Автор: Ляшко И.И. Емельянов В.Ф. Боярчук В.К.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ математика
ISBN: 5-11-000112-X
Год: 1988
Текст
И. И Ляшко
ев Не.
A.K.Bospuyr
OCHOBb!
G1 (= eer ela Ot Coro
Хе
и современного
me
ОСНОВЫ
классического
и современного
МАТЕМАГИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
И. И.Ляжко
В.Ф Емельянов
А.К.Боярчую
ОСНОВЫ
классического
и современного
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
Допущено
и среднего
Министерством
высшего
специального образования
СССР
в качестве учебного пособия для студентов
математических специальностей университетов
КИЕВ
ГОЛОВНОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИЗДАТЕЛЬСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ
«ВЫЩА ШКОЛА»
1988
ББК 22.161я73
JI99
УДК 517 (07)
Рецензенты:
.
академик Ю. А. Митропольский
(Институт математики
АН
УССР),
доктор физико-математических наук профессор А. И. Прилепко (Московский инженерно-физический институт),
доктор физико-математических наук профессор В. Ф. Бутузов
(Москов
ский госуниверситет)
Редакция
литературы
по математике
Зав. редакцией Ю. E. Kocmpuya
Л99
и физике
Ляшко И. И. и др.
Основы классического и современного математического анализа / И. И. Ляшко, В. Ф. Емельянов, А. К. Боярчук.— К.:
Выща
шк.
Головное
изд-во,
ISBN 5—11—000112—xX.
1988.— 59]
сз
ил.
В пособии изложен математический анализ с основами теории функ»
ций комплексной и действительной переменных, а также некоторые разделы функционального
анализа. Дифференциальное
исчисление
пос»
троено на идеях Ферма — Лагранжа. В интегральном исчислении введен
в рассмотрение интеграл Ньютона — Лейбница и показаны его приложения. Проведено сравнение интегралов Ньютона
— Лейбница, Коши,
Римана, Дарбу и Лебега. По-новому излагаются теории интеграла Лебега,
рядов Фурье обобщенных функций, дифференциальных форм и другие
вопросы. Теоретический материал иллюстрируется многими примерами.
Даны упражнения для. самостоятельного решения.
Для студентов математических специальностей университетов.
Ji
1702050000—76
M211(04)—88 КУ—№ 2—36—1988
ББК 22.161я73
ISBN 5—11—000112—xX
© Издательское
«Выща
объединение
школа»,
1988
Посвящается 150-летию Киевского
государственного университета
им. Г. Г. Шевченко
и 75-летию Саратовского государственного
университета им. Н. Г. Чернышевского
В книге изложены основные вопросы теории
ПРЕДИСЛОВИЕ
функций
действительного
и
комп-
лексного переменных, обобщенных функций и функционального анализа. Наиболее полно рассмотрены те разделы современного анализа, которые дополняют
классический и имеют наибольшие приложения.
Новым методом строится теория рядов
Фурье обобщенных функций, указываются приложения к аким классическим
вопросам, как дифференцирование неопределенного интеграла Лебега и разложение функций в тригонометрический
ряд. Преобразование Фурье обобщенной
функции
рассматривается
с
Шварца и Гельфанда — Шилова.
жены основы теории обобщенных
ций,
предложенной
польскими
позиций
Излофунк-
матема-
тиками Я. Микусиньским и Р. Сикорским. Учтены преимущества каждой из
указанных теорий и проведен их сравнительный
анализ.
Все определения в книге даны с современных позиций. Часто они нестандартные. В этих случаях показаны их
преимущества по сравнению с общепринятыми. Не определены лишь множества
и натуральные числа. Рассмотрены и
новые
ная
мость
понятия
(например,
дифференцируемость
функционального
равностепен-
и интегрируе-
семейства,
ин-
тегрируемость
в смысле
Ньютона —
Лейбница функции многих переменных,
элементарная форма и др.). С их помощью
удалось в ряде случаев сформулировать
и доказать критерии вместо необходимых
или только достаточных условий, известных ранее. Так, например, в классической теореме о дифференцировании интеграла по параметру налагаются одно5
временно условия на подынтегральную функцию и на ее частную
производную по параметру. Указано условие, которое следует налагать только на частную производную, или только на функцию,
обеспечивающее справедливость той же формулы. При этом налагаемое условие является необходимым и достаточным.
Рассмотренное понятие векторного пространства со сходимостью
играет важную роль и упрощает доказательство полноты классических пространств, в том числе [7 (теорема Фишера — Рисса). Все
вводимые новые понятия, по мнению авторов, не усложняют доказательств теорем.
Если доказательство утверждения (например, о замене переменных в кратном интеграле) является трудным для понимания, оно
предварительно проводится для одного или нескольких частных
случаев и лишь после этого — в наиболее общем виде. Аналогично
излагаются
большие
циальные формы).
абстрактные
теории
(например,
дифферен-.
Трудной методической проблемой является изложение теории
действительного числа, без которой невозможно построение даже
начал математического анализа. Потребность в ней появляется лишь
тогда, когда читателю станут известны многие методы анализа и
возникнет необходимость в их обосновании. Не случайно основной
период развития математического анализа в ХУПЫ—Х
[Х вв. проходил без какой-либо формальной теории действительного числа, и
первые такие теории были предложены
Дедекиндом, Кантором и
Вейерштрассом в конце Х[Х в., когда уже завершилось развитие
основных методов классического анализа и наступил период современного математического анализа. Принимая во внимание это обстоятельство, авторы вначале излагают теорию предела последовательности и граней множеств в упорядоченных (и даже в частично
упорядоченных) пространствах, без использования теории действительного числа. Теоремы, относящиеся к порядковым свойствам
предела, к верхнему, нижнему и частичным пределам, к граням
множеств, к связи между пределом и гранями последовательности,
а также классические теоремы Вейерштрасса, Больцано — Вейерштрасса доказаны просто и естественно. После изложения абстрактной
(аксиоматической)
теории
действительного
числа
вводится
по-
нятие изоморфизма, показана его несомненная польза в решении
задач и лишь затем сказано об определенном однозначно, с точностью до изоморфизма, поле действительных чисел.
Объединив идеи, положенные в основу конструктивных теорий
Кантора и Вейерштрасса, авторы изложили теорию действительного
числа
°
в полном
объеме.
В книге показана важность использования операций сложения
и умножения, а также введены понятия суммы и произведения для
‘произвольного числового семейства. Наибольшие приложения имеют
теоремы Фубини — Тонелли и замена индекса суммирования. Это
позволило по-новому определить числовой ряд и бесконечное произведение, увидеть единство в теоремах, ранее казавшихся различными.
6
Например, элементарное правило вынесения 0-малого за знак
суммы оказывается равносильным достаточно тонкой теореме Штольца, относящейся к теории пределов последовательностей, а понятие
последовательности с ограниченным изменением эквивалентно общеизвестному
понятию
абсолютной
сходимости
ряда.
Рассмотре-
ны обращения
признаков Дирихле и Абеля в теории числовых
рядов
Понятие производной, данное в книге, основано на определении,
предложенном
[]. Ферма для многочленов, обобщенном затем
Ж. Л. Лагранжем
мулированное Дж.
сматривается
бу, Лебега.
Введение
на аналитические функции,
Пеано для общего случая.
в смысле
Ньютона
Все указанные
в рассмотрение
— Лейбница,
интегралы
интеграла
а в иной форме сфор-
Интегрирование расКоши,
сравниваются
Римана,
между
Ньютона — Лейбница
Дар-
собой.
позволи-
ло установить связь между классическими теоремами дифференциального и интегрального исчислений, традиционно изучавшихся
отдельно. Здесь подобные теоремы выступают в различных формах
(дифференциальной и интегральной) одного и того же утверждения.
Благодаря этому удалось найти простое доказательство правила
v
Со
Лопиталя раскрытия неопределенностей вида _. Существенное
внимание уделено применениям производной и интеграла к решению
задач
Включение теории интеграла Лебега в курс математического
анализа является важной методической проблемой, поскольку она
в традиционном изложении трудна для понимания студентами младших курсов. Попытки заменить им интеграл Римана не приводили
к успеху.
В книге дана новая, доступная широкому кругу
читателей
схема построения интеграла Лебега, основанная на идее Э. Бореля,
высказанной им еще в 1898 г.
В главе, посвященной рядам и интегралу Фурье, изложена классическая теория рядов Фурье, повторного и сингулярного интегралов Фурье, а также [.*-теория ортогональных рядов, [- и [,?-теории
преобразования Фурье, доказана теорема Планшереля. Вместе с
одномерными рассмотрены и многомерные случаи.
Изложена теория внешних дифференциальных форм и абстрактная теорема Стокса. Подробно рассмотрены теория метрических пространств и ‘три основных принципа линейного функционального
анализа.
Изложение указанных вопросов, как и всего материала, содержащегося в книге, нестандартное.
Производная и интеграл рассматриваются во взаимосвязи. Этим
авторы нарушили сложившуюся традицию раздельного изложения
дифференциального и интегрального исчислений, считая таковое неестественным с точки зрения принятого в математике параллельного
исследования и применения прямых и обратных операций.
Все рассуждения '‹ книге проведены на достаточном уровне строгости, ибо ошибочным,
по
словам
великого
немецкого
математика
7
Д. Гильберта, является убеждение в том, что строгость в даказатель‘стве — враг простоты. Авторы стремились не только к ясной
и
доступной
форме
изложения
материала,
но
к
получению
законченных результатов, удобных для приложений. Приводятся
сведения историко-методологического характера, что воспитывает
у студентов стремление к самостоятельным научно-практическим
исследованиям.
Книга написана в результате творческого содружества ученых
двух университетов — Киевского государственного университета
им. Т. Г. Шевченко и Саратовского государственного университета
им. Н. Г
Чернышевского,
имеющих
подавания математического анализа.
богатый
опыт
и традиции
пре-
8
1. Элементы
и отображений
1.1.
теории множеств
Некоторые
логические
символы.
В математике зачастую вместо словесных выражений употребляют символы,
заимствованные из логики. Символом
\У заменяют выражение «для произ-
ВОЛЬНОГО»,
ИЛИ
«для
Любого»,
или
«каково бы ни было», или «для всех»,
а символом 3 — выражение «сущест-
ГРАНИ
МНОЖЕСТВ
И ПРЕДЕЛ
ПОСЛЕДО:
ВАТЕЛЬНОСТИ
вует» или «найдется». Символы \и 3
называют кванторами. Предложения
«для всех...» и «существует...» часто
сопровождаются некоторыми ограничениями. Обычно эти ограничения записываются в круглых скобках Иногда вместо слов «такой, что» употреб-ляют двоеточие
В формулировке каждой теоремы
содержатся некоторое свойство А (условие)
и свойство
водимое из ДА
влечет
В»
В (заключение),
вы-
Коротко выражение «А
записывается
формулой
Д => В (-> — символ импликации). Обратная теорема, если она справедлива,
запишется в виде В => А. Если данная
теорема и обратная ей — справедливы, то свойства А и В эквивалентны
и тогда записывают А <> В (<> — символ эквивалентности), что выражается в форме: «Для того чтобы А, необходимо и достаточно, чтобы В», или
«А
тогда и только тогда, когда В».
Если некоторый объект обладает
свойством А или свойством В, то. нишут А \/ В, а также «А или В» (\/ —
символ дизъюнкции). Запись А \/ В
означает,
что
справедливо
хотя
бы
одно из свойств 4 или В.
Если оба свойства А и В справедливы
одновременно,
то
это
записы-
вается в виде A /\ В, или «А и `В»
(Л — символ конъюнкциын).
Утверждение может быть -записано
при помощи одних лишь логических
символов. В этом. случае отрицание
свойства,
содержащего
некоторое
bye, 9
количество кванторов \, 3 и свойство Р, должно
получаться заменой каждого квантора У на Зи
3 на У и свойства Р на его отрицание.
Будем пользоваться «смешанным
языком».
В нем логические символы играют роль стеногра-
фических
знаков.
1.2. Обозначения,
используемые в теории
множеств. Теория множеств является тем источником, из которого можно логически вывести основы
математического анализа.
Часто говорят:
«Понятие множества является настолько общим, что ему трудно дать
какое-либо определение». Поэтому ограничиваются указанием сиHOHHMOB: набор, совокупность и т. д. На самом же деле существует
строгая теория множеств (аксиоматическая), в которой понятие
множества определяется ! (разумеется, не посредством сведения к
другим,
более
простым
или
общим
понятиям,
а
описапием
тех
свойств, которыми множества обладают; при этом оказывается, что
не всякие «набор», «совокупность» и т. д. являются множествами).
Аксиоматическая теория множеств интересна, но достаточно сложна.
Поэтому ограничимся указанием терминологии и необходимых в
дальнейшем
обозначений.
Множество обозначают какой-нибудь буквой, например М. За:
пись аб М читается: «а есть элемент множества М» или «а из мно-
жества М». Запись а @ М читается: «а не есть элемент множества
М» или «а не принадлежит множеству М». Запись М == {а, 6, с, ...}
читается: «М есть множество,
Если
Е — свойство,
которым
состоящее из элементов а, 6, с и т. д.»
обладают
или
не обладают
элементы
множества М, то запись М, = {ас М|а обладает свойством EF}
читается: «М, есть множество всех тех элементов множества М,
которые обладают свойством Е». Например, запись М, = (хЕ
ЕВ |х_> 0} обозначает множество всех неотрицательных действительных чисел на числовой прямой В.
Задавая множество посредством некоторого свойства, часто заранее не знают, существуют ли вообще элементы, обладающие этим
свойством. Поэтому целесообразно ввести в рассмотрение мпожество,
не содержащее ни одного элемента. Оно называется пустым множеством и обозначается знаком ©.
Пусть М, и М — множества. Если каждый элемент множества
М, принадлежит множеству М, то множество М, называется подмножеством множества М (рис. 1). В этом случае пишут М, = Ми
читают: «множество М, включается в множество М». Множества,
состоящие из одних и тех же элементов, считаются равными. Нетрудно видеть, что множества М, и М. равны тогда и только тогда, когда
М; < М. Л М. < М;. Это свойство используется при решении
конкретных задач. Отметим, что любое-множество М содержит пустое множество в качестве своего подмножества. Действительно, если
бы было не так, то пустое множество содержало бы хотя один элемент, не принадлежащий множеству М.
1 См.
10
Бурб
аки
Н.
Теория
множеств.— М.,
1965.
Будем
пользоваться
(2) —
обозначениями:
пустое
множество;
ехр М — множество
№ —
ДД
{
(
К
(
—
—
—
—
—
множество
множество
множество
множество
множество
множество
всех подмножеств множества
М;
всех
всех
всех
всех
всех
чисел;
всех
натуральных
чисел;
неотрицательных целых
целых чисел;
рациональных чисел;
действительных чисел;
комплексных чисел.
1.3. Натуральные числа. Метод математической индукции. Важнейшим в математическом анализе является множество К№\ всех натуральных чисел. В нем определена операция сложения и выполне-
ны свойства: 1) если п Е №, тол + 1 Е М. 2) если некоторое множество М содержит 1 и из ПЕ М всегда следует, что п + ТЕ М, то множество М содержит каждое натуральное число. Свойство.
2) назы-
вается «аксиомой индукции». Блез Паскаль (1623—1662) впервые
предложил метод доказательства, основанный на аксиоме индукции, называемый «методом математической индукции». Суть его.
состоит в следующем. Пусть даны утверждения A,, Ag, Az, ... H DO~
казаны две леммы Паскаля.
Лемма 1. Утверждение А! справедливо.
Лемма 2. При любом п Е К из справедливости утверждения A,
credyem cnpasedaueocmb ymeepxcdeHun An+1. Tozda ece утверждения
A,, Ag, ...
справедливы.
Известный американский математик и педагог Пойа (Полиа) образно называл лемму 2 Паскаля «дьяволом». Он говорил, что сам по себе «дьявол» безобиден,
т. е. справедливость леммы 2 еще не влечет за собой справедливость всех утверждений. Однако если отдать «дьяволу» только один чалец, г. е. доказать лемму |
Паскаля, то «дьявол» отхватит всю руку, т. е. заставит быть справедливыми все
утверждения А\, А., ....
Метод математической индукции сводится к аксиоме индукции.
Действительно,
пусть М = {n€N] A, справедливо}. Согласно
лемме |, 1Е М. Согласно лемме 2, u3 (n€ M) > (n+ 1€ M). Ilo
аксиоме
индукции
ПЕ
М
при
всех
пЕ №,
т.
е.
все
утверждения
А,, А., ... справедливы.
1.4. Бином Ньютона. Используя метод математической индукции,
докажем формулу бинома Ньютона:
(a +6)" = У Ста” "5"
где
C,
IIpu
т
= Sn
n= 1
nt
(Al =1+2...
1
что формула
(1)
k, O!=1).
имеем
т
(a + 0)" = У ста
т. е. лемма
Wael, bEC, nEN),
1—тут _
lia
b = oni
+
116
_
Trop =A + 8,
1 Паскаля доказана. Докажем лемму 2. Предположим,
(1) справедлива
для п 6 №,
и покажем,
что
из этого
1
предположения
следует ее справедливость для п -{ 1, т. е.
n+l
(a+ 6)"*! — x Стать".
Действительно,
(2)
=
(a + b)"' = (a-+ b) (a+ 6)” = (a+b) Ух Статут —
= m=0
У Стать" +
+
n-+l
у
Статут
—
бат"
а!
+.
т=1
n
У
= т=0
У Стать" +
(Ст --
cr)
gt ti—mpm
+.
ум.
т=1
Принимая
во внимание
т
Cn + С»
т—1 __
равенства
п|
т
(п-т!
(n +
п!|
+
(m—1)!(n--1—m)!
1) |
_
mi(n-+-1—m)!
0
Crt
=
Citi
С"
И
1.
= 1,
получаем формулу (2). Согласно методу математической индукции,
формула (1) справедлива. С примерами использования метода мате‘‚матической индукции при доказательствах теорем читатель встретится в каждой главе книги.
1.5. Простейшие операции над множествами. Над множествами,
каждое из которых является частью одного и того же множества,
можно выполнять операции «пересечения» (умножения), «объединения» (сложения) и вычитания.
Пусть М, и М, — части множества М.
'
Определение 1. Пересечением
множеств М, и М. называется множество М, ГП М, = (а|аё М, ЛаЕМ..
Пересечение множеств М, и М, состоит из всех тех и только тех
элементов, которые принадлежат множествам М, и М, одновременно (рис. 2). Если таких элементов нет, то говорят, что множества
М; и М, не пересекаются, и пишут М, ГП М, = ©. (рис. 3).
Определение 2. Объединением
множеств М, и М. на-
зывается множество М, |) М, = {a|ace M, \/аЕМ.}.
Объединение множеств
М; и М) состоит из всех тех и только тех
элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств М:,
М. (рис. 4).
Определение 3. Разностью множеств М, и М. называется
множество М, \ М, = {а|а6М, ЛаЕМ,}.
Разность множеств М, и М..состоит из всех тех и только тех
элементов
множества
М.,
которые
не
входят
в
множество
М,
(рис. 5).
Если М, > М», то разность М, \ М, называется также допол-
нением М. в М, и обозначается символом См,М. (или СМь, когда
это не может
‘$2
привести
к недоразумениям).
Пусть
М, Еехр М,
М. Е ехр М.
Тогда
справедливы
CCM, = М,, СМ =ф, СФ=М,
С(М,
ОМ.)
= СМ,
П CM,,
C(M,
f\ M,) = CM,
равенства
U СМ..
Действительно, если хе ССМу, то х @ СМ,, а поэтому
Наоборот, если х Е М/, то х @ СМ,, в силу чего хЕ ССМ;.
ССМ, = М.. `Равенства СМ = © и Сб = М очевидны.
Докажем первое из равенств (2) (второе доказывается
ГИЧНО).
Если ХЕС(М,
(1)
(2)
хЕМ..
Отсюда
анало-
0 М.), тох@ М, Ц М, в силу чегох @ М, /
ЛхЕМ.. Тогда хЕСМ, Л хЕСМ, и, следовательно, х Е СМ, П
П СМ.,. Поэтому справедливо включение С (М, |) М.) = СМ, п
Й СМ.. Еслиу € CM, П СМ,, ту ЕСМ, Л уЕСМ., т.е. у@ М, Л
ЛУуЕмМ, иуё М, | М,, следовательно, иЕС (М, Ц М.), в силу
чего справедливо включение СМ, [|] СМ. = С (М, Ц М.). Из полученных включений следует выполнение первого равенства из (2).
Свойства, записанные равенствами (2), называются принципом
двойственности. Этот принцип без труда переносится на произвольное число подмножеств множества М;
СОМ,
= ПСМ,, СП М, = 0 СМ..
(3)
Из формул (3) видим, что символ дополнения С можно менять
местами со знаками |] и [| ‚ причем знаки эти переходят один в друron.
Существует аналогия (сходство) операций объединения и пересечения подмножеств одного и того же множества с операциями сложения
и
‚Для
умножения
чисел
чисел
lha+b=b+4a;
1’) ab = ba;
Для
1I)M,U
множеств
Mz=M,
U My;
РМ. П М. =М, | М,;
2) (а-- 5) е=а-+ (6-0); 2) (М, 0 М,) 0 М, = М, Ц (М, Ц Му};
13
2’) (ab)
c = a (bc);
3) (a + b)c =ac
+ be;
2°)(M,
1 M2) N М: = М,
3) (М,
Ц М.)
П
П(М,
М. = (М,
П.М,;
п М.)
U
U (M,N Ms);
4) ФИМ,
= Мв
5) МП М, =М..
40+ а=а;
5.1: а=а;
Предлагаем читателю в качестве упражнения доказать справедливость указанных свойств операций над множествами
1.6. Упорядоченная пара и декартово произведение множеств.
Важным для математики является понятие упорядоченной пары (х,
и), составленной из элементов одного и того же множества или из
элементов разных множеств Х и У Основное свойство упорядоченной пары состоит в следующем: две упорядоченные пары (хт, и\) и
(х., Уз) считаются равными тогда’и только тогда, когда х, = х, и
у: = у. Элемент х называется первой компонентой (координатой)
пары (х, и), а‘’элемент у — второй компонентой (координатой) той
же пары. Понятие упорядоченной пары, так же как и понятие множества, можно считать первичным, т е не требующим специального
определения, но его можно свести к понятию множества следующим
образом: (х, и) = {х, {x, y}}
двух элементов! «х» и «{х, у}»
вом ХЕ {х, и} и его
можно
ры
Множество
{x. {x, у}} состоит из
При этом элемент х обладает свойстназвать
первой
компонентой
па-
(х, И).
С помощью понятия упорядоченной пары вводится еще одна операция над множествами — операция прямого или декартова умножения.
Определение.
Декартовым
произведением
жеств Х и У называется множество
X XY = {((х, и)|хЕХ,
мно-
уЕУ}.
Декартово произведение двух пересекающихся различных прямых можно отождествить с плоскостью, проходящей через эти прямые, по правилу «М = (х, у)» (рис. 6) Это свойство лежит в основе
метода координат, предложенного знаменитым математиком. Рене
Декартом для решения геометрических задач, и объясняет название
умножения
Посредством метода индукции определяется упорядоченный набор п - 1 элементов
(т,
Xo
@
eee
=
и
у
y—-
Xn-+1)
—
— — — qi
|
|
Рис, 6
|
xX
X2,
((x;,
произведение
декартово
ХХХ, х
x
1.7.
Xo
ri>
Xn+1)s
Хп),
‚Фу
oes
Хх...
Бинарное
2,
множеств
X Xap = (X, X
&
X,,)
х
отношение.
Хи.
Проекции
и сечения бинарного отношения.
ное бинарное отношение.
Обрат-
|
[Г
Рис.
7
Рис.
Определение.
зывается
Множество Г на-
бинарным
отно-
шением
между
элементами
множеств Хи 7, еслиГсххУ.
°— Над бинарными
отношениями
можно
проводить
ные для множеств
сечения
и
не
x
8
2
только обыч-
операции
объединения),
(пере-
но и спе-
циальные — проектирования
ращения.
sR
|
/Гервой проекцией
и 0б-
бинар-
ного отношения Г < Х Х У назы0
вается множество
Рис. 9
Г. = пр,Г = {хЕХ
| существует такое уЕУ, что (х, и) ЕГ}.
Первая проекция бинарного отношения Г состоит из всех первых
координат упорядоченных пар, принадлежащих множеству Г (рис. 7).
Muomectso I’, (x) = {y€ Y | (x, )ЕГ] называется первым сечением Г посредством х (см. рис. 7). Оно состоит из вторых координат
всех тех точек из Г, у которых первая координата равна х: Первое
сечение является пустым множеством \Хх @ Г..
Второй проекцией бинарного отношения Г называется множество
Г. = пр. Г ={уЕУ | существует такое хЕХ, что (х, у) ЕГ}.
Вторая проекция Г — множество всех вторых координат тех упорядоченных пар, которые принадлежат множеству Г (рис. 8).
Множество Г. (у) = (хЕХ|(х, ) Е Г} называется вторым сечением посредством у (см. рис. 8). Оно состоит из первых координат
всех тех точек из Г, у которых вторая координата равна у. Второе
сечение является пустым множеством У у @ Г..
Каждому бинарному отношению Г можно поставить в соответст“
вие обратное бинарное отношение Г7' по правилу
Г! = {(y, x) |(x, y) €T}
(рис. 9). Иногда операцию обращения отношения
рацией транспонирования отношения Г.
Г называют опе15
'
1.8. Функциональное бинарное отношение. Функция и простей-`
шие понятия, связанные с ней. Бинарное отношение Г называется
функциональным, если оно не содержит различных упорядоченных
пар с одинаковыми первыми координатами.
Сформулируем основное определение отображения из множества
Х в множество У.
Определение 1. Упорядоченная тройка множеств (Х, У, Г) называется отображением
из множества Х в множество У,
если Г есть функциональное бинарное отношение между элементами
множеств Х и У.
_ Множество Х называется областью отправления отображения,
множество У — областью прибытия отображения, а множество Г —
графиком отображения.
Обычно
ской
отображение
буквой,
Г: Х >
У
например
Если
обозначают
{.
При
этом
Хи 7 известны,
какой-нибудь
вместо
строчной
латин-
} = (Х, У, Г) пишут
то, согласно определению,
задание
отображения / равносильно заданию графика Г Это свойство составляет
основу
графического
способа
задания
отображений.
Первая
проекция графика отображения | называется областью (множеством) определения отображения | и обозначается D; или О (7). Вторая
проекция
вом)
ХЕШ,
графика
значений
и
пара
отображения
отображения
(х, у)
| называется
| и обозначается
принадлежит
графику
областью
Е,
или Е
(множест-
(Г).
отображения
Если
|, то эле-
мент у называется значением отображения { на элементе х и обознаyaetca | (x)
|
Если известны область определения Д, и значение} (х) УхЕБ,,
то график Г ($) отображения { находится по правилу
Г (р) = ((х, 1 (х)|хЕБя.
Это свойство составляет основу наиболее распространенного способа
задания отображений: для
зать область отправления,
Hua
f (x)
VW xe Dy.
Рассмотрим
Пример
Полагаем
некоторые
задания отображения | достаточно укаприбытия и правило вычисления значепримеры
1. Пусть множества Х,
D; =
X,
f(x) =a
отображений.
У — фиксированы
УхеЕХ.
и а Е У.
Такое отображение
называется
по-
стоянным. Его график Г (} — это множество Г (7) = 1|(х, а)|хЕХ}
(ис. 10).
Пример 2. Пусть дано множество Х.
Полагаем О; = Х, [(х) = х УхЕХ. Это отображение называется тождественным или единичным и обозначается 1х. Его график Г (ly) = {(x, x)
x€X}
называется диагональю
декартова квадрата Х Хх Х = Х? (рис. 11),
УКЦ
xX)
|
r(f)
a
_
0
Puc.
16
rt)
|
|
Х= В
10
|
Puc,
11
|
Xx
yh
и
ПНА)
T
-л
0
- Л.
А
д
2.
2
I
2
__
Xx
0
1
—_
x
2
Рис.
12
Рис.
13
Зачастую область прибытия определяется названием отображения. Так, говорят о действительных функциях (отображениях), о
комплексных функциях (отображениях) и т. д. Если речь идет о
действительной
функции
=sinx
|-5,
}, то область
прибытия
есть
В.
Область
отправления функции оговаривают особо. Для задания } достаточно
указать область определения 0); и правило вычисления значения
f (x) УхЕО;.
Например, пусть f (x) =sinx
Vee Ru g(x) =
e
Vxe
It
действительного
5 | Мы определили
д
аргумента
[ # g.
(отображения
действительные функции
eo
из К в В) Ги ©, причем
Если О; = Х, то отображение } 1 Х — У называется отображе-
нием множества
Х в множество
У и обозначается
|
Хх-У.
Если О, = Х, Е; = У, то отображение } 1 Х -» У называется отображением множества Х на множество У и обозначается
xy.
Ha
Функция | = (Х, У, Г!) называется сужением функции f =
= (Х, У, Г), если Г. = Г. В этом случае функция | называется
продолжением функции || в множества О, = пр,Г, на множество
О; = пр.Г Если А — множество и А < пр,Г, то существует такое
сужение /, функции {, которое обладает свойством А = П;. Функция {, называется сужением функции | на множество А и обозначается }|4. Существование сужения функции на множество 4 вытекает из формулы
Г; = {(х, у) |х6АЛ (х УГ}.
Рассмотрим
примеры.
Пример 3. Пусть { (х) = зтх,
Toraa
Mpumep
Тогда
f |, (x) = sin x,
4.
[lyctp
—п<х<лиА
x€ A
(puc.
12).
f (x) = x?,
x€ R
и А= |
[]л (х) = x*, хЕВА
(рис.
—с®,
= [0, д].
0] 0
I
lz
||.
13).
47
Пример 5. Пусть
4: ® -» ® — функция
ав = |
Дирихле,
1, если
хе ©,
0, если
хЕЮ \
где
<.
Тогда d la (x) = 1, d IR\Q (x) = 0 — сужения функции
жества всех рациональных и иррациональных чисел.
Дирихле
на
мно-
Определение 2. ГЛиусть Х -+ У. Для любого подмножества А < Х
подмножество множества У, определяемое свойством «существует
такой элемент х Е А, что у = | (х)», называется образом множества
А при отображении | и обозначается символом | (А).
Для любого подмножества А’< У подмножество множества Х, определяемое свойством | (х) Е А’, называется прообразом
A’
при отображении | и обозначается символом Ё' (А’).
Теорема. Если А’> В’, тор (А’\ В) =[' (А) \ Г! (В).
4 ПитьхеГ' (А' \ В’). Тогда ({ (х) Е А’\ В’) > (ФЕА’ Л
ЛЕ) Е В’) > KEP AYA x EF (B)) > HE
(А) \
\ f7' (B’))), omxyda caedyem examuenue f—' (A’ \ В’) = (Р' (А) \
Г (8). _
|
|
Если хеГ (А) МГ (В’), то («ЕР (А') A x EF (B)) >
ЕЛ’ ЛЕЕВ’)
> (ФЕА’ \ B) > (KET (A’ \ B)),
>
в силу чего справедливо включение (Г' (А’) \ РР" (В’))
< В’). Из полученных включений следует доказываемое
Приведем пример таких двух подмножеств А >
Х и отображения Х -^> У, что (А \ В) ==! (А) \
Пусть # (х) = 22, |х| <
= Е" (А’\
равенство. »
В множества
fF (B).
А= |->, т, В = jo. + Тогда
1
9
9
АВ = 10, Ах В = 6, + 1
{ =
—1
1.9. Обратная функция.
(Х, У,
Г)
называется
Композиция отображений. Отображение
обратимым,
если
бинарное
отношение
Г
является функциональным отношением между элементами мно—1
жеств У и Х. В этом елучае отображение (У, Х, Г’) называется
обратным и обозначается {'. Обратимое отображение { множества
Х на множество У называется взаимно однозначным или биективным
i
отображением и обозначается Х <> У.
Важным в математике является понятие композиции отображений. Пусть даны отображения {| 1 Х -> Уиф! Т — Х. Композиция
отображений ф и [ обозначается оф.
Ее область определения
состоит из всех тех значений Ё Е Оу, для которых Фф (ЙЕО,. Значение
композиции вычисляется по формуле
(® $) (=)
Рассмотрим
18
примеры.
УП
f (x) = tg x,
"|
курса
тангенса,
математики,
я
известных
функция
из
строго
возрастает и принимает все действительные значения. Поэтому
обратная функция ^_' существует и определена на множе-
/
—_—
Поскольку (х — 2) Е
—,
=
;(Г)
3x
2
0
стве К. Выразим ее через известные элемен(у).
тарные функции. Пусть уе ® и х=/
n
2”
+1
свойств
|
функция
5 п. Найти обратную ей.
`В силу
школьного
Дана
№ |<
Пример 1.
<<
7
Рис. 14
| ate (х —
2n)=
tg x=f(x)=y,
определению арктангенса х — 2л = arctg y. Takum o6pa3om, ra
то
(и) = 2n-+
Vy€R (puce. 14).
fo
arctgy
Пример 2. Пусть
|: х => sinx, D, = К, ф:2-- ШЬ Бо=
{16 ® |2> 0}.
Тогда определена композиция ({‹ ф) (В = п шЁ
vite Ро = Dy.
Пример 3. Пусть
/ (x) =Inx,
D = {xER[x>0},¢HQ=(—1)x
Хх (1 — 2)? (1 — 3)3, ЕЕК. Область определения композиции
значений
{Е Ю,
при
которых ® Dp D > 0.
== }—со, 0 {0 ]3, - ©
Го ф
Поскольку ф (1 >0
состоит
УЕЕТ,
из
rex
где Т =
>
№“
Упражнения
5.
Доказать,
что Дефо
Пусть
/: Х > У.
Привести
пример
= Го Фо о 1р).
Доказать,
таких
что [о 1х = $ 1уой=|,
отображений
a и ф, чтобы Ро ф 52 фо [+
Пусть Х <>У. Доказать, что Ро Г"= ly u fof
Биекция
любая биекция
метрий.
!
М
-
М
множества
называется
на
себя
симметрией,
представима
если
в виде
Г“
=
—|
ly.
==}.
Доказать,
композиции
двух
что
сим-
1.10. Равномощные множества. Конечные и бесконечные множества. Счетные множества. Пусть требуется установить, одинаково
ли количество стульев и студентов в аудитории. Это можно сделать
двумя способами
Во-первых, сосчитать отдельно количество студентов и количество стульев, а затем сравнить результаты. Этим способом пользуются на практике при составлении расписания занятий.
Однако его нельзя использовать при проверке, одинаково ли количество элементов в множестве № натуральных чисел и в множестве
( рациональных
чисел.
Другой способ заключается в вледующем. Предложим студентам
ванять места в аудитории и посмотрим, имеются ли свободные стулья
и имеются ли студенты, которым не хватило стульев. Если случайно
окажется, что все студенты видят и на каждом стуле сидит только
один студент, а свободных стульев нет, то количество студентов
и стульев одинаково. Рассмотрим эту ситуацию
с математической
точки
зрения.
Пусть
Х — множество
стульев
в аудитории,
у —
множество студентов. Определим отображение {+Х - У, взяв ва
область определения О, множество тех стульев, на которых сидят
студенты и за значение отображения } (х) при х ЕД, того студента,
который сидит на стуле х. Описанной выше ситуации соответствует
49
случай обратимого отображения |. множества Х на множество У.
Таким образом, получили универсальный метод проверки гипотезы
«количество элементов в множествах Х и У одинаково». Г. Кантор
предложил назвать множества в одинаковым количеством элементов
равномощными.
Определение 1. Множества Х и У называются равномощными,
если существует обратимое отображение множества Х
на множество У’.
Теоретически возможны два случая! 1) множество Х, не равномощно множеству Х всякий раз, как только Х, < Х и
Х, 52 Х;
2) существует такое множество Х,, равномощное множеству Х,
что А, < Х и Х, = А В первом случае множество Х называется
конечным, во втором случае — бесконечным Целые неотрицательные
числа можно было бы определить как «мощности» конечных множеств. Но на этом останавливаться не будем
Простейшим,
и в то же время
классическим
примером
бесконеч-
ного множества является множество № — множество всех натуральных чисел.
Теорема 1. Множество № бесконечно.
Ф Пусть 2 № обозначает множество всех четных натуральных чисел.
Полагаем О; = № и [{ (п) =2п
УпЕ\№. Так как отображение }
обратимо, Е; = 2\№\, то множества № и 2№ равномощны. Кроме
того,
оно
М <
Ми
Определение
№ ==№.
№
2. Множество
Х
называется
равномощно множеству №.
Определение 3. Множество
Х не
более
счетным,
чем
если
GHEMHOE,
если оно конечное (в том числе и пустое) или вчетное.
Определение 4. Отображение №
5 Х называется последовательностью
точек
множества Х. Если х, = | (п)
Упс №, то последовательность обозначают символом (Xn), A Xp
называют ее п-членом.
Таким
образом,
множество
X
является
не
более
чем
если существует такая последовательность (х„), что УхЕ
Xn = X.
Теорема2
(Кантора). Пусть
счетным,
X INE Ni
Х = U X,. Ecau каждое множеп=1|
ство Х» не более чем счетное, то множество Х не более чем счетное.
ч
Пусть
при
каждом
Х1 п, Хоп, ... встречаются
вую
пе №
среди
все элементы
последовательность 21,1,
членов
последовательности
множества Х„. Построим
Х1,2,
Х2.1, №,2,
каждое
хи„,
Хз, Хзл, ....
Ее
но-
первый
член имеет сумму индексов, равную 2, далее следуют два члена в
суммой индексов, равной 3, затем идут члены в суммой
индексов,
равной 4 и т. д.
Ясно,
что
имеющее
сумму
индексов,
равную т -- п, встречается в этой последовательности. Поэтому
в последовательности встречается каждый элемент множества Х,
в силу чего это множество не более чем счетное. p>
Упражнения
1. Доказать,
2.
Число
что множества
х
целые
числа
а,
3.
Точка
(х,
4.
Доказать,
называется
а... а»
множество
алгебраических
Доказать,
что
и)
что
ах” -
чисел
плоскости
множество
2 и © счетные.
алгебраическим,
счетное.
®?
если
называется
рациональных
существуют
ах" -
точек
такие
ПЕ
М
х 6 Q
Aye
Q.
составленных
из
...- а = 0. Доказать,
рациональнй,
если
плоскости
счетное.
что
множество
всех
последовательностей,
У,
и множество
У, <
У,
и
что
чисел О и |, не является счетным.
5. Пусть Х — множество, ехр Х — множество всех подмножеств множества Х. Доказать, что множество ехр Х не равномощно множеству Х (теорема
Кантора).
6. Пусть Х и У — множества. Если существуют множество Х! < Х, равномощное
множеству
жества
Х
1.11.
и
У
равномощны.
Отношение
Докажите
это
равномощное
(теорема
эквивалентности.
Пусть
множеству
Х,
то мно-
Кантора — Бернштейна).
Е — множество,
В <
< Е* — бинарное отношение.
Определение. Бинарное отношение В называется о т н ошен ием эквивалентности в множестве
Е, если В рефлексивно,
симметрично и транзитивно;
V(aeE,
1) (а, аЕВ;
b€E,
2)(а, |)EBS(b,
c€E)
aEB;
3) (а, ВЕВЛ (6, ЕВ) (а, с) ЕВ).
Для
обозначения
свойства
(а, 6) 6 В обычно
пользуются
знаком
эквивалентности — и пишут а ~ 6. Тогда характеристические свойства 1) — 3) записывают следующим образом;
1) а--а
(рефлексивность); 2) а ^-^ 5) => (b~w~ а) (имметричность); 3) а —- b A\ b~c) => (а > 6) (транзитивность).
Пусть, например, ас №, БЕ №. Будем говорить, что а ^^ БВ,
если 6 — а имеет фиксированный целый делитель т. Все свойства
1) — 3) выполняются.
‚1.12. Классы эквивалентности.
Фундаментальное и важное свой-
ство отношения эквивалентности в Е состоит в том, что оно позволяет установить разбиение множества E Ha части, называемые классами эквивалентности.
Определение. Лусть Е — множество, в котором определено отношение эквивалентности. Классом
эквивалентности
называется
всякое
подмножество
А <
Е,
состоящее
из элементов,
эквивалентных некоторому заданному элементу а.
Если «СА,
Пусть
ВБЕЕ \
ВСА, то & — В в силу свойства транзитивности.
Аи
В — множество всех элементов из Ё, эквива-
лентных 6. Тогда множества А и В не пересекаются. Действительно,
если
бы существовал
такой
элемент с Е
Ё, что СЕ А
ГП
В, то полу-
чиЛи бы, что ас
6 ^в и
aw~ OD вопреки предположению
Ь@ А. Перебирая таким способом все элементы из Ё, составляем
разбиение ЕЁ на классы эквивалентности.
Класс эквивалентности определяется при помощи любого элемента из этого класса. Например, между рациональными числами
21
установим
‘
~
отношение
если
называется
Понятия,
эквивалентности
р’ = др’.
Соответствующий
рациональным
гл. 12 при доказательстве
пространства.
порядка.
класс
образом:
<
—
эквивалентности
числом.
рассмотренные в п.
$ 2. Отношение
следующим
1.11 и 1.12, будут использованы в
теоремы
Понятие
о
пополнении
метрического
частично
упорядоченного пространства
Пусть дано множество М. Бинарное отношение в < М Х М
называется отношением частичного порядка на множестве М, если выполняются следующие условия: 1) (а, а) Ес
УаеМ
(условие рефлексивности отношения о); 2) из условий ((а, 6) Ес /\ (6, а) Ев) >
>> (а = 6) (условие антисимметричности отношения о); 3) из условий
(a, Б) Ес Л (6, ©) 69) = (а, с) 6 в) (условие транзитивности отношения
90).
частично
упорядоченным
Если о есть бинарное отношение частичного порядка на множестве М, то будем писать а < DO, или 6
а вместо (а, 6) Е в. Тогда
условия 1) — 3) можно записать более привычным образом: 1”) а <
<а
УаЕМ; 2’) из условий а< в Ль<а
=> (а=ь; 3’) из
условий (а ЗВЛЬ< с) => (а=<
(6.
Упорядоченная пара < = (М, в), состоящая из множества М
и отношения с частичного порядка на множестве М, называется
пространством.
Элементы
множества
М
называются. точками частично упорядоченного пространства 4.
Каждое подмножество множества М называется множеством в про-
странстве@
Точки
х, Е М
их. Е М называются
сравнимыми, если
х1 > х. или х. < х,, в противном случае они называются несравнимыми
Частично
упорядоченное
пространство
< =
(М, в) называет-
ся упорядоченным пространством, если в нем нет несравнимых точек В эгом случае бинарное отношение о называется отношением
порядка
Рассмотрим
примеры.
Пример 1. Пусть М = © — множество всех рациональных чисел. Отношение с определим следующим образом: ((г1, Го) Е в) <> (г. — г, > 0). Пара (©, ов)
есть упорядоченное пространство рациональных чисел, а точка этого пространства является рациональным числом.
Пример 2. Пусть
М — множество, ехр
М — мноМ
жество всех подмножеств множества М. Определим отношение0 правилом ((х, у) 69) = (x Cc и. Отношение O ABляется отношением частичного порядка, а пара (ехр М, 0)
есть частично упорядоченное пространство. Точка этого
пространства
представляет собой
подмножество
MHOжества М. Покажем, что не все точки этого пространства
9|
сравнимы между собой. Пусть множество
М содержит
два различных элемента а и 6. Рассмотрим
множества
xs
x = (а}, у= {5}. Они являются
точками
пространства
Pue.
22
15
х
^
y
M
Puc.
16
@, причем несравнимыми между
ется упорядоченным.
Пример 3. Пусть множество
собой.
М
Следовательно,
есть
пространство
горизонтальная
прямая
не явля-
на плоскости.
Определим отношение в правилом: ((х, и) Е 9) <> (точка х расположена не правее точки и) (рис. 15). Отношение в есть отношение порядка, а пара (М, в) явля-
ется упорядоченным пространством (оно
упорядоченной
слева
направо). Точкой
горизонтальной прямой.
Пример 4. Пусть
М — вертикальная
отношение
о
правилом:
((х,
называется горизонтальной прямой,
этого пространства является точка
и) Е в) <> (точка
прямая
х
на
плоскости.
расположена
не
выше
Определим
точки
у)
(рис. 16). Отношение а есть отношение порядка, а пара (М, ©) является упорядоченным пространством, которое называют прямой, упорядоченной снизу вверх.
Точкой этого пространства является точка вертикальной прямой.
Если 92 = (M, 0) — частично упорядоченное пространство, то
можно убедиться в том, что обратное отношение 0! есть то же OTношение частичного
порядка.
Тогда
пара (M, o—') является
но упорядоченным пространством. Оно называется
ным по отношению к ® и обозначается QQ.
$ 3. Верхняя
и нижняя
грани множества
в частично упорядоченном
3.1. Определение
частич-
противополож-
граней
пространстве
множества.
Пусть Ф = (М, ©) — частично
упорядоченное пространство, которое будем кратко называть пространством, а Х — некоторое множество в этом пространстве, т. е.
Х = М. Элемент х Е Х называется наибольшим элементом множества Х, ели УхЕХ
хх. Элемент х Е Х называется наименымим
элементом множества Х, если УхЕХ
х<х.
Если
© — упорядоченное
пространство,
то
любое
непустое
и
конечное множество Х имеет как наибольший, так и наименьший
элементы. У бесконечных множеств наибольший и наименьший элементы существуют сравнительно редко. Поэтому возникает необходимость их обобщения.
Пусть А — непустое множество в частично упорядоченном прост-
ранстве © = (М,
в). Элемент х Е М
называется
мажорантой
мно-
жества Х, если УхЕХ
хх. Если множество Х имеет мажоранту, то оно называется ограниченным сверху. Наименьшая мажоранта
множества Х, если она существует, называется верхней гранью мно-
жества
Х и обозначается
sup X.
Введем понятие миноранты множества Х < М.
Элемент хе М называется
минорантой
множества
Х, если
УхЕХ
хх. Если множество Х имеет миноранту, то оно назы-
вается ограниченным снизу. Наибольшая миноранта множества Х,
если она существует, называется его нижней гранью и обозначается
ШЕХ. Таким образом, минорантой множества Х в частично упорядоченном пространстве < является любая его мажоранта в пространстве 57, а шЁ Х в пространстве 62 совпадает
с 5ир Х в пространcTBe QQ ..
23
Рассмотрим
примеры.
Пример 1. Пусть
© — горизонтальная
x
прямая, упорядоченная слева направо. МноРис.
жество Х точек прямой, расположенных между точкам
А и В (А
< В), где АЕХ,
Ве
ФХ, не имеет наибольшего элемента, но имеет
верхнюю
грань
sup X = В.
Это множество имеет наименьший элемент, равный 4,
и одновременно
обладает ШЁЕХ = А (рис. 17).
Пример 2. Множество
Х из примера | рассмотрим как самостоятельное
упорядоченное пространство. В нем множество Х не имеет верхней грани (поскольку точка В не принадлежит рассматриваемому пространству) и одновременно не имеет наибольшего элемента.
Пример 3. Пусть М — множество и © = (ехр М, <=). Точка х указанного
упорядоченного пространства есть часть множества М. Пусть Х — множество
точек пространства ©. Оно является совокупностью некоторых частей множества
М. Найдем зир Х. Пусть `х — мажоранта множества Х. Тогда УхЕХ
х <x.
Неравенствох < х означает включение х < х. Таким образом, любая мажоранта
множества Х должна содержать все точки из множеств, входящих в Х. Если
множество х не содержит никаких других элементов, кроме указанных, то оно
является наименьшей мажорантой, т.е. х == зир Х. Следовательно,
®oO
—
А
17
{Е
М|
Это множество обозначается символом
зир
Х =
|)
х, принадлежащих
sup X = U «x.
Х»
x EX
ЭЗхЕХ:
“Е х}.
х (читается: «объединение всех множеств
или «объединение
множеств
хЕ Х»).
Таким
образом,
хех
Найдем нижнюю грань множества Х. Пусть х — миноранта множества Х.
Тогда М хЕ Х х < х, что на языке множеств означает включение х < х. Каждая точка миноранты множества Х обязательно содержится в любом множестве
ХЕХ. Если включить в х все указанные точки, то снова получим миноранту,
притом наибольшую и, следовательно, равную ш! Х. Таким образом,
infX ={aEMl|aex
Это множество
ется[] х.
xEX
Таким
иначе
называется
образом,
Ш
Х =
пересечением
Г
xEX
х.
чхЕХ}.
всех
множеств
х Е Хи
обознача-
Существование верхней грани произвольного непустого множества в пространстве (ехр Х, <) есть важное свойство, называемое в дальнейшем полнотой
пространства и используемое в теории множеств.
3.2. Основные свойства граней множества.
Пусть @ = (М,
Теорема
элементом
упорядоченное
пространство и Х < М.
1 (о связи
между
наибольшим
и
<) —
верхней
гранью множества). Густь х — наибольший элемент множества Х.
Тогда это множество имеет верхнюю грань и х = зцр Х.
{ Поскольку х — наибольший элемент, то УхЕХ
хх. Согласно определению, элемент х является мажорантой
множества Х.
Пусть х* — произвольная мажоранта множества Х. Тогда УхЕХ
х <
х*
Поскольку
ХЕХ,
то
х=ох*.
Следовательно,
х — наи-
меньшая мажоранта множества Х и, по определению, х = $ир Х. №
Доказанная теорема показывает, что верхняя грань обобщает
понятие наибольшего элемента. Если множество имеет верхнюю
грань, то оно не обязательно имеет наибольший элемент. Возьмем,
например, вертикальную прямую, упорядоченную снизу. вверх
24
(рис. 18). Зафиксируем на ней точку А и
жество
Х, состоящее из всех точек прямой,
рассмотрим мнорасположенных
ниже точки 4. Это множество не имеет наибольшего эле
мента и вместе с тем зир Х = А.
Объясним смысл теоремы | с точки зрения отображе:
ний. Точку зир А можно
рассматривать
как значение
отображения «зир» на множестве Х. Теорема | показывает, что это отображение продолжает отображение, заданное на множествах с наибольшим
элементом и ставящее
им в соответствие этот элемент.
Теорема 2 (о переходе к верхней грани в неравенствах).
=,
|
х
Рис. 18
Пусть УхЕХ
хэ<Ь. Если множество
Х имеет верхнюю грань, то зир Х <.
$ Из условия теоремы следует, что точка 6 является мажорантой
множества Х
Поскольку зир Х — наименьшая
мажоранта, то
зир Х <.
№
Эта теорема устанавливает, что если оценка сверху выполняется
для любой точки
его грани
множества
Теорема 3 (о переходе
УхЕХ
—
а.
<
зир У,
ха.
Х, то она
к нижней
справедлива
грани
и для
в неравенствах).
верхней
Пусть
Если множество Х имеет нижнюю грань, mo inf X >
{ Доказательство следует из теоремы 2, применив ее к множеству
Х в пространстве
д
Теорема 14 (о монотонности верхней грани). Лусть Х < Ус М.
Если множества Х и У имеют верхние грани, то зир Х < sup Y.
Пусть в = зир У. Тогда УуЕУ
уз. Поскольку Х =
У, то
УхЕХ
х<Ь. По теореме 2 имеем зир Х < 6. p
Объясним происхождение названия последней теоремы. В частично упорядоченном пространстве (ехр М, <) условие Х < У означает, что Х меньше или равно У. Теорема 4 утверждает, что зир Х <
когда
отображения
неубывающим
множества
«зир».
Х
и У
Это означает,
(большему
взяты
из
области
что отображение
аргументу
отвечает
определения
«зир»
большее
является
значение
функции). Отметим, что с целью упрощения терминологии сознательно допускается неточность, состоящая в следующем: нельзя
говорить о монотонности отображения из множества в множество,
но можно говорить о монотонности отображения из частично упорядоченного пространства &, = (М., <т) в частично упорядоченное
пространство $. =
(М»,
5),
понимая
под таким отображением
упо-
рядоченную тройку (%, ®., Г), где Г = М, Х М, (Г — функциональное отношение), и сохраняя понятие области определения и значения отображения (М,, Мь, Г). При этом характер монотонности
меняется, если 62, (или 6.) заменить на 1 (или ©). Это обстоятельство используется в случаях, когда из теорем о неубывающих отображениях
получают теоремы о невозрастающих отображениях.
Когда говорят о монотонности отображения (М,, М», Г), то понимают под этим монотонность соответствующего отображения (%,, <», Г).
25
Теорема 5 (о монотонности нижней грани). Пусть Хе Ус м.
Если множества Х и У имеют нижнюю грань, mo infX > inf Y.
Доказательство следует из теоремы 4, применив ее к множествам
Х и У в пространстве 2”. p>
Упражнения
1. Возьмем листок чистой бумаги. Пусть это будет множество М. Рассмотрим
частично упорядоченное пространство (ехр М, <=). Его точками будут любые
множества, изображенные на листке. Нарисовав какие-нибудь две точки (т. е.
какие-то две фигуры) на листке, получим множество Х. Найдите его верхнюю
и нижнюю
грани.
2. Найги:
а) зир {хЕЮ
|0 <х<
1};
6) зи {х ЕК [0 <х<
в) зир (хЕЮ | 10, 1[010, 28.
$ 4. Топология
пространства
1};
упорядоченного
4.1. Специальные множества в упорядоченном пространстве. Пусть
дано упорядоченное пространство 2 = (М, в). Рассмотрим в нем
некоторые специальные множества.
1. Сегмент [а, 6], а < 6. Так называют множество {х Е М |а=—<
<
х=—<Ь}.
Л (х, В) Ес.
При
этом
запись
а
х =
6 означает,
2. Интервал ]а, 6 = (хе М|а<х<
что
(а, х) Ес
/\
В}. Интервал ja, bl mox-
|
но получить из сегмента [а, 6] выбрасыванием точек а и 6.
3. Полуинтервалы
EMla<x< bd}.
4. Лучи
[a, bl = {xeMlaxx<b},
(x€M|x<a},
(x€M|x<a},
la, bl = (x€
{x€M|x >a},
{хХЕМ|]х>> а}. Первые два луча называются левыми, остальные
два — правыми. Точка а называется началом луча. Если луч содержит свое начало, то он называется замкнутым, в противном случае — открытым.
Все указанные выше множества называются промежутками пространства %.
|
4.2. Понятие окрестности точки упорядоченного пространства.
Открытое и замкнутое множества, топология. Введем в рассмотрение понятие окрестности точки Xp.
Определение
1. /Густь х, — наибольшая точка пространства 3.
Множество
О., называется окрестновтью точки хо, если
существует такая
точка а
М,
что а<» / |4, Xx] — Ox,
(рис. 19).
—
Определение 2. Пусть хо, — наименьшая точка пространства ®.
Множество О,, называется окрестностью
точки
Xo,
если существует
такая точка ВЕ М,
что
х < В Л [х,, Мс
0,
(рис. 20).
Рассмотрим теперь случай, когда ху не является. ни наибольшей,
ни наименьшей точкой пространства ®.
26 .
Определение 3. Множество Ох, называется окрестностью
точки
Xo,
если существуют такие точки а и Виз М,
anmoa<x< bf ja, bl CO,
(рис. 21).
Определение 4. Множество С называв пространстве ®,
ется открытым
если оно либо пусто, либо является окрестностью каждой своей точки. Совокупность
всех открытых множеств называется то -
пологией
(порядковой
пространства
®
топологией).
Определение
5.
Множество Е называет-
bs
4
0,
ah
|
|
Org
Xo)
ь
Ox,
|
и
лов
Рис. 19 Рис. 20
Рис. 21
ся замкнутым,
если его дополнение, т.е. множество @ ==
— М \Ё,
является открытым множеством.
Пусть дано множество Х в пространстве ® и точка х Е М.
Определение 6. Точка ху называется внутренней
точкой множества Х, если оно является ее окрестностью. Точка Xp
называется точкой
прикосновения множества Х, если
в любой ее окрестности О,, есть точка из множества Х.
v
Упражнения
1. Убедиться в том, что: а) х Е О, для любой окрестности (,, точки ж;
6) пересечение любых двух окрестностей точки х› есть снова окрестность этой
точки; в) если 0 > 0, и O, — окрестность точки х, то множество И также
является окрестностью этой точки.
|
2. Пусть т (9) есть топология (порядковая топология)
пространства @.
Доказать, что т (2) = т (®).
3. Доказать, что пересечение двух открытых множеств есть открытое множество.
4. Доказать, что объединение любого множества открытых множеств есть
открытое множество.
5. Привести пример множества открытых множеств, пересечение которых
не является открытым множеством.
|
6. Какие промежутки являются: а) открытыми; 6) замкнутыми?
7. Указать точки прикосновения множества Х, если:
a) X = Ja, b[;
6) X = Ja, 5]; c) X = [a,В] Ц {с}, с@ ta, DO).
8. Указать все внутренние точки множества Х из примера 7.
9.
точки
Доказать,
что
множество
С открыто
тогда
и только
тогда,
когде
все
его
внутренние.
10. Доказать, что множество Ё замкнуто тогда и только тогда, когда оно
содержит все свои точки прикосновения.
|
11. Доказать, что множество всех точек прикосновения данного множества
Х, называемое замыканием множества
Х, является замкнутым множеством.
12. Доказать, что пересечение любого множества замкнутых множеств есть
замкнутое множество.
13. Доказать, что объединение двух замкнутых множеств есть замкнутое
множество.
14. Построить пример множества замкнутых множеств, объединение которых не является замкнутым множеством,
27
$ 5. Топологическое
Полные пространства
свойство
граней множества.
5.1. Топологическое свойство граней множества. Наибольший элемент множества, если он существует, обладает двумя свойствами!
он принадлежит множеству и является его мажорантой. Нечто подобное можно сказать и о верхней грани множества.
Теорема (о топологическом свойстве верхней грани). Точка ху
является верхней гранью непустого множества Х тогда и только
тогда, когда она является одновременно его мажорантой и точкой
прикосновения.
q Пеобходимость. Пусть хо = зир Х. По определению точка хо
является мажорантой
точка прикосновения.
КИ Хо и
множества Х Докажем, что она также его
Возьмем произвольную окрестность О- точ-
в соответствии с определениями
1—3,
п. 4.2, рассмотрим
три
случая.
Г. Точка х, — наибольшая в пространстве ©. В этом случае найдется такая точка а
М, что а< м Л и. х < О; (рис 22). По
определению верхней грани точка а не является мажорантой множества Х. Следовательно, 3х, > а Л жЕХ В силу этого х, Е 1а,
Xol <
Oz ‚те.
х. Е О; .
По определению
прикосновения множества Х.
П Точка х — наименьшая в
определению
мажоранты
Ух
X
точка
пространстве
x <
х, является
$2.
гочкой
Поскольку
Xp, TO STOT случай
по
возможен
лишь тогда, когда Х = {хо} (рис. 23). В этом случае ху Е Х и поэтому является точкой прикосновения множества Х
[Ш. Точка ху не является ни наибольшей, ни наименьшей точкой
пространства $. В этом случае существует такой интервал la, Ol,
что
Е а,
Ы Л 1а, Це
О, (рис. 24).
Поскольку а < ху, то най-
дется такая точка х., что а < х, < хо. Следовательно, х, 6 la, bbc
= О; и по определению х — точка прикосновения множества Х.
Достаточность. Пусть х — мажоранта и точка прикосновения
множества Х. Рассмотрим множество Х всех мажорант множества Х.
Докажем, что х› — наименьший элемент множества Х Допустим,
что это не так.
Тогда
3 х, < Xo ЛЕ
Х,
а правый открытый
луч
с началом в точке х, является окрестностью точки ху, в силу чего
содержит точку х множества Х. Кроме того, по определению мажоранты УхЕХ
х=<
ха. Получили противоречие. Значит, точка хо —
наименьшая среди всех точек множества Х и по определению ху =
=sup X. >
Следствие. Точка хо является нижней гранью непустого множества Х тогда и только тогда, когда она является одновременно
его минорантой и точкой прикосновения.
28
рядоченном
5.2.
пространстве
Полнота
№
— упорядоченного
пространства.
Определение. Упорядоченное про-
странство GQ (а также частично
упорядоченное пространство &) на-
зывается
полным,
если
в нем
каждое непустое ограниченное свер-
.
-
Ех
oho
wo
«Хх
а
iy
Joy
ХХ)
{><
Ч Доказательство вледует из теоремы,
еели
множество
X
pac
емотреть в противоположно упо-
_
*0
Puc. 22 Puc. 23 Puc. 24
Puce. 25
пространстве
каждое
ху множество имеет верхнюю грань.
Теорема 1. В полном упорядоченном
®@
непустое, замкнутое
и ограниченное сверху множество Х имеет
наибольший элемент.
< Поскольку пространство полное, то 3 зир Х = х. По теореме
п. 51 х является точкой прикосновения множества Х, а в силу его
замкнутости
мент
хЕ Х
множества
Х
Согласно
№
определению,
х — наибольший
эле-
Теорема 2. В полном упорядоченном пространстве @ каждое
непустое, ограниченное снизу множество Х имеет нижнюю грань.
Пусть Х — множество всех минорант множества Х (рис. 25).
Оно не пусто и ограничено сверху. В силу полноты пространства
Q 3х, = зир Х Докажем, что х = ШЁХ. Так как У (хЕ Х, хе
ЕХ)
х<х,
то ж=зир Хх
УхЕХ.
Из этого неравенства
следует, что точка Хо является минорантой множества Х. Пусть
х, — миноранта множества Х Тогда хм ЕХ и х
sup X = №.
Следовательно, _Хо является наибольшей точкой множества x и поэТОMy х = ШЁХ. p>
Следствие 1. Если пространство ® полное, то и простpancmeo 9 также полное.
Следетвие 2. В полном упорядоченном пространстве каждое непустое, замкнутое и ограниченное снизу множество имеет.
наименьший
элемент.
Заметим, что наиболее важным из доказанных утверждений является следствие
|, позволяющее в дальнейшем
получать доказательство георем посредством перехода из полного упорядоченного
пространства
{2 в такое
же
пространство
<”.
Упражнения
1. Доказать, что множество всех мажорант данного множества является
замкнутым.
2. Цоказать, что множество всех минорант данного множества замкнуто.
3. Множество О называется множеством Дедекинда (верхним множеством
Дедекинда), если хЕ О всякий раз, как только можно найти такое х, ЕО, что
х! <х. Доказать, что пространство @ является полным тогда и только тогда,
когда каждое ограниченное снизу множество Дедекинда является лучом,
29
4 Булет ли полным упорядоченное пространство, если в нем каждое замкнутое ограниченное сверху непустое множество имеет наибольший элемент?
5. Пусть @ — упорядоченное пространство. Доказать, что его можно пополнить, г. е. к имеющимся гочкам пространства *? можно добавить новые точки, определить неравенство на полученном множестве точек так, что соответствующее пространство {2 окажется полным. При этом смысл неравенства в прост“
ранствах ‘2, ОФ должен быть одним и тем же в случаях, когда х: и хо являются
точками
пространства
«44.
$ 6. Последовательность,
свойства предела
ее предел
и порядковые
6.1. Определение предела последовательности. Напомним (см. определение 4, и 1 10), что погледовательностью (х„) элементов множест-
ва
Л
называется
отображение
№ —
п-й член последовательности
чают (х.)ием, ИЛИ Х, ХФ,
Иногда
Х, где
х„ =}(")
УпПЕ М —
последовательность
обозна-
Определение 1. Гочка х, называется пределом
подледовательности
(х„), если для любой окрестности Ох, этвй
точки можно указать такой номер пуЕ №, что Уп> п, х, ЕСО...
Убедимся,
например,
рациональных
чисел
в гом,
|
0 = lim —-
что
‚2 — со
в упорядоченном
Возьмем
пространстве
произвольную
окрест-
ность нуля О’. Найдется такой интервал |ит, /2|, что ОЕ |, гой /
ЛА №, г < Оо. По определению строго положительного рационального числа найдутся такие натуральные числа ри
49, что "8 = ‚9.
Пусть
м
=9
+1 ил
Xa € Ir, rel © Op
> ль. Тогда х»
п.
Мп
=
1. <
тг < --
|
0 = lim —.
Следовательно,
noo
Иногда используется другая, эквивалентная данной,
ровка определения предела последовательности (х„):
(ху =
Ни х,) <> (М О,
множество
< -^
(пе № | х,„ @ О,,}
формули-
конечное),
о»)
что
читается
конечное
число
так:
вне
членов
любой
окрестности
последовательности
точки
(X,)
х, расположено
6.2. Порядковые свойства предела последовательности. Отметим
некоторые свойства предела последовательности в любом упорядоченном пространстве.
Теорема 1. Пусть хо = Иш х.. Если хо < 6, то существует
tl
OO
makolt nomep noEN, OVA DSN
xX, < OD.
Левый открытый луч в началом в точке 6 есть окрестность точки
№.
№
Теорема
3. Пусть
|
хо = lim x,.
п =
оо
Если
а < хо, то существует
такой номер по Е №, что Vn Sm
Ax Xp.
q Правый открытый луч с началом в точке а является окрестностью
TOUKH Xo. №
‘30
3.
Теорема
= п
у,.
кой номер
Воли
Y=
xX,
х = Иш
Пусть
Х < у, то существует
п Е №,
что Уп > п
и
х, < ох.
Аналогично
п. Е №, что Уп > п.
х,<у,.
по
х<иун
теореме
2
ии < и.
больший из номеров п, и п., получим,
= ы,, т. е Уп>п
х<у,.
Пусть интервал
()
——>
4
Puc, 26
ma-
< Рассмотрим интервал ]х., у. Если он пуст
(рис. 26), то по теореме 1 при 6 = у, найдется такой номер п, Е №, что Уп»
х<
< и
omen
9%
а
рис. 97
найдется
Обозначая
что Уп >
Ng
о
Ч
такой
номер
через п, наи-
Xn SXSW
|ху, уз не пуст и аЕ ]хь, ус (рис. 27). Так как
х, < а, то по теореме | найдется такой номер п, © №, что Уп> п,
х„, < а. Аналогично по теореме 2 найдется такой номер п. Е №, что
Уп> пл, а<у,..
Обозначив
через
п, наибольший из номеров п,, П., получим У п > п. неравенства х, < а < у», т. е. х, <
< Ул. №
|
Следствие
|1 (единственность предела). Если последователь-
ность (х„) имеет предел, то он единственный.
$ Пусть х = Им х„, и = Ит х,„. Согласно теореме
rl —> 0O
3,
неравен-
п- оо
ство Ху < И невозможно. В силу равноправия хь и у», неравенство
/, < хо также невозможно. Следовательно, ху = Ио
Следствие 2 (переход к пределу в неравенсгвах). Пусть
х„ < и, для бесконечного множества значений п. Если ху = Пт хи,
п->
Yo = lim Yn, MO № < у.
со
fl =p Oo
Ч Допустим, что хо > и. По теореме 3 существует такой номер
ТЕ №, что Ул > п, х,„ > ии. Поэтому неравенство х. <. у, может
выполняться лишь при п < п,. Таких значений п конечное число.
Пришли к противоречию. Следовательно, ху < у. PD
6.3. Порядковый признак существования предела.
Теорема (о порядковом признаке предела) В любом упорядоченном пространстве ‘3 справедливы утверждения:
1) пусть
Если
хо, наибольшая
существует
lim x, = Xo;
й— оо
номер
пространства
п Е №,
чтоУп>
Q u lim 2, = Xp.
п.
>, <)
х, > 2, mo
2) пусть хо, — наименьшая точка пространства © и Ит
Если существует
lim x, = Xo;
fi
такой
точка
00
3)
<2z,
такой
номер
т Е №,
чтоУп >
e
если существует такой номер п, Е №, что Vann
u lim y, = lim
N=» Oo
п- со
z, mo jlim
п
оо
x, = lim y,.
п
я-с
х, <
у„ = ж.
и, то
ци <х
<
осо
< Докажем утверждение 1). Возьмем произвольную окрестность
О,, точки Хх. По определению окрестности найдется такая точка
а < хь, что |а, х‹]| < Ох... По теореме 3, п. 6.2, найдется такой номер
п, Е №, что Уп> п, а<.а. Если
п, — наибольший из номеров
31
Ny,
По,
то Уп >
а<х
п,
выполняются
неравенства
их, Е О0,.. Следовательно,
Ит
х„ = х,,
A= Co
а < 2, < х,,
т. е.
Для доказательства утверждения 2) достаточно воспользоваться
утверждением 1) в пространстве 57”. Докажем утверждение 3).
Пусть х = Им у, = Им z,. Согласно утверждениям 1) и
2),
п-осо
noo
для доказательства утверждения 3) достаточно рассмотреть лишь
случай, когда ху не является ни наибольшей, ни наименьшей точкой
пространства <. Пусть О, — окрестность гочки х.. По определению
окрестности
]а, [<
найдется
О... Так
такой
как хх < Би
мер п. Е №, что Уп»
то
найдется
такой
п.
номер
интервал
ж = Им
ja, Й,
что
п>-оо
г. < 6. Поскольку
п. Е №,
аз
2), то найдется
что Уп >
а < жих,
п,
а<
ж<фви
такой но= lim yy
п.о
и,.
Обозначив
® — его
наименьшая
через п, наибольший из номеров п, по, п., получим, что Уп > по
а< у, < х, <, < в, т.е. жж Е 1а, Ба О... Согласно определению,
Иш ох, = Х. >»
п-ъоо
Упражнения
1. Пусть
® — наибольшая точка пространства
точка. Докажите следующие утверждения:
а) ( Ит хи = ©) (а
Эл!
Уп>т
ха)
6) (Пт хт = ©) > (Ма
Эта: Уп>т
<a);
п- со
по
=
в) если хо 52
TO
Л №52,
> (ЭюЕ
М:
@,
(а<х <->
(Tim xn = Xo) <> ('¥ (a, b)
мп>щ
а<х< 5).
2. Пусть © = © | {— со, {сэ}, причем —со <г< +0 ЧгЕЩ. Сформулируйте (с использованием лишь неравенств) определения пределов Ит х„ ==
= —oo,
lim x, = -+oo,
noo
пъ оо
lim x, = % A % == +<°.
по
3. Выполнить упражнение 2, заменяя Q wa R=Ry
{ —oo, оз}.
4. Существует ли такое упорядоченное пространство
& = (М, <),
бам
что
1 (>?
$ 7. Связь между гранями множеств и пределом
последовательности. Теорема Вейерштрасса
7.1.
Связь
между
гранями множеств и пределом
ности. Пусть дана последовательность
последователь-
(х„) точек упорядоченного
про-
странства $2. Множество {х„ | ПЕ №} называется множеством членов
последовательности. Его грани, если они существуют, называются
верхней
32
и
нижней
гранями
последовательности
и
обозначаются
зир х„, ШЁх,. Исследуем связь между гранями и пределом последовательности.
Теорема (о связи между верхней гранью последовательности и
ее
пределом).
имеет
верхнюю
Пусть
х, = Иш х,.
грань
и Хх, <
тогда и только тогда, когда
Пусть
такой
существует
номер
такое
п, Е №,
Тогда
пос
последовательность
зир х„, причем
МУ пПЕ№
п,Е №,
что Уп > и,
наибольшую точку из множества
XX
равенство выполняется
Xp.
что хи, >
Хх, <
{х4, ..., Хи,
(хи)
ох».
Х,},
Х.
Тогда
Обозначая
найдется
через
х
ПОЛУЧИМ, ЧТО Хх —
наибольший член последовательности (х„), в силу чего справедливы
неравенства х = SUP X, >> Xn >> Xo. Пусть теперь УЕ № x, < Xp.
Тогда х, является мажорантой
множества членов последовательности. Поскольку хо = Пт х,, ТО Хх. — точка прикосновения этого
fi—> 00
множества. Согласно топологическому свойству верхней грани,
имеем ху = $ир х,.
Если ху = зир х,„, то неравенство х„ < ху выполняется
УлЕ\№.
№
(х„)
нижнюю
грань
Следствие | (связь между нижней гранью последовательности и ее пределом). Пусть х, = Ит х„. Гогда последовательность
имеет
и
х, >
я->оо
ШЁх,,
причем
равенство
выпол-
няется тогда и только тогда, когда У ПЕ № ж%5х..
< Доказательство следует из теоремы, применяя ее к последовательности (х„) в пространстве $”. №
Следствие 2 (ограниченность сходящейся последовательности). Если последовательность (х„) имеет предел, то она ограчичеHa, т. е. существуют такие точки а и 6, что УпЕ № а<х =.
< Согласно теореме и следствию 1, последовательность (х„) имеет
мажоранту и миноранту.
$
7.2. Монотонные
последовательности.
Определение. //оследовательность (х„) называется неубывающей (возрастающей), если УпЕ№М
х < жи
(< жи).
Последовательность
(х„)
называется
невозрастающей
(убывающей),
если VnEN
xXn41 SX
(Xn4i < x,).
Все типы последовательностей, удовлетворяющие этому определению, называются монотонными.
Возрастающие и убывающие
последовательности называются строго монотонными.
Для случая неубывающей последовательности теорема из п. 7.1
может быть усилена.
Теорема (о верхней грани и пределе неубывающей последовательности). []ycmb последовательность (х„) неубывающая и 3 ху =
= sup x,. Toeda 4 lim x, = Xp.
N=
CO
<q Рассмотрим окрестность О», точки х,. Точка хо может оказаться
наименьшей в упорядоченном пространстве < (рис. 28). В этом случае из неравенства х„ < х., выполняющегося VW п Е №, следует, что
УпЕМ№
х, = хо, всилу чего Пт х, = ж. В остальных случаях
(рис
2
337
29 и
30) из определения
п-со
окрестности
следует существование
33
>
2 ис.
28
oo
*a°X0
Рис.
= зир х„, то существует такой
29
0
(х„)
(связь между нижней
последовательности).
возрастающая
и имеет
Теорема
Если
нижнюю
q Доказательство следует
на пространство 5”. }
7.3.
ность
№,
что:
а <
жи.
неубывающая,
то
последователь-
A< Xn
KR XKXp.
Поэтому
Уп > 1
x, € Ox,.
Следовательно, Ишх, = хо №
Следствие
растающей
ПЕ
Vn>ng
Рис. 30
_
номер
Поскольку
<
—
>
__
такой точки а < Хх. что Ia,
Х| < Оз. Так кака < ху =
°
грань,
из теоремы
Вейерштрасса
о
1-00
гранью и пределом невоз-
последовательность
то 34 Ит
“p>
с заменой
монотонной
(х„)
не-
x, = inf x,.
пространства
62
последовательности.
Из теоремы п. 7.2 и следствия из нее получим важную в дальнейшем
теорему.
Теорема (Вейерштрасса). В полном ипорядоченном пространстве
2 каждая монотонная ограниченная последовательность (х„) имеет
предел.
4 В силу полноты пространства 5} и ограниченности последовательности (х„) она имеет нижнюк и верхнюю грани
Поскольку последовательность (х„) еще и монотонная, то по геореме и. 7.2 она
имеет
предел.
д
Упражнения
1. Пусть х„ = тах {х1,... х.}
ПМ.
Доказать, что:
а) последовательность (х„) имеет верхнюю грань тогда и только тогда. когда
ее
имеет последовательность (х„), причем SUP x, = SUP X,,.
6) последовательность (х„) имеет верхнюю грань тогда и только
последовательность
(х„) имеет
предел,
причем
когда,
когда
зир х„ == Ит х.,;
> ос
2. Пусть х, — наименыпий элемент множества {ж, ..., Хи}. Сформулировать и доказать для последовательности (х„) утверждения, аналогичные угверждениям а) и 6) из упражнения I,
а) Пространство ‘2 назовем счетно-полным, если в нем каждая монотонная
и ограниченная последовательность имеет предел. Существуют ли счетно-полное
H неполное упорядоченные пространства?
6) Пространство @ называется ‹епарабельным ‚если в нем существует такое
счетное множество А, что любая точка пространства является точкой прикосновения множества А (такое множество называется плотным). Доказать, что счетно-полное сепарабельное пространство является полным.
в) Пространство 42 назовем счетно-полным в узком смысле, если в нем каждая неубывающая и ограниченная сверху последовательность имеет верхнкю
грань, Существует ли пространство & счетно-полное в узком смысле и неполное?
34
$ 8. Подпоследовательность.
Частичный
Верхний
8.1.
предел
и нижний
последовательности.
пределы
Понятие подпоследовательности.
упорядочено
по
npaButy:
(VnE€N
n<
Пусть
№ =№
0
{+00}
+ oo) A (V (n, m) EN?)
"п—<
т) > (m—ne€Z,).
B
этом
пространстве имеет смысл запись п, —> - ©.
Определение.
/Лиусть
(х„) — некоторая — последовательность,
(",) — возрастающая последовательность натуральных чисел. После
довательность (у») = (х„,) называется п од последовательностью
последовательности (x,).
Например,
|
последовательность
(=)
l
тельностью последовательности (=).
является
подпоследова-
В этом случае У Е
№
пм, = 22.
Общий способ построения подпоследовательности
заключается
в следующем. Выпишем члены последовательности (х„) в строку
Х1, Хо, Хз, .... ВЫчеркнем из нее произвольным образом некоторые
члены и занумеруем оставшиеся
члены натуральными
числами.
Получим последовательность, являющуюся подпоследовательностью
последовательности (х,„). Например, если из последовательности 0,
1, 0, 1, 0, 1,.. вычеркнуть все члены с нечетными номерами и
оставшиеся члены заново пронумеровать, то получим последовательность 1, |1, |,..., которая является подпоследовательностью исходной последовательности. Последовательность
0, 0, 0, ... также
является ее подпоследовательностью.
Вообще, любая
последовательность, составленная из единиц и нулей, является подпоследовательностью последовательности
О, 1, 0, 1, ...
8.2. Предел подпоследовательности сходящейся последовательности. Понятие частичного предела.
Теорема. Пусть последовательность (х„) сходитсяи ху = Ит
Тогда
любая
lim Xp , = Xo.
ее
подпоследовательность
(Xn )
также
сходится
k-+ x
ч Пусть (у) — подпоследовательность последовательности
определению найдется такая последовательность
(п,), что
ye
=
%, A
Поскольку
lima, = + ®
к
>
Итх, = х,
то
Пусть
Зи
О„, — окрестность
Е №: Уп>
п, — + ©, TO JRE NI VRS hy .п, > п.
у
= Xn, 6 О, т. е Ит и = %. №
Е
Определение. Гочка а
лом последовательности
вательность (х„,), предел
Из доказанной теоремы
чаем следствие.
2°
и
пос
хЕО0,..
Поэтому
х„.
ц
(х„). По
УЕЕМ№М
точки
Жо.
Так
как
VRS ky
осо
называется частичным
преде(х„), если из нее можно извлечь подпоследокоторой равен a.
и определения частичного предела полу35
Следвтвие.
Пусть последовательность
(х„) имеет
и точка а — ее частичный предел. Тогда Ит х„ = а.
rt
предел
OU
8.3. Верхний и нижний пределы.
Пусть последовательность
(х„) точек полного упорядоченного пространства &2 ограничена, т. е.
множество
{х„;
п Е №}
имеет одновременно
мажоранту
Тогда У пе № множество ({х„, хи, ...} обладает
вследствие полноты пространства ‘2 существует
и миноранту.
мажорантой и
х, = $ир х, =
Ran
== $Ир {Хи, Ха, ...}. В силу свойства монотонности верхней грани
последовательность (х„) является монотонной. Кроме того, она ограничена, поэтому, согласно теореме Вейерштрасса, имеет иредел, который
называется
значается
Им
хи!
п-оо
верхним
пределом
__
def
lim x,
tt
Аналогично
ности
=
00
определяется
последовательности
(х„) и обо-
lim sup xp.
Пос
(1)
kR>n
нижний
предел
Ит
х„ последователь-
по
(х„):
de}
lim x,
=
lim inf x,.
Noo
hoo
(2)
kn
Заметим, что при определении нижнего предела последовательности (х„) можно воспользоваться переходом из пространства &
в пространство 5”
Докажем важное для дальнейших рассуждений утверждение.
Теорема. Для любой ограниченной последовательности (х„) в пол-
ном
упорядоченном
пространстве
lim
=
Равенство в (3) возможно
При
х. <
®
справедливо
lim x,
сх.
п-оо
тогда
и только
noo
П-оо
Ovuespnano,
этом
sto
неравенстве
тогда.
Таким
когда
образом,
3 Ит
x,.
п-ъс
х
(3 lim x,) © (3 lim x, =
q
(3)
по
lim x, = lim x, = lim x,
этом
неравенство
soo
VnEN
Ш
х, <
an
приводит
lim x,,)
зир х,
Предельный
2n
к
(4)
неравенству
(3)
Пусть
переход
Им
в
х„ =
> сх
= limx,.
noo
Tak
рядковому
справедливы
kak Vn€Q\
признаку
Шх,
< х, < з4р хь, то, согласно
k>n
k2n
существования
предела
равенства
lim
noo
X,
=
lim
песо
x,
=
lim
п-со
Xn
(см.
теорему
ц.
по6.3),
Пусть 3 Им
х„ = аиа
не является
наибольшей или наименьшей
п-оо
точкой пространства 42. Тогда для любой окрестности Ох точки @
найдется такой интервал ]а, М, что
a € Ja, bl Cc Oy.
Интервал
]а, Ы также является окрестностью точки ©, поэтому, согласно определению предела последовательности, найдется такой номер п.,
что Уп> п а<х. <
Так как Уп > п, выполняются неравенства
а <
предела,
int
х <
>п
а
sup Хх, <
=n
имеем
liminfx,=a
и
n-voo k>n
5, то, согласно
lim supx,=a.
n-woo R>n
определению
>»
Упражнения
1. Доказать, что последовательность 0, 1, 0, 1,.. не имеет предела ни в
каком пространстве %.
2. Доказать, что если монотонная последовательность имеет частичный предел, то у нее есть предел.
3. Найти пределы следующих числовых последовательностей, считая, что
они существуют и известны теоремы о пределе суммы, произведения и частного
последовательностей:
a) (Va) (a>0; 6) (Vn); (2);
-
п
--
п
п
о ( и )
У п]
4. Бесконечная десятичная дробь аз, а1@2 ... а» 0... называется десятичнорациональной. Доказать, что все различные десятично-рациональные дроби
можно записать в виде последовательности. Найти все ее частичные пределы в
пространстве © = (®, <).
5. Доказать, что если точка а является частичным пределом последовательности (х„) H Og — окрестность точки а, то х„ Е @а для бесконечного числа значений
NEN.
Доказать, что последовательность (п) не имеет ни одного частичного препространстве 2 = (Ю, <).
7. Доказать, что множество всех частичных пределов одной и той же последовательности (х„} замкнуто в пространстве ®@ = (®, <).
дела
$
6.
9.
в
Существование
Теоремы
9.1.
теорема
монотонной
подпоследовательности.
Больцано — Вейерштрасса
Теорема
о
объясняет
монотонной
значение
и Кантора
подпоследовательности.
монотонных
Следующая
последовательностей
в об-
щей теории и служит источником классической теоремы Больцано —
Вейерштрасса о существовании частичного предела
Теорема. Из любой последовательности (х„) можно выбрать монотонную подпоследовательность
® Пусть дана последовательность (х„). Если У ПЕ № среди членов
последовательности Х„, Хи-1, Хл-и, ... есть наибольший Xm,» Mp = Nn,
то последовательность (хм„) является искомой. Действительно, по-
следовательность (х„„) невозрастающая и является подпоследовательностью последовательности (х„), поскольку т„ — со при п оо.
37
Пусть существует такой номер п, Е №, что среди членов
Хто,
Хто
1,
‚9
(1)
нет наибольшего. В этом случае определим требуемую последовательность следующим образом. В качестве х„, возьмем член после-
довательности (1), удовлетворяющий неравенству х„, >> х„,
щий наименьший номер. Пусть хи,, Хи,» ...» Xn, построены
и имеютак, что
Xny Хи, <... 3 м Л тп
<... Зпь.
В
качестве
ть
возьмем член последовательности хи,, Хи,+1, ..., больший, чем Xngs
и имеющий среди таких членов наименьший номер. Возрастающая
последовательность (х„,) построена по методу математической индукции. }№
9.2.
Теоремы
Больцано —
Вейерштрасса
и
Кантора.
Теорема 1 (Больцано — Вейерштрасса). В полном упорядоченном пространстве ® из любой ограниченной последовательности
(x,) можно
выбрать
сходящиуюся
подпоследовательность
(Xp »)
4 Доказательство следует из теоремы п. 9.Т и теоремы Вейерштрасса. о.монотонной ограниченной последовательности
p>
`Из теоремы Больцано — Вейерштрасса и теоремы об ограниченности
сходящейся
последовательности
(см.
п. 7.1, следствие
2) по-
Лучаем, что частичный предел последовательности в полном упорядоченном пространстве существует тогда и только тогда, когда она
содержит ограниченную подпоследовательность. Другое
важное
следствие содержится в формулировке теоремы Кантора.
Теорема 2 (Кантора). В полном упорядоченчом пространстве ®
каждая убывающая последовательность ограниченных замкнутых
и непустых множеств Е > ЕЁ, > ... имеет непустое пересечение.
Ч Выберем в каждом множестве РЁ, (ЕЕ №) по точке х, и рассмотрим
последовательность (х,). Так как х. ЕЁ, У КЕМ и множество F,
ограничено, то, согласно теореме Больцано — Вейерштрасса, существует сходящаяся подпоследовательность (х»ь,). Пусть
x=
= lim Хь,. Поскольку У тЕ № можно указать такой номер /, Е №,
{со
что V j > р выполняется неравенство №, > т и, кроме того, хь, €
С Ри, то х, является точкой прикосновения множества Ё„. Так как
множество
А» замкнутое, то хо Е Ен их Е
ности
№.
те
№
П
т=1
Ёы в силу произволь-
$
1. Аксиоматическая
действительного
теория
чиспа
1.1. Аксиомы упорядоченного поля.
До сих пор, изучая основные понятия
математического анализа, мы пользовались лишь неравенствами и не рассматривали важные в математике операции
сложения
и умножения.
Дадим
Если для любых
аЕ М,
определение упорядоченного поля и
рассмотрим примеры.
Пусть М — множество, содержащее не менее двух элементов, O — OTношение порядка на М и (а=<
6) >
ДЕЙСТВИ.:
ТЕЛЬНЫЕ
КОМП:
ЛЕКСНЫЕ
ЧИСЛА
<> (а, В) бд).
6 € М определены сумма а
- фи
про-
Зав
перестано-
изведение аб так,
что:
1) УсЕМ
(а)
=> аес<ь-о;
За+ (b +c) = (a + 6) +
(закон сочетательности
или
ассоциативности);
вочности
= В +а
(закон
или коммутативности);
4) су-
ществует такой элемент 0 С М, называемый нейтральным элементом операции сложения или нулем, чтоа - 0 =
=а
\УаемМ; 5) УаЕМ существует
такой элемент — аб М, называемый
противоположным элементу а, чтоа +
-- (—а) = 0; 6) УбсЕМ
(axdf
№ с > 0)> (а <); 7) (a+ bbc=
= ас -+- 6с
ти
или
= а (6с)
(закон распределительнос-
дистрибутивности);
(закон
ассоциативности);
8) (а6) с =
сочетательности
9)
перестановочности
аб =
или
Ба
или
(закон
коммутатив-
ности); 10) существует такой элемент
1 Е М, называемый нейтральным эле-
ментом операции
ницей,
что
11] УаЕМ
кой
умножения
УаеМ
Ла=20
элемент а'
6 М,
а
или еди-
l=a;
существует
называемый
та-
об-
ратным элементу а, что ага"
= 1,
то четверка; состоящая из множества
М, отношения порядка о, операций
сложения и умножения, называется
упорядоченным полем и обозначается
какой-нибудь одной буквой, например
Р. Элементы множества М называются
точками упорядоченного поля Р.
39
Указанные свойства 1) — 11)
являются основными и вместе в
аксиомами отношения порядка
называются аксиомами упорядоченного поля Р. Из них можно
логически вывести все свойства
чисел, известные из школьного
курса математики. Это делается
в курсе
чимся
ных
алгебры,
примерами
полей.
а
мы ограни-
упорядочен-
Так, рациональные числа, известные из школьного курса математики,
вместе с операциями
Рис. 32
сложения, умножения и отношением порядка образуют упорядоченное поле.
Действительные числа вместе с операциями сложения, умножения и отношением порядка образуют другое упорядоченное поле.
Еще один пример упорядоченного поля получим следующим
образом.
Зафиксируем
какую-нибудь
прямую
и
выберем
на
ней
точку О (гис. 31). Для определения суммы а -{+ & сделаем параллельный перенос точек прямой, при котором точка О переходит в точку а.
Образ точки 6 при этом переносе назовем суммой а -- 6b. Возьмем
произвольную точку прямой, отличную от точки О, и обозначим ее
через 1. Полагаем 06 = 0 для любой точки В прямой. Для определения произведения аб точек при а == 0 повернем прямую вокруг
JU
v
v
®
точки О на угол & = -5- (или на любой другой угол, отличный от
кл, КЕ 7). Обозначим через ас образ точки а при этом повороте.
Проведем через точку 6 прямую, параллельную прямой, проходящей
через точки
| и а», и обозначим
через с» точку
пересечения
ее с по-
вернутой прямой. Прообраз точки са при указанном повороте назовем произведением аб (рис. 32). Будем считать а < 6, если после
параллельного переноса точек, при котором точка а переходит в
точку О, образ точки 6 лежит на луче, проходящем через точку |
с началом в точке О, т. е. за положительное примем направление от
Ок 1. Можно проверить, что все аксиомы 1)—11) выполнены. Следовательно, получили упорядоченное поле.
Много других примеров упорядоченных полей можно построить
следующим способом. Пусть Р’— упорядоченное поле и М” — мно-
жество всех его точек. Пусть даны множество М и биекция М +. М’.
Определим на множестве М отношение порядка, операции сложения
и умножения по правилам:
1)
< 9>
2) с =а-+
($(а < 5(6);
0 <>
(6) =ф (а)
9 (6);
3) (с = а6) <> (ф (с) =фФ (а) $(.5)).
Ясно,
40
что все аксиомы
1) —11)
выполнены
и получено
новое
поле Р. Каждый факт, справедливый для точек поля Р’и связанный только с неравенствами, операциями сложения и умножения,
может быть доказан с помощью отображения ф для точек поля Р.
Обратное утверждение также справедливо в силу обратимости отображения Ф. В этом смысле упорядоченные поля Р” и Р устроены одинаково, или, как говорят, изоморфны и их не стоит различать.
1.2.
Изоморфизм.
gp(atd) =@
Определение 1. Если У @ЕМ,6ЕМ)
+. @ (b), то отображение ф называется аддитивным.
@ (ab) = @ (a) @ (6), то отображение P
V (ae M,b6€M)
вается мультипликативнымл.
Определение
аддитивное,
Неубывающее,
2.
(a) +
Если
назы-
мультипликативное
и обратимое отображение ф точек упорядоченного поля Р’ на множество точек упорядоченного поля Р называют изоморфизмом
Р”’иР. Упорядоченные поля Р” и.
полей
упорядоченных
если существует их изоморфизм.
Р называют изоморфными,
Не будем различать упорядоченные изоморфные поля.Это объясняется тем, что нас интересуют не специальные свойства точек упорядоченного поля, а только те факты, которые следуют из свойстз
отношения
порядка,
операций сложения
и умножения.
Понятие изоморфизма используется при решении конкретных
задач, в том числе и прикладных. Пусть требуется проверить аксиомы 1) — 11) для операций сложения и умножения точек прямой.
Для этого пришлось бы решить ряд нетривиальных геометрических
задач. Если мы заметим изоморфизм с упорядоченным полем действительных чисел, то сведем решение этих геометрических задач
к известным свойствам чисел. Наглядность точек прямой позволит в
дальнейшем использовать геометрическую интуицию в абстрактных
и формальных фактах, связанных с действительными числами.
1.3. Рациональные и действительные числа. Возьмем произвольное упорядоченное поле Р. В нем существует специальная точка | —
нейтральный элемент операции умножения, и имеется операция
сложения точек. Поэтому в поле есть натуральные точки | + I,
1+1
+1,....
Обозначим
их
знаками
8, 3, ....
Множество
всех
натуральных точек обозначим через № (или, в случае надобности,
через № (Р)). В поле Р есть специальная точка 0 — нейтральный
элемент операции сложения и у каждой точки имеется противоположная ей точка. Это позволяет определить множество Й всех целых
точек поля Р (которое иногда будем обозначать через { (Р)):
й = {х|х=0, или хЕ№, или — хЕ№}.
В поле Р имеется операция умножения и у каждой ненулевой
точки есть своя обратная точка. Это позволяет определить множество @ всех рациональных точек поля Р, которое иногда будем обозна-
чать через © (Р):
© = {х| существуют такие рЕХ,
Если
полем.
в поле
Все
Р нет других
упорядоченные
точек,
9ЕХ, что 9520
то оно
рациональные
называется
и x = р4\}.
рациональным
поля’ изоморфны' между
47
собой. Этот важный для понимания рационального числа факт будет
доказан в п. 1.5. Он позволяет однозначно, с точностью до изоморфизма, определить упорядоченное поле рациональных чисел как
произвольное упорядоченное рациональное поле. Каждое конкретное упорядоченное рациональное поле называется представлением
упорядоченного поля рациональных чисел. Любая его точка ‚называется представлением рационального числа.
Пусть дано произвольное упорядоченное поле Р (рациональное
или нет). Выше мы видели, что среди его точек есть все рациональные
точки, т. е. представители всех рациональных чисел. Обратим теперь
внимание на то, что сумма и произведение рациональных точек
поля Р, вычисленные по правилам, установленным в поле Р, снова
являются
рациональными
Р-Р
q
91
точками
поля
Р.
Действительно,
P
9
Pi
91
__
PQ; + 9P1
991
РР:
991
Это дает возможность ввести на множестве рациональных точек
лоля операции сложения, умножения и получить новое поле, которое называется подполем по отношению к полю Р.
Итак, оказывается, что каждое упорядоченное поле Р имеет
упорядоченное рациональное подполе. В этом смысле говорят, что
упорядоченное поле рациональных точек есть наименьшее упорядоченное поле. Упорядоченное рациональное подполе прямой дает
геометрическое представление упорядоченного поля рациональных
чисел, а каждая рациональная точка этой прямой дает геометрическое представление рационального числа.
|
Пусть снова Р есть произвольное упорядоченное поле, М —
множество всех его точек, о — отношение порядка на М. Если
упорядоченное пространство (М, в) является полным, то упорядоченное поле Р называется полным, точнее — порядково полным,
или полным в смысле порядка. Оказывается, что все полные упорядоченные
поля также изоморфны между
доказано в
доченном
поле
определенном
Каждое
собой. Это утверждение будет
п. 1.5. Оно дает возможность говорить о
действительных
однозначно,
конкретное
чисел,
обозначаемых
полном упорясимволом
с точностью до изоморфизма.
полное
упорядоченное
поле
Р
[R,
называется
представлением упорядоченного поля действительных чисел, а каждая точка поля Р называется представлением действительного числа. Бесконечная десятичная дробь, не имеющая цифры 9 в периоде,
дает представление действительного числа.
1.4. Неограниченность множества натуральных чисел в пространстве действительных чисел. Плотность множества рациональных
чисел. Уже Архимед (ок. 287—212 до н. э.) обратил внимание на
важность следующего свойства длин отрезков: каковы бы ни были
два отрезка, один из них можно повторить слагаемым настолько
много раз, чтобы получился отрезок, длина которого больше длины
другого отрезка. В эквивалентной форме это свойство устанавливает
приводимая ниже теорема. Здесь и далее мы рассматриваем множества в упорядоченном пространстве действительных чисел.
42
Теорема
1. Множество
№
не
ограничено
сверху.
<q Применим метод доказательства от противного. Пусть множество
№ ограничено сверху. Тогда, в силу полноты упорядоченного пространства действительных чисел, 3 зир № = ®, ФЕ [Н. Так как ® —
—
| <
что ® —
о, то по определению верхней грани существует такое п Е NN,
| < п, ®<
(n+ IDEN. >
Следствие
п -+ 1. Это неравенство противоречит свойству
|
|1. ПЛоследовательность (=) в пространстве дей-
ствительных чисел имеет предел, равный нулю.
$ Пусть О, — окрестность нуля. По определению
|
окрестности
су-
ществует такой интервал ]а, Ы, что 0 Е Ja, bf Cc Oo. Из доказанной
теоремы
Если
следует
п >
существование
по, ТОП
>-.
такого
числа
Поскольку
того что а < 0, следует = Е а, Ы<
нию
ни
предела
Пт
п
Следствие
оо
—
= 0.
2.
п, Е №,
6 > 0,
О,
Уп
то
что п, > --.
--
п.
<b,
a
u3
По определе-
№
Множество
{ не обладает ни
минорантой
мажорантой.
Теорема ? (о плотности множества рациональных чисел). Лусть
Q, = {reQir< x}, Q, = (re Q\r> x}
УхЕВ.
(1)
Тогда
х = sup Q, = inf Q,
VxeR.
(2)
4 Достаточно доказать первое равенство, поскольку второе будет
следовать из него, записанного для —х. Фиксируем значение п Е №.
Согласно
следствию
2, 3 т, Е 7:
т
ao
тх
Tak Kak —* € ©, и число
ва @,,
т
KS met
m, + |
—_—
1
,
(3)
является
мажорантой
8
множест-
то
My,
~
Из неравенств
m,+
1
<supQ,<—*.
(4)
(3) и (4) получаем оценку
[р @,—х|<--
|
Поскольку — — Оприп
равенству в (2). №
1.5. Изоморфизм
Wren.
-
(5)
¥
-+ со, то свойство (5) равносильно первому
рациональных
и полных упорядоченных
Докажем теоремы об изоморфизме, о которых упоминалось в
полей.
п. 1.3.
43
`Теорема 1 (об изоморфизме рациональных полей). Пусть Р’ =
— (М, <, -, -) и Р’= (М', <', +’, :’) — упорядоченные поля,
Тогда © (Р) u Q (P’)
© (Р) и О (Р’) — их рациональные подполя.
изоморфны между собой.
4 Для упрощения записей будем пользоваться одними и теми
обозначениями операций над точками полей Ри Р’. При этом
r—r=r+(—n)
Вначале
onpenenum
7
и
ег.
oTo6paxenne
и
—
же
(7, #0).
gs Q (P) >
© (Р’),
а
затем
докажем, что оно является изоморфизмом.
Полагаем ф (1) = 1’. Если ф (п) = п’, то по определению будем
считать ф (п + 1) = п’ Г’. Этим установлено соответствие между
натуральными точками полей Ри Р’. Продолжим отображение ф
на множество целых точек поля Р посредством равенств ф (0) = 0’,
ф (— п) = —ф (п) для любой натуральной точки п из поля Р.
Если
Таким
г = =,
тей
образом,
(Р), пЕ№
отображение
ве © (Р).
(Р), то
def
считаем
ф определено
ф (7) =
на
всем
a.
множест-
Докажем, что отображение ф является изоморфизмом @ (Р) и
© (Р’). Индукцией по п’ доказываем, что любая натуральная точка
поля Р’ является образом некоторой натуральной точки поля Р,
а индукцией по п. Е № (Р) устанавливаем, что У (п, Е № (Р), пъЕ
EN (P))
ф (п, - п») = Ф(п,) Ф(п.),
P(N
M2) = P(N) - P(N).
(1)
Соответствующие выкладки опускаем, рекомендуя проделать их
читателю в качестве упражнения на применение метода математической индукции.
_, Поскольку ф (— п) = —ф (п), то равенства (1) справедливы
У (1 ЕС (Р), вЕЁ
‚ Убедимся
тивно,
в том,
монотонно
(Р)) и (2
(Р)) = 2{Р).
что отображение
ф аддитивно,
и биективно.
мультиплика-
Имеем У (т, Е С (Р), т Е Z (P), и Е № (Р), п Е № (Р)):
I)
_
My
° ( ny
т | _
Ne
Tr
& (Ng) + Q (Mn)
* (
_
туп. + т.п:
NyNe
& (тип: -- топ1)
P (MyM)
_Ф(т) Ф (п) + ф(т) Фи)
виа
ф (п) Ф (п2)
что означает
} —
_
ф (п!) ф (п)
свойство
аддитивности
—
Ф (ту)
ф (п!)
отображения
ф;
e) = ить — gtr) (ma) —
= (tat
2) (Btny ть.)
Neg
NyNng
ф (пп)
—
Ф(п)ф (п)
—
и
- 44
свойство
ф (т!)
(Ms)
ф (п!)
Ф(т>)
мультипликативности
=
(+)
ny
(2)
отображения
Ng
ф доказано.
4
Пусть|
1
tL < 2,
m, € Z (P),m, € Z (P), m EN (P), ne € N (P).
ny
Принимая во внимание, что п, >> 0, п. > 0, получаем неравенство
т.п, — mn, > 0.
Поскольку
ф (тп,
— тип.) Е № (Р’),
< Ф (т.п, — тип.) = ф (т,) ф (п.) —Ф (т) ф (п).
ф (т,) Ф (п!) > Ф
(т) ф (п.). Так какф
aA
1
‚ т.е. ф
= )> ф (==)
2
O<
(п!) Е № (Р’), Ф (п) Е № (Р)},
т
то обе части неравенства можно на них разделить. Получим
>
To
Следовательно,
оee
2
а это неравенство означает воз-
1
растание отображения Q.
Строгая монотонность отображения ф обеспечивает его взаимную
однозначность. Осталось доказать, что© (Р) —=- © (Р’). Пусть г’ =
=
=, m' € 7 (P’),n' EN (P’). Bo3sbmem takue m € Z (P) un€N
что
=
@Q (m) =m’,
ф(т)
9
=
то
aw
@(n) =n’.
oT
Тогда
получим
(P),
равенства ф (=)
=
доказано, что множество всех значений .
Этим
отображения ф есть © (Р”’). p>
Сохраним обозначения и упрощения записей, принятые в теореме 1.
Теорема< (об изоморфизме полных упорядоченных полей). [1олные упорядоченные поля Р и Р’изоморфны между собой.
<
Пусть М и М’ — множества
Введем
в рассмотрение множества
точек полей Ри Р”.
рациональных
точек
Q, = {6 © (Р)|г<х}, ©, = ("6 @(Р|7>х}
Q, = {r' EQ(P’)
|r’ <x’},
Продолжим
точек
поля
Qy = (r' CQ(P)
|r’ > x’)
изоморфизм ф 1 Q (Р) — @ (P’) Ha Bce
Р,
полагая
ф(х) = зирФ(@,)
УхЕМ,
Wx EM".
множество М
WxeM.
(2)
Верхняя граньв (2) существует в силу полноты упорядоченного поля
Р’. Убедимся в возрастании функции ф. Имеем У (х, Е М, хх Е М)
(х, < х:) > (@, =©,)> (®(©,)=х(©,))> (бирФ(©,)<
< зирфх (©,)) >> (Ф (х1) < 9(х,).
Равенство ф (х!) = ф (х.) невозможно, поскольку оно влечет за собой постоянство функции ф на интервале ]|х,, х.[, противоречащее
биективности
ф на
множестве
@ (Р).
Здесь
использовано
свойство
плотности множества рациональных точек в полном упорядоченном
поле (см. п. 1.4). Этим доказано возрастание отображения ф 1 М —>
—- М’ и, тем самым, его обратимость:
3$: М’ > М.
45
Пусть ф
(х) = х’. Убедимся в справедливости равенства @ (Q,) =
== О... Имеем
(reg Q)F(
=e) ArEQI SC HON AT<)>
> (r<o (x) > (r' EQ)
Sr EQ),
т.е. ф (Q,) < ©...
Наоборот,
(ГЕ@,.)
> (гс @ьь) > (< (5) S Arir =(NAr<xn>
> ("= Ф(г) ЛгЕ©,)
= (г'6ЕФ(,)),
т. е. Q, <p Q)).
Следовательно, ф (@,) = ©. Аналогично доказывается равенство
ф
(Q,)
—
Согласно
Qy.
теореме
2, п.
1.4, справедливы
равенства
x’ = inf Qy = inf p(Q,) = 9 (x) = sup 9 Q)).
(3)
Так как ф (—х) = sup @ (Q_x) = sup @ (— Q,) = sup (— 9 Q,)) =
= —inf » (Q,) = — @ (x), To oToOpaxkenue
всем множестве точек М.
Докажем аддитивность отображения
Тогда и < хх,
ип
<
д
-- Ф (72)
= Ф (7,
Поскольку
- 1.) < Ф (х,
последнее
HeYeTHbIM
Ha
ф. Пусть г, Е ©.., г. Е ©,..
х, в силу чего ф (г)
- х.), ф (11) <
неравенство
ность Ф (х, + х.) — ф
Принимая
@ ABAeETCA
выполняется
ФМ)
—Ф (1).
\ г, Е ©,,, то раз-
(7.) является мажорантой множества ф (©,,.).
во внимание определение верхней грани,
получим
нера-
венство зирф (©,,) < ф(х, + 2) — ф (72), т.е. ф (т-) < ф(х, + х.) —
— 9 (x,)
Wr, € ©,,. Следовательно, по определению верхней гра-
ни
справедливо неравенство ф
— Ф (х!), которое запишем в виде
Свойство
(х.) = зир ф (©,.) < @ (x, + x.) —
=
P(X, + X_) > 9(х,)+ Ф(х.)
W(x, EM, x,€ M).
(4)
(4) называется полуаддитивностью снизу отображения ф.
Для доказательства его аддитивности заменим в неравенстве (4) х
на —X, и XxX, на —х.. При этом
получим —Фф (х1) — Ф (2) <
=
—Ф
(Xx; +
Хз),
т.
е.
ф (1) - Ф(х,) > Ф (м -
х.)
У(мЕМ, жЕМ).
(5)
Из неравенств (4), (5) следует равенство ф (х, -- хо) = P(X) +
(Xa),
означающее аддитивность отображения ф.
Докажем мультипликативность отображения ф.
Принимая во
внимание свойство ф (—х) = —Фф (x) VxEM, достаточно доказать равенство ф (хх) = ф (х1) ф (хг) WIA Xx, > OU xX, > 0.
Пусть О<л< м, 0<г,<ох.. Тогда пг. < жхь, Ф (т1г.) <
< ф (х1х.), т. е. ф (г,) ф (72) < ф
46
(хх). Так как ф (г2) >> 0, то полу-
Х1Х
чаем, что ф (/!) < “OVD
+
и.
Это неравенство выполняется У 7: € Q,,.
Значит,
9 (x)
= зирф (©,
) < -9,
—*!
ф (72)
(6)
(г) < Е,
(7)
откуда следует оценка
справедливая \ г, Е @,,. Поэтому
@ (#3) = sup
p (Q,
)< 2)
,
—*»
Фф (х1)
откуда
У (х, > 0, х, > 0) выполнено
Возьмем
= @ (ri) @ (ro) > @ (412).
грани
неравенство
ф (х,) Ф (х2) < Ф (х1х.).
> € Qy,.
Тогда
hits > XX,
п Е@,,
(9)
9 (nh)=
Tak Kak @ (ro) > 0, то из последнего
венства следует, что У м Е О,
нижней
(8)
Ф\(и) > ae
ФУ
имеем
© (x,) = inf @ (@,,) >
ф (Го)
По
нера-
определению
УСО,
, 0 (ry) > 2H
) |
ф
@(%)
Следовательно,
Ф (X5)
—;
=
С
inf (p (Q,,) =
ф (х1х»)
ote)
‚ Г. е.
ф (х,) Ф (х2) > Ф (х1х.).
(10)
Сравнивая между собой неравенства (9) и (10), получаем равенство
ф (х1х.) = Ф (51) Ф (х.).
Осталось доказать, что М
+ М’. С этой целью возьмем x’ € M’
и рассмотрим ©,,. Полагаем
х=зирф
(©,.).
(11)
Верхняя грань существует в силу полноты упорядоченного пространства (М, <). Докажем, что ф (х) = х’. Для этого проверим
справедливость равенства ф (@,) = ©... Имеем
(rEg (Q,)) > GrEQsr =QMN)S(r<xeAr = O(n).
Из неравенства г < хи равенства (11) следует существование такого
Еф \ (©,.), что г < п, < х. Поэтому ф (г!) < х иф (г) <x,
в силу чего ф (г) Е О, т. е.
Ф(©,) < 0...
(12)
47
Обратно, пусть г’ С ©... Тогда из (11) следует, что
Ql (r)=rsx.
(13)
Равенство в (13) невозможно, так как множество @,. не имеет наи-
большего элемента, а ф строго монотонное отображение, в силу чего
и множество ф-—! (@,.)
также не имеет наибольшего
скольку г < х, ттгЕ®, иг
лучили включение
Из включений
=Ф(рЕф
(Q,).
элемента.
Таким
образом,
А: по-
по-
Q, < 9 (Q,).
(14)
Q. = 9 (Q,).
(15)
(12) и (14) следует равенство
Согласно равенству (2) из п. 1.4 имеем х’ == зир ©,., а из определения отображения
ф по формуле (2) получаем, чтоф
(х) = зирф (©).
Следовательно, ф (х) = х’ Pp
7
Метод предложенного доказательства использует идею сечений
Дедекинда, посредством которых он строил действительные числа,
считая известным множество @). Пара (©,, ©,) есть сечение Дедекинда, определяющее число х.
1.6. Основные характеристики действительного числа. Будем
для простоты обозначать через [К одновременно множество всех
действительных чисел, упорядоченное пространство действительных
чисел и упорядоченное поле действительных чисел, различая смысл
обозначения по тексту изложения. Например, если записано х Е [3,
то здесь [В — множество действительных чисел. Если сказано, что
х < ив
[Н, то под [В понимаем упорядоченное: пространство. Наконец, если записано х + у<гв
[В, то [В означает упорядоченное
поле действительных чисел. В случае, если по тексту изложения не
ясен смысл обозначения, то будем пользоваться более сложными
обозначениями.
Для действительного числа х введем следующие характеристики:
| х| — модуль х, зепх — знак х, х+ — положительная часть х,
х_ — отрицательная часть х. Они вводятся по правилам:
|x| =
,
xt
1,
х, если х> 0,
x, ecm x< 0:
=
sgn x =
,
х, если
х>0,
0, если
хх 0:
Очевидны следующие
ками WV x € IR:
48
xt+x-,
x=
соотношения
xp
если
dete
х>0
0, если х =0,
— |, если
x= |x|sgnx, |x|=xsgnx,
[x=
,
0, если
—х,
между
если
,
x <0;
х > 0,
х< 0.
этими
характеристи-
«= xt — x-,
yds
(1)
>]
~¥
YA
Рис, 33
Рис, 34
YA
э
у
>=
01
Рис. 35
М!
у
,
x
Mo
—_
0
Г
|
|
Г
|
| Jf
jf
0
Хх
Рис. 36
xy
Xy+Xo
2.
x2
x
Рис. 37
При решении задач часто применяются неравенства
— |х|< —-х<х<х+|х|, |х| 20, х+> 0, Ш >0.
(2)
Вместе с указанными характеристиками полезно также рассмотреть функции [В -— В: х- | cI. Xe son xX, X +e XT, X +e X-, rpaфики которых изображены на рис. 33—36. Первая и вторая функции
являются мультипликативными отображениями, поскольку из определения
этих функций
следуют
равенства
[жи | == [х ПУ
sgn (xy) = (sgn x)(sgny)
\У(хЕВ, уЕК).
Каждая из указанных функций, за HCKJIO“eHHeM «sgn», OO/laqaer
свойством: множество точек, расположенных выше ее графика,
является выпуклым, т. е. если две точки на плоскости расположены
выше графика функции, то и все точки отрезка, соединяющего их,
также расположены выше. Такие функции называются выпуклыми.
Если
функция
пуклой,
то
/ определена
на числовой
У (2 Е В, х. © К)
прямой
выполняется
[НВ и является
неравенство
p( ach) << Le tl)
вы-
(3)
Это неравенство очевидно: его левая часть есть ордината точки град.
Х
X
фика с абсциссой
а, а правая часть — ордината точки отрезка
с той же абсциссой, расположенного выше графика (рис. 37). Выпуклые функции будут подробно изучены в $ 5, гл. 7
Применив неравенство (3) к выпуклым функциям х == | х |, хны
re xt, дхн х_, получим важные оценки
lxtyl<lxl[+ly, @tytsatt+yt, e+y-<ety,
справедливые
У (хЕ К, УЕ |).
4
49
Из всех перечисленных характеристик действительного числа
наиболее важной является его модуль. Под основными свойствами
модуля
числа
понимают
следующие:
ПП УхЕК (х|=0)> (х=0)};
2)V (AER, xER)
[Ax] =] AI| x];
3) У (х ЕВ, уЕК) |х+иу|<|х|
+ ||.
Последнее
скольку
неравенство.
оно
УЕС (см. § 4).
имеет
называется
геометрический
неравенством
смысл
треугольника,
в случае,
когда х Е
по-
С,
Упражнения
1. Сколько существует изоморфизмов упорядоченных полей Ри Р”?
2. Сколько существует изоморфизмов двух данных упорядоченных рапиональных полей? Двух данных, полных в смысле порядка упорядоченных полей?
3. Существует ли упорядоченное поле Р, которое не является полным и не
является подполем никакого полного упорядоченного поля, т. е. всякое ли упорядоченное поле можно пополнить?
$ 2. Числовая
и ее предел
последовательность
2.1. Метрическое определение предела. Символы Ландау. Следующая
теорема позволяет дать новое определение предела числовой .последовательности (х„), эквивалентное данному ранее.
Теорема
1.
(Иш
х, =
Хх) >
(У
>
093л.Е№:
по
| х„ —х| <
®, т. е. число х является пределом
как
п >
VaSn
числовой
последова-
тельности (х„) тогда и только тогда, когда У = >> 0 найдется такой
номер п, Е №, что неравенство| x, — х| < евыполняется всякий раз,
только
Ne.
Необходимость.
Пусть
Ит
п
-со
х, =хи
# > 0.
Так
как
интервал
]х — в, х + &| является окрестностью точки х, то по определению
предела существует такой номер п» Е №, что Уп» п. x, € Ix —e,
x+el.
Поэтому Уп>л,
х—- < х < хе,
откуда
— <
< х, — х<ь,
т.
Достаточность.
е.
Уп>т
Предположим,
|х-х|<е.
что
Ув >0
3
Е №:
> ли. > | x, — x |< e. Nyctb O, — окрестность точки х. По
делению
окрестности
существует
такой
интервал
ja, bl,
Уп>
опре-
uTO
x €
€ Ja, bf A la, bf < O,. Monaraem e = min {x — a, 6b — x}, nonumaa
под шш {.} наименьшее число из всех входящих в данное множество. Так кака
< х< 6, тх—а>
0,6 — х> ие >> 0. По условию существует такой
— < х.— хе.
>аи
х-+ ==.
номер
п., что Уп»
ия,
Поскольку 8 3 х— аи
Следовательно, Уп» п,
|х„—х|<
< х-+
< 6, х, Е1а, Ы Л х. ЕО,. По определению
довательности, Иш х, = Хх. }№
Доказанная
(х„), имеющую
50
по
вт.
е.
в — х, тох — =>
а<х-—< х <
предела после-
теорема позволяет представить последовательность
пределом число х, следующим образом. Пусть по-
средством = >>0 задана точность вычислений. Тогда в пределах
указанной точности при п >> п. все члены последовательности можно
считать равными числу х. Последовательность, все члены которой
одинаковы, называется стационарной Если существует номер пь,
начиная
с которого
и задана
точность
то будем
все
члены
последовательности
называть ее почти стационарной.
вычислений
= >> 0,
то
(х„) одинаковы,
Тогда, если
в пределах
Иш х„ = х
‘lOc
этой
точности
последовательность (х„) можно считать почти стационарной.
При решении примеров, связанных с последовательностями,
пользуются символы Ландау о
Определение.
Если
Ит
п со
(1) и О (1).
х„ = 0, то
последовательность
зывается бесконечно
малой.
При этом будем писать х„ = о (1). Если
ограничена,
Из
то будем
теоремы
писать х„ = О (1).
| и определения
ис-
(х„) на-
последовательность (х„)
бесконечно
малой
последователь-
ности получаем как следствие следующее утверждение.
Теорема 2. (lim x, = x) © (x, — x = 0 (1)).
N=» oo
Из теоремы 2 следует, что каждая сходящаяся числовая последовательность равна сумме стационарной и бесконечно малой числовых
последовательностей.
Этот
факт
последовательности
(х„).
№
придает
актуальность
задаче
изучения операций над бесконечно малыми числовыми последовательностями.
Докажем две простые, но важные для теории последовательностей
теоремы.
Теорема 3. Если существуют такие числа Пу, хо, г, что У п > п,
| %,—X| <r, mo x, =O (1).
$ [lockonpky Vann
%—rS % > X% + Г, То множество
{x, | п Е №! имеет миноранту и мажоранту, что означает ограниченность
Геометрический смысл доказанной теоремы состоит в следующем!
если существует
довательности,
Теорема
Пусть
4.
конечный
начиная
х,„ = О
Если
(1).
интервал,
содержащий
О (1), то
| x, | = O (1).
с некоторого,
х„ =
Согласно
смыслу
этой
такие действительные числа а и 6. что УпЕ№
чим А = шах {| а|,|6|}, понимая
из этого множества.
Гогда Уп
№
ограниченность последовательности
Следствие.
(х„,
= О (1)) >
все члены
то она ограничена.
под
записи,
а=<лх, <
после-
существуют
В Обозна-
тах {.} наибольшее число
0
|х, | < А, из чего следует
(| хи |). >
(||= О (1).
Из следствия получаем новое равносильное определение ограниченной последовательности, которым пользуемся в дальнейшем
(х„ = 0 (1))> (3МЕВ:УтЕМ
2.2. Операции
над символами
Ландау.
|х|<М).
Арифметические
свойства
предела последовательности.
Определение. Суммой,
разностью,
произведением
и
чаотным
числовых последовательностей
(х„) и
51
(у„)
называются
соответственно
(Xn — Yn)» (%nYn)s
последовательности
т ) (VNEN
(Xx, + у),
Yn #0).
Теорема 1. Сумма двух ограниченных последовательностей есть
ограниченная последовательность, т. е. О (1) + O (1) = O (1). Cymма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая
последовательность,
т.
е. о (1) Но
(1) =о
(1).
4 Пусть (2) = (my + и). Если = О 1), ц, = 0 (1), 703 Cy Ca)
УТЕМ VneEN
|%| < С)l2n]Л <|УЛЕМ
||
= С. По свойству модуля
имеем
x,l+t]ly.1<C, + C,=C. Coranacno
следствию
Если
из
теоремы
х„ = 0 (1),
4,
2, = O
и, = 0 (1),
(1).
To
Ve>O0
I (ny, n,):
(Vn>n
1х, | <) Л (Уп
ln I< =}.
Тогда
= max {n,,n,} |2,|< 2, T.e. 2, =o(l). >»
Va
Sn
=
Теорема 2. Произведение двух ограниченных числовых последовательностей есть ограниченная последовательность, т. е. О (1) Х
Х О (1) =О (1). Произведение бесконечно малой и ограниченной
последовательностей есть бесконечно малая последовательность, т. е.
о (1). О (1) =о
(1). В частности, о (1) - o (1) = 0 (1).
Пусть (2.) = (ху) и х, = О (1), у, = О
(1). Тогда существуют
такие числа С: и Cs, что УпЕ№
|%| < С,, | ии | < С.. Принимая
во внимание свойство модуля, получим УпЕ№ оценку |2.
| =
= |[х, |. |иИ |< С, . С, = С, т. е. г, =о0 (1).
Если х, = 0 (1), Jn = O(1), mo(acC>0:Vne€N
|и|< ОЛ
A (ye>o
чим
Зил. Е№!
Уп
> п,
Уп> и,
неравенство
|<
>).
Оценивая
|2. |=
| х.|. 1%" [ < =
2„,
полу-
-C =e,
H3
которого следует, что г, = 0 (1). №
Из теорем | и 2 получаем соотношения
О (1) — О (1) =О (1),
о (1)
— о (1) =о (1).
Теорема 3. Ecau lim x, = x, limy, = y, то lim (хи + и) =
hl
OO
= x+y, lim (%, — Yn)
= X— yy.
N= OO
< Согласно теореме 2, п. 2.1, имеем хи = х + о (1), и, = у -о (1),
—и = —иу— 0 (1). Применив теоремы | и 2, получим
Xa tYn=Xtyt+o(l)+o(l)
=x+y+0(I),
Хи — Yn =X —Yy +0(1)—0(1)
=x —y+ (I).
Следовательно,
по теореме 2, п. 2.1,
lim (Xn, + Yn) =
Теорема
q [lockonpky
52
4. Если
Пт
fl» oo
Хх,
т (ха —
хи =Х,
x, = x+o0(l),
у) = х— у.
lim Yn, = Y,
и, = у +
то
№
lim XnYn = XY.
о (1), то по. теореме 2 по-
лучаем ху,
= ху + х-0
Следовательно,
(1) Ту.
Шт х„у„ = ху.
Теорема 5. Пусть Ит
пы
.
mo
lim
x,
too
—
х„ = х. Если х => 0
о (1).
\ УпвЕ№М
х=0,
о
=x,
—1
хх
как
о (1) +0 (1) =ху
—1
Принимая
Так
о(1)
№
во внимание,
—Х
—1
=
что х„ = х -- о
1
l
=,
получим
х—х
pS
2
lim x,% = 22 >
(1),
1
ee)
TO
хх
Jn, EN:
Vn Sn
хх>
x?
9
.
noo
Поэтому
HO,
Уп>п
жи
=0(1).
Следствие.
AWnEN
x0,
4 Действительно,
К
i
—1
=.
1
XX
0<
<
2
x?
И
0(1) =0(1)
Пусть
1
XX
и
= О (1).
Следователь,
Ех".
Нм ох, =х,
Нти,
= 9. Если
п со
noo
х 50 Л
To lim“ =~,
noo
n
x
St = Yate» lim= Пух
foo
n
ПП
oo
= lim y, x
noo
—1
2.3. Расширенное
множество
действительных
чисел.
Обозначим
через В множество, состоящее из всех действительных
чисел
волов --oo, —oo. Продолжим на него отношение порядка
и сим<
с
множества В, считая, что УхЕВ
(—-®ю<х Л (x< + 00).
Определение 1. Упорядоченное пространство (В, <) называется
расширенной
числовой
прямой.
Отметим
преимущества
расширенной
числовой прямой
по
сравнению с упорядоченным пространством действительных чисел.
1. Любое непустое множество Х < К на расширенной числовой
прямой ограничено, поскольку — со является минорантой множества Х, а -- сх — его мажорантой.
2. Каждое
непустое
множество
Х < В
(К, <) верхнюю и нижнюю грани.
Действительно, если множество Х <
ве (К, <), то 3 sup ХЕВ =
имеет
в пространстве
№ ограничено в пространст-
В. Если же множество Х <- В не огра-
ничено в пространстве (К, <), то зир Х = -- со ЕК. Существование нижней грани непустого множества Х <= № следует из теоремы 2,
п. 5.2, гл. |, поскольку, в силу сказанного выше, пространство
(К, <) является полным.
3. Любое замкнутое непустое множество Х < В имеет на расширенной числовой прямой наибольший и наименьший элементы.
53
Это утверждение
гл. |
В
соответствии
наименьшей
имеем
является
частным
с определениями
случаем теоремы
окрестностей
точек упорядоченного пространства
1, п. 5.2,
наибольшей
(см. п. 4.2, гл.
(U = 04)
2 (JaER:]a, + 0] CU),
(U = 0_.)
@(FaECR:[— oo,
и
1)
(1)
a[ cv).
(2)
Из общего определения предела последовательности (х„) точек
упорядоченного пространства следует, что
(Шт х, = - со) <> (У >0 Зя. ЕМ№:Ул>л:
х,>в),
(3)
fir 0o
(limx,
fie 00
=—o)@o(We>0
Jn, ENIVanSn
X,<— 8).
(4)
Из теоремы п. 7.2, гл. 1, и определений верхнего и нижнего пределов последовательности (х„) точек упорядоченного пространства
(см. п. 8.3, гл. 1) получаем формулы
lim x, = inf sup Xp,
(5)
lim x, = sup inf x,,
(6)
п со
п
noo
Е>п
n
R20
в силу которых на расширенной числовой прямой каждая последовательность имеет верхний и нижний пределы. Кроме того, на этой
прямой любая монотонная последовательность имеет предел (хм.
п. 7.3, гл. 1). Таким образом, расширенную числовую прямую
целесообразно рассматривать в случаях, когда требуется вычислить
верхний и нижний пределы последовательности действительных чисел или предел монотонной последовательности.
С целью упрощения вычислений пределов последовательностей
действительных чисел введем на расширенной числовой прямой
операции сложения и умножения. Необходимо отметить, что указанные операции нельзя определить так, чтобы набор (В, <, +, -)
оказался
упорядоченным полем, поскольку в любом полном упорядоченном
поле множество \\ не ограничено сверху (см. п. 1.4). Тем
не менее, указанные операции можно ввести для части точек из В
с сохранением арифметических свойств предела последовательности
(см. п. 2.2):
1) если
x ER, yER,
в В тот же смысл, что и в
2) — © + х= —с,
3)
— ю
—
с,
х=—
9х. (+ co) = |
ху,
В;
+ ® фх=-<
+
ю—х=-+®
-- со,
если х> 0,
— со,
если
—oo, ecH х< 0;
8)% + (— 00) = | со,
54
тофу
х>0,
если х< 0;
УхЕВ;
(у >= 0)
VER;
имеют
6) 4-00
-|
-+oo,
x
_—
=|
x
8)
шой
|
если
х< 0;
2
если
х>0,
+00,
если
х< 0;
=0
x
VxER\X {0}.
Для решения примеров полезно взести понятие бесконечно больпоследовательности.
Определение
ннечно
ъ
2. Последовательность
большой,
Отметим,
шой
x>0,
— со,
tetra
x
ecin
если Ит
| х.|=
пысо
что последовательность
1
тогда и только тогда,
когда ——
п
(х„)
называется
(х„) является
=0
беско-
+ ©.
(1)
бесконечно боль-
(VnEN
x,
0).
Будем в дальнейшем обозначать через К одновременно множество К и упорядоченное пространство (К, <), различая смысл обозначения по тексту изложения.
Упражнения
1. Пусть гл = хи -- ул УпЕ М. Что можно сказать
ходимости последовательности (2„), если:
а) обе последовательности (х„) и (у) расходятся;
6)
последовательность
6.
Если Ит
(хи)
сходится,
о сходимости
а последовательность
(у)
или
рас-
расходится?
Приведите примеры.
2. Выполнить упражнение | в случае, когда ги = ху
УпЕМ.
3. Может ли произведение двух неограниченных последовательностей оказаться бесконечно малой последовательностью?
4. Может ли произведение бесконечно малой и бесконечно большой последовательности быть:
а) бесконечно малой; 6) бесконечно большой?
5. Доказать, что монотонная последовательность (хи) будет сходящейся,
если сходится некоторая ее подпоследовательность.
:
7. Для
Sup x,,
хи = 0, то что можно
пс
последовательности
lim xy,
.
ntl
noo
Xn
сказать о пределе lim ———?
(=
=
n
1 -- тег
пл
cos >
.
найти
.
inf xp,
Пт хл.
по
песо
8. Доказать
неравенства
limx, +
yo» oc
пы
оо
limy,<
no
x
n= oo
lim
7»
п
ox
со
(%,
+ yz) <
Итж- lim Yn.
1 ob ox
п-=оо
пъс
2.4. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.
Определение. ГЛоследовательность
(х„) называется фундаментальной,
если Ув >0 существует такой номер
Пе Е №,
что
V(n ane,
PEN)
|хир
— х,| < г.
55
Это определение принадлежит Коши. Ему же принадлежит следующая теорема, устанавливающая критерий сходимости числовой
последовательности.
Теорема (критерий Коши). Последовательность действительных
чисел сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
Необходимость.
Пусть
Flim
х., =хиз>0.
Тогда
Зп:. Е №:
п-оо
Уп
Следовательно,
> пе
1х
—х|<-5-.
\ (п > п., рЕ№)
| Жа-ьр
— Ха | = | (Жар
— Х) + (Х — Х,) [5 [Жир
— Х| + | 4 —
|< в,
т. е. последовательность (х„) фундаментальная.
Достаточность.Пусть последовательность (х„) фундаментальная.
Согласно теореме 3, п. 2.1, она ограничена. По теореме Больцано —
Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность (х»,).
Из определения фундаментальной последовательности получаем, что
Хь — Xn, = 0 (1), откуда хь = Xn, + 0 (1). Потеоремео пределе суммы последовательностей
существует
предел
последовательноCTH (X,).
»
Упражнения
1. Пользуясь
тельностей:
ты
критерием
2.
—
] +1
где
[91
сходимость
<1,
[а
следующих
| <
М
последова-
VREZ,;
feet,
Последоваельность
x,
доказать
фота,
6) tn = 1+
| Xp
Коши,
—
№ |
+
(
имеет
wet
ограниченное
| Xn
|<
С
изменение,
(n
=
2,
3,
если
Зс>> 0:
...).
Доказать, что последовательность с ограниченным изменением сходится.
Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного ‘изменения.
3. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности
1
1
да =.
1
2.5. Правило вынесения 0-малого за знак суммы.
и Штольца.
Определение.
//Лусть
(а„),
(6,) — числовые
=0(b,).
56
Пусть 6, >0
УЕЕМ, у р, —-- со
Тогда У, а, =о (3
k=l
k=!
,
.
Коши
последовательности.
Если У
> 0 3л, Е №: Уп> п. |а„ |< еб,
аи = 0 (6).
Справедливо следующее утверждение.
Теорема.
Теоремы
то будем
при по
писать
ua,=
q
Из
условия
a, = о
(5,) следует, что У г >> 0 Gn, EN:
Уп
> п.
|a,|<8,.
При всех п >> п: справедлива оценка
У а
|<
oS b<
oY by
n
Из
соотношения
номера
Если
п,
Им У, В, = -Н со
Следствие.
“nh
Ли ть
Ь, >0
be). ,
УпЕМ
и
lim 3
noo
= 1, 1€1R, mo
У
пэос
Пусть
такого
П.}, то
= oS
Noo
существование
что Уп > п,
п > шах (П.,
3 lim —
следует
Nn=+woo k=]
[Е В.
Так
У
b,
b,= +00.
Ecau
=.
k=
как
п
а,
k=]
п
а,
У а,
— 6)
—
—
[=
k=|
то,
-
(1)
"by
k=1
k=]
И ce — = o(l), To no Teopeme правая часть равенства (1) стреR
мится к нулю.
.
-—
On
Если [ = +00, To Ит —^ = 0, откуда следует, что a, > 0,
N->oo
n
начиная с некоторого номера, и а, > 6, при
"
ших ПЕ №.
Поэтому
Иш
noo
п,
>bk==| 5,
У, а, = +
k=]
и
n
J lin
п-о
Аналогично
——
1
всех достаточно боль-
n
= 0, t.e.
У а
k=l
рассматривается
уk=] а,
lim —
Nao
случай,
yy
Ув
k=l
когда
= + оо
| = —oo.
p>
57
Теорема
Коши.
Если
3 Пт
а, =
16 В,
то
Noo
jlim
fi
<q
Una доказательства
Теорема Штольца.
стремится к {о и
3 lim
nti
noo
{
Для
Gn
yp
=
2
LER,
в следствии
Oy = Xs Ong = Ynti — Yn
ж
=
полагаем в следствии 6, =1
УЁЕМ.
D>
Если последовательность (у„) монотонно
—YJn
доказательства
——
00
Op,
=
mo Flim
“2
noo
полагаем
УпеЕМ.
их
=1.
n
аи
Тогда
УВЕ.
= ха
— Х,,
№
Упражнения
1. Пользуясь теоремой Коши, доказать, что если последовательность (хи)
положительных чисел имеет предел х. то среднее гармоническое и среднее геометрическое ее членов имеют тот же предел:
lim
nis oo
2.
;
am
Jloka3aTb,
EN.
3. Доказать,
что Пт
и = 6,
6) = lim x, =
fiw oo
I? +
3P +
что
-
lim у Х1 * Ход *** Хл =Х.
—
lim
“n
n+oo%,,_:
hao
Xn,
=x,
TT Pa
4To lim у хп =
П-+ со
рованное.
4. Доказать,
х1 =а,
т
‚
ели
090
3
1. + (Qn — 1)"
net!
lim
*n
п-о Аи |
их,
2!
= ——,
р
+
|
pe N
>0
—
Wne
Ф
фикси-
последовательности
=
и ХпУп»
Уп
(хи) и (уп), определяемые формулами
x
.
= лава,
имеют общий предел p (a,
lim yp.
fier oo
$ 3. Теория действительного
по Вейерштрассу
числа
Трудной является проблема существования множества К№ всех натуральных чисел. Она относится к современной математической
логике и к теории множеств. В алгебре используется существование
множества К\ и конструктивно строится поле рациональных чисел.
Представляется естественным в курсе математического анализа
доказать существование действительных, а затем и комплексных
чисел, опираясь на уже известное поле © всех рациональных чисел.
Существует несколько конструктивных теорий действительного
числа, наиболее известными из которых являются теории Кантора,
Дедекинда и Вейерштрасса, построенные еще в прошлом веке. Наиболее предпочтительной из них для преподавания в курсе математического анализа является теория Вейерштрасса, основы которой
излагаются
в учебниках
для средней
школы.
Кроме того,
она более
других теорий числа связана с задачами измерения площадей и
объемов. т. е. с задачами практики. Однако оригинальная теория
Вейерштрасса сложна как доказательством классической теоремы
о существовании верхней грани, так и обоснованиями свойств арифметических операций. В теории Кантора, которая здесь рассматриваться не будет, сравнительно просто, с помощью предельного перехода, обосновываются свойства суммы и произведения чисел,
но трудным является само понятие числа.
Ниже предлагается объединение теорий Вейерштрасса и Кантора!:
в понимании числа мы следуем Вейерштрассу, а для доказательств
основных теорем используем идею предельного перехода, исходящую
от Кантора. Кроме того, пользуемся операциями умножения и деления
десятичных
дробей
на
10,
которые
легко
определить.
Материал данного параграфа можно рассматривать как логическое завершение тех знаний о числах, которые получены в средней
школе
3.1. Представление
числа
бесконечной
Бесконечной десятичной дробью называется
десятичной
дробью.
упорядоченная пара
(@, а), состоящая из целого числа а, и последовательности а = (а,)
таких целых чисел, что УпПЕ№
0О<а, < 9, и обозначается х =
= ау. а,а.....
значения
темой
жения
а),
вается
ляются
Название
0, 1,2,
Имеем
x
ior
тем,
что а,
с общепринятой
могут
принимать
десятичной
сис-
исчисления Кроме того, название связано с правилом умнона 10. которое выполняется по формуле
10х = (10а, +
а.аз.
Всегда выполнима обратная операция, которая назы-.
делением на 10. По методу математической индукции опредеоперации умножения и деления на 10” УптЕ\№.
Пример 1 Пусть х =
на 10", п=1, 2, 3.
ния
объясняется
..., 9, связанные
10х=125,132...,
> 0,125132...,
Пример
Тогда
12,5132....
2.
Пусть
10x =
x
1a
х =
(—1
Выполнить
102х=1251,32...,
3.
Пусть
умножения
103х=12513,2..., -6
=
и деле-
1,25132,,.,
|
0,0125132....
(—1),2513....
- 10 +
2),513... =
(—8),513...,
(—
(—
+ 5),13 ... =— -75),13...,
10853х =— (—749),3..,
= (—1),992513..., —- = (—-1,9992513...
Пример
операции
=
-б-=
10?x =
(—8
- 10 +’
(—
(1,9513...
, —_
5
_,
х = (—12),5132 ...
Тогда 10х = (—120 + 5),132 ... = (—115),132..,
108x = (—1149),32...,
(—
~~> == (—2),85132,,
(—
——
(—
a
108%Sy == (—11487),2..,
Foe == (—1),885132.,
5
=
(—1),9885132.,,
59 :
Бесконечная десятичная дробь х = аз, аа...
имеет 9 в периоде,
если 3, 6 №: Уп > п, а, = 9. Для упрощения формулировок,
связанных с определениями равенств и неравенств между числами,
а также с определением целой части числа, из десятичных дробей
выбрасывают те, которые имеют 9 в периоде. Кроме этого, дроби
с девяткой в периоде выбрасывают для того, чтобы рациональные
числа представлялись однозначно посредством бесконечных десятичных дробей. Интуитивно ясно, что бесконечные десятичные дроби
1,00... и 0,99... должны представлять одно и то же число 1 Е №.
Выбрасывая из рассмотрения дробь 0,99..., оставляем для 1 единственное представление 1,00....
Все бесконечные десятичные дроби, оставшиеся после выбрасывания десятичных дробей с 9 в периоде, называются действительными числами по Вейерштрассу. Их множество обозначим через В1,
сохранив обозначение К для абстрактного полного упорядоченного
ПОЛЯ.
Пусть х = а, аа...
х и обозначается
+
а
a
Qn
+...
ХЕ
через
В!.
Число а, называется
целой частью
[х]. Рациональное число а, а,...а, = а +
e
+t 107 отождествляется с действительным числом а, а...
...4,00... и называется п-приближением числа х по недостатку.
Такое приближение обозначим через х\„‚.Рациональное число хит |
++ 707 называется п-приближением числа х по избытку и обозначается
через
хит.
Пример 4. Пусть
Тогда xo) = х] =
дующим
образом:
Пример
=‚_
=
5.
75
00°
Пусть
Пример
Orla
Два
12,00...,
х =
Следовательно,
(—1),2500....
Тогда
12 =
х = 12,513....
12, жи = 12,5,
6.
Пусть
[х]-= хи =
|X
—
Мо
числа
х =
—
19, х
хро1
=
12,5 =
(-—1),2513....
(—1) ==
12,51,
что
12,500...,
можно
12,51
2
=
ae (—1),
(—1),00..,
=
—
(—
х = а, @а....,
(—12),5= — ИЗ и, =
y=
ХЕ
№},
5’
ину
сле-
.
8
(—12),513....
, “[1]
представить
12,51000...
21
=
(—
—~
20...,
=
00"
(—12), 51 = — 1149
,
= 6,6 6.....
=
и
—
Е В+,
00°
на-
зываются равными, если У п Е Дь а, = 6.. Это определение ‹согласуется с равенством упорядоченных пар (а, а) = (6, 6). Числа х
и у сравниваются следующим образом. Если а < 6,
тох< у.
Если
а = 6,
то
(х<Уу<>(Зь
№:
ал, < в,Л Уп<щ
Пространство (К!, <) является
Рассмотрим примеры.
Пример 7. Сравнить
Здесь а, = 12, В, =
Пример 8. Сравнить
упорядоченным.
числа х = 12,513... и у=
13,513....
13. Так как а, < В, то х< у.
числа х = (—12),513... и у = (—13),513... .
Здесь ау > В, так как а, = — 12, & = —13.
60
а =6,..
Следовательно,
х>
у.
Пример 9. Сравнить
аз <
Здесь а, =
6:,
то
х<
Пример
10.
Поскольку
в =
числа
и.
Сравнить
а; =
Поскольку
х ==
12, =
6; (1 =
числа
0,
12,513... и у =
=5,
а = ф. =
(—12), 513...
1, 2), а. =
пространство
(В,
12,514....
1,
аз; =
и у=
3, В. =
<)
3,
6. =
4.
(—12),514....
4, а; <
является
В.
ох<
Поскольку
и.
упорядоченным,
то
характерные для пространства
В}.
можно пользоваться всеми теоремами, доказанными в гл. |. Пользоваться теоремами из предыдущего параграфа можно лишь тогда,
когда будут определены операции сложения и умножения чисел из
В!, а также проверено выполнение аксиом полного упорядоченного
поля. Отметим
Из
некоторые факты,
определения
неравенств
(хи
Поскольку
конечного
строгие
следует,
<>(УптЕЙ,
неравенства
множества
членов
Хи
для
справедливы
Лемма
1. УХЕ В!
Лемма
2. Если
чисел
<)
Уп,
li
и при этом
Если
BeCHCTBO
существует
GQ,
—
связаны
дробей
со
после
свойствами
запятой,
TO
AS Xn < Xny <0).
утверждения.
noo
f=
а
a
№)
“it
li
= lim
10
такое
oO
&MEZAVNEN
Ит —и
flr oc
®
(1)
3 Ит хи, = lim xray = x.
< 9, то последовательности
(В',1
Ут.
десятичных
а<х<
6) > (3%:Уп>п
Следовательно,
что
en
rim OO
п, Е №,
100 An) == 9,Y, тоTO У
n
O0x<a, — 10,1
<
сходятся в пространстве
—~.
10
что Уп
=
No
>
п, выполняется
В
TO?
=
rr
ра-
ВИНЕ
=f,
Следовательно,
a
lim“
naw 10"
=
.
lim
noo
a
S#t
= 10"
]
=,
Ecnu a, — 10a, < 9 для бесконечного множества значений п,
то бесконечная десятичная дробь х == а, а,..., где а = 0%, A, =
— 9, — 100„_
Упе №, является действительным числом.
При
этом Упс \ имеем
Мп!
=
4,
Ay. . „аи =
a, — 10a
4+ —i
10
+
а
coe
Tat
...
+
On — 10а
b=
107
=A)
+
аn
10”
Применив лемму 1, получим требуемое утверждение. $
[ля проверки выполнения условий леммы 2 пользуются
венством
O< [10x] — 10|[x]) <9
VxeéR.
нера(2)
61
аг
Рис.
х
Ch
г’
В
ar
Г
x
Г’
В
rh
38
q
Пусть х = ао, а1..., х 6 В!. Тогда
1х] = а,
и неравенство
[10х| = 10а, + a,, [10x] — 10[x] =a,,
(2) равносильно очевидному свойству0 < а, < 9. №
Лемма 3. Пустьх © В, „Е ©,
<r,
имеем
u lim (t, —r,)
aos
Е ©@
УтЕМ. Если г, < х =
= 0, mo limr, = limr, = x.
я > оо
Пс
{ Применим метод доказательства от противного. Пусть
ждение несправедливо.
Тогда существует такой интервал
с рациональными
@ |<, В[
концами а и В, что хЕ
или г, @ ]а, В
для
утвер|<, В
|<, В[ и вместе с тем г, @
бесконечного
множества
значений
п.
Возьмем такие рациональные числа г и Г’, чтобы выполнялись неравенства © < г<х<г < В
Если г, @ la, Bl \V 7, ¢ Ie, BI, To
(и — г, >г—
ти — Г, —
9 \
0 прил
—
(г. — г >В!)
со эти
неравенства
(рис
38). В силу
условия
не могут выполняться
для
бесконечного множества значений я Е №. Полученное противоречие
доказывает высказанное утверждение. }
Лемма 4. Ух
В!
lim — = 0.
Утверждение следует из определения операции деления бесконечной десятичной дроби на 10” и определения предела ‹ помощью
окрестностей нуля. р
3.2. Существование верхней грани.
Следующая теорема является наиболее важной в теории действительного числа но Вейерштрассу Она устанавливает полноту упорядоченного пространства
(R', >).
Теорема (Вейерштрасса). Каждое непустое ограниченное сверху
множество Х с В! имеет верхнюю грань.
q Доказательство теоремы основано на простом, но важном факте:
каждое непустое ограниченное сверху множество целых чисел имеет
наибольший
элемент.
В силу
этого У пЕ
[10"х]
< 110" х.| = а,
Д,
3х
ЕХ:
УхЕХ
(1)
Согласно лемме 2, п. 3.1, для доказательства существования и раo [ &
a
l
венства друг другу пределов последовательностей (тот }, 2}
достаточно
условию
NPOBepHTb
(1),
аи == |10"х„|,
Пользуясь
имеем
ем
оценкой
HepaBeHctTBa 0 < a, —
= (10% x,1J,
10G,, < 9. Согласно
[107 ] < о,
(2) из п. 3.1, получим
110°—-'x,] < ant.
цепочку
неравенств
0=< 107, — 10 10—15, < а, — 10а, < П0”х„] — 10 х
x [10°—'x,] <9.
62
Согласно лемме 2, п. 3.1,
lim
<2.
J iim
noo
у
=
10"
=
10"
№.
|
(1),
неравенство
Применяя
р
найдем
ae
xx Aт
An
Vxex,
<
An +1
i SS
Перейдем
(2)
2
yex
i
|
Puc.
в (2) к пределу при
х<х,
|
44
|
|
‘
VEN.
|
|
2]
т
$
39
п —
УхЕХ,
<.
Получим
limx,
= Xo.
(3)
по
Неравенство
в (3) означает, что х, 0 — мажоранта множества Х, а
р
из предельного соотношения в (3) следует, что х, является точкой
прикосновения множества Х. Значит, х, = sup X. №
Доказательство теоремы допускает простое геометрическое ис[10" x]
1
толкование.
Рассмотрим
график функции х’
К
(рис.
39)
С ростом
значений
дественного отображения,
п
он
1,
и поэтому
и
x
’
pow”
приближается
C
к графику
тож-
— №.
3.3. Существование и единственность суммы. В школьном курсе
математики сумма действительных чисел х, у определена как число г,
удовлетворяющее неравенствам
Жи -Н Им! < 25 Хит - Ут
Ven,
(1)
однако не доказано, что такое число 2 существует и единственно.
Кроме того, не подвергнуто проверке выполнение аксиом, относящихся к операции сложения.
Теорема (о существовании и единственности суммы). Для всех
х с В,
иЕ
ществует,
В!
сумма
единственна
ху
q
=
х + у, определенная
и удовлетворяет
lim (Xin) + Yn)
nero
=
неравенствами
равенствам
lim (Жир
n—r OO
(1),
+ Ул’).
су-
(2)
[locneaopatesbHocth (Xn) + Yin) HeyObiBatollan, Orpann4ena
cBep-
ху и, согласно теореме Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности в полном упорядоченном пространстве, имеет предел,
который вычисляется по формуле
Jim (Xin Е У) = $ир {Жи + Жи} = а.
Поскольку
Зиму
У (ПЕ №,
+ Ул’
тЕ№)
УтеЕ№.
Xn
+ Yn) S Xmy
Из последнего
(3)
+ Yimy,
неравенства
TO
aS
и равенства
63
(3) следует, что в качестве 2 в (1) можно взять а. Поэтому
сумма
х + у существует. Пусть 2 удовлетворяет условию (1). Согласно
лемме 3 из п. 3.1, получаем соотношения
2 =х
Из
+
y=
единственности
Aim
предела
(X{n}
+
Y{n})
следует
=
tim
(X{ny
+
единственность
Кроме того, доказаны равенства (2). }>
Ytny).
суммы
х -{ у.
3.4. Свойства суммы. Проверка аксиом.
Теорема 1 (правило сложения неравенств). Лиусть ху, хо, и1, и» —
числа из В?. Если х < и, х. Зи,
то хх
< и + ши
т.е.
неравенства можно складывать.
$ Поскольку УпЕ № хил < И, Хэм < Узи
и неравенства
для рациональных чисел можно складывать, то Хил) + хлп <
< Ил! - и’
Уп
№. Перейдя в этом неравенстве к пределу
при п — со и принимая во внимание равенство (2) из п. 3.3, получим
требуемое
неравенство.
$
Теорема 2 (о существовании нуля, свойствах коммутативности
и ассоциативности суммы). Лусть х, у, г принадлежат множеству
В! и 0 = 0, 00....
Тогда х + 0 =х, х+у=у+х,
(++
+z=x+(y
+ 2).
Ч Первые два равенства, очевидно, следуют
из формулы
п. 3.3. Докажем свойство ассоциативности суммы. Очевидно,
VneN
(2),
что
X{ny SXF Nays YW RY Ynys) Any SV ZK Any.
(1)
(ту -Ё Ил) - ал) < (м У) + 25 (пу + Yay) + Says
Xtny + (Ytny + Zn) SX + (Y +2) <S May + (Yay + аль).
(2)
(3)
Складывая
эти неравенства, получим
УпЕ
№
Принимая во внимание лемму 3 из п. 3.1, а также свойство ассоциативности суммы рациональных чисел, получим требуемое утверждение. р
Теорема 3 (о существовании противоположного числа). Если
x€R!, moi (—x) € В! : х + (—х =0.
Очевидно,
что У (ПЕ №, т $ №)
(— т.) < (— т).
(4)
Последовательность (— Хир) неубывающая и ограниченная. По
теореме Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности в
полном упорядоченном пространстве она имеет предел. Обозначим
его через а. Имеем
lim (— x{ny) = sup (— x{nj) = @.
(5)
п-со
п
При фиксированном значении т Е № ип -—
со из неравенства (4)
следует, чтоУ те №
а=<
— хи. Принимая во внимание соотно-
шения
(5), получим неравенства
(—
64
Х т?) >
а >
(—
X{m})
Vm
Е №.
(6)
Сложим
эти неравенства в неравенствами
Х(т] < Х 5 тр
Имеем
УтЕ№.
УтЕ№
]
т"
1
5-4
т
5
откуда следует равенство х -- а = 0. Значит, в качестве значения
(—х)
можно
взять число а.
>
Теорема 3 позволяет ввести разность двух действительных чисел
по правилу: У (х Е В1, y € R})
(= х— и) > (2=х(—9).
Поскольку в В! определены операции сложения и вычитания,
доказаны их основные свойства и может быть сохранено понятие модуля, то можно пользоваться всеми результатами $ 2 о пределах
последовательностей, за исключением тех, которые связаны с операциями умножения, обращения и деления.
3.5. Произведение неотрицательных
чисел в множестве К},
его существование и единственность. В школьном курсе математики
произведение действительных чисел х > 0 иу > 0 определено как
число 2 > 0, удовлетворяющее Ул Е № неравенствам
Х(п] * [п] < 2 < Аир + Yiny.
(1)
Докажем его существование и единственность.
Теорема. Для любых неотрицательных действительных чисел х
и у существует единственное число г 6 В!, удовлетворяющее неравенствам (1). Оно называется произведением
хиии 0бозначается через х +: у. При этом
lim
N-»0o
X(njY[n]}
=
lim X(nyYi[ny
n=roo
=
xy.
(2)
<q TlocnenopatenbHocth (X{njY{n}) He yObIBaeT H ограничена сверху,
HaNPHMeP YHCJIOM X10)'Yfo. Ilo Teopeme Betiepuitpacca o пределе монотонной последовательности в полном упорядоченном пространстве
(В1, <)
существует
lim X[nY[n]
noo
=
а =
SUP X[npY[n}-
(3)
n
Так Kak V(n EN, MEN)
жаут < ХтрУту, то после перехода
к пределу при п -—> со ификсированном т Е № получим неравенство
справедливое
У т Е №.
Принимая во внимание соотношения (3) и неравенство (4), имеем
УтЕМ
XtmyYim] SAS X my Yemy(5)
Таким образом, доказано существование произведения х . у, в качестве
3
337
которого
МОЖНО
ВЗЯТЬ
Число
а.
Докажем
его
единственность.
65
Пусть
выполнены
неравенства
(1). Поскольку
Xtny Е и]
0 = лу’, — Хим =
10”
+
102"
x+y
<
10”
+
1027
и правая часть этого неравенства стремится к нулю при п -—
о°, TO,
согласно лемме 2, п. 3.1, выполнены равенства (2). д»
3.6. Свойства произведения неотрицательных чисел.
=,
(6)
Теорема 1 (об умножении неравенств). Если 0 < х<у,0<и=<
то хи < Ш.
4 Согласно свойству (1), п. 3.1, и правилу умножения
для рациональных чисел имеем УпЕ №
неравенств
Жлу т > У].
Перейдя к пределу при п -> со, получим требуемое неравенство.
Теорема
2 (свойство
коммутативности).
то ху = ух.
< По теореме п. 3.5 получаем
Если
х>0,
}
у>0,
ху = Ши Хил = ИП Ура] = УХ. D>
fi
oo
noo
Теорема 3 (свойство дистрибутивности). Если х >20, у>0,
2 >0, то х(и-2) =ху- хг. Если,
сверх того, у 22г,
то
x (y — 2) = XY
— Xz.
Для всех п С № имеем
X{nWiny + Xnj2lny = М) (Илл После
+ Zny’)
= XnyYiny
предельного перехода
соотношения
2) < Мал (У Е 2)
(2) из п. 2.5)
в этих
получим
< Any Ytny +
1 Xny2{ny.
неравенствах
NPH N —> oO (cM.
неравенства
ху + X2SX(Y +2)
XY + 22,
из которых следует требуемое равенство. Аналогично, если 2 < у, то
ХИ
— X{nyZnp SG т
(Ут — 2’) < Хил (У — 2)
< Ми (Ут —
— 21) = Хит — Хи] 5 Мирт’ — Мн т.
Предельный переход в полученных неравенствах при п —
шает доказательство теоремы. №
Теорема 4 (свойство ассоциативности). Еслих > 0, у >
mo
q
x (yz) = (xy) 2.
0,2 >0,
Имеем
intr + Anya)
Жи] (У2)"] << Жи (Уту2ту,) = (Хит) 2
[п]
+
102”
107
xy
=>
(ху) пт
@[п)’
+
хг
10”
После предельного перехода при п -> со
х (иг) < (ху) г. Аналогично доказывается
< х (уг). Следовательно, х (уг) = (ху) г. №
66
со завер-
х
+
102”
°
получим неравенство
неравенство (ху) г <
3.7. Операция умножения и правило знаков. Определим произведение любых чисел из К! посредством известного правила знаков,
чтобы сохранить привычные законы операций сложения и умножения.
Противоположное число (—х) определяется по х однозначно.
Действительно,
если
а = —х, 6 =
—х,
TO
(a+x)+60=04+6=b=a4+(x+
0) =a+0=—=a.
Для
установления
свойства дистрибутивности
дует считать,
умножения
сле-
что Ух > 0
(—1) х = —х. Действительно,
х- (—
1) х=1Т.х(-—- х=0.х=0.
Пусть у < 0, х_> 0. Для сохранемия свойства ассоциативности
умножения следует считать, что ух = (—1 . |и]|)х = (—П]у|х
Xx=—|y|- x. Аналогично будем считать, что ху =|х||иу|в
влучае, когда х < 0, у
0.
Определение.
Пусть хе В: ис В!:. Их произведением
называется число ху = |х||и| $61 х зп у.
Это определение называется правилом знаков при умножении.
Отметим, что всегда — (х + и) = —х + (—и), — &— и) = —х +у.
Теорема.
Пусть
х Е №1,
уе +,
26 В.
Тогда
(ху) г = х (уг),
Те х=х ха
= ху-хг.
Ecau x0,
mo 4x7: xx =
= x-ly = 1
<q Первые три утверждения следуют из свойств умножения неотрицательных чисел и правила знаков. Докажем четвертое утверждение. С помощью правила знаков оно сводится к доказательству ра-
венства
|х|(и| + |2) =|х| || -+|х|[2],
если
sgn y=
— еп г, или к доказательству равенства 1х
(и|—|2}) =
—=[х||и|—|х||2|, если зп у = —зеп г. Не ограничивая общ-
ности, во втором случае можно считать, что |у| >|2|.
Доказательство этих равенств приведено в предыдущем пункте. д
Таким образом, доказано, что В1 является полным упорядоченным полем и его можно рассматривать как одно из возможных представлений абстрактного пространства В. В частности, для последовательностей из В! справедливы все теоремы из § 2.
3.8. Несчетность множества действительных чисел.
Представление пространства В посредством бесконечных десятичных дробей
позволяет доказать следующее нетривиальное утверждение, принадлежащее Кантору.
Теорема (о несчетности множества точек сегмента
мент [0, 1] He является счетным множеством.
[0, 1]). Сег-
Ч Допустим, что утверждение теоремы несправедливо. Тогда все
числа сегмента [0, 1] можно записать в виде последовательности
x,
=
0,
(1)
(1
ai’as?
...,
—
Построим
3°
0,
X,
=0,
аа (71)
(2)
aja
оо
д
последовательность чисел
0, аа. ...
С
офф
вое
)
coe
y
Ад
=
(1)
(2)
67
по следующему
правилу:
0, если а®
> 5,
8, если а < 5.
Бесконечная десятичная дробь (2) представляет действительное
число х Е [0, 1] и не встречается в последовательности (1). Получили противоречие, источник которого в предположении, что сегмент [0, 1] является счетным множеством. }
$ 4. Комплексные
числа
4.1. Определение комплексного числа. Рассмотрим
плоскость В?
и каждую
ее точку
2= (x,y),
ХЕК,
УЕВ,
будем
считать
вектором. В соответствии с этим определим модуль = и операцию
сложения 2, = (%1, 41), 2 = (Xq, Yo) по известным правилам для
векторов (рис. 40):
[8]= Уи,
&=д=) © (х= мл, Лу=и РУ»). (1)
Согласно теории векторов на плоскости, = можно разложить по
векторам `1 = (1, 0) иё = (0, 1) (рис. 41):
=х.1-Ну. 8.
(2)
Возникает
вопрос,
можно
ли, сохранив
равенства
(1) и (2), опреде-
ляющие операции над векторами, ввести операцию умножения точек плоскости В*, превратив их в числа, называемые далее комплексными? Требование сохранения равенств (1) и (2) является существенным. Без них мы могли бы взять обратимое отображение К на
В2 и принять его за изоморфизм упорядоченных полей, превратив
В? в мало полезное для приложений представление упорядоченного
поля действительных чисел.
Будем
считать
вектор
{1 единицей
операции
умножения.
Тогда,
принимая во внимание равенство (2), для положительного ответа на
поставленный выше вопрос достаточно правильно определить произведение ф. 5 =. Поскольку 1. & = В, т. е. точку (0, 1) получим
из точки (1, 0) поворотом плоскости К* против хода часовой стрелки
на
угол
п
>
то
полагают
(3)
68
Известно, что не каждое квадратное уравнение (не говоря о более
сложных) имеет решение в множестве действительных чисел, например, уравнение х? - | = 0. Поэтому, вводя новые комплексные
числа, расширяют классы уравнений, имеющих решения. Этим объясняется важность вводимых в рассмотрение комплексных чисел.
Пользуясь равенствами (2) и (3), запишем для 3 == (х, и) соотношения
z-i=(x-Ity-)i=—y-l+x-t=(—y,
д).
(4)
Точка (— у, х) получается из точки (х, у) поворотом пловкости
В? против хода часовой стрелки на прямой угол (рис. 42). Поворот
на другой угол можно будет вадать в помощью умножения не на $,
а на другое комплексное число. Сказанное еще раз подтверждает
важность для математики комплексных чисел. Прибегая к ним,
можно изучать важнейшие преобразования плоскости! сдвиг, поворот, гомотетию.
Теперь вапишем правило умножения точек плоскости К*. Имеем
(X14, Ys) * (Xoo Yo) = (же
— 19)
(X1, Yr)
Определение.
ТИ
> Е-
(1-9
= (м.—
(%12 - ху.) В
(Х»» У2) = (1х. — И1Уз,
Числовая плоскость
(5)
ХУ» + Xa).
В? называется
комплекс-
ной
плоскостью
(,, ебли для ее точек определены модули,
операции сложения и умножения по формулам (1), (5). Точки комп-
лексной плоскости называются комплексными
чивлами.
Множество действительных чисел определяется однозначно лишь
с точностью до изоморфизма. Поэтому комплексные числа х . I,
где х с В, дают другое представление
числовой
прямой
В и вполне
могут быть приняты за действительные числа. Таким образом, комплексные числа содержат в себе все действительные, т. е. (; > В.
Отметим, что комплексные числа так же, как и действительные, определены однозначно лишь в точностью до изоморфизма.
Упрощая запись, вместо х . 1 будем писать х. С той же целью
будем писать й/ вместо у - t. Тогда комплексное число 2 == (х, и)
принимает вид г = х -- й, хХЕВ, уЕВ. Числа х и у по традиции
соответственно называются действительной и мнимой частями комп-
лексного числа г и обозначаются символами х
Таким образом, комплексное число г = (х, у)
упорядоченную пару, комплекс, составленный
чисел х и у («комплексное» — составное).
Число 2 = х — й/ называется сопряженным
и обозначается через 2 (иногда через 2*).
= Кег, у = [т 2.
представляет собой
из действительных
числу 2 = х
+ ‘iy
Необходимо проверить, образуют ли комплексные числа поле.
Очевидно, операция сложения удовлетворяет требуемым аксиомам,
поскольку отвечает операции сложения векторов. Читатель может
проверить аксиомы сложения, не прибегая к векторам, а исходя
из определения суммы посредством равенства (1), п. 4.1. Непосредственная проверка выполнения аксиом. умножения и аксиом,
69
.
Yh
(-0, x)
—
ony X
|
|
\-———
|
`
-у
Pue.
|
|
0
x
м0)
x
42
Puc.
43
связывающих сложение в умножением, приведет к громоздким выкладкам. Этого можно избежать, если ввести другие характеристики комплексного чиела.
4.2. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная
формы
Определение.
вектором
его записи.
//усть 2 Е (; Л 2==0.
точки г и единичным
вектором
Угол
ф между
действительной
радиусом-
оси назы-
вается аргументом
числа г (рис. 43).
Аргумент числа г Е (;, определяется неоднозначно, а в точностью
до кратного 2л. Множество всех значений аргумента г обозначается
через
Агро г. Если
фЕ Аг8 2, то Аго
г = {ф- 274 |пП6Д).
Агс 0 примем множество всех действительных чисел. Иногда Агв 0
не определяют.
Принимая во внимание связь между декартовыми и полярными
координатами точки (х, и) плоскости В2, имеем
x=rcosg,
y=rsing,
(1)
re x = Rez, y = Imz,r=|z|, ФЕ Аго г. Из равенств (1) получаем тригонометрическую форми записи комплексного числа!
Л. Эйлер
Запись
= 7 (с0$ф
-- 151 $), ФЕАгог, г=|2|.
ввел в расвмотрение показательную функцию
ge? =cosg-+ising, PER.
комплексного
числа
в показательной
форме
(2)
(3)
имеет вид
= re’, r=|z|, pe Argz.
(4)
Следующее утверждение устанавливает основные свойства покавательной функции, определенной формулой (3).
Теорема 1. Пусть ф Е В, ФЕВ, ЕСД. Тогда справедливы равенства! 1) е!-8 =
1
— 2;
112)
е®
. ef) = etlOtY); 3) elot2km
= eto; 4) №
=
5) [29| =
Указанные равенства непосредственно следуют из формулы (3)
и свойств тригонометрических функций. Докажем равенство 2). [lo
определению имеем
ее! = (cos p + é sin @) (cos p + 29 1) = (с0$ ф со$ фр —
70
— sin @ sin) +
и
-- 1(9п eos @ + sin pcosfp) =
=
е(Ф--Ф),
|2/ +22]
p) =
= с0$ (ф - tp) + 1 эт (ф №
но упростить операции умножения
деления комплексных чисел. Если
TO
и
5%$
>
|
777/
Показательная форма записи комплексного числа позволяет значитель-
>
Рис. 44
г: = ие, 23 == Ге, Г, = [2/|, ФЕ АгЕг, (=1, 2),
(5)
2122 == (Г.Г) е ФФ».
(6)
Таким образом, для вычисления произведения комплексных чисел
нужно перемножить их модули и сложить аргументы. Из формулы
(6) следует, что все аксиомы умножения чисел выполнены.
Модуль
комплекеного
числа
|2| = Их? -
у? . удовлетворяет
всем требованиям, которые были названы основными в п.
1.6. При
этом неравенство треугольника имеет простой геометрический смысл
(рис. 44). Понятия ограниченной и бесконечно малой последовательностей, а также их символы о (1), О (1), выраженные через модуль
числа, остаются без изменения для комплексных чисел. Сохраняются
также теоремы об арифметических
операциях
над пределами.
можно добавить следующее утверждение.
Теорема 2. (2, — 2) > (Кег, > Re z) A (Im
п >
©.
<q Необходимость.
венств
Пусть г„- 2. Тогда | г, —2г
|Rez, —Rez|<|z,—2],
z,—~ Шш
|-> 0
|Imz,—Imz|<|z,—z|]
К ним
2)
при
и из нераVaeN
следуют требуемые свойства
Rez,
— Rez, Imz,—>Imz.
Достаточность. Пусть
Ве г, > Вег,
ш 2. -> ш 2. Тогда
|2. —2| = (Вег,
— Ве 2)* -- ([ш г.
— ш 2-0 при п- о,
те.
2. >22.
>
Показательная форма записи комплексного числа значительно
облегчает операцию извлечения корня из числа. Если 2 == ге®,
г =|2|,
ФЕ Аг 2, пЕ\\, то
nee
Следовательно,
(Иге
числа
a
Иге
р
g+2kn
t
ф-Е2Ал
"
”
)” =
гей
— 2,
(k=0,n—l)
(7)
nro
являются п различными вначениями У2 и имеют один и тот же
модуль, в силу чего расположены ва окружности |2| = Ут
п
ат
a
>]
71=[-.
MKS
.
|
Zz=-i
Рис.
45
Рис.
.
|
46
(рис. 45). Они делят окружность на п дуг, имеющих одинаковую
длину. Если известно одно из значений У 2, то остальные значения
»
1
2л
i —
4m
| —.
2
(n — 1
то
можно получить, умножив его на числа е
",е п,...е
"
,
п
которые
являются значениями У 1.
С помощью формулы (3) можно выразить тригонометрические
функции через показательную:`
е® = со; ф
15 ф, с = с05ф
— [п ф,
:
с0$ ф =
Равенства
iD
+
(8) называются
е—1Ф
.
1Ф __
формулами
‚ ‚ В гл. 4 будет определена
›—Ф
, sing =.
Эйлера.
показательная
функция г
(8)
=» 6?, 26,
И формулы (8) будут использованы для продолжения тригонометрических
функций
Рассмотрим
в комплексную
несколько
Пример 1. Вычислить
плоскость.
примеров.
(1 -- ТУ 33°.
_
Требуется вычислить 23%, где г = 1-1 Уз. Воспользуемся
формой записи комплексного числа. Имеем
и
Кег
]
[12| = ИТ
3=2, с0$ ф =
7
= T
sing =
и
= +3
2=е
Ange = {2+
2k
показательной
ee zl
ja
3, 280 = 2306107
— 080,
Пример 2. Вычислить УТ
Обозначим 2 = 1. Тогда |2 | = 1, Агв 2 == {26 |6 2}. Полагая в (7) ф = 0,
получим
(рис.
Пример
46)
3. Решить
ob
гь =е
уравнение
д
4
vw k = 0,3.
28 -- | = 0.
,
(д--2кл)
Решениями этого уравнения являются комплексные числа 2» =
6
Vk= 0,5. Действительно, —1 =е 1“, Осталось воспользоваться (7), где п =
=
6,
.Ф
=
т.
Операции сложения и умножения чисел — основные в математике. Они
определены в $ &, 3, гл. 2, для двух
слагаемых
и могут
быть
распростра-
нены по индукции на случай, если их
конечное число. При этом сохраняются основные свойства суммы и произведения, рассмотренные в гл. 2,
Наша главная цель — определить
понятие суммы и произведения чисел
в общем случае, в том числе когда
множества слагаемых и сомножите-
лей,
СУММА
И ПРОИЗ:
ВЕДЕНИЕ
ЧИСЛОВОГО
СЕМЕЙСТВА.
ЧИСЛОВОЙ
РЯД
И.
