киральной симметрии (см. приложение). При спонтанном
нарушении киральной симметрии в КХД должен возникать конден-
конденсат кварковых полей (фф) ^ О, именно такой конденсат существует
в «инстантонной жидкости» с характерным инстантонным размером
рс « 1/3 фм, который может быть связан с размером составляющего
кварка в нуклоне. Таким образом в физике адронов существует два ха-
характерных масштаба расстояний — размер адрона гн ~ 1 фм и размер
«одетого» (составляющего) кварка tq « 1/3 фм.
Пока мы обсуждали инстантоны при нулевых температурах. Если
Т —> Тс, то инстантонные эффекты должны исчезать, поскольку адроны
начинают «плавиться». Однако при этом совсем не обязательно, что
кварковый конденсат равен нулю, т. е. «одетые» составляющие кварки
переходят в состояние «токовых» кварков. Поэтому должна суще-
существовать температура Тсыг, при которой восстанавливается киральная
симметрия, т. е. составляющие кварки переходят в токовые. Совпадают
ли температуры деконфайнмента Тс и восстановления киральной сим-
симметрии? В модели инстантонной жидкости Тс « Tchir. Более детально
этот вопрос будет рассмотрен при анализе результатов решёточных
калибровочных теорий.
Другой непертурбативный метод анализа вакуумных свойств КХД
основан на правилах сумм [16]. Этот метод связывает вакуумные
характеристики со свойствами адронов, известными из эксперимента.
Суть метода правила сумм заключается в следующем. Исследуется
поведение коррелятора двух кварковых токов J^, Jj (i,j — наборы
квантовых чисел)
Кф) = @\Т[Ь(х),^@)]\0) A.21)
как функция расстояния "ж" между кварками. Оператор Т[...] означает
упорядоченный по времени коррелятор, а скобки (...) — усреднение
по ансамблю калибровочных полей. Индексы i(j) характеризуют набор
квантовых чисел, например для р-мезона Jpc = 1~~. Как известно, вне
20 Гл. 1. Феноменологические модели свойств ядерного вещества
светового конуса (х2 < 0) коррелятор A.21) экспоненциально убывает
^ехр(—га|ж|), где т — масса самой лёгкой обменной частицы. На-
Например для взаимодействия типа Юкавы т = т^ (здесь т^ — масса
тг-мезона). При малых х в КХД можно проводить вычисления в рамках
теории возмущений, поэтому коррелятор A.21) вычисляется по состоя-
состояниям свободных кварков. Однако уже в области применимости теории
возмущений существенны непертурбативные эффекты. Как эти эффек-
эффекты можно учесть при вычислении коррелятора A.21)? В работах [16]
это сделано путём введения двух типов феноменологических парамет-
параметров — глюонного и кваркового конденсатов. Идея о существовании
в вакууме КХД кварковых и глюонных конденсатов оказалась очень
плодотворной. Взаимодействие кварков и глюонов в КХД, как было
установлено, определяет основные свойства адронов (например, массы)
уже на малых расстояниях, причём эти свойства связаны с кварковыми
и глюонными конденсатами. Плотность энергии вакуума КХД, по
оценкам методом правил сумм, составляет ?vac « —@,5 -i- 1,0) ГэВ/фм3.
Поэтому следует ожидать, что плотность энергии при фазовом пере-
переходе адроны — кварк-глюонная плазма должна быть того же порядка
величины, что и ?vac.
Правила сумм КХД, описывающие спектр адронов при конечных
температурах, сформулированы в работах [17, 18]. Отличие от случая
Т = 0 состоит в том, что коррелятор токов усредняется по ансамблю
кварков и глюонов, находящихся в состоянии локального термодинами-
термодинамического равновесия при температуре Т. Анализ правил сумм в канале
р-мезона показывает резкое качественное изменение в спектре адронов
при температурах Тс « A40-1-200) МэВ, свидетельствующее о суще-
существовании фазового перехода деконфайнмента. Так, масса р-мезона
(рис. 1.3) уменьшается с ростом темпе-
М'ГэВ ратуры, а при Т « Тс р-мезон исчезает
из спектра адронов. Это утверждение
о «плавлении» р-мезона справедливо
и для других резонансов. Оказывает-
' ^ ся, что при «плавлении» резонанса его
масса уменьшается, а распадная ши-
ширина растёт. Такое поведение парамет-
параметров резонансов очень важно с точки
iiiii зрения экспериментальной диагности-
0 200 400 600 ки образования адронной и кварк-глю-
г, МэВ онной плазмы. Коллаборации STAR и
PHENIX на коллайдере тяжёлых ионов
Рис. 1.3 RHIC, ALICE на будущем ускорителе
LHC и HADES в GSI содержат в своих
экспериментальных программах исследования параметров резонансов
как одного из главных сигналов образования адронной или кварк-глю-
онной плазмы. Мы обсудим подробнее эти сигналы в четвёртой главе,
здесь же, возвращаясь к правилам сумм при конечных температурах,
1.5. Решёточные калибровочные теории (РКТ) 21
отметим их качественный характер. Дело в том, что плохо извест-
известна температурная зависимость кваркового и глюонного конденсатов,
используемых в методе правил сумм. Тем не менее, этот феномено-
феноменологический метод предсказывает качественное изменение в адронном
спектре при температурах Тс « 200 МэВ и плотностях энергии гс «
^A-5)ГэВ/фм3.
1.5. Решёточные калибровочные теории (РКТ)
Успешные вычисления физических величин, включая режим силь-
сильной связи (as > 1) КХД, были начаты в 80-х годах XX века в рам-
рамках решёточных калибровочных теорий. Преимущество этого метода
состоит в том, что вычисления проводятся «из первых принципов»,
т. е. из лагранжиана КХД. Однако используемый метод Монте-Карло
зачастую не позволяет определить, какие именно конфигурации калиб-
калибровочных полей дают основной вклад в изучаемую величину.
В РКТ непрерывное пространство-время заменяется решёткой в ев-
евклидовом пространстве с числом узлов NG в каждом из трёх простран-
пространственных направлений и Np — во временном направлении. Каждому
ребру решётки соответствует матрица «и» из калибровочной группы
SUC) сильных взаимодействий, т. е. решётка является статистической
системой. В простейшем случае глюодинамики (бескварковой КХД)
статистическая сумма системы
Z(N(TiNp,Cii?)= \lldue~s^u\ A.22)
J
где ( = aG/ap\ аа,ар — расстояние между соседними узлами решётки
в пространственном и временном направлениях; Udu — произведение
мер Хаара калибровочных полей; S(u) — действие, зависящее от ка-
калибровочных конфигураций на элементарном квадрате этой решётки
и в непрерывном пределе этой решётки переходящее в действие КХД.
Тогда среднее значение по ансамблю некоторой физической величи-
величины X определяется формулой
= — ^7—- О-23)
В РКТ средние (X) находятся численным интегрированием по методу
Монте-Карло. Обсудим кратко результаты вычислений наиболее ин-
интересных физических величин. Температурная зависимость плотности
энергии в модели, основанной на калибровочной группе SUB), пред-
представлена на рис. 1.4. Прежде всего следует отметить подобие резуль-
результатов (рис. 1.4) величине г/Т4 (см. рис. 1.1) для двухфазной модели.
При температурах Т ~ C00 ^- 400) МэВ происходит переход к асимп-
асимптотике — закону Стефана-Больцмана для глюонов е = D/15) тг2Т4.
Это выражение получается из A.6), если учесть, что число глюонов
22 Гл. 1. Феноменологические модели свойств ядерного вещества
8/Т4
2
1
50 100 150 250 500 1000 1500 Г, МэВ
Рис. 1.4
в теории с калибровочной группой 577B) равно трём. При низких тем-
температурах (Т < 200 МэВ) плотность энергии соответствует адронному
газу A.3). Таким образом, результаты РКТ качественно соответствуют
предсказаниям двухфазной модели. Формулы A.4)-A.6) этой модели
дают в пределе высоких температур
е-Зр _ В
Т4
т4
A.24)
0,9
0,6
0,3
аналогичное поведение заметно в результатах РКТ (рис. 1.5). Кривая на
рис. 1.5 соответствует поведению ^const/T4, где const = 4 |?Vac|, ?vac —
вакуумная плотность энергии.
(е - Зр)/т4 Важно отметить, что величина
(г — Зр) характеризует степень
«неидеальности» кварк-глюонной
плазмы, т. е. является мерой вза-
взаимодействия в системе. Как вид-
видно из рис. 1.4 и 1.5, даже при
температурах Т « 500 МэВ вза-
взаимодействие существенно, и его
необходимо учитывать в расчётах
сигналов образования кварк-глю-
кварк-глюонной плазмы. На рис. 1.4 плот-
плотность энергии испытывает ска-
скачок. Является ли это отражением
Рис. 1.5 фазового перехода между связан-
связанными глюонами (глюболами) при
Т < Тс и квазисвободными глюонами при Т > Тс? Чтобы ответить на
этот вопрос, в РКТ исследуется поведение свободной энергии F кварк-
антикварковой пары, помещённой в глюонную систему при температуре
Т [19, 20]. Свободная энергия F входит в определение вильсоновской
петли (L) ^exp(—F/T) как параметра порядка фазового перехода.
Численные расчёты показывают, что при Т < Тс (L) = 0, что соот-
соответствует бесконечной энергии кварк-антикварковой пары с размером
250
500
750
1000
Г, МэВ
1.5. Решёточные калибровочные теории (РКТ)
23
^1 фм, т.е. конфайнменту кварков. При Т > Тс (L) /0 и энергия
F ф оо, т. е. происходит фазовый переход в состояние квазисвобод-
квазисвободных цветных зарядов. В глюодинамике, основанной на калибровочной
группе SUB), фазовый переход второго рода происходит при Т « Тс «
« 200 МэВ.
До сих пор рассматривалась упрощённая модель КХД (без квар-
кварков и с калибровочной группой 577B)). Переход к реалистической
ситуации — калибровочной группе 577C) и кварковым степеням сво-
свободы, встречает ряд принципиальных трудностей, до конца ещё не
прёодолённых и в настоящее время. Основная трудность — корректный
учёт кварк-антикварковых пар в методе Монте-Карло. Оказывается,
что включение кварк-антикварко-
кварк-антикварковых пар меняет как количествен-
но, так и качественно картину фа-
фазового перехода. На рис. 1.6 пред-
ставлено поведение величины е/ТА
от температуры в SUC) теории
с кварками. Кривая / на рис. 1.6
соответствует бескварковой SUC)
теории. Виден скачок в зависимо-
зависимости е(Т), что свидетельствует о фа-
зовом переходе 1-го рода. Однако
при учёте кварковых степеней сво-
свободы (кривые 2 и 3 различаются
значениями масс кварков) область
фазового перехода смещается в об-
ласть меньших температур, а ска-
чок практически исчезает. Фазо-
Фазовый переход 1-го рода трансфор-
мируется в фазовый переход 2-го
рода [21] или вообще в плавный переход между адронами и свободны-
свободными кварками и глюонами. Последний процесс напоминает, например,
ионизацию атомов. Вопрос о порядке фазового перехода (или вообще
о его отсутствии) имеет не только теоретический, но и практический
интерес. Действительно, в случае фазового перехода 1-го рода система
адронов, кварков и глюонов может находиться в смешанной фазе,
подобно плавлению льда при нулевых температурах. Вопрос о порядке
фазового перехода и его значимости для сигналов кварк-глюонной
плазмы будет подробнее обсуждён в 4-й главе. Другая важная про-
проблема, связанная с учётом фермионных степеней свободы в РКТ, —
киральная симметрия КХД. Как уже обсуждалось выше, в безмассовой
КХД, не содержащей размерных параметров, при спонтанном наруше-
нарушении симметрии возникают два радиуса — один соответствует радиусу
конфайнмента («1 фм), другой (~1/3 фм) — радиусу «одетого» кон-
ституэнтного кварка. Поэтому, в принципе, в КХД могут существовать
два фазовых перехода при двух критических температурах Тс и Тсп\т.
s/T4
6
4
2
0
3
~ I (
'III
ОУ® a/
150
200
Рис. 1.6
250 г, МэВ
24 Гл. 1. Феноменологические модели свойств ядерного вещества
При температуре Tcnir киральная симметрия восстанавливается, пара-
параметр порядка — кварковый конденсат (фф)т>тсп-1Г —> О, конституэнтные
кварки переходят в токовые кварки. Адроны, конституэнтные и токо-
токовые (морские) кварки могут быть в термодинамическом равновесии при
1 ~ 1С, iCnir-
Анализ температурных зависимостей масс адронов и их ширин
может существенно прояснить природу фазового перехода деконфайн-
мента и восстановления киральной симметрии. Подобно методу правил
сумм, обсуждавшемуся выше, в численных расчётах на пространствен-
пространственно-временных решётках исследуется температурная функция Грина
(*н{т,г) в фиксированном канале Н, в который вносят вклад множе-
множество возбуждённых состояний. Поскольку при конечных температурах
временной размер решётки мал, можно изучать поведение простран-
пространственной корреляционной функции Gh(j,t) ~ехр(—гаяИ) на боль-
больших расстояниях, при этом тпн определяет экранированное значение
адронной массы. На этом пути получены указания на восстановление
киральной симметрии при температурах Т « Тс. Действительно, мас-
масштабы экранирования в скалярном и псевдоскалярном каналах оказы-
оказываются вырожденными. Кроме того, масштабы экранирования в скаляр-
скалярном и псевдоскалярном канале практически не отличимы друг от друга,
что указывает на частичное восстановление ?7дA) симметрии [22].
Чтобы получить температурную зависимость масс частиц от их ши-
ширин, на пространственно-временных решётках исследуются временные
корреляционные функции. Информация об адронных массах и квази-
квазичастичных возбуждениях содержится в спектральной функции
о
A.25)
При конечных температурах временная корреляционная функция опре-
определяется на небольшом числе узлов решётки, поскольку температура
связана с протяжённостью NT решётки в этом направлении соотно-
соотношением NT = 1/(аТ), где а « 0,3 фм — расстояние между узлами ре-
решётки. Поэтому при моделировании КХД при конечных температурах
используются анизотропные решётки [23]. Первая попытка получения
температурной псевдоскалярной спектральной плотности а (и)/и? из
температурной корреляционной функции G(rT)/T3 предпринята в ра-
работе [24] для температур Т = 0,6Тс и Т = ЗТС на решётках размером
243 • 16 и 643 • 16 (рис. 1.7). Как видно из этого рисунка, спектральная
функция в псевдоскалярном канале резко изменяется при температурах
вблизи Тс. Полюс, имеющийся, в спектральной функции при Т < Тс,
исчезает в фазе кварк-глюонной плазме.
На рис. 1.8 изображена фазовая диаграмма, полученная в КХД
на пространственно-временной решётке [25] в координатах масс квар-
кварков (и, d, s) и химического потенциала. Поверхность, соответствующая
1.5. Решёточные калибровочные теории (РКТ)
25
е(со)/со
1,2 г
1,0
0,8
0,6
243 X 16 0,6Т
643 X 16 ЪТС
643 X 16 Г=оо
й^и \у"~\Г;>ъ+::>
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
со/Т
Рис. 1.7
Рис. li
фазовому переходу второго рода, является границей между областью
фазового перехода первого рода и кроссовером. Поскольку массы и w d
кварков малы (несколько МэВ), а масса s кварка ms « 150 МэВ, вер-
вертикальная линия на рис. 1.8 представляет собой «физическую» линию.
Вдоль этой линии происходит фазовый переход. Как видно из рис. 1.8,
при малых /i фазовый переход «адроны — кварк-глюонная плазма» име-
имеет характер кроссовера, а при больших /i является фазовым переходом
1-го рода. Такое преобразование кроссовера в фазовый переход 1-го
рода предполагает наличие критической точки [26]. До настоящего
времени поиск такой критической точки путём исследования пособы-
тийных флуктуации не увенчался успехом. По-видимому, критическая
26
Гл. 1. Феноменологические модели свойств ядерного вещества
Кварк-глюонная
плазма
Адронный газ
запертый,
X-SB
Незапертый,
/-симметричная фаза
точка ещё не достигнута. Более подробно вопрос обнаружения крити-
критической точки будет рассмотрен в шестой главе.
Фазовая диаграмма сильновзаимодействующей материи в коорди-
координатах температура — химический потенциал (Т, ц) схематически по-
показана на рис. 1.9. Линии соответствуют границам между различными
фазами адронной материи. Пре-
Прерывистая линия — ожидаемое
положение критических точек,
т. е. линия, за которой уже нет
фазового перехода 1-го рода. Ос-
Основное состояние ядерной мате-
материи (атомные ядра) соответству-
соответствует состоянию с /io ~ 930 МэВ.
Линия, начинающаяся в этой
точке, обозначает границу фа-
фазового перехода «жидкость-газ»,
обнаруженного в ядро-ядерных
столкновениях при низких энер-
энергиях. Экзотическая область низ-
низких температур и больших плот-
плотностей /i имеет отношение к аст-
астрофизике, и, по-видимому, недостижима в лабораторных условиях.
В заключение 1-й главы отметим, что как феноменологические мо-
модели ядерного вещества, так и расчёты на пространственно-временных
решётках указывают на возможность фазового перехода адроны —
кварк-глюонная плазма при высоких плотностях и (или) высоких тем-
температурах. Такие экстремальные состояния ядерного вещества могут
быть реализованы в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов.
Несколько порядков величины
плотности ядерного вещества
Рис. 1.9
Глава 2
СЖАТАЯ И НАГРЕТАЯ АДРОННАЯ МАТЕРИЯ
В СТОЛКНОВЕНИЯХ РЕЛЯТИВИСТСКИХ
ТЯЖЁЛЫХ ИОНОВ
2.1. Модель многократных столкновений Глаубера
Один из факторов, который позволяет надеяться, что в столкно-
столкновениях релятивистских тяжёлых ионов может создаваться ядерная
материя при высоких температурах и плотностях, — многократные
соударения нуклонов. Действительно, при многократных столкнове-
столкновениях нуклона одного ядра с несколькими нуклонами другого ядра
выделяется большое количество энергии в объёме взаимодействия.
Рассмотрим столкновение одного нуклона налетающего ядра с нук-
нуклонами ядра-мишени. Как уже отмечалось, при высоких энергиях
в нуклон-нуклонной системе центра масс продольные расстояния меж-
между нуклонами мишени из-за Лоренц-сжатия оказываются меньше
1 фм. С другой стороны, вторичные частицы рождаются, если рассто-
расстояния между лидирующим кварком и антикварком в системе центра
масс сталкивающихся нуклонов составит примерно 1 фм. Поэтому при
столкновении нуклона из налетающего ядра с несколькими нуклонами
ядра-мишени частицы, рождённые в первом нуклон-нуклонном взаи-
взаимодействии, ещё не сформировались, а уже начинается взаимодействие
рассматриваемого нуклона со следующим нуклоном из мишени. Как на
последующее столкновение влияет предыдущее? К сожалению, после-
последовательной теории, описывающей подобного рода процессы, не суще-
существует. Экспериментальные данные свидетельствуют в пользу того, что
после первого соударения налетающего нуклона с нуклоном мишени
возникает «возбуждённый» нуклон, который вступает в дальнейшие
соударения. При этом налетающий нуклон теряет свою энергию и им-
импульс. Число столкновений зависит от толщины ядра-мишени, и чем
больше размер ядра-мишени, тем больше потери энергии импульса.
Модель Глаубера [27] процессов многократного рассеяния описы-
описывает геометрию столкновений релятивистских ядер. Она основана на
концепции длины свободного пробега и элементарном сечении нук-
лон-нуклонного взаимодействия. Необходимо отметить, что сечение
взаимодействия возбуждённого нуклона с нуклоном мишени может
отличаться от подобного сечения в отсутствие ядерной среды. Поэтому
28 Гл. 2. Сжатая и нагретая адронная материя
условие равенства сечений взаимодействия возбуждённого нуклона
в ядерной среде и «вакуумного» нуклон-нуклонного сечения следует
рассматривать как гипотезу модели Глаубера.
Пусть t(b)db — вероятность нуклон-нуклонного столкновения в по-
поперечной плоскости с элементом площади db, при этом один барион
имеет прицельный параметр Ъ по отношению к другому бариону. Ино-
Иногда t(b) называют нуклон-нуклонной функцией толщины.
Очевидно, что функция t(b) нормирована следующим образом:
\t(b)db=l. B.1)
Если нуклоны не поляризованы, то сечение столкновения не зависит
от ориентации вектора Ь, а зависит только от его модуля \Ь\ = Ь, т.е.
часто можно считать t(b) = t(b).
Как известно, сечение неупругого нуклон-нуклонного взаимодей-
взаимодействия составляет примерно 30 мбн и слабо зависит от энергии столкно-
столкновения. Около 6% этого сечения связано с процессами дифракционной
диссоциации. В этих процессах налетающий нуклон теряет малую
долю энергии, нас же интересуют гораздо большие потери энергии
и импульса, приводящие к торможению нуклона в ядерной среде. По-
Поэтому в модели Глаубера под нуклон-нуклонным сечением понимается
недифракционное неупругое нуклон-нуклонное сечение а-т.
Если один нуклон расположен относительно другого на расстоянии
прицельного параметра Ь, то вероятность неупругого нуклон-нуклонно-
нуклон-нуклонного столкновения t(b)a-m.
Рассмотрим столкновение налетающего ядра В с мишенью-яд-
мишенью-ядром А. Определим вероятность нахождения нуклона в элементе объёма
dbBdzB ядра В в точке (Ьв, zb) с помощью функции рв(Ьв, ZB)dbBdzs-
Очевидно, что эта функция нормирована следующим образом:
\pB(bB,zB)dbBdzB = 1. B.2)
Заметим, что функция р есть не что иное, как функция ядерной плот-
плотности, делённая на число нуклонов в ядре. Аналогично, вероятность
Ра(Ьа,%а) найти нуклон в ядре А в точке (Ъа^а) также нормирована:
pA(bA,ZA)dbAdZA = 1. B.3)
Столкновение налетающего ядра В с мишенью А при прицельном
параметре b представлено на рис. 2.1.
Вероятность нуклон-нуклонного столкновения
dP = ра(Ьа, ZA)dbAdzApB(bB, ZB)dbBdzBt(b - bA - bB)a[n. B.4)
Если это выражение проинтегрировать по всем переменным, то по-
получим полную вероятность нуклон-нуклонного взаимодействия при
столкновении двух ядер с прицельным параметром Ъ.
2.1. Модель многократных столкновений Глаубера
29
Рис. 2.1
По определению эта вероятность равна T(b)crm, где функция тол-
толщины
Т(Ь) = j рА(ЬА, za) dbA dzApB(bB, zB) dbBdzBt(b -bA- bB). B.5)
Очевидно, что функция T(b) нормирована:
\T(b)db= 1.
Иногда удобно ввести нормированную функцию толщины
ТА(ЪА) = Ра(Ьа, za) dzA.
Для неё \T(bA)dbA = 1.
Если ввести аналогичную функцию ТВ(Ъ) для ядра В, то
Т{Ь) = \dbAdbBTA(bA)TB(bB)t(b- bA - bB).
B.6)
Для недеформированных и неориентированных ядер Ti(bi) зависит
только от модуля \bi\ = bif т. е. ЩЬг) = ЩЬг) и Т(Ъ) = Т(Ъ).
Тогда вероятность последовательных п неупругих нуклон-нуклон-
ных столкновений с прицельным параметром b
p(n, b) =
-TF)<7in
АВ-п
B.7)
где первый фактор в круглых скобках — число комбинаций из п
столкновений среди АВ возможностей. Второй сомножитель — веро-
вероятность п столкновений, а третий сомножитель — вероятность того,
что остальные АВ — п столкновений не происходят.
При этом полная вероятность неупругого взаимодействия при
столкновении ядер А и В с прицельным параметром Ъ
db
АВ АВ
п=\
= 1- \1-Т(Ъ)а[п
АВ
B.8)
30 Гл. 2. Сжатая и нагретая адронная материя
Тогда полное неупругое сечение взаимодействия двух ядер:
а^в = \db\ I - [l -T(b)am]AB\. B.9)
Ш I I I
С помощью функции p(n, о) можно найти среднее число нуклон-нук-
лонных столкновений при данном прицельном параметре:
АВ
(п(Ъ)) = ]Г пр(п, Ь) = АВТ(Ъ)а{п. B.10)
п=\
В частном случае нуклон-ядерного столкновения (В=1)
С хорошей точностью
р(п,Ъ) =(?) [Tain]n[\-T(b)ain]A-n. B.11)
й точ
П' Ь) =
п!(А-п)!
« *L [T(b)ain]n е-ПЪ)°,АА-п) ^ [Т(Ъ)а,„АГ е-т(Ь)^А BЛ2)
тъ. ты
Распределение по числу столкновений с прицельным параметром Ъ
является распределением Пуассона
р(М) = Же-ад B.13)
со средним значением
n(b)=a[nA\p(b,z)dz. B.14)
Таким образом, модель Глаубера позволяет учесть геометрию столк-
столкновений ядер, а также перерассеяния нуклонов налетающего ядра на
нуклонах ядра мишени.
2.2. Пространственно-временная картина
адрон-адронных и ядро-ядерных взаимодействий
Прежде чем перейти к рассмотрению ядро-ядерных взаимодействий
при высоких энергиях, следует напомнить пространственно-временную
картину адрон-адронных столкновений. В рамках партонных представ-
представлений о структуре адронов, их взаимодействие при высоких энергиях
происходит следующим образом.
1. Перед взаимодействием релятивистские адроны представляют
собой ансамбли партонов (валентных и морских кварков, антикварков
и глюонов), распределённых по доле импульса адрона, переносимого
ими. Эти начальные функции распределения партонов извлекаются из
2.2. Пространственно-временная картина взаимодействий
31
экспериментальных данных по глубоконеупругим eN, /jlN, vN и vN
взаимодействиям.
2. В результате адрон-адронного взаимодействия часть наиболее
быстрых партонов не участвует в коллективных взаимодействиях
и формирует лидирующие вторичные адроны. Сравнительно медленные
партоны сталкивающихся ядер взаимодействуют друг с другом, обра-
образуя кварк-глюонную систему, чья эволюция приводит к формированию
мягкой части спектра вторичных адронов.
3. При определённых условиях, которые будут обсуждены ниже,
многократные партон-партонные взаимодействия могут создать условия
для установления термодинамического равновесия при начальной тем-
температуре Ti. Последующая эволюция (расширение) происходит по за-
законам гидро- и термодинамики, при этом температура системы падает.
4. На конечной стадии эволюции температура понижается настоль-
настолько, что система формирует невзаимодействующие адроны.
Как известно, состояние партона (кварка, антикварка и глюона)
в нуклоне описывается структурной функцией, зависящей от доли
импульса х нуклона, переносимой данным партоном, и от квадрата
переданного импульса Q2. На рис. 2.2 показана зависимость глюонной
структурной функции, полученной в эксперименте HERA, от пере-
Q2 = 20 ГэВ2
{.)' :оогэв2
10"
10"
10"
10"
\ Низкие
) I энергии
Высокие
энергии
Рис. 2.2
менной х при различных значениях Q2. Видно, что с уменьшением х
глюонная структурная функция быстро возрастает. При этом полное
сечение адрон-адронного взаимодействия растёт медленно (логариф-
(логарифмически) с энергией, а плотность глюонов в поперечном направлении
к оси сталкивающихся нуклонов становиться очень большой и дости-
достигает своего насыщения. Например процессы рекомбинации глюонов
ограничивают дальней рост структурных функций. На рис. 2.2 изоб-
изображена физическая картина изменения плотности глюонов с малыми
32 Гл. 2. Сжатая и нагретая адронная материя
значениями х с ростом энергии сталкивающихся нуклонов. Глюоны
с малыми х становятся «плотно упакованной системой», в которой
величина константы сильных взаимодействий as <С 1. Такая слабосвя-
слабосвязанная система называется конденсатом цветового стекла [28]. «Цве-
«Цветового», поскольку глюоны несут цветовые степени свободы. Глюоны
с малыми значениями х возникают при размножении глюонов, несущих
большие значения х. В системе бесконечного импульса глюоны с боль-
большими импульсами перемещаются очень быстро, и соответствующие им
временные масштабы из-за Лоренц-преобразований оказываются уве-
увеличенными. Это запаздывание трансформируется в области малых х,
поэтому для таких глюонов временные изменения происходят ещё
более медленно, а это свойство характерно как раз для стёкол.
Поскольку а5< 1, квантовомеханическим состоянием такой систе-
системы является Бозе-конденсат глюонов с характерными числами запол-
заполнения rsj\/as. В картине конденсата цветового стекла быстрые глюоны
являются источниками цветовых полей при малых х.
В пользу этой картины свидетельствует хорошо известное экспери-
экспериментальное свойство предельной фрагментации адронных взаимодей-
взаимодействий. Это свойство состоит в том, что при столкновении двух частиц
с фиксированной энергией в системе центра масс распределение рож-
рождённых частиц по продольному импульсу, отнесённому к продольному
импульсу одной из сталкивающихся частиц, не зависит от энергии.
В картине конденсата цветового стекла предельная фрагментация свя-
связана с независимостью от энергии числа глюонов-источников.
Другая важная экспериментальная особенность, свидетельствую-
свидетельствующая в пользу существования конденсата цветового стекла — так назы-
называемый геометрический скейлинг [29], наблюдаемый в глубоко-неупру-
глубоко-неупругом рассеянии. Оказывается, что сечение взаимодействия виртуального
фотона с нуклоном не зависит от переменных Q2 и х, а зависит лишь
от отношения Q2/Q2at: al*N ~ F (Q2 / Qlat) > пРич^м масштаб насыщения
\ Тэв2, А ^ 0,3 и х0 « 1(Г4
X /
Скейлинг наступает при х < 10~2 и проявляется при всех имеющих-
имеющихся Q2
В картине конденсата цветового стекла геометрический скейлинг
связан с наличием только одного масштаба — масштаба насыще-
насыщения Q2at.
Конденсат цветового стекла можно рассматривать как новый уни-
универсальный тип материи. Новый, поскольку эта материя проявляет себя
в столкновениях адронов и ядер при высоких энергиях. Универсаль-
Универсальность заключается в том, что конденсат цветового стекла не зависит
от сорта адронов.
Каких изменений следует ожидать при переходе от адрон-адронных
к ядро-ядерным взаимодействиям? Прежде всего, ядра являются более
протяжёнными объектами, поэтому геометрия столкновения играет
2.2. Пространственно-временная картина взаимодействий 33
важную роль в ядро-ядерных взаимодействиях. Кроме того, временные
масштабы АА-взаимодействий гораздо больше NN, и это приводит
к интересным физическим следствиям.
При переходе от адрон-адронных к ядро-ядерным взаимодействиям
следует отметить, что в режиме высокой плотности энергии в КХД
доминируют не квантовые, а классические конфигурации, содержащие
большое число (~\/as) глюонов.
Действительно, рассмотрим, например, взаимодействие виртуаль-
виртуального 7-кванта с ядерной мишенью, имеющей массовое число А. При
малых значениях бьёркеновской переменной х, согласно соотношению
неопределённостей, взаимодействие будет осуществляться на продоль-
продольных расстояниях z ~ 1/тх, где т — масса нуклона. Если величина z
превышает диаметр ядра, пробник G-квант) не различает отдельные
нуклоны, и все партоны, распределённые по площади ~\/Q2 (Q —
переданный импульс) в поперечном направлении, взаимодействуют ко-
когерентно.
Плотность партонов в поперечной плоскости
Щ BЛ5)
7Г Ra
причём предполагается, что ядерная глюонная функция распределе-
распределения Ga(x, Q2) пропорциональна числу нуклонов А, а радиус яд-
ядра RA ~ A1/3.
Пробник взаимодействует с партоном с сечением а ~ &s/Q2, поэто-
поэтому в зависимости от величины переданного импульса Q, А и бьёрке-
бьёркеновской переменной х можно выделить два режима:
а) о~рА <С 1 — это режим некогерентных взаимодействий, описыва-
описываемый теорией возмущений КХД;
б) о~рА ^> 1 — режим плотной партонной системы.
Граница между двумя режимами определяется условием о~рА ~
« 1, и это условие соответствует критическому значению переданного
импульса (масштабу насыщения), при котором партонная система ста-
становится для пробника плотной:
О2 GA(x, Q2) B lfi4
7Г К а
В этом режиме число глюонов
xG(x,Q2)^^-Q2sR2a, B.17)
где Q2SR2A ~ А. Как видно из B.17), число глюонов обратно пропорци-
пропорционально as(Q2) и становится большим в пределе слабой связи КХД.
Доминирующими в этом пределе являются классические конфигурации
глюонных и кварковых полей.
Почему физика малых х важна для столкновений тяжёлых ионов?
Как уже отмечалось, быстрые партоны слабо взаимодействуют между
2 В. М. Емельянов и др.
34 Гл. 2. Сжатая и нагретая адронная материя
собой и фрагментируют в быстрые адроны. Медленные партоны стал-
сталкивающихся ядер взаимодействуют между собой и при фрагментации
заселяют центральную область быстрот. Если ядерные столкновения
рассматривать как суперпозицию фоковских состояний, то медленные
партоны — это глюоны и кварки-антикварки, несущие малую долю
импульса ядра. При этом чем больше энергии сталкивающихся ядер,
тем больше медленных партонов. В ядерных столкновениях фоковские
состояния разрушаются, и медленные партоны выходят на массовую
поверхность, создавая высокие плотности энергии, возможно, доста-
достаточные для образования кварк-глюонной плазмы.
В теории возмущений КХД в пределе малых х глюонные «обла-
«облака» образуются при тормозном излучении мягких глюонов. Плотность
партонов быстро растёт при х —> 0, нарушая при этом унитарный
(фруассаровский) предел. Однако, если плотность партонов растёт, ста-
становятся важными процессы рекомбинации и экранирования, которые
«насыщают» быстрый рост партонных распределений при малых х.
Формула B.16) определяет масштаб насыщения для конденсата
цветового стекла в столкновениях релятивистских ионов. В последую-
последующих главах будут обсуждаться экспериментальные сигналы конденсата
цветового стекла, здесь же сделаем одно существенное замечание,
касающееся ядерной структурной функции.
Если партон входит в состав нуклона ядра, то его структурная
функция будет зависеть не только от переменных х и Q2, но и от
переменной г, характеризующей положение партона относительно цен-
центра ядра. Действительно, свойства нуклонов в ядре изменяются по
сравнению со свойствами свободных нуклонов, причём эти изменения
тем больше, чем ближе нуклон расположен к центру ядра. А поскольку
свойства нуклона определяются свойствами составляющих его пар-
партонов, ядерная структурная функция партона будет зависеть от его
положения относительно центра ядра.
Пространственно-временная эволюция центральных (с прицельным
параметром Ъ = 0) столкновений тяжёлых ядер при энергиях RHIC
или LHC выглядит следующим образом (рис. 2.3). В начальный момент
времени в нуклон-нуклонных столкновениях двух лоренц-сжатых ядер
(с толщиной ~1 фм) происходит взаимодействие партонов (кварков
и глюонов), приводящее к множественному рождению кварков, ан-
антикварков и глюонов (а, б). Рождённые кварки и глюоны, в свою
очередь, взаимодействуют как между собой, так и с партонами, уже
имеющимися в исходных ядрах и описываемыми структурными функ-
функциями. При определённых условиях, о которых будет сказано ни-
ниже, множественные партон-партонные взаимодействия могут привести
к установлению локального термодинамического равновесия в кварк-
глюонной системе при температуре Ti (в). Если Ti > Тс (температура
фазового перехода), то система находится в состоянии кварк-глюон-
кварк-глюонной плазмы. КГП расширяется, температура уменьшается и достигает
критической температуры Тс. Если фазовый переход первого рода,
2.2. Пространственно-временная картина взаимодействий
35
208
РЬ ¦
,208-
РЬ
Предравновесие
Кварк-глюонная плазма
Н
1 фм
Фазовый переход
(смешанная фаза)
Взаимодействующий
адронный газ
Рис. 2.3
ядерная материя проводит некоторое время в состоянии смешанной
фазы, в которой сосуществуют кварки, антикварки, глюоны и адроны
(г). В этом состоянии происходит преобразование кварковых степеней
свободы в адронные. Далее система расширяется и распадается на
невзаимодействующие частицы (д).
В этом описании возникают, по крайней мере, два основных во-
вопроса.
1. Как следует описывать переход кварк-глюонной системы из на-
начального состояния (перед адронными столкновениями) в возможное
состояние термодинамического равновесия?
2. Устанавливается ли вообще локальное термодинамическое рав-
равновесие в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов?
Иными словами, можно ли ядро-ядерные столкновения описывать
на микроскопическом уровне (в терминах функций распределения ис-
исходных партонов) или существует временной интервал, на котором
макроскопическое (статистическое) описание применимо к системе
кварков и глюонов?
Таким образом, должен существовать переходный процесс между
исходным состоянием ядер и возможным состоянием термодинамиче-
термодинамического равновесия, требующий кинетического описания.
2*
36 Гл. 2. Сжатая и нагретая адронная материя
2.3. Предравновесные процессы
и термализация партонов
Рассмотрим столкновения ядер в пределе слабой связи. Пусть, ги-
гипотетически, сталкиваются ядра с массовым числом А « 106 (!) или
обычные ядра, но с энергией 109А ГэВ. Последний случай более реа-
реалистичен, поскольку ядра с такой энергией могут быть во Вселенной.
В обоих случаях соответствующий энергетический масштаб Qs велик,
и as — мала.
В этом режиме можно дать ответ на основные вопросы: терма-
лизуется ли система партонов, каковы начальные температуры, как
происходит термализация? Объясним сначала происхождение масштаба
насыщения Qs-
Рассмотрим ядро с очень большей энергией. Поскольку ядро имеет
скорость, близкую к скорости света, в z — направлении оно представ-
представляет собой сжатый диск. При этом плотность партонов в поперечном
направлении очень большая.
Если расстояние между соседними партонами ^/i-1(/i имеет раз-
размерность массы), то плотность партонов ^/j2. Для очень больших ядер
и очень больших энергий /i > Лкхд-
Выберем слой размером R, такой, что R <С Л{^[д ~ 1 Фм- Число
партонов в таком слое N ~ /j?R2.
Оценим цветовой заряд внутри слоя. Так как цвета партонов рас-
распределены случайно, заряд пропорционален л/N. Поскольку каждый
партон несёт заряд g, то Q « gy/N ~ g^R- Если предположить, что
глюонное поле линейно, то его амплитуда
AM~|~g/x. B.18)
Для проверки линейности заметим, что тензор напряжённости поля
F[iv — д^Ау — дуАу, + g[A^, Ay] и нелинейность содержится в комму-
коммутаторе glAy, Ay]. Линейное же слагаемое д^Ау — дуА^. Их отношение
^-— rsj gAR rsj g^fiR и мало при R <C (g^/i)
Поля нелинейны, если размер R ~ (g2/^) • По определению, мас-
масштаб насыщения
Qs = (gifir1. B.19)
Таким образом, Qs — это масштаб, на котором глюонное поле в ядре
становится нелинейным.
Будем рассматривать эволюцию ядерного вещества в скейлинговых
переменных:
I I + _1_ iv
B.20)
В этих переменных все физические величины зависят только от г.
2.3. Предравновесные процессы и термализация партонов 37
Эволюция происходит в нескольких режимах: Qst ~ а~5/2, а~7/2
и а~13/5. Будем описывать эволюцию системы до Qst ~ а~ъ/2.
а) очень ранее время: 1 <С Qst <С а~ъ12. За времена г ~ Q^1
глюоны испускаются ядрами, их характерный импульс ~Qs и числа
заполнения ~1/а. Из-за больших чисел заполнения глюоны взаимо-
взаимодействуют так сильно, что их нужно описывать как нелинейные поля,
а не набор частиц. Только если Qst ^ 1 классическое поле становится
практически линейным, и глюоны можно описывать как набор частиц
на массовой поверхности с функцией распределения
dN 1 „ {к±\ B 21)
Конечно, точная форма / зависит от деталей непертурбативной КХД
на масштабах а ~ Q^1.
Будем называть глюоны, рождённые на этой стадии, частицами,
имея в виду, что «более поздние» глюоны имеют меньшие импульсы.
Плотность жёстких глюонов уменьшается при расширении:
Ж B-22)
При этом глюоны испытывают упругие перерассеяния, причём боль-
большинство рассеиваются на малые углы при характерном переданном
импульсе q <C Qs- Наименьший переданный импульс определяет деба-
евскую массу
2[ШйЗ
Р F Qs Qst' ^'
Если предположить, что то < pz (это условие оправдано a priori),
то большинство столкновений не уводят частицы (глюоны) из области
импульсов, где числа заполнения велики (к± ~ Qs, kz ~ pz). Частота
столкновений усилена Бозе-фактором
^ - aNn(l + Д) - -^-, B.24)
где a rsj a2m2D — сечение и Д = Nh/(Q2spz) — типичные числа запол-
заполнения.
Эти случайные столкновения увеличивают продольный импульс
глюонов:
B.25)
Кроме упругих столкновений глюонов, конечно, есть и неупругие,
в которых рождаются глюоны. При этом большинство рождённых
глюонов имеют энергии, меньше, чем их «родители». Число «мягких»
38 Гл. 2. Сжатая и нагретая адронная материя
глюонов, рождённых в момент времени г с импульсом ks, задаётся
формулой БетеТайтлера
. B-26)
Плотность «мягких» глюонов уменьшается по закону ~1/т.
Заметим, что Ns/ks ~ N^/Qs, поэтому в Дебаевскую массу вносят
вклад как жёсткие, так и мягкие глюоны:
aNh
б) промежуток времени а~ъ12 <С Qsr <С а~5/2.
Начиная с момента, когда Q$t ~ а~3/2 числа заполнения жёстких
глюонов оказываются меньше единицы. Оказывается, что при а~3/2 <С
<С Qst "С а~5/2 мягкие глюоны вносят пренебрежимо малый вклад
в полное число глюонов, но именно они определяют Дебаевскую массу,
b^ B.27)
Оценим сначала ks — характерный импульс мягких глюонов.
При Д <С 1 имеем
k2s - Ncoim2D - raNhm2D - aQ%. B.28)
Тогда число мягких глюонов, рождённых в момент времени г
^^ B.29)
mD mDr
Поэтому из соотношений B.27) и B.29) получаем
1/4п2
Ns ~ a 4f/2, B.30)
Для того, чтобы мягкие глюоны вносили вклад в Дебаевскую массу,
необходимо
ibf» Ф B-32)
т. е.
> оГъ1\
Число мягких глюонов становится сравнимым с числом жёстких
глюонов при Qst ~ а~ъ12.
2.3. Предравновесные процессы и термализация партонов 39
Испускание глюонов в ядерной среде, как известно, подавлено
вследствие эффекта Ландау-Померанчука, это происходит на мас-
масштабе
4
кьрм = m2D (Nha)~l или kLPM ~ -ф^- ~ al/2Qs-
a Nh
Эффект Ландау-Померанчука подавляет рождение глюонов на мас-
масштабах, больших ks, но не изменяет скорость рождения глюонов на
масштабах то < к < ks.
в) термализация мягких глюонов (Qst > a~5/2).
После Qst ~ а~5/2 большинство глюонов — мягкие, т. е. Ns ^>
^> Nh. Как будет видно, мягкие глюоны часто сталкиваются друг
с другом, достигая при этом термодинамического равновесия. Таким
образом «спектр мягких глюонов» можно характеризовать температу-
температурой, которая является функцией времени. Однако система в целом
ещё не находится в состоянии термодинамического равновесия, так как
большую часть энергии несут немногочисленные жёсткие глюоны. Эти
глюоны сталкиваются с мягкими глюонами, теряя при этом энергию.
