/
Текст
ТАБЛИЦЫ
ИНТЕГРАЛОВ
И ДРУГИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
TABLES OF INTEGRALS
AND OTHER
MATHEMATICAL DATA
HERBERT BRISTOL DWIGHT
FOURTH EDITION
NEW YORK
THE MACMILLAN COMPANY
16 6 1
Г. Б. ДВАЙТ
ТАБЛИЦЫ ИНТЕГРАЛОВ
И ДРУГИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
Перевод с английского
Н. В. ЛЕВИ
Под редакцией
К. А. СЕМЕНДЯЕВА
ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1978
Б17.2(03)
Д22
УДК 517.3(083.3)
Таблицы интегралов и другие математические формулы Г. Б. Два й т
Книга содержит весьма подробные таблицы
неопределенных и определенных интегралов,
а также большое число других математических
формул: разложения в ряды, тригонометрические
и другие тождества, справочный материал по
специальным функциям.
В книге учтены все дополнения и исправления.
внесенные в четвертое американское издание,
в исправлены замеченные опечатки.
Г. Б. Двайт
Таблицы интегралов и другие математические формулы.
М.. 1978 г., 228 стр. с илл.
Редактор Г. Я. Пирогова
Техн, редактор С. Я. Шкляр.
Корректор А. Д. Холопская.
11Б № 2363
Печать с матриц. Подписано к печати 17.01.1978Г, Бумага 60Х 9071В- Физ. леч. л. 14.
Условн. печ. л. 14. Уч.-изд. л. 15,6. Допечатка тиража 80000 вкз. Цена книги 95 коп.
Заказ № 34.
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-7, Ленинский проспект. 15.
Отпечатано в 4-й типографии изд-ва «Наука» с матриц ордена Трудового Красного Знамени
Первой Образцовой типографии имени А. А. Жданова, Москва. Ж-54, Валовая, 28
20206—034
053(02)-78
СОДЕРЖАНИЕ
№ №
пунктов
Предисловие редактора .......................................... 6
I 1. Алгебраические функции....................................7
60. Алгебраические функции— Производные....................21
80. Рациональные алгебраические функции—Интегралы ..... 22
180. Иррациональные алгебраические функции — Интегралы ... 4>
II 400. Тригонометрические функции ............................70
427. Тригонометрические функции — Производные...............82
429. Тригонометрические функции — Интегралы.................83
III 500. Обратные тригонометрические функции...................ЮЗ
512. Обратные тригонометрические функции— Производные . . . 105
515. Обратные тригонометрические функции—Интегралы.........106
IV 550. Показательные функция ...............................115
563. Показательные функции — Производные ..................116
565. Показательные функции—Интегралы.......................116
V 585. Интегралы вероятности ...............................119
VI 600. Логарифмические функции .......................... ... 120
610. Логарифмические функции — Интегралы ..................123
VII 650. Гиперболические функции...............................130
667. Гиперболические функции—Производные...................133
670. Гиперболические функции — Интегралы...................134
VIII 700. Обратные гиперболические функции......................141
728. Обратные гиперболические функции — Производные........143
730. Обратные гиперболические функции — Интегралы..........144
IX 750. Эллиптические функции................................151
768. Эллиптические функции — Производные...................153
770. Эллиптические функции — Интегралы.....................153
X 800. Бесселевы функции....................................161
835. Бесселевы функции—Интегралы...........................177
XI 840. Сферические многочлены (многочлены Лежандра).........178
XII 850. Определенные интегралы.........'.....................180
XIII 899. Дифференциальные уравнения.............................223
Литература......................................................223
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Таблицы Двайта представляют собой довольно обширные таблицы
неопределенных интегралов, к которым добавлено еще много разно-
образных формул (разложения в ряды, тождественные соотношения,
определенные интегралы и т. п.).
В Советском Союзе таблицы Двайта были выпущены Издательством
иностранной литературы в 1948 г. на английском языке фотомеха-
ническим способом. В настоящем издании текст переведен на русский
язык, американские обозначения заменены принятыми в СССР. Перевод
сделан с четвертого американского издания (1961 г.), причем вос-
становлена глава, посвященная дифференциальным уравнениям, опу-
щенная в издании 1948 г.
Список литературы составлен заново, в основном из книг на
русском языке. В ссылках в тексте число в квадратных скобках
означает номер в списке литературы на стр. 223—224'. Однако
ссылки на литературу, преимущественно учебную, относящуюся
к отдельным формулам, в настоящем издании опущены, так же как
в издании 1948 г. Кроме того, исключены числовые таблицы, состав-
ленные не очень логично, помещение которых в настоящем справоч-
нике недостаточно оправдано.
IC. Семендяев
I
алгебраические функции
(1 4- х)” = 1 + пх + --^=^ хг -ь
. п(п-1)(п-2) , _ _П1
1 3! ' • • • U/1 —И! г! х Г,<-
Здесь и далее всюду полагаем 0! = 1. Если п—целое положительное число,то
выражение состоит из конечного числа членов. В противном случае ряд
сходится при №<1; причем, если п>0, то ряд сходится также при х2 = 1.
2. Коэффициент при хг в 1 обозначается или CZ.
Величины этих коэффициентов даются в следующей таблице.'
Таблица биномиальных коэффициентов С„,
2
4
6
1
1
10
8
9
10
1
7
28
84
210
1
8
36
120
1
9
45
2
3
4
5
6
7
8
9
10
I
3
6
10
15
21
28
36
45
4
10
20
35
56
84
120
1
5
15
35
70
126
210
1
6
21
50
126
252
Сумма двух соседних чисел в любой строке равна числу, находящемуся
в следующей строке под правым слагаемым.
Подробную таблицу см. [26|.
3.
Ml I , П (п. — 1) Z
(1 —х) — 1 — пх -|------—------X —
п(п — 1)(>г—2) ,
gj А .
(См. примечание к 1.)
8
4.
4.2.
4.3.
4.4.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
6.
7.
8.
©.01.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[4
(а±х)” = «"^1 ± .
(1 i х}г — 1 ± 2х 4~х2.
(1 ± х)’ = 1 ± ЗхЧ-Зх* ± Xs.
(1 ± х)4 = 1 ± 4х 4- 6х2 ± 4х* 4- Х\
и так далее, используя коэффициенты из таблицы 2.
/1 . ли 1,1 1-3 2 , 1-3-7 ,
(1 re X; 1±4Х 4-8А 4-8-12Х
1-3-7-11 ,
4-8-12-16 Х ± • ’ •’
(1±х)‘^1±1х-3^л-2±^-
1-2-5-8 4
3-6-9-12Х -Ь*-”
(i±x)-'’=i .V--4
[х^1].
, 3-I-1.3 . З-Ы-З-5 ,
~*~2-4-6-8'V + 2-4-6.8-10 ’г-*”’
(1±хГ = 1±|х4-йх'±|^-
5-3.1-1 л 5-3.1-1-3 <s
2-4-6-8Х ±2-4-6-8-10Х
(Xs <1].
[х’<1].
(1 4- х)-п - 1 — пх 4- --^±1! хг — п(п + у<я+21 х» +
(1-х)-"=14-«х4- л-^х24-»(» + >±L"+l)x> +
(а±х)-п = а-"(1 ±
10]
РЯДЫ
9.02. (1 ±х)“7’ = 1 + 4-
. 1-4-7-10 л _
+ з-6-9-12Х
9.03. (1 ± х) */2 = 1 -F -у х 4 gTj х ~i~2.4.6 л 4‘
, 1-3-5-7 4 _
+ 2-4-6-8Х
9.04.’ (1 ± хГ’ = 1 q=x4-x2Tx’4-x4 Т
9.05. (1 ±л-Г3'г=1 +
3-5-7-9
’’’ 2-4-6-8f 'г ‘ ‘
9.08. (1 ± х}~* = 1 Т 2x4- Зхг Т 4№ 4-5х4 Т - - - ,
9.07.' (1 * хгГ = 1 Т 4 х+ Т +
9.08. (1 ±х)“* = 1 Ту^р-ЗхТ 3-4л-г4-4-5х3 Т
=F 5 - 6х4 + ...},
9.09. (1 ±х)~4 = 1 4= Г2-3'4^Т 3-4-5:? |-4-5-
1 ’ 2. О
+ 5-6-7л4-]- . • • },
9.10. (1 ±x)-s = 1 Тт-тД-Нг.З^-бхТЗ^-З-бхЧ
1 * zL * о * zt
-]-4-5-6-7x3 + 5- 6- 7- 8x4-|- ...},
10.
21= 2
3! = 6
4! =- 24
51= 120
6!= 720
7! = 5040
81 = 40320
9!= 3 62880
10!— 36 28809
11!= 399 16809
121 = 4790 01600
1/2! =0,5
1/3! =0,16666 66667
1/4! =0,04166 66667
1/5! =0,00833 33333
1/6! =0,00138 88889
1/7! =0,1984126984-10
1/8! =0,2480158730-10
1/9! =0,27557 31922-10
1/10! = 0,27557 31922-10
1/11! = 0,25052 10839-10
1/12! = 0,20876 75699-10
Более подробную таблицу см. [18].
10
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[11
И. Km „ = /2л.
п-><» ппе 11 у /г
Эта формула позволяет получать приближенные- значения п! при боль-
ших п. Результат получается с избытком а 0,7*/е для « — 12 и 0,4° /0 для
и = 20 (см. также 851.4 и 850.4).
12. n £ n 2” n 2~n
2 4 15 32 768 2 0,25
3 8 16 65 536 3 0,125
4 16 17 131 072 4 0.0625
5 32 18 262 144 5 0,03125
6 64 19 524 288 6 0,015625
7 128 20 1 048 576 7 0,78125 • IO"2
8 256 21 2 097 152 8 0,39062 5 • 10“2
9 512 22 4 194 304 9 0,1953125 •IO"2
10 1 024 23 8 388 608 10 0,97656 25 •IO-2
11 2 048 24 16 777 216 11 0,48828 125 • IO-2
12 4 096 25 33 554 432 12 0,24414 0625 •10"*
13 8 192 26 67 108 864 13 0,1220703125 .10-*
14 16 384 27 134217728 14 0,61035 15625 . 10-*
15.1 . (fl ф- £ф- с)2 = «2+ &2ф- сг -\-2ab-\-2bc ф- 2са.
15.2 . (а 4- b— с)2 ~ а2 4- If 4- с2 4- 2аЬ— 2Ьс—2са.
15.3 . (о — b—с)2 = а2ф-£2ф- с2 — 2ab-\-2bc— 2са.
16. (а. 4- b 4- с 4- d)2 = а2 4- Ьг 4- с2 4- d2 4- 2ab 4- 2ас ф-
4- 2ad 4- 2bc 4- 2bd 4- 2cd.
17. (а 4-#4- c)s =has 4-^’4- c’ ф-байсф-
4- 3 (a2b 4- ab2 ф- b2c ф- be2 ф- cfa ф- cfl2).
20.1 . оф-х—(fl2— x2)/(fl— x).
20.11. 1 ф-х = (1 —x2)/(l—x).
20.2 . a2 ф-охф- X2 = (a3 — x3)/(fl—x).
20.3 . fl34-a2x4-flx2 + x’ = (fl4— x4) /(a—x) =
= (fl2 + x2) (fl ф- x).
20.4 . fl4 4- flsx 4- fl2x2 ф- ax3 + x4 = (fls — x3) I (a — x).
20.5 . a5 4- «4x + fl’x2 4- a2x3 4- ex4 4- xs =
= (fl6—X6) j (fl— x) = (fl3 Ф- Xs) (fl2 ф- АХ Ф- x*X
21.1. «—x—(fl2— x2)/(a4-x).
21.2. a2—ax ф- x2 = (а3 ф- x2) / (a 4- x).
28.3]
21.3.
21.4.
21.5.
22.
22.1.
23.
25.
26.
26.1.
27.
28.1.
S8.2.
28.3.
ФОРМУЛЫ 11
o’ — azx 4- ax2 — Xs = (о4 — x4) I (a x) ==
= (o2 x2) (a — x).
o4— o’x4- o2x2— gxs г x4 =s(o5 + x5) I (a 4- x).
o6 — o4x 4- o’x2 — o2x’ 4~ «л-'4 — x5 =
= (o®— xe) /(«-г x)^(o3— x’)(o2— ax-{-Xs).
a“ + a2x2 4- x4 = (o®— x®) I (a2 — x2) =
-^(a2 4- tzx-j-x2) (a2 — ax-) x“).
о4— a2xs 4-x4 = (a® 4- x6) I (a2 4- x2).
a4 4-x4 = (a2 4-x2)2 — 2a2x2 es
= (a2 4- ax\/~2 4- x2> {a2 — ox]/2 + x2).
Арифметическая прогрессия первого порядка (с посто-
янными первыми разностями) из п членов
в4~ (° 4~ 4~ (й 4~ 2*0 4- (° 4_ 3d) 4- . •. 4- { ° 4- (я— 1) d} =з
— па 4- п (п — 1) d =
= Х (1-й член4-п-й член).
Геометрическая прогрессия из п членов
а 4- аг 4- аг2 4- ar3 -|- ... 4-or"_,=a(l—г”) / (1—г) s
= о (гп — 1)/(г— 1).
Если г2-<1, предел суммы бесконечного числа членов
будет а. / (1 — г).
Обратные величины членов арифметической прогрессии
первого порядка образуют (по определению) гармоническую
прогрессию. Так,
1, 1 , 1 1
с а 4- d ’ а 4- 2d ’ ’ ‘ ’ a 4- (Д — 1) J
есть гармоническая прогрессия.
Средняя, арифметическая п величин:
(ai + а2 + йз 4-.. • 4- «„).
Средняя геометрическая п величин:
{ауага3...ап)^.
Н—средняя гармоническая п величин определяется сле-
дующим образом:
JL —ГА.j _1д_ Ч-Ax
Н п Va» а2 * а, ‘ а,,]'
12
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[28.4
28.4. Средняя арифметическая некоторого числа положительных
величин больше или равна их средней геометрической,
которая в свою очередь больше или равна их средней гар-
монической.
29. Арифметическая прогрессия k-го порядка (/г-е разности
постоянны).
Последовательность: uv и2, и3,..., ип.
Первые разности: dt, +>, d3,...,
где dx=u2 — uv d.2 = u3~u2 и т. д.
Вторые разности: dt, d2, d3,...,
где dh—d2—dt и т. д.
Сумма п членов последовательности равна
п! , п! л , п 1 у ,
(и —1) I 11 + (л —2) 121 +" (л —3)13' а* + * * *
29.01 . Если таблица функции ип дана для равноотстоящих зна-
чений аргумента с интервалом /г, а именно /(а) = ир
— и2, /(a-\-2h)~u3 и т. д., то
f(a + ph) = ux + рф + d\ + d’" + ,
где p<l, a d,, d3 и т. д. даны в 29. Коэффициенты при
d}, dy, d} и т. д. называются интерполяционными коэффи-
циентами Грегори — Ньютона.
Численные значения этих коэффициентов см. [25].
29.1. 1 +2 + 3+ ... + п = ^(п+ I).
29.2. 1г + 22 + 32+ ... + л2 —(л + 1) (2л + 1) =
= — (2/г+ 3л+ 1).
„2
29.3. 1’ + 2’-ф33+...+л3--г(л+1)г-
= 2.\^ + 2л+1).
29.4. Гф24 + 34+... + л4---
==^(л+ 1)(2л + 1)(3л2 + 3/г— 1) =
= -(б/24 + 15/г3 + Юл2 —1).
РЯДЫ
13
п nFJ'* . П? . Bj p—l
L“ “Г+т+а+и'’'1 -
Q=I
— ffp(P~ 1)(P—2) ^-4-...,
отбрасывая члены с л° и последующие. Величины
Ь’2,... см. 45.
Приведенные формулы можно использовать для нахож-
дения сум,мы рядов, л-й член которых выражается через
п, п\ п? и т. д.
1 -t- 3 + 5 ф- 7 + 9 4 ... 4- (2л - 1) = п\
2
1 4-8 4- 16 4- 24 4- 32 4- .. . 4- 8 л — 1) — (2л — 1) .
1 4- 3x4- 5х2 4- 7х3 4-
1 4-х
(Т^Р ’
1 4- ах 4- (« 4- Ь) х* 4- {а 4- 2Ь) х'1 4~
. ах+(Ь—а) х*
И (1^ *
1_1 ь!_1 1 1 1
2 5'8 11 ’ 14
1 4-v
"(1—*)’•
1 4- 4- х’ .
= ДТ^)3-’
1
р VG-1
[<7, /Х>0].
[См. 120 и 48.31.]
тГ-?=+ 1п2)-
3 \Кз J
[См. 165.01.]
46^-ln2V
3 \ V з )
[См. 165.11.]
1 4-1-14-1
5’9 13 + 17
гЙ!я + 21п(,/2+1»-
[См. 170.]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[38
Степенной ряд для /(/г) имеет вид:
/ (А) (0) + hf (0) + £f (0) + £f" (0) 4- ...
(Ряд Маклорена.}
f(h} = /(0)4 hf (0) + (0) 4-
h3 hn~*
+уГ (0)+ ... 4- (0)+ Rn,
где при некотором значении 0, заключенном между 0 и 1,
^=^/<П,(0Л), или (_21_!(l_0f-7‘”-(f)/z).
h h s
/(х-4 А) =/ (х) + hf (х) 4- 2]/" (X) -|- з,/"' (х) + ...
(Ряд Тейлора.}
/(х4-А) = /(х)4-А/'(х)4-
1,2
4 (х)4-... 4- ” (х)+/?„,
где при некотором значении 6, заключенном между Он 1,
=дГ"(*+№>.»-™
+1,. у + It) = /(X, Л + { Л + k } +
। । ft, g/<«..../) + 2llk 4ДЛД + k. 1 +
2 | дх2 ох оу ду2 )
-L1J +ЗЛ-Л 44М3+3^! 444 +
ш:3 дх2оу ох ду2
+ k3^LSbJl{j J_D
ду3
при некоторых значениях 0, и 92, заключенных между
3!
п*
где
0 и
яп г)'1
hn°+nhn-'k.^rr-\-
дхп дхп *ду 1
д”
дуг'
,П-1
П|
I П (п 1) 1^п — 2,,2 д
"Г 2! П К дх'1~2ду2
f(x+§Jl, y+\k}.
I
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Число делится на 2”, если число, составленное из п его
последних цифр, делится на 2".
47.3J
45.
ФОРМУЛЫ И РЯДЫ
13
Числа Бернулли и числа Эйлера
Числа Бернулли 1g вп Числа Эйлера 1g £.
Bt _ 1 “ 6 1,221 8487 1 0
в2 — 1 “ 30 2,522 8787 е2^ 5 0,698 9700
В3 — -L ~ 42 2,376 7507 Е3^ 61 1,7853298
в. 1 “ 30 2,522 8787 Е^ 1 385 3,141 4498
в-а _ 5 66 2,879 4261 е5^ 50 521 4,703 4719
Вв __ 691 “ 2730 1,403 3154 Е6 = 2 702 765 6,431 8083
в. _ 7__ ~ 6 0,066 9468 е7^ 199 360 981 8,299 6402
Ва _ 3617 — 510 0,850 7783
В9 43 867 “ 798 1,740 1350
Bio __ 174 611 2,723 5577
330
Ви 854 513 138 3,791 8396
Бернулли я
46.1.
46.2.
47.1.
47.2.
47.3.
Вп^
Существуют различные обозначения для чисел Г
Эйлера. Принятые здесь обозначения определяются формулами
47.1 и 47.4.
р = р__________(^ч!) р . . ..__।
п (2п — 2)! 21 Ь”~1 (2п — 4)14! Ьи~2’Г ••• + к J) »
принимая 01 = 1 и Ео — I.
(2п — 1)!
2л
(2п)1 Г
n2n22n—1 |
(2;/)!
В
Вп л2п(22>1~1-1)
р __ 2(2//)! _
*'п
22п(22п—1) [(2// —2)! 1! 1
(2п — 1)! г ,
(2/г — 4)1 3! £п~2 + •
l-2_ + J_________L-
22п 1 з‘2п ^2п 1
_L _L Д_ _J L _1_ I
' 32п ' 52,t * /2п *
16
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
147.4
47.4. р __22В+2(2и)! Г, С« л2"+’ [J L_ - 1 32/Л-1 1 52П + 1 у2« + 1 Г • • • I •
48.001. 1+у+4+т+- .. = се.
48.002. 1 +^ + у2 + ^+ • „г г, 3x2 . . — Л В = ~ = * ь (См. 45.)
== £ (2) = 1,64493 40668.
48.003. 1 + р + гз 4- 4- . .. = £ (3) — 1,20205 69032.
48.004. ‘ 24 ' З1 ' 44 Г * II к 18 II ссГ к1« II (См. 45.)
= £(*)= 1,08232 32337.
48.005. 1 + 2# + з?+ 45 + • .. = £(5)= 1,03692 77551.
1 1 1 2л6 л’
48.006. 1++« + + + + + • 45 ^з 945 (См. 45.)
= £ (6) = 1,01734 30620.’
48.007. 1 + ^7 + gT + + . .. =£(7)= 1,0083492774.
48.008. 1 +^ + ^ + ^s4- • л8 „ л6 315L i 9450 (См. 45.)
= (8) = 1,00407 73562.
1 1 1 С2П— I
48.08. 1+^ + 3571+4^ + . = ~ -В ('2п)1 "
[л—целое, положительное]. (См. 45. 47.1.)
48.09. 1+<^ + ^ + 47+. •. = £ (р), дзета-функция Римана.
Таблицу численных значений этой функции см. [16].
48.11. 1+4-4-4- +...=оо.
<5 0/
48.12. 1+^ + ^ + ^+ ••• = VZ?’ = S- (См. 45.)
48.13. 1 + ~+A + i+ ... =4-£(3)= 1,05179 97903.
out о
(См. 48.09.)
48.39]
РЯДЫ
17
48.14. l+Ji+^ + l<+...=^B, = g=’|t(4)= (См. 45.)
= 1,01467 80316.
48.18. 1 + -1 Д- -1 4- — + . (См. 45, 47.3.)
-»м. ид. » -j- ^2/I -j- ^2ll -j- „2;l । - . . . 2 - (2ч) 1 n v '
48.19. 1+1 + 1 + 1+... ^1-1)£(Г). (См. 48.09.)
48.21. 1 —1+ ‘ _±+... =ln2. (Cm. 601.01.)
Zi 0 ‘l
11! -T2 тг2
48.22. + ,+ ••• <Cm- 45*>
48.23. l-l-}-.!- ’ i- ... = [1-1V(3) = 0,9015426774.
Z 0 x \ Z I
(Cm. 48.09.)
48.24. 1-1 + 1,—1+... = fcl7L,z?2 = ^.’ = (Cm. 45.)
= (1—1) £ (4) =0,94703 28295.
48.28. 1-4 + ^^^,+ ... =<2"'+,1)"’"g„. (Cm. 45, 47.2.)
48.29. + J--|- ... =(l_.++(f). (Cm. 48.09.)
(Для p=l cm. 48.21.)
48.31. 1-1+1_1+... =2Leo = 2L. (Согласно 46.1 £0=l.)
48.32. 1 —1 + 1—‘ + . . . =0 = 0,91596 55942.
48.33. 1-1+1_1>+... =g£i.+ . (Cm. 45.)
48.34. 1-1 -1-Д lx... «0,98894 4 >5.
48.36. 1 —1 + 1— ’+... =0,99868 522.
0 0/
48.38. l’ + 1—1+ ...=0,999850.
0 0/
48.39. 1 gwf+i + 524+Т 72.4 i-i ’h • • — 2й++2/i)7 [Cm. 45, 47.4.]
18
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Обращение рядов
50. Пусть известен ряд
у — ах А- Ьх1 4- сх’ -4- dx* -4- ex* 4- /х* 4- gx14- ..., [а^О],
тогда коэффициентами ряда
х = Ау -|- Бу2 -|- Су3 4- Оу4 4- Еу5 4- Fу® 4- Gy4 4-...
будут
Л=-, В=С=-Л2Ьг — ас),
а ’ а3' а®' п
D = ^ (ба&с— a2d—5//),
Е = (6а2 bd 4- За2с2 4-14.6* — а’е — 21 ab2c),
F ~ ±у1(1а*Ье 4- 7a*cd 4- 84а/>’с— а4/—2§a2b2d—
— 2&a2bc*—42b'),
О=А (8а4^/4- 8а4с<? 4- 4аМ’4~ 120aW4- 180a**lc’4-
4- 132/;® — a*g— Зба’^’е — 72а’ bed— 12а’ с* — 330а£4с).
Степени S = а 4- Ьх 4- сх2 4- dx* 4- ex* 4- fx*-F ,..
61.1. <S2 = а2 4- 2abx 4- (bs 4- 2ас) x2 4- 2 (ad4- be) x* 4-
4- (c14- 2ae 4- 2bd) x* 4- 2 (af 4- be 4- cd) x‘ + ...
61.3. = [1— ±lx4-fA^—1-£>x!!4-
|_ 2. a \ 8 a2 2a)
. f 3 be 1_ d 5 .
16aT +
”* \ 4 a£ 8 a* 2 a 16 as 128 a1/ X
ФОРМУЛЫ И РЯДЫ
19
58.3}
51.5. S~2 — a~* Г| — 2-хф (з -г— 2-Vs +
+ (б-2—2- — 4-^х’ф-
\ а2 а ст}
+ f6-' + 3-2 —2--12—3+5-Л . . 1
' \ a2 a2 a a3 a*) J
Корни квадратного уравнения
55.1. Корни ах2 4- Ьх 4- с — 0:
— b-j-l^b2— 4ас —2с
а =----,
b-[-yb2—4ас
р —b—У Ь2—4ас —2с
2а b— |/ Ь2— 4ас
Чтобы избежать потери точности при вычитании, следует
пользоваться той из двух формул, которая требует арифметиче-
ского сложения
55.2.
Если один из корней а вычислен точно,
то
Ь а с
— или К — —
а 1 аа
Квадратные корни
из комплексных чисел
58.1. /х+/>=± /ф+z]/^
58.2.
Здесь х может быть положительным или отрицательным,
у— положительно.
г = 4- Ух2 4- у1, i = У — 1.
Квадратные корни из (гф-х)/2 и (г — х)/2 следует считать
положительными.
Б8.3, Другой метод—представить х-\-iy в форме
Ге1 (б+ал/г) (см 604.05),
где г = '/№ 4- У2, cosO = — , sinO = — ,ak — целое число
пли 0. Тогда
Ух 4- iy = j/re1' ° = ± У re11,2 — ± У г ( cos ф- i: sin 4 .
X Л i
20
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[59-1
59.1, Определитель
<4 а2д
--aip Пгд
а2Р а\д
59.2. Определитель
(lip a\q а\г
tl2p (12д (12Г
^ЗГ> ^ЗГ
“zq пгг
azq (1зг
@20 а2Г П2р
+ Я1Г
азр азг Пзр
a2q
59.3.
Пзг~^д aJ~alq(a2P
Если дана система трех линейных
азг —пзр Я2г) +
+ “ЛР %“%%)•
уравнений
а^х + а^У + = “
«2РА’+%>+«2Гг = ’и,
V+%J’+'W = ®'.
то
7^'27^Г
W азг
\а2Р азд
йь-
Z =
V
а^р й2р азр и v а2Г w а,г
(!ЛГ
а2р a2q ^2Г
азр a3 г
а^Р и
П^Р a2q V
^Р aiq И)
а^р й2р atq аЗГ (tzq ^2Г
азр азд Пзг
Корни системы
линейных уравнений с бблыпим числом
число уравнений равно числу неизвест-
аналогичными формулами, если знамена-
неизвестных, если
пых, выражаются
тель отличен от нуля.
72]
ПРОИЗВОДНЫЕ
21
Алгебраические функции — Производные
80. d(an) du — a где а—постоянная. dx dx’
61. d(u-j-v) du . dv d(tw) du dx dx dx' dx dx dx ’
63. d(uvw) dw , du , dv d (xn) „..j dx ^dx+^dx + ^dx' “• dx ~nX
64. 1. ‘ 04.2. «1!^ - —V dx 2 у x ax x
64. 3. d(x~n) -<n+n ——- = — nx'n+'\ dx du d'-i
65. d(iijv) 1 du ti dv dx dx dx v dx v2 dx v2
66. df {u) df (u) du ? d2f (u) df («) d2u , cTf(ti) (<fa\a dx du dx ’ ’ dx2 du dx2 1 du2 \ dx)
68. dn (uv) _ _ dnti dv dn~'u ,n{n — 1) d2v dn~*u dx'1 J d:d‘ 1 ndxdx!l-' 1 2! dx2dxn~2 1 n’ dkvd"~ku , tidr‘v "T" • • "o (n—rfxk dx'l~k 1 ' dxn
69. 1. 2~q /U) dx = /<7) (P— постоянно).
69. 2. j/W dx = — f{p) (fl —постоянно), p Q
69. 3. c)dx^yd-/{x, C)dx + f(q, c)^c-fip, C)^c. p p
72. Если <p(fl) — 0 иф (a) = 0, или если <p(n:) —оо и ф(д) = оо, то в,„ Ф («) Если также ф'(д) — 0 и ф'(«) = 0, или если <р'(о) = оо и ф' (о) = CXJ, то <₽(*) ф"(а) lirn ~~ = п т. д. *). фа
) Более точную формулировку см., например, [1]. (Прим ред.\
22 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [72.1
72.1. Если функция имеет вид О-оо или оо—оо, то ее нужно
алгебраическим или каким-либо другим преобразованием
О 00
привести к виду или —.
72.2. Если функция имеет вид 0°, ос0 или 1®, то ее надо сна-
чала логарифмированием привести к виду О-оо, а затем
О 00
К ВИДУ 7- или —.
J О оо
79. Общая формула интегрирования по частям
^udv — uv—v du,
или
С л f du ,
\ и dv = uv— I v~r~ dv.
J J dv
Рациональные алгебраические
функции — Интегралы *)
Интеграл ы, содержащие хп
80. ^dx = x. 81.2, =
I Г* C Y^ ®
81.1. \ xdx = ^. 81.9. | x"rfx = A__. [//=£—1].
1 Г dx
82.1. J—- = 1п|х|. (См. примечание перед 600.)
В этом случае нельзя интегрировать от отрицательного зна-
чения х до положительного. При отрицательном х надо взять
In | х |, поскольку 1п (—1) = (2й-|-1) jit войдет в постоянную ин-
тегрирования (см. 409.03). (См. рисунок на стр. 23).
82.2. [~=--------. 82.3. ’
J X2 х J х3 2х2
82.4. -L 82.6. Л.
J х1 Зх3 J х 4х‘
82.9. [ ~ = — 7-----[« 1 ].
J хп (п— 1)%" 1 1 J
*) Здесь и далее произвольная постоянная интегрирования опущена.
89]
интегралы, содержащие X— a-j-bx
23
Интегралы, содержащие Х — а-{-Ьх
S3. XndX= b^n + l^ [л¥=—1].
84. I. хт (а + bx)n dx можно интегрировать почленно после раз-
ложения (<7-f-/?x)" по формуле бинома Ньютона, если п
целое положительное.
84.2. Когда т целое положительное и если т <Z п или п дроб-
ное, может быть, лучше использовать формулу
J хтХп dx J (Л— d)mXndX
и разложить (X—а)т по формуле бинома Ныотэна.
Рис. 82.1. Графики функций у=1[х (пунктир-
ная линия) и у— In | х | (сплошная линия).
85. Интегрирование рациональных дробей—см. соответствую-
щий раздел в учебниках интегрального исчисления.
89. Общая формула для 90—95:
т
xmdx 1 i (X —a)mdX 1 Гт Ц—df Хт~п-Я+* 1
Хп —bm+l\ Хп ~ hm+i Ld. (m—s)!sl (m—n—s + n' *
ей исключением tn—n—s-|-l=0. В ©том случае соответствуем-
24
90.
90. 1.
90. 2.
90. 4.
91.
91. 1.
91.2.
91.3.
91.4.
91.5.
92.
92. 1.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУ НК ЦИИ
щпй член суммы в квадратных скобках должен быть заменен на
т \ (—й)'д-» + ‘
(tn—п + 1)1 (п— 1)!
Все буквы означают действительные величины. При наличии In | Х[
нельзя интегрировать на интервале, содержащем точку Х=0.
Если X—отрицательная величина, то надо брать 1п|Х[, так как
In (—1) ~ (2Л +1) л1 войдет в постоянную интегрирования.
f dx
,) X"
___— J___
(п — I) ЬХН ~1
= у In | XJ. [См. примечание к 89|.
Г dx I J х7- ~ьх • 90.3. J dx X3 = 1 2bX2'
Г dx _ ) 90.5. « " dx 1
J X* зьх3' С xdx 1 1 — 1 X3~ 4fcXv
J X" b2 |(/г—2)X"“ 2 1 (n — 1)X"-*J
(кроме случая, когда какой-либо из показателей степени X равен
нулю, см. 89).
x2dx 1 —1 2а а2
~Х^ ~Ь3 (п—3)Хп~3 + (и—2) Х"~2~(n — DX'1-1
(кроме случая, когда какой-либо из показателей степени X равен
нулю, см. 89).
С x2dx 1 ГХ2 21 । vil
J | 2-2«Л+<2 In [ X .
Другое выражение, отличающееся на постоянную:
х- ах , а2 . ।
2£ 4~ £3 I*11 й И |.
94]
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ X = а 4- Ьх
25
92.2.
92. 3.
92. 4.
92.5.
92.6.
92. 7.
93.
93. 1.
93. 2.
93. 3.
93. 4.
93. 5.
93. 6.
93. 7.
94.
х3 dx _ 1 X—2а 1п | А'| а2
X2 ~ ь3 х]
х2 dx X3 1 ь3 ‘ln|X|+^- а* 1 2Х2]’
х2 dx 1 1 , 2а а2 1
X3 “ ь3 X ' 2Х2 ЗА J
х2 dx 1 1 2а аг
Xs ~ ь3 ~ 2Хг 1 ЗХ3 4А1 •
хг dx 1 1 , 2а а2
Xе ~ ь3 ЗА3 ' 4А1 5Х5 •
х2 dx 1 ь3 1 2а а2
X7 ~ 4Х‘ 1 5Х5 6Х“
х3 dx 1 * । За
Ха ~ ь3 (я — 4) А"-4 1 (я —3) X
Н — з
За*
~~(п-‘2)Х,г-г~г(п- 1)Хп~Ч
(кроме случая, когда какой-либо из показателей степени X равен
нулю, см. 89).
С х3 dx _ 1
J X ~Т3
_ х3 ;
~3b ь3
X3 ЗаХ2 . о 2 v з । I VI
у-----— 4-За2А— as In | А | =
ах , а х 1. in । а у । у const.
х3 dx 1 ь3 - у2 ЧлУ 1 Я/ 2г1п|Х|+~
X2 ~
х’ dx 1 X—3aln| АГ| За2 -I-—- r 2Х2
X3 ь3 X
х3 dx _ 1 In 1 X! I За За2 , а3 ]
X4 ’ Ь3 2Хг 1 ЗХ3] •
х3 dx 1 1 За За2 а3
~Х^~ ь3 X ‘ 2Х* ЗХ3 । 4Х*]‘
х3 dx __ 1 1 За За2 а3 1
Xs ь3 [ 2Х2 । ЗХ3 4Х* 5Х5 ]*
х’ dx 1 1 ] За За2 а3 I
X7 ~ ь3 | ЗХ3 1 4Х3 5Х5 г 6Х3]
х4 dx 1 — 1 , 4а
Хп ~~ bs (я-5)Х“-5 1 (я — 4) X'1-3
а*
6«2 4а3 a3 I
“ (я—3)Х"-3 + (я—2)Х"~8 — (я —1)Х"-’ J
(кроме случая, когда какой-либо из показателей степени при X
равен нулю, см. 89).
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[94.1
x*dx
1
bs
X4 4aX3 . 6a2X2 я v . 4. '
4----3~+~9-------4a A-J- a* In [ X| =,
x* ax3 a2x2 a3x a*. .
4b —3b2 4~ 2b3 b4" b5 Л * a + H~ cons^
x? dx 1
~Xr~Ts
+ 4a’In|X| —£1.
L о z 1 л j
1 Г Ya
p ^-4aX+6a2ln[X|
1
4a3 a4 I
1 X 2X2]
x4 dx
"Xя"
C x4dx J £ b5 X— 4a In | Л] 6a2 X . 4a3 1 2X2 a4 1 3X3J
О x4dx 1 In 1 Xi 1 40 6a2 ( 4as a4 |
J As b5 2X2 । 3X3 4X4 J ’
P x4 dx 1 .. Г 1 . 4a -4- 6a2 , 4as a4 4
J Xе b3 L X 2X2 3X3 1 4X4 5XSJ *
p x4dx 1 1 4a 6a2 4a3 a4 1
J X7 b* L 2X2 1 3X3 4X4 5XS 6X6j
p xs dx ’ -1 _L. 5a *
J Xя ~ be [(n — 6) X"-6 (n — 5) A"2~3
10a2 10a3
(n—4)X22-4 + (n —3)X"~3
5a4 a5
~~ (n — 2)Xn~2 + (n-DX3-1
(кроме случая, когда какой-либо из показателей степени при X
равен нулю, см. 89).
р х5 dx_ 1
J X ~Т*
X3
5aX4
__ Хэ ax4
5b 4b2
10a2X3 I0a3X2 , . 4 v И । vil
5-----4- т —---------— + 5a4X— a In J X |
a2x3 a’x2 . a4x a3 . . , , , ,
W~2br + ‘bi------V lnH + ^l +const.
Г x5 dx__ I
) ~Xr~ b3
P x5 dx__ 1
J X4 ~Te
Г xs dx 1
) Xs ~ be
'* x5 dx 1
ГХ4 5aX3 , 10a2X2 3 v , . 4. . v, , a5]
[4----3-4-----2---10a3Х4- 5a4 In | X[ +
[Xя 5aX2 n 3, .... 5a4 , a51
y 2-+10a2X—10a’ln[X|—-^-4-2^]
'X2 г . . 10a’ 5a4 . as 1
2 5aX~b 10a ln|A|-)- x~ 2Х2’^ЗХ3]*
Tv 4 1 1 vi ^aS §ai aS 1
|^Л — oa in j A I — -x“ 4" 2^ — aX5 4- oxi J •
2 li„ 1 vi t 5a 10az , 10a3 5al , a5 3
~ЬЧ 11П I л I 4- x~ 2A? + ЗХ3 ~ IX3 т- 5ХЧ •
102.2]
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ Х~ (1-{ Ьх
27
Р xs dx 1 Г 1 . 5а 10а2 10а3 5а4 а5’
96.7. j ~be L А-’’ 2Х2 ЗХа-,"4Х* бХ^бХ6*
fxsdx 1 Г 1 , 5а 10а2 10а3 ба* а5 1
9о.В. J р |~2Х2'Н ЭХ3 4Х4 ~i" 5Х5 6Xe’t'7X7J*
100. Общая формула для 101—105
\т + п — 2
X Ь) , (К} —
J ^Хй~ат+П-1 J /Ху‘ \х)
\ X )
т + п—2
__ —1 Гу (m + n—2)lXm-s-1(-b)s
ат + п-г 2-4 (т + п — s — 2)’s I (т— s—1)х'л_’9-’
u с—а
кроме т—s—1=0, кс скобках заменяется на (т + п — 2 (т— 1) 1 (л — . „. . С dx 1 ] XI 101. 1. \ -v = 1п — . J хл а г | «л. п С dx 1 Г, IX 1 101.2. \ -=.= г Ип — J хХ2 а2 | | х . л 1 о Р dx I Г1 1 101.3. 1 — 5 1п — J хА3 а3 [ j х . л. . С dx । Г| 1А ,01-4- ]а5=-5=[|лк 101.5. 1 [in 1—. J xXs а’ | х гда соответствующий член в квадратных . Ьх' + х • 2Ьх Ь*хг 1 X 2Х2 ’ 3bx 3bzx2 . bsx2'
1 X 2Х2 ' 3XSJ' 4fex 6b2x2 4feaxa W1 + X 2X2 3Xa 4X4 j"
Другие выражения, отличающиеся на постоянную:
101.92. C dx J xX2~ 1 aX ~2 'П a2 X X •
101.93. C dx J ^xa== J- + J- 2aX2 a2X 1 1 1* -3 In — . I3 1 X
101.94. C dx __ J xX4 — — 4 3aXa^ ! L 2a2X2 1 1 1 X [ asX a4 11 x Г
101.95. C dx __ J xXs~ 4aX4 1 3a2X3 1 1 1 ±1*1 2a3X2 ! a4X a5 П x Г
102.1. f dx _ 1^ ’X _ t1 1*11 -b In — .
J x2X a2 X 1 X I J
102.2. C dx 1 X _ n, . IX b2x ’ -2b In — .
J x^X2 a3 X | x Л
Л Л Г Е С> Р л 11Ч ECK И Е ФУНКЦИИ
[102.3
На этой странице X=a-t-bx.
102.3. f dx J x2X3 “ a1 Y—ЗА i n I x 3ft2x X . AVI 1 2X2J *
102.4. p dx 1 ГХ 47) 1 n X 6t>2x , db’x2 b3x3
J x2X4 a3 Lx TO ill X X 2X2 3X3 •
Другие выражения, отличающиеся на постоянную:
102.91. p dx J x2X 1 , b , 1 g Ifi ax ar * |
102.92. p dx b - 1 , 1 2 In X
J x*X2 a2X + агЬх as X 1 •
102.93. p dx __ J x2X’~ — b [ 1 2a2X2 2 ~a3X a3bx —2 a In 1* X
102.94. p dx — b [ 1 2 3 1 n X 11
J x2X* ~ 3a2X3 2a3X2 1 a4X r cdbx a3 X i 1 •
103. 1. p dx 1 1 'X2 2oX -b2 In| X '
J xJA a3 2x2 x ' x J
1 i b b2 nk V I 4- const.
2ax2 * a2x a3 11 1 1 x 1
103.2. p dx 1 ’X2 3bX 1. X t’x"
J Xs A'2 a1 2x2 x n 012 X 1 1 X j 4
103. 3. Г dx 1 X2 46X . 2ln X 4fe3x //x2’
J x3A3 a [2x2 x j Oi/ X X 2X2 •
104.1. p dx 1 X’ 3feX2 , 3.72X -b" In 1 1 X
J x’X a» 3x3 2x2 ' X X
1 h b2 b i’n| X 4-- const
3«x3 1 2a2x2 a 3X a X
104.2. p dx 1 Г x3 1bX2 6b2X 4/ ’In X ft4*]
J x’X2 a3 3xs 2x2 X X X J *
105.!. p dv 1 + _± 3a2x b* 1 b3 b' In 1 X
J x5X 4ax4 ’ 2a3x2 1 alx X •
Интегралы, содержащие линейные множители
ПО.
НО. 1.
f (a4-x)dx . . .
J ~(FT^~==x + (a~c)ll1lc+xl-
C(a + /v)dx fx ag — cf. . .
J тг+да-=7+^>~|п1‘:+^1-
120.9] 111. ( E 111.1. * 111.2. 112. 112.1. 112.2. 113. 113.1. 113.2. 1 интегралы, содержащие X-a2~}-xz 29 ' di.—. *_lnl£±^| [a^cl. (a 4- x) (c + x) a—c [a-j-xl 11 'ели a = c, cm. 90.2. dx _ 1 In c+gx \а°=гсГ\
(n + /x)(. + gz) a^-c/1 « + /* 1 й 1 Если ag~cf, см. 90.2. !__ fa In I a-|-x| —c In | c-|- x|}. (a + x)(c4-x) (a—c) ‘ 1 1 1 r * dx 1 . 1 । a -f- аг I (<7 4- A") (c 4- X}2 (c—a)(c4-X| (C — <7)2 c4-X Г x dx с a . a4-x| .
(a4-x) (c 4-.v)2 (a—c)(c4-x) (a —c)2 n c4-x|‘ ? X dX — f2 4- °" In 1 a 1 c 1 F-
i (a.4-x) (c4-xj2 (c—o)(c4-x) (c—a)2 1 1 " 1 c2—Vac , . . . । ink-^xi. ' d* _ ( 1 + 1 '1+ 2 in 0 + ’l
I (a4~x)2 (<?4-x)2 (a — c)2\a-{-x 1 c-rx) 1 (a — cj3 c4-x|* n x dx 1 / a c \ । a 4’c । n й +x 1
' (a 4- x)z (c 4- x)2 (a— c)2\ a 4- x c-\-x) (a—C)3 c 4-4 ’ x~dx —] fa2 , c2 \ . 2ac , ax
J (a 4- x)2 (c 4- x)2 (a—c)2 \ofx cx J 1 (a—c)J c4x
Интегралы, содержащие z¥ = al>4“^2
120. f* dx \ r——2~ aretgx (см. рисунок на стр. 30). 1 —X
120.01. (' dx 1 . bx 1 -2~T7v-5 = arctg — . J a2-}-b2x~ ab b a
120.1. C dx C dx 1 x J X=j«4-z>=»arCt6 a-
120.2. C dx x . 1 .x J A2 ~2n2A ^2as аГ<"“ a ‘
120.3. C dx __ x 3x , 3_ x J X3 4агХ2 -г* 8n‘X r 8ns аПЛа> a ’
120.4. C dx x 5x 5x 5 x J X1 6a2X3 1 24n‘X2 ' \ba6X 1 16a7 2Г a ‘
120.9. f dx x . 2n — 1 Г dx J (a24-d2.r2)"+1 2ua2 (a2 + b2x2Yl ' 2/ia2 J (a2442x2)rt *
30
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[121
121. Интегралы вида
х2т" dx
' (о2 ± х2)п
подстановкой хг = z приводятся к
J С гт dz
2 j (а2 ± г)п ’
о которых см. 89—105 (для т положительного, отрица-
тельного или равного 0).