БЕСКОНЕЧНОЕ
ПРОИЗ:
ВЕДЕНИЕ
входящих
в
них,
бесконечные.
Для этого вначале исследуем объект
(числовое семейство), которому впоследствии поставим в соответствие числа — сумму и произведение этого семейства. Затем исследуем их свойства.
В итоге решим одну из главных проблем математики, связанную с операциями сложения и умножения.
$
1. Сумма
чисел
иее
семейства
свойства
Вместе с суммой
чисел будем рассмат-
ривать множество, составленное из ее
слагаемых. Если все слагаемые различны, то их сумма
является одной
из возможных характеристик множества. В этом случае указанное множество и есть тот объект, которому следует поставить в соответствие
число — сумму всех его элементов.
Если среди слагаемых встречаются
равные, например
1
1+
+2um2+2-+2+41+1,
суммы
различны,
To 5TH
а множество слага-
емых {1, 2} одно и
то
же.
Значит,
тот объект, которому требуется поставить в соответствие сумму, является
более общим,
чем
множество.
Выход из указанного затруднения
состоит в следующем. Выберем ка-
‚ кое-нибудь множество А, содержащее
столько
элементов,
слагаемых,
и
сколько
занумеруем
имеется
слагаемые
‘элементами этого множества, В резуль73
тате получим объект, который называется семейством элементов.
Ему и будем ставить в соответствие число — сумму семейства.
1.1. Определение числового семейства.
Определение. /7Тусть фиксированы множества А и М. ОтображениеА —
М называетсясемейством
элементов
иобозна-
чается через (хо)осд или, короче, через (хо), где хо, == | (“)
Элементы
множества
А
называются
индексами,
Хх
Е М считается занумерованным
Рассмотрим примеры.
Пример
1.
Слагаемые
суммы
Vaca.
а элемент
индексом
1-1--1-+2--2
образуют
а.
семейство
(Хо)ас д» ®СЛи в качестве А взять множество {1, 2, 3, 4, 5}, полагая затем х„, = 1,
когда @ == |, 2, 3, их, = 2, когда а = 4,5. Те же слагаемые можно превратить
в другое семейство, взяв А =
{1, у2,
УЗ, 2,
V 5}
H Nonaraa x, =
1 при © =
1,
V2,
V3, X,
= 2 mpu a= 2, V 5.
Пример 2. Упорядоченный набор (х1, хе, хз) элементов множества М можно
считать семейством элементов с множеством индексов А = {1, 2, 3}.
Пример 3. Последовательность (х„) является семейством элементов с множеством индексов А = М. Ее п-й член занумерован индексом м С М.
Пример 4. Функция у = зп х, |х| < л, есть семейство чисел с множест.
zt
л
вом индексом А = |—л, л[. Число $т >=
| занумеровано индексом >.
Пример 5. Семейство (551 Хх) ев содержит
бесконечное
множество чисел
1, занумерованных индексами х > 0, бесконечное множество чисел (—1), занумерованных индексами х < 0, и число 0, занумерованное индексом х ==0.
Семейство
(хХо)осд
называется числовым, если Хх
©
УоасА.
Говоря о семействе элементов, а не о функции, будем стремитьвя сохранить традиционно сложившуюся терминологию, корда речь идет
о сумме всех значений функции.
1.2. Определение суммы семейства неотрицательных чисел. Интуитивно ясно, что сумма неотрицательных чисел должна быть неотрицательной, возможно равной -+-90, и не меньше суммы любого
конечного числа слагаемых из данного семейства. Это свойство позволяет ввести понятие суммы числового семейства. Точки хЕ К будем называть числами.
Определение. //усть Ох
+,
Оз < to
Vaca.
Число х называется cy mMmod
40208020
семейства
(х«доса, если х = зир 1», a) Xn {| AM CA
значается
При
ТЫМИ
У, Хо или,
aeA
рассмотрении
обозначениями,
А = №, или x
короче,
сумм
A AO — конечное, и обо-
>, Ха.
часто
например,
будем
вместо
пользоваться
>
Хо
писать
общеприня—оо
У
|
Xn,
CCH
Xo, ecw A = {1,2,...,2) 47. 2.
Сумма любого непустого семейства неотрицательных чисел всегда
существует в силу теоремы о существованыи верхней грани в К.
74
Сумму пустого числового семейства будем считать равной нулю.
Таким образом, любое семейство неотрицательных чисел имеет сумму. В дальнейшем будем пользоваться сокращенной записью
sup
У»
АП) ge ACL)
ха= sup | MY
xafAPCAA А › — конечное,
ac All)
варанее указав в тексте свойство множества АЗ.
.
С
Пример 1. Вычислить
1
>) 1.
neN
Сумма произвольного конечного числа единиц есть натуральное
скольку зир М = +со, то, согласно определению.
число. По-
У | = + с».
nen
Пример
Сумма
2. Вычислить
‚
произвольного
1
оп
У
ПЕМ
конечного
]
ол,
числа слагаемых
]
+
оп:
+
e@e6
1
+
Om
THE My, «6, Mm— Попарно различные натуральные
нии 7 наибольшее значение (1) есть сумма
|
|
Согласно определению суммы
у,
имеет вид
ъ
(1)
числа.
1
тя.
При
заданном
значе-
]
числового семейства, имеем
l
оп
(1
==)"
пЕМ
1.3. Простейшие свойства ‘суммы семейства неотрицательных
чисел. Убедимся в том, что сумма числового семейства обладает основными свойствами сумм конечного числа неотрицательных слагаемых.
Теорема 1 (об аддитивности суммы). Если УяЕА
Хх» > 0, у >
== 0,
то
_
У,
(хе + уа)= яY А tat acA
¥ ya.
ие
(1)
Пусть ДА? — конечное подмножество множества А и
х=
Тогда
Уха,
>, (ха. - уа) =
ac All)
у=
ое А
у Ха +
ae All)
У
ое А
ие.
> ия у.
ac All)
В силу произвольности множества ДА® получим
By, Wat
Ya) St
+ Y.
(2)
Если левая часть неравенства (2) равна --со, то оно превращается
в требуемое равенство (1). Пусть левая часть неравенства (2) ко-
нечная.
Тогда
хо < +0
и у, < +%
УаеА.
Кроме
подмно-
жества Д®) возьмем еще одно произвольное конечное подмножество
A® <A. Согласно свойству сумм конечного числа неотрицательных слагаемых, выполняются неравенства
У Xa +
>, Ус >
У
Xe +
У,
Ye =
ae All)
ac Al)
ae Al) y Ae
ae Al2)y Al)
+ Ya)
т.
У,
(ха -Е
ae Atl)
y A(2)
у (Xa + Ya),
иеА
е.
у,
Хо Se »,
ace All)
(Хо +
Ya) —
у,
Усе.
ac Al2)
(3)
Фиксируя множество ДА®, перейдем в неравенстве (3) к верхней
грани по всём конечным множествам А“ < А. Получим оценку
KS
ру
(Xa + Ya) —
<
Согласно
определению
(2)
Е
»
(2)
Ус,
(ха + ус) — x.
верхней
=зир
>,
ac Al2)
Грани
у
(4)
множества,
имеем
© (Xo.+ Ya)
— м,
откуда
x+y<<2 (Xa + Ya).
(5)
Из (2) и (5) следует требуемое равенство (1). p>
Теорема < (об аддитивности суммы по индексам суммирования).
Пусть УаЕА
О<х<-,
А,СА. Тогда
Уха
ие А
{
Равенство
Vat€A
X<
очевидно,
+o.
=
если
Полагаем
0,
Из равенства
и теоремы
=~
oe
1 получаем
K
(0)
ж +
среди
У
GEA
Ag
Хх» есть
же.
равное
(6)
-+-oo,
=
ecm a€A\ A).
(7)
0, een a€Abp,
Хо, если «С А\\ А»
У! ха = », (x0 + (ta
— x2) = p> xo + > (жь
— ко).
aca
Пусть
Хо, если % Е Аз,
Ха(0) ==
Xa
У
aE Ao
(8)
В
0
В силу равенства (7) семейства
(хо)асл, и (хо)аед
имеют одни и
те же ненулевые члены, поэтому их суммы равны между собой.
То же самое можно утверждать и о семействах (ха)аедхл, И (Ха —
— х®) сд. Поэтому равенства {6) и (8) равносильны. д
Доказанная теорема позволяет при вычислении суммы произвольного семейства неотрицательных чисел вначале сложить любые
слагаемые, затем все остальные и взять сумму полученных результатов.
Теорема 3 (о монотонности суммы). Если УаЕА
OS Xx
< Ио <
+,
mo
у
acA
{ Можно считать,
теореме 1, имеем
Хо, <
ITO VaFECA
у
acA
Ус.
(9)
0<лхь < и < +o.
Согласно
= аЕА
У (и — ха + ха) = aceA
У (у,
— хо) + aecA
У tao QacA
У ха. D
Доказанная теорема позволяет складывать любое количество
неравенств между неотрицательными числами, в том числе и бесконечное.
Теорема
Если ЧаЕА
4 (о монотонности
суммы
О0<хж
< +o,
ое Ао
Ay А,
ха
по индексам суммирования).
то
Хе
(10)
Утверждение следует из равенства (6). p>
Эта теорема устанавливает, что сумма части неотрицательных
слагаемых не превосходит суммы всех слагаемых.
Теорема 5 (о положительной однородности суммы). Если А > 0,
Ох
< +®
УаЕАД,
то
У Аха
= АУ, да.
QacA
%
(11)
QEA
Здесь и далее считается 0 + (+00
со) of 0.
При ^, = 0 равенство (11) очевидно, Пусть & > 0 и А® — ко
нечное подмножество множества А. Тогда
У,
acAll)
Axa =
A
>
va Sh
ac All)
dy
Хо.
Поскольку множество А® — произвольное, то
У Ах. < АУ а.
aca
aca
(12)
bo,
Заменим в неравенстве (12) ^, на + ‚ Хех на Ахе. Получим
УAeA ж=У
aeA
(axa) <<}aca Mas
77
т. е.
ЛУ
xaxУ
aca
Axa
ие А
(13)
Из неравенств (12), (13) следует равенство (11). >
Таким образом, правило вынесения постоянного множителя за
внак суммы сохраняется и в общем случае, что обобщает закон дистрибутивности умножения относительно операции сложения.
1.4. Замена индекса суммирования. Убедимся в том, что сумма неотрицательных слагаемых не зависит от способа их нумерации.
Теорема (о замене индекса суммирования). Лусть ф — биекция
множества
УВЕВ
венство
О
А
и
на
множество
< +
В.
Если
и УаЕА
Wa€CA
из
= хо,
OX
XR
+H,
то справедливо ра-
di xa = Ху.
(1)
ВЕВ
QacA
Поскольку ф — биективное отображение множества А на множество Ви УяЕА
ид = Хо, то множества сумм конечного числа
слагаемых семейств (Ха)аел И (Ув)вев совпадают, в силу чего выполняется равенство (1). №
Рассмотрим примеры.
m--l
У,
.
==?
Пример
а»
1. Применить
б<а, <<
Отобразим
множество
.... т} с помощью
теореме, получим
биекции
теорему
о замене
Уп=2,
т
индекса
{2, 3, ..., т--
А —-
В,
где
m+1
Пример 2. Пусть s=S aay
пЕА
Полагаем ф (т) = т?
У тЕА.
жества А’ на М. Тогда получим
1}
на
множество
ф (п) = п— {1
В == {1, 2, ...
УпеЕАД.
Согласно
m
Y m=)
n=2
к сумме
1.
.
А =
суммирования
k=
epi.
де А= {т|т= ИЕ #6М}.
Отображение ф
является
биекцией
мно-
= пт.
1.5. Двойные и повторные суммы. Теорема Фубини — Тонелли
для неотрицательных чисел. В математике часто приходится перемножать суммы. Это приводит к необходимости ввести в рассмотрение понятие двойной суммы.
Определение. //усть А и В — множества, Г
АХ В. Тогда
сумма
У,
yer
78
ky =
у,
(a, Ber
X(a.,B)
(1)
называется
двойной,
2
называются
Здесь
а суммы
у,
Увы
BET, (a)
x
повторными.
Г,, Г. — первая
у,
BEF.
и вторая
\wers(B)
Ков
проекции
(2)
множества
Г, Г, (a),
Г. (В) — первое и второе сечения множества Г посредством элементов @ и В (см. п. 1.7, гл. 1). В повторных суммах (2) различают внутреннее и внешнее суммирования, причем первое из них производится
по сечению множества Г, а второе — по соответствующей проекции.
В двойной сумме (1) операция сложения производится одновременно
по двум индексам и в этом ее отличие от повторных сумм.
Теорема (Фубини — Тонелли). Если У (а, ВЕГ
0=<хеь =
< +,
то справедливы равенства двойной и повторных сумм,
У
—
(а,В)ЕГ
X(a.p) =
(
х
У
=
о.)
У
aéer, \ BET (&)
Bers
er
(3)
ев).
<q Докажем первое равенство. Второе доказывается аналогично.
%
Пусть Г* — конечное подмножество множества Г, Г, — первая
проекция Г*, Г; (&) — первое сечение Г* посредством &. Согласно
свойству суммы конечного числа слагаемых, вытекающего из ассоциативности операции сложения, имеем
Ф
xan =
У ( >,
(©, В)ЕГ®
аЕГ"
Bel (a)
Xa, „) <
< У
У
acer, \BeET, (a)
В силу
произвольности
венство
выбора
У
(@,ВЕГ
Х(о.в) 5
у .( Se Же.) <
Г
a6) -
множества
х
(
(4)
Г*
справедливо
Ух Же.в.
нера(5)
aeP, \ BET (a)
Пусть Г! — произвольно выбранное конечное подмножество множества Г\. Для каждого & 6 Г! выберем произвольное подмножество
Г, (x) множества Г; (&) и образуем множество Г* = {(а, ВЕГ|%Е
Е Г
Л
ВЕ Tr ()}.
Заметим,
что
Г!
является
первой
множества Г*, а Г! (&) — его первое сечение посредством
вательно,
у .
у
ar, \ persia)
Х(а,В) \ —
bs
(a, B)E
*
Жо,в) <
№ r Х(а, В) ›
(a, BE
проекцией
%. Следо(6)
*
Фиксируя множество Г! и пользуясь тем, что Г! (&) выбраны ироизвольно, перейдем в неравенстве (6) к верхней грани по всем множествам Г; (©). Получим
s
». (. У
eB)
er X(@,B)*
(7)
79
В неравенстве (7) перейдем к верхней грани по Г! и результат
сравним с неравенством (5). При этом убедимся в справедливости
равенств (3). №»
Равенства (3) будем в дальнейшем называть формулой Фубини.
Следствие
(правило умножения сумм неотрицательных чисел). Пусть
0 < хх. < о
УчЕАД, О<ц<о
УВЕВ.
Тогда
(>acA a) (
у} =
ВЕВ
У
жж.
(a,B)EAXB
{ Полагаем Г
= А ХВ.
Тогда
Согласно формуле (3), имеем
Г, =А,
(8)
Г, (9) =B
Vaca.
Хоув = У, &, тов)
(а,ВЕАХВ
(9)
С.) 34») - (8).
во
По теореме 5, п. 1.3, получаем
Из (9), (10) следует равенство (8). >
Пример
1. Изменить
порядок суммирования,
со
если У (т, п) 6 №?
27—1
S=}n=1 ( \p—on—l
У,
‘nn
Xm
ny = Oe
Здесь Г. = М, Го (п)= (mEN |] 22!< тж 2”}, Г == {(т, п) 6 №12"!<
<m<2"}, T}=N, Ty (m)={n€N| grt <т<2"} = {По т-Е И}. Из-
менив
порядок
суммирования,
получим
$ = У! хил), ГДЕ пт = [ов
т ++ |,
т=1
‚Частный
случай
этой
т
формулы
со
Qn}
У[
будет
использован
Га
=
{(т, )ЕМ*|тгпт},
формула
М,
Xun, o}
Г.
(п)
=
Г. = М, Г!
хип)
20
У (т, п) Е М. Изменить
{n,
n+],
... }›
(т) =(n€N
[2 <m}
уУтЕМ.,
имеет вид
$
80
(11)
mn
порядок суммирования.
Имеем
Искомая
ж=Уж
в дальнейшем.
Пример 2. Пусть $ = у (2
=
со
У
=
у
(ини).
(12)
Отметим, что
чисел (см. теорему
бини — Тонелли.
гаем УячЕ А Хо
свойство аддитивности суммы неотрицательных
1, п. 1.3) можно считать вледствием теоремы ФуДля доказательства этого утверждения пола= хам, Иа = Хою. Тогда формула
2
У,
(У
acA
мым)
\k=l
=y
2
k=!
(У
Xin)
\acA
(13)
является одновременно частным случаем формулы (3) при Г. = A,
Г. (*) = {1,2} и другой формой записи свойства аддитивности
суммы. Формулу (3) также можно рассматривать как обобщение
свойства сочетательности суммы конечного числа слагаемых. Это
видно из следующего примера.
Пример 3. Пусть
последовательность (т„) натуральных
и Пт т, = --со. Тогда справедливо равенство
чисел
возрастает
fiw oo
со
т,—1
У,
n=1
rmem=1un
Имеем
УтЕМ
Xm
[> 0.
У (т, п) 6 №
“(тьп) == Ат,
со
У,
tn)
\m=mpy_}
(т
Г. =
М,
<< Mm <
У,
Ат»
(14)
mp)
Го (п) = {пЕМ|
т <т<т)},
T= {(m, ne N*1m,_)<m < my},
Г: =
где п„ — такое
<”,.
Применив
М,
Г! (7) = (ПЕМ|
единственное
формулу
Я
число,
т <т<тн}
зависящее
(3) к равенству
оо
m,—l
n=!
\m=my,_]
=)
(14),
оо
m=!
от
= (йт},
тЕ
М,
что
My
I <m<
получим
(=)
3 ae
оо
\ne{n}
m=!
Отметим, что равенство (11) является частным случаем формулы (14) при
Mm, = 2", пе М. Формула
(14) является обобщением закона сочетательности
в случае, когда неотрицательные слагаемые образуют числовую последовательность (хи).
1.6. Суммируемые семейства действительных чисел и свойства
сумм. Сумма конечного семейства действительных чисел обладает
важными для приложений свойствами ассоциативности, коммутативности, дистрибутивности. Дадим определение суммы произвольного
семейства
(хо)оед
действительных
чисел,
не
противоречащее
определению суммы конечного. числа слагаемых и такое,
указанные важные свойства сохранялись. Для вычисления
У, же
(1)
ЧЕЛА
поступим следующим
тельных слагаемых
образом:
3
вначале найдем сумму всех положи-
У, хЕ, затем сумму модулей
aca
чтобы
о
всех
отрицательBf
ных
слагаемых
У
хх
аЕА
и, наконец,
разность
у xt —
@EA
У хх,
ЕА
Xt, Xq — положительная и отрицательная части чиела хо (см. п. 1.6,
гл. 2).
Разность
+
у
Ха
aga
лишена смысла, если
У, xo
=
aca
—
=>
у
atA
+
Л
Ха
(
У
Ха ==. --со. Поэтому
acA
2
при
определении суммы (1) предполагаем, что хотя бы одна из сумм,
входящих в выражение (2), конечная.
Определение. Суммой
(1) семейства
дейдвтвительных
чисел
(хХо)аел называется разность (2) при исловии, что она имеет смысл. Семейство (хо)аед называетвя в уммируемым,
если его вумма конечная.
Класс
всех суммируемых
семейств
действительных
чисел с мно-
жеством индексов А обозначим через [ (А).
Теорема 1 (критерий суммируемости). Семейство (хо) Е [(А) тогда и только тогда, когда
У, [ха | < +00.
(3)
сеА
{ Разность (2) имеет смыел и отлична от -- со тогда
когда
(4)
У жж.
У жж <,
QacA
Так как\У %2 ER
и только тогда,
aca
| x. | = xd + ха, то неравенство
но
(3) равносиль-
неравенствам (4).
Убедимся в том, что для семейств действительных чисел из [ (4)
справедливы утверждения, аналогичные теоремам, доказанным в
п. 1.3—1.5. Вначале докажем лемму.
Лемма.
Пусть
семейства
неотрицательных
чисел
(Ио)асл,
(ел симмируемы. Если YaEA
Xq = Ua — 9%, те (хо) СТ (А) и
справедливо
равенство
у,
иеА
4
Ха =
У; Ив — У, Va.
acEA
(5)
aEA
Суммируемость семейства (хо)асд следует из неравенства
у.
GEA
[ Ха| == у,
QacCA
Поскольку
| Ue —
Xt —
Чо | < У,
aga
(Ua + Ча) = у,
Xo =: Ца
— Оо,
aga
Xo 1 0
Иа + у,
м
a¢A
= но -- ха
Va <= + 00.
WatA,
To
в силу свойства аддитивности суммы семейства неотрицательных чисел (см. теорему 1, п. 1.3) получаем
Yo
aca
82
t+ aga
Yo v= ОА
Yi vat YS[73 xe.
(6)
)
Так как все вуммы, входящие в равенство (6), конеччые, то оно равносильно равенству
Уж
aed
ха = У,
acA
Иа —
acA
У
Ох.
QacA
(7)
Пользуясь определением суммы семейства действительных чисел,
окончательно имеем
У ха =У,
acA
aca
ta — Dy Vo.
Теорема 2 (об аддитивности суммы).
Е1 (А), то
(ха - ус) € 1 (A)
у,
aca
<
Если (ха) ЕТ (А), (Чо) €
u выполняется
(Xa + Yo) = У,
acA
равенство
Xa + У,
У.
acA
(8)
Согласно теореме 1, п. 1.3, вправедливы равенства
YM od tyf=¥
aca
acA
+d
acA
gt,
У жи = acA
Учи.
acA
QacA
Вычитая эти равенства и применяя лемму, получим (8). >
Теорема 3 (об аддитивности суммы по индеквам суммирования).
Если семейство действительных чисел (хо)аед суммируемо и А, < А,
то семейства
равенство
(ха)аелдь» (ХадосАЗА, Также
У
aca
ж=
У
Я Ао
ж-+
суммируемы
У
aEA\Ao
xa.
и выполняется
(9)
Согласно теореме 2, п. 1.3, имеем
Уж=Уж+
AEA,
Уд,
ЯЕА
Vue
#713
acA\ Ao
Yat
ас А,
Y}
acA\ Ap
«=.
(10)
(11)
Вве вуммы, входящие в равенетва (10), (11), конечные, поэтому семейства (Хо)аедь» (Ходас лол, СУМмируемы. Вычитая из левой и правой
частей равенства (10) воответетвующие части равенства (11) и принимая во внимание определение веуммы семейства действительных
чисел, получим равенство (9). №
Таким образом, вычиеляя вумму произвольного еуммируемого
семейства действительных чисел, можем еложить любые слагаемые,
ватем все остальные и взять вумму полученных результатов.
Теорема 4 (о монотонноети вуммы). Лусть (хо) © [Г (А), (и) 6
Е1 (А). Если УвЕА
хо
< ус, то
| У, Ха
2 You
(12)
83
{
Согласно теореме 2, имеем
у,
СА
Ja = у,
QaéA
(У«
— Xa + Xa) = у,
(Ух —
(ЕЛ
Xa) + У,
aeA
Ха >
У
QEeA
Xo.
Следовательно, при выполнении условий теоремы можно складывать любое количество неравенств между действительными чиелами.
Теорема 5 (об однородности суммы).
то (^Хо) © 1 (А) и справедливо равенство
Если
(хо) ЕТ (А), ЛЕВ,
», hte = Py Ха,
q
(13)
Пусть ^ >> 0. Используя теорему 5, п. 1.3, получим
у,
аеА
(Аха)” == у,
иЕА
Аха
= А У,
Xe y
(14)
у Xn.
(15)
ЯЕА
Y (Axa) = иеУ А А =А
ОЕ А
acA
Из равенств (14), (15) следует равенство (13). Чтобы убедиться в этом,
достаточно взять их разность.
Если
А <
0, то,
очевидно,
У, (Ахат = У (—A) xg =(—A) YS od,
(16)
У Оха) = ¥ (—ay xd =(—A) & od.
(17)
aca
acA
QacA
acA
acA
acA
Если из равенств (16) вычтем соответствующие части равенств (17),
то получим доказываемую
формулу.
}№
Таким образом, для суммируемых семейств действительных чисел справедлив закон дистрибутивности умножения относительно
операции сложения.
1.7. Замена индекса суммирования. Убедимся в том,что свойство
вуммируемости семейства действительных чисел и его сумма не вависят от выбора множества индексов.
Теорема (о замене индекса суммирования). /Густь А, В — множества, ф — биекция А на В. Если (хо) © Г(А) и УчЕА
уж =
== Ха, то семейство (Ув)вев имеет ту же сумму, т. е. справедливо равенство
У ж= У yp.
acA
Согласно теореме п. 1.4, справедливы
у,
acA
(1)
ВЕВ
xt =
х
равенства
ХВ»
YM xz = ВЕВ
Yo xa, @(B) =
сел
Из левой
и правой
частей
равенства
(В).
(2) вычтем
части равенства (3). Получим равенство (1). p>
84
(2)
(3)
воответотвующие
1.8. Равенство двойных и повторных сумм действительных чисел. Формула Фубини из п. 1.5 остается справедливой для любого
суммируемого семейства (ха, в))(«.вег действительных чисел.
Теорема
(Фубини).
Пусть
А,
В — множества,
Г <: А Х В,
Г; и Г. — первая и вторая проекции множества Г, Г (“), Г. (В) —
его первое и второе сечения посредством © и В. Если (хев) ЕЁ (Г),
то справедливы равенства
у,
(a, PEP
Xx ap) = у,
oer
у,
(sce
X(a,B) | =
ХУ
Bers (de
(1)
хо
которые будем называть формулой
Фубини.
4 Согласно формуле Фубини (3), п. 1.6, равенства (1) выполняются
для семейств
(хе.в)о.вег» (Жа.ву)о-вЕГ:
У
жь=
У
жь=
(а, В)ЕГ
(~, Ber
[У
oer \ BET (a)
У
(У
acl, \ BEL, (a)
жж
жа
--
=У
X(a,B) \ »
(2)
=У[У
ж..
(3)
ВЕГ. \ “ЕГ.(В)
ВЕГ, \ “ЕГ.(В)
Если из левой, средней и правой частей равенств (2) вычесть соответствующие части равенств (3),.то получим равенства (1). }»
Следствие
(правило умножения сумм). Пусть (хо) Е 1 (А),
(Ув) © [(В). Тогда (хоув) ЕГ(АХ В) и
(5, =) (уж) = „нь Hae
аЕА
О
(„ВЕАХВ
{ Обозначим Г = АХ В. Тогда
Пользуясь формулой (1), получим
У,
(a, per
Г, =А,
Г, (9)= В
хофв = », ( », ous)
УаеА.
(5)
Согласно теореме 5, п. 1.6, справедливы равенства
%, (2
aed | BEB
2 a
aeA\
[% 2
ye) = (2 ye) (2 a)
6eB
ВЕВ
ЧЕА
(6)
Из равенств (5), (6) следует равенство (4). }№
1.9. Оценки сумм действительных чисел. В п. 1.6, гл. 2, указаны
оценки действительного числа х через его характеристики х+, x-,
| х|. Пользуясь ними, получим полезные для приложений оценки
суммы семейства (хо) Е 1 (4).
Теорема. Если (хо) € 1 (A), то справедливы неравенства
—
ха
<—
<
в частности,
Ч
р
|
Согласно оценкам,
—
<
хе < Хх
+
<
же,
2 | SB, lel
приведенным
(1)
(2)
в п. 1.6, гл. 9, имеем
— [2 |< — № За<|л|
Vaea.
(3)
85
Согласно теореме 4, п. 1.6, неравенства (3) можно просуммировать
по всем © Е А. При этом получим неравенства (1). >
1.10.
Суммируемые
семейства
комплексных
чисел
и
свойства
их сумм. Распространим теперь понятие суммы на семейство комплексных чисел.
о
Определение. Семейство комплексных чисел (2 == Ха + Шо)асА
называется суммируемыхл, если (хо) El (A) A (Yo) EL (A).
При этом
Ху У, Ха i У, You
(1)
Kaacc BCceX @YMMHPyeMbIX CeMeHCTB KOMIIJICKCHBIX IHCeN (Za)aea Syдем обозначать через { (А). В случае надобности различать по обовначениям суммируемые семейства действительных и комплексных
чисел,
будем
пользоваться
уточненными
обозначениями
[в (А)
и
lo (A).
Основные свойства суммы семейства комплексных чисел содержатся в следующих утверждениях.
Теорема 1 (критерий суммируемости).
(ег) 6 ЦА) =
q
[lycthb
VOEA
2% =X
(21
<
+00).
+ iva. Torna
((Za)
€ 1 (A)) > ((%a)
€ L(A) A (Ya)
€ L(A)
> (У
| Ха. | < +
acA
/\ x 1, Yal <<
Поскольку
| ¥2 | < | 2a |, | Ya |<]
Vaé€A,
To yenosue
венств У
2)
> | 2 |< + со
< +
Л
4
Fo).
| %el<]xal|
+] yal
равносильно системе нера-
XI yal < +00
>.
Teopema 2 (0 линейности суммы). Пусть (2) Е 1 (А), (®о) El (A),
ЛЕ (С. Тогда (го -- №) Е 1(А) и
У (Ze+ AWe) = У 2 РА У
“Е А
ОЕ А
оеА
we.
(2)
4 Пусть го, = Ха + о, Ша = и.
УаЕА, А =Е- И. ТогWa 2% + AWe = (Xa + Ela
— Na) +i Ya t+ Чио | №)
УаЕА. По
определению
Y
acd
суммы
имеем
+ Awe) = Y
(a
acA
у, Ха + § aeу,
— аеА
EM (Ya + Ya + Eve)=
(4a + Ea — Wa)
асА
у Ug +&
се аЕА Уо.-- М acA
Y у,
AeA
Ua —
У, Ya)
acA
=(2 № + i © г) + 8+7 (У и, ГУ ta) =
=
86
У,
сЕА
Za
+
лу
aca
Wa.
№»
=
(2)
Теорема3 (об аддитивности
по индексам
суммирования).
a+
Za.
С 1 (А). Если А, < А, то (2) € 1 (Ao), (2a) CL (A \ Ag) us
ta
2
aca
У
acA\A,
Пусть
(3)
q [lyctb 2% = % + iva
WaeA.
Torga, cormacHo onpenejeHuto
суммы семейства комплексных чисел и по теореме 3, п. 1.6, получим
У
2 = у,
acA
хо НТУ,
ЧЕ
Ya =
QacA
.
У,
Xa +
Е Ао
У
°
acAN A,
ace Ay
=
ac A\ Ay
w+
у,
Za.
Yo +
ое Ао
и
14
QEAn
Xa +t >,
“ЕАМ Ао
Ys) =
.
ace A\ A,
№
ЯЕА
аЕАХ Ао
Теорема 4 (о замене индекса суммирования). Пусть А, В —
множества, ф — биекция А на В и о =га
УаеА. Если (го) €
Е1 (4), то (в) Е 1 (В) и
У
2а, = у,
MEA
q Пусть га = Хо + йо
но определению суммы
n.
1.7,
У. га == у,
ХНУ,
ОЕ А
Пусть
оч
о. ВЕК
.
.\
ГУ,
Пусть
+
Zap) =
X(a,8) +
Ач
ив
=
Ч
;
v=»)
BEB
У,
2.6)) = ВЕГ,
Йо»
[У
У,
BEB
.
У
(о, ВЕГ
~
чисел
Yap)
=
1
acer,
/
ВЕГ,
>
(©)
(3)
определе-
Фубини
[У
aeL, \ PET (a)
Аналогично доказывается второе равенство в (5). $
Теорема 6 (об оценке модуля суммы). Если (2) Е [(А),
|*
QacA
< Пусть
У г =
acA
у
acA
=
2, Ве(е
2a|<
У,
QacA
dy 2a
еФ. Тогда
2 | =е
® У 2. =
acA
Za)
о)
QacA
<
2, | Ree
| Za |.
Уе 2
acA
fey
из
Хо,в) | +
1
Cantinvas)\)=
ХВ.
.
Согласно
у
»
Г = А
и теореме
.
aeL, \ PET (OH
Wp.
У
2(се,В)
\ “Е Г»(В)
У (а, В) Е Г.
#
VB EB. Согласчисел и теореме
В — множества,
комплексных
(@,В)ЕГ
Y
А,
>.
(
x
2о,ь = Хов
ae", \ ВЕГ, (0%)
BEB
aéel, \ BED (a)
нию суммы семейства
п. 1.8, получаем
у
Yu = У,
acA
Теорема 5 (Фубини).
Всли (2.5) Е Г (Г), то
abbey HOP) =
(4)
У a € A, wg = ug + ivg
семейства комплексных
имеем
ХЕА
Wp.
BEB
2.
то
(6)
=
Zal< di 12a
@ |.
>
87
$ 2. Вычисление
сумм
с помощью
предела
Теорема 1 (о счетности суммируемого семейства). Если (го) € 1 (А),
то множество А’ = {я& СА
| га =2 0} не более чем счетное.
q Пусть
S= зао,
Поскольку А. =
Ан = [А
|125 >=}
|) Аз и
в множестве
Е
n€N
теореме
УпЕМ
А„ не более чем п элементов,
то, вогласно
2, п. 1.10, гл. 1, множество Ау не более чем
счетное. №
Нулевые члены суммируемого семейства не влияют на величину
суммы и ими можно пренебречь. Оставшиеся члены можно занумеровать натуральными числами. Наиболее интересный случай представляет последовательность (2„). Сумма ее членов совпадает с суммой исходного семейства. Следующая теорема показывает, что сумму
членов последовательности можно вычислить посредством операции
предельного
перехода.
Теорема
<. Предельное соотношение
п
У 2. = т У 2
по £2
REN
(1)
выполняется всякий раз, как только его левая часть
q Пусть х\> 0 УЕЕ\. Обозначим
ба =
Хх
Vne€N.
имеет
смысл.
(2)
Последовательность (5„) монотонная и по теореме Вейерштрасса
имеет предел в К (см. п. 7.3, гл. 1). Пусть №, — конечное множество
натуральных чисел и п, — наибольшее число, входящее в него.
Тогда У п > п: выполняются неравенства
п
У,
В силу
Лк,
=!
выбора
РЕМ;
N+ OO fal
множества №, имеем
У
=
ШУ,
REN;
произвольности
REN
Очевидно,
У те
№
п
< У
У
хь <
п
N-¥0o
po]
выполняется
Пт
Si Xe
x,.
(3)
(4)
|
неравенство
т
У
Перейдя
k=l
<
к пределу при т -—
Чт у
.88
(4) и
(5)
со, получим
т
Из неравенств
У №.
REN
№
У 4.
(6) следует равенство (1).
(6)
Пусть
x, € R
u
ужо
УпЕМ жж.
neN
Тогда
выполняются
У
пЕМ
предельные
neN
,
п
= lim
Ecau
соотношения
по.
Nw OO po]
4
п
Yi xe
У, г.=
пеМ
=
$ 3. Признаки
У
ПЕМ
i
lim
n= oo
.
у, = Нт
neN
(У
—
k=
УпЕ\М,
ж-РЕУ
n
NCO
п
— У, x, ) = lim
navoo \ p=
x, = Rez, у, = [шг,
XptiS’
n
x
п
x¢ — lim
м=Уж-фУж=ШшУу
neN
(7)
р—|
yp)
=
Xp
N=w0o poy
то
У
по
У
(8)
ж ИУ
N00 pal
|
im
n= 0o
п
x
ХЕ =
pil
2,
Yp =
»
суммируемости
последовательности комплексных чисел
Укажем
приемы
проверки
неравенства
REN
равносильного
(см. теорему
свойству
1, п. 1.6).
[24|
<
+ 0,
суммируемости
последовательности
(2Z,)
3.1. Признаки мажорации и сравнения.
Определение. /Лусть (г„), (а„) — последовательности комплексных чисел. Будем считать, что г„ = О (а„), если
3 (©„) : о„ = О (1) Л УтЕМ
2,=—4,4,.
Из определения следует, что (2, = О (а,)) <> (3 (п, с>0):
Vn>Sn
|2.|< Са, |). При этом последовательность (а„) называется мажорантной для последовательности (Z,).
Теорема
1 (признак мажорации).
то (2,) Е Г (№).
Из
условия
теоремы
получаем
Если (а„) Е Г (№) иг,
неравенство
= О (а),
У п > и,
У, [2.| ЗСУпЕМ [а,|
< + ®. №
пЕМ
Теорема © (признак сравнения). Если (а„) Е Г (№) и существует
такой номер по, что У п > пь выполняются неравенства
“ntl
en
mo (z,) € (N).
<
Ant}
Qn
(1)
89
«
Запишем
неравенства
(1) в виде
2
ти
|<
УИ Ro
(2)
an | |2, | VO Moe
(3)
n+l
Тогда справедлива
оценка
Zn
т. е. а,
= О
„|
|
en,
(1), г, = О (а,).
По теореме 1 (2„) Е Г (№). №
Основным недостатком теорем 1, 2 является то, что в них не указан способ выбора последовательности (Ay) по последовательности
(г„). Приводимые ниже признаки Коши и Д’Аламбера частично компенсируют этот недостаток, указывая случаи, когда в качестве (а„)
можно взять последовательность (4”).
3.2. Признаки Коши и Д’Аламбера суммируемости последовательности комплексных чисел.
Теорема 1 (радикальный признак Коши). Если
т У]
2, |< 1,
(1)
то (2,) Е Г (№).
q
Пусть число 9 6 ]0, П выбрано так, что
lim VY [za] = lim sup У [2 <9.
file> oo
Тогда существует такой номер по, что
вор Y
т.е. У
|2|<
zal
2%| < 9,
9.
Поскольку 2, = О (4*) и (9) Е Г (№, то по теореме 1, п. 3. I
(2) {6 i (№.
№
Теорема ь (признак
п Аламбера).
im | |<
mo (2n) Е Г (№).
®
Пусть число 9 Е 10,
n
f=’ oo
Тогда
существует
sup
k>Ny
такой
=
HOMep
lim sup
nevoo kn
2-1
AH
|g,
Mo, ITO
“<a | |<9= 4
2p)
Ze+l
Согласно теореме 2, п. 3.1, (2.) С 1 (№). №
90
@
ИП выбрано так, что
Zant
lim
Если
gh tt
“3.3. Способ Коши построения эталонных суммируемых последовательностей.
Теорема Абеля. Признаки мажорации и сравнения,
рассмотренные в п. 3.1, эффективны лишь в случае, когда имеется
достаточное количество последовательностей (Gn), суммируемость
которых известна. Их называют эталонными.
Следующее утверждение служит источником построения нетривиальных суммируемых
последовательностей, которые можно брать в качестве эталонных.
Теорема 1 (Коши). Пусть последовательность (а„) неотрицательных чисел убывает. Она суммируема тогда и только тогда,
когда суммируема последовательность (2” . а»).
4
Если 2"
<m<
неравенства,
2", To Aon ZS An
получим
оценки
KJ ам-1.Складывая
последние
ony
2"
Просуммируем
aan <
у,
неравенства
-1
neN
ат > 2”
magn!
dont
Vne€
№.
(1)
(1) по всем п Е №. Имеем
@
ии У (У < уе
ony
n€N
—1
\m—2n—!
пЕМ
В примере 1 из п. 1.5 показано, что
(Ean)
= Хы
Qn}
neN
\m=2"—!
neN
Записав неравенства (2) в виде
1
“>
получаем
у,
neN
27а»
< у,
зе
пЕМ
а, < а:
+ у,
пЕМ
2" dons
мьч+а).
Покажем, как можно строить эталонные последовательности, используя теорему Коши. Полагаем
2" don = (=
откуда
V(e>0, nEN),
92
(3)
2
On
=
]
ren
VneN.
|
(4)
Считая равенство (4) справедливым не только для п Е №, нои Уп >
I
— 0,
полагаем
п = 105.
VRE.
Torna
27 =k
1 a, = wae
V REN. Tlockombky noceqoBaTebHOCTb (@,) yObIBaeT, TO MO Teopeме Коши она суммируема. При в = 0 последовательность (2"а» = 1)
91
I
He суммируема и поэтому
> — = оо.
Если возьмем
=
0)
п
2" ao
=
и будем считать это равенство
при А = 105. п получим
1
na, =
(орз п)?
юная
(= >
(5)
справедливым
» On
1
О
У А > 0
иене
(2 > 0)
n (log, n)'t®
(8 ЕВ),
то
(6)
e
6
Так как последовательность (а„) убывает, то по теореме Коши она
суммируема. Этот процесс можно продолжать неограниченно. При
этом получим суммируемую последовательность (а„), где
a,=
1
——«,
п (1083 п) (logy logy n) «4.4 (logs logy ... log, ) (log, logy...
т
log, nr
раз
|
(7)
При г = 0 последовательность (а„) не суммируема. Признак мажорации, в котором а, определены формулой (7), позволяет получить
достаточно тонкий признак суммируемости числовой последовательности.
Теорема 2 (логарифмический признак суммируемости). Если существуют такие т Е М из >> 0, что
‘limn (log, 1) (log, log,n) ... (log, log, ... log.) x
x (log, log, ...
в
logs п) т
о
|2. | < -
о,
(8)
то последовательность (г„) суммируема.
Ч Доказательство утверждения следует из признака мажорации
и суммируемости последовательности (а„), члены которой определены формулой (7). »
С увеличением т логарифмический признак увложняется, но
вместе с тем позволяет исследовать на суммируемость более широкий класс последовательностей. В связи с этим возникает вопрос:
существует ли последовательность (а„), посредством которой можно
сформулировать универсальный признак сравнения? Отрицательный
ответ на него следует из утверждения, доказанного Абелем.
Теорема 3 (Абеля). 1) Пусть (а„) — произвольная несуммируемая
последовательность. Тогда 3 г = о (1) : (аие„) @ 1 (№).
2) Пусть (а,) — произвольная суммируемая последовательность.
Тогда 3 6, —> оо : (а,б,) Е 1 (№).
4
п
1) Пусть 5, = У
k=]
Полагаем
2п
92
[4 |. Так как $, -> +00, To
1
—
У $.
V S,—1
, 50 =0
(n€f\).
VS,—>-+
0.
Имеем
n= 0(I)s d
nen
| an |
tntal = у
=
neN
=}, 05, Ушу
neN
13°
п—|
Sn
№
ПЕМ
= Sn—
aa
VS,—VSn—1)
= limVS;, =
т. е. (а,2„) @ Г (№).
2) Если УЕЕ№
а, = 0, то утверждение очевидно. Не ограничивая общности, считаем, что | а, | >> 0. Полагаем
п
= k>n
У, [ак [= REN
У 14|
— Хk=1 [ак].
Так Kak (a,) € I (N), To 6, —-> 0 npu n—> сю, в силу чегои У,—
B озьмем
em b,6» =
УЕ—= ТУ =—.
0.
п > со . По-
пр
при
Тогда6,—>— --+ со
лучаем
| ап|
a,b, | = wi m
ya
|=
,
V
У
on
— 5n
V 5,
+
—1
in)
т-со
no
=.
V
6-1 1
= lim у (V b,1 — V 5,) = tim n (V8) — Иб,) =Иб < +
Следовательно,
(аб„) Е 1 (№).
$ 4. Произведение
Операцию
№
семейства
умножения
п. 4.3, гл. 2, можно
двух
оо.
комплексных
комплексных
распространить
чисел
чисел,
по индукции
рассмотренную
на произвольное
в
конечное число сомножителей. При этом сохраняется правило перемножения модулей сомножителей и сложения их аргументов.
Пусть (2) ас — семейство комплексных чисел. Если при определении его произведения руководствоваться указанным выше правилом, то потребуется ввести понятия произведения семейства положительных чисел и суммы аргументов сомножителей. Первое сделать труднее. Дело в том, что положительные числа в операции
умножения играют ту же роль, что все действительные числа в операции сложения. В самом деле, при умножении чисел, каждое из которых больше 1, их произведение увеличивается. То же самое происходит при сложении любых положительных чисел. При умножении положительных чисел, каждое из которых меньше |, их произведение уменьшается, как и при сложении
отрицательных чисел.
Значит, числа больше | в операции умножения играют роль всех
положительных чисел в операции сложения, а числа между Ои | —
роль отрицательных ‘чисел в той же операции.
93
Введем
числа х;:
в
равемотрение
ite=|"
новые
характеристики
1, ecm O<x<l,
если х> |,
1,
_
если x>1,
Хх
=
положительного
—-, если 0<х<1.
Поскольку Ух>0
х=х: . (!-)—, то характеристики х!+,
х!- играют ту же роль в умножении, что х+, х- в операции сложеНИЯ,
_ 1 При построении теории произведения семейства комплексных
чисел следуем схеме, аналогичной той, которая изложена в $ |.
4.1. Произведение семейства чисел, больших 1. Обозначим через
хо произведение конечного семейства (ха) сд‘.
ae All)
Onpenesenne. []ycmb A произвольное множество
и УаСА
Ха = 1. Число
х Е 1, +00] называется произведением
семейства
(Xe)acas если
x = sup (ue
П ж 49 с АЛ А®— конечное! .
Для
произведения
семейства
(хо)аед
примем
(1)
обозначение
х =
= П х». Оно всегда существует, поскольку в В любое непустое
aA
множество имеет верхнюю грань. Произведение пустого семейства
чисел полагаем равным 1.
4.2. Произведение семейства положительных чисел.
Определение. Пусть А — произвольное множество и УяЕА
Хо > 0. Семейство (хо)оед называется перемножаемым,
если
II xa оо
ЛИ
aca
а его произведением
<- 09,
называется число х =
мое по формиле
= (И
ое А
=="
. (i (xo
ЯЕА
Г.
(1)
И ха,
aca
вычисляе-
.
(2)
Наличие условий (1) показывает, что не всякое семейство положительных чисел имеет произведение. Перемножаемое семейство
имеет конечное произведение.
4.3.
Произведение
семейства
комплексных
чисел.
Пусть
А —
произвольное множество, 2х = рае 9%, ра >> 0, фаЕ 1-—л,л[
VaeA.
Определение. Семейство (Za) aeA называется перемножаемым, если (Фо) Е Г(А), а семейство (ра) аел перемножаемо.
Произведением
перемножаемого семейства (го) ас’ называется число г = ре®, определяемое равенствами
р = acA
Пра, Ф= аеА
У! фа.
94
(1)
Обозначим указанное произведение через 2 =
П 2. Отметим, что
aca
для вычисления произведения перемножаемого семейства (Zq)aEA
сохраняется правило умножения модулей и сложения аргументов.
Произведение семейства чисел, содержащего нуль, остается равным
нулю, однако оно не считается перемножаемым.
Операция умножения является важной в математике и используется в приложениях. Свойства произведения можно получить из
свойств сумм, применяя операцию логарифмирования, известную
из школьного курса математики. По этой причине ограничимся
лишь определениями. Читатель может самостоятельно установить
свойства произведения семейства комплексных чисел без применения
логарифмов, решив упражнения 1—10.
Упражнения
1. Пусть
1<х,<у,
2. Пусть x, >luy,
x (Е
“ЕЛ
и
что Il Xe X IT y,.
XEA
QaceA
VaecéA. foxka3atb, To II (XQ4q) =
&
acA
IT
Ал = Аих,>1
У@СА.
Доказать,
что
=)" IT x, > II x,.
ae A\ Ay
4. Пусть
Г› (В) — его
нелли:
ol
Доказать,
ЯЕА
fa) x
Ya
3. Пусть
х
УССА.
если
QacA
aE Ag
А и В множества, Г < АХ В,
Г;
и Г. —
|
Va,
Bel,
tro
|]
Xa,8) =
x, =
проекции
(0, ВЕГ
IT x,
AEA,
Г,
а
Фубини —
теорему
сечения посредством © и В. Доказать
ха
в) г
П
QacA
x
Г, (@)
То-
ха.в)\ =
acer, \ ВЕГ. (0)
ВЕГ. \ “Е Г„(В)
5. Сформулировать и доказать утверждения,
аналогичные утверждению
упражнения 2 для семейства положительных чисел и семейства комплексных
чисел.
6. Доказать, что семейство положительных чисел (о) осА Перемножаемо
тогда и только тогда, когда
[] (х+ (1—1) < -| со,
“ЕА
7. Оформулировать и доказать теорему Фубини (см. упр. 4) для семейства
комплексных чисел.
8. Пусть семейство комплексных чисел (2) «ед Перемножаемо. Доказать,
что множество
9. Пусть
зать,
{@ С А
|2. 5-1}
последовательность
т
является не более чем счетным.
комплексных
чисел
(г„)
перемножаема.
I] z,=
lim
П Zn:
n€N
M—+>+-00 py]
10. Доказать, что если последовательность комплексных
множаема, то 21 > 1, Te, 2,= 1+ a, Л би =о (1).
Дока-
что
чисел
(2„)
пере-
95
$ 5. Числовые
ряды
Числовой ряд можно интуитивно понимать как бесконечную последовательность комплексных чисел 21, 2., ..., 2, ..., Которые строятся
по определенному закону и последовательно складываются. В соответствии с этим числовой ряд записывают в виде
Zt
coe
+2,+
coe
ИЛИ 2s 2ns
(1)
где г, называют общим членом ряда, а число
Sn =
2 2
VneN
(2)
— его частичной суммой. Предел последовательности частичных
сумм (5„) ряда, если он существует, называется суммой ряда и обозначается тем же символом ), Z,, YTO H ряд (1). Обозначения ряда и его
n=1
суммы различают по смыслу текста, в котором они встречаются.
В частном случае, когда члены ряда действительные числа, его
суммой могут быть символы +0 И —со. Однако ряд называется
сходящимся, если у него существует сумма и она конечная, т. е.
является действительным или комплексным числом. В остальных
случаях, когда сумма ряда не существует или является бесконечной,
ряд называется расходящимся.
В современной математике, в отличие от математики до второй
половины ХМХ века, не принято руководствоваться интуитивными
понятиями. Поэтому в некоторых книгах по математическому анализу 1 появилось формальное определение числового ряда как пары
последовательностей (г„) и (5„):
у
Zn del
а [нем
(x, 2]
=
neN
)
(3)
но для ряда и его суммы сохраняется одно и то же обозначение.
Определение ряда равенством (3) не является единственно возможНЫМ.
В настоящей книге числовой ряд будем обозначать специальным
символом > 2, и определять не как пару двух последовательностей,
а как последовательность чисел вида (2):
ха).
6
пЕМ
Для суммы ряда, когда она существует, сохранено прежнее обозначение,
п
У
n=1
1 См.,
например:
1974.— С. 520;
Ч. 1,—С, 104
96
Пизо
N00 R=]
Ш., Заманский
Зорич В. А.
(см, сноску),
(5)
tim У, г.
Математический
М. Курс
анализ;
В
математики.— М.,
2 ч,— М.,
1981,—
со
Таким
образом,
символы
2Z,,
wens
п =
dn
имеют
НЕ
различный
смысл. Первый из них обозначает числовой ряд, второй — сумму
ряда, когда она существует, третий — сумму семейства чисел (Z,)nen
в случае, если оно суммируемо или все г, неотрицательные.
Предлагаемая точка зрения на ряд, как на последовательность,
открывает возможность увидеть более тесную связь между теориями
рядов и последовательностей, говорить о возможности формулировок теорем на языке каждой из них, а также на смешанном языке,
найти новые и более простые доказательства классических теорем.
Этому
способствует
словарь
терминов,
помещенный
в
конце $ 6,
который может быть продолжен.
Теория рядов фактически означает изучение последовательности
(5„) посредством последовательности (г„). Это важно, поскольку в
силу
формул
21
=
9, —
Snot
УпЕМ,
%0
= 0,
(6)
последовательность (г2„) характеризует скорость изменения членов
последовательности (5„) и играет роль производной функции. Соединение в единое целое теорий рядов и последовательностей аналогично дифференциальному и интегральному исчислению для функций.
О важности последнего известно уже в средней школе.
Если последовательность (2„) суммируема, или г, > 0
то, согласно теореме 2, $ 2, справедлива формула
у,
пЕМ
Пример
последовательности
<n =
у
п=1
1, —1,
УпЕ\М,
п.
..., +,
(7)
—
_,
...
Показывает,
что правая часть равенства (7) может существовать, а левая — нет.
Поэтому сумма ряда представляет собой одно из возможных обобщений понятия суммы числового семейства. В $ 6 будет доказано,
что эта сумма не коммутативна.
5.1. Терминология. Необходимый признак
сходимости ряда.
Критерий Коши. Операции над рядами. Абсолютная сходимость
ряда. Сформулируем в виде определений понятия, о которых упоминалось в начале параграфа.
Определение 1. //усть задана последовательность комплексных
чисел (2„). Числовым
рядом
>22, называется последователь-
п,
ность комплексных чисел (у 2).
=
п
п
Числа
2
и
8, =
№
2
(ПЕ №)
называются
соответственно
п-
k=1
членом
и п-частичной
суммой
ряда.
Предел последовательности частичных сумм ряда, если он существует, называется суммой
ряда и обозначается символом
4
327
97
оо
У, г. Ряд с конечной суммой называется сходящимся.
п=1
Несхо-
дящийся ряд называется расходящимся.
Из определения | следует, что произвольная последователь ность
комплексных чисел (5„) может быть рассмотрена как ряд в членами
S,
—
Sp
VneNn,
S,
= 0.
Теорема 1 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд
сходится, то последовательность его членов стремится к нулю.
Пусть ряд »2, сходится, $ — его сумма, ($„) — последовательность его частичных сумм. Тогда г„ = 9, — 9—9
— 5 =0. №
Приведем пример расходящегося ряда с членами, стремящимися
к нулю. Пусть чиела 1, 5, 5, 5, x x ... Образуют последовательность членов ряда. Она стремится к нулю, но сумма ряда равна --со,
и ряд расходится. Следовательно, из стремления к нулю членов ряда
нельзя делать вывод о его сходимости,
Теорема 2 (критерий Коши). Ряд »2, сходится тогда и только
тогда,
когда
п--р
\= >> 0 Зя. Е №: У (п > пе, РЕМ)
У
2
=n-+l
< г.
(1)
{ Условие теоремы означает, что последовательность ($„) частичных сумм ряда фундаментальна. Поэтому утверждение следует из
критерия Коши для числовой последовательности. p>
Поскольку последовательность комплексных чисел может рассматриваться как ряд, то они являются различными названиями
для одного и того же объекта — отображения множества № в (;.
Поэтому с рядами можно производить те же операции, что и
в
последовательностями.
EC,
AEC,
В
частности,
если
УПЕ№
2 ЕС
Л.Е
TO
Ment
Yn
=
¥en
+ Dn),
(2)
луг, = У Ааа.
(3)
Теорема 3. Пусть ряды 2, и Хш, сходятся, ^ Е (;. Тогда ряд
Х (г, -- Лю.) сходится и для его суммы справедлива формула
»
(2, + AW)
= x
Zn + rd
<q Согласно определению суммы ряда,
Wp.
(4)
имеем
у (га + Aw,) = lim у (2, -+ Aw,) = lim у г, -|пы оо
+ Аш
П- со
У „-У
k=l
„лу
k=!
Wn:
Сходимость ряда 2 (2, -- А№,„) следует из конечности его суммы. p>
Определение 2. Ряд » 2, называется абсолютно
оходя-
щимся,
98
если сходится ряд & | z, |.
Из критерия суммируемовти последовательноети (2„) и определения 2 следует, что ряд » г, абсолютно еходится тогда и только тоеда, когда повледовательность его членов еуммируема. В силу этого
признаки суммируемовти повледовательновти (г„), установленные в
п. 3.1—3.3, являютея одновременно и признаками абсолютной схо-
димовти
ряда
»2.. Согласно теореме 2, $ 2, каждый
абсолютно ехо-
дящийея ряд входитея. Поэтому признаки всуммируемовти
последовательности членов ряда могут быть использованы для установления
факта
Пример
его
сходимости.
1. Исследовать
на абсолютную
27
сходимость
ряд У.
Поскольку
pe yr
ИГ
(tz Г lz)
iim [Er
(м
7%
n
то
по
признаку
Д’Аламбера
абсолютно
сходится
(=) ery
У2ЕС,
Следовательно,
ряд
2’!
У —Г
УзЕС.
Пример 2. Исследовать на абсолютную сходимость ряд У 2”.
Воспользуемся признаком Коши суммируемости числовой
последовательности. Поскольку
__ п
ИН
У [2 И =|2]|,
few оо
со \|2| < 1 (2) ЕЕГ(М) в ряд #2” абсолютно сходится в круге К = {26
ЕС | |2!
< |}. Если |2
| > Ь тю УвамМ
[2]? S>lu2 v0.
Тогда, в силу необходимого признака, ряд расходится и тем самым не является
абсолютно сходящимся.
5.2. Преобразование
девтво
Абеля
и признаки
п
x
сходимости
Тож-
n—\
Ap (B, —
Вь—1)
—
a,By —
(а ЕС,
x
тождество чавто
называют формулой суммирования
математиком
Н.
ВьЕФХ,,
(Ae+1 —
УпЕ
норвежеким
№ иУ
a,B,, —
выполняющеевя
новлено
рядов.
Абелем
(B, —
Bri)
=
—
a, (By
Bo) +
By,
(1)
ЕЁ = |, п, было уота-
(1802—1829).
по частям.
димая в вправедливости формулы (1). Имеем
24
A)
B,)
a, (By —
+
Это
Убе-
cee
vee ba, (By — Bri)= — а. В, + (а, —а,)В. |...
п!
Фо о
4°
+
(Qn—
—
ал)
Ви
--
a,Bn
=
a,B,
—
a,B,
— ds
(Чл
—
ак) B,.
99
Рассмотрим
ряды
У, а, (Вь — Вь-1),
(2)
У; (ак, — а») Be,
(3)
частичные суммы которых связаны в тождеством Абеля.
Теорема 1 (о равносходимости рядов, связанных преобразованием Абеля). Если последовательность комплексных чисел (а„В„)
сходится, то ряды (2) и (3) сходятся или расходятся одновременно.
Пусть
ряд
(3)
сходится.
его частичных сумм
Абеля следует, что
имеет
3 lim
У
a, (B,
MOO pl
т. е.
ряд
Это
(2) сходится.
означает,
конечный
—
Bri)
Аналогично
что последовательность
предел.
=
A,
Тогда
тождества
АЕС,
доказывается,
ряда (2) влечет за собой сходимость ряда (3). №»
Определение. //оследовательность комплексных
ограниченное
из
изменение
что
сходимость
чисел (г„) имеет
(ограничен-
ную
вариацию), если (214 — г.)Е Г (№).
Множество всех последовательностей комплексных чисел с ограниченным
Теорема
q
изменением
$. Пусть
обозначим
(г) 6 о (№).
через
Тогда
о (№).
3 Ит
пс
г, =2,
Последовательность (г„) записывается в форме ряда >»
2 = 0, сходящегося
в силу теоремы
2 из $ 2.
}>
Из теорем 1, 2 получаем утверждение, обобщающее
ские признаки Абеля и Дирихле сходимости числовых
26 С.
(2, — 2—1),
классичерядов.
Теорема 3 (Абеля — Дирихле). Писть а. С, 6, Е С, В, = УВ,
р
Vne€N. Если (а„) Еэ (№), В, = О (1) и последовательность (а,В„)
сходится, то ряд » аб, сходится.
Поскольку (а, — а.) Е Г (№) и В, =О
(1), то ряд & (Qa41 —
— а,) В, сходится (см. теорему 1, п. 3.1). Так как последовательность (а„В„) сходится, то выполнено условие теоремы
1 и ряд
> а,б, = Ха, (В, — В,—1) сходится. №
Теорема4 (признак Абеля). Пусть а, Е СВ, ЕС
Vne Qu psd
Хх В, сходится. Если (а) 6 э (№), то ряд » а,б, сходится.
q Поскольку ряд УВ, сходится, то его последователь ность частичных сумм
В„ = У В, ограничена. Таким
=
условия предыдущей теоремы. p>
Теорема 5 (признак Дирихле). Пусть
п
B, = 2 b, uB,=O(l).
Ecau
образом,
выполнены
УпЕ№
а ЕС,
все
В. ЕС,
a,=0(1) Л (а) 69 (№), то ряд
x a,b, сходится.
q [lockonpxy a, = 0 (1), B, =O (1), To a,B, = 0 (1) u, cormacHo
Teopeme 3, pAd 2 a,b, сходится. №
100
Теорема 6 (признак Лейбница). Пусть а
С УптЕ\М.
а, =о (1) Л (а,) 6% (№), то ряд & (—1)"a, сходится.
Ч
Полагаем
6, = (—1)”
УптЕМ.
Тогда В, = x
Если
(—1)* = 0 (1)
H BbINIOJIHeHbI BCe YCJIOBHA TeOpeMbI 5. p>
Докажем утверждение, имеющее применения при изучении рядов с действительными членами.
Теорема 7. Пусть аЕ В УптеЕ\М. Если последовательность
(а,) монотонная и ограниченная, то (а,) Е ч (№).
Согласно теореме Вейерштрасса, последовательность (а„) сходится. Ее можно записать в форме ряда > (а, — а, 1), а =0.
Поскольку все члены ряда одного знака, то его сходимость равносильна тому, что (а,) 6
(№). №
Теорема 8 (о равносходимости сгруппированного ряда). Пусть
последовательность комплексных чисел (г„) сходится к нулю. Если
Пт!
— Пт = О (1),
то
ряд
У, 2
(4)
сходится или расходится одновременно с рядом
x
Пользуясь теоремой
a, = (—1) "2,
Vne€QWN,
у
=).
fEnpy—)
+!
| и полагая
umMeemM Bon)
(5)
Ву = 0, В, — Ви
=
—1,
Ban =O
= (—1),
WmeER.
Tak
Kak Qom — Qom—1 = 2am + Z2m—1
У те №Миа,В, =о0 (1), то по теореме | ряд (4) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд (5),
в котором каждая сумма в скобках содержит по два слагаемых. Если
воспользоваться доказанным свойством р раз, то получим, что сходимость ряда (4) равносильна сходимости ряда (5), в котором каждая сумма в скобках содержит по 2” слагаемых. Если р настолько
велико,
что в ряде
(5) п, < 7’, пи
— пи < 2’
УтЕ\, то, не
меняя ряда (5), можем к каждой сумме в скобках дописать слагаемыми столько нулей, чтобы получить ровно 2” слагаемых. В силу
доказанного, сходимость полученного ряда (5) равносильна сходимости ряда (4). Скобки в ряде (5) можно опустить, поскольку полученный при этом ряд будет отличаться от ряда (4) лишь нулевыми
членами. №
Пример 1. Пусть
а СВ
УпЕМ,
а, =о(1)
ряд Хан $ пх сходится УхЕ В.
При х = тл (те 2) сходимость ряда очевидна.
Полагая б„ = sinnx
WaeN,
получим
что
п
1
п
|Bn|=| ¥) sinkx| =|—>~Ye
k=]
<
k=l
(
у eer)
th
м ete wth
Л (а,) 6э(М).
Пусть х = тл
Доказать,
Vme
Z,
фе) | 4
)101
=
el(n+l)x — ох
5
е
=
Поэтому
ей
ix
|
-
|
|
VneEN.
|
согласно
WneN,
)<
ег" — |1
1—1
Ви = О (1) и ряд сходится
Пример 2. Пусть 6,€ IR
сходится,
Если
е—п-НИх pix
+
|
признаку
O<x <1.
если сходится ряд 2 Oy.
0 <х-<
|, то последовательность
(х”)
Дирихле.
Doxka3atp,
монотонно
uto
pag У Вил”
стремится
Следовательно, по признаку Абеля ряд > 6х" сходится.
к нулю.
5.3. Обращение признаков Дирихле и Абеля для рядов с комплексными членами. Признаки Дирихле и Абеля допускают обращение.
Теорема 1 (обращение признака Дирихле). Пусть а, Е С Wne
Е №. Если для любой последовательности комплексных чисел (6,)
условие В, = У В =0
k=l
(1) влечет за собой сходимость ряда
mo a, =0 (1) \\ (a,) € 0 (N).
%
Ряд
» (—1)”а, сходится,
и
@, =0 (1).
Взяв в условиях
взять 0, =
поскольку
в условии
da,b,,
теоремы можно
(—1)”. Значит, (—1)"а„ = о (1) (в силу теоремы 1, п. 5.1)
теоремы
B, = ег
Wne
№
rae
@Q,€
€ Arg (Qn41 — 4,), Pp = 0, umeem b, = B, —°B,_y = @ Pn —e I,
dX 6, = В, — 1 =О (1) и, по условию теоремы, ряд Х а, (Е
—e
‘Pn—l)
сходится.
Так
п. 5.2, ряд » (а. —а)е
чего (а,) о (№). №
kak a,B, = о
2 = | а
‘Q,, _.
(1), то, согласно теореме
1,
— а, | сходится, в силу
Теорема& (обращение признака Абеля). Пусть а
© VneN.
Если сходимость ряда Х 6, всегда влечет за собой сходимость ряда
> аб, то (а) Е о (№).
<q Применим метод доказательства от противного. Пусть (а,) во (№).
Тогда (аи. — а) @ 1 (№) и по теореме Абеля (см. теорему 3, п. 3.3)
существует такая последовательность &, = O (1), ITO &, (Qn41 —a,) F
¢ 1 (N). Пусть ФЕ Агв в, (а, —а,) WEN, & = Фь = 0. Тогда
| En (Anti
—
Ap) | =
Е ‘Фе,
(Qn+1
—
ay)
Упс
\,
и
поэтому
ряд ;
» (Qn41 — Qn) еде “9
расходится. Tak Kak pan & (e,€
условию теоремы сходится ряд
(1)
9m — ев 16 (7—1)
сходится,
У ал (ее "п — вле" ®"Ы—1).
то по
(2)
Поскольку ряд (1) расходится, а ряд (2) сходится и они связаны
между собой преобразованием Абеля, то не выполнено условие теоремы
1, п. 5.2,
тельность
102
о равносходимости
(але “Фте„)
рядов,
в силу
расходится. Так как е„ = 0
чего
последова-
(1), то а, => О (1).
Следовательно,
ЗИ <...
найдутся такие
что |а,|>2
,
=,
n
натуральные числа
УЕЕ\.
Полагаем
если
= Ny
п. < п. < ...
VREN,
—
0,
ecm nn,
VREN.
Поскольку ряд >» 6, сходится, то по условию теоремы сходится ряд
У а,б,. Следовательно, аб, = о (1). А это противоречит тому, что
т „бт, >1
УЕЕМ. Источник противоречия — в предположении,
что (а,) в о (№). Значит, (а) Е о (№). №
$ 6. Теорема Римана о перестановке
Бесконечные произведения
членов
ряда.
6.1. Теорема Римана. В $ 1 сумма последовательности не была определена в случае, когда
Ур жа = о Л neN
Уж = {.
(1)
пПЕМ
Попытаемся определить эту сумму посредством сходящегося
вого ряда
число-
У Xne
(2)
Для этого потребуется исследовать свойства суммы ряда (2), члены
которого удовлетворяют необходимому условию сходимости х„ =
= 0 (1) и соотношениям (1).
Определение. Если отображение ф является биекцией множества
№ на себя, то ряд
У. Хо
(3)
называется перестановкой ряда (2).
Теорема (Римана). Пусть х„ = о (1) и выполнены условия (1).
Тогда У « © К. существует такая перестановка (3) ряда (2), сумма
которой
равна
a.
4 Обозначим А„ = У! хё, В, = У (—х.)
k=l
#1
УпЕК. Так как Пт А, =
N=» oo
= -+0o, TO cyllecTByeT Takoe Ny € N, yTo An, >a. Ilyctb By = 0,
то = 0. Методом математической индукции докажем существование таких возрастающих последовательностей натуральных чисел
(п»), (ть), что УЕЕ№
An, _|
НО
п, >щи
++ Bm, <a,
An, + Вт, >а,
Ат + Вира, Ав + Вы а.
. (4)
6)
103
Отметим,
что А„, > чи
-+ Вт, <а
Л А,
lim B,=
n-roo
+ Ви,
Д„, + В, < а. Тогда
<aulim A, = о,
>
“а.
—oo.
Не
Поэтому 3 т, € N: An, +
исключена
возможность,
что
А», + Вь = А», > %. Так как Ан, + Ви, <
то можно выбрать такое п, Е №, чтой, >> пи
n-roo
An, + Bm, >> @а, но вместе с тем А„,—! + Вт, < %. CreqosaTeibHo,
можно так выбрать п, Е № ит, Е №, что условия (4), (5) справедливы
при А = 1. Пусть натуральные числа п. < п. <... Зтит <
< т. < ... < т» определены так, что условия (4), (5) выполняются
УЕ = 1,р. Укажем способ выбора чисел Ир! > Ир и Три > My.
Поскольку An, + Bm, > % H Иш В, = —со, то существует такое
ЧИСЛО
Ир:
>> My,
N= 0o
ATO An, —- Bris
<a,
HO
A,
+ Bigs \—! >
a.
Выбрав число тр: Е №, определим пр--! Е №. Гак как An, -- Вт, <
<au lim A, = +00, TO существует такое число пр! >> п, что
по
Ан, + Вт, >> @ и вместе в тем А’, ,—1 + Ви, < @. Таким образом, указано правило выбора чисел пр: и ть. Согласно методу
математической индукции, доказано существование последовательностей (п,), (т,), о которых упоминалось выше. Полагаем
n=
Вполне
Yori
Ang:
очевидно,
Yy =X
+.
An,
=
Ja
Аи,
—
=
Bm,
Е
Yorti = Xm
и = (— жа)
tit +++ +x,
Е №.
+.
VREN.
(жж),
У у»,
+ В»,. Из условий
венства
(6)
(7)
(8)
частичные суммы которого равны либо А„,_,
+
УЕ
Вт, _|
что
Рассмотрим ряд
| А
—
-- Ви,_/, либо А„,_,
+
(4), (5) следует, что УЁЕ № выполняются нера-
Вт, _| — as | >
р
| Ал,
+
Bm, — 0, | =
Хт,.
(9)
Из условия х„ = о (1) получаем, что сумма ряда (8) существует
и равна числу %. Из равенств (7) следует, что ряд (8) получен из некоторой перестановки (3) добавлением нулевых слагаемых и группировкой членов. Нулевые слагаемые появляются в связи с тем,
что в суммы
(7) входят числа xP их;‚ одно из которых
обязательно
равно нулю. Поскольку сгруппированные члены (7) ряда (8) имеют
одинаковые знаки, то частичные суммы перестановки (3) заключены
между частичными суммами ряда (8). Поэтому указанная перестановка имеет ту же сумму, что и ряд (8), т. е. число ©. }№
Теорема Римана показывает, что в тех случаях,
когда
ряд
сходится и выполнены условия (1), его сумма не является функцией слагаемых, а зависит лишь от порядка их следования. Это неестественно с точки зрения операции сложения.
104
6.2. Безусловно и условно сходящиеся
трение новые термины теории рядов.
ряды.
Введем
в рассмо-
Определение 1. Ряд »2„ называется безисловно
сходящимся,
если он сходится при любой перестановке его членов.
Теорема 1. Ряд »2„ безусловно сходится тогда и только тогда,
когда (г„) Е 1 (№).
< Очевидно, что можно ограничиться доказательством теоремы
для
случая
ряда
Ух,
жЕВ
УпЕМ.
(1)
Необходимость. Пусть ряд (1) безусловно сходится. Тогда x, =
(1) и в силу теоремы Римана сходится один из рядов Хх.Г или
=
LX, Tak Kak 2X, = Яхт —
занных рядов, т. е. У xt <
суммируемость
Хх. , то сходится и второй
о
и У Х, < +0,
что
пеМ
из укаозначает
пеМ
последовательности
(х„).
Достаточность. Если (х„) Е 1 (№), ф — биекция множества №
на себя, то (Хол) Е Г (№), в силу чего ряд Ххуи) сходится. Согласно
определению, ряд (1) безусловно сходится. p>
Определение 2. Ряд »г„ называется условно
если он сходится, но не безусловно.
ся,
Теорема
2
(1) сходится
сходящим-
(Римана об условно сходящихся
условно,
то
У % Е В существует
рядах).
сходящаяся к “.
Ч Согласно необходимому признаку сходимости
= (1).
Если
шт {>
пам
хр,
У xa | < - о,
пеМ
ма У, х,. Так как ряд (1) сходится,
то
пЕМ
Если
перестановка
ряд
Ухо),
ряда, имеем х„ =
то существует
эта
сумма
должна
сумбыть
конечной, что невозможно в силу определения 2 и теоремы 1. Значит,
выполнены все условия теоремы Римана из п. 6.1. >
Теоремой Римана можно воспользоваться для построения нетривиальных примеров.
Пример. Существует ли такой сходящийся ряд Х хп, что ряд =x
pacxoDUTCH?
Ответ на поставленный вопрос положительный.
Для доказательства рассмотрим последовательность чисел (а) такую, что УЕ
—
—
l
п‘
Так
как ап = 0
(1),
У,
neN
мана
существует
х = аи
Уа ——|
néN
=
расходится.
такая
УпЕМ.
+,
У,
n€N
биекция
Тогда
(x?) — =
at
-+oo
nen
М,
Хх,
|
—
H
У,
—
а, =
а„_1 = 1
Wn
Ay, =
--со, то по теореме
Ри-
neN
Ф
М ——>
ряд
У,
=
М
что
ряд
Ха
сходится.
< о»,
то
p(n)
сходится.
Поскольку
У
néN
x =
+ со
Полагаем
\, (5)=
neN
и
ряд Хх
105
6.3. Словарь
тельностей.
важнейших
терминов
теорий
рядов
и последова-
Читатель, по-видимому, обратил внимание на то, что многие утверждения можно формулировать как в терминах теории рядов,
так и на языке последовательностей. Примером может служить
критерий Коши. В качестве другого примера можно взять теорему
Вейерштрасса, утверждающую, что каждая монотонная последовательность. действительных чисел имеет в В предел. Эта же теорема
в терминах теории рядов формулируется следующим образом: любой знакопостоянный ряд имеет в К сумму.
Однако имеются утверждения, которые естественней формулировать лишь в терминах одного языка, напрымер теорему о пределе
произведения двух последовательностей. На языке теории рядов
ее формулировка окажется сложной. Теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда не формулируется на языке
последовательностей. Подобные примеры многочисленны.
Есть теоремы, формулируемые на смешанном языке, использующем терминологию теорий рядов и последовательностей, например
признаки Абеля, Дирихле и их обращения. Свободный переход в
одного языка на другой, полностью или частично, может упростить
решение той или иной задачи. Например, пусть требуется выяснить,
можно
вать
ли
в произвольном
слагаемые
сумму
в В, был
так,
ряде
»х„,
хх ЕВ
чтобы получившийся
бы знакопостоянным.
УпЕК,
сгруппиро-
n
ряд У,
|
У,
R=Nm_|
Сформулируем
эти
x, | имел
вопросы
на языке последовательностей: можно ли в произвольной последовательности (3„), „ЕВ
\Упте\, выбрать подпоследовательность,
имеющую предел в К, монотонную. Утвердительные ответы содержатся в $ 9, гл. 1. Приведем таблицу, в которой соответствующие
термины имеют одинаковые
номера:
№
Термины
1
теории
рядов
№
Ряд
Термины
1
теории последовательностей
Последовательность
2 | Член ряда
2? | Разность между членами
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
|
|
|
|
|
8 |
Частичная сумма ряда
Сумма ряда
Сходящийся ряд
Знакопостоянный ряд
Ряд с неотрицательными
(неположительными) членами
Абсолютно сходящийся ряд
8 |
9 |
Условно
9 |
сходящийся
ряд
10 | Сгруппированный ряд
11 | Сумма сгруппированного
106
ряда
|
|
|
|
|
10 |
11
после-
довательности
Член последовательности
Предел последовательности
Сходящаяся последовательность
Монотонная последовательность
Неубывающая
(невозрастающая)
последовательность
Последовательность с ограничен.
ным изменением
Сходящаяся последовательность,
не имеющая ограниченной вариаЦИИ
Подпоследовательность
Частичный
предел
последовательности
Продолжение
№
Термины
12
теории
Ряд с условием
рядов
№
12
Коши
13 | Ряд с ограниченными
ными суммами
Термины
последовательно стей
Фундаментальная
13
частич-
теории
табл.
последователь-
НОСТЬ
Ограниченная последовательность
6.4. Бесконечное произведение. Применение теории числовых
рядов к изучению последовательностей можно рассматривать как
одно из важнейших приложений операции сложения. Такое же
применение имеет и операция умножения.
Определение 1. /Госледовательность (Р„) положительных чисел
называется бесконечным
произведением,
если Существует такая последовательность положительных чисел (р), что
n
УпЕМ
р, =
Бесконечное
П
=!
ре.
произведение
обозначим
символом
Пр,.
Числа
Р»
называются частичными произведениями, а числа р, — множитеJIAMH.
Определение 2. Значением
бесконечного
произ:
ведения
Пр; называется Ит Р„, если он существует.
пос
оо
Для значения бесконечного
П р.„,
п==1
сел
[]
пЕМ
отличая
его
от
символа
произведения
При
H
OT
примем
произведения
обозначение
семейства
ЧИ-
р, рассмотренного в 6 4.
Определение 3. Бесконечное произведение Пр„ называется входящимся, если оно имеет значение, отличное от нуля и от -Ноо.
В этом определении нуль исключается, так как бесконечное
произведение
положительных
чисел расематриваетвя
в RT =
= {хЕВ
| х>> 0} иде В'.
Если ф — биекция множества № на себя, то бесконечное произведение
Про,
называется
перестановкой бесконечного произведения При.
Определение 4. Бесконечное произведение называется безиусловно
сходящимвя, если сходится любая его перестановка.
Если Пр, сходится, но не безусловно, то бесконечное произведение
называется условно
сходящимся.
Сформулируем основные утверждения, которые читатель может
доказать самостоятельно в качестве упражнения.
Теорема 1 (необходимый признак сходимости). Для сходимости
Пр, необходимо, чтобы Ит р, = 1.
noo
B CBA3H GC STHM BMECTO P, часто пишут | - о, и бесконечное произведение записывают в форме П (1 -|- a@,). Тогда необходимое усло-
вие сходимости
принимает
вид а„ = 0 (1).
107
Теорема< (критерий безусловной сходимости). Бесконечное произведение Пр, сходится безусловно тогда и только тогда, когда семейство (р„) перемножаемо.
Определение 5. Бесконечное произведение П (1 -- “„) называется
абсолютно
сходящимся,
если сходится П (1 -
| в |).
Очевидно, что бесконечное произведение абсолютно сходится
тогда и только тогда, когда оно сходится безусловно.
Для условно сходящихся бесконечных произведений справедлив
аналог теоремы Римана об условно сходящихся рядах.
Теорема 3 (Римана). Пусть Пр» сходится условно. Тогда У © 6
Е 0, {с|
существует
перестановка,
сходящаяся
к ч.
Применим
ловых
методы
исследования
последователь ностей
чие-
и рядов
к
последовательностям функций и функциональным рядам. Новыми для читателя окажутся понятия равномерной
нормы
и
равномерной
сходимости.
Важное место среди всех функциональных рядов принадлежит степенным рядам, имеющим многочисленные применения. В частности, посредством степенных рядов продолжим
элементарные функции
(показательную, тригонометрические и другие) в
комплексную
ПОСЛЕДО:
ВАТЕЛЬНОСТИ
ФУНКЦИЙ
И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
РЯДЫ.
СТЕПЕННЫЕ
РЯДЫ
И ЭЛЕМЕН:
ТАРНЫЕ
ФУНКЦИИ
плоскость
©.
В комп-
лексной плоскости можно обнаружить
замеченную еще Эйлером удивительную связь между показательной и тригонометрическими
функциями,
по
достоинству оценить важность в математике числа еи функции 2 „= ег. Указанная связь позволяет получить как
известные,
так и новые формулы
три-
гонометрии. При изучении степенных
рядов большую роль играют числовые
суммы, рассмотренные в гл. 3. Применение степенных рядов к числовым
рядам (сходящимся и расходящимся)
приводит к новому пониманию суммы
числового ряда, предложенному еще
Эйлером и используемому в приложениях, особенно при рассмотрении
произведения числовых рядов.
$
1. Последовательность
и функциональный
Поточечная
1.1.
ряд.
функций
сходимость
Последовательность
функций
ее поточечный предел.
Определение 1. Отображение
жества
№ в множество
называется
Ф
и
мно-
всех функций
функциональной
последовательностью.
Значение отображения Ф (п) = [, называется ее п-м членом.
Для последовательности функций
примем обозначение (Г).
Определение 2. Пусть
Ь: СС
uD)
=D
= 2
|: С-+ С,
VneN.
109
Последовательность (|„) называется
ся
к функции
|, если УгЕ2
поточечно
1(2) =
lim
Ls со
f, (2).
сходящей-
Если последовательность (/„) поточечно сходится к функции f,
то пишем {, —> {. В влучае, когда важен сам факт поточечной сходимости и не играет роли функция {, будем писать |, —.
1.2. Функциональный ряд и его поточечная сходимость.
Определение 1. /Последовательновть функций (5„) называется
функциональным
рядом, если вуществует такая повледовательность функций (},), что р, =2
УпЕ№и\У
(ПЕ, 2 Е2)
S, (2) = > f, (2).
(1)
Функциональный ряд обозначим вимволом Zf,. PyuKuua S,
называется п-частичной вуммой ряда » {[л, а [, — его п-членом.
Определение 2. Готочечной суммой ряда ХР, на множестве # <
< ( называется поточечный предел его частичных сумм, если он
существует. Ряд называется поточечно
входящимащя,
если его поточечная сумма существует и является конечной.
оо
Поточечная
ким
образом,
сумма
(3
n=l
ряда
Х |,
I) (2) gel tim
П- оо
обозначается
Уна
Ка ]
символом
У, hae Tafam|
W2zedZ.
Пусть Ds =Z
Wne€N. Torna повледовательность функций
(S,) можно рассматривать как ряд » (5, — 9,1), где 5, (2) =0
У2Е 2. Таким образом, функциональные ряды, подобно чиеловым, представляют собой особую форму изучения повледовательности функций.
$ 2. Равномерная норма
Равномерная сходимость
и функционального
функции.
последовательности
функций
ряда
Введем в рассмотрение равномерную норму функции, обобщающую
модуль числа и совпадающую с ним, когда функция постоянная.
Это новое понятие используем при построении теории равномерного
предела последовательности функций.
2.1. Равномерная норма функции и ее свойства.
Определение. Число
sup
| / (z)|,
zed,
(1)
конечное или бесконечное, называется равномерной
нормой
функции
[и обозначается |||» или, короче, ||
Отметим основные свойства равномерной нормы функции.
Теорема 1. Для любых функций |: С -—
справедливы
410
утверждения;
С, 8 :С -— СиУХЕС
1) (fl
= >
f =0; 2 PAFL
= АНА
3 f+ el<ifl+igl, ecau D, 1D, #2.
|
4141-05Cup 76| =0=(/91=0 УгеРуь(@=
-0 уе) => 6-0.
2) | MTS sup
@)l=supVe] IF 1141 sup lf @|= IAI
3) Пусть Е
пр, ne gs. тогда
+ |g I< sup iF ((1+ supl ac =
Согласно
предёлению
cop Jf
верхней
грани,
+ Е +1
8
|Ё (2) 8 @l<
Ее
lF@ i+
имеем
tT. & [f+egl<ifitigl.>
Теорема 2. Функция| : © — С ограничена тогда и только тогда,
когда ||{| < +.
®
Действительно,
(Fl = зир| 7 (2) | < +09) > (3 МЕК:У ЕР,
26—
<> (| — ограниченная).
Для
модулей
чисел 2 Е (,, ш Е
|7 (2) [< М) >
д
С справедливо равенство | zw | =
=|2| ||. Для равномер ных норм такого равенства не существует,
например, пусть { (2) = 1, если |2 | < 1,[ (2) = 0, если |2 | > Та
g=1-—f.
# | fll lel:
Однако
Toraa fg= 0, = О
справедливо
утверждение.
Теорема 3. Пусть |: © — С, 2: С -—
РАН.
<
Пусть 26Б;
П Б.. Тогда
ее
=
= 1, ра =
т.е. 11а | 56
С. Если),
П О, = ©, то
(2)
Неа
Из определения верхней грани следует неравенство
267
р [А (2) в (г) | Аа,
14
т. е. Ifel<ifilel.
>
Следующее свойство равномерной нормы часто применяют при
решении задач.
Теорема 4. Пусть О:.‚ == @. Тогда выполняется равенство
где [|2 — сужение функции
<
Пусть
2 ЕР,
иё (2)
= g (2) € Z. Значит,
coe
[фо
6О,.
(f° g)(z)|= sup
= 7
| на множество # = Е,
Тогда
|| (@ (г)) |
[| it
(3)
=,
А (и), т.е. [Ре а |= ||.
№
Равенство (3) назовем правилом замены переменной для вычисления равномерной нормы композиции функций (сложной функции).
111
2.2.
Равномерная
сходимость
последовательности
функций.
Определение.
Пусть
2 =П; =р;
Упте\№. Последовательность функций (Г,) называется равномерно
сходящейся
к функции | на множестве 2, если | |, — [| — 0 при п — о.
При этом функцию / называем равномерным пределом последовательности (/,) и пишем [, $ [, или |, —* [на 2.
Теорема 1. Если |, = f, mo fy, > f.
4 Пусть Z =D; = О,
УпЕМ, 2Е С. Тогда при п -—> со имеем
VzEZ
If (2) — Р» (2) 11 — 1-0,
следовательно, [„ >f.
>»
Следствие. Если последовательность функций (1,) сходится
равномерно,
то
Теорема
2
ее равномерный
(о линейности
предел
единственный.
равномерного
предела). Если |, > f,
8,2 =Б, =Б,=ВБ; =Б;, УпЕ №, moVrAEC
ОР hg.
%
№,
Имеем при п -—+ oo:
(Ра + Ааа) — (Р-Н ^в) 11 — ИАН
а — 81-0,
следовательно, | +Ag, — f +Ag. >»
Не все теоремы о пределах сходящихся числовых и равномерно
сходящихся функциональных последователь ностей аналогичны друг
другу. Это объясняется тем, что равномерная норма, в стличие от
модуля числа, может принимать значение --оо.
Приведем пример двух равномерно сходящихся последовательностей функций, произведение которых сходится неравномерно.
Пример.
м 8
Пусть
У (пЕМ,
26 С)
(2) =2,
[(2)=2,
вл (2) =
—.
Тогда
& 30.
Однако
= sup
ЕС
W(n€N,
2
=|
= -+oo,
2гЕС)
T.@.
(би)
(2) = =
>
WFn&n — 91 = | №8. | =
сходимость неравномерная.
Если ограничимся функциями с конечными равномерными нормами, т. е. ограниченными функциями (см. теорему 2, п. 2.1), то
указанное выше различие исчезнет.
Теорема 3 (о равномерном пределе произведения). Лусть 2 =
=D) = Dy = В,=Бе, УпЕ\, [| < +, |8 | < +
Е№. Если |, > Р 8. > 8, то
<
Имеем
ая
—
(см. теоремы
Поскольку
казать,
A |hal<
112
= |
что
1 и 3, п. 2.1)
— Ва, + Ра, — @
||, — {| =0 (1) Л|2.—&|=0
о,
||| <
то
Упс
в. > 18.
+ и | 5. | =О (1).
|{|<
+.
— Иа-Иа.
— 81.
(1),
то
осталось
|&|<
о.
Так как
Аналогично
УВЕМ
If
до|=
При-
нимая
во внимание
оценку
| 2. | < |2, —&|-
|. —g| =o (1), nonysaem |g, | =
2.3.
Равномерная
фундаментальность
|| и
соотношение
последовательности
функ-
ций. Критерий Коши. В п. 2.4, гл. 1, введено понятие фундаментальной последовательности (х„) и доказано, что сходящимися являются лишь такие последовательности. Для последовательности
функций (/,) потребуется аналогичное понятие.
Определение. Пусть |, : © > Сир; =2
УтеЕ\. Последовательность ({„) называется равномерно фундамен тальной,
если Че >0 3п, Е№: У п>п,рРЕ№
|+,
-— Ё|<е.
Числовую последователь ность можно рассматривать как частный
случай
последовательности
постоянных
функций,
при этом понятия
фундаментальности и равномерной фундаментальности совпадают.
Теорема (критерий
Коши). ПШоследовательность функций (|,)
равномерно сходится тогда и только тогда, когда она равномерно
финдаментальна.
$ Необходимость. Пусть f, >
[и 2 > 0. Пользуясь определением
равномерной сходимости, найдем такой номер п, Е №, что Уп > п:
м — А < 2.
&
довательно,
—/|<е,
что
РЕ№
означает
|
— {|<5. Сле-
|
Тогда V (n> ne, PEN)
У (п > п,
— ВР — И
равномерную
фундаментальность
после-
довательности (},).
Достаточность. Пусть последовательность (/„) равномерно фундаментальная иё2 Е 2. Тогда из оценки
| Fat
(2) —
справедливой У (п Е №, ре
[а (2) [<
[+
—
В
(1)
№), следует фундаментальность числовой
последовательности (/, (2)). Согласно критерию Коши, для последовательности комплексных чисел 3 Иш |, (2), который обозначим
через [ (г).
Пусть
= >> 0. Поскольку
п
со
последовательность
(/,) равно-
мерно фундаментальная, то 3 я, Е №: У п» п., PEN)
I fate —
—/, | <.
В силу неравенства (1) У (п > п, рЕ №, 26 2) имеем
| Рене (2) —
Перейдем
Be HCTBO
к пределу
Г» (2)
| < г.
при р — oo. Получим
[i (2)
У (п > п,, г Е 2) нера-
—fr(z)l<e
Согласно определению верхней грани, | { —/,|<e
Wn > fg, откуда следует, что /, —*
[на 2. д
2.4. Равномерная сходимость функционального ряда.
Определение 1. Пусть [,: С—> СР; =2
УлЕМ. Ряд У[,
называется равномерно
сходящимся,
если последовательность его частичных сумм сходится равномерно.
Сумму равномерно сходящегося ряда назовем равномерной суммой.
113
Определение 2. Лусть }, : С > С, р» =2
УтЕМ. Ряд У[,
;довлетворяет равномерному условию Коши, если последовательность
его частичных сумм является равномерно фундаментальной.
Критерий Коши, доказанный для фундаментальной последовательности в п. 2.3, сформулируем в терминах теории функциональных рядов.
Теорема (критерий Коши для функционального ряда). Пусть
,:С-> С, р; =2
УптЕ\М. Ряд Х[, сходится равномерно тогда
и только тогда, когда он удовлетворяет равномерному условию Коши.
2.5.
Нормальная
сходимость
функционального
ряда.
Признак
Вейерштрасса равномерной сходимости. Введем в рассмотрение понятие нормальной сходимости функционального ряда.
Определение. Лусть |, : С > С, Бр» =2
УптЕ\М. Ряд Sf, naзывается нормально
сходящ имся, если последовательность равномерных норм его членов суммируема, т.е. (|1) 61 (№).
Из критерия суммируемости числовой последовательности следует, что ряд У}, нормально сходится тогда и только тогда, когда
ПЕМ
Если все члены ряда >}, постоянны, то его нормальная евходимость равносильна абсолютной сходимости числового ряда.
Теорема. Пусть
1 © — (С, ВБ, =2
УптЕМ.
Если pad Sf,
сходится нормально, то он является равномерно сходящимся.
Если (ЕТ (№), то числовой ряд > | [, | удовлетворяет критеn-+-p
рию Коши: Уе>0 ЗЕ
№: (> ль, РЕМ, >
Из
неравенства
n-tp
АЯy
n+p
fel< ВУ
Whe
VEN,
11|
<в
PEN
и теоремы п. 2.4 следует равномерная сходимость ряда Sf. >
Следствие
(признак Вейерштрасса равномерной сходимости
функционального ряда). Пусть |, © —(С,2;
=2
УпЕМ. Если
существует такая последовательность („) Е 1 (№), что || |=
= O(a,), то ряд Xf, сходится равномерно.
\ По признаку мажорации (||, |) Е 1 (№). По определению ряд
2}, сходится нормально. Согласно теореме, он является равномерно
сходящимся. №
2.6. Признаки равномерной
сходимости
функциональных
рядов.
Теоремы Абеля и Дирихле. Тождество Абеля (см. п. 5.2, гл. 3), записанное для функций, является источником получения признаков
равномерной
сходимости
функциональных
рядов.
В теоремах
этого
пункта рассматриваются функции вида | 1 (; — С, D; = Z.
Теорема 1 (о равномерной равносходимости функциональных рядов, связанных преобразованием Абеля). Пусть последовательность
‚функций ([19„) сходится равномерно на множестве 2. Тогда функцио114
нальные
ряды
УР (в, — 8-1),
У, &» CF ntet
в =0,
(1)
—f,)
(2)
равномерно входятся или неравномерно одновременно.
<q Пусть ряд (2) равномерно сходитвя на множестве 2. Согласно
теореме о линейновти равномерного предела и тождезтву Абеля
n—!
Da fe (Ge — Be) = Inn — Yea (feri— fh) VOEN, — (3)
ряд (1) сходится равномерно на множестве 2. Аналогично ряд (2)
равномерно еходится, евли ряд (1) являетея равномерно входящимen.
>
Определение. /7оследовательность комплексных чисел
вается бимонотонной,
ебли У (nEN, РЕМ)
п-ЕР
У
kRe=n--!
анны
2,1521
n--p
У
(г„) назы-
(ин -2|.
k=n-+|
(4)
Смысл термина «бимонотонноеть» поясняет следующее утверждение.
Лемма. Пусть 2, = х„ +,
УпЕМ№. Если последовательности
(Xn), (и„) монотонные, то (г) является бимонотонной.
<
Имеем
AL
YM
k=n-+-]
=|
n-tp
Yo
k=n-+!
У ПЕ№
рЕ№)
[eep1
— 241 <
(xe
— xpi +]
пр
OY
ke=n-+!
n-+-p
Y
Г
[Xep1
— elt
n+p
YM [Yeti
— ye] =
k=n-+1
Wer —y)|<2})
n+p
SY
=n-+l
(eer
2)|.
>
Teopema 2. Ecau У 2 Е 2 последовательность комплексных чисел
(!, (2)) бимонотонная и
(sup l gel) (sup Ife —Fal) = 0(1),
(5)
то ряд Xgy (fet — fp) сходится равномерно.
%
Пусть
262.
Тогда
п-Ер
п--р
У а» (2) (ен (2) — [Ь (2) |< k=n-+
У | ПИР
keen+l
<
эр
k>n-+1
[21.21]
пер
У
ke=n-+!
на -Ь(2))|<2
—fn+i(2)[<2
sup [gel
кп!
эр
k>n+1
В (|<
|в,
|| Рона (2) —
sup f,—fal-
kon+l
(6)
Из оценки (6) и критерия Коши для функционального ряда вледует
утверждение теоремы. }
Теорема 3 (Абеля). Пусть У г 6 2 последовательность комплексных чисел (т, (2)) бимонотонная. Воли ряд »ф„ входится равномерно и
[|=
(1), mo ряд
ЯРф, являетвя равномерно сходящимся.
115
4 Пусть Ф = у фи. Полагаем в. = у ф, —Ф
вию теоремы |с, ‘| = 0 (1). Поскольку
УпЕМ. По усло-
sup | gl - sup
| he —fal =
k>n
—=0(1) 0 (1) =о (1) иф, = &, — в
К n > 2, то выполнены все
условия теоремы 2. Поэтому ряд Фа. (м1
в) равномерно схо-
дится. Так как | [ии | < || [8 | = О (1) о(1) =о (1), то по теореме | ряд >!ф„ равномерно сходится. д
Теорема4 (Дирихле). Пусть У 26 2 последовательность
плексных чисел (Г, (2)) бимонотонная. Если
= ОЛ
|[=0(1),
ком-
(7)
то ряд Xf,, равномерно сходится.
q
Полагаем
©, = у
go,
VneێN.
Tak
kak sup
l ell: ‘toh lhe—
—f, | =O ()o (1) = о (1) иф, =&, — в
у n > 2, то, ‚согласно
теореме_ 2, ряд
29, (1 — 1.) сходится равномерно. 'Кроме того,
а.
0 0) 0) =0(1). По теореме 1 pan She,
сходится равномерно.
Из теорем 3 и 4 следуют классические теоремы Абеля и Дирихле
о
равномерной
сходимости
функциональных
рядов
специального
вида, членами которых являются отображения из К в В. Сформулируем
их
в виде следствий.
ная.
Если ряд Уф, сходится равномерно и ||, | =О0
Следствие
р, = Пъ, = Ха
1. Пусть
УпЕ№М
f, :R->R,
Фф:В-В,
Ки УХЕ Х последовательность (7, (х)) монотон-
(1),
то ряд
Умф„ является равномерно сходящимся.
Следствие 2. Пусть
УптЕ№
f, :R-R,
Q9,:R—->R,
р „ = Ву, = Хо В и УХЕ Х последовательность чисел (|, (х)) монотонно убывающая. Если
У
то ряд
УГ ф, равномерно
Пример
функций
сходится.
=1
на равномерную
sin nx
fp (x) =
У (ЕВ,
ecm
каждом
Пример
значении
МИХ
2.
|=
Ecru z2€ Си|2|
хе К
— — 0.
Исследовать
(Ги), если {м (2)
= 2"
на
W(n€N,
С ия
116
3.
сходимость
——=0
равномерную
[z] <1).
последовательность
пЕМ).
sin nx __
Следовательно,
(1).
Поэтому
[„->0.
г
Исследовать
У (ЕВ,
на
сходимость
последовательность
вЕМ).
то [+ - 0 неравномерно.
равномерную
Далее,
[м = 0.
< |, то 2" = о (1). Следовательно, {м —> 0. Так
—0| = | № | = sup | z* |= 1520(1),
Пример
1
= 91)
1. Исследовать
(fp),
При
1—0]
= (0 Л
сходимость
ряд
2[н,
как | [м —
если
[м (х) ==
Поскольку | [1 |
=
1
Sa pat
SUP о
=
]
]
€2(N), To pam Xx fy cxonONHTCA
( =“3
a
нормально и тем самым равномерно.
Пример 4. Исследовать на равномерную сходимость ряд » фи, если py (x) =
-
WV (n EN, x€]0, tool).
Воспользуемся
fn (x)=
признаком
=
x
=, Gn (x)=
Vxc]0,
+ cof
mw
Дирихле,
обозначив
У (пЕМ,
хЕ]0,
-- oof)
(—1)". MocneqopatenbHoctTh (jf, (x)) ABAAeTCH MOHOTOHHOH
тем
самым
бимонотонной.
Далее,
Jin l=
—
= о (1),
п
У, в»
=
О (1). Следовательно,
выполнены
все условия
признака
Дирихле.
k=]
$ 3. Степенные
Пусть «ЕС
ряды
УпЕМ,
2 ЕС. Ряд
Ха, (2г— 2)",
2ЕС,
называется степенным. Частичные суммы этого ряда являются алгебраическими многочленами, и поэтому его сумму можно рассматривать как дальнейшее обобщение понятия многочлена.
3.1. Радиус сходимости степенного ряда. Нормальная сходимость. Каждый степенной ряд
Ха» (2 — 20)”
(1)
обладает замечательным свойством! с ним связано число 0 < А =
< -оо, называемое его радиусом сходимости; зная это число, можно
ответить на вопросы о поточечной, равномерной и нормальной сходимости ряда, указать свойства его членов (ограниченность, суммируемость, стремление к нулю). Наиболее простой задачей является
исследование членов ряда (1) на ограниченность. Ее решение служит
основой определения радиуса сходимости степенного ряда.
Определение. Радиусом
сходимости степенного ряда
(1) называется число
Ю = зир {г > 0| а!" = 0 (1}}.
(2)
Поскольку {г > 0| а,.г" = О (1)} >= В, то верхняя грань этого
множества в К существует.
Теорема. Пусть Ю >00 и 0<!г<
ЮВ. Тогда ряд (1) сходится
нормально в круге К, = {2E€C|]|z—2%|< 7}.
q По определению верхней грани 371 1г <
Лам = 0 (1).
Пусть
У @ ЕК, пПЕ№М)
[ (2) =а, (2 — 2)".
Тогда
Ma= lault” = laattl(z-f = O((4-)):
Так
как 0 <
(см.
п.
3.1, гл.
<
1, ro ((Z= " Е 1 (№) и по признаку мажорации
3) i. |) €2 (N),
aro
по
определению
означает
117
нормальную сходимость ряда Xf, т. е. степенного ряда
(1) в круге
"Ca едствие 1. Пусть Ю > 0. Тогда ряд (1) поточечно сходится в круге Кью. Если Ю < +00, mo pad (1) расходится поточечно вне круга Кв, т. е. в тех точках г © С, для которых| 2 — г. | >
>R.
Следствие 2. Пусть
Ю > 0и|2—2|
< В. Тогда а, (г —
— 20)" = О (1). Если Ю < +
и|2—д|
> В, то а, (@— 2)" =
# 0 (1).
Следствие 3. Пусть
— 20)1 = 0 (1).
5 о (1).
Следствие
2“)
№).
КЮ >
Если Ю < и
0и| 2—2
|< К. Тогда
|2 — 55| > Ю,
а, (г —
то а, (2 —д)"=
4. Пусть Ю > 0и| 2—2 |< К.
Тогда
(а, (2 —
Е1(№). Если Ю < + ®и|2-— 4 | >> ВЮ, то (a, (2 — %)") €
Следствие
5. ЕслиЮ
ся равномерно в круге K,.
Теорема
и следствия
> О и0<г<
из нее не содержат
В, то ряд (1) сходитникакой
информации
о
свойствах степенного ряда на окружности \ю = {2 (С||2—2|
=
= А}. В силу формул Эйлера ряд (1) на окружности ув превращается в тригонометрический ряд (см. гл. 9
3.2. Теоремы Абеля и Коши — Адамара.
Теорема 1 (Абеля). Пусть числовой ряд
Хан (21 — 2)"
(1)
сходится и 21 == 2,. Тогда степенной ряд
Ха» (2 — 2)"
сходится
$
в круге
Поскольку
|2, —2| <
—2| < А}
Теорема
pada (2) ul
%
=0,
u R
К = ЕСН
ряд
2—
(1) сходится,
(2)
5 |<|ад}.
то,
согласно
Очевидно,
— 0 при
и
что
м = оо
Если
3),
теоремы
Если
[ =
0, то,
VzEC
следствию
1,
п. 3.1,
- оо.
lim ya, (2 — z,)"| = Иг—
гл.
следствию
Ю. Следовательно, К < Кв, где Кв = {26 (С||2—
— круг сходимости ряда (2). №»
2 (Коши — чи
Пусть Ю — радиус сходимости
= lim у а, |. Гогда Ю = — ‚ причем R = +00, если
по
радикальному
(а (2—2)
С
п. 3.1, Ю = -Н о
[= + о, то Уг2=д
2,
п,
3.1,
1(№).
|.
признаку
Согласно
(3)
Коши
а, (2 — 2)" 52 О (1).
Ю =0.
(см.
следствию
п.
3.2,
4 из
Согласно
Пусть 0 < {< +.
По радикальному признаку Коши из равенства (3) следует, что УёЕК!
(а, (2 — 2о)") Е 1 (№). Следоваl
118
тельно,
К,
<
(3) получаем,
l
Кри
7 <
R.
Ecau| z—2|>
+, то из равенства
|
что а, (2 — 2)" = 0 (1). Согласно следствию 3, -- =
> Ю. Таким образом, - = А. №
3.3. Правило умножения степенных
произведением многочленов
рядов.
В
курсе
алгебры
Р (2) = x a,z*, Q(z) = о b,2!
называется
многочлен
тп
Vy
(1)
>, Суг”, где су = > ajby_j;, V=O0, n+ т.
К (2) = v=
|=
Это определение согласуется с правилом умножения конечных сумм
в том смысле, что Р (2) О (2) =Ю (а У2ЕС
Сформулируем правило умножения степенных рядов, обращаясь
с ними, как с многочленами.
; Onpenenenne. [] pouseedenuem
cmeneHHolx
pa06
называется
где
с, ->
а, + Ха, (2 — 2)", bo + 2b, (2 — 2p)"
(2)
Cy + Xe, (2 — 2)",
(3)
степенной
а,
ряд
Vn€
Zo.
Полагая в рядах (2) и (3) 2 — 2 = 1, получим правило Коши
умножения числовых рядов.
3.4. Правило Коши умножения числовых рядов.
Определение. // роизведен ием в смысле Коши числовых рядов
называется
dp + Bay, by + 2b,
числовой
ряд
Со
где
C, = у,
Данные
согласованы
j=0
ajbn_y
Vn€
+
Си,
(2)
Zo-
произведении
правилами
класса [ (№). Убедимся
Теорема.
Vn€
определения
с
(1)
умножения
в этом.
степенных
сумм
У =
ПЕД.
числовых
рядов
семейств
из
п
Пусть (“„) Е l (Zo), (Ba) EL (Zo).
Zo, mo (vn) El (Zo) u
и
числовых
Ха, » В.
REZo
[Е о
Ecau
у, =
оо Ви
(3)
119
4
Оценим
у,
n€Zo
сумму
У
n€E Zo
[vn] =
у,
| y, |. Umeem
Ха OiBn—7 |<<x 2 (3
n€Zo | /=0
Zo
\j=0
ав,
(4)
Применив теоремы п. 1.4 и 1.5, гл. 3, получим неравенство
о (199 ПВь-и
означающее,
гл.
3,
что
получаем
= (1
(\„) © 1(Ё.).
— =
(2 1» |} < +0,
Согласно
теоремам
4и
о си
(2, Be).
>
У Be
REZo
5,
п.
(5)
1.10,
Следствие. /lycms Kp, u \ к, — соответственно круги сходимости степенных рядов аз Е Xa, (2 — 2%)* u by + ХВ, (2 — 5)",
A Cy + Ус, (2 — 2)" — их произведение с радиусом сходимости R.
Тогда Ю > шт {В Е} и Vz€ Kr, 1 Ke,
У с, (е— г)" = (> а, (г — 20) ( & bne— 20) 7
NEZo
0
3.5. Метод Эйлера — Абеля суммирования числовых рядов.
Правило Коши умножения числовых рядов используется для нового
понимания суммы числового ряда, связанного со степенными рядами. По существу его установил еще Эйлер в тот период времени,
когда между математиками шел спор о том, чему равна сумма
1—1-+1—1-..., нулю или единице. Числа 0 и 1 получали в
результате следующих группировок слагаемых: (1 — 1) - (1— п +. = О Р-Н (АОН
(-1-И-... = 1. Неожиданно для
всех
8
Эйлер
ствуясь
тем,
предложил,
что
что если
| 2| <
| — | +1—1-{...
1, то
|
]
= >,
Рруковод-
2 + А —2-...
= ГЕ.
]
Правая часть равенства имеет смысл при г = | и равна ~. Этим
и объясняется предложение Эйлера.
Если рассуждения Эйлера применить к произвольному числовому
ряду, то получим то новое понимание его суммы, о котором упоминалось выше.
Определение. Лиусть Ю > | — радиус сходимости pada Xa,2".
Если
=
lim
х-1
0<x<1
У, ах" ==
ПЕХо
mo uucno S nazsneaemcacymmoti
Dtiaepa—A6beaan
ряда
Ха, и обозначается символом »э—ла,. Если Хэ—ла, Е (С, то ряд
Ха, называется суммируемым
методом Эйлера — Абеля.
120
Сумму Эйлера — Абеля в литературе называют абелевой, а также
суммой Пуассона — Абеля. Введение в математику первого названия
основано на следующем утверждении.
Теорема1 (Абеля). Пусть ряд Ха, сходится и аз -= У a, = S.
Тогда
<q
ряд
суммируется
Paccmotpum
pag
Действительно,
постоянные
2a,x*,
методом
ряд Ха, сходится
на
]0, |,
Эйлера — Абеляи
x €] 0,
а УхЕ
0,
ИП.
Он
равномерно,
[
So aa, = 8S.
сходится
так
равномерно.
как его
последовательность
члены
(х”) моно-
тонная и УпЕ№
|лх.|=< |, т. е. выполнены все условия признака
Абеля равномерной сходимости функционального ряда. Пусть (х„) —
произвольная последовательность чисел, удовлетворяющая услоВИЯМ
(lim x,=I)A(WMEN
Так как ряд Ха,х”
то
Уё>0
равномерно на ]0,
ID).
[Гиза
-
У а, = $5,
n=l
Jne!
n€Zo
т-со
n=0
| n=0
n=0
довательно,
\У т >
me
<
| банят —
п. 6.1,
теорему
(см.
$ < в,
>,
<
|Халх — $ | = | Уа —$|
|Уах—
Ут > те
n=0
Пе
Пе
Нш
$|<+
У“
+)
ахт — У ая |<
у,
(vmen
Поскольку
сходится
%n€19,
TO
Эт:
гл. 1).
Сле-
т. е. Хэ_ла, =5.
Теорема 2 (о произведении рядов по Коши). Пусть ряды Xa,,
>В, суммируются методом Эйлера — Абеля и ряд Ху,
является
их произведением по Коши. Тогда он суммируется методом Эйлера —
Абеля и Уэ—д\, = Хэд, Хэ—АВи.
Согласно следствию из теоремы п. 3.4, справедливо
By raat = (deone) ( У, Вы"), |211
\"
néZo
Пусть
ряющая
(х„) —
Е о
произвольная
n€Zo
;
последовательность
чисел,
равенство
(1)
удовлетво-
условиям
(Шт хи = 1) Л (УмЕ№М
x, €)0,10).
M+ oo
Из определения суммы Эйлера — Абеля, равенства (1) (в котоpom z= x, \УтЕ №) и теоремы о пределе произведения числовых
пооледовальностей получаем требуемое утверждение. }
Следствие.
/Гроизведение по Коши сходящихся числовых
рядов суммируемо методом Эйлера — Абеля.
Приведем пример сходящихся числовых рядов, произведение
которых по Коши расходится.
121
Пример.
==
Рассмотрим сходящиеся
И
Vné€
Ут-1
2,
числовые
ряды Хан, ХВи, в которых
и их произведение
(—
Уп
=
у
Вик
=
(—
1"
oF
>)k=0 У Поскольку
Е = 0,
УЕ
м, то |112
2
nD
2
=
=—(—
(
ne
k+l
Cos
где
>1
1)
J)" x
x
Ze
paneer
1
Хи,
1)"—*
Vn—k+l
ЕЕ
1) (n—k+)D<
У,
по Коши
Я =
="
wneéN
Ww neZ5,
u pag
Lypq
pacxos
k==0
AHTCH.
$ 4. Элементарные функции
4.1. Показательная функция. Число е. Укажем нестрогие рассуждения, посредством которых можно прийти к определению показательной функции Ё : (, — С, Е (2) =е
VzeC.
Из курса математики средней школы известно, что V (NEN,
ХЕВ)
(х"“)’ = пл.
Поэтому
,
x
(=
0, (4) =
и есть основание
формулой
fp ge \
(4 )
считать,
<4
x
x”
что функция
Е()=1+
У
neN
обладает свойствами Б (0) =Ти
i
=
Ё : © -> С, определенная
У2ЕС,
п
\'
(4) = a
У2ЕС
(1)
ЕЁ’ (2) =Е (2), которые
будут обоснованы в гл. 6. Существование правой части формулы
(1) следует из примера 1, п. 5.1, гл. 3, где доказано, что Угё ЕС
[=
п
Е 1 (№). Изучим элементарные свойства показательной функции
С
1. Пусть
2 Е С, 2 © С.
Тогда
Е (21) Е (25) = Е (21 -
22)
(2)
и Е (0) =
{ Докажем равенство (2), поскольку свойство Ё (0) = 1 очевидно.
Воспользуемся правилом Коши умножения числовых рядов (см.
п. 3.4). Получим
Set
ao
=)
E@ee)=(14+¥
n=l
n=1
+У (У- Rl wor).
122
Согласно формуле бинома Ньютона,
я
21 22
ki(n—k)l
имеем
__
(+
п
2)"
.
Поэтому
Е (2,1) Ё (23) =
<
Следствие
У
а
n€Zo
1. Пусть
= E (2, +).
26 С.
>
Тогда Е (2) Е (—-д =1.
Имеем РЁ(2)
Е (— г) = Е (2-Е (—2)) = Е (0)= 1. №
Следствие 2. /Лусть 26 (, тЕ №. Тогда (Е (2))" = Е (тг).
< Применим метод математической индукции. Для т = 1 равенство
очевидно. Пусть оно справедливо для т Е №. Тогда
(B (z))"t! = (E (2))” E (2) = E (mz) E (2) = E (mz + 2) = E((m+
+1)2).>
Следствие
4
Согласно
следствию
Теорема 2. Пусть
2,
ПЕ №
= Е (mm . 2)
и 0<|2| < п.
п
= В (2).
№
Тогда
|2 jeri
=
k=0
Hs
m
(Е (=)
E@—Y
q
2
Е
(ш) = (E (z))™.
3. Пусть 2 Е ©, тЕМ. Тогда Е
ni
°
(3)
ovenox
n
E(@y—)
k=0
2"
=
=
—
Ши
Zn
12!"
же"
k>ntl
|2
121
<-п-
|2
_
|2]
toler)
следует неравенство (3). №
def
Полагаем е = Е (1).
Теорема 3. Число Эйлера
того, 2 <е< 3.
т ЕЁ
=
2n+l
(tr)
е является
aa
иррациональным.
т
.
1
Хи.
=
п (п-1—]2])
<q Допустим, что число в рациональное ие = —
Согласно теореме 2, при 2 = 1 справедлива оценка
<
\“"
1
Кромв
те №, ЛЕМ.
(4)
123
п]
Поэтому 0 < т (п — 1)! — У --< 1, что невозможно, поскольку
é=0
интервал ]0, || не содержит целых чисел. Из неравенства (4) при
п = 1 получаем оценки О < е—2< |, т.е. 2 <е<3. №.
Теорема 4. Е (г) =е
УгЕФ.
<
Согласно
менив
следствию
2 из теоремы
1, Ё (т) = е"
[В
следствие 3, из той же теоремы
получим
УтЕ\№.
равенство
При-
т
Ё (=)
=
m
=е"
\ (ТЕМ,
ствие
|, согласно
ее
Принимая
УгсС.
Из
ПЕ№).
Если
которому E&
во внимание
полученной
—
0
и
гЕС,
(г) = ЕЯ
теорему
то применим след-
= —-
4, можем
-
У
м
а
R
_*__
<
[2
nal(n+
1—{|[z])
=е.
вместо
при доказательстве теоремы
п
ег
г<
‚
№
Ё (2) писать
2 оценки
ПЕ№,
(5)
где 0<|2| < п, следует полезное утверждение.
Теорема 5. Существует такое число 0 (п, 2), что У 2Е К,
ег —
0
+
(п, 2) г,
|0 (п, 2)|< 1,
nin
где K, = (2€C || z| <1} —samxnymentt
q Пусть 2 = 0. Полагаем
xpye
nin
‹
paduyca
(6)
1.
2*
80% 2) = иг | - = >)
и
и применим оценку (5). Получим У 2Е К,
nin
[2 \rr!
ГО, 2) Зорге
4.2.
Эйлера
Тригонометрические
полагаем \2г Е;
def
с0$
2 =
<
—
iz
rs
функции.
—t2
ape
Соответственно
def
„12
SI
формулам
—12
, sinz = —-—..
Докажем справедливость некоторых формул тригонометрии.
Теорема 1. Пусть г Е (©. Справедливы формулы:
1) cos 0 = 1, sin 0 = 0; 2) cos (—z) = cos 2;
3) sin (—z) = — sin z; 4) sin? z + cos? z = 1;
5) sin (z, + 2,) = sin 2, COS 2, + COS 2, SiN 2,3
6) cos (2, + 2g) = COS 2, COS 2, — SiN 2, SiN Zp.
Равенства 1) — 3) очевидны. Докажем равенство 4). Имеем
tz
—iz
12
не —{2
]
sin? z +- cos* z = — (e~ —e—*)?
4
124
n
4
(1)
” Для доказательства равенства 5) подставим в его правую часть
стаи с052,
(= 1,2), определяемые формулами (1). Получим
.
.
121 __ е— 121
SiN Z, COS Z, + COS 2, SIN Z, =
17.
x
Oe
+
—I2,
Ш=F
57
ef(2i+22) +
1
(еК+т) —
(е
elite +. е— 122
a
е
ets --
9
5
е— 12‘
.
е
оц)
4.
+20)2)
+e @l(@s—22) eta
2
ef(Ze—21) __ el (Z1—Z2) --
е— 22.)
=
sin (21
+
x
—-
25).
Аналогично проверяется равенство (6). д
Теорема 2. Справедливы формулы
cosz=
У
“aN
(—
1)
г 2(k—1)
k—l
ЕТ,
(2 (k — 1))
sing
=
У,
KN
(—
1)
вы
2 2—1
РП
(
VzeC.
$
Имеем
_
1
6052 = 7°
oy,
+5zr?
J
2 _
(k=
1
=
(2)
-»\k—
(iz)*—!
[aor
РЕМ
Nyt
1
(— iz)‚АВ
У
РЕМ
(2(k—1))t
—
—
°
Аналогично доказывается sropan формула. }
Как и в элементарной тригонометрии, полагаем
sin z
COS 2
{ег =
4.3. Гиперболические функции.
Определение 1. Множество
2 с<- С
ричны
м
относительно
точки
называется
О, если УёЕЁ
симмет-
— ЕС.
Определение 2. Функция |, определенная на множестве 2, силметричном относительно нулевой точки, называется четной
(нечетной),
если | (—2г) =[ (2)
((-а = -—[(2)).
Теорема 1. Каждая функция |, определенная на симметричном
множестве 2, может быть получена в виде | = р + [, где [+ — нечетная функция, |« — четная.
Полагаем У 267
Ё, (2)
=
те)
@yHKuHH fy, HW [+ определяются
Ё
=
атс
>
(1)
по функции } однозначно. Они назы-
ваются нечетной и четной составляющими функции [. Такие состав-
ляющие для функции 2+» е? называются синусом и косинусом
перболическими. Их значения в точке г обозначают символами
и сп 2.
ги$В2
Теорема 2. Пусть г 6 С. Справедливы: формулы:
1) shz
ее
®.
= —_;—-;
2) chz
_= ——5—
e+e” , ;
125
3)shiz=—isinz,
5
)shz
=
у,
RERI
_ 2
4)ehiz=
9—1
=,
6) ehz
cosz2;
=
у,
REN
2—1
_
7,
еп!
{ Равенства 1) и 2) следуют из формул (1), а равенетва 3} и 4) —
из формул (1), п. 4.2. Равенства 5) и 6) еледуют из определений
yHKuHH 2+» e, z+» shz, ze echz. p
Kpome sh z 4 ch z определим функции
{1 2 = Не,
cthz = с
Упражнения
1. Указать
ЦИЯМИ.
2. Являются
связь
между
ли функции
тригонометрическими
и гиперболическими
2 == ЗШ в, 2 нь 603 2, 35 С,
ограниченными?
3. Является ли функция # +» в, ге С, периодической
4. Решить уравнения $11 2 = 0, с0$ 2 == 0, $Н 8 == 0, СВ 2 = 0,
5. Вычислить |е* |,
функ“
Важнейшие
понятия,
характеризующие локальные свойства функции,—
ее предел и непрерывность в точке —
лежат в основе дальнейшего построения всей теории.
Первое корректное определение непрерывной функции дано Больцано
в
1817
г.,
а затем —
Коши
в
182]
г.
Теоремы об ограниченности непрерывной
на сегменте функции
нии ею верхней
доказаны
и о достиже-
и нижней граней были
Вейерштрассом
в 1860 г.
Различают определения
предела
и
непрерывности функции в точке, предложенные Гейне (на языке последова-
ПРЕДЕЛ
И
HEIIPE:
РЫВНОСТЬ
ФУНКЦИИ
тельностей) и Коши (на языке = — 9).
Будем рассматривать функции вида [1 С -— (С, считая функции из В
в К их частным
случаем.
$ 1. Предел и непрерывность
функции по Гейне
1.1. Предельная точка множества и
частичный предел функции в точке.
Определение
1.
Пусть
Пс
С,
20 © С. Если го — точка прикосновения
множества
Z\
{zo},
то
она
назы-
вается предельной
для 2. Точка прикосновения, не являющаяся предельной, называется изоли рованной.
Из определения следует, что если
2 — предельная точка множества 2,
то
9 (2) Пш 2 =дл Л Уп ЕМ№М
2 52 4.
по
Определение 2. Пусть } : С > Си
го — предельная точка множества D,.
Число & называется частичным
пределом
функции [в точке 2,
если 3 (2г„):
(2, 2) A (WREN
а) A (limi (2,) =).
лов
(1)
Множество всех частичных предефункции { в точке г, обозначим
через
2; (2).
В случае
функции
|!
127
;: С -> В
1.2.
полагаем
—
de
de
,
|
lim f (2) = sup E; (2,), lim
/ (г) = шЕ Е, (2%.
2-20
252
Предел
и непрерывность
функции
в точке
(2)
по Гейне.
Определение 1. Пусть |1 С -> С (или |: С — В) и 2 — предель-
ная точка множества О,. Если множество Е; (го) состоит из одного
числа а, то оно называется пределом
функции } в точке
20 и обозначается символом Иш f (2).
Определение
2 ЕДь, если Ит
2-20
2. Функция
} (г) =} (20)
n= oo
f
называется
2, -> 2 A\VNEN
Если
2 ЕО;
и
является
непрерывной
всякий раз, как только
в
точке
2,€D;.
предельной
точкой
множества
Dj, TO
функция / непрерывна в точке 2, тогда и только тогда, когда
lim
f (2) =f (@). В изолированной точке 2, Е О; каждая функция
2-20
{ непрерывна.
ЕД,,
Функция
называется
|, не являющаяся непрерывной в точке 2, 6
разрывной
в ней.
Пусть 2, — предельная точка множества 0О;. Она называется 70ч-
кой устранимого
разрыва
для
функции
|
если 9 Иш { (2) ЕС.
В этом случае функция [*, определенная формулой
.
f(z),
ecnn
2€D;\
~~
{2p},
F(z)=} lim f(z)
npn
р z= 2,0
(1)
2-20
является непрерывной в точке 4.
Определение 3. Функция | называется
точке
гу, если ЗИт f (2).
сходящейся
в
2-2°
Из (1) следует, что изучение сходящихся функций можно заменить более простой задачей исследования непрерывных функций.
Этим
воспользуемся
в дальнейшем.
_ Иногда говорят: «функция | называется непрерывной в точке
2, Е О», если ее приращение в этой точке бесконечно мало всякий раз,
как только бесконечно мало приращение аргумента». В этой формулировке под бесконечно малым приращением аргумента понимают
бесконечно малую последовательность
(Az,,)
а под приращением
—
(2, —
2),
функции
2 ЕО,
2. ЕО;
Vn
| подразумевают
Е №,
последовательность
(Af (2, Az,)) = (f (29 + Azn) — F (2o)) = (f (2n) — F (20).
1.3. Арифметические
функциями.
операции
над
пределами
и непрерывными
Теорема 1. Пусть функции | и в непрерывны в точке г, и О); = Пу.
Тогда непрерывны в этой точке функции [в, | — в, |. в. Если
дополнительно в (г,) == 0, то функция “g Непрерывна в точке 2.
128
< Пусть г > 2 при п — оиУпЕ№
2,ЕБ, = Пе. Тогда
| (г„) —
— 1 (2%), © (2.) — © (2,) и, согласно теоремам о пределах последовательностей,
(F (Zn) + & (2n)) > FF (20) - & (2%), (F (Zn) — & (Zn) > (F (20) — & (20):
(F (2n) + & Zn)
> (F (20) - & (ео), ver? Tey
Согласно определению 2, п. 1.2, функции [+ а, [— в, |.
HeMpepbIBHbI B TOUKE 2. p>
.
Теорема 2. Пусть г, — предельная точка множества О;
Ecau
lim
f(z) =a, lim &(2) =В, то
5, +
[| О..
2-2
2-20
[шп (+ 8) ©) = «+В, Ш (f—g) (2) =a —B, lim (fg) (2) = a8.
2-
20
Если В 52 0, то
.
a
lim (=) (г) = —.
2-20
Пусть (2„) — такая
21 —> 2 /\ 2. ЕО;
8
В
произвольная
П О: \
лах последовательности,
{2}. Тогда,
имеем
последовательность чисел, что
согласно
при П — со
теоремам
о преде-
(f (2n) + & (2n)) > (@ + B), (F (@n) — g (2n)) > (@ —B),
ет
еде.) — 8,указанные
Согласно определению 1, п. 1.2,
утверждению
Другое
прерывные
применим
следствие
ванной
теоремы.
свойства
PP
равносильны
доказательство этой теоремы получим, если введем нев точке 2, функции [* и g* (cm. формулу (1), п. 1.2) и
теорему 1. Аналогично теорему 1 можно получить как
теоремы 2, если отдельно рассмотреть случаи изолиро-
и предельной
точек
и
применить
дельная точка множества О; из Е О,, то
(Г непрерывна
свойство:
если
г, — пре-
в точке 25) & (lim f (z) = f (z,)).
1.4. Предел и непрерывность
композиции
функций.
Теорема 1 (о непрерывности композиции функций). Пусть фиункция | непрерывна в точке г. Е О;, а функция ф непрерывна в точке
Co € Dy. Ecau @ (Go) = 2%, то композиция} о ф непрерывна в точке Co.
q Пусть 5, — 4, при п
ю и
ЕВ:
УпЕМ№. Тогда (г. =
= 9 br) > 0 ©) =
Л (МтЕМ
266).
Поэтому
f (z,) >
—> f (%) при п — со. Следовательно, (оф) (5,) = [(2,) — Ё (2) =
= (fo @) (C,). По определению функция { ° ф непрерывна в точке 5... д»
Справедливо ли аналогичное утверждение для композиции функций [и ф, имеющих
пределы в точках 2, и б,? Приводимый ниже при-
мер дает отрицательный ответ на этот вопрос. Теоремы о пределе
композиции, которые будут доказаны, требуют дополнительных ограничений, накладываемых на функции ] и Ф.
5
337
129
Пример.
Пусть
[: С -— С,
ф: С
на =
где
0, если 2 СМ
{0},
если
УпЕМ,
J
Ф (9 =
-—С,
], если г =0,
t= —
|
0, если
5@
{—
n Е
м}
e
Тогда lim Ё (2) = 0, tim ф (¢) = 0. Bmecte c Tem
#-
=
0, если
Г.Ф © =
и В.о
(0) =
{0,
1}, т. е. т
Теорема 2 (о пределе
дельная точка множества
|, если
(оф)
—
VneN,
ce]
n
nen},
(5) не существует.
композиции
П,.,.
функций).
Бсли Пт
Пусть
[(2) =а,
&— npe-
Ит
‘—>2o
ф (0 =
bo
= 2 и существует такая окрестность О, точки Co, что Ф (5) 52
VEE (Ox, П В+.) \ {So}, mo lim
<
Пусть
E Dye.
(5,) — такая
\
{Co}
Поэтому
HHIO,
im
Vine
№.
(о Ф) © =а.
последовательность,
Тогда
(2,
=
f (z,) = (f° @) (,) > @ np
0
(fe) CG) =a
что
@ (Cn) —> 2) /\
п -—
сю.
C,—>Co,
(2„ Е О,
Согласно
\
Ga
{2o}).
определе-
Из теоремы | следует правило, которое часто применяется при
решении примеров на вычисление пределов.
Теорема 3. Пусть &, — предельная точка множества Озоф. Если
Иш
ФО =ди функция [1 С — С непрерывна в точке 2, то
lim Fe ©) =f (a
{
о
Полагаем
g* (0) =
ф (5), если 5 ЕП. \ {5},
Zo
при
с = Co:
Функция ф* непрерывна в точке &,. Согласно теореме
[* Ф* непрерывна в этой точке Поэтому
1, функция
tim (fe @)(S) = lim (7 © p*) (S) = (f © @*) (Go) = F (2). >
1.5. Непрерывность суммы нормально сходящегося ряда.
Теорема. Если ряд >|, сходится нормально на множестве 2 и все
его члены непрерывны в точке г. Е 2, то сумма ряда непрерывна в этой
точке.
$30
q
Пусть
ряда,
г > 0.
существует
Согласно
такой
определению
номер
п. Е №,
что
нормально
сходящегося
У Иы<-.
(1)
оо
k=n,+-!
Пусть { — сумма ряда, $,„, — его частичная сумма, 2, —> Zo H
„Е7
УтЕМ. В силу непрерывности частичной суммы ряда $,
найдется такое значение т, Е №, что У т > та
| Sie (2m) —
Тогда У т > т, из неравенств
lf (2m)
— 2 (20) | =
—
У
ken +l
She (2p)
(1) и
| <
>
frel2o)| <I Sn (en) — Sn, (@)| +2
т- со
(2)
(2) получаем оценку
Sng (2m)
— Sng (20) +
из которой следует, что Ит
.
Sf)
k=n,-+1
SY
k=n +1
Whel<e,
f (z,,) =f (2), T. €. что функция } не-
прерывна по Гейне в точке 25. >
Доказанная теорема имеет многочисленные приложения. Более
тонкие исследования непрерывности предела функционального ряда
приведены вббивгл. 6.
1.6. Непрерывность алгебраического многочлена и суммы степенного ряда.
Определение. Функция } 1 © —> С называется непрерывной,
если она непрерывна У 2 Е П,.
Теорема 1. Каждый алгебраический многочлен является непрерывной функцией.
< Очевидно, постоянное и тождественное отображения (; -> С
являются непрерывными функциями. Поэтому утверждение о непрерывности алгебраического многочлена следует из теоремы 1, п. 1.3. №»
Теорема 2. Пусть В — радиус сходимости степенного ряда
Ха, (г — 2)". Если Ю > 0, то его сумма непрерывна в каждой точке
круга сходимости
{
К, = {26 (||2—&
Члены ряда непрерывны
в каждой
|< В}.
точке комплексной
плоскости
(.. Если 2 Е Кь, то существует такое г< Ю, чтогЕ К,. Согласно теореме п. 3.1, гл. 4, степенной ряд сходится нормально в круге К,,.
По теореме п. 1.5 сумма ряда непрерывна в точке 2. »
1.7. Непрерывность элементарных
функций.
Замечательные
пределы.
ция
Определение. /Тусть а, ЕС, НЕС
Ю 1; — С, где
ао + а1г- ++. + арг’
Ю (2) =
а
называется
5°
+.
46а
? Ов =
рациональной.
п=1р,т=
(zEC|b,+
eee
1,9. Функ-
= 629 52 0},
(1)
131
Теорема 1. Каждая рациональная функция непрерывна.
Ч Поскольку алгебраический многочлен является непрерывной
функцией, то утверждение следует из теоремы 1, п. 1.3. №
Теорема 2. Функция 2-ы | 2 | непрерывна.
<
Пусть 2 с Сид, -> г при пт -> со.
—2|
=о (1),
т. е.
Иш
Тогда
|2.|=|2|
и
eels
функция
lett SI am
2н- |2
непре-
рывна. д
Теорема
Vx ER.
q
то утверж-
3. Функции хн-ы Х+, хнь х- непрерывны
_ [x|—x
[lockonpxy xt = [x|+x
5
,
5
УхЕВ,
дение следует из теоремы
Теорема 4. Функции
1, п. 1.3, и теоремы 2. p»
re ch z Nenpepoienot.
ч Каждая из указанных
радиусом сходимости
непрерывны. }№
2,
ег, 2-ь sin z, 2+» COS 2, 2+» Sh z, ан
функций
R =
+
oo.
есть сумма
Согласно
степенного
теореме
2,
п.
ряда
1.6,
они
с
Теорема 5. Функции 2 -> 62, ан
ег,
2н
а, ан 42
непрерывны.
Непрерывность указанных функций следует из теоремы 1, п. 1.3,
и предыдущего
утверждения.
Равенство
}№
lim S22 = 1
(2)
2-0
называется первым замечательным пределом. Оно следует из формулы (см. п. 4.2, гл. 4)
п
2
2
Вторым
~
R
2
Qh
Ye.
=14+ (CN gear
замечательным
пределом
является
равенство
lim-—! = 1,
2—0
Оно получается из формулы
ей — |
——
После введения
жем другие формы
1+
(3)
2
(см. п. 4.1, гл. 4)
=
7
ии
Vz>-0.
в рассмотрение логарифмической функции
записи второго замечательного предела
ука-
Замечание. Замечательные пределы используются для составления таблицы
производных элементарных функций. В нашем изложении они не играют существенной роли, поскольку используется более мощный аппарат исследования — степенные ряды.
1.8. Компакт и его непрерывный образ.
Определение 1. /Лусть 2 < (. Множество 2 называется ком пактным
в себе или компактом,
если из любой
132
последовательности (г„) точек 2
2 WneEN можно выбрать подпоследовательность (г„,), сходящуюся к некоторой точке го Е 2.
Теорема Т (об ограниченности
компакта).
Каждый компакт
й < С является ограниченным множеством.
Применим метод доказательства от противного. Пусть компакт
Е не ограничен. Тогда существует такая последовательность (ги),
что | г„| > пи. 62
УпеЕМ. ИЗз (2„) нельзя выбрать ограниченную
последовательность и, тем более, сходящуюся. Пришли к противоречию
p>
Заметим,
пактом
что не всякое ограниченное
Например,
множество,
круг
множество
К, = (26 (С ||2| <
является
но не компактное в себе, поскольку любая
вательность
последовательности
(=,
—
п
т
ком-
1} — ограниченное
его
точек
подпоследосходится
к
1] @ К.. Аналогично,
если множество С имеет предельную точку
2, @ 2, то оно не является компактным
в себе, что будет доказано в
теореме 2.
Определение
2.
Множество
2 < (. называется
замкнутым,
если оно содержит все свои предельные точки.
Определение 3. Множество 2 < (; называется открытым,
если его Пополнение (С, \ 2 является замкнутым множеством.
Определение 4. Множество О., <- С называется окрест ностью точки
г Е С, гсли существует такое открытое мно-
жество И < С, что
Е Ис О...
Совокупность всех открытых множеств называется топологией
т комплексной плоскости, а упорядоченная пара (С, х) — топологическим пространством.
Теорема 2 (критерий компактности в себе). Множество 2 <- (,
является компактом
тогда
и только тогда,
когда оно одновременно
замкнуто и ограничено.
Необходимость
Пусть 2 — компакт. Согласно теореме 1, оно
ограничено. Допустим, что множество 2 не замкнуто. Тогда существует такая точка г, @ 2 и последовательность (2„), что VnE
z,€Z/
lim
> со
2
= 2.
Любая
подпоследовательность
(2г„,)
схо-
дится к 2, @ 2, что противоречит определению компакта. Источник
противоречия — в предположении, что множество 2 не замкнуто.
Следовательно, 2 — замкнутое множество.
Достаточность Пусть множество 2 <- С — замкнутое и ограниченное Рассмотрим произвольную последовательность (2„) такую,
что УлЕ№
то, согласно
262
теореме
последовательность
Поскольку
последовательность (2„) ограничена,
Больцано — Вейерштрасса,
(2„,), сходящаяся
к некоторой
существует
точке 2% Е С.
подТак
как 2 замкнутои УпЕ№
2Е 2, тодЕЙ. Согласно определению
|, множество ( компактное в себе. р
7”
Теорема 3 (о непрерывном образе компакта). Писть} : © — С —
непрерывная функция и О; — компакт. Тогда множество Е; компактно в себе, т. е. непрерывный образ компакта есть компакт.
Ф Рассмотрим произвольную последовательность (&„) из области
133
Е; значений функции [. Существует такая последовательность (ги),
что УпеЕ№
260, Л ш, = [(г„). Согласно определению компакта,
существуют 2, Е Р, и подпоследовательность (2л,) такие, что 2л, — 20
при k — со. Согласно определению непрерывности функции ], имеем
Wn, =f (2n,) > F (Zo) = % Е Еь что означает компактность в себе
множества Ё;. №
Теорема
4
(Вейерштрасса).
Согласно
теореме
функция и О; — компакт.
®
Пусть #1 С — С — непрерывная
Тогда функция | ограничена.
3,
множество
Е, — компакт.
оно ограничено, т. е. функция } ограничена.
1.9.
Экстремальные
штрасса.
Теорема
< ®. Если
свойства
1 (об экстремальных
№
компакта.
свойствах
Х является компактом,
По
теореме
Теоремы
компакта).
|
Вейер-
Пусть
Х <
то в нем имеются наибольший
и наименьший элементы.
q По теореме 2, п. 1.8, множество Х замкнуто и ограничено. Согласно теореме | и следствию 2 из теоремы 2, п. 5.2, гл. 1, множество Х
имеет наибольший и наименьший элементы. №
Теорема 2 (Вейерштрасса)
компакте
значения.
<
По
0, функция.
Согласно
теореме
предыдущей
менты.
}№
Пусть f : C -—> В — непрерывная на
Тогда она имеет
3, п.
теореме
Ё;
1.8,
множество
наибольшее
Е;
имеет наибольший
и наименьшее
является
компактом.
и наименьший
эле-
Теорема 3 (Вейерштрасса). Каждая непрерывная на сегменте
[а, 6] функция |: В > В имеет наибольшее и наименьшее значения.
q Справедливость утверждения следует из теоремы 2, поскольку
сегмент [а, 6] является компактом. р
_ 1.10. Непрерывность обратной функции.
Теорема (о непрерывности обратной функции). Пусть {1 С > С
и), — компакт. Если функция {| непрерывна и обратима, то Г" —
непрерывна.
$ Пусть (&„) — последовательность точек множества Е}, сходящаясяк, Е Е, иа — частичный предел последовательности (Г (ш,)).
Поскольку О, — компакт, то & Е О;. Из непрерывности функции }
следует, что } (&) является частичным пределом последовательности
(м), в силу чего } (&) = шиа =
! (&,). Таким образом, все частичные пределы последовательности (f—' (w,)) paBHbI f_ ' (wo), T. @.
Нш Г (9) =" (5), что означает непрерывность функции Г"
fiw 00
B TOUKe Wo. Tak KaK Wy — произвольная точка множества Е}, тор
непрерывная функция. }№
1.11.
Локальность
свойства
непрерывности
функции
в
—
точке.
Свойство непрерывности функции в точке носит локальный характер,
о чем свидетельствуют следующие утверждения.
Теорема 1 (о непрерывности сужения функции). Лусть функция
Ё непрерывна в точке 2%, 2 Ебиёас
П,. Тогда | | — непрерывная в
точке г, функция.
134
<
Пусть
г, — 2
при п —= ои
Уп №
2, € Z.
Torna
(F lz (Zn) = F (Zn) > (F (20) = Fz (20)),
что означает непрерывность функции } |2 в точке 2. №
Определение. Пусть 2 <- (С, & ЕЁ. Окрестностью
O,,
точки 29 в 7 называется пересечение множества 2 с окрестностью
точки 2 6
Это определение предоставляет возможность индуцировать топологию на множестве 2 из пространства С и превратить 2 в самостоятельное топологическое пространство.
Теорема 2. Пусть существует такая окрестность О. в D,,
что } |о„, непрерывна в точке го. Тогда функция { также непрерывна
в точке 2.
q Пусть г, -— 25 прил — со и УлЕ№
2.Е2. Существует такой
номер №0 С №, что Уп > п, г. Е0.,. Поскольку
f (Znotn) = Foz, (2n.+n) > f lo,, (20) = f (29),
70 f (z,) > f (2) npH n — со. По определению функция } непрерывна
в точке 2. №
Смысл утверждений теорем 1 и 2 состоит в том, что свойство непрерывности функции в точке зависит только от тех значений, которые она принимает в некоторой ее окрестности. Такие свойства
называются локальными.
$ 2. Полунепрерывные функции. Предел
и непрерывность функции в смысле Коши
Проверку выполнения строгих неравенств
вида } (2,) > а или
f (29) < 6, возникающих в вычислительной практике, можно осуществить лишь в случае, когда они справедливы в некоторой окрестности точки 2, так как в приложениях точные значения 2, известны
лишь теоретически. В связи с этим сформулируем свойство устойчивости неравенств для значений функции.
Определение
1. Пусть
[|1С
— В. Неравенство | (2) < В
(f (29) > а) называется устойчивым, ебли существует такая
окрестность О., в О,, что УгЕО.,
f (2) <6 (0 (2) >а.
Теорема 1. Пусть функция{ 1 С — ЕЁ непрерывна в точке 2, Е ),.
Тогда Va€R (УЬЕЮ) неравенство | (2) > а ({ (2) < В) устойчиво.
< Пусть неравенство } (2) >> а неустойчиво. Тогда в любом круге
1
K, = {2 ЕС || 2—2 | < =}
существует такая точка г, Е Пь, что
п
[ (2„) < а. Перейдем к пределу в этом неравенстве при п — со, принимая во внимание непрерывность функции } в точке 25 и равенство
lim z, = 2). Получим неравенство{ (2.) < а, противоречащее усло-
п- оо
вию
| (20) > а.
последнее
Источник
неравенство
противоречия — в предположении,
неустойчиво.
д
что
135
Определение 2. Функция} 1 С — В называется полунепре-
рывной
сверху
(снизи) в точке гу, если неравенство
Ё (20) < В ( (2) > а) устойчиво УБЕВ
(УаЕВ).
‚ Определение
ной
3. Функция
в точке
& Е);
в
Ve>0 36>0:V2ED;
[1 С — (С называется
смысле
Коши,
непрерыв-
если
(|z—2z,|
> (| f(z) —f<6)
(a) | <2).
Теорема ©. Пусть {1 С — В, 2. Е 0О;. Следующие свойства попарно равносильны: 1) функция { непрерывна в точке 2, в’ смысле
Гейне; 2) функция | полунепрерывна в точке 2% сверху и снизу; 3) функция [ непрерывна в точке гу в смысле
Коши.
®‘ Доказательство проведем по схеме 1) => 2) > 3) => |). Импликация 1) => 2) справедлива в силу теоремы 1.
‚Докажем
импликацию
2)
=> 3).
Пусть
е >
0.
Неравенство
| (2) —Г (20) | <<
равносильно системе неравенств } (2.) — е <
<! (2) < | (25) + е. В силу полунепрерывности функции { в точке
2 сверху и снизу существуют такие окрестности О. и О,,, что
У2ЕО., ПО;
+ г. Выберем
[(2) —в< [7 (2) Л У2ЕО., ПР,
такое д >> 0, чтобы
Кь = {2 Е ©С||2—
[(2)
< | (ао) +
2
|< 6
с
= О. П 0... Тогда УгЕК
ПВ,
|{!(2) — (2%) | < в, что означает непрерывность функции { в точке г, в смысле Коши.
Проверим импликацию 3) => 1). Так как функция { непрерывна
в точке 2 в смысле Коши. то
У=>0 35>0:У2ЕБ;
Пусть
(|2—21|<8)=>(11(2)
—1(2%)| < 2).
Им 2, = 2, Л УпПЕ№
fl
oO
|Z, —2%|< 6.
Wostomy Vn
lim f (z,) = } (2.), что означает
П-осо
2Е60,.
Тогда
ЗъЕ
№! Упт> п
Sans |f (@,)—f (@)|<e,
TT.
e.
непрерывность функции } в точке
го по Гейне. д
Определение 4. Пусть {1 С-— С, г. — предельная точка множества D;, “EC. Число % называется пределом функции
{ в точке 2 в смысле Коши, если
У =>0
35>0:УМ2гЕРБ,
(0<|2—2|<6)>
(1/2) —«|< 8.
Полагая
Г(г) = |
Г (2), если 260; \ {2%},
@ при г = 2,
и принимая во внимание равносильность определений Коши и Гейне непрерывности функции в точке, получаем равносильность соответствующих определений для пределов.
136
5$ 3. Равномерная
Теорема Кантора
Определение.
функции.
Функция {1 © — С называется равномерно
прерывной,
\=>0
непрерывность
если
35>01У
(2. ЕД)ь
&ЕБ)
н-г-
(12 —2|<
8) > (Ра) —
— f (2)
|< 2).
Существуют непрерывные функции, не являющиеся
непрерывными.
равномерно
Пример. Пусть } (2) = 22, О; == С. Исследовать функцию [ на равномерную
непрерывность.
Функция { непрерывна, поскольку является частным случаем алгебраического ‘многочлена, непрерывность которого доказана в п. 1.6. Предположим, что
функция { равномерно непрерывна. Тогда для ё = 1
95>0:
Взяв
такие
у
(21 ЕС,
г.
2,, 2,, ЧТО 2; —
© С)
(121 —
25 = 5.
2> | <
Л 21 -
6) >
г. =
(1Ё (2) —
=,
#25) |<).
получим
[21 — 2 |< 9 Л1|1! (21) — # (25) | =1,
что противоречит требованию |} (2) — } (2) | <
{ не является равномерно непрерывной.
Запишем
свойство
непрерывности
1.
функции
Следовательно,
функция
{ в форме,
близкой
к определению равномерной
непрерывности:
<> (Уг. ЕО, функция Г непрерывна в точке
Л
\У= > 036 > 0!У&ЕБ,
( непрерывна) <>
2,) > (У2 ЕО; Л
(| 2, — 2, | < 6) > (Vf (1) —F len) |<
< :)). Сравнивая его со свойством равномерной непрерывности
видим, что различие. заключается в правиле выбора 6 >> 0: в случае
непрерывности оно выбирается после того, как ‘известны значения
в > 0, 2. Е); и может зависеть от них, а в случае равномерной
непрерывности 6 указывается после того, когда известно значение
= >
0,
но
неизвестно
зависит только от &.
значение
2, Е О,, и, таким
|
образом,
Теорема (Кантора). Пусть } : © — С — непрерывная
Если О; — компакт, то { — равномерно непрерывная.
OHO
функция.
® Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что функция [ не является равномерно непрерывной. Тогда
Jey >01V5>0 4(2z€Dy, 25€ Dy) 1(| 2 — 25| < 6) Л (|1 (23) —
—f (20) |e).
|
(1)
Пусть (б„) — бесконечно малая последовательность положительных чисел. Согласно предположению, УпЕе\\ имеем г п ЕР, Л
A 2, €D; A | 2s, — 2, I<& A | f (20,) — F (20,) | > £0. По определению
компакта существуют 2 6 D, и подпоследовательность
(25, ) такие, что Zn — 2о при К — со. Так как 25, = 2, + o (1),
k
«137
To
lim
281,= 20:
Р-> со
В
силу
непрерывности
функции
{ в точке 2,
имеем
т | 1 (в, ) — F (zo, )| =| lim f (2o,,)— lim f (2, )| = 0,
R00
что
k
противоречит
Е
№ со
условиям
(1).
k
k-0o
k
№
$ 4. Обратные элементарные функции.
Приемы
4.1.
решения
задач
Логарифмическая
ны в, а=х--и,
хЕВ,
функция.
|[у| < л,
Рассмотрим
функцию
являющуюся
сужением
Ёол 1 2нь
показа-
тельной функции на горизонтальную полосу [эл = {2 Е (| Пт2| <
< п} (рис. 47) ширины 2л. Убедимся в том, что она обратима.
Пусть 21 6 [2л, 2 Е lon W 2, =~ 2g. Тогда е?' 52 е2. Действительно, если
Ке г, == Ке г., то точки 1 и её имеют разные модули, а в случае,
когда [т 2, >= [т 2», точки ей и е* расположены на разных лучах.
Найдем область значений функции Е». При фиксированном
[п
2 ==
значения е? заполняют весь луч, исходящий из начала координат под углом к оси абсцисс, равным у. С изменением у от
—п до л луч, вращаясь, заполнит всю плоскость (;, за исключением
луча —со < Кег < 0. Следовательно, область значений функции
Eo, — BCA плоскость ( с выброшенным лучом —<о < Кег = 0,
которая называется плоскостью с разрезом по этому лучу (см. рис. 47).
Обозначим ее через (.
Определение. Функция ш-> пи,
и Е (С, обратная фучкции
Ел, называется логарифмической.
Заметим, что показательная функция 2 += е?, 26 (,, является
24-периодической и поэтому необратима. Этим объясняется выбор
сужения Ел для определения логарифмической функции. Если
рассмотреть другую горизонтальную полосу ширины 2л, сужение
на которую показательной функции обратимо, то обратную ей функцию снова можно назвать логарифмической. Однако у нее будут
другие область определения и формула для вычисления
Построенные по указанным правилам функции иногда
a
Wi
Рис.
47
Lf.
значений.
называют
однозначными ветвями многозначной логарифмической функции
wre Ln w.
|
Значения логарифмической функции и +-> пи, и СС, вычисляются по формуле
Inw=In|w|+ig, ФЕАгош / |ф| < л,
(1)
которая непосредственно следует из показательной формы записи
комплексного числа ш = || е®. Формула (1) допускает геометри-
ческое истолкование
де точки 2).
Рассмотрим
чисел.
Пример.
пример
Вычислить
Имеем {=е
(см. рис. 47, на котором
p
In(-) = iS,
a
на
ПВ
вычисление
1п (—й,
i =л
*,—i=e
|п & изображено в ви-
логарифмов
Ш И-НА.
_а
* (1-4)
= Убе
комплексных
л
“,
поэтому
Ini= is,
Init) =InV2+i—,
Теорема
(о непрерывности логарифмической функции). /Логарифмическая функция является непрерывной.
< Утверждение следует из теоремы 2, п. 1.11, и теоремы п. 1.10. >.
4.2. Общая показательная функция. Пусть а 6.(. Полагаем
def
а? = ета
Определение.
Функция
WE.
2+ 4,
. (Г)
26 (С (а6 (С)
называется
о б-
щей
показательной
функцией,
или
показательной
функцией
с основанием,
равным а.
Теорема. Общая показательная функция непрерывна.
$ Утверждение следует из непрерывности показательной и лога-
рифмической функций, а также теоремы о непрерывности композиции отображений (см. п. 1.4). p>
4.3. Другие формы
записи
второго замечательного предела.
Вп. 1.7 второй замечательный предел был записан в форме
lim oat
= 1,
z+0
(1)
Обозначив 2 — | = ш, где | ш| < 1, получим
2 =
п (1-9),
.
lim
и—0
Ww
Из равенства (2) следует, что
lim Па
w->0
w
при
ey = |
— 1.
2-0,
ae
(2)
(3)
Bo
13%
|
Пользуясь формулой
функции, имеем
(3) и свойством непрерывности
lim (1 +
ш—0
Равенства
лами.
4.4.
(2), п.
a
w)
1
w
—
ev
lim 220+)
w
показательной
—е.
(4)
1.7, и (1) — (4) называют замечательными преде|
Асимптотические
формулы.
Для
вычисления
пределов
функций будем применять степенные ряды. При этом во многих
случаях достаточно ограничиться лишь несколькими первыми их
членами. Получаемые формулы назовем асимптотическими. Достаточно знать их в нулевой точке, так как все остальные могут быть
найдены посредством замены переменной. Будем обозначать через
о (1) произвольную
непрерывную
в нулевой точке функцию
Фф: С — СЛ $ (0) = 0. Кроме того, полагаем о ({ (2)) =} (2) - о(1).
_ Из определений показательной, тригонометрических и гиперболических функций следуют асимптотические формулы:
е =1-0(1), # = 1-2 0(2), & =1+z2+—4
+0(2%), ...;
(1)
япа
= o/(l), sinz=z+
cosz=
1-+ o0(2),
0(2),
sinz =2z——4
cosz= 1— =
+ o(2%,
+ o(2,
...з
COS 2 = —
4+ 4+ 0(2), 2.05
sh z=o0(1),
shz =z-+0(2’),
chz = 1 + o(2),
shz = z+
chz = 14-2
(3)
+ o(24),
wees
@& =1+2zIna+o(2),
(4)
+ (24), che = 1-2-4
+ = + 0(25), wee
a =1+0(1),
(2)
(5)
a =1
ата
т
+
0(2”), ....
(6)
Из формулы (3), п. 4.3, получим асимптотические равенства
1
i n(l + 2) =o0(1),
_
In(l +2) =z+0(2),
+ 0(2), ....
In(l+2)=
2
z——-+
(7)
Первые два равенства в формулах (7) являются следствием формулы
(3), п. 4.3. Для получения. последнего равенства следует в правую часть тождества @" +4 —? = (1 -- 2) е-* подставить значение
а
22
=1—2
+5
{о (2).
Получим
22
1] —
еП+ 9-2 =
> +0
(2).
Пгарифмируя
мание,
обе части последнего тождества и принимая во внип [1 —+z to (2°) = —5 Но (22) (согласно второй
что
формуле в (7)),
олучим доказываемое равенство.
Поскольку считаем каждую функцию ф (2) = о (1) непрерывной
в нулевой точке, то можно пользоваться теоремой о непрерывности
композиции
и
считать,
ее
==>
что
(ф-\1) (2) = о
(1),
=1+a(2z—2
4
если
ф (2) = о (1)
и ф (2) =о (1). Принимая это во внимание, получим асимптотическую формулу для функции 2 н-= (1 - 2)*, “6 (С. Представляя
ее в виде (1 -- 2)* = et 2" +2 YW nonb3yacb формулами (1) и (7),
имеем
22
Отсюда
получаем
+o(24))
асимптотические
24
o¢%.
равенства
(l+2)*=1+0(1), (l+2*=1+az+0(2),, (1+ 2)*=
= 1402442) 24 0(2), «0...
Выведем
еще
одну
(8)
асимптотическую формулу
tgz=2-+0(2’).
(9)
Получаем ее следующим образом;
а
_
зтё
2
_
2+0 (2?)
_ 4
ов
о (1)
tow
—_
=0).
4.5. Применение асимптотических формул к решению задач
вычисление пределов. В некоторых случаях при вычислении
jim
поступаем
следующим
| (2)
g(2z)
образом.
f (% +9)
на
(1)
lim g (+o)
Если
Шт в (2, -- 0) 520, то выt-+0
числение предела (1) сводится к применению теоремы о пределе
частного. Если Ит /f (29 +f) = lim в(5 +9 =0, то,
польC+0
C+0
зуясь асимптотическими формулами, если это возможно,
равенство
(и -- 0
+t)
g ro
“Ge
о (9)
@(20)
6 @, cB
5 (rB)
A (2) FO,
;
b@) * PCMH
> B, To lim
= 0. При & <В предел (1) не существует
& 1 С -— В предел (1) равен со).
(в случае
(2)
0.
b (2)
а (2)
Если а = В, то предел (1) равен —=°-
получаем
f (2)
1
[1С. — В,
141
Рассмотрим
Пример
примеры.
1. Вычислить
1 —
li
со х
.>
—
хз
a) en
а) Применив
пределы
формулу
(©
(3), п. 4.4,
получим
jim TO)
x?
x0
применим
x?
формулы
(3) и
2°
(8), п. 4.4, имеем
x?
х-0
x?
х-0
—>
+0 (x?)
2.
Найти
пем).
а
lim
=,
x30
Пример
x?
у
Ит
х->0
д)”
x?
ax?
=
> 0).
x?
tim AS
6) Последовательно
в
) am
асимптотическую
x0
| — cos”x
6) lim
2
Рау
Be
|
@&>0,
Согласно формуле (8), п. 4.4, получаем
I
—
—
ох
(1 --ax)™ (1+ Bx)" = (1+
+0u)(1+
a
В
+(2 +4)
m
Peп
В> 0; тЕМ,
+09} =1+
2400).
Следовательно,
lim
x0
mУТУ n
Пример
ример
(8),
После
п.
4.4,
lim
3. Найти
замены
— 1
х-0
3
Пт
im
3
(—
переменной
—
Irlim
2
2
= Ит | —
in
——
i
Пример 4. Найти
Ит
x0
2
2
Ето
|
8—4
7
V cos x sin*®
—
+0 (#)
3 p-——
x
последней
—
i
—
[Ее
= lim
3
ии
1— (1+0?
3
es.
В,
т
n
=].
7)
1 = Г и применения
{2
142
x
— —
х —
yr}
гв
(2i” +2)п r+ ou
= Пт
получим
im (<5
=
x
1х
=
|
3
из формул
2
г)
1 — (1+ 03
|
=
Воспользуемся
формулами
(3) и
—
V cos x = (|
2
sin? x
Пример
1
2
1
2
sin? x = x34 0 (x%),
—_! 1
1 + 0 (1)
(нии
2-0
второй формуле
SPP
15-4069,
г
Пт
a
2
2 =] — = +0"),
erate)
х-0
5. Найти
Согласно
1
1
V cosx — Wcos x — ит
x0
п. 4.4, имеем
+069)
яя = (1-5 +063
п
(8),
~
(а
6
в, с
из
(6), п. 4.4, получаем
1
3
Г ша
4
1
—
12
°
С).
—
2-0,
поэтому
=1 _
а? + ы + с?
—t
lim;
2-0
3
=e
Не
0 ; 1 n(i+ a3
1
3
1
lim (In (abc) © -0(1))
(в процессе вычисления
ремой 3, п. 1.4).
Пример
6.
Найти
предела
iim
=
:
3
воспользовались
In (abe)-+-0(2) )
a
формулой
(7),
(3), (5) и (7), п. 4.4, получим
x2
+ 0 (x4), che =1-+
5 + 0
(x),
п. 4.4,
и тео-
Tn cos x"
Воспользуемся
формулами
2
cos X¥ = 1— ===
Inch x= In(1 +
In cos x =In{l—
n(
x?
x?
5
x2
+ 0 (28)
=~
+0 (2%,
+0 (2
===
x?
+ 0 (x*),
Имеем
lim ПИЯ
х-0
|Пс0$х
|,
$ 5. Равностепенная непрерывность
5.1.
Понятие
равностепенной
непрерывности.
Непрерывность
по
совокупности переменных и по каждойв отдельности. С равномерной
непрерывностью функции } свяжем новое понятие — равностепенную непрерывность семейства, которое появляется в результате следующих рассуждений.
Функцию }: С — (С можно одновременно рассматривать и как
функцию {: В? — (, если считать 2 = х -- й = (х, и). Пусть
143
Z =D,, Z,, Z, — первая и вторая проекции множества 2, а 2, (х),
2. (у) — его сечения посредством х и у. Поставим в соответствие
функции / два семейства функций из К в (:
(7 1.x) x@Zy»
(7 2,y)yCZe»
где
Вн „= 2, (х), Бы,= 25 (и), fix (y) = F(x, 9)
foy (x) = f(x,y) УхЕР, (у).
Vy EZ, (x),
(1)
Обычно говорят, что функция й.х получается из { фиксированием первой переменной х, а функция р, — фиксированием второй
переменной у. Из определений следует, что если функция ] : (© — С
равномерно
непрерывная,
то все функции семейств (/1,x)x¢z,,
(12. у)ие2,
ЯВЛЯЮТСЯ
равномерно
непрерывными.
Это свойство
проще формулируют следующим образом: равномерная непрерывность функции по совокупности переменных влечет за собой равномерную непрерывность по каждой из них в отдельности. Более
сильное утверждение будет доказано в теореме |. Однако существуют разрывные по совокупности переменных функции, равномерно
непрерывные по каждой из них в отдельности.
Рассмотрим примеры.
Пример
1.
Пусть
f(x, y=
x
|х|< 1,
если
A
0,
если
х2 -- у? 520,
Ги
|у|
х?- у? = 0.
Тогда
= [--1, 12,
2 = 2, = 2. (х) = 2. (у) = [-11
У@Ее1[-Ь И,
иЕ[—1, 1]). Если х == 0, то функция fix является рациональной на сегменте
[—1, 1]. По теореме Кантора она равномерно непрерывная. Этим же свойством
обладает и функция hoy
Vye[—l, I] \ {0}. Econ x = били у = 0, то функUHH f; и/о равны нулю и являются равномерно непрерывными. Таким образом,
функция { равномерно непрерывна по каждой переменной в отдельности. По совокупности переменных функция f : С -— С является разрывной в нулевой точке. Действительно,
ом
n=->oo
l
]
as
n2
ити
]
2
,
п?
п-оо
4
]
п?
п2
следовательно, множество Е} (0) частичных пределов
более одного числа и Ит } (2) не существует.
Пример
2—0
2. Рассмотрим
произвольную
окружности y = {26 С||2|=
1}.
функцию
в
нулевой
[, заданную
точке содержит
на
единичной
Тогда Г,= Г. = [--1, |], Г (х) = {—- ИУ!
м, Ут 2х},
Ги=
= {— V1 — y?, V1 — и2}. Множество Г, (х) при каждом значении х Е Г содержит
Е Г.
ных
ной
144
не более двух точек. Этим же свойством обладает множество Г. (у)
УуЕ
Поэтому семейства функций (7, ,)и (и) состоят из равномерно непрерывфункций. Поскольку функция { — произвольная, то она может быть разрывв каждой точке окружности ¥.
Поиски условий, налагаемых на семейства (Ёх)хе2, и (№. ииель,
обеспечивающих равномерную непрерывность функции } по совокупности переменных, приводят к понятию равностепенной непрерывности.
Определение.
Пусть
9% — множество
функций
|: С-— С.
Оно называется равностепенно
непрерывныл, если
Ve>056>0:
V(FEM, 2ED;, 2’ € Ds) (lz —2|< 6) > (|1 (2 —
— f (z’)< 8).
Если А — множество, то семейство функций (fa)aea CHHTAeTCA
равностепенно непрерывным в случае, когда
множество 9% =
= {|9 Е А} — равностепенно непрерывное. В частности, можно говорить о равностепенной непрерывности последовательности
функций (}), р:С-—С
Утпе\М. Термин «равностепенная непрерывность» связан с тем, что 6 в определении выбирается лишь
по & и может быть использовано для обоснования свойства, требуемого
FEM.
в
определении
равномерной
непрерывности
любой
функции
Теорема 1 (о равностепенной непрерывности функции по отдельной переменной). Пусть |: C > (C, Z=D,;. Ecau dyxkyua f pasro-
мерно непрерывная,
то семейства функций (Ё х)хе2.» (Ъ.у)иед, равно-
<
равномерной
степенно
По
У=>0
Пусть
Z=
непрерывные.
определению
36>
0: У (262,262)
XELy,
и,
непрерывности
имеем
(|2—2#|<
6) > [а —[2г)|< =)
и ЕС, (х), у ЕС, (х) и | ии — и.| < 65.
2% =X
+
pe.
Tak
Kak 2,€D;, ЕО;
2| = | и —
| < 5,
Л
(Yo)
Полагаем
и |2—
l=" F (@) —f (2) )i<e.
Таким
образом,
cemeHcTBO (/ft,x)xez, PABHOCTEMCHHO
непрерывное. Аналогично доказывается, что CeMEHCTBO (f2,4)yez, TaK2Ke ABляется равностепенно непрерывным. }№
Теорема
2
(0 равномерной
непрерывности
функции,
равносте-
пенно непрерывной по каждой переменной). Пусть Х < В, Ус В,
й = ХХ У=0,. Если cemeticmea (fi.xdcex, (fo,y)uey равностепенно
непрерывные, то функция | является равномерно непрерывной
Пусть г > 0, иб >> 0 выбрано так, что
У (хЕХ, уЕУ, УЕУ)
(lLy—y' |< §> (lhe)
As) | <e), (2)
У (/’ЕУ, ХЕХ, ХЕХ) (]х—х |< 6)> (Ри (®) — hy (*’) | <2).
(3)
Полагаем г = х - iy, 2’ = x’ + 1’ и допустим, что |2— 2’ | <
<6.
Тогда
|х—х’ | < 5 Aly—y'|<6.
Если 262, y € Z,
то ХЕХ, х’ЕХ, иЕХ, и ЕУ. В силу условий (1), (2) имеем
| foxy: (x) — fay (x’) | = | F2') —F(« + iy’) |<e,
fue) —fiey)|=lFa—f«t+iy)l<e.
Поэтому
равномерно
| f(z) —f (2’)|< 2.
непрерывная.
№
Таким
образом,
функция
f —
145
Из доказанных теорем следует,
что
в случае,
когда {1 (; — С,
р; = Х ХУ, равномерная непрерывность функции } равносильна
равностепенной непрерывности семейств (П\,х)хех, (Ъ.и)ису.
5.2.
Равномерная
непрерывность
поточечного
предела
равносте-
пенно непрерывной последовательности функций. Понятие равностепенной непрерывности последовательности функций применяется
для решения проблемы равномерной непрерывности поточечного
предела.
Теорема.
Пусть
1 С >С, 2=0;
УптЕ\№.
Если
и последовательность (|) равностепенно непрерывная, то
Г равномерно непрерывная.
q Согласно определению равностепенной непрерывности
вательности
(’,), имеем
\У =>0
trot
функция
последо-
36 > 0:У (п ЕМ, 2Е2, 2’ EZ)
([2—2|<9)
> (f/f,
—fi(2’) |< 2).
Предельный переход в неравенстве при п — со влечет за собой свойCTBO
У= > 0 36 > 01:1 (262, #62)
([2—2|<5)=>
(1/2 -—1[(г)|< а),
которое означает, что функция } равномерно непрерывная. }№
5.3. Равностепенная непрерывность последовательности функций и ее сравнение с равномерной сходимостью. Следующее утверждение показывает, что требование равномерной сходимости для
последовательности равномерно непрерывных функций (},) сильнее, чем требование равностепенной непрерывности.
Теорема
1.
Если последовательность
равномерно
непрерывных
функций (7), где |1 С — С, 2 = Ве
Упе\М№, равномерно сходится, то она является равностепенно непрерывной.
< Согласно критерию Коши равномерной сходимости последовательности функций, У е > 0 Зя. Е №: У (п > п, РЕМ)
[р —
— | | < 2. По определению равномерной непрерывности функций
|,
Ь,
ое у
ing
46>0:1V(zEZ,
2’ €Z)
Так
([2—2'|<85)>
(1
—№(2)|<8
как
У (РЕК, 262, #62)
УЁ= Тм).
(|2—#|<8)>
(| нь (2) — Вр (2) |<
< | [1+ р (2) — fn, (z)|+| hae (2) — fn, (2’) | + | fn, (2’) — fng+n(2’) |< 38),
то последовательность (},) равностепенно непрерывная. }№
Теорема 2. Пусть |, :С—>(С, ВР, =К
УптЕМ иК- kowпакт. Если |, — [и последовательность (|) равностепенно непре-
рывная,
146
то р, 5
f.
Ч Допустим, что |}, — {|520 (1). Без ограничения общности
рассуждений
можно
считать,
что УпПЕМ
| — {| >а>о0.
Воспользуемся свойством равномерной нормы и выберем такие зна-
чения
2ЕК,
что
WnEN
определению
компакта,
— 2, 205 ЕК.
Полагаем
нием
равностепенной
Принимая
теореме
п.
5.2,
e = = >0
и в соответствии
выберем
такое
гл, —>
в определе-
6 >> 0, что
(2—2 |< 60)=> (|7, (2) — 1, (2) |< 8).
это во внимание
ние № С К\, чтобы
Согласно
подпоследовательность
непрерывности
У (пЕМ, 2ЕК, ГЕК)
Согласно
|Ё (2) —[(2,.) | > а.
существует
функция
[
равномерно
и условие f, — }, выберем
|2, —2|
< би
[А (2п»,) — 1 (20) |< а,
такое значе-
|{ль (20) — 1 (2) | < г.
Из неравенства в (1) при п = пл, 2 = 2,
2’ = 2
(1)
непрерывная.