Жёсткий глюон с энергией порядка Qs теряет энергию в среде
из-за следующего механизма. Прежде всего происходит испускание
частицы с меньшим импульсом к^Т, которая за время, сравнимое с т,
распадается на два глюона. Продукты распада далее дают каскад
частиц. Как будет видно, к\^т находится в области импульсов, в которой
испускание подавлено эффектом Ландау-Померанчука.
Оценим время испускание %т глюона, имеющего импульс кьт:
1/tbr ~ a/tf, где время формирования tf ~ к^/к^. Глюон приобретает
поперечный импульс к2 ~ m2Dtf/X. Поскольку А ~ Nscr ~ Nsol2/rm?D,
получаем
Приравнивая %r = г и используя 7V^ ~ T3 (T — температура «мягкой»
составляющей системы), находим кът ~ а4Т3т2.
При этом зависимость температуры от времени следует определить.
Число /сьг-глюонов, рождённых в единицу времени в единице объёма
dN(kbT) Nh a2Nls/2Nh Q%
1 ^ ^ Гл5 ^ o- V^-^4)
Поэтому скорость передачи энергии от жёстких глюонов к мягким
ku^^-aQsT ¦ B.35)
Эта энергия увеличивает энергию системы мягких глюонов, она про-
пропорциональна d(T4)/dr, т.е. Т ~ a3Q2sr.
Видно, что температура системы мягких глюонов растёт линейно со
временем даже при расширении системы, поскольку жёсткие глюоны
40
Гл. 2. Сжатая и нагретая адронная материя
являются источником энергии. Когда система начинает формироваться
(Qst ~ о^~5^2), её температура равна ax/2Qs- Время релаксации мягкой
подсистемы rrei ~ (a2T)~l ~ (a5Q2sr)~l.
Если Qst > a~5/2, то тте\ «ти удовлетворяет предположению тер-
термодинамического равновесия в мягкой подсистеме, т. е. приближению
времени релаксации
? . .геа /1 _ — т/тГР1 \ /о Q?.\
Js -^ J чA - е 7 rel). B.3b)
Линейный рост температуры со временем заканчивается тогда, когда
жёсткие глюоны теряют всю свою энергию. Это происходит, при к\^т ~
~ Qs или г ^ а3/5^1» т-е- температура достигает максимального
значения ^а2/5^^, которое больше начальной температуры лишь на
фактор а/10.
Отмеченная выше картина описывается в кинематическом подходе
следующим уравнением для жёстких глюонов:
B.37)
где Се\ — интеграл упругих столкновений [30] и
Г л d2l Г 1 г
1 ~ХГ2
i/ft
-/(и/
\ - ж)) - f(px)f(p(\ -
B.38)
описывает процессы переходов партонов 2 —> 3 и 3 —> 2. Четыре слага-
слагаемых в выражении B.38) соответствуют следующим диаграммам:
хр
В выражении B.38) величина
dxdt
— скорость расщепления жест-
жесткого глюона с импульсом \р\ ~ Qs на два коллинеарных глюона с им-
импульсами хр и A — х)р. Эта скорость рождения может быть вычисле-
вычислена [31] для системы бесконечного размера:
Si
dxdt
h(x),
B.39)
где
2.3. Предравновесные процессы и термализация партонов 41
U Л ь A-х + х2M72 h 2 N2C Л <fc?>Y/2
h(x) = /in- тгчт^—, ^0 = —^ о—-—пт; In -Чр
BK/2 VMi\?iI/2V Ь
B*У
Интеграл упругих столкновений Се\ связан с термализацией мягких
глюонов ср^Т и уширением распределения по pz жёстких глюонов.
Связанное с неупругими столкновениями слагаемое, Cproci, контро-
контролирует преобразование энергии из сектора жёстких глюонов в сектор
мягких глюонов.
Для жёстких глюонов с малыми числами заполнения (/ <С 1) урав-
уравнение B.37) значительно упрощается.
Определим величину
B.40)
которая нормирована так, что энергия, переносимая жёсткими глю-
онами, равна dp±e(p±), тогда кинетическое уравнение для е(р±)
имеет вид
i I (те(р±)) = ^ \dxh(x) [x^s (^) - i e(p±j\. B.41)
Будем в дальнейшем использовать р вместо р±. Уравнение B.41) не
описывает мягких глюонов, для которых существенен интеграл упру-
упругих столкновений. Однако эти глюоны полностью термализованы, по-
поэтому спектр мягких глюонов можно характеризовать температурой Т.
В частности,
N = gNT*. gN = 2(N2c-lI-. B.42)
Зависимость температуры от времени определяется количеством энер-
энергии, трансформирующейся из жёсткого в мягкий сектор глюонов. Что-
Чтобы найти эту величину, введём промежуточный масштаб ро, при этом
Т <С ро <^ Qs, и проинтегрируем уравнение B.41) от р0 ДО ж:
оо 1 Ро/х
1- ^ (т \ йрг{р)\ = -a2N1'2 \ dxh{x)x \ с1р^Щ. B.43)
Ро 0 Ро
Левая часть этого уравнения имеет смысл энергии, текущей из об-
области р > ро в область р < ро- Эта величина должна быть независимой
от ро, если ро <^ Qs- Однако это оказывается возможным, если е(р)
имеет следующее поведение при малых р:
Ф) = ^72' T^p^Qs- B.44)
42 Гл. 2. Сжатая и нагретая адронная материя
Правая часть уравнения B.43) в этом случае принимает следующий
вид: bhoa2Nl/2?\, где
Г (\-т + т2M/2 1
Ь = dx^— 9 J9 х In - « 4,96. B.45)
J (x-x2f/2 х '
О
Поэтому уравнение для эволюции температуры имеет вид
3 ^ B.46)
так как при одномерном расширении плотность энергии ss{T) лёгких
глюонов при температуре Т
es(T) = gET\ gE = 2(N2c-l)^. B.47)
Заметим, что уравнение B.46) описывает эволюцию после Qst ~ а~5/2.
Из B.43) нужно извлечь е\, которая входит в соотношение B.46),
описывающее температуру Т.
Покажем, что эту процедуру можно провести аналитически в ре-
режиме а~5/2 <С QsT <^ а~13/5. Уравнение B.43) решается методом ите-
итераций, т. е. представим решение в виде
е(т,р) = ео(т,р) + ех(т,р) + е2(т,р) + ..., B.48)
где sq(t,p) — начальное распределение энергии. Оно связано с числом
жёстких глюонов qq
Nh(r)= I dkk-{e0{r,k) B.49)
v
для р ^> Т и р <С Qs- Величина Nh(r) при одномерном расшире-
расширении ~1/т.
Решая для е\(т,р) уравнение B.43), получим при р <С Qs
?1(т,р) = ^М, B.50)
р '
где ?\(т) удовлетворяет уравнению
21/2 B.51)
Видно, что г\(т,р) — сингулярна при малых р, поэтому при малых р
ряд B.48) сходится и решение уравнения B.46) есть ео + е\.
Для решения уравнения B.51) и B.46) нужно знать только полное
число жёстких глюонов Nh, а не их функцию распределения. Это число
параметризуется Qs и безразмерной константой С[30]:
^±^ B.52)
2.4. Гидродинамическая модель расширения ядерной материи 43
Тогда уравнения B.46) и B.43) можно решить. Для температуры имеем
Т = CTa3Q2sr,
где 2 2
* fcL ftv ЬЛ§с = ^Л^С1п%1 B.53)
fe ° 82 Ь
160тг2 ^с fe ° 8тг2 Ь
Заметим, что B.53) выполняется с логарифмической точностью, по-
поскольку величина ——- в B.38) имеет логарифмическую точность.
2.4. Гидродинамическая модель расширения
ядерной материи
Образованная при начальной температуре Т^ и плотности энергии е^
кварк-глюонная плазма испытывает расширение, при этом температура
падает. Этот процесс можно попытаться описать уравнениями движе-
движения идеальной релятивистской жидкости [32], дополнив уравнения ре-
релятивистской гидродинамики уравнением состояния ядерной материи.
При температурах Т = Тс кварки и глюоны начинают образовывать
адроны, система находится в смешанной фазе. При Т < Тс гидроди-
гидродинамическое расширение испытывает адронный газ. Помимо уравнения
состояния важнейшую роль в гидродинамике играют начальные (гра-
(граничные) условия.
Уравнения гидродинамики, описывающие эволюцию ядерной мате-
материи, можно найти в работе [32]. Эти уравнения определяют эволюцию
жидкости или газа в пространстве и времени. Состояние жидкости
характеризуется локальными значениями температуры, энергии, энтро-
энтропии и скорости. Если пренебречь диссипативными эффектами в такой
жидкости (вязкостью, теплопроводностью), то тензор энергии-импуль-
энергии-импульса релятивистской жидкости, движущейся со скоростью и^, можно
получить путём лоренц-преобразования из системы покоя:
Т^ = (е + p)u»uv - g^p. B.54)
Это уравнение следует дополнить уравнениями, выражающими за-
законы сохранения энергии-импульса и барионного числа:
Г д^Т^ = 0;
< B.55)
\ =0,
где пв(хЛ) — локальная барионная плотность. Из B.54) и B.55) имеем
uvdve + (е + p)dvuv = 0, B.56)
где г — плотность энергии и р — давление.
44 Гл. 2. Сжатая и нагретая адронная материя
Следующий шаг — выбор координат, описывающих эволюцию ядер-
ядерной жидкости в цилиндрической геометрии, причём ось z совпадает
с направлением сталкивающихся ядер. В координатах z и t 4-скорость
и^ элемента жидкости запишется в виде
и» = -=L== (l,vz,vT,0). B.57)
y/l-i/i-i/f
Если радиальная скорость vr = 0 (это часто используемое прибли-
приближение), то оставшиеся компоненты и^ параметризуются следующим
образом:
^ (h#h#O,O), B.58)
где быстрота элемента жидкости
tf = arctgzv B.59)
В терминах переменных г\ и г гидродинамические уравнения B.56) для
продольного расширения имеют следующий вид:
drj
B.60)
Эти уравнения следует дополнить третьим уравнением, учитывающим
сохранение барионного заряда:
Таким образом, имеется три уравнения B.60), B.61) для четырёх неиз-
неизвестных функций: плотности энергии г, давления р, быстроты элемента
жидкости $, барионной плотности пв- Все эти функции зависят от
переменных ту и г.
Поэтому для нахождения решений уравнений B.60), B.61) нужно
иметь ещё одно уравнение и задать начальные условия. Таким допол-
дополнительным уравнением является уравнение состояния, связывающее
г, р, Т и S. Например, в качестве уравнения состояния можно исполь-
использовать уравнение состояния в модели мешков, обсуждавшееся выше.
В литературе существует несколько предположений относительно на-
начальных условий гидродинамического расширения.
Мы будем обсуждать сценарий расширения Бьёркена [33]. В этом
сценарии учитываются несколько экспериментальных условий. Цен-
Центральная область быстрот вторичных частиц во взаимодействии реля-
релятивистских ядер, как ожидается, «заселяется» тг-мезонами. Поэтому
вполне оправданным выглядит предположение о нулевом барионном
числе в центральной области быстрот. Условие пв = 0 значительно
упрощает гидродинамические уравнения. Далее, время формирования
2.4. Гидродинамическая модель расширения ядерной материи 45
частиц с большими продольными импульсами превышает время форми-
формирования медленных частиц. Это не что иное, как проявление парадокса
близнецов теории относительности. Время формирования частицы тем
больше, чем больше её скорость. В сценарии Бьёркена эффект запаз-
запаздывания учитывается в граничных условиях.
Рассмотрим ансамбль частиц, рождённых в момент z = t = 0. Если
только собственное время г определяет эволюцию системы, за на-
начальные условия удобно выбрать гиперболу л/t2 — z2 = то с постоян-
постоянным собственным временем то. Пространственно-временная быстрота г\
определяет положение частицы на этой гиперболе. Два различных
положения на гиперболе связаны Лоренц-преобразованием в ^-направ-
^-направлении. Так как частицы в элементе жидкости, по предположению, дви-
движутся свободно, их компонента скорости vz = z/t. Состояние элемента
жидкости с координатой z в момент времени t эквивалентно состоянию
элемента жидкости с координатой z1 в момент времени t' = zr/vz. Для
vz = z/t пространственно-временная быстрота г] равна быстроте Y:
если 4-импульс р = (E,pz,p±) и р± — поперечный импульс.
Третья особенность спектров частиц в протон-протонных столк-
столкновениях — плато в инклюзивных спектрах частиц как функции Y.
Плато в центральной области быстрот ожидается и в ядро-ядерных
взаимодействиях. Предполагается, что локальные термодинамические
величины типа г, р, Т, S зависят только от то, а не от г] (то) как при
гидродинамическом расширении. Таким образом, начальные условия
инвариантны относительно лоренц-преобразований вдоль оси z. Поэто-
Поэтому будем искать решения уравнений B.60), B.61), зависящие только
отт: е(т), S(t),T(t).
Подставляя vz = z/t в выражение для 4-скорости, получим
\ A,^,0,0) = (!,?:,0,0) =(ch7?,sh7?,O,O). B.63)
и \ 2
Сравнение с B.58) позволяет заключить, что быстрота элемента жид-
жидкости совпадает с пространственно-временной быстротой т\. При т\ = #
уравнения B.60) имеют следующий вид:
B.64)
Уравнение для энтропии
г^ + 5 = 0 B.65)
от
имеет решение
f = ^. B.66)
D T
46
Гл. 2. Сжатая и нагретая адронная материя
Как видно, при интегрировании по трёхмерному объёму (fix =
= rdYcPxt, энтропия, приходящаяся на заданный интервал быстрот,
остаётся постоянной при гидродинамическом расширении. Это
утверждение, однако, не справедливо для процесса перехода кварк-
глюонной плазмы в адронную фазу.
В координатах (г, rj) уравнение для температуры
с\ = тдтт = о,
где Cs — скорость звука в ядерной материи:
„,2 др
s = We'
Интегрирование уравнения B.67) даёт:
Т =
— 1
B.67)
B.68)
B.69)
Для идеального газа безмассовых частиц Cs = 1/л/З, поэтому тем-
температура убывает медленнее, чем плотность энтропии. Фактически
предсказываемое убывание температуры и плотности энергии может
быть ещё более медленным, поскольку пренебрегалось поперечным
расширением ядерной материи.
В скейлинговых переменных эволюция ядерной материи имеет вид,
показанный на рис. 2.4. При 0 < г < Тг ядерное вещество находится
в неравновесном состоянии,
в области Q(ji < г < tq) —
в фазе равновесной кварк-
глюонной плазмы, М —
смешанная фаза из квар-
кварков, глюонов и адронов,
Н — адронный газ. При
г = Tf система распада-
распадается на невзаимодействую-
невзаимодействующие вторичные адроны. Лег-
Легко видеть, что скейлинго-
вые решения уравнений ре-
релятивистской гидродинами-
гидродинамики приводят к равномерно-
равномерному распределению вторич-
вторичных частиц по быстротам —
плато Фейнмана. Из рис. 2.4 очевидны трудности экспериментального
детектирования эффектов образования кварк-глюонной плазмы. Дей-
Действительно, время жизни КГП г ~tq, эта величина оказывается гораз-
гораздо меньше времени ту. Поэтому сигналы КГП в значительной степени
«маскируются» испусканием частиц из адронной и смешанной фаз.
КГП
Предравновесие
Рис- 2.4
2.5. Спектры вторичных частиц, вымораживание 47
2.5. Спектры вторичных частиц, кинетическое
и химическое вымораживание
В процессах множественного рождения одноинклюзивные спектры
частиц обычно экспоненциальны по поперечному импульсу р±. Причи-
Причина экспоненциального поведения — особенности фазового пространства
многочастичных состояний.
Рассмотрим процесс, когда две частицы (или ядра) сталкивают-
сталкиваются и рождается N частиц в конечном состоянии. Пусть 4-импульсы
налетающих частиц р^ и р^, а 4-импульсы рождённых частиц р^,
При этом р^ = (Ei,pi) и Ei = \1р\ + т\ . Полный 4-импульс
Р^=рТ+РТ = Т,Рг' B-70)
г=1
С точностью до констант, зависящих от р^ и р^, сечение этого про-
^(г)\()\ B.71)
г=1 г V г=1
где |М|2 — квадрат матричного элемента для процесса 2 —> 7V.
Одноинклюзивный спектр
Введём «усреднённый» матричный элемент
{\M(P,ph...pN)\2
P2,...PN
г=2 ' V г=2
B.73)
где усреднение проводится по 3(N — 1)-мерному импульсному про-
пространству ненаблюдаемых (N — 1) частиц и
N ,3- / N
i=2 i
— лоренц-инвариантный пространственно-временной объём.
Тогда одноинклюзивное сечение
Ei-^r ~ Ф(Р - pi){\M(P,pi, ...PN)\2}. B.74)
dpi
48 Гл. 2. Сжатая и нагретая адронная материя
Отметим, что динамическая информация о процессе 2 —> N содержится
во втором сомножителе B.74). Первый же фактор (пространственно-
временной объём) в некотором смысле тривиален. Для вычисления
пространственно-временного объёма предложим, что все N частиц —
безмассовые. В этом случае нет других величин с размерностью энер-
энергии, поэтому
М3
Поскольку Ф(Р — р\) — лоренц-инвариантная величина, оценим её
в системе центра масс сталкивающихся частиц, в которой р^ = (Е,0),
тогда
B.76)
В пределе N ^> 1 скобка сводится к экспоненте
Тогда из B.74), разделив на полное сечение (при быстроте у\ = 0),
имеем
dN i fjj_A \ ,~ jj^
Предполагая, что усреднённый квадрат матричного элемента (|М|2) не
зависит (сильно) отр^, получаем, что инвариантный одноинклюзивный
спектр зависит от р± экспоненциально с параметром наклона Т =
= E/BN).
Отметим, что при таком рассмотрении не нужно делать предполо-
предположение о термодинамическом равновесии.
Тем не менее, одноинклюзивный спектр в состоянии термодинами-
термодинамического равновесия имеет экспоненциальное поведение.
В этом случае инвариантный спектр задаётся формулой [34]
\) B.78)
pi J V 1 J
s
где Е — 3-х мерная гиперповерхность, на которой вычисляется спектр
по поперечному импульсу, dXM — единичный вектор на поверхности Е,
a f(x,X) — температурная функция распределения. Для Больцманов-
ских частиц
f(x,\)~\e-x, B.79)
Л = exp(/i/T), /i — химический потенциал, и^ — 4-вектор скорости
системы, т.е. усреднённая 4-скорость движения частиц. В системе
2.5. Спектры вторичных частиц, вымораживание 49
покоя и^ = A,0). Для простоты вычислим спектр в фиксированный
момент времени, т.е. cE/i = (d3x,0), тогда
Тр &1\ \Г \ Гр ~ — Е\/Т /Г) ОА\
.С/1 —о— ~ i/Ai-C/ie . (Z.oU)
Для ультрарелятивистских частиц энергия, приходящаяся на одну ча-
частицу, связана с температурой E/N = ЗТ, тогда при быстротах у\ « 0
B.81)
Видно, что в этом случае наклон связан с температурой Т = E/CN)
и в 3/2 раза больше наклона в предыдущем случае. Причина такого
различия — отличие инвариантного импульсного пространства от тер-
термодинамического импульсного пространства.
Заметим, что угол наклона спектров линейно растёт с массой ча-
частиц в АА столкновениях. Tsiope = а + Ьпг, в то время как для рр
столкновений Tsiope не зависит от массы, Tsiope = a.
Для SPS энергий а = 140 МэВ, параметр Ъ зависит от размеров
сталкивающихся ядер и растёт с увеличением массы га, причём,
а~§- B-82)
Константа Ъ связана с коллективным движением, т. е. Ъ пропорциональ-
пропорциональна скорости коллективного расширения. Отметим, что наличие кол-
коллективного расширения указывает на существование взаимодействий
в конечном состоянии, которые способствуют установлению кинетиче-
кинетического равновесия.
Вымораживание происходит тогда, когда скорость микроскопиче-
микроскопических взаимодействий становится сравнимой со скоростью макроскопи-
макроскопического расширения системы. В случае модели динамически расши-
расширяющейся жидкости предполагается, что вымораживание происходит
на пространственно-временной поверхности постоянной плотности или
температуры. Следует подчеркнуть, что существует два типа вымора-
вымораживания: химическое, когда завершаются неупругие взаимодействия
частиц (партонов) и кинетическое, когда прекращаются упругие взаи-
взаимодействия.
Предположим, что кинетическое вымораживание происходит на по-
поверхности постоянной температуры, тогда, используя теорему о сред-
среднем и соотношение B.78), получим для спектра частиц
dN
dyd
B.83)
у=0
где (v±) и G) — средние значения поперечной компоненты 3-х мерной
скорости и 7 — лоренц-фактор для массовой поверхности. При у = 0
50 Гл. 2. Сжатая и нагретая адронная материя
разумно пренебречь продольной компонентой коллективного движе-
движения, т. е.
7 « * B-84)
Если предположить азимутальную симметрию, то спектр B.83) зависит
только от Tf0 и среднего модуля коллективной скорости (v±).
Для энергий SPS можно извлечь значения Tf0 и (v±):
Tf.o. ~ 100 -г- 140 МэВ, (v_l) « 0,5 -г- 0,6.
В принципе, есть ещё один независимый способ определения тер-
термодинамических величин в момент вымораживания. Заметим, что
для вычисления спектра вторичных частиц по поперечному импуль-
импульсу нужно знать не только «температуру» и скорость поперечного
расширения на гиперповерхности вымораживания, но и величины
A^f.o. = ехр (Мц0jTn.о.), определяющие нормировку спектра. В общем
случае химические потенциалы /1ц0. меняются на гиперповерхности.
Предположим, однако, что /iif.o., как и Тц0. постоянны на гиперповерх-
гиперповерхности. Предположим также, что частицы всех серий вымораживаются
на одной и той же гиперповерхности. Конечно, это довольно грубое
предположение, поскольку длины свободного пробега частиц различ-
различных серий неодинаковы. При этих предположениях отношение полного
числа частиц серий г и j:
^i^dZpiffau/TAi)
ТГ = -V-5 = 7 ' B-85)
где
— 4-ток частиц серии г.
При кинетическом равновесии 4-ток имеет следующую формулу:
Nj1 = щп^, где щ = щ(Т,11г) — плотность числа частиц серии i
в локальной системе покоя. 4-скорость и^ — общая для всех частиц
данной серии, поскольку предполагается, что система приходит в со-
состояние локального термодинамического равновесия непосредственно
перед вымораживанием.
Тогда из B.85) получаем
^Г = —7^ \' (i.ob)
поскольку фактор J dY,u сокращается в числителе и знаменателе.
2.6. Начальная плотность энергии термализованной ядерной материи 51
Результат B.86) замечательный в том смысле, что отношение вы-
выходов частиц не зависит от детальной динамики эволюции системы до
момента вымораживания.
Предположим теперь, что система находится не только в кинети-
кинетическом (т.е. температурном и механическом равновесии), но и в хи-
химическом равновесии. Это предположение оправдано, если скорость
неупругих столкновений достаточна велика. Тогда химический потен-
потенциал частиц серии г
[*>% = Ьфь + вф8 + ефе + • • •, B.87)
где fib, /is и /ie — барионный, странный и электрический химические
потенциалы и bi, Si, e^ — барионный заряд, странность и электрический
заряд частиц серии г. Многоточие в выражении B.87) отражает воз-
возможность других сохраняющихся зарядов и ассоциированных с ними
химических потенциалов.
Глобальное сохранение барионного заряда, странности и электриче-
электрического заряда вносят дополнительные ограничения, которые позволяют
исключить все химические потенциалы за исключением, например,
/i&. В этом случае все отношения выходов числа частиц оказываются
функциями лишь двух параметров: Т и /i&, поэтому их можно извлечь
из экспериментальных данных.
Заметим, что поскольку для химического равновесия необходимы
неупругие столкновения, а для кинетического равновесия только упру-
упругие столкновения, то химическое вымораживание происходит раньше,
т. е. при больших температурах, чем кинетическое вымораживание.
2.6. Начальная плотность энергии термализованной
ядерной материи
Рассмотрим центральное (с прицельным параметром, равным нулю)
столкновение двух одинаковых ядер с массовым числом Д имеющих
в системе центра масс лоренц-фактор 7 G = Е/т ^> 1, где т —
масса нуклона, Е — энергия, приходящаяся на нуклон). В про-
продольном направлении ядра испытывают лоренц-сжатие до размеров
2-Ra/t ~ 2т41/3/ш7Г7, где Ra — радиус ядра А и т^ — масса тг-мезона.
В начальный момент t = 0 нуклоны сталкивающихся ядер взаимодей-
взаимодействуют между собой, образуя адронный файербол. В последующие мо-
моменты времени файербол расширяется со скоростью порядка скорости
света. Оценим начальную плотность энергии файербола в столкнове-
столкновениях релятивистских тяжёлых ионов.
Для простоты заменим ядро «нуклоном», движущимся с лоренц-
фактором 7- При энергиях SPS высота плато в распределении вторич-
вторичных частиц по быстротам составляет dn^jdy « 3, где псь — число
заряженных вторичных частиц.
52 Гл. 2. Сжатая и нагретая адронная материя
Предполагая, что средняя энергия, приходящаяся на одну частицу
в центральной области быстрот (Е) « 400 МэВ и отношение числа
нейтральных частиц к заряженным щ/псъ « 0,5, находим плотность
энергии в интервале быстрот от у до у + dy\
d{E) _
rfy 2. dy
Если налетающие частицы не нуклоны, а ядра, то в приближе-
приближении невзаимодействующих нуклонов предыдущее выражение следует
умножить на число нуклонов А. Оценим плотность энергии файербола
толщины 2Аж между двумя плоскими слоями, движущимися со скоро-
Ах
стями v = ±——. Согласно скейлинговому решению, обсуждавшемуся
выше, вторичные адроны будут ограничены интервалом быстрот
л о .« /Ах\ оАж
Ay = 2arcth -— « 2-—.
у V At У At
Тогда энергия частиц
Е = А^Ау. B.89)
dy
Чтобы найти начальную плотность энергии г^, надо разделить энер-
энергию Е на начальный объём: S{ = E/Vi. В скейлинговых переменных
элемент 4-мерного объёма
B.90)
Интегрируя d4x no x в пределах ±Ау/2, получим
^ B.91)
где tyR2a — площадь поперечного сечения сталкивающихся ядер
~ 1,2 фм А1/3). Тогда начальная плотность энергии файербола
?.^J^d(ElL B92)
?г 4,5 фм dy n (Z*Z)
При столкновении ядер свинца начальная плотность энергии для зна-
значений времени т^ « 1 фм составляет
?i«5^. B.93)
Эта плотность энергии примерно на порядок величины больше
нуклонной плотности энергии в ядрах, и как было отмечено в первой
главе, при таких плотностях энергии следует ожидать перехода ядер-
ядерной материи в фазу кварк-глюонной плазмы.
Важной особенностью формулы B.92) для плотности энергии явля-
является её пропорциональность А1/3. Причина такой зависимости состоит
в том, что в начальный момент гидродинамического расширения вклад
в плотность энергии дают А1/3 пар нуклонов. Важными являются
следующие вопросы.
2.7. Начальная плотность энтропии 53
1. В каком объёме образуется ядерный файербол?
2. Достаточны ли энергии имеющихся ускорителей для формирова-
формирования плотностей энергии B.93)?
Например, для SPS коллайдера ЦЕРН характерные энергии в си-
системе центра масс ^500 ГэВ. Если вся имеющаяся энергия трансфор-
трансформируется в тепловую энергию файербола и плотность энергии дости-
достигает значений B.93), то объём файербола должен составлять Vi ~
« 500 фм3. Эта величина сравнима с объёмом тяжёлых ядер (типа свин-
свинца). Однако имеющаяся энергия столкновения не полностью транс-
трансформируется в тепловую энергию файербола, поскольку заметная доля
энергии переносится лидирующими частицами, не входящими в состав
файербола. Это обстоятельство понижает оценку плотности энергии
примерно в 2 раза, если вторичные лидирующие частицы несут ^50%
энергии сталкивающихся частиц. С другой стороны, для повышения
начальной плотности энергии следует отбирать центральные столкно-
столкновения ядер, т. е. иметь специальный экспериментальный триггер на
такие события. Вопросы корреляций между прицельным параметром
и поперечной энергией в событии, позволяющие отбирать центральные
события, будут рассмотрены в 3-й главе. В конце же этой главы будут
даны оценки начальной плотности энтропии файербола, формируемого
в столкновениях релятивистских ядер
2.7. Начальная плотность энтропии
В этом разделе попытаемся связать начальную температуру Т^
ядерного файербола с характеристиками вторичных адронов и оценить
времена tq,tjj и tj в предположении сохранения энтропии в процессе
расширения.
Условие сохранения энтропии означает отсутствие диссипации
в процессе расширения. Заметим, что это предположение не означает,
что взаимодействие между кварками и глюонами мало. Как известно,
условие идеальности ядерной жидкости применимо тогда, когда харак-
характеристические времена и длины свободного пробега частиц (кварков,
антикварков и глюонов) удовлетворяют условиям
B.94)
где t и L — временные и масштабные факторы, на которых такие
гидродинамические величины, как плотность энергии, давление и т.д.
испытывают значительные изменения. В какой степени эти условия
выполнимы в столкновениях релятивистских ионов? Так как харак-
характерная длина свободного пробега кварков Л ^ 1 фм, а размер системы
в поперечном направлении Ra ~ Ах^ фм, условие B.94) выполняется
с хорошей точностью. Характерные времена взаимодействия кварков
и глюонов г ~ 1 фм, поэтому первое из условий B.94) также выпол-
54 Гл. 2. Сжатая и нагретая адронная материя
няется с разумной точностью, если учесть, что время t ~ 10 фм —
порядка времени взаимодействия ядер. Используя уравнение состояния
идеальной кварк-глюонной плазмы, найдём для плотности энтропии
S = Ч^ = % = ^Sgl*. B-95)
Согласно скейлинг-решению, плотность энтропии зависит от соб-
собственного времени: s(x,t) = s(r), тогда в момент времени г полная
энтропия S = s(t)V(t), где V(r) = j d4x'5 (r — rf). Интегрируя по d4xf,
получим V(t) = nR2Ar • 2Ym. Поэтому
S = ttR2a- 2Yms(r)r = nR2A4n2gQT3r • 2Ym. B.96)
Для того чтобы связать энтропию S с наблюдаемыми величинами,
предположим, что кварк-глюонная плазма расширяется в смешанной
и адронной фазах адиабатически, т. е. с сохранением энтропии. Так как
в адронной фазе пионный газ имеет уравнение состояния A.1)-A.3),
то по аналогии с B.96) имеем в этой фазе
S = 47r2gH7rR2A2YmT3T, B.97)
где г > тн- В частности, в момент распада файербола на наблюдаемые
адроны (т = тЛ\
^^^^с^ B 98)
2Ym dy dy' V ' ;
где с « 3,6; dn^/dy — распределение по быстротам тг-мезонов, рождён-
рождённых в ион-ионных взаимодействиях.
Сравнивая B.96) с B.98), получаем соотношение, связывающее
плотность энтропии с наблюдаемыми величинами [35]:
_ с 1 dn^ _ l,2/m~2 dn^
Sl " n vR\ dy ~ ТгА^ dy
Заметим, что плотность энтропии можно определить только в со-
состоянии локального термодинамического равновесия, в то время как
плотность энергии можно определить и в неравновесном состоянии.
Из выражения B.99) находим связь начальной температуры с т^:
1/3
1,2 fm d
Тг =
dy
B.100)
Время термализации КГП т^ может зависеть, в частности, от мас-
массового числа ядра. Например в параметризации [36] т^А = rfp/As,
0 < 5 < 1/3 и rfp = 0,5 фм. Точность этих оценок времён т^ составляет
порядок величины. Тогда из B.100) следует, что Т^ определяется с точ-
точностью до фактора два.
Например, при столкновениях ядер 16О с ядрами РЬ при энергиях
ЦЕРН [35] плотность рождённых тг-мезонов составляет dn^/dy « 42.
Тогда получаем для времени термализации Т{ = 0,1 фм, Т^ « 320 МэВ
2.8. Статистическая модель рождения частиц 55
и начальную плотность энергии Si ~ 17 ГэВ/фм3. Время жизни в квар-
ковой фазе tq = 0,8 фм, Тс = 160 МэВ. Для адронной фазы ту « 14 фм,
Tf « Штг ~ 140 МэВ. Как видно из этих оценок, время жизни системы
в кварковой фазе гораздо меньше, чем в адронной фазе, поэтому весьма
непросто выделить сигналы КГП на фоне смешанной и адронной фаз.
2.8. Статистическая модель рождения частиц
в столкновениях тяжёлых ионов
Как известно, равновесное поведение термодинамических величин
можно получить путём усреднения по статистическому ансамблю. При
этом равновесное термодинамическое состояние ансамбля — это такое
состояние, в котором плотность в фазовом пространстве однородна.
В этом смысле однородное заполнение фазового пространства является
необходимым и достаточным условием равновесия.
Основная величина, необходимая для вычисления выходов частиц
в столкновениях тяжёлых ионов при статистическом подходе — произ-
производящий функционал z(T, V). В каноническом ансамбле для частицы г,
несущей странность Si, барионное число Bi, электрический заряд Qi
и спин-изоспиновый фактор gi = BJ^ + 1)B/^ + 1), производящий
функционал определяется уравнением
§ J фр[р(^м)] , B.101)
о
где знак плюс соответствует фермионам, а минус — бозонам.
Тогда плотность частиц
-К- т dlnZi - Ж- \
V V дц 2тг2 J
ехр
где Т — температура, Ei = Jp2 + m\ — полная энергия, щ =
= fibBi + fisSi + fisihi — химический потенциал, связанный с хими-
химическими потенциалами барионного заряда, странности и электриче-
электрического заряда. При этом предполагается сохранение барионного заряда
V у^ щВг = Z + N, странности V^2 пг$г = 0 и электрического заря-
г
Эти ограничения оставляют только два свободных параметра моде-
модели — температуру Т и барионный химический потенциал /i&. На самом
деле, конечно, не определён объём системы, и поэтому следует срав-
сравнивать отношения выходов различных частиц, которые от объёма не
зависят.
56
Гл. 2. Сжатая и нагретая адронная материя
Очевидно, что большой канонический ансамбль — это простейшая
реализация статистического подхода, приемлемая для систем с боль-
большим числом рождённых частиц. Однако для небольших систем (на-
(например, рождённых в периферических ядро-ядерных столкновениях)
или при столкновениях ядер при низких энергиях описание системы
каноническим ансамблем является более адекватным. Переход от боль-
большого канонического ансамбля к каноническому ансамблю приводит
к уменьшению числа частиц («каноническое подавление»). Например,
в каноническом подходе хорошо описываются выходы частиц в е+е~
аннигиляции, хотя необходимо ввести феноменологический фактор по-
подавления странности.
На рис. 2.5 представлены отношения выходов различных частиц
в РЬ + РЬ столкновениях при энергиях 158 ГэВ/нуклон (ЦЕРН).
1 г-
10"
10
-з -
- ' -ф-
о
1
г
г
pip
ф CD
—
О
о.
^ 'fc ^ ~У
^ О »i О ^
1^ 1
ф Ф
-
Ф
I
a
< ^ м a
j- [i] w U ф <f
w ^tj) ^ ^
— Г=170МэВ
° Эксперимент
Рис. 2.5
1
10^2
< [и ^ i Г
^ ,^ im 'C3 ^ b<j
:#^^^ '^
: * STAR Г
! oPHENIX ^ i ^
a PHOBOS "UP" i^ o-
Г ABRAHMS ^^ ^ i
1 ь§;
Модельная аппроксимация J»
по экспериментальным данным
f T= 176 МэВ, ^=41 МэВ
i
1 2
гЗ 1
Сц 1
^ о
1 1
-к ^
У^=200ГэВ
Модельное предсказание для
Г= 177 МэВ, /ль= 29 МэВ
Рис. 2.6
2.8. Статистическая модель рождения частиц
57
Как оказалось, экспериментальные данные хорошо описываются
в статистическом подходе, если использовать параметры Т =
= A70 ±5) МэВ, fjLb = B25 ± 10) МэВ. На следующем рис. 2.6
изображены отношения выходов частиц в условиях RHIC (при
энергиях 130 и 200 ГэВ/нуклон). В этом случае данные описываются
статистической моделью, если выбрать параметры Т = 176 МэВ
и ць = 30 -г- 40 МэВ.
Если нанести извлечённые из экспериментальных данных значения
Т и fib на фазовую диаграмму ядерной материи, то она будет выглядеть
так, как представлено на рис. 2.7.
На этом рисунке извлечённые из экспериментальных данных зна-
значения (T,fj,b) изображены точками, приведены также траектории, на
которых происходит выморажива-
вымораживание адронного газа, соответству-
соответствующие постоянной плотности энер-
„3\
: Адронный газ
z —¦? = 500 МэВ/фм3 • \
• Данные
(температурная аппроксимация)
РКХД
гии (г = 500 МэВ/фм ) и посто-
постоянной барионной плотности (щ =
= 0,12 фм~3). Граница меж-
между адронной материей и кварк-
глюонной плазмой, рассчитанная
в решёточной КХД, обозначена
(РКХД). Квадратики определяют
положения критических точек для
различных способов вычислений
в решёточной теории [37]. Как
видно из рис. 2.7, при энерги-
энергиях SPS извлечённые из экспе-
экспериментальных данных параметры
(Т,{1ъ) близки к фазовой границе,
полученной в решёточных вычис-
вычислениях. Означает ли это, что уже
при энергиях SPS достигается равновесие? Как отмечено в работе [38],
скорости столкновений частиц и временные масштабы расширения
адронной материи не позволяют сделать вывод об установлении равно-
равновесия при энергиях SPS, хотя наличие фазового перехода при этом не
исключается.
60
40
20
0 200 400 600
800 1000 1200
/иь, МэВ
Рис. 2.7
Глава 3
КОРРЕЛЯЦИИ МЕЖДУ ПОПЕРЕЧНОЙ
ЭНЕРГИЕЙ И ПРИЦЕЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ
В СТОЛКНОВЕНИЯХ РЕЛЯТИВИСТСКИХ
ТЯЖЁЛЫХ ИОНОВ
3.1. «Жёсткая» и «мягкая» компоненты поперечной
энергии
Как видно из B.27), начальная плотность энергии пропорциональна
/3 для центральных столкновений ядер (с прицельным параметром,
равным нулю). Для нецентральных соударений зависимость плотности
энергии от массового числа гораздо слабее, чем А1/3. Таким образом,
наибольших Si следует ожидать именно в центральных соударениях.
Но как экспериментально отбирать эти соударения, ведь прицельный
параметр не является величиной, непосредственно измеряемой в столк-
столкновениях ионов?
В этом случае нужно найти измеряемую величину, которая была бы
скоррелирована с прицельным параметром. В этой главе обсуждается
метод косвенного измерения прицельного параметра по поперечной
энергии в столкновении ядер Е± = ^ E±i, где суммирование произ-
производится по всем частицам в событии Е_ц = Jmf + p2±i, rrii и р_ц —
масса и поперечный импульс г-й частицы.
Отметим, что кроме измерения поперечной энергии в событии,
существуют и другие методы определения прицельного параметра.
В работе [39] предлагается извлекать прицельный параметр путём
регистрации ядерных осколков после развала ядра в калориметре,
установленном под углом 0° к оси сталкивающихся пучков (ZDC
калориметр).
В формирование поперечной энергии вносит вклад как «жёсткая»,
так и «мягкая» составляющие в столкновении. «Жёсткая» компонен-
компонента обусловлена столкновениями кварков и глюонов с характерными
переданными импульсами, превышающими р0 ~ 1 + 2 ГэВ/с — это
масштаб, при котором применима теория возмущений КХД. «Мягкие»
процессы с характерными р± < р$, также дающие вклад в попереч-
поперечную энергию, не описываются в рамках пертурбативной КХД, и их
учёт должен проводиться феноменологически. Будем предполагать, что
«мягкая» часть протон-протонного сечения gvsv = <Тн!упр> гДе ^"неупр ~~
3.1. «Жёсткая» и «мягкая» компоненты поперечной энергии
59
сечение неупругого рр-взаимодействия. Если жёсткая компонента се-
сечения в столкновениях ядер А и В формируется за счёт независимых
партон-партонных взаимодействий, то среднее число жёстких столк-
столкновений как функция прицельного параметра Ъ представляется в виде
суммы по всем типам партонов / (кваркам, антикваркам и глюонам):
C.1)
C.2)
и сечение da^B/d2b рождения партона сорта / вычисляется в теории
возмущений КХД [40]. Тогда распределение по поперечной энергии Е±
можно записать в виде
Как показано в работе [41], при числе жёстких столкновений
^ав ^5-1-7, распределение C.3) при фиксированном значении
прицельного параметра хорошо аппроксимируется распределением
Гаусса:
d(TH
dE± '
\*'nuH\uJ L
где средняя поперечная энергия Е^^(Ь) и дисперсия о~н{Ь) пропорцио-
пропорциональны, соответственно, первому и второму моментам сечений жёстких
процессов [42].
Мягкая компонента пропорциональна числу нуклон-нуклонных
столкновений: _
t\tS гтл /L\ W /О С\
^ АВ = -l-AB\b)O~s , \д-д)
где avsv « 30 мбн для энергий SPS в ЦЕРН и avsv « 60 мбн для
энергий LHC, а Тав(Ь) — функция ядерного перекрытия, учитывающая
геометрию столкновений ядер А и В:
C.6)
ТАв{Ь) = \ d2r TA(r) Тв{Ь-г).
Функция локальной ядерной толщины
TA(r)=^dzpA(z,f). C.7)
Например для центральных столкновений одинаковых ядер Таа{0)
и A2/irR2 4/з
60 Гл. 3. Корреляции в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов
Поскольку мягкая компонента в C.5) очень слабо зависит от энер-
энергии, обычно предполагается, что мягкая и жёсткая составляющие
разделяются на протон-протонном уровне и поэтому являются незави-
независимыми друг от друга при любом прицельном параметре.
Тогда средняя поперечная энергия и её стандартное отклонение
имеют вид
а2(Ъ)=а2н+ТАВ(Ъ)еи
где го и е\ извлекаются из данных по распределениям поперечной
энергии при энергиях SPS. В табл. 3.1 приведены данные по первому
и второму Е± моментам мягкой компоненты для детекторов STAR
и PHENIX на RHIC и ALICE, CMS на LHC. Видно, что для LHC
жёсткая компонента превосходит мягкую на порядок величины. Для
RHIC вклад мягкой составляющей в Е± соизмерим с жёсткой и даже
несколько превышает её.