тириая линия) и у — arctg х (сплошная линия).
121.1. С С -4^-2= I 1П(«2 + л-2).
,) A J а2-\-х2 2 v '
' 191 О С % ___ 1 101 Q С %
12 -2. J Х2 - 2Х. 121.3. J =» 4^.
121.4. С =____________—
J X4 6X3-
I Р х dx 1
121.9. = [я^0].
122.1. J = arctg
mon С х2 dx X , I , х
122.2. J Х2 — 2^ 4-^-arctg--.
ion Q f xadx X . x . 1 . X
.22.3. J xa « 4X, + gflg arctg з .
128.1]
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ Х*=С?-]-Х*
31
122.4. Р x2dx Х , Х , X | * arete X 2
J Х‘ 6Х3 * 24а2Х2 * 16а4Х • 16as Ctg a ‘
122.9. С x?dx —х t 1 р dx J X"+1 2пХп + 2n J X" ’
123.1. Р xadx х2 J X “ 2 /у2 ~ In X.
123.2. С xadx а2 J X2 — 2Х -bjjnXT.
123.3. р x3dx 1 !
J X3 “ 2Х ' 4Х2’
123.4. Р x3dx l a2,
J X1 4Х2 1 6Х“
123.9. р х3dx — * 1 °*
J Хг* + ‘ ~2(п — 1)Х"-* * 2nXrt
124.1. Р x'dx Xs J ~~х~~ У- - a2x-j- a3 arctg ~ J •
124.2. р хЧх J X- =* + a2x Sa . x ЧХ 2 a,Clg a
124.3. р x3dx а2х 5x , 3 . x 8A-+8»arCtg^‘
J X3 “ 4Х2
124.4. Р x'dx а2х 7x - x j L i arctg
J X1 6Х3 24X2 1 16a2 X 1 16aj
125.1. р xr'dx х1 a2x2 a4 . v
J X 4 2 1 2
125.2. Р x3dx х2 Й4 2 1V ~2X~ a ln^-
J X2 ~ 2
125.3. р x'dx а2 J X3 ~Х 4XaH 2 ln^*
125.4. Р xsdx 1 ( a2 a1 л
j X1 2Х ' 2Х2 6Х3 *
125.9. р x-'dx -1 a2 a*
J Х”+1 = 2(л —2)X"-2 1 (n — 1)X"~ 1 2nX"
126.1. Р x9dx з? ~2r3 X
J X — 5 “ 2 ‘ | ’ ti- л a i v a ’
127.1. р x7dx х9 nX
J X 6 4^2 2
128.1. р x*dx х1 J X = 7 _^ + ^__a3x + a 5 3 3 X arctg —.
[л> I].
[п>2].
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
|131.1
Ila этой странице X = a2-J-x2.
ft/л ___ С dx _________ 1 . х2
' хХ jx(a2-j-x2) 2а2 Па24-х2‘
131.1
131.2. С dx 1 1 . х2 J хХ* ~ 2а2Х + 2а4 ,П X ’
131.3. f dx 1 u 1 . 1 . х2 J xX3 ~ 4a2X2 1 2а4X + 2a« 1П X '
131.4. f dx 1 . 1 . 1 1.x2 J xX4 ~6a2X3 ' AcdX2 1 2a«X ‘ 2а81ПХ’
132.1. f dx 1 1 , x J xrA агх a3 ° a
132.2. f t/x 1 x 3 , x J x2A2 ~ a4x 2a4 X ~~ 2a8 3rCtg a ’
132.3. f dx 1 x 7x 15 x J x2A3 “ a6x 4a'X2 8asX 8a7 arCtg a *
133.1. C dx 1 1.x2 J x3X ~ 2a2x2 2a4 1П X *
133.2. C dx 1 1 1.x2 J x3X2 “ 2a4x2 2a4X а* 1П X '
133.3. C dx 1 1 I 3.x2 J x3X3 “ 2a6x2 a®X 4a4X2 2a8 1П X '
134.1. f dx 111 , x J x4X “ 3a2x3 a4x arCtg a *
134.2. C _ 1 । I x _i_ JL arete — J x4X2 3a4x3 1 a«x 1 2a«X 2a7 dr g a ‘ ,
135.1. V dx — _ 1 I 1 1 1 jn^8 J x6X 4a2x4 1 2a4x2 ”• 2a6 X ’
135.2. C dx 1 , 1 . 1 . 3 xa J x5X2 — ~ 4a4x4 * а°х2 + 2a6X 2a8 1П X ’
136. S U+gX){a4-X2) ~ (/2+«V) - f In (O2 + X8) + arctg ^1
140.3)
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ X — Я2 — X2
33
140.
140.01.
140.02.
140.1.
140.2.
140.3.
2 Г. Б.
Интегралы, содержащие X = а2 — х2
1 1 I ’+х
= 77 1П ----
2 J 1 — X
£ dx
' 1—х2
Функция 1/(1—Xs) и интеграл от нее могут быть
и для отрицательных значений х. См. рис. 140.
dx
dx
1 —х2 *
(См. примечание к 140.1.)
I a-j-bx
| <7 — Ьх
С dx___________1 .
J а2 — b2x- 2аЬ П
Заметим, что
а-4-bx I ... Ьх
—Ц— = Arth —
а — Ьх ab а
bx-\-ci 1 , ,, Ьх
-—'— = -Аге (11 —
Ьх — a ab а
1 . ________ =
2аЬ ° а — bx ab
I . bx-}-a 1
2аЬ Ьх — a ab
° I,
линия) и у =
(сплошная линия).
dx ___
~Х ~
С dx 1 ,
\ ------$ — а - Й1
J а2 — х2 2а
« + х
а — х
dx ___ х . 1 I a-j-x I
А'2 ~ + 4й5 П | Г-7 I
</х _ х , Зх 3 .
А'З “ + Kay +16^ 11
Л илйт
определены
[См. 140.]
[См. замечание к 140.02.J
а~[~х
а—'Х
34 140.4. 140.9. 141.1. 141.2. 141.4. 142.1. 142.2. 142.3. 142.4. । 142.9. 143.1. 143.2. 1 143.3. 143.9. 1 144.1. 144.2. 144.3. । 144.4. 1 145.1. ' АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ dx x 5x 5x . 5 ] ) X4 — 6a2X3 1 24a4X2 1 16a6X 1 32a’ f 1 dx x , 2n— 1 [140.4 1 a-!-x[ j a— x 1 ’ и X
) (a2 —fe2x2)"+’ 2/ici5 x dx (* x dx (a2 — i>2x2)“ 1 2na2 t J In 1 n! -V2 1 (a2 — b2x2}'1'
) X J a2—x2 2 x dx — 1 .„ ( “ л 1 • x dx _ 1
) X2 2X ’ ” x dx 1 t 41.». ! a — x a-f-x| X3 ~ 4X2 * |рт = 2^
X4 “6X3' 1 ' x2dx , a .
X X 1 2 1 x2dx x 1 lri
X2 2X 4a П * x2dx x x X3 ~4X2 Ka2X x2dx x x a — л [ * 1 . W П Iba3 X a + xl a—x| * 1 i„ 1 3 + 2 X 1 '
X4 fiX3 24a2? ' x2dx _ x 1 (2 16aeX 32a5 । ” dx
X" + 1 2nX" 2/1 J A"’' xsdx x2 a2 . ... ! X ~ 2 2 ln|Al. * x3dx a2 , 1 . .... X2 ~2X+ 2 lni"Y|- x’dx J . a2 p x* 43.4. J- dx 1 . a2
X3 ~ 2X 1 4X2‘ 1 ’ x3dx —1 , a2 V ~ 4X2 * 6X’3' 1 я - 1 1
X«+> 2 (a — 1)X“ ‘ XV/X X3 г |-Jt 3~ ‘ x9dx ~ ( a2x 3 ~,^2nXl‘ . a3 I s + Yln| г'л ~ 1 a — 3 |a in ! — loa । a J -— 1 l6u2X “ ln| L ‘ i* д 4-y I < a—x| * 1
X2 ~X 1 2X ' x’dx a2x 5x j q + x — X !_in ?+_4
Xs 4X2 fiX ' ' x4dx a2x 7x
X4 6XS 24X2 • Xй dx x9 a2x‘ X 4 2 ' 32a3 a—Ji' *1.
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ X = (fi — X3
35
г5 fix хг , а4 , 9, 2 + гх+“ ' ха dx а1 . а4 —— = _ ___ _ xs dx 1 а2 . а “Х4- = 2Х ~ 2Х* + (Т5 ха dx 1 X'm ~ 2 (п — 2) X’1'1 х” dx ха аах3 Т~ = — - - х7 dx х® о2х’ ~Х~ ~~б 4 х8 dx х1 efix'4 ~Х~ = — Т 5 dx Г dx 1 хХ J х(а2—х2) 2а dx 1 . 1 х2 хХ2 — 2а2 X * 2о4 П X хХ3 ~ 4а2Х2 + 2а4 X + _. 1 | 1 , хХ4 * 6а2Х3 1 4а4Х2 "Г dx __ 1,1! fi*X Tfix + 2а3 П dX 1 , X | х2Х2 а4х ‘ 2а4 X * dx 1 х х2Х'3 а6х 4а*Хг dx 1 , 1 х3Х 2а2х2 " 2а4 Н dx 1 1 х3Х2 2а4х2 * 2а4Х dx = 1_ 1 1 х3Х« = 2а6х2 “Г авХ “1 dx 1 1 xiX За^х3 — а4х dx 1 2 . V4Xa За4Х3 (fix * 1 Х|. 21п1Л р* а2 (я-1)2 1 1 а а ’х-|- т4х2 а ~2 2 а4х3 “Г “ 6 > ‘п М | а£ - 1 , [ х 2о° П | 2 2а«Х а 4-х I а — х г 3 1 -4а3‘П . 7х 8а«Х' ' X2 1 х к “b -g In а6 l_L_ Г 4а4Х2 1 i к 2а5 П 1 < 2(fiX + 1 (»-| + ilnl”- 1 fl* ’ In [ А 6x-|- L_l -x2j’ ! X ln a + x 1 a — x 1 r 16a7 x2 1 X 1’ +- — 1 1 2а3 i-f-x 1 —x 1 ’ ii 4а? (1^ 2nX« f«>2b ±2'| — X 1 ’ le 2 [a—x| x2 I xT hl . a~x f X2 n|x • ci "4~ x a — x
26
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(155Л
155.1.
155.2.
15G.
С dx __ _____ 1 __ 1 . 1 I х2 I
3 AY ~ 2г7Ф + 2fi« П | X |'
(' dx __ 1 1 . 1 . 3 . x2 I
3 AV 4^* ~ сЛс2 + 2AY + 2cY n x I *
В 155.1 и 155.2 X=u2 — x2.
$ 0+^-,.) “ [1A/+A-
- f ln|^-X’|-Aln
a + x
a — x
Интегралы, содержа in и e A = ax2 -\-bx-\-c
p dx 2 . 2ax-{-b
I == .arctg , - --
J X l'4ac — b2 V4ac—b2
160.01.
[4ac > £2J,
1 , 2ox-}-b—kb2 — 4oc r,2 л i = —- — In [b2 > 4ac], V b2 — 4ac 2ax +1 + И b2 — 4ac = ’ in | [b2 > 4ac], a(p — q) 1*—Q где p и q — корни уравнения ax2 4- bx 4-c — 0, 2 . ,. 2ax -f- b = — - Arth • . (/ b2 — 4uc J/ b2 — 4«? \b2 > 4ac, (2ax + b)2 <b2 - 4ac], 2 ... 2ох + Л = — Arctli -_^A-= J/ b2 — 4ac У b2 — 4ac [b2 > 4ac, (2ax + b)2 >b2- 4nc], = ~^TT {b2=4ac\. 2ax 4-0 11 (Положить 2ax -\-b = z.)
160.02. {dx = _2£4±L_4- ( d~. (Cm. 160.01.1 J X2 (4ac — b2) X ' 4ac—b2 3 X 1 J
160.03. dx 2ax 4- b . 3o (2qx b) . 3 X» ~ 2(4«c—b2)X2 1 (4ac — b2)2 X 4- 1Л 6ДаТ2\2 F- (См- 160.01.1 1 (4ac—b2Y J X 1 J
160.09. ’ Г dx_ 2ax + b . (2n —3) 2a Г dx J X" — (n — 1) (4ac—b2) Xn~l г (л— 1) (4nc—b2) J
160.11. 1 [Cm.160.0M
160.12. ’ = Iе-‘“‘’•«•J
165.21] ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ X— ах? -\-Ьх + с
37
160.19. Р х dx bx + 2с Ь(2п—3) Р dx J Хп ~ (п— 1) (4ас — b2) Xn~l (п — 1) (4ас —b2) J Хп~1‘
160.21. Р xsdx х b , , Ь2— Час Р dx , j X ~а 2». '"1^1+ 2о» J X * 1С“- 160-°‘-1
160.22. Р x2dx (b2—4ac) x + bc 2с Р dx . J А2 = ' a (4ac—b2) X ' Ьас-b2} X * [См. 160.01.]
160.27. Р xmdx хт~1 с Р xm~2dx b Р xm~'dx J X (т — 1) a a J X a J X
160.28. Р х,пах х'п~' J X" ~ (2/г-—т — 1) с'А'"-’ ' • (т—1)с Р xm~2dx {п—nt) b С xm~ldx (2п — т—l)aj X" (2п—т—l)aj Хп {т с2п— 1].
160.29. При т = 2п—1 Р x2n~'dx 1 0 x2n~sdx с Р x2n~3dx b Р x2,l~2dx J X" a J X"-1 a J Хп a J X'2 '
161.11. Р dx 1 . x2l b Р dx г-, _ „ j T0T-S1" нН] х- 1С“- 160-01-1
161.19.
161.21.
161.29.
С dx _____ 1 b Р dx 1 Р dx
J 'ТХ1Г~‘2с (п—1) X"^~2Z J Х^ + 7 J хХ"72’1'
Р dx о . 1 X 1 b2—Час С dx ,
J ~VX ~ 2с^ П j х2" сх+ Чс2 J X *
(* dx 1
J х“Х" = ~~ ~(т—\)схт~тХ^ ~
(2п + т—Л)а Р dx______(п+/п—2) b Р dx ' .
(т— 1)с J х"1~2Х11 (т—1) с J х’п~1Ха Lw> *]•
Интегралы, содержащие й3±х3
165.01. ” dx _ 1 |п (« + *)* . 1 . 2v — а р + х’ 6а2 а2-ах + х2 1 а2 jX ;Г g 0 J ‘
165.02. । ' dx — х । 2 f dx (a3 J-x3)2 За3 (а3 + №) ' 3u3Ja3 + x3*
165.11. х dx 1 . а2 — ах 4- х2 1 _ Чх — а а3 + х3 6a П (a + x)2 a / j '
165.12. ' х dx __ х2 1 Р х dx I (a3-|-x3)2 3a3(a34-x3) 3a3ja34*x3’
165.21. x dx 1 । [ а л <!< + *“ 3 ‘"1° +* I'
38
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[165.22
165.22. 165.31. Р л" dx + х3) *
J(a34x3)2- 3(а3 f з Р J а3 + A J
dx I3 4- х3 * [См. 165.01.]
165.32. Р x3dx —х , 1 Р dx J (а34-л3)2 3(й34~х3) 3 J а34-х3’ [См. 165.0L]
165.41. И а "ч |СЧ II Г» X -< \3 -L *! 1 и а A dx о3 -|- X3 ’ [См. 165.11.]
165.42. Р x'dx х3 2 Р х dx J (о3 + х3)2 3(а34-х3) 3 J а3 4-х3* [См. 165.11.]
165.51. Р x3dx Xя а3 . J а3 + х!“ 3 3 П |«3+л'3|-
165.52. Р хЧх а3 1 । , з ,, J (е34-х3)2 о(а3-}-х3) 3 ' *'
166.11. Р dx 1 . J х (а3 + №) — За3 П х3 I а3 4- х31 '
166.12. Р dx 1 J х (а3 + х3)2 За3 (а3 1 . 1 х3 [ 4-х3) 1 За8 |а34-х3| •
166.21. Р dx 1 J x2(a34-xs) а3л 1 Р х dx a3 J а3 -|- х3 * [См. 165.11.]
166.22. п , 1 9 [ ах 1 х~ J х3(а3-\-х3)2 а8х За8 (а3 4-х3)
4 Р х dx За8 J а3 4- х3 ' [См. 165.11.]
166.31. Р dx 1 1 Р dx J x3(a34-x3) 2a3 х’ a3 J а3-}-х3 * [См. 165.01.]
166.32. [' dx X
J х3 (а3 4- х3)2 2а8х2 За8 (е3 4-х3)
5 Р dx За8 J а3 4- х3' [См. 165.01.]
166.41. Р dx 1 1 । 1 а3 4- х31 Jx*(a34-x3) 3a3x3 За8 1 I х3 [’
166.42. Р dx j х3 (а3 4- х3 )2 За 1 L ”х3 За8 (а3 4- х3) ‘ За“ In а’ 4- х31 х3 1 •
168.01. Р dx 1 а2 4-ах 4-х2 ,1 . J а3 — х3 6а2 ,П (а —х)2 1 а2 |Л 2х -}- а а V 3 ’
168.02. Р dx х J (а3 — х3)2’ За3 (а3- 2 Р dx -х1) ‘ 3a3J и3— х3* [См. 168.01.]
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ
39
С х dx 1 . о^+ах + х2 1 , In — 7= arctg (a —x)2 a / з b 2x -f-a
) а3—х3 6й a V'3
Р xdx x2 1 p xdx [Cm. 168.11.1
J (а3 — х3)2 3a3(a3— x3) 3a3 J a3—x3'
Р x2dx —4- In | a3—№|. О
J а3 —х3
Р x2dx 1
J (а3 —х3)2 3(a3 — x3)"
Г x3dx з P dx [Cm. 168.01.]
J а3-х3 ’ J a3 — x3"
Р x3dx x 1 p dx [Cm. 168.01.J
J (и3 —х3)2 3 (a3 — x3) 3 J a3 — Xs'
xr’dx x2 t лз P xdx [Cm. 168.11.]
J а3 — х3 2 1 C J a3 —x3-
р x’dx x2 2 p x dx [Cm. 168.11.]
J (fl3—X3)2 3(а3 —X3) 3 J a3—x3 ’
хМх -|-у|П|«3-х3|.
J и‘ — Х3
р х’с/х и 1 in I a3 - №1
J (fl3 —Xs)2 3(a3—x3) • з 1
Р dx 1 1 1 X3 1 3fl3 n|a3—X’l •
j x (a3 — x3) —
Г. d* _ 1 1 1 in! *3 1
J x(a3— x3)2 3a3 (a3 — x3) За® 1 1 a3 — x3| •
P dx 1 1 P x dx [Cm. 168.11.]
J x2 (a3 — x3) " asx a3 J a3 —x3 "
P dx 1 1 4 xdx
J x2(a3—x3)2 a6x * 3a°(a3 —x3) ' 3a'1 t a3 — x3’
[Cm. 168.11.]
P dx 1 . 1 f [Cm. 168.01.]
J Xs (a3 — x3) “ 2a 3x2 a3 J (j3 — x3*
p dx ' . x .
J x3(a3—x3)2 2aex2 1 3ae(a3—x3)
5 p dx [C.m. 168.01.]
' 3a6 J a3 — x3 *
P dx 1 . 1 iJ 1
J x4 (a3 — x3) ~ 3a3r3 ' За0 1 a3 — x3| *
P dx ' 4- ‘ 4- 2 In ^-1
J x4 (a3 —x3)2 ’ 3a6x3 ' 3a“(a3—x3) * 3a9 a3- -x3|*
40 170. 170.1. 170.2. 170.3. ( 171. 171.1. 171.2. 171.3. 1 173. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [170 Интегралы, содержащие д’-Ьх* ’ dx I . хгх-ах 2 4- a2 J ах V" 2 1 «44-х‘ 4(/ /7 П X2 — ах F "2 +а2 2а3 S «3 — ** ’ п х dx 1 У
а4-f-х4 2а2“"~'ь и3 " x'dx 1 । а + * 4 а ’/ 2 1 x3dx 1 . . 4 «< + «'“ 4 1,!(<1+Х n dx 1 (ri | а 4-х хг 4- ах У 2 4- а2 . 1 , ах У 2 х2—ах У~2+а2 2а У У S а2 —х2 * 4). 1 , к + arctg - . 1 1 2а3 ь а л
а1 — х4 4а3 х dx 1 . | а — к а~ + л
а1 —х* 4а2 Г X2dx _ 1 а2 — а а + х л • 1 , X — arctg — . 2а а -х4| . хт 1
J а4—х4 4а 4 x3dx _ 1 । а4 — х4 4 ’ dx 1 а — х п | а* - In I - I а
x(a-f-bxm) an 4- bxm J *
Иррациональные алгебраические функции—Интегралы
Интегралы, содержащие xl‘z
180. J xP/*dx 2 = —^х,р+г>12, р4-2
180.1. x'’2dx = У V х dx = Х,!:.
180.3. x3l~dx = ~ X5/S. о 180.5. J xs!sdx — уХ»/2.
181. С dx 2
J хр /2 (р—2)х<р-2’/2 •
181.1. Г dx f -^==2x’\ J К х 181.3. Г dx _ 2
J х1'2 J хз!г х1/2 *
181.5. f dx 2 181.7. С dx 2
. ^!i Зхзп* J х’/2 Бх‘/2'
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ х'/»
41
188.21]
185.11.
185.13.
185.21.
185.23.
186.11.
186.13.
186.21.
186.23.
187.11.
187.13.
187.21.
187.23.
188.11.
188.13.
188.21.
Ьх'!2
x'!2dx 2x'/2_2a
a2 + b2x b2 - b3 tnv b — •
x32dx 2 x3’2 2a2x*'2 , 2a3 , bx112
a2 + b2x 3 ь2 ь* 1 ь5 art b a *
x':2dx х,,г 1 bx'12
— .2, . , ,г ' 4--гзarctg b2 (a2 4- b2x) 1 ab3
(a2 + b2x)* a
x3l2dx 2x3 2 3a2x1/2 3a
(a2 + b2x)2 b2(a2-j-b2x) b‘(</|-b2x) bs
dx 2 x bx'!2
(a2-f-b2x) х1/2 ab
а
. Ьх*'2
arctg —
dx 2 2b b (a2 b b2x') x’/2 a2x'12 а3 аГС g dx x'!2 1 (a2 + b2x)2x,/2 a2(a2 + b2x) a3bЯГС dx _ 2 (a2 + b2x)2x3'2 a2(a24-b2x)x'/2 x'l2dx 2x'ft , a . a-}-bx1/z a2—b2x b2 1 b3 П a ьхЧ* x3l2dx 2 x3'2 2a2x’/2 a3. a2—b2x 3 b2 bl + bs П x'l2dx x'12 1 a (a2 — b2x)2 b2 (a2— b2x) 2ab3 П a_ x3/2dv 3a2x"2—2b2xs;2 3a . vl/2 a ‘ t bxl!2 tg . a 3b2xiz a3 {a2 -f- b2, • a-\-bx'/2 a — bx1/! Hbx,/2 -bx1^2 a + bx1'2 c)
= . + | = V» ° 1 ° 5s Й 4=1 ”a L. -c -a i £ + 1 « 4 ее „ ~ w ~ M c e 4 a з —1 । r -r§ 1 " II 11 II 1 «. SI - *ч « ~ N •o ‘sc "e -a is c Illi м M N « ® e e e 1 a—bx'12 bx112 bxl/2 * a + bx1'2 a — bx'2,
3b bx' 2
-г arctg -----
aJ a
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[188.23
42
188.23.
189.1.
189.2.
189.3.
189.4.
190.
191.
191.03.
191.1.
191.11.
191.13.
191.15.
191.17.
Г dx
J (a2 — b2x)2 Xs!2
— 2
а2(а2~Ь2Х)х'/2 ' а‘ (a2 — b2xj +
In
а 4- Ьх1'2
^Ьх'~2
f x'l2dx —1 , x+aV2x + a2 , 1 a )' 2r
? а* + х2 2аУ 2 x-aVZx + ii2 a / 2 ba~—x
dx
(«’ -j- xJj x1'2
1
2а3
In
x + a 1^2x4- a2
x—a [/ 2x4' °2
+
, 1 a У 2x
т - ..rug -----------
P x’ 2dx -iln a 4- x* 2 1 X1'2
a*- x~ 2a 1 a — x1'2 a b a *
dx 1
(a*—x2) xl‘2 ^aS
a 4- x1'2
a—x1'2
. 1 t x’2
+7- atc,E—
Интегралы, содержащие A?’2 = (a 4- £х)с2
C x"dx J Xp'2 1 ^4 _ f G 1 1 V—o)?dX Xp2 fc>0].
При целом положительном q разложить числитель по формуле
бинома Ньютона.
Г dx 2
J X'Jl2 (p- -2) bX^-2^2' 191.01. \Х±- = ХхР2. J X*'2 Р
r dx 2
141 ок 1
J xs/2 bXi2 J Xs'2 ЗЬХ*'2’
[* x dx 2 r — 1 , а
—— -
J X^2 b‘ .(p— 4)A(p-4)/« • (р— 2) Х^-2»'2] *
C x dx 2 (Xs 2
— a A'1'2 J .
J A1,2 b2 к
C x dx 2 a \
'Xх!2
J x3^2 b2 1 X'I2J '
P x dx 2 1 ° A
J X5'2 b2 <X‘/2 ‘ ЗХ3'2/ ’
C x dx 2 ( — 1 . a \
J X’/2 ~ Ь2( <3X< —1 । « 2 5AS'2/
192.23]
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ X’/» — {а +
43
161.2.
191.21.
191.23.
191.25.
191.27.
192.1.
192.11.
192.13.
192.15.
192.17.
192.2.
192.21.
192.23.
С x2dx 2 p —1 20
J А'Р/2 b3 Jp — 6) х(р-6)/2 (z 7 — 4) у(р-«)/2 a2 q
(P — 2) X,₽-2)/2
i x2dx 2 /X5'2 2aX3'2 , _ /72 YH2 1
J х1'2 b3 \ 5 3 1
Г x2dx J X32 2. b3 / уз'2 -2aAA2 — a2 \ X,/2/ ’
С x2dx 2 [ zV’ 2 a2 \
J х52 b3 ' X*'2 3 A'32 ) • /
р x2dx 2 ( — 1 , 2a a2
J X7'2 ~ b3 <x*2 ‘ 3XS/2 5X5'2
р (1Х 2 jX(P-2)/2 + 1 dx 1.
j x.V 2 (b — 2) c a i xX(P~2>/2
Г dx J Тх^2' a к!n >< >< 4- | № M [a>0, Az>0],
2 a,/2 у t /2 Arth —r a,/2 la>A'>0],
2 a1 2 Xz1 2 Arcth — a112 [A>«>0],
2 z A'*' 2 [a<C0, A>0].
(- -a)1'2 ° <-a] </2
(Положи гь X'!2 = z. Cm. 120.1 и 140.1.)
р dx 2 , 1 p dx [Cm. 192.11 1
J хХ3 2 a. 4 2 1 a J xX'l2 • •J
р dx 2 > 2 ! 1 c dx [Cm. 192.11.]
J xXs/2 ’ ЗаХ3,2 1 a2X’'2 ’ a2 J xX’;2‘
Р dx 2 _ 2 , 2 . 1 f [Cm. 192.1 ]
J хХ7/2 5aXs'2 ‘ 3a2X3/2 ‘ a3X 2 1 a3 J xX^2’ ’•J
р dx — 1 pb Г dx
J х2Хр'2 axX(p~ 2)/2 2a J xXp 2 *
f dx -X,/2 b (" dx • [Cm. 192.11.]
J x2X'<2 ax 2«J xX' 2 *
p dx — 1 3b 3/7 C dx [Cm. 192.11.]
J x2X3/2 axX^2 a2X'12 2a2 ) xX1/2’
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[192.23
dx __ — 1 5P
хгХ*‘2 ~ axX3lx~5^X
— 1
5b
а3Х
5b
м-г ‘2a3
dX гр
----. См.
хХ12 1
192.11.]
-X1'2
(р
dx
хРХ'12 ~ (p-i)axf'-1 (2р — 2)а
(2л
dx
xf'-'X1'2
9y(P + 2)/2
A'PPrfx = , ----
(P + 2) b
о уЗ/2
X>”dx = -?--
ob
193.03.
2Х'5/2
5b
xXppdx =
ь
'•(Р + 41'Ч a^(p + 2)/2
7+4
xA''”d V = y И
ГзР . 2 <Х’/2 С'А'5'2
xX3l dx — -ту ( -у------------------г-
о2 \ 7 3
о
x2Xpp!dx=~
b3
2aY!p + 4>/2 6z®X(/, + 2’/2
р+6
№ А'112 dx =
ь3
X7'2 2aX5t- , a2X's'2
+ 3
XP!2dx 2XP>2
x p
Xip-si/2dx
x
Xl!2dx
dx
lx^
[См.
192.11.]
Р + 2
р + 2
7
X*'*dx 2Хг‘г
x 3
[См.
192.11.]
X5l2dx
x
2X5/2 2aX3’2
5 + 3
[C“- ‘9S H.1
Xp!2dx _ X,p+2)'2 pb CXp*dx
x2 ax 2a J x *
X'l2dx X'12 b f dx
x2 “ x + 2 J xX^2 '
Xll2dx___ (2a + bx) X212 b2 Г dx
x3 Aax3 8a J xXl!i ‘
[Cm. 192.11.]
[Cm. 192.11.]
Г97] интегралы, содержащие Х'Ь = (а + Ьх)'!* и U'l* — (f~}-gx)'l* 45
Интегралы, содержащие Az,|s — (a-\~bx)'l2 и (J42 — (/+ gx)l,a
Здесь всюду k=ag—bf.
195.01. dx 2 rctg У bu nrcsin2bgx + ag + bf- arcSltl bf — ag {\^bixybVu\ '/j>0 ,g<o. /j>9' g<0 [bg>i » » )].
Х'12и'/г У —bg __ —1 V —bg 2 । = -== 111 К bg
195.02. dx 2 , gX'12 l^<0], [^>0].
xli2u ~ У—kg g У—kg = 1 in 1 g*1-8— V kg IgX'^+ykg
195.03. dx 2X^2
Xi/2U3!2 ku1!:-
195.04. । ' U'!2dx _ _xV2t/1/2 k C dx [Cm. 195.01
x1/2 b J X,/2C1/2 *
195.09. । ’ Undx 2 Xl‘2Un—nk f Un-'dx\
X'12 (2n + l)£> J X,/2 J '
196.01. f X'W2dx = X>2U^ f J*- . [Cm. 195.01.1
J 4bg 8bg J Хх1ги i 1 J
час no Г x dx X,/2t/1/2 ag-\-bf f dx — .
l08-<>2- = ------[Cm. 195.01.]
ia-nQ C dx _ 1 / A'1'2 .( 3 \ , Г dx |
19o.03. j x,/2f;„ (n-l)k 2jb J Xll2Un-'] *
196.04. f X'’2Undx = Ц— (2X'i2Un+1+k C — . J (2« +3)g ‘J X1'2 J [Cm. 195.09.]
196.05. C X'^dx __ 1 ( Xlli fe f dx \ r J un (n — i)g\, u11-' 1 2 J x1/2^-!/’ 1См‘ 19о-03-1
197. f / (x2) dx __ C r f aid \ du J Va 4-fex2 У U — bu2] (1 — bu2) ’ X где и — . К а у bx2
46
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[200-01
Интегралы, содержащие г = (№-[- о2)1'8
200.01.
Надо брать положительные значения г к а.
Fac. 200.01. Графики функций у — —.
/х2 + 1
(пунктирная линия) и у — In [х-|- уЛхг। ц
(сплошная линия).
200.03.
Л г3 ст г
200.05. С dx J 7s’ — 1 1 6? r j *-* > 1 "I eal . _д •
200.07. £ dx _ 1 G* X r 2 x3 3 rs ' 5 rs •
200.09. \ 79’ ~ 1 O3 X T 2 *s 3 rs _д_ _3 £ ’ 5 rs __ 1 x7] 7 711 *
200.11. f dx J 1 a10 Г x 1 T 4 Xs ’ 3 r> , 6 X3 -r -5 7 4 X7 1 TV7-’-9 xs“ •
200.13. f dx 1 Г* 5 x3 . 10 Xs г 5 rs 10 x7 , 5 Xs 1 XU1
fi12 Lr 3 r3 7 r7 ' S r° 11 r"] ’
200.15. { dx — v' 1 c14 X r 3 rs . 15 x^ + 5 rs __20V , 15 xs 7 r7 ~r 9 79 6 x11 . 1 X13 “ П 7“ +13 7^
Интегралы 20Э.03—200.15 находят посредством подстановки;
х2
хг4-о2
, a dz
тогда dx= ----------
(1—г2)3'2
204.01]
интегралы, содержащие г—(xg
47
201.01. J к dx г ~r. 201.03. С х dx J г3 _ _L Г •
201.05. У xdx г* = —-L. 201.07. 3r3 С xdx J 1^ 5rs *
201.9. Ci х dx 1
rip +1 (2р—1)г^-‘ •
202.01. j x~dx г xr In | x +r 'См. замечание в 200.01
202.03. е хМх j г3 = y + ln|x-|-r|.
202.05. x2dx г3 1 ~3a2 X3 r3 ‘
202.07. x2dx ~7r~ 1 1 = 1 1 __1 3 r3 5 rs •
202.09. J x2dx 1 ~ a3 1 x3 2 X- ' 3 r3 5 rs -Ь jpx’l 7г’]*
202.11. г \ J x2dx 7"~ 1 a8 1 № 3 X3 3 r3 5 r5 -Ь 3^ хЧ 7 г’ 9 г9 J •
202.13. x3dx r13 _ 1 “a10 Г 1 x3 4 X5 [У г3 У г3 -+ 6 х’ 4 х1 ~1 г7 У г» +--1 ^11 г" J •
202.15. x^dx r4 1 р i х3 5 х1 [3 г3 5 с3 + 10 х' 10 х‘ 1 г1 9 г» . 5 х‘ + 11 ги 4- 1 X13 Г3гп •
203.01. x*dx r r3 — а* г.
203.03. x3dx “з“ — r 4- а3
203.05. г j — г Г Зл » •
203.07. Г J rdx ~~^Г~ - _ I 1 ?L Зг3 5r3 ’
203.9. x31x 1 * ( о*
r*F f*1 (2p — 6tr^~J 2р — Of*/’-’*
204.01. xsdx r __ x3r - -4— 3 t .3 ~ g- a xr -1- - а 4 In | X 4-Г [.
(См. замечание в 20D.01.)
48
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[204.03
204.03. f xfdx _xr o2x 3o*|n|x<rl
J — 2 ’ f ‘2 u * I*
204.05. f x4dx X 1 Xs . I = -3 p- + In j X + r !•
204.07. P x^dx J — 1 X> — 5a2 *
204.09. P x“dx — 1Г1 ~ a4 [ 5 I-5 7 r1 ] •
204.11. P xAdx J 1 Г 1 x5 2 x‘ 1 x9-! ~ a* [b P~7^ + ‘9 •
204.13. P x*dx J - 1 П 3^ , _3 1 x”] ~ a8 [ 5 r5 7 r1 ' 9 r9 11 H’J *
204.15. P x4dx J 1 [lx5 4 x’ 6 x" 4 x1' 1 x,s' ~ a™ [5 7^+sT9” П7» *" 13 7й
205.01. J Xs dx г5 9 = - — -a2rs + air. 0 3
205.03. P x5rfx J г5 л4 Г П 2 W = — 2a r . 3 r
205.05. P xsfix J fS _ 2a2 a4 ~ Г + r 3rs •
205.07. p xsdx 1 2g2 g4 ,
J r’ ~ r * 3rs 5rs*
205.9. P x^dx 1 _ 2a2
J r2/> + l ~ (2p — 5)c2^-s 1 (2p —3)r2P"s
G4
. (2p—l)r2A-’’
206.01. X*dX V Г xsr 5 , j . 5 . 5 e . . = T~24C V Г +ТбЙ ХГ“1бС ln|x^z |.
(См. замечание в 200.01.)
206.03. P xMx _x5 5 aV 15g4x ,15 .. . . ,
J rS ' F 3 GO L к GO |JO 1 к 1
206.05. xbdx xs . 10 a2xs . 5 g4x 5 . . . .
J r’ ’ 3 rs 2 r3 2 । I-
206.07. P x*dx 23 x5 7 a2x4 a4x . , . —> _ - -4— 1 п 1 1? Д- r 1
1 r7 15 rs 3 rs rs ' * 1 1
206.09. P x’dx I x'
J ra “ 7g2 r’ ‘
222.03]
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ Г = (%2 -f О?)Т
49
206.11.
206.13.
206.15.
207.01.
207.03.
207.05.
207.07.
207.9.
221.01.
x3dx г11 1 a4 1 7 x’ 1 Xs' Л» •
r7 9
xedx I ' 1 X7 2 Xs 4- -
Г1В o' [7 r7 9 r9 r и r11]
xedx j_ ' 1 X7 3 X9 X» 1_
,Л5 a« 7 r’ 9 r9 и r“ 13
x’dx i 3 3 4
r 7 ‘ 5 ar + 3 u r - -a r
x’dx 1 3
5 Г 3 a r 4- Sa^r 4- f
45
г18
С x7dx 1 3 „2 За4 , а"
\ —7— ~ -тг г — %а г---------Ь -Гз •
J rs 3 ' Зг3
Г x’dx __ За2 За4 а’
J г7 ? г Зг3 * 5г® ’
С x’dx i , За2
J iV+i ~ ~~ (2р~7}г2Р-7 + (2р—5)г2/>-5 —
За4 t а’
(2р — 3) г2?-3 + (2р — 1)^-' *
Заметим, что
—— . (См. рисунок на стр. 50).
— - In
а
— Arcsch
а
1 я .
----Arsh
а
а
х
Надо брать положительные значения а и г.
221.03.
221.05.
221.07.
221.09.
222.01.
222.03.
dx xr3 _L_ aV 4in|—1. a ’ | x 1
dx xrs 1 Зй2гг , 1 1 , ^a4; as n a + r [ x |
dx 1 4 ‘ 4 1 - 1 ]n
xr7 5a2rs 1 ?м4г3 1 a6 a7
dx 1 1 . I , 1
а
Ба4 rs~ 3a6r! г акг
а9 I х j
dx
r2r
a’x
dx 1 । fr _!_ x
хгг3 a4' < X h r } ’
50
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(222.05
222.05.
222.07.
222.09.
(сплошная линия).
223.01.
223.03.
Как и в 221.01 имеем
In I = Arcschl — | = Arshl —I — у In | — -!.
I x | a [ | x I 2 |л— u|
dx l
2a?x2f
51
232.01] ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ Г=(х®4 О'2)’*
223.05. Р dx 1 5 5 + 5 . I a r in
J Xsг5 2агх*г3 ба4/3 2a®r 1 2a7 j x
224.01. С dx 1 / г г3 \
J Xsг а* \ х Зх3 ) ‘ Г _ 1 / х . 2/ г*_ J х?г3 а® г х Зх3
224.03.
1 ’
224.05. С dx 1 / х3 .Зх , J х®г* а3 \ Зг’ ' г ~ ~ 3r r3 \
x 3x3 J
В 222 и 224 положим . X2 rZ
тогда , a dz ах — . (1 — гЕ)э 2
225.01. f1 dx г ( 3 г 3 In И + c 1
J x3r 8 а4х2 8a5 П | x: | ’
225.03. е dx 15 , 15 15, I a 4- r
J x5r3~ 4а*х*г 1 8а4х2г 1 8a6r Ей7 |П | x •
226.01. С dx 1 / т , 2/’3 ,5 X
J хег а® \ х 1 Зх3 5x5 J "
226.03. Г dx 1 f х Зг (
J хвг3 а8 \ г х 1 3x3 5xsJ
230.01. Г . хг , а2 . , . \ г//х== — 4__ In |х + г 1.
Как и в 200.01, имеем
In 1 1 = Arcsch 1 ° I - = Arsh - = 4In !“-1 • a x 2 Ir — x|
230.03. С г3 dx — 4- xr3 -f- агхг J 4'8 . 3 4, + in |x4-r|.
230.05. C r5 dx ~ 4 xr* + a2xr J 6 ‘ 24 5 S 4- -777 a“xr 4- 77 o' 1 n f x I r 1. 1U i h
231.01. Г , r3 \ xr dx = . V
231.03. P r5 \ xr3 dx — -r-. J 5
231.9. Л .2Д+» 1 xrzp+1 . J +3
232.01. C 2 , xr3 a3xr a“ 8 8 In |x 4- r [.
52
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[232.03
232.03. С 2 з j Х/Л а2хг3 cdxr ае . . . . J 6 24 16 16 * 1
233.01. С з , г5 а2г3 1 х г dx — -= . J 5 3
233.03. С з з . г1 a2d \ х г dx — -= =-. J /О
233.9. Г з 2p+i , r2p+s а2г2р+3 jxr dx — 2^ + 5 2р + 3 •
234.01. f 4 , х’г3 a2xr3 , cdxr , ав , , , , J хгах~ 6 8 + 16 +161п|х+г|. Как и в 200.01, имеем In 1 — Arsh = Arcsch — — . 1 a a x 2 |r—x
234.03. C n s j a2xd , a'xr'1 3 я 16 + м +128“"+ + i|j<2’ll|x+r|
235.01. 235.03. Р 5 , г7 2a2rs , a*r3 yrdx 7 5 + 3 •
235.9. 2fl2f£Z?+5 ' а'г2Р+3
241.01. J 2p4~7 2p+5 2p + 3 ’ j ~~~~r—(См. замечание в 221.01.)
241.03. 241.05. 241.07. C rs dx r3 2 3 ) a+r I 4- (ГГ — «’In —. J x 3 1 1*1 f r*dx rs (dr3 4 5 . I a -}-r| \ = n-4--v ' — a *n —— J x 5 1 3 1 1 x P r7 dx r7 , д2г5 . a3r3 - , , 1 J x 7 5 + 3'фЯГ ° 1П| 1 a-^-rl x 1 *
242.01. P f zf Y /- \ ~i~~ |-1п|х4-^|- (См. замечание в 200.01,
242.03. f ddx r3 , 3 , 3 2 . . ,, J =—^+^xr +-2 a ,nl x + r|.
242.05. Cddx r’ b j . 15 2 .15 \ 2 “P л П o- "4“ O J x2 X 1 4 1 8 1 8 «4 In | x 4- r |.
260.03]
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ Г = (№-|-fl2) Va
53
243.01. 0 г dx J х3 ~~ Г 2х2 I- 2а 1 х | (См. замечание в 221.01.)
243.03. Р г3 dx г3 , 3 3 . a+r I
J х3 2х2“г 2 2 ° У 1 *
243.05. Р rs dx Г5 5 г3 |. 5 агг 5 з , 1 а 4-f —п a in 1 2 | х
J х3 ~ 2х* + 6 Г 1 2 а Г
244.01. Р г dx г3
J X4 За2х3
244.03. С г3 dx г3 Т 1. 1 „ 1 v ! г 1 /Г,. г, ОПП П1
J х4 Зх3 Т 111 л —т— I 1 , Iо X ‘
244.05. р г5 dx а2 г3 2aV ( xr , 5 a2 In | х -)-г |.
J “ Зх3 |СЧ I" сч h i*
245.01. J т dx _ Г 4х“ r ’ 1 1 8а2х! 8а3 П а 4-г 1 х 1 ‘
245.03. f г3 dx г3 3 г3 , 3 г 3 . 1 a-l-r 1 —ZT 1п 8а х |
J х3 4х* 8 «2х2 т 8 а2
246.01. Р г dx _ г3 ( 2 1 X
J х6 5а2х3 \ За2 х2 J *
246.03, Р г3 dx г5
J Xs ~ 5а2х5 *
247.01. р г dx J х1 ~~ Г 6х« г , г 1 . |Н- 24и2х4 ' 16а4х2 16а5 1 х
248.01. р г dx г3 / 1 . 4 8 \
J Xs ~ 7агх3 \ х4^5агх2 15а4/'
Интегралы, содержащие s —(№— я2)’/2
260.01.
И
260.03.
[№;>й2|(см. рисунок на стр. 54).
о . I х + s I 1 . (х + , | х
Заметим, что In ----- = тг 1п (---) = Агсп —
а 2 \х—s / а
Для положительных значений х надо брать положительное
х I
значение Arch — , для отрицательных — отрицательное, s надо
всегда считать положительным.
dx
1 х
аг s '
С 4
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[260.05
260.13.
263.G5.
260.07.
260.09.
260. И.
(пунктирная линия) и у — In j х + Ух2 — 1 |
,'гплошная линия).