(2)
и оценок
(2) по-
лучаем
неравенство
| Ing, (Zny,) — F (2ng,) | < 3e =a,
противоречащее свойству | [, (2.) — } (2,) | >а
УтЕМ. №
Требование компактности в себе множества К существенно.
Например,
последовательность функций (7,), где У (26 (С, пЕ
2
EN)
Г, (2) = —,
равностепенно
непрерывная,
поточечно сходится к нулю, и тем не менее, она сходится неравномерно (см. при-
мер из п. 2.2, гл. 4) Что касается поточечной сходимости последовательности функций (},), то это условие можно ослабить.
Определение.
точкой
Пусть
прикосновения
2, < 2 и каждый элемент г 6 2 является
множества
25.
Тогда 2, называется
всюду
плотным в множестве 2.
Теорема 3. Пусть fri
>C,Z2=D;
VneNn.
Если последовательность ({,) равностепенно непрерывная и сходится на
всюду плотном множестве точек 2, < 2, то существует такая
функция |, что р -—].
q Пусть У2 62% lim р (2) =[ (2). По определению равностеп>ос
пенной
непрерывности
\У=ё>036>0!:У
Е2)
(2—2 |< 9) > (к
-—|(г)|<.а).
рем
такое значение 2 Е 2., что |2 — 2, | <
довательность ({, (г2)) сходится, то она является
силу
чего 3 ль Е М!У (п > п, РЕМ
Поскольку
У (п > ne, p EN)
[№
пЕМ№,
262,
2€
Пусть 262. Выбе8. Так как послефундаментальной, в
(0) —Р%
|<...
| fn (2) — Fntp (2) |< [fn (2) — № (2o)| + | fn (20) — fn-tp (Zo) | +
+ | fro (2) — ftp (2) |< 3e,
TO последовательность (}, (г)) фундаментальная и поэтому сходящаяся. №
Заметим, что чаще всего изучают последовательности ({,) непрерывных функций, заданных на компакте К, в частности на сегменте [а, 6| < В. Теорема 1 показывает, что в этом случае требование равностепенной непрерывности слабее требования равномерной
147
сходимости. Если равностепенная непрерывность последовательности (},) установлена, то теоремы 2и 3 показывают, что для доказательства равномерной сходимости последовательности ({„) достаточно установить сходимость последовательности чисел
(f, (z)) для
всех г из некоторого множества 7,, плотного в множестве 2.
5.4. Теорема Арцела о равномерно сходящейся подпоследовательности
функций.
Понятие
равностепенной
непрерывности позволяет
обобщить классическую теорему Больцано
— Вейерштрасса.
Теорема 1 (Арцела). Пусть р: С-—С,
К = р,
УпЕМ№
и
К — компакт.
Если || = О (1)
и
последовательность
(Т,)
равностепенно непрерывная, то существует равномерно сходящаяся подпоследовательность (fn,).
Метод доказательства является классическим и называется диагональным
процессом
Кантора.
Выберем
в К счетное
плотное
мно-
жество {ги}. Последовательность чисел
(}, (21)) ограничена и по
теореме Больцано — Вейерштрасса содержит сходящуюся подпоследовательность, которую обозначим | (21). Последовательность
(К. (22)) также ограниченная. Аналогичным образом выбираем
сходящуюся
подпоследовательность
(„ (22)).
Продолжая
этот
процесс неограниченно, получим таблицу
в которой
каждая
ность предыдущей,
Пи»
[1,2,
[1.3
въ
2.1,
[2,25
[2,3,
вое у
следующая
причем
У тЕ
строка
образует
№
значения
п.
5.3,
в
подпоследовательточке г„ функций
из 1-строки образуют сходящуюся числовую последовательность.
Диагональный процесс Кантора заключается в выборе последовательности функций (.„), записанной на диагонали таблицы. Начиная с номера т, все члены последовательности (]„) являются
членами 7-строки и поэтому ({.„л (2т)) сходится при п — <
\УтЕ
Е №.
Согласно
теоремам
2и
3,
последовательность
(fn,n)
равномерно сходится. p>
Следующее утверждение разъясняет смысл условий в теореме |.
Теорема 2 (Арцела). Пусть 9% — множество ограниченных и
равномерно
непрерывных
функций
1 С-—(С,
Dp=Z
VFEM.
Если из любой последовательности функций (f,) (Е УтЕ
Е №) можно
выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность, то множество MW равностепенно непрерывное и3 МЕВ!
VFEM
FIM.
® Пусть множество 9% не является
Это означает, что 3 е, >> 0;
V5>0
равностепенно
непрерывным.
I(foEM, 2EZ, 2EZ)s
(| 2 — 26] <8) J (| fo (26) — fo (25) | > &).
Flonaraem
брать
148
6, = —
равномерно
УлЕМ№.
(1)
Из последовательности (fo) MO2KHO BBI-
сходящуюся
подпоследовательность
(ё„,)
(о-
гласно условию теоремы). По теореме 1, п. 5.3, семейство („,)+е№
равностепенно непрерывное, что противоречит свойству (1). Анало-
гично,
если
У МЕВ
считая М 6 №, выберем
НОСТЬ (м,). Согласно
номер
3 (мЕ 9%,
равномерно
критерию
т Е \\, что Уп > т
2мЕД):
| [м (ем) | > М,
то,
сходящуюся подпоследовательКоши,
существует
такой
|[м, — [м,, | < 1. Поэтому У п > п
| fu, |< Им,
1 что противоречит предположению| [м (2м) | >
>М
УМЕ»№, так как ми, |< -Н оо. №
Обозначим через С (К) множество всех непрерывных на компакте К функций.
Определение. /Лусть 5% < С (К) и К — компакт. Множество
функций 9% называется компактным или относительно
компактным
в пространстве
С (К), если
из любой
по-
следовательности
функций
(), f,EM
Wane,
можно выбрать подпоследовательность (л,), равномерно сходящуюся на К (не
обязательно к функции
из 9).
Теорема 3 (критерий компактности Арцела). Пусть К — компакт. Множество 9% относительно компактно в пространстве
С (К) тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и
равностепенно непрерывное.
Необходимость
ность — из теоремы
утверждения
|.
следует
№
из
теоремы
2,
достаточ-
Упражнения
1. Пусть А : С -— С — рациональная функция со знаменателем © и О (25) =
— 0. Когда существует такое число & Е С, что функция Ко, определенная формулой
к.
= |
является непрерывной в точке 2%?
2. Пусть функция } непрерывна
ь@-=|
К (2),
если
26)р,
a,
eCJH
2=2),
в точке 2, Е О;. Может
f(z),
если
2520
a,
если
2=2),
ли функция |,
где
и2ЕД,,
быть
непрерывной в точке 2, при @ 52} (25)?
3. Пусть 2 ЕО; и последовательность (р (2„)) сходится к конечному числу
всякий раз, как только 2. — 2 и УпПЕМ 21 ЕО.
Можно ли утверждать, что.
функция { непрерывна
4. Пусть
2. Е О;
в точке 2у?
|
и последовательность
(} (г„)) сходится
всякий раз, как только 2п — 2) H 2, € Dp \ {2%}
дать,
WaeN.
|
к конечному
Можно ли
числу
утверж-
что функция { непрерывна в точке 2?
5. Существует ли всюду разрывная функция [ и такие множества D, и О»,
что сужения /[ |, и} [р, непрерывные и О; == РБ, (] О,?
6. Может ли функция { оказаться разрывной хотя бы в одной ‘точке, если
D;= р,
О. и множества D,, О. замкнутые, а функции Flo, f lp, Hempeрывные?
149
7. Пусть функции
os <a,_, <-too.
IR Fee,
[onaraem
В
[(х) =
Докажите,
что функция
{
непрерывны
У &=
1,n uw —co <a,
н (*),
если
х<а,
fy (x),
если
а1<х Kay,
1 (х),
если
х>а_
тогда
и
непрерывна
только
тогда,
< Oy < we
когда
ff (a4) =
8. Указать необходимое и достаточное условия, налагаемые на множество
Х, чтобы существовала непрерывная, но неограниченная функция {с О; =
Х.
9. Указать необходимое и достаточное условия, налагаемые на множество
Х, чтобы существовала непрерывная, но не равномерно непрерывная функция
f ¢ Dp= X.
10. [lycts f (x) = x
WxeElIR \ {0} aw f 0) = и. При каких значениях и
функция [: а) непрерывна при х = 0; 6) полунепрерывна
в) полунепрерывна снизу при х == 0?
11.
Пусть ] (х) = Jet
и функция
при х = 0?
VxEIR\
[: а) полунепрерывна
12. Mycref (x)= +
{0},
сверху
при
сверху
каких
при
f 0) = и.
При
х == 0; 6)
полунепрерывна
х== 0;
значениях
снизу
V xEIR\ {0}, ГО= и. Доказать, что УшЕВ
функция | не является полунепрерывной сверху при х = 0.
13. Исследовать на равномерную сходимость и равностепенную
ность последовательность (/„), если:
непрерыв-
a) fn ()= x" WV (cE [0, I], mE N);
Dinw= x v(xelo, a], nen)
в) (= м —х" W(xEl0, 1], 2 EN);
r) in (x)= xt
— xt! Ve [0, I, 2EN);
д) [п (х) = x arctgnx
14.
Пусть
{: С-— С,
15.
Функция
W(x€]0,
tool, ПЕ М).
О:;— ограниченное
множество.
Доказать,
что функ-
цию можно продолжить по непрерывности на множество всех точек прикосновения О, тогда и только когда, когда } равномерно непрерывна.
d+» о (6,
f) = зир
{|1 (21) —
# (25) |: 4 ЕВ;
Л 2 6Б, Л |2: — 25| < 6},
конечная или бесконечная, называется модулем непрерывности функции {. Доказать, что функция{ равномерно непрерывна тогда и только тогда, когда ® (б, f) >
—0
при 6 — 0.
Функция @® называется модулем непрерывности, если существует такая равномерно непрерывная функция |, что Уб >0
о (6) = < (6, Л. Какие функции
могут быть модулями непрерывности?
16. Доказать, что множество ЭД равностепенно непрерывно тогда и только
тогда, когда существует такой модуль непрерывности ®& и постоянная С >> 0,
что У 6 >0,
Е)
© (6, f) < Co (6).
Понятия
производной и интеграла
составляют основу классического и
современного
математического
анализа. Важные идеи анализа имелись
уже в античной науке, в частности,
в трудах Архимеда. Основы дифференциального и интегрального исчисления были заложены в эпоху Возрождения в трудах выдающихся ученых: Галилея (1564—1642), Кеплера
(1571—1630),
Ферма
(1601—1665),
Барроу
(1630—1677),
Ньютона
(1643—1727), Лейбница (1646—1716).
«Поворотным пунктом в математи-
"|
ке,—
АЯ
писал
Ф.
Энгельс,— была
Де-
и которое
было в
об-
исчислений
ис-
картова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно
необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тот-
АЛ
час и возникает
щем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном
и Лейбницем».
Для
изложения
дифференциального
и интегрального
пользуются идеи, возникшие под влиянием написанных в разное время
(ХУП—Х[Х вв.) работ Ферма, Нью-
тона, Лейбница,
Пеано. Основной
Лагранжа, Эйлера,
принцип, заимство-
ванный из работ Эйлера и лежащий
в основе написания книги,— одновременное исследование и применение прямых и обратных операций.
$
1. Производная
ee
Дифференциальное
ee
И
ИНТЕГР
ДН
=.
ПРОИЗВО
частности
понятие
исчисление,
производной,
в
воз-
никло в результате поиска общих
методов решения конкретных и актуальных задач: об экстремумах (Кеплер,
Ферма,
скорости
Лейбниц),
о вычислении
неравномерного
1 Энгельс
прямоли-
Ф. Диалектика природы //
Маркс
К., Энгельс
Т. 20.—С. 573.
Ф,
Соч,— 2-е
изд.—
151
нейного движения (Галилей, Барроу, Ньютон), о построении касательной к кривой (Торричелли, Лейбниц и др.).
1.1. Теорема Ферма. Определение производной. В 1629 г. П.
Ферма открыл метод решения экстремальных задач, о котором
сообщил в письмах Ж. Робервалюи Р. Декарту (1638 г.). Максимумы и минимумы, а также и касательные определяли в отдельных случаях еще древние математики, но это всегда осуществлялось посредством геометрических методов. Ферма первым ввел
алгебраический
метод,
связанный
с
дифференциальным
исчисле-
нием. Приведем отрывок из письма Робервалю, в котором Ферма
излагает свой метод.
«Допустим, что А представляет собой какую-либо (неизвестную)
исследуемую величину — поверхность, либо тело, или же длину
в соответствии с условиями задачи,— и выразим максимум или минимум через члены, содержащие А в тех или иных степенях. Затем
возьмем для прежней величины значение A -+ E wu снова выразим
максимум или минимум через члены, содержащие А и Е в тех
или иных степенях. Затем обе совокупности, выражающие наибольшее или наименьшее значение, положим, как говорит Диофант,
приближенно равными друг другу и отбросим на обеих сторонах
одинаковые члены. Тогда в каждом члене справа и слева будет
стоять либо ЕЁ, либо какая-нибудь его степень. Затем разделим все
члены
на Ё или же на высшую
степень его так, чтобы
(по крайней
мере) один из членов на какой-либо стороне был совершенно свободен от множителя Е. Затем на обеих сторонах зачеркнем члены,
содержащие Ё или его степени, а то, что останется, положим равным друг другу или же, если на одной из сторон ничего не останется, то — что сводится к тому же — приравняем отрицательные
члены положительным. Решение
последнего уравнения дает значение Д; когда же последнее известно, то максимум или минимум
получится на основании ранее проделанного решения» 1.
Рассмотрим примеры, поясняющие правило, указанное Ферма,
считая А =хи Е
= И.
Пример
Следуя
1. Пусть
правилу,
} (х) = ах? -- вх с, а-20,
указанному Ферма, имеем
a(xth)j?+6(x+h)+enrax?+bx+c,
Зах + В - ай = 0,
Полагая
й = 0, получим
уравнение
хЕВ.
2axh+
БА - ай? — 0,
Ферма
2ax -+- b = 0,
решение
которого х ===>.
ет максимум или минимум.
Пример 2. Пусть } (х) = х3 —х,
Ферма,
получим
(«НИЗ
— (ХР)
= 3 —х,
хЕ]а,
1 Вилейтнер
152
Г,
котором
Хрестоматия
3x2? + 38xh +h?
по
функция
{ име»
В [= В. Руководствуясь правилом
x8 + 3x9hA + Bxh? ++ A8 —x —h
3x2h + 38xh?+ 18—11 —0,
1935.— С. 256.
(1)
Это то значение х, при
истории
we B—x,
—1 20.
математики.— М.;
Л.,
|
Полагая
h = 0, получим
уравнение Ферма
3x2 — | =0.
(2)
Если функция { имеет максимум или минимум в точке хЕ ]а, Ы, то, по утверждению Ферма, этой точкой обязательно является корень уравнения (2).
В обозначениях,
записывается
в
виде
предложенных
[ (х) =0,
в
Лагранжем,
частности
= 2ax + b, (x8 — x)’ = 3x? — 1 (cm. примеры
уравнение
(ах? -
1, 2).
Ферма
6х - с)’ =
Д’Аламбер первым признал Ферма основоположником дифференциального
исчисления, отметив это в своей «Энциклопедии». Мнение Д’Аламбера разделяли Лагранж и Лаплас. Сказанное позволяет считать Ферма автором первого
корректного определения производной алгебраического многочлена. Показательная, логарифмическая и тригонометрические функции вошли в математику позже, ‘во второй половине ХУП в., и трудности, связанные с распространением на
них идей Ферма, вынудили Лейбница изобрести новое исчисление, изложенное
в его работе «Новый метод для максимумов и минимумов, а также для касательных,
для
которого не являются препятствием дробные и иррациональные
количества,
и особый
Проблемы, с которыми
отсутствием достаточно
второй
половине Х1Х
вид
исчисления
для
этого»,
опубликованной
в 1684 г.
столкнулся Лейбниц, были, на наш взгляд, связаны с
общего определения функции, предложенного лишь во
в. Лобачевским
и Дирихле. Дальнейшее развитие диффе-
ренциального исчисления шло по пути обоснования идей Лейбница и привело
к определению производной посредством предела разностного отношения, известного читателю из курса математики средней школы. Однако, обладая современным
понятием функции,
легко придать
необходимую общность
первоначальным
идеям Ферма, о которых говорилось выше. В ХУПТГ в. Лаграж распространил
идею Ферма определения производной на класс функций, являвшихся суммами
степенных рядов. Его попытка не нашла признания, поскольку этот класс был
слишком узок для решения целого ряда задач того времени, требовавших применения дифференциального исчисления. В Х[Х в. аналогичную попытку предпринял итальянский математик Пеано, обобщивший классическое дифференциальное исчисление. Производные Пеано называются обобщенными и находят приложения в современной математике. В учебную литературу их не включают из-за
сложности теории.
Следуя идеям Ферма — Лагранжа— Пеано, будем строить классическое
дифференпиальное исчисление, предоставляя читателю возможность сравнить
это построение с традиционным.
Сформулируем метод Ферма в современных обозначениях и обоснуем его.
Теорема 1 (Ферма). Пусть | 1 В — В и х, — внутренняя точка
множества
0;.
Если
функция
{| принимает
или наименьшее значение и существует
точке функция ф, что
mo
®
Dg = О, Л
@ (x9) = 0."
Предположим,
1 (х) —
1 (ж%) = (Хх —
в точке
хо наибольшее
такая непрерывная в этой
ж)Ф (<)
что ф (хо) >= 0. Согласно
VxeD,,
свойству
(3)
устойчивости
неравенства (см. $ 2, гл. 5), существует такая окрестность Ох, в
которой функция ф сохраняет знак. Поскольку функция }{ принимает в точке ху наибольшее или наименьшее значение, то знак левой
части равенства (3) не меняется У хЕР, \ {х}. Однако правая
часть равенства (3) принимает в окрестности О,, как положительные, так и отрицательные значения, что невозможно. }>
153
Сформулируем определение дифференцируемости произвольной
функции }: (; — С, соответствующее теореме Ферма.
Определение. Лусть {1 С -— С, 2 ЕРО;. Функция | называется
дифференцируемой
в
точке 2, если существует
такая непрерывная в точке г, функция Ф1 С — С, Оу = Вь что
2 Е
f
f (2) — f (2) = (2 — 2) g (2).
(4)
Если 2 — предельная точка множества О,, то число ф (29) Haзывается производной функции [ в точке 2, и обозначается символом
Ё (2), т. е.
Г (20) = Ф
(25).
(5)
Теорема 2. Пусть [1 С -— С, 2 ЕР; и 2, — предельная
Если функция | дифференцируема в точке 2, то
:
3 lim
—!
oe
0
=
i
у
точка.
(Zp).
(6)
4 Согласно формуле (4), имеем
| (2) —
lim
? (2)
= lim p(Z) = 9(%) =f (2)
2—2
2-20
Следствие.
Если
функция
иг, — предельная точка множества
определена однозначно.
Рассмотрим примеры.
| дифференцируема
О;, то
|” (20), 2 ЕО.
—
(2—2
2,
2,
(го)
и
2+ 22% — 2, — 282,
1+2
0(+2а+2)
1 — :2,
бои +ла+а *
1=%
Па
9
т 2» 2
|
Имеем
2
1+2
в точке
ее производная
Пример 3. Вычислить производную функции } (2) =
Вычислим
>
2-2.
р
'
у
(г
=
=
] — 22,
+ 24)(1+ 24) °
1—2
= Wray
_
weed
z€
Ds.
Пример 4. Вычислить производную } (х), если } (х) = Vx, х>0.
Поскольку
=
5 уе
у
Их—
Vx, = —~
2’,
”
Их- Vt
. Следовательно,
f* (x) =
IVa
10 9 (x) = —=——
7
Vx+V%
Vx>0,
Пример 5. Пусть { (2) = е?, 26 С. Вычислить }” (0).
Имеем
9-го =е—1=У =
oo
$8 =У
n=!
154
г
—1
n=]
У
n=!
» PO=1, KO=1,
=,
9(x,) =
vivo
Функция ф непрерывна в точке г = 0, поскольку радиус сходимости
ного ряда равен --со, а сумма непрерывна в круге сходимости.
Пример 6. Вычислить, | (0), если * (z) = зшаг, 2 Е С.
Зтing г == у
Поскольку
( АА
Ir
sinz=2z
2п—
On
о
У
br,
Ф (2) = x (— yet
то
(n—l)
(— yr
n=l
z€C,
ее степен-
(2n — 1)!
‚
Ф(0О =1,
РО=\,
Пример 7. Пусть { (2) = 2", 26 С. Вычислить |’ (2). Имеем
аа)
(=
а
Иа"?
cee + GT
vee fH,
Pleo)
= neg'y Kaan",
2€C,
Пример 8. Найти f’ (2), ecau f (z)= Inz, z€ C.
Поскольку
Ing — Inzy = In
— = In(1 + 432
= ABB
tea
=e—2(z- +00),
то
Фа =-—- +00, 99 =-—,
20
0
так как о (1) — непрерывная функция,
у
‚
обращающаяся
в нуль в точке 2%.
Mpumep 9. Haiira f’ (1), f’ (2), f’ (3), ecam f (x)= (x—
x€lR.
Имеем }(х) = (х— 1) Ф (х),
f’ (1) = —8.
Пример
Аналогично
10.
Поскольку
где
Пусть [ (2) = _
=-==-
вательно, {[” (2) = — -
@ () = (x — 2)? (x
— 3)8,
f’ (2)= f’ (3) =
=
2ЕС\
{0}.
Найти
, 10 @ (7) = —
=
— 3}
g (1) = —8,
Г (2.
Ф (2) = —
z
Следо-
У 2 ЕО,
Сформулируем теорему 1 в терминах производной.
Теорема3 (Ферма). Пусть } : В — Ки х — внутренняя точка
множества О;. Если функция | принимает в точке ху наибольшее
или наименьшее значение и дифференцируема в ней, то | (хо) = 0.
1.2. Правила дифференцирования.
Теорема 1 (о производной композиции). Лусть функция {1 С —
—- (; дифференцируема в точке 2, ав: С; — С дифференцируема в
точке (5. Если 25 = 6 (6) ug — предельная точка множества
Djog, то композиция [о в дифференцируема в точке (5 и справедлива
формула
(f° gy’ (Go) = F (20) 8" (6%).
(1)
155
4 Согласно определению дифференцируемости функции Г в точке
Zp), существует такая непрерывная в этой точке функция ф: С —>
— (С, Ро. =рВь что f (2) — РТ (2) = (2 — 2) $(?) V2ED;.
Nyctp
C€Djog Тогда g (0) €D; и
Поскольку
f(g (£)) — f(g (0) = (8 (5) — & (Eo) & (g (6).
функция
g дифференцируема
в точке
(2)
Co, то суествует
такая непрерывная в этой точке функция 1: (С, — С, Dy =
что б (&) — 2 (5%) = 6 —6)т (©). Следовательно, равенство 5
принимает вид
(ов) (6) — (Го 2) (5%) = (© — So)
(5) ( og) (6).
(3)
Из равенства (3) следует дифференцируемость } о © в точке
чем
&5, при-
(f° g)’ (So) = B (So) ( & B) (Eo) = 8 (So) @ (Zo) = 8 (Sp) F(Z).
№
' Теорема 2 (о линейности операции дифференцирования). Пусть
функции Г: С-— Сис: С -— С дидференцируемыв точке гу, являющейся предельной для множества О; ПО., ^ЕС, в ЕС.
Тогда
функция № -- ис дифференцируема в точке г, и справедливо равенство
{
Согласно
(Af + ug)’ (2) = AP’ (2) + wg’ (2p).
определению дифференцируемости } и
кие непрерывные в точке 2, функции ф и
f (2) — f (2) = (2 — 2) 9 (2),
т, что
©, найдутся
(4)
та-
B (2) — g (2) = (2 — 2g) $ (2).
Следовательно,
(Af + wg) (2) — (Af + па) (2%) = (2 — го) (№Ф + вр) (2).
По определению,
функция
А -- ис дифференцируема
в точке 2 и
(АР-Е ще)" (20)= (А -- и) (2,) = АР (2%) + в” (20)
в
Теорема 3 (о непрерывности дифференцируемой функции). Если
функция |: © — С дифференцируема в точке г,, то она непрерывна
в этой точке.
q Из определения
дует
равенство
дифференцируемости
функции
f (2) = f (2) + (2 — 2)
По теореме о
непрерывности
} в точке
25 сле-
(2).
в точке 2, суммы и произведения не-
прерывных функций }{ является непрерывной при г = г. №»
Теорема 4 (о дифференцируемости произведения бесконечно
ма-
лой дифференцируемой и непрерывной функций). Пусть функция } 1
: С —- С дифференцируема в точке 2% и | (2) = 0. Еслиб: © -—С
непрерывна в точке гу и г, является предельной для множества 0, [|
ПР,, то функция [в дифференцируема в этой точке и справедлива
формула
(fg)’ (20) = Г (20) & (25).
156
(5)
Согласно
определению
дифференцируемости
функции
}, сущест-
вует такая непрерывная в точке г, функция
ф, что Ох = О; и] (2) =
х © (г), что означает
При этом
функции
= (2 — го) $ (2). Следовательно, ({а) (2) — (78) (20) = (2 — 2) ф (2) Хх
дифференцируемость
(fg)' (2) = Ф (20) & (2%) == РЁ (2%) & (20).
Следствие
функций).
(правило
дифференцирования
Если функции |: С —> С,
№
[м в точке
2%.
произведения
в: С -> С дифференцируемы
в точке 2, являющейся предельной для множества
О, ПО,, то
функция рю дифференцируема в этой точке и справедлива формула
(fg)’ (2) =
®
Доказательство
Ё (20) g (Za) + g’ (2) F (2).
следует
Е (2)в (2) = (f (2) — 1 (20))
в (2) -- 1 (25)
в (2)
и теорем
—
2,
Теорема
4.
(6)
из тождества
У2Е6Б; ПО,
№
5 (о производной частного). Лиусть {1 С — С, 5:
С — дифференцируемые функции
ной для множества
О,
предель-
ГП О,. Если в (2) == 0, то функция
= диф-
ференцируема в точке 2, и справедлива формула
(7)
| +) (29) = "о (20) = 8" (20) I (20)
0? (2)
® Воспользуемся
правилом дифференцирования
теоремой о производной композиции. ‚олучим
[1]
__
=('-=)
Ё (20)
-—
в точке 2, являющейся
произведения
и
= I" 29) a> +H l@)(—) (20) =
_—@ (2%).
" (20) & (20) — &° (20) 1 (2%)
9 (20) + 7 (20) [ве
9? (2)
|=
g? (29)
Теорема 6. Пусть функция | : © — ( обратима,
>
2. Е О, иявля-
ется предельной точкой множества О,, &, = | (25). Если 3 р (20) =
52 0 и обратная функция Г’ непрерывна в точке Wp, Mo ona дифференцируема в этой точке. Если, дополнительно, и, — предельная точка множества Е; = О) ;—1» Mo
l\,
(Г)
__
(№)
|
РР
(20)
°
$ По определению дифференцируемости
функции
f B
существует такая непрерывная в этой точке функция ф, что
| (2)
—
f (2)
—
(2
—
20)
Ф (г)
У
2Е
О.
TOUKe
2
(8)
Поскольку из равенства (8) и взаимной однозначности функции }
следует, что ф (2) 52 0 при г 5 5 иф (25) = [ (2) = 0, то, полагая
ш =] (2), имеем
Г
(Ш) — Г
(Wo) =
1
ф(Г" (ш))
(Ww — W).
(9)
157
Так как функция ф ‹ Г непрерывна в точке и», то по определению
функция Г ' дифференцируема в точке ш,. Если и, — предельная
точка множества ЕЁ, = D 1,
водной
получаем
(7
и
Г
—1
)
(
’
Ww
То на основании
1
о)
———
g (f7!
(w))
1
@ (Zo)
—
определения
1
f / (25)
—
произ-
>
®
(
10
)
Заметим, что в случае, когда множество О, является компактом
функция
} непрерывная,
то
непрерывность
обратной
функции
следует из теоремы, доказанной в п. 1.11, гл. 5.
1.3. Таблица производных. Принимая во внимание правила дифференцирования, примеры (1) — (10) и связь между элементарными
функциями, составим таблицу производных;
1) (2")’ =nz—
2) (;) =-=
1
°) (=)
yf
—
У (26 С, ПЕ №);
М2ЕС\ {0};
22
(27
Ш Ш
en
м
par
VW 2EUN 10};
,
e
4)
(€*) 2-2,
=
(€70€2—?0),_2,
5) (ш2)’=--
wWzeC;
=
e%0 (€?—*),-2,
=
0%
6) (а=)’ = (е2 п 2)’ = ег та (2 па)’ = а? па
7) (2%)!= (e% I9 2)’== e% Inz(q In z)’= ao =
8) (сп г)’ - (+=)
9) (sh ay’ = (25
10) (sin 2)’ =|
= £Te
shit
=az—!
) = chiz = cosz
(55
=
13) (cth2y
14) ива) = (==) =
15) сш
= (E+) =
ЕС);
У2ЕС;
VzeC;
mee
=
и
=
comet sine
W(zEC,
VzeC;
= chz
11) (cos z)’ = (chiz)’ =ishiz=—sinz
12) (th zy =
W(aeC, 260);
= shz
| = 2H!
у Zo Е С;
Wz€(;
aa
Vze€Cichz+<0;
Уге (Син? 2-2 ®
= <5
Vze€Crcosz<0;
asin ates
(Uz
ЕС: 5т2=20.
Дополним
Вв В!
21—1„-
158
эту
таблицу
1
производными
]
некоторых
функций
1
из
где и =
2n—1
p=
1
xX, Хх = у"
"(sin y)’
|xf{<cl,
rae y=arcsinx,
18) arccos
(arccos x)’
x) =
1
COs y
V1l—sin?y
x=siny;
(cos и) = =
ОИ
ЗОО
Peet
17) (arcsin x)’ =
1
—siny
Иж
1
= ————
V l— cos? y
’
FF
Vi-— x
19) (arctg x)’
=
a (tg oe
yy’
= cos?’ y
=
1
Е
у
—
1+
1
x?
УхЕВ,
rye y=arctg x, x= tg y;
20) (areete 2)" = Teiggy = — SIMY= — Trig
=
VxeéeR,
rae y=arcctgx,
x= ctgy.
$ 2. Физический и геометрический смысл
производной.
Теоремы Ролля, Дарбу, Лагранжа
2.1. Физический смысл производной функции из В в В. Пусть функция [Ё: В — В дифференцируема в точке х,. Если х — время, то
равенство у = } (х) можно рассматривать как закон прямолинейного движения точки по оси ординат. Поскольку { дифференцируема
в точке х, то существует такая непрерывная в ней функция фи
iR—R,
D, =D,,
= Го.
ato f (x) — Ff (xo) = (x — хо) ф (Хх), т.е. ф (х) =
(х == хх)
Значение
ф(х)
можно
понимать
как
среднюю скорость движения точки на промежутке времени от ху до
х. Момент времени х, можно представить себе как вырожденный
промежуток [х., х|, т. е. как мгновенье.
Поэтому производная
ф (%) =
(%) называется мгновенной скоростью или скоростью
движущейся точки в момент времени хо.
В 1602 г. Галилей открыл закон падения тяжелого тела на землю.
Это был первый в истории науки закон неравномерного прямолинейного движения. Математически его можно записать формулой
$
f2
89
=
9
где
с —
постоянная
величина,
называемая
ускорением
свободного падения тела, t — epema, 3 — пройденный путь. ВычисS
1
ление скорости как частного — = -— для указанного закона прямолинейного
движения
приводило
к неверному
результату,
что за-
ставило Барроу и Ньютона открыть новые правила вычисления
скоростей или флюксий (в терминологии Ньютона), равносильные
правилам
тела
дифференцирования.
вычисляется
+ Обозначение
посредством
Скорость
о
производной:
производной $ используется
свободно
падающего
У = $ = 2.1! Это
в механике.
159
Yp
.
показывает
Imf (49)
важность
дифференциально-
f’(%o) — го исчисления для исследования
-
Re
(о)
2.2.
функции
Физический
Если
можно
‘Xx
смысл
производной
из Вв С. Пусть
дифференцируемая
z=F (x)
0
Рис. 48
реаль-
ных процессов с неравномерно изменяющимися величинами.
#: В — С —
в точке ху, функция.
х — время, то равенство 2 == f (x)
рассматривать
как закон
движе-
ния точки в комплексной
плоскости.
Множество y = {f (x) € C | x € D;} Ha3pr
графом вектора |. Скорость
вается
траекторией
движения или годо-
движения точки есть векторная величина
(рис. 48), которую можно разложить на составляющие, параллельные координатным осям. Составляющая,
параллельная действительной оси, характеризует в точке ху скорость изменения Ве } (х) —
функции из В в К. Согласно предыдущему пункту, эта скорость
равна (Ке; (х)),—„, =
Ref’ (x,).
Аналогично вторая
составляющая
вектора
скорости равна
(i Im f (x)),=. = itm [ (хо). Таким образом, скорость движущейся точки в момент времени х, равна
Вер (х) + #1т[ (ж) =
= f* (Xp).
2.3. Геометрический
К вВ.
Если
смысл
производной
функции
Си
из
рассматривать
как
Пусть/: В — С — дифференцируемая в точке
х —
время,
то
равенство
г = #(х)
можно
из
Вв
х„ функция.
закон движения точки в комплексной плоскости по траектории %
со скоростью в момент х,, равной v = Ё (хо) (см. п. 2.2). Если
представить себе, что в момент времени ху все действующие силы ис*
Чезли, то, согласно первому закону Ньютона, точка будет двигаться
равномерно и прямолинейно, со скоростью 9. Траектория воображаемого движения есть прямая, называемая касательной к \ в точКе 2% = | (%). Уравнение касательной к траектории *› имеет вид
2—2,
=
(х,), tER,
(1)
где ¢ — параметр, физический смысл которого — время движения
с постоянной скоростью.
|
Частный случай } : В —> К можно свести к рассмотренному, если
считать график функции в плоскости хОу траекторией движения
точки по закону г = х
if (x). Torna о= 1 -+Й’ (%) и Г (№)
является тангенсом угла наклона касательной к оси абсцисс.
2.4. Касательные векторы и касательное пространство. Пусть
2 — множество точек комплексной плоскости и г, — предельная
точка 2.
Определение
1.
Вектор
ре® Е С
называется
касатель-
ным
к множеству в точке 2%, если о > 0 и существует
такая последовательность (г„) точек этого множества, что
lim —22—
20
n-roo
160
| 2п
— 2 |
= e!9,
(1)
Множество {ре | р > 0} всех касательных векторов называется
касательным направлением, ф — углом между касательным направлением и осью абсцисс.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Пусть 2 — внутренняя точка множества 2. Докажем, что любое
комплексное число г © С является касательным вектором к множеству Z B
точке 2.
Действительно, запишем число 2 в форме 2 = ре'Ф (о > 0). Полагаем 2 =
= 2 -- one’?
МпЕМ. Если 0,0,
то 2.Е 0, начиная с некоторого
номера, и
lim
e
—“—2—
2
noo
—
| 2n
=
2
~—
20
lim
e
|
el? —
ef?
n-=-roo
Пример 2. Пусть 2 = Ja, bf CIR, жЕ 2. Докажем, что
любое число @& Е ®
является касательным вектором к множеству ]а, Ы в точке ж.
Представим & Е № в форме @а = ре’, гдер > 0и
|,
ez
Полагаем хи = ж номера, x,€Z Hu
ие,
[_,
,
Xn —X
lim
определению,
a@—x,> 0,
если
&@—xX,<0.
Если
о, —0,
УпЕМ.
2
| Xn
пою
Согласно
если
© —
—
Xo
о
|
то,
noo
касательный
начиная
с некоторого
%
вектор.
Пример 3. Пусть ]а,
+, Rp
дифференцируемая в точке ху 6 ]а, @ функция. Обозначим через Й ее график, изображенный на плоскости С. Полагаем
20 = X% + Й (%). Найдем все касательные векторы к множеству 2 в точке 2%.
Пусть 2. = X% + и + Й (ж%-+ гл), где в, >0
УлЕМие, = о (1). Тогда
21 — 2% = En Tif (Xo | #1) — | (%)) и при п— со
р
п
|2n —
| (хо
№ _
2 |
еп)
—
1 (Хо)
еп) —
Г (хо)
En
Ite
Ё (хо --
_
iy
1 +- if? (x9)
[1
+
é’
(x,) |
En
Векторы # (1 if’ (x)))€ C Wt > O0O являются касательными к множеству 7 в
точке 2. Другие касательные векторы получим, заменив #„ на —е„. Таким образом, все касательные векторы образуют множество T,,4 = {tf (1 + df (x,)) [ЕЕ
ЕКВ}. Оно представляет собой прямую, проходящую через начало координат
плоскости С, параллельную касательной прямой к графику функции { в точке
(хо, Ё (%)) = Xo НЙ (х). Множество T, 2 называется касательным прострачством к множеству 2 в точке 25.
Определение
2. Листь 2 <= С и 2 — предельная точка множест-
ва 2. Множество всех касательных векторов к 2 в точке 2, называется касательным
пространством и обозначается
через Тг.Р.
2.5. Геометрический
смысл
производной
Пусть функция / : © -> С дифференцируемая
ляющейся предельной для множества О,.
6
337
функции
из (С
в точке 2 ЕД»,
в С.
яв161
Теорема.
Пусть
Ecau f' (%) == О и 3 Пт
:
& EDs \
oe
— е®, то
| (21) — 1 (2%)
И
{
УпЕ№
{2} A 2% — 2% = 0 (1).
Ир —
Tre Teg
I’ (29)
Имеем (принимая во внимание формулу
lim
| (2@n)
— 1
(20)
—
nao IF @n)—1(%)1
lim
| (ги) — | (2)
‘п —
%
Гете
|
га
— 2
—
1
= ®° = ТГ
ef
(1)
(6), п. 1.1)
п
f (2p)
ар
ip —
Ме.
>
Пусть выполнены все YCJIOBHA TeopembI. Torga BekTop ef¥, Kaсательный к Ё; в точке и» = } (25), называется соответствующим
касательному вектору е* к); в точке г, при отображении }, а касательное
направление
{шЕ(. | ш = re’? A r> 0} — coomeemствующим касательному направлению {26 (|2 = ved A p So}.
Формула (1) имеет следующий геометрический смысл: для того
чтобы получить вектор еФ, достаточно повернуть вектор е вокруг
нуля на угол а Е Arg | (20). Следовательно, дифференцируемое в
точке 2, отображение {: © > Сс (2) =2 0 сохраняет углы между
касательными векторами. Такие отображения
ными в точке Zp.
2.6.
Теоремы
Ролля
и Дарбу
называются конформ-
об обращении
производной
в нуль.
Пусть материальная точка движется прямолинейно. Если ее начальное и конечное положения совпадают, или направления движения В начальный и конечный моменты времени противоположны,
то она должна иметь в какой-то момент времени скорость, равную
нулю,
т. е. обязана
остановиться.
В математике
эти
простые
физи-
ческие явления описываются классическими теоремами Ролля и
Дарбу.
Теорема 1 (Ролля). Пусть функция [: В — К непрерывна на
сегменте la, 6] и дифференцируема в каждой точке интервала
Ja, bl. Если | (а) = | (6), то существует такая точка £€ la, Ol,
что |’ (Е) = 0.
Если функция { постоянна, то ‘утверждение очевидно и в качестве Е можно взять любую точку из интервала Ja, @. Если функция
Г не постоянна, то ее наибольшее и наименьшее значения (существующие по теореме Вейерштрасса) различны. Так как f (a) =
=
(6), то хотя бы одно из этих значений функция
которой точке ЕЕ ]а, &. По теореме Ферма
Г @® =0. №
{ принимает в не-
(см. теорему 3, п. 1.1)
Теорема 2 (Дарбу). Если функция | : К — В дифференцируема
в каждой точке сегмента [а, В] и [ (а) Г (6) < 0, то существует
такая точкаЕ Е la, bl, amo f’ (§&) = 0.
По теореме Вейерштрасса функция { принимает на сегменте
la, 6]
162
наибольшее
и наименьшее
значения.
Если
хотя
бы
одно
из
них
достигается
в точке
ЁЕ
]а,
6[, то
по
теореме
Ферма
}’ (&) =
= (0. Убедимся в том, что остальные случаи невозможны.
тельно, ecu f (a) = inf f (x), f(b)= sup ‚Го, т
x€[a,0]
.
f (x)
lim
—
| (а)
_.
aa
x€[a,b
fi
.
(DBO,
ТЫ
lim
__
=p
=
(0) 20
wu ycnoBne f’ (a) f’ (b) < 0 невыполнено. Заменяя } на —{,
что случай } (а) = зиUP ‚Г, f (6) = int 709
также
жен.
Действи-
получим,
невозмо-
№
Теоремы Ролля и Дарбу имеют следующий геометрический
смысл: на графике функции | есть точка, в которой касательная к
нему параллельна оси абсцисс.
2.7. Формула
Лагранжа
для
конечных
приращений.
Одной
из
наиболее важных теорем дифференциального исчисления является
утверждение, принадлежащее Лагранжу, связывающее между собой понятия мгновенной и средней скоростей изменения функции.
Теорема (Лагранжа). Пусть функция [{: В — ВК непрерывна
на сегменте [а, 6] и дифференцируема в каждой точке интервала
]а, 9. Тогда существует такая точка Е 6 ]а, @, что
LO-FO _ 7 @),
®
Обозначим
к равенству
функции
A =
ГООГ
1)
А = | (Е),
или
х == } (х) — Ах,
Утвержден ие
(7 (х)
— Ах);
хе
1а,
6],
=0.
выполнены
(1)
теоремы
Проверим,
условия
сводится
что для
теоремы
Ролля Действительно, она непрерывна и дифференцируема в каждой точке интервала la, bl u (f (6) — Ab) — (f (a) — Aa) = f (0) —
— / (а) — ^ (6 — а) = 0, т. е. принимает равные значения в точках
аи
6. По теореме Ролля ЗЕЕ ja, Of: f' (§) —-Л=0
Геометрический
смысл теоремы Лагранжа
графике функции} существует
точка,
в
№
состоит в том, что на
которой
касательная
па-
раллельна хорде, соединяющей его концы. С физической точки зрения эта теорема утверждает, что при прямолинейном движении материальной точки ее средняя скорость совпадает с мгновенной скоростью в некоторый момент времени.
2.8. Неравенство Лагранжа. Справедливы ли теоремы Ролля,
Дарбу и Лагранжа для функций вида } : В — (? Физическое истолкование производной, как скорости движения материальной точки
в плоскости
(; позволяет
ответить на поставленный
вопрос.
Двига-
ясь на плоскости, материальная точка может вернуться в исходное
положение без остановки в какой-либо момент времени, и в этом
состоит одно из принципиальных различий движений на плоскости
и на прямой. Примером, подтверждающим сказанное, является
вращение материальной точки вокруг неподвижного центра, математической моделью которого служит
функция {[: В -> С, где
f (x)= е*, хе [0, 2л]. Действительно,
}(0)= } (лм) A f’ (x) =
= ie'* = 0
6°
\УхЕ[0,
21].
Поэтому
существуют
такие
функции
163
Ё: В — С, для которых утверждения теорем Ролля и Лагранжа
несправедливы.
Теорема Дарбу была основана на том факте, что при прямолинейном движении материальной точки для изменения его направления на противоположное требуется, чтобы скорость в какой-то момент времени обратилась в нуль. Если материальная точка двигается на плоскости, то она может изменить направление движения
на противоположное, имея в каждый момент времени ненулевую
скорость. Подтверждением этого служит пример движения точки
по полуокружности, задаваемого функцией }: К - С, где / (x) =
= фе, хС [0, л]. Векторы скорости f’ (0) u f’ (x) противоположно
направлены, и тем не менее вектор / (х) ненулевой У хЕ |0, л]|.
Следовательно, утверждение теоремы Дарбу для функций из В в
( несправедливо.
Физическое истолкование производной указывает правильный
аналог теоремы Лагранжа для функций } : В — С. Если | (а) —
начальное положение материальной точки и ее скорость по модулю
не превосходит числа и = | |, то за время # = В — а она не может попасть за пределы окружности у = Е; || № — РГ (а) =
= vu(b—a)},
что соответствует знаменитому неравенству
Лагранжа
17 (6) — Г (а) |716 — а.
(1)
Теорема (Лагранжа). Пусть функция la, 6]
и дифференцируема в каждой
точке интервала
— зир
|/’ (х) |. Гогда справедливо неравенство (1).
< "Пусть
pé€ Arg
(f (6) —f (a)).
а,
(, непрерывна
М, ||| =
Тогда
| f (6) — fF (a) | = e-*9 (F (6) — F(a) = (е-9Р (6)— (е-91 (а).
Полагаем
е—® } (х) = и
(х) + iv (x)
Vxeéla,
В.
Имеем
(2)
[7 (6) — Г(а)| = (и (6) + iv (b))
— (u(a) + iv(a)) =
= u(b) —u(a) + i(u(b)
— v(a)).
Начало цепочки равенств показывает,
что ее конец является дейст-
вительным числом. Поэтому у (6) — и (а) = 0. По теореме
жа для функции и существует такая точка € € Ja, Ol, uTo
7 (6) — Ра | =
(Е) 6 — а) < [Р-Я
Рф
Лагран-
а). >
Упражнения
1. Известно,
что
если
сила
тока [ в проводнике
постоянна,
то / = 2.
где
О — количество электричества, прошедшего через проводник за время {. Дать
определение силы тока в общем случае, когда @ является функцией времени f,
2. Известно, что если удельная теплоемкость вещества 4 постоянна, то д =
= 2,
температуры
еди-
ницы массы вещества на # единиц температуры. Дать определение удельной
лоемкости вещества в случае, когда она зависит только от температуры.
теп-
164
rye
Q —
количество
тепла,
необходимое
для
повышения
3.
а,
то
Если
а =
о
точка
движется
‚ Где
о —
прямолинейно
скорость
в
с постоянным
момент
времени t,
ускорением,
9, —
скорость
равным
в
момент
t
времени ¢ = 0. Дать определение ускорения, если известна скорость и как функция от времени {.
4. Считая, что (у == агзВ х) <> (х = $Ву)
УхЕВ,
найти (агзВ x)’.
5. Пусть функция В 1, В имеет непрерывную производную и У (х ЕВ,
h € IR) справедливо тождество f (x + h) — { (х) =
(х). Доказать, что f (x) =
=ax-+b,
где а и Ь — постоянные.
6. Доказать неравенства:
a) |sinx—siny|<|x—y|
V(xeElR, yeEIR);
6) | arctga— arctgb|<|a—b|
V(a@elR,
OER).
7. Пусть функция }: В — К имеет непрерывную производную f/f’ B KaxkOH
точке интервала ]а, [ < №. Можно ли У Е Е ]а, Ы указать такие две другие
точки х1 И хо. из этого интервала, что
f (%2)
——
р (х1)
—
id
(E),
А2 —А1
8. Доказать,
руема
в каждой
€ Ja, of :
что
точке
если
функция
интервала
и|о
]а,
{:
В],
х
<<
[а, 6] — В
но
не
ль?
непрерывна
является
и
дифференци-
линейной,
TO
AEE
=F)
| f (6)=e
$ 3. Интеграл Ньютона-—Лейбница
Интеграл — одно из центральных
за
и всей
математики.
понятий математического
анали-
В одном из своих ранних сочинений «О квадратуре параболы»
Архимед разработал метод вычисления площади параболического
сегмента, послужившего через два тысячелетия основой первого в
истории математики корректного определения интеграла от непрерывной функции, предложенного Коши в 1823 г. Дальнейшие обобщения интеграла, указанные Риманом в 1853 г. и Дарбу в 1879 г.,
также основывались на идеях Архимеда, развитие которых было завершено Жорданом в 1892 г.
Новая идея измерения площадей и объемов была высказана Борелем в 1898 г. и использована Лебегом для построения современной
теории интеграла.
Длительный период времени, от Ньютона и Лейбница до Коши,
операция
лизе,
дифференцирования
а интегрированию
была
отводили,
роль — обратной операции.
главной
как
в математическом
правило,
Идеи Архимеда служили
ана-
второстепенную
лишь
основой
для уверенности в существовании первообразной. Отметим, что в
указанный период времени математики не придавали особого значения вопросам существования первообразной.
Интеграл
Ньютона
— Лейбница,
вводимый
в рассмотрение,
за-
меняет собой неопределенный интеграл, теория которого излагается
во всех современных учебниках по математическому анализу. Традиционно неопределенный интеграл изучают лишь с точки зрения
правил и техники его вычисления, не занимаясь приложениями.
165
В настоящей книге основное внимание уделяется приложениям
интеграла Ньютона — Лейбница к решению задач дифференциального исчисления. [Получить те же результаты посредством применения интеграла Римана или Лебега нельзя.
Необходимые и достаточные условия существования интеграла
Ньютона — Лейбница были получены Лебегом 1. Мы ограничимся
лишь
Доказательством
В гл. 8 будет
гралов.
проведено
интегрируемости
сравнение
непрерывной
всех
функции.
упоминавшихся
инте-
3.1. Первообразная.
Определение 1. /Лусть }: (©; — С и множество О; не имеет изолированных точек. Функция Е : С -> С называется первооб разной
функции | если Ор =В; и ЕР’ (2) = | (2) У2ЕО,.
Пусть ЁР — первообразная функции {. Так
как
У (260,
CEC)
(F+C)’ =F’ (a, то Е-НС также является первообразной функции /. Поэтому первообразная определена неоднозначно и специального обозначения не имеет.
Лейбниц считал необходимым создание универсального языка
символов
(обозначений),
лению
Р’=
в котором
всякое
название
или
знак слу-
жат ключом всех свойств обозначаемого
понятия.
Выражения
Ау и ах он называл дифференциалами у и х (не давая им точного
а
.
определения), а частное = — производной у как функции от х.
Если Е — произвольная первообразная функции }, то по опреде|
{. Следовательно,
= f (x), dF = f (x) dx.
произвольную
4
и
([
как
On
в обозначениях
предложил
первообразную
обозначения
функции
взаимно
d (\f (x) dx) = f (x) dx.
Лейбница
обозначать
7,
=
через § f (x) dx
paccMaTPpHBaA
обратных
=
операций,
символы
т.
е.
В отличие от Лейбница, Ньютон не придавал особого значения
обозначениям и рассматривал интегрирование не как операцию, а
как задачу найти флюэнту, зная флюксию (т. е. решить уравнение
х = } (1). Поэтому у него отсутствуют обозначение и название для
интеграла. Может быть, Ньютон считал
название и присваивать символ тому, что
значно?
Впоследствии
интеграл
Лейбница
(1х)
недопустимым
определяется
dx
назвали
давать
неодно-
неопреде-
ленным в отличие от интегралов Римана, Дарбу, Лебега и других,
которые называются определенными.
В современных учебниках по математическому анализу неопределенный интеграл понимают по-разному: как произвольную первообразную или как множество всех первообразных подынтегральной
функции. Первая точка зрения не выдерживает критики вследствие
неоднозначности определения первообразной. Во втором случае
Л.,
166
1 Лебег
1934.
А. Интегрирование
и отыскание
|
примитивных
функций.— М.;
обозначение становится корректным, но операции над неопределенными интегралами усложняются — они становятся операциями
над множествами. Наконец, часто в процессе рассуждений с неопределенным интегралом обращаются как с произвольной первообразной, хотя формально понимают его как множество всех первообразНЫХ.
Исследуем
характер
неоднозначности
Определение 2. Пусть
Ех называетсягладким
торией),
если
функция
первообразной.
ф: В > (С, Do = la, В]. Множество
путем (илигладкой траек-
ф
непрерывна
и У ЕЕ ]1а, 3х’
(.
Если &. = ф (а), в. = ф (5), то будем говорить, что гладкий путь
соединяет точки и. и и. Функция ф называется параметрическим
представлением
гладкой
траектории (или пути).
Определение
3.
Пусть
ф: В > С,
Do = la,
Ы.
Множество
Ех называется кусочно-гладким
путем (или кусочно-гладкой траекторией), если функция ф непрерывна
и Ф’(Ё существует всюду, за исключением, быть может, конечного
числа точек. Функция ф называется параметрическим
представлением кусочно-гладкого
пити. Если
Ey < Z, то будем говорить, что гладкий (кусочно-гладкий) путь
лежит в множестве 7 или содержится в нем.
Определение 4. Множество 2 < (; называется линейносвязным, если для любых точек 21 Е 2, 2 Е 2 существует кусочно-гладкий путь, соединяющий их и лежащий в множестве Z.
Теорема 1. Пусть| : © >
Сир, — линейно-связное множество,
содержащее
более
чем
функция [| постоянная.
<
одну
Пусть 1 ЕР» => Е В;.
жества
существует
г. и лежащий
точку.
По
Если
определению
кусочно-гладкий
путь,
в множестве О;. Следовательно,
рывная функция
Ф
[а, 6] — О,, что
Чё ЕО;
Г (2)
=0,
то
линейно-связного мно-
соединяющий
точки
21,
найдется такая непре-
ф (а) = 2,
ф (6) =диЗф
(4
всюду, кроме конечного числа точек. Занумеруем их в порядке
возрастания & =а<& <... <&Ё
= 6. Согласно неравенству Ла-
гранжа` (см. п. 2.8), имеем
l(Fo@) (te) —F eo
РФ -Ь=0
(=, п.
Таким образом, (° Ф) (№) = [ (2!) = (f° ®) (tn) = [(2.). №
Теорема 2. Пусть Е1и Е, — первообразные
ИИ, Г: С -—
определенной на линейно-связном множестве, содержащем более
ной точки. Тогда существует такая постоянная С Е С, что Е. (2)
= Р, (2) -С
У2ЕШ,.
< Рассмотрим функцию Ё = F, — Fy. Tak xak VzZ€D;
F’ (2)
=
Ро (2) — F,
ная.
(2)=
0, то, согласно
теореме
1, функция
С,
од=
=
Ё постоян-
3.2. Таблица первообразных. Составим таблицу первообразных,
пользуясь формулами для производных из $ | (в ней указаны значения функций, областями определения которых Ш); могут быть
167
произвольные линейно-связные множества, содержащие более одной
TOUKH):
3
$
начение
функции в точке
2 Е С или хЕ К
п, п
1
—,
2
| Значение первообразной
Значение первообразной
sh z
chs
Inz
chz
shz
e
22
—cthz
а*
ina
|
hes
thz
или
пы!
—|
2
n+
D=C —
e
а’,2 а5-1,
genarenne
ункции в
точке ёЕ С
аеС
sin z
|
— cos z
COS г
sin 2
|
__
—
sin? z
хе
ВЮ
|
]
Tee
arctg x
|
In (x +
Vi+ 2
etg 2
—
УТ
x
уз
tg z
с05? 2
8
3.3. Интеграл
—_ |
‘a
›
x1,
+ x?)
arcsin x,
'
— arccos x
[хр < |
]
——
У!
1
—
2
п
x—
x+1
|
|
Ньютона — Лейбница.
Определение. Лусть { : С —+ Сир; — линейно-связное множество, содержащее более одной точки. Функция | называется интеНьютона— Лейбнища,
смысле
гририуемой
в
если она имеет первообразную. При этом ЧаЕБ;
2
(Fee = Го)
def
(Е (а =ОЛУ2ЕБ,
Ра =).
(1)
Функция ГР в (1) называется интегралом Ньютона — Лейбница
с фиксированным нижним пределом интегрирования а и перемен168
ным верхним.
лом
Ее значение Р (5) называется определенным ичтеграb
Ньютона — Лейбница
и обозначается
ременная интегрирования,
не зависит, т. е.
| f (€) dt,
a
от выбора
которой
roe 6 — ne-
величина
интеграла
=...
(ложе [Гоаи= (Гош
x
Запись
| F(x) 4х
не
имеет
смысла,
поскольку
буква
х исполь-
а
зуется для обозначения верхнего предела интегрирования. Буква,
использованная для обозначения переменной интегрирования, не
b
считается
занятой,
Например,
если
записан
интеграл
ло
dx,
a
то буква х не является занятой в обозначениях и мы можем выбрать
ее в качестве переменной интегрирования в других интегралах:
b
b
Обозначение
| p(x) dx
a
a
\ f (x) dx предложил
Ч
С
значения
b
\ p(x) dx,
—6
д.
(1772—1837)
.
Теорема
1 (формула
функция
@® — ee
Ньютона — Лейбница).
множество,
| интегрируема
nepeoobpasnan,
mo
содержащее
в смысле
вместо
обо-
|
) [(х) 4х |.—=о, употребляемого Эйлером.
О; — линейно-связное
Если
Фурье
ит.
Пусть {: © — С,
более
одной
точки.
Ньютона — Лейбница
V (a€ D,;, b€ Dy)
b
unmeepan
и
\ Г (2) 4
q
существует, определен однозначно и справедлива формула Ньютона —
Лейбница
b
\ FOal =O) —O@ LOK KE.
{
Полагаем Р (2)
= Ф (2) —Ф
F(ay=OA
Согласно
определению,
Vz2ED,
(а)
У260,,.
(2)
Тогда
РГ (2) =Ф' (2) = [ (2).
имеем
\ FQ de = F(b) = O(t) — O(a).
Убедимся
b
в том, что интеграл определен однозначно.
\FOQdl=VO,
a
F@=0AVzZED,
Пусть
¥ (2) = fie.
169
По
теореме
Полагая
2,
п.
г = а,
3.1,
ЗСЕСЕ:\Х
(2) =Е
определен
однозначно.
получим,
= Р (5), т. е. интеграл
Теорема 2. Пусть
что
С = 0.
|: С —> Си
Я +С
Следовательно,
Pp
О; — линейно-связное
У2ЕБ,
Ч
(6) =
множест-
во, состоящее более чем из одной точки. Если функция интегрируема
в смысле Ньютона — Лейбница, то справедливы равенства
b
a
\ F(e)dz=—Jfedz
a
V(aeD;,, bED),
b
Cc
b
(3)
b
\F(2)dz=
| fde+ Jf @dz VED, bED,ceD),
(4)
[ло a) =f (2) W(a€D;, 2€D)).
(5)
a
b
,
[ло
{
<) =—f(z)
V(zED;, b€ D)).
(6)
Пусть Ф — первообразная функции {. Согласно формуле Нью-
тона — Лейбница
(2),
имеем
,
{о i) dz = © () —® @ =—@@—O) =—| faz
b
b
\ f@dz=90)—
O(a) =9()—O(0)+0@—9@=
a
b
с
= | f(edz
+ | feaz,
f FO) <) = (O (2) — O(a)’ = © (2) = FQ),
b
ло)
’
= (® (6) — D(z) = — O' (2) =—f2). >
Равенство (3) называется правилом перестачовки пределов интегрирования, равенство (4) — аддитивностью интеграла относительно пределов интегрирования, формулы (5) и (6) — правилами
дифференцирования ‘интеграла по верхнему и нижнему пределам
интегрирования.
3.4.
Линейность
интеграла.
Замена
переменных
и формула
ин-
тегрирования по частям.
Теорема 1 (о линейности интеграла). Пусть 2 — линейно-связное множество, содержащее более одной точки. Если функции |:
:С-— С, с: С-— С, О; = В, = 2, .интегрируемы в смысле Ньютона — Лейбница и ЛЕС, ВСС,
то функция М -- из также ин-
470
тегрируема
и справедливо равенство
b
b
6
\ (Af + ug) (2) dz =a) f()dz+y) ge)dz V(@EZ,bEZ).
(1)
< Пусть Р и С — первообразные dbyHKkuni fug. Torga (AF +
+ wG)’ (z) = AF’ (z) + uG’ (2) = М
+ ис (2) У2Е2. Следовательно, функция А} -- ис имеет первообразную и по определению инг
тегрируема в смысле Ньютона — Лейбница. Пусть Ё (2) = | Е (Саб,
Ц (2) = \g (C) dt. Torga (AF + wuG) (a) = 0, 4 no
теграла
ompeyeneHuio
ин-
получим
6
} ФР -- вв) (2) 42 = (АЕ + рб) (6) = MF
b
+60 =
b
А (ее
+в | 8) 4. №
Теорема 2 (о замене переменной). Пусть| 1 © — С, Ф: С -> С,
Z = О, — линейно-связное множество, содержащее более одной
точки. Если фучкция ф дифференцируема в каждой точке 2 Е 2,
а функция [|2
интеррируема
в смысле Ньютона — Лейбница,
то функция ({* Ф) ф’также интегрируема и справедливо равенство
b
(6)
}1(Ф(2))
$’ д = | 9%
а
Пусть
pla)
Е — первообразная
F (p (a)) = 0.
Tak
Kak
Vz€Z
(F og)’ (2) = F’ (@ (2)
dmyuKkunn
umeem
\У(@62,562).
flgz,
a€Z,
(2)
bEZ
UA
(2) = 1 (9 (2) @ (2) = (Fo 9) 4’) (2),
то функция ({- $) ф’интегрируема в смысле
ца, и по определению интеграла справедливо
b
Ньютона — Лейбниравенство
od)
\ F@(2) @ (dz
= Fp) = J FQ dt. >
я
(pla)
Теорема 3 (об интегрировании по частям). Пусть #1С -> С,
g:C >, О, = О, = 2 — линейно-связное множество, состоящее
более чем из одной точки. Если функции [и в дифференцируемы в
каждой
точке
множества
2 и функция
[Го интегрируема
Ньютона — Лейбница, то функция |’ также
справедлива формула интегрирования по частям
(2) а’ (г) аг = да
| Р (д 8@)4
в смысле
интегрируема
У(а62,662).
и
(3)
171
ч Поскольку (78)° (2) =[ (2) в (2) +Р@)8’ (2)
У2ЕР,то fg’ =
= (75)’— Га. По определению функция (fa) интегрируема в смысле Ньютона — Лейбница. Согласно свойству линейности интеграла,
функция
]0’ также
интегрируема
b
по
Ньютону
— Лейбницу
и
b
SF @e’ @az=J (fey @az—| fe (2 az =
= / (6) g(bt)—f(a)g(a)—J
f (2) g(2az D>
Рассмотрим
/
примеры.
Пример
1. Вычислить
Полагая
в интеграле
—
\.
И
/ = \ x (1 — x)9" dx.
0
х = | — $, находим { =
t)2797 (—(— 1) dt
Пример 2. Вычислить
— ||
ra74:
| = |
по
частям.
Получим
x=f?,
dx = 2d,
dt =— —р] в 8 =)=-—
— |
8 th
t=1 _.
x sin V x dx.
Заменим переменную, полагая
0
ния
— || ВВ
1 — x. Тогда
Их=
—
& и применим формулу
Jt
интегрирова-
JU
1=2\ Psint- tot =2 | sin tat =
0
0
|
ho
at
#8 (— cos t)’ dt = 2 ( (— с0$ 0 их +3 \ t2 cos at =
U
|
<
NO
at
¢? (sin t)’ dt = 2n3 +
6(+
sin tf j= — 2 | 1 311 а) =
= 2лз — 12 | t (— cos t)’ dt = 2n— о [15
= 218—
Пример 3. Вычислить
Применим
[=
формулу
(2— де"
121 — 12 эт ЕП
+ i cos at) =
= 2л (л2 — 6),
[ = [ (2— йе 242.
интегрирования
att
по
частям.
f e*dz=—i+te*
Получим
Ой
1—e’
=—i+1—(cos 1 —isin 1)= 1—cos 1 + (sin! — 1)i,
172
=
$ 4. Дифференцирование и интегрирование предела
последовательности функций
и суммы функционального ряда
Часто функции задают в виде предела функциональной последовательности или суммы функционального ряда, в связи с чем возникает необходимость уметь их дифференцировать и интегрировать.
.
4.1.
Равностепенная
непрерывность
и равностепенная
дифферен-
цируемость функциональной последовательности в точке.
Определение 1. Множество функций
9% = {}}, Г: С — С, О; =
непрерывным в
= (, называется равностепенно
точке
2 Е 2,
если
У=>0 38> 0: У (ГЕ 9%, 262)
([2— 2. |< 6) > (| f(z) — F(a) |<).
Семейство
PyHKUHH
(fa)aga
Ha3bIBaeTCA
paeHocmeneNHo
Henpepole-
ным в точке 2 Е 7, если множество %% = {| “Ее А} равностепенно непрерывное в точке г,. В частности, имеет смысл понятие
равностепенной непрерывности в точке г, последовательности функ-
ций (f,)
Определение 2. /Лусть каждая функция [Е 9% дифференцируема в точке г, Е 2. Поставим ей в соответствие такую непрерывную
в этой точке функцию ф, что Уё ЕЁ
f (2) — F(Z) = (2 — 2p) @ (2).
(1)
Если множество {ф} = 9%, равностепенно непрерывное в точке 2%,
то множество 9% называется равностепенно дифференцируемым в
этой
точке.
Теорема 1.
Пусть
р Ь р, =2
УптЕ№, 26 2. Если
УпЕМ функции Р, непрерывны в точке го, то последовательность
(1„)
4
равностепенно
Согласно
тельности
непрерывна
критерию
({),
Коши
УЕ > 0 3л.
в этой
Е
(2—2|<
9) > (№9 -Р
|2 — 25| <
6 выполняются
| fn (2) — Fn (20) |<
сходимости
№: Уп>и,
как функции [,, /», ..., |, непрерывны
п > Ши
точке.
равномерной
последова-
| — [|< .е. Так
в точке 2,, то 36 >>
(|
<=
УЕ=
неравенства
1
0: VzE
м).
При
fn (2) — fa, (2) | + | fre (2) — fn, (Zo) | +
+ | Fag (20) — Fr (20) | <2 fa — Fagll + © < 30.
Следовательно,
— /,
(20) | <
У (262,
32), что
означает
ПЕ№
(2—2
равностепенную
|< 5) > (1 (2) —
непрерывность
по-
следовательности функций (},) в точке 25. д
Теорема 2 (о непрерывности в точке предела последовательности
функций). Если f, > f, Di =Z
WnEN,
%€Z
u_ nocaedosameaonocme (f,,) pasHocmeneHHo непрерывна в точке 2, то функция
Г непрерывна в этой точке.
173
Из равностепенной непрерывности в точке 2, последовательности
(7.) следует, что
У=>0
36 > 0: У (пЕМ,
2Е 2)
(|2— 2, | < 8) > ([№ (2) — [, (2) |< ?).
(2)
Пусть 2Еби | 2—2 | < 65. Перейдем в (2)к пределу при п со.
Получим оценку| [ (2) — { (2) | < ®, из которой следует непрерывность функции } в точке 2. д
Убедимся
в том,
что
сходимость
числовой
последовательности
(Г, (20)) можно не проверять. Она является следствием остальных
условий теоремы 2.
Теорема 3. Если У2Е2\
{2} dlim f, (2) =f (2) и после:
довательность
являющейся
(f,)
равностепенно
предельной
для
непрерывна
множества
Z,
в
то
точке
3Ит
п- со
2,7,
f, (2) =
= | (20) и функция | непрерывна в точке го.
“ Принимая во внимание теорему 2, достаточно убедиться в том,
что последовательность (}, (2,)) фундаментальная. По определению
равностепенной непрерывности последовательности (f,,) в точке 25
Ve>0
36 > 0: У (7ПЕМ, 262)
([2 — 20 | < 6) > (1, (2) — [, (2) |< =).
Так
как г, — предельная
— 2 |< 6.
согласно
точка
множества
Последовательность
критерию
Kom,
[ар (21) — Ё (21) | <=.
2,
то За 60: | 2.—
(/, (2,))
сходится,
JneEN: V (nS ne,
Пусть
п>
| frp (Zo)— Fn (Zo) | S| Гир (2%) —
пе.
Тогда
Р-р (2)
поэтому,
peN)
| Ра--р (21) — fn (21)| +
+ | fn (21) — Fn (20) | < 3e,
т.
е. последовательность ({, (Z29)) фундаментальная.
Pp
Из доказанных утверждений следуют классические теоремы о
равенстве повторных пределов и о предельном переходе под знаком
суммы ряда.
Теорема4 (о равенстве повторных пределов). Пусть }, : (© — С,
D; =Z
VWneN.
Если
г, — предельная
точка
множества Z,
УпЕ№М
Эр
2-го
(2)
последовательность
4
Функции
=
(&„)
uf,2f
сходится
na
и
fn (2) -|
[ (2),
если
2 \ {zo},
mo
Пт а, = Пт f (2).
п-
fh, rae
множестве
с
2-2
262\ {2},
непрерывны в точке г» У пе №. По теореме 1 последовательность
функций ({,) равностепенно непрерывна в точке 2. В силу теоре©
174
*
.
мы3
4 lim f; (2,) = Пт а, = а ифункция
не
|(2),
г) =
}*, где
если
2Е2\
если
2=2,
{2},
непрерывна в точке 2%, т. е. Ит }* (2) = Ит
Доказанное
= Ит
2-20
равенство
2- 2о
можно
записать
Им [, (2), чем и объясняется
"с
Теорема
5 (о
предельном
a, = lim Ё (г). №
а,
в
виде “Tim lim f, (2) =
по
название
переходе
2-2,
теоремы.
под
знаком
суммы
ряда).
Пусть ф:С-—(С,
В. =2
УптЕ\М,
2 — предельная
точка
множества 2. Если ряд »ф, сходится равномерно на множестве & \
\ {2} a@ VnEN dlimg, (z) =a,,
mo pad
Фа,
сходится
и
2-20
со
У а, =Ит У, ф„ (2).
n=!1
2—2,
п
%@
Полагаем
В силу
}, =
k=]
У ак=
всех
.
а, =
У
k=]
условий
со
a,
VWneN,
теоремы
f=.
4 имеем
N00
равенство
2-2.
можно
Фь.
< —1
lima, = lim f(z)= lim у ф» (2).
k=1
Доказанное
п
У, ф‚,
выполнения
(3)
П=1
>
2—2. Е=1
записать в виде
2
tim n=!
Yy fy (2) = n=1
Y tim2725 fa (2,
Z>2)
чем и объясняется
название теоремы.
4.2. Дифференцирование
и интегрирование предела функциональ-
ной последовательности. Исследуем на дифференцируемость предел
функциональной последовательности.
Теорема 1. Пусть |, — f, О, =Z
VnEN
u 25 Е 2 — предельная точка множества 2. Если последовательность (1) равностепенно дифференцируема в точке 2, то функция { дифференцируема
в этой точке и Ит В (2) =Р (25).
q
По
fl—> oo
определению
BaTeIbHocTH
(f,)
равностепенной
W2€ Z справедливо
дифференцируемости
последо-
равенство
hn (2) — Fn (Zo) = (2 — 29) Pn (2),
где
ность
3
(ф„) —
равностепенно
функций.
п Pn (2).
Из
Согласно
непрерывная
равенства
теореме
(1)
3, n.
в точке
следует,
4.1,
(1)
г,
что
последователь-
У2ёЕД
существует
пос
прерывная в точке 2, функция ф, что ф„ — ф. Перейдем
(1) к пределу при п -> со. Tlonyaum VzEZ
f (2)— f (%) = (@— 2%) @ (2).
\
такая
{2%}
не-
в равенстве
(2)
175
Следовательно, функция } дифференцируема в точке 2. и
lim fn (2) =
Шт Фи (25) = Ф (20) = [ (20).
п-оо
Условия теоремы
сходимости
ставляем
№
пою
| можно ослабить, отказавшись от требования
последовательности
(1, (2,)).
читателю.
Доказательство
предо-
Покажем, что из теоремы | следует классическая теорема о дифференцировании
предела
функциональной
последовательности
в
точке.
Теорема 2. Пусть
ПУТЕМ,
хё@,
|: В — (С,
6]
3 fr (x);
2)
а,
fr =
]=0,
; 3)
УптЕ\.
3x
Ela,
Если:
bl: Fn (X))
сходится, то 3[: [, —* ри функция | дифференцируема в каждой
f’ (x) = lim fh (x).
И
точке сегмента la, ®], причем УхЕа,
пс
q
Полагаем
[а (х) — [1 (хо) = (х — %) ф,(х)
V(X Ela, 6], 2 EN),
Убедимся в том, что последовательность (ф„)
фундаментальной (см. п. 2.3, гл. 4). Так
>0
ЗЕ
№: У (и > п, рЕ№
Фи (%) = fn (Хо).
(3)
является равномерно
kak f, 2, To Ve>
|+»
— [|< =. Если хЕ а, 6]
ИХ =2 Хо, ТО, ВОоСсПОЛЬЗОВавшись неравенством Лагранжа
получим оценку
| Фи--р
(x)
(р
Если
=
X =X,
—
(x)
Q,
faa +pp (%)me
— tap
| —
(%)
— 11 (%)) —
(Xo)0
|
a (xX)ee
—
—
n+p (%0)
— fn (%o)) | ие
— |<
a
TO
__
(см. п. 2.8),
| Qn+p (Xo) — Pp
fnto— fall<e.
(Xo) | =| fap
< 1+, — № < г, Следовательно, У (п >> ль рЕ№
(хо) — fn (№) | <
|9» — $. |<
< а, т. е. последовательность (ф„) равномерно фундаментальная.
По критерию Коши 3ф : ф, -* ф. Согласно теореме 1, п. 4.1, последовательность (ф,„) равностепенно непрерывная в точке ху, в си:
лу чего последовательность ({,) равностепенно дифференцируема в
ней. Из равенства (3) следует, что 3[: }{, > 7. Таким образом,
выполнены все условия теоремы | в точке хь Е [а, 6]. Поскольку
|, — |, то вместо х, можно
Теорема
3. Пусть
взять любую
ф„: В >С,
точку
ОР, = а,
х Е [а,
М
В].
УптЕ\№.
Pp
Если
ф, > фи УпЕМ№
функции ф, интегрируемы в смысле Ньютона
Лейбница, то функция ф интегрируема в том же смысле и
b
b
| p(x) dx = lim | 9, (x) dx.
176
—
(4)
<q Пусть /, — первообразная функции ф, и], (а) =0
УпЕ\М. Так
как р =ф,
УпЕМ, TO выполнены все условия теоремы 2 при
х = а. Tlostomy 3f:f,—>/f
u f(x) = Шшр () = шо
(=
=ф (х) УхЕЦа, 6]. Значит, | является
ф. Кроме того, } (а) = 0. Следовательно,
по
по
первообразной
b
функции
b
f(b) = | @(x)dx = lim f,(6) = lim | @, (ax. №
Для
Теорема 2 может быть получена как следствие
этого достаточно воспользоваться равенством
из теоремы
3.
fa(x) = fala) + | fn(dt Vx€la, 6
и применить теорему 3. Таким образом, теоремы 2 и 3 равносильны
между собой. Это не случайно, поскольку операции дифференцирования и интегрирования в смысле Ньютона — Лейбница взаимно
обратные. Как и в случае рядов, возникают две формы утверждений— дифференциальная и интегральная,— что будет систематически использоваться в дальнейшем.
4.3. Дифференцирование
и интегрирование
суммы
функциональ-
ного ряда. Сформулируем теорему 3, п. 4.1, и теоремы 1—3, п. 4.2,
в терминах теории функциональных рядов.
Определение. Функциональный ряд Xf,, Z = D;
УпеЕМ, называется
равностепенно
непрерывным
(соответственно
равностепенно
следовательность
на
дифференцируемым)
(5„) его частичных сумм
в точке
г, Е 7, если по-
равностепенно непрерыв-
(соответственно равностепенно дифференцируема)
в этой точке.
Теорема 1. Пусть ряд x f,, Z = О},
Уп
К, является равностепенно непрерывным в точке г, Е 2. Если Чё ЕЙ \
[25] числовой
ряд Х |, (г) сходится, то35 15$ @=,У
n=!
f, (2)
У2ЕЙ ифиункция
$ непрерывна в точке 2.
{ Утверждение следует из теоремы 3, п. 4.1. Pp
Теорема 2. Пусть числовой ряд » [ (2) сходится У 267. Если
функциональный ряд >}, является равностепенно дифференцируемым в точке г, Е 7, предельной для множества 2, то сумма ряда
дифференцируема в точке 2 и
(s
4
Утверждение
следует
|
(20) = x
из теоремы
Теорема
3.
Пусть
К: К -—
С,
1) У ПЕМ№,
x€
la, 01) 3 fr (x); 2) ряд
3) 3% € la, 6]: pad Xf, (Xo) cxodumca,
fn (Zp).
1, п. 4.2.
la,
(1)
p>
6] = р;
ХЕ, сходится
УпЕМ.
Если:
равномерно;
mo pad Xf, cxodumca pasHo177
мерно, его сумма
Ь] и Ухе
(а, 6]
дифференцируема
(5
4
Доказательство
р)
следует
в каждой
(х) — о
из теоремы
точке
сегмента
fn (x).
2, п. 4.2.
Теорема 4. Пусть |, 1 В — С, la, ] =р,
[а,
(2)
p>
УтЕМ.
Если ряд
>|, сходится равномерно и все его члены интегрируемы в смысле
Ньютона — Лейбница, то его сумма интегрируема в том же смысле и справедлива формула
Ь у сю
Утверждение
со
| (5
hh во) dx = x
следует
из теоремы
«CO
| Tn (x) dx.
3, п. 4.2.
(3)
D>
$ 5. Существование первообразной.
Интегралы
Коши
и Римана
5.1. Ломаная.
Геометрический смысл интеграла.
Пусть 2, Е (;
и 2. Е (.. Множество {2 Е С]|2 =
+ (1 —}{гд,, #6 [0, 1} называется отрезком на плоскости (, соединяющим точки 21, 25, и обозначается [2,, 25|. Точки 21, г. называются его концами. Функция
[н> 2 (#), тде г ( = в + (11—02
УЕЕЦПО, П, называется параметрическим представлением отрезка [г., г]. Непрерывная функция [:[а, 6] —> В называется ломаной (кусочно-линейной), если
ее график на плоскости К?, отождествленной с плоскостью (7, состоит из
конечного
числа
отрезков.
Пусть
} >
0.
Множество
{(х,
и) Е В? [хЕ [а,
Л 0<у< [(%)} называется подерафиком функции |. Зафиксируем хЕ [а, 6] и рассмотрим сужение f [а,х. Оно
также
является ломаной,
его подграфик
состоит из конечного числа
трапеций (рис. 49) и поэтому имеет площадь. Обозначим ее через
Е (х). Функция [а, 6] —- К называется переменной площадью. Одно
из наиболее важных открытий ХУП в. заключается в следующем
утверждении.
Теорема 1. Неотрицательная ломаная [а, 6] JR интегрируема в смысле Ньютона — Лейбница и переменная площадь Е является ее первообразной. При этом
х Е (а, 5]
Е
©
F(x) =| FQ dt.
(1)
4 Зафиксируем хо © [а, 6] и рассмотрим такое х, что на сегменте с
концами Хо, Х функция { линейная (неоднородная) Тогда подграфик
178
и
a
A
сужения
площадь
x
b
07
@=0
Xx
то
= Lt)
%
f
функция
Eto)
Ё
дифференцируема
(2)
х<х., но достаточно
непрерывна в точ-
F(X)
в точке
ж
Доказанная
b
u
F’ (x,) =
= [ (x). Поскольку х, — произвольная точка сегмен-
та [а, 6] и Е (а) = 0, то справедливо равенство (1). д
теграла
kgzbh
(X — Xp).
Равенство (2) остается справедливым, если
6M3KO K Xo. Tak Kak (YHKUHA X+> LF (x) +2
х,
Xp
/|х„х] есть трапеция. Если х >> Xo, To F (x) — F (x) —
этой трапеции и поэтому (см. рис. 49)
F (x) — F (x) = LM
ке
ХХ
теорема
устанавливает
геометрический
смысл
ин-
\ f (x) ах в случае, когда функция } является неотрицательа
ной ломаной: он равен площади ее подграфика.
Теорема ®. Пусть (а, 6] г. К — ломаная. Тогда она интегрируема в смысле Ньютона — Лейбница.
Утверждение следует из теоремы | и формулы { = [#"— f-, rae
patel,
CTBO
Из формулы } = {"— Г
b
дах = |
pat
и линейности
b
интеграла следует равенb
фах— | Гоах,
(3)
которое позволяет дать геометрическое истолкование интеграла от
ломаной: он равен разности
площадей
подграфиков
функций
fr uf.
5.2. Приближение
непрерывной
функции
ломаными.
Существова-
ние первообразной.
Теорема 1. Пусть [а, 6] Тв — непрерывная функция. Тогда
существует такая последовательность (!,) ломаных, 4mo fy = f.
179
{ Разделим сегмент [а, 6] на п равных по длине частей точками
а=хл<лх
<... «хх, =.
Соединим
отрезками
точки
(хьф,
Ё (хь—1)), (хь, f (x,)) (Rk = 1, n) графика функции {[. Получим гра-
фик
новой
функции,
(рис. 50). Докажем,
наибольшем
€
la,
6]:
значении
| i ~
(k= 1, n).
+ (1 — ОЛ
которую
назовем
что }, -* {. Согласно
[1 | —
непрерывной
| | (En)
_
Г
(En)
ломаной
функции
|
и
обозначим
|,
теореме Вейерштрасса
на
Пусть
компакте,
5
<
[xx —1s
о
3
6
Xr]
Torna & = tte—1 + (1 — t)xe ир En) = tf (xe,-1) +
(%,). Поэтому
[1 (En) — Fn En) | St] F (En) — F (%e,—1) | +
— 4) F En) — F (xe, |. (4)
По теореме Кантора функция } равномерно непрерывная и по определению равномерной непрерывности
Ve>0
J6>0:V
(x € [a,
bj,
x’ Ela, b))
([x— x’ (<6) S(|/ (x) — F(x’) |<).
16 —а|
<6. Toraa | f(€,) — f(x» 1) <e a | fF (En) — F(xe I<
n
< :. Из оценки (4) следует, что | / (&,) — f, (&) |< te +t(Ud—de=
= &. Таким образом, || — [| =о(Шир- {| №
Пусть
Теорема 2. Если функция [а, 6] 1.
В непрерывная,
то она инте-
грируема в смысле Ньютона — Лейбница.
q Согласно теореме |, существует такая последовательность ломаных (},), что |, -* |. По теореме 2, п. 5.1, каждая функция f,
интегрируема в смысле Ньютона — Лейбница. В силу теоремы 3,
п. 4.2, функция } интегрируема. №
Идея применения ломаных для
решения
дифференциальных
уравнений, в частности для доказательства существования интеграла Ньютона — Лейбница, принадлежит Эйлеру.
5.3. Интегралы Коши и Римана. Первое определение интеграла,
как предела интегральных сумм, принадлежит Коши. Он для не-
прерывной функции
[а, 6] 1. В рассмотрел суммы
5.“
У flat 254k) vnen,
п—1
n
п
(1)
называемые суммами Коши, доказал их фундаментальность и определил интеграл, полагая
b
\ f(x) dx = lim S, (f).
(2)
Ниже будет доказано (см. теоремы 2, 3), что интеграл Коши существует и совпадает с интегралом Ньютона — Лейбница. Это позволит
использовать для них одно и то же обозначение.
Дальнейшее обобщение интеграла, предложенного Коши, принадлежит Риману, который вместо сумм (1) рассмотрел более общие
суммы,
180
называемые
римановыми.
Определение 1. Лусть
[а, 6] > В. Сумма
n—1
yf Ge) (Xe+1— Xp),
в
которой
ПЕ М,
a=%SaSuS
...
(3)
зы
=
Xx, =
6,
назы-
вается интегральной
суммой
Римана.
Множество точек Р = Рамы = (х, | Е = 0,п] в определении |
называется разбиением сегмента [а, 6], а множество Ёр = {Ё, | Ё =
= 1, п} — совокупностью промежуточных точек. Сегменты [х»,
Xeri1]
чим
(Е =0,
шах
0<k<n—l
п—
1)
(жж —х,)
назовем
сегментами
=|Р|.
Для
(3) примем обозначение Sp (/, Ep).
Определение 2. Число ГЕ В называется
мана
разбиения
интегральной
Р
и обозна-
суммы Римана
интегралом
Ри-
функции la, Ы-^- В, если
Ve>0
36 >0:У(Р
=Рыы,
Ep)
(| P< 5) > (|1 — Sp (f, &>) |<).
интеграл
Функция, у которой существует
тегрируемой по Риману.
Теорема
1 (об интегральных суммах
Лейбница). Гиусть функция [а, 6] LR
тона — Лейбница.
Тогда
УР
= Руа]
Римана,
для
называется
интеграла
Ньютона
ин—
интегрируема
в смысле Нью-
ЗЁЬ:
(д ах = $ь (р, Еь).
(4)
® Пусть Р = {х.|
Е =0, п}, а=х<хл<... <=.
Coгласно свойству аддитивности интеграла относительно пределов
интегрирования, справедливо равенство
[rae
По формуле
Е] хь, ха [:
конечных
хк--1
n—|
У
приращений
*k+1
| Мда»
Лагранжа
(5)
УЁСО0,
} F(x) dx = f(s) ыы — 4).
Xp
п —
1 ЗЕ, Е
(6)
Из равенств (5) и (6) следует формула (4). }»
Теорема 2 (о равенстве интегралов Римана и Ньютона — Лейбница). pon интегралы Римана и Ньютона — Лейбница функции
la, ЯР В существуют одновременно, то они равны друг другу.
181
Пусть Г — интеграл Римана функции } и & >> 0. Согласно определению 2 и теореме 1, справедлива оценка
г
(Нда
b
Следовательно,
| = | [ (x) dx.
Доказанная
теорема
< г.
№
позволяет использовать для интеграла Ри-
мана то же обозначение, что и для интеграла Ньютона
т.
е.
Fra
Теорема
dx.
3 (об интегрируемости
по Риману
ции). Если функция [а, 6] т, В непрерывная,
по
— Лейбница,
Риману.
непрерывной функ-
то она интегрируема
® Пусть / — интеграл Ньютона — Лейбница функции }. Согласно теореме 1, УР = Рав ЧЁ: [ = $Р (ф, Ёр). Для любого мно-
жества промежуточных точек &р имеем
|/ — $р (Ф, ЕР)| = | $р (|, ЕР) — $р (р, Е) | =
(7)
n—|
=| % (F(x) — 4) бы — №) |
По теореме Кантора функция { равномерно непрерывная на сегменте [а, 5]. Поэтому
У =>0
35 > 0: У(хе[а, В], x’ Ela, 5))
([х—х |<
=> (Ия -—Кх)|<
а).
Пусть | Р | < 8. Тогда из равенства (7) следует оценка
n—l
| 1 — Sp (f, ЕР) 1 <
Dd & (te+1 — Xe) = © (6 — a),
По определению функция ] интегрируема
по Риману.
p>
Следствие. Непрерывная функция [а, 6] Г. В интегрируема в смысле Коши.
Интегральным суммам можно придать геометрический смысл.
Пусть функция [а, 6] 1. В неотрицательная, Р — произвольное
разбиение сегмента [а, 6]. Тогда число f (E,) (Xe11 — х,), ЕЕ
Е [х,, хь-!|, равно
площади
прямоугольника,
основанием
которого
является сегмент [х», хь+1|, а высота равна ] (Ё,). Поэтому сумма Ри-
мана Sp (/, Ep) есть площадь фигуры, составленной из прямоугольников (рис. 51). Если функция / непрерывная и в промежуточных
точках &, ее сужение ] | х„„»,.1
принимает
наименьшее
значение
УЕ = 1, п, то соответствующая фигура, составленная из прямоугольников, целиком расположена в подграфике функции ]. Следо182
У
и
y>
F(E;)
wee
—-
r(f)
0
aa
Рис.
2 №1
oF
51
r(f)
Рис.
52
вательно, если можно говорить о площади подграфика, то она должна быть не меньше указанной интегральной суммы. Аналогично
выбирая промежуточные точки Ё», в которых сужение хи
принимает наибольшее значение У 2 = |, п, получим интегральную
сумму, являющуюся площадью фигуры, составленной из прямоугольников и содержащей подграфик функции [. Из этих фактов
следует, что если можно определить площадь подграфика непрерывной неотрицательной функции [а, 6] Г. В, то она должна быть равb
Ha | Г (х) ах.
Определение 3. Если функция [а, 6] т, В непрерывная и чеотриb
цательная,
то интеграл
\
[ (х) ах называется
площадью
ее
а
подграфика.
Если функция [а, 6] ft, В непрерывная, то из свойства линейности интеграла следует равенство
b
(рис. 52).
b
годах = | f(y dx — | Pax,
т. е. интеграл равен разности
Г
b
площадей
подграфиков
(8)
функций fr
И
$ 6. Вычисление интегралов и первообразных
6.1. Квадратурные формулы Гаусса. Формула Симпсона. Для приближенного вычисления интегралов используются так называемые
квадратурные формулы. Широкое практическое применение имеют
квадратурные формулы Симпсона и Гаусса, полученные соответственно в 1743 и 1814 годах при решении
практических задач. Исполь-
зование этих формул в настоящее время возросло в связи с широким применением ЭВМ в науке и народном хозяйстве.
183
Определение
Отображение
[.
1. Пусть
из
ПС №, x, € la, dl, p,pER
множества
функций,
заданных
VR=1,
на
a.
Eee
сегменте
[а, |, в множество В, определенное правилом: если [а, 6] fl. IR, mo
L,, (7,
Ал» Ха)
называется
с.
Ап»
Ра» Por
oer y Pn)
квадратурной
=
L (f)
—
о
Pel (Xp),
(1)
формулой.
Точки х, назовем узлами, а числа р, — весами. Квадратурная
формула (1) называется точной для функции |, интегрируемой в
смысле
Ньютона
— Лейбница
или
Римана,
если
L(f) = | 1) ах.
(2)
Из теоремы 1, п. 5.3, следует, что для любой функции [а, 6] р. В,
интегрируемой в смысле Ньютона — Лейбница, УпЕ № суще-
ствует точная квадратурная формула (1) с узлами и весами, зависящими от {. В связи с поставленной конкретной задачей для при-
ближенного вычисления интегралов фиксируют определенный класс
функций
и выбирают вполне определенную
квадратурную формулу.
Наиболее часто в приложениях встречаются формулы Гаусса, по
которым составлены стандартные программы для вычисления интегралов на ЭВМ.
°
Определение
2. Квадратурная
формула
ся формулой
Гаусса, если
алгебраических многочленов вида
(1) с п узлами называет-
она является
2—1
Pon—1 (x) = d аьх*, a,ER
Wk=0,
точной
для всех
1—1.
(3)
Заметим, что если формула (1) является точной для функций х +e
н=> |, Хх,
..., Ан ^271, ТО Она точна для любого многочлена
(3), что следует из свойств линейности интеграла и отображения Г.
Поэтому узлы и веса формулы Гаусса можно найти, решив систему
уравнений
b—a=)) py И
п
k=]
b2 — q2
У ры
п
1
k=]
yen
а?"
= У рый
n
2п—}
k=
(4)
Если п возрастает, то увеличиваются технические трудности, связанные с решением системы (4). Укажем прием, облегчающий по.
.
a+b
строение
формул
Гаусса. Заменой
mepemMeHHOH x =f? + =.
интеграл в правой части равенства (2) приводится к виду
Г(Ф) = \ @ (¢) dé,
184
(5)
где
c=
54,
$0
=/(
+
ae
УЕС
имеет следующую особенность:
0,
если ф — нечетная
[-- с, $]. Этот
интегрируемая
интеграл
функция,
о
(9) =
2 | ф (Ё) 4,
если
ф —
четная
интегрируемая
функция.
0
После
замены
писать в виде
переменной
левую
часть равенства
(2) можно
п,
за-
т
x (кф (Е) + Me (Ee).
Если число узлов в формуле (1)
Е, =
= 0, а остальные узлы
когда число узлов в этой формуле
„, ..., Е, Попарно различные.
=, = —Ё,, А. =ИЙ,
Ук = |, п.
(6)
нечетное, то будем считать, что
попарно различны. В случае,
четное, считаем, что все узлы
Кроме того, предполагаем, что
Тогда выражение (6) равно нут
лю для каждой нечетной функций и равно 2 У. й,ф (Ё,) для любой
р
четной
функции.
Таким
образом,
равенство
{$04 = У № @(— В +9)
выполняется
любой
четной
для
каждой
интегрируемой
интегрируемой
функции
(7)
нечетной
оно
функции,
равносильно
а для
условию
204 = У ho &,).
(8)
Применим высказанные соображения для
ных формул Гаусса с одним, двумя и тремя
Если узел один, то Ё&
= Ё = 0. Для
й запишем равенство (8) для функции ф
т. е. формула Гаусса имеет вид
построения квадратурузлами.
|
определения значения
= 1. Получим №! = с,
‘S @@dt x 29 (0).
(9)
0
k=]
Она называется также формулой прямоугольников
ского
смысла
ее правой
части.
из-за геометриче-
Аналогично рассуждая, получим формулу Гаусса с двумя узлами. Запишем равенство (8) для т = | и функций ф =1, ф: хн+ х2.
С?
2
С
Получим с =й,, z= h,éi, & = Vr т. е. формула Гаусса с двумя
узлами
имеет
С
вид
Тефанс(в(--55)+ч( уз).
—с
(10)
185
Найдем формулу Гаусса с тремя узлами. С этой целью в формуле
(8) полагаем т = 2, ф=1, фихн- 42, ф:хьь4. Получим & = 0,
c=h,+h,,
2,
h;=
с тремя
узлами
}+04=-2 (59(—сИ0,6) + 89 (0) + 55(705)).
(11)
4
2
=,
5
= C, h, = > С.
принимает вид
=
Квадратурная
откуда
формула
ы=сИ
Гаусса
Иногда, при решении практических задач, значения функций,
интегралы от которых требуется вычислить, известны в заранее заданных точках, среди которых выбирают узлы. Для построения
квадратурной формулы в этом случае требуется подобрать лишь ее
веса.
Пусть например, Ё = —с, #1 =, = 0, Ё, = С.
Подберем веса й, ий. в формуле (7) при т = 2 так, чтобы она
оказалась точной для функций
c8
c=h+h,
ф =
о
—= Й,с?,
|1 иф:х
откуда
№, =
нь х2. Имеем
2
с,
с
№ =.
Формула (7) принимает вид
| oO dt ~ + (~(—0) + 490)
+ (0).
(12)
Она точна для всех многочленов, степень которых не выше трех, и
называется формулой Симпсона.
Для увеличения точности вычисления интеграла воспользуемся
его свойством аддитивности, представим в виде
п—1
{roar
ХЕ-1
|
[ (x) dx,
rae
x,=a+—
ok
(Е =0,п)
(13)
и к каждому слагаемому под знаком суммы применим одну и ту же
квадратурную формулу. Получим новую формулу, которая называется усложненной или общей. Например, усложненная квадратурная формула прямоугольников имеет вид
b
| F(x) de
n—l
28no £=0YS Up
ye=f(a+2=*(e++4))
Усложнениая формула
186
Симпсона
@=б
1.
записывается следующим
(14)
обра-
30M}
b
+ + Yoni) +2
А
(F(x) dx me 2%
se+ + Yn—2) + Yon),
где ии =F (a+
Поскольку
можность
=
квадратурные
вычислить
(15)
(k
= 0, 2n).
формулы
интеграл
АС) 4
(например,
УхЕ[а,
(14))
дают
воз-
6] с любой
сте-
а
пенью точности, то они решают проблему вычисления первообразной непрерывной функции.
6.2. Геометрическое интегрирование. Построение первообразной по графику функции. Иногда функции [а, 6] ty К задают по-
средством
графика.
Укажем
геометрический
способ вычисления
теграла от такой функции по формуле прямоугольников:
\ F(x) ax we f( 2°
| (oa).
ин-
(1)
Рассмотрим треугольники АВС и A’B’C’ (puc. 53). Они подобны,
с коэффициентом подобия 6 — а. Поэтому ордината точки В” равна правой части равенства (1) и является приближенным значением интеграла. Для более точного вычисления его значения воспользуемся усложненной формулой прямоугольников и все требуемые
в ней операции проведем посредством геометрических построений.
Если указанные построения применить к интегралу
| FO dt
mpH
ные
x =%<O% <<... <0 X, = 0 MU COCAMHHTb OTPe3KaMH NO/1Yy4UeHточки, то получим график первообразной. Промышленность
выпускает специальный
прибор (интегратор), выполняющий
все
указанные построения, позволяющие по графику функции / изобразить график ее первообразной.
6.3. Вычисление интегралов с помощью рядов. В 1676 г. Ньютон
сообщил Лейбницу о том, что
умеет решать все дифференци-
альные уравнения,
в
частно-
сти находить первообразные.
Метод, который имел в виду
Ньютон,
основан на применении степенных рядов. Лейбниц в ответном письме Ньютону настаивал на необходимости
находить
первообраз187
ные в конечном виде,
функций,
всякий
раз,
т.е.
посредством комбинаций
когда
это
возможно.
элементарных
История
развития
математики показала, что ньютоновская идея применения функциональных рядов для вычислений (не только интегралов) оказалась плодотворнее идеи вычисления первообразных в элементарных функциях. Некоторые приемы вычисления первообразных в
элементарных функциях рассмотрим в следующем пункте.
Применим теорему об интегрировании функциональных рядов
для вычисления интеграла
x
мо“,
т > 0, хЕ [0,
1].
(1)
0
По формуле суммы членов геометрической прогрессии имеем
71
п ‚тп
ey,
| —ly rey",
=
Myctb x € (0, 1f un] ¢|] <x.
номерно
Torma
pan
Pan =(—1)"
— г
он суммируется
гл.
4).
& (—1)” (¢")” cxogutca
и по теореме 4, п. 4.3, получаем
yn
In (x) = py (— 1"
сходится
методом
|1|th< ].
(XE 10, IL.
по признаку
Лейбница,
Эйлера — Абеля
Следовательно,
(см. теорему
(2)
в силу чего
1, п. 3.5,
In (1) = litn| In (x) = 1+ Умои
рт.
х>
pas-
(3)
n=l
Правая часть равенства (2) имеет смысл и для комплексных значений х, что позволяет продолжить первообразную в комплексную
плоскость по формуле
п
(ее
Вычисление
первообразных
gnn-+l
иг
и интегралов
1211
не
является
(4)
самоцелью,
а служит источником получения формул, полезных для приложений.
В частности, если т = | или т = 2, то из таблицы первообразных
находим
[1 (х)
= Ш(Т-х),
1,(х)
= агсвх
(0<х< |.
(5)
Посредством формулы
тангенса
(4) получаем
в комплексную
ш(
+
ал=а-
плоскость:
к
У,
к
|
(—1)
в
продолжение логарифма
п
27
"4d?
2"
arcigz =z+ >, (— l)" г,
>
188
|2] < 1,
|[2| < 1.
и арк-
(6)
(7)
Принимая
во внимание формулы
(3) и (5), имеем
n= Yo,
oo
—_
(—
6)
1)7—!
л
к
(— 1)?!
4
у
2n—1
°
(9)
Другим методом формула (9) была получена Лейбницем в 1673 г. и
опубликована
в
работе
«Арифметическая
—1
—1
квадратура
круга».
От-
крытие Лейбница вызвало восхищение у Гюйгенса и Ньютона —
выдающихся его современников. Формулы (8), (9) дают принципиальную возможность вычислить ш 2 ил с любой точностью. Поп 1
n—|\
скольку ряды У м
У
сходятся медленно,
числения по формулам (8), (9) становятся громоздкими.
Вычислим
Получим
интегралы
=
Сравнивая
/) (1), [. (1) по формуле
=З,
bby
=
эти результаты с формулами
In2~ 2
ey
3°
Если
формуле
то
вы-
прямоугольников.
—=
1+ (=)
(5) при х = 1, имеем
5
вычислить интеграл /› (1) по усложненной квадратурной
прямоугольников при п = 2, то получим п ^х 3,1.
Вычисляя
интеграл
/., (1) по усложненной
ле прямоугольников для п >> 2, можно
бой точностью.
Можно доказать, что функция
квадратурной форму-
получить значение л с лю-
ure | mt dt, x€R,
(10)
не является элементарной. Не останавливаясь на доказательстве
указанного факта, которое не является простым, отметим, что функция (10) используется в математике наравне с элементарными. Она
называется интегральным синусом и обозначается х += 9х. Для
нее
составлены
степенной
таблицы
ряд,
имеем
x
.
значений.
Раскладывая
функцию
$х
в
и [Усе
x
00
sin t
ob
7
k
t
0
со
Е
yoktl
oEperpy
VER
(11)
189
Правая часть формулы (11) имеет смысл У 2Е (,, что позволяет продолжить интегральный синус в комплексную плоскость по формуле
.
т.
k appar
ger
siz=2+
S(—-l
УЕ.
(12)
Кроме интегрального синуса широко применяются в математике
и другие функции, заданные интегралами с переменными верхними пределами, в частности интегральный косинус х == сх, инте-
гральный логарифм
х += Их ит. д.
6.4. Приемы вычисления первообразных
циях. Алгебраические многочлены вида
Р(х)
= шах-
образуют
класс функций,
+++
ам
первообразные которых
дены применением таблицы первообразных
ства линейности интеграла:
х
п
я
Х
я
k
k=0
Из формулы
(2) видно,
в элементарных
(1)
могут
быть най-
с использованием
свой-
a,x!
fa
что
функ-
“т
первообразная
многочлена
также
есть
многочлен. В связи с тем что отсутствует нижний предел интегрирования, записываем постоянную С, которая связана с выбором этого
предела.
Следующий важный класс
операций дифференцирования
функций, замкнутый
относительно
и интегрирования, образуют целые
функции /] : С — С, представимые в виде суммы степенного ряда с
бесконечным радиусом сходимости. К ним относятся основные
элементарные
функции
(показательная,
свойством
обладает.
Можно
ческие синус и косинус).
Важный в математике класс
не
]
Г-х
1
синус,
рациональных
доказать,
что
косинус,
гиперболи-
функций
указанным
первообразные
функ-
ЦИЙ Xx +e
х == 1+ x? не являются рациональными. Таким
образом, если бы элементарными
считали лишь рациональные
функции, то первообразные для некоторых из них не выражались
бы через элементарные функции. Замечательным оказывается тот
факт,
что добавив
арктангенс,
можно
найти
к рациональным
в получившемся
первообразную
новом
функциям
любой
логарифмическую
классе элементарных
рациональной
функций
и
функции.
Укажем приемы вычисления первообразных рациональных функ-
ций. Простейшей рациональной функцией, первообразную которой
найдем, применив правило замены переменной и таблицу первооб-
разных, является |: х ==>
D; <
Dr
R
= D;,
\ {a}.
rae
х—а
Первообразной
F (x) =
x
In|
x —a|:
dt
еее
190
, D; — линейно-связное множество,
функции
ха
{ является
+ С.
Ё: В
- БВ,
Укажем
— К,
где
правило
вычисления первообразной функции }: ВN
О; — линейно-связное множество, на
Каро,
М
,
2
котором х? -- рх + 9а==0. Если -- —9 > 0, то для
первообразной функции { воспользуемся тождеством
Mx+N
_
A=
Mx,
+N
X,
и результатом
—
x
иМ
МЕ-
и
B=
Xo
интегрирования
B
(3)
’
x—x,
+
О (х) = x? + px + 9,
трехчлена
квадратного
х, — нули
х,,
где
А
хм
a+ px+q
вычисления
Mx, +N
’
Хо
—
1
дроби
(4)
А
=:
Получим
.
Aln|x— | + Bln|x—x,| +=
=In(|x—x,|*|x— x, |) +C.
Пусть,
|
Hanpumep, f[ (x)=
мулам
(3) —
,
(x — 2) (x — 3)
(5)
x €]0,
|.
Согласно
фор-
(5), имеем
x
2
Если -—- —q<0,
Mx +N
ох
Так
—
мяг
d
а
то воспользуемся
M
2x + p
29
xt + px tq
УхЕК,
то
|
2
х | рх |9
Mt + N
“=
Ё определяется
формулой
_
Vata
in(x? + px+q)+
УхЕК. (6)
+ pxtqg—=(x+ 4) +
первообразная
x
=
тождеством
2N — Mp
т
Kak (x*+ px-+ gy =2x-+p
+ (4 —+)
x€J0, If.
х— ЗС,
dt =
p
x-+—
=
Vu
arctg ———-
VF
V x€R.
+ C
(7)
Рассмотрим еще функцию ] : В — В, определенную на линейно-связном. множестве Р,, не содержащем точку а, формулой
Г) =
|
т
Vme€N.
191
Очевидно, ее первообразная определяется формулой
x
dt
]
]
В общем случае первообразная рациональной функции на линейно-связном
множестве
есть
сумма
рациональных функций,
логарифмов
и арктангенсов.
Выдающийся
русский
математик
М. В. Остроградский (1801—1861) предложил метод отыскания суммы
рациональных
образной,
слагаемых,
не требующий
называемой
знания
нулей
рациональной
частью
знаменателя
функции. Последнее очень важно, поскольку отыскание
гочлена является трудной задачей и в наше время.
Напомним
правило Евклида отыскания
Найти
наибольший
P, (x) = х4
— 2х3
Воспользуемся
алгоритмом
x4 — 203 4 9х —
—
и
a
~
x3
| | 9x3 —
Хх
3
т’
2
Евклида.
делитель
|
TT
многочленов
Р.(х) = 2х3 —
3х? +1.
Имеем
3x2
4|
x
5
общий
|+ 2х—1,
2x8
— 3x2?-+ 1 | x2®—2x+1
~ x8 — 4x2 4 Qx
Ox $1
—™ x? — 2x
ox + 1
|
1
3
3
О-о
4
x
+
9
x
3
4
=
Ps
(x)
Han6o1biuM o6uluM JenuTetem P, u P, aBaaetca
MHorowleH
который отличается от Р+; (х) лишь
множителем
Р
Пусть
мно-
и Р.. Пусть степень
Р.. Делим Р, на Р..
является наибольшим
в остатке получается
многочлена Р. и прои Р.;. После конечноР„, являющийся наи-
большим общим делителем Р, и Р..
1.
нулей
наибольшего общего де-
лителя двух алгебраических многочленов Р,
многочлена Р, не ниже степени многочлена
Если деление происходит без остатка, то Р.
общим делителем многочленов Р, и Р.. Если
многочлен Р., то его степень меньше степени
цесс деления повторяется для многочленов Р.
го числа таких операций получают многочлен
Пример
перво-
рациональной
f = о -
постоянным
Рациональная
функция
Q (x) = x2 — 2x + 1,
|— 3)
.
.
и О; — линейно-связ-
ное множество, на котором @ (х) == 0. Обозначим через (©, наибольший общий делитель многочленов (©, @0’и пусть Q = Q,Q,. Можно
считать,
что
Обозначим
степень многочлена
через
Р,
и
Р,
Р меньше степени
многочлены
с
многочлена
неопределенными
Q.
коэф-
фициентами, каждый из которых имеет формальную степень на единицу меньше, чем соответственно степени многочленов Q,, Qa.
М. В. Остроградский предложил метод отыскания коэффициентов
192
многочленов Р; и Р., который
приводит к тождеству
T= (a) +e
Его правая
часть может быть записана
PiQ, — PQ;
Р.
——
vO,
Qi
=
®
в виде
P,Q
010:
Py
0:0;
Q
1
+
PQ)
,
Докажем,
192
есть многочлен. С этой целью запишем
Qa
(0,0.)’ = @’ = 010. -- 9,02, из которого следует дели-
что функция
тождество
мость многочлена
0:0, =
0’ —
0,02
на многочлен
@,. После этого,
Q;Q
сравнивая коэффициенты многочленов Ри Р!0, — Р,
0 + P,Q,
получим систему уравнений для отыскания неопределенных коэффициентов многочленов Р\ и Р.. Тождество (9) сводит отыскание
первообразной функции — к аналогичной, но более простой задаче
1
uo
P
для функции O°
P,
2
P
©
uo
Q
Если нули многочлена (@, не удается найти, то
©
функцию —2 интегрируют посредством квадратурных формул или
Qs
предварительно разлагают ее в степенной ряд. В случае, когда
нули многочлена ©. известны, его разлагают на простые слагаемые
так же,
как это делали
выше
(см. формулы
(3), (6)), и интегрируют
каждое слагаемое в отдельности.
Пример
2.
Найти
первообразную
х
_
функции
*
xX+>
2
x4 — 2x3 + 2x
—1’ * > =.
Воспользуемся методом Остроградского. Имеем @ (х) = х* — 2х3 -- 2х — №
О’ (х) = 43 — 62-2
\х>2.
Согласно предыдущему примеру,
наибольшим общим делителем @ и ©’ является многочлен (, (x) = х? — 2х -- 1. Делением
Q Ha О. определяем многочлен (» (х) = х? — 1. Поскольку нули многочлена (). (х)
очевидны, то, пользуясь методом Остроградского, получим равенство
x4 — 2x38 + Ox — |
ax + 0
(=>
'
с
Для определения значений а, 6, с, 4 преобразуем его правую
a (x? — 2x +
1) — (ах -- 5) (2х — 2)
((— 1
ТЕ
(a (x — 1) —2 (ax +b) (x +1) Fe(e—
(x — 1)° (x + 1)
Далее,
а
} т=-г*
x+1°
часть:
С
а
A(x + 1) +(e — 198
запишем тождество
x = (— ах —а—
25) (Хх
П-(—
1)? (+ дх-+се—а.
Сравнивая коэффициенты при х3 и полагая х = 0, х = |, х= —1, получим с
-а=о0, 0= —а— 2 - с— а, 1 = (—2a— 26)-2, —1 = 4 (—2а. Из этой cue
стемы уравнений находим
7
337
а = — 1,
= 0, с=
— 8, а =
8.
Таким
образом,
193
первообразная
x
tdt
вычисляется
|
_
и
Рассмотрим
по формуле
x
«A(x?
— Ox + 1)
важные
1
+ = In
классы функций:
гочлены вида Т„ (х) =
x+1
x— 1
+O
We>2
тригонометрические
У, (а соз Ех -- 6, зт 2х)
о
мно-
У (% 6В,
ВЕ
ЕВ, REN), функции х == ей* cos bx, x+» e% sin bx uw ux линейные
комбинации. Они интегрируются без труда, например
| Т.Ф аЁ=ах
-
У
(a, sin kx — b, cos kx) + C,
k=1
x
,
.
x
\ (e% cos bt + ie% sin bt) dt = \ ва
e** (cos bx + ¢ sin bx) ( — м
=
а? - 5?
е‘а-- 0!
—
a
2 +C,
CpaBHuBan JeHCTBHTeJIbHbIe H MHHMbIe YacTH,
fx
+C=
CEE.
NOyyuM
V x € R
\ e* cos btdt = -тут (acos bx + bsin bx) + C,,
(10)
[еее вто БНР =
(11)
(asinbx—beosbx)+C,
Формулы (10), (11) остаются справедливыми, если считать х Е (,
аеС, БЕС, а& +8040.
Отыскание первообразных для некоторых классов элементарных
функций можно свести к аналогичной задаче для рациональных
функций с помощью замены переменной. Рассмотрим несколько
указанных классов функций.
Г. Композицию отображения х -= ($1т х, с0$ х), хЕ В, и рациональной функции (и, 9) => R(u, v) V (u,v) € О)ь=<
В? назовем функцией, рационально зависящей от синуса и косинуса. Ее значение в
точке
.
х обозначим
называется
cos xX =
становка
Л ($1 х,
универсальной
— в
можно
содержащих
х \*
что (te 5
пользоваться
нулей
в
лишь
то
функции
|
20"
X+
Kak
»
Xx
tg >
=}
21
sin x = т,
универсальная
рациональной
= ———,
на
переменной
Так
x’ =
к интегрированию
нимая во внимание,
кой
Замена
подстановкой.
1+ 0” х = 2arctg?t,
приводит
.
соз х).
функции.
указанной
линейно-связных
e
подПри-
подстанов-
множествах,
не
x
с0$ >:
~ П. Аналогичный смысл придадим функции, рационально зависящей отхи | ал? + 5х -{ с, значение которой в точке х обозначим
через А (х, У ах? - 6х -- с). Эйлер указал подстановки, сводящие
194
интегрирование
указанной
рациональной
функции
функции:
к отысканию
1) Иал? -- 6х + с = = Иах - Ь
2) Иа?
+
+
первообразной
если а> 0;
с= + УИс--Ы,
если
с> 0;
3) Vax? + bx +c = t (x — x), Me x, — действительный корень
уравнения ах? -- 6х
с = 0.
ПТ. Выдающийся русский математик [1]. Л. Чебышев исследовал
случаи, когда первообразная отображения х+= х’ (а -- 6х°)’ выража-
ется через элементарные функции. Теорема Чебышева является
трудной и мы ограничимися указанием подстановок, приводящих
к интегрированию рациональных функций:
) х=А, если рЕй, г =,
= 3, ЛЕ№ пЕД, %Е 2;
2) a + bx’
= t”, ecan
p=",
8) ax
as
EZ
+b =f, ecan (!
VEN,
ре;
+ р) Е 2, р = 7 ‚ УЕ№,
Е 2.
Существует много частных приемов, позволяющих выражать
первообразные через элементарные функции Однако чрезмерное увлечение подобными задачами представляется нам нецелесообразным.
¥
Пример
3.
Вычислить
Произведем замену
при # = х. Получаем
|
_
[ (x) =6
x6
/ (х) =
переменной
dt,
>
0,
1
ив. Тогда Ё = биби и=х ‚6
по формуле { =
aL
us
Пи
\
т
(ИЕ)?
_
ди = 6
x8
\
(u
а
оз
Qu?
4u? +- 3
и ри
+ 3
м
=
i
—
(6 и
9
= [6 ——
65 oS
= —x>
4и
4
—4x?
т
18аго
и
18и и —— ваши"
°
4 18x
ob
x6
Интеграл
[1 (х) =
т тя}
du вычисляем
8
)
“ба
——____ ди =
apap
“=
1+ u?
и=х
1
по формуле
:
yo
du
|
—
ри
—
——*
7”
+3
—6
ац.
,
|
частям:
и
L(x)
1 (x) = ———
и
1
— 18arctgx®
—
Е
l+x
=
x
т6
т
—
интегрирования
arctg u| i=<
1.6
по
=
+x3
о
— arctgx©° -+- С,
195
Окончательно
получаем
6
6
1
—
1 (х) = ——
Хх
1
—6
I
—
—
— 4х2
+
18х68
--
I
—
3x
— 21
arctg x ®
+ C,
l+x3
Покажем, как решается этот пример с помощью разложения подынтегральной функции в ряд. По формуле суммы членов геометрической прогрессии имеем
1
—_
l+<x
Дифференцированием
задач:
|
|х|
< 1,
(—
d
получаем
0
хё,
|х|<1.
полезное
И,
k=l
при
решении
различных
|<,
(12)
то
x
\
1)
равенство,
= У
(1 + x)?
Если
=
x
Уи
аи
(1+ Уи)?
=
Qk+-1
\ (У
(—
1)^—!
Ru в.
6
=
0
=
|
УИ
26-7
R
EET *
6
Полученный ответ дает возможность продолжить первообразную в пересечение
С с единичным кругом К: = {26 С]|!2] <1}.
Предоставляем читателю возможность провести необходимые рассуждения.
Применяя разложение функции в ряд, можно найти первообразную ири х >
> |. Для этого достаточно записать тождество
Ии
d+
|
Yu)
~
6
vi
( +т
1
}
у
1
воспользоваться формулой (12) при х = и
x
3 и вычислить интеграл ——=
Ответ, который получится, дает возможность продолжить
ресечение (© с внешностью единичного круга Ку
J+ Vu)
4a,
первообразную в
пе
Упражнения
1. Пусть
руемы
хньф (Хх),
хньф
a) y (x) = Vg? (x) + py? (x);
B) y (x) = Ye)
r) y(x) =logyy PP)
196
(>), Во =
УхЕ 4. Найти у’ (х), если:
0уъ=
2 и функции
6) y (x) = arctg
(p(x) £0, wp (x) > 0);
(lt) >0
px) > 9),
@ (x)
bE)
Ф, ф дифференци.
(tp (x) & 0);
2. Показать, что производная /’ функции № -2» В, где
|
x? зш —
f(x) =
, если хЕЮ\ {0},
*
0,
если
х =0,
не является непрерывной функцией в точке х == 0.
3. Найти }’ (а), если } (х) = (x — а) ф(*), хЕВ, где ф — непрерывная в
точке а функция.
4. Показать, что функция В -^+ В, где } (х) = |х—а |p (x) (gp — Henpeрывная функция, Ф (а) = 0) не имеет производной в точке а.
5. Вычислить:
x
a)
x
=
dt;
6) |"
sin® btdt;
dt
в)
2sint—cost-+5
)
1+
ax
—
хе
1.
ах;
ecosx
0<e<1)
(
—
);
д)
0
112
e)
V3
2K)
0
\
Xx arctg
0
2
+x-—}
eo
dx
a* sin?x + 62 cos?x
1
3)
\
—1
1
и) Se
.
хах;
Е
2л
г \
a,
Ех
V4
dx;
.
e
у
(ab=« 0);
В физике,
особенно
в механике,
возможно
Ньютона,
сформулировать
лежащие в основе
ме скорости широко используется
нятие ускорения, без которого
кро-
поне-
законы
класси-
ческой механики. В связи с этим в
математике рассматривается понятие
второй производной как эквивалента
ускорения в механике, а также производной Любого порядка, обобщающей одновременно понятия скорости
и ускорения.
Идея
одновременного
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРОИЗВОДНОЙ
И
ИНТЕГРАЛА.
ФУНКЦИИ
ВЕКТОРНОГО
АРГУМЕНТА
изучения прямой и обратной операций требует наличия интеграла Ньютона — Лейбница
произвольного порядка.
Неопределенные
интегралы
любого
порядка
рассматривались
Лейбницем. Ими пользовались в своих исследованиях Лагранж и Эйлер.
При этом Эйлер считал дифференцирование операцией составления дифференциального уравнения, а интегрирование — обратной операцией —
решением уравнения.
В учебниках
по математическому анализу
интегралы произвольного порядка не изучаются
из-за
отсутствия
понятия
интеграла Ньютона — Лейбница. Введение в рассмотрение интеграла Ньютона — Лейбница произвольного порядка
предоставляет
возможность
увидеть нетривиальную связь между
формулами
Ньютона — Лейбница и
Тейлора, применить технику исследования интегралов к изучению формулы Тейлора и к проблеме разложения
функции в степенной ряд. Отметим,
что в современной теории обобщенных
функций
рассматриваются
неопределенные интегралы прсизвольного по-
рядка *.
Кроме затронутых вопросов рассмотрим и исследуем несобственные
интегралы, укажем приложения про-
1 Владимиров
ункции
976.
198
В. С.
в математической
Обобщенные
физике.— М..,
изводной и интеграла к теории пределов, исследованию функций
на монотонность и выпуклость, введем в рассмотрение частные
производные и интеграл Ньютона — Лейбница для функций многих
переменных, построим элементарную теорию интеграла, зависящего от параметра, изучим экстремальные задачи для функций многих переменных.
$ 1. Приложения производной
к исследованию функций
и интеграла
1.1. Несобственные интегралы. Необходимость введения понятия
несобственного интеграла Римана объясняется тем, что любая
функция, заданная на неограниченном множестве, а также каждая
неограниченная функция не интегрируемы по Риману. Потребность
расширения области применений интеграла Ньютона — Лейбница
также приводит к необходимости дальнейших его обобщений.
Определение 1. Пусть функция [а, @ 1. (С, интегрируема по Риману (соответственно в смысле Ньютона — Лейбница) на сегмен-
me
la, x]
У хЕ[а,
Ы. Если существует
x
lim | FQdt=1(),
ЕС,
а
то функция | называется интегрируемой
на сегменте
[а, 6] в несобственном смысле по
Риману
(соответственно
по
Ньютону — Лейбницыи,, а число I (f)
— ee unmeepaлом.
i
Интеграл в смысле определения
1 обозначим символом
№
(х) ах.
а
Определение 2. Лиусть функция ja, bl 1. (С; интегрируема
в смысле
определения | на сегменте [х, 6] У хЕ]а, Ы. Если существует
№
вт } /04%=10,
Xa y
то
функция
| называется
ПЕС,
интегририуемой
в
несобственном
смысле по
Римани
(соответственно по
Ньютониу—
Лейбници) на сегменте [а, В], а число Г (Г) — ее интегралом.
, Интеграл
в
смысле
определения
2 обозначим
символом
№ (х) ах. Будем в дальнейшем считать функцию la, 6] Г. (С первоа+
образной функции a, Ol f, (С, если Ё непрерывная и УхЕ |, Ol
F’ (x) = | (х). В отличие от прежнего определения первообразной
требуем лишь непрерывности функции Р на концах сегмента [а, 6].
Производные Р” (а), Ё’(Ь) и значения } (а), #(6) могут не сущест199
вовать. Заметим, что прежнее определение первообразной относилось к более общему случаю функций из (; в С.
Если функция [а, 6] 2. С является первообразной функции
la, bl I. (, то, очевидно,
5
\ F(x)dx
= F (6) — F(a)
at
и поэтому для интеграла
ния
2 сохраним
Ньютона — Лейбница в смысле определеb
прежнее обозначение № (х) ах.
а
Определение 3. Лиусть функция ja, Ol i. (С интегрируема на каждом сегменте [х, х!], [ж, х5|, ... [Хиа, Хи
(% =a, X%, = 6) 6
смысле определения 2. Она называется интегрируемой по
Риманиу
(по
Ньютониу— Лейбници)
в несобственном смысле на сегменте [а, Db}.
При этом ее интегралом / (Г) называется число, равное
н
СЁ
х
| Нмах.
PT xp
Несобственные
обозначать
интегралы
5
символом
(н) \
в смысле
определений
1—3
будем
f (x) dx.
1.2. Теорема Лагранжа о среднем для интеграла Ньютона
— Лейб-
ница. Формула Коши конечных приращений. Средние величины играют значительную роль в математике, особенно в теории вероятностей.С конечным множеством чисел уу, уо, ..., И, связано понятие
eee
|
.
их среднего арифметического у = a Tia
+ un
Если
кажлое
у, (Е =1, п) рассматривать как случайное значение некоторой
величины и считать, что все значения равновероятны, то число у
называется
математическим
ожиданием
случайной
величины.
В случае, когда каждое значение у, (К = 1, п) имеет свою вероятность появления рь (Е = 1, п; р + р. + ...
р, = 1), то математическое ожидание
случайной
величины
п
э
—
у = У уррь. Если известны положительные
k=l
вычисляется
числа
по формуле
ши, ..., и. такие,
я
что У
k=]
и» 52 1, то по ним легко
построить
числа рь
(Е =
1, п), сум-
=
ма которых равна 1. Для этого достаточно считать рь = —“®—
(й =
У ш
м
k=]
200
= 1, п). Поэтому математическое ожидание у можно записать в виде
—
у
где
и, > 0
Правая
(k = 1, n).
часть равенства
k=!
—
п
3
(1) называется
(1)
средним взвешенным зна-
чением для чисел у, с весами и» (Е = |, п).
По аналогии можно рассматривать среднее и средневзвешенное
значения функции ]а, Ol 1. В.
Определение
грируемы
1. Если функции ja, bl 8+ R ula,
(по Риману
или
Ньютону — Лейбницу)
Ы м
В инте-
и | в (х) ах ==
а
== 0, то число
h
(F(x) g(x) dx
и=
5
(2)
| g (x) dx
называется средневзвешенным
значением функции
|, а функцид. с называется весовой.
Рассмотрим интегральные формы теорем о среднем, доказанных
в п.
2.6,
2.7,
гл.
6
Теорема 1 (Ролля). Если функция
Ja, Ol 1. Вb интегрируема
6о.
‘
смысле Ньютона — Лейбница на сегменте
ЗЕЕ Ja, ol 1 f (§) = 0.
<
Функция
la, 5] ~.
[а, 6] и \ i (x) dx = 0, mo
К, определенная формулой
F(x)=\f@dt
WxEla, 4,
удовлетворяет условиям теоремы Ролля (см. п. 2.6, гл. 6) и поэтому
УБЕ а, М: РЁ” (8) =[(®)
=0.
Теорема 2 (Лагранжа
№
о среднем).
Пусть
функции
ja, bf £.R
u la, Ol fg, В интегрируемы в смысле Ньютона — Лейбница на сегmenme la, 6]. EcauW x € la, ol g(x) € 0, тоЗЕЕ ]а, &:
b
b
1 Едах = К® | в) 4.
‚ 3)
201
Согласно теореме
b
а (х) ах =- 0. Полагаем
1,
6
\ f (*) g (x) dx
-
b
=A,
J g (x) de
(4)
b
Тогда | (f (x) — №) в (х) 4х = 0. По теореме 1
а
—^) 5 (5) =0.
FEE la, Ol:
Так как & (&) 52 0, то { (Е) =^.
({ (Е) —
№
Смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что существует
точка, в которой функция [ принимает средневзвешенное значение
с весом, не обращающимся в нуль.
Следствие
1. Если
функция
смысле Ньютона — Лейбница
Следствие
2.
ja, Ol Г. В интегрируема в
и | (х) > 0, то | f (x) dx > 0.
Если функции
1а, ol 1.
R, la, ol $+
R unme-
грируемы в смысле Ньютона — Лейбница на сегменте [а, 6] и} (х) <
< g(x)
Vxé€la, ol, mo
b
b
годах < | фах.
(5)
{ Справедливость утверждения следует из свойства линейности
интеграла, неравенства д (х) —[(х) >0
УхЕё1а, Ы и следствия |. №
Определение 2. Функция [: В —> В называется неубывающей (возрастающей),
если
|
V(x,EDs,
№ ЕВ)
Функция
| называется
невозрастающей
V(x,E Ds,
ЕО)
лх.)> (Ff (%2) SF (%y))
щей),
если
Все типы
зываются
функций,
(м < Xo) >> (7 (х,) < i (X2))
(<
монотонными.
удовлетворяющих
этому
(F(x) < fF (%)).
(убываю-
(F (%e) <F (%)).
определению,
на-
Возрастающие
и
убывающие
функции
ция [а, 6] г. В непрерывная и УхЕ1а,
Ы
ЗЕ’ (х) > 0, то Е —
называются строго монотонными. Неубывающие и возрастающие
функции объединяются в класс монотонно возрастающих функций,
а невозрастающие и убывающие функции — в класс монотонно
убывающих функций.
Теорема 3 (об условии монотонности
функции). Если функнеубывающая.
202
4
Пусть а < х, < х, < 6. Тогда
Рио) — Ра) = | Р (4х >0 >
Теорема 4 (о равенстве нулю интеграла Ньютона — Лейбница).
Пусть функция ja, ol 1. В интегрируема в смысле Н bromona — Лейб-
fx
ница на сегменте [а, 6]. Если V x € la, bl
= 0,
<
то
УхЕ1а,
¥
М
>00 Л у (х) ах=
[(х) =0.
F’ (x)=
Wx€la, 6]. Тогда УхЕ1а, М
Myers F(x) = | (0 dt
= f (x)> 0. Согласно теореме 3, имеем У хЕ ]а, @
dx =0.
<F()= f f(x)
< F(x))
0 = F(a
CnenopatetbHo, V x € la, bl F’ (x) =f (x) =0. №
В Теорема 5 (об условии строгой монотонности функции).
Пусть
функция la, 6] Р.В непрерывная и УхЕ1а, @ ЗР’ (х) >0. Если
существует плотное на ]1а, Й множество Х такое, что УхЕХ
Е’ (х) > 0, то функция Е возрастающая.
< Согласно теореме 3, функция Ё неубывающая.
<% <0 u F (x,) = F (x,), To
Если
а < х <
F (x,)
— F (x,) = ) F’ (x) dx =0.
По теореме 4 V x € Ix,, xl
Х является плотным на ]а,
F’ (x) = 0, 470 HeBO3MO2xKHO, NOCKOAbKy
множеством. . >
Теорема 6 (Лагранжа). Пусть функции la, of LR u а, М = В
интегрируемы в смысле Ньютона — Лейбница на сегменте [а, 6].
Если V x € la, ol g(x) #0, то ЗЕЕ а, Ol:
b
(f(x) dx
(ах
<
Согласно
теореме
2, ЗЕЕ
He
я ео
la, Of:
b
Frovar= |
ie. 8 (х) ах=
|
:
1@
7
eo
еб
>
Теорема 7 (формула. Коши конечных приращений). Пуст
Е
G:
(°)
функ-
yuu la, 6] —+R u la, 6] —-+ R непрерывные. Если они дифференцирие-
203
мы
в каждой точке интервала 1а, Ги УхЕ]1а, Ы
Е (6)
— Р (а) _ Р’()
ба
<
Согласно теореме 6, ЗЕЕ
]а, Ol:
G’ (x) #0,
mo
(7)
“<.
b
\ F’ (x) dx
а
b
Р-Р (а) _
С (6) —С (а)
Очевидно,
-Р®
р
0’ (5 |
|6’ (х) ах
что теоремы 6 и 7 представляют собой интегральную
и дифференциальную формы одного и того же утверждения. Теорема
7 имеет следующий геометрический смысл. Рассмотрим на комплексной плоскости (; (или на В?) движение материальной точки по за-
кону
Ён С (1 |- ЕЕ (0.
Вектор скорости
в момент времени
& ра-
pen G’ (&) + iF’ (E), a BeKTOP, соединяющий начальную и конечную
точки траектории,
имеет вид (С (5) — С (а)) + i (F (6) — Е (а)).
Утверждение теоремы Коши означает факт коллинеарности этих
векторов. Таким образом, на траектории существует точка, в которой касательная параллельна отрезку, соединяющему начальную
и конечную точки траектории. Теоремы 2 и 6 имеют такой же геометрический смысл. Им можно дать и вероятностное истолкование. Так,
в теореме 6 утверждается, что среднее взвешенное значение функции „С весом & достигается в некоторой точке. Вероятностный
— F (a)
смысл теоремы 7 следующий: F (b)
является средневзвешенЕ’
>
G (b) — G (a)
.
ным значением тг с весовой функцией С’, и оно достигается в некоторой точке & € Ja, Of.
1.3. Оценка модуля интеграла.
Теорема 1. Пусть функция Ja, Ol I. ( unmeepupyema в смысле
Ньютона — Лейбница на сегменте [а, 6]. Если функция ja, bl £.R
интегрируема в смысле Ньютона — Лейбница на [а, b] u V x € Ja, Of
|f (x) |< g(x), то
b
Пусть
a
/ = АС
ах и фЕАгс
b
\ F(x) dx
Ilomaraem
b
204
<J g(x)ax.
[J reves
b
q
b
Г. Тогда
b
— e—!0] = | e—!9F (x) dx.
f (x) e~? = u (x) + iv(x)
6% dx
.
6
(1)
b
Vxé€
la, Ы.
b
(2)
Имеем
= | u(xydx
=\ g(xdx + J (u(y)
—g (a) de.
Tak
Kak u (x) — g(x) <|[f (*)|— g(x)<0
Vx Ela, Ol, To Hepa-
венство (1) справедливо согласно следствию | из теоремы 2, п. 1.1.
д
Неравенство Лагранжа, доказанное в п. 2.8, гл. 6, содержит
оценку приращения комплекснозначной функции в случае, когда
известна равномерная оценка модуля производной, т. е.
[2 (5) — (а) | < а (6 —а), если |[ (х)|<«
УхеЕей, Ы ифункция } непрерывна в точках а и 6. Применение теоремы | позволяет
точнее оценить приращение функции в случае, когда известна оцен-
ка
вида
|| (х)| < 2(х)
Ухейа, Ы,
функция
смысле Ньютона — Лейбница, а функция
и 6. Соответствующая оценка имеет вид
в интегрируема
/ непрерывна
[7 (6) — (а) |< | #(%) 4х.
лее
Следующее утверждение
общий случай.
в
в точках а
(3)
распространяет неравенство
(3) на бо-
Теорема 2. Пусть непрерывная функция la, bp}. (С имеет про-
изводную
в
каждой
точке
интервала
ja, bl. Если
УхЕ ]а, Ы и функция в интегрируема
Ньютону — Лейбнициу, то
| [(х) | < 6 (х)
в несобственном
смысле по
b
[7 (6) — (а) | < (в) } а(®) ах.
ле,
(4)
В частности, если функция | [| интегрируема в указанном смысто справедлива оценка
b
f(b) —F@l<(w JP (ae.
Пусть функция
на
каждом
с интегрируема
сегменте
[х,—,
х,|
(5)
в смысле Ньютона — Лейбница
(Е =
1, n),
%) =a,
xX, = 0.
Torna
lf) —F@l< У | f (Xe)
— F (xe—1) | =
n
=¥|R=1|
Xp
fj rmal<yk=!
Xp_y
Xp_y
водах —
Seeds >
Неравенство Лагранжа является следствием оценки (4), если
в ней вместо функции & взять постоянную, равную | [ |. Поэтому
применяя интеграл Ньютона — Лейбница втех же исследованиях, в
которых использовалось неравенство Лагранжа, можно получить
более точный результат, т. е. интегральные методы плодотворнее
дифференциальных.
Теорема 2 может быть усилена без существенного изменения
доказательства на случай, когда функция | не имеет производной
в конечном числе точек.
205
Теоремы | и 2 имеют следующий физический смысл. Если г =
=} (х), хе [а, 6], рассматривать как закон движения на плоскости
( со скоростью Р (х), то | f (6) — (а)| есть расстояние между
начальным и конечным положениями материальной точки. Указанное расстояние будет наибольшим, если точка движется прямолинейно со скоростью, не меньшей | (х)|. Это свойство и выражено
неравенством (4).
1.4. О-соотношения для интегралов. Правила Лопиталя. Для
интегралов
также
справедливы
О-соотношения, рассмотренные
в п. 2.5, гл. 2.
Определение.
Пусть
]а, 6 1. С,
Ve>050,:(VxEO,N la, bl)
сать ‹ (х) = о (в (х)) в точке by».
Заметим,
что если д (х)
0
la,
1 2+ ¢,
Teopema
1
(06
В. Если
e| 2 (x) |, то будем пи-
Уха,
Ы, то свойство «f (x)=
= 0 (с (х)) в точке 6» равносильно равенству
lim
la, Ис
|fwl<
F(X)
roy
g (x)
= 0.
о-соотношении
для
интегралов).
Писть
У хЕ
Ela, Ы функции Па, 6[-^- С и а, 6[8-- С интегрируемы в смысле
Ньютона — Лейбница на сегменте [а, х]. Ecau f (x) = 0 (g (x))
в точке
6,
в(х) >0
УхЕ,Ы
и
im f
x
bg
g(t)
dt = +00,
mo
Vv, f(t) dt = (| g (2)at),
J
Пусть
= >> 0. Tax kak f (x) = 0 (g (x)) B TouKe 0, 103
0, € la, OL:
WV 1€ 1b,
bl
| f(@|<
eg (2). Nycth x € 1 0,, Ol. Torgza
Поскольку
li im
f g (t) dt = +00,
b,
Sr@at\< Jana
Следовательно,
У хЕ ]6.,
Гоа
ei) at
ef gina
{role
6[
T1046, € 1,, Of:
W x€]bp, Ol.
выполняется
Fras fra <2e[ eat
из которой следует утверждение теоремы.
Теорема
=).
206
Пусть
2
(правило
фучкции
оценка
Лопиталя
для
}№
неопределенностей
la, ofl. C ula, bl 2+R
вида
duddepenyupyemes 6
каждой
точке,
3 lim LM
х-Ь
$
[4
(x)
Если
в’ (х)
=e,
0
УхЕШ,
ol
u lim
g(x) = со.
Ecau
mo jim [8 — a,
xb
&g (x)
« = 0, то, согласно теореме
1, справедливо
соотношение
§ F (dt =o (| д’ (nat), r. & f(x) =F (a) +0(I)(g(x)—g
(a),
из
которого
следует,
Px)
Не
Общий случай
скольку
ЧТО
Г (а)
= limт (9
сводится
то,
как
было
g
lim
xb
Fe
в случаях,
—- Ь бесконечные
Для
(x)
9
Fe)_
Oe
limay
=e DP
вида —
в связи с тем, что им можно
числителя
(если
В). Аналогичное правило справед-
[а, В т.
неопределенностеи
3 (правило
“
и знаменателя
пользо-
когда пределы
раскрытия
Теорема
5
по-
теорему называют правилом Лопиталя для раскры-
неопределенностей
JIMBO
Действительно,
a) = 0 = lim Lae oy
(x)
f (x) —ag (x)
Доказанную
ваться
g (x) ))= 0.
доказано,
.
тия
2 @
к рассмотренному.
lim ( Pp)
xb
_
Ной ›(1
при х—
0
вида
9°
Лопиталя для неопределенностей вида о).
Пусть функции [а, 6 I, R, [a, [ =+R
точке и в’ (х) ==0
УхЕеЕ]а, Ы. Если
дифференцируемы в каждой
lim f(x) = lim g (x) = 0 и
т
fe _
» & (Xt)
Oy
mo
Fe)
4
Пусть
= 0.
му 7,
х. >В
Согласно
их.
формуле
Коши
конечных
& (хп)
ак
приращений
п. 1.2), ЗЕ Е |х., Ol:
7 (хп)
f (%n) —F (6) _ En)
РГР
mee
SS
eee
т
_
slim Fa
8
61а, @ УпЕ\№М. Полагаем (5)
}
= g (6)=
как
и
би
& (х") — & (5)
УпЕМ№
= ©. По определению
Гейне
En
0,
lim i“
i
ВН
.
a’ (En)
(En)
Fn)
то ИЕag)
(En)
=A.
(см. теоре-
°
—
ви
f (Xn)
lima
=
>
207
$ 2. Производные и интегралы
Ньютона—Лейбница любых порядков
2.1. Определение п-производной и п-интеграла.
ределения
вем ее
Г (г).
функции
|: (-> Сне имеет
1-дифференцируемой,
Функция
z+ f’ (z)
Пусть область оп-
изолированных точек. Назо-
если У 2 ЕО; она имеет производную
Vz2eD,; называется
1-производной
функции [ и обозначается через {”. По индукции определим произ-
водную функции | произвольного порядка.
Определение 1. Пусть пЕ №. Если функция ®
дифференцируе-
ной
этом
ма,
то ее производная (Г”)’ называется (п - 1)-й производфиункции
| и обозначается
через fern,
При
называется (п - 1) -дифференцируемой.
Для упрощения
записи считаем {” = {. Приведем
Пример
Тогда
пЕМ).
1. Пусть }{ (2) = е?, Уг ЕС.
К (д =е
У2ЕС,
[| (д =
VzEC,.., ®
Пример 2. Пусть { (2) = sinz
Уг ЕС.
Тогда
[
>
(2) = с0$ 2 =
sin (2+
У2ЕС,
wzeC, ..., M (= sin (+15)
функция |
примеры.
д=е
У (26 С,
Г (2) = —sinz=
sin (z+ пл)
У (ЕС, nEN).
Пусть область определения функции [ есть линейно-связное
множество, содержащее более одной точки, аЕ О;. Назовем функцию
2
Г
1-интегрируемой,
— (го dt, z€ D;,
если
У 2 ЕР,
называется
3 р (Г) dt.
1-интегралом
Отображение
функции
[с
2—
нижним
пределом интегрирования аЕ Б;. По индукции определим интеграл
произвольного порядка функции [с нижним пределом интегрирова-
HHA
aE
D,.
Определение
гаем
2. Если функция | интегрируема,
‘a
f(t) ite
a
a
Рассмотрим
3. Вычислить
Последовательно
%
\
а
интегрируя,
("d= @—a),
|
a
208
#
3,
d= ¢ |
a
| (<)
| dt
WzeD,.
a
примеры.
2
Пример
|”
п > 2, то пола-
Zz
(1—2@)°
d=„_
Усс,
26 ©).
получим
(? a= (сдав,
(2—а}
2
Финк
Zz
| "),_
а
а
(2— а)”
И.
2
Пример 4. Вычислить |”
е 4, 26 С.
0
Имеем
2
ии
2
1,
Рем
=
:
ера
0
0
2
2
[eat = ((¢@-1-pdt=e? —1-2-,
,.,,
2
0
#
Пример 5. Вычислить |
Ф
sin tdi, z€ C.
u
Последовательно интегрируя
четыре раза, получим
2
|
\ sin tdt = — cos 2+ 1,
0
2
2
“
sin tdt = | (— cost-+ 1) df=
z
=—sinz+z,
2
° sin tdt = | (— sin!
+ 4) df= cosz—1+—,
0
2
|
2
р
(4).
sin tdt = } (сова)
dt = sin 2 —
23
2 -+- ——-
‚
2.2. Формула Ньютона — Лейбница. Производные по пределам
интегрирования.
Теорема 1 (Формула Ньютона — Лейбница для п-интеграла).
Пусть
}: © —
С, О; — линейно-связное
лее одной точки, и п
ЕД,
то
У2ЕБ,
3
(n)
a
№. Если ЗЕ
множество,
У2ЕО;,
n—|
содержащее бо-
Е” (2) = | (2), аЕ
—
a)k
f()dt
= F(2)— YF’(a yt.
oS
(1)
< Применим метод математической индукции. Для п = | утверждение доказано в п. 3.3, гл. 6. Предположим, что формула (1) спра-
ведлива
=f,
после замены
в ней я на п — 1. Так Kak (F’)"~ = F? =
то по предположению
г
n—2
NY
pn
(2 —a)*
J (a—l) f@)dt Ри
= Fa) —— PIP
@ASE.
Согласно определению 2 из п. 2.1, имеем.
| ” fF (dt = ( (i
а
AGS) +) dt =
\а
209
2
n—2
— NG (0) — У. 2
(а fone )at =
k=0
п—2
= F (z) — F (a) —
x,
(att!
Нот,
ЕТ
(————
т. е. справедлива формула (1). №
‘
Теорема & (о производной п-интеграла по пределам интегрирования). Пусть |: © — С, О; — линейно-связное множество, содержащее более одной точки. Если функция | интегрируема, то справедливы равенства
4
(iz а =|" "F@dt
b
‘
VaeD,
b
(i F(t) а) =—/@ ("7
{ Равенство (2) очевидно.
Myctb F:C>CuVzed;
ле (1), получим
b
VED,
(3)
Докажем справедливость формулы (3).
F (z) = f (2). Torna, cormacuo dopmy-
o
п
(го a = (F (6) — VF” (2) о"
k=0
z
=
n
(2)
b—
b
n—l
"а.
(n—1)
,
=
>
2.3. Формула Дирихле. Теоремы о среднем.
Теорема 1 (Дирихле). Пусть |: С —> С, О; — линейно-связное
множество, содержащее более одной точки, иаЕБь 6ЕП,. Если
функция [ интегрируема, то
b
b
(n)
b— tyr—!
{rat
=} FOG
#
q
CormacHo
b
формуле
b
нп
[po Sat
(1) и теореме
a= (—f
oa)
2, п. 2.2,
Fé) i
2=b
#—а
(1)
имеем
b
= (том.
в
Рассмотрим функции вида ]а, 6 [ > К. Поскольку для интегралов от таких функций справедлива теорема Лагранжа о среднем,
то аналогичные теоремы можно получить и для интеграла Ньютона — Лейбница произвольного порядка.
Теорема 2 (Лагранжа о среднем для п-интеграла). Пусть функ-
yuu la, bf £+R
210
u la, of ig.R
интегрируемы
и в (х) ==0
УхЕ
€ Ja, Ы. Тогда
[ля g(x) dx = reo" g (x) dx.
{
(2)
Согласно формуле (1) и теореме Лагранжа о среднем, для 1-ин-
теграла (см. теорему 2, п. 1 2) ЗЕ Е 1а, bl:
|" ay (ode {Fon g(a) OB
.
= (&,) (ety Oa
dy =
—1
a= fey |" ‘ах ах. №
Теорема 3. Пусть функция
]а, of£+R
интегрируема на сегмен-
те [а, 6] в смысле Ньютона — Лейбница.
Тогда
3, 61а, a" Кое
= Е “=*"
Зе, И:|
Зее,
М
(ny
pT n—
тете
("ое
еп.
а
vnen,
9
—
Е)"
р
VneN,
—
(3)
(4)
УЕ. (6)
а?
Равенства (3), (4), (5) называются соответственно формулами
Лагранжа,
Коши,
Шлемильха-—
Роша.
q Запишем формулу Пирихле
|" Гоа
S10 oO at
и к интегралу в правой ее части применим теорему Лагранжа о среднем (см. п. 1.2), взяв функцию f+ (6 — 47", ЕЕ ]а, Ы, в качестве
весовой. Тогда получим формулу (5). Равенства (3) и (4) являются
ее частным случаем при р =Т1ир=п.
р
2.4. Формула Тейлора. Пусть выполнены все условия теоремы 1,
п. 2.2. Тогда из формулы (1) того же пункта следует равенство
п—1
Е (2) = УЕ
де
k
4 №
(п
Е" (14
W(a€Dr, z€Dr),
(1)
которое называется формулой Тейлора для функции ЕЁ с остаточным
членом,
n—l
> x
записанным
F® (q)
—ay
= 9)
г —
посредством
,
п-интеграла.
Функция
& =>
называется многочленом Тейлора.
“
"Частные лучаи формулы (1) встречаются в элементарной физике. Пусть материальная точка движется прямолинейно по оси Оу
211
с постоянной
положение РЁ
ти
скоростью
9 = РЁ” (а).
(а), то положение Ё
Если
известно
ее начальное
(х) в момент времени
по формуле
х можно най-
F (x) = F(a) +0(x —a) = F (a) + F(a “9 ,
являющейся частным случаем равенства (1) при п =2, а также
при п = 1. Пусть снова материальная точка движется прямолинейно по оси Оу с изменяющейся скоростью, но с постоянным ускорением Р” (а), т. е. равноускоренно или равнозамедленно. Если известны
ее начальное
положение
Ё (а)
и начальная
скорость
Uy =
= [’ (а), то положение точки Ё (х) в момент времени х можно определить по формуле
F (x) = F (a) +0) (x —a) + F(a) 25%
=
=F@+F@
72 +P qt,
являющейся
п =2.
частным случаем равенства (1) при п = 3, а также
нием этих важных формул элементарной физики.
Из формулы (1) следует, что функция ЕЁ является
тогда
и только
тогда,
когда
ее п-производная
при некотором значении п Е №. Формула
ная
при
Таким образом, равенство (1) является дальнейшим обобще-
бинома
многочленом
всюду
равна
Ньютона,
нулю
доказан-
вп
1.4, гл. 1, является частным случаем формулы Тейлора.
Применив к п-интегралу в равенстве (1) формулу Дирихле (см.
п. 2.3), получим формулу Тейлора с остаточным членом в интеграль-
ной форме:
F (2)
—
у
Fe
(ay
aa
= 9
+
| FF?
(t)
ooo
at,
(2)
Применив теорему 3, п. 2.3, к п-интегралу в равенстве (1), по.
Е
лучим формулы Тейлора для функции Ja, & —- В с остаточными членами в формах Лагранжа, Коши и Шлемильха — Роша:
п—1
F(x) = 3 FY
F (x) = St
> F(X)
РУ
k=0
РМ
ye
(x —qe
x,)"
А
)^
+ Fm gy) Ha
+ F En(2)
4-99
Е— *o)
0
2.5.
212
Оценка
погрешности
квадратурной
Пусть 9% — множество функций,
и,
— хо
(n—1)!
где х, хо — произвольные точки из интервала
=], 2, 3) — некоторые точки, расположенные
H Xp.
ников.
(3)
(4)
(к x)?
p
,
(5)
ja, bf, EY
(ij =
строго между х
формулы
интегрируемых
прямоуголь-
на сегмен-
те [а, 6] в смысле Ньютона — Лейбница (или Римана). Пусть Ё —
квадратурная формула. Под точной оценкой погрешности этой формулы
на классе функций
9%
понимаем
величину
6
8(m, L) = sup] | Fax
—L (f)
‚ 6(M, LIER.
Обозначим через ММ класс всех функций, имеющих
вале ]а, @
п-производную, допускающую оценку
1” (<) |<М
Теорема.
Ilycmo
Тогда справедлива
L — квадратурная
М
®
Пусть
= А?
n > 2.
== О и поэтому
формула
(6—
+ oo
п =2,
(2)
алгебраический
V (AER,
многочлен
что У (хСВ, ЛЕВ)
M>
0).
6(Р, Г) > | Pa (x) dx —L (Pi)
=|
Х (63
— а)
b—a)3
УЛЕБ,
Поскольку
ут
если
прямоугольников.
‚ если п>2.
хЕВ.. Очевидно,
РАЕ
а}
avr.
Рассмотрим
У (АСВ,
на интер-
= Wx Ja, Of.
формула
6 (Им, Г) =
(1)
b
—* (7-5)
6-9
;
=|Aj 22
5
Р) (х) =
Р®(х) =
_
TO
6(Win, L) = + 0,
Пусть
п=2.
Полагаем
c=2t2,
2
(3)
F(x) = (FO dt
Vx
&
Е [а, 6]. Запишем значение функции РЁ по формуле Тейлора:
ЕО
=f((x—-
—9 +
+ [и
+f (Q 45% + [ров
(4)
Согласно формуле Ньютона — Лейбница, имеем
| f (x) dx = F (b) — F (a) =
6—9 + f° j?
|
at — (7 (9 at
(5)
213
Применив
теорему 2, п. 2.3, получим оценку
b
\ f(x)dx
—f (0) (b—a)|= f? &) QF
M
+ Pe)
|<
(6— а}
см,
(6)
где &,, & — некоторые точки, расположенные строго между точками сиб, аи с. Таким образом,
(ИМ, Г)—< ae
M
Принимая
BO
M
внимание
= > x классу №
о
(b—
принадлежность
|
(7)
ay?
многочлена
Py
.
(x) =
2
и равенство (3), находим оценку снизу
(ИЯ, >89.
Из неравенств
(8)
(7) и (8) следует равенство
ВИЙ,
Следствие.
М 6 —
= OY
Если
} Е
И,
та
op
а}
то
“GA ee + DiS.
—1!
b—
9)
M (6 —a)8
< Воспользуемся свойством аддитивности
теоремой. Получим
интеграла
и доказанной
—4 у ав) | <
a+
n—
<>
k=
i
|
а-+
b—a
n
J
(k-+1)
—#
аи)
<=“.
M
214
b—
a)?
»p
<
$ 3. Производная Ферма — Лагранжа.
Формула Тейлора-—Пеано.
Достаточные условия экстремума
3.1.
Производная
Ферма — Лагранжа.
Производная,
определенная
в п. 1.1, гл. 6, допускает следующее обобщение по индукции.
Определение. Лусть |: © — С, г ЕДь пЕ №. Функция | называется п-д ифференцируемой
в смысле
ФермаЛагранжа
в точке 2,, если существует такая (п — 1)-дифференцируемая в смысле Ферма — Лагранжа в точке 2 функция Q,
что VW z€D;
f (2) — f (2) = (@ — 2) & (2).
Если дополнительно 2 является предельной точкой множества
D;, mo число пФ"? (2) называется п-п роизводной
Ферма — Лагранжа функции [ в точке 2, и обозначается {” (2).
Как и прежде,
считаем функцию }
ле Ферма — Лагранжа
0-дифференцируемой
в смыс-
в точке 2, если она непрерывна в этой точ-
ке. При этом {© (z,) = f (2).
Ниже будет доказано (см. п. 3.4), что из классической п-дифференцируемости функции в точке 2, следует ее п-дифференцируемость
в смысле Ферма — Лагранжа в этой точке и равенство соответствующих п-производных. Это позволяет одинаково обозначать указанные п-производные и объясняет выбор множителя п в определении
п-производной Ферма — Лагранжа: {” (2) = ng (2).
Пример
1. Пусть
ПЕ
Мий:
К — К, где
x" sin
‚ если
0,
если
in (*) =
x€R\ {0},
х=0.
Доказать, что функция »
(п— !)-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа в точке 0
УтЕМ.
ь. Воспользуемся методом математической индукции. Если п = 1, то lim hy (x)=
=
lim x sin =
х-0
=0=/7,
Ферма — Лагранжа
(0),
в точке 0
дифференцируема в смысле
предположению, имеем
Prov
t
@ mynkuna f,
УтемМ.
Допустим,
Ферма — Лагранжа
(x) — Frat
По определению функция /,„.;
зифференцируема
что функция м
в точке 0
(0) = хи (х)
пхп
смысле
(п—1)-
Согласно
УхЕК.
п-дифференцируема в смысле Ферма — Лагран-
жа в точке0
УтЕМ.
Пример 2. Указать в примере | значение т Е М, при
не имеет 2-производной в точке 0 в классическом смысле.
Если х=0, то
Е (х) =
УтеН.
в
— mxi—™—!
cogs
котором
хт
функция
п
.
#
Полагая т = п — 1, получаем, что функция }, разрывна в точке 0, вследствие
чего [м не п-дифференцируема в классическом смысле в этой точке при n > 2.
215
Из примеров 1 и 2 видим, что У п > 2 существуют функции, nдифференцируемые в смысле Ферма
— Лагранжа в фиксированной
точке и не имеющие в ней второй классической производной.
3.2. Теорема Тейлора — Пеано и ее обращение.
Понятия
п-
дифференцируемости и п-производной Ферма — Лагранжа используются при изучении локальных свойств функций. Очевидно, что
если функция | п-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа
в точке 2) € D;, являющейся предельной для множества О,, то У т =
= 0, п существуют
т-производные
Ферма — Лагранжа:
/” (2).
Теорема 1 (формула Тейлора — Пеано). Пусть {: © — С, г —
предельная точка множества 0); из ЕО;. Если функция | п-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа в точке г, то справедлива формула Тейлора — Пеано
Г(г) = у №
(2) a2) + &,(2)(2—%)"
WzEDy,
(1)
где &, — непрерывная в точке г, функция и г, (2) = 0.
% Применим метод математической индукции. Если п = 0, то
утверждение очевидно при &% (2) = } (2) — }(2,). Предположим, что
утверждение теоремы справедливо после замены п нап — | и что
функция } п-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа в
точке 2. Согласно определению, существует такая (п — 1)-дифференцируемая в смысле Ферма
— Лагранжа в точке 2 функция
ф,
По
что
Vz
Е О;
предположению
ое
f (2) — f (2) = (2 — %) ф (2).
(2)
bo? @) AS +ei@e—a)
n—l
2
k
.
(3)
re €,—1 — HeMpepbIBHan B TOUKe 2) PYHKUMA H En_y (29) = O. V3 paвенств (2) и (3) получаем
— 20) (х Ф® (20) Ei) +
F(Z) = F (2) + (@
=
+»
У (а
ЕЕ!
(z — 2)*+
Bl
En—1 (2) e—2)""') = _
+ &n—1 (2) (2 — 2)
n
YTO PaBHOCHJIbHO dopmyvie (1) mpH &, = En-1. P
Следующее утверждение является обращением теоремы | и объясняет важность понятия п-производной Ферма — Лагранжа.
Теорема < (об обращении формулы Тейлора — Пеано). Пусть
[: СС,
&— предельная точка множества О; и 5 ЕБ;. Если
Но = Ув eo ^+.@@е—а)°
WzED;,
(4)
где. © С УЁ=О, м, в (2) = Ои =— непрерывная функция в точке 2, то функция | п-дифференцируема в смысле Ферма — Лагран-
жа
в точке 2, и а,
= [®
216
(2)
Vk =0, n.
Применим
метод
математической
(4) имеет вид ] (2) = а, -
ция | непрерывна
ма — Лагранжа
справедлива при
Так как | (2) =
индукции.
в (2)
У2ЕБО;
Если
п = 0,
то
и поэтому функ-
в точке 2 (т. е. О-дифференцируема в смысле Ферв этой точке) и {®' (2) = }(2,)= а. Пусть теорема
замене п на п — | и выполняется равенство (4).
а, то
f (2)
— f (@) = e—2)(
о
ТС
Ч
равенство
1
ее
2)" ).
Полагаем
оо
ее а)".
п
k=]
В силу предположения, функция ф (п — 1)-дифференцируема по
Ферма — Лагранжу
в точке 5 и
СА = ф“—1(2) УЕ = 1, п.
По определению функция | п-дифференцируема в смысле Ферма —
Лагранжа в точке 2 и {® (2) = №61 (2) =а,
УЁ=1 п.
PD
Доказанная теорема может применяться для вычисления производных Ферма — Лагранжа. Приведем пример.
Пример.
Пусть
в -"-
К,
где
f(x)= le
*
0,
Вычислить /[®) (0)
Найдем
ecan x €R\ {0},
если
х =0.
УпЕМ.
lim
x70
en (x)=
Хх
é
t+-+oo
aa
0,
Функпия е„ непрерывна в точке 0
но геореме 2, pi) (0) =0
УЕ=
=0
WeReEN.
@
CoH
xE RN {0},
если
х =0.
\УптЕМ. Так как ] (х) = хп,
1, 2п. В силу произвольности
(х), то, согласп
fe) (0) =
3.3. Исследование функции на локальный экстремум.
Определение. Пусть Г: С — В. Функция | имеет в точке 2, €
ЕР,
локальный
максимум
(минимум),
если в
множестве О, существует такая окрестность О», что | (25) есть
наибольшее (наименьшее) значение сужения [|о,.
217
Теорема (Ферма). Пусть |: В -> В и х, — внутренняя точка
множества О;. Если функция | п-дифференцируема в точке хо
в смысле
Ферма — Лагранжа
и
(%) =0
УЕ=Т
п 1
f (хо) = 0, то при четном п {имеет локальный экстремум (мак-
cumym, ecau f
(x9) <0,
минимум,
если Ё (х,) > 0), а при нечет-
ном п локального экстремума нет.
q Согласно теореме |, п. 3.2, существует
в точке х, функция 2„, что в, (х) = Ои
такая
непрерывная
(n)
f(x) — f (%) = (4 — %)" [Ре +e, во) = (x — x9)" 0, (2).
Если Фи (хо) = ыы < 0, то, согласно свойству полунепрерывности сверху, найдется такая окрестность О,,, что УхЕО,,
ф, (х) <
< 0. Если п — четное число, то в указанной окрестности f (x) —
— 1 (хо) < 0 и функция] имеет локальный максимум в точке х, Если
п нечетное, то в любой окрестности О,, точки хо разность |} (х) —
— | (хо) принимает значения разных знаков (поскольку в О,, справедлива цепочка равенств зп (| (х) — } (х,)) = зп (х — xX)" ©, (x) =
= —sgn (x — %)), в силу чего функция f/f не имеет локального экстремума в точке х.. Аналогично рассматривается случай, когда
Е” (хо) >> 0. Кроме того, он может быть сведен к предыдущему заменой f Ha —/f. p>
Теорема Ферма, доказанная в п. 1.1, гл. 6, является частным
случаем рассмотренной при п = |
3.4.
Рекуррентная
формула
для
п-производной
Ферма
— Лаг-
ранжа.
Определение. Пусть {: К — В, х, —внутренняя точка множества ПО’,. Функция | называется рекуррентно п-дифференцириуемой
в точке ху (или в классическом смысле), если
существует такая окрестность О„,, в которой определена класси-
ческая
(п — 1)- производная
нойв
точке ху.
классической
(или
f"—"
u 4(f"~?) (xo),
рекуррентной)
называемая
п-
производ-
Теорема. Если функция | п-дифференцируема реккурентно в
точке х,, то она также п-дифференцируема по Ферма — Лагранжу в этой точке, и соответствующие п-производные равны между
собой.
® Применяя п — | раз правил, Лопиталя, получим
п
1
f (x) — dX №№ (хо)
х- хо
Ге — Xo)"
eat
poh)
X+Xp
(9),
(x) —
pia)
(x,)
nl
(x — Xp)
(1)
где ("В (хо) — классическая п-производная в точке ху. Из равенства (1) следует существование такой непрерывной в точке х, функции
218
г, обращающейся
f(x) = У
п 1
в нуль при х = хо, что
6) SE + FY (FS + 0 (x) (x— 0)"
Ё
п
Согласно теореме 2, п. 3.2, функция |
ма — Лагранжу и число (f"—”)’ (xy)
Ферма
— Лагранжа
в точке
х.
№
(2)
п-дифференцируема по Ферявляется ее п-производной
3.5. Правила вычисления п-производной.
Теорема 1 (о линейности п-производной). Пусть функции} : С—
—>С нс: СС
п-дифференцируемы в точке 2, по Ферма — Лагранжу или рекуррентно, О; =), и 2% ЕО; — предельная точка
множества О;. Если АЕ С, ВЕС, то функция М -Е ug п-дифференцируема в точке гу и
(Af + pg)” (Zo) = Af (25) + pg (20).
Ч
Утверждение
получим
из соответствующих
(1)
определений
приме-
нением метода математической индукции. №
Теорема 2. Если функция | (п — ^)-дифференцируема в смысле
Ферма — Лагранжа
(п >
Е >
0) в точке
2 Е)»,
являющейся
дельной для множества О,, то функция г =» (г — 20)Ё (2)
ференцируема в этой точке и справедлива формула
(2— 20)"Г (гу, =
<{
ЕД;
Воспользуемся
формулой
n—R
ari
пре-
п-диф-
(2):
Тейлора — Пеано.
(2)
Получим
УёЕ
f= bf @) SP +e@e—a)"™,
2—2
]
n—
где & — HelpepbIBHaA B TOUKEe Zp (PYHKLUHA H e& (Z)) = 0. Tak Kak V 2€
ЕД,
n—k
>
(2 —
то,
Zo)" f (2) =
согласно
р
_
fe
обращению
+= (2 —2)'[ (2)
(2,)
7
теоремы
7.\/+k
a
|
ios
+
Тейлора — Пеано,
2 (2) (2 —
2)",
функция
2 ны
п-дифференцируема в точке 2, в смысле Ферма —
Лагранжа и справедлива формула (2). р
Теорема 3 (правило Лейбница). Пусть функции |: С—С,
а: С-— С, О, =20.,
п-дифференцируемы по Ферма — Лагранжу
в точке 2, Е Dy, являющейся предельной для множества );. Тогда
их произведение в п-дифференцируемо в том же смысле в точке
2) и справедлива формула Лейбница
"(= У rape fe” @).
(3)
219
4
По теореме Тейлора — Пеано
п
в
теоремы
SGiP + en (2) (@— 2)",
в точке г, функция
пе -У =0
применим
(4)
и в, (25) = 0. К правой
А (ее) +. @—2)" 1)
|и
2. Получим
(ее.
=У 2)
а,
k=0
п
ео Ред
= У саг"
k=0
(правило Лейбница
|: С— С, : С —
смысле в точке 2.
то их произведение
+
g в. "В (г) — a
+ (e (2) f (2) (z —z)")22,= у
Теорема 4
Если функции
в классическом
множества О;,
V z€ D, = D;
k
Е
где г, — непрерывная
части равенства
имеем
ede” (a). >
для классической п-производной).
С, О,= ),, п-дифференцируемы
Е О‚, являющейся предельной для
{в п-дифференцируемо в том же
смысле в точке г, и справедлива формула
Лейбница
(3).
4 Согласно теореме п. 3.4, достаточно доказать, что существует
классическая производная (/2)” (2). Если п = 0, то требуемое
утверждение следует из теоремы о непрерывности произведения непрерывных
функций.
Пусть
п Е № и теорема
справедлива
после за-
мены в ней п на п — 1. Тогда существует окрестность О,,, в которой
п
(jg)
п
—
@ =
k=
1
, "ЕТ
]
n—pk—
дв" (2)
Правая часть последнего равенства имеет
2 в силу чего существует ([)” (2). №
У 20,
производную
в точке
$ 4. Ряд Тейлора
В гл. 4—6 были указаны приложения
различных
задач.
Укажем
формулы
степенных
рядов к решению
для вычисления
коэффициентов
разложения функции в степенной ряд и исследуем условия, при которых сумма ряда совпадает со значениями функции в некоторой
окрестности фиксированной точки.
Теорема
Пусть
220
1
(о формулах
|: С —С,
для
2, — предельная
коэффициентов
точка
степенного
множества
О;
ряда).
u 29 € Dy.
Если в О, существует окрестность О., такая, что
оо
__
Ка = + У &
то функция |
Zu
4
a, =f"
п)
Применим
(%)
yk
и
п-дифференцируема
Vz 02,
(1)
по Ферма — Лагранжу
VneN.
метод математической
индукции.
Для
п =
в точке
0 утверж-
дение следует из непрерывности суммы степенного ряда.
теорема справедлива при замене п на п —|1 Так как
Qp
I (2) — f(@) = (220) 9
(2 — 2)
k=
то, по предположению,
ференцируема
сумма
k—]
ет,
(2)
ряда в равенстве (2)
в точке 2,. По определению,
функция
{
п—1 раз диф-
a,
цируема в точке 2. При этом [” (2) =п.— = а,. №
п-дифферен-
Теорема 2 (об оценке производных суммы степенного
Пусть В > 0 — радиус сходимости степенного ряда и
f(z) =
a +
Va,
="
7
Пусть
ряда).
VzeKr,
b=!
2de Ke = {zEC||z—2zyl]< В}
Тогда |I)V (NEN, z€ Ke) функция Г п-дифференцируема в классическом смысле;
30
2)
К" (2)
=
У
®—,.
12 —
2)
и
Vze
KR;
k=n
| ‹2)| <M,
п!
3) УгЕ1О, RI 3M,ER
V2zE€K,.
<q Для доказательства утверждений 1) и 2) У пЕ \№ достаточно рассмотреть случай при п = 1 и воспользоваться методом математической индукции. Пусть 2, Е К, Гогда У 2Е К, получим
<
(2)
— 7 (21) = У а
b=!
oo
= (2 — 2,) У
=I
c=
— 2) — (2. —
70) a
—|
гГыWV (2 — 2)"
Zo
(2; — 2).
(3)
/=0
Докажем, что сумма ряда в равенстве (3) непрерывна в точке 2..
Для этого достаточно установить, что ряд сходится нормально в
круге А,. Имеем
ve
со
Е—1
№ а.
k=l
У (2 — С
j=0
(2: — 2,)'
=
221
<умА
aL
РА or
k=)
< ее"
поскольку
мрт < +
— 2)
радиус сходимости
степенного ряда У Ap i
paBeH
ЮР и 0О<тг< КЮ. Из равенства (3) следует, что У 2 Е К
м аR
t
Ё (2) = Ут
ча
YM aa)
b=!
Докажем
1 —/—
(а —
ov!
м
29)!
==a
: =!)
утверждение
3).
Имеем
УёЕ
К,
i (y= | Vi ay Bae |S Ура
п
(2 —2
\r—
fxn
<
2—2
k=n
у
pean
< ) lal:
(4)
k=n
Выберем
Принимая
сходимости
чёсло
во
г.,
удовлетворяющее
внимание
степенного
1
=—
= = Шт У
ео
формулу
ряда,
неравенствам
Коши
—
получим
ав|.
г
Адамара
1% |
= lim sup ИЕ
п
поэтому
УЕ
> п,
|ar|<
sup ne
k= Up,
ae >
jn, i
р
le
. Пусть
радиуса
—
рп
В силу порядкового свойства предела числовой
г < г, < КЮ.
для
последовательности
—,
п > п,‚.
Тогда
справедлива
оценка
п
ИУ
<
k=n
7
pn
(2— ny!
п”
~
у, cm
k=n
(5)
—п
>
©)
Вычислим сумму в правой части неравенства (5). Для этого продифференцируем п раз тождество
<
А
k=0
Получим
Tor
(1 —
222
2
ЕП
iE — п)
°
(7)
Таким образом,
из оценки
(5) и равенства
ni
|” (2) |<
(1
—
—
n+]
|2|<г,
’
ri
(7) имеем
п>п,,
(8)
71
Е
п!