Таблица 3.1
Эксперимент
CMS
ALICE
STAR
PHENIX
so (мбн ГэВ)
144
60
27
90
ei (мбн ГэВ2)
960
200
10,5
35
3.2. Определение прицельного параметра
столкновения ядер в экспериментах на RHIC
На рис. 3.1 представлены вероятности (нормированные на единицу
плотности вероятностей) того, что в столкновении ядер золота на
ускорителе RHIC в калориметре STAR (PHENIX) будет зарегистриро-
зарегистрировано событие с поперечной энергией Е± = 500B00) ГэВ. Из графиков
видно, что столкновение при указанных поперечных энергиях должно
произойти с прицельным параметром b ~ R. Точность определения при-
прицельного параметра составляет ^0,6 фм для установки STAR и «1 фм
для PHENIX. Оказывается, что отбирая поперечную энергию в опре-
определённых интервалах её значений, можно выделять столкновения ядер
в определённых интервалах прицельного параметра. Эти корреляции
весьма важны с точки зрения сигналов формирования кварк-глюон-
ной или адронной плазмы в столкновениях релятивистских тяжёлых
ионов. Дело в том, что наибольшие плотности энергии следует ожидать
в центральных столкновениях, поэтому интенсивность сигналов нагре-
нагретой материи убывает в периферических столкновениях, отбор которых
производится по корреляциям между Е± и прицельным параметром.
3.2. Определение прицельного параметра столкновения ядер 61
0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3
blRA blRA
Рис. 3.1
На ускорителе RHIC в установках STAR и PHENIX прицельный па-
параметр определяют следующим образом. Эти установки содержат ZDC
(Zero Degree Calorimeter), расположенные на расстоянии нескольких
десятков метров от точки взаимодействия пучков, т. е. находятся за
пределами влияния магнитного поля установки. Напомним, что в ка-
калориметре определяют энергию нейтральных частиц, в большинстве
случаев это нейтроны, которые практически не рассеиваются после
взаимодействия ядер.
Корреляция ZDC сигнала с множественностью событий служит ха-
характеристикой геометрии столкновения ядер. В периферических столк-
столкновениях, при большом прицельном параметре, образуется только
несколько нейтронов и, соответственно, множественность в таком со-
событии невелика. В более центральных столкновениях, при уменьшении
прицельного параметра, количество образованных нейтронов быстро
растёт, достигая насыщения, и затем уменьшается при малых при-
прицельных параметрах. В то же время множественность события уве-
увеличивается при уменьшении прицельного параметра. Таким образом,
в центральных столкновениях получаем несколько нейтронов и высо-
высокую множественность в событии.
На рис. 3.2 для эксперимента STAR показана зависимость между
энерговыделением в ZDC и множественностью событий в центральном
триггерном калориметре СТВ (Central Trigger Barrel), измеряющем
поперечную энергию заряженных частиц [43]. Таким образом, корре-
корреляция между СТВ и ZDC может быть использована как триггер для
определения «центральности». На рис. 3.3 показаны корреляции между
сигналом от ZDC (нормированным на максимальное энерговыделение
в ZDC) и множественностью событий в ВВС (Beam-Beam Counters),
62 Гл. 3. Корреляции в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов
200
О 5000 10000 14000 20000 25000
Сигнал в центральном триггерном барреле, ГэВ
Рис. 3.2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
ШШШж
Сигнал в ВВС
в зависимости от сигнала в ZDC
0,2
0,4
0,6
0,8
Рис. 3.3
измеряющих число частиц, в эксперименте PHENIX [44]. Основываясь
на корреляции рис. 3.3, полное геометрическое сечение может быть
разбито на бины (как показано линиями на рисунке), содержащие
определённый процент «центральности», т.е. они показывают долю со-
событий в фиксированных интервалах прицельного параметра (например,
бину с 0-5% соответствуют центральные столкновения с прицельным
параметром Ъ < 1 фм).
Глава 4
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ СИГНАЛЫ
ОБРАЗОВАНИЯ НАГРЕТОЙ И СЖАТОЙ
ЯДЕРНОЙ МАТЕРИИ В СТОЛКНОВЕНИЯХ
РЕЛЯТИВИСТСКИХ ТЯЖЁЛЫХ ИОНОВ
4.1. Экспериментальные сигналы, чувствительные
к природе фазового перехода
В этом разделе будут описаны экспериментально измеряемые вели-
величины, чувствительные к природе фазового перехода в ядерной материи,
в частности, к порядку фазового перехода. Основными характеристи-
характеристиками вторичных частиц являются их распределения по быстротам и по-
поперечным импульсам. Для получения уравнения состояния требуется
определить измеряемые величины, связанные с термодинамическими
переменными г(Т, /i), s(T, /i) или р(Т, /i). Сигналом фазового перехода
1-го рода в конечном объёме ядерного файербола может быть быстрый
рост эффективного числа степеней свободы в небольшом (^ЮМэВ)
интервале температур. Число степеней свободы содержат величины
s/T3 или г/ТА, поэтому нужно определить экспериментально измеря-
измеряемые величины, связанные с s, г, р и Т. Оказывается, что темпе-
температура и давление определяются по среднему поперечному импульсу
вторичных адронов (р±), а энергия и энтропия — по распределению
частиц по быстротам.
Ниже будет показано, как связаны dNjdY с начальной плотностью
энтропии so и начальной плотностью энергии ?q- Мы увидим, что
зависимость среднего поперечного импульса (р±) вторичных частиц от
dN jdY соответствует зависимости Т от s или Т от е. Отметим, что вы-
полаживание зависимости (р±) от dNjdY предложено Ван Ховом [45]
в качестве сигнала фазового перехода.
1. Измерение энтропии. Основная идея — попытаться связать
плотность энтропии с плотностью частиц в конечном состоянии. Вто-
Вторичные частицы, в основном, составляют тг-мезоны. Поскольку тг-ме-
зоны в масштабах адронных масс практически безмассовые, их энтро-
энтропия s пропорциональна числу тг-мезонов N. В частности, для плотно-
плотностей имеем
s = an, D.1)
64 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
где а « 3,6 для безмассовых тг-мезонов. Распределение по быстротам
можно получить интегрированием плотности частиц. Если элемент
4-объёма выразить через г] и собственное время т, то
N
= nd4x = nrdrdr]d2xt. D.2)
Тогда число частиц, приходящихся на единицу быстроты в момент
времени тг.
— = \п (г/, г], xt)Tf d xt. D.3)
&Т] J
Из уравнений D.1), B.66) следует:
dN Г ,9 1/ \ Гт9 1/ \ / л л\
— = \d xtTf-s(rf,r],xt) = d xtro-so{ro,r],xt). D.4)
(f,],t) to
Если начальная плотность энтропии so не зависит от поперечной коор-
координаты xt, то распределение частиц по быстротам в конечном состоя-
состоянии пропорционально плотности энтропии в начальном состоянии:
то8О(то,г])Аи D.5)
где At = tyR2 — площадь поперечного сечения ядра. Например, мно-
множественность на единицу быстроты при центральном соударении ядер
16О (с радиусом R « 3 фм) составляет примерно 150. Если время то «
« 1 фм, то начальная плотность энтропии so ~ 20 фм ~3.
2. Измерение плотности энергии. Для того чтобы получить вы-
выражение для начальной плотности энергии ео, подобное D.5), нужно
иметь соотношения, связывающие so и го и го и То, а затем исключить
из них начальную температуру То. Из термодинамического выражения
г +_р = Ts и уравнения состояния модели мешков имеем:
(го-В)(\+С23)=ТО8о, D.6)
где фактор 1/3 для безмассового газа частиц заменён на С2, квадрат
скорости звука в ядерной материи. Отметим, что, как и ранее в модели
мешков,
ео-В = gT*. D.7)
Фактор g для безмассовых и, d кварков, антикварков и глюонов равен
= И1^. D.8)
Различные факторы в этом выражении соответствуют спиновым со-
состояниям кварков, антикварков, цветам, ароматам, глюонным степеням
свободы; 7/8 возникает за счёт квантовой статистики Ферми-Дирака.
Тогда из D.6), D.7) имеем
г> , Г а dN] s ,. m
г0 = В + g- s — . D.9)
4.1. Экспериментальные сигналы чувствительные к природе перехода 65
Это выражение связывает распределение вторичных частиц с началь-
начальной плотностью энергии sq по быстротам.
3. Распределение частиц по поперечному импульсу. Рассмотрим
сначала связь между средним поперечным импульсом вторичных ча-
частиц (р±) и E/S. В системе покоя элемента жидкости распределение
по импульсам частиц изотропно. Для ультрарелятивистской жидкости
полный импульс равен энергии, поэтому средний поперечный импульс
пропорционален энергии, приходящейся на одну частицу:
Если заменить Е и N соответствующими плотностями и выразить
плотность частиц п через плотность энтропии, то получим
/ v OLTT ? //1114
Ы = ^-- D.11)
Это выражение определяет зависимость (р±) от температуры через
отношение e/s. Когда e/s вычисляется в модели мешков, то (р±) ~
~ (so/sc) > гДе sc — критическая плотность энтропии. При so ~ sc
I/O
средний поперечный импульс как функция (so/sc)' или dN jdY будет
выполаживаться. Поэтому наличие «полочки» в зависимости (р±) от
dN/dY могло бы свидетельствовать о существовании фазового пере-
перехода. Однако следует иметь в виду, что при наличии как продольного,
так и поперечного расширения, соотношение D.11) уже не применимо.
Поперечное расширение может стать существенным как до, так
и после распада жидкости на невзаимодействующие частицы. Если
система распадается на невзаимодействующие частицы до того, как на-
наступает поперечное расширение, то (р±) нечувствителен к уравнению
состояния и отражает свойства системы вблизи точки кинетического
вымораживания — развала на невзаимодействующие частицы.
4. Энтальпия и давление. Средний поперечный импульс (р±) мож-
можно найти, используя решения гидродинамических уравнений. Средний
поперечный импульс записывается через среднюю поперечную быстро-
быстроту Yt теплового движения и быстроту д элемента жидкости
{p±) = m7rsh(YT + ti). D.12)
Энтальпия системы находится по (р±), если быстрота элемента жид-
жидкости $ зависит от системы в начальном состоянии [32]:
DЛЗ)
где #д находится из решения гидродинамических уравнений. Подстав-
Подставляя D.13) в D.12), получим
^ (тт?) ¦ DЛ4)
3 В. М. Емельянов и др.
66 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
Теперь надо выразить правую часть этого выражения через наблю-
наблюдаемые величины. Средний поперечный импульс зависит от давления
системы. Быстрота элемента жидкости есть функция от плотности
энергии в момент развала системы на невзаимодействующие частицы.
По аналогии с D.13) можно записать
cs
PS
тогда
Ро
Pf°
D.15)
D.16)
Измерение (р±) иногда называют барометром состояния в столкнове-
столкновениях тяжёлых ионов. Если скорость звука и давление в точке развала
известны, то измерение (р±) позволяет оценить давление ро в началь-
начальном состоянии. Уравнение D.16) определяет (р±) для адронного газа,
состоящего из пионов, в пренебрежении продольным расширением.
Однако если отношения ро/pf или ?o/?f в выражении D.16) заменить
плотностью распределения пионов по быстротам, то (р±) окажется го-
гораздо больше экспериментально измеряемых величин. Дело в том, что
часть энергии неизбежно трансформируется в продольное расширение.
Выражения D.14) и D.15) представляют собой пример связи
между наблюдаемыми величинами ((р±), dN/dY) и величинами,
вычисляемыми на пространственно-временных решётках (г,р и s).
Выполаживание зависимости (р±_) от dN/dY означает слабое
изменение температуры и давления при резком возрастании плотности
энергии и энтропии, т. е. соответствует фазовому переходу первого
рода в конечном объёме адронной жидкости. Характерное поведение
(Р±),
0,6 _
0,5
0,4
К*
Ф ¦
0,40
0,36
0,32
0
10
dN/dY
15 20
dN/dY
Рис. 4.1
Рис. 4.2
4.2. Испускание дилептонов в столкновениях релятивистских ядер 67
(р±) от dN/dY, схематично представленное на рис. 4.1, действительно
наблюдалось в данных с Тэватрона (Фермилаб, США). На рис. 4.2
показаны зависимости средних поперечных импульсов (р±) К±
и тг^-мезонов в рр-аннигиляции как функции зарядовой множествен-
множественности частиц на единицу быстроты. К сожалению, это не единственное
объяснение подобной зависимости (р±) от dN/dY. Выполаживание
может быть связано с чисто кинематическими ограничениями, а также
с процессами перерассеяния партонов и рождения министруй.
4.2. Испускание дилептонов в столкновениях
релятивистских ядер
Предположим, что начальные плотности энергий в столкновении
ядер А и В таковы, что происходит образование кварк-глюонной плаз-
плазмы. Так как размер КГП невелик (порядка радиуса ядер), а сечение
электромагнитных процессов мало (по сравнению с сильными взаимо-
взаимодействиями), дилептоны покидают систему практически без взаимодей-
взаимодействий и несут информацию о её состоянии непосредственно в детектор.
Дилептоны испускаются на всех стадиях эволюции системы, начиная
с предравновесной КГП и заканчивая распадом адронной фазы на
невзаимодействующие частицы. Таким образом, в отличие от испус-
испускания адронов, выход дилептонов чувствителен ко всем стадиям эво-
эволюции. В качестве кинематических переменных, описывающих испус-
испускание дилептонов, удобно выбрать инвариантную массу дилептонной
пары М, её поперечный импульс р± и быстроту Y. Тогда множествен-
множественность дилептонов с квадратом инвариантной массы М2, поперечным
импульсом р_\_ в интервале быстрот dY можно записать в виде
о dN Г a dN (A 17Ч
R = ~ = ах—.—-;-, D.17)
dM2dp±dY J d4xd4p
v
где R — интеграл по 4-объёму от скорости рождения дилептонных
пар dN/d4xd4p с 4-импульсом р в пространственно-временной точке
(x,t). Величина dN/d4xd4p зависит от температуры через (x,t), и,
следовательно, от фазового состояния системы. Фазовое же состояние
(КГП или адронная фаза) определяет основные механизмы генера-
генерации дилептонов через сечения элементарных процессов и структурные
функции, входящие в dN/d4xd4p. Структурные функции отражают
свойства среды, из которой идёт испускание дилептонов — это могут
быть кварки, антикварки и глюоны, находящиеся в фазе деконфайн-
мента, или адроны. В выбранной фазе источников дилептонов также
может быть несколько. Нас будет в основном интересовать испускание
дилептонов равновесной термализованной ядерной материей. Однако
существуют и другие механизмы генерации дилептонов — процессы
Дрелла-Яна, предравновесные процессы, а также распады резонансов
(например р-мезона) в адронной фазе. «Тепловые» дилептоны возни-
з*
68 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
кают при партонных соударениях в термализованной материи. Задача
состоит в том, чтобы попытаться найти область кинематических пере-
переменных (M,p±,Y), в которой доминировало бы «тепловое» испускание
дилептонов над другими источниками. В этом интервале величина R
будет чувствительной к кинетике фазового перехода и его порядку.
Предположим, что величина R(x,t) определена как функция темпе-
температуры T(x,t). Тогда интеграл по 4-объёму в D.17) можно вычислить
с известной функцией T(x,t). Как мы уже видели выше, эту зависи-
зависимость можно определить в гидродинамике. В бьёркеновском сценарии
эволюции пренебрегается поперечным расширением, и это приводит
к сохранению энтропии. Мы уже обсуждали, что множественность
адронов в конечном состоянии связана с начальными условиями рас-
расширения сохранением энтропии. Поэтому, если известна плотность
энтропии как функция времени, зависимость температуры от времени
для функции s(T) определена. Определим теперь скорость рождения
частиц в пространственно-временной точке х с 4-импульсом р. Общее
выражение для скорости рождения дилептонных пар (/i+/i~ или е+е~)
может быть записано в следующем виде:
dN
xdp j ад^тгГ
U* Ч.-\- I ^ У— I д /г / — -\- —\ I г / \ /л 1 о\
2Е+Bи) J 2Е-Bтт)
где М — матричный элемент процесса рождения дилептонной пары
при столкновении частиц р\ и р2 с импульсами q\ и q2; p — импульс
дилептонной пары, д+ и д_ — импульсы /i+ и /i~ (или е+ и е~).
Статистические факторы f (q\) и f (q2) характеризуют вероятность
найти частицы р\ и р2 (массы га) с импульсами q\ и q2 в адронной
среде. Дилептонные состояния не содержат таких факторов, поскольку
пренебрегается перерассеянием дилептонов. В терминах сечения выра-
выражение D.18) можно переписать в виде
dN
Г d3q{ d3q2 / _ + _ч - , ч
J у^тт) у^тт)
¦qi-q2), D.19)
где vqxq2 — относительная скорость частиц р\ и р2\
} . D.20)
4X42 ЕХЕ2
В состоянии КГП основной процесс генерации дилептонов — слияние
кварка и антикварка в виртуальный фотон, распадающийся на дилеп-
тоны:
ад^7*^м+м"- D.21)
4.2. Испускание дилептонов в столкновениях релятивистских ядер 69
Функции распределения кварков и антикварков fq и fq задаются рас-
распределениями Ферми-Дирака:
Химический потенциал /i будем в дальнейшем полагать равным нулю,
и — локальная 4-скорость элемента адронной жидкости в лаборатор-
лабораторной системе отсчёта, q(q) — 4-импульсы кварка (антикварка). Для
продольного расширения адронной материи произведение щ можно
выразить через поперечную массу дилептонной пары М±, быстроту Y
и пространственно-временную быстроту элемента плазмы:
uq = M±chD}-Y), D.23)
где
М\ = \ М2 + р | , У = - In —, $ = arcth v, D.24)
где v = z/? — коллективная скорость жидкости. Если поперечная масса
дилептона гораздо больше температуры, экспоненты в D.22) имеют
резкий пик при $ = Y. В этом случае не остаётся зависимости от #.
Тогда скорость рождения дилептонов в фазе кварк-глюонной плазмы
в пространственно-временной точке х = (т,х±,у) (у-локальная про-
пространственно-временная быстрота элемента жидкости)
1/2
е-Е*'тТЛ D-25)
dNKrn a2
dAxdAp 4тг4
Индекс КГП относится к фазе кварк-глюонной плазмы, е^ — заряды
кварков, а — электромагнитная константа, ш/ — масса лептона и Е* =
= M±ch(r]-y).
В адронной фазе вклад процессов генерации дилептонов зависит
от инвариантной массы дилептона. Для дилептонов с инвариантной
массой ниже пика р-мезона значительный вклад дают процессы тор-
тормозного излучения дилептонов заряженными адронами. Для инвари-
инвариантных масс М ^> Мр важны процессы аннигиляции hh —> 7* ~^ /^+№~ >
где hh — адроны, отличные от тг-мезонов. В промежуточной области
М « Мр должен быть существенным вклад от процесса тг+тг~-анниги-
тг+тг~-аннигиляции: тг+тг~ -^ р -^ /i+/i~. Сечение электромагнитного процесса а(М)
модифицируется сильными взаимодействиями тг-мезонов:
1/2
сг(М), D.26)
где 1/2
70 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
Обычно пионный формфактор выбирается в модели векторной доми-
доминантности с учётом лишь одного р-полюса. Тогда скорость рождения
дилептонов в адронной фазе можно записать в виде:
dNH а (j 2?т
„2\ / /.^2 \ 3/2 7 ч ,2
d4xd4p 48тг4
Выражения D.25) и D.28) характеризуют скорость генерации дилеп-
дилептонов из единицы объёма КГП и адронной фазы. Для сравнения
полученных спектров с экспериментом необходимо учесть эволюцию
ядерного вещества.
4.3. Интегрирование по пространственно-временному
расширению
Предположение о бьёркеновском характере расширения ядерной
материи в процессе ядро-ядерных столкновений существенно упрощает
нахождение выхода дилептонов. В этом случае элемент 4-объёма dAx =
= rdrdyd2x±, где г — собственное время в системе покоя элемента
жидкости, у — пространственно-временная быстрота этого элемента
и х± — поперечная координата.
В этом приближении, как уже отмечалось, пренебрегается попереч-
поперечным расширением, а термодинамические величины (e,p,s,T) зависят
только от собственного времени т. Тогда выход дилептонов
= \ [TdT T *v \d4^ff- ^^- D-29)
?) ) ) dxdp
Ti ymin
Индекс ph в этом выражении указывает на фазу, из которой идёт
испускание дилептонов; (ту — т^) — продолжительность нахождения
системы в определённой фазе; быстрота у изменяется между мини-
минимальной ут[п и максимальной утах быстротой пучка сталкивающихся
ядер.
Уравнение состояния определяет зависимость Т(т), т.е. закон охла-
охлаждения ядерной материи.
Наиболее часто обсуждаются два сценария расширения ядерной
материи [32]:
1) имеется фазовый переход 1-го рода, описываемый в модели «меш-
«мешков»;
2) фазовый переход 2-го рода с уравнением состояния, извлекаемым
из расчётов на пространственно-временных решётках.
Используя скейлинговое решение для расширения системы при
сохранении энтропии s(r) • г = const, можно найти соотношение, опре-
определяющее зависимость температуры от времени Т(т). Разница между
фазовым переходом 1-го рода и 2-го рода будет заключаться в том,
4.3. Интегрирование по пространственно-временному расширению 71
что средняя температура будет выше в стадии КГП в первом случае
и ниже в адронной фазе во втором случае. Зная зависимость Т(т),
можно проинтегрировать выражение D.29). При этом в стадии КГП
1 /ч
Т(т) = То (^) , D.30)
где для оценок можно использовать значения параметров То ~
« 300 МэВ, г0 « 1 фм/с.
В адронной фазе интегрирование производится от тн до времени
развала системы на невзаимодействующие частицы.
При фазовом переходе 1-го рода имеется смешанная фаза, в которой
сосуществуют как кварковая, так и адронная фазы. Их относительный
вес определяется фактором / — долей энтропии в фазе КГП:
S (Г, Тс) = 5КГП (Тс) /(г) + SH (Тс) A - Дт)), D.31)
где 5КГП = 148аТ3, sH = 12аТ3, а = тг2/90.
Отношение sktu/sh плотностей энтропии позволяет оценить време-
времена ткгп и тн\
ТН _ 5Кгп _ О/
Ткгп SH 3
Большое различие в плотностях энтропии между двумя фазами объяс-
объясняет длительность пребывания системы в смешанной фазе, поскольку
необходимо время для преобразования кварковых степеней свободы
в адронные.
Функцию /(г) можно выбрать в виде
0D-32)
где г = 37/3 — отношение числа степеней свободы в двух фазах, rm\x —
время образования смешанной фазы.
На рис. 4.3 представлены спектры дилептонов для двух случаев:
фазового перехода первого (а) и второго (б) родов. При этом распре-
распределение дилептонов проинтегрировано по поперечному импульсу ди-
лептонной пары, а быстрота дилептона выбрана равной нулю. Штрих-
пунктирная линия соответствует вкладу адронной фазы, пунктирная —
вкладу кварковой фазы, сплошная линия — сумме кварковой и ад-
адронной фаз. Две вертикальные линии разделяют области, в которых
различные фазы вносят основной вклад. Слева направо: адронная фаза,
смешанная фаза и фаза кварк-глюонной плазмы. Основное отличие
состоит в том, что в случае фазового перехода второго рода область
дилептонных масс, в которую вносят вклад как кварковая, так и адрон-
адронная фазы, значительно уже, чем для фазового перехода первого рода.
Однако размер области инвариантных масс, в которую вносят вклад
как кварковая, так и адронная фазы не является сигналом фазового
перехода. Резкое изменение в механизме генерации дилептонов должно
отражаться на среднем поперечном импульсе (р±) дилептонной пары.
4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
10
\
I
I
У////,
\
1
1
1
У////
YZZZZZ/
%
1
VZZZZ/.
I4-
l$s \|
6
i \
М, ГэВ
Рис. 4.3
М, ГэВ
Средний же поперечный импульс (р±) можно определить по спектру
dN r
^г^ . Если найти скорость изменения среднего поперечного им-
dM2d2P±dY H к н
пульса дилептонной пары d(p±_)/dM как функцию М, то для фазового
перехода второго рода в распределении d(p±)/dM должен быть пик,
и этот пик является кандидатом на сигнал фазового перехода в ядерной
материи. Однако этот сигнал далеко не однозначен: как показано
в работе [32], пик может быть связан с рождением и последующим рас-
распадом на дилептоны тяжёлых резонансов, например, р1 A600). Чтобы
выяснить природу немонотонностей в функции d(p±)/dM, надо попы-
попытаться отобрать события в столкновениях тяжёлых ионов с различны-
различными начальными температурами ядерной материи. Пиковая структура
в зависимости d(p±)/dM от М в случае фазового перехода второго
рода более очевидна для низких начальных температур, для больших
начальных температур подобная структура ожидается и для фазового
перехода первого рода.
4.4. Свойства дилептонов, рождённых в кварк-
глюонной плазме и адронном газе
Приведённые выше формулы позволяют рассчитать спектры ди-
лептонов, испускаемых кварк-глюонной плазмой и адронным газом.
В этом разделе будут рассмотрены качественные свойства дилептонных
спектров, способные служить для диагностики образования термали-
зованной ядерной материи в столкновениях релятивистских тяжёлых
ионов.
На рис. 4.4 изображены зависимости спектров дилептонов
dN
dydM2
от инвариантной массы пары для двух комбинаций начальной
и критической Тс температур. Видно, что двухпионная аннигиляция
(в адронной фазе) доминирует над кварк-антикварковой аннигиляцией
4.4. Свойства дилептонов, рождённых в кварк-глюонной плазме 73
кварковой фазы становится
заметным для инвариант-
инвариант10°
КГ
10"
(в КГП фазе) в области масс дилептонов 0,4 < М < 2,0 ГэВ. Причина
состоит в существовании р-пика и в длительном нахождении системы
в адронной фазе. Вклад
1 ЛУ г—
Пионная
чфаза
ных масс М > 2 ГэВ, по-
поскольку при высоких тем-
температурах аннигилируют,
в основном, кварки и анти-
антикварки.
Спектры дилептонных 10-s
пар, испускаемых ядерной
материей в условиях столк- 1Cpl
новения ядер на ускорите-
ускорителе LHC, вычислены в рабо-
работе [46]. На рис. 4.5 и 4.6
представлены спектры ди-
дилептонов для двух значений множественности: dN/dy = 1736
и dN/dy = 3830. На этих рисунках сплошной линией изображён вклад
адронной фазы, точками — вклад КГП. Как видно, в области масс М <
< 1,5 -:- 2,0 ГэВ в условиях LHC доминирует вклад адронной фазы.
з
М, ГэВ
Рис. 4.4
dN
dydM'
10™
10™
10"
10"
10"
dN
~~~~ = 1736
dy
3 4
M, ГэВ
dydM
10°
10
10™3
10
1Q~5
10
10
^3830
dy
0
3 4
M, ГэВ
Рис. 4.5
Рис. 4.6
Вклад пионной аннигиляции в дилептонный спектр имеет пик при
М = тр и исчезает при М = 2vn^. Поэтому можно ожидать, что в об-
74 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
ласти 2mM < М < 2тж доминирует испускание из КГП. К сожалению,
в этой области не удаётся выделить вклад КГП из-за большого фона
от далиц-распадов тг° —> 7е+е~ и V ~^ 7/^+/^~-
Спектры дилептонов, испускаемых КГП, обладают свойством
* л- ч 1 dNKrn
м_|_-скеилинга, т.е. функция ~ ъ— зависит не порознь от
dM dy d p±
величин М и р_\_, а от их комбинации М_\_ = уМ2 +Pj_. Поэтому при
фиксированных М± и у дилептона спектр ^ ^— практически
dM dy d p±
не зависит от величины массы дилептона М. Как видно из рис. 4.7,
в нерезонансной области дилептонных масс 1,2 ГэВ < М < 2,7 ГэВ
PQ
102
10°
10"
М± = 1,8 ГэВ
М± = 2,25 ГэВ
—¦
М± = 3,ЗГэВ
3
М,ГэВ
Рис. 4.7
сечение рождения дилептонных пар при фиксированном М± не зависит
от М. Заметим, что при изменении М± дилептонов, соответствующем
рис. 4.7, абсолютная величина сечения изменяется на несколько
порядков величины! Важно, что спектр дилептонов при фиксированном
значении М± дилептонов, испускаемых из адронной фазы, отличен от
константы из-за адронного (пионного) формфактора.
До сих пор обсуждалась лишь тг+тг~-аннигиляция как источник
дилептонов из адронной фазы. Однако и другие адроны являются
источниками дилептонов [47]. Как показано в работе [48], скорость
рождения дилептонов, включающая взаимодействие с аксиально-век-
аксиально-векторными мезонами, доминирует над другими источниками для инва-
инвариантных масс М ^ 1,5 ГэВ. Вклад трёхпионных реакций в спектр
дилептонов исследован в работе [49]. Как и ожидалось, трёхпионные
реакции изменяют спектр дилептонов вблизи пиков ио и 0-мезонов.
Сравнение трёхпионных реакций с тг+тг~ -аннигиляцией показывает,
что недостаточно рассматривать только тг+тг~ -аннигиляцию для дилеп-
дилептонов с массой М > Мл.
4.6. Неопределённости в сигналах адронного газа
75
4.5. Отношение дилептонного и пионного спектров
Дилептонный спектр зависит от времени формирования КГП Т{.
Это время определяется по порядку величины: иногда оно выбирается
равным 1 фм, в других случаях Т{ ~ 0,1 фм. Таким образом неопре-
неопределённости в абсолютной величине выхода дилептонов велики. Чтобы
избежать этой неопределённости, можно определить экспериментально
измеряемую величину, которая не зависела бы от Т{.
dN
Величина dN/dy, получаемая из ~ ~— интегрированием
dM dy d p±
по М и pi, пропорциональна т2. Множественность заряженных пи-
пионов dN^/dy пропорциональна Т{. Поэтому отношение выходов ди-
дилептонов к выходу тг-мезонов (dN/dy)(dN7Tjdy)~2 не зависит от Т{
и, следовательно, от dN11 /dy. Это отношение как функция dN11 /dy
изображено на рис. 4.8. Отношение (dN/dy)(dN7T/dy)~2 должно быть
монотонно растущей функцией от
dN11 /dy, если система существу-
существует только в термализованной ад-
ронной фазе. Если же началь-
начальная плотность энергии превыша-
превышает критическое значение для пе-
перехода в фазу КГП, то отноше-
отношение (dN/dy)(dN7T/dy)-2 как функ-
функция dN^/dy выходит на плато.
При этом высота плато пропорци-
пропорциональна температуре фазового пе-
перехода Тс. Конечно, высота плато
определяется и другими фактора-
факторами, не учтёнными в модели рас-
расширения Бьёркена. Например, по-
поперечное расширение ядерной материи уменьшает величину плато.
На величину плато влияет и значение температуры Tj распада системы
на невзаимодействующие адроны. Тем не менее, измерение отношения
(dN/dy)(dN7T/dy)~2 как функции от dN11 /dy является очень важным
с точки зрения диагностики образования КГП в столкновениях тяжё-
тяжёлых ионов.
0
101
102
Рис. 4.8
103
dy
4.6. Неопределённости в сигналах адронного газа
и кварк-глюонной плазмы
Как уже отмечалось выше, неопределённости в величине Тг и на-
начальном объёме КГП ведут к значительной неопределённости в оценке
вклада кварковой и адронной фаз в дилептонный спектр. Очевидно,
что вклад кварковой фазы усилен при т^ = 0,1 фм, тогда как адронной
фазы — при Тг ^0,1 фм. В качестве иллюстрации обратимся снова
76 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
о
к рис. 4.4. Видно, что адронная фаза доминирует в спектре дилептонов
в области масс М < 2 ГэВ для Тг =0,1 фм. Если для Тг выбрать
значение Тг = 0,5 фм, то кварковая фаза будет преобладать в спектре
и для масс М < 2 ГэВ. Таким образом, величина выхода дилептонов
сильно зависит от времён жизни двух фаз.
До сих пор обсуждалась только одномерная (бьёркеновская) кар-
картина эволюции ядерной материи. На самом деле эволюция одномерна
только в фазе кварк-глюонной плазмы и адронного газа, находяще-
находящегося при температурах, близких к температуре фазового перехода Тс.
Однако при температурах Т ~ Tf — температуры развала системы на
невзаимодействующие частицы — расширение ядерной материи будет
трёхмерным. Как ожидается, эффекты коллективного поперечного рас-
расширения важны на конечном этапе эволюции ядерной материи в столк-
столкновениях тяжёлых ионов.
Рассмотрим зависимость дилептонного спектра по поперечной мас-
массе дилептона М± от поперечного расширения ядерной материи.
На рис. 4.9 для набора тем-
температур Тс, Ti, Tf пока-
показан дилептонный спектр,
нормированный на множе-
множественность заряженных ча-
частиц, как функция М±
в отсутствие поперечного
расширения. Сплошная ли-
линия на рис. 4.9 соответ-
соответствует вкладу КГП, а три
другие — вкладу адронно-
адронного газа при фиксированных
значениях масс дилептонов
М = 0,4, 0,8 и 1,6 ГэВ Вид-
Видно, что вклад адронной фа-
фазы из-за адронных форм-
факторов имеет сильную
М-зависимость.
м±,ГэВ На рис. 4.10 тот же са-
самый спектр дилептонов рас-
рис. 4.9 считан с учётом поперечно-
поперечного расширения. Видно, что
поперечное расширение практически не меняет вклад КГП в дилеп-
дилептонный спектр. Однако заметно изменяется вклад адронной фазы:
а) уменьшается выход дилептонов с малыми поперечными массами;
б) увеличивается выход дилептонов с большими поперечными массами.
Выше рассматривалось испускание дилептонов термализован-
ной ядерной материей, находящейся в фазе КГП или адронной
плазмы. Однако «тепловые» дилептоны очень не просто выделить
на фоне других источников испускания. В порядке возрастания
1(Г
1СГ
1(Г
1(Г9
10-ю
кг11
ю-12
кг13
кг14
ю-15
X
X
X.
X
I
Тс
т,
ч
X,
X.
м=
I
= 200 МэВ
= 500 МэВ
= 100 МэВ
М= 0.4 ГэВ
1.6 ГэВ ^-
I
0.8 ГэВ
X.
I "
4.7. Плавление резонансов в термализованной ядерной материи 11
Тс = 200 МэВ
7-'= 500 МэВ
Tf= 100 МэВ
инвариантной массы дилеп-
тонов фоновыми источника-
источниками по отношению к «теп-
«тепловым» дилептонам являют-
являются: далиц-распады тг° и rj-ме-
зонов, тормозное излучение
заряженных адронов, рас-
распады адронных резонансов,
предравновесные процессы
и дрелл-яновское испуска-
испускание дилептонов на началь-
начальных стадиях столкновения
тяжёлых ионов. Поэтому це-
целью вычислений выходов ди-
дилептонов является опреде-
определение кинематической обла-
области испускания дилептонов,
в которой «тепловое» испус-
испускание доминирует над дру-
другими источниками дилепто-
дилептонов. Как показывают оцен-
оценки, эта кинематическая область невелика: 1 ГэВ < М < 2 ГэВ,
р± ^ 1 ГэВ. Именно в этой области кинематических переменных ди-
дилептонов ищутся «тепловые» дилептоны на SPS ЦЕРН и RHIC.
CD
О
i
1
О
10
10
10
10
10
10"
10"
10"
10"
10"
10"
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
¦15
4 5
М±,.ГэВ
Рис. 4.10
4.7. Плавление резонансов в термализованной
ядерной материи
Наряду с дилептонами, которые практически не испытывают пе-
перерассеяний в КГП или адронной плазме и поэтому могут служить
«термометрами» этих фазовых состояний, этим свойством обладают
частицы, содержащие тяжёлые (с, Ь,...) кварки. Например, длина сво-
свободного пробега J/ф, состоящего из очарованного кварка и антиквар-
антикварка, составляет МО фм, т.е. порядка размера тяжёлых ядер. Поэтому
J/ф, родившись в ядерной среде, покидает её без изменения кине-
кинематических характеристик. Экспериментально J/ф идентифицируется
по пику в распределении по инвариантной массе дилептона вблизи
значения М = 3,1 ГэВ. J/ф может рождаться как в термализован-
термализованной ядерной материи, так и в нетермализованной, причём последний
случай реализуется при небольших энергиях сталкивающихся ядер.
Однако если формируется КГП, то в столкновении ядер возможны
высокие температуры, при которых будет усилено образование сс-пар,
а следовательно, и J/ф частиц. Таким образом, в случае образования
КГП выход J/ф частиц должен быть усилен. Однако это рассуждение
не учитывает тот факт, что ее рождаются в среде термализованных
78 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
кварков, антикварков и глюонов. Ядерная же среда может как уси-
усиливать, так и ослаблять процессы генерации частиц. Подобно обыч-
обычной электрон-позитронной плазме, в термализованной КГП возникает
цветовое экранирование (дебаевское экранирование) с радиусом экра-
экранирования ?(Т), зависящим от температуры среды. Радиус экраниро-
экранирования цветовых зарядов вычисляется в решёточных калибровочных
теориях. Очевидно, что если ?(Т) меньше радиуса J/ф при данной
температуре, то цветовой заряд с кварка будет экранирован средой из
лёгких кварков, антикварков и глюонов, и связанное состояние ее не
образуется. Оценки [10] rj/^(T) показывают, что уже при температу-
температурах Т > 250 ГэВ С(Т) ^ rj/^(T), и выход J/ф частиц подавлен. При
этом предсказывается подавление выхода J/ф в области поперечных
импульсов р± ^1 ГэВ.
Однако подобное плавление J/ф возможно и в адронной плазме за
счёт поглощения сопутствующими адронами, а также за счёт перерас-
перерассеяния J/ф в конечном состоянии. Адронные модели подавления J/ф
[50] предсказывают плав-
плавное уменьшение выходов
J/ф при переходе от про-
протон-протонным к протон-
ядерным и ядро-ядерным
взаимодействиям, причём
подавление J/ф должно
достигать насыщения в
центральных соударениях.
На рис. 4.11 изображе-
изображено отношение выхода J/ф
к выходу Дрелл-Яновских
/i+/i~ пар как функция по-
поперечной энергии в столк-
столкновении ядер РЬ при
120 140 энергии 158 ГэВ/нуклон.
Е±,ГэВ Сплошная кривая на этом
рисунке соответствует
предсказаниям моделей
адронного поглощения,
адронного поглощения не
¦Ч-У
35
30
25
20
15
10
5
\ 1 оРЬ^РЬ
A j ? Pb~Pb
\ • Pb-Pb
- \
1
-
I I
1996
1996 with Minimum Bias
1998 with Minimum Bias
^——_____
*¦••¦(
(
1
1111
20 40 60 80 100
Рис. 4.11
Видно, что при Е± ^ 40 ГэВ модели
описывают выходов J/ф в ядро-ядерных столкновениях.
Если, пользуясь моделью Бьёркена B.92), оценить начальную плот-
плотность энергии в РЬ + РЬ взаимодействиях в условиях эксперимента
NA50, получатся значения ^3,4 ^-3,5 ГэВ/фм3. На рис. 4.12 показа-
показано отношение числа рождённых J/ф к числу J/ф, предсказанному
моделями адронного поглощения, как функция начальной плотности
энергии.
Важно подчеркнуть, что адронные модели подавления J/ф опи-
описывают выходы J/ф в протон-протонных и протон-ядерных взаимо-
4.7. Плавление резонансов в термализованной ядерной материи 79
действиях. Как видно из рис. 4.12, адронные модели не описывают
выходы J/ф при плотностях энергий г > 2 ГэВ/фм3. При этом выход
J/ф испытывает два скачка:
один — при плотностях г «
« 2,3 ГэВ/фм3, а второй —
при г « 3 ГэВ/фм3. Первый
скачок, по-видимому, свя-
связан с плавлением %с-мезо-
на, распадающегося на J/ф
путём испускания фотона
Хс —> ^/^ + 7- Действитель-
Действитель1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-4 Ш*
• Pb-Pb 1998 с Minimum Bias |
n Pb-Pb 1996 с Minimum Bias
Ў Pb-Pbl996
¦ S-UNA38
Ap-ANA3S
1
1
1
1
1
_L
J_
0 0,5
1,5
Рис. 4.12
2,5 3 3,5
e, ГэВ/фм3
но, радиус rXc > rj/^, по-
поэтому плавление \с долж-
должно происходить при мень-
меньших температурах, т. е. при
меньших плотностях энер-
энергии. Второй скачок в выходе
J/ф при плотности энергии
г « 3 ГэВ/фм3 соответству-
соответствует плавлению J/ф.
Это интересное явление — «плавление» резонансов в термализован-
ной ядерной материи должно наблюдаться не только для J/ф, но и для
других резонансов. В спектре дилептонов, испускаемых из адронной
фазы, должны быть пики, соответствующие р, //-мезонам. В спектре же
дилептонов эти пики от КГП отсутствуют. Поэтому чем выше Ti > Тс,
тем менее заметны пики ре-
резонансов в дилептонных спек-
спектрах. Пример такого поведения
в спектре дилептонов по попе-
поперечной массе М± приведён на
рис. 4.13. Если пренебрегается
поперечным расширением ядер-
ядерной материи, поперечная мас-
масса дилептона тем больше, чем
выше температура, при которой
дилептон испущен. Кварк-анти-
кварковая аннигиляция в КГП
доминирует при Ti > Тс, поэто-
поэтому относительный вклад адрон-
адронной фазы уменьшается с ростом М±. Это и наблюдается на рис. 4.13.
В ряде работ [17, 51] «плавление» резонансов связывают с восста-
восстановлением киральной симметрии в КГП, т. е. исчезновением конденсата
кварковых полей (фф).
Рассмотрим явление восстановления киральной симметрии на при-
примере векторных и аксиально-векторных мезонов. Сначала для двух
10°
10™2
10
10™6
10"8
- //
r
' ^
f
r~
= 500 МэВ
= 160 МэВ
I
^^^ 2
3
с
I
о
1
Рис. 4.13
2 МГэВ
80 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
сортов (Nf = 2) кварков определим векторные и аксиально-векторные
токи:
( ^J D.33)
где та — матрицы Паули.
Тогда вакуумные свойства векторных и аксиально-векторных мезо-
мезонов определяются соответствующими корреляторами:
D.34)
где П^ — спектральная функция [52], Fn — пионная константа.
Условия сохранения токов подразумевают поперечность тензо-
Ра П™:
{ ) У-Л(«), Hv'A(s) = l- дГ1%'А(д), D.35)
Qv,a/
где s = q2, и g^v — метрический тензор.
Заметим, что изовекторная часть спектральной функции 1тПу на-
наблюдается в е+е~ аннигиляции: е+ + е~ -^ чётное число тг-мезонов —
в виде резкого пика, соответствующему р-мезону с массой ~770 МэВ.
Аксиально-векторную часть Imn^4 можно наблюдать в распаде т-леп-
тона: г -^ нечётное число тг-мезонов. В этом случае возникает широкий
пик ai A260) мезона. Спектральные функции П^ и П^ различны,
и это есть следствие спонтанного нарушения киральной симметрии.
Восстановление киральной симметрии, которое, как ожидается,
должно происходить в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов,
должно проявляться в том, что векторные, аксиально-векторные, а так-
также скалярные и псевдоскалярные корреляторы становятся одинаковы-
одинаковыми. Таким образом вырождение различного типа мезонов по чётности
может служить сигналом восстановления киральной симметрии.
Поскольку векторные и аксиально-векторные корреляторы «насы-
«насыщаются» резонансами (например р-мезоном) весьма интересно просле-
проследить, как изменяются свойства резонансов в зависимости от температу-
температуры Т и барионной плотности в столкновениях тяжёлых ионов. Вектор-
Векторный коррелятор наблюдаем в столкновениях тяжёлых ионов в канале
распада р —> е+е~, поэтому эффекты восстановления киральной сим-
симметрии должны приводить к плавлению р-мезона — уменьшению его
массы и уширению пика [53].