О dx _ 1 х 5 л 8 , 10 xs 10 х7 . 5 х9 1 х”1
J ?«[Т~~7 7»"5 7s”77 +9 7“ 11 7’’] •
260.15.
dx 1
7= — 7*
[ х 6 л5 15 х5 20 х7 , 15 х9
[7~ з7’ + 5 Т5 7 7’7 7
__6 х” 1 X13
11 s” ’г 13 73
Интегралы 266.03—260.15 находят посредством подстановки: „ х2 , —айг z2 = ; тогда dx = . хг— а2 (г2—I)®2
261.01. С х dx _о 0 х dx 1 J s J S3 V
251.05. f^ = —Д-. 261.07. = „ . J s5 3ss J s’ 5i°
261.9. С х dx 1 J^+i— (2p—l)sV-*‘
262.01. J ln । x ।. (Qi. замечание в 260.01.)
264.11]
интегралы, содержащие s=(x2—a2)lh
55
262.03. C № dx J X s ’ - ln| x-|-s[.
262.05. C x2 dx J ss “ 1 3a2 X3 S3 •
262.07. (* x2 dx J ~s^~~ i[± a1 [3 £ 1 Л s’ 5s5]'
262.09. 0 x2 dx _ J sa 1 as I x3 2 x’ I x7' ITsf~У7 +7? '
262.11. P x2 dx J 1 1 а4 [з x3 3 x5 3 x' 1 x91 I3 У? + 7 ? o' s5] *
C x2 dx 1 1 x’ 4 Xa 6 x’ 4 X* 1 x”l
262.13. J a10 3 s3 5 ss + 7 s’ 9 s9 + 11 s11]
0 x2 dx 1 Г1 x3 5 X5, 10 x’ 19 Xе ,
262.15. J sIS a12 [3 j7~ 5? + ITs7 "**
5 X11_______х£
-г 11 s“ 13 s1’
263.01. J^ = 4+<^-
263.03. = -.
J s s
263.05.
oco Q ( x3dx________________1___________a_______
° (2p—3)s2^~3 (2p- l>sa/'-‘-
ллч 1 Al 0 X S . 2 . 411 i I
264.01. j s = — + g- + “g a 1п|х4~$|.
(См. замечание в 260.01.)
nc« C x*dx xs a2x . 3 j. . , . ,
264.03. ^3 -=-z - -|-y a2 In | x + s[.
264.05. 0 xe‘dx J =5 X s 1 Xя - 4 J--Hn| x + s [.
264.07. C x’dx 1 X5
J s’ M2 Ss •
264.09. (* x’dx J sa _ 1 ~ai 1 5 X4 1 X7' ss 7 s7 •
264.11. 0 x’dx J “s*1" —— £ as |_5 s‘ 7 X7 1 X8' s’ ’'9 < •
56
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[264.13
264.13. Р хЧх 1 J s'3 а® " 1 5 X5 3 x7 3 xs 1 x1’ s5 7 s’ + 9 s’ 11 s11 -
264.15. Р хЧх J "s*3" == ~' 1 a19 Г 1 xs 4 x7 6 x“ 4 1 ~5s?—~7si' + ‘9 If x11 £x'5' Sn+ l3sis •
265.01. Р хЧх s5 . 2 J ~ + з л! + л.
265.03. р хЧх s3 . „ г а4 \ -j- =^- + 2а2у . J s3 3 s
265.05. р d'dx J s3 2a s c4 3s3 •
265.07. (* x~dx 1 2d1 o'1
J s7 ~~ s 3s3 5s5 *
265.9. (* xsdx 1 2c? a1
J №^+’ (2р- -5)s2^-5 (2p — 3)s^'~s I2p — l)s^'-
266.01. Р xfdx xls J s 6 ~ (fx’s 4- a*xs + Д a6 In | x -j-s'.
(См. замечание в 260.01.)
266.03. Р xedx х5 5 J s’ 4s ' 8 a2x3 15 a4x . 15 4. . s -8 s + 8П '"1 *+ ’I'
266.05. P Xе dx xs J s5 2s3 10arx3 .5 cdx 5 2. ( 3 s3 2 s’ + 2 й П1
266.07. P x®dx 23 x J ?“ ~ 15 s s 7 a2x3 a4x . . . Г 4- 3 cS Ss + ln 1 x +• * I- kJ О 0
266.09. P x3dx 1
j -7- = —- 7 a2 s1 *
266.11. Pisdx 1 Г 1 X7 1 X8]
,) s11 a4 7 s’ 9 s9 J •
266.13. P x®dx 1 lx7 2 x9 1 r”1
J ' a® 7 s’ 9 s9 + 11 snJ •
266.15. P x3dx 1 Г 1 x' 3 x’ 3 x“ 1 x’3
T 7~~U ? + П s"~' 13 73 •
267.01. p x’dx 1 7 , J -7- =-j S -+ - 4- + 4 a*sS + a*s‘ 0 О
267.03. f x’dx 1 \ —3~ ~ r" J 4 5 Цй27 + ЗбЛ —y.
267.05. Px’dx 1 „ , 3a‘ a4
К “3 s~ t-3a2s—
282.03]
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ S=(№------<72)'/з
57
Рис. 281.01. Графики функций у~ — (пунктир-
к V Xх — 1
нал линия) и # = arccos — (сплошная линия).
281.05. Г dx 1 ',1 a I
J XS3 3a2sa * -j— c dlCLUb a4s as x | ’
281.07. р dx 1 1 1 11 1 Q 1 arc cos — 1 X J
J XS7 5a2ss 3a4s3 a6s a1
281.09. Cdx J XS* 1_ ~ 7ass7 > _J —л. 5a’s5 3a’ss r 1 . 1 la -g- 4- -j arccos — as a | x
282.01. f* dx J x2s s a2x *
282.03. P dx J x2sa _ 1 f s a4 \ x +-L s j
58
алгебраические функции
[282.05
282.05. XL J А5 ае \ х * s 3s3 J 282.07. С ~ = — 1 (± 2^ । Z J х s и8 \ х ' s 3s® ’ 5ss 282.09. f 4 = ± ~ J x2ss a11 \ x s 3s3 1 5s5 283.01. fL = Lh + A arccos -|. J xds 2«2x2 ' 2u3 x | (См. замечание к 281.01.) Of-О M f " 3 .....— „ i xz \ 7 s7 J ‘ a i
' J x3s3 ‘2id 283 05 С uX x2s 2u4s 2u5'J,vvw-’1 5 ,5,5 % 1 * a l
J П5 2a2 P f Jr I 284.01. = 4 J x4s a' 284.03. f ~ = — J x4s3 284.05. f Li = 4 ( J x4s5 a Интегралы •A3 Go’s3 1 2A * ‘2a1 x |' A s3 \ K x 3x3) ‘ 1 fx \^s ~ sS A ae\s 1 x Зх3 У * x3 3x 3s s3 \ 3s3 ‘ s x Зх3 / ’ 282 и 284 находят посредством подстановки: хг — a dz ‘ — -5-; тогда dx — . s (г2—I)3'2
200.01. 290.03. 200.05. 291.01. Csdx = L—у 1ч 1+ 5’|. (См. замечание к 260.01.) С 1 3 з j №dx = у ху3 — — a"xs -[- -g- a4 1 n | x 4- у [. J s^dx — A xs° — ^f2sxs3 4--^a“xs—^a6 In|x4-s]. {xsdx = ^~. 291.03. Cxs3rfx = v-. J 5 J 5
291.9. л гр + з xslp+'dx = ^—^.
J 2p 4- 3
292.01. J X^sdx- 4 4- s g ln[x4-s|.
(См. замечание к 260.01.)
292.03. f -i i!>s , n2xs3 cdxs . a’ . . . । \xsdx= -4-—- —4- —|n х-4-s. J 0 1 И lb 1 16 1 1 1
304.01 J
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ S’—(№------
59
293.01.
293.9.
294.01.
294.03.
295.01.
295.03.
295.9.
301.01.
301.03.
301.05.
301.07.
302.01.
302.03.
302.05.
303.01.
303.03.
303.05.
304.01.
3 , s5 a-s’ x s dx ~ — 4- -s- • :> 3 293.03. ^x!s3dx
. , c’^+S x s'!>+ ldx — ъ——i -j- a2s2‘'-3
2p-l-3 •
.л.. J.. x’s'3 1 fi2-vs’ . cfxs a3 , , , ,
л s — 6 4- 8 +- 16
s’
7
(См. замечание к 260.01.)
x3.s5 , a2xs3 . a'xd
~~цГ + ~бГ"
5 , s', 2a‘s5 . a’s3
^xsdc ==т+-г + __.
C 5 з . s9 2a’s’ , aisi
) xVdx=^+-rT-g-.
C ...... s'P-f . 2aV4-‘
}xsP
x's'ih -
«
12q a xs
Q*4- 3
2p 4" 5 2p 4~ 3
sdx
----— s— a arccos
s3dx
x
a
x
s3
— ci2s + a’ arccos
О
a
aV
7Г
+ ild й81п1*-М1
s5 dx s5 aV /7 cjf'-mc a 1
X 5 3 ll dKvUd X I *
s"‘ dx s’ fl2SS , a*s3 6,7 _ П < J— fl ЯГ CClQ
X 7 5 ! 3 WO Г 1.4 ulvVUe X
(Cm.
s dx
x2
s3dx
ssdx
.2
sdx
r3
s3dx
s5dx
~x^
sdx
,3
замечание к 260.01.)
s5 . 5 . 15 2 15 4 . . .
— 4- у xs — -^a xs -j--g-a In|x4-s[
s 1
--FT-? + FT arccos
2л2 2a
a
x
Ss . 3s 3 I a
2Г-+2~2oarc“sl7
s’ , 5 3 5 a„ . 5 з f д I
--—7Ffl4+ofl arccos —
2V 1 6 2 '2 | x |
s3
3aV
60
алгебраические функции
[304.03
р s3 dx s3 s
304.03. \—— — — -x-j— — 4~ln|x + s|. (См. замечание к 260.01.)
J X* X
, nr fssdx a2s3 . 2a2s , xs 5 .
304.05. — = — — -fl2ln|x + s|.
Л- мл Л.
305.01.
305.03.
306.01.
s dx
s3dx
“Ts~
s
4j?
8a2x2 + 8a3 arccos
s* . 3 s3 3 5,3
---q--2 '| c~~ tlfCCOS
4x* 8 8 a2 * Sa
a
x
a
x
306.03. P s3dx J Xs <f5 Ба2х3 '
307.01. p s dx s ' s I s , 1
J *’ 6x6 1 24a2x3 1 16a4x2 I . t- <44 (_• C. 1 16a5
308.01. p sdx s3 ( 1 + 4 , 8
J x8 7a2x3 \ x‘l 5u2x2 ' 15a4 J 1 •
a
x
Интегралы, содержащие t~(az — x2)12
323.01. 320.03. 820.07. 320.09. 320.11. 320.13. 320,15. fdX-f dx . x 1 v2. ^-Z>2 1
J ' J V Надо 6 P ix 1 J t3 ~ 1 P dx 1 J 7 C dx 1 J F ~ a8 C dx 1 J t" ~~a“> C dx 1 J Г dx 1 J Интегралы a2—x2 a 1 рать положительные знач 320.05. ~ x 2 x3 1 xs 1 T + T F F Fj • x j । i_ 1 x' T + з /3 + ь /5 P v , 4 x3 , 6 Xs , 4 x‘ f. “* 3 t3 *" 5 /s _|_ 7 t7 x 5 x3 16 x5 10 x7 7 * 7F + 5 7s +7 f x. x3 , 15 x5 ,20F 7 F r 5 P + 7 «’ 320.03—320.15 находят no< 211ИТ 1 a3 +- + +- гред 1- t и T 4 1 9 t3 5 xs 7 F 15 x2 9 /9 ствох a. 1 X3’ ’7 t3 • J r 117 6 X + lT7 ПОДС1 Ц- iF 1! T аь 1 x'3 J_± 13 t13 ивки; •
22 ~----—
a2—x2’
тогда
a dz
(И-г2)3'2’
322.13]
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ t == — Ха)7а
61
321.01. jj ~ = - t. 321.03. = у.
321.06. 321.07. = ~.
QO1 Q V Х __________ _____*
0^1.» ^рп — (2р _ ]) /2/7-1 ‘
(пунктирная линия) и y = arcbinx (сплошная
линия).
л < С х3 dx xt . а3 . X
322.01. \ = — v 4~ тг arcsin —.
J I 2 2 а
пс.п С х3 dx х . х „„„ С х3 dx 1 х*
322.03. \ —.т- = -г — arcsin —. 322.05. \ —- = *
j 6» t a J ы За2 fj
322.07. = 1 Г 1 х* . 1 ха I 5 Н'
322.09. = 1 1 1 , 2 хч I х7 1 " J L з" W 4“ К /1 4- у у, ].
322.11. \ ^~ = 1 1 1 хл 3 ха 3 х‘- 1 хй 1 - а» L 3 N ' '5 /& 4- у J 4" g ] •
322.13. 1 Г 1 Xs . 4 х° 6 х1 1 4 1 1 ^И1 1 3 ’ 5 * 1 Р * 9 fa * । j г 11 I
62 АЛ1 ЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (322. 15
322.15. С х4 йк _ 1 Г 1 х' 5 х» 10 х‘ 10 х9 5 х11 1 х13] J /13 — a14 L 3 fl + 5 + 7 fl 9 + 11 О1 13 713] ’
323.01. С хМх = fl _ 323.03. = t + J t о * J 1Л *
323.05. Г Xs dx 1 аа J ’ а “ 1 "+ ЗР*
323.9. (* х3 dx 1 । а4 J flP+l ~~ С2.О — 3) 1*Р~3 ' (2р — 1) РР~*‘
324.01. (* хг dx x3t 3 .. , . 3 , .к \ —-г- = л -<г а xt + ъ а arcsin —. J t 4 8 8 а
324.03. х4 dx xt , cflx 3 , . х J -р- = у + т— 2 G arcsll! a-
324.05. C x4 dx X . 1 X3 . X J-p-=-7+ 3 ^ + arcsin
324.07. = J 324.09. ( = 1 Г ’-4-1^1. j r 5lx2 & j (a a4 [b & 7 Z7 J
324.11. x4 dx 1 Г 1 x5 . 2 x7 . 1 x9 1 J Pl ~ a® [‘5 fl ** 7“ fl + 9~ 7» ] ’
324.13. Г x4 dx _ 1^ Г 1 xa , 3 x7 x* i 1 *u 1 'L3 ~ a3 [ 5 7® 7 fl 9 fl "Г" Г1 7“ j'
324.15. x4 dx I ’ 1 x5 . 4 x7 6 xu t 4 xl‘ t 1 xl3l ) fl3 ~ a19[ 5 fl 7 fl + 9 fl *11 /н ' 13 /13J*
325.01. (* x6 dx fl , 2a2 fl J—s+-—at-
325.03.
325.05. C x-‘ dx 2a3 a4 „ (* x& dx 1 2a2 , a4 J fl r^ifl- 32г,-°7- J fl
325.9. C x9 dx 1 2a- t a4 J flP+i ~ (2p — 5) flP~3 (2p — 3)t2P~3 ' {j2p — 1)/2P~1*
326.01. 1* x® dx x6t 5 , 4. 5 ... 5 H .x J T = - У - 24 ° ~ Гб aX‘ +16 ° arCSI” a-
320.03. 1* xd dx xa 5 a2x3 . 15 a4x 15 . x J ТГ = - 4, - в “Г + 8 I - 8 “ =rCS'" V
326.05. (’ x® dx Xs . 10 a4x3 5 a’x . 5 » . x \Т=-2Л+ 3T- 2 1» + 2° "“‘"a-
341.05]
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ / = (<22---Х*)'!-
G3
Я26 07 С-*в^л: 23 х' 1 ах ах ‘Q1il
32b.07. j tl - J5 /3 3 ti + z3 ан 326.09. = 326.11. a Xе d к \ /и
J Г ICT l •
P у® /7 у 1 I 326.13. \^F = -6 J i’3 ae £ £ . 2 £ J-1 —1 7 t1 9 t9 и I’d •
326.15. =
— 1 Г 1 J- 3 x’ Д. 3 *" -4- 1 a® 7 r’+ 9 t9 + 11 I" + 13Z’3 •
P y? /7 у | 327.01. = 307 03 V %7£?X = 1 t 4fl2/5+4«^s-«'A \ 5 3 ® 3 z,2/3 J-.Чл4/ J-0’
J t3 5 P f] у 1 327.05. 1^ = 2./ P r7 /7 у 327.07. \ — = t + 327 9 C — 327.J. J /2Z,+J ( 3a2 3 r 1 -3^-¥+^- За2 3a4 , a® t 3Z3 1 5Z5' [2,o—7)Z2/'-/^ ?Q' •
' (2p—5j/2^ ~s (2w— 3)/2*-2 1 a6
341.01, f^=f—7 1 (2p — dx 1 , I а Ч-/1 = 1 n 1
J xt J x / Заметим, чт —-In a x a^-x* a 1 x [X2<«! D — Arsch — = a a
£/ ==—III
функций ц =----
X V 1 — X2
(пунктирная линия)и
1 +
X
----Arch
а
(сплошная линия).
Надо брать положительные значения Arsch, Aren, a u I,
341.03.
341.05.
dx _ 1 1 . I я + ?
~ а2/П I х
dx _ 1 1 1 . I а И
х7г — 3a¥+aY а3 П| х | ’
64 341.07. j xi7 ba 341.09. j x/9 la 342.01. J x2* 342.03. ? 4A = A j x2P a4 342.05. V = A J x2P a6 342.07. A 4A = A J x2l7 a8 P /7 у 1 342.09. \ -~7i = лй j x*l* a™ 0 dx 343.01. \7=- J X3/ 343.03. £ 4A = ~ J X3/3 343.05. t - K’!-3 C dx 344.01. \~=- j K‘i!- 344.03. J x*P 6 P dx 344.05. \ ~ = - ,) x4/J Интегралы 3' z 345.01. J x5/ C dx 345-03. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 2/в । 3a4/3 + ePt a7 111 1 x |* 1 , 1 , 1 _ 1 . 1 a + f I 2/7 + 5o4/“ 1 3a«P a« j x |* J _ a2x * [ ? i K\ x + ?;• / t . 2x . Xя \ \ 7 + t + 3/3J‘ / t . 3x 3x3 . x5 \ Т + Т + з/з' +5^J« ( t . 4x 6№ 4x5 . x7 \ 7 + 7 +3F + 57F + 77)- 54r-Aln —1Cm- 341.01.] 2a2x2 2a3 x | ‘ 1,3 3 , a+f 2o2x2/ 2аЧ 2<z5 x ’ 1 I 5 t э 5 | a 4~ 11 2a2x2/3 1 6a4/3 ' 2a4 2a7 Ш | x |' J (1 L /3 \ 7 \ x Зх3 ) • Lf_ x A2t . n z6 \ t + X + 3x3 /' 1 ! Xя 3x . 3/ . P \ 18 \ 3/3' t *" X +3x37 12 и 344 находят посредством подстановки: х2 , a dz тогда dx = 77-. (2 ’ (1+г2) /в _±_j_ 3 JLu_ 4a2x4 1 8 a4x2 8a5 | x j 1 1 15 15 । a7/ I 4n2x4Z * 8a4x2r 8zz'4 8a7 П x J *
[341.07
361.03]
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ t — (д®—Х®)’/я
65
346.01. Г dx J х«7 1 f z ae \ x 2/3 _Д\ ' Зх3 5xs J *
346.03. С dx J х0/3 I / a3 V x . St . 3/3 , t + x +3xs 1 /5 A 5xs J
350.01. J t dx — xt . a® -y + у к , arcsin — e a
350.03. Г J t3 dx = xt3 . 3 4 + 8 2 j. । 3 4 . X axt-\--^a arcsin — . 8 a
350.05. J t*dx = xt3 5 6 +24 a2xt3 + ^a‘lxt 4- 5 g 16a . X arcsin — a
351.01. f xt dx — P V3’ 351.03. jjtf3 dx — P 5 *
351.9.
352.01. i X^tdx — xt3 d'xt . 4 + 8 * a . x --g- arcsin —. b a
352.03. x2t2dx — — xt'3 dxt3 a'xt , a6 . x
6 1 24 1 Id । 16 arCSln a •
353.01. f Д x*tdx~ ~ J 5 •7 2 /3 — 353.03. x3t3dx — j P dP 1 5 ’
353.9. e. \x42i + 'dx = - l'P+S _ a2t2p+s 2p+5 2p+3’
354.01. x43 a!xt3 . a4x/ . a® . x f- th arcsin — 16 a
В V 1'4' jX* " 6 8 H 16
354.03. t- i x43dx = — ) fdt5 a3xts 8 16 . a“xt3 1 64 + maxt + n$a'^n a-
355.01. 1 r P f 2a2 P dP j
V j v’/'/v — 7 1 5 3
355.03. I x*t3dx — — P 2a’/7 9 + 7 dP , 5
355.9. \xH2P+ldx = fzp+i 2a’ a'pP3-3
tJ 2p+l 1 2/? -f- 5 2p+3 ’
361.01. t dx . j -— — t— a 1 X । 1 ci -j- t i Ini—— . 1 X 1 (См. замечание к 341.01=)
361.03. J Vdx__ /» jT 3 '* a2t — a3 In । a + /1 x Г
66
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(361.05
361.05.
361.07.
362.01.
362.03.
362.05.
363.01.
363.03.
363.05.
364.01.
364.03.
364.05.
365.01.
365.03.
366.01.
366.03.
867.01.
368.01.
На этой странице Г = (аа—№)'/5
Г tsdx t* . ast* 4 s , I a 4-11
1----~-r 4- -x- 4- a t—a In--------.
J x 5 ‘ 3 1 *
fdx
t1 . a2ti . a4ts , e. 7 ,
-3-4-й a ln
t X
—----------arcsin —.
x a
I—!
1 * I'
tsdx t* 3 , 3 . . x
-r- ~-----------xt — — a arcsin —
xJ x 2 2 a
'sdx ? 5
— =---------------- xt —
x2 x 4
15 2 15 4 . x
-x- a xt----x- a arcsin —
8 8 a
f t dx t 1 . tz + l|
J ? ’ 2x2 2a П x I*
Is dx Is 3t За. I a +11
— 2? ““ "2 + ~2 П |T“ j
(См. замечание к 341.01.)
5 . • 5 2 5 . , I
g-/’— -g a t-\- -^az In I
/5 dx_____ Is
tdx __ ts / 1 , 4 8 \
x8 7a2x3 \ x“ 5a2x2 + 15a4 / *
380.005J интегралы, содержащие Х4* — (ах2 4- Лг 4- с)'Ъ
67
Интегралы от биномиальных дифференциалов.
Формулы приведения
370. хт {ахп b)p dx
= , — [xm^ur+npb С xmup~ldx] .
m 4 пр 41 L - J J
371. хт {ах” + l»F dx =
— . . 1 , ,, — х"‘+ 'и1 +’ 4 (т 4- п 4 пр + 1) Сxmup+'dx\ .
on (р +1) 1 ' * J ]
372. § хт (ахп + bjp d : ~
= (ffl'-Tijfe [ х"‘+'и " — й 4 л 4 пр 4 1) §хт*nupdx] .
373. хт (ахп + b)p dx =
Здесь и = ахп-\-Ь и а,Ь,р,т,п могут быть любыми,
лишь бы не обращались в нуль знаменатели при после-
довательном применении формулы.
Интегралы, содержащие X'12 ~(сх24 Ьх-\- с)1'2
330.001.
380.003.
380.005.
dx
dx
X21
= -4~ In | 2 (aX)'i* 4 2ex4
= Arsh 2ю+Д-
a 13 (4ac — b2) '2
= Д— In | 2a%4
a 12
=------ту- In I 2ax 4 b I
a /a
—1 . (2o%4^)
—------г- arcsin —----—-
(—a) 2
4«с>/>2] ’
[л > 0, Ьг = 4ас, 2ах4^>0],
4 ax +2t>
(lac — Ь2)Х'1*
4ax 4 2b
3(4ac — b2)X l(2
[«>0, Ь2 — 4ас, 2ах4^<0],
________а < 0, Ь2 > 4лс,
(Ь2 — 4ас)'12 [|2ах4#|<(&2—4ПС)1'2
8a \
4ac — b2) '
68
алгебраические функции
[380.009
880.009. 4ах -}- 26
J Х(2л+1).2 (2/г — 1)(4ас— , ₽а(я —I) С dx
380.011. 380.013. 380.019. 380.021. 880.111. 380.119. ( г 380.121. 1 380.201. | 380.209. ( ? хах_Х^ t С с’к X1 2 а 2OJX1'2* х dx _ 2hx 4-4с 1 X3,2 (4ас—&2)Х,/2 Г 1 [См. (2и—1) (4ас—Ь2} 380.001.] b f dx J Х(2П
) Х"" + 1'-2 (2п—1)оХ(2"-’> " = ! _х \%1,2 I ЗА2-- X11 К 2а 4а2} 1 8а • dx 1 . 12(сХ)1;2 , 2с С'-«,П|-х +« с‘! | х | (4ас— _Lln|“±^| к; с12 1 X I ‘ = —1л --+^1 [с>С с /’ X 1 1 1 . Ал 4-2с — ElcSifl (—с)’/2 |х|(Ь2—4ас ' dx 1 (2л__ i)cx<2«-’)/2 41 ‘ dx X1’2 Ь С dx г=Х’-'2 ™ 2с J ха,/2‘ X* Is dx -= X1 Is 4- — 4а (2ax + b)X^^ Л 4u(n4-l) + - 'г 2с 4ас Р 4-* 4)1/2 >0, £ , ьг- )1/2 L L лХ<2' [См. с— Ь2 8а (4ас — 8а —. [G X12 1 [с>0], с > 0, 4а с > Ь2 2 4ас, Ь = 4ас, Ьх~ c<Z^, b2Z> 4ас 1х Ь_ - D/2 2с 380.111.] dx г, ) 5g2 ‘ 1 62) (2г.+ 1) а 4-1) * и. 380.001.J х4- 2с>0], !-2с<0], Г dx J J^(2/14 lj/2 * 2м. 380.001.] J Хап -
р У 8/:
380.211. \ xX'i2dx^ d~
J За
b(2ax + b) V12
8а2 Л
Ь(4ас—Ьг) 0 dx
16й2 J А'12 ‘
[См. 380.001.]
887]
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ X' /» — («№ -{- Ьх с)'к
69
380.219.
380.311.
380.319.
380.321.
383.1.
883.2.
383.3.
383.4.
384.1.
384.2.
384.3,
387.
r> v(2ti + s)/e L
I xX^+^'^ix^^-—------------
J (2/?+3)a 2a
p Xll2dx
">:2<1Х.
dx
X7'’2
X<’2n+1'>2dx x<2n + 1'
2n + ]
X’/2 ,
X' *dx
1-2
dx
x(ax2 4-ftx)1 2
dx
p dx
CJ XzY74 *
[Cm. 330.001 и 380.111.]
P X'2" ~ ”'2rfx
X<2« - 1'’2rfx + c \ ----------- .
dx
~x)0~2'
[Cm. 380.001 и 383.111.]
2
Гх(ах2 + bx}'>2.
, — arcsin -—
J (2ax—x2) 1 a
f x dx
, .. —(2ax — №)' 2 + a arcsin f -—?
(2ax — хг) ‘ \ a
(2ax— x2)'i2dx=
(2ax—x2)'i2 + ~ arcsin •
dx
-*ln
na
П /2
1/2
dx
x (A-« —a2)1 2
— — arccos
na
x' 2dx 2
у arcsin
(«S — X3)V2
К» H^a,ctg
1
2 ]/'b fbf-
a
Jl.2
Vb Vfx2-^
in №-\-g + x Vbf—ag
[«£>/)/],
y~b Vfx2+g — xybf—ag
[£/>«£].
400.01.
400.02.
400.03.
400.04.
400.05.
400.06.
400.07.
400.08.
400.09.
400.10.
400.11.
400.12.
400.13.
400.14.
400.15.
400.16.
401.01.
401.02.
401.03.
401.04.
П.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
sin2 Л 4-cos2 Л = 1.
sin Л = |/1 —cos2 4 .
cos Л = |/1 — sin2 Л.
tg Л — sin Л/cos Л.
cig Л = cos Л/sin Л — 1/tg Л.
sec Л = 1 /cos Л.
esc Л = 1 /sin Л.
sin (— Л) — — sin Л.
cos (— Л) — cos Л.
tg (— Л) = — tg Л.
sec2 Л— tg2 А — 1.
sec Л = |/1 4- tg2 Л .
tg Л — sec2 Л — 1 .
С5С2Л — ctg2 А — 1.
esc Л == |/1 4 ctg2 Л.
ctg А — Yesc2 Л — 1.
Заметим, что для действительных значений А знак вышеука-
занных радикалов зависит от того, в какой четверти находится
угол А.
sin (Л В) = sin A cos В 4- cos Л sin В.
sin (Л — В) — sin Л cos В— cos A sin В.
cos (Л 4- В) = cos A cos В — sin Л sin В.
cos (Л — В) — cos Л cos В 4 sin Л sin В.
402.06]
формулы
71
401.05.
401.06.
401.07.
401.08.
401.09.
401.10.
401.11.
401.12.
401.13.
401.14.
401.15.
401.2.
402.01.
402.02.
402.03.
402.04.
402.05.
402.06.
2 sin A cos В — sin {А 4- /?)4- sin (А — В).
2 cos A cos В — cos(Д + В)-]- cos (Д— В).
2 sin A sin В= cos (Д—В) — со$(ДД-Ь/.
, . г, о - Д + В А —в
sin Д Д- sin В = 2 sin —£— cos—— .
. „ „ . 4-В А -У-В
sin Д — sin В —2 sin—-—cos—g—•
л । г? о А + В А—В
cos А + cos В — 2 cos —— cos —— •
л о о A ~h В В — А
cos Д — cos В — 2 sin—2—sin "?— •
sin2 А — sin2 В — sin (Д В) зш(Д - В}.
cos2 А — cos2 В — sin (Д 4- В) sin (В— А).
cos2 А — sin2 В = cos (Д 4- В) cos (Д — В) — cos2 В — sin2 А.
sec2 Д 4- esc2 А = sec2 A esc2 А = . , J.
sin2 A cos2 А
р cos А 4- q sin A = r sin (Д 4- 0),
где
г — ]/р24-</2. sin 0 = р/r, cos 0 = rz/r
ИЛИ
р cos А 4- q sin А — г cos (Д — <р),
где
г = j/p2 +<?2i cos <р = p/r, sin <р = qjr.
Заметим, что р и q могут быть положительными и отрица-
тельными.
sin (Д 4- ВА~ С) — sin A cos В cos С4- cos A sin В cos С 4-
4- cos A cos В sin С— sin A sin В sin С.
cos (Д 4- £?4- С) = cos A cos В cos С— sin A sin В cos С—
— sin A cos В sin С— cos A sin В sin С.
4 sin A sin В sin С — sin (Д 4- £—С) 4- sin (154- С— Д) 4-
4- sin (С4- А — В)— sin (Д 4- В+ С).
4 sin A cosB cos С— sin (А 4- В—С)—sin (В4- С—Д)4-
4-sin(C4- Д — В} -Н5ш(Д4-Я4-С).
4 sin A sin В cos С — — СО8(Д 4- В— С) 4- cos (В тС— Д) 4-
4~ cos (С4- А — В) — cos (А 4~ В С).
4 cos Д cos В cos С = cos (Д 4- В—С) 4-cos (15 4-С—Д)4-
4-cos (С4- А — В) 4- cos (Д 4- £?4~ Q.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[403.02
72
403.02.
403.03.
403.04.
403.05.
403.06.
403.07.
403.10.
403.11.
sin nA =
403.12.
403.13.
sin 2.4 — 2sin .4 cos .4 = , , -r .--7.
1 -f- tg я
sin 3/1 = 3 sin A — 4 sin' A.
sin 4/4 — cos/4 (4 sin A—8 sin3 .4).
sin 5/4 = 5 sin A — 20 sin3 A 4- 16 sin® 4.
sin 6.4 = cos A (6 sin A— 32 sin3 A 4- 32 sin5 4).
sin 7.4 — 7 sin A — 56 sin3 A -+ 112 sin5 A — 64 sin’ A.
Для целого положительного четного п
п
sin ПА — (— 1) 2
cos А 2""’ sin”"1 A——p —2fi~3 sin" 3/4-f-
4 2«-s sin"”6 A —
(n — 4)(n—5) (n—6) 2'»-’sjn«-7 Д + . . 1
ряд обрывается, когда коэффициент обращается в нуль.
Другой ряд:
и cos A sin A
—2й) . з л . pi2—2й) f/г2—42) . 5 л
— sin А -I--------------------- sin А —
3! 5’
(п2-22)Щ2-42)(н2-62) д ,
--------------——-----------sir* ZI .
[n четное и >> 0]
Для нечетного целого п 3> 1
sin /2/4 = (—1) 2 ^2"~* sin" А — ~ 2п~е sin""2 А -|~
ч- 2"-5 sin"-4 A — 2п-7 sin"-' А 4-
j п(и—5)(п—6) (я —7) 2„_„ sin«-8 А_ j
ряд обрывается, когда коэффициент обращается в нуль.
Другой ряд:
sin nA = п sin А — --- sin3 А -ф
---------5!------sin А — ...
[л нечетное и > 0].
4C4.24J
ФОРМУЛЫ
73
403.22 cos 2/4 = cos2 4 — siti2 A — 2 cos2 4—1 = 1 —2 sin* A = 1 — tg2 A etc A—tg A ~ 1 + tg2 A ~~ ctg A + tg A *
403.23. cos 34 — 4 cos3 4 — 3 Cos 4.
403.24. cos 44 — 8 cos4 4 — 8 cos2 4 4 1.
403.25. cos 54 = 16 cos5 4 — 20 cos3 4 + 5 cos 4.
403.26. cos 64 = 32 cos® 4 — 48 cos4 4+18 cos2 A —- 1,
403.27. cos 7/1-64 cos’ 4 — 112 cos5 4 + 56 cos3 4— 7 cos 4.
403.3. cos nA = 2"“1 cos'1 4—2"“3 cos'1"2 4 + + cos„_. + 2”“° cos”-8 4- ... 4; Формула обрывается, когда коэффициент обращается в нуль (п целое и >2).
403.4. sin -^ = j/^у (1 — cos 4). 403.5. cos-^ = |/ (1 + cos 4) .
404.12. sin2 4 = (— cos 2/4 + 1).
404.13. sin3 4 = у (— sin 34 + 3 sin 4).
404.14. sin4 4 = 4- (cos 44—4 cos 24 + 4\ o \ 2 J
404.15. sinB 4 = (sin 54 — 5 sin 34 -p 10 sin 4).
404.16. sin® 4 = — cos 64 + 6 cos 44— 15 cos 24 + ~
404.17. sin7 4 = 2* (— sin 74 + 7 sin 54— 21 sin 34 + 35 sin 4).
404.22. cos2 4=2. (Cos 24 + 1).
404.23. cos3 A = у (cos 34 + 3 cos 4).
404.24. cos4 4 —f ccs 44-j- 4 cos 24 +
74 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ {404.25
404.25. cos5 •4 = -^ (cos 54 4- 5 cos 3/ 4- 10 cos 4).
404.26. cosb A — ~( cos 64 4- 6 cos 44 4- 15 cos 24 4- ). oZ \ £ j
404.27. cos7 /1 = — (cos 7Л —1~ 7 cos 5z4 —f- 21 cos 3/4 —|— 35 cos /4).
(Очевидно, 404 можно продолжить, используя биномиальные коэф-
фпциенты.)
405.01. ta (А + В) = <g А ttg В = Ctg/1+Ctgg ' 1—tg/tgB ctg/ctg В —Г
405.02. t g (А — В}~ tg ^~~tg В — Ftg В —ctg / ' 7 l+tg/4 tgB ctg/ctgВ 4-1'
405.03. , . ,, ctg A ctg В — 1 1 — tg A tg В СЬО(/ 4 />)— ctg/4-ctgB “ tg A +tg В *
405.04. ct.M_ _ ctg Л ctg В 4-1 — 1 +<g Z tg В £' ctg В-ctg A tg/ —tgB •
405.05. , ,, sin (A 4- B) .ne . r, sin (A — B) tg A 4- tg В = — д ’. 405.06. tg A — tg В = —Ц-—' . ° & COS A COS В to »Э cos д cos g
405.07. . л . . o sin (/4 4-B) ctg A 4- ctg B— -—yr-.—. b Ito sin A sin В
405.08. sin (В—/) ctg A — ctg В = -—. . D . & ” sin A sin В
405.00. . . о cns (A — B\ tg A 4- ctg В = ——. ” cos A sin В
405.10. . r. cos (A 4- B) & & sin A cos В
2 tg A 2 ctg A 2
406.02. tg (ctg2 y| _ । ctg A — tg A '
406.03. .rt од 3 tg / -tg-Л tg3,4-
. 4 tg A — 4 tg3 A
406.04. tg 4/ 1 —6tg2 4 4-tgM *
406.12. o. ctg2/4—1 I—tg2 A ctg A—tg/ С,82Л- - 2<ЙЛ = 2 •
406.13. ctP 3/4 - ctg3/-3 ctg/ ctg 3/4- .
406.14. , .. ctg4/ — 6Ctg2/4-1 ctg 4/4 — . ci, T- . 6 4 ctg2 / — 4 ctg A
:O8.O2J
ФОРМУЛЫ
75
406.2.
406.3.
~ A _ 1 —cos A _ sin A _ -j / 1 —cos_A
^”2 s i n A~ ~ 1 4-cos A ~ V I + cos A'
A sin A __ I + cos A _ . /~ 1 -j-cos A
C^2 ~ 1 — cos A”” sin A V 1—cosA ’
407. sin 0° 0 = cos 90°.
sin 15° . л = sin — == sib J2 |<3-1 2 /2 = cos 75°.
sin 18° . Л = sin 10- ^5—1 4 = cos 72°.
sin 30° . Л = Sin -jr — 0 £ 2 — cos 60°.
sin 36° Л ----- sin -r = 5 V 5- — cos 54°.
2 /Т
sin 43° Л = sin — = 4 1 w — cos 45°.
sin 54° . 3л ==S,n 10“ К 5 4-1 4 = cos 36°.
sin 60° л — sin 77 — «J 2 = cos 30°.
sin 72° . 2л — sin — = 5 ^5+^5 2 |<2 — cos 18°.
sin 75° . 5л ==S,nT2~ 1^3 + 1 2 {A 2 .--COS 15°.
sin 90° л — sin-? = = 1 — cos 0°.
sin 120е , . 2л — sin-a- = О Кз 2 * sin 240° .4л У 3 Sin T” F*
cos 120' , 2л — COS -v = о — JL 2 ‘ cos 240° 4л i = cos
sin 180е = sinn = = 0. sin 270° = sinT=-l.
cos 180‘ ’ = COS Л — — i; cos 270° = cos ~ = 0.
408.01. sinx=^(e'x—е-'х),где/-4-/—1.
Заметим, что в электротехнической литературе вместо I часто
употребляется j.
408.02. cosx = -~{e'x е~'х).
76 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [408.03
408.03. / е'х е - IX \ / е21Х ] \ tgX - ~ ^e2z*+1J*
408.04. е'х = cos х 4- i sin x. (Формула Эйлера.)
408.05. ег+1Х = ez (cos x _j_ i S)-n xy
408.06. аг+!Х __ |cos ]n f sjn (X [n
408.07. (cos x 4- i sin x)n — e"]* — cos nx 4- i sin nx. (Формула Myaepa.)
408.03. (cos x 4- i sin x)~n = cos nx— i sin nx.
408.09. (cos x+ i sin x)-1 = cos x— i sin x.
408.10. sin (ix) = i sli x.
408.11. cos (ix) — ch x.
408.12. tg (ix) = i th x.
408.13. ctg (ix) = — i cth x.
408.14. sec (ix) — sc-ch x.
408.15. esc (ix) = — i csch x.
408.16. sin (x 4- iy) — sin x ch у 4- i cos x sh y.
408.17. cos (x 4- iy) — cos x ch cp i sin x sh y.
408.18. x , sin 2.x + i sh 2z/ tg (x iy) — CQs 2x + ch 2(/ .
408.19. J ' ch 2r;—cos 2x
409.01. ce'x ~ ce‘ ,x+2k'R( ГЛе k — целое число или нуль. = с (cos х+ i sin х).
409.02. 1 = e^’ + 2kTl _ cos Q z- Sjn Q. Заметим, что cos 2/гл — cos 2л — cos 0 — 1.
409.03. — 1 = e»+t2*+ о nI _ cos n _|_ i sln Заметим, что ln(—1) = (2£+ 1)л/.
409.04. j/j _ e-*nz,2, эга величина может принять два различных значения в зависимости от того, четно или нечетно k. Этими значениями будут соответственно е2ГЛ‘ ~ cos 0 4- i sin 0 = 1, e'2r+ *’n/ — cos л + i sin л = — 1, где г — целое число или нуль.
409.10]
ФОРМУЛЫ
77
409.05. — ~1 = el2r + n п'1г. Этот квадратный корень имеет два
значения в зависимости от того, четно или нечетно г;
эти значения соответственно
cos л/2 + i sin л/2 = i, cos Зл/2 4- i sin Зл/2 — — i.
409.06. p/T= e2kni'*, Этот корень имеет три различных значения:
е2/Ч1' = cos 0 + i sin 0 = 1,
, , 2л ... 2л 1 . .V3
е^'Л + гл/з) i = cos 4 t s)n = — — Ц- i = frt,
О о £ *•
4 л .4л I . 1^3 ?>
е(2т+4Л з) t — cos — + I sin —- =-—— I —— — Ci) .
о о Z z
409.07. |/T = e2*™-'4. Эi от корень имеет четыре различных значе-
ния:
e2rrtl — cos 0 4~ i sin 0=1,
е(2/-л+2л'4) / _ cos л/2 -4-1 sin л/2 = z‘,
е(2ГЛ + 4Л 4) i = cos л 4- i sin л — — 1,
е(2гп+бл,4) icos зЛ/2 + / sin Зл/2 = — i.
<>. 409.04 и 05.)
409.08. Vi = е<45+1>я'/4 (получается из 409.05 при r = 2s). Эюг
корень имеет два значения
л . л 1.7. \ j
en</4==C0s —H-zsm —==——— (s четно),
4 4 ]/ 2 У 2
е5ш'4 __ соз _|_ I Sin ~ = — ( _JL _р _L_ /у нечетно).
409.09. л/1 = е2ЙЯ/,п = cos 1 sin
v n n
принимает n различных значений, соответствующих различ-
ным значениям k. Уравнение ю" = 1 имеет п различных
корней:
(0„ = cos 0 4- i sin 0 = 1, со, = cos-k i sin — ,
0 1 п п
„ /2л\ „/2л\ , 2л , , 2л
со„ — cos 2 ( — + I sin 2 — , ..., со., = cos k-4- i sin k — ,
2 \ n J \ n ) ' n n ' n ’
9jt 9rr
ttn-^cosfzz— l)-^-|-/sin (Л—1)-^.
Заметим, что согласно 408.07
409.10. Все п корней л-й степени из какого-либо числа могут
быть получены из любого корня умножением этого корня
на п корней дз единицы, которые указаны в 409.09.
78
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[410
410. Формулы для плоского треугольника. Пусть а, b и с—стороны, противолежащие углам 4, В и С.
410.01. а2 — Ь2 4 с2 — 2bc cos А.
410.02. а b г. sin A sin В sin С "
410.03. a = b cos С 4 с cos В.
410.04. А 4- В 4 6 = л радианов = 180®.
410.05. .А / (р—Ь)(р—с) 1 , . S1H 2 = У Ьс , где р = 2 {а 4 ъ -4 с).
410.06. 4 , /~ р (р — а) cos 2 - у Ьс .
410.07. • ^7 1 S -1 о. 1 о. о. II э
410.08. , А — В а — b t С tg 2 “fl4feCtg 2 •
410.09. Чтобы найти с по а, b и С при помоши таблиц логариф- мов тригонометрических функций, положим . d 4 J б . С tgO =—Ц tg = ; тогда с = {а — b) cos sec Ц. & а — b 2 2
410.10. Площадь треугольника 1 к /-> i/— Г7 ZV7 \ й2 sin В sin С 2 об sin 6 = V р(р а)(р Ь)(р с) — 2 sjnA .
410.11. Если 6=90®, то с2 — а2-\-Ъ2. Чтобы найти с^Уа2 А-Ь2 при помощи таблиц логарифмов, положим tgO=^-, тогда с = a sec 6. Это оказывается полезным в разных случаях.
410.12 В плоском треугольнике /с <? In а — In b— — cos А cos 24 |- . .. \ b 2/>2 сп \ . 4-^cos«4 4 ... J [с<£], 1 ( л , if о л . = In с— — cos А 4- л'т cos 24 4- ... у с 2с Ъп \ • • • cosnA -1- .. . ) р<с]. [См. 418.1
416.02]
РЯДЫ
79
Ряды
415.01. - — Й+Й-П+-
415.02. cosx=1-i + ^-<+... |х-<оо].
415.03. tg х — х 4- з + [5 х 4- 315 х 4- 2835 X + ... 2г” (2г”-1)£п 2„_, , Г 2 яг1 ... + (2n)) X +... [Х 4 1 ’ [См. 45].
415.04. 1 х Xs 2г5 х’ Ctg Х “ х 3 45 945 4725 2г"й„х [хг<л2| (2л) 1* ••• И<Я|. [См. 45.]
415.05. , , х3 . 5 4 . 61 в , 277 . sec х — 1 4- 2 . 24 А 1 720 х 8064 £ Х2п г Лг1 Ед±_ 4- . .. х < ~г . ’ ’' (2n) ’ L 4 [См. 451.
415.06. 1 . х . 7 j 31 6 127 , СБС X — - + в 1 збо х 1 15 120 Х । 604 800 Х + * , 2(22П~| —1) р ,в_| . i s si (2л)1 +-” [Х<П|. [См. 45].