!
<
7
n+l
,
26
K. rs
n>
AN,
9
( )
п
((--)
Г1
"1
В замыкании круга К, функции {®
(k = 1, nr.) непрерывные, и
по теореме Вейерштрасса, ограничены в совокупности. Принимая
во внимание оценку (9), получаем утверждение 3). }»
Определение 1. Пусть
1 С— С и 5 ЕР, — предельная точка
множества
0,.
Функция
| называется
аналитической в
.
(z — 2,)*
MOUKe 2%, eCAU CYylMecmeytom CmeneHHOt ряд У, ——н "и
К, = {26| |2 —2|<г} такие, что
по ы+
V2€D; 11 Ky.
круг
(10)
Сумма в правой части равенства (10) называется аналитическим
продолжением функции ] в круг К,. Согласно теореме |, указанное
продолжение единственно.
Определение 2. Степенной pad ay + У а
aa
называется
рядом
Тейлора функции {, если ЧУЕЕТРь
а, = № (2).
Теорема 3 (критерий аналитичности функции в точке). Густь
функция |а, Ы 1. В имеет производные любого порядка V x € Ja,
Ы. Для того чтобы функция { была аналитической в точке ху Е Ja,
Ы, необходимо и достаточно, чтобы существовали окрестность
О,, и число
М
такие,
что
Ия
п / иль
ам
М хЕО,.
(11)
<
Необходимость следует из теоремы 2.
Достаточность. Согласно формуле Тейлора, для функции f (cM.
п. 2.4) УхЕ |а, Ы справедливо равенство
Нод— У
b=0
тю
- ||
Xo
и.
(12)
Принимая во внимание неравенство (11) и теорему об оценке модуля интеграла (см. п. 1.3), имеем УлЕ№
ny
(x — "|
О-о“
<M'ni tee
= (M|x— xq)". (13)
Xo
223
Выберем такую окрестность О,,, чтобы У х6 О,, выполнялось
равенство М | х — х,| < 1. Тогда получим
a
п]
lim ( (x)— VF (x) eo ми)
пП--оо
не-
0
м
Кд = од У г
x) HS
УхеЕО,,
УхеО,, №
Если Уп
№ 31" (2), то функция [ называется бесконечно дифференцируемой в точке г.. Теорема 3 устанавливает аналитичность
бесконечно дифферениируемой функции fa, Ы —- В, все производные которой удовлетворяют неравенству (11). Однако существуют
неаналитические бесконечно дифференцируемые на интервале функции, у которых ряд Тейлора сходится всюду (см. пример из 3.2).
Можно также построить бесконечно дифференцируемые функции,
у которых ряд Тейлора имеет нулевой радиус сходимости
В п. 98 будет доказана теорема о разложении функции
} : С-—
— (; в степенной ряд в случае, когда 0), содержит круг К, с центром
в точке г, а функция непрерывно дифференцируемая в круге К,.
Эта теорема показывает важность задачи продолжения функции
Г: № —- В
в комплексную
$ 5. Выпуклые
плоскость.
функции
В гл. | была введена топология упорядоченного пространства и
построена теория предела, основанные на понятии неравенства,
повлекшие за собой сильные методы дифференциального и интегрального исчисления В ходе рассуждений часто применялись различные оценки, выраженные неравенствами.
Выпуклые функции, к изложению теории которых приступим,
послужили источником многих классических неравенств, полезных
для решения практических задач Начальные сведения о выпуклых
функциях даны в и. 1.6, гл 2
5.1.
Определения
выпуклой
будем различать множества (
2 =(х +)
называется
6 (С. Напомним,
множество
о. 5.1, гл. 6).
Определение
функции.
Лемма
о трех
что отрезком [2., г.|]
{2 С (|2 =
1. Множество
точках.
12, + 1—1
точек
2 <
(2 ЕС, 2 Е ©)
2; 0 < [<
(; называется
лым, если У (2 ЕС, 2.627)
[z,. 2] c 2.
Определение 2. Пусть |: К — К Точка
(х +
ЕС
1} (cM.
выпук-
(или
у) Е В?) расположена выше (ниже) графика функции 7, еслих ЕВ;
Ay>te®
(<).
Определение 3. Функция
Не
и В*, а гакже пару (х, y) Е К? и число
la, Ol —-В
называется
вып
(,
/\
уклой,
если множество точек плоскости (;, расположенных выше ее графика,
является выпуклым.
224
Много других, но эквивалентных
определений выпуклой функции можно получить из следующего элеменTapHoro утверждения. Напомним, что
M2
Число & ="a
‚— ` называется угловым
коэффициентом
прямой, проходящей
через точки М, (хи, у) и М (%, у),
и обозначается
|
AM
М,
k (My, М»).
/
|
Лемма (о трех точках плоскости).
Пусть на плоскости В? даны три
точки М, (ж, 1), М» (хь, Yo), Ma (Xs,
уз),
причем,
х<х. <.
Следующие условия
попарно равносильны
(рис. 54): 1) точка М, лежит ниже
прямой
M,Ms;
2)kR(M,,
M.)<
ЗЕ
(М,
М;
ЗЕ (М,
М. <
|
1,
My
|
| /
y
М
50
< k(M,, My); 4) k (My, М) < Е(М»
Ри. 9
M,).
<q Paccmotpum touxu Mi; (x,, 91), Mo (%a» y2), M3 (x3, уз). Очевидно,
что
(>
< у) <>
Е х—хHt
(=
<—
Xg—%X,
=
м
te
фи
43s — и
es
(R (My,
оф
Xg— xy
М.)
(=
Хз — Ха
> (k(M,, M,)<< k(M,, му > (+ =,
<=>
(и
‘<
= и,)
ии
>
Хз —
xX,
Ye
>
Хз —А1
> (# (М, Мз)< Е(Мь, М»)).
„
5.2. Односторонние производные,
Определение.
Пусть [Ё:В —= В.
muoncecmea D, (| {xER|x< Xo}, то
Е)
ип
lim Г
<
=
гк
Ya—
R(M,,
М.)
ЕВ)=
х3—Хх
Yj
я, Je
ыы
их свойства.
Если х, — предельная
Га,
>
точка
(1)
X->Xo
X<KNXp
то
Если х, — предельная точка множества
fal)S Nim
def
х>
—
0; [| {xER|x> Xo},
о
Числа fa (Xo) HW [а (х), если они существуют, называются соответственно левой и правой производными функции | в точке хо.
8
337
225
Теорема 1 (Ферма для левой производной). ’Пусть функция
i
la, b]-—* R npurxumaem xauboarviuee (наименьшее) значение в точке
% Е ]а, В. ЕслиЗЬ (хо), то [ (х) > 0
Пусть функция
(fn (%) < 0).
/ принимает наибольшее
в точке хх их < Хо, ХЕД,,. Тогда
Го
в силу чего [и (хо)
>0
(or
(наименьшее) значение
<
0),
0 (fa (Xo) < 0). №
Следствие. Пусть функция [а, bl 1. В принимает наибольшее (наименьшее) значение в точке х›Е[а, Ы. Если ЗЁ (х), то
fn (%o) SO
(fn (Xo) & 0).
[а,
непрерывна
Теорема © (Лагранжа
6] 1. В
для левой
и имеет
производной).
левую
Пусть функция
производную
V x € la, Ol.
Тогда существуют такие точки & и Ё&, из полуинтервала ja, b], что
fr(&)<LOELO< Fe).
(3)
Полагаем LF)
= Ли рассмотрим функцию [\, определенную равенством | (х) =} (х) — Ах, x € Ша, 8. Функция р непрерывна на сегменте [а, 6] и по теореме Вейерштрасса принимает
наименьшее и наибольшее значения в некоторых точках & и &.
Так: как |» (@) = р (65), то можно считать, что ЗЕ ]а, 6] и & Е ]а,
Ь]. Согласно теореме
‚
(1) < 0, (fa)a (25) > 0. Поскольку
(fx)
(x) = fa (x) — A,
<M!
To
<.
fn (G)<AS
5.3. Дифференциальные
свойства
fs (E.),
выпуклых
TT.
е.
fn (1) =
функций.
Каждая
выпуклая функция ]а, @ Ll. В обладает важными дифференциальными свойствами: она непрерывна (т. е. 0-дифференцируема), имеет
левую и правую производные У хЕ ]а, Ы, являющиеся монотонными функциями, и дифференцируема всюду, за исключением не более чем счетного множества точек. Доказательство этих фундаментальных фактов основано на следующем утверждении.
Теорема 1. Пусть функция ja, bl 1, В монотонная. Тогда У ху Е
€ Ja, bl 3lim f(x) Л 3!
/С).
Указанные пределы
называются
р
<
(Xo),
х<хь
соответственно
fo
х> Хо
левым
и
(Xo).
Пусть } — неубывающая функция.
Эр (%).
Множество
{} (х) | хЕ la,
xol}
правым и
Докажем,
ограничено
Г (хо), поэтому по теореме Вейерштрасса 3 зир
хе
]а,Хо
обозначаются
что
У жЕ ]а, Of
сверху
f (x) =a.
числом
Пусть
= > 0. Согласно свойству верхней грани, 3% € Ja, xo 1 f (%) > а —
— =. Так как УхЕ ]хе, Xol а—в <} () РО) <а, то УхЕ
226.
@]%, хё |Ё(х) — “|< в, что равносильно равенству fn (Xo) =
= я. Аналогично доказывается существование fp (Xp).
Следствие. Монотонная функция ja, Ol 1, В непрерывна
всюду, за исключением не более чем счетного множества точек.
Предположим, что функция [ является неубывающей иа < х, <
< х, < 6. Пусть Ё Е ]жи, х[. Принимая во внимание характер монотонности функции }, получим неравенства
Г (ж1) < [а (1) = lim
h(xy)<7E)<
lim
Seem
f (x)= fa (%2) <f (2).
ЕС,
Пусть х, — точка разрыва функции |. Тогда [л (х.) < fn (x). O6oзначим через г,, рациональное число, удовлетворяющее неравенствам [л (х!) < г», < | (^). Разным точкам разрыва х, отвечают
различные рациональные числа г,,, поскольку (х, < хо) > (х <
<[ (х1) < Ы (х.) < г»,). Следовательно, точек разрыва функции }
имеется не больше чем рациональных чисел, т. е. множество этих
точек не более чем счетное.
PP
Теорема
2. Пусть функция la, bf t. В выпуклая. Тогда
в каждой
точке x€ la, ol существуют односторонние производные fn (x)u
fn (x). Kpome того, функции В и Ё являются неубывающими.
< Пусть ах <х.<х.< 6. Рассмотрим на
плоскости R?
(или (,) три точки: М, (жа, f (%,)), Me (2, F (%2)), Mg (Xs, Ff (x3)). Coгласно определению выпуклой функции, точка М, расположена
ниже прямой М, М.. По лемме о трех точках (см. п. 5.1)
V (x1, Х», Хз) Л (<
Г (хз) — | (х1)
Из неравенств
неубывающие.
3 lim
X>Xz
х<х;
| (хз)
— 1 (2)
< <
а).
—Х
f (x) — f (x1)
XE] a, Xl,
’
Поэтому,
[ (ts) — Te)
Що,
согласно теореме
=
ЛАЗАР (%). Докажем,
oe
— f. (x,).
XX,
х>л!
что 1 и |
являются
ми. Для этого перейдем к пределу
венстве
[ (хз) — F (x3)
хо —х
т
<
=
во внимание неравенства
Е (x,)
OL;
1,
fi (x5) A 3 lim
Хз
x Е] Ат,
Поскольку х! и хз — произвольные точки, то УхЕ]а,
Принимая
(1)
(1) видно, что функции
> _^ (9 — 1 (2)
Аз
х<х<ж<5))>
Г (хз) — | (ж1)
<
| (хз) — fF (%)
X3 — xy
при
| (хз)
@
ЗЁ (х) /
неубывающими
функция-
х.—х,
Л х. > x, B Hepa-
i (ea)
хз — Ха
(1), получим
<
<
f (x3) — f (%2)
Хз — Ха
.
(2)
227
Поскольку
f (x3) — f (x2)
lim
X3 —Xq
—
а (Xz),
А.Х.
ХХ»
TO
V(x,€J]a,
Аналогично
функцией.
№
Ol, x,€]a,
доказывается,
OIA x< x)
что
{„
in(4) < [а (х.).
также
является
неубывающей
Следствие
1. Каждая выпуклая функция ja, bf -/. В непрерывная.
Следствие 2. Если функция a, bf t, К выпуклая, mo существует такое не более чем счетное множество точек Е < Ja, bl, 4mo
Е) >.
она дифференцируема У хЕ а, М\\ Е, а функция (а, М
—-+ В непрерывная.
5.4. Критерий выпуклости функции.
Теорема 1. Для того чтобы функция ja, bl 1, В была выпуклой,
необходимо и достаточно,
водная [1 и функция ja, ol fa
чтобы У хЕ ]а, Ы существовала произК была неубывающей.
Необходимость утверждения следует из теоремы 2, п. 5.3.
Достаточность. Пусть точки М; (хи, и) и М. (хо, у.) расположены выше графика функции | (рис. 2), а точка М (х, у) принадлежит
отрезку M,M,. Докажем, что y > f (x). Ta этого воспользуемся
теоремой Лагранжа
для левой производной (см. п. 5.2), согласно
KoTopoli 3&,€ Ix, xl: [ (Е) < Hat
Аналогично, в силу
той
же
теоремы,
З& Е] ж,
х[ 1
9 — Fe)
р
(5).
Поскольку
<<
Eo << & и функция fn неубывающая, то ‚Роны
По лемме о трех точках плоскости (cm. n. 5.1) y Sf (x).
Г 2) — ie(x)
>»
Следствие 1. Пусть функция ja, bl IR дифференцируема
У хЕ ]а, Ы. Она выпукла тогда и только тогда, когда ее производная
Г не убывает.
{
Справедливость утверждения
f’ (x) = fa (x). D
Следствие
2.
следует
Пусть функция
из
того,
|а, bl +R
что
V x€
Ja, df
umeem f° (x)
V x€ la, Ы. Для того чтобы она была выпуклой, необходимои 00статочно, чтобы УхЕ1а, bl f® (x) > 0.
1
« Справедливость утверждения следует из условия монотонности
функции (см. теорему 3, п. 1.2) и следствия 1. д»
Теорема$. Для того чтобы функция ]а, 6[-- В была выпуклой,
необходимо и достаточно,
водная Ё и функция
228
nooo Vx€ la, bl cywecmeosara произ-
Ja, ol In, К была неубывающей.
—
ees
aq fee
с
—
uh
0
xy
Рис.
55
'
0
Рис.
56
<q Tyctp f, (x) =f (—*x) Vxe]— 5b, —а. Очевидно, что функции
Ри f, BBINyKIbIl HH HeT OfHOBpemenHO. Kpome toro, fp (x) =
=x — (1)
(—x)
Ухе]а,
Ы,
в силу
чего fn не убывает тогда и толь-
ко тогда, когда (|), — неубывающая функция.
Поэтому доказываемое утверждение следует из теоремы |. №
Отметим, что теорему 2 можно доказать с помощью теоремы Лагранжа для правой производной, а теорему 1 получить как ее следствие.
5.5. Неравенства, связанные с выпуклыми функциями.
Теорема
1 (Иенсена).
Пусть
функция
Тогда У (п > 2, хь 6 1а, Ы, в, > 0
ство
Иенсена
x
п
exe
У, Up
k=!
Применим
raem
A = —
ja, Ol р.
x Leb (xr)
|<.
4.
ТИ
Tora
Д
(1)
У, Up
/
k=1
метод математической индукции.
Uy
К выпуклая.
(Е = 1,п)) справедливо неравен-
= — He2.
Ил
1 —A
Пусть п = 2. Пола[locKxoupx у
НКЦИЯ
функц
{ выпуклая, то точки 21 = х, + éf (x), 22 = x, + if (x,) ee} rpaduKa
на плоскости С считаются расположенными выше него, согласно
принятой терминологии (см. определения 2 и 3, п. 5.1), а точка
MyX + Hare
Ма + Ha
4. i
Myf (x1) + Hof (XQ)
Mi + Ba
= A(x, + if (x,)) + (1 —A) (x, + tf (<)
принадлежит отрезку [21, г.|. По определению
справедливо неравенство
pal (x1) + pal (%2)
ai + Pe
> |
>
НХ
выпуклой функции,
-- И2х2 }
Низ
/°
229
Пусть утверждение
п —1.
Обозначим
теоремы
справедливо
при
замене
п
на
п
У,
К =
=
ВЕХЕ
п—1
°
У Ue
k=!
Очевидно, что х Е ]а, @. Применив неравенство (1) для п = 2, получим (в силу сделанного
п
x ЦЕХА
fj,
=
п
предположения)
n—l
|
| =F]
= п]
У, №
keel
п—1
| x + Untn
( x. ) f (x) + Unf (%n)
<——
п
(У te)
k=!
п]
п—1
m=
<
У ш
У! ви (р)
k=1
Pe —————-
У в»
+ Haff (xn)
п
SY) wef (x2)
n
У,
tt
Ur
.
У, Ик
Неравенство Иенсена имеет следующий физический смысл. Пусть
2, = хь + Й (х,) — материальные точки в массами п» (& = 1, п).
Тогда величина
п
У, Bate
ac=
называется
центром
k=l
n
у, Ue
k=l
указанной системы
маса
Иенсена означает, что центр масс этой системы
графика выпуклой функции } (рис. 56).
точек.
Неравенство
расположен
Теорема? (В. Юнг). Пусть п Е №, и, > 0, р, >0
выше
УЕ=| п
Если У — = 1, mo
kal РЁ
Пу,
(2)
k=!
Запишем
лагая рь =
неравенство
1
Менсена
1 Xe = Pe Iny,
для
показательной
Eee
Vk
=1,n.
функции,
Monyaum
n
> Их
k=l
5 Mp
=
oo
230
=
р
<
1
-Пи<
< Ns
k=1
=I
|
пуь
<
у,
h= GHP
по-
Частный случай неравенства (2) при р, = п (& = 1,.п) известен:
из курса средней школы под названием «неравенство между средним
геометрическим и средним арифметическим положительных чисел».
Отметим также частный случай неравенства (2) при п == 2}
Ye
и"
S
р,
yb"
+
(-
Da
р,
1
+
De
= 1}.
(3)
Положительные числа р; и р›, удовлетворяющие указанному условию, называются сопряженными в смысле Юнг.
Теорема 9 (Гельдера). Пусть р >
1,
+— = 1. Тогда
У ПЕ№, а, ЕС, 6, ЕС), Е =,
п, справедливо неравенство
1
n
У, a,b,
k=l
<q
<(5 jaa)” (¥ oat)” .
Рассмотрим неравенство
> 0,
полагая
(1) для выпуклой
и, = |6, |
n
SY) Pere
#—1
n
У, в
p
lel
У, Так 16а |
#—
—
n
Sy Loe IP
k=!
(4)
функции
х н>
XP, x >
(Е = 1, п). Получим
[on |?
n
О
1
p
n
,
У, вх
А
<
n
n
Ш
У в
k=l
п
У, вк
k=1
Следовательно,
У, [акр
k=1
1
1
у lalla <(3 lar)” (% 1."
(5)
Неравенство (4) является ‚следствием оценки (5). »
Полагая в (4) р=р’=2, получим неравенство
НЯковского
I
‚*
Коши — Бу-
JI
ав < (У) (5 1ы р)".
—
(6)
Следетвие 1. Если (| 4%) Е1(\), (&ePYELN) p>,
+ т.
= 1, mo (a,b,) Е 1 (№) и справедливо неравенство
1
|» AyD, <(у [а
REN
REN
Следвтвие 2
(неравенство
пем,
а ЕС,
Минковского
(Sloe
k=]
ЕС
(=1,
1
(У |6)
REN
Минковского).
п). Тогда
1
k=]
(7)
Пусть
справедливо
|
et)” <(Z
.
р>
1,
неравенство
|
law)’ +(S
k=1
eer)”.
(8)
231
{
Очевидно,
что
Y la +o)?= У
k=1
k=l
|a | + х
has
Lae + be
а НР
Так
в | <
| Oy + Oy PP" | & |.
(9)
Применив к каждой сумме неравенство Гельдера, получим
i
2
Slat bol lal<(¥ lal)” (3 | a, +7)”,
1
lol <( 3 loeP)” (Siete),
SlOPat
(10)
1
ay
k=l
=1
где +
=
. Поскольку
(р— 1)
р’=р,
1 —>=-),
то
неравенство (8) следует из оценок (9) — (11). №
` Назовем упорядоченный набор а = (а, ао, ..., а.) комплексных
чисел вектором пространства С,, определив операции сложения,
умножения на комплексное число А, и р-модуль (длину) вектора формулами
a+b=(a,+
6,
Aa + bz;
coed
a, + 6,),
ham (Has, Bassey
age fal ($ lage)”
п
1
р
k=l
Можно убедиться
свойства модуля
в том, что для
вектора;
(а|=0=>@=0);
<1а|-+16
|.
Наименее очевидное
р-модуля
выполнены
основные
2) |м|=1^А1[а|; 3 |а+8|<
из них свойство 3) совпадает в неравенством
Минковского.
5.6. Приложение выпуклых функций к решению уравнений. Многие практические задачи приводят к уравнениям вида } (х) = 0.
Простейший
прием
его решения
— метод
вилки — основан
дующем утверждении.
Теорема (Дарбу). Если функция [а, 6] t.
смысле
Ньютона — Лейбница
(в частности,
Е (а) |(6)
< 0, то
ЗЕЕ Ja, lif© =0.
на сле-
В интегрируема в
непрерывная)
и
Для случая, когда функция ] интегрируема всмысле Ньютона —
Лейбница, теорема доказана в дифференциальной форме в п. 2.6,
гл. 6. Если } непрерывная функция, то утверждение следует из теоремы об интегрируемости непрерывной функции. }№
Доказанное утверждение для случая непрерывной функции |
называется теоремой Коши об обращении [ в нуль.
232
Метод вилки основан на том, что за приближенное значение
корня уравнения } (х) = 0 принимают середину интервала la, Ol,
т. е. полагают & 2
a-t-b.
+
; Для
более точного
вычисления
значения
корня среди сегментов [а, ] и [&, 6] выбирают тот, на концах которого функция [ принимает значения разных знаков, и в качестве следующего приближения берут его середину.
Пусть функция { выпуклая и } (а) < 0, { (5) >> 0. Тогда для нахождения приближенного решения указанного уравнения пользуются методом хорд, который состоит в следующем. Соединим кон-
цы графика функции [а, 61 1. В
хордой
(отрезком)
и обозначим
через х, точку пересечения ее с осью Ох. Полагаем Е Ах х,, гдеЕ — корень уравнения } (х) = 0. Очевидно (рис, 57), что
b—
n= aT THAT EH
(1)
Из леммы о трех точках плоскости еледует, что х, Зи] (х,) =
< 0. Если ] (х,) = 0, то корень уравнения найден. В случае, когда
f (x;) < 0, повторяем указанный процесс для сужения
[| (ж,ь,
а найденное приближенное значение корня обозначим через х.. Неограниченное применение указанного процесса приводит к после-
довательности
(х„), где
6 —х_|
Ав =
Xn-1
Последовательность
i (Xn—1)
(х„)
f (b) —f
(%,—1)
неубывающая,
,
Aya
ограничена
(n Е №.
(2)
сверху
числом
Ё и по теореме Вейерштрасса имеет предел при п — ‘со, который O60значим через х. Поскольку выпуклая функция } непрерывная, TO
предельным
переходом в равенстве
(2) убеждаемся
в том, что х = &.
Рассмотрим метод Ньютона решения указанного уравнения.
Проведем касательную к графику функции [ в точке (6, } (6)}.
Обозначим через х! точку пересечения указанной касательной в
осью Ох. Полагаем & = м, где Е — корень уравнения [(х) = 0.
Очевидно (рис. 58), что
т
=b— —
f(b)
Ро
.
(3)
Из свойств выпуклых функций следуют неравенства ж! >> Ё, f (x1) >
> 0. Если # (я) = 0, то м =.
указанный процесс для сужения
рассуждения,
получим
Xn =
Xn-1
Если f (x1) > 0, то повторяют
}|,„.. Продолжая аналогичные
и
последовательность
—
f (%,—1)
| (x1)
» X=5
(х„), где
(NEN).
(4)
Последовательность (Xz) не возрастает, ограничена снизу чиелом
5 и по теореме Вейерштрасса имеет предел при п -—оо, который
233
Yh
Puc.
57
Puc.
58
обозначим через х’. Поскольку производная {я не убывает, af — Henpeрывная функция, то в равенстве (4) можно перейти к пределу при
п — со. При этом получим, что} (х’) = О, т.е. х’ =,
Рассмотренный прием решения уравнения } (х) = 0 также назы-
вается методом касательных (из-за его геометрического смысла).
Чаще всего пользуются комбинированным приемом, когда приближенные значения & поочередно находят методами хорд и касатель-
ных. Преимущество комбинированного метода связано с оценкой
погрешности решения уравнения, которая не превосходит разности
Х" — Х„. В зависимости от заданной точности вычислений легко
определяется количество указанных операций.
Для приближенного вычисления корня уравнения f (x) = 0
применяют также метод Канторовича, который отличается от мето-
да касательных тем, что в формуле (4) вместо {» (х„-—1) берут [ (6).
По указанным выше
решения уравнения,
методом хорд.
причинам, связанным с оценкой погрешности
метод Канторовича полезно комбинировать в
$ 6. Элементарная теория интеграла,
зависящего от параметра.
Частные
производные
функции.
В?-дифференцируемость
Если скорость движущейся материальной точки зависит от параметра, то закон ее движения является функцией, значения которой
выражаются через интеграл, содержащий этот параметр. Теория
таких интегралов важна для приложений и служит источником новых вычислительных методов. Вначале рассмотрим элементарную
теорию интеграла, зависящего от параметра. Ее обобщения (с применением теории интеграла Лебега) будут рассмотрены в отдельном
параграфе гл. 8.
Определение. /Тусть А < В, а, | X A К. CuVvaga
b
a | f(x, a) dx = F (a).
a
234
Тогда функция Е: В -—
С, О+ = А, называется интегралом,
зависящим
от
параметра ча.
Пусть } — элементарная функция отх и. Тогда функция Ё может не быть элементарной, например (см. п. 6.3, гл. 6)
Jody,
F(a) =|
ax
VaeR.
0
С вычислительной точки зрения этот факт несущественен, поскольку,
применив одну из известных квадратурных формул, можем вычислить с требуемой точностью Ё (%) для конкретных значений ©. Главная цель — исследовать дифференциальные свойства функции F,
в зависимости от аналогичных свойств отображения {.
6.1. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра. Пусть
АСВ, 1а, [Хх А —- С. Напомним (см. п. 5.1, гл. 5), что через
fix
Wx Ela,
@ обозначаетея
функция,
fux(a) = f(x,0) Vac.
Аналогично функция р№р«
формулой
(1)
\ Е А определяется правилом
foa(x) = [(х, а)
Теорема.
определяемая
Пусть А < В,
УхЕ]а, 6[.
Ja, МХА
1.
(2)
С. Если У «Е
А функ-
ция ]а, Ы 2% (С интегрируема в смысле Ньютона — Лейбница, а
семейство функций (|\,х)хе1аы равностепенно непрерывное в точке
Е
0, © А, то функция А —С, где
b
F(a) = { Fosa (x)dx
УасА,
(3)
непрерывна в точке о.
Ф Пусть & > 0. По определению равностепенной непрерывности
семейства функций (й,»)хса.ы в точке Op (см. п. 4.1, гл. 6), в множестве А существует такая окрестность О», что У (x€ la, Ol,
С Оз.)
[А (х, а)
— Р(х,
Применив теорему об оценке модуля
чим неравенство
о) | < в.
(4)
интеграла (см. п. 1,3), полу|
b
| F (at)
— F (eo) | =} | (fo. 9
— Бы (9) ах| <
<e(b—a)
VacO,..
|
|
(5)
Согласно определению, функция РЁ непрерывна в точке Cho. >
|
6.2. Производная интеграла по’ параметру. Формула Лейбница.
Теорема. ПустьА < В, Ja,
ХА +. С. Если У % С А функfoe »
yua ja, b ("+ С. интегрируема
в смысле Ньютона — Лейбница (или
-235
Римана) и семейство функций ([,х)хсам равностепенно дифференцируемо в точке о, Е А, то функция А =”. (; (см. формилу (3), п.6.1)
дифференцируема при & = 4%.
< Согласно определению равностепенной дифференцируемости семейства функций (},х)хе]аы В тОЧКе 9% (см. п. 4.1, гл. 6), имеем
У (&« СА, хЕ1, Ol)
fix (&) — П,х (6%) = Фи,х (9) (% — 0%),
где семейство функций
(ф!,„)хеаы
точке 0. Из равенства (1) У%Е
равностепенно
непрерывно
А получаем
ho, (Х) — Вл (Х) = Фо (Х) (& — в)
УхЕа, 61.
(1)
в
(2)
Поскольку левая часть последнего равенства интегрируема по переменной х на сегменте [а, 6], то его правая часть также интегрируема
и справедлива формула
b
Е (©) — Е (0%) = Ф (<) (&«—0)
где Ф (<) = | Ф2о (х) ах
реме
ке
о.
УяеА
п. 6.1. По определению
№
УаЕА,
(3)
— непрерывная функция по тео-
функция
ЁР дифференцируема
Если ©, — предельная точка множества
производной Ё” (©) = Ф (а), т. е.
A,
то
по
в точ-
определению
b
F (ct) = | Ф(х, оо) 4х.
(4)
Равенство (4) называется формулой Лейбница.
Пусть выполнено равенство (1) и функция Ффи,‚ непрерывна в
точке Е А, являющейся предельной для множества А. Число
@ (x,
о) называется частной производной функции { по второй
8
Of (x, @
переменной в точке (х, о) и обозначается символомaE, Oe) предложенным Лейбницем. Принимая во внимание это замечание, формула Лейбница записывается в виде
,
,
b
({ F(x, а) a
=
9—0
ах.
(5)
а
6.3. Частные производные и В?-дифференцируемость функции.
Необходимость
рассмотрения
частных
производных
функций
1 В2-—С или {1С -— С объяснена в предыдущем пункте. Говоряо
частных производных функции [, будем считать, не оговаривая спе-
циально,
что точка
(хо, Ио)
является
предельной
для
множеств
Dz 1 {(х, у) ЕВ?
хе В} и р; П {(х, )ЕВ|уЕВ}.
Определение 1. Производная („,)’ (хо), если она существует,
называется частной
производной функции
{ по первой
переменной
в точке (хе, у) и обозначается символом
236
OF ites
0
Xx
6)
’
предложенным
о
'Лейбницем.
(,») (о), если она существует,
изводной
Аналогично
e
функции
| по
называется частной
второй
ке (хо, и) и обозначается символом А в)
мы
(Хо, Yo)s
ИЛИ
Рассмотрим
Пример
fr
(Хо,
примеры.
Yo)
H |
в точ-
неудобными
(91!) (х, Yo)
и
H
(Xo, Yo).
1. Пусть{ : К? -> №, где] (х, у) = xy + >
Of (0, 2)
про-
переменной
Иногда обозначения
Лейбница
оказываются
будем заменять их более современными —
(Def)
производная
y ~& 0. Найти a 5
ду
Имеем
3
= 3+ ——
УхЕК,
(fio YY) =O
Следовательно,
полученные
af (1,8) _ 10
Ox
(1,
3)
=
Пример 2. Пусть } : R? +R,
— 0,
ду
записываются
(7)
3 + =~
VxeER,
то (y) = 0,
Wy,
af 0, 2
3’
результаты
1
(5,3) (9) =
В современных
обозначениях
в виде
10
3.
у
(2.7)
(0,
2)
== 0,
rae f (x, y) = arctg >,
x 5-0, Найти
of с
)
Of (x, y)
Имеем
fo , (x) = аг as
2, у
VxER\ {0},
Таким
у
fF, Y) = arctg >
mM
МУЕК,
(,)’ (=
Ц
ZY
x2 Ly?
,
x
(Ни)’(И =
ати.
\УЕК,
образом,
Of (x, y)
oy
В
УхЕК\ {0},
x
современных
x
+
y
yp?
обозначениях
’
эти
у
(Df) (x, y= — аи’,
of (x, y)
ay
результаты
tb
x
yf
запишем
V
ye
Df,
в виде
x
(Daf) (x, y) = eae’
Пример 3. Пусть /: В? -> Ю, где / (х, y= Vey
д} (0, 0)
of Cl, })
дх
,
ду
°
(x,
V(x,
(x, y)€ Df.
y)€ R%
Hatta
Имеем Ухс
bhoO=%
hd O=%
пд
= У,
_
а
1
=-.
237
В
современных
обозначениях
(Df)
полученные
(0,
0) —
Пример 4. Пусть }: СС,
результаты
0, -
(Def)
(1,
1)
где
/(2)=|2?
=
записываются
1
3
в
виде
.
У2ЕС,
Найти
Ee
Of (2)
ду
‘
Имеем
foy (x) =x?+y?
WER,
НхИ/=ж у
Поэтому
(1) (<) =2х
УУЕК, (=
УхЕК,
2у
УУЕК,
|
TE)
— or,
Te)
у
VzeD;,
z=x+iy,
ИЛИ
(8:7) (2) == 2x,
(Daf) (2) = 2y
VzeC,
z=x-+ ly.
Onpejenenne 2. [lycms f:C>C
(uau [Ё: В? — С). Функция |
называется @В?-д ифференцируемой
в точке 2)=%X%)+
+ о = (Хь и), если существуют непрерывные в этой точке функции ф! и ф. такие, что
f (2) — № (2) = Ф. (2) (х — хо) -
Фо (2) (у — YH).
(1)
Теорема 1. Пусть функция |: С —> С (uau f : R? > С) В?-диф-
ференцируема в точке гу = ху -- й = (ху, и). Тогда существуют
частные производные функции | в точке гу и выполняются равенства
Ч
Полагаем
(D,f) (20) = Pr (Zo),
в равенстве
f(x + шо) — Ех
(Def) (Zo) = Pa (2p).
(1) у = у.
(2)
Получим
1) = Fey, (%) — Ри, (%) = ф! (х -Н
о) (Хх — х).
Так как функция х ++ ф, (х + йо) непрерывная в точке ху, то, согласно определению дифференцируемой функции одной переменной,
‚
д
существует
(f2,4,)' (%o) = G1 (Xo + 1%) = фФ1 (2%),
т.
е. aa
=
= (D,f) (Zo) = 9, (29). Mlonaras B papenctBe (1) х = хуи проведя аналогичные рассуждения, получим, что 3 of5 = (Def) (2) = Pe (2). »
ных
Обратное
утверждение
производных
руемость
функции
в этой точке.
справедливо:
[ в точке
из существования
25 не следует
част-
ее дифференци-
Пример 5. Исследовать функцию }: Ю?2 —> Ю на существование частных
производных. и В2-дифференцируемость в точке (0, 0), где } (х, и) = W xy.
B mpumepe 3 aoKasaHo, uTo J (M,/f) (0, 0) = 0. Takum o6pa30m, Pyukunsa f
имеет обе частные производные в точке (0, 0). Исследуем функцию } на ®?-дифференцируемость в этой точке. Предположим, что функция }
К?-дифференцируема в точке (0, 0). Тогда выполнено равенство (1), имеющее вид
238
VW xy = 9; (x, И х-| фо» (х, уу,
(3)
где ф/ и ф. — непрерывные в точке (0, 0) функции. Согласно теореме 1, фу (0, 0) =
— ф. (0, 0) = 0, Полагая
в равенстве
l
1
+ (=,
n2
(3) x, =
a?
Yn =
1
1
1
+
(я)
11
что противоречит предположению Ф, | —-, =]
Следовательно,
функция
/ не является
0
— 0, Фз
Te»
получим
=
1
1
|, -з-|
К12-дифференцируемой
0
— 0 при п -+ со.
в точке (0, 0).
Теорема 2. Если функция {1 С — С (или [1 В? — С) В?-диф-
ференцируема в точке 2, то она в этой точке непрерывна.
$ Справедливость утверждения следует из равенства (1), поскольку его правая часть является непрерывной функцией в точке 2. №
Для изучения теории функций многих переменных и, в част
ности, для построения примеров полезным является понятие прямого
произведения
Определение
функций.
3. /Лусть {1 В —> С, с: В
В? —>С называется
прямым
f ug, ecau Dix, = D; X Dy u
(f x g) (x,y)
=
-> С. Функция
произведением
Е
[Х в!
функций
У, ЕО.
(4)
Приведем пример, показывающий, что из существования частных производных функции | в точке 2, не следует ее непрерывность
при г = 2.
Пример
6. Пусть
АО
вил —
№ ХЕ
КУ {0},
Исследовать функцию } Х а на непрерывность в точке (0, 0), существование част“
ных
производных
Имеем
и К3-дифференцируемость
TX ee, N=
Tak kak (f X g) (-.. =
точке (0, 0). Поскольку
=
=|
1, а(Х
в этой точке.
1, если
х=-0
0, если
х =0
и
и=20,
или
у =0,
в) (0, 0) = 0, тофункция [ Х
(f X Blog (x) = 0
УхЕК, то 3 (@, (Х
& разрывна в
в) (0, 0 = 0.
Аналогично (&, (Г Х в)) (0, 0) = 0. Таким образом, функция } Х 8 имеет частные
производные в точке (0, 0). Вместе с тем, согласно теореме 2, она не является В?
дифференцируемой
в этой
точке.
6.4. Условие Эйлера — Д’Аламбера — Коши — Римана.
Условимся дифференцируемую функцию ] : С -> С всмысле определения
п. 1.1, гл. 6, называть С-дифференцируемой в отличие от В?-дифференцируемости. Как и в начале п. 6.3 считаем, не оговаривая специально, что точка 2 = %№ -- 1 = (х, Yo) является предельной
для множеств
Dy 1 {(x + fy) EC | x ER} 4 DyN ((ж%-- МЕС|уЕВ}..
Теорема. Для того чтобы функция [1 ( —> С была (--дифферен:
цируемой
в точке
2,
необходимо
и достаточно,
чтобы
она
была
>
239
В*-дифференцируемой в этой точке и выполнялось равенство
ра — Д’Аламбера — Коши — Римана:
(Def) (2) = § (Dif) (2).
В обозначениях Лейбница это равенство имеет вид
Of (2o)_
(1)
_. ; OF (2o)
Oy
—
Ox
<q Необходимость. Пусть функция { (С-дифференцируема
20. Гогда, по определению, существует такая непрерывная
2 Функция
ф,
Эйле-
в точке
в точке
что
f (2)
— F (20) = (2 — 29) Ф (2) = (х — х) Ф (2) +
+iy—y)(2)
VzED;.
(2)
Согласно определению 2, п. 6.3, функция f В*-дифференцируема в
точке 2. Кроме того, по теореме 1, п. 6.3, существуют частные про-
изводные (91]) (2) = Ф (20), (0-]) (2) = {$ (2),
т. е. выполняется
равенство (1).
Достаточность. Пусть функция f В?-дифференцируема в точке г, и выполняется равенство (1).
Согласно определению 2, п. 6.3, существуют такие непрерывные
в точке 2, функции ф! и фо, что
Г (г) — 1 (20) = фи (2) (х — хо) + Фо (2) (у — у).
(3)
Полагаем Фо (2) = 24, (2) -- г (2) У2ЕО,. В силу равенства (1),
г (2.) = 0. Кроме того, в — непрерывная в точке 2, функция. Подставляя #1 (2) -- & (2) в равенство (3) вместо ф. (2), получим
f (2) — f (2) = Фа (2) (2 — 2) + г (2) (у— у).
Полагаем
о
| ео,
(4)
ели 29%
“о
ф\ (25), если 2 = 2p.
Поскольку функция ф непрерывна в точке 2, (это следует
[№
р)
из оценки
| < |891) и 9 — 1%) =@—5) 90, то функ
ция | (-дифференцируема в точке 2. }
Укажем другую форму записи условия Эйлера — Д’Аламбера —
Коши — Римана, встречающуюся в математической литературе.
Пусть f(z) =u(x, УС,
у,
2z=x+ iy, % = X% + iyo.
Тогда
(Df)
(2,)
—
=
ди
Soe
Yo)
+
aa oe Yo)
i
Ov
i
i
os
Yo)
,
(Def)
(2,)
—
Ov (Xo»
5. Yo)
и равенство (1) равносильно системе равенств Эйлера — Д’Аламбера — Коши
—
ди (хо,
Ox
840
Римана
Yo)
—
du (Xo,
ду
Yo)
,
ди
(Xo,
dy
Yo)
=
—
90 (хо, Yo)
0%
(6)
6.5. Производная сложной функции.
Пусть
Р1С-—> (С
(или
{: В2 > Фиг
В?-дифференцируема в точке 2 = Xp + Yo = (Xo,
Yo), являющейся предельной для множеств
D, N {(x+ iy) EC|xER},
О; П (5% --
ЕС уЕВ},
а функция
1 В — С — дифференцируема в точке 4,€ Dy, mpeдельной для множества Droy и 2 = 1 (К). Тогда справедливо
утверждение.
Теорема. Композиция | ° ф имеет производную в точке & и справедлива формула
(ев) = 259 а) 2
(6),
ede
(0 = Веф (0, % (0 = шф (0 WEE Dy.
< Согласно определению 2, п. 6.3, существуют такие
в точке 2, функции
ф, и Фо, что
(1)
непрерывные
f (2) — F(Z) = 1 (2) (% — Xo) + $» (2) (у— %).
Подставив в это равенство 2 = 1 (f), 2 = 1 (К), получим
(2)
Г.
(оф) (1) — (Ferp) (fo) = Ф, ($ (0) ($. @ — Py (40) +
- Фо» ($ (1)) (ф. © — Т, (15).
(3)
Так как функция ф дифференцируема в точке &, то существует непрерывная в точке & функция 1 = 1, - Й. такая, что
$ (1) — т
Поэтому
(№) = $. (0 — $, Eo)
F(a (A) — $ (®)) =
= (t — ty) nt) = (6 —%) m ) +2 (t — fp) ne (2).
by (2) — р! (75)
= (7 — 1) "1 (0),
(4)
1 (1) — Po (К) — (1 — to) Ne (2).
Из соотношений (3) и (5) следует равенство
(5)
(Fo) 2) — (Fe) (fo) = (— 4) ($, ($ (@)) "и (0) - $. ($ (0) т» (0).
(6)
Согласно определению, композиция | ‹ 1 дифференцируема в точке
ty H
(f © tp)” (fo) = Px (20) Mr (40) + Pe (Zo) Ne (to) =
= EO wi te) +
ha (te).
6.6. Касательный вектор.
Производная по касательному вектору. Касательное пространство и касательная плоскость. В п.2.3, гл. 6,
введено понятие касательного вектора к множеству на плоскости (;
(или в В?). Его легко распространить на случай произвольного пространства В? (р>> 1), в частности на (7, поскольку его можно
рассматривать как ЮВ”.
Определение
1. Вектор
касательным
к
= (x), ..., x9”), если
т = (т, т,
..., т,) © В?
называется
множестви Ха В? в точке ж =
существуют такие последовательности
241
(х,) и (В,), что Уп © № выполняются условия
B= CH eons VEX, hyoO u ны
x
Нуль-вектор
всегда считаем
Определение
множеству
2.
Пусть
касательным.
т — единичный
О, в точке 25 = (х',
П роизводной Зо.
в точке т, называется
limо
касательный
вектор
| по касательному
вектору
х”)
функции
ГР (1)
9)
)
и
выполнены
условия
ГОТ, хо) — Гб, «9
-
N=oo
в
(1).
%
(2)
n
если он существует.
Пусть вектор (ти, 3›, тз) является касательным к графику Г;
функции ] в точке Zp. Тогда, очевидно, вектор т = (т,, т.) — касательный к множеству О; в точке хо. Если, кроме того, он единичный,
Of (Lo) . Обратно, если 3 OF 5(&o)—, ТО вектор |т1,
( та, O} —5.(Xp) AB—=
TO Ts —
ляется касательным
Теорема.
Если
к графику Г, в точке (xt, x”, f (o)).
функция
руемой в точке x) = (x), x9)
|: В? — В
является
В?-дифференци-
и т— единичный касательный век-
тор к множеству О, в точке ху, то
1 (2) =_
IG.
_9! x,(Xo)
ede t = (cosa, sin a).
q [lycts f В?-дифференцируема
равенство
о
0
f (X15 X2) — f(x,
+
в точке
Po (Xs
5,
функции.
том
|
в
точке
—
20) eos, a + Ot)
sina
pe
м,
и
В?-дифференцируе-
называется
обозначается
grad } (хо).
Из формулы (3) следует, что производная Of OT(Xo)
нальная проекция вектор-градиента на касательное
(242
выполнены
дхо
“4
3. /Густь функция |! В? —>= В
функции
(4)
Если
yp PTs 3) —hy FU, 39)
how
7
справедливо
0
ма в точке x, = (х®, х”). Вектор (2,1 oe)2
диен
Тогда
№5) (хо — xy” ’
= Q, (2) T, + Po (Xo) Te =
Определение
2.
(3)
2) = фи (жи, х) (1 — XY") +
где ф, и ф› — непрерывные в точке
условия (1), то
OF )
(a
дт
Of Gy(Xo):sina,
OSA +
грасимволом
есть ортогонаправление
в точке Lp, определяемое вектором т. Производная Of (2%) имеет фиOT
зический смысл скорости возрастания функции | в направлении т.
Если х, — внутренняя точка множества О;, то градиент указывает
направление быстрейшего возрастания значений функции,
а его
модуль равен скорости этого возрастания в направлении т =
_.
grad f (xp)
| grad f (2p) |
Из формулы (3) следует, что если сумма и произведение на число ^Е В касательных векторов к множеству О; в точке ху = (x\”,
х”) являются касательными векторами к тому же множеству в той
же
точке,
то
аналогичным
свойством
обладают
ры к графику Г, в точке (х”, х°’, | (2).
и
касательные
Их совокупность
векто-
называ-
ется касательным пространством в указанной точке. Если касательное пространство есть плоскость, проходящая через начало координат, то параллельная ей плоскость, проходящая через точку
(x\” ‚ хо, f (%)),
(рис.
называется
59)
и —
Ш
где шо = f (xp).
6.7.
=
Интегрирование
о
касательной.
(x,
по
—
хо)
+-
параметру.
д
Ее уравнение
м
(Xp —
Пусть
хо),
имеет вид
(5)
9% — множество
функций } : [а, 6] —> С, интегрируемых в смысле Ньютона — Лейбница. Каждой функции [6 9% поставим в соответствие функцию
Е: [а, В] — С, полагая Ух Е [а, 8]
F (x) = | 04.
Muoxectso
рез
ЗУ.
(1)
{F | f € Mt} o6o3HayuM 4e-
Определение 1. Множество фиункций 9% называется
равностепенно
интегрируемымв
смысле
Ньютона— Лейбница,
если множество функций 9—1
равностепенно
каждой точке
гл.
6).
дифференцируемое
в
ху Е [а, В (см. п. 4.1,
Семейство функций ()оед считается равностепенно интегрируемым в
смысле Ньютона — Лейбница на сег-
менте [а, 6], если
указанным
свойст-
вом обладает множество 9% = {] | “Е
€ A}.
В частности, имеет смысл и
понятие равностепенной интегрируе243
мости в смысле
Ньютона — Лейбница
ций (f,).
последовательности
функ-
Требование равностепенной интегрируемости в смысле Ньютона — Лейбница множества функций 9% слабее требования его равностепенной непрерывности.
Теорема 1. Если множество функций 9% равностепенно непрерыв-
ное в каждой точке сегмента [а, 6]
равностепенно
интегрируемым
[а, 6].
q Поскольку множество
ха,
В], то У > 0 38
V(FEM,
Полагаем
Пусть
[Е 9%, хЕ
№| <
-—=
то
оно
является
Ньютона — Лейбница
9% равностепенно
(ж) > 0:
xE la, 5}) (|x —
Pxo,f (X) = |
(«Е В, 6ЕВ),
в смысле
непрерывно
в точке
6 (5%) > (| F(x) — F(%) |<).
(104, если хе а, Иж},
на
(2)
3
0
(хо),
если xX = Xp.
[а, bl, | x — Xx |
6 (х,). Применив теорему об
оценке модуля интеграла (см. п. 1.3), получим неравенство
| Px0,f (x) =
Prof
(Xp)
| =
Поскольку Ух 6 (а, |] F (x) — F (x) = (x — %) Ox,.1 (x) и семейCTBO (YHKUHA (,, ;)¢é9
равностепенно непрерывное в точке Xp,
то, согласно определению
2, п.
4.1, гл. 6, множество 9%,
равносте-
пенно дифференцируемое в точке ху Е [а, 6]. Следовательно, множе-
ство %Х равностепенно
ница.
интегрируемое
д
в смысле
Ньютона — Лейб-
Понятие равностепенной интегрируемости множества функций
полезно для решения вопроса о равенстве повторных интегралов
а
b
р
а
n= {dy {Poo wde b= pene y) dy.
(5)
Предположим, что функция la, ыы. © интегрируема на сегmente la, 6] Wy € Ic, dl. Если функция [с, 4[ - С, где
& (у) —
( Ге, (х) ах
МуЕ]с, dl;
d
MHTerpHpyema
Ha cermente
Ic, d], To /, = \ gy) ау.
b
=
244
|
d
@ (x) dx,
где
ф (х)
—
| Й,х (у) ау.
Аналогично
Необходимость
изучения
повторных
интегралов
возникает
решении многих прикладных задач. Пусть, например, Р =
при
[а, 6] Х
х [с, 4] — ограниченный прямоугольник на плоскости В, {: Р—- В — непрерывная функция, принимающая неотрицательные значения У (х, у) ЕР. Ее график в пространстве №3 есть поверхность,
расположенная над прямоугольником Р. Между этой поверхностью
и прямоугольником Р расположено цилиндрическое тело Т, называемое подграфиком функции }{. Найдем его объем. Для этого разобьем сегмент [а, 6] точками
а = х<х
<...
х, — х,—1.
Тогда
<
х, == ф на части
и через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные к
оси Ох. Тело Т будет при этом разделено на части Т,
(= 1, п),
расположенные между этими плоскостями. Каждую из указанных
частей тела можно приближенно считать цилиндром с площадью
основания
S (x;)
и толщиной
Т, приближенно равен $ (х,) (х, — x;-1), a O6bem
сумме объемов частей Т,. Таким образом,
объем
Vr
п
Ут — SS (xj) (Ху— х,-1.
«цилиндра»
тела Т равен
(6)
j=l
Правая часть равенства (6) есть интегральная сумма для интеграла
b
| S (x) dx. Поэтому полагаем
3
6
Vr
| S (x) dx.
(7)
При фиксированном х Е ]а, Ы значение S (x) есть площадь фигуры,
полученной в результате пересечения тела с плоскостью, проходящей через точку х перпендикулярно к оси Ох. Аналогичные рассуждения показывают, что
а
S(x) = (fix) ay.
Таким
(8)
образом,
b
Ут
d
| ах ( f (x, y) dy.
Если в рассуждениях поменять ролями х и
ти равенства (9) получим
а
и, то вместо
(9)
правой час-
b
| dy | f (x, y) dx.
Поэтому определение (9) корректно лишь в случае, когда повторные
интегралы функции / равны между собой. Многие прикладные задачи связаны © проблемой равенства повторных интегралов.
245
Теорема 2. Пусть Р. = [а, МХ
yutt (foy)yeled)
равностепенно
[с, 4, Р + С исемейство функ-
интегрируемо
на
сегменте
а
[а, 6].
x
Если У x € la, В] существует повторный интеграл | dy | f(t, y) dé,
то существует второй повторный
ство
интеграл
С
и
a
справедливо
равен-
far(renay=(ayfreyat ужей. = (0
4
Согласно теореме п. 6.2, имеем
ме
sat) =
(и
wat) dy = free y)dy
(11)
с
У хе
х
Следовательно,
’_
3 { at | Г (1, и) 4у и справедлива
Следствие.
непрерывная.
[a, 5].
а
Пусть Р = 4а, 6] Х
Тогда
fax (ee
формула
(10). >
[с, 4] и функция
pPL¢
w)dy = ( dy ( Fe
y) dx.
Ф Повторные интегралы существуют согласно
их равенство следует из указанной теоремы. }
Определение
2. Пусть
Р = Па, ВЫХ
(12)
теореме
п.
[c, dl, P + С. Функция
[называется интегрируемой
по Ньютониу—
ницув прямоугольнике Р, если выполняется равенство
by
а,
dy
Ь,
Cy
ay
6.1, a
Лейб-
jax {F(x дау= | 4% | Ге дах У (а, ЕР, 6,4) ЕР). (13)
а
1
Для
вторный
нику
интегрируемой по Ньютону — Лейбницу функции } ее поинтеграл называется двойным
Р
и обозначается
\\ F(x, 5) ахау = (ле
Р
ас
интегралом
у) dedy
по
прямоуголь-
(р {о y)dy.
а
б
(14)
Согласно следствию из теоремы 2, каждая непрерывная функция
Р 1 (С интегрируема в смысле Ньютона — Лейбница.
Укажем применение понятия интегрируемости функции по Ньютону — Лейбницу в прямоугольнике Р к решению вопроса о дифференцировании интеграла по параметру.
246
Теорема 3. ПустьР. = 1а, 6] Х [с, 4], Р ae C. Ecau dyxkyua la,
b] Ву, С интегрируема
в смысле Ньютона — Лейбница\У
у Е [с, 4] и
существует частная производная (9.р(х, у), интегрируемая
Ньютону — Лейбницу в прямоугольнике Р, то
b
(Fre
<q
дах
,
b
= | (Daf) (*, y)dx
WyE€le, d].
по
(15)
В силу интегрируемости в смысле Ньютона — Лейбница частной
производной {в
P, umeem Vy € Ic, dl
f dt { (Ds (x Ode = (de ( (Dal
d= (FO ¥)—Fle 0) de.
[2
Поскольку функция [а, 6] —"+
С интегрируема на сегменте [а, 6], то
из свойства линейности интеграла следует равенство
b
b
`
6
у
| at | (Daf)(% Dax= | F(x, y)dx—| F(x, c)dx VyEle, dh.
Дифференцируя
это тождество
Теорема 4. Пусть
интегрируема
в
A (Def) (x, у). Если
b,
(ле
,
смысле
по у, получим
Р = [а, 6] Хх
равенство
(с, а], функция
Ньютона — Лейбница
и
(15).
}
[а, 6] Вы, С
У (х,
y)EP
by
д) = | (Def)(x, y)dx W(a, €la, b], 6 €la, 61, y€le, dj),
то функция 25]
прямоугольнике
интегрируема
Р.
в смысле
(16)
Ньютона — Лейбница
в
<< Пусть с, Е [с, 4], 4, Е [с, а]. Тогда, принимая во внимание равен-
Гомо
(ная
ство (16) и формулу Ньютона — Лейбница, получим
(1
\а,
= {Fle djae—| (a) ax.
Так
У
y=d,
=—3
YC;
а!
как
(Dei) (x, y) dy = (7 (x, ¥)
dx = | ((, 4) — Ка сдуах,
by
y=4,
ус
а!
TO
1
by
1
1
f dy | (Dof) (x, y) dx = ( ax | (Daf) (x, y) dy,
"247
т. е. функция 9)./ интегрируема в прямоугольнике Р в смысле Ньютона — Лейбница.
Приведем
№»
пример,
показывающий,
by
,
(| f(x, y) ax
что
6,
A3 | (Def) (x, y) dx,
однако
( Wie) ex # | (Daf) (x, дах.
Ь,
Пример.
Пусть
,
by
Р = {(x, y) € IR? |x >0
A yEIR},
P FAR,
rae
2
3
О
Доказать,
что: 1) У (х, ИЕР
иные
0,
eee
*
,ecmu x>O0A YER,
если х = 0, yEIR,
SJ (2,/) (x, y);
2) V (a> 0, b6>0, y EIR)
a | (A (x, y) dxs
“s
9 У@>0, 620, уЕВ)
Al f(s, yay;
b
4) V (a>o,
b>0,
y EIR)
'
1
1
5) (| FG 9) |
0
y=0
4
3((
па
# | (@,/) (x, 0) dx.
0
Доказательство проводим, используя определение частных
интеграла Ньютона — Лейбница функции двух переменных.
1) Если х 520, то
*
2
Кроме того, УуЕ К
2) Пусть
(а, ЕР,
`
| (al)
(8.1 (0, у) =0.
(5, ЕР.
(, y)
Поэтому
Тогда
_ foо
de =
y?
У <, ИЕР
(8% —
sa
3
2y") dx
З (8
=
a
oy2\
-(--—):
b
{ (a)
248
-&—
b
warm
+ (
912
у
—i)e
_
22 \ —
(1)
¢
“
и
y?
(Of) (x, д == в —2)е
_
производных
, если Ож«аж< в,
° , если 6>0,
у=0;
yeR;
(, у.
5
| (ah) &, O)dx=0
yo>0,
a
b
уе
э Гера]
|
2
4) Утверждение
5) Имеем
уе
PO
и
0,
°
Lx
—e
@), если
№, если О=а<В,
если
очевидно.
а>0,
y=0
1
иуЕШВ^\ (0},
6>0,
у=0,
8 =1,
=Ште
y-+0
1
{ (af) (#, 0) dx = 0, ( (x, » as
0
0
построить
YER,
,
я
(Fre
$
Легко
0O<a<b,
пример,
когда
’
1
=0
правая
# | (af (x, 0) de.
0
часть формулы
Лейбни-
ца имеет смысл, а функция [2., не интегрируема ни при каких значениях ИЕ №. Для этого достаточно считать ] (х, и) =ф (х), где
ф — неинтегрируемая функция. Существуют и такие примеры,
когда левая часть формулы Лейбница имеет смысл, а функция Df
не существует УуЕ (с,
4]. В этом случае достаточно рассмотреть
функцию / = фХ
$, где ф имеет интеграл, равный нулю, а ф —
нигде не дифференцируемая функция.
В остальных случаях теоремы 3 и 4 показывают, что интегрируемость функции 9.5 в прямоугольнике Р является необходимым и
достаточным условием справедливости формулы Лейбница. Заметим, что теорема
из п. 6.2 дополняет теоремы 3, 4, поскольку
в ней
указано условие, наложенное на функцию, а не на частную производную 9)./, обеспечивающее справедливость формулы Лейбница.
Достаточным условием справедливости формулы Лейбница является непрерывность в прямоугольнике Р функции } вместе с частной производной 9)./. Этот результат является следствием как теоремы п. 6.2, так и теоремы 3.
$ 7. Формула
Тейлора. Экстремум
векторного аргумента
функции
7.1. Частные производные произвольного порядка. Теорема о смешанных производных. Пусть { : В” -> В, х, — предельная точка
множеств О, [| {(х1, хо, ... хо) ЕВ” |x, ER}, ..., D; 0 (хо, ...
.. би) ЕВ” [= ЕВ).
7,
Определение.
ной
Лроизводная
функции
x; +» f(x,
oe,
PU,
Хх,
точке
ту
..., Хо) в точке х®, если она существует, называется част производн
и обозначается
через
Oe Функции
a
Г по ]-й переменной
в
0
]
249
д
Кроме символа
чения
указанной
.
eo
(предложенного Лейбницем),
частной
производной
Mu (Dif) (x) nan f°? (ay).
пользуются
о
для обозна-
также
знака-
Определим функцию Dif iIR” — В, полагая ее значения равными частной производной (7/1) (1) во всех тех точках х Е D;, B KOторых они существуют. По методу математической индукции определяем частную производную произвольного порядка посредством
формулы
Diving
Следуя Лейбницу,
также символами
vt
=
указанные
10%),
oe
(Dij,,..01 pf).
частные
OPTF (x4, 200) Xm)
0%;
Digs
—
OX;
0%
(1)
производные
д
( OPf (x1,
Ox; |
обозначают
Хм) )
...
OX;
(2)
Пусть, например, f (x1, %,) = x17, X, > 0, x, 4 1, x, ER. Torga,
согласно определению, имеем
Dif (x) = хх",
Dit
(x) = X_ (x, — 1) xiv,
Физ (2) = ЖИ
Dof (x) = xi" In x,
2
Фе!
(1)
—
xT
—1
хе
Deol (x) = xf" In? x,
хз
In
Xo
x1
In x,
+
1
м.
=
х.—1
Хох1*
In
|
Xo—=!]
e
м:
+
^1
2
нство не является
Получили, что Фи (2) = Фо} (2). Это раве
р и 9
ные
звод
е
прои
анны
смеш
случайным. Как правило,
равны
собой.
между
Теорема 1. Пусть Р = [a, 6] X Ic, dl, P 4 R, Ра; =Р. Если
22
функция Р Заз,
то У (х, у) ЕР
В интегрируема в смысле Ньютона — Лейбница,
I Dowf (x, у) = Diol (% 9).
4 Поскольку функция Фи! интегрируема
ницу, то справедливы равенства
(ae
[ Diol
(t,
(Dif (t, y) —
(в процессе
Лейбница).
250.
t) ат
=
[4
f Фа!
(3)
по Ньютону — Лейб(т, t)
dt
=
На, в) ат = f (x, y) —f (a, y)—
—f(x,c) +f (a, 0)
(4)
вычислений дважды применили формулу Ньютона —
Получили интегральное представление функции | в
виде
у
F(x у) = Ка,
x
+ На, д — Ка, 9+ [4 | Фаза, 04
У (х,
ЕР.
(8)
|
Из равенства (5) находим
Фе! (х, у) = 0.1 (х, У).
№
Следствие. Если функция Р — В имеет в каждой точке
прямоугольника Р частные производные первого порядка и смешанf
ная производная Фиэ){
—
vy
непрерывна в Р, то
Фа! .
{ Из непрерывности функции О
по Ньютону — Лейбницу.
}№
Теорема 2. Пусть Р =1а, 6] Х
У (х)ЕР
следует
Зе
=
ее интегрируемость
Ic, dl, P + К. Если в каждой
точке (x, и) Е Р выполняется равенство
Фа (х, у) = Фев (х, у),
(6)
то функция Фаэ! интегрируема по Ньютону — Лейбницу в прямоугольнике Р.
Пусть (аи, с1) ЕР, (6, 4.) ЕР. Дважды применяя формулу Ньютона — Лейбница,
получим
а,
b
{as | DPaf (x, y) dy = | (Dsl (%, dy) — Dif (x, 0) dx =
== f (b,, dy)
— f (Q, dy)
— (6, сл) -
(а,
си).
Воспользуемся равенством (6) и проведем аналогичные вычисления.
Имеем
а:
by
у
(dy ( Da.yf (x, y)dx = \ dy | D?yf (x, y)dx =
q
= f(D, dy) — f(y, Gy) —F(G,
dy) +f (GQ, G4) =
а,
= (ах \ Dial (x, y) dy.
а:
Cy
Согласно определению, функция ФаэЁ интегрируема в прямоугольнике Р по Ньютону — Лейбницу. №
Объясним, почему в теореме 1 кроме условия интегрируемости
функции 921 в смысле Ньютона — Лейбница в прямоугольнике
Р дополнительно требуется существование 9).] (х, у)
У (х, у) ЕР.
Это связано с тем, что смешанная производная 04.2! не изменится,
если к функции [ прибавить любую функцию, зависящую только
от второй переменной. Однако такое добавление может привести к
251
тому, что перестанет существовать даже первая частная производная по второй переменной. Например, если функция } удовлетворя
ет всем условиям теоремы 1 и функция [, 4 -> В нигде не дифференцируема,
смысле
то
функция
Ньютона
91.) +9)
— Лейбница
в
= Day Г интегрируема
прямоугольнике
Р,
а
Dory
в
(j +
-- Ф) не существует ни в одной точке (х, y) € P. Teopempr 1 u 2 noказывают, что интегрируемость в смысле Ньютона — Лейбница
смешанных производных является необходимым и достаточным
условием их равенства.
7.2.
Различные определения
непрерывности функций ] :
В” -> В.
Понятие непрерывности функции, рассмотренное в гл. 65, распространяется очевидным образом на случай функции [Ё1В” — В,
Определение
1. Функция {1 В” -—> В называется
непрерыв-
ной в точке Ly = (x), x), ..., Хы) ЕО; по Гейне,
—
[1 (%,) всякий раз, как только 4,€D;
VneN
если |(х„) —
uw lim xp(п) —_
0
=x
WkR=1, м.
Tlonaraem V (2 € R”, y ER”,
vty
=
(x,
Хт) -Е
...у
АЖ —= А (1
(Ул,
ЛЕС)
Ут)
..о)
--.›
Е
“(жа
Xm) get (Ax,
|=]=
fi=> 00
max
| x,|.
ooo)
Ув
...,)
Xm
+
Ym);
^хт),
(1)
(2)
(3)
k=1,m
Тогда легко указать обобщение понятия непрерывности функции
по Коши.
Определение 2. Функция | : В" -—> В называется непрерывной по Коши в точке х Е)», если У = > 0 36>> 0:
УзЕР;
{|#—2|<
8) > (1 (2) —1(®) |< 2).
В пространстве В” так же, как и в пространствах В, В?, €, moxно ввести топологию, определив 6-окрестность точки ху 6 В” формуЛОЙ
05 (2) = {26 В" [|2 —2.|<
8}.
Множество
хЕХ
Х с- В”
называется
открытым,
(4)
если
у каждой
точки
имеется такая 6-окрестность Оь (5), что О (<) < Х. Совокуп-
ность всех открытых множеств пространства В” называется
пологией.
Сформулируем определение 2 на языке б-окрестностей.
его
то-
Определение 3. Функция {1 В” -—> В называется непрерыв-
ной
по
Кош ив точкехь Е О., если Уё>0
У2ЕД; П 0 (5%)
Введем
252
понятие
произвольной
36> 0:
|1(=)
— 1 (®)| <.
окрестности
точки ‘2, Е В”.
Определение
4.
Множество
И <- В"
называется
окрест
ностью О (1) точки 3 Е В”, если 36 > 010% (2) = U.
Укажем топологическое определение непрерывности функции
Е: В” — В
в точке жЕО,. С этой целью назовем О; ГП О (5%)
окрестностью точки 5, в множестве
ЕУ}, где У < В”,—
О,, а множество
{х ЕО;
-
|| (=) Е
прообразом У при отображении {. Указанный
прообраз обозначим через Ё"' (У).
Определение 5. Функция [ : В” -> В называется
непрерыв-
нойв точке т, Е О;, если прообраз любой окрестности
= [ (5%) есть окрестность точки м, в множестве П,.
точки уз =
Все указанные определения непрерывности функции в точке
равносильны между собой. Проверку этого утверждения предлагаем провести читателю в качестве упражнения с целью усвоения
введенных понятий Как и прежде, считаем функцию } непрерывной,
если она непрерывна УхЕО,.
7.3.
Дифференцируемость
Определение.
цируемой
Функция
(точнее,
функции
и ее дифференциал.
{ : В” > К называется
В”-дифференцируемой)
дифферен-
в точке
если существуют такие непрерывные в этой точке функции ф,
= 1, т), что У ЕО, выполняется равенство
f(x)
— F (a) = Yi Ox (@) (xe
— 2.
Е Ш,,
(Е =
(1)
k=!
Считаем х, внутренней точкой множества О;. Это условие является более ограничительным, чем принятое в п. 7.1 предположение,
что точка хо является предельной для множеств
D; 1 ((х, хо, ..., хо) ЕВ"
м ЕВ},
...,
БНП ((%7, ..., хоь ПВ"
хи ЕВ}.
Его можно было бы сохранить и получить некоторые усиления фактов. Однако, для простоты, принимаем более жесткое ограничение,
указанное выше.
Если выполнено равенство (1), то числа ф, (5)
(R= 1, m)
являются, очевидно, частными производными функции [ в точке
Хо, т. е. ф, (25) =
ф» (25)
полагая
(Е =1,
et
D wf (@)
т) определим
УВЕВ”
новую
(Е =1, т). С помощью чисел
функцию
41 (2) ®) — У Феб,
4
(хо) : В" -— В,
(2)
Указанная функция называется дифференциалом функции | в точке 2p.
Рассмотрим функцию х+-> х, Уже”.
Ее дифференциалы в
любой точке пространства К” равны между собой и обозначаются
253
через ах,. Пользуясь операциями сложения
на число, получим формулу
и умножения
функций
ар (т) = У" LE) dx, = У Dab (a0) by
(3)
Е=1
Эта формула
да получим
проверяется
df (x) (t) = У
k=l
следующим
образом.
9 ty, аж ®) =
Пусть № 6 В”. Тог-
@=Гт).
Следовательно,
«лед
— У бе аи о = [У 2ан]
k=l
k=]
Увсв”.
7.4. Дифференциал второго порядка. Пусть существует такая ок-
рестность О (хо), что функция {: В” -> В дифференцируема У хе
СО (5).
полагая
Для каждого
УхЕО (5)
№ Е В”
определим
функцию
dif (x) = df (x) (h).
Определение
1. Функция
а:
В” -> В,
(1)
{: В" — В называется 2-диффе-
ренцируемой
в точке
хх ЕО», если УВЕВ" функция 41
; В" — В определена в некоторой окрестности О (х,) и дифференцируема в точке хо.
Определение 2. Пусть функция 18” — В 2-дифференцируема в точке х. Е вторым
дифференциалом
в точке
х, называется функция В" “о, В, где
@{ (хо) (®) = аъ (аь/) (=)
УВЕВ”.
(2)
Объясним подробнее смысл правой части равенства (2). Вначале
построим
функцию
4:8” —> В, определенную
в некоторой
окрестности О (5,). Согласно определению 1, она дифференцируема
в точке х,. Ее дифференциал 4 (ау]) (хо) есть функция, отображающая В” в В, значение которой при № Е В” записано в правой части
равенства (2).
Вместо d?/ (xo) (№) примем обозначение df (Xo).
7.5. Дифференциал произвольного порядка. Указанное понятие определяется по индукции. Поскольку определен дифференциал
первого порядка (см. п. 7.3), то достаточно дать определение л-дифференцируемости и п-дифференциала функции |: В” -> В в точке
х. считая известными понятия
(п — 1)-дифференцируемости
и
(п — 1)-дифференциала (п >> 1).
254
Определение 1. Функция [! К” — В ‘называется. п-дифференцириуемой
в точке м, Е D,, если УВЕВ”" функция Фа
‚ В” —> В определена в некоторой окрестности O (a) u дифференцируема в точке Xo.
Определение 2. Пусть функция [1 К” — В п-дифференцируема в точке 0 Е О,. Ее п-дифференциалом в этой точке
называется функция
УВЕК”.
7.6.
Формула
В” 4 |9,
для
В,
вычисления
где
ам (о) = а» (В
(Lo)
п-дифференциала.
Определение. Функция } 1 К” > В называется р-непрерывно дифференцируемой, если любые ее частные производные г». apt
(R< p) Henpepoienvie.
Из ‘теоремы 1, п. 7.1, следует, что у р-непрерывно дифференцируемой функции в т-мерном прямоугольнике Ри = [а., bj] Х ...
а„, 6„| частные производные не изменяются при любой пе-
рестановке
индексов
d"f (a,) —
№
]1,
...,
Ip.
Теорема. Пусть функция Г: В” = В п-непрерывно
цируема в точке ж., Е О,. Тогда справедлива формула
Ait:
“+a,,=n
ni
1...
1
9} (Xo)
бт!
m
a,
Ox;
oe
=
Ox
dx
дифферен-
...
ахет.
(1)
in
<q [Ipumenum метод математической индукции. Для п = 1 формула
доказана в п. 7.3. Пусть утвер ‚дение справедливо после замены
пнап—1
(п> 1. Для ВЕ В” по определению 2, п. 7.5, имеем
Ч! (хо) = dy (dp1) (=).
Согласно предположению,
няется равенство
4
|
—
в некоторой
У,
(п —
1)!
ee
a
a
и.
(поскольку
.
"+a, =n—!
ах, (В) =h;,
1
(2)
окрестности
0" —1 |
heа
О (5)
oe
бт
a
°
т
дху
j = 1,m).
eee
выпол(3)
m
Ox"
Вычислим
41} (хо),
принимая
во внимание равенства (2), (3) и независимость смешанных производных от порядка
выполнения
дифференцирования
по соответ-
ствующим
переменным.
Получим
т
dif (Zp) =
и
»
Oye
oe
x
|
AM
_
—
“+8
.’*
=a
Ва!
0"f( ao)
т
Om
oxy"
A.
п!
№
Bite:
— 1)!
в.
OxP
..
Oxy! rl
x
eos
xm
htm
д"! (хо)
Вт!
e
зо
В
hy?
eee
В
him
=—
дет
255
п!
. +B
(
art (Xo)
В
В
ал‘...
1
дет
tee
Oxi!
Bas!
Г
B;!
=n
ахт
|} (в )
т
VER",
что равносильно формуле (1). №
Следствие.
Если выполнены
= |1, т справедливо равенство
условия
теоремы,
то У Ё =
Tia Ail (a) = ni (EE)
д
Ф
гп
п—
(4)
[д
Достаточно рассмотреть случай, когда Ё = 1. Имеем
="
(а
(%,)) =
Г (2
1
Bie
“+B,,=n
eee
_
Bm
axes
eee
rt
Of (Xo)
AxPi—|9 Bs
...
(n— 1)!
Bites FB =n
(Bi— 1) 1 Bgl...
1—1
x APB
Укажем
—
Ox,
x
ax!
/ O
LL nem
= nd?n—1 (Get).
>
Bs
символическую форму
41 (х.)
Bral
Ox,"
(ax,
с
+
записи формулы
cee
-+-
AX
Bex)
(1):
Ea)
(5)
Правая часть этого равенства есть более удобная для запоминания
форма записи правой части формулы (1). Записью (5) пользуются
следующим образом; возводят формально в п-ю степень выражение
в скобках и затем ] (2,) приставляют справа к выражению
(dx
=) -- » (din Zsбхт J" т...
т,
Ox;
a
осо
0x,"
Например,
о
д
ФР (жи, хо) = (dx, Ox,
= (at
__
=
“On
ОР (ха,
хо)
ea
+
dx?
7.7. Производная
Теорема. Пусть
д
+ dx, =)
2dx,dxX%_ =>
Oxy os
+
9%} (х1,
2 aan,
+
хз)
^
\?
(жа,
№) =
dxXp sr)
ax
dx,dx,
+
Xo)
037 (х1,
ae
хо)
сложной функции.
[: В" -—> В — дифференцируемая
=
4%
2
функция
точке Жо, являющейся внутренней для множества О, ф: В -—
256
В",
в
ф = (ф,, ... фи). Если жо = wp (ty) и каждая функция $, (= Т,т)
имеет производную в точке %Е Оу, то композиция
производную в этой точке и справедлива формула
[оф
имеет
(Fe ap’ (to) = У EO у,
(1)
k=l
< Доказательство
повторяет
рассуждения,
проводившиеся
в
п. 6.5. По определению дифференцируемости функции Г в точке Ly
существуют такие непрерывные
в этой точке функции gq, (k=
= т),
1,
что
1 (2)
— f (a) = у Pe (€)(Xp— xe)
WED.
(2)
Так как функции Фф, дифференцируемы в точке fy H wp, (to) = хо,
то существуют такие непрерывные в этой точке функции \, (Rk =
= |, 1), что
(9-9
По определению
УФ.
композиция } ° 4р дифференцируема
справедлива формула (1). №
Следствие.
Пусть функция
pyema
Ecau
Ha
выпуклом
множестве
F (t) =f (a, + th)
Х
Vteld,
|! к
итхЕХ,
1),
mo
F™ (t) = dif (@-+ th) WtEl0,
— К
жЕХ,
Применим метод математической индукции.
ждение следует из доказанной теоремы:
Е’) =У
eoдхь+ 1h)
k=1
Пусть
Тогда
утверждение
справедливо
1].
@®
в точке & и
п-дифференци-
В=х- 4...
(4)
При
п = | утвер-
dy f (ary + th).
(5)
при замене n Ha n—1
F (t)= (FOY (0) = а, (ах'Р (в -- №) = (+
№).
(n>
1).
>
7.8. Формула Тейлора.
Теорема (Тейлора). Пусть функция {:! В” — В п-дифференцируема на выпуклом открытом множестве Х. Тогда У (х СХ,
2. Е Х) справедлива формула Тейлора
п
(2) = >
|
а
Lo
il k| о
nt
hn
+ | dil (9 + th) at
(1)
ede h = x — Xp, dif (xo) = f (x).
¢q Tlonaraem F (t) =f (2%, + th) Vtelo,
1]. Coranacuo
формуле (4), п. 7.7, имеем равенства Ё® ({) = di (vo + th) V(R=1,
n,
9
337
257
[С [0,
менной,
1]. Применив формулу Тейлора для функции
одной
получим
а) =Е(0=Уриа
пере
г о + |” Е” (т) ат =
k=0
—
Остаточный
уе
а го
член
+f"
формулы
р 11 (20 +
th) dt.
(1) обозначим
>
следующим
образом!
1
Ry (®, Lp» f) = | 4% (о - тВ) 4.
(2)
0
Согласно формуле Пирихле
(см. п. 2.3), имеем
К, (2, о, = | dif (ко + thy HHO
Ilo Teopeme o cpeqHem 90 €
10,
at,
(3)
II:
apf (%o + Oh)
R,
Получили
остаточный
(x,
о,
р) —
(4)
п|
член формулы
Тейлора
в форме
Лагранжа.
Как и в случае функции одной переменной, можно получить и другие формы записи остаточного члена (Шлемильха — Роша, Коши).
7.9. Формула Тейлора — Пеано.
Теорема (Тейлора — Пеано). Пусть функция |: В" > В
пдифференцируема в точке т, Е О‚, являющейся внутренней для множества О;. Тогда существуют такие непрерывные в точке х, функ11» ЧТО 24...71”) (о) = Ou справедлива формула Тейлора —
п
f(z) =)
k=0
где
й =х
dy f (xo)
ar
jhe
bi gn
/
/
ine im (2) hi... Am
Waxed,
(1)
— т.
Ф Применим метод математической индукции. При п = 1 формула
(1) следует из определения значения дифференциала а» |(5.) при
й = т —х.. Пусть утверждение справедливо после замены п на
п —1. Введем в рассмотрение функцию
Л
il)
p:hre f(a +h) — La
ae
Tak
258
д
k
k—1
kak > — (dal (%,)) = Rd;
Of
9х
(о)
(см.
следствие
(2)
из
теоремы
п. 7.6), то по предположению
дф
индукции
имеем
n—1
д}
d®
у
h
of
(Xp)
Ox,
k=0
=
ites +e, =n—l
Rai ant... hm G=Tm.
Согласно теореме Лагранжа
п. 2.7, гл. 6), получаем
для
функции
одной
переменной
9
= =у
—
9
(hy,
Ит—1,
ooog
0)
OP ah,&,)
hy
j=!
]
А-. > -Н/т=п
записать
п
(а) = У
К
aif (x
k=0
‚
в виде
о)
+ oh’.
(4)
7.10. Классификация квадратичных форм. Устойчивость
ства положительной определенности квадратичной формы.
Определение
свой-
1. Функция В” 8, В, где
0 (=)=
т),
(]=1,
=анЕВ
аи хь
У арж
t,j=1
T= (Xy, 0005 Xm) ER”
называется
=
ао... Вр.
У
(1) можно
У
=
(т ВЕ... ie) hy =
у,
А...
=
Формулу
An)
Am—1,
eoey
(A,
(см.
vee H
ф (в) = 9 (h) — 9 (0) = @ (hy, 0, «064 0) —G(O, «0 0y OP
+
3)
квадратичной
формой,
(1)
а
числа
ay — ee
коэффициентами.
Определение 2. Квадратичная форма (1) называется положи тельно
определенной
(отрицательно
опре-
деленной), если УжЕВ" \ {0} 9 (1) >0
(9 (@)<0. Если
3 (2. ЕВ”, х.С В”) 1 О (%1) О (*.) < 0, то квадратичная форма
(1) называется
неопределенной.
Все остальные
квадратич-
ные формы считаются положительно
или отрицательно
полуопределенными.
В алгебре ' доказан критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы (1); она является положительно
9°
1 Курош А.
Г, Курс высшей
алгебры.— М,; Л,,
1952,— С, 159,
259
определенной
тогда
ay, > 0,
Теорема
и только
Ay
Ape
Qo,
Ado
тогда,
когда
>0,...,
(об устойчивости
Qi
До
eee
Qim
|291
M2
oes
Om
Я тл
т?
...
Ятт
свойства
положительной
|g,
(2)
определен-
ности квадратичной формы). Пусть квадратичная форма (1) положительно определена. Тогда 3 = >> 0 такое, что любая квадратичная
форма Qe, 20e
m
Ч: (2) =
\
1, |=
(аи
m
а) хл,
УзЕВ,
(3)
является положительно определенной всякий раз, как только| =; | <
<e
Ч
(i,
|] =1т).
Определители в условии (2) являются непрерывными функциями
от коэффициентов
что
критерий
всякий
раз,
квадратичной
Сильвестра
как
только
формы,
остается
|#,| <
в силу
чего 3е >> 0
справедливым
e@ (i,
jf =
1, m).
для
такое,
формы
(3)
№
7.11. Экстремум функции.
Теорема 1 (Ферма). Если функция [: В" — В принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке х, Е О; и имеет
в ней частные производные первого порядка, то
|
9! (5)
ox,
__
=0
О
пин
(= 1, т).
(1)
Полагаем ф, (t) = f (% + fe;), rne e; = (0, 0, ..., 1, 0, ...5 0),
Г = 1, т. Функция Q; UMeeT 3KCTpemyM B TOUKe ¢ = 0. IIo Teopeme
Ферма (см. п. 1.1, гл. 6) $ (0) = ae
=0. >
Определение. Функция f : В” — В принимает в точке хо, внутренней для множества О;, локальный
максимум (минимум), если существует такая окрестность О (5), что У жЕ
ЕО
(55) | (2) —1 (2) < 0
ней
для
(=)
—[ (о)> 0). Если УжЕО
(2)\
\ {#0} Ff (@) —1[ (20) <0
((2) —1 ($) > 9), то локальный максимум (мичимум) называется строгим.
’ Локальные максимумы и минимумы функции [ назовем ее локальными экстремумами.
Теорема 2 (достаточные условия локального экстремума). Лусть
функция |: В” —> В дважды дифференцируема в точке хо, внутренd?f (#9) —
функция
А! (2) —
функция
260
множества
О’,
и
Е.
1
=0
(f=1,
m).
Тогда:
положительно определенная квадратичная
| имеет строгий локальный минимум в точке
отрицательно определенная квадратичная
| имеет строгий локальный максимум в точке
1)
если
форма,
то
хо; 2) если
форма,
то
хо; 3) если
d?f (x5) — неопределенная квадратичная форма, то функция f ne
имеет локального экстремума в точке ть.
<q 1!) Согласно теоремам из п. 7.9 и 7.10 существует такая окрестНОСТЬ О (5), что V x € O(a) \ {xo} при В = < — хо выполняется
неравенство
dpi (a)
т
|
(2)
> 9,
bi (x) hh;
+ ‚>
f(x) — / (5) = —5
т. е. функция } имеет строгий локальный минимум в точке хо. Если
применим утверждение 1) к функции — }, то получим утверждение
2) для функции [. Докажем утверждение 3). Пусть 4] (%,) > 0.
Рассмотрим
функцию
Фи (1) =} (хо - ta),
(2)
2
(Xo + fa) € O (a).
4?Ффа (0)
Оче-
видно, что Фа (0) =Ои Фа (0) = 44] (хо) >> 0. Поэтому В
- В —
положительно определенная квадратичная форма и, согласно 1) (при
т = 1), функция Pq имеет строгий локальный минимум. Следовательно, функция [ не имеет локального максимума в точке ху. При-
менив
эти
рассуждения к функции —[,
получим,
что функция }
не имеет локального минимума в этой точке. Таким образом,
ция [ не имеет локального экстремума в точке т. №
функ-
8 8. Элементарная теорема о неявной функции.
Условный
экстремум
8.1. Элементарная
теорема о неявной
ция Р: В""" — В, Хе В", Ус
функции.
Пусть
дана
В. Расемотрим уравнение
функ-
F(x, y) =0.
(1)
Если для каждого х 6 Х существует единственное число у = | (х) 6
СУ
такое, что ЕЁ (х,} (2)) = 0, то уравнение (1) на множестве Х х
Хх У определяет функцию Х 1. У. При этом { называется неявной
функцией, заданной уравнением (1).
Теорема (о неявной функции). Пусть функция Е 1 В”+" -> В
непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки
(Lo,
Yo)
=
(хо,
...у
хо),
Yo).
Ecau
F
(Xo,
Yo)
=
0
Ц РЕ
bo)
>= 0,
то
существуют такие окрестности Q (ao), Q (Yo), что уравнение (1)
определяет непрерывно дифференцируемую неявную функцию О (то) 1.
“0 Yo) wV @ € 0 (a), &= п)
07 (1) _ __[ OF (x, [ (x)) \—! OF (a, 1 (2)
OXr
q
Пусть,
для
—
ду
,
определенности,
Охь
OF (o, Yo)
аи ^
(2)
°
>a>Q0.
Поскольку
функция ЁЕ непрерывно дифференцируемая, то вуществует
прямоугольная окрестность И точки (5%, Yo), ITO
OF (x, и)
OF (x,
такая
261
Так как Е (%%, yo) = 0, OF (2, у) > 0, то найдется такое число Й >> 0,
ду
что отрезок, соединяющий точку (5%, И, — Й) в точкой (%%, Yo я h),
целиком расположен в окрестности И и F
(a, Yo —h) < 0,F (x9,
Yo th) > 0. По свойству непрерывной функции найдется такая
окрестность О (5,), что УхЕО
(2%) Е (1, у — ") < 0,Р (х, ши +
+) >0
и 0(2) ХО 0,
me
О=
Ш
yo + Al.
Убедимся в том, что уравнение (1) определяет неявную функцию
O (ao) 1.0 (Yo). С этой целью возьмем ЕО
(%.) и рассмотрим
функцию Е, д. Она непрерывна на сегменте [/, —й, yo + A] u ua
его концах принимает значения разных знаков. Поэтому существует такое у =] (2) Е О (и), что выполнено равенство (1). Поскольку
УуЕО
(1)
ee
= (Fie) 0) > 0,
OF (x, 9)
то такое у единственное.
Докажем справедливость
формулы
(2) в точке
х,.
Рассмотрим
повледовательность (х”)нем, входящуюся к точке х®, и такую, что
0
(x1,
a,
имеем
ecg
Xp vast
....
seep Xp)
Ехо,
= F (x!”,
x)
Ат)
СО (50) \ {2}.
0
Полагаем
у, =] (x)...
Wn ЕК. По формуле Лагранжа (см. п. 2.7, гл. 6
....
инь
ХР, ..
(>
Жень
OF
Yn) — F (2,
хп, У") —
(x0),
oeey
OF
+
Хи,
(Xo,
eal
Ен»
Na
oe
Е (2%,
@y9
7)
Yo) = 0 =
Yn)
+ F (Xo, Yn)—
|
Yn)
(Yn — Yo)s
(4)
где ни 1, — TOUKH, раоположенные соответственно между х’ и
жили у. Очевидно, что ЕЁ -> Хх”. Докажем, что у, — и. Для
этого найдем разность Y, — Yo H3
oe
Yn
Jo
—(
OF(x5, Nn)
у
(4)
дЕ (х®,...,Ё,...,
xO
Yn)
xO — 1.
дхь
oy
=
(5)
В силу условий 9 первые два множителя в правой части равенства
(5) ограничены,
т. е. и,
—
Yo:
OFд} (Lo)
жж —
№ =0 (1).
Поэтому
Поскольку | Nn — Ио, ТО из равенства
lim
пло
—“2= Yo
2) — (9)
—
OF (Xp, Yo)
ду
\~!
и, — и =0 (1),
(5) получаем
OF (Xo, Yo)
OXp
’
что равносильно формуле (2) при х = ху, у = у. Так как в качестве (х,, Yo) MOXKHO взять любую точку множества O (xo) Х О (1),
то
262
теорема
доказана.
№
8.2. Матрица Якоби и якобиан. Конечный упорядоченный набор
дифференцируемых в точке х, функций №1 В”-—В
(Е=1, р)
назовем
дифференцируемым
отображением
> В?. При этом вектор 41 (2) = (4, (25))
вать дифференциалом
отображения
} = (п,
(Е = 1,р)
....,
К): В” —
будем назы-
р
ЕР; [ D;,
] в точке 2
k=1
|
(k=
= 1, р). Аналогичный смысл имеет вектор ах = (ах)
(j = 1, m) —
дифференциал тождественного отображения К” в себя, вычисленный
в произвольной точке х © В”. Пользуясь правилом вычисления дифференциала функции
набор дифференциалов
из В” в К в точке х., получим упорядоченный
т
д
_
dfx) = Jy “SOdx (k= 1,9),
(1)
j=l
определяющий дифференциал 4] (хо). Запишем систему (1) в матричной форме
Af (Xo) = Df (x) dx,
где
Df (a) = (Eeap
Of 1 (Lo)
Ox,
(2)
‘°°
Of p (Xo)
Ox,
"*"
Of 1 (Xo)
OXm
7.
Of p (Xp)
OXm
sy
— матрица Якоби отображения ] (названная в честь выдающегося
немецкого математика К. Г. Якоби (1804—1851)).
Определение. Матрица Якоби называется производной
отображения
} в точке хо и обозначается через }’ (хо).
Вектор-градиент функции {1 В” -> В есть частный ‘случай матрицы Якоби при р = 1 и поэтому является производной этой функunu, T. e. grad f (a)= f’ (a>).
Если р = т, то определитель матрицы Якоби называется якобианом и обозначается через D (x1,
(1...
т). (xo).
«005 Xm)
Теорема (о производной
композиции отображений).
Пусть
отображение } : В” — В? дифференцируемо в точке хо, являющейся
внутренней для множества Р;. Если отображение ф: В? — В”
дифференцируемо в точке $, являющейся внутренней для множества
Оу, и хо = ф (6), то композиция } ° ф дифференцируема в точке
+, и справедлива формула
(f © tp)’ (&) =Т (5) 4’ (&).
< Равенство (3) представляет собой матричную форму
стемы равенств
O (fa© *p) (to) __ у ОР» (2) 04.)
ot,
5—1
дхз
at,
|)
=
записи
(3)
си-
р; j=1, 9%),
263
справедливых по теореме. о производной сложной функции (см.
п. 7.7). №
8.3. Понятие условного экстремума. Метод Лагранжа.
Определение. Лусть функции |, в, (] = 1, г) из В" в В определены в некоторой окрестности точки хо и в, (20) =0
У] =1, г.
Число | (хо) называется условным
максимумом (миницмумом) функции |, если существует такая окрестность О (х‹},
что | (%.) является наибольшим (наименьшим) значением сужения
функции | на множество О (2) П ({хЕВ"| в, (<) = 0; j = 1,ry.
Ограничимся рассмотрением частного случая, когда г == 1.
Теорема (Лагранжа). Пусть функции | и в (из В” в В) непрерывно
дифференцируемы в некоторой окрестности точки Lo, B(x) = Ou
5’ (5) == 0. Если функция | имеет условный экстремум в точке хо
(с условием 8 (х) = 0), то существует такое число № Е В, что
(—
{
Допустим,
нялось
что ЗЕ
Ла)’ (20) = 0.
-2 0. Выберем
(1)
такое ^, С В,
чтобы
выпол-
равенство
Of (Xo)
Og (Xo)
__
(2)
=O
Oe
he
т. е. чтобы т-я координата вектора ({— ^.5)’ (%25) равнялась нулю.
Очевидно, что такой выбор ^, возможен. Для доказательства теоремы
достаточно убедиться в том, что
д7 (22%)
x,
Og ox,(Lo)
— Л
_
=
0
тит
Viz=
l,
т
—
1,
т. е. все координаты вектора (Г — ^2)’ (55) равны нулю.
По теореме о неявной функции существуют такие окрестности
О (^®,
...,
ХО)
и
0(х9),
что
уравнение
& (1) = 0 определя-
ет неявную дифференцируемую функцию 1: О (х®, ..., хо) =
YO (x). Из определения условного экстремума следует, что
функция Р,Е определенная
мулой
Е (ху,
eee)
имеет локальный
Xm—1)
=
У (%,
(ха,
O (x
..., Ли) СО
weey
Xm—ly
akKcTpemyM B TouKe (x1,
(м,
p(x,
(0)
..., ХтШ)
eeey
Xm—1)),
..., x91).
Из
Ферма и равенства (2) получаем У ] = 1, т — 1
oa.
=
oF (4), .... 2
Ox;
_ A (a)
—
264
af (a)
OF
(OX,
+
4
AF (a)
Ox,
Og (ay) OUD, «+2 Ant)
дхт
OF
°
.
(3)
теоремы
0
Op (xs ees Meet)
OX
фор
По теореме о неявной
Og (ay)
OVUM» «+> Fmt)
OXm
__ __ _98 (Xp)
Ox;
Следовательно,
(=
функции
0
io)
4
x
(j =1,m—1).
Ox j
(%)_
8
_ 9
дх,
(j=1,m—1).
В общем случае, когда имеется г уравнений
1, г), составляют функцию Лагранжа
F (a,
и для отыскания
ИЗВОДНЫХ.
OF
(x,
Ans
точки
At;
oe) ^,)
—
| (x) —
х. записывают
eee y
Ar)
OXp
— 0,
OF
(k=1,m;
у
hi;
связи
д; (5) = 0
№2) (x)
j=l
равенство
(x,
>
On,
(4)
нулю
sey
частных
про-
^,)
j=1,nv).
Получают систему т -Е г уравнений с т -- гнеизвестными, решая
которую находят точки возможного условного экстремума. Указанный прием называют методом множителей Лагранжа.
где
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
}: В? —
f (x,, x.) —= x? + xg2 — 12x, + 16x,, Dp =— {(x,, x2) € IR? | x? + xs < 25}.
Поскольку
д
a
д
<b
внутри круга О; одновременно
1
a
не обращаются в нуль, то наибольшее и наименьшее значения функции /, существующие по теореме Вейерштрасса, достигаются на границе круга О; и доставляют ей условные экстремумы с условием в (х\, x2) = xt + х2 — 25 = 0. Восполь-
зуемся методом
— К, где
частные производные
В,
множителей
Лагранжа.
Для
этого образуем
функцию
Ё : В3 —
F (x4, Xg, A) =f (x1, X2) — Ag (x7, X2) =
=x? + xe —
Система
(5)
принимает
12x, + 16x_ — A(x? +- x3 — 25).
вид
x,
(l1—A)—6=0,
x,(1—A)
+8=0,
xt + x2 — 25 = 0.
Она имеет два решения: (3, —4, —1), (—3, 4, 3). Поскольку f (3, —4) = —75,
{[ (—3, 4) = 125, то наибольшее значение функции } равно 195, а ее наименьшее
значение равно —75.
$ 9. Криволинейные интегралы.
для функции и ее производных.
Ряд Лорана и теория вычетов
Формулы
Коши
9.1. Ориентированная гладкая кривая (траектория).
Определение
1. Множество у < (; (или y < R2) называется
простой
гладкой
кривой
(траекторией),
265
если
существует
Ь] +
непрерывно
Y с отличной
дифференцируемое
от нуля производной.
отображение
При
этом
[а,
отображение
ф называется параметрическим
представлением кривой у.
Если ф — другое параметрическое представление кривой у,
—1
Оу = [а1, 6.|, то, очевидно, отображение [а, 6] ® —
[a,, 6,] umeer
отличную OT нуля mpousBonHyo. Ecan (wp-'eg)’ ()>0
VE
С [а, 6], то параметрические представления ф и ф называются
эквивалентными.
Определение 2. Множество у.р всех эквивалентных представлений
простой
гладкой
кривой
у называется
ее ориентацией.
Упорядоченная пара (%, \ор) называется ориентированной
гладкой
кривои.
Если (, \ор) — ориентированная
гладкая кривая, ФЕ \ер и
О. = [а, 6], то ф (а) называется начальной, а ф (6) — конечной
точками
этой
кривой.
Очевидно,
что ориентация
простой
гладкой
кривой однозначно определяется указанием ее начальной точки.
Все параметрические представления ф @ ур эквивалентны между
собой.
Их совокупность
называется
противоположной
ориентацией
Ур. Ориентированную кривую Г” = (ф, Yop) Ha30BeM противоположно ориентированной по отношению к Г = (у, Yop).
Принимая во внимание физический смысл производной отображения из В в (,, полагаем, что длина кривой *) равна числу
b
= lo’ (O|dt.
(1)
Среди всех параметрических представлений ф ориентированной
ВОЙ (\, Yop) существует такое, что
PEVop
Это
По=
представление
0, Пи
единственное.
| $’ (|
Оно
=1
М1
называется
10,
кри-
1.
нормальным
(или
естественным, натуральным). Нормальное параметрическое представление (%, уор) получается в виде композиции отображений \1р о 1,
где wp Е Yop, Dy = la, 5], [0, 7] -. fa, bl u
t
nm! (= [| 914
9.2.
Интегрирование
функций
УЕ, by.
по ориентированной
(2)
гладкой
кри-
вой. Непрерывная функция } : (,— С, может не быть интегрируемой
по Ньютону — Лейбницу на линейно-связном открытом множестве. Поэтому возникает потребность в новом понятии — криволи-
нейном
интеграле.
Определение 1. //Лусть Г = (у, ур) — гладкая ориентированная
кривая, ФЕ Ури Оу = [а, 6]. Если |: С— Сир; 5%, токриволинейным
интегралом
функции f по Г называется
266
число
b
{ F@dze= (FeO ¢ (at,
Г
(1)
а
если
оно существует.
Из правила замены переменной в интеграле следует независимость правой части формулы (1) от выбора параметрического прелдставления
ФЕ
фур.
Приведем пример на вычисление
ориентированной гладкой кривой.
Пример.
Вычислить
криволинейного
| |2| 42, где Г — верхняя
интеграла
полуокружность
по
единично-
Г
го радиуса с центром в начале координат и началом в точке (1, 0).
Параметрическое представление ориентированной кривой Г зададим
aot @ (ft) =е", ЕЕ [0, п]. Согласно формуле (1), имеем
aU
| ата = те"
Г
0
ie
dt =e”
t=
ни
=—
форму-
2,
Интеграл в определении | называют криволинейным интегралом
второго рода, отличая его от следующего интеграла первого рода.
Определение 2. Пусть у — простая гладкая кривая, функция
[а, 6] =
} — ее параметрическое представление. Если |: С
ур;
то криволинейным интегралом
рода от функции | по кривой у называется число
(и
первого
b
| F@ldz|={F@OIle' Ol at,
(2)
если оно существует.
Из теоремы о замене переменной в определенном интеграле следует, что правая часть формулы (2) не зависит от параметрического
представления ф кривой у. Если Г = (y, ур), то по определению
полагаем
} пота = } 91421
(3)
Из оценки модуля определенного интеграла следует важное для
дальнейшего
изложения
неравенство
ле ае |< 1
Г
справедливое
для
любой
Наг
Г
непрерывной
функции
(4)
[.
9.3. Гладкие кривые и криволинейные интегралы в пространстве
В”. Понятия кривой и криволинейного интеграла очевидным обра-
зом
распространяются
на случай
пространства
В"
Ут
2.
267
Определение 1.
Множество у < В” называется простой
гладкой
кривой
(траекторией)
в пространстве
IR", если существует непрерывно дифференцируемое отображение
[а, 5] => у с отличной от нуль-вектора производной. При этом отоб-
ражение ф называется параметрическим
представлением
кривой %.
Если ф — другое араметрическое представление кривой %, TO
отображение [а, 6] T°,
Ia, ыы имеет производную, не обращающуюся в нуль. Если (ф- ° ф)' (1 >00 УтЕ[а, 68|, то параметри-
ческие представления ф и ф называются эквивалентными.
Определение 2. Множество у.» всех эквивалентных представлений простой гладкой кривой \ называется е ориентацией.
Упорядоченная пара (у, Тор) называется ориентированной
гладкой
Если (%,
кривой.
Ур) — ориентированная
Dg = (а, 6], то ф (а) называется
точками
этой
гладкая
начальной,
кривой.
а
кривая,
ФЕ \р
и
ф (5) — конечной
Пусть в дальнейшем Г = (у, Yop), P E Yop, De = la, OI.
Onpenenenne 3. Ecau f : R” > R" uD, > ¥, mo
{ fax = ( Yh@dn=(Y he@madma, —
Г
где
} =
(Fis
k=l
seer
Pas
a
© == (Ky,
{аа
где
eee
Xm).
Аналогично, если } : В” —= Кир,
ф
—
(1,
.. у
Фит).
\ тах
.
Каждой
5 \, то
Fe) И Ув
Y (pe ty dt
Из оценки модуля определенного
ши — Буняковского следует, что
rae |f|=
k=1
Г
mn
интеграла
и неравенства
<J|fllael,
Г
(2)
Ко-
(3)
УР.
k=]
Touke x € p MOCTaBHM
B соответствие единичный
каса-
тельный вектор т (5) = fe х =ф (1). Он не зависит от выбора
параметрического представления ф Е \хр. Очевидно, что
| tax= | frjdel,
Г
268
Г
(4)
т
где ft=
\) f,t,. Формула (4) указывает правило сведёния интеграла
k=!
второго рода к интегралу первого рода. Иногда пишут
| fas | pe | ae
(5)
Интегралы (1) и (2) имеют физический смысл. Если ] рассматривать
как силу, приложенную к точке х, движущейся по траектории
=Ф (В, ЕС [а, 6], то интеграл (1) есть ее работа. Интеграл (9)
является
зарядом
кривой
*\ или
массой
\, если функцию
| считать
плотностью распределения заряда или массы на %.
9.4. Кусочно-гладкие ориентированные кривые и криволинейные интегралы.
Определение. Упорядоченный набор Г = (Г:, Г», ..., Г.) гладких
ориентированных кривых Г, = (®,
52)
(В =1, п)
называется
кусочно-гладкой
кривой,
ная точка гладкой ориентированной
ной точкой
аналогичной
кривой
если
УЕ =1,
п— |
конеч-
кривой Г, совпадает с началь-
Гь+и.
Множество
y =
ется следом
кусочно-гладкой кривой
жеством ее точек. Если} : В" — В", О, Эф, то
| паз 9 У [аз
п
U у, называk=1
Г, или мно-
(1)
k=] Г,
Аналогично, если | : К” — В, О; 5%, то
def w
лаз"
У = Г,| На!
г
(2)
Очевидно, что интеграл от непрерывной функции по ориентированной кусочно-гладкой кривой
Г существует и выполняется
оценка
< | И4=
\ fax
Г
9.5.
Формула
Определение
гладкой,
сегмента
(3)
Грина.
1.
Функция
если существует
[а, Ь], что
ЧЕ
[а,
= 1, п
6] $.
такое
В
называется
разбиение
сужения \ф еж
кусочно-
Р = {х, | Е = 0,п}
есть
непрерывно
дифференцируемые функции.
Определение 2. Множество Т, = {(%, хо) 6 В? |а<х-<Ь,
Wy (%,) < х, < ф» (х!)} называется криволинейной
трапецией
первого
рода, если ф, и 1, — кусочно-гладкие
функции на сегменте
[а, 6].
269
12}
Пусть Г) (] = 1, 4) — гладкие ориентированные кривые
А
с параметрическими представ-
лениями
71 (t)
=
Ф, (7 =1, 4),
(2, by (1)
У ЕЕ
где
[а, 5},
МЕСТЬ, (6), 4, 6)
(и)
(0 = (1, (0) УЕ, Ы,
Фа (Г) = (а, 1)
Рис. 60
(рис. 60).
УЕЕ [ф, (а), ф» (@)]
Упорядоченный
набор ОТ, = (Г., Г., Гз,
Г4)
называ-
ется положительно ориентированной границей трапеции Т:. Исходя из наглядных представлений, указанную границу трапеции
называют ориентированной против хода часовой стрелки. Интеграл от функции по границе ОТ, трапеции Т, понимаем в смысле
определения из предыдущего пункта, т. е.
| fdr = [fda + | fde + ( fda + | 4х.
oT;
При
этом
Г.
2
| fda = | fx(a)dxy,
Ts
Ts
.
rT"
| Уфаг=- | Ба
Г.
Ty
roe f = (fis fo), © = (1, №»).
Обозначим через Т, замыкание множества Т,
(или В?).
Определение 3. Листь Т, 1. В — непрерывная
гаем
def
b
на
плоскости
функция.
();
Пола-
W2(*1)
({ (ха, ха) ажах. = | ax,
Г.
(1)
у
aq
|
Г (жи, хз) ахо.
(2)
Wr (x4)
Указанный двойной интеграл от непрерывной функции [ сущест-
вует, поскольку функция
1 (х)=
[а, b) 4
W2(%4)
R, re
| В (кд аж
Wily)
Ух ва, Ц,
(3)
является
непрерывной.
Теорема 1 (Грина, для трапеции первого рода). Густь функции
|
Г! fr
Ru
T,
\\
Т,
270
oh
а,
ee
непрерывные.
did
=—
Тогда
\ fy (Xp, №2) аж.
aT,
(4)
<
(1),
Согласно
определению
имеем
af
\\
|
“1, x
3,
формулам
)
he
b
Ньютона
— Лейбница
р (х1)
dx,dx, = \ dx,
af
\
1
|
и
)
X4,%
a
dx, =
ара (х!1)
b
Xg=Vo(%1)
= \f (ж1, Хз)
J
Xo=
1 (41)
dx, = —
\ fy (%1, хз) ах.
D>
ar
Формально поменяв ролями х! и х. (т. е. считая х, первой, а
X, второй координатами), придем к понятиям криволинейной трапеции
Т. второго
рода,
интегралов
от непрерывной
функции
по То
и по ее границе дТ,. При этом положительная ориентация границы трапеции Т, будет соответствовать ходу часовой стрелки. Положительной ориентацией границы любой области будем считать
ту, которая противоположна ходу часовой стрелки. В связи с этим
в записи аналога формулы (4) следует изменить знак ее правой
части.
{\ 2G
desde = | fy (ey me) dey
Ox,
2
(5
OT.
Определение
4. Множество @ <= В? называется элементар-
Граница
элементарного
ны м, если прямыми, параллельными координатным
осям, его
можно разбить на конечное число трапеций первого и второго рода.
Двойной интеграл от непрерывной функции по элементарному множеству @ понимаем как сумму интегралов по тем трапециям перв0го (второго) рода, на которые оно разбивается.
ОО
множества
С
есть
кусочно-гладкая
кривая и мы ориентируем ее против хода часовой стрелки.
Теорема 2 (Грина, для элементарных множеств). Лусть @ < В? —
элементарное множество. Если функция |= (|, [.) непрерывна
вместе
с
частными
справедлива
производными
формула
\\ | Ox;
cn
zx
Грина
2
u
Эх,
1
на
множестве
aXx,ax, = | ах, + Бах, = | fda.
OX,
Ц,
то
©)
Ч Справедливость утверждения следует из определения 4 и формул
(4), (5) после замены в них Т, и Т. на С. №
9.6.
Формула
Грина
для
функции
комплексного
Интегральная теорема Коши.
Определение 1. Пусть г = х, + ix, u функция
ет частные производные —
и —.
Полагаем
Ox,
OX,
0!
2—
def 1
—
2 (2
(_o
.
1
Of
|›
Of
dz
def
=>
1
д!
(an
+
переменного.
[1 С -—> С име.
Of
ize):
(1)
271
Правые
части
—
t
+ 2),%,= >
цирования
формул
получаем
из paBeHCTB
x, = +
(г +
(2 — г) и формального применения правила дифферен-
сложной
функции;
OF д бы
Oz
дж
dz
OX,
4 _
(1)
—_
др
OF
0% 1
Of
Ox, _ 1 of , . of
92
Ox,
02
дх»
ди
2 \
@z
2 \
При этом упрощается форма записи
Д’Аламбера
— Коши — Римана (см.
0
=
Определение 2. Пусть
=и-й.
Полагаем
(о,9
Oz
Ox,
OX» \
Ox,
OX,
"
важного условия Эйлера —
п. 6.4), принимающего вид
__
= 0.
(2)
Ц < (; — элементарное множество, f =
(\ fdxydx, = Vf udx,dxy НР
G
G
оажах,.
G
(3)
Если функция { непрерывна на множестве(, то интеграл (3) существует.
Теорема Т (Грина, для функции комплексного переменного).
Пусть функция |: С — С В-дифференцируема на элементарном
множестве G. Тогда справедлива формула Грина
\ [ (2) dz = 2i \\ Addy
дб
G
20e z= x, + iX,.
Пусть f =u-+
iv.
dz =
|
aG
Torga
\ udx, —vdx, +1 |} мах, +- udx, =
0G
Ou
.
ди,
G
.
0G
Ou
= \\ (— “Ox,
O
(4)
Ou
Ou
dxdt, +t \\ (Se
Ge) ede =
`
д
д}
G
G
J
Теорема ® (Коши). Если функция f (C-nenpepoieno дифференцируема на элементарном множестве а, то
\ | (2) 42 = 0.
(5)
0G
{
Справедливость
утверждения
следует
Эйлера — Д’Аламбера — Коши — Римана
9.7. Интегральное
менного.
272
представление
из
(2)
функции
выполнения
и формулы
условия
комплексного
(4).
№
пере-
x24
Xoh
б
is?
Рис.
ov
61
т
Рис.
62
Теорема (Коши). Пусть функция Г С-непрерывно дифференцируема в круге К, где К = {26 С||2—&|< г}. Тогда справедлива интегральная формула Коши
j=
\ Joa
М2ЕК.
OK
(1)
< Пусть 2 6 К. Рассмотрим круг К» (2) с центром в точке 2 и радиусом р, содержащийся в круге К. Применим к элементарному
множеству С, (рис. 61) теорему 2 из п. 9.6. Получим
Г (С)
_
7 (9
Г (0)
—
7% = |
9бр
Поскольку
[
| ee
дк
Эко
(С-дифференцируема
в точке
непрерывная в этой точке функция ф, что
= (С —2)ф (5).
(2), находим
д
Принимая
во
внимание
eo
(2)
2, то существует
это
VEE K
равенство
и
формулу
a= dKp| {8-a=-7@|Кр 4+ Kp| eoaС
\-2К
.
:
= /(2)1,(p) + /, (0).
Для
E€[0,
такая
[(0) —[(2) =
вычисления
2x].
Torga
интеграла
2л
/, (9)
.
полагаем
1, (©) = \ ее dt =2ni
tt
(3)
© =2-+ pe,
[6
Wp>0.
0
Из
оценки
[15 (©) 1< дКр( 19©114
|< sup
|e ©]
+ 2np
СЕКр
273
получаем
предельное
соотношение
Him fs
(6) = 0.
В
ves
{3) перейдем к пределу при р — - 0. Получим формулу (1).
9.8. Критерий аналитичности функции комплексного
перемен.
ного. Формулы Коши для производных произвольного порядка. Напомним,
что определение
аналитической
функции
дано
в $ 4.
Теорема 1. Пусть функция | С-непрерывно дифференцируема
в некоторой окрестности О... Тогда она аналитична в точке 2.
{ Возьмем круг К с центром в точке г,, целиком расположенный в
окрестности
O,,. По формуле
(1), п. 9.7, имеем
ори 2
Тогда получим
9
6—2
dt
У2ЕК.
радиуса р с центром
Пусть К < К — круг
ССОК.
8
(1)
K
ю
6— 20 + 0—2
_~v_f©@
и
——_s—sF@
$ —
%
в точке 2%, 26 К»,
1—2 20.
6 20
—
ИИ
(z-%)*
(==).
©
Поскольку ряд (2) сходится равномерно относительно € € OK,
то его можно интегрировать почленно. Принимая во внимание формулу (1), имеем
=
где а, =
ы
«
Г9
6— Zo)
У 4 (#2—2)*
k=0
+
У2ЕК»,
(3)
— 4, РЕ До. Согласно определению, функ-
ция [| аналитична в точке 2. p>
Теорема #. Пусть функция [: С — С аналитична в каждой
точке круга К. Тогда У п Е Ру справедлива формула Коши для ппроизводной
ЕЁ” пил (2)=
М
i ©
— \ ear
45.
(4)
Пусть 2 Е К. Согласно правилу вычисления
да Тейлора функции [ и формуле (3), имеем
коэффициентов ря-
—
on
откуда
274
следует
№ (а)
nl
равенство
2
1
\
ЕО
en
aK
а"!
(4).
a
ne Lo
9.9. Ряд Лорана.
Определение Рядом
ется сумма рядов
Лорана
по стейпеням # — 2, называ-
У, Cn—1 (2 — 2)",
()
б—
у
(2 —
2)"
(2)
Он считается сходящимся, если сходятся ряды
Ряд
(1), (2).
Лорана
У Cn—1(2— 20)
рассматривают
п—|
Cn
+ У Gna?
(3)
в кольце
K (++) = {ze€|—- <|z—41<R},
1
где К — радиус сходимости
Xc_,w",
предполагая,
что
Теорема (Лорана).
цируема в кольце К
ряда
_
<
Пусть
(1), г — радиув
R (при
г =
функция
{
сходимости
-+-со
считаем
ряда
—
= 0.
(С-непрерывно дифферен-
—, R) в центром в точке го. Тогда
f= neZSale—a)"
где
(4)
|
vzek(=-.R),
(6)
УЕ,
| пот
a=
(5)
|
Гр — окружность радиуса о Е |->. R| с центром в точке гу, ориентированная против хода часовой стрелки.
1
< Пусть 2 Е К (--. R ) Рассмотрим круг К в центром в точке 2,
.
.
расположенный в кольше К (—, К |. Возьмем
кольцо К (=. Ri)
,
1
(7, < г, К, < Ю), содержащее круг К, и применим к элементарному
множеству С (рис. 62) теорему 2 из п. 9.6. Получим
|
24
t ()
_n__!
C—z
0G
4 =0 =
l
Г (5)
Г (г) ==,
|
Ty
C—z
oK—
45
Г (5)
+ ae | Hw,
1
интегральной
| (С)
\
|
+ na ) Spt
Воспользуемся
2
(7
Го
формулой
oe
4% —
Коши
т
)
из п. 9.7. Имеем
a
45.
(8)
Г,
275
Очевидно,
что
Lo
У
fe
— 2p)
[=
УСЕГ,
C—2
(9)
и ряд, соответствующий сумме в равенстве (9), сходится равномерно. Поэтому
1
)
Oni
<
п
(10)
46 = ру Сп (2 — 2%),
ie
где
_
С, =
1
ont
f (6)
)
(an zor!
4
_
1
~~
“Oni
|
((—
i
2)!
dt,
о
р
]
| --,
RI,
ПЕД
Аналогично
1
Ont
C—z
dl
Ц= »м“
(z—z,)"
’
(11)
где
Cn =
=
| ©
Г,
(С — 2)" "а а =
5
\ СЕ
Го
°
=
4
УпЕМ.
Из равенств (8), (10), (11) следует формула (5).
` 9.10. Классификация особых точек. Пусть Ь онкция
Г (С-дифференцируема в некоторой окрестности О.,, за исключением, быть
может, самой точки 25. Гогда г, называется особой точкой
ного характера. Согласно теореме Лорана,
представлена в виде суммы
Но
= У
ее
n=0
—5 9+
Ряды
2)"
S (2)
— 2)" u y=
XC, (2
функция
Уay
20,
‚ называются
однознаи-
[ может
быть
=
2о}.
(1)
соответственно
правиль-
ной и главной частями ряда Я рана, Если главная часть ряда Лорана тождественно равна нулю, то 2, называется устранимой особой
точкой. В этом случае, полагая | (2%) = с,, получаем (;-непрерывно дифференцируемую в окрестности точки 2, функцию. Если главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов, то точка
2) называется
полюсом.
Число
т называется
порядком
полюса,
если
Ст 5 0, аси,
= 0
УрЕ\№.
Теорема. Точка го является полюсом т-го порядка функции |
тогда и только тогда, когда существует такая (--непрерывно дид276
ференцируемая
функция
f= Pei
ф, что
УзеОМа и Феде
0
<q Необходимость.
Пусть
Тогда
7 (г) =
у
Ch (2 —
2. — полюс
г)"
+
т-го
rar
@—
—_—_
oe
(2)
порядка
функции
[.
У2ЕО., \
{2%}.
(3)
У260.,.
(4)
n=0
Полагаем
со
со
ф (2) = У с. (2— а)"
У с (2—2)""
n=0
n=!
Очевидно, что Ф (25) = с—шт 52 0, функция ф является (;-непрерызно
дифференцируемой в О., и выполняется равенство (2).
Достаточность. Пусть выполнено условие (2) и функция ф
(С-непрерывно дифференцируема в окрестности О.,. Согласно теореме 1, п. 9.8, ее можно
разложить
в степенной
со
ф (2) = У а, (2—2)
У2ЕО..
n=0
Tlockobky
ставление
_
@ (Z%) =A
~O0O
и
ф (2)
_
Qo
т ат
ряд
У2Е60. \
{2}
справедливо
"Ты
пред-
у Ят--п
(2 — 20),
то точка 2, — полюс т-го порядка. »
В остальных случаях, т. е. если с_„ 520 для бесконечного
множества значений п Е №, точка г, называется существенно особой.
9.11.
Вычисление
интегралов
от
функций
комплексного
пере-
менного.
Определение. Пусть г, — особая точка однозначного характера
для функции |, К, — круг радиуса г >> 0 с центром в точке гу. ЧисAO
Выч.,/ =
(1)
если оно существует,
точке 2%.
называется
условие
то
Теорема
Ч
(2),
Согласно
вычетом
функции
Ёв
1. Если го — полюс т-го порядка функции | и выполнено
п.
9.10,
(m—1)
3 Bau,,f ==.
определению
вычета
.
и
(2)
формуле
(4),
п.
9.8,
имеем
1
Выч„,/ = im sar | 7 (9) & =
(ae
— ||
\ — PMS)
rod 2m) Ea
К
9"
ф.-м
=.
№
277
Теорема г. Пусть выполнено условие (1), п. 9.10. Тогда функция
{ имеет вычет в точке 2 и
Выч.,| = сл.
(3)
Согласно определению вычета и формуле (11) из п. 9.9, получаем
<
Bpryz,/ = liim
nt
| оЖ=е.
>
K,
Вычеты применяются при вычислении интегралов.
Теорема 3. Пусть В — элементарное множество. Если функция
f (С-непрерывно дифференцируема на (, за исключением, быть может, точек 2 Е @ (i = 1, p), mo
ы | © = У, Выч.
(4)
0G
Рассмотрим попарно не пересекающиеся круги K,, <Gij=
= |, р) с радиусами г; и центрами в точках 2,. Применим к элементарному множеству Ц, (см. рис. 63) интегральную теорему Коши из
п. 9.6. Получим
тяг| 0 =0= т | ЮУ г | 9%
|
1
——\
2щ
Перейдем
мулу
(4).
в равенстве
Теорема
непрерывно
278
(
№
6
06
/ (2) аг =
у
=
(6) к пределу
4 (о логарифмическом
дифференцируема
на
2
f
ak,
при
f (2) dz.
(6)
max rj > 0.
вычете).
©)
ок,
=
Пусть
элементарном
Получим
функция
множестве
форГ
Ц,
C-
за
исключением точек (ЕС (| = 1, р), в каждой из которых она имеет полюс порядка &,. Если | не обращается в нуль на ггранице множества С, имеет в С конечное число нулей 6, Е 6 (Е = 1,9) кратности
В»,
то
1
F (2).
м
<
Пусть а —
нуль
\ Те
d
“=
кратности
Ув
_y
oe
т Е №,
а
a
или
полюс
(7)
порядка
| т | Е №
функции {. Тогда существует такая (;-непрерывно дифференцируемая в некоторой окрестности О, точки а функция ф, что ф (а) =0
и | (2)= (2 — а)'ф (2)
У2ЕО, \ {а}. Тогда
Г
__1
PP @e—ag+mp(z)
_
_¥@
(8)
| (2)
z—a
ф (2)
2—а‘
По теореме из п. 9.10 точка а есть полюс первого порядка функции
-р› а по теореме | из п. 9.11 получаем
Buy,
Следовательно,
ства (4). »
g
формула
= р (а) = м.
(7)
является
(9)
частным
случаем
Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 4. Если
трее
дифференцируемая на множестве G, mo
=
|
(2) a
dz = У
мау
— У
равен:
функция
ag (aj).
(10)
< Пусть, как и в предыдущей теореме, а — нуль кратности т Е №,
или полюс порядка |т | Е № функции [. Тогда, согласно формуле
(8), получим
‚.
g (2) -
[ostomy Baru, Г
(4).
9.12.
ГЦ
f(z)
212) 9
г—а
= та (а) и формула
Применение
вычетов
(2@—a)+my (2)
(11)
ф (2)
(10)
к вычислению
следует
из
равенства
определенных
интег-
ралов. Теория вычетов, изложенная в предыдущем пункте, применяется не только для вычисления криволинейных интегралов по границам элементарных множеств, а и к вычислению определенных интегралов. Укажем простейшие случаи.
Теорема 1. Пусть Р и 9 — алгебраические многочлены, причем
етепень @ больше или равна степени Р -- 2. Если О (х) =0
УхЕ
ЕК,
mo
= со
\
P (x)
© (x)
_
dx = 21
.
т
ВыЧа,
Po
O°
(1)
— O09
279
где а, — нули многочлена Ц в верхней полуплоскости, т. е. [т а, >
>0 (&=1, т.
« Пусть КЁ — верхний полукруг радиуса В с центром в начале
координат, Гк — соответствующая
полуокружность, ориентированная против хода часовой стрелки. Если полукруг Кв содержит
все нули многочлена (), расположенные в верхней полуплоскости,
то по теореме о вычетах получаем
(2).
Oe) de = ani) Выча, —<:
| _Р43
ЭК р
Поскольку
R
Pz)
\ te @=
окр
И
справедлива
Pe
(2)
—^
\ P(2) dy
\oa %+ ) oe
rf
(9)
оценка
|-2 8
ХЕ)
“| <)
хо
\ P (x)
| 42| < max
| Fa
бо
_
(4-) =
nR =O
7} =o(1),
Гр
(4)
то, перейдя к пределу в равенстве (2) npH R > -- со, получим фор-
мулу
(1).
№
Аналогично доказывается следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда выполняет-
ся
равенство
| Ро,
Gay Uk = — Qa » Baits, P5
-+Н оо
(5)
где 6, — все нули многочлена @, расположенные в нижней полуплоское
сти,
т.е.
тб
—<0
(k=
1, An).
Таким образом, для вычисления несобственного интеграла от рациональной функции можно использовать формулы (1) и (5). Выбирают ту из них, в которой вычисления проще.
Если не выполнены условия теоремы 1, то несобственный интеграл в обычном понимании не существует и поэтому отпадает проблема его вычисления. Собственные интегралы от рациональных
функций можно сводить к несобственным посредством замены переменной и вычислять, как указано выше. Сказанное относится и к
вычислению первообразных.
Вычисление вычетов упрощается, если принять во внимание
следующее замечание. Предположим, что © (а) = 0, а 0’ (а) =2 0.
Тогда
-Р
Р (а)
Выч,
280
<
= 07)
(6)
Действительно,
Р (2)
Q(z)
1
=
P (2)
z—a_
Выч
pa)’
Приведем
примеры.
Пример
Вычислить
Р
Р (а)
«
а
Р (а)
Ф@
9@’°
-Ноо
1.
i=
|
dx
1х4 °
—о0
Ay =e
ge
@ (2) = 2 -- | имеет в верхней : полуплоскости
Многочлен
‚ Зл
4 | Coraacuo формулам
1
Oo
[= 2ni (Bor,
ni
= ——
5
(e
tz
e
а; =е
iT
>
(1) и (6), имеем
1\
gf.
+ Bory, +) = 27
+
нули
tg
l
@
ni
буд
=
1
0 (ay)
+
__
=
75л
=
—(l—i—|l—ij)=
=e
2л
Пример
2. Вычислить
Запишем
ах
\ Ttewsx
[=
0
/ в виде
2л
j=2\
По определению
криволинейного
Я ве
>
tx
г ах
*
2е1*
интеграла
dz
j=—2i|a
Dee’
в
(см. п. 9.2) имеем
К = {26 С ||2|< 1}.
OK
Согласно теореме о вычетах,
получаем
[=
4n
У
ВЫЧа,
1
—д’
la,1<1
Где О (2) = 222 -|- 2z-++ &, ay — ero нули,
центром
в начале
— аут
координат.
‚ поэтому,
8
Выча
9.13.
Многочлен
J
Q
Теоремы
|
Q’ (a)
Лиувилля
применив
расположенные
@ имеет
формулу
|
2V1i—e
’
и Сохоцкого.
в круге
(6),
в единичном
К
один
круге с
нуль
а=
найдем
j=
—
Vi-—e#
Основная
°
теорема
алгеб-
ры многочленов. Любая (-непрерывно дифференцируемая функция
|
ъ
(С —- С называется целой. Она является непосредственным аналогом
многочлена и разлагается в степенной ряд с бесконечным радиусом
281
СХОДИМОСТИ
f=
У а,”
У2ЕС.
NE Zo
(1)
Лиувилль доказал следующее важное утверждение.
Теорема1 (Лиувилля). Если целая функция ограничена, то она
постоянная.
{ Воспользуемся интегральной формулой для вычисления коэффициентов ряда (1) (см. формулу (3), п. 9.8) и оценкой модуля интеграла по границе круга Кв = {2 Е (С ||2| < В}. Получим
|
та | =
а,
— 0 npn
и [ (2) = 4%
[г
| smi
a <sup
| f(2)
R+>+-+ <
УлЕ\.
У2ЕС.
№
Следовательно,
OKp
|
Rn
аа =0
УпЕМ№М
Следствие
(основная теорема алгебры). Каждый алгебраический многочлен, отличный от постоянной, имеет в комплексной
плоскости хотя бы один нуль.
Применим метод доказательства от противного. Если алгебраический
многочлен
Р,
1
отличный
от
постоянной,
.
не обращается
.
в
нуль, то функция ->- является целой и ограниченной. [10 теореме
Лиувилля она постоянная. Получили противоречие с предположением о том, что многочлен Р не является постоянной. №
В п. 9.11 особые точки классифицированы как устранимые, полюса и существенно особые. Первые две характеризуются тем, что
функция
имеет
в них
конечный
или
бесконечный
предел.
Важную
характеристику поведения функции в окрестности существенно особой точки указал русский математик Ю. В. Сохоцкий (1842—1927)
в своей диссертации.
Теорема 2 (Сохоцкого). Пусть а — существенно особая точка`функции |: С-— (С. Для любой окрестности О, множество
f (O' (a)), ede O' (a) = 0, \ {a}, плотно в С.
Метод доказательства от противного. Если утверждение несправедливо, то существуют такая точка & Е (; и такие окрестности
Ow,» Ons что О. П Ё(О’(а)) = ©. Функция Е: С — С, где Е (2) =
7
f (2) —W
‚ ограничена
в О’ (а),
причем
а является
для
нее осо-
бой точкой однозначного характера. Разложим функцию ЕЁ в ряд
Лорана и оценим коэффициенты с—„ его главной части. Получаем
Jomal=|-gar
1
| ogee | < up|
Е
n—
OK,
|c_n|—> 0 npn r—>0.
Tostomy c_,»=0
VaneN.
Ilonaraa F (a) =
= Cy
0, получаем (;-непрерывно дифференцируемую
O,. Последнее невозможно, так как
Ге =ш + то’
282
2
У2Е0’(@). №
функцию
в
$
10.
Потенциальное
Определение.
векторное
Лусть
называется
называется
поле
Р = [а, 6] Х
[с, а].
Отображение
Р I. R
векторным
полем
в прямоугольнике Р.
потенциальны м, если существует такая
Оно
В?-
непрерывно
дифферениируемая функция Р Г. IR, wno dF = fdz,
или F’ = f.
Из определения следует, что } = grad Е. Функция Е называется
потенциалом векторного поля }. Он определен с точностью до постоянного слагаемого.
Теорема.
Пусть
ференцируемо.
векторное
поле
Оно потенциально
Р Г,
тогда
IR?
К?-непрерывно
дид-
и только тогда, когда
Ofs.
ale) __
_ OfOh (x)
Ox,
где f = (h, fh).
OX,
VareEP,
(1)
<q ПБеобходимость. Пусть векторное поле ] потенциальное. По определению ‚существует такая функция Р —- В, что Е’ = }, т. е. > =
1
= ри
ных
=
= f,. Поэтому
_ д
OF
ПРОИЗВОДНЫХ 10,“
производнь
Хх
условие
(1) следует
_
(
Dib
= ( dt
(11,
te) dt,
{ au
=
he (X%, te)
Определим
функцию
равенство
dt,
(41, 1.) 45 = {ae
= | К, ж) а —
Р [.
К,
полагая
смешан-
Oe
ЕР
— 0х, — библ, = д,
Достаточность. Пусть выполнено
ЕР, где х = (хи, х.), получим
( at,
из равенства
~
(1).
| he (a,
Тогда
to)
dt,
УжЕ
—
Dol, (ti, te) dla=
(в, 944.
(2)
У (хи, х.) ЕР
Е (жь Ха) = fh (X45 ¢2) dt,+ [1
(ty, да: =
= ( fis %_) dt, + ( (а, 2) 4,
(последнее равенство есть следствие тождества (2)). Так как
Daf (1, %) =
ФАР (жа, хз) =
E‘
=f.
>
ых ({ fy (1, £2) dty + | fi
С . (} А (Ы, ха) dty ++ \ F(a,
с) at,
= fa(%1, Xa)
в) i, = р (%› %),
°
283
Упражнения
+ оо
1,
Beiwncutb
/,
а)
(п
1
х
2. Найти:
dx
ЕП...
\
—
оо
( V 1+ fat
Шт 8
5
х—-- со
°
ге ш
; 6) Шт —
x“
x0
In —
x
aL
3. Исследовать
на сходимость
4. Вычислить первые
дующих функций:
1
а) ан>е!—®,
B) zh> In (1 + é),
[=
{l};
6) ze sin
x
Тейлора
ze ON (1s
(п =
12),
прямоугольников
х.
по степеням 2 для сле-
!
=
|e?
| <1.
формулу
In (sin x)
VT
/ =
четыре члена формулы
ZECV
5. Применяя
2m
интеграл
приближенно
вычислить
| $ хх и результат сравнить с точным ответом,
6. Доказать,
что функция
хн> х ш х выпуклая
x
7. Доказать неравенство
=
нить его геометрический смысл.
8. Исследовать на экстремум
а) хн>х"
(1 — х)", хЕК
1
2
6) хньхЗ (1 —х)3,
в) хн> агс4 с х
==
y
>е
A+Y
?
следующие
на интервале ]0, --сз[.
(х 52 у) хЕК,
уЕК,
ивыяс-
функции:
(тЕМ, NEN);
xER;
ш(1- х2),
хЕЮ;
Г) (к, ж) => яж 6 —ж*—х,), (жа, хз)
6 К;
д) (х, ху зтх, + с03 х, + 008 (1 — 2), (ха, ЖЕ Го =| х Ё =|2 |
е)
(x1,
ty
HO
x]
2
№
+t
2
Gt
(x;
>0
( =1,
2,
3),
a>O0,
b> 0).
9. Показать,
что
интеграл
;
F (x) = | Posy (х1) а,
ж Е
К,
от ‘разрывной, ` функции (х1, 2) Н> зеп (х1 — хо), (1, х) Е К?, является непрерывной функцией. Построить график функции F,
284
10. Найти
Р” (&), если
1
F(a) = ея»,
ае1- И.
6
_. И. Пользуясь формулой Лейбница
ной функции, доказать равенство
b(a@)
и
правилом
дифференцирования
,
b(a)
,
Of
(x, a
К Ба (*) | = f(b (a), a) &” (a)
— f(a (a), a) a! (a) + \ TEA
a(@)
слож-
ay,
a(a)
Указать достаточные условия, при которых оно справедливо.
12. Найти у’ для функции у, определяемой уравнением
шт Узи
13. Разложить
в ряд Лорана
= arctg
функцию
z+>
а)
с помощью
sin xdx
x(x?
0
1)?”
16. Вычислить
a) )
$
2t>
6)
вычеты
|
B)
2b
—e
11. Функции
функций,
Г
П
°
|2| > 3,
- при г = 27?
—e
следующие интегралы:
вычетов
cos xdx
следующих
2
zrere!—?
\
—оо
@—)@—27
6)
Класс
:
теории
при
(г— 2) (2—3)
14. Какую особенность имеет функция г н>
15. Вычислить
.
x
., в)
\
cos xdx
И +9’
—с
функций:
=
=
uz=luz=2
2;
npn z=1;
при
2 =
2kni,
ограниченной
вариации
рассматриваемый
ниже,
тесно
связан
с монотон-
ными функциями и играет важную роль в теории интеграла Римана — Стилтьеса, а также в некоторых приложениях.
11.1. Определение функции ограниченной вариации. Полная вариация функции. Пусть [а, 6] —- В, Р = Рац = {х,|Ё = 0, п} —
разбиение сегмента [а, 6] (см. п. 5.3, гл. 6), АР, = F (xe41) —f (Xp).
Определение |1. Вариацией
функции |, соответствующей
разбиению Р, называется число
|
n—l
Ve(f; a, 6)= У [АЁ,|.
k=0
Onpenenenne 2. Ecru JMER!V
Piao,
Ve (f;
| qomenemcn функцией
ограниченной
на
la,
Ol.
(1)
a,
В) ЗМ, то
вариации
285
¥
“
b
Определение 3. /Голной
вариацией
ГИ, (7) функции }
на сегменте [а, 6] называется верхняя грань множества всех возможных вариаций Ир ([; а, В):
Иа (В = sup Ve (f; a, 6).
(2)
Ecan V2 (f) = + 00, To f Ha3prBaeTca функцией неограниченной
вариации на [а, 6]. В случае, когда В —- В, будем называть } функ.
.
b
цией ограниченной вариации, если полные вариации Уа (№ ограничены в совокупности. При этом
visоо (f) Se Г. tim vec.
11.2.
(3)
eee
Некоторые классы функций
ограниченной вариации. Пусть
fa, РВ.
Теорема 1. Если [— монотонная функция, то она является
функцией ограниченной вариации на сегменте [а, 6].
Достаточно доказать утверждение для неубывающей функции.
В этом случае для любого разбиения Рав) имеем
n—!l
Vp (f; a, 5) = k=0
ХАК
вию
=[ (о) — Е).
№
Определение. Функция } удовлетворяет на сегменте [а, В] услоЛипшица, если существует такая постоянная КЕВ,
что
V (x € la, b1, y€ la, d))
If()—-FOISAK|x—yl.
вию
<
(1)
Теорема 2. Если функция { удовлетворяет на сегменте [а, 6] услоЛипшица,
то
она является
функцией
ограниченной вариации.
Пусть Реь) — произвольное разбиение. Из
условия
(1) следует
оценка
n—|
УР (Г; а, b) =»
п
|Afel< XK
(te41 —
4) = K (6 — a),
k=0
Непрерывная функция может иметь неограниченную
Пусть
[а, 6] Г. К, где
f(x) =
Если
точками
хс0з-=— , если
разбиения
|
то
286
Ve;
0,
)=l+5+
ox
0,
Ро.
|
если
хе]0,
1,
х = 0.
являются
1
1
Vo(f)
=
т < <<<,
...
|
+>
+.
>
вариацию.
11.3. Основные свойства функций ограниченной вариации.
Теорема 1. Каждая функция ограниченной вариации ограничена.
4
Пусть
fa,
8] —-
В — функция
Ы[ — произвольная
ограниченной
вариации, х Е
точка, Р!а,ь] = (а, х, 6}. Тогда
]а,
Ур (; а, 6) = [1 (х) — Ка) 1+ 10 — 19 [< Уз ($.
Следовательно,
|{(х) —{ (а) | <
ed
@)|,
a
И (9.
Поскольку
To |F@I<SIF@lL+UA
|{(х)|—
VxeE
Теорема 2. Сумма, разность и произведение двух функций ограниченной вариации являются функциями ограниченной вариации.
<
Пусть [а, 6] 1. В, [а, Й 2+ В — функции ограниченной вариа-
ции на сегменте [а, bl, =
-в, а =/— в, Рав — произвольное разбиение. Если х, и х,--, — точки разбиения Р, то
[$ (хе) — $ (Хь) [< [Раны — Ре)
| (хе) —
Суммируя
18 бы) — 8 (хр
CD
6 (Хь) | < [1 (жи) — Аж) [Е 1 (к) — 8 (хь)|. — (2)
неравенства
(1) и (2) по всем №, получим оценки
УР (5; а, 6) < Ир(ф; а, 6) Е Ур(в; а, 6) < Уа (В + Иа (8),
Ир (©; а, 6) < И: (Р-Н И: (©),
из
которых
следует,
вариации.
Пусть
р =,
1
BER.
AER,
что
$ и а
являются
А = Sup.
U3
f(x),
функциями
B=
тождества
ограниченной
sup .g (x). Tlo Teopeme
x€[a,b]
Аре = 8 (хь) АР, -- РАВ»
следуют
оценки
(R=0,
+ А|14А8+|
| Ар»| < ВТАР,|
n— 1).
(3)
Суммируя обе части неравенств (3) по всем Rk, получим оценку
Ир (р; а, 6) < ВУЬ (р, а, 6) + АУ (в; а, 8) < ВУ (В + АИ? (в),
означающую
риации.
}№
принадлежность
р
классу
функций
ограниченной
ва-
Теорема 3. Если [а, Ы ^, В, [а, И &- В — функции ограниченной вариации и, сверх того, | 5 (х) | 2 в >0
Ухейщ, В], то частное — является функцией ограниченной вариации на [а, 6].
< Пусть Ра. — произвольное разбиение, х, и х,-+-! — точки, входящие в него, А = sup f/f (x), B= sup if (х). Из тождества
хЕ [а,6]
f (Xp44)
g (p41)
__Fler)
в
(Xp)
_
_g Ue) Afe — fF (xx) Age
g (Xp4.1) g (Xp)
287
и условия
|с
Е
(х) | > в > 0 получаем
Еж)
8 (p41)
оценки
<—y (Bl Afe| + Al Age) @=0,
п 1)
& (Xz)
Просуммируем эти неравенства по всем k, Mmeem
ve(L; а, 6) 5-5 (ВУь(1; а, 6) АУр (в; а, 6) <
< -я- (ВИ ( + АУ (В).
Согласно определению 2, п. 11.1, -^ является функцией ограничен-
ной вариации
11.4.
на сегменте [а, 6].
№
Основные свойства полной
вариации
функции.
1. Пусть [а, 6] 1, В. Если а — постоянное число, то
Уа (ар) = | | Уа (В.
4 Справедливость
вариации
утверждения
функции.
}
следует
(1)
из определения
2. Если [а, 6] I. В и[а,
риации, то
Ы -2- В — функции
<q Для
Pia») HMeeM
полной
ограниченной
Va(f +a) <Va(f) + Va(g).
каждого
pa36nennA
(2)
ИР(Р- Е; а, 6) < Ир(Р; а, 6) - Ve(g; a, 6),
откуда
ва-
(3)
Vali t+ а) < Ур (р а, 5) + Иь(в; а, 6) <Va(f) + Уа (8). №
3. Пусть
[а, 6] Г.
В. Если а< с <
Иа (Р = УЕ (В -
Ь, то
ИВ
(4)
(здесь с целью упрощения обозначений функция } и ее сужения
на сегменты [а, с], [с, 6] обозначаются одним символом).
Рассмотрим разбиение Рив, в которое входит точка с. Тогда
получим оценку
*
Vp+(f; a, b) =Vp«(f; a, c) + Уь» (В с, 6) < У (В+ У.
Пусть
Ра
— произвольное
разбиение,
в которое
входит. Если к имеющимся
точкам множества Р\аь}
точку с, то получим разбиение Русь —> Р/а.ы. Поскольку
Ир (РЁ; а, 5) < УР, (Ё а, 6) <
+ Ус (В,
точка
65)
с не
добавить
(6)
TO
288
и) Зи (УЕ
(В.
(7)
Пусть = >> 0. По свойству верхней грани
найдутся такие разбиения Ро o)
PY 5» ЧТО
Объединив
Ур (а,
числового
множества
Vem (fs a, ©) > Va (Pf) —-—,
(8)
V pe (Ё; с, В > У
(9)
оба разбиения,
получим
-—-.
разбиение
Ра],
6) = Ум (Ё; а, с) + У» (Ё с, 9 > УЕ
В силу произвольности = >> 0 из неравенства
+ У
для
которого
— в. (10)
(10) следует оценка
У: (В > УЕ (РУ.
(11)
Сопоставив неравенства (7) и (11), получим равенство (4). д»
Следствие
|1. Если в условиях теоремы | является
функ-
ее сужения
вари-
цией
ограниченной
вариации
на сегменте Та, ],
| [в.а и Р|еь являются функциями
то
УсЕ]а,
ограниченной
Ы
ации соответственно на сегментах [а, с], [с, 6] и обратно.
4. Функция [а, 6] —- В, где о (х) = У*(Ю УхеЕ 14, 81, неубывающая.
< Справедливость утверждения следует из условия 9 (х) > 0
У хе
(а, 6] и свойства 3. »
5. Если функция [а, 61 1. К непрерывна в точке хо ]а, 6] слева,
то и функция и непрерывна в этой точке слева.
q Пусть е > 0. Тогда 36 > 0:
(УХЕ,0) O<%—x<H>(IF(M—fedI<t).
Поскольку
биение
У
(/ =
Р = Рау
sup
а, Хо |
УР (Ё
__
= {х, |
а, хо), то
= 0, п},
существует
“(9— У, ыы)
— Г).
вым). Принимая
оценку
раз-
что
n—l
Можно считать, что 0 <
добавим еще одну точку х*
х* >
Л 0<ж—*
равенства (13) может лишь
такое
(12)
(13)
ж — Xn—-1 < 6 (если х, — х,— > 6, то
разбиения, удовлетворяющую условиям
<, отчего разность в левой части неуменьшиться и оно останется справедли.
во внимание это замечание и условие (12), получим
n—2
V2" (f) — 2
| f (X21) — (|<.
(14)
n—2
Tax Kak ¥) | f (xe)
— (+) |<<." (В, то
Vi (f) —Va" (<a,
10
337
(15)
289
т. е. справедливо неравенство
U (Xp) — U(Xn—1) < в.
Согласно
свойству
4, функция
(16)
и неубывающая,
€ [xn—1, Xo] выполняется неравенство
9 (%) —
символом
С [а, 6].
чего УхЕ
9 (Хх) < в,
означающее непрерывность функции ов
Если функция }{
ция о обладает этим
дения рассуждения
зом, если функция
также непрерывна
Класс функций,
в силу
(17)
точке х, слева.
}»
непрерывна в точке х, Е [а, &[ справа, то и функже свойством. При доказательстве этого утвержаналогичны приведенным выше. Таким обра} непрерывна в точке ху Е ]а, 6[, то и функция 9
в этой точке.
непрерывных на сегменте [а, 6], обозначается
Следствие.
Если
11.5. Связь между
тонными функциями.
ЁЕС ]а,
функциями
6], то 96 С,
ограниченной
Ol.
вариации
и моно-
Теорема 1. Для того чтобы функция [а, 6] _!+ В была функцией
ограниченной вариации, необходимо и достаточно, чтобы она была представлена как разность двух неубывающих на сегменте [а,
$] функций.
Необходимость.
Пусть { — функция
сегменте [а, 61|, 9 (х) = У. К
Функция ф неубывающая
ограниченной
вариации
Ухейа, 6]. Рассмотрим разность
ф=о— /.
Гогда
Согласно
Ф (хз) —Ф(х,) = (9(х.) — 9 (х)) — (Ff (%2) — F (%)).
свойству 3, п. 11.4, имеем
(2)
U (x2) — v (x,) = Vii (A).
Поскольку
ф
|} (%5) — | (х1) | <
неубывающая
Достаточность.
Если
(1)
на сегменте [а, 6]. Действительно, пусть
Хх. < хо.
функция
на
[=
и
Ин (,
(3)
то ф (х2)
— @ (x,) >
}[(х) =о(х) —Ф(х)
f, — р,
где Н
и р —
Wxe
0, т. е.
la,
O).
неубывающие
на сегменте [а, 6] функции, то, согласно теореме 1, п. 11.2, каждая
из них является функцией ограниченной вариации. По теореме
2, п. 11.3, разность |, — [» есть функция ограниченной вариации. }
Следствие. Множество точек разрыва функции ограниченной вариации [а, 6]
.,
К не более чем счетное.
рыва хо Е а, @Ё существуют оба предела
точке раз-
fa (%) = F(X— 0) = lim f(x),
(4)
Гы (Хо) = | (хо - 0) = Шт f(x).
(5)
X<X,
x>X,
290
В каждой
<q
Согласно теореме
1, п. 5.3, гл. 7, и следствию
из
нее, множество
точек разрыва монотонной функции [а, 61 -®- В не более чем счетное
и в каждой точке х Е ]а, 6 существуют д, (х) и в, (х). Этими же свойствами обладает и разность двух монотонных функций. д
Из свойства 5, п. 11.4, и теоремы | получаем следующее утверждение..
Тео рема 2. Всякая
непрерывная
функция
ограниченной
есть разность двух непрерывных неубывающих функций.
° 11.6.
Функция
скачков неубывающей
функции.
=-
В
— ‘неубывающая
функция,
произвольное разбиение,
<x, = 0.
‚ Определение 1. Число
[a,
= 0, п}п} —
в, (х,) — Z, (Xp) называетея
скачком
как
Pigg, =
Пусть
(x, |
где,
Р =
вариации
обычно,
х =а<х
<... <
функции в в точке х, © Ja, @, ачисла ©. (а) — в (а) ис (5) — в, (5) —
соответственно ее скачками
точке 0.
Если функция
справа
© непрерывна
в точкеаи
в точке х, Е
скачок в этой точке равен нулю.
Лемма. Справедливо неравенство
слева
в
[а, 6], то, очевидно,
ее
(Ba (a) — g (2) + У (ea (4) — Ba (Xe) + (8 — & (0) <8 (6) — 8 (a).
(1)
п
<q B Kakgom untepsase Ix,, ль
вольную точку иу,. Тогда, в силу
ции @, справедливы неравенства
(К = 0, п — 1) выберем прэизхарактера монотонности функ-
En (х») — бл (Xn) S & (Yr) — 2 (Yr—)
(R =1,
&n (2) — g (2) Sg (Yo) — g (2),
g(b) — g,(6)< 8 (6) — g (Yn-r).
Складывая
неравенства
Пусть {хх | Е >
(2) —
(4),
|| — множество
получим
оценку
п—
1),
(1).
(2)
(3)
(4)
>»
точек разрыва функции &. На-
помним, что оно не более чем счетное.
Определение 2. Отображение |а, 6] —- В, где
\
> (во (хь) — Ел(хь))
Oe
s(x) =
8 (%) — Ba (x) Ccau x€ 10,6), .
0,
называется
функцией
Теорема. Разность
рывной функцией.
$ Пусть а< х<
если
скачков
отображения
ф = 5 — $ является
уф.
Согласно
лемме,
10*
(5)
и непре-
имеем
T. &. @(y) = g (y) —s (y) 2g (*%) —s (x) =©Ф(х).
ф неубывающая.
р.
неубывающей
s(y)— 8(x) Sg (y) —g (x),
функция
х =а,
(6)
Следовательно,
291
Если в неравенстве (6) перейдем к пределу при и — х, то получим
оценку
5" (х) — $ (х) < &1 (х) — & (*).
(7)
Из определения функции 5 следует, что
5 (и) —5
(х) —
we
x
А
<
(бп (Xp) —
En (Xx)
+
5 (y)
—
8, (y) +
Все слагаемые, входящие в правую часть равенства
тельны, поэтому
(8), неотрица-
$ (и) — $(х)
> а, (х) — g (x).
В последнем
неравенство
Сопоставив
неравенстве
перейдем
к пределу
(9)
при у -—+ х. Получим
S, (x) — s(x) > g, (x) — g (x).
(10)
Sy (x) — S(x) = ga(x) — g(x),
(11)
неравенства
(7)
и
(10),
имеем
т. е. фи (х) = ф (х). Следовательно, доказали, что функция ф непрерывна в точке х справа. Рассуждая аналогично, убедимся в ее
непрерывностив точке х слева. Таким образом, функция ф непре-
рывна
УхЕ а, 6].
№
Пусть [а, 6] |. В — функция ограниченной вариации на сегменте [а, 6]. Тогда } = | — р, где }, и {, — неубывающие функции.
Согласно доказанной теореме, функции G, = f/, — 81, Po = fe — Sa,
Где $1 и $. — функции скачков OTOOpaxKeHuH /, u №», неубывающие и
непрерывные.
Следствие. Всякую функцию ограниченной вариации можно
представить в форме суммыее функции скачков и непрерывной функции ограниченной вариации.
Рассмотрим
примеры.
Пример 1. Пусть /: К — В, О; =
на [а, 6]. Доказать, что УхЕ [а, 6]
[а, 6], и } непрерывно
дифференцируема
(Vi (fy) = 1 F (x) J.
Пусть
Тогда
Р=
Р(а.х] —
произвольное
разбиение
n—|
Vp (f;
a, x)=
У,
k=0
сегмента
[а
x]
(x <b).
n—l
| F (Xp44)
—
f(x,y) |=
хх <<
У
k==0
1 F
(Ee) | (Хе
—
Xp),
Xp)
(по теореме Лагранжа). Получим интегральную сумму Римана для интегрируемой
x
неотрицательной dbyHKuHH
| /’ |Га,х|-
Поэтому
у (=
| [№ (2114,
а<хзэь.
а
Поскольку
292
|/” | — непрерывная
функция,
то
(У” (7))’ = |
(х)|
Ухей,
@.
Пример 2. Пусть / (х) = 3х2 — 2х8, Ор=
©
[--2,
2].
Согласно решению
примера
[-2,
2], Найти УХ. ()`
Ухе
1, имеем
р.
и
= (014 =
—2
х
—(F@d=—f(y
+28, —2<2<0,
2
0
x
-1—l roat
| rodaset+2, 0<r<I,
—2
0
0
1
x
—(rHa+\FOd—\
PO dt=%—-f Ww, 1<e <r
—2
двух
ции
0
1
Пример 3. Представить функцию { : хн>» sin x, 0 < х2л,
неубывающих функций.
Сужение синуса на любой
поэтому
Принимая
сегмент
является функцией
! (<) == [, (х) — | (х), где
во внимание решение
= и,
примера 2, имеем
sinx,
ограниченной
Бр
50 = | 1814
0
=
1
0<*<-—-,
если
3
} 2 — пох, если 5 <<
4-- Япх,
если
вариа-
=ИО-Е®.
д
х
Ь (х) =
в виде разности
3
=
м
л<х— ал,
\
0, если
fa (x) =
д
0=*<—,
{ 2—2 sinx,
4, если
если
3
<<
л
<<
3
п,
2,
(
Таким образом, f (x) = f, (x) — f, (x)
УхЕПО, 2л] и hynKxunnf;, f."— неубывающие (посгройте графики этих функций).
Пример 4. Пусть [х, В] ^- В — функция ограниченной вариации на сегмен-
те [с В], афункция [а, 6] -^+ В удовлетворяет условию Липшица на сегменте [а,
bj] u р; > Е!. Доказать, что композиция РЁ о ресть
ации на сегменте [a, В].
функция ограниченной вари-
Напомним, что функция Ё удовлетворяет условию Липшица
5], если существует такое число К Е ПВ, что
У (1Е [а, 6], ха [а, 6])
на сегменте [а,
| F (x1) — Е (1) | К ]х; — хз |,
293
Пусть
P =
Ро, в] — произвольное разбиение.
Тогда
п—1
Vp (Fe f; a В) = 2 ЕС (tet)) —F
(f (fe) 1 <<
n—!
<K
x
Lf (41)
—/
(te) | =KVp
(Г;
<,
В).
Из условия примера и полученного: неравенства следует, что композиция
является функцией ограниченной вариации на сегменте [%, В].
F o f
5
Упражнения
1. Доказать: если [а,
ществуют
—= 9 (а) = 0 и Ух
Va A =p (x)
+ g ().
Отображения
и отрицательной
2.
6] Г
& — функция
ограниченной
такие неубывающие функции [а, 5] 2» В,
(а, 6]
выполняются
равенства
вариации, То
су*
f (x) — f (a) = p ) —g
(x),
ри 4 называются соответственно
вариации функции f,
[а, 6] 241R,
функциями
ato p (a) =
положительной
Пусть [а, 6] -Е- В — функция, интегрируемая по Риману на [а, 5], f (x) =
= Seo dt, gt (f) = max {g (4), 0}, g~ () = min {g (4), 0}. Doxasats, что [—
функция ограниченной вариации на сегменте [а, 6] и
x
ях
ИФ = (14014,
ро= (104,
а
а
x
а = (Г 0&.
а
3. Пусть [а, b) 14 R— функция ограниченной вариации на сегменте [а, 8],
ри9— ее функции положительной и отрицательной вариации, [а, 6] #1. к,
6] “4. В — возрастающие функции и } == р, —91. Доказать, что
у (<<? (р1),
__
4. Представить
р, если:
в виде
разности
a) f (x)= singx, OS
x SQN;
B) f (x)= cosx—xsinx,
У? Я < У
двух
(9.
неубывающих
06) | (х) = “| —х,
OS
* < 40,
(a,
функций
0%;
отображение
2;
$ 12. Интеграл`Стилтьеса
В 1894 г. голландский математик Т. Стилтьес (1856—1894) ввел новое понятие интеграла в связи с некоторыми специальными задачами. В ХХ в. это понятие стало широко применяться и в общих вопросах. Интеграл Стилтьеса является обобщением интеграла Римана
(см.
п.
12.1.
5.3,
Верхняя
гл.
и
6).
нижняя
свойства. Пусть [а, 6] J.
неубывающая
интегральные
суммы
Стилтьеса,
HX
В — ограниченная функция, [а, 6] + В —
или возрастающая
функция,
Р = Pigg, = {x,|k =
= 0, п} — произвольное разбиение сегмента [а, 6], в котором ху =
—
as
xy
<....
<
xn
=
b,
n—!1
п
‚ рр, а) = X Meho $ (р, 9) = Yo mpc,
294-
(1)
где
М. =
sup
1[(х),
xE[XpXpt1]
ть=
inf
f(x),
(R=0,
n—1).
x€[Xp.Xp41]
—a(x,)
Aa, =a(Xe)—
Onpenenenue 1. Yucaa Sp (f, a) u Sp (f, &) Haseearomca coomeemcm-
венноверхней
и
нижней
интегральными
мами
Стилтьеса,
соответствующими
Очевидно, что У Рам
бр (|, @) < 5Ь (К а).
Определение
2. Пусть Р
разбиению
и Р* — разбиения сегмента
Если Р* > Р, то Р* называется продолжением
ния
P.
Лемма.
сум-
Рав.
[а, 5).
разбие-
Если Р* — продолжение разбиения Р, то
Sp (f, a) < Sps (7, &),
(2)
Эр» (|, а) <Sp(f, a).
{
Допустим,
т
=
что
Р*\
inf
[(х),
хех, х*]
т, =
т’ >ть,
Р=х*
и
х<
inf
f(x).
хе[х*.хь-|-1]
путь,
Toraa
(3)
<
охьа.
Обозначим
Ор» (Ё, 9) — Бр (|, @) =
== ми (© (х*) — а (хь)) Е т (@ (хь--1) — а (х*))—ть (@ (хь-ы) — (х+)) =
= (пи — т») (@ (х*) — а (хь)) + (т — ть) (© (хь--1) — @ (х*)) > 0.
Если
Р*
\
P =
{x1,
Xo,
...,
Xm},
TO
доказательство
аналогич-
ное. Справедливость неравенства (2) доказана. Неравенство
предлагаем доказать читателю в качестве упражнения. }№
(1
Следствие. Если Раы
то справедливо неравенство
Р(1) (f,
ется
них.
&)
(3)
2
и Реаь — произвольные разбиения,
<
S pa)
(f,
a).
(4)
Рассмотрим
разбиение Ра = РФы |) РОь, которое называ1
общим для Ри
Р® и является продолжением каждого из
Согласно
лемме,
имеем
Зри (1, ©)< 5р([, 9) < Зр (р, 9) < Зы ([, а). №
12.2.
Верхний
и нижний
теграла Стилтьеса. Критерий
Определение 1. Числа
интегралы
М oe inf Sp (f, a),
Стилтьеса.
интегрируемости
{ida = sup Sp (f,
Определение
по Стилтьесу.
a),
ин-
(1)
где грани берутся по всем возможным разбиениям сегмента [a, 6],
называются соответственноверхним
и нижним
инте-
гралами
Стилтьеса.
295
Теорема
1. Справедливо
неравенство
§ faa < | уч.
(2)
2
4 Пусть РО ы и
Pi? ») — произвольные
разбиения.
следствию из леммы п. 12.1, выполняется неравенство
Согласно
Spi (f, %) < Зе (К, о).
(3)
Фиксируя разбиение Рон и вычисляя верхнюю грань множества
{Spay (/, &)} по всем возможным разбиениям Pho on
получим неравенство
\ fda = sup Spay (f, @) < Зе (|, о).
Вычисляя
{Spc
в
последнем
неравенстве
нижнюю
грань
множества
(, ®)} по всем возможным разбиениям Pe 5» Имеем
{ fda = int
Spa (f, a) > J( fda.
p(2)
Определение
2. Если | fda = \ fda,
то общее значение верхнего
и нижнего интегралов назовем интегралом
Стилтьеса
функции [| относительно функции © (или по функции а) на сегменте
[а, 6] и обозначим его
b
{ F(x) da. (x).
Множество всех функций [, интегрируемых по Стилтьесу относительно функции & на сегменте [а, 6], обозначим символом {С
€ S (a) la, Ol.
Из данного определения следует, что при © (х) =х
УхЕШ,
6b] интеграл Стилтьеса совпадает с интегралом Римана функции }
на сегменте [а, 6]. Следовательно, интеграл Римана — частный случай интеграла Стилтьеса.
Заметим, что в общем случае функция © может быть разрывной
на сегменте [а, 6].
Функция @& называется интегрирующей функцией. В дальнейшем класс интегрирующих функций « не будет ограничиваться лишь
монотонно возрастающими функциями. Несколько позже введем
понятие интеграла Стилтьеса по функции ограниченной вариации,
а пока что предполагаем, что интегрирующая функция & возраста-
ет или неубывающая на сегменте [а, 6].
Теорема2 (критерий интегрируемости по Стилтьесу). Для того
чтобы ограниченная функция 1а, 6] 1. В была интегрируемой по
Стилтьесу
Ь] —+
296
относительно
монотонно
возрастающей
В на сегменте [а, 8], необходимои достаточно,
функции
[a,
чтобы \ в > 0
существовало такое разбиение Рца.ь, что
(4)
< г.
0 << $Р (р, а) — $р([, а)
4
Необходимость. Пусть [Е $ (<) Па, 8] иг > 0. Тогда
_
b
че = [ма = ) даа (x)
и в силу свойств нижней и верхней граней числовых множеств
ществуют такие разбиения Рав, Реьу что
Tyctb
су-
| f(x) da (x)— Spa (f, 9 <-—,
(5)
Зе (Г, 9) — ( f(x) da (nt.
(6)
Piao) = Ро 6) U Pe? 5.
Поскольку
Piao,
является
продол-
жением разбиений РОы и РЮь, то, согласно лемме п. 12.1, имеем
5
Sp (f, a) <Spo (f, <] f (x)da (x) +
<Sp
(f,
%) +
=-<Spu(f,a+e<
г,
т. е. O< Sp (f, a) — Sp(f, a) <e.
Достаточность. Пусть существует такое разбиение
0 < Sp (f, a) — Sp (f, «) << г. Тогда из неравенств
следует оценка
означающая,
Руа.)
что
бр (р, 9) <[ма < J fda <Bo(f, a)
_
0<| fda —\fda<e,
что ГЕ $
Неравенством
(@) (а, 6].
(4) полезно
№
пользоваться
в форме
n—!
Py
где ®, = М, — т,—
12.3.
Интеграл
O,AX,
<
г,
колебание функции
Стилтьеса
как
предел
(7)
} на сегменте
интегральной
[x,, хь-+1].
суммы.
Не-
которые классы функций, интегрируемых по Стилтьесу. Пусть /- —
ограниченная, © — монотонно возрастающая на сегменте la; 6]
функции,
Р = Рыаы = (х,| Е =0, п}
— произвольное
разбиеHHe, Ёр = {| А =0, п— 1} — множество
промежуточных ‘то-
чек,
где NEN,
@= HRS...
[P| = nex
055
(жк — Жк)»
Sh
Sx, = Б,
Adty = O (Xp-41) — % (Xp).
297
Определение
1. Сумма
п—1
Sp
(Г,
Qa,
Ep)
—
называется интегральной
Определение 2. Полагаем
x
| (»)
Ac,
(1)
суммой
Стилтьеса.
lim Sp(f, а, ЕР) “1,
если
У=>0
36 > 0;
У(Р= Ра, 82)
Теорема
(2)
|Р||-0
(JP <5)>(|Sp(f, a, Ee) —T1<e).
1. Если
существует
lim Sp(f,
|Р]-+0
Е$ (<) [а, 6] и выполняется равенство
(3)
a, &p)=I1,
то [Е
b
| f(x) da(x) = 1.
4
нии
Пусть
=> 0. Тогда
условия
(4)
36 > 0:У (Р = Рам, Ёр)
|Р | < 6 справедливы
неравенства
при
выполне-
I—+<Sp(f, a, Ee)</ +4.
(5)
@PuKkcupyem Takoe pa36nenue Piao). Поскольку
sp
Sp
(Г,
Р
то выполняются
a,
Ep)
—
Sp
(f,
a),
inl Sp
Р
(Г,
a,
Ep)
= Sp
(Г,
%),
неравенства
I—
< 5 (р 9) < $ (|, <I +>.
Таким образом, 0 < Sp (f, a) — Sp (|, а) <е. Согласно
2, п, 12.2, 16$ (<) (а, 6]. Из неравенств
(6)
теореме
b
1—= <Sp(f, a) <J f(x)da(x) < Sp (f, <4
имеем
b
( F(x) da(x)—1
<8,
H B.CHJIy NPOH3BOJIbHOCTH & > 0 справедливо равенство (4). д»
Teopema 2. Ecau f€ Cla, 6], mo f ES (a) [a, @]. Более того,
У => 0 36 > 0:\ (Р=Р ау ЁР) при выполнении условия|Р | < 6
справедлива оценка
b
Sp (f, &, Ep) — J f(x) dau (x)
298
<2.
(7)
$
Пусть
г > 0,
ат
> 0 и
такое,
что
(a (6) —a (a))n<e.
Поскольку функция { равномерно непрерывна
вует такое 6 >> 0, что
на [a, ],
Выберем такое разбиение
|Р|< 6.
V (x€la, b], y Ela, 6)
условий (9) следует,
Следовательно,
(8)
то сущестВИ
(х—у1<5)> (/ 9) — К! < 9). _ (9)
что.
Р = Р/аь»
чтобы
oO, = Mp—man
пы
(R=0,
Тогда
из
n—
1).
п—1
Зр(р я) —5ь([, а)= Y opAdte <1) 5) Аа,= па (6) —a (a) <e.
Для функции f выполнен критерий
Оценка (7) следует из неравенств
интегрируемости
по Стилтьесу.
Зр (|, а) < 5Ь (|, а, Ёр) < Зр (1, ©),
(10)
Sp (f, a<f f (x) da (x) <Sp (Ff, a),
(11)
ы. условия $ р (К, “) — 5Р ($, ® <.. №
Теорема
3. Если { — монотонная на [а, 6) функция,
6], mo fE S (a) la, Ы.
a .1€ б [а,
<< Пусть, например, { монотонно возрастает. Из: непрерывности и
монотонного возрастания функции & на сегменте [а,:6] следует, что
У=ё >
0 36 >> 0;
УР Рив) ЧР
Фиксируя такое
ства
зир
разбиение
xE[Xp,Xp41]
= (Аа,< ет).
Р!а.л и
[(х)= Иж),
принимая
inf
XE[Xp Xp]
во
внимание
(12)
равен-
f(x) =F (x),
получаем оценку
п
5р (1, 9) — Зр([, а) = У, (баны) — f (9) Aon <
п—|
<На
2, (7 (X41) —/ (х»)) = г.
Для функции / выполнен критерий интегрируемости по Стилтьесу. №
° Теорема 4. Если функция| интегрируема по Риману на сегменте
la, В], а функция а удовлетворяет на нем ‘условию Липшица, то
fe S (a) fa, 6].
$. Пусть функция @ удовлетворяет на [а, 6] условию. Липшица с постоянной. К` (см. п. 11.2, $ 11). Из условия интегрируемости функции
.
a
“
м
Ё по Риману на сегменте [a, 6] следует, что
п
Ve>0
IP
= Pray
№, Фи (te t1 —
(B Teopeme 2, n. 12.2, nonaraem a (х) =х
ного
разбиения
Р(а.ы
п—|
Хх
т. е. для функции{ выполнен
тьесу.
№
Рассмотрим два случая,
(13)
УхЕЦа, 6). Для указан-
получим
Sp (f, a)
— Sp(f, a)=
%) <3
пы
©, Да,< К x Wp (Xe41 — Xp) < e;
критерий
когда
Нш
{| P +0
интегрируемости
no Стил-
$ (фа, Ёр) = | f (x) da (x).
Теорема 5. Если: 1) [ — непрерывная функция; 2) Fe S (a) la, 6]
uae€Cla,
6), mo
dim Sif,
<q
b
В») = [1094269
1!) Справедливость утверждения следует
2) -Пусть [6$ (@) [а, |, «ЕС (а,
из >
6
(14)
из неравенства
0. Поскольку
(7).
—
{ f(x) da. (x) = J faa = int So (f, о),
то существует такое разбиение Р* = Р(аь, что
b
Эр (р, a) <J f(x) da (x) +p.
Полагаем М = (sup
прерывна
на’ la, hl,
| f (x)|. Tak
как
функция
(15)
&
To 46, >0:1V(P = Piao)
равномерно
не-
(| P| <5) >
> (Aon < чт
м = |, где л — число сегментов [х,, Хь-.1| разбиения Р*.
Фиксируем такое разбиение Ра и рассмотрим сумму Sp (f, a).
Пусть Р’= Р* |] Р. Принимая во внимание свойство р» (р, &) <
< $Р» (К, “) и неравенство (15), имеем
b
Spi(f, a)<J F(x)da(x) +.
’
°
*
(16)
Так как Рад — продолжение pas6neHHi Piao, H Pras)
ение Р* содержит п точек, то справедливы оценки
Sp (f, ©) — Sp (f, с) < п тах Ак М < п
300
WH разби-
‘М=-®.
(17)
Следовательно, для каждого разбиения Рав,
условию | P | < 6,, выполняется неравенство
b
удовлетворяющего
бр (р < | аа.
Аналогично
доказывается
существование
(18)
такого 6. >> 0, что
b
V(P
=
Pta,by)
(| P |<
Bui6upaa 6 = min
6,)>
&
(Г,
a)
>
\
f (x) da
(x)
—
+}.