Более 10 лет назад коллаборация DLS сообщила об усилении вы-
выхода е+е~ пар с инвариантной массой Ме+е- < 700 МэВ/с2 в яд-
4.7. Плавление резонансов в термализованной ядерной материи 81
ро-ядерных столкновениях. Недавно коллаборация CERES (на уско-
ускорителе SPS ЦЕРН) установила [54], что выходы е+е~ пар в р-\-
+ Аи и р + Be столкновениях хорошо описываются «коктейлем» из
адронных распадов (тг° —> е+е~7> ^ ~^ е+е~7 и т-Д-)> в то время как
в РЬ + Аи взаимодействиях экспериментальные данные дают оценку
сигнала, превышающую ожидаемую примерно в 3 раза. На рис. 4.14
показаны экспериментальные данные коллаборации CERES, а также
8% центральное столкновение
РЬ A58 ГэВ/нуклон) + Аи
(Nch)= 350 . CERES/NA45
рт> 0,2 ГэВ
0ее> 35 мрад
0,5
Рис. 4.
14
1,0
А
1,5
(ее, ГэВ/с2
рассчитаны вклады от распадов адронов, (штрих-пунктирные кривые),
7г+тг~ аннигиляции (штриховая кривая) и вклад от р-мезона, учиты-
учитывающий изменение его свойств вследствие восстановления киральной
инвариантности (сплошная кривая) [52]. Видно, что эксперименталь-
экспериментальные данные неплохо описываются, если предположить, что свойства
р-мезона изменяются в плотной и нагретой ядерной среде.
Однако восстановление киральной симметрии — не единственная
причина, которая приводит к изменению массы р-мезона и его ширины.
В е+е~ аннигиляции при л/s = 90 ГэВ наблюдается смещение пика
р-мезона примерно на 30 МэВ [55]. В протон-протонных взаимодей-
взаимодействиях при л/s = 27,5 ГэВ [56] получено значение тпр = @,7626 ±
± 0.0026) ГэВ/с2. Недавние данные коллаборации STAR [57] обнару-
обнаруживают смещение положения пика р-мезона в minimum bias p + р
столкновениях на величину ^40 МэВ/с2 и на величину ^70 МэВ/с2
в периферических Аи + Аи столкновениях.
Среди эффектов, приводящих к изменению параметров р-мезонов,
следует отметить: перерассеяние пионов в процессах тг+тг~ —> р —>
—> 7г+тг~; бозе-эйнштейновские корреляции пионов от распада р-ме-
р-мезонов и пионов окружающей ядерной материи; интерференция меж-
между различными каналами рассеяния пионов. Очевидно, что весьма
непросто выделить на фоне этих процессов эффекты восстановления
киральной симметрии в ядерной материи.
82 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
Суммируя рассмотрение дилептонов как сигналов образования КГП
в ядро-ядерных взаимодействиях, можно сказать, что эти «термомет-
«термометры» несут важную информацию о свойствах среды, из которой произо-
произошло их испускание.
4.8. Испускание фотонов
Фотоны, подобно дилептонным парам, представляют собой хороший
«термометр» образования термализованной ядерной материи в столкно-
столкновениях релятивистских тяжёлых ионов. Фотоны испускаются на всех
стадиях эволюции ядерной материи и очень слабо взаимодействуют
с окружающей средой. Нагретая ядерная материя может испускать как
одиночные фотоны, так и фотонные пары.
1. Одиночные фотоны. Можно выделить три основных источника
одиночных фотонов в столкновениях тяжёлых ионов: прямые фотоны
от партонных процессов в начальном состоянии; «тепловые» фотоны
из КГП и адронной плазмы; фотоны от распадов частиц на конечных
стадиях эволюции.
При больших значениях поперечных импульсов фотонов pj_ ^3 ГэВ
основной вклад вносит партонный комптон-эффект q(q) g —> q (q) 7,
кварк-антикварковая аннигиляция qq —> jg и тормозное излучение
кварков (антикварков). При очень больших энергиях (энергиях
LHC), как ожидается, основным механизмом генерации фотонов
будет фрагментация кварковых и антикварковых струй. При малых
р^ < 2 -:- 3 ГэВ спектр одиночных фотонов определяют распады
нейтральных тг°,гу, т/ и и;-мезонов. Этот вклад очень трудно оценить,
поскольку неизвестен р± спектр мезонов, рождённых в ядро-ядерных
столкновениях.
Возможное «окно» для наблюдения «тепловых» фотонов ожидается
в районе поперечных импульсов фотонов р^ « 2 ^- 3 ГэВ. Для испус-
испускания фотонов из КГП сечения элементарных процессов (комптон-
эффекта и кварк-антикварковой аннигиляции) имеют вид
/ ч \6тгаа3 , ( s \ / _ ч 2тгаа8 , s
a[gq —> gj) = In I —2" )' a \QQ ~^ Si) = ^n —9"»
\ у / у
D.36)
где s — манделыитамовская переменная, mq — масса кварка и as—
«константа» сильных взаимодействий. Эти сечения, как обычно, нужно
проинтегрировать по эволюции ядерной материи. Для одномерного
расширения имеем [35]
da _ aas 4\/2тгГC,5)
dyd p± p± тг
RbJ с dN71
RaRb 4ag dy
2
х
4.8. Испускание фотонов
83
где
Р C,5; а8) - Р C,5; аг) =
1 уо.Э)
l dt,
аг =
В соотношении D.37) Ra и Rb — радиусы сталкивающихся ядер,
Г — гамма-функция, с = 3,6, aq = 5,25. Для тормозного испускания
фотонов фактор 3,5 нужно заменить на 1,5.
Вклад адронной фазы в спектр одиночных фотонов вычислен в ра-
работе [58]. Основными процессами генерации фотонов в адронной фазе
являются 7Г7Г —> р7 и ^Р ~^ ^1- Оказывается, что интенсивности ис-
испускания фотонов кварк-глюонной плазмой и адронной фазой вполне
сравнимы для температур в районе 150 -!- 200 МэВ.
В области поперечных импульсов фотонов р]_ < 1 ГэВ спектр опре-
определяется фотонами от распадов нейтральных мезонов. Однако это не
означает, что в этой области р]_ нельзя выделить «тепловое» испуска-
испускание фотонов. Дело в том, что выход «тепловых» фотонов пропорцио-
пропорционален квадрату плотности заряженных частиц (dNc/dyJ, в то время
как «распадных» фотонов — первой степени dNc/dy. Поэтому при
асимптотических множественностях «тепловые» фотоны могут быть
заметны на фоне «распадных» фотонов.
2. Фотонные пары. Рождение фотонных пар из термализованной
ядерной материи связано с элементарными процессами кварк-антиквар-
ковой аннигиляции:
q + q -> 27 D.38)
в кварк-глюонной плазме и
тг+ + тг
27, 7г° -> 27
D.39)
в адронной фазе.
Число фотонных пар, испускаемых элементом dAx с инвариантной
массой М при кварк-антикварковой аннигиляции,
JxdM
где
q/T
w =
M2
D.40)
1 + exp < —wx + p[x2 — (mq/T)Y
1 + exp I —wx — p[x2
- (m
JT)f}
D.41)
84 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
Сечение кварк-антикварковой аннигиляции в низшем порядке тео-
теории возмущений
, 4ш2 8т4,
М2 - Ат
М1
In
2 1 1/2
м2
- 1
" 1 +
4т,
м2
D.42)
7VC = 3, спин S = 1/2 и суммирование проводится по зарядам кварков.
Скорость рождения фотонных пар из адронного газа вычисляется
по формулам, аналогичным D.40), только вместо G+(T,M2) надо
взять
G_(T,M2) = Ых(еж- 1)~1]п
ГП^/Т
м1
1V1 I су 7~
где w = —2~, р = ywz — 1 .
2
1 - exp
[-WX - р(х2 - (ш^
- ехр |-
р(х2 - (т^/ТJ)
D.43)
277V
В низшем порядке теории возмущений сечение тг+тг -аннигиля-
-аннигиляции [59]
s — 4тп„
2nd
1 +
4m;
M2
1 -
- 4miM2 l-^ In
1+1-
477V
M2
4«v
M2
1/2
1/2
- 1
Вклад в дифотонный спектр от распадов тг° —> 2j [60]
,o^77(M2)^5(M2-m2o;
_dNTL_
dAxdM
D.44)
D.45)
где
a m^
32тг3Л
и пионная константа f^ « 0,98m2 0.
4
Используя эти формулы и интегрируя по эволюции ядерной мате-
материи, можно найти вклады КГП и адронной фазы в дифотонный спектр.
Как и в случае одиночных фотонов, возникает проблема идентифика-
идентификации «тепловых» дифотонных пар на фоне распадных дифотонов.
Заметим, что дифотоны рождаются с гораздо меньшим сечением
(по крайне мере, в а раз), чем одиночные фотоны. Однако дифотоны
являются важным сигналом образования КГП. На рис. 4.15 и рис. 4.16
изображены нормированные на квадрат плотности заряженных частиц
4.8. Испускание фотонов
85
ю
о
10
— ^
~9
Л
- %
Г,.= 0,25
i
Тс
\
А
ГэВ4
= 0,2 ГэВ
= 0,14 ГэВ
Г,= 1
ГэВ
10"
2 3
М, ГэВ
3
10"
-
-
г.
\ ^
\ ^
Хх \
\ \
\ \
\ \
\\
Л
\
i
= 0,5
= 0,2
= 0,1
i
ГэВ
ГэВ
ГэВ
2 3
М, ГэВ
Рис. 4.15
Рис. 4.16
(dN11 /dyJ) вклады в дифотонный спектр от пионной (сплошная линия)
и кварк-антикварковой (штриховые линии) аннигиляции для различ-
различных наборов температур Т^, Тс, Tf. При небольших массах дифотонов
(М < 1,5 ГэВ) адронный вклад превышает вклад от кварк-антиквар-
кварк-антикварковой аннигиляции даже для начальных температур Ti « 1 ГэВ. Для
Ti « 250 МэВ даже при М = 4 ГэВ вклад КГП в два раза превышает
вклад адронного газа. При начальных температурах Ti > 1 ГэВ (и для
М « 4 ГэВ) вклад КГП в дифотонный спектр на три порядка величины
больше вклада пионного газа.
Выше уже упоминалось, что дилептонные, фотонные и дифотонные
спектры зависят от плохо известного времени термализации т^ и на-
начального объёма термализованной ядерной материи. Можно, однако,
определить величины, не зависящие от т^, используя экспериментально
dN dN1 dN11
измеряемые спектры ^ \—' 2— и 2—* ^а Рис- 4.17
dMdyd2p±
dN1
для различных на-
dM dyd p± dyd p±
изображено отношение R = ^ ъ— /
dM dyd p± I dyd p±
чальных температур Ti (в единицах Тс) как функция поперечной массы
М± (поперечного импульса р± для фотонов). Это отношение практи-
практически не зависит от М± для М± ^2 ГэВ. На рис. 4.18 представлено
отношение R= ^ \—/ 2—^2— как ФУНКДИЯ инвариантной
dM dyd p± I dM dyd p±
массы М при различных р± дифотона. Видно, что отношение R слабо
зависит от р±, отражая тот факт, что процессы рождения /i+/i~ и 77
похожи (кварк-антикварковая аннигиляция). Отношение R не зависит
от М для значений М « ЮТС, а минимум связан с ростом сечения
рождения /i+/i~ вблизи р-пика. Экспериментальное изучение подобно-
86 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
R
106
105
104
103
102
101
Смешанная фаза
Кварк-глюонная фаза
4 5
М±,ГэВ
Рис. 4.17
R
102
101
± = ^Tc
0
м/г
Рис. 4.18
го рода зависимости даст важную информацию о фазовых состояниях
расширяющейся ядерной материи.
Завершая обсуждение рождения дилептонов, одиночных фотонов
и фотонных пар, подчеркнём, что они являются хорошими «термомет-
«термометрами» начальных стадий эволюции ядерной материи, однако их весьма
непросто обнаружить на фоне других конкурирующих процессов гене-
генерации лептонов и фотонов.
4.9. Сжатие струй (jet quenching) в столкновениях
релятивистских тяжёлых ионов
Обычно предполагается, что выход «жёстких» пробников (J/ф,
е+е~ пар, 7~квантов) в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов
пропорционален числу нуклон-нуклонных столкновений. Это ожида-
ожидание, казалось бы, оправдано для процессов с большими Q2, для которых
можно пренебречь взаимодействиями в конечном состоянии. Однако
экспериментальные данные с RHIC по выходам адронов с большими
поперечными импульсами в Аи + Аи столкновениях указывают на их
значительное подавление по сравнению с нуклон-нуклонными взаимо-
взаимодействиями. Этот эффект, названный сжатием струй («jet quenching»),
можно объяснить потерями энергии партонами при их взаимодействии
с окружающей ядерной материей [61-63]. Согласно современным пред-
представлениям, доминантным механизмом потерь энергии в КХД является
излучение глюонов при столкновениях быстрых партонов. Радиацион-
Радиационные потери энергии при этом подавлены (эффект Ландау-Померанчу-
ка) и растут пропорционально квадрату толщины ядерной материи L.
4.9. Сжатие струй в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов 87
Конечно, в столкновениях тяжёлых ионов очень трудно измерить
потери энергии отдельного партона, поскольку из-за большой мно-
множественности сложно изолировать струю, в которую фрагментирует
рассматриваемый партон. Однако потери энергии партонов связаны
с потерями энергии лидирующего адрона, в который он фрагментирует.
Начнём обсуждения потерь энергии с рассмотрения быстрого пар-
тона, пересекающего однородную, статическую среду толщиной L.
Будем предполагать, что геометрия задаётся цилиндром радиуса R,
как в бьёркеновской модели расширения ядерной материи, и партон
движется в поперечной плоскости в системе покоя элемента ядерной
среды. Предположим также [64], что эффективные потери энергии,
определяемые как сдвиг в импульсном распределении быстрых парто-
партонов, зависят от р± и L следующим образом:
Ap±=rjp^L, D.46)
где 7/,/i — скейлинговые показатели. Линейная зависимость от L в вы-
выражении D.46) оправдана тогда, когда происходят последовательные,
независимые взаимодействия партона с ядерной средой.
Поперечная длина пути партона, рождённого в поперечной плоско-
плоскости в точке г и углом ср по отношению к радиальному направлению,
может быть представлена в виде:
Ь(ч>) = (R2 -r2sinVI/2 -rcoscp « —^ , D.47)
Aib COS Lp
Aib COS Lp
где z = \z\, z2 = R2 — г2, и приближение справедливо вблизи поверхно-
поверхности ядра.
Теория возмущений КХД предсказывает для поперечных импульсов
р± > 2 ГэВ партонов следующую форму спектра [65]:
D.48)
где v = 8 и ро ~ 1,75 ГэВ. Тогда спектр партонов с учётом потерь
энергии
D.49)
р± а р± 2тг R J J а р±
о о
Заменяя интегрирование по г интегрированием по z и используя при-
приближение D.47), можно получить
Отметим, что функция Q(p±), характеризующая потери энергии, об-
обратно пропорциональна первой степени R — поперечному размеру
ядерной материи. Зависимость Q от р± определяется степенью /i, для
88 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
ц = 1 фактор Q падает медленнее с ростом р±, чем для /i > 1, а для
/i = 1/2 он растёт с ростом р±.
Предыдущее обсуждение касалось оценок фактора подавления
Q(p±) Для центральных соударений релятивистских ядер. Обобщая
формулу D.50) на столкновения с прицельным параметром Ь, имеем
D.51)
аъ- sin аъ
где аъ = 2arccos —. Это приближение справедливо с той же степенью
точности, что и выражение D.50).
Для того чтобы сравнить расчёты с экспериментальными данными,
надо отказаться от упрощённых геометрических предположений, ис-
использованных выше:
1. Поперечный профиль первичной струи не однороден, а пропор-
пропорционален профилю бинарных нуклон-нуклонных соударений:
T(f,b) = Pi(f)P2(f-b), D.52)
где pi(r) — проинтегрированная по продольной координате плотность
ядра г.
2. Плотность ядерной среды неоднородна в поперечной плоскости.
Предположим, что она пропорциональна локальной плотности участву-
участвующих нуклонов. Например в модели Глаубера
PpartH = Pi(r) (I - е-°«(р-Ъ) + Р2(г- Ь)A - е-^СЭ), D.53)
где а — неупругое нуклон-нуклонное сечение.
3. Ядерная среда расширяется, и её плотность уменьшается со вре-
временем:
р(г,т) = С?^ГК D.54)
т + то
Эта формула моделирует продольное расширение. Для анализа данных
RHIC следует положить С « 3, то « 1 фм/с.
Вернёмся снова к соотношению D.46) для потерь энергии. Теория
возмущений КХД предсказывает, что радиационные потери энергии,
включая эффект Ландау-Померанчука, зависят квадратично от разме-
размеров ядерной материи L. Как отмечено в работе [66], это имеет место
для усреднённых потерь АЕ энергии данного партона, однако средняя
потеря энергии наблюдаемых партонов с фиксированным значением
импульса р± имеет другую зависимость от L. Действительно среднее
смещение спектра из-за потерь энергии, называемое «эффективными
потерями энергии» [66],
^^ D.55)
4.9. Сжатие струй в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов 89
где (f включает «степень рассеяния» среды, (f линейно зависит от плот-
плотности. Для расширяющейся материи фактор qL? следует заменить на
D.56)
где г(т) = f-\-vr соответствует положению быстрого партона в среде в
момент времени т, и до — функция поперечной координаты г, в которой
рождается частица.
Для согласования с выражением D.46) следует определить
D.57)
J drp(f(r),r) = r]p±(Lp)eff, D.58)
с константой т/ = as^/nqo/'р(О), не зависящей от г. В численных
расчётах обычно используется [64] две параметризации Ар. Первая —
параметризация Бете-Гайтлера
L
Ар± = rjp±
о
соответствующая при /i = 1 выражению D.46). Вторая параметризация
Ap±=r]p±^(Lp)eff. D.59)
Эта параметризация описывает случайное движение быстрого партона
в поперечной плоскости, причём некоторые взаимодействия со средой
приводят к увеличению энергии партона, а другие — к потери энергии
партона.
Зависимость фактора Q от поперечного импульса быстрого партона
показана на рис. 4.19. Обозначения (BDMS), (BH), (RW) соответству-
соответствуют параметризациям D.57)-D.59). Видно, что (BDMS) параметриза-
параметризация D.57) заметно отличается в факторе Q от двух других пара-
параметризаций. Это не удивительно, поскольку она выражает различную
зависимость потерь энергии отр^ в этих моделях (линейное для D.57),
D.58) и корневое для D.59) поведение). Предварительные данные с
RHIC указывают на то, что «quenching» усиливается с ростом р±,
это утверждение, как видно из рис. 4.19, не в пользу параметриза-
параметризации D.57).
Зависимость фактора сжатия от прицельного параметра изображена
на рис. 4.20, причём фактор сжатия отнесён к половине участвующих
нуклонов и рассматривается как функция числа участников A^part- Если
бы сжатия струй не было, функция, изображённая на рис. 4.20, воз-
возрастала бы от iVpart. Как видно из этого рисунка, сжатие компенсирует
этот рост, и выход струй на одного участника на самом деле падает
с ростом центральности соударения ядер. Это поведение наблюдается
90 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
1,5
^0,5
1
¦ BDMS
ВН
RW
100
200
300 400
N
Рис. 4.19
Рис. 4.20
для параметризаций D.57) и D.58), в случае параметризации D.59)
функция (рис. 4.20) слабо зависит от 7Vpart-
Из предыдущего рассмотрения потерь энергии быстрого партона
в ядерной среде можно сделать несколько выводов. Во-первых, зависи-
зависимость от импульса в выражении D.57) не согласуется с данными RHIC.
Однако это может быть связано с тем, что из-за ограниченного по р±
аксептанса в экспериментах на RHIC, формула D.57) не применима
в этом интервале р±.
Во-вторых, линейная зависимость эффективных потерь Ар± от
толщины ядерной среды не даёт наблюдаемой зависимости адронов
от числа участников при р± « 4 ГэВ/с. Только зависимость D.59)
даёт плоское распределение, замеченное в данных PHOBOS. Заметим,
что первые теоретические оценки потерь энергии партонов в нагретой
ядерной среде сделаны в работе Бьёркена, в которой вычислены потери
энергии за счёт упругих столкновений партонов [61]:
dEe{
dx
~ 2
V 2/х2 )
D.60)
где Т — температура ядерной среды, /i — дебаевская масса, С^ — опе-
оператор Казимира партона (кварка) в фундаментальном представлении
группы SUC), E — энергия партона.
Радиационные потери энергии партона в плазме размером L впер-
впервые вычислены в работах [67, 68]:
dErad
dx
2Е_
\i L
D.61)
где Л — длина свободного пробега глюона в ядерной среде.
Используя выражения D.60) и D.61), можно оценить полные поте-
потери энергии партона, например, с энергией Е = 40 ГэВ. Они составят
АЕ « 40 ГэВ при его движении в среде с размером L = 6 фм, если
выбрать \i = 0,5 ГэВ и Л = 1 фм. Предполагая, что большинство этой
4.9. Сжатие струй в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов 91
энергии уносится глюонами вне конуса струи, получаем, что для из-
измерения потерь энергии требуется экспериментальное разрешение 5Е,
гораздо меньшее, чем полные потери энергии АЕ. Для измеренной
на RHIC полной множественности, при л/s = 130 ГэВ, dN/dr] « 900
и плотности энергии dE±/dr] « 500 ГэВ можно оценить полную фоно-
фоновую энергию (от испускания глюонов) в конусе струи Erj = 1, 5ф = 1)
^2 Д1 ~ S0 ГэВ с флуктуацией 5Е± ~ 10 ГэВ. Поэтому очень трудно
определить энергию струи в каждом событии. Так как партоны с боль-
большими р± в адронных и ядерных столкновениях возникают в результате
фрагментации струй, потери энергии в среде должны приводить к по-
подавлению адронов с большими р±. Причём очень важно, что в протон-
протонных взаимодействиях при тех же энергиях, что и в ядро-ядер-
ядро-ядерных столкновениях, из-за отсутствия ядерной среды такого подавления
ожидать не следует. Поскольку инклюзивный спектр адронов включает
сечение рождения струи и функцию фрагментации струи теории воз-
возмущений КХД, подавление инклюзивного спектра адронов с большими
р± есть прямое следствие модификации функции фрагментации струи
в ядерной среде.
Коллаборация PHENIX [69] сообщила о значительном подавлении
выхода адронов, особенно тг° мезонов, при поперечных импульсах
р± < 6 ГэВ. Это подавление можно интерпретировать как результат по-
потерь энергии глюонных струй с поперечными импульсами р± < 10 ГэВ.
Отметим, что подобного подавления не наблюдается при энергиях SPS.
Вычислим потери энергии струй больших энергий в КГП [70]. В ка-
качестве модели КГП используем сценарий «горячих глюонов» Э. ТТТу-
ряка [71]. Рождение глюонов на начальном этапе формирования КГП
связано с относительно большим сечением глюон-глюоннго рассеяния
по сравнению с глюон-кварковым и кварк-кварковым. В низшем поряд-
порядке теории возмущений КХД квадраты матричных элементов в формуле
do_ = тга| д ,2
dt s2
при больших углах рассеяния относятся как [72]
Ml^ggIMl^JMlq^qq = 30,4/5,4/2,2,
т. е. действительно глюон-глюонное рассеяние доминирует.
Как известно, сечение рассеяния на малые углы расходится, од-
однако в КГП оно принимает конечные значения из-за «температурной
Дебаевской массы» tm\n = g^T2. Сечение рассеяния на большие углы
определяется формулой [71]
а на малые углы
малые углы
92 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
Эффективная скорость рассеяния \/rg определяется суммой рассе-
рассеяний на большие и малые углы:
rg
1 = ng (^# + *Ц) , D.64)
где ng — глюонная плотность. Очевидно, что вблизи температуры
фазового перехода глюоны уже нельзя рассматривать как свободные
частицы, число степеней свободы их должно изменяться, т. е. глюоны
следует рассматривать как квазичастицы [70]. Параметры квазичастиц
(глюонов) можно извлечь из решёточных данных, тогда
где
G(
[т.т,
При
=) = Go(l+«-|
этом эффективная
ng(T)
&s =
J и С
глюонная
—
G2
?0= 1,25, 5 = 0,0026,
плотность квазичастиц
da;a;2G(r,rc)
s)/x+m|/T» _ j '
/3 =
D
0,
D
.65)
31.
66)
где глюонная масса
+ «-!/] ¦ D.67)
Для оценки начальной температуры КГП используем модель Бьёркена.
Действительно, для плотности числа частиц в единичном интервале
быстрот имеем [70]
^ ] = 0,8 In л/sA11 « 1374. D.68)
dy J у=о
Долю глюонов, морских и, d и s кварков (и антикварков) можно
оценить из структурных функций. Например, число глюонов
N
1
= f dxg(x,Q2), D.69)
где g(x, Q2) — глюонная структурная функция, mchar — характеристи-
характеристическая адронная масса, mchar ^ тпр, \р\ — импульс нуклона.
4.9. Сжатие струй в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов 93
Например, в условиях RHIC -^- = —^ « 0,012. Аналогично для
\Р\ ys
числа морских кварков имеем
1
7Vsea = dx(usea + dsea + 5sea). D.70)
Для структурных функций [73] Nsea/Ng « 0,44, т. е. число глюонов
примерно вдвое превышает число морских кварков.
Оценим число глюонов в центральной области быстрот в условиях
RHIC.
^ ^дЦ ^^ ^ D.71)
dV dy dy J y=Q dy dy dy
Здесь 7Vvai = 3(N — N) « 49, поскольку избыток нуклонов над анти-
антинуклонами в центральной области быстрот для RHIC составляет ~16.
Поэтому число глюонов в центральной области
«920. D.72)
y=o
Тогда, используя соотношение D.64), получаем
dNS Т2 (Л 7О\
ПТ = V- D.73)
ПсгТсг =V —о
gg dyirR2Au 2,65а|(Г) +
где величина as определяется выражениями D.65). Последняя формула
позволяет определить начальную температуру глюонов Tg « 345 МэВ.
При этом начальная плотность глюонов nJTs) ~ 19ш|, а время
12 5
установления равновесия rg « —^—^ « 0,9фм/с.
Для интенсивности излучения кварков и глюонов в расширяющейся
плазме имеем [74]
СЮ |л|тах (
p(z) dz as d2k
dl 9CRE \ ( w Г 2? Г 2- a A:g
I ^>/ /^ \ W^ I л, /7 к» I /7/7 - -1-
Ctg U/ »^ W t/ ^ о «¦ о ^
|fc|min 0
В этом выражении Е — энергия струи, Cr — цветовой фактор (Cr =
= Nc для глюонных струй). Верхний предел при интегрировании по
переданному импульсу |g|max ~ y/3/i(r)/?^. Поперечный импульс к2
связан с испусканием глюонов партонной струёй в отсутствии ядерной
среды.
94 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
Кинематические границы на поперечный импульс определяются
следующим образом:
^ах = min [АЕ2х2, АЕ2х(\ - х)}, k2m[n = /i2(r)
для глюонов, несущих долю импульса х и /i2(r) = 4тга2Т2(т). Величи-
Величина z = г ограничивает толщину L мишени, а р{т) — плотность глюонов
или кварков в момент времени г на пути струи.
Потери энергии можно получить, интегрируя выражение D.74) по х
для каждого момента времени rg < г < тс и фиксированного значения
энергии струи Е.
Для этого можно, например, использовать метод Монте-Карло.
Чтобы найти полные потери энергии, нужно учесть рассеяние глю-
глюонов (кварков) на глюонном и кварковом потенциалах в плазменной
среде.
Например, доля глюонного рассеяния на глюонном потенциале в
среде определяется соотношением
п G , D.75)
nqagq
I U Cr\J 0*0"
где agg — сечение рассеяния на глюонном потенциале, agq — на
кварковом потенциале. С учётом кваркового фактора o~qg/agg = 4/9.
Тогда полные потери энергии глюонной струи
AEg(E) =
тг /х j i + ^i тг /х j i
D.76)
9% т§ Ащ
где Iq(E,t) есть не что иное, как функция
1х(Е,т{Т)) =
- cos
2 J2 [l cos f
2 (k-qf[ 2x(l-x
в переменных \k\/fj, и \q\/fj,.
Аналогично потери энергии кварковой струи
,т) \ ,
тё * ' 9% тё ~Ащ
D.77)
где CF = Nc ~ l.
Потери энергии находятся численным интегрированием по г.
4.9. Сжатие струй в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов 95
Оценим потери энергии для SPS энергий: для энергии струи
Е « 4 ГэВ потери составляют ^100 МэВ. Такие малые потери связаны
с тем, что фаза кварк-глюонной плазмы при энергиях SPS живёт очень
мало.
При энергиях RHIC, если потери энергии струи вычислять по
теории возмущений, они составят АЕ = 8,5 ГэВ для Е = 10 ГэВ. От-
Отметим, что это очень большие потери энергии, которые не согласуются
с подавлением выхода адронов при больших р±, обнаруженным на
RHIC. По-видимому, это связано с тем, что теория возмущений не
применима вблизи температуры фазового перехода.
Сжатие струй уменьшает энергию струй до её фрагментации, при
этом поперечный импульс из-за энергетических потерь смещён на
величину АЕ(Е). Этот эффект можно учесть, заменив вакуумные
функции фрагментации на «эффективные» функции фрагментации
zc n //v* /П2\
— E>h/c(zc,Q ),
Zc
где
* = c
с \-АЕ{Е)/Е'
Тогда сечение рождения адрона в АА взаимодействиях
"max
г
АА
^ d2bd2ft(f)t(\b-f\)x
dp
о
max
г
d2bd2ftA(f)tA(\b-f\)
J
х J2 \dxadxbd2k±,ad2k±,bgA(k±,a,Q2,r)gA(k±,b,Q2,\b-r\) x
abed
abed
X fa/A(Xa,Q\r)fb/A(xb,Q\ \b - f\)^ f RnM^I, D.78)
uAj Zc TTZc
где га(г) — ядерная функция толщины, k±,a и k±^ — распределе-
распределения партонов по поперечному импульсу, fa/A и /Ь/в — партонные
структурные функции. Обычно функцию распределения партонов по
поперечному импульсу gA{k±) выбирают в Гауссовой форме.
Заметим, что «внутренний» к± партонов и уширение поперечного
импульса (эффект Кронина) важны для SPS энергий. Однако с ростом
энергий спектры становятся всё более пологими, и влияние «внутрен-
«внутреннего» к± становится всё менее заметным.
Для 10% центральных столкновений на RHIC 6max ~ 0,6Rau-
Если в формуле D.78) пренебречь зависимостью от к± и ввести
новые переменные
96 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
Ха=Х\=Х]_ — , Хь = X = Х]_2<с _
xl x,-2E z-pl
и проинтегрировать формулу D.78) по г и Ь, то получим
D.79)
2z/xl
dUgg{im^^2)xxGg{xx)x2Gg{x2) D.80)
2z/Bz-xl)
для глюонной струи.
В соотношении D.80) Q = ^, Q = ^г, Gg- — глюонные структур-
структурные функции, Dh/g — функция фрагментации глюона в струю адронов,
/с-фактор, учитывающий вклад высших порядков теории возмущений.
Функция Ф(#1,#2) учитывает экранирование [75].
Величина fgg(^) есть доля глюон-глюонного рассеяния
а величины 9
D.83)
Величина ^тах в D.80) находится из соотношения
z*= p1
с Е-АЕ'
Например, при р\ = 3, 4,6 ГэВ zmax = 0,61, 0,64, 0,67, соответственно.
Теперь можно оценить фактор подавления
dN
Raa(p±) = Щ^ , D.84)
dbTAA(b)
dya p±
где Таа(Ъ) — функция перекрытия двух ядер.
Отметим, что если пренебречь сжатием струй и экранированием, то
= 1- Оценки фактора подавления в условиях RHIC дают для pj_ =
4.10. Коллективное расширение ядерной материи в столкновениях 97
= 3,4, 5,6 ГэВ соответствующие значения RAA = 0,25, 0,29, 0,33, 0,39,
что неплохо согласуется с экспериментальными данными.
В гл. 10 будет подробнее обсуждён вопрос о подавлении выходов
мезонов с большими поперечными импульсами в AuAu и дейтрон-Аи
столкновениях и связь этого подавления со сжатием струй.
4.10. Коллективное расширение ядерной материи
в столкновениях релятивистских ядер
Как мы уже отмечали, в столкновениях релятивистских ядер может
сформироваться термализованная среда, состоящая из адронов или
кварков. Такой среде должны быть присущи коллективные явления, на-
например, коллективное расширение. Так, поперечная энергия в событии
будет содержать не только компоненту, связанную с температурным
хаотическим движением, но и компоненту коллективного движения.
Например, если средняя поперечная энергия, приходящаяся на одну
частицу при адронизации, составляет ^300 МэВ, то при изоэнтропиче-
ском расширении это означает, что «истинная» температура составляла
^300 МэВ, но ядерное вещество участвовало в коллективном движе-
движении со скоростью /3 = у/с « 0,5.
Ожидается, что коллективное движение ядерного вещества должно
усиливаться при переходе от энергии SPS к RHIC и LHC. Это пред-
предположение оправдывается: данные RHIC при р± < 1 ГэВ фитируются
при радиальной скорости v± « 0,6с, в то время как для SPS v± « 0,4с.
Существует несколько подходов к анализу течения ядерной жид-
жидкости. Один из них [76] основан на фитировании распределений
по р± или dN/dy для различных частиц, используя предположение
о локальном термодинамическом равновесии и гидродинамическом рас-
расширении. В этом случае можно получить информацию о начальных
условиях, уравнении состояния и температуре вымораживания. Однако
такой подход является модельно зависимым. Отнюдь не очевидно,
что термодинамическое равновесие устанавливается в столкновениях
релятивистских ионов. В другом подходе [77] изучаются азимутальные
распределения частиц и их анизотропия. При этом источник анизо-
анизотропии может быть разным: гидродинамические течения вследствие
градиентов давления, экранирование и т.д. Общим является лишь
коллективное поведение в процессе множественного рождения.
Азимутальные распределения частиц можно построить в достаточно
узких интервалах (псевдо) быстрот из различных величин, таких, как
поперечный импульс, множественность или поперечная энергия. Обыч-
Обычно делят интервал (псевдо) быстрот, входящий в аксептанс, на более
мелкие интервалы, чтобы при этом достаточно большое число частиц
попадало в каждый интервал. Иногда вводят различные веса, соот-
соответствующие разным частицам, или изучаются различные функции
р±, множественности. Например, если хотят исследовать вклад частиц
4 В. М. Емельянов и др.
98 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
с большими р_\_ в коллективное течение, можно изучать р\(ф) вместо
р±(ф) или выбирать частицы с поперечными импульсами, большими
определённой величины.
Обозначим азимутальную функцию распределения через г(ф) =
= Aр±(ф)/Aф, где р±(ф) — полный поперечный импульс частиц, испус-
испускаемых под азимутальным углом ф.
Функцию г(ф) можно построить в каждом событии и представить
в виде разложения Фурье, поскольку г(ф) — периодическая функция:
ОО
г(Ф) = f- + L Е (хп cos (пф) + уп sin (пф)). D.85)
Z7T 7Г z—'
7Г
п=\
Коэффициенты в этом разложении определяются через интегралы от
г(ф) с весами, пропорциональными cos (пф) или sin (пф). Для конеч-
конечного числа частиц интегралы представляют собой суммы по всем
частицам в заданном интервале (псевдо) быстрот:
хп = т(ф) cos (пф) с1ф = ^2г„ cos (пфу
о
2тг
г
Уп = г(ф) sin (пф)Aф
D.86)
2тг
= }_^rv sin (n(/
где индекс v соответствует всем частицам, фу — азимутальный угол
zz-той частицы.
В отсутствии течения ядерной жидкости и пренебрегая флуктуаци-
ями, функция т(ф) — константа, т(ф) = ^- = ^— J^ rv.
v
При этом все Фурье -коэффициенты, кроме одного, обращаются
в ноль.
Возникновение поперечной анизотропии ожидается при столкнове-
столкновениях ядер с отличным от нуля прицельным параметром.
Пусть z — ось вдоль пучка, её обычно называют продольным
направлением, а поперечная плоскость — (х, у). Прицельный параметр
в плоскости (х, у) вместе с осью z образуют плоскость реакции, и угол
фг@ ^ фг ^ 2тг) плоскости реакции — это угол между осью х и плос-
плоскостью реакции.
Каждой паре коэффициентов Фурье, хп и уп, соответствует нену-
ненулевая компонента vn = у'хп + уп и угол ^@ ^ Фп ^ 2тг) «n-го типа»
течения:
хп = vn cos (пфп), уп = vn sin (пфп). D.87)
Если имеется коллективное течение ядерного вещества, то
г(ф) т^ const, и форма распределения уже не окружность с центром
в точке ноль.
4.10. Коллективное расширение ядерной материи в столкновениях 99
Первая гармоника (v\) соответствует общему сдвигу распределения
в поперечной плоскости, такое течение называется ориентированным
(«directed flow»). Если пренебречь флуктуациями, то из-за симметрии
ориентированное течение совпадает с углом плоскости реакции (от-
талкивательное течение) или с противоположным направлением ф\ =
= фг + тг (притягивающее течение).
Ненулевая вторая гармоника (г^) описывает эксцентриситет эллип-
эллипсоидального распределения. Количественно v^ есть разность между
большой и малой полуосью эллипса. Если гр2 — Vv> то большая полуось
лежит в плоскости реакции, в то время как эллипс ориентирован
перпендикулярно плоскости реакции.
Коэффициент г?з отличен от нуля для асимметричных ядерных
столкновений, когда асимметрия в течении связана с различными раз-
размерами сталкивающихся ядер. Как видно из предыдущего рассмотре-
рассмотрения, в каждом случае нужно знать плоскость реакции. Очень важно
детектировать течение ядерного вещества без использования информа-
информации о точном расположении плоскости реакции в каждом событии.
При рассмотрении флуктуации величины vn становятся уже функ-
функциями распределения. Рассмотрим влияние флуктуации множествен-
множественности на течение ядерного вещества. Поскольку двухчастичные кор-
корреляции весьма слабые [78], будем считать все частицы в событии
независимыми и распределёнными с дисперсией <7q. Будем считать при
этом, что число частиц в выбранном интервале (псевдо) быстрот вели-
велико (N ^ 1). При этих предположениях в отсутствии течения ядерного
вещества распределение вероятностей величин (у\,ф\) имеет Гауссову
Форму:
aw 1 / г? 1 \ /Л ооч
= « ехР V ' D.88)
2 \ 22 J
2тга2 \ 2а2 J
причём пик находится в начале координат. Дисперсия распределения
о* = о*=а* = Ntf) (cos2 (fc)> = Ml = Nal D.89)
где N — число частиц в рассматриваемом интервале (псевдо) быстрот.
Начнём обсуждение флуктуации с ориентированного течения. При
наличии течения каждое событие характеризуется величиной течения
и углом. Для событий с одинаковыми параметрами течения центр
распределения D.88) будет сдвинут в полярной системе координат
в точку (v\,^\). Предположим, что и для сдвинутого распределения
статистические флуктуации D.89) те же самые. Выберем v\ как па-
параметр, характеризующий величину течения, этот параметр зависит
от прицельного параметра столкновения. Как известно (гл. 3), при-
прицельный параметр скоррелирован с такими наблюдаемыми величинами
как поперечная энергия, энергия в калориметре нулевых углов и т.д.
Используя эти корреляции, можно отобрать экспериментально события
с одинаковой величиной течения. Распределение по углу ф\ должно
быть однородным.
100 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
Проинтегрируем выражение D.88) по ф[ = ф\ — фг
оо
dw 1 Г 7// / ^ 1 + ^i "" 2^1 vcos (
— ' аф\ ехр — -
2тга2 ^>-М 2G2
где /о — модифицированная функция Бесселя. Экстремум этого выра-
выражения определяется из уравнения
(^)О. D.91)
Это выражение имеет локальный минимум при v\ = 0, если щ/а > у/2.
Поэтому наблюдение такого минимума в экспериментальных данных
есть достаточное условие возникновения течения.
Отметим, что функциональная форма D.90), которая допускает су-
существование в нуле локального минимума распределения, предложена
в работе [79].
Как уже отмечалось выше, для определения течения необходимо
знать положение плоскости реакции. Заметим, что плоскость реакции
можно определить для каждой гармоники анизотропного течения. Век-
Вектор течения Qn и угол фп п-й гармоники распределения выражаются
следующим образом:
Qn cos (пфп) = Xn = J2wicos (пФг)>
i
Qn sin (пфп) =Yn = J2wisin (пФг)>
i D.92)
^2 Wi sin (пф{)
Wi COS
В этих выражениях суммирование проводится с весами Wi по всем
частицам в событии. Веса подбираются таким образом, чтобы макси-
максимально точно определить положение плоскости реакции [80].
Какие качественно новые явления наблюдаются в ядро-ядерных
взаимодействиях при высоких энергиях по сравнению с рр столкно-
столкновениями и е+е~ аннигиляцией? Как первоначально планировалось,
в АА взаимодействиях должен достигаться качественно новый динами-
динамический режим, характеризующийся малым микроскопическим масшта-
масштабом / (длиной свободного пробега) по сравнению с макроскопическим
масштабом L (размером системы), / <С L.
4.10. Коллективное расширение ядерной материи в столкновениях 101
Если такой режим достигнут, то файербол, рождённый в столкнове-
столкновениях тяжёлых ионов, можно рассматривать как макроскопический объ-
объём. Тогда адекватно термодинамическое описание объёмных свойств
системы и гидродинамическое описание её пространственно-временной
эволюции.
Отметим, что статистические модели хорошо «работают» при описа-
описании столкновений тяжёлых ионов, но они же успешны и для описания
данных в рр и е+е~ аннигиляции. Почему это происходит, до конца
не ясно и в настоящее время. По-видимому, в рр и е+е~ рождаются
многочастичные системы, но они остаются макроскопическими малы-
малыми, в них не проявляются коллективные эффекты. В столкновениях
тяжёлых ионов на RHIC обнаружено коллективное движение ядерной
материи, т.е. макроскопическое поведение действительно наблюдается.
Справедливости ради следует подчеркнуть, что течение ядерного веще-
вещества присутствует и при энергиях AGS и ниже, но его источник там
другой, чисто ядерный, не связанный со множественным рождением
частиц.
Первые попытки связать экспериментальные данные с коллектив-
коллективным поперечным расширением были сделаны в работе [81] для энергий
BEVALAC и [82] для рр взаимодействий на ISR CERN. Идея анализа
очень простая: коллективная скорость расширения по-разному сказы-
сказывается на спектрах лёгких и тяжёлых частиц. Поскольку тг-мезоны —
ультрарелятивистские, их спектр имеет экспоненциальную форму по
р±: из-за смещения, вызванного коллективным течением, спектр оста-
остаётся экспоненциальным с параметром наклона Т* = Tj. Для тяжёлых
частиц эффект другой: например, для очень тяжёлой частицы отсут-
отсутствует «температурная» составляющая скорости, т. е. температурный
спектр rsj 5(p). При смещении, вызванном течением, аргумент 5-функ-
ции изменяется на mv±, v± — скорость поперечного расширения.