415.07. г <. sin в sin (0 4- х) — sin и 4- х cos ’) x3 cos 9 . x4 sin 0 3! 1 4 1 ' ’ *"
415.08. cos (9 4- x) = cos 6 — x sin 6 — y— 4- x3 sin 0 x4 cos 0 + 31 1 41
416.01. л , sin 3x . sin 5x sin 7x . ,-_sinx4- з + 5 -I- 7 + •.. [0 <C x <4 л]. „ 4c 7 . sin 3x sin 5x ,
416.02. Постоянная c —— (sinx4- Q 4- r 4* jX \ о 0 4-4- - - ) [0<x>n].
60
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[416.03
л f п лп „ 4 С [ I 1 _ Злх । 1 . Блх ।
416.03. С «=— I Sin— + -5-sin--hv-sin-к
л \ a 3 a 5 a
+ ysln^+..j [0<x<cz].
лл’ Я cos3x , cos5x cos7x , Г я Л 1
416.04, t = cgsx---g---]--g---------f~... —-<x<T .
416.05. т-i 4c f cos 3x , cos ox cos 7x . — X 1 юстиинная c «= — cos x— —= = r- ... | Л \ 3 ‘ 0 7 / Г Л _ - Л ' [”У ~^x<'“2
416.06. 4c f лх 1 Злх , 1 5nx 1 Tnx , X C — — COS -77- cos к -=- cos — cos J- . . . л \ a 3 a ' Б a 7 a J Г a a 2<x "-’g
416.07. n f . sin 2x , sin 3x sin 4x , X . . x = 2 sinx 5—|—~ 2—k... [— л<х<л]. \ О T /
416.08. n ( . , sin 2x . sin 3x , sin 4x , \ х = л—2 I sinx-l-—2- + —3—b-4—-1- ) [0<х<2л].
416.09. 4 ( , sin 3* . sin 5x sin lx , A —fslnx 55--! ^5—+ ••• я \ • 5* , 72 • у Г я л ’
416.10. л 4 ! . cos Зх , cos 5х , cos 7х , \ х~~27л 32 -1 -у 4- 72 + ...J [0<х<Сл].
416.11. . л1 . f cos 2х , cos Зх cos 4х , X х — 3 4 ^COS X 2; 1 зг 42 -г ...J [ — Л sC X<s^ л].
416.12. .я* 8 f cos Зх , cos 5х Х_4 Дсея*-- 8, -4 5. - cos 7х X Г я п 1 — ' ?« + * ’ ‘ ] [—2 2] .
416.13. X*— , n f , sin 2х , sin Зх sin 4х . X 12fslnx 2з + Зз 4з +...)
1— n x «С л].
41S.1]
РЯДЫ
81
416.14. . 4 f 1 CCS ?X COS 4x. cos 6x \ SI*1X n\ 2 1-3 3-5 5-7 Г л л ' [ “ I C -
416.15. 8 (sin 2x . 2 . . , 3 . c , cos x = — < —„ - 4- sin 4x -1- =-= sin -J- ... Л ( 1 - J '3-0 5*7 •••+ <2,.-l)(2n + l) *‘"2'“+--4 [0 < x<z л]„
416.16.’ 2 sin ал J sin x 2 sin 2x . 3 sin 3x | - slri(7X-' л jp—O2 22 —u2 1 32~a2 где a — не целое число [ — л<х<л]^
416.17. ' 2а sin ал ( 1 , cos х cos 2х , cos Зх 1 COS ах — \ о7 4- 7г 2— ЙГ"- г + 2 — . . . > , л 12сг г—ст 2 — аг 1 &—а 1 где а — не целое число. [— л < х < л].
417.1. • i-2« cos 6 4-7? = 1 + .CT(а sin 20 + Sln 30 + + a3 sin 40-1- ...) [о2<1]..
417.2. j— о'д. 7 = 1 + 2 (а cos 0 + a2 cos 20 + as cos 30 4- ... 1 A — Zu COS 0 -j-u
417.3. i—а cf£7—5 = 1 4- fl cos 0 a1 cos 20 4- a’ cos 30 ... 1—2acosb4-as 1 1 1 K<q.
417.4. c—q—,—2 = sin 0 + a sin 20 -[- a* sin 30 . [«2 <11. 1—2a cos 6 + a2 1 1 1 1 1
4 IS. In (1 — 2a cos 0 4- u2) =3 ~ —- 2 f a cos 0 + y cos 20 |- cos 30 4- ... [д'2 < 1 ], T . 1 1 n / CCS Й COS 20 . COS 36 , \ , z .1 = 2 in Q— 2 h -oV -r -0-5 b... « > 11. 11 \ a ' 2a2 1 3>a3 J * — *
419.1. dx . , rx sin 6 . r2x2 sin 20 . r*x3 sin 39 , e S!n^- Ц 1— r—3I где r ~ \/аг &2, a =» r cos 0 и b = i sin 0.
82
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[419.2
419.2.
420.1.
420.2.
420.3.
1 1 , ГХ cos 0 ,
еах cos Ьх = I 4------р-----1-
r2x2 cos 20
2!
+
rsx3 cos 30
3!
где г и 0 те же, что и в 419.1.
п -f- I па
sin —g— a sin -g-
sin a 4- sin 2a -J- sin За -ц ... 4~ sin/га =--------—-------.
Sin-g-
n -}- I na
cos —2— a sin
cos а + cos 2а 4- cos За 4- • • • 4- cos na —---------------.
sinT
sin а 4- sin (a 4- 6) 4- sin (a 4- 26) 4- • • •
. I , n — l \ . n8
sin I a 4" —2— / sin ~2*
... + sin {a 4- (n — I) 6} —------------------------ё------------
, 0
sin ~~~
420.4.
cos a 4- cos (a + 6) 4- cos (a 4- 26) 4- ...
/ n — 1 \ лб
cos [ a + —g— о ) sm -g-
... 4 cos {a + (/г — 1)6} =-----------------g----------
sin-g-
421.
Если sin 0 == x sin(0 4‘ a), to
0 4. Гл= % sin a 4- —x2 sin 2a 4-4-x3sin 3a 4- ... [x2< 1],
Z о
где r — целое число.
422.1. / 02\ sin0 = 0 1 —-J \ л2/ (1--П V 22n2/ (1——) v 32Л2/ • • [02<
422.2. COS 0=1 5- \ Л2 1 /. 402 ) V ~~ 32л2У 11 402 'l V 52л2/-’- [02< Z 00]
См. также 818.1—818.4.
Тригонометрические функции— Производные
427.1.
427.2.
427,3.
d sin x 427 4
dx ~ VVJO A •
d cos x dx = — sin x. 427.5.
dtgx 2 1 = sec2x. . 427.6.
dX
d ctg х
dx
d sec x ,
— = sec x tg x.
dx b
d esc x
dx
= — CSC2 X.
CSC % ctg x.
429]
ИНТЕГРАЛЫ
83
Тригонометрические функции — Интегралы
При вычислении определенных интегралов часто бывает полезно строить
график подынтегральной функции. Некоторые кривые, такие как график
тангенса, имеют точки разрыва. Вообще, интегрирование не должно произ-
водиться в пределах, между которыми имеется точка разрыва.
429. Подстановки:
и du sin x COS A tg A X dx
(I) sin х cos x dx a 1— u2 U / 1 ~u2 arcsin и du V1 — u2
(2) cos X — sin x dx f 1—w2 и i-»2 a arccos и du V
(3) tgx sec2 x dx u I'H-w 1 V1 + иг a aretgu du T+Ti2
(4) sec л sec x tg x dx u2 — 1 и 1 и V u2 — 1 arcsec и du и u2— 1
(5) , x tg 2 1 2 X J у see — dx 2u 1 fi? \—u2 1 +w2 2» i - u2 2arctg и 2du 1
ctg %, sec л, esc л можно заменить
П р и м е ч а н и е. а)
Ь)
с)
1 1 1
соответственно на -— , -----, -— .
tg к cos X SH1 X
F (sin х) cos х dx,—использовать (1);
F (cosx) sinx dx,—использовать (2);
F (tg х) sec2 х dx, — использовать (3).
Из таблицы следует выбрать подходящую подстановку для
замены тригонометрических функций алгебраическими и обратно.
Так, например, если встречаются только tgx, sin2x, cos2x, сле-
дует применять (3).
84
ТРИ ГОН О М ЕТРИЧ Е ОКИЕ Ф.У1! КЦИИ
[430.10
Интегралы, содержащие sin г
430.10. г 3 sin xdx=-~ - COS X.
430.101. sin {а bx) dx = cos (a bx).
430.102. sin— dx - а X — a cos —. a
430.11. X S! И X dx — ' Sin X X cos X.
430.12. X* Sill X dX = = 2x sin x— (x2 — 2) cos x.
430.13. Xs sin X dx - = (3x2 — 6) sin x — (xs — 6x) cos x.
430.14. J xi sin x dx = = ; 4x’ — 24x) sin x— (x4 — 12x2 -f- 24) cos x.
430.15. x5 sin xdx- = (5x4—60x2+ 120) sin x—
— (xs — 20xs + 120x) cos x.
430.16. x* sin x dx = = (6x5 — 120x3 4- 720x) sin x—
— (x6 — 30x4 4- 360x2— 720) cos x.
430.19. xm sin x dx - = — xm cos x + m j x,n~1 cos x dx.
- [Cm 440.]
430.20. sin2 X dx~ x sin 2x x sin x cos x 2 4 2 2
430.21. x sin2 x dx = x2 x sin 2x cos 2x
~ 4 4 8
430.22. е \ j x2 sin2 x dx x3 / x2 1 \ л x cos 2x
6 \ 4 8 J °" “X 4
430.23. xs sin2 x dx x4 f x3 Зх \ o (Зх2 3 X „ = 8 (.1 8)s'n2x (s
430.30. COS3 X
ol Г1 Л» С/Л* ~~~~' x sin’ x dx - q CO^x X« о xccs3x sin3x 3 , 3 .
430.31.
jo 2g Л | Ьbl x*
(Выражая sin sx согласно 404.13.)
430.40. sin4 x dx ~ Зх sin 2x ( sin 4x 8 4 1 32 ’
432.111
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ SIH X
85
430.50.
430.60.
430.70.
sin5 х dx =
e j . 5x
sin x dx = --
16
5 ccs x ( 5 cos 3x ccs 5x ,
'1 48 ' “~80~ *
15 sin 2x 3 sin 4x sin 6x
64 +~64~" [92“"
431.11.
431.12.
431.13.
431.14.
431.19.
431.21.
431.31,
431.9.
sin7 % dx - 25 ccsx ( 7 ccs 3x 7 cos 5x ( c os 7x
64 ! 64 320 1 448 *
(Интегриру я выражения из 404.)
Р sin х dx Si (x)-- x— О X3 . X3 X7 ,
J X •3! 1 5-5! 7-7’ 1 ” » •
Таблицу численных значений этой функции см. (22].
Р sin х dx sin x . p cos x dx [Cm. 441.11.]
J Xs ~ x ‘ J X
р sin х dx sin x ccs x J r sinxdx [Cm. 431.11.]
J Xs ” 2x~ 2x 2 J x •
P sin x dx sin x cos x r sinx 1 peesxdx . [Cm. 441.11.]
J x4 — 3x3 6x2 6x 6 J X
P sin x dx sin x , 1 pecs xdx
J Xm ~ (m— 1) xm~1 1 m~ 1 J xm-1 ’
p sin2x dx _ J X ’ll.-! 1 2 In 1 1 9 C cos 2x d (2x) J 2x [Cm. 441.11.1 J
p sin3xdx J X 3 p sin x dx 4 J x 1 C sin 3x d (3x) 4 J 3x [Cm. 431.11.1
404 и интегрировать
Г* У И V
\ xtn . Выразить sin" л; согласно
почленно согласно 431.1 и 441.1.
432.10.
432.11.
Р dx f , , х
\ \ esc х dx — In. tg — =:
J sin x J 2
1 . J + ccs x , , .
— — -7Г in ---- — In CSC X-Ctg X =
2 1 — cos x 1
— ktx—j (лямбда-функция). [См. 641 и 603.6.]
См. рисунок на стр. 86.
Г xdx__ х3 7х5 31х7 127х4 .
J sirTx ““ Х ‘ 3-3! ‘ 3-5-5! ' 3^7^71' 3-5-9! + ’ •*
•••+^ТТГВ»Л'“’‘+--- [См- 45-1
86 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [432.12
лчо .о I , 7х3 , 31х» , 127х’° ,
• J sinx"" 2 ’ 4.31 3-6-5! -ь 3.8.7! '’’б-б-б-8’ + ’ ' ‘
* • • (2п4-2)(2п)! п 1 '
432.19. С *. dx. Разложить -J— согласно 415.06, умножить на х"1,
J sin X sin X
и интегрировать [т > 0].
432.21.
432.30.
432.31.
432.40.
432.41.
432.50.
432.20.
С х dx , rii-i
\ =-XClgx+ln |sinx .
Mil Л
C dx cos x . 1 , I x
I ~—я— =------о—Г~1Г---F ’o' 1И 11 S' 77 .
J sin3 x 2 sin2 x 1 2 I & 2.
x dx X cos X 2 sin2x 1 1 1 c 2 sin x ' 2 J x dx sin x' [Cm. 432.11.]
sin3 x
dx COS X 2 t Ctg X ctj'3 X
sin4 x 3 sin3 x з ctgx 3 •
x dx x cns X 1 2 ctgx+ 2 -7- In I sin X [.
sin4 x 3 sin3 x 6 sin2 x 3
dx cos X 3 cos x ] 3 In 1C
sin5 x ~ 4 sin4 x 8 sin2x 8 1ь 2
434.05)
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ SIH X
87
432.60.
432.90.
432.91.
433.01.
433.02.
433.03.
433.04.
433.05.
433.06.
433.07.
433.08.
434.01.
434.02.
434.03.
434.04.
434.05.
dx ___ cos x 4 cos x 8
sin®x 5sin5x 15 sin3 x 15C^X'
C dx p „ , cosx . n— 2 p dx
\ -г-н- — \ CSC x dx — — 7--—-------------r \ —
J sin" a: J (n—1) sin" *x 1 n—Ijsin" 2v
> 11
xdx xcos x 1
sin"x (n—1) sin"-1 x (n—1) (n—2)sin"-2x
n — 2 P x dx
"I- n — 1 J sin"-2x
I л x X
\T~ У ) ‘
dx __ / л . x
1 — sin x °\4-*~2
sin x dx _ / л x \ ,
1 + sin x X \ 4 2 J ‘
P sin xdx J 1 — sin x Л ~ . ( Л 'Цт -F ~ Г 2
f dx ( Л x \ In tg-l
J sin x (1 +sin x) ’ \ 4 2 J •
P dx / Л , Цт + X \ + ln tgi
J sin x (1 — sin x) 2 )
P dx 1 X. \ r^( Л X \
J (1 +sin x)2 2 4 2 J ~~ ( 2?
p dx 1 , ( Л X rt X \
J (1 - sin x)2 " 2 * \ 4 2 / 4 "2 ) ’
P sin x dx 1 tg^T- X )+-S t<rS ( ° \ Л X
J (1 4-sin x)2 2 2 4 2 ) ’
P sin x dx 1 / Л cte(.T X h®1 f Л
J (1 —sin x)a 2 2 It . 2?
Гл > 2].
C dx 1 /3sin2x—1\ r„ ,
J 1 +sin2x ТЙТаГС51П I sin2 x + 1 ) lC:'L 43o«6-)
88
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[434.06
434.06.
435.
436.00.
dx
Г — sin2 x
dx
—г- = tg х.
cos2 х a
[См. 442.20.]
sin [m — n) x sin(m4-n)«
sin rax sin nx ax = —;------------4-
? (m — n} 2 (m 4- n)
[ma^n2. Если — to cm. 430.20.]
sin х
2
—— arctg
2—b2
_ 1
In
в tg 4 b
—===- [a* >
К a2 — b2 1
otg -^- + b— Vb2—a2
atg-£ + &4- V b2—a2
. х ,
~ r Arth
[A b2 — a2
Z?2> d
9 atg-^+b
-r. Arcth r. l.-.
К b2—а2 к b2 — a2
а4.
ctg-2
й2
Подынтегральная функция обращается в бесконечность (если
fcs > а2) при х — пл, ф-(— 1)" arcsin
436.01.
436.02.
436.03.
436.04.
436.5.
х dx х а
b sin х b b
dx
a~[-b sin x'
dx 1 ,
--------7-T-z---r — —In
sin x (a + b sin x) a
dx
a 4- b sin x ‘
dx
b sin x)2
b cos x a P dx
(a2 — b2) (a-\~b sin x) a2 — b2 J a +b sin x *
a cos х
b
' sin x dx _____
I (a +b sin x)2 (b2—a2) (a-[-b sin x) b2—a2
[K 436.01—436.04 cm. 436.00.]
sin х
dx
a2 + b2 sin2x
1 t j/'o24-fe2tgx
== arctg --------------—
а
440-141 ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ COS X 89
436.6. Когда а — b — 1, С ——— == —L- arctg (]Л2 tg х). J 1 Ч-sin2 л /2 Другое выражение, отличающееся на константу, дано в 434.05.
436.7. С _= _> агс tg [о. > J <т= —/X sin2 а а У а2 — Ь2 а = J In l^>^]. 2а ]/ Ь2 — а2 У Ь2 — a2 tg х — а Если Л2 = а2, см. 434.06.
437.1. С sin х dx 1 . т cos к -~^======= — arcsin . J У 1 4- т2 sin2 х т V 1 + т2
437.2. f si<1-A dx- — In | tn cos х -j- |/ 1 — т2 sin2 х J У 1 — т2 sin2 х т
437.3. j (sin х) р7 1 -г tn2 sin2 х dx -- cos*./, , 2 "' 1+m2 . m cos x __ 1/ 1 д- m sin x —- arcsin —r . . 2 2m у । /772
437.4. У (sin x) pT — rn2 sin2 x dx = — ]/ 1 — m2 sin2 x —- 1 ' ~ 111 I* । f i 2 • 2 i [n m cos x !/ 1 — sin x . 2m 1 1 Интегралы, содержат и e cos x
440.10. £ cos x dx — sin x. j
440.101. cos (n 4- bx) dx = sin (a -f- bx).
440.102. 1 cos dx = a sin ~ ф J a a
440.11. x cos x dx = cos x 4- x sin x.
440.12. x2 cos x dx — 2x cos x (xa — 2) sin x.
440.13. x3 cos x dx — (3x2 — 6) cos x 4- (x3 — 6x) sin x.
449.14. f x4 cos x dx ~ (4x3 — 24x) cos x -f (x4 — 12x2 + 24) sin x.
90 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [440.15
440.15. xs cos х dx — — (5х4—60x2 4-120) cosx + (x®— 20x3 + 120x)sinx.
440.16. x® cos xdx = (6xs — 120xs + 720x) cos x -)- + (Xе— 30л*4 + 360x2— 720) sin x.
440.19. xm cos x dx — xm sin x—tn xm-1 sin x dx. [Cm. 430.]
440.20. 0 2 . x . sin 2x x , sin x cos x J COS xdx~ 2 +~T-= 2 4 —
440.21. 0 2 . x2 , x sin 2x , cos 2x \ x cos x dx = — 4 - s— . J 4'4'8
440.22. f 2 2 J Xa . (X2 1 \ . Г, . x cos 2x \ x cos x dx = 4- 5- sin 2x 4 ,—. J о \ 4 8 j 4
440.23. 0 3 2 , .v4 , (x3 3x \ . o , / 3x2 3 \ „ 1 x cosz x dx — -|- I -r — Q- sin 2x -б тс 1 cos 2x. J о \ 4 о у \ о lOy
440.30. 0 з , . sin3 x 1 cos x dx — sin x =— •
440.31. C s . x sin 3x . cos 3x , 3 . .3 \ X COS X dx — —t- — L — X Sin X + 5- COS X. J 12 36 4 4 (cos’x выражается согласно 404.23.)
440.40. Г a , 3x, sin 2х . sin 4х pos-xdx^8+ 4
440.50. 0 s , 5 sin x , 5 sin 3x . sin 5x ) xax- 8 H-T5-+ so ‘
440.60. 0 a j ox , 15 sin 2x . 3 sin 4x , sin 6x J C0S **< = l64 64~ 1 64 + 192 •
440.70. f 7 35 sin x . 7 sin 3x . 7 sin 5x . sin 7x i cos x d)c —- . j a . J on/’i 1 лло • J 64 64 320 448 (Интегрируется выражение из 404.)
441.11. C cos х dx . . । x2 x4 x® . J x - 111 Iх! 2-2! 1 4-4! 6-61 + Таблицу численных значений см. [22].
441.12. f cos х dx cosx f sin x dx r„ ««...•» X2 = X x • lCM- 43l-n-l
441.13. Ceos xdx cosx , sin x 1 fcosxdxi ... .. , J?" 2x< + 2X 2.1 , ' [C-. 441.11.)
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ COSX
91
442.31]
441.14.
441.19.
441.21.
441.31.
441.9.
442.10.
442.11.
442.12.
442.19.
442.20.
442.21.
442.30.
442.31.
cos x dx
xa
cos x , sin x
6x2
Зх8
sin х dx
X
cos x dx cos x 1 C sin xdx
~"r (m— l)xm-' m— 1J a'"-1
cos' x dx 1 . I . . 1 f cos 2x d (2x) ,
—I-----= 2-l"kl+ 2 J ---------5-----•
cos’ x dx 3 (* cos x dx . 1 f cos 3x d (3x)
x 4 J x г 4 J 3X
cos"х dx
[Cm. 431.11.]
[Cm. 441.11.]
[Cm. 441.11.]
Рыразить cos" x согласно 404 и интегрировать почленно
согласно 441.1.
dx
cos x
sec х dx —
, . . 1 . 1 H~sin x
— 1И sec X -4- tg X — — In ;--------:---
\ b 1 2 1 — sin x
— A (X) 'лямбда-функция).
[См. 640.]
Г xdx x2 x4 5x’ 61xB 1385x10 .
J соГк~‘2+T2?+бД> + + 10-81
p yin+2
j___Ezr------ц ..
(2n+ 2) (2м)!
С *2^x _ x’ > x’ 5x7 61x9 . 1385х"
J cosx ~~ T -г 5^2Г'*"Т^Г+ 9Ч5Г~ ГЬ8Г +
p +1
. . 4---------------I- ...
* ' (2n-M) (2n —2)!
[Cm. 45.]
[Cm. 45.]
C Разложить —1— согласно 415.05, умножить на х'п
J cosx cos х
и интегрировать [т ф 0].
dx C a ..
—p- = i sec x dx — tg x.
cos2 x J °
х dx , , , . .
---— = X tg X Ч- I n COS X I.
cos2 х
dx sin x , 1 .
—5~ = о--------г- -F -п-1 n
cos’ x 2 cos2 x 2
x dx ____ x sin x 1
cos8 x 2 cos2 x 2 cos x
' -r-
6 \ 4
[Cm. 442.11.]
тригонометрические функции
92
442.40.
442.41.
442.50.
442.С0.
442.90.
442.91.
443.01.
443.02.
443.03.
443.04.
443.05.
443.06.
443.07.
443.08.
444.01.
444.02.
444.03.
Г dx smx , 2 . »>gx+fe. 2 2 + -r X tg X |- V 1П ) cos X |. о О , з , I / Л , X \ 4-8 1n|tg^T + y) . 8 - -f- — tg X. X iO
J cos4 x 3 cos3 x 3 & f“ x dx x s,ri x i J cos4 x 3 cos3 x 6 cos2 X C dx _ sin x 3 sin x J ccs5 x 4 cos4 x 8 cos2 x dx sin x 4 sin J cos6 x 5 cos5 x ‘ 15 cos3 r dx e „ ,
1 ll — 1 -Tv. V «X Ci Л/ ’ J CCS" X J sin x f n — ‘2 dx
(n — 1) cos'1"’ x n — I v f x dx x ‘’"t x J < s "x (n — 1) cos"-1 X 1 tl -1 ccs"'2 X ? L (/!— 1) (n —2) cos"-2 x r x dx 1 ccs"~2x
[442.40
[«> 1].
h > 2].
С х
j I + cos х g 2 *
Г dx х
J 1 —cos х ~~ Clg 2 '
f x dx X tg + 2 I я [ cos ~ I1 *- 1-1
J 1 +COS X •
f xdx — x ctg у -|-2 In | sin X 1
J 1—CCS X 2 Г
f ccs x dx x—tg — .
J 1 -J- COS X
С cos х dx . х
\ -j------- = — X — ctg .
J 1 — ccs x ^ 2
dx ,
-----тут-----; — 1 n
cos x (1 + cos x)
Г i 11 (л । x A l x
J cos X (1 —cos x) “ П |tg \T "^ ¥ J ~ Ctg¥ •
C fiA 1 X X I 1 S X
J (1 4-cos x)2 “ 2 tg 2 ‘Г ¥ tg ¥ *
f dx 1 . X 1.x
J (T=¥,s¥y “ ~ ¥ ctg¥ ~ 6 ctg ¥ •
0 cosxdx 1 X 1 , X
J (1 fccsx)2~ 2 fg¥“'6 tg ¥•
446.С4]
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ COSX
93
444.04.
444.05.
444.06.
445.
446.03.
CCS X dx _ 1 сщ L— 1 cto’ -
(1—cosx)2- 2 C‘L 2 6 2 •
dx
1 + cos2 x
1
arcsin
1 — 3 cos2)
1 + cos2 x
[См 446.6.]
dx
J I — COS'* X
dx
= -- C!
SHI2 X
, siri (m n) x , sin (m + a) x
cos mx cos nx ax = --------—^r,—j—c~
2 (m — n) l(m+n)
I nd =A n1. Если тг = пг, to
dx
b cos x
——. arctg —.—
=- In
— a2
(b — a) tg у
У Ь2—аг
Г
i
2
4= Arth
2 —a2
a2,
2 1
2
(b — a) tg
A ret 11 ——r
V b2 — a2 V b2 — d
(b—G)tg-n-
См. 432.20.]
см. 440.20.J
2—
— а
Подынтегральная функция
и b2 > а2) при х==2пл ± arccos
обращается в бесконечность
/ а \
\ b J *
446.01.
446.02.
446.03.
446.04.
cos x dx x
a -i-Ь cos x b
- — — In I tg
x a I &
CCS X
a-\-b cos x ’
dx
(a + b cos x)2
b sin x
(b2—a2) (a+b cos x)
a sin x
at dx
b\— a2 j a + b cos x '
b
dx
cos х dx
(а + Ь cos x)2 ~ (a2 — b2) (a + b cos x) a2 — b2.] a+bcosx’
[K 446.01 — 446.04 cm. 446.00.J
94
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[446.2
446.2.
446.5.
446.6.
446.7.
dx
2
а2 -Ь &2 2ab cos х
arctg —-т
ь а — b
fdx 1 . a tg x
---------— —t=- arctg r
a2 + b2 cos2 x a |A a2 -j-b2 V a2-f-b2
При a = b=\
f dK 1 / tg x \
J 1 +cos2 X ~ К 2 arL s ( [A 2/ '
Другое выражение, отличающееся на
в 444.05.
dx
а2—b2 cos2 х
1 t a tg х
== arctg
X х
tgy
[а #= Ь].
См. 446.00.]
константу,
0].
дается
L=in
62 — a2
a tg х— V b2—а2
a tg х b2 — a2
Если Ь2 = а2, см. 444.06,
г > ьг,
о2,
Интегралы, содержащие sin х и cos х
450.11. С . . sin2 х cos2 х , \ sin х cos х ах = е - = - [- const. tJ хь cos 2х . = h const. 4
450.12. Г . 2 . cos’ X j sin x cos x dx — j—.
450.13. C . s . cos’ X \ sin x cos x dx — ;. J 4
450.19. f n J cos" + ' X \ sin x cos x dx = —. J n +1
450.21. J sin2 x cos x dx ~ .
450.22. Csin2x cos2x dx = 4" ( x — —~• J 8 \ 4 )
450.23. C - 2 s . sin’ x cos2 x , 2 . . i sin л cos x dx ~ = k sin X. J 5 15
450.31. C sin’ x cos xdx— — x- J 4
451.41] ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ SIH X И COS X
95
450.81.
450.9.
451.11.
451.12.
451.13.
451.14.
451.15.
451.19.
451.21.
451.22.
451.23.
451.24.
451.31.
451.32.
451.33.
451.41.
sinm + 1 х
sin x cos x dx = -7—ГТ~
Ш -f- 1
sinm x cos” x dx =
Sinm + ' x cos"-1 x
m+n
sin'”-’ XCOS" '
[/n cm. 480.9].
C dx
J sin x cos x
— In I tg X ].
P dx ___________ 1
J sin x cos2 x cos x
\m -4=— 1].
(При m — — 1 cm. 453.11.)
sin7" x cos” z x dx,
sin'"-2 xcos"x dx
[Cm.
также 461.]
, X
tg 2
dx — 1 +
sin x cos® x 2 cos2 x 1,1 1 л !•
dx = A— + —— + In 1 tg I.
sin x cos4 > OS Y cos x 1 2 |
dX "7 7 1“ _ -y- J- In 1 tg X |.
sin x cos5 x 4 cos4 x 2 cos2 x 1 1
dx 1 C dx
sin x cos" x (n — I) cos n~' x ' J sin x cos"-2 x
dx = —— 4- 1 1. ( n 1 x \ In tg -- J- — .
sin2 x cos x sin X \ 4 2 J
dx sin2 x cos2 x — — 2 ctg 2x — tg x— ctg x.
dx sin X 1 . 3 . 1 ( л . x
1 I n 1 to 1 -1-
sin2 x cos® x = 2 cos2 x sin x 2 1 \ 4 2
dx 1
sin2 x cos4 x 3 sin x cos® x 3
dx 1 + In |tgx |.
sin® x cos x 2 sin2 x
dx ________ 1
sin® x cos2 x cos x
cos x , 3 ,
----------1---In
2 sin2 x 1 2
[« ¥= 1]-
dx
sin® x cos® x
2 cos 2x . o , 1, .
2 In I tg x |.
sin2 2x
dx
sin4 x cos x
3 cos2 x — 4
3 sin® x
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[451.91
dx
sin-'" х cos x
_________1______ . C dx
(m—I)sin'"-1x ‘J sin"1-2 x cos x
[w ¥= 1].
d (2x)
sin"(2x) ’
[Cm. 432.)
' dx
sin"2 x cos" X '
______ 1 . m + n — 2 C dx
(n — 1J sin"' ~1 x cos" -1 x ‘ n — 1 J sinCT xcos"-2 л
[7Z>1],
_____________1_________, m-f-n— 2 (* dx
(m — 1) sin"'-1 x cos"~1 x m—1 J sin'"-2 x cos" x
\m ~> 1].
* sin x dx C. , , , . . ।
—“ j tg x dx — — In j cos x | ----- In J sec x [. [Cm. 480.1.]
sin x dx I
cos2 X bvtA« cos X
sin X dx 1 1 t ? r
COS3 X 2 cos2 x 2 tS X * const.
sin x dx 1
cos4 X 3 cos3 x ‘
sin x d x !
cos" X (n — 1) cos"-1 X
sin2 x dx — sinx-f-lnj tg(y+
cos x ~
sin2 x dx cos2 X J tg* x dx — tg x— x.
sin2 x dx cos3 X sin X 1 . . / П . X \ S 7Г In tg — + -- 2 cos2 x 2 &\4Г2/ -
sin2 x dx _ cos4 X ~ tg’ X.
sin2 x dx sin x If dx
cos" X (ll — 1) cos" -1 x n — 1 J cos" “ 2X
sin3 x dx sin2 x . . .
cos X
sin3 x dx cos2 X cos x + sec x.
sin3 x dx CCS3 X “ \ tg3 x dx •— у tg2 x [- In j cos x [
[n 1].
[Cm. 480.2.]
[Cm. 480.3.]
453.24] ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ Sill X И COS Л
97
452.34. р sin3 х dx 1 1
J cos4 X 3 COS3 X cos X ‘
452.35. P sin3 x dx J COSs X - 4 V x - 4cos->x 2 cos2 x 1 const.
452.39. (* sin3 x dx __ 1 1 [п Ф 1 или 3],
J cos" X (/г— 1) cos" -1 x (n— 3)cos"-3x
452.41. p sin4 x dx sin3 x .i L ( Л \ sinx-f- In | tg 1 i
J COS X 3 •
452.7. C sin"-2 xdx tg"-1 x [/z #= 1].
J cos" X n— 1
452.8. p sin" x dx = J tg" x dx fcr*2 —1 v P I ter"”2 V Hr
J cos" X U — 1 J , X ax
\n Ф 1; cm. 480.91.
452.9. p sin"2 x d>
J cos" x
Sinm + ’ X m — n + 2 p sin"2 x dx [« 1],
(n- — 1) cos"-1 X n—1 J cos"-2X
sin"1-1 x m— IP sin"2-2 x dx [m 4= n].
(m — n) cos""1 x m — nj cos" x
sin"1-1 x — 1 C sin"2-2xdx [л ¥= 1].
(n- -1)cos"-1X ri -1 J cos"-2 x
453.11. C cos x dx J sin x = J ctg x dx = In | sin x [. [См. 490.1.]
453.12. p cos xdx _ 1 — CSC X.
J sin2 x sin x
453.13. p cos x dx __ 1 ctg2 X , ,
J sin3 x 2 sin2 x - ” 2 —г const.
453.14. p cos x dx _ 1
J sin4 x 3 sin3 x *
453.19. P cos x dx __ 1 [л¥= 1].
J sin" x (n— 1) sin"-1 X
453.21. C cos2 x dx J sin x ~ COS X-'- In K>| X
453.22. p cos2 x dx J sin2 x = J ctg2 x dx = —Ctgx—X. [См. 490.2.]
453.23. P cos2 x dx cos X
J sin3 x 2 sin2 x
453.24. p cos2 x dx = —4-ctg3x О
J sin4 x •
68
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[453.29
453.29.
453.31.
453.32.
453.33.
453.34.
453.35.
453.39.
453.41.
453.7.
453.8.
453.9.
cos2 x dx
sin" x
cos3 x dx
sin x
cos® х dx
sin2 x
cos3 x dx
sin3 x
cos3 x ax
sin4 x
cos3 x dx
sin5 x
cos3 x dx
sin" x
cos’ xdx
sin x
cos x _____ I C dx
(n—l)sin"-1x n—IJsin"-2*
COS2 X , . . . .
—g-----ь in I sin x I
— sin x—esc x.
* x dx =
ctg2 x
~T~
In I sin x |
[Cm. 490.3.]
!
sin x
____1____
3 sin3 x
4 «У* *
4
1
1
---------. . a 4- const,
2 sin2 x 4 sin’ x
1______
(n — 3)sii>"-2x (n—l)sin"-1*
cos3x
’ 3
4- cosxj- In tg |
[n 1 или 3]
cos"-2 x dx
sin" x
cos" xdx
sin" x
cos" x dx
sin'" x
Ctg"-1 X
n— 1
ctg" x dx =
Ctg"-’ X
n—L
"~‘xdx
[л Ф 1
см. 490.9]
n—m 4-2
cos" x dx
sin'"-2 X
•п~* x dx
m X
;"-2 x dx
cos +'x
(m — I) sin'"-’ x m—1
cos"-1 x n — 1 Г cos'
(n — m) sin"7-1 x ' n—mJ sin1
cos"-1 x n — 1 Ceos'
(m—l)sinm-1x tn—ij sin"1-2*
454.01.
454.02.
454.03.
454.04.
454.05.
sin x dx i,i, i
-----= — In (1 + cos x)
1 4* cos x
smxdx ... .
-------= In (1 — cos x).
J — COS X
cos xdx i ,i . . s
T-T—; = In (1 4- Sin X)
i-j-sinx '
cos xdx . .
------:--= ------In (1 ----SIH X).
1 — Sill X ' '
dx
1
sin x 11 4-cos x) 2(l-|-cosx)
99
455.07?
454.05.
454.07.
454.0S.
454.09.
454.10.
454.11.
454.12.
454.13.
454.14.
454.15.
454.16.
455.01.
455.02.
ИНТЕГРАЛЫ, содержащие sin x и COS X
dx 1 , 1 , X
sin x (1 — cos x) 2(1 — cos x) 1 2 2
dx 1 4- 1 In
COS X (1 4-slii x) 2(1-|-sinx) 2 tgV 4
dx 1 4- 1 1 1
cos x (1 —sin x) 2 (1 —sin x) 2 П j tg
x
7
C sin x dx ,11 4-cos x
I ---- -------- = In --------
J COS X (1 -f- COS X) I COS X
C sin x dx .11 —cos x
\--------------- — In -------
J COS X (1—cosx) cosx
f cos x dx . I 1 + sin x I
J SHI X (I + SHI X) I Slfl X I
i'“ ccs xdx . 1—sinx
1 —---- 1П ---:--- .
J Sill X (1 —sin x) sin X
sin x dx______ 1_________1 . | f л , x \ Г
j cosx(l 4-sinx) 2 (1 -|-sin x) ‘ 2 П | g \ 4 2 / |
(' sin x dx___________ 1___________I . I / л t x \ I
j cos x (1 — sin x) 2(1 — sinx) 2 П I g \ 4 ~~ 2 / |
C cos x dx __________________1 1 . | x I
J sin x (1 cos x) 2 (1 4- cos x) ~~ 2 П j g 2 j ’
f cosxdx ___________ 1 x |
J sinx(1—cosx) 2(1—x) Y П 2 [ ’
x л \
7+T J
X
455.03.
455.04.
455.05.
455.06.
453.07.
C sin v dx x 1
J s4^7+^ = T--2 lnisit,X+COSXl- (См- 482‘2 и 492Л-1
J^=^ = ¥ + Ilnlsinx~cosxl- 1Cm- 482-2 и 4Э2Л4
У8Ъ?^Ь = ! + 71п1^пх+-со5х1- (G-4- 482л и 492.2.J
Г cos xdx x . 1 , . .
\ -- — -n- 4- 7Г 1П Sin X — COS X .
J sinx—cosx 2 1 2 1 1
[Cm. 482.1 и 492.2.]
C dx __________ I ( . л \
J (sin x -j- cos xf 2 X 4 У ’
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[455.08
dx ______ 1 / л X
(sinx—cosx)2 2 4 J
dx
1 4-cos x ± sin x
C dx 1 , x + 6
\ --— — — In tg —
J b cos x+c sin x r ° 2
где r — ]//?2 + c2, sin 0 = b[r,
cos 0 = dr.
[Cm.
401.2 и 432.10.]
dx _______ P J (x + 6)
a+bcosx+csin x J a + r sin (x + 6) ’
где г и 0 даны в 456.1.
С dx 1 . ( b .
1 -2--2--, , 2 ~:-2~ — ~Т arctg — tg X
J a cos2 x + 62 sin2 x ab \ a °
f dx 1 , Mgx + я
J a2 cos2 x—62sin2x 2ab btgx—a
[Cm. 436.00.]
[Cm. 436.5.]
[Cm. 436.7.]
\ sin"1 x cos” x dx. Если одно из чисел т или п нечетное
целое положительное, то следует сделать подстановку
sin2x=l—cos2x и sinxrfx —— rfcosx
или
cos2x=l—sin2x и cos x dx = d sin x.
Если оба числа tn и n четные целые положительные, то
следует сделать подстановки
sin2 х = 4- (1 — cos 2х), cos2 х = 4- (1 + cos 2х)
' и
I . о
sin х cos х — у sm 2х.
Получив аналогичные выражения,
вместо х, преобразовать их далее
См. также 450.9.
но с аргументом 2х
подобным же образом.
sin tnx cos пх dx —
ccs(m— n) x cos(/n+n)x
2 (tn — n) 2(m-(-ri)
[w2 += пг]. [При т2~пг см.
450.11.)
f COS X dx 1 , , . ,1 Г-,—----2—r-5—.
I ----— — In (tn sin x + У 1 + tn sin x).
J У 1 + sin2 x m
cos x dx
|/1 — m2 sin2 x
1 / • 4
— arcsin (m sin x).
m '
482.1]
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ fg X
101
470.3.
470.4.
475.1.
475.2.
480.1.
480.2.
480.3.
480.4.
480.9.
481.1.
481.2.
482.1.
(cos х) /1 + т2 sin2 х dx =
— ]/1 + tn2 sin2 x + 2~ ln (m sin x +/1 ~bm2 sin2 x).
где
где .
(cos x) у 1 —m2 sin2 x dx —
sinx yr^2 xarcsjn (m sjnxy
J/(x, sinx)rfx =——У> cosyjdy,
л
y^-^-X.
cos x) dx = — J f -y, sin у J dy,
л
У-~2~х-
Интегралы, содержащие tgx
JtgX(7x ——In / cos x | — in |sec x|. [Cm. 452.11 и 603.4.]
\ tg2 X dx — tg X—X.
tg3 X dx = у tg2 X + In I cos x [.
J tg4 x dx = у tg3 v — tg x 4- x.
J tg" x dx = —j tg"~2 x dx
[Cm. 452.22.]
[Cm. 452.33.]
[n 4= 1; cm. 452.8].
11-2835
f X tg X dx = ~ 4-4 4-1^5 x2 4- 2^5 x9 4-
, 2~<2~—1>
(2n + l)l " -*-•••
x2<^-; cm. 415.03 и 45 .
tg x dx
x
x3 . 2 s , 17 7 ,
9 ~J“75X + 2205X
._62_v., , 2г"(22"~1)В„г2Я-, ,
Г 9-2835 X ‘ ‘ + (2,-г— 1)(2n).< X + 1 • ’
[ „2
X <^; CM. 415.03 и 45 .
йх , X , 1 , > .
= ± у + ~2 ln ISIn x COSX I-
[Cm. 455.05 и 455.06.]
102
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[482.2
482.2. С ,tg Х= С у-Д j- Т 1П । Sit1 Х C0S ХI-
J tg х ± 1 J 1 ± Ctg X 2'2 1 1
(См. 455.03, 455.04 и 492.1.]
С dx С cos х dx
483. \ -— -7— = \-----------г—:— —-
J a b tg х J a cos х -j- b sin x
= (ax + Яп । a cos x + b sin x |).
Интегралы, содержащие etgx
490.1. У ctg x dx =: In | sin x [. [C M. 453.11 и 603.1.]
490.2. ctg2 x dx — ctg X — xj [См. 453.22.]
490.3. J ctg* x dx — ctg2 x — In 1 sin x j. [Cm. 453.33.|
490.4. J ctg4 x dx = — 4-ctg*x-j-ctgx-l- X. О
490.9. J ctg" x dx — Ctg"-1 X P . n-2 „ . —7 \ ctg x dx n— 1 J Л \n 4= 1; cm. 453.8].
491.1. У x ctg x dx- x3 x5 2x’
9 225 6615
X* 2?,z7f;j v2n+i [Cm. 415.04 и 45.]
9-4725 •* (2n + l)!X
491.2. f ctgxdx I X x3 2x®
J X x 3 135 4725
X7 ?nBn 2„_, . [См. 415.04 и 45.]
7-4725 * •* (2n—l)(2n)l
492.1. P dx p tgxdx [См. 482.2.]
J 1 ± ctg X J tgx ± 1 *
492.2. P etgx dx P dx [Cm. 482.1.]
J I ± etgx “ , J tgx ± 1 ’
493. p dx f sin x dx
Jc-}-& etgx J a sin x 4- b cos x
CX (ax —1> In | a sin x -j- b cos x I).
Ill
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
500. Приведенные ниже формулы относятся к главным значениям обратных тригонометрических функций: для arcsin х и arctgx в пре- делах от до -у, для arccosх и arcctgx от 0 до л. Инте- грируя эти функции, следует выбирать пределы таким образом, чтобы между ними не было точек разрыва. Полезно предвари- тельно построить график подынтегральной функции, так как он может состоять из нескольких ветвей.
501. . х3 . 1-Зх3 1-3.5х7 г .г и fifcsinx — X +2>3 + 2.4.5 + 2-4-6-7 < Ь /п 1 /Получается разложением в ряд ру-~ . и последующим интегрированием его.^
502. л ( , х’ 1 ЬЗх3 . 1-3-5х7 . \ г z и (/ + 2.3 + 2.4.5 + 2.4.6.74- J [Х’<1]-
503. 1 1 , 1-3 . ЬЗ-5 . г 2 П arccscx х -1 2>3л,а [ 2.4>5х5 1 2-4-6-7Х7 ' ••• >']•
504. л / 1 . 1 . 1-3 , 1-3-5 , \ arcsec х 2 [ 2^3 | 2>4>5л,5 | 2-4-6-7х’ ' [х2>1].
505.1. arctgx-% 3 + 5 7 +••• ^Получается разложением в ряд и последующим интегрированием ero.J
605.2. , Л 1 1 1 . 1 гл erctgx = - l ——_<ф# Гх>11. 2 х 1 Зх3 5х5 1 7х7 l 1
505.3. _ . jT1.1 1.1 > 4 -j MCtgX 2 х + зх3 5х5+7х’ •”
104
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[505.4
505.4.
506.1.
506.2.
506.3.
507.10.
507.11.
507.12.
. * Г, > 2 ( *г \ ( ** \*
arctgx— L1 + 3 \ 1 -Ьх’У 3-5 \ 1 J
2-4-6/ х* V
+ 3-5-7\ 1 +х2;
л , Xs х5 . х’
arcctg х = — х + -3-------5- + ~7-•••
1 1 1 1 1 1
arcctg x - x — 3%3 4- 5%s 7x, 4- ...