{8,, 5,}, umeem
VP=Pos) OPI<d>({ fo)da)—$<Self, «)<
b
< Sp (f, a <{ fda
Поскольку
У Р/а.ь справедливы
+4).
(19)
неравенства
Sp (f, а) < Sp (f, a, &e) < Sp(f, a),
то из условий
(19)
получаем
b
V (P = Pray) (Pi<
T.
>| Sp (f, &, Ep) — ШО da (x) <).
(20)
е.
5
lim Sp(f, o, Ep) = | f(x)da(x). >
` Р]--0
Условием < Е С [а, 6] в2) нельзя пренебречь: если © — разрывная функция, то возможен случай, что [Е $ (©) [а, 6], однако
| ор (р, ©, ЁР) не существует.
[Р|-0
Пусть,
пад =
например,
0, ели — 1 <х=<0,
1, если О<х—<1,
Поскольку {Sp (f, «)} = {0,
[ма
a(x) =
0, ели
|, если
—1<х< 0,
О<х<1.
1}, {Sp (f, «)} = {0}, To
= ink Sp (f, %) =0,
{ fo. = sup Sp (f, a) =0
1
и {Сэ
(<) [-1,
|, причем
| fF (x) da (x) = 0.
—1
Рассмотрим разбиение Р = Р/-1, 11, в которое не входит точка
х =0. Пусть ОЕ ]хь, хьзИ. Тогда У & С [хь, хи]
Sp (f, a, Er) =
= (Е), так как Доу = 0, если {= Ё, Да, = 1. Если Ё, < 0, то [(Ё,) =
301
= 0, Sp (f, a, Ep) = 0, lim
FG.) = 1, Sp (f, а, Ёр) a"
Если Ё > 0,
Sp (f, а, Ёр) =0.
то
1. Pesyaprar 3a-
lim Sp (f, &, &p)=
висит от способа разбиения. сегмента [—1, Пи Ир
поэтому ШП Фр (р, @, Ёр) не существует.
1Р|-0
Теорема | и рассмотренный выше пример убеждают
точек &,,
в том, что
т, Sp (f, % Е)
2 (Е $ (а) а, 4)).
Последнее означает,” что определения интеграла Стилтьеса как
предела интегральных сумм и данное в п. 12.2 не эквивалентны между собой: класс функций, интегрируемых в смысле определения 2,
п. 12.2, является более широким. В теории интеграла Римана аналогичной ситуации нет, поскольку условие < Е С [а, 6], где а (x)=
= х, из теоремы 5 автоматически выполнено.
12.4. Основные свойства интеграла Стилтьеса.
Теорема 1. Если: 1) f € S (a) la, 6), gE S (a) la, 6], cE R, mo
f+ecs (2) [a, 6], cf
E S (a) la 6], и при этом
f (F + g) (x) da. (x) = f f (x) dos (x) + f g (x) do (x),
b
b
\ (cf) (x) dor (x) = 0 | F(x) da (x);
2) FES(a)la, |, gE S(a)la, b) u f(xy<g(x)
b
VxEla, 6], mo
b
} f(x) da (x) < J g (x) do (x);
3) fE S (a) la, b} ua<c<b,
mo
Ра, Е $ (@ [а,с1) [а, с],
Ftc
и при этом
\.
€ S (& |pe.03) [e, 6]
| f (x) dow (x) + fre do (x)= [ f (x) dae (x);
4) fe S(a) la, я и 16915 М
ie
УЕ,
da (x) < М(< (5) —а
b], mo
(a);
5) FES (a,) la, blu f ES (@,) la, 6], mofEe S (a, +,)
b
b
b
fF (%) d (ey + ata) (x) = [| Год
(о) + | Гоа (x95
6) fES (@) la, М ис> 0, то [Е $
b
302
la, blu
(ca) la, В] и
b
f(x) d (ca) (x) =e | f(x) de (x).
Ч
то
1!) Если ф=/-+5,
справедливы оценки
Р=
Рон — произвольное
разбиение,
Sp(f, &) + Sp(g, &) <Sp(p, а) < р (ф, а) < $р([, а) Из условий
ГЕ $
(<) (а, В] исЕЗ (©)
(а, 6] следует,
существуют разбиения Р® = Р®цыи Р®2 = РФ,
выполняются неравенства
Spa (f, &)—Sp
S pa
(g ’ a) —
5р (а, о).
(1)
что Уё>0
для которых
(р, а) < 5,
(2)
S p2) (g ’ a) <-2
(3)
Пусть Р* = Р® |} Р®. Согласно лемме п. 12.1, имеем
S pil) (f,
a)
>
Sp» (Г, a),
Spe
(f,
a) =
Spa)
(Г,
a).
(4)
Из неравенств (2) и (4) следует оценка
Spe (f, &) — Spe(f, %) < 2
(5)
Аналогично убеждаемся в справедливости оценки
Sp» (g, ) —Sp+(g, a) <>.
Поскольку для разбиения Р* = Ра
(1), то из условий (5) и (6) получаем
Spe
(ф,
%) —
Sps (ф,
%) >
Sps
(f,
(6)
выполняются
a) + Sps
+ $ (а, а) <e.
(g,
Функция ф = [- в удовлетворяет критерию
Стилтьесу на сегменте [а, 6].
%) —
неравенства
(Spe (f,
a) +
интегрируемости
по
Поскольку
Sps (f, a) <sup Spe (f, ад = [ Ма = | f (x) dex (x),
то из неравенства (5) получаем оценку
Зрь (f, a) < { f (x) dau (x) + =.
Аналогично
из неравенства
(7)
(6) следует оценка
Зр* (8, а) < | g (x) da (x) ++.
(8)
303
Принимая
разбиения
во внимание неравенства
Р = Риы, получаем
b
(1), справедливые для любого
b
b
| p(x) da(x)
< Spe (q, a) <J f(x) da(x) + | g(x)da(xy +e.
В силу произвольности г >> 0 имеем
b
b
ода (д < | даа
+ |
b
аа (>).
Если вместо функций [ и © возьмем функции —Ёи —а@,
чим
неравенство
Г (x) do >|
0)
(10)
то полу-
f (x) da (x) +See da. (x).
(11)
Из неравенств (10) и (11) следует равенство
(+e
Пусть {Е $
(x) da (x) = fre
dot (x) +
da. (x).
(12)
(а) [а, 6] ис>> 0. Тогда
(cf) (x) = ef (x)
УхЕШ, 6],
Sp(cf, «)—Sp(cf, a) =
= с(Зр (|, а) — 5» (Г, “))
УРры.
Поскольку [Е $ (<) (а, 6], то из последнего
cf € S («) la, 6). Tak Kak
равенства следует, что
| (cf) (x) da (x) = inf Sp(cf, a) =c inf Sp(f, a) =C \ f (x) da (x),
то в рассмотренном случае вторая часть утверждения 1) доказана.
Случай с < 0 сводится к предыдущему, если взять В = — с. Случай с = 0 тривиальный.
2) Если [ЕФ (а) (а, 61, вЕ$ (@)
la, bl u f(xy)< g(x)
УхЕ
Ela, 6], то для любых разбиений Р? = РОниР® = Роы имеем
S pil)
(Г,
%)
>
© р)
(5,
a).
(13)
Фиксируя разбиение Р@в, получим
6
{ F(x) dee(x) = sup Spar(f, 9) < Зы (а, а).
a
Неравенство _ (14)
множества
304
{5-е (5,
Р
справедливо
©)}
по
V Рав.
всем
Вычисляя
возможным
нижнюю
|
разбиениям
(14)
грань
2
Pho oy
получим
неравенство
b
b
J g(x) da(x) = inf Spe (g, @) > [ 94а)
3) Ecnu f€ S (a) [a, 6], To
для которого
существует
разбиение
Р = Рав,
Sp (f, &) — Sp (f, 9) < г.
(15)
Если точка сЕ ]а, 6 не входит в разбиение Р, то рассмотрим разбиение P* = Pras) = Piao, U {ce}. Tak Kak
бр ( а) < 5». (р, а), Фь+ (р, а) < 5ь (р, а),
ТО
Sp (f,
a) —
Spe(f,
a) <Sp(f,
Для разбиения Ра. имеем
выполняются равенства
р.
Sps
Принимая
S
(7, a) =
(f,
a) =
5 Pia* a (| |[а,с]э
+ S
и |[а,с1)
—
5 РБ] F |teoy & [е.) —
5
5 Ре
F(x) =|
[а, 6] —+
7(х),
если
x €[a,
c],
О,
если
хЕ]с,
6],
Очевидно, что РЕФ
силу
чего
(17)
O |tc.6])»
(18)
a { [6].
a lta,et) <8,
(19)
(F \tcsbs & Itc,b]) < 8.
(20)
(f [ост
*
Р(а:с]
функции
(1 [с,6
в
(16)
(16), получаем
Таким образом, f |facy € S (@ [а,л) [а, с] и
Рассмотрим
©) < г.
(7 lic.o}
.
Р(с,5]
Spe
+
a |[а,с1)
неравенства
(7 llasc}s
*
Pla,c]
Sp (f,
= Prac) U Русь,
(f |(а,с]› a |[а,с1)
.
Pla,c]
во внимание
5
Ра.
a) —
сы Е $ (@ |1.) [6, 6].
Ru la, 6] —+R,
0,
O (x)=
(а) (а, 61, ФЕЗ (а)
b
| 7(х),
rae
если
x€[a,
cl,
если
хЕ[с,
6].
[а, 6] и при этом
с
| F (x) da (x) = | f (x) da (x),
(21)
| © (x) da(x) = J f(x) da(x,
(22)
*
*
305
где для простоты сужения функций /[ и а обозначены теми же символами, что и сами функции. Применяя свойство 1), имеем
С
b
b
b
\ F(x) dos (x) + Sf (x) daw (x) = J F (x) da (x) + | © (x) da (x) =
a
с
а
b
b
b
= | (F + ®) (x) do. (x) = | (x) dor (x).
4) Пусть FE
(a) la, bl ul[f(xy)] <M
ky —M < f (x) = M
УхЕ
1,
b})
1» MES
V x €la, 6]. MocKxonp.
(a) la, 6],
причем
( Мах (х) = М (а (6) —а (а),
то, применив войн 2), получим неравенства
меб)
< |1
da (x) < М (а (5) — (а),
которые можно записать в форме одного неравенства
[re
5) Если [Е $
4 (х) | < М (@ (6) —a (a).
(а) [а, Пи FES (a,) la, 6), To У е>> 0 существу-
ют такие разбиения Р® = Роды
+
что
Зри (Г, а) — ы (1, а) <,
(23)
Spo (fr %)
— Spa (f, %) <<.
(24)
Для разбиения Рай = Роы
няются. Поскольку
Sp (f,
и Р® = РР,
%) = Sp(f,
U PP? 5 неравенства (23) и (24) выпол1) + Sp(f,
Oa),
Sp (Ff, +) =
= Sp(f, %) + Sp(f, %),
то, в силу неравенств (23) и (24), имеем
Sp(f, вы а) — Sp(f, и а) <е.
Следовательно,
Поскольку
[Е 5
(0%, -{ “.) (а,
b
| f (x) da, (x) = sup Sp (f, %),
306
5].
b
| f (x) da (x) = sup Sp (f, %)s
(25)
(26)
то существуют
такие
разбиения
Р’ = Раы
и Р” = Ре,
что
Sp: (fy, ал) > | Код ао (х)—-,
(27)
Spr (fs oq)> | Род аа, (д) — >.
(28)
b
;
Для
разбиения
Р* = Piao) = Pia,b) U Рав неравенства
(28) выполняются в силу леммы
п. 12.1. Из условий
свойств верхней грани получаем
b
b
b
b
(27) и
(25) и
1) WP = Prat Sp (fy O41 + Om) < | f(x) day (x) + J f(x) dag (3x);
2) 4 P* = Рыб» (|,
—
+ а) > | F(x) dey (x)+ | f(x) doe (x) —
2.
Следовательно,
b
b
fF (4) d (ey + a4) (2) = зир Зь (|, си + a) = | F(X) doy (x) +
b
+ J f (x) deg (x).
6) Если f € S (a) la, bl uc > 0, To функция со монотонно воз-.
растает (т. е. вместе с функцией & она неубывающая или возрастаю-
щая). Поскольку
У Р = Ра.ы справедливо
равенство
Sp (f, ca)
— Sp (f, ca) = c(Sp(f, a)
— Sp(f, )),
то доказательство свелось
утверждения 1). №
Теорема 2. Пусть
к
рассмотренной
[6$ () (а, |,
выше
второй
m<f(ix<M
части
VxE la,
] иФЕС [т, М], В =ф+{. Тогда ВЕ $ (@) ) la, b].
q [lycths = > 0. Поскольку функция ф равномерно непрерывна.
на сегменте [т, М], то существует 6 >> 0 такое, что 6 <=и
У(Е[т, М], yelm, M]) (t—y|<4)>
> (1+0 —Ф(И) |<).
(29)
Зр (р, в) — $ (1, 9) < 8.
(30)
Поскольку [Е $ (a) la, 5], To существует такое разбиение P=
= Pray = (x, |k = 0,
0,п}, что
Пусть
М,=
sup
x€[x, Xp41]
f(x)
m=
т; =
inf
f(x),
inf
h(x).
XE[XpX pst]
XE [XpiXp +1]
Me=
sup
XE[Xpixp 41]
A(x),
307
Разобьем множество {# © Х.|Ё = 0,п} на два подмножества А и В
следующим образом: ЕЕ Д, если ® = М, — т <6,
u REB,
если ®, = М, — т, > 6. Для ЁЕА, всилу выбора 5, имеем ®, =
= М, — т; < в.
Если
o, >6
получаем неравенства
= sup A ф (10|.
Принимая
УРЕЕВ,
КСВ,
то
в, = М, — ть <
во внимание
2K,
неравенство
где
6»,keB Да, < РЕВ
У Да, < 5,
В
силу
А =
(30) и условие
(31)
Которых
КЕВ
Aa,
< 6.
(32)
Следовательно,
ЗР(й, а)— —5р(й, а) = REA
У, Да, - REB
У, о; Да, <
<e (a (6) — a (a)) + 2K5<e
(a (6) — a (a) + 2K)
(в силу выбора 6 < г). Так как е >> 0 — произвольное,
Е$
(<) [, 6. №
Теорема 3. Если [65 (<) [а, ] ибЕЗ (а) (а, 5), mo:
l) fg € S (@) (4, 6];
то
ВЕ
b
b
2) 1165 (о) а, Ци \ F(x) da (x) <I f(x) [da (x.
< 1) Функция g:1R—>R, rae g(t) =,
Если [6$ (<) (а, 6] и 6 ЕЗ (а) [а, 6], то
непрерывна У ЕЕ Пе.
[в Е 5$ (а) (а, В и
f—gES (a) la, b]. Moteopeme2 poe (f+g)€S
— g)€S (a) la, В]. Из тождества
(Fe) (x) =
(alla, bluqgef—
(Ff + 8) () — (Ff — 2) (x)
и cBolcTBa 1) 43 Teopembr | cmenyert, uTo fg € S (a) la, 5].
2) Полагая ф (1 =|Ё| и применяя теорему 2, убеждаемся в
том, что| {| Е $ (<) [а, 61, если{ Е $ (а) [а, @]. Выберем с = + 1 так,
чтобы выполнялось условие
b
| f (x) da (x) >0.
Тогда
b
b
b
(33)
6
[da (a),
$ (+) аа (+) =o f(x) da(x) = J cf (x) da(x) <J F(x)
a
так
как с (x) <|f(x)|
Vxela,
ol.
>
Заметим, что все доказанные в этом пункте свойства автоматически переносятся на интеграл Римана, являющийся частным случаем интеграла Стилтьеса.
308
12.5. Интеграл Стилтьеса относительно функции ограниченной
вариации. Пусть [а, 6] —- В и 1, В “.R— функция ограниченной вариации на сегменте [а, 6]. Согласно теореме 1, п. 11.5, функция А представима на [а, 6] в виде Ай = я — В, где & и В — неубы-
вающие на сегменте [а, 6] функции.
Ecau f € S (a) la, b] u f € S (B) (а, 6], то полагаем
b
b
b
| F(x) dh (x) Sf F(x) daw (x) — J F(x) aB(X)
и при этом будем писать {С $
(1)
(п) [а, 5).
Поскольку представление функции ограниченной вариации в
виде разности двух неубывающих функций не единственно, то может
показаться, что данное выше определение не корректное. На самом
деле это не так.
Еслий
= а, — В,, гдео,,
В, —
неубывающие на сег-
менте [а, 6] функции, и кроме условий {С $ (а) [а, 61, [Е $
выполняются
(В) la, 5]
также условия f € S (a,) la, bl, FE S (B,) [a, 5], To us
равенства © -|- В, = а, -Е В и свойства 5) из теоремы 1, п. 12.4, имеем
b
b
b
b
b
b
F(x) doe (x) +f F(x) dB, (x) = J f(x) day (x) +S FO) aH.
Таким
образом,
6
6
( F(x) da(x) — | F(x) dB (x) = J F(x) do, (x) — | F(x) a, (W),
т. е. интеграл Стилтьеса, определенный формулой (1), не зависит
от выбора разложения функции A
Формула (1) позволяет значительно расширить класс функций,
относительно которых производится
интегрирование. Пусть, например, функция [а, Ь] -&- В (не обязательно монотонная) удовлетворяет на [а, 6] условию Липшица с постоянной К (см. определение п. 11. 2). По теореме 2 того же пункта & является функцией
ограниченной вариации на сегменте [а, В]. Легко убедиться в том,
что справедливо
представление g = 2; — Qo, где ав, (х)= Кх,
2. (x) = Кх—
в (х) Ухейа, 6]. Функция в, возрастающая, а
функция в. —
lek.
Согласно формуле (1), имеем для лю-
бой функции
[а, of L
b
b
b
\ F(xde(x) = J F(x) dg, () — J F(x) deo (a),
ecu f € S (g,) fa, 6] u FES (ge) la, 6).
12.6. Вычисление
интеграла Стилтьеса. Обозначим
CHMBOJIOM
(é Ю [а, 6] класс функций, интегрируемых по Риману на сегменте
а,
6
309
Теорема 1. Если [Е R
У хе
la, 6), 9 € R la, 6], g (x) = yo + | ф ()
la, 6], yo = const, mo f € S (g) la, В] и при этом
b
.
b
J f(x) dg (x) = J F(x) p(x) dx.
Поскольку
Е [а, 6]. Тогда
ФЕР (а,
6],
то
(1)
ЗМ >01!
[ф (| < М
| (1) — & (*) [= Теда
di
УхЕ
«мы
(2)
(в силу свойств 3) и 4) из теоремы 1, п. 12.4, общих для интегралов
Стилтьеса и Римана).
Поскольку [Е Ю (а, 6] ихфЕР
4[а, 6], to fp € R la, 5] (cM. cBoiство 1) из теоремы 2, п. 12.4). ostomy существует
lim р (/Ф, &2) = {00 p(x) dx
(3)
IP i|-+0
(см.
п. 12.3).
Образуем для произвольного разбиения Р = Ра интегральную сумму Стилтьеса функции } относительно функции &. Она имеет вид
n—!
Sp (f, 8, &p) = Xf Es) ep (Xe+1— Xz),
(4)
где
|
Зи
<Мь
&Р — множество
т=
Ш
(x)
хех, Хь--1]
промежуточных
но, поскольку т, < ф (х) < М,
точек
Мь=
р
хех, хь--1]
g(x),
(см. п. 12.3). Действитель-
УхЕ[х,, ха|, то
Xe+1
ть (ых)< | 9) 4х
< М, (ль — 4),
Xp
He Rk =————
Хь--1 — Xk
k+l
| o)ax.
ty
Сумму $Р (р, &, ЁР) запишем в виде
n—l
‘Sp(f, g, &P) = Xf Ex) © Ee) (Хь--1 —Ха) -- 7, = ФР ([Ф, ЕР) - Yn
(5)
310
где
Sp (fp,
&p)— интегральная
сумма
Римана
для
функции
` {ф,
п|
Vn = >
(Ue — Ф (Е+)) 1 (Е&) (Хе — Х»).
Оценим ^„. Из условия { Е А [а, 6] следует, что | | (х) | < М, УхЕ
Е [а, 6], где М, — некоторая постоянная. Так как |, — ф (,)| <
< о,, где ®, — колебание функции ф на сегменте [х», хе], то справедлива. оценка
п—1
|7. |< М, № Op (Xe+1— Xp).
Из условия ф Е РА [а, В] следует,
мая во внимание предельные
получаем,
b
что предел
правой
(6)
что у, - 0 при | Р|
соотношения
(3) и
части равенства
0. ПриниПт y, = 0,
|Pil+0
(5) существует и ра-
BeH \f (x) p (x) ах. По теореме 1, п. 12.3, РЕ $ (8) [а, В] и при этом
b
b
\ F(x)dg()
=) F(x e(dx. D
Следствие.
Если
функция
[а, 6] 8. В имеет ограниченную
производную 8’ и [Е Ю 1, 6], g’€ R la, 6], mof ES (g) la, bl u
сдав (о = (Го
q
Функцию
& можно
представить
Теорема 2. Если функция [а, 6] ви
b], a функция [а, 6] <= В имеет вид
a (x) =
|
(7)
в виде
во =Е@
+ (04
1 (с),
ах
если
Ухе, 9. >
В непрерывнав точке с Е [а,
х<с,
и (с), если х =с,
a,(c), если х>с,
бел (С) <“ (с) < а (6),
то [Е$
(а) [а, 6] и
b
\ F(x) dau (x) = F (0) (cy (C)
— @, (C)).
Ч
Пусть
(8)
Р = Рен — произвольное разбиение,
Ёр — множество
Sp (f, %, Ep) = f (Ee) (An (c) — a, (c)).
(9)
промежуточных точек. Еслис Е] х», Xe+il, TO
311
Если х, = с, то интегральная сумма Стилтьеса имеет вид
бр (р, @, Бр) = [ (ви) (@ (с)
— ал (6)) + 1 (Е) (0 (с) — < (с)).
Из непрерывности функции [ в точке с следует, что
У =>0 35>
0: (У хе,
4]
(10)
(х—с|<8)>
(1
—[(9|<®).
(11)
Обозначим / = } (6) (9, (с) — а, (с)) и оценим | Sp (f, a, Ep) —
— 1 | для любого разбиения Р = Ре, удовлетворяющего условию
| Р] < 6. В случае, когда интегральная сумма имеет вид (9), имеем
| Sp (f,
a,
Ep) —1|
=
Lf (Ee) —
А (С) | (0%, (с) —
ал (с)) <
в (©, (с) —
“я (с).
(12)
Если Фр (р, @, Ёр) имеет вид (10), то также справедлива оценка (12),
поскольку
| Sp
(Г,
a,
Ep) —/
| —
| (| (Ex—-1) —
f(c)) (a (с)
—a,
(c)) +
+ (f (Ee) — F(C)) (%n (C) — & (с) [5 11) — КО (< (© — а (с)) +
+1 (Ex) — FO 14, (C) —& (C)).
Таким образом,
существует
lim
IPli+90
По теореме
ла
(8).
Правая
№
предел
Sp (Г,
1, п. 12.3, [Е $
часть равенства
a,
Ep) =
I,
(<) [а, 6] и
справедлива
(8) не зависит от значения
форму-
функции
&
в точке с.
Следствие. Лусть Е Са, 6], а=с<с.<...
<
=
= и функция [а, 8] => В постоянная на каждом интервале lc,
Cail
(=1 т-— 1). Тогда [6 $ (<) [а, 8] и справедлива формула
| Ро 4 (о) — У, (ед (а, (ед — 9 (6)
b
Пусть Р = Рам
По теореме 2
Вы
жь
(13)
m
= {x, |
Е 5 (a
ых)
=0,
[хь,
п} — произвольное
Хе]
УЕ
= 0,
п—
разбиение.
1,
в силу чего [Е $ () (а, 68] (этот факт можно установить с помощью
того же приема, который применили при доказательстве свойства
3) в теореме 1, п. 12.4). В силу свойства аддитивности интеграла
Стилтьеса и формулы (8) имеем
b
n—1 *k+1
(Года) = У, | даа
a
312
xp
m
= У Нед ac)— а, @)). №
>
Определение 1. Функция [а, 6] —- В имеет разрыв первого рода
в точке ху € |а, Ы, если существуют конечные не равные друг другу
пределы
Ay (Xo)
Определение
U
Aq (Xp).
2. Функция
la, 8] >
В называется кусочно-непре-
рывной, если она непрерывна во всех внутренних точках [а, 6], за
исключением конечного множества точек, в которых имеет разрывы
первого рода и, кроме того, имеет конечные предельные значения
a, (a),
a, (0).
Теорема 3. Пусть f € C la, 6), @ynxyua
прерывная,
{с,| j =
1, m} — множество
ее
(a, 6] =+ R Kycouno-neточек
разрыва,
©’ су-
ществует всюду, за исключением конечного множества точек,
9’ ЕЮ [а, 6]. Тогда [Е $ (а) [а, 6] u справедлива формула,
b
b
и
m
J FG) da (x) =f f(a’ дах + У, Нед в, (ед — в.д). (14)
4
Определим функцию [а, И -—- В
условиями
@ (х) -- (& (с;) — а, (с;)), если
в (х) = 1
Функция
с
<<
а (с),
если х = с,,
@& (х) — (а; (с;) — “ (с;)), если < хх
© непрерывная
и д’ = а’
Таким образом, & = & + ф, где
в точках
— (a (cj) — <, (с,)), если
ф (х) =
0,
а/я (С)
— & (с;),
Согласно следствиям
n. 12.4, f€ S (g +)
с.
существования
с, <х <
если
если
с,
х =с,,
< х<
4,
см.
из теорем | и 2 и свойству 5) из теоремы
la, В] и при этом
ь
5
a’,
1,
&
| F(x)da(x) = | F(xydg(x) + | дах (=
—
—x
Ae ey
gy
а
f (x) a’ (x) dx +- » f (Cj) (%_ (Cj) —&, (C;)).
По аналогии
с определением
Рассмотрим
примеры.
1, п. 11.6, будем
функции @ в точках с! разности @и (с!) — ол (с}).
Пример
1. Доказать,
3
>
называть скачками
что
{ dixj—y =,
0
где [х] — целая часть х.
Интегрирующая функция & : х = [х] — х, О; = [0, 3], есть разность неубывающей функции х +> (x и возрастающей функции х => х. Согласно определению
313
интеграла Стилтьеса относительно функции
имеем
3
3
ограниченной
вариации
(см. п. 12,5},
3
| xd ([x] — x) = { xd [x] — | хах.
0
0
0
Функция х +» [х] кусочно-непрерывная, а ее скачки в точках
хз = 3 равны 1. Применив формулу (13), получим
3
х\ =
1, x, =
2,
{ xd [x] = 1424356,
0
3
x2
x=3
Поскольку | xdx = ——
2
0
9
=-——,
x=
2
TO
|° мн
0
Пример
2
2. Вычислить
| xda (x), rae
—2
х--2,
если —2<х<-,
a (x)=
2, если —1! < х<0,
х2 -- 3, ели О<х=<2.
Функция
@& имеет скачки,
водная о’ имеет вид
=|
Применив
9=>.3
=6-
формулу
—2
| в точках x, = —1
l, emu
0, если
2x,
ели
их, = 0,
а ее произ-
—2<ax<—l,
—1<х
< 0,
O<x <2,
(14), получим
2
|
равные
—1
xda (x) =
2
( xdx +2
|
д
x27dx +(—l1)-1+0-l=
>.
|
Пример 3. Пусть на сегменте [а, 5] оси Ох имеется дискретно и непрерывно
распределенное вещество. Найти статический момент всей массы, находящейся
на сегменте [а, 6], относительно начала координат.
Пусть т (х) — масса, находящаяся на сегменте [a, х] <= [а, 5], причем т (а) =
= 0. Тогда [а, 6] ^- В — неубывающая функция. Рассмотрим сегмент | xp, x, 41]
произвольного
разбиения
P =
Piao}:
На
него
приходится
масса
— m (xp) = Ат,. Считая ее сосредоточенной в точке Е, Е [хь, Хь als
статического момента М приближенное значение, равное
.
m (x, +) —
получим для
n—|
Sp (f, m, Ep) = >, EeAme,
k=0
roe f(x) =x
УхеЕ[а, 6]. Поскольку функция } непрерывная, то, согласно свойству |) из теоремы 5, п, 12.3, [Е $ (т) [а, 6] и справедливо предельное соотно-
шение
b
b
im Spf, m, Ep) = } f (x) dm (x) = J xdim (x),
314
Таким образом,
‚
М = { хат (х),
т, е. статический момент М выражается через интеграл Стилтьеса.
Пусть р (х) — линейная плотность равномерно. распределенной массы, а в
точках cy
(j= 1, Ё) сосредоточены“ массы т;. Функция т дифференцируема в
каждой точке х сегмента [а, 6], отличной от с, причем т’ (х) = р (х), В точках
С] скачок функции т равен ту. Применив формулу (14), получим
b
k
M= { xp (x) de + У хт]
а
=.
^
Первое слагаемое в правой части равенства является статическим моментом
непрерывно распределенных масс, а второе. слагаемое — статическим моментом
сосредоточенных масс. Интеграл Стилтьеса позволяет объединить одной формулой разнородные случаи непрерывно распределенных и сосредоточенных масс.
12.7. Теорема
о среднем
и оценка
интеграла
Стилтьеса.
Теорема 1 (о среднем). Пусть (а, 6] 1. В, т<
Ela,
2],
[а,
6] =+ R — moxomonno
возрастающая
Е$ (а) [а, 8]. Тогда справедлива формула
$
b
<M
функция
Vxé
и [<
о) а (х) = и (а (6)
— а (а),
(1)
еде т < и < М.
< Согласно свойству 2) из теоремы 1, п. 12.4, имеем
b
m (a (b)
— 0 (a)) < J f (x) da (x) <M (a (6) —@ (a).
Считая,
uTO & (x) =& const Ha la, 6], обозначим
/
b
p=ayaa
| f(x) da (2),
Тогда т < и < М и
справедлива формула (1). p>
Следствие. Если в'условиях теоремы 1 [Е Са,
,
| од аа (9) = 9 @0—а@),
Теорема © (оценка
[a, 2оценка
В — функция
>
интеграла
Стилтьеса).
ограниченной
ЕЕ, 9.
Если
вариации,
[Е С[а,
то
b
\ F(x) dg (| <IFIVE(2),
ede | fi = max
Ё (х) — равномерная
норма
6], mo
(2)
В] и
справедлива
(3)
функции
Ё, Vi (2) —
полная вариация функции 5 на (а, 6].
315.
q
Пусть Р = Рау — произвольное разбиение. Справедливы оценки
[52 (4, в, 271 = | У ЕЮ Ав,
п
1
< LIF
Ав» <
n—!]
<I FID |g (xe) — 8 (0) | SF
(6).
Согласно свойству 1) из теоремы 5, п. 12.3, {6$ (5) [а, 6] и существует
lim Sp(f, 8, ЕР)= fre dg (x).
ПРО
Перейдя
получим
к пределу
оценку (3).
в
№
неравенстве
| Фр (1, &, Ёр)] <|}|
У?
(5),
„ Теорема справедлива и в случае, когда и & — функции ограниченной вариации ий СС [а, 6. Это следует из теоремы 3 и свойства
2) из теоремы 5, п. 12.3.
12.8. Формула интегрирования
по частям.
Теорема. Пусть (а, 6] LR, la, 61£-R—— функции ограниченной вариации и fEC [а, Ь]. Тогда FE S (g) la, 61, gE S (f) la, 6)
и справедлива формула интегрирования по частям
| f (x) dg (x) = f (0)
g (6) — F(a)g (a) — | g (x) df (x).
{
Согласно теореме
S (g) la, Ми
3 и свойству 2) из теоремы 5, п. 12.3, [6
b
| дав (д = lim Sp(f, g. $2)
Пусть
Р = Рац = {x_|& = 0,
0,
Ep = (E,|
(1)
=1,п} — множество
п} — произвольное
промежуточных
(2)
разбиение,
точек
и а =
=ж<Е<х < ... З& Зх, = 6. Полагаем & = а,
и = 6
и рассмотрим разбиение Р = {E,, &, ..., и,
для которого точки
разбиения Р/а являются промежуточными. Обозначим множество промежуточных точек разбиения Р через хз.
Рассмотрим интегральную сумму Стилтьеса:
бр(р, Е, ЕР) = > F (Ex) (& (Xn)
— g (xe—-1)).
(3)
Применим преобразование Абеля в теории рядов (см. п. 5.2, гл. 3).
Получим
n+l
Sp(f, 8, Ee) = f (6) g (6) — F(a) g (a) —>
& (xx) (fF (Ex) — F (Ex) =
= f (6) g (6) —f (a) g(a) —S5(8,
316
f, Xp).
(4)
Из неравенств &, — &
<2|Р|
(#=1, п- 1) следует,
[Р|-—0, если | Р|-—0. Поэтому существует предел
lim $5 (а, Ё, хр) = | g (x) df (x).
что
(5)
Pil-+0
Принимая во внимание предельные соотношения (2) и (5), после
перехода к пределу в (4) при | Р | — 0 получим формулу (1). №
Упражнения
1. Пусть
[(х)
= зп
х,
Ф
д=х— 3-5,
0<х <>.
Вычислить
>
| f (x) dp (x).
0
2. Пусть { (х) =
8B, 0S
x <l,
p(x) =
при
хи)
= 0,
1
Ё = 1, п. Вычислить
3. Tlycre
4.
f (x) = x,
Пусть } (х)
аф (>)
=
| f (x) dg (x).
0
= x?,
|, Paste
= 0. Вычислить
О<х=<
l;
т
9
5. Пусть 1 (%) =
5
gp (x) = [x7],
0О<х<
@
5. Вычислить
(x) = 0, если
хЕ
[о
| # (х) dg (x).
0
з|
HxXE
|r],
# (х) d@ (x).
2, 0 <
< 1; Ф (<) = Ь если хЕ]0,
Циф
(0) =ф (1) =
f (x) dg (x).
0
6. Вычислить
\
xdq (x), rue
0, ели
х=—1
1, ели
— 1 <х<2,
— 1, ели
2<x*<3,
ф (*) =
2
7. Вычислить
| хаф (х),
—2
о
-|
2
| x2dop (x),
—2
х--2,
2,
3,
| (х3 -- 1) аф (х), где
—2
если — 2<х<—|,
если —1<х<0,
ели
Oxx<2,
317
8. Пусть } — функция ограниченной вариации на сегменте [0, 27] и / (2п) =
= / (0). Доказать, что каждый из интегралов
2л
| f (x) cos nxdx,
| f (x) sin nxdx
не превосходит по абсолютной величине —Гу
|
9.
Вычислить
(В.
| хаф (х), где @ (x) = x? sgn sin 4x,
9
|
АЖ
eeeeeere
@OeEQOeee@ ©
oe
оо
ЖИТ
x
Для непрерывной функции интеграл
можно определить по-разному: как
приращение первообразной, или используя интуитивно ясное понятие
меры
(площади,
Класс функций,
ИНТЕГРАЛ
ЛЕБЕГА
объема
и
т.
д.).
Основная заслуга Б. Римана в теории интегрирования состоит в том,
что он отказался от априорного предположения о непрерывности функции
и рассмотрел все те, к которым можно
применить процесс определения интеграла с помощью интегральных сумм:
построение интегра-
ла от которых использует понятие
первообразной, рассмотрен в гл. би7.
Осталось рассмотреть функции, интеграл от которых можно определить
с помощью понятия меры.
История развития математики показывает, что задачи о вычислении
площадей
плоских фигур и поверхностей,
длин
кривых,
объемов
тел
всегда стимулировали развитие понятия интеграла. Именно они позволили Коши дать первое в истории
математики строгое определение ин-
теграла
от непрерывной
функции
по-
средством интегральных сумм, а Риману и Дарбу
— указать
полезные
обобщения.
Дальнейшее
развитие
идей Коши — Римана — Дарбу привело Жордана в конце Х[Х в. к построению
теории
меры,
названной
его именем,
и соответствующей
ей
теории кратного интеграла Римана.
В 1898 г. Э. Борель (1871—1956)
подверг критике теорию меры Жордана, указав, в частности, что не каждое
счетное, а также открытое множества
измеримы по Жордану. Он предложил
принципиально новую идею измерения длин, площадей и объемов, которая устраняла указанные недостатки.
Идея Бореля подробно будет изложена в $5. Замена переменных в кратном интеграле требует умения интегрировать произвольную ограниченную непрерывную функцию на любом
ограниченном открытом множестве.
319
Интеграл Римана эту задачу не решает и поэтому в современных
учебниках по математическому анализу указывают дальнейшее
(трудное для понимания) его обобщение с помощью так называемого
разбиения единицы. Интеграл Лебега, использующий идею Бореля, устраняет этот и многие другие дефекты теории интеграла Римана.
Интеграл Лебега будем обозначать символом ( } (х) 4х. Он завиXx
сит от подынтегральной функции и от множества, по которому ведется интегрирование. Многообразие множеств, по которым нужно уметь интегрировать (особенно в случае функции векторного аргумента), вносит значительные трудности в построение теории интеграла. Их можно избежать, если воспользоваться идеей Лебега
о продолжении функции нулем. Она заключается в замене интегрирования заданной функции } по множеству Х интегрированием по
всей числовой прямой (или по всему пространству В”) другой функции [, полученной из | продолжением нулем. Такое продолжение
может ухудшить свойства функции. Например, продолжение нулем постоянной функции, равной единице на множестве всех рациональных чисел @, приводит к разрывной функции Дирихле. Однако
это обстоятельство не должно нас смущать, поскольку продолжение
функции нулем на всю числовую прямую (на все пространство Е?)
не изменяет ее свойства интегрируемости.
Построение теории интеграла Лебега в одномерном и многомерном случаях ничем не отличается друг от друга. Поэтому вначале
будем строить теорию одномерного интеграла Лебега. Во всех рассуждениях (кроме относящихся к геометрическому истолкованию
интеграла) читатель может заменить пространство К на В” (p > 1)
и сразу получить теорию многомерного интеграла Лебега.
$ 1. Интеграл как площадь фигуры.
Теорема Дини о равномерной сходимости.
Класс функций L,
1.1. Интеграл как площадь фигуры.
Определение
1. Функция
называется финитной,
если существует компакт, вне которого все ее значения равны нулю.
Ограничимся в дальнейшем рассмотрением операции интегрирования действительной функции действительной переменной.
щения на случай комплекснозначных функций и функций
Обобкомп-
лексного переменного важны, но они не представляют затруднений.
Умение интегрировать произвольную непрерывную финитную
функцию влечет за собой умение вычислять площадь фигуры О =
== {(х, у) Е В? | & (х) <у<1р()}, где [ и g такие непрерывные
финитные функции, что в (х) <[(х)
УхЕВ
(рис. 64). Формула
для вычисления площади имеет вид
пр =|р|= IR| 4) — в (ддах= IR| Кдах— IR|4.
320
(1
Если все значения функ-+
и
ции & равны нулю, то фигу-_;
ра О называется подграфи-'
ком функции | (рис. 65)и
формула (1) принимает вид
пл) = |Б|=
| F(x) dx
ФУНКЦИЮ
[: В — В, все значения которой можно представить
в виде суммы — значений
счетного семейства (},) неотрицательных
непрерывных
финитных
f(x) = x in(x)
Liddy
Li}
jp
(2)
Рассмотрим
т. е.
Pe
Yi
rf)
WY)
0.
рис. 64
у
функций,
УхЕК.
(3)
Puc.
0
65
|
:
Построить график функции {и даже представить себе его вид невозможно. Однако легко понять, как устроен ее подграфик. С этой
целью
У л 6 № обозначим
О, = {(x, y)€ R*| Sr
где 5,(х) =0,
(x)< у< 5, (х)},
S,(x)= Ул
VxER.
Фигуры D,, nonapHo He пересекаются,
лить по формуле
а их площади можно
ар, = 12.1 = | (9.9 — $41 (9) 4х = | (да
IR
|
вычис-
VEN (4)
и подграфик ОР функции } совпадает с объединением фигур О, т. е.
он составлен из фигур О„. Поэтому имеет смысл принять за его
площадь сумму площадей фигур О, (ПЕ №), т. е.
пр = [РМ У
|
| fax) de.
Для того чтобы сохранить формулу (2), нужно считать,
ределению, что справедливо следующее равенство:
IR
дах = У | fede.
néN ir
(5)
по оп-
(6)
Класс рассмотренных функций будет играть основную роль в
построении теории интеграла Лебега. Обозначим его символом Ёьо
или [+ (В).
11
337
321
Определение
класса
Ly
2. Функция `} : В -> К называется
( uau
Ly (IR)), ecau cywecmeyrom
ные непрерывные финитные
ся равенство
(3). Интеграл
функции
makue
функцией
неотрицатель-
(т), что У хе В
от функции
{| определяется
выполняет-
по формуле
(6). Он может быть как конечным, так и бесконечным.
Это определение не является стандартным. Такой класс функций
применительно к теории интеграла Лебега не изучался. Читателю
следует обратить внимание на неотрицательность как функции fF,
так и всех функций |, УплЕ№. Требование непрерывности и финитности
функций
}, обусловлено
лишь
тем,
что
интегрирование
таких функций рассмотрено в гл. би 7.
Допускаем, что функция [и ее интеграл могут принимать знаyeHHe + со. Это важно по следующим причинам. Во-первых, присоединение
к
числам
символа
-- со
обеспечивает
существование
сумм в равенствах (3) и (6) без каких-либо дополнительных предположений. Во-вторых, если считать, что функция } не может прннимать значение -- оо, т. е. рассматривать лишь конечные функции
класса [., то их окажется настолько мало, что предлагаемая ниже
схема построения интеграла не приведет к интегралу Лебега. Конечные функции класса [, известны. Они представляют собой неотрицательные точечно-разрывные функции, введенные в рассмотрение и изученные в начале нашего века Бэром. Попытка обойтись
конечными функциями для построения интеграла Лебега, не строя
заранее теорию меры Лебега, была предпринята Юнгом, которого
следует считать автором теории интеграла, равносильного интегралу Лебега. Однако теория Юнга использует тонкие и трудные для
понимания факты, относящиеся к теории множеств, в частности
трансфинитную индукцию, обобщающую
известную математическую индукцию. Следует обратить‘внимание на то обстоятельство,
что равенство (3) справедливо У хЕ К. В следующем параграфе
познакомимся с понятием равенства почти всюду. Если считать это
понятие уже известным.
и требовать, чтобы равенство (3) выполнялось лишь почти всюду, то класс [+ расширится настолько, что будет трудно доказывать свойства функций [Е [., необходимые для
построения теории интеграла Лебега. Кроме того, исчезнет техника
для исследования нуль-множеств, предлагаемая в $2. Исследования
нуль-множеств всегда являлись наиболее трудными в теории интеграла Лебега. Введение понятия множества меры нуль без наличия
теорий меры и интеграла нельзя признать естественным процессом,
ПОСКОЛЬКУ В ЭТОМ случае исключена возможность догадки о необходимом определении. В $ 2 вместо множеств меры нуль рассматриваются нуль-множества. Они вводятся совершенно естественно в связи
с необходимостью рассмотрения разности функций, принимающих
бесконечные значения. После построения теории меры понятия множества меры нуль и нуль-множества окажутся равносильными.
Предлагаемая в настоящей главе схема построения интеграла Лебега отличается от известной схемы. Даниэля 1.
вич
322
г Схема Даниэля подробно
Б, Л. Интеграл,
мера
изложена
в
кн.
и производная,—
M.,
Шилов
1967,
Г, Ey
Typ ё-
„’ В определении 2 функции семейства (7,)„ем не определяются
однозначно по функции /[. В связи с этим необходимо доказать однозначность определения интеграла. Кроме того, обозначение ин‘теграла в определении 2 совпадает с тем, которое использовалось
в гл. би 7 для интегралов от непрерывных финитных функций.
Поэтому
требуется
мерного
предела.
установить
тегралов для случая, когда
финитной. Последнее легко
однозначность определения
°
Вначале докажем теорему
Условимся
равенство
всех
упомянутых
ф, если
У (хЕВ,
‘ин:
функция [ является непрерывной и
устанавливается, если уже доказана
интеграла посредством формулы (6),
Дини, относящуюся к теории равнописать
Pn+1 (x) <P, (x) и УхЕК
ф„ \
jim фи» (х) = Ф(х).
пЕМ№М)
1.2. Теорема Дини о равномерной сходимости.
Теорема. Пусть все функции ф„ УпЕ № непрерывны и финитны. Если ф„ \ 0, то ф, > 0.
$ Поскольку У (ХЕВ, т<п)
О<ф, (х) < ф» (х), то после‘довательность (|Ф„|) равномерных норм убывает и по теореме
Вейерштрасса 3 lim | Ф„ [| =а, а>0.
Требуется .доказать, что
‘а = 0. Функция O, является финитной. Поэтому существует когпакт Х, вне которого все значения функции ф..и, следовательно,
„всех функций ф, ПС №) равны нулю. По теореме Вейертрасса о наибольшем значении функции
УлЕМ Эх. ЕХ:| Фи |=
= sup | @, (x) | = sup 9, (x) = Q, (%,). По определению
компакхе
хЕХ
|
_
‘та существует такая подпоследовательность (хи,), ЧТО Хи, —> № И
Е ^Х.
Sabuxcupyem
mE.
Tak
kak
Va, om
| Pn, | =
= Qu, (Xn, ) = 9 (%,), то а = lim | Фи, | < jim Pm (Xn,) = Pm (Xo)Поскольку
1.3.
VmeN
Свойства
0<а<<9, (Xo)
интеграла вв классе
функции f no прямой
Г (р, т. е.
Лемма.
финитными
>
В дальнейшем интеграл от
В = J fixe.
(1)
IR
№ функции |, в, являются
неотрицательными.
Ур
Если
непрерывными,
< Ув, (4) VEER,
neN
(2)
neNn
(3)
у 14)< У Г,
то
nen
Суммы
Сравнивая
в неравенстве
их между
neN
(3) являются
собой
пределами
У (п Е №, тЕ
Ха Ув)
11*
H Qn (x) > 0, TOa=0.
В будем обозначать более простым символом
|
—
Пусть У п
и
Г.
№),
имеем
конечных
сумм.
< (ь-5 а).
©
(4)
323:
Зафиксируем п Е № и перейдем в неравенстве (4) к пределу
—- со. Получим неравенства
У -— У 1
< 0, УФУ REN 1.
©)
почему правая часть неравенства (4) стремится
к нулю.
k=!)
Объясним,
REN
k=!)
+
С этой целью отметим,
что функция
у
№ — у
@,|
прерывной, финитной и неотрицательной у (п с N,
дой точке хЕ В ее значения при фиксированном
невозрастающую
|;
при т -—
he (x) ——%
последовательность
Be и}
является не-
me€Q\). B kaxп Е № образуют
чисел, стремящуюся
к числу
— 0. По теореме Дини эта последователь-
НОСТЬ равномерно стремится к нулю. Все члены последовательности
соответствующих функций равны нулю вне одного и того же сегмента. Поэтому возможен переход к пределу под знаком интеграла,
который ведет к цели. Для завершения доказательства леммы осталось перейти к пределу при п -+ со во втором неравенстве (5). д
Следствие 1. В классе функций Го интеграл определен формиулой (6), п. 1.1, однозначно.
|
$
Если в неравенстве (2) выполняется
равенство У х Е В, то функ-
ции [и в, можно поменять ролями, в силу чего в неравенстве (3)
будет выполняться равенство. p>
Следствие 2. Если } — неотрицательная непрерывная финитная функция, то [Е 1% и интеграл от нее, определенный форму-
лой
(6),
п.
1.1,
совпадает
с
интегралом
Ньютона
— Лейбница.
<{ Значения функции { можно У хЕ К представить в виде f (x) =
= | (хх) О...
+ О-....
№
Из доказанных следствий делаем вывод о том, что интеграл,
определенный в классе [,, является монотонным продолжением интеграла Ньютона — Лейбница с класса неотрицательных непрерывных финитных функций. Но это продолжение осуществлено на новой
идее счетной аддитивности, которую обсудим ниже.
Теорема 1 (о счетной аддитивности интеграла в классе [,). Если
ВЕ№
УпЕ№\и
(x)= У№@)
УхЕБ,
neN
то
(6)
кр= у 146).
(7)
пЕМ
< Согласно определению функции класса Ё,, найдутся такие
отрицательные непрерывные финитные функции (пт), что
|. (х)=
324
У №
тем
(®)
УхЕВ,
Г) =
У 1{т),
тЕМ
не-
8)
следовательно,
f(x) =
У,
(п,т)ЕМ?
Fins (xX)
VWXER.
Слагаемых в последней сумме счетное число и У (п, т) 6 № каждая
функция
fin является
неотрицательной, непрерывной и финит-
ной. Согласно определению 2, п. 1.1, имеем [Е Гу и выполняется ра-
венство
[=
У
(nsm)EN®
1@т)=
У
ПЕМ
У Ц) = УР).
ТЕМ
»
пЕМ
Читатель, возможно, заметил, что интеграл от функции класса [» и площадь ее подграфика были отождествлены с самого. начала. Поэтому понятие площади .подграфика функции класса [
такое же строгое, как и понятие интеграла в классе [,. Согласно
условию (6), подграфик функции [ получается объединением счетного числа фигур
р, = [ yeR |S Aa<y< У
k=!
WnEN.
k=)
EctTecTBeHHO ONpedeJIHTb NOWadb TaKOH urypbl dopmMyJion na D, =
=|Ш),| = Г (7,). Тогда равенство (7) означает, что площадь подгра-
фика функции
/{ совпадает с суммой
площадей
тех фигур Пи,
из ко-
торых он состоит. Это свойство площади называется свойством счетной аддитивности. В настоящее время свойство счетной аддитивности
мер
(длин,
площадей,
объемов,
массы)
представляется
есте-
ственным и очевидным. Впервые идею счетной аддитивности меры
высказал выдающийся французский математик Э. Борель в 1898 г.
До него при определении и вычислении мер пользовались лишь
принципом конечной аддитивности и монотонности меры в соответствии с образцами, имеющимися в трудах Архимеда и Евдокса,
подчиняясь запрету в математике символа -| со. Авторитет Бореля
и его идея дали возможность Лебегу в короткий срок построить новое понятие интеграла и решить с его помощью много трудных задач классической математики.
Покажем, что функцию класса [., можно в определенном смысле
приблизить
неотрицательной
непрерывной
финитной
функцией.
Теорема 2. Пусть f € 4, Г
<оо. Тогда У в >> 0 существует такая непрерывная неотрицательная финитная функция Ве,
что Г— 1.) Е № и 1 (f—he) <e.
4 Согласно определению функции класса [„, существуют такие
непрерывные
неотрицательные
финитные
функции |, (ПЕ№),
что
>
fx)= Yh)
neN
VeER,
T=
n€N
1 (fy).
325
Tax Kak / (f) < + 0, ToVe>0
гаем
А, = У |,
Тогда
Зе:
1) —УГ(,) < г. Пола:
n=1
(Г — Вг) (х) = У,
n=1
определению 9, п. 1.1, (f — he) € Ly u
fa (x)
УхЕВ.
Согласно
n>Ne
Пе
Ир
№) = > 14.) =19—
Х 14 <е. Dd
Объясним
т
смысл доказанной теоремы. Рассмотрим фигуру Де = {(х,у) Е В? | 1, (х) <и<{ (х)}, расположенную
между графиками функций he u f. Площадь этой фигуры |Д. | =
= | (f—h,) < в. Поэтому имеет смысл аппроксимацию функции
Г функцией Й, назвать приближением по площади. В дальнейшем
она превратится в приближение по норме (но не по равномерной норме). В-литературе подобную аппроксимацию иногда’ называют приближением в среднем, что связано со средним значением функции.
Будем писать |, Л р если УхЕВ последовательность ({, (х))
не убывает и стремится к } (х) при п -—> со. Следующая теорема является другим определением функции класса [%.
Теорема 9. Для того чтобы [Е [5, необходимо и достаточно,
чтобы существовала такая последовательность (ф„) неотрицательных финитных непрерывных функций, что ф, /|.
При’. этом
1 (7)= lim J (q,).
N=-» 0o
< Необходимость. Пусть Ё Е [%. Тогда, по определению 2, п. 1.1,
существует. такая последовательность (],) непрерывных финитных
неотрицательных
функций,
что
(x) = Xd ha(X) = tim
p(x)
WER,
1) = 31g = tim Sry = tin 1( Shy).
Полагая ф„ =
ций Ф, Л [.
<
У; Ё, получим требуемую
k=!
|
Достаточность.
цательные,
Если ф, / [и
непрерывные,
финитные
последовательность функ-
все функции
и
/ (7)=
фи, (ПЕ №)
неотри-
lim Г (Ф„), то, пола-
ran fp, = 9, fot = Pn41— On VEN,
получим последовательНОСТЬ, требуемую в определении 2, п. 1.1. D>
7 Teopema 4 (© положительной однородности интеграла в классе
[).: Пусть {< ви ^ > 0. Тогда МЕ Ё, ГМ) = М.
Доказательство теоремы, использующее лишь определение. 2,
п. 1.1, или теорему 3, предоставляем читателю.
Укажем. операции ‘над функциями, не выводящие за пределы
класса [». Соглаено теоремам |[ и 4, к ним относятся операции сло326
жения конечного
на
или счетного числа функций,
неотрицательное
число.
Другие
Теорема 5. Если [Е Г, ВЕ
на, то функции max
классу ш. При этом
операции
[л, функция
{f, g}, min
{р 5}, ft,
умножения
функции
указываются
В непрерывна
(—
ниже.
и финит-
№)! принадлежат
/(min{?, g})</ (max {f, g})</ (/) + / (8).
< Согласно теореме 3, существуют
рывные финитные функции м» Ba
такие неотрицательные непреп EN),
что
ЛЬ в ЛЕ.
Функции тах {/., &}, Min {fr Ba}s №, (, —№”
ются
неотрицательными
(9)
финитными
функциями.
УпЕМ
Кромё
явля-
того,
max (fn, 8») /’ тах {р, 8}, min {fn, Ba} 7 min{?, g},
Применив
ft ZAP,
теорему
(ah)?
ACF —A)e.
3, получим
требуемое
утверждение.
д
Упражнения
жит
1. Доказать,
классу
[4.
что характеристическая функция ! интервала ]а, @ принадле-
2. Доказать, что характеристическая функция открытого множества на числовой прямой принадлежит классу [%.
3. Принадлежат ли классу [» характеристические ть промежутков:
а) [а, b[; 6) а, 6]; в) [а, Ь]; г) [а, +col; 2) ]—co, a); e)
Ja, Но?
.
$ 2. Нуль-множества
Для функций класса Го, а также для их интегралов в ` качестве ‘возможных значений допускается -- со. Это продиктовано необходимостыо выполнения важнейшего свойства интеграла, отличающего
современную точку зрения на него от классической — свойства
его ‘счетной аддитивности.
Дальнейшее продолжение интеграла на более широкий класс
функций свяжем с еще одним его важным свойством
— линейностью. Интеграл, определенный в $ 1, этим свойством не обладает,
так как определен лишь на классе функций [›, неотрицательных в
каждой
точке.
классе [.,, для
точно
В силу
полагать
положительной
однородности
интеграла
свойства
линейности
интеграла’ доста-
| (f — g)
ГР
(5)
раз,
— 1
всякий
как
только
правая часть равенства имеет смысл. Последнее условие можно
писать в виде неравенства
min {I(f), 1(g)}<+ 0.
1 Если
Ес
А,
в
достижения
то
отображение
ХЕ
«=|
называется характеристической
ХЕ
А > К,
1, если
0, если
функцией
за-
(1)
где
x€ Е,
x€ ANE,
множества
Е. (подробнее см.
п.. 5. 1).
327.
Поскольку
разность
(-- со) — (-+ с)
функция / — & не определена на множестве
не
имеет
смысла,
2 = {хЕВ|[(%) = 8 (х) = + 05}.
то
(2)
Таким образом, для достижения свойства линейности интеграла необходимо ввести в рассмотрение множества, на которых можно не задавать функции, подлежащие интегрированию. Значения функций
на таких множествах не должны влиять ни на свойство интегрируемости, ни на величину интеграла, и их можно назвать нуль-множествами, т. е. множествами, играющими роль пустого (нулевого)
множества в теории интеграла.
По смыслу сказанного выше, нуль-множество 2 должно быть
связано равенством (2) с парой функций [и & из класса [., удовлетворяющих условию (1). Однако каждое нуль-множество можно связать только с одной функцией из класса [,. Действительно, если
выполнены соотношения (1) и (2), то, полагая ф = шш {р $}, имеем ФЕД»
/ ($)< +o,
Z= {xER|Q (x) = + <}. Обратно,
если выполнены указанные условия, то 2 есть нуль-множество,
связанное равенством
(2) с функциями } = фис
=
ф.
Наконец,
ес-
тественно считать любсе подмножество нуль-множества снова нульмножеством.
Определение 1. Множество 2 называется нуль -множест вом, если существует функция Фф из класса 4 с конечным интегралом и такая, что УхЕй
ф(х) = + 0.
Отметим простейшие свойства нуль-множеств.
Теорема 1 (о подмножестве нуль-множества). Если 2 — нильмножество и с,
то 2, — нуль-множество.
По определению найдется такая функция фЕ [%ь, что Г ($) <
< - < Л УхЕД
ф(х) = - о. В частности, УхЕ 2,
ф(&х) =
= -++ со. Согласно определению, 2, — нуль-множество. }
Смысл доказанной теоремы совершенно ясен. Если при интегрировании можно пренебречь множеством 2, то тем более — любой его частью. Следующая теорема менее очевидна.
Теорема 2 (о счетном объединении нуль-множеств). Пусть
=
02,
и 1, — нуль-множество
УпЕ\№.
Тогда 2 — нульпЕМ
множество.
Согласно определению,
УпЕ№
Эф. ЕЁ: / ($ф„) < + © Л
Л УхЕЙ,
фр (х) = - о. Пусть А = (А„) — последовательность
строго положительных чисел. Обозначим
Ф, (х) =
У,
пЕМ
^ „Фит (х).
(4)
Torna ©, © № и обращается в -- со в каждой точке множества
7. Последнее происходит потому, что если ХЕ, то существует
такое значение пе №, при котором ХЕД, /\ Ф„ (х) = + oo 4H,
следовательно, Ф» (х) = -Н оо. Осталось подобрать такую после328
довательность
строго
положительных
I (Q,)
например,
—
У,
ПЕМ
1
Л, =
ОИ
чисел
Anl (Фи) <
+
У"Е№
№
^ == (^„),
что
©,
(5)
Доказанная теорема позволяет пренебрегать в рассуждениях
нуль-множествами счетное число раз и в итоге считать, что пренебрегли всего одним нуль-множеством.
Следующее понятие используется всюду в дальнейшем изложении и к нему нужно привыкнуть.
|
Пусть задано свойство, которое в каждой точке х Е В может
быть справедливым или нет.
Определение 2. Некоторое свойство справедливо почти
всюди,
или
для
почти
всех
х, или
почти
для
всех
х, если
смысл
имеют
все те точки, в которых оно не выполняется, образуют нуль-множество.
Будем писать | < &, если существует такое нуль-множество
2,
что
f(xy) < g(x)
ваписи
П.В
УхЕК“\
2.
5, [< в, [> в, [&,
П.В
П.В
П.В
Аналогичный
[=
-Ь.
Теорема 3. Если ГЕ, I (f) << +00,
конечной почти всюду, т.е, [< + оо.
4
П.В
Полагаем 2 = (x € R|f (x) = +00}.
то
функция | является
Tax kak I (f) < о,
то,
согласно определению, Z — HYJIb-MHOXKECTBO. p>
Придадим нуль-множеству геометрический смысл. Пусть Z —
нуль-множество, [Е Г, [ (f) < +oo A f(x) =+00
Vxe Z. Ipaмоугольник 2 Х [0, -+-ool является частью подграфика функции
[ (так
как } (х) =
площадь
Е Х
[0,
+
подграфика
со[
имеет
УхЕР).
конечная.
площадь,
Согласно
Если
равную
условию
считать,
Г (р <
+o,
что прямоугольник
произведению
длин
его
сто-
рон, то она конечна тогда и только тогда, когда длина множества
Г равна нулю, поскольку длина второй стороны равна --с и
только 0. (--со) = 0.
Значит,
нуль-множества
играют роль
множеств длины нуль. В дальнейшем введем точное понятие длины
(меры) множества и сказанное здесь будет строго обосновано.
Упражнение
Доказать, что:
а) пустое множество является нуль-множеством;
6) множество, состоящее из одной точки,— нуль-множество;
в) любое счетное множество точек является нуль-множеством;
Г) множество рациональных точек — нуль-множество;
д) множество Х является нуль-множеством, если У & >> 0 существует
счетное покрытие системой интервалов с суммой длин, меньшей в;
е) никакой непустой интервал не является нуль-множеством,
его
329.
$ 3. Суммируемые
и интеграл Лебега.
Теоремы
функции. Класс Ё
Леви, Фату,
Лебега
3.1. Суммируемые функции.
КлассЁ и интеграл Лебега.
Определение. /Лусть функция
вой прямой В и принимает
| определена почти всюду
конечные или бесконечные
на числозначения.
Она называется с y ммируемой, если существуют такие функции БЕ
(=,
2) с конечными интегралами, что [= Th — fr.
За интеграл Лебега от суммируемой
функции | примем "Число
ГР = (р)— Г).
Класс суммируемых функций обозначим через L usu L (R).
Функции | и р не определяются однозначно по функции f.
Поэтому возникает вопрос об однозначности определения интеграла Лебега. Он решается положительно посредством приема, уже
применявшегося
при рассмотрении
вопроса об однозначности
определения интеграла в классе [.
Лемма. Пусть функции |, р, 81, 65 принадлежат классу
и имеют конечные интегралы. Если | — р < 8, — 6., то справедливо
П.В
неравенство
(В) — 1 (fe) <1 (Wi)— I (82).
(1)
{ Функции f,, go ABAIOTCA KOHEYHEIMH MOUTH BclOgy. Tlostomy f,.+
+ g.< 2, +/,. O6e uactu sToro HepaBeHCTBa — функции из клас- П.В
са [», однако интегрировать его нельзя, поскольку оно выполняется почти всюду, но не всюду.
В связи ‘с этим обозначим через Х множество всех тех точек х Е ЮВ,
в которых неравенство не выполняется. Поскольку Х — нуль-множество, то по определению найдется такая функция fy € Ly c Ko-
нечным
интегралом,
что
fy (x) = too
VxEX.
Неравенство
®-НО) + в, (4) < Ро (x) + g, (x) - Ь (<) выполняется УхЕ
С В, поскольку в каждой точке множества Х обе его части равны
оо. Интегрируя это неравенство, получим
Поскольку
I (fy) + 1 (fy) + (82)<1 (fo) + Г(в,) + ГКЬ.
[ () < -Е со, то неравенство (1) справедливо.
}»
Следствие
|. Интеграл Лебега от суммируемой функции
определен однозначно.
q Если Г =
Ви] —= &: — &, то справедливо неравенство
(1). Это же неравенство выполняется, если заменить [1 на
и р
на &.. Следовательно,
Г (}) — Г (р) = Г (в) — Г (6,
- Следствие
2. Если [ЕГ,
{
ВЕГ
wl <g,
mol)
< I (g).
Доказательство утверждения следует из леммы. >
Таким образом, интеграл Лебега является монотонным продолжением интеграла с класса функций [» с конечными интеграла330°
ми на класс суммируемых функций. Убедимся в линейности интеграла Лебега.
|
Теорема 1 (о линейности интеграла). Если РЕГ, gel, AER,
то Е +ЕЕГ,
Согласно
—fy Ely
(i =
1, 2).
МЕГ
и 1+8
определению
+ Г),
If) < +0, g—=8—f
Поэтому
+g)€L,
Л
ЗЕЕ
f + ean
G@=1,
ТВ)
2
=
и
(Г, -
что АЕЁи
—
№
Г
im
I(g)<to
(fe + Qo).
0 +1).
Г (А) = АГ).
имеем f=
Belo
= Г)
а
ГМ =МО
функции,
21) —
Га)
- 1 (в) — (1 (5) + Тв.) =
вается,
=
суммируемой
Tak
kak
(ii
- Г(®)
< то,
то
+
df)
=
&)
+
Аналогично `доказы|
Теорема 2 (свойство абсолютной суммируемости). Ecau f € L,
то ||| Е 0.
о
< Согласно определению суммируемой функции, получаем] = й —
—fe, f,€ Lo, Г (1) < о
при {= 1, 2. Поскольку
| f | == max {f,
f.} — min {f,, №}, шах (р, fo} EL,
min {f,, fe} € Lo, J (min {f,,
fe}) < 7 (max {f,, fe}) <1)
+1.)<< +o, tro |f|EL.
>
Teopema 3. Ecauf € L,g€ L, mo freL, foe, max {f, g}e L,
min {f, g} EL.
{ Утверждение следует из равенств
|
+
—
АР
9
’
_
f=
КГА
min {f,
и теорем
1, 2.
‚
о
в} =
f+g+if—el.
шах {р а} =
ts
т
9
3
g|
}>
3.2. Теоремы Леви, Фату, Лебега. Выясним, насколько отличаются неотрицательные суммируемые функций от функций из клас-
ca Ly. Для этого докажем теорему о приближении
суммируемой
Теорема
mo We>O
Ly, “mo
функции
посредством
Lo.
1. Если Г — неотрицательная суммируемая функция,
существуют
такие
функции
Г», Ре из класса
File
q
неотрицательной
функций‘из класса
7
lye Nae)
<2:
|
(1)
По определению суммируемой функции, существуют такие функ-
ции |1 Е [, ВЕ [Г
==
что
— ЛГ
<
(=1, 2).
. (2)
Согласно теореме 2, п. 1.3, вуществует такая непрерывная неотрицательная финитная функция he, ATO
i=
(fp — he) ELy A I (fy,.) <8.
(3)
По теореме 5, п. 1.3, функция fie = A —h,)t =f, — he ‘при:
надлежит классу [%. Из (2) и (3) следует, ‘ato f — lie — foe >
334
remy
Неравенство (1) показывает, что площадь фигуры, заключенной
между графиками функций [и
г, меньше чиала г, т. е. функция
|. приближает функцию { по площади в точноевтью до г.
Точка зрения на интеграл от неотрицательной вуммируемой
функции, как на площадь фигуры, приводит к гипотезе о счетной
аддитивности интеграла в классе неотрицательных вуммируемых
функций, которая подтверждается следующей теоремой.
Теорема& (Леви). Пусть все функции|,
Уп
№ неотрицательны почти всюду и суммируемы. Если
15 УЛ
УТ
пЕМ
mo
функция
[ суммируема
<,
neN
(4)
и
neN
<q По теореме | вуществуют
класса
[45, что
Полагаем
такие функции
Аи — fom Л 1.)
VxER
h(x) = > fin)
Согласно
су
и
теореме
пе
1, п.
1.3,
функции`
т.
|,
ПЕ
р
принадлежат
@=ь2)
пеМ
(6) получаем,
УпЕ № из
В(@) = > fon (*)-
КВ= у 1)
Из неравенства
НН», р”
что
ы< У = < +,
(6)
(7)
клас-
(8)
(9)
а из равенств (6), (7) и (8) имеем
If) = dt Vin) = > ЦЬ-Ь,) = У Г) +14).
neN
Из равенств
(9)
(10) следует, что
Г)
— 1 (95) = У, Г»).
(11)
пЕМ
Осталось ваметить, что [= й —Ь. №
Следствие
| (теорема Леви для возрастающих повледовательностей). Лусть | ЛГи все функции | УпЕ \ суммируемы.
Если
П.В
последовательность
интегралов
I(fn)
VneN
ограничена сверху, то функция | суммируема
I (f) = lim I (f,).
332
(12)
ц
(13)
{
Для
почти
всех
У
nen
х С В
имеем
=A) + SY Gags) — fa)
ии — fa) = lim
®.
(fa) — Uf) <
Из теоремы 2 следуют суммируемость функции ] и равенство (13). >
Следствие 2
(теорема Леви для убывающих последовательностей). Пусть [, Nf u ece dyxkyuu f, (n€N) cymmupyemot.
Ecau
последовательноеть
ограничена
дельное
снизу,
интегралов
I(fn)
то
функция
соотношение
VEN
[ суммируема
и справедливо
(14)
пре-
I (f) = lim I (f,).
(15)
Доказательство получим, применив следствие 1 к последовательности (—fn). >»
Из теоремы 2 следует важный для теории функций признак сум-
мируемости
почти
(fn (x).
всюду
последовательности
значений
функций
Теорема 3 (признак суммируемости почти всюду последовательности значений функций). Пусть все функции и
УпЕ\№
суммируемы. Если
У ТР) < - ®,
(16)
neN
то
всех
последовательность
хЕ В.
значений
(|, (х))
суммируема
при
почти
4 Согласно теореме 2, функция [, определенная формулой [ (х) =
= x |1, (*)|
УхеЕБ, суммируема и поэтому конечна для почти
всех Nx ЕВ. №
Следствие.
Если все функции
выполнено условие (16), то ряд
сходится
<q
для почти
Согласно
теореме
всех x ECR.
р ПЕ№)
суммируемы
2 fin (x)
и
(17)
3, последовательность
членов
ряда
(17)
сум-
мируема при почти всех ХЕ В. }>
Теорема 4 (о суммируемости нижней грани последовательности
неотрицательных функций). Пусть все функции р
УпЕМ симлмируемы, неотрицательны почти всюду и
f (x) = inf f, (x) для почти
всех xER.
(18)
Тогда функция f cymmupyema.
q
Почти
для
всех
хЕ
В
имеем
f (x) = inf fy (x) = lim min (f,)s
д, . ++,
= Ша Фь (5),
333
где ф» (х) = ша {1 (х), Ь (>, ..., В ()} для почти всех хЕВ.
По теореме 3, п. 3.1, каждая функция ф„
УпЕ № суммируема.
Для последовательности функций (ф„) и последовательности интегралов от них получаем, что
On». FAQ,
20
VnEN.
Поскольку
последовательность
(Г (ф„)) ограничена
снизу, то,
согласно следствию 2 из теоремы 2, функция { суммируема. }>
Следствие. {Гри выполнении условий теоремы имеем
I (f)<inf J (fy).
4 Из равенства
(18)
грируя
получим
которое
Принимая
во
Упс
следует
оценку
1(0<1(,)
внимание
в справедливости
УтЕМ.
(19).
p>
Теорема 65 (Фату). Пусть функции
почти всюду, суммируемы
[(х) = п
Ecau
неравенство
произвольность
неравенств
УпЕ№и
(19)
значений
/ <f,,
П.В
HHTe-
п, убеждаемся
№ п Е №) неотрицательны
[, (х) для почти всех хЕК.
(20).
lim I (f,)<+ ©,
(21)
то функция | суммируема,
и
I(f)< lim I (f,).
@q
Jin
почти
всех
x€IR
имеем
f (x) = lim Г, (х) =
Пою
rae @, (x)= inf f, (x) для
(22)
lim inf f, (x) = lim фи (Х),
П-+оо
почти
и следствию Иа. нее, функция
&>п
всех
хЕ №. Согласно
ф„ суммируема
Уп
теореме
4
№и
(Фи) < int ГР»).
(23)
Поскольку ф„ Л [.и все функции ф, (ПЕ №) суммируемы, а последовательность интегралов [ (ф„) ограничена сверху в силу неравенств (21) и (23),. то, согласно следствию | из теоремы 2, функция | суммируема`и при этом
I (f) = lim 1 (Фи) < Ни шЕ J (f,) = lim J (f,)
nN-»oo
(см. неравенство. (23)). >
334
noo
kin
novo
Теорема `Фату допускает важные в дальнейшем обобщения,
которые сформулируем в виде двух следствий.
Следствиё 1.
Пусть
f, ECL Wn€N,
f = lim f,
и
lim I (f,) << +00.
noo
Ecu
39€Lif,>o
WEN,
П.В
то
выполняется. неравенство (22).
|
Чтобы убедиться в этом, достаточно применить
к последовательности функций (7, — Ф). №
Следствие
2. Пусть
f,EL
VEN,
Нш
Г (1)
> —оо.
по
Если
3 ФЕС:
59
Но
РЕГ
и
теорему Фату
i = lim,
Уп Е №, mofeLul
и
() >
> lim I (f,).
n> oo
Применив
следствие
|
к
последовательности
функций
(—1.),
получим требуемое. }
Следствия | и 2 называются соответственно теоремами Фату
для нижнегои верхнего пределов. Из них следует одна из основных
теорем теории интегрирования, доказанная Лебегом.
Теорема 6 (Лебега). Пусть [ЕЁ
УптеЕ\№и для почти всех
хЕВ
выполняется
существует
такая
предельное
функция
соотношение
ФЕЁГ, что
| (х)
=
|f,|<
lim fn (x). Ecau
9, mo FE
Liu
П.В
I (f) = lim I (f,).
(24)
foo
4 Поскольку
— <
<
П.В
П.В
ФЛ — Г (Ф® < 1 (8) < Г(Ф
то законно применение теорем Фату
делов.
Следовательно,
для
нижнего
VrEN,
и верхнего пре-
lim
J (f_) <1 (Tim fa) = F(f) =1 (lim fy) <lim F(f,).
п-о
п-осо
Поскольку неравенство Ишт / (!„) > Ишт
п-+с
ТО
В
неравенствах
(25)
ДОЛЖНЫ
п оо
быть
Г (Ё,) выполняется
лишь
(25)
П4- с
равенства,
В
всегда,
силу
чего
имеем
lim J (fn) = lim
I (f,) = 1 (/).
n+ oo
Из
этих
соотношений
$ 4. Измеримые
следует
(26)
noo
равенство
(24).
>»
функции. Теорема Фреше
Теоремы. Леви, Фату, Лебега демонстрируют вначитель!““®. поеимущества интеграла Лебега по сравнению` с другими интегралами
в-вопросах, где. речь идет не о их вычислениях, а.о действиях с ними
335
в процессе решения различных задач, в том числе и прикладных.
Условия, обеспечивающие возможность почленного интегрирования ряда, сформулированные в теореме Леви, или ограничения,
при которых возможен переход к пределу под знаком интеграла,
указанные в теореме Лебега, выглядят намного проще с точки зрения
их эффективной
проверки,
чем
для
любого
другого
интегра-
ла. Тем не менее, класс Г. и интеграл Лебега не лишены недостатков. Так, класс Г не замкнут относительно сходимости почти всюду, не содержит всех непрерывных функций. Производная
суммируемой функции может оказаться не суммируемой, несмотря на то что она существует почти всюду или даже всюду.
Интеграл Лебега обязательно конечный, и поэтому в условии тео-
ремы Леви есть предположение
У, I (f,) << + оо, которое нельзя
neN
проверить, пока не вычислены или не оценены интегралы Г (1,)
УпЕе\№. Указанные
дефекты теории удается устранить путем
дальнейшего расширения класса [, до совокупности измеримых
функций, обладающих многими замечательными свойствами.
4.1. Измеримая функция. Критерий суммируемости. Для построения класса измеримых функций применим тот же прием, посредством которого суммируемые функции были получены из
непрерывных.
Определение
1. /Густь функция | определена
и неотрицательна
почти всюду на В. Она называется измеримой, если существует такая последовательность (f,) суммируемых неотрицательных почти всюду функций, что Г— У [. За интеграл от такой
*^
ПЕМ
функции примем 1 (|) = 1 (/.), ГРЕК.
Предложенное определение измеримой неотрицательной почти
всюду функции не является стандартным. Классические определения измеримой функции и их равносильность определению 1 будут
рассмотрены в $ 5.
Поскольку в определении 1 функции |,
VW née
не определяются по функции / однозначно, то требуется проверка однозначности определения интеграла Г (Г). Она очевидна, поскольку если
У, (1 (|) < -Е о, то по теореме Леви [Е Ё, и число I (|) совпадает
ПЕМ
с интегралом Лебега функции [, который определен однозначно.
В оставшемся случае функция [ не суммируема
и Г (Г) = +.
Одновременно в однозначностью определения / (!) доказано следующее
полезное
утверждение.
|
|
Теорема 1 (критерий суммируемости измеримой неотрицательной функции). Пусть функция | неотрицательна почти всюду на
числовой прямой В. Она суммируема тогда и только тогда, когда
usmepuma
u
I (f) <
о.
Читателю полезно обратить внимание на глубокую аналогию
между интегралом от неотрицательной измеримой функции и суммой семейства неотрицательных чисел.
Теорема 8 (Леви, для ряда измеримых функций). Пусть функ336
yuu f,
Wne€e
измеримые и неотрицательные почти всюду.
Гав У, №»
пЕМ
то функция
| измеримая
(2)
neN
{ Согласно определению 1, Упс № существуют такие
руемые неотрицательные почти всюду функции [„„, что
У
REN
(1)
и
ГР = У Г».
hn тв
Если
|
Г(Р,)
=
У
REN
суммн-
(Ра).
(3)
Но теореме о счетном объединении нуль-множеств из равенств (1)
и (3) следует свойство # =
У [Ё
равносильное измеримости
функции
[.
Кроме
A=
того,
У
(п, Е)Е М3
П.В (и, КЕМ?
14) =У
neN
УГО
REN
= У 1.
n€N
9
Практическая ценность доказанной теоремы состоит в том, что
она предоставляет возможность почленного интегрирования ряда
с неотрицательными измеримыми функциями без проверки какихлибо дополнительных условий. Кроме того, из теоремы следует
невозможность дальнейшего расширения класса неотрицательных
измеримых функций тем же методом, каким они получены из суммируемых
функций.
Введем понятие измеримой функции в общем случае, когда ее
значения могут быть как положительными, так и отрицательными.
Определение 2. Густь функция | определена почти всюду на
числовой прямой
функции Ги
В. Она называется измеримой,
Г. В
случае,
xoeda
min {I (f*),
если измеримы
I (f)} << + ©,
интеграл от функции | определяется pasencmeom I (f) = I (f*) —
— 1 (Г), а функция | называется интегрируемой.
Интеграл от измеримой функции { не определен, если / (F*) =
=[/ (fF) =
емой.
+-oo.
В этом случае функцию { называем
неинтегриру-
Как и в случае суммизуемой функции, справедливо следующее
утверждение.
Теорема 3 (об абсолютной измеримости функции). Из измеримости функции | следует измеримость ее модуля.
{ Справедливость
утверждения
следует из равенства
||| =
= {+
определения 2 и теоремы 2. }>
Применим понятие измеримой функции для установления критерия суммируемости.
Теорема 4 (критерий суммируемости функции). Пусть функция }
определена почти всюду на числовой прямой В. Она суммируема
тогда и только тогда, когда измерима и Г(|{|) <
- ®.
337
4 Необходимость. Пусть функция }`суммируема. Тогда суммируемы функции {Ги Г. По теореме .1 OHH измеримы. Согласно
определению
венство
2, функция
/[(|{ | ) <
-Е <
Достаточность.
[ измерима.
Поскольку
очевидно.
|.
Пусть функция i измерима
|]| Е Г,
то
и / (|)
нера-
< +o.
По определению 2, функции |", Г измеримы. Так как I (ft) <
ЗАРА)
<
©, ГЕИ
< + со, ТО, согласно теоре-
ме 1, функции /", Г суммируемы, в силу чего и их разность { ==
= — Г суммируема. p»
Следующее утверждение можно было принять за определение
измеримости неотрицательной функции.
Теорема 5. Пусть | > 0. Функция | измерима тогда и только
П.В
тогда, когда существует такая последовательность
тельных суммируемых функций, umo f, 7 f.
(„)
неотрица-
П.В.
Необходимость. Если функция {| измерима, то, согласно определению, существует такая последовательность (ф„) неотрицательных почти всюду суммируемых функций, что
f=
I. B
Для
доказательства
SN
neN
необходимости
п
= 1.B k=1de
Достаточность.
=/,
мым,
— [м
Если
УПЕМ\
измеримость
gn.
условия
(1
},
полагаем
WEN.
|| ЛЬ
аки
(4)
то,
П.В
получим
>
(5)
полагая
ф =},
равенство
(4)
и,
QO, =
тем
са-
4. 2. Теорема Леви для последовательности измеримых функций.
Теорема. Пусть функции р, неотрицательны почти всюду и
измеримы. Если |, 7 f,mo
функция | измерима
ul (f) = lim I
(f,).
п>со
<< Пусть
lim l (f,i "< + со
или
Г (Г) < -+
о.
Тогда
утвержде-
ние следует. из теоремы Леви для последовательности суммируемых функций. В оставшемся случае равенство Г (Г) = Иш Г (1,)
пс
имеет малополезный вид -- со = + 00, HO является справедливым. Осталось доказать измеримость функции [. Согласно теореме 5, п. 4.1, существует такая последовательность (/„„„) суммируемых функций, что 1» Л |, при Ё -+ oo. Полагаем
П.В
Fn = max f,,,
0.В
Очевидно,
HO,
338
F isn <f,
"П.В '
что
П.В
j=1,n.
3): р, и f.
П.В
р
VUG<x< п,
Vne€N.
Докажем,
пЕ№.
что
(1)
is
°
Предельный
|.
Действитель-
переход в этих
неравенствах
при
И -> со
приводит
к оценкам
р < [< {
П.В
Е М. Пусть 1 —
- oo. Тогда
получим
равенство | == f
Из
ства (1) следует суммируемость функций Е,
Vne€N.
[, ЛЬ то по теореме 5, п. 4.1, функция } измерима. }
П.В
Если функции
У уе
П.В
равен-
Так
как
/, конечные почти всюду У п С №, то доказанное
утверждение следует
из теоремы
2, п. 4.1.
В общем
случае
это
не
так, поскольку разность |, — fn; He имеет смысла. Здесь фиксируем редкий случай, когда языки теорий последовательностей и
рядов
не
равносильны
между
собой.
невозможности операции вычитания
случае.
4.3. Теорема Фреше. Следующая
также могла
Теорема.
Причина
измеримых
этсго
заключена
функций
классическая
в общем
теорема
бы служить определением измеримой функции.
Функция |:
К > В, определенная почти всюду,
в
Фреше
изме-
рима тогда и только тогда, когда существует такая последовательность (1„) непрерывных финитных функций, что В, —> Г.
Необходимость. Пусть функция ] измерима. Согласно определению | и теореме 65 из п. 4.1, существуют такие суммируемые функ-
WHY fin Hfon
УПЕМ, что [и ar Pan ZT
Полагаемfy = fin—
—fon
WneER. Toraa f,
Е
Согласно определению суммируемой функции и теореме 2, п. 1.3, существует такая последовательность (й„) непрерывных финитных функций, что Tf(|f,—
—h|)< ==
Уп Е\М. Го теореме 3, п. 3.2, имеем /[, — А, == (),
и поэтому h, —- f.
_ Locmamounocme. Tlyctp функции
h, WneN— непрерывные,
финитные и В, —5* 7. Тогда fT == ИТ nt = lim inf hf. Tax kak
Nooo
ff =infht CL
k>n
Wn Е№
(см.
теорему
4,
n-+oo
Rien
п.
3.2)
и
fi 7 fF,
П.В
то функция [Г измерима. Аналогично доказывается измеримость
функции Г. По определению, функция | измерима. }№.
4.4. Операции над измеримыми функциями. Теорема Фреше позволяет установить
замкнутость
класса
измеримых
функций
относи-
тельно арифметических и порядковых операций.
Теорема 1. Пусть функции [и 8 измеримы. Тогда функции
+g,
f—g,
/-g,
toy
тах {/, &},
шш {7, &}
измеримы
|-
всякий
раз, как только операции для вычисления их значений имеют смысл
почти всюду.
По теореме Фреше существуют такие непрерывные финитные
функции |, и,
Уп < № что [а —~ fy &n > & Так как функции
339.
[а +8n»
fa —
Ens
fae
&ny
max
(Fas
Ln},
min
(Fas
Ln}
ЯВЛЯЮТСЯ
непрерывными и финитными У пЕ \\, то, в силу теоремы Фреше,
функции [ -{ &, [ —5, тах {[, 2}, шт (7, 6} измеримы. Труднее
доказать измеримость функции -х ПРи условии & == 0. Это связано
П,В
с тем, что частное -^fn лишено
смысла, поскольку 2, — финитные
функции. Выход из затруднения прост, но не очевиден:
п
fn ° бп
1
м
-—-
ft.
—
п.в
VneN
УпЕ\№,
измеримы
и
he aye
M3
функций).
Если
Пусть функции
ЗФЕЁЕ:|Ё|<фФ
то
“
FELLAUC A=
<
>
8
Теорема 2 (Лебега, для измеримых
f,
.
ycnosui
и суммируемости
lim I (f,))-
|f,{|<@
WneEN,
измеримости
функции
ф следует
суммируемость функций f,,
П.В
функций
f,
УпЕ\№. По теореме Лебега (см. п. 3.2) РЕЁБи Пм Г (1,) = ГО.
n=» oo
4.5. Измеримость предела последовательности функций.
Теорема. Если |, 5+ Ги УпЕ № функции [р измеримы, то | —
измеримая.
{ Полагаем
т, если
"9
=
|х|< т,
если |х|
> т,
УтЕМ.
Функция фи суммируема У тЕ № и поэтому является измеримой.
Пусть пт = шт (fr, Pn}
У (п, т) Е №. По теореме 1, п. 4.4,
функции [ит измеримы. Зафиксируем значение т Е №. Поскольку
0 < [им (х) < Pm (X)
У (ЕВ, ПЕ№, ФС и
lim fam (2) = lim min {ft (x), Om (X)} = min (lim f(x), Om (x)} =
= min {f* (x), Pm (%)}
для почти всех х Е В, то по теореме Лебега для
последовательности
измеримых функций пп (ft, Фи} ЕЁ. Так как шт (ft, Pn} 7
Е при м -+ оо, то, соглаено теореме 5, п. 4.1, функция ЕЁ! измерима. Аналогично доказывается измеримость функции [`. По определению функция | измерима. p>
Следствие.
измеримыми
Пусть функции
будут функции
УпЕ!
inf fa, SUP fay lim fa, Tim fa.
п
340
|
п
со
fl-» 00
f=» 0o
измеримы.
Тогда
<{ Справедливость утверждения следует из формул
ini и = lim min (fi, +++» fas sup fa = lim max {f,, ..+5 fnts
tim f, = lim inf f,, lim
по
п-со
АП
|: = im зир/»ь.
n-+ook>n
№
$ 5. Измеримые множества, их мера.
Борелевские
множества
5.7. Характеристическая функция множества. Операции над множествами и характеристическими функциями. Изучение множеств
можно свести к изучению функций посредством введения понятия
характеристической функции или индикатора. Пусть фиксировано некоторое множество М. Говоря о множестве Х, будем считать,
не оговаривая специально, что Х Сехр М, т.е. речь будет идти
о подмножествах фиксированного множества М.
x
Определение. Отображение М —^+ В называется характеристической
функцией
(индикатором)
множества Х, если
| при ХЕХ,
Из определения
дуют
легко
Хх (x) =
О при ХЕМ\Х.
операций
над множествами
проверяемые
свойства:
(x =
U x,
& (Xx = sup%x,),
(1)
и функциями
сле-
(2)
(x = п х.) <> (%x = int %x.),
(3)
(X = sup X,,) & (xx = sup%x,),
(4)
(X = inf X,) © (Xx = inf Хх).
(5)
Идея замены действий над множествами на операции над их характеристическими функциями приводит к новым понятиям в теории множеств. Примем
—_—_
def
—__
(X = lim X,) © (Xx = lim *x,)s
(X = lim X,)
def
(Xx = lim Xx ).
(6)
(7)
Сравнивая соотношения (2) и (3) соответственно в (4) и (5), имеем
supX, = 0 Х» infX,= fl Xp
nh
n=]
п
n=]
(8)
34$
Формулы
в примере
(8) являются
3, п.
3.1,
гл.
частным
1. Из
случаем
определений
него и нижнего пределов числовой
(8) получаем формулы
fim
X,= n=11 k=nUX,
п-оо
Если
X = lim X, = lim X,,
пс
HO,
равенств,
полученных.
(6), (7), свойств
последовательности
верх-
и равенств
limX,=Un=1k=n1x,
(9)
noo
To cuvtaem
X = Пт Х„.
пос
Очевид-
n-»oo
ЧТО
(X =
lim
Xn) &
(Xx =
lim Xx).
(10)
п-оо
Заметим
также,
что
(Х=Х,
В случае,
ВИД
Свойство
когда Х, < Х., формула
Х, < Х,
Выясним
смысл
(11)
АХ.) © (Xx = Xx, — Xx, + Хх.
(11)
принимает
Xx = Xx, — Xx,.
равносильно неравенству
понятий,
введенных
более простой
(12)
Хх, < Хх..
соотношениями
Лемма 1. Справедливы утверждения:
а) (ХЕ шт Х,) > (Зщ:хЕХ,
Уп>п)};
(6)
H
(7).
n-> oo
6) (ХЕ Им Х,) > (ХЕХ,
ний
{
для
f= 0o
ПЕ№).
а) Согласно
второй
формуле
бесконечного
(9),
множества
значе\!
имеем
(x € lim X,)@ (x € UN X,) © (anveNi xe n X,) ©
по
n=1
k=n
> (3%
Е №:хЕХ,
k=n
УЕ>п).
Утверждение 6) доказывается аналогично. }
Понятия верхнего и нижнего пределов последевательности множеств применяются при изучении сложных вопросов теории функций, связанных с множествами точек сходимости и расходимости
функциональных последовательностей, с множествами равномерной сходимости, сходимости п.в. и т. д.
_
Пусть {: М >В, н:М-—В
УлеЕМ. Обозначим
My; of = {x €M| lim f(x) FFX),
M(If—Fl>
ar) = (HEMI
71>} Лемма &. Справедлива формула
М = И ММ (|1,Н> A).
m=l1
342
noo
(13)
4
Поскольку
—f(x)|>
согласно
(хе М;
— ‘для
лемме
1,
> ((, () & F(X) > ЭтЕМ
бесконечного
множества
1
значений
@ —
п Е №), то,
имеем
(Ce Mio) e> x€ U Пт М (1/.-Н>-1-). №
5.2. Измеримые и бсрелевские множества. ПустьМ = К. В связи
с тем что построения теории интеграла Лебега в одномерном и многомерном случаях аналогичны, читатель может считать, что М =
= R’ (p> 1).
Определение. Множество Х < М называется US ME PUMOM,
если его характеристическая функция Хх измерима. Число (или
+ осо)
| Х | = 1 (Хх) называется мерой измеримого MHOжества Хх.
Теорема 1. Множество Х является нуль-множеством тогда
и только тогда, когда его мера равна нулю.
<q
een”
Пусть
Х —
нуль-множество.
Тогда
Xx = = 0
и
|X | = 7 (Xx)=
Hocmasnenocms. IIyctb |X |=.0. Torga I (Xx) = 0. Ho tTeoреме Леви /[ (> Хх = У, 1(%х) = 0. Поэтому функция У Хх
neN
пЕМ
конечная почти всюду. Так как в каждой точке
равно -- oo, то Х — нуль-множество. }№
Теорема 2. Если X, (пс №) — измеримые
UX,
ПХ,
п
п
supX,,
п
infX,,
п
limxX,,
п-оо
хЕХ ее
neN
значение
множества,
lim X,,
noo
mo
M\X,
также являются измеримыми множествами.
< Справедливость утверждения следует из формул (2) — (7), (11)
и следствия из теоремы п. 4.5. }№
Заметим, что характеристическая функция интервала ]а, 6
измерима
и
/[(Хшы) = |1,
[|=
— а. Поэтому
мера
Лебега
на прямой К является обобщением понятия длины интервала.
Аналогично мера Лебега в В? и В3 является обобщением понятий
площади прямоугольника и объема параллелепипеда. В общем
случае, мера в В” — абстракция указанных классических понятий. В соответствии с высказанным в начале главы замечанием
продолжим обсуждение меры и измеримых множеств на прямой В.
Каждое открытое множество на прямой К можно получить
объединением счетного числа интервалов. Для этого достаточно
объединить все интервалы с рациональными концами, содержащиеся в данном множестве. Поэтому каждое открытое множество изме-
римо. Если множество Ё < В замкнуто, то Ё == В \ С,
где С —
открытое множёство. Следовательно, любое’ замкнутое множество
измеримо. Наименьший класс множеств, замкнутый относительно
операций счетного объединения и счетного пересечения, содержащий все замкнутые’и открытые множества; называется классом
343.
борелевских множеств. Эти множества указаны Борелем в 1898 г.
и являются измеримыми. В приложениях наиболее часто встречаются
борелевские множества
типа Сз,
Ко,
Роз,
Су.
Пусть
имеем
некоторое множество. Оно называется:
а) множеством типа Оз, если его можно получить пересечением
счетного числа открытых множеств;
6) множеством типа Ёо, если его можно получить объединением счетного числа замкнутых множеств;
в) множеством типа Ёоб, если его можно получить пересечением счетного числа множеств типа Ёс;
‚ Г) множеством типа
Су, если его можно получить объединением счетного числа множеств типа С. Теперь становится ясным
смысл
использования обозначений
Р, (С, св, 6. Знаки Ё и С являются
символами замкнутых и открытых множеств, а ди 6 — символами
счетного объединения и счетного пересечения множеств. Борелевские множества находят применение в различных разделах математики, особенно они важны в теории функций и в теории вероятностей.
5.3.
Множества
Лебега
и критерий
Лебега
измеримости
функ-
ции. Измеримость функции по Борелю. Вопрос об измеримости
функции можно свести к измеримости множеств Лебега, связанных
с ней.
Теорема. Почти всюду конечная функция | измерима тогда и
только тогда, когда У а Е В измеримо множество „Тебега
E, = {x€RI|f (x) >a}.
(1)
4 Необходимость. Пусть функция | измерима и Хв, — характеристическая функция множества ЁЕ„. Проверим справедливость формулы
Xe, = lim n (min if
П.В
a+ =} — min {f, a}
ft-»0o
Пусть хЕЕ и [(%х) ЕВ.
:а +-—- <!@
Уптп> п.
Тогда а<|[(х)
< +®
Поэтому
при п > щр
равенство п (min | (x), a+
=}
(2) справедлива
Если
в точке
х.
— min {f (x), a})}
Х@Б.
.
(2)
и ЗЕМ:
выполняется
= 1 u dopmyaa
и f (x)€R,
TO -wo<
< f(x) <a<at—
УпЕ\№М ив
точке
х обе части формулы
(2) обращаются в нуль. Поскольку | (х) Е В для почти всех х,
то формула (2) справедлива почти всюду. Из формулы (2) следует
измеримость множества Ба.
Достаточность. Пусть Уа
В множество Е’ измеримо. Тогда
У @ЕВ, БЕВ) множество Ель = (x€R|a<f (x) <b}
измеримо, так как Еаь = Е, | (КВ \Ё,). Убедимся в справедливо-
сти
формулы
[= Шт
П.В П-оо
344
У
ТЕХ
ME im mbt
я
я
(3)
Если | (х) ЕВ,
то УпПЕ№
Эт ЕР:
Mn < f(x) Set
(4)
п
Поэтому
f(y — Si = Xe
meZ
т.е.
ции
формула
=,
mer
(3) справедлива.
<1,1
| = (10)—
Из
нее следует
©
измеримость
функ-
|. №
Следствие. /7усть функция | конечна почти всюду и измерима. Тогда все множества „Тебега
{xER|f(x)>a}, {xER|f(x)<a}, {xER|f(x) <a},
{xER|f(x)>Sa}, {xER| f(x) =a}, {xERlax<f(y<}},
{xERla<f(x)<5}
являются измеримыми.
Определение. Функция { называется
релю,
если
борелевским.
Уаев
множество
измеримой
Е. = (х||{(х) > а]
по
Бо-
является
Из доказанной теоремы следует, что измеримая по Борелю
функция измерима по Лебегу. Обратное утверждение не верно.
Измеримые по Борелю функции находят применение в теории
вероятностей.
Упражнения
1. Провести подробное доказательство следствия из теоремы п. 5.3.
2. Доказать измеримость функции зеп } в случае, когда функция } измерима.
3. Пусть множество (1) из п. 5.3 измеримо У а ЕО. Доказать, что функция
7 измерима.
|
4. Доказать,
ведливо равенство
что для
каждой
(j= lim
п-осо
5. Доказать
6. Доказать
измеримость
измеримость
неотрицательной
измеримой
функции
} спра-
YE
nm mols
тЕМ
я
я
любой почти всюду непрерывной
монотонной функции.
функции.
$ 6. Интегрирование по множеству
6.1. Счетная аддитивность интеграла и меры как функции множества. Пусть функция } определена на множестве Х. Полагаем
[(х), если хЕХ,
(7%x) (x) = | в остальных случаях.
(1)
Определение. Функция | называется суммируемой
(измеримой) на множестве. Х, если функция [Хх суммируема
(измерима). Если функция [Хх интегрируема (см. определение 2,
345
п. 4.1), то считаем | интвгрируемой
на множестве
— Ирод = |
Х и полагаем
дах
(2)
Теорема 1. Пусть множества Х,„ УпЕ!\
попарно не пересекаются и Х = |] Х,. Если функция 7 неотрицательна и измерима
на множестве
причем
x,
пЕМ
Vne€RN,
mo
ona
измерима
на
множестве
дах = ne€N
У x,| fae.
(3)
X
q
Для
всех х имеем
|
(FXx) (x) = SY (fXx,) ().
(4)
пЕМ
Так как функции [Хх, измеримы
функция [Хх измерима и
УпЕ\\,
то
по теореме
Леви
I (fix) = У Их),
(5)
пЕМ
что равносильно измеримости функции | на множестве Хи
ствуСледствие
(3). >
пересекаются
пЕМ
(6)
\ Fe) dx = yf f(x) dx.
(7)
x;
X
>
(7) колечные.
xX,
Вычитая
получим равенство (3).
Следствие 2.
и множества
попарно не пересекаются, то
[Х| =
<q
Для
(3).
Гоа = х) f* (x) dx,
xX
(б) и
равен-
1. Пусть множества X, УпЕМ попарно не
и Х = |) Х,. Если функция ; суммируема на мно-
жествах Х и Х, УптЕ\,
то справедливо равенство
Применив теорему 1 к функциям /", }_, получим
Равенства
Х,
доказательства
У
neN
соответствующие
Х„
измеримы
|Х,|.
полагаем в теореме
их части,
WnEN
u
(8)
|1
7 =
1.
Равенство (3) называется счетной аддитивностью интеграла как
функции множества, а равенство (8) — счетной аддитивностью
меры Лебега. Неотрицательную функцию [ можно истолковать как
‘плотность распределения массы. В: этом случае интеграл от функ„ции. по множеству является массой множестваи равенство (3)
устанавливает счетную аддитивность массы. Если функция { при‚нимает положительные и отрицательные значения, то ее можно
346
считать плотностью распределения заряда, а интеграл по множеству — зарядом множества. Формула (3) выражает счетную аддитивность заряда.
Обсудим
условия,
налагаемые
на
функцию
| в
следствии
1.
Там кроме требования суммируемости функции { на множествах
Х, УпЕ№
предполагалась
ее суммируемость на множестве
Х =
|
ПЕМ
Х,.
Это
связано
на каждом множестве Х„
единении. Действительно,
сегменте
=
[п, п -
|) п, п -
1]
и не
с тем,
что
из суммируемости
|
не следует ее суммируемость на их объфункция | = | суммируема У пЕ\ на
суммируема
И. Для суммируемости
пЕМ
функции
на
множестве
функции
{[1, +00
{ на множестве
[ =
Х
недостаточно сходимости ряда в правой части формулы (3) и даже
суммируемости последовательности его членов. Например, функция [, имеющая период, равный 2, и определенная на полуинтер-
вале
[—1,
|
формулой
}{(х) = зп х
УхЕ
[-—1,
Ш,
сумми-
руема на полуинтервалах [2n —1, 2n+1[
Van с {, имеет на
каждом из них интеграл, равный нулю, и не суммируема на числовой прямой, совпадающей с объединением указанных полуинтервалов.
Укажем критерий суммируемости функции на счетном объединении попарно не пересекающихся множеств.
Теорема ©. Пусть множества Х„ УпЕ\№ попарно не пересекаются, Х = U Х, и dyxxyun f usmepuma na X, VWneEN.
EN
Для
того
чтобы
финкция. f была
необходимо и достаточно,
У,
суммируемой
на
множестве
чтобы выполнялось условие
| LF ()|dx< + 0.
(9)
пЕМ Xn
®
Необходимость.
Тогда
ее
модуль
Пусть функция
является
жестве и по теореме
Xx
} суммируема
суммируемой
Ро тах = ут
neN
Xn
на множестве
функцией
| справедливо равенство
Х,
на
этом
Ро |ах.
Х.
мно-
(10)
Поскольку его левая часть конечная, то выполнено условие (9).
`° Достаточность. Пусть выполнено условие (9). В силу равенства (10) функция |{| суммируема на множестве Х. Так как функция [ измерима
на множестве
Х (см. теорему
1), то функция
[ сум-
произведение
изме-
мируема на Х. №
’ Теорема 3. Пусть функция } суммируема на множестве Х. Если
Х, = .Х и множество Х, измеримо, то функция f cymmupyema Ha
нем.
Ф
Функция
ГХх, = (Хх) Хх,
измеримая
как
римых функций. Так как | fx, | <|Их|
и функция f cymmuруема на множестве Х,то функция Хх, суммируема, т. е. [ суммируема на множестве Х.. >
ee
347.
6.2. Непрерывность меры.
Теорема 1. Пусть (X,,) — неубывающая
меримых множеств и Х =
| измерима
на
Xn
V
п
Е
Т Х».
n=!
№,
то
последовательность
Если неотрицательная
функция
|
измерима
из-
на
функция
множестве
и
| F(x)dx =
lim | F(x) de.
x
Поскольку
0<< Mx, <Зи
по теореме Леви для
ведливо
равенство
Следствие.
VnE€N
последовательности
| (/Xx) = lim I (fXx,),
Если
(1)
rr Xn
и Их = И
измеримых
функций
paBHocHsbHoe
(х,) —— неубывающая
измеримых множеств и Х =U
Г х,,
(1).
то
спра-
>
последовательность
Х„, то | Х | = lim | Xn |.
®
Для доказательства полагаем в теореме 1 f = 1.
Теорема 2. Пусть (Х„) — невозрастающая последовательность
измеримых множеств. Если неотрицательная функция | суммируема
на множестве Х„ УпЕе\№\, то она cymmupyema на множестве
Х =
п Xn Uu
| f (x) dx = lim | f(x) dx.
x
<
Поскольку
п>осо
[Xx > Ри
>О0
и
(2)
Xn
fXx = lim fXx
N=
‚ то
по
тео-
CO
реме Леви для невозрастающей последовательности суммируемых
функций
получаем равенство / (Хх) = Ит / ([Хх,), равносильHoe
(2). »
Следствие.
множеств
конечной
п
Если
меры
оо
(Х„) — последовательность
и Х =
moe u| X| = lim| X, |.
со
П
n=!1
Х,,
то
множество
измеримых
Х
измери-
n->0o
Утверждение следует из теоремы 2 при [= 1. №»
Следствия из доказанных теорем называются свойствами непрерывности меры Лебега. В следствии из теоремы 2 предполагается
конечность мер множеств Х„. Это не случайно. Утверждение следствия из теоремы 2 для множеств бесконечной меры несправедливо
в отличие от ` аналогичного следствия из теоремы 1. Пусть, например,
Хи = U |r — a,
УтЕ\№и
| Х.|
= +.
п
УтЕ\№.
Однако
Очевидно,
Х =
что
1 Xn =N
m=!
Х„ > Хи
и |Х| =0.
6.3. Абсолютная непрерывность интеграла как функции множества. Теорема 3 из п. 6.1 предоставляет возможность рассматри348
вать интеграл
| Г (х) ах от фиксированной суммируемой функции |
x
как функцию измеримого множества Х. Эта функция счетно-аддитивная и обращается в нуль на любом нуль-множестве Х. Следующее утверждение характеризует свойство ее непрерывности, которое
обычно
называют
абсолютной
непрерывностью
функции множества.
Теорема (об абсолютной
непрерывности
СГ.
Тогда Ve>0456>0:
([Х|<5)>
x
о
интеграла
интеграла).
dx|<e.
как
Пусть
(1)
< Пусть = > 0. Согласно определению суммируемой функции и
теореме 2, п. 1.3, существует такая непрерывная финитная функ-
ция [е, ЧТО
КИРО <->.
Пусть
| { (х) |< М
УхЕВи
| Х| < 6.
| F(x) dx
< ПР
X
Взяв
§6<
(2)
Тогда
{7 (2)— fe) + fe (0) dx <
ах
+ Па
Хх
+
+ МХ
5 + М.
м,
получаем
свойство
(1). №
$ 7. Сравнение различных теорий
интегрирования
Сравним между собой интегралы Римана, Ньютона — Лейбница,
Дарбу, Лебега. Кроме того, укажем построение интеграла Лебега
посредством интегральных сумм.
7.1. Интегральные суммы Лебега. Пусть функция ]а, Ы St, R
ограничена и измерима, причем т < /(х)
< М
Ухейа, Ы. Рас-
смотрим разбиение Р =Рим,
= (у, |
= 0, п} сегмента
Пусть ёр = {| А =1, п} — множество промежуточных
|Р| — норма разбиения Р (см. п. 5.3, гл. 6).
Определение 1. Сумма
Sip
(Г,
где Ey,_ iy, = {x € la, OL | у
гральной
суммой
Ep)
—
>
Eel
Ey, yy,
|»
< [(х) < ук}, называется
Лебега.
[т, М].
точек,
(1)
ин те 349
Определение 2. Число Г называется пределом
интегральныхсумим
„Гебеега, если Ув >036>0:
У(Р =Рымь 8)
(Р|<8
(|1 )>
— б.р (р, Ёр)|< 2).
Теорема (Лебега). Пусть функция [ ограничена и измерима
на сегменте [а, 6]. Тогда интегральные суммы Лебега имеют предел, равный
\ f (x) ах.
q Wycth
биение
[4,5]
¢>0,
m<f(xy)<M
полуинтервала
Im, MI,
Vxeé€la,
| P|
bl, P = {y,} — pas-
<6 =
—.
Тогда
За—(р, | =| [а,6][| Коах—
| поах
[а,6]
94| = | { (70)— 3 Bite), 1», @)
У | ten
< J,
<
о
iy |
— 3 Ble
Г
имеем
Для каждого значения ХЕ] а, @ существует такое единственное
число А = №, (х), что ук < [р() < ув, в силу чего справедливо неравенство
79 — У Бе, 69
Из неравенств
[a,b]
= 1) — < — У
(3)
(2), (3) следует оценка
дах
— Зы (Ё р)
Следствие.
[ ах.
[4,5]
Если выполнены
условия
теоремы
—= 0 (1), то справедливо предельное соотношение
|} Кодах= та, (1, в,
разбиений
(5)
можно
(Р,),
доказать
где Р, = {у}
иначе,
взяв
УпеМ,
и
(4)
|
и
| P, | =
(5)
[а.6]
Соотношение
1<
последовательность
воспользовавшись
теоремой Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
Установим связь между интегральными суммами Римана и
“Лебега для простейшего случая, когда функция { кусочно-монотонная и непрерывная на сегменте [а, 6]. Так как функция { кусочномонотонная
и непрерывная,
то множество
Ey, _„„, = {х 6 [а,
| уф < | (х) < и»}] состоит из конечного числа промежутков и
имеет меру, равную сумме их длин:
|
‘350
увбльиь |
—
Mp
У, (О
j=l
—
а?)
(k — Tr п).
(6)
Интегральная
сумма
Лебега
имеет
п
п
У Se | урл,
Mp
| = »
k=!
-Ух
Sk У
«
Е (Oo)
—
.
(by
j=!
3
т
я.
k=!
вид
— ay’) =
,
ay),
(7)
По теореме о промежуточном значении непрерывной функции
каждом сегменте [а”, 67] найдется такая точка 7, что
Е,
=
[ (Е
Dy
V(j=1,
Следовательно, интегральная
ральной суммой Римана:
ть;
k=1,nп).
сумма
Лебега
на
(8)
(7)
является
интег-
х f 2’) (04?— ap?)
(9)
при специальном выборе разбиения сегмента [а, 6] и множества
промежуточных точек.
7.2. Интеграл Дарбу. Сравнение интегралов Римана, Дарбу и
Лебега. Пусть на сегменте [а, 6] определена ограниченная функция
Ё. Рассмотрим произвольное разбиение Р/а.5) = Р = {х, | Ё = п}
0,
и обозначим Mm, =
inf
[(%), М.=
sup
f(x) (k=1, n).
X€[Xp_1 Xp]
Хех,
Суммы
Sp (Р = у
те (Хь — Хь-1),
Sp (Р = у
Ме (Хе — хь—1)
(1)
называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу, соответствующими разбиению Р. Они являются одновременно интегралами Римана и Лебега от ступенчатых функций f (x) = my, Е OF
=
M,
. Ух
Е Mics
Xe
(®
=
= 1,
п),
Г (5)
=
My;
f(b)
=
Функции [а, 6] 1, К, la, ] -№- В называются соответственно нижней и верхней функциями Дарбу. Очевидно, что
1х) <) <Нх)
Если функция { интегрируема
ведливы. неравенства
[a,b}
годах < jiwars
Поскольку неравенства (3)
верхних сумм Дарбу, то
VxE la, 4.
по Риману
| fede
5 в (р.
выполняются
(2)
или по Лебегу, то спра-
$ (<
для
любых
J= sp‚Р Spi)< [2,0]J f()dx< ini Se(f)=
оао
нижних
(3)
и
(4)
354
Числа [, Г называются соответственно нижним и верхним интегралами Дарбу. Они существуют для каждой ограниченной функции.
Определение. Функция [а, 6] —- В называется интегририу-
емой
гралы
в
равны
смысле
друг
интегралом
Дарбу,
другу,
а
если ее нижний
число
Дарби динкции
и верхний
1 (Р = Г = Г
[,
инте-
называется
-
Теорема 1. Пусть функция [а, 6] —- В интегрируема в смысле
Дарбу. Если | интегрируема в смысле Римана или Ньютона — Лейбница или суммируема по Лебегу, то соответствующие интегралы
равны интегралу Дарбу.
<q Справедливость
скольку [| = [. д
утверждения
следует
Таким образом, указанные интегралы
можно
обозначить
одним
и
тем
же
из
неравенств
равны
между
символом
(4),
собой
по-
и их
\ F(x) dx
или
a
|
[2,5]
Г (х) ах. Различными являются лишь
Теорема 2. Если
на сегменте [а, 6],
сегменте.
{ Обозначим через
следует, что У = >
= 0,
п},
полняется
что
для
0
/ интеграл Римана функции {. Из определения
существует такое разбиение Р = (х, | Е =
любого
неравенство
k=]
свойству верхней
(Е =1, п), что
множества
промежуточных
Аналогично
my
x
Ёр
вы-
(5
грани существуют такие точки Ё Е [хь-,
| М, — | (Е) | <=
УЕ=1, п.
Поэтому
№9
--
(М,
— 1 (Е»)) (хь
— Xe-1) | Se +e (6—a)
доказывается
OSI —1<
точек
— №) <e.
и —52001< |1 Хи
+
интегрируемости.
функция [а, 6] |. В интегрируема по Риману
то она интегрируема в смысле Дарбу на этом
1— У НЫ
По
х,|
условия
неравенство
Sp (f) — Sp (A) < 2.
=e.
| / — Sp (f)| < 2.
B
cuay
Tosto-
произвольности
в > 0 получаем Г = Г, что означает интегрируемость функции |
в смысле Дарбу. №
Теорема 3. Если функция [а, 6] 1. В интегрируема по Дарбу,
то она суммируема.
<q Обозначим через / интеграл Дарбу функции [. Поскольку [ =
352
= ШЁ5р (Р, то существует такая последовательность (Sp
(/)), 4To
P
|! —Sp,
Аналогично
VneN.
3 (5» (A): [71 —5»
@ | < =
(6)
УпЕМ№.
Обозначим
через [, и [, такие функции Дарбу, что
5 =
|} Ра»,
[a,b]
Поскольку f, (x)< f(x)< i, (x)
$„ф= 4 fn (x) dx.
У(пЕ
, x р la, bl) и
| G.)—h(max = Y Ge, 0S, (<
neN [а,5]
neN
<У-<+»,
пЕМ
то по теореме 3, п. 3.2, для почти всех х Е [а, 6] последовательность
чисел (f, (x) — №, (х)) суммируема и поэтому сходится к нулю. Из
неравенства
f(x)
— fa)
|< fa)
—
fa)
V(n€Nn,
x€ la,
5)
(7)
cnenyeT, 4To f,, —- |. Поэтому функция } измерима. Кроме того,
она ограничена. Согласно теореме 4, п. 4.1, функция } суммируема
на сегменте [а, 6]. >
Поскольку в неравенстве (7) }, можно заменить на fn» TO fr sari
Следовательно, если функция { интегрируема на [а, 6] в смысле
Дарбу, то существуют последовательности ступенчатых функций
(|.), ({.), обладающие свойствами
Г. (<<)
Ухе, И,
В
ВР
Из этого факта следует непрерывность функции | почти всюду.
Можно также доказать, что каждая ограниченная непрерывная
почти всюду на сегменте [а, 6] функция { интегрируема
по Риману.
В силу теоремы 2 из сказанного следует равносильность требований интегрируемости функции по Риману и в смысле Дарбу. Пример функции Дирихле — характеристической функции множества
рациональных чисел на сегменте [0, |] — показывает, что требование суммируемости функции значительно слабее требования интегрируемости по Риману, а значит, и по Дарбу.
7.3. Сравнение интегрируемости функции по Ньютону — Лейбницу с ее суммируемостью.
Теорема. Если функция [а, 6] -.R ограничена и интегрируема
в смысле Ньютона — Лейбница, то она суммируема на [а, Ы.
12
337
.353
{
Пусть
Р — первообразная
Ел (х)
функции
n (F(x + =r) ~F)),
—
ecIH
0
При
каждом
разрыва
<
эр
1 ]а.6[
значении
и поэтому
Лебега,
x€ |2,
измерима.
УпЕё №
°—=|
в остальных
п 6 № функция
|1 (0 | (6 — а)
}{. Полагаем
случаях.
ЁР„ имеет не более двух точек
По теореме Лагранжа
V(nEN,
,
x€la,
6]).
Согласно
| ЕЁ, (х) | <
теореме
имеем
lim
noo
Следующие
|
F(x) dx =
[a,b]
интегралы
от
|
a,b]
lim F,(x)dx=
|
M—> CO
непрерывных
[a,b]
функций
f (x) dx.
можно
менно считать интегралами в смысле Ньютона — Лейбница:
J | Pear —=
1
b— —
=f
\
(
om
n(P(x+ J)
+}
Е(х+
=) ах —п
F (x) dx
одновре-
—
1
b——
|
F (x) dx.
Заменив в интеграле Ньютона — Лейбница переменную по формуле
t=x-+
—, получим равенство
b
Е, (х)ах =п
[а,6]
F(t)dt—n
|
ay
—п
|
b
о среднем
n
Е (х) ах =
a
F (t)dt —n
11
п
По теореме
|
b———1
ate
|
Е (1 dt.
а
для
интеграла
Ньютона — Лейбница
(ет, 8, БЕ а+--|): | Ро
Е —
[a,b]
Следовательно,
— F (En).
’
| годах = т
[a,b]
И)
| F,(x)dx = lim (FE) —F &) =
[a,b]
= (6)
— Е (а).
Можно привести
ведлива в случаях,
354
п->оо
№
примеры, показывающие, что теорема неспракогда функция | не ограничена, или сегмент
[а, 5] бесконечный.
со
Дирихле
|
0
sinx
x
Одним
из таких
4х, существующий
примеров
в смысле
служит
интеграл
Ньютона — Лейб-
ница и не существующий в смысле Лебега. В общем случае интегри:
руемость по Ньютону — Лейбницу и по Лебегу не сравнимы между собой.
Упражнения
1. Составить интегральные суммы Лебега для функций:
а) хн> зп х, хе [0, лм}; б) хн> x?, x E€[0, 1];
B) xpr>e*,x€l0,
шее значение функции,
1]; г) хнь> зп х, хе [-1,
М — ее
1], считая, что т — наимень-
наибольшее значение,
п == 4, а сегменты [у,_,
у]
(= 1, 4) имеют одинаковые длины. Сравнить эти интегральные суммы с
значениями соответствующих интегралов.
2. Провести формальные доказательства утверждений, высказанных после
доказательства
теоремы
3, п, 7.2.
$ 8. Ячейки на прямой и представление
суммируемой функции посредством
характеристических функций ячеек
Полуинтервал
вида [а, В
будем
прямой В. Каждую из них
конечного числа попарно не
малой длиной. Точно таким
валы вида ]а, 6], которые мы
Теорема 1 (о разложении
=1, м.
xu
Az
называть
ячейкой
на числовой
можно получить путем объединения
пересекающихся ячеек с как угодно
же свойством обладают и полуинтертакже могли бы назвать ячейками.
ячеек). Пусть даны ячейки А, (| =
Тогда существуют такие попарно не пересекающиеся ячей-
(Е =1, п),
=UREA, As.
что
У]=1
т
ЗА,
=
{1,
2,
...,
п}!
А, =
Рассмотрим конечное множество, элементами которого являются все концы ячеек А, (/ =1, м), и занумеруем их в порядке возрастания. Получим точки х < х! < х, < ... < х.. Полагаем Ay =
=I[x1,
x1
(Rk = 1,п).
Действительно, У ] =1,т
Докажем,
что
ячейки
ДА» — искомые,
3 (jy, fo) 1 А, = [х,, x, =
Al.
>
—/1
Определение. Отображение } 1! В -» В называется функцией
класса
[4, если существуют последовательности неотрицательных чисел (^„) и ячеек (А„) такие, что
—
f(x) = Xi Anka,(2) WXER.
ция
12°
(1)
Teopema 2. ITycmp f € Lh u выполнено равенство (1). Тогда функ| неотрицательная, измеримая и
355
«
Каждая
С,
ячейка
поскольку
функция
[а, В
|а,
o| =
| измеримая
со
является
п | а—
измеримым
1
—,
п=1
и выполнено
5.
множеством
Согласно
равенство
Назовем ячейкой на плоскости В? декартово
на прямой В. Тогда подграфик функции [Е Lo
типа
теореме. Леви,
(2).
>
произведение ячеек
получается объеди-
нением счетного числа попарно не пересекающихся ячеек, а интеграл / (р) совпадает с суммой их площадей.
Следующие утверждения показывают, что теорию интеграла
Лебега можно построить, заменив в предыдущих рассуждениях
класс [0 на Lo.
Теорема 3 (об определении нуль-множества посредством функций класса [). Для каждого нуль-множества 2 существует такая
функция [6 [4, что 1 (р < +0 и | (х) = +0
Теорема 4 (о представлении суммируемой
УхЕ2Р.
функции
посредством
функций класса [4). Если [С Г, то существуют такие функции
Ни
с конечными интегралами, что Г == hi — Л.
Справедливость теорем 3 u 4 следует из двух легко проверяемых фактов: |1) каждая неотрицательная непрерывная финитная
функция [ принадлежит классу [; 2) [4 < [6. >
Из
теоремы
4
получаем
следующий
полезный
используем в теории рядов Фурье.
Теорема 5 (о представлении суммируемой
функции
характеристических функций ячеек). Если [С Г,
такие числа № Е В и ячейки А,
УпЕ\, что
[=
у,
пЕМ
Anka, A
у
пЕМ
12
факт,
ПА, |<
то
который
посредством
существуют
+ со.
{ Согласно теореме 4, существуют такие функции |, [, из класса
[0 с конечными интегралами, что = р — |». По определению
fi(x) = У МХи (x) УхЕК(=Ь
nen
n
= VAP | АЯ |. Полагаем УпЕ №
ПЕМ
1
a
Тогда
2).
Ay, ecru n = 2k,
—A?
==
У
ecm
мА,
n=2k—1,
Р-Р)
neNn
$ 9. Теоремы
Егорова
~ a
=
У
neN
По теореме 2
1(}) =
Af,
ecan n = 2k,
АЯ,
если
|414,
| <
п=
9 — |.
+ ®.
№
и Лузина
Следующее утверждение принадлежит основателю русской школы
теории функций Д. Ф. Егорову (1869— 1931).
Теорема 1 (Егорова). Если последовательность конечных измеримых функций (|) сходится почти всюду на множестве Х конеч356.
ной меры и е > 0, то существует
меньшей
&,
что
на
множестве
сходится равномерно.
< Пусть [| —
|. Согласно
такое множество Хз < Х меры
X \
лемме
Х:
последовательность
2 из п. 65.1,
[шо (1% —/1>-=-)|=0
где
УтЕ№,
X (Ufa —F> Gr) = (HEX MN fn) — FOS se} = Xn.
По формуле (9) того же пункта
имеем
Tim
Х (т) = ПЦ Х» (т).
Воспользуемся
свойством
lim}
Пусть
что
г > 0. Из
непрерывности
U X,(m)|=0
пос
Е №,
(|,)
(2)
меры.
Получим
УмЕМ.
k=n
равенства
(1)
Уте\
оо
(2)
определим
такое
г
nto
X, (m)
пи С
,
< >".
(3)
Полагаем
Х=0
Очевидно,
0 Х, (т).
m=l
k=n,,
о
Х, (т)
(4)
что
1х. |< У
k=
тЕМ
т
<i
=e
тем
Убедимся в том, что последовательность функций ({,) сходится
равномерно к { на множестве Х \ Х.. Сохраним обозначения }
и [м для сужений этих функций на множество Х \ Х.. Фиксируем те № и оценим равномерную норму разности [, —{ при
п > п». Пусть ХЕХ \Х..
Тогда
x€ X Л х@Х..
Поэтому
хе 0
Х, (т)
<—
Vk>>n,.
[№ — | = 0(1),
рова.
№
и хех, (т)
Таким
что
УЕ> и,
образом,
равносильно
т.
е.
[he (XY) —P(X)|<
<
утверждению
УЕ > ть,
теоремы
Его-
Следующая теорема принадлежит
ученику
Д. Ф. Егорова
Н. Н. Лузину (1883—1950), внесшему большой вклад в развитие
математики в СССР, создавшему замечательную школу математиков, усилиями которых получены важные научные результаты
357
в топологии, теории множеств, теории вероятностей, теории функций комплексного переменного, теории функций действительного
переменного, механике и т. д.
Теорема $ (Лузина). Пусть конечная почти всюду функция |
измерима на множестве Х конечной положительной меры. Тогда
У = > 0 существует множество Х, такое, что | Х. | < в и сужеHue fly х, Является непрерывной функцией.
Согласно теореме Фреше, существует такая последовательность
(|) непрерывных финитных функций, что р}, —- Г. По теореме Eroрова можно указать такое множество Х., меры меньшей в, что
а [хх Е > Г
х.:2 Осталось воспользоваться теоремой о непрерывности равномерного предела последовательности функций. }№
$ 10. Интеграл Лебега функции
многих переменных.
Теоремы Фубини и Тонелли
10.1. Интеграл Лебега функции многих переменных. Укажем на те
необходимые изменения, которые следует внести в п. 1.3 и далее
с тем, чтобы одномерную теорию интеграла Лебега превратить в
многомерную.
В определении класса функций [4 (см. 5 8) важную роль играло
понятие ячейки и ее меры. Многомерная ячейка В в пространстве
№” представляет собой прямое (декартово) произведение одномерных ячеек:
В = [а, 6х...
Хх
[4» 6.
(1)
Более точно она называется р-мерной ячейкой. За ве меру принимается произведение мер одномерных ячеек, т.е.
|B| =(b, —a,) «++ (6, —a,) = П (®,—
а).
Мера
р-мерной
важных
ячейки
понятий,
как
является
длина
j=l
естественным
(р =
1),
площадь
(2)
обобщением
(р =
2),
таких
объем
(p = 38).
В определении класса [, основную роль играло понятие неотрицательной непрерывной финитной функции
и ее интеграла.
Функция В” Jt. ВК называется финитной, если существует р-мерная ячейка, вне которой все ее значения равны нулю. Интеграл от
неотрицательной
определить
по
n=
непрерывной
индукции
финитной
с помощью
В? —-
Лебега
§ (Fy se Xp) diy dey... dpa
Re—! \R
Определения классов Ё» (В”)} 4 Lo (IR’)
ний формулируются
358
функции
интеграла
в точности так же,
В можно
формулой
(3)
после указанных измене-
как и в случае р = 1.
Нуль-множества в пространстве В? определяются с помощью функций класса [+ (ВР) или [45 (ВР). Они совпадают с множествами меры нуль по Лебегу в В’. По-прежнему некоторое свойство справедливо почти всюду в В”, если все те точки, в которых оно не
выполняется, образуют нуль-множество. Суммируемая функция
р переменных равна почти всюду разности двух функций из класса
[+ (В?) с конечными интегралами, или такой же разности функций
из
класса
[4 (В?).
Без
изменений
сохраняются
определение
изме:
римой функции и доказательства теорем, изложенных в предыдущих параграфах для функции одной переменной (кроме $ 7).
10.2. Теорема Фубини — Тонелли для функций класса Г. В многомерном случае возникают новые вопросы, связанные с равенством кратных и повторных интегралов. Эти равенства называются
формулами Фубини или Фубини — Тонелли, в честь математиков,
доказавших их в максимальной общности.
Если
— функция многих переменных, то ее можно считать
зависящей от одного или двух векторных аргументов. Поэтому
изучение формул
Фубини
достаточно
провести для случая
функции
двух векторных переменных. Это предоставляет возможность читателю при первом чтении считать функцию {, зависящей от двух
скалярных переменных, и использовать геометрическую интуицию,
связанную с понятиями графика, длин, площадей и объемов.
Теорема 1 (Фубини
— Тонелли для функций из класса [4).
Пусть
В’ = В? х В,
[Е 1 (В?).
Тогда Уи Ее В”
функция
IR” пи,
В
принадлежит
классу
[5 (В),
= Г (Пи) Уи Е В”,
принадлежит
справедлива формула Фубини
Г ($)
записываемая
часто
в виде
а функция
классу
—
[4 (В?:).
ф, где ф (и) =
При
этом
I(f),
(1)
равенства
\ du | fu, v)do= § f(a) ae.
IR?
<
IRP2
[Го определению
ности
—
1
класса
неотрицательных
(2)
IRP
“
[5 (В”) найдутся
чисел
(^„)
такие последователь-
и р-мерных
ячеек
(В„),
F(x)= Y Age, (2) УзЕВ”.
(3)
ПЕМ
Так
В”(2)
как
В? = В?' х В,
Wne€N,
so
Следовательно,
|
существуют такие ячейки В® и
B, = By xX Br2 uw Xe, — Хью xX Xa WneN.
У ие К”
(5)
что
—
Xs
то
из равенства
(AnX и
(и)) в
(3) получаем
(5)
Ус
Е В”,
n
(4)
359
что
означает
принадлежность
определению
интеграла
в этом
функции
классе
и
классу
функций
9) = (hig) = 3s Onl Br |X)
имеем
[5 (В?).
По
VuER™, = (5)
что означает принадлежность функции ф классу [2 | (В?'). По определению интеграла получаем
Г(ф) = У 18" || Br | = У ba | Bal = 1 (A) >
В случае функции двух скалярных переменных доказанная
теорема допускает простое геометрическое истолкование. Подграфик функции
/ в пространстве
объем
тела,
В3
представляет собой тело, состав-
ленное из конечного или счетного числа ячеек. Интеграл
этого
совпадающий
с
суммой
объемов
Г (Р) есть
ячеек.
Если
функции
йи.
фиксировано значение первой переменной на оси Ош и через соответствующую точку проведена плоскость, параллельная второй и
третьей координатным осям, то ее пересечение с телом есть плоская фигура, составленная из конечного (в частности пустого) или
счетного множества двумерных ячеек. Проекция этой фигуры на
координатную
плоскость
является
подграфиком
В силу сказанного, функция }„ принадлежит классу [, а интеграл от нее есть площадь подграфика, совпадающая с площадью сечения тела плоскостью. Таким образом, формула Фубини выражает
объем тела через интеграл от площадей его сечения. В простейших
случаях
Левую
подобные
часть
формулы
равенства
были
известны
(2) обозначим
ly (ly (7 (u,
v))) =
очень
через
давно.
ly (/y (f)).
(6)
Теорема 2. Пусть выполнено’ условие теоремы 1. Тогда Vue
с В”: hoy € Lo (R"), а функция оны 1 (о) принадлежит классу
[4 (В*)
4
и справедлива формула Фиубини
КР =15 (109).
Справедливость
утверждения
и ио меняются
ролями.
$
Напомним,
множество
следует
(7)
из теоремы
1, в которой
10.3. Сечения нуль-множества. Пусть 2 < ВРи В? = В
что
7, (и) = {26 В” | (и,
называется
Меры
первым
сечением
в пространствах
Ви
9)ЕЁ}
множества
В”
имеют
Хх
2
В".
(1)
посредством
различный
смысл.
иЕ
В".
Поэтому
совсем не очевидно следующее важное утверждение.
Теорема 1 (о сечениях нуль-множества). Густь 2 — нуль-множество в пространстве В’ = В* х В.
Тогда для почти всех
ис В”
сечения 21 (и) являются
нуль-множествами
простран-
ства IR”.
360
<q По свойству нуль-множества найдется
такая
функция
[Е
Е [0 (В?), что
Г)< +0 Л { (<) = + ®
УхеЕЙ.
Согласно
теореме 1 предыдущего пункта, [и Е Lo (R”). To формуле Фубини
имеем /, (1, (р) = Г (р < + о. Следовательно, почти для всех
и С В” функция
и „= / (Пи)
сируем одно из них.
Аи Е 1 (В”°).
Кроме
Тогда
того,
ЕД, (и). Следовательно,
принимает
конечные
значения.
/ (Г„) < - со. По теореме
Ни (в) =
(и,
1, п. 10.2,
= +
2. (и) — нуль-множество.
Зафик-
УьЕ
p>
Доказанная теорема в случае р, = р. = | на первый взгляд
кажется очевидной. Действительно, нуль-множество 2 <- В? имеет площадь, равную нулю, а мера множества 2, (и) есть длина
его сечения. Площадь множества 2 должна быть равной интегралу
от меры сечения 2, (и), в силу чего почти все они должны быть
нуль-множествами. Эти рассуждения не имеют доказательной си-
лы,
поскольку
в них
неявно
применяется
общая
которую докажем в следующем пункте.
Теорема 2. Пусть выполнено условие теоремы
всех о © В”
сечения 7.(2)
ва В.
<
и
ибо
Справедливость
утверждения
о которой
Теорема
Тогда
для
Тонелли.
выше.
и Е В"
функция
всех
[и
пространст-
1, в которой
общую
В,
теорему
ТЕГ (В?).
суммируема
суммируема
в
По определению
(ФЕ
10 (В°),
Согласно
°
=
Ty (le (f)).
суммируемой
(1)
функции
}
фЕ(В”))
: тах {1 ($), /($)} < + ® ЛР — Ф-4.
определению
интеграла
и += /[ (Фи),
ин
1
Лебега
и
формуле
Фубини
функций из класса [5 (В›) (см. п. 10.2), справедливы равенства
Функции
и имеют
конечные
есть суммируемая
часть
равенства
согласно определению
почти
/ (ф,и) принадлежат
интегралы
ность
При
про-
в пространстве
и справедлива формула Фубини
I (f)
q
В’ = В" х
и нь | (Ли)
функция
IR”,
Пусть
из теоремы
Докажем
упоминалось
(Фубини).
почти
странстве
К”
1
следует
Фубини,
1. Тогда для почти
являются нуль-множествами
|
меняются ролями. }№
10.4. Теоремы
Фубини и
Фубини,
теорема
/ ($),
в пространстве
классу
По определению
В”
функция.
При
интеграла Лебега в пространстве В”,
(2) совпадает
всех
/ ($).
иЕ В”
с интегралом
разность
для
Lo (IR)
их
раз-
этом,
правая
/\(/ (Фи) — Г (Ф, и)).
/ (Фи) — 1 (Ф!и) является
361
конечной. По теореме
классу
Lo (IR").
1, п.
Tlostomy
10.2, функции
Pur
В
формула
Осталось
заметить,
п. 10.3) для
почти
—
(фи)
=
/ (P1,u
—
ие В”
Pu — Yiu
и справедлива
1, м).
что по теореме о сечении
всех
принадлежат
mpv nouTH Bcex и разность
является суммируемой функцией в пространстве
1 (Фи)
Py
разность
(3)
нуль-множества
Фи — Фи == Пи.
(см.
№
Теорема 2 (Фубини). Пусть выполнено условие теоремы 1. Тогда
для почти всех в Е В?* функция
се СУммируема в пространстве
В”,
функция
ведлива
о нь I (7, v)
формула
Фиубини
суммируема
в
пространстве
IR”
u cnpa-
(р = 1 (11 (7).
<q Справедливость
ии
о меняются
утверждения
ролями.
}№
следует
(4)
из теоремы
1, в которой
Следующая теорема часто применяется в приложениях. Она
дополняет утверждения о равенстве интегралов, доказанных в
гл. 7.
Теорема 9 (о равенстве повторных интегралов). Пусть выполнено условие теоремы 1. Тогда справедливо равенство повторных
интегралов
Tu (Jo (Р)) = Fo (Lu (A).
(5)
4 Справедливость утверждения следует из теорем 1, 2, поскольку
обе части формулы (5) равны /(}. №
Теорема 4 (Тонелли). Пусть В? = В? х В?,
рима
в пространстве
функция
hu
В?
измерима
и [> 0.
Тогда
П.В
в пространстве
для
В?
функция
почти
[ изме-
всех
и Ни > 0,
П.В
и 6 В!
функция
и => Г (Ки) измерима в пространстве В” и неотрицательна почти
всюду. Кроме того, справедлива формула Фубини
Г(Р) = 1 (1. (7).
По
определению
неотрицательной
вуют такие неотрицательные
измеримой
суммируемые
П.В nen
По
теореме
о сечениях
|
0
функции,
функции
[,, что
сущест-
nen
нуль-множества
П.В
(6)
И
bia
=
У
П.В ПМ
для
dia
почти
всех
и Е В"
(8)
По теореме Фубини для всех п Е № и всех значений и, за исключением нуль-множеств 2„, функции ({,), „ суммируемы и неотрица362
тельны
множеств
почти
функция
всюду.
По
для
всех
[и
измерима
теореме
о счетном
и, за исключением
и
объединении
нуль-множества
неотрицательна
почти
нуль-
Z =
всюду.
зуемся теоремой Леви для сумм неотрицательных
функций и проинтегрируем равенство (8). Получим
[J Zp,
neN
Восполь-
измеримых
Ги) = У 14).
(9)
П.В ПЕМ
По теореме Фубини функции и „= / ((},),„) суммируемы и неотрицательны почти всюду. Поэтому функция и +=» / (jf, ,,) измерима и
неотрицательна почти всюду. Согласно теоремам Леви и Фубини,
имеем
laQl (fia) =
Теорема
У,
la (l (hn), 0)
neN
5 (Тонелли).
Пусть
=
У.
I (f,) =1(Р.
neN
выполнены
условия
№
теоремы
4.
Тогда для почти всех в Е В” функция [.о измерима в пространстве
В"
и,
> 0, функция
П.В
о >
Г(Ьь)
и неотрицательна
Фубини
почти
<q
утверждения
Справедливость
иио
меняются
всюду.
измерима в пространстве
Кроме
того, справедлива формула
(А =иЬ (1 (9).
ролями.
Георема 6. Пусть
следует
}
выполнены
la(le(f))
(10)
из теоремы
условия теоремы
=
В”
4, в которой
4. Тогда
lo(ly (/)).
{
Утверждение следует из теорем 4 и 5. PD
10.5. Формула Фубини для интеграла по множеству.
Теорема (Фубини — Тонелли).
Пусть
Х < В° = В х В”,
функция | суммируема или неотрицательна и измерима. Тогда
| (г) аж = | аш
| tdv = | do | [4и,
x
X
Xia
Х,
Ху
где
Х!,
Х. — проекции
ния.
4 Поскольку
| Хх, (и) 4и
IR?
=
ах
\ F(x)
Поменяв
Х,
Хх (и, 0) = хх (и) Х хи
х
=
множества
| fu,
IRP
(2)
(лаз
У (и,
получим
| ди
Х!
(4 (| Киба.
Xe
ВЕ
v) Xx, (U) Xx yu) (v) dudv
IR?2
Х
Х, (и) и Х. (5) — его
| (и, ©) Хх, (6) ао =
и и о ролями,
X;(0)
(1)
|
X (a)
В”,
сече-
то
=
(и, v) dv.
в
363
$ 11. Плотность отображения.
Замена переменных в интеграле
11.1.
Пусть
Теорема о замене переменной
фиксировано
ф : В? —
множество
для отображения
Т < В? (р>1)
с плотностью.
и
отображение
В?.
Определение. Неотрицательная функция Ло называется пло тностью
отображенияф на множестве Т, если для лю-
бой ячейки В пространства В? справедливо равенство
Ф()П8|=
Пересечение
множества
|
104.
ТПФ-КВ)
с произвольной
ячейкой
(1)
называется
его
порцией, поэтому равенство (1) представляет собой формулу для
вычисления меры произвольной порции множества ф (Т) посредством интеграла от плотности отображения, взятому по ее прообразу. Из определения следует измеримость множества ф (Т) и измеримость функции Уз на множестве Т [| ф-! (В) для любой ячейки
В. Само множество Т не предполагается измеримым.
Теорема 1 (о замене переменной для отображения с плотностью).
Пусть
Г,
отображение
равную
ЧУ.
Тогда
ф : В? -—> В?
справедлива
имеет
плотность
формула
на множестве
замены
переменной
| f(xydx=\ Fo) JoOdt,
Q(T)
(2)
T
если функция | суммируема, или неотрицательна и измерима на
множестве ф (Т).
4 Возьмем сначала произвольную ячейку В и убедимся в справедливости формулы (2) для ее характеристической функции Xz.
Если | = Ув, то
| f@de=
=
Ф(Г)
{|
TNs)
(вах =
p(T)
ло@=|
1
т
ФФ
(| ах=|9(Т) ПВ =
ФГУПВ
фа= | оффе.
Г
Пусть #6 [о (В?). Согласно определению класса
такие неотрицательные числа Л, и ячейки В,
f(x) = © ^„Хв, (х)
1
[ (®”),
УпЕ\№,
(3)
»
найдутся
что
УхЕВ?.
Из теоремы Леви для суммы измеримых функций
для характеристической функции ячейки имеем
(4)
и формулы
[ лок №Ум — ФТ)[ жа, (дах = пЕМSdn |T %5, (9D) Jo (at =
Ф(Г)
=} Ул, (© 0)
тп
364
а = | (9 (0)
94
(2)
(5)
Следовательно, формула (2) справедлива для любой функции [Е
Е [3 (ВР). Сделаем важное для дальнейшего замечание о нульмножествах. Пусть & < В? — нуль-множество. Тогда множество
=
ЕТ] Ф (/ЕРЛ Ло (1 = 0} также является нуль-множеством. Действительно, по свойству нуль-множества существует такая
функция [Е [0 (В^) с конечным интегралом, uto f (x) = + 00
УхЕЛ. Согласно формуле (2), имеем
\F@@MJoOat= Ф(Т)| Гоах<+ о.
(6)
T
Так как [(ф (1) о (1) = +0
WtE Tz, To Tz — HyAb-mMHOmeство. Отметим, что в частном случае, когда плотность отображения
не обращается в нуль, Гх есть прообраз нуль-множества. Доказано, что в этом случае прообраз нуль-множества является нуль-множеством.
есть
В общем
случае
нуль-множество.
прообраза
прообраз
Поэтому
нуль-множества
для
нуль-множества
построения
выброшены
не обязательно
множества
точки
с
нулевой
Т2
из
плот-
НОСТЬЮ.
|
Докажем справедливость формулы (2) для любой суммируемой
функции {. Пусть | = f, —fe, rae f, € Lo (IR°), f, € Lo (IR) u функции |1, [› имеют конечные интегралы. Тогда
\ f(x) dx =
Q(T)
| fy (x) dx —
Q(T)
замечание
(t) dt —
dt = | (4 O)— fel ©) Fe Oat
—{ fa@ 0) Fe
Применив
\ fp (x) dx = } 104%
Q(T)
о
нуль-множествах,
получим
| Г(х) ах = | Г(Ф (1) Ло (© 4,
Q(T)
т.е.
формулу (2).
Докажем справедливость формулы (2) для неотрицательной измеримой функции f. Поскольку существует такая последовательность (7,) суммируемых неотрицательных функций, что = > р,
п
то по теореме Леви и формуле (2) для суммируемой функции имеем
| ах=у
ФСТ)
| Роа= У]
пЕМ ФТ)
(oO) Je (t) dt=
=| Sho) Jo@at.
T
NEN
Применив замечание о нуль-множествах, получим формулу (2). №
Теорема 2. Если формула (2) справедлива для любой неотрица-
тельной
имеет
непрерывной
на множестве
финитной
функции
Т плотность,
равную
|
то
Jo.
отображение
@
365
Повторив дословно доказательство теоремы | с заменой в ней
класса [4 на класс [,, получим, что формула (2) справедлива
для любой неотрицательной измеримой функции {. Осталось заметить, что равенство (1) является следствием формулы (2) для
характеристической функции ячейки В.
Поскольку интеграл от непрерывной
№
неотрицательной
финит-
ной функции
можно
понимать в смысле
Римана
или Ньютона — Лейбница, то из теоремы 2 следует, что всякое правило
замены переменной в указанных интегралах сохраняет силу и для
интеграла Лебега.
11.2.
Свойства
Для
любой
плотности
отображения.
Из
теоремы
1, п.
11.1,
получим следующее утверждение о локальном свойстве плотности
отображения.
Теорема 1. Пусть /о — плотность отображения ф на множестве Т. Если Т, = Т и множество ф (Т,) измеримо, то функция Ло
является плотностью отображения ф на множестве Ту.
\
ячейки
В
имеем
IRP
=\%urone(@W)Jodt=
Теорема
2. Пусть
ф на
o(T,)
wWneN
q
любой
Уп Е №
не
Т.П!
функция
множестве
nonapHo
Q(T)
|
т
отображения
| Хотопв (Х) ах =
| Xocryne (x) dx =
le (7) 1 Bl =
Т„.
ячейки
Т =
пересекаются,
В < В? имеем
1Ф(ГПВ|=[
=
Ц Ф(Т,) ПВ|=
|
neN
"EN 7 nome
Следующее
лой=
утверждение
Т.
|
Т =
|) Т„. Если функция
nen
жения ф на множестве
отображения
~
Полагаем
множества
= ф(Т,) \
измеримы.
366
Т,„
УпЕ
ф на множестве
Т, = Т,
~
(cm.
плотностью
и множества
функция
Лу
есть
доказанную
теорему
для
однозначное
на мно-
Ух является плотностью отобра-
№,
Т,=Т,\
@ (7,,) H3MepHMbI
п—|
~
Т.
neN
mo
Т,
Iga.»
взаимно однозначного отображения.
Теорема 3. Пусть отображение ф взаимно
жестве
|)
У |Ф(Т,) п В|=
neN
THe |B)
дополняет
Jg(dl. >
Ло является
Если
плотность отображения ф на множестве
Для
(В)
no.
то
она является плотностью
п 1
-
ПТ,
У\Уп>2.
Поскольку
k=!
11.1) un T= UJ Т., ф (Т.) =
пЕМ
~
О Ф(Т,)
Уп>2,
то
множества @(T,)
VnEN
k=l
Они попарно не пересекаются. Согласно теоремам | и
2, функция У]о является плотностью отображения ф на множестве Т. №
Теорема4 (о плотности композиции отображений). Пусть Л —
плотность отображения ф на множестве Т. Если ЧУу является
плотностью отображения ф на множестве ф (Т), то отображение
б = фоф имеет на множестве Т плотность У/,, равную
Je =Jy(9M)
Jo
{
Для любой
УТЕТ.
(7)
ячейки В в пространстве К” справедливы
QM) NBI=lv@TnBl=
{о
oT) Nw" (B)
Лах=
равенства
= J ktm (x) Jy (x) de.
Q(T
Применив
теорему
| Журць (9
о замене
переменных,
получим
=
Ilo) Jo
at.
04 = |
Q(T)
{
THeA"B
5,6 0) S(O) Jo (at =
Согласно определению плотности отображения, равенство (7) выполнено. №
11.3. Вычисление
плотности
одномерного
дифференцируемого
отображения.
Определение. Отображение ф : К — К называется локально
ограчиченным
на открытом множестве а < В, если оно
ограничено на любом компакте К <: (0.
Теорема
локально
Тогда
его
1. Пусть отображение
ограниченную
плотность
на
производную
ф взаимно
на
множестве
однозначное
открытом
Т существует
и имеет
множестве
и
равна
Т.
| Ф' |.
< Пусть сегмент [и., г›| с рациональными концами г, и г, целиком
содержится в множестве Т. Поскольку отображение
ф взаимно
однозначное и непрерывное на сегменте [л,, г], то оно строго монотонное на нем. Поэтому для любой ячейки В справедливо равенство
|
|p’ (t) | at =
(71,7 2] No!
Пересечение
{
[rere] No
(В
[и/, г.|] П Ф ' (В)
либо
(By
пусто,
gat}.
либо
(1)
ячейка
либо сегмент [<, В], где В = г.. В последних двух случаях
Lp (In, rel) N Bl =|
(8) — ф (<) |. Интеграл
в правой
равенства
(1)
можно
(см. п. 7.3). Поэтому
{
[г.г ПФ
понимать
в
смысле
[я,
В,
имеем
части
Ньютона
— Лейбница
В
КВ
|e’ @ldt= |} ©’ (0) 4 =| (6) — (а) | =
= |@ (In, fa]) N BI.
(2)
367
`
Крайние члены цепочки равенств (2) равны нулю, если [r,, г»›| [|
Пх
(В) = в. По определению из равенства (2) следует, что
плотность отображения ф на сегменте [и,, г,|] равна | ф’ |. Поскольку множество Т можно получить объединением счетного числа
указанных сегментов, то по теореме 3, п. 11.2, плотность отображения ф на множестве Т равна | $’ |. №
Теорема 2 (о замене переменной для дифференцируемого отображения). Густь отображение ф взаимно однозначное на открытом
множестве Т и имеет на нем локально ограниченную производную
ф<’. Тогда справедлива формула замены переменной
|
дах = | ФФ 04
Q(T)
(3)
всякий раз, как только функция | суммируема или неотрицательна
и
измерима
на
Согласно
п.
11.1,
11.4.
множестве
теореме
ф (Т).
|, равенство
(3) совпадает
в которой Уз = | Ф'’|. №
Облегченный вариант теоремы
с формулой
(2),
Сарда.
Определение.
Множество В = [9, В] xX... X 9, В, <
<= В” называется р-мерным
кубом
со
стороной
lL,
eau
Bp
—@,
Теорема.
as
=1>0
VR=
Пусть отображение
в кубе В. Если
2 [16|
ф = ($1, Ф», ..., Фр)
—0
непрерывно
У1=Т,Р,
(1)
то множество ф (2) имеет меру нуль.
® Пусть = > 0. Посредством плоскостей, параллельных координатным, разделим множество В на конечное число кубов Ви (т =
= |, п) с настолько малой стороной [, чтобы выполнялись неравенства
oe
всякий
раз,
как
только
дфь
(1
ae
Полагаем
(для тех т,
Gem =
Очевидно,
Ф (Ви
B
силу
чего
|<e (=Г,р)
{Е Вы
<M
при
и Ви
Вьт =
Ви
П (=
sup g(t)
{Вт
Пусть
(3)
в)
(R=1, p).
(4)
X [pms
(5)
что
П 2) = Ф(Ви) <
выполняется
[etm
Bim]
X
+++
Bom],
неравенство
LP (Bn 1 Z)|< Bim — м)...
‘368
в.
1—1л
V(tCB; k, j=1,
p).
которых
inf @,(t),
{В
[|] (=
(2)
(Врт — @рм).
(6)
По теореме Лагранжа (Е Ви,
| Pe (t) — Oe (#1 <<¥
1
—
<У
3
—
Фь (В,
ФЕ (Ну и.
...у ti,
1—6) Ф@,
где т, расположено между й и
ние, что | —#|<1
У/=
и (7), получаем оценки
[Вет — Свт| < ИМр
Следовательно,
Г Е Ви, Е = 1, р) имеем
(Е =
справедливы
бе.» Ly) —
cee y
15) [<
..., ть ..., Бр
(7)
# (| =Т, р). Принимая во внима|, р, а также неравенства (2), (3)
1
р—
1),
|Врт— @рт| < #1.
неравенства
(8)
(9)
(10)
e|B, |e,
= M?'p”
1@ (Bm 1 Z)|< (lp)’ M’'
1Ф (2) |< УФ (Ви П 2)|< М” ' р’ У | Ви|< М” "| В|в.
В силу произвольности выбора = >> 0 получаем,
11.5. Вычисление
отображения.
Теорема
ренцируемо
имеет
плотности
1. Если отображение
на
отличный
открытом
от
нуля
Т,
УЁё СТ,
взаимно
то
оно
жестве Т плотность, равную модулю якобиана.
Доказательство справедливости утверждения
вести для открытых множеств
={teT Se
Рассуждения
упрощая
ничем
обозначения,
Рассмотрим
— #01,
не
отличаются
друг
что
отображение
Ф !
диффе-
имеет
на
достаточно
от „друга.
OO
ote
2 O
RE —
VteT.
В?, определен-
Оно
® (,, te) = (41, G2 (4, 2)
Уф= (В, ЬЕТ.
непрерывно дифференцируемо, имеет якобиан, равный
a >= 0, и сохраняет первую
про-
Поэтому,
формулой
производной
и
мно-
Oh.
ное
ной
№
однозначное
т, = |(ЕТ a
предполагаем,
вспомогательное
(2) | = 0.
дифференцируемого
ф : В? — В? непрерывно
множестве
якобиан
что | ф
двумерного
координату
(1)
частвекто-
ра. Однако оно может не быть взаимно однозначным. В связис
этим назовем ячейку В < В* допустимой для отображения Ф,
если оно взаимно однозначное на множестве Тв = $ ЕТ|Ф (1 Е
ЕВ} и Ф (Тв) = В. В дальнейшем предполагаем, что все вершины
допустимой ячейки имеют рациональные координаты. Тогда их
будет не более чем счетное множество. Прообраз Тв = Ф`" (В)
допустимой ячейки В есть криволинейная трапеция (рис. 66). Ее
369
t+.
bk BZ
Рис.
pe
|
?
|_
0
7
\
|2
(Aj. tz)
66
nepBaa mpoekuna paBHa A,, roe A, X A, = B, a ceyenne nocpencTBoM
t, € A, paBHo (@,)1,z, (A,). PaccMoTpHM произвольную неотрицательную непрерывную финитную функцию }: В? — В.
По теореме
Фубини имеем
| Р(, х)ацах, = | ан (РЦ, хз) ах».
Ay
(2)
А.
Произведем замену переменной
х. = (Фолк (fe)
УБЕА..
\ f (ty, X2) лах» = | а
B
Ay
в интеграле { Йи, (х2) ах,
А,
Получим
\
(M2) 1 t, (Ae)
полагая
Fits (Pa)1.t, (ta) | (Pa)toty (te) | dtp =
@ (Ф
= /Фо) ав
|4,
(3)
TB
где ae
— якобиан
из равенств
отображения
(3) следует,
Ф. Согласно
что отображение
Ф
теореме
имеет
2, п. 11.1,
на множестве
Тв плотность, равную модулю
ero якобиана.
Обозначим
Хв =
= ф< (Тв) и заметим, что ячейка В является допустимой для отоб-
ражения Фо ф , непрерывно дифференцируемого, сохраняющего
вторую координату вектора, имеющего отличный от нуля якобиан.
Из этого факта получаем, что указанное отображение имеет на множестве Х в плотность, равную модулю его якобиана. Следовательно,
обратное
отображение,
которое
обозначим
через р =
(Фо gy
=
= @o@', umeer na MHoxecTBe B плотность, равную модулю его
якобиана. Принимая во внимание правило умножения якобианов
и теорему о плотности композиции отображений, получаем, что
плотность отображения ф = фоФ на множестве Тв существует
и равна модулю его якобиана. Из теоремы о неявной функции для
уравнения
х., — фо (1, &) = 0 относительно
Ь следует,
что объеди-
нение множеств Гв совпадает с множеством Т. Согласно теореме 3, п. 11.2, плотность отображения ф на множестве Т существует и равна модулю его якобиана. D>
370
и
Теорема 2. Если
отображение
ф : В? -> В? непрерывно
диффе-
ренцируемо на открытом множестве Т, взаимно однозначное и имеет
отличный от нуля якобиан У $ ЕТ, то справедлива формула замены переменной
\ f(e)ae = |409) Чоmar (a
(4)
Ф(Т)
всякий раз, как только функция | суммируема или неотрицательна
почти всюду и измерима.
{ Утверждение следует из теоремы | и правила замены переменной для отображения с плотностью (теорема 1, п. 11.1). №
Укажем источник нетривиальной идеи доказательства теоремы |. В следующем параграфе рассмотрим интегралы Эйлера (Ги В-функции) и докажем, что знаменитая формула Г (<) Г (В) =
= В (а, В) Г (&« +В) является частным случаем правила замены
переменных в двойном интеграле. Немецкий математик Л. Дирихле (1805—1859)
предложил
оригинальное доказательство указанной формулы, использующее лишь правило замены переменной в однократном интеграле. Этот метод Дирихле, примененный
локально, положен в основу предложенного выше доказательства
теоремы 1. Отметим, что применение теоремы Сарда позволяет отказаться от предположения о необращении якобиана в нуль.
11.6. Вычисление
отображения.
плотности
многомерного
дифференцируемого
Теорема 1 (о плотности многомерного дифференцируемого отображения). Если отображение ф = ($1, Фо, ..., Ф›) взаимно одно-
значное
Т,
{
и
непрерывно
дифференцируемо
то его плотность
Применим
равна
модулю
метод математической
на
открытом
якобиана.
индукции.
Для
р =
дение' доказано в теореме 1, п. 11.3. Предположим,
справедлива для | < ЕЁ < р — 1. Полагаем
Tel —
При
каждом
нем плотность
Проведем
] =
[16 T
te)
(t)
1, р множество
=
о]
Т””
множестве
1 утверж-
что теорема
(= Гр).
открытое.
(1)
Докажем,
что на
@ (фт,
...,
отображения ф равна модулю якобиана а:
рассуждения
для
возьмем точку & © Т’и пусть
случая
| = р.
Обозначим
Фр)
р
Т” = Т”?
(2)
®p (to) = Xp»
К уравнению относительно &,
— Фр (&,
1,
(3)
..., №) =0
применим теорему о неявной функции (см. п. 8.1, гл. 7). Согласно
ее утверждению, найдутся такие открытые ячейки В и Д,, содер-
жащие точки (#0,..., fo2, хо) и №, что для каждой точки (Ё, ...
....
byt,
Xp) EB
существует
единственная
точка
& =$
(В, ..
371
.... р,
Хр) Е А„,
Xp
=
Выберем такую
обозначим
в которой
Pp
(4,
выполняется
eee y
(р —
1—1,
1)-мерную
$ (11,
равенство
eee
g
ячейку
1—1,
D,
Хр)).
uwto
(4)
B
=D
X A,
u
в = {6771
(EA A (hy wees ti) €D}.
Определим отображение
+=,
Т+, —> В формулой
..., Бь (0)
VEETS.
Оно биективное и непрерывно дифференцируемое.
ражение 1 ' определяется формулой
= (1,
cee yg
P(t ees boots %) =
tpi,
S(t,,
eee y
tpt;
Xp))
V (tis
ое
у
(5)
(6)
Обратное
tot,
отоб-
хо) Е В.
(7)
“
—1 непрерывно дифПо теореме о неявной функции отображение ф
ференцируемо. Полагаем й = фоф". Отображение hk взаимно
однозначное, непрерывно дифференцируемо и сохраняет последнюю координату, т. е.
h(t,
...5
рф,
Xp) =
(9, (4,
..- 5 Cp,
S(4,
0
y Boot,
Xp))y
sees
Xp).
(8)
Вычислим плотность отображения й, применяя теорему Тонелли
(см. п. 10.4) и принимая во внимание предположение индукции.
Возьмем произвольную неотрицательную непрерывную финитную
функцию
[: В’ -> В
и запишем
| flwydw=\dxy
hiB)
A
где сечение
ражении
В (В)(х›)
(i,,
tp—1) +>
ео)
...›
hx
Фр—
равенство
| f(y, ..., xdxdxy ..., dx,
(9)
(Вх)
является
образом
множества
Р при
отоб-
p
(Q, (4,
(|,
cee
cory
2—1,
2—1,
$ (Е,
y
S(t,
...у
coe y
to—t,
1—1,
Хр)),
eee
Хр))).
(10)
При каждом фиксированном значении х, Е А отображение he, B3aимно однозначно на множестве 0, непрерывно дифференцируемо
и имеет якобиан, равный якобиану отображения й. В силу предположения индукции и по теореме Тонелли имеем
| f(@) de =
h(B)
=
=
} dx, |
—
|
(В
(kh
(1,
(1,
ее у
coe ys
0—1,
tpt,
Xp))
... у, Пр)
@ (11,..-,
to) Xp)
Xp))
Diti,
D
Dity,
(hy,
see
woe,
4
Ap)
1,
Хр)
dt,
...
Ч—
_
dt, ..., dtp—1dXp.
(11)
372
Согласно теореме 2, п. 11.1, плотность отображения # на множестве
В равна модулю его якобиана. Аналогично доказывается, что
плотность отображения 4 на множестве Т# равна модулю якобиана, совпадающего с частной производной ОФр
Ot p . Так как Фф = йо
ea
Ha T?,, TO MIOTHOCTh
OTOOpaxKeHHA
ф
на множестве
Т*
равна
модулю его якобиана (см. теорему п. 8.1, гл. 7, и теорему 4, п. 11.2).
Множество Т” можно получить в результате счетного объединения
множеств вида Т+ (для этого достаточно считать рациональными
координаты вершин ячейки В). Поэтому, в силу взаимной однозначности отображения ф, его плотность на множестве 7” равна модулю
якобиана. Аналогичные рассуждения справедливы для множеств
T”' (j= 1, р-—1).
По теореме Сарда плотность отображения
ф на множестве 2 = Т\
р
|)
j=l
.
Т”/ равна
нулю и тем самым
совпа-
дает с модулем якобиана, поскольку на 2 последняя строка матрицы Якоби состоит из нулей. Таким образом, плотность отображения ф равна модулю якобиана на всем множестве Т. №
Теорема 2. Пусть ф : В’ — В” — взаимно
однозначное, непре-
рывно дифференцируемое отображение на
открытом
ве Т. Тогда справедлива формула замены переменной
| fade = T| Fem) |S
@ (1) | at
множест-
(12)
Ф(Т)
всякий раз, как только функция | суммируема или неотрицательна
почти всюду и измерима.
< Справедливость утверждения следует из теоремы | и правила
замены переменной для отображения с плотностью (теорема
|,
п.
11.1).
№
Упражнения
1. Пусть функция ф непрерывная и взаимно однозначная на сегменте [а, 6].
Доказать, что если она имеет непрерывную плотность, то существует производная ф.
2. Вычислить плотность отображения, осуществляющего перевод:
а) полярных координат в декартовы на ®?;
6) сферических координат в декартовы на №3;
в) цилиндрических координат в декартовы на 3,
3. Вычислить плотность отображения
ty = X4Xq,
fg =X
(1 — x)
(fy >O0,
Разобрать на этом примере доказательство теоремы
4. Вычислить
=|
где
к \
[фа
K = la = (x4, x, ¥) CIR?]
0).
Но | 41,
a9
x
fy >
1, п. 11.5.
a3
2
1
+
2
x3
4 Sh,
a,
373
5. Найти
среднее значение
функции }{: Юз -» Ю, где
Го=м+ю-+8
92=(ж, хь, дэ СК,
= {GEIR | xi + 5 4+43< 41+ +45}.
$ 12. Интегралы Эйлера. Свойства интегралов
Лебега, зависящих от параметра
12.1. Г-
и В-функции
Эйлера.
Полагаем.
def
Г (а) == \ e*x* "dx
Va>QO,
0
def (
В (©, =
x" (1 —
ах
(1)
V(a>0,
B>0).
(2)
Значения функиий. Ги В называются интегралами Эйлера (по
предложению французского математика А. Лежандра (1752 —1833)).
Теорема
1. Г (а) < + ®
\УаЕ]О, - ool.
4 Г (©) имеет смысл как интеграл от неотрицательной измеримой
функции.
Поскольку
Уяа>03Сь ЕВ;
ем
< С, Ух>
>
1,
то
I (a) =
1
со
1
+ оо
= | ex" ax + | ге “хх < | "dx
0
0
Teopema 2. Справедлива формула
Г(1-о) =аГ (а)
+ Cy \
i
4 7~<— +0.
Va>o.
D>
(3)
Интеграл (1) можно понимать в смысле Ньютона — Лейбница.
Воспользуемся
формулой
интегрирования
по частям. Получим
Г-Н
оо
“+00
о) = \ хе “dx = ex" N+
\ ax*e—“dx = aD’ (a). >
0
0
Формулу (3) называют основным функциональным уравнением для
Г-функции. Она позволяет сводить вычисление значений Г-функции
к вычислению Г (%) при 0 < а < 1. Для значений Г-функции на
интервале |0, || имеется таблица, подобная таблицам значений
тригонометрических
Поскольку
функций,
логарифмов
P(l+aj=nl
(pyae=
fre
(3) следует
VEN,
объясняющее важность Г-функции.
Формула Дирихле для п-интеграла
записывается в pune
374
и т. д.
Г (1) = |, то из формулы
(4)
с применением
x)?!
a
aN
равенство
dx.
Г-функции
(5)
Ее правая часть имеет смысл для любых действительных положительных значений п, что дает возможность определить й-интеграл
для указанных п (в том числе и дробных). Операцию дифференцирования произвольного положительного порядка можно определить,
считая ее обратной к операции интегрирования. Производные и
интегралы дробного порядка имеют приложения в современной
математике и используются при исследовании вопросов теории
функций.
Теорема 3. Для всех & > 0, В >> 0 справедливо равенство
Г
Г
B(a, B)= ee
q
Формула
(6)
равносильна
(6)
равенству
двойных
интегралов
1 {оо
| | (хе
Od dx, =
0
+}-00 -}-00
= |
0
| eget
dt,
0
(7)
справедливому в силу замены переменной
ap (x) = (их.,
и
х.(1—451)) =$
Ух = (м, х,) 610,
ИХ]0,
+
[= Х
равенства
ay
=X,
VrEeXx. p>
12.2. Интегралы Лебега, зависящие от параметра.
Теорема 1 (о непрерывности интеграла по параметру). Пусть
УачСА=<
К° функция Ба измерима на множестве Х < ВР, а
функция |, г при почти каждом значении х Е Х непрерывна в точке
0 Е А. Если существует такая функция ФЕ Г (Х), что для почти
всех 2 Е Х и У&аЕА выполняется неравенство | | (х, a) |< @g (a),
то функция
Е1В* — В, где
F(a) = | fala) de,
непрерывна в точке Ay.
q
Пусть
, — %
имеем
и а
Е А
УлтЕ\.
(1)
Согласно
теореме
Лебега,
Шо | (2, с.) 4® = (Ш [ (а, @,) de = | f(x, %) dr. >
п—>
со
Х
Х
пьсо
Теорема 2(о производной интеграла, зависящего от параметра).
Пусть
OF
частная производная! or A
значении
х ЕХ
и любом
(x, a
значении
9) существует
a €
при
ja, bl. Если
почти
каждом
существует
та-
кая суммируема на множестве Х функция ф, что | Of (x,
Зы a) | <ф (=)
для почти всех
Е Х и У«ае]а, bl, a функция ро суммируема
375
на X
УаЕе]а,
Ы,
то
<а |, 240 (a) de =i (2-2
de "
да
(2)
x
q [lyctb % Е Ja, 6[, a, € la, bff Vne€ Nu a,—> %.
По фермуле
Лагранжа 3 &, такие, что для почти всех х с Хи УпЕ№
| (5, аи)
— | (%, %%)
Qn
Применив
lim
теорему
\-=
ap)
n= 0o
—
Лебега,
—
— | Of (x, En)
| (т,
Oo)
dx
—
ны
Х
(
(x,
On)—f
noo
(F(a,
А ОРС, 40) By — I}
7 \
Ox
dx — lim
x
(x,
Qo)
dx=
An — Ag
An) dx
—
и —
x
——
9 (2).
получим
An — A
д}
<
да
QA,
\ [2,о. (2) ах.
{ F(a,
Q,)
x
dx
—
»
Х
1
Пример
1. Пусть
F(a) =
\ e*9—!l
dy
F
вать функцию |4, 6[ — К на непрерывность.
Поскольку У (хЕЮ,
IL, a@€ lay, bol)
€ L (0,
1), то выполнены
Пример
2. Пусть
условия
-Ноо
теоремы
O<
A <a<b<-+too.
|6!
| < х
Uccaeno-
= ф(х)
| и функция F непрерывная.
ифЕ
Ф (а) =
\ eld
O< Ay << a< by < too. Исследо|
вать функцию Ф на непрерывность.
Поскольку У (хЕП, +3, а Jao, bol) | e7*%x9——1 | <е * xo! — p(x) и
ФЕД (1, 5), то выполнены условия теоремы |1 и функция Ф непрерывная.
Из приведенных примеров следует полезное утверждение.
Теорема 3. Г- и В-функции являются непрерывными.
Непрерывность функции Г = Ё -- Ф следует из примеров |
И 2. Непрерывность функции
В получается из теоремы 3, п. 12.1. p>
° Пример 3. Исследовать на дифференцируемость функцию
Поскольку У (хЕ]0,
ПП, аб ]а, 8[) справедлива оценка
д
—х
(e*x
да.
9—1)
a | eI!
In x | < ex!
Ё из примера
1,
In x = @ (x)
ифФЕГ (0,
1), то выполнены условия теоремы 2 и функция Ё дифференцируема.
Пример 4. Исследовать на дифференцируемость функцию Ф из примера 2.
Поскольку У(х Е |1, -о3[, аЕ фа, 6[) справедлива оценка
lar
(e—*x9—!) | = fe!
Ine | em *eo | Inn
=
=
(x),
C=const,
u@ € L (1, --oo), To no Teopeme 2 функция Ф дифференцируема.
Из примеров 3 и 4 получаем дифференцируемость Г- и В-функций
376
Эйлера.
$
13.
Вторая теорема
о среднем
для интеграла Лебега.
Абсолютно непрерывные
функции
13.1. Вторая теорема о среднем. Следующее утверждение является
аналогом преобразования Абеля для сумм (см. п. 5.2, гл. 3). Она
применяется при рассмотрении тех же вопросов, в которых используется формула интегрирования по частям, но приводит к более
сильным результатам.
Теорема. Пусть [а, bt. В — монотонная функция, la, 9] —..
функция.
-8- В — суммируемая
р
la, 61:
b
Тогда 3 €
Е
(1)
\ F(x) g(x dx = F(a) | g(x) dx + FH | g(x) dx.