Оказалось, однако, что при энергиях CERN спектры тг, К, N в протон-
протонных столкновениях обладают свойством т± скейлинга:
^-expf-^), D.93)
dp
±
где m\ = Pj_ + ra2, причём наклон Т-универсальный для всех частиц
без каких-либо указаний на коллективное расширение. Как ожидалось,
подобная картина должна быть справедливой и при столкновениях
тяжёлых ионов сравнимых энергий.
Однако данные CERN по ядро-ядерным столкновениям показали,
что наклон т± спектра зависит от массы частиц. Это можно видеть
на рис. 4.21, наклон спектра по р± («температура» Т) растёт линейно
с ростом массы частиц.
На рис. 4.22 представлены спектры пионов, каонов и протонов
(антипротонов), измеренные при различных величинах прицельного
параметра на RHIC, как функции разности тп± — тп^ (а), тп± —
102 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
500 1000 1500 2000
Масса, МэВ
Рис. 4.21
(б), т± — nip (в), где т_ц = \/P±i + ^f , i = тг, К,р. Спектры можно
аппроксимировать двумя параметрами — температурой выморажива-
вымораживания и средней скоростью расширения (/3). Как видно из этого рисунка,
параметры T^in и (/3) слабо зависят от центральности столкновения:
Тып уменьшается, а (/3) растёт. Заметим, что температура установ-
ю2
10
10"
10
10"
р>р
0 0,2 0,4 0,6
mT — m , ГэВ/с2
О 0,1 0,2 0,3 0,4
тт - тю ГэВ/с2
Рис. 4.22
0,2 0,4 0,6
тТ— тр, ГэВ/с2
ления химического равновесия Tch также не зависит от центрально-
центральности. При энергиях RHIC скорость поперечного расширения v± « 0,7,
а гидродинамические предсказания с различными параметрами накло-
наклона спектров справедливы вплоть до импульсов р± « 2 ГэВ. Впервые
обнаружено пересечение пионных и протонных спектров, т. е. пионов
и протонов образуется примерно одинаковое число при р± « 2 -i- 5 ГэВ.
В нецентральных столкновениях ядер вторичные частицы участвуют
в «эллиптическом» течении. Причина такого течения состоит в том,
4.10. Коллективное расширение ядерной материи в столкновениях 103
что спектаторные нуклоны движутся вдоль пучка, а образующийся
файербол имеет асимметричную форму. Если в такой системе имеется
давление, то его градиент больше в направлении прицельного парамет-
параметра (ж-направление), чем в более протяжённом ^-направлении.
В этом случае материя расширяется, главным образом в х направ-
направлении. Как уже отмечалось выше, распределение частиц по азимуталь-
азимутальному углу ф можно представить в виде
dN Vq V2
-jT- = 7Г + — cos
аф Z7T 7Г
+ — cos
7Г
+ • • •
D.94)
Каждая из Vi — функция центральности (прицельного параметра),
быстроты, поперечного импульса и типа частиц.
На рис. 4.23 представлены данные коллабораций Е877, NA49 и
STAR по эллиптическому течению (коэффициент ^) в зависимости
от энергии столкновения (или
множественности), а также v2/e
сравнение с гидродинамически- о,25
ми расчётами [83].
Видно, что зависимость г>2 от
центральности определяется на- 0 2
чальной пространственной ани-
анизотропией системы, контролиру-
g W
ев S
- S й
Он О
(у2 - *2}
емои параметром г = -^ ^-,
х,у — поперечные координаты
эллиптического течения. Кроме
того, г?2 при энергиях RHIC рас-
растёт с ростом множественности,
и этот рост описывается гидро-
гидродинамикой.
В гидродинамике предпола-
предполагается выполнение локальных
законов сохранения для тензора
энергии-импульса Т^у и сохра-
сохранения токов Jf:
д^Т^ = О, <9МJf = 0. D.95)
В состоянии равновесия Т^у и
J^ связаны с объёмными свой-
свойствами жидкости следующими
соотношениями:
Т^и = (г + v)u^v!
0,15
0,1
0,05
О0
п Е877
о NA49
• STAR
10
15 20 25 30
dNIdy • 1/S, фм™2
Рис. 4.23
J? =
D.96)
В этих выражениях е — плотность энергии, р — давление, щ — плот-
плотность соответствующих токов, и^ = j(\,v) — собственная скорость
элемента жидкости. В сильных взаимодействиях сохраняющимися то-
104 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
ками являются изоспин (Jj), странность (Jg) и барионное число (Jg).
Отметим снова, что гидродинамические уравнения справедливы тогда,
когда микроскопическая длина (например, длина свободного пробега I)
мала по сравнению с размером системы L.
Можно учесть в первом порядке по 1/L и диссипативные эффекты.
При этом тензор Т^у и токи не сохраняют энтропию состояния, она
монотонно растёт в процессе эволюции.
Диссипативные поправки к тензору T^v и токам можно записать
в следующем виде
2 \
= г] V^uv + Vviifj, - - A^Vpup + (VMZ,Ар,
SJ? =
D-97)
где три коэффициента rj, k, ? есть вязкость , объёмная вязкость и теп-
теплопроводность. В выражениях D.97) использованы следующие проек-
проекционные операторы на систему покоя элемента жидкости:
VM = AMZA, kllv = gllv-ulluv. D.98)
Отметим, что для материи, несущей вакуумные квантовые числа и
характеризуемой температурой, нельзя определить коэффициент теп-
теплопроводности.
Интересно связать величину коэффициента вязкости г/ с физиче-
физическими наблюдаемыми. Если звуковые волны в рассматриваемой среде
имеют частоту и и волной вектор q, то закон дисперсии следующий:
u) = Caq-i?Ta, Г8 = |^. D.99)
Для того, чтобы выяснить, как эти параметры входят в гидродинами-
гидродинамические уравнения, рассмотрим пример 1-мерного расширения со скоро-
скоростью и^ = (?,0,0, z/r), где г2 = t2 — z2 — собственное время. В этой
модели расширения все объёмы элементов жидкости увеличиваются
линейно со временем, причём элементы жидкости движутся по прямым
линиям из точки столкновения.
При этом условие сохранения энтропии позволяет получить следу-
следующее уравнение:
^Р + -=0, D.100)
ат т
которое имеет очевидное решение s = const /г. Если ввести диссипа-
диссипативные поправки, то
е + р ат s ат
+ 4з/шу DЛ01)
(s + р)т I
4.11. Рождение странных частиц в КГП и адронной плазме
105
Видно, что если пренебречь величиной ? в D.101), то в правой
части возникает величина Г5, поэтому Г5 характеризует величину
диссипативных поправок. Поскольку поправка отрицательна, общий
положительный знак указывает на
дополнительную генерацию энтро- V2^
пии в процессе расширения.
На рис. 4.24 показана зависи-
зависимость параметра течения v^ от
р± при различных значений от-
отношения Г5/т. Видно, что для
р± ^ 1 ГэВ данные коллаборации
STAR описываются предположени-
предположением л/s /то = 0, а при р± > 1 ГэВ
необходимо использовать ненуле-
ненулевые значения л/s /то.
В заключение этого раздела от-
отметим, что анализ эксперименталь-
экспериментальных данных ЦЕРН и RHIC ука-
указывает на коллективный харак-
характер эволюции ядерного вещества
в столкновениях релятивистских
тяжёлых ионов. Однако далеко не очевидно, в какой (каких) фазах
происходит это расширение: кварк-глюонной или адронной плазмы.
0,2
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
~ р«6,8фм
- A6-24 % центральных событий)
™ • Данные STAR
Г/т
, /
- ш v?>
-А***! 1 1 1 1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,:
Рис. 4.24
"г;/то = о,1
0,2 "\
i i
1 1,4 1,6
р±, ГэВ
4.11. Рождение странных частиц в КГП и адронной
плазме
В столкновениях релятивистских тяжёлых ионов предсказывается
усиление выхода странных частиц по сравнению с адрон-адронными
или адрон-ядерными взаимодействиями. Например, отношение К+ /тг+
в экспериментах по столкновениям ядер на AGS в Брукхейвене и SPS
в ЦЕРН больше примерно в 2 раза, чем в адрон-адронных взаимо-
взаимодействиях при тех же энергиях. Эти данные трудно интерпретировать
как сигнал образования кварк-глюонной плазмы, поскольку процес-
процессы перерассеяния частиц в нагретом адронном газе также приводят
к росту отношения К/тг. Исторически рост отношения К/и в ядро-
ядерных взаимодействиях рассматривался как сигнал формирования
КГП. Существуют по крайней мере две причины усиления выхода
странных частиц в событиях с образованием КГП.
1. Независимо от барионной плотности, пороговые энергии для
рождения странных частиц (странных кварков) в КГП гораздо ниже,
чем для образования странных барионов и мезонов в адронной фа-
фазе. В адронной фазе странные мезоны или барионы возникают при
столкновении двух нестранных адронов. Типичная реакция р + п —>
—> Л° + К^ -\- п с наиболее низким порогом требует энергий, больших
106 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
671 МэВ. В кварк-глюонной плазме порог образования двух странных
кварков ss в системе их покоя составляет 300 МэВ, т. е. заметно ниже,
чем в адронной фазе. При данной температуре плотность невзаимо-
невзаимодействующих странных кварков больше, чем плотность невзаимодей-
невзаимодействующих К-мезонов. Кроме того, масса К-мезона ^494 МэВ гораздо
больше массы токового s-кварка ms « 180 ± 30 МэВ.
2. Вторая причина усиления странности существенна при высо-
высоких барионных плотностях ядерной материи, формируемых в областях
фрагментации сталкивающихся ядер. Принцип Паули запрещает рож-
рождение пар лёгких кварков ип и dd. Для ss-nap такого запрета нет.
Выход лёгких пар кварков подавлен большим барионным химическим
потенциалом /i#, а для ss подавление связано только с массой стран-
странного кварка. Кроме того, п и d кварки имеют заметную вероятность
рекомбинации с и и d кварками с формированием глюонов. Для стран-
странных кварков вероятность рекомбинации в глюоны гораздо меньше.
Вследствие расширения ядерной материи и уменьшения температуры
процесс gg —> ss выходит из теплового равновесия, т. е. процесс идёт
в прямом и не идёт в обратном направлении.
В среде, обогащенной и и d кварками, число безмассовых п или d
кварков
d^p 1
BтгK
Это число следует сравнить с числом странных кварков
n(s) = 6 f -^ р , . D.103)
JBK{B 2)V2/rj 1
При /i ^> ms, как видно из D.102) и D.103), n(u) <C n(s). В низшем
порядке теории возмущений КХД 55-пары рождаются при слиянии
двух глюонов или аннигиляции лёгких кварков и антикварков, причём
доминирующим механизмом является глюонный.
Как было уже отмечено выше, для дилептонов и фотонов доста-
достаточно сосчитать их скорость генерации в единице объёма ядерного
вещества. Из-за очень малого сечения электромагнитных взаимодей-
взаимодействий дилептоны и фотоны испускаются плазмой без вторичных взаи-
взаимодействий. Странные же кварки участвуют в последующей эволюции,
и этим они существенно отличаются от дилептонов и фотонов.
Странные кварки входят в состав странных адронов после перехода
КГП в адронную фазу. В свою очередь странные адроны взаимо-
взаимодействуют с другими странными и нестранными адронами, поэтому
плотность странных частиц dn/dt зависит от времени. Ниже мы уви-
увидим, что в случае статической плазмы dn/dt равняется dn/dt\t=0,
т. е. плотности кварков в момент начала рождения странных кварков.
Далее, dn/dt —> 0, когда достигается равновесное значение плотности.
Конечно, возникает вопрос: достигается ли вообще равновесное зна-
значение плотности странных кварков в столкновениях релятивистских
4.11. Рождение странных частиц в КГП и адронной плазме 107
ионов? Всё зависит от соотношения времён установления равновесия
Teq(n(req)) = nesq и времени существования фазы, в которой рассматри-
рассматривается эволюция странных частиц.
Можно ожидать, что конкретный выбор сценария эволюции ядер-
ядерной материи гораздо существеннее для странных частиц, чем для ди-
лептонов и фотонов. Далее будет определено дифференциальное урав-
уравнение, описывающее время установления равновесия странных частиц.
Считаем, что скорость генерации Rp странных кварков в КГП столь
велика, что их плотность быстро достигает химически равновесного
значения nesq. Следующее предположение состоит в том, что систе-
система расширяется и остывает столь быстро, что избыток странности
сохраняется во времени, несмотря на возможность аннигиляции ss
в глюоны. Чтобы получить отношения выходов частиц в момент рас-
распада системы на невзаимодействующие частицы, сделаем следующие
предположения:
а) рассматривается бьёркеновская картина расширения в прене-
пренебрежении вязкостью, теплопроводностью и поперечным расширением
ядерной материи;
б) в центральной области (у « 0) барионная плотность равна нулю;
в) будем использовать для описания эволюции ядерной материи
уравнение состояния модели мешков. Как известно, в этой модели
имеется фазовый переход 1-го рода.
Тогда для расширяющейся КГП скорость изменения плотности
странных кварков ns задаётся следующим уравнением:
(А 104)
D-104)
В этом выражении nesq — равновесная плотность странных кварков,
зависящая от времени через температуру Т. Величина Rp определяет
число 55-пар, рождающихся в единицу времени в единице объёма
ядерной материи:
х а [а\ + а2 —> Х\К\К^ ) г;геь D.105)
где
/ (к) = ехр <
f y/K* + ml\
и тпа — масса частиц а\ и а2. В D.105) из-за принципа Паули пре-
небрегается взаимодействием в конечном состоянии, что соответствует
центральной области быстрот с нулевым барионным зарядом. Фактор
1/A + 5) исключает двойной учёт рождения 55-пар при слиянии двух
глюонов. Относительная скорость частиц а\ и а2 обозначена vTe\. Нако-
108 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
нец, сечение а соответствует конкретному механизму генерации ss-nap
в рассматриваемом фазовом состоянии системы.
Сделаем ещё несколько замечаний, поясняющих уравнение эво-
эволюции странности D.104). Последнее слагаемое в D.104) описывает
уменьшение плотности ss-nap за счёт расширения системы. Плотность
странных частиц будет уменьшаться по тому же закону, что и плот-
плотность энтропии, т.е. ~\/t, если объём растёт линейно со временем.
Первое слагаемое в D.104) характеризует скорость рождения ss-nap
для нерасширяющейся ядерной материи. Ограничиваясь в правой ча-
части D.104) статическим слагаемым, имеем
Teq=^P D.106)
т. е. высокая скорость Rp генерации ss-nap предполагает малое время
установления равновесия req.
Скорость остывания ядерной материи зависит от выбранного сцена-
сценария эволюции. В фазе КГП с уравнением состояния в модели мешков
зависимость температуры от времени
, ч 1 /Я
D.107)
eq
s
Другие величины, входящие в D.104): равновесная плотность n
странных частиц и скорость генерации Rp(gg или qq —> ss), вычисля-
вычисляются в фазе КГП. Плотность nesq обычно выбирается в виде больцма-
новской экспоненты. Скорость генерации Rp вычислена в работе [84]
и учитывает сечения КХД процессов gg —> ss, ип —> ss и dd —> ss. На-
Наконец, для решения уравнения для плотности ns(t) в фазе КГП нужно
задать начальные условия. Так как считается, что в сталкивающихся
ядрах странных кварков нет, будем полагать ns (ti) = 0, где ti — время
формирования кварк-глюонной плазмы.
Сохраняющейся величиной в процессе расширения является раз-
разность между числом странных и антистранных частиц. Только если
странные и антистранные частицы не взаимодействуют между собой,
их числа сохраняются по отдельности. Таким образом, если плотность
5-кварков, связанная с образованием К~-мезона, сохраняется, то это
означает, что кварки и мезоны в обеих фазах представляют собой
идеальные газы. Как уже обсуждалось выше, из вычислений на про-
пространственно-временных решётках следует, что картина идеального
кваркового или адронного газа неверна в окрестности температуры
фазового перехода Тс. Поэтому при наличии взаимодействия между
5-и 5-кварками не совсем понятно, какая величина является мерой,
определяющей содержание странных частиц той или иной фазы.
Обратимся теперь к эволюции странных частиц от момента адрони-
зации КГП до развала системы на невзаимодействующие частицы. Вид
уравнения эволюции, подобного D.104), зависит от сценария расшире-
расширения. В работе [85] рассмотрены два сценария: фазовый переход 1-го
4.11. Рождение странных частиц в КГП и адронной плазме 109
рода и фазовый переход 2-го рода с перегревом и переохлаждением
ядерной материи. В первом случае система расширяется адиабатиче-
адиабатически, находится в состоянии локального термодинамического равнове-
равновесия, и можно использовать максвелловское условие сосуществования
двух фаз в смешанном состоянии. Скорость образования адронных
состояний больше скорости расширения, поэтому доля A — /(?)) ад-
адронной фазы возникает сразу после достижения системой критической
температуры Тс. Это происходит в момент времени
D.108)
После этого температура остаётся постоянной до тех пор, пока все
кварки и глюоны не перейдут в адроны, и смешанная фаза прекратит
своё существование. Обе фазы вносят вклад в плотность энтропии
согласно соотношению
*(*) = f(t)sp (Тс) + [1 - f(t)]sh (Tc) , D.109)
где sp и Sh — плотности энтропии в фазе КГП и адронной фазе.
Объединяя последнее соотношение с временной зависимостью s(t),
получим
ШK-м- DЛ10)
Фаза КГП трансформируется в адронную фазу в момент времени t<z,
которое следует из условия / (tc) = 0:
*2 = у*ь D.111)
Второй сценарий фазового перехода (с перенагревом и переохла-
переохлаждением) реализуется тогда, когда граница между фазой КГП и ад-
адронной фазой содержит избыток энергии, т. е. велико поверхностное
натяжение между «каплями» КГП и адронной фазой. В этом случае
фазовый переход происходит с некоторой задержкой, при температуре
Тр < Тс. Адронная фаза находится в перегретом состоянии при темпе-
температурах Th > Тс, а КГП — в переохлаждённом состоянии при Тр < Тс.
В обоих сценариях скорости изменения dn/dt плотности кварков
и плотности К~-мезонов определяются временами нахождения систе-
системы в адронной и кварковой фазах. В максвелловском сценарии тем-
температура остаётся постоянной и равной Тс, а в сценарии с перегревом
(переохлаждением) она уменьшается от температур Т^ > Тс к Тс.
Наконец, для нахождения плотности К~-мезонов нужно найти ве-
величины Rh(T(t)) и Rh (Tc) в адронной фазе. В адронной фазе основны-
основными процессами генерации К±-мезонов являются: тг+тг~ —> К+ + К~,
7Г-7Г0 -> К'К0 И 7Г°7Г° -> К+К~.
ПО Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
В столкновениях тяжёлых ионов нельзя наблюдать плотности ns(t).
Вместо плотностей следует рассматривать отношения числа частиц,
например, К~/тг~. Тогда отношение
К~ п
^г - —, D.112)
где ns — плотность странных частиц в момент развала системы на
невзаимодействующие адроны и п^- — плотность тг~ мезонов. Для
безмассовых пионов пионная плотность пропорциональна плотности
энтропии Sh ~ Т3, которая практически совпадает с полной плотностью
энтропии адронного газа. Тогда отношение выходов частиц
K—rsjVi. D.113)
S
Это отношение следует сравнить с ns(плазма)/^ — отношением
числа странных кварков в фазе КГП к плотности энтропии этого
состояния. Вопрос состоит в том, что является мерой содержания
странных кварков в фазе КГП. В работе [86] вместо отношения ns/s
использовано отношение ns/rid (rid — плотность d кварков). Однако
величиной, которой соответствует пж- в фазе КГП, является плотность
энтропии s, а не rid, так как степени свободы и и d кварков и глюонов
должны адронизоваться в тг-мезоны.
Зависимости ns/s и ns/neq от времени вычислены для трёх сце-
сценариев эволюции ядерной материи: фазового перехода 1-го рода (М);
сценария с перегретой (переохлаждённой) ядерной материей без из-
изменения энтропии (AS = 0) и с удвоением энтропии при критиче-
критической температуре Тс (AS = S). Чем выше начальные температуры, тем
быстрее плотность ns достигает равновесного значения. Окончательное
отношение К~ /тг~ как функция начальной температуры Т{ показано
на рис. 4.25 для трёх сценариев эволюции и трёх наборов параметров,
соответствующих пунктирной, сплошной и точечной кривым. Парамет-
Параметрами в расчётах являлись as, масса странного кварка ms и время
формирования КГП t{. Очевидно, в сценариях (AS = S и AS = 0)
с перегревом (переохлаждением) отношения К~ /тг~ слабо зависят от
начальной температуры Ti и других параметров. Отношения К~/тг~
находятся в интервале 0,21-0,25, при этом химически равновесное
значение составляет 0,217. Эти отношения в случае столкновений тя-
тяжёлых ионов гораздо больше, чем в рр-взаимодействиях, для которых
К~/тт~ « 0,07 ± 0,02. Для фазового перехода 1-го рода такое усиление
(на фактор примерно три) возможно лишь при оптимистическом выборе
параметров (пунктир на рис. 4.25) при всех начальных температурах
Т{ ^ 200 МэВ.
Для реалистических параметров (сплошная линия на рис. 4.25)
фактор три можно получить при Ti > 250 МэВ, а для «пессимисти-
«пессимистического» набора параметров (точечная кривая на рис. 4.25) — даже
при больших начальных температурах. Усиление отношения К~/тг~ на
4.11. Рождение странных частиц в КГП и адронной плазме
111
фактор три по сравнению с рр-столкновениями иногда трактуется как
косвенный сигнал формирования кварк-глюонной плазмы. В отсутствие
фазового перехода первого ро-
рода время жизни было бы на-
настолько коротким, что отношение
К~ /тг~ не достигало бы равно-
равновесного значения. Поэтому, в от-
отличие от дилептонов и фотонов,
К~ -мезоны не являются пробни-
пробниками высокотемпературной квар-
ковой фазы, поскольку их избы-
избыток зависит от характера фазово-
фазового перехода и последующей эво-
эволюции в адронной фазе.
Интересно проследить чув-
чувствительность отношения К/л
к характеру фазового перехода
адроны — кварк-глюонная плаз-
плазма. Чаще всего КГП представ-
представляется как идеальный газ квар-
кварков, антикварков и глюонов, на-
находящихся в фазе деконфайнмен-
та. Однако вычисления на про-
пространственно-временных решёт-
0,3
0,2 -
0,1
о
0,2 -
0,1 -
о
0,3
0,2
0,1
о
.-¦•¦¦¦-....
AS =
i i i i
i i i i
/ M
. J.. • • • Г " " 'l 1
S
i i
0
1 1
1 1
- 0,07
- 0,07
- 0,07
200
300
400
500
Т; МЭВ
Рис. 4.25
ках указывают на то, что связан-
связанные состояния чармония существуют вплоть до температур Т « 1,5ТС
[87]. Более того, временные корреляторы и при температурах Т ~
~ ЗТС ещё не достигают асимптотического поведения. При темпера-
температурах Т > Тс сильная «константа связи» изменяется вплоть до мас-
масштабов экранирования. При этом возможно формирование связанных
кулоновских состояний кварков и антикварков, а также связанных
глюонных состояний [88]. Таким образом вблизи Тс КГП представляет
собой отнюдь не газ слабовзаимодействующих кварков, антикварков
и глюонов. При Т ~ Тс определяющими являются непертурбативные
взаимодействия КХД.
Будем предполагать, что вблизи Тс формируются капли размером
R « 1 -!-2фм, состоящие из кварков, антикварков и глюонов, находя-
находящихся в фазе деконфайнмента. Кроме того, состояние системы должно
быть синглетом по отношению к преобразованиям из цветовой группы
SUC). Синглетная природа такой КГП изменяет импульсные распреде-
распределения кварков, антикварков и глюонов [89]:
fm(K,R,T) =
2К2
1
2{KR)Z
Kz
ADT2'
D.114)
m=0
112 Гл. 4. Экспериментальные сигналы образования ядерной материи
где
К =
С=Щ-
=^§r тг3Я3Т3 - Щ ttRT.
D.115)
При RT ^> 1 из соотношений D.114) и D.115) получаем распределения
Ферми и Бозе для невзаимодействующего газа кварков, антикварков
и глюонов. Как видно из этих же соотношений, условие синглетности
подавляет кварковые и глюонные моды с импульсами К ^ 1/R, причём
к условию синглетности более «чувствительны» глюонные функции
распределения.
Вычислим скорость рождения ss кварков с функциями распределе-
распределения D.114) и D.115). Как уже отмечалось выше, каналами генерации
странных кварков и антикварков ss являются gg —> ss и qq —> ss. Тогда
скорость генерации ss пар, т. е. число ss пар, рождённых в единице
объёма плазмы имеет две компоненты: A(R,T) = Agg^Ss + Aqq^Sg.
При этом
сю
± \
7Г J
K2-S)fJKuR,T)fJK2,R,T)
4
4тг
J
г- СЮ OO -i
x J dKx J dK2$DKlK2-S)fq(Kl,R,T)fq(K2,R,T) , D.116)
^ о о J
где <7ggwS5 и o~qq^Ss [90] сечения реакций qq ^ ss и qq ^ ss.
На рис. 4.26 представлено отношение скоростей рождения Agg/Aqq
как функции величины i?T. Как видно из этого рисунка, для идеаль-
идеальной КГП в пределе RT ^> 1 полная скорость генерации определяется
глюон-глюонным слиянием. Однако при RT ~ 1 -=- 2 основным каналом
генерации ss пар является аннигиляция лёгких кварков и антикварков.
Плотность энтропии при этом возрастает вдвое при RT ~ 1 -=- 2.
Таким образом, как отмечено в работе [91], отношение К/п как
функция множественности рождённых частиц или, числа участников
в ядро-ядерном столкновении может быть немонотонной: при числе
4.11. Рождение странных частиц в КГП и адронной плазме
113
нуклонов — участников ^100 в Pb + Pb взаимодействиях возможно
возникновения минимума.
10
К^1ж±
0,2
0,15
од
0,05
к+
•РР
АСС
? SISI
¦ РЬРЬ
vSS
4 ЛГ
Рис. 4.26
0 50 100 150 200 250 300 350 400
N
у част
Рис. 4.27
Указания на существование подобного минимума имеются в дан-
данных коллаборации NA49 (ЦЕРН). На рис. 4.27 представлено отноше-
отношение К+/тг± в р + р, С + С, Si + Si, S + S и Pb + Pb при энергиях
158 ГэВ/нуклон как функция числа участников столкновения. Поведе-
Поведение К/ty от 7Vpart действительно оказывается немонотонным: в районе
^Vpart ~ 60 (это центральные соударения для ядер серы) отношения К/п
примерно на 50% больше, чем для Pb + Pb взаимодействий с 7Vpart « 60
(периферическое столкновения).
Рассмотренный пример показывает, что К/тг отношение весьма чув-
чувствительно к динамике фазового перехода и поэтому может служить
его сигналом.
Отношения К+/тг+ и К~/тг~ измерялись в экспериментах Е802
на AGS и NA34 в ЦЕРН. В обоих экспериментах исследовалась ки-
кинематическая область рождённых частиц, соответствующая областям
фрагментации ядер (с ненулевым барионным зарядом), поэтому резуль-
результаты нельзя сравнивать с теоретическими оценками, предполагающими
нулевой барионный заряд. Однако в обоих экспериментах видна од-
одна и та же тенденция: отношение К+/тг+ растёт на фактор два по
сравнению с адрон-адронными и адрон-ядерными взаимодействиями.
Отношение К~/п~ при этом практически не меняется. Однако это
не означает, к сожалению, что кварк-глюонная плазма формируется
в этих экспериментах. Для многих частиц, содержащих странные
кварки, равновесные значения плотностей в нагретом адронном газе
сравнимы с плотностями странных кварков в фазе КГП. Система же
в равновесном состоянии «забывает» о способе своего формирования.
Глава 5
АДРОННАЯ И ФОТОННАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
5.1. Метод НВТ интенсивной интерферометрии
Метод НВТ интенсивной интерферометрии был впервые предложен
в работах Копылова и Подгорецкого [92, 93] и использован в радио-
радиоастрономии для определения размеров звёзд по корреляциям испуска-
испускаемых ими фотонов. Как отмечали в своих работах Браун и Твисс [94,
95], «если испускание происходит из двух точек и когерентно, то
и флуктуации интенсивности сигналов от этих двух точек тоже корре-
лированы». Как обычно в квантовой механике, амплитуда сигнала есть
квадрат суммы амплитуд А\ и А2:
\АХ + А2\2 = \АХ |2 + \А2\2 + (А\А2 + АХА$), E.1)
последнее слагаемое V = А\А2 + МА^ представляет собой часть
сигнала, чувствительную к расстоянию между точками испускания
A и 2). Это интерференционное слагаемое может как усиливать, так
и ослаблять сигнал. На этом квантовомеханическом свойстве основан
метод НВТ.
В физике частиц метод НВТ был применён Голдхабером, Ли и Пай-
сом. В 1960 году они изучали на Беватроне (LBL, USA) угловые
корреляции тождественных пионов в рр-аннигиляции. В эксперименте
наблюдалось усиление выхода пионных пар при малых относитель-
относительных импульсах, и это усиление объяснялось конечностью размеров
распадающейся рр — системы и конечностью квантовомеханической
локализации распадных пионов. В развитие этих идей было постепенно
осознано, что корреляции тождественных частиц, испускаемых воз-
возбуждённой ядерной материей, чувствительны не только к геометрии
системы, но также к её времени жизни.
Начнём с обсуждения соотношения между пространственно-вре-
пространственно-временной плотностью S(x, к) источника испускания частиц и одночастич-
^ dN „ „ ,
ным спектром Ьр—^-, а также двухчастичной корреляционной функци-
функцией р
5.2. Корреляции частиц из пространственно-временных распределений 115
ей C(q, к) для пар тождественных бозонов:
= | dqxS(x,p),
| dq
C(q,k)& 1 +
"dap
I [ dAx S(x, k) ei{
x S(x, к)
1 + A(fc)exp
E.2)
где q = pi - p2, к = (p\ +Рг)/2.
Основная задача метода интерферометрии состоит в том, чтобы из-
извлечь из экспериментальных данных функцию S(x,k), которая харак-
характеризует источник испускания частиц в столкновениях тяжёлых ионов.
В частности, нас будет интересовать пространственно-временная ин-
интерпретация НВТ параметров i??-(fc). Кроме этих радиусов, метод НВТ
позволяет оценить время испускания, поперечные и продольные разме-
размеры источника.
5.2. Корреляции частиц из пространственно-
временных распределений
Попытаемся получить двухчастичную корреляционную функцию
тождественных бозонов, имея заданную функцию испускания. Выбе-
Выберем симметризованную волновую функцию испускания двух тожде-
тождественных бозонов в точках, характеризующихся векторами х\ и х2 с
импульсами р\ и р^\
Ф() (i + + i + i^) E.3)
При этом пространственное распределение точек испускания пусть
описывается функцией р(х). Тогда двухчастичный коррелятор C(q)
есть фурье-преобразование от пространственного распределения:
C(q) = Jd3f! d*x2p(xx)p(x2) |Ф12|2 = 1 + \р(рх -й)|2. E.4)
Извлечение пространственного распределения р(х) из измеренного им-
импульсного спектра представляет собой обратное преобразование Фурье.
Как известно, решение единственно, если р(х) — вещественно и по-
положительно. Соотношение E.4), однако, не вполне удовлетворительно,
поскольку не позволяет изучать временную эволюцию источника ис-
испускания. Гораздо информативнее использовать лоренц-инвариантные
одно- и двухчастичные распределения для каждого сорта частиц:
116 Гл. 5. Лдронная и фотонная интерферометрия
d p
E.5)
LL1 V i—^ i—^ /^v_|_ ^v_|_ ^v ^v \
Эти распределения включают усреднения (...) по ансамблю событий
операторов рождения и уничтожения, характеризующих процесс столк-
столкновения. По определению, двухчастичная корреляционная функция
тождественных частиц пропорциональна отношению двухчастичных
и одночастичных спектров:
где N — нормировочный фактор. Этот фактор можно определить,
связав спектры частиц с инклюзивными дифференциальными сечения-
сечениями или требуя определённого асимптотического поведения коррелято-
коррелятора E.6) при больших относительных импульсах q=p\ — Й-
Одно- и двухчастичные спектры частиц можно связать с инклюзив-
инклюзивными дифференциальными сечениями следующим образом:
$ l^ E.7)
° а р ° a p\d р2
При этом спектры нормированы так, что
1)>. E-8)
где N = J(fika^ak. Нормировочную константу в E.6) можно выбрать
двумя способами:
а) N = 1;
б) нормируя числитель и знаменатель порознь на единицу, что даёт
N = -J^U . E.9)
(N(N-l)}
Поскольку в любом случае N не зависит от относительных импульсов,
выбор нормировки не изменяет пространственно-временной трактовки
корреляционной функции.
Пренебрегая кинематическими ограничениями, следующими из ко-
конечности числа частиц в событии, можно предположить, что факто-
факторизация справедлива при больших относительных импульсах q. По-
Поскольку при малых q корреляционная функция больше единицы, то
(N(N — 1)) > (Af2), т.е. больше, чем пуассоновские флуктуации мно-
множественности. Это естественное следствие бозе-эйнштейновских кор-
корреляций.
Выбор нормировочной константы E.9) позволяет рассматривать
коррелятор как фактор, связывающий двухчастичное дифференциаль-
дифференциальное сечение da^/d?p\d?p2 реального мира (где бозе-эйнштейновская
5.2. Корреляции частиц из пространственно-временных распределений 117
симметризация существует) с идеализированным миром, в котором
бозе-эйнштейновская симметризация отсутствует:
E.10)
d3pid3p2 ' d3pid3p2'
При этом с нормировкой E.9) фактор C(q,K) обеспечивает равенство
полных сечений а^ЕЛоХ _ aNO,tott
Из экспериментальных данных двухчастичный коррелятор извлека-
извлекается путём выбора «действительных» и «смешанных» пар. «Действи-
«Действительные» пары — это пары, относящиеся к одному событию. «Сме-
«Смешанные» пары выбираются случайным образом из различных событий.
Тогда корреляционная функция определяется отношением (в каждом
бине) распределения Da «действительных» пар к распределению Dr
«смешанных» пар:
~ / д^ \f>\ _ число «действительных» пар в бине (Aq,AK)
число «действительных» пар в событии
~ ( \^ \т>\ _ число «смешанных» пар в бине (Aq,AK) (^ ]]\
число «смешанных» пар в событии
C(Aq, АК) = D^A^AK)^
DR(Aq,AK)
Число «смешанных» пар, приходящихся на одну «действительную»
пару, обычно выбирается между 10 и 50.
Двухчастичный коррелятор в E.11) совпадает с теоретическим
определением E.6), если распределение «смешанных» пар Dr совпада-
совпадает с нормированным произведением одночастичных спектров. Посколь-
Поскольку и «действительные», и «смешанные» распределения нормированы
на полные множественности частиц, определение коррелятора E.11)
соответствует нормировке
N=^J^ . E.12)
(N(N-l))
Обратимся теперь к вычислению импульсных корреляций тождествен-
тождественных пионов, рождённых в столкновениях тяжёлых ионов.
Рождение пионов описывается уравнением Клейна-Гордона для пи-
онного поля (р(х)\
(? + m2)(^>) = J(x), E.13)
где ? — оператор Даламбера.
Однако это уравнение не слишком информативно, поскольку опе-
оператор тока J(x) связан с пионным полем и его вид, строго говоря,
неизвестен. В этом случае обычно используется классическая пара-
параметризация ядерного тока, заменяющая оператор J(x) классической
коммутирующей пространственно-временной функцией J(x). В каче-
качестве обоснования этого приближения можно отметить, что в момент
118
Гл. 5. Лдронная и фотонная интерферометрия
распада системы на невзаимодействующие пионы свойства источника
испускания пионов не меняются при испускании одного пиона. Это
предположение вполне оправдано для событий с большой множествен-
множественностью. Для классического источника J(x) конечное пионное состо-
состояние является когерентным состоянием |J), которое есть собственное
состояние аннигиляционного оператора
ap\J)=U{p)\J).
E.14)
Используя это соотношение, можно вычислить одно- и двухчастичные
спектры E.5). Обычно классический ток выбирается как суперпозиция
независимых функций источника Jo:
E.15)
г=1
Если фазы (fi в выражении E.15) случайны, то говорят о хаотическом
испускании частиц, в этом случае в E.2) параметр Л = 1. В более
общем случае, когда фазы cpi не случайны, параметр Л < 1.
Рассмотрим более подробно случай хаотических источников, т. е.
суперпозиции элементарных источников Jo, расположенных в точках
фазового пространства Xi,pi со случайными фазами <^. Тогда усред-
усреднённые по ансамблю одно- и двухчастичные спектры E.5) имеют вид
(О) =
2тг
Л4хгс14ргр(хг,рг) fi(J\O\J), E.16)
ЛГ=О i
где О = Р\(р) или О = ^(рьЙ); Pn — распределение вероятностей
для N источников f J2 Pn = 1M р(з^,^-нормированные вероятно-
сти, описывающие распределение элементарных источников в фазовом
пространстве. Прямым следствием усреднения по ансамблю E.16) яв-
является факторизация двухчастичного распределения в двухточечные
функции:
E.17)
где
n=o
n=o
Здесь N — число источников, а не число испущенных пионов.
Для пуассоновского распределения по множественности фак-
Top(N(N-l))p/{NJp=l.
5.2. Корреляции частиц из пространственно-временных распределений 119
Используя соотношение E.17), получаем для двухчастичного кор-
коррелятора связь с функцией источника
\\AxS(x,K)ei
C(q,K) = 1 + ^ г- . E.18)
Если функция источника имеет плавную зависимость от импульса, то
можно осуществить замену
vS(x,K)S(y,K). E.19)
В этом приближении выражение E.18) сводится к соотношению E.2).
Функция источника в выражении E.2) интерпретируется как вероят-
вероятность испускания частицы с импульсом К из пространственно-времен-
пространственно-временной точки х в области столкновения ядер.
Отметим, что в выражении E.2) индексы i,j соответствуют трём
из четырёх компонент вектора q. Четвёртая компонента вектора q
фиксируется условием нахождения частицы в конечном состоянии на
массовой поверхности:
q-K=l-(p2l-pl)=0, qo = ^- E.20)
Связь между НВТ радиусами и пространственно-временной структурой
функции источника можно установить, используя гауссову параметри-
параметризацию функции источника:
S(x, К) « S(x(K),K) exp \-^(K)B^x"(K)] . E.21)
При этом пространственно-временные коэффициенты х^ определяются
по отношению к «эффективному» центру источника х(К):
х»(К) =х» - х»(К), х»(К) = (х»)(К), E.22)
где (...) означает усреднение с функцией источника S(x,K):
\d4xf(x)S(x,K)
dAx S(x, К)
E-23)
Выбор матрицы (В~1)^(К) = (х^хи)(К) означает, что гауссова пара-
параметризация E.21) имеет пространственно-временные ширины распре-
распределения такие же, как и истинная функция источника.
Подставляя E.21) в выражение E.2), получим:
C(q, K) = \+ exp [-q^(x^)(K)}. E.24)
Отметим, что поскольку коррелятор зависит от относительных рас-
расстояний х^, невозможно получить информацию о положении центров
испускания.
120
Гл. 5. Лдронная и фотонная интерферометрия
Наконец, обсудим функцию Х(К) в выражении E.2), которая ха-
характеризует превышение корреляционной функции над единицей при
q = 0. Параметр Л равен единице для хаотического источника и мень-
меньше единицы для источника с частично когерентным испусканием.
На практике, однако, существует много причин для отличия C(q =
= 0) от двойки. Например, испускание пионов долгоживущими резо-
нансами приводит к образованию протяжённого источника, и эта про-
протяжённость характеризуется наличием узкого пика в корреляционной
функции. Кроме того, кулоновские поправки и конечное разрешение
изменяют параметр Л.
s = «side»
5.3. HBT в центральных азимутально-симметричных
столкновениях релятивистских ядер
Рассмотрим более подробно центральные столкновения, выбрав для
их описания координатную систему, представленную на рис. 5.1, при
этом направление «long»
соответствует направлению
пучка. В поперечной плос-
плоскости направление «out»
выбрано параллельно попе-
поперечной компоненте импуль-
импульса К± пары частиц, а остав-
оставшаяся координата соответ-
соответствует «side» направлению.
В этом случае ось «out»
можно независимо вращать
для каждой частицы пары.
Тогда азимутальная сим-
симметрия источника частиц
в центральных соударениях переходит в отражательную симметрию по
отношению к «side» направлению:
о = «out»
Рис. 5.1
S(x, у, z, t\ K±,Ki) = S(x, -y, z, t\ K±,Ki
E.25)
Замена у —> —у соответствует qs —> — qs симметрии двухчастичной
корреляционной функции E.21). В параметризации [96] корреляцион-
корреляционной функции учтена эта симметрия:
C(q, К) = exp \-R20(K)q20 - R2s(K)q2s ~
Ч2 - 2R2ol(K)qoqi
5.26)
Эта параметризация основана на трёх компонентах qo(out), qs(side),
qi(long) относительного импульса. Временная компонента определяет-
определяется условием нахождения на массовой поверхности:
E.27)
5.4. Интерпретация пространственно-временных характеристик 121
Для того чтобы выразить НВТ радиусы Щ(К) в терминах простран-
пространственно-временных переменных (х^хи)(К), нужно ввести ограничение
массовой поверхностью q° = (ЗК в коррелятор E.24) и сравнить резуль-
результат с гауссовой параметризацией E.2) коррелятора. Тогда НВТ радиусы
будут связаны [96] с различными комбинациями пространственных
и временных характеристик системы, образованной при столкновении
ядер:
Rl(K) = (tf)(K), Rl(K) = ((x
_ _ E.28)
= ((x-C±t)(z-Clt))(K),
R20s(K)=0, R2sl(K) = O.
Отражательная симметрия у —> —у функции источника приводит к то-
тому, что линейные по у пространственно-временные характеристики
(х^хи)(К) обращаются в ноль. Для центральных (азимутально-сим-
метричных) столкновений только семь пространственно-временных ха-
характеристик (х^хи)(К) отличны от нуля, и эти семь характеристик
определяют четыре отличных от нуля НВТ радиуса Щ
5.4. Интерпретация пространственно-временных
характеристик
Как мы уже обсуждали, пространственно-временные характеристи-
характеристики (хцХ„)(!{) зависят от импульса пары К. Для того, чтобы понять фи-
физический смысл этих характеристик, предположим, что мы наблюдаем
расширение сильновзаимодействующей материи. Часть этого объёма
движется по направлению к наблюдателю. Поэтому спектр частиц, ис-
испускаемых этой частью объёма сильновзаимодействующей материи, ис-
испытывает голубое смещение. Другие части движутся от наблюдателя,
и частицы, испущенные ими, испытывают красное смещение. Поэто-
Поэтому, если наблюдатель изучает эволюцию ядерной материи с помощью
фильтра, пропускающего лишь определённые длины волн, он может ви-
видеть только часть объёма расширяющейся ядерной материи. В НВТ ин-
интерферометрии роль такого волнового фильтра играет импульс К пары
тождественных частиц. Направление К соответствует направлению,
в котором область взаимодействия ядер «наблюдается». Как отмечено
в работе [97], «наблюдатель видит область однородности». Ситуация
проиллюстрирована на рис. 5.2. В зависимости от направления и моду-
модуля К измеряются различные области объёма расширяющейся ядерной
материи. Центр «области однородности» (х^) зависит от К и находится
между центром области столкновения ядер и наблюдателем. В гауссо-
гауссовом приближении «область однородности» описывается четырёхмерным
122
Гл. 5. Лдронная и фотонная интерферометрия
т 1 \хъи i p «области однородности»
./ '-'5. класть однородности»
Рис. 5.2
пространственно-временным эллипсоидом, центрированным в точках
(х^)(К). Ширины «области однородности» определяются простран-
пространственно-временными характеристиками {x^
5.5. Модельные параметризации функции источника
Основные свойства системы сильновзаимодействующих частиц в
момент её развала на невзаимодействующие частицы (выморажива-
(вымораживания) определяются её размерами в пространственных и временных на-
направлениях, коллективными динамическими переменными (например,
скоростью и^{х)) и случайными динамическими компонентами (напри-
(например, температурой). Модельные параметризации функции источника
S(x,K) как раз и учитывают эти зависимости. При этом модельные
параметры извлекаются при фитировании одно- и двухчастичных спек-
спектров.