[x2 <Z co]-
k2<i]-
[x> 1].
ara«x = n + 4-3?+S->-7^-1-"-
2x
Arcsin (x 4z iy) = ля 4- (— 1)" arcsin ±
± i(— l)"Arch^ .
Значения p и q см. 507.11 и 507.12.
Величина / = ]/—1, а п—целое число или 0. Вели-
чина х может быть положительна или отрицательна,
а у—положительна.
Здесь обозначено р = 4-х)2+_у2.
Здесь обозначено q = ]/(!—xf-j-j®.
Заметим, что при _у = 0 и х > 1, q — х— 1 и р -f- q — 2х.
При у — 0 и х < 1 q = 1 — х и р4-<7 = 2.
Иначе:
507.13а. Arcsin А — — i in (± — А* 4- *А) + 2/гл
или
507.136. Arcsin A — i In И1 — Л2—гА)4-2£л,
где А может быть комплексной величиной, a k—целое
число или 0.
О квадратном корне из комплексной величины см. 58, а
о логарифме см. 604. Выражения 507.13а и 507.136 тождественны.
Из них следует выбрать то, в котором не происходит потери
точности при вычитании.
507.20. Arccos (х + iy) = ± ( arccos 4- 2&л— i Arch —.
507.21. Arccos (х— iy) — ± (arccos + 2/гл -f-1 Arch ,
где у положительно. Здесь берется положительное зна-
чение Arch^i?. Значения р и q см. 507.11 и 507.12.
612.51
ПРОИЗВОДНЫЕ
105
Иначе:
507.22а. Arccos 4 = =F / In (Л + KJ2 — 1) + 2Ьс
или
507.226
507.30.
Arccos А — 4~ fin (А — А2 — 1)4- 2&Л,
где А может быть комплексной величиной. См.
к 507.13.
примечание
1 г
Arctg (х 4-ту) = £- (2^4-1) л— arctg
1 —.7
х
Иначе:
--—arctg
I 1п (1+у)2 + х2
4 in(l-y)24x2’
507.31
1 2х
Arctg (х 4- iy) = - arctg у
1 i„0+^*4x2
4 (1-^+х2 ’
2х
-2 берется
и знамена-
507.32
508,
где k—целое число или нуль; arctg ,---ъ;
° 1 — X2 — у
в квадранте, определяемом знаками числителя
теля (а не в смысле главного значения).
. , , - , 1,14 и—ix . о,
Arctg(х + zj) = тIn + 2А:л.
Для малых значений arccos х,
[См. 604.]
arccos х— 2(1
%)4
Х)а +
4 1
^(1—+ '
4а ' 1 35
Послед; -м членом можно практически пренебречь. Числен-
ное значение квадратного корня можно брать из подробных
таблиц квадра. ых корней (см., например, [18]).
Обратные тригонометрические функции — Производные
512.1. d ~г- arcsin X 1
ах a F a2 — x2
512.2. d — arccos X — 1
fix a V a2—x2 *
512.3. d и -v- arctg - dx & < к a a a24-x2 ‘
512.4. d X —a
a a24-x2 *
512.5. d ~r arcsec dx X a
a 1A v2 —
п X . л
0 <С arcsec — <Z -х-
а 2 1
106 ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [512.6
512.6. d к —а Гл х , I •— arcsec — = —-s- <. arcsec — < л . dx а х у Х2__аг [2 a J
512.7. ~ arccsc — = — ° - -- Г у < arccsc — < 0 . ах а % у х2 а* L 1 а
512.8. arccsc — = - [о < arccsc < у] . dx а х у хг—a2 L а * J (а>0 всюду, кроме 512.3 и 512.4.)
Обратные тригонометрические функции — ЦнтегРалы (а > 0)
515. Г Л’ X , . / 2 2 \ arcsin — dx = х arcsin —k |/ a — x . J o a 1
516. J ^arcsin ~ j dx — x^arcsin —2x4-2]/a2 —x2 arcsin—-.
517.1. f x arcsin — rfx—- f —arcsin — 4- 4 V o2 —x2. J a \ 2 ч ) a 4
517.2. У x2 arcsin /-dx^= ~ arcsin 4*тр(хг 4- 2а2) ]/ a2 —x2.
517.3. C » x , /x4 3fl4\ x \ x arcsin — dx — 1 — arcsin Г- J a \ 4 32 j a + (2xs -f- 3xo2) ]/ a2 — x\ 3^
517.4. Г 4 - X , XS . X . \ x arcsin — dx — arcsin —H J a 5 a + (3x4 4- 4х2а2 + 8c4) V a2 — x2.
517.5. Г s x . ( x* 5ав\ . x . \ x arcsin — rfx== -7 -7^- arcsin —b J a \ 6 96 ) a 4- T^jg (8x5 4- 1 Ox’c2 4- 15xe4) Уa2 — x2.
517.6. C x® arcsin — dx = — arcsin — 4- «th (5>?c 4- 6x4c2 4- J a 7 a 245 4-8x2c4 4- 16а6)/с2 — x2.
517.9. f n . X , xn + 1 . X if xn + 'dx . \ x” arcsin —dx — ——r arcsin- , , \ r \n^=— ! . J a rt-f-l a ri-HJ a2— ’ [Cm. 321 — 327.]
518.1. C-i-arcstaidx-^+444+44,4 +• J x a a ‘2-3-3 ae 2-4-5-5 a5 ‘ 1-3-5 । г 2 21 "I 2-4-6.7.7 a7 + • •• Iх <° L
22.S1
ИНТЕГРАЛЫ
107
518.2.
518.3.
518.4.
518.9.
520.
521.
522.1.
522.2.
522.3.
522.4.
522.5.
522.6.
522.9.
Cl х \ — arcsin — dx = 1 x arcsin — — — ln|o + 1 a2 —x2
J x2 a x a u I X
Cl • x , \ arcsin — dx = J x3 a 1 . x V a2—x2 77-5- arcsin <,> 2x2 a 2a2x
fl • x j i — arcsin — dx — J x‘ a 1 X — , arcsin — 3x3 a V a2 — x2
6u2x2
1 In a+ V аг — x2
f 1 X \ arcsin — dx — J x" a , 1 — 1 (n— 1) x"-’ P dx 6a3 . x . arcsin —k a I„-A11 ГГ X И ?Л1 346
j n — 1 J x"~’ Va2 — x2 1 J 1
\ arccos — dx — x arccos —— 1/ a' J a a ' л/ .. \i t \ s — x2.
j ^arccos —j dx — x ( arccos — ] \ a) t ..2 „2 \ — 2x — 2 У a 2 2 — x arccos— a •
\ x arccos — dx~ | J a Л U \ A A -./ « -7; r arccos - у a v 2 4 j a 4 * ..3 1 — xs.
\ x* arccos — dx = J о -x- arccos 3 a -jj- (x2 -у2аг)У cd —x 2
C s X A \ x arccos—dx== J a / r4 3a4 '\ x --5=- 1 arccos — 32 / a 32 * 3'
У x4 arccos у dx = x5 л 1 — -=- arccos — —== 5 a 75 ca*) У~с l2 — Xs •
(3x4 -4- 4x2a2 - -8a4) У a2~ x*.
\ xs arccos — dx — J a f x® 5ae\ x
1 r\ г\г' I arccoo \ 0 96 j a
288(8л 1 \0xsa + 15xa4) У a 2 — x2.
С в x , ( x arccos — dx — J a X arccos 7 a
(5x'-}-6x4a 4 8x2a44- 16a')}/a 2 — x2.
° X j x" arccos — dx = x" + l X 1 p"+ 'dx
n +1 a '! +1 J У a2 Лу^-l]. [Cj — X2 1. 321- -327.
108
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[523-1
523.1. С 1 х П <!> х 1 х’ 1-3 X5 1 — arccos— dx = In be 0 0 „ -г—о л _ г- — J х а 2 1 1 а 2-3-3 а3 2-4-5-5 а3 1-3-5 х1 г . 21 2-4-6-7-7 а1 ’ * Iх <° 1-
523.2. С 1 х , 1 х 1 , 1 а + Со2— х2 \ —s arccos — dx — arccos In . Jr a x a a | x
523.3. C -y arccos — dx — — arccos — -1- л'2 J x’ a 2x2 a 1 2агх *
523.4. Cl x 1 x . J^a2—x2 . \ — arccos — dx — — arccos —^-=-^ F- J x4 a 3x’ a 1 6а2л2 , 1 . 0+j/a2-x2 + ln X
523.9. Ь”аГССО5»Л-(„-Пх"-аГСС°% ГС». 341 346.]
525. \ arctg — dx — x arctg — — — In (a 4- x ).
525.1. P 4. J 1 / 2 1 2\ z. \ x arctg — dx == у (x* + a ) arctg — — .
525.2. j x2 arctg - dx = -y arctg- — 4. In (a*4- xs).
525.3. J Xs arctg a dx= 4 (x a Jarctg 12 4-^-.
525.4. C 4 , x . x® .x ax3 , a’x2 a5 . . 2 , 2. Jx arctg adx- 5 arctg 2Q + 1Q 1()ln(fl-t-x).
525.5. C s 4. x , 1 , e , e\ 4. x ox5 . a’x’ a5x \ x arctg a dx- 6 (x 4-« )arctg a 30 + 18 ё".
525.6. Г . . x J x’ .x ax6 , a’x4 a’x2 , j x-arctg O dx = 7 arctg a 42 + 2(j |f4- + 4l"<“’ + x').
525.9. С n * x , x”+I , x a C xn+,dx , , \ x arctg — dx = —r-v arctg — \ \n — 11. J & a n±l a n 41 J a2 -j- x2 1 ' J [Cm. 121 — 128.]
628.91
ИНТЕГРАЛЫ
109
526.1. Cl . х , 1 — arctg — dx — J x a = -ln|x| + = ln|x X X3 , X5 X7 , r 5 ^7 + • • • Iх <“ l a 32a3 1 5o5 72a7 1 1 J a 0,3 °5 al i I x .] x 32x3 + 52xs 72x7 + ' * * L a 1J ’ i । ° a3 , a5 a7 ( [x , "|
1+ x 32x3'52x5 72x,+ “'[a<' ‘J *
526.2. Cl J X2 x . arctg — dx — & a 1 . x 1 . a2+x2 arctg - - In X—. x a 2a хг
526.3. c1 arctg — dx = & a 1 ( 1 , 1 \ , X 1
J Xs 2 \ x2 1 az) arCtte а Чах ‘
526.4. C1 , x , arctg — dx — a a 1 x 1,1. a2 + x2
J x* 3x3 arCt£ a 6ax2 1 6a3 П x2 ’
526.5. C1 arctg у dx — 1/1 1 \ x 1 ,1
J Xs 4 \ a1 x4/ 73 a 12ax3 4a3x*
526.9. c1 arctg — dx — 1 . x , a C dx
J X» (n — 1) x" 1 “a n—1 J x"-1 (a2 4 x2)
|л^1|- [См. 131—135.]
528. j* arcctgl dx = x arcctg -1 4- In {a1 4- x2).
528.1. C . x л \ x arcctg — dx = J * a l(xs + as) arcctg-J 4-^.
528.2. arcctg — dx = a = 4’ arcctg - +~ — ~ In (a’ + x2). 3 a 6 6
528.3. J arcctg dx = 1.4 a. A x , ax3 aax ,
4 (x a ) arcctg 0 1 12 4 •
528.4. Jx4 arl tg — dx = b a x5 A x , ax4 a3x2 , a3, , 2 , = 5anX,S« + 20 10 +10ln(O +xk
528.5. J xS arcctg ~dx = - 1 (xB 4- a2} arccte x J- ах* Д- й°”
6 (х | a ) arcctg 0 1 30 18 1 6 ’
528.6. j* Xе . x . arcctg — dx- х7 . х . ах® а3х4 ,
7 ЙГСС g а "Г 42 28 '
+тг-н,п(й2+хг)-
528.9. jx" arcctg — dx = B a х"+1 , х , a Cx”+,dx . ,.
п41аГиС^а ‘ «41 J а24х2 ’Ь
[См. 121 — 128.]
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
{529
— arcctg — dx — ~ In | х |—- -f- —ft's + ~— • • •
x a 2 1 1 a 1 32a3 5as 1 72a7
[x2 < a2
а о3 a" . а1 Г x I
— 7 + 327 “ 52xs 72x7 ’ ’ • L~a > J
. . . a a3 a6 a1
— Л in X-------------1- -^—s--ET~s+^T? — . . .
11 x 1 32x3 ar 1 /2х'
- <— 1 1
a J
I i x , 1 x . 1 . a2 4- xz
arcctg — dx =-------arcctg---------- — In —.
x2 a x ” a :a r
1 л 1 x 1 1 X
arcctg — dx — — arcctg------------H s---F т -? arctg —
x3 ъ a 2x2 a 1 2ax 2a2 b a
1 » A j 1 . x , 1 1 . a2 + x2
x1 U dx3 b a 1 bax2 6u3 x2
1 . x . 1 x , 1
-< arcctg — dx — — -т-i arcctg---t- , —§ —
x5 fe а 4x4 b a 1 l‘2ax3
I 1 . x
4r?x 4a*arctg a
1.x, 1 . x
-r, arcctg — dx — — arcctg--
x" a (n— 1) x" * a
---f -м-е.->-г2-т-г-> 11- fCM. 131-135
n— 1 J x" 1 (a2 4-x2) 1 ' 1
arcsec — dx — x arcsec -----a In | x 4- |/x2 — a21
и a
«= xarcsec у a In | x ’/^xs — c21
rt X 1
-r- -< arcsec — < л I
2 a
x arcsec — dx = arcsec — —j/xs — a2
a 2 a 2
0 < arcsec < ’|-
x2 x . a -.r—^-------s
= arcsec —к — у x — a
2 a 1 2 '
-y <Z arcsec < л
12 a
532 3]
ИНТЕГРАЛЫ
531.2*
С % х х
\ № arcsec — dx = -х- arcsec-
J а 3 а
—УIn | X + 1
[л X . П
О <r arcsec —
а 2
= arcsec — 4- т? И*2 — о2 4* тг In I х + ]/х2 — «21
3 а ' 6 * Ь 1 г 1
Г я _ х
— <С arcsec — < г
2 а
531.9.
X Хп ’ X
хп arcsec — dx = —-r arcsec —
a «4-1 a
xn + >
« + 1
X
arcsec —
a
a C x"dx
n +1 J у K2_ai
+ n + l
532.1.
x . л . . i . a , a3 , l-За5 ,
arcsec — dx = — n x 4-----------hк-» ,t i 4- й-,-Г г-<4
a 2 ’ 1 x 1 2-3-Зл 2-4-5-5xs '
1-3-5а’
2-4-6-7-7x’ ' *
0 < arcsec — <
a
Л
2
eon n X , 1 x . У X3— a3
532.2. I -=• arcsec — dx =--------arcsec —- ------------
J > a x a ax
О < arcsec — <” —
а 2
1 x У x3—a3
<=----arcsec----------------
х а ах
[Л X _
-д- < arcsec ~ <л
2 а
532.3. f агсЪес — rfx =
J Xя о
1 _ х , У х3—а3 1 ! а I
= — д-j arcsec —--------—j--р — arccos —
хх а 4ахг 1 4а3 | х (
О < arcsec —
а 2
1 х У к3—a3 I aj
— — 5—2 arcsec--------—5-------—. arccos —
2х2 а 4ахе 4а3 х |
[ -5- < arcsec — -< л
2 а
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[532.4
1 х ,
arcsec — dx
х* а
77-= arcsec —
Зха а
(2х2+а2)
' 9аах3
К х2 — а2
п « х л
О <С arcsec — <Г —
а 2
1 х
—j arcsec —
Sx3 а
(2х2 + а2)
9аах3
л х
< arcsec— <;л
2 а
1 х ,
-a arcsec — dx=>
х' а
1 х . a f dx
= (п — 1) х""1 arcsec
»4 Л F Л LZ
[о < arcsec < -J-] [л=£1 ],
1 х а С dx
•=— 1-----ч-i arcsec-------------I-----?==.
(n—l)x' a n—1 J x" У x2 а2
[л x "I r , 1 ,
-g-< arcsec — <n ,
В'формулах Б31—532.9, х2>а2.
arccsc ~ dx ~ x arccsc 4- a pGr— a21,
г. X _ Л
v <C arccsc - О?;- ,
a 2 J ’
= x arccsc — a In {x-f- Ух2— a2 [
Л ' X
---<2 arccsc — <0 .
2 a
x arccsc ~ dx = v— arccsc —~\~^Ух2— a2
a 2 a 2 r
Cx x л I
0 < arccsc — <" — ,
a 2 J ’
x2 x a —j—:—»
arccsc--— у x—a
2 a 2
Г л _ x
---тг < arccsc—<Г0 .
L 2 а
х2 arccsc — dx =
a
~ у arccsc Jn IX 4- I
0 <4 arccsc — <Z~ ,
t L а 2 J *
^-arccscA_^/^Z^_^in.x+
535.41
ИНТЕГРАЛЫ
113
г „ х , xn+J X , а С хп dx
634.9. j х" arccsc - dx = arccsc - + J
[o< arccsc-<-£], \n^= — 1J,
L a 2 J ’
x"+1 x a C xn dx
n + 1 a n +1 J уX^ — O1 2
[—к- < arccsc — <01, \n±— 1J.
2 a J
535.1. f — arccsc ~ dx =
wur. j x a
__ (a 1 a3 . 1'3 aS _|_ 1-3-5 a7 . X
~ + 2-3-3 x®-’- 2-4-5-5 x« + 2-4-6-7-7 F + ‘ )
Гл л
---g- < arccsc x < —
535.2.
1 x , 1 x
-s arccsc — dx —--------arccsc —
x2 a x a
ax
a2
arccsc —
a
1 x ,
— — arccsc —}-
x a
a2
ax
0
л
T
л
"2
arccsc — <"0
a
535.3,
1
1 x ,
-7 arccsc— dx =
v, a
X'
535.4.
1 x
= — ггт arccsc
2x2
ptv arccsc —
2x2 a
xz— az
4ax2
x2 — a2
4ax2
У 1 У
arccsc — dx = — arccsc
a 3x3
1
arccsc
3xs a
1
4a2
1
4a2
a
arccos —
x
arccsc —
a
arccos
л
~2
9a3xs
л
"2
x
arccsc — <0
a
0 <C arccsc —
a
x , (2x2 + a2) 1/^.2____Q2
9a3x®
л
"2
arccsc — <0
a
a
x
1
x
a
a
X
л
У
1 1 4 ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [535.9
635.9. С1 arccsc — dx =*
J х" а
1 х . а Г dx
(п -1) xn~l arCCSC 7Г + п -1 J
[ —7 < arccsc <о], [л¥=1 J,
1 х а Г dx
== —;-----. ч h-\ arccsc-------г 1 --г—.....-
(п — 1) х а п — I ) хп yxi____аг
[О < arccsc , [л^= 1J.
В формулах 534—535.9 хг > а\
!V
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
550. ^1+п + 27 + я + "-+Й+-
550.1. ах = ех 1п а — = 1+^+Ц1^+...+!£^-" + ... [*<«,]
550.2. -Х-, X . X2 X3 . х“ . 2 _ , е =1 —П+Г1~ЗТ + 4!—•••
551. х . х . В, х2 Въх* . В3х* В4х“ , ^-1 1 2+ 21 41 + 61 «|+--- |хг<4л®: см. 451
552.1. sinu 11 ( 3«* 8м* 3“в L 56w’ 1 f„2^ i e-»«_l+« + 21 4) 5, 6| +;,+•• !«<-!
552.2. Г. и2 4и* 31 и9 . 1 . 2 e“S£i —гф 2!4~ 4! 6! + Iй <°о].
552.3. е8“-1+“ + 21+з! +4! + а! +••• [“<4]-
552.4. ,.Z 0..3 Г..4 earcsin,, = 1+a4_« [И*<1].
552.5. garctgu „ j 1 и । [И2 <11 ^2! 31 4! 1 5! 1 1 J* Ос| щй член этого ряда ип = , где
552.6. «„+, = «„—л (л—1)0»-,. е~х* + е~2*х2 -j- е-*1*2 4- ... = L е-Ла/Х3 ₽-22Ла/Х’ Д_ р-ЯаЛя/Хя , , в , Второй ряд может сходиться быстрее первого.
553, 1йп х"е-* — 0 для любого а. К~* се
11G
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
1563
Показательные функции — Производные
563. ~г~ = ех- 563.1. ^ = аеах. 563.2. ^- = й*1па.
ах dx dx
563.3. ~=сасх In а. 563.4. ~ = a-v (In а) ,
dx dx dx ’
где а—константа.
563.5. (\пи)^-.
dx J dx ' dx
563.6. = vx'-’ + x^lnx)^.
dx J ‘ ' dx
dxx
563.7. — = + Inx).
Показательные функции — Интегралы
565. §exdx — ex. 565.1. J eax dx = ~ eax.
565.2. ^e~x dx = — e~x. 565.3. ^axdx = ~.
566. = l
где г = ейХ. Заметим, что
о*__ех1пС и асх = есх ,п а.
567.1. С хеах dx=eax Г-—-21. J | a а2]
567.2. J х2еах dx = eJX 567.3. j xzeax dx = eax A 2 2х i a a2 ' a3 1
x3 3x2 . 6x G
a a2 ' a3 a4] ‘
567.8. f xneaxdx=.^^—— f xn~leaxdx. J « a J
567.9. J xTeax dx = eax xn nr"-1 n (n — l)xn~2
a a2 a3 ’’ ’
568 1 [eaxdx_
*/ an 1 (. a"+t [fts&Uj-
ODO. 1. 1 jr — 1 l.l 1 a2x2 a3x3 L 1 a”x" 1
1,11 л 1 i ll" "1 2-21 * 3-3! ••• 1 n-nl 1 ••• Iх <CC1-
576.2] ИНТЕГРАЛЫ 117
568.11. для J следует заметить, что сх = ех1пс.
568.2. [См. 568.1.1 J х2 X J X 1 J
568.3. C^=s_^_a^ C^dx [с , J xs 2х2 2х г 2 J х 1 *
568.8. Р eg* dx еах a Veaxdx Ь->Ц J х" (п — 1)х"-1 п — 1J х"-1 *
568.9. Р еах dx еах аеах J х" (п— Ijx"-1 (п —1) (л—2)х"-г а"~2еах а"-1 С eaxdx (п — 1)1х (п—1)|J X [л>1]. [См. 568.1.]
569. С 1 /1 f X \ 1 \ 1+^-х 1пП + * )-1п1 + еХ.
569.1. —Lin|a + ^|. J a+bePx а ар 1 1
570. Р хех dx ех J (1 +х)2 1+х-
570.1. Р хеах dx еах J (1 + ах)2 ~~ а2(1 р еах
575.1. \ еах sin х dx = . , . (a sin х— cos х). J а +1
575.2. Р / 2 2 \ \ еах sin2 xdx = - , , 7 a sin х— 2 sin х cos х-\— ). J «2 + 4 к a J
575.3. J еах sin3 xdx = еах Г . ч о.2 . 6 (a sin х—cos х)1 = , , „ fl Sin X— 3 Sin X COS X ч rvi • а2 4-9 L а2 4-1 J
575.9. \ ах - п J еах sh\n~1 X \ e?oxsin xdx———=—(asinx—ncosx)4~ J a2 4- n2 Casin'1-2Xdx. 1 a2 4- a2 J
576.1. p eax \ eax cos xdx — (a cos x4- sin x). J a 4-1
576.2. p eax f 2 \ \ eax cos2xdx = ( a cos2 x4- 2 sin x cos x4- — ). J a2 4- 4 к a)
118
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[576.3
576.3. * еах г । еах cos’jc dx = , A а cos3 х + 3 sin х cos2 л- 4- ) а ту L 6 (a cos х sin х)" fl2+l J'
576.9. pCLX —I у. eax cosnx dx « —(a cos x + n sin x) + + —i f eax cos"-2 x dx. 1 а2 + п2 J > . eax
577.1. e sin nx dx = -5-—(a sin nx— n cos nx}. a2-\-nZK ' • e«x
577.2. e cos nx dx = a2_j_n2 (a coS nx + n s’n nx)’
ИНТЕГРАЛЫ ВЕРОЯТНОСТИ
Интеграл вероятности
X
£___ f dt = erf
/ 2л J
[см. 590]
.г
л
2-113
х'
22-2! 5 —2»-ЗГ?
.2
Для больших значений
асимптотическим рядом:
х можно пользоваться следующим
1
e-r2/2 dtz&
2
*/» е~х
х
1 , 1-3 1-3-5
1-3-5-7
Ошибка
Иногда
X2 ' X4 Xе X*
окажется меньше последнего взятого члена
интегралом вероятности называют функцию
erf x
е~*2
dt —
2x
О
]
1! 3
£ « &
erf -------------
г’
2Г5“31 7
1 1-3 1-3-5 ,
2х2 + 22х1 2sx6
г"
Другой) зид того же ряда:
2!
е-к*
х J/ л
Ошибка оказывается меньше последнего взятого члена
erfx^al
1 —
4!
6'
I I(2х)2 ~2! (2х)4 3/ (2х)6
Таблицы значений интеграла вероятности ем. |196].
VI.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В этих алгебраических выражениях In обозначает натураль-
ный, или Неперов, логарифм, a 1g — десятичный логарифм.
600. In а = 2,3026 1g а. 600.1. 1g а = 0,43429 In а.
у2 уЗ у4 уЗ
601. + = + + ... [— 1<х<1].
При х — 1 отсюда получается известный ряд;
601.01. 1„2 = 1-± + 1-1+Д-.,.
601.1.
601.2.
601.3.
601.4.
601.41.
601.5.
1п (1 —х) = —
1п
1 —X
, Xs . Xs . X* , х®
^1-2+-3+7+S
VS -5 ,.7
— 9 — 4-±.
2 3 * 5 Г 7
= 2 Arth х
_2 ri4-_L4._L._L
[ х Зх3 5х5 "г 7х’
= 2 Arcthx
+_+_____1___+ _Д_____
ф-1 ^3(2хф-1)3^5(2х-ф1)5
1п (х-ф- (?) — 1п х+ 2
:2>1]. [См. 709.]
а . а’
2хф-а + 3 (2хф- а)3 г 5 (2хф-а)!
1ПХ = (Х_1)_^ + <1=Д-^Г
2
2
п5
602.6j
РЯДЫ
121
601.6.
601.7.
602.1.
1пх = -—- +
X
In x = 2
x—1
x+ 1
(x-l)z
2х2
, (*-l)2
h 3x3
(х-D’ (x-l)s
Slx-j-l)*”1"5 (x + D5
-]
JI
2 J*
k>o].
x lx3 1 ‘3 x5
“ a'“‘K3oj+2-4.5(?
1-3-5 x?
2-4-6-7a7
2x 1 a2 1-3 а* 1-3-5 a®
П а + 2-2x3 2-4-4x4 + 2-4-6-6x®
—'"III
la2, 1-3 a4 1-3.5 a°
2-2 x2 * 2-4-4x4 2-4-G-6 x® *
[Cm. 706.]
. , x . . a
= Arsh — = Arcsen —
a x
602.2.
602.3.
602.4.
602.5.
Ряд из 602.1 умножить на —1.
In
ЬЗ.Ь a®
. 2x
= In — —
a
la2 1-3 a4
2-2 x2 2-4-4x4
[Cm. 260.01 и 707.]
2-4-6-6x®
_ a 1 a3 . 1 -3 a®
“ x 2^3л3" 2^4-5 x3
ЬЗ-5 a7
2-4-6.7x7
[x=>a2],
2a 1 x3 1-3 x4 ЬЗ-5 xs
111 x+2-2a3 2-4-4 a4 ‘ 2-4-6-6 a®
,^|2a[ 1 x2 . 1-3 .x4 1-3-5 x’
—ln7|— 2^2a2 ' 2-4-4a4 2-4-6-ба®'1’ **
= An sell — = Arsh — .
a x
[Cm. 602.1 и 711.]
602.6.
Ряд из 602.5 умножить на — 1.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[602.7
1п(- +
\ х
1 2а
= In-----
х
1л
\ я
122
602.7.
602.8.
603.1.
603.2.
603.3.
603.4.
603.5.
603.6.
604.
604.05.
€04.1.
605.
а1 — 1 )
х2 )
1 х2 1-3 х* 1-3-5 х9
2-2а2 2-4-4а4 2-4-6-6а«
/"/72 X
2а 1 x2 1-3 x4 1-3-5 xe
x 2-2а2 ' 2-4-4 a4 2-4-0-6 а6
а-
y2
1л| sin х|
[См. 710.]
(Интегрируя 415.04. См. 490.1 и 45.)
. I „5„ < । о п cos 4х cos6x
in j sin x I = — In 2 — cos 2x---
22”_,Впх2”
п (2п)!
к2'
3
. x2 x4 x® -17x*
In COS X = —2~ — ^5 — 2525
Г 2
X < 4
п (2пУ
(Интегрируя 415.03. См. 480.1 и 45.)
In | cos x | = — In 2 4 cos 2x
[0<х2<л2]
22fI-’(22,J—1)В„х2Л
, COS 6x
i 3~
In COS X =
[0<x2<n2/J.
1 Г . , . sin4r . sin’x . sin’x . 1 Г » л21
= -2 |s,n *+ — +—+—+•••] Iх <lj •
ln|tgx| = ln|x| +у+гйх‘+2М5л', + ---
2гл(2гл-’—l)B„x2" Г 2 л!
n (2n)l + * * * Iх < 4 *
[Cm. 415.06, 432.10 и 45.]
In (x + iy) = In r 4- i (0 4- 2лй), где г = ]/x2 +>2, cos 6 = x/r,
sin6=y/r, k—целое число или 0, г—положительно,
хiy = re6 (l>+2nk) [0 в радианах]. [См. 604.]
1п(—1) = In 1 4(2/г |-1) ш = (2/г4-1) л/. [См. 409.03.]
lim х In х = 0.
х -+ о
[См. 72.]
613-31
ИНТЕГРАЛЫ
123
Логарифмические функции — Интегралы Здесь всюду х и а положительны (если нет особой оговорки).
610. pnxrtx= Х1ПХ—X.
610.01. In {ах) dx = х In {ах)—х.
610.1. fxlnx dx — ~-Inx—.
610.2. Jx2 In x dx —Inx—.
610.3. Г S 1 . 1 ** \ x Inxdx = -7- Inx——. . J 4 10
610.9. p х^+* \ xpln(ax)dx~ p + l\n(ax) iPr 1].
611.1.
611.11. И’-
611.2. f In x , inx 1 r, С !п X . Inx 1 J X2 XX J X3 2x2 4x*
611.9. П In (ox) , In (ox) 1 111 J xX dx~ (p-i)xP-1 {p— Ifxf'-1
612. ^(ln x)1 dx — x (In x )2 — 2x In x-h 2x.
612.1. x (In x)2dx — (Inx)2 — In хЦ-^- .
612.2. p v® 9 v® \ x2 (In x)* dx= (In x)2 In x+27 .
612.9. Г . YP+1 . 2x^+* 9xP+’ jx^(lnx) dx = —jOnx) (p + 1)2lnx + (p+1)3 [p^-I].
613.1. C (In x)2 dx (Inx)* J X “ 3 •
613.2. (“(lnx)2dx (Inx)2 2 Inx 2 J X2 X x x ’
613.3. C (In x)2 dx (In x)2 In x J x* ~~ 2x* 2x2 4x2 *
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[613.9
124
613.9.
614.
615.
616.1.
616.2.
616.3.
617.
617.1.
617.2.
617.9.
618.1.
618.2.
618.3.
618.9.
619.1.
619.2.
2
(In x)2 dx_ (In x)2 2 In x
xP (p—l)xP-1 (p—l)2xP~* (p — l)*xP-1
(In х)г dx — x (In x)s — Зх (In x)2 -J- 6x In x — 6x.
j (In x)9dx — x (In x)9— q (In x)9~* dx [q^=— 1
p (In x)9 dx (lnx)9+1
J x ~ <7 + 1
f xp (In x)9 dx — -p+ J1” x^.-----J? C xp 0n х)<7-’ dx
J p+1 p + 1 J
Ip, <7¥= —П.
(In X)9 dx ___ — (inx)9
Xp (p—I) xP-’ 1 p—1
q (* (In x)9-1 dx
xP
Ip,
P dx -Inlln vl J_1n v , (inx)2 . (Inx)3 ,
J inx 1 ' 1 ' 2-2! 3 •3! ' • * ’
P x dx — In 1 In X1 4-2 In x ’ ,П xf - i (2 Inx)3 ,
J in x — hi । iii л|| Z/ ui л, । 2*2’ Г 3-3! ’И
Г x2dx In 1 In xl 4-3 In x-l-(3 !n *)2 i (3 In x)3 ,
J inx — ui|inx| j о in x 2.21 * 3-3! 1
J^r = lnilnxl + (-P+bin^ +
(р + 1)2(1пх)2 . (р + 1)3(1п х)3 t
1 2-2! 1 3-3!
, где _у-Мр + 1) 1п х; см. 568.1 .
—yX — In | In X |.
X In X 1 1
- = In I In x I — In X 4
2 in x 1 1 '
(Inx)2 (In x)3
2-2! 3-3! + ' • *
dx , O1 (2 Inx)2 (2 Inx)3 .
-v-j—- = In Inx —2 Inx 4- +,-Т1Г-----o + • • •
x3 In x 1 1 ' 2-2/ 3-3! 1
ill i / n । । (p— I)2 (In x)2
In | In X I— (p— 1) In x + - —
(p—I)3 (Inx)3 ,
dx
х? In х
3-3! ’г
— 1
x(lnx)? (Q—l)(lnx)9-1
xP dx —xp + '
(In x)g (q — 1) (In x)?-1 ’
xpdx
(In x)<^~1
17^11.
ИНТЕГРАЛЫ
125
623.5]
619-3-
620.
620.1.
621.1.
— 1
dx _____ —1 p—1
XP (In xf ~~ xP-y (q — 1) (Inx)?-’ q — 1
a In (a + bx)—x.
р dx
J xP(lnx)’-’
(?¥=!].
x\n(a + bx)dx = ^^~)n(a + bx)-)-<^b — .
p In (a4- bx) dx_
j x
= (In a) lnx4~ ~
__(In bx)2 a ,
b2x2 b’x3 bV .
“ 22a2 ' 3V
a2 a3 a4
2 • bx r 3263x3 +
[fc2x2<a2u
[b2X2 > a2].
In (a -pbx) dx
bx
[Cm. 621.1.]
621.2. pjlJ^^ = 41„x-(l+4W + M.
XT Ct \ Л Ct у
Q P]n(a + bx)rfx ln(a+6*) , Г b dx
b21,J* J ~xP l)xP-1 + J (p— 1) (a + bx)xP~1
[p 1]. [Cm. 101—105.]
ooo fin xdx (In x) In (a-J-fex)
b22, J a + bx ~ b
623. J In (x2 + a2) dx — x In (x2 -J-a2) — 2x4-2a arctg .
623.1. ^xln(x24-a2)Jx = Y ^(x2 4-a2) In (x2 4-a2)—x2j .
623.2. J x2 In (x2 4- a2) dx =
— [xs In (x2 4- a2)—I Xs4- 2xa2— 2as arctg 1 .
o I о cz J
623.3. J xs In (x2 4- a.2) dx —
= 7 I (x4 — a4) In (x2 4-a2)—^ + xsa2 .
*r I 2.
623.4. C x4 In (x24- a2) dx=^~ [x® In (x24- a2)-- x5 4-
4- ~ xsa2 — 2xa* 4- 2a® arctg .
623.5. x® In (x 4- a2) dx =
1 v6 v4zv2 1
= i (xe4-<Hn(x24-a2)-44-^—x2a4 .
о l о z» ।
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(623.6
126
623.6.
623.7.
624.
624.1.
624.2.
624.3.
624.4.
624.5.
624.6.
624.7.
Jх9 In (хг + a2} dx — у Jx’ In (х2 + а2)— ~ х7 -|-
+ 4 xsа2 — ~ х3а* + 2хо6 — 2а7 arctg -
а о ь а
J л'7 In (х* a*) dx = у рх8 — °8) 'n С1’2 + а2}—•
х8 , х“аг х*<
~'4 +“3 2
х2 — a21 dx = х 1 п | хг — а21 — 2х -|- а I п |
У х In | х2— а21 rfx = у [(х2 — а2) In | х2 — a2 j — х2].
х2 In | х2 — а21 dx — — [х’ in j х2 — а21 — -|х3 —
—2xa2-j-a2ln I .
х—а |
У № In | х* — а21 dx —
= | [(х2 - o’) tn I X2 - а21 -у -х2а2].
\ x4 In | x2 — a21 dx — у
Xs In | x2 — a21 — ~ xs —
—4 xza2 —2xa9 + as In 1 x-±-?
3 | x— a
x5 In j x2 — a2 j dx — — (x6 — a°) In | x2 — a2 j —
xe M j 4
3 2 X a
У x® In [ x2 — a21 Jx— pc7 In | x2 — a21 — x7—
— 4 xsa2—4 х’°4 — 2xae -j- a? in I
5 3 [ x — a
У x7 In | x2 — a* [ dx = у (x8 — a8) In | x2 — a2 / —
№ x4a’
T 3 ~
Эти же выражения могут применяться к интегралам типа
1и (и“=»^лг/ Jx.
626.0]
ИНТЕГРАЛЫ
127
Интегралы, с о д е р ж а щ. и е, г = (хг + а*)Ч*
Здесь всюду г > 0.
625.
625.1.
In (х+ r)dx = х In (х+ г)—г. [См. 730.]
/ У2 п2 \ хг
х\п(х + г)(1х= (д+ -у ] 1п(х + г) —
(См. 730.1.]
625.2
хв г3 cizr
X2 [n(x+r)dx = -^ ln(x+r)— g- + -§-
[См. 730.2.1
625.3.
., , , (х* За*\ , хгг . 3 г
x’ln(x + r)o'x= ( j—32 ) In (jv-Ь Г)—jg 4*32G xr.
[Cm. 730.3.]
625.4.
X3 ГЪ ? Q*f
x* ln(x4-r) dx = J ln(x+r) — 2515 fl2rS-------5--
[Cm. 730.4.J
€25.9.
. . x 1 ГXp+'dx
In(x4-H------j- \ ---
\l=p — 1]. [Cm. 201.01—207.01 и 730.9.)
626.1.
fllnf-+ 1/ -,+ l)dX =
J x \ a v a* ' J
x 1 x3 1-3 xs 1-3-5 x1
“ а"~2^ГЗa3 + 2-4-5-5a5 2-4-6-7-7o7
1хг<аг].
1/. _ 1 °2J_ 1-3 1-3-5 a*
2 к1" a ) 2* *s + 2-43b 2-4-6sxe+ “
I / 2x V , 1 аг 1-3 о4 , 1-3-5 o’
1 \ n a J +2sx2 2-43 x4 ' 2-4-63 x’
[xja Z> 1].
|x/a<—1]. [Cm. 731.1.)
«ОЯО C^n(x+r)j In x + r) 1 . 04-r n . 2 , 2,1,
626.2. \—i-——'-dx =--------—— ------In —— , где r — /+ а ) 4
J x2 x a I x- '
[Cm. 731.2.)
626.3. ----------------!!^+O ' . [Ck. 731.3.J
626.9. f dx=_ - _J_ C fD , n
J xf X (P—IJx/'-1 D—1 J X^-’r
[Cm. 221.01 — 226.01 и 731.9.)
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[627
Интегралы, содержащие s — (x9— с2)'-'
Здесь всюду s > 0.
У In (х-|- s) dx — x In (x + s)—s. [Cm. 732.]
Jxln(x+s) Jx= ln(x + s) —[Cm. 732.1.1
f x2 ln(x+s) t/x = ^- In(xH-y) — [Cm. 732.2.[
p 7 x* 3a4 \ \ x3 In (x-p s) dx — (— — — j 1n(x + $)—
—TF —[Cm. 732.3.1 10 32 *
С xe In (x + 5) dx= In (x-j-s) — Д alsl — ~ . Jf О ZO ID 0
[Cm. 732.4.]
C x”+1 . . . I e xp+t dx r ,, jx^ln(x+s)dx-p+1ln(x+y) s - [p^ 1].
[Cm. 261.01—267.01 и 732.9.1
f 1 , < х , - /“х2 . , 1 /, 2xV , 1 а2 , 1 -3 а3 .
I - in I Ь t/ ~2 1 j dX - I 1 Л - I -J- -g -4- JT--3 -J —}—
J x \ a 1 V a2 J 2 \ a J 1 2s x2 1 2- 4s x1
+ 1^4^+... [х7«>1]. [См. 733.1.1
Г In (x-J-s) J dx — In (х-4-s) 1 x —!' 4— arcsec — 1 x 'a 1 a j [0 <C arcsec | xla | <; л/2]. [Cm. 733.2.]
C In (x 4- s) dx — In(x-J-s) , s [Cm. 733.3.1
J X3 2x2 1 2a2x *
Г In (x-ps) dx — In(x-J-s) 1 P dx [p^l]. 1.01 и 733.9.]
J xA (p — I) X?-1 * p— 1 J x'/_1 [См. 281.01— s -2&
In sin xdx — x In x—x — —— z——
I о yUO
У? О2П —1 D r2« + I
"“19845 “ * * * n (2n + l)' * * ’ 1° < x < Л].
[См. 45.] [Интегрируя 603.1.]
. o sin 2x sin 4x sin 6x
= -xln2------------
[0 <C x < л]. [Интегрируя 603.2.]
642-5]
ЛЯМБДА-ФУНКЦИЯ Я ГУДЕРМАНИАИ
129
р № х^ х7 17
630.2. j ь COSXrf.v= -jf — 22680
’C" «'I
[Интегрируя 603.3.J
|хг<Сл2/4]. [Интегрируя 603.4.]
p X® 7 X*
630.3. I lntgx<Z.v=xlnx— X+ - + ^ +
, . ?2П (22n-,-l)Pn хи+, ,
"r 19845 n (2n 4-1)! т • • •
[0<x<n/2[. [Cm. 45.[ [Интегрируя 603.6.]
631.1. ? sin In xdx. = ±-x sin In x— ^-x cos In x.
631.2. J cos In xdx = у x sin In x + у x cos ]nx.
632. C ea* In x dx = — e°* In x----- C — dx. [Cm. 568.1.]
J a a J x 1 1
Лямбда-фуи к иия и г у дерма низ я
640. Если x = ln tg ^-^-+ ту j = In (sec 6 + tgfl), то 0 называют
гу дерма пианом х: 0 = gd х = 2 arctg ех —5-.
641.*) х = gd“‘ 6 = X (0)—ля мбда-функция.
642.1.
642.3.
642.5,
shx = tgfj. 642.2. chx = secO.
thx=sinO. 642.4. th =tg
gd x . dgd_,x Г n ^-n n
—rf-- = scch.v. 642.6. — j- - = sec x | — -g-<9 <-g- .
Если имеется таблица в в зависимости от х, то можно нахо-
дить гиперболические функции по таблице тригонометрических.
) &d~* означает функцию, обратную гудерманиацу.
5Г. Б. Двайт
vn
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
650.01. ch® х—- sh®x = 1.
650.02.
650.03.
650.04.
650.07.
650.08.
650.09.
650.10.
650.11.
651.01.
651.02.
651.03.
651.04.
651.05.
651.06.
sh x = chs x— 1
— — /ch2 X — 1
ch x = |/1 + sh2 x.
th x sh x/ch t.
th2 x + sech1 x = 1.
cth2 x— csch4 x — 1.
sh ( — x) = — sh x.
ch (— x) — ch x.
th (— x) — — th x.
[x>0],
650.05. sec h r — 1 /ch x.
659.06. csch x — 1 /sh x.
sh (x ± y) — sh x ch у ± ch x sh y.
ch (x ± >’) — ch x ch у ± sh x sh y.
2 sh x ch у = sh (x 4- y) -+ sh (x — _y).
2 ch x ch _y = ch (x -f- y) + cli (x — .y).
2 sh x sh у = ch (x -t y) — ch (x— y).
, . . о i * 4" и , x — t/
sh x 4- sh у = 2 sh —ch —.
651.07.
651.08.
651.09.
, i о t) x 4- ti
sh x— sh у = 2 sh ch —.
ch x 4~ ch у — 2 ch ch .
ch x — ch у = 2 sh sh .
653-7]
ФОРМУЛЫ
131
651.10» sh* л*— sh* У — sb (х 4- у) sh (х— 0 — ch2 г— ch* у.
651.Н. sh8 х -t- ch2 у = ch (x + у) ch (x — у) = ch2 x 4- sh2 y.
651.12. csch8 x — sech8 x = csch8 x-sech8 x — . 1 . g . sh8 x ch2 x
651.13. (sh x 4- ch x)n — sh nx 4- ch nx.
651.14. 1 i i - —:— = ch x — sh x. sn v 4 ch x
652.12. sh 2x — 2 sh x ch x.
652.13. sh 3x = 3 sh x -J- 4 sh3 v.
652.22. ch 2x = ch8 x 4- sh8 x — 2 sh2 x 4 1=2 ch8 x — I.
652.23. ch 3x = 4 ch3 x— 3 ch x.
652.3. sh2 x — у (ch 2x — 1).
652.4. ch2 x = у (ch 2x+ 1).
652.5. sh-|= y(chx—1) [x>0], = — |/Гу(с11х— 1) [x<0|.
652.6. clly== ]/"4 (ch X4- 1).