Пусть
формула
[ (6) =1
ция
Qi
ф (6) =
Е
a
a
(1) справедлива
для
Если / — монотонная функция
xX +
ire
также
1. Тогда, записывая
является
случая,
[ (а) = 0,
монотонной и ф (а)
для нее формулу
b
когда
и } (а) = | (6), то функ-
= 0,
(1), получим
b
(2)
\ @ (x) g(x) dx = \ g (x) dx.
Из
формулы
формулу
a
(2)
после
Е
тождественных
преобразований
(1). Если f(a) =f (6), to f(x) =f (@)
получим
VWxE€la, Ol и
формула (1) справедлива \У ЕЕ [а, 6]. Принимая во внимание теорему
Коши о промежуточных значениях непрерывной на сегменте функции, для доказательства формулы (2) достаточно установить Heравенства
b
m = int
Разобьем
b
} 8 (х)
сегмент
xX,
< | ф(х)& (Хх) ах
[0,
1] оси
кие
точки
(рис.
67). Тогда, в силу
сти функции ф У ХЕ
ведливы
<= oto
b
что
Оу
на
ф (%) = =
sup | g(x)dx=M.
п равных
9
монотонно-
k
неравенства — =ф (х)
kel
< п
Имеем
as
|
>
ni | p(x) g(x)dx.
=O xy
и возьмем та-
[х», Xe41], cpa-
|
| чда@фах=
=>»
частей
(4
Ol
|
waa
Puc. 67
(3)
LI.
| мии
Поскольку
Xp--1
XR
Хь-|-1
\ офафах= | $(х) &+ (ae— J 9 (x) g7 (x) dx <
Хе
bd
Xp
as
=>
°
b
g(x)dx+—
п—1
в
»
n—|
п
п
В полученном
лучим оценку
g™ (x) dx =
ны
| gt (x) dx,
"
— Lt gt (x) dx =
в (х) ах
(et (x) dx =
Hous)
b
еда
(в* дао
1 x,
<м
1
*k-+l
1 =
— J
Xp
|
(Seca
,
ен
У —Е |
\зфефа-
-Х +
;
gt (x) dx — =
}
“se
Sh
TO
Xp]
b
b
[Кома (о
1
неравенстве
1
перейдем
к пределу
при
п -
oo,
По-
b
\ ola (ydx<M.
Аналогично
доказывается
неравенство
b
J o(x)g (dx Sm, >
13.2. Абсолютно
непрерывные
функции.
В гл. 6 u 7 показано,
что если непрерывная функция [а, 6] -^+ В дифференцируема
каждой точке интервала ja, bl, To
}Д “да =9 (0—9)
Ухе[а, 6],
в
(1)
где интеграл понимается по Ньютону — Лейбницу. Если интеграл
понимать по Лебегу, то левая часть формулы (1) имеет смысл в
более общем случае, когда производная ф’ ({) существует для почти
всех
Ёе]1а, Ы и g’ EL (la, @).
Выясним
условия,
при которых
справедливо свойство (1). Будем писать Ё (а, 6), вместо L (la, 6).
Определение 1. Функция ф называется абсолютно
не378
прерывной
на сегменте [а, 6], если ф' (1) существует для почти
всех {Е ]а, Ш, ф’ЕГ. (а, 6) и выполнено условие (1).
Теорема
1. Если функция ф абсолютно непрерывная на сегменте
[a, 6], то Уе>036>0:
для любого семейства (Jay, 6„)„ем
попарно не пересекающихся интервалов, расположенных на сегменте
[a, В], выполняется свойство
(3 1on—an1 <)> (] 3 (@ (bn)
— 0 (an))
neM
< e} ,
neM
Полагаем
@ = у И»
ги = y
G
.[.
(2)
Поскольку
J oat = ¥ (6)
— 9 (ay),
EM
М [а, On]
то справедливость утверждения следует из свойства абсолютной
непрерывности интеграла Лебега как функции множества С. p>
Утверждение доказанной теоремы для случая конечного множества М иногда принимают за другое определение абсолютно
непрерывной функции. Можно доказать, что оно равносильно данному. Теорема | допускает следующее усиление.
Теорема 2. Если функция ф абсолютно непрерывная на сегменте
[а; 6], то Уё>0
368>0: для любого семейства (а, 6„Опем
попарно не пересекающихся интервалов, расположенных на сегменте
[а, 6] выполняется свойство
(Ува
8) => (3196) —9@1<8).
{ Обозначим My = {Е
ЕМ
| Ф (5,) —фФ @) < 0}
М[ф
(6,) —ф
Поскольку
» | 2 (bn) — 9 (an) | =|
М= { пе
¥ (p(n)
— (An) | +
neM
+
(,) >0},
3)
пЕМ--
@ (bn)
— Ф(а,))
|,
то утверждение следует из теоремы 1.. №
Укажем достаточное условие абсолютной непрерывности функции Ф.
Теорема 3. Если непрерывная функция [а, 6] + В дифференци-
руема в каждой точке интервала ]а, ЫЁ и производная ф’ локально
огбаничена,
q
бега
то
Утверждение
и
функция
следует
Фф абсолютно
из теоремы
Ньютона
— Лейбница.
№
непрерывная.
о сравнении
интегралов
Ле-
Абсолютно непрерывные функции образуют максимально широкий класс почти всюду дифференцируемых функций, производные
которых можно понимать как скорость изменения значений.
Теорема 4. Абсолютно непрерывная функция [а, 8] -*- В является неубывающей (невозрастающей) тогда и только тогда, когда
Ф’ >20 (ф=<0).
П.В
О,В
379
<q Необходимость условия _ очевидна. eo
доказательства
точности
опустим, что ах < хх. <фиф > 0. Тогда
доста-
П.В
(а) — Ф (д = dt—JSeMa=
(| ge Hat>0
]х1,^2[
что
равносильно соответствующей монотонности функции
След ствие. Если функция [а, 6] +В абсолютяо
рывная и ф’ ==
— 0, то функция ф является постоянной.
®
Если Ф’ — 0, то, соглас
о теореме4, функция
Q. Pp
непре-
ф является одно-
временно неубывающей и невозрастающей. }»
Непрерывная монотонная функция, отличная от постоянной, в
производной, уавной почти всюду нулю, называется сингулярной.
В общем случае сингулярной функцией называют разность монотонных сингулярных функций.
13.3. Неопределенный интеграл Лебега. Замена переменной и
формула интегрирования по частям. Абсолютно непрерывные функции тесно связаны с понятием неопределенного интеграла Лебега.
Определение. Функция [а, 6] +. IR называется неопределенным интегралом
Лебега,
если
3 ф Е Г. (а, 5):
o(x)=ola)+\ pat
В
главе,
посвященной
VxEla, И.
обобщенным
функциям,
(1)
докажем,
что
’= ф, где гроизводная понимается в смысле теории обобщенных
функций. После этого станет ясной связь между абсолютно непрерывными функциями и неопределенными интегралами Лебега. Укажем приложения к классическим правилам интегрирования.
Теорема
1 (о подстановке в интеграле). Пусть выполнено условие
(1) u p > 0. Toeda
П.В
b
90)
(FM pat= | f(wax
а
Ф(а)
(2)
всякий раз, как только [Е Г (ф (а), ф (5)) или функция | измеримая и неотрицательная почти всюду на интервале |ф (а), ф (6).
4 Пусть Т = а, М, В — одномерная ячейка и ф (Т) | В—
непустая пордия множества ф (Т). Очевидно, что 3 (х. Е Та, Ё,
хе ]а, 6:
|Ф (Г) ПП В| = |Ф (%) — Ф(х)[ =
| ф (20 4.
1X1.Xel
(3)
По определению, отображение ф имеет на множестве Г плотность,
равную функции 1. Поэтому формула (2) следует из теоремы о
замене переменной в интеграле для отображений с плотностью. №
380
Теорема © (0б абсолютно непрерывной замене переменной).
Если фучкция ф абсолютно непрерывная и неубывающая на сегменте
[а, 5], то
pd)
b
| fdx =) fe)
Ф(а)
Oat
а
всякий раз, как только
(4)
f суммируемая или неотрицательная почти
всюду и измеримая на интервале |p (а), ф (6)[ функция.
<
р
=
справедливость
утверждения
следует
из теоремы
Teo pena 3 (формула интегрирования
СГ, (а, 6), 2 ЕЁ (а, 6). Если
бд =бе-+ |204,
то справедлива
формула
по
частям).
Е =Е@-+ | КО
интегрирования
1, в которой
Пусть
Ухев, 6, (5)
по частям
b
[ f(t) G()dt = FIG (H=A— | Fg (dade.
4 Для любого разбиения
справедливо тождество
b
b
[побои
+ (Рой
в
4
[6
Р = {х,| Е = 0, п}
(6)
сегмента
[а,
В]
-У Г f (t) (G() —G(x,)) dt +
“=
ХЕ—1
Ы
+3) 2 FOF (0) gat + YG (xy) (Е (д — Е бы) +
+У Рь-) 6) —0(ы-)) = 206—296
+У
n
—"
+
№
| (00-6) +8 0(Е0-ЕРьдуй =
Yeo
= F (t)G(t) 23 + S(P).
(7)
Оценим сумму 5 (Р). Пусть = >> 0. Пользуясь свойством абсолютной непрерывности интеграла Лебега (или равномерной непрерывностью функций Ри С), возьмем такое разбиение Р, что У (Е =
=1, м,
Тогда
ЕЕ [жь, х) [6 (9) — С (%) | < в, | FQ) —F (te) | <e.
1$ (Р)|<<ed Г (А-а (01 ре
В силу
| ep
произвольности
г >> 0 формула
НФ а
(6) справедлива.
}№
381
Теорема 4 (формула интегрирования по частям, другая форма
записи). Если функции Е и С абсолютно непрерывные на сегменте
la, 6], то справедлива формула интегрирования по частям
b
h
(FF MGHa =FOGHIZ—| FOE wd.
{
—
Справедливость
[’
— CG’.
i П.В ГР,
в П.В
утверждения
следует
из теоремы
(8)
3, в которой
>
Следствие.
Произведение абсолютно непрерывных функций
является абсолютно непрерывной функцией.
Функция
[а, 61 1. В" называется абсолютно непрерывной, если
каждая ее координата является абсолютно непрерывной функцией.
Годограф абсолютно непрерывной функции [а, 6] 1. В” называется спрямляемой траекторией Г (путем). Под длиной траектории
Г понимаем число
1
b
Бут
Fir ola= (Econ)
=]
9
ae
9)
что соответствует физическому смыслу производной. Абсолютно
непрерывные функции применяются в теории криволинейных интегралов. Они могут быть успешно применены для обобщения многих теорем классического анализа.
В начале ХУТГ в. Б. Тейлор (1685 —
1731) сформулировал задачу о колебаниях струны,
которая в простейшем случае описывается уравнением
Ou
ox?
re
(x,
_
1
О?и
ot?
а?
(1)
a=const (a>0),
¢— Bpema,
u) — декартовы координаты ко-
леблющейся точки. Решение уравнения
(1) было указано в 1742 г.
Д’Аламбером в виде формулы
u(x, t) = O(x—at) + (хай.
(2)
РЯД
И ИНТЕГРАЛ
ФУРЬЕ
Между Д’Аламб.ром и Эйлером
возник принципиальный спор о звучащей струне, предметом которого
был
вопросо
том,
нию
Д’Аламбера,
какие
функции
Ф
и Ф допустимы вформуле (2). По мне-
должна
лой,
т.е.
определяться
быть
каждая
одной
из
аналитической
них
форму-
(с со-
временной точки зрения). Эйлер, не
соглашаясь с этим, считал допустимым для решения и более широкий
класс функций. Точку зрения Эйлера легко понять, если заметить, что
график функции Ф + Ч характеризует начальное положение звучащей
струны (при? = 0) и может быть любой линией.
В этот же период времени Д. Бернулли
(1700—1782)
предложил
пользовать для решения
задачи
ис(1)
тригонометрические ряды. Сумму тригонометрического ряда можно понимать как комбинацию
простейших
гармонических
колебаний,
поэтому
предложение Бернулли представляется
вполне
разумным.
Эйлер и
Д’Аламбер, неоднократно применявшие для решения задач степенные
ряды, сомневались
в возможности
представления
произвольной периодической
функции
тригонометричес-
ким рядом: они считали, что свойства тригонометрических и степенных
рядов аналогичны, и поэтому отклони-
ли
предложение
Бернулли.
Не
зная
383
формул для вычисления коэффициентов разложения функции в
тригонометрический ряд, Бернулли не мог привести дополнительных веских доводов в пользу своего предложения. Через некото-
рое время А. Клеро (1713 — 1765), решая задачу
Солнца,
указал
формулы
для
вычисления
о возмущениях
коэффициентов
разло-
жения функции в ряд по косинусам кратных дуг. Этот фундаментальный результат остался незамеченным.
В 1807 г. Ж. Б. Фурье (1768—1830) вновь высказал мысль
о возможности представления произвольной периодической функции тригонометрическим рядом и указал формулы для вычисления
его коэффициентов. Лагранж, применявший в своих исследованиях
степенные ряды, снова подверг критике эту идею. Однако с 1807
по 1811] г. Фурье систематически подавал в Парижскую Академию
наук свои открытия по теории теплопроводности в твердом теле.
Метод Фурье основан на представлении функций тригонометрическими рядами. Результаты его исследований были опубликованы
лишь в 1822 г. в монографии «Аналитическая теория тепла».
В 1829 г. Дирихле впервые доказал сходимость ряда Фурье
для кусочно-монотонной функции. Впоследствии серьезным анализом проблемы представления функции тригонометрическим рядом занялись выдающиеся математики Риман, Вейерштрасс, Кантор, Лебег и многие другие.
Трудные и тонкие проблемы, связанные с тригонометрическими
рядами, вызвали пересмотр и перестройку всей теории функций.
Они, в частности, привели
Кантора
к теории множеств, Дирихле
—
к современному понятию функции, Римана и Лебега — к теории
интегралов, названных их именами. В настоящее время теория тригонометрических рядов продолжает развиваться, занимая вместе
со своими обобщениями и ответвлениями центральное положение
в анализе. Значительный вклад в развитие указанной теории внесли
выдающиеся
ров, Д.
$
советские
Е. Меньшов,
математики
Н.
1. Тригонометрический
1.1.
Интеграл
от
К.
Бари
Н.
Н.
Лузин,
А.
Н.
и многие другие.
Колмого-
ряд и ряд Фурье
периодической
функции.
Определение. Функция |: В — С называется Т-периодической, если существует такое Т = 0, что
| (х - Т)= f(x) УхЕВ.
Теорема 1. Пусть | — Т- периодическая функция (Т
> 0) иуЕ
СГ. (0, Т). Тогда У ja, 6 [ЕЕ (а, 6) и
а--Т
Т
годах = | Годах.
(1)
0
<q
По теореме о замене переменной {Е Г (пТ, (п +
и справедливы
(n+-1)T
nT
384
равенства
(n-+-1)T
T
ПТ)
f(x)dx= | f(x—nT)dx =| f Ode.
nT
0
УпЕЁ
(2)
Согласно свойству аддитивности интеграла, {Е Г. (пТ, тГ)
У (пЕ
ЕД, тЕД), в силу чего РЕГ (а, 5) а, М = В.
Пусть пТ <
<а< (п - 1) Т. Тогда, принимая во внимание формулу (2), получим
a-+-T
(n-+-1)T
{ f(ydxe=
a
п-т
J fe—Tdx=
a
| Кда=
a
a-+-T
= | оч
a+-T
| f(yde+
(n-+-1)T
(n4-1)T
J fepart Si@at=
п-т
(n--DT
a
а
nT
T
= | Коах=
| Кая. >
nT
0
Если { — Т-периодическая функция, Т==0 и фихнь (=)
хХЕВ, то функция ф — 2л-периодическая. Действительно,
,
фи 20) = (7) [Е +т)=
- 1-7) = +) УхЕВ.
Обратно, если ф— 2л-периодическая и } (1 = o( om
V?téeR, To
функция | является Г-периодической. Поэтому достаточно изучить
лишь 2л-периодические функции.
1.2. Тригонометрические многочлены.
Простейшими 2л-периодическими функциями являются
|
>»
Их
COS x,
конечная
sin x, cos2x,
линейная
Г(х) =а:
sin2x,
...,
coSkx,
sinkx,
....
(1)
комбинация
>
+
dX (a, cos kx + b, sin kx)
(2)
называется тригонометрическим многочленом. Если воспользоваться формулами Эйлера, то запись тригонометрического многочлена
упрощается и принимает вид
f(ixy=
где
=
И
Теорема.
Гогда
—
ib
,
Пусть
=
13
337
Cay
=
Re
У хе]
п
tk
Y ce,
(3)
k=—n
ib
— л,
(Ге
(Е =
л|
—
— п, п).
выполняется
=, п).
равенство
(3).
(4)
385
q
Если
—п < т <<»,
д
то
|
[2 т dt = On 5
onи St
л
Ст.
а
= — SF coskeat,
Если А =0, п,
=
Jr
eo fat +
104
C_
]
att
(и
Je
i(k—m)? dt=
—п, л[ выполняется равенство
sina
то, согласно формулам
Oy = Cy + C4 =
2X
п
Ck
№
Пусть Ух]
(2). Тогда
4
ПЕТР, dt =
yy Cpe
=
Следствие.
fn
п
ей
ож
а
(k=0, 1). (5)
(4), получим
dt = + S10 cosktat,
]
=— [поза
>
1.3. Тригонометрический ряд и ряд Фурье.
Определение.
Функциональный
ряд
+ ¥ (a, cos
kx + 6, sin kx)
(1)
называется тр игонометрическим
Его называют
дом Фурье 2лп-периодической суммируемой функции |,
аки 6, вычисляются по формулам
]
a, = —
| f(x) coskxdx,
l
6, = = _
;
[(х) эт Ахах
(ЕЕ Со).
ряесли
(2)
При этом числа а» 6, называются
коэффициентами
Фурье функции f.
Тригонометрический ряд, как и тригонометрический многочлен,
можно
записать
в
комплексной
У
ции
Если трегонометрический
/, тт У^Е ФД имеем
=
форме
сье*
(3)
ряд (3) является рядом Фурье функ-
Site at.
(4)
Упражнение
Указать ряды Фурье для 2л-периодических
Е 1—л, TY:
а) } (х) =
r) / (x) =
ж) 1 (=) =
386
функций } : ® — К, если У хЕ
sgn x; 6) f (x) = sgn (cos x); B) ¢ (x) = arcsin (sin x);
arcsin (cos x); a) f (x) = |x|; e) f(x) =| sine |;
а$пх
1 —
29 0$ х -{ 92
(41
< 1.
$ 2. Преобразование Фурье.
Теорема Римана—Лебега
2.1. Преобразование Фурье. По аналогии
рядом введем в рассмотрение интеграл
с тригонометрическим
- со
\
(a, cos Ax + by sin Ax) da,
(1)
0
который назовем тригонометрическим.
(^ > 0) вычислены по формулам
—
400
J f()cosMtdt,
Если
функции
а
Чо
b,= < | f(t) sin Addé,
и Oy
(2)
то тригонометрический интеграл (1) называется интегралом Фурье
функции |, точнее — повторным интегралом Фурье. Подобно тригонометрическому ряду, интеграл (1) можно записать в комплексной форме
-- со
со
| (ах соз Ах + by sin Ax) dA =
0
Где с = —о,
бл =
|
—со
сле
dh,
(3)
У) > 0.
Если тригонометрический интеграл (3) является
ралом Фурье функции р, то У ЛЕК имеем
=
повторным
-+-+oo
| де — а.
]
—оо
интег-
(4)
Функция с» называется преобразованием Фурье, точнее — показательным преобразованием Фурье. Функции ах и 6», вычисленные
по формулам (2), называются соответственно косинус- и синуспреобразованиями Фурье. Для того чтобы интегралы (3) и (4) были
больше похожими друг на друга, полагаем
со
КА=
Тогда
интеграл
| ое ма
—оо
(3) принимает
Tr
вид
+ со
( f(y ean
V 2x,
Фувкция
| называется симметричным
преобразованием
функции / или, короче, преобразованием Фурье функции [.
13°
(5)
(6)
Фурье
387
2.2. Теорема Римана — Лебега о преобразовании Фурье. Стремление к нулю коэффициентов Фурье. Риман, а затем Лебег доказали,
что коэффициенты Фурье стремятся к нулю. Эти результаты обобщает следующее утверждение.
Теорема. (Римана — Лебега). Если f € L (IR), mo
ai
H(A) = 0.
(1)
< Поскольку функция {| суммируема, то существуют такие числа
о, и одномерные ячейки А, (ЕЕ №), что
A
оо
fy= Dota,x, A 3 lal | del<
(2)
.
"Ss как
LF (
REN
A)| )| = ——
т
суммы
и
x
}
(t)e dt| =
Xa.
V
(2)
nha,
Ih
знаком
под
интегрирование
то возможно
оценка
оо,
| lea, (7) e™ dt = У, [вк || Дь| <
=
2.
справедлива
=
ем!
—
п
| А,
«За Галwad
< ———
У
<ух
Пусть = >> 0. В силу неравенства
указать пг, для которого
У
| сир |
МИ
а затем
взять
A,
k=n-+1
=
такое
А,,
V 2n
в условии
<—
| Az |
(2),
(3)3
|.
можно
вначале
>
чтобы
2
пнуя
Хne 11
<- У!
А.
g
Из оценки (3) следует,
нено равенство (1). №
что |{ (^)| <в
\|^|>Аь
асе,
= “А
т.е.
выпол-
Следствие 1 Пусть [Е Г. (В). Тогда косинус- и синус-преобразования Фурье функции | стремятся к нулю при ^-—
о.
4 Согласно формулам (3), п. 2.1, имеем
Поскольку
А,
>
оо.
>
lim
А --со
c,=
1
А-
Ит
оо
сл
=0,
(K€]0, оо].
то
а -0,
В -—0
при
Следствие
la | —
2. Если [ЕГ (а,
6), то (70)
ebdxdy
—»- 0
npu
оо.
Интеграл J f (x) ef* dx OTMM4aeTCA
лишь
постоянным
множите-
лем OT преобразования Фурье продолжения функции } нулем и
поэтому стремится к нулю при [^ |-> оо.
В дальнейшем будем обозначать через [2х класс всех 2л-периодических функций, суммируемых на интервале |—л, л[ (и, тем
самым, на любом конечном интервале).
Следствие 3. Если [Е [2к, то коэффициенты Фурье функ-
ции | стремятся к нулю при | Е | — о.
Справедливость
а=—л
ф=л.
р
утверждения
получаем
из
следствия
2 ‘при
$ 3. Интеграл Дирихле.
Принцип локализации
Признаки сходимости
Римана.
ряда Фурье
3.1. Интегральное представление частичной суммы ряда Фурье.
Следуя идеям Дирихле, укажем интегральное представление частичной суммы ряда Фурье.
Теорема (Дирихле). Пусть f € Lox. Toeda
Six, N= — SR++
+I (x—O) Dd at,
0
2de S,, (x, f) —n-vacmuynan
п
Drth=> Хе
k=—n
cymma
=
pada Фурье функции {в точке х,
]
sinfna+ —
|
2 sin
7 |
—-
Jt
У(ЕВ, пЕ 2).
< Согласно формулам (4), п. 1.3, правилу замены переменной
свойству интеграла от периодической функции, имеем
$. р =
==
Jro
У се=
k:=—n
у edt
k=—n
n
У
= =
и
Sie oedt =
k=—n
л
|! f(u-+ x) у ги
—л
Siwtay Yay ghShwe
k=—n
(1)
k=—n
Sy edu
k=—n
389
У
.|rie
D,
(0)
->
Cc 4
veal о-в
(f(x + 2) + f(x —2) Dp (f dt,
п
De=
п
т
tre 9), (В
ти
Le.
ее" и
Функция
k=—n
называется
—
—
(
|
1
2)
Е
>
.
2 sin
—
2
п-ядром
Дирихле.
3.2. Принцип локализации Римана. Применение теоремы Римана — Лебега упрощает формулу иЦирихле, доказанную в предыдущем пункте.
Теорема (принцип локализации). у усть ТЕ [2л. Тогда для любых фиксированных значений 6Е]0, л[Г ихЕ В существует бесконечно малая последовательность о (1), зависящая от }, х, 6 такая,
что
6
|
S,(x, p= + | ++t
—?t) .
) sin ntdt + 0(1).
(1)
0
q
Tycrb
6 €
10, л[.
Приняв
1
sin (n +- =}!
|
9
a
2 sin
—
2
|
я формулу
во внимание
a SE
(1), п. 3.1,
получим
8
ГАА
би (х, Р = — \
л
(610,0
|
(2)
равенство
ОН ;
sin0, nédt +-
°
еее
тождество
{
ctg
— sin ni
дл
sin ntat
1 EPO +IE
=D cos ntdt 4.
0
+ —
Tak
1
)
(x +O+
ctg—
f(x—d) (—
1
— +)
Kak
lim
tC)
C8
t >
2
tc
\
—— |= lim
l
1-0
ST
2
t
+000) —2(— + of)
10
390
sin ntdt,
Qt (> +0 и)
п
2
ЯПsi
ft
2
=
(3)
то функция
ete
!
А,
1210, л[,
(5)
ограничена. Поэтому все интегралы в формуле (3), кроме первого,
после
продолжения
нулем
соответствующих
подынтегральных
функций, являются синус- и косинус-преобразованиями Фурье
суммируемых функций. По теореме Римана — Лебега они стремятся
к нулю при п -—©.
p>
Из доказанной теоремы следует, что сходимость ряда Фурье
функции / Е [ол в точке х Е В и величина его суммы зависят только
от ее значений в некоторой окрестности этой точки. Этот принцип
локализации впервые был обнаружен Риманом в 1854 г. Полагая
в теореме / = |, находим
8
S,(x, 1) =1 =+\
sin ntdt +-0(1),
(6)
0
откуда УбЕ10,
л| следует равенство
8
\ nt dt == + o(1).
(7)
0
Из формулы
(7) получаем равенство
оо
$
ее
х
п | sintet gas,х
sin ft
.
X->-f-00
(8)
$
Левую засть равенства (8) можно понимать как интеграл Ньютона — Лейбница или как несобственный интеграл Римана, но не
как интеграл Лебега, поскольку
te
0
3.3.
Признаки
Дини
и Липшица
сходимости
Теорема 1 (признак Дини). Пусть РЕ [л.
такие 6610, ми 5 (х), чтоф, € L (0, 6), где
А = 9
ряда
Фурье.
Если существуют
СО, 6,
то ряд Фурье функции | сходится к 5 (х) в точке х Е В.
® Согласно принципу локализации Римана, имеем
(1)
8
+ 0(1) =
S,(x, p= 1 | EF OFT Oe) sin ntat
0
6
6
= \ x(t) sin ntdé +288) | Sam dt + 0(1) = SQ) (x) + SP (x). (2)
0
0
391
По теореме Римана — Лебега $® (х) — 0 при п -> со,
—5 (>)
—о (х)
в силу равенства
при п — <.
p>
Введем
важный`в
Определение
Липшица порядка
> 0:
(7),
п.
3.2. `Следовательно,
приложениях
1. Функция
класс функций.
17+
— (1 Mtl’
х ЕВ
выполнено
Липшица).
условие
$, (х, /) —
|: а, Ы -—> В удовлетворяет
с постоянной М в точке х Е
Теорема 2 (признак
а 5® (х) >
Липшица
УЕ]6, 4.
Пусть f € [2л.
некоторого
условию
Ja, bl, ecau 36 >
Если
порядка
(3)
в точке
«© > 0,
ряд Фурье функции | сходится в этой точке к значению } (х).
В условиях признака Дини полагаем $ (х) = }(х). Так
lo. (|
=
yeeНР
f(x +
— tf)) — OF:
f (x)
<
2Mt@
2M
=a
—
VtE]0,
то
как
SI,
то ф, С Г. (0, 6) и S, (x, f) > fF (x) при п — со.
Следствие. "Если ТЕ Lon u af’ (x), mo pad Фурье функции
| сходится в точке х к | (х)
< Из существования производной в точке х следует условие Липшица
с показателем
© =
1.
$
$ 4. Сингулярный интеграл Фурье.
Принцип локализации и признаки сходимости
4.1. Сравнение сингулярного и повторного интегралов Фурье для
суммируемой функции. Если функция | : В — К не периодическая,
то вместо интеграла Дирихле (см. п. 3.1 и 3.2) целесообразно рассмотреть интеграл
оо
Six =+
J
PEP OTE)
sin Ade,
(1)
0
который
является
иным аналогом
п-суммы
ряда Фурье
при
А =
п.
Он называется сингулярным интегралом Фурье. Значением интеграла
(1) при А = +
называется
lim 5$) (х, р, если
этот
А, {оо
предел существует.
В гл. 3 числовой ряд определен посредством последовательности.
В точности
так
же
несобственный
интеграл
+00
| (a, cos Ax + b) sin Ax) dA
(2)
0
для
фиксированного
хЕ В
будем
А
понимать
Ia =1a(x, 9 = ( (ал соз Ал + 6,
0
392
как
функцию
А) 4.
1,
где
(3)
Значением
повторного
интеграла
(2)
назовем
Ит
А--оо
Гл, если
он
существует. Если это значение конечное, то несобственный интеграл называется сходящимся.
Теорема.
Если ГЕ Г(В), mo Si(x, р =1,(х, р У@>О0,
ХЕЮ).
<
Рассмотрим
полосу
Пл <
В?
и
функцию
ф,: Ц» — В,
Пл = 0, М х В, ф, (Ь и) = f (u) cost (u—x)
Функция
Фф, измеримая
в полосе Il,
| f “) cos f(u— x)|<|f(w|
(К инь! (|
У
Е Г, (1). Применив
V4,
=—
Ш ЕГЬ.
Поскольку
полосе
П»,
функция
@x€
\ f (u) cost (u— x) du =
0
OO
-_
со
au\ Fw cost (u— x) dt =
-=
TO
оо
1, (x, pat \a
A
Vit, u) € Ih.
удовлетворяет неравенству
и ЕЩ
суммируема. в
теорему Фубини, получим
A
оо
nH
где
- оо
и
+ оо
А
\ О
=
и
—со
0
а
+ оо
+
[лено
п.
sin M
a=
+ |
л
Pet otie—9)
;
é
= S, (x, /).
cin ata =
>
Таким образом, сходимости сингулярного и повторного интегралов Фурье функции } 6 2 (В) равносильны между собой. В общем
случае область применения сингулярного интеграла шире. Это
объясняется тем, что ограничения, налагаемые на функцию / в
некоторой окрестности - со, при которых сингулярный интеграл
Фурье имеет смысл, слабее условий представимости функции повторным ингегралом.
4.2.
Принцип
локализации
для
сингулярного
интеграла
Фурье
и признаки сходимости. Изучение сингулярного интеграла Фурье
сведем к исследованию ряда Фурье на основании следующего
утверждения.
Теорема 1. Пусть
хЕВ,
+, Е Г
пд = РОВ
+2
Тогда
У 6 > 0 справедлива
о
(0,
-
оо),
где
10, о [,
формула
Si(x, = + | Pero FIE—) sin Atdt
+ 0(1).
0
(1)
(2)
393
Пусть
6 > 0.
Тогда
Si (x, f) = 1 |
6
9 или+
0
со
TT 1
Поскольку
f
У ЕС]
t
|
НОГ“
—9
;
6, + о°[
справедлива
О |
—
то, согласно теореме
п. МАЕ
оценка
1
«(1+ 4)iv.01
1+¢
Римана — Лебега,
имеем
++ оо
1
+ |
6
per orre
—t
.
)_ sin Atdt = 0(1),
откуда следует формула (2).
Теорема 2 (Дини). Пусть Я EL (0, + со). Если существуют
такие 6 6 ]0, nl u S (x), umo ф, ЕЁ (0, 6), где
то сингулярный интеграл Фурье функции } сходится к $ (х) в точке Х.
< Доказательство утверждения полностью повторяет все рассуждения, проводившиеся в п. 3.3, в которых вместо п следует взять
^ (см. теорему 1 указанного пункта). №
Теорема 3 (Дини). Пусть ГЕЁ (В) и 3 (6 >0,
$ (5)): фуЕ
С[.(0, 6). Тогда повторный интеграл Фурье функции {| сходится к
$ (х) в точке х.
Поскольку из условия [Е Г. (В) следует, что wp, ЕЁ (0, -- о),
то, принимая во внимание теорему п. 4.1, а также теорему 2, получаем требуемое утверждение. №
Теорема4 (Липшица). Пусть p,€ L (0, + осо). Если в точке
х Е В выполнено условие Липшица некоторого порядка а >> 0, то
сингулярный интеграл Фурье функции | сходится в этой точке к
f (x).
Доказательство
дения,
утверждения полностью
проводившиеся
в теореме
повторяет все рассуж-
2, п. 3.3. При
этом п следует за-
менить на A.
Теорема 5 (Липшица). Пусть РЕГ (В). Если в точке xER
выполнено условие Липшица некоторого порядка а > 0, mo’ hoeторный интеграл Фурье функции | сходится в этой точке к } (x).
4
Поскольку
то из теоремы
393
из..условия
[Е Г. (В). следует, что
p, € L (0,
п.. 4.1 следует требуемое утверждение.
}»
+00),
Следствие.
Если fEL(R) u 3f' (x), то сингулярный и
повторный интегралы Фурье функции | сходятся в точке xX K f(x).
Из существования /’ (х) следует условие Липшица в точке х
с показателем х = |1. D>
$ 5. Теоремы Фейера
и следствия из них
Немногим
построил
более
непрерывной
точке.
чем
первый
и Вейерштрасса
100 лет назад П. Дюбуа-Реймон (1831—1889)
в истории
функции
математики
с расходящимся
До этого, под влиянием
пример
рядом
идей Дирихле,
2л-периодической
Фурье
в некоторой
безуспешно пытались
доказать сходимость ряда Фурье 2л-периодической непрерывной функции в каждой точке (и даже равномерную сходимость).
Пример Дюбуа-Реймона формально опроверг гипотезу Фурье
о представлении функции тригонометрическим
рядом. Однако
венгерский
математик
Л.
Фейер
(1880—1959)
показал в, 1900
г.,
что можно изменить понимание суммы ряда так, чтобы гипотеза
Фурье оказалась справедливой для каждой 2л-периодической не-
прерывной
функции.
Для
этого следует
понимать
под суммой
ряда
арифметических
час-
не предел его частичных сумм, а предел средних арифметических
из них. Теорема Фейера стимулировала развитие теории суммирования числовых и функциональных рядов.
5.1.
тичных
тичная
Интегральное
представление
средних
сумм ряда Фурье и теорема Фейера.
сумма
Полагаем
ряда
Фурье
On (x, f) = SPEDE
Sy
функции
(x,
Пусть 5, (х, /) — час-
/, вычисленная
Ene
...
в точке
хЕ В
ne Z).
Sp (Xx,
Следуя идеям Дирихле и повторяя рассуждения п. 3.1,
интегральное представление для функций о„ (х, f).
Теорема 1. Если [Е [2л, то
On (x, р--- меди,
(1)
получим
(ар,
(2)
VE10,
a1, 2€Z).
(3)
где
®,()=
x
Dp (t)
=
cint (24
)
—
2(n + 1) sin? —-
< Из формулы Дирихле (см. п. 3.1) и равенства (1) получаем формулу (2). Докажем равенство (3) принимая во внимание равенства
У Dy (2)
0,
()
=
“=
—
al
У sine
=-
#—0
2 (n+ 1) sin
+) 1
2
—
(NE
Zo,
t€E])—a,
xf).
"395
Поскольку
2
(2 sin]
п
(n
+10,
= ¥ 2 sin
k=0
(# + 1):
С
= 21, (cos kt — cos (kt + 1)t) = 1—cos(n+
=
1)t= 2sin- CO
1 »,
TO
sin? er)р t
®, (4) =
(nEZotE€]—x,a[).
2(n + 1) sin?
>
Правая часть равенства (2) Vn € Фо называется интегралом
Фейера, а функция Ф, — ядром Фейера. Главное отличие ядра
Фейера от ядра Дирихле состоит в том, что оно неотрицательное.
Формулу (2) можно применять для вычисления интегралов (как и
формулу Дирихле). Например,
17
int
—
6
OF)
|
dt=o,(x,lh=1
(n + 1) sin? —-
Vn€Z,.
(4)
Обозначим через С›х класс всех 2л-периодических непрерывных
функций.
Теорема 2 (Фейера). Если [Е Сэл, то 6, (f) =f, ede 0, (f) (x) =
=o, (x, f) VxeER.
< Согласно
теореме | и равенству (4), У (пЕЁ., ХЕВ) имеем
[9 ( )— 191=|- ((&-+0+1—0)Ф,0@—
0
Л
— + { 9f (x) ®, ( df
0
at
< 1 lA +) +F(e——
2F (91 ®, 0 dl.
0
Поскольку [Е Сол, то эта функция
и Уе> 036
> 0:
V(tE]0, 6[,xER)
Пусть
| 0, (x,
|} (х) |<М
D1
непрерывна
Тогда
справедлива
(16-49-41
—9
27
оценка
910,
0
+a \UE+9+ 1-9-7010, ие +
39%
на В
[f(x +t O+f(x—d
—2f (x)|<e.
Ух С В.
<
равномерно
d+
+.
%
8
-|-
sin? or)О
20-1
2M (xn(x1 — —.§)
t
sin’ —-
2M
<e+
n(n + 1) sin? >
Выберем
такое п, Е №, чтобы
dt<e--
1
(n + 1) sin? >
У п > п,
2M
выполнялось
неравенство
< г.
(n + 1) sin? >
Тогда
Уп > п.
получим
оценку
10,— = sup
on (х, А — 169126
из которой следует, что 6, (}) -* |. №
5.2. Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации функции тригонометрическими и алгебраическими многочленами. В 1885 г. К. Вейерштрасс
(1815—1897)
доказал,
что всякая непрерывная на
сегменте функция может быть с любой точностью равномерно приближена (аппроксимирована) алгебраическими многочленами, а каждая 2л-периодическая
непрерывная
функция
— тригонометрическими многочленами. Трудно переоценить роль указанных теорем
для развития математики. В частности, они привели Фейера к
открытию теоремы 2 из п. 5.1.
Теорема 1 (Вейерштрасса). Пусть [Е С2л. Тогда У # > 0 cyществует
такой тригонометрический многочлен
Те, что | | —
—
ТГ. |<
г.
По теореме 2, п. 5.1, в качестве Т. можно взять оп (?) с достаточно большим п Е №. №
Теорема 2 (Вейерштрасса). Пусть
функция
[а, oJ LR
рывная. Тогда У ® > 0 существует такой алгебраический
лен Р., что ||— Р.| < в.
Определим функцию ф Е Сол из условий:
ОФ
=F (a+ =" t) УО, п
2 $0 =$(—9 УЕ
п, 01;
3) pt-+2nn)=o(t) WER, n€Z).
Указанные
значно.
непре-
многоч-
условия определяют значения функции
@ E Con
OMHO-
Согласно теореме 1, существует такой тригонометрический
&
многочлен Т., что |ф— Т.| < > Функция
Те разлагается в
степенной ряд ay + > Ayt” с бесконечным радиусом сходимости.
На сегменте [0, л] он сходится равномерно. Поэтому существует
397
такое
п, С №,
Ne
что
SP, |7, () — x a,t" | < +. Cnenosatenbuo,
(==
x) — Sa(Z=t “п
Пе
OG6osHayan
<e
VWx€la, 4).
b
P, (y=
Ap =
x}
и принимая
во
внимание,
что
k=0
o|
—
5.3.
a) =
f(x)
Критерий
У хЕё[а, 6],
получаем
принадлежности
ouenxy
|f—P.|<e.
>
тригонометрического ряда к ря-
дам Фурье функций из Сол.
Теорема. Григонометрический ряд является
рядом Фурье
функ-
ции [Е Сол тогда и только тогда, когда он. равномерно суммируется
методом средних арифметических, т. е. в, >.
< Пеобходимость условия следует из теоремы Фейера.
Достаточность. Пусть
9 (х) =>
Torna
УтЕТ
эп
имеем
л
д
Сп (Г) = x
\ (хе "ах = lim >
\ „(хе "ах =
—Jt
= lim
n=-voo
-ш У
с >
++ +5Sn@)
се, 6, (x) = So(x)+ n+]
п
—л
д
1
On \
GF
Sp (0) --- + $, (*)
ет
—л
| Sa (He
5.4. Суммируемость
ских в точках разрыва
—
тя
4
x=
—
dx = Tim Om “SE
ряда Фурье
функции.
Теорема. Пусть f € Loz.
.
е
методом
Ecau 3 lim
{0
то ряд Фурье функции} суммируется в
арифметических к числу $ (Хх).
Пусть 2>0.
Тогда 36
> 0: |
средних
ГРЭС
1
= Cn >
арифметиче-
—9
= 5
точке х методом
ere)
(х),
средних
S(x)|<e
Vicélo, &[. Поступая так же, как и при доказательстве теоремы Фейера, получим цепочку неравенств:
Joules NSIS
398
{ Ие+9 +19 —25( 1,04
6
=
++
0
—0—25) 1,9 +
+N [fet O4/(x—f
—28 (919, OQat<
6
<e+
2 (n
+ 1)
,
— [Ife +4) + F(x—) — 28 (x) [dt =
л
sin’ —-
6
=—e+ S” (x).
Выберем
оценку
такое п, Е №,
чтобы
Уп
| 0, (x, f) —S(x)|<2e
утверждение
теоремы.
и,
$6 (х) <е.
Уп > пь, из которой
}№
Получим
следует
$ 6. Средние Валле Пуссена.
Теорема
Харди
6.1. Запаздывающие средние арифметические и метод суммирования Валле Пуссена. Пусть имеем числовую последовательность
(5„). Валле Пуссен (1866—1962) предложил одновременно с ней
рассматривать последовательность (0„„), где
Gaye
Средние
Валле
и
n
Пуссена
(1), составленные
ус,
из
(1)
п-сумм
ряда
Фурье
функции [Е С2х, применяются для построения тригонометрического
многочлена,
аппроксимирующего
функцию
с заданной
точностью.
Определение 1. //оследовательность ($ „) суммируется к $ методом Валле Пуссена, если Ит 0,„ = $. Ряд суммируется к $
методом
Валле
Пуссена,
noo
если
последовательность
его
частичных
сумм суммируется к $ этим методом.
Как обобщение частичных сумм ряда $„, средних арифметических о„, средних Валле Пуссена о„.„ возникает понятие запаздывающих
средних
Определение
чины
арифметических.
2.
Пусть
Onn =m
дана
последовательность
FO
(S,).
Утес
Вели-
0)
называются запаздываю щими средними арифметическими.
Число т называется
величиной
запаздывания, число п величиной
усреднения.
При т =1
о!„ представляют собой обычные средние ариф-
метические о„. Если п = |, ТО бт: = $„
является
суммой ряда (или т-м членом последовательности).
получаем средние Валле Пуссена ол.
и
частичной
При
т = п
399
Теорема
1. Справедливо
Onn = =
q
тождество
Omtn-1—Fm—1) + Omg
W(MEN, AEN).
(3)
imeem
Onn =
—
Smt
eee $8
y 4 poy
я
от
Теорема
т
2.
1
п
Пусть
—
Пт
5-Е
—
ma
*** + бита
т-п-1
m+n—1
(Отан
n
—
бт_1)
ть = Пти, = + ®
Если в, — 5, то Orn, rp 5%.
=
Пусть о, —= $. Тогда по теореме
- би.
9
т, = О
(п,.
и
| получаем
ть —|
|
—
к
= O(1)-0(1I)+S+o(lI)>S.
p
Теорема 3 (Валле Пуссена). Если последовательность суммируется методом средних арифметических, то она суммируется методом Валле Пуссена.
< Утверждение получим из теоремы 2, полагая т, = п, = К. №
6.2. Теорема Харди. Многие методы суммирования последовательностей и рядов обладают замечательным свойством регулярности:
из сходимости последовательности (ряда) следует суммируемость
ее (его) к тому же числу. Представляет интерес обратная задача,
заключающаяся в отыскании дополнительных условий, налагаемых на члены последовательности или ряда, при которых из суммируемости заданным методом следует сходимость. Впервые для метода Эйлера — Абеля (см. п. 3.5, гл. 4) указанную задачу решил
А. Таубер
(1866—1933).
Поэтому теоремы о сходимости ряда,
суммируемого заданным методом, принято называть тауберовыми.
К ним относится следующее утверждение, принадлежащее Г. Харди (1877 — 1947).
Теорема 1 (Харди). Если ряд ХУ а, суммируется методом средних арифметических
«
Пусть
и а, == О
Га» | < —
УпЕ\.
[бтп —
=|
1
+),
то
он
сходится.
Тогда
Эт
| =
Sim + (Sin
+ Amps)
Omg41 toot + Amgen tr)
m-+-1 + 12+ + (Smt
1
1
Сп
«(ат + -* + =рг) <.
С
ig
la
“)
Пусть = > 0. Выберем такое т, © №, чтобы —<e
Vm>m.
Для каждого т > т. обозначим через п„ максимально возмож400
ное
значение
получаем
Си
Пусть
Vm
п,
при
Сп
котором
—"
<е. Тогда
из
оценки
(4)
неравенство |6»„„ — 5„|<е \Ут_> ть. Поскольку
> е, то т = О (пи) и по теореме 2, п. 6.1, отм, — 5.
|0т„„—
>
max
5 | <
{m,
Ут
me},
Te
> т,.
Torna
S,2>S.
|S,—S|<2e
>
Теорема 2 (Харди). Если функциональный
ряд Xa,
равномерно
суммируется методом средних арифметических и [а |= О (+),
n
то он сходится равномерно.
4 Доказательство дословно повторяет все рассуждения теоремы
| с заменой модулей на равномерные нормы соответствующих
функций. Pp
Теорема 3. Если ряд Ха, суммируется
(равномерно сумми-
=о(! =
Та
1
n
4 Справедливость
H тождества
ka,
_>
0
(+
утверждения
=
(|
|
ka,
следует
>
.
из
теорем
а, | =
: (5)
|, 2
Харди
kay = 1 (5. + (3 — $0 + +++ +(Sa— Sn) =
Та
1
п
1
48
руется) методом средних арифметических и а, = О (=)
— 5,—
51. +
.”.
-
$ 7. Коэффициенты
Фурье
с ограниченным изменением.
Признаки
би
п
=
S,—
n— |
n
On—1.
>
функции
Дирихле—Жордана
7.1. Оценка
нением.
коэффициентов
Фурье
функции
с ограниченным
изме-
/
.
Определение. Отображение [а, 6] —> В называепся функцией
с ограниченным
изменением, если существуют такие монотонные и ограниченные функции | и В, что
f(x) =f
(x) —f.(x)
УхЕйа,
6].
(1)
Класс всех 2л-периодических функций, имеющих ограниченное
изменение на сегменте [—л, л|, обозначим через Иж.
Теорема. Если [Е Von, mo коэффициенты Фурье функции |
имеют
порядок
О
(=).
401
Согласно определению класса
\Уз„ и формул для вычисления
косинус-коэффициентов Фурье а, (Й, имеем (см. равенство (1))
an(f) = > | f(x) cosnxdx = ay (fs) — an (fa)
Применив
вторую теорему о среднем
(см. п. 13.1, гл. 8), получим
л
a,({) =
Е
| fy (x) cos nxdx = [;(— 1) | с0$ пхах ++
—л
—-л
+ fe (x) ( cos nxdx = o(+)
(i = 1, 2).
Е
Следовательно,
1
a, (f) = О (+),
синус-коэффициенты
Фурье
= SA
m.
Pa
7.2.
рядка
(cm.
Признаки
Аналогично
Эш
1-0
|, (f) = O (+).
Поскольку
1.2), To c, (f) =O
сходимости
рядов
1. Пусть f € Lon
(1).
Фурье
что
си (№) =
>
с коэффициентами
(f (x +
u Cc, (f) = O (+).
t) + f(x —
dO) = 25 (х),
| в точке х сходится к $ (х).
< Справедливость утверждения
ремы
доказывается,
по-
О (4).
Теорема
ER
(2)
1 Харди.
}
следует
Теорема 2. Пусть [Е Сл и с, (= 0
функции {| сходится к ней равномерно.
< Справедливость утверждения следует
н теоремы 2 Харди. }
Если
в точке
хЕ
то ряд Фурье функции
из теоремы
(+),
из
п. 5.4
Тогда
теоремы
ряд
2
и тео-
Фурье
Фейера
Теорема 3. Тригонометрический ряд с коэффициентами с„=О (+)
п
является рядом Фурье функции [Е Сол тогда и только тогда, когда
он сходится равномерно.
Необходимость условия следует из теоремы 2. Достаточность
условия следует из теоремы п. 5.3. №
7.3. Признаки Дирихле — Жордана.
Теорема 1 (Дирихле — Жордана). Если f € Von, mo pad Pypve
функции | сходится в каждой точке ХЕ В к
S (x) =
<
Справедливость
ремы [, п.
7.2,
nO)
утверждения
поскольку
in)
,
следует из теоремы
(1)
п. 7.1
lim (e+) +1 —) =f) t+ia@) VeER. Db
402
и тео-
Теорема
ряда
Фурье).
2,
7.2.
2
(Дирихле — Жордана,
о
равномерной
Если [ГЕ У.» П Сол, то ряд Фурье
сходимости
функции
| схо-
дится к ней равномерно.
< Справедливость утверждения следует из теоремы п. 7.1 и теоремы
п.
$ 8. Операции дифференцирования
и интегрирования
рядов
Фурье
8.1. Дифференцирование ряда Фурье.
Теорема. Если функция [ 2лп-периодическая и абсолютно непрерывная на сегменте |[—л, пл], то формально продифференцированный ее ряд Фурье
совпадает
с рядом
Фурье
для [, т. е.
<
с, (РГ)
= те, (Р
частям,
получим
УпЕХ.
Интегрируя
по
соб) =
| Ре = т | Кое
(1)
= ато, (р. №
270
Следствие.
Если 2л-периодическая
функция
р т—1дифференцируема, а ее (т — 1)-производная абсолютно непрерывная на сегменте |[—л, a], то формально продифференцированный т
раз ряд Фурье
функции
{ совпадает
с рядом
Фурье
для К,
т.е.
с, (Г) = (м)" с, (Р.
(2)
Доказанная теорема объясняет важность рядов Фурье при решении ‘дифференциальных уравнений для периодических функций,
поскольку переход к коэффициентам Фурье заменяет операцию
дифференцирования (см. формулы (1) и (2)) операцией умножения
на множитель {1 и тем самым сводит дифференциальное уравнение
с частными
производными
к обыкновенному,
а обыкновенное
—
к
алгебраическому. Не случайно идея рядов Фурье возникла в связи
с задачами колебания струны и распространения тепла, о чем упоминалось в начале главы. Поэтому большую актуальность для приложений
приобретает
проблема
восстановления
функции
по
ее
коэффициентам Фурье. Теоремы Фейера и Валле Пуссена решают
эту задачу для функций из класса С›л. Решение указанной проблемы в других классах функций будет дано в следующих параграфах (после геометрического истолкования ряда Фурье) и в главе,
посвященной обобщенным функциям.
8.2. Интегрирование
ряда Фурье.
Пусть [6 Гол. Полагаем
x
F(x =|f@dt
п
Теорема
ко тогда,
функции
VxeR.
1. Функция Е является 2л-периодической тогда и тольл
когда
| равен
12
—л
& = 0, т.
е. свободный
член
ряда
Фурье
нулю.
403
<
Доказательство
теоремы
следует
из
тождества
хф2л
F(x + 2n)— F(x) =
|
fat =
\ fWat.
>
х
Теорема
2. Если
on(F)=— Len)
<q
Интегрируя
функция
Е 2п-периодическая,
VAEZ\ (0) u o(F)=0(+).
по
частям,
получим
л
at
—л
—
е—!
on(F) =a | Feat = —>— | FOL
Теорема
mo
nt
at=—+4,(f. »
3. Ecau f € Lon u с, (Р = 0, то формально проинтег-
рированный ряд Фурье функции |
tnx
2 oe tn
п=0
| сходится
равномерно.
<q Справедливость утверждения следует из теоремы 3, п. 5.4,
и теоремы 2. }
Доказанная теорема дает возможность не исследовать сходимость ряда Фурье функции ] € [2 в тех случаях, когда в процессе
решения задачи его приходится интегрировать почленно.
$ 9. Векторное
Пространства
пространство
Ёи
[2
над полем
К.
Рассмотрим ряды Фурье с геометрической точки зрения, что придаст идеям Фурье надлежащую общность и существенно расширит
область их применения. С этой целью введем в рассмотрение понятия, которым принадлежит значительная роль в современной математике.
Пространство, в котором мы живем, является четырехмерным.
Четвертая координата характеризует время. Нельзя ли, понимая
его точки как векторы, научиться их умножать и превратить в
новые
числа,
называемые
кватернионами? У.
Р. Гамильтон
(1805—1865) посвятил последние 22 года жизни решению этой
проблемы.
Как и в случае комплексных чисел, естественно рассмотреть
четыре вектора
1= (1,0,0, 0), #= (0, 1,0, 0), 1 = (0,0, 1,0), Ё = (0,0, 0,1)
(1)
и найти правильные формулы для вычисления всевозможных их
произведений. Эти формулы имеют вид: # = 2 = Ё* = —1, Ц =
= —д =, в = —kj = i, М = — Ш = у. Их можно заменить сле-
дующими: Й = р =}? = —1, ЦЕ = —1.
Трудность,
связанная с
отысканием указанных формул, заключена в отсутствии свойства
коммутативности
произведения. Таким образом, пространство В*
можно считать похожим на пространство чисел, но с умножением
точек без свойства коммутативности. Аналогичную процедуру,
404
но уже с потерей и свойства ассоциативности умножения,
можно
проделать с пространством №. Другие пространства В” (т 1,
2, 4, 8) сделать похожими на пространство чисел невозможно.
Поэтому приходится рассматривать пространства В” и (;" с более
общей точки
MOH ниже.
зрения
векторных (линейных)
пространств,
излагае-
1. Аксиомы векторного пространства. Пусть К = В или K =
= (. Векторным (линейным) пространством над полем [К называется упорядоченная тройка (Е, -,
-), состоящая из множества
Е, элементы которого называются векторами, операции сложения
и операции умножения на элементы (числа) поля [.
Указанные
называемыми
операции
должны
аксиомами
У (хСБ,
х-у=у-х;
3) 30: х+
5)
6)
обладать
векторного
уЕБ,
2)
2 ЕЁБ, ЛЕК,
фу
0=х;: 4)
следующими
пространства:
:=х-+
3(—х:х-
ВЕК)
0-2)
(—x) = 0;
НУ) = Ax
+ hy, (A+ p)
x = Ax
+ px;
(Aw)
x =A (px); 7) 1x =x.
Допуская
вольность
речи
и
свойствами,
упрощая
запись,
вместо
тройки
(Е, --, .) говорят о векторном пространстве ЕЁ, считая его действительным, если [К = В, и комплексным, если К = (С.
Примерами векторных пространств являются В” и (”, рассмотренные в гл. 7. Многие классы последовательностей вместе с
операциями сложения и умножения на числа становятся векторными пространствами. Наиболее важные из них имеют следующие
обозначения:
1) $ — пространство всех последовательностей;
2) с — пространство сходящихся последовательностей;
3) с, —
4) т
5)
6) ©
нением;
7) Р
Уж
ПЕМ
пространство
бесконечно
малых
последовательностей;
— пространство ограниченных последовательностей;
(№) — пространство суммируемых последовательностей;
— пространство последовательностей с ограниченным изме(№) — пространство
Р <
+,
таких
последовательностей
(х„),
что
р > 1.
Каждое из указанных пространств можно считать как действительным, так и комплексным. В случае необходимости их символы
снабжают значком № или (;, например Sp, Se.
Основные пространства функций вида Х _^. В или Х _^, ( также имеют специальные обозначения:
1) М — пространство ограниченных функций;
2) С — пространство непрерывных функций;
3) С" — пространство функций с непрерывной л-производной;
4) С” — пространство бесконечно дифференцируемых функций;
5) 9) — пространство бесконечно дифференцируемых функций,
405
принимающих нулевые значения
(своего для каждой функции).
вне
некоторого
компакта
9.2. Векторные пространства 5 и [7 (р >> 1). Пусть
Функции,
векторное
Ха
в
Х
В”.
заданные и конечные почти всюду Ha Х, порождают
пространство. Для его построения назовем функции |
и с эквивалентными,
если {=
5. Класс
всех функций, эквивалент-
ных /, обозначим через } и назовем вектором. Операции над векторами определим правилами: } - # = (1 - g), Af = (Af) VAEK.
Указанное векторное пространство не имеет специального обозначения. Важное значение для приложений имеют: [) 5 — подпространства
всех векторов ], соответствующих измеримым функциям [; 2) 6 —
подпространства всех векторов ], соответствующих суммируемым
функциям Ё 3) Г” — подпространства всех векторов f, COOTBeTCTвующих измеримым функциям р удовлетворяющим условию
Рак < + = (2>1.
что
Очевидно, что 5 — векторное пространство. Убедимся в том,
Г” также является векторным пространством Ур > |.
Теорема. Пусть |, в — конечные почти всюду на множестве Х
измеримые
функции
Х
Ас Pdx<too, [|g(x)Pdx<+tо.
Х
Если р > 1, ф== [мые
и
&, ф == М ЕК),
(1)
то функции ф, ф измери-
u
{lo
Pdx<+o, (lpi Pdx<+ o.
x
(2)
$ Измеримость функций ф и \р следует из измеримости функций |
и с. Докажем неравенства (2). Пусть значения функций [и в в точке
ХЕХ конечные. Поскольку р > 1, то, согласно неравенству Иенсена
(см.
п. 95.5, гл.
7), справедлива
jira
<
оценка
P+ te
(3)
Поэтому
‘
{ify + ear ar<2 (11d + [lee lae) <+ e. >
Х
xX
9.3. Скалярное произведание. Неравенство Шварца. Скалярное
произведение векторов на плоскости известно читателю из школьного курса математики. В общем случае оно определяется указанием его основных свойств.
|
Определение.
пространство
406
Функция
над
полем
(,) : Е? — К,
[К
(К = В
где
или
(Е, -,
-) — векторное
К = (С),
называется
скалярным
произведением,
если V(XEE,
2СЕ, АСК) выполняются следующие условия (аксиомы):
yEE,
1) (x, x) > 0) Л ((‹х, x) = 0) > (© = 0)); 2) (x, yy = YY,x);
3) Ax, yy
= Ax, y); 4) фу
2z2=%, a+ YY, 2).
Свойство (х, х) >0
УхЕЕ позволяет принять за определение нормы (длины) вектора в пространстве со скалярным произведением известную формулу для вычисления длин векторов на плосKOCTH
|x| VG, 0).
Если
нет опасности
допустить
(1)
ошибку,
то
вместо
|х|
пишут
|х|, подчеркивая тем самым аналогию между понятиями нормы
абстрактного вектора и модуля числа (длины вектора на плоскости
С или В?).
Для доказательства основных свойств нормы вектора полезным
является неравенство Шварца, обобщающее неравенство Коши —
Буняковского, указанное в п. 5.5, ГЛ. 7.
Теорема 1 (Шварца). Лусть хЕЁЕ, иЕЕ. Тогда
|4, ии.
4 Пусть [х | = | у[ = 1, ФЕАге (х, у). Тогда
(2)
[ <x, y) | =e"? (x, y)= (Е сх, у)) = ey, x).
Так Kak | x— ey [P= (x— ely,
x— ey) = 1—| (x, yy |—
— |x, yy | +1 >0, 70 [ (x, yy | <1.
Если х == 0 или у = 0, то неравенство (2) превращается
венство. Пусть х == 0 и у=-2 0. Тогда справедлива оценка
cx, |= ttl]
eo | ВУ
№
Теорема 2. В любом векторном пространстве (Е, лярным произведением справедливы утверждения:
<
kak
, -) со ска-
|3) (|[х+иу|<|[х|- 0-0; [| 2)(неравенство
[9% | = Ех
треугольника).
Утверждения
1) и 2) очевидны.
JxtyP=&@ty
+ iy, yy<|xP+2|
<
Докажем
xty=w
у ь
Шварца, [х НУР <(х р a ly.
то,
утверждение
ot
согласно
в ра-
wt+y,
3). Так
x+
неравенству
9.4. Нормированное
mpoctpancrBe, Непрерывность
нормы
и
скалярного произведения.
Определение 1. Пусть
(Е, +, +) — векторное
пространство
над полем [К (К = К или К = ©).
Отображение
||: Е — В назы-
вается нормой
(длиной) в пространстве (Е, -, -), если
У (х ЕБ, иуЕБ, ^ ЕК) выполняются следующие условия (аксиомы):
1) (jx f= 0) > (x = 0); 2) Jaxf=lAl |x];
3) |xt+yl<|xi+ ly
Значение
вектора.
нормы
на
векторе
хЕЁЕ
называется
нормой
этого
407
Определение 2. Упорядоченный набор (Е, +, -,||) называется нормированным
пространством.
С целью сокращения записи обычно пишут Е вместо ‘набора
(Е, +, -,| |}. Вт. 9.3 показано, что любое векторное пространство со скалярным произведением является нормированным.
Из аксиом 2), 3) следует, что |0 | = 0, |х| >20
УхЕРЕ. Действительно, первое равенство получаем из аксиомы 2) при А = 0,
второе — из аксиомы 3) при у = —х.
Определение 3. Вектор х называется пределом последовательности векторов (х„), если |хи— х| = 0 (1).
Если х — предел последовательности (х„), то будем писать
lim x, = x.
п- со
Теорема 1 (о непрерывности нормы). Если последовательность
(х„) векторов нормированного пространства сходится к вектору х,
moЧ Справедливость
| X_|—>
| x.
утверждения
следует
из неравенств
—||x,—x|<|*+,]—l*l<]*,—-+|
Vne€N,
являющихся следствием неравенства треугольника. }
Теорема © (о непрерывности скалярного произведения). //усть
Е — нормированное пространство со скалярным произведением.
Если хи —х, у -и, то (хи, у) — (Хх, у.
4 В силу неравенства Шварца и теоремы | имеем
| (x,
у) —
что равносильно
(Хи,
и
—
У)
| =
| (Хх — Хи,
У
1х
утверждению
Пу
у)
+
(Хи,
— и» |
теоремы.
p>
—
у—
У») [<
0 (1),
9.5. Скалярное произведение в пространстве [7. Векторное пространство [2 введено в рассмотрение в п. 9.2.
Определение. Лиусть Х < К” — измеримое
множество.
Для
векторов Г Е Г? (Х), вЕГ?(Х) полагаем
(ув) = | о
X
ах.
(1)
В правой части равенства (1) находится интеграл от функций,
представляющих векторы {и #. Черта над о (х) означает комплексное число, сопряженное в (х). Правая часть равенства (1) существует и конечная, поскольку функция {9 измеримая на множестве Х и
[Е _ дах «3 yz1. | UF COP + Lee Pax
Теорема. Формила
странстве
Ё? (Х).
(1) определяет скалярное произведение в про-
Проверим выполнение аксиом
п. 9.3). Пусть
ЕЁ? (Х). Тогда
скалярного
(f, f= |fePde>0
408
(2)
произведения
(см.
Если
(], 1) = 0, то У, ( | f (x) P dx = 0 < + oo по
nen
У, lf|<
n€N
П.В
+
00,
теореме Леви
x
B ‘силу чего
| —
"
0.
Таким
образом,
akcuoma
I)
скалярного произведения выполняется.
Пусть ГЕ [2 (Х), ЕЁ? (Х). Тогда
ay = JS feldx = Ja xd = \ Fg ae = (Ps
X
т. е.
x
выполнена
аксиома
2).
Если 76 Г? (Х), 8 ЕЁ? (Х), AEC, To
(м,
Проверим
ВЕГ?
(Х).
= Мо
фах= А | Е
xX
выполнение
Тогда
аксиомы
на, в) = | (+
Ilyctb f € L?(X),
ge L? (xX),
X
+ (Ех
=
Хх
Ортогональные
4).
Еф (дах = | По оах +
X
9.6.
ах=А (р, в.
X
В + (а, Ъ. №
и ортонормированные
семейства
векторов.
Пусть Е — нормированное пространство со скалярным произведением.
Определение.
Векторы хЕЁЕ, иЕЁЕ
называются ор тогональными, если (х, и) = 0. Семейство векторов (ео) осел называется ортогональным, если (це, ео,) = 0 всякий раз, как
только а, Е А, а, Е Ана,
(ео)а«д
=1
называется
=- а,. Ортогональное семейство векторов
ортонормированным,
VaeéA.
Иногда ортонормированное
ванной системой.
9.7. Ортогональность
стве
семейство
называют
тригонометрической
если
|е| =
ортонормиро-
системы
в простран-
и Г? (У).
Тогда систе-
[2. Кратная тригонометрическая система.
Теорема 1. Пусть системы векторов (}.) и (8„) ортонормирован-
ные соответственно
в пространствах
[2 (Х)
ма векторов (1 Х бт)пт„ь, ортонормирована
[2 (хХхУ).
$ Пусть (ий, т,) =2 (п, т). Тогда
в — пространстве
(Ты: Ж Янь fn, X Вт) = J, fn, (X) Bm, (Y) Fae (X) Gm, (Y) ахау =
х
— |.
x
(х) Fra (x) ax | Вт, (У) бт
(y) dy = 0.
409
Кроме того,
|7 ха. = | | fn (%) Sm (y) P dxdy =
XX
=\lfa()Pax
| leony) Pdy = 1. >
X
Y
Теорема 2 (об ортогональности тригонометрической системы).
Пусть А с В — интервал длиной
2л и
e,(x)=e'™*
У (хЕА,
пЕ 2). Тогда семейство векторов (е„)„е1 ортогонально
в пространстве Г? (А).
q Пусть пл == т. Тогда
л
(ел ет) = | ee dx = | от dy
А
С
ледствие.
0, >
—л
Семейство
ровано в пространстве
< Пусть пе {. Тогда
en
векторов
V 2n
[7 (А).
|
neZ
ортонорми-
lenP=>—
Sle Pdx=1. b>
A
Пользуясь теоремами | и 2, построим кратную ортонормированную тригонометрическую систему в пространстве [7 (Р„), где
Ри,=
А
ХА,
следующий
Хх...
вид:
Х
An,
(Cn, X Cn, X
| A,
| = 2a
+2
(Е =
1, m).
Она
X тии. пе"
имеет
(1)
Введем обозначения п = (п, ..., Пт),® = (м, .... Ат); вх = 4X, +
t+...
Поли, в =е, Хх... Х en
Тогда
для функции, пред-
ставляющей
вектор
е„,
выполняется
равенство
У пе 7”, хЕР,).
Вектор пЕ Д" называется
Кратная
тригонометрическая
система функций
форме
e, (x) = е"®
мультииндексом.
записывается
в
(еп) пе zm
Пусть
-V
2
Ас В, [А|=л, 3, (х)
cosnx
УпЕ
=V
(2)
= sin nx
Vne€N,
cy (x) =
До. Нетрудно убедиться в том, что семейства
векторов ($и)пем, (Си)лет, Ортонормированные в пространстве [^ (А).
Применив теорему 1, получим кратные ортонормированные системы синусов и косинусов в пространстве 2? (Р„), где Ри = А, Х
Хх... Х Am, | Ap]
= a Е
=1 м)
(Sn) nem
410
(Cr)ne zi
(3)
9.8. Критерии полноты нормированного пространства. Пусть
Е — нормированное пространство. Введем понятия, изученные ранее для числовых и функциональных последовательностей.
Определение 1. //оследовательность (х„) векторов пространства
Е называется фундаментальной,
если
У =>0
Определение
сходящимся,
2.
Эл. : У (п
> пе,
Ряд
2x,,
РЕМ)
e0e
| Xn+-p —
x,€E
Xn||<e.
Wn€eN
называется
если 3 Ит Ух».
по
Определение
абсолютно
=
3. Ряд Ух,,
гб
(нормально)
хЕЕ
УпЕ\№,
называется
сходящимся, если У, |х.| <
пЕМ
< -
о.
Определение 4. Лоследовательность (х„) векторов пространства
Е имеет ограниченное изменение, если
— жж
Ух,
ПЕМ
|< + 00
= 0).
(x,
Определение 5. Вектор х Е Е называетсячастичным
пределом
последовательности (х,„) векторов пространства Е, если
существует подпоследовательность
dn,
7
+
co:
lim
р
xn,
=
(хп „),
сходящаяся
к
х,
м.
е.
X.
со
Определение 6. //ространство Е называется полным, если
каждая фундаментальная последовательность его векторов имеет
предел. Всякое полное нормированное пространство называется
банаховым,
или
пространством
Банаха.
Теорема 1. Каждая сходящаяся последовательность (х„) векторов произвольного нормированного пространства Е является фунда-
ментальной.
$ Пусть 2 >> 0, х, — х. Выберем
<-
такое п, Е №,
Уп>пь. Тогда У (п > пы, РЕ№
Еф
х|<е
№
[жар
чтобы
—
|х,„—х| <
Xn < [Хар—
Теорема2 (критерии полноты нормированного пространства).
В любом нормированном пространстве Е следующие свойства попарно равносильны: 1) каждая фундаментальная последовательность
векторов имеет предел; 2) каждый нормально (абсолютмо) сходящийся ряд векторов сходится; 3) любая последовательность векторов с ограниченным изменением имеет предел; 4) каждая фундаментальная последовательность имеет частичный предел.
$ Проведем
доказательство
по схеме 1) > 2) > 3) >4) = 1).
Пусть выполнено свойство 1) и
s,=3
Для
всех пе№
и рЕ\№
Xp
VneEN.
(1)
имеем
п--р
п--р
[Snto—Saf= | 24 Xe] Sd Del
(2)
411
Из неравенства (2) и критерия Коши для числового ряда следует фундаментальность последовательности векторов
(S,). Coгласно свойству 1), она сходится, т. е. справедливо свойство 2).
Пусть выполнено свойство 2) и последовательность векторов (хи)
имеет ограниченное изменение. Тогда
У
neNn
Согласно
сильно
свойству
[1
2),
сходимости
—
жи
|<
+00
сходится
ряд
последовательности
(x, =0).
> (х,
— Xn—1),
(х„),
YTO
т. е. выполнено
равно-
свой-
ство 3). Пусть выполнено свойство 3) и последовательность векторов (х„) фундаментальная. Выберем такую последовательность
номеров (п,), чтобы У ЕЕ № выполнялись неравенства
| ть
1
— Xn, |< “ok
=> Ng.
» Nps
Тогда
‘N
у, |
REN
—
|<
EN
>
1
< -- ©
и последовательность (х„,) имеет ограниченное изменение. В силу
условия 3) она имеет предел, т. е. выполнено свойство 4). Пусть
выполнено свойство 4) и последовательность векторов (х„) фундаментальная. []о свойству 4) она имеет частичный предел, который
обозначим через х. Пусть = >> 0, п, Л +0 их», —х. Из определения фундаментальной последовательности получаем, что х» — Xn, —>
— 0. Поэтому хь = (х, — Xn,) + Xn, > X, т.е. выполнено свойство |). №
9.9.
Векторные
пространства
со сходимостью.
предела.
Наиболее общий
Векторные
про-
странства возникают при решении конкретных задач. Для применения методов математического анализа необходимо иметь, кроме
операций сложения векторов и умножения их на числа, еще и
понятие
способ определения
предела
пос-
Ледовательности дает топология, о чем было сказано в гл. 1. Однако
существуют примеры, когда требуемая сходимость последовательностей векторов не определяется заданием топологии.
Классический пример тому — сходимость почти всюду. Кроме того, в одном
и том же векторном пространстве возникает необходимость рассматривать различные понятия предела в зависимости от тех задач,
для
которых
они.
предназначены.
Например,
в
векторном
прост-
ранстве функций [0, 1] 1, В можно рассматривать сходимости:
поточечную, равномерную, почти всюду, в среднем ит. д. Все сказанное дает основание ввести в рассмотрение понятие векторного
пространства со сходимостью —
более общее по сравнению с линей-
ным топологическим пространством. Естественно связать аксиоматически вводимое понятие предела с имеющимися операциями
в векторном пространстве. Эта связь заключена в требовании
непрерывности по Гейне операции сложения векторов и умножения
412
их на число. Кроме того, в качестве аксиом сохраним теоремы о
пределах стационарной последовательности и подпоследовательности.
Определение 1. Векторное пространство Е называется квазитопологическим,
или векторным
пространством
CO
сходимостью,
если выполнены следующие
условия (аксиомы):
1) (lim Ап =Х
Л
lim Yn = Y)
>
(lim (Xn + Yn) =X
+);
2) (limx, =x A AEK) => (limAx, = Ax);
3) limx =x;
4) (limx, = x A ny 7 + 00) > (lim
xn, = x).
noo
=> со
к со
Применим понятие векторного пространства со сходимостью для
установления признака полноты нормированного пространства.
Определение 2. /Лусть Е — векторное пространство со сходип
мостью,
щимся,
x, € E,S, = Ух,
=
если
сходится
= Цт $, называется
п-э
УпЕ№.
последовательность (5„). Вектор
суммой
со
Ряд У х‚ называется с ходя-
ряда
$ = У
со
n=)
x,
Пусть Е — векторное пространство
векторное подпространство с нормой.
Определение
3. Норма
$ =
и обозначается
со сходимостью,
(в пространстве
В)
обладает
В — ero
свойством
Леви (относительно Е), если каждый нормально сходящийся в В
ряд сходится в пространстве Е.
Определение 4. Норма (в пространстве В) обладает свойством
Фату (относительно Е), если существует такое число у, что для
любой
последовательности
в пространстве
(x,),
Е, выполнено
([х.[<С
>» ЕВ
УпЕ\М№,
условие
УлЕ№=>
сходящейся
«ЕВЛ[|< 70).
Пусть, например, Е = 5 (Х) со сходимостью
(1.—- Л oh —- р и В = Ё(Х) с нормой
почти
И = (АОах, ХЕБ(Х)(> J ln@lax< +00) > (3 Iul<+ eo),
neN x
то
норма
всюду:
(1)
X
Tak ‘как
кх
(1)
обладает
Пир =
neN
свойством
Леви.
Если
П.В
[Е
Ё (Х),
ах С УпЕМ
и ды р
413
то,
согласно
теореме
т. е. выполнено
гию,
принятую
Теорема1
Фату,
свойство
ДЕЁ(Х)
Фату.
в определениях
(признак
Этот
полноты
3и 4.
и
|1 | =
пример
( lf (x)|dx <C,
X
объясняет
нормированного
терминоло-
пространства).
Если норма обладает одновременно свойствами Леви и Фату, то
В является пространством Банаха.
4 Согласно теореме 2, п. 9.8, достаточно доказать сходимость
(в пространстве В) произвольного абсолютно (нормально) сходящегося ряда. Пусть У |х,.|< +.
Согласно свойству Леви,
пЕМ
ЭхеЕ:
Ух. =хв Е.
Обозначим 5, = У» х,
n=l
k=!
n--p
|Sntp>—Srl<
У
<
k=n-+l
УпЕ№М.
Так как
У ==
(2)
k>n
и при фиксированном п Е № последовательность
(Ир == 9+, — S,)
сходится
в пространстве
Е к вектору
у=х—5,,
то
по
свойству Фату уЕВи
|и| < 712„. Следовательно, х = (у + $,) 6
Ви
|х— 5, | < фе, = 0(1),
что означает сходимость ряда
Ух, в пространстве В. №
Из теоремы 1 и приведенного перед ней примера получаем утверждение, играющее важную роль в теории пространства Ё (Х).
Теорема
©
(Фишера —
Рисса).
Пространство
Ё (Х) является
банаховым.
Укажем еще один пример применения. признака полноты пространства для числовых последовательностей. В векторном пространстве 3 всех числовых последовательностей введем покоординатную
CXOJHMOCTb
(т. >=) & (lim Xen =x,
VWRERN),
(3)
п-оо
где 2. = (хьл),
< = (х,), а в пространстве
12 = (У | x: ry?
<q
(4)
(p 2 1).
Теорема 3. Пространство Г (№)
(> 1) является банаховым.
Убедимся в том, что УрЕ ТП, -- о| норма (4) обладает свой-
ствами
то
Г (№) — норму
Леви
и Фату.
Так
как
| хь„ | <|5.
У(Е№,
(прич)
= (држатч+=) уже
ПЕМ,
что влечет за собой покоординатную сходимость ряда Xz,, т. е.
сходимость в $. Таким образом, свойство Леви доказано. Пусть
я. —-жвзи|х
р < С
УпЕ\.
Тогда Ут
№
имеем
1
(3 1)
414
<C
VnEN.
(5)
Перейдем последовательно к пределу в неравенстве’ (5) сначала
при п со, а затем при т — со. Получим оценку
|х|, < С,
из которой следует свойство Фату. Согласно теореме 1, Г (№)
(>
>) — банахово пространство. Pp
9.10.
Пространство
Гильберта.
Полнота
пространства
Г?.
Определение. Гильбертовым
пространством
называется полное нормированное прострачство со скалярным
Н
|
произведением,
в
котором
|х|
=
(х,
х)°
УхЕН.
Согласно теореме 3, п. 9.9, пространство Й (№)
является гиль-
бертовым. Изучил это пространство Д. Гильберт (1862—1943),
рассматривая
приведение квадратичных форм от бесконечного
числа переменных к каноническому виду, заложив тем самым основы современного (функционального) анализа.
Э. Фишер (1875—
1959) и Ф. Рисс (1880 —
1956) доказали
аналог
полноты
простран-
ства Р (№) для функций, имеющих фундаментальное значение в
теории рядов и преобразований Фурье.
Теорема (Фишера — Рисса).
Пространство [2 (Х)
является
гильбертовым.
Ф
Убедимся
и Фату
<
-
со.
теорему
в том, что норма
относительно
Если
Леви,
у
| Х |<
в [2 (Х) обладает свойствами
сходимости
получим
+00,
To,
ак < УХ
п
ПЕ» Х
что влечет
за собой
почти
сходимость
всюду.
npHmMeHan
1+,
почти
(1 fata) Pax)
|
У
Леви
‘
У | {|<
nen
LiIBapua
u
<+
9.В
Свойетво
we | < +00) существуют
| Хи| <->
УтЕ№.
тЕм
как
HepaBeHcTBo
всюду ряда >. }, (х).
Леви доказано. В общем случае (когда
такие множества Хи, что Х = |) и
Так
Пусть
<+oo
WmEN,
Xin
то, в силу
почти всех
предыдущих рассуждений, ряд % |, (х) сходится
для
хе Х.„
УтЕмМ. Шо
теореме о счетном объединении
нуль-множеств он сходится почти всюду на множестве ДХ, т. е.
справедливо свойство Леви. Проверим выполнение свойства Фату.
Пусть |/„|< С УПЕМиН —- Tt. Тогда функция / измеримая и
fn —z+
IF P. Mo teopeme ary | f | € L (X) и } 1/69 Рах
< С?
T.e. | f |< C и свойство Фату доказано. Го
пространство [?(Х) является полным. №
9.11.
Другое
доказательство
теорем
Фишера
теореме
2,
п.
9.9,
— Рисса
о полноте
пространств
[”. Отмечая большое значение теорем Фишера —
Рисса о полноте пространств Ё и [*, приведем новое доказательство
415
полноты
пространства
[7 (р >
1),
основанное
на
элементарной
теореме 2, п. 9.8, и не использующее достаточно тонкий
признак
полноты нормированного пространства, изложенный в п. 9.9.
Теорема
(Фишера — Рисса).
> |1) являются
4
Зафиксируем
полными.
р 21
Пространства
[” = [7 (Х) (р >
и обозначим
= (иле
х
| р ax)
1
р
(1)
Согласно теореме 2, п. 9.8, достаточно доказать,
что из неравенства
У, 1.1
< - ©
(2)
neN
всегда
рим
следует сходимость
вначале
частный
ряда
случай,
У}, в пространстве
когда
все функции
[”.
Рассмот-
/, являются
неот-
рицательными и конечными У хЕХ.
В этом случае можно без
каких-либо дополнительных предположений о функциях [, (ПЕ №)
определить функцию Х -^- В, полагая
[ (x) = x a(x)
При
этом У (пе №, хЕХ)
как
(3)
У
(4)
имеем
9-х k=1 а =
Так
УхЕХ.
№).
k=n-+l
ГУ лор < ("У и] < (Хы),
X
\k=n-+1
k=n+1
то, согласно
теореме
справедлива
оценка
Фату,
©
=n-+1
функция
(i—
n
У»
k=l
p
суммируема
Ул <, У мы Ул
(6)
k=n-+l
из которой следует сходимость ряда
Если функции Х Га. К УлеМ
то ряд ХУ[, = Х/Г
— ХХ.
поскольку
У
ПЕЗ
Если
Х 2. (С
У <
416
в
о, У <
neN
neN
Улем и
Уи
в пространстве
удовлетворяют
сходится
выполнено
=
У, Ве], +1»,
[ (Х).
условию
пространстве
» |<
neN
условие
Im f,
и
(2), то ряд
(2),
L’(X),
®.
сходится
в пространстве
L”, tak Kak
У, |Вел, |< nen
У |/.1<
о,
nen
У Пар. [< nen
У <
о.
neN
№
Упражнения
1. Доказать, что следующие нормированные
довательностей являются полными:
а) т, где | х || = sup |x, |, © = (xp);
6) с, где | x || =
sup | x, |, © =
п
пространства числовых
после-
(%,);
в) со, где | х | = sup | x, |, © = (xp).
2. Доказать
полноту
нормированных
a) М (Х), rae | f= sup 17%) [;
хех
6) С (Х), где АТ 5417 9 |.
пространств функций:
$ 10. Ортогональные ряды и ряды Фурье
в гильбертовом пространстве
Согласно теоремам п. 9.7 и 9.10, произвольный тригонометрический
ряд можно рассматривать как ортогональный ряд в гильбертовом
пространстве [2 (А), где Ас Ви | А | = 2л. При этом под ортогональным рядом в произвольном гильбертовом пространстве понимаем ряд 2XX,, члены которого образуют ортогональную систему
(см. п. 9.6).
Источником идеи нового подхода к изучению тригонометрических рядов и, в частности, рядов Фурье, служит тождество
2
oe
З+уачи-т
| (3
+ У)
нс
+
вп)
2
dx,
(
at
и
1
|
де
—л
—
—,
формально открытое в 1799 году (до формул Фурье) французским
математиком М. Парсевалем (1755—1836). Принимая во внимание формулы
> (а, —10,),
“dx = | <,
2
если Ё>0,
если К == 0,
| > (ак -- №),
если
kR<O,
равенство Парсеваля можно записать в следующем виде:
У,
14
337
ОР
1
|
I
(x) [2 dx.
|
417
Равенство (1) напоминает правило вычисления квадрата длины
вектора в декартовых координатах. Действительно, коэффициент
Фурье c, (/) = (f, en), Cn (x) = e’*,
можно
рассматривать как
декартову координату вектора } относительно единичного вектора
Л
е,, а число >
\ | f (x)
4х — как квадрат его длины.
—л
Значительную роль в дальнейшем развитии и обосновании указанной точки зрения на ряд Фурье сыграли работы В. А. Стеклова
(1864—1926) — выдающегося организатора отечественной науки,
чье имя присвоено математическому институту АН СССР. Аналог
равенства Парсеваля для произвольных ортогональных систем называется уравнением замкнутости Стеклова, о чем подробнее будет сказано в п. 10.3. Новая точка зрения на ряды Фурье оказалась очень плодотворной и послужила источником развития COвременного направления в математическом анализе — теории ортогональных рядов.
10.1. Различные виды
бертовом пространстве.
Теорема
сходимости
1(критерий
ортогонального
ряда
в гиль-
сходимости ортогонального ряда). Ортого-
нальный ряд XX, векторов гильбертова
тогда и только тогда, когда
пространства
Н сходится
(1)
4 | x. PP? << +0,
®
Поскольку
nee
У
k=n-+'!
2
Xl
У пПЕМ,
и
ПЕР
= \
yy
k=n-+1
РЕМ)
np
me
=”!
\
ПЕ
хи
=
mrp
ПР
Md
k=n+1
Ged
;=n-4-1
=
¥
Е=п--1
| Xe ls
то утверждение следует из полноты пространств Н и В. №
Определение. Лусть
КГ — векторное пространство со сходимостью. Ряд Ух, называется безусловно сходящимся,
если
Оля
любой
“
биекиии
<
№ +.
№ сходится
ряд
Ухо.
Теорема2 (о безусловной сходимости ортогонального ряда).
Ортогональный ряд Xx,
векторов гильбертова пространства Н
безусловно сходится тогда и только тогда, когда выполнено условие
(1).
Поскольку для
ортогональным и
любой
у,
ПЕМ
биекции
| X pn) [P —
№ +
у
пЕМ
№
ряд хуи)
| Xp Р,
является
(2)
то справедливость утверждения следует из теоремы 1. №
Таким образом, для ортогонального ряда векторов гильбертова
пространства требования сходимости и безусловной сходимости
равносильны между собой. Кроме того, очевидно, что
(У
418
< + ®) 2 (<
+).
(3)
Следовательно, нормальная сходимость ортогонального ряда влечет за собой безусловную сходимость, но не равносильна ей. Указанные факты принципиально отличают свойства ортогональных
рядов в гильбертовом пространстве от аналогичных свойств числовых рядов: во-первых, среди ортогональных рядов нет условно
сходящихся, в то время как условно сходящиеся числовые ряды
существуют, во-вторых, безусловно сходящийся ортогональный ряд
не обязательно сходится нормально, а безусловно сходящийся числовой ряд всегда сходится абсолютно (т. е. нормально).
10.2.
Ряд
Фурье
в
гильбертовом
пространстве.
Неравенство
Бесселя. Теорема Фишера — Рисса. Пусть фиксирована ортонормированная система векторов (е„) гильбертова пространства НЯ.
оо
Теорема 1. Если ряд
Хале, сходится и х = Ум але, то
n=]
а, = (X,e,)
<q
УпЕМ.
В силу непрерывности скалярного произведения
(x,
En)
=
lim
m= oo
С
у
k=1
Aplrs
„>==
lim
т-ъосо
у
k=l
Ap
(еь,
(1)
У п Е № имеем
ев)
—
oo
= di Op Cy Cn) = On №
Определение. Ряд
Ха, по ортонормированной системе векторов (е„) гильбертова пространства, коэффициенты которого вычислены по формулам (1), называется рядом
ma
Фурье
элемен-
х по системе (е„)
Из теоремы 1 следует, что любой сходящийся в гильбертовом
пространстве ряд по ортонормированной системе векторов (е„) является рядом Фурье своей суммы. Это не исключает возможность,
что ряд Фане, является одновременно рядом Фурье какого-нибудь ‘другого элемента уЕН
(и не сходится к и). В теории ортогональных рядов Фурье значительную роль играет
неравенство
Ф. Бесселя (1784—1847).
Теорема ©. Пусть (е„) — ортонормированная система векторов
гильбертова пространства Н. Тогда Ух © Н справедливо неравенство
есселя
Ух, РЕ.
(2)
NEN
$ Пусть т 6 №. Тогда, согласно свойствам скалярного произведения и неравенству Шварца, имеем
У |4, e,) = у (х, е,) (е„, х) = у ((х, ел) ен» X)=
ft
~ cy
2
14°
(x, Cn) Cn)
><
‚ En)Cn 1% = -(3
[(x, en) ry 1х1.
419
8
т
Следовательно,
х
(х, е„) ,
2
<|x|
но неравенству (2). №
Другое доказательство теоремы
т
х — > (X, €n) En
a=
проверяемого
2
—
x
a=
(x,
en) Cn
=
2 получается
\*7
вычислением
(х,
Cn) Cny
X —
= | x?— 2d.
Заметим,
тождества
(3)
т
m
==]
(x, @,) |? + > | (х, е) № =
использована
полнота
2
(X, €n) al
n=!
=
хР — > | (х, ен) Р.
что в процессе доказательства теорем
не
е;) е; > =
(х,
>
Xen) 6, х) — У (а, ед (а, ед +
=
(3)
Ven,
в
m
x
равносиль-
из тождества
=|*P—2%X (xe)?
m
= [xP
что
т
непосредственно
т
x
2
Vme€QRN,
| и 2, а также
пространства
Н.
Поэтому
указанные теоремы и тождество справедливы в любом векторном
пространстве со скалярным произведением.
Теорема 3 (о сходимости ряла Фурье). Каждый ряд Фурье по
ортонормированной системе гильбертова пространства сходится
(но не обязательно к соответствующему элементу).
<q Справедливость утверждения следует из неравенства Бесселя
и теоремы 1, п. 10.1. №
Теорема 4. Ортогональный ряд в гильбертовом пространстве
сходится тогда и только тогда, когда он является рядом Фурье
некоторого элемента.
{ Справедливость утверждения следует из теорем | и 3. №
Из доказанных теорем получаем утверждение, которое часто
применяется в приложениях. Оно вместе с неравенством Бесселя
составляет основу теории рядов Фурье по ортонормированным системам
векторов
Теорема
гильбертова
пространства.
5 (Фишера — Рисса)
Пусть
(е„) — ортонормирован-
ная система векторов гильбертова пространства
ЕР (№), то ЗхХЕН:а,= (х, е,) МпЕ №.
Н.
Если
(а,) Е
4 Согласно теореме 1, п. 10.1, ортогональный ряд Фа„е, сходится в пространстве Н. По теореме | настоящего пункта он является
рядом Фурье своей суммы. }
Теоремы 3—5, а также | и 2 из п.10.1 существенно используют
полноту гильбертова пространства и перестают быть справедливыми в неполных векторных пространствах со скалярным произведением.
10.3.
Равенство
Парсеваля
— Стеклова.
Полные
и
замкнутые
системы.
Теорема 1 (Парсеваля — Стеклова). Ряд Фурье элемента х по
ортонормированной системе (е„) в произвольном векторном прост420
ранстве со скалярным произведением (в частности, гильбертовом)
сходится к вектору х тогда и только тогда, когда
x <x, en)? =| xP.
(1)
Справедливость утверждения следует из тождества (3), п. 10.2
(см. замечание после доказательства теоремы 2 того же пункта). }№
Пусть („) — ортонормированная система векторов гильбертова пространства. Можно ли добавить к ней такой единичный
вектор, чтобы полученная система векторов осталась ортонормированной? Если это невозможно, то естественно назвать систему
полной.
смысл
Однако
и для
Определение
странства
вого
Н
вектора
1.
Семейство
называется
х Е Н,
Множество
назовем
соответствующее
произвольных
линейной
формальное
семейств
(ео)асд
полным,
ортогонального
|У Ане, | ПЕМ
k=l
COONOUKON
определение
векторов.
векторов
е,
CeMeHCTBA
гильбертова
если не существует
УаЕА.
Л УЕ =
I,n
(€g)oca
имеет
@,6СА,
H
про-
ненуле-
№6 к!
обозначим
через
[eo] ua [eglaca. CemeiicTBo (€g)ac4 Welecoo6pa3HO Ha3BaTb 3QMKNYтым, если замыкание ее линейной оболочки совпадает с Н. Сформулируем указанное свойство в виде определения.
Определение 2. Семейство (ео„)оскд
элементов гильбертова пространства Н называепся замкнутым,
если
У (хЕН, => 0) ЗиЕ\№, (2, ..., An) EK", (Car +++» On)
€ A”):
х—
У №,
=
< в.
(2)
Другими словами: семейство (еа)аел является замкнутым,
если. каждый вектор х Е Н можно с любой точностью аппроксими-
ровать
конечной
линейной
комбинацией
векторов
этого
семейства.
Теорема 2 (об эквивалентных свойствах полных систем). Для
ортонормированной системы (е„) векторов гильбертова пространства Н следующие условия попарно равносильны: 1) система (е,)
замкнута в Н; 2) система (е,) полна в Н; 3) УхЕН ряд Фурье
элемента х имеет сумму, равную х; 4) У х Е Н выполняется равенст-
во
{
Парсеваля — Стеклова.
Доказательство утверждения
=
1) >
>
1).
Из
2) > 3).
определения
Осталось
Эквивалентность
2 очевидным
доказать,
проведем
4) <> 3)
образом
что 1) => 2)
по
схеме
доказана
следует
в
4) > 3)
теореме
нмпликация
> 3).
Пусть
>
1.
3} =>
выполнено
условие |) и вектор хЕН ортогонален всем векторам е„. Тогда,
в силу линейности и непрерывности
скалярного
произведения,
он ортогонален всем векторам из замыкания линейной оболочки
системы
(е„),
довательно,
нулю.
Таким
выполнено
которое,
вектор
образом,
условие
согласно
определению,
х ортогонален
условие
2) и ХЕН.
2)
самому
совпадает
себе
и
с Н.
поэтому
выполнено, т. е. 1) >> 2).
Ряд
Фурье
»(х,
Сле-
равен
Пусть
е»)е, по теореме
421
3, п. 10.2, сходится к некоторому элементу у Е Н. Согласно теорема
| того же пункта, он является рядом Фурье элемента у. Поэтому
(х, е,) = (у, е,) УЕЕМ№, т.е. (х— у, е,) =0
УЕЕМ
и no
условию 2) имеем х — у = 0, т.е. х = у. Таким образом, выполнено условие 3). №
10.4. Геометрический смысл ряда Фурье в гильбертовом пространстве. Проекция и наилучшее приближение элемента. С целью геометрического истолкования ряда Фурье введем в рассмотрение
понятие подпространства гильбертова пространства.
Определение 1. Густь Н — гильбертово пространство, Ни: —
множество егс векторов, идовлетворяющее условиям:
1) (ХЕЛ, Л уЕЛН,)
> (“+ УЕН,};
2) (x € Hy A KEK) > (ax € Ay);
3) (x= Итх, Л хЕН,
п
УпЕ№) > ЕН).
со
|
Множество Нт вместе со всеми операциями, введенными в пространстве Н, образует новое гильбертово пространство, которое назовем подпространством Н. Если Н\— подпространство
H, то будем писать Н1 < Н.
В геометрии гильбертова пространства Н, фрагменты которой
излагаются ниже, подпространство Н\ играет ту же роль, что прямые
и плоскости в школьном курсе математики.
Определение 2. [Лусть Н! < Н, ХЕН. Вектор х называется
ортогональным
подпространстви
НЕ, если он
ортогонален каждому вектору из Ну, т. е. (х, у =0
УиуЕН..
Если вектор х ортогонален Ни, то будем писать х 1 Ay.
Теорема 1 (признак ортогональности вектора подпространству).
Пусть
(е„)ед — полная
ортонормированная
система
векторов
в
гильбертовом пространстве H,, (A = {1,...,m}, mEN
usu A=
=f\), 4,c Hu x€H. Bexmop x opmozonanen
FA, тогда
и только тогда, когда он ортогонален каждому вектору е„, т. е.
(х, е,) =0
\УптпЕА.
Необходимость. Пусть вектор х ортогонален подпространству Н1.
Поскольку (х, у) =0
УуЕН: ие. ЕН, УПтЕА, то (х, е,) = 0
УпЕА.
Достаточность. Пусть хЕН, (х, е.) =0
УпЕА. Согласно
теореме 2, п. 10.3, У иЕ Н, справедливо равенство у = У; (у, е„) е».
Следовательно,
УуЕН|
(x, yy = Хх, У ее.
\
neA
nea
имеем
/
=У
neA
(ey, y) (x, G) = 0, «LH. b>
Доказанная теорема аналогична признаку перпендикулярности
прямой и плоскости в элементарной геометрии.
Определение 3. Лусть Н, < Н, ХЕН. Вектор м Е Н! назы-
вается
ортогональной
проекцией
элемента
х
на Ни, если вектор х — х, ортогонален подпространству Н\.
Теорема 2. Пусть (е„)„ед — полная ортонормированная система
векторов в гильбертовом пространстве Н:, (А = {1,..., т}, те №
422
или А = №, Н, < НихЕ Н. Тогда существует единственная ортогональная проекция х, вектора х на подпространство Н\ и справед-
лива формула
м
= У,
neA
(X,
Cn) Cn
(1)
Ч Пусть выполнено равенство (1). Согласно теореме 1, п. 10.2,
справедливо равенство (х., е„) = (х, е) УпеА.
Следовательно,
{%—х, е.) =0
УптЕД, (х —^) 1 Нь, т.е. ж — ортогональная
проекция х на Н!. Докажем единственность ортогональной проекции.
Если (х — х.) | Ни, то (х — х,!) — (х — хо) = х — м
Ни. KpoMe того, (х. — х!) Е Н!. Поэтому
(x, — м, х. — м) = 0, т. е.
Xy
=
Xo.
Доказанная теорема позволяет дать геометрическое истолкование
частичных сумм ряда Фурье и его суммы (в случае неполной систеп
MBI (e,,)) 1S, =
тора
хЕН
на
У (х, е») е, является
k=1
линейную
ортогональной
оболочку
системы
проекцией
(е,),_—,
а
век-
© =
со
= У,
(х, е,) е, — ортогональной
проекцией
k=l
кание линейной оболочки системы (е„)лен.
Определение
4.
//усть
Н — произвольное
ранство. Упорядоченный набор векторов
называется ориентированным
еслиа
+
вектора х Е Н на замы-
+ с = 0. При
этом
гильбертово
прост-
(а, 6, с) пространства Н
треугольником,
векторы
а,
+6,
-Ес называются
Теорема 3 (Пифагора). Если а и 6 — катеты
треугольника, с — его гипотенуза, то
прямоугольного
его сторонами.
Треугольник (а, 6, с) называется прямоугольным, если две его стороны (катеты) ортогочальны друг
другу. Сторона прямоугольного треугольника, не являющаяся катетом,
q
называется
Поскольку
гипотенузой.
ан
[ор
= <
[а Р-Р = [СР
+ с=0,
то с=
— (а +В).
co =@+b,a+b6)=faP+oP
Поэтому
(2)
»
Следствие. В любом прямоугольном треугольнике норма катета не превосходит нормы гипотенузы.
Определение
5.
/Лусть
Н, < Н,
хХЕН.
Число
ИМ
УЕН:
|х-—уи|
называется наилучшим
приближением
вектора
х посредством векторов из Н1.
Теорема 4 (о наилучшем приближении вектора). Пусть (е„)иел —
полная ортонормированная система векторов в гильбертовом пространстве Ну, (А = {1,..., т}, mE N или А = №), Неа
НихЕё
ЕН. Тогда сумма Фурье (1) осуществляет наилучшее приближение
вектора х посредством векторов из Ни, т. е.
|5— У
вре = Ши
3
423
При
этом
Хх —
У
(х,
neA
en)
г |
—
| x|P
—
У,
neA
| (х,
En)
|.
(4)
® Пусть х, — сумма Фурье (1). Рассмотрим треугольник (x — x,
хх — и, у—х). По теореме 2 он прямоугольный и вектор у —х
является
его
гипотенузой.
Согласно
следствию
из теоремы
Пифа-
гора, выполняется равенство (3). Применив теорему Пифагора к
треугольнику (х — хи, хи, — х), в котором вектор — хявляется гипотенузой,
получим
равенство (4). }
При А = {1,..., т}
тацию частичной суммы
приближение вектора х
..., @т).
Пусть А = №. Тогда
вектора х осуществляет
разлагающимися
получаем новую геометрическую интерпреряда Фурье — она осуществляет наилучшее
линейными комбинациями векторов (еи, ...
из теоремы 4 следует, что сумма ряда Фурье
наилучшее его приближение элементами,
в сходящиеся
к ним ряды Фурье по системе (е„)нем.
10.5. Существование полных ортогональных систем. Пусть (Ё,
+, +) — векторное пространство над полем [К. Если х, Е Б, № Е
ЕК
(= 1,т),
то вектор
х=Уj=! Ах
(1)
называется линейной комбинацией векторов х, (] = 1, т),
Л, (/ = 1, т) — ее коэффициентами.
Определение 1. Конечная система векторов (x;),_~q_
называется
линейно
независимой,
если
комбинация обращается в нуль тогда и только тогда,
коэффициенты равны нулю, т. е.
(3 jx) = о}
ее
а числа
(me€ N)
линейная
когда
(A, =0, j=1,m).
все ее
(2)
Cuemnaa cucmema eekmopoe (x;)jen HaSbleaeMCA AUHEUHO
He3QAS
висимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима.
Пусть (х,) ем — линейно независимая система векторов в гильбертовом пространстве Н. Обозначим
п—|
a=
Х1
Ix]
п
—
1 on =
У,
Ч
|
(Xn,
е»)
Cp
(Хп,
Cr) Ck
(n > 2).
n—|
Ап —
У,
k=]
(3)
Метод построения ортонормированной системы (е„)„ем по форму(3) предложен Э. Шмидтом (1876—1959).
Теорема 1 (Э. Шмидта). Система (е„)„ем, определенная формулами (3), ортонормировачная и УМ п Е № имеем
лам
ея
424
== [Г
“
(4)
{ Методом математической индукции докажем равенство (4) и ортогональность единичного вектора е„ векторам е, {= 1, п— |).
При п = 1 сформулированное утверждение очевидно. Пусть утвервекторов
система
ждение справедливо У А =1, п — 1. Тогда
(21)
гональная
—
У, (хер) е, есть орто:
проекция вектора х на линейную
г
HaJICH
п—1
Поскольку
ортонормированная.
mo
И Xp g (xe),
le,],_—
и
отличен
вектор е„ ортогонален
предположения
ace
то вектор
от
нуля.
оболочку
[е»|,
п—1
‚п—1
х„ —
У (Xny Cp) еь ортогоk=1
Следовательно,
единичный
е, (/ = 1, п — 1). Равенство (4) очевидно
и формулы
(3).
—
д
Определение 2. Множество Х называется плотным
мированном пространстве Е, если
из
внор-
V(xEE, 6>0) 3x2 CX ix
— xe l<e.
Определение
3.
парабельныл,
жество векторов.
мы).
Гильбертово
пространство
если в нем существует
Н
называется
счетное
се-
плотное мно-
Теорема < (о существовании полной ортонормированной систеВ любом сепарабельном бесконечномерном гильбертовом прост-
ранстве Н существует полная ортонормированная система векторов.
® Пусть множество векторов {х, | п
№} плотно в Н. Выбрасывая из рассмотрения вектор х„ в случае, когда он является линейной
комбинацией векторов х, (] = 1, п — 1), получим плотную в Н
линейно независимую систему. Ортогонализируем ее методом Шмидта. По теореме | получим замкнутую (следовательно, полную) ортонормированную
систему
векторов.
p>
Теорема 3 (о пополнении ортонормированной системы). В сепарабельном гильбертовом пространстве Н для любой ортонормированной системы (е„) существует полная ортонормированная система
([.) такая, что е, = м,
УпЕ№.
Пусть Н, — подпространство Н, состоящее из векторов, разлагающихся в сходящиеся к ним ряды Фурье по системе (е,). Рассмотрим множество Н, всех векторов, ортогональных подпространству
Н1. Очевидно, что оно является подпространством Н. По теореме 2
в Н. существует полная ортонормированная система векторов (е,)
(конечная
или
бесконечная).
Взяв
в качестве
векторов
системы (},)
векторы из (ен) и (е„), получим требуемую ортонормированную систему. Действительно, если х Е Н, тох = х, -- х», где х, 6 Ни,
ЕН...
Так
как
|
y=
TO
У,
a
(х,
En) Cnr
X=
у
n
(X,
‚У
en) ен,
x= x (x, fn) fae >
425
Теорема 4 (координатная формула для вычисления скалярного
произведения). Пусть (е„) — полная ортонормированная система
в Н. Тогда У (хЕН, уЕН)
(X,Y) = 3, On) Ys Cn)
%
(5)
[lycth x € AH. Torna
x=
Mx,
e,) ln
(6)
Умножая равенство (6) скалярно на у, а также принимая во внимание линейность и непрерывность скалярного произведения, получим (5). №
Из доказательства теоремы (4) следует, что равенство (5) справедливо. для неполной системы (е„) в случае, когда х или у принадлежат замыканию ее линейной оболочки.
$ 11. Некоторые плотные множества
в пространствах
2”. Полнота
тригонометрической системы
11.1.
Плотные
множества
в
пространствах
Г.
Пусть
М, — мно.
жество всех векторов пространства $ (В”), среди представителей
которых имеются ограниченные финитные функции.
Теорема 1. Пусть р = 1,2. Множество Му плотно в прост-
ранстве [7 = [7 (В”). Кроме того, если f € Ё Г] Г», то существует
такая
р, что
последовательность
(]„) векторов
1Е-ЬР) =0(1)
где 1 (Р = \ f (x) dx.
{
Пусть р =
1, 2 и 7 СГг.
из М,,
не
зависящая
ф=1, 2),
Полагаем
(1)
УпЕ№
_ | FO), ecan |F(x)| <n, x€B,
= [—n, n]",
|
In) = | 0, если ХЕВ”"\ В,.
Очевидно, что [„ Е Мо
от
(2)
УпЕ\. Так как f, —- ful f—f,P <P
°
П.В
то по теореме Лебега /[ (| [— [, |’) = о (1), откуда следует плотность
множества Мь в [Р.
Ecau f € L П| Г?, то получаем условие (1), по-
скольку функции {[„ не зависят от р.
№
Обозначим через С, = С, (В”) множество всех векторов
из S,
представителями
которых
являются
непрерывные
финитны@
функции.
|
Теорема 2. Множество Со плотно в [Г (р = 1, 2). Кроме того,
если fe L (\ L?, то существует такая последовательность (]„) ве
торов из Су, что выполняется условие (1).
426
Ч
Согласно теореме |1, доказываем, что У (= >> 0,
(ИЕ
Ёр)
<=.
Пусть
|| (|<
М
ЕМ.,
УхЕВ”
ЗЕ ЕСь:
и функция f 06-
ращается в нуль вне м-мерной ячейки В. [По теореме Фреше существует такая последовательность функций ({,), что |, == + Ги + ЕС,
УпЕ\М№. Рассмотрим непрерывную финитную функцию А : В” >
—> В, все значения которой в ячейке В равны 1, и обозначим ф,‚ =
— Л. тах ([— М, ша {7 М}}
Pn
где
Хв, —
fy
Pn
EC
УпЕМ.
VneNn
XapakTepucTuyeckan
H
Очевидно,
lf—o,|’
(yHKUHA
что
<(2M)’
AYeHKH
Xz,
By,
BHe
которой
функция А обращается в нуль. По теореме Лебега / (| f — g, |?) =
= 0 (1). №
Обозначим через О = Р (В”) множество всех векторов из ©, у
которых представителями являются бесконечно дифференцируемые
финитные функции.
Теорема 3. Пусть т = 1. Множество О плотно в пространстве
L? (p = 1, 2). Kpome того, если } Е Ё Г] Г?, то существует такая
последовательность
(]„) векторов из О, что выполняется условие (1).
Достаточно доказать последнее утверждение, считая функцию
{ непрерывной и финитной, т. е. считая { Е С.. Пусть {| обращается
в нуль вне интервала ]а, [. Определим бесконечно дифференцируемую финитную функцию А следующим образом!
1
d(x,
a,
b)
—
е
1
и
0,
Oma"
»
если
если
ХЕ Ja, Of;
хЕВ\
Ja, Of.
Пусть г >> 0. Выберем такие числа аь-и бе, чтобы а < а, < aas 2 <
<o<bul|lf(xy)|<e
Vxe la, acl U Ibe, dl. Monaraem V x ER
(
fe (x)= %{
f (x)
А, (х, а, 6)
‚ если хЕ [аь, 6]
f (x)
Ta, a,b)
7 (х)
@.,
А
а, 8)
Функция
Ё непрерывна
Вейерштрасса
что
можно
| f(x) —A(x,
а, 6) Р.
› если
на сегменте
найти
|| (х) — Р, (х) | <=
» CCM X< ey
такой
[а, 6],
=^ (х,
anh
поэтому
алгебраический
УхеёШа, @.
(х) |<
|
х > be.
Пусть
а, 5) <е
по теореме
многочлен
хЕ (а, 6.1.
Ро,
Тогда
УхеЕ[аь, 64|.
Если x € Ja, al, To | f (x) —A (ae, a, 6) Pe (x)| < А (ав, а, 6)`< в,
поэтому
V x€
Ja, agl
выполняются
неравенства
24,
| A(x, a, 6) Pe (x)|<A (ae, a, 6) Po (x) <|f(x)| + &<
| F(x) —A (x, a, 0) Pe (x) |< de.
427
Аналогично
У хЕ ]6,, Ы
| f(x)
Таким образом,
0:, где
имеем
—A (x,
a,
b) P.
(x) |<< 3e.
бесконечно дифференцируемая
финитная
функция
до Зе
с точностью
равномерно,
6, (х) = Л (х, а, В) Р, (х),
аппроксимирует функцию ] на прямой В. Так как при каждом р =
— 1, 2 выполняется неравенство
ола”
1
b
= (л9—&
1
р
р.
oy Pas]
1
р
<de(b—a)’,
то утверждение теоремы доказано. }
Обозначим через Р [а, 6] множество всех векторов из & [а, 6],
представителями которых являются сужения алгебраических многочленов на сегмент [а, 6].
|
Теорема 4. Множество Р’[а, 6] плотно в пространстве Г? [а, ]
<
(р=1, 2).
Пусть f € L’ [a, В]. Продолжим функцию [а, 6] Т.В
нулем на
всю числовую прямую К. Согласно теореме 2, У = > 0 ЗЕ Е С, (В) 1
(И—ЬР)?
1
< в. Следовательно,
1
b
({ | F(x)— fe (x) FP ix
<e.
(3)
По теореме Вейерштрасса существует такой алгебраический
член Рь, что | | (х) — Р» (х) | <=
Ухё@а, 61. Поэтому
1
b
ити
—
(ПАР
(Pax)
<e(b—
Таким образом,
1
р
много-
a)’.
'
lf—Pe|<|f—felt+lfe—Pe]le+e(b—a’.p
Обозначим через Т (А) множество всех векторов из 5 (А), представителями которых являются сужения тригонометрических многочленов на
Теорема
Г’ (—-л, п)
А.
5.
Множество
(р=1,2).
Т [—п, п]
плотно
в
пространстве
% Пусть
Е Г? (—л, пл). Продолжим функцию [-—-л, п] +. В нулем
на всю числовую прямую В. Согласно теореме 2, Уё>0 ЗЕ
1
Е Сь (В) : (1(Ё— Ь 1) * < г. Следовательно,
1
(|
428
10) —feco Pax)” <
(4)
Пусть | (х)|<М
УхЕВ, В -л
и в Е]|—п, м
УптЕМ.
Обозначим через [,. 2л-периодическую непрерывную функцию,
совпадающую с {[. на сегменте [—л, 6,] и линейную на [6,, л].
Выберем такое п С №, чтобы | ].- — fre | < =. По теореме Вейерштрасса существует
такой
тригонометрический
многочлен
Т’и,г, Что
| Fase (X) — Tre (x) |<e
VxER.
Поскольку
У
—
Те
| <
1
—
Ле
|+
[fe
— fne|
+(}
+l
fne—Trel<2e+
1
—
д
]
р
| fre (x) — Tre (x) ра»)
—л
< 2-е
то утверждение справедливо. №
11.2. Полнота тригонометрической
Теорема 1. Пусть
(2л)?,
системы.
einx
—
е„ (х) =
—
хе
[-—л,
л],
п
Тогда тригонометрическая система (е„)„ех ортонормирована и полна в [2 (—п, п).
Ортонормированность тригонометрической системы доказана в
п. 9.6. Ее полнота следует из теоремы 2, п. 10.3, и теоремы 5 предыдущего пункта. }
Теорема 2. Пусть $, (х) =
Cy (x) =
=:
C, (x) =
у
|
2
sinnx
= cos nx
W(x€[0,
MV (x€[0,2)],n€N).
a],
ПЕ№),
Toeda cu-
cmemol BeKMOPOB (S,)neN, (Ca)nez, NOANOL U Opmonopmuposanol 6 L? (0, п).
л
Предположим,
У лпЕМ№.
что 1 Е Г? (0, л)
Обозначим
на интервал ]—n,
через
|,
и
{], $) = | Г (х) sinnxdx = 0
нечетное
л[. Очевидно, ato f, € L? (—n,
| fa (x) e-™*dx = 0
В
силу
теоремы
0
продолжение
1], =
О на
|— л, л[.
1) u
функции
]
Vne€ Z.
Следовательно,
Г =
0 на
]0, я[, т.е. } = 0. По определению, система векторов ($„)„ем полна в
[2 (0, пл). Аналогично заменяя в рассуждениях нечетное продолжение функции [| четным, получим доказательство полноты системы
векторов (с„)„ет, в Г? (0, п). >
11.3. Кратные ряды. Полнота кратной тригонометрической системы.
Определение 1. Пусть Х — множество. Отображение \" —f
назовем
кратной
(т- кратной)
последователь-
ностью элементов множества Х. Значение отображения в точке
п © №" обозначим через хь, а саму т-кратную последовательность —
через (п) пемт uUNU (Xp).
429
Определение 2. Пусть Х — векторное пространство. Последовательность векторов (5) называется т- кратным
рядом,
если существует такая последовательность (х„), что
fy
Sr
где
в, —1
=
п = (п, По, ..., Пт).
Кратный ряд векторов
Qn
-
nm!
обозначим
Ух.
Векторы 5, называются
Же... eos
mn)?
(1)
символом
(2)
его частичными суммами.
Определение 3. Пусть Х — нормированное пространство. Вектор $ называется суммой
ряда (2), если У
> 0
3Зп,.Е №:
УпЕ\" (пи
пе, j = 1, m)>(|S—S,|<e)).
Указанное определение суммы т-кратного ряда
предложено
А. Прингсхеймом (1850—1941).
Иногда сумму кратного ряда понимают следующим образом.
Пусть (2р„) — такая возрастающая последовательность ограниченных множеств, что В” = UJ D,.
neN
Вектор
— 2. №
называется частичной суммой ряда
О„. Предел последовательности (5„)
называется суммой ряда по системе
в приложениях встречаются суммы
|
ным
кругам,
отвечающие
случаю
VneN
(3)
(2), соответствующей множеству
при п — со, если он существует,
множеств ()„). Особенно часто
кратных рядов по пормирован-
р, = КИК]
<
п},
где
Существует еще одна точка зрения на сумму кратного ряда. Занумеруем члены т-кратного ряда (2) последовательностью натуральных чисел. Получим однократный ряд. Если он сходится и его сумма
не зависит от способа нумерации членов, то ряд (2) называется
безусловно сходящимся.
Пусть (е„) — т-кратная ортонормированная последовательность
векторов гильбертова пространства Н ихЕН. Числа (х, ез) называются коэффициентами Фурье, а т-кратный ряд
У (х, ев) еп
(4)
— рядом Фурье вектора х. При любой нумерации е„ получим ортонормированную систему векторов. Принимая во внимание свойство безусловной сходимости ряда Фурье, его сумму всегда можно
понимать в смысле последней точки зрения на сумму кратного ряда.
Для полной ортонормированной системы векторов эта сумма существует и равна вектору х.
430
Пусть Х и У — измеримые множества конечной меры соответст-
венно в пространствах В” и В*.
Теорема 1. Если системы векторов (1) и (&;) (п Е №”,
Е №”)
ортонормированыи
то
полны в пространствах Г? (Х) и [2 (У),
си-
стема векторов (Фе) кем" где т = та + ть, фу =
Х gj, k=nx J;
ортонормированная и полная в пространстве Г? (ХХ
У).
<q Ортонормированность системы (ФЕ) кем” доказана в п. 9.7. Убе-
димся в ее полноте.
Пусть
С 1? (Х ХУ)
почти
и {1, м) =0
всех хЕХ
УЁЕЕ\№”. Полагаем для’
F(x) =\fie@e;dy
VIEN™.
Y
Так как функция ig; €L(X
Хх
(5)
У’), то по теореме Фубини Е; EL (xX).
В силу неравенства Шварца имеем
РФР = (| [fix (y) P dy) |} lg; (yl? ay) = | [fix(y)
dy.
(6)
Интегрируя неравенство (6) и принимая во внимание теорему Фуби-
ни, получаем, что Р.Е 1? (Х)
УЕ".
Поскольку
Fy fn) = j ax | F(x 9) e;Q) in) dy =f, o) =0
Ven”,
то из NOJIHOTI CHCTeMEI (f,,) B пространстве Ё? (Х) следует равенство
Е; = 0. Пусть
Е, (х) =0
УЕ
№".
Тогда из полноты
системы
) jen™® пространстве 22? (У) следует равенство ]\ ‚х == 0 на У. По
теореме Фубини f =— Qua X X У, т. е.] = 0. Согласно определению, система векторов (Фен
полна в пространстве L?(X xX У). p>
Теорема
Пусть
=
(ny,
©
Ри =А
...у Пт)
(о
полноте
кратной
тригонометрической
Хх... Х Аи, АЕВи|А|=2л
Е Zs
т
t=
(%1,
...)
Ат),
Cn
(x)
—
У] =1
системы).
тп
=
—. Гогда кратная
(Qn)=
тригонометрическая система векторов (еп), ст” ортонормированная
и полная в пространстве [2 (Ри).
4 Ортонормированность системы векторов (е„) „с2”
УСТановлена в
п, 9.7. Доказательство ее полноты получаем методом математической
индукции из теоремы 1, п. 11.2, и предыдущей теоремы. >
Формула для коэффициентов Фурье по кратной тригонометрической системе, запись ряда Фурье и равенство Парсеваля — Стеклова
431
соответственно
en (f)
имеют
т
вид
=— — ( [(аде-те
ат, ве", в (ау о. Жи),
т
ПХ = Ша--
{—
У
***
TE Пали,
(7)
сета,
(8)
IfP= nez™
D leak.
(9)
пет
Ряд (8), понимаемый как ряд векторов пространства [2 (Р„), сходится к вектору {. При этом обычно говорят, что ряд Фурье функции
[ сходится к ней в среднем (в среднеквадратическом).
$
12.
Преобразование
Фурье
в пространстве
Ё
Преобразование Фурье { функции [ (см. п. 2.1) широко применяется
в математике в силу своих замечательных свойств, часть которых
будет рассмотрена здесь.
q
Теорема 1. Если „ЕЁ (В)
Поскольку
|/„—
71| =0(1),
УтЕМи| и —1|=0(1), той, =.
то У > О3Зл- Е№:
У п> и,
РЕ№
|1, — № | < е. Тогда для последовательности преобразований Фурье (.) функций ]„ выполняется критерий Коши равномерHOH CXOJHMOCTH:
LF nto (8) — fy (2) | = у { fos o(x) ede — Viz
| fr, (x) e~™ dx |< TH | | fn-p (X)— fy (x) [dx = =
|
x
x fae
Теорема 2. Если
@
Henpepprpxocth
tte
JA] -f 00
f,
x
>
€ L (IR), mo f €C (IR) u lim
dyxkuuu
x
f(A) = 0.
где
iO) =a | Feedx, BER,
$
1
—tAXx
следует из теоремы о непрерывности интеграла Лебега как функции
параметра А, а ее стремление к нулю при | ^ | —> +0 — из теоремы Римана — Лебега (см. п. 2.2). №
Теорема 3. Пусть функция | абсолютно непрерывная на любом
сегменте числовой прямой В и [Е Г. (В). Если РЕГ (В), то
f(A) = iaf(A)
432
WAER.
(1)
<
Убедимся вначале в том, что Нш
f(x) = 0. Пусть х, — + о.
14
оо
Тогда, в силу абсолютной непрерывности функции [, справедливо
равенство
i (Xn) = [(0) + ГР)
УпЕМ.
(2)
Поскольку [Е Г. (В), то из равенства (2) по теореме Лебега получаем,
что Шт f (x,) = | (0) | 1 (Ро) = А.
Следовательно
Эш
х--оо
| (х) = A,
Ex, + ool
Предположим,
|f(x)|>
Ee
что А 52 0. Тогда
Зм Е В 1 УхЕ
‚ в силу чего J (|f |) = + oo. Послед-
нее противоречит условию [Е Г, (В). Таким образом, Пт
Хх -Ноо
Аналогично убеждаемся, что Нш
х— со
[Ё(х) = 0.
}(х) = 0. Равенство (1) получим,
применив формулу интегрирования по частям для абсолютно непрерывных функций:
оо
Ру
| Ре мах = У
х=А
==
limlim
( (хех
+ in ВИ
mn
= {АТ (А). №
x=—A
дит
Из доказанной теоремы следует, что преобразование Фурье сводифференцирование
Функции
к
более
простой
операции
— умножения
на {^. Указанное свойство находит применение в теории
обыкновенных
дифференциальных
частными производными.
Теорема 4. Пусть {Е С® (В).
f(A) = (iA) FO)
уравнений,
Если
а также-уравнений
РЕГ(В)
У1ЕЁ.,
V(nEN, AER),
Равенство (3) получаем
из теоремы
3 по индукции.
то
(3)
f(A) = 0(— 7) при 1А|- +00.
<q
с
(4)
Свойство
(4)
следует из теоремы Римана — Лебега, примененной к функции {®,
и формулы (3). №
Теорема 3 устанавливает зависимость скорости стремления к
нулю преобразования
мируемых
нулю
Фурье от гладкости функции: чем больше сум-
производных
ее преобразование
имеет функция
Фурье
, тем быстрее стремится
{ на бесконечности.
Докажем,
к
что
справедливо двойственное утверждение: чем быстрее стремится к
нулю функция / на бесконечности, тем большей гладкостью обладает
ее преобразование Фурье |.
433
Теорема 5. Пусть РЕГ. (В) \ МЕГ (В). Тогда преобразование
Фурье | дифференцируемо и выполняется равенство
(FY = (— ixf).
(5)
4 Существование производной функции } и формула (5) следуют
из теоремы о дифференцируемости по параметру А, интеграла Лебега
FO) =a
“aA
одетая. >
(6)
Пусть & — множество комплекснозначных бесконечно дифференцируемых функций на В, убывающих при | х| > - oo вместе
.
|
с любой из своих производных быстрее, чем любая степень ГГ.
Из доказанных теорем следует утверждение, формулируемое ниже,
которое будет использовано в следующей главе при построении теории преобразования Фурье обобщенных функций.
Теорема 6. Преобразование Фурье есть биекция пространства
$ на себя.
$ 13. Преобразование Фурье в пространстве Ё.
Теорема
Планшереля
Применение рядов Фурье в приложениях можно рассматривать
как метод, позволяющий заменить трудную задачу для векторов из
[2 (—п, л) на более простую задачу для последовательностей из Р.
Здесь усматриваем аналогию с методом Декарта, посредством которого геометрические задачи сводят к алгебраическим. Равенству
Парсеваля — Стеклова и его обобщениям принадлежит важная
роль в приложениях, поскольку с их помощью получаем координатные формулы для вычисления длин и скалярных произведений
векторов из пространства Г? (— л, п).
Наша цель — обобщить равенство Парсеваля на случай, когда
вместо коэффициентов Фурье вектора / Е Г? (—л, л) рассматривается преобразование Фурье вектора из [2 (В). При таком обобщении возникает затруднение, связанное с тем обстоятельством, что
для вектора 7 Е Г? (КВ) функция /е-{"* может оказаться не суммируемой, в результате чего преобразование Фурье этого вектора не существует. Простейший выход из этого затруднения состоит в рассмотрении векторов 7 Е Ё (В) Г Г (В). Отметим, что Ё (— м, я) П
Й Г? (—, л) = Г? (—л, л), поэтому в теории рядов Фурье указанного затруднения не возникало.
Теорема 1 (равенство Парсеваля — Планшереля). Если 7 Е
ЕГ (В) П Г? (В), mo 7 Е Г? (В) и справедливо равенство Парсеваля — Планшереля
If lis = [flrs
434
(1)
Ч Вначале убедимся в справедливости утверждения для бесконечно дифференцируемой финитной функции ]. Так как ГЕ Г (В),
TO } является непрерывной функцией. Поскольку функция Г дифференцируемая, то по признаку Липшица ее повторный интеграл
сходитсяк [(х) УхЕВ, т. е.
=,
Согласно
Поэтому
теореме
fc Г (В)
lim Sie edn,
4, § 12,
и
==
— _ 1
Fay
= 0 ( a)
| Fae
$
thx
(2)
при
[4
-—
-
;
4% УхЕВ.
oc.
(3)
Отметим, что функция (А, х) > F(a) F(x) efx, (i, х) Е В?*, суммируема
на плоскости В*. Применив равенство (3) и теорему Фубини, полуЧИМ
пб = [лоотодах = [ (уе (Роем) оф =
IR
1
=
IR
F(X)
F
| an | F(A)
F(x)
ef Kdy «>
IR
{Fa
me \ F
|
oS {iene
_!
a ax] dh
—tAx
—
= \ F(A) F(A) dd =| lie.
Для
рассмотренного
Если
ЕЁ
(В)
П
частного случая
Г? (В),
теорема доказана.
то существует
такая
последователь-
ность ({,„) бесконечно дифференцируемых финитных функций, что
|7 — Л, lye =o(l)
(р=1,2).
При р = 1
последнее соотношеa
ние по теореме 1, $ 12, влечет за собой свойство ], — f. IIpu p= 2
из указанного соотношения получаем фундаментальность последо-
вательности векторов ({„) в пространстве Г? (В). Согласно
равенству
(1), доказанному для бесконечно дифференцируемой финитной функции, имеем
|
[foto— fal p2=V foto= Дыра == | ар Да
(4)
откуда следует, что последовательность ({„) фундаментальная в
пространстве [2 и в силу его полноты сходится к некоторому вектору 8 Е Г? (К). Докажем, что | — g. Очевидно, что V т Е К\ выпол-
няются
соотношения
tim | |70)—7,@) Par =0,
(5)
tim J |gQ)—F,Q) Pad =O.
(6)
435
Действительно,
a
соотношение
(5)
является
следствием
того,
aA
что
|, — {, a cooTHomenne (6) nomyyaem u3 cBolicTBa | f, — g |pz = 0 (1).
В силу единственности предела из соотношений
(5) и
(6) получаем,
что f (A) = g (A) для почти всех АЕ |— т, т. Поскольку т Е № —
произвольное, TO | — &. Таким образом, $. — / в Ё? (В). Из свойства
непрерывности нормы получаем, что
Ра
И» И
ь=
(7)
Поскольку функции f, бесконечно дифференцируемые и финитные,
то | р, [12 = | 7+ |2. Принимая во внимание соотношения (7), получаем равенство (1). №
Поскольку существуют векторы ] Е Г? (В), не имеющие классического
преобразования
не обязательно,
чтобы
Фурье,
а для
f € Ё (В),
векторов
то возникла
ГЕ Ё
(В)
проблема
П
Г (В)
обобщения
преобразования Фурье для векторов из L? (К), успешно решенная
в 1910 г. М. Планшерелем (1885—1967).
Определение. Интеграл
т1
J fee
—_—_
—~—ihx
dx
(8)
называется сходящимся
в
пространстве
если существует такой вектор & Е 1? (В), что
Но Пу| 7
lim
А)
—
——
x)
e~*xdx|
2
di =
0.
Г’ (В),
(9)
9
В этом случае будем писать
8
(A)
[2
“foo
— _
—
У2л
}
е
—Ах
ax.
(10)
Теорема 2 (Планшереля). Для любого вектора } Е Г? (В) существует преобразование Фурье } Е Г? (В) такое, что
„
1
Го) = у)
—
+00
ое,
(11)
— tnx
и выполняется равенство Парсеваля — Планшереля
[7.2
— If lp
(12)
Полагаем
Ё(х), если |х|
< п,
Г. (®) =
436
0,
ecm
x€R\
J—2,
al.
Поскольку нЕ Ё
= (fal
(В) П Г? (В), то по теореме 1
Wn2eEN.
Tak
kak
f, € LE? (R)u| f, ln =
[fare —Salps =" n+ Дн) [а == Ир 14|» У (ЕЮ, РЕЮ
и |7 — Х.Г? = 0 (1), то последовательность векторов (]„)фундаментальная в Ё? и имеет в этом пространстве предел, который обозначим
через 7. Согласно определению, выполнено равенство (11). Перейдя
к пределу в равенстве | 7, |у2 = | 1 |г2 при п — со, получим фор-
мулу (12) №.
ным
Понятие преобразования Фурье суммируемой функции очевидобразом распространяется на многомерный случай. Если {Е
ЕГ(В”")
(т->
1), то полагаем
f(k) =——~
| fae’?de VER",
(Qn) 2
re N= (Ags
Функция
Ё: В” — С.
00 y Mls B= (Xp ..., Ха), (0% 2 = > Ах.
| называется
Наиболее
преобразованием
важным
в теории
Фурье
3 (равенство
Парсеваля
векторного
аргумента).
ТЕГ? (В”)
и справедливо равенство
Если
ЕЁ
| filrear т)
—
отображения
преобразований
ляется равенство Парсеваля — Планшереля.
многомерном случае.
Теорема
(13)
IR™
Оно
Фурье
справедливо
— Планшереля
(В”) П Г? (В")
для
(m>
яв-
и в
функции
1),
mo
Парсеваля — Планшереля
| f [вт
°
(14)
Применим метод математической индукции. Для т = 1 утверждение доказано в теореме 1. Пусть оно справедливо для некоторого
значения т > 1и
ЕЁ (В”"") П Г? (В”"). Согласно определению,
преобразования Фурье
Но, 8) = —-
\
(хех,
(15)
глелЕ В”, $ ЕВ, хЕ В", ЕЕВ. Поскольку f € L (R”*') 9) L? (В” т"),
то по теореме Фубини для почти каждого значения ЕВ
fos €
ЕГ, (В”) П Г? (В”). При этом
def
for (x) =F (x, 2
Обозначим У ЛЕВ"
V(xER", CER).
(16)
и для почти всех #6 В
ф(^, й =
т
(2m) 2
\ fo, (хе
dx,
(17)
IR™
437
Интеграл
Ли
в правой
части равенства
Е существует в силу теоремы
(17) для
Фубини
указанных
значений
и предположения,
что 7} 6
Е Г, (В""'). Для почти каждого значения # Е В функция фо+ является преобразованием Фурье функции р. Поскольку 7 Е Ё (В""') П
П
12 (R"*"'),
то по
теореме
Фубини
для
почти
всех
ЕЕ В
for €
€
(В”) П Г? (В”). Согласно индукционному предположению, для
почти каждого фиксированного значения ЁЕ В фз.
Е Г? (В”) и
выполняется
равенство
пы
Парсеваля — Планшереля!
ра = J | fos (x) Pde.
(18)
вт
IR™
Интегрируя равенство (18) по переменной Ё Е В и принимая во внимание теорему Фубини,
получим
\ at
(19)
| 7 IP LUR@+)).
| | Ф2,: (A) | di =
IR™
После изменения порядка интегрирования равенство (19) принимает
ВИД
Речь = | ad) |, Эра
вт
(20)
IR
Из равенства (20) следует, что для почти каждого А Е В” имеем
фил 6 Г? (В). Кроме того, для каждого ^ Е В” по теореме Фубини,
примененной к функции
(х,
получим,
что
>
де",
фил 6 Ё (В).
хЕВ", ЕВ,
Следовательно,
для
почти
всех
АЕ В”
имеем фл Е Ё (В) П Г? (В). Так как при каждом АЕ В" функция
й.х есть преобразование Фурье для фил, то по теореме | справедливо
равенство =
ИР» © раз = IR| [фьх @ 4
в
В силу равенства (20) и теоремы
9
aA
Фубини
If lzeaRe+) = | dn | [Рад (8)
(21)
имеем
^
2
4$ = |7 рав”.
p>
В многомерном случае, как и в одномерном, возникает проблема
определения преобразования Фурье вектора } Е [2 (В”), поскольку
для |
может
не существовать
интеграл
(13), понимаемый
в смысле
„Лебега. Решается эта проблема тем же методом, что и в одномерном
случае.
Определение 2. Интеграл
т
(Qn) 2
438
| Адер
IR™
(22)
называется сходящимся
СГ? (В"), если
lim | |g@y———
пс
IR™
(Qn)
2
в пространстве
|
Г? (В")
к вектору
f@e tarde! an=0.
(93)
J—a,n[™
В указанном случае будем писать
[2
= — = | {феылаз
(24)
(2m)2 В”
и называть вектор & преобразованием Фурье для } С Г? (В”).
Теорема 4 (Планшереля).
Для любого вектора
f € L? (IR”)
(т >
1) существует преобразование Фурье 7 € LE? (IR") такое, что
„Ш
=
| Где,
и при этом выполняется
(25)
равенство Парсеваля — Планшереля
IF loamy=F ради
q
Ilonaraem
(26)
VneN
f(x), ecnn x€]—n, n{",
In (x) = | 0,
Поскольку
„©
Ё (В”)
если
ХЕВ”\ ]|-— п, 8".
П Г? (В”), то по теореме 3
1.12 (В") и |7. авт = Иа
Так как в силу той же теоремы 3 У (пЕМ,
УСМ.
p € N)
| fnt+o—Fn | Глав”) —— | fnto—Tn | ГРавт) — If пр —
uilf—fn
[арт
= 0 (1),
то
Fn | LR”)
последовательность
векторов
(7„)
фундаментальная в [27 (В”) и имеет в этом пространстве предел, ко-
торый
обозначим
через ]. Согласно определению,
венство (25). Перейдя к пределу в
при п — со, получим
В следующей
ниям Фурье
функции.
выполнено
равенстве | 7, [арт
ра-
= | 7 |”
равенство (26). }>
главе укажем новый подход к рядам и преобразова-
с использованием
современного
понятия
обобщенной
В классическом математическом анализе нет возможности
выразить в
оф
фФфофофоф
@
8
@@88@
©
эф
“©
©
ee
“ec
@@eeeeees
e@@@Q@eeeeene
корректной
ОБОБЩЕННЫЕ
ФУНКЦИИ
форме
ванные понятия,
такие
как
идеализиро-
плотность мате-
риальной точки, точечного заряда, ин-
тенсивность мгновенного
источника
и т. д. Кроме того, важнейшие для
приложений
операции
дифференциро-
вания,
разложения
периодической
функции в ряд Фурье, преобразование Фурье не всегда выполнимы, и в
общем случае дифференцирование не
коммутирует
с операцией
предель-
ного перехода. Это обстоятельство
затрудняет их использование в решениях прикладных задач.
Одним из значительных достижений математики ХХ в. является создание теории обобщенных функций
(распределений), которая интенсивно
развивается в связи с потребностями
теоретической
и
математической
фи-
зики, теории дифференциальных уравнений, математического анализа и теории вероятностей. Она прочно вошла
в обиход математика, физика, инженера и заметно изменила взгляд на
идеи и методы математического анализа.
Английский
физик
ZI]. Дирак
(р. 1902), теоретически предсказавший
существование античастиц, в своих
квантово-механических
исследованиях существенно использовал д-функцию, обладающую следующими свойствами: она равна нулю всюду, кроме
точки х = 0, и для любой: непрерывной функции ф выполняется равенство
-Ё оо
Вскоре
что
с
зоофа =.
математиками
математической
(А)
было указано,
точки
зрения
это определение лишено смысла. Потребовались усилия многих математиков чтобы
найти
математически
корректное определение `б-функции,
ее производных и вообще
обобщен440
ной функции. В явной и теперь общепринятой форме обобщенные функции ввел в рассмотрение советский математик С. Л. Соболев (р. 1908) в 1936 г. Дальнейшее развитие теории обобщенных
функций связано с работами французского математика Л. Шварца
(р. 1915), отмеченными в 1950 г. Филдсовской премией. Следуя
Л. Шварцу, обобщенные функции называют распределениями. Новую точку зрения на теорию обобщенных функций предложили
польские математики Я. Микусиньский (р. 1913) и Р. Сикорский
(р. 1920). Значительный вклад в развитие теории обобщенных функций и ее приложений внесли советские математики И. М. Гельфанд
(р. 1913), Г. Е. Шилов (1917—1975), В. С. Владимиров (р. 1923) и
многие другие.
5 1. Пространство
О’
обобщенных
функций
1.1. Понятие обобщенной функции. Математически корректное
определение д-функции Дирака следует из формулы (А), если отказаться от требования определения значений функции в отдельных
точках и рассматривать д-функцию как отображение множества
функций, непрерывных в нуле,
в множество В (или (;), которое
каждой такой функции ф ставит в соответствие число ф (0). При
этом левая
часть формулы
ния отображения
(А) есть своеобразное обозначение
6 на функции ф, т. е.
+ со
-_ OO
Отображение
значе-
def
5 (x) p (x) dx = 8 (~) = @ (0).
произвольного
множества
(1)
в множество
№
или
(; на-
зывается функционалом. Идея введения обобщенных функций как
функционалов над некоторыми пространствами функций, называемых основными, оказалась
очень плодотворной. Она позволила
расширить область применения классического математического анализа и одновременно упростить решения многих задач естествознания.
Развитие теории
ходимости
выбором
обобщенных
раз и навсегда
функций
показало,
ограничиваться
каким-то
что нет необ-
определенным
пространства основных функций, а целесообразно
варьиро-
вать его в зависимости от рассматриваемого круга задач. В настоя-
щем параграфе рассмотрим правило выбора основного пространства,
построение обобщенных функций, связанных с операцией диффе-
ренцирования и называемых функциями класса О’. В следующих
параграфах рассмотрим обобщенные функции для решения пробле-
мы Фурье, связанной с тригонометрическими
ния
преобразования
строения
ретных
1.2.
и других
задач.
Фурье
После
этого
рядами,
станет
и для обобще-
ясной
схема
классов обобщенных функций для решения
Пространство
О основных
функций.
В
классическом
по-
конк-
мате-
матическом анализе не каждая непрерывная функция |: К - С
(или [:К — В) дифференцируема. Напротив, существуют непре-
441
y
рывные функции,
не
мые в каждой точке.
дифференцируе-
Кроме того, если
р, — Ь то не обязательно {, -* [.
Расширим
класс
непрерывных
функций до совокупности обобщенных
х
Рис. 68
— функций О’, а также обобщим понятия
производной и равномерного
предела
так, чтобы устранить указанные выше недостатки. Обобщенные функции окажутся линейными непрерывными функционалами, заданными на векторном пространстве 2
CO CXOJHMOCTbIO.
Определение. Основным
пространством
D=
= О (К) называется пространство бесконечно дифференцируемых
финитных функций со следующей сходимостью: последовательность
(ф„) называется с ходящейся в0, если существует компакт К,
вне
которого
Qn
—_>°
(т) —
все
функции
ф, (ПЕ №)
равны
нулю
и
VmEZ,
Объясним правило выбора пространства D. Оно обладает следующими свойствами: 1) замкнуто относительно ‚операции классическоTO дифференцирования, т. е. если фЕ р, тоф' Е О; 2) если [ЕС (В),
то
УФЕО 3 у | (х) ф (х) 4х,
3) если ф‚
> 9B D, 10 9, >
оо
lim J
понимаемый
как
вр; 4) если {СС
оо
интеграл
(В) иф, —
д сд ах = | Кд Фод а.
Лебега;
@BD, To
(1)
В качестве основного пространства В выбран максимально широкий класс функций (в классическом смысле), обладающий свойствами 1) — 4). Можно было бы взять в качестве основного пространства подпространство О. Однако при этом расширится класс обобщенных функций вопреки потребности устранить недостатки операции
классического дифференцирования
путем добавления
к непрерывным функциям как можно меньшего количества обобщенных
функций.
Приведем примеры основных функций. Пусть
w(x)={
1
0,
, если |х| <
KP—l
если ХЕВ\ ]-—
2)
1, 1
где постоянная с выбрана так, что
= со
\ о) 4х=1.
—оо
(3)
График функции ® изображен на рис. 68. Из-за его вида функцию
&« называют шапочкой. Мы рассматриваем случай функции одной
переменной,
442
но все рассуждения
можно без затруднения обобщить
:|
на функции
многих
переменных.
При этом в определении
шапочки
2
2
2
следует считать х = (ж, хо, .... т), | Р=м
о... + Xm.
Другие примеры основных функций можно получить из шапочки
следующим образом:
oe(x) = + o(+),
e>0,
xER.
(4)
@MyHKUHA We, называется =-шапочкой. Много других примеров основных функций можно получить из непрерывных функций [1 В -— ¢
(или {1 В — В) и г-шапочки, полагая
fe(x) = т f (0) @e (¢— x) dt.
(5)
Функция [ называется
регуляризацией функции { посредством
г-шапочки.
Теорема 1 (о регуляризации). Пусть {1В -— С (Е: В -— В) —
непрерывная функция, а + — ее регуляризация. Тогда
lim fe (x) = f (*)
оо
Поскольку
УхЕК.
+00
\ We (¢— x) dt = J
(6)
+ со
—o
(4=*)
at =
\ o(t)dt=1
V(e>O0,
x€R),
TO
F)—fe()[=|
-f-00
x-+-e
| F)—FO)
oe ¢—x at] =|) F~—FO)x
X We ($— x) dt} <
sup
—е.х--2[
| f(x) —fF@|.
При г >> 0 правая часть полученного неравенства стремится к нулю,
в силу непрерывности функции [ в точке х. Следовательно, справедливо равенство (6). №
Пусть [ЕС
(В). Определим функционал [ формулой
+ со
P(g)= | фах
Согласно теореме
ния
функции
| (х)
и функционалом
K=R
1, функционал
УхЕВ,
УхЕР.
(7)
[* определяет однозначно
т. е. соответствие
/* взаимно однозначное.
ми К =С.
Как
между
значе-
функцией
и раньше,
считаем
}
Теорема 2. Пусть [ЕС (К) и функционал [* определен формулой
(7). Тогда V (9;€ D (j = 1, 9), KEK)
f* (G1 + 2) =/* (91) + F* (2),
Р* (41) = Af* (Gy).
(8)
(9)
443
Кроме того, если ф„—
Ф в пространстве О, mo
Jim * (Pn) = F* (9).
(10)
< Утверждение непосредственно следует из свойств интеграла Лебега и определения пространства В. Pp
Равенства (8), (9) означают линейность функционала ]*, а соотношение
(10) — его непрерывность
(по Гейне).
1.3. Пространство О’ обобщенных
Определение 1. Обобщенной
зывается любой
линейный
непрерывный
пространстве О основных функций.
Рассмотрим примеры обобщенных
функций.
функцией
функционал,
fED'
заданный
xaна
функций.
Пример 1. Непрерывная в классическом смысле функция /{, понимаемая как
обобщенная, есть функционал }*, определенный формулой (7), п. 1.2. В частности, синус, как обобщенная функция, является функционалом /*, определенным
формулой
-+00
f* (9) =
|
ф (х) зтхах
УфеЕР.
— со
Пример 2. б-функция Дирака представляет собой обобщенную функцию,
которая каждой функции ФЕ О ставит в соогветствие число ф (0).
Пример 3. В теории электрических цепей используется функция Хевисайда 0
(единичная ступенька или функция включения). Она определяегся как обобщенная функция по правилу
+00
8 (9) =
\
0
ф (хх) ах
УФЕ.
Функцию Хевисайда (в классическом понимании функции) можно отождествить
с характеристической функцией Xr, oo, MHOKeCTBA всех неотрицагельных чисел,
поскольку
-+00
9 ($) =
\
Ж0,-+со (%) Ф (х) ах
УфЕР,
—со
Определение
интегралом
2.
Если
от
[Е О)’,
ФЕО,
произведения
то
число
[(Ф)
| и обозначается
называется
-+- 00
\ [фах = (р, 9) = = F (9).
(1)
Например, логарифмическая функция, рассматриваемая
как
обобщенная, есть функционал, ставящий в соответствие каждой
функции ФЕД число
-Нсо
(In|x|, 9)= J} |199)4х.
(2)
Правая часть этого равенства может быть истолкована как интеграл
Лебега или как интеграл от произведения логарифмической функ444
ции, понимаемый в смысле обобщенных функций, и основной функции ф, понимаемой в классическом смысле. Далее, согласно определению 2, справедливо равенство
-Ё со
| 8p(x)dx = 9(0) VoED,
(3)
—00
соответствующее части того определения, которое [1. Дирак дал
б-функции.
Определение 3. Пусть ГЕО’, К = С или К = В. Функция |1
: К —К, где
+00
fe (x) =
называется
В
з-регуляризацией
качестве
примера
вычислим
(4)
УхЕВ,
| foe (¢ — x) df
обобщенной
функции
|.
#-регуляризацию д-функции;
с
бе (х)= | 60. ((—х)
41 = в. (х)
—со
УхЕВ.
(5)
Таким образом, =-шапочка является 8-регуляризацией 6-функции,
и это обстоятельство объясняет роль шапочки в теории обобщенных
функций. Отметим, что первое определение д-функции, указанное
в начале главы, представляет собой описание поточечного предела
=-шапочки при & -> 0. Оно не является корректным, о чем было сказано выше. В следующем пункте введем понятие предела в прост-
ранстве О’, после чего
равенство
6 =
Нш
2—0
®,,
понимаемое
в новом
смысле, станет другим корректным определением б-функции Дирака.
1.4.
щенные
2’ — как
функции
и умножать
векторное
пространство
[Е О’, 6 Е 0’ можно
(Г- &, Ф) = (Т, $) + (8, Ф
на числа ЛЕ К!
со сходимостью.
складывать
УФЕБ
Обоб-
по правилу
(1)
(Л, Ф) =^(, Ф)
УФСБ.
(2)
jim (/„, Ф) = (7, Ф)
УфхЕБ.
(3)
Проверка линейности и непрерывности функционалов Ё- g, Af,
определенных равенствами (1), (2), является простейшим упражнением на понимание определения обобщенной функции и предоставляется читателю.
Множество обобщенных функций вместе с операциями сложения
и умножения на числа поля [К становится векторным пространством.
Введем в нем сходимость.
Определение. Пусть [< 0’, НЕО’
УтпЕМ. Последовательность (},) называется сходящейся (в 0”’))к обобщенной
функции
р, если
Указанная сходимость часто называется
стью последовательности функционалов или
поточечной сходимослабой сходимостью.
445
Теорема. Пусть в, Е 10, |
УпЕ\№и
6 = Шио.,.
в
0. Тогда
(4)
по
q
Пусть
ФЕВ.
Тогда
гп
-+00
2
\ Oe_@ (x) dx = —— | ф(х)е
(@e,, 9)=
о
en
—1
dx=
п
= 6 \ ф (2,6)е 1—1 44.
Так как У (пе №, ЁС ]1— 1, И) справедлива оценка
1
|p (et) e т"! |< тах [ф (0 |,
1
то по теореме Лебега
.--
1
l
-f-00
lim (2,9) =¢ | lim p(eg)e "=" dt = 90) | odt=—O=
fl-> 00
—|
П-оо
—00
= 5(9).
Согласно определению сходимости в пространстве О’, выполнено
равенство (4). p>»
Таким образом, если определение 6-функции, данное в начале
главы, рассматривать как словесное описание поточечного предела
lim
@,
И
заменить
его
на
предел
В
пространстве
р’,
TO
получим
2—0
ректное определение функции Дирака. Отметим, что О”
является векторным пространством со сходимостью.
(каки
кор-
О)
1.5. Операция дифференцирования
в пространстве О’. Если
функция [, понимаемая в классическом смысле, абсолютно непрерывна на каждом конечном интервале, то У фЕ О, обращающейся в
нуль вне интервала
гл. 8)
-- о
|— а, а[, справедливо
равенство
(см. п. 13.3,
а
годах= | Гоа =
а
=—
+ оо
=—
} [(х) фах
\ fop'dx.
(1)
Правая часть равенства (1) имеет смысл, если [Е О”, p € D u onpe-
деляет значение на функции ф нового линейного непрерывного функционала, который следует назвать производной [.
Определение.
Функционал
определенный
(Г, $) =—(,$')
называется производной
446
|,
УФЕБ,
формулой
обобщенной функции р
(2)
Очевидно,
что функционал
[ линейный.
Убедимся
в его непре-
рывности. Пусть ф‚ —>ф (в 2). Тогда ф, > g’ (B В) и
(9—9 те Ш, 9,9
f
УФЕР,
что означает по определению непрерывность функционала }. Следовательно, каждая обобщенная функция имеет производную, также являющуюся обобщенной функцией. Поэтому любая обобщенная
функция бесконечно дифференцируема. Приведем примеры вычисления производных.
Пример 1. Вычислить производную функции
По определению производной имеем
Хевисайда,
= со
6,9 =—O,9)=— | of &e=90=6,9
0
г.е. 0’ =
6. Полученное равенство может служить новым определением б-функции
Дирака.
Пример
2. Вычислить
производную
Согласно определению производной,
б-функции.
получаем
(0'’, Ф) = — (6, $’)
= —$’ (0)
Таким
VoED,
образом, 6
есть функционал,
ФЕД
число —$Ф” (0).
J—a,
al, число
ставящий
VED.
в соотьетствие
каждой
функции
Пример 3. Пусть функция } абсолютно ‚непрерывная на любом конечном интервале числовой прямой К. Вычислить Ё в смысле производной обобщенной
функции.
Согласно формуле (1), классическая производная f/f’, определенная почти
всюду и суммируемая на каждом конечном интервале (т. е. локально суммируемая), является обобщенной производной, если ее понимать
как функционал,
ставящий в соответствие функции ФЕД, обращающейся в нуль вне иниервала
а
| f° (x) @ (x) dx.
—а
ч
1.6. Дифференцирование под знаком предела.
Теорема. Если |, — | (в О’), то в — Е (в О’).
Пусть ФЕД. Тогда
((/», Ф) = — (1, $’) (— (Ё, Ф') = (Ф, 9),
т. е. по определению [, — { (в 2’).
Pp
Таким образом, устранены те недостатки классического дифференцирования, о которых упоминали в начале параграфа: каждая
обобщенная функция имеет производную и операция дифференцирования перестановочна с операцией предельного перехода.
1.7. Регулярные обобщенные функции.
определенного интеграла Лебега.
Дифференцирование
не-
Определение. Обобщенная функция [Е О’ называется регулярной,
если существует такая локально суммируемая функ447
ция
6,
что
(9 = (ве (<ах
IR
УхЕр,
(1)
где интеграл понимается в смысле Лебега.
Теорема 1. Если функция в локально суммируема,
то равенство
(1) определяет линейный непрерывный функционал.
® Линейность функционала (1) очевидна. Убедимся в том, что он
непрерывный. Пусть ф„-—-ф (в 0). Тогда существует интервал
]— а, а[, вне которого
все
функции
ф,„ обращаются
в нуль.
Так
как ФЕ С(В) УпЕ№иф, Зф, то ЗМЕВ![&
(%) Фь (х | <
< М] 5 (х)| УхЕ] —а, а[. По теореме Лебега имеем
lim | g(x) Gq (x)dx = lim | g(x) @, (x) dx =
fi-r 0O
IR
Rw
*
= | lim g (х) ф„ (х) ах = | & (x) P(x) dx,
IR
~
что означает непрерывность функционала (1). №
Согласно доказанной теореме, каждую локально
функцию
можно
рассматривать
как обобщенную,
суммируемую
понимая
под
ней
регулярный функционал }, определенный формулой (1). Из дальнейших теорем станет очевидным взаимно однозначное соответствие между регулярными функционалами и векторами из 5 (№), соответствующими локально суммируемым функциям.
Напомним, что функция [ называется неопределенным интегралом Лебега на В локально суммируемой функции в, если
о = +)«0% Ух>0 и =]
]0,.x
Равенства
(2) запишем
]^,6
804 Ухо,
(2)
короче в виде
Г) = (0) + 804
УхЕБВ.
0
(3)
Теорема ® (о производной неопределенного интеграла Лебега).
Пусть функция | является неопределенным интегралом Лебега локально суммируемой функции в. Тогда [= & (в смысле теории обобщенных функций).
<
Пусть
ФЕВ
и функция
ф обращается
в нуль
вне
интервала
]— a, al. Применив формулу интегрирования по частям (см. п. 13.3,
гл. 8), получим
+ оо
а
\ Fe’ (dx = | фах
По определению
448
(]’, Ф) = (&, $)
а
=- (Фа
=— (в, 9).
УфФЕКД,
т. е. Г =6.
>
Доказанное утверждение заменяет собой глубокую по содержанию и трудно доказываемую теорему Лебега о том, что в классиче-
ском смысле [= 5.
1.8. Рациональные функции в пространстве О’. Локально`суммируемые функции представляют достаточно широкий класс функ-
ций, используемый в классическом анализе и его приложениях.
В предыдущем пункте они включены в пространство О’ в качестве
регулярных функционалов. Среди классических функций значительное место занимают рациональные. Все их непосредственно
включить в число обобщенных функций невозможно, поскольку,
например, интегралы
-+-00
\
+00
2)
dx,
\
2
dx
(1)
существуют не для каждой функции ФЕ РО. Они являются расходящимися, если ф (0) =
0. В связи с этим задачу рассмотрения рацио-
нальных функций, как обобщенных, называют регуляризацией расходящихся интегралов. Простейший способ регуляризации интег1
|
ралов (1) заключается в рассмотрении функций — и-—х как функционалов
на
подклассе
тех функций
из О,
которые
обращаются
в
нуль в точке х = 0 (соответственно обращаются в нуль вместе со
своей производной). Другой, более естественный способ заключается
в рассмотрении
указанных
функций
как обобщенных
производных
некоторого порядка от локально суммируемых функций. Рассмотрим
в качестве примера функцию — как производную от In|
x |.
Согласно определению производной обобщенной функции, имеем
со
(11 9) = — (nz o=— J on] x] dx,
Пусть функция ф обращается
в нуль вне интервала ]— a, al. Тогда
(In| x1)’, 9) =— | ф пари
=
{ gt (x) In(—
x) dx —
— 9)(0) In(— x) Pa+
— 0Г yp’ (x) In xdx = —(~ (x
gy
4 [ 2=9O
о
Поскольку
—
15
337
(09—90) ры
а
lim (@ (x) — (0)) In| x] =
lim
g (x) — @ (0)
x0
x
хш|х| =Оиф(а) =ф(—а)
=0
449
TO
a
((in| xl)’, g) = | PO=2O ay,
Таким
1
образом,
(2)
Xx
—a
—- есть обобщенная
функция,
которая
каждой
»
функции фЕ р, обращающейся в нуль вне интервала ]—а, а[, ставит в. соответствие число (2). То же самое получим, если определим
--
как обобщенную
функцию,
действующую
по формуле
(+, 9)=1im | 2% ax vee.
x
e+0
(3)
x
[х| >=
Действительно,
а
|
$) ax— | ox)
1%] >2
x
x
—а
—е
—2
©
ax = | 9 (x) dx +\ 2
—а
°
a
ак) о
x
gy
| SO SEO
x
—#
= 9( in| x18
x
—a
&
x
а
ar =
x
+ 600 In| x|f=2—
| PRO
ei — 20)
ax =
&
=
о
ay +0
npH e—> 0,
—e
Обобщенные функции =
(пе №) определяем по индукции
как про-
изводные обобщенных функций:
1
w=
—
1
Gat
]
(ger)
’
-
(4)
Аналогично, рассматривая обобщенную функцию ш|х— а
лучаем в качестве производных обобщенные функции
(ПЕ №).
Функцию
в
i,
понимаемую
смысле
(х — a)”
и представимую
виде
=
где | — локально
люсами х;
450
в классическом
|, по-
т
p=!
k
У
v=!
суммируемая
ae
функция,
Fee (j=l,m),
назовем
функцией
(5)
с по-
(] = 1,т). Каждая функция с полюсами может рассмат-
риваться как обобщенная. В частности, любую рациональную функцию можно считать обобщенной.
1.9. Первообразная обобщенной функции,
®-неопределенный
интеграл.
`Определение 1. Функция ЕЕ О’ называется первообразной функции [Е О’, если Е’ = |.
Ниже
докажем,
что первообразная
всегда
существует
и что все
первообразные одной и той же обобщенной функции отличаются
друг от друга лишь постоянным слагаемым. Поэтому из всех первообразных данной обобщенной функции можно выбрать единствен-
ную, если задать ее значение как функционала на какой-нибудь основной функции, имеющей отличный от нуля интеграл.
Определение
функции
ОЕ О и {oe (t) dt ~ 0. [epeoobpa3snaa F
IR
| Е О’ называется
ее ®-неопределенным
инте-
гралом и
2. Густь
обозначается | р, если (Е, ®) = 0.
@
Вычислить
| { — значит указать правило отыскания функциона©
ла Ё на каждой основной функции ф Е ДР. Для некоторых
функций
это
правило
очевидно,
В силу линейности
например
функционала
(Р, $’ -- св) = — (7, $)
(F, ow) = 0,
Ё справедлива
основных
(F, $’) =
формула
У(фЕБ, сЕС).
(1)
Ключевые вопросы о существовании, единственности и вычислении
©-неопределенного интеграла будут решены, если заметить, что
каждая
основная
ляется ‘в виде ф =
функция
ph
фе
В
единственным
+ co, rae ф ЕР,
образом
сё (. Обозначим
представ-
- со
{ p@at
Cy
— to
(004
’
Фь (х) = \ (Ф(0— Св (0)
(2)
УхЕБ.
(3)
Тогда
+ оо
\ <0— Со) й=0,
—осо
(4)
в силу чего функция фь является финитной. Так как фь = ф — Coo
H Q» € D, To Tpe6yemoe npegctTaBsieHHe cyulecTByeT. Его единственность очевидна. Отображение ф „= фь назовем @®-операцией в пространстве D. Задача
вычисления
®-неопределенного
интеграла
сводится к ®-операции
над основными функциями, поскольку
15*
451
У (ФЕ, ГЕР’)
({ р ‹)-—4. Фо).
(5)
оо
Теорема. Пусть оС О и \ w (ft) dt ~& 0. Ecau f € D’, то сущест-
вует единственный ®-неопределенный интеграл функции f.
q Пусть фЕ р, функция фь определена формулой (3) с постоянной
С, вычисленной по формуле (2). Полагаем У фЕВ
Убедимся
в том,
что ЕЕ
(Р, ф) = — (7, Фо).
О’. Действительно,
ные функции, то из формул
(6)
если ф. и ф. — основ-
(2) и (3) следуют равенства
Cyto, = Co, + Co, (P1 + Pao = (Pyro + (Pao,
B силу
(7)
которых
(F, Q, + 2.) = — (fF, (1 + Pa)o) = — (Ф (Фо) — ($, (Ф-)ъ) =
=
(F,
фл)
+
(F,
фе),
(8)
что означает аддитивность функционала Ё. Его однородность доказывается совершенно аналогично. Убедимся в непрерывности функционала Р. В силу его линейности достаточно установить непрерывность только в нуле. Пусть ф, — 0 в пространстве основных функций О. По определению найдется сегмент [— а, а], на котором
фР — 0
УрЕФ, и
вне которого
все функции ф„ тождественно
обращаются в нуль. Можно дополнительно считать, что УхЕЖК
\
\ [— a, al o (x) = 0. Из равенств (3) и (4) следует, что все функции (Ф„)» тождественно обращаются в нуль вне сегмента [— а, а].
На указанном сегменте (ф„)» —> 0, так как для равномерной нормы
выполнено неравенство
до
и его правая
то при п — с
часть
а
-+- со
(1,4
-- [Со | |} o (tat
стремится
(ф„)® = 90
к нулю
при
п -—
©.
(9)
Если
— Со, 0-1 —> 0 на сегменте
а]. По определению (ф„)» —= О в
но, (Р, ф„) = — ($, (Ф,)о)
— О при
рЕ\М,
[— a,
пространстве О. Следовательп- <.
Итак, доказано, что
ЕЕ Ш’. Вычислим производную Ё”’. Имеем УфЕО
(F’, 9) =—(F,
9’) = (F, (@')o).
(10)
Из равенства (2) следует, что Су, = 0 и поэтому (ф’)ь = Ф. Таким
образом, Е” = |. Далее, (Ё, &) = — (|, ®ь) = — (Р, 0) = 0. Поэтому
существует \ f = F. Единственность
@
®-неопределенного
интеграла
функции } следует из формулы (5). д
Следствие
1. Каждая обобщенная функция имеет первообразную.
452
<{ Утверждение следует из теоремы, поскольку существует основная функция, имеющая отличный от нуля интеграл. №
- со
Следствие
2.
вообразная функции
Если
wo€ Du
(©
`
—0©0
[6 О)’, то
(0 at
=
1, ЕЕ
О’ — пер-
| f=F-(F, в).
(11)
@
4
Правая часть равенства (11) является
и обращается
в нуль на функции
первообразной функции }
-Ноо
®, поскольку
\ w(t) dt=1.
>
Равенство (11) является аналогом формулы Ньютона — Лейбница.
Следствие 3. Если ЕЁ, и ЕР. первообразные функции р то
существует такая постоянная С, что Е — Е» =
< Утверждение получаем непосредственно из следствия 2.
1.10.
Операция
умножения
обобщенной
функции
на
классичес-
кую бесконечно дифференцируемую функцию. Пусть [1 В => С —
локально суммируемая функция, & Е С”. Тогда о является локально суммируемой функцией, определяющей регулярную обобщенную
функцию
5Е
Д’, действующую
на функцию
ф Е р
по
формуле
+00
+00
(g, 9) = \ (af) (x) p(x) dx = \ f(x) (aq) (x) dx = (f, ap).
(1)
Полученное равенство указывает, как определить произведение af.
Теорема. Если [Е О’, ас С” и функционал
в определен формулой
(g, 9) = (f,a9) VED,
mo g€ D’.
q Пусть ФЕ О, МЕС
(в, Мф,
(=
- А. Фз) = (р, & (AQ,
=,
(2)
1, 2). Тогда получим
+
Aga)
(в, ф1) -
= Ay (f, ф,)
- №. (Ё, фз)
=
А» (в, Фо),
т. е. функционал 5 линейный. Убедимся в его непрерывности. Если
фи — Фф в пространстве ДО, то аф, — оф в О, в силу чего имеем
((&, Ф„) = ({, “ф„))
— (7, “ф) = (6, Ф)).
ный
Определение.
формулой
№
Если [Е О’, «Е С”, то функционал ©, определен-
(2),
называется
произведением
Из теоремы следует, что &} Е О’.
1.11. Производная произведения обобщенной
функций.
Теорема.
Если [Е О’, “Е С”, то
и
af,
uau
fa.
классической
(af =a'f taf"
453
Пусть
фе р.
((a/f)’,
Ф)
—
—
Тогда
(м |,
справедлива
ф’)
—
—
(/,
ag’)
цепочка
равенств
=
(a@)’)
—(f,
+
(Г,
a’)
—
= (f’, ap) + (@’f, 9) = (af, 9) + (Ff, 9) = (af + @’f, 9),
равносильная
формуле
(1).
p>
$ 2. Ряд Фурье обобщенной
2.1.
Периодические
функции
обобщенные
функции.
Понятие
периодичности
классической функции, необходимое для построения теории тригонометрических рядов Фурье, распространяется на обобщенные функЦИИ.
|
Определение. //усть ТЕ В, Т =- 0. Обобщенная функция [Е О’
называется Т-периодической,
если
(Г, Ф(*- Г)) = ({, $)
УФЕВ.
(1)
Равенство (1) означает, что значение функционала | не меняется,
если ФЕ
заменить функцией х „= ф (х + Т). Каждая локально
суммируемая
Т-периодическая
функция
удовлетворяет
равенству
(1), если ее понимать как регулярный функционал. Докажем, что
Г-периодичность обобщенной функции является необходимым усло-
вием разложения ее в ряд Т-периодических функций.
Теорема. Пусть функции НЕО’
Т-периодические V nce.
Ecau pad Xf, сходится в пространстве О’ к функции |, то она является Т-периодической.
{ Согласно определению предела в пространстве
основной функции ф 6 В справедливы равенства
О’,
для
любой
(fF, 9) = % (has 9) = 2 (fa P(X +7) =F, 0% +7). D
2.2.
Т-разложение
единицы
помним, что коэффициенты
и Т-периодический
Фурье
Обозначим
lige
0
j 2TRX
7 dx
На-
Т-периоди-
2лкх
ческой функции { по тригонометрической системе (е
ляются по формулам
=a
интеграл.
(с,)»е7 классической
7 )»ет вычис-
VREZ.
(1)
через От векторное пространство всех Т-периодиче-
ских обобщенных функций.
°
Если [Е От, то е
—
. 2URX
—
,
м
—Т ЕПт. Действи-
тельно, согласно теореме п. 1.10, произведение #
2пх
—Т
является
обобщенной функцией. Проверим ее Г-периодичность. Если ФЕ р, то
—
(fe
=(f,e
т.е. её. -Т
_
* ,o(x+T)=(f,e
_i 2л^(х--Т)
QTR
454
20RX
'Т
€ Dr.
o(x+T)=(f,e
27tRx
j ouukx
* o(x+T)=
i 2TRX
* o(x)=(fe 7,9),
Таким образом, для придания смысла правой части равенства (1)
в случае, когда [© От, достаточно т определить
для любой такой функ|
>
ции Г-периодический
от классической
a
интеграл
локально
\ fax, обобщающий
0
суммируемой
au
интеграл Лебега
Т-периодической
функции.
Для определения Т-периодического интеграла нам понадобится понятие Т-разложения единицы.
Определение 1. Функция ег Е О называется Т-разложением
единицы
(Т==0), если У хЕВ справедливо равенство
У! ег(х
- ЕТ) = 1.
(2)
keZ
$
Теорема 1. Т-разложение единицы существует.
Рассмотрим какую-нибудь функцию ш Е О, интеграл от которой
равен
1. Полагаем
+т
ет (х) =
Очевидно,
|
что ет Е Ви
и (1)4
У хЕ
«НЕ
У ег(«+#Г=У
Е выполняются
ОТ
равенства
оо
p
Теорема 2. Если [Е От, ет — Т-разложение единицы,
([, ет) не зависит от выбора ет, а зависит лишь от f.
то
keZ
вби=
(3)
\ wat=1.
kez
(|
УхЕВ.
x--RT
—00
0
Пусть ег — другое
равенство
Т-разложение
единицы.
Тогда
число
справедливо
ет (х) = У, ег(х)ет (х + ЕТ),
(4)
REZ
в правой части которого все слагаемые, за исключением
их
числа,
нуль.
для
всех
значений
В силу линейности
(Ё, ег) = У
REZ
хЕ В
одновременно
конечного
обращаются
и Т-периодичности функционала
(Кет(х) ег (х ЕТ)
= У
REZ
| имеем
в
(f, er (x — kT) er (x) =
= (f REZ
У, er (x — kT) er (x)) =(f, er). >
Теорема 3. Если | — локально суммируемая
Т-периодическая
функция, ет — разложение единицы, то справедлива формула
( f (x) dx
0
=
(Г,
ет),
в левой части которой записан интеграл Лебега,
Г понимается как обобщенчая функция.
(5)
а в правой ее части
455
<
Имеем
+-со
У,
ег (х)ах =
| [(х)
(f, er)=
T
ет
ReZ
f (x) er (x) dx =
ot
T
ТГ) ити = aeУ (Регата=
= REZУ § (Ге
T
= (1 f(t) & er (t+ #1) dt = ром
>
0
Определение 2. Если [Е От, то число (, ет), где
жение единицы, называется Т-пе р и одическим
лом
ет — Т-разлоинтегра-
Ффинкции | и обозначается | [dx.
Таким
образом,
T
| фах =
ег) WIE Dr.
0
(6)
В силу теоремы 2 Т-периодический интеграл определен однозначно, а из теоремы 3 следует, что он обобщает интеграл Лебега
от локально. суммируемой
Т-периодической
классической
2.3. Ряд Фурье обобщенной периодической функции.