В качестве примера рассмотрим источник, находящийся в состо-
состоянии локального термодинамического равновесия при температуре Т.
Размеры источника задаются поперечной шириной R, пространственно-
временной быстротой с шириной Arj, собственным временем испуска-
испускания го, распределённым с шириной Дт. Поперечное и продольное рас-
расширение системы приводит к продольному течению ядерного вещества
с поперечной компонентой щ = r]f— вблизи точки вымораживания,
характеризующейся поперечным градиентом rjf и коллективной скоро-
скоростью
х) = ( ch г] ch rjt, - sh rjt, -shrjtf sh 77 ch 77*
E.29)
В переменных собственного времени г = л/t2 — z2 и быстроты г] =
1 , t + z < ,
= - In функция источника может быть представлена в следующей
А Т Z
5.5. Модельные параметризации функции источника 123
форме [98, 99]:
о / \ 2Ja + 1 , , ч Г ри(х) — аа
Sa(x,p) = з ЛГ" д Ш^ Ch B/ - Ч) еХР "г
Bтг) v 2тг Ат [
X
х ехр
г2 _ rf _ (т -
2R2 2(Ат?J 2(АтJ
E.30)
В этом выражении индекс а характеризует сорт частицы, пг± =
= \jv\ +т2 — её поперечная масса, fia — химический потенциал.
Функция E.30) определяется модельными параметрами Т, rjf, R, Arj,
Аг, Дт0, fia.
Отметим, что эта параметризация была успешно использована для
анализа данных с SPS ЦЕРН. Обсудим общие свойства параметри-
параметризации E.30) функции источника. Для «side» радиуса (Rs), используя
метод седловой точки (Дт? = оо, Аг = 0), можно получить
R2S(K±) « ^± E.31)
1
Величина этого радиуса пропорциональна размеру источника (R), но
также зависит от поперечного расширения rjf. Для продольного ради-
радиуса имеем
Д?«го2?-. E.32)
Зависимость продольного радиуса от т± более сильная, чем для R^,
и это есть следствие продольного расширения, учтённого в параметри-
параметризации E.30).
Разность квадратов радиусов Щ — R2S в параметризации E.30) про-
пропорциональна квадрату времени испускания тождественных частиц
R%-R2S *>&(?). E.33)
Отметим, что соотношение E.33) не содержит вклада от (xt) корре-
корреляционного члена, который равен нулю в параметризации E.30), но
присутствует в гидродинамической модели.
В заключение обсудим влияние распадов резонансов на НВТ ради-
радиусы. Пионы от распадов резонансов, как правило, испускаются в более
поздние времена и на больших расстояниях, чем «прямые» пионы.
Для параметризаций типа E.30) влияние резонансов на НВТ радиусы
невелико, и тому есть, по крайне мере, три причины:
а) область испускания тяжёлых резонансов гораздо меньше, чем
для «прямых» пионов;
б) большие распадные ширины резонансов (например, р или А)
и их нерелятивистский скорости подразумевают, что эти распады про-
происходят в пределах области испускания «прямых» пионов;
124 Гл. 5. Лдронная и фотонная интерферометрия
в) резонансы с большими временами жизни (rj, т/) распадаются
на таких больших расстояниях, что распадные пионы интерферируют
с «прямыми» пионами только при малых (\q\ < 1 МэВ) относитель-
относительных импульсах. Это порождает пик в корреляционной функции при
\q\ < 1 МэВ, который, однако, уже экспериментального разрешения.
5.6. Фотонная интерферометрия
Адронная интерферометрия позволяет определять размеры источ-
источника испускания адронов и его временную эволюцию. Однако адроны
в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов в основном испуска-
испускаются на конечном этапе эволюции ядерного вещества. Значительный
интерес представляет информация о более ранних стадиях эволюции,
на которых испускаются дилептоны и фотоны.
Интересная возможность исследования динамики кварков и глюо-
нов, используя двухфотонную интерферометрию, обсуждалась в рабо-
работе [100]. Корреляционную функцию двух фотонов, как и выше, можно
записать в виде:
где
С(кик2) = P{kuh} , E.34)
P(h)P(k2)
Р(к)= \dA
d4xd3k
-niT Г \ [л л dN(x\,k\) dN( Х2Л2) Г1 . /л? л
Р(к\, к2) = а х\ a X2—r^—т^ 4 \J [1 + со8(АкАх)
j d x\ d k\ d x2 d к2
dN(x, к)
E.35)
— скорость рождения фотона с импульсом к в пространственно-времен-
пространственно-временной точке х. Эта функция вычислена в работе [58] как для адронной
фазы, так и фазы КГП. Оказалось, что эта функция одинакова для
обеих фаз и имеет следующий вид:
In trLtL + 1 exp (-E/T), E.36)
где E — энергия фотона; g — константа КХД; fc0 — численная
константа, несущественная для корреляционной функции. Например,
в бьёркеновской модели эволюции при импульсах фотонов к±\ = к_\_2 =
= к± и быстротах у\ = у2 для корреляционной функции можно полу-
получить [100]
E.37)
где q± = k±(cos ф\ — cos Ф2), ф\ и Ф2 — азимутальные углы испуска-
испускания фотонов. Очевидно, такие кинематические характеристики испу-
5.6. Фотонная интерферометрия
125
C(kl9k2)
2,0
1,5
1,0
щенных фотонов дают возможность определить размер R их источника
испускания.
На рисунках 5.3, 5.4, 5.5 изображена корреляционная функ-
функция E.34) для фазы КГП, смешанной фазы и адронной фазы. Числа на
кривых соответствуют поперечно-
поперечному импульсу фотонов (в ГэВ/с). ??
Как видно из этих рисунков, кор-
реляционная функция E.34) ос-
циллирует как функция продоль-
продольного импульса qL-
Однако период осцилляции
в плазменной фазе на порядок ве-
величины больше, чем в смешан-
смешанной и адронной фазе. Физически
это означает, что время нахож-
нахождения в фазе КГП гораздо мень-
ше, чем в смешанной и адронной
фазе. Поэтому функция C(k\,k<2)
содержит информацию о времен-
ной шкале источника испускания
фотонов.
К сожалению, фотоны от рас-
падов 7г° и ту-мезонов будут иска-
к1Т к2т
0,5
orken
К!
0
8
qL-.
10
ГэВ
Рис- 5.3
Адронная фаза
Bjorken
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
qL, ГэВ qL9 ГэВ
Рис. 5.4
Рис. 5.5
жать картину интерферометрии фотонов, однако нет сомнений в том,
что метод адронной (фотонной) интерферометрии позволяет получить
информацию о пространственно-временной динамике ядерного веще-
вещества в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов.
Глава б
ФЛУКТУАЦИИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
В СТОЛКНОВЕНИЯХ РЕЛЯТИВИСТСКИХ
ТЯЖЁЛЫХ ИОНОВ
В центральных столкновениях релятивистских тяжёлых ионов на
ускорителях RHIC и LHC ожидается до 104 вторичных частиц. Боль-
Большое число частиц предоставляет уникальную возможность изучения
пособытийных флуктуации таких физических величин, как множе-
множественность, поперечный импульс, отношения числа частиц. Анализ
отдельных событий с большой статистикой может дать гораздо более
ценную информацию о состоянии ядерного вещества, чем изучение
усреднённых по событиям величин.
Важность пособытийного анализа экспериментальных данных оче-
очевидна из следующего простого примера. Поместим листок бумаги на
внешнюю сторону окна в дождливый день. Если подождать достаточ-
достаточно долго (что соответствует усреднению), то бумага будет однородно
смочена. Тогда, казалось бы, можно сделать вывод об однородности
дождя. Если же листок находился на окне лишь несколько секунд, на
нём будет проявляться капельная структура дождя.
6.1. Флуктуации плотности,
быстроты и температуры
Флуктуации очень чувствительны к природе фазового перехода
в ядерной материи. Как известно, при фазовом переходе 2-го рода
флуктуации физических величин невелики. Например, температурные
флуктуации имеют вероятность
(^ГJ) F.1)
где Су — теплоёмкость системы при постоянном объёме. При фазовом
переходе 2-го рода Су —> оо, и температурные флуктуации в систе-
системе пренебрежимо малы. Наоборот, при фазовом переходе 1-го рода
флуктуации велики, поскольку происходит образование капель новой
фазы и существует смешанная фаза. Далее капли новой фазы растут,
при этом ядерное вещество расширяется. Если скорость коллективного
расширения системы больше скорости роста капель новой фазы, то
возможно образование суперохлаждённой кирально-симметричной ма-
6.1. Флуктуации плотности, быстроты и температуры
127
терии с высокой барионной и энергетической плотностями. Флуктуации
плотности могут возникать как при фазовом переходе 1-го, так и 2-го
рода. Флуктуации плотности в виде
капель адронной материи изображе-
изображены на рис. 6.1. Видно, что при ад-
ронизации в распределении частиц
по быстротам возникают особенно-
особенности, соответствующие образованию
капель новой фазы.
Можно предположить, что ад-
роны, испускаемые при температу-
температуре Т, описываются больцмановским
распределением:
dN
2
dyd р±
dNIdy
F.2)
где у,р± — быстрота и поперечный
импульс адрона; fi — число частиц,
адронизующихся из г-й капли,
,г = 1щ^±-=11п1±- F.3)
Капли + фон
4 6 8 10
У
Рис. 6.1
^> 1, то гиперболи-
— быстрота г-й капли. Конечно, раз-
размер капель, их число и расстояния
между ними зависят от начальных
условий расширения ядерной материи. Если т±/Т
ческий косинус в F.2) можно представить в виде
ch(y-rji) « 1 + -(у -rjif.
Больцмановский фактор в F.2) определяет ширину распределения
капель по быстротам, пропорциональную \[Т~[та]_. Поэтому в распре-
распределении по быстротам могут быть особенности, когда капли разделены
в пространстве быстрот так, что \щ — тц\ ^ ^Т'/т±.
Если же они распределены так, что \rjj — гц\ < л/Т~/гп± , то резуль-
результирующее распределение адронов по быстротам будет плоским. Оценим
\Vj — Vi\ ~ AZ/то, где AZ — корреляционная длина в смешанной
фазе, го — время образования капель. Предполагая AZ ~1 фм (ти-
(типичный адронный масштаб) и время формирования tq ^ 1 фм, находим
IVj — Vi\ ^ л/Т/т_\_ даже для лёгких тг-мезонов, поэтому в простран-
пространстве быстрот могут быть особенности. Отметим, что если существует
поперечное расширение ядерного вещества, то распределение адронов
по поперечному импульсу р± будет отличаться от температурного
и азимутально-симметричного.
128 Гл. 6. Флуктуации физических величин в столкновениях
6.2. Флуктуации множественности
Для того чтобы попытаться извлечь информацию о новых физи-
физических явлениях (например, об образовании кварк-глюонной плазмы)
из данных по флуктуациям, необходимо понять роль ожидаемых ста-
статистических флуктуации. Цель этого раздела — изучить источники
статистических флуктуации в столкновениях адронов. Как мы увидим,
данные эксперимента NA49 в ЦЕРН описываются статистическими
флуктуациями. Ожидаемые источники флуктуации включают: флук-
флуктуации параметра столкновения, числа первичных соударений, флук-
флуктуации относительной ориентации деформированных ядер при столк-
столкновении, эффекты перерассеяния вторичных частиц. Так как флуктуа-
флуктуации в столкновении чувствительны к числу перерассеяний вторичных
частиц, обсудим детально два предельных случая: модель участни-
участников WNM [101], в которой предполагается, что рождение частиц
происходит на отдельных участвующих во взаимодействии нуклонах
и пренебрегается перерассеяниями рождённых частиц, а также «темпе-
«температурную» модель, в которой перерассеяния приводят к установлению
локального термодинамического равновесия. Прежде всего рассмотрим
флуктуации множественности в протон-протонных взаимодействиях,
затем перейдём к ядро-ядерным столкновениям и, наконец, обсудим
простую модель фазового перехода, в которой имеются значительные
флуктуации во множественности вторичных частиц.
6.3. Рождение заряженных частиц в рр- и
рр-взаимодействиях
Модель участников (WNM) основана на суперпозиции отдельных
нуклон-нуклонных взаимодействий. Среднее число заряженных ча-
частиц, рождённых в ультрарелятивистских рр- и рр-столкновениях для
энергий в системе центра масс л/S > 2 ГэВ можно параметризовать
в виде
/ 9 \0,155
GVch) «-4,2 + 4,69 f^J • F-4)
При ультрарелятивистских энергиях рождение заряженных частиц не
зависит от сорта сталкивающихся частиц (pp,ph или рр), и соотноше-
соотношение F.4) применимо в широком интервале энергий 2 ГэВ ^ y/~S ^ 2ТэВ
(рис. 6.2).
При энергиях SPS, RHIC и LHC, y/S « 20, 200, 5000 ГэВ, среднее
число заряженных частиц GVch) ~ 7,3, 20 и 60 соответственно.
При больших энергиях множественность удовлетворяет так называ-
называемому KNO скейлингу [102]. KNO скейлинг означает, что q-й момент
множественности
« Cq(Nch}", F.5)
6.4. Флуктуации в модели участников
129
60
50
40
30
20
10
A
У
- О p_
< ел
--—Wck> =
у
5с
-4,2 + 4,65
\ сО,155
и
X'
у 1
/
° рр ISR + пузырьковая камера
п рр~~ UA5 /
¦ рр~" Е735
-
— ,у
10
у
I
100
¦/
Ж
I
1000
51/2,ГэВ
20
15
10
5
(
AGS
о
)
SPS
RH1C
/'
рр ISR + пузырьковая камера
/?/Г UA5 /'
I I
10 20
/
/
/
/
/
/
w
' а\ — 0 1S(( I
2
Nch u'-)*?vvvc/j/>' l\iych/
&N температурная
i i
30 40
I I
50 60
Рис. 6.2
Рис. 6.3
причём константы Cq не зависят от энергии сталкивающихся частиц.
Поэтому флуктуации
и - {N2) - {NJ Г66)
N = —щ— ( ^
пропорциональны средней множественности и растут при увеличении
энергии, согласно соотношению F.4). Флуктуации средней заряженной
множественности можно параметризовать в виде
^ch ~ 0'35
VCh
F.7)
как показано на рис. 6.3 для рр- и рр-столкновений. При очень больших
энергиях KNO скейлинг несколько нарушен, флуктуации больше, чем
предсказывает KNO.
В ядро-ядерных взаимодействиях число участвующих нуклонов Np
растёт с центральностью столкновения и массовым числом А. Поэтому
средняя зарядовая множественность и дисперсия растут с ростом Np,
в то время как UNch не зависит от Np и совпадает со своим значением
в рр-взаимодействиях.
6.4. Флуктуации в модели участников
Как уже отмечалось, в модели участников (WNM) ядро-ядер-
ядро-ядерные столкновения рассматриваются как суперпозиция нуклон-нуклон-
ных взаимодействий. В периферических ядро-ядерных взаимодействи-
взаимодействиях имеет место лишь несколько NN столкновений, область взаимо-
взаимодействия мала, перерассеяний практически нет, поэтому WNM модель
применима. Для центральных же соударений из-за многократных NN
взаимодействий и перерассеяний применимость WNM менее оправда-
5 В. М. Емельянов и др.
130 Гл. 6. Флуктуации физических величин в столкновениях
на. Как увидим ниже, температурные модели гораздо лучше описывают
центральные столкновения ядер, однако и WNM может быть адекватна
при переходе от периферических столкновений к центральным. Оце-
Оценим сначала флуктуации в модели участников. Хотя множественно-
множественности в этой модели несколько завышены, измеряемые множественности
и поперечные энергии при энергиях AGS и SPS можно аппроксими-
аппроксимировать линейной зависимостью от числа участников. В этой картине
множественность в событии
NP
где Np — число участников и щ — число частиц, попадающих в аксеп-
танс установки от участника г. При отсутствии корреляций между Np
и щ средняя множественность (N) = (Np}(n). Например, в экспери-
эксперименте NA49 измеряются заряженные частицы в интервале быстрот
4 < у < 5,5, причём (N) « 270 для центральных Pb + Pb столкновений.
Конечные прицельные параметры столкновений (b ^ 3,5 фм), а также
диффузность поверхности ядер уменьшают полное число участников
с 2 А до (N) ~ 350, поэтому (п) « 0,77. Возводя в квадрат соотноше-
соотношение F.8) и снова предполагая отсутствие корреляций между нуклона-
нуклонами, т.е. (niTij) = (ni)(rij) (г Ф j), найдём для флуктуации множествен-
множественности
F.9)
где 0JN,ujn,ujNp — флуктуации множественности в полном числе ча-
частиц, попадающих в аксептанс, в каждом источнике и числе источ-
источников.
Основная причина флуктуации множественности на одного участ-
участника иоп — ограниченный аксептанс установки. Если каждый участник
порождает v заряженных частиц, то только доля / = {п)/v попадает
в аксептанс. Для случайного попадания частиц в аксептанс величина п
распределена биномиально с о~(п) = v /A — /) для фиксированного v.
Учитывая флуктуации величины z/, по аналогии с F.9) получим
В нуклон-нуклонных столкновениях при энергиях SPS средняя заря-
зарядовая множественность ^7,3 и uov « 1,9 [103]. И поскольку множе-
множественность следует отнести к одному из сталкивающихся нуклонов, то
(и) « 3,7, тогда / = (n)/(v) = 0,21 для аксептанса эксперимента NA49.
Следовательно, из F.10) получим оценку иоп « 1,2. Множественно-
Множественности вторичных частиц растут с уменьшением прицельного параметра
столкновения. Мы уже обсуждали в предыдущих главах корреляции
между прицельным параметром и поперечной энергией, позволяющие
определять интервалы прицельных параметров в столкновении. В мо-
6.5. Флуктуации в температурной модели 131
дели участников
Np(b) = | \р (г+ ЬЛ+р (г- Щ d'r, F.11)
где р(г) — распределения ядерной плотности. Для сферических ядер
с диффузной границей число участников на 5-10% меньше в централь-
центральных столкновениях и немного больше в периферических.
Флуктуации в числе участников возникают из-за деформации ядер,
поскольку ось деформации меняется от события к событию. Флук-
Флуктуации unp определяются прицельными параметрами, отбираемыми
в эксперименте. Например, в эксперименте NA49 калориметр нулевых
углов отбирает 5% событий с прицельным параметром Ъ < Ъс = 3,5 фм.
Тогда
coNp(Np) = -L [ d2bN2p(b) - (NpJ, F.12)
где
Ьс
{N) = 1 [ dhN (b).
Число участников при данном прицельном параметре [104] Np(b)
Np@) A — — ) при 0 < Ъ ^ 3,5 фм, поэтому
bc \ ,a 1Q4
^ fb)' FЛЗ)
Поскольку для РЬ + РЬ столкновений в эксперименте NA49 Np@) «
« 400 и (-^- J « 5%, то ljnp ~ 1,1, т.е. флуктуации параметра столк-
столкновения важны для центрального триггера NA49. Недавно эксперимент
WA98 подтвердил, что флуктуации фотонов и пионов растут линейно
с (—^г) , как предсказывается соотношением F.13).
\2К/
6.5. Флуктуации в температурной модели
Рассмотрим теперь другой предельный случай многократных пере-
перерассеяний — флуктуации в температурной модели. В равновесном газе
при температуре Т среднее число бозонов сорта а:
Ы = (еЕа/т - 1)"', F.14)
юПа = \ + (па). F.15)
5*
132 Гл. 6. Флуктуации физических величин в столкновениях
Полная множественность бозонов N = ^ па и
а
2
EW
Если рассматриваются бозоны (фермионы) в импульсном пространстве,
то uN = 1 ± (Пр)/(пр), где пр = (е?р/т =f l) — бозонные (ферми-
онные) функции распределения. Тогда со^р = 1,37 для безмассовых
бозонов (например, глюонов). Массивные бозоны имеют меньшие зна-
значения uj^ = 1,11 и ujp = 1,01 при Т = Шт,-. Для безмассовых фермионов,
например, кварков cji? « 0,91 независимо от температуры.
В температурной модели un ~ 2,1, что согласуется с данными
NA49. Таким образом, температурная модель и модель участников
дают весьма близкие значения флуктуации множественности, поэтому
имеющиеся экспериментальные данные не позволяют сделать выбор
в пользу той или иной модели.
6.6. Зависимость от центральности и степень
термализации
Как видно из рис. 6.3, флуктуации в рр-столкновениях растут с уве-
увеличением энергий и пересекают температурные флуктуации при SPS
энергиях. При энергиях RHIC и LHC ситуация иная: зарядовые флук-
флуктуации в рр-столкновениях гораздо больше температурных, ^^h =
= 6, 5 и 20 для RHIC и LHC. Поэтому ожидается очень значительное
уменьшение флуктуации при высоких энергиях в центральных ядро-
ядерных столкновениях. Можно определить «степень термализации»
как меру флуктуации при данной центральности по отношению к тем-
температурному и рр-пределу:
WNM _ ехр
т-\ ^N ^N (С\ 1 17\
= WNM _ therm * \°Л1)
Эта величина изменяется от единицы в температурном пределе до нуля
в пределе WNM. В то время как и;™м и u^p зависят от аксептанса,
«степень термализации» F.17) не зависит от аксептанса. Конечно,
флуктуации объёма взаимодействий или прицельного параметра за-
зависят от прицельного параметра и должны быть учтены. На RHIC
и LHC можно непосредственно измерить степень термализации как
функцию центральности, что очень важно для изучения аномальных
флуктуации, вызванных фазовым переходом.
6.7. Усиление флуктуации при фазовом переходе 1-го рода 133
6.7. Усиление флуктуации при фазовом переходе 1-го
рода
Фазовый переход 1-го рода сопровождается значительными флук-
туациями физических величин. Поэтому детектирование таких флук-
флуктуации, превышающих статистические, могло бы служить сигналом
фазового перехода. Например, до того как было установлено, что
фазовый переход с восстановлением киральной симметрии не является
фазовым переходом 1-го рода, считалось, что ядерная материя при
расширении образует переохлаждённые капли с нарушенной кираль-
киральной симметрией, которые при адронизации дают большие флуктуации
множественности в интервалах быстрот. Предположим, что Njj капель
распадаются в аксептанс, причём каждая даёт п частиц, тогда (N) =
= (ND)(n). Соответствующие флуктуации
uN =un + {ti)ujNd. F.18)
Как и в соотношении F.10), ожидается ип ~ 1. Однако в отличие от
флуктуации числа участников, второе слагаемое в F.18) может давать
большие флуктуации множественности даже при небольшом числе
капель — в этом случае (п) велико, a und ~ 1. Флуктуации в числе ка-
капель зависят от полного числа капель, от распределения по быстротам
частиц, возникающих при адронизации капли, 5у ~ л/Т/т± , а также
от экспериментального аксептанса по быстротам Ау. Когда 5у <С Ау
и капли биномиально распределены по быстротам, uoNd « 1 — Ау/уы.
В предельном случае, когда ни одной или только одна капля ядерного
вещества адронизуется, имеем uoNd = 1/2 и (п) = 2(N). Тогда ujy ~
« (N), т.е. на два порядка величины больше, чем измерено в экспери-
эксперименте NA49! Этот простой пример демонстрирует важность изучения
флуктуации как функции центральности столкновения. При энергиях
RHIC ожидается гораздо большая множественность, чем для SPS, т. е.
условия для детектирования аномальных флуктуации улучшаются.
Обратимся теперь к рассмотрению более реалистической ситуации.
Предположим, что полная множественность состоит из двух компо-
компонент: адронного фона (TVhg) и компоненты (TVqgp), испытывающей
фазовый переход:
N N N F.19)
Тогда средние значения (N) = (A^hg) + (^qgp)- Предполагая, что мно-
множественности каждой из компонент статистически независимы, имеем
uN = ujhg + (ujqgp - снс) {Jj^- F.20)
В этом выражении ujhq — флуктуация в адронной материи, ujhq «
« 1. Величина ^qGP зависит от типа и порядка фазового перехода,
степени термализации, характера адронизации, числа перерассеяний
во время между адронизацией и распадом системы на невзаимодей-
134 А. б. Флуктуации физических величин в столкновениях
ствующие частицы. Если плотность энергии в зоне столкновения пре-
превышает критическую при некотором значении поперечной энергии Е\,
то образуется кварковая материя, находящаяся в смешанном состоянии
с адронной фазой (QM + HG). Если же плотность энергии превышает
критическую для перехода в чисто кварковую фазу (этой плотно-
плотности соответствует поперечная энергия Е^), то реализуется состояние
кварк-глюонной плазмы. В смешан-
«n^hg ной фазе, при поперечных энергиях
5 г -х Е\ < Е± < Е2, относительная доля
4 |_ s кварковой материи, (Nqm)/N, про-
пропорциональна как объёму смешан-
3 |- /X(Bqm = 5g)hg ной фазы, так и доле объёма, зани-
занимаемой QM фазой.
2 \- /' ^" - На рис. 6.4 схематически изобра-
изображены флуктуации F.20) как функ-
функции центральности для различных
значений cjgM. До значений Е± « Е\
Ei Е2 флуктуации не зависят ни от cc;QM,
Центральность (?±) Ни от центральности. При Е± > Е\
система переходит в смешанную фа-
Рис- 6.4 зу, и флуктуации начинают расти
при u;qM > ujhq. Если Е± достигает
значения Е^ (переход в фазу КГП), то величина u)n/ujHq сильно зави-
зависит от соотношения между и;^ж и ujhq.
С другой стороны, если адронизация кварковой материи идёт плав-
плавно и не приводит к усилению флуктуации, т.е. ^qGP = ljhq, тогда
CO.HG
I
/
M=l
/'
/ft)QM
\
=
sy
2©hg
6.8. Зарядовые флуктуации и корреляции
Флуктуации множественности между частицами разного сорта
сильно коррелированы. В качестве примера рассмотрим рождение в ин-
интервале быстрот Ау положительных 7V+ и отрицательных 7V_ пионов.
Очевидно, что избыток положительного заряда протонов в сталкива-
сталкивающихся ядрах гораздо меньше полного заряда рождённых во взаи-
взаимодействии ядер частиц. Поэтому (iV+) превышает (iV_) только на
15% в Pb + Pb столкновениях при энергиях SPS. Флуктуации в числе
положительных и отрицательных пионов очень близки: un+ ~ u>N--
Зарядовые флуктуации изучались в температурных моделях и мо-
модели участников, включая вклад резонансов. Анализ показывает, что
флуктуации в центральных Pb + Pb столкновениях на SPS носят тем-
температурный характер, а в периферических столкновениях являются
суперпозицией рр флуктуации.
6.9. Зарядовые флуктуации в термализованном адронном газе 135
Флуктуации в полном GVch = ЛГ++ ЛГ_) и избыточном (Q =
= 7V+ — ЛГ_) заряде можно определить следующим образом:
N-f)- {(N+ ±N-f) _ (N+) (N.)
где корреляционное слагаемое
°" <iVch)/2 '
Поскольку обычно ljn+ ~ ujn_ , то флуктуация полного заряда
F.23)
а флуктуации избыточного заряда
Вышеприведённые формулы применимы к любому типу частиц — пио-
пионам, каонам, барионам и т.д., независимо от того, находится система
в равновесном термализованном состоянии или нет. Далее мы рассмот-
рассмотрим случай термодинамического равновесия в системе адронов. Это
может помочь экспериментальному обнаружению флуктуации, связан-
связанных с образованием кварк-глюонной плазмы.
6.9. Зарядовые флуктуации в термализованном
адронном газе
Если термализованный адронный газ образуется в столкновениях
релятивистских тяжёлых ионов, то тг-мезоны могут рождаться либо
прямым образом, либо при распадах тяжёлых резонансов:р, ио... Тогда
флуктуация в числе пионов
UN+ = 0JN_ = JkU-k + fpUp + fuj^uj + • •., F.25)
где fr — доля пионов, рождённых при распаде резонанса г. Очевидно,
что ^2 fr — 1- Тяжёлые резонансы, как р°,со распадаются на тг+тг~
г
пары, для которых корреляционная функция
CHG = lfP + /„ + ... F.26)
Резонансы уменьшают флуктуации в избытке заряда в адронном газе.
Так, например, при температуре Т = 170 МэВ и барионном химическом
потенциале /i& = 270 МэВ uq = 0,7 [105].
136 Гл. 6. Флуктуации физических величин в столкновениях
6.10. Зарядовые флуктуации в кварк-глюонной
плазме
Фазовый переход в состояние кварк-глюонной плазмы изменяет
величину флуктуации и корреляций в числе рождённых заряженных
пионов. Как показано в работе [106], флуктуации избытка заряда
в плазме из и, d кварков и глюонов уменьшаются за счёт меньшего (по
сравнению с зарядом протона) заряда кварка и глюонных корреляций:
(Nq) 1^2 (а О7\
ш« = Ышръ?9'' F-27)
где Nf — число ароматов кварков, qf — их заряды, Nq — число
кварков. Полное число заряженных частиц (но не избыток заряда)
может изменяться при адронизации КГП. Предполагая пионный газ
в конечном состоянии, эффект адронизации можно учесть, прирав-
приравнивая энтропию пионов энтропии кварков и глюонов. Поскольку 2/3
всех пионов — заряженные и энтропия, приходящаяся на фермион,
составляет 7/6 энтропии на бозон, для КГП с двумя сортами кварков
имеем 9
(^ch>«|(W + ^WJ, F.28)
где среднее число глюонов (Ng) = ^ q'. Подставляя F.28) в F.27),
получим uoq = 0,18. Однако значительная часть пионов возникает из
состояния адронного газа, энтропия которого превышает энтропию
пионного газа на фактор ~1,8. Учитывая этот фактор, получим для
КГП uoq « 0,33. Отметим, что для адронного газа uoq « 0,7.
Если начальная плотность энергии КГП определяется глюонами
(сценарий «горячих глюонов»), а кварки рождаются на более поздних
этапах расширения при слиянии глюонов, то появление отрицательных
и положительно заряженных кварков (антикварков) в малых интерва-
интервалах быстрот сильно скоррелированно.
Увеличение плотности энтропии в объёме взаимодействия ядер, при
сохранении полной энтропии, ведёт к увеличению множественности.
При этом избыток заряда сохраняется, в то время как полный заряд Q
растёт пропорционально энтропии. Если плотность энтропии возраста-
возрастает от Shg до Sqqp, to флуктуации в избытке заряда
^qgp _ #hg ^hg /g 29)
Эти флуктуации меньше, чем при температурном рождении квар-
кварков F.27). Флуктуации странности в К^ мезонах, на первый взгляд,
менее интересны, так как странные частицы не подавляются в КГП:
странность, приходящаяся на if-мезон, равна единице, и полное число
if-мезонов равно числу странных кварков. Однако если странные квар-
6.11. Флуктуации поперечного импульса 137
ки рождаются на более поздних стадиях, избыток странности будет
подавлен в малых интервалах быстрот. Следовательно, флуктуации
избыточной (полной) странности будут уменьшены (увеличены).
6.11. Флуктуации поперечного импульса
Поперечный импульс в событии
р± = ?р±,*> (б-зо)
г=1
где суммирование проводится по всем частицам в событии. Средний
поперечный импульс и наклон импульсных спектров вторичных частиц
растёт с ростом центральности столкновения или множественности.
Средний поперечный импульс, приходящийся на одну частицу, при
данной множественности N:
[^piy F.31)
где (р±) — среднее по всем событиям значение поперечного импульса.
Если распределение по поперечному импульсу экспоненциальное
(~ехр (-рх/Г)), то (р±л) =2Тиа (р±л) = 2Г2 = (р±}2/2.
Полный поперечный импульс, а также поперечная энергия содержат
как флуктуации во множественности, так и поперечном импульсе от-
отдельной частицы, поэтому интересной физической величиной является
полный поперечный импульс, приходящийся на одну частицу, p±/N.
Эта величина свободна от флуктуации множественности. Флуктуация
полного поперечного импульса, приходящаяся на одну частицу,
(N)a (^) = а (рх.0 + е*2<РхКг + (± ?
Поясним физический смысл каждого из трёх слагаемых.
1-е слагаемое — флуктуация поперечного импульса г-й части-
частицы a(p±,i) = (р2_ц) — (р±J- По данным эксперимента NA49, (р±) =
= 377 МэВ и N = 270. Поэтому из соотношения F.32) получим
что согласуется с экспериментально измеренными флуктуациями [107]
(«4,65%), т. е. в экспериментальных данных пока нет указаний на
температурные флуктуации в столкновениях ядер.
2-е слагаемое — корреляции между поперечным импульсом р± и
множественностью N, подавленные по сравнению с первым слагаемым
в F.32) фактором а2(а < 1). В эксперименте NA49 множественность
определяется, в основном, заряженными пионами, для которых Т «
~ (р_|_)/2 немного больше, чем в рр столкновениях, и а « 0,05 4-0,1.
Таким образом, в условиях NA49 эти корреляции малы.
138 Гл. 6. Флуктуации физических величин в столкновениях
3-е слагаемое — корреляции между поперечными импульсами раз-
различных частиц в одном событии. В модели участников все импульсы
частиц, рождённых на данном интервале быстрот, скоррелированы.
Среднее число пар адронов от одного участника равно (п(п — 1)), где
п — число частиц. Тогда последнее слагаемое в F.32) имеет вид
(п(п — 1)) // v / v9\
Можно считать, что п описывается распределением Пуассона, тогда
(п(п— 1))/(п) = (п) = 0,77 в аксептансе эксперимента NA49. В этом
случае последнее слагаемое в F.32) ~(p±,iP±j^i) — (р±J- Корреляции
импульсов между двумя частицами от одного участника составляют
небольшую часть от a (p±,i) •
Таким образом, в столкновениях тяжёлых ионов при фазовом пе-
переходе 1-го рода (или более высокого порядка) ожидаются флуктуа-
флуктуации множественности в пространстве быстрот. Если образуются кап-
капли новой фазы, то флуктуации усилены по сравнению с адронным
сценарием. Отбирая события с различным прицельным параметром,
можно определить степень термализации ядерной материи. Для пе-
периферических столкновений применима модель участников, и степень
термализации мала. Для центральных событий степень термализации
может оказаться около 100%. Пособытийный анализ столкновений тя-
тяжёлых ионов является мощным инструментом изучения термализации
и фазовых переходов в ядерной материи.
6.12. Определение критической точки КХД
при пособытийном анализе
В КХД с двумя безмассовыми кварками {тид = 0, ms = оо) ки-
ральный фазовый переход в системе с нулевым барионным химическим
потенциалом (/i = 0) является фазовым переходом второго рода. При
Т < Тсь киральная симметрия нарушена, и три пионных состояния
оказываются безмассовыми. При Т = Tch имеется четыре безмассовых
степени свободы — три пиона и сигма-мезон. Для Т > Tch пионные
и сигма-мезонные корреляционные длины одинаковы и конечны.
В природе, однако, лёгкие кварки имеют массы, поэтому фазо-
фазовый переход второго рода трансформируется в более плавный переход
(crossover): вблизи Тсь состояние системы резко изменяется, однако
корреляционные длины не расходятся. Такая картина согласуется с ре-
решёточными вычислениями, в которых Tch ~ A40-г- 190) МэВ [108].
С другой стороны, множество феноменологических моделей ядерно-
ядерного вещества [109] свидетельствуют в пользу того, что при больших /i
киральный фазовый переход — переход второго рода. Поэтому следует
ожидать, что фазовая диаграмма содержит критическую точку Е, в ко-
которой заканчивается линия фазового перехода первого рода (рис. 6.5).
1-го рода
6.12. Определение критической точки КХД при пособытийном анализе 139
В точке [1е пионы остаются массивными, однако корреляционная
длина в сигма-канале вследствие длинноволновых флуктуации пара-
параметра порядка становится бесконечной.
Положение критической точки Е зави-
зависит от массы странного кварка ms: \±e
уменьшается с уменьшением ms [ПО].
При некотором значении ms критическая
точка достигает значения, це = 0, и фа-
фазовый переход становится фазовым пе-
переходом первого рода. Величина крити-
критической массы странного кварка mcs не рис g 5
слишком хорошо определена в настоящее
время: решёточные вычисления дают для mcs примерно половину от
физической массы странного кварка [111].
Конечно, экспериментаторы не могут изменять значения массы
странного кварка ms. Можно, однако, изменять величину барионного
химического потенциала /i. Анализ [112] данных по выходам частиц
при энергиях AGS (y/s = 5 ГэВ) даёт значения /i « 500 -i- 600 МэВ,
а при энергиях SPS (y/s = 17 ГэВ) \± « 200 МэВ. При энергиях RHIC,
по-видимому, можно достичь ещё меньших значений \±.
Вблизи критической точки Е параметр порядка будет испытывать
значительные длинноволновые флуктуации. Какие наблюдаемые сле-
следует выбрать, чтобы обнаружить эти флуктуации? В работе [113]
предлагается использовать пособытийный анализ флуктуации среднего
поперечного импульса заряженных частиц в событии р±, а также пол-
полную заряженную множественность в событии N. Действительно, если
ввести величину y[F как отношение ширины распределения частиц по
поперечному импульсу, полученному при пособытийном анализе, к ши-
ширине распределения по р± в смешанных событиях, то для эксперимента
NA49 y[F = 1,002 ±0,002. Это значение согласуется с ожидаемыми
термодинамическими флуктуациями вне критической точки. Критиче-
Критические флуктуации а увеличивают величину y/F, причём это увели-
увеличение может составить ^3^-5%, т.е. примерно на порядок больше
статистических флуктуации. Если же отбирать только «мягкие» пионы
(р± < Штг/2), то величина \AFSoft возрастает уже примерно на 10%,
поскольку мягкие пионы наиболее чувствительны к длинноволновым
флуктуациям вблизи критической точки.
Что нового о свойствах квантовой хромодинамики стало бы из-
известно, если бы была найдена критическая точка? Во-первых, это бы
означало, что в природе физическая масса странного кварка больше
критического значения ms > га?, и при /i = 0 для физических масс
лёгких кварков температурный фазовый переход имеет характер крос-
кроссовера, т. е. не является фазовым переходом первого рода. Во-вторых,
это бы свидетельствовало о существовании границы раздела двух фаз
ядерной материи в координатах температура — барионный химический
потенциал.
Глава 7
РАЗУПОРЯДОЧЕННЫЙ КИРАЛЬНЫЙ
КОНДЕНСАТ
7.1. Классические пионные поля и разупорядоченный
киральный конденсат
В столкновениях релятивистских тяжёлых ионов рождаются сот-
сотни пионов с малыми энергиями (^1 ГэВ). Поэтому представляется
весьма естественным рассматривать это рождение как классическое
излучение, имея в виду классическую природу электромагнитных волн,
соответствующих большому числу фотонов. В работе [114] примени-
применительно к столкновениям тяжёлых ионов изучалась динамика класси-
классических пионных конфигураций, описываемых нелинейной сигма-мо-
сигма-моделью. Авторы этой работы нашли решение классических уравнений
движения, для которых классическое пионное поле когерентно ос-
осциллирует в фиксированном направлении изоспинового пространства.
В работе Бьёркена [115], выполненной практически одновременно с ра-
работой [114], показано, что при адиабатическом расширении ядерной
материи различные кластеры выстроенных пионов независимо релак-
сируют к основному состоянию. При этом возможно образование боль-
больших кластеров с разупорядоченными спинами. Такие области названы
Бьёркеном разупорядоченными киральными конденсатами (DCC). Если
DCC образуется, то при его распаде происходит когерентное излучение
мягких пионов.
Состояние DCC можно представит следующим образом:
\DCC) «expfc ld3kJa(k)a+(k))\O), G.1)
где a+(fc) — оператор рождения свободного пиона в изоспиновом со-
состоянии а = 1,2,3 и с импульсом к; Ja(k) — классический источник
испускания пионов: Ja(k) = J(k)ea.
Ориентация классического источника испускания пионов в изоспи-
изоспиновом пространстве не зависит от импульса. Поэтому классическое
пионное поле, соответствующее DCC, есть суперпозиция волн, осцил-
осциллирующих в выделенном направлении изоспинового пространства, т. е.
7.2. Динамический сценарий образования DCC 141
можно рассматривать линейно поляризованную конфигурацию [116].
Это свойство DCC является определяющим с точки зрения его экспе-
экспериментальных проявлений. В событиях с образованием DCC ожидается
аномально большое отношение числа нейтральных пионов к полному
числу рождённых пионов:
f = N7T° = N*3 (J О)
J A^o + А^± А^ +N^+N4' V ' ;
где N7Ta = § d3k\Ja(k)\2 — число пионов сорта а. Вследствие изоспино-
вой симметрии сильных взаимодействий распределение вероятностей
величины / в событиях с образованием DCC описывается функцией
PU) - ^ G.3)
Это распределение отражает когерентный характер состояния DCC. За-
Заметим, что в случае некогерентного рождения пионов следует ожидать
биномиального распределения величины /.
7.2. Динамический сценарий образования DCC
Ещё в начале 90-х годов прошлого века было осознано, что полевые
конфигурации, соответствующие DCC, должны быть решением клас-
классических уравнений движения. Но как происходит образование DCC
на микроскопическом уровне? Как показано в работе [117], классиче-
классические длинноволновые пионные полевые конфигурации действительно
могут формироваться при неравновесном киральном фазовом переходе
в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов.
В качестве модели, в которой бы существовал неравновесный ки-
ральный фазовый переход, можно выбрать классическую линейную
0D) сигма модель [117] с действием
S = ^xUd^ad^a - ± (фафа - v2J + На\. G.4)
Параметры v, А и Н связаны с физическими величинами следующими
соотношениями:
-v2), H = Um%, G.5)
и т^ = 135 МэВ, та = 600 МэВ, Д = 92,5 МэВ. Соответствующие
уравнения движения решались численно на решётке для заданных
начальных полевых конфигураций. На рис. 7.1 представлены квадра-
квадраты амплитуд различных полевых мод как функции времени. Видно
значительное усиление пионных мод с малыми импульсами при про-
промежуточных значениях времени. Это явление аналогично образованию
доменов в ферромагнетике или росту квантовых флуктуации в ранней
Вселенной после периода инфляции.
142
Гл. 7. Разупорядоченный киральный конденсат
Время, фм
Рис. 7.1
В терминах квантовой механики усиление квадратов амплитуд
можно интерпретировать как образование классической конфигурации
пионного поля. При расширении ядерной материи система находится
в состоянии с DCC, а в точке вымораживания распадается путём
когерентного испускания пионов.