653.1. <bu±yl=A'k-lh/'-. J 1 ± th x th ц
653.2. th ( x \ sh x 4 sh // \ 2 ) ch x 4- ch ij '
653.3. 111 2% = T• 1 + tn2 к
653.4. thx±thy^M£y ch i ch j/
653.5. th — — c11 x~1 — sh x 2 sh x " ch x 4 1 ’
653.6. cih(x±^=cL!i.^4l. T’ cth у ± cth X
653.7. ctt,2x= 2cth x
132
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[653.8
653.8.
654.1.
х sh v ch х +1
cth - = -у------f = —-
2 ch x— 1 sn x
&hx = ~{ex — e x) = y
fln~*x—1,--^ ,
\ In 1 xj ’
где
Такое обозначение напоминает, что значения этой вели-
чины могут быть получены обратной интерполяцией из таб-
лицы натуральных логарифмов, чтобы не пользоваться ря-
дом 550, медленно сходящимся при больших х. Обратную
интерполяцию можно производить и по таблице десятичных
логарифмов, если воспользоваться тождеством 1п-1х=*
= 1g-1 (0,4343 х).
654.2. с11л = ^0?лЧ-е~л) ==2^1п
(См. примечание к 654.1.)
654.8. lhX~ ex+e~x~eix + l ’
654.4. ch х 4- sh х — ех. 654.5. chx—shx = e-'хг.
654,6. sh (ix) = i sin x. 654.7. ch (ix) — cos x.
654.8. th (ix) — i tg x.
655.1. sh (x ± iy) = sh x cos у ± I ch x sin y.
655.2. ch (x ± iy) — ch x cos j sh x sin y.
655.3. th(x±O0— ch2x + cos2f/ •
. . . , sh 2x T t sin 2w
655.4. * Cth (x ± iy) = To о • \ s' ch 2x—cos2y
656.1. shO=-O. 656.2. ch 0 = 1. 656.3. thO
657.1. £lix»x + y+-^+^-+... [х*<оо].
657.2. chx=l + ^ + ^ + ^4- ...
657.3. thx — x 3 +15* 3[gx 1 6835
(- l.p-*2»"(2*"-l) •••+ (2n)l +-•
= 0
Л ле
•j-; см. 45
667.6]
ПРОИЗВОДНЫЕ
133
1 , х X3 I 2xs x1 ,
657.4. Ctli X = — + у 45+ 945 4725 + *’ *
• • •+!~'S2- + • • t-e < n’; “• 4si-
667.5. scch*=l—+ x*—Xя—....
•••+ТЙГ£.Х“+-” P* <$«.«].
1 x . 7x3 31 № .
657.6. cschx = x 6+з5о 15120 + •••
.. +2I~1>'X~'~'" + '•••• [x*<n*; CM. 45].
658.1. При x больших положительных
thx = l — 2(е~2Х—e~ixe~lx — ...).
При x отрицательных, воспользоваться формулой
th( — х) — — thx.
658.2. При x больших положительных
cth X = 1 + 2 (e~ix 4- e~ix 4- е~1Х 4- ...).
При х отрицательных воспользоваться формулой
cth (— х) = — cth х.
658.3. При х больших положительных
schx = 2(e~* — е~зх е~зх — ..
При х отрицательных, воспользоваться формулой
sch (— х) — sch х.
658.4. При х больших положительных
csch х = 2 (е-Л -|- е'зх 4- e~sx 4- ...).
При х отрицательных воспользоваться формулой
csch(— х) = —cschx.
Гиперболические функции— Производные
667.1.* Ij2 = chx. 667.3. = sech1 х.
ах dx
ч ci ch х . , d cth x . .
vo/.z. _ shx. 667.4. ~— csch2x.
dx dx
Rr? c d scch x .
DO/.5. ---—— == — scch x til x
dx
6fi7 R cicsch * 1
DO/ .0. -— ----= — csch x eth x.
dx
134
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[670
Гиперболические функции — Интегралы
670. Интегралы, содержащие тригонометрические функции, часто можно преобразовать в соответствующие интегралы, содер- жанте гиперболические функции, заменяя х на ix и пользу- ясь формулами: sin (ix) — i sh x, cos (ix) — ch x, tg (ix) -- i th x и т. д. [См. 403.10—15.] Эта замена бывает полезна и в других видах формул. Интегралы, содержащие sh х
671.10. sh х dx — ch х.
671.101. ( sh — dx = a ch — . Ju a
671.11. x sh x dx = x ch x — sh x.
671.12. № sh x dx = (x2 -J- 2) ch x— 2x sh x.
671.13. § Xs sh x dx = (x3 6x) ch x— (3x2 + 6) sh x.
671.19. xf' sh x dx — xp ch x—p xp~1 ch x dx. [Cm. 677.1.]
671.20. , sh 2л к \ sn x dx — — . J 4 2
671.21. f* , , x sh 2x ch 2x x2 t X SH x dx — : . J 4 8
671.30. \ sh’ x dx = —„ ch x. ) о
671.40. 4 , sh 4x sh 2x . 3x jstl XdX=- 32 4 + 8-
671.90. ( shp x dx = — sh/>_ ‘x ch x— -—- C shf’~2 л dx. J p p J
672.11. C sh x , xs , x5 x: J x dx — *+ 3.3( + b.5, 4- 7.7| + •• •
672.12. J dx - — + j -^dx. [Cm 678.11.]
672.21. Psh2x , 1 । 1 । , 1 C ch 2x ,, \ — dx~- —— In x | — i -5— d (2x). [Cm. 678.11 .j
677.201 ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ Cll X 133
673.10. С-^- = С cschxdx == In | == In =_lln I1 t + 1 . Jshx J 1 2 1 ex -bl 1 2 di x—1 * ('xdx x3 . 7x5 31 x7 127.x11
673.П. j sh x X 3-31 1 3-5-5! 3-7-71 1 3-5-9! |_ 1 11» 2 (22” 1 1) _ 2л + I 1 | .2 2 p л r- I . ••+( 1) (-2/2 4-1)1 + ••• |л<л.См. 4o|.
673.19. P x^dx 1 \ . Разложить-г—согласно 657.6, умножить на и j S11 X s n X интегрировать 1/^0].
673.20. j stFx = J CSC 1 X aX ~ — Ct 1 X‘
673.21. J si?7 ~ ’—x x + 1н 1 s6 -v |.
673.33. f dx C ,3 , ch x 1 . , r , \-гг-= I csch xdx =—t-.-2 — In th— . J sh3x J 2sh x 2 1 2 1
673.40. f dx cth’x Wr x 3~-
673.00. C dx ch x p — 2 0 dx r .. J sh^x (p—l)sli^~’x p— 1 J sh/’~2r ]•
675. Г . , , sh(m4-n)x sh(«z — n)x 1 sh mx sh nx dx = — — J 2(//2 4-n) 2(m — nj [т*фп2; при m2 — n2 см. 671.20]. Интегралы, содержащие chx
677.10. ch x dx — sh x.
677.101. C . X , , X 1 ch — dx: = a sh — . J a a
677.11. x ch x dx = x sh x— ch x.
677.12. j № ch x dx = (x* 4- 2) sh x— 2 x ch x.
677.13. Xs ch x dx = (x3 4- 6x) sh x — (3x® 4- 6) ch x.
677.19. \ xp chx dx — xf'sh x—p C xp~‘ sh x tlx. [Cm. 671.1.]
677.20. [ch2 + 4 . /- J 4 1 2 //
136 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [677.21
677.21. С , , , х sh 2х ch 2л , х3 \ X СП X dx = П ь т • J 4 8'4
677.30. f* с In 3 V \ ch’ х dx =- —7,—|- sh x.
677.40. f ,4 . sh 4л , sh2x 3k J c!l Х1/Х“-3^ + -Г+ 8 •
677.90. C ch^ x dx — — sh x chz'~ ’ x + ——1 C chp_ 2 x dx. J P P J
678.11. C ch*«'v-ln|v| 4. 4- 4- 4-
J x 1 । 1 2-2! ’ 4-41 ’ 6-G1 *"* *
678.12. f ch л . ch x . Г sh л , \ —7Г dx — — 1- 1 — dx. Cm. J * A J X 1 672.11.]
678.21. f ch?x dx 1 , , । 1 f ch 2x . o . -2-lnixH 2J 2x d(2x). (Cm. 678.11.]
679.10. J Jsechx d.r==arctg(shx) ==2 arctgp'*-}- const.
679.11. C x dx хг xa , 5x® 6lx8 , 13t5x”
J ch г 2 4-2! 1 6-4! 8-6! 1 10-8!
I ( 0 ггл + 2 । 1 y.2 Л • ’ • + (2n + 2) (2n)! +• • • * И 4 • Cm. 45].
679.19. P X^dX 1 — \ -t— . Разложить -j—• согласно 657.5, умножить J ch x ch x J на x1' и
интегрировать [/?#=0].
679.20. С -Д- -- C sech2 xd x — th x. J cirx J
679.21. C — x thx— In chx. J clrx
679.30. P dx sh x , 1 . . . . 1 ПГз- = И-Г2- 4- тг arct8 (sh *)• J ch3x 2ch x 2 04
679.40. P dx ,. th3 x \ -FT = th x • J ch4x 3 •
679.90. P dx sh x p—2P dx J chpx (p—1)сЬР~’х^ p—1 J ch/’-2x [Р>П-
681. P , , , sh(m4-n)x , sh (tn — n) x
1 firJC C11 rijC (Л2\t . । . 1 ci i x J 2(m + n) 1 2(m—n)
[m2=f=nz; при п? — г? см. 677.20.]
682.01. P dx ,, x J chx-pl W 2 *
685.22J ИП1ЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ Sil X И di X 137
682.02. f dx cth-
J ch x— 1 2
682.03. c jli*=x ш±-2 in ch 4:
682.01. f 4^__xcth4 + 2 1n|sh4[.’ J ch x— 1 2 1 1 2 1
682.05. C x-thA J chx+1 2
682.G6. C ch x dx x I = X—cth--. J ch x—1 2
682.07. C dx — •net'* (sh x) th - ’
J Ch X (Ch X 4-1) atCtb(S4.V) W2. ( arc tn (sb — cth —-
682.03.
Jchx(chx-l) ’ 2
682.09. C dx _ 1 th? 1 th3 x
j (chx + D2 ' 2 2 6 П 2 ’
682.10. C — 1 cth x 1 cth3 x
j(chx — I)2 2 2 6 2 ’
682.11. f dx 1 . . /3ch2x—!\
J ch2x +1 2J?2 ГС \ ch2x+ 1 j’
для xj>0 берется положительное значение Arch, а для
x<0—отрицательное.
682.12. (* dx (* dx +v [Cm. 673.29.]
J ch2x—1 J sh2x Ctn"‘
Интегралы, содержащие shx и ch x
685.11. P , , , sh2 x ch2x . ch 2x \ sh у ch x dx — — = —г—const = —-— J z Z 4 4-const.
685.12. P , 12 , ch3x i sh x ch x dx = —g— .
685.13. Ct, t з . ch4 к \ sh x ch xdx = —— . J 4
685.19. Cl IP a ch/’+1 r \ sh x chF x dx = r- J P -r 1 [Л/—1].
685.21. C i 2 t _> sh3 x \ sh x ch x dx = —.
685.22. C sh8 x ch* xdx = . J oz c
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(685.31
, з . . sh4 х
sh х ch x dx — ——
4
. r i j shP+'x
sh' x ch x dx —--—
P+ 1
CfX.~~ — In | th x [.
su л cn x 1 1
=-Д-+in । th 41.
sh x clr x ch x 1 1 2 1
dX 1 I 1 I .1 , м
sh x ch3x 2 ch2 x ' П ' 1 x I •
[p#= —1].
СЛ 1 i Г ux
sh x dd’x (p—Г)с11/,_’х JshxchP-2.!!
dx
sh2 x ch x sh x arctto(.,nx).
dx = —2cth 2x.
sh2 xch2x
dx _ 1 In 1 th r1
>h3 X chx 2sh2 x lnltt1-x|.
dx 1 C
shr x ch x (p— I) shP-1 x J shp~2 x ch x
sh x dx (
i th .r dx = In ch x. *-
ch x v
sh x dx 1
ch2 x ch x
sh x dx 1 th2 x . ,
ch3 x 2ch2x 2 1 С0П"г-
sh x dx 1
chz' x (p— 1) eld -1 x
sh2x , —f— dx — ch x sh x — arctg (sh x).
’ sh2 x
-г?- dx — ch2 x J th2.r dx — x — th x.
sh2x . dx = ch^ x sh x 1 P dx
(p— l)chP_| x p—1 J ch^~2x
' sh3 x , sh2 x
— dx — ch x ~y~—In chx.
sh3 x , Eh2x6/X=~ ch x sech x.
[Cm. 691.01.]
[Cm. 691.02.]
IP^IJ.
[p^U-
[p * 1].
689.02]
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ Si) X И Cl) X
139
687.33. f = J ch3 х p » f th x . , r l th x dx == —|- In ch x. [Cm. 691.03.]
687.34. Р si? Х /У v I 1
\ - ах — J ch х 3ch3 x ch x ’
687.39. psh’x . 1 1 Гп =/= 1 или 3].
(0— ljch'-'х (p — 3)ch'-3x
687.7. psh'~SX . \ —STS dx J ch' x th'-1x p—1
688.11. p ch x , | \ — dx — J sh x cth x dx — In | sh%[. [Cm. 692.01.]
688.12. p ch x , \ dx — J sh3 x 1
« Ck^V.11 «X a sh x
688.13. p ch x 1 cth2x .
1 1 Q X-*- -X * J sb x P Cl X , \ -Г7Г- dx = J sh' x 2sh2x - 2 1 COn°" 1
688.19.
(p—l)sh'-1x
688.21. C ch2 x , \ -д— dx = J sh x ch x -+- In | th ~ | .'
683.22. C ch2 x , \ dx = J sh2 x J cth2 x dx — x — cth x. [Cm. 692.02.]
688.29. P ch2 x , ch x ( l p dx [/> =F 1 ].
J sh' x “ (p — l)sii'-‘x ‘ p— 1 J sh'-2x
688.31. C ch3 x , \ ' dx — -ch2xJ-lnlsh rl
J sh x
688.32. p ch3 x , \ -tt- (lx — J sh2 x sh x — csch x.
688.33. p ch3 x , \ ty- ax — J sh3 x Jcth3xrfx = — ^-^4-ln|shx|. [Cm. 692.03.]
688.34. Г ch3 x , \ ~n~-dx = J shJ x 1 1_ 3sh3 x sh x *
688.39. P ch3 x , \ тлт- dx — J sh' x 1 1 Гр -/= 1 или 3].
(p—l)sh'~‘x (p—3)sh'_’x 1'
688.7. Pch'~2x \ —гд— dx J sh' x cth'~’ x i,i
— p —i IP^IJ.
689.01. P sh x dx J ch x +1 In (chx+ I).
689.02. Г sh x dx _ jch x — 1~ ln(chx— I).
140
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[689.03
689.03.
689.04.
689.05.
689.06.
689.07.
691.01.
691.02.
691.03,
691.09.
692.01.
692.02.
692.03.
692.09.
dx________________J______JL 1 I «и — I
sh x (ch x + 1) ~~ 2 (ch x + 1)+ 2 1П | П 2 |
_____dx________1_____________£ . I. j*
sh л (ch x — 1) 2(chx—1) 2 1П | 2 *
sh x dx . f ch x \
~ " - —T —— 1П I “h J I •
ch x (ch x + 1) \ ch x + 1 )
P sh xdx , /ch x— I \
\ 1П “In г------------------ .
J ch x (ch x— 1) \ ch x j
C sh mx ch nx dx = + +
J 2(/п + м) ' 2(m —n)
\trd =/= nz\ при m2 = n2 cm. 685. 11].
Интегралы, содержащие thx и cthл:
j th x dx — In ch x. [Cm. 687.11.]
th2 x dx = x — th x. [Cm. 687.22.]
J th2 x dx = — + In ch x. [Cm. 687.33.]
p fhP—i y Г \ thpxdx= т-4- \ thp txdx J p—i J [P^ 1].
У cth x dx = In j sh x [. [Cm. 688.11.]
j cth2 xdx — x — cth x. [Cm. 688.22.]
f cth’xdx = — —*-}- In] shxj. [Cm. 688.33.]
p Jy 0 I cth*' x dx = ;—1- I cthA~2 x dx J P — 1 1 J [p ¥= 1].
VIII.
ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
700. Arsh х = Arch V х2 4- 1.
При положительном х берется положительное значение Arch,
при отрицательном х — его отрицательное значение.
X 1
700.1. Arsh х = Arth - г = Arcsch — =
Г xs + 1 х
—— Arsh( — х) = In {х+ Vх2 + 1 }•
[См. 602.1 и 70S.]
701. Arch х = ± Arsh /х2 — 1 = ± Arth =
— Arsech у — -£ In [х 4 V х2 — 1}
[х > 1|. [См. 602.3 и 707.]
702. Arth х - Arcth i = - In [x2 < 1 J. [См. 703.]
X 2. 1—X I J I 1
703. Arcth x — Ai th— —ln [х2>1]. [См. 709.]
x 2 x— 1 i j l j
704. Arscch x—In 4 — 1) [0 <Cx < 1]. [Cm. 710.]
705. Arcsch x = In 4 4- Q • [Cm. 711.]
700. +
• _. ,9 . 1 I-3 1-3-5
— 1П(2Х) ±2 2x2 2.4.4х1Ф 2.4.6-бх6
[^ > 1 ].
— I 19 I 1 Ь3 b3'5 i
in|ZXI 2-2x2~i'2-4-‘lxi 2.4-6-6xe+’
[x<— 1]. [Cm. 602.1.]
142
ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[707
707.
708.
709.
710.
711.
720.
. , , Г. /О , 1 1-3 ЬЗ-5 1
Archx=A- 1п(2х)— ь ---д—х .-т-g-,— ...
— ' 2'2хг 2-4-4х4 2-4-6-6хе
[х > 1 ]. [См. 602.3 и 602.4.J
Arthx=x4--^ + 4+V-+ ... [х2<1]. [См. 601.2.]
О U i
Arcthx^l + зЬ+бР + тР+ lx2>1l- [См. 601.3.]
л ОЛ I Л
Arsech х —
In
2
х
1 2 ЬЗ
2-2Х 2.4.4Х
|0 <х< 1].
1-3-5 6
2-4-6-6
[См. 602.7 и 602.8.]
, . 1 1.1-3 1-3-5 ,
Arcsen X =--ъ~^~з + О л ’ c '~s — о И с -7 7 + • • •
х 2-Зх 2-4-5х5 2-4-6.7х7 1
[— 1 <Х<О].
[л-г>
[См. 602.5.]
Arsh (± х 4- iy) — i (— 1)" Arch 4-
4- i (— 1)” arcsin 4- /шт,
' s-H
S_L f
здесь берутся положительные значения Arch—g—, n—це-
лое число или 0, х положительно, у положительно или
отрицательно.
Значения s и i см. 720.1 и 720.2.
720.1.
720.2.
720.3а.
720.36.
s = |/(1 4- У)2 4- х2 (положительное значение корня).
? = ]/(]—y)s+xa (положительное значение корня).
Заметим, что при х = 0 и J>1, t = y—1 и t>^t = 2y.
Если х=?0 и _у<1, /=1— у и 54-/=з2.
Иначе:
Arsh А = 1п (4; ]/1 4- А24- А) 4* г’2йл
или
Arsh А = — In (± ]Л 4- А2 — А) -к /2йл,
где А может быть комплексной величиной, a k—целое
число или 0.
О квадратном корне из комплексной величины см. 58 а о
логарифме см. 604. Формулы 720.3а и 720.36 тождественны.
72S 4J ПРОИЗВОДНЫЕ 143
721.1. Arch (x 4- iy) — ± ^Arch^-^ + i arccos + /2/гл^ .
721.2. Arch (x-Zj) = ± (Arch Ц^ — z arccos ^ + г'2/?л) ,
z? *4~ 7
здесь надо брать положительное значение Arch--—;
Л положительно или отрицательно, у положительно.
7213. р= |/(1 4-х)2 + у2 (положительное значение корня).
721.4. <? = ]/(!—х)г У2 (положительное значение корня).
Иначе:
721.5а . Arch А = ± 1п(Л + ]/Д2— Г) + г 2/г л
или
721.56. Arch А = Т In (А — У А2 — 1) /2/гх
(См. примечание к 72D.3.)
722.1. Arth (х -f- г» = 2-1 п * +
i । . . 1 "4— х .1 ~ х |
+ 2’{(2/г+ 1) л—arctg-—------arctg-—-} .
Иначе:
722.2. Arth (х 4- iy) = 4 >п !I + 4 arctg j—г + ink,
' 4 (1—x)2+v 2 bl— x2 — y2
где k есть нуль или целое число, а арктангенс берется
в квадранте, определяемом знаками числи1еля и знамена-
теля (а не в смысле главного значения).
722.3. Ai th (х -f- iy) = 4. [n . [См. 6Э4.]
j Д' — £ у
Обратные гиперболические функции — Производные
728.1. d » V- Arsh dx X 1
a F x2 + a2
728.2. — Arch clx X 1
a x2—a3
728.3. т Arch ax X __ —1
a ^x2 — a3
728.4. -r- Arth dx X a
a a2 — x*
. X „ X ,1
Aren — Z> 0, — > 1 .
а а |
Л I. * г, х 1
Arch — < 0, — > 1 .
и а
[х2 < а}.
144
ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[728.5
728.5. Arcth— dx a о a2—х2
728.6. — Arsech dx «J * a
728.7. d . . 5-Arsech dX вч О il * I о
728.8. a , , x —a — A res ch — —- —>. dx о xfx2 + a2 (Всюду, кроме 728.4 и 728.
Arsech — > 0. 0< —.
а а
I Arsech -- <С 0, 0 < — < 1 I .
I a a J
о должно быть положительным.)
Обратные гиперболические функции — Интегралы
Здесь всюду о > О
7S0.
730.1.
730.2.
780.3.
730.4.
С Arsh — dx — л Arsh —— |/Z№ + а2.
Jo о
х Arsh — dx —
о
\ 2 4 ) а 4
С г л 1 л w х° . х . 1а—х . г~;—г
\ х Aish — dx — — Arsh —-----— i x + a .
J и a 9 ’
4h - dx
a
x* 3a4
4 32
x , 3a*x—3x
Arsh---b
a
32
x* Arsh — dx =
о
х» . X 8a4 —4a2x24-3x4
= -н- Arsh —
5 a
75
V
730.9.
xp Arsh — dx —
1
[Cm. 625 — 625.4.)
tt==== Ip -11-
У № + о2
Arsh ——
a
{Cm. 201.01 —207.01 и 625.9.)
731.1.
Arsh — dx —
a
s
1-3 a4 , ЬЗ-бо®
2-4sx4 ’r2-4-6sx<i
x
a
1
2
1
r’
2-3-3 as
ln^y_
« J
s 1-3-5 x’
r 2--1-5-5 o=“~ 2-4-6-7^7a’
1 a2 , 1-3 a’ 1-3-5 o6 ,
2s x2"‘~2-4sx4 2-4-63 x6^
1-3
-< — 1
о
I 2 ,
л
a
ИНТЕГРАЛЫ
145
732-3]
7412 f 4 Arsh -J^=—V Arsh ,n / o > .**• } x2 a x a a a + V >s + X
731.3. ’ 1 . , x , ] . . X v xs 4- a2 —, Arsh — dx — — тг-i Arsh —s—- - xs a 2x2 a 2crx [Cm. 626.1—G26.3.]
731.9. 1 jlArsh-^x- A>< + j p dx + p- 1 J x?-' V x2+a2 IA* 1- [Cm. 221.01—226.01 и 626.9.1
732, Arch • dx:=x Arch ——]/x3—a2 Arch—>ol, \ a a a J = x Arch — -f- ]/x2—a2 Arch—<0 . a ' r a .
732.1. x Arch — dx = ( ) Arch — — ]/x2 — a2 a \24/ a 4 r Arch— >0 , a ^f^-^Urch^+^/x-2-^ \ 2 4 J a 1 4 I Arch — <01. L « J
732.2, t . , x , хг . , x 2a2 + x2 । r g 2 \ x Arch — dx = -^ Arch x— у x — a2 1 a a a 9 I Arch — >0 , L a J = у Arch -H ^-Vx2— a2 |Arch-<o], c a j
732,3.
( л> Arc!. >= [Arch
J а \ 4 г>2 j а 32
Arch — > О
а
(х“ Зо4\ « . х . За2х + 2х3./—---,
= (4-32jArch И--------i/x ~a
Arch — <0
а
146
ОБРЗТПЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[732.4
732.4.
С л*4 A rch — dx —
J а
= — /Arch — •
о
а
Вл4 4- 4asx2 4- Зх4
75
Arch- >0
a
= £ Arch + ^4 + 4^S + -3y- ’/x*^d
5 а 7 т
732.9.
733.1.
733.2.
Arch — < 0
a
[Cm. 627—627.4.)
xp Arch — dx =
a
__Xp+' . . X 1 P yj’+’tfx
~ЯЙ “p+~i J V^a2
Arch—> 0, p--=f=— II,
° J
x^4'1 л i x । If xp+'dx
= —n Arch —4-------г-i \ -7==
p 4-1 a P4-1 J у к2 a2
Arch-£<0, //- — 11. [Cm. 261.01—267.01 и 627.9.]
C — Arch — dx =
J x a
_ I A 2x\2 , 1 a2 , 1-3 a* , ЬЗ-5 a9 ,
2 \ln a J + 23x2 +2-4* x4*" 2.4-6’xe + ” ’
[Arch — > 0
L °
____^7. 2x\2 , 1 a2 , 1-3 a4 , 1-3-5 о* 1
[2 \ ° a J -г2’х2’г2-4*х4'’“ 2-4-6* x4’’’ " *
I Arch— <0
a
V 4 Arch ~ dx — —- Arch — 4- — arcsec
J x a x a 1 a
x
a
1 . . x 1
-----Arch arcsec
x a a
I 3T I
|<‘2 J ’
x
a
Arch —<0, 0 < arcsec —
a ' a
at I
ИНТЕГРАЛЫ
147
73S-4J
733.3.
х , ,___1_
— ах— 2х2
Arch - Ч-2-А-^
а 2а2х
х
а
1 л ..
— Т~2 Arch
2х2
х Ух2 — а2
а 2а2х
[См. 628.1—628.3. J
733.9.
dx —
dx
______[____Arch — 1 ______ _____________
(p—DxJ'-1 а ’гр —1 J а+~’ У х2—аг
Arch —> 0, р=/=|]
с r J
dx
х/'-' |/'х2 — а2
— —------1\ Т-Т Агс^ ----
(р— 1) х? 1 а р — 1
|агсЬ-|<0, р=£\ . [См. 281.91—284.01 и 628.9.J
От 732 до 733.9 всюду -^ > 1.
734.
734.1.
734.2.
С Arth — dx — х Arth — + -^ In (я2— х2).
J а а 2
Р Y
\ х Arth — dx — ——
J а 2
Arth - +
а
ах
2 ’
Сх2 Arth - dx = 4 Arth - + ~ i In (я2-х2).
J a 3 a 6 6
734.3. j x’ . ,. x , x4 — a1 , Jt x . ox3 , a’x Агтп П r— Arth 4-
a 4 a 1 12 1 4 *
734.9. Г p л и x хр+' ... x a Cxf'+'rfx \ xp Arth — c?x==——- Arth r , J a p +1 a p + 1 J a2 - x2 [/>=/=-1]. [Cm. 141.1 -148.1.J
735.1. C 1 J X Аг1,,^^'-^ + 5^+7^+---
735.2. C — J X* Artt -J. Arth i— 1 In (. a x a 2a \ x2 J
735.3. C-l J Xs л x 1/1 1 \ . .. x 1 Arth — dx — — ( r Arth . a 2 \ a2 x2} a 2ax
735.4. C1 J X* Arth — dx— a 1 . 4, x 1 1 , /о2-л2\ — —Arth 7 5 77, In 2— . 3x3 a Uax2 tas \ x2 J
1 13
ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[735-5
735.5, е 1 . х , if] 1 \ . х 1 1 \ — Artn — dx ~ ~ I —,: 1 Arth — — -77г—; —,
J Xs а 4 \ а1 х3) а 12ах3 4аях
735.9. С — Arth — dx — — Arth — + Jr a (p— 1) x'J 1 a
4 ° - f Гп=А11
‘ p —1 J x^-’(a2 —x2)
[См. 151.1—155.1.]
В 734—735.9 всюду x2 < n2.
733. У Arcth ~ dx — x Arcth — 4- ~ In (x2— a2).
735.1, С л xi x j x2—°2 n .< x . ax \ x Arcth — dx = —z— Arcth В — .
J a 2 a 1 2
73S.2. Cx2 Arcth * rfx==*’Arcth * -!-<?*24-°3 ln(v3 a*\
J a 3 a 1 6 ' 6 '
736.3, C s . .. x , x4 — a* , ,, x . ax3 . a3x
1 dv 111 V. v11 t* «Az 1 . i 11 v tl) 1 « , \ 1 4 • J a 4 a 1 12 1 4
738.9. C „ . x x''+‘ ... x a { xp+l dx \ x1 Arcth — dx = ——= Arcth r [ — -
J a p + 1 a p + 1 J a2—x2
[/?=/= — !]. [Cm. 141.1—148.1.]
737.1. C1 Arcth x dx- a a* °5 °'
J x л C a ax ” x 32x3 &х3 72x’ • • •
737.2. C 1 . x , 1 . .. x 1 . !x2 — a2\ \ — Arcth — rfx= Arcth ——— In 1 —— ) . J x- a x a 2a \ x2 j
737.?, C 1 . ,, x . 1 ( 1 1 \ . ,, x 1 \ Arcth— dx= 7- ( Arcth — .
J r a 2 \ x-) a ‘lax
737.4. •. ; Arcth — dx —
1 . ,, x 1 1 , fx5-a2\ ~ —tt-j Arcth 7—5- — x-j In —-— , 3x3 a 6a x2 ba3 \ x~ /
737.5. C 1 . ... x 1/1 1 \ . .. x 1 1 \ Arcth— dx= -r 2 I Arcth ;——7-.
Jxs a 4\a x3) a \2ax3 4a3x
737.9. C ’ Arcth X dv— ’ Arcth x 4-
J xp ArLU1 a aX ~ (p - 1) xp~1 U t a 1
4. c C dx [„All
1 p_ 1 J KP-i(a2 — x2\ iAt-i]-
[Cm. 151.1 -155.1. J
В 736—737.9 всюду x2 > a2.
739. fl
ИНТЕГРАЛЫ
149
738.
— dx = x Arsech — 4- a arcsin —
a a a
[Arsech —
[_ a
Arsech —— a arcsin —
a a
Г Arsech —
L °
738.1. J x Arsech -j dx = Arsech ~ \r cd — x2
[Arsech —>0
L a
у Arsech -J + -j /a2 — x2
Arsech — <0
a
.2
x2 Arsech — dx — ~ Arsech — —™ a2— x2 -[-~r arcsin —
a 3 a о 6 a
x. . x , ax./—2---~2
— Arsech------г~г v a —x
3 a 6
Arsech — > 0
a
cd x
-- arcsin —
b a
Arsech — < 0
a
,9
C xp Arsech — dx == xP. Arsech — -----г
J a p +1 a ' p + 1
Arsech — >0
a
xp dx
jAfl2-x2
..rf+’ . x a
— —7—г Arsech----—7-
P+ 1 a .p +
xp dx
P 1J »
Arsech—<0, — 1|.
a 1 J
[Cm. 320.01—327.01.]
i;
C — Arsech — dx = —
J x a 2
1-3-5 xe
fin-')
\ x J
In
1 xa 1-3 x4
23 a2 2 • 4’ a4
2-4-6sa°
A a \ . 4a
( In — In-------h
\ x J X 1
1 X2 ЬЗ X4
2s a2~*” 2-43a‘ ‘
Arsech — >
a
1-3-5 xe
2-4.6’a,+ *• *
4 a
x
0
1
2
Arsech — < 0
a
150
ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[739.2
739.2.
739.9.
1 . . к , 1 . . х у а-— х1
- Arsech — dx ==---Arsech —---------------
х‘ а х а их
Arsech — > 0
а
1 х а2 —~ х2 Г х
—-----Arsech-----------— Arsech — < О
х а их [ а
4 Arsech — dx =
хр и
dx
хр а2—х2
Arsech —> О, ю=А1
а
1 « , х , a f dx
(р — 1) AX'-’ а р— 1 ] КР /аг_х2
. , х а
Arsech------—г
(р—Dx/' 1 а р— 1
Arsech 4 <0, р=А1
[См. 342.01—346.01.]
В 738—739.9 всюду 0<х<а.
740. \ Arcsch — dx = х Arcsch — -J- a Arsh — .
J а а а
740.1.’ Сх Arcsch — dx — ^~ Arcsch — -4--к ]/х2 + a2.
J a 2 a 1 2
n Г л . x . xp+l . , x , a C xp dx
/40.9. \ x1 Arcsch — dx — —г Arcsch —----—~ I --
J « Pt 1 a 'p+\j у х2 + аг
[/>=# —1]. [Cm. 200.01—207.01.]
741.1.
741.9.
fl. ix, a > 1а3 1 -3 as
J x a x 2-3-3x3 2-4-5-5x5
1-3-5 a'
2-4-6-7-7 x'~ ‘
1 /. a \ - 4o 1 xl 1 - 3 x1 1 - 3-5 xs
“ — ~2 V ПТУ П Г + 23а2~2Л3 сГ1“1’2.4-63 ae “ ‘
[0< X <;«],.
1 . I a I. 4a 1 x2 , 1-3 x4 1-3-5 x“ .
2 |x| x 23a212-43a4 2-4-b3ae^-,‘
[—a <Z x <0].
f 1 . 1, X 4
\ Arcsch— dx==
1 . . x a f dx
(p— l)x/'-‘ a p—1 J x/' Kx2+o2
[p=#l]. [Cm. 222.01—223.01.]
В 740—741.9 всюду a >0, x>0 (кроме 741.1).
IX.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
750.
751.1.
751.2.
I
751.3.
751.5.
751.6.
751.7.
X
(х = sin ф],
<р
Г d(P
Обозначим и = I - .. ——
J F1—Л2ьй12ф
О
dx
^Х2 Vl—k2x2
о
= F (ф, k) (эллиптический интеграл первого рода, см. 770).
ф называется амплитудой, li — модулем.
ср = ат и.
sin ср = sn и = х. 75\А. cos ср = сп и = у 1 — г2
Аф или Д(ф, /г) = 1^1 — kd sin2 ф = dn и — |/ 1—Л2х2.
1иф = 1пи=-7== .
у 1 — X-
Дополнительный модуль k' = 1 — йг.
752.*) zi —аш_1(ф, k) = sn 1 (х, A) = cn 1 —x2, k} =
= dn-l{]/l — k} — tn"1 - _, A’ f Lf i-x2
753.1. am (—u) =—am u. 754.1. am 0 = 0.
753.2. sn (— u} =—snzz. 754.2. sn 0 =0.
753.3. cn(—zz)==cnzz. 754.3. cn 0 = 1.
753.4. dn (— zz) — dnzz. 754.4. dn 0 = 1.
753.5. tn(— u) =—tn u. 755.1. sn2u 4-cn*c/= 1.
*) Здесь показатель степени — 1 применяется в смысле обратной фун»
<1ии. (Прим, ред.)
152
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[755.2.
755.2. dn2«4 &2sn2a= 1. 755.3. dn2a—/г2 сп2 и — k'\
756.1. sn (и ~|- V) = _ sn и сп v dn v ± сп и sn v dn и 1 — A2sn2usn2n
756.2. СП (и ± V) = _ сп и сп v 4 sn usn и dn u dn t; .
1 —/г2 sn2 и sn2 v
756.3. dn (и4: v) = _ dn и dn v + k2 sn и sn v сп и cn v 1—k2 sn2 и sn2 V
756.4. tn (и ± V) = _ tn и dn v ± tn v dn и 1 4 tn и tn v dn и dn v *
757.1. п 2 sn sn 2и — —j- иcn и dn и — k2 sn4 и
757.2. л сп2 и—sn2w dn2w 2cn2u
I—/e2sn4u 1— t?2sn4u *'
757.3. Иг1 о<> dn2 и—k2 sn2 и сп2 и 2 dn2 и ,
1 — £2sn4u 1—A2sn’n
757.4. . „ 2 tn и dn и tn 2a = ;—Гг -г,- . 1 — trr и err и
758.1. и / 1 —СП ’1 £Л -К = [/ . 2 F I +dn и и / cn и + dn и
СП -Jr — |/ - . , , . 2 г 1 +dn и
758.3. , и / сп и 4 dii и 2 1 1 4 сп и
759.1. &n(iu, k) = i tn (и, k').
759.2. СП (lU, k) = 777- . ' cn(u, ft)
759.3. ... dn(u, k’) dn (Ш, k) = - Г77- .- ' СП (ft, k }
760.1. ti^ 5 sna-u-(i 4A2)-4(1 + и/г2+^)~ — — (14135/г2 -|- 1357г4 4 A’6) F..
769.2. cnK = l-^4(l 44A2)“y—(1 4 44£24 1664)"j4 ,-i-(l 4408й24912/г44 647гв)^—..
7721
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
153
760,3. //2 г/4 dn и = 1 - ks + (4 + k2) k2 - (16 4 44k2 + k*)k2 4- 4- (64 4- 912k2 4- 408fc4 4- k*)k2
760.4. ««5 ,.7 am« = li— k2^-\- (4k2} k2— —44k.2-yk*) + «j l Э! /1 4- (64 4- 912k2 4- 408/г1 4- /г”) k2 ... У1 Эллиптические функции — Производные
768.1. d л — snu = cn udn и. du
768.2. d л cn и = — sn и dn u. du
768.3. d . > 2 — dn и =— k sn a cn u. du Эллиптические функции—Интегралы
770. Эллиптический интеграл первого рода ф Г °’Ф 1 (ф» £)-| у 1 _ kZ Sl.,2 Ф [6 < П» 0 X С dx -J ' [-V - Sintp]. [См. 750.]
771. Эллиптический интеграл второго рода ф Е (tp, k) — Y1 — k2 sin2 <р dtp =» 0 Г Vi-fe2r! . А , ~ 1 -- dx [х = sin ф[. J V 1—х2 u 0 s
772.' Эллиптический интеграл третьего рода ф Г dtp И (ф» Л, k) J (l+nsina(p) p l—k2 sin2 ф = 0 X Г dx J (! 4-«X2) fEl— хг у 1— kzx2 [x —slnipj. 0
п называется параметром.
Таблицы значений эллиптических интегралов см. [27], [28J.
154
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(773.1
II о л н ы е эллиптические интегралы
Л/2
О
773.1.
ТОр
V I—&2 *sin2<p
г 12-32-52
' 2М2-62
/г” +. 7
[Аг<1].
773.2.
773.3.
t-> ц z. X • *т
. 1г-32-52 в ,
2г 42 • б2 I" • • • »
где т=(\— -Р А').
Этот ряд сходится быстрее, чем 773.1, поскольку то’< А2.
ZZ 1 4 I ,2 П 4 2 X , ,2 ,
nfe'-*~22 ( % i-г)^ г
. 12-32/, 4 2 2 X , ,4 .
+ 22-42 V 1-2 3-4 )k +
, 12-32-52 / 4 2 2 2 X
~*~ 22-42-62 V П k' 1-2 3-4 5-6/
где k’ — j/1 — /г2.
774.1. Е — |/1 — k2 sin2 <j> dtp =
л/ 1 2 12-3 ,4 12-32-5 в А
2 \ * 22 22-42 к 22-42-62 ‘ ’ ]
(/e2<lj.
*т Г I2 12.Ч2 . 1
774.2. Е [ 1 + «в+...].
где то = (1 — k')/(1 -Ь k').
Этот ряд сходится быстрее, чем 774.1, поскольку то2 <; А2.
774.3.
2
4 2
4
22-4 \ 1-2 3-4/
12-32-5 /. 4 2 2
22-42-6 X nF 1-2 3-4
' S'c _!
и,г ч‘
781.Cl]
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
155
773.
776.
777.
<р
f(<p, k) = J =
0
= sin^ccs-p^zV2 у 4-
1-3-5 ... Д
+ 21.6 -V + • • J .
где
1 л 3 1 . 2
3*5 I 3 .2 > 1 -4
'1 • = ‘ГТ6 + 4~6 s!" f+б sm *
/1. “iPnrs“NTTSsi" f+eTP'" 'I4 8Sn f-
а К находится по формуле 773 или из таблиц.
1 , > 1-3 ,. 1-3-5 , „
/1(р, /?>=<р+ -^v2k +2!^ + 2-436^ +•••’
еде
<о2п — sin2n(pdq). [См. 433.]
О
ф _____________
z?(cp, k)— 5 К1 — л2 sin2 (prftp =
= £+ sin Ф cos <Р (4 + 2^4
+ 2-4-6Л» ' ’
где Д2, At,.. . те же, что и в формуле 775, а Ь может
быть получено из формулы 774 или из таблиц.
Г
780.1.
dx
= tn 1 (х, k) *) = F(arctg x, k)
[х > 0].
781.01.
. ’) Здесь через sn-1 (x), tn 1 (x) обозначены функции, обратные sn x и tnX
<ооласть изменения от 0 до К)- (Прим, ред.)
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[781.02
х
156
781.02.
781.03.
781.04.
781.05,
781.06.
781.11.
781.12.
dx
1 1/—.. ~{К№-Г(<Р. ед
у р г2 — // а
ь
<р = arcsin
о2—л2
ё^Т2
a
K(k) = F^, k) — полный эллиптический интеграл. Как
обычно, интеграл от х, до х2 получается как разность
интегралов от b до х2 и от b до хс
I dx
J ^х2—1? 1
a
[<p = arcsin (a/x), k^bja], [0<г><а<х].
Л)}
0
dx
= — tn
a
a
k)
rc — arctg — , k —
• ° n *
[ dx
J y"a2 + x2 Kb2 — X2
«
a
L==r —
х , b
гс — arccos — , k — —r=
T b 1/ Л2 -
, [0<x<&].
dx
. r______ -______=^—==^1™, k)
J V a2+x* v X‘~b- Va2 + b2 V
b
(f-arccos|, [0<i
Л I/ -I- n2
X
[ xz dx
—Ti/ТУ—8 =q/7(<P» k)—aE(q, k)
J К a2—x2 r —x2
G
[ф = arcsin (xib), Ь:^Ь,а], [0 < x < b<Z a].1
Л
b
X2 dx
x2 x2 — b2
«г — arcsin ——
К a2 — t2
k^^—
a
*) См. подстр. прим, на стр. 155.
781.221
«ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
157
781.13,
—а“ |
х
f x2dx __ V к2
J У х2—а2 Ух2—Ьг
а
—aF((p, k)— аЕ
Г а , о 1
Ф = arcsin —, й = —,
|т х а I ’
781.14.
x2dx
-2
——а£(ф, k)
о
х
Ф =» arctg у, k
, [0 < х; О <Zb<Z а].
а
781.15.
х* dx
х .
ф = arccos у, к =
Л2
—;т= IKW-fW. *)J
у о2 + /г
, [0<л<^].
781.16.
х2 dx
«
b
ь
х у,
b а
Ф = arccos — , k = - r.___
V x * lE„г.
^=F(q), k)-Va2 + b2 E(^>, k)
, [0 < b < х; О
781.21.
X
Г У a2__x2
y dx = aE^, k)
J V b2 — Xs Y
9
x . b ] ,
4 = arcsin —, я = — .
Y b a 1 >
[0 <x</?<a],
7R1 90 f Kb2—x* . c, c2 — ft2 r~.
*oi.Z2, I _____- dx = aE(<p, k)---F(tp, k}
J V a2—x1 °
t y *1
arcsin j , , [0<х<&<а].
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1781.23
158
781.23.
781.24.
781.51.
781.61.
782.01.
782.02.
О
h
Г 4 4 X2 V ь2 4 X2 dx
Ф = arctg х t.
dx -
Г 4-
а
4- aF (ф. k) — аЕ (ф, k)
X
Ф = arccos —, 1г — —г.—-—
|/а24-Ь2
X
о
a2 + b’{F(q>, k\ — E(w. A)}
«]•
x* dx
х2 Ьг — х2
“з
J/ а2 — х2 у t2 — X2
, (24 А2) Ь3 п/
4-—Л(ф,
х , ЬД
Ф — arcsin — , А — — .
т b а
'2 — x2 dx =
A* , 24 .
-----L — n 3
ЗА 1 ЗА3
<р — arcsin —,
1 ь
ф
Г sin2 ср б’ф
J V 1 —A2 sin 2ф
о
ч>
C c^s2 <р 4ф
J Y 1 — A2 si.i2 <p
0
u
— Xs
3
a8 4- ab
x2 dx
/о
O/v
24 24
ЗА ЗА3
, k)
J J Fl-? V 1—A2x2
о 0
A) —£(co, k}\
[x = sin -p].
и
f cn2 a
X
О
__ Е (ф, А) 1 — А
г -\=dx =
|/ 1 — А2х2
p, k)
[x — s’n ф1.