Определение. Листь {6 От. Тригонометрический ряд
функции.
i 2пЕх
Усе
называется
рядом
Фурье
Г
=a
\ fe
Т
(1)
функции
Ь
если
—; 2789
` ах
УРЕХ.
(2)
Правая часть формулы (2) понимается как Т-периодический интеграл.
Теорема 1. Если тригонометрический ряд (1) сходится в пространстве О’ к функции Ь, то [Е От и выполнены равенства (2).
[По теореме п. 2.1 [Е Dr. Ilyctb m€ Z, er — T-pa3noxenne
единицы. Согласно определению Т-периодического интеграла и
правилу умножения обобщенной функции на функцию класса С”,
имеем
Т
р
7 ie 7 dx=—(fe
456
i 2лтх
7 ,er)=a(fe
—1
‚„2лтх
7 er).
(3)
Так каке
ции ЕД’,
‚алтх
Т
то
егЕШи
ряд (1) сходится в пространстве О’ к функ-
2лтх
, 2URX
= у
т
REZ
Те) =
Ге
г ет) = 7 д
rhe
; 2дтлх
oy
(4)
Применив теорему 3, п. 2.2, найдем
i
(k—m)x
1
7
Tt ze (k—m)x
1, если: Е = т,
er) = 7 Je
=|)
если #52 т,
(5)
Из равенств (3) — (5) следует формула (2). >
Теорема *. Ряд Фурье функции [6 От сходится к ней в прост-
ранстве
0’.
$ Пусть фе р. Согласно определению сходимости в пространстве
обобщенных функций, требуется доказать равенство
(Ho= Sane? oan
(6
jomukx
Обозначим
У ЕЕ?
А = | e
Tak
Kak A, = $ (-
р 2пАх
7 @(x)dx.
2k7) V 2x = o(—er
EN, To pan
при любом значении mm €
„2х
У, №
вместе
с
его производными
Пусть
ет
Е Ш
щего
(7)
является
Т
любого
(8)
порядка
Т-разложением
сходится
единицы.
В
равномерно.
силу
предыду-
ряд
. 2Itkx
Ул Те
СХОДИТСЯ
менив
В
пространстве
свойство
Ок
линейности
доказательства
ОСНОВНОЙ
и непрерывности
функции
функционала i;
рт.
При-
ПОЛУЧИМ
2лАх
(Ё, фт) =>
Для
некоторой
(9)
(ее
REZ
равенства
|
—!—
Тер=ТУ
Ale (f).
REZ
(6) осталось убедиться в том,
= (f, br)=
9).
(10)
что
(11)
457
Из соотношений
=
Ne = у,
(7) следует,
n-+-1)7
|
п
что
p oun,
27tna
ponnt
2stnt
ф(х)е Т ах= x | feet ane
Та
(12)
nT
В силу финитности
функции ф существует такое значение п, 6 №,
что У (п > п, t€ 0, Г)
gp (t + пТГ) = 0.
, 27tnt
| Дит
T dt
Поэтому
WREZ.
Из равенства (13) следует, что ряд (8) является
Г-периодической
бесконечно дифференцируемой
=> Т УФ(Е-- пГ). Поэтому
(13)
рядом Фурье
функции
fre
ПЕД
т (0 =Т > ФЕ
ИТ) е (t)
VER.
(14)
Все функции [=> @ (t + nT) e7 (f), за исключением
числа, тождественно равны нулю, вследствие чего
Th or) = Zh oe + ayer
=(f, у Ф (бег
neZ
Замечание
числена
сумма
Ум_
(8).
При
х =
0
оо
У $2 [( 2ле7 )=r
— "Т) = (} 9)
>
теоремы 2 в каждой точке х Е R BH-
соответствующее
+00
У хит)
равенство
принимает
Т>0, ФЕВ)
и называется формулой суммирования Пуассона.
Замечание 2. Представляег интерес и равенство (11), которое рассмотрим
дельно. Пусть Фф Е Д и при каждом значении х Е R
фе = REZ
У Фи+ АТ),
Ec
их
= У, офе@—пТ) =
1. В процессе доказательства
ряда
конечного
вид
(15)
OT-
(16)
f€ D7, то
T
(ipo d=, 9).
(17)
0
2.4. Обобщенное
Фурье.
равенство
Парсеваля
и оценки
коэффициентов
|
Теорема 1 (обобщенное равенство Парсеваля). Если |} € Dr,
С От, (сь (7) и (с, ($)) — коэффициенты Фурье соответственно
функций [и ф, то справедливо обобщенное
У, с (р е-ь ($) =
keZ
458
8
равенство Парсеваля
frp (x) dx.
(1)
4 Пусть ег — Т-разложение единицы,
чанию 2 и теореме 2, п. 2.3, имеем
T
ф = фет.
REZ
р
с (р
p STR
| pine
Г, Ф)=
-
4х = Ус, (с-ь ($).
0
заме-
‚ пех
= (родах = т (1, ф=-- У (© (Ве
é
REZ
=)
Согласно
№
REZ
(2)
Теорема 2. (Шварца,
об оценках коэффициентов Фурье). Семейство комплексных чисел (сь)кст является последовательностью коэффициентов Фурье некоторой функции [Е От тогда и только тогда,
когда
ЕО
3(тЕ М, А, ЕВ) : [6% | < Аи.
(3)
<q Необходимость. Применим метод доказательства от противного.
Пусть с, (ЕЕ 7) — коэффициенты Фурье некоторой функции [6
Е От, условие (3) не выполнено ни для каких те №
и А. ЕК.
Тогда существует такая
последовательность
k,, 7
+
00, 4TO
(1%, |= 1 Bm!) V (Lee, |= | Am |”).
Пусть Фи, С Агв си,
(те №). Тригонометрический
QR
у
является
|
| ce,| Ga
pan
x
Фурье
т
Достаточность.
250k
a
в
a
4
рядом
(4)
некоторой
функции
ряд
x
и
i
(5)
+0%,,)
\р Е Дт.
По теореме
|
CXOMUTCA, YTO противоречит условию (4).
Пусть
выполнено
условие
(3). Ряд
j 2mkx
T
2
имеет
члены
порядка
(=),
( =
T
(9)
ye
сходится
равномерно
и
поэтому
является рядом Фурье своей суммы в классическом и, следовательно,
в обобщенном смысле. По теореме 2, п. 2.3, он сходится в простран-
стве О’. Согласно теореме п. 1.6, ряд (6) после (т - 2)-дифференцирования остается сходящимся в пространстве О’. Применив теорему
|, п. 2.3, получим,
fe Dr.
Для
ванной
п. 10.2,
ранству
>
что с,
(ЕЕ Й) — коэффициенты
Фурье функции
рядов Фурье в гильбертовом пространстве по ортонормиросистеме векторов из неравенства Бесселя (см. теорему 2;
гл. 9) следует принадлежность коэффициентов Фурье простГ. Обратное утверждение составляет содержание теоремы
459
Фишера
теорема
щенных
личием,
— Рисса (см. теорему 5, п. 10.2, гл. 9). Доказанная здесь
Л. Шварца играет ту же роль в теории рядов Фурье обобфункций, что и указанные утверждения, однако с тем разчто пространство Ё заменяется пространством последова-
тельностей, члены
которых
могут возрастать
не быстрее
некоторой
степени модулей их номеров. Это пространство обозначается символом 4’.
2.5. Обобщенные периодические функции как производные клас-
сических
функций.
Теорема (о структуре периодических функций). Если f € Dr, mo
существуют т Е № и непрерывная функция в : В — К (К = В
или
К = С) макие, что | = вт, где т-производная понимается в обоб-
щенном смысле.
4 Представим функцию ГЕ 0: рядом Фурье!
f=
++ оо
Dae *,
(1)
пех
=—-00
По теореме п. 2.7 существуют такие те № и А. ЕВ, что | с» | <
<A,|R|”
УЕ-- О. Введем в рассмотрение классическую функцию
1: В — К, где
‚2х
+2
T
{—_—_
T
Она
непрерывная,
Кроме
того,
обобщенном
Заметим,
риодической
поскольку
5т+Э =},
где
члены
ряда
имеют
(т -- 2)-производная
порядок
1
О (==).
понимается
в
смысле. >
что если с, (/) = 0, то функцию & можно выбрать Т-петак, что f = g, Наименьшее значение т в доказан-
ной теореме называется порядком обобщенной функции {6 От. Таким образом, доказанная теорема утверждает, что каждая обобщенная
периодическая функция имеет конечный порядок.
2.6. Обобщенные периодические функции как числовые последовательности. Операции дифференцирования и свертки. С помощью
рядов Фурье каждую Т-периодическую обобщенную функцию можно
заменить последовательностью ее коэффициентов Фурье. Пусть [Е
Е Пг. Укажем правила действий с обобщенными функциями, когда
известны их коэффициенты Фурье. Очевидными являются следующие формулы, означающие линейный изоморфизм пространств Dr
и 4!
1) Ce (fi) + ee (fe) = Oe (fi +h)
VRE Zs
УЛЕС. Правило дифференцирования
ной функции [ выражается формулой
2) Cy (Af) = Ac @
Т-периодической
a(t) =o()(i =)" veez.
460
обобщен-
(1)
Формула (1) показывает, что операция дифференцирования в пространстве От после указанного выше изоморфизма переходит в операцию
покоординатного
умножения
на
последовательность
1
. 20k
T
Joey
Если су (}) = 0, то функция [Е От имеет первообразную т-го
порядка У тЕ №, причем начиная с некоторого номера т, указанные первообразные могут быть рассмотрены как классические непрерывные Т-периодические функции. Они определяются однозначно и могут быть названы периодическими т-интегралами.
С помощью коэффициентов Фурье Т-периодической обобщенной
функции можно ввести новые операции. Одной из них является операция
Т-свертки,
или *, если это
Определение.
ческая функцияв
функций Ни Ъ,
Г-свертка
или,
короче,
свертки,
обозначаемая
знаком
*т
не приводит к недоразумениям.
Пусть НЕ От, ЬЕ От. Обобщенная Т-периоди= | *тЬ
(с = [*р) называется Т -сверткой
ебли
всегда
с, (8) = с, (Г) с, ()
существует
VRE Z.
и обладает свойством коммутатив-
ности: | +т № = В *т |.
По индукции
понятие свертки
страняется на любое конечное число функций по правилу
К жт [2 *7
...
*rhn == (А *т
2 *т
-.
распро-
rp n—1) *p fn
(2)
Указанная операция (2) коммутативна и ассоциативна. Кроме того,
справедливы
формулы
(ПА)
=
В =
(ЛГ) *т в =
(fp
Докажем
fects Е Бат |
A (fy ep Fe)
fo)” = A” #5 fo =
формулу
(5). Пусть
ск (5) = сь (|1) сь (12),
Сь (5)
(AEC),
fey fo”
= C, (g) (
gr = fier he”.
Сумму ряда Уе
Т
(4)
(ТЕМ).
(5)
[1 *тЬ = 5. Тогда
=
cx (fa) Ce (fa) (A) = cn (Pa) Ou (PS) = вы
2mtk
(3)
}
VREZ,
т В), т. ©.
>
в пространстве Эт назовем
Т-периодической
б-функцией Дирака и обозначим ее через бт. Тогда справедливо равенство
pf
=
far OF”
Vm€
Dos
(6)
roe f? =f, 6 = 6r.
Обобщенные Т-периодические функции вместе в операциями
сложения, умножения на число и Т-сверткой образуют так называемую сверточную алгебру. Периодическая 6-функция Дирака играет
461.
в ней роль единицы. Формула (6) показывает важность производных периодической б-функции Дирака и операции Т-свертки, поскольку посредством них выражается основная в математическом
анализе
операция
дифференцирования.
Выразим периодическую 6б-функцию Дирака через обычную.
Из формулы суммирования Пуассона (см. п. 2.3, замечание 1) для
любой основной функции ф Е О имеем
2х
вно- Хе т,о- У
k=—00
=T
в силу
te
Y
k=—0o
Е—=— со
“feo
g&T)=(T
Y
k=—0o
Изо(- 2%)=
8(x—&D),g
чего
-Нсо
г =Т, У
8 (x + kT).
(7)
При
этом ряд сходится в пространстве обобщенных функций ДО’.
Как указано в начале гл. 9, Д. Бернулли и Ж. Фурье высказали
гипотезу о представлении произвольной периодической функции
тригонометрическим рядом. Теперь мы видим, что справедливость
гипотезы существенно зависит от того, какой смысл придается слову
«представление». Так, если рассматривать непрерывную периодическую функцию и считать ее представленной рядом в случае, когда
он сходится к ней поточечно (или равномерно), то гипотеза Бернулли — Фурье не верна. Она становится справедливой, если заменить
сходимость ряда на суммируемость методом средних арифметических
(теорема Фейера). Если рассматривать функции, представляющие
векторы пространства [Ё2л, то гипотеза Бернулли — Фурье верна
тогда, когда под представимостью функции рядом понимать его сходимость к ней в среднеквадратическом (т. е. по норме пространства
Г? (0, п)). Трудным оказался вопрос о представимости функции тригонометрическим рядом в смысле сходимости почти всюду. Еще
Н. Н. Лузин
в своей диссертации
(1915 г.) поставил
вопрос о сходи-
из Ё2л
также
мости почти всюду тригонометрического ряда Фурье функции из
[2л. Проблема оказалась сложной и ее положительное решение дано
шведским математиком Д. Карлесоном в 1966 г. Затем было установлено,
что
ряды
Фурье
функций
при
р > 1
сходятся
почти всюду. При р = 1 картина существенно меняется. Выдающийся советский математик А. Н. Колмогоров, ученик Н. Н. Лузина,
построил в 1924 г. пример функции [Е Ё2л с расходящимся почти
всюду рядом Фурье. В 1925 г. А. Н. Колмогоров доказал, что указанный
ряд расходится
всюду.
Замечательный
советский
математик
почти всюду
конечная
Д.Е. Меньшов, решая другую задачу, поставленную в диссертации
Н. Н. Лузина,
доказал
в 1940 г., что любая
измеримая периодическая
462
функция
есть сумма
сходящегося
почти
всюду тригонометрического ряда. В силу примера
рова
указанный
ряд
может
если функция { суммируема.
не быть
рядом
А. Н.
Фурье
Таким образом,
даже
проблемы
Колмого-
в случае,
представле-
ния функций тригонометрическими рядами и рядами Фурье, в смысле
сходимости почти всюду, оказались различными.
Теория обобщенных функций вносит значительный вклад в указанную проблематику. Она полностью подтверждает гипотезу Фурье
о представлении функции рядом Фурье и гипотезу Бернулли о представлении функции | произвольным тригонометрическим рядом в
случае, когда [6 От, а сходимость рядов рассматривается в пространстве ДО’. Теория обобщенных функций (распределений) предоставляет возможность не различать сходящиеся в О’ тригонометрические ряды и ряды Фурье. Важно отметить, что представимость функции тригонометрическим рядом Фурье в смысле теории обобщенных
функций достаточна для решения многих актуальных прикладных
задач.
2.10.
Изопериметрическая
задача.
Так
называется
следующая
классическая задача: среди всех плоских замкнутых кривых данной
длины найти ту, которая ограничивает фигуру
наибольшей площади.
Я. Штейнер (1796—1863) в 1836 г. показал, что каждую фигуру
заданного периметра, отличную от круга, можно преобразовать в
фигуру того же периметра, но большей площади. Дирихле указал
Штейнеру на пробел в его рассуждениях, заключающийся в отсутствии доказательства существования решения изопериметриче-
ской задачи. Это
доказательство
позже
было
предложено
Вейер-
штрассом. Отметим, что П. Ферма, демонстрируя силу открытого им
метода решения экстремальных задач, доказал, что квадрат является фигурой
наибольшей
площади
среди всех прямоугольников
данным
периметром, т. е. указал пример
Здесь приведем решение изопериметрической
А. Гурвицем (1859—1919).
Пусть
2 ($) =х
($) +
1/ ($)
с за-
аналогичной задачи.
задачи, предложенное
(0 < 3< 2м)
есть
параметрическое
представление границы плоской фигуры С периметра 2л, где $ —
длина дуги, отсчитываемая от точки г (0) в направлении против хода
часовой стрелки. Так как граница ОС фигуры С — замкнутая линия,
то г2 (0) = 2(2n). Разложим функции хи ув ряды Фурье: х ($) =
У
сей №,
= р (Qn),
то
у ($) = ух ae
y (O)= y (2m) и функции
оответствующие
менте
У $Е[0О,
k=
[0, 2л].
Так
им ряды
как
2л]. Поскольку х (0) =
х, у абсолютно
непрерывные,
Фурье сходятся равномерно на сег-
$ — длина
дуги,
то
Е [0, 2л]. Согласно равенству Парсеваля, имеем
|2’ ($) |? =1
Wse
2m
l= 7 J 12 (9 Pds
= ae fie (Раз
+ д fly (s)[?
ds =
= Dy (\ékcy
KeZ
|? + | а, В) = У (о,+ lade) AP.
Kez
£63
Применяя
формулу
Грина
и равенство
Парсеваля,
получим
271
\\ dxdy =|G| = J xdy = J x (s)y’ (s)ds
= 2n У C,(—
G
0
keZ
< 2л У,keZ 1, #141
< 2 УREZ
<a)
[4377
Е
НА
2
Е || 4%
itkd_n) <
1?
<
LAI? (| cy)? + | dy?) = x.
Заметив, что круг периметра 2л имеет площадь, равную л, получаем,
что круг является решением изопериметрической задачи.
$ 3. Преобразование Фурье обобщенных функций
3.1. Общее определение
сическое преобразование
лено формулой
преобразования Фурье. В гл. 9 клас=x
Фурье / суммируемой функции / oNpere-
F(A) = vm lio ea,
WER.
(1)
Там же доказано, что функция} является непрерывной и стремится
к нулю, когда | А | — + со. Если фФЕГ (В), то, применив
Фубини, получим равенство
| ода» = [ 094%|
IR
IR
Условие
теоремы
1
IR
Фубини
ax PIE
jie мах = | Поздах.
V 2x
|<
©)
IR
выполнено,
—iAx
теорему
1
поскольку
lPM|IF| VO XER
2
и фх
[Е Г (В?). Формула (2) вместе с определением обобщенной
функции как функционала на векторном пространстве классических
функций со сходимостью служит источником дальнейших обобщений
преобразования
Фурье.
Пусть для построения обобщенных функций в качестве основного
пространства выбрано векторное пространство 9% со сходимостью
(см. п. 9.9, гл. 9). Допустим,
мируемыми,
а сходимость
lim | Ге,
N+ 00 IR
что все функции ф Е 9% являются
выбрана
так,
а» = | FA)
@ (Add VFEL(R).
IR
Условие (3) предоставляет возможность рассматривать
преобразование Фурье { суммируемой функции ] как
функцию f € M’. Обозначим через 9% совокупность
преобразований Фурье функций фЕ5%. Определим
464
сум-
что если ф„-—> ф в 9%, то
(3)
классическое
обобщенную
классических
в векторном
пространстве
mM
сходимость
следующим
образом:
(Px
> P BM) S(G,> @ BM).
Рассмотрим линейные
(4)
непрерывные функционалы
на 9%, т. е. обоб-
щенные функции {6 M’, и определим для них преобразование Фурье.
Определение. Если [Е ЭХ’, то обобщенная функция с Е д’ называется преобразованием
Фурье
Фиункции | когда
(в, Ф)
= (1, $)
Обобщенное
преобразование
VoEm.
Фурье
функции
} обозначим,
(5)
как
и классическое преобразование Фурье, через {.
Теорема 1. Каждая обобщенная функция из пространства 9%’
имеет преобразование Фурье.
Очевидно,
пространстве
BM.
Torta
функционала
что формула
9%.
по
Убедимся
(5) определяет линейный
определению
в его
непрерывности.
сходимости
в
9%
и
функционал
Пусть
на
ф‚, > @
непрерывности
} на 9% имеем
n> фи Шт (а, 9) = Иш (Г, Ф,) = (1, ®) = (@, 9),
что означает непрерывность функционала с. Таким образом, g E MN’
и = 2. №
Основная проблема в классической теории заключена в возможности обращения преобразования Фурье. В общей теории это обращение почти очевидно.
Теорема 2. Если в Е 9%’, то З|Е MN’ j= g
< Полагаем
(7, Ф) = (а, $)
УФЕЗХ.
.
(6)
Формула (6) определяет линейный функционал } на 9%. Убедимся
в его непрерывности. Пусть ф„ — фв9%Х. Согласно определению схоДИМОСТиИ В M
и непрерывности
функционала
с на 9%, имеем ф, — _Ф
BM u ((f, Pn) = (Bs Pn) > (g, 9)= (f, 9). Следовательно, РЕ 9%’
uf=g. >
Если @ Е Г. (В), ep(—x)EMu
кий раз, как только ф Е 9%, то 9%
функция
= om
Dp дифференцируема BCA-
и пространства 9%",
mM’ MOXK-
но поменять ролями. Таким образом, для указанных пространств 9%"
можно
ввести
понятие
определенного на 9%.
Рассмотрим наиболее
1) %=р;
преобразования
2) %=а.
важные
частные
Фурье
как
функционала,
случаи:
465
Первый из этих случаев изучен И. М. Гельфандом и Г. Е. Шиловым, второй — Л. Шварцем. В указанных случаях высказанное
замечание имеет силу.
3.2. Пространство Й. Преобразование Фурье в пространствах
0’ и 1’. Чтобы воспользоваться результатами, изложенными в
п.
3.1,
u
определить
достаточно найти, такую
функций, чтобы й = Р.
пространство О входят
х == | (— х), то фупкции
структуру функций из
Определение
преобразование
Фурье
1. Функция
ф принадлежит
но анилитически продолжить в комплексную
выполняется условие
VpEZ,
<
3(а. МЕ
D,.
g€
Teopema
Согласно
1. Ecau @€ Dz, то ФЕЙ...
определению классического
ecan
PE
Du
теореме дифференцируемости
где
TE
} 909 е
пространстве
О’
классу ба, если ее мож-
плоскость
так,
что
В?:У2ЕС |224 (2) | < Мечта,
Полагаем
p (A)=
в
совокупность & классических суммируемых
Так как все функции из В суммируемые и в
вместе с функцией } также функции х/ и
из & дифференцируемы и & = В. Выясним
совокупности Z.
g(x)
интеграла
dy = —=
=0
Vix]
(1)
Sa.
преобразования
Фурье
по параметру, функция
| @ (x) eM dy
УЛЕС,
и
1,
(2)
является аналитической в плоскости (; и продолжает преобразование Фурье функции ф. Интегрируя по частям р раз, получим
ф (^) =
Проверим
V 2n т.
выполнение
| ф® (хде “ах
условия
Te
Jie
(P) (
е* Im hd
(3)
(1). Имеем
Не ae =
J APap (^) |< "
=
УАЕС.
1
——
STE
[Фо
х<
(р)
[шв
е
ат
М
>
Из доказательства теоремы следует, что в условии (1) в качестве
постоянной Мр можно взять
М Ию
= уз | 19° 914%
(4)
Теорема 2. Ecau p€ Z,, mo ФЕПШ..
< Из оценки (1) следует суммируемость функции фр и существование
фр в классическом смысле. Пусть КЁ — верхняя половина круга радиуса А с центром в начале координат комплексной плоскости.
466
По теореме Коши
имеем
|
p(z)e "dz =0 = 1 (хе ах
--
-+-
OK р»
+ | tp (Re!®) eRe! ре!
В силу оценки
= 1, (В) + 1, (В).
(5)
(1), при р = 2 получаем У ЛЕ В неравенство
| l,
(R)
| <
[
=
elk
sin
6I--AR
sin
9,10.
(6)
0
Если
А < —a,
To /, (R) = 0 при
R -—
-- со. Принимая
во внима-
ние равенство (5), получим, что 1 (^) = 0 при ^< — а. Заменив
верхний полукруг КК на нижний полукруг Кв, докажем, что 1р (4) =
—= 0 при Л > а. Бесконечная дифференцируемость преобразования
Фурье ф следует из оценки (1) при [т 2 = 0, поскольку она обеспе-
чивает
pe Da
суммируемость
функций
1,
хф,
х?ф,
....
Таким ‹образом,
»
Из доказанных теорем следует, что векторное пространство @
состоит из всех функций, принадлежащих классу #. при некотором
значении а > 0. Функции из пространства & называются целыми
функциями экспоненциального роста. Введем сходимость в пространстве 2.
Определение 2. Госледовательность (ф„) называется сходящейся
к нулю
в пространстве #, если она равномерно сходится к нулю на любом сегменте действительной оси и
УрЕХ.
3(а, М) В?:У2ЕС |224, (2)| < Муей, — (7)
Полагаем 1, — 1 в пространстве &, если в нем ф, — ф-—>
0.
Убедимся в том, что указанная сходимость согласована со сходимостью в пространстве В так, как это требуется в п. 3.1.
Теорема 3. Для сходимости p, — 0 в пространстве @ необходимо и достаточно, чтобы p, — 06 D.
4 Необходимость. Пусть 1, -— 0 в пространстве #. Тогда, согласно
теореме 2, $. ЕД,
> а).
Пусть
рЕЙ.
УпЕ\№и поэтому ар, (^) =0
#>0,
—а<^<а.
Тогда
У(ЕМ, [^| >
|p? (A) | = VE [} var (— ay” eax) <7с.=} ia) \|dx=
J —R(fap, G9 [ae +
R
|
{XEIRI lxl> R}
(x) | dx ++
мыш
2M, | a|?
V 2xR
(8)
467
Вначале
выберем
такое
части неравенства
А = РЮ., чтобы
второе
слагаемое
в правой
2
(8) было меньше,
чем >, а затем возьмем такой
номер п,, чтобы У п >> п. первое слагаемое
В итоге находим такое п», что У п >
the, AE
было меньше,
R)
|p?
> 0. По определению фа. > (0B D.
Jlocmamounocme.
Пусть |, —Ов В. Тогда
Vne€N.
Полагаем
gq, (x)= p,(—x)
Vx€R.
(A) | <
v
2
чем >
ь, т. е.
|
ЗаЕВ: YD, CD,
Ovuesnguo, что
g,€ Dw
Wne€N. Tak kak p, = Q,, TO, CormacHo Teopeme | u 3aMeчанию к ней (см. формулу (4)). имеем
VPEZ,
При
AER WZEC
|2Yq(2)1<——=" Не (x)
| de,
р = 0. [т г = 0 получаем равномерную
сходимость
после-
довательности (1{,) на всей дейсгвительной оси и, в частности, на
любом ее сегменте. Так как УрЕ До, числовая последовательность
(Mon), где
—
>
]
Мол
|p? (x) | dx,
У2л
а
стремится
к
нулю,
то
9 М, :
Мр„
< М,»
и
У2ЕС
|224, (2) | <
< М,е"":! Таким образом, ф, —0 в пространстве @ p>
Анализируя доказательство теоремы, получаем следующие
верждения.
Теорема
4. Пусть
За>
0: УпЕ№
ФЕВ...
ут-
Если
| |, (21 4х = 0(1) ЛУРЕМ 5 |p? (x) |dx = o(1),
mo
ф,„ —
0 в пространстве
О.
® Рассуждая так же, как и при доказательстве достаточности утверждения теоремы 3, получаем, что p, — 0 в пространстве Z, rye
ф, (х) =Фф,(—х)
УхЕБК. По теореме Зф, - 0 в пространстве ДР. д»
р
Теорема 4 облегчает проверку сходимости к нулю в пространстве
последовательности (ф„), поскольку вместо ее равномерной схо-
димости на сегменте [— а, а] требуется проверить, сходится ли она
в среднем (т. е. по норме пространства Ё (— а, а)), а вместо равно-
мерной сходимости к нулю последовательностей
лишь ограниченность
для тех же значений
(12 [—а,а)). Указанная
теорема
(ф’)
УрЕ№М—
р последовательностей
позволяет сделать вывод о том,
что одна и та же сходимость в пространстве О может быть определе-
на различными
излагаемого
468
способами,
материала.
что,
несомненно,
важно
для
понимания
Теорема 5. Пусть У рЕ Zo
< M,et!m2l, EcauW OER
3 (а, М) ЕВ? : У2Е С
| | b, (x) | dx =o0(1),
—b
1224, (2) |<
mo ф, —0в прост-
ранстве Z.
Рассуждая так же, как и при доказательстве необходимости условия теоремы 3, получаем, что р, —> 0 в пространстве О. По теореме
3 ~~,
-— 0 в пространстве 2. }>
Доказанная теорема имеет точно такой же смысл для простран-
ства &, что и теорема 4 для
пространства
О. Далее,
из доказатель-
ства теоремы 3 следует, что сходимость к нулю в пространстве & последовательности (ф„) влечет за собой ее равномерную сходимость на
всей числовой прямой, а не только на любом ее конечном сегменте
как это требуется в определении.
В качестве пространства
5% из п. 3.1 можно взять @ или О, поскольку функции из указанных пространств суммируемы, а сходимость в них удовлетворяет условию (3), п. 3.1.
Поскольку & = В, О = & и
ствах
согласованы
в соответствии
сходимости в указанных
с требованием
простран-
п. 3.1, то У {Е 0’
определено преобразование Фурье, являющееся функцией из Z’,
а также определено преобразование Фурье У вЕ #’, но оно является
функцией из ДО’.
Определение 3. Если [Е О’, то обобщенная функция gE Z’ naзывается преобразованием
Фурье
функции |, когда
(2, $)= (7, $)
VEZ.
(9)
VoED’
(10)
Определение 4. Если [Е 2’, то обобщенная функция в Е О’ называется преобразованием
Фурье
функции f, когда
(g,9)=(f,9)
Преобразование Фурье функции | в обобщенном смысле будем
обозначать одним и тем же символом i, независимо от того, принадлежит { пространству @’ или О’.
Пример 1. Найти преобразование Фурье 6 Е D’,
Согласно
определению
3.
У ФЕФ
имеем
6, )=6,9=90= va) J oar=( ves)"
т, е. b=
eer’
Пример 2. Найти преобразование Фурье бЕ 2’.
По определению 4
У ФЕРБ
получим
69-6. 9-30-70
IR
(ут, 9).
8
т
469 |
Пример 3. Найти преобразование Фурье функции
Пусть
ФЕЙ,
ФЕД.
Воспользуемся
ф (х) = —
| @ (A) ed,
V 2
Получим
1 Е D’,
формулой
x EIR,
R
G,y=0, 0=[oWd=Vi—9O
= (26, 9.
nA
IR
Таким образом, i= V 2x 8, rne 6 € Z’.
Пример 4. Найти преобразование Pypbe dynkunn
Рассуждая
1 = У2л
д,
3.3.
| € Z’.
так же, как и в примере 3, получим
Обращение
где 6€ D’.
преобразования
Фурье
обобщенных
функций
из пространств О’и 2’. Пусть 9% = О (или 9% = 2). Тогда 9% =
= @ (или M = р). Для классического преобразования Фурье функции фе 9) справедлива следующая формула обращения:
9 (%)х) ==
1
^
] $0)А)
——
е^х4\
УхЕВ.
Е
(1)l
Пусть ф :; В — С — произвольная функция. Поставим ей в соответствие функцию py:R—>C,
rae p(x) = p(—x)
VER.
Тогда формулу (1) можно записать в виде
0) =e|
itt 44
=
Joи teat
= p(x)
VER,
(2)
или сокращенно
e=9
Tlyctb f € Mm’. Полагаем
VOEM.
(3)
по определению
(К, $) = (р, $)
УФЕ.
(4)
Правая часть формулы (4) имеет смысл, поскольку ф Е 9Х. Эта формула определяет/ как линейный функционал на пространстве 9%.
Проверим его непрерывность. Пусть. ф„ —> фв 9%. Тогда ф‚ -> фв
9х и в силу непрерывности функционала ] справедлива цепочка равенств
lim (f, Ф,) = Шт (, $») = (ф, 9) = ($, 9),
означающая непрерывность функционала Г. Таким
FEM’, то ГЕ 9%’.
Теорема (Фурье). Справедлива формула Фурье
[=[
470
УГЕЯХГ.
образом,
если
(5)
<
Пусть ф 6 9%. Тогда, согласно определению и формуле (3), имеем
(Г, Ф) = (р, $) = ($, Ф) = ($ 9) = ФФ,
т. е. справедлива формула (5). №
3.4. Операция умножения на алгебраический многочлен в пространствах О’ ий’. Пусть 9% = Вили 9% = Я, [6 9%’, Р — алгебраический многочлен.
Определение. Обобщенная функция в Е 9%’ называется п роизведением
алгебраического
многочлена Р
и
обобщенной
функции
f, ecau
(1)
VepEem.
(а, $)= (р, РФ)
Будем обозначать обобщенную функцию & через Р?}.
Теорема. Пусть Р — алгебраический многочлен и [Е 9%’. Тогда
J PFE M’.
(1)
Пусть ф С 5%. Тогда, очевидно,
имеет
смысл.
Она
определяет
РфЕЭХ
© как
и правая часть формулы
линейный
функционал
на
пространстве 9%. Проверим его непрерывность. Пусть ф„-—>ф в
пространстве 9%. Тогда Рф, > Рф в5Х и всилу непрерывности функционала { справедлива цепочка равенств
Пт (2, Pr) = lim (7, Po,) = (7, Рф) = (5, $),
означающая
EM".
непрерывность
№
функционала
в.
Следовательно,
Пример 1. Вычислить
Пусть фед.
Тогда
Рб, где Р (х) = 3+ х-+10ЕШ,.
по определению (Рб, ф) = (6, Рф) =Р(0ф
Пример
Рб, где Р (х) = з--
= Ф (0)=
(6, g), ». e. PO= SE D'.
2. Вычислить
Пусть фе.
Рб = 6бЕ 2’.
различный.
3.5.
Хх
1, 6Е7’.
Тогда (Р8, $) = (6, РФ) =Р (0)$(0=Ф$0 =
Результат
имеем
Преобразование
тот
же,
Фурье
что и в примере
производной.
преобразования Фурье функции ФЕ 9%, где 9%
доказана следующая формула (см. $ 12, гл. 9):
©
(0) =
66, ©), т.е.
1, но смысл 5-функции
Для
=В
классического
или
9% =,
g’ (Ay
= ИФ (А) WAER.
(1)
Она остается справедливой и.для обобщенных функций из пространства О’. Обозначим через Р'.. алгебраический многочлен первой
степени
(без
свободного
Pig (x) = ax VxER.
Теорема 1. Пусть
члена)
со
старшим
коэффициентом
Torna Py; (x) = ix VxE
[6 0’. Тогда справедлива
Р = Ри}.
R.
qgopmyaa
а:
(2)
q Пусть ЕЙ, ф = ф, ФЕД. Согласно определению преобразования Фурье и производной, имеем
(Ft, 1р) = (Г,
$
= (р,
ф) =
— ([,
Ф’).
(3)
471
Так
как
9) = ут} $
—_
1
—iAx
Max VAER
(4)
то, применив правило дифференцирования под знаком интеграла Лебега, получим
p! (A) = ——— | ixp (x) eax,
(5)
g’ = —Pinb
(6)
(Г, ф) = — ({, — Риф)= (Puf, W).
(7)
V 2x ip
Te
(указанное дифференцирование под знаком интеграла по параметру
^, законно, поскольку функция Ру пр суммируема и | е`%| =
V (A, x) € R2). Из равенств (3), (6) находим
Формулы (2) и (7) равносильны. №
Для того чтобы иметь подобную формулу для преобразования
Фурье в пространстве #, определим понятие производной обобщенной функции [6 Я".
Определение. Пусть [с 7’. Функция в Е Й’ называется производной
Ффиункции |, если
(2, 4) = — (2 %’)
VpEeZ.
Будем писать, как и раньше, © = |’. Правая
имеет смысл,
Рассуждая,
ф' = (®)'=—Р14,
<
Пусть
(8)
(8)
поскольку ф’С Я всякий раз, как только wp Е #. Дейст-
вительно, JQE Dir p= ф.
венства (6), имеем
Теорема
часть формулы
2. Если
рей.
и wp’ € Z. Takum
ГЕЯ’,
то
Тогда 3 ФЕВ:
o6pa30m,
(Г, ф) =
—
ф= Ф.
(1, $’)
= (,
и при
получении
У ЕР.
ЗР Е 7’
copmy.ia
как
ра-
(9)
и Я = P, if.
Очевидно, что р’ = — РБ!) a”
Pi ig)
VpeZ
(10)
определяет ’ как линейный функционал на пространстве Z. Y6eдимся в его непрерывности. Пусть {„-—> 0 в пространстве & и hn =
= ©, У пе №. Тогда g,— 0 в пространстве В и ‚поэтому фи =
= —Pii@, —- О в Д. Следовательно, (р, »,)= ($ Pi.79,) — 0, что
означает непрерывность функционала }’ в нуле и, в силу его линейности, непрерывность в пространстве &. Существование производной
ГЕ’ доказано. Пусть ФЕД. Тогда
РФ =(, Ф=—(, $) = РФ
= (Рай, $), т.е. | =Р,1}.
472
№
=
3.6.
Пространства
случай,
Напомним
из всех
нулю
любой
e
&
и
&’.
Следуя
Л.
(см. $ 12, гл. 9), что векторное
бесконечно
дифференцируемых
на бесконечности
]
степени
fel?
рассмотрим
поскольку &
= &.
пространство & состоит
функций
ф, стремящихся
вместе со всеми производными
к
Фф’ быстрее
т. е.
V(PE Zo GE Zo) IMowERiVxXER
Сходимость
образом:
По
Шварцу,
когда 9% = &@. Он представляет интерес,
в векторном
пространстве
| 57%
(х) |< М».
&
определена
(ф,-0 в пространстве ¥) (VDE Zn q9E Zo)
(1)
следующим
279 30).
(2)
определению ф„-— ф в пространстве &, если ф, — ф- 0.
Наиболее важное свойство пространства & состоит в том, что
& = $. Существенно, что оно замкнуто относительно операций
умножения на многочлен и дифференцирования. Наконец, если
PEG, 10 PEG, rae p(x) =G(—x) VER.
Выбор сходимости в пространстве & не носит случайный характер. Он обеспечивает непрерывность операций дифференцирования,
преобразования Фурье, умножения на многочлен, перехода от фк ф,
>
A
т.е. если ф„-—> 0 в пространстве ©, то в нем ф„ — 0, @, > 0, Pe,> 0,
ф,— 0. Кроме того, если 9, — 0, To @,, > 0.
Следуя Л. Шварцу, линейные непрерывные функционалы в про—
a.
странстве
или
&
называют
умеренными
поточечной
обобщенными
распределениями.
`сходимостью
функциями
Их
обозначается
векторное
через
&’.
медленного
роста
пространство
-
с
Определение. Если [Е %’, Р — алгебраический многочлен, то
обобщенные функции Г’, f, Pf, f us %®' действуют на любую основную
функцию ФЕ & по правилам
(Г’, Ф) = — (7, $),
(3)
(f, 9) =(f, ©)
(4)
(РР, Ф) = (Т, РФ),
(5)
Существование значений и линейность функционалов, определенных формулами (3) — (6), очевидны. Проверим их непрерывность.
Пусть ф„- 0 в пространстве &. Тогда ov, > 0, ©, +> 0, Po,— 0,
ф„— 0. Поэтому
(Г, фи) = —
(Pf,
Pn)
=
(7,
(/, Pn)
> 0,
(f, Pn) = (f,
Pan)
> 9,
(7, On)
=
,) > 0,
(f, Pn) > 0,
т. е. указанные функционалы непрерывны в нуле. В силу линейности
они непрерывны в пространстве &.
473
Отметим основные формулы,
так же, как и в п. 3.3—3.5:
которые доказываются
в точности
fa? Vics’,
Приведем
(7)
fi = —Piif,
(8)
fe = Py} .
(9)
примеры.
Пример
1. Вычислить
Пусть
фе.
преобразование Фурье функции
Воспользуемся
|
ф (х) =
——
21
1 Е 3".
формулой
^
| ее
р
vw x CIR,
Получим
,9=4,
9 = (А =У90
= 25, 9,
IR
Таким образом, 1 = V In 6€ 9’.
Пример 2. Вычислить преобразование
Воспользуемся формулой (8). Имеем
Ри
Функционал
= У2лФ’ (0).
Пример
Имеем
=
Ру
.1=й
=
Фурье функции
Ил
У?2л 6’ действует нафункцию
3. Вычислить
преобразование
xP me
-o
i (xy =
5,
Py
cS.
ФЕ 3’ по
правилу
Фурье функции
1 (7—1
Р;; Е 3".
(Ул 8', ф) =
х” Е 3".
„
УпЕМ.
Поэтому х” = (—i)"V Ind”
wren.
Пример 4. Пусть Р — алгебраический многочлен, } Е 3”. Доказать формулу
(Pf)’ =
P’f+
Имеем
Pf’.
УфЕЯ
((РР’, $) = — (РЁ, $') = — ($, Рф’) = — (f, (Pg)’ — P’g) =
= — (7, (РФ)’) + (, Р’Ф) =(Т, Р®) + (РТ, $) =
= (РЁ, Ф) - (РТ, $) = (РЕ
что
равносильно
требуемой
РТ, $),
формуле.
Упражнение
Найти
преобразование
Фурье
функций:
а) бЕЗ”; 6) 6 Е’
УпЕНМ:
в) 9-функции Хевисайда, как функции
474
из 9“.
‚
$
4.
Секвенциальный
обобщенных
подход
функций
Новый
подход
к
можно
увидеть
в теории
к теории
построению
теории
обобщенных
функций,
пред-
ложенный польскими математиками Я. Микусиньским и Р. Сикорским, отражает тот факт, что нельзя реально измерить значение физической величины в точке, а можно получить посредством предела
последовательности средних значений лишь некоторое идеальное
понятие. Две основные идеи такого подхода, излагаемые ниже,
рядов
Фурье
периодических
обобщенных
функций. В п. 2.5 доказано, что каждая обобщенная периодическая
функция является обобщенной производной некоторого порядка
классической функции. Значит, обобщенную функцию, действующую
на конечном сегменте, можно было получить путем введения понятия
обобщенной производной. Это обстоятельство представляет собой
одну из главных идей секвенциального подхода. Далее, обобщенная
периодическая функция могла быть получена как формальный предел последовательности частичных сумм тригонометрического ряда,
т. е. как предел последовательности гладких функций. Эта возможность доставляет другую важную идею секвенциального подхода к
теории обобщенных функций.
Функциональный и секвенциальный подходы к теории обобщенных функций взаимно дополняют друг друга.
4.1. Интеграл произвольного порядка от функции многих переменных. Последовательность Микусиньского — Сикорского. Понятие обобщенной функции на открытом множестве. Пусть а = (а1, ..., ат) 6
СВ”,
6 = (6,, ..., 6.) С В". Введем в пространстве В” отношение
частичного
порядка
по
правилу
(а < 6) >
(ав
Уу=1т.
Напомним, что множество 5 = {% Е В" |а < х < 6\ называется
замкнутой т-мерной ячейкой. Если т = 1, КЕЙ», то в п. 2.1,
гл. 7, определен А-интеграл функции я-^-С. Распространим по
индукции это понятие на случай, когда т © №, ЕС Фо. С этой целью
запишем
k=
(ky,
=.
Ry)
(ky Е Zs,
ХЭ.
(9,
=
В”",
Ry € До)
9
<
В).
Тогда
J
ое
(dey (
J 2
di
fra (ty) dey
(1)
где fos, (1) =f (t1, т.) У (1, 6 ду, т. 6 9.). Существование интеграла (1) обеспечим предположением непрерывности функции 9 I. С.
Для построения секвенциальной теории обобщенных функций
необходимо понятие последовательности Микусиньского — Сикорского
(М5$-последовательности).
475
Пусть
С <: В” — открытое
множество,
Допустим, что Уд = С ЗЕ №: Уп>
ф, бесконечно дифференцируема на 9.
Определение
1. Последовательность
следовательностью
%
(ф„)
ф, : В” > С
а<
Пе,
УлЕМ.
и функция
называется
MS-n o -
на открытом множестве Ц, если для
любой замкнутой ячейки $ <- Ц можно указать последовательность
бесконечно дифференцируемых функций (Е„), равномерно сходящиуюся
на множестве 9, и такие Е Е Го, т
hype bh
Е (Е) (x) =
k
Ox,
т
oee
Ox)
К, что
® = 9, (2) V(wEI, nm).
0)
Определение 2. /Tycmb (¢,), (p,) ects MS-nocaredogameAbHocmu na
открытом множестве (. Они называются эквивалентными,
если последовательность Py, ф:, фо, фо, ... является М$-последовательностью.
Определение
3. Класс всех эквивалентных
между собой М$-после-
довательностей на открытом множестве @ называется о бобщенной
функцией
на этом множестве.
Будем писать } = [ф,|, если { — класс всех М$-последователь-
ностей, эквивалентных последовательности (ф„).
Сделаем несколько пояснений. Если (ф„) — М$-последовательность на открытом множестве (, то ни одна из функций ф‚ не обязательно должна быть заданной в каждой точке множества С. Однако
на любом сегменте, расположенном в @, должны быть определены
все функции ф„, начиная с некоторого номера, зависящего от выбранного сегмента. Обобщенная функция на открытом множестве вообще
не должна принимать значение в какой-либо точке х Е (. Определение обобщенной функции напоминает одно из возможных определений действительного числа посредством рациональных чисел (определение Кантора). Пусть (7,) и (7„)— фундаментальные последовательности рациональных чисел (см. п. 2.4, гл. 2). Они называются
эквивалентными, если последовательность 7, 71, Го, Го, ... является
фундаментальной. Класс всех эквивалентных между собой фундам›нтальных последовательностей рациональных чисел называется
д-йствительным числом по Кантору. В теории Микусиньского — Сикорского роль фундаментальных последовательностей рациональных
чисел играют М$-последовательности бесконечно дифференцируемых
функций. Поэтому обобщенные функции имеют в точности такое же
отношение
к классическим
бесконечно
дифференцируемым
ям, какое действительные числа имеют к рациональным.
Пример 1. eR
=cosnx
VW(xeR
Рассмотрим
x
Fate) = \"
0
476
(2)
что (фи) является М$-последовательностью, если фи (x)=
N).
.
x
cos ли
функци-
—
sin nt
| SO
0
dt =
—
(1 — cos nz) =
2 sin?
па
nx
2 sin?
Так
о
как sup—r
< a
О,
то последовательность
(Ё„)
равномерно
сходится на числовой прямой и, гем самым, на любой замкнутой ячейке Я < К.
По определению, (фи) — М$-последовательность, поскольку Fe) = Qn.
Пример 2. Является ли (ф„)
М5$-последовательностью на В, если Фи (х) =
=!
_
УхЕ
1+e7"™
К?
Поскольку
ф (х) =
0,
|
>>
¢
Ит фи (х) =
N—»0o
|,
и функция
Ф разрывна
(Ф„) сходится
на любом
неравномерно
at
если
х =0,
х>0,
(4
Рассмотрим
Fas) = | on (0 at = |
й
х<0,
если
сегменте [а, b]
на нем.
если
<
0), го последовательность
последовательность
т
¥(XEIR,
pant
(Ён),
где
ne N).
Она сходится поточечно к функции xT, Исследуем ее на равномерную сходимость.
Если х > 0, го
А
x
\
‘
+
|=
e
\(5
x
er am
=
$
—!)a —
+e
—n,_.
|—e7™
2
Пусть х < 0. Тогда
x
x
_
0
Takum
нечном
ность,
at
ге”
o6pa3om,
сегменте
3.
ИИ
xt
числовой
Ё, =
Пусть
<|\
Ге"
()
F, 3
поскольку
Пример
x
—
ya IR и, тем
прямой.
e“dt|
—
самым,
По
= ре”
< 2
п
сходится
пп’
равномерно
определению,
на любом
Фи.
б =
U №
VE Zo
у-+
|.
Является
ли
(ф,„)
М$-последователь-
ностью, если фи (х) = n sin nx V (x € Iv, v+ Il, ve Zo, NEN)?
Ecuu FZ < G, ro cymectByet TakoeV = v (7), 4TO Pp (x) = n’ sinnx
€ 7,
n€N).
Полагаем
sin (ne —
F, (x) =
ко-
(ф„) — М$-последователь-
w+
A
VW(xe
b=]
w(x€]v, v+1[,
Tak kak F,, = 0 Ha MHomecTBe 7, FUT D(x) = @, (x)
но определению, (ф„) — М$-последовательность.
V(xE F7,n€
neN).
N), To, corsac477
4.2. Операции, регулярные в смысле Микусиньского — Сикорского. Теория действительного числа по Кантору не сводится лишь
к определению числа. Она показывает, как перенести основные
правила действий с рациональными числами на множество действительных чисел. Аналогично, не ограничиваясь только определением,
перенесем на множество обобщенных функций основные правила
действий над классическими бесконечно дифференцируемыми функциями. Для этой цели окажется полезным понятие отображения, регулярного
в
смысле
Микусиньского — Сикорского
(понятие
М$-операции).
Напомним, что символом С” (() обозначают множество всех функций, бесконечно дифференцируемых на G.
Определение. Пусть УС №, С, G, (j= 1, v) — открытые множества в пространствах В", В"! (} = 1, у). Отображение (onepa-
ция)
C™ (Gy)X «++ ХС (а —- С” (0)
(1)
называется регулярным
(М5-операцией), если последовательность
(ф„= А (Фил, Gna, «++» Pav) nen Является MS-nocaeдовательностью на множестве G всякий раз, как только каждая
последовательность (фп,;) является М5-последовательностью на мноacecmee G; (jf = 1, %).
a
Теорема. Пусть
А — MS-onepayua,
р = [gn]
(G = 1, И
обобщенные функции на открытых множествах С < В”!
(= Ту
Тогда
оо
оо
А
оо
A(fts seer fy SIA (nts +...» Фил)
(2)
является обобщенной функцией на открытом множестве а, однозначно определенной по функциям | (= 1, %).
q Полагаем
„=
А (фил,
...,
Флл)
УпЕМ.
(3)
Согласно определению, (ф„) — М$-последовательность. Она не зависит от выбора последовательностей (фи,;), представляющих обобщенные
функции [| (] =1, %). Действительно, если У | = 1, v
последовательность (ф„.;) эквивалентна (1р,„.;), то по определению
последовательность Фи,;, фи.» Ф2.у, ф2., ... является М$-последовательностью.
[о свойству операции А последовательность Q, =
—= А (фл, ..., Фил), $ = А (фь ..., мл), ... есть М$-последова-
тельность, т.е. (ф„) и (ф„) эквивалентны. Таким образом, правая часть
равенства (2) однозначно определяет обобщенную функцию на открытом множестве G. p>
4.3. Линейность пространства обобщенных функций на откры-
том множестве. Для того чтобы определить на множестве обобщен-
ных функций
диться
= Рф
478
операцию
в регулярности
\УФЕС”
(0).
умножения
отображения
на число A E€ (,, достаточно убе-
С” (q) 4. С” (0), где А ($) =
Теорема 1. Если
гилярное
А ($) = Ф
УФЕС”
отображение.
(0), ЛЕС,
то
А — ре-
Пусть (ф„) — М$-последовательность на множестве G, J — 3aMKнутая ячейка, 9 < (. Согласно определению, существуют равномерно сходящаяся
на
множестве
$
последовательность
(Ф.) из класса С” ((), а также вектор Ё Е До и
что
ol)
ность
VnEN
(xc) =,
(^Ф,)
(x)
У (%69,
равномерно
п >
сходится
п).
на
Так
функций
число п, 6 №
как
множестве
такие,
последователь-
J, AM, € C™ (G)
u (AQ, (2) = 24, (2) У (Фед, п> т), то (4, )—
М$-последовательность и А — регулярное отображение. }
Определение 1. Густь{ = [ф„| — обобщенная функция на откры-
mom множестве @ <= В", ЛЕ С. Тогда
А
Аи].
(1)
Аналогично поступим с операцией сложения.
Теорема 2. Если
А (ф, $) = Ф-+ф
У (ФЕС”
(0), ФЕ
С” (0),
то отображение А регулярное.
Пусть ($„), ($„) — М$-последовательности на открытом множестве С, 9 — замкнутая ячейка и J C G. Согласно определению, существуют такие равномерно сходящиеся на множестве 5 последовательности функций (Ф,), (4„) из класса С” (С), векторы Ё Е 20
и РЕ о,
числа п, © Мип.Е №, что
Ф(® (2) = $, (2),
WP (a) =, (2) Vee’,
п > max {n,, ny} = Np.
Iycth
J = {2ER"|axcex<
bd},
69.
(2)
Обозначим
Чт = {$6 В" |а<#<
м},
0, (2) = i” , (t) dt + ( (dt
jx
Va.
(3)
Чт
Так как 0,6 С” (9) УптеЕКМ, последовательность (9,) сходится
равномерно на множестве 5 и 6(Р-+ К) (5) = ф, (2) + $, (2) Vea,
п > по), то (ф, + ф,) — М5$-последовательность. Следовательно, A —
регулярная
операция.
Определение
2.
№
Если | = [ф„|, В = [Фл.2] — обобщенные функ-
ции на открытом множестве а, то
обобщенная функция | = [Фил - Фа.
их
суммой
называется
Отправляясь от свойств классических функций, нетрудно убедиться в том, что обобщенные функции на открытом множестве @ <
< К“ вместе с операциями сложения и умножения на комплексное
число образуют линейное (векторное) пространство над полем ((.
479
4.4. Операция дифференцирования обобщенных функций.
Теорема. Пусть К © 7о. Если А ($) = go”) УФЕ С” (G), то
операция А является регулярной.
< Пусть (ф„) — М$-последовательность, 9 — замкнутая ячейка и
9 <
(.
Согласно
определению,
найдется
последовательность
(Ф,)
функций из С” (9), равномерно сходящаяся на множестве 5, вектор
№, © 20 и число п, Е № такие, что Ф(®% (5) = ф, (2) Viewed, n>
> по). Так как Ф(®-+
№ (5) = ф®) (2) V(x Eg, n> nN), TO (p*))
является М$-последовательностью на множестве (. Следовательно,
операция А является М$-операцией, т. е. регулярной.
}
_
Определение. Пусть } = [ф,] — обобщенная функция на откры-
том множестве (, Е Е До.
определяется формулой
Тогда К-частная производная функции }
КО = (ol).
Любая обобщенная функция на открытом множестве
имеет производные произвольного порядка Ё Е Фо.
Приведем примеры.
(1)
@ < В”
Пример 1. Вычислить производную обобщенной функции } == [с0$ пх] на чис-
ловой прямой ПК.
Согласно определению,
Пример
2.
Вычислить
имеем }' = |—п $1п пх].
.
производную обобщенной функции (=|
на числовой прямой К,
По определению
pea] ЛОИИ
— 2
(i+ e")3
_
|"
Пример 3. Вычислить производную порядка # = (2,
COS
j=
NX;
oe,
—пх,
на плоскости
|
те.
о
1) обобщенной функции
К*,
По определению
p(k) —
0$ пл
\“ у)
—
1+ e7"
__|
— 7? cos nx, + nes
(1 +
4.5.
Прямое
e
1X2)
произведение
— Be—™8 cos nx,
(1
+
обобщенных
eXey2
функций.
,
Пусть
С;
и
С, — открытые множества в пространствах В"* и В”*, С = G, X Gy.
Напомним,
что прямым
произведением классических
G, и, Cu G, 42+ ( HaspiBaetTca PyHKunA GPX Pe, (, если
(ф, Х $2) (2, Le) = Py (Ly) Pg (2)
Теорема.
ЕС” ((.)).
480
Пусть
функций
V (4, E Gy, Ty EG).
А (ф, $.) = Ф ХФ.
Тогда А является М$-операцией.
У (Ф ЕС” (61),
ФЕ
Пусть ($1„), (ф2„) — М$-последовательности соответственно на
множествах С, и (5. Рассмотрим замкнутую ячейку $ < (Ц. Так как
Я =9.х9.,
где 9., Jog — замкнутые ячейки
в пространствах
R™, R™ иле
G, Gy C 0(0., то существуют последовательности
(Ф':„) и (Ф.„), равномерно сходящиеся соответственно на множествах 9, H do, из классов С” ((,) и С” ((,), а также векторы №, Е
Е 25", № Е 26° и число т Е № такие, что ФИ (2) = Фил (2)
V
(x, Е Ji
п =
Полагаем
По),
Ф()
(%.)
k = (k,, kb.) CR™*™,
xX Ф.п. Очевидно,
a)
=
92
(A)
(x,) ole)
У
УпЕ\М,
(%.)
= (Pin X Pan)(L)
—
Ф,. -
Ф!л (1)
Е Jo;
п =
Ny).
найби
P2,n (1,)
V(TET, NN).
Поэтому
(@1,n X $2„) — М$-последовательность
Следовательно, А — М$-операция. p>
Определение.
(x,
x = (a, 2.) €C R“T™, OD, = OD, X
что Ф, Е С” (0)
(1) ==
(хо)
на
—
множестве
(.
Пусть || = [фм] и р = [ф2„] — обобщенные функ-
ции на множествах
(Ц, и (5. Их прямым
произведением
| Х Р называется обобщенная функция | на множестве В = (Ц, Х (,,
определенная формулой
[= [Флмл Х Фо].
(1)
Отметим, что операции прямого (декартова) умножения множеств, классических функций, а также обобщенных функций не коммутативные.
Пример.
[lycrp
/, =
[cos nx],
f/f, =
на прямой В. Вычислить | Хьир Хх
Согласно
определению,
_
hy X Ie |S
имеем
[cos nx,
Se}
=|
е
/.
_
—
обобщенные
COS NX»
ls x=
(SSE
yp en
функции
|.
Прямые произведения /\ Х /), /» Х | являются обобщенными функциями
кости В?
4.6. Многомерная
Уре
о
имеется
математическая
утверждение
A р:
индукция.
Тогда
на плос-
Предположим,
справедлив
что
следующий
принцип многомерной индукции, где е, — вектор пространства VA
у которого {-я координата равна |1, а все остальные — нули (] =
= 1, т).
Теорема. Если утверждение Ау справедливо и из справедливости
утверждения А р следует
справедливость
утверждения
А р-ре,
У
(=
1, m, ре
20),
то
утверждение
А р справедливо
У рЕ
Zo.
q Обозначим п (р) = р + ро + ... | р». Пусть В, пПЕМ№М) —утверждение, заключающееся в том, что все А р справедливы, для которых
п (р) < п —
ку справедливо
16
337
Ap.
1. Тогда
Если
В,
утверждение
справедливо
В, справедливо,
для некоторого
посколь-
пЕ\№,
481
то утверждение В». также справедливо, поскольку справедливы все
А pte; У |= 1, т. Согласно методу математической
индукции,
утверждение В, справедливо У пЕ №, Т. е. все утверждения A р
справедливы У рЕ 20. №
4.7.
Умножение
обобщенной функции
на функцию класса С” (С).
Теорема
1. Пусть
фЕ С” (0),
А (Ф) = 9%
V@aEC” (GO).
Тогда А — М$-операция.
Пусть
(ф„) — М5$-последовательность на множестве @, 9 —
замкнутая ячейка и 9 < Ц. По определению найдутся последовательность (Ф,„) функций класса С” (0), равномерно сходящаяся на
множестве 5, вектор КЕ Хо, число т
№ такие, что ol’) (x) =
=, (4) У (169, п>> по). Докажем с помощью принципа многомерной
индукции, что Уре
Фо
на множестве всех внутренних
утверждение очевидно, поскольку
(фФ(Р)) — М5$-последовательность
точек ячейки 9. Для
р=0
последовательность (фФ,) равно-
мерно сходится на множестве 9. Пусть (фФ{Р)) — М$-последовательность для некоторого значения р 7%. Тогда У } = 1, т имеем
Фрей
— (фФ(Р))(ер —
(ей Ф(Р).
(1)
Правая часть равенства (1) есть разность двух М$-последовательностей, в силу чего (фФ(Р--ер) —М$-последовательность
У | = 1, т.
По принципу многомерной индукции (фФ(Р)) — М5$-последовательность
УрЕ
То
на
множестве
всех
внутренних
точек
ячейки
J.
Полагая р =, получаем, что (фф,„) — М$-последовательность на
том же множестве. В силу произвольности ячейки 9 (фф,) —
М$-последовательность на множестве С. Таким образом, А является
М$-операцией. }
|
Определение. ГЛиусть } = [ф„|— обобщенная функция на открытом множестве а, фЕ С” (0). Тогда
bf = Ар
[фф,].
(2)
У (ФЕ С” (0), ФЕС” (())
не
Существуют примеры таких М$-последовательностей (ф„) и (,)
на множестве С, что (ф„\ф,) не является М$-последовательностью.
Поэтому
операция
А ($, $) =фф
является М$-операцией. В связи с этим произведение двух произвольных обобщенных функций не определяется.
Теорема 2. Пусть
жестве @, ф © С” (0).
<
Пусть
| —
обобщенная
Тогда
(frp) (2) = Кей + ред
} = [ф„].
Имеем
функция
У] =1,
на открытом
т.
Fy)? = len] = (фр) = [op + pap?) =
482
= 1elp] + lpn] = pf) + yf, p>
мно-
(3)
Формула (3) называется правилом вычисления частной производной произведения frp no ]-й переменной.
4.8. Композиция функции класса С” (@) и обобщенной функт
ции (замена переменной). Пусть С < В”, сЕ С° (С), У,
2
о
of
j=l
WV 2xe€G, o (G) — 06pa3 MHomectTBa G, o (G) C R, J — 3amxKny-
+~()
тая
ячейка,
0
0
9 = (,
9 — множество
9’ = о (9) = В.
Лемма.
Пусть
ФЕ
С” (9)
внутренних
0
УптЕе№\.
точек
Если
ячейки
д,
(MO, ¢ 6) —
М$-последовательность на множестве 9, то (Ф„ ° в), также является
М$-последовательностью.
Принимая во внимание равенство
(Фо
0) (27 = (Ф, 0) 09
У] =Т, т,
(1)
умножая обе его части на 0(®) и складывая результаты, получим
MD,
99
=
j=!
m
У,
(о (ея
j=l
Применив теоремы п. 4.4 и 4.7, получаем требуемое утверждение. }
Следствие.
Густь выполнены условия
леммы
Тогда
(Ф®
в с) — М$-последовательность У ЕЕ №.
« Локазательство утверждения получим, применив метод математи-
ческой
индукции
и
лемму.
}
Теорема 1. Пусть А ($) =ф.с
является М$-операцией.
«
Пусть
УФЕС”
(ф„) — М$-последовательность
на
(0(0)).
множестве
Тогда
.
А
о ((),
9 —
функций
(Ф,)
замкнутая ячейка, 9 < Ц. Поскольку о (9) — сегмент на числовой
прямой и о (4) < ос ((), то по определению существуют равномерно
сходящаяся
на
сегменте
о (5)
последовательность
класса С” (0 (9)) и числа ЕЕ Ё., те № такие, что Фе (у) =
= ф, (и) У (ибо
(9), п > п,). Так как последовательность (OM, ®
¢ 0) сходится
равномерно
на
множестве 9 и ФосЕ С” (9)
УпЕКМ, то, согласно следствию из леммы, (Ф®’е 0) = (9, « 0)
0
является М$-последовательностью на J. B силу произвольности
ячейки 5, (ф„® 0) есть М$-последовательность на множестве (.
Таким образом, А — М$-операция. }
Определение.
д (С)
и
f =lq,]1,
Если
mo
0 Е С” (0),
def
{— обобщенная
feo= |, °d].
16°
функция
на
(2)
483
Рассмотренная операция относится к числу тех, которые естественно и просто определяются в секвенциальной теории обобщенных
функций, но которые было бы трудно определить, придерживаясь
идей Соболева — Шварца. Напротив, преобразования Фурье, особенно в пространствах О’ и &', рассмотренные в 6 3, естественно и
просто определяются в теории Соболева — Шварца. Их изучение
секвенциальными методами, по-видимому, не проводилось (за исклю-
чением
преобразования
Фурье
в пространстве &').
Теорема 2. Пусть в Е С” (0). Если | — обобщенная функция на
множестве в ((), то справедливы формулы для вычисления частных
производных
q
(Ро с)? = (оо)
09
Пусть
/ = [ф,].
У] =1, м.
Тогда
(3)
(ро о)еЙ = Ip, oo]') = [(p, 20)
=
= [(Pn° 5) 0) = (f’ oa) a). p>
Таким образом,
дифференцирования
для композиции [®о справедливо
правило
сложной функции, которое часто записывают
(1(о (2)))2 = [ (с (<) a
ИЛИ
(x),
(4)
(5)
of (o (@))
4.9.
Свертка
классических
функций.
Hoa
классических функций В" i. С, В” 2+ С
цию, значения
которой
сверткой
(т)
f{* g
вычисляются с помощью интеграла Лебега:
(в) = | fx—Dg Wade.
Свертка
двух
понимают функ-
IR™
в точке
f* g определена
хе К”,
(1)
если
функция
tre
> | (х—15()
УЕСВ” суммируема. В теории интегрирования
естественно предположить, что произведение функций под знаком
интеграла равно нулю, если один из сомножителей равен нулю, независимо от того, определены ли остальные сомножители или нет.
Этого предположения будем придерживаться в дальнейшем.
чим
В интеграле (1) произведем замену переменной х — #Ё = т. Полуравенство
(f « g) (x) = (g */) (x),
выражающее собой свойство коммутативности свертки.
чае свертка не ассоциативна.
это.
Пример.
Пусть
m=1
a
Приведем
VxEIR
10) =
x
—
\
— oo
е 4.
Вычислить
(jx g)*huf-«
пример,
(gah),
(2)
В общем слу-
подтверждающий
в @) = —хе—*",
В (х) =
Согласно определению свертки,
имеем
(+ девы,
te" = 0 VxXER,
[ ы
(р
IR
t
(g #h) (x) = ( o(«—NA( dt = ( ( (t — x) 0
IR
ew
=
| ета)
IR
$
x—t)?
a
ea
dt
|
+
\-
ea (xf)?
9
dt =
— о
—
edt
=
—00
x?
~ 7”
=
>
\
е—
21—27
р
=
е
о
|
IR
е -
(5
У?
|
=
a
—
Ул
+
9V2
|
Ул
-= dt =
———
(f * (g *(2* h)) (x) = \|575
е
Taxum
o6pasom,
ay
Ч
==
IR
((f # g) «h) (x) 4 (f #(g *h)) (x)
,
л
+z #0 ,
УхЕВ,
4.10. Свертка обобщенной функции с классической из О (В).
Пусть В” $, (С — непрерывная функция, обращающаяся внуль вне
замкнутой ячейки 5 = {С В" | а
#56}, С — открытое множество в пространстве В”. Определим новое р
множество
С (9) = {и + 11649, и ЕЦ}. В соответствии с предположением,
принятым в предыдущем пункте, для любой непрерывной на множестве С функции { и произвольного 4 Е G (J) определена свертка
(f #p) (2) = J Fe—ov@at=\Fe—s vate
(1)
IR™
Ilyctb ) € D(R") un p(t) =0
A
правилом
А ($) =ф»+ф
VEER" . 9. Определим операцию
УфЕС”
(0).
Эта
операция
ставит
в соответствие функции @ EC” (G) функцию (ф» 1) 6 С” (С (9)),
поскольку по теореме о дифференцировании интеграла по параметру
имеем
((p * p) (*)
= ф(®) вр
УКС
Zo.
Теорема 1. А является М$-операцией.
Ф Пусть ($ф„) — М$-последовательность на множестве G, J, =
= {и СВ” | а, <и< 6} = 0(9). Рассмотрим
ячейку J, = {ve
ЕВ” [а — 6 <<
— а}. Очевидно, что 9, <= (. По определению
М5$-последовательности
функций
класса
вектор КЕ Хо,
С” (&.),
существуют
последовательность
равномерно сходящаяся
число п, Е № такие, что om")
на множестве
(2) = ф, (1)
(Ф,,)
47,
V (TEI,
483
п > п,). Так как
последовательность
(фи * 1) = ((Ф. + p)™)) ==
= (O, « ip) PaBHOMepHO CXOAHTCA Ha MHOMECTBE J, TO (q, * p) —
М$-последовательность. Следовательно, A — М$-операция. }
Определение.
жестве
функция
@,
/Густь
} = [ф„| — обобщенная
9 — замкнутая
pED(R").
ячейка,
функция
вне которой
Сверткой
на
обращается
fxep=pef
мно-
в нуль
называется
обобщенная функция [ф„ * ф] на множестве ( (9).
Теорема 2. Если | — обобщенная ` функция на множестве (@, We
ЕД (В”) иф (2) =0
q
УжЕВ"
\ 4,
ЕЕ 2,
то
(Fey) =f ap = fap.
(2)
[lyctb f = [g,]. По определению
(fey) = lene yl” = (+
= [on k ep] =f k wp =o, e
k
=
.
i(k
= fey”.
pd
Формула (2) называется правилом дифференцирования
4.11. Дельта-последовательность и дельта-функция.
Определение
1. Пусть 6, 6 С” (В)
УптЕМ.
5, (>20 МЕВ, РЕМ,
свертки.
Если
| 8,(x)dx =1
R
и существует такая последовательность положительных чисел (%„),
стремящаяся
к нулю,
что
6, (х) = 0 при
|[х| >
а,
УпЕ\№,
(6,) называется дельта -последовательностью
последовательностью).
то
(6-
Теорема 1. Каждая 6-последовательность (6„) является MS-nocaeдовательностью.
q Полагаем
x
А. (=
| 8,0@
Очевидно, что А, Е С” (В)
УхЕВ.
УпЕ№,
пе №). Кроме того, Ан, (х) = 0,
mph x >a,
VneEN. Пусть
если
0=
хз
(1)
Да, (х) <1
—
и
У(ЕВ
Ani (x) =
Ano) = J Ani@dt V(xER, mE).
Докажем,
что Аз = х+ на множестве К. Если х < 0, то
0
[Аи (х) | = Ала () < | А
Пусть х >> 0. Тогда
А.
486
(2)
—x1—|
=
0
\
0
| AnaQdt<a,
х
Ana
dt
+
\ Ana (t) dt —
¥
<
(9)
Ko, + ( (An) — 1) dt =a,+ | (1— Ani) dt =
0
0
=a,+ | (1—Ani@) dt <2a,.
0
Таким
образом,
справедлива оценка
[Ал (х) — х+|<
2,
УхЕВ,
(4)
из которой следует равномерная сходимость последовательности
(Л„,2). Поскольку Ан2 Е С” (В) УптЕМ,
A”, (x) = 5, (x) Wxe
ЕВ,
то
(65,) — М$-последовательность.
p>
Примером 6-последовательности служит любая последовательность 2„-шапочек при а, —> 0. Из определения следует, что если
(5,1) и (6..2) — д-последовательности, то чередующаяся последова-
тельность
61,1,
61,2,
52,1,
522,
3,1,
032, ... также
является
д-после-
довательностью и, согласно доказанной теореме, она — М$-последовательность. Таким образом, все 6-последовательности эквивалентны
между
собой.
Определение 2. Обобщенная функция 6 = [6,]|, где (6„) — дельта-
последовательность,
называется
6-функцией
на
прямой
В.
Многомерная 6-функция определяется как прямое произведение одномерных 6-функций. Если (6;„) (=1, т) — одномерные 6-последовательности,
Х ... Х бт,
то
тельностью.
жет
последовательность
УпЕ\№,
(6,),
20e
называется т-мерной
Многомерная
6-функция,
6, = Sin
X Son
X
6-последова-
как и одномерная,
мо-
быть определена посредством 6-последовательности 8 = [6„].
В качестве применения 6-последовательностей докажем два утверждения, имеющие применение в приложениях.
Теорема 2. Пусть (6,) — 6-последовательность, [ЕС (С). Тогда
для
любой: замкнутой
п,
Е №, что
<
«6, СС”
ячейки
(9)
Я <
Уп»
Ц можно
указать
шир»
б, = [на д.
такое
число
Пусть в, = (о, %,, ..., а) 6 В”, JI, = (EE R"|—a, St<a4,},
&# — замкнутая
ячейка,
9 < С,
> 0.
Выберем
такую
замкнутую
ячейку 4, чтобы 9 < Сида
9, где 9 — множество всех внутренних точек ячейки 9. В силу равномерной непрерывности функции
{ на ячейке &, существует такой номер п, Е №, что
У (п
> пь, 69,
Отсюда
86 9,)
(f(x —t)—/(@)|<e.
У (п > пу, ХЕ 9) справедлива
1 * 0») (2) — f(#)|=
IR™
оценка
2—0.Ка (
< J [f@—t)—/(a)|6,()dt<e.
J,
IR™
да <
487
Бесконечная дифференцируемость функции {*6,„ непосредственно
следует из правила дифференцирования свертки. }
Теорема 3. Пусть (6,) — дельта-последовательность. Если после-
довательность
непрерывных
функций
(1) сходится к функции
| рав-
номерно на каждой замкнутой ячейке 9 < G, то последовательность
функций (|, *06,) класса С” (0) сходится к [в том же смысле, т. е.
равномерно, на каждой замкнутой ячейке, содержащейся воткрытом
множестве (Ц.
{
Заметим,
что
fn 8m = f* 8 + (fa — A * 8,
VEN.
(9)
Согласно теореме 2, достаточно убедиться в том, что последовательность ф„ = (7, —/)*6,
(a €N)
сходится равномерно к нулю на
каждой замкнутой ячейке $ <- (. Возьмем замкнутую ячейку J C С,
содержащую внутри себя ячейку $9. Сохраним обозначения, принятые при доказательстве теоремы 2. В силу равномерной сходимости
последовательности ({,) к функции f Ha множестве $, существует
такой номер я, что
| }, (< —® —{(х—1|<=
Уп
> щь 464,
С а,). Поэтому У (п >= no, ХЕ 9) выполнена оценка
\ (fn(@—
0) —f(x@— 1) 6,(t)dt|<
| Ф„ (2)
|=
IR™
< J [f,(e—t)—f(w—0)8,
(t) dt <e,
J
что означает
функций
n
равномерную
(ф„} на множестве
сходимость
9.
№
к нулю
последовательности
4.12. Непрерывные функции в качестве обобщенных. Так же,
как в теории Соболева — Шварца, непрерывные функции можно считать обобщенными. Если функция } непрерывна на открытом множестве (С, (6,) — дельта-последовательность, то, согласно теореме 2,
0. 4.11, (ф, =[*б,) есть М$-последовательность. В связи с этим
можно рассмотреть обобщенную функцию
[* = [»д,]. Когда о
непрерывной
вают
функции
функцию
ным,
необходимо
стью.
Поэтому
[*.
] говорят
Чтобы
убедиться
такое
как об обобщенной,
истолкование
в однозначности
то подразуме-
оказалось
определения
коррект-
функции
f* пои в возможности восстановления { по функции [*. Если
(би) и (6,2) — б-последовательности, то чередующаяся последовательность 61,1, 54,2, 621, 02, ... также является 6-последовательнопоследовательность
сверток
[Ё* 611,
замкнутой
ячейке,
f * 51,2,
f # 5o,1,
[+ 022, ... есть М$-последовательность и {+ 0,1| = [f * Spel. Iaлее, если [* = [ф„| и последовательность функций (ф„) класса С” (()
равномерно сходится
на каждой
содержащейся
открытом множестве С, то функцию /] получим в качестве предела
последовательности
(ф„). Поскольку
последовательность
(жб,)
функций класса С” (С) равномерно сходится к { на каждой замкнутой
ячейке 9 < Ц, то последовательности (ф„) и {*б6,) эквивалентны
между собой и определяют одну и ту же обобщенную функцию.
488
в
Таким
образом,
непрерывную
в дальнейшем
функцию
можно
не различать
/ и соответствующую
классическую
ей обобщенную функ-
цию |[*. С этой точки зрения все непрерывные функции имеют обобщенные производные любого порядка.
Рассмотрим
пример.
Пример.
Пусть функции } : В — В, р: В — В непрерывные, но нигде
не дифференцируемые в классическом смысле. Полагаем } (х, y) = /, (x) + Ь (и)
02}
Ft
—V (x, y) € IR?.2 Производные
дхди
и Dyan В классическом смысле не сущест вуют.
Oh
Эхаг
Поскольку
от порядка
порядка
функции]
Этот
о
he
—
0
и обобщенные
ду
’ дидх
дифференцирования, то обобщенная
пример
существует
показывает,
и
РР
Oude
Эхди
что у обобщенных
щихся классическими функциями,
непрерывной функцией.
производная
производные
смешанная
производная
д}
функций
может
va
и
of
г,
у
оказаться
ЕС
непрерывных
ячейки 4 < С можно
функций
(ЁЕ„),
функций.
обобщенных
Е® =рна
указать последователь-
непрерывную
То, число п, Е № такие, что Е, =
>п,
не являю-
классической
открытом множестве С <- К" Она называется с хок обобщенной функции ! на том же множестве, если
для любой замкнутой
ность
второго
0.
4.13. Сходимость последовательности обобщенных
Определение.
иусть
(„} — последовательность
функций на
дящейся
не зависят
Е над,
функцию
Е®)
=„
Е, вектор
ная
0
VaS
9.
В этом определении Ё-производные понимаются в обобщенном
смысле. Мз определения непосредственно не усматривается единственность предела. Для доказательства его единственности нам понадобится следующее утверждение, в котором производные непрерывных функций понимаются в обобщенном смысле.
Лемма. Если последовательность непрерывных функций ({„) сходится к функции | равномерно на каждой замкнутой ячейке 94 < Ц
и КЮ =0
УпЕМ, mo pile) — ().
Пусть
(6,„) — дельта-последовательность.
В силу
теоремы 3,
п. 4.11,
лучаем
[ = Г, *6,].
По
правилу
дифференцирования
свертки по-
f= Ufa
6a) = И +6] = 0+6, = 0. D>
Теорема 1. Пусть и рлодртьлнот (Г)
ных функций
имсет пределом обобщенные функции Ги в. Тогда р =
|
$ Пусть 9 — замкнутая ячейка и 9 < (. Согласно определению.
существуют последовательности непрерывных функций (Ё,) и (Ф,),
равномерно сходящиеся на множестве & к функциям Ёи Ф, а также
векторы №, © Хъь, Ё, 6 Хо, число п, Е № такие, что Е)
>
nh;
F(A)
=f,
(hs)
=
ln
Vn>n,
Ф(®)
—
5.
=)
Пусть
Уп>
$ =
{x Cc
489
ЕВ" |а< 26}, 9. = 16 В" | а <#< ж}.
va(e) = f° @, (at
(“Еда
Ix
Полагаем
УПЕН, 269),
Ix
$ (2) = ye @ (t) dt — ye F (t) dt.
Ix
Fx
Поскольку tp, = ф на множестве & и pit’) = 0
УпЕ\
то, со-
гласно лемме, рН) = О =
рт. е.
= в. >
Из определения непосредственно следуют утверждения.
Теорема 2. Если последовательность непрерывных функций сходится равномерно на каждой замкнутой ячейке, содержащейся в от-
крытом множестве а, то она сходится и в обобщенном смысле к то-
му
же
пределу,
но понимаемому
как
обобщенная
функция.
Теорема 3. Если |, > Гис, — в в обобщенном смысле, то в том
wee cmbicne: 1) fn, ~ f
—^
Wty 7 +00;
2) (fa + Bn) > {8}; 3) М.
УЛЕС.
Из теоремы 3 следует, что пространство обобщенных функций
является векторным пространством со сходимостью.
В приложениях важна теорема о возможности дифференцирования под знаком предела.
Теорема 4. Если |, > f в обобщенном
смысле,
то
УЁЕ 70
КЕ > [®) в том же смысле.
Доказательство следует из определения предела последовательности и производной обобщенной функции. }
В качестве приложения понятия предела последовательности
обобщенных функций покажем, что на обобщенные функции распространяется правило вычисления производной посредством предела
разностного отношения.
Теорема 5. Пусть { — обобщенная функция на числовой прямой,
ЕВ
\ {(0}
УпЕ№
иа, =0(1).
Ё (x) —
Тогда
lim
f (x + On)
— f (x)
N-»oo
An
(1)
А Пусть 5 — сегмент на числовой прямой В и } == [q,]. Hs onpe
деления обобщенной функции следует, что существует равномерно
сходящаяся на множестве 5 последовательность функций (Ф,)
класса
У (ха,
С” и числа
ВЕТ,
п > по). Обозначим
ny E€N
через
Ф
(Ф„) в классическом смысле. Очевидно,
можно
считать,
что функция
Ф
такие,
предел
что
Ф®
непрерывно
что
В
последовательности
= г. Увеличивая
дифференцируема
„
сегменте 9. Тогда последовательность функций
стремится
к Ф’(х)
равномерно
на
9.
Так
490
Of (x) = g, (x)
([Ф
—Ф
eon)
©
как
Уп
п
К,
на
.
(2 ton) = 9
(R)
= Неа) Г
и о". =f’, то по оп:
ределению предела выполнено соотношение (1).
4.14. Обобщенные функции в смысле МИКусиНьского — Сикорского как линейные непрерывные функционалы. В предыдущем
пункте доказано, что обобщенные функции в смысле Микусиньского — Сикорского образуют векторное пространство со сходимостью.
Убедимся в том, что каждую из них можно рассматривать как линейный непрерывный функционал, заданный на пространстве основных функций О, т. е. установим их связь с обобщенными функциями в смысле Соболева — Шварца. Ограничимся случаем, когда
С = В, хотя приводимые здесь рассуждения распространяются на
общий случай С = В” без использования новых идей.
Теорема. Пусть | = [| — обобщенная функция в смысле Мику-
сичьского — Сикорского
на прямой
В и ф Е Ш.
3(7, $)=del Um |
Тогда
(x)tp (x) dx
(1)
=> В
и фучкционал |, определенный формулой (1), является обобщенной
функцией в смысле Соболева — Шварца, т. е. f € D’.
« Пусть функция 1 равна нулю вне сегмента 9 = [—а, а]. Согласно определению М$-последовательности, найдется равномерно схо-
дящаяся
С”,
на множестве
& последовательность
а также числа RE Z, u ny €N
|
класса
(x)
| Pn (x) tp (x) dx = | Pn (X) tp (x) dx = (— 1)" | @,, (x) p(x) dx
J
J
(2)
Tak
kak
sto
(Ф,)
OY (x) =@,
V(x€ J, n Sn).
takue,
функций
Vn > ny справедливо
равенство
и последовательность (Ф„ф“) равномерно сходится на конечном сегменте 5, то существует предел, записанный в правой части формулы
(1). Указанный предел не зависит от выбора последовательности (ф,).
Действительно,
если } = [$1„|, то, полагая
ф,
P2n = | Pik,
получим равенство f =
X ф (х) ах.
Отсюда
если
ебли
п= 2—1,
п = 2
[ф2„|ивсилу
УпЕК,
доказанного
3ЗИ!т | фо
по
IR
(x) Хх
имеем
lim \ фи (х)
ф (х) 4х = lim \ Фил (Хх)
по В
< IR
(х) ах.
Линейность функционала }, определенного формулой (1), очевидна.
Докажем его непрерывность. Пусть фи — 0 в пространстве О. Соглас-
но определению сходимости в нем, существует сегмент g = [—a, al,
вне которого все функции фи равны нулю и pe? = Она множестве д.
491
Принимая
во внимание определение
функций
Ф„,
имеем
(F, Yin) = lim | 9, (9 № (ах = Ио ((— 1$.)
t=» 00
IR
hl
CO
J
$9 дах
Поскольку все функции Ф, ограничены на множестве д и их последовательность
сходится
равномерно,
то
:|Ф, (х) |< М
У (хса, пПЕ№). Так как у" =—> 0 на множестве 9, то Уё>0
Ime €N: | pe ((х)| <=
\У(т> ть хЕ9). Следовательно,
| —1*Ф, Ода | < 2Ма
Уи» т, треть).
Я
Из
ЭТОГО
неравенства
получаем
оценку
|(Р, Фи)
| < 2Мае
Ут
> ть,
т. е. (7, ф„) — 0. Принимая во внимание линейность функционалаf
и его непрерывность в нуле, имеем / Е О’. №»
Сделаем замечание относительно доказательства теоремы в общем случае.
Замыкание множества точек, в каждой из которых классическая
`функция ф не обращается
в нуль,
называется ее носителем ‘и обозна-
чается символом supp ф. Под множеством О (() понимают совокупность всех бесконечно дифференцируемых на открытом множестве
Сс: В” таких функций ф, что зирр ф < (. Множество ДО ((), вместе
с обычными
для
классических
функций
операциями
сложения
и
умножения их на комплексные числа, образует векторное пространство. Сходимость ф„ — 0 в пространстве О ©) по определению
означает существование такого компакта
К <= (, что Упте N
supp 9, = Ки ph? —= 0 на множестве К при любом векторе ТЕ 20.
Далее, полагаем ф„ — ф в пространстве Д ((), если в нем ф, —ф-—
— 0. Вместе с указанной
сходимостью
В (() становится
векторным
пространством со сходимостью. Линейные непрерывные функционалы, заданные на пространстве О (@), называются обобщенными
функциями на открытом множестве @ в смысле Соболева — Шварца.
Их совокупность обозначается через О’ (0). Вместе с операцией
сложения линейных непрерывных функционалов, умножением их
на комплексные
числа
и поточечной
сходимостью
О’ (() также
ста-
новится векторным пространством. Для обобщенных функций на
открытом множестве С <= В” в смысле Микусиньского — Сикорского справедлива теорема, аналогичная доказанной. В процессе ее доказательства вместо сегмента [—а, а] появится конечное число замкнутых т-мерных ячеек 91, ..., 4». Поэтому вместо одного интеграла
в (2) появится
сумма
интегралов
по ячейкам
9,
(] =1,
%). С каж-
дым из них можно провести надлежащие вычисления и оценки в
точности так же, как и в случае С = К.
От обобщенной функции } Е О’ (С) всегда можно перейти к обобщенной функции в смысле Микусиньского
достаточно
492
рассмотреть
— Сикорского. Для этого
последовательность
(}+„) ее регуляризаций
посредством =„-шапочек
зуют
при г, — 0, убедиться в том, что они обра-
М$-последовательность,
и определить
обобщенную
функцию
[ в смысле Микусиньского — Сикорского формулой | = [1 „|.
Таким образом, теории обобщенных функций {Е О’ (С), предложенные Соболевым — Шварцем и Микусиньским — Сикорским, равносильны между собой. Они удачно дополняют друг друга.
Упражнения
1.
Вычислить
производную
/’ в
смысле
теории
обобщенных
функций,
если:
а) | (х) =|х|
УхЕВ;
6) } (х) = зтх
УхЕВ;
в) { (<) = х, если О<х< 2) ир(х -- 2л) =} (0)
УхЕВ.
2. Пусть функция /}: К — К дифференцируема в классическом смысле в
каждой гочке хЕ В `` {0}, a B rouke О имеет односторонние пределы, причем
0% = }‹ (0) — [1 (0). Доказать,
что ff = xf’ + 0,6, где Г — производная
в
смысле теории обобщенных функций, кл} — классическая производная, понимаемая как обобщенная функция.
3. Пусть ФЕД (К), ф’ (х) =0
УхЕВ,
ф(0) =0,
Доказать
формулу
оф=
——..
| Ф’ (0)|
4. Вычислить предел последовательности
общенных функций, если:
a) fy (x) =arctgnx
sin nx
B) fa (x) =, —
VW(xEIR, NEN);
УС(ЕВ,
—
дн (9= VY ze
MEN): ж) м) =
nx?
1
ря
_.
sin?
8) fn (xX)
=
Onn
|
=2
am
г) № (я) = зтих
теории
об-
V(xE€IR,
AEN);
У (ЕВ,
WiKEIR, MEN) Э мы =="
2
EN);
ЕВ,
У (FE IR, BEND:
V(x EIR, NEN).
что в теории
n=!
__
в) tax=2
Di
9) fn (x) =
в смысле
МХ
5
а) У, со их = пб
COS x
n
x
sin? >
5. Доказать,
д)
7%
(м)
.
ПЕ М);
_
функций
—
— ий
I)"~"
к
У
обобщенных
функций
6) У} sin nx =
n=!
с
(— 1)"—!
sin 2nx; .
_
г)
=
=
справедливы
формулы:
сы
2»
sini (2n —— 1) x;
cos (2n — 1) x;
n=!)
e) x
—
6. Пусть
==
— In|
sin >
—In2,
Е О’ (В) и х}= 0. Доказать, что Зсе С: {= 66.
7. Функцией Хевисайда Н на плоскости №? называется обобщенная функция, определенная с помощью классической функции и формул
1, если х>0, и>0,
Н (х, у) =
Доказать,
` <
х
что
О,
в остальных
случаях.
в смысле теории обобщенных функций НИ)
8. Вычислить свертки:
a) eo
М+ье М;
бе",
(хе-4");
в)
— 6, т, е,
2
=
= 6,
(хе ЧМ) + (хе),
493
Изучение различных физических вопросов привело к необходимости обобщения понятия криволинейных интегралов,
рассмотренных в
6 9,
гл.
7,
на случай интегрирования по многообразию произвольной размерности. Ис-
точником
соответствующей
теории
по-
верхностных интегралов явилось правило замены переменных в кратном
интеграле Лебега,
B§ 11, гл. 8.
ПОВЕРХ:
НОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ.
ВНЕШНИЕ
ДИФФЕ:
РЕНЦИАЛЬНЫЕ
ФОРМЫ
исследованное
в
$ 1. Формула ГауссаОстроградского
1.1.
Параметрическое
поверхности,
ее площадь.
представление
В $9,
гл. 7,
гладкой
регу-
введено понятие простой гладкой регулярной кривой. [о аналогии опре-
делим
понятие
простой
лярной поверхности 5 в пространстве R?*.
Определение 1. Множество $ <
< В3 называется простой
ре-
гилярной
поверхностью
А
класса
С’, если на плоскости В?
существует элементарное множество
С и такое отображение G +,
1) оно взаимно
простоты
однозначное
поверхности);
S, 4mo:
(свойство
2) оно К раз
непрерывно дифференцируемо на множестве С (принадлежность классу С");
3) pv) (и) $ Ф® (и) УиЕОС, т.е.
дф (и)
дф (и)
векторы
—„—
и -5„—
не коллинеарны друг другу У и ЕС (свойство регулярности).
Если А = 1, то 5 будем называть
простой гладкой регулярной поверхностью в пространстве №3. При К = 2
будем
называть
ее элементарной.
Каждое отображение ф, обладающее свойствами, указанными в определении |, называется параметрическим представлением поверхности 5,
а уравнение г = ф (и), ибСО,
где
494
г — радиус-вектор
нением
этой
точки на поверхности,— параметрическим урав-
поверхности.
В достаточно малой прямоугольной окрестности
= (м, и2) ЕС отображение ф — ф (и) с точностью
является
точки и, =
до о (| Ли |)
линейным
Аи -ы фе ) (uy) Au, + g! “2/ ) (y,) Au,,
Au = (Au,, Au,).
(1)
Поэтому образ прямоугольника со cTopoHaMu Au,, Au, MoxKHO pacсматривать как. фигуру, близкую к параллелограмму, построенному
на векторах py) (uy) Ди! и ф@>) (из) Аи», исходящих из точки ф (и).
Площадь указанного параллелограмма pasua | [@2) (uy), p'2) (uy) | x
х Аи. Ди.. Поэтому определим площадь элементарной поверхности
как интеграл по множеству С от модуля векторного произведения
векторов $(!,
Определение
верхности
число
ф(®).
2. [Г лощадью
с параметрическим
$14 | lig
элементарной
noпредставлением ф называется
ww), фе) (и) [ ди.
Пусть ф = (фу, Фо, Фз). Гогда формулу
S| | = ТИ
где
У
(и) =
D (uy, Ue)
Из
теоремы
о замене
векторной
(2) можно записать
PUP
aye Pe) и) du,
BD (Pp, Pp)
~ Duy, Us)
Ио)
У
2 (Фь,, Фь,)
(2)
(
3)
дф,, (и) — дфь, (м)
Ou,
ди»
OP, (и)
Ou,
OP», (и)
Ou,
переменной
в двойном
Лебега следует независимость интеграла (3) от выбора
зации, что обеспечивает корректность определения 2.
Введем следующие обозначения:
91,1 = 1p? РЁ,
в виде
012 = (фе:
)
ф*?))
(€2)
62.2 = |Ф
Применяя равенство |[а, Ь] |? - (а, 6)? =|а|?.-|6[,
формулу для вычисления площади поверхности $ в виде
[S| = \ И 2.1652 — giodu.
G
интеграле
параметри-
р.
,
получим
(4)
Выражение (4$, dp) = gi, (du,)® + 291.2 du,du, + goo (du,)? Has3blвается первой квадратичной формой. В формуле (4) под радикалом
записан определитель из коэффициентов этой формы (определитель
Грама):
21,1
81,2
21
S22]
B1182.2—i2
(B12 = 65).
495
Пример. Вычислить площадь поверхности полусферы радиуса а с центром
|
в начале координат.
Параметрические уравнения верхней полусферы в пространстве !ВЗ, с центром в начале координат, имеют вид
х = аз
и: с05 и,
Y =ASINU,SINUg,,
О,
л
054
2=ас0$и,
<2л
’
T. e. @ (u) = (asin u, COS Ug, ASIN Uy SIN Ug, ACOS U,). MMeem
D-
(фл, Pa)
_
D (ty, Uy)
D
(Pi Ps)
a cos u,1 COSSO u
__
Buy, м»)
2Lp (Po, Фз)
a COS U,1 COS u
—asinu,
—
D (uy, из)
ig
— asinu, sin u.
ot
а с0$ и1 SiN Us
—asinu, sin u.
2
1
0
acos u,1 sinu 2
И
|= — 22ys$11? и, sin. us,
asinu,1 COS U, 2!
—asinu,
gD
2) = a? sin. uw, Cos u;,
asin u, COS Us
0
(Pp,
9
2
Фе,
& (ил, из)
at
2
}
.. u, cos up,
—. g2 sin?
— ай $112 и,
27
|5 | = а3 \
sin из ам
0
\ du, = 2na?,
п
1.2. Поверхностный интеграл первого рода.
Определение. /Тусть 5 — простая гладкая регулярная поверхность, отображение С + $ — ее параметрическое представление,
{ — Функция, заданная в точках поверхности. Интеграл Лебега
ее
G
если он существует,
гралом
I<k,
def
J 1as* |
<
Принимая
С
<kho<s3
(“ое
(1
au,
называется поверхностным
первого
волом
>
|
рода
от функции
} и
1
од
у,
1<А.<А.<3З
2 (Ф,, Фь,) \?\ 7
(Gun) )} ди.
во внимание формулу (4), п. 1.1, получим
$
инте-
обозначается сим-
145 = G| Фу Иgisgeo— giadu,
Из теоремы о замене векторной
переменной
в двойном
(2)
(3)
интеграле
Лебега следует независимость интеграла (1) от выбора параметрического представления и тем самым — корректность предложенного
определения.
Поверхностный
смысл:
496
если
интеграл первого рода имеет простой физический
} > 0 — плотность
распределения
массы,
то поверх-
ностный интеграл есть масса поверхности. В общем случае функцию
Г можно истолковать как плотность распределения электрического
заряда на поверхности. Тогда интеграл есть электрический заряд
поверхности.
Пример.
Вычислить
/ = } 24$,
где 5 — часть
поверхности
данной па эаметрическими
уравнениями
х= 41 с0$ и»,
((u,, riz) € 10
а] Хх[0, 2д)).
Параметрическое представление поверхности имеет
и1 Уп и, и»). Тогда
gle) (u) = (COS Ug, SiN Us, 0),
g,=1,
фе)
(uw) =
Uy SIN Ug,
вид ф (и) =
(— uy, SiN Ug, Uy COS Ue,
2
Е НИ,
Zoo =
Y=
геликоида,
г=
заи,
(и, с0$ и»,
1),
81.9 = 9,
2п
1 =
|
ug Jitu
+ udu = [Va
[0,а]Хх [0,2п
=n (uy 1+ uj + in(y +
| паша
ГУТ
+ маш, =
0
1 + af) [A =
=n?(aV1+a?+ In(at+ V1
+ 0%),
1.3.
Ориентация
поверхности.
Поверхностный
интеграл
второго
рода.
Определение r, ‚ Параметрические представления
поверхности
S G, fi, SuG, © + $ класса С* (РЕ №) называются
э квивален тными, если существует такая биекция 0 P= (ithe)
С» класса С*,
4т0
Ффоэф
=
ф
Определение
№
2.
>0
2
и якобиан
Уи = (uy uy) CG,
Класс всех эквивалентных между
собой парамет-
рических представлений поверхности $ называется ее ориентацией и обозначается через бор. Упорядоченная napa D = (S, Sop),
состоящая из поверхности 9 и ее ориентации, называется о риентиробанной
поверхностью.
Определение 3. Пусть Ф = ($, Sop) — ориентированная
поверхность, P = (Pir Po, Ps) E Sop, |: э — В — заданная функция.
Если существует
двойной
интеграл
[ео
Лебега
deadly (i 7= 1,2, 9)
(1)
то он называется поверхностным интегралом второго
рода (по г-йи |-й переменным) от функции | по ориентированной
поверхности
Ф
и обозначается
| 1 (2) ажах..
Таким
образом,
®
символом
(2)
{fe dxdrs = {iow Fee dy, (i,j =1,2,3). @)
497
В силу
от выбора
теоремы
о замене
параметрического
переменной,
интеграл
представления
ФЕ
(1) не зависит
Sop, вследствие чего
определение 3 является корректным.
Все параметрические представления поверхности 5, не принадлежащие заданной ориентации Sop, эквивалентны между собой и
образуют другую ориентацию $„, поверхности $, называемую противоположной К Sop.
Пусть фЕ 5ор. Рассмотрим единичный вектор
(е1)
[фо!
(и), ф (е›)2 (и)|
п (и) =
| [p22)
(и),
ф(е2)
(u)|
иЕС.
(4)
|
По свойству векторного произведения он ортогонален векторам
p21) (w), ф(е2) (и) и тем самым ортогонален касательной плоскости,
проведенной к поверхности 5 в точке ф (и).
единичной
нормалью
в
точке
ф (и),
Вектор п (и) называется
отвечающей
ориентации
Фор.
Он не зависит от выбора параметрического представления Ф Е $.
Действительно, если ф* Е ор, Оу» = *, то фи $* эквивалентны
между собой и по определению 1 существует такая биекция С + (*
с положительным якобианом, что ф = ф* отр, в силу чего имеем
фе)
=ф te (е1)
д
we
+
[p,
дme
*(е2)
og)
,
gp?)
@ae ($,
—
=
ть
дos
ov)
+
о"
д
a
,
ф .(ea),
(es)
>0, то вектор п (и), определенный посредстПоскольку a
BOM отображения ф, совпадает с аналогичным вектором, определяемым с помощью отображения ф*.
Ориентация Фор поверхности 5 однозначно определяется заданием
соответствующей
точке.
Определение
ей
единичной
нормали
какой-нибудь
ев
4. Полагаем
}У мха,
@ bf
У 1 Ф| Рожахь
где Ф — ориентированная поверхность,
дится по всем значениям 1, | = 1, 2, 3.
Пример.
в
а
суммирование
(5)
произво-
Вычислить
/ = | хахах: -- хоахзаж -- хзажах., где Ф = ($, 5 op)s
Ф
$ = {(%1, х, 43) 6 В | x + x? + x =a", x3 >0}
(а>0), а ориентация Sop
такова, что соответствующая ей единичная нормаль образует с осью Охз острый
угол.
Рассмотрим параметрическое представление ф указанной верхней полусферы
$, полагая
@ (Uy, Ua) = (Asin uy COS Ug, ASiNuU,
498
л
SIM Ug, ACOS Uy), (Uy, Ue) E lo. +|
x [0, 2n[.
Вычислим третью координату вектора [ф®®%,
точке,
например
(5.
+)
ф“] = (Д, В, С) в какой-нибудь
Имеем
(ev) (и) = (а с0$ &, COS Uy, ACOS Uy SiN Ug, — asin
ме.
uy),
ф(е2) (u) = (— asin u, sin uy, asin u, cos u,,
0),
Таким
образом, фЕ Sop: Согласно определениям
(3) и (4), находим
| = 28 \ (sin? u, cos? ug + sin® u, sin? uy + sin u, cos? u,) аи: 4иа,
где С =
|
л
G
5 | x
(0, 2л[. Следовательно,
д
"2
2m
[= а \ sin u,du, ( du, = 2na',
0
0
1.4.
Поток
вектора
через
ориентированную
поверхность.
Связь
между интегралами первого и второго рода.
Пусть Ф = ($, 5ор) — ориентированная
поверхность, @ E Sop,
D, = (С. Рассмотрим отображение } : В -> Вз, } = (1, Ё, №). Оно
называется векторным полем. Допустим, что 5 < В,;. Поверхностный интеграл первого рода
I= | (fm) d5,
$
(1)
где п — единичная нормаль, соответствующая ориентации поверхности, называется потоком векторного поля ]} (или вектора 1) через
поверхность Ф. Если } представить как поле скоростей движущейся
жидкости, то поток вектора через поверхность есть количество
жидкости, протекающей через нее за единицу времени. Выразим
поток векторного поля через поверхностный интеграл второго рода.
Имеем
1= (4164), п (и) [fo
С
(, 99 (раша. =
@)
Принимая во внимание формулу (4), п. 1.3, определение смешанного произведения векторов и выражение последнего через декарто499
вы
координаты
множителей,
получим
[1 (Ф(и))
№ (Ф(и)) — Ь(Ф(и))
1 - | gi? (w)
Tel
G
DP,
+ fs (@ (u)) Jie)
Таким
образ
gx (u)
ФА)
Е
9
(и)
gh и)
Е
Dm
|ащаи, =
(uy,
+
Uy)
du,du, = \ hdeedx, + fydxgdx, + f,dx dx.
Ф
м,
(3)
\ пахзахь Е рьахзаж + Бажах, = | (f, n) dS.
$
®
Формула (3) устанавливает связь между поверхностными интегралами первого и второго рода. Она служит источником истолкования
поверхностного интеграла второго рода как потока вектора } =
= (/1, fo, [з) через ориентированную поверхность Ф. Из нее следует,
что при изменении ориентации поверхности интеграл (3) принимает
противоположное значение.
1.5.
Интегрирование
Гаусса — Остроградского.
как
по
границе
Физическое
элементарного
истолкование
тела.
Формула
интеграла
\ пах.ажз - рахаж, -- зам ах.
Ф
потока вектора } = (7, [ь, [з) через ориентированную
(1)
поверх-
ность Ф наводит на мысль рассмотреть случай интегрирования
по границе тела У, понимаемого как множество точек пространства
Вз. Действительно, пусть за единицу времени через границу тела
У вытекает определенное количество жидкости. Тогда внутри его
должны быть точки (источники), в которых жидкость создается.
Вместе с тем могут быть точки (стоки), в которых жидкость, выбрасываемая
источниками,
исчезает. Действие источника (стока) х
характеризуется числом РЁ (4), модуль которого равен мощности х
(как источника или стока). Суммарной характеристикой действия
всех источников и стоков, расположенных в теле У, является интеграл
[= | F (x) dx,dx,dXz,
(2)
V
равный потоку векторного поля скоростей {| движущейся жидкости
через границу тела У. Таким образом, должна существовать связь
между интегралами (1) и (2). Формальные соображения, основанные
на установленной ранее связи между интегрированием и дифференцированием по одной переменной, подсказывают, что функция ЁР
500
имеет
вид
of
F= eas
где
в, =
+1
(=1,2,
границы тела
У.
3),
(3)
в зависимости
от
выбора
ориентации
При реализации указанной выше идеи имеется затруднение, заключающееся в том, что даже в простейших случаях, когда тело И
есть куб или шар, его граница не принадлежит классу тех поверх-
ностей,
по которым был определен интеграл (см. определения
1—3,
п. 1.3). Однако в простейших, но достаточно общих и важных для
приложений, случаях границу тела можно составить из конечного
числа поверхностей класса С’. Конечный набор ориентированных
поверхностей (Фу, ..., Фр) записывают в виде Ф, -- ... -- Ф, и называют цепью. Составляя цепь, иногда приходится менять ориентацию
о
R
о
входящих в нее поверхностей, что отражается
в записи УФ,
(г, = +1). При решении многих задач сложное тело разбивают на
части и для вычисления
его границы (цепи поверхностей)
как суммы
границ составных частей требуется операция сложения цепей, которая возможна при следующем, более общем их понятии.
Определение 1. Конечная линейная комбинация простых регулярных ориентированных поверхностей (Ф,) класса С* с целыми коэффициентами (а!) называется цепью того же класса и обозначается символом
у a; Dj.
(4)
Полагаем
>
\
a,@,
У, Нажахь ce у, а} | у, fendxjdxp
i,k
]
Ф,
(9)
Е
/
всякий раз, как только правая часть формулы (5) имеет смысл.
Определение 2. Тело У < В? называется элементарным
для интегрирования по первой и второй переменным, если существуют элементарное множество С <= В? и функции ф, ф класса С* (0)
такие, что
V = {(X1, Xa, хз)6 R®| (x1, x.) EG A p (x, Xq)
< Xz <
(x,
х.)}.
(6)
С геометрической точки зрения указанное тело ограничено свер-
ху графиком функции p, снизу — графиком функции 1, а с «боков» —
цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны
оси Ох.. Границу ДУ тела У понимаем как цепь, состоящую из ориентированной поверхности Ф с параметрическим представлением
ф (хи, ха) = (Xp) Xa, № (хи, Х.)), (х, хо) Е (0, взятой с множителем +1,
ориентированной поверхности Ф с параметрическим представлением
501
Ф (%1, х5) = (ха, хь, ф (ха, х.)), (ху, х») Е 0, взятой с множителем —1,
и цилиндрической поверхности Ц, ориентированной так, что соответствующая нормаль п направлена вне тела У с множителем -Е1.
Указанная
цепь
называется
положительной
границей
тела
У
и
обозначается через ДУ, о чем уже упоминалось.
Отметим, что в силу формулы (3), п. 1.4, интеграл по ориентированной
поверхности Ц, по первой
и второй
нулю, поскольку п | Ох., а вектор
Ох. при каждом значении х.
Таким образом,
переменным
(0, 0, р (5))
всегда равен
коллинеарен оси
\ [dx,dx, = | аж ах. — | аж хо.
ду
©
Ф
Аналогично
по другим
определяются
наборам
элементарные
переменных
(по второй
тела для
(7)
интегрирования
и третьей,
по третьей
и
первой) и соответственно понятия цепей, являющихся их положительными границами.
Определение 3. Тело У < В 3 называется элементарным,
если У1==1
(1,1 =
объединения
1, 2, 3) его можно представить в виде конечного
непересекающихся
тел,
элементарных
вания по совокупности
1-й и |-й переменчых.
=
(fi fe fs) € C* (V),
для ичтегриро-
За положительную
гра-
ницу ОУ тела У принимаем сумму цепей, образующих положительные
границы составляющих тел.
Теорема (Гаусса — Остроградского). Пусть У — элементарное
тело в пространстве В*, 9У — его положительная граница, У ==
У
ПОУ.
д
+
om
)
V
Если
д
+
a
1 =
д
2)
dx,dx,dx, =
mo
\ fdx.dx3 + fydxzdx, + fgdx,dx,.
ду
(8)
Требуется
ch
AX,
доказать следующие
dX
ds
—
\
[dx,dXxz5,
три формулы:
Sa
==
*
ду
i
dx,dx.dxs
\
av
fax
sdx1,
\ a Хз dx,dx,dX_ - | акк,
ду
что делается совершенно одинаково. Остановимся
последней формулы.
на доказательстве
Его достаточно провести для случая,
когда тело
У элементарное относительно интегрирования по первой и второй
переменным. Сохраним обозначения, принятые в определении 2.
Согласно теореме Фубини и формуле Ньютона — Лейбница, имеем
д
a
ржи,
dx,dx,dXx3
—
ах Ах
в
Ха)
\
W(%4,%29)
502
Of
Bey
Ах;
=
= | fain te Blew dds — J foe Ho W(t #9) dnd =
G
=
\
fdx,dx.
=—
\
Ф
зах! Ахо.
Ф
Осталось воспользоваться формулой (7). №
Теорема была открыта Гауссом в 1813 г., независимо от него
доказана в приведенном здесь виде Остроградским в 1828 г. и обобщена им на случай функций любого числа переменных
в 1834 г.
Функция
F=
у
oF,
(9)
j=1
OX;
называется дивергенцией векторного поля } = (|, Ь, В) и обозначается К = div f. Touxaz € V, B Kotopoi div f(z) >0
(@х 1 (<) <
< 0), называется источником (стоком) векторного поля], а велиunHa | div f (x) | — ее мощностью.
Гамильтон
которого
анализа.
—
Ox,
предложил
формальный
символ У (набла), с помощью
можно записать различные важные операции векторного
Будем представлять себе У как формальный вектор У ==
9
OX,
по правилу
’
д
OXg
} Если } — скалярная функция, то, вычисляя У}
«умножение
вектора
УР = (5Ox,
на число»,
°
of
OX,
’
получим
ee) +
(10)
OXs
Если функция } имеет частные производные, то правая часть равенства (10) имеет смысл и служит определением его левой части.
Таким образом,
Vf= gradf.
(11)
В случае, когда { — векторное поле, то, рассматривая
«скалярное произведение двух векторов», получим
(У, })
ЕЕ.
как
(12)
Как и прежде, правая часть равенства (12) является определением
его левой части и называется дивергенцией векторного поля [.
Имеем
(V, f) = div f.
Наконец,
рассматривая
«векторное
произведение
(13)
[V, f]»,
получим
вектор, который называется ротором или вихрем векторного поля }
503
и обозначается гоф }. Он имеет вид
i
_|
1
д
К
д
д | _
ГЕЙ = | 55
0
On
hh
ho
fs
Правая
[0
д.
= (32 —
\.
2+
(2
Ma)
a,
j
oe, J I+
Of
+ (5:9, — Ge)
(14)
часть равенства (14) служит определением его левой части
Пример. Тело У целиком погружено в жидкость. Исходя из закона Паскаля,
доказать, что выталкивающая сила жидкости равна весу жидкости в объеме тела
и направлена вертикально вверх (закон Архимеда).
Закон Паскаля утверждает, что погруженная в жидкость площадка испытывает давление, направленное по нормали к ней и равное по величине весу столба жидкости, основанием которого служит площадка, а высота равна глубине погружения.
Выберем систему координат Ох: хохз гак, чтобы свободная поверхность жидкости находилась в плоскости Ох4х., а ось Ох. была направлена вертикально вверх.
Пусть и — удельный вес жидкости, а Р — сила, действующая на тело У. Согласно закону Паскаля,
F = (F,, F,, Fs) =«
| х.па$.
ov
Перейдем к интегралу
градского. Получим
второго рода и воспользуемся формулой
Fi=yp
9
Fe
\ хз4хоЧхз = в
ду
F,
—
и
\
ду
dx,dx,dx, = 0,
у
хзахзах1
=>
[A
ov
Ез = и \
Гаусса — Остро-
|
’д
5
OX,
5х
xgdx,dx, =p
ах
хх
=
0,
23
V
dx,dx,dx, = и |У|.
у
Таким образом, сила ЁР направлена вертикально вверх и по величине
и | "|. г е. весу столба жидкости, заключенной в объеме тела У.
$ 2. Внешние
дифференциальные
равна
формы
Теория внешних дифференциальных форм необходима для более
глубокого понимания связей между классическими формулами ин-
тегрального исчисления (Ньютона — Лейбница, Грина,
Гаусса —
Остроградского). Она полезна для построения новых аналогичных
формул, необходимых в приложениях и называемых в современной
математике формулами Стокса.
Английский математик Д. Г. Стокс (1819—1903) указал формулу,
связывающую интеграл по ориентированной поверхности с интегра504
лом по кривой, ограничивающей поверхность, что послужило толчком для глубоких современных исследований, после которых стало
ясно, что абстрактную теорему Стокса правильнее было бы называть
теоремой
Ньютона — Лейбница — Грина — Гаусса — Остроградского — Стокса, поскольку каждый из упомянутых выдающихся математиков внес в нее значительный вклад.
Внешние дифференциальные формы являются
меняющими
собой
формальные
Гах, У, паху,
У п амахь
]
встречающиеся
определения
под знаком
доставляет
объектами,
выражения
Е,]
интеграла.
формула
+...
(1)
Наибольшую
трудность
| faxdx; = — | faxjdx,,
Ф
за-
их
(2)
Ф
следующая из определения поверхностного интеграла второго рода.
В соответствии с ней должно выполняться равенство
тах ах!
которое показывает,
достаточно
считать
что для
4х1, ахо,
=
—
fdxjdx,,
придания
смысла
(3)
выражениям
... дифференциалами
(1) He-
соответствующих
функций.
Определив понятие формы, введем операции над ними, позволяющие находить подынтегральные выражения в формулах типа
Ньютона — Лейбница,
Грина, Гаусса — Остроградского.
Существует много различных способов построения теории внешних дифференциальных форм. Предлагаемый нами подход не является общепринятым, но он сравнительно быстро приводит к цели и соответствует уровню строгости, принятому в данной книге.
2.1. Простейшие поверхности в пространстве К”. Понятие простейшей
поверхности
произвольной
размерности
К <т
можно
оп-
ределить по аналогии с кривой (1-поверхностью) или с поверхностью
(2-поверхностью) в пространстве К. Предварительно введем в
рассмотрение простейшее множество в пространстве В^ — стандартный симплекс.
Определение 1. Лиусть {е, == (1, 0, ..., 0), ..., её = (0, ..., 0, 1)} —
стандартный базис пространства В^. Множество
k
k
9* = {ЕВ [р = У а,
У и < а, >0
У =1,I, в}
(1)
|=
i=
называется стандартным
симтплексом прострачства
k
При А = | стандартный симплекс пространства В есть интервал
10, |. При А = 2 стандартный симплекс на плоскости ®* является
треугольником с вершинами (0, 0), (1, 0), (0, 1). Стандартный симплекс пространства №3 есть тетраэдр с вершинами (0, 0, 0), (1, 0, 0),
(0, 1, 0), (0, 0, 1). В общем случае стандартный симплекс 9 в прост505
ранстве
В*
простейших
представляет
фигур.
собой
дальнейшее
обобщение
указанных
В $9, гл. 7, и$ 1 настоящей главы рассматривались регулярные
кривые и поверхности. Их регулярность использовалась для задания ориентаций посредством касательных и нормалей, а также
для установления связи криволинейных и поверхностных интегралов первого рода с соответствующими интегралами второго рода.
Поскольку в дальнейшем не будем исследовать аналоги перечисленных свойств в общем случае, то для нас несущественно требование
регулярности многомерной поверхности и оно не предполагается.
Определение 2. Множество $ < В” называется простой
Е -поверхностью
классаС’, если существует биектив-
ное отображение
Таким образом,
чается
посредством
9
R
+
=
(9s
>
e809
т). $ лого же класса.
простая А-поверхность в пространстве В” полудеформирования
в В”
стандартного
симплекса
пространства В“. Отображение ф из определения 2 называется параметрическим представлением К-поверхности S.
Для построения теории внешних дифференциальных форм вполне достаточно указанного класса параметрических представлений.
Однако найти такое представление для заданной К-поверхности 5 —
задача не простая. Поэтому целесообразно расширить их класс.
ф
К
Определение 3. /Лусть О < В’. Биективное отображение О) — $5
называется параметрическим
представлением
Е -поверхности
5, если существует такое биективное ото9
бражение О -> 9
ke
класса
р = фо 0.
Определение 4. Два
простой Е-поверхности
С”
Vv
с якобианом,
сохраняющим
знак,
что
параметрических представления фи
p
$ называются эквивалентными,
0
если существует такая биекция Оу —> Оф класса С”, что
ф = фо0
и якобиан отображения 9 неотрицателен в каждой точке т Е Оу.
Определение 5. Класс эквивалентных между собой параметрических представлений простой Е-поверхности 5 называется ее ориентацией
и обозначается Зор. Упорядоченная пара Ф = ($, Sy»)
называется
ориентированной
простой
R-noверхностью.
Все параметрические представления простой Е-поверхности 5,
не принадлежащие $.р, эквивалентны между собой и образуют другую ее ориентацию
(противоположную),
обозначаемую
$о„ или
— Фор. Ориентированная простая А-поверхность ($, Эор} называется
противоположно ориентированной и обозначается Ф” или —Ф.
2.2. Понятие формы. Выше упоминалось, что формально записан-
ное выражение /4х», ... Ах», лишено смысла. Записанное под знаком
интеграла, оно указывает функцию, подлежащую интегрированию,
506
и переменные (с указанием порядка их следования), по которым следует интегрировать. Если рассмотреть упорядоченную пару (р, f),
где р = (ри, ..., Рь), то она имеет смысл и содержит аналогичную
информацию. Принимая это во внимание, дадим определение элементарной А-формы и интеграла от нее по ориентированной К-поверхности.
Определение 1. Пусть С < В” — открытое множество. Упорядоченная пара (р, |, состоящая из вектора р = (ри, ..., рь) с натуральными координатами, не превосходящими числа т, и отображения б > ( класса С” (6) (у > 0), называется элементарной
Ё-формой того же класса. Если Ф = (5, $ор) — ориентированная простая Е-поверхность 5 < Ц, ФЕ $ор, mo число
2 (Ф,..., Ф,,)
lo(P, ) = | (0)
D
называется интегралом
элементарной формы (р, |.
Определение 2. Число
[Ф (((р1,
|),
кое у
по
(Ph:
а
Е-поверхности
[.)}) —
у
lo (Ру,
fi)
(1)
Ф
от
(2)
называется интегралом
от
конечного
набора
{(р1, |), ..., (Р„, [№)} элементарных Е-форм по ориентированной
простой Е-поверхности Ф.
Пусть р, = (ри,,, ..., Ри’) (= 1, п). Согласно определению 2,
конечный набор элементарных Ё-форм {(рь, |1), ..., (Ри, [п)} играет
роль подынтегрального выражения
> ао
++. Чрь р
(3)
не имеющего смысла в том случае, когда оно записано отдельно (без
интеграла по К-поверхности).
Определение 3. Два конечных набора элементарных К-форм класса С” (С) называются эквивалентными,
если интегралы от
них по любой ориентированной простой Е-поверхности Ф == ($, ор),
Sc G, равны между собой.
Например, два различных набора {((1, 2), })}, {((2, 1), — fA},
каждый из которых состоит из одной элементарной 2-формы, эквивалентны, поскольку [pm {((1, 2), f)} = Jom {((2, 1), —f)}
для каж-
дой ориентированной простой 2-поверхности Ф.
Определение 4. Совокупчость всех эквивалентных между собой
конечных наборов элементарных Е-форм класса С” (0) называется
к - формой того же класса и обозначается символом
® =
(Pas
|),
...»
(Pas [»)].
(4)
Набор {(py, }), ..., (ри, [п)} элементарных А-форм называется
представлением Е-формы ©, а интеграл от него — интегралом от
507
формы ®. Он обозначается символом
[ф® или | ©. Таким образом,
®
| o = DY} /a(p В)
для каждой ориентированной
SCG.
2.3.
Операции
Определение
& = [(Ра, |1),
Тогда
k-qopma
oO =
называется
(Pu
их
сложения
простой k-nopepxHoctu M = (S, Sop),
Ё-форм
и умножения
1. /Тусть даны Е-формы
...›
(Ри, [п,)
hi)
оо у
(Pris
М = (1, &1),
ри),
(41;
сформулировать
сложения
их
класса С” (0)
81);
К-форм
определение
„-.›
eee y
суммой и обозначается
Таким образом, операция
нению их представлений.
Чтобы
(5)
на
функцию.
Е ци
(@л» nd]
(1)
8n,)]
(2)
(Чт,
® = & +1.
сводится
произведения
к объеди-
функции
к-формы, достаточно представить себе правило умножения
цию выражения,
т, где
записанного под знаком интеграла.
на функ-
и
Определение 2. /Лусть функция С 1 (С и^-форма ® = (ри, |), ...
.... (Pry fn) принадлежат классу С’ (0). Их произведением | = в}
называется k-dopma [(р:, |1}, ..., (ри, !)] того же класса.
Определение 2 содержит в себе правило умножения Е-формы
класса
С” (0)
на комплексное
число.
Поэтому
множество
всех
#-
форм класса С” (() вместе с операциями сложения и умножения их
на комплексное число образует векторное пространство над полем ().
Оно бесконечномерное.
Введенные операции над А-формами класса С” (() позволяют записать каждую из них в виде
@ = > й (рь 1).
(3)
Форму [(р, 1)] назовем стандартной А-формой, а равенство (3) —
стандартной записью Е-формы
®. Подводя
ражение
Df pAXpdxp, +. AXp,,
р
итог, отметим,
P= (Py +++
Pr)s
что вы-
(4)
имеющее смысл лишь тогда, когда оно записано вместе с интегралом
по ориентированной простой К-поверхности Ф, заменяется Е-формой
o=
X
ipl,
Г],
(5)
имеющей самостоятельный смысл.
2.4. Внешнее произведение форм и их каноническое представление. Операция внешнего умножения форм, определяемая ниже,
508
является одной из основных. Вначале определим правило
умножения
стандартных
Определение
1. Пусть
форм.
внешнего
(р, 1)] и (а, 1)] — стандартные
Ё- и
Ё.-формы. Стандартная (в - Ё.)-форма (г, 1], где г = (р, 9) =
— (ри, ..., Рь,, 91» ...› дь,), называется их внешним произвеOenuem.
Для обозначения операции внешнего умножения форм используют
знак Л.
Таким
образом,
def
(р, ПУЛ Ка, DI=lr, 1],
где
(1)
г = (р, 4).
Используя стандартную запись форм (см. формулу (5), п. 2.3),
легко определить операцию их внешнего умножения в общем случае.
Определение 2. Пусть
Е =
dM fp
р
(р,
1),
| =
>89
q
[(4,
1)
соответственно k,- 4 Ry-@opmet Kaacca С” (С). Их внешним произведе-
нием
& /\ | называется
(Е
- Е.)-форма
® того же класса,
где
о = У У /ра, (Кр, 11 Л Ка. 00 = У рва (Кр, ИЛ,
ря
(=
По
1). ©
р,4
индукции
1, п) класса
определим
С” (0):
Лю Л
внешнее
произведение
--- Лос
( Л --- Л
форм
Л в,
a,
(3)
Стандартная |-форма [(р, 1)], где | < р < т, является простейшей. Она представляет собой совокупность всех элементарных 1форм, имеющих интеграл по любой ориентированной простой кривой Ф
(1-поверхности)
обозначим форму
в пространстве
К”,
[(р, 1)| через ах», т. е.
dx,“ [(p, 1)
Согласно формулам
равный \
Ф
4х,. Поэтому
vp=1, m.
(4)
(1), (3), (4), имеем
[(р, 1] = (К(рь, ..., Рь), 1] = ll, DEA (on,
= 4х», Л 4х», \
-.:
А
++. Л Фь
/ dXp,.
ИП] =
(5)
По определению 3, п. 2.2, элементарная А-форма ((ру, ..., р, ...
...Р»..., Рь), 1) эквивалентна элементарной К-форме ((ру, ..., р, ...
.... Рь..., рь), — Г) и, согласно определению 4
ведливо равенство
(Pir s+
=
—
[(р,
Рь +.
...,
того же пункта,
спра-
Рь -.., Рь), I=
Рь.-.,
Рь ...,
Рь,
ПУ
(6)
509
хо,\
oe
—= — д»,/
Л ах,Л
...
++.
Лахь,^
Л 4.
Л...
+-.
Л ах», Л
Л ах,=
+:
Л dXp,,
(7)
Из формулы (6) следует, что если вектор р = (ру, ..., р») имеет две
равные координаты, то А-форма [(р, 1)] равна нулю. Если координаты вектора р попарно не равны, то их можно расположить в порядке возрастания величин и при этом может измениться лишь знак
стандартной А-формы. Из формулы (5), п. 2.3, следует, что любую
Е-форму « класса С” (6) можно записать в виде
0 =
у
I<pi<+++<p_<m
И рн.
ры
(Pr,
...›
De),
1],
(8)
A aXp,.
(9)
ИЛИ
® =
У
1<р.<...
<рь<т
Равенство (9) называется
фициентами fip,,...p, -
Fior,..pyaX. \
+++
канонической записью Е-формы
® с коэф-
Отметим, 4TO k-cbopmpr (9) c постоянными коэффициентами
R
т |
зуют векторное пространство размерности Ст = тии
обраКаж-
дая такая форма является антисимметричной полилинейной (т. е.
линейной по каждой переменной) функцией от |-cbopm dx,, ..., dX,
и называется антисимметричным тензором ранга К (Е-тензором).
Следовательно, К-форму ® можно рассматривать как поле антисимметричных К-тензоров, определенное на открытом множестве С <=
< В”. Указанное свойство иногда принимают за определение kформы. Исчисление антисимметричных тензоров вместе с операцией
внешнего умножения называется внешчей алгеброй. Она разработана
Г. Г. Грасманом (1809—1877) и изучается в курсе высшей алгебры.
2.5.
Внешний
дифференциал
формы.
Назовем
отображение
СИА (С класса С” (0) (>20, ба К” — открытое множество) 0формой того же класса. Если } является 0-формой класса С” (С) (у >
> |), то ее внешним дифференциалом 4} называется 1-форма класса
С°-' (С), определяемая
равенством
41 =У
т
==]
om dx),
где Ах, ..., Ах, — стандартные |-формы.
Определение.
Внешним
дифференциалом
Е-формы ® класса С” (С)
510
(1)
do
(х > 1) называется (Е -- 1)-форма класса
С” 1 (С), вычисляемая
do =
по следующему
a
Гр.вы
I<pi<ees<ppxm
def
15р.<... <рь<т
Приведем
правилу’
Хр /\
def
***
(Af (o,5...10,)) Л AXp, Л
/\ dXp,) =
“°°
Л AXp,.
(2)
примеры.
Пример 1. Вычислить внешний дифференциал
класса С! (С), где С сх В? — открытое множество.
1-формы
Согласно определению внешнего дифференциала,
® = Нах, ++ рах.
имеем
doo = (ahi) A dy + (dla) A dey = (GE ae, + SI dey) A dey +
д
+ ( 2
д
dx, +
a
Oh.
dx)
Л 4х: = On,
Ole
ax,
=
Oh
Diy
—
д
4х: /\ ах, --
a
dx, ^ ах, =
ах. / ах..
Читатель обратит внимание на то, что формы © и а® входят под знаком интеграла в формулу Грина.
Пример 2. Вычислить внешний дифференциал 2-формы ® = дах. Л ах. +
-- Баж Л ах + Бах Л 4х класса С* (0), где Сб < В3 — открытое множество.
Поскольку
dw = (dfy) /\, ах. Л ах: - (а№ь) A dxs A dx, + (dfs) A dx, A dx, =
д
д
OF.
ia
аж Л ах. Л ах, + a
ах: /\ аж; Л ам
x,
dx, /\ ах! Л ах.
=
и
ах. ^ ахжз Л ах! = — ах, Л ах, Л ах, = 4%: Л 4х, Л dxz,
dx.
TO
A
dx,
Л
dX»
=
[91
do —= ( ax,
—
dx,
A
07.
ax,
+
Хз
Л dx,
О1з
+
|
=
dx,
A
dX»
Л
хз,
ах / ах. Л ах.
Формы © и 4® содержатся под знаком интеграла в формуле Гаусса — Остроградского.
Пример 3. Вычислить внешний дифференциал !-формы ® = дах, + Бах.
-- зах. класса С1 (0), где С < В3 — открытое множество.
По определению внешнего дифференциала имеем
da =
т
(df) A 4x, +
Of
Ox,
dx; (\ ах.
(dfe) A dx
Ors
OX,
+ (dfs) A drs = Se
д
ахз Л ах.
8
I
de
A di
dg A dts +
+ SI
fs
OX,
dr,
A dx,+
ах, \ dxs =
- (5Оха - =) diy A dey + (5OX, — Ox,
2s ) ds A diy +
+
Заметим,
f =
(hy
что коэффициенты
fas fs)
(3
OX,
формы
—
hy
OX,
4®
dx;
являются
A
dX.
компонентами
ротора
вектора
511
Отметим, что А-формы называют внешними дифференциальными
формами, подчеркивая тем самым важность операций их внешнего
умножения
и внешнего
дифференцирования.
2.6. Простейшие свойства операции внешнего дифференцирования форм. Из определения, содержащегося в п, 2.5, следует линейность операции внешнего дифференцирования на множестве всех
К-форм класса С” ((), т.е. если Ё и ц есть Ё-формы
класса С” (0),
ЛЕС, тоа (& + м) = 4 + ам, 4 (^=) = №Ё. Менее очевидным выглядит правило внешнего дифференцирования внешнего произведения
форм.
Теорема.
Если 8 и 1 являются соответственно #- и $-формами
класса С” (0)
(у > 1), то справедлива формула
d(& \ n) = dE A n+(—1)°& A an.
Достаточно провести
(1) для частного случая,
= (ах, /
доказательство
когда
+.
Согласно определениям
дифференциала, имеем
Лах,,
п= вх», /\
внешнего
произведения
а(ЕЛ
м) =а( вах, /
= d (fg)
\ dx;, \
++:
v=
2
aes)
У
A
формулы
Л а%ь,.
форм
(2)
и внешнего
++. Лах,,
/\ 4хр /\ ++: / ах»)=
++:
Л ax,
/\ ах», /\
-**
= (gdf + fdg) \ dx; \ -++ A dx),
\ 4%, \
= gd}
\ dx;, \ +++ \ dx,
\ dX, \ +++
+ fdg
\ dx;, \ +++ \ dx),
Л ах» \ ++.
= (АР
Л ах, Л ++. Л 4х,,)
/\ (вах» / ›+.
+(¥
(1)
справедливости
dA
...
Л
ах,
/\
ах»,
Л 4х».
=
+++
\
/
A
/\
Л ах», =
4х»,+
ах»,=
aX)+
...
Л\
4х»,
=
= Е Ли (— 10° (ах, Л +--+ A dx),Л
a(S
se)
лаз Л
aa
2.7. Точные и замкнутые
Определение.
//усть
С <
Л ах», =
формы.
Е Лт-+
(— 1" ЕЛ
Замкнутость точной
В” — открытое
множество.
ам.
>
формы.
Форма
\
класса С” (() называется точной, если существует такая форма
« класса С”"' (0), что ао = 1. Форма ЕЁ класса С* (0) называется
замкнутой,
ecau
d& = 0.
Теорема. Каждая точная форма класса С (() замкнута.
Пусть п — точная форма. Согласно определению, существует
такая форма
класса С? ((), что 4® = т. Воспользуемся канонической записью формы @& и правилом вычисления ее внешнего диф512
ференциала.
nH
=
—
dw
“(
У
нь.
ры
Хр,
A
A
a,
=
\j=l
m
Of
XE
ae A dite,
l<pi<- + <ppsm
j=l
в том, что 4
У
eee
Ат Иа. ор
(SA
ay) AdinA oe Adin=
I<pi<-++<ppsm
Убедимся
—
—
I<pi<++-<py<m
=
т=
Получим
No N ay
= 0. Действительно,
У (5eel)
se
Лан Ла Л ve A dip,=
I<pi<-++<ppxm j=!
1<р.<
=
х.
«рь<=т
У
у (3 - eet
ax,
]
1<pi<- +> <py<m
Л ах! Л\ ах», /\
9 дхрые‚0х. Ры
рвы
дх.дх,
У\WRj
АА,
Ay
A,
x
dX,
В силу равенства смешанных
ции из класса С? (@) имеем
И...
Ox,0x,
A
eee
Л
=
Л ахр, =
ах» У \ ах] / Ж
АХр,.
производных
_
+++
0.
второго
порядка функ-
рь)
OX OX,
поэтому 4 = 0. Согласно определению, \ является замкнутой форMOH. №
Доказанное утверждение, которое иногда называют теоремой
Пуачкаре, означает, что второй внешний дифференциал 4® =
= d(dw) каждой Е-формы ® класса С? (0) равен нулю. Этот факт
избавляет нас от необходимости вводить
дифференциалы произвольчого порядка.
в рассмотрение
внешние
2.8. Неопределенный интеграл формы. Теорема Пуанкаре. Обязана ли быть точной замкнутая форма класса С? (С)? Вопрос является непростым, поскольку ответ на него зависит от множества G.
В частности, из доказанной ниже теоремы Пуанкаре следует положительный ответ для множества С = В”. Однако существует пример, показывающий, что ответ на поставленный вопрос отрицательный для случая, когда С есть пространство В” с выброшенной
точкой. Укажем важный и достаточно широкий класс открытых
звездных множеств С <- В”, на которых замкнутость формы равносильна ее точности.
Определение. Множество Gc В" называется
звездным
относительно точки а Е С, если (а | Ё(х — а)) 6 Свсякий раз, как
17
337
513
только
ЕС и ЕЕ 10, |]. Множество С называется звездным
(звездообразным), если существует точка а 6 С, относительно которой оно является звездным.
Геометрически звездность множества С относительно точки
а Е С означает, что каждый отрезок, соединяющий точку а в произвольной точкой 2 6 Ц, целиком расположен в множестве С. Пространство В” с выброшенной точкой не является звездным. Каждое
выпуклое множество С <= В” (и, в частности, само пространство
В”) является звездным относительно любой его точки. На прямой
К понятия
конечного)
звездного множества и промежутка
совпадают.
Пусть в дальнейшем С <: В" — открытое
относительно точки а Е (. Если т = 1, [ЕС
где
x
F(x)
=| f@dt
a
(конечного или бес-
множество, звездное
(0), то функцию Ё,
vxeG
принято называть неопределенным ичтегралом.
F (x) = (x—a) | f(a+4(x—a)) do
(1)
Очевидно,
что
VxeG.
(2)
0
Функция Ё является одновременно 0-формой и ее целесообразно
назвать неопределенным интегралом 1-формы ® = [Ах класса С (0),
где С < В. Обозначим указанный неопределенный интеграл знаком
[,@. Каков его аналог для любых К-форм класса С (С), С < В",
т > 1? Рассмотрим простейшую А-форму класса С (()
@ = fdxp, \
H Ha30BeM (k — 1)-cbopmy la,p,)®
+++ A dXp,
(3)
где
I
Ia,p)®= | (41— 4%) | Of (a + te — a) dt | dx, A +++ A dXpy
(4)
0
частным неопределенным интегралом формы ® по р\-переменной.
Отметим, что в отличие от равенства (2) под знаком интеграла в
равенстве (4) находится множитель [—'. Его наличие объясняется
тем, что ® в равенстве (4) является А-формой, а не 1-формой, как
это было в равенстве (2). Определим частный неопределенный интеграл от формы (3) по р/-переменной, пользуясь тем, что
® ==
(—
1)
1—1
fdxp,
\
dXp,
\
..’
Л\
Ру
4х», /\
..’
где знак ^—, поставленный над Ах, указывает,
АХ, в этом месте отсутствует. Согласно формуле
514
Л
aXp,5
(5)
что множитель
(4), указанный
частный интеграл [(а,р) © вычисляется по формуле
]
ар) = G
1)" (Xp, — ap) | t*—'f(a + ¢(2—a)) и
~
x
0
X dXp,\ +++ [\ dXp,A +++ A aXp,.
(6)
Наконец, сумму указанных частных неопределенных интегралов
lia, р)® (| =1,)
назовем неопределенным интегралом (полным
неопределенным интегралом) Е-формы в:
Igo = Iq (fdxp, \ +++ [\ dxXp,)=def у Kap)® =
в
1
=> (с
(яр, — 4) | Гра
xX
dXp,
\
ee
Л
4Xp,
A
t(«—a)) и) x
see
/\
4х».
(7)
Произвольная А-форма класса С (С) представляет собой конечную сумму простейших А-форм @ р того же класса. Определим неопределенный интеграл от нее как сумму неопределенных интегралов
от соответствующих слагаемых, т. е. если
o= Sop
р
(6)
[ао def
= x ор.
(9)
TO
Очевидно, что неопределенный итеграл обладает свойством линейности на множестве всех А-форм класса С (0).
Какова связь между операциями внешнего дифференцирования И
неопределенного интегрирования форм класса С! (С)?В частном
случае, когда т == |, она устанавливается формулой
а (10)
= ©,
(10)
где ®« есть 1-форма класса С ((), Ц <= В. Этот случай является уникальным в том смысле, что любая 1-форма класса С* (0), С < В,
замкнута. В общем случае (т > 1, ба В") существуют А-формы
класса С* ((), не являющиеся точными, и для них равенство (10)
не может быть выполнено. Действительную связь между операциями внешнего дифференцирования и неопределенного интегрирования в общем случае (С < В”, т >1) устанавливает следующее
основное утверждение.
Теорема 1 (о неопределенном интеграле). Лусть Сб < В" (т >
> |) — открытое звездное множество. Если ® является Е-формой
класса C! (G), mo
(10) = ® — 1, (do).
(11)
i”
515
<q
Пусть С — звездное множество относительно точки а Е (. Доста-
точно провести доказательство для случая,
... /\ dXp, — простейшая
дифференцирования
Имеем
rye
/-форма
когда
(поскольку
и неопределенного
® = {[Ах» /\ ...
операции
интегрирования
внешнего
линейные).
до — SFO) \ dip, Noe A ding
fle) = =
.
я Вычислим
k
3 (1
=
1)"
1,0,
4(10),
(Хр, — Qp,)
X dxXp,/\ +:
Л 4%», Л
os
Е
dXp,,
“+ у (=
A
AXp,
A:
A
1 (4%).
Получим
t’—'F(a + Ка—а)) at)
а (10) = x (ir1)! | Е
x
(12)
d%p,
Л 4%,
(13)
(а- Еа— а) i
^.
x
-
A
ахр,
x
+
1)" (хр, — ар») у Ге) (а-- 1(х —а)) at) x
х ах,
Л ах» \ +++ A dtpA
k
+. Л аж =
1
= x (| t*—'F(a + t(2—a)) at) ar
У—='
\0
Е
т
v=1
[=
Л...
Л 4%, +
+ (- 1)" oy = Moy) BE | {#10 (a+ t(@—a) at) x
x dx \ dipA +++ A dk,A +++ A dx,=
1
a ее
ада»
Е
т
v=1
j=l
vee A dy,+
|
+У (- т, — а) Lf AF) (a+ Ка —а)) at x
m
9
x dxy
\ dx,l A +++ Axpy
I, (do) = Xi [а
\ Ге
(а-- (2
Not Л аж,
—а)) а) 4х», /\
(14)
+++ Л ах,—
— j=l
у v=!
у (- 1)" (Xp, — py) } ГР) (а-- (5 —а)) at
x dx;
\ dxp, N ++ Ла Л + Л аж.
516
x
(15)
Складывая
равенства
(14)
и (15),
находим
1
(a + t (x — a) +
d(Iq®) + Iq (do) = (| (ee
0
+ x, t* (x; — aj) fhe) (a + t (x — a)) а) dxp, \ +++ Л ах», =
а
= ({ +
(t*f (a + t(x—a))) аа.
\
++:
Л ахр, =
0
=
Следствие.
нутая форма, то
fdXxp,
A
.’.
/\
4х»,
= о.
>
Бсли выполнены условия теоремы и ® — замк-
4 (110)= ®.
(16)
Справедливость утверждения следует из формулы (11) и равенств
а° = 0, [10 =0. №
Теорема? (Пуанкаре). Лусть С < В” — открытое звездное множество.
точной.
Тогда
каждая
замкнутая
Справедливость утверждения
деления точной формы. №
$ 3. Формула
k-qopma
класса
С* (() является
следует из равенства (16) и опре-
Стокса
3.1. Композиция отображения и формы (замена переменных). В $2
рассмотрены А-формы, заданные на одном и том же открытом множестве пространства В”. Следующее определение устанавливает
связь
между
внешними
дифференциальными
формами,
определен-
ными на открытых множествах пространств В”’ и В”.
Определение. Пусть
(С, < В"! (/ =1, 2) — открытые
жества,
С” (G,),
@1 + С, — отображение
o=
Sf
р
pdx,
\
..’
Л\
мно-
класса С”"', ® — к-форма класса
4х»,
P= (Py,
«oes
Pr).
(1)
Тогда к-форма ®‹ класса С” (б,), вычисленная по правилу
Op = У.р (рэ) 4», Л --. Л Фр
где
А»,
(= 1,Ё)
— внешние
дифференциалы
0-форм
(2)
Pp,
класса
СУ!" (С\), называется композицией
отображения ф
и формы о, или к-форимой, полученной из Е-формы ® заменой
переменных, или преобразованием
Е-формы
®
посредством
отображения
5.
517
Пример. Пусть р <= В? — открытое множество, ф : D + IR’, @ = (9, Pa), —
отображение класса С? (0). Преобразовать 2-форму © = dx, Л 4х. посредством
отображения ф.
Обозначим через 41 и 4/, стандартные 1!-формы на плоскости !В*. Согласно
определениям 2-формы @, и внешнего дифференциала 0-формы, а также правилу
внешнего умножения форм, получим
Og = (Pat, + oat.) A (pYdt, + gf? at,) =
— pled ghar,
—
хе
а,
A dt, _
A dt, + plea) (ей dt, A dt, =
plea
l@var,
A dt,
BD;
Bae
=
dt,
Л
а.
Пример наводит на мысль об общей закономерности, устанавливаемой следующим утверждением.
Теорема 1. Пусть ) < В" — открытое множество, @:D—
— В” — отображение класса С* (2). Если
= 4х» /\ +++
AN dx,
(Lxaj<m
Vj=I,%),
—
(3)
то
2 (Фр,
Og
=
...
Diti,
Фр,)
.. +» th)
dt,
где Ар (] = 1, ®) — стандартные
^
wee
1-формы
Л dl,
(4)
пространства
В».
Согласно определениям формы ®ъ и внешнего дифференциала
формы, а также правилу внешнего умножения форм, получим
Og
=
>и
Rk
QP,(e,) dt;,
A
eee
Л
1—
—
у
py
Po,(€;,)k dt),
=
ь—=
(—
Ту
t5--HFe)
ел
ee
o,, le
dt,
Л
...
Л
dt,,
(5)
(».-=Гь)
где суммирование распространяется на все перестановки (]1, ..., /»)
набора (1, ..., К), а $ (], ..., |2) — число инверсий в перестановке
(/1, -..› №). Для завершения доказательства воспользуемся определением
якобиана
лителя.
}№»
D
(Фр,
D
(t,,
eens
oeeg
Pp,)
tp)
и
правилом
вычисления
опреде-
Доказанная теорема позволяет упростить запись правила вычисления интеграла от простейшей А-формы ® = /Ах», / ... /\ хр, по
ориентированной простой А-поверхности Ф в параметрическим представлением ф. С этой целью будем рассматривать открытое множество О < В* как ориентированную простую Ё-поверхность с параметрическим представлением Ё, где Е (#) =$
УЁЕО. В силу дока518
занной теоремы
имеем
(Фриз
в, „› Фр,)
(a=
( fdr, A +++ A dx,
= | (Fee)
ХФ
Ф
О
=[(fea)dty\
yh
«ste=
Ла
= [ве
(6)
В случае, когда ф является параметрическим представлением ориентированной простой К-поверхности Ф, будем писать Ф = ф (О), где
О — область определения отображения ф. Тогда формула (6) примет
ВИД
\
=
@(D)
|
(7)
D
Формула (7) справедлива для любых К-форм, а не только для простейших. Докажем это утверждение.
Теорема
2.
Пусть
О) <
В" — открытое
множество,
Ф =
= ф (2) — ориентированная простая К-поверхность в открытом
множестве С пространства В", wo — Е-форма класса С (0). Тогда
справедлива формула (7).
Справедливость утверждения следует из канонического представления произвольной К-формы и формулы (7) для простейшей
к-формы. №
В частном случае, когда ^ = т и якобиан отображения ф положительный, формула (7) представляет собой новую, более простую
запись правила замены переменной в кратном интеграле.
Теорема 3 (о замене переменных во внешнем произведении форм).
Пусть С, < В"! (|= 1, 2) — открытые множества, ф : (, — С(,,
ф = (фи, ..., Фи,),— отображение класса С" (0), & и ®— &- и
Е.-формы класса С ((.). Тогда справедливо равенство
(@, Л 2)
Достаточно
формы. Пусть
рассмотреть
в: = Нах», /\
***
= (©) Л (©).
случай,
Л ЧХрь ›
когда
в =
®
(8)
и @®., — простейшие
аж, /\
+*°
/\ ах,
(9)
Тогда
0, \ в: = fifrdxp, \ dX, \
Согласно
правилу
замены
+++
переменных,
(®; Л @2)в = (АР) ® Ф) 4ф» Л
= (( *Ф) 4Фр Л
++:
A AXp,
++:
/\ 4х, /\
++.
Л Афр,,) \ (hae ®) dea, Ass:
формы).
Пусть
(, < В”! (7 =1,
+-*
/ аФа, =
A dpa, ) =
№
Теорема 4 (о внешнем дифференциале композиции
и
(10)
имеем
Л Афр, /\ афа, /\
= (©) Л (©)ъ.
A dxq,.
2) — открытые
отображения
множества,
519
ф! С, — (ь, ф = ($, ..., Фи,),— отображение
класса С? ((,).
« — Е-форма класса С" ((.), то
{
Воспользуемся
1,... . Если
методом
(9х) = (@®)у.
математической
o € C! (G,), TO We =
Если
(11)
индукции
по Ё=0,
© ® ф. Согласно определению,
имеем
т
0х = 4(0°®)= & (оо Фе даж = у У (о og) gax,=
j=)
=
/=
образом,
при
eq) doy = (dog.
v=
К = 0 утверждение
справедливо для некоторого А >
что 4 (6%) = (4%9)ъ. Достаточно
формы. Пусть
О их
справедливо.
—
(12)
Пусть
© =,
@, = fdxp, A
... /\ хр.
ограничиться
случаем
простейшей
(13)
Л 4х,
(14)
Согласно теореме 3, имеем
Wp = (Oo A 4p...
2
—
Tak Kak d"p,__,
= 9, TO NO Teopeme o AudipepeHUMpOBaHHH
произведения выполняется равенство
а (Wg)
оно
(Е -- 1)-форма. Докажем,
w= fdxp, \ ++ \ AXpy 4).
Тогда
где
v=!
eg) у ФУЙах = у (ow
v=
Таким
j=l
=d
((@,)g)
Л
(15)
внешнего
AP rps:
(16)
Аналогично из равенства (14) получаем
do
В
силу
=
do,
Л
индукционного
AX pps is
(do).
=
(do)
предположения,
няется равенство 4 ((1).) =
для
(4%!)ъ. Сравнение
/\
AP rp 44°
Rk-OpMbL
между
(17)
@,
собой
BbITOU-
правой
части равенства (16) с правой частью второго равенства (17) завер-
шает доказательство
теоремы.
Равенство (11) для 0-формы
свойство
(известное
еще
}№
® представляет собой классическое
Лейбницу),
называемое
инвариантностью
формы первого дифференциала.
3.2. Симплексы и простые поверхности с краем. В п. 2.1 введено
понятие стандартного симплекса пространства В“. Рассмотрим его
обобщение — #-симплекс в пространстве В” (& < м).
Определение 1. Пусть фиксированы точки а, © В" (|= 0,В;
<
< т). Множество
[ay,
={zeR"
c= a+)
а1,
a
си; (а, — ао), Sa
называется R-cCuMm п лексом
..., а, — его вершинами.
520
...,
в
=
<i,
пространстве
a >0
В”,
Wi=l,k
точки
@, ...
Симплексы в пространстве В” являются простейшими фигурами:
1-симплекс [а, а1| есть отрезок, соединяющий точки ах и а! в прост-
ранстве В”, 2-симплекс [а%, а1, а›| представляет собой компактный
треугольник с вершинами а’, а, а., З-симплекс [@%, ал, ао, аз]—
компактный тетраэдр с вершинами ах, а, а, аз.
Обозначим замыкание стандартного симплекса 9“ пространства
В” через 9”. Отметим, что 5” есть частный случай Ё-симплекса в
пространстве В" с вершинами 0, е,, .. ‚ еь, Т. е. 9" = [0,е,, ..., ep.
Определим понятие ориентированной простой #-поверхности с
краем
в открытом
в п. 2.1,
заменив
множестве
стандартный
( <
В”,
симплекс
следуя
9"
схеме,
на его
изложенной
замыкание
5".
Определение 2. Отображение Х +В", Ха В", принадлежит
классу С” (Х), если его можно продолжить до отображения класса С” (0), где р — некоторое открытое множество в
пространстве В*, содержащее Х.
Определение 3. Пусть Ц < В” — открытое множество, $ < С.
Множество $ называется провтой
k- поверхностью
6
краем класса С°, если существует биекция 5’ -*- $ класса С° (5 ").
Таким образом, простая А-поверхность с краем в пространстве
В”
получается
посредством
деформирования
в В”
компактного
стандартного симплекса пространства В^. Из определений 2 и 3
следует, что простую А-поверхность с краем можно считать компактным множеством, расположенным на простой К-поверхности без
края (т. е. К-поверхности в смысле определения 2, п. 2.1).
Определение 4. Пусть К <- В" — компакт. Биективное отображение К №5
называется параметрическим
представлением
простой
Е-поверхности
$с краем, если существует такое биективное отображение К —- 5' класса С” (К) с якобианом, сохраняющим знак, что ф = фо6.
Определение 5. Два параметрических представления
ф и ф
простой К-поверхности $ с краем называются эквивалентны0
м и, если существует такая биекция Оу —- Оф класса С”, что ф =
—=Фф°*0 и якобиан отображения 0 неотрицателен в каждой точке
0
—
т Е Dy.
Определение 6. Класс эквивалентных между собой параметрических представлений простой К-поверхности $ с краем называется
ее
ориентацией
и обозначается Sop. Упорядоченная пара
Ф = (5$, 5р) называется ориентированной
простой
к-поверхностью
с
краем.
Если ф — параметрическое представление ориентированной простой (-“поверхности с краем Ф, то будем писать Ф = | (К), в частности Ф =ф (95°).
521
Все параметрические представления простой #-поверхности $
с краем, не принадлежащие $р, эквивалентны между собой и образуют другую ее ориентацию (противоположную), обозначаемую
Sop ИЛИ —9ор. Ориентированная простая Е-поверхность с краем
(5, —5,) называется противоположно ориентированной и обозначается Ф` или —Ф.
Пусть векторы а, —
к-симплекс
а%,
..., а, — а, линейно
независимы.
Тогда
в пространстве В” (т >> Е) с вершинами ах, ..., а, можЖ-
но рассматривать как ориентированную простую А-поверхность в
краем, параметризованную посредством отображения ф (1) = а, +
-- Ак где А — такое линейное отображение, что Де; = а; — а,
У =, т.
3.3. Цепи и операции над ними. Допуская вольность речи, будем говорить, что ориентированная простая К-поверхность с краем
Ф =
(5, $
›асположена
р
в
открытом
множестве
С <
В”,
если
$ < С. Пользуясь изложенным в п. 1.5, будем составлять из таких
поверхностей цепи с краем.
Для любого упорядоченного набора (Ф;, ..., Ф,) конечного числа ориентированных простых А-поверхностей с краем, расположенных в открытом множестве С, и произвольной А-формы класса С (а)
определим интеграл следующим равенством;
| оу fo,
—
—
=]
(D,;...,D,)
где Ф, — ориентированная
(1)
Ф,
простая А-поверхность без края, соот-
ветствующая Ф,. Два таких набора называются эквивалентными,
если для любой А-формы ® класса С (Ц) они имеют равные между
собой интегралы. Совокупность всех эквивалентных между собой
упорядоченных наборов [(Ф,, ..., Ф,)] = Ф называется #-цепью в
краем, расположенной в множестве G. При этом набор (Ф,, ..., Ф,)
называется представлением цепи Ф. Интеграл от Ё-формы & по цепи
Ф определим следующим
равенством:
{os
|
Ф
ь-у
| о
(Ф,,...Ф,)
(2)
0;
Введем в рассмотрение операцию сложения
Ф
=
[(Ф,
eee
9
®,)},
Я
—
(Ч,
eer
К-цепей.
g
Если
9.)
— Р-цепи ориентированных простых А-поверхностей с краем,
положенных в открытом множестве С < В”, то Ё-цепь
Ф-+-
522
9 =
КФ,
ое
д Ф,,
Ч,
rece
YD]
рав-
(3)
называется их суммой. В дальнейшем,
упрощая запись, будем писать Ф, вме-
сто [(Ф,)|.
имеем
Согласно
формуле
(3),
d= YG,
Цепь
(4)
~
—Ф
=
[(—Ф,,
...з
— Ф,)]
=
= > (—Ф)
(5)
называется противоположной для Ф.
Отметим, что с алгебраической точки зрения А-цепи в множестве
С образуют абелеву группу. Поэтому имеет смысл их конечная линейная комбинация > aD, в нелыми коэффициентами. Если ® — #форма
на множестве `б,
то справедливо
|
o=
Ya
fo.
(6)
Dy
AyDy
\}
равенство
.
3.4. Край стандартного симплекса. Теорема Ньютона — Лейбница — Грина — Гаусса — Остроградского.
Укажем
обобщение
теорем Ньютона — Лейбница, Грина и Гаусса — Остроградского
для стандартного симплекса пространства В“. С этой целью опреде.
лим
понятие
края
симплекса
а’ (см. определение
1, п. 2.I),
ABJIAIO-
щегося естественным аналогом понятия ориентированной границы
области на плоскости В? или границы тела в пространстве В3.
Определение. Краем
стандартного
симплеква
9“ пространства В^ (Ё > 2) называется (Ё — 1)-цепь 95“, вычисляемая
по
формуле
09° = 0 (10,
Cy»
= [e,,
a
ed
+
X
coos
e,|) =
>
.
R
(— 1)'10,
e,
coey
CFs
coos
Gx)
(1)
где знак —, поставленный над е,, указывает, что вектор е; в этом
месте отсутствует.
Если Ё = 2, то стандартный симплекв &° пространства В? есть
замкнутый
треугольник [0, е,, е.|. Его край 09? образует цепь
[е1, е| — [0, е›] - [0, e,] (pus.
69), что соответствует ориентации
границы треугольника [0, е,, е] на плоскости В? против хода часовой стрелки. При Ё = 3 стандартный симплекс &3 пространства
В3 является тетраэдром [0, е1, ез, ез|. Его край есть 2-цепь
093
—
le,,
Co,
ез] —
[0,
ез,
ез]
+ [0,
Cy)
es]
~~ [0,
е1,
ез]ь
$23
(-1)
°
(.!})
7
представляющая собой
границу тетраэдра,
ориентированную с помощью внешних нормалей к нему.
Рис. 70
Для того чтобы определение имело смысл
при
К = |, назовем ориентированной `0-поверхностью упорядоченную пару (а, =), состоящую из точки а Е К
и числа = = -Е1. При этом точка а играет роль поверхности $, а
число = — ее ориентации Эор. Определим интеграл от 0-формы © =
= / по ориентированной 0-поверхности Ф == (а, &) равенством
До=/ (а).
(2)
Ф
Будем писать [а] вместо (а, 1) и — [а] вместо
(а, —1). Тогда краем
отрезка 4! = [0, 1] по определению является цепь 091 = [1] — [0]
(рис. 70), состоящая из точки
тацией
—1. Согласно
формы по цепи, имеем
1 с ориентацией --| и точки 0 с ориен-
формуле
(2)
и
определению
интеграла
от
фо=/(0—
0),
az
Теорема.
(Ньютона — Лейбница — Грина — Гаусса — Остроградского), Если ® — (Е — 1)-форма класса С* (> 1), то
: dw =
|
GR
©.
(3)
67
ма
Примечание.
была
Убедимся в том, что в трех частных случаях (Ё =
доказана.
При Е = 1 равенство
для сегмента [0,
(3) представляет собой формулу
1, 2, 3) теоре-
Ньютона
— Лейбница
1
|" (x) dx = f (1)
—F (0).
(4)
Действительно, в этом случае (k — 1)--форма © есть 0- -форма в пространстве К,
т. е. функция /] одной действительной переменной, _ dw = f'dx. Следовательно,
левые части равенств (3) и (4) совпадают. Так как 091
=
лению
интеграла
от 0-формы
по 0О-поверхности
имеем
[1] — [0], то по опреде-
| © =} (1)—1(0),
(5)
971
т. е. формулы (3) и (4) совпадают между собой.
сли Ё = 2, то (& — 1)-форма @& в пространстве К? является
Oo= fax,
а ее дифференциал 4& записывается
Of
do = (+
524
+
ах»,
1-формой:
(6)
в виде
Of; ) ary A dx,
ae
(7)
(см. пример 1, п. 2.5). Поэтому
\
tom)
(Sep
~
Ox,
oi
|
dey
A de
=
772
—\
[9% _
oh pone
| Е
® =
|
OF?
ах
|
+
_ ahs |
Vax,
Dy, xm) = J
Oxy)
- gz ae
dxdxy,
©)
(9)
ах
Og?
и равенство (3) представляет собой формулу Грина для равнобедренного прямоугольного треугольника Я? на плоскости В?.
При &=3
(-— !)-форма & в пространстве 13 является 2-формой:
@
=
нахо
Л
dx,
+
Аха
Л
dx,
+
fydx,
A
хо,
(10)
а ее дифференциал 4® имеет вид (см. пример 2, п. 2.5)
_
(Of: + Ox,
№ ,+ Or.
0
dx, A dx, /\ ах.,
(3a
) ar, A dey A dry =
do = ( 5х.
Таким
И
(11)
образом,
J a=)
+,
+ 5
9
_
-|
93
Of,
(a
+
—_= \
ЯР
OX»
Of,
( Dx,
+
+
Ofs
) 2G
Хо, Хз)
OX, | D(X, Xe, Xp) dx,dr dx
Of
ax,
+
Ofs
ax,
dx,dx.dxz,
—
12
(12)
93
ag3
о= (14% Л 4 + 15 Л 9 + БФ, Л 4%,
д
и равенство (3` представляет собой иную форму записи
Гаусса — Остроградского для тетраэдра Я3, построенного
пространства КЗ, как на его сторонах.
Доказательство частных случаев теоремы при # = 2,
и Гаусса — Остроградского, основано на теореме Фубини
Лейбница. Общий случай не представляет собой никаких
вается аналогично.
(13)
утверждения теоремы
на базисных векторах
3, т. е. формул Грина
и формуле Ньютона —
исключений и доказы-
< Поскольку произвольная форма есть сумма простейших форм, то
достаточно проверить равенство (3) для любой простейшей (к — 1).
формы @ в пространстве В*. Каждая такая форма записывается в
виде
~!
ф = пах:/ --- A\ dxf) -+:. Л ах»,
(14)
где знак ^^, поставленный над 4х;, указывает, что множитель Ах,
в этом месте отсутствует. Доказательство справедливости равенства
525
(3) для формы (14) проводится одинаково У j = I, Ё, поэтому ограничимся случаем / = |. В этом случае
= fidxg/\ +++ /\ ахь,
{ do =
|
je
д
+ dx, \ diy
des A
Zh
...
of
ge
gr
теоремой
Фубини
и формулой
|...
| do =
\
7
AX, ... AX,
\
(15)
Ньютона — Лейбнид
\
ze
Л ахь
++ AXy. (16)
\ Gx, Ч
y Mp) Ott + EXE=
= \ Oty Dh, vee
Воспользуемся
ца. Получим
s+
Л ах,
=
_
Xp)
оу
D(x,
Of
—
ay
doo =
2
dx, =
0
(fF, (1 — Xg—
+
—хь,
№...)
Аи)
—
gk—!
—
Вычислим
(0,
правую
Xo,
часть
Имеем
X,)) dX,
...
AXp.
(17)
проверяемого
равенства
д ([0,
е;])
(3), т. е.
| о.
ok
_
99"
—
= [е,,..., @] +;
fo=
|
av
Согласно
в
eee
k
.
~
|
.
/=
0..6»...
06
1, п. 3.2, (Ё — 1)-симплекс
является
|: с В
=
И 0, в, see Cy vee s Gx],
к
[е1,....е4]
В
...,
0+ У. (1!
определению
пространстве
k
е',
o.
(18)
(19)
[е,, ...,е,)
множеством
—1
t=
ве, +
Хх
tj (E41
—е,),
{=
(11,
ое у
1—1) Е 5—1
.
Одновременно его можно рассматривать как ориентированную простую (Е— )-поверхность в пространстве В” с параметрическим
k—1
представлением ф, где ф (В =е, + У 4 (e741 — ey), C= (4,
—
wey tei) € 9.
О
[e1,...,€R]
526
j=!
Tloatomy
=
|
[еи,...›@&]
ахе
/\
eee
Л
ах,
=
_
-.
|
—
|
@ (фо,
fi(l—ty—
...’,
e+) —teo,
ФЕ)
а.
..
=
ty ..., Пай...
ава.
Gr—]
AnanoruyHo
(k — 1)-симплекс
[0,
-
е.,
coe
y е,|
al
х = 2 бе,
ев
—
= (1, ...,
рассмотренный как ориентированная простая
k
в пространстве В’, имеет параметрическое
=
(фа,
...,
ф,),
|
,
(К — 1)-поверхность
представление ф =
dh teva: Wt= (ty, 00) ae
F
[0,е,...,е4]
o=
=
|
fiduA + Лаь=
[0,ео,...,е»]
—
=)
hp)
Se
@ (5,
| ft,
Fe
...,
® =
|
[0,е1,...›еу»...›@н]
dh es dt —_=
(21)
х Е [0,е,, ..., е,, ....е,|
——ep
\
Wp_y)
0.0, teuddty ... dtp.
Поскольку при ] >> 1 из условия
что х, = 0, то У ] = 2, К имеем
нахо /\ ›** Лам...
следует,
Л dx, =0.
[0,е1,...,ер»...›@&]
образом,
fo= |
5—1
b— 1
Следовательно,
(21), (22))
ЕЯ
где
w=
Таким
(90)
равенство
(19) принимает
вид (см. формулы
(22)
(20),
fi(l—t— +++ —tety ty eee tet) dt, ... di —
>”
|
hi (0,
1,
cee
9
1—1)
dt,
eee
dtp—1.
(23)
Сравнив между собой правые части равенств (17) и (23), убеждаемся
в справедливости формулы (3). №
3.5.
Край цепи. Абстрактная
теорема Стокса. Дальнейшим
обоб-
щением теоремы Ньютона — Лейбница — Грина — Гаусса — Остроградского является абстрактная теорема Стокса,
утверждение
527
которой сводится к формуле (3), п. 3.3, с заменой в ней стандартного
симплекса 5“ на произвольную Ё-цепь в пространстве В” (т >> #).
Для придания смысла правой части формулы (3) в указанном более
общем случае необходимо понятие края цепи.
Введем в рассмотрение операцию преобразования К-цепи в открытом множестве С <- В” с помощью отображения ф, определенного на этом множестве.
Определение
1. Пусть Ф = ф (5") — ориентированная простая
к-поверхность с краем в открытом множестве С <- В" класса С”,
ф С С” (С) — отображение. Тогда ориентированная простая Е-поверхность с краем ЧФ класса С” с параметрическим представлением
оф называется образом
поверхности Ф
при отоб-
ражении \ф и обозначается ф (Ф).
Определение
2. Пусть Ф = [(Ф,, ..., Ф,)] — Е-цепь в открытом
множестве @ <- В" класса
Е-цепь [(p(®,), ..., ф (Ф,))|,
С”, фС С” (0) — отображение. Тогда
состоящая из образов поверхностей
Ф., ..., Ф,, называется образом
ф и обозначается ф (Ф).
цепи
Ф при
отображении
Определение 3. Пусть Ф = ф (7*) — ориентированная простая
Е-поверхность с краем в открытом множестве С <- В" класса С”,
09" — край стандартного симплекса 5“ пространства В^. Тогда
(Е — 1)-цепь ф (08) называется краем
поверхности
Ф
и обозначается ОФ, т. е.
dD = 9 (09%).
(1)
Определение 4. Пусть Ф = [(M,, ..., D,)] — Ё-цепь в открытом
множестве С < В" класса С”. Бе краем ОдФ называется (Ё — 1)-
цепь
[(0Ф,, .., ОФ,)].
Теорема
(Стокса).
в открытом множестве
ee G, mo
Если
® — (Е — 1)-форма
класса С? (Е >> 1)
С < В" (т > k), D — Е-цепь в множест| do =
Ф
| ©.
оФ.
(2)
4 Достаточно провести доказательство для случая, когда Ф является ориентированной простой Е-поверхностью с краем, располо-
женной
в множестве С. Пусть Ф = ф (25°). Тогда ОФ = ф (05°).
Согласно формулам (7) и (11) из п. 3.1, имеем
fdo = { (doy = J d(o9).
Ф
gk
Ge
(3)
Последнее равенство использует предположение о принадлежности
(Е — 1)-формы ® классу С? (см. условия теоремы 4, п. 3.1). Анало528
гично
получаем
=
[ о= (9
AD
poZ*)
(4)
agr
Правые части равенств (3) и (4) совпадают между собой в силу теоремы
Ньютона — Лейбница — Грина — Гаусса — Остроградского.
Поэтому справедлива формула (2).
3.6. Классическая теорема Стокса.
|
Теорема.
Пусть
С с: В3 — открытое
множество, функции
В (=
1, 2, 3,) из класса С* (0), Ф — 2-цепь
справедливо
в множестве
равенство
Ц.
Тогда
| (557 — вы) аж Л ао + (че — GE)
da A dn +
Ф
or
9}
+ ( Bx,
— a)
ах, /\ dx, =
| hid
+ fodX_ + fadxs,
(1)
AD
которое называется классической
формулой
Стокса.
® Для доказательства справедливости утверждения достаточно
положить в абстрактной теореме Стокса А = 2, т = 3, ® = Нах, +
-- Бах. + Бах. и воспользоваться примером 3 из п. 2.5. >
Упражнения
1. Вычислить
уравнениями
площадь
поверхности
х = (а -- гсоз 9) созф,
где
и объем тора, заданного параметрически
у == (а-{
!со$ 9) Зпф,
г=гзт0,
0 <г<а.
2. Пусть заданы константы а, 6, с. Определить все линейные преобразования
пространства КЗ, сохраняющие линейную форму
в = а4и /\ dz
+ bdz
3. Рассмотрим
в пространстве
/\ dx + cdxf
dy.
Кз дифференциальную
форму
w = хау / 42
— 221 (х) ах \ ау + и! (и) 4г /\ ах,
где К 1 -,®Ю, {С С+, ‚ (1) =
=
dx
A
dy Л
4г.
Для
гаких
1. Определить
|
вычислите
те отображения
/, для которых а® ==
интеграл
где
$
«шапочка»,
` -{. уу г) с КЗ ау
ориентация
| o,
которой
определяется
выбором
=1, 22
внешней
и 2}
“2 if
нормали,
э° —
сферическая
Создание функционального анализа,
начало которому положено в первом
десятилетии нашего века, было подготовлено
НЕКОТОРЫЕ
ВОПРОСЫ
ФУНК ЦИОНАЛЬ:
НОГО
АНАЛИЗА
исследованиями
в ряде
об-
ластей классического математического
анализа. Так, например, понятие функционала возникло в вариационном
исчислении. Функциональный анализ
объединил идеи математического анализа и геометрии, а предметом его изучения являются объекты, наделенные
согласованными алгебраической и топологической структурами. Построенная
в 1904—1910 гг. Д. Гильбертом теория
интегральных уравнений с симметрическим ядром привела его к ряду понятий, которые легли в основу современного
функционального
анализа
и
особенно спектральной теории линейных операторов. Метрические пространства, составляющие один из видов
топологических пространств, впервые
были выделены в 1906 г. М. Фреше
в
связи
с
рассмотрением
функцио-
нальных пространств. Основоположниками функционального анализа яв-
ляются
также
Ф.
Рисс
и С.
Банах,
нашла
приме-
в трудах которых в 1918—1923 гг.
получила развитие общая теория линейных нормированных пространств.
Интерес к функциональному анализу
значительно усилился, когда выяснилось, что теория операторов в гильбертовом
пространстве
нение в квантовой
Как
механике.
самостоятельная
математиче-
ская
дисциплина
функциональный
анализ оформился за последние 30—
40 лет. Большой вклад в его развитие
внесли советские математики А. Н.
Колмогоров, С. Л. Соболев, А. Н. Тихонов,
Л.
В.
Канторович,
Кольский и др.
Некоторые понятия
ного
анализа
С. М.
Ни-
функциональ-
(векторные,
нормиро-
ванные,
гильбертовы
пространства,
линейные функционалы и др.) уже
рассмотрены в гл. 9 и 10.
Одной из фундаментальных харак$30
теристик взаимного расположения точек множества является расстояние между ними. Введение метрики (расстояния) позволяет
выражать в простой и доступной форме, на языке геометрии, результаты математического анализа. Существенным в теории метрических пространств, излагаемой ниже, является то, что расстояние, определяющее метрическое пространство, играет вспомогательную роль, и, не нарушая изучаемых явлений, его можно заменять
«эквивалентными расстояниями». Наиболее важными
понятиями
в теории метрических пространств являются полнота, компактНОСТЬ И СВЯЗНОСТЬ.
$
1. Расстояния
и метрические
пространства
1.1. Аксиомы метрики. Предел последовательности
ческого пространства.
Определение 1. //усть Х — произвольное множество.
Отображение
Х?-"-В
yEX,z2zEX)
называется метрикой,
выполняются следующие условия
точек
если У (хЕХ,
(аксиомы):
1) (p (x, y) = 0) > (=у)
метри-
2) о (х, у) = р (у, х) (аксиома симметрии);
3) © (х, и) < о (х, 2)
р (2, у) (неравенство треугольника).
Упорядоченная пара (Х, 0) называется метрическим пространством
Элементы множества Х будем называть точками метрического
пространства.
Каждое нормированное векторное пространство Е превращается
в метрическое, если в нем У (х ЕЁ, уЕЕ) метрику определить
формулой
р (х, у) =|х—|.
(1)
Проверка выполнения аксиом метрики 1) — 3) не представляет
затруднений. Поскольку векторные пространства со скалярным произведением являются нормированными, то их можно считать метрическими с метрикой, определяемой формулой (1).
‘1з 3) по индукции следует,
полняется неравенство
© (Х1, Хи) 3
(%1, Ха) НО
Если © — расстояние
лива оценка
в Х,
что У (хх ЕХ,
(Хо, хз) +
22s
то У (хЕХ,
1 =
11;
п>
+P
(Xn—1, Xn).
иЕХ,
2ЕХ)
2) вы(2)
справед-
[с (х, г) — р (у, 2) |<р (x, у).
Действительно,
из 2) и 3)
(3)
имеем
р (х, г) < о (и, г) р (х, у)
и р (и, 2)
р (у, х) + р(х, г) =р(х, у
р (х,
— © (х, и) < р (х, г) — р (у, 2) < р (х, у).
2),
откуда
531
Рассмотрим
примеры.
Пример 1. Функция ф (х, и) = |х-—и|
в множестве ЮВ, а метрическое пространство
прямой.
У (% ЕЮ, уб Ю) есть расстояние
(®, 0) называегся действительной
Пример 2. В векторном пространстве К"”" каждое из отображений
т
— К, где |х|] =
ская норма),
т
№
или | x | =
нормы.
Действительно,
x; (евклидова норма), или |х| = №
j=)
max | x; |
1</<
условия
(кубическая
AOBHA ия
Если
ly
И
у
норма),
(|х| = 0) > (х=
ЕК”, ЛЕК), где К = К или К = С,
x
то
0)
выполняются.
У (ЕБЕТ,
уЕК”).
оценка
ИХ
{=I
+
у
y;
j=l
и
удовлетворяет
||]
=
Проверим
(ху
АП
m
У; и,
j=l
m
Если
неравенству
ур? <
ур x? 4
A
Коши
— Буняковского
у
ху,<
доказанному в п. 5.5, гл. 7.
J=1
У
j=
m
[xl
TO
ЕТ,
|х
|| =
тах | х;|, то
HepaBenctBa
у
j=
оценка
max | xr
Isxj 7 +
Усе
у; | <
поскольку
ах | xj IF max
ly | < тах т tj | + imax
</<
i</<
из рассмотренных
Rem £., К, гдер (х, у) =|х—и|[
m
| x; + 9; | <Vlel+y
ly, |)
j=!
j=!
| xj;+y;|]<
свойства верхней грани.
Таким образом, в каждом
мам
__
ных
ло р
УЕ
выполнение ус-
/=!1
m
H3
аксиомам
|=
эквивалентна
Ух
cllehyel
|: ®” —
|х,| (октаэдриче-
f=!
Если
|
случаев,
ly |
Ги
и
согласно (1), функция
КТ, ус ЕЮ"), удовлетворяет
аксио-
метрики.
Пример 3. Пусть А — произвольное множество, Ё — множество: ограниченотображений А -> К. Тогда У (ЕЕ, g € E)
(jf — 5) © Е и определено чис(р, в) = sup | 7 (x) — g (x) |. Отображение (7, <) — о ({, &) является расстояx€
нием в Е. Выполнение аксиом |) — 3) очевидно.
Пример 4. Пусть ЕЁ — произвольное множество.
ми |
1,
ecmn
xy,
0,
если
х=у.
Полагаем
У (х ЕЁ,
уЕЁЕ)
Аксиомы 1) и 2) выполняются. Аксиома 3) очевидна, если два из трех элементов
хЕСБ, и ЕЕ, 2 С Е равны. Если это не так, то р (х, г) = 1, р (х, у) + Oy, 2 = 2
т. е. аксиома 3) выполняется. Метрическое пространство (Е, 0) называется дискретчым.
Определение 2. Пусть (Х, о) — метрическое пространство, х Е
ЕХ, хЕХ
УтпЕКМ. Точка х называется пределом
последовательности
(х„), если о (х„, х)= о (1). В этом случае
пишем х = Иш х,. Последовательность точек метрического пространства,
532
Ме, ®)
имеющая
предел,
называется
сходящейся.
Определение
странства
3. /Тоследовательность (х„) точек метрического про-
(Х, о) называется
фундаментальной,
У =>0 3Зя. Е№: У (и > ль, т > п.)
если
(Xp, Xm) <8.
(4)
Теорема 1. Если последовательность (х„) точек метрического
пространства (Х, р) сходится, то она фундаментальная.
®
Пусть
х =
Иш
пс
х,,
хЕХЛ.
Тогда
У # >
0 Зл» Е№М:
У п >,
т > п.) о (х, х) < > © (хи, х) < 5. Согласно неравенству треугольника и аксиоме 2), У (п > п., т > п.) имеем
© (Хи, Хи) 3
т.
е.
последовательность
(Хи, X) НР (х, хи) < в,
(х„)
фундаментальная.
PP
Определение 4. Метрическое пространство (Х, 0) называется
полным
или банаховым,
если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится.
Действительная прямая (см. пример 1) является полным метри-
ческим пространством. Пусть У (х Е ©, уе @)
р(х и =|х-—у|.
Метрическое пространство (%, р) не является полным, поскольку
фундаментальная
последовательность рациональных чисел х„ ==
=2+ a
1.2.
ранства.
vee
Изометрия.
=
сходится
к иррациональному
числу е.
Пусть (Х, ох) и (Х’, ох.) — метрические прост-
Определение. Биективное отображение Х 1+ Х' называется изометрией, если У (хЕХ, иЕХ)
Px (F(x), F(Y))
= рх (х, У).
(1)
Метрические прострачства (Х, ох) и (Х’, рх') изометричны, если
существует изометрия Х на Х'.
Из определения изометрии следует, что обратное отображение /—!
является
изометрией
пространства
(Х’,
ох’)
на
(Х,
ох).
Любая
теорема, доказанная в (Х, ох), в которой фигурируют только расстояния между точками из Х, порождает соответствующую теорему
в каждом
изометрическом
пространстве
(X’,
рх,) относительно
рас-
стояний между образами при отображении xb. x’,
Пусть
(Х, ох) — метрическое
пространство,
/ — 6veKTHBHOe
отображение множества Х на множество Х’, в котором не определена метрика. Определяя в множестве Х”’ метрику по формуле (1),
получим изометрию Х 1. Хх’ и будем говорить, что расстояние ох,
перенесено с Х на Х” отображением {.
1.3. Шары, сферы, диаметр множества. В теории метрических
пространств используется язык классической геометрии. Пусть
(Х, ©) — метрическое пространство, х Е Х, 6 > 0.
Определение 1. Множество Op (xo) = {хЕХ [р (хо, x) << 6} Haзывается открытым
шаром
с центром х,Е Х радиуса 6,
а также 6-0 крестностью
точки Xp.
533
Определение
2.
Множество
Оь (х,) =
{хЕХ
|
(хх, х) < 6} на-
зывается замкнутым
шаром радиуса 6
Определение
3. Множество S (xo, 6) = {x
называется сферой радиуса 6 с центром х Е
В нормированном векторном пространстве ЕЁ
метризованном посредством формулы (1), п.
радиуса 6 с центром х, Е Е есть множество
с центром % ЕХ.
€ X | e (%, x) = §}
X.
(см. п. 9.4, гл. 9),
1.1, открытый шар
Оь (хо) = {ЕЕ |х— ж|< 8}.
(1)
На действительной
прямой открытый (соответственно замкнутый)
шар радиуса 6 с центром х, Е В есть интервал 1%— 6, ж + SO
(соответственно сегмент [х, — 6, х -65]), а сфера того же радиуса
с центром х, состоит из двух точек: х, — 6, ж - 4.
_В дискретном пространстве (Х, 6) (см. пример 4, п. 1.1) Оь (хо)
и 0 (%) (6 < 1) есть точка х„, а соответствующая сфера пуста.
Если 6 > 1, то 0 (%) = Оз (ж%) = Х, а 5$(ж, 6) = @ при б > 1
и © (%, 6) =Х
\ (%} при 6 =1.
Определение 4. Пусть (Х, о) — метрическое пространство, А,
В — два непустых подмножества Х. Положительное число
р (А, В) =
inf
ХЕА, ис В
p(x, y)
(2)
называется расстоянием
от А
Oo B.
Если множество А одноточечное, то вместо
о (х, В). Равенство
(2) можно
также
записать
в виде
о (4, B) = inf p(x, B).
xEA
р (А, В)
пишут
(3)
Если А П В-=2 ©, тор (А, В) = 0, а из р (А, В) = 0 в общем
случае не следует, что А [| В <= 9. Пусть, например, А = №, В =
= [6 @ |», =п—ч;
ВЕМ\
AN B=,
Определение
5.
/7Лусть
1}. Тогда
(A, B) =inf—
=0.
(Х, 0) — метрическое
А < Х — непустое множество. Диаметром
АД называется
число
d(A)=
sup
x€A,yEA.
p(x, y).
пространство,
множества
(4)
Из определения следует, что диаметр непустого множества может
быть положительным действительным числом или -- со. Если А =
< В, то а (А) < а(В). Равенство а (А) = 0 справедливо в том и
только в том случае, когда А — одноточечное множество.
Определение 6.
Пусть (Х, р) — метрическое пространство,
А < Х — непустое множество. Если диаметр множества А конецен, то оно называется ограниченным.
Теорема 1, Объединение двух ограниченных множеств А и В
ограничено.
534
< ЕслиаСА, 6 СВих, у — любые две точки множества ДА |) В,
то либо
х Е А Л уЕАД и тогда р (х, у) <а(4А), либо хЕВ Л уЕВ
ир (х, у) < а(В), либо, например, хЕ А, уЕ В и тогда в силу неравенства треугольника получим неравенство р (х, у) < р (х, а) --
+.p (a, 6) + p (6, у), поэтому
d(A U B)<p (a, 6) + d(A) + d(B).
Так
как а и 6 — произвольные точки и р (а, 65) < d (A, B), To
d(A YU В) <а(А, В) - а(А)
-- а(В). №
Следствие.
Если
множество
А
ограничено,
то
Уж
ЕХ
множество А содержится в замкнутом шаре с центром ху и радиусом
r= 0 (X%, A) +d (A).
Теорема 2. Пусть (Х, р) — метрическое
< Х — непустое множество и хЕХ, уЕХ.
Для
пространство,
Тогда
|e (x, A)—p(y, A)| <p (x, 9).
каждой
точки
z€A
un V(XEX,
yE X)
umeem
у)
р (9, А).
А <
(5)
p(x, z)<
<P (% y) + р(, 2), ostomy
p (x, A)= inf (x, 2) < inf2ЕА (@ (, y)-+
о (у,2)) =e (x, y) + int p
Эр
Анало-
гично получаем неравенство р (и, 4)< о (х, и)
р (х, 4). №
1.4. Открытые множества.
Определение 1. Открытым
множеством
в метрическом пространстве (Х, 0) называется подмножество @ < Х, обладающее свойством:
МУхЕС 36>> 0 такое, что О (х) < (0.
Из определения следует, что пустое множество @ открыто.
Все множество Х также открыто.
Теорема
1. Любой
открытый
шар
является
открытым
мно-
жеством.
Пусть (Х, р) — метрическое пространство. Если х Е Оз (ж) < Х,
то р (хо, х) < би 6, = 6 — р (ху, х) > 0. Тогда о (х, y) < 8, если
у ЕО
(х). Оценим расстояние р (хь, и). Согласно неравенству треугольника, имеем
0 (Xp,
Y)
SE
(Xp,
x) +
0 (x,
Y) <0
(xp
x) +
6, = 6.
Следовательно, справедливо включение Оз, (х) < Оь (хо), т. е. точка
х входит в множество Оз (ху) с некоторой окрестностью. >
Теорема 2. Объединение любого семейства (С„)иед открытых
множеств открыто.
Если хЕ О) для некоторого ^/ Е А, то существует такое 6 >> 0,
что
О (х) <
@
< О Gu.
>
Ha действительной прямой любой интервал ]а, -- со[ открыт
как объединение открытых множеств ]а, Хх для всех х > а.
Теорема 3. Пересечение конечного семейства открытых множеств открыто.
{ Достаточно рассмотреть случай двух открытых множеств (, и
С.,а затем провести индукцию.
535
Если ХЕСЦ, П (,, то существуют такие 6, >0 u 6,>0, что
Os, (x) < G,, Os, (x) < G, u Og (x) <G, Г (,, где 6 = min {6,,5,). >
Пересечение бесконечного семейства открытых множеств, вообще говоря, не является открытым. Например, пересечение интерва]
]
.
8
о
JIOB |. ral
Vne€QW\ на действительной прямой есть одноточечное
множество
{0},
не
являющееся
открытым.
В дискретном метрическом пространстве (Х, р) всякое множество
открыто. Утверждение следует из того, что одноточечное множество
{х} < Х можно представить в виде {х} = О! (х) и применить
теорему 2.
Пусть (Х, 0) — метрическое
множество.
Определение
2.
2
пространство,
Открытой
А < Х — непустое
окрестностью
мно-
жества А называется любое открытое множество, содержащее А,
аокрестностью
множества
А — любое множество,
содержащее открытую окрестность А. В случае, когда А = {х},
говорим об окрестностях точки х (а не множества {х}).
Теорема 4. Для любого непустого множества А < Х и любого
г > 0 множество У, (А) = {ХЕХ |0 (х, А) < 1} является открытой окрестностью А.
$ Если р (х, А) < гиф (х, y) << r—po
(5, 4), то, согласно неравенству 5, п. 1.3, получаем, чтоо (у, 4) < р (х, А) Нг— р (х, А) =
= г, т. е. Оз (х) < У, (А), гдеб =г— о (х, А). Поэтому множество
У, (А) открыто
и, очевидно,
содержит А. В случае,
когда
А =
{а},
множество И, (А) является открытым шаром О, (а). №
Определение 3. Семейство (Е„)иев окрестностей множества А <
< Х называется его фундаментальной
системой,
если любая окрестность А содержит хотя бы одно из множеств Е.
Для произвольного А < Х множества У, (А)
(>> 0), вообще
говоря, не образуют фундаментальную систему окрестностей множества А. Семейство открытых шаров (О | (%))„ем образует фундап
ментальную систему окрестностей точки Xp.
Теорема 5. Пересечение конечного семейства
окрестностей
мно-
жества А < Х является его окрестностью.
Достаточно ограничиться случаем конечного семейства открытых
окрестностей множества А. Пусть (С,),—, — конечное семейство
открытых
открыто
окрестностей
и AC
п G,.
k ==]
А.
Согласно
теореме
3,
множество
п
[| С»
k=]
№
Теорема 6. Для того чтобы множество А < Х было окрестностью каждой своей точки, необходимо и достаточно, чтобы А
было открыто.
<q Пеобходимость. Если А — окрестность каждой своей точки,
УхЕА существует открытое множество (С, < А, содержащее
536
то
х.
Поскольку
хЕ СЦ, < А,
теореме
А
2
то А =
|) {x} = WU, G, < A.
Tlostomy
x€A
|] (, — открытое множество.
xed
Достаточность. Если А — открытое множество, то по определению 2 оно является окрестностью каждой своей точки. p>
1.5.
Внутренность
множества.
Пусть (Х, 0) — метрическое
пространство.
Определение
=
no
1.
Гочка
ХЕХ
называется
внутренней
точкой
множества
АС,
если А является ее окрестностью. Множество всех внутренних точек множества А называется
его внутренностью и обозначается символом ШЁ А 1.
Внутренность любого промежутка с началом а и концом b (ax
< 6) на действительной прямой есть интервал Ja, bl, Tak Kak au b
не могут
]а, 6].
быть
внутренними
точками
промежутков
[а, 6],
[a, Ol,
Теорема 1. Для любого А < Х внутренность Ш А есть наибольшее открытое множество, содержащееся в А.
< Если хе ш+{ А, то существует открытое множество Ц, < А, со-
держащее х. Для любой точки у Е Ц, множество А по определению 2,
п. 1.4, является ее окрестностью, поэтому у Е шЁ А. Следовательно,
С; < ША и по теореме 6, п. 1.4, множество ш{ А открыто. Если
В < А — открытое множество, то из определения 1 следует, что
В < ШЁА. Таким образом, открытые множества характеризуются
условием А = ША. }
Следствие.
Если АСВ, mo intA Cc int B.
=
Теорема 2. Для любой пары множеств А и В имеем 1
intA f int B.
(А
Г В)=
{ Включение шё (А ГП В) < (ШЕА П шЁВ) получаем из следствия. По теореме 3, п. 1.4, пересечение 1141 А [| 4 В является открытым множеством и содержится в пересечении А [| В. Согласно теореме 1, справедливо включение (ш{ А f) ШВ) = шШЕ(А ПВ). Из
полученных включений следует доказываемое равенство. №
Внутренность непустого множества может быть пустой, например, для одноточечного множества {х} на действительной прямой
int {x} = ©.
Определение 2. Внутренняя точка множества Х \ А
назы-
ваетсявнешней
точкой
Х \ А— иножеством
ва А.
для А, а внутренность
внешних
точек
множества
множест-
Теорема 3. Для того чтобы точка х Е Х была внешней для А,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие о (x, A) > 0.
Необходимость. Если хЕ Х — внешняя точка для А, то существует шар Оз (х) = Х \А
(6 >0). Для любой точки у Е А имеем
o (x, y) > 6, следовательно, рф (х, А) = int 0 (x, y) > b > 0.
Достаточность. Пусть х ЕХ. Обозначим 5, =
(х, 4). Из условия 6, > 0 следует включение Оз, (х) = Х \ ‘A, в силу которого х
является внутренней точкой множества Х \ A. >
+ От
французского
слова
ши(епеиг — внутренний.
537
1.6. Замкнутые множества, точки прикосновения,
замыкание
множества. Пусть (Х, 0) — метрическое пространство.
Определение 1. Множество Е <- Х называетсязамкнутым,
если его дополнение СЁ является открытым множеством.
Пустое множество, а также множество Х замкнуты. Промежутки
[а, -- оо[, ]— со, а] и множество
— замкнутые множества на
действительной прямой. Промежутки [а, Ы и ]а, 6] не являются ни
открытыми, ни замкнутыми множествами.
Теорема 1. Замкнутый шар Оз (х%) = Х и сфера $ (хо, 6) = Х
являются замкнутыми множествами.
< Еслих @ 0% (ж), то о (х, Оз (хо) 20 (х, х) — 6 >> 0, в силу чего
открытый шар с центром в точке х и радиусом 6, = р (%, х) —6
содержится в дополнении шара О (х,). Следовательно, это дополнение — открытое множество. Дополнение сферы $ (хо, 6) является
объединением открытого шара О (х,) и дополнения шара
0 (ху).
По теореме 2, п. 1.4, это объединение
есть открытое
множество.
Теорема ©. Пересечение любого семейства замкнутых
замкнуто. Объедичение конечного семейства замкнутых
замкнуто.
<
Если УЕ
А множества Ро замкнуты,
}
множеств
множеств
то множества СЁа откры-
ты. Согласно формулам (3), п. 1.5, гл. 1, имеем
С
(\
acA
Fy
По теореме 2, п. [.4, множество
—
J
СЕЛА
CF a.
(1)
|) СЁа открыто, в силу чего и мно-
aca
жество С [] Ра является открытым. Тогда по определению множество
() Fa
иеА
aca
замкнуто.
Докажем вторую часть теоремы. Пусть Ру; ({ = 1, п) — замкнутые множества. Перейдя к дополнениям по формулам (2), п. 1.5,
гл. 1, получим
(2)
CU F=f CF
t=]
Так
как
множества
n
СЁ; открыты,
то,
согласно
теореме
3,
п.
1.4,
множество af СЁ; является открытым, а вместе с ним и множество
С mt
U Fe Следовательно, множество U Е; замкнуто.
}
В частности, одноточечное множество {х} < Х замкнуто.
Определение 2. Точка ху Е Х называется точкой
прикосновения
множества А.< Х, если любая окрестчость Оз (х)
имеет с А непустое пересечение. Множество всех точек прикосновения множества А называется его замыканием и обозначается
символом А.
Если ХЕХ не точка прикосновения множества А < Х, то х
является внутренней точкой дополнения СА. Поэтому замыкание
538
множества Д есть дополнение множества его внешних точек: А =
= С ШЕСА. Например, замыкание открытого шара Оз (хо) содержится в замкнутом шаре Оь (%,), но может не совпадать с ним.
Поскольку
ШЕСА
есть
наибольшее
открытое
множество,
содер-
жащееся в СА, то А есть наименьшее замкнутое множество, содержащее А. В частности, если А замкнуто, то А = A.
Теорема 3. Для того чтобы точка х, Е Х была точкой прикосновения множества А < Х, необходимо
и достаточно,
чтобы
0 (X%), A) = 0.
4 Необходимость. Пусть х Е Х — точка прикосновения множества
А < Х. Тогда х, @ ш+ СА и, согласно теореме 3, п. 1.5, о (х,, A) = 0.
Достаточность. Если р (х,, А) = 0, то любая окрестность Оз (%)
имеет с множеством А непустое пересечение. }>
Теорему 3 можно сформулировать следующим образом: замыкание множества А < Х является пересечением его открытых окрестностей У, (А).
Теорема 4. Если х, Е Х — точка прикосновения множества А <
ЕХ
иж
А, то Уб > 0 множество Оь (х,) ГП А бесконечное.
<q Допустим, что это не так и Оз (%) П А = {и, ..., и}. По предположению г, = р (ху, yz) >0
(Е =1, п). Выберем г>0
так,
чтобы О, (%) < О (ж) иг < min {ry ..., Г}. Тогда О, (%) П А =
= @ вопреки предположению, что х, — точка прикосновения множества
А.
>
Определение 3. Точка х Е Х называется
множества А < Х, если она является точкой
жества
А \ {Xo}.
предельной точкой
прикосновения мно-
Из теоремы 4 следует, что любая 6-окрестность предельной точки
Хх. множества А содержит бесконечное множество точек из А. Взяв
последовательность окрестностей Оз, (ж), где 6, = о (1), получим,
что из множества А можно извлечь последовательность (х„), сходящуюся к хо по метрике пространства (Х, 0).
Определение 4. Точка ху Е Х называется граничной
точкой множества А < Х, если она является точкой прикосновения
как А, так и СА. Множество ДА всех граничных точек множества А
называется
его
границей.
Из определения следует, что ДА = А [| СА = д (СА). В силу
теоремы 2 множество ОДА замкнутое и может быть пусто.
Граничная точка хС ОА характеризуется свойством: в любой
ее окрестности Оз (х) содержится по крайней мере одна точка множества А и по крайней мере одна точка множества СА. Все множество Х является объединением внутренности множества А, множества его внешних точек и его границы, так как в случае Оз (х) <: А
u Os (x) ‹: СА множество Оз (х) должно содержать точки множеств
A иСА. Каждые два множества из трех, указанных выше, не имеют
общих точек. Например, граница любого промежутка с началом а
и концом 6 в В есть множество (а, 8}, а граница множества © в В
есть
само
R.
539
Определение 5. Точка х, Е А называется изолированной
точкой множества А <= Х, если 3 6 >> 0: Об (х,) П (А
Xo}) =
= g.
Упражнения
1. Пусть А — открытое множество в метрическом пространстве (Х, 0). До
казать, что УВ < Х справедливо включение А | ВсА
ПВ.
2. Привести примеры таких открытых множеств А и В на действительной
прямой Ю, что все четыре множества Д
B,B ПА, АП ВиА П В различны.
_3. Привести пример двух промежутков А < КЮ, Вс Ю, для которых А []
ПВХАПВ.
4. Пусть (Х, 0) — мегрическое пространство. Доказать, что УА < Х
справедливо включение ОДА < 0А и д (ТЁЕА) < дА. Привести пример, когда эти гри
множества на действительной прямой различны.
5. Пусть р — расстояние в множестве Х, удовлетворяющее неравенству
о (х, г) < тах {р (х, и), о (6, 2)}, где хЕХ, иЕХ, 2 ЕХ. Доказать, что если
p(x, y) HOY, 2), тор (х, г) = шах {р (х, у), р (у, 2}.
1.7. Плотные подмножества. Сепарабельные пространства. Пусть
(Х, 0} — метрическое пространство.
Определение 1. Множество А <- Х называется плотным в
множестве В < Х, если каждая точка х Е В является точкой прикос-
новения множества А, т. е. если ВС А. Если А плотно в Х, то оно
называется всюду
плотныхл.
Если А всюду плотное в Х, то, очевидно, А =Х.
Теорема 1. Если А плотно в В, а В плотно в С, то А плотно
в С.
® Поскольку В < А и замыкание любого множества есть наименьшее замкнутое множество, содержащее его, то справедливо включение
В < А.
Так
как
Сс В,
то Сс А,
т. е. А
плотно
в С.
№
Определение 2. Множество А < Х называется нигде
не
плотным вметрическом пространстве (Х, р), если любое открытое множество @ <- Х содержит другое открытое множество, целиком свободное от точек множества А.
Определение 3. Метрическое пространство (Х, 0) называется
сепарабельныл, если в Х существует счетное всюду плотное
множество.
Метрическое
пространство
(В”, р), где т>1,
р(х и =
=|х—и|
У (ЕВ, уЕВ”) (см. пример 2, п. 1.1) является сепарабельным. Счетным всюду плотным множеством в В” является
множество точек, у которых все координаты — рациональные числа.
В векторном пространстве т ограниченных последовательностей
(см. п. 9.1, гл. 9) введем расстояние по формуле р (х, у) =
=sup|x,—y,|
W(x = (x,) Е т, у = (у,) Ст).
Аксиомы
MeTп
рики проверяются
ческим
без труда.
пространством.
Оно
Поэтому
не
пара (т, 0) является метри-
является
сепарабельным.
Действи-
тельно, рассмотрим в т элементы вида а = (а, а., ..., а, ...), где
а; равно нулю или единице. Множество А всех таких элементов не540
счетное (см. теорему п. 3.8, гл. 2). Если а и 6 — два таких различных
элемента, то р (а, 6) = зир | а — 5, | = 1. Предположим, что в т
i
существует всюду
плотное множество
т, = {х, Х., ..., Х„, ...}.
Тогда
VxE€m
содержится
3х. Еть:
в
шарах
О!
о (х, х,) < —,
(х„)
УпЕМ№.
т. е. все
множество
Поскольку
таких
т
шаров
3
счетное множество, а множество т несчетное, то по крайней мере
в одном из них должно быть два различных элемента а © А, OE A.
Пусть центр такого шара х,Е т. Тогда имеем 1 = (а, 5) <
< р (а, х)
о (х%, 6) < + + < = 3) что невозможно. Источник
противоречия — в предположении, что метрическое пространство
(т, ©) сепарабельное.
1.8.
Аксиома
выбора.
База открытых
рабельности метрического пространства.
матик Э. Цермело (1871—1953) выделил в
свободного выбора, названную его именем,
что всякое множество может быть вполне
Аксиома
выбора
(Цермело).
Пусть
множеств.
Критерий
сепа-
В 1904 г. немецкий матетеории множеств аксиому
и с ее помощью доказал,
упорядочено.
Х = (Хо)аеАд — семейство не-
пустых и непересекающихся множеств. Тогда существует множество
М,
обладающее
свойствами:
1) Мы
U A о; 2)
a
множество
М
имеет
с каждым из множеств Хо, один и только один общий элемент.
Теорема 1 (общий принцип выбора). Пусть Х = (Хадаед — семейство непустых множеств.
Тогда существует
отображение
xf. / Ха, ставящее в соответствие каждому множеству Хо, опреQE 4А
деленный элемент ] (Ха) Е Ха.
4 Пусть Ха = {х;
Мо — множество
Е/°,
16 Л},
всех таких
пар
(х9,
М = (Ма)асл — семейство
Хо) — упорядоченная
при фиксированном
множеств
Мо.
«Е
Аи
Напомним
пара,
УЕ
(см.
п. 1.6, гл. 1), что две упорядоченные пары считаются равными тогда
и только тогда, когда равны между собой их соответствующие компоненты. Из построения упорядоченных пар следует, что любые два
множества из семейства М не пересекаются. Согласно аксиоме Цермело, существует множество У, состоящее из пар (х®, Ха) и имеющее с каждым множеством Мо по одному общему элементу. Таким
образом, пересечение Мо [| У при каждом “Е А состоит из единственного
Г (Ха) ce
элемента
Ха.
(хо,
Хо),
где
хо
б Ха.
Полагаем
УачЕА
№
Определение. Семейство (С»)\ед непустых открытых множеств
называется базой
открыты.х множеств метрического
пространства (Х, р), если каждое непустое открытое множество
точек этого пространства является объединением некоторого подсемейства из (@»)леА.
Теорема 2. Для того чтобы семейство открытых множеств
(Сл)леА
было
базой,
необходимо
и достаточно,
чтобы
для
каждой
541
точки хЕХ
Л,
что
и каждой ее окрестности
ХЕ СС
У.
У существовал такой индекс
< Необходимость. Пусть (С»)»хед — база, хЕХ, У — окрестность
точки х» Ис У — ее открытая окрестность (см. определение 2,
п. 1.4). По определению базы множество
является объединением
некоторого подсемейства из (Сл)»лед. Поэтому существует по крайней
мере один такой индекс 4, что X E Gy.
Достаточность. Пусть выполнено условие теоремы и У = Х —
произвольное открытое множество. Рассмотрим для всех хЕ У се-
MelicTBO (Gryx))xev множеств,
содержащих х. По теореме
1 УхЕИ
можно выбрать одно определенное множество Сы такое, что хЕ
Е Ош» < У. Следовательно, У < U Guin < У, т.е. У = и, Сих. №
хЕ
x€
Теорема 3 (критерий сепарабельности метрического пространства). Для того чтобы метрическое прострачство (Х, ©) было сепарабельным, необходимо и достаточно, чтобы существовала счетная
база его открытых множеств.
< Необходимость. Пусть (Х, о) — сепарабельное метрическое пространство, (а„) — последовательность точек множества X, MHOжество значений которой всюду плотное в нем. Тогда счетное множество открытых шаров О! (а,) Уте №является базой открытых
т
множеств пространства (Х, о). Действительно, для каждой точки
хЕХ
и любого г >> О существуют такие т Е № ипЕ №, что — < 5
иа, ЕО,
(х). Отсюда следует,
что хЕ От! (аи).
Если уЕОг
To 9 (x, y) Se (%, a) +P (ayy) S =. < г, откуда
O01 (a,) < O, (x).
По
теореме
т
2 семейство
счетной базой открытых множеств
Достаточность. Если (Ц„)пем —
пустое открытое множество С <- Х
рых множеств С„, в силу чего G [)
чает,
что каждая
точка х Е Х
(О:
получаем,
(@,))лем
(а),
что
является
т
пространства (Х, р).
база и а, Е С„, то‘`каждое неявляется объединением некото(Qy)nen F @. Последнее озна-
является
точкой
прикссновения
счет-
ного семейства (а„)лем. №
1.9. Принцип вложенных шаров. Теорема Бэра. Пополнение
метрического пространства. Докажем утверждение, являющееся
аналогом теоремы о вложенных сегментах.
Теорема 1 (принцип вложенных шаров). Для того чтобы метрическое пространство (Х, ©) было полным, необходимо и достаточно,
чтобы в нем всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое
пересечение.
« Необходимость. Пусть метрическое пространство (Х, р) полное
и (0, (x,)) — последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров с центрами х„ и радиусами г, = о (1). Последовательность
(х„) фундаментальная, так како (х„, хи) < т. при т>п. Посколь542
ку пространство
x€
(Х, 0)
полное,
f) Or, (х.). Действительно,
пЕМ
то существует
шар Or, (х„)
Им х„ = х, причем
п-о
содержит
все
члены
последовательности (х„), за исключением, быть может, жи, хо, ...
‚ хи—1. Поэтому х является предельной точкой для каждого шара
0, „ (*„). Поскольку О, „ (х) — замкнутое множество, то хе Or, (х„).
" Достаточность. Пусть (х„) — фундаментальная последовательность точек метрического пространства (Х, р). Выделим из последовательности (х„) подпоследовательность (хи,), члены которой удовлетворяют
условию
1
р (хи, Хн,) < oF
следовательность замкнутых
шаров
Уп > ль
(О!
.
(х„,)),
и
рассмотрим
вложенных
по-
друг
в
ok
друга. По предположению эта последовательность имеет общую точку х, причем lim Xn, = Х. Из неравенства р (хи, X) SP (Xp, Xn,) +
R-+00
о (Xn, , x)
следует
предельное
соотношение
Ит х, =х,
п-оо
хЕХ.
Таким образом, каждая фундаментальная последовательность точек
метрического пространства (Х, р) сходится в нем. По определению
оно
является
полным.
№
Следующая теорема играет важную роль в теории полных метрических пространств.
Теорема 2 (Бэра). Полное метрическое пространство (Х, ©) не
может быть представлено в виде объединения счетного семейства
нигде не плотных множеств.
Предположим, вопреки утверждению теоремы, что Х = |) Ё,,
пеМ
где каждое из множеств Ё„ нигде не плотно. Так как Е, нигде не
плотно, то найдется такой замкнутый шар О, (х!) = Х,
что
Oe, (%1) 1) E, = ©. Поскольку Е» нигде не плотно, то найдется такой шар О. (х.)
< Оь, (х!), что Ow (х.) ПЕ. = @. Продолжая
таким
же
образом,
женных друг
О„ (<) ПЕ
эп
по теореме
построим
последовательность
(Оз
(х,))
вло-
gn
в друга замкнутых шаров, обладающих СВОЙСТВОМ
=
GD VneNn. Поскольку -—— 0 при п — о, то
| пересечение
[Г Оь„,
М
‘и
on
(х„)
содержит
некоторую
точку
хЕХ. Она не принадлежит ни одному из множеств ЁЕ»„, в силу чего
Ххе0Е,, т.е. Х =2 |) Е,„, что противоречит предположению. }
n€N
n€N
Процесс пополнения
произвольного неполного метрического
пространства аналогичен процессу пополнения множества © рациональных чисел множеством всех иррациональных чисел. Имеется в
виду теория Г. Кантора, в которой действительные числа опреде543
ляются посредством
нальных чисел 1.
Определение.
фундаментальных
последовательностей
рацио-
Метрическое пространство (Х, ох) называется по -
полнением
пространства
(Х., рх)), если выполняются следующие условия:
1) пространство (Х, ох) полное;
2) существует такое всюду плотное в множестве Х подмножество Х’с Х, что метрическое пространство (Х’, ох) изометрично
пространству (Ху, ох,).
|
Теорема 3 (Хаусдорфа). У каждого метрического пространства
имеется пополнение.
{ Если метрическое пространство полное, то оно, очевидно, совпадает со своим пополнением.
Пусть (Ху, ох,) — неполное метрическое пространство, т. е.
в нем имеется хотя бы одна фундаментальная последовательность
точек,
сходящаяся
щиеся
части,
кх @ Х..
ние эквивалентности,
Если
в множестве
то оно разбивается
называемые
классами
Х, введено
на попарно
эквивалентности
отноше-
не пересекаю(см.
п.
1.11,
1.12, гл. 1).
Рассмотрим множество всех фундаментальных последовательностей точек метрического пространства (Xo, ох.) и назовем две гакие последовательности (х„), (у„) конфинальными,, если рх, (х„, и) > 0
с возрастанием п. При этом будем писать (х„) - (у„). Легко убедиться в том, что отношение конфинальности является отношением эквивалентности в множестве Х.. Отнесем к одному классу эквивалентности
все конфинальные
тельности.
нальны
Если
третьей,
между
собой
две фундаментальные
то они
конфинальны
фундаментальные
последова-
последовательности
между
собой,
конфи-
вследствие
чего
одна и та же последовательность не может принадлежать двум различным классам. Поэтому указанные классы эквивалентности попарно не пересекаются. Обозначим через Х множество всех таких
классов. Поскольку У ХЕХ. стационарная
является фундаментальной, то справедливо
Введем
x* EX,
в множестве
y* EX,
Х метрику
последовательность
включение Х, < Х.
по следующему
(x,) 6 х*, (у) Еи*, то
ох (х*,
=
правилу:
lim Px,(Xn» Yn):
(х)
если
(1)
Докажем существование предела числовой последовательности
(ох, (х„» Ил)). Принимая во внимание неравенство (3), п. 1.1, получим оценку
| Ox, (Xa»s Yn) — OX (Xms Ym) | = (OX. Xn» Yn) — OX0(Xms Yn)) +
+
(Ox, (Xm
Yn)
—
(Xm
Ym))
| >
Px, (Xn,
Xm)
+
ох. (Yn
Ут),
справедливую У (т
№, пЕ №). Так как последовательности (х„),
(у„) фундаментальные, то ох, (хи, И) — ох, (Хи, Ут) — 0 при п - ©,
сов
544
1 См.,
например:
Немыцкий
А. Курс математического анализа:
В.
Слудская
М., ЧеркаВ 2 т.— М.; Л., 1957.— Т. 1.
т — со, т. е. числовая последовательность (ох, (х„, и„)) фундаментальная.
Расстояние между элементами множества Х определено однозначно. Действительно, если (Xn) ~ (x,), (Yn) ^^ (у), то, перейдя
к пределу в неравенстве
| 0x. (%ns Yn) — Ox, (as Yn) | << Oxy (Las Xn) + OX, (Yur Yo)»
являющемся
следствием
неравенства
(3),
п.
1.1,
получим
т рх, (Жи» Уп) = Шт рх, (х„» У) == рх (х*, у*).
f=» oo
Проверим,
метрики.
п-оо
удовлетворяет
Пусть
х*ЕХ,
ли
y* EX,
расстояние
2*EX.
рх (х*, у*)
Если
= lim px, (Xa Yn) = 9, TO (x,) ~ (Y,), T. & Kulacchl
noo
аксиомам
px (x*, y*) =
x* Hw у* совпа-
дают. Таким образом, (ох (х*, у*) = 0) = (х* == y*).
Выполнение условия ох (х*, y*) = ex (y*, х*) очевидно, а неравенство треугольника ох (х*, у*) < рх (х*, 2*) - ох (2*, у*) получим после предельного перехода в неравенстве
ох, (хи» Ул) < ох, (Хи, 21) -
ох, (21, У„), РДе (х,) Ех", (у) ву, (2,) 62.
Упорядоченная пара (Х, рх) является метрическим пространством. Докажем, что оно — пополнение метрического пространства
(Xo,
Ox,)-
Заметим, что У хЕ Х, стационарная последовательность (х) относится к некоторому классу — элементу множества
Х. Если
У (ХЕХ,
yEXo)
(x) Ex",
(y) Ey*,
то,
очевидно,
рх, (х, у) =
— рх (х*, и*), вследствие чего множество Х” <- Х всех классов х*,
содержащих стационарные последовательности, изометрично множеству Хь. Докажем, что Х’ всюду пло.но в множестве Х, т. е. каждый элемент х* Е Х является точкой прикосновения множества Х”.
Пусть х* Е Х — класс, содержащий фундаментальную последовательность (х„), и #>0.
Тогда Зи. Е№М: Уп» п. ть п.)
ох, (хи, Хи) < г. Фиксируем п = п, и обозначим через ЖЕХ'
класс, содержащий стационарную последовательность (хи,). Тогда,
согласно формуле (1), рх (х*, хе) == Шт рх, (хи
Хт) < 8. Послед-
нее означает, что множество Х’ всюду плотно в Х. Для завершения
доказательства теоремы осталось установить полноту метрического
пространства (Х, ох).
Пусть (х„) — произвольная
фундаментальная
последовательность точек пространства (Х, рх). Поскольку множество Х” всюду.
плотно в Х, то УлЕ№М 3k € X! 1 0x (Xm =") < —.
Последова®
тельность (5,) фундаментальная,
так как при я -> осо, т -» со
Ox (Ens Em) <x (Ens Xn) + Ox (xa; En) <
<x (En. Xn) + Ox (Xny 4m) + Ox (Xm, Em) > 0.
18
337
545
о
*
Пусть х„ Е Х, — элемент, соответствующий классу &„ Е Х’. Последовательность (х„) фундаментальная в пространстве (Xo, ох,), поскольку, согласно формуле (1), имеем
Ox (Ens Em) = Ox. (Las Xm):
(2)
Фундаментальная последовательность (х„) определяет некоторый
класс 5* ЕХ. Пусть = > 0. Тогда Эл, Е №: У (п > пе, т
пе)
ох, (Хи, Хт) < в. Применив формулу (1), получим Уп > п
px Ens &) = lim px, (tar Xn) Se.
Следовательно,
.
*
1т
&, =
+
#*. Принимая
во
(3)
внимание
неравенства
ox (xn B*) <x (xa Es) + ox Bn B) <ox (by B+,
получаем
предельное
соотношение
.
*
Пт х„ =
&*,
&*ЕХ.
Таким
об-
П-осо
разом, каждая фундаментальная последовательность точек метрического пространства (Х, ох) сходится в нем. По определению оно
является
полным.
}№
1.10. Принцип неподвижной точки. В 1890 г. французский математик Ш. Э. Пикар (1856—1941) разработал метод доказательства
теорем существования и единственности для интегральных уравнений, который основывается на доказательстве сходимости последовательных
приближений.
Независимо
друг
от друга
итальянский
У (хЕХ, уЕХ) 3“ 610, LE P(x), F(Y)) Sap
(x,y). — (1)
математик Р. Каччиополли (1904—1959) и польский математик
С. Банах (1892—1945) доказали теорему о существовании неподвижной точки при сжимающем отображении, содержащую в общем виде
разные частные случаи теорем о сходимости метода последовательных приближений Пикара.
Определение
1. Пусть
(Х, р) — метрическое
пространство.
Функция Х 1 Х называется отображением сжатия, если
Определение 2. Точка хЕХ
называется неподвижной
точкой отображения Х I, Х, если f (x) = x.
Теорема (принцип неподвижной точки). Ecau (X, p) — полное
метрическое пространство, то отображение сжатия Х -——- Х имеет
неподвижную
(и притом
единственную)
точку.
Пусть хЕ Х — произвольная точка. Рассмотрим последовательность (х„) = ({ (х„—1)). Поскольку Х у. Х, ох ЕХ
VaneN.
Покажем, что последовательность (х„) фундаментальная. Согласно
условию (1), Уп 1
имеем
0 (Xn
Xn+-1) =?
(7 (Xn—1)s
SS 070 (Xn—2y) Хи) 5
546
i (x;,)) > ap (Xn—1,
+.
За
Xn) >
(Xp, Xj).
(2)
Используя этот результат и неравенство (2), п. 1.1, получим У (п 6
Е№, рЕ№) оценку
о (Хь› Хар) SP Xp» Xnti) Е р (Ха-нь Хи--2) + **° НР (Жн-нрфьь Ми-ьр) <
< (а На
-
+...
ор
(ж, х1) < —
0(X%,
x).
(3)
Iycrb € > 0. Так как O<C a <1 4u £ (Xp, x,) = const, To Npu Bcex
достаточно больших п © №и У рЕ № будет выполняться неравенство
р (%
откуда следует,
В силу полноты
ность
1) < в,
(4)
что последовательность (х„) фундаментальная.
метрического пространства (Х, ©) последователь-
(х„) сходится
к некоторой
п — со. Из условия (1) получаем,
точке хЕХ
гр (х„, х) -> 0 при
что Пт | (х„) = | (х). Поскольку
П-оо
Хп-ы = f (x,) UXn+1 > x, TOF (x) = xX, T. e. x является неподвижной
точкой отображения }. Докажем, что она единственная. Предположим, что существуют две неподвижные точки отображения Ё х =
= f(x) uy =f (y), x ~y. Torna рф (х, у) > 0. Согласно условию
(1), о (х, у) =e F (&), FY) Sap &, y), 0 < «< 1. Сокращая обе
части последнего неравенства на рф (х, и) > 0, получим противоречивое неравенство
© > 1. Источник полученного противоречия —
в предположении, что отображение } имеет две неподвижные точки. >
Пример.
Рассмотрим
задачу
Коши
для
обыкновенного
дифференциального
уравнения: найти такую дифференцируемую функцию у : К — К,
которая
удов-
летворяет уравнению у’ = } (х, и) и при х = ж принимает заданное значение
у (хо) = и, где и, — некоторое число, } — непрерывная на множестве [а, 6] Х К
функция, удовлетворяющая условию Липшица по у с константой К:
| F(x,
у) —Р(х,
Пусть х 6 фа, &. Решение
ного уравнения
у2) | <К|]и—\|
задачи
Коши
wv xe la,
эквивалентно
5].
решению
(5)
интеграль-
у =и- (1690 а.
6)
x
Отображение
ф'’иун> и -|+ |
(1,
и (1)) 4,
ах
Ь,
принадлежит
классу
x
С [а, 6]. Рассмотрим метрическое пространство (С[фа, 6], 06), гдео (а, В =
= max | a(x) —B(x)|
W(aeC[a, В], ВЕС [а, 8]. Задача Коши свелась к
а<х<
отысканию неподвижной точки отображения ф, т, е, такой функции у, что ф (и =
= у. Из условия (5) получаем оценку
-.
ПР
в силу
1 (х, и)
— РА, у) | < Кур
-—
| < Ко (1, и),
(7)
РФ), Ф(8) < nan, | Ke Y, )dt<K(b—a) oy, 2),
(8)
которой
имеем
Ecau K (6 — а) = а < 1, то отображение ф сжимающее
неподвижную точку == решение в8дачи Коши,
18°
и имеет единственную
547
1.11. Подпространства метрического пространства. Пусть (Х,
р) — метрическое пространство, E — непустое подмножество множества Х.
Определение. Сужение
©|Е’ называется
расстоянием,
индуцированным в Е расстоянием о : Х? — В. Метрическое пространство (Е, ©), определяемое этим индуцированным расстоянием,
называется
подпространством
метрического
пространства
(Х, 0).
Теорема
1. Для
того чтобы множество
В <
Е было открыто в
подпространстве (Е, р), необходимо и достаточно, чтобы существо-
вало такое множество
Необходимость.
>0:
me
ЕП
Он
A=
U
хЕВ
А, открытое в
Если
(х) = В.
В открыто
Тогда
(Х,
5), что В =АПЕ.
в (Ё, 6), то УхЕВ
В =
Oxy (x).
у. (E
1
xE
On,
Зг (х) >
(x) = ЕП
А,
Достаточность. Пусть А — открытое множество в пространстве
(Х, ри В =А ПЕ. Тогда УхЕВ 3г> 010, (х) < А. Значит,
О, (х)
ПП Ес
Ви,
следовательно,
множество
В открытое
в метри-
ческом пространстве (Ё, 0). }>
Теорема 2. Любое подпрострачство (Е, ©) сепарабельного метрического пространства (Х, о) сепарабельно.
Пусть ((,)„ем — счетная база открытых множеств пространства
(Х, ©). Согласно теореме 1, множества В, = (, | Е УптЕ№открыты в пространстве (Ё, 6). Согласно определению (см. п. 1.8), каждое
множество С@, является объединением некоторого подсемейства из
(б.)лем. Если G, = {}А №, то В, = (02 6) ПЕ=
— ()
ЦA 6% ПЕ=
В», т. е. cemelicrBo (B,)ncy OTKPbITEIX MHODKECTB B MpOcTpaHcTBe
А,
(Е, ©) является его счетной базой. [1о теореме 3, п. 1.8, метрическов
пространство (Ё, ©) сепарабельное. }
Упражнения
1. Доказать, что объединение открытого множества и множества его внешния
точек в метрическом пространстве (Х, 0) всюду плотно.
2. Доказать, что множество всех изолированных точек (см. п, 1.1, ra. 5) ces
парабельного метрического пространства (Х, 6) не более чем счетно.
3. Доказать, что любое семейство (@))с д непустых открытых множеств сепарабельного метрического пространства (Х, 0), обладающих тем свойством, что
С, П С, —= (2) при А =2 в, не более чем счетно.
4. Пусть
(Х,
©) — сепарабельное
5. Каким
условиям должна
метрическое
пространство.
Точка
хЕ Х
называется точкой конденсации множества Е <- Х, если в любой окрестности точки х содержится несчетное множество точек из Е. Доказать следующие утверждения:
а) если ЕЁ не имеет точек конденсации, то оно счетно;
6) если А — множество точек конденсации множества ЕЁ, то каждая точка
хЕА является точкой конденсации множества А, а множество Е [| СА не более
чем счетно.
чтобы
p(x,
548
на числовой
=
прямой
11 -РОТ
удовлетворять
можно
было
УСЕВ,
задать
УЕ}
непрерывная функция
метрику
посредством
К + К,
равенства
6.
— Ю,
V (x €
7.
Каким условиям должна удовлетворять непрерывная функция }:Ю —
чгобы метрическое пространство
(Ю, р), где р(х, и) = (f(x) —/y) |
IR, иуЕ К), было полным?
Построить пополнения метрических пространств (К, р), если: а) р (x,
y) =| arctgx—arctgy|
y € kk).
VER, yER); б) р (х, у)= [1 —е|
УСЕК,
1.12. Компактные множества.
Определение 1. Множество К < Х называется компакт ным в метрическом пространстве (Х , р), если всякая последовательность (х„) элементов из К содержит сходящуюся подпоследовательность. Если их пределы принадлежат множеству К, то оно называется компактным
в себе,
или компактомч.
Определение 2. Пусть М — произвольное множество. Покры тием
множества Е < М называется такое
подмножеств множества М, что Е < U В).
семейство
(В»)лел
СА
Определение 3. Лусть (Х, 0) — метрическое пространство и
ё > 0. Множество Х, < Х называется в-сетью
множества
Х. с
Х, если УхЕХ.
Зж Е
ХХ, : 0 (х, Хх.) <
в. В частности,
мно-
жество Х. может совпадать с Х.
Определение 4. Множество Е < Х называется вполне
ограниченным в метрическом пространстве (Х, р), если У => 0
для него имеется в Х конечная в-сеть.
Последнее условие эквивалентно следующему: \ & > 0 сущест-
вует такое конечное множество
Е <
Х, что
4 (х, Г) <=
УхЕЕ.
Из ограниченности множества точек метрического пространства
не следует его вполне ограниченность. Например, в метрическом
пространстве (т, P), P (x, y) = sup| E,—n, | У (х= (1, ..., Е» ...),
у = (Пь, ... ТП» ...)),
х. =
ограниченное
(0,0, ..., 0, 1,0, ..., 0, ...),
нельзя
множество
покрыть
{х„}ием»
THe
расстояние
меж-
конечным
се-
re
ee,
ъ
меиством
n—l
множеств
диаметра
меньше
]
>
поскольку
ду любой парой элементов этого множества равно 1.
Связь между компактностью и вполне ограниченностью множества точек метрического пространства устанавливает следующая теорема.
Теорема 1 (Хаусдорфа). Всякое компактное множество К < Х
вполне ограничено в метрическом пространстве (Х, 6).
$ Предположим, что К компактно, однако для некоторого #5 > 0
не имеет конечной &-сети. Возьмем произвольное х, Е К. По предположению множество {х,} не образует #-сети для множества К,
т.е. о (%1, К) >> го. Выберем любую точку х. Е К, удовлетворяющую
условию р (хи, х›) >> &. Поскольку множество {х1, х›} не является #5сетью для множества К, то найдется такая точка х.С К, что
© (Хр, Хз) > & (1 = 1, 2). Пусть выбраны точки ху, ..., х„, удовлетворяющие условию р (х,, х;) > & (15| Л i,j <n). Hatem такое
Хм © К, что р (хр, Xn4i) SS & (Г = 1, п). Индукцией по ПЕМ построена последовательность (х„) точек множества К, члены которой
549
удовлетворяют условию р (хр, x;) >> & (==). Из последовательности (х,) нельзя выбрать сходящейся подпоследовательности, что
противоречит предположению о компактности множества К. Источник противоречия — в предположении, что К не является вполне
ограниченным.
№
Теорема 2 (Фреше). Если метрическое пространство (Х, 0) пол-
ное, то каждое вполне ограниченное в нем множество Е < Х комлпактно.
< Если Е < Х — вполне ограничено, то У = >> О в (Х, 0) существует конечная -сеть для множества ЕЁ. Пусть (х„) — произвольная
последовательность элементов из Е. Поскольку существует конечное
покрытие множества ЕЁ открытыми шарами с радиусами, меньшими
=, то по крайней мере один такой шар содержит бесконечную подпоследовательность последовательности (х,„). Таким образом, У = > 0
из любой последовательности элементов множества Ё можно выделить подпоследовательность, расстояния между элементами которой
меньше в.
Пусть &, = —
Vne€N. Выберем из последовательности (х„)
подпоследовательность
меньше
(хФ))
с
расстояниями
между
элементами
1. Из этой подпоследовательности выделим новую
расстояниями,
1
меньше
>.
Пусть
выбраны
(х®) с
подпоследовательности
k Выделим из (х®) подпоследовательность (х@*"?) с расстояния(х®).
ми между
|
меньше „т.
элементами
подпоследовательностей
(x),
Получили
последовательность
Образуем новую последовательность
(х")), составленную из диагональных членов указанных подпосле-
довательностей. Члены этой последовательности, начиная с номера
ЕЕ №, принадлежат #-й подпоследовательности, в силу чего | х№ —
—
9 | < --
У (п>Ё, т->> Ё). Следовательно,
последователь-
ность (х“7) фундаментальная. Поскольку пространство (Х, р) полное, то Пт xf” = х, ХЕХ. По определению множество Ё компактное
noo
в пространстве (Х, 0). >
Из теорем | и 2 получаем следующее утверждение.
Теорема 3. Для того чтобы множество Е < Х было компактным
в пространстве (Х, р), необходимо, а если (Х, ©) — полное пространство, то и достаточно, чтобы Е было вполне ограниченным в нем.
Следствие.
Для того чтобы множество Е < Х было компактным в полном метрическом пространстве (Х, 6), достаточно,
чтобы \ = > 0 существовало компактное в (Х, 6) множество Ав
(может быть, бесконечное), являющееся в-сетью для Е.
<
Пусть = >> 0. Поскольку
существует
конечная
:р (х, Че) <>,
550
а для
множество
> -сеть Ё:.
По
А, компактное,
условию У хЕЁЕ
то для
него
3% Е Ae:
2
указанного у, существует такое 2, Е Е =, ЧТО
2
0 (Yer 2) < >
Применив
неравенство треугольника,
получим
равенство рф (х, 2) < р (х, иг) + P (Ye, 2) < в. Множество
Ё:
2
неяв-
ляется конечной 8-сетью для множества Ё. PD
Теорема 4. Для того чтобы компактное множество К < Х было
компактом в полном метрическом пространстве (Х, р), необходимо
и достаточно,
чтобы
оно было замкнуто
в (Х,
р).
<q Необходимость. Пусть К — компакт. Тогда любая последовательность (х,„) точек множества К содержит подпоследовательность
(х„,), сходящуюся по метрике пространства (Х, о) к некоторой точке
хС К. Таким образом, множество К содержит все свои точки прикосновения, т. е. является замкнутым.
Достаточность. Если множество К < Х компактное и замкнутое
в полном метрическом пространстве (Х, о), то метрическое подпространство (К, 0) является полным, в силу чего К — компакт
(поскольку любая последовательность (х„) точек этого. подпространства содержит сходящуюся
в нем
подпоследовательность
(X%n,)). >
Из теорем 3 и 4 получаем в качестве следствия утверждение.
Теорема 5. Множество К < Х является компактом в полном метрическом пространстве (Х , р) тогда и только тогда, когда оно замкнуто в нем иУ => 0 в множестве Х имеется конечная -сеть для К.
Следующее утверждение позволяет дать новое определение компактного в себе множества, эквивалентное определению [.
Теорема 6. Пусть Е < Х — замкнутое множество в метрическом пространстве (Х, р). Для того чтобы Е было компактным в
себе,
необходимо
и достаточно,
чтобы
из любого покрытия
этого
множества можно было выделить конечное покрытие.
Необходимость. Пусть Е < Х — компакт, (Съ)оеА — семейство
открытых множеств, нокрывающих РЁ, (2„) — бесконечно малая по-
следовательность положительных чисел,
Е
хо, хб), ..., х0) — в1-сеть
—
для множества Ё. Тогда Ё = |) Рь где F; = Og, (x!)
i=]
| F. Muo-
жества Р, — компактные в себе, причем 4 (Ё;) < 2=1, где а (Е;) —
диаметр Р; (см. п. 1.3). Предположим, что не существует конечного
покрытия множества Р. Тогда этим свойством обладает хотя бы одно
из множеств Ё;, которое обозначим через ЁР;,. Рассуждая аналогично,
выделим
из ЁР;, компактную
в себе часть ЁР;:;, диаметра
d (F;,;,) <
< 2», которую нельзя покрыть никаким конечным семейством, выделенным из семейства (С„)оед. Продолжая этот процесс выделения
компактных в себе частей, получим последовательность вложенных
друг
в
друга
замкнутых
множеств
Р;
>
Ри;
>...
> Ра. л, >
> ..., диаметры которых стремятся к нулю (поскольку d (Fi,i,..2,) &
<
2,
и а, =о
(1)).
По
теореме
2, п. 9.2,
гл.
1, существует
точка
Х Е Х, принадлежащая всем этим множествам. Поскольку семейство
(С„)асед покрывает множество Р, то существует такое множество
Си (% Е А), что ж Е С». Так как С», — открытое множество, то
551
существует -окрестность О. (хо) < Со,. Выберем п 6 № из условия
d (Fiji,.i,) << & Тогда справедливо включение Р:г,..:, © Оь (%),
противоречащее предположению о том, что никакое конечное се-
MeHCTBO
H3 (Gg)ac4 H€ покрывает множество
При».
Источник
про-
тиворечия — в первоначальном предположении, что не существует
конечного покрытия множества Р.
Достаточность. Предположим, что из всякого покрытия множества Р можно выделить конечное покрытие. Пусть М < F подмножество, не имеющее предельных точек. Тогда для каждого ХЕЕ
существует окрестность Оз, (х), не содержащая точек множества М,
кроме, быть может, точки х. Эти окрестности покрывают множество
Г. Выделим из семейства (О, (х))»ерг конечное покрытие О, (х1),
О., (хз), -... Ок, (х„). Гак как М <
О; (х;) может содержаться
п
|) О, (х;) и в каждой окрестности
{=|
не более одной точки из
М,
то
множест-
во М конечное. Следовательно, всякое бесконечное подмножество
М < Е должно иметь предельные точки, т. е. ЕЁ компактно. }
Определение 5. Метрическое пространство (Х, р) называется
компактным, если для каждого покрытия (С)).ед множества
Х открытыми множествами существует конечное семейство
(хе дь
(Ао < А и конечно), являющееся покрытием Х.
Из теоремы
6 получаем
в качестве
следствия
полезное
утверждение.
Теорема 7. Для того чтобы метрическое пространство (Х, 0)
было компактным,
необходимо
и достаточно,
чтобы
из любого мно-
жества замкнутых частей Х, пересечение которых пусто, можно
было выбрать конечное множество частей с пустым пересечением.
< Пусть (Ро)о«д — семейство замкнутых частей Х и [| Рь = в.
aA
Тогда множества G, = X \ Fo OTKpbiTb! B (X, 6). Переходя к дополнениям по формулам (3), п. 1.5, гл. 1, имеем
СПР
aca
=Сб=Х=
|0 СЁ=
acA
VU G.
QacA
CemelicTBo (Ga)aea покрывает множество Х. Применяя теорему 6,
получим условие,
эквивалентное формулировке доказываемого
утверждения.
>
1.13. Связные пространства и связные множества.
Определение 1. Метрическое пространство (Х, р) называется
связны м, если не существует двух таких открытых непустых
подмножеств
А < Хи ВСХ, чт А |] B= XuANB=@Q@.
Эквивалентная формулировка: метрическое пространство (Х, 6)
Ссвязно, если из всех подмножеств множества Х только пустое
множество и само Х одновременно открыты и замкнуты.
Определение 2. Множество Е < Х в метрическом пространстве (Х, о) связно, если связно подпространство (Е, 0).
Определение 3. Метрическое пространство (Х, 0) называется
локально
связных, если
у каждой точки х Е Х есть фиундаментальная система связных окрестностей.
552
Теорема. Часть Е расширенной действительной прямой В, связ-
на тогда и только тогда, когда она является промежутком (ограниченным или нет).
< Необходимость. Пусть Е <- ВиЕ
сввязно, ах и у— любые различные точки множества Ё. Докажем, что справедливо включение
[х, у] < Е. Если бы это было не так, то существовала бы такая точ-
ка гс ]х, И, что 2 @ Б. В этом влучае открытые в В множества
]— со, 2[ и |2, | со[, пересекаясь в Е, делили бы Е на два открытых
непересекающихся
множества,
а значит,
Е
не
было
бы
связным.
Следовательно, [х, и] <- Е. Обозначим а = ШЁЁ, 6 = $1р Е. Тогда,
как только что убедились, множество ЕЁ совпадает в одним из четырех множеств: [а, 6], [а, &, ]а, В], Ja, of.
Достаточность. Пусть Е — промежуток в началом а и концом
в В (возможности а = — о, а@ Еиф = -Н оо, 6 ВЕ не исключаются). Допустим, что Е = В |] С, Рде Ви С — непустые открытые множества в Би В [| С = ©. Пуеть, например, хЕВ, иЕС
их< и.
Пусть 2 = зир (В П [х, и). Если 26 В, то2< у,
и по
предположению существует промежуток [2, 2 -- #], содержащийся
в [х, у] ив В, что противоречит определению 2. Если 2 Е С, тох < г,
и в точности так же существует промежуток ]г — Й, 2] = С П [х, и,
что противоречит определению г. Таким образом, г не может принадлежать ни В, ни С, что противоречит включению [х, у] < Е. Следовательно, Е связно. №
Определение 4. Открытое связное множество называется об ластью.
Определение 5. Область вместе со своей границей называется
замкнутой
областью.
1.14. Предел и непрерывность отображения. Пусть (Х, ох) и
(У, оу) — метрические пространства, {1 Х -> У, х Е Х — предельная точка множества О.
Определение 1. Точка
Е У называетсячастичным пределом отображения | в точке ху, если существует такая последовательность (х„) точек множества О‚, что
(и, ж) Л (УПЕМ хз хо) Л (ИАЦ)
= 9).
Условия
(1) можно
записать
(ох (хи, Xn) > OVA (VEN
Множество всех частичных
обозначим символом Ё; (хо).
(0
в виде
Px (Xo, Xn) > 0) Л (фу (а, [(х,)) > 0).
пределов
отображения
{ в точке Xj
Определение 2. Если множество Е, (хо) состоит из одной точки <,
то она называется пределом
отображения
Хо и обозначается символом Ит
f (x).
|в точке
K—->Xo
Определение 3 (Гейне). Отображение | называется непрерывным в точке %х ЕО,, если Ит ] (х,) = f (Xo) всякий раз, как
п = со
только х„ — № /^\ хЕБ,
УпЕМ. Если отображение | непрерывно УхЕО,, то будем его называть непрерывным.
553
Если % ЕД; и является предельной точкой множества О,,
отображение { непрерывно в точке Хо тогда и только тогда, На
lim [(х) = /(%). В изолированной точке ж Е О, каждое отображение непрерывно.
Отображение, не являющееся непрерывным в точке ж ЕД,, называется разрывным в ней.
Пусть хо — предельная точка множества О,. Она называется точкой устранимого разрыва для отображения, |, если существует
Ит [(х) 6 У. В этом случае отображение [*, определенное формулой
,
М)
f(x), ecmw x € Di {xo},
\
= 1 im [(%) при te Xos
(2)
является непрерывным в точке Xp.
Теорема (о непрерывном образе компакта). Пусть {: Х — У —
непрерывное
отображение
и О; — компакт. Тогда
множество Е;
компактно в себе, т. е. непрерывный образ компакта есть компакт.
<q Рассмотрим произвольную последовательность точек (у,„)и
множества Е; = | (),). Тогда существует такая последователь" ость
(x,), что УпЕ№
x, ED; A у, = [(*,). Согласно определению
компакта, существуют х ЕД; и подпоследовательность (х„,) такие,
WTO Xn, —> Хо При К -> со. По определению непрерывного отображения
имеем Yn, = Ё (ха) — | (%) = % Е Еь что означает компактность в
себе множества Ё;. »>
1.15.
Непрерывность композиции отображений. Пусть (Х, ох),
(У, ру), (2, 2) — метрические пространства, } : Х — У, в: У - 2,
= р
Теорема 1 (о непрерывности композиции отображений). Пусть
отображение | непрерывно в точке
%хЕО,;, а отображение & непрерывно в точке f (xX) € Dg. Toeda композиция & ® | непрерывна в точKe Xp.
q Пусть х, -> х при л-> ® их, ЕШО,.;. УпЕМ. Тогда (у„
=
= 1 (и) — (о) Л Yq € Dg). Mostomyg (y,) > g (fF (x9) при п-> со.
Следовательно,
((g¢ f) (%,) = & Yn)) >
EF (%0)) = (2 A).
>
Теорема 2. Пусть х, — предельная точка множества
Dayo}.
Ecau lim f (x) = уу и отображение 8 : У -> 2 непрерывно в точкв
xX—>Xo
Yo, mo lim
q
X>Xqy
g(f (x)) = g (y).
Полагаем
О -|
Ё(х),
Yo
если
при
хЕБ;
\ {хо},
x=
№.
Отображение |* непрерывно в точке ху. По теореме
5 ‹ [* непрерывна в этой точке. Поэтому
1 композиция
lim (g°f) (x) = lim (g° f*) (x) = (gof*) (%) = & Yo). >
354
1.16. Непрерывность обратного отображения.
Теорема (о непрерывновти обратного отображения). Пусть (Х,
рх), (У, ру) — метрические пространства, }: Х — Уи), — компакт.
Если отображение } непрерывно и обратимо, то {' непрерывно.
<q Пусть (у,) — последовательность точек множества Е, сходящаяся к %ЕСЁ, и © — частичный
предел
последовательности
(Г ' (и,)). Поскольку D,;— компакт, то «ЕШО;. Из непрерывности
отображения ] следует, что} (<) является частичным пределом последовательности (у,) в силу чего { (&) = ши «=
(и). Таким образом, все частичные пределы последовательности (Р" (и,)) равны
НР! (№), т. е. Нш Р' (у) =Р' (0), что означает
fi=- 00
непрерывность
отображения }`' в точке и. Так как и, — произвольная точка множества Е’, то |. ' — непрерывное отображение.
}»
1.17. Предел и непрерывность отображения в смысле Коши.
Некоторые свойства непрерывных
отображений.
Пусть
(Х, ох),
(У, оу) — метрические пространства, }: Х —
Определение 1. //ycmb х, — предельная точка множества О,,
«ЕТ. Точка & называется пределом
в точке хв
смысле
Коши,
если
У=>0
36>0:УхЕР;
отображения
(0<рх(хь х) < 6)>
=> (у (а, 1 (х))< г).
|
(1)
Теорема 1. Определения предела отображения в точке по Гейне
и по Коши эквивалентны.
{ Пусть Им /(х) =@а в
смысле
Коши,
(4-2)
A (%, & Xo
Vne€f\). Torna для указанного B ycnoBuH (1) 6>0
JngEN:
Vni>>ns
0O< px (%, X,) < 5. CormacHo onpenenennio 1, Vn >
>ne
py (a, [| (х.)) < в, т.е. lim f (x,) = %. Получили, что точка
& является
пределом
пы
о
отображения
Предположим, что & = lim
й-х
} в точке ху в смысле
Гейне.
| (х) в смысле Гейне, и покажем, что
© является пределом отображения $ в точке х, в смысле Коши.
Допустим, что это не так, т. е. для некоторого &5 >> 0 нельзя указать соответствующего 6 >> 0 из условий (1) : Уб > 0 3ЗхЕД, такое, что 0 < рх (ж, х) < 6, однако ру (о, [ (х)) > =. Возьмем бесконечно малую последовательность (б„) положительных чисел. По
предположению УпЕ№
3Зх,.ЕД, (х, 5 № УптЕМ№М): 0<px (%,
х„) < 6,, однако ру (а, | (х.)) > ®.
Поскольку
6, = 0 (1),
то
Нш х, = х, откуда должно следовать предельное соотношение
fl—> oo
Ит
f1-+ 00
оу (©, | (х„)) = 0, противоречащее
условию
py (a, f (x,)) > &
УптЕ\М.
Источник противоречия — в предположении, что © не
является пределом отображения ] в точке ху в смысле Коши. p>
Определение 2. Отображение |: Х -> У называется непрерывным в точке
% ЕО; в смысле
Коши, если
У=>0
36>
0: УхЕД,
(рх(хь, х) < 6) 5 (фу (1 (%), [(х)) <®.. (2)
555
Очевидно, что определения Гейне и Коши непрерывности отображения в точке равносильны между собой.
Напомним, что множество У < Х называется окрестностью точКи % ЕХ
(см. п. 1.4), если существует такое открытое множество
<,
что жЕСбс У. Если ж Е Ас Х, то пересечение А ПУ
называется окрестностью точки ху в А (точнее — в метрическом
подпространстве
(А, ох)).
Понятие непрерывности отображения в точке носит локальный
характер. На это указывают следующие утверждения.
Теорема 2 (о непрерывности сужения
отображения).
Пусть
отображение | непрерывно в точке % Е), АСВ; ижЕА. Тогда
f |4 — непрерывное в точке х, отображение.
4 Пусть
х, — x при п — о
(7 | (хи) =
их. ЕА
УпеЕМ.
Тогда
i (x;,)) —-> (f (Хо) — fla (хо),
что означает непрерывность отображения [|л в точке ж. }
Теорема 3. Пусть существует такая окрестность № точки ху
в )‚, что отображение } | непрерывно в точке ху. Тогда отображение |! Х — У непрерывно в точке Xp.
< Пусть х, — x) прил— < их, ЕР,
УпЕе\№. Существует такой
номер
Е №, что Упй> и хЕ№.
Поскольку
(| (Хпо-п) = i lw (Xn --n)) > (7 lw(%p)
=
i (Xp),
To f (x,,) — [ (%) при п -—> со. По определению отображение ] непрерывно
в точке
№.
}
Смысл теорем 2 и 3 состоит в том, что свойство непрерывности
отображения в точке зависит только от тех значений, которые оно
принимает в некоторой ее окрестности.
Сформулируем понятие непрерывного отображения на языке
окрестностей.
Определение 3. Пусть (Х, ох) и (У, оу) — метрические пространства. Отображение Х 13 У называется неп рерывным в
точке
№ЕХ,
если для каждой окрестности У’ точки | (ж) в
(У, оу) существует
такая
окрестность
У точки
ху в (Х, рх),
что
Г(И) < У’. Отображение | называется непрерывным,
если
оно
непрерывно
УХЕХ.
Поскольку
множества
О, (f (X%)) C Y, Os (Xo) @ X являются
окрестностями точек } (хо) и хо, то понятие непрерывности отображения в точке можно сформулировать на языке :- и 6-окрестностей:
отображение Х —- У называется непрерывным
в точке
х СХ, если для каждой окрестности О. {(хо)) <= У существует такая окрестность Оз (х) < Х, что | (Оь (%)) <= Ое { (%)), т. е.
У=>0
ным
35 > 0:УхЕХ
(Ox (Xp, х) < 5) > (ри (1 (х), [(х)) < =).
(3)
Теорема 4. Для того чтобы отображение Х -1.у было непрерывв точке хх Е Х, необходимо и достаточно, чтобы прообраз
г (У’) каждой окрестности У’ точки | (хо) в (У, ру) был окрестностью точки ху в (Х, ох).
556
<q Необходимость. Если отображение | непрерывно в точке ху,
то из определения 3 следует, что жеЕУ<[ (У’), следовательно,
прообраз Г" (\”) является окрестностью точки хо в (Х, Px).
Достаточность.
Если
№ ="
(У’) — окрестность точки ж в
(Х, ох), то существует такое открытое множество С, что жЕС < Я,
в силу чего У’ >] (0). №
Теорема 5. Пусть Х —- Уи
Е Х — точка прикосновения множества А < Х. Если отображение | непрерывно в точке хо, то
f (%9) — точка прикосновения множества [(А).
{ Если У’ — окрестность точки |} (хо) в (У, оу), то по теореме 4
Г (У’) — окрестность точки хо в (Х,`ох). Так как х, — точка при-
косновения множества А, то А | [' (У’) == ©. Следовательно,
существует точка ХЕ А ПР" (У’), в силу чего } (х) ЕЁ (А) П У’,
т. е. множество f (A) [Г] У’ непустое. Поскольку У’ — окрестность
точки f (Xo), TO последняя является точкой прикосновения множества
А).
I ChePrromes утверждение носит глобальный характер.
Теорема 6. Пусть Х 1. у. Следующие свойства эквивалентны:
1) Е непрерывное отображение;
2) прообраз
' (С) каждого множества С, открытого в (У, py),
открыт в (Х, ох);
3) прообраз [`' (Е) каждого множества Е, замкнутого в (У, бу),
замкнут в (Х, ох);
4) для каждого множества А < Х справедливо включение } (А) <
= 7 (А).
<q Докажем, что справедлива цепочка импликаций
1) =>
4) >
=> 3) > 2) >10.
Пусть отображение } непрерывно и А <
жество, А — его замыкание, состоящее по
чек прикосновения множества А. Если хЕ
ния множества А, то по теореме 5 [(х)
множества } (4). Поэтому [(А) = (А) и
Если выполнено
(У, ру),
А=Р'
1) = 4).
условие 4) и Е < У — замкнутое
(РЁ),
<
(Р) =А итак
4) > 3).
Пусть выполнено
имеем
Х — произвольное мноопределению из всех тоХ — точка прикоснове— точка прикосновения
то
1(А) < Е=РЕ.
множество в
Следовательно,
как А < А, то А замкнуто. Таким
условие
3). Согласно
теореме
п.
А<
образом,
1.8,
гл.
1,
f~ (int F) = Ff (FX GF) =f (F)\ FTF) = int fF" (F).
Следовательно, 3) => 2).
Осталось установить, что 2) => 1). Пусть выполнено уеловие 2).
Если У’ — окрестность точки | (х) в (У, оу), то существует открытая
окрестность №” <- У’ этой же точки. Прообраз Г
(№) является
открытым в (Х, рх) множеством, содержащим точку х и содержащим-
‚ 557
сяв{ | (И’). По теореме 4 отображение } непрерывно в точке х Е Х.
Поскольку х — произвольная точка, то } — непрерывное отображе‘ние. }>
Заметим, что образ открытого (соответственно замкнутого) множества при непрерывном отображении, вообще говоря, не будет
открытым (соответственно замкнутым).
Например,
отображение
x +» x’, ХЕ В, непрерывно в В, однако образ [0, [ открытого множества | —1, 1[ не является открытым.
Теорема
7. Пусть ee ox), (Y, py), (Z, 02) — метрические пространства, Х —- У, У =. 2. Если отображение | непрерывно
в точке
Хо и 6 непрерывно в точке | (хо), то композиция В = во} непрерывна
в точке хо. Если | непрерывно в Х и © непрерывно в У, то композиция
й непрерывна в Х.
Второе утверждение следует из первого. Пусть ИУ” — окрестность точки Й (хо) = & ({ (х)) в (2, 02). Тогда из теоремы 4 и предположений следует, что 5—! (У”) — окрестность точки } (хо) в (У, оу)
и Г (2! (У”)) — окрестность точки ж в (Х, 0х).
Поскольку
Г (=! (У")) =Ё"' (У”), то отсюда следует, что прообраз В" (У”)
каждой окрестности У” в (2, 02) является окрестностью точки Xo
в (Х, рх). Согласно теореме 4, отображение А непрерывно в точке
Хо.
№
1.18. Равномерно непрерывные
отображения. Пусть (Х, ох),
(У, оу) — метрические пространства, Х ty,
Определение. Отображение | называется равномерно
непрерывным,
если У> 036 >> 0:
У (х: ЕХ,
х.ЕХ)
(рх (хи, х,)
< 6) >
(у (1 (5%), [(%)) <=).
(1)
Очевидно, что равномерно непрерывное отображение является
непрерывным. Обратное утверждение, вообще говоря, несправедли-
во. Например,
функция
х „= х?, хЕ В,
не является
равномерно
не-
прерывной, так как для данного В >> 0 разность (х -+ 1)? — х? =
-= Й (2х -- В) может принимать сколь угодно большие значения.
Теорема
1. Для любого непустого множества
А <
Х отображе-
Hue xt» p (x, A) равномерно непрерывно.
< Справедливость утверждения следует из определения равномерно непрерывного отображения и неравенства
| О (X1, A)
—
(Xp, A)
| <>
ох (ху,
Хз),
выполняющегося У (х ЕХ, хЕХ)
(см. п. 1.3). №
Теорема 2. Пусть (Х, рх), (У, р») (2, ог) — метрические пространства, Х 1. у, У -2- 2. Если Ги с — равномерно непрерывныв
отображения, то отображение ХИ,
2 равномерно непрерывное.
Пусть г > 0. Тогда 31 > 0:
У (ЕТУ,
у ЕУ)
(ру (иль у) <") = (02 (8 {91), & (42)) <=)
(2)
(в силу равномерной непрерывности отображения #8). Так как отображение [ равномерно непрерывное, то для указанного
1 >> 0 су228
ществует такое
6 >> 0, что
У (мЕХ,
XgEX)
У (м ЕХ,
хЕХ)
Из (2) и (3) получаем,
(Ox (X45 Xe) < 8) > (фу (1 (1),
что У = > 036>>
[(%)) <").
0:
(3)
(фх (ха, х) < 6) > (02 (й (х\), В (х.)) < ®),
т. е. отображение А равномерно непрерывно. p>
Теорема 3 (Кантора). Лиусть (Х, ох) и (У, оу) — метрические
пространства. Если (Х, ох) компактное, то любое непрерывное отображение Х Ч. у равномерно непрерывно.
<q Предположим, что при выполнении условий теоремы отображение
{ не является равномерно непрерывным. Тогда существуют такое
&, > 0и две последовательности (х„), (у„) точек пространства (Х, ох),
1
TO
Px (Xas Yn) <—,
y
OMHAKO
py (f (%,), F Y,)) S &. Halinerca
под-
последовательность (х„,), входящаяся к некоторой точке жЕХ (в
силу компактности пространства (Х, рх)). Поскольку рх (хл,, Ут,) <
<=
Е —
1
И
Ox
со. Так
(Xo;
Yn,)
<=
Ох
(Xo;
как отображение
Xn,)
+
Ox
(т,
] непрерывно
Yn,)s
ванного выше & >> 0 существует 6 > 03 УхЕХ
> (ov (Р (%), Г (х)) < =.
ох (Хо, Хл,) < 6
и
TO
Yn,
—
Хо
в точке ху, то для
при
ука-
(ох (%, х) < 5) >
Возьмем
номер
REQ,
при
рх(ж, Yn,) <6.
Гогда
ру { (х„,),
котором
[(Ул,))
<
< ри (7 (%,), [ (%)) -Р ру (1 (%)), Г (у",)) < =, что противоречит оп-
ределению последовательностей (х„) и (и,). №
1.19. Гомеоморфизмы. Эквивалентные расстояния.
рх) и (У, ру) — метрические пространства.
Определение
1.
Биективное
отображение
—1
f
Х <> У
Пусть
(Х,
называется
гомеоморфизмом,
ебсли{и Г
непрерывны.
Такие отображения называются взаимно непрерывными. В этом
случае обратное отображение {`' является гомеоморфизмом У нах.
Теорема 1. Пусть (Х, ох), (У, оу), (2, 02) — метрические
8
пространства, Х <> У, У <> 2 — гомеоморфизмы.
Тогда
зиция В = ве} является гомеоморфизмом Х на 7.
компо-
<q По теореме 7, п. 1.17, биективное отображение Х <> 7 непрерывно. Пусть хь Е Х. Согласно теореме 4, п. 1.17, прообраз й" (У”)
каждой окрестности И” точки Й (хо) = (2+
(х)в (0, 02) являет—1.
ся окрестностью точки ху в (Х, ох). В силу этого и биекция { <> Х
непрерывна в точке Й (х,). Поскольку х, — произвольная точка,
—1
то /`
— непрерывное отображение. }
Гомеоморфизм может не быть равномерно непрерывным, напри-
мер
1
К <> В, где ] (х) = х3.
559
_ Определение 2. Метрические пространства (Х, ох)
называются
гомеоморфными,
если существует
;
физм
ХУ.
Теорема 8. Два метрических пространства,
третьему, гомеоморфны друг другу.
<” Если пространства (Х, ох) и (У, рь) гомеоморфны
|
и (У, ру)
гомеомор-
гомеоморфные
пространству
(0, 02), то существуют гомеоморфные
отображения
Х =>
и
в
_
У «<› 2. Отображение 2 <> У гомеоморфное. По теореме | композиция 5 о | является гомеоморфизмом Х на У. p>
’
Из определения изометрии следует, что она является гомеоморфизмом.
`Пусть (Х, 01) и (Х, 0.) — метрические пространства. Если
тождественное отображение х+-> х является гомеоморфным, то
р: и ©. называются эквивалентными или топологически эквивалентными
расстояниями
в Х.
Из теоремы
6, п.
1.17,
видно,
что в этом
случае в (Х, р!) и (Х, 0.) совпадают семейства открытых множеств.
Топологией метр ического ‘пространства (Х, ох) называют семейство
открытых множеств в нем. Эквивалентные расстояния порождают
одну и ту же топологию. Окрестности, замкнутые множества, точки прикосновения, замыкания, внутренность множества, множества внешних точек, плотные множества, границы, непрерывные
функции являются топологическими понятиями. Топологические
свойства метрического пространства инвариантны при гомеоморфизмах. Понятия шаров, сфер, диаметра, ограниченного мпожества, равномерно непрерывной функции не являются топологичеCKHMH.
Пусть (Х, р!) и (Х, р.) — метрические пространства. Если
тождественное отображение х „> х непрерывно по метрике р. и разрывно по метрике р, то в этом случае топология пространства
(Х, 0.) называется более сильной, чем топология пространства
(Х, ©). Например, если Х = К, р, — дискретная метрика (см.
п.
1.1), оз (х, у) =|х—и|
У (хЕВ,
странства (В, о.) сильнее топологии
уЕК),
то топология
пространства (В, .).
про-
Упражнения
1. Пусть (Х, рх) и У, ру) — метрические пространства, Х т.
что следующие условия эквивалентны:
а), непрерывное отображение;
6) для каждого множества
В <- У имеем Г" (шё В) сз 1
в) для каждого множества В <
2. Пусть (Х, р) — метрическое
== (хХЕХ|р(х,
замкнуто.
У. Доказать,
(Г
У имеем }` ' (В ег 1 (В).
пространство, 4 < Х иг>
(В);
0,
|
И, (4) =
А) <г}. Доказать, что У (Аз Х, г>> 0) множество
Указание.
Применить
теорему
1, п.
1.18.
У, (А)
3. Пусть (Х, р) — метрическое пространство, А <: Х и Ва Х — непустые
560
множества, для которых А П В= А (| B= ©. Доказать, что существуют такие открытые в (Х, 0) множества С, > А и 0, > В, что Су [| Ц. =
Указание,
Рассмотрите отображение хн> р (х, 4) — р (х,
В).
4. Пусть (Х, ох) и (У, ру) — метрические пространства, Х —-+ У — непрерывное отображение, (С,
); с „ — покрытие множества У открытыми множествами.
Доказать, что если УЛЕ А сужение /| цв)
{ — гомеоморфизм
Х
на
есть гомеоморфизм на С), <= У, то
УТ.
1.20. Произведение двух метрических пространств. Пусть (Х\,
ох,), (Хх, 0х,) — метрические пространства, Х == ЛХ, Х Х,, х =
= (и, у.) 6 Х — произвольные точки. Полагаем
— (х1, х2) © Хииу
Ox (x, y= max {Ox, (%1, Yi), Ox, (Xa» Yo)}Расстояние
тельно,
ох удовлетворяет
всем аксиомам
(1)
метрики. Действи-
(px (x, y) = 0) > (Px, (X15 ¥1) = 9 A Ox, Xa» Ya) = 9) >
Условие
=> (1 = и: Л Xo = Yo)
> (x = y).
ох (х, и) = Ox (y, х) выполнено, поскольку
ох, (хи, И1) = ох, (Ул, Х1) и ох, (Ха, Уз) == Ох, (Уз, Хо).
Проверим
==
выполнение
(21, 2.) Е Х.
Так
как
неравенства
ох,
(ха,
треугольника.
И1) <
ох,
У1),
ОХ, (хо,
Ox, (Xa, Yo) < Ox, (2, 22) + PX, (Zar Yo), TO
О (х, у)
— тах (ох, (%1,
< тах {рх, (хи, 21) - рх, (21, #1),
< шах (ох, (1, 2),
(%1,
Пусть
21) -Е ох,
2 =
(1,
и),
Уз)} <
рх, (Х», 22) - рх, (2, у2)} <
ох, (Хз, 25)} -- тах (ох, (21, И1), рх, (2, Из)} ==
= 0x (x, г) -Е рх (2, 1).
Определение. Метрическое пространство (Х, ох) называется
произведением
пространств (Ху, ох,) и (Х», ох,).
Легко проверить, что расстояния в Х, определяемые формулами
р (х, и) = рх, (жи, И) + х, (х»» И),
eX (x, у) = Ибх, (хь YD) + (x, (has Yo))*s
также удовлетворяют
неравенств
аксиомам
метрики.
Справедлива
ox(x, y) <p (x, у) < 6% (х, и) < 9рх (х, и),
(2)
(3)
цепочка
(4)
в связи с чем расстояния р® и р® называются равномерно эквивалентными расстоянию ох. Это означает, что во всех вопросах, относящихся к топологическим свойствам, а также к фундаментальным последовательностям и равномерно непрерывным функциям,
безразлично, какое из расстояний (1) — (3) брать в Х.
19
337
561
Теорема 1. Для
имеем
любой
О,
точки
(а) = О,
а = (а, а.,) Е Х
(a)
x О,
и любого г>0
(аз),
(5)
где О, (а), О, (а1), О, (а) — соответственно открытые шары в метрических пространствах (Х, ох), (Ху, ох,), (Ха, ох,).
<
Имеем
O, (4) =
{x4 Е xy |ох, (@1, %4) <r},
O, (ag) = {2 €X_] Px, (Ag, X2) <7},
O, (a1) X O, (a2) = {(%1, %2) EX, X X,| max {ex, (Q, %4), Px, X
X (dg, х,)} < г} = {ХЕХ [рх (а, х)
< !г} = 0, (а).
Следствие.
№
Бсли О, (а), 0, (а), 0, (а) — замкнутые ша-
ры соответственно в пространствах (Х, Px), (X1, Px,), (Xe,
0, (а) = O, (a,) X O, (a).
Теорема
метрического
пространств
но в точке 2,
fy
Px,), то
(6)
&. Пусть 2н= | (г) = (Н (2), fe (2)) — отображение
пространства (2, 02) в произведение метрических
(Ху, ох, и (Х., ох,). Для того чтобы | было непрерыв.
Е 2, необходимо и достаточно, чтобы отображения
7-Х 1и2 > Х, были непрерывны в этой точке.
Необходимость.
Пусть — непрерывная
функция, }(2,) =
— хо = (Н (2%), № (25)) Е Х, Х Х,Ь, 0, (х) — окрестность точки хо
в пространстве (Х, рх). По теореме 4, п. 1.17, ее прообраз
Г! (О, (х0)) является окрестностью точки 25 в пространстве (2, р»).
Согласно теореме 1, имеем
Убедимся,
O, (Xo) = О, (Ё, (2%) Х О, (ЁЬ (2).
(7)
Г" (0, (ж)) = fr (Or (Fx (20))) 1 Fo (Or (Fe (20)))-
(8)
что
Действительно,
если
26 КР"
(О, (х,)),
то
(1 (2) ЕО, (%)) => (Fi, (2) € O, (F1 (Z0)) A. Fa (2) € 0, (Fa (2) >
=> (z€ fi (0, (f, (20) A 2 Efe (O, (Fe (20) >
=> (z€ fr’ (O, (fx (20) M Fa" (O, (Fa (20)))) >
> (Г' (0, (ж)) = Е (O, (Fx (20))) N Fa" (O; (Fe (2)))).
Если г ЕЙ ' (0, ( (2о))) ПБ” (O, (fe (20))), то
(гЕР' (О, (11 (2%) Л 26" (0, fa 2)))) > (fa (@) € Or (Fr (2a) A
ЛЬ ЕО, (Fa (20))) > (F (2) €O, (Fr (20) X Or (fa (20))) >
=> (1 (2) 60, (ж)) > (6 Г (0, (ж))) > (В (Or (fi (20) П
(1 fr’ (Or (fa (20))) < F* (0, (x0))).
562
Из
РГ
полученных включений следует
(О, (ж)) — окрестность
точки 2
fr
(O, (fi (2o)));
fa
(0, (72 (29)))
равенство (8).
В (0, 02), то
также
являются
Поскольку
множества
окрестностями
этой точки, в силу чего отображения [; и }, непрерывны при г = 2.
Достаточность. Если отображения Н и р непрерывны в точке
г, то множества Ё' (О, (1 (2о))), Ь (О, (Р (20))) являются окрест:
HOCTAMH Zp B пространстве (0, 02). По теореме 5, п. 1.4, их пересечение — множество Г (О, (хо)) — окрестность точки 25. $
Теорема 8. Пусть г н= | (2) = (f, (2), Ь (2)) — отображение
метрического пространства (2, 02) в произведение метрических
пространств (Ха, ох,) и (Х., ох,). Для того чтобы { было равномерHO непрерывно,
необходимо и достаточно, чтобы отображения
hi
Z—>X,uZ > Х., были равномерно непрерывны.
< Утверждение следует из определений равномерно непрерывного
отображения и произведения двух метрических
пространств. P
$ 2. Основные
анализа
принципы
функционального
Тремя основными принципами функционального анализа принято
называть теоремы Хана — Банаха (принцип продолжения), Банаха — Штейнхауза (принцип равномерной ограниченности) и Банаха об обратном операторе (принцип открытости отображений).
Для доказательства указанных теорем нам понадобятся некоторые
вспомогательные понятия и результаты.
В п. 1.1 указано, что каждое нормированное векторное пространство Ё превращается в метрическое, если для любых элементов
x€E u иЕЁЕ
расстояние между ними определить
равенством
о (х, у) =|х— |. Поэтому все понятия и результаты, изложенные в & | и относящиеся к метрическим пространствам, автоматически переносятся на векторные нормированные пространства.
2.1. Линейная зависимость. Базис. Пусть Е — векторное пространство над полем [К. Напомним (см. п. 10.5, гл. 9), что семейство
(хе! элементов из Е называется линейно независимым, если из
равенства
У, ах, = 0, где А — любое конечное подмножество
‘EA
в [ис
Е К, следуют равенства ©; = 0
чае семейство
(х;):<!
называется
УТЕА.
В противном слу-
линейно зависимым.
Свойство
ли-
нейной зависимости или независимости семейства сохраняется,
если его элементы переставлены каким угодно образом. Каждое
подсемейство линейно независимого семейства также линейно независимо. Ни один элемент линейно независимого семейства не может
быть
нулевым
и х, == х,
при
#52 |.
Если
хЕЁЕ
A
x #0,
To
ce-
мейство {х}, состоящее из одного элемента х, линейно независимо.
Если Е = {0}, тов Е нет непустых линейно независимых семейств.
Предположим, что в векторном пространстве Е существует линейно
19*
независимая
система
векторов
ев, е., ..., ее
и нет
никакой
563
линейно
независимой
системы,
состоящей
из большего,
чем п,
ко-
личества векторов. Тогда говорим, что Е есть п-мерное векторное:
пространство, а число п называем его числом измерений или размерностью и при этом пишем Чт Е = п. Если же векторное пространство Ё содержит бесконечное семейство линейно независимых
элементов (х!):с1, то Е называется бесконечномерным. Такие пространства рассмотрены в гл. 9.
Определение. Гиусть Е — п-мерное векторное прострачство над
полем (К. Всякая линейно независимая система, содержащая п векто-
ров
из Е, называется базисом
этого пространства.
Теорема. Если ет, ео, ..., е, — базис пространства Е, то всякий вектор хЕ Е единственным образом может быть представлен
в виде линейной комбинации
х = У хе.
(1)
i=
Однозначно определенные коэффициенты x, (i = 1, п) называются
координатами
вектора х относительно базиса ет, ео, ..., ел.
{ Поскольку в Ё не существует линейно независимой системы, состоящей из п -|- 1 векторов, то система х, е., ..., е, зависима, тогда
п
как
система
е/, ...,е.
линейно
независима.
Поэтому
n
Если
бы
существовало
еще
одно
представление
Хх =
х = У, xe.
i=l
У,
{—=1
Yieis
ТО
ПО-
п
лучили
бы,
что
У
t=!
(х\ — и) е, = 0,
откуда,
вследствие
независимости системы ви, ео, ..., е,, вытекает,
=IlI,n. >
2.2. Эквивалентные
нормы
в
линейной
что х = у
нормированных
Vis
векторных
про-
странствах.
Определение. Лиусть Е — векторное пространство` над полем
К (К = В или К = С) ив Е двумя способами введены нормы | |1,
| |5. Они называются эквивалентными,
если существуют
такие
числа
с! > 0, с. >
0, что
хх
Теорема. В конечномерном
лем К
(К =
В или К = С)
УхЕЕ
ох.
векторном
(1)
пространстве Е над по-
любые две нормы
эквивалентны.
4 Выберем в Е базис е, ..., е„. Тогда УхеЕ
значим
через | х| заданную
нормув ЕЁ и
Тогда
хе.
Обо-
полагаем 1х1. = = max
| x; [.
l<i<n
п
1х =
Ха
|<
У
ие
< <>)
< Vel xh.
{=|
564
х= х
ll ex | [пах | % [<
2
п
Полагая
с = У! |е|,
t=]
получим
неравенство
|x] <el] xh.
(2)
Оценим |х| снизу. Рассмотрим тождественное отображение х +> x
векторного пространства (Ё, | |1, --, -) на векторное пространст:
во
(Е, |
|,
38 =--
-+,
*).
Оно
непрерывно
УаЕЁ,
поскольку
У # >0
> 01
УхЕЕ
(х—а| < 0) > ха
ех—ар <=).
(3)
Согласно теореме 6, п. 1.17, прообраз любого замкнутого множества
в Е замкнут, т. е. любая часть Ё < Е, замкнутая в метрике о, порожденной нормой |
|, замкнута и в метрике р:, порожденной
нормой | |. В частности, шар О, (0) = {хЕЕ]|х| < г}, будучи
замкнутым в метрике о, замкнут и в метрике о,. Рассмотрим единичную сферу $, (0) = {хЕЁЕ||[х|1 = 1}, являющуюся некоторой
замкнутой и ограниченной по метрике р, частью ЕЁ, т. е. компактной
частью. Пусть Е, — пересечение $, (0) с шаром О, (0), замкнутое
по метрике р,. Это — некоторая замкнутая часть компакта S, (0).
Рассмотрим семейство всех замкнутых в метрике о шаров (0, (0)) nea,
радиусы которых удовлетворяют неравенству го
< г. Очевидно,
что
[|
acA
О,., (0) == {0}, а пересечение
Fo, = O,, (0) Г] 5$, (0) — зам-
кнутое в метрике р, множество У «Е А. Поскольку сфера 5, (0)
не содержит начала координат, то п, Ра = П (О, (0) П $, (0)) =
= (0
чЕА
Or, (0))
ие“
иеА
Й 5, (0) = ©. Согласно теореме 7, п. 1.12, сущест-
вует такое конечное семейство (ЁРа)аедсл (А, — конечное множество), что [| Ро = @. Отсюда следует существование такого гу >> 0,
AEA,
что 0, (0) П 5, (0) = ©. Тогда из условия |х | < го следует не-
равенство |х|, < 1. Действительно, если бы было не так, то
нашлась бы точка х, Е О, (0), удовлетворяющая условию || хо |! >
> 1. Взяв А = Tuy?
Получили
бы, что | Ах | < № < 1 Л
0 1}
Л [Аж |, = 1, а это противоречит условию О,, (0) П 5; (0) = ©.
Пусть х Е Е — произвольное. Выберем такое 1 >> 0, чтобы выполнялось
неравенство
At
< 10.
Тогда
ah
<lul|l«h<ps<
< 1, если p> Ul . Таким образом, принимая во внимание неравенство (2), получаем двустороннюю оценку
ох хр,
из которой следует, что нормы |
|и|
(4)
[: эквивалентны. Поскольку
отношение эквивалентности норм транзитивно, то из доказанного
следует, что все
ны. >
нормы
в векторном
пространстве
Е
эквивалент563
Доказанное свойство не переносится на бесконечномерные векторные пространства.
2.3. Линейные операторы и функционалы. Пусть Б и Е — векторные пространства над полем К (К = В или К = (С).
Определение.
Отображение
отображением
или
если У (х ЕЕ, УЕЁЕ, ^ЕК)
U
Е -> Е называется
линейным
линейным
оператором,
U(x + y) =U (x) +U (y) (ceoticmeo addumuenocmu),
О (^х) = № (х) (свойство однородности).
(1)
(2)
В частности, когда Ё = [К, отображение И называется линейной
формой или линейным функционалом на Е.
Рассматривают также линейные отображения вида А и. Е, где
АЕ — векторное подпространство.
Из условия (2) получаем, что И (0) = 0.
Обозначим через % (Е, F) множество всех линейных отображений пространства Ё в Р. Оно превращается в векторное пространство
над полем К, если У (ИСХ (Е, Р), УЕ@®
(Е, Е),
(U+V)
(x) =U (x) +V(x)
(AU) (x) = AU (x)
АЕК)
полагаем
VEE,
(3)
УхЕЕ.
(4)
В частном случае, когда F = К, вместо & (Е, К) пишут Е*
и называют пространство Е* алгебраическим сопряженным к ЕЁ.
U
Линейное отображение Е <+ Р называется линейным изоморфизмом Е на Р, а сами пространства Е и F называются линейно изоморфными.
Если О — линейное отображение, то будем писать Их вместо
U (x) (по аналогии с записью линейной функции из В в В).
2.4. Ограниченные линейные операторы. Норма линейного оператора. Связь между непрерывностью и ограниченностью линейного
оператора. Пусть Б и Е — нормированные векторные пространства,
U
og
Е —- Е — линейный оператор.
Определение 1. Линейный оператор Ц называется ограниченны м, если существует такая постоянная С Е В, что
Ох
УхЕЕ.
Поскольку ИхЕЕ ихЕБ, то нормы
соответствующих пространствах.
Определение
Наименьшая
2. Пусть
И — линейный
|Их| и
(1)
|х|
ограниченный оператор.
оператора
ЦИ и обозначается || U |.
Из определения нормы линейного оператора И следует,
следующими
свойствами:
1) |191 191
УхЕЕ;
2) У=>0 ЗЕЕ: [Ч ж|> ПЧ] -— e)] rel.
566
в
из постоянных С, удовлетворяющих условию (1), назы-
вается нормой
обладает
берутся
что | И |
Теорема 1. Для любого
справедливы соотношения
ограниченного
линейного
оператора
| Ux |
|U| = sup [Ux]
= sup Ty.
< Если |х| < |, то из
в силу которой
ловя
(2)
1) получаем оценку
| Их |< | (|
sup |Ux|<] U|.
(3)
Ilx||<]
Пусть
¢ > 0.
Согласно
условию
x,
— =) | х. |. Полагаем уг =
2),
Зх ЕЕ: | Их, | > (| U | —
т. Тогда | уз | = 1 и справедливо нера-
=
венство
sup [Ux] > |Uyel.
(4)
[91
Так как оператор (И линейный, то
бл = тж
Принимая
во внимание
1-Е И
неравенства
ность выбора = >> 0, убеждаемся
Эх
=
(4) и (5),
а
в. = (5)
также
произволь-
в справедливости оценки
sup |Ux | >|].
(6)
Сопоставив неравенства (3) и (6), получим (2).
Теорема 2. Линейный оператор И непрерывен
тогда, когда он ограничен.
Пеобходимость.
И
Пусть
И —
непрерывный
тогда
линейный
и только
оператор.
Предположим, что он не является ограниченным. Тогда найдется
такая последовательность (х„) элементов из LE, uTO Vn EN
Иж, >a] xl.
Полагая у„ =
т—Г›
(7)
1
получим,
что [у„|=-=-0
при
п— со.
В
силу непрерывности оператора И должно выполняться предельное
соотношение Пт Пу, = ( (0) =0,
противоречащее неравенству
п
оо
| Оу, | > 1, следующему из (7). Источник противоречия — в предположении, что оператор И не ограничен.
Достаточность. Если оператор И ограничен, то ЗСЕ В:
Пусть
JUx|<Clx]
х„-> ох. Это означает,
Vxeek.
что |х,— х|-0
(8)
при п -> со (см.
п. 9.4, гл. 9). Тогда | Их, — Их | = ОИ (ми -— |<]
—x|—
— 0 прип -— оо, т. е. Их, — Их и оператор И непрерывен в каждой
точке
хЕЁ.
>
Если Е — конечномерное нормированное пространство, то каждый линейный оператор
ИЕФ (Е, ЁР) равномерно непрерывен.
Действительно, поскольку все нормы в конечномерном пространстве
567
Б
эквивалентны,
некоторый
|<
=
max
|[x,|,
<<
ном
то
для
доказательства
базис е|, ..., е, и определим
базисе.
утверждения
УхЕЁЕ
введем
норму
в
Е
равенством
rae x, (7 = 1, п) — координаты точки в выбран-
Тогда
У (м ЕЁ,
х. Е Е)
|Ux, —Ux,|| = |U (x, — x4)
n
di=! (xt) — xt”) Ue,
получим
= | U (
< (x
t=!
(xf? — x?) =
-
| Ue, ) ‘max (xi? —xP | =
<t<n
=Cly—% C= i=3 Ша. ,:
Пусть
=>0.
Тогда
У (м ЕЁ,
95 =
жЕЕ)
> 0;
(2х —ж|< 6) > (Ux, —Ux,] <8),
т. е. оператор ( равномерно непрерывен.
Если пространство Е бесконечномерное, то высказанное утверждение теряет силу: в этом случае существуют линейные разрывные отображения.
2.5. Ядро и образ непрерывного линейного отображения. Пусть
Е и Е — векторные пространства над полем [К (К = В или К =
= С), (СФ (Е, В.
Определение. Ядром
отображения
ЦИ
называется
прообраз нуля пространства Е, т. е. множество всех таких х ЕЁ,
что Их = 0.
Ядро отображения {С & (Е, Р) обозначается символом ker U.
Takum
o6pa3om,
ker U = U7" ({0}).
Пусть х Е Кег (0, иуЕ Кег 0, ЛЕК. Поскольку
то в силу
свойств
аддитивности
|
Их = ди
и однородности
Оу = 0,
отображения
И
umeem (U (x + y) = Ux + Uy = 0) > (x + y) Eker U), (U (Ax) =
= AUx = 0) => (АхЕ Кег 0). Следовательно, ядро линейного отображения (И является векторным подпространством пространства ЕЁ.
Образ
отображения
ИС &
(Е, Г)
также
является
некоторым
подпространством векторного пространства Ё. Размерность этого
подпространства называется рангом отображения И. Если Е и ЁР
конечномерны и если в этих пространствах выбраны базисы, то линейному оператору И соответствует некоторая матрица. Ранг отображения (И равен рангу этой матрицы.
Если пространства Е и Е нормированы, а отображение
(Е
С (Е, Р) непрерывно, то множество Кег (И замкнуто как прообраз
одноточечного множества {0} < F, являющегося замкнутым.
2.6. Полилинейные формы в векторных пространствах. Пусть
Е — векторное пространство над полем [К (К = В или К = (),
Е" = Е ХЕХ...
ХЕ.
Т
¥
Определение. Отображение Е" —- [К называется п-линейной
568
формой
(п-линейным
отображенцем в поле скаляров, тензором), если оно линейно по каждой переменной.
Линейность отображения Т по первой переменной означает,
ЧТО
V
ТА
(x,
СЁ,
х
СБ,
х. ЕЁ,
Ht yds Xap vee
ooey
Xn, € E,
ЕК,
Mg) = MT (Xp cee
и:
ЕК)
а) + ИТ (9 Kay oe 0 9 Xp)
(1)
Аналогичный смысл имеет свойство линейности по остальным переменным. В частности, линейность по последней, п-й переменной
означает, что У (x, CE, ..., ли 6 В, м ЕЁ, xn € E, Mn EK, Ba EK)
T (X1, Xo,
eee»
Xnmty
+
MpX_
unt
Ц, Хи) = А, Г
(жму...
Хх)
в
(X15
ое)
Xn—1)
Xn).
(2)
Если значение п не играет роли или оно фиксировано и из текста
ясно, о чем идет речь, то вместо п-линейной формы говорят о полилинейной форме. Иногда говорят об п-форме, подразумевая под этим
.
Т
п-линейную форму
Е" —-
К. Множество всех п-форм обозначим сим-
волом 9`„ (Е). Обозначение связано с тем обстоятельством, что часто
¥
T
п-линейную форму Е" —- К называют ковариантным тензором порядка п в пространстве Ё.
Рассмотрим примеры.
ция
Пример 1. Пусть ЕЁ = К = КЮ. Тогда 1-форма Т` есть обычная линейная функодной
УхеЮ
действительной
(Л6Ю).
В
переменной,
определяемая
частности, функции х н> 2х, x b> >
правилом
Т (х) = Ax
хн> У 2х, хн> х явля-
ются 1-формами. Они из множества #7. (Ю),
Пример 2. Пусть ЕЁ = К =
К, п= 2, Тогда 2-формы Т — это функции вида T (x1, 2) = Ах
VW (x, € IR, x € R) (ER). B sactnoctn, 2жхе, 5х1хь, — 1х.
Kak (PYHKUHH OT X, H X_ eCTb 2-формы, которые чаще называют билинейными формами. Все они из множества Я. (®).
Пример 3. Пусть Е = К?, К = К, п= |. Отображение К? т. К, являющееся
1-формой,
есть обычная
линейная
функция
двух
переменных,
Она
имеет
BHA T (x1, %_) = Мм -- Ах,
У
ЕЮ, жЕ Ю), где № и ^, — фиксированные
действительные числа. Ни одна из них, ва исключением очевидного случая А! ==
— А, = 0, не является
2-формой
(билинейной
формой).
Действительно,
Т (2х1,
ха) = QyXy + Ах 5 2T (x1, Xp) = 2Ayxy + 2А.х. при х, =^ 0, если Л, =2 0. Аналогично если А/ = 0, то Т (ж1, 2х2) 5- 2Т (ж, хо) при xX, 52 0. Указанные отображения из множества 9. (Ю?).
Пример
форма
4. Пусть
Е = Ю, К = К, л=
(трилинейная форма),
3, Отображение
если она имеет вид Т
КЗ Т-в
есть
(ху, хо, хз) = Амлхж
3-
У (Е
ЕК, х. Е К, жЕ К), где А — фиксированное действительное число. Других отображений в множестве Й. (®) нет. Действительно, если ТЕ ZF; (IR), To
Г (x1,
Xa,
Хз) —
xT
(1,
№,
хз) =
X4X_T
(1,
1, Хз) == 423 Г
(1,
1,
1).
Значит в качестве А можно взять Г (1, 1, 1).
2.7. Операции над формами. Превратим множество 9’, (Е) в
векторное пространство над полем [К, определив операции сложения
форм и умножения их на скаляр по правилам, принятым для функ569
ций, т. е. если Т, 6 9, (Е), Т. ЕЯ, (Е), то
(Ty
ТТ.) (жи... , ХЕ
Т, (а, инь жа)+
+ ТГ, (ж»'..., ж)
(AT) (xy ..., ЖА,
Предлагаем
читателю
УаЕБ,
.,х)
..., ЖЕЕ),
(1)
УСА, ... ЕВ, ЛЕЮ.
в качестве
упражнения
что (Т, -- Т.) ЕЯ, (Е) и (^Т) Е 9„ (Е),
векторным
пространством.
после
убедиться
чего
9, (Е)
Для полилинейных форм, как и вообще для функций
переменных, полезна операция прямого умножения.
Определение.
дением
форма,
хт © Е)
(ТХ
Лусть
Т Хэ
п-формы
ТЕУ„
Т
определенная
5) (м,
(Е),
$569,
и т-формы
правилом:
$
(Е).
У (ЕЕ,
Прямым
называется
0009 Sav Xiy eee y Xm)
= T (Xq, 002,
(2)
в том,
станет
многих
произве-
(п - т)-
жЕЕЁ, ..., tA € E,
Xp) S(Xt,
vey Xm)
Предоставляем читателю возможность убедиться
в TOM,
(ТХ 53) С Ук (Е), а также в справедливости формул
(3)
что
(Г, - Ть) х $ = (ТГ, х $) + (Г, х 5),
(4)
(ТхэхР=Тх(5 ХР.
(6)
ГХ ($1 - 5.) = (Г х $1) + (ГХ 5),
(5)
По индукции понятие прямого произведения форм распространяется на любое их количество. При этом, принимая во внимание
свойство ассоциативности
x T, X ... Хх Т, вместо
2.8.
зису
Система
прямого произведения,
линейных
конечномерного
и единственность.
(ТХТ
форм,
векторного
Пусть
векторы
Хх...
X Tn)
биортогонально
пространства,
будем писать ТГ, Ж
X Ty
сопряженная
ее
е,, ..., е› образуют
ба-
существование
базис
вектор-
ного пространства Ё.
Определение. Система 1-форм (линейных форм) 1, .. е, называется биортогонально
сопряженной
системе
векторов е1, ..., р» если
.
1, если Е =},
еу (вк) =
0, ecau k=j.
(1)
Отметим, что произвольная система векторов ев, ..., е,, имеющая
биортогонально сопряженную, обязана быть линейно независимой.
Действительно,
если
р
У
Ле» = 0, то У |] =
—_—
1, р имеем
k=1
p
ej ( > ha) =e) (0) =0=
570
p
x Nne7 (x) = №,
т.
е.
Л, =0
\У]=1,
е1,
...,
Cp всегда
р. Биортогонально
линеино
независима.
Действительно,
p
= 0, то (У ыы)
сопряженная
) = 0 = 2B №,
(2) =
№
если
система
р
у,
k=!
Л ьеь
==
Vj=1,p.
Теорема. Любой базисе,, ..., е› векторного пространства Е имеет
единственную биортогонально сопряженную систему 1-форм ет, ...
*
» Ep.
<4 Любой вектор
жен по базису
хЕ Е
может
быть единственным
образом
разло-
р
= x Np (X) ep.
Tlonaraem
e; (x) = Л, (Хх)
ЕЯ, (Е)
Уу= 1
—__
р.
Vi=
Если
1,
Е.
х =
р
=]
(2)
Убедимся
в
том,
что
Ль (х’) е», то
ta + Hae! = SY ie (2) + Hate (2)
CnefopatenbHo,
е’ Е
(3)
Wj = 1, p umeem
C7 (Myx + pax’) = mn
т.е. ее 9”, (Е)
(х) -- из^/ (х') = лей (х) - цаей (х'),
(j=1,p). Tax kak Vj=I,p
a= 1s ert 20+
(4)
(5)
ery
TO е (е;) = |, 7 (e,.) =O
npn k=]. Таким образом, система
1-' ‘форм е\, .... е› биортогонально сопряжена системе векторов а, ...
..@р. Докажем единственность биортогонально сопряженной системы базису е, ..., е› пространства Е. Пусть система 1-форм ai,
.... @р также биортогонально сопряжена системе е,, ..., е›. Тогда
У = 1, р имеем
*
(7 — а;) (х) = е; (х) — а; (х) = dj (x) — a; (5
=i (x)—
р
de Nn (x) a7 (€,)
=0
WEE,
Np (x) e] —
tr. e& ef =az
(j=1, p).
№
2.9. Каноническое представление полилинейной формы в конечномерном
векторном
пространстве.
Пусть
е1, ..., е› — система
1-форм, биортогонально сопряженная базису е,, ..., е› векторного
пространства Е.
Теорема. Если Т Е 9„ (Е), то справедливо представление
Г
=
у,
(/1 500961)
T (eps
`
90.0
ej)
ej,
x
see
хе,
п.
(1)
571
где символ
р
Пусть
м ЕБ,
р
q
я
У,
(15...)
у
является сокращенной
в=1
р
x
= 2
—
AC
h=
p
ej, (х1) Г @
2
1==
р
суммы
вида
x, € £, ..., x, € E. Torga
T (yy sees %) = r(
=
формой запиви
en) =
/в=
e;, (х2) Chey
p
coog
р»
ej
(х„) en)
=
=!)
р
p>
р
... ру C7, (же), (хз)...
У
T
Ch
eee
p
e7
)(e7,
Хх
ej (Xn) T (Cy
eee
Хе!)
15-009] p)
п
У
что равносильно
Следств
(х. СЁ,
равенству
ие 1.
(1).
ооо)
х,
woes е„) =
(ж,
ое)
Xn)
ЕЁ),
}
Система п-форм е', Хе, х
... х е.
(д =
= у р, ... в = 1, p) образует базис векторного пространства
9, (Е).
{ Требуется доказать лишь единственность разложения п-формы Т
по системе (е;, Хе, Х ... Хе/). Пусть
T=
У
Uys i001) e},
(ль
Тогда
xX
eee
X
ej.
(2)
n
Ре ое)
У анод +. 61,6) =
Leeces
== O54, 40058)
У
($1
п
—
1,
р,
ео
)
S, =
1,
р),
что означает совпадение разложений (1) и (2). >
Следствие
2. Если Е имеет размерность
имеет размерность п’.
*
*
< Система (е;, Х ... Жем) (=
функций. >
2.10. Вполне упорядоченные
ности
Хаусдорфа.
Лемма
Цорна.
Ы——
р,
р,
..., в = 1,р)
множества.
Принцип
mo
7, (B)
состоит из п?
максималь-
Определение 1. Упорядоченное множество (см. 52, гл. 1) называется вполне
упорядоченнымл, если любое
его непустое
подмножество содержит наименьший элемент.
Теорема 1(Цермело). Каждое непустое множество можно вполне
упорядочить.
{ Пусть Х — непустое множество. Согласно общему принципу выбора (см. теорему 1, п. 1.8), на множестве непустых подмножеств Х
572
существует такая функция |, что УЕ
Х
f (E) Е Е. Назовем множество В начальным по отношению к порядку <, если каждый
элемент, который меньше какого-либо элемента из В, сам принадлежит В. Обозначим через Н класс упорядочений, удовлетворяющих
следующим условиям:
1) область определения Р упорядочения из класса Н является
подмножеством
Х;
2) для каждого начального множества В, отличного от О, наименьший элемент множества О `\ В существует и равен }(Х `` В).
Любой порядок < из Н превращает свою область определения
р во вполне упорядоченное множество. Докажем это. Пусть А —
непустое множество из области определения О порядка
= и А, =
={yeD|y~AA\ yx
WEA}.
Тогда
f(X \ Aj) — Hane
меньший элемент из А. Действительно, поскольку он наименьший
элемент из р \ А, по свойству 2) порядка <, то достаточно показать, что {(Х \ А, ЕА. Так как Аср \ А,, то ((Х \ А, €
@ А) > (Г (Х \ 4,) <х
УхЕА).
В этом случае по определению множества А, [(Х \ A,) € Ay, что противоречит условию
[(Х \ 4, ЕХ \ А.. Полученное противоречие показывает, что
пространство ® = (р, <) является вполне упорядоченным.
Пусть < и < — какие-либо элементы из Н е областями определения ДР и Е соответственно, 4 — множество всех тех х, для которых
{ЕР [ух
Лужх} = {yEElyAx
Ay Sr},
и упорядочивания, индуцированные на А порядками <, <, совпадают. Тогда А — начальное множество по отношению к каждому
из порядков < и <. Econ AA DUA SE, то | (Х \ 4) является
наименьшим
элементом в каждом
Поэтому должно быть ] (Х \ А) Е А
из множеств р \ Аи
Е\
А.
вопреки определению функции
f. Полученное противоречие означает, что либо А = О либо А = E,
Значит любые два элемента из семейства Н находятся в следующем
отношении! область определения одного из них является начальным
множеством по отношению к другому и наэтом множестве оба упо-.
рядочения совпадают. Поэтому объединение всех элементов из И
снова является его элементом, причем наибольшим. Область определения Ом этого упорядочения должна совпадать с Х, поскольку
в противном случае можно рассматривать упорядочение с областью
определения Он <= {{(Х \ Вн)}, которое снова было бы элементом
из
Н.
p>
щее
Х
во
вполне
Определение 2. Упорядоченное подмножество Е частично упорядоченного множества М называется цепью.
Теорема < (принцип максимальности Хаусдорфа). В каждом частично упорядоченном множестве существует максимальнов упорядоченное множество, т. е. цепь, не содержащаяся ни в какой другой.
4 Пусть Х — заданное множество, 9 — отношение частичного порядка на нем. По теореме 1 существует упорядочение <, превращаюупорядоченное
множество.
Для
$ Е Х
полагаем
а (5) = (хЕХ|х < $}. Пусть $ — наименьший элемент Х. Определим такие функции ф и 1, чтобы ф ($) У$ЕХ было максималь-
573
ной
цепью
из множества
а (5$) и\ф
(5) =
|)
Ф (В Л ФТ ($)
= ©.
Полагаем
1)
(5) = a (5) = {50};
2) ф ($) = т ($ 0 {$}, если это максимальная цепь элементов
из а ($) в смысле порядка с;
3) ф (5) = 1 ($), если условие 2) не выполнено.
Докажем, что ф (5) есть максимальная цепь в а (5) У$ЕХ.
Предположим, что это не так. Обозначим через $ наименьший в
смысле < элемент Х, для которого ф ($1) не является максимально
упорядоченным. Тогда $ < %1, $ 53 иф ($1) = т ($) (в противном
случае ф ($:) строилась бы согласно 2) и была бы максимальной
цепью). Далее, ф (5,) — цепь в смысле а, в силу того что любые
два элемента из ф (5.) принадлежат ф (1) для некоторого
< я,
t=4 5: (так
как Ф (51)
= ф
(51) =
U
t<s;, 15281
ф (1)).
Поскольку Ф (51)
не максимальная цепь в а ($), то существует такое # < я, 52 яз,
что Ё @ ф (31), а {1} ] ф (51) есть упорядоченное множество. Пусть
й — наибольший из таких элементов. Тогда {&} |] ф ($) — упорядоченное множество. Тем более таким является множество {1} |]
ИФ) = {в} 0 ф ($1). Поскольку & 5 з1, В = %, тоф (1) — максимальная цепь в множестве а (11). Полученное противоречие доказывает, что ф ($) есть максимальная цепь в а ($). Рассмотрим множество Ф = U® ($). Tlockompxy @ (s’) < @ (s”) npn s’ <s", TO D
s€
является цепью. Из свойства ф ($) следует, что Ф
цепь.
}№
— максимальная
Лемма (Цорна). Если каждая цепь частично упорядоченного множества имеет мажоранту, то в этом множестве существует наибольший элемент.
{ Пусть М — частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условию леммы. Согласно теореме 2, существует максимальная
цепь А. По условию существует такой элемент 9 Е М, что УхЕА
х < 9. Если бы 4 не был максимальным элементом в М, то существовал бы такой элемент р, что 4 < р, р =24. В таком случае множество (р} |) А было бы цепью, что противоречит максимальности
А.
№
2.11. Принцип продолжения Хана — Банаха. Пусть Е — векторное пространство над полем [К (К = В или К =С..
Определение. /Голуноримой
на Е называется отображение
ES
В,
удовлетворяющее
условиям:
Il) p(x) >0 WxEE; 2) p(x) = [Alp
Vee“, AEH)
3) р (ху)
< р
р)
VEE, yEb®&).
Примером полунормы является норма на Ё.
Теорема (Хана — Банаха). Пусть Е, — подпространство
торного пространства Е, р — полунорма
ный
574
функционал,
удовлетворяющий
на Е,
условию
1 (х)
|< р (@®) VxE Ep.
0
век“
Е, -> К — линей-
(1)
Тогда существует такой линейный функционал
= /, и выполняется условие
17 (%)[<рР(х)
УхЕЁЕ.
Е $ К, что [|в, =
(2)
< Рассмотрим сначала случай [К = В. Пусть
линейных функционалов ], для которых.
Е — множество всех
DpOCEANDDE
Л На, = рф Л #(®) <р(х)
УхЕВ,.
(3)
Множество Ё непустое, так как К ЕР. Упорядочим множество Ё
следующим образом: запись } < в означает, что © есть продолжение
р, т. е. Бр, > Б; ив [р; = /. Из леммы Цорна следует существование
в Ё максимального элемента. Пусть [ — максимальный элемент в
Е. Требуется доказать, что О» = Е. Допустим, что это не так, т. е.
что
О; == Е,
X, € Dy».
Тогда
и выберем
получим
элемент
F* (X%2)
— FF (%4) = FF (%2 —
%ж ЕЁ \ О».
х, Е)»,
41) SP (%_ — %) =
= P ((%_ + хо) + (— %1 — Xo) < р (х,
Поэтому
— P(—
Следовательно,
Пусть
№) + Р(—х,— %)-
(94)
X% — Xo) — F(X) SP (%q + Xo) — [* (%).
(5)
А = зир (хЕБ» | р(—х— м) — № (д)} ЗЕ =
= inf (x € Dye [p(x + %) — P(X),
(6)
где 4€ R, € € R. Bosbmem mponsBovbuoe y € [A, §]. Toraa V x € Dye
имеем
— p(— xX — м) — /* (x) SV Sp (x + x) — F(x).
(7)
На множестве М = (ху + х; я Е В, хЕО»}
определим линейный
функционал ], равенством
Й (< - ах) = | (х) + та.
(8)
Очевидно, что М > Dy > Ey. Tak kak |; р„„ = }*, то при выполнении _еравенства Ё (х) <р(х)
УхЕМ
получим, что НЕЕ Л
Л “< 1
EcaH
вопреки
тому,
что
[* —
максимальный
x
npu a =£ 0 3aMeHuTb B (7) x Ha —„
—p(—-+—x,)—
Ps)
<v<p(%
При «< >> 0 из правой части неравенства
а при & < 0
В обоих
в
Р.
+ x,)— Pe.
(9)
(9) следует оценка
р (х -- ах) — [* (х) > ye,
(10)
р(х -- ах)
— f* (x)
> ya.
(11)
из его левой части вытекает,
случаях
элемент
то получим
что
имеем
Г" (х) + уч < р (х-- аж).
(12)
575
При © = 0 неравенство (12) очевидно. Из определения
функционала [, и неравенства (12) получаем оценку
fy (% + OX) < p(x + ax)
V(xE Dy,
линейного
GER).
(13)
Таким образом, } Е Р, что противоречит максимальности функцио-
нала [*, определенного на)» < М = Р;. Следовательно, О;» = Е
Рассмотрим теперь случай [К = (С. Пусть К = up + itp, THE Uy
H Uy) — линейные функционалы на Е’. Так Kak f, (ix) = if, (x), TO
Up (X) = —Up (ix) и р (%) = Uy (X) — itty (ix). 3 ycnosusn | fy (x) |<
<. p(x)
УхЕБЬ следует, что | uy (x) |< p(x)
УхЕВБ. По доказанному выше, линейный функционал и, можно продолжить на
Е с выполнением условия |и (х) | < р(х)
УхЕЕ. Полагаем
Тогда
|=,
x€E
}
является
Осталось
=.
nu f (x) = re?
(и
комплексным
доказать,
(Г >0,
(х) — in (ix).
линейным
функционалом
что || (х) | < р (х)
фЕАге
[ (х)),
то
<|u (ex) | <p (Cx) = p(x). D
Принцип
Теорема
равномерной
ограниченности
(Банаха — Штейнхауза).
на Е и
Vxe EE. Если
|i (x) | =e? F(x) = f (CPx) = Re f (ex) sue) <
2.12.
хауза.
(14)
Пусть
|
Банаха — Штейн-
последовательность
((„) линейных ограниченных операторов, отображающих банахово
пространство Е в нормированное векторное пространство Е, поточечно сходится при п — со к оператору (И. Тогда последовательность
(1 О„|) ограничена, оператор И линейный и непрерывный, а И, > U
на каждом компакте К < Е.
Предположим, что последовательность (|И„|) не ограничена.
При таком предположении последовательность (| И„х |) не ограни-
чена в любом шаре О, (ж) = (хЕЕ||х— |<
вительно,
ЭСЕВ:
если считать,
что это
не так,
=) < Е. Дейст-
то У (ПЕ №, хЕОе
19| С.
Возьмем
(%)) .
(1)
произвольный элемент уЕЁ, удовлетворяющий условию
[у|<а. Полагая х = х, + у, получим, что х ЕО, (ж%). В силу
предполагаемого выполнения условия (1) имеем
ГОУ = ых — Иж
Пусть
хЕЕ — произвольный
оценка
(2) принимает
ЛИ, + Ох < 20.
элемент,
Torga
|y| =e u
вид
Вх
Tak Kak |U,y|| =| И, ‘aT
576
у = ГЕ.
(2)
= say
72 yxy,
Wnt |,
(3)
в силу
свойства однород-
ности линейного оператора И„. Согласно определению 1, п. 2.4,
2C
| Unzl<—
вопреки предположению.
Таким образом,
V (Xp€
ЕБ, = > 0) последовательность ([И„х |) не ограничена на шаре
Оз (ж) = Ё.
Пусть О» (х) <= Е — произвольный
вательность (| U,x |) не ограничена на
п, ЕМи
жЕО:
(%),
что
шар. Поскольку последонем, то существуют такие
[Ох [>> 1.
(4)
Так как оператор И», непрерывен (см. теорему 2, п. 2.4), то неравенство (4) выполняется в некотором замкнутом шаре О», (х!) =
< О, (%). На шаре Oc, (x,) последовательность (|И»,х |) снова не
ограничена, поэтому 3 (п. Е № Л п, > п, м. Е Оы (х1))1
[вх | > 2.
Пусть
Ол,
Unyy oory Un,
Ny < ly <u <tr
Е Ow, | бы) и
H
(5)
X1, Xo, seo) Xk—1ly
Хь
Построены
A Oc (%) > Oey (%1) D «2. > бы
так,
(я),
19 nhl > К.
что
Ht E
(6)
Поскольку оператор И», непрерывен, то неравенство (6) выполняется в некотором замкнутом шаре О. (х») <= О,_, (хь-—1), на котором
последовательность (| („х|) не ограничена. Поэтому 3 (п-м Е № Л
Л
Пр
>
My
Xett
€ Oc,
(x,))!
| Vay, Xe
|>A+
1.
(7)
По методу математической индукции построена последовательность
(Oc, (х+)) вложенных друг в друга замкнутых шаров. Можно считать,
что =, — 0 при А — со. Так как пространство ЕЁ полное, то по теореме |, п. 1.9, существует точка х„, общая для всех шаров Oc, (х»)
(Е Е Хо). В этой точке У ЕЕ № выполняются неравенства
[Оз „Хо | 12
(8)
противоречащие условию, что УхЕЕ последовательность
(Их)
сходится. Источник противоречия — в предположении, что последовательность
(| Ц» |) не ограничена.
Докажем, что оператор (И линейный. Из линейности операторов
U, получаем,
что
У (хЕБ,
иуЕЁЕ,
ЛЕК)
Un(x+y)=U,x+U ny,
выполнены
условия
Un (Ax) = AU,x.
(9)
Переходя к пределу при п — со, имеем
U(x + y)=Ux+Uy,
U (Ax)
= Wx,
т, е. UE ¥L(E, F). U3 nepasenctsa
пределу
которой
| U,x |< M| x |,
(10)
mepexona xk
при п — oo, получаем оценку [Ох
| < М|]хр
оператор И непрерывный и | О | <
в
силу
577
Пусть К < Е — компакт и = >> 0. Тогда найдется конечное се®
мейство открытых шаров радиуса zy GC центрами, расположенными
в множестве К, покрывающих К (см. теорему 5, п. 1.12). Пусть
(а«)осд (А — конечное множество) — центры этих шаров. В силу
°
условия
Уп > по
О, —= И
для
будет
каждого
выполняться
ах
можно найти
неравенство
такое
по Е №,
что
|Uda—Uaal<—z.
Iyctb ny = max {ng3a € A}. Torna
(11)
V(n Sm,
x€O.-
(da)) HMeeM
ЗМ
|U,x —Ux|<|U,x
— U,ag||
+ | U,da — Uaa|| + | Uae — Ux
= ||U, (x — aq)
+ [Unda — UVag|| + |U (aa —
=
x) |<
<M] x— ag) +-¢ + Mla, 1 2М +=
Поскольку
&
м
каждая
ОТ одной
ъ
точка х Е К
на расстоянии,
из точек аа, то окончательно
ведливо неравенство
на К. >
2.13.
находится
Принцип
| (Их — Их |< а.
открытости
(12)
меньшем
V (n > п, хЕК)
Следовательно,
отображений.
Для
спра-
U, = U
доказательства
теоремы Банаха об обратном операторе нам понадобится следующее
утверждение, представляющее и самостоятельный интерес.
Лемма. Пусть ЕиЕ — банаховы пространства, И Е& (Е, Ё),
Е, — множество тех точек х Е Е, для которых
Тогда
Е =
|)
neN
[Ux|<alx]
E,u
no xpatineti mepe odHo u3 mnoocecme
плотно в Е.
< Сначала убедимся
в том, что УхЕЕ
Е» == ©, так как УпПЕ№
наименьшее
целое
Тогда | Ох | <п|[х|
VEN.
число,
ОЕЁ,.
Если х э2
удовлетворяющее
представлено
хЕЁБ»,. Очевидно,
неравенству
(2)
E=UneN Ew
в виде
счетного
E,, ecrody
0, то через п обозначим
ГИх|
> Г.
УхЕБ, в силу чего имеем
Согласно теореме 2, п. 1.9, банахово
быть
ЗЕ:
(1)
пространство
объединения
нигде
(3)
Е не может
не
плотных
множеств. Поэтому хотя бы одно из множеств Е», не является нигде
не плотным. Следовательно, существует открытый шар О, (хо), в
котором множество О, (х.) [|] Е» всюду плотное, т. е. каждый элеMeHT x € O, (X,)) является точкой прикосновения указанного множества.
‚ Рассмотрим замкнутый шар О„, (х1) с центром х, 6 Е„, целиком
лежащий внутри шара О, (х,). Взяв произвольный элемент х с нор578
мой
[х| = х,, получим, что (х, + x) ЕО, (х,), поскольку | (ж
Хх) — м |= |^| = м. Так как О». (х1) < Е„, то
существует
такая последовательность (у,) элементов из множества О, (x,) Г
1) En ITO YR —> X, + x pH k — со (если (х. -- х) Е Ев, то эта после-
довательность
=у, —х, —х
может
быть
при # -—
стационарной).
Таким
образом,
со. Поскольку |[х|= и: и |х.|
можно считать, что | х» | > 4
VREN.
Из условий у, Е Е, x € Eny Yr = Xp + X, следуют
оценки
|Ux_] =| Oy, —Ux| S| Uye| +194 |< ro yel+ lal,
Yel =e t+ aI) eel + lalsn +] 4h.
Принимая
во внимание
условие
|х„ |[> 4
к < пота 4 2
<
Пусть п — наименьшее целое число,
n>
Тогда
справедлива
2
4)
(5)
и оценки (4), (5), имеем
(и, + 21а 01.
2
х» =
< лм, то
6)
удовлетворяющее неравенству
(n+ 2140.
(7)
оценка
[ха
хр
(8)
из которой следует, что х, Е Е„. Таким образом, любой элемент x,
норма которого равна г, может быть аппроксимирован элементами
из множества Бы.
Пусть хЕЁЕ Л х=- 0 — произвольное. Рассмотрим точку § =
По доказанному существует последовательность (E,)
= и ТЕТ:
точек из Е„, сходящаяся к Ё. Тогда
Np = Ee
HEL
x,
(9)
[Ux | = SL UE,|< St algal
= 1 vl
Получили, что х, ЕЁ,
плотно в Ё. №
Л)
X% > x
Теорема (Банаха, об обратном
U
наховы пространства, Е <>
Е, (Е&%
УхЕЕ.
(10)
Следовательно, Е„ всюду
операторе).
Писть
Е и Е — ба-
(E, F)uU — oepanuuen. Tozda
существует линейный ограниченный оператор Е Е.
< Необходимо доказать линейность и ограниченность обратного
оператора {/`".
Полагаем У (х, ЕЁ, хе Е)
Иж = и, Их. = у. В силу линейности U У («Е К, ВЕК) имеем
И (ах, -- Вх.) = ay, + Bus.
(11)
579
—г
I
Поскольку И`и = л., И`\у. = х., то, умножая соответственно
эти равенства на % и В и складывая результаты, получим
а
+ BU~ "Ys = OX, + Bx.
(12)
Из равенства (11) и определения обратного оператора следует, что
ax, + Bx, = U~' (ay, + By,). Принимая во внимание (12), имеем
U— (ay, + By,) = aU—"y, + BU~"ys.
(13)
Линейность оператора {/" установлена. Докажем его ограниченНОСТЬ.
Согласно лемме, банахово пространство F может быть представлено в виде
Е
где
У, — множество
таких
=
U Y py
REN
(14)
3JIeEMeHTOB
|UyvI<Aly]
y € F,
для
которых
VREN
(15)
[7
(16)
и по крайней мере одно из множеств У» всюду плотно в Р. Пусть
это будет множество У„. Возьмем произвольную точку у Е Ё и пусть
[|= а. Найдем такую точку и, Е У„, чтобы выполнялись неравенства
ly—ul<
a
5,
<а.
Такой выбор возможен, так как множество О. (0) Г У„ всюду плотно в замкнутом шаре О, (0) и у ЕО, (0). Найдем далее такой элемент и. 6 У„, чтобы выполнялись условия
и) — и
Продолжая
выбор,
Ь--,
[| <->-.
(17)
повтроим элементы у» 6 У» такие, что VR EN
ИН
+ + +ywI<—ye’ Iel< sar.
(8)
В силу выбора элементов у, имеем
у— k=!Уи
—0
при т-— ©,
т. е. ряд Ху, сходится к у.
Полагаем х, = И”'у,. Тогда получим
[пу
Последовательность
пределу
хЕЁ,
так
(%,),
где
| Ve-+-p — Vel
580
оценку
па
|<
сходится
j=1
ep
= | >
(20)
ok—l
k
м, = Ух,
как
(19)
xj
<
na
оА—
и
некоторому
(21)
и Е — полное
пространство.
следовательно,
х = lim у х, = у Xj.
(22)
+0oo j=l
В силу линейности
и непрерывности
Ux =Uu (tim
УУ =) =
R-voo j=l
Отсюда
оператора
lim 3 Ux, =
k
И имеем
im ¥ Yi =
k-+o0 j=!
(23)
j=!
получаем
k
[Uy] = [x]
= lim ¥ «|<< Ша У, [<
= оо
j=!
> 00 f=]!
а = 21|
(24)
==
Поскольку у — произвольный элемент из Ё, то ограниченность оператора (`' доказана. >
2.14.
Заключительные
замечания.
Многие
факты
истории
разви-
тия математики убеждают в том, что основные принципы функционального анализа применялись в той или иной форме давно. Например, Коши рассмотрел вопрос о продолжении интеграла с класса
C la, 6] Ha класс кусочно-непрерывных функций. Аналогичную
процедуру продолжения интеграла с класса С [а, 6] на класс Р [a, 6]
рассмотрел
о том,
что
Риман,
с каждой
впервые
задачей
высказавший
анализа
или
фундаментальную
математической
идею
физики
должно быть связано определенное функциональное пространство.
Лебег построил продолжение интеграла из класса Л [а, 6] на класс
функций, интегрируемых по Лебегу.
Укажем на некоторые применения принципа равномерной ограниченности к решению конкретных задач анализа. Эти применения
носят двоякий характер. Во-первых, принцип дает возможность доказать сходимость многих приближенных процессов (например,
приближенное вычисление определенного интеграла). Во-вторых,
он позволяет выяснить истинную природу тех неверных гипотез
анализа, которые на первый взгляд кажутся очевидными. Так,
например,
многим
математикам
ХУ
в. казалось,
что всякая
не-
прерывная функция дифференцируема в каждой точке, за исключением, быть может, конечного их числа (гипотеза Ампера). В первой
половине ХХ в. Дирихле высказал предположение, что ряд Фурье
любой непрерывной функции всегда поточечно сходится. Спустя
некоторое время были постраены контрпримеры, показывающие
ошибочность этих гипотез.
"
~
Аддитивность интеграла 170
— — счетная 346
— меры Лебега счетная 346
Аксиома выбора 541
— индукции 11
Аксиомы векторного пространства
— метрики 531
— упорядоченного поля 40
База открытых множеств
Базис пространства 564
Бином Ньютона 11
ПРЕДМЕТНЫЙ
УКАЗАТЕЛЬ
405
541
Вариация функции 285, 286
Вектор касательный к множеству 160,
4
— ортогональный
подпространству
422
Верхняя грань множества 23
— — последовательности 32
Вычет функции 277
Гомеоморфизм 559
Градиент функции 242
Грань множества нижняя 23
— последовательности нижняя
32
Дельта-последовательность 486
б-функция 487, 461
Дивергенция векторного поля 503
Дифференциал внешний 510
— произвольного порядка 254
— функции 253
Дифференцирование ряда Фурье 403
Задача изопериметрическая 463
Замечательные пределы 131
Замыкание множества 538
Значение бесконечного
произведения
107
|
— повторного интеграла 393
Изометрия 533
Изоморфизм линейный 566
— упорядоченных полей 41
Интеграл Дарбу 352
— двойной 246
— зависящий от параметра 235
— криволинейный 266, 267 ‘’
— Лебега неопределенный 448
— неопределенный А-формы 515
— Ньютона
— Лейбница 168, 169
— ®-неопределенный 451
— от конечного набора элементарных
k-popm 507
— — произведения 444
— поверхностный 496, 497
— по Е-поверхности 507
— Римана 181
— Стилтьеса 295, 296
— сходящийся 393, 436, 439
— Т-периодический 456
— тригонометрический 387
простая
ориентированная
506,
— — противоположно ориентированная 506
Е-симплекс 520
&-форма стандартная 508
— — элементарная 507
Е-цепь с краем 522
Квадратичная форма 259
Класс борелевских
—
эквивалентности
—
отображения
множеств 344
2]
Композиция отображений
—
и формы
функции класса С®
18
517
(С)
щенной функции 483
Коэффициенты Фурье 386, 430
и
0606-
Край А-цепи 528
—
—
поверхности 528
стандартного симплекса
—
—
—
ориентированная гладкая 266, 268
простая гладкая 265, 268
противоположно ориентированная
Кривая кусочно-гладкая 269
523
Критерии
полноты
нормированного
пространства 411
Критерий
аналитичности
функции
223
— выпуклости функции 228
— интегрируемости по Стилтьесу 296
— компактности в себе 133
—— Арцела 149
— Коши 55. 56, 98, 113, 114
— сепарабельности метрического пространства 542
затУммируемости функции 336, 337,
4
— сходимости
418
ортогонального
Лемма о трех точках
— Цорна 574
Луч замкнутый 26
плоскости
Мажоранта множества 23
Матрица Якоби 263
Мера измеримого множества
Метод Канторовича 234
— касательных 234
— математической индукции
—
—
—
множителей Лагранжа 265
Ньютона 233
хорд 233
343
11
ряда
225
rr bride
5 —
rbr
Каноническая запись А-формы 510
&-поверхность класса С” простая 506
Pr
349
Миноранта множества 23
Многочлен Тейлора 211
— тригонометрический 385
Множества равномощные 20
Множество бесконечное 20
внешних точек 537
‚вполне ограниченное 549
— упорядоченное 572
всюду плотное 147, 540
замкнутое 27, 131, 538
звездное 513, 514
измеримое 343
компактное 132, 149, 549
конечное 20
линейно-связное 167
не более чем счетное 20
нигде не плотное 540
ограниченное 23, 534
открытое 27, 133, 252, 535
плотное 425, 540
пустое 10
равностепенно
дифференцируемое
SEPP
— Фейера 396
— Фурье 387, 392
Интегралы Эйлера 374
Интегральная сумма Лебега
— — Римана 181
— — Стилтьеса 295, 298
— — интегрируемое 243
— — непрерывное 145, 173
— симметричное 125
— счетное 20
— точек выпуклое 224
— членов последовательности
— элементарное 271
М5$-последовательность 476
32
Наборы элементарных ^-форм эквивач
лентные 507, 522
Непрерывность алгебраического многочлена 131
— интеграла абсолютная 349
— —, зависящего от параметра 235
— меры 348
— семейства равностепенная 143
— суммы нормально сходящегося ряда 130
— — степенного ряда 131
— функции в точке по Гейне 128
— элементарных функций 131
Неравенство — Коши — Буняковского
— Лагранжа 163
— Минковского 231
— устойчивое 135
Норма в пространстве 407
— оператора 566
— функции равномерная 110
Нормы эквивалентные 564
Нуль-множество 328
Область замкнутая 553
Образ множества 18
— поверхности 528
— цепи 528
Окрестность множества открытая 536
— точки 26, 133, 135, 253, 556
583
линейный
566
дифференцирования
обоб-
РГЕЕЕЕ И
щенных функций 480
— транспонирования бинарного отношения 15
Отношение бинарное 14, 15, 16
— порядка 22
— эквивалентности 21
Отображение аддитивное 41
— взаимно однозначное или биективное 18
дифференцируемое 263
конформное 162
линейное 566
локально ограниченное 367
множеств
16,
17
мультипликативное 41
непрерывное 553, 555, 556
п-линейное 569
обратимое 18
обратное 18
постоянное 16
равномерно непрерывное 558
разрывное 554
регулярное (М$-операция) 478
тождественное или единичное 16
Первообразная
обобщенной
функции
— функция 166
Плотность отображения 364
Поверхность ориентированная 497
— простая регулярная 494
— элементарная 494
Подпоследовательность 35
Подпространство 422, 548
Поле векторное 283
— полное
142
— рациональное 41
— упорядоченное 39
Полнота пространства 24
— тригонометрической системы 429
Полюс 276, 277
Поля изоморфные 41
Пополнение пространства 544
Порядок обобщенной функции 460
— полюса 276
Последовательности комплексных чисел с ограниченным изменением 100
— конфинальные 544
— монотонные 33
— эквивалентные 476
Последовательность
бесконечно
малая 51
— — большая 55
— векторов фундаментальная 411
— комплексных чисел бимонотонная
115
— невозрастающая
(убывающая)
33
— неубывающая (возрастающая) 33
— стационарная 51
— сходящаяся 442, 445, 467, 489, 532
584
— точек 20, 533
— фундаментальная 55
и функций
поточечно
сходящаяся
110
— — равномерно сходящаяся 112
— функциональная 109
— элементов кратная 429
Поток векторного поля 499
Правило дифференцирования произведения функций 157
— — свертки 486
— замены переменной 111
— Лопиталя 206, 207
| редел
интегральных
сумм
Лебега
5
— отображения 553, 555
— последовательности 30, 35, 36, 112,
408, 532, 553
— функции в точке по Гейне 128
— — в смысле Коши 136
— — частичный 127
Представление
гладкой
траектории
параметрическое 167
— k-popmu 507
— кривой параметрическое 266, 268
— кусочно-гладкого пути параметрическое 167
— отрезка параметрическое 178
0g о верхности параметриче-кое 494,
— простой ^А-поверхности параметри*
ческое 521
— упорядоченного поля действительных чисел 42
— цепи 522
Преобразование А-формы 517
— Фурье 387, 437, 465, 469
Признак Вейерштрасса 114
— Дини 391
— Липшица 392
— ортогональности вектора подпространству 422
нормированного — про— полноты
странства 414
— суммируемости почти всюду 333
Признаки
равномерной
сходимости
функциональных рядов 114
— суммируемости
последовательности комплексных чисел 89
Принцип вложенных шаров 542
выбора общий 541
двойственности 13
локализации Римана 390
максимальности Хаусдорфа 573
неподвижной точки 546
открытости отображений 563
продолжения 563
равномерной ограниченности 563
Произведение алгебраического многочлена и обобщенной функции 471
— бесконечное 107
— — абсолютно сходящееся 108
PT Edd
Сператор
Операция
—=< безусловно сходящееся 107
— — сходящееся 107
— — условно сходящееся 107
— множеств декартово 14
— пространств 561
— скалярное 107
— степенных рядов 119
— форм внешнее 508, 509
— числовых
рядов
в
смысле
›— функциональный
—
—
Коши
119
Г роизводная интеграла по параметру
2
— обобщенной функции 446, 472
— отображения 263
— произведения обобщенной и классической функций 453
— сложной функции 241, 256
— Ферма
— Лагранжа 215
— функции в точке 154
— частная 236, 237, 249
Г ространства
линейно
изоморфные
Пространство алгебраическое
женное 566
Банаха 411
бесконечномерное 564
векторное 405
Гильберта 415
касательное 161, 243
квазитопологическое 413
метрическое 531, 552, 560
сопря-
нормированное 408
основное 442
полное 411, 533
— упорядоченное 29
противоположное 23
сепарабельное 34, 425, 540
счетно-полное 34
топологическое 133
— частично упорядоченное 22
Прямое произведение функций 239
Равенство Парсеваля обобщенное 459
— Парсеваля
— Планшереля 434, 437
Ротор векторного поля 503
Ряд абсолютно сходящийся 98, 411
— безусловно сходящийся
105, 418,
0
— Лорана 275
— т-кратный 430
— нормально сходящийся 114
— поточечно сходящийся 110
— равномерно сходящийся 113
— равностепенно непрерывный 177
— расходящийся 96, 98
— степенной 117
—
суммируемый
методом Эйлера =
Абеля 120
— сходящийся 96, 98, 411, 413
— Тейлора 223
— тригонометрический 386
— условно сходящийся 105
Фурье
386,
числовой
97
419,
110
430,
455
Свертка классических функций 484
— обобщенной функции с классической 485
Свойства интеграла Стилтьеса основные 302
— непрерывности меры Лебега 348
— плотности отображения 366
— полной вариации функции основные 288
— суммы семейства
действительных
чисел 81
— — — комплексных чисел 86
— — — неотрицательных чисел 75
— функций
ограниченной
вариации
основные
287
Свойство абсолютной суммируемости
функции 331
— граней множества топологическое
8
— регулярности 494
— счетной аддитивности 325
Семейство векторов 409, 424
— линейно зависимое 563
— — независимое 563
— функций равностепенно непрерывное 173
— элементов замкнутое 421
‚ Символы Ландау 50
Симплекс стандартный 505
Система
биортогонально
сопряженная 570
— векторов
линейно
независимая
; 424
— фундаментальная 536
Сумма. двойная
—
—
—
—
79
Р-форм 508
повторная 79
ряда 96, 97, 110, 113, 413, 430
числового семейства 74
1 Эйлера
— Абеля
числового
120
Сходимость поточечная 445
— функционального ряда 114
ряда
Таблица первообразных 167
— производных 158
Тензор 569
— ранга А антисимметричный 510
Теорема Абеля 92, 115, 118, 121
— Абеля
— Дирихле 100
— Арцела 148
— Банаха об обратном операторе 579
—. Банаха— Штейнхауза 576
— Больцано— Вейерштрасса 38
— Бэра 543
— Валле Пуссена 400
— Вейерштрасса 34, 62, 134, 397
— В. Юнг 230
505
—
—
Гаусса — Остроградского
Гельдера 23]
—
—
—
—
—
—
—
—
Дарбу 162, 232
Дини 323, 394
Дирихле 116, 210, 389
Дирихле
— Жордана 402, 403
Егорова 356
Иенсена 229
Кантора 20, 38, 137, 559
Коши 58, 91, 203, 232, 272, 273
—
Грина 270, 271,
502
272
— Коши
— Адамара
118
— Лагранжа 163, 164, 201, 203, 210,
226, 264
— Лебега 335, 340, 350
— Леви 332, 336, 338
— Липшица 394
— Лиувилля 282
— Лорана 275
— Лузина 358
— Ньютона — Лейбница — Грина —
Гаусса — Остроградского 524
— 06 абсолютной измеримости функции 337
— — — непрерывности интеграла 349
— — абсолютно непрерывной замене
переменной 381
— о безусловной сходимости ортогонального ряда 418
— об изоморфизме рациональных полей 44
—
— — полных упорядоченных полей
45
— — интегрирования по частям 171
— — интегрируемости по Риману непрерывной функции 182
— — обращении формулы Тейлора
—
Пеано 216
— — ограниченности компакта 133
— — О-соотношении
для
интегралов
206
— — условии монотонности функции
202, 203
— — эквивалентных
свойствах
полных систем 421
— — экстремальных свойствах компакта 134
— — внешнем дифференциале композиции отображения и формы 519
— — замене
индекса
суммирования
78, 84
— — — переменной 171, 364, 368
— — логарифмическом вычете 278
— — монотонной последовательности
37
— — монотонности верхней грани 25
— — — нижней грани 26
— — наилучшем приближении вектора 423
— — неопределенном интеграле 515
— — непрерывном образе
компакта
133, 554
586
— — непрерывности
дифференцируемой функции 156
— — — интеграла по параметру 375
— — — композиции отображений 554
— — — нормы 408
— — — обратного отображения 555
— — — обратной функции 134
— — — скалярного произведения 408
— — неявной функции 261
— — подстановке в интеграле 380
— — положительной
однородности
интеграла 326
— — полноте кратной тригонометрической системы 431
— — пополнении ортонормированной
системы 425
— — порядковом признаке предела 31
— — пределе
композиции
функций
130
— — предельном переходе под знаком суммы ряда 175
суммируемой
— — представлении
функции 356
— —
произведении
— —
производной
121
рядов
по
Коши
интеграла,
завися-
интегралов
362
щего от параметра 375
— — — композиции 155
— —
— — отображений 263
интеграла
— — — неопределенного
Лебега 448
— — — частного 157
— — — п-интеграла по пределам интегрирования 210
— — равенстве интегралов Римана и
Ньютона — Лейбница 181
— —— нулю интеграла Ньютона
—
Лейбница 203
|
— ——
повторных
— —
— — пределов 174
— — равномерной
непрерывности
функции 145
— — равномерном пределе произведения 112
непрерывности
— — равностепенной
функции 145
— — равносходимости рядов 100, 101
— — разложении ячеек 355
— — регуляризации 443
— — сечениях нуль-множества 360
— — среднем 315, 377
— — структуре периодических функций 460
— — существовании
и единственности суммы 63
ортонормированной
— — — ПОЛНОЙ
системы 425
— — сходимости ряда Фурье 420
— — счетной аддитивности интеграла
324
— — счетном объединении нуль-множеств 328
-
Пуанкаре
513,
517
Римана 103, 108
Римана — Лебега
Ролля
162,
Фреше
339,
семей-
201
388
Сарда 368
Сохоцкого 282
Стокса 528
Тейлора 257
Тейлора — Пеано 258
Тонелли 362, 563
Фату 334
Фейера 396
Ферма 153, 155, 218, 226, 260
Фишера — Рисса 414, 415, 416, 420
550
Фубини 361, 362
Фубини
— Тонелли 79, 359, 363
Фурье 470
Хана — Банаха 574
— Харди 400, 401
— Хаусдорфа 544, 549
— Цермело 572
— Шварца 407, 459
— Штольца 58
— Э. Шмидта 424
Точка множества внутренняя 537
— — граничная 539
— — изолированная 540
— — предельная 539
— неподвижная 546
— особая
однозначного
характера
276
— — устранимая 276
а
косновения множества 27, 127,
—
—
существенно
устранимого
особая 277
разрыва 128
ТГ-разложение единицы 455
Г-свертка
461
Форма замкнутая
— линейная 566
—
п-линейная
512
—
Коши
211
Лагранжа
Лейбница 236
Ньютона
— Лейбница
—
Симпсона
—
—
прямоугольников
Стокса
186
185
классическая
169,
529
211, 257
— Фубини 80, 85
— Шлемильха— Роша 211
Формулы асимптотические 140
— Стокса 504
— Эйлера 72
sie
внешние
дифференциальные
12
Функции выпуклые 49
медленного роста обобщенные 473
— монотонные 202
— экспоненциального
роста
целые
467
Функционал 441
— линейный 566
Функция абсолютно непрерывная 378,
382
— аналитическая 223
бесконечно дифференцируемая 224
выпуклая 224
измеримая 336, 337
— по Борелю 345.
интегрируемая 337
— в смысле Дарбу 352
— по Ньютону
— Лейбницу 246
— — Риману 181, 199, 200
кусочно-гладкая 269
кусочно-непрерывная 313
неинтегрируемая 337
неограниченной вариации 286
непрерывная 131, 136, 252, 253
неявная 26]
обобщенная 444, 447, 476
ограниченной вариации 285
— р-непрерывно — дифференцируема
255
— полунепрерывная
сверху
(снизу)
136
— равномерно непрерывная 137
— рациональная 131
— рекуррентно
п-дифференцируема:
218
— сингулярная 380
— с ограниченным изменением 401
— суммируемая 330, 345
— Т-периодическая 384, 454
финитная
320,
358
— характеристическая
316,
211
—
—
Тейлора
— Тейлора — Пеано 216, 258
—
568
— точная 512
Формула Гаусса 184
— Грина 272
— интегрирования
по
частям
381, 382
— квадратурная 184, 186
—
—
И!
ПРЕРРЕЕРЕРРЕЕР
PEPE
ИИ
TEEPE
—— счетности суммируемого
ства 88
Парсеваля — Стеклова 420
Пифагора 423
Планшереля 436, 439
209
.
— п-дифференцируема
ма — Лагранжа 215
Цепи
501
Шар
замкнутый
327, 341
в смысле
Фер-
534
Экстремум условный 264
— функции 260
ё-регуляризация обобщенной
445
&-сеть множества 549
функции
ОСНОВНАЯ
1.
Дьедонне Ж. Основы современного анализа.—=
М. : Мир,
2. Ильин
1964.— 430 с.
В. А., Позняк Э. Г. Основы
матема-
гического
анализа:
В
2 ч.— М, : Наука,
1971—1973.—
Ч. 1—2.
Картан А. Дифференциальное исчисление,
Дифференциальные
формы.— М. : Мир,
1971.— 392 с.
. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.—
М.: Наука, 1972.— 496 с.
Кудрявцев Л. Д.
Курс
математического
ана-
лиза: В 2т,— М. -: Высш. шк., 1981.— Т. 1—2.
Математический анализ: В 3 ч./ И, И. Ляшеко, 2 А. К. Боярчук, Я. Г. Гай, А. Ф. Калай-
список
РЕКОМЕНДУЕ-
МОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
1985.—'Ч.
: Вища
шк.
Головное
1.— 495 с.; Ч. 2.—
Никольский ©. М.
изд-во,
551
1983—
с,
Курс математического ана-
лиза: В 2 т.— М.: Наука, 1973.— Т. 1—2.
. Рудин У. Основы математического анализа.—
М. : Мир, 1966.— 320 с.
Шварц Л. Анализ: В 2 т.— М. ; Мир,
1972.—
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ
. Гельфанд
функции
И.
М.,
Шилов
и действия
над
Г. Е.
Обобщенные
ними.— М. : Физ-
матгиз, 1959.— 470 с.
‚ Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства
основных
и
обобщенных
функций.— M.;
Физматгиз, 1958.— 307 с.
. Грауэрт Г, Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисление.— М.:
Мир, 1971.— 680 с.
. Зорич В. А. Математический анализ: В 2 ч.—
М. : Наука, 1981—1984.— Ч. 1—2.
‚ Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.— М. : Наука, 1977.— 741 с.
‚ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы
функционального
анализа.— М. : Наука,
1965.— 519 с.
. Микусинский Я., Сикорский Р. Элементарная
теория обобщенных
функций.— М.: Изд-во
иностр. лит., 1959.— 77 с.
‚ Шварц Л. Математические методы для физи*
ческих наук.— М.
; Мир,
1965.-- 412
с.
Предисловие
1.
Грани
множеств
тельности
e
и
9
e
eee
предел
®
e
e
e
eevee
последоваe
e
e
e
e
$1.
Элементы
§ 2.
Отношение порядка. Понятие частично упорядоченного пространства
Верхняя и нижняя грани множества
в частично упорядоченном пространстве
„оу
еее
ния
Топология упорядоченного простран-
НИ
§ 3.
$ 4.
$5.
в
теории множеств и отображе-
¢
ства
e
e
6
e
e
ооо
e
e
e
e
e
ов
e
e
e
22
23
о
e
Топологическое свойство граней MHOжества.
Полные
пространства...
Последовательность, ее предел и порядковые свойства предела......
$ 6.
30
делом
последовательности.
Теорема
Вейерштрасса
...........
Последовательность. Частичный
предел последовательности.
Верхний
и
нижний пределы
.........
Существование
монотонной
—‘подпо-
$ 8.
$9.
26
28
$7. Связь между гранями множеств и пре-
№
ОГЛАВЛЕНИЕ
1...
35
следовательности.
Теоремы Больцано — Вейерштрасса и Кантора ....
37
Действительные
39
и
. Аксиоматическая
НОГО
числа
комплексные числа
теория
действитель-
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
®
®
e
. Числовая последовательность и ее предел
e
e
e
. Теория
действительного
числа
по
Вейерштрассу
.....ssse eves
. Комплексные
числа
9
e
e
e
e
e
e
e
e
50
58
68
........
Сумма и произведение числового семейства.
Числовой
ряд и бесконечное
произведение
39
e
e
73
73
88
Сумма семейства чисел и ее свойства
Вычисление сумм с помощью предела
Признаки суммируемости последовательности комплексных чисел....
Произведение семейства комплексных
чисел
„еее
еее
Числовые ряды
„еее.
а
Теорема Римана о перестановке членов ряда. Бесконечные произведения
103
Последовательности функций и функциональные ряды. Степенные ряды и
элементарные функции.......
109
89
93
96
Последовательность функций и функциональный ряд. Поточечная
сходиМОСТЬ
2
6
6.
ee
eee
ew
oe
Равномерная норма функции. Равномерная сходимость последовательности
функций и функционального ряда
Степенные ряды ... 1. 2 ew ee
$4. Элементарные
функции
соо
.
109
110
117
122
589
QY°NL
Hm mq
и непрерывность
функции
уе
th tt
Предел и непрерывность функции по Гейне
......
Полунепрерывные функции,
Предел
и непрерывность функции
смысле Коши
HS OPO
NE
Lan
. Предел
„еее
еее
о
Равномерная непрерывность функции.
Теорема | Кантора
Обратные элементарные функции. Приемы решения задач
Равностепенная непрерывность
eee eee
Se
Производная
и интеграл...
с...
в
....
‚„....
ee
еее.
127
135
137
138
143
151
15]
Приложения произво дной и интеграла. Функции векторного аргумента
198
Приложения производной и интеграла к исследованию функций
Производные и интегралы
Ньютона — Лейбница любых порядков
Производная
Ферма — Лагранжа.
Формула Тейлора—
Пеано.
Достаточные
условия экстремума
.........,.....
$4.
Ряд Тейлора
„еее
еее
ние ....
$5.
Выпуклые функции
ооо
ооо
вое
$6.
Элементарная теория интеграла, вависящего от параметра. Частные
производные функции.
КЮ?-дифференцируемост.......
$ 7. Формула Тейлора. Экстремум функции векторного аргумента
...
$ 8. Элементарная теорема о неявной функции. Условный экстремум ..
$ 9. Криволинейные интегралы. Формулы Коши для функции и ее производных. Ряд Лорана и теория вычетов
.............
$ 10. Потенциальное векторное поле
‚.....
еее ее.
$ 11. Функции ограниченной вариации
оон
фе
tw
$ 12. Интеграл Стилтьеса
оо
ео
199
208
CQrtQr
бром
NOT
COQ?
173
178
183
PHO
Производная
wg w
Физический и геометрический емысл производной. Теоремы Ролля,
Дарбу, Лагранжа
...
бое
Интеграл Ньютона — Лейбница ооо
Дифференцирование и интегрирование предела последовательности
функций и суммы функционального ряда ............
Существование первообразной.
Интегралы Коши и Римана
...
Вычисление интегралов и первообразных
............
$1.
$2.
$ 3.
8. Интеграл
Лебега
еее ние
$1.
;
Интеграл как площадь фигуры.
Теорема Дини о равномерной сходимости. Класс функций [49
„еее
еее
$3.
‚
$4.
$5.
Суммируемые функции. Класс Lu интеграл JleGera. Teopema Леви,
Фату, Лебега
..
2.2. ee we ewe
eens
ce te ee
Измеримые функции. Теорема Фреше
......
a
Измеримые множества, их мера. Борелевские множества
.....
$7.
$ 8.
Сравнение различных теорий интегрирования
.....
.
Ячейки на прямой и представление суммируемой функции посредством
характеристических функций
ячеек...
С...
Теоремы Егорова и Лузина
...... еее
Интеграл Лебега функции многих переменных. Теоремы Фубини и
Тонелли
еее
еее
..
Плотность отображения. Замена переменных в интеграле
....
Интегралы
Эйлера. Свойства
интегралов
„Лебега, зависящих от
параметра
„еее
уе еее
te
Вторая теорема о среднем для интеграла Лебега. Абсолютно непрерывные функции
„еее...
еее
$2.
Нуль-множества
$6.
Интегрирование
$ 9.
$ 10.
$ 11.
$ 12.
$ 13.
$1.
9. Ряд и uHTerpan
$2.
<
so
©
$ 3.
соевое
по множеству
Pyppe
.....
......
Тригонометрический ряд
и ряд Фурье
Преобразование Фурье.
2.2.2. ee
...
еее.
ee
Теорема Римана — JleOera
ee
ee
еее
eo.
ww.
Интеграл Дирихле. Принцип локализации Римана. Признаки сходимости ряда Фурье
еее
еее
еее
we
159
165
215
_ 220
224
234
249
261
265
285
294
319
320
327
330
335
341
345
349
355
356
358
364
374
‚ 377
383
384
387
>
“IO
Коэффициенты
наки
®
функции
дифференцирования
изменением.
— —
GW to
системы
и интегрирования
$y,
$2.
§ 3.
§ 4.
11.
со
°
Фурье в пространстве L
Фурье в пространстве
10. Обобщенные функции
Приз:
„...,:..........
Вектор ное пространство над полем К. Пространства
. Преобразование
. Преобразование
рядов
Би
. ..
Г. `Теорема
Le
Фурье
[?
Поверхностные
12.
$ 1.
$2.
Формула
Внешние
Формула
..
пространстве
Полнота три-
Некоторые
вопросы
Расстояния
и метрические
Предметный
Список
интегралы.
принципы
рекомендуемой
426
432
434
Планшереля
осени
440
Внешние
дифференциальные
формы
функционального
пространства
функционального
указатель
aumepamypot
анализа
.........
,...........
анализа
2. ss
ee
441
454
464
475
494
504
517
530
........
531
563
ee
582
588
........
....
.
.
494
Гаусса — Остроградского . ...........
.
дифференциальные формы
............
Стокса
„ее.
ъ е
еее
нение.
Основные
401
403
404
417
..
Пространство О’ обобщенных функций
...........
Ряд
Фурье
обобщенной
функции ......
.....
Преобразование Фурье обобщенных функций. ‚
Секвенциальный подход
к теории обобщенных функций
$1.
$2.
$ 3.
392
395
399
............
в ограниченным
. Ортогональные ряды и ряды Фурье в гильбертовом
. Некоторые плотные множества в пространствах 7.
гонометрической
OL?
Фурье
Дирихле
— Жордана
Операции
© 02
=
O°
LD?
Средние Валле Пуссена. Теорема Харди
—
LP
—
ри
мл
©
Сингулярный интеграл Фурье. Принцип
локализации и признаки
сходимости
еее
‘
Теоремы Фейера и Вейерштрасса и следствия из ‘них... .,
eee
nas
Учебное
издание
Ляшко Иван Иванович
Емельянов Владислав Федорович
Боярчук Алексей Климентьевич
ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОГО
И СОВРЕМЕННОГО
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Редактор
Л, П. Онищенко
Художественное оформление
Е, В. Чурия
Художественный
редактор
С. В. Анненков
Технический редактор
О, В. Козлитина
Корректор
Л. М, Байбородина
ИБ №
Сдано
12106
в набор
25.09.87.
Попписано
чать 20.06.88. Формат 60901.
в пе-
Вум. ки.
журн.
Гарнитура
литературная.
Высокая печать. Усл. печ. л. 37,0. Усл. кр.отт.
37,0.
Уч.-изд.
л.
39,18.
Тираж
5000 экз.
р.
к,
Изд.
№
7641.
Зак.
337,
Цена,
Головное
издательетво — издательского
объединения
«Выща
школа»,
952054,
Киев-54, ул. Гоголевская, 7
Отпечатано с матриц Головного предпри»
ATHA
республиканского
объединения
«Пелиграфкннга»,
252057,
Киев,
ул.
Довженко,. 3
на
Белоцерковской
книжной фабрике, 256400, г. Белая
Церковь, ул. Карла Маркса, 4
efa-
an
parte
fr
В
о
И
бо
А
ЯВ
Пе