Распределение, соответствующие G.3) для событий без образова-
образования разупорядоченного кирального конденсата (DCC), будет являться
гауссовым распределением с шириной (/) = 1/3. Следуя работе [118],
покажем, как пособытийный анализ отношения нейтральных пионов
к заряженным пионам может служить индикатором образования DCC
в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов.
Определим величину R = N^o/N^, где 7Vch = ДГ7Г+ + N^- — мно-
множественность заряженных тг-мезонов. Тогда флуктуации величины R
можно записать следующим образом:
^ ER2) (8Nlo) , F ft
(RJ (А^оJ (А^с
где усредняется (...) по событиям с ER2) = (R2) — (RJ.
Поскольку полная вероятность равна единице, зная JV^o =
можно записать 7Vch = A — f)N^.
Тогда глг глг
-2
{6Nch6Nw0)
G.6)
(A^ch)
if)
G.7)
G.8)
Возводя в квадрат выражения G.7) и G.8), получим слагаемые
-—^j, входящие в G.6). Перемножая G.7) и G.8), получим слагаемое
7.4. События с образованием DCC 143
в G.6). Поэтому флуктуацию в величине R, задаваемую
W>Wr> ,7ЛЧ
выражением G.6), можно представить в виде
Последнее соотношение показывает, что флуктуация в величине R
определяется флуктуациями в величине /, а распределение для случа-
случаев формирования DCC определяется формулой G.3).
Рассмотрим теперь, какие значения может принимать величина D =
= ER2)/(RJ для событий без формирования DCC и с формировани-
формированием DCC.
7.3. События без образования DCC
Как известно из экспериментов по протон-протонным столкновени-
столкновениям, рождённые пионы имеют биномиальное распределённые зарядовые
состояния со средним значением /, равным 1/3. Флуктуация в /
обратно пропорциональна полному числу пионов (Ef2) « 2/(9iV7r)),
тогда
~тР- G.10)
7.4. События с образованием DCC
Для случая образования DCC распределение задаётся выражением
G.1). Используя это распределение, можно получить (/) = 1/3, как
и в событиях без формирования DCC, однако Ef2) = 4/45.
Подставляя эти значения в G.9), получаем
Аэсс = 1Д G.11)
Например, если полная пионная множественность в событии ^300, то
Аюп-dcc = 0,015, что гораздо меньше, чем в G.11).
В реальных столкновениях, разумеется, DCC образуется не во всех
случаях. Возможно и образование нескольких доменов DCC. Обсудим
эти эффекты.
Очевидно, если имеется смесь событий с DCC и его отсутствием,
сигнал зависит от соответствующих долей этих событий. В первом
приближении можно выбрать комбинацию G.10) и G.11):
D = aDDCC + A - сОАюп-dcc, G-12)
где а — доля событий с образованием DCC. На рис. 7.2 представлена
зависимость D от а для события с полной пионной множественностью,
равной 300.
Флуктуации ?>осс> задаваемые G.12) описывают испускание пионов
из одной области образования DCC. Однако возможно и образование
144
Гл. 7. Разупорядоченный киральный конденсат
нескольких доменов DCC. Тогда распределение вероятностей доли ней-
нейтральных пионов есть усреднённое значение P(f) по всем доменам.
Если число доменов га, то
Pm(f)=
/l + ... + /rr
m
G.13)
Отметим, что в отсутствие DCC P(f) пропорционально 5(f — 1/3).
Если имеется только два домена, то интегралы в G.13) можно вы-
вычислить аналитически и получить значения тг/2 при / < 1/2 и тг/2 —
— 2 arccos( 1/B-^7)) для / > 1/2. Для большего числа доменов ин-
интегралы в G.13) вычисляются численно, причём распределение ве-
вероятностей приближается к гауссову распределению с центром 1/3
и стандартным отклонением ~1/д/га.
Очевидно, пионы возникают не только из-за распада DCC, но и из
других источников (non-DCC).
Тогда, по аналогии с G.13), распределение вероятностей доли ней-
нейтральных пионов
P(f) = dft
fnon-DCC^(jDCc)P(Jnon-DCc) X
x S(f - /3/dcc - A - /3)/поп-осс), G.14)
где /З соответствует доле DCC пионов от полного числа пионов N^,
рождённых в событии, а /осе и /поп-dcc соответствуют долям нейтраль-
нейтральных пионов из DCC и не DCC источника.
I
I
= 300
11111
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Часть событий
с образованием DCC (а)
Рис. 7.2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Часть событий, с образованием
пионного DCC (P)
Рис. 7.3
Если имеются пионы из не DCC источника, то доля нейтральных
пионов не может обращаться в нуль, а также достигать единицы. Для
различных значений C и полного числа не DCC пионов A —
7.4. События с образованием DCC 145
интегралы G.14) вычисляются, потому возможно получить величину D
G.10) в зависимости от /3. Результат представлен на рис. 7.3. Видно,
что флуктуации D уменьшаются с уменьшением доли DCC пионов.
Следует отметить, что нейтральные пионы непосредственно не детек-
детектируются. Они реконструируются по распаду тг° —> 27, а 7"кванты
регистрируются электромагнитными калориметрами. Однако соотноше-
соотношение G.6) при этом не меняется:
D = D7, G.15)
где D1 соответствует флуктуации в отношении N1/Nc\i. Поэтому,
например, на RHIC можно измерять N1 и 7Vch и искать сигнал образо-
образования DCC, используя рассмотренный выше метод.
Попытки поиска разупорядоченого кирального конденсата были
предприняты в эксперименте Т-864 в протон-антипротонных столкно-
столкновениях на Тэватроне [119], а также в экспериментах WA98 и NA49 на
SPS ЦЕРН [120]. Каких-либо проявлений формирования DCC в этих
экспериментах не обнаружено. Отсутствие экспериментальных свиде-
свидетельств в пользу DCC, по-видимому, означает, что не все условия его
формирования реализованы в экспериментах. Например, в работе [121]
отмечается, что предпочтительными с точки зрения наблюдения DCC
могут оказаться периферические ион-ионные столкновения при энерги-
энергиях RHIC.
Глава 8
ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ И ФРАКТАЛЬНОСТЬ
8.1. Простейшая модель перемежаемого поведения
Выше уже отмечалось, что экспериментальные сигналы фазового
перехода в КХД чаще всего обсуждаются в предположении, что это
фазовый переход 1-го рода. Однако из решёточных вычислений следу-
следует, что при реалистических значениях масс кварков фазовый переход,
по-видимому, 2-го рода. Как уже отмечалось в седьмой главе, удобной
моделью для изучения фазовых переходов является система взаимодей-
взаимодействующих спинов в пространствах с d измерениями. В этой картине
при фазовом переходе корреляционная длина стремится к бесконеч-
бесконечности, приводя к образованию кластеров с выстроенными спинами.
Трёхмерная ZB) спиновая система (модель Изинга) относится к тому
же классу универсальности, что и SU{2) калибровочная теория (без
кварков), а теория 0D) ферромагнетика — того же класса универ-
универсальности, что и КХД с двумя сортами кварков. Если две теории
принадлежат одному классу универсальности, то их поведение вблизи
фазового перехода весьма похоже, например, они имеют одинаковые
критические индексы.
Как проявляется эта картина с выстроенными спинами в цветовом
или изоспиновом пространстве в наблюдаемых величинах, например,
множественностях в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов?
Один из возможных ответов связан с перемежаемостью в распределе-
распределениях по быстротам.
Концепция перемежаемости впервые введена Я. Б. Зельдовичем при
изучении турбулентного поведения жидкостей. Перемежаемость можно
определить как появление структур в случайной среде. В применении
к физике высоких энергий перемежаемость — это крупномасштабные
флуктуации зарядовой плотности частиц в малых областях фазового
пространства. В столкновениях тяжёлых ионов перемежаемое пове-
поведение имеют моменты распределения множественности по быстротам,
хотя и другие величины, например, энергия и азимутальные углы могут
иметь перемежаемое поведение.
8.1. Простейшая модель перемежаемого поведения 147
Рассмотрим сначала универсальную модель, применимую во мно-
многих разделах физики. Пусть имеется N шаров, которые надо рас-
распределить в ящике размером R, содержащем М ячеек размером L
каждая (М = R/L). В физике высоких энергий N — число частиц,
распределённых в некотором интервале фазового пространства. Для
модели Изинга шары — это спины на пространственно-временной ре-
решётке размером R, разделённые на ячейки размером L. Нас интересует
распределение шаров, если разрешение решётки становится всё более
мелким (М —> оо). Существует несколько способов реализации этого
предела. Одна возможность — пусть R = const, тогда L —> 0. Этот
предел особенно интересен для распределения по быстроте, где L =
= 5Y — размер ячейки в интервале быстрот. Другой способ — тер-
термодинамический предел, когда R —> оо и L фиксировано. Этот предел
интересен при обсуждении фазовых переходов в бесконечном объёме.
Определим 1-й нормированный момент // для распределения N шаров
следующим образом:
Y.Kj . (8.1)
771=1 J
В этом выражении Кт — число шаров в m-той ячейке. Пусть N
фиксировано и изменяется М. В предельном случае равномерного рас-
распределения по N/M шаров в каждой ячейке величина //(М) не зависит
от размера ячейки, при этом для любого /
ММ) = 1. (8.2)
В другом предельном случае — сильных флуктуации (все шары в од-
одной ячейке), имеется логарифмическая зависимость In// от «размера
разрешения» L:
1п//(М) = -(/- l)lnL + (Z- 1IпД. (8.3)
Такое поведение заданного распределения N шаров называют переме-
перемежаемым.
Более строго, перемежаемое поведение приписывается средним зна-
значениям моментов //. Среднее значение /-того момента определяется по
ансамблю конфигураций в ^-мерном объёме Rd, разделённом на М =
= (R/L)d ячеек равного размера Ld. При измерении множественностей
следует усреднять по всем событиям, например, в модели Изинга брать
среднее по ансамблю с больцмановскими весами.
Перемежаемостью называется свойство флуктуации относительно
средних значений, приводящее к степенному поведению (//) от числа
ячеек М, что эквивалентно
(8.4)
148 Гл. 8. Перемежаемость и фрактальность
Здесь Л/ > 0 и функция gi(R) не зависит от L-линейного размера ячей-
ячейки. Константы Л/ называются индексами перемежаемости и являются
характеристиками изучаемого процесса.
8.2. Перемежаемость и фрактальность
в распределениях по множественности
в столкновениях релятивистских ядер
При рассмотрении столкновений релятивистских тяжёлых ионов в
работе [122] введены следующие моменты:
1 м
Q = ^E (МртI. (8.5)
771=1
В этом определении М — число ячеек размером 5Y в заданном интер-
интервале быстрот АУ = M5Y, рт (га = 1, ...М) — вероятность нахождения
частиц в любой из этих ячеек. Полное распределение вероятностей
Р (р\, ....рм) dp\...dpM нахождения частиц в интервалах dp\...dpM
нормировано так, что
г г
Pi +P2 + ... +рм = 1, \dt\ Aр\...AрмР(р\...рм) = 1. (8-6)
Переменная t здесь обозначает дополнительные кинематические пе-
переменные, например, энергию столкновения. Средние моменты (Q)
получаются как сумма по всем конфигурациям в пространстве быстрот,
взвешенным с распределением P(...)dp:
(Ci) = \dt [ф,...фмР(р,...рм,*) -^ Е (МРшУ- (8-7)
J J т=\
Тогда 1п(С/) = ф\ In (AY/5Y) = ф\ 1пМ в пределе 5Y —> 0, т. е. в пределе
уменьшения разрешающей способности имеет место логарифмическая
зависимость от размера разрешения. Малые величины 5Y соответ-
соответствуют более мелкому разрешению в пространстве быстрот, а АУ —
полный интервал быстрот. Конечно, нижняя граница на величину 5Y
задаётся экспериментальным разрешением. Индексы перемежаемости
ф\ изменяются в интервалах 0 < ф\ < / — 1 и являются мерой интен-
интенсивности перемежаемого поведения.
В реальных экспериментах всегда имеют дело с конечными раз-
размерами системы, в таких системах для определения динамических
флуктуации необходимо всегда учитывать статистические флуктуации.
При больших множественностях в событиях вероятность обнаруже-
обнаружения частиц в интервале быстрот га отличается от измеряемой доли
Km/N полной множественности N. Для «фильтрации» динамических
8.2. Перемежаемость и фракталъностъ в распределениях 149
флуктуации в работе [122] предложено рассматривать факториальные
моменты (Fi) распределения Q, измеряемого в эксперименте:
/тг\ л/г1 V^ п ( ъг ъг \ * \^ КШ(КШ — \)...(Кш — i + \) ,R ~,
(Fl)=M ^ Q(Kl...KM)-^ N(N-i)...(N-i+i) ' <8-8>
К\...КМ ГП=\
где
г г
Q(K\,...KM) =\dt\ dp\...dpMP (p\, ---РыЛ) В (рирм, К\...КМ)
и В — распределение Бернулли. Можно показать, что (Fi) = (С/).
В определении (8.8) (Fi) выражается непосредственно через измеряе-
измеряемые величины.
Дальнейшая информация о перемежаемом поведении содержится
в /-зависимости ф\ или в /-зависимости аномальной фрактальной раз-
размерности di, связанной с ф\\
di = г^т. (8.9)
Сейчас известны, по крайней мере, два механизма, приводящие к пе-
перемежаемости в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов. Один
из них — фазовый переход, при котором корреляционная длина до-
достигает размеров системы. В этом случае d\ не зависит от /. Другой
источник перемежаемости — процессы каскадного типа при эволюции
КГП в адронную фазу. В этих процессах d\ зависит от /. К сожалению,
/-зависимость d\ не позволяет однозначно идентифицировать источник
перемежаемости. Независимость d\ от / не гарантирует наличие фа-
фазового перехода, как и зависимость не позволяет исключить фазовый
переход.
Сформулируем кратко, какую информацию несёт измерение ано-
аномальных фрактальных размерностей d\\
1. Если d\ « 0, то флуктуации носят чисто статистический характер.
Фазовый переход 1-го рода с корреляционной длиной, меньшей
размера системы, соответствует этому сценарию.
2. Если d\ сильно зависит от /, то маловероятно, что именно фа-
фазовый переход вызывает такое фрактальное поведение. Более
вероятен каскадный процесс, в этом случае d\ линейно зависит
от /.
3. Если d\ слабо зависит от /, но отличается от нуля, то фазовый
переход 2-го рода — основное объяснение перемежаемости, хотя
не исключаются и другие возможности.
Перемежаемость обнаружена в е+е~-аннигиляции, адрон-адронных
и ион-ионных взаимодействиях. Качественно эксперименты согласу-
согласуются между собой. На рис. 8.1 изображена зависимость аномальной
фрактальной размерности спектра псевдобыстрот от / для энергий
столкновения y/~S = 20 ГэВ. Очевидно, что / зависимость d\ становится
150
Гл. 8. Перемежаемость и фрактальность
0,1
0,05
о \хр
ш hp EMCB)
#/?AgBr iNA22E)
п OAgBr KLM(l)
\
a S Ag Br
_?_
Рис. 8.1
более слабой при переходе от лептон-адронных к ядро-ядерным столк-
столкновениям.
В заключение этого раздела подчеркнём, что основная задача
анализа перемежаемости — идентифицировать флуктуации различной
природы:
• геометрические (зависимость от параметра столкновения);
• статистические (конечное число частиц);
• флуктуации от распада резонансов;
• флуктуации в каскадных механизмах при адронизации;
• флуктуации, связанные с фазовым переходом.
Конечно, хотелось бы выделить последний тип флуктуации, но
ситуация напоминает рождение дилептонов и фотонов в ядро-ядерных
взаимодействиях, где основная проблема — как установить наличие
температурного испускания на фоне других процессов? Как мы видели,
это очень не простая задача.
Глава 9
УЛЬТРАПЕРИФЕРИЧЕСКИЕ ЯДРО-ЯДЕРНЫЕ
СТОЛКНОВЕНИЯ
Ультрапериферическими называют столкновения ионов с прицель-
прицельным параметром Ь > 2R, т. е. такие столкновения, при которых ядра
практически не перекрываются. При таких значениях прицельного па-
параметра сильные взаимодействия уже не являются доминирующими,
поскольку происходят «на хвостах» распределения ядерной плотности.
Конкуренцию сильным взаимодействиям могут составить фотон-фотон-
фотон-фотонные, фотон-померонные и померон-померонные взаимодействия ядер.
Два ядра могут обмениваться одним или несколькими фотонами, при
этом один или оба ядра возбуждаются в состояние гигантского ди-
польного резонанса или другие возбуждённые состояния. Другая воз-
возможность — фотон некогерентно взаимодействует с нуклоном другого
ядра (фотоядерная реакция). В двухфотонных взаимодействиях каждое
ядро испускает фотон, затем эти фотоны сталкиваются и рождают
лептоны или адронные состояния. Фотон (померон) одного ядра может
провзаимодействовать с когерентным мезонным или померонным по-
полем другого ядра. Условия когерентности на фотонные и померонные
поля сильно ограничивают кинематические характеристики рождённых
частиц. Когерентность для фотонных полей означает, что это поле
связано целиком с зарядом ядра, а не с зарядами отдельных составля-
составляющих ядра протонов. Точно так же когерентное поле померона связано
с сильными взаимодействиями всех нуклонов ядра.
В системе покоя ядра фотон, померон или мезон, когерентно свя-
связанный с ядром, должны иметь поперечный импульс р± ^ Tic/Ra-
В коллайдерном режиме столкновения, когда ядра лоренц-сжаты в про-
продольном направлении в 7 раз, энергия фотонов ограничена К0 = Р\\ <
< 'jTic/Ra- Поэтому два ядерных когерентных поля имеют максималь-
максимальную энергию ио = 2j%c/Ra и р± < 2%c/Ra- Для фотонов р± ещё
меньше, р± < Ьс/Ъ (Ъ — прицельный параметр, Ъ > 2R).
Померон-померонные (мезонные) взаимодействия из-за малого ра-
радиуса сильных взаимодействий ограничены узким интервалом при-
прицельных параметров BRa < Ъ < 2Ra + 1 фм). Померон-померонные
(мезонные) взаимодействия имеют довольно малое сечение, для них
характерные р± составляют, в отличие от фотонов, сотни МэВ.
Электромагнитные поля ультрарелятивистских ядер обычно тракту-
трактуются (следуя Вайцзеккеру-Вильямсу) как поток виртуальных фотонов.
152
Гл. 9. Ультрапериферические ядро-ядерные столкновения
Поток фотонов, связанный с ядром заряда Z, на расстоянии г от центра
ядра
d3N(E,r) = Z2ax2 K2,,
dEd2r тг2Ег2 1
(9.1)
где х = Er/^Tic) и К\ — модифицированная функция Бесселя. Двух-
фотонная светимость ядер определяется как перекрытие фотонных
полей, проинтегрированных по прицельным параметрам Ъ > 2R:
сю сю
т Г dEx Г dE2 о Г 7 77 Г 7 77
= Ьаа -р^- ~ft^ b\ db\ 02 db
J ^i J ^2 J J
Да Ra
dEx d2bx
b_
где Laa — ядерная светимость, # — ступенчатая функция и прицель-
прицельный параметр b = л Ь\ -\-Ь\ — 2b\b2 cos ф.
Обычно светимость Ь11 находят численным интегрированием. Тре-
Требование отсутствия перекрытия ядер уменьшает L77 примерно на 50%.
В табл. 9.1 представлены ядра, энергии и максимальные светимости
для ускорителей RHIC и LHC.
Таблица 9.1
Ускоритель
RHIC 2000
RHIC
RHIC
LHC
LHC
Ядро
Золото
Золото
Кремний
Свинец
Кальций
Энергия
на нуклон
65ГэВ
100 ГэВ
125 ГэВ
2,76 ТэВ
3,5 ТэВ
Максимальная
светимость, см~2-с-1
2-1025
2-1026
4,4 • 1028
МО26
2-Ю30
Как видно из табл. 9.1, наиболее предпочтительными с точки зрения
изучения ультрапериферических столкновений являются кремний на
RHIC и кальций на LHC.
9.1. Ядерные возбуждения и некогерентные
фотоядерные взаимодействия
Для фотонов низких энергий ядерные возбуждения обычно кол-
коллективные. Например, при гигантском дипольном резонансе протоны
осциллируют в одном направлении, а нейтроны — в противоположном.
Эти векторные осцилляции могут возникать при поглощении ядром
одного фотона. Более высокие возбуждения включают двойные гигант-
9.2. Двухфотонные взаимодействия
153
ские дипольные резонансы, а также квадрупольные резонансы, для
возбуждения которых требуется поглощение нескольких фотонов. Эти
состояния обычно распадаются путём испускания одного или несколь-
нескольких нейтронов, которые детектируются калориметром «нулевых углов».
9.2. Двухфотонные взаимодействия
Двухфотонные процессы интенсивно изучались на е+е~-коллайде-
рах (LEP, КЕК). Поскольку фотоны связаны с зарядами, то измерение
выходов мезонов (qq), гибридов (qqg) и 4-кварковых состояний qqqq
позволяет исследовать их кварковое содержание.
Условие когерентности ограничивает сверху энергии фотонов: 3 ГэВ
для RHIC и ^150 ГэВ для LHC. Определим дифференциальную свети-
светимость
dExdE2
= L,
d3N(Eubl)d3N(E2,b2)
dExd2bx
b{>Rb2>R
dE2 d%
b\-b2 -:
2. (9.3)
Перейдём от энергий фотонов Е\ и Е2 к энергии в системе центра
масс w и быстроте Y:
тогда дифференциальная светимость
+ ОО
d~t=LAA \F(W,Y)dY,
^, (9.4)
(9.5)
где
F{w,Y) = F(^weY,l-u
На рис. 9.1 изображены двухфотонные светимости для трёх типов
ядер, которые предполагается ускорять на RHIC. Обозначения «CLEO»
и «LEPII» соответствуют светимостям е+е~-коллайдеров. Как видно,
наибольшая светимость для I + I взаимодействий. Меньший заряд йода
по сравнению с золотом компенсируется большей ядерной светимостью
и меньшим радиусом.
Для того чтобы вычислить сечение рождения различных частиц в
77 столкновениях, необходимо знать светимость и сечение образования
154
Гл. 9. Ультрапериферические ядро-ядерные столкновения
lc + 33
ГэВ
Г
о
7*
о
1
1е + 32
1е + 31
1е + 30
1е+29
1е+28
1е+27
О 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
W, ГэВ
Рис. 9.1
заданного конечного состояния. Так, сечение образования резонанса
массы Mr, спина J, полной ширины Г и двухфотонной ширины Г77:
Г™ Г
У'Ш — ГПц) + Г Шд ?'IU>R
Формула Брейта-Уиллера для сечения рождения лептонных пар:
, 8М2 16М'
(9.6)
w
+ л/w2 - AM2
2М
AM1
1 +
4M'
(9.7)
где М — масса лептона.
Сечение образования состояния R в реакции A-\-A^A-\-A-\-R
=\\ F(W, 1
dw dY.
(9.8)
Сечения рождения различных состояний и ожидаемая статистика на
год работы (^107 с) RHIC для различных сталкивающихся ядер пред-
представлена в табл. 9.2.
Видно, что для большинства мезонов ожидается статистика в
105 -i- 107 событий в год для Аи + Аи и I +1 взаимодействий.
9.3. Гамма-померонные взаимодействия
Концепция померона существует в физике сильных взаимодействий
уже более 30 лет, однако его природа до сих пор неясна. Считается,
что померон — бесцветный (в отличие от глюонов) переносчик силь-
сильных взаимодействий с вакуумными квантовыми числами Jp = 0++.
В одних процессах (с малыми виртуальностями Q2) проявляются свой-
9.3. Гамма-померочные взаимодействия
155
Таблица 9.2
Состояние,
частица
7Г°
Г]
/о(98О)
т/сB980)
т+т-
Аи-
4700
920
ПО
2,6
130 mb
0,74
f Аи
Число
событий
9,5 • 106
1,8- 106
2,2 • 105
5,2 • 103
2,7 • 108
1,5- 103
I + I
1100
240
31
0,92
34 mb
0,33
Число
событий
3- 107
6,4 • 106
8,3 • 105
2,5 • 104
9- 108
9- 103
О
1Д
0,32
0,052
0,004
40
2,5 nb
+ 0
Число
событий
1 • 106
3- 105
5- 104
3,4 • 103
4- 107
2,4 • 103
ства «мягкого» померона, в других (при больших Q2) — «жёсткого»
померона. Однако очевидно, что это, скорее всего, один и тот же
объект. «Мягкий» померон связан с поглощательной (неупругой) ча-
частью ядерного сечения. При гамма-померонном взаимодействии фотон
можно рассматривать как состояние «голого» фотона плюс различные
qq флуктуации. Когда ядро поглощает «голый» фотон, qq флуктуации
становятся доминирующими. Пара qq упруго рассеивается на ядре,
и образуется реальный векторный мезон. Эта картина достаточно точно
описывает многие реакции, например, упругое рр-рассеяние, гамма-
протон взаимодействия на HERA, fiN процессы в Fermilab.
«Жёсткий» померон обычно трактуется как состояние двух или
более глюонов. Концепция «жёсткого» померона используется для опи-
описания жёстких процессов, например, образование струй с большими
поперечными импульсами. В настоящее время непонятно, как соот-
соотносятся представления о «мягком» и «жёстком» помероне. Так как
структура померона не ясна, сечения рождения частиц в jP взаи-
взаимодействиях вычислить «из первых принципов» не удаётся. Однако
можно получить разумные оценки, экстраполируя данные по рождению
векторных мезонов в гамма-протонных взаимодействиях на ускорителе
HERA. Эти данные интерпретируются в модели векторной доминант-
доминантности: фотон флуктуирует в виртуальный векторный мезон, который
упруго рассеивается на протоне. Упругое же рассеяние осуществляется
обменом «мягким» помероном.
Сечение рождения векторного мезона слабо зависит от энергии в
системе центра масс jP столкновения:
о-7р = o-0W^p, (9.9)
где К — константа. Для лёгких векторных мезонов (р,ии,ф) К «
« 0,22. Для J/ф экспериментальные данные позволяют получить К «
« 0,8. Параметры его и К содержатся в табл. 9.3.
Для экстраполяции на случай ядро-ядерных взаимодействий сдела-
сделаем следующие предположения:
156
Гл. 9. Ультрапериферические ядро-ядерные столкновения
Таблица 9.3
Мезон
Р
и
ф
j/ф
его, цЪ
5,0
0,55
0,34
0,0015
К
0,22
0,22
0,22
0,80
A°v, fib/YэВ2
55
5,5
2,4
0,006
Ъ [ГэВ-2]
11
10
7
4
а) факторизация вершин взаимодействия (протона с помероном и
померона с ядром);
б) померон связан со всеми нуклонами ядра, но из-за деструктивной
интерференции нет вклада от нуклонов внутри ядра: константа связи
померона с ядром пропорциональна числу нуклонов на поверхности
ядра, т. е. ^А ' ;
в) ^-зависимость 7 Р сечения трактуется как протонный форм-
фактор.
Из-за ядерного форм-фактора нужно рассматривать передачу им-
импульса \fi между протоном (или ядром) и фотоном. Тогда сече-
сечение 7 Р —> Ур-
er =
jj. do-
doat-г =
dt
dtAv exp(-t
(9.10)
где константы Ay,b зависят от типа векторного мезона (р, и, ф или
J/ф). Энергетическая зависимость полного сечения учтена с помо-
помощью Ау\
Av = ba0WK = A°VWK. (9.11)
Величины Ay и b для различных мезонов приведены в табл. 9.3.
Сечение взаимодействия гамма-ядро получается аналогично, ис-
используя ядерный форм-фактор:
(9.12)
Как обычно, ядерный форм-фактор является Фурье-преобразованием
ядерной зарядовой плотности и может быть аппроксимирован следую-
следующей функцией:
\F(t)f = ехр[-Ц , (9.13)
V QoJ
где Qo = 60 МэВ для ядра золота [123]. Минимальный переданный
импульс tm\n =
9.5. Интерференционные эффекты в когерентных взаимодействиях 157
Тогда ядерное сечение рождения векторного мезона в ультрапери-
ультрапериферических столкновениях ядер
d3N
VdE1d\i
(9.14)
причём поток фотонов
d3N
задаётся выражением (9.1). Сечения
Таблица 9.4
рождения векторных мезонов в Аи + Аи столкновениях при энергиях
RHIC, вычисленные по формулам (9.1)-(9.14), содержатся в табл. 9.4.
Сечения достаточно велики, учитывая свети-
светимость ускорителя, получаем скорость рождения р°,
и;, ф соответственно 28, 2,7 и 0,9 Гц . Отметим,
что кроме одиночных векторных мезонов возможно
и образование мезонных пар.
Заметим также, что jP взаимодействия можно
выделить на фоне 77 взаимодействий по быстро-
тному распределению конечных частиц. Константа
связи фотона с ядром ~\/К (К — энергия фотона),
в то время как константа связи померона с ядром не
зависит от энергии померона. Поэтому ^Р взаимодействия охватывают
более широкий интервал быстрот, чем 77 взаимодействия.
Мезон
Р
UJ
ф
j/ф
а, мбн
69
6,8
2,3
0,0053
9.4. Померон-померонные взаимодействия
В когерентных ядро-ядерных столкновениях возможны и двухпоме-
ронные взаимодействия. Из-за малого размера померона (А « 1 фм) эти
взаимодействия происходят в узком интервале прицельных параметров
2R + 2А > Ъ > 2R. Экспериментальные данные по РР взаимодействи-
взаимодействиям в столкновениях а частиц получены на ISR.
Сечения РР для аа примерно в 11 раз больше, чем в протон-про-
протон-протонных взаимодействиях при тех же энергиях. В пересчёте на полное
сечение, сечение РР составляет 0,2%. В случае Аи + Аи столкновений
доминируют 77 и 1^ взаимодействия, в то время как для протон-
протонных основным процессом будет померон-померонное взаимодей-
взаимодействие. В модели «мягкого» померона трудно объяснить данные по двух-
померонным взаимодействиям, необходимо привлекать представления
о «жёстком» помероне. Новые данные с ускорителей RHIC и LHC
представляют огромный интерес с точки зрения когерентных ядро-
ядерных взаимодействий и выяснения природы померона.
9.5. Интерференционные эффекты в когерентных
ядро-ядерных взаимодействиях
Как в гамма-гамма, так и в гамма-померонных взаимодействиях
начальное состояние одно и то же: два тяжёлых ядра. При этом много
158 Гл.9. Ультрапериферические ядро-ядерные столкновения
конечных состояний рождается через более чем одно промежуточное
состояние. Как обычно в квантовой механике, возникает возможность
интерференции нескольких каналов. Изучение интерференционных эф-
эффектов является одной из самых интересных задач физики ультрапе-
ультрапериферических столкновений тяжёлых ионов.
Примером могут служить процессы 77 —> е+е~ и 7^ -^ V ^
—> е+е~, где V — векторный мезон. Поскольку 77 и 1? состояния
имеют противоположные С-чётности, из-за интерференции конечное
состояние будет антисимметричным при замене импульса электрона
на импульс позитрона. Интерференция в рождении р, со, 0-мезонов
изучалась в нескольких экспериментах [124]. В этих экспериментах
пучок фотонов рассеивался на лёгких (бериллий, углерод) мишенях
и измерялось число событий в зависимости от инвариантной массы
конечного состояния, в котором электрон имеет больший импульс,
чем позитрон. В эксперименте STAR на RHIC будут рассматривать-
рассматриваться и другие интерференционные каналы: 77 —> тг+тг~, IV —> р° —>
—> 7г+тг~, а также 77 —> К+К~ и 7Р —> Ф —> К+К~. Как показано
в работе [125], интерференционные эффекты подавляют выход е+е~
или тг+7г~ пар в области очень малых значений поперечного импульса
пары (р± < 10 ^-20МэВ/с). Очевидно, требуется очень прецизионная
техника детектирования событий с малыми р±.
В заключение этого раздела отметим, что изучение когерентных
ультрапериферических столкновений ядер предполагает отбор событий,
в которых ядра остаются в основном состоянии или испытывают воз-
возбуждения, не приводящие к развалу ядер. Такой отбор осуществляется
специальными триггерами, например в эксперименте STAR на RHIC —
с помощью калориметра нулевых углов и центрального баррельного
калориметра.
Глава 10
ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ RHIC
В этой главе обсуждаются экспериментальные данные по столк-
столкновениям релятивистских тяжёлых ионов на ускорителе RHIC, полу-
полученные в 2000-2002 гг. Как уже отмечалось в предыдущих главах,
эти данные позволят значительно прояснить динамику взаимодействий
ядер при высоких энергиях и ограничить круг теоретических моделей,
описывающих ядро- ядерные взаимодействия.
Обсудим прежде всего глобальные характеристики столкновения
релятивистских тяжёлых ядер, включающие множественность в собы-
событии, её зависимость от центральности соударения и интервала быстрот,
а также азимутальные распределения частиц.
В гл.3 прицельный параметр определялся по величине поперечной
энергии в столкновении. Другой способ определения центральности —
по множественности. Оба этих метода определения прицельного пара-
параметра использованы в экспериментах на RHIC.
10.1. Множественность
Теоретические предсказания адронных множественностей, основан-
основанные на генераторах событий HIJING, FRITIOF, VENUS [126] отлича-
отличаются в несколько раз, поэтому данные по множественностям частиц с
RHIC ожидались с особым интересом. Первые результаты по множе-
множественности были получены и опубликованы коллаборацией PHOBOS.
На рис. 10.1 показана зависимость множественности заряженных ча-
частиц, нормированная на число участников, от энергии при столкно-
столкновении ядер золота на RHIC и изображены также множественности,
измеренные в протон-протонных и протон-антипротонных столкнове-
столкновениях.
Измеренные множественности оказались значительно меньшими,
чем теоретические предсказания. Что это означает? Чтобы ответить
на этот вопрос, вспомним, что множественность в событиях с неза-
независимыми нуклон-нуклонными соударениями есть число соударений,
помноженное на множественность в NN столкновениях. Отметим, что
последнее утверждение справедливо при наличии упругих перерассея-
перерассеяний вторичных частиц.
160
Гл. 10. Обзор экспериментальных данных RHIC
5 -
•
- А
¦
_ о
?
А
PHOBOS 200 ГэВ
RHIC comb. 130 ГэВ
PHOBOS 56 ГэВ
NA49 (SPS)
E866/E917(AGS)
UA5 (рр)
CDF (pp) 1
0 °^^
0 2,5 -
" 4?
I Л
А ^ Р^
\
0,25 In (s) + 0,023 In2 (s)
10
102
Рис. 10.1
1'* ГэВ
Действительно, согласно так называемым AGK правилам обреза-
обрезания [127], в теории многократного рассеивания ядерное сечение запи-
записывают в виде
Ed^AB=TAB(b)Ed3(jaNN
d3p
dp
A0.1)
где Тав(Ь) — функция ядерного перекрытия, определённая в 3-й главе
C.6), C.7).
Интегрирование по прицельному параметру Ь даёт
d6p d6p
и, соответственно, множественность частиц
d(JNN
drj
_ лтэ
drj
NN
drj
A0.2)
A0.3)
Модель Глаубера [128] позволяет оценить число столкновений A050)
и участников C40) для центральных соударений ядер золота (что
составляет примерно 6% всей статистики). Тогда, используя соотно-
соотношения A0.1)—A0.3), можно получить, что множественность в Au+Au,
отнесённая к паре участников столкновения (нуклонов), превышает
множественность в нуклон-нуклонных столкновениях при тех же энер-
энергиях примерно в три раза. Однако данные PHOBOS при энергии
л/s = 200 ГэВ обнаруживают отличия от NN взаимодействий лишь
на 50%. Учитывая, что любые неупругие перерассеяния в конечном
состоянии могут только увеличивать множественность, получаем экс-
экспериментальное доказательство высокой степени коллективности обра-
образования частиц в ядро-ядерных столкновениях при энергиях RHIC.
10.2. Зависимость множественности от центральности соударения 161
10.2. Зависимость множественности от центральности
соударения
Зависимость множественности от числа участников, обсуждённая
выше, может быть установлена при выборе различных ограничений на
центральность столкновения. Результат показан на рис. 10.2, а. Можно
видеть, что множественность, отнесённая к числу пар участников,
g 1,2
в
Э
§ 1,1
5
'1/
6
Ў PHOBOS VsV/V = 200 ГэВ
A PHOBOS VC= 130 ГэВ
о рр интерполяция 130 ГэВ
— модель насыщения
двухкомп. аппроксимация
О PHOBOS R2Oo/i3O
? рр интерполяция
I i i
100
200
300
400
Рис. 10.2
увеличивается с центральностью, но совсем не с той скоростью, как
если бы NN столкновения были независимы.
Если предположить, что множественность, измеренную в NN столк-
столкновениях при некоторой энергии л/s , можно представить в виде доли
жёсткой компоненты X(s) и «мягкой» компоненты, составляющей долю
1 — X(s), то для распределения множественности по псевдобыстроте
в ядро-ядерных столкновениях можно записать [128]
A0.4)
Отметим, что в этом соотношении предполагается, что вклад во мно-
множественность от «жёсткой» компоненты пропорционален числу столк-
столкновений, а «мягкой» компоненты — числу участников.
В теории возмущений КХД предполагается, что коэффициент X(s)
пропорционален сечению образования министруй, и возрастает с энер-
энергией, отражая рост партонных распределений при малом х, т. е. X(s) ~
« [xG(x)}2, с х Д
б В. М. Емельянов и др.
162
Гл. 10. Обзор экспериментальных данных RHIC
Поэтому можно ожидать [129], что зависимость от центральности
соударения должна становиться всё более заметной при увеличении
л/s . Как можно видеть из рис. 10.2, а, этого увеличения не происхо-
происходит. На рис. 10.2,6 показано отношение множественностей при л/s =
= 200 ГэВ и л/s = 130 ГэВ, которое является постоянным в пределах
ошибок. Данное, почти постоянное отношение, соответствует предска-
предсказаниям [130, 128] партонного насыщения, где увеличение множествен-
множественности определяется бегущей константой связи КХД, определяющей
числа заполнения глюонов в классическом поле.
На рис. 10.3 представлена зависимость множественности заряжен-
заряженных частиц от центральности в столкновениях ядер золота при энер-
4 -
О
?
Энергия
dNN
РР
KLN модель насыщения
-1 = 0,25A9,6; 130; 200)
PHOBOS
0L-L
0
200 ГэВ О UA5 • PRC 65 061901R B002)
130 ГэВ П Интерполяция ¦ PRC 65 061901R B002)
19,6 ГэВ А Интерполяция А Предварительно
I | | | | | L_
100
200
300
400
(Мучает)
Рис. 10.3
гиях л/s = 19,6, 130 и 200 ГэВ. Из рисунка видно, что форма распре-
распределений по множественности очень слабо зависит от энергии. Заметим
при этом, что сечение рождения министруй при переходе от энергий
в a/s = 20 ГэВ к энергиям л/s = 200 ГэВ растёт более чем на поря-
порядок величины. Как следует из рис. 10.3, предсказания модели (KLN)
насыщения хорошо согласуются с экспериментальными данными. Это
указывает, по-видимому, на то, что партонное насыщение происходит
в столкновениях тяжёлых ионов уже при энергиях в десятки и сот-
сотни ГэВ.
10.3. Распределения множественности по быстротам
163
10.3. Распределения множественности по быстротам
(псевдобыстротам)
Распределения образованных частиц по углу испускания # (отно-
(относительно оси столкновения), или псевдобыстроте г] = — In [tg (#/2)] >
являются важными экспериментальными характеристиками процесса
столкновения тяжёлых ядер. На рис. 10.4 показаны распределения по
псевдобыстроте заряженных частиц в столкновениях ядер золота при
dNchld4
800
600
40Q
20Q
Q
300
200
iod
*********
0-5 %
5-10%
20-30 %
40-50 %
it STAR
О — PHENIX
0
Рис. 10.4
энергии л/s = 200 ГэВ [131] (сплошная линия — предсказание, осно-
основанное на модели партонного насыщении [131], пунктирная линия —
результаты транспортных модельных вычислений [132]). Обозначение
@-5%, 5-10%, 20-30%, 40-50%) соответствуют доли центральных
и периферических взаимодействий. Следует отметить две особенности
результатов RHIC (см. рис. 10.4):
а) распределения не обнаруживают скейлинг по псевдобыстроте rj;
б) отклонение от результатов NN максимально в центральной обла-
области быстрот, в то время как формы распределений по множественности
в АА и NN взаимодействиях в области фрагментации (при больших
псевдобыстротах) весьма похожи.
Было бы очень интересно измерить зависимость от псевдобыстроты
и центральности столкновения множественности в дейтон+золото вза-
взаимодействиях при энергиях RHIC. Эти данные помогли бы ответить на
6*
164
Гл. 10. Обзор экспериментальных данных RHIC
вопрос: происходит ли реально увеличение числа партонов вследствие
термализации или число партонов определяется структурными функ-
функциями сталкивающихся ядер? Для этого необходимо измерить полную
поперечную энергию, обсуждавшуюся в гл. 3.
10.4. Азимутальные распределения
Наиболее интересными и важными являются распределения обра-
образованных адронов по азимутальному углу. Действительно, если бы все
NN столкновения были независимы, не было бы никакой причины
ожидать асимметрию в распределении образованных адронов по ази-
азимутальному углу (измеренному относительно плоскости реакции).
Азимутальная асимметрия является весьма чувствительным крите-
критерием коллективных эффектов в ядерных столкновениях. Азимутальные
угловые распределения образованных адронов обычно представляются
как Фурье-разложения распределения частиц по углу:
dN
-j— = 1 + 2v\ cos ю
¦ 2v<2 cos 2cp
A0.5)
На рис. 10.5 показаны коэффициенты г?2, извлечённые из данных
RHIC (г?2 т^ 0 соответствует «elliptic flow»). Звёздочками обозначены
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03 - X ^2
0,02
0,01
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Рис. 10.5
данные STAR, кружочками — PHENIX, крестиками — PHOBOS. Мож-
Можно видеть, что азимутальная асимметрия весьма значительная, и для
периферийных столкновений (малое отношение nch/nmax) достигает
приблизительно 3-5%.
Этот эффект определённо указывает на присутствие коллектив-
коллективности в ядерных столкновениях и вполне проявляется в гидродина-
10.6. Подавление выхода частиц с большими поперечными импульсами 165
мических вычислениях, которые предполагают полную термализацию
в конечном состоянии [133], [134]. Однако эффекты взаимодействия
в конечном состоянии — не единственно возможное происхождение
азимутальной асимметрии. Действительно, как обсуждалось выше, вы-
высокая степень когерентности в начальном состоянии, проявляющаяся
в измерениях множественности, в сценарии партонного насыщения
вводит сильную корреляцию между поперечным импульсом партона
и его координатой в волновой функции ядер. Когда ядра сталкиваются,
этот эффект компенсирует по крайней мере часть асимметрии, обычно
приписываемой исключительно взаимодействиям в конечном состоя-
состоянии [135], [136].
Зависимость коэффициента v^ (elliptic flow) от поперечного им-
импульса адронов представляется весьма загадочной [137]. Значение v^
сначала увеличивается с р±, и затем приходит к насыщению. Это
противоречит гидродинамике, которая предсказывает монотонное уве-
увеличение V2 с р±. Конечно, гидродинамике нельзя доверять при больших
р±, так как плотность жёстких частиц слишком мала, чтобы было
справедливым статистическое описание.