787-4] ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 159 <р «
782.03. г =г t„-и _ *• si„- ф- . J у 1—k2 Sill2 ф J I к 1 0 0
782.04. (р , Г б/ф F 1 — %-2 sin2 <р г, , ч F (ф. - - 1 ^<р+ F <(Р’ ® 1 -*2 ' J cos2 qp V 1 — к2 sin2 (р 1 к 1 н 0
782.05. j COS2 фП ^ф = 4* Ф Р" 1 — !t* Si Пг ф 4~ /Чф, k) £(Ф> 0
782.06. <( ______ J tg® <р К1 — sin 2 ф f7<P — tg ф V 1 — k2 sin2 ф + 4~ Е (ф, /г) — 2£ (ф, /г). Г 1 , ! dn и \
785.1. \ sn и du — — -г- Arch —гг~ .
785.2. ( сп и du = у arccos (dn и).
785.3. dn и du = arcsin (sn и) = am и.
786.1. С du . ( sn ч \ J sn и \сп и 4- dn и }
786.2. С du 1 । / А' чп ы 4- dn J СП и k' \ СП и /
786.3. f du 1 . / fr'sn и — спи\ J dn и k \/г sn и + cn и )
787.1. и J sn2 и du = р {и — А (ат и, k)}. 0
787 2. J сп2 и du — {Е(ат и, k)—k'2u}. 0
787.3. 1 dn2 и du — Е (ат и, k). 6
787.4. 1Л f tn® и du — {^п и tn и—E(amu, /г)}.
о
(788.1
1G0 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
г 1 Г V । 1
788.1. *) 1 sn’’ xrf.r = xsn-’х4- ch |-—— | .
788.2. Г cn~* x dx = x cn~' x-arccos )/V* 4- k*x*,
J 6
f УI___X21
788.3. , dn_I xdx — x dn~‘ x—arcsin r— .
j
78ej- 2=T(ff-w-
789.2. = | (£-«)•
*) См. подстр. прим, на стр. 151
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ
BOO. Дифференциальное уравнение Бесселя имеет вид:
d"u
dx'1
4-
1^4-fl
х dx \ х1 I
и — 0.
Бесселева функция первою рода Jn (х)
Обозначим -1-Jn(x) через J‘n и т. д.
801.1. xJ'n = nJn — x7„+t. 801.3. '2п.)п = xJnj 4- xJn^.
801.2. xJ„ = — nJ,, 4- xJn J. 801.4. 2Jn =. Jnl — Jn hl.
801.5. 4j; « J„_2 - 2J„ 4-
801.6. ~(a4)=A-v
801.7. -ddx (x-nJn) - - x~nJn+i.
80182
x 1
801.83. 4 = f _8 _ 1Ъ _
801.84. J4 = f 1 - -2^ Jo 4- 8- (A - 1 \jt.
4 \ X2 / ° 1 X \ X2 / L
801 7 12 /l 16 \ 7 I f 384 72 л l\ f
wi85. jR=3 T^i _ ~р04-^___ -x<i 4-
801.90. 4 = -^.
801.91.
162
ЕЕССЕЧЕВЫ ФУНКЦИИ
[801.92
601.92.
801.93.
801.94.
801.95.
802.1.
802.21.
802.22.
802.3.
802.4.
802.5.
802.61.
802.62.
802.69.
/ 960 84 / 1920 408
* /ь —\ х4 — \ х4 х* ) х
Таблицы J0(x) и (х) см. [10, 15; 17, 19з, 20J.
I 1 \4 / 1 \в
/1 \2 , \ 2 / \ 2 /
Л (л) = 1 — ( 2 хj 4- J2.2'2 р. 22• З2
/ 1 \» /IV
1 \ 2 j ( 2 /
• Л (-^)= (х) — ур. 2 Р • 22 • 3
. X2 X4 , Xе X8
— 222( — 2Ч131 262|4| 283151 -t
При п целом положительном
/1 \« /IV /IV
\^Х) , \2-Л \^Х)
— —[1 “j (л +1у + 1.2 (п 4-1) («4-2)
При п целом
J_n(x) = (— l)"Jn(x).
Если п — не целое положительное число, то в формуле 802.3
ваменить п\ через 11 (//). (См. 853.1.)
.... 1 Зх2 . ох4 7хв
• 71W—у 231121 252!3! г’ЗМ!'4'”*
. х 4х3 . 6V 8х?
U') — У — 2qj3i -I- 20214! 283!5! + —
хП~1 - <fi + 2)x^
2«(n—1)1 2«+4i («4-1)1 “г
(л4-4)хп+8 (n4-6)xn+s
Г 2n+<»21 (/г4-2)1 2й+в31 («4-3)1 ' * ”
(п целое положительное).
803.41 J
БЕССЕЛЕВА ФУНКЦИЯ ПЕРВОГО РОДА
163
Асимптотические ряды для больших
значений х
803.1. Jo (х) = /2 [р0 (х) cos - 5) ~ sin [х ~ 4 )]’
где
. Р-32 . 12-32-52.73 Р. З3 • 52 • 72 • 9а. | Р
803.11- Р0(х)~ 2! (8л)2 * 4! (8л)1 6! (8х)“
л , х Р . р.32.5= р. З2 • 52.72.92 ,
803.12. Qo(^)~ 1|8Х + 3! (8л)3 5! (8х)5
Знак «а означает асимптотическое равенство.
803.2. Л (*) = [Л U) cos — --j — Qi (л-) sin (х - -1 J; , где
803.21. Р 1 4-12,3,5 _ 1г-32-52-7.9 р.З2.52.7а.92.11 13 i 1 21 (8х)2 4! (8х)д 1 6! (8х)в Начиная со второго члена знаки чередуются.
803.22. п 1-3 __ Р.32.5.7 Р.За.5а.7й.9.11 __ 118х 3! (8х)з * 5! (8л)5
803.3. , . . /2 \»/2 Г г> 1 х 1 пл Д \ I^Wcos/л;» 2--Т)- — Qn (л-) sin - -у ~ где
803.31. 2! (8л)2 , (4tf2 — 12) (4п2 — З2) (4ла — 52) (4г? — 7«) _ *" 4! (8л-)а ~ '
803.32. п . 4№—Р (4п2—Р) (4ла —З2) (4п2 — 52) 1!8х 31 (олр Н'--
803.4. Л (X) ([₽» (X, Sin 'х - S _ .J } + 4-C2n“(x)cos^-^-~^]t где согласно 801.4
803.41. p i ( i (4n2—P) (4л2 + 3 X 5) - 2|(8x)2 -1- . (4л2 —l2) (4/г2 —З2) (4л2 —52) (4л2 4-7 X 9) 41 (ox)1
164
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ
[803.42
803.42.
Г'о 4п2+! х 3 (4n2— I2) (4n2 —З2) (4n2 + 5 X 7)
(-*)<=« 1)8х
31 (8х)з
Закон образования следующих членов очевиден. Сле-
дует помнить, что приведенные здесь ряды для больших
значений х являются асимптотическими, и существует пре-
дел точности, которую они могут дать.
804.01. I (^0 & 1 2А’/2 . - -— I Sin X. \ лх /
804.03. Л (х) = 2 / 2 XI/2 ! sin х \ COS X . \ ЛХ/ \ X j
804.05. J 5 (-^') ~ [ 2 V/2 if 3 . 3 | ( { —51 SIH X COSJQ. \ ЯХ / l\ X* j X J
804.21. <_1W 2 / 2 \«/2 = ( COS X. \ ЯХ /
804.23. <3 (*) 2 ! 2 \!/2 ! . cos x \ = 1 — 1 —sin a- — . \ ЛХ / \ X j
804.25. <6 (х) О / 2 \ 1/2 ( 3 . . f 3 , \ ] = [ { Sin X- - I COSJC}. \ ЛХ / lx \ Хг / 1
Бесселева функция второго рода Yn(х)
Некоторые авторы употребляют вместо Уп (х) обозначение (х).
805.1. Л г; = Л — Л F„+I. 805.2. x У; = — n Yn 4- x F„_x.
805.3. 2» Y„ «= x Fn_j 4- * Y„ ^. 805.4. 2У;^У^-У„+1.
805.5. 4У;,=
805.6.
805.7. ^(x-nrn) = -x-«yn+1.
805.82. У -^-L-Y 2 x Г°* 805.83. У3 = ^А-
806.3]
БЕССЕЛЕВА ФУНКЦИЯ ВТОРОГО РОДА
165
805.84. у4 = fi ~24) у0+-(4- С 4 \ X2 / X \Х2 ) х
805.85. у _L2fi-16Ь+(384 - 72+ |Г£.
805.90. у; = — ух. 805.91. у; = у0 - X ‘
805.92. у’ — —— -4- (1 — 4 У(
805.93. ... /12 .\ v . /г 24\У! ]з^(х^“ 4 У° + \°~х*) X'
805.94. у„8/12 1W Р92 40 J- ? /4 ” х \х2 “ 4 У°“\ х4 ~ х2 + ) in-
805.95. /960 84 . Л,, /1920 408 . ГХГ “ Х^ + 1 У° “ “ X2 + 13 V \ Л Л 1 \ п Л- ! rv
Таблицы У0(х) и 1'1 (х) см. (10, 15, 17].
806.1. / 1 2 / х \ 2 \ Ь у fr) (/'J in 1 / М-1-4- ' \2 0
ToW- я ! in 2 п (1[. У
где С — эйлерова постоянная 0,5772157. (См. 851.1.)
806.2. Y^x) = | (с + In Л (х) - л -
•V \ Z у JIA
_1 у (-])₽ /xVWf f 1 , 1\, 1 |
г \ + 2 +•••+pj + ЯйГ
Р—0
806.3. ад _ А (С + !„ |)ад.1 "f ttlS (|f -
р = 0
— .I V <—1)р (* \2р+п (1 д_ 1 _I 11
л Z р\ (л+ р)! \ 2 I \ '2 г 3 + "•
р=0
+ 1 + 1 + 1+ +JL>
р ‘ ^2 ' п + р )’
где п целое положительное. При р — 0 последнюю скобку
следует положить равной fl 2 + ...-(- Ц.
166
БЕСЕЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ
(807.1
Асимптотические ряды для больших
значений х
807.1. (А)1/2 [p0(x)sln(x 4-Q0(x)cos (х “ v)]
807.2, Yi (х) = (А)1/2 [Pj (х) sin (х — 4- Qx (х) cos (х — ]
807.3. w = (^)1/2 [ sm (х ~ I) +
4-Q„(x)cos (х—у—~Т")]’ ^яды для ? и см* 803J
807.4. У'п (х) = (-А)1/2 [Р^’ (х) cos (х — ~ -
— Q<1) (х) sm (х — — -у-) ]
[Pj,1’ (х) и Q„l) (х) см. в 803.41, и 803.42.1
Бесселевы функции от мнимого
аргумента первого рода 1п (х)
808.1, xl'n = nln + x/n+i. 808.3. 2п1, = xln~i — xln+i,
808.2. xln — —tiln 4~ xln—i. 808.4. 21» =* In—i 4~ In-t-i*
808,5, 4/я = I»—2 -p 27n 4~ /л4-2’
808.6. X(x"Zn)-x7„_i. 808.7. A (x“r7„) == x“"Z„+1.
808.82, /a=Z0
808.83. /s==(4r+ 1) Л--— •
808.84. 1)/o-4(4'+ О7**
808.85. /6=(^-+^-+ 1) Л~4(^+ Ф0’
808.90, /о = /ь
808.91. 7[ = /0 —А.
808.92. /2= /1 (Л+ 0 .
808.93. /з= (А-4- !р0_ 5) Л.
811-31
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ ОТ МНИМОГО АРГУМЕНТА
167
808.94.
808.95.
809.1.
809.2.
809.3.
809.4.
809.5.
А с и м п
811.1.
811.2.
811.3.
л
/960 ,84 . , \ , /1920 . 408 .
Цуг + у + 1 ) /с—I + 13
Таблицы /0(х) и /, (х) см. [10, 15, 21].
л
х
( I у /IV
/1 А* \ 2 / \ 2 *)
/о (х) ~ Л 1 12-22 12-22-32 • • • ’
где i = ]/— 1.
/ 1 V / 1 у
1 ( 2 Х ) ( 2 * /
7, (х) — i J, (ix) = Io (х) — — х4 j2.2 “I i2.22 з ’4 *
При п целом положительном
1п(х) = Гп Jn(lx} =
(1Х\ (_цг fixr
c= 3_z—L. 1 + ЗА—L_ j______XA L________|_
n! 1 (n + 1) 1-2 (n 4-1) («4-2)^
/ 1 \n+zp
\ A /
pl (n4-p)l *
#.=0
00
При n целом
/_Дх)=7п(г).
Если n не целое положительное, то надо в 809.3 заменить п\
на П(л).
[См. 853.1]
тотические ряды для больших значений х
ел I |г 12. Ч2
К2лх I 1 + Г1АУ 2! (8х)2
7„ (х) «ь
е*
У 2лх
4п2—I2 (4пг— I2) (Апг—З2)
I! 8х 2’ (8х)2
I___ 4п2 4- 1 X 3 , (4па—I2) ; 4/г-4-3x5)
2лх L
е
In (х) Ри
11 8х 2! (Ьх)2
4п2— 1») (4п2—З2) (4п24-5 х 7) ,
3' (8х)3 +
Члены ряда 811.3 те же, что и в рядах 803.41 и 803,42.
168
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ
[814.1
Бесселевы функции от мнимого аргумента второго рода Kft (х)
814.1, Л tl I^f2 ““ A z? 4-1*
814.2. * хКп—!•
814.3. 2л Ап = л'/\п+1 х Лп_р
814.4. 2К« = — Кп—1 — Kn+i.
814.5. 4 Кп = Кп—2 4~ 2 Кп -f“ К„+2.
814.6. А (%"/<„) = - xnKn—i-
814.7. jL(r-”K„) = -x-“K„+1.
814.82. Kg Ко + х •
814.83. KS=^+(A+ |)К,.
814.84. Л4=(^-+ 1)Л» + 4(4-+ О*1’
814.85. къ=—(4+ П к0 + (^-+-4-+1) Kt. V х \ х& У u * \ хг * У
814.90. Ко — — Ki.
814.91. к; = -к0-А,
814.92. Кг = — — (-^Г + 1) Кр
814.93. Кз = — (-Ч-+ 1) Ко- (~+ 5)-^-. \ 1 / ух2* /X
814.94. /г' в / 12 1 1 \ л- ( 192 ! 40 1 А V х ( х* + 1 ) А° X* + 1 )
814.95. Г / 960 . 84 . „ /1920 408 . Кз — ( 4 + 2 + 1 1 Ко ( 4 2 + 13) Таблицы Ко (х) и Кх(х) см. ЦО, 15, 17, 21).
бесселевы функции от мнимого аргумента 169
81 b.«>-1
815.1. К0(х) = —(с+-1п-|)/0(х) +
где С—0,5772157 — эйлерова постоянная. (См. 851.1)
815.2. Ап(х) = (—1/'+* ^С+1п у)/„(х) +
, 1 V —Р-1)’ f хУр-" jl
+ 2 р! \2J "Г
V — о
, (- о" у 1 ( L Хр+п х
' 2 ^Р'(л+Р)’\2/
47=0
у (1+l + l+ ••• + ^ + 1+4 + •••+)ГТ?)’
где п—целое положительное. При р = 0 последнюю скобку
следует положить равной (1 +-^- + ... + —) .
Следует заметить, что иногда, особенно в более ранней
литературе по бесселевым функциям, буквой /(обозначается
совсем другое выражение.
815.3. При п целом К_п (х) = Кп (х).
815.4. При п нецелом Кп{х) = —1„(х)}:
£. Oil I f LJ I
Асимптотические
ряды для больших значений х
816.1.
v ( я „-лfi 12 । 12-32 12-32-б2 ,
А0(Х) е [* 1!8х'2!(8х)2 3! (8х)3 '
816.2. 1 + 1^=£ +
(4л«_ 1«) (4п2—З2) ,
+ 21 (8х)2 + • • •
816.3. [1+Ц+1^ +
у j 1! ©А
. (4д2—12)(4д2 + 3 X 5; (4н2— I2) (4л2—З2) (4л2 + 5x7),
21 (8х)2 ”1" 31 (8х)3 + • • • •
[Из 814.4.]
Нетрудно видеть, как продолжить этот ряд.
170
бесселевы функции
(817.1
817.1.
817.3.
817.5.
818.1.
818.2.
818.3.
818.4.
820.1.
820.2.
820.3.
820.4.
820.5.
820.6.
821.1.
Функции Ганкеля
HP И = Jo СО +1 (г). 817.2. /<0 (z) = у Нр (iz).
Нп (~) = Jn (z) +1 Yn (г). 817.4. //’; (z) = Jn (z) -1 Yn (z).
Для любых значений x и ср:
cos (х sin ср) = Jo (х) + 2 J2 (x) cos 2<p 4~ 2J4 (x) cos 4<p 4- • •
sin (x sin cp) = 2JX (x) sin cp 4- 2J3 (x) sin 3<p 4- 2J6 (x) sin 5<p 4“. • •
cos (x cos ip) — Jo (x) — 2J2 (x) cos 2<p 4- 2J4 (x) cos 4<p —...
sin(xcos(p) = 2Jx(x)cos(p — 2J3(x)cos3<p 4- 2J3(x) cos 5<p —...
Бесселевы функции от аргумента xl|/7
первого рода
berx4~/bei x = J0(xz =/0 (х ]//) = Ьег0 х 4~/bei0 х.
Ьег х = ber х, и т. д.
rf V '
(1 \» /IV
1 \ 2 / ( 2 Х)
bei х=ух 2J 3( 4- 4] 5( ...
Для больших значений х
Ьег х — [ Lo (х) cos f *-= — —— Мо (х) sin f — —
1<2лх[ \К2 8/ \И 2 8
B22.3J
БЕССЕЛЕВЫ функции от Xi УТ 1-ГО РОДА
171
821.2. bei х = р== [Мо (х) cos - j 4.
где
, , J2 л , I2 • З2 2л , I2 • З2.52 Зл ,
821.3. L0(x)a« 1 +-fjgjcos 4- 4~ 2[ (8r)2cos 4 + 31 (8x)s COS 4 "J"”»
I2 , л 12-32 . 2л 12-32-52 Зл
821.4. Л10 (х) — -jig; sln 4 - 21 (8х)2 Sin '4 3i (8)8 1 4
821.5. ber' х = 150 (х)cos ) -
у 2лх [ \у 2 ° /
-7'0(x)Sin^.+ £)].
\F L / J
flf2 г /г л \
821.6. ЬеГх = р=[7'0(х)с°8^4- +
4-So (x>sin(^+ Г;]»
где
сот т с / \ 1 I’3 сп 12-3-5
821.7. 50(х)^1 llfecos4 2! (8х)2 4
12-32-5-7 Зл 12-32-52«7.9 4л
31W C°S 4 4! (8х)4 C°S 4 •"
сою -г , л 1 -3 , л . Р.3-5 . 2л
821.8. То (X) ₽« и 8v sin . + 21 (8а.)2 stn 4
l2.32-6.7 . Зл , 12.32 - 52 - 7 - 9 . 4л
3! (8х)8 Sln ’4 + 41 (8х)! 1П 4
822.1. При п мелом положительном
bern х -f-z bei„ х ~ Jn (xl ]/^l) — inln(x ]/l).
822.2.
822.3.
00
ber„ x = V
n
p = 0
(1 \n + 2j
2" X)
Pl(n4-P)l
cos<i+?fl5
co
bei,. x = V
₽ — o
/1 \n + 2p
(_1)Л+р+1 (X x) T
(л4-р)!
Sin<"+^.
4
172
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ
(822.4
822.4. t (л + 2р)л Ья“*~+. ₽и„+Р\ cos < •
822.5. t n X f 1 \"+2^-i bei^-L „.(„ + »)! £'“ / •. P —0
823.1. Для больших значений x, при целом положительном т X 'У8 * ч . ? т . / X Л , ГШ\ be'n* ~ L " W С0Ь 1 Г2 “ 8 + 2 / . . / к л пл\~ -AI„U-isn> (p-j-ё + 2J т/Т^ 2 Г ✓ \
823.2. « • 11 t \ 1 л । м л \ . ЬС "Х“ L 4nWC°4’/2 8 1 2 J 1 , , , . / х л , пл XI + £„(x)sin 8 4- 2 J j где
823.3. ... , 4пг—!г л , (4пг— l2)(4n2—З2) 2л 1|8j cos„4 ’cos4 ...
823.4.
823.5. Ь""Х r&lS"G4“S(/2+«+ , k . / x . Л . пл\1 -Л,м^(?=+ s+yJj
823.6. v/JA. г . / е 1 -г / X / % . Л , НЛ\ , “•*" r&d7“Wco4??+-ff+ ?) + + 5„(х) sin (yj+^ + т) где
823.7. с . . . 4л24*1X3 Л , (4л2—Г)(4л2+ 3x5) 2л S„W«1 „ 8л СОЯ-з-^ 2Пй1>1 “S 4 (4ns—l2)(4n2 —32)(4л2 + 5х7) Зя 3! (8*)s C°S 4 ' • ' •
823.8. . . 4л2+1хЗ . л (4/г2—]2) (4п2+3x5) . 2л , ' 118л 4 2Ц«х)2 4 1 (4п2—12)(4я2—З2) (4п2 + 5х7) . Зя, 3! (8х)£ S!n 4
824.6) БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИЯ ОТ XI У I 2-ГО рОДА
1/3
Бесселевы функции от аргумента xlYi
второго рода
824.1. ker х + Z kei х — К* (х]/i).
824.2.
, , d
ker х = ker х, и т. д.
dX
824.3.
где С = 0,5772157. (См. 851.1.)
824.6. kei' х — (In —— bei' х-- beix—Ьег' х4-
\ х J х 4
174
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ
[825.1
625.1.
Для больших значений х
кег-* = +
+ Л„(-*Ип
825.2.
ke,x= [«.(-xJcos/'^-l
> L \ V 2
Cm 821.3 и 821.4 с подстановкой—x вместо x.
825.3.
825.4.
kei'A=„^J,/2e ^;(_x)cos^_£_„|^ +
IT, . . / x nV
+ T0(-xjsin^y=-Fj .
kel'x = - (£)' v"rr *> c°s (tj- t) -
Cm. 821.7 и 821.8 с подстановкой —x вместо x.
828.1.
При целом положительном n
k'er„ x + i kein x = t n Kn (x ]//).
826.2.
kcr„x=(ln j— Cj bernx + ~ bei„.v4~
1 V (- l)"^(n-p-l)! ( x y*--a fn-P2p)rt
2 pi \ 2 / C0S 4
p=u
4-
p^-0
4 J + 1 г I +1 4-... 4- x
(1 \,l+28
Tx)
Z' р!(л-|-р)1
(n +2p) л
4
g27.2j бесселевы функции от xi i 2-го родл ИЗ
826.3, ke1„x = (ln4—с) betnx— Ьегих4-
1 "^ (_])«+/> (п-р-1)! / г A8''-" («4-2p)rt
H--2Z- pl <2 ) S’n 4
' (1 2 T , » ber„ x , л . .
826.4. 1<еги x = [In ~—C\ ber„ x---у-Т-д bei„x +
, 1 V* (— 1) n+p(2p — n) (n — p — 1)! f х\^-п~' («4-2р)л ,
ч- - 2------------Б!------------- V2 J C0S 4 +
P=o
+ |Е(ч- 4+1+---4' 7+ 1+y + y + --- + тЫх
p=o
f 1 \ Л+2Г-1
(— I)"4-7, (n + 2p) [ — x \ (n-f-2p)n
X------------—, — ---------- cos 4
pl (n +p)l
826.5. kei'„x = fIn-—C \ bei'„x— —— % ber'„x +
\ x J x 4
. 1 V (— l)zz+A(2p— n) (n — p— I)1 f x\2r'-n-' in+?p)n
+ тЛ------------sln- 4
₽=0
— — V (1 4- — + — + . 4-—+1+—4-—4-...-I—-— x
4^1 ' 2^3 Г p 2 3 n+pj
pz=.Q
/ 1
(-1)"*''<„+?,> y«)
*-------Р1И+РИ ---------Sln —<— •
827.1. Для больших значений x при целом положительном гр.
, /Л\''г -X/VT , , х / х , л . лл\ .
kex-x-(s) ‘ ['•<->=)со5(у=+^+т;+
+ «„(-X)Sln^+|+^y.
827.2. ке,.х= + Л +
^-в( х) sln 8" *" Ту *
[См. 823.3 и 823.4.J
176
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИЯ
{827.3
«27.3. кеглХ=~(^),%-л/Г2 [ Sn(— x)cos £ + ^V
\хх j 1” \Г2 ° J
. -у / , . f х зх । /хзт \
+ Z„(-X)S.n^pT—+
«27.4.
, ' /Я\” _х/Т'г Гт / х / X Л . ПЛХ
keinx= — е Tn(—x)cos^p^—7r + —1 —
— 5В(—x)sin ~v + t)]* !См- 823-7 и 823.8.]
Нужно заметить, что ряды для больших значений х— это
асимптотические разложения, и степень точности, которую они
дают, ограничена.
Рекуррентные формулы
828.1. Ьег, х == (Ьег' х— bei' х).
828.2. bei, х== -Д= (ber' х+ bei'x).
слоо 1 2 b ei х , лло. . . 2 Ьег х , ,
«28.3, Ьег_х=-----------Ьег х. 828.4. bet. х =-----------bei х.
1 х 1 х
828.5. berg х = — Ьег' х— ф
X
«28.6. Ьелгх = — bei' х—
X
829.1. ber„+,x =— (ber„x— bei„ x)— bern_t x.
n /'2
829.2. bein+1x ---------(bern x -I- bein x)— betn_i x.
«29.3. bernx = — -^(ber^xH- bein_, x) — .
829.4. «ей x = {Ь^ x- beln_, x)- .
830. Формулы 828—829 годятся и для бесселевых функций вто-
рого рода, если заменить Ьег на кет и bei на kei.
Таблицы значений функций от аргумента xi^i см [11], [16].
ИНТЕГРАЛЫ
177
«37.2|
Бесселевы функции — Интегралы
835.1. J xnJn _ j (х) dx = xnJn (х).
835.2. ^Х nJn+1 (-^) dx — X nJn (х).
835.3. 5 хп1п_1 (х) dx = хп1п (х).
835.4. $ х-"/„+т (*) dx = х^"/„ (х).
835.5. хпКп _ 1 (х) dx = — хпКп (х).
835.6. х~пКп +1 (х) dx — — х~п Кп (Л)-
836.1. X х Ьег х dx — х bei' х. о
836.2. X х bei х dx — — х Ьег' х. 0
836.3. X х her х dx — х кеГ х. 0
836.4. X х kel х dx — — х ker' х. n
837.1. х (ber£ х ф- bein x) dx — x (bern x bei^x — bei„ x Ьегй x).
837.2. ( x (ber„2 x 4- bei„2 x) dx — x (ber„ x ber„ x + bei„ x belA x).
XI
СФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ (МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА)
840. Ро (р.) = 1.
Р1(ц) = р-
Р2ф) = 4(3Иг-1).
р3 (н)=4 <5из ~з^о-
Р4 (10 = 274 (5 • V - 2.3.5р2 +1-3).
Р5 (р) = J_ (7.9р5 -2.5- 7р3 + 3 • 5р.).
^CO-^Tg^-9-11^-3-5-7-9^^
+ 3 - 3 • 5 - 7р2 - 1 3 • 5).
Р7СО-2^7б(9'11’13^“3’7'9'11-и5 +
+ 3 • 5 • 7 • 9р3—3 • 5 • 7р).
Коэффициенты в скобках составлены из биномиальных коэф-
фициентов, а затем других множителей.
841.
Рот(р) =
(2т — 1) (2т— 3) ... 1
т\
т____,rl (т 1) т - г ।
Р 2 (2т — 1)Р
m (m —1) (т — 2) (т — 3) т,л
2-4 (2т—1) (2т —3)
842.
843.
844.
При нечетном т ряд кончается членом, содержащим pi, а при
четном т— членом, не зависящим от р,.
(//z+ l)Pm+i()O = (2z« + l)}iPfn(p)-mPm_1(p).
(р2 1) Pm (10 ~ ^p.Pfn (10 /«Pm- 1 (Р)-
Для больших значений т
п I / 2 \>/2 . у 1\. л)
Рт (cos S) -----г—г sin < \т + 6 + -
2 \fwsm6j Ц 2/ 1 4J
S45J МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА 179
844.1. 1
844.2. />„<0 = 1.
844.3. pim(-rt=pim(x)-
844.4. Рцо + 1 1 Х) ~ Рцп + 1 (-*-).
845. Первые производные Рт (р) = Рт (р). Ро (р) = 0. А(и)=1. А (М) = Зр. РИр)=Ц (3.5рг-1-3). Pt (Ц) — у (5 • 7ц3 — 3 • 5р). ps(p) = ^L(5-7-9p4 —2-3-5-7р2 -pi.3-5). PJp)=A(7.9. Цр5 — 2-5'7-9р3-j-3-5-7р). р;(р)=^-1-^(7.9 -11 -13р° —3-5-7-9 -11р* 4- 4-3-3-5-7-9/— 1-3-5-7). Коэффициенты в скобках составлены из биномиальных коэф- фициентов, а затем других множителей. Таблицу значений многочленов Лежандра см. [16].
XII.
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
850.1.
.г" 'е
Л = Л '"т)
€ О
1 (п)—гамма-функция.
при Л>0.
dx =. Г( п).
Интеграл имеет конечную величину
850.2.
850.3.
850.4.
1 in-у 1 ) — пГ (Л).
850.5.
850.6.
Г (л) Г (1 — л) — — [л не целое],
sin ли 1
I (л) = (л — 1)1, когда /г целое положительное.
1(1)= Г(2) = 1.
Г (!)=-/л. 850.7.
850.8.
851,1
1 (°+ 4) = 1 ’3’5* (2«—3)(2л~1)]/т?/2"
(л целое положительное).
I. гп х S3xs . S4x’ . г
Ini (1 -+ Л) = —Сх-1------V+4----------- к<1»
£ О *
С — Ит р-*оо я эйлерова постоянная". — inp4-i+^'4“'y4-.."' 4-- ’ ₽J = 0,5772157
~ 1 4’ §/ + 3?+ • • • ~ С(Р)- [См. 480.]
861.2. In Г (1 + х, = 1 1„ “ - Сх- [** < 1].
854.(2! ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 181
851.3. . 1-» /1 । 1 хя 1 —f— X . In 1 (1 -- X) — In -К 1п г-- 4- 2 sin хл 2 1 — > + {l_C)x_(S-l)^_(5-1^ Для значений х больше чем ~ использовать 850.2 и 850.3 и отв ряды
851Л. Г (л -р 1)^Хл<Гл /2лх [ 1 + ~ 4- Jr-,— 1 1 ZOvA 139 571 51 840xs 2 488 320г4 4 ' * \ * Эга формула дает асимптотическое выражение для х!, когда х—большое целое число. (См. 11.]
851.5. In 1 (л-f- 1)яД In (2л)—л-|- (jr+-^)ln*4* ' I-9х 3-4хя 1 5-6х5 ... — числа Бернулли]. [См. 45 и 47.1.] Это—асимптотический ряд Стирлинга. Абсолютная величина ошибки меньше, чем абсолютная величина первого отброшенного члена.
852.1. f е х in х dx — — С, где 6=0,5772157, как в 851.1.
853.11. 11 (л) = Г («+1). (См. 850.] Л (п) иногда называют гауссовой функцией.
853.12. При п целом положительном 11 (п) — п'..
853.13. 11 (0) = 1.
853.21. 1 \хгп ’(1 х)п ’dx — (J ([)-В(т, fl) (бета-функция) V * \l,i М ,Lf |т, л>0].
854.11. № • сч 7/ j "Т* •— |CQ |сч 4- cl с II 7 ь, г
854.12. I i.i 1 . , J i +х? р р + д ' p-h2q Р +З9 ’ ’ ' ’ (А ? Ч- [См. 35.]
182
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[«54.21
854.21.
854.22.
855.11.'
855.12.
855.13.
855.14.
855,15.
855.21.
855.31.
«
9
dx
_ Л
~хг~?П7
2л
xp~v dx л
(1 — х}р sin рл
ХР-{-Х~Р ,
—.-—-У- dx —
1
Г хр -\-х~р dx___
f dx
] (1 — х?)1'?
о
л
~ рл
2 cos——
£
Л
2<?cos
Л
. л
a sin —
Я
хр~1 dx _______л
(1-^“ in£5
Q
г"’-’
J (1+х)
е
HY— Г (от) Г(П)
Г(ш+п)
хт dx ___2-4-6 ... (т — 1)
f ]_у* 3-5-7 ________ /п
\т—нечетное целое >1]
1-3-5 ... (т— 1) л .
—п г у.—1------~к —четное положительное
2-4-6 ... m 2 *
целое],
Г
[т—произвольное >— 1]
2
/п + 1
~т~
у-Н
[Положить sinx»=j в 858.44 или 858.45.]
856.04)
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
183
855.32.
1
хт V1 -xidx =
и
I
1 С хт dx
т-+'2 J 1/1—х8
о
\т — произвольное >> — 1]. [См. 855.31.J
855.33.
855.34.
[п > 0].
[w + C «>0[.
855.41.
г(р+1)г(^±1
21 ^+“2“)
[Р+1, /« + 1 >0].
855.51.
856.01.
856.02.
865.04.
855.42.
хт0 ~xn)pdx =
а
0
Г(р+1)Гр±1)
»++>++!)'
[р+1. т + 1, п > 0].
хт -1 (« - ХУ ~1 dx = ат+п -1
Г (т) Г (п)
Г (in -j- n)
[я, т, п > 0|.
го
0
dx ___ п
d+x)x^ sin qn
[0<?< 11-
Положить <7=1— р. Тогда
оэ
С хР-’ dx __ л ____________ л
1 + х sin (л—рл) sin pit
о
856.03.
со
со
гР_| dx
а4-х
лаР~1
sin рл
[0 <р < 1].
[а>0, 0<р < 1J.
184
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
|856.05
856.05.
fdx
1 +хР
J
о
л
я
р sin —
р
lP > Ч.
856.06.
со
Г хр dx ______ рл
' (1 +<2хУ2 1 sin рл
о
[а>0, 0<р< 1].
856.07.
£ хР dx
S 14^
о Рл
2 cos -g-
I— 1 </><!]-
856.08. [ = ——
J >+^ £5
с Q
о™ 11 f xm~l dx _ Г (т) Г (л)
.Н1+х)",+п ~ Г(т+п)
б
856 12 V = Г №'>Г №
(a + bxY‘,+n апЬтГ(т+п)
(!
10 <р <
[т, п > 0].
[а, Ь, т, п> о]*
856.21. СО dx _ 1-3-5 ... (2л —3) л
0 (а2 4" х2)" ” 2-4-6 ... (2л —2) 2п2п~^
856.31. оо ft dx __ л
(а2 4- х2) (Ь2 4- Xs) 2аЬ (а 4- Ь)
[а>0; п = 2, 3, ...].
[а, &>0].
856.32.
С dx _________ л
J (а2 4~ х2} (ап 4- хп) 4ап+1
о
[а > 0].
856.33.
/ 1 1 \ dx _ р
\ 1 4- л 2 14-х У х ~ и>
857.01.
857.02.
СО
dx 1 . Ъ
J ах24-26x4-0 Vас — Ь2 ас--Ь2
|й, ас — 62>0; см. 500.]
ОО
I —----------- ~ Ifl> Cj £ I/ с 4~ с l/^a 2> о].
J (tix24-6x4-c)/s b^c + cl^a L ~
858-44] ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 185
857.03. С L_ [а, с, а Vс 4- b Vа > 0]. J (ах2 -\-bx-\-c) aV с-\-ЬУ а 0
857.11. СО /'* dx п j ах4 + 2Ьх* 4- а ~~ 2 /Z/i * где h = 2 (b 4- Vac) [а. с. h > 0] эт/2 л/2
858.1. J sin2 х dx = —•. 858.2. | cos2 х dx = 0 с л л
858.3. | sin2 xdx— j cos2 xdx — . 0 о Среднее значение sin2 x или cos2 x на любом интер- ji i вале, концы которого кратны равно п/2 Я/2
858.41. [ sltfmxdx — f cos2mxdx —~ [m=I, 2, ...]. J J * V 0 Л Л
858.42. Jsin2mx dx — j cos2 mxdx — ~ [m == 1, 2, ...]. 0 0 2n 2л
858.43. | sin2 mx dx — j cos2mx dx == л [m = 1, 2, ...]. V 0 л/2 л/2
858.44. J sinp x dx — [ cospxdx — 0 0 2-4-6 ... (p—1) —c ...j. tp — нечетное целое число 3'5-7...p > U. I.3.5 . . . (n—1) Л , — — у. [n _ четное целое положи- 2-4-6 . .. р 2 тельное число], г (р+1\ Пг/* ’ \ '2 ) “ 7 — произвольное > — 1]. 1 \Т + 1) Полагая т = 0 в 858.502, получим тот же резуль- тат, что и в 858.44, несколько в другой форме.
186
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[858.45
858.45.
п /г л»
f sin7' х dx = С cos р х dx — —-—+
ТГ
858.46.
sin p x dx =
858.47.
858.48.
858.491.
858.492.
£58.493.
^58.501.
Л/2
= 2 sin7’xdx.'
0
[Cm. 858.44. Можно использовать
также и 858.45.]
31
f
। x sin?x dx =
г 4
\ 2 /
Ip>— П»
[Cm. 858.44. Можно использовать
Л ? Л <2
i tg р х dx = ( Ctg р X dx = —-—
J ) 2cos —•
о 0 a
Л 2
C ~ = 2G=2-0,9159656.
J sm x
0
Л 2
xdx__ л
lgx~ 2
0
In 2.
Л/2
P v2 Иу
^ = л!п2.
J sm2 x
0
01/2
J cos"1 x cos mx dx —
0
также и 858.45.]
[/<!].
[Cm. 48.32.]
[да 4-1 >0].
868-515]
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
858.503.
187
Л/2
I. я г (р 4-1)
cos"Xcosтхdx = ,p + m г/р-т
к 2 + / 1 \ 2 + )
(р 4- 1, р 4~ т 2, р — m 4- 2 > 0].
л
С < Л „ тп
I slnm х sin тх ах » — sin
о
[т J- 1 > 0].
л
858.504.
sinp х sinmx dx= —
Г , ,1ч
sin 1 (р4- 1)
р + ™
О
р — т
2
0].
858.505,
п
С . п тл
J slnm х cos тх dx = -^FC0S —
о
п COS2±L Г(р4-1)
858.506. I sinpхcosтх dx = — — . n—------г-
о
f[p 4-1. Р 4- т~\~ 2’ Р “ т 4-2 > 0J.
858.511,
л/2
J sin^xcos2^xdx^ (a4-^iji2
о
858.512. л/2 f а 2-4-6 ... (2a)-l-3-5 ... (2fe—1) j Sin2a+^COS2*xdx- 1:3.5V.. (2«4-2^1) “ 0
858.513. л/2 f . ..... . 1-3-5 ... (2a- 1).2-4-6 ... (2b) j Sin^xCOSWjrdX- -- -j-,3.5 .. . (2„+26^1) • 0
эт/2
858.514. j sin2c х cos2* х dx =
о
л 1-3-5 ... (2а —1)-1-3-5 ...(2fe—I)
2 2-4-t>... (zd 4~ 2(?)
В 858.511—.514 а и b — целые положительные числа.
л/2
858.515.
sinp xcos^ xdx =
i> 2 -J
ip и q произвольные числа >—1 ].
188
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(858.516
Л
858.516. sin тх sin >!х dx — 0 0
я У [m — n]
[m и n — целые числа].
л
868.517. cos тх cos nxdx — 0 ['»¥=«],
Л “ т k-«]
\m и n—целые числа].
858.518. sin тх cos пх dx — 0 [/и —и],
О = 0 \т^п', 1т+п} четно],
2т |/и=#я; (т-\-п\ нечетно]
тг — п*
[/я и п—целые числа].
858.520. Sift Г.-'2 [ с?х 1 dx __ я —— arcsin о arccos а
J l-J-asinx J 1+acosx V 1 — a2 |z 1 — а2
О о
В формулах 858.520—858.535 0<«<С1 й, еле-
довательно, квадранте. углы arcsin a и arccos а лежат в первом
858.521. С dx __ ( dx CT . —-J-arcsin i?
J 1—asinx О ) 1—ocosx 0 Kl-a2 [См. примечание к 858.520.]
858.522. 21 Г dx _ n—2 arcsin a _ 2arccosо
J 1 -f- a sin х У 1 — a2 V 1 -a2 '
[См. примечание к 858.520.]
858.523. 51 f dx _ n-f-2а resin a
J i-o sin x |/ 1 —a*
[См. примечание к 858.520.)
858.524. f dx n
J l±acosx V 1 -a2 '
О
858.5411 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 189
858.525. 2Л р dx sn P dx 2л
J l±asinx J 1-lacosx |/~i _a2 ‘ 0
858.530. f dx ЭТ/2 C dx я ——arcsin о a
J (1 4-o sin x)2 0 J (1+flCOSX)2 0 (1—a2)3’ 1 [См. примечание к a2 * 858.520.]
858.531. ST /2 r [ dx Л/2 tfx л , — •+- arcsin о — L fl
, (1—а sin x)2 0 J (1 ~ a cos x)2 0 <l-o2/’ । [См. примечание к a2 * 858.520.]
858.532. л (" dx л — 2 arcsin a 2o
J (1 4-o sin x)2 (1—-a2)3'2 . 1 — a2 *
858.533. 0 Л f dx я 4- 2 arcsin a , [См. примечание 2a к 858.520.]
J (1 — a sinx)2 (1—a2)3'2 1 — a2 ‘
858.534. Л f dx 5T [См. примечание к 858.520.]
1 (1 ± a cos x)2 0 (1—a2)8'2 ’ -
858.535. 2Л p dx 2Л f dx 2л
] (1 ± fl sin x)2 0 л J (l±acosx)s n (1—a2)3'» '
858.536. Г cos mx dx _ ) 1 + a cos x 0 л ( К1 -a2- 1 )m am /1—a2 [0 < a < 1; i.i ~ 0, 1,2,...].
858.537. СПГ/2 P dx 1 a, b > 0].
J (a sinx+ bcosx)2 ab 0 •
858.540. Л/2 Г dx Я/2 ___ f X я
1 1 4- a2 sin2 x 0 J 1 4- o2 cos2 x 0 2 V 1 4-a2 ’
858.541. Л/2 r dx Jl/2 p dx л [«*<!].
j 1 — a2 sin2 x 0 J 1 — fl2 cos2 X 0 2 ]/
190
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(858.542
ат/2 л/2 ско г до С 2 -f- j (1 +я2 sin2x)2 j (1 4-й2 cos2 x)2 4 (14*^2)’/»* VO 9 n/2 Я/2 858.543. ( - - = £ n f* ,2 = ~ fa2 < Л' J (J—°2 sin2 х)г J (1 —-a2 cos- x)2 2 q a2)/f 1 1 л 858.544. V = [m> 0]. J 1 4" COS tnx 4m2 и 858.545. C -~ x . - =.-^5L, J 1 4* COS ф Sin X Sin ф (3 858.546. s,ir'2 x dx = Д-—. [a, a2 - Z>2 > 0]. J a ~b b cos x a । 1/ a2 _ (j-z 1 1 0 1 rt/2 858.550. ( 2 . 2 dx —g- = ~ [a£>0]. J a2 sin2 x-^-b2 cos2 x 2ab 1 J л 858 551 V dx n fnft^>01
e . J c2Sirj2x+^c0S2X”^ 0 л/2 л/2 F5S R52 i sin2 x dx C dx л» qi j a2 sin2 x4-ft2 cos2 x j n2+^2ctg2x ~ 2a (a+^) * ’ 0 () л/2 л/2 о г-о г* о C* cos2 x dx ( dx Л » л л-» So8>533« \ । /,9 li — \ j я • .» . о о a’/ i—Ta* ^1’ J йг sin-x-^-b2, cos2 x J b2 -f-az tg2 x 2Ь(а-^-Ь) 1 1 0 0 я/2 858.554. £ 7-.. --^4—r~Vi = T ТГ lab > °]- J (a- sin- х-}-Ьг cos2 x}1 4 aW 1 ’ 0 n/2 ого ГСЕ C sin2 xdx Л , 858.555. \ „—5-75—= -7-^- \ab > 01. J (a2 sin2 x-|-Z>“ cos2 x)2 4u:3fe 1 1 n./l 858.556. ( -(2si,72°S4^ 2 уг = rs [d* > 0]. J (a2 sin2 x 4"b2 cos2 x)2 4cb^ 1 J и
858.6311
определенные интегралы
191
лх2 , С лх2 , 1
- dx — \ cos -у- dx —
со со
858.560. ( sin (а2л2) dx={ cos (а2х2) dx = [а > 0].
J 2а у 2
о о
сю со
858.561. ? sin
о о
[Интегралы Френеля.]
СО
858.562. ( sin(хр)= Г(1 + sin
J \ р /
о
©о
858.563. cos (хр) dx — Г ( 1 -^cos [р > 1 ]•
о
858.564. sin о2х2 cos тх dx — sin (у- — ~Л [я > 0].
J 2а \ 4 4н2 /
о
9 9 J ИЛ /Л т2\ Гл Л1
cos а2х2 cos тх dx = -^— cos Н—т ) р > О].
2а \ 4 4а21
858.565. J
о
со
858.601. -n w— dx — 0 или — -2- в зависимости от того, будет
j х 2 ’ 2
о
ли т положительным, нулем или отрицательным.
со
«геем (‘cos тех— cos пл , , п . . П1
858.611. \ -------------dx — In — \т, п >• 01.
j х т ‘ 1
о
со
858.621. V ^^-dx — у-, 0 или в зависимости от того, будет
J х 2 ’ 2
о
ли т положительным, нулем или отрицательным.
СО CJO
line сол С s’n2 тх j С cos2 тх j
858.630. \-------dx= \ ---------dx = oo.
J X J X
о
ео
йейс91 С sin2/их — sin-лх , 1 . т г ,
858.631. \ ---------------dx— „ In - \т, п 01.
J х 2 п, 1 J
о
192
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[858-632
05
858.632. J йх „ 11„ А.. „ + 0).
О
со
858.641, рп>0].
J к 4 1 '
и
8-58.649. Сdx = I:*:5--" ^-0 .*
J * 2-4-6 ... (2pi 2
[j9 = l, 2, 3, ...: m>0].
cn CO
OKQ лсл C j C COS ГПХ ,
858.C-50. \ —7- dx = \ —5— dx = oo.
J * J *
orn C cos mx— cos nx . , . Л r л1
858.6Ы . -----------dx = {n — m)~£ [n>m>0|.
4»
O>
858.652. dx^\m\~. [Cm. 858.711.]
«J X 4
858.653. (^^Jx=|-/7jln3.
J x 4
e
«X
or-ft «г •* C sin4^x , I 1
858.o54. I —dx \m —.
J X2 1 1 4
t
858.659. a, e siii2/?mx . 1-3-5 ... dx = X2 ил 2-4-6 ... (2p—3) (2p-2) | m | л 2 [P»2. 3, 4, ...].
858.661. oo 0 sin3 mx , 3 s a— dx — -g- tn Л Xs 8 [m; >0].
858.701. sin mx cos nx . л dx = -^ x 2 [/»>«: >0],
«Р О 11 U \m — n'. [// > rn; >0]. >0].
858.802]
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
193
858.702.
858.703.
858.704.
858.711.
858.712.
со
Р sin тх sin пх _________________1_ т + п
J * 2 * tii — п
о
<х
С cos тх cos пх ,
i ---------------ах = оо.
J *
о
оа
Р sin2 ах sin тх , л:
\ ------------dx — —
J х 4
о
— л
-=0
С sin тх sin пх , тл
5—?—ах~-г
О
________пл
~Т
со
Р sin2 ах sin тх , т-\-2а , . . о . .
\ -----2----dx = —— In |/Л2с
О
. пг—2а. . „ . т
4---— In । т — 2а\----g- in т
Г;п 0].
[2д > т >» 0],
[2а — т > 01.
[дг > 2а > и|.
[я т 0],
[т п > 0].
\т 5> 0].
858.713.
858.721.
858.731.
858.801.
858.802.
( sin2 ах cos тх , я f т
\ -------dx — -тг I а--------г
J х 2 \ 2
О
= 0
Р 1—cosmx , л|.'н|
i ----------dx — —Ь—.
J xz 2
О
оо
Р sin2 ах sin тх , л ат лт3
I ------------ dx = —--------—
J Xs 2 8
л/г2
194
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(858.811
858.811.
sin тх _______ nmp 1
2 sln -ф- Г (р)
10 < р < 2; т > 0].
К тому же численному результату приводит другая
формула:
858.812.
858.813.
х’—1 sin тх dx — - sin -.
nd 2
ГО < < 1; /и>0].
Для q, близкого к нулю и равного нулю, пользо-
ваться формулами 858.601 или 858.811.
c-^Ldx =------------- [0<р<1;т>0].
х' 2 cos г (р)
К тому же численному результату приводит другая
формула:
858.814. ]
о
858.821. ]
с
1 cos mxdx = cos
nd 2
[0 < q < 1; m > 0].
sin mx cos nx ,
---—-r=----dx ~
1 ) K.Tt
V ni — n ) 2K2
( 1 1 ] К л
( V ni -f n У n — m J f 2^2
858.822. j
о
858.823. j
с
858.824. j
о
858.831. j
о
sin tnx , , /----
----dx == у ш
X \'x
sin3mx ,
—.—dx =
sin’mx , (3—]'3) ,rp,—
--—- dx = -—- у 2mn
xlfx 4 F
arctgxdx __ л8
(14-*;/* “V*
[m > n > 0],
In > m > 0].
\m > 0].
\m > 0].
[m > 0).
8E9.00SJ
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
195
858.832.
'858.841.
858.842.
858.843.
859.001.
«59.002.
859.003.
859.004.
859.005.
859.006.
859.007.
859.008.
О о «. с с 0 О 0 о ( с ! «. 0 О 0 0 G О 0 а ( arctg sin — е ат) [а, m > 0] 0 ) х v 1 —A2sin2x 1 1 j* -^Ld~—~K(k) [0<й<1]. ) X 1— k2 cos2 X 1 । x~ *(£|И ” i°<11 < 1ЛЯ 858.841—.843.CM. 773.1, 774.1. 5 COS mx 71 ma _ | «=+* e [o>0; m>0], > — e~tma) 1а>0; /л^О]. ) a2-j-x2 4а ’ 1 < . л ГС /1 I 2та\ г «V. р. — гл! | Q2+x2 rfx=4o(1+e ) [а>0; mSsO], ” х sin тх , я _ ( О2 + л.2 dx= е ,п^ [а>0; т > 0]. sin тх , л ,, _ |х(а2 + х2)^Х 2а2 е [а>0, т^0]. 1 * sinmxsinnx . л _то , . | Q2 + x2 dx~^~2ae [а>0; т2=«^0]. cos тх cos пх , л та , .
t 0 о 0 j ^2 । ^2 ах с сп nd (j, til fi c 1 X sin tr.X COS ПХ , n rnn . r I „2 , V2 dx~ — e <г\у na [n > 0; m>n>01, = — ^e~nus\\ma [a > 0; /z> m > 0].
196 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |85V.OJ1
859.011. ес J (а2 + xV dX = 4а® (1 + та) е~та [G’ т > °Ь а ’
859.012. ] dx ~ е-та [а, т > 0]. J \а- -j- 4а С ос
859.013. f х~ cos тх , л ,. . —:—5-5 dx = — (1 — та) е~та [а, т > 01. J х2>2 4а ' ' и
859.014. f sin тх , л /, 2-4-та ,и„\ . —dx = ( 1 -%— е~та) а, т > 0]. J х (а* + х2/ zu4 \ л } и
859.021. f cosmxdx / e~mh е~",а \ л J (а2 4- *4 (Z>2 4- х2) \ b а ) 2 (а2 — Ь2) и {а, Ь, т > 0; а Ь].
859.022. г х sin mxdx f e~mb — e~'"a л j (az 4- x2) {b~ 4*x2) \ u2 — b2 J 2 и [g, b, m > 0; a =h b\, Ob
859.031. f cos mx , лс . . , 4 -У, Alr dx = —— (sin ilia 4- cos ma). J К -j- 4U Cd C
859.032. [ sinmx л _ cQS J x 4- 4а4 8а4 ' ' 0 сю
859.033. f x Sin тх . л , - 4 , . r = “TV* sin ma‘ J «4 4- 4а4 4а2 V
859.034. ОС г х2 cos mx . л < л- dx = -г- е~та (cos та — sin та). J X1 4- 4а4 4а v ' с
859.035. ОС г х3 sin тх , л -л-?" , dx = -к- е~то cos та. Для 859.031—.035 а, т>0.
659.113]
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
197
859.041. [ dx = К0(та). {См. 815.1.] [та > 0].
j у а “ *2
. < ли Г cos тх п .
859,Сч2, J ур—— ах == — J„ (т).
о '
859.043.
г dx
J [da ± Ь cosx
2 д (1/ \
У'ТГуЪ 4 ' а 4- 6/
[0 < ь < а].
859.100
[ -^-т = Id = sin2 0. См. 773.1. |
I а + r> j
к/2 ат/2
ах
1 4" ‘2а cos л 4- и2
с с
2а sin х 4* «а
31 Уа 2а
------arcsin —-— arccos —;—-
2 1 4- а2 1 -j- а2-
11 - «Ч = Н -«<’
[См. примечание к 859.112.
л/2 Л/2
859.101. j dx [ ах
1 — 2а suj х 4- п2 ~~ J 1 — 2а cos х 4- а2 ~~
0 л . с 2/J — 4- arcsin —j—, £ i а* I i — a" [
[См. примечание к 859.112.
Л . я — 2 arcsin ; -5 2 arccos 2a
859.111. Г-т dx 1 4-a2 1 iX^
111 I _____________ил________________________________1 ~г“___________________1 -г и
J 1 4- 2а sin х 4- а2 11 — а'21 11 — а2]
[См. примечание к 859.112.]
п
859.112.
ах
1 — 2а sin х 4- а2
JT 4- ? arcsin 7—;—j
____________1 4~ а2
|1— аЧ
В 859.100—.112 а > 0; a d= 1; arcsin и arccos везде в первом
квадранте.
Л
859.113. [—--------—________~ ....Л.....
J а2 п: 2ab cosх 4- b2 |а2 — fe2|
[а1 ф &2].
198
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[859.121
859.121. [ , . = XArtho-^-ln-l+g- |а’<Ц.
uuo.ii... J i — 2a cos x 4* a2 a a l—a
и
—— Arcth a = — In -° ~1~ 7 I a2 > 11.
a и a — 1
859.122. J
о
cos mx dx ____ ngm
1 — 2a cos x -f- az 1 — a2
л
~ um(a2-l)
[a2<l; m==0, 1, 2,. ..|,
[a2 > 1; m == 0, 1, 2,..
859.123. 0 Л x sin xdx Я a In (1 -f- a) ) In2
1 — 2a cos x 4- a2 &
= л a * ln(
859.124. [ (a — b cos x) dx Я (fl > b > 0],
J о a2 — 2ab cos x 4- b2 a
0 [b>a> 0],
859.131. л sin2 x dx я [Д > b > О],
u a2 — 2ab cos x -f- b2 2a2
= Л 2^ [b > a > 0],
859.132. Л, cos2 x dx л [«*<11
I 1 — 2a cos x -J- 2 \1 — a2/
= я 2a2 f— \a2 + 1\ — 1/ la2 >11
859.141. n sin x sin mxtfx rnim" —1 [a2 < 1; m — = 1, 2, 3....1
V~ i — 2a cos x 4* u'2 2
л [a2 > 1; m == = 1, 2, 3....1
2cm-t-l
859.142. n cos x cos mx dx na"1 —1 H 4-a2\ [a2< 1; m = 1.2,3,...!
0 1 — 2a cos x 4- o2 2 <1 — a2)
л fa2 4- 1\ fn2> l;m = 1,2,3,..4
2a" 41 ' — 1/
Е60-05]
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
199
859.151. 31. d О sin х dx 2 [о: \Ь- > b > 01,
j/ а2— 2ab cos х + b2 а __ 2^ b
> a Z >0|.
859.161. 1 f О dx Ф 1 4- 2х cos ф + х2 ~ 2 sin <р I—л < Сл|.
При ф = 0:
859.162. 1 р dx i (Cm. 90.2.1
J l+2x+x2 ' 2 ’ (I
859.163. Ct P dx _ Ф { —Л <([: < Л].
J 1 + 2x cos Ф + sin Ф
При qi = 0:
859.164. a P dx , (Cm. 90.2J
J l + 2x + x2“ * 0
859.165. cc Г dx 3T
11 — 2x2 cos ф -j- x4 * 1 sin — (0 < ф <Z л].
859.166. Ct xf'dx л, sin рф (0<p< 1; ()<
V 1 4- 2x cos Ф 4- x2 sin on sin <p < ' л|.
860.01. e> е~ал dx = 1 (O > 0]. 860.02. C xe~axdx~ ~ J a 0 (a^ >01.
860.03. a a x*e-axdx=^ a4 [a : >01.
860.04. Ct e x1 ’^e ~ axdx — - 2а /о >01.
860.05. 00 f J 6 x~'i^e~axdx — ^-^: Va [a> >0].
200
ОН РЕДЕДЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[860.06
869.66. Г J (• к- XP *e~nxdx^^^^ 'I'f ' > 0; p = 1, 2, ..{Cm. 1) V л
) /+ T ответа.]
860.07, второй вид
860.07. tj р J a 1+1 la: > 0; n — 1, 2,
0 Г(« + 1) G« + l [a > 0; n H1 : >0].
860.11. CD e~r^dx^^dL 2r k. >0].
С Ct.
860.12. С J t xe-^dx^ — .
860.13. w r xse-^dx=^r к >0].
0 <x
860.15. J fr: >0; a = l, 2,
c a
860.16. J <• >0; a = l, 2,
cc Г(n + 1\ ^Jx=±l2
860.17. J V [л+ 1 , r > 01
(положив m = 2 в 860.19).
860.18. co г V У e~'r*>mdx = — V( -Ц mr \ tn J k, /»: > 0J
(положив п —0 в 860.19).
cc
860.19. C xne~,rx}mdx — —Ur Г |д+1, r, w>0|. J w"4-1 \ rn J
Все предыдущие формулы 860 могут быть получены
из этой при соответствующих значениях п, г и т.
86U.38]
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
201
со
О р-ах
860.21. I —— dx~ со.
О
со
р ~~ &Х г
»__£_л = 1„| [о
I
RRO оч ( пх°— в~~Ьхс 1,6
860.23. j ------------dx^~ In ~ fa, с > 0L
с
860.24. [а>
<* & г__
860.25. [а/>>
О
»х
660.30.
Jeax—L fa >01.
о
л
Е60.31. х ах Л*
Г eax__t — 6а“ fa > Of.
860.32. <х fl x*dx £сл — 1 ~ 2; (3) _ 2-1,202057 а* а3 fa > O’.
[См. 48.003.J
860.33. г» Гг \ 0 xsdx Ла 15 а4 fa > 0j.
860.37. «X xin ~ 'dx :(-П~>)!И2л? 2гП~^Я» а2" & fa ' Па2п ч
0 еах—1 ~ ...]. [См 45 J
fa >0; /z = l, 2,
860.38. с J x!ndx еах—1 * [Cm. 860.39. |
4
202
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(860.39
8G0.39. СО С хР 1 dx Г (р) Г1 I Ji 4- 1 = Г („) ^eax—i ар L ' 2₽ ' Зр ' J аР 0 [а>0, р>1; р не обязательно целое число]. [См. 48.09.] Таблицу ^-функции Римана, содержащую и дробные значения аргумента р, см. [16]. СО
860.40. 5?^ = ^ 1п>°1- [См. 601.01.] 0 со
860.41. S [а > 0]. [См. 48.22.] j 1 12а2 1 * 1 J о со
860.42. С х2 dx 21 3 3-1,202057 JeaA4-l а3 4=^' 2а3 [а > 0|. 0 [См. 48.003 и 48.23.] СО
860.43. С х3 dx 7 л4 . п J е«*+1 ~ 120 а4 1«>0]. 0 со
860.47. Cx*n~idx 22"-1 — 1 л2" D п 1 о \ а v , . = —о Вп 1 а 2> 0; п — 1, 2. ...]. j еах-}-1 2п а2п п 0 [См. 45 и 48.28.] со
860 48. С х'2п dx гг. . \ аv , . . 1См. 860.49.] j еах+ 1 * 0 со
860.49. • V л Р~1 dx — Г (Р) ( 1 _ 1 V ( п) J £>«-*4-1 (1Р [ 2₽л^ и [а, р > 0; р не обязательно целое число]. [См. 48.29.] [Для р = 1 см. 860.40.] СО оэ
860.600. (* dx С 2 dx j sb ах j еах — е~ах со
860.601. (* х dx ла J sii ах 4а2 [о > 0]. 0
860.5181
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
203
860-502.
860.503.
860.504.
860.507.
860.508.
860.509.
860.511.
860.512.
860.513.
860.514.
860.518.
^=2(2!)(1Н4 + ^ + 1+...)м
= ~ £(3),==4. 1,05180/а3.
х3 dx_ л*
sh ах 8а1
СО
(' xi dx______
J sh ax
о
~. 1,03693/а5.
(' dx _ лм (22” —1) B
j sh ax 2na2n 1
о
x2n dx
sh ax
co
C xP"1 dx
j sh ax
D
со
f х dx
j sh2 ax
6
oo
x2 dx
\ sh2 ax
oo.
[См 48.13.1
[а > 0J.
[a > 0; «=1, 2, ...].
[Cm. 45 и 48.18.1
[Gm. 860.509.j
[a >» 0; p > 1; p не обязательно целое число].
[См. 48.19.]
__ л2
~ №
CO
C = . 1,202057/a4.
1 sh2 ax i
1* xa dx na
' sh2a% 30a6
n
GO
C x2n dx л2п „
\ sh2 ax u2n+l a
[a > 0].
[a >0].
[Cm. 48.003.1
[a>OJ.
[Cm. 45.)
204
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
i 860.519
хР(^х _ Г (Р 4- 1)
I sh2ax 2p“’1ap+i
860.519.
о
- Г(р+П , (п}
~ 2Р-1а₽+1 Ь №
[я>0; р>1; р не обязательно целое число!. [См. 48.09.J
860.530. -30 ои С dx С ?dx Я ! - n I''’ r-n in 1 , i — i — а > Qi. [им. (и9.10.1 J Oil ах ’ „а* 1 е~ах 2а [ J 1 -• 0 0 ПО
860.531. | ~~ — 2G/a2 ==.2-0,9159656/а8. [См. 48.32.J 0 с®
860.532. f х2 dx л3 , ~i = Гз [« > 0 . J cti a х taJ ‘ 0 oo
860.533. f 12.0.98894455M [Cm. 48.34.j J cn ax 11 a co
860.534. f _ б П3 J chax 32 ab 1 ' ф 0
860.538. f x2ndx n0n+I = £ [a > 0; « = 0, 1, 2... J. [См. 45.] j ch ax (2a)2n+l
860.539. f xp~~ldx 12Г (p) /. 11 1 . \ r „ I ~ —1'2. ( 1 — l ... ) [a, p > 0). J cn ax ap \ Зр ‘ 3е 7P ’ / H ' b Для целых значений p см. 48.31—.39. Для р нецелых сумму ряда приходится находить численно.
860.54!.
г xdx In2
J cl? ад а2 *
0
860.542. f = -£L-
J ci? ах 12а8
о
800.543, j те “ 4-1.202057/0* = 4
о
S6009|
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
20о
л . С г4 At 7 л* г 1
ем-644- Jdrar“5ov [о>о|.
О
v*n Wv 1ч
-р-~г = [а>0; « = 1. 'Л...].
v СП йл х. и
860.549. г G— 1 хР dx \ 'ip 1 Г(р-М) . ) Wax ~ V'-1 а1'*1 ^Р1 X/ [См. 45.1 р>п-
При р — \ см. 860.541. [См. 48.29.J
860.80. [а>0].
1 V i>l ii Л'Х'Л ti'-V —9 „ J с2 + nt2 4»
860.81. С 2 а [а > 0].
1 С 01 i J ffl'.A' {-4-.А. л ,} (а2 Н- гп21г *
860.82. С 2 -ах у. . Са2 — тг) \ х е sm тх dx = —~ J (а- 4- т2)3 0 [а > 0].
860.89. Г 0-1 -ах . , Г (р) sin р5 \ хр р sinmx dx ~ —хх — v <аг+ nii}!)'i 0 [р. а. т > 0 j,
где sin 0 — т:г, сой0 = я/г, г— (а1 4- т’}' ’s.
860.90. 860.91. [а>0]. [лг > Ок
it» v. V/ ->У / i г Л/ к л Л, л . J '12 + ad 0 С -ах . 'J2 — т*
| А. г/кУЛ/ ъЛ,Л* / ’> » J (а2Н-г’г)" 0
450.92. С хге~ах cos тх dx — !а > 01
J (cr-j-mV »• Jr
а
со
860.99. С хр~ 'p~ax cos тх dx = —-(р) cns р9-
J tf + 'iW3'*
О
[а, р >• 0], определение 0 см. ц 860.89.
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(861-01
206
661.01.
861.02.
861.03.
861.04.
861.05.
861.06.
861.10.
861.11.
861.12.
861.13.
861,14.
861.15.
о
с
e~ax
x
. . rn
sin mx dx = arctg —
cos mx dx — oo.
0
0
0
и
1 1 1 / тг \ - (] — cos mx} dх г.—• 1 и f 1 -1 ' In ' >ot.
л \ а2 / |« .
ч . i> h' >0].
X * viJb Г/l X LUS ПХ] CIX •—• 1П « “T- 2 a2 -f- in2
е~ая- — е~Ья l 624-аг,! . cos mx dx = — in -r~,—r- la, л 2 a2-j-m2 1 bZ >0].
e-ax г , а24-2тг cc'’ mx ax In ' >0].
ic -
e~a* - sin mx dx — ;-: ,4 a (a2 -f- 4m2) [a: >0].
X ' -2 . 1 . /. , 4m® X - sin mx dx = -г- In 1 14 =- 1 4 \ Q } >0J.
e~M x2 . г . , 2m a , t, , 4m2 X - sin mx dx — rn arctg T In ( 1 4 =- 1 a 4 \ a2 J >01.
е~ал sin mx sin nx dx — ?amn—
Ja2 + (m — n)2} (a24-(m-f-n)2| [a >0].
е~ал ’ j m № +m2—n2) sin mx cos nx dx — -— l.
—n)2\ {а*+('«+п)2} [a 2 ’0|-
е~ал . s (az -4- nC 4- n2) cos mx cos nx dx — -—-—-- ~ 1
f yn—-a)2} 1 a >0].
661.62]
определенные интегралы
207
861.16.
861.20.
861.21.
861.22.
861.31.
861.32.
861.33.
861.41.
861.42.
861.51.
861.61.
861.62.
1 . +
sin тх sin пх ах — -г In ----------------------;
4 а2 4- {т — п г
« ,— та
С е~а^х' cos тх dx = е
J м
О
р 1/~- ff?a
\ хе~а2Х' sin тх dx = т Зл- е
о
[л>0].
[й>0].
[« > 0].
co P e~aixi J X sin mx dx — л , f tn \ -F"* (ar) [a>0].
V [Cm. 590.] Таблицы cm. [196].
cn
e~°* cos mx dx — 1п+ V a2 + '”2)’s Vя [a>0].
0 Vx V2
cd e~ax < sin ] mx dx - Кят | [a. m^> 0].
0 ~2aVaC '
Ct * * cos |/ mx dx j/ 4 -2. _L p au a [a, m > 0].
0
ОС
С -ах , . \ j О sin <7 + О COS 0
j е~ах sin (px-t- q) dx = ---—*
co
C z,y , , a cos q— p sin q
j e~ cos (px-\-q}dx=-------------------
e
я/г
P sh x
J sin x
о
. n
OO C sin mx , \ -r— dx J sh ax cn P 2 sin mx , я .. лт — 1 -ax dX —ЛГ- 1П -jt- J eaA—e “* 2a 2a
0 0
CD cos mx ch ax n dx = 2a c.i лт
V 2a
0
h > о].
[а>0].
[a > 0].
lo>0j.
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[861.63
208
£61.63.
£61.64.
£61.65.
£61.66.
£61.71.
£61.72.
£81.73.
£61.81.
£61.82.
£61.83.
J Sil qx 2(] & 2<7
cc ch px ch qx dx — я о nP 2c cos 2q
сь th qx: sin mx . л Л
0 Ct dx — cos nx ax cos nx c । nm 2q sh - 2q л
J c CD 0 Ct th qx sin mx sh cos mx 2«‘> я sh dx = — „ / , тл xa ch -— \ о , mn л ch -jT- dx- 2a mrc a 1 пя \ 4- ch — | Q / . fin ch -7Г' 2a
0 ch ax ccs mx . dx — 4Ch a itm । /ТЗТ \ rch | a J
ах
©
с. 2 1 Лт
2<rsh
2а
I x sin mx я2
I —i—- dx = -r-5-
1 ch ax 4a2 , „
V ch2
x cos mx
sh ax
0]
0]
, лт
sh —
2a
о
f th ах
I------cos
dx =
rd
. ~ . 2! nm \ 4 c* Ci/( 1
\ 2а У
тх dx — In cfh
4а
[а, т >01.
и
862.41]
ОПРЕДЕЛЕШ1ЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
209
862.01. СО е~ах sh Ьх dx — [а > Ь 0|. (= го
862.02. С е-ах bx dx _ а . Q1. J а2 — Ь“ 1 J 0
862.03. 03 г- Ь3 t хе~а2х'2 sh bx dx = Ь— л eA<]2 la > 01. J 4c.-i 1 1 u
862.04. oo , £2 £ e'ax sh (b ]Ах) dx = -—e4a [a > 0].. J 2б:.y a 0 co
862.11. sin mx ,1 л r , \ -nr , dx — 5 x—j-;——— I a Z> m > 0 . J fcOx+1 2m 2a sh (nm/a) 1 1
о
862.12. CO C sin mx * л 1 r m \ "tft—г dx — 5- .—— — ;— la 0> in > 0 . J eax—j 2a th (nmia) 2m 1 1 u co
862.21. (* Sh px , Л 1 . m \ Qr . . dx == —————— r-~ la > p > 01., J (px j 2a sin (лр/a) гр 1 r J CO
862.22. C sh px , . 1 л Г J e^—1 2p 2atg(np;a) [a>p>0]._ (j * co
862.31. f sin mx dx m __ \ 7T~i—+ (sh/;z) In (1-!-e ) /«>01. J .(] 4-x2) sh их 2era ‘ /Vi / i r 52 , nx
862.32. I sin /?2xdx — — (sh nt) In (1 — e~2rn) \m 0> 0]. () co
862.33. f sin mx dx . . . , ,, tn . ni | — = — (sh ni) hi th и- Im > 0]. J u+^)tbv u л со , f)Zt r . sin —
862.41. i sh px . n q I . cos mx dx = f 2 I sh qx 2a pn , . mn j cos 4- ch—- U q 1 q [—q^p^q-, £>0].
210
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[862.42
с 862.42. и о 1 ch рх sh qx sin mx dx sh л 2o рл cos — - Q тл . . тл J-ch — 9 qz >0].
.'862.43. со | sh рх Qin ГИ V /7 V . pn sin ~ я 2q , тл 5,1 2,-
и | ch qx q рл , , тл cos -—J- ch — 9 Q
[—<7^ p^q\ qz >0].
.862.44. ел □ ch px sh qx rrw tn V tl V рл COS 7,- . тл ch V
V 0 Q Рл , cos —- - 9 , тл Hch — 9 P^q; qz >0].
863.01. 1 S () H \<3 dx — Г (7+ 1) 1-7 + 1 > 0j. [Cm. 850.1.]
863.02. 1 и x^ hi J X dx — 1 (p+1)2 Ip4- 1 > >0].
863.03. 1 0 J_ X \2 ] dx 2 (P4-D3 Ip+^ >0].
863.04. 1 и J X \9 j dx = Г (9 + 1) (p + i)9+1 Ip4- 1> <7 4-1 - >0].
«СО АС С /1 1 \1/2 Л И Л
863.05. \ {In — ) dx = ——.
J \ х / 2
863.06.
и
863.10.
In —
X ,
:----ах =
1 —X
л2
6*
863.35]
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
21 1*
А , 1 С х in — ,
863.11. \ х . л2 1 J dx —iT • о 1— х 6 И Рх21п — , ,
863.12. \ х __ л2 1 1 з 1—х ах 6 [2 22 • « | f In — ,
863.20. \ X , л2 ТТх dX — 12 • ’ 1 Р х In —
863.21. " I +х dx~X 12 • к .Xs In — 2
863.22. Р х , л2 3 J 1 + , Й=Е 4* 0 * 1
863.30. Р 1 + X. 1 , л2 . 1 i In — dx — -=— 1. J 1 — x x 3 0 A In — 2
863.31. P X , Л2 1 ~i 2 dx=f^-. J 1 —x2 c c
863.32. p X ~>C Л2 J 1—X2 ax 24* 0 ' x2 1П —
863.33. ( x J л 1 1 -j dx == -^— 1. J 1 —x2 8 * ’ In-
863.34. J -1^^=0=0,9159656. [Cm. 48.32.] ’ In —
863.35. J (l+x)2^_ ln“*
О
212 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (863.33
863.36. С 1—X 1 2л2 J 1 4-^’ In t .
€03.37. Г 1 + * . 1 . 4п* J тгр- “7л- «-•
863.41. ‘ 1г- 1 dx — — In 2. J ’/ 1 - х2 2 л 1 n —
863.42. ( —r=-.—- dx — 1 — 1 п 2. J У 1—х2
863.43. J ( in l/l-x2 dx = /|l32-uiy
863.51. Г x? dx \ — oo. J 111 X t
863.52. J Inx dx ’% + ! fp+I,l?+i>0]. (
863.53. ( x> dx = |n L±L±l J 111 X <+f -f-l |z>-4- Г 4- 1, q 4- г 4- 1 > 0].
863.54. J 'n* (p + l)(o41> U»+ 1>о].
863.55. C /, 2 J \ 1 4-xJ In x П Л ’ 0
863.61. Г (Inx)2 , л3 1 I,» ax = , J 1 H~x2 16 в
863.71. ’ i j In (1 — x)dx^— 1. 863.72. f ,rln(l—X) Jx = — u • 4
864.01]
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
213
863.73. j хр In (1 — х) dx = — 0 i f In (1 — х) , л2 8о3.74. j * dx — . 863.81. J In (1 + x) dx = 2 In 2 — 0 1 863.82. [ x In (1 + x) dx = • 0 I 863.83. f ХгР In (1 + x) dx — * J ~r IJ 1 863.84. [x2^1 In (1 -j- x) dx = 0 i r>F- f In (1 + X) , Л2 863.85. —5—!—- dx = -pr-. J x 12 0 1 863.91. [ In x In (1 — x) dx = 2 — i.1 1 863.92. | Inxln (1-J-x) dx ~ 2— 863.93, j x In x In (1 — x) dx = 1 - 0 i 863.94. j x In x In (14-x) dx =» 0 864.01 . P/V"/- dx=“!n2 — J 1 + ° [p —0,1,2, ..J а A-'rttna »• к—1 1. 2P4-1 21n2- 1 П |p = 0, 1.2, ...] 2p V ±zl2TL jn_ i 2 i Л3 6 ’• ут2 2 In 2 . 12 jt-2 - . 1 2~* G== ~ In 2 -0,9159056. b ’
[См. 48.32.1
о
214
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[864.0?
864.С2.
864.03.
864.04.
864.11.
864.12.
864.21.
864.22.
864.31.
864.32.
864.33.
864.41.
1
864.51.
1п(1+х)
1 +х2
dx = ^- In 2.
С
14-х2 2 inz и.
С In f .-^Л- 'j dx = 2 In 2.
J \1— x)
0
X bp
X
П3
12p
Г In (1 — x) , o „ n , o
-p- - dx = — 2G—тг1п2.
J П-х2 2
0
[ bgL+^1 JX = 2G—^-In2.
/1-х2 2
jiR^rfx=v{S+(In2>!}-
0
1
С (1 — x) e~x In — dx — 1 — —.
J ' x e
xP~'
I—x
i 1 j
In — dx
x
П2
sia2 рл
[См. 48.32.]
[Cm. 48.32.)
[p>0].
[P>O[.
[Cm. 48.32.)
[Cm. 48.32.)
[0 <P<1]-
0
865 011
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
215
СО 864.52. и оо 864.53. jj 0 гР—1 1 , - In - dx - 14-х X Inx , л2 —у- dx ~ -~г х2 — 1 4 _ Л2 COS рл ' siu2 pit (0 <P<1].
со 864.54. jj и со 864.55. 0 Inx , _ л х24-а2 йХ~'2ч (|П Х)‘2 Иу — Х2+! 8 In a • |a>OJ.
864.61. j (> In (1 +*) 1+хг ах~ J In 2 + 0. (Cm. 48.32.]
со 864.62. jj 0 1п(14-а‘2х2) Ь24-ха ;=^ln(l+^) . |a, b > 0].
864.63. 0 со 864.71.* jj и 1п(«2 + х2) /Г2 4-х2 1!L1L+A)rfx== А2-р = £ln(a + Z>) (1 — p) Sin рл fa, £>0].
864.72. и »П (1 -4-х) . П ]0<9<l].
Х^Ч q sin nq
864.73. J 0 !п.(!+£) л . л (g— 1) (q — 1) sin —— P [0<<7- 1 <^J.
СО 864.74. и ]^xP-^dx хЧ t Л (g —1) tg — г [0 < q— 1 <p|.
71/ 1 866.01. и In sin xdx = - -4ln2-f’ (Cm. 48.32.J
216 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [865.02 Л/4
865.02. In cosxcZx = — ~1!1 2-Ь р [См. 48.32.] 0 л/4
865.03. In tg х dx — — О. [См. 48.32.] 0 Л/4
865.04. \ hi (1 4- tg x)dx — L* In 2. J о () Л/4
865.05. In (1 — tg A') dx = ~ In 2 — Q. [См. 48.32.] t л/2 л/2
865.11. i In sin x dx = \ in cos a dx — r In 2. J J 2 i1 0 n/2
865.12. In tg x dx — 0.. 0 л/2
865.21. (sin A") In sin x dx — In 2 — 1. c я/2
865.22. (cos x) In cos x dx — In 2 — 1. L л/2 л/2
865.23. \ (cos x) In sin x dx = \ (sin x) In cos xdx — — 1. 0 0 л/2
865.24. (tg x) in sin x dx — — . 0 л/2 /»
865.25. (sin2 x) In sin x dx — (1—2 In 2). t> о 0
865.26. л/2 (cos2//.r)Insinxrfx = —[/z>0]. u
S65.42J ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИН ГЕГРАЛЫ 217
865.27. Л/2 С In COS X t Лл \ — dx = — — . J Shl X О 0 Г/2
865.31. J 1 п (1 4- cos х) dx — 2G— "-у— • 0 Л /2 [См. 43.32.1
865.32. [Cm. 48.32,]
У • J.i A IwW-bS Л/ J lijlf — Q 0 л/i
865.33. f* л In 2 \ In (1 -}- tg x) dx — C | 4 0 [Cm. 48.32.]
Л/2
865.34. ( In (1 -j-psin* x}dx =
J
0
e= j In (1 4- P cos2 X) dx — Л- In 1 [(1 4 p) 0]. 0
865.35. Л/2 J ln(atsin2x+^2coszx)rfx = n 1п“^ 0
865.Зв1. Л/2 Л/2 | 1 n (a* 4- fr2tg2x) dx = 1 n (o2 4- ^ctg’x) dx — л 1 n <a 4 b) c u [«,/?> 0].
865.37. Л/2 Г . /a4-frsinx\ dx \ ,n —-r~- J —PSinJt/SUiX 0 Л '2 Г । /o + 6cosx\ dx I b\ =-- 1 in —Ц 1 — л arcsin — J \u—bcosx/cosx \ fl/ i^^fl2]. Л
865.41. \ !n sin xdx — — F 111 2.
c
865.42.
Л
С I . . <112
\ x In sinxux =--------2—
и
218
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[865.43
865.43. 865.44. Л j In (1 ±cosx)rfx= — Л In 2. 0 и Jin (а ± b cos х) dx = л In / - О ' ' я [a b > 0].
865.45. f In (1 + acosx) , 1 dx — л arcsin a VvS л « [0<a< 1].
865.51. 1 C (cos mx) In x dx == — . J tn [Cm. 431.11.]
Таблицы см. [22].
865.52. 1 x‘"~1 sin (</ In x)dx = q- J p2 + p- 0 [p>0J.
865.53. 1 1 x?“1 cos (fl In гj /7r — . b>o].
J P2 + 0
865.54. 865.61. 865.62. 865.63. i f x^ sirup In x) , a \ __z ’ rfx _ arctpr —z__ J In x ь p +1 c C In f 1 -|- % Vos mx dx = — (1 —e~cm\ J \ X } m * 0 co C In f cos mxdx = — (e~bm— e~am) J \ fe2 + x2 j m v 9 0 00 C sin ш . 1 . л .. J x " x dx^ 2 <lnw + Q [p+l>0]. [а, /л>0]. [a, b, m>G\. pn>0].
[Cm. 851.1.]
865.64. fin (sin2 mx) Л. /sb ma\ J a2+x* dx
л . /1 ~e~™°\ — In ( a \ 2 J [m, a>0].
865.82)
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
219
865.65. J J!U^dx=i|n(^)
О
[т, а > 0].
865.66. f '"^-dx^lnthma
J а2 + х2 а
о
[/;/, а > 0).
865.71. j In (1 2а cos х-|~ я2) <^л2л1па \а > 1],
о
= 0 Га2<1].
865.72. j In (а2 2ab cos х -{- Ь2) dx = 2л In а (а b > 0].
о
= 2л In b [Ь ci > 0].
2л
865.73. J In (a2 2ab cos x 4- b*) dx = 4л In a [a5sb>0j.
и
= 4л In b [b a > 0).
Л
865.74. | In (I — 2аcos x -|- a2) cos mx dx = —^-affl
о
[0<a< 1; /72= I. 2. ...].
865J5. Г Hl±2pcos^+.P1 21 |n (1 ре~™)
J a2 4- xz u
и
[0<p< 1; m, a>0).
— — In (p i e-,lta)
Ip^l; m, a>0].
865.81. J ln(l +e~x)dx
о
865.82.
(* TT^
J In (I— e~x)dx =--------
О
220 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (865.83
865.801. ( е~ах In~dx = ~(Inа + С) !й>0]. [См. 852.1.}
и
Относительно постоянной С см. 851.1. С = 0,5772157.
865.802. j хе~СА In — dx = (In а — 1 С) и 865.903. ( х2е~ах In — dx = Д (In а г~ + с\ J х и- \ 2 * / 0 ; е-йх1п-Ь 865.904. j -^_±_£/х==_ГД_(1П£2_|_21п2 4- V оо 865.905. [ — (-4 е-°4 dx == In — + С J л \ J + рл / и 1 0 865.906. I — ( —-Д-r- - е~ах} dx — in — 4- С } х \ 1 т P‘-xi / р ' и со 865.907. f (— —\dx^C. •’ \ел — 1 хе ) 1 865.908. J in (in dx = — С. V 1 865.909. f (-Д- -J- —1- ) dx = С. j \ 1П X 1 1 — X / 0 ОС fc'65.911. f In sin mx = = ‘ | Д- In (a2 -f- tn1) — a arete — [m, a [a >0]. [«>0[. Q [«>0]. [a, p > 0]. [a. p > 0J. mC| > l)j. [Cm. 851.1.)
880)
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
221
865.912. [fin —е~ах cos mx dx =
и
= —77-;—й- 1-тг *п + т ) +,п arctg----к- аС}
и2 -j-m2 [ 2 1 а 1 j
[т, а>0]. |См. G5LIJ
“ An —р~ах sin тх .
865.913. j ----—------------dx — {-у In (a2 m2) + Cj arctg “
о
|m, a>>0]. [Cm. 851.1.1;
Значительная доля интегралов в 850—865 может
быть найдена в [61. См. также 131—[7].
Л л
866.01. j COS (X Sin ф) dtp = J COS (X COS ф) dtp — nJ0 (X).
e о
Л
866.02. J cos (пф — x sin ф) dtp = nJ n (x),
о
где n — нуль или целое положительное число.
(Интегралы Б есселя.)
Л
866.03. J epccsx = л/0(р), как в 809.1.
Таблицы к 866 см. 120] и 121].
880. Правило Симпсона. Если известны значения y = f(xY
для равноотстоящих значении х с шагом h, то численное
вначение интеграла приближенно выражается формулой:
ь
J / (х) dx *=« — |Уо+4//1+2у2+4у3-|-2у44-... 4-4f/2n_1+f/2nl*
а
где h = Xi— х0— постоянная разность между соседними
значениями х, т. е. 2nh — b — а. Коэффициенты равны
поочередно 4 или 2, как указано. Приближение обычно
тем точнее, чем больше п. Таким методом можно полу-
чить численный результат, когда аналитическое выраже-
ние для интеграла не может быть найдено. Используя
таблицу / (х) и арифмометр, можно провести это вы-
числение без промежуточных записей.
222 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (881
881. Погрешность приведенной выше приближенной формулы
равна
n/i-V,v (х) __ (b — a) W,v (х)
УО ~ 180 ’
где для оценки величины ft4/iv(x) может быть взята наи-
большая четвертая разность в интервале (а, Ь).
4882. Другая формула, которая во многих случаях более точна,
чем формула 880. По ней тоже можно производить вычис-
ление на арифмометре без промежуточных записей:
§ /(х) dx ~ [ 1,4у0 -I- 6,4у] -ф 2,4у> 4- 6,4у3 4- 2,8_у4 4*
4* 6,4у/й 4- 2,4у6 4- 6,4у7 4- 2,8j\ 4-...
... 4- 6.4у4л_3 4- 2,4у4п_2 4- 6,4^^! 4-1 ,4j/4„],
где 4nh ~ b — а.
ЛИТЕРАТУРА
223
ЛИТЕРАТУРА
А. Общие руководства и справочники
1. Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального
исчисления, т. 1—3, «Наука», 1970.
2. Араманович И. Г.,Тутер Р. С. и др., Математический анализ
(дифференцирование и интегрирование), Серия «Справочная математическая
библиотека» под общей редакцией Л. А. Люстерника и А. Р. Янпольского^Физ-
матгиз, 1961.
3. Градштейн И. С., Р ы ж и к И. М., Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений, изд. 4-е, перераб. при участии Ю. В. Геронимуса и
М Ю. Цейтлина, «Наука», 1971.
4. С м о л я н с к и й М. Л., Таблицы неопределенных интегралов,
«Наука», 1971.
5. Гарди Г., Интегрирование элементарных функций, перев. с англ.,.
ОНТИ, 1935.
6. Bierens de Haan D., Nouvelles tables d'integrales definies,
Edition, 1867, corrected, N. Y. Hafner, 1957.
7. L i n d m a n C. F., Examen des Nouvelles tables d'integrales definies,
de Bierens de Haan, N. Y. Hafner, 1957.
8. Уи.ттекер E. T. и Ватсон Г. H., Курс современного анализа,
ч. I и II, Физматгиз, 1963.
9. Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, изд. 2-е,
перераб. и дополн., Физматгиз, 1963.
10. В а т с о н Г. Н., Теория бесселевых функций, ч. 1 и 2, ИЛ, 1949.
11. Грей Э. и Мэтьюс Г. Б., Функции Бесселя и их приложения
к физике и механике, ИЛ, 1953.
12. Г о б с о н Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций,
ИЛ, 1952.
13. А х и е з е р Н. И., Элементы теории эллиптических функций, «Наука»,
1970.
14. Журавский А. М., Справочник по эллиптическим функциям,
изд-во АН СССР, 1941.
Б. Таблицы
15. С е г а л Б.«И. и Семендяев К. А., Пятизначные математические
таблицы, изд. 3-е, Физматгиз, 1962.
16. Я н к е Е., Э м д е Ф., Лёш Ф., Специальные функции (формулы,
графики, таблицы), перев. с 6-го нем. изд. под ред. Л. И. Седова, «Наука»,
1977.
17. X а я ш и К., Многозначные таблицы круговых, гиперболических
и других функций, изд-во ВЦ АН СССР, 1965.
18. К о м р и Л., Шестизначные таблицы Чемберса, Физматгиз, 1964.
19. Библиотека математических таблиц, изд-во ВЦ.
АН СССР.
а) Таблицы круговых и гиперболических синусов и косинусов в радиан-
ной мере угла.
б) Таблицы вероятностных функций, т. 1 и 2.
в) Таблицы функций Бесселя дробного индекса f Jv и ,
221
ЛИТЕРАТУРА
18. Комри Л., Шестизначные таблицы Чемберса, Физматгиз, 1964.
19. Библиотека математических таблиц, изд-во ВЦ ЛН
СССР.
а) Таблицы
ной мере угла.
б) ~
Е)
X
± 3 ’
круговых и гиперболических синусов и косинусов в радиан-
вероятностных функций, т. 1 и 2.
функций Бесселя дробного индекса и 1Х для v=+ X,
3Ч.1и2.
Таблицы
Таблицы
2
± 3 ’ ± 4 / ’
Таблицы круговых и гиперболических тангенсов и котангенсов в ра-
дианной мере.
д) Таблицы натуральных логарифмов, т. 1 и 2.
е) Многозначные таблицы элементарных функций (sin х, cosx, ех, е х).
ж) Таблицы обратных тригонометрических функций.
з) Таблицы функций Бесселя целого положительного индекса.
и) Таблицы антилогарифмов 10*.
20. Ф а д д е е в а В. Н. и Г а в у р и н М. К., Таблицы функций Бесселя
J п (х) целых номеров от 0 до 120, Гостехиздат, 1950.
21. Таблицы значений функций Бесселя от мнимого аргумента, изд-во
АН СССР, 1950.
22. Таблицы интегрального синуса и косинуса, изд-во АН СССР, 1954.
23. Таблицы интегральной показательной функции, изд-во АН СССР, 1954.
24. Таблицы ех и е~х, изд-во АН СССР, 1955.
25. К а р м а з и н а Л. Н., К у р о ч к и н а Л. В., Таблицы интерполяци-
онных коэффициентов, изд-во АН СССР, 1956.
26. Table of binomial coefficients, Royal Society, Mathematical tables,
Cambridge University Press, 1954.
27. Само й лов а-Я хонтова Н. С., Таблицы эллиптических интегра-
лов, ОНТИ, 1935.
28. Беляков В. Л., Кравцова Р. И., Раппопорт М. Г., Таблицы
эллиптических интегралов, т. 1, изд-во АН СССР, 1962.
29. Шулер М., Гебелеин X., Таблицы эллиптических функций,
изд-во ВЦ АН СССР, 1960.