10.5. Выход адронов
Измерения выходов адронов принесли несколько интересных ре-
результатов. Оказывается, что при энергиях RHIC ещё велика асиммет-
асимметрия между выходами барионов и антибарионов. Например, отноше-
отношение выхода антипротонов к протонам р/р « 0,65 [138]. Как отмеча-
отмечалось во второй главе, это отношение должно быть близко к единице
в центральной области быстрот вторичных частиц. Поэтому можно
сделать вывод о том, что центральная область (область пионизации)
при энергиях RHIC ещё не сформирована, а диффузия барионного
числа ещё мала вплоть до значений бьёркеновской переменой х ~ 10~2,
достижимых на RHIC.
При этом статистические (термодинамические) модели [139] успеш-
успешно описывают выходы адронов. Является ли это обстоятельство доказа-
доказательством термализации ядерного вещества в столкновениях тяжёлых
ионов? По-видимому ответ на этот вопрос отрицательный, поскольку
эти же модели описывают выход частиц в е+е~ аннигиляции и рр-вза-
имодействиях, где образование термализованной среды маловероятно.
10.6. Подавление выхода частиц с большими
поперечными импульсами
Потери энергии партонов (струй), рассмотренные в четвёртой главе,
были среди первых указаний, предложенных для диагностики горячей
кварк-глюонной материи [140]. Поскольку быстрый партон фрагмен-
тирует в струю, содержащую быстрый адрон, измерение выхода адро-
166
Гл. 10. Обзор экспериментальных данных RHIC
нов с большими поперечными импульсами представляет значительный
интерес. На рис. 10.6 представлено отношение выходов заряженных
а + а CERN-ISR
_ А 71°
Аи + Аи ism = 130 ГэВ
0—10 % доля центральных событий
I
X)
о
. — J -
4 р±уТэВ/с
Рис. 10.6
адронов и нейтральных пионов в Аи + Аи и рр при энергии л/s =
= 130 ГэВ, как функция их поперечного импульса. Выход адронов при
больших поперечных импульсах значительно уменьшается по сравне-
сравнению с выходом, ожидаемым при взаимодействиях в NN столкновениях.
Это поведение значительно отличается от того, что ранее наблюдалось
в столкновения РЬ + РЬ в CERN на SPS и в а + а столкновения в
CERN на ISR (см. рис. 10.6).
Как видно из рис. 10.6, сечение рождения частиц с большими
Р±(р± ^ 2 ГэВ/с) почти на порядок величины меньше, чем для струй,
рождённых в некогерентных партон-партонных взаимодействиях. Та-
Такое подавление может быть связано как с экранированием глюонной
структурной функции в ядре [141], так и со «сжатием струй» в ядерном
веществе [142]. Поскольку для струй, рождённых в центральной обла-
области быстрот, характерные значения переменной х партона, рождающего
частицу с энергией ^5 ГэВ, составляет ^Ю, эффекты конденсата
цветового стекла вряд ли играют какую-либо роль. Роль указанных
двух механизмов подавления выхода частиц с большими р± можно
прояснить, сравнивая выходы частиц в дейтрон-ядерных dAu и протон-
протонных взаимодействиях. Если струи подавлены в dAu столкно-
столкновениях, то это возможно лишь за счёт взаимодействия в начальном
состоянии. Такие экспериментальные данные получены в 2003 году
коллаборацией STAR. На рис. 10.7 [143] проведено сравнение двухча-
10.7. В/тт загадка
167
стичных азимутальных распределений частиц в центральных d + Аи,
Аи + Аи и р-\-р столкновениях (точки, звёздочки и жирные сплошные
0,2
0,1
1
0,2
0,1
• d + Au FTPC-Au 0^20 %
a d + Аи min. bias
-p+pmm. bias б
¦ центральные столкновения Аи + Аи
я/2
Рис. 10.7
Аф, рад
линии соответственно). Как видно из этих данных в центральных Аи +
+ Аи столкновениях, в отличие от d-\- Аи и р + р, сильное подавление
выходов частиц с большими поперечными импульсами (отсутствие
back-to-back пика) связано со взаимодействием партонов с плотной
ядерной средой в конечном состоянии.
10.7. В/тт загадка
Другая поразительная загадка RHIC — это быстрое увеличе-
увеличение барион/пионного отношения в центральных столкновениях золо-
золота по золоту при больших поперечных импульсах [69]. На рис. 10.8
представлено отношение антипротонов к пионам как функция попереч-
поперечного импульса для центральных и периферических столкновений при
энергии л/s = 200 ГэВ и отношение идентифицированных заряжен-
заряженных адронов к нейтральным пионам. Рост барион/пионного отношения
ожидается в гидродинамическом сценарии, в котором равная скорость
расширения партонов «среды» предполагает больший поперечный им-
импульс для более массивных частиц. Однако справедливость гидроди-
гидродинамического описания сомнительна при больших поперечных импуль-
168
Гл. 10. Обзор экспериментальных данных RHIC
2Г
0^5 % р/п° о 60^91,4 % #/7i°
а 1,4
~3 1,2
_ а 0-5%^/тг" д60-
р1тС
~ V^ = 200 ГэВ
PHENIX , ,.-f
91,4 %р/т
р/л0
1 I
С
и 0,4
< 0,2
0
О 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
/?±,ГэВ/с
Рис. 10.8
сах, где плотность частиц слишком мала. Если мы предполагаем, что
фрагментация министруй является ведущим механизмом образования
частиц при больших р±, то рост отношения В/п предполагает, что на
фрагментацию министруй сильно воздействует ядерная среда.
10.8. Ультрапериферические столкновения
тяжёлых ионов
Коллаборация STAR сообщила о первых наблюдениях эксклюзив-
эксклюзивного образования векторного р-мезона в периферических столкно-
столкновениях релятивистских тяжёлых ионов в реакции AuAu —> AuAu p°
и образование векторного р-мезона в реакции AuAu —> Au*Au*p°,
когда в конечном состояние наблюдаются ядра в возбуждённом со-
состоянии. Процессы, происходящие при периферических взаимодей-
взаимодействиях тяжёлых ионов, были подробно рассмотрены в девятой главе,
здесь мы акцентируем внимание на полученных экспериментальных
данных.
Эксклюзивное образование р-мезонов изучалось по распаду тг+тг~
в детекторе STAR. Для анализа использованы данные 2000 года по
столкновению золота с золотом с энергией в системе центре масс
130 ГэВ на нуклон.
Два набора данных использовалось два различных триггера в дан-
данном анализе. Для реакции AuAu —> AuAu p° события отбирались с по-
помощью топологического триггера, а для изучения реакции AuAu —>
—> Аи*Аи* р° было использован Mimimum bias триггере [144]. Этот
триггер использует калориметр нулевых углов (ZDC) для отбора собы-
событий, т. е. сигналом служит регистрация одного или нескольких нейтро-
нейтронов. Это и является критерием для отбора событий для периферических
взаимодействий.
Используя энергию выделения в ZDC, были отобраны события, по
крайне мере, с одним нейтроном (хп, хп), точно с одним нейтроном
10.8. Ультрапериферические столкновения тяжёлых ионов
169
(In, In) и без нейтронов (On, On) в ZDC, и события по, крайней мере, с
одним нейтроном в одном из ZDC (хп, On). Последние два происходят
только при работе топологического триггера.
На рис. 10.9 представлены распределения пар пионов по попереч-
поперечному импульсу для топологического триггера (On, On) (рис. 10.9 а) и
PQ
60
50
40
30
20
10
-J1
• к %
1=1 фон от тс+тс+, ттГ
— Монте-Карло
1
о
PQ
i
о
CN
>S
я
3
Ю
250
200
150
100
s 50
1=1 ф0Н ОТ 7l+7X+, 71 71
— Монте-Карло
0 0,1 0,2
0,3 0,4 0,5 0,6
/?±,ГэВ/с
0 0,1 0,2 0,3
0,4 0,5 0,6
Р1уТэВ/с
Рис. 10.9
Mimimum bias триггера (хп, хп) (рис. 10.9 6). Можно видеть, что оба
спектра достигают максимума при р± ~ 50 МэВ/с, как и ожидается
при когерентных взаимодействиях тяжёлых ионов.
Спектр da(AuAu -^ Au*Au* p^/dM^^ по инвариантной массе пар
пионов для (хп, хп) событий с ограничением по поперечному импульсу
р± < 150МэВ/с представлен на рис. 10.10 (МС — фон от е+е~-пар,
рассчитанный методом Монте-Карло). Для событий (On, On) спектр
PQ
5
4
3
2
1
0
1
_
-
1 i
• Я 71
СИ 7t+7t+, Я"Я"
/ V
1 1 1 1 1
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1
МЛ71,ГэВ/с2
Рис. 10.10
подобен. Для фитирования данных были использованы три различных
параметризации:
О>& с пттг / л /г \ I г т / 71 /г \ _\_ -Р • /1 л г«\
170
Гл. 10. Обзор экспериментальных данных RHIC
da
А-
da
- М2 + iMpTp
в
+fp\
A0.7)
A0.8)
Уравнение A0.6) — это релятивистское распределение Брейт-Вигнера
для образования мезона, где
BW =
где /(Мпп) — интерференционное слагаемое Солинга [145],
Т(М ) = ^р ~ ^'7Т7Т
Второе уравнение, A0.7) — это модифицированная солинг-параметри-
зация [146]. И третье, A0.8) — это феноменологическая параметриза-
параметризация Росс-Стодолски [147]. Здесь
мр
3/2
— ширина, зависящая от импульса и fp — полином второго порядка,
описывающий фон. Параметры фитирования приведены в табл. 10.1.
Можно видеть, что масса и ширина р-мезона соответствуют табличным
значениям [148]. В табл. 10.2 представлены экспериментальные значе-
значения сечений в сравнении с теоретическими предсказаниями.
Хотелось бы отметить, что это первые измерения когерентного
образования р-мезона с ядерным возбуждением и без ядерного воз-
возбуждения в периферических столкновениях тяжёлых ионов. При этом
р-мезон образуется при малых поперечных импульсах, характерных
для когерентного взаимодействия ядер.
Сечения образования р-мезона находятся в согласии с теоретиче-
теоретическими вычислениями [149].
Таблица 10.1
Парамет-
Параметризация
р, МэВ/с2
Г° МэВ/с2
A0.6)
A0.7)
A0.8)
778 ±7
777 ±7
773 ±7
148 ± 14
139 ± 13
127 ± 13
В
— = 0,47 ± 0,07 ± 0,12 ГэВ
fp
= 0,81 ± 0,08 ± 0,20 ГэВ-1/2
10.9. НВТ корреляции на RHIC
171
Таблица 10.2
Сечения
®хп,хп
а\пЛп
p(ine. overlap)
&хп,хп
р
ахп,0п
р
а0п,0п
<otal
STAR, мбн
28,1 ±2,0 ±6,3
2,8 ±0,5 ±0,7
39,7 ±2,8 ±9,7
95 ± 60 ± 25
370 ± 170 ±80
460 ± 220 ± ПО
Статья [149], мбн
27
2,6
350
10.9. НВТ корреляции на RHIC
Двухчастичная корреляционная функция тождественных бозонов
с импульсами р\ и Й определена в пятой главе E.2). Если средний
4-импульс обозначить как к^ = (р^+р^)/2, относительный импульс
как q^ = Р\ — р%, то для бьёркеновской модели расширения ядерной
материи можно ограничиться испусканием частиц в центральной об-
области быстрот, т. е. положить kz = qz = 0. Вращательная симметрия
вокруг оси z в центральных соударениях релятивистских ядер поз-
позволяет выбрать средний поперечный импульс в виде к± = (к, 0,0).
Тогда корреляционная функция будет зависеть от трёх независимых
переменных: С2(к, #oub(Zside)> «out» и «side» проекции относительного
импульса gOut = @, gOut, 0) и <fside = @, gside, 0).
Как обсуждалось в пятой главе, ширина \/Rs^e корреляционной
функции в направлении side есть мера поперечного размера системы в
момент её развала на невзаимодействующие частицы, а ширина l/i?Out
корреляционной функции чувствительна ко времени адронизации Дт,
причём
R;
'out
A0.9)
v — скорость поперечного расширения системы.
Как показано в работе [150], в случае образования кварк-глю-
онной плазмы следовало бы ожидать i?out > i^side, или, во всяком
случае, Rout/Rs\de > 2 -г- 3.
На рис. 10.11 показаны корреляционные функции отрицательных
пионов, измеренных коллаборацией PHENIX для различных проек-
проекций относительно импульса q пары. Как видно из этого рисунка,
.Rout ~ ^side- Более того, при поперечных импульсах р± > 0,4 ГэВ
.Rout < -Rside- Это довольно неожиданный результат, который ставит под
сомнение не только теоретические модели, описывающие корреляции
частиц, но и саму картину эволюции ядерного вещества в столкновени-
столкновениях релятивистских тяжёлых ионов. По-видимому, только совместными
усилиями теоретиков и экспериментаторов, работающих в области ре-
релятивистской ядерной физики, удастся разрешить это противоречие.
172
Гл. 10. Обзор экспериментальных данных RHIC
Ли + Аи - 2л
PHENIX предварительно
1,3 г
0,8
50 100 150
q0, МэВ/с
Рис. 10.11
В заключение этой главы следует подчеркнуть, что многие из
рассмотренных выше экспериментальных данных указывают на кол-
коллективный характер поведения ядерного вещества в столкновениях
релятивистских тяжёлых ионов на RHIC. Очевидно, что данные не опи-
описываются некогерентной суперпозицией нуклон-нуклонных столкнове-
столкновений. Измеренные множественности и спектры по поперечным импуль-
импульсам позволяют оценить начальные плотности энергии, они составляют
~20 ГэВ/фм3. При таких плотностях энергии, превышающих плотность
энергии в «обычных» ядрах на два порядка, коллективные явления
должны описываться на кварк-глюонном уровне. Однако для дока-
доказательства формирования кварк-глюонной плазмы необходимы новые
экспериментальные данные RHIC, а, возможно, и с ускорителя LHC,
который будет ускорять тяжёлые ионы.
Приложение
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ХРОМОДИНАМИКИ
1. Лагранжиан КХД
Квантовая хромодинамика — это теория сильных взаимодействий,
в которой фундаментальными объектами являются цветные кварки,
антикварки и глюоны, не наблюдаемые в свободном состоянии. Исто-
Исторически КХД возникла при объединение наивной кварковой модели
с идей локальной 577C) калибровочной инвариантности сильных вза-
взаимодействий.
В кварковой модели большое число адронов строится с помощью
нескольких фундаментальных составляющих — кварков и антикварков.
При этом барионы состоят их трёх кварков, а мезоны — из кварков
и антикварков. Например, протон состоит их двух г^-кварков и одного
d-кварка: \р) = \uud), а |тг+) = \ud) из г^-кварка и анти ^-кварка.
Однако кварковая модель в своей наивной форме не полна, по-
поскольку принцип Паули исключает наличие спина 3/2 у А++ изобары
с кварковым составом |А++) = \иии). Единственный путь построения
полностью антисимметричной волновой функции А++ — постулиро-
постулировать наличие у кварков и антикварков дополнительного квантового
числа, названного цветом. Кварки могут существовать в трёх раз-
различных цветовых состояниях, условно названных красным, зелёным,
голубым.
Поэтому кварковое состояние характеризуется тремя компонен-
компонентами:
q(x) =
Переход от кварковой модели с цветными составляющими к КХД
происходит тогда, когда цвет начинает трактоваться подобно элек-
электрическому заряду в электродинамике. Известно, что электродинами-
электродинамика обладает локальной калибровочной инвариантностью, т. е. инвари-
инвариантностью по отношению к фазовому вращению электронных полей,
ехр(ш(ж)), причём а зависит от пространственно-временной коорди-
174 Основы квантовой хромодинамики
наты. Можно потребовать подобную инвариантность и для кварковых
полей, имея только в виду, что в электродинамике один заряд, в то
время как в КХД — три цветных заряда.
В отсутствие взаимодействий между фундаментальными составля-
составляющими лагранжиан КХД имеет следующий вид:
7 7
q=u,d,d... цвет
Этот лагранжиан инвариантен при вращениях кварковых полей в
цветовом пространстве:
q*(x) - Ujk(x)qk(x), (П.З)
где индексы j, k G {1, 2, 3} и по повторяющимся индексам предполага-
предполагается суммирование. В электродинамике есть только один электриче-
электрический заряд, и калибровочное преобразование включает один фазовый
фактор: U = exp (ia(x)).
В КХД — три различных цвета, и U становится унитарной 3x3
матрицей, т.е. U+U = 1 и det?/ = 1. Это матрица фундаментального
представления группы 577C), где «3» — число цветов, Nc = 3. Матри-
Матрица U имеет N% — 1 = 8 независимых элементов, поэтому она парамет-
параметризуется с помощью 8 генераторов Т^-, a G {1, ...8} фундаментального
представления группы SUC):
U(x)=exp(-ipa(x)Ta). (П.4)
При этом матрицы Та эрмитовы — (Та = Та+) и tiTa = 0. Матри-
Матрицы Та не коммутируют между собой, их коммутатор выражается через
структурные константы /аьс группы SUC):
[Ta,Tb] =ifabcTc. (П.5)
Это коммутационное соотношение не имеет аналогов в квантовой
электродинамике, поскольку эта теория основана на абелевой калибро-
калибровочной группе U(l). КХД же основана на неабелевой калибровочной
группе SUC), поэтому называется неабелевой калибровочной теорией.
Поскольку матрицы U зависят от пространственно-временной точ-
точки х, свободный лагранжиан (П.2) не инвариантен при калибровочных
преобразованиях (П.З). Для того чтобы восстановить калибровочную
инвариантность, нужно, по аналогии с электродинамикой, ввести ка-
калибровочное (глюонное) поле А^Ах) и заменить в (П.2) производную
ковариантной производной:
{ }(x). (П.6)
Заметим, что калибровочное поле А^Ах) = A?T%j, как и ковариант-
ная производная, является 3x3 матрицей в цветовом пространстве.
2. Асимптотическая свобода 175
При замене производной на ковариантную производную все измене-
изменения в лагранжиане при калибровочных преобразованиях сокращаются,
если поле А^ преобразуется следующим образом:
. (П.7)
Тогда КХД лагранжиан можно записать в виде
- mq)q(x) - -^ tiG^(x)G^(x), (П.8)
где первое слагаемое описывает динамику кварков и их связь с глюона-
ми, а второе слагаемое — динамику глюонных полей. Константа связи
сильных взаимодействий является аналогом элементарного электриче-
электрического заряда е в квантовой электродинамике.
Глюонный полевой тензор в (П.8)
G^{x) = г [L>M, Bv\ = д^Аи(х) - dv'А^(х) - г [А»{х), А"(х)}. (П.9)
Видно, что существенная разница между КХД и КЭД заключается
в коммутаторе полей в выражении (П.9). Этот коммутатор приводит
к глюон-глюонным взаимодействиям в КХД к весьма нетривиальной
динамике сильных взаимодействий.
2. Асимптотическая свобода
Для того чтобы разобраться в динамике, следует прежде всего уста-
установить, как зависит константа связи от характерных пространственных
масштабов теории.
Это поведение, в свою очередь, определяется откликом вакуума
на присутствие пробного заряда. Вакуум — это основное состояние
теории. В квантовой теории вакуум — это отнюдь не пустое простран-
пространство-время, принцип неопределённости допускает существование пар
частиц-античастиц в течение времени, обратно пропорционального их
энергии. В КХД электрон-позитронные пары оказывают экранирующее
воздействие на пробный электрический заряд. Поэтому электромаг-
электромагнитная константа связи (заряд) растёт с уменьшением расстояния по
закону
) р\()
1 + 2^) In 2L
Зтг го
где го — фиксированный масштаб расстояний.
Формула (П.10) имеет два удивительных свойства:
1) при больших г ^> го можно пренебречь единицей в знаменателе,
на таких расстояниях «одетый» заряд е(г) не зависит от величины
«голого» заряда е(го);
2) в локальном пределе го —> 0, если потребовать конечности е(го),
эффективных заряд е(г) —> 0 на любых конечных расстояниях от го-
176 Основы квантовой хромодинамики
лого заряда! Это знаменитая проблема нуль-заряда представляет собой
серьёзную трудность для КЭД. Для разрешения этой проблемы следует
предположить, что либо КЭД не является истинно фундаментальной
теорией, либо соотношение (П. 10), полученное в рамках теории возму-
возмущений КЭД, значительно изменяется в режиме сильной связи. Послед-
Последняя возможность, по-видимому, более предпочтительна, поскольку на
малых расстояниях электрический заряд становится очень большим,
и его взаимодействие с электрон-позитронным вакуумом нельзя рас-
рассчитывать по теории возмущений.
К счастью, из-за малости aem(r) = ^j-*- = т^у, эта фундамен-
фундаментальная проблема теории проявляет себя на очень малых расстояниях
^ехр (—3/8ает), которые находятся далеко за пределами нынешних,
и вероятно, будущих экспериментов. Это обстоятельство и позволяет
рассматривать КЭД как весьма эффективную теорию.
В КХД ситуация качественно другая: имеет место антиэкраниро-
антиэкранирование пробного цветового заряда, поэтому эффективный заряд мал на
малых расстояниях. Это свойство теории называют асимптотической
свободой. Проиллюстрируем это свойство теории на примере физике
конденсированных сред. Будем рассматривать вакуумное состояние как
непрерывную среду с диэлектрической постоянной е. Как известно,
диэлектрическая постоянная связана с магнитной постоянной /i и ско-
скоростью света соотношением
/ ()
с
Таким образом, экранирующая среда (г > 1) должна быть диамаг-
нетиком (/i < 1), и наоборот, парамагнитная среда (/i > 1) должна про-
проявлять антиэкранирующие свойства, приводящие к асимптотической
свободе.
Почему в КХД вакуум парамагнитный, а КЭД диамагнитный? Как
известно, величина /i связана с магнитной восприимчивостью х соот-
соотношением
/х=1+4тгх. (П. 12)
Когда электроны в КЭД движутся во внешнем электрическом поле,
два конкурирующих эффекта определяют знак магнитной восприимчи-
восприимчивости:
а) электроны в магнитном поле двигаются по квантовым орбитам
(уровням Ландау). Токи, возникающие при таком движении, создают
магнитное поле, направленное противоположно внешнему полю. При
этом диамагнитный отклик \ > 0;
б) спины электронов выстраиваются вдоль внешнего магнитного
поля, это даёт положительный парамагнитный отклик (х > 0).
В квантовой электродинамике диамагнитный эффект сильнее, по-
поэтому вакуум экранирует заряды. В КХД глюоны несут цветовой
заряд. Так как они имеют больший спин (спин = 1), чем кварки (или
3. Конфайнмент 177
электроны), парамагнитный эффект доминирует, и вакуум проявляет
свойства антиэкранирования. В КХД аналогом соотношения (П. 10)
в низшем порядке теории возмущений является следующее выражение:
, UNC-2N г,' (ПЛЗ)
Очевидно, если г\ < Г2, то и as(r\) < as(r2). При больших передан-
переданных импульсах, соответствующим малым расстояниям, константа связи
(П. 13) становится малой, поэтому применима теория возмущений.
3. Конфайнмент
Асимптотическая свобода в КХД подразумевает уменьшение кон-
константы связи на малых расстояниях и, соответственно, увеличение на
больших расстояниях. В квантовой электродинамике режим сильной
связи начинается на чрезвычайно малых расстояниях, не достижимых
в современных экспериментах. В КХД многие свойства адронов опре-
определяются теорией сильной связи, и необходимо строить ускорители
для изучения КХД в случае слабой связи, т. е. в теории возмущений.
Ядро-ядерные столкновения, рассмотренные в настоящей книге, как
раз позволяют создать условия для реализации режима слабой связи.
Свойство конфайнмента КХД означает отсутствие фундаменталь-
фундаментальных полей (кварков и глюонов) лагранжиана (П.8) в спектре частиц
как асимптотический состояний. По некоторым, пока неизвестным
причинам, все физические состояния с конечной энергией оказываются
синглетной по цвету комбинацией кварков и глюонов, т. е. кварки
и глюоны в обычных условиях заперты в адронах на расстояниях
<1 фм.
Свойства конфайнмента можно представить качественно, рассмат-
рассматривая распространение тяжёлой кварк-антикварковой пары на расстоя-
расстоянии R за время Т. Для этого определяется вильсоновская петля
W(R, Т) = tr \р ехр (г \ Аа^Та dxA 1, (П. 14)
где А^ — глюонное поле, Та — генераторы группы 577C) и контур С
выбран в виде прямоугольника со стороной R в одном из простран-
пространственных измерений и стороной Т во временном направлении.
Можно показать, что при Т —> оо
lim W(R,T)=exp[-TV(R)], (П.15)
Т—>оо
где V(R) — статический потенциал взаимодействий тяжёлых кварков.
На больших расстояниях этот потенциал
aR, (П. 16)
178 Основы квантовой хромодинамики
где а « 1 ГэВ/фм — коэффициент натяжения струны, связывающей
кварки. Таким образом, при больших Т и R вильсоновская петля ведёт
себя как
W(R,T)&exp[-aTR], (П. 17)
эта формула — знаменитый «закон площадей», определяющий конфай-
нмент в КХД.
Свойство конфайнмента присуще КХД при обычных температу-
температурах и плотностях ядерной материи. Как мы уже обсуждали ранее,
в столкновениях релятивистских тяжёлых ионов можно создать такие
условия, когда КХД материя утратит свойства конфайнмента, кварки
и глюоны станут способными распространяться на расстояния, боль-
большие 1 фм. Сигналам такого состояния посвящена значительная часть
настоящей книги (гл.4).
4. Нарушение киральной симметрии
Как известно, масса тг-мезона гораздо меньше масс других элемен-
элементарных частиц. Можно даже полагать, что масса тг-мезона равна нулю,
при этом свойства мира с безмассовым пионом весьма близки свой-
свойствам физического мира. Однако существование безмассовых частиц —
проявление определённой симметрии теории. Фотоны, например, явля-
являются следствием локальной калибровочной инвариантности электроди-
электродинамики. Но, в отличие от фотонов, пионы имеют спин, равный нулю,
и они не могут быть калибровочными бозонами какой-либо симмет-
симметрии. Другая возможность объяснения безмассовости тг-мезона задаётся
теоремой Голдстоуна. Согласно этой теореме, проявление безмассовых
мод в спектре является следствием спонтанного нарушения симметрии,
т.е. симметрия лагранжиана нарушена в основном состоянии теории.
Предположим, что в лагранжиане КХД (П.8) массы кварков равны
нулю. В этом пределе лагранжиан не содержит слагаемых, связываю-
связывающих правые и левые компоненты кварковых полей:
Лагранжиан (П.8) инвариантен при независимых преобразованиях
правых и левых полей («киральных вращений»). В пределе безмассовых
кварков КХД обладает дополнительной симметрией Ui,{Nf) x UR(Nf)
по отношению к независимым преобразованиям левых и правых квар-
кварковых полей:
Очевидно, что в физическом мире симметрия между левыми и пра-
правыми состояниями отсутствует. Поэтому следует предположить, что
симметрия (П.19) спонтанно нарушена в вакууме. Наличие кваркового
4. Нарушение киральной симметрии 179
конденсата (qq} в вакууме КХД является сигналом спонтанного нару-
нарушения киральной симметрии, т.к. соотношение
{qq) = {qLqR) + Шь) (п.20)
означает, что левые и правые кварки и антикварки могут преобразовы-
преобразовываться друг в друга. Кварковый конденсат можно использовать в ка-
качестве параметра порядка. Вычисления на пространственно-временной
решётке показывают, что при фазовом переходе деконфайнмента квар-
кварковый конденсат стремится к нулю, сигнализируя о восстановлении
киральной симметрии.
Список литературы
1. Fermi Е. // Progr. Theor. Phys. 1950. V. 5. P. 570; Pomeranchuk I. //
Doklady Aksd. Nauk 1951. V. 78. P. 889; Landau L. // Izvestiya AN SSSR
Ser. Fiz. 1953. V. 17. P. 51; Feinberg E. // Nuovo Cimento A. 1976. V. 34.
P. 39.
2. Sakharou A. // JETP Letter 1967. V. 5. P. 32.
3. Polyakov A. H Phys. Lett. B. 1979. V. 82. P. 247.
4. Susskind L. // Phys. Rev. D. 1979. V. 20. P. 2610; Engels J. et al. // Nucl.
Phys. B. 1982. V. 205. P. 545.
5. Baldin A.M. et al. // Proc. Rochester Meeting APS / DPF, Rochester, USA
A971), 131.
6. Балдин A.M. Нуклотрон и релятивистская ядерная физика, ОИЯИ, Дуб-
Дубна. 1974. V. 8309. Р. 7.
7. Van Hove L. // Phys. Lett. В. 1982. V. 118. P. 138.
8. Koch P., Muller В., Rafelski J. // Phys. Rep. 1986. V. 142. P. 1.
9. Greiner C, Koch P., Stocker H. // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 1825.
10. Matsui Т., Satz H. // Phys. Lett. B. 1986. V. 178. P. 446.
11. Chodos A. et al. // Phys. Rev. D. 1974. V. 9. P. 3471.
12. Landau L., Lifshitz E. Statistical Physics. — Pergamon Press, 1986.
13. Morley P., Kislinger M. // Phys. Rep. 1979. V. 51. P. 65.
14. Belavin A. et al. // Phys. Lett. B. 1975. V. 59. P. 85.
15. Shuryak E. // Nucl. Phys. B. 1982. V. 203. P. 160.
16. Shifman M., Vainshtein A., Zakharov V. // Nucl. Phys. B. 1979. V. 147.
P. 385.
17. Bochkarev A, Shaposhnikov M. // JETP Lett. 1984. V. 39. P. 488.
18. Bochkarev A., Shaposhnikov M. // Nucl. Phys. B. 1986. V. 268. P. 220.
19. McLerran L, Svetitsky B. // Phys. Rev. D. 1983. V. 24. P. 237.
20. Kajantie K. et al. // Z. Phys. С 1981. V. 9. P. 253.
21. Banks Г., Ukawa A. // Nucl. Phys. B. 1983. V. 225. P. 145.
22. Karsch F. // Nucl.Phys. B. 2000. V. 83-84. P. 14.
23. Ph. De Forcrand et al. // Phys. Rev. D. 2001. V. 63. P. 054501.
24. Karsch F. // Nucl. Phys. A. 2002. V. 698. P. 199c.
25. Karsch F. // Lecture Notes Phys. 2002. V. 583. P. 209.
26. Fodor Z. et al. // J. High En. Phys. 2002. V. 203. P. 14.
27. Glauber R.J. in Lectures in Theoretical Physics / Ed. by W. E. Brittin and
L.G. Dunham (Imterscience, N.Y.). 1959. V. 1. P. 315.
28. Iancu E., Leonidov A., McLerran L. // Nucl.Phys. A. 2001. V. 692. P. 583.
29. Schildknecht D., Surrow B. // Phys.Lett. B. 2001. V. 499. P. 116; Stasto A.
et al. H Phys. Rev.Lett. 2001. V. 86. P. 596.
30. Muller A. H Phys. Lett B. 2000. V. 475. P. 220.
Список литературы 181
31. Baler R. et al. // Nucl.Phys. B. 1998. V. 531. P. 403; Zakharov B. // JETP
Lett. 1996. V.63. P. 952.
32. Cleymans /., Gavai G., Suhonen J. // Phys. Rep. 1986. V. 102. P. 140.
33. Bjorken J. H Phys. Rev. D. 1983. V. 27. P. 140.
34. Cooper F., Frey G., Schouberg E. // Phys. Rev. D. 1975. V. 11. P. 192.
35. Hwa R., Kajantie K. // Phys. Rev. D. 1985. V. 32. P. 1109.
36. McLerran L, Toimela T. // Phys. Rev. D. 1985. V. 31. P. 545.
37. De Forcrand P., Philipsen O. // Nucl. Phys. B. 2002. V. 642. P. 290.
38. Stock Д. // Phys. Lett. B. 1999. V. 456. P. 277.
39. Schmidt M. et al. // Z. Phys. С 1988. V. 38. P. 109.
40. Combridge B. // Nucl. Phys. B. 1979. V. 151. P. 429.
41. Eskola K., Kajantie K. // Z. Phys. С 1997. V. 75. P. 515.
42. Емельянов В., Ходинов А. и др. // Ядерная Физика. 1999. V. 62. Р. 62.
43. Adler С. et al. // Nucl. Instrum. Meth. A. 2001. V. 470. P. 488.
44. Adcox K. et al. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 3500.
45. Van Hove L. // Z. Phys. С 1983. V. 21. P. 93.
46. Ruuskanen P. // Nucl. Phys. A. 1991. V. 525. P. 255c.
47. Gale C, Lichard P. // Phys. Rev. D. 1994. V. 49. P. 3348.
48. Song С, Ко С, Gale С. // Phys. Rev. D. 1994. V. 50. P. R1827.
49. Lichard P. // Phys. Rev. D. 1994. V. 49. P. 5812.
50. Geiss J. et al. // Phys. Lett. B. 1999. V. 447. P. 31; Spieles С et al. // Phys.
Rev. С 1999. V. 60. P. 054901; Arwesto N. et al. // Phys. Rev. С 1999.
V. 59. P. 395.
51. Pisarski R. // Phys. Lett. B. 1982. V. 110. P. 155.
52. Rapp R., Wambach J. // Adv. Nucl. Phys. 2000. V. 25. P. 1.
53. Gale C, Kapusta J. // Phys. Rev. С 1989. V. 40. P. 2397.
54. Agakichiev G. et al. // Nucl.Phys. A. 1999. V. 661. P. 23c.
55. Acton P.D. et al. // Z. Phys. С 1992. V. 56. P. 521; Buskulic D. et al. //
Z. Phys. С 1996. V. 69. P. 379.
56. Aguilar-Benitez M. et al. // Z. Phys. С 1991. V. 50. P. 405.
57. Adams J. et al. // Phys. Rev. Lett 2004. V. 92. P. 092301.
58. Kapusta /., Lichard P. // Phys. Rev. D. 1991. V. 44. P. 2774.
59. Yoshida R. et al. // Phys. Rev. D. 1987. V. 36. P. 388.
60. Redlich K. // Phys. Rev D. 1987. V. 36. P. 3378.
61. Bjorken J. H Fermilab-PUB-82-59-T.
62. Thoma M., Gyulassy M. // Nucl. Phys. B. 1991. V. 351. P. 491.
63. Gyulassy M., Wang X. // Nucl. Phys. B. 1994. V. 420. P. 583.
64. Muller B. H Phys. Rev. С 2003. V. 67. P. 061901.
65. Fries R., Muller В., Srivastava D. // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 90. P. 132301.
66. Baier R. et al. // JHEP. 2001. V. 109. P. 33.
67. Gyulassy M., Levai P., Vitev I. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 5535.
68. Wang E., Wang X. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. P. 142301.
69. Adcox K. et al. [PHENIX Collaboration] // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 88.
P. 242301.
70. Tarasov Yu. // hep-ph/0312252.
71. Shuryak E. // Phys. Rev.Lett. 1992. V. 68. P. 3270.
182 Список литературы
72. Combridge J. et al. // Phys.Lett. 1977. V. 70. P. 234.
73. Gluck M., Reya E., Vogt A. // Z. Phys. 1995. P. 433.
74. Gyulassy M. et al. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 2537.
75. Wang X., Gyalassy M. // Phys. Rev. D. 1991. V. 44. P. 350.
76. Schnederman E. et al. // Phys. Rev. D. 1993. V. 48. P. 2462.
11. Voloshin S., Zhand Y. // Z. Phys. С 1996. V. 70. P. 665.
78. Barrette J. et al. // Phys. Rev. С 1994. V. 49. P. 1669.
79. Cugnon /., Hote D. // Nucl. Phys. A. 1986. V. 452. P. 138.
80. Danielewicz P. // Phys. Rev. С 1995. V. 51. P. 716.
81. Siemens P., Rassmussen J. // Phys. Rev. Lett. 1979. V. 42. P. 880.
82. Shuryak E., Zhirov O. // Sov. J. Nucl. Phys. 1978. V. 28. P. 485.
83. Teaney D. et al. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 4783.
84. Muller B. H Lect. Notes in Phys. 1985. V. 225. P. 1.
85. Meyer-Ortmanns H. // Rev. Mod. Phys. 1996. V. 68. P. 512.
86. Rafelski /., Muller B. // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 1006.
87. Datta S., Karsch F. et al. // hep-lat/0208012.
88. Shuryak E., Zahed I. // hep-ph/0307267.
89. Elze #., Greiner W. // Phes.Lett. B. 1986. V. 131. P. 385.
90. Koch P., Muller В., Rafelski J. // Phys.Rep. 1986. V. 142. P. 167.
91. Emelyanou V. // Pisma Zh.Eksp.Tepr.Fiz. V. 47, № 1988. V. 1. P. 491.
92. Kopylou G.I., Podgoretsky M.I. // Sov. J. Nucl. Phys. 1972. V. 15. P. 219.
[Yad. Fiz. 1972. V. 15. P. 392].
93. Kopylov G.I., Podgoretsky M.I. // Sov. J. Nucl. Phys. 1974. V. 18. P. 336.
[Yad. Fiz. 1974. V. 18. P. 656].
94. Hanbury R., Brown Twiss R. // Phil. Mag. 1945. V. 45. P. 663.
95. Hanbury R., Brown Twiss R.I I Nature 1956. V. 178. P. 1046.
96. Tomasik В., Wiedemann U. // hep-ph / 0210250.
97. Akkelin S., Sinyukou Yu. // Z. Phys. С 1996. V. 72. P. 501.
98. Chapman S., Scotto P., Heintz U. // Heavy Ion Physics. 1995. V. 1. P. 1.
99. Csorgo Т., Lorstad B. // Phys. Rev. С 54 A9960, 1390.
100. Srivastava D., Kapusta K. // TPI-MINN-93/8-T.
101. Bialas A., Bleszynski M., Gzyz W. // Nucl. Phys. B. 1976. V. 111. P. 461.
102. Koba Z, Nielsen #., Olesen P. // Nucl. Phys. B. 1972. V. 40. P. 317.
103. Gazdzicki M., Hansen O. // Nucl. Phys. A. 1991. V. 528. P. 754.
104. Heiselberg #., Levy A. // Phys. Rev. С 1999. V. 59. P. 2716.
105. Asakawa M., Heinz U., Muller B. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 2072.
106. Jeon S., Koch V. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 272.
107. Roland G. et al. // Nucl. Phys. A. 1998. V. 638. P. 91c.
108. Gottlieb S. et al. // Phys. Rev. D. 1977. V. 55. P. 6852.
109. Papp R. et al. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 53; Pisarsky R.,
Rischke D. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 37; Carter G., Diakonov D. //
Phys. Rev. D. 1999. V. 60. P. 016004.
110. Stephanov M. et al. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 4816.
111. Brown F. et al. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 2491.
112. Braun-Munziger P., Stachel J. // Nucl. Phys. A. 1996. V. 606. P. 320.
113. Rajagopal K. // Nucl. Phys. A. 2000. V. 680. P. 211.
Список литературы 183
114. Blaizot /., Krzywicki А. // Phys. Rev. D. 1992. V. 46. P. 246.
115. Bjorken J. H Acta Phys. Pol. B. 1992. V. 23. P. 637.
116. Serreau J. // Phys. Rev. D. 2001. V. 63. P. 054003.
117. Rajagopal K., Wilczek F. // Nucl. Phys. B. 1993. V. 404. P. 577.
118. Mohanty В., Mahapatra O., Nayak T. // Phys. Rev. С 2002. V. 66.
P. 044901.
119. Brooks T. et al. // Phys. Rev. D. 2000. V. 61. P. 032003.
120. Aggarwal M. et al. II Phys. Lett. 1998. V. 420. P. 169; Appelshauser H.
et al. H Phys. Lett. B. 1999. V. 459. P. 679.
121. Rajagopal K. // Nucl. Phys. A. 2000. V. 680. P. 211.
122. Bialas A., Peschanski R. // Nucl. Phys. 1986. V. 13273. P. 703.
123. Drees M., Ellis J., Zeppenfeld D. 11 Phys. Lett. B. 1989. V. 223. P. 454.
124. Bauer Т.Н. et al. 11 Rev. Mod. Phys. 1978. V. 50. P. 261.
125. Klein S., Nystrand J. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 2330.
126. Bass S.A. et al. // Nucl. Phys. A. 1999. V. 661. P. 205.
127. Abramovsky V.A., Gribov V.N., Kancheli O.V. // Yad. Fiz. 1973. V. 18.
P. 18.
128. Kharzeev D., Nardi M. // Phys. Lett. B. 2001. V. 507. P. 121.
129. Wang X.N., Gyulassy M. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 3496.
130. Bialas A., Bleszynski M., Czyz W. // Nucl. Phys. B. 1976. V. 111. P. 461.
131. Kharzeev D., Levin E. // Phys. Lett. B. 2001. V. 523. P. 79.
132. Kharzeev D., Lourenco C, Nardi M. et al. // Z. Phys. С 1997. V. 74. P. 307.
133. Teaney D., Laurte /., Shuryak E. V. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 4783.
134. Kolb P.F., Huovinen P., Heinz U. W., Heiselberg H. // Phys. Lett. B. 2001.
V. 500. P. 232.
135. Kovchegov Y. V., Tuchin K.L. // Nucl. Phys. A. 2002. V. 708. P. 413.
136. Krasnitz A., Nara Y., Venugopalan V. // Phys. Lett. B. 2003. V. 554. P. 21.
137. Adler С et al. [STAR Collaboration] // Phys. Rev. С 2002. V. 66. P. 034904.
138. Adler С et al. [STAR Collaboration] // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 4778.
139. Van Buren G. // Nucl. Phys. A. 2003. V. 715. P. 129.
140. Bjorken ID. // FERMILAB-PUB-82-59-THY.
141. Kharzev D., Levin E., McLerran L. // Phys. Lett. B. 2003. V. 561. P. 93.
142. Appel D. H Phys. Rev. D. 1986. V. 33. P. 717.
143. Adams J. et al. // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 91. P. 072304.
144. Adler С et al. // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 88. P. 272302.
145. Soding P. H Phys. Lett. 1966. V. 19. P. 702.
146. Breitweg J. et al. // Eur. Phys. J. С 1998. V. 2. P. 247.
147. ?oss M., Stodolsky L. // Phys. Rev. 1966. V. 149. P. 1172.
148. Groom D.E. et al. // Eur. Phys. J. С 2000. V. 15. P. 1.
149. Klein S.R., Nystrand J. // Phys. Rev. С 1999. V. 60. P. 014903; Baltz A.J.,
Klein S.R., Nystrand J. // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 89. P. 012301.
150. Rischke D.H., Gyulassy M. // Nucl. Phys. A. 1996. V. 608. P. 479.
Научное издание
ЕМЕЛЬЯНОВ Валерий Михайлович
ТИМОШЕНКО Сергей Леонидович
СТРИХАНОВ Михаил Николаевич
ВВЕДЕНИЕ В РЕЛЯТИВИСТСКУЮ ЯДЕРНУЮ ФИЗИКУ
Редактор Е.С. Артоболевская
Оригинал-макет: В.В. Худяков
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 05.08.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 11,5. Уч.-изд. л. 12,65. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru; http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс: (8172) 72-60-72
E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/~pfpv
ISBN 5-9221-0518-3
9 785922 